/
Text
IMPACT DYNAMICS
JONAS A. ZUKAS
USA Ballistic Research Laboratory
THEODORE NICHOLAS
USAF Wright Aeronautical Laboratories
HALLOCK F. SWIFT
Physics Applications Inc.
LONGIN B. GRESZCZUK
McDonnell Douglas Astronautics Co.
DONALD R. CURRAN
SRI International
A WILEY-INTERSCIENCE PUBLICATION JOHN WILEY & SONS
NEW YORK • CHICHESTER • BRISBANE • TORONTO • SINGAPORE 1982
ДИНАМИКА
УДАРА
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
ПОД РЕДАКЦИЕЙ Д-РА ФИЗ.-МАТ. НАУК, ПРОФ.
С. С. ГРИГОРЯНА
МОСКВА «МИР» 1985
ББК 22.23
Д46
УДК 531.3:536.66
ЗукасДж.А., Николас Т., Свифт Х.Ф., ГрещукЛ. Б., Кур-ран Д. Р.
Динамика удара: Пер. с англ./Зукас Дж. А., Николас Т., Д46 Свифт Х.Ф. и др.-М.: Мир, 1985.-296 с., ил.
Коллективная монография американских специалистов, в которой сжато изложены фундаментальные положения отдельных разделов общей научно-технической проблемы-динамики удара. Рассмотрены главные физико-механические аспекты сопровождающих удар явлений в разных диапазонах скоростей удара и разработанные к настоящему времени методы теоретического и экспериментального исследования соответствующих задач.
Для специалистов, интересующихся проблемами ударных воздействий
и 1703030000-415 о_ . ББК 22.23
Д-----------------43-85, ч. 1
041(01)-85 531
Редакция литературы по новой технике
Copyright © 1982 by John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved. Authorized translation from English language edition published by John Wiley & Sons, Inc.
© перевод на русский язык с сокращениями, «Мир», 1985
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Процесс соударения твердых тел только при относительно малых скоростях сопровождается упругими деформациями материалов соударяющихся тел, так что проблема количественного описания характеристик процесса и прогноза его последствий сводится к начально-краевой задаче динамической теории упругости. Во многих иных случаях, представляющих научный и прикладной интерес, скорости соударения таковы, что материал испытывает значительные необратимые деформации и разрушается. В результате задача количественного описания резко осложняется, поскольку, с одной стороны, для ее решения требуются сведения о свойствах материала при его неупругом деформировании и разрушении, а с другой-модельные построения для адекватной ее математической формулировки. Именно по этой причине проблема соударения твердых тел представляет собой не частный вопрос динамики твердого деформируемого тела, а целое научно-техническое направление исследований, интенсивно развивающееся в последнее время. Интерес к данной области, возникший достаточно давно и продиктованный требованиями военной техники, резко возрос в годы второй мировой войны и особенно в послевоенное время в связи с новыми задачами техники, в частности космической и по-прежнему военной, а также в связи с чисто научной проблематикой в области изучения поведения материалов при больших давлениях и скоростях нагружения.
Накопленный в исследовательских центрах разных стран материал с результатами проведенных исследований лишь частично нашел отражение в монографиях и сборниках трудов научных конференций, поэтому ощущается настоятельная потребность в более обстоятельном обобщающем издании. Предлагаемая вниманию читателя коллективная монография в определенной мере решает эту задачу. В ней сжато изложены основные положения отдельных разделов общей научно-технической проблемы динамики удара. Читатель получает ясное представление о главных физико-механических особенностях процессов, протекающих при ударе в разных диапазонах скоростей удара, и разработанных к настоящему времени методах теоретического и экспериментального исследований соответствующих задач. Авторы знакомят и с трудностями на пути дальнейших исследований, а также с существом самих этих исследований.
Нельзя не отметить изящества и простоты смелых схематизаций в постановке задач для количественного описания рассматриваемых явлений, в результате чего удается получить простые решения в явном виде, позволяющие производить достаточно полный параметрический анализ решения и его физическую интерпретацию (гл. 1, 3, 4, 6). Важный качественный вывод принципиального характера следует из содержания гл. 2 и 5 и заключается в том, что любые придуманные нами модели поведения материала в неупругой области (уравнения состояния) не в состоянии достаточно полно описать все эффекты, наблюдаемые в опытах, поэтому следует пользоваться разными моделями для разных условий работы материала. Очень интересно и поучительно содержание гл. 6,
6 Предис ювие редактора перевода
демонстрирующее возможность сравнительно простого и вполне адекватного математического описания процесса постепенного накопления в материале «микроскопических» повреждений, обусловливающего макроскопически наблюдаемые эффекты неупругости в поведении материала и его окончательное разрушение. Безусловно впечатляют возможности численных методов и математического моделирования на ЭВМ задач динамики удара, иллюстрируемые на ряде примеров.
Книга представляет большой научный и особенно методический интерес для широкого круга специалистов-механиков, физиков, материаловедов, работающих в различных областях современной науки и техники, а также для студентов и аспирантов университетов и технических вузов.
Перевод книги выполнен кандидатами физ.-мат. наук А. В. Крымским (гл. 1, 2, 6), Э. В. Ленским (гл. 5) и канд. техн, наук В. А. Хохряковым (гл. 3, 4).
Москва, сентябрь 1984 г.
С. С. Григорян
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга написана на основе краткого однонедельного курса по динамике удара, впервые прочитанного авторами в 1979 г. В то время не было опубликовано ни одной работы, которая охватывала бы множество тем, отражающих различные аспекты поведения материалов при высокоскоростном ударе. Действительно, в имеющихся публикациях и отчетах содержалось мало справочного материала по конкретным вопросам из рассматриваемой области. Более того, соответствующую информацию приходилось извлекать из рассеянных по журналам статей, малодоступных правительственных или промышленных отчетов и частных сообщений специалистов по данной проблеме.
Главный акцент в этой книге делается на материаловедческие аспекты феноменологии удара как части общей проблемы о соударении снаряда с материалами мишеней. Изложение ориентировано на инженера-практика, желающего приобрести рабочие знания в данной области, и на специалиста, желающего получить информацию об особенностях поведения материалов при ударе вне области его собственных занятий. Здесь не рассматриваются другие специфические задачи динамического деформирования материалов, такие, например, как высокоскоростная обработка и резание металлов. Используется фундаментальный подход, ориентированный на выявление принципов основополагающего характера. Поэтому он может быть полезным при изучении многих динамических задач. Подход этот представляет собой комбинацию курса лекций университетского стиля с обзором текущего состояния вопроса в рассматриваемой области. Вниманию читателя предложен список многочисленных источников для ознакомления в деталях с любой из рассмотренных в книге тем. Во многих случаях дается историческая перспектива для иллюстрации идей и методов, использованных для достижения современного состояния технологии. Материал книги охватывает теоретический и экспериментальный подходы к исследованию поведения материала в диапазоне условий от низкоскоростного до сверхскоростного удара. Главное внимание уделяется выявлению сущности рассматриваемых явлений и построению рациональных методов их количественного описания. Преимущественно эмпирические подходы к моделированию сложных ударных явлений не рассматриваются.
Абердинский испытательный полигон, шт. Мэриленд
База ВВС, Райт-Паттерсон, шт. Огайо Хантингтон-Бич, шт. Калифорния Дэйтон, шт. Огайо
Менло-Парк, шт. Калифорния
Джонас А. Зукас Теодор Николас Хэллок Ф. Свифт Лонгин Б. Грещук Дональд Р. Курран
РАЗРУШЕНИЕ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ УДАРАХ С МАЛЫМИ СКОРОСТЯМИ
Лонгин Б. Грещук
McDonnell Douglas Astronautics Со.
Несмотря на то что новейшие композиты нашли широкое применение в качестве конструкционных материалов и были разработаны эффективные инженерные методы оценки поведения этих материалов и конструкций из них при статических нагрузках, не существует сравнимых по эффективности методов расчета поведения конструкций из композитов при ударе по ним внешними объектами. Только недавно была предпринята попытка сконцентрировать усилия с целью выяснения характера реакции композитов на ударное воздействие на базе точного теоретического анализа и тщательно разработанных испытаний [2]. Исследование реакции композитных материалов на удар частицы или внешнего тела с использованием чисто эмпирических или полуэм-пирических методов возможно, но нежелательно из-за обширности и дороговизны мероприятий, требуемых при этом для охвата множества разнообразных комбинаций структур материалов, заполнителей, способов плетения волокна, последовательности укладки слоев, типов конструкций. К примеру, в настоящее время в продаже имеется по меньшей мере 38 различных типов графитовых и угольных волокон. Модуль Юнга для разных типов волокон изменяется в диапазоне 40-560 ГПа, а предел прочности на растяжение в диапазоне 0,8-15 ГПа, поэтому, например, только для графито-эпоксидных композитов выявление типа графитового волокна, обеспечивающего оптимальную реакцию на удар, потребовало бы непомерно больших затрат времени. При определении реакции на удар желательно иметь критерий, позволяющий выяснить, как различные свойства мишени и параметры удара влияют на повреждение мишени. Описанный здесь аналитический подход и направлен на решение этой проблемы.
1.1. РАЗРАБОТКА ТЕОРИИ
Подход в изучении реакции изотропных и композитных материалов на низкоскоростной удар иллюстрирует рис. 1.1. Три главных этапа
Разрушение композитны\ материалов
9
этого подхода суть: 1) определение индуцированного ударником распределения давления на поверхности мишени, 2) определение внутренних напряжений в композитной мишени, порожденных давлением на поверхности, 3) определение типа разрушения в мишени, вызванного внутренними напряжениями. В наиболее общем случае предполагается, что мишень представляет собой многослойное ортотропное твердое тело, а ударник-тело вращения. Принимается также, что 1) мишень и ударник-линейно упруги, 2) продолжительность удара - большая величина в сравнении с временами прохода волн напряжений по ударнику (или мишени конечной толщины) и 3) удар наносится по нормали к поверхности мишени.
1.1.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ
Величину и распределение ударных давлений на поверхности мишени можно найти аналитически, комбинируя решение динамической задачи о соударении твердых тел с решением статической задачи о давлениях между двумя контактирующими телами, подобно тому, как это делается по методу, описанному Тимошенко [31] для случая соударения сфер.
Сферический ударник, изотропная мишень. Обозначив массу и скорость ударника через тгц и соответственно, а массу и скорость мишени через т2 и v2, можно записать следующие выражения для скоростей изменения скоростей в процессе удара (при контакте обоих тел):
ml (dvjdt) = — Р, т2 (dv2/dt) = — Р.
(1.1)
Обозначим через а величину сближения ударника и мишени, обусловленного локальным сжатием в точке контакта, тогда скорость этого сближения будет равна
а = Vi 4- v2.
(1.2)
Ударник
Удар вызывает давление (давление изменяется во времени)
Давление порождает напряжения
Напряжения приводят к разрушению
Рис. 1.1. Существенные особенности подхода.
Мишень многослойная, с общей ортотропией, гибкая или полубесконечная, с криволинейной поверхностью. Ударник тело вращения
10
Глава 1
Из результатов, полученных Рэлеем [26], следует, что если продолжительность контакта между ударником и мишенью очень велика по сравнению с естественными периодами колебаний этих тел, то колебаниями в системе можно пренебречь. Следовательно, можно предположить, что в этом случае закон Герца
р = иа3/2, (1.3)
установленный для статических условий, применим и для задачи об ударе. Величина п определяется выражением
п = 4|/й7/3л(к1 +к2), (1.4)
где Ki-радиус сферического ударника,
/c^d-v1 2 *)/^,, (1.5)
/с2 = (1 — v2)/nE2. (1.6)
Е и v-модуль Юнга и коэффициент Пуассона соответственно, а индексы 1 и 2 относятся к ударнику и мишени. Дифференцируя выражение (1.2), комбинируя его с (1.1) и подставляя (1.3) в результирующее уравнение, получаем
а = иЛ/а32, (1.7)
где М = (1/mJ 4- (l/m2).
(1.8) Умножая теперь, как у Тимошенко [31], обе части уравнения (1.7) на а и интегрируя полученное соотношение, получаем
а2 — v2 = -4/5Миа5/2, (1.9)
где г-скорость.сближения обоих тел при t = 0, т.е. в начале удара. Максимум деформации достигается при а = 0 и равен
= (5и2/4Ми)2/5. (1.10)
Другой путь вывода соотношения (1.10) связан с использованием баланса энергии в системе. Предположив, что мишень полубесконечна и неподвижна, а ударник движется со скоростью получаем уравнение для баланса энергии
1/2mi р? = f Eda. (1.11)
о
Подставив теперь (1.3) в (1.11) и взяв интеграл, получаем соотношение
= 75naf/2, (1.12)
которое после разрешения относительно oq совпадает с соотношением (1.10) при условии vr = v, Подстановка (1.10) в (1.3) дает
следующее окончательное соотношение:
р = П2У5 (5у2/4Л1)3/5 (1 13)
Для контактной задачи Герца о вдавливании сферы в плоскую по-
Разрушение композитных материалов
И
верхность силой Р соотношение, связывающее Р и а (где а - радиус площадки контакта), имеет вид
Г ЗяР Т/3
д = —(^i +^)К1
(1.14)
Комбинируя (1.14) и (1.13), получаем выражение для максимального радиуса площадки контакта между плоской мишенью и сферическим ударником
а = (Я1)1/2(5и2/4Ми)1/5. (115)
Было показано [3, 17, 31], что распределение давления по площадке контакта имеет вид
/ х2 + /\1/2
Ях,у Яо I 1 2 )
(1.16)
где q0 - поверхностное давление в центре площадки контакта при х = у = 0. На границе площадки
(х2 + у2)/д2 = 1
(1.17)
и, значит, там
^ = 0. (1-18)
Суммируя действующие на площадку контакта давления и приравнивая результат величине Р, находим
д0 = ЗР/2ла2. (1.19)
Комбинируя (1.13), (1.15), (1.16) и (1.19) и вводя полярные координаты, получаем следующее выражение для распределения поверхностных давлений:
(1.20)
и
Зи / 5г2 \1/5
~ 2л К, \ 4иМ )
(1-21)
Соотношения (1.13), (1.15), (1.20) дают окончательные выражения для ударной силы, радиуса площадки контакта и распределения поверхностных давлений через скорость удара, геометрию ударника, упругие свойства и массы ударника и мишени. Выведенные здесь уравнения могут быть использованы также для определения изменения во времени упомянутых выше величин (Р, a, qr, q0), что более подробно будет обсуждено в разд. 1.1.2.
Общий случай соударения двух неизотропных тел вращения. Тот же подход, что был описан в предыдущем разделе, можно использовать
12
Глава 1
при исследовании более общего случая соударения двух тел вращения,
изготовленных из трансверсально изотропных и ортотропных материалов, включая мишени, изготовленные из слоистых композитов. Для обобщения теории на случай произвольных тел вращения требуются уравнения, соответствующие решению контактной задачи для таких тел. Решение более общей контактной задачи можно найти в работах Герца [17, 18], Уиттмора и Петренко [32], оно было также дано Тимошенко [31], Беляевым [4] и имеется во многих других публикациях.
Если твердое тело (или ударник, обозначаемый индексом 7), имеющее в точке контакта главные радиусы кривизны!?im и вдавливает-
ся силой Р в мишень, имеющую главные радиусы кривизны R2m, R2m,
то возникает эллиптическая площадка контакта с большой и малой полуосями [32]
а = т — Р(к[ + /сз)Ск
(1.22)
Г Зя Т/3
b = r —p(k; + k2)cR ,
где Cr-величина, учитывающая влияние кривизны,
1 ( 1 ( 1 1
Rim Rim RiM RiM ’
(1.23)
(1.24)
k^, k2 - подлежащие определению параметры, учитывающие упругие свойства ударника и мишени; т, г и 5-параметры, зависящие от Rlnh RiM, Rim и R2m (даны в табл. 1.1 в функции 0):
Таблица 1.1. Значения параметров т, г и s [32]
9, град 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
т оо 6,612 3,778 2,731 2,136 1,754 1,486 1,284 1,128 1,00
г 0 0,319 0,408 0,493 0,567 0,641 0,717 0,802 0,893 1,00
S - 0,851 1,22 1,453 1,637 1,772 1,875 1,994 1,985 2,00
0 = arccos < Cr
1 у
Rim /
/ 1 1 V 1 1 \
-I- 21---------11-----------1 cos 2ф
\ Rim RiMj\Rim RiM /
1/2
(1.25)
а ф-угол между нормальными плоскостями, содержащими кривизны 1/^im и 1/^2^-
Соотношение между контактной силой Р и комбинированной деформацией обоих тел в точке контакта может быть выражено в анало-
Разрушение композитных материалов
13
гичных параметрах и имеет вид
9n2p2(k; + ktf 1/3
а = 5
256СЯ
или, если выразить это соотношение в форме, подобной (1.3),
Р = и'а3/2,
где теперь
П, /16 WCR у/2 \ Зя (/с/ + /с2) / \ $3 /
(1.26)
(1.27)
(1.28)
Подставив п' вместо и в (1.10) и комбинируя результат с (1.27), получаем
Р = и'(5г2/4Ми')3/5. (1.29)
Распределение давлений в контактной задаче для тел вращения было найдено в виде [4]
х2 у2
= 1-p-p-l- ИЗО)
где х, у-координаты вдоль осей эллипса а и b соответственно. Интегрируя поверхностные давления по эллиптической площадке контакта и приравнивая результат величине Р, получаем
qQ = 3P/2nab. (1.31)
Комбинируя (1.29), (1.22), (1.23), (1.26) и (1.31), получаем выражения для большой и малой осей площадки контакта, максимальной деформации в зоне контакта и максимального поверхностного давления:
a h Г/Зл\ /с,2\з/5 11/з
- = - = Н- ) (*; + *2)(Ск)(И')2/51 — ) , (1.32)
т г [_ у 2 J у 4М J
otj = (5г2/4Ми')2/5,
/ 3 \1/3
= 1 J( \2п) \(5v2X'15
п*12 (д тг [(/с/ 4- /с2) Сд]2/3 / \ 4М J
(1.33)
(1.34)
Величины /с/ и /с2', появившиеся в (1.32)-(1.34), отражают зависимость от упругих свойств ударника и мишени. В случае соударения изотропных твердых тел /с/ и /с2 определяются выражениями (1.5) и (1.6). Если мишень изготовлена из трансверсально-изотропного материала, то с помощью результатов, полученных Конвейем [7], можно вывести следующее выражение для к2 :
к, = [(1/^.1^+ G-r)2 - (Л,2 + G-r)2]1;2
2л |/ G:r(A 11Л 22 — Л^2)
(1-35)
14
Глава 1
где Ли = Е2(1 -vr)P, А22 = [ЕГ Р(1 - vir5)/(l + vr)],
(1.36)
Л12 = Er vzrp, Р = 1/(1 vr 2vzr 5), 5 = Er/Ez>
a Е, G и v-модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассона для мишени; индексы гиг обозначают направления по радиусу и толщине соответственно, z-направление удара. Для плоского изотропного материала свойства в плоскости г не зависят от ориентации.
Если ударник также изготовлен из трансверсально-изотропного материала, то выражение для к[ будет подобно выражению для к2, за исключением того, что различные упругие константы, фигурирующие в (1.35) и (1.36), будут здесь относиться к материалу ударника. Хотя решения в замкнутой форме для к2 в случае общей ортотропии материала не было получено и вывод такого соотношения представляется крайне трудным, приближенное численное решение для к2 в случае общей ортотропии материала показывает, что эта величина относительно нечувствительна к внутриплоскостной ориентации волокон [16].
При ударе жестким сферическим ударником по мишени, изготовленной из ортотропного материала с внутриплоскостным параметром анизотропии EjJEt= 14,3, площадка контакта оказалась слабо эллиптической. Отношение большой оси эллипса к малой составляло лишь 1,07. Экспериментальное исследование [21] также показало, что, когда изотропная сфера вдавливалась в ортотропную мишень, изготовленную из однонаправленного композита, площадка контакта получалась слабо эллиптической. Как было отмечено в работе [14], влияющие на к2 свойства-это в основном свойства, связанные с толщиной, т.е. в направлении удара z. Вследствие слабого влияния на к2 внутриплоскостных свойств мишени соотношение (1.35) можно использовать в качестве первого приближения для случая общей ортотропии материала, если использовать подходящие, скажем средние, внутриплоскостные свойства (Er, vr). Параметр к2 для данного материала с ортотропией может быть определен также экспериментально из статических испытаний на вдавливание. Для сферического индентера (K1W = К1А/ = КД изготовленного из изотропного материала, и для плоской мишени (R2m = К2м = оо), C^ = jRi/2 и s = 8, так что соотношение (1.27), разрешенное относительно к2, дает
4 1 — V?
^ = _^(аЗЯ
2 ЗлР 1 nEt
(1-37)
Таким образом, проводя опыты по статическому вдавливанию и измеряя нагрузку Р в функции деформации а, можно определить к2 из соотношения (1.37). Параметры, входящие во второе слагаемое правой части соотношения (1.37), являются упругими характеристиками индентера. Если индентер жесткий (Ер>Е2) в сравнении с мишенью, вторым чле
Разрушение композитных материалов 15
ном можно пренебречь. На рис. 1.2 показаны некоторые типичные результаты в виде зависимости нагрузка-деформация для мишени из оргстекла и стального индентера. Приведена также теоретическая кривая, построенная по соотношению (1.3). Отклонение экспериментальных данных от теоретической зависимости при значениях Р выше 0,45 кН связано с неупругой деформацией мишени. Величина к 'г в неупругой области также может быть определена по соотношению (1.37).
Реакция на удар гибкой мишени. Поведение изотропных пластин и балок при ударе было обстоятельно и систематически изучено Голдсмитом [11]. Реакция анизотропных слоистых пластин на удар была исследована аналитически в работах [21, 30], Грещук и Чао [16] изучали аналитически и экспериментально реакцию композитных пластин на низкоскоростной удар. Экспериментальное исследование реакции на удар оребренных и неоребренных композитных пластин было выполнено в работах [29, 33].
Для гибкой мишени в виде пластины поверхностное давление, площадь контакта и длительность удара будут функциями параметров, вхо
Сила Р нН
Рис. 1.2. Сравнение теоретической и экспериментальной зависимостей силы от деформации для изотропной мишени из оргстекла, /-теория, уравнение (13), 2 - экспериментальные данные
Рис. 1.3. Локальная и общая деформации для гибкой мишени.
16
Глава 1
дящих в (1.32)—(1.34), а также изгибной жесткости пластины и граничных условий. При заданной скорости удара ударная сила Р будет убывать с ростом гибкости мишени (или с уменьшением ее толщины). Увеличение гибкости мишени будет приводить также к росту длительности удара и уменьшению площади контакта. Приближенное решение (основанное на предположениях, принятых в начале этой главы) задачи о реакции на удар гибкой композитной пластины можно построить на основе схемы деформации, показанной на рис. 1.3. В точке контакта пластина приобретает контактную деформацию по Герцу а, а также изгибную деформацию 5р. Соотношение Герца между силой и деформацией для контактной задачи уже было приведено в виде
Рс = и'а3/2, (1.38)
а соотношение между силой и прогибом для пластины, подверженной действию сосредоточенной нагрузки, будет иметь вид
Рр = КрЬр, (1.39)
где индексы сир относятся к контактной задаче и задаче изгиба пластины соответственно, а Кр- «пружинная» константа пластины. Параметр Кр является функцией упругих постоянных материала пластины, а также граничных условий для нее. В предположении, что пластина до удара находится в покое, а скорость ударника г = г1, можно записать уравнение для баланса энергии системы в виде
y'WiV2 = fomaxPprf8p + fS1Pe^- (1.40)
Подстановка (1.27) и (1.39) в (1.40) дает после вычисления интегралов
1 /2 т 1V2 = */2 Кр 8Р + 2/5 л'а’12. (1.41)
Окончательно, комбинируя (1.27), (1.28) и (1.41) и замечая, что Рс = Рр = = Р, находим
1 , 1 / Р2 \ 2 Г Р5/3
2’т*г + т|_(и')2/3
(1.42)
Для круглой изотропной или псевдоизотропной пластины из композита радиусом R и толщиной h, защемленной по внешней границе, [27]
К - Р - 4nE'hi р_У" 3(1 — vr2)P2 ’
тогда как для пластины с опертым краем
4nErh3
р = 3(1 -vr)(3 + vr)R2
(1-43)
(1-44)
Подставив (1.28) и (1.44) в (1.42), получаем для круглой пластины, опер
Разрушение композитных материалов
17
той по краю:
1 2 р2Г 3(l-vr)(3 + vr)K2l (25ГЗя(/с; + /с2')Т/3)
— т^ = Р2 ---------1 3------ + PZ < —---------7=—
2 |_ 5яЕг/13 J [ 5 16|/ся J J
(1.45)
Первое слагаемое в правой части (1.45) учитывает изгиб пластины, второе - контактное взаимодействие по Герцу. Можно показать, что при г» 1 соотношение (1.45) переходит в (1.29).
Соотношение (1.45) можно разрешить относительно Р и получить зависимость ударной силы от скорости удара и свойств ударника и гибкой мишени. Если мишень изготовлена из композитного материала с укладкой волокон, отличной от псевдоизотропной, то следует использовать для Кр соответствующие выражения.
Типичные результаты расчетов, иллюстрирующие влияние толщины плиты-мишени /1, скорости удара v и граничных условий для плиты на динамическую силу Р, показаны на рис. 1.4 и 1.5. Эти результаты соответствуют следующим значениям параметров сферического ударника и мишени-плиты из композита.
Стальной ударник
Мишень из композита
Е, = 200 ГПа Ег= 51,1 ГПа V1 =0,33 Е2= 11,9 ГПа
р = 7,97. Ю3 Gr= 19,5 ГПа кг/м3 G.r = 4,14 ГПа
v‘ = 0,31 vzr = 0,06
Свойства композитной мишени, приведенные выше, соответствуют материалу «Торнел» 300/5208 с ориентацией волокон (0, + 60, — 60) и равномерным распределением слоев по толщине. Такое распределение волокон дает псевдоизотропную слоистую композицию, свойства которой в плоскости, параллельной слоистости, не зависят от угловой координаты. Такая композиция, хотя она и изотропна в указанной плоскости, является трансверсально-изотропной, поскольку ее свойства в этой плоскости и в нормальном к ней направлении (по толщине) различны.
Ударные силы, рассчитанные по формуле (1.45) и полученные по результатам испытаний псевдоизотропной композитной пластины, сравниваются на рис. 1.6.
Как отмечалось в начале данного раздела, гибкость мишени влияет также и на величину площадки контакта. Последняя может быть рассчитана приближенно путем вычисления сначала значения силы Р из
Рис. 1.4. Динамическая сила в зависимости от скорости удара и толщины круглой композитной мишени со свободно опертой границей.
Рис. 1.5. Динамическая сила в зависимости от скорости удара и толщины круглой композитной мишени с защемленной границей.
Разрушение композитных материалов
19
!
I
ю4
ю3
юг
Скорость удара V, м/с
Рис. 1.6. Сравнение расчетной и экспериментальной зависимостей динамической силы от скорости удара для гибкой композитной мишени, подвергнутой удару стальным шариком.
Рис. 1.7. Сравнение расчетной и экспериментальной зависимостей радиуса площадки контакта от скорости удара стальным ударником диаметром 38,1 мм для псевдоизотропных мишеней из композита «Торнел» 300/5208.
20
Глава 1
(1.42), а затем расчета радиусов площадки контакта непосредственно по формулам (1.22) и (1.23) подстановкой в них вычисленного значения Р. На рис. 1.7 показано изменение радиуса площадки контакта в функции скорости удара для псевдоизотропной мишени из материала «Торнел» 300/5208 при двух значениях толщины мишени. Сплошная и пунктирная линия соответствуют расчетам по описанной выше методике, а кружочки и квадратики относятся к результатам испытаний.
1.1.2. ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ УДАРА
Максимальное давление q0 достигается в момент 0,5to, где t0-продолжительность удара. Последнюю можно определить, используя подход, подобный описанному Тимошенко [31]. Из решения задачи о соударении двух тел имеем [уравнение (1.9)] (d2 — v2) = — 4/5Мпа.512 или после разрешения относительно d и обобщения этого соотношения путем замены п на п'
d = (v2 — 4/5Ми'а5/2)1/2. (1-46)
Подставляя выражение d = d^/dt в (1.46) и разрешая относительно dt, получаем
dt = da/(v2 — 4/5Mn'a5/2)1/2. (1.47)
Комбинируя (1.47) и (1.33) и интегрируя, находим
Сх dx
20Ц
t = -TJ0 (1 -х5'2)1'2 ’
(1.48)
где х = Полная продолжительность удара tQ определяется интегрированием в интервале от х = 0 до х = 1 и равна
a /5 \2/5
г0 = 2,94-^ = 2,94
v \4Mnv 1 J
(1.49)
Для проверки точности выражения (1.49) были выполнены измерения продолжительности удара при соударении стальных сфер с алюминиевыми и композитными пластинами [15]. Схема использованной экспериментальной установки показана на рис. 1.8. После освобождения ударника электрическая цепь замыкается на время от момента первого контакта между ударником и мишенью до момента отскока ударника. Продолжительность этого интервала измерялась осциллографом. На рис. 1.9 измеренные значения продолжительности удара сравниваются с рассчитанными по формуле (1.49). На рис. 1.10 показана экспериментальная зависимость продолжительности контакта от толщины мишени.
Изменения во времени поверхностного давления q0, радиусов пло-
Разрушение композитных материалов
21
Рис. 1.8. Схема экспериментальной установки для измерения продолжительности контакта при ударе.
Рис. 1.9. Сравнение расчетной (уравнение (1.49)) и экспериментальной зависимостей продолжительности контакта от скорости удара при соударении алюминиевой мишени со стальной сферой.
Каждая экспериментальная точка является средней для трех испытаний.
Г.шва 1
Рис. 1.10. Влияние толщины мишени на продолжительность контакта (v = = 2,54 м/с).
Каждая экспериментальная точка является средней для трех испытаний.
щадки контакта а и b и распределения поверхностного давления qr могут быть определены путем численного интегрирования выражения (1.48) и определения а/оц в функции t/t0. Результирующая кривая показана на рис. 1.11. Эту кривую можно аппроксимировать с высокой точ-' ностью выражением
a = 04 sin (nt/t0),
(1.50)
Рис. 1.11. Обобщенная зависимость давление - время для соударения частицы с мишенью.
I-время; К-начальная скорость сближения; at!-максимальная глубина проникания; a - глубина проникания в момент t,; f0 = 2,940^/К-полная продолжительность контакта; a/a( <» q,/q0.
Ра зрушение композитных .материалов
или после подстановки t0 из (1.49)-выражением
а = aj sin (nfv/2,94a1).
0-51)
Подставляя (1.27) в (1.22), (1.23) и (1.31) и затем (1.51) в полученные соотношения, приходим в результате к следующим выражениям для а, b и q в виде функций времени t:
a(t) b(t) / 4Сд ntv \1/2
----=-----=------aiSin—-—
т г \ s 2,940^ /
z. 3n's / . ntv \1/2
<7о= --- “1sm Тол— •
олСдтиг у 2,94aj J
(1.52)
(1-53)
Распределение поверхностных давлений дается формулой (1.30).
1.1.3. ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ, ПОРОЖДАЕМЫЕ УДАРНЫМ ДАВЛЕНИЕМ
Зная поверхностное давление, его распределение, а также размеры площадки контакта (все в функции времени и скорости удара), можно определить зависящие от времени трехосные напряжения в изотропной, многослойной ортотропной или в анизотропной мишенях, используя различные вычислительные программы, основанные на методе конечных элементов, или в некоторых случаях замкнутые решения.
Полубесконечное изотропное тело. В случае полубесконечного изотропного тела, подверженного воздействию поверхностного давления qr, распределенного в соответствии с (1.16), внутренние трехосные напряжения могут быть определены по соотношениям, приведенным в работах [4, 19, 20, 21], или по кривым, приведенным в работе [22]. На рис. 1.12 показаны линии постоянных значений трехосных внутренних напряжений сг, qz и qq. Напряжения отнесены к максимальному поверхностному давлению q0 (при г = 0), а размеры - к радиусу площадки контакта а. Для сравнения приведены результаты расчетов по замкнутым решениям и результаты численного решения по программе SAAS III с использованием метода конечных элементов [9]. Максимальные растягивающие, сжимающие и касательные напряжения (оь и qs соответственно), возникающие в изотропной мишени, связаны с поверхностным давлением следующими простыми формулами [31]:
°Г = [(1-vi)/3]«o(t)> (1-54)
стс = 9о(0> (I-55)
(1 + v)(sarcctgs - 1) 4-
3
Зой
(1.56)
Рис. 1.12. Сравнение аналитических и численных решений для внутренних трехосных напряжений, возникающих в твердом теле под действием вызванных ударом поверхностных давлений.
а-радиальное напряжение (сжимающее), б - нормальное напряжение (сжимающее), e-кольпевос напряжение (сжимающее),-аналитическое решение, чис-
ленное решение
Разрушение композитных материалов
25
Рис. 1.13. Расположение максимумов растягивающих, сжимающих и касательных напряжений в упругом полупространстве, возникающих под действием поверхностной нагрузки.
с максимумом os при 5 ^2/(1 +v)k, где s = z/a и q0(г)-максимальное поверхностное давление в данное время t. Положения максимальных напряжений указаны на рис. 1.13. Таким образом, разрушение хрупких материалов при ударе следует связывать с прочностью на разрыв, и оно должно возникать на периферии площадки контакта. Для материалов с низким пределом прочности на сдвиг удар будет порождать сдвиговое разрушение под поверхностью.
В случае удара по изотропным гибким мишеням трехмерное внутреннее напряженное состояние, порожденное индуцированными ударом поверхностными давлениями, лучше всего рассчитывать с помощью вычислительных программ, подобных перечисленным в следующем разделе.
Полубесконечная и гибкая композитные мишени. Внутренние трехосные напряжения в полубесконечной или гибкой композитных мишенях, подверженных воздействию индуцированного ударом поверхностного давления, могут быть определены с помощью вычислительных программ на базе метода конечных элементов, таких, как SAAS 111 [9] или более общая программа ASAAS [8]. Программа SAAS III применима для расчетов напряжений в трансверсально-изотропных материалах, тогда как усовершенствованный вариант программы ASA AS [16] позволяет рассчитывать многослойные материалы с общей ортотропией, обладающие ортогональной симметрией. К числу других программ, которые можно использовать для расчета внутренних трехосных напряже-
26
Г. шва 1
Рис. 1.14. Распределение внутренних напряжений в полубесконечном многослойном трансверсально-изотропном материале, возникающих под действием поверхностного давления, порожденного ударом внешнего объекта.
а-случай I Er/Et = 0,35, б-случай II Er/Ez = 2,86
ний в материалах с общей ортотропией, относятся NASTRAN, ANSYS, MARC, SAP IV, NISA и другие. Эти программы применимы также для расчета внутренних трехосных напряжений в пластинах с общей ортотропией.
Чувствительность внутреннего напряженного состояния к ортотро-пии мишени иллюстрируется на рис. 1.14, где показаны линии постоянных нормальных oz и радиальных ог напряжений для трансверсально-изотропных мишеней с Er/Ez = 0,35 и Er/Ez = 2,86. В расчетах использовались следующие значения параметров материалов:
Случай I (£г/Е2 = 0,35) Случай II (Er/Et = 2,86)
Ег = 20 ГПа
Ez = 57,2 ГПа vr = 0,144 v„r = 0,26
Grz = 5,93 ГПа
Er = 57,2 ГПа
Е. = 20 ГПа vr = 0,26 wr = 0,091 Gr. = 5,93 ГПа
Таким образом, при данном поверхностном давлении q0 с увеличением Ez любая заданная линия постоянного напряжения oz расширяется в глубь мишени, тогда как любая линия постоянного напряжения ог сокращается в размерах. И наоборот, с уменьшением Ez (увеличением
Разрушение композитных материалов
27
Ег) любая линия постоянного напряжения стг расширяется внутри мишени. Если материалы обладают свойствами, соответствующими случаям I и II, и подвергаются удару с заданной скоростью г1? то поверхностная нагрузка q0, возникающая при ударе, а также размеры площадки контакта у этих материалов будут разными. Обозначив первый материал (случай I) индексом 1, а второй материал (случай II) индексом 2, получим следующие приближенные значения при ударе с заданной скоростью для отношения максимальных поверхностных давлений (<7o)i/(<3o)n [(£z)i/(£z)ii]4/5~2,32, для отношения радиусов площадок
контакта гц/лц [(£z)n/(£z)i] 1/5 ~0,81.
Таким образом, чтобы сопоставить индуцированные ударом напряженные состояния в этих двух материалах, нужно представленные на рис. 1.14 результаты выразить через (q0)i и aj или (q0)n и лц.
Результаты, подобные показанным на рис. 1.14, можно получить для материалов с общей ортотропией, используя программу типа ASAAS. По известному внутреннему напряженному состоянию можно оценить протяженность областей повреждения материала, используя соответствующие критерии разрушения при многоосном напряженном состоянии внутри тела.
1.1.4. КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ
Конечным шагом в построении теории является установление форм разрушения под действием трехосных внутренних напряжений, порожденных индуцированными ударом поверхностными давлениями, а также временной последовательности развития различных форм разрушения. Это можно сделать, применяя подходящие критерии разрушения для оценки индуцированного ударом трехосного напряженного состояния в каждой точке мишени. Поскольку в настоящее время нет проверенных опытом динамических критериев разрушения композитов, для получения некоторого представления о типах и протяженности областей ударного повреждения будем считать допустимым использование статических критериев. Кроме того, имеется еще возможность выбора либо 1) критериев разрушения, основанных на максимальных напряжениях или деформациях, либо 2) критериев разрушения, учитывающих взаимодействие напряжений, таких, например, как критерий, основанный на энергии формоизменения. Преимущество использования критериев разрушения, связанных с максимальными напряжениями, состоит в том, что в этом случае можно определить не только характер разрушения, но и чередование типов разрушения, т.е. можно установить, будет ли удар порождать разрушение от растягивающих напряжений в поперечном к волокнам направлении, разрушение отрывом в направлении волокон, сдвиговое разрушение между слоями или разрушение от сжимающих напряжений в направлении волокон или в поперечном к ним направлении.
28
Глава 1
С другой стороны, теория, основанная на энергии формоизменения, позволяет лишь оценить границы области, внутри которой разрушение обусловлено взаимодействием многоосных напряжений [16]. В дальнейшем будет использован критерий разрушения, основанный на теории энергии формоизменения, который сформулирован для дерева и двумерных ортотропных материалов [23] и расширен для трехмерных тел с общей ортотропией [12]. Условие разрушения в последнем случае имеет вид <зе 1 при
<^1 <*22 <*33 <*12 <*?3 £23
F2 + F2 + F2 + F2 + F2 + F2
г 1 1 г 22 г 33 г 12 г 13 <23
(1 +2у21 -у23)Е, +(1 +2у12- у13)Е2 {(2 + v12 + v13)(2 + v21 + v23)E1E2}112 (1 + 2v31 - v32)Ei +(1 + 2v13 - v12)E3 {(2 +v13 +v12)(2 +v31 + v32)E,E3}1/2 (1 + 2v23 - v2,)£3 + (1 + 2v32 - v31)E2 {(2 + v21 +v23)(2 + v31 + v32)E2E3}1/2
(1-57)
Здесь <зе-некоторое эквивалентное напряжение, величины о у-вызванные ударом нормальные и касательные напряжения, Fy-допустимые прочностные параметры материала, соответствующие трем ортогональным направлениям, и параметры Ег и Уу-модули Юнга и коэффициенты Пуассона, связанные с направлениями 1, 2 и 3. Для учета различия между прочностными свойствами при растяжении и сжатии в любом заданном направлении используется допустимая величина прочности на сжатие Fc, если ст отрицательно, и допустимая величина прочности на растяжение, если ст положительно. Типичная картина постоянных значений напряжения сте для случая удара стальным шариком диаметром 3,81 см со скоростью 1,22 м/с по полубесконечной мишени, изготовленной из псевдоизотропного слоистого пластика «Торнел» 300/5208, показана на рис. 1.15. Разрушение возникает в точках, где сте^1. Таким образом, в рассматриваемом примере вся область разрушения будет расположена под поверхностью соударения, ибо ни одна линия постоянного напряжения с сте 1 не выходит на эту поверхность.
Рассматриваемый подход можно использовать также при расчетах ударного разрушения мишеней, изготовленных из изотропных материалов. Более того, данный подход позволяет также решить задачу о развитии разрушения при условиях, когда, скажем, при заданной скорости удара v разрушение начинается в момент t < t0 и нужно рассчитать развитие этого процесса до момента г0, при условии, конечно, что учиты-
Разрушение композитных материалов
29
Р/а
Рис. 1.15. Линии постоянных значений эквивалентного напряжения сге для композита «Торнел» 300/эпоксид, подвергнутого воздействию нагрузки q0 = 0,7 ГПа.
вается деградация прочностных свойств мишени. Последнее можно обеспечить итерационной процедурой °.
1.2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
С использованием описанного в предыдущем разделе подхода было исследовано много числовых примеров о поведении изготовленных из композитных материалов мишеней под действием удара.
1.2.1. ВЛИЯНИЕ СВОЙСТВ ВОЛОКОН И ЗАПОЛНИТЕЛЯ
Для установления характера влияния свойств волокон на поведение при ударе графито-эпоксидных композитов были выбраны три типа композитов для аналитического исследования: «Целион» СУ70/эпок-сидный заполнитель (изготовленный из ультравысокомодульных графитовых волокон); «Модмор» П/эпоксидный заполнитель (изготовленный из высокомодульных графитовых волокон умеренной прочности); «Тор-
1} Представленный здесь метод определения зон разрушения неточен, его можно применять только для определения точек или поверхностей (в плоской задаче линий), в которых впервые достигается критерий разрушения. Решение задачи с определением зон разрушения должно строиться с использованием в области разрушения иных, чем в неразрушенной области, определяющих уравнений, характеризующих механическое поведение разрушенного материала В результате граница, разделяющая разрушенную и неразрушенную зоны, будет существенно отличаться от границы, определяемой по методу данной работы условием <зе = = 1-Прим ред.
30
Глава 1
нел» 300/эпоксидный заполнитель (изготовленный из высокопрочных графитовых волокон с умеренным модулем упругости).
Для сокращения до минимума числа переменных было принято, что мишень плоская, укладка волокон псевдоизотропная, а толщина мишени в направлении удара велика в сравнении с радиусом ударника, так что нужно рассматривать лишь локальные напряжения и деформации. Ударник представлял собой стальную сферу диаметром 3,81 см. Свойства использованных для анализа композитных мишеней приведены в табл. 1.2. Свойства стального ударника были следующими: = = 200 ГПа; Vj =0,33; р = 7,97 • 103 кг/м3. Результаты, иллюстрирующие влияние свойств волокон на зоны разрушения в графито-эпоксидных композитах, приведены в табл. 1.3. Используя объем зоны разрушения в качестве критерия для распределения материалов по сопротивлению удару, можно видеть, что материал «Торнел» 300/эпоксид обладает большей сопротивляемостью удару, чем остальные два материала.
Таблица 1.2. Свойства использованных для анализа композитных материалов
Свойство Материал
GY 70 Е HMS/E T ЗОО/Е GL/E
Модуль Юнга Ег, ГПа 102,1 76,6 55,2 30,5
Модуль Юнга Е2, ГПа 6,96 9,66 12,2 20
Модуль сдвига G., ГПа 4,14 5,86 5,86 5,9
Коэффициент Пуассона vr 0,318 0,305 0,30 0,32
Коэффициент Пуассона v. 0,005 0,009 0,0202 0,091
Предел прочности на растяжение orf, МПа 230,5 343 525,8 631,3
Предел прочности на растяжение о2Г, МПа 20,7 52,4 46,9 75,9
Предел прочности на сжатие огс, МПа 230,5 327 545,8 522 '
Предел прочности на сжатие сг2С, МПа 186 225 227,7 200
Предел прочности на сдвиг сг2Г, МПа 59,3 94,5 121,4 62,1
Чтобы выяснить, можно ли улучшить сопротивляемость удару материала с волокнами «Торнел» 300, были проведены дальнейшие исследования по определению изменений размеров зоны разрушения в зависимости от свойств заполнителя. При этом опять было принято, что мишень полубесконечна, распределение волокон псевдоизотропное, а ударник-стальной шарик диаметром 3,81 см. В качестве заполнителей были выбраны три резиноподобных материала: высокомодульная резина (Ег = 6,9 ГПа), резина с умеренным модулем (Ег = 3,45 ГПа) и низкомодульная резина (Ег = 1,725 ГПа). С помощью имеющихся аналитических методов (например, [13]) были рассчитаны упругие и прочностные параметры композитов с однонаправленной ориентацией волокон и псевдоизотропных слоистых пластиков, изготовленных из волокон «Торнел» 300 и разных резиноподобных заполнителей. По определенным таким образом параметрам материалов мишеней были рассчитаны зоны ударного разрушения. На рис. 1.16 показаны зоны
Разрушение композитных материалов
Таблица 13. Влияние свойств волокон на характеристики зон разрушения при постоянной скорости удара 2,54 м/с
Материал q0, МПа а, мм Y%, мм Vr, ММ У,” мм
GY 70/эпоксид «Модмор» П/эпок- 676,2 2,23 4,72 4,95 4,82
сид 855,6 2,1 4,34 4,09 4,21
Т 300/эпоксид 924,6 2,06 4,57 3,58 4,03
п Эквивалентный радиус зоны разрушения определяется У = ]
разрушения в композитах, изго-
товленных с применением указанных выше трех заполнителей, а также в композите с гипотетическим заполнителем (обозначенным ULE-ME), имеющим сверхнизкий модуль упругости и умеренную прочность. Видно, что свойства матрицы (заполнителя) оказывают значительное влияние на размеры области разрушения. Для умень-
шения эффекта ударного разрушения
нужно использовать заполнитель
с низким значением упругого модуля и высокой прочностью. Композит «Торнел» 300/зпоксид Кпсевдоизотроп-'пая укладка в
ТЗЮ/М£(7,677)
lX№/Hf(Z87lf
4
5
5___
Зоны разрушения
Т300/1£(20,968)
Mff/Utt-UOO/Mt (J,/577)*
Рис. 1.16. Разрушение, возникающее при ударе со скоростью 2,54 м/с стальной сферы диаметром 38,1 мм по полубесконечным композитны'м мишеням, изготовленным из волокон «Торнел» 300 и различных заполнителей.
Тип заполнителя Обозначение Модуль Юнга, ГПа Прочность, МПа Модуль сдвига, ГПа Коэффициент Пуассона
растяжение сжатие растяжение сжатие
Низкий Е LE 1,724 1,517 37,92 62,05 0,579 0,4
Средний Е ME 3,448 3,792 93,08 144,79 1,331 0,36
Высокий Е НЕ ULE- 6,895 5,930 91,01 310,27 2,503 0,28
ME 0,689 0,689 93,08 144,79 0,241 0,43
!) Площадь поперечного сечения зоны разрушения, мм2.
32
Глава 1
1.2.2. ВЛИЯНИЕ ТОЛЩИНЫ МИШЕНИ
Как было показано в разд. 1.1.1 и 1.1.2, толщина и (или) гибкость мишени оказывают заметное влияние на величину и характер распределения поверхностных давлений, размеры площадки контакта и продолжительность контакта. Толщина мишени влияет на положение места возникновения ударного разрушения (рис. 1.17). Здесь представлена за-
500
400
300
200 Sr
100
о
О 2
4 6 5
Н
Рис. 1.17. Влияние толщины на максимальное поверхностное давление при котором возникает разрушение в некоторой точке пластины.
Примечание Между q0 и скоростью удара Vo существует соотношение
Рис. 1.18. Увеличение зоны разрушения в пластине из композита «Торнел» 300/эпоксид при возрастании поверхностного давления и (или) возрастании скорости удара (псевдоизотропная укладка).
q0 = 690 МПа, Vo = 8,38 м/с
Разрушение композитных материалов
33
Рис. 1.19. Увеличение зоны разрушения (заштрихованные площади) в полу-бесконечной мишени из «Торнел» 300/эпоксид при возрастании поверхностного давления (или скорости удара).
<7о = 2,76 ГПа; а0 = 6,15мм, И0 = 38,1м/с, а - q/q0 = а/а0 = 0,125, б-qiqo = а/а0 = 0.25. e-q/qo = а/ао = 0,5, г-qlqo =а/а0 = 1
висимость критической амплитуды давления q*, при которой начинается разрушение, от Я-толщины пластины, отнесенной к радиусу площадки контакта а. Результаты относятся к мишеням-пластинам, изготовленным из материала «Торнел» 300/5208, имеющим псевдоизотропную укладку, и подвергнутым удару стальной сферой диаметром 3,81 см. Как и ожидалось, ударное разрушение тонких пластин возникает на тыльной поверхности и определяется изгибными напряжениями в пластине. С ростом толщины мишени изгибные напряжения в пластине становятся малыми, и разрушение уже определяется локальными контактными напряжениями. Типичные результаты по росту зоны разрушения во времени в тонкой и полу бесконечной мишенях показанц на рис. 1.18 и 1.19.
1.2.3. ВЛИЯНИЕ ОРИЕНТАЦИИ ВОЛОКОН
Другим фактором, существенно влияющим на тип и протяженность зоны ударного разрушения, является ориентация волокон. На рис. 1.20-1.23 показаны зоны разрушений в круглых, защемленных по контуру пластинах с однонаправленным, двунаправленным и тринапра-вленным (псевдоизотропным) размещением волокон, подвергнутых удару стальной сферой диаметром 3,81 см. Расчеты были выполнены в предположении, что пластины состоят из равномерно распределенных
34
Глава 1
Рис. 1.20. Разрушения в пластине из композита «Торнел» 300/эпоксид с однонаправленной укладкой волокон при ударе внешним объектом.
Скорость удара 1,9 м/с Зоны разрушения заштрихованы
по толщине слоев, так что материал пластины может рассматриваться как эквивалентный однородный и ортотропный. На рис. 1.23 представлены результаты расчетов, полученные в предположении, что пластина состоит из девяти дискретных слоев композитного материала с ориентацией волокон в двух направлениях 0 и 90°. Любой данный слой предполагается однородным и ортотропным, в то время как сам композит
Рис. 1.21. Разрушения в пластине из композита «Торнел» 300/эпоксид с двунаправленной укладкой волокон (1 :1) при ударе внешним объектом.
Радиальное расстояние, млн
Скорость удара 1,9 м/с
Разрушение композитных материалов
35
Рис. 1.22. Разрушения в пластине из композита «Торнел» 300/эпоксид с три-направленной укладкой волокон (псевдоизотропный в плоскости материал) при ударе внешним объектом.
Скорость удара 1,9 м/с
а Радиальное расстояние, мм
t=3,U5^<
Стольной ударник ф38,1/им
\0
4-слоина/гчз i двунаправлен^ ная укладка
Сечение » РадиальноЯ~а расстояние,мм
Сечение О-В
Рис. 1.23. Разрушения в пластине из двунаправленного композита «Торнел» 300/эпоксид с девятью равномерно распределенными по толщине слоями при ударе внешним объектом.
О
и
Сечение О-А
Радиальное расстояние, мм 2 У 38,1
Сечение О-С
Скорость удара 1,9 м/с.
36
Глава 1
рассматривался как многослойный, гетерогенный и ортотропный материал. Сравнение результатов, приведенных на рис. 1.21 и 1.23, показывает, что для получения достаточно точных характеристик зоны разрушения нужно рассматривать композит как многослойный гетерогенный ортотропный материал, а не как однородный ортотропный. Из приведенных выше результатов видно также, что зона ударного разрушения становится минимальной, когда слои равномерно распределены по толщине, а волокна имеют двунаправленную укладку. Этот вывод вместе с результатами о влиянии свойств волокон и заполнителя был подтвержден экспериментально (разд. 1.3).
1.2.4. ВЛИЯНИЕ КРИВИЗНЫ МИШЕНИ
Как уже обсуждалось в разд. 1.1.1, где были приведены соответствующие уравнения, кривизна мишени влияет и на величину, и на характер распределения поверхностных ударных давлений, а также на форму контактной площадки. Некоторые общие выводы о влиянии кривизны мишени на параметры процесса соударения для случая удара жесткой сферой по цилиндрической мишени (отмеченные Грещуком и Чао [16]) таковы: 1) контактная площадка имеет форму эллипса и приближается к круговой с увеличением радиуса цилиндра, 2) размеры контактной площадки убывают с уменьшением радиуса цилиндра, 3) максимум ударной нагрузки убывает вместе с радиусом цилиндра, 4) максимум поверхностного давления растет с уменьшением радиуса цилиндра и 5) длительность контакта растет с уменьшением радиуса цилиндра. Эти эффекты в свою очередь влияют на характер разрушения и протяженность области разрушения. Граничные условия для цилиндра также будут влиять на параметры удара и характер разрушения.
1.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
В настоящее время в литературе опубликовано мало экспериментальных работ, посвященных изучению реакций слоистых композитов на ударное воздействие. Появилось несколько публикаций, в которых выполнена оценка реакции на удар в ударных испытаниях композитных балок по методу Шарпи [1, 24] и в ударных испытаниях по методу Изо-да [6, 34]. Типы испытанных материалов включали композиты с полимерным заполнителем, армированные волокнами из стекла, бора и различных графитов, а также композиты с металлической матрицей (заполнителем). В работе [5] описано испытание по методу Шарпи, позволившее определить опытным путем величину энергии, требуемой для инициирования разрушения, величину поглощения энергии при распространении разрушения и величину энергии, приводящей к катастрофическому разрушению. В сборнике [2] одна из статей посвящена чувствительности к ударному разрушению графито-эпоксидных слоистых панелей, а в других сравниваются реакции металлов и композитов на
Разрушение композитных материалов
3~
баллистический удар. Эксперименты по исследованию реакции композитных пластин на ударное воздёйствие описаны в работах [16, 29, 33]. Работа [10] содержит экспериментальные результаты, относящиеся к реакции композитных цилиндров на ударное нагружение. Некоторые из наиболее существенных результатов, характеризующих поведение композитных пластин при ударе, описаны в разд. 1.3.1.
1.3.1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА
Для установления характера разрушения и порогового значения энергии, порождающего ударное разрушение в графито-эпоксидных композитах, были выполнены ударные испытания с падающим шариком [16]. В опытах можно было менять армирующие волокна, материал заполнителя, ориентацию волокон, чередование слоев, толщину пластины и скорость удара. Схема испытательной установки показана на рис. 1.24. Некоторые из испытывавшихся пластин были оснащены датчиками деформации для измерения изменения деформации во времени. На рис. 1.25 показаны типичные осциллограммы (деформация - время), полученные в ударных испытаниях со стальной сферой диаметром 3,81 см композитных пластин из материала «Торнел» 300/5208 толщиной 3,5 мм с укладкой волокон [(0, — 60, 60)4]$ при скоростях удара 1,27 и 2,54 м/с. Две кривые на рис. 1.25 представляют собой выходные сигналы двух двухосных датчиков, размещенных на тыльных поверхностях пластин (противоположных месту удара). Помимо регистрации деформаций во времени проводились наблюдения характера разрушения при ударе. Результаты рассматриваются в следующих разделах.
Рис. 1.24. Испытательная установка для низкоскоростного удара.
/-электромагнит, соединенный с пусковым переключателем, 2-коническое гнездо для ударника, 3-сферический стальной ударник диамегром 38,1 мм, 4-испытываемый образец (круглая пластина диаметром 76,2 мм), 5-внешние кольца, прижимающие образец к опоре, 6-жесткая опора, 7-резиновые прокладки, 8-жесткая рама, 9-жесткая подвижная консоль
38
Глава 1
Рис. 1.25. Вызванные ударом деформации в пластине из композита «Торнел» 300/эпоксид.
а- V = 1,27 м/с, й-25,4 мкм/см, / = 0,2 мкс/см, 6-V= 2.54 м/с, h = 50,8 мкм/см, I = 0,2 мкс/см
1.3.2. НАБЛЮДАЕМЫЕ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ ФОРМЫ РАЗРУШЕНИЯ
Согласно одному из допущений, принятых в теории удара, описанной в разд. 1.1, при малых скоростях удара реакция мишени на удар может быть рассчитана по квазидинамической, без волновой теории. Это допущение было признано приемлемым при определении ударной силы, площади контакта и длительности контакта, как это было показано выше при установлении соответствия теории с опытом по этим параметрам. Теперь осталось рассмотреть характер разрушения при низкоскоростном ударе. На рис. 1.26 показаны типичные картины разруше
Рис. 1.26. Разрушения в графите, подверженном статическому вдавливанию и удару стальным шариком диаметром 6,35 мм.
Разрушение композитных материалов
39
ния в графите ATJ-S при низкоскоростном ударе и при статическом вдавливании. Оба испытания (цо статическому вдавливанию и удару) были выполнены с использованием стальных сфер диаметром 6,35 мм. Скорости удара в опытах рассчитывались по формуле (1.13), так чтобы динамическая нагрузка Р была такой же, как и статическая нагрузка при вдавливании. Как видно из рис. 1.26, разрушения по виду аналогичны. Результаты такого же рода для пластин из псевдоизотропного композита «Торнел» 300/5208 представлены на рис. 1.27. Разрушения на тыльной поверхности и внутри пластины при статическом вдавливании и при ударе подобны. Дополнительные результаты о характере разрушения при ударе по композитным пластинам приведены на рис. 1.28-1.30. Все пластины были испытаны на установке, показанной на рис. 1.24. На рис. 1.28 показано разрушение на тыльной стороне композитных пластин, изготовленных из трех типов армирующих волокон: «Целион» GY70 (графитовые волокна со сверхвысоким модулем упругости), «Модмор» II (волокна умеренной прочности с высоким модулем упругости) и «Торнел» 300 (волокна высокой прочности с умеренным модулем упругости). Во всех трех случаях в качестве заполнителя использовался эпоксид «Нармко» 5208. До удара тыльные поверхно: сти пластин покрывались меловой пудрой для визуализации трещин, возникающих при ударе. Соответствующая информация о пластинах и параметрах удара дана на рис. 1.28. При сравнении ударного разрушения пластин, изготовленных из трех различных материалов, выясняется, что пластина с волокнами «Торнел» 300 значительно превосходит по сопротивляемости разрушению пластины с волокнами GY70 или «Модмор» II. Отметим, что пластины с волокнами «Модмор» II были примерно на 20% толще, чем пластины с волокнами «Торнел» 300 или GY70. Таким образом, если бы пластины с волокнами «Модмор» II имели ту же толщину, что и другие пластины, следовало бы ожидать большего объема разрушений, чем показанный на рис. 1.28.
На рис. 1.29 зафиксирована типичная картина разрушений на тыльной поверхности композитных пластин с волокнами «Торнел» 300/5208. Были исследованы четыре различные укладки волокон: однонаправленная, двунаправленная 1:1, двунаправленная 2:1 и тринаправленная (или псевдоизотропная). Распределение по сопротивляемости ударному разрушению получилось следующим (от наилучшего к наихудшему): 1) двунаправленная 1:1, 2) тринаправленная, 3) двунаправленная 2:1 и 4) однонаправленная.
В образце с однонаправленной ориентацией волокон возникающая при ударе трещина проходит сквозь всю толщу образца, и только опорное кольцо препятствует дальнейшему росту трещины. В пластинах с многонаправленной ориентацией волокон армирование в нормальном к направлению трещины направлении останавливает трещину и тем самым ограничивает ее развитие.
Результаты по влиянию толщины пластины и нарастающей скорости на характер разрушений (рис. 1.30) не требуют разъяснений. Как
Статическое вдавливание (f = 9J!kH)
Удар (V=6,35 м/с)
Микротрещины 40Х 40Х Микротрещины
Сечение А-А Сечение в-В
Рис. 1.27. Картины разрушения в пластинах из композита «Торнел» 300/эпоксид, подверженных статическому вдавливанию и удару.
Рис. 1.28. Ударное разрушение в псевдоизотропных композитных пластинах, армированных волокнами трех различных типов.
а-материал «Целион» GY 70/5208; скорость удара V - 2,54 м/с, толщина пластины г = 3,35 мм, объем волокон /су = 61,7%, содержание пустот kv = 0,12%, б-материал «Модмор» П/5208, К= 2,54 м/с; г = 4,24 мм, /cz = 55,9%, /с„ = 0,81%, в-материал «Торнел» 300/5208, V =2,54 м/с, г = 3,53 мм, kf = 58%, к„ = 0,93%.
Примечание Радиус пластины 38,1 мм; ударник-стальной шарик диаметром 38,1 мм; укладка материала [(0, -60, 60)4]$.
a
Рис. 1.29. Влияние укладки волокон на ударное разрушение в пластинах из композита «Торнел» 300/5208.
а - однонаправленная укладка; скорость V = 2,54 м/с; толщина пластины г = 3,53 мм; объем волокон kf = 58,5%; содержание пустот /с„=0,85%; б-двунаправленная укладка 1:1; V = 2,54 м/с; t = 3,63 мм; kf = 56,2%; к„ = 0,92%; «-двунаправленная укладка 2:1; V = 2,54 м/с; t = 3,58 мм; kf = 58,1%; к„ = 0,70%; г-тринаправ-ленная укладка; V = 2,54 м/с; t = 3,53 мм; kf = 58%; к„ — 0,93%.
Разрушение композитных материалов
43
а
Рис. 1.30. Влияние толщины пластины и скорости удара на разрушение в псев-доизотропных пластинах из композита «Торнел» 300/5208.
а-И =1,9 м/с; б-Г = 2,54м/с; в-К=5,08м/с; г-Г = 6,35м/с; д-Г=6,75 м/с.
a, 6-t~ 1,68 мм; kf = 63,2%; kv = 1,03% (при V = 1,27 м/с разрушений нет); в-д-t = 6,83 мм; kf = 58,5%; =
= 1,07% (при К = 4,88 м/с разрушений нет).
и ожидалось, рост толщины пластины приводит к увеличению сопротивляемости разрушению. На основании экспериментальных результатов, полученных в работе [16], ожидаемые пороговые скорости для инициирования разрушения в композитных пластинах толщиной 1,68, 3,53 и 6,83 мм приблизительно оцениваются величинами 1,9, 2,54 и 5,08 м/с соответственно.
Как было показано теоретически [30] и экспериментально [29, 33], любое предварительное нагружение пластины будет изменять ее реак-
44
Глава 1
0Д12
Q002
~ Кинетическая энергия снаряда, Дж
1 5 10 15
О 50 75 100
Скорость снаряда при ударе, м/с
Рис. 1.31. Влияние скорости снаряда на деформацию катастрофического разрушения [29].
О разрушений при ударе нет, • разрушение при ударе
0,012
О, ЦОЮ t 9 0,008 & § ^0®
I g Q004 Д
Q002
О
100 м/с
---1--1----1--1----1__1—1 J____I___। । <
4 8 12 16 20 24
Кинетическая энергия снаряда, Дж
Рис. 1.32. Повышение сопротивляемости разрушению при замене заполнителя. Снаряд - алюминиевый шарик диаметром 12,7 мм [33].
а в
• разрушение при ударе, О □ разрушения при ударе нет.
Разрушение композитных материалов
45
цию на удар. На рис. 1.31 показаны экспериментальные результаты по определению порога катастрофического разрушения для пластины из графито-эпоксидного композита «Торнел» 300 при ударе сферическим снарядом из алюминия диаметром 12,7 мм. Размещение волокон в 48 клееных плитах соответствовало схеме (± 45/02/± 45/02/+ 45/0/90)2$. Пластины подвергались предварительному нагружению одноосным сжатием до различных уровней деформации и после этого испытывались ударом алюминиевым снарядом без снятия нагрузки. В то время как неповрежденные (не подвергавшиеся удару) пластины разрушались при осевых деформациях сжатия, превышающих 0,008, разрушение пластин, испытывающих удар со скоростью 100 м/с, происходило при гораздо меньшем значении деформации 0,0031.
Влияние свойств заполнителя на порог катастрофического разрушения показано на рис. 1.32. Пластины имели ту же конфигурацию и испытывались таким же образом, что и рассмотренные выше. В обоих случаях армирующим волокном был «Торнел» 300. Свойства при растяжении для двух материалов заполнителя показаны на вставке (рис. 1.32). Результаты по влиянию свойств заполнителя согласуются с теоретическими выводами (разд. 1.2.1).
1.3.3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Результаты теоретического и (или) экспериментального исследования показывают следующее. 1) Сопротивление разрушению возрастает с увеличением прочности волокон и уменьшением их модуля упругости. 2) Сопротивление разрушению возрастает с увеличением прочности материала заполнителя и уменьшением его модуля упругости. 3) Двунаправленная укладка волокон эффективнее с точки зрения повышения сопротивления удару, чем тринаправленная или однонаправленная. 4) Конструкция с полностью дисперсным распределением слоев по толщине (имеющих различные ориентации волокон) является более стойкой к разрушению, чем конструкция без дисперсии слоев по толщине. 5) Удар может вызвать существенные внутренние разрушения (растрескивание заполнителя и расслоения) без видимых разрушений или с малозаметными повреждениями на внешних поверхностях. 6) В толстых мишенях удар вызывает локальное подповерхностное разрушение, тогда как в тонких мишенях разрушение возникает на тыльной поверхности. 7) Предварительное нагружение мишени влияет на величину скорости удара, при которой наблюдается катастрофическое разрушение. 8) Кривизна мишени влияет на параметры удара и характер разрушения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Adams D.F., in Composite Materials: Testing and Design (Fourth Conference) ASTM STP, 617, 1977, p. 409.
2. Foreign Object Impact Damage in Composites, ASTM STP, 568, 1975, p. 183.
46
Глава 1
3. Беляев Н. М. Местные напряжения при сжатии упругих тел-В сб.: Инженерные сооружения и строительная механика-Л.: Путь, 1924, с. 27-108.
4. Беляев Н. М. Труды по теории упругости и пластичности-М.: Гостехиздат, 1957.
5. Beaumont Р. W. R., Riewald Р. G., Zweben С., in Foreign Object Impact Damage in Composites, ASTM STP, 568, 1975, p. 134.
6. Chamis С. C., Hanson M. P., Serafini T.T., in Composite Materials: Testing and Design (Second Conference), ASTM STP, 497, 1972, p. 324.
7. Conway H.D., Z. Angew. Math. Phys., 7, 460 (1956).
8. CroseJ.G., The Aerospace Corporation, TR-0172 (S2816-15)-l, 1971.
9. CrosJ. G., Jones R.M., The Aerospace Corporation, TR-0200 (54950)-1, 1968.
10. FiggeJ. E., Henshaw J., Roy P. A., Oster E.F., in Composite Materials: Testing and Design (Third Conference), ASTM STP, 546, 1974.
11. Goldsmith W., Impact, Arnold, London, I960.'
12. Greszczuk L. B., McDonnell Douglas Astronautics Company Report, DAC60869, 1967.
13. Greszczuk L. B., in Foreign Object Impact Damage in Composites, ASTM STP, 568, 1975, p. 183.
14. Greszczuk L. B., AGARD Conf. Proc. No. 163, 1975.
15. Greszczuk L. B., McDonnell Douglas Astronautics Company Contract Report, 1980.
16. Greszczuk L.B., Chao H., U.S. Army Air Mobility R and D Center, USAAMRDL-TR-75-15, 1975.
17. Hertz H., J. Reine Ang. Math., 92, 156 (1881).
18. Hertz H., Gesammelte Werke, 1, Leipzig, 155 (1895).
19. Huber M.T., Pisma, 2, Warsaw (1956).
20. Love A.E.H., Phil. Trans. Roy. Soc., Lond. A, 228, (1929).
21. Moon F. C., National Aeronautics and Space Administration, NASA CR-121110, 1972.
22. Morton W.B., Close L.J., Phil. Mag., S.G., 43, No. 254, 320 (1922).
23. Norris C.B., Forrest Products Laboratory, FPL, 1816, 1950.
24. Novak R.C., DeCrescente M. A., in Composite Materials: Testing and Design (Second Conference), ASTM STP, 497, 311, 1972, p. 311.
25. Opplinger D. W., Slepetz J. M., in Foreign Object Impact Damage in Composites, ASTM STP, 568, 1975, p. 30.
26. Lord Rayleigh, Phil. Mag., 11, 283 (1906).
27. Roark R. J., Formulas for Stress and Strain, McGraw, N.Y., 1954.
28. Sneddon I., Fourier Transforms, McGraw, N. Y., 1951.
29. Starnes J. H. Jr., Rhodes M.D., Williams J. G., National Aeronautics and Space Administration, NASA TM 78796, 1978.
30. Sun С. T., Chattopadhyay S.J., Appl. Meeh. Trans. ASME., 42, No. 3, 693 (1975).
31. TimoshenkoS., Theory of Elasticity, McGraw, N. Y., 1934. [Имеется перевод: Тимошенко С. П., Гудьир Дж. Н. Теория упругости.-М.: Наука, 1975 (2-е изд 1979 г.).]
32. Whittemore Н.L., Petrenko S.N., U.S. Bur. Standards Tech., Paper 201, 1921.
33. Williams J. G., Anderson M. S., Rhodes M. D., Starnes J. H., National Aeronautics and Space Administration, NASA TM 80077, 1979.
34. Winsa E. A., Petrasek D. W., in Composite Materials: Testing and Design (Second Conference), ASTM STP, 497, 1972, p. 350.
2
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ
Теодор Николас
USAF Wright Aeronautical Laboratories
В сплошной среде под действием внешних динамических нагрузок возникают деформации, которые могут быть определены из уравнений равновесия или уравнений движения и уравнений состояния. Если интенсивность или скорость нагружения достаточно велики, необходимо учитывать силы инерции. В этом случае возмущения распространяются по телу как волны напряжений. Если напряжения, появляющиеся под действием нагрузки, не превосходят предела текучести материала, то в нем возникают упругие волны. Если же напряжения выше предела текучести, то в материале возникают неупругие волны. Эта глава посвящена главным образом неупругим волнам в металлах, обычно называемым пластическими. Для анализа процесса распространения пластической волны требуется математическое описание поведения материала при различных скоростях деформации, или уравнение состояния. Однако уравнение состояния часто само определяется путем изучения распространения пластических волн. Именно с этим связаны трудности правильной интерпретации экспериментальных данных, полученных в условиях высоких скоростей нагружения, когда необходимо учитывать процесс распространения волн. Это также способствовало изучению теории распространения упругопластических волн и распространения ударных волн, основанных на реальных физических допущениях и позволяющих в то же время ставить разрешимые математические задачи. Исследование распространения пластических волн, таким образом, имеет две цели: попытаться объяснить поведение материалов под действием интенсивного динамического нагружения и разработать методы определения свойств материала при динамических нагрузках.
Теория пластических волн подробно обсуждалась в литературе и была рассмотрена с различных точек зрения. Волновые задачи теории пластичности обстоятельно изучены в книге [88]. Общее рассмотрение пластических волн представлено в книге [29]. Математические основы распространения пластических волн детально изложены в книге [35]. Обзор [33] также посвящен пластическим волнам, а обзор [55]-вязко-
48
Глава 2
упругим. Первые работы по механике пластических волн рассмотрены в обзоре [52]. Обзор теоретических и экспериментальных методов в области динамики пластического деформирования и обсуждение влияния скорости деформации даны в работе [24]. Теория пластических волн, в частности, в условиях одноосного деформирования, рассмотрена в работе [49]. Работа [27] посвящена интенсивным волнам напряжений, главным образом ударным волнам. Ряд работ по данному вопросу можно найти в трудах симпозиума под редакцией Кольского и Прагера [69].
В данной главе рассматриваются в основном волны одноосных напряжений в длинных стержнях, а также волны напряжений в телах другой формы и производится сравнение с волнами одноосных деформаций. Хотя скорости деформаций и уровни напряжений в экспериментах с длинными стержнями значительно ниже тех, которые получаются в экспериментах с одноосным или плоским деформированием, методика вывода основных уравнений, описывающих распространение волн, едина. Дополнительные сложности, связанные с учетом термодинамики и комбинированного проявления девиаторных и гидростатических напряжений и деформаций при исследовании одноосного деформирования, затрудняют решение даже простейших задач о распространении волн. Эти трудности станут более понятными после изучения задачи об одноосном напряжении.
2.1. ВОЛНЫ ОДНООСНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ДЛИННЫХ СТЕРЖНЯХ
2.1.1. АНАЛИЗ ПО ТЕОРИИ С НЕ ЗАВИСЯЩИМ ОТ СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИИ УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ
В большинстве экспериментальных работ по распространению пластических волн изучались продольные волны в проводах, стержнях или брусьях, вдоль которых легко расположить датчики деформаций или скоростей частиц. Результаты измерений этими датчиками в свою очередь могут быть использованы для вывода закона распространения волны вдоль стержня. Самая первая работа по изучению распространения волн напряжений в брусе при ударе принадлежит Сен-Венану [102], который установил связь между напряжением в брусе и скоростью ударяющей массы. Гопкинсон выполнил первые эксперименты по распространению пластических волн [54]. Он использовал теорию упругих волн для объяснения закономерности распространения импульсов напряжений в проводах из отожженного железа. Основы теории распространения пластических волн в материале, уравнение состояния которого не зависит от скорости деформации 1}, были заложены в работе Дон-
u Материал такого типа будем называть далее сокращенно НС-материалом, а теорию волн в нем - НС-теорией- Прим, перев.
Упругопластические волны напряжений
49
Рис. 2.1. Билинейная кривая деформирования и профиль волны для этого случая.
б+^dx дх
Рис. 2.2. Элемент стержня.
нела [42], который изучал влияние нелинейной зависимости напряжение-деформация о = о(8) на характер распространения неупругих напряжений в брусе. Доннел рассматривал материал с билинейной зависимостью ст(е) (рис. 2.1) и предсказал, что в этой среде волна будет иметь два различных фронта, скорости распространения которых зависят соответственно от модулей в упругой (Е) и пластической (Е\) областях. Получаемый в результате профиль показан на рис. 2.1. Таким образом, Доннел обобщил теорию упругих волн в брусе на случай НС-теории с кусочно-линейной зависимостью о(е). Лишь во время второй мировой войны независимо в США Карманом [60], в Англии Тейлором [107] и в СССР Рахматулиным [95] была разработана правдоподобная теория пластических волн конечной амплитуды. В этой теории предполагалось, что поведение материала в одноосно напряженном состоянии может быть описано однозначной вогнутой в сторону оси напряжений функцией деформирования. Далее предполагалось, что зависимость а(е) может быть получена в удобных квазистатических испытаниях на растяжение. Теория была одномерной по своей природе, в ней пренебре-галось пространственными эффектами, которые могли бы проявиться из-за поперечной инерции. Рассматривались только осевые перемещения и напряжения. Используя лагранжеву систему координат с осью х, параллельной оси бруса (рис. 2.2), рассмотрим элемент стержня начальной длины dx. Осевая компонента результирующей силы, действующей на элемент, определяется формулой
dF = A(da/dx)dx. (2.1)
Масса элемента pAdx, где р и А - плотность и площадь поперечного се
50
Глава 2
чения соответственно, а о-техническое осевое напряжение. Предполагается, что поведение материала описывается однозначной зависимостью
ст = ст(е), (2.2)
где с-техническая деформация. Деформация может быть связана с осевым перемещением и, тогда
£ = ди/дх, (2.3)
v = du/dt, (2.4)
где v- скорость частицы. Тогда уравнение движения для продольных волн напряжений в брусе или стержне получаем в виде
р (d2u/dt2) = (da/ds) (ds/дх). (2.5)
Первой решенной задачей была задача о растягивающем ударе по концу полубесконечного бруса. Концу бруса (х = 0) в момент времени t = 0 сообщается постоянная скорость. Для бруса, занимающего область — оо < х 0, граничные условия имеют вид
и = Vj при х = 0 (vj = const), и = 0 при х = — оо.
Уравнение (2.5) имеет следующие три решения, которые справедливы в различных областях:
(/) и = vt [t + (х/cj] или е = ди/дх = = const, (2.7)
(2) E/p=x2/t2. (2.8)
Эти решения получаются, если ввести переменную £ = x/t, так что £ = =/(£), поскольку Е = Е(е). Тогда можно написать
и = fх- оо (ди/дх) dx = t Г- оо/(^) (2.9)
Так как £, = x/t, имеем
d^/dx = 1/t, dtjdt = - x/t2 = - Z./t (2.10)
и из уравнений
du/dx = (du/d^W/dx) = (\/t)(du/dt.) (2.11)
и
du/dt = (du/dfy (dfydt) = - &t) (du/d® (2.12)
Упругопластические волны напряжений
51
Рис. 2.3. Распределение деформаций в стержне, конец которого под действием удара приобретает постоянную скорость.
/—фронт упругой волны; 2-фронт пластической волны.
получаем d2u/dt2=f'(^2/t), d2u/dx2=f'^)(\/t). (2.13)
Подстановка в (2.5) дает /'К)1Х2-£] = о. (2.14)
Но /'(£) = 0 соответствует е = const, т.е. первому решению (2.7); второй сомножитель дает второе решение (2.8). Наконец, третье решение есть (3) е = 0. (2.15)
Решение всей задачи получается комбинацией этих трех решений следующим образом [61]:
ДЛЯ |х| < С^ 8 = const = V1/c1 =8j , (2.16а)
для Cj t < | x | < cot E (e) = x2/t2, (2.166)
для |x| > cot 8 = 0. (2.16b)
Решение для деформации как функции £ = x/t показано на рис. 2.3, на котором видны два волновых фронта, распространяющиеся с различными скоростями. Амплитуда фронта упругой волны равна деформации начала течения еу.
Три основные особенности рассмотренной задачи о движении границы бруса с постоянной скоростью в рамках НС-теории состоят в следующем: 1) амплитуда фронта пластической волны постоянна, 2) 8] и У/ связаны соотношением (2.16а), 3) распределение деформации между фронтами упругой и пластической волн определяется вторым решением.
Постановка выражения для технической деформации (2.3) в (2.5) дает волновое уравнение
d2u/dt2 — с2 (е) d2u/dx2 = 0, (2.17)
где
c2(e) = (l/p)(do/<ie).
(2.18)
52
Глава 2
Важная особенность НС-теории состоит в том, что в соответствии с (2.18) каждый уровень напряжения или деформации распространяется со своей собственной характеристической скоростью, зависящей от наклона касательной к кривой деформирования а(е) в данной точке, т.е. от касательного модуля. Если предполагалась вогнутость кривой деформирования а(е) к оси напряжений, то чем больше напряжение или деформация, тем меньше соответствующая скорость пластической волны. Таким образом, крутые в начальный момент импульсы по мере распространения по брусу выполаживаются, волна растягивается.
В работе [112] впервые удалось отказаться от требования вогнутости кривой деформирования п(е). Было показано, что в случае выпуклой кривой а(е) формируются ударные волны. На рис. 2.4 показана выпуклая кривая а(е). Так как наклон, определяющий скорость волны, является возрастающей функцией деформации, то приращения больших деформаций будут распространяться быстрее приращений меньших и в конце концов должны будут их обогнать. Физическая невозможность существования приращений больших деформаций без приращений малых требует, чтобы сформировался ударный фронт. Если точка А на рис. 2.4 определяет максимум напряжения или деформации в образце, то в конце концов сформируется ударная волна такой же амплитуды, а распространяться она будет со скоростью, определяемой наклоном прямой О А. Выпуклость функции а (8) характерна для волн одноосной деформации при высоком давлении. В работе [72] указано, однако, что с возрастанием скорости сжимающего удара в брусьях или стержнях, когда пренебрегают поперечной инерцией и законами термодинамики, в конечном итоге ударные волны обязательно возникнут, так как максимум технической деформации равен единице, в то время как максимум напряжения (силы, деленной на начальную площадь поперечного сечения) может стать бесконечной величиной.
Ударная волна также может сформироваться, если скорость удара превосходит скорость волны в материале. В работе [ПО] рассмотрены как случай сверхзвукового удара, когда скорость удара превосходит скорость упругой волны, так и случай трансзвукового удара, когда скорость удара меньше скорости упругой волны, но больше самой низкой скорости волны по НС-теории. Показано, что действительная скорость волны с* превосходит скорость пластической волны с = yda/pcte и рассчитывается по формуле
с* = г + (1 +8)с, (2.19)
где г-скорость частиц, которая определяется соотношением
е
v= -$cdz. (2.20)
о
До сих пор были рассмотрены только условия нагружения, задаваемые на границах полубесконечных брусьев с помощью неубывающих функций времени. При появлении разгрузки вследствие устранения
Упругопластические волны напряжений
53
Рис. 2.4. Выпуклая в сторону оси напряжений кривая деформирования.
Рис. 2.5. Профили волн в стержне из упругопластического материала, показывающие эффект разгрузки.
заданного на границе напряжения или скорости или при отражении от свободного конца бруса необходимо учитывать взаимодействие волн нагружения и разгрузки. Одно из первых решений задач такого рода было дано в работе [71], в которой была определена граница пластической разгрузки в подвергнутом удару цилиндре. В результате численного решения задачи были обнаружены небольшие расхождения в значениях остаточных деформаций при учете разгрузки по сравнению с теми, которые получаются при учете прохождения по полубесконечному брусу только волны нагружения. При математическом анализе возникают трудности, связанные с различием вида уравнения состояния при нагружении и разгрузке и различием скоростей соответствующих волн. Рассмотрим полу бесконечный брус из НС-материала, по которому производится удар длительностью Т. Распределение напряжений в момент времени tr после удара представлено кривой 1 на рис. 2.5. Максимум напряжения распространяется со скоростью определяемой из решения Кармана, которая меньше скорости упругой волны с0 (см. также рис. 2.3). Произвольный уровень напряжения будет распространяться со своей характеристической скоростью с и переместится на расстояние ctp Так как с1<с0, расстояние между фронтами упругой и пластической волн будет постепенно увеличиваться. Между тем волна упругой разгрузки перемещается со скоростью с0 и остается на неизменном расстоянии с0Тза фронтом упругой волны. Поскольку по мере распространения пластическая волна растягивается, она в конце концов срезается догоняющей ее волной упругой разгрузки. Форма волны в некоторый более поздний момент времени показана на рис. 2.5 кривой 2. Упругая волна разгрузки догонит фронт пластической волны в момент времени
t = c0T/(c0-cl)
(2.21)
на расстоянии от границы бруса
(i =cociT/(co-cl).
(2.22)
54
Глава 2
Рис. 2.6. Кривая деформирования, иллюстрирующая понятие критической скорости.
В итоге пластическая волна постепенно ослабляется, пока не останется только участок упругой волны длиной с0Т.
Еще одна особенность НС-теории связана с понятием критической скорости при растягивающем ударе. Превышение этой скорости приводит к мгновенному отрыву на границе бруса. Понятие критической скорости можно пояснить, используя выражение для постоянной скорости границы, по которой производится удар:
ei t>i = f c(e)t/£, о
(2.23)
где -скорость при х = 0, соответствующая максимальной деформации 8j, а с (s) определяется из уравнения (2.18). Уравнение (2.23) можно легко вывести из решения задачи об ударной нагрузке, сообщающей концу полубесконечного бруса постоянную скорость, если выразить u(O,t)/t и произвести замену переменных. В случае кривой деформирования а(е), изображенной на рис. 2.6, при деформации ет скорость распространения приращений деформации становится равной нулю, так как касательная к кривой a(s) горизонтальна. Критическая скорость удара определяется по формуле
vc=fc(e)de. (2.24)
О
Для скоростей выше vc интеграл (2.23) не существует. Физически это означает, что энергия удара не может распространяться от точки приложения удара, так как скорость распространения приращения деформации равна нулю и происходит мгновенное разрушение.
2.1.2. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
Мощным математическим методом решения многих задач о распространении волн является метод характеристик. Этот метод, описанный, например, в работах [53, 64]. применим для численного решения систем
Упругоп.шстические во.ты напряжений
55
уравнений относительно таких переменных, как а, е, v9 зависящих от пространственной координаты х и времени t. Метод применим к уравнениям в виде
ди; , ди;
aij^+bij'dT = Ri
(2.25)
где повторяющиеся индексы означают суммирование по ним. Это множество квазилинейных уравнений, т.е. линейных относительно первых производных переменных ц. Величины ад, Ьц9 Ri могут быть функциями Uj9 хиг. Рассмотрим, например, задачу о распространении волн в длинном стержне в рамках НС-теории распространения пластических волн. Исходные уравнения могут быть выписаны относительно деформации е и скорости v в виде
dV О ----с2— = 0,
dt дх
dv ds
-----г- = °>
дх dt
(2.26)
(2.27)
где
с = с(£) =
1 до \1/2
Р£/
(2.28)
Заметим, что производная функции /(x,t) по направлению s в плоскости х — t определяется формулой
дх
ds дх ds dt ds ’
(2.29)
где направление s определяется из записи дх/ds dx dt/ds dt
(2.30)
Умножим уравнения (2.26) и (2.27) на и а2 соответственно и сложим
dv dv . ds de
ai + а2 "7-------а1с ------а2 — = 0.
1 dt 2 дх 1 дх 2 dt
(2.31)
Первые два члена выражения (2.31) представляют собой величину dv/dsY, где направление определяется соотношением «2/04 = dx/dt. Два последних члена представляют собой ds/ds19 где направление s2 определяется соотношением ajC2/a2 = t/x/t/r. Потребуем, чтобы направления
56
Глава 2
(232)
(2.33)
и s2 совпадали. Обозначим их через т, тогда
dx а2 оцс2
dt 0ц а2
что дает два уравнения для определения 04 и а2: raj — а2 = 0, c2aj - та2 = 0.
Для существования нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы детерминант из коэффициентов перед и а2 обращался в нуль, т.е.
т2 —с2 = 0, (2.34)
откуда, учитывая (2.32), получаем характеристические направления в х — t плоскости
dx/dt — T= ±с. (2.35)
Из уравнения (2.32) имеем
a2/aj=c на dx/dt = c, (2.36)
a2/«i = — с на dx/dt = — с. (2.37)
Подставляя эти значения в выражение (2.31), получаем
/ dv dv\ / дг дг\ Л дх
— ±с— -с с—-±— =0 вдоль — = ±с. (2.38)
\ dt dx) \ dx dt) dt
Окончательно, замечая, что величина производной по направлению получается из уравнения ди du /—z------------------------------------7 du
— + А2 — = /А2 + А2 —, (2.39)
дх dt ds
определяем соотношения вдоль характеристик
dv±cdt = O вдоль dx/dt= ±с. (2.40)
Вводя интеграл е
<p = pfe, (2.41)
О
можно написать после интегрирования уравнения (2.40)
v ± (р = const вдоль dx/dt = ± с. (2.42)
Характеристики и решение задачи о полу бесконечном брусе, к концу которого мгновенно приложено напряжение или постоянная скорость,
Упругопластические волны напряжений
57
Рис. 2.8. Простая волна при постепенном приложении напряжения или скорости.
Рис. 2.7. Простая волна при мгновенном приложении напряжения или скорости.
изображены на рис. 2.7. Легко видеть, что это решение просто можно вывести из ранее полученного решения (2.16). Прямолинейные характеристики имеют наклоны от с0, соответствующего упругому поведению, до Cj, соответствующего максимуму деформации. Вдоль каждой характеристики величина s постоянна, так как наклон с = с (s) зависит от s. Далее, так как из (2.41) следует, что а = а(с) и <р = <р(е), то, учитывая условие (2.42), легко заметить, что величины а, е, v и <р постоянны вдоль прямолинейной характеристики dx = cdt.
На рис. 2.8 показаны характеристики и решение в случае, когда напряжение или скорость при х = 0 изменяются постепенно в течение времени т и затем остаются постоянными. В решении этой задачи существует область упругого поведения за фронтом головной волны, за которой следует область пластичности. В обоих случаях за линией dx = = с^9 соответствующей самой низкой скорости волны при самых больших значениях напряжения или деформации, лежит область однородного распределения параметров. Эти простые решения для волн, распространяющихся в одном направлении, верны, если а = = а (е)-однозначная монотонно возрастающая функция, а с = = с (е) -убывающая функция деформации, т.е. если а (е)- вогнутая к оси напряжений функция, или если отсутствуют ударные волны.
Когда учитывается разгрузка, уравнение состояния при возрастании напряжений задается однозначной функцией ст = ст(е), а при убывании напряжений-соотношением теории упругости между а и е. В этом случае на характеристической плоскости необходимо различать области
58
r.iaea 2
нагружения и разгрузки, чтобы правильно выбрать характеристические направления и использовать правильные соотношения вдоль этих направлений. Необходимо напомнить, что при упругом поведении характеристики являются прямыми линиями с постоянным наклоном с0.
В работе [111] предложен метод определения границы разгрузки для нескольких типов задач распространения одномерных упругопластических волн в стержне. Задача определения движущихся упругопластических границ, обусловленных волнами разгрузки,, при распространении пластических волн двухосного напряжения рассмотрена в работе [28]. В этой работе была исследована комбинация продольных волн и волн кручения. В общем случае, однако, задача учета волн нагружений и разгрузки сложна, поскольку граница разгрузки заранее неизвестна и может быть получена лишь в результате решения всей задачи в целом.
2.1.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Самая первая экспериментальная проверка НС-теории была предпринята в работе [44]. Измерялись остаточные деформации в медной проволоке вследствие ударного воздействия падающего груза. При использовании статических кривых п(е) в теоретических расчетах было достигнуто хорошее соответствие между остаточными деформациями и скоростями удара. Было доказано существование критической скорости при растяжении, превышение которой приводило к мгновенному разрыву, как это и предсказала теория (см. (2.24)). При тщательной проверке данных было обнаружено расхождение измеренных деформаций вблизи конца, по которому производился удар. Эти расхождения объяснялись несовершенством отражения пластических деформаций и неточностью в измерении длительности удара. Тем не менее на основании экспериментальных данных был сделан вывод, что зависимость между напряжением и деформацией при ударе отличается от статической.
Сообщалось [61] о выполненной во время второй мировой войны работе, связанной с разработкой и экспериментальной проверкой НС-теории. В экспериментах с медной проволокой измерялись остаточные деформации после нагружения с помощью падающего груза. Проверялось существование плато деформации и зависимость его амплитуды от скорости удара, но было обнаружено, что распределения остаточных деформаций значительно отклонялись от предсказанных теорией. В работе [26] с помощью НС-теории по экспериментальным данным была рассчитана динамическая зависимость а(с) для меди при растяжении под действием удара и впервые было показано, что эта зависимость отличается от статической, если для объяснения эксперимента воспользоваться теорией пластических волн конечной амплитуды.
Наиболее серьезные сомнения в справедливости НС-теории высказывались после проведения экспериментов по измерению скорости распространения малых приращений напряжений в брусьях, которые предварительным напряжением были приведены в пластическое состояние. Так как скорость распространения заданного уровня напряжения зависит от
Упругопластические волны напряжений
59
касательного модуля (см. (2.18)), ожидалось, что волны приращений напряжений будут распространяться в брусе медленнее упругих волн. Первые эксперименты такого типа [9] на предварительно напряженных стальных брусьях показали, что как при приращениях нагружения, так и при приращениях разгрузки волна приращения деформации всегда распространяется со скоростью упругой волны с0. В обоих случаях не наблюдалось резкого фронта пластической волны [9]. В серии тщательно поставленных и часто цитируемых опытов [106] измерялась скорость распространения импульсов возмущений в предварительно напряженных медных холоднокатаных полосках. Было обнаружено, что фронт волны всегда распространяется со скоростью с0 и что скорость распространения любого уровня возмущения больше рассчитанной в соответствии с НС-теорией по касательному модулю. Было замечено, что импульс напряжения размывается и что максимум деформации не соответствует предсказанному теорией по статической кривой а(е). В описанных экспериментах волны приращений напряжений накладывались на предварительные статические напряжения. Учитывая это, авторы работы [4] провели эксперименты, в которых по предварительно динамически нагруженному свинцовому брусу пропускались импульсы приращений напряжений, вызываемые нанесением двух следующих друг за другом с небольшим интервалом времени ударов по образцу. Однако даже в этих экспериментах возмущения распространялись со скоростью упругих волн, и был сделан вывод, что для объяснения наблюдаемых явлений необходима теория, учитывающая влияние скорости деформации. Следует отметить, что в этих экспериментах использовался свинец, для которого известна зависимость поведения от скорости деформации.
Среди других исследований распространения волн приращений напряжений по предварительно напряженному брусу упомянем работу [16], в которой предварительное напряжение создавалось динамически. По результатам измерений скорости волны был сделан вывод о том, что лишь начальная часть возмущения распространяется со скоростью с0. На основании экспериментов [17], в которых использовались подвергнутые предварительному напряжению образцы из отожженной меди, был сделан вывод, что хорошее описание процесса распространения волн в целом дает уравнение состояния, учитывающее скорость деформации. Однако для заданной на конце образца постоянной скорости при больших временах полученные в работе [17] результаты согласуются с предсказаниями НС-теории, т.е. НС-теория позволяет получить асимптотическое решение при больших временах и остаточные деформации.
Необходимо отметить, что анализ упомянутых выше работ по распространению возмущений в предварительно напряженных брусьях носил чисто одномерный характер, т.е. в них пренебрегалось радиальным движением и соответствующей поперечной инерцией. В действительности процесс распространения волн гораздо сложнее. Оценка ошибок используемого упрощенного подхода была сделана в работе [41] путем
60
I шм 2
анализа приближенного волнового уравнения, содержащего поправки на поперечную инерцию. Проведенное исследование показало, что ошибки таковы, что у НС-материала они могут проявиться в виде эффектов, обусловленных зависимостью от скорости деформации. С другой стороны, в работе [56] исследовалось геометрическое размывание волны приращений напряжений в предварительно напряженном стержне из НС-материала. Было обнаружено, что в эксперименте достигаются скорости, превосходящие скорость пластической волны, но они не выше 0,5со. Был сделан вывод, что при истолковании экспериментальных результатов работы [106] необходимо учитывать зависимость от скорости деформаций. В работе [73] при анализе сложного напряженного состояния было высказано предположение, что равенство скорости волны возмущений скорости упругих волн можно объяснить влиянием напряженного состояния, однако автор [73] осторожно замечает, что количественно такое объяснение вряд ли реалистично и что более вероятной причиной указанного экспериментального факта является влияние скорости деформации.
Чтобы избежать осложнений, связанных с поперечной инерцией и трехмерными эффектами, некоторые исследователи при изучении распространения пластических волн стали использовать волны кручения в тонкостенных трубках. Одной из первых экспериментальных работ по крутильным волнам приращений напряжений была работа [32], которая подтвердила выводы, сделанные авторами работ [9], [106], о том, что возмущения распространяются со скоростью с0. В работе [32] не удалось достичь хороших времен нарастания дополнительных импульсов, что затрудняет детальный анализ данных. Аналогичные опыты по кручению образцов из отожженной меди и после холодной обработки описаны в работе [116]. Во избежание влияния ползучести было использовано медленное непрерывное нагружение. Возмущения малой амплитуды распространялись со скоростями, близкими к скорости упругой волны, что противоречит НС-теории. В то же время волны большой амплитуды распространялись в соответствии с НС-теорией (рис. 2.9). Так как при кручении отсутствуют трехмерные эффекты, затрудняющие интерпретацию экспериментальных данных, было сделано заключение, что поведение материала зависит от скорости деформации. Однако в той же серии экспериментов результаты измерений скоростей волн в ненапряженных брусах находились в очень хорошем соответствии с предсказаниями НС-теории (рис. 2.10). В связи с большим временем нарастания в опытах скручивающего усилия (около 80 мкс) и вследствие этого недействительности предположения о том, что приложенная скорость представляет собой идеализированную ступенчатую функцию времени, был сделан вывод, что хорошее соответствие данных (рис. 2.10) НС-теории не может служить окончательным подтверждением нечувствительности проверяемого материала к скорости деформации.
Данные об экспериментах с образцами мягкой стали, меди и алюминия, в которых создавалось предварительноечскручивающее напряжение, приведены в работе [25]. Было обнаружено, что скорость распростране-
Упругоп.ии тичсскис во.ты напряжений
61
Рис. 2.9. Скорость распространения деформации сдвига в предварительно напряженном медном образце [116].
□ низкий уровень деформации, б - конечные деформации. I экспериментальный разброс.ч-расчет по
НС-теории
Рис. 2.10. Скорость распространения деформации сдвига в ненапряженном медном образце [116].
-----расчет по НС-теории, I-разброс жспериментальных данных
62
Глава 2
Предварительная деформация сдвига у, 7О
Рис. 2.11. Отношение скорости волны приращений напряжений к скорости упругой волны в меди [25].
---решение по НС-теории для квазистатической зависимости ст(е)
Другие значения
У. % с/се
15,7 0,935
18,7 0,941
24,3 0,925
ния волны приращений напряжений, определенная по приращению напряжений сдвига, по существу, такая же, как и упругой волны в диапазоне значений предварительных деформаций (рис. 2.11) для меди. Был сделан вывод, что для предсказания мгновенных приращений пластической деформации в упомянутых материалах необходимо использовать уравнение состояния, учитывающее скорость деформации. Волны приращений напряжений при кручении изучались на сильно растянутых образцах из алюминиевого сплава [87]. В этом материале, оказавшемся нечувствительным к скорости деформации в крутильных испытаниях по методу стержня Гопкинсона при постоянной скорости деформации кручения, фронт волны всегда перемещался со скоростью волн упругого сдвига, хотя продолжительность перенапряжения была очень мала, а максимум амплитуды составлял около 4% статического напряжения. Результаты аналогичных экспериментов на растяжение в условиях, когда образцы из отожженных алюминия, меди и сильно растянутой стали были предварительно нагружены с постоянной скоростью, описаны в работе [67]. Опять скорость волны возмущений была равна с0, что подтверждало теорию, учитывающую влияние скорости деформации. Автор работы замечает, однако, что эксперименты такого рода должны производиться при постоянной скорости деформации процесса предварительного нагружения, поскольку предварительное нагружение с заданием постоянного напряжения или постоянной деформации приводит соответственно к проявлению эффектов ползучести или релаксации напряжений, если материал чувствителен к скорости деформации. Далее автор подчеркивает важность повышения точности измерения скорости волны приращений напряжений, а также учета влияния истории деформирования на поведение материала в экспериментах с такими волнами по сравнению с экспериментами, в которых используются ненапряженные стержни.
Упругопластические волны напрялиений
63
2.1.4. АНАЛИЗ ПО ТЕОРИИ С ЗАВИСЯЩИМ ОТ
СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИИ УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИЯ
Уже самые ранние попытки экспериментальной проверки НС-теории распространения волн, предпринятые Карманом, Тейлором и Рахмату-линым, показали, что данная теория не в состоянии правильно описать некоторые аспекты этих явлений, например распространения волны приращений напряжений со скоростью упругой волны. Стало очевидно, что уравнение состояния материала должно учитывать зависимость от скорости деформации. Наиболее часто используемая теория, учитывающая такую зависимость, была предложена в работах [80, 81]. Поведение материала11 описывалось уравнением
п=/(8) + 1п(1 +Ьёр), (2.43)
где функция /(8) определяет напряжение при квазистатическом деформировании, 8р—скорость пластической деформации. Точка над символом означает производную по времени. Это уравнение можно переписать в виде
1
£р~~ь
( О -/(е) ехр ---------
\ а
(2.44)
Таким образом, скорость пластической деформации есть функция перенапряжения а — /(8), или разности между мгновенным напряжением и напряжением, которое получилось бы при той же деформации в квазистатическом испытании. Эту связь можно задать в более общей форме:
£8p = F[q-/(8)], (2.45)
где F- произвольная функция. Уравнение состояния Малверна (2.45), независимо предложенное также Соколовским в работе [104], предполагает представление полной скорости деформации в виде суммы двух компонент - пластической и упругой, причем последняя задается законом Гука. Тогда, если (2.45) записать в более общем виде:
£8р = ^(п,8), (2.46)
то
£8 = 6 + д(п,8). (2.47)
При численных исследованиях распространения пластических волн в стержнях чаще всего использовалась линейная функция перенапря-
Материал, поведение которого зависит от скорости деформации, будем называть далее сокращенно ЗС-материалом, а теорию волн в нем - ЗС-теорией.— Прим, перев.
64
Глава 2
жения
д (ст,г) = к [ст -/(г)] (2.48)
главным образом из-за простоты численной реализации, что было существенно во времена несовершенных вычислительных машин по сравнению с ныне существующими.
Приведенная выше формула Малверна, разделяющая скорость деформации на упругую и пластическую компоненты, предполагает, что материал приведен в состояние начального пластического течения после создания в нем заданной упругой деформации, независимой от скорости упругой деформации, и что для развития пластического течения требуется время, за которое могли бы появиться заметные пластические деформации. Поэтому деформации, превышающие статические, состоят главным образом из упругой компоненты. Этим объясняется распространение приращений напряжений при наличии предварительного напряженного состояния со скоростью упругих волн, так как для развития пластического течения требуется время. Однако в первых расчетах Малверна, выполненных для бруса, концу которого сообщена постоянная скорость удара, не удалось получить области постоянных деформаций, примыкающей к границе бруса, которая наблюдается в экспериментах и соответствует предсказаниям НС-теории. На рис. 2.12 показаны распределения деформаций по НС- и ЗС-теориям. В дополнение к отсутствию плато, согласно ЗС-теории, деформация границы бруса возрастает, что противоречит результатам ранних экспериментов. Хотя и можно было бы попытаться улучшить соответствие эксперименту, предполагая постепенное нарастание скорости границы бруса или изменяя вид функции д(п,8), Малверн посчитал маловероятным возможность появления плато деформации в рамках ЗС-теории.
В работе [93], обобщающей результаты Малверна, используются
Рис. 2.12. Распределение деформации в проволоке, конец которой приведен в движение с постоянной скоростью. Сравнение результатов расчетов по НС-(-------------) и ЗС-теории (-------) в момент времени 102,4 мкс [80].
Упругопластические волны напряжений
65
как линейный, так и экспоненциальный законы для динамического перенапряжения, полученные на основании экспериментальных данных для меди и перлитовой стали. Было установлено, что экспоненциальный закон лучше описывает большие деформации, в то время как для меньших деформаций результаты, полученные с использованием обоих законов, неразличимы. Обе теории распространения пластических волн были обобщены на случай квазилинейного уравнения состояния в работе [78]. Было показано, что обе теории являются частными случаями более общей теории, и приведены условия, при которых справедлива каждая из них.
Решение уравнений ЗС-теории можно получить методом характеристик (разд. 2.1.2). Следующие уравнения описывают распространение волн по ЗС-теории в длинных брусьях и стержнях:
до/дх = p(dv/dt), ds/dt = dv/dx,
Е (ds/dt) = до/dt + g (о,8).
(2.49)
(2.50)
(2.51)
Здесь используется самое общее выражение для скорости пластической деформации в виде д(сг,е). Эта квазилинейная система дифференциальных уравнений может быть численно проинтегрирована с использованием следующих соотношений вдоль характеристик:
do — pcQdv = — g (ст, е) dt вдоль dx/dt = с0, do + pcQdv = - g (ст, 8) dt вдоль dx/dt = — c0, Eds = do + g (or, e) dt вдоль dx/dt = 0.
(2.52a)
(2.526)
(2.52b)
Характеристики являются прямыми линиями в плоскости х - L что существенно упрощает численное интегрирование. Решение получают описанной ниже процедурой численного интегрирования с использованием начальных условий вдоль оси х и граничных условий вдоль оси t. Область перед головной упругой волной х = cot находится в покое (рис. 2.13), так как предполагаются нулевые начальные условия. Рассмотрим две точки А и В, лежащие на одной характеристической прямой dx = — codt по разные стороны от фронта упругой волны. Используя соотношение (2.526) при о а = = 9 а = 0 и аппроксимируя член gdt
величиной (дл + дв) А*/2, имеем
ав + рс0«’в= -Vz^eAt-
(2.53)
Но At может быть выбрано сколь угодно малым, так что для всех точек В вдоль фронта головной волны
ов= -рсоив.
(2.54)
Решение получают численным интегрированием вдоль головной волны
66
Глава 2
Рис. 2.13. Головная волна и точки внутренней ячейки на характеристической плоскости.
от начала координат и затем интегрированием от точки к точке во внутренней области. Для определения значений переменных во внутренней точке F (рис. 2.13) по дифференциальным соотношениям (2.52) используют предварительно рассчитанные значения в точках С, D и Е. Например, вдоль dx/dt = с0 имеем
ст0 - стс - рс0 (»D - VC) = - */2 (до + дс) At- (2.55)
Величина Дг показана на рис. 2.13. Используя подходящие соотношения вдоль EF, СЕ, DF и CF, можно получить следующие выражения для значений в точке F:
of = oe + gd-gc- 9F (Д */2) 4- дс (Дг/2), (2.56)
vF = vE + vc - vD 4- (At/2pc0) (gE - gD), (2.57)
Eze = Esc + of-gc + 9F&t 4- gc (2.58)
Отметим, что в приведенных выше выражениях для qf, vf, £f появляется член ^f(^f,£f)- Решение можно получить только методом итераций, при котором значения в точке F, полученные в предыдущей итерации, используются для определения др в следующей. Очевидно, необходима осторожность при выборе размера ячейки, чтобы не нарушить численную устойчивость и оправдать аппроксимацию gdt средним значением д, умноженным на Дг. Примеры численных решений задач о распространении пластических волн с использованием уравнения состояния Малверна можно найти в работах [115, 85]. Подробное изложение теории распространения пластических волн в брусьях с использованием различных форм уравнений состояния, учитывающих зависимость от скорости деформации, дано в работе [35].
Упругопластические волны напряжений
67
2.1.5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРИИ
Очевидная невозможность правильно описать все особенности процесса распространения волн с помощью НС- и ЗС-теорий, а также неопределенная точность одномерного приближения привели к дискуссиям по поводу необходимости учета влияния скорости деформации в моделях количественного описания ударов по стержням и брусьям. В этих спорах в качестве важного фактора приводилась относительная простота математической постановки некоторых краевых задач в рамках НС-теории. Для решения вопроса было проведено большое число экспериментальных и теоретических исследований, чтобы уяснить природу явления и установить форму уравнения состояния, справедливого в условиях динамической пластичности. Превосходный обзор этих работ дан Гопкинсом [53].
Существующие теории, используемые при изучении процесса распространения волн одноосных напряжений в металлических стержнях, можно разделить на три класса: 1) НС-теория, основанная на статической зависимости напряжения от деформации, 2) НС-теория, основанная на единой динамической зависимости, 3) ЗС-теория в форме, первоначально предложенной Малверном [81]. Имеются разногласия по вопросу о том, можно ли теорию второго класса называть НС-теорией, поскольку она основана на динамической зависимости напряжения от деформации, которая не совпадает со статической. НС-теория формулировалась в предположении существования однозначной связи между напряжением и деформацией, и не обязательно эта связь должна быть статической. Это подчеркивалось в работах [14, 112], в которых доказывалось, что процессы распространения нелинейных волн отличаются от процесса квазистатического нагружения, и поэтому нет оснований ожидать, что определяющее соотношение а = а (е) будет одинаковым в обоих случаях.
В работе [82] сообщалось о результатах исследований распространения продольных волн в отожженных алюминиевых брусьях с помощью измерительных устройств двух типов. В дополнение к датчикам деформации, которые применялись в большинстве других экспериментов, были использованы электромагнитные датчики скорости [46, 100] для измерения скоростей частиц в сечениях вдоль стержня. Результаты измерений скоростей согласуются с расчетами по НС-теории, основанной на единой динамической кривой а (е), которая лежит немного выше статической. Датчики деформации показали более низкие скорости распространения волны по сравнению с датчиками скоростей частиц. Таким образом, по крайней мере в то время, возникли сомнения в правильности работы датчиков деформации. Малверн заключил, однако, что ЗС-теория не противоречит эксперименту, поскольку обе теории дают одинаковые предсказания для материала, поведение которого слабо зависит от скорости деформации, но НС-теория проще и поэтому более предпочтительна в этой ситуации.
Одно из самых широких исследований, в котором с помощью ди-
68
Глава 2
Рис. 2.14. Сравнение экспериментальной и теоретической (НС-теория) зависимостей деформации от времени [15].
-------теория (Emax), О-эксперимент, испытания образца из отожженного алюминия 870 (300 К, v0 = 50 м/с, х = 0,047 м)
фракционной решетки измерялись перемещения при распространении пластической волны, было проведено Беллом [15]. Предложенный им оптический метод [10] позволяет с помощью датчика очень малой длины достичь весьма высокой точности измерения деформаций поверхности. С помощью этого метода, позволяющего точно измерять деформации до 3%, в экспериментах, в которых концам брусьев из отожженного алюминия посредством удара сообщалась постоянная скорость, было обнаружено, что скорости распространения каждого уровня деформации постоянны и хорошо согласуются со скоростями, определенными по НС-теории по наклону статической кривой зависимости напряжения от деформации [И, 12]. Было также обнаружено, что на расстояниях, больших двух диаметров от конца бруса, уровни деформации при различных скоростях удара также хорошо согласуются с НС-тео-рией и статической кривой. Отклонения от теории на расстояниях от конца бруса, меньших одного диаметра, были приписаны большим радиальным ускорениям, связанным с быстрым нарастанием деформации и соответствующим сильным расширением, которое наблюдалось экспериментально. Дальнейшие эксперименты Белла, в которых постоянство скорости границы достигалось путем симметричного соударения одинаковых стержней в свободном полете, показали, что НС-теория очень хорошо описывает экспериментальные данные для нескольких полностью отожженных металлических поликристаллических и монокристаллических стержней [14]. Экспериментальная кривая зависимости деформации от времени и кривая, полученная по НС-теории, сравниваются на рис. 2.14. Максимумы деформации двух кривых хорошо согласуются, равно как и скорости при низких уровнях деформации. Более низкие скорости при более высоких уровнях деформации, проявляющиеся в скруглении профиля кривой, были отнесены на счет замедления волны при прохождении ее пути порядка первого диаметра из-за трехмерных эффектов. Выводы Белла были проверены в экспериментах на
Упругопластические волны напряжений
69
брусьях из чистого свинца, и было установлено, что НС-теория с использованием единой динамической кривой зависимости напряжения от деформации соответствует экспериментам [105]. Необходимо отметить еще раз, что свинец очень чувствителен к скорости деформации.
Расхождения между НС и ЗС-теориями оказались наиболее заметными в начальные моменты времени и вблизи конца стержня, по которому наносится удар. Белл [12, 13] высказал предположение, что наблюдавшееся ранее влияние скорости деформации в меди и алюминии высокой чистоты могло быть проявлением особенности развития фронта пластической волны вблизи конца стержня, по которому наносится удар. До этого в работах [4, 81] было указано и математически подтверждено в работе [101], что решение по ЗС-теории с ростом времени асимптотически приближается к решению по НС-теории. Так что результаты работ [19, 31], в которых исследовалось распространение упругопластических возмущений вдали от конца в брусьях из отожженного коммерчески чистого алюминия, не являются неожиданными. Были подтверждены общие выводы НС-теории при использовании единой динамической кривой, которая не очень отличается от квазистатической, но учитывает эффект Баушингера.
В работе [39] было рассмотрено несколько типов граничных условий, чтобы выбрать тот, который лучше других моделирует данные экспериментов по симметричному соударению стержней в свободном полете. Авторы работы считают, что на расстояниях до одного диаметра от ударяемого конца имеет место краевой эффект, связанный с неодномерностью. Наилучшее соответствие с экспериментом получено при граничном условии, которое заключалось в мгновенном повышении напряжения на границе до 80% максимального значения и дальнейшем его росте до максимального значения в течение более 40 мкс. Установлено, что с помощью НС-теории можно совершенно точно описать многие основные особенности процессов нагружения и разгрузки бруса конечной длины. Главные расхождения были отнесены на счет того факта, что задача не может рассматриваться как одномерная вблизи концов бруса. Хотя использование крутильных волн при изучении распространения пластических волн в ненапряженных стержнях или трубах, как было впервые показано в работе [5], устраняет сложности, связанные с трехмерными эффектами, невозможность создания быстро нарастающих импульсов кручения большой амплитуды и высоких скоростей деформации и напряжения в момент инициирования волны были главным препятствием на пути использования такого подхода при исследовании эффектов динамической пластичности в металлах.
2.1.6. ЗАМЕЧАНИЯ О ПЛАТО ДЕФОРМАЦИИ
Существование плато деформации вблизи ударяемого конца длинного стержня, которое предсказано НС-теорией и подтверждено многочисленными экспериментальными исследованиями [37], явилось причиной больших разногласий при проверке частных теорий. Как было отмечено
70
Глава 2
kt
Рис. 2.15. Изменение деформации во времени в различных точках вдоль бруса в случае граничного условия постоянного напряжения на его конце [115].
ранее, в расчетах по ЗС-теории не удалось получить плато, что явилось главным препятствием для признания ЗС-теории, по крайней мере теории, предложенной Малверном. Однако численные исследования [115] показали, что, используя ЗС-теорию Малверна, всегда можно ожидать появления плато деформации, примыкающего к ударяемому концу. Плато может и не получиться, если время расчета мало. На рис. 2.15 показано изменение деформации во времени на различных расстояниях от конца бруса в предположении линейности функции перенапряжения, т.е. при использовании соотношения
£8р = ^[о-/(8)]. (2.59)
Во всех точках деформация асимптотически приближается к максимальному значению, определяемому по кривой статической зависимости напряжения от деформации и приложенному на границе напряжению (рис. 2.16). Кривые зависимости напряжения от деформации в различных сечениях вдоль бруса для той же задачи показаны на рис. 2.16. Из рисунка видно, что чем ближе точка к ударяемому концу, тем выше динамическое напряжение, а с ростом расстояния динамическое напряжение приближается по величине к статическому. Влияние скорости деформации существенно вблизи ударяемого конца и в начальные моменты времени. Это раскрывает общую проблему при использовании измерений остаточных деформаций для проверки частных теорий, связанную с тем, что расчеты должны учитывать все волны отражения и взаимодействия в течение достаточно длительного времени, чтобы точно предсказать остаточные деформации. Некоторые предположения, такие, как допущение о полубесконечности бруса, могут оказаться из-за этого недопустимыми. В работах [115, 82] показано, что численное решение чувствительно также к принятому граничному условию. В обеих работах было получено плато деформации вблизи ударяемого конца бруса при граничном условии постоянства напряжения на ударяемом конце. На рис. 2.17 показаны результаты расчетов Малверна, в которых
Упругопластические волны напряжений
Рис. 2.16. Изменение напряжения в зависимости от деформации в различных сечениях вдоль бруса в случае граничного условия постоянного напряжения на его конце [115].
Рис. 2.17. Сравнение полученных по НС- (------) и ЗС-теории (------) ре-
шений задачи об ударном нагружении бруса в случае граничного условия постоянного напряжения на его конце [82].
72
Глава 2
использовалось это граничное условие. Отчетливо видно плато деформации. Его уровень совпадает с тем, который получается по НС-теории для того же граничного условия, в то время как расчетная скорость конца бруса сразу после удара составила около 90% ее значения, вычисленного по НС-теории, и затем возросла почти до предсказанного значения за время около 12 мкс. Эти результаты расходятся с результатами расчета по ЗС-теории при граничном условии постоянства скорости (рис. 2.12), согласно которым плато не образовывалось.
Ранее в работе [101] было показано, что решение по ЗС-теории с использованием кусочно-линейного уравнения Малверна асимптотически приближается к решению по НС-теории. Было показано, что деформация вблизи конца полубесконечного стержня при больших значениях времени приближается к значению в решении Кармана для обоих граничных условий (постоянство скорости и постоянство напряжения на конце). В работах [46, 115] по аналогичной ЗС-теории также получено асимптотическое плато. Формирование плато изучалось с математической точки зрения. Были сформулированы условия образования плато для кусочно-линейного или квазилинейного уравнения состояния, учитывающего влияние скорости деформации, которое будет изучено ниже. Было показано, что в кусочно-линейной модели может существовать только асимптотическое плато. В квазилинейной модели вида
dz/dt = ср (dz/dt) + ф (2.60)
может существовать абсолютное плато. В работе [17] при сравнении экспериментальных результатов о распространении импульсов приращений напряжений в предварительно напряженных медных брусьях с расчетами было замечено, что ЗС-теория с использованием кусочнолинейного уравнения состояния и, возможно, еще лучше с использованием нелинейного уравнения позволяет достаточно точно описать рассматриваемое явление в целом в любой момент времени, на любом расстоянии от ударяемого конца и при любой предварительной статической нагрузке. Также было отмечено, что асимптотическое поведение при граничном условии постоянной скорости конца задается решением с помощью НС-теории, что совпадает с выводами работы [101].
2.1.7. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ УРАВНЕНИЙ К РЕЗУЛЬТАТАМ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
Необходимо уяснить плодотворность идеи использования для определения уравнения состояния результатов экспериментального исследования процесса распространения волн, теоретический анализ которого сам зависит от выбранного уравнения состояния [98]. Как было отмечено выше, многие выводы НС- и ЗС-теории совпадают. Даже если при-
Упруготастические волны напряжений
73
Рис. 2.18. Профили волн через 40 мкс с момента удара, рассчитанные с помощью различных уравнений состояния [99].
Кривая
N Mi М3 N' М[ Мз Ci
а = <у(е) а = о(е) а = о(е) о = о(е) К (о - а), К (о - а),
а = а (е).
Уравнение состояния
статическое
динамическое (кривая 1, ё = 250, рис. 4) динамическое (кривая 3, ё = 250, рис 4) статическое (конечное время нарастания 5 мкс) К = 2,25 106 с-‘ К = 1,125 106 с-1 т = 8 10'6 с, т= 1,92
динамическое (кривая 1, ё = 250, рис 2).
нять одну из форм теории, непросто определить эмпирические константы. Применение такого обратного подхода к определению уравнений состояния по данным наблюдений процесса распространения волн сопряжено с двумя фундаментальными затруднениями. Они характерны не только для задачи о распространении пластических волн в стержнях, но и в телах любой геометрии. Первое затруднение связано с чувствительностью экспериментально измеренных характеристик процесса распространения к изменениям констант или формы принятого уравнения состояния. Отсутствие единственности выбора уравнения состояния даже в случае хорошего соответствия теории и эксперимента является вторым затруднением, ибо нет никаких оснований считать, что не существует другого уравнения состояния, столь же хорошо описывающего те же экспериментальные данные. Например, в работе [99] показана ограниченная чувствительность профилей волн к форме уравнения состояния по ЗС-теории в случае волн одноосных напряжений, возникающих в брусе под действием ступенчатой нагрузки. Аналогичное исследование для волн одноосных деформаций выполнено в работе [90]. Из рис. 2.18 [99], на котором представлены профили волн через 40 мкс с момента удара, рассчитанные с помощью различных уравнений со-
74
Глава 2
Рис. 2.19. Сравнение зависимостей деформации от времени, рассчитанных по НС- и ЗС-теориям на различных расстояниях от конца бруса, которому сообщается постоянная скорость за 10 мкс.
а =0,02, К = 100;------НС-теория (статическая кривая);------НС-теория (динамическая кривая).
стояния, видно, что эти профили в значительной степени подобны. Эти результаты показывают, что ни форма волнового фронта, ни скорость распространения данного уровня деформации или его постоянство не являются надежными критериями для выбора формы уравнения состояния и что скорость распространения как функция деформации в равной степени соответствует и ЗС-теории в форме Малверна, и НС-теории с динамической связью между напряжением и деформацией, предложенной в работе [68]. Другие численные результаты [70, 115] выявили подобие НС- и ЗС-теорий и в отношении профилей распространяющихся по брусу напряжений. В работе [86] выполнены расчеты по НС-теории с использованием статической и динамической кривых деформирования, а также по ЗС-теории с граничным условием для скорости конца, достигающей по истечении 10 мкс постоянной величины. На рис. 2.19, заимствованном из этой работы, представлены рассчитанные для этих трех вариантов зависимости деформации от времени в безразмерных переменных с* = Ег/Су, х* = 10 “ 6x/ct. Величина х* = 1 представляет собой расстояние, на которое переместится упругая волна за 1 мкс. В ЗС-теории использована экспоненциальная форма функции перенапряжения
/ G* —f (е*) \
8* = Кехр---------- -1 , (2.61)
а
Упругопластические волны напряжений
75
где су* = <з/<зу. Это уравнение было выбрано потому, что оно отражает большое количество опубликованных в литературе данных, в соответствии с которыми существует линейная зависимость между напряжением и логарифмом скорости деформации выше некоторого переходного значения скорости деформации и постоянное напряжение, или независимость от скорости деформации ниже переходного значения скорости деформации. Константы а и К можно подобрать так, чтобы обеспечить требуемую степень зависимости от скорости деформации и соответствующее значение переходной скорости деформации. Несмотря на подобие профилей, приведенных на рис. 2.19, результаты расчета скоростей волн для этих трех моделей, представленные на рис. 2.20, свидетельствуют об отсутствии чувствительности к выбору модели. Результаты расчета по ЗС- и НС-теориям с использованием единой динамической кривой особенно близки и лишь немного отличаются от результатов расчета по НС-теории с использованием статической кривой. Из сравнения результатов, приведенных на рис. 2.20 и рис. 2.10 [116], становится очевидно, что вывод о соответствии теории экспериментальным данным в равной степени применим как для НС-, так и для ЗС-теории. На рис. 2.21 приведены зависимости скорости пластической деформации от времени на разных расстояниях вдоль стержня для того же варианта расчета по ЗС-теории, что и на рис. 2.19. Хотя скорости деформации довольно сильно изменяются, значение £^=4103 может
Рис. 2.20. Сравнение скоростей волн, рассчитанных по НС- и ЗС-теориям.
НС-теория, статическая диаграмма с(е); ----- НС-теория, динамическая диаграмма с(е);
Д И* = 2,5; О V* = 3,125, □ V* = 3,75.
76
Глава 2
Рис. 2.21. Зависимость скорости пластической деформации от времени в различных сечениях вдоль бруса, концу которого в результате удара сообщена постоянная скорость.
быть принято в качестве некой средней величины для данного модельного эксперимента. С использованием этого значения 8* были выбраны три набора констант в ЗС-теории (2.61), которые соответствовали различным степеням зависимости от скорости деформации и различным значениям переходной скорости деформации. Все они, однако, были подобраны таким образом, чтобы обеспечить одинаковые значения напряжения при е£ = 4103. Кривые зависимости напряжения от скорости деформации для этих трех наборов констант показаны на рис. 2.22. Для
Упругопластические волны напряжений
77
сравнения приведены две кривые, соответствующие модели с линейной функцией перенапряжения также в безразмерной форме. Изменение константы К в последнем случае приводит к перемещению кривой вдоль оси абсцисс. Для тех же трех наборов констант были рассчитаны зависимости деформации от времени по модели с экспоненциальной функцией перенапряжения. Эти профили, показанные на рис. 2.23 в различных точках вдоль бруса, подобны друг другу. Из этого можно заключить, что важно не столько иметь правильную форму теории пластических волн, не зависящей или зависящей от скорости деформаций, сколько обеспечить требуемое значение динамических напряжений при среднем значении скоростей деформации, встречающихся в эксперименте. Проверка применимости данной теории должна проводиться в серии экспериментов, охватывающих широкий диапазон скоростей деформации. Однако это не всегда возможно, так как поведение материала играет важную роль в определении скоростей деформации, встречающихся в эксперименте по распространению пластических волн.
В работе [51] показана чувствительность процесса распространения волн напряжений и затухания импульсов к выбору модели материала для широкого класса материалов. Из этих, а также и других результатов следует вывод, что нужно проявлять большую осторожность при интерпретации экспериментальных данных о распространении пластических волн в рамках принятой теории, и в частности помнить об отсутствии однозначности выбора теории, отражающей результаты экспериментов.
Рис. 2.22. Безразмерное перенапряжение в функции скорости деформации для ЗС-моделей.
-----------ё? = К [с* - /(е*)].
78
Глава 2
Рис. 2.23. Сравнение зависимостей деформации от времени в нескольких сечениях для трех наборов констант в ЗС-теории. В качестве граничного условия задана постоянная скорость конца бруса.
------ а = 0,02; К = 102,-а =0,04, К = 105,-а =0,01, К = 10~4
2.1.8. ДРУГИЕ МОДЕЛИ СРЕДЫ
В большинстве цитированных работ использовалась предложенная Малверном [80, 81] форма ЗС-теории с кусочно-линейным уравнением состояния, в которой скорость пластической деформации предполагается функцией напряжения и деформации. Одним из следствий этого предположения является распространение волн приращений напряжений со скоростью упругих волн, правильность которого подтверждается результатами многих экспериментов. Из-за невозможности с помощью этой модели описать все особенности распространения пластических волн в стержнях приходится рассматривать несколько более общее квазилинейное уравнение состояния в виде [34, 78]
£р = Ф (о, £) <j + ф (о, £), (2.62)
где функции ф и ф выражают мгновенную и немгновенную реакции среды соответственно. Основные уравнения распространения волн в длинном стержне при использовании этой модели суть
да/дх = р (dv/dt),
(2.63)
Упругопластические волны напряжений 79
dz/dt = ди/дх, (2.64)
dz/dt = 1 /Е (de/dt) 4- ср (су, е) (de/dt) 4- ф (су, е). (2.65)
Полученная система квазилинейных уравнений в частных производных может быть решена методом характеристик, с помощью которого получаются следующие соотношения вдоль характеристик:
de = — pedu 4- pc2tydt вдоль dx/dt = с (су, с), (2.66а)
de = pedu 4- pc2^dt вдоль dx/dt = — с(су,е), (2.666)
dze = (1/Е) de, вдоль dx/dt = 0, (2.66в)
dzp = tpde 4- ^dt,
где индексами е и р обозначены упругая и пластическая компоненты деформации и где
с = с0 (1 4- Еср)" 1/2. (2.67)
Заметим, что в этом случае характеристики не постоянны и не прямолинейны, а их вид зависит от самого решения. Численное интегрирование этих уравнений, следовательно, становится трудной задачей.
Одним из следствий использования этого более общего уравнения состояния (2.62) является необязательное совпадение скорости приращений напряжений, определяемой формулой (2.67), со скоростью упругих волн cQ. Большинство экспериментальных данных, однако, свидетельствует о том, что эта скорость равна или близка к с0, т. е. ф не играет заметной роли в описании поведения материала. Обнаружено [25] небольшое уменьшение скорости волны приращений напряжений с ростом предварительной, деформации для меди (рис. 2.11). Однако в связи с малой величиной этого уменьшения был сделан вывод, что величиной Ф можно пренебречь. Обнаружено [116] даже еще большее уменьшение скорости волны приращений напряжений в меди (рис. 2.9), но величины скоростей оказались существенно выше рассчитанных по НС-теории. В работе [27] указывается, что, по-видимому, нет теоретических оснований для предположения, что мгновенная реакция металлов отлична от упругой, хотя часть неупругой деформации может происходить достаточно быстро, чтобы рассматриваться как мгновенная.
В предположении об отсутствии мгновенной пластической деформации (ф = 0), что эквивалентно предположению о распространении волн приращений напряжений со скоростью с0, более общее уравнение состояния сводится к уравнению
zp = ф (су, е) = (1 /Е) g (е, z), (2.68)
которое было впервые предложено Малверном [80, 81]. В работе [7] были проведены расчеты для кусочно-линейного и квазилинейного
80
Глава 2
Рис. 2.24. Зависимости приращений деформаций от времени для квазилинейной модели на расстояниях 0,95, 3,77 и 6,9 см от ударяемого конца. Первая кривая (0,95 см) принята в расчетах как исходная [7].
------- эксперимент,---НС-теория,------ЗС-теория (квазилинейная модель).
уравнений состояния, а также по модели [91], которая соответствует частному случаю уравнения Малверна с экспоненциальной функцией перенапряжения. Была рассмотрена задача о волнах кручения в предварительно напряженном стрежне и выполнен анализ экспериментальных результатов работы [116], в которой был сделан вывод о том, что деформации высоких уровней распространяются со скоростями, получаемыми по НС-теории, а малых-со скоростью с0, как это следует из ЗС-теории (рис. 2.9). На основании расчета с использованием в качестве граничного условия экспериментальной зависимости деформации от времени в некотором сечении стержня [7] был сделан вывод, что приемлемое соответствие эксперименту достигается с помощью всех трех рассмотренных моделей при умеренном значении деформации (но не при низком и не при высоком). Результаты расчета показаны на рис. 2.24. Сравнение профилей деформации позволило сделать вывод, что квазилинейная модель несколько лучше двух остальных описывает профили волны и скорости и что все три модели дают лучшие результаты, чем НС-теория.
Процедура определения функций при использовании более общего квазилинейного уравнения состояния (2.62), а также подробное математическое рассмотрение других форм уравнений состояния, учитывающих влияние скорости деформации, представлены в работе [38]. В этой работе сделан вывод, что некоторые наблюдаемые в эксперименте особенности процесса распространения пластических волн в стержнях мо
Упругопластические волны напряжений 81
гут быть описаны с помощью обобщенной ЗС-теории. На рис. 2.25 представлены рассчитанные численным методом профили волны для различных вариантов обобщенной теории. Однако так как многие очевидные эффекты, связанные с влиянием скорости деформации, значительны главным образом в непосредственной близости к ударяемому концу, то делается вывод, что правомерность теории крайне сомнительна из-за сложного трехмерного напряженного состояния вблизи конца, которое не может быть описано теорией одномерных волн. В работе [63] с помощью конечно-разностного метода выполнен подробный трехмерный анализ профилей волны вблизи ударяемого конца. Использовалась теория пластичности, не учитывающая влияния скорости деформации, с квазистатической зависимостью одноосного напряжения от деформации, а также с несколькими динамическими кривыми. Рассчитанные профили волны показаны на рис. 2.26. Величина у0 соответствует пределу пропорциональности у используемой в НС-теории единой динамической кривой зависимости напряжения от деформации. Расчеты показали существенные различия в развитии продольных поверхностных деформаций на расстоянии */4 диаметра от ударяемого конца, но эти различия быстро уменьшались уже на расстоянии 1/2 диаметра от конца. Интерпретировать эти результаты, так же как и результаты работ [7, 38], показанные на рис. 2.24 и 2.25, необходимо с учетом чувствительности профилей волны к форме уравнения состояния.
Рис. 2.25. Сравнение зависимостей деформации от времени для различных форм уравнения состояния (1D означает 1 диаметр от ударяемого конца и т.д.) [38].
• •• эксперимент
82
Глава 2
3,0 -
2,5
Статическая зависимость ^5 СЕ)
Уо=О Уо = 6,89 Уо=20&
^2,0
1,5
1,0
0,5
5
О
/диаметр от конца
1/4 диаметра от конца
Ю 15 20 25 30 35 ЬО
Время после удара, мкс
уо = 2Орв МПа
У о = ф9
Уо~° Статическая
зависимость 6(£)
Рис. 2.26. Продольная деформация поверхности в функции времени на различных расстояниях от ударяемого конца [63].
татическая
1/2 диаметра от конца
I I
уо=2ф0МЛа fi/zgyQMgmpQ от конца
Уо*° Статическая зависимость 6(c) I I I I___________________
Одной из основных особенностей моделей среды, рассматривавшихся в условиях динамической пластичности, являлась их математическая простота. НС-теория удобна в использовании и дает в замкнутой форме решение задачи о полубесконечном брусе, концу которого сообщена постоянная скорость. С помощью ЗС-теории Малверна легко решать задачи методом характеристик по относительно простой численной схеме интегрирования. При решении краевых задач с привлечением более сложной ЗС-теории, которая, возможно, более физична и гибка, возникают труднопреодолимые препятствия, поскольку характеристики в этом случае не только не прямолинейны, но и зависят от самого решения. Вместо метода характеристик при решении задач распространения пластических волн можно применить явный конечно-разностный метод. Он использован в работе [63] для решения двумерной задачи об осесимметричном соударении концов двух одинаковых брусьев. В этом методе точные уравнения движения приближенно решаются с помощью конечно-разностной схемы. Хотя этот подход обычно используется при изучении ударных волн, его редко применяли при решении простых одно- и двумерных задач распросранения упругопластических волн в длинных стержнях. Преимуществом этого метода является возможность без особых затруднений исследовать и другие модели среды.
Примером перспективной модели для описания эффектов, связанных с влиянием скорости деформации, является упруговязкопластическая модель в приращениях с деформационным упрочнением, которая была предложена для решения задач динамики конструкций [20]. Эта модель
Упругопластические волны напряжений
83
(гл. 5) базируется на понятиях динамики дислокаций и включает определяющий параметр, характеризующий сопротивление материалов пластическому течению, которое в свою очередь зависит от работы пластической деформации. Эта модель, которую обычно использовали для описания экспериментов в условиях одноосного напряжения при постоянной и переменной скоростях деформации, недавно была применима для решения конечно-разностным методом задач о распространении пластических волн [8]. Решение задачи об ударном сжатии стержня из ЗС-материала, концу которого сообщена постоянная скорость, показано на рис. 2.27 и 2.28. Константы материала для коммерчески чистого титана с сильной зависимостью от скорости деформации были заимствованы из работы [21]. При их использовании в условиях деформирования при постоянной скорости деформации в интервале значений ЗЮ-3-3 с"1 напряжения течения возрастают примерно на 40%. В моделируемых задачах достигались скорости деформации порядка 103с-1. В задаче учитывались одноосные напряжения и инерция только в направлении оси х. Однако рассматривались и поперечные пластические деформации, которые сочетаются с уравнением движения через обобщенную трехмерную модель материала. На приведенных рисунках можно
Рис. 2.27. Распределения напряжения и пластической деформации в полу бесконечном брусе, концу которого в результате удара сообщена постоянная скорость [18].
Материал - титан (коммерчески чистый), со = 6100 м/с, се - эООО м/с
84
Глава 2
Рис. 2.28. Зависимость от времени напряжения и полный деформации в полубе-сконечном брусе, концу которого ударом сообщена постоянная скорость [18].
Материал-титан (коммерчески чистый); со = 6100 м/с; се = 5000 м/с; г, = 152,5 м/с.
отметить несколько интересных особенностей. На рис. 2.27, б обнаруживается тенденция образования плато пластической деформации вблизи ударяемого конца х = 0, хотя материал очень чувствителен к скорости деформации. На рис. 2.27, а видны заметная релаксация напряжений, особенно вблизи ударяемого конца, и отсутствие резкого фронта упругой волны, который получался по классическим одномерным теориям. Другой особенностью этого графика является то, что головной фронт волны напряжений распространяется со скоростью продольной волны
с0, в то время как фронт существенных напряжений распространяется со стержневой скоростью упругих волн се. На рис. 2.28 показаны напряжение и общая деформация на ударяемом конце и еще в двух точках вдоль бруса. За исключением резкого нарастания в течение очень короткого времени при х = 0, скорость деформации почти постоянна и медленно затухает. Оказывается, что для указанных на рисунке периодов времени равные уровни деформации распространяются не с одинаковыми скоростями, как это следует из НС-теории. Наблюдается также заметный пик напряжений на ударяемом конце, который согласуется с данными наблюдений из работы [15] и отмечался в работе [35]. Эти результаты показывают, что, изменяя форму уравнения состояния, можно моделировать многие характерные особенности, приписывавшиеся
Упругопластические волны напряжений 85
ранее либо НС-теории, либо ЗС-теории. Кроме того, они иллюстрируют применение машинной программы для решения задач о распространении простых волн конечно-разностным методом, исследование которых прежде осуществлялось методом характеристик для ограниченного класса моделей материала.
В гл. 5 рассмотрена другая модель среды, которая обнаруживает способность моделировать эксперименты как при постоянной, так и при переменной скорости деформации и представляет собой нелинейное соотношение наследственного типа между напряжением и деформацией [94]. Описан метод решения задач о распространении продольных волн. Может оказаться, что решения этого типа наряду с решениями, получаемыми конечно-разностными методами с использованием различных моделей материала, построенных для объяснения данных экспериментов при постоянной скорости деформации, внесут дополнительную ясность в понимание природы распространения пластических волн и динамического поведения материалов.
2.2. ВОЛНЫ ОДНООСНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
2.2.1. ВВЕДЕНИЕ
При определении динамических свойств материалов путем исследования распространения продольных волн в брусьях или стержнях возникает множество проблем, поэтому стали искать другие геометрические условия проведения исследований. Чаще всего исследуют плоские волны, используя плоские пластины, при соударении которых возникают одноосные деформации большой амплитуды [62]. При ударе плоской пластины, диаметр которой велик по сравнению с ее толщиной в направлении, перпендикулярном ее поверхности, можно получить плоскую волну. До прихода волн разгрузки с краев пластины центральная ее часть находится в стесненном состоянии одномерного или одноосного деформирования. Так как при такой геометрической конфигурации имеется одна компонента перемещения или деформации в направлении распространения волны, не нужно делать предположений, связанных с пренебрежением радиальной или боковой инерцией. Напряженное состояние тем не менее является трехмерным из-за ограничения боковой деформации, вследствие чего необходимо привлекать представления трехмерной пластичности, если напряжения превосходят предел упругости материала. При данной геометрической конфигурации измерения параметров в процессе распространения волны можно производить только на свободной поверхности. Таким образом, любое теоретическое исследование распространения волны должно также включать анализ волны разгрузки у свободной поверхности. Эта отраженная волна к тому же взаимодействует с частью волны за фронтом и изменяет ее, прежде чем она достигает свободной поверхности. Длина образца или расстояние, проходимое волной, ограничены по практическим соображе-
86
Глава 2
ниям из-за выбранной геометрической конфигурации и из-за необходимости исключить влияние волн разгрузки от краев образца и сохранить в центральной области одноосное деформированное состояние. При одноосном деформировании учет термодинамики становится все более важным при возрастании скорости удара. В конечном итоге в задаче присутствуют и гидростатическая, и девиаторная части тензоров напряжений и деформаций, а также большие упругие и пластические деформации.
Одноосная деформация, или конфигурация плоского удара, обычно используется для изучения распространения в материалах ударных волн большой амплитуды. Из-за ограниченности движения в поперечном направлении, напряжения или давления, способные вызвать большие пластические деформации, оказываются чрезвычайно высокими и часто превосходят предел текучести материала на несколько порядков. Здесь рассматриваются только некоторые основные представления, справедливые главным образом при низких уровнях напряжения, когда важны эффекты пластичности. Исчерпывающую критическую оценку состояния исследований поведения твердых тел при ударном сжатии, в том числе эффектов пластичности, можно найти в работе [40]. Критический обзор эффектов пластичности дан также в работе [84]. Теория пластического континуума применительно к задачам одноосного деформирования обсуждается в работах [29, 40]. Углубленное рассмотрение вязкоупругого поведения при распространении одноосной волны деформации дано в работах [49, 50, 53, 113].
Первый теоретический анализ упругопластических волн одноосной деформации в континууме был сделан Вудом в работе [114], в которой подчеркивалась важность учета гидростатической сжимаемости при изучении природы волны. Систематическое исследование распространения волн, в котором рассматривались упругие и пластические волны и формирование ударных волн, было выполнено в работе [83], где представлены уравнения состояния материала с линейной зависимостью напряжения от деформации при низких напряжениях, а в областях пластичности-нелинейной зависимостью, заданной выпуклой функцией. В этом исследовании, являвшимся дальнейшим развитием анализа Вуда [114], упругие константы могут изменяться при повышении давления.
2.2.2. ТЕОРИЯ
Уравнения движения и неразрывности в данном случае те же, что и в случае одноосных напряжений. Обозначив через qx, vx и 8Х компоненты напряжения, скорости частиц и деформации в направлении распространения волны, уравнения движения и неразрывности можно записать в виде
Ро (dvx /dt) = дох /дх, (2.69)
дгх/dt = dvx/дх, (2.70)
Упругопластические волны напряжений
87
где р0-начальная плотность, которую можно считать постоянной, если расширение мало. Если изменения плотности необходимо учитывать, в частности, при высоких давлениях, то закон сохранения массы требует выполнения соотношения
p(l-eJ = Po, (2.71)
где 8Х - техническая деформация сжатия. Для завершения формулировки задачи необходимо задать уравнение состояния, связывающее <зх и 8Х и описывающее поведение материала. Для удобства расчета обычно предполагается, что поведение материала не зависит от скорости деформации. Зависимость напряжения от деформации в виде <зх = (бх ) не может быть установлена непосредственно, ее следует определять из экспериментальных данных с привлечением представлений теории пластичности. Обозначая индексом у боковое направление и замечая, что для изотропного материала у может быть любым перпендикулярным к оси х направлением, получаем уравнение состояния, представив деформацию в виде аддитивных составляющих-упругой и пластической:
ех = е? + е?, еу = геу + гру, (2.72)
где верхними индексами е и р обозначены упругие и пластические компоненты. Разложение полной деформации на упругую и пластическую составляющие возможно, когда деформации малы. Волны конечной деформации, возникающие при высоких давлениях, здесь не рассматриваются. При анализе зависимости напряжения от деформации сделаны три основных предположения: 1) упругие деформации связаны с напряжениями законами упругости, 2) пластическое течение несжимаемо, 3) уравнение состояния не учитывает влияния скорости деформации. Из предположения 1 следует, что
ex = -^-[CTx-2vCTy],
е® = ^ [(1 - v) - vctx ]. (2.73)
£
Условие несжимаемости пластического течения означает
8f + 2ef = 0, (2.74)
в то время как из условия одноосности деформации, т. е. отсутствия бокового движения, следует соотношение
zey + 8f = 0. (2.75)
С учетом (2.73), (2.74) и (2.75) в предположении только упругого поведения среды получаем соотношение между напряжением и деформацией
88
Глава 2
при одноосном деформировании в области упругости
E(l-v) _/4G\
(1+v)(l-2v) \ 3
(2.76)
где К-модуль упругости при объемном сжатии, a G-модуль сдвига. При неупругом поведении к девиаторным компонентам напряжения применяется условие текучести. Предполагается, что при низких давлениях сохраняется соотношение упругости между гидростатическими компонентами напряжения и деформации. В предположении, что критерий текучести для девиатора напряжения при одноосной деформации тот же, что и при одноосном напряжении, получаем закон, связывающий напряжение и деформацию, в виде
ех-Ъу= У (8?), (2.77)
что эквивалентно условию текучести Мизеса-Генки, или критерию максимального напряжения сдвига в теории пластичности. Функция У (б£ ) представляет собой соотношение между напряжением и пластической деформацией, полученное в испытаниях на одноосное растяжение или сжатие в предположении изотропного упрочнения материала. Так как требуется прямое соотношение между напряжением и одноосной деформацией, возникающей при распространении волн, соответствующие этим условиям одноосные напряжения необходимо определять теоретически при адиабатических условиях.
Рассмотрим сначала простой случай идеального упругопластического поведения материала, когда У = const = Уо. До достижения предела текучести поведение материала упругое и описывается соотношением (2.76). Графически это соотношение представлено первым участком кривой 1 на рис. 2.29. Выше предела текучести выполняется критерий текучести (2.77). Объединяя (2.77) с приведенными выше соотношениями в условиях одноосной деформации, легко получить соотношение
пх = К8х + 2У0/3, (2.78)
которое справедливо только выше предела текучести. Графически это выражение также показано на рис. 2.29. Координаты предела текучести определяются путем совместного решения уравнений (2.76) и (2.78):
их = (K/2G + 2/3) Уо, ех = У0 /2G. (2.79)
Это напряжение называется пределом упругости Гюгонио. Заметим, что приведенные выше соотношения получены в предположении упругого поведения для гидростатических компонент и идеального упругопластического поведения для девиаторных компонент. Гидростатическая зависимость представлена кривой 2 на рис. 2.29 в предположении постоянства модуля объемного сжатия К. Видно, что кривые 1 и 2 параллельны и отстоят друг от друга на величину 2УО/3. На рис. 2.29 показана также кривая деформирования при одноосном напряжении в этих условиях (3).
Упругопластические волны напряжений
89
Рис. 2.29. Соотношение между напряжением и деформацией для идеального упругопластического материала.
/-одноосное деформирование, 2-гидростатическая кривая, 3-упругое одноосное напряженное состояние, 4 - пластическое одноосное напряженное состояние
Уравнения движения, неразрывности и соотношение между напряжением и деформацией могут быть преобразованы в уравнение
д2и 1 дъх d2u
dt2 р0 дгх дх2 '
(2.80)
которое формально эквивалентно волновому уравнению Кармана [60] в НС-теории распространения пластических волн в длинных тонких стержнях (2.17) и (2.18). Как и в том случае, скорость распространения приращения деформации есть
/ 1 с = —
\Ро
д<зх \1/2 tex )
(2.81)
Таким образом, в предположении о чисто упругом поведении для гидростатической и девиаторной компонент напряжения в материале существует единственная упругая волна, скорость распространения которой при одноосной деформации определяется формулой
се =
(K + 4G/3)T/2
(2.82)
Р
В предположении об упругом поведении для гидростатической компоненты и идеальном упругопластическом поведении для девиаторной
90
Глава 2
компоненты в материале также существует пластическая волна, движущаяся со скоростью
ср = (К/р)112. (2.83)
Эта двухволновая структура обусловлена билинейной зависимостью напряжения от деформации (рис. 2.29) и эквивалентна волновой структуре в задаче о волнах в материале с билинейной зависимостью q (б) при одноосном напряжении, впервые решенной Доннелом [42] (рис. 2.1).
Модуль, от которого зависят скорости пластической волны в (2.83), меньше модуля для упругих волн в (2.82) из-за сдвигового пластического течения. При низких напряжениях модуль объемного сжатия К можно считать постоянным. С ростом напряжений модуль объемного сжатия увеличивается, кривая зависимости напряжения от деформации становится выпуклой. Как и в случае одноосного напряжения [112], скорости распространения более высоких амплитуд напряжения превосходят скорости распространения более низких, и в конечном итоге высокие амплитуды догоняют низкие, что приводит к формированию пластических ударных волн. При достаточно высоких давлениях пластические ударные волны могут догнать упругий предвестник и образовать единую ударную волну.
Как и в случае одноосного напряжения, задача о распространении волн одноосной деформации еще более усложняется при возникновении разгрузки. Однако в случае одноосной деформации даже без изменения знака приложенной нагрузки возможны повторные пластические деформации (при разгрузке) с образованием в результате упругих и пластических волн разгрузки. В работе [114] приведен расчет кривой <ух(ех) одноосного деформирования по данным простых испытаний на растяжение и сжатие с учетом разгрузки. Кривая при одноосном напряжении задана в общем виде
п= У(8Р) (2.84)
на основании действительных данных для алюминиевого сплава 24S-T (рис. 2.30). Параметры упругости приняты постоянными и при умеренном значении гидростатической компоненты напряжения, что эквивалентно предположению о линейноупругом поведении для гидростатической компоненты. На рис. 2.31 показана расчетная кривая одноосного деформирования, на котором точки 0, е, 2, 3, 4, 5 соответствуют точкам 0, е', 2', 3', 4', 5' на рис. 2.30. До точки 2' не происходит разгрузки и справедливы полученные уравнения: между точками 0 и е' выполняется соотношение упругости, между точками е' и 2'-условие текучести (2.77). Точка е' была определена как предел упругости. Выше предела упругости уравнения можно преобразовать к виду
стх = Кех + 2/3У(£?),
(2.85)
Упругопластические волны напряжений
91
Рис. 2.30. Соотношение между напряжением и деформацией для сплава алюминия 24S-T при простом сжатии и растяжении [114].
Рис. 2.31. Соотношение между напряжением и деформацией для сплава алюминия 24S-T при одноосном деформировании [114].
откуда следует, что кривая одноосного деформирования расположена выше гидростатической кривой на величину, равную двум третям напряжения при одноосном напряженном состоянии для соответствующего значения пластической деформации. Напряжение, следовательно, включает гидростатическую компоненту, а также вклад сопротивления сдвига материала. При высоких гидростатических напряжениях сопротивление сдвига становится пренебрежимо малым. К тому же объемный модуль у металлов обычно является возрастающей функцией давления, что проявляется в том, что гидростатическая кривая, а следовательно, и кривая одноосного деформирования становятся выпуклыми.
Кривая одноосного деформирования часто может быть приближенно представлена двумя прямыми линиями с наклонами К + 4G/3 и К, пересекающимися в точке, которая соответствует пределу упругости Гюгонио и обозначена на рис. 2.31 цифрой 1. В работе [8], однако, указывается, что при проведении экспериментов в условиях относительно малых пластических деформаций особенности перехода из упругой области в пластическую становятся важными, так как отклонение от билинейного приближения может составлять ощутимую часть всего напряжения. Для этого частного примера рассчитанная скорость волны приращений деформаций в пластической области 1-2 менее чем на 1% превосходит рассчитанную по гидростатической кривой и примерно на 18% ниже скорости упругой волны. С другой стороны, при одноосном
92
Глава 2
Рис. 2.32. Профиль волны напряжения для идеального упругопластического материала в условиях одноосного деформирования.
напряженном состоянии в длинных брусьях скорости пластических волн обычно на порядок ниже величины стержневой скорости упругих волн.
В точке 2' на рис. 2.30 начинается разгрузка. Она предполагается упругой вплоть до точки 4'. Линия 2'^4' принята параллельной линии 0-е'. С помощью соотношений упругости в дифференциальной форме задается кривая 2-4 на рис. 2.31. Вдоль этой траектории разгрузки напряженное состояние приближается к гидростатическому, и можно показать, что точка 3 эквивалентна точке 3' на рис. 2.30. Таким образом, гидростатическое напряженное состояние 3 не зависит от пути нагружения. Будь то путь 0-е-/-2-3 или прямой путь гидростатического нагружения, в обоих случаях справедливо соотношение = Кех. По достижении точки 4 вновь начинается пластическое течение, и опять налагается условие пластичности, с помощью которого строится участок 4-5 на рис. 2.31. Таким образом, показано, что разгрузка может вызвать повторное пластическое течение, до того как напряжение <зх упадет до нуля. Для идеального упругопластического материала на рис. 2.32 с использованием обозначений рис. 2.31 показан профиль волны напряжений при ударе короткой продолжительности. Заметим, что фронты упругой и пластической ударных волн перемещаются со скоростями упругой и пластической волн, определяемыми соответственно формулами (2.82) и (2.83). Кроме того, имеются упругая и пластическая волны разгрузки, каждая из которых перемещается со своей характеристической скоростью (рис. 2.32). Эти результаты получены для НС-модели среды. Существование упругой и пластической волн разгрузки при одноосной деформации отличает ее от одноосного напряжения, при котором обычно существует только упругая волна разгрузки.
Условие текучести (2.77), выраженное через пластическую деформацию, может быть также выражено через работу пластической деформации. Фоулс в 1961 г. подробно изучил мотивы включения работы упрочнения в условие текучести в виде
ox-oy=Y(Wp\
(2.86)
Упругопластические волны напряжений
93
откуда следует соотношение
ox = om^2/3Y(Wp)9 (2.87)
показывающее, что при одинаковой деформации в пластической области напряжение превосходит соответствующее гидростатическое давление или среднее напряжение <зт на величину 2У/3. Различие между кривой одноосного деформирования и гидростатической кривой зависит только от предела текучести как функции деформации, который может быть получен из данных экспериментов в условиях одноосного напряжения при соответствующих деформациях, выбираемых по равенству работы пластической деформации.
2.2.3. СРАВНЕНИЕ С ДАННЫМИ ПРИ ОДНООСНОМ НАПРЯЖЕНИИ
Фоулс (1961 г.) получил один из первых экспериментальных результатов, подтверждающих общие предсказания упругопластической модели для упрочненного и отожженного алюминия 2024, и не обнаружил значительного влияния скорости деформации. Позже Баркер [8] провел экспериментальные исследования, целью которых было измерение динамической связи между напряжением и деформацией в алюминии при одноосном деформировании при соударении пластин. Оба автора сопоставили свои результаты с предсказанными на основании данных при одноосном напряжении. При этом было сделано предположение о независимости связи между напряжением и деформацией от скорости деформации и использована методика, описанная в разделе 2.2.2, в соответствии с которой условие текучести является функцией работы пластической деформации, как это было предложено в работе [83]. Для достижения высокой степени точности при построении кривой одноосной деформации по данным, полученным при одноосном напряжении, Фоулс и Баркер использовали величины упругих констант, полученные по результатам ультразвуковых измерений, и расчетным путем определяли отклонения от упругих деформаций, а не полные значения, как показано на рис. 2.33. С использованием выражений, выведенных Фоулсом,
= (2.88)
th = 3/2£s-Ys/6K, (2.89)
где смысл символов ясен из рис. 2.33, а Р-гидростатическая компонента напряжения пластического течения, была построена точная кривая одноосной деформации. Использовалось также выведенное авторами соотношение между отклонениями деформаций
_3/(F-K)\
&hp — ~ I ~ ) &sp, (2.90)
2 у F )
где F и К-наклоны кривых 1 и 3 на рис. 2.33, которые соответствуют
94
Глава 2
Рис. 2.33. Пояснение расчета кривой одноосного деформирования по кривой одноосного напряженного состояния [8].
2-одноосное деформирование, 3 - гидростатическая кривая, 4 -одноосное напряженное состояние
наклонам упругого участка кривой одноосного деформирования и гидростатической кривой (рис. 2.29). Как показано на рис. 2.33, —отклонение кривой одноосного деформирования от прямой с наклоном F, а 8$р-соответствующее отклонение кривой в случае одноосного напряжения от прямой с наклоном Е (модуль Юнга), которое также соответствует полной продольной пластической деформации. Построенная таким образом кривая одноосного деформирования показана на рис. 2.34 вместе с кривыми, полученными в различных экспериментах по соударению пластин. Видно, что все экспериментальные кривые лежат выше кривой, полученной по данным квазистатических испытаний образцов из алюминия 6061-Тб в условиях одноосного напряжения. Наличие хвостов у каждой экспериментальной кривой было связано с падением скорости деформации в конце каждого испытания, в то время как положение построенной статической кривой свидетельствует о влиянии скорости деформации. Согласно гипотезе комбинированного эффекта, для каждой скорости деформации существует своя зависимость напряжения от деформации. Для проверки этой гипотезы были проведены эксперименты по распространению волн приращений напряжений, подобные описанным в работе [106] и предпринятым, чтобы продемонстрировать влияние скорости деформации на распространение волн в длинных стержнях. В данном случае материал подвергали предварительному напряжению до состояния пластичности волной малой амплитуды и затем примерно через 2 мкс по нему пропускали волну большей амплитуды. Как и в случае экспериментов при одноосном напряжении, наблюдалось распространение малого упругого предвестника со скоростью, примерно равной скорости упругой волны. Эти данные интерпретировались как проявление влияния скорости деформации
Упругопластические волны напряжений
95
в алюминии при ударном нагружении. Определялась также зависимость напряжения от деформации при разгрузке и опять обнаруживались отклонения от расчетов по упругопластической НС-теории, что было приписано влиянию скорости деформации и эффекту Баушингера. В ранее проведенном исследовании Лундергана и Германа по соударению пластин предполагалось наличие влияния скорости деформации на поведение алюминия, но это не было надежно подтверждено.
Некоторые исследования проводились с использованием уравнения состояния, учитывающего влияние скорости деформации. В работе [58] по данным, полученным при одноосном напряжении в широком диапазоне скоростей нагрузки, вычислялись волновые профили при одноосном деформировании алюминия 1060-0. При использовании модели, в которой предполагается возрастание чувствительности к скорости деформации с ее увеличением, было обнаружено хорошее соответствие экспериментальных и теоретических профилей при относительно низких уровнях давления. В работе [23] рассчитывались профили волны одноосной деформации по данным испытаний при одноосном напряжении для алюминия 6061-Тб с линейной зависимостью напряжения от логарифма скорости деформации при скоростях деформации ниже 103 с-1 и линейной зависимостью от скорости деформации при более высоких ее значениях. При использовании этой зависимости было обнаружено хорошее соответствие с результатами экспериментов по соударению пластин, в которых использовались мишени различной толщины. Было замечено, что влияние скорости деформации при одноосном деформировании сказывается на скорости распространения приращений напря-
Рис. 2.34. Экспериментальные динамические кривые деформирования и кривая одноосного деформирования, построенная по квазистатической кривой одноосного напряженного состояния (/) [8].
/-кривая одноосного деформирования, построенная по данным квазистатических испытаний, 2-гидростатическая кривая
96
Глава 2
жений, которая становится непостоянной в отличие от рассчитанной по НС-теории и, следовательно, изменяет природу фронта пластической волны, не меняя значительно величины пиковых напряжений. Расчетным путем установлено [23] также, что в отличие от результатов НС-теории после прохождения фронта волны и достижения почти постоянного напряжения скорость пластической деформации далеко не нулевая и остается на умеренном уровне в течение значительного времени. Постоянное напряжение является следствием компенсирующего действия его уменьшения вследствие убывания скорости деформации и увеличения вследствие упрочнения.
2.2.4. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
В работе [50] дан обзор методов определения функций, характеризующих реакцию материалов в экспериментах по соударению пластин, и результатов интерпретации экспериментальных данных. Обсуждаются методы определения характеристик, учитывающих влияние скорости деформации и упрочнения. Однако большое число переменных, влияющих на эксперименты по соударению пластин, существенно затрудняет определение физики динамического поведения материала с помощью непрямого метода анализа распространения волны. Как было отмечено выше, связь напряжения с деформацией при одноосном деформировании (особенно при высоких давлениях) в значительной степени определяется гидростатическим поведением материала. В экспериментах более высокие скорости деформации обычно достигаются при более высоких давлениях, так что влияние скорости деформации, хотя и большее при больших скоростях деформации, менее значительно в целом. Кроме того, скорость пластической волны определяется наклоном графика зависимости напряжения от деформации, которая малочувствительна к упрочнению или влиянию скорости деформации из-за большого вклада в напряжение давления, которое не зависит от скорости деформации вследствие отсутствия напряжений сдвига. Заметим также, что скорость деформации в экспериментах по распространению волн является изменяющейся функцией, зависящей не только от условий эксперимента, таких, как плоскопараллельность удара, но и от реакции самого материала в процессе распространения волны. Из-за математической сложности задачи основное внимание при изучении распространения упругопластических волн было уделено НС-теории, аналогичной теории, широко используемой при изучении волн одноосного напряжения в длинных стержнях. Использование НС-теории с единой динамической зависимостью напряжения от деформации является эффективным средством для последующего учета скорости деформации в математическом анализе как в случае одноосного напряжения, так и в случае одноосной деформации. Учет влияния скорости деформации в случае одноосного напряжения порождает множество проблем с точки зрения интерпретации экспериментальных данных, не меньше трудностей возникает и в случае одноосной деформации.
Упругопластические волны напряжений
97
Для выявления влияния прочности и скорости деформации при одноосном деформировании было использовано несколько подходов. Одним из аспектов взаимодействия волн, который особенно чувствителен к влиянию предела текучести, является затухание ударной волны под действием разгрузочных напряжений, следующих за ней. Влияние предела текучести в данной ситуации при умеренной разгрузке за ударной волной изучалось Ли и Лиу [74]. Упругопластическое решение сравнивалось с гидродинамическим и жесткопластическим решениями. Характеристики затухания в гидродинамическом решении, не учитывающем влияния предела текучести, ощутимо отличались от характеристик затухания в упругопластическом решении, в то время как жесткопластическое решение оказалось плохим приближением из-за заметного влияния упругого восстановления при сдвиге на характеристики разгрузки.
Другой аспект распространения волн одноосной деформации, который весьма информативен в отношении влияния скорости деформации, связан с наблюдением амплитуды упругого предвестника при низких уровнях напряжений, когда существуют фронты как упругой, так и пластической ударных волн (рис. 2.32). Амплитуда упругого предвестника непосредственно связана с динамическим пределом текучести материала, обычно известным как предел упругости Гюгонио. Если этот предел уменьшается по мере распространения волны по материалу, т. е. с увеличением пройденного расстояния уменьшается амплитуда упругого предвестника Ое на рис. 2.32, то это означает некоторую форму релаксации напряжения или влияния скорости деформации. В экспериментах для множества поликристаллических материалов наблюдалось уменьшение пиковой амплитуды упругого предвестника с увеличением пройденного пути. Это явление и его связь с динамикой дислокаций рассматривались в работах [30, 59]. В работе [43] показано, как затухание упругого предвестника соотнесено с механизмом релаксации материала. Уравнения, использованные в этой работе, формально эквивалентны уравнениям Малверна [81] для случая одноосных напряжений. Различаются они только физическими константами. Релаксация волн напряжений изучалась также в работе [108] с точки зрения динамики дислокаций.
Тем не менее, когда пытаются выявить влияние скорости деформации, не всегда возможна непосредственная интерпретация экспериментальных данных. Влияние скорости деформации может привести к тому, что часть пластической волны будет распространяться почти со скоростью упругой волны, затрудняя правильное определение предела упругости при изучении затухания предвестника. Дополнительные трудности в интерпретации экспериментальных данных связаны с плавностью кривой зависимости напряжения от деформации, поскольку переход из области упругости в область пластичности у реальных материалов происходит постепенно. Наконец, высокие скорости пластической деформации наблюдаются только в окрестности поверхности удара, особенно для ЗС-материалов, и могут очень быстро затухать при
98
Глава 2
распространении волны на малые расстояния. Действительные условия на поверхности удара, во многом зависящие от плоскопараллельное™ удара, играют важную роль в определении поведения материала и могут затенить влияние скорости деформации [23]. Хотя изучение затухания упругого предвестника является полезным методом определения влияния скорости деформации на поведение металлов, в случае слабого влияния получение имеющих смысл экспериментальных данных может быть связано с известными трудностями из-за малости требуемых толщин образца.
В случае разделения в эксперименте по соударению пластин фронта ударной волны на упругую и пластическую компоненты, когда фронт упругой волны имеет более высокую скорость, информация о влиянии скорости деформации может быть также получена при изучении фронта пластической волны, после того как она, пройдя короткое расстояние, разовьется в устойчиво распространяющуюся волну. В работе [57] изучались профили устойчивых пластических волн в алюминии 6061-Тб. Эти профили были получены в результате взаимоисключающих влияний нелинейности поведения материала, следствием которого является образование ударной волны и зависимости от скорости деформации свойств материала, способствующих размазыванию фронта пластической волны. Этот метод предоставляет нам еще один подход к изучению чувствительности металлов к скорости деформации. Для полного понимания явления распространения волны одноосной деформации, а также выяснения роли скорости деформации в поведении материала требуется привлечение самых различных экспериментальных методов.
2.3. ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ В ДРУГИХ ТЕЛАХ
2.3.1. ВОЛНЫ В СТРУНАХ И ПРОВОЛОКАХ
Проблемы, связанные с боковой инерцией и трехмерными эффектами в продольных волнах в стержнях, можно частично преодолеть, если использовать проволоки малого диаметра, в которых влияние этих эффектов ослаблено. Однако предельно высоких скоростей деформации при этом достичь не удается, поскольку возрастание скорости удара приводит к мгновенному разрушению от удара при растяжении или выпучиванию при сжатии. Поэтому нет особого выигрыша по сравнению с экспериментами с брусьями и стержнями. Другой подход состоит в том, чтобы нанести по проволоке поперечный удар и наблюдать распространение поперечных волн. Подробное обсуждение механики волн в растяжимых струнах дано в работе [35]. Впервые задача о растяжимой струне, по которой наносится поперечный удар с постоянной скоростью, была решена Рахматулиным [96]. В этом исследовании предполагалось, что поведение материала не зависит от скорости деформации или по крайней мере может быть описано единой зависимостью между напряжением и деформацией.
Рассмотрим элемент проволоки на х-у плоскости, образующий
Упругопластические волны напряжений
99
Рис. 2.35. Элемент проволоки.
с осью х угол ф (рис. 2.35), и пусть и и v- перемещения частицы в направлениях хну соответственно. Уравнения движения проволоки под действием осевого напряжения о имеют вид
д2г д .
р-т^- = -у-(о sin ф), дг дх
(2.91)
32и д , р7?‘=г7(<’“5*’-
(2.92)
где р-массовая плотность в начальном недеформированном состоянии. Пусть X-относительное удлинение, или отношение текущей длины к начальной. Из геометрических соображений, как легко показать, имеем ди/дх = Х cos — 1, (2.93)
dv/dx = X sin ф. (2.94)
При решении задачи удобно ввести скорости частиц и v2 вдоль и поперек проволоки соответственно. Тогда уравнения движения можно записать в виде
dv< дф 1 до v-> = 0, dt dt р дх (2.95)
dv2 d^f о dty —L _|_ v _ = o, dt ' dt p dx (2.96)
dv< дф dX v, = 0, dx 2 dx dt (2.97)
dv2 дф дф dx dx dt (2.98)
Эти четыре уравнения содержат пять искомых функций vt, г2, Ф, а> и их производные по х и по t. Можно исключить одну переменную, если ввести уравнение состояния
о = о (X)
(2.99)
100
Г шва 2
с ограничениями
do/dX^O, б/2о/б/Х2^0 при Х>1.
(2.100)
Эти ограничения эквивалентны предположению об НС-материале с вогнутой кривой зависимости напряжения от деформации, что предотвращает формирование ударных волн. Решается задача о поперечном ударе в точке х = 0, наносимом по бесконечной проволоке, в результате чего эта точка приобретает постоянную поперечную скорость v0 в направлении у. Впервые эта задача была решена Рахматулиным [96], задавшим для получения решения форму деформированной проволоки. Его подход аналогичен подходу Кармана [60] в задаче об осевом ударе с постоянной скоростью по длинному брусу из НС-материала (разд. 2.1.1). Прямое решение можно также получить методом характеристик. Вдоль кривой dx/dt = т получаем решения типа простых волн. Характеристические направления задаются формулами
1 Jo"]1/2
т = + с = ±
р d\
(2.101а)
( g \1/2 т=±с=± —) . (2.1016)
\ рХ )
Вследствие симметрии достаточно рассмотреть только решения для
dx/dt = + с, + с.
Вдоль dx/dt = с v 1 = — j cdX, v2 = const, ф = const. (2.102)
Вдоль dx/dt = c X = const, г»! = азтф + P cos ф — Xc, v2 = асозф — Рзтф, (2.103)
где а и р-произвольные константы. Отметим, что продольные волны распространяются со своими характеристическими скоростями с, но есть только одна скорость поперечных волн с. Решение для различных областей, показанное на рис. 2.36, приведено ниже:
Область 1 г1 = v2 = ф = 0, X = Хо. (2.104а)
Область 2 = v2 = ф = 0, X = Х2. (2.1046)
Область 3 vt = -fecdX, tg ф =---v^= - 2)^^ - vj.
f + К2с
(2.104в)
Заметим, что если известны Хо, v0 и о = о(Х), также с и с из (2.101), то можно построить решение. С другой стороны, экспериментальные
Упругопластические волны напряжений
101
Рис. 2.36. Схема решения в различных областях задачи о поперечном ударе по проволоке.
данные можно использовать для построения кривой о = о (X) по результатам измерений \|/ и с при различных предварительных напряжениях. Одно из первых экспериментальных исследований по этому методу с целью изучения распространения пластических волн в металлах было проведено с проволочными образцами из алюминия и меди при нескольких уровнях предварительной статической деформации [103]. Хотя и было получено некоторое соответствие расчетам по НС-теории для одного алюминиевого образца, поведение двух других алюминиевых образцов и медного образца отличалось от предсказываемого НС-тео-рией при высоких уровнях деформации, что позволило сделать заключение о необходимости исследовать уравнение состояния, учитывающее зависимость от скорости деформации. Как и в большинстве экспериментов с предварительно напряженными брусьями и стержнями, опять было отмечено, что малые приращения деформации распространяются из состояния предварительной статической деформации со скоростью упругих волн. Оказалось, что исследование распространения поперечных волн в струнах не имеет никаких преимуществ по сравнению с исследованием распространения в них продольных волн, поскольку не удается достичь более высоких скоростей деформации.
2.3.2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В БАЛКАХ
Под действием высокоскоростных ударов по сооружениям в них также могут распространяться неупругие волны. Хотя это и важная теоретическая задача, она не представляется удобным средством для вывода уравнений состояния материала, поэтому данный случай подробно изучаться здесь не будет. Тем не менее процесс распространения волн в этом случае обладает некоторыми свойствами, сходными с особенностями распространения волн в стержнях и струнах.
В одном из самых ранних исследований поперечного удара по балкам [45] свободному концу длинной балки ударом сообщалась постоянная поперечная скорость. Связь между моментом и кривизной выбиралась на основе статической кривой деформирования материала.
102
Глава 2
Деформация в балке распространялась с непостоянной скоростью. В работе [75] при изучении больших пластических деформаций балки под действием поперечного удара были введены понятия жесткопластического поведения материала и пластического шарнира для балки при ударной нагрузке. В работе [89] при решении динамической задачи о консольной балке, по свободному концу которой производится удар, применялась теория идеального жесткопластического тела и было достигнуто удовлетворительное соответствие с экспериментом по величине остаточной деформации в точках на некотором удалении от конца. Эта работа была обобщена на случай материала, чувствительного к скорости деформации, в результате получено хорошее соответствие с экспериментом [109]. Чтобы оценить достоинства предположений о жесткопластическом поведении, выполнялись эксперименты, в которых наносился удар по балкам из мягкой стали и алюминия [22]. Было обнаружено отличное соответствие между экспериментом и учитывающей влияние скорости деформации теорией жесткопластического тела.
При высоких скоростях деформации в теории балки могут стать важными инерция вращения и поперечная сдвиговая деформация, а также влияние скорости деформации на свойства материала. В работе [92], в которой использовалось уравнение состояния Малверна [80, 81], представлен численный расчет распространения волны в задаче такого типа. Уравнения движения выведены путем применения законов сохранения момента импульса и импульса к элементу балки длиной dx:
дМ/дх - Q = р/ (dco/dt), (2.105)
dQ/dx = рА (dv/dt), (2.106)
где М и Q- изгибающий момент и перерезывающая сила соответственно, р-массовая плотность, Л-площадь поперечного сечения, /-момент инерции, со-угловая скорость, и-поперечная скорость в направлении у. Обозначив кривизну через к, а деформацию сдвига через у, уравнения неразрывности запишем в виде
dk/dt = ды/дх, (2.107)
dy/dt = dv/dx 4- cd. (2.108)
При квазистатическом нагружении или в случае НС-материала уравнения состояния имеют вид
Ms = E/fc, (2.109)
2s = GAy, (2.110)
где индекс s обозначает статическое или не зависящее от скорости деформации состояния, Е и G-модуль Юнга и модуль сдвига соответственно, As- эффективная площадь поперечного сечения, включающая условную поправку на сдвиг.
Упругопластические волны напряжений
103
Уравнения состояния для ЗС-материала принимают вид
El (dk/dt) = dM/dt + КС(М - Ms), (2.111)
GAS (dy/dt) = dQ/dt +KS(Q- Qs), (2.112)
где Kc и Ks- константы. По виду эти уравнения аналогичны уравнению Малверна [80] для одноосного напряженного состояния с линейной функцией перенапряжения (2.48). Скорости деформации разделяются на упругую и пластическую составляющие. Здесь упругими компонентами являются производные по времени от сил, а пластические компоненты пропорциональны разностям между мгновенными силами и силами, которые получились бы в статических условиях. Систему квазилинейных дифференциальных уравнений можно решать методом характеристик. Характеристические направления определяются соотношениями
dx/dt = 0 (двойная характеристика), ± ст, ± cq, (2.113)
где величины
ст = (Е/р)1/2, (2.114)
с. = (СЛ/РЛ)1/2 (2.115)
суть соответственно продольная и сдвиговая скорости волны в балке. Проведены теоретические и экспериментальные исследования поперечного удара по концу длинной балки из алюминия высокой чистоты с использованием изложенной выше теории, которая учитывает инерцию вращения и силы сдвига, а также скорость деформации в форме Малверна. Параметры материала получены отдельно из испытаний на сжатие и кручение. Обнаружено, что, хотя влияние перерезывающей силы меньше влияния скорости деформации, пренебрегать этой силой нельзя. Оказалось, что результаты ЗС-теории лучше согласуются с экспериментом, чем НС-теории.
2.3.3. ВОЛНЫ ДВУХОСНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
По динамической пластичности материалов, нагружаемых с высокой скоростью в условиях двухосной деформации, выполнено мало работ. Еще меньше работ посвящено изучению распространения упругопластических волн сложных напряжений, за исключением простого случая одноосной деформации, когда отличны от нуля поперечные напряжения, а не деформации. В одном из самых ранних исследований волн двухосных напряжений изучалась динамическая зависимость напряжения от деформации в алюминии и мягкой стали путем рассмотрения задачи о расширении тонких сферических диафрагм под действием внезапно приложенного давления [47]. Сферические и цилиндрические волны в этой главе рассматриваться не будут, поскольку их использование при
104
Глава 2
изучении динамического поведения материала минимально из-за экспериментальных трудностей и математической сложности. Математические идеи в этих случаях аналогичны используемым при изучении волн одноосной деформации. Более подробное рассмотрение этих вопросов можно найти в работах [33, 88].
В работах [76, 77] изучалось распространение волн сложных напряжений, в том числе распространение пластических волн, вызываемых продольным ударом по предварительно статически закрученным трубам. Эксперименты выполнялись с образцами из отожженного алюминиевого сплава 3003-Н14. Измерялись временные профили как продольной, так и сдвиговой деформации в сечениях вдоль образца. Теоретический анализ проводился в предположении независимости поведения изотропного упрочняющегося упругопластического материала от скорости деформации.
Полного соответствия между теорией и экспериментом не получилось, так как области однородного состояния, предсказываемые НС-теорией, не наблюдались. Кроме того, остаточная деформация сдвига была намного меньше предсказанной, а величина скачка скорости деформации в волне разгрузки не соответствовала расчетам. Эти наблюдения позволили сделать вывод о том, что предположение об НС-мате-риале не соответствует действительности и что ЗС-теория с экспоненциальной функцией перенапряжения в обобщенном законе Пежины [91] могла бы качественно объяснить результаты. Случай кинематического упрочнения [76, 77] был обобщен на комбинацию изотропного и кинематического упрочнения [48], и было показано, что закон упрочнения может сильно влиять на результаты при распространении двухосных пластических волн. Позже эти экспериментальные результаты были проанализированы с помощью ЗС-теории с кусочно-линейным уравнением для скорости пластической деформации при соответствующем выборе параметров [6]. Результаты ЗС-теории в целом лучше соответствовали экспериментальным данным о скоростях волн даже для относительно слабочувствительных к скорости деформации материалов, хотя ни НС-теория, ни ЗС-теория не обеспечивали хорошего соответствия с экспериментальными временными профилями деформации. Расчеты также продемонстрировали математические трудности в воспроизведении относительно слабо зависящего от скорости деформации поведения материала с помощью ЗС-теории. Более общая задача динамического нагружения растяжением и кручением была теоретически решена в работе [37] для нескольких видов уравнений состояния, учитывающих влияние скорости деформации. Обсуждалось объединение понятия пластических волн с понятиями нагружения и разгрузки. Обобщение одномерных уравнений состояния для пластических ЗС-материалов на случай произвольного напряженного состояния сделано в работе [911
В то время как влияние скорости деформации с некоторой степенью определенности может быть изучено в экспериментах по распространению волн одноосного напряжения, эксперименты при одноосном дефор
Упругопластические волны напряжений
105
мировании или плоском соударении дают относительно мало информации о пластичности или влиянии скорости деформации, поскольку напряженное состояние определяется главным образом гидростатическим напряжением. В работе [1] разработан экспериментальный метод генерирования плоских волн давления и сдвига одновременно при соударении двух пластин, расположенных под углом друг к другу. Этот метод, позволяющий объединить воздействия сжатия и сдвига, дает возможность исследовать различные траектории напряжения для определения характеристики течения материалов. Анализ результатов опыта относительно прост. В работах [2, 3] выполнялись эксперименты по косому удару алюминия по алюминию и алюминия по мишеням из плавленого кварца. Экспериментальные данные сравнивались затем с численным решением. Результаты показывают преимущество этого метода перед обычными экспериментами по соударению пластин при определении уравнений состояния, которое состоит в том, что профили продольных волн менее чувствительны к динамическим характеристикам течения, чем профили поперечных волн, из-за сильного влияния гидростатического давления на профиль продольной волны. В работе [66] с помощью крайне сложного устройства для интерферометрического измерения нормальной и поперечной составляющих скорости эксперименты такого рода были выполнены над образцами из алюминия 6061-Тб. Согласно полученным результатам, экспериментальные временные профили поперечной скорости, следующие за упругим предвестником, сначала нарастают медленнее, чем расчетные (рис. 2.37). Это было приписано главным образом неучету зависимости от траектории напряжений в соотношениях пластического течения. В обзорной статье [30], озаглавленной «Подтверждена ли экспериментально теория пластической волны?», автор поднимает вопрос о способности существующих теорий предсказать результаты экспериментов с пластическими
°>05 Ко.ОЬ
$0,03 3
5
| 0,01
J-----1----1----1----1_____I____I____I____I
1,0 7,7 7,2 1,3 7,4 7,5 1,6 7,7 !,8
Время после удара, мкс
Рис. 2.37. Профиль поперечной скорости на задней поверхности пластины [66].
----- теория,
эксперимент, / -выстрел №6, 2-выстрел №7
106
Глава 2
волнами. Ссылаясь на несостоятельность существующих теорий в предсказании затухания упругого предвестника в экспериментах при одноосном деформировании в монокристаллах и на отсутствие согласия между теорией и экспериментом по давлению и сдвигу [66], автор заключает, что между теорией и экспериментом все еще существуют серьезные расхождения и что необходимо дальнейшее развитие теории упругопластических волн и осмысление механизмов динамического пластического деформирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Abou-Sayed A. S., Clifton R.J., Hermann L., Exp. Meeh., 16, 127 (1976).
2. Abou-Sayed A. S., Clifton R. J., J. Appl. Meeh., Trans. AS ME, 44, 79 (1977).
3. Abou-Sayed A. S., Clifton R. J, J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 44, 85 (1977). 4. Alter B.E.K., Curtis C.W., J. Appl. Phys., 27, 1097 (1956).
5. Baker W.E, Yew C.H, J. Appl. Meeh., Trans., ASME, 33, 917 (1966). [Имеется перевод: Бейкер Ю. Влияние скорости деформации на распространение пластических волн при кручении-Труды амер, о-ва инж.-мех.; сер. Е: Прикладная механика, 1966, № 4, с. 91.]
6. Banerjee А. К., Malvern L. Е, J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 41, 615 (1974).
7. Banerjee A. К., Malvern L.E., Int. J. Solids Struct., 11, 347 (1975).
8. Barker L.M., Lundergan C. D, Herrmann W, J. Appl. Phys., 35, 1203 (1964).
9. Bell J. F., Tech. Rpt No. 5, US Navy Contract N6-ONR-243, Johns Hopkins University, 1951.
10. Bell J. F., J. Appl. Phys., 27, 1109 (1956).
11. Bell J. F, J. Appl. Phys., 30, 196 (1959).
12. Bell J. F., J. Appl. Phys., 31, 277 (1960).
13. Bell J. F., J. Appl. Phys., 31, 2188 (1960).
14. Bell J. F., in Behavior of Materials Under Dynamic Loading, N.J. Huffington, Jr. (Ed.), ASME, N.Y., 1965, p. 19.
15. Bell J. F., The Physics of Large Deformation of Crystalline Solids, Springer-Verlag, N.Y, 1968.
16. Bell J. F, Stein A, J. Мес., 1, 395 (1962).
17. Bianchi G, in Stress Waves in Anelastic Solids, H. Kolsky, W. Prager (Eds.), Springer-Verlag, Berlin, 1964, p. 101.
18. BodnerS. R, 1980 (частное сообщение).
19. Bodner S. R, Clifton R.J, J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 34, 91 (1967). [Имеется перевод: Боднер, Клифтон. Экспериментальное исследование распространения упругопластического импульса в алюминиевых стержнях.-Труды амер, о-ва инж.-мех, сер. Е: Прикладная механика, 1967, № 3, с. 15.]
20. Bodner S. R, Partom Y, in Mechanical Properties at High Rates of Strain, J. Harding (Ed.), Institute of Physics, London, 1974, p. 102.
21. Bodner S.R, Partom Y, J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 42, 385 (1975).
22. BodnerS.R, Symonds P.S, J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 29, 719 (1962).
[Имеется перевод: Боднер, Саймондс. Экспериментальное и теоретическое исследование пластического деформирования консольных балок при импульсном нагружении-Труды амер, о-ва инж.-мех, сер. Е, Прикладная механика, 1962, № 4, с. 128.]
23. Butcher В. М, Karnes С. Н, J. Appl. Phys., 37, 402 (1966).
v24. Campbell J. D, Mater. Sei. Eng., 12, 3 (1973).
25. Campbell J. D, Dowling A. R, J. Meeh. Phys. Solids, 18, 43 (1970).
26. Campbell W.R, Proc. SESA, 10, 113 (1952).
Упругопластические волны напряжений
107
27. Chou Р. С., Hopkins А. К., Eds., Dynamic Response of Materials to Intense Impulsive Loading, Air Force Materials Laboratory, Wright-Patterson AFB, Ohio, 1973.
28. Clifton R.J., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 35, 782 (1968). [Имеется перевод: Клифтон. Движение границ упругой и пластической областей при распространении продольной пластической волны, сопровождающейся деформацией кручения.-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. Е: Прикладная механика, 1968, № 4, с. 174.]
29. Clifton R.J., in S. Nemat-Nasser (Ed.), Mechanics Today, Vol. 1, Pergamon, N.Y, 1974, p. 102.
30. Clifton R. J, in Mechanical Properties at High Rates of Strain, J. Harding (Ed.), Institute of Physics, London, 1980, p. 174.
31. Clifton R.J, Bodner S. R, J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 33, 248 (1966). [Имеется перевод: Клифтон, Боднер. Исследование распространения продольного упругопластического импульса-Труды амер, о-ва инж.-мех, сер. Е: Прикладная механика, 1966, № 2, с. 1.]
32. ConveryE, PughH.L.D, J. Meeh. Eng. Sei., 10, 153 (1968).
33. Craggs J. W, in I. N. Sneddon and R. Hill (Eds.), Progress in Solid Mechanics, North Holland, Amsterdam, Vol. II, 1961, p. 141.
34. Cristescu N, Bull. Acad. Pol. Sei., 11, 129 (1963).
35. Cristescu N, Dynamic Plasticity, North Holland, Amsterdam, 1967.
36. Cristescu N, Appl. Meeh. Rev., 21, 659 (1968).
37. Cristescu N, in Mechanical Behavior of Materials under Dynamic Loads, U.S. Lindholm (Ed.), Springer-Verlag, N.Y, 1968, p. 329.
38. Cristescu N, I nt. J. Solids Struct., 8, 511 (1972).
39. Cristescu N, Bell J. F, in Inelastic Behavior of Solids, M. F. Kanninen et al. Eds), McGraw, N.Y, 1970, p. 397.
40. Davison L, Graham R.A, Phys. Rep., 55, 255 (1979).
41. De Vault G. P, J. Meeh. Phys. Solids, 13, 55 (1965).
42. Donnell L.H., Trans. ASME, 52, 153 (1930).
43. Duvall G. E, in Stress Waves in Anelastic Solids, H. Kolsky, W. Prager (Eds.), Springer-Verlag, Berlin, 1964, p. 20.
44. Duwez P.E, Clark D. S, Proc. ASTM, 47, 502 (1947).
45. Duwez P.E, Clark D.S, Bohnenblust H.F, J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 17, 27 (1950).
46. Efron L, Malvern L. E, Proc. SESA, 26, 255 (1969).
47. Gerard G, Papimo R, Trans. ASM, 49, 132 (1957).
48. GoelR.P, Malvern L.E., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 37, 1100 (1970). [Имеется перевод: Гоуэл, Малверн. Простые волны в двухосном пластическом состоянии при упрочнении с совместным переносом и расширением поверхности нагружения-Труды амер, о-ва инж.-мех, сер. Е: Прикладная механика, 1970, № 4, с. 196.]
49. Herrmann W, in Wave Propagation in Solids, J. Miklowitz (Ed.), ASME, N. Y, 1969, p. 129.
50. Herrmann W, in Propagation of Shock Waves in Solids, E. Varley (Ed.), ASME, N.Y, 1976, p. 1.
51. Herrmann W, Lawrence R.J, J. Eng. Mater. Tech., Trans. ASME, 100, 84 (1978).
52. Hopkins H.G, Progress in Applied Mechanics, Macmillan, N.Y, 1963, p. 55.
53. Hopkins H. G, in Engineering Plasticity, J. Heyman, F. A. Leckie (Eds.), Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1968, p. 277.
54. Hopkinson J, Coll. Sci. Paper, Cambridge Univ. Press, 2, 1901, p. 326.
108
Глава 2
55. Hunter S. C., in Progress in Solid Mechanics, I. N. Sneddon, R. Hill (Eds.), North Holland, Amsterdam, Vol. 1, 1960, p. 3.
56. Hunter S. C., Johnson I. A., in Stress Waves in Anelastic Solids, H. Kolsky, W. Prager (Eds.), Springer-Verlag, Berlin, 1964, p. 149.
57. Johnson J. N, Barker L. M., J. Appl. Phys., 40, 4321 (1969).
58. Jones A. H., Maiden C. J., Green S. J., Chin H., in Mechanical Behavior of Materials under Dynamic Loads, U.S. Lindholm (Ed.), Springer-Verlag, N.Y., 1968, p. 254.
59. Jones О. E., in Metallurgical Effects at High Strain Rates, R. W. Rohde et al. (Eds.), Plenum, N.Y., 1973, p. 33.
60. Karman T. von., Nar. Def. Res. Counc. Rep. A-29, 1942.
61. Karman T., Duwez P., J. Appl. Phys., 21, 987 (1950).
62. Karnes С. H., in Mechanical Behavior of Materials under Dynamic Loads, U. S. Lindholm (Ed.), Springer-Verlag, N. Y., 1968, p. 270.
63. Karnes С. H., Bertholf L. D., in Inelastic Behavior of Solids, M. F. Kanninen et al. (Eds.), McGraw, N.Y., 1970, p. 501.
64. Karpp R., Chou P. C., in Dynamic Response of Materials to Intense Impulsive Loading, P. C. Chou and A. K. Hopkins (Eds.), Air Force Materials Laboratory, Wright-Patterson AFB, Ohio, 1973, p. 283.
65. Kawashima S., in High Velocity Deformation of Solids, K. Kawata and J. Shioiri (Eds.), Springer-Verlag, Berlin, 1978, p. 351.
66. Kim K. S, Clifton R. J., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 47, 11 (1980).
67. Klepaczko J., in Symposium on Foundations of Plasticity, A. Sawczuk (Ed.), Noordhoff, Amsterdam, 1973, p. 451.
68. Kolsky H., Douch L. S., J. Meeh. Phys. Solids, 10, 195 (1962).
69. Kolsky H., Prager W., Ed., Stress Waves in Anelastic Solids, Springer-Verlag, Berlin, 1964.
70. Lawson J. E., Nicholas T., J. Meeh. Phys. Solids, 20, 65 (1972).
71. Lee E.H., Quart. Appl. Math., 10, 335 (1952).
72. Lee E. H., Proc. 5th US Natl Cong. Appl. Meeh., 1966, p. 405.
73. Lee E. H., in Inelastic Behavior of Solids, M. F. Kanninen et al. (Eds.), McGraw, N.Y., 1970, p. 423.
74. Lee E. H., Liu D. T., in Stress Waves in Anelastic Solids, H. Kolsky, W. Prager (Eds.), Springer-Verlag, Berlin, 1964, p. 239.
75. Lee E. H., Symonds P.S., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 19, 308 (1952).
76. Lipkin J., Clifton R. J., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 37, 1107 (1970). [Имеется перевод: Липким, Клифтон. Пластические волны комбинированных напряжений, создаваемые продольным ударом по закрученной трубе-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. Е: Прикладная механика, 1970, № 4, с. 203.]
77. Lipkin J., Clifton R.J., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 37, 1113 (1970).
78. Lubliner J., J. Meeh. Phys. Solids, 12, 59 (1964).
79. Lysne P. C., BoadeR. R., Percival С. M., Jones O.E., J. Appl. Phys., 40, 3786 (1969).
80. Malvern L.E, J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 18, 203 (1951).
81. Malvern L. E., Quart. Appl. Math., 8, 405 (1951).
82. Malvern L.E., in Behavior of Materials Under Dynamic Loading, N.J. Huffington, Jr. (Ed.) ASME, N.Y, 1965, p. 81.
83. Morland L. W, Phil. Trans. Roy. Soc., London A, 251, 341 (1959).
84. NMAB, Tech. Rep. NMAB-356, National Materials Advisory Board, National Academy of Sciences, Washington, D. C, 1980.
85. Nicholas T, J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 40, 277 (1973). [Имеется перевод: Николас. Анализ применимости разрезного стержня Гопкинсона при иссле
Упругопластические волны напряжений
109
довании материалов, характеристики которых зависят от скорости деформации-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. Е: Прикладная механика, 1973, № 1, с. 288.]
86. Nicholas Т., Air Force Materials Laboratory Report, AFML-TR-73-73, Wright-Patterson AFB, Ohio, 1973.
87. Nicholas T., Campbell J. D., Exp. Meeh., 12, 441 (1972).
88. Nowacki W. K., Stress Waves in Non-Elastic Solids, Pergamon, Oxford, 1978.
89. Parkes E.W., Proc. Roy. Soc., London A, 228, 462 (1955).
90. Percy J. H., Proc. Symp. Structural Dynamics under High Impulse Loading, Tech. Rep. ASD-TDR-63-140, Wright-Patterson AFB, Ohio, 1963, p. 123.
91. Perzyna P., Quart. Appl. Math., 20, 321 (1963).
92. Plass H. J., Jr., Proc. 2nd Midwest Conf, on Solid Meeh., 1955, p. 109.
93. Plass H.R., Jr., Wang N. M., Proc. 4th Midwest Conf, on Solid Meeh., 1959, p. 331.
94. Rabotnov Yu. N., Suvorova J. V., Int. J. Solids Struct., 14, 173 (1978).
95. Рахматулин X. А. О распространении волны разгрузки.-ПММ, № 1, 1945, с. 91.
96. Рахматулин X. А. О косом ударе по гибкой нити с большими скоростями при наличии трения.-ПММ, № 6, 1945, с. 449.
97. Ripperger Е. A., in Behavior of Materials Under Dynamic Loading, N. J. Huffington, Jr. (Ed.), ASME, N.Y., 1965, p. 62.
98. Ripperger E. A., Simon R., in Inelastic Behavior of Solids, M. F. Kanninen et al. (Eds.), McGraw, N.Y., 1970, p. 543.
99. Ripperger E. A., Watson H., in Mechanical Behavior of Materials under Dynamic Loads, U.S. Lindholm (Ed.), Springer-Verlag, N.Y., 1968, p. 294.
100. Ripperger E. A., Yeakley L. M., Exp. Meeh., 3, 47 (1963).
101. Rubin R.J., J. Appl. Phys., 25, 528 (1954).
102. De Saint-Venant B., Comptes Rendus, 66, 650 (1868).
103. Schultz A. B., Tuschak P. A., Vicario A. A., Jr., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 34, 392 (1967). [Имеется перевод: Шульц, Тушак, Викарио. Экспериментальное изучение работы материалов при поперечном ударе по проволоке.-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. Е: Прикладная механика, 1967, № 2, с. 150.]
104. Соколовский В. В. Распространение упруговязкопластических волн в стержнях.-ПММ, № 3, 1948, с. 261.
105. Sperazza J., Proc. 4th U.S. Nat. Cong. Appl. Meeh., 1962, p. 1123.
106. Sternglass E. J., Stuart D. A., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 20, 427 (1953).
107. Taylor G. I., British Ministry of Home Security, Civil Defense Res. Comm. Rep. RC329, 1942.
108. Taylor J. W., J. Appl. Phys., 36, 3146 (1965).
109. Ting T. C.T., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 31, 38 (1964). '
110. Ting T. C.T., in High Velocity Deformation of Solids, K. Kawata, J. Shioiri (Eds.), Springer-Verlag, Berlin, 1978, p. 305.
111. Tuschak P. A., Schultz A.B., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 38, 888 (1971). [Имеется перевод: Тушак, Шульц. Определение границы области разгрузки при распространении продольных упругопластических волн напряжения.— Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. Е: Прикладная механика, 1971, №4, с. 173.]
112. White М.Р., Griffis Le Van, J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 15, 256 (1948).
113. Wilkins M.L., in Methods of Computational Physics, B. Alder et al. (Eds.), Academic, N. Y., Vol. 3, 1964, p. 211.
114. Wood D. S., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 19, 521 (1952).
115. Wood E. R., Phillips A., J. Meeh. Phys. Solids, 15, 241 (1967).
116. Yew С. H., Richardson H.A., Jr., Exp. Meeh., 9, 366 (1969).
3
ПРОНИКАНИЕ И ПРОБИВАНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Джонас А. Зукас
USA Ballistic Research Laboratory
В последнее время ситуации, в которых происходит соударение, т.е. столкновение двух или более твердых тел, привлекают все большее внимание исследователей. Было время, когда проблемами соударения интересовались главным образом военные специалисты. Однако по мере усложнения гражданской техники к поведению материалов в условиях кратковременного нагружения предъявляются все более жесткие требования. Чтобы создавать надежные и экономичные конструкции, надо глубоко понимать поведение материалов и изделий из них в условиях интенсивного импульсного нагружения в самых разнообразных ситуациях, примерами которых могут служить следующие.
1. Безопасное разрушение конструкций из предварительно напряженного бетона.
2. Безопасная перевозка взрывоопасных материалов.
3. Способность транспортных средств выдерживать столкновения в аварийных ситуациях и обеспечивать безопасность пассажиров и сохранность грузов.
4. Безопасность оболочек ядерных реакторов в случае попадания в них предметов извне (самолетов, обломков, несомых ураганом) или нагружения изнутри (чрезмерно высоким давлением при нарушении режима работы реактора, или вследствие попадания обломков и осколков вышедших из строя деталей реактора).
5. Конструирование легкой защитной брони, включая защитные тканевые костюмы для полицейских, бизнесменов, сотрудников государственного аппарата и военнослужащих.
6. Степень защищенности боевых машин, самолетов и сооружений в условиях ударного и взрывного нагружения.
7. Эрозия и разрушение твердых тел под действием многократных ударов жидких и твердых частиц.
8. Обработка и сварка металлов взрывом.
Явления соударения изучаются целым рядом классических дисциплин. Многие задачи о соударении с малыми скоростями (менее
Проникание и пробивание твердых тел Ш
250 м/с) относятся к области интересов динамики конструкций. Образование вмятин и проникание здесь тесно связаны с общей деформацией конструкции, а характерные времена нагружения и реакции составляют миллисекунды. С увеличением скорости соударения до 0,5-2 км/с общая деформация конструкции становится второстепенной, а первостепенное значение приобретает поведение материала в небольшой зоне (обычно 2-3 диаметра снаряда) вблизи места соударения. Здесь уже необходимо пользоваться представлениями волновой динамики, и на разных стадиях соударения проявляется влияние скорости, геометрии, состава материала, скорости деформации, локального пластического течения и разрушения. Характерные времена нагружения и реакции имеют порядок микросекунд. При дальнейшем увеличении скорости соударения (до 2-3 км/с) локальное давление становится выше предела прочности материала на порядок и на начальной стадии удара соударяющиеся тела можно рассматривать как жидкости. При сверхвысоких скоростях соударения (более 12 км/с) энергия выделяется так быстро, что материал сталкивающихся тел подвергается взрывному испарению.
Явления соударения можно характеризовать рядом величин: углом соударения, геометрическими и прочностными характеристиками мишени или снаряда, скоростью соударения. Последний подход отражен в табл. 3.1, в которой дана краткая классификация процессов соударения в зависимости от скорости соударения Vs и скорости деформации е. Указанные в таблице диапазоны скоростей соударения следует рассма-
Таблица 3.1. Реакция материалов на ударные воздействия
6 V* Метод нагружения Результат
> 12 км/с Взрыбное соударение. Сталкивающиеся твердые тела испаряются
ю6 5-12км/с Ускорение взрывом Твердые тела ведут себя как жидкости, сжимаемостью пренебречь нельзя
1-5 км/с Пороховые пушки, легкогазовые пушки Твердые тела ведут себя как жидкости. Давление приближается к пределу прочности или превосходит его. Основной параметр-плотность.
10* 0,5-1км/с Пороховые пушки Прочность материала су-щественна.Сильно проявляется его вязкость
юг 50-500 м/с Механические устройсг-ва.пневматическиепушки Преобладают пластические деформации
10° <50 м/с Механические устройства, пневматические пушки Преобладают упругие деформации. Имеются местные пластические деформации
112
Глава 3
тривать лишь как ориентировочные. Границы их весьма неопределенны, поскольку процессы деформирования под действием ударных нагрузок, помимо скорости соударения, зависят от множества других параметров.
Для полного описания динамики соударения твердых тел необходимо учитывать их форму, распространение упругих, пластических и ударных волн, гидродинамическое течение материала, конечные деформации и деформирование, упрочнение, тепловые эффекты и влияние трения, а также возникновение и распространение зон разрушения в материале соударяющихся тел. Теоретический подход был бы здесь не только в высшей степени громоздким, но и потребовал таких сведений о поведении материалов в условиях нагружения с большими скоростями деформации, которые практически получить невозможно. Поэтому большая часть исследований в этой области ведется экспериментальными методами.
Проникание можно определить как вход тела в мишень без сквозного пробивания последней [20]. В общем случае метаемое тело застревает в мишени, и в ней образуется воронка. Если снаряд отскакивает от поверхности мишени или проникает в нее по криволинейной траектории, а затем выходит из нее с меньшей скоростью, то такое явление называется рикошетом. В противоположность этому при пробивании снаряд насквозь проходит мишень. Характерная продолжительность процессов проникания и пробивания-от нескольких микросекунд до сотен микросекунд. Обычно и мишени, и снаряды в процессе соударения сильно деформируются.
В данной главе рассматриваются главным образом явления, сопровождающие проникание и пробивание твердых тел в промежуточном диапазоне скоростей (0,5-2 км/с). Основные принципы изучения соударений при малых скоростях, рассматриваемые с точки зрения волновой динамики, излагаются в ряде работ и обзоров [50, 53, 55, 72, 82]. Соударениям со сверхвысокими скоростями (3-12 км/с) посвящена гл. 4. Эти явления также подробно обсуждались на целом ряде симпозиумов [1-6, 8], и им посвящены обзорные статьи [38, 65, 67, 72, 81, 108, 128, 137]. Поскольку в данной главе основное внимание сосредоточено на реакции материала на удар (времена нагружения и реакции менее 1 мс), вопросы динамики конструкций, такие, как реакция брусьев, пластин и оболочек на импульсное нагружение, остались за пределами рассмотрения. Этим вопросам посвящены обзоры [72, 76-79, 96, 111, 122, 153], а также ряд других.
3.1. ПРОНИКАНИЕ И ПРОБИВАНИЕ
Любой метаемый предмет можно рассматривать как снаряд. Наиболее известны снаряды, применяемые в военном деле, однако они составляют лишь небольшую часть всех возможных снарядов. При разрушении зданий, построенных из предварительно напряженного бетона, в результате быстрой разгрузки и отражения волн сжатия от свободных поверхностей могут образоваться осколки. Скорость бетонных или
Проникание и пробивание твердых тел
ИЗ
стальных осколков может достигать 100 м/с, и они превращаются в смертоносные снаряды [74].
Телефонные столбы, автомобили и всевозможные обломки, которые несет ураган, а также падающий самолет при столкновении с силовой оболочкой ядерного реактора могут привести к ее разрушению. Подобным же образом обломки вышедших из строя промышленных агрегатов, например турбинные лопатки и трубы, могут превратиться в высокоскоростные снаряды неправильной формы, которые надо либо задержать, либо отклонить в безопасном направлении. Многократные удары водяных капель, частиц льда и песка представляют большую опасность для высокоскоростных самолетов и космических аппаратов, входящих в атмосферу. В частности, хорошо известна эрозия турбинных лопаток под действием капель воды, конденсирующейся в потоке высоконапорного пара [30].
Таблица 3.2. Характеристики снарядов
Конфигурация
Основная форма Материал Плотность Характеристики движения Сплошной стержень Форма передней Шар части Пустотелая оболочка Твердое тело неправильной формы Малая дерево, пластики, керамика, алюминиевые сплавы Средняя сталь, медь Большая свинец, вольфрам Конус Оживало Полусфера Прямой круговой цилиндр
Траектория Состояние после соударения Прямолинейная Условия (устойчивая) соударения Криволинейная (устойчивая) С кувырканием (неустойчивая) По нормали к мишени
Форма Тело не деформирова- Положение но Пластическая деформация Разрушение Разбиение на мелкие осколки Рикошет Частичное проникание Пробивание
114
Глава 3
Высоконапорные водоструйные установки имеют много преимуществ перед обычными буровыми машинами [68, 127]. Их применение позволяет уменьшить концентрацию угольной пыли в воздухе и практически полностью устранить опасность взрыва. Они гораздо менее шумные, что положительно сказывается на условиях труда операторов. Кроме того, благодаря эрозионному действию высоконапорные водяные струи имеют более высокую производительность по сравнению с обычными шахтными машинами.
Крупные и мелкие метеориты всегда представляли опасность для космических аппаратов. В прошлом была проделана большая работа по изучению физики соударения со сверхвысокими скоростями и выбору оптимальной конструкции противометеоритной защиты для космических аппаратов. Об этом подробно говорится в гл. 4. Рост интереса к использованию космического пространства для развития ряда производств и фундаментальных исследований вновь поставил вопросы защиты пилотируемых и беспилотных космических аппаратов от ударов метеоритов, движущихся со сверхвысокими скоростями.
На рис. 3.1 показаны снаряды часто встречающихся форм. Масса снарядов может изменяться от сотен килограммов (турбинные лопатки или обломки маховиков) до долей грамма (вторичные осколки, образующиеся при соударении тел с большими скоростями). Они могут состоять из одного или нескольких материалов (табл. 3.2). В зависимости от относительной прочности и плотности материалов снаряда и мишени снаряд после столкновения с преградой может остаться целым (рис. 3.2), подвергнуться пластической деформации (рис. 3.3), расколоться или развалиться на части (рис. 3.4).
Практически любой неподвижный или движущийся предмет может стать мишенью. Поскольку для многих материалов воздействие удара при скоростях более 500 м/с является сильно локализованным, при тео-
Рис. 3.1. Примеры снарядов.
а-бронебойный снаряд; б-снаряд со стабилизатором и отбрасываемым поддоном; в-снаряд калибра 12,7 мм; г-твердые тела правильной формы; б-осколки неправильной формы; е-имитаторы осколков. / -бронебойный наконечник; 2-стабилизатор; 3-поддон; 4-проникающий корпус; 5-сердечник из хромомолибденовой стали.
Проникание и пробивание твердых тел
115
Рис. 3.2. Пробивание мишени с образованием пробки. (С разрешения С. Граба-река и А. Риччиацци.)
Снаряд: инструментальная сталь S7, Нв = 555, масса 7,78 г, удлинение 10; мишень: алюминий 1100F, толщина 12,7 мм.
Таблица 3.3. Характеристики мишеней
Толщина Геометрия Форма
Малая Однослойная Многослойная Из нескольких пластин, разделенных промежутками П ромежуточ ная Преграды Большая Грунт Глубокая вода Преграды большой толщины Плоская Криволинейная Неправильная
Типичные материалы
Твердые и мягкие металлы Песок
Бетон Снег
Керамика Пластики
Скальный грунт Дерево
116
Глава 3
Рис. 3.3. Пластическая деформация снаряда в процессе проникания. (С разрешения С. Грабарека и А. Риччиацци.)
Снаряд мягкая сталь 1020, масса 15,55 г, удлинение 10, мишень мягкая сталь 1020, толщина 6,35 мм Соуда-
рение происходит по нормали к поверхности мишени
Рис. 3.4. Деформация стержня и его дробление при соударении с мишенью под большими углами.
Проникание и пробивание твердых тел
117
ретических или экспериментальных исследованиях можно ограничиться рассмотрением лишь небольшой части мишени. Но и при этом упрощении геометрия мишеней все равно остается сложной (табл. 3.3). Мишени состоят практически из тех же материалов, что и снаряды. Это-твердые и мягкие металлы, бетон, керамика, скальный грунт, песок, глина, снег, пластмассы, дерево, вода и прочие материалы.
3. 1.1. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В СОУДАРЯЮЩИХСЯ ТЕЛАХ
Рассмотрим процессы, происходящие в снаряде и мишени во время соударения. Для целей нашего обсуждения достаточно считать, что снаряд представляет собой длинное цилиндрическое тело с конической, оживальной, полусферической или плоской передней частью. При попадании такого снаряда в мишень в обоих телах образуются и распространяются сильные волны сжатия. Если скорость соударения достаточно велика, возникающие и распространяющиеся внутрь снаряда от его свободных боковых поверхностей волны разгрузки, пересекаясь вблизи оси снаряда, будут создавать зону высоких растягивающих напряжений. В этой зоне в достаточно хрупких материалах, таких, как высокопрочные стали, может произойти разрушение. Этот эффект проявляется сильнее, если в материале снаряда вблизи его продольной оси имеются поры или другие неоднородности. Если снаряд попадает в преграду по нормали к ее поверхности, то развивается двумерное напряженное состояние. При ударе под углом к нормали задача усложняется, так как в результате асимметричного нагружения возникают изгибающие напряжения. При определенном сочетании формы снаряда, характеристик материалов снаряда и мишени, а также скорости соударения совместное действие изгибающих и растягивающих напряжений может привести к разрушению снаряда или рикошету.
За волной сжатия в материале мишени сразу же следует волна разгрузки. Когда начальная волна сжатия достигает свободной поверхности мишени, образуется еще одна волна разгрузки. При определенном сочетании величины напряжения (растягивающего) и продолжительности его действия, превышающем критическое значение для материала мишени, последняя начинает разрушаться.
На рис. 3.5 показано, как разрушаются твердые тела при соударении с артиллерийскими скоростями при больших углах между нормалью к плоскости мишени и направлением полета снаряда. Плиты катаной гомогенизированной броневой стали (RHA) толщиной 25,4 мм крепились под углом 60° к направлению стрельбы. В них стреляли цилиндрическими стержнями из инструментальной стали S7. Стержни имели массу 65 г, а их удлинение (L/D) равнялось 10. При попадании в мишень с предельной баллистической скоростью (т.е. с минимальной скоростью, необходимой для пробивания мишени навылет), равной в данном случае 1202 м/с (фото в левом верхнем углу рис. 3.5), стержень полностью разрушался и застревал в мишени. При этом он производил значительные разрушения на лицевой стороне мишени, а траектория его
118
Глава 3
Снаряд до p^onopu&oaiaa
Рис. 3.5. Мишени в разрезе и уцелевшие после пробивания части снарядов [89].
Снаряд: инструментальная сталь S7, масса 64,3 г, диаметр 1,02 см, удлинение 10; мишень: гомогенизированная броневая сталь RHA, толщина 25,4 мм, угол между направлением полета снаряда и нормалью к мишени 60°.
Мг - остаточная масса снаряда; Д-потеря массы мишени.
движения внутри мишени резко искривлялась, поворачиваясь почти на 60° в направлении нормали к тыльной поверхности мишени. С ростом скорости соударения все большая часть стержня оставалась неразрушенной, а повреждения мишени становились все более ярко выраженными. Отклонение снаряда от начального направления движения убывало до тех пор, пока при скорости, превышающей баллистический предел в 1,5 раза, траектория снаряда переставала отклоняться от начального направления. С ростом скорости соударения часть снаряда, не разрушившаяся после соударения (остаточная масса), увеличивалась и достигала максимума при скорости соударения, превышавшей баллистический предел примерно на 20%. При дальнейшем увеличении скорости соударения остаточная масса снаряда убывала.
Наиболее удобна система классификации мишеней, предложенная в работе [20]. Мишень называется
Проникание и пробивание твердых тел
119
полубесконечной, если ее тыльная поверхность не влияет на процесс проникания;
толстой, если влияние тыльной поверхности сказывается лишь после того, как снаряд пройдет в материале мишени значительное расстояние;
промежуточной толщины, если тыльная поверхность мишени оказывает значительное влияние на процесс деформации в течение почти всего времени движения снаряда в материале мишени;
тонкой, если напряжения и деформации постоянны по толщине мишени.
Материалы сталкивающихся тел могут разрушаться по-разному. Действительный механизм разрушения зависит от таких переменных, как свойства материала, скорость соударения, форма снаряда, способ крепления мишени и относительные размеры снаряда и мишени. На рис. 3.6, заимствованном из работ [17, 20], показаны некоторые основные типы разрушения тонких мишеней и мишеней промежуточной толщины. Хотя один из типов разрушения может быть доминирующим, чаще встречаются их комбинации.
Откол, т. е. разрушение под действием растягивающих напряжений, возникающих при отражении начальной волны сжатия от тыльной поверхности пластины конечной толщины,-обычное явление при взрывных или ударных нагружениях, в особенности материалов, лучше работающих на сжатие, чем на растяжение. Развитый откол внешне выглядит аналогично, однако в этом случае разрушение обусловлено большими деформациями и форма поверхности откола определяется
Рис. 3.6. Виды разрушения мишеней [17].
а - хрупкое разрушение; б - разрушение
с образованием радиальных трещин; в-дробление; г - пластическое расширение отверстия; д-выбивание пробки; е-образование лепестковой пробоины.
120
Глава 3
локальными неоднородностями и анизотропией материала. Сколовое разрушение происходит, когда напряжения в начальной волне превышают предел прочности материала, и наблюдается в мишенях из малопрочных и малоплотных материалов, тогда как образование радиальных трещин обычно для материалов, прочность которых на растяжение гораздо меньше их прочности на сжатие, например для керамики.
Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования были посвящены изучению пробивания мишеней с образованием пробки (рис. 3.2, 3.3). При попадании снаряда с затупленной или полусферической передней частью в мишень конечной толщины со скоростью, близкой к баллистическому пределу, из мишени выбивается почти цилиндрическая пробка, диаметр которой практически равен диаметру снаряда. В этом случае форма и движение снаряда таковы, что заставляют материал мишени смещаться в основном направлении движения снаряда. Отделение от мишени пробки может произойти по обычному механизму разрушения, т.е. путем возникновения пор и их роста при сдвиге или по другому механизму, известному как адиабатический сдвиг, для которого характерно развитие узких полос интенсивного сдвига. Обычно считают, что неустойчивость типа адиабатического сдвига развивается в месте концентрации напряжений в твердом теле, напряженное состояние которого в целом однородно. Работа пластической деформации почти полностью превращается в тепло, которое из-за высоких локальных скоростей деформации не успевает распространиться на существенное расстояние от зоны пластических деформаций (например, в работе [102] указывается, что скорости деформации сдвига в полосах адиабатического сдвига достигают 107с-1, а температура 105оС). В результате температура в зоне поднимается, это вызывает дополнительное пластическое течение и дальнейшую концентрацию локальных пластических деформаций. Развитие этого процесса приводит к распространению по материалу узкой полосы значительных пластических деформаций вдоль плоскостей максимальных напряжений сдвига или минимальной прочности материала до тех пор, пока не произойдет разгрузка или пока в материале не образуется сколовая трещина. При скоростях соударения, превышающих баллистический предел более чем на 5-10%, вместо одной пробки обычно образуется несколько осколков. Образование пробки при пробивании мишени весьма чувствительно к углу соударения и форме головной части снаряда.
Значение разрушения по механизму адиабатического сдвига еще ярче проявляется в случае проникания снарядов с острой передней частью. В этом случае материал мишени смещается главным образом в радиальном направлении и никакой пробки не образуется [150, 151]. Однако если материал имеет склонность к адиабатическому сдвигу, то характер разрушения меняется и из мишени вдоль полос интенсивного сдвига выталкивается пробка независимо от формы снаряда.
Лепестковая пробоина образуется под действием больших ра-
Проникание и пробивание твердых тел
121
Рис. 3.7. Эрозия снаряда в процессе проникания в мишень.
диальных и окружных растягивающих напряжений после прохождения начальной волны напряжений. Вблизи носка снаряда образуется поле высоких напряжений. Изгибающие моменты, вызываемые в материале мишени поступательным движением снаряда, создают характерную картину деформации. Лепестковые пробоины чаще всего наблюдаются в тонких пластинах, пробиваемых пулями с носовой частью оживальной или конической формы при сравнительно малых скоростях соударения или снарядами с затупленной носовой частью при скоростях, близких к баллистическому пределу. Образование лепестков сопровождается большими пластическими деформациями и равномерным изгибом. По достижении предела прочности материала мишени на растяжение около носка снаряда появляется звездообразная трещина. Образовавшиеся
122
Глава 3
при этом секторы отгибаются назад продолжающим свое движение снарядом и приобретают характерную окончательную форму лепестков.
При ударе снаряда из пластичного материала по толстой мишени со скоростями более 1 км/с материал снаряда испытывает гидродинамическую эрозию и растекается по стенкам канала, образующегося в мишени, в обратном направлении. Материал мишени распирается в стороны, как при ударе пробойником, однако диаметр образующейся полости оказывается гораздо больше диаметра проникающего тела (рис. 3.7).
Разрушение толстых пластин из материалов малой или средней твердости характеризует сочетание пластического разрушения с отколом.
3. 1.2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Поскольку процессы, связанные с прониканием, очень сложны, вполне естественно, что большая часть исследований в этой области ведется экспериментальными методами. Методы исследования соударений с высокими скоростями (помимо стандартных поверочных испытаний) отличаются друг от друга главным образом степенью обеспечения измерительной аппаратурой и соответственно количеством получаемой информации. Обычно эксперименты проводят с целью определения: скорости и траектории снаряда до соударения;
изменения формы снаряда и мишени в результате соударения; массы, скорости и траектории осколков, образующихся в процессе соударения;
предельной баллистической скорости.
Исследование высокоскоростного соударения. Соударение тел с большими скоростями представляет собой высокоэнергетический процесс. Часть начальной энергии превращается в свет, который мешает наблюдать явление (рис. 3.8). Дополнительные проблемы создают потоки осколков, образующиеся на лицевой стороне мишени, а после пробивания ее снарядом - на ее тыльной стороне. Это ограничивает возможности применения обычных оптических методов, таких, как высокоскоростная киносъемка. Для иллюстрации этого положения на рис. 3.9, заимствованном из работы [13], представлена последовательность мгновенных фотографий процесса пробивания 19-миллиметровой алюминиевой плиты свинцовой ружейной пулей. Как осколки, так и световая вспышка мешают проследить за деформацией пули и мишени в момент соударения. При более широком поле зрения можно было бы зарегистрировать движение донного среза пули и тем самым определить ее замедление в течение некоторого промежутка времени. На полученных кадрах хорошо видна выпуклость, образующаяся на тыльной стороне мишени, однако сама пуля после выхода из нее совершенно скрыта от наблюдателя. Чтобы преодолеть эту трудность, большинство экспериментальных установок, предназначенных для изучения высоко-
Рис. 3.8. Выделение энергии при высокой скорости соударения. (С разрешения А. Риччиацци.)
Рис. 3.9. Последовательность мгновенных фотографий процесса пробивания алюминиевой плиты свинцовой ружейной пулей [13].
124
Глава 3
Рис. ЗЛО. Схема экспериментальной установки для исследования проникания снарядов, оборудованной рентгеновской аппаратурой [58].
энергетических процессов соударения, оборудуется рентгеновской аппаратурой, которая часто применяется вместе с оптической аппаратурой.
Траектории снарядов можно определять разными способами, в числе которых высокоскоростная киносъемка, ортогональная мгновенная рентгенография и контактные мишени. Последние представляют собой тонкие листы бумаги или пластика, установленные поперек предполагаемой траектории. Обычно взаимодействие снаряда с контактными мишенями не оказывает влияния на его движение. Положение пробоины в контактной мишени указывает на положение снаряда в плоскости, перпендикулярной к траектории, а ее форма позволяет судить об ориентации снаряда в пространстве.
Скорость соударения определяется по времени прохождения снарядом известных расстояний. Момент пролета через фиксированное сечение определяется по замыканию или разрыву электрических цепей, прерыванию луча света, с помощью синхронной фотографии или мгновенной рентгенографии.
Схема типичной экспериментальной установки для исследования процесса проникания твердых (обладающих кинетической энергией) тел показана на рис. 3.10. Эта установка используется для испытаний маломасштабных (65 г и менее) моделей снарядов в Лаборатории баллистических исследований армии США [58]. Она обладает достаточной гибкостью (в ее состав можно включать рентгеновскую аппаратуру или высокоскоростные кинокамеры) и позволяет изучать снаряды разных
Проникание и пробивание твердых тел
125
типов в разных условиях испытаний. Рентгеновская система состоит из взаимно перпендикулярных пар рентгеновских трубок (105 или 150 кВ), размещенных, как показано на рис. 3.10. Генератор калиброванных интервалов времени включает каждую рентгеновскую трубку или их комбинацию через заданные интервалы времени.
Четыре трубки, расположенные попарно, позволяют получать рентгеновские снимки снаряда в свободном полете до соударения с мишенью. Съемка ведется в двух взаимно перпендикулярных направлениях. По полученным снимкам определяют скорость соударения и ориентацию снаряда в пространстве.
Аналогичная система рентгеновских трубок установлена в двух взаимно перпендикулярных направлениях за мишенью и дает информацию о движении снаряда и осколков после пробивания мишени. Обычно в систему регистрации входят также трубки для наблюдения соударения снаряда с мишенью и процесса проникания. Систематическое описание методики получения и хранения данных на таких экспериментальных установках дано в работе [91], а в работе [64] излагается методика оценки свойств материалов, предназначенных для использования в экспериментах по изучению соударений с высокими скоростями.
В тех случаях, когда для оценки уязвимости цели требуется получить характеристики образующихся при соударении осколков, необходим надежный способ их улавливания, обеспечивающий их максимальную сохранность. Обычно уловители изготавливают из клееной фанеры или плит из прессованного тростника. Венцель и Дин [142], а также другие исследователи изучали иные способы улавливания осколков. Если осколков много, то определить их массы, скорости и направление полета по многократно экспонированным рентгеновским снимкам и установить однозначное соответствие между зафиксированными на парных снимках и извлеченными из уловителя осколками становится чрезвычайно трудным делом. Методика обработки данных об осколках изложена в работе [И]. Типичные результаты, полученные при испытаниях маломасштабных (массой 65 г) снарядов, приведены Ламбертом [89].
В число измерений, выполняемых на снаряде и мишени после соударения, входят: определение основных размеров воронки, таких, как глубина, диаметр и объем (в случае сквозной пробоины-диаметры входного и выходного отверстий), а также длины, диаметра и массы снаряда и наиболее крупных осколков. Подробно методика измерений описана в работе [91].
Таким образом, обычные эксперименты по изучению соударения твердых тел с высокими скоростями дают следующую информацию: скорость и ориентацию снаряда до соударения;
скорость и ориентацию крупных осколков снаряда после пробивания мишени;
скорость, массу и пространственное распределение осколков за мишенью;
размеры отверстия и потерю массы мишени.
Графическое представление данных о высокоскоростном соударении
126
Глава 3
1400
1200
юоо
*
$ 600
g»
I 600
I
400
200
После пробивания снаряд дробится на мелкие осколки
20 40 60 80
Наклон к нормали t град
Рис. 3.11. Фазовая диаграмма, характеризующая соударение снаряда с мишенью [20].
включает построение зависимостей между такими переменными, как скорость снаряда, толщина мишени, угол соударения, полный угол рыскания снаряда, кинетическая энергия соударения, импульс, сила и время. Эти графики строятся при постоянных физических и геометрических характеристиках снаряда и мишени (исключением является толщина последней). Часто графики строят в безразмерном виде, относя соответствующие характеристики к диаметру или длине снаряда, предельной скорости, скорости звука в материале, предельной энергии и т.п. Поскольку такие графики двумерны, построенные кривые представляют соотношения между одной зависимой и одной независимой переменными. Можно совместить в одних осях несколько графиков. Тогда будет видно, как данное соотношение изменяется в зависимости от третьей переменной, однако остальные переменные при этом должны быть фиксированны. На рис. 3.11, заимствованном из работы [20], приведен пример фазовой диаграммы, характеризующей поведение снаряда диаметром 6,35 мм с оживальной передней частью при ударе в мишень из алюминиевого сплава толщиной 6,35 мм. Типы поведения снаряда и мишени определяются скоростью соударения и углом встречи. Для данного снаряда и мишени можно построить и гораздо более сложные фазовые диаграммы, которые окажут большую помощь конструкторам.
Проникание и пробивание твердых тел 127
Баллистический предел. Одной из задач, с которой сталкиваются при изучении явлений соударения, является определение предельной скорости, ниже которой метаемый предмет уже не в состоянии пробить преграду или какое-либо защитное устройство навылет. Эта задача имеет первостепенное значение при проектировании защитных конструкций, оценке эффективности бронирования боевых транспортных средств, а также во всех случаях, когда соударение может вызвать повреждения. Эту скорость обычно называют критической скоростью соударения, предельной баллистической скоростью, или баллистическим пределом.
Существующие методы определения предельной баллистической скорости можно разделить на детерминированные и вероятностные. В первом случае предельная скорость определяется, исходя из физических принципов (законов сохранения и уравнений состояния материалов), однако соответствующие дифференциальные уравнения в частных производных слишком сложны, и приходится идти на упрощения, которые, как правило, требуют введения одной или двух эмпирических констант. При вероятностном подходе строятся модели, в основе которых лежит значительное количество данных, включающих скорость соударения и либо остаточную скорость снаряда, либо факт пробивания или непробивания им преграды. Получаемая при этом критическая скорость обычно обозначается через Р50 и представляет собой скорость соударения, при которой вероятность пробивания преграды равна 50%. При определении И50 используется статистический подход с квантованием результатов измерений и проверкой их чувствительности к исходным данным. В простейшем случае К50 определяется путем осреднения шести значений скорости соударения, в число которых входят три наименьших значения скорости, при которых снаряд пробил мишень навылет, и три наибольших значения скорости, при которых он лишь частично углубился в мишень. При этом требуется, чтобы разность между наименьшей скоростью частичного проникания и наибольшей скоростью полного пробивания не превышала 46 м/с. На практике время и экономические соображения ограничивают количество получаемых данных, и их, как правило, недостает для надежного определения критических скоростей соударения ни при детерминированном, ни при вероятностном подходе.
Детерминированный подход к определению баллистического предела представляет собой развитие попыток предсказать поведение снаряда в процессе проникания путем разработки моделей, в основу которых положены законы сохранения и предположения о механических свойствах системы. При разработке моделей многих неприятностей удалось избежать, предположив, что снаряд представляет собой недефор-мируемое или абсолютно твердое тело. Ламберт и Джонас [88] пришли к выводу, что при этом получаются зависимости вида
= I 0, 0^ Vi
r la(Vsp-n)1/p, KS>FZ,
(3.1)
128
Глава 3
Рис. 3.12а. Кривая предельной баллистической скорости К/.
Область смешанных
Скорость соударения, м/с
Кривая вероят-пробивания.
Рис. 3.126.
ности
где VT - остаточная скорость снаряда, Vs- скорость соударения, а Vi -предельная баллистическая скорость. Для недеформируемых снарядов р = 2, а а и Vi -эмпирические константы, полученные методом регрессии. Этот подход развит в работе [90], где предложена методика расчета остаточных скоростей длинных стержней и осколков, после пробивания ими стальных и алюминиевых мишеней под произвольными углами. Этот метод подробно описан в приложении А.
Кривая предельной скорости на рис. 3.12а разделяет области пробивания и непробивания с точностью, которая на самом деле не может быть достигнута. В действительности вблизи этой кривой пробивание снарядом преграды следует рассматривать скорее с вероятностной, чем с детерминистской точки зрения. На рис. 3.126 представлена типичная зависимость вероятности пробивания преграды от скорости соударения для некоторой комбинации характеристик снаряда и мишени. Такие графики получают путем отстрела большого количества боеприпасов и статистической обработки полученных данных. Любое значение скорости в диапазоне смешанных результатов можно рассматривать как предельную скорость. Например, предельные скорости F10 и У90-это те значения скорости соударения, при которых вероятность пробивания преграды равна соответственно 10 и 90%. Обычно за предельную скорость принимают К50, так как вблизи этой точки кривая распределения вероятностей имеет максимальный наклон, и это позволяет найти У50 с максимальной точностью.
Прежде чем измерять предельную баллистическую скорость, необходимо ввести два определения. Сначала надо дать определение полного пробивания (рис. 3.13). В качестве примера приведем три определения.
Проникание и пробивание твердых тел
129
1. Полным называется такое пробивание мишени, в результате которого сквозь нее свободно проходит свет.
2. Полное пробивание-это такое пробивание мишени, при котором сквозь нее проходит по меньшей мере половина снаряда.
3. Полным называется такое пробивание мишени, при котором пробивается также тонкий алюминиевый лист, установленный за ней.
При одних и тех же условиях соударения предельная скорость, соответствующая второму определению, обычно больше, чем соответствующая первому. Предельная скорость по третьему определению близка к скорости по второму определению, за исключением случая, когда на тыльной поверхности мишени происходит откол материала. Отметим, что лишь второе определение связывает пробивание с поведением снаряда. Вводя определение полного пробивания, необходимо определить предельную баллистическую скорость с точки зрения вероятности достижения успеха при стрельбе. Обычно за такую скорость принимается Г50. Выстрел со скоростью более У50 может и не обеспечить полного пробивания, однако вероятность последнего с ростом скорости возрастает.
Вероятностное значение У50 в качестве предельной баллистической скорости применяется часто и широко распространено. Им довольно удобно пользоваться и при экспериментальных, и при теоретических исследованиях. Главный его недостаток-необходимость проведения довольно большого числа экспериментов для получения статистически обоснованного значения У50, результаты которых используются далеко не полностью.
Детерминированное значение Vi имеет ряд очевидных преимуществ, главным из которых является более полное использование имеющейся информации. Вместо простой констатации факта-есть пробивание или нет его, в случае если оно есть, используются взвешенные значения скорости, чем обеспечивается более высокая точность и экономичность по-
Рис. 3.13. Различные определения полного пробивания и частичного проникания, принятые в армии (а) и ВМС США (в), а также при проектировании защитной брони (б).
130
Глава 3
лучения результатов. Обычно получают реальную кривую УГ(У5) и одновременно с ней предельную баллистическую скорость V/. Эти данные не только облегчают проектирование снарядов и корреляцию экспериментальных данных с результатами аналитического или численного исследования, но и позволяют рассматривать пробивание мишеней, состоящих из нескольких последовательно расположенных пластин.
Единственным очевидным и в некоторых случаях существенным недостатком, присущим определению И/, является применение сложного и дорогостоящего измерительного оборудования (в настоящее время для этого используются рентгенографические установки) для измерения остаточной скорости снаряда. Хотя стоимость одного выстрела при экспериментальном определении зависимости Vr(Ks) превышает расходы на один выстрел при определении И50, суммарная стоимость определения предельной баллистической скорости F/ может быть значительно ниже, чем при определении И50, поскольку требуется меньше выстрелов. Кроме того, определение Й/ больше подходит для дополнительных исследований в области развивающейся баллистической технологии, так как оно лучше характеризует разрушение материала (образование осколков, раскалывание снаряда) и совокупности осколков за преградой.
Предельная баллистическая скорость Vl зависит от формы, ориентации и свойств материалов снаряда и мишени. Грабарек из Баллистической исследовательской лаборатории выполнил систематические экспериментальные исследования влияния различных параметров на значение предельной баллистической скорости. Некоторые из полученных им данных приведены в приложении Б.
Испытания моделей снарядов, оснащенных измерительными системами. Испытания моделей снарядов с бортовой измерительной системой ведутся уже много лет. Еще в 1956 г. Блюм провел эксперименты, в которых тонкие пластинки метались на неподвижные модели снарядов, оснащенные проволочными тензодатчиками [26]. Аналогичные испытания, обычно называемые обращенными баллистическими экспериментами, были проведены и другими исследователями (например, работы [10, 92]). Для изучения проникания снарядов, движущихся с высокими скоростями, применялись также мишени, оборудованные измерительной системой. В работе [140] излагаются результаты большой серии опытов по изучению проникания в медные и дюралюминиевые пластины с использованием рентгенографических и оптических методов. В опытах Незервуда [103], проведенных в 1979 г., скорости проникания измерялись миниатюрными цилиндрическими датчиками. В настоящее время Ховером и сотрудниками в Лаборатории баллистических исследований армии США ведутся обширные экспериментальные исследования с использованием моделей, оснащенных датчиками.
Ховер систематически изучал поведение длинных стержней в процессе проникания, измеряя деформации с помощью датчиков сопротивле-
Проникание и пробивание твердых тел
131
Рис. 3.14. Устройство с бортовым измерительным оборудованием для проведения испытаний на удар [62].
а - фотография, б-схема устройства, 1 -пластмассовый поддон, 2-контактная пластинка, 3-острие, 4-экран, 5-мишень из стали RHA, 6-датчик, 7-стальной стержень (снаряд), 8-экран, 9-полость, 10-осциллоскоп, //-импульсная мостовая схема
ния из фольги. В более ранних опытах с применением метода обращенного движения использовались неподвижные стержни, по которым стреляли стальными мишенями из легкогазовой пушки. Хотя эти опыты дали удовлетворительные результаты и для соударений по нормали, и для соударений под углом, применение метода обращенного движения налагало строгие ограничения на диаметр мишени, масса которой не позволяла получать скорости соударения более 700 м/с. Чтобы преодолеть эти затруднения, Ховер разработал метод стрельбы стержнями, оснащенными датчиками [62]. Датчики деформаций устанавливались на расстоянии 20, 40 и 60 мм от носка стержня и подключались к тонким металлическим контактным пластинкам, расположенным на переднем торце пластмассового поддона (рис. 3.14).
Перед соударением неподвижные острия пронизывали контактные пластинки, замыкая электрическую цепь, которая существовала в тече
132
Глава 3
ние времени, за которое поддон смещался приблизительно на 100 мм. Была выполнена серия экспериментов по соударению по нормали стальных стержней со стальными мишенями со скоростью 1 км/с. Полученные в этих экспериментах зависимости деформации от времени (рис. 3.15) обрабатывались методом анализа результатов с помощью соотношений для простой волны по теории, не учитывающей зависимости от скорости деформации (гл. 2), которая позволяла установить соотношения между напряжением и деформацией, а также между скоростью тела и деформацией, достигающей 15% (рис. 3.16). Численное моделирование соударения при указанных условиях было также выполнено в работах [60, 101] с помощью программ EPIC-2, HELP и REPSIL.
При использовании в расчетах динамических характеристик материалов экспериментальные зависимости деформации от времени хорошо согласовывались с результатами расчетов для всех положений датчика.
Совсем недавно Ховер вернулся к методу обращенного движения (рис. 3.17), поскольку он пришел к выводу, что при оснащении датчиками неподвижной части экспериментальной установки полученные результаты обладают более высокой надежностью и качеством [63]. В его экспериментах с неподвижным стержнем сталкивалась стальная мишень, выстреливаемая из легкогазовой пушки. Стержни обычно оснащаются датчиками, расположенными попарно в диаметрально противоположных точках в сечениях, удаленных от носка на 20, 40, 60 и 80 мм. Мишени изготавливались из катаной гомогенизированной броневой стали, а стержни-из особо чистой инструментальной стали S7, сварен-
Рис. 3.15. Зависимости деформации от времени, полученные в прямом баллистическом эксперименте [62].
Рис. 3.16. Зависимости динамического напряжения и скорости частиц от деформации, полученные в прямом баллистическом эксперименте [62].
динамическая кривая,--------квазистатиче-
ские кривые
Проникание и пробивание твердых тел
133
Рис. 3.17. Схема установки для обращенного баллистического эксперимента с оснащенными датчиками стержнями [63].
ной в вакуумной индукционной электропечи с последующей дуговой переплавкой в вакууме.
Как и в случае прямого баллистического эксперимента, регистрировалась зависимость деформации от времени в местах расположения датчиков. При скоростях соударения менее 700 м/с все датчики измеряли деформацию до весьма больших их значений, прежде чем выходили из строя под действием осколков или отколов, образующихся на лицевой стороне мишени. При высоких скоростях (1 км/с) полная запись зависимости деформации от времени получалась только для сечения, расположенного на расстоянии 20 мм от носка. Остальные датчики разрушались образующимися осколками, прежде чем деформации достигали больших значений. Показания этих датчиков можно проэкстра-полировать на большие значения деформации, используя результаты измерений в сечении 20 мм. Для этого надо знать, как зависит скорость распространения волны от деформации. Последнюю зависимость можно получить с помощью не зависящей от скорости деформации теории динамической пластичности, анализируя результаты соответствующих экспериментов с малыми мишенями (диаметр мишени лишь втрое больше диаметра стержня), в которых осколки сильнее отклоняются в стороны и не попадают в датчики, установленные в стержне.
Данные рис. 3.18а можно представить также в лагранжевых координатах (рис. 3.186), построив графики зависимости пути от времени, позволяющие определить моменты времени, в которые разные уровни деформации достигают сечений с установленными в них датчиками. Линейность этих графиков позволяет предположить, что разные уровни деформации распространяются с характерной скоростью, т.е. условие применимости не зависящей от скорости деформации теории выполняется. Это дает возможность получить зависимость скорости распространения волны от деформации (рис. 3.19). Тогда из не зависящей от скорости деформации теории пластичности получаем следующие выражения для напряжений и скоростей частиц:
ст = |оРСр^е, (3.2)
v = ^cpde, (3.3)
134
Глава 3
Рис. 3.18а. Зависимости деформации от времени, полученные в обращенном баллистическом эксперименте [63].
Рис. 3.186. Зависимость пути от времени в лагранжевой системе координат [63].
Рис. 3.19. Зависимость скорости распро- Рис. 3.20. Зависимости напря-
странения волны от деформации сжатия жения и скорости частиц от де-
[63]. формации сжатия [63].
/1 do\i/2 dt) ’
(3.4)
в которых е-деформация, а - напряжение, г-скорость частицы и ср-скорость распространения пластической волны. Графики зависимостей ст(е) и г(е), полученные этим способом, представлены на рис. 3.20. С помощью соотношения между скоростью частиц и деформацией
Проникание и пробивание твердых me.i 135
можно преобразовать зависимость деформации от времени в зависимость скорости частиц от времени. Проинтегрировав последнее уравнение, получим зависимость пути от времени, с помощью которой легко определяется положение точек стержня в пространстве. Зная перемещение стержня по времени, а также как движется поверхность контакта мишени и стержня, можно проследить за разрушением стержня.
Зависимость перемещения от времени позволяет также выяснить, с какой точностью измеряются деформации, и оценить пригодность принятого метода анализа результатов. В установке, схема которой представлена на рис. 3.21, измерялись перемещения стержня после соударения, и полученные данные сравнивались с перемещениями, полученными путем обработки результатов измерения деформации. Неподвижные длинные стальные стержни (рис. 3.21) химическим способом покрывали черным налетом, оставляя блестящие кольцевые риски на расстояниях 40, 60 и 80 мм от носка. Затем стержень освещали мощной ксеноновой лампой и снимали искровой кинокамерой с вращающимся зеркалом в процессе соударения с пластиной из катаной гомогенизированной броневой стали, которой сообщалась скорость 710 м/с. На рис. 3.22 представлены результаты для сечения, расположенного на рас-
Рис. 3.21. Схема установки для оптической регистрации перемещения модели снаряда (а) и схематический вид получаемых на ней фотографических зависимостей пути от времени (б) [63].
136
Глава 3
Рис. 3.22. Сравнение перемещений снаряда по результатам оптических измерений и расчета по измеренным деформациям [63].
Сечение на расстоянии 40 мм от носка модели:-расчет по измеренным деформациям, • ••• результаты
оптических измерений,-----расчет в предположении погрешности - 5%.
стоянии 40 мм от носка. Результаты оптических измерений (черные точки) хорошо согласуются с результатами обработки данных о деформации стержня. Чтобы учесть ограниченную чувствительность метода, предполагалось, что измеренные деформации на 5% меньше истинных. Однако при введении 5%-ной поправки расчетная кривая сильно смещалась относительно данных, полученных с помощью скоростной киносъемки. Совпадение результатов подтверждает как точность измерения деформаций, так и надежность метода анализа результатов с помощью теории простой волны. Однако этот вывод справедлив лишь для деформаций, не превышающих 7%. В то же время деформации, измеряемые в процессе проникания, достигали гораздо больших значений, и это потребовало продолжения экспериментальных исследований при меньших скоростях соударения, когда медленно перемещающиеся уровни больших деформаций могут успеть отойти от мишени и попасть в поле зрения кинокамеры.
Ховер пришел к выводу, что для получения зависимости глубины проникания в мишень от времени необходимо совместно использовать результаты измерений на неподвижных стержнях и на неподвижных мишенях. Однако при таком подходе возникает ряд неопределенностей, главные из которых связаны со степенью достоверности экспериментальной зависимости глубины проникания в мишень от времени и переводом результатов измерений на мишени к неподвижной системе координат. Был выполнен ряд экспериментов, в которых велась оптическая регистрация лицевой и тыльной поверхностей мишени. Измерялись объемы пробоины и выпуклости на тыльной поверхности мишени, а затем с помощью теории Тейта [129-131] определялась глубина проникания, при которой начинает выпучиваться тыльная поверхность мишени.
Проникание и пробивание твердых тел
137
По результатам этих экспериментов, данным Незервуда [ЮЗ] для мишени и результатам измерений с помощью датчиков строилась диаграмма зависимости пройденного пути от времени в неподвижной системе координат (рис. 3.23). Хотя справедливость некоторых допущений, принятых при таком подходе, не очевидна, полученная зависимость глубины проникания от времени представляется соответствующей действительности. Чтобы оценить надежность используемых методов, проводятся дополнительные эксперименты.
Незервуд [103] изучил несколько экспериментальных методов получения зависимости глубины проникания от времени для случая соударения по нормали стержней со стальными мишенями при скоростях около 1 км/с. При соударении стальных снарядов со стальными мишенями возникают трудности, связанные с измерением эрозии и скорости проникания, так как материалы обладают близкими свойствами и трудно отличить материал снаряда от материала мишени. Перед снарядом возникают высокоамплитудные волны напряжений и фронт пластических деформаций, которые оказывают влияние и на материал мишени, и на датчики. Кроме того, любое нарушение монолитности мишени может сильно повлиять на ее поведение в процессе соударения. Слоистая мишень обладает меньшей прочностью, чем сплошная той же толщины, а механизм проникания в тонкую мишень иной, чем в толстую. Тем не менее, чтобы разместить в мишени датчики, приходится так или иначе изменять ее конструкцию.
Наиболее надежные результаты были получены на мишени, конструкция которой показана на рис. 3.24. В отверстия, просверленные в пластине из катаной гомогенизированной броневой стали толщиной 25,4 мм, помещают изолированные провода. При проникании снаряда в такую мишень провода, расположенные на разной глубине, закорачиваются и позволяют получить зависимость пути от времени. Для изоляции проводов использовались сапфир или тефлон. Оба материала являются хорошими изоляторами даже при высоких давлениях, но
Рис. 3.23. Зависимость пути от времени в неподвижной системе координат [63].
138
Глава 3
Рис. 3.24. Схема установки с мишенью, оснащенной контак 1ными датчиками [103].
/-мишень; 2-разрядная цепь, 3 -осциллоскоп, 4 - выключатель из майлара или бронзы, 5-медные или стальные проволочки, 6-тефлоновые или сапфировые изоляторы, 7 - просверленные отверстия диаметром 1,6 мм и глубиной 45 мм, 8-мишень
обладают совершенно разными механическими характеристиками: сапфир-очень твердый и хрупкий, а у тефлона пластичность сочетается с сопротивлением удару. Поскольку заметной разницы при использовании этих двух изоляторов обнаружено не было, предпочтение было отдано сапфиру, который давал более четкий сигнал.
Результаты ряда экспериментов по изучению соударений представлены на рис. 3.25. Как и в других экспериментах с толстыми мишенями при высоких скоростях соударения [21, 140], процесс проникания
Рис. 3.25. Глубина проникания в зависимости от времени для длинных снарядов [103].
Проникание и пробивание твердых тел
139
можно разделить на фазу входа, когда скорость проникания велика, фазу установившегося движения, когда скорость проникания близка к предельной, и фазу выхода. Судя по воспроизводимости результатов, метод Незервуда эффективен на фазах входа и установившегося движения. Однако он неэффективен на фазе выхода, когда тыльная поверхность мишени разрывается или из нее выбивается пробка. Метод непрерывно совершенствуется и позволит одновременно измерять скорость проникания и регистрировать движение мишени. Аналогичный метод, позволяющий измерять амплитуду давления в мишенях, разрабатывает Причард [109].
Экспериментальная установка PHERMEX в Лос-Аламосской исследовательской лаборатории дает другую ценную возможность изучения явления проникания [136]. В нее входит источник рентгеновского излучения с энергией 6 МэВ, способный создавать очень короткие импульсы, «просвечивающие» сталь на глубину до 200 мм, и позволяющий получать рентгенограммы снаряда в процессе его проникания в мишень. Трудно оценить значение этих данных для более глубокого понимания всех особенностей поведения материала при высоких скоростях нагружения, а также для проверки правильности численного моделирования. В работе [75] результаты численного решения дву- и трехмерных задач сравниваются с рентгенограммами, полученными на установке PHERMEX.
3.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Аналитические методы исследования проникания делятся на следующие три группы.
1. Эмпирические или квазианалитические. На основе корреляции большого числа экспериментальных данных записываются алгебраические уравнения, которые используются для расчетов и выбора условий последующих экспериментов. Обычно это делается в тесной связи с опытами, которые ставятся с целью обоснования выбора рабочих характеристик материалов или конструкций для решения конкретной задачи. Такой подход не дает существенного вклада в понимание поведения материалов или происходящих в них процессов и здесь не будет рассматриваться. Целый ряд таких моделей для случаев проникания и рикошета был проанализирован Рехтом [115]. Аналогичные модели механики проникания рассматриваются в одной из глав книги Бейкера и др. [22]. Содержательное обсуждение различных законов для действующих сил дано в работе [39]. Методы расчета проникания осколков в металлы приводятся в Справочнике уравнений проникания, изданном в 1977 г., а в работах [80, 124] приведены эмпирические формулы для случая проникания в бетон.
2. Приближенные аналитические методы. Разрабатывая эти методы, сосредоточивают внимание на одном из аспектов задачи (например, образовании пробки, лепестков, осколков, кратера и т.п.), вводят упрощающие допущения, которые облегчают решение основных уравнений
140
Глава 3
сплошной среды, сводя их к одно- или двумерным алгебраическим или дифференциальным уравнениям. Затем пытаются решить эти уравнения, для чего нередко приходится прибегать к дополнительным упрощениям. За редкими исключениями, эти методы основаны на предположении, что либо снаряд, либо мишень являются абсолютно твердым телом, и опираются либо на закон изменения количества движения, либо на закон сохранения энергии, либо на тот и другой сразу. Лишь в немногих работах рассматриваются одновременно деформация и снаряда, и мишени. Более того, почти все эти методы требуют введения эмпирических констант или таких характеристик материалов, которые трудно получить или измерить.
3. Численные методы. Чтобы полностью решить задачу о соударении, приходится прибегать к численному решению полных уравнений механики сплошной среды. Методы конечных разностей и конечных элементов позволяют решать полные системы уравнений в частных производных, обладают большей гибкостью, чем разнообразные алгебраические уравнения, и позволяют точно моделировать переходные процессы. Строго говоря, они также являются приближенными (решаются системы конечно-разностных уравнений, а не сами дифференциальные уравнения), однако в настоящее время погрешности, обусловленные неточным знанием свойств материалов, во много раз больше погрешностей, присущих самим численным методам. Остальная часть главы посвящена рассмотрению модельных решений.
В большей части моделей рассматривается либо один механизм разрушения (образование пробки, расширение отверстия), либо один из законов сохранения (энергии или количества движения). Лишь в немногих моделях учитывается несколько механизмов разрушения, т.е. комбинация таких процессов, как сжатие, образование пробки, разрыв, инерция мишени, скоростной напор, трение и сопротивление. В зависимости от количества эмпирических данных, требуемых для построения моделей, их можно также разделить на описательные и расчетные, однако здесь мы этим заниматься не будем.
Обычно при построении аналитических моделей для упрощения задачи снаряд считают абсолютно твердым и недеформируемым. Это позволяет избавиться от некоторых математических трудностей, правда, дорогой ценой ухода от реальности, за исключением случая пробивания очень тонких преград. Как правило, при построении модели мишени делается ряд дополнительных допущений следующего характера.
1. Влияние соударения локально. Предполагается, что в соударении участвует лишь небольшая часть мишени, размеры которой сравнимы с диаметром снаряда. Остальная часть мишени в соударении не участвует.
2. Перемещениями абсолютно твердого тела можно пренебречь.
3. Тепловые явления можно не учитывать, т.е. можно пренебречь трением, нагреванием ударной волной и изменением свойств материала.
4. В начальный момент мишень свободна от напряжений.
Проникание и пробивание твердых тел
141
В работе [20] отмечается, что эти допущения обычно полезны. Исключение составляют некоторые ситуации вблизи баллистического предела. Если и существует общая тенденция в отношении аналитических моделей, то это-стремление к простоте. Часто используются простейшие подходы и критерии разрушения, главным образом потому, что невозможно точно предсказать сложное поведение материалов в процессе соударения. Существует поразительная и здравая приверженность к принципу, который в вольном переводе гласит: «Если уж тебе суждено ошибиться, ошибись как можно проще и дешевле!»
Опубликовано несколько превосходных обзоров работ по моделированию соударений с баллистическими скоростями. В работе [104] дан обзор 245 статей, в которых такое соударение рассматривается с точки зрения механики, а в работе [55]-обзор работ по пробиванию тонких мишеней при попадании в них снарядов под прямым углом.
3.2.1. ПРОНИКАНИЕ В ПОЛУ БЕСКОНЕЧНЫЕ МИШЕНИ
Хотя прониканию в полубесконечные мишени со сверхвысокими скоростями уделялось значительное внимание, число публикаций, в которых рассматриваются артиллерийские скорости, весьма ограничено. Проникание недеформируемых снарядов в пластические мишени исследовал Брукс [27]. В основе его модели лежит аэродинамическая аналогия, так как считается, что снаряд движется в жесткопластической среде. Модель позволяет рассмотреть фазу входа, когда носок снаряда погружается в мишень, изменение напряжения пластического течения с увеличением глубины проникания, предел упругости, ниже которого не происходит непрерывного расширения отверстия, и, кроме того, позволяет рассматривать снаряды, передняя часть которых образована двумя конусами. Рассчитана форма кратера и глубина проникания, проведено сравнение с экспериментальными данными для нескольких сочетаний материалов снаряда и мишени. Результаты расчета хорошо согласуются с формой профилей кратеров, образуемых в мягких алюминиевых сплавах снарядами из стали и карбида вольфрама, а также в мягкой стали и стали 4340 снарядами из карбида вольфрама. В числе важнейших результатов исследования-обнаружение существования критического значения безразмерного баллистического числа (отношения мгновенного динамического инерционного давления к местному напряжению пластического течения), ниже которого диаметр кратера равен диаметру снаряда, а также наблюдение, что при полууглах при вершине более 55° практически нет разницы в профилях отверстий, образующихся при данной скорости. Было также показано, что глубина проникания сильно зависит от величины полуугла при вершине снаряда (при 10° она на 50% больше, чем при 55°).
Брукс [28] выдвинул также гипотезу, объясняющую поведение пластических снарядов при соударении с толстыми мишенями. Существуют аналитические методы исследования соударения абсолютно твердых снарядов и снарядов из податливых материалов, поведение которых
142
Глава 3
подчиняется законам гидродинамики. Однако в случае деформируемых снарядов, когда прочность снаряда является существенным фактором, его деформирование сильно зависит от скорости соударения, динамических характеристик снаряда и материала мишени, а также от формы снаряда в данный момент времени. При некоторой скорости соударения деформирование снаряда характеризуется динамической неустойчивостью, которая может привести к переходу от практически упругого поведения к существенно гидродинамическому. Скорость, при которой это происходит, называется скоростью гидродинамического перехода. Основываясь на результатах большой программы экспериментальных исследований, Брукс предложил следующую последовательность деформационных событий.
1. При всех скоростях проникания материал мишени ускоряется в радиальном направлении, т.е. наружу от оси проникания, при прохождении снаряда.
2. При проникании со сравнительно малыми скоростями кинетическая энергия, сообщаемая материалу мишени в виде радиального движения, превращается в энергию упругой деформации, так что поверхность снаряда все время остается в контакте с материалом мишени.
3. С ростом скорости соударения растет и радиальное ускорение материала мишени; кинетическая энергия, сообщаемая материалу мишени, становится сравнимой с энергией упругой деформации, в результате чего уменьшается степень гидростатического подпора, действующего на снаряд со стороны мишени.
4. В носке снаряда наклон его поверхности к траектории максимален, вследствие чего радиальное ускорение материала мишени здесь больше, чем в любой другой точке оживала. Этот эффект выражен еще заметнее в случае, когда материал мишени существенно упрочняется при пластической деформации.
5. При скорости перехода кинетическая энергия, сообщаемая материалу мишени вблизи носка, достигает уровня, при котором она превышает энергию упругой деформации, и материал мишени уже не может далее создавать гидростатическое противодействие деформации снаряда в поперечном направлении.
6. Как только в остром носке снаряда начинается деформация, процесс становится неустойчивым. С образованием сферического затупления носка радиальное ускорение материала мишени увеличивается и превышает уровень, при котором еще возможно достаточное гидростатическое противодействие для следующего элемента оживала за деформированной точкой. Скорость деформации прогрессивно увеличивается, что в конце концов приводит к полному разрушению оживала и образованию другого динамически устойчивого профиля.
Согласно баллистическим испытаниям снарядов с оживальной передней частью, скорость перехода обратно пропорциональна радиусу носка, что подтверждает выдвинутую гипотезу. Оказалось также, что при заданной форме снаряда скорость перехода можно увеличить, уменьшив деформацию носка подбором соответствующего материала. Мно
Проникание и пробивание твердых тел
143
гие важные моменты гипотезы Брукса подтверждаются также результатами численных исследований эффективности баллистических наконечников, изготовленных из разных материалов и установленных на длинных цилиндрических снарядах [160].
Тейт [132] предположил, что скорость гидродинамического перехода зависит от относительных скоростей эрозии стержня и распространения волны пластических деформаций. Он считает, что если скорость эрозии стержня больше скорости распространения больших пластических деформаций, то последние не выходят за пределы окрестности носка снаряда, т.е. области высокой энтропии и температуры, и в этом случае проникание снаряда подобно прониканию струи. В работе [132] приведены выражения для скорости распространения больших пластических деформаций и скорости гидродинамического перехода для снарядов, имеющих форму прямых круговых цилиндров, при нормальном соударении с толстыми мишенями в функции эмпирической динамической прочности стержня и мишени, а также динамической скорости упрочнения или динамического касательного модуля материала стержня. Эти результаты качественно согласуются с результатами стрельбы медными стержнями по медным же мишеням.
В работах [129, 130] предлагается модифицировать уравнение Бернулли, включив в него два прочностных параметра (напряжения в материалах стержня и мишени, при превышении которых последние начинают вести себя как жидкости). Это необходимо для того, чтобы определить замедление длинного стержня после попадания в толстую мишень. Значения прочностных параметров определяются опытным путем. Экспериментальные данные посредственно (а в некоторых случаях плохо) согласуются с этой теорией и указывают на сильную зависимость результатов расчета от принятых значений двух указанных прочностных параметров. Развивая это направление, Тейт [131] разработал модели, описывающие деформацию мягкого стержня, соударяющегося с жесткой мишенью, и проникание жесткого снаряда в мягкую мишень. Он указал на теоретическую возможность убывания глубины проникания с увеличением скорости соударения. Однако этот вывод не подтверждается результатами экспериментов.
Совсем недавно Тейт разработал модель рикошета длинных стержней [133]. Проблема рикошета имеет давнюю историю, однако до сих пор нет удовлетворительной теории, описывающей этот процесс. Обзоры значительной части ранних исследований рикошета артиллерийских снарядов от металлических пластин, почвы, бетона и поверхности воды даны в работах [70, 116]. Рикошет недеформируемых шариков от металлических поверхностей рассмотрен в работе [19]. Были выполнены и другие исследования соударения недеформируемых снарядов с различными средами при больших углах наклона к нормали к поверхности [35-37, 69, 73, 125].
Рехт выделяет следующие три основных фактора, определяющие изменение направления движения снаряда и его скорости при соударении с мишенью под большими углами относительно нормали к поверхности.
144
Глава 3
1. При соударении снаряд и мишень сжимаются. Упругая составляющая полной энергии деформации, поглощенной мишенью, восстанавливается и приводит к изменению движения снаряда.
2. Направление и величина результирующей сил сопротивления, действующих на снаряд, зависят от характеристик поверхностей мишени и поверхностей контакта материалов (которые влияют на изменения геометрии и отражение волн напряжений), а также от деформаций, развивающихся при высокоскоростном соударении.
3. Сдвиговые напряжения и силы трения препятствуют движению снаряда и снижают его скорость. Кроме того, если результирующая сил сопротивления не проходит через центр масс снаряда, то на него действует вращающий момент.
Рикошет от тонкой пластинки возможен лишь при соударении с ней под очень малым углом к ее поверхности. Поэтому в большинстве моделей и эмпирических соотношений толщина пластины не учитывается. В этом состоит одно из допущений, принятых в модели Тейта. Кроме того, Тейт пренебрегал замедлением стержня (сечение которого для простоты расчетов предполагалось квадратным), учитывал эрозию поверхности стержня и использовал свою модифицированную гидродинамическую теорию [129, 130]. При этих предположениях он получил следующее выражение для критического угла рикошета:
tg3p>
2 ррГ2 /L2 + D2\ Т Ур \ LD )
1 +
(3.5)
Здесь индексы put относятся соответственно к снаряду и мишени, (3-угол между направлением движения снаряда и нормалью к поверхности мишени, У-скорость соударения, D- диаметр снаряда, L-ero длина, р-плотность, а У-характеристическая прочность снаряда, связанная с пределом упругости Гюгонио для данного материала. Критический угол, при превышении которого снаряд рикошетирует, зависит в первую очередь от плотности, удлинения и прочности снаряда. Поскольку тангенс угла рикошета равен кубическому корню из комбинации этих переменных, критический угол довольно слабо от них зависит. Эта модель хорошо описывает поведение стержня при соударении с мишенью под малыми углами р. Если толщина мишени и форма передней части снаряда сильно влияют на его поведение при соударении, то наилучшие результаты дает численное решение задачи.
Значительных успехов в исследовании процессов проникания добились Бернсайд, Торвик и Свифт [32], и их работу следует продолжить с целью обобщения и развития теории соударения под углом к поверхности мишени. Предложенный ими подход представляет собой модификацию теории Гудьера [56], разработанную для абсолютно твердых снарядов и больших глубин проникания, и позволяет учесть влияние прочности снаряда на форму кратера. Предполагается, что сферический снаряд не разбивается на осколки, когда полностью застревает в мишени. В экспериментах использовались снаряды из алюминиевого спла
Проникание и пробивание твердых тел
145
ва 7075-Т6, которыми стреляли в мишени, изготовленные из алюминия 6061-Н. Измеренные значения диаметра и глубины кратера при скоростях до 2 км/с хорошо согласовывались с расчетными (по среднему диаметру кратера в пределах 0-8%). При более высоких скоростях соударения и использовании снарядов из более прочных материалов расхождение между экспериментальными данными и результатами расчета увеличивалось (при сверхвысоких скоростях оно достигало 13%).
Простую модель взаимодействия относительно толстой мишени с жестким шариком, попадающим в нее по нормали, разработал Персон [107]. Предполагается, что движению шарика препятствуют силы инерции и упругопластического трения, причем учитывается снижение сопротивления вследствие влияния боковых граней и тыльной поверхности мишени. Модель включает не менее восьми свободных параметров, для определения которых приходится ставить специальные эксперименты. В связи с этим стоит процитировать Гленна и Янаха [49]: «...увеличение числа параметров для удовлетворительного физического объяснения расхождения между теорией и экспериментом допустимо в разумных пределах. В этой связи нам напомнили недавно высказывание, приписываемое французскому математику Коши, который заметил, что, имея четыре параметра, он сможет построить удовлетворительную модель слона, а при пяти параметрах заставить его размахивать хвостом».
3.2.2. ПРОНИКАНИЕ В МИШЕНИ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ
Пробиванию пластин конечной толщины уделялось большее внимание. В работах [44-46] дан обстоятельный обзор теоретических аспектов проникания и пробивания и обосновано применение линейной теории упругости к задачам пробивания очень тонких пластинок при скоростях менее 1,2 км/с и продолжительности соударения менее 50 мкс. Разрушение связывается с достижением критической величины октаэдрического касательного напряжения. Полученные результаты с экспериментом не сравнивались. В работах [41, 42] напряжения в металлических снарядах и керамических мишенях исследуются на основе линейной теории упругости. Приведенные в них экспериментальные данные производят большое впечатление.
Расширение пробоин в пластичных мишенях рассматривается в работах [25, 43, 87, 134]. Томпсон [135] и Браун [29] использовали ква-зидинамический энергетический подход для изучения образования лепестковых пробоин в тонких пластинках. В работах [85, 86] теория Томпсона использована для оптимизации формы снаряда. Эти подходы весьма остроумны и позволяют широко применять математический аппарат, однако их эффективность невелика, так как очень тонкие пластинки редко применяются для бронирования. Голдсмит [55] довольно подробно рассмотрел аналитические методы описания расширения пробоин.
В основанном на балансе энергии анализе, о котором шла речь вы
146
Глава 3
ше, не учитываются влияние распространения волн, образование трещин, трение, адиабатический нагрев и влияние скорости деформации. В работе [157] предполагается, что эффекты проникания распространяются с конечной скоростью, и вводится понятие «зоны действия», в которой их проявления особенно заметны. С помощью закона сохранения количества движения, а также используя понятие «эффективной массы» мишени, авторы этой работы нашли силу сопротивления, замедление и заглубление недеформируемого конического снаряда, проникающего в тонкую пластинку по нормали к ее поверхности. В дальнейшем этот подход был развит на случаи усеченного конического и оживального снарядов [106], а также усеченных конусов, соударяющихся с мишенью под углом [158]. Недостаток этого в целом элегантного метода заключается в необходимости заранее знать характер деформации мишени, что требует от пользующихся им исследователей глубокого понимания явления проникания. Расчетные зависимости скорости от пройденного пути довольно хорошо согласуются с экспериментальными данными (расхождение составляет 10-25%).
В работе [ПО] рассматривается деформация пластинки из вязкого материала жестким снарядом. В пределах круглой площадки на поверхности мишени задается постоянная начальная скорость; считается, что сдвиговые напряжения обладают центральной симметрией, пдстоянны по толщине пластинки и являются единственной составляющей напряжения, которой нельзя пренебречь. Чтобы получить по этой теории поле перемещений, надо знать коэффициент вязкости и скорость деформации. В работе [100] эта теория модифицирована введением эмпирической «константы ударной текучести», имеющей размерность напряжения. Предполагается, что при напряжениях ниже этой величины материал мишени ведет себя как квазижесткий, а выше-течет как вязкая жидкость. Модифицированная модель позволяет определить окончательную форму мишени, но, поскольку оказалось, что упомянутая константа ударной текучести должна меняться по мере смещения выбиваемой из мишени пробки, эта модель становится практически бесполезной. .
В работах [12, 14, 15] рассматривается пробивание металлических пластин снарядами, соударяющимися с ними по нормали. Процесс проникания делится на три взаимосвязанные стадии, а образование пробки и ее выбивание рассматривается как основной механизм пробивания (рис. 3.26). Предполагается, что на первой стадии сдвигом можно пренебречь. Она может рассматриваться как стадия сжатия, на которой снаряд испытывает воздействие инерционной силы и силы сжатия. Инерционная сила возникает вследствие ускорения массы мишени в месте контакта со снарядом в направлении его движения. Сила же сжатия, действующая на снаряд, определяется прочностью на сжатие материала мишени, пребывающего в контакте со снарядом. Кроме того, предполагается, что на этой стадии проникания масса снаряда увеличивается за счет присоединения к нему массы мишени.
Вторая стадия проникания наступает с развитием сдвига по поверх-
Проникание и пробивание твердых тел
147
Рис. 3.26. Три стадии проникания [14].
а-первая стадия, б-вторая стадия, в-конец второй стадии, г-третья стадия
ности формирующейся пробки, которая будет выбита из мишени. На этой стадии к действующим на снаряд силам инерции и сжатия добавляется сдвигающая сила, возникающая за счет движения части материала мишени, ускоряемой снарядом, относительно мишени в целом.
На третьей стадии снаряд и пробка движутся вместе как единое твердое тело, преодолевая силу сдвиговых напряжений, которые действуют по всей боковой поверхности пробки на всей ее длине. Теория позволяет определить скорость снаряда после пробивания преграды, найти зависимость силы от времени и время контакта для процесса пробивания, включающего прогиб мишени, формирование пробки и расширение пластической каверны в мишени. Однако ряд параметров при таком подходе приходится находить экспериментально. К ним относятся диаметры входного и выходного отверстий, длина пробки, коэффициент вязкости материала мишени и ширина зоны сдвига. Для определения последней авторы воспользовались аналитическим выражением из работы [34]. При известных значениях указанных параметров результаты экспериментов по пробиванию свинцовыми пулями стальных и алюминиевых мишеней хорошо согласуются с расчетными значениями остаточной скорости и времени пробивания.
В работе [16] Авербух и Боднер модифицировали свою теорию пробивания преграды по нормали к поверхности, развив ее на случай соударения под углами, при которых пробивание не сопровождается рико
148
Глава 3
шетом или разрушением снаряда. Основное отличие модифицированной теории состоит в том, что в ней используется эффективная толщина мишени, т.е. ее толщина в направлении стрельбы, а выражения для силы и количества движения соответствующим образом видоизменены. Результаты расчета по этой теории хорошо согласуются с данными стрельбы свинцовыми пулями калибра 5,6 мм по алюминиевым мишеням толщиной 2-6 мм.
Симпсон [123] предложил модель проникания и пробивания для скоростей соударения в интервале значений 1,2-5 км/с. Он полагал, что на первой стадии проникания происходит гидродинамическая эрозия материала снаряда. На второй стадии эрозия снаряда продолжается и начинается деформация мишени с образованием пробки. На последней стадии материал снаряда полностью расходуется и из мишени выбивается пробка. Все стадии деформирования соответствуют рассмотренным в работах [12, 100]. Автор не смог найти экспериментальных данных о пробивании мишеней в рассмотренном им диапазоне скоростей и поэтому приводит сравнение только для случая проникания в толстые мишени, сопоставляя расчетные и экспериментальные значения глубины проникания и диаметра отверстия при стрельбе длинными стержнями и при проникании кумулятивных пестов. Для стержней согласие в целом было хорошим. Работа [123] содержит также обширную аннотированную библиографию и программу для решения полученной системы уравнений на ЭВМ.
Деформация и пробивание тонких пластинок сферическими и коническими снарядами рассматриваются в работах [33, 52, 54]. Последняя из них представляет интерес, поскольку в ней сделаны оценки относительных величин, характеризующих прогиб пластинки и образование пробки на основе зарегистрированных показаний тензодатчиков, которые наклеивались на переднюю и заднюю поверхности мишени. В работе [54] показано также, что с ростом скорости соударения механизм проникания изменяется, и вместо прогиба мишень получает пробоину.
В работе [94] рассматривается образование пробки при скоростях соударения, близких к баллистическому пределу. Если скорость соударения намного больше предельной, то мишень поглощает как раз столько энергии, сколько нужно, чтобы в ней образовалась пробоина, и теории, в которых снаряд считается жестким, дают лучше согласующиеся с экспериментом результаты, чем в случае соударения со скоростями, близкими к баллистическому пределу. При этих скоростях мишень поглощает больше энергии и сильно прогибается. В предложенной в работе [94] модели использованы допущения теории мембран и критерий пробивания с образованием пробки, в который входит критический угол прогиба мишени. Эта модель применима лишь для очень тонких пластинок и малых скоростей соударения. Рассчитанные по ней критические скорости снарядов совпадают в пределах 10% с данными экспериментов, в которых цилиндрические стержни из мягкой стали соударялись с мишенями, также изготовленными из мягкой стали, со скоростями 38-170 м/с.
Проникание и пробивание твердых тел
149
Вудвард и Демортон [148] вычислили критические скорости, соответствующие образованию пробки, а также остаточные толщину и скорость пробки. В основе их модели лежит баланс энергии и предположение, что прониканию препятствуют напряжения сдвига и силы трения. Учитывается также ускорение пробки. Сравнение с экспериментальными данными дает хорошее согласие по критическим скоростям и остаточным скоростям пробок и плохое-по толщинам пробок. Поскольку снаряд считается жестким, эта модель больше подходит для расчета соударения с мишенями из малопрочных материалов.
В работах [150, 151] развита теория разрушения мишени с расширением отверстия и прогибанием при ударе остроконечными снарядами. В случае недеформируемых снарядов эта теория позволяет получить достаточно хорошие оценки для критических скоростей при ударе по металлическим мишеням с учетом их механических свойств. Кроме того, она дает возможность судить об эффективности материалов мишеней с точки зрения их веса и стоимости.
Вудвард [149-152] изучал также различные типы разрушения мишеней при ударе заостренными снарядами. В результате был разработан оригинальный метод исследования образования пробок под действием адиабатического сдвига, в основе которого лежит естественная геометрическая неустойчивость. Аналогичным образом можно изучать механизм разрушения отколом.
Ковальский и др. [83], используя одномерную волновую теорию и предполагая, что разрушение мишени обусловлено сдвигом, графически определили минимальную скорость соударения, необходимую для выбивания пробки. В работе приведен пример численного решения задачи, но нет сравнения с экспериментом.
Многие исследователи пытались определить минимальную скорость, необходимую для пробивания пластинки, и скорость снаряда после пробивания. Простые модели основаны на принятом конкретном типе разрушения мишени и законе сохранения энергии или количества движения (иногда и того и другого вместе), а также на нескольких удачно введенных эмпирических константах. Нишиваки [105] предложил способ вычисления остаточной скорости, при котором предполагается, что суммарное сопротивление движению жесткого конического снаряда является функцией динамического и статического давлений. Предположение о том, что вытесненный материал мишени продолжает находиться в контакте с носком снаряда, позволяет записать выражение для динамического давления. Статическое давление считается свойством материала. Габберт [47] модифицировал теорию Нишиваки, предположив, что частицы материала мишени вытесняются в направлении движения снаряда со скоростью, равной скорости движения снаряда, а не по нормали к его поверхности со скоростью, равной проекции скорости снаряда на это направление. Результаты расчетов по теории Нишиваки и ее модификации, предложенной Габбертом, сравнивались с большим числом экспериментальных данных. И те и другие оставляют желать лучшего.
150
Глава 3
Рехт и Ипсон [112] разработали способ расчета остаточной скорости жесткого снаряда, опираясь на законы сохранения энергии и количества движения и считая, что разрушение мишени происходит путем выбивания из нее пробки. В этой модели требуется заранее знать величину минимальной скорости, необходимой для пробивания преграды. Они предложили также выражение для этой скорости, в которое входят диаметр, длина и плотность снаряда, скорость звука в материале снаряда, сдвиговая прочность и плотность материала мишени, ее толщина и скорость звука в ней. Гир [48] приводит выражение для остаточной скорости снаряда, мало отличающееся от опубликованного в работе [112]. Ипсон и Рехт [71] предложили способ определения минимальной скорости пробивания с помощью баллистического маятника. В работе Вудолла и др. [147] опубликовано большое количество данных по выбиванию пробок и пробиванию мишеней при скоростях, при которых можно ожидать дробление пробки. Частичное обоснование этой модели предложено одним из ее авторов, Хейда. Несколько приближенных методов расчета предельной баллистической скорости предложил Уэйдман [138, 139]. Его методы применимы лишь для случая пробивания тонких пластин или листов короткими цилиндрическими снарядами. Уэйдман предполагает, что пробивание происходит, когда скорость деформации меньше некоторого критического значения, а сама деформация превышает другую критическую величину. Основным механизмом разрушения он считает сдвиг и находит критические значения деформации и ее скорости графически через отношение масс. Пробивание тонких листов считается результатом выбивания пробки, поперечные касательные напряжения принимаются постоянными по всей толщине пластинки, а материал мишени рассматривается как вязкопластическое тело Бингама. Масса снаряда считается малой по сравнению с массой выбиваемой пробки, и принимается, что разрушение происходит тогда, когда радиус отверстия становится равным радиусу снаряда. Используя разложение деформации и ее скорости в ряд, предложенное Чу [34], Уэйдман получил выражение для критерия разрушения и, оборвав ряд на втором члене, получил выражение для предельной баллистической скорости в явном виде. Два первых члена ряда дают решение, хорошо согласующееся с точным (в пределах 5%), особенно при малых скоростях. Сравнения с экспериментом не делалось.
Модель для вычисления предельной и остаточной скоростей предложил Хейда [66], который предполагал, что образование пробки и сопротивление движению снаряда определяются двумя составляющими давления, а именно: очень большой составляющей, величина которой определяется законами гидродинамики, так как предполагается, что при очень высоких давлениях на границе между пробкой и снарядом образуется тонкая жидкая зона, и составляющей давления, необходимой для преодоления касательных напряжений, препятствующих выбиванию пробки. Касательные напряжения считаются постоянными по толщине пластинки. Затем предполагается, что механическая работа затрачивается только на преодоление касательных напряжений.
Проникание и пробивание твердых тел
151
Лёонё [93] разработал модель образования пробки, в основу которой положены уравнение баланса энергии и эмпирическое выражение для предельной баллистической скорости, предложенное в работе [31]. Он сравнивал результаты расчета остаточной скорости по своей модели и девяти другим-от чисто эмпирических до чисто теоретических. Близкие к реальным результаты дают две эмпирические модели-его собственная и Рехта-Ипсона [116].
В работе Ламберта и Джонаса [88] дан обзор теорий проникания, в которых снаряды считаются недеформируемыми. Авторы отмечают, что, несмотря на все разнообразие предложенных моделей, таких, как модель Понселе - Морэна, основанная на использовании силы сопротивления, теория Рехта и Ипсона, в которой они опираются на законы сохранения энергии и количества движения, и ряд других моделей, предложенных Нишиваки, Томпсоном, Зейдом и Полем, все они неизменно сводятся к одной форме, а именно:
JO, r vs>vh (ib)
где Vs-скорость соударения снаряда с мишенью, Vr-остаточная скорость снаряда, Pj-предельная баллистическая скорость, определяемая выражением
Pj = max{Ks:K = 0} = inf{Ps:K>0}. (3.7)
Все рассмотренные модели в конечном счете отличаются лишь способом определения а и Р/. Анализ имеющихся экспериментальных данные также показал, что они могут быть представлены в указанном выше виде, т. е. через остаточную скорость снаряда. Это представление особенно эффективно в тех случаях, когда деформация снаряда не слишком велика. Зависимость (3.6) обобщена и представлена в виде
fo,o<rs<r,
r [«(rf-KfV'p, vs>vh { ’
где а, р и Р/- параметры, оптимальные значения которых выбираются в каждом конкретном случае. В работе [90] приведены уравнения для определения значений параметров а, р и в случае пробивания стальных и алюминиевых мишеней длинными стержнями (приложение А).
В работе [40] рассматривается пробивание разнесенных пластин, причем особое внимание уделяется сопоставлению известных уравнений для остаточных скоростей, полученных в предположении, что разрушение мишени происходит путем выбивания пробки, а также оценке скоростей и характеристик материалов, при которых происходит разрушение снаряда, выполненной на основе рассмотрения простейшей системы ударных волн. В работе [156] сделан глубокий анализ этой проблемы и дан обзор посвященных ей публикаций и экспериментальных
152
Глава 3
данных для случая соударения закаленных стальных цилиндрических снарядов с одно- и многослойными мишенями из мягкой стали при скоростях до 500 м/с.
Уилмс и Брукс [143] рассматривали снаряд как шарнирно закрепленную или защемленную (работающую на срез) вертикальную стойку со свободным верхним концом и получили значения нестационарных изгибающих и касательных напряжений при соударении под углом. Решения в замкнутом виде найдены с помощью преобразований Лапласа и сложных граничных условий, для упрощения которых предполагалось, что носок снаряда погружен в мишень и на него действуют гидродинамические силы. Последнее допущение вполне оправдано, если отношение толщины мишени к диаметру снаряда больше единицы, т.е. в случае толстых мишеней. Исследована зависимость напряжений сдвига от угла соударения. Авторы пришли к выводу, что при соударении под углом 60° к нормали октаэдрическое касательное напряжение в 3,3 раза больше, чем при соударении под прямым углом.
Количественные оценки явлений трения и нагрева стали камнем преткновения для многих исследователей из-за разнородности теоретических и экспериментальных результатов. Уингроув [144] экспериментально получил кривые силы в зависимости от времени для снарядов с плоской, полусферической и оживальной передней частью, соударяющихся с алюминиевыми мишенями со скоростями до 240 м/с. Он пришел к выводу, что форма снаряда не влияет на максимальное значение силы, но на характер деформации и разрушения она оказывает сильное влияние. Уингроув также заключил, что, за исключением значений скорости вблизи баллистического предела, влияние трения, вероятно, пренебрежимо мало, и ссылается на результаты, полученные Крафтом [84], который измерял силу трения между снарядом и мишенью в процессе проникания с помощью стержня Гопкинсона крутильного типа. Крафт пришел к выводу, что на преодоление трения скольжения затрачивается не более 3% энергии, которой снаряд обладает при ударе. Однако это противоречит выводам авторов работ [97, 98, 141], которые объясняют работой сил поверхностного трения нагрев снарядов, пробивающих толстые алюминиевые мишени, до 1200°С. Еще раньше силы, препятствующие прониканию, определял Маскет [99].
Гордон [57] предпринял попытку использовать модель Хейда [66] совместно с уравнением теплопроводности, чтобы найти распределение температуры по поверхности мишени в процессе соударения. Он предполагал, что тепло распространяется только в радиальном направлении и что скорости снаряда и пробки одинаковы. Сравнение с результатами эксперимента показало, что эта модель далека от действительности.
В работе [19] развит аналитический метод, в котором поведение системы шарик-пластина представляется только через движение одного шарика. Траектория шарика разбивается на отрезки, в пределах которых скорость и кривизна считаются постоянными. Сила сопротивления представлена в виде, предложенном Понселе (квадратичном по скорости), а разрушение мишени моделируется разгрузкой заданных ее
Проникание и пробивание твердых тел
153
участков по достижении критической глубины проникания. Результаты расчета в основном хорошо согласуются с экспериментальными данными.
Помимо других качественному анализу адиабатического сдвига посвящены работы [18, ИЗ, 126, 145, 146, 154]. В настоящее время он является предметом интенсивных исследований с помощью ряда разрабатываемых математических моделей. Механику неустойчивости при проникании изучал Вудворд [150, 151]. Опубликован ряд обзоров и обсуждений термодинамических аспектов возникновения неустойчивости [24, 120, 121]. Проблема улавливания снарядов рассматривается в работе [155]. Обзор исследований по изучению проблемы улавливания баллистических осколков был дан Рехтом [114].
Фактически во всех моделях пробивания тонких пластинок снаряды считаются жесткими, недеформируемыми телами. Исключение составляют модели Хаскелла [61] и Рехта [117]. В обеих предполагается, что разрушение мишени происходит путем выбивания пробки. Хаскелл характеризует поведение стержня распространением одномерной пластической волны, использует простой критерий разрушения при максимальной деформации и при рассмотрении процесса пробивания использует уравнение сохранения энергии. Рехт придерживается концепций, выдвинутых Дж. Тейлором, и рассматривает потерю массы как многоступенчатый процесс, характеризуемый разностью между относительной скоростью движения деформированной и недеформированной частей снаряда и скоростью материала в пластической волне. Модель Рехта позволяет вычислить потери массы при прохождении фронта ударной волны, длины деформированной и недеформированной частей и массу выдавленного материала, оставшегося после пробивания. Обе модели позволяют достаточно точно (по сравнению с имеющимися ограниченными экспериментальными данными) определить остаточную массу и длину снаряда.
Приближенные модели сложных процессов, происходящих при соударении, помогают понять основные механизмы, определяющие поведение сталкивающихся твердых тел, велико их значение и для упорядочения, а также предварительного анализа экспериментальных данных. Надо, однако, отдавать себе отчет в том, что возможности таких моделей весьма ограничены, и часто в их основе лежат эмпирические константы, замаскированные под «свойства материала». Попытки использовать такие модели за пределами области, в которой справедливы сделанные при их построении допущения, или за пределами базы данных, ца основе которых получены входящие в них эмпирические константы, приводят к ошибочным как в количественном, так и в качественном отношении выводам.
Более общие решения можно получить путем численного интегрирования основных уравнений механики сплошной среды. Несмотря на неопределенности, связанные с критерием разрушения, существующие программы для ЭВМ позволяют получать впечатляющие результаты.
A
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОСТАТОЧНОЙ СКОРОСТИ
ПРИ ПРОБИВАНИИ МИШЕНИ ДЛИННЫМИ СТЕРЖНЯМИ
В работе Ламберта [90] описана методика определения остаточной скорости длинных стержней, соударяющихся с однослойными мишенями из катаной гомогенизированной броневой стали RHA, в зависимости от скорости соударения и характеристик системы снаряд - мишень. Методика разработана на основе экспериментальных данных и известных теоретических исследований. Приведены уравнения для определения значений параметров а, р и FJ в соответствии с общей «стандартной» формой представления зависимости Vr от Fj:
СО,
Vs>Vb
(АЛ)
Эта форма, общие свойства и возможность приведения ее в соответствие с известными экспериментальными данными по Vs и Vr обсуждаются в работе [88]. Нас здесь будет интересовать только возможность осуществления прогноза на ее основе.
Будем пользоваться следующими обозначениями: М-масса снаряда, г; L-длина снаряда, см; D-диаметр снаряда, см; Т-толщина мишени, см; р-плотность материала мишени, г/см3; 0-угол соударения; Мг-остаточная масса снаряда, г; предельная баллистическая скорость (или ее оценка), м/с; Vr-остаточная скорость снаряда, м/с; Vs-скорость соударения, м/с. Под «длинным стержнем» будем понимать почти цилиндрическое тело с удлинением не менее 4.
АЛ ПРЕДЫСТОРИЯ И РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ
Предсказание предельной баллистической скорости имеет большое практическое значение, и на разработку методов ее прогноза было затрачено немало сил и времени. Поскольку проникание-сложный, далеко не полностью понятый ппоцесс, его исследование велось главным образом экспериментальными методами. Часто для определения предельной баллистической скорости использовали комбинацию MVj/D3, называемую удельной предельной энергией (так как в числителе здесь стоит удвоенная кинетическая энергия снаряда при движении с предельной баллистической скоростью Fj).
В 1886 г. Демарре предложил неудобную с точки зрения размерно
Проникание и пробивание твердых тел
155
стей формулу для случая нормального соударения
М Vf/D3 = alT^/D1’5), (А.2)
где а - постоянная. (Интересный и обширный обзор ранних попыток определения предельной скорости дан в работе Кертиса.)
Широко известны формулы, называемые модифицированными формулами Демарре, в которых (для случая соударения по нормали) удельная предельная энергия пропорциональна некоторой степени T/D:
MVf/D3 = a(T/D^, (А.З)
где а и р~ эмпирические константы. В случае соударения под углом к нормали Т заменяют на Т-^(0), где некоторая функция угла соударения (например, секанс). Значения постоянных аир обычно выбирают на основе имеющегося опыта. На практике фиксированные значения а и Р оказываются пригодными лишь для узкого диапазона характеристик системы снаряд - мишень и почти для каждого случая приходится выбирать свои значения а и р. В литературе можно найти любые значения а в диапазоне от 1 до 2. Обычно значения этих параметров определяют обработкой имеющихся экспериментальных данных по предельной скорости методом регрессии.
Хотя, по существу, формула (А.З) была введена эмпирически, ее выводил . также на основе теоретического анализа механики проникания. В классической работе [25] Бете для оценки защитных свойств броневой плиты пользовался теорией упругости. Рассматривая прогрессивное расширение отверстия в броне вследствие вытеснения материала в поперечном направлении, он пришел к выводу, что предельная энергия должна быть пропорциональна TD2, и тем самым получил формулу (А.З) при Р = 1. Постоянное гидростатическое давление а, препятствующее прониканию, считалось кратным пределу текучести материала мишени. (Позднее Дж. Тейлор модифицировал теорию Бете и получил иное значение а.) В других ранних теориях [159] постулировались разные типы разрушения мишени (такие, как образование лепестковых пробоин или выбивание пробки) и предполагалось, что предельная энергия пропорциональна T2D, т. е. принимался вариант формулы (А.З) с Р = 2.
В ряде ранних работ Робертсона дан ценный описательный анализ цикла проникания и излагается новаторская работа Понселе, предположившего (еще в 1840 г.!), что сопротивление, испытываемое снарядом при прохождении сквозь пластинку, является линейной функцией квадрата его скорости. Это предположение широко используется при исследовании проникания и в наши дни. В комментарии Тауба и Кертиса в дополнении к одной из работ Робертсона [119] обсуждаются подходы к определению предельной скорости, в основе которых лежат идеи Понселе и Бете. Предполагая, что теория Бете верна, когда снаряд находится в теле мишени, а при его приближении к ее тыльной поверхности
156
Глава 3
начинает действовать механизм разрушения с образованием лепестков, они вывели формулу
MV2/D3 = а [(Т/D) + Р], (А.4)
в которой а и р - постоянные, причем р<0. При выводе формулы (А.4) предполагается, что отношение толщины тыльной части мишени (в которой преобладающим механизмом разрушения становится образование лепестков) к диаметру снаряда постоянно, и затем показано, что Р - квадратичная функция этой постоянной. Основная идея вывода формулы (А.4) весьма привлекательна - по-видимому, реалистично предположить, что в процессе пробивания механизм разрушения мишени изменяется,-однако допущение о постоянстве р(р / 0) не может быть вполне верным, поскольку в пределе при Т-> 0 и постоянных М и D левая часть уравнения (А.4) должна стремиться к нулю (так как предельная энергия и, следовательно, удельная предельная энергия стремятся к нулю), а правая часть стремится к ар / 0. Тем не менее соотношение (А.4) обеспечивает общее качественное согласие с экспериментальными данными в более широком диапазоне параметров, чем другие модели, и поэтому его используют в качестве исходного.
Теперь подправим и модифицируем формулу (А.4) по следующим трем пунктам.
1. Заменим постоянную Р выражением ехр( — Т/D) — 1 -медленно меняющейся, монотонно убывающей ограниченной функцией Т/D, стремящейся к нулю вместе с Т. Это позволяет устранить отмеченное выше противоречие.
2. Заменим в левой части (А.4) D3 на D3~CLC, где с - постоянная, в соответствии с интуитивным представлением. Этот член должен частично учитывать объем снаряда (который приблизительно пропорционален D2L). Соответственно левую часть формулы (А.4) оставим неизменной, а правую умножим на (L/D)c.
3. Чтобы учесть произвольный угол соударения 0, заменим Т на Tsecfc0, где к-постоянная. Это-обычный способ учета угла соударения и толщины мишени, сводящийся к введению «эффективной толщины»; действительно, при к = 1 получаем путь, который проходит снаряд между передней и задней поверхностями мишени, двигаясь вдоль линии стрельбы.
Пусть z = z(k)= Tsec^/D и f(z) = z + e~z - 1. Тогда, преобразовав (А.4) в соответствии со сказанным выше, получаем
MVj/D3 = a(L/D)cf(z), (А.5)
или
V , = j/a(L/D)cf(z)(D3/M). (А.6)
Значения параметров а, с и к должны быть определены экспериментально. Исходя из набора имеющихся экспериментальных данных по предельным баллистическим скоростям для случая пробивания длинны
Проникание и пробивание твердых тел 157
ми стержнями мишеней из стали RHA 11 (скорость-в метрах в секунду), используя выражение (А.6) и определяя методом наименьших квадратов оптимальные значения указанных трех параметров, получаем а = (4000)* 2 * *, с = 0,3, к = 0,75.
Тогда рабочая формула для оценки предельной баллистической скорости в случае пробивания однослойных мишеней из стали RHA длинными стержнями принимает вид
Vi = 4000 (L/D)0’15 ]/f(z)(D3/M), м/с, (А.7)
® ("zV где z = T(secO)0,75/D; f(z) = z + e 1 — 1 = £ —;.
j = z J
Сделаем несколько замечаний о структуре формулы (А.7) и ее применении.
1. Совокупность данных, на основе которых выводится формула, получена для снарядов простых очертаний-по существу, прямых круговых цилиндров с конической, плоской или полусферической передними частями, для которых известны точные значения D, L/D и М. На практике снаряды не всегда имеют такую простую форму и может потребоваться введение «эффективных» значений этих входных параметров. Кроме того, совокупность данных получена для сравнительно толстых мишеней (Т/D > 1,5). Поэтому область применения формулы следует ограничить случаями, когда толщина мишени превышает 1,5 калибра снаряда.
2. В формулу не входят в явном виде известные свойства материалов, такие, как прочность и твердость мишени; не учитывается в ней и форма передней части снаряда. Обычно влияние этих параметров замаскировано общим разбросом экспериментальных данных, и можно достичь немногого, пытаясь выделить влияние каждого из них на величину предельной скорости. Конечно, влияние формы передней части снаряда тем сильнее, чем тоньше мишень, и в случаях тонких мишеней (скажем, при Т/D < 2) к нему следует относиться весьма осторожно. Возможно также, что могут оказаться полезными некоторые динамические свойства материалов, которыми мы сейчас не располагаем.
Второй фазой построения модели для расчета остаточной скорости (в соответствии с формой (А.1)) должна быть оценка параметров аир. Практически имеющийся опыт нам здесь не может помочь.
Существенной предпосылкой при моделировании зависимости Vr от Vs является предположение, что снаряд во время проникания остается жестким и, следовательно, его масса сохраняется. Это предположение
° База данных о предельных скоростях, которой пользовался Ламберт, содер-
жала предельные скорости для 200 экспериментальных ситуаций при широком диа-
пазоне изменения определяющих параметров: масса снаряда изменялась от 0,5 до
3630 г, диаметр-от 0,2 до 5 см, удлинение-от 4 до 30, толщина мишени - от 0,6 до
15 см, угол наклона к нормали - от 0 до 60°, плотность материала стержня - от 7,8 до 19 г/см3.
158
Глава 3
вместе с допущениями о потерях энергии на работу против напряжений сдвига при выбивании пробки (и, вероятно, на преодоление других видов сопротивления) облегчает запись уравнений сохранения массы и количества движения, поскольку если масса М сохраняется, то количество движения и энергия снаряда после пробивания равны соответственно МУГ и MVy/2. Поскольку значения этих величин перед соударением известны, можно легко построить общую схему «теоретической» модели проникания. Обычно принимаемые допущения о жесткости снаряда и ряд других далеки от реальности и практически не могут быть обоснованы, если толщина мишени относительно велика. Так, например, в серии из 38 выстрелов стержнями массой 65 г по мишеням толщиной 25,4 и 38,1 мм под разными углами к мишени и с разными скоростями остаточная масса стержней составляла менее половины начальной [89]. Вероятно, правильней считать остаточную массу снаряда некоторой возрастающей функцией скорости соударения, а не постулировать ее постоянство и равенство начальной массе.
Предполагая, что при больших скоростях соударения сумма количеств движения осколков за мишенью примерно равна количеству движения снаряда до соударения (т.е. пренебрегая количеством движения, поглощенным мишенью), можно записать
п MrVr+ £ -> MVS при Vs -> 00, (А.8)
i= 1
где массы осколков мишени и снаряда, обладающих соответственно скоростями F-. Обычно большинство величин, входящих в уравнение (А.8), определить не удается. Пусть М' = pnD3z/4. Можно сделать два следующих основных допущения при рассмотрении предельного поведения системы при Vs -► оо. п
1. Y, = hM'Vr, где А-постоянная, М' - приближенное (в случае i= 1
соударения по нормали-точное) значение массы материала мишени в объеме цилиндра, «вырезаемого» проекцией снаряда на нее до соуда-п
рения. Таким образом, мы полагаем, что пропорциональна KO-
I'= 1
личеству движения гипотетической «пробки» массой М', имеющей скорость Vr. Члены, подобные M'Vr, часто используются в традиционных «пробочных моделях», чтобы учесть остаточное количество движения осколков мишени.
2. Мг/М -► 1. Это гораздо более слабое допущение, чем часто принимаемое, но далекое от действительности допущение, что при всех скоростях соударения Mr = М.
С учетом допущений 1 и 2 преобразуем уравнение (А.8) к виду MVS - hM'Vr - MVr -► 0 при Vs оо
или Vr/Vs -» MKhM’ + М) при Vs -> оо . (А.9)
Проникание и пробивание твердых тел
159
Но правая часть выражения (А.9) представляет собой тангенс угла наклона асимптоты кривой ^(^), иначе говоря, равна параметру а в уравнении (А.1). По имеющимся экспериментальным данным, h= 1/3. Поэтому
а = М/(М + 1/ЗЛГ).
(АЛО)
Осталось, наконец, определить параметр р. Традиционные теории, в которых снаряд считается жестким телом, неизменно ведут к моделям, соответствующим форме (АЛ) при р = 2. Такие модели хорошо описывают процесс соударения в тех случаях, когда снаряд мало деформируется или совсем не деформируется. Поэтому Ламберт считал, что функция р должна быть чувствительной к эффективной безразмерной толщине мишени и быть возрастающей ее функцией, т. е. функцией z = = 7/D(sec0)0’75, и, кроме того, быть близкой к 2 для «тонких» пластинок, стремясь к 2 при Т -► 0. Простой функцией, обладающей указанными свойствами, является
p = 2 + z/3.
(АЛ1)
А.2. МОДЕЛЬ
В итоге соберем вместе соотношения, формирующие прогнозную модель. Пусть
z = T/D sec°’75e,
00 (— z)J f(z) = z + e z- 1 = £ ,
J=2 j!
M' = pnD3z/4, a = M/(M + М'/З), p = 2 + z/3,
^ = M(L/D)°-15|//(z)(D3/A/),
где и = 4000 для мишеней, изготовленных из стали RHA (р = 7,8 г/см3). Тогда
СО, 0^ Vi [a(VP-V^ Vs>Vi.
Замечания
1. Для случая проникания в алюминиевые мишени Ламберт рекомендует использовать значения и — 1 750 и р = 2,74. Мы надеемся, что выписанные выше формулы будут полезны и для характеристики проникания в другие материалы, однако при этом придется вводить другие (эмпирические) значения и, полученные из эксперимента, и соответствующие значения плотности р.
160
Глава 3
2. С меньшей уверенностью (мало пока экспериментальных данных) Ламберт также предлагает пользоваться приведенными формулами применительно к прониканию осколков. Если плотность материала осколков р, а известная или ожидаемая эффективная площадь осколка, т.е. его проекция в направлении полета на поверхность мишени в момент соударения, равна А, то, приняв D = 2]/л/тс и L = M/Ap, можно воспользоваться приведенными выше уравнениями.
Б
Приложение
ПАРАМЕТРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ПРЕДЕЛЬНУЮ БАЛЛИСТИЧЕСКУЮ СКОРОСТЬ
Предельная баллистическая скорость снарядов, проникающих в преграду только за счет своей кинетической энергии, зависит от целого ряда параметров, в числе которых твердость, плотность и предел текучести материала снаряда, длина, диаметр и форма носка снаряда, толщина мишени, угол рыскания снаряда и угол, под которым он соударяется с мишенью. Одно из наиболее содержательных исследований в этой области было выполнено Грабареком [59]. В этом приложении собраны его основные результаты.
Б.1. ВЛИЯНИЕ ТВЕРДОСТИ МАТЕРИАЛА НА ПРЕДЕЛЬНУЮ БАЛЛИСТИЧЕСКУЮ СКОРОСТЬ
Для оценки влияния твердости материала мишени были проведены стрельбы по мишеням конечной толщины и практически полубеско-нечным мишеням. В табл. Б.1 приведены геометрические параметры и свойства материалов при соударении с мишенями конечной толщины.
На рис. Б.1 приведены мгновенные рентгеновские снимки стержня при подлете к мишени, в процессе проникания сквозь нее и после ее пробивания. Стержень из мягкой стали (твердость по Бринелю Нв = = 200) после пробивания пластинки остается целым, но его передняя часть претерпевает значительную пластическую деформацию, и он теряет около 7% своей начальной массы. Стержень из стали средней твердости (Нв = 285) деформируется меньше, но, будучи более хрупким, теряет 28% своей массы. Наконец, твердый стержень (Нв = 600) деформируется еще меньше, но в процессе проникания разбивается на части. Масса двух самых крупных обломков составляет приблизительно 66%
Проникание и пробивание твердых тел
161
Таблица Б.1. Условия испытаний
Характеристики стержня
Материал-сталь AISI 1090, Нв = 200, 285, 600
Масса 7,78 г
Форма-цилиндр с удлинением 20
Форма передней части-конус с углом при вершине 50°
Характеристики мишени
Материал-катаная гомогенизированная броневая сталь RHA, Нь = 280
Толщина 6,35 мм
Начальные условия
Скорость соударения 1052 м/с
Угол соударения 0° (нормальное соударение)
начальной массы стержня. Приведенные данные показывают, что при почти одинаковой скорости соударения остаточная скорость стержня с увеличением его твердости по Бринелю от 200 до 600 увеличивается на 29%, однако это достигается ценой дробления стержня.
Аналогичные опыты при фиксированной скорости соударения (625 м/с) были выполнены с толстыми мишенями (сталь AISI 6150, Нв = 190, толщина 76 мм). Стержни были изготовлены из того же материала и имели те же размеры, что и представленные в табл. Б.1, но бы-
1060 0,5
юзо 1
106 7 0,5
802 7,19
900 5,64
1050
3,11-
2,01
Рис. Б.1. Рентгенограммы проникания снаряда.
Снаряды стержни из стали 1090 удлинением 20 и массой 7,78 г, закаленные до разной твердости, мишень пластинка из стали RHA толщиной 6,35 мм, Hq = 280 ± 20, соударение по нормали
162
Глава 3
^1600
200 400 600 800 1000 1200 MOO 1600
Скорость соударения, м/с
Рис. Б.2. Влияние твердости материала снаряда на предельную баллистическую скорость.
Твердость материала снарядов: О Hg = 555 — 600; А Hg = 375 — 430, х Hg = 255 — 285 (а), А—А сталь RHA. Hg = 370; □—□ сталь RHA, Hg = 220, О—О мягкая сталь, Hg = 140 (б)
ли закалены до Нв = 220, 375 и 600. Два первых стержня при ударе существенно деформировались, лишь незначительно углубившись в мишень (на 1,52 и 3,3 мм соответственно). Самый твердый стержень (Нв = 600) не деформировался и проник в мишень на глубину 19,81 мм, которая в 13 раз больше, чем в случае стержня с Яв = 220.
Влияние твердости снаряда на величину предельной баллистической скорости показано на рис. Б.2. Стержни из стали AISI 1066, закаленные до твердости Нв = 255 ч- 285, 375 Ч- 430 и 555 Ч- 600, устанавливались перпендикулярно поверхности мишени толщиной 6,35 мм, изготовлен-
Проникание и пробивание твердых тел
163
Рис. Б.З. Влияние твердости на остаточную массу снарядов.
Твердость материала снарядов О НВ = 550 - 600, Д Нв = 375 — 430; □ Нв = 255 - 285
Цифры по оси ординат надо умножить на коэффициент 0,0648
ной из катаной гомогенизированной броневой стали с твердостью Нв = 380. Они имели удлинение 10, диаметр 5,6 мм и конический носок с углом при вершине 50°. Целью опытов было измерение сопротивления мишени прониканию в зависимости от твердости стержня в диапазоне скоростей соударения 635-1375 м/с.
Согласно данным, приведенным на рис. Б.2, с увеличением твердости стержня от Нв = 255 ч- 285 до Нв = 555 -? 600 предельная баллистическая скорость снижается на 25%. Однако при скоростях соударения более 1200 м/с твердость стержня мало влияет на остаточную скорость. В этих экспериментах ни один стержень не раздробился, но оказалось, что остаточная масса стержня Мг сильно зависит от твердости. С ростом скорости соударения и твердости остаточная масса стержней возрастает (рис. Б.З).
Б.2. ВЛИЯНИЕ УГЛА РЫСКАНИЯ ПРИ СОУДАРЕНИИ
Большая часть снарядов подлетает к мишени, получив на траектории те или иные возмущения (рис. Б.4). Малые углы рыскания слабо влияют на проникающую способность снаряда, особенно в тех случаях, когда мишень гораздо больше его по размерам. Однако с увеличением угла рыскания глубина проникания убывает, а деформация и разрешение снаряда проявляются сильнее.
Грабарек [59] оценил влияние угла рыскания на предельную баллистическую скорость по данным об остаточной скорости для длинных стержней, которые соударялись с броневыми плитами при разных углах
164
Глава 3
Рис. Б.4. Траектория снаряда.
Рис. Б.5. Влияние угла рыскания снаряда в момент соударения с мишенью на предельную баллистическую скорость.
рыскания. На рис. Б. 5 показано приращение предельной баллистической скорости в зависимости от угла рыскания. Видно, что в случае нормального соударения с мишенью при угле рыскания снаряда до 3° предельная . баллистическая скорость увеличивается менее чем на 1%. Однако при больших значениях угла рыскания увеличение предельной баллистической скорости становится значительным. При соударении с мишенью под большими углами к нормали критический угол рыскания может быть менее 1°.
Б.З. ВЛИЯНИЕ ПЛОТНОСТИ
Плотность материала мишени сильно влияет на величину предельной баллистической скорости. На рис. Б.6 представлены результаты отстрелов по стальным пластинам стержнями массой 65 г, удлинением 10,
Проникание и пробивание твердых тел
165
Рис. Б.6. Влияние материала снаряда на предельную баллистическую скорость.
О—О инструментальная сталь S7, □—□ карбид вольфрама; А—А вольфрамовый сплав, О—О уран.
с полусферической передней частью, изготовленными из стали, карбида вольфрама, вольфрамового сплава W2 и обедненного урана. Предельная баллистическая скорость представлена в зависимости от толщины мишени в направлении стрельбы. Видно, что при более высоких скоростях соударения и большей толщине мишеней снаряды из материалов высокой плотности обладают большей проникающей способностью. Однако при малых скоростях соударения с тонкими мишенями предпочтительны стальные снаряды и снаряды из карбида вольфрама. Важнейшими свойствами материала снарядов являются твердость и прочность на сжатие, с ростом которых проникающая способность снарядов растет, а их деформация и степень разрушения становятся минимальными.
Б.4. ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ПЕРЕДНЕЙ ЧАСТИ СНАРЯДА
Форма передней части снаряда сильно влияет на его проникающую способность при скоростях, при которых напряжения в нем меньше динамического предела текучести материала. Чем сильнее притуплен носок снаряда, тем выше предельная баллистическая скорость. Если же снаряд подлетает к мишени со скоростью, при которой напряжения в нем превосходят динамический предел текучести его материала, то форма носка практически не влияет на предельную баллистическую скорость.
В табл. Б.2 приведены результаты испытаний стальных снарядов массой 14,6 г и удлинением 10, закаленных до Н$ = 555, передние части которых были выполнены в виде полусферы, конуса с углом при верши-
166
Глава 3
Таблица Б.2. Предельные баллистические скорости
Форма передней части (диаметр Предельная баллистическая стержня 6,35 мм) скорость, м/с
Угол соударения
0° 60е
Полусфера 875 1213
Конус 892 1262
Затупленная 942 1273
Тангенциальное оживало с — 1225
удлинением 2,1
не 40°, имели затупленную форму и форму тангенциального оживала длиной 2,1 калибра. Мишени в виде плит толщиной 12,7 мм были изготовлены из катаной гомогенизированной стали с Яд = 380. Соударение происходило под углами к нормали 0 и 60°. Минимальная предельная баллистическая скорость была получена для снарядов с полусферическими передними частями при обоих значениях угла соударения. Однако разница в величинах предельных скоростей для снарядов с полусферическими, коническими и оживальными передними частями очень мала (не более 4%). Максимальная скорость для пробивания брони требуется снарядам с затупленной передней частью. Она превышает минимальную предельную баллистическую скорость для снарядов с полусферическим носком приблизительно на 6,5%.
Б.5. ВЛИЯНИЕ УДЛИНЕНИЯ СНАРЯДА
Грабарек [59] провел испытания стальных и вольфрамовых стержней с двумя разными удлинениями, стреляя ими по броне из стали RHA. Стержни имели постоянную массу 65 г, удлинение 5 и 10 и полусферические передние части. Они были изготовлены из стали S7 твердостью = 380 и вольфрамового сплава W2 твердостью Нв = 290. Мишень представляла собой стальную пластину толщиной 25,4 мм (Нв = 380), угол соударения составлял 60°.
На рис. Б.7 показано, как влияют плотность и удлинение на предельную баллистическую скорость. При одной и той же массе и удлинении вольфрамовые (р = 18,6 г/см3) стержни имели предельную баллистическую скорость на 18% меньше, чем стальные (р = 7,8 г/см3). Влияние удлинения на предельную баллистическую скорость хорошо видно на примере обоих испытанных материалов. При изменении удлинения вольфрамовых стержней от 5 до 10 Vj убывает на 13%, а стальных-на 8%. Аналогичные результаты, но в гораздо большем объеме были получены в опытах со стальными стержнями с полусферическими передними частями, стальными мишенями разной толщины, углах соударения 0, 45 и 60° [88, 89]. На рис. Б.8 показана зависимость предель-
Проникание и пробивание твердых тел
167
Рис. Б.7. Влияние удлинения и плотности снаряда на предельную баллистиче
скую скорость.
О—О инструментальная сталь S7, □—□ вольфрамовый сплав W2.
Рис. Б.8. Влияние безразмерной толщины мишени на предельную баллистическую скорость.
Д L/D = 5,0 L/D = 10, □ L/D = 20
ной баллистической скорости от безразмерной толщины мишени. Параметр e/D учитывает толщину Т и угол соударения 0 и определяется выражением
е Т / 1 4- 2 sec 0 \ ~D= ~D\ 3 у
168
Глава 3
ЛИТЕРАТУРА
1. Proc. 1st Hypervelocity and Impact Effects Symp., Santa Monica, CA, 1955.
2. Proc. 2nd Hypervelocity and Impact Effects Symp., Washington, D. C., 1957,
3. Proc. 3rd Symp. on Hypervelocity Impact, Chicago, IL., 1959.
4. Proc. 4th Symp. on Hypervelocity Impact, Eglin AFB, FL., 1960.
5. Proc. 5th Symp. on Hypervelocity Impact, Denver, CO., 1961.
6. Proc. 6th Symp. on Hypervelocity Impact, Cleveland, OH., 1963.
7. Proc. 7th Hypervelocity Impact Symp., Tampa, FL., 1965.
8. Proc. AIAA Hypervelocity Impact Conference, Cincinnati, OH., 1969.
9. Penetration Equations Handbook for Kinetic Energy Penetrators, Joint Technical Coordinating Group for Munitions Effectiveness, 61 JTCG/ME-77-16! 1977.
10. Arajs V., An Investigation of Forces on a Projectile During Perforation of Thin Alumin Platex, M.S. Thesis, Air Force Institute of Technology, Wright-Patterson AFB, Ohio, 1971.
11. Arbuckle A. L., Herr E. L., Ricchiazzi A. J., Ballistic Research Laboratory, BRL-MR-2264 (AD908362L).
12. Awerbuch J., Technion-Israel Institute of Technology, MED Rpt No. 28, 1970.
13. Awerbuch J., Bodner R.S., Technion-Israel Institute of Technology, MED Rpt No. 41, 1973.
14. Awerbuch J., BodnerS. R., I nt. J. Solids Struct., 10, 671 (1974); также Technion-Israel Institute of Technology, MED, Rpt No. 40, 1973.
15. Awerbuch J., BodnerS. R., Int. J. Solids Struct., 10, 685, (1974).
16. Awerbuch J., BodnerS. R., Exp. Meeh., 17, 147 (1977).
17. Backman M. E., Naval Weapons Center, NWC TP 578, 1976.
18. Backman M.E., Finnegan S. A., in Metallurgical Effects at High Strain Rates, R. W. Rhode et al. (Eds.), Plenum Press, N.Y., 1973.
19. Backman M.E., Finnegan S. A., Naval Weapons Center, NWC TP 5844 (AD A030268), 1976.
20. Backman M.E., Goldsmith W., Int. J. Eng. Sci., 16, 1 (1978).
21. Baker J. R., Naval Research Laboratory, NRL 6920, 1969.
22. Baker W. E., Westine P. S., Dodge F. T., Similarity Methods in Engineering Dynamics, Hayden Book Co., Rochelle Park, N.J., 1973.
23. Baker W.E., Shock and Vibration Digest, 7, No. 7, 107 (1976).
24. Bedford A. J., Wingrove A. L., Thompson K. R. L., J. Aust. Inst. Metals, 19, 61 (1974).
25. Bethe H.A., Ordnance Lab., Frankford Arsenal, 1941.
26. Bluhm J. I., Proc. Soc. Exp. Stress Anal., 13, 167 (1956).
27. Brooks P. N., Defense Research Establishment Valcartier, DREV R-686/73, 1973.
28. Brooks P. N., Defense Research Establishment Valcartier, DREV 4001/74, 1974.
29. Brown A., Int. J. Meeh. Sci., 6, 257 (1964).
30. Brunton J. H., Rochester M. C., in Treatise on Materials Science and Technology Vol. 16: Erosion, С. M. Preece (Ed.), Academic Press, N.Y., 1979. [Имеется перевод: Эрозия/Под ред. К. Прис.-М.: Мир, 1982, с. 201.]
31. Burch G.T., Jr., Avery J. G., Air Force Flight Dynamics Laboratory, AFFDL-TR-70-115, 1970.
32. Byrnside N. C., Torvik P.J., Swift H.F., J. Basic Eng., Trans. ASME, 94, 397 (1972). [Имеется перевод: Бернсайд, Торвик, Свифт. Образование кратера при средних скоростях соударения-Труды амер, об-ва инж.-мех., сер. D: Теоретические основы инженерных расчетов, 1972, № 2, с. 152.]
33. Calder С. A., Goldsmith W., Int. J. Solids Struct., 7, 863 (1971).
Проникание и пробивание твердых тел
169
34. Chou Р. С., in Developments in Mechanics, J. E. Lay, L. E. Malvern (Eds.), North-Holland, Amsterdam, 1961.
35. Daneshi G. H., Johnson W., Int. J. Meeh. Sei., 19, 555 (1977).
36. Daneshi G. H, Johnson W, Int. J. Meeh. Sei., 19, 661 (1977).
37. Daneshi G. H., Johnson W., Int. J. Meeh. Sei., 20, 255 (1978).
38. Davison L., Graham R.A., Phys. Re., 55, 257 (1979).
39. Dehn J., Ballistic Research Laboratory, ARBRL-TR-02188, 1979.
40. DunnW.P., Huang Y.K., Watervliet Arsenal, WVT 7267 (AD 756403), 1972.
41. Florence A. L., Ahrens T. J., Army Materials Research Agency, AMRA-CR-67-05 (F), 1967.
42. Florence A. L., Army Materials and Mechanics Research Center, AMMRC-CR-69-15, 1969.
43. Freiberger W., Proc. Comb. Phil. Soc., 48, 135 (1952).
44. Fugelso L. E., Arentz A. A., Jr., Poczatek J. J., American Machine and Foundry Co., Mechanics Research Div., MRD 1127 (AD 272947), Vol. 1, 1961.
45. Fugelso L.E., Arentz A. A., Jr., General American Transportation Corp., MRD 1127 (AD 421590), Vol. 2, 1962.
46. Fugelso L.E., General American Transportation Corp., 1964.
47. Gabbert R. D., M. S. Thesis, Air Force Institute of Technology, Wright-Patterson AFB, Ohio, 1970.
48. GiereA.C., AIAA J., 2, 1471 (1964). [Имеется перевод: Гир. Определение энергии и количества движения при перфорации пластин - Ракетная техника и космонавтика, 1964, № 8, с. 138.]
49. Glenn L.A., Janach W., Int. J. Fract., 13, 301 (1977).
50. Goldsmith W., Impact, Edward Arnold, London, 1960.
51. Goldsmith W., Appl. Meeh. Revs., 16, 855 (1963).
52. Goldsmith W., LiuT.W., Chulai S, Exp. Meeh., 5, 385 (1965).
53. Goldsmith W., in Kurtzzeitphysik, K. Vollrath, G. Thomer (Eds.), Springer-Verlag, N.Y, 1967.
54. Goldsmith W, FinneganS. A, Int. J. Meeh. Sei., 13, 843 (1971).
55. Goldsmith W, in Joint Technical Coordinating Group for Munitions Effectiveness, JTCG/ME Working Party for KE Penetrators, Information Exchange Meeting, Aberdeen Proving Ground, MD, 1973.
56. Goodier J, in Proc. 7th Hypervelocity Impact Symp, Tampa, Florida, 1975.
57. Gordon P. F, Frankford Arsenal, M73-6-1, 1973.
58. Grabarek C, Herr L, Ballistic Research Laboratory, BRL-TN-1634 (AD 807619), 1966.
59. Grabarek C, in Joint Technical Coordinating Group for Munitions Effectiveness, JTCG/ME Working Party for KE Penetrators, Information Exchange Meeting, Febr. 1973, U.S.A. Ballistic Research Laboratories, Aberdeen Proving Ground, MD, 1973.
60. Gupta A. D, Misey J. J, AIAA Paper 80-0403, presented at the AIAA Aerospace Sciences Meeting, Jan. 1980, Pasadena, CA, 1980.
61. Haskell D. F, Ballistic Research Laboratory, BRL-MR-2248, 1972.
62. HauverG. E, Int. J. Eng. Sei., 16, 871 (1978).
63. HauverG.E, in Proc. 5th Int. Symp. on Ballistics, Toulouse, France, 1980.
64. Herr L, Grabarek C, Ballistic Research Laboratory, ARBRL-MR-02860 (ADA062101), 1978.
65. Herrmann W., Jones A. H., Massachusetts Institute of Technology, Aeroelastic and Structures Research Laboratory, ASRL 99-1, 1961.
66. HeydaJ. F., General Electric Co., Tech. Memo. Rept. TM 70-002, 1970.
170
Глава 3
67. Hopkins Н. G., Kolsky H., in Proc. 4th Symp. on Hypervelocity Impact, Eglin AFB, Fl., 1960.
68. Huszarik F.A., Reichman J. M., Cheung J. B., in Erosion: Prevention and Useful Applications, W. F. Adler, (Ed.), American Society for Testing Materials, ASTM STP 664, 1979.
69. Hutchings I. M., Int. J. Meeh. Sci., 18, 243 (1976).
70. Ipson T. W., Recht R. F., Schmeling W. A., Naval Weapons Center, NWC TP5607, 1973.
71. Ipson T. W., Recht R. F., Exp. Meeh., 15, 249 (1975).
72. Johnson W., Impact Strength of Materials, Crane, Russak, N.Y., 1972.
73. Johnson W., Reid S.R., J. Meeh. Eng. Sei., 17, 71 (1975).
74. Johnson W., in Mechanical Properties at High Rates of Strain, Conference Series No. 47, Institute of Physics, London, 1979.
75. Jonas G. H., Zukas J.A., Int. J. Eng. Sei., 16, 879 (1978).
76. Jones N., Shock and Vibration Digest, 7, No. 8, 89 (1975).
77. Jones N., Shock and Vibration Digest, 10, No. 9, 21 (1978).
78. Jones N., Shock and Vibration Digest, 10, No. 10, 13 (1978).
79. Jones N., in Mechanical Properties at High Rates of Strain, Conference Series
No. 47, Institute of Physics, London, 1979.
80. Kennedy R.P, Nuc. Eng. and Des., 37, 183 (1976).
81. Kinslow R. (Ed.), High Velocity Impact Phenomena, Academic Press, N.Y., 1970. [Имеется перевод: Высокоскоростные ударные явления/Под ред. Р. Кинслоу.-М.: Мир, 1973.]
82. Komhauser М., Structural Effects of Impact, Spartan Books, Baltimore, 1964.
83. Kowalski S.J., Kolodziej J. A., Raniecki B., Nuc. Eng. and Des., 37, 225 (1976).
84. Krafft J. M., J. Appl. Phys., 26, 1248 (1955).
85. Kucher V., Ballistic Research Laboratory, BRL-R-1379 (AD 823537), 1967.
86. Kucher V., Ballistic Research Laboratory, BRL-R-1384 (AD 664138), 1967.
87. Kumari S., Int. J. Meeh. Sci., 17, 23 (1975).
88. Lambert J. P., Jonas G.H., Ballistic Research Laboratory, BRL-R-1852 (ADA021389), 1976.
89. Lambert J. P., Ballistic Research Laboratory ARBRL-TR-02072, 1978.
90. Lambert J. P., Ballistic Research Laboratory, ARBRL-MR-02828 (AD В 027660L), 1978.
91. Lambert J. P., Ringers B.E., Ballistic Research Laboratory, ARBRL-TR-02066, 1978.
92. Lascher F. R., Henderson D., Maynard D., Avco Systems Division, Wilmington, MA, AVSD-0306-75-RR, 1975.
93. LeoneS. G., Air Force Flight Dynamics Laboratory, AFFDL-TR-75-18, 1975.
94. Lethaby J. N., Skidmore I. C., in Mechanical Properties at High Rates of Strain, Conference Series No. 21, The Institute of Physics, London, 1974.
95. LethoD.L., Naval Ordance Laboratory, NOLTR-72-274 (AD 755429), 1972.
96. Levy S., Wilkinson J. P. D., The Component Element Method in Dynamics, McGraw, N.Y., 1976.
97. Mach H., Masur H., Muller H., Werner U., Deutsch-Franzosischer Forschungs-institut Saint-Louis, Report 32/73, 1973.
98. Mach H., Bundesministerium der Verteidigung, BMVg-FBWT-75-7, 1975.
99. Masket A.V., J. Appl. Phys., 20, 132 (1949).
100. Minnich H. R., Davids N., Penn. State University Dept, of Eng. Meeh., Interim Tech. Rep. No. 3, 1964.
Проникание и пробивание твердых тел
171
101. Misey J. J., Gupta A. D, Wortman J. D, in Emerging Technologies in Aerospace Structures, Design, Structural Dynamics and Materials, J. R. Vinson (Ed.), ASME, N.Y, 1980.
102. Moss G. L, Ballistic Research Laboratory, Technical Report ARBRL-TR-02242, 1980.
103. Netherwood P. H, Ballistic Research Laboratory, ARBRL-MR-02978, 1979.
104. Nicholas T, Air Force Materials Laboratory, AFML-TR-67-208 (AD 820356), 1967.
105. Nishiwaki J, J. Phys. Soc. (Japan), 6, 374 (1951).
106. Paul B, Zaid M, J. Franklin Inst., 265, 317 (1958).
107. Persson A, in Proc. 1st Int. Symp. on Ballistics, Orlando, FL, 1974.
108. Pitek M, Hammitt G. F, University of Michigan, Nuclear Eng. Dept, Technical Report No. 1 (AD 803278), 1966.
109. Pritchard D, Ballistic Research Laboratory, 1980 (частное сообщение).
НО. Pytel A, Davids N, J. Franklin Inst., 276, 394 (1963).
111. Rawlings B, in Mechanical Properties at High Rates of Strain, Conference Series No. 21, Institute of Physics, London, 1974.
112. Recht R. F, Ipson T. W, J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 30, 384 (1963). [Имеется перевод: Рехт, Ипсон. Динамика баллистической пробивки-Труды амер, о-ва инж.-мех, сер. Е: Прикладная механика, 1964, № 3, с. 73.]
113. Recht R. F, J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 31, 189 (1964). [Имеется перевод: Рехт. Разрушающий термопластический сдвиг-Труды амер, о-ва инж.-мех, сер. Е: Прикладная механика, 1964, № 2, с. 34.]
114. Recht R.F, in I. Meeh. E, 3rd Int. Conf, on High Pressure, University of Denver, Denver, Co, 1970.
115. Recht R. F, in Joint Technical Coordinating Group for Munitions Effectiveness, JTCG/ME Working Party for KE Penetrators, Information Exchange Meeting, Febr. 1973, U.S.A. Ballistic Research Laboratories, Aberdeen Proving Ground, Md, 1973.
116. Recht R.F, Ipson T. W, Denver Research Institute, DRI 2025 (AD 274128), 1973.
117. Recht R. F, in Workshop on Mechanics of Impact and Penetration, Ballistic Research Laboratory, 1976.
118. Recht R.F, Int. J. Eng. Sci., 16, 809 (1978).
119. Robertson H. P, National Defense Research Council, Armor and Ordance Report A-227, OSRD No. 2043, 1943.
120. Rogers H.C, Drexel University, unnumbered report for U.S. Army Research Office, 1974.
121. Rogers H.C, Ann. Rev. Mater. Sci., 9, 283 (1979).
122. Ross C. A, Strickland W. S, Sierakowski R. L, Shock and Vibration Digest, 9, No. 12, 15 (1977).
123. Simpson R. A, Honeywell Govt, and Aeronautical Products Div, 1972.
124. Sliter G.E, J. Struct. Div., ASCE, 106, 1023 (1980).
125. Soliman A.S, ReidS.R., Johnson W, Int. J. Meeh. Sci., 18, 279 (1976).
126. Stock T. A. C, Thompson K.R.L, Metal. Trans., 1, 219 (1970).
127. Summers D. A, in Treatise on Materials, Science and Technology, Vol. 16: Erosion, С.M. Preece (Ed.), Academic Press, N.Y, 1979. [Имеется перевод: Эрозия/Под ред. К. Прис.-М.: Мир, 1982, с. 423.]
128. Swift Н, in Dynamic Response of Materials to Intense Impulsive Loading, P. C. Chou and A. K. Hopkins (Eds.), U. S. Govt. Printing Office, Washington, D.C, 1972.
129. Tate A, Royal Armament Research and Development Establishment, RARDE Memorandum 46/67 (AD 824293), 1967.
172
Глава 3
130. Tate A., J. Meeh. Phys. Solids, 15, 387 (1976).
131. Tate A., J. Meeh. Phys. Solids, 17, 141 (1969).
132. Tate A., Int. J. Meeh. Sci., 19, 121 (1977).
133. Tate A, J. Phys. D: Appl. Phys., 12, 1825 (1980).
134. Taylor G. I., Quart. J. Meeh, and Appl. Math., 1, 103 (1947).
135. Thompson W.T., J. Appl. Phys., 26, 80 (1955).
136. Venable D., Boyd T. J., Jr., in Proc. 4th Int. Symp. on Detonation, Oct. 1965, Naval Ordance Laboratory, White Oak, MD., ACR-126, U.S. Govt. Printing Office, 1965.
137. Vinson J. R., University of Delaware, Dept, of Meeh, and Aerospace Eng. Tech. Rep. No. 89, 1968.
138. Weidman D.J., Al A A J., 6, 1622 (1968). [Имеется перевод: Уэйдмен. Упрощенный способ определения пределов пробивания тонких пластин-Ракетная техника и космонавтика, 1968, № 8, с. 211.]
139. Weidman D.J., National Aeronautics and Space Administration, NASA-TN-D-5556, 1969.
140. Weirauch G., Franco-German Research Institute, Saint-Louis, France, ISL Rpt 7/71, 1971.
141. Weirauch G., Lehr H.F., in 3rd Int. Symp. on Ballistics, Karlsruhe, GFR, 1977.
142. Wenzel A. B., Dean J. K., Ballistic Research Laboratory, BRL-CR-262, 1975.
143. Wilms E.V., Brooks P.N., Canadian Armament Research and Development Establishment, CARDE-TR-551/66, 1966.
144. Wingrove A. L., J. Phys. D: Appl. Phys., 5, 1294 (1972).
145. Wingrove A. L., Wulff G.L., J. Aust. Inst. Metals, 18, 167 (1973).
146. Wingrove A. L., Metal. Trans., 4, 1829 (1973).
147. WoodallS. R., HeydaJ. F., Galbraith H. J., Wilson L.L., Air Force Armament Laboratory, AFATL-TR-70-112, 1970.
148. Woodward R.L., de Morton M.E., Int. J. Meeh. Sci., 18, 119 (1976).
149. Woodward R. L., J. Aust. Inst, of Metals, 22, 167 (1977).
150. Woodward R.L., Int. J. Meeh. Sci., 20, 349 (1978).
151. Woodward R.L., Int. J. Meeh. Sci., 20, 599 (1978).
152. Woodward R. L., Metals Technol., 13, 106 (1979).
153. Wright J. P., Baron M. L., in High Velocity Deformation of Solids, K. Kawata, J. Shioiri (Eds.), Springer-Verlag, Berlin, 1979.
154. Yellup G. M., Woodward R. L., Res. Meeh., 1, 41 (1980).
155. ZaidA.I, El-Kalai A., Travis F.W., Int. J. Meeh. Sci., 15, 129 (1973).
156. ZaidA.I., Travis F.M., in Mechanical Properties at High Rates of Strain, Conference Series No. 21, The Institute of Physics, London, 1974.
157. Zaid M., Paul B., J. Franklin Inst., 264, 117 (1957).
158. Zaid M., Paul B., J. Franklin Inst., 266, 24 (1959).
159. Zener C., Holloman J., Watertown Arsenal Rpt, 710/454, 1942.
160. Zukas J. A., Jonas G. H., AIAA Paper 75-749, presented at the AIAA/ASME/SAE 16th Structures, Structural Dynamics and Materials Conference, Denver, Colorado, May 1975.
161. Zukas J. A., in Emerging Technologies in Aerospace Structures, Design, Structural Dynamics and Materials, J. R. Vinson (Ed.), ASME, N.Y., 1980.
4
МЕХАНИКА СОУДАРЕНИЯ СО СВЕРХВЫСОКИМИ СКОРОСТЯМИ
Хэллок Ф. Свифт
Physics Applications Inc.
В последние три десятилетия интерес к исследованиям соударения со сверхвысокими скоростями то ослабевал, то вспыхивал с новой силой. Эти исследования внесли большой вклад в разработку технологии антиракет и защиты космических аппаратов от ударов метеороидов, а также в изучение поведения материалов при сверхвысоких давлениях. В последнее время достижения в этой области используются для разработки высокоскоростного артиллерийского оружия и навели на мысль использовать соударения со сверхвысокими скоростями для инициирования реакций термоядерного синтеза.
Интересно проследить, как менялось определение этой области механики. Сначала оно связывалось с минимумом абсолютного значения скорости. Если скорость тела превышала этот минимум, то его соударение с преградой считалось сверхвысокоскоростным. Позднее к этой категории явлений стали относить соударения, сопровождающиеся специфическими явлениями, наиболее известное из которых - полное распыление материалов снаряда и мишени вблизи точки их первого контакта. Это определение получило широкое признание, так как оно позволяет существенно упростить исследование таких соударений. Если развивающиеся при соударении напряжения превосходят пределы прочности материалов снаряда и мишени во много раз, то они ведут себя как жидкость. Следовательно, по крайней мере начальную стадию соударения со сверхвысокой скоростью можно изучать, пользуясь законами гидродинамики. В результате математический анализ таких соударений значительно упрощается и уступает в этом отношении только математическому анализу упругих соударений. При этом изучение соударений в диапазоне сверхвысоких скоростей приобретает исключительное значение как исходная точка для разработки количественных теорий соударений с произвольными скоростями.
Значения скоростей, при которых можно пренебречь прочностью снаряда и мишени, меняются в широких пределах в зависимости от материалов снаряда и мишени. При скоростях менее 1 км/с этому условию удовлетворяют восковые мишени и снаряды (и, конечно, мишени
174
Глава 4
и снаряды, состоящие из жидкостей). При скоростях 1,5-2,5 км/с соответствующие явления происходят в снарядах и мишенях из мягких металлов, обладающих высокой плотностью, таких, как свинец, олово, золото, индий. В алюминии, стали, кварце и других подобных материалах явления, характерные для сверхвысокоскоростных соударений, происходят при скоростях 5-6 км/с. Для прочных материалов, обладающих малой плотностью, таких, как бериллий, бор и металлы его группы, высокопрочная керамика, например кремнезем, карбид бора и, наконец, алмаз, сверхвысокими являются скорости 8-10 км/с.
Очень интересны случаи, когда давление при соударении таково, что материал одного из соударяющихся тел начинает вести себя как жидкость, а материал другого еще сохраняет некоторую прочность. В этих случаях наблюдаются разнообразные явления, в результате которых снаряд может глубоко внедриться в мягкую малопрочную мишень и остаться целым либо, наоборот, разбиться о ее поверхность, причем мишень останется невредимой или же на ней появятся трещины и отколы.
4Л. МЕХАНИКА СВЕРХВЫСОКОСКОРОСТНОГО ПРОНИКАНИЯ
Явления, происходящие при соударениях со сверхвысокими скоростями, легче всего понять, рассмотрев следующие случаи.
1. Соударения с очень толстыми мишенями, боковые и задняя стенки которых не оказывают существенного влияния на формирование кратера.
2. Проникание в мишени промежуточной толщины, в которых отражение ударных волн от задней стенки мишени влияет на образование кратера.
3. Пробивание тонких преград снарядом с образованием снопа осколков, летящих с большими скоростями.
4.1.1. ПРОНИКАНИЕ В ТОЛСТЫЕ МИШЕНИ
При соударении снаряда с мишенью со сверхвысокими скоростями и в материале снаряда, и в материале мишени возникают ударные волны, пиковые давления в которых многократно превышают пределы прочности соответствующих материалов. При этом снаряд и мишень деформируются в соответствии с законами гидродинамики с учетом сжимаемости и сил инерции. Универсальным свойством кратеров, создаваемых «короткими» (все габаритные размеры примерно одинаковы) снарядами, летящими со сверхвысокими скоростями, является глубина проникания, равная примерно половине диаметра кратера, образующегося в мишени. Очевидно, предельным случаем «короткого» снаряда является шар, однако им могут быть также куб, цилиндр с удлинением 1, тупые конуса и т.п. Все они при сверхвысокоскоростном соударении с мишенью образуют кратеры аналогичной формы. Другим замеча
Механика соударения со сверхвысокими скоростями
175
тельным свойством таких кратеров является практически постоянное значение объема кратера Vc, отнесенного к кинетической энергии снаряда Ер, для каждой пары материалов снаряда и мишени
Vc = kEp. (4.1)
Значение коэффициента пропорциональности к зависит от прочностных свойств материалов снаряда и мишени и от характеристик возникающих в них ударных волн. Обычно его значения заключены в диапазоне 0,5-2 кДж/см3. Подставив в уравнение (4.1) выражение для объема кратера, который будем считать полусферой, получим следующее выражение:
Pc/Dp = (ppk/4)ll3Up13. (4.2)
Уравнение (4.2) выражает известный результат, согласно которому глубина проникания Рс (глубина кратера) при соударении со сверхвысокими скоростями пропорциональна скорости снаряда в степени 2/3. Поскольку в правой части выражения (4.2) нет членов с размерностью длины, размеры кратеров, образующихся при соударении, прямо пропорциональны размерам снаряда. Этот вывод был тщательно проверен и оказался почти точным-глубина кратера, отнесенная к диаметру снаряда, пропорциональна диаметру снаряда в степени 0,06:
Pc/Dp = (Ppk/W* Dp'06 Up13 ; Vc = kEpD0/2. (4.3)
Если отношение линейных размеров равно 1:5 или 1:10, то столь малым отличием от прямой пропорциональности можно пренебречь, однако оно может стать существенным при сравнении микро- и макроскопических явлений.
При каких же условиях достигается режим соударения со сверхвысокими скоростями? На рис. 4.1 представлена серия графиков зависимо-
Рис. 4.1. Коэффициент формы кратера в зависимости от скорости соударения для разных сочетаний материалов снаряда и мишени.
176
Глава 4
сти отношения глубины кратера к ее диаметру (коэффициента формы кратера) от скорости соударения для нескольких пар материалов снаряда и мишени. Коэффициент формы, равный 0,5, соответствует классической форме кратера.
Если материал снаряда гораздо тверже и плотнее материала мишени (например, при соударении снаряда из карбида вольфрама с мишенью из мягкого алюминия), то кратеры с ростом скорости соударения быстро становятся похожими на глубокие туннели. Так продолжается до тех пор, пока снаряд ведет себя как жесткое тело, однако, как только давление при соударении становится столь высоким, что вызывает разрушение или тем более распыление материала снаряда, характер проникания резко изменяется. После достижения скорости, при которой вещество снаряда при ударе распыляется, дальнейший рост скорости приводит к быстрому изменению формы кратера, которая при сверхвысоких скоростях соударения становится почти полусферической. Если материал снаряда мягче, менее прочный и обладает меньшей плотностью, чем материал мишени (как, например, при стрельбе пластиковыми снарядами по стальным мишеням), то достигается прямо противоположный эффект. В этом случае при сравнительно малых скоростях соударения образуются неглубокие широкие кратеры, а при достижении сверхвысоких скоростей отношение глубины кратера к его диаметру растет, стремясь к 0,5. Между этими двумя предельными случаями заключен целый спектр промежуточных зависимостей коэффициента формы кратера от скорости соударения, характеризующих комбинации материалов снаряда и мишени с промежуточными отношениями прочностных характеристик.
Из сказанного следуют интересные результаты, представленные на рис. 4.2 в виде кривых зависимости глубины проникания, отнесенной к диаметру снаряда, от скорости соударения. При соударении снарядов из прочных материалов, обладающих высокой плотностью, с мишенями из сравнительно малопрочных материалов низкой плотности глубина проникания быстро растет с ростом скорости в диапазоне малых скоростей (пока снаряд ведет себя еще как жесткое тело). Начало разрушения и распыления вещества снаряда соответствует максимуму кривой, за которым глубина проникания уменьшается, хотя скорость соударения продолжает расти. При подходе к режиму сверхвысокоскоростного соударения глубина проникания опять растет и становится пропорциональной скорости соударения в степени 2/3. При попадании малопрочных снарядов из материалов с малой плотностью в мишени из материалов с высокой прочностью и плотностью образуются кратеры, глубина которых сначала (при малых скоростях) медленно растет с ростом скорости соударения, а затем, по мере приближения к режиму сверхвысокоскоростного соударения, начинает расти быстрей и также становится пропорциональной скорости снаряда в степени 2/3. Пары материалов снаряда и мишени, занимающие по своим свойствам промежуточное положение между указанными крайними случаями, характеризуются промежуточным поведением, однако при выходе на режим
Механика соударения со сверхвысокими скоростями
177
Рис. 4.2. Глубина проникания, отнесенная к диаметру снаряда, в зависимости от скорости соударения для разных сочетаний материалов снаряда и мишени.
сверхвысокоскоростного соударения для всех них справедлив закон пропорциональности глубины проникания скорости соударения в степени 2/3.
Проникание длинных снарядов. Завершая раздел, посвященный механике сверхвысокоскоростных соударений с толстыми мишенями, рассмотрим поведение длинных снарядов. Этот случай исключительно важен с точки зрения приложений, так как длинные снаряды-это лучшее, что было изобретено для пробивания толстой брони.
Процесс проникания в мишени длинных снарядов, движущихся со сверхвысокими скоростями, можно разделить на три стадии. Сначала в месте соударения образуется кратер, как и при ударе «коротким» снарядом. Окончательный диаметр кратера на исходной поверхности мишени весьма близок к диаметру кратера от «короткого» снаряда, имеющего те же диаметр и скорость, что и длинный снаряд, и изготовленного из того же материала. На этой начальной стадии проникания некоторая часть материала передней части снаряда утрачивается. Затем начинается стадия установившегося движения, когда материал снаряда поступает на дно углубляющегося кратера и выжимается вдоль его стенок. На этой стадии поведение материала определяется законами гидродинамики, так как развивающееся давление во много раз превышает прочность материалов снаряда и мишени. Скорость поступательного движения снаряда остается достаточно высокой, так что ударная волна, в которой происходит торможение материала снаряда на дне кратера, неподвижна относительно его дна (стоячая ударная волна). Материал части снаряда между его донным срезом и ударной волной остается в невозмущенном состоянии, пока не пройдет сквозь стоячую ударную волну, после чего он практически мгновенно разрушается и растекается по дну кратера вдоль поверхности контакта с материалом мишени. Это
178
Глава 4
Рис. 4.3. Глубина проникания, отнесенная к длине снаряда, в зависимости от скорости соударения для длинных стальных снарядов при стрельбе по толстым стальным мишеням.
обстоятельство играет исключительно важную роль в случае длинных и очень тонких снарядов, так как отсутствие напряжений в части снаряда между его донным срезом и ударной волной, исключает его изгиб или потерю устойчивости. В результате при стрельбе очень длинными снарядами по толстым мишеням удается получать весьма глубокие туннелеобразные кратеры. Глубина таких кратеров (при установившемся расходовании материала снаряда) определяется уравнением Айхельбер-гера:
PcILp = (Pp/Pt)1/2. (4.4)
Вероятно, наиболее важным следствием уравнения (4.4) является то, что глубина кратера зависит лишь от длины снаряда Lp и отношения плотностей материалов снаряда и мишени и не зависит от скорости соударения и других свойств материалов снаряда и мишени1}.
Стационарный режим существует до тех пор, пока донный срез снаряда не пройдет сквозь стоячую ударную волну. Затем начинается заключительная стадия формирования кратера, во время которой он
п Формула для глубины проникания в гидродинамическом приближении принадлежит М.А. Лаврентьеву.- Прим. ред.
Механика соударения со сверхвысокими скоростями
179
приобретает окончательный вид. Строго говоря, уравнение (4.4) определяет глубину кратера только на стадии установившегося проникания, и, чтобы найти полную глубину кратера, к ней надо прибавить небольшие приращения глубины, соответствующие начальной и заключительной стадиям проникания.
На рис. 4.3 представлена кривая зависимости глубины кратера, отнесенной к длине снаряда, от скорости соударения для случая соударения высокопрочных стальных снарядов с толстой стальной броней. В этом случае глубина проникания в диапазоне малых скоростей быстро растет, а затем при дальнейшем росте скорости соударения асимптотически стремится к значению, которое несколько превышает значение, рассчитанное по уравнению (4.4). Эта кривая первоначально была построена с целью показать преимущества, которыми должны обладать сплошные (без ВВ) бронебойные снаряды при скоростях, вдвое превышающих скорости в современной артиллерии. Оказалось, однако, что при скорости метания выше 3 км/с рост глубины проникания прекращается. Одним из способов повышения стойкости танковой брони по отношению к сплошным бронебойным снарядам является увеличение абсолютной величины критической скорости соударения, при которой становится справедливым сверхвысокоскоростное приближение (иначе говоря, скорости, соответствующей асимптоте на рис. 4.3). Наоборот, при проектировании сплошных бронебойных снарядов стремились понизить эту предельную скорость.
4.1.2. ПРОНИКАНИЕ В МИШЕНИ СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ
Образование кратера в мишени промежуточной толщины начинается так же, как и в предыдущем случае. Различия возникают тогда, когда первичная ударная волна, возникшая в материале мишени, отходит от поверхности расширяющегося кратера и достигает задней свободной поверхности мишени (рис. 4.4). Здесь она отражается, превращаясь в волну растяжения, распространяющуюся в обратном направлении. Возникновение волны растяжения обусловлено необходимостью равенства нулю мгновенных нормальных напряжений на свободной поверхности мишени во все моменты времени. Волна растяжения распространяется в материале, сжатом тыльными участками падающей волны сжатия. Поэтому скорость ее распространения несколько выше скорости волны сжатия. Мгновенное значение давления в точке мишени, через которую проходят эти волны, равно алгебраической сумме напряжений, создаваемых волнами сжатия и растяжения, распространяющимися навстречу ДРУГ другу.
Этот процесс схематически изображен на рис. 4.4. Как видно, алгебраическая сумма напряжений может стать отрицательной, т.е. в материале мишени могут развиться растягивающие напряжения. Там, где они превышают динамический предел текучести материала на растяжение, образуются трещины (плоскости откола), проходящие обычно вдоль поверхностей сегментов сфер, центр которых расположен на оси
180
Глава 4
Рис. 4.4. Схема пробивания мишени промежуточной толщины «коротким» снарядом. Показано образование волны растяжения при отражении волны сжатия от свободной поверхности.
симметрии в точке, смещенной вверх от места первого контакта при соударении на толщину мишени. Часть количества движения системы, состоящей из ударной и отраженной волн, сообщается материалу мишени, отделенному трещиной. В результате эта часть мишени приобретает некоторую скорость в направлении удара и стремится оторваться от основной части мишени и удалиться от нее. Скорость отколовшейся части мишени может достигать нескольких сот метров в секунду. При этом образуется один или несколько осколков и обнажается новый участок тыльной поверхности мишени, а затем весь процесс повторяется до тех пор, пока интенсивность волн напряжений достаточно велика, и завершается образованием откольной полости, общая глубина которой при скорости снаряда, стремящейся к баллистическому пределу, стремится к 1/3 толщины мишени.
Одновременно происходит рост кратера на передней поверхности мишени, продолжающийся до тех пор, пока волны, отраженные от задней поверхности мишени, не достигнут перемещающегося дна кратера. Здесь под их действием полная глубина кратера несколько увеличивается. Когда глубина кратера достигнет приблизительно 2/3 толщины мишени, он соединится с откольной полостью с образованием сквозного отверстия. Скорость соударения, при которой это происходит, обычно называют предельной баллистической скоростью.
Значения параметров, при которых в мишени образуется минимальная пробоина, имеют небольшой, но вполне определенный статистический разброс. Поэтому никакая совокупность фиксированных значений параметров, характеризующих процесс соударения, не может рассма
Механика соударения со сверхвысокими скоростями
181
триваться как условие пробивания мишени. Чтобы преодолеть эту трудность, на практике используют величину И50, т.е. скорость соударения, при которой вероятность пробивания равна 50%. Обычно для данной пары мишень - снаряд указывают скорость соударения, при которой снаряд пробивает мишень, однако в некоторых работах предельное условие пробивания мишени выражают через ее предельную толщину, калибр снаряда и т.п.
Прежде чем закончить этот раздел, рассмотрим, что же понимается под пробиванием мишени. Согласно наиболее жесткому определению предельной баллистической скорости, это такая скорость снаряда, при которой на задней поверхности мишени после соударения возникает остаточное выпучивание. Настоящее определение используется при проектировании трубопроводов космических аппаратов, для которых малейшее сужение проходного сечения трубы грозит недопустимым снижением надежности аппарата. Несколько более слабое определение допускает образование небольшого откола на задней стороне мишени. Такие отколы представляют собой определенную опасность для гидравлической системы, так как могут преградить путь потоку жидкости или повредить и даже вывести из строя насосы. Отколы на внутренней поверхности брони боевых машин опасны тем, что могут повредить механизмы машины или ранить членов экипажа. Одним из критериев предельной баллистической скорости, используемых в армии США, является условие пробивания пластинки толщиной 0,5 мм, изготовленной из прочного алюминиевого сплава 2024-ТЗ. Проведенные исследования показали, что пробивание такой пластинки эквивалентно выведению из строя живой силы. Другое весьма жесткое определение баллистического предела связано с требованием сохранения герметичности цели при попадании в нее снаряда. Оно обычно выдвигается при проектировании оболочек космических аппаратов или топливных баков транспортных средств, в которых должно поддерживаться определенное внутреннее давление. Наконец, по наиболее слабому и широко распространенному определению баллистического предела в мишени достаточно образования небольшого просвета. Мишень помещают против света, и, если оказывается, что она хоть чуть-чуть просвечивает, считается, что она пробита насквозь.
Проникание длинных снарядов. Механизм проникания длинных снарядов в мишени средней толщины существенно отличается от механизма проникания «коротких» снарядов в такие же мишени. Тщательное изучение механизма образования осколков показывает, что оно сильно зависит от интенсивности первичной ударной волны и скорости ее затухания. Последняя весьма велика, если первичная волна создается «коротким» телом, так как эта волна ослабляется главным образом волнами разрежения, распространяющимися от тыльной поверхности снаряда, проникающего в преграду. При ударе длинного стержня развивающееся при ударе давление ослабляется иначе и гораздо медленнее. Давление в материале мишени в окрестности дна кратера остается по
182
Глава 4
чти постоянным на протяжении всей фазы установившегося проникания, а ослабление напряжения на заключительном этапе этого процесса занимает значительное время. В соответствии с этим давление в первичной ударной волне падает медленно, препятствуя тем самым образованию отколов. Сквозное отверстие образуется, либо когда дно кратера пересечет заднюю поверхность мишени, либо когда материал, заключенный между дном кратера и задней поверхностью мишени, не выдержит сдвиговых напряжений и выбьется в виде пробки.
Особый интерес представляет случай, когда снаряд гораздо длиннее, чем необходимо для пробивания мишени. В этом случае на начальной переходной стадии процесса от передней части снаряда отделяется некоторое количество материала, а затем на стадии установившегося проникания материал снаряда расходуется с постоянной скоростью. Процесс прекращается, как только в преграде образуется сквозное отверстие и из нее вылетает множество разных осколков, в том числе и обломки снаряда.
Остаточную длину снаряда можно определить с достаточной точностью путем оценки количества материала, утраченного на переходной стадии процесса, на стадии установившегося проникания, а также на стадии падения напряжений в снаряде до значений, соответствующих прочностным характеристикам материала. Скорость остаточной части снаряда почти равна его начальной скорости, так как лишь небольшая часть количества движения, приходящаяся на упругую составляющую количества движения ударной волны в материале снаряда, передается части снаряда, остающейся после пробивания. Это количество движения всегда гораздо меньше количества движения снаряда в направлении движения и поэтому не оказывает заметного влияния на скорость оставшейся части снаряда.
Немало усилий было затрачено в недавнем прошлом на изучение осколков, вылетающих из тыльных поверхностей броневых плит при пробивании их длинными стержнями, так как эти данные очень нужны для определения эффективности сплошных бронебойных снарядов при стрельбе по бронированным целям, таким, как танки и бункеры.
4.1.3. ПРОБИВАНИЕ ТОНКИХ ПЛАСТИН
Логическим продолжением обсуждения механизмов проникания со сверхвысокими скоростями является рассмотрение пробивания очень тонких мишеней, на которое затрачивается лишь малая часть кинетической энергии снаряда. Эта область механики проникания имеет особое значение по двум причинам. Во-первых, ее результаты используются при проектировании двойной противометеоритной защиты, предохраняющей космические аппараты от повреждения или разрушения при встрече с метеороидами. Во-вторых, соударение с тонкими пластинами дает единственную возможность наблюдать гидродинамические процессы, происходящие на ранних стадиях любых соударений со сверхвысокими скоростями, изолированно, т.е. отдельно от явлений, обусло
Механика соударения со сверхвысокими скоростями
183
вленных вязкопластическими и упругими свойствами материалов, которые затрудняют изучение гидродинамической фазы соударения.
Начнем с рассмотрения основных физических процессов, происходящих при соударении «коротких» снарядов с тонкими пластинами. В первое мгновение контакта снаряда с мишенью в обоих телах возникают напряжения, определяемые соотношениями Гюгонио. Эти напряжения распространяются в виде ударных волн по снаряду в направлении его донного среза и в мишени в направлении движения снаряда до тех пор, пока не достигнут свободных поверхностей. Здесь они отражаются, превращаясь в волны растяжения, амплитуды которых равны и противоположны по знаку амплитудам первичных волн сжатия. Обычно первой свободной поверхностью, до которой доходит ударная волна, является задняя поверхность мишени. Совместное действие распространяющейся вперед волны сжатия и отраженной от задней стенки мишени волны растяжения приводит к тому, что материал мишени, оказавшийся на пути снаряда, выбрасывается из нее в направлении его движения со скоростью, практически равной скорости соударения. Одновременно первичная ударная волна, распространяющаяся в направлении донного среза снаряда, достигает его боковых и донной поверхностей. В результате этого волнового процесса в материале снаряда возникает поле скоростей, которое вынуждает большую его часть следовать за материалом мишени сквозь образовавшееся в ней отверстие и далее в расширяющийся сноп осколков. Остаток материала выбрасывается назад в виде конуса мелких частиц с вершиной в месте соударения. Одновременно боковые стенки пробоины раздвигаются с быстро затухающей скоростью, образуя отверстие, диаметр которого в несколько раз превышает диаметр снаряда.
Такой характер соударения представляет исключительный интерес с точки зрения фундаментальных исследований свойств материалов, так как практически весь материал снаряда и мишени, подвергшийся воздействию первичной ударной волны, выбрасывается в виде потоков осколков по обе стороны от мишени в течение периода времени, когда напряжения в этих материалах многократно превышают их пределы прочности. Поэтому с полной гарантией можно предположить, что поведение материалов является чисто гидродинамическим и что последствия такого поведения «законсервированы» в характеристиках снопов осколков. А эти характеристики можно измерять в течение достаточно продолжительного времени после соударения множеством технических средств. Таким образом, пробивание тонких пластин со сверхвысокими скоростями представляет собой единственный известный метод изучения гидродинамического поведения твердых тел без осложняющих факторов.
Противометеоритные экраны. Тонкие пластины широко применяются в системах противометеоритной защиты космических аппаратов. Основная идея такой защиты связана с установкой перед защищаемой поверхностью, на некотором расстоянии от нее, тонкой пластины, которая при
184
Глава 4
встрече с метеороидом будет заведомо пробита, однако и метеороид при этом прекратит существование. Сноп осколков, образующихся при пробивании пластины (экрана) расширяется в поперечном и продольном направлениях и взаимодействует с защищаемой поверхностью по гораздо большей площади. В результате интенсивность нагружения второй пластины резко падает. Эксперименты показали, что, используя две пластины вместо одной, можно в 10 раз снизить вес системы защиты при той же ее эффективности. Теория предсказывает, что в случае защиты от типичных метеороидов в околоземном пространстве выигрыш может быть вдвое больше.
Проникающая способность снопа осколков зависит от состояния материала в нем. Если материал, выбрасываемый из экрана в сторону защищаемой поверхности, находится в парообразном состоянии, то интенсивность ударного нагружения быстро падает с увеличением расстояния между пластинами. Облако жидких капель оказывает на защищаемую поверхность примерно такое же воздействие, что и пар. Поскольку жидкость в каплях удерживается только силами поверхностного натяжения, летящие в направлении второй пластинки капли непрерывно дробятся, пока не станут очень маленькими. Поэтому кратеры, образующиеся при бомбардировке поверхности каплями, не представляют серьезной опасности, хотя их размеры превышают диаметр капель в несколько раз. Согласно экспериментальным данным, образующиеся за защитными экранами снопы капель являются тонкими, а это значит, что все фрагменты, летящие из места соударения в одном направлении, вылетают одновременно и движутся с одной скоростью. Обусловленная этим малая длительность локальных нарушений объясняет появление отколов на защищаемой пластинке. Такие случаи действительно были зарегистрированы в экспериментах. Если осколки, вылетающие из защитного экрана, остаются твердыми, то они вызывают локальные повреждения защищаемой поверхности, и никакое мыслимое увеличение расстояния между пластинами не может ослабить их разрушительного действия.
Ярко выраженные различия между разрушением, производимым веществом в парообразном, жидком и твердом состояниях, побудили исследователей внимательно разобраться в физике процесса формирования облака осколков. Оказалось, что его фазовое состояние определяется ростом энтропии материала снаряда и мишени при прохождении по ним первичной ударной волны. При падении давления до исходного (низкого) уровня накопленная энтропия сохраняется, так как релаксация протекает почти изэнтропически. Накопленная энтропия проявляет себя как внутренняя энергия вещества, так что температура его повышается. Если внутренняя энергия превышает энергию плавления вещества в облаке осколков, то после прохождения ударной волны оно переходит в жидкое состояние. Если же внутренняя энергия материала оказывается выше энергии сублимации, то материал облака осколков превращается в пар. Эта модель поведения вещества не совсем точна, так как не учитывает ряда известных процессов. Однако с ее помощью непосред-
Механика соударения со сверхвысокими скоростями 185 ственно удавалось правильно предсказывать состояние вещества в облаке осколков, что говорит о взаимной сбалансированности неучтенных моделью факторов.
В табл. 4.1 представлены условия в ударной волне, необходимые для плавления или перевода в парообразное состояние различных веществ за счет «захвата» энтропии при прохождении ударной волны.
Таблица 4.1. Условия в ударной волне, необходимые для плавления и испарения материалов за счет захваченной энтропии.
(Материал снаряда-алюминий.)
Материал мишени П павление Испарение
начальная стадия полное начальная стадия полное
давление, ГПа скорость, км/с давление ГПа скорость км/с давление, ГПа скорость км/с давление, ГПа скорость, км/с
Магний 48 5,4
Алюминий 70 5,6 100 7
67 5,5 88 6,6 167 10.2 470
61 5,1 85 6,5
Титан 130 7,6
Железо (сталь) 180 7,9 210 8,8
Кадмий 33 2,5 46 3,2
40 3 59 3,9 88 5,2 180 8,1
33 2,5 43 3,15 70 4,4 530
Медь 140 6,6 184 8
140 6,6 184 8 340 12,6 3400
Никель 230 9
Свинец 25 2 35 2,6
27 2,1 34 2,5 84 4,8 230 9,1
Применим теперь имеющиеся сведения о физике соударения с тонкими преградами для проектирования двойной противометеоритной защиты космического аппарата.
Ниже излагается анализ такой системы, который демонстрирует простой и элегантный способ оценки характеристик Облака осколков, вылетающих из тонкой пластинки при ударе метеороида, и их воздействия на защищаемую поверхность. Используемые при этом обозначения представлены на рис. 4.5.
Будем считать, что облако осколков за пластинкой представляет собой симметрично расширяющуюся сферу, центр которой движется в направлении защищаемой поверхности. Далее будем предполагать, что все вещество, содержащееся в этой сфере, сосредоточено на ее поверхности, что хорошо подтверждается экспериментами.
Начнем с рассмотрения движения центра расширяющейся сферы. Его можно оценить довольно точно, исходя из условия сохранения количества движения снаряда при подлете к пластинке и облака осколков,
186
Глава 4
Рис. 4.5. Схематическое изображение модели, используемой для расчета двойной противометеоритной защиты.
состоящего из обломков снаряда и материала, выбитого из пластинки при соударении. Для этого придется сделать дополнительное допущение о том, что количество движения пробитой пластинки и осколков, вылетающих из нее навстречу снаряду, пренебрежимо мало. Единственным путем передачи количества движения оставшейся части пластинки является его передача через напряжения сдвига, действующие по периметру пробоины в процессе ее образования. При реальных значениях прочности материалов мишеней на сдвиг и времени, в течение которого действуют напряжения сдвига (примерно равного времени пролета снаряда сквозь пластинку), количество движения, передаваемое пластинке в процессе пробивания, действительно мало. В ряде лабораторий были проведены опыты с баллистическими маятниками, в которых определялось количество движения облака осколков, вылетающих из тонкой пластинки навстречу снаряду. Согласно полученным результатам, количество движения этих осколков составляет менее 1% количества движения снаряда.
Из условия сохранения количества движения следует, что скорость центра масс расширяющегося сферического облака осколков связана со скоростью снаряда соотношением
Uc = Up/(\+KG2), (4.5)
где К-отношение масс снаряда и мишени, приходящихся на единицу площади, a G-отношение диаметра снаряда к диаметру пробоины в мишени, из которой ее масса поступает в расширяющееся сферическое облако осколков.
Механика соударения со сверхвысокими скоростями 187
За счет чего же происходит расширение сферического облака осколков? Единственным источником необходимой для этого энергии является ее избыток, определяемый законом сохранения количества движения, выраженным уравнением (4.5). Эта энергия равна
Ее = Ep[KG2/(\ + KG2)]. (4.6)
Затем, предполагая, что в энергию направленного движения облака осколков превращается некоторая часть Q энергии Ее, можно вычислить скорость расширения сферического облака осколков. Допущение о постоянстве Q не является, строго говоря, верным, так как механизм подвода тепла к материалу облака осколков зависит от пиковых значений давления в ударной волне, действию которой подвергся этот материал. Дальнейшее развитие этого метода должно быть, по-видимому, связано с учетом влияния пиковых значений давления, развивающихся в первые мгновения соударения, на величину Q. Выражение для радиальной скорости расширения облака осколков относительно его центра масс имеет вид
Ue = UpG []/ёк/(1 + KG2)]. (4.7)
Теперь можно найти угол 01/2 (рис. 4.5), так как синус этого угла равен отношению скоростей расширения облака осколков Ue и его центра масс Uc. Для 01/2 получаем
01/2 = arcsin |/QK. (4.8)
Аналогичным способом можно получить максимальную скорость расширения облака осколков вдоль продолжения траектории снаряда до соударения. Эта скорость просто равна сумме скоростей центра масс облака осколков Uc и скорости его расширения Ue:
Цпах = UP (1 + G ^QK)/(\ + KG2). (4.9)
Оценим количество движения, приходящееся на единицу площади поверхности облака осколков. Для простоты ограничимся рассмотрением только количества движения, заключенного в части облака осколков, которая находится вблизи оси симметрии (вдоль которой направлен вектор скорости снаряда до соударения). Тогда для количества движения, приходящегося на единицу площади, получим
Рт = MpUp(\ + G|/OK)3/4nx2KG2. (4.10)
Эти простые соотношения определяют важнейшие параметры облака осколков, необходимые для анализа работы двойной противометеорит-ной защиты.
Рассмотрим теперь реакцию конструкций космического аппарата на соударение с облаком осколков. Это делается на частном примере кон
188
Глава 4
струкции, состоящей из тонкой однородной пластинки, подкрепленной сотовой панелью. Причины выбора такой конструкции-ее широкое применение на существующих и проектируемых космических аппаратах, а также уникальное свойство сотовых панелей оказывать в процессе смятия постоянное сопротивление в условиях квазистатического или динамического нагружения при скоростях соударения до нескольких сот метров в секунду.
Выражение (4.10) для количества движения на единицу площади позволяет оценить перемещение передней поверхности пластинки с сотовым подкреплением. Для этого сначала находят мгновенную скорость, приобретенную пластинкой при соударении, когда она поглощает количество движения, передаваемое ей облаком осколков, а затем вычисляют кинетическую энергию, полученную единицей площади пластинки. Эта кинетическая энергия затрачивается на смятие сотовой конструкции, для которого характерно постоянство сопротивления в процессе деформации. Величина деформации панели SX при полном поглощении кинетической энергии, полученной пластинкой от облака осколков, является искомой характеристикой.
Мгновенная скорость Uh, которую приобретают точки задней пластинки, лежащие на оси, определяется выражением
Uh = (WMpUp/4nX2phth)(\ + G]/QK)3. (4.11)
Для кинетической энергии, связанной с этим движением и приходящейся на единицу площади, имеем
Eh = И/2М^2(1 + G]/QK)6/32n2X*phth, (4.12)
а длина пути, на котором эта энергия расходуется на смятие сотовой конструкции, вычисляется по формуле
8Х = W2M2pU2(\ + G\fW/32n2X*Phphth. (4.13)
В трех последних выражениях W- коэффициент увеличения количества движения, передаваемого облаком осколков задней пластинке.
Уравнение (4.13) связывает все основные параметры и может использоваться в качестве расчетного инструмента при проектировании двойного противометеоритного экрана для защиты от метеороидов, обладающих определенными характеристиками. В числе этих параметров: К-отношение масс снаряда и передней пластинки, приходящихся на единицу площади, ph и th, определяющие массу единицы площади задней пластинки, Ph-предел прочности на смятие сотовой конструкции, X - расстояние между передней и задней пластинками. Остальные параметры связаны с физикой протекающих процессов и не могут быть изменены. Помимо указанных в приведенных выше уравнениях фигурируют также три безразмерных параметра: G-отношение диаметра снаряда к диаметру пробоины в передней пластинке, из которой ее масса поступает в облако осколков, Q-отношение кинетической энергии
Механика соударения со сверхвысокими скоростями 189
к тепловой энергии материала облака осколков и РУ-коэффициент увеличения количества движения, передаваемого облаком осколков задней пластинке.
Пожалуй, наиболее неожиданным выводом, который можно сделать на основании уравнения (4.11), является исключительно сильная зависимость эффективности двойного противометеоритного экрана от расстояния между пластинками X.
4.2. УСТАНОВКИ ДЛЯ МЕТАНИЯ ТЕЛ
СО СВЕРХВЫСОКИМИ СКОРОСТЯМИ
Известные устройства для метания макроскопических тел со сверхвысокими скоростями можно разделить на многоступенчатые легкогазовые пушки, устройства для взрывного метания и электромагнитные пушки. Ниже рассматриваются характеристики пусковых установок этих типов и их разновидностей.
4.2.1. МНОГОСТУПЕНЧАТЫЕ ЛЕГКОГАЗОВЫЕ ПУШКИ
Многоступенчатые легкогазовые пушки подобны обычным пороховым орудиям в том смысле, что в них для ускорения системы снаряд-поддон используется сжатый газ из ресивера. Скорость снаряда в процессе ускорения определяется выражением
/ 2Л \1/2
= |----$Q°Pdx] , (4.14)
\ w /
где Р-давление в канале ствола за донным срезом снаряда (или поддона), которое всегда меньше давления в ресивере, поскольку часть энергии газа идет на его разгон до скорости, равной мгновенной скорости снаряда. Эта часть энергии метающего газа не может быть использована для ускорения снаряда. В результате в канале ствола возникает градиент давления на участке от ресивера до донного среза снаряда. Разность давлений Рг-Р зависит от скорости снаряда и свойств метающего газа, в первую очередь от скорости звука в нем:
р=рг{.(иРм-\у/2,
(4.15)
а0 = (yRT/M)1/2.
В двухступенчатых легкогазовых пушках применяются газы с малой молекулярной массой (водород и гелий), которые можно разогнать до ультравысоких скоростей, чтобы сообщить системам снаряд-поддон сверхвысокие скорости. Схема устройства и действия двухступенчатой легкогазовой пушки представлена на рис. 4.6. Дульный срез обычной гладкоствольной пороховой пушки заключен в массивный стальной
190
Глава 4
Рис. 4.6. Схема устройства и действия двухступенчатой легкогазовой пушки.
блок, в котором установлены также переходная секция, клапан, открывающийся при повышении давления, и казенная часть ствола второй ступени, калибр которого меньше калибра ствола первой ступени. Снаряд вместе с поддоном помещается в казенной части ствола второй ступени. Из замкнутого объема первой ступени откачивают воздух и заменяют его водородом или гелием. При выстреле пороховой заряд воспламеняется и давление пороховых газов гонит вперед снаряд первой ступени (поршень), который сжимает газ, заполняющий пространство перед ним. Поскольку скорость поршня существенно меньше скорости звука в легком газе, сжатие происходит почти адиабатически. Тем не менее в непрерывно сокращающемся столбе газа перед поршнем возникают возмущения, распространяющиеся как в направлении движения поршня, так и в обратном направлении. Давление в казенной части ствола второй ступени стремительно растет до тех пор, пока поршень не войдет в переходную секцию, а давление не достигнет критического значения, при котором срабатывает механизм клапана. Как только это произойдет, снаряд начинает двигаться по стволу второй ступени, и изменение объема легкого газа приобретает более сложный характер, так как теперь он определяется совместным движением поршня и снаряда. Давление газа в канале ствола подскакивает до нескольких сот мегапа
Механика соударения со сверхвысокими скоростями
191
скалей в момент открытия клапана и превышает 1 ГПа и затем по мере приближения снаряда к дульному срезу ствола второй ступени быстро падает, а остаток кинетической энергии поршня расходуется на его деформацию в переходной секции.
Обычно легкогазовые пушки используются для сообщения снарядам скоростей до 7,5 км/с. В ряде случаев были получены скорости до 8,5 км/с. Однородные малогабаритные снаряды из пластичных материалов низкой плотности удавалось разгонять до 12 км/с. В настоящее время легкогазовые пушки-единственный вид пусковых установок, позволяющих метать со сверхвысокими скоростями снаряды заданной формы, изготовленные из материалов, представляющих практический интерес. Именно поэтому они так широко применяются при исследовании соударений со сверхвысокими скоростями.
В самом начале исследований движения со сверхвысокими скоростями было показано, что точные данные можно получить лишь в том случае, если снаряд помещен в поддон, так как при соприкосновении с поверхностью канала ствола легкогазовой пушки материал снаряда в процессе выстрела эродирует настолько, что масса снаряда становится неопределенной - во всяком случае, о ней нельзя судить по значению, измеренному перед пуском.
4.2.2. ВЗРЫВНОЕ МЕТАНИЕ
Другим широко распространенным способом метания макроскопических тел со сверхвысокими скоростями является метание с использованием зарядов твердых взрывчатых веществ (ВВ). В этом случае длина пути, на котором ускоряется метаемое тело, сравнительно мала, а ускорения очень велики (109-10n м/с2). Обычные снаряды не могут выдержать развивающихся при этом перегрузок и были бы буквально разорваны на части. Искусство создания ускорителей для взрывного метания заключается не в том, чтобы придать заряду форму, обеспечивающую максимальное ускорение снаряда, так как в этом случае он в процессе пуска наверняка будет сильно деформирован, а в том, чтобы выбрать такую форму заряда, при которой распределение давления по донному срезу метаемого снаряда было бы практически постоянным. Одним из успешных решений такого рода является полый заряд, схема которого представлена на рис. 4.7.
За донным срезом снаряда, установленного заподлицо с передней поверхностью взрывного заряда, имеется полость, в которой создается газовая подушка, снижающая пиковое давление, действующее на донный срез снаряда и одновременно увеличивающая время, в течение которого ему сообщается необходимый импульс. Полный импульс столба газа за донным срезом снаряда можно значительно увеличить, используя явление фокусировки ударных волн, известное, как образование диска Маха. Скачки уплотнения, распространяющиеся от боковой поверхности полости, сжимают растекающийся в боковом направлении газ, выбрасываемый со дна полости во время его движения к донному срезу
192
Глава 4
Рис. 4.7. Полый взрывной заряд для метания снарядов в форме диска.
/-детонатор, 2 -генератор плоской волны, 3-фиксирующее кольцо. 4 -снаряд, 5 -полость, б-основной заряд
снаряда. Диаметр метаемого снаряда выбирается примерно равным теоретическому диаметру диска Маха. Снаряд вставляется в фиксирующее кольцо, изготовленное из того же материала. Внешний диаметр кольца равен диаметру полости в заряде. Кольцо работает в условиях большого перепада давлений, поскольку давление на его внутреннюю поверхность гораздо больше, чем на внешнюю. При резком продольном ускорении снаряда в нем возникают волны сжатия, распространяющиеся в радиальном направлении. Эти волны проходят сквозь поверхность контакта между снарядом и кольцом и отражаются от внешней поверхности кольца в виде волн растяжения, которые распространяются в обратном направлении и фокусируются. Волны растяжения не могут пройти сквозь поверхность контакта между кольцом и снарядом, и поэтому они вновь от нее отражаются и оказываются захваченными кольцом. Совместное действие перепада давления и радиальных волн приводит к разрыву кольца и разлету его осколков в радиальном направлении, в то время как неповрежденный снаряд летит вперед.
Применение полых взрывных устройств позволяет метать снаряды, имеющие форму дисков с удлинением до 0,3, сообщая им скорости до 6 км/с. Чтобы добиться желаемых результатов, приходится тщательн^ выбирать конфигурацию заряда, а затем отрабатывать ее экспериментально. Такие устройства оказались очень полезными при исследованиях соударений, требующих многократного повторения аналогичных опытов, однако они плохо приспособлены для проведения испытаний, при которых условия соударения меняются в широких пределах.
Другим весьма интересным способом взрывного метания является использование сверхвысоких давлений, развивающихся при детонации ВВ и изменяющих форму снаряда в процессе сообщения ему сверхвысокой скорости. В наиболее интересном и полезном из таких устройств полость в заряде ВВ покрыта металлической оболочкой, которая при
Механика соударения со сверхвысокими скоростями 193
детонации обжимается и образует струю, движущуюся вдоль оси заряда со сверхвысокой скоростью. На рис. 4.8 показано, как действует такое устройство, когда оболочка имеет цилиндрическую форму. При возбуждении детонации с одного конца заряда материал оболочки ускоряется в направлении к продольной оси полости, достигая очень больших скоростей. Вблизи оси полости сталкиваются частицы материала облицовки, поступающие сюда со всех сторон, причем точка их столкновения движется в направлении волны детонации с той же скоростью, что и сама волна. В точке столкновения материал облицовки делится на две части, одна из которых движется вперед, образуя высокоскоростную струю, а другая почти неподвижна и образует «пест». Если скорость схлопывания меньше скорости ударной волны в материале облицовки после схлопывания, то струя движется от точки столкновения со скоростью, которая примерно вдвое больше скорости этой точки, равной скорости детонации.
Такие устройства позволяют получать поистине поразительные результаты! Сильные ВВ со скоростью детонации около 7 км/с в сочетании с облицовкой из бериллия, скорость ударной волны в котором может превышать 7 км/с, позволили получить струи длиной от одной до полутора длин облицовки, движущиеся со скоростью более 12 км/с. Были получены также струи из меди, движущиеся со скоростью, близкой к 10 км/с.
Этот способ не позволяет, конечно, метать снаряды, которые можно было бы предварительно измерить и взвесить. Поэтому для проведения точных баллистических исследований экспериментальную установку необходимо оборудовать измерительной системой, позволяющей оценивать массу и состояние материала «снаряда» в полете.
Рис. 4.8. Схема действия полого заряда с цилиндрической облицовкой.
/-облицовка, 2-взрывчатое вещество, 3-точка столкновения. 4-«пест», 5-струя
194
Глава 4
Хорошо известный вариант полости в заряде ВВ-коническая полость с облицовкой, выполненной в виде полого конуса. При взрывном схлопывании такой полости точка схлопывания имеет максимальную скорость в начальный момецт времени, а затем эта скорость плавно падает. В результате скорость материала струи оказывается переменной по ее длине и струя вытягивается, достигая при метании на значительную дальность нескольких длин конуса. Через некоторое время растяжение струи приводит к ее распаду на отдельные «снаряды», летящие по одной и той же траектории с постепенно убывающей скоростью. Если для облицовки используются такие пластичные материалы, как медь, то заряд длиной всего 10 см может дать непрерывную струю длиной до 40 см. В разд. 4.1.1 отмечалось, что снаряды такой длины способны пробивать стальную броню, толщина которой почти равна их длине. Следовательно, с помощью заряда массой всего в несколько килограммов можно пробить броню толщиной 40 см!
4.2.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ УСКОРИТЕЛИ
Завершая рассмотрение пусковых установок, способных сообщать телам сверхвысокие скорости, упомянем ускорители нового типа, эффективность которых уже была доказана на практике, а возможности еще далеко не исчерпаны. Это электромагнитные рельсовые пушки на постоянном токе, устройство которых схематически показано на рис. 4.9. Электрический ток течет по одному из двух параллельных рельсов, затем по подвижной перемычке между ними и возвращается к источнику питания по другому рельсу. При этом в окрестности перемычки создается электромагнитное поле, которое, взаимодействуя с текущим по ней током, создает силу, направленную вдоль рельсов:
Fp = LI2. (4.16)
Как видим, величина этой силы определяется индуктивностью L', отнесенной к длине рельсов, и квадратом силы тока I. Первые попытки
Рис. 4.9. Схема электромагнитной рельсовой пушки на постоянном токе.
Механика соударения со сверхвысокими скоростями
195
создания ускорителей, действующих на этом принципе, не увенчались успехом, поскольку, как недавно выяснилось, для их питания применялись неподходящие источники постоянного тока. Как и в случае пусковых установок других типов, эффективность электромагнитных ускорителей в значительной мере определяется соотношением между средним и максимальным ускорениями, которые испытывает снаряд в процессе пуска. Если пиковое ускорение слишком велико, то снаряд и поддон при сообщении им полного импульса, необходимого для набора сверхвысокой скорости, разрушаются. Из уравнения (4.16) следует, что оптимальный режим работы электромагнитной рельсовой пушки достигается, когда сила тока в установке остается постоянной. На практике это трудно осуществить, так как полное сопротивление пусковой установки Z пропорционально скорости движения перемычки, с которой оно связано соотношением
Z = Z° + L'Up. (4.17)
Следовательно, чтобы сила тока оставалась постоянной, напряжение на зажимах пушки должно увеличиваться на несколько порядков величины.
До разработки в Австралийском национальном университете специальной системы энергопитания не было известно ни одного источника постоянного тока, который удовлетворял бы этим требованиям. Основу системы составляет униполярный генератор, представляющий собой низковольтный источник постоянного тока большой силы, который используется для возбуждения в индукторе тока в несколько сот тысяч ампер. По достижении критического значения тока индуктор подключается к электромагнитной рельсовой пушке на постоянном токе, питая ее накопленным в нем током. В этом устройстве индуктор, по существу, играет роль источника постоянного тока, который автоматически регулирует напряжение на зажимах пушки независимо от сопротивления нагрузки. В проведенных экспериментах напряжение на зажимах электромагнитной рельсовой пушки в процессе ускорения снаряда возрастало от ~ 100 В до более чем 15 кВ. При массе метаемого тела до 3 г были получены максимальные скорости до 6,5 км/с. Профили ускорения снаряда, электрические характеристики процесса выстрела и значения дульной скорости снаряда, полученные в этих экспериментах, совпали с расчетными в пределах нескольких процентов.
Расчеты показывают, что этот способ метания в том виде, как он описан, или с некоторыми изменениями позволяет сообщать телам скорость 15 км/с и более. Наметились три области его практического применения. Первая-создание артиллерийских орудий с дульными скоростями, вдвое большими, чем у существующих. Вторая-использование высокоэффективных электромагнитных пушек (с дульными скоростями более 10 км/с) в качестве двигательных установок для космических аппаратов. Отдача при стрельбе из таких орудий создаст среднюю реактивную силу, во много раз превышающую тягу современных ионных
196
Глава 4
двигателей. Третья область применения - моделирование столкновений с метеороидами при скоростях более 12 км/с, когда материал и снаряда, и мишени мгновенно превращается в пар, как это действительно наблюдается при полетах в космическом пространстве.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Л-площадь поперечного сечения системы снаряд-поддон; ^-эквивалентный диаметр снаряда;
Ее-кинетическая энергия взрыва;
кинетическая энергия снаряда;
G-отношение диаметра снаряда к диаметру пробоины в тонкой пластинке, из которой ее масса поступает в облако осколков за преградой;
Z-сила тока;
К-отношение масс снаряда (метеороида) и мишени (защитного экрана), приходящихся на единицу площади;
L-индуктивность рельсов, отнесенная к их длине;
М - молекулярная масса;
Мт-масса метеороида;
Р-давление газа в канале ствола за донным срезом снаряда или поддона;
Рс-глубина кратера;
Рт- пиковое значение количества движения, индуцированное облаком осколков;
Рг-давление газа в ресивере;
Ps-плотность материала защитного экрана;
Q- часть располагаемой энергии, превращающаяся в энергию расширения или направленного движения облака осколков;
R - универсальная газовая постоянная;
Т- абсолютная температура;
Uc—скорость центра масс облака осколков;
Ue-скорость расширения облака осколков;
мгновенная скорость задней пластинки защитного экрана; l/max-максимальная скорость осколков за преградой;
ир-скорость снаряда (метеороида);
Vc-объем кратера;
X - координата, определяющая положение снаряда в стволе; рас-тояние между передней и задней пластинками защитного экрана;
Хо-Длина ствола;
Z-импеданс электромагнитной рельсовой пушки;
Zo-остаточный импенданс рельсовой пушки с неподвижным снарядом в исходном положении для стрельбы;
«о-скорость звука в совершенном газе;
^-эквивалентный диаметр метеороида;
/p-сила, ускоряющая снаряд с поддоном;
Механика соударения со сверхвысокими скоростями 197
/с-отношение кинетической энергии снаряда к объему кратера; т- масса системы снаряд - поддон;
fy-толщина задней пластинки защитного экрана;
ty-толщина защитного экрана;
х-расстояние, отсчитываемое от защитного экрана;
ЬХ-деформация задней пластинки защитного экрана; у-отношение удельных теплоемкостей газа, рь~плотность материала передней пластинки защитного экрана; ph~плотность материала задней пластинки защитного экрана; р - плотность материала метеороидов;
Рр-плотность материала снаряда; рг-плотность материала мишени;
01/2-полу у го л раскрытия снопа осколков с вершиной в точке первого контакта снаряда с мишенью;
Lp- проекция длины снаряда на направление его полета.
ЛИТЕРАТУРА
1. AIAA Hypervelocity Impact Conference, A Volume of Technical Papers. Cincinnati, Ohio, Apr-May, 1969.
2. Barber J. P., The Acceleration of Macroparticles in a Hypervelocity Electromagnetic Accelerator, Ph. D. Thesis, The Australian National University, Canberra, Australia, 1972.
3. Compilation of Papers Presented at the ORAT Meteoroid Impact and Penetration Workshop, Johnson Manned Spacecraft Center, Texas, Oct. 1968.
4. Dynamic Response of Materials to Impulsive Loads, P. C. Chou, A. K. Hopkins (Eds.), Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, Aug. 1972.
5. High-Velocity Impact Phenomena, R. Kinslow (Ed.), Tennessee Technological University, Academic Press, N. Y., 1970. [Имеется перевод: Высокоскоростные ударные явления/Под ред. Ф. Кинслоу.-М.: Мир, 1973.]
6. Proceedings of the Rand Symposium on High-Speed Impact. Rand Corporation, Santa Monica, California, 1955.
7. Proceedings of the Second Hypervelocity and Impact Effects Symposium, U.S. Naval Research Laboratory, Washington, D.C., May 1957.
8. Proceedings of the Third Hypervelocity Impact Symposium, Armor Research Foundation, Chicago, Illinois, Oct. 1958.
9. Proceedings of the Fourth Hypervelocity Impact Symposium, Eglin Air Force Base, Florida, Apr. 1960.
10. Proceedings of the Fifth Symposium on Hypervelocity Impact, Colorado School of Mines, Denver, Colorado, Apr. 1962.
11. Proceedings of the Sixth Symposium on Hypervelocity Impact, Firestone Tire and Rubber Co., Cleveland, Ohio, Apr-May 1963.
12. Proceedings of the Seventh Hypervelocity Impact Symposium, Martin Company, Tampa, Florida, Nov. 1964.
13. Proceedings of the Comet Halley Micrometeoroid Hazard Workshop, European Space Research and Technology Center, Noordwijk, Netherlands, Apr. 1979.
14. Rashleigh S. G., Marshall R.A., Electromagnetic Acceleration of Macroparticles to Hypervelocities, J. of Appl. Phys., 49, 2540 (1978).
15. Siegel A. E., The Theory of High-Speed Guns, AGARD-O-graph, 91, May 1955.
5
ПОВЕДЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ВЫСОКИХ СКОРОСТЯХ ДЕФОРМАЦИИ
Теодор Николас
USAF Wright Aeronautical Laboratories
Решение задач механики соударения основано на использовании основных законов механики и физики, а также соотношений, описывающих свойства рассматриваемого материала. Математическое описание связей между напряжениями, деформациями и их производными по времени известно как уравнение состояния материала (определяющее уравнение). Каждое описание дает математическую модель для класса материалов с идеализированным поведением. Материалы обычно разделяются на следующие классы: линейноупругие, нелинейноупругие, вязкоупругие, вязкопластические и т.п.
При описании соотношений между напряжениями, деформациями и их производными по времени для материала заметим, что как напряжение, так и деформация, являются функциями координат точки (тензорами), так что уравнение состояния связывает напряжение и деформацию в точке. Однородным называется материал, имеющий одно и то же уравнение состояния во всех точках. Здесь не рассматриваются уравнения состояния с градиентами напряжений или деформаций и их производными по пространственным переменным, т. е. напряжение в точке не связывается с деформациями в каких-либо других точках, кроме данной.
При описании напряжений и деформаций в точке мы рассматриваем тензоры, каждый из которых имеет шесть независимых компонент. Следовательно, при описании материала в наиболее общем случае нужно рассматривать соотношения между шестью компонентами напряжений (три нормальных напряжения и три сдвиговых (касательных) напряжения), шестью компонентами деформаций (три продольные деформации и три сдвиговые деформации), их производными по времени, а также любыми другими функциями типа параметров состояния и параметров, характеризующих историю деформирования или нагружения. В общем случае уравнения состояния, требуемые для полного и точного описания поведения материала, могут быть чрезвычайно сложными и не поддающимися математической формулировке. Поэтому при решении ин-
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 199
женерных задач используют упрощенные модели с математической идеализацией и ограниченными классами функций, описывающих поведение материала.
Для линейноупругого материала наиболее общее соотношение между шестью компонентами напряжений и шестью компонентами деформаций содержит 36 констант; условия симметрии позволяют уменьшить это число до 21 независимой величины. Для изотропного материала, уравнение состояния которого не зависит от ориентации осей координат в материале, число независимых констант сводится к двум. В этой главе исследование для простоты ограничено случаем изотропного материала.
При изучении поведения материалов принято разделять полную деформацию на упругую и пластическую составляющие. При описании характеристик течения материала, а также свойств, зависящих от скорости деформации, нужно также знать пластическое поведение материала, при разгрузке или при смене направления нагружения. Таким образом, в общем случае нам приходится рассматривать задачу динамической пластичности. Для йростоты и в соответствии с экспериментальными наблюдениями компоненты тензоров напряжений и деформаций разделяются на их гидростатические (или шаровые) и девиаторные части. При относительно небольших давлениях шаровые части, т.е. среднее напряжение (давление) и средняя деформация (объем или плотность), предполагаются связанными друг с другом линейной зависимостью. При высоких давлениях, когда нужно учитывать термодинамические эффекты, эти величины связываются уравнением состояния. Девиаторные составляющие, или сдвиговые напряжения и деформации, описывают пластическое поведение или функцию течения материала, а также любые влияния скорости деформации. В теории ударных волн, или гидродинамической теории, в первую очередь учитываются гидростатические компоненты из-за их доминирующего влияния, в то время как понятие поверхности текучести и влияния скоростей деформаций главным образом связаны со сдвиговыми составляющими. Взаимодействием между сдвиговыми и гидростатическими составляющими, которое обычно проявляется в виде эффектов второго порядка малости, в общем случае пренебрегают с целью упрощения математической задачи и численных расчетов1 11.
Задача, с которой сталкивается металловед или экспериментатор, состоит в том, как построить уравнение состояния, наилучшим образом описывающее данный материал или класс материалов. Из-за большого числа компонент напряжений, деформаций и их производных по времени, которые могут затруднить исследование, эксперименты проводят главным образом для одномерного напряженно-деформированного со
1) Перекрестные эффекты взаимодействия гидростатических и сдвиговых составляющих в определяющих уравнениях материала существенны для грунтов,
горных пород и других пористых материалов-Прим. ред.
200
Глава 5
стояния. В динамических испытаниях инерционные и волновые эффекты усложняют напряженно-деформированное состояние, и их необходимо учитывать во многих случаях. В этой главе при определении динамического поведения материала при высоких скоростях деформаций основное внимание уделяется некоторым задачам и предположениям, где можно пренебречь волновыми эффектами или рассмотреть их в наиболее простой форме. В гл. 2 рассматриваются явления распространения волн и их связь с динамическим поведением материала. Динамические свойства материалов рассматриваются здесь с чисто феноменологической точки зрения, и совсем не затрагивается физический механизм, определяющий процесс динамической деформации. Этот аспект исследования, необходимый для понимания и развития динамической пластичности, всесторонне освещен в соответствующей литературе, на которую там, где необходимо, даны соответствующие ссылки.
Исследования поведения материалов при высоких скоростях деформаций вызывают значительный интерес со времени окончания второй мировой войны, когда вопросы динамической пластичности и распространения пластических волн впервые привлекли внимание исследователей. С тех пор по этой теме был проведен ряд конференций и симпозиумов и появилась обширная литература. Здесь не делается попыток осветить все существенные публикации, а даются выборочные ссылки с целью иллюстрации отдельных моментов, а в некоторых случаях для освещения истории проблемы. Общее обсуждение явления соударения содержится в работе Гольдсмита [49]. Труды различных конференций и симпозиумов, посвященных поведению материалов при высоких скоростях деформаций, представлены в работах [53, 67, 71, 88, 122]. Металловедческие аспекты поведения материалов при высоких скоростях деформаций рассмотрены Рохди и др. [119], а подробный обзор экспериментальных методов исследований при высоких скоростях деформаций дан Линдхольмом [90].
5.1. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ
5 1.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Уравнение состояния материала в его наиболее общей форме должно описывать поведение материала при всех возможных значениях скорости деформации. Однако даже в случае одноосного напряженного состояния вывести такое уравнение чрезвычайно трудно, и поэтому большинство уравнений состояния обычно применимо лишь в узком диапазоне скоростей деформаций. Это обстоятельство не находится в противоречии с физической сутью явления, поскольку в различных диапазонах скоростей деформаций доминируют различные физические механизмы. Динамическая классификация механических испытаний по диапазонам скоростей деформаций (рис. 5.1) была предложена Линдхольмом [90]. При скоростях деформаций от 10“ 6 до 10'5 с" 1 опреде-
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 201
/О6
10*
/О2
10°
1О'г
10'
10'6
10~6
10~2
10
102
10*
10° П меж'! Ползичесть ^^вазистатиче\Тскоа(юти\ удар Ползучесть Скае испытания^ де^р/Ъа-Х стержня; НпластиРны $ ции X ч
1О~& Характерное время, с Скорость де-
10 формации, сГ1
Машины,обес-1 Машины сгид-печивоющие । раели ческим постоянную или винтовым нагрузку или I приводом напряжение |
Механи- I Легкогазовая ческие или 4ecKUQ . пушка или ISSSf' илц -I У9аР пластины, взрывной I разогнанной копры । удар । ПрОдуктаМц | । взрыва
Обычные методы нагружения
О Ю
Запись ' Испытания с зависимости I постоянной £(t)u скорости I скоростью ползучести । деформации
л. IPacnpocml Механи- ' паненир »-» ческий \Punnuzi> - I Рпспростране-резонанс . ние ударных
в системе волн
образец- 1
машина | еолн । _ Учет сил инерции___________
Адиабатический процесс _ Плоское де-* формирован^
Пренебрежение силами инерции Изотермический процесс ________Плоское напряженное состояние Рост уровня напряжений
Учет динамических факторов в испытаниях
Рис. 5.1. Динамическая классификация механических испытаний.
ляющим фактором, особенно для металлов при высоких температурах, является ползучесть, и поведение материалов в этом диапазоне описывается законами типа законов ползучести. При более высоких скоростях деформаций (от 10" 4 до 10" 3 с" х) для описания поведения материалов используют условия одноосного растяжения или сжатия, а также квази-статическую зависимость напряжения от деформации, полученную при постоянной скорости деформации. Хотя часто считается, что квазиста-тическая зависимость выражает основные свойства материала, ее применимость ограничена той скоростью деформации, при которой проводились испытания. С увеличением скорости деформации может измениться сам характер связи между напряжением и деформацией, что заставляет прибегать к другим видам испытаний. Специальное экспериментальное оборудование позволяет проводить эксперименты с постоянной скоростью деформации до ее значений порядка 104 с" Скорости деформаций в диапазоне от 10" 1 до 102 с" 1 обычно определяются как промежуточные, или средние. Именно в этом диапазоне становятся заметными эффекты скорости деформации в большинстве металлов, хотя в некоторых случаях их влиянием еще можно пренебречь. Скорости деформаций от 103 с" 1 и выше обычно характеризуют
202
Глава 5
высокоскоростное деформирование. Однако точного определения режимов деформирования пока не существует. Оценка данных, полученных в экспериментах, отнесенных к высокоскоростным, требует особого внимания, ибо нередко встречается просто неверная терминология.
При интерпретации экспериментальных данных высокоскоростного деформирования особенно важным становится учет инерции и эффектов распространения волн. Следует также отличать средние значения напряжений и деформаций от локальных, возникающих в результате прохождения по материалу одной или более высокоинтенсивных волн напряжений. При скоростях деформации 105 с“ 1 по материалу, находящемуся в одноосном деформированном состоянии, распространяются ударные волны. При таких очень высоких скоростях деформаций и соответственно очень малых масштабах времени существенным становится рассмотрение термодинамики процесса; мы переходим от изотермического к адиабатическому приближению.
Трудности исследования динамических свойств материалов по данным волновых экспериментов связаны не только с необходимостью использования непрямого метода, описанного в гл. 2, но также с тем, чтоускорости деформации, возникающие при испытании материала, существенно зависят от поведения самого материала. Так, например, при распространении одноосных волн напряжений в длинных стержнях размывание пластической волны не позволяет достичь в большинстве материалов значений скоростей деформаций, больших 102 с“ г. С увеличением амплитуды удара и соответствующим нарастанием величины скорости деформации или уменьшением времени нарастания происходит постепенный переход от одноосного напряженного состояния к одноосному деформированному состоянию или к состоянию с полным боковым стеснением. Поэтому более высокие скорости удара обычно используют в таких опытах, как, например, опыт с соударением плоских пластин (разд. 5.2). При очень высоких скоростях деформации одноосное деформированное состояние и соответствующее ему высокое гидростатическое давление затрудняют изучение девиаторов напряжений, подавляемых гидростатическими компонентами. Эти явления подробно обсуждены в гл. 2. В настоящей главе подчеркивается важность разграничения двух ситуаций, когда возникает однородное напряженно-деформированное состояние или протекает волновой процесс. В первом случае существенной является проверка предположения о том, что в опытах реализуются однородные распределения величин, а во втором важен правильный анализ, основанный на теории распространения волн. Основное внимание в данной главе будет уделено первой из этих ситуаций. Так как при этом скорость распространения волны контролировать невозможно, то обычно в схемах, в которых используется предположение о возможности рассмотрения усредненных параметров, достигаются промежуточные и высокие скорости деформации, примерно до 104 с" Ч
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 203
5.1.2. ОДНООСНЫЕ ИСПЫТАНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ СКОРОСТЯХ ДЕФОРМАЦИЙ
Простейший способ получения информации о чувствительности материала к скорости деформации заключается в увеличении скорости растяжения или сжатия при испытаниях. Существуют гидравлические и пневматические машины с широкими возможностями управления скоростью нагружения. Испытания на растяжение или сжатие кажутся идеальными, так как напряженное состояние чисто одноосное или по крайней мере предполагается таким.
Наиболее важный вопрос, требующий разрешения, заключается в том, до какой скорости деформации можно довести испытания, чтобы еще можно было получать достоверные зависимости напряжения от деформации. Рассмотрим образец начальной длины /, закрепленный в точке х = 0, который подвергается нагружению с постоянной скоростью v0, начиная с момента t = 0 (рис. 5.2). Это соответствует нагружению в испытательной машине с постоянной скоростью захвата или в копре, где большая падающая масса производит удар по концу образца. Пусть u(x, г)-перемещение частицы в направлении х. Предположим, что происходит чисто одноосное движение. Тогда, пренебрегая инерцией в радиальном направлении, запишем уравнение движения
d2u/dt2 = с2 (д2и/дх2\ (5.1)
где с = (Е/р)1/2 (5.2)
-продольная скорость волны в стержне, Е-модуль Юнга и р-плотность материала. Зададим начальные условия-смещения и скорости частиц равны нулю и граничные-левый конец образца закреплен, а правый движется с постоянной скоростью v0. Решение представляется в виде
(53)
где т = tc/l - безразмерное время, т= 1-время одного прохода волной длины образца. Функция /(т) показана на рис. 5.3. Деформация определяется соотношением ь = ди/дх, а напряжение-соотношением п = Ее.
Рис. 5.2. Схема испытания на одноосное растяжение.
204
Глава 5
Рис. 5.3. График функции /(т). Рис. 5.4. Безразмерная деформация в зависимости от времени.
Вводя безразмерные переменные
^ = х/1, (5.4а)
г* = v0/c, (5.46)
можно построить графики напряжения и деформаций в зависимости от времени. На рис. 5.4 представлена зависимость безразмерной деформации 8*/ц* от безразмерного времени т в произвольной точке £ стержня. Пунктирной линией обозначена осредненная деформация стержня, которая получается делением полного смещения конца стержня на его длину. На рис. 5.5 показаны нормированные по отношению к Ev* напряжения на концах стержня. Как видно из обоих рисунков, напряжения и деформации формируются в результате многократных отражений волн от концов стержня. Заметим, что математическая задача решается в предположении мгновенного скачка скорости при t = 0, тогда как обычно скорость устанавливается за конечное время из-за несовершенства удара или по мере разгона захвата машины. Тем не менее если
Рис. 5.5. Безразмерные напряжения на концах стержня в зависимости от времени.
1 - закрепленный конец, 2 - нагружаемый конец
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 205
в течение всего времени нагружения число отражений велико, то переход к осредненным значениям напряжения и деформации представляется оправданным. Если общее время нагружения мало, то за это время может произойти лишь малое число отражений. В этом случае необходимо рассматривать отдельно каждое прохождение волны и осред-ненными значениями пользоваться нельзя. Анализ зависимости деформации от времени (рис. 5.4) показывает, что осредненная скорость деформации отличается от реальной, если в течение всего времени нагружения число отражений мало. В этом случае скорость деформации может возрасти до больших значений, определяемых малым временем нарастания приложенной скорости. Скорости деформаций порядка 105 с"1, приводимые в литературе, за исключением случаев очень коротких образцов, обычно относятся к скоростям, достигаемым на фронте распространяющейся волны. В приведенном анализе предполагалось, что материал линейноупругий и что конец образца нагружается мгновенно. Кроме того, для определения числа отражений и времени прохода волн бралась скорость распространения упругой волны. При деформировании материала в пластической области скорость пластической волны может быть на порядок величины меньше.
Для примера рассмотрим стальной стержень длиной 25 мм. Для стали с = 5 • 103 м/с и Е = 200 ГПа. При ударе в нагружаемом конце возникает напряжение п = pcv0, поэтому при скорости удара 2,5 м/с амплитуда напряжения в первом импульсе равна 100 МПа, а средняя скорость деформации 100 с “ Ч
5.1.3. ИСПЫТАНИЯ ПРИ СРЕДНИХ СКОРОСТЯХ ДЕФОРМАЦИЙ
Существуют различные типы машин, на которых можно проводить испытания при средних, или промежуточных, скоростях деформации, задавая скорости движения захвата порядка 1 м/с и выше. На таких машинах возможны опыты на растяжение или сжатие со скоростями деформации до 102 с" г. Гидравлический или пневматический привод быстро разгоняет до постоянной скорости массивную систему, включающую захват, так что в течение нагружения образца скорость захвата остается постоянной. При использовании гидравлической машины следует оценивать податливость системы нагружения в процессе нагружения образца с постоянной скоростью [25]. Линдхольм, Нэджи и др. [94] использовали гидравлическую машину с нагружающей системой, имевшей максимальную крутильную жесткость, на которой была достигнута скорость деформации сдвига выше 300 с-1. Кручение позволяет получать очень большие деформации без геометрической потери устойчивости, возникающей при растяжении из-за образования шейки. Для сжатия при средних скоростях деформации разработаны различные виды копров. Один из них, вертикальный копер, обеспечивающий достаточно высокие скорости деформации, рассматривается в разд. 5.3.4. Принцип падения груза может быть использован в опытах на кручение: массивный вращающийся маховик передает запасенную энергию при вне
206
Глава 5
запном соединении с образцом с помощью муфты сцепления. Такие машины описаны в работах [10, 27]. К недостаткам вертикальных и ротационных копров следует отнести возникающие при ударе вибрации и переходные волны напряжений; по достижении больших деформаций невозможно сохранить неизменной скорость деформации.
Постоянная истинная скорость деформации получается в кулачковом пластометре, основной принцип действия которого был предложен в работе [112]. Энергия, накопленная вращающимся маховиком устройства, используется для привода кулачка с логарифмическим обводом, который передает сжимающую нагрузку на испытываемый образец. Первые эксперименты над свинцовыми образцами с применением пластометра проведены Луазу и Симсом [99]; алюминий, медь и сталь при разных температурах испытаны Алдером и Филлипсом [2], причем уменьшение высоты образца на 50% было достигнуто при постоянных истинных скоростях деформации 1—40 с-1. Модифицированный вариант кулачкового пластометра с вращающимся маховиком впервые был использован Хокеттом [60]. На этом приборе, как правило, удавалось получать постоянную истинную скорость деформации 240 с-1. Эксперименты при повышенных температурах вплоть до 0,95 температуры плавления, проведенные на разных материалах со скоростями деформации выше 300 с - \ описаны в работе [4]; при этом величины истинной деформации превышали 2. В противоположность одноосному сжатию в этих экспериментах плоская пластина находится в условиях плоского деформированного состояния. Решающим условием проведения эксперимента является выбор подходящей смазки для устранения трения на конце образца и обеспечения одноосного напряженного состояния.
При высокоскоростном деформировании кроме рассмотрения волновых явлений, необходимого для проверки предположения об однородности напряженно-деформированного состояния, возникает еще и проблема измерения напряжения. Обычно для этого служит динамометр, последовательно соединенный с образцом, часто на некотором расстоянии от его конца. При больших скоростях удара нужно учитывать конечное время прохождения волны от конца образца к динамометру, по динамометру и деталям его крепления, а также инерционную нагрузку, возбуждаемую динамометром и его креплением.
Существует несколько методов определения локальных или осред-ненных деформаций образца. Осредненные величины могут быть найдены по перемещению захвата, но для этого необходимо уметь определять эффективную длину рабочей части образца. Оптические экстензометры, регистрирующие смещение между двумя отметками или отражателями на образце, позволяют измерять локальные деформации с высоким временным разрешением. Резистивные тензодатчики, наклеенные на поверхность образца, с высоким разрешением измеряют локальные, осредненные по длине датчика деформации. Если материал предполагается объемно-несжимаемым, то по изменению диаметра цилиндрического образца также можно находить величину динамических
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 207
деформаций. Однако для окончательного определения связи между напряжением и деформацией требуется или соотносить напряжение и деформацию в одной и той же точке образца и в одинаковые моменты времени, или пользоваться величинами, осредненными вдоль образца. В обоих случаях при непрерывном увеличении скоростей деформирования необходим анализ волновых процессов.
5.1.4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН
Другой подход к определению динамических свойств материалов, составляющий основу единственного метода, пригодного при сверхвысоких скоростях деформирования, заключается в детальном изучении распространения неупругих волн. Однако такой метод не является прямым для получения информации о динамических свойствах, так как для изучения процесса необходимо применение теории распространения волн, которая в свою очередь требует знания искомого уравнения состояния. Поэтому единственно возможной остается непрямая, итеративная процедура, не обязательно приводящая к единственному результату. Такая процедура, как уже указывалось в гл. 2, состоит в следующем.
1. Задают некоторый вид уравнения (уравнений) состояния и предполагаемые значения материальных констант.
2. Проводят экспериментальное исследование распространения волн и находят или регистрируют входные величины или краевые условия, а также информацию о процессе распространения волн, такую, как зависимость деформации от времени, скорость свободной поверхности, скорости волн и т.п.
3. Проводят теоретический анализ наблюдаемого процесса на основе соответствующей теории распространения волн и принятого уравнения состояния.
4. Сравнивают результаты теоретических расчетов с экспериментальными данными. Повторяют шаги 1-4.
5. Используют другой вариант опыта или другие экспериментальные данные для проверки полученных результатов.
Видно, что такая процедура последовательных приближений может привести к неоднозначному решению. Важной особенностью такой процедуры является использование теории распространения волн в качестве отправного шага и формирование уравнения состояния на логичной физической основе.
Для многих конструкционных материалов продольные пластические волны в брусах или стержнях дисперсионны по своей природе и затухают по мере распространения по стержню. Причем затухание происходит довольно быстро, хотя вблизи ударяемого конца стержня время нарастания импульса может быть мало и, следовательно, могут быть достигнуты высокие скорости деформации. Измерения процесса распространения волн, проведенные в стержне на разных расстояниях от ударяемого конца, свидетельствуют, что обычно скорости деформации не
208
Глава 5
превышают 100 с" г. Более того, часто само изменение величины скорости деформации невелико. Таким образом, с помощью любого уравнения состояния, достаточно точно описывающего напряженно-деформированное состояние в узком диапазоне скоростей деформации, можно удовлетворительно объяснить наблюдаемый процесс распространения волн. Ввиду указанной неоднозначности решения и невозможности достижения очень высоких скоростей деформации эксперименты с пластическими волнами в стержнях нельзя считать эффективным методом построения уравнений состояния. С другой стороны, очень высокие скорости деформации можно получить в условиях одноосного деформированного состояния. Но тогда напряженное состояние имеет преимущественно гидростатическую природу, что затрудняет определение эффектов влияния скорости деформации, так как в этих условиях трудно выявить вклад касательных напряжений. В следующих разделах определены соотношения типа напряжение-деформация-скорость деформации в материалах с помощью экспериментов, в которых при высоких скоростях деформации реализуется почти однородное одноосное деформированное или напряженное состояния, а для обработки данных не требуется анализа распространения волн.
5.2. РАЗРЕЗНОЙ СТЕРЖЕНЬ ГОПКИНСОНА
Одним из наиболее широко применяемых в экспериментальной практике устройств для изучения поведения материала при высоких скоростях деформации является разрезной стержень Гопкинсона, усовершенствованный Кольским [79]. Принцип действия стержня Гопкинсона заключается в определении динамических напряжений, деформаций или перемещений на конце стержня по данным, полученным на некотором расстоянии от него. Возмущение, возникшее на конце длинного упругого стержня, распространяется по нему без искажений (за исключением компонент очень высокой частоты) со скоростью упругой волны с = = (Е/р)1/2. Поэтому тензометрический датчик посередине стержня регистрирует усилие на конце стержня в функции времени, но с некоторой задержкой по времени. Кольский предложил для достижения высоких скоростей нагружения разместить два стержня с обеих сторон образца. Разрезной стержень Гопкинсона, или устройство Кольского для испытаний на сжатие, состоит из стержня-бойка, передающего стержня, опорного стержня и соответствующей регистрирующей аппаратуры (рис. 5.6). Стержни устанавливаются в тефлоновых или найлоновых втулках, обеспечивающих соосность стержней и не возмущающих волн напряжений, распространяющихся по образцу, размещенному между стержнями. Техника и теория метода много раз обсуждались в литературе (например, [87]).
Стержень-боек ускоряется либо с помощью сжатой пружины, либо с помощью небольшой газовой пушки. Существует несколько методов измерения скорости стержня-бойка. В одном из них в стержне-бойке нарезаются канавки с заданным шагом, и, когда боек пролетает сквозь катушку магнита, генерируются два импульса, поступающие затем в счет-
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 209
Рис. 5.6. Схема установки и измерительные приборы в эксперименте с разрезным стержнем Гопкинсона.
чик временных интервалов. В другом методе используют два фотоприемника и два источника света на заданном расстоянии друг от друга. При ударе стержня-бойка по передающему стержню в обоих стержнях возбуждаются импульсы сжатия постоянной амплитуды. Длительность импульса сжатия в передающем стержне равна двойному времени прохождения волны в бойке, а его величина пропорциональна скорости бойка. Когда импульс сжатия, распространяющийся по передающему стержню, достигает образца, часть его проходит в образец, а часть отражается вследствие разницы в площадях сечений и акустических импедансах стержня и образца. Точная форма прошедшего и отраженного импульсов определяется величиной площади сечения и механическими характеристиками материала образца. По импульсам деформации, зарегистрированным тензометрическими датчиками на стержнях, можно определить деформирование концов стержней во времени. Следовательно, принцип стержня Гопкинсона базируется только на знании скорости распространения продольной волны, по которой определяется сдвиг импульсов во времени, и на предположении об отсутствии дисперсии упругих волн в длинных стержнях.
5.2.1. ТЕОРИЯ
При выводе соотношений, которые используются для анализа экспериментальных данных, получаемых с помощью разрезного стержня Гопкинсона, предполагается, что напряжения и скорости на концах образца распространяются по стержням без искажений. Кроме того, предположение о том, что время прохождения волны по образцу мало по сравнению с общим временем его нагружения, приводит к многократности отражений волн и, следовательно, к допущению об однород-
210
Глава 5
Рис. 5.7. Схематическое изображение образца и импульсов деформации.
ности распределения напряжений и деформации вдоль образца. Если передающий и опорный стержни изготовлены из одинакового материала и имеют одинаковые площади поперечного сечения, то можно вывести ряд относительно простых соотношений для напряжений, деформаций и скоростей деформаций в образце.
На рис. 5.7 схематически представлены образец и стержни Гопкинсона, а также показаны падающий, отраженный и прошедший импульсы 8/, 8Г и 8Г. Приписывая индексы 1 и 2 величинам, относящимся к левому и правому концам образца (рис. 5.7), запишем перемещение концов образца в виде п
Mi = focoei^f> (5.5а)
и2=/оСое2Л, (5.56)
где с0-скорость упругой волны в стержнях. С другой стороны, выражения для и15 и2 через падающий, отраженный и прошедший импульсы суть
“1 =со jo (ei-£r) Л > (5.6а)
u2=£ojo£i<fr, (5-66)
где для напряжений и деформаций сжатия взят знак плюс. Осредненная деформация образца есть
8S = (M1-M2)/L (5.7)
или, если выразить ее через импульсы деформации,
Es = ’T’fo(ei-er-£t)df> (5-8)
Lt
L-длина образца. Усилия на концах образца определяются по формулам
Рх = ЕА (8, 4- 8Г), Р2 = EAst, (5.9)
где Е и Л-соответственно модуль Юнга и площадь поперечного сече-
п Формула (5.5а) неверна: из верной формулы (5.6а) видно, что в (5.5а) под знаком интеграла не может фигурировать 8j = 8j, + ег.-Прим. ред.
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 211
ния стержней Гопкинсона. Средняя сила равна
Pcp = (EA/2)(8i + er + er). (5.10)
Если предположить, что Рх = Р2, т. е. что силы на обоих концах равны, то из (5.9) и (5.8) следует
8j + 8Г = 8f, (5.11)
es = -y-fo(et-er-er-et)dt. (5.12)
Lt
Для образца поперечного сечения As напряжение, деформация и скорость деформации равны
— 2с .f
es = —— (5.13)
L
os = E(A/As)sti (5.14)
8s = (-2c0/L)8r. (5.15)
Важно помнить, что напряжения, деформации и скорость деформации являются осредненными величинами и что они рассчитаны в предположении, что напряжение одноосно.
5.2.2. АППАРАТУРА И КАЛИБРОВКА
Тензодатчики размещаются на передающем и опорном стержнях на равных расстояниях от образца, так что отраженная и прошедшая волны приходят к каждому датчику одновременно. Стержни имеют достаточную длину, благодаря чему весь процесс нагружения свободен от возмущений, вызванных отражениями волн от свободных концов стержней. Тензометрические мосты, как правило, содержат по два рабочих датчика для исключения изгибных составляющих. Информация регистрируется осциллографами или регистраторами переходных процессов.
Для прямой записи кривой напряжение-деформация отраженный импульс пропускается через интегратор, который выдает сигнал, прямо пропорциональный деформации образца. Этот сигнал подается на вход X регистрирующего устройства, в то время как сигнал с опорного стержня, пропорциональный напряжению, подается на вход Y.
Рекомендуется проводить динамическую калибровку системы, пропуская волну напряжения известной амплитуды через датчики передающего и опорного стержней, состыкованных вместе, без образца. Амплитуда импульса деформации в стержнях равна v0/2c0, где v0- измеренная скорость стержня-бойка и с0-скорость продольной волны.
Выходной сигнал тензодатчика на передающем стержне можно проинтегрировать с помощью электронной схемы, выдающей электрическое напряжение, пропорциональное площади под кривой деформация-время. По амплитуде импульса деформации в опорном стержне калибруется нагрузочная характеристика.
212
Глава 5
Иногда применяется другой метод динамической калибровки, состоящий просто в подключении калибровочного резистора известной величины в одно из плеч тензометрического моста. При этом возникает сигнал имитируемой деформации
1 Rg 1
esim = „ г р ч » Р-16)
2G.F. (Rc 4- Rg)
где G.F- тензочувствительность датчика, a Rg и R^- сопротивления датчика и калибровочного резистора. Погрешность такой динамической калибровки не превышает нескольких процентов.
Так как скорость деформации пропорциональна отраженному сигналу ег, испытание на сжатие с помощью разрезного стержня Гопкинсона не является испытанием с постоянной скоростью деформации. Хотя входной импульс е, имеет постоянную амплитуду, по мере деформирования образца увеличивается площадь его поперечного сечения, что делает образец как бы более жестким. С ростом деформации происходит упрочнение материала, что приводит к увеличению жесткости образца. Поскольку отраженный импульс деформации и, следовательно, скорость деформации образца определяются поведением материала, скорость деформации, вообще говоря, убывает в процессе испытания. Ввиду этого приводимые в литературе данные по скоростям деформации в экспериментах со стержнем Гопкинсона представляют собой осред-ненные величины.
5.2.3. ИСПЫТАНИЯ НА РАСТЯЖЕНИЕ
Разрезной стержень Гопкинсона можно также приспособить для использования в испытаниях на растяжение. В одном из первых вариантов установка содержала трубу, передающую импульс сжатия сплошному стержню, помещенному внутрь этой трубы [55]. Подобные устройства описаны в работах [20, 57]. Схематически устройство изображено на рис. 5.8, где сравниваются конструкции стержня Гопкинсона для испытаний на сжатие, растяжение и сдвиг. Труба и стержень соединены механически. Когда импульс сжатия доходит до' свободного конца трубы, где находится соединение, он отражается по внутреннему сплошному стержню в виде импульса растяжения. Подлежащий испытанию на растяжение образец имеет резьбовое соединение с этим передающим стержнем, а также с опорным стержнем, что обеспечивает переход импульса растяжения в образец и опорный стержень. Таким образом получается установка для испытаний на растяжение с разрезным стержнем Гопкинсона. При сведении к минимуму несоосности нагружения достигались скорости деформации более 1000 с-1. При этом погрешность измерения напряжения не превышала 5% [55]. Хотя это сравнительно простой и непосредственный метод исследования растяжения при высоких скоростях деформации, с его помощью невозможно достичь малых времен нарастания импульса из-за искажения волн в механическом соединении.
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 213
Рис. 5.8. Примеры устройств для испытаний на сжатие, растяжение и сдвиг [57]. a-сжатие; б-сдвиг, e-растяжение, / -ударник, 2-передающий стержень, 3-образец, 4-опорный стержень, 5-тензодатчик, 6-передающие стержни, 7-переходное соединение
В работе [96] предложен другой вариант установки с разрезным стержнем Гопкинсона для испытаний на растяжение. В нем использовались, как и в варианте для испытаний на сжатие, два стержня, причем один из них был сплошной, другой полый. Растяжение достигалось за счет применения сложной конструкции образца колпачкового типа, содержащей четыре параллельно установленных очень маленьких стержня. Хотя эксперименты выполнить просто, изготовление образца довольно трудоемко. В более поздней работе [1] для возбуждения импульсов растяжения были использованы взрывное нагружающее устройство и быстрое разрушение замка на предварительно нагруженном стержне для высвобождения его энергии в виде импульса растяжения в установке с разрезным стержнем Гопкинсона. Время нарастания импульса по данным работы [1] составило около 25 мкс. Как и в большинстве предыдущих работ, использовался образец с резьбой. Лишь трудности генерирования импульсов с помощью взрывчатых веществ не позволяют создать на этой основе простые в эксплуатации и удобные лабораторные стенды.
214
Глава 5
Рис. 5.9. Лагранжева х — t-диаграмма для испытаний на растяжение с применением стержня Гопкинсона [108].
Другая модификация стержня Гопкинсона для испытаний на растяжение с образцом на резьбе и оригинальным устройством с разрезным кольцом была предложена Николасом [108]. Устройство в основном состоит из стержня-бойка и двух стержней Гопкинсона (рис. 5.9). Лагранжева х — t-диаграмма на рис. 5.9 дает картину распространения волн в стержнях. Стержень-боек разгоняется относительно стержня /, при ударе возникает импульс сжатия, амплитуда которого зависит от скорости бойка, а длительность равна двойному времени прохождения упругой волны по стержню-бойку. Импульс распространяется по стержню и достигает образца. Образец имеет резьбовое соединение с обоими стержнями и окружен разрезным кольцом (воротничком). Импульс сжатия проходит через сложное поперечное сечение образца и кольца без искажений, практически минуя образец, и затем распространяется по стержню 2, достигая его свободного конца (рис. 5.9). Здесь он отражается и в виде импульса растяжения е, проходит датчик 2. Импульс растяжения, приблизившись к образцу в точке 4, частично проходит через образец (импульс еД а частично отражается назад в стержень 2 (импульс 8Г). Кольцо, которое полностью пропустило через себя импульс сжатия, не может испытать растяжения, так как не скреплено со стержнями.
С момента отражения импульса растяжения от свободного конца стержня 2 и распространения его в обратном направлении по стержню схема эксперимента та же, что и при испытаниях на сжатие с разрезным стержнем Гопкинсона, за исключением смены знака нагрузки и применения резьбового соединения для образца. В работе [109] приведены данные для различных материалов, полученные при скоростях деформа-
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 215
Рис. 5.10. Диаграмма а — £ при растяжении нержавеющей стали AISI 304.
ции до 103 с" 1. На рис. 5.10 показаны типичные кривые о-8 для нержавеющей стали AISI 304. Для облегчения сравнения данные при меньших скоростях деформации были получены на гидравлическом испытательном прессе с сервоконтролем для той же геометрии образца, что и в экспериментах со стержнем Гопкинсона. В этой работе была получена также зависимость о-8 при высоких скоростях деформации для некоторых конструкционных алюминиевых сплавов, на свойства которых, как принято считать, слабо влияет скорость деформации. Эти данные представлены на рис. 5.11 вместе с результатами ранних исследований растяжения алюминия 6061-Тб. Интересно отметить, что в работах [93, 69] замечена некоторая зависимость свойств чистого алюминия от скорости деформации, в то время как для более прочных алюминиевых сплавов не обнаружено такой зависимости в пределах скорости деформации 10“4-103 с-1. Большинство данных, однако, относится к испы-
0,5
£
О о
% о
§ Ofi -
1
i °’3'
кг*'
о
о о
О А л aw А
О
О ° О о°° о А аД
КГ3 1О~2 Ю'1 1
Скорость деформации, с'1
JO* 10* ю*
о о
о
о
Ю
□
Рис. 5.11. Данные по растяжению алюминия 6061-Тб [69].
А предел текучести; О предельное напряжение, □ данные настоящей работы (е = 0,04).
216
Глава 5
таниям на сжатие. Сравнение с данными, полученными в испытаниях на растяжение, дано Николасом [108], а также в разд. 5.4.1.
Присущие методу разрезного стержня Гопкинсона ограничения, такие, как отражения волн напряжений, неоднородность напряжений и большие вариации скорости деформации в начальной стадии испытания, не позволяют применять его в упругой области. Такие эксперименты могут иметь ценность лишь при условии достижения некоторой степени однородности напряжений и скоростей деформации. На рис. 5.12 представлены типичные результаты испытаний на растяжение с использованием разрезного стержня Гопкинсона образцов из сплава Ti — 6А1 - 4V. В этом эксперименте скорость деформации быстро изменяется в течение приблизительно 25 мкс. За это время полная деформация возрастает до величины более 1%.
Из графика нагрузки или напряжения в зависимости от деформации, полученного интегрированием отраженного импульса деформации, видно, что кажущийся модуль упругости значительно меньше известной величины для титана. Этим только подтверждается, что испытания с применением стержня Гопкинсона могут быть пригодны для получения данных о напряженном состоянии материала лишь вне упругой области или в области, где хорошо выполняются основные предположения теории стержня Гопкинсона.
Кривые на рис. 5.12 показывают типичные изменения скорости деформации в течение эксперимента. Пунктирная линия представляет оцениваемую среднюю скорость деформации в этом эксперименте. Видно, что в испытаниях такого типа скорости деформации непостоянны. Они определяются главным образом динамикой взаимодействия. При сжимающих нагрузках, особенно в случае высокопрочных материалов, де-
Рис. 5.12. Типичные кривые, полученные в испытаниях на растяжение образца из сплава Ti—6А1—4V с применением стержня Гопкинсона.
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 217
формационное упрочнение и увеличение площади поперечного сечения при больших деформациях ведут к значительному снижению скорости деформации в ходе испытания. В некоторых случаях, когда амплитуда падающего импульса не обеспечивает достаточного усилия для дальнейшего деформирования образца, скорость деформации может снизиться до нуля.
5.2.4. ДРУГИЕ ВАРИАНТЫ СТЕРЖНЯ ГОПКИНСОНА
В последние годы наблюдалось стремление повысить скорости деформации в испытаниях со стержнем Гопкинсона. В пределах ограничений теории и физических ограничений прибора самый прямой путь достижения этой цели-уменьшение размера образцов. Эдингтон [38] был одним из первых, кто смог достичь скорости деформации 10* с"1 на образцах длиной 2 мм и диаметром 12,5 мм, изготовленных с использованием прецизионной механической обработки. Линдхольм [92] достиг скоростей до 105 с“ 1 на образцах из меди и алюминия 1100-0 длиной до 4 мм при тщательно выдержанном отношении длины к диаметру, что позволило избежать дополнительных трудностей, связанных с влиянием на результаты геометрии образца. Существуют, однако, практические пределы уменьшения размеров образца. Приходится также принимать во внимание такие факторы, как радиальная инерция и сдвиг. Эти трудности привели к поискам других методов деформирования материалов с высокими скоростями, например по схеме опыта на кручение или на сдвиг.
Разновидность разрезного стержня Гопкинсона для высокоскоростного деформирования кручением или сдвигом была впервые описана Даффи и др. [37]. Главное преимущество волны сдвига - отсутствие дисперсии и эффектов трехмерной или радиальной инерции. Основные трудности метода - обеспечение надежности соединения образца с передающим и опорным стержнями и возбуждение интенсивного, с малым временем нарастания крутящего импульса, не имеющего аксиальных искажений. Тонкостенные образцы трубчатой формы обычно склеивают со стержнями эпоксидными клеями. Крутильная волна генерируется или одновременным подрывом ВВ в диаметрально противоположных точках сечения стержня, или внезапным освобождением предварительно закрученного стержня. Для повышения скорости деформации можно увеличить входной крутильный импульс или уменьшить длину образца. В некоторых исследованиях на образцах с рабочей частью около 1 мм были достигнуты скорости деформации выше 104с-1. В работе [110] показано, что такие же скорости деформации можно получить на образцах с более длинной рабочей частью. Крутильный вариант стержня Гопкинсона был впервые применен Бейкером и Ю. [5]. Другие варианты крутильной установки описаны в работах [17, 86]. Установки такого типа нашли широкое применение в экспериментах со ступенчатым ростом скорости деформации (разд. 5.3.7). Крутильный метод
218
Глава 5
имеет большие потенциальные преимущества, в числе которых - отсутствие гидростатических компонентов напряжения.
Разрезной стержень Гопкинсона был усовершенствован с целью получения условий, близких к одноосному деформированному состоянию [9]. Для ограничения радиального движения образцы большого диаметра заключали в плотно подогнанный жесткий «воротничок». Однако, поскольку «воротничок» был изготовлен из упругого материала и прилегание его к образцу не могло быть полным, трудно было достичь чисто одноосного деформирования (без боковых перемещений). Более того, ограничивающим фактором становится и предел текучести самих стержней Гопкинсона, поскольку динамический предел текучести при одноосной деформации выше, чем при одноосном напряжении, так что образец в одноосном деформированном состоянии может быть прочней стержней Гопкинсона, используемых в экспериментах, в которых образец номинально находится в одноосном напряженном состоянии.
В других модификациях разрезного стержня Гопкинсона применяется одновременное наложение на образец динамического сжатия и статического радиального давления. В работе [18] сжимающее давление доведено до 0,7 ГПа. Линдхольм и др. [91] применили такой вариант стержня для изучения влияния гидростатического давления на динамическую прочность материалов. Риппергер [118] в подобных экспериментах установил, что гидростатическое давление заметно влияет на чувствительность к скорости деформации алюминия, меди и железа высокой чистоты.
В работе [124] предложен метод получения данных при высоких скоростях деформации в условиях крутильного нагружения и высокого гидростатического давления с помощью «крутильной бомбы». Для механического удара использовался массивный маховик с устройством сцепления, раскручиваемый до высоких скоростей. Влияние волн напряжений в этом устройстве не рассматривалось. В образцах с очень короткой рабочей частью 1,6 мм) достигалась скорость деформации 103 с " 1 при внешнем давлении до 1,7 ГПа. Испытуемый материал — сталь различных марок, от мягкой до высокопрочной. В мягких материалах с кубической гранецентрированной решеткой, таких, как алюминий и медь, обнаружено, что давление приводит к повышению деформации разрушения, причем сильное увеличение скорости деформации не снижало этого эффекта.
Концепция метода стержня Гопкинсона, согласно которой по наблюдениям на одном конце или в точке между концами стержня можно судить о характере процесса на другом, была применена при попытке получить чрезвычайно высокие скорости деформации и деформации сжатия. Саманта [120] использовал такой вариант стержня Гопкинсона, когда прямо в образец выстреливался снаряд, т.е. передающий стержень не применялся. Такой способ позволил достичь высоких деформаций сжатия в алюминии и меди. Нагрузка определялась обычным образом по показаниям тензодатчиков в опорном стержне; для непосредственной регистрации деформаций применялся оптический метод.
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 219
В работе [138] описаны измерения скоростей деформации до 105 с“г и истинных деформаций до 2 с применением метода удара снаряда непосредственно по образцу. Деформация измерялась коаксиальным емкостным датчиком. Там же описана новая схема измерения быстрых скачков емкости, более совершенная по сравнению с емкостными датчиками деформации, предложенными в работе [135]. В работе [50] описывается модификация стержня Гопкинсона, в которой боек бьет непосредственно по образцу. Для определения деформации по радиальному перемещению была использована современная высокоскоростная кинокамера с новой оптической системой. В испытаниях длительностью 8 мкс в образце из вольфрамового сплава диаметром 1 мм и длиной 0,5 мм получены деформация 30% и скорость деформации 4 104с“1. Такие высокие скорости деформации вряд ли достижимы в обычном разрезном стержне Гопкинсона из-за ограниченной прочности стержней и больших усилий, требуемых для деформирования высокопрочных материалов.
Метод стержня Гопкинсона можно распространить и на другие типы испытаний. Ударные испытания Шарпи или испытания на динамический трехточечный изгиб могут проводиться с применением этого метода. Николас [107] провел испытания на трехточечный изгиб с образцами бериллия с помощью системы, состоявшей из одного стержня с датчиками посередине, конец которого был обработан в виде стандартного конуса Шарпи (рис. 5.13). Концы образца жестко крепились к опоре, что моделировало жесткую заделку в точках опирания. На рис. 5.14, а представлен импульсный сигнал тензодатчика на передающем стержне пос-
Рис. 5.13. Схема испытания со стержнем Гопкинсона и изгибом балки.
I-стержень-боек, 2-передающий стержень, 3-образец, 4-тензодатчики; 5-опора
220
Глава 5
Рис. 5.14. Схема преобразования сигналов в эксперименте на изгиб с использованием стержня Гопкинсона.
F, = ЕА(е< - ег), 65 = С J (е, 4- ег)dt; V, = C (е< 4- ег). о
ле удара бойка. На рис. 5.14,6 схематически показаны сдвинутые во времени сигналы, какими они должны появиться на конце передающего стержня в точке контакта с образцом. Так как заделка образца жесткая, то перемещение балки происходит лишь в точке нагружения на конце передающего стержня. Выражения для силы, перемещения и скорости представлены в подписи под рисунком. Поскольку история нагружения и перемещения конца стержня может быть полностью восстановлена по падающему и отраженному сигналам, измеренным тензодатчиком, то установка пригодна для проведения изгибных испытаний с полным набором измеряемых параметров. На рис. 5.15 показаны зависимости нагрузки от прогиба для образцов из бериллия Р-1 при трех различных скоростях. Следует заметить, что при более высоких скоростях появляется значитальный «звон» сигнала. Этот «звон» возникает не в нагружающем устройстве, поскольку продольные волны в длинном стержне распространяются без дисперсии. Скорее, он возбуждается натуральными изгибными колебательными модами в образце.
В работе [126] предложена другая модификация разрезного стержня Гопкинсона, позволяющая получить скорости деформации растяжения выше 104 с“ Увеличение скорости деформации достигнуто благодаря применению образца с надрезом. Прямые измерения деформации были произведены с помощью высокоскоростной камеры (покадровый режим), а измерения нагрузки-обычным тензометрированием на передающем стержне. Здесь возникают определенные трудности с синхронизацией кривых нагрузка - время и деформация - время, когда они
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 221
негладкие и необходима экстраполяция для определения нулевой точки отсчета. Напряженное состояние в надрезе образца неодноосное. Распределение напряжений поперек надреза можно найти с помощью приближенного метода Бриджмена [13]. Предполагая, что радиальное смещение в минимальном поперечном сечении линейно зависит от радиуса г, и принимая условие текучести и закон течения Мизеса, запишем осевые и радиальные напряжения в поперечном сечении, содержащем надрез, в виде
/ а2 + 2aR — г2 \
CTz = F ,+’g-------5^------ ’ <517>
\ z,ai\ j
аг = Г 1g
а2 + 2aR - г2 2aR
(5.18)
где а-минимальный радиус образца в месте надреза и К-радиус кривизны надреза. Напряжение течения qz на поверхности г = а обозначено
Рис. 5.15. Типичные кривые зависимости нагрузки от прогиба, полученные при испытаниях на динамический изгиб бериллия Р-1.
222
Глава 5
F. Среднее осевое напряжение qz дается соотношением
Qz = F [1 + 2(R/a)] lg(1 + a/R). (5.19)
Решение Бриджмена было подвергнуто критике [22] как неправильное, хотя расчет растяжения образца с надрезом в стержне Гопкинсона методом конечных элементов показал, что постулированное Бриджменом распределение напряжений поперек надреза приблизительно выполняется [140]. Было бы желательно более точно определить напряженное состояние в надрезе в условиях динамического нагружения. Использование образцов с надрезом открывает, таким образом, возможность изучения механического поведения материала в условиях трехосного напряженного состояния, если имеется решение соответствующей динамической задачи. Эта методика позволяет получить более высокие скорости деформации, чем при растяжении гладких стержней.
Разрезной стержень Гопкинсона был применен также для изучения разрушения материала с использованием образцов специальной формы. В работе [75] на обычной установке с разрезным стержнем Гопкинсона при нагружении образца клином были получены динамические кривые нагрузка - перемещение для ряда материалов, по которым определялось начало разрушения. Другая модификация стержня Гопкинсона для исследования разрушения описана в работе [26], где надрезанный длинный стержень предварительно подвергался усталостному нагружению, а затем действию растягивающего импульса. Нагружающий импульс генерировался подрывом заряда ВВ на нагружающей головке специальной формы; регистрация падающего и прошедшего импульсов выполнялась обычными тензодатчиками. Раскрытие трещины на поверхности стержня регистрировалось с помощью оптической интерференционной системы. На этой установке была достигнута скорость роста напряжения более 106 МПа с-1, что на порядок больше величин, получаемых в обычных ударных испытаниях по методу Шарпи.
5.2.5. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
МЕТОДА СТЕРЖНЯ ГОПКИНСОНА
Метод разрезного стержня Гопкинсона помимо его широкого распространения в практике эксперимента стал объектом углубленного теоретического анализа, имевшего целью оценку лежащих в его основе предположений и выявление пределов его применимости. Возможно, что ни один из известных видов динамических испытаний не подвергался столь строгой проверке, как метод стержня Гопкинсона. Первый критический анализ этого эксперимента принадлежит Дэвису [32], который дал ориентировочную оценку влияния дисперсии на распространение волны в стержне и пришел к выводу о невозможности измерить давление с характерным временем изменения порядка 1 мкс. На основе энергетического подхода в работе [30] выведена поправка на радиальную
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 223
инерцию, учитывающая неоднородность трехмерного поля напряжений. Оптимальная геометрия образца была определена отношением
а/й = 2/|/з, (5.20)
где а -радиус образца, /i-его толщина. В этом случае минимизируется влияние радиальной инерции и трения на поверхности торцов. Конн [24] одним из первых обратил внимание на различие между механическими эффектами (явлениями распространения волн) и внутренними свойствами материала. На основе предположения о существовании единой динамической кривой напряжение-деформация для алюминия в рамках одномерной, не зависимой от скорости теории распространения волн он объяснил экспериментальные данные работы Хаузера и др. [58], которые провели собственный анализ на основе билинейной аппроксимации. В работе [58] был сделан вывод, что не зависимая от скорости упругопластическая теория неприменима, так как динамические кривые зависимости напряжения от деформации всегда расположены выше соответствующих статических. Хотя рассматривались очень короткие образцы со множественными отражениями и взаимодействиями в них, результаты этого анализа имеют удивительное сходство с выводами теории распространения упругопластических волн в длинных стержнях (гл. 2). Хаузер [57] в обзоре по экспериментальным методам определения зависимости напряжения от деформации при высоких скоростях деформации указал на недостатки различных методов и представил критическую оценку точности метода разрезного стержня Гопкинсона. Экспериментальные исследования Белла [7] порождают некоторые сомнения относительно достоверности метода разрезного стержня Гопкинсона, хотя использованные им граничные условия учитывали трение, которое в большинстве тщательно подготовленных испытаний на разрезном стержне Гопкинсона отсутствует.
В работе [68] выполнен детальный одномерный анализ распространения волн в образце разрезного стержня Гопкинсона на основе модели материала, поведение которого не зависит от скорости деформации. Установлено, что воспроизведенная и заданная зависимости напряжения от деформации слабо отличаются друг от друга, хотя анализ был проведен только для коротких интервалов времени и, следовательно, для малых пластических деформаций. Николас [106] провел подобный анализ для скручиваемого образца в методе разрезного стержня Гопкинсона с зависящей от скорости деформации моделью материала и пришел к выводу, что для материалов с гладкой кривой зависимости напряжения от деформации и умеренных скоростей деформации (менее 104 с “ х) метод разрезного стержня Гопкинсона вполне точен и надежен. Было показано, что в материалах с изломом на пределе текучести медленные пластические волны могут привести к искажению наблюдаемого поведения материала. При численном моделировании динамического поведения предварительно подвергнутого динамическому воздействию по методу стержня Гопкинсона статически напряженного материала в наблюдаемых догру-зочных кривых напряжение-деформация могут возникать значительные
224
Глава 5
ошибки. На рис. 5.16, заимствованном из этой работы, представлены действительные и расчетные кривые деформирования для двух различных моделей (с зависимостью от скорости деформирования и предварительным нагружением в пластическую область). Расчетные значения были получены для этих моделей материала в испытаниях с использованием разрезного стержня Гопкинсона и стандартных уравнений метода при обработке экспериментальных данных. На графике отложены приращения напряжений и деформаций относительно предварительно наложенного квазистатического напряжения. Результаты численного эксперимента показывают, что условие равенства напряжений на концах образца в до-грузочных экспериментах, по-видимому, нарушается в большей степени, чем в других рассмотренных случаях.
Одно из наиболее обстоятельных рассмотрений метода разрезного стержня Гопкинсона было представлено в работе [8]. С применением двумерной конечноразностной вычислительной схемы исследовалось влияние трения на торцах образца на его упругопластическое поведение и выбора отношения длины к диаметру. На рис. 5.17 сравниваются расчетные кривые деформирования с экспериментальными, полученными при различных условиях на торцах (смазка, сухое трение, жесткое соединение). Эксперимент и расчет показали важность подбора смазки для устранения трения в стыках образца со стержнями, поскольку образец стремится рас-
Рис. 5.16. Расчетные и реальные кривые деформирования в догрузочных испытаниях с использованием стержня Гопкинсона.
центр образца,------О-----О расчет
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 225
Рис. 5.17. Сравнение расчетных кривых деформирования материала при различных значениях коэффициента трения с экспериментальными данными, полученными при различных условиях на торцах [8].
-----исходная кривая;----- расчетная кривая; экспериментальные данные Шарпи (1971): • смазка; х сухое трение; О жесткое соединение, l/d = 0,25; = 400 с-1.
шириться в радиальном направлении под действием осевого напряжения. Хотя радиальная инерция и особенно трение порождают кажущееся упрочнение в материале из-за дополнительной стесненности деформации, в работе [8] сделано заключение, что метод разрезного стержня Гопкинсона достаточно точен и надежен при определении динамических свойств. Было установлено, что соотношение а/h = 1 является подходящим критерием при выборе размеров образца. Было также показано^ что трение значительно повышает степень неоднородности напряжений и деформаций в образце. Заключение Белла [7] о невыполнимости условия однородности напряжений и деформаций в образце справедливо только для случая закрепленного образца; если же торцы образца смазаны, то условие однородности выполняется. На основе энергетического подхода в работе [78] выполнен упрощенный теоретический анализ, дающий оценки эффектов совместного действия радиальной инерции и трения в методе разрезного стержня Гопкинсона. Авторы вывели соотношение
/4 2ца\ [a1 h \ (a1 h2\ ,
сто = -М’-'-Г- -Р v + -o Г + рПГ--п Г ’ (52,)
\ Л / \ о 12/ у 16 12/
226
Глава 5
где сг0—истинное осевое напряжение, Рср- среднее усилие на каждом торце образца, ц-коэффициент трения между образцом и стержнем, а-радиус образца, h-ero длина. При отсутствии трения эта аппроксимация сводится к аппроксимации Дэвиса и Хантера [30] для не слишком больших скоростей деформации. Результаты работы [78] в целом качественно согласуются с двумерным, более точным численным анализом [8], который, по-видимому, более пригоден для объяснения реальных экспериментальных ситуаций. Проведена серия опытов по сжатию свинцовых образцов различного удлинения до скоростей деформации 2-103 с~ 1 [101]. Установлено, что в диапазоне условий проведения эксперимента инерционные эффекты пренебрежимо малы.
Задача о тонкостенном трубчатом образце для крутильного разрезного стержня Гопкинсона, прикрепленном к сплошному цилиндру, рассмотрена в работе [85]. Хотя при кручении не возникает проблем, связанных с осевой и радиальной инерцией, наличие острого угла перехода на стыке образца со стержнем может вызывать локализацию пластических деформаций. С помощью численного расчета методом конечных элементов было установлено, что наличие угла на стыке не влияет на наблюдаемое напряженно-деформированное состояние образца и что достаточно гладкая и однородная деформация сдвига устанавливается во всей рабочей части образца.
При аналитическом исследовании метода разрезного стержня Гопкинсона возникает еще один вопрос: как распространяются по нагруженным стержням упругие волны, возбуждаемые в сечении меньшего радиуса и измеряемые в удаленной точке на поверхности стержня? В работе [139] дано решение для упругих волн в разрезном стержне Гопкинсона и установлено, что для сжимаемого образца малого диаметра, изготовленного из материала с верхним и нижним пределом текучести, погрешность поверхностной деформации, соответствующей динамическому пределу текучести, еще существует на расстоянии не менее 16 диаметров от торца. В работе [17] подобный анализ волн кручения в упругом цилиндре моделирует крутильный вариант разрезного стержня Гопкинсона. Сделан вывод о том, что, пока время нарастания импульса, генерируемого образцом, меньше времени прохождения волной расстояния, равного радиусу стержня, или пока расстояние от конца стержня невелико по сравнению с радиусом, основное предположение о волновом процессе выполняется. Таким образом, использование сигналов от крутильных волн в стержне или полом цилиндре для измерения импульсов напряжения в образце дает удовлетворительные результаты, даже если время нарастания импульса мало.
Были проведены также экспериментальные исследования применимости разрезного стержня Гопкинсона, в которых путем непосредственных измерений напряжения и деформации в одной точке или по возможности в близких точках образца определялись истинные диаграммы деформирования, которые затем сравнивались с соответствующими диаграммами, построенными на основе стандартной процедуры метода разрезного стержня Гопкинсона. В работе [70] напряжение измерялось непосред
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 227
ственно вблизи торца стержня Гопкинсона с помощью пьезодатчика на кварце Х-среза, а деформация с помощью тензодатчиков малой базы из травленой фольги, наклеенных на образец, возможно, ближе к его торцу. Подобная схема была использована и в работе [18], где кварцевые диски в виде прокладок были установлены между торцами образца и стержнями, а тензодатчики из фольги наклеены на образец. Кроме этого в некоторых экспериментах на образец действовало высокое гидростатическое давление. В обоих исследованиях проводилась проверка основных предположений метода в диапазоне достигнутых скоростей деформации. В работе [131] прямые измерения удалось провести при повышенных температурах благодаря применению материала для закрепления датчика деформации на поверхности образца в виде распыленной в пламени керамики. В испытаниях хрупких, с малым пределом прочности материалов с использованием разрезного стержня Гопкинсона [130] и пьезокварцевых датчиков давления было установлено, что этот прямой метод измерения дает достоверную и более точную информацию о напряжениях и модулях при очень низких уровнях деформации.
Применение метода разрезного стержня Гопкинсона при повышенных температурах образца требует рассмотрения температурных градиентов в нагруженных стержнях между образцом и местами расположения тензодатчиков, которые, порождая градиенты плотности или модуля упругости, могут оказывать влияние на распространение упругих волн. Впервые этот эффект был рассмотрен в работе [19], в которой температурный градиент был аппроксимирован пятиступенчатым разрывным распределением с однородной температурой на каждой ступени. На основе этой дискретной модели были выведены уравнения для конечного числа отражений и взаимодействий волн. В работах [44, 45] в предположении экспоненциальной формы температурного профиля выведены приближенные поправочные температурные коэффициенты, связывающие деформацию в образце с деформацией в тензодатчиках.
Анализ продольной упругопластической волны, распространяющейся по стержню с изменяющимися по его длине свойствами, дан Пежиной [114]. В работе [16] и позже в работе [102] с использованием метода характеристик исследовалась задача для случая произвольного температурного профиля с нулевым и конечным временами нарастания импульса. Распространение возмущения по стержню Гопкинсона с температурным градиентом описывалось уравнениями
да/дх = p(x)(dv/dt), (5.22)
де/dt = dv/dx, (5.23)
о = £(х)е. (5.24)
Если предположить, что р = const, т. е. что плотность меняется с температурой незначительно, то эти уравнения сведутся к следующим:
да/дх = p(dv/dt),
(5.25)
228
Глава 5
[l/E(x)](do/dt) = dv/дх. (5.26)
Эту систему можно решить методом характеристик. Соотношения в характеристической плоскости суть
d<5 = + pc(x)dv вдоль dx = +c(x)dt, (5.27)
где с(х) = [£(х)/р]1/2. (5.28)
Предполагая, что распространяющаяся по стержню волна имеет нулевое время нарастания, и используя дифференциальные соотношения в характеристической плоскости, можно вывести следующее выражение [102]:
с/а = (с/аУ12, (5.29)
где индекс i относится к концу стержня Гопкинсона (х = 0), примыкающего к образцу, и с = с0 скорость упругой волны в стержне при температуре окружающего воздуха. Обозначая индексом 0 положение тензодатчика при х = х0, который находится при той же температуре, где поэтому с =
= с0, на основании закона Гука можно показать, что е,-/е0 = (£,-/£0) - 3/\ (5.30)
ст,/ст0 = (£,/£0)1/4 (5.31)
Если модуль £ линейно зависит от температуры
Ь = Ео(1 - са) - 3/4, (5.32)
где са = const(Ti — TQ), (5.33)n
то можно получить поправочные температурные коэффициенты е1/£о=(1-^)’3/4> (5.34)
Qi/o0 = (l-са)1/4, (5.35)
которые связывают истинное значение напряжения или деформации в образце с измеренным с помощью датчика. Для ступенчатого импульса поправки идентичны выведенным в работе [45] и не зависят от профиля температурного градиента.
Иной способ проведения испытаний при повышенных температурах с использованием стержня Гопкинсона, который позволяет избежать паразитных отражений волн и необходимости введения поправок по указанным выше формулам, был предложен в работе [45]. В испытаниях на кручение авторы применили стержни с изменяющимся сечением, так что их механический импеданс, несмотря на температурные градиенты, оставался постоянным. При кручении механический импеданс равен pcJ, где
° В оригинале пропущен множитель const-Прим. ред.
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 229
р-плотность, с-скорость крутильной волны и J- полярный момент инерции. В предположении р = const найдем скорость распространения волны
c(x) = [G(x)/p]1/2, (5.36)
где G-модуль сдвига, а его изменение по х определяется изменением G с температурой, которая в свою очередь зависит от формы температурного градиента. Величина J зависит только от геометрии (диаметра) стержня и может быть подобрана таким образом, чтобы обеспечить постоянный механический импеданс для любого заданного температурного градиента. Хотя для различных температур образца требуются разные стержни, результаты измерений не нуждаются в поправках. Такая методика эксперимента была успешно использована в работе [45] до температуры образца, равной 250°С. Было показано, что в правильно спроектированном стержне при температурах порядка 500°С не появляются паразитные отражения волн. Описанный принцип постоянного механического импеданса можно было бы использовать и в испытаниях на сжатие или растяжение, хотя до сих пор сообщений об этом не было.
Динамические свойства материалов при высоких температурах могут зависеть от скорости нагрева. Для изучения этого явления Липкин (1974 г.) разработал метод динамических испытаний материалов в условиях чрезвычайно высоких скоростей нагрева. Под действием импульсного пучка электронов образцы из алюминия 6061-Тб нагревались за время порядка 0,1 мкс. Лишь очень малая область длинного стержня подвергалась нагреву при исходной температуре. Нагрев в течение нескольких микросекунд вызывал волну напряжения и, следовательно, приводил к нагружению с высокой скоростью деформации. Центральная часть стержня, подвергнутая нагреву, служила испытываемым образцом, ненагретые части по обе стороны действовали подобно обычным стержням Гопкинсона. При малом времени нагрева утечка тепла из испытываемой области минимальна.
Во всех указанных работах пренебрегали изменением плотности с температурой и учитывали лишь температурные градиенты модуля упругости. Полученные результаты показывают, что с соответствующими поправками метод разрезного стержня Гопкинсона может использоваться с высокой степенью надежности в экспериментах при высоких температурах.
5.3. ДРУГИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
5.3.1. ЦИЛИНДР ТЕЙЛОРА
Тейлор [127] и Уиффин [133] разработали метод определения динамического предела текучести по измерению распределения остаточных деформаций в прямом круговом цилиндре после его удара о жесткую преграду. Предложенный Тейлором анализ основан на предположении об
230
Глава 5
Рис. 5.18. Схема цилиндра Тейлора.
a-в процессе деформирования, б-после деформирования
одномерном распространении волн в жесткопластическом материале. На рис. 5.18,а показан цилиндр в некоторый момент деформирования. Деформированная область распространяется от жесткой стенки со скоростью ср, в то время как недеформированная часть цилиндра, текущая длина которой ft, перемещается с убывающей скоростью v. Предполагается, что уравнение состояния о = о(е) не зависит от скорости деформации и что материал жесткопластический, т.е. упругие деформации пренебрежимо малы. Пусть Оу-предел текучести, Ло-начальная площадь поперечного сечения. Площади и напряжения по обе стороны фронта волны показаны на рис. 5.18. Напряжение непосредственно перед фронтом равно начальному пределу текучести, за фронтом-область покоя. Обозначая через о и е техническое напряжение и деформацию соответственно и считая материал несжимаемым при пластическом деформировании, получим
срА =(v + cp)Aq, (5.37)
dh/dt = v + ср. (5.38)
Деформация непосредственно за фронтом пластической волны вычисляется с помощью выражения (5.37)
е = (А - Ао)/А = v/(v + Ср). (5.39)
Закон сохранения количества движения имеет вид
p(v 4- cp)v = о — Оу, (5.40)
так как при прохождении фронтом волны элемента dx = — dt(v 4- ср) скорость этого элемента становится нулевой. Уравнение движения для недеформиро ванной части записывается следующим образом:
ph(dv/dt) = - Оу. (5.41)
Из выражений (5.38) и (5.39) следует, что
l/2d(pv2) = GyEd(\nh\ (5.42)
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 231 а из (5.39) и (5.40)-что pt>2 = е(ст — сту). (5.43)
Затем из (5.42) и (5.43) получаем d[e(Q-Qj,)] = 2Qyed(ln/i). (5.44)
Принимая h = /0, v = v0 и е = £0 при t = 0 и интегрируя, находим |ПА =4 (5.45)
*0 2 JCTo Qy8
Поскольку о0 = о(е0), определим е0 из выражения (5.43) ео = Р»о/(сто - <Ъ-)- (5-46)
С использованием (5.39) и (5.41) в предположении, что ср = const, получим формулу Тейлора dv/dh = Gy/[ph(v + cp)]9 (5.47)
откуда после интегрирования имеем
(Сту/р) In (h/l0) = l/2 V2 - 7г Vo + cpv - CpV0 (5.48)
Обозначим через H конечную длину недеформированного участка (рис. 5.18,6), получающуюся при v = 0. Тогда
(оу/р) In (Я//о) = - 7z - CpVo. (5.49)
Если затем предположить, что замедление задней части образца происходит с постоянной скоростью, то пластическая волна проходит расстояние (G — Я), где -полная конечная длина цилиндра, за время
Г = (/1-Я)/ср. (5.50)
Но время остановки в предположении постоянного замедления приблизительно равно t = 2(/0-/1)/r0. (5.51)
Приравнивая (5.50) и (5.51), получим
Ср = (г0/2)[(11-Я)/(10-11)], (5.52)
а из (5.49) получим
<{--«> 1 (553) 2(/0 — (,) In (|0/Н)
232
Глава 5
Предел текучести легко найти из выражения (5.53). Для этого требуется лишь измерить длину недеформированного участка цилиндра и скорость удара. Следует заметить, что в эксперименте Тейлора скорость удара ограничена сверху скоростью пластической волны, иначе возникли бы ударные волны, не рассматриваемые в приведенном анализе. Кроме того, в эксперименте скорость деформации не постоянна, и ее нельзя определить из такого упрощенного решения.
Тейлор [127] ввел поправочный множитель, учитывающий непостоянство замедления цилиндра. Обозначив через ау исправленное значение определяемое из (5.53), он вывел поправочную формулу
_ ~~ 1П ('о/7** 54^
Оу /0 - н [К - (Ср/а)]2 ’
где величины а и К определяются соотношениями
а2 = 2сту/р, К = (v0 + ср)/а. (5.55), (5.56)
Тейлор представил результаты расчета в виде графиков зависимостей Н/10 от 1г/10 для постоянных значений ау/ау.
Экспериментальный метод Тейлора был детально проанализирован в работе [134] на основе двумерной конечно-разностной численной схемы. Было установлено, что он дает приемлемые величины среднего динамического предела текучести. Однако, согласно результатам численного расчета [ИЗ], для высокопрочных материалов формула Тейлора дает значительное завышение. Вариант формулы Тейлора, учитывающий упругие деформации, представлен в работе [83]. Из экспериментов с цилиндром Тейлора определены динамические характеристики металлов, в частности динамический предел текучести [116]. Здесь же в анализ включен учет упругости, упрочнения и нелинейности и предложены различные виды уравнений состояния. Установлена адекватность предположения об одномерности движения. До скоростей удара около 300 м/с деформация преграды не возникала. Лучшее согласие с экспериментом получено для модели жесткого упрочняющегося материала, поэтому отмечена важность включения упрочнения в модель материала. Рехт [117] расширил рамки модели Тейлора на случай нежесткой преграды.
К другим модификациям эксперимента с цилиндром Тейлора относится обращенный вариант, когда масса конечной величины ударяет по неподвижному цилиндру [52]. В симметричной схеме соударения двух одинаковых цилиндров моделируются жесткие граничные условия и, кроме того, снимается трудность, связанная с определением сил трения между радиально расширяющимся цилиндром и жесткой стенкой. Однако такой эксперимент трудно реализовать при повышенных температурах, и преимущества схемы в этой ситуации снижаются. В любом случае следует иметь в виду, что при ударе цилиндра о жесткую стенку распространяются двумерные осесимметричные волны, и, хотя одномерный анализ предоставляет простой способ получения данных о свойствах материала, определение профиля деформации в различные моменты времени требует
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 233
более детального анализа и сложных измерений. Такой подход применительно к схеме симметричного удара был использован в работе [28], где эксперимент моделировался последовательными приближениями в рамках двумерной численной схемы. Параметры динамической поверхности текучести варьировались до тех пор, пока рассчитанный процесс разрастания «гриба» на ударяющем торце не совпадал с зарегистрированным с помощью высокоскоростной фотосъемки. Этот метод имеет большие перспективы для определения характеристик материала в условиях неодноосного напряженного состояния при очень высоких скоростях деформации, но требует численного итеративного анализа явления распространения волн.
5.3.2. РАСШИРЯЮЩЕЕСЯ КОЛЬЦО
В другом способе определения механических характеристик материала при высоких скоростях деформации используются кольцо или цилиндр. Под действием симметричного радиального давления в кольце реализуются условия одноосного напряженного состояния, а в цилиндре-условия плоской деформации при высоких скоростях. По-видимому, впервые эта геометрия эксперимента была применена в испытаниях по методу расширяющейся трубы, заполненной ртутью, предполагавшейся несжимаемой рабочей средой [21]. Были достигнуты скорости деформации около 200 с“ х. Давление в ртути создавалось поршнем, перемещавшимся с заданной скоростью в тонкостенной цилиндрической трубке из стали. Динамическое деформирование кольца путем электромагнитного нагружения было реализовано в работе [111], а с помощью взрыва ВВ-в работах [61,62]. В работе [47] расширение цилиндра осуществлялось взрывом проволочки при разряде через нее конденсатора. Для измерения радиальных перемещений была использована оптическая система с лазерным источником света и фотоумножителем [125]. При расширении кольца импульсом магнитного давления продолжительностью менее 10 мкс [128] через 20 мкс наблюдались четкие сигналы на тензодатчиках, измерявших окружную деформацию кольца. Такой же способ создания импульса магнитного давления при разряде батареи конденсаторов через индуктор был использован в работе [132] для изучения процесса динамического разрушения алюминиевых цилиндров при скорости деформации до 104 с~ х. Влияние скорости деформирования и истории нагружения на разрушение металлов исследовалось в работе [48] на тонкостенных цилиндрах, расширяющихся под действием взрыва проволочки; перемещения измерялись лазерно-фотоумножительной системой. В работе [43] предложена новая методика взрывного нагружения, вызывающего почти однородное расширение толстостенных цилиндров. Как и в некоторых других упомянутых исследованиях, данные о напряжении в зависимости от деформации получены не были, но имеются данные о скорости деформации и о деформации разрушения. При испытаниях цилиндров из нержавеющей стали AISI 304 была достигнута скорость деформации более 4000с-1.
234
Глава 5
При нагружении кольца или цилиндра очень коротким импульсом динамические соотношения напряжение - деформация получаются из рассмотрения свободного замедленного разлета кольца или цилиндра с начальной радиальной скоростью, приобретенной под действием импульса. Для тонкого кольца окружное напряжение в отсутствие давления, как легко показать, равно
q = - pR(d2R/dt2), (5.57)
где R- радиус кольца и р-плотность. Если во время испытания действует внешняя сила, например электромагнитная сила или гидравлическое или пневматическое давление, то она должна быть измерена или точно рассчитана и введена в уравнение движения. Деформация в образце определяется по результатам измерений мгновенного диаметра или радиальной деформации кольца или цилиндра. Напряжение, однако, определяется по формуле (5.57), из которой видно, что для этого нужно знать вторую производную по времени радиального перемещения или первую производную радиальной скорости. В любом случае при дифференцировании экспериментальной кривой перемещения или скорости, особенно при двукратном дифференцировании, возникает погрешность. Сложная процедура сглаживания и аппроксимации показаний тензодатчиков, дискретизированных в цифровом коде, применялась в работе [29] для вычисления вторых производных при исследовании колец из композитных материалов, нагружаемых внутренним давлением от взрыва, передаваемым через жидкость. Очень точные записи зависимости скорости от времени, требующие лишь однократного дифференцирования для вычисления радиального ускорения, были получены в работе [129] с помощью лазерного измерителя скорости. Однако до сих пор достигнутый успех в изучении динамических свойств материалов с помощью расширяющегося кольца или цилиндра ограничен из-за недостаточной точности определения напряжения. С другой стороны, с помощью этого метода можно получить очень высокие скорости деформации: порядка 104 с ~ 1 и выше. Как и в других методах динамических испытаний, максимально достижимые скорости ограничиваются эффектами распространения волн. В случае кольца это происходит, когда становится значительным влияние отражений волн в толще стенки кольца и нарушается условие чисто кольцевого напряженного состояния.
5.3.3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ НА СДВИГ
Кроме метода разрезного стержня Гопкинсона в испытаниях на кручение разработаны методы испытаний на чистый сдвиг при высоких скоростях деформирования. Хаузер [57] предложил метод динамического пробивания с использованием стержня Гопкинсона, оснащенного трубой в качестве матрицы и стержнем в качестве пуансона (рис. 5.8). В дальнейшем этот метод был развит Доулингом и др. [34], которые при сдвиговом деформировании плоских образцов достигали скоростей деформации до
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 235
Ю4 с~ х. Экспериментальная установка детально описана в работе [33]. Эффективная длина рабочей части образца определяется зазором между матрицей и пуансоном, что приводит на практике к большому разбросу результатов. Более обнадеживающие результаты можно ожидать от предложенной в работе [16] аналогичной схемы испытания на сдвиг с использованием образца, имеющего двойной надрез. При помощи вертикального копра получены скорости деформации мягкой стали до 4-104 с ~ Ч При той же схеме эксперимента с использованием модифицированного образца с двойным надрезом [54] полученные результаты лучше согласуются с результатами экспериментов на высокоскоростное растяжение тех же материалов. И, хотя в этом типе испытаний еще недостаточны однородность и величина деформации сдвига, использование чистого сдвига вместе с возможностью добиться относительно высокой скорости деформации делают его одним из самых перспективных в исследованиях динамической пластичности.
5.3.4. ИСПЫТАНИЯ НА КОПРЕ
Для испытаний со средними величинами скоростей деформации, особенно в области больших пластических деформаций, некоторые исследователи использовали копры. Для таких экспериментов характерно динамическое деформирование в контролируемых условиях, хотя их результаты не всегда приводятся в литературе по динамической пластичности. Динамическое сжатие образца с помощью копра происходит при скорости деформации 102 с ~ 1 и выше. Устройство и работа копра заключаются в следующем. Баба копра поднимается мотором на заданную высоту и сбрасывается. Она скользит по тщательно обработанным и отрегулированным направляющим, обеспечивающим соосность удара по образцу. Как правило, запасенная энергия бабы превышает энергию деформирования образца, что позволяет получить постоянную скорость деформации. Если энергии недостаточно или требуются очень большие деформации, постоянной скорости деформации обеспечить не удается. При почти постоянной скорости деформации легко определить саму деформацию. Измерения же силы требуют тщательного учета рассмотрения процесса распространения волн, особенно если предпринимаются попытки достичь высокой скорости деформации. В работе [136] предложен метод измерения импульсного усилия с помощью кольцевого пьезоэлектрического динамометра, работающего в диапазоне скорости до 104 с ~ Ч При столь высоких скоростях был явно заметен динамический «звон» динамометра. Мощный копер был использован в работе [84] для догрузочных испытаний при высокой скорости деформации, включающих ряд последовательных нагружений. Сделана попытка избежать таким способом быстрого повышения температуры или непостоянства скорости деформации при больших значениях деформации и ее скорости. В таких догрузочных опытах была достигнута скорость деформации выше 1000 с~ х. Однако диаграммы деформирования, полученные в однократных испытаниях, ниже догрузочных, что объясняется как существенным повышением темпе
236
Глава 5
ратуры при больших деформациях, так и снижением скорости деформации в ходе опыта. Интересно отметить, что предыстория процесса не учитывалась, хотя она может влиять на результаты.
Сложный экспериментальный метод с применением копра описан в работе [64], где для измерений изменяющегося во времени усилия была использована короткая пьезоэлектрическая ячейка, а для записи истории деформации - волоконно-оптический датчик перемещений. Полученные значения силы в зависимости от времени обрабатывались с помощью вычислительной машины, что позволяло получить значения измеренной силы с поправкой на динамические характеристики ячейки. Действительное значение усилия получалось с помощью быстрого преобразования Фурье сигнала с пьезоэлектрической ячейки. Сигнал затем корректировался по частотному спектру, для чего производилось комплексное деление спектра сигнала на известную частотную характеристику датчика. Последующее обратное преобразование давало исправленный сигнал истинного усилия. С помощью этого метода в работе были получены данные для стали двух марок при скоростях до 103 с ~ 1 [66]. Результаты показали, что на измеренные значения напряжения в области пластического течения влияла геометрия образца, причем напряжение возрастало по мере уменьшения отношения начальной высоты к диаметру. Хотя в этом можно было бы усмотреть вклад радиальной инерции, но измерения выполнялись и при высокой, и при низкой скоростях деформации. При интерпретации этих экспериментальных результатов следовало бы учитывать трение в торцах, о чем уже говорилось в связи с анализом метода разрезного стержня Гопкинсона. Здесь важно отметить сходство между методами испытаний на копре и на стержне Гопкинсона с непосредственным ударом. В обоих случаях при переходе к высоким скоростям деформации в равной степени необходимо учитывать ограничения и предположения, лежащие в основе метода разрезного стержня Гопкинсона.
5.3.5. ИСПЫТАНИЯ НА ДИНАМИЧЕСКИЙ ИЗГИБ
При рассмотрении динамических экспериментов уместно уделить некоторое внимание ударным испытаниям по методу Шарпи, или на динамический изгиб. Испытание по Шарпи включает в себя определение полной энергии разрушения образца с надрезом при трехточечном ударном изгибе. Его главное назначение-отбор материалов, их сравнение, определение температуры перехода стали от мягкого состояния к хрупкому при ударе. Из-за применения надрезанного образца и регистрации только полной энергии этот вид испытаний не имеет особой ценности для вывода уравнений состояния или качественного критерия разрушения материалов. Но подкупает его чрезвычайная простота и быстрота выполнения.
В последние годы был разработан вариант испытаний по Шарпи с усложненной измерительной схемой, позволяющей регистрировать реальную зависимость нагрузки от перемещения [3]. Нагрузка измеряется с помощью тензодатчиков, помещенных непосредственно на нагружаю-
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 237 щую головку или боек маятникового копра, в то время как перемещение определяется вычисленным с помощью энергетических соотношений изменением скорости бойка при заданной начальной скорости. Результирующая кривая нагрузка-перемещение может быть проинтегрирована и получена кривая зависимости энергии от времени или перемещения. Эта информация позволяет лучше понять поведение материала при динамическом изгибе с надрезом и широко используется для оценки трещиностойкости, но с ее помощью все еще нельзя установить вид уравнений состояния.
Чтобы избежать трудностей анализа результатов по изгибу надрезанной балки, в некоторых испытаниях по методу Шарпи использовали ненадрезанные образцы. В этом случае с помощью теории балки на основе экспериментальных данных можно выполнить некоторые приближенные вычисления. Например, для линейноупругих материалов, таких, как некоторые композиты, или, если ограничить рассмотрение линейным участком кривой нагрузка-перемещение, можно получить численные результаты по пределу текучести или прочности при динамическом нагружении. Информация, полученная в испытаниях по Шарпи с ненадрезанными образцами, совместно с полученной при квазистати-ческом трехточечном изгибе на идентичных образцах может быть полезной в исследованиях по определению чувствительности материала к скорости деформации порядка 100с-1.
Как и в других экспериментальных методах, существуют фундаментальные ограничения по скорости дефдрмации, связанные с распространением волн и инерцией. В испытаниях по методу Шарпи уже при скоростях удара около 1,5 м/с начинает сказываться инерция, а время прохождения изгибной волны по образцу становится большим по сравнению с полным временем испытания. В результате кривая нагрузка — время все сильнее искажается вследствие инерции и вибрации образца (рис. 5.15). Аналогично случаю стержня Гопкинсона при возрастании скорости нагружения все хуже выполняется предположение о равенстве нагрузки на опоры балки нагрузке в центре. Таким образом, существуют сильные ограничения, не позволяющие проводить испытания по методу Шарпи со все возрастающей скоростью удара.
Следует сделать еще одно замечание, касающееся установления критерия разрушения на основе испытания по методу Шарпи. При трехточечном изгибе ненадрезанного образца разрушение большинства изотропных материалов начинается с разрыва наиболее удаленных волокон. В анизотропных материалах, особенно в слоистых композитах, при такой же геометрии образца разрушение начинается вследствие сдвига между слоями. Таким образом, сравнивая пределы прочности и соответствующие значения поглощенной энергии, чрезвычайно важно знать, какой тип разрушения наступает первым [80]. Для обеспечения разрушения преимущественно разрывного типа при трехточечном изгибе по методу Шарпи некоторые исследователи рекомендуют применять относительно тонкие образцы. При правильном применении на образцах без надреза усовершенствованного метода Шарпи можно получить
238
Глава 5
ценную дополнительную информацию о чувствительности материалов к скорости деформации, особенно композитных материалов, для которых из-за сложности изготовления образцов трудно применять другие методы. Прямое сравнение диаграмм нагрузка-прогиб, полученных в квазистатических и ударных испытаниях одинаковых образцов, может стать удобным методом определения чувствительности материала к скорости деформации при изгибе в промежуточном диапазоне скоростей деформации порядка 102 с-1.
5.4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
5.4.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
За последнее время опубликовано слишком много результатов исследований динамических свойств материалов, так что не представляется возможным даже упомянуть о них всех. В некоторых обзорных статьях [69, 93] результаты ряда исследований представлены в виде графиков и таблиц. На рис. 5.19 показан один из методов сравнения данных для алюминиевых сплавов различных марок в виде зависимости параметра чувствительности к скорости деформации от статического предела текучести [51, 63, 91]. Этот параметр определен как разность динамического и статического пределов текучести при данной деформации, деленная на статический предел текучести, и разность логарифмов соответствующих скоростей деформации. Он представляет собой изменение напряжения на единицу логарифма скорости деформации. Полученное отношение может быть полезным при сравнении свойств мате-
0,08
ч>с’'°
0,0 2
О 0,1 0,2 0,3 0/i 0,5 0,6 Ц7
Статическое напряжение <5S, ГПа
Рис. 5.19. Чувствительность алюминиевых сплавов к скорости деформирования.
А данные работы [70], О данные работы [51], □ данные работы [63], О данные работы [93], V данные Линдхольма - Йокли (1965)
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 239
Рис. 5.20. Влияние скорости деформации на величину напряжения течения некоторых марок сталей.
Для кривой-□----начало оси ординат соответствует 2,34 ГПа, цена деления та же
риалов, если только зависимость напряжения от логарифма скорости деформации, по существу, линейная, в противном случае его величина может зависеть еще от максимума скорости деформации. Иной прием представления данных состоит в использовании двух заданных значений скоростей деформации, одного для динамического, другого для статического испытаний, например 103 и 10~3 с-1 соответственно. Однако тогда надо провести эксперимент при заданной динамической скорости со всеми сравниваемыми материалами.
Как следует из рис. 5.19, для ряда алюминиевых сплавов степень чувствительности к скорости деформации возрастает с уменьшением прочности или повышением чистоты сплава. Даффи [36] сравнивает результаты двух видов испытаний на сдвиг-с постоянной скоростью деформации и со ступенчатым ее изменением (разд. 5.4.3) для ряда материалов. Параметр чувствительности к скорости деформации определяется как разность между динамическим и статическим напряжениями в экспериментах с постоянной скоростью деформации или как разность между пределами текучести после скачка скорости деформации и квази-статическим ее значением в опытах со ступенчатым изменением скорости деформации. Возможно также представление данных в виде графика зависимости напряжения от логарифма скорости деформации для данного уровня деформации или при достижении предела текучести (или предела прочности).
На рис. 5.20 представлены типичные графики для ряда конструк
240
Глава 5
ционных сталей, полученные в работе [108] в испытаниях с растягивающим стержнем Гопкинсона. Данные по растяжению алюминия 6061-Тб приведены в такой же форме на рис. 5.11.
Поведение материалов, подвергнутых динамическому нагружению, широко обсуждалось с различных точек зрения и для различных классов материалов. Металловедческие аспекты чувствительности к скорости деформации рассматриваются в работе [104], где приведены также примеры, иллюстрирующие степень чувствительности к скорости деформации различных металлов и сплавов. Хольцер [65] представил сводную таблицу экспериментальных исследований динамической пластичности металлов за три последних десятилетия при средних и высоких скоростях деформации, проведенных на пластометре, копрах и с использованием разрезного стержня Гопкинсона. В работе [51] дается объяснение наблюдаемого поведения металлов с гранецентрированной кубической решеткой, алюминия и его сплавов, меди, свинца и никеля на базе теории дислокаций. Обзор работ по пластическим свойствам свинца, а также данные по влиянию скорости деформации при сжатии технически чистого свинца представлены в работе [101]. Известные публикации по влиянию скорости деформации при повышенных температурах представлены в работе [32], причем количественная информация дана в виде графиков и таблиц. Динамические свойства большого числа материалов, полученные в экспериментах на растяжение с использованием стержня Гопкинсона, сравниваются в работе [109] с квазистатиче-скими свойствами. Читатель может обратиться также к трудам различных симпозиумов и конференций, цитированным раньше.
Результаты различных исследований, в которых использовались различные, а иногда и одинаковые экспериментальные методы, не всегда согласуются друг с другом. В течение нескольких лет продолжалась дискуссия о пределах чувствительности к скорости деформации металлов, особенно в диапазоне ее значений 103-104 с" х. Именно в этом диапазоне могут нарушаться основные предположения относительно условий динамических экспериментов, такие, как существование одноосного напряженного состояния, пренебрежение радиальной инерцией, однородность напряжения и деформации по образцу и отсутствие влияния распространения волн. В качестве примера рассмотрим результаты экспериментов по влиянию скорости деформации на свойства меди (рис. 5.21), из которых следует, что при скоростях, деформации около 103 с-1 значения напряжения, полученные в некоторых исследованиях, значительно превышают квазистатические. Согласно данным Линдхоль-ма [92] по высокочистой меди (рис. 5.22), рост напряжения течения незначителен или вообще отсутствует до скоростей деформации около 105с-1. Следует отметить, что в отличие от других исследователей Линдхольм обращал особое внимание на выдерживание в экспериментах отношения длины к диаметру при достижении максимальных скоростей деформации.
Еще один пример-чистый алюминий (особенно марки 1100-0), ши-
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 241
Рис. 5.21. Влияние скорости деформации на величину напряжения течения меди.
роко используемый в исследованиях динамической пластичности. Обычно он обнаруживал слабую чувствительность к скорости деформации, которая возрастала с повышением чистоты или снижением прочности (рис. 5.19) [58, 63]. С другой стороны, данные по высокопрочным алюминиевым сплавам свидетельствуют о независимости их свойств от скорости деформации в диапазоне значений 10 ~4-103 с х. Большинство этих данных получено в испытаниях на сжатие по методу разрезного
Рис. 5.22. Влияние скорости деформации на напряжение течения для меди чистоты 99,999% [77].
Т= 77 К; О □ Т= 295 К
242
Глава 5
стержня Гопкинсона, хотя данные по растяжению, в том числе полученные в испытаниях с использованием стержня Гопкинсона [108], слабо зависят от скорости деформации при более высоких ее значениях (рис. 5.11). Авторами работы [63] не обнаружено существенной зависимости от скорости деформации для сплавов алюминия марок 6061-Тб и 7075-Т6 при сжатии со скоростями деформации 910 и 560 с-1 соответственно; аналогичные результаты для тех же сплавов получены в работе [100]. Отсутствие чувствительности тех же сплавов к скорости деформации в испытаниях на растяжение при высоких скоростях подтверждено и в работе [31], где использовалась гидравлическая машина с динамометрической ячейкой, хотя данные при более высоких скоростях, где можно ожидать влияния скорости деформации, несколько смазаны паразитными колебаниями (звоном) динамометра. Сравним снова эти данные с полученными в экспериментах по удару пластин, вызывающему распространение одноосной волны деформации (гл. 2), в которых наблюдалась заметная чувствительность к скорости деформации (рис. 2.34) [6]. Таким образом, результаты испытаний по методу разрезного стержня Гопкинсона при скоростях деформации выше 104 с - 1 по-прежнему находятся под сомнением, несмотря на обстоятельный их анализ. Противоречивость экспериментальных результатов по чувствительности к скорости деформации заставила Линдхольма [92] сделать вывод о том, что широко применяемые методы стержня Гопкинсона должны подвергаться строгой проверке при скоростях деформации выше 104 с - 1, когда перестают выполняться основные предположения. Он отметил, однако, что равноценные методы экспериментирования при больших пластических деформациях еще не разработаны.
5.4.2. ИСПЫТАНИЯ В УСЛОВИЯХ ДВУХОСНОГО НАГРУЖЕНИЯ
Так как проведение испытаний при высоких скоростях деформации образца в условиях одноосного нагружения и регистрация результатов не являются простой задачей и дают противоречивые результаты, то нет ничего удивительного в том, что было проведено относительно мало исследований поведения материалов при двухосном динамическом нагружении. К ним относятся работа [89], где использовалась гидравлическая машина, работающая на растяжение-скручивание, которая была описана ранее в работе [95], а также работа [59], в которой образец нагружался при быстром открывании замка, удерживающего предварительно сжатый и закрученный стержень. С помощью стержня Гопкинсона, скрепленного с дальним торцом образца, измерялось динамическое усилие и момент в образце. В последние годы были созданы коммерческие гидравлические машины, работающие на растяжение — скручивание при высоких скоростях деформации, но их применение ограничено средним диапазоном скоростей деформации из-за присущего высоким скоростям влияния распространения волн. Для нагружающих устройств типа стержня Гопкинсона, основанных на использовании эффекта распространения волн, проблема состоит в том, что продоль
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 243
ная и крутильная волны распространяются с разными скоростями, хотя и не влияют друг на друга в упругом стержне.
Результаты работ [59, 89] показывают, что расширение поверхности текучести с повышением скорости деформации изотропно для отожженного алюминия и что наблюдаемое поведение подчиняется условию текучести типа критерия Мизеса. В обоих исследованиях нагружения были пропорциональными. Соответствующая теоретическая задача решалась в работе [103], где рассматривалось двухосное растяжение-кручение сплошного стержня из чувствительного к скорости деформации материала. Результаты численного решения показывают, что очень хорошая аппроксимация для профиля напряжения в чувствительном к скорости материале может быть получена простым повышением квазистатиче-ского предела текучести нечувствительного материала до величины, полученной в испытаниях на растяжение с соответствующей скоростью деформации. Отметим аналогию с подобными наблюдениями в экспериментах по распространению волн одноосных напряжений в длинных стержнях, т.е. относительно использования единой динамической кривой деформирования (гл. 2) и с результатами одномерного анализа при-мерительно к стержню Гопкинсона [24]. Не появлялось еще сообщений о работах, где использовались бы законы непропорционального нагружения, что объясняется в основном экспериментальными трудностями реализации такого процесса при высоких скоростях деформирования.
Недостаток экспериментальных данных по динамическому двухосному нагружению и отсутствие для такого процесса апробированной модели материала обусловлены главным образом отсутствием соответствующих экспериментальных методов. Последние исследования показали, что применение тонкой пластины, заключенной между двумя жесткими упругими пластинами с высоким импедансом, может стать основой экспериментального метода получения данных при скоростях деформации порядка 105с-1 в условиях комбинированного воздействия давления и сдвига [23]. В такой конфигурации используется принцип разрезного стержня Гопкинсона. Двухосное напряженное состояние достигается при косом ударе пластины-бойка по упругой пластине, возбуждающей комбинированную волну давления и сдвига. Анализ упругих волн вместе с измерениями скорости свободной поверхности дает достаточную информацию для определения реакции металлов на действие сдвига и высокого всестороннего давления при высокой скорости деформации. Эта методика имеет большие перспективы для изучения комбинированных напряженных состояний при высоких скоростях деформации, что до сих пор было невозможно.
5.4.3. ВЛИЯНИЕ ИСТОРИИ ПРОЦЕССА ПО СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИИ
Кроме эффектов, связанных со скоростью деформации и неодноос-ностью напряженного состояния, на напряжения пластического течения металлов при данных величинах деформации и скорости деформации
244
Глава 5
Рис. 5.23. Результаты экспериментов с погрузочным изменением скорости деформации для поликристаллической меди при Т — 298 К. (Клепачко и др. (1977 г.).)
может оказывать влияние и история нагружения. Некоторые исследователи изучали зависимость характеристики механического поведения материалов от истории нагружения. В последнее десятилетие получили распространение опыты со ступенчатым или, точнее, с догрузочным изменением скорости деформации. В них, как правило, кручение с малой скоростью нагружения сменяется кручением с очень высокой скоростью нагружения. В отличие от догрузочных экспериментов с пластическими волнами, в которых исследуются скорость волны и профиль напряжения в ней, в указанном виде экспериментов определяется догрузочная кривая деформирования, исходящая из точки, где было приложено динамическое напряжение. На рис. 5.23 показаны типичные результаты испытаний такого рода. Наряду с кривыми деформирования при постоянных скоростях деформации проведены догрузочные динамические кривые, начинающиеся при различных уровнях предварительной статической деформации. Для изучения влияния на свойства материалов изменения скорости деформации широко использовались эксперименты, в которых догрузочный импульс кручения создавался при быстром освобождении закрученного стержня в схеме Гопкинсона [14]. В других экспериментах динамическое кручение обеспечивалось нагружением с помощью взрыва [71]. Обзор работ по этой теме составлен Даффи [36]. В работах [73, 74] сделана попытка связать макроскопические явления, наблюдаемые в догрузочных экспериментах, с поведением дислокации.
В первой работе, содержавшей исследование истории нагружения по скорости деформации, было показано, что существует различие между напряжением при динамическом нагружении алюминия на фоне предварительной статической нагрузки и напряжением при динамическом нагружении из ненапряженного состояния [87]. Это различие было отнесено на счет влияния истории процесса по скорости деформации.
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 245
Последующие исследования [14, 46, 72, 73, 105] имели целью подтвердить существование влияния истории нагружения в различных материалах путем сравнения динамического напряжения течения, возникающего в ненапряженном материале, с напряжением течения при той же динамической скорости деформации в материале, первоначально подвергнутом нагружению со значительно меньшей скоростью.
На рис. 5.24 представлены типичные данные догрузочного эксперимента на сдвиг для чистого титана. Сплошной линией показана кривая деформирования, соответствующая деформированию с малой скоростью до величины деформации сдвига, несколько меньшей 4%, с последующим внезапно начинающимся динамическим деформированием. Пунктирными линиями для сравнения представлены кривые при деформировании с теми же, но постоянными в течение всего процесса нагружения скоростями деформации. Для этого материала характерно, что напряжения при динамической скорости деформации, наложенной на малую скорость деформации, ниже напряжений при постоянной динамической скорости деформации при одинаковых значениях полной деформации. К наиболее полным исследованиям по изучению влияния ступенчатого изменения скорости деформации относятся работы [15, 41], в которых с помощью скручивающего разрезного стержня Гопкинсона были достигнуты динамические скорости деформации более 3000 с-1. Проводились эксперименты по нагружению меди, титана и мягкой стали, причем скачок скорости по величине достигал шести порядков относительно уровня деформации статического сдвига, который задавался в пределах до 0,06. Результаты показывают, что влияние скачка скорости деформации сказывается на всех трех материалах, но динамические напряжения могут быть больше, как в мягкой стали (рис. 5.25), или меньше, как в титане, что было уже отмечено ранее (рис. 5.24), и в меди (рис. 5.23, 5.26), чем в испытаниях с постоянной скоростью. В качестве одной из возможных причин наблюдаемого поведения рассматривался адиабатический нагрев, причем адиабатическое воз-
Рис. 5.24. Результаты испытаний с изменением скорости деформации для титана 50-А.
246
Глава 5
Рис. 5.25. Кривые деформирования для мягкой стали, полученные в испытаниях с постоянной скоростью деформации и ступенчатым ее изменением [15, 41].
Начальная температура комнатная
растание температуры вычислялось в предположении, что вся работа пластического деформирования переходит в тепло. Для меди типично сохранение приблизительно постоянной разности между температурами при динамических испытаниях с постоянной скоростью и догрузочных испытаниях; для мягкой стали она снижается с ростом деформации (рис. 5.25, 5.26). Эта разница, однако, слишком мала, чтобы ею можно было объяснить различия в изменении напряжения пластического течения, что указывает на существование влияния изменения скорости деформации. В работе [121] было использовано взрывное нагружение
Рис. 5.26. Кривые деформирования для меди, полученные в испытаниях с постоянной скоростью деформации и ступенчатым ее изменением [15, 41].
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 247
в крутильном варианте стержня Гопкинсона в догрузочных экспериментах на алюминии, меди, магнии и цинке; также наблюдалось влияние ступенчатого изменения скорости деформации, которое проявлялось в снижении динамических напряжений в догрузочных экспериментах по сравнению с напряжениями в экспериментах с высокой постоянной скоростью деформации при одинаковых значениях деформации и скорости деформации. Итоги многих исследований подведены в работе [36]. Металлы с гранецентрированной кубической решеткой - алюминий и медь, как показывают результаты, малочувствительны к скорости деформации, но для них важна история процесса. Наоборот, мягкая сталь и титан обнаруживают более высокую чувствительность к скорости деформации, но история процесса для них несущественна.
Один из наиболее интересных фактов, наблюдаемых в догрузочных испытаниях, состоит в том, что начальный участок догрузочной кривой деформирования в пределах точности эксперимента является упругим [14, 74]. Интересно сравнить это наблюдение с экспериментальными результатами по распространению импульсов напряжения в предварительно нагруженных до пластического состояния стержнях, которые рассматривались в гл. 2. Факт распространения догрузочных импульсов со скоростью упругой волны является фундаментальным в теории распространения пластических волн, учитывающей влияние скорости деформации, которая основана на предположении о невозможности мгновенного возникновения пластической деформации. Эти два факта, по-видимому, согласуются между собой и указывают на наличие зависимости от скорости деформации, хотя в теории пластических волн еще не учитывалось влияние изменения скорости деформации, которое было продемонстрировано в экспериментах со ступенчатым изменением скорости деформации. На основе измерений скорости распространения пластических волн в алюминии, меди и стали и использования теории распространения пластических волн, не учитывающей зависимости от скорости деформации, для этих материалов были построены догрузочные кривые деформирования [74]. Эти кривые очень хорошо согласуются с полученными в догрузочных испытаниях.
Из других работ, посвященных изучению влияния истории нагружения, следует отметить работу [40], в которой скорость деформации образца внезапно изменялась на противоположную в диапазоне от ква-зистатических ее значений до динамических, и работу [98], в которой производилось резкое снижение скорости деформации. Результаты последней работы, показывающие, что напряжение пластического течения не уменьшается немедленно вслед за снижением скорости деформации, свидетельствуют о существовании некоторого механизма запаздывания в бескислородной меди высокой электропроводности. Клепачко и Даффи [76] рассмотрели совместное влияние изменения скорости деформации и температуры и пришли к выводу, что эти параметры играют важную роль в пластическом деформировании металлов с гранецентрированной кубической решеткой, в которых также наблюдаются эффекты затухающей памяти.
248
Глава 5
5.4.4. МОДЕЛИ МАТЕРИАЛА
Для описания динамического поведения материалов предлагались различные формы уравнений состояния (определяющих соотношений). Некоторые из них, используемые для описания явления распространения волн, обсуждались в гл. 2. По результатам экспериментов с постоянной скоростью деформации для многих металлов (разд. 5.4.1) было установлено, что зависимость напряжения пластического течения от логарифма скорости деформации линейна в широком диапазоне скоростей деформаций до 103 с-1. При более высоких скоростях деформации, как показывают многие исследования, наблюдается линейное изменение напряжения со скоростью деформации, которое на графике с логарифмом скорости деформации по оси абсцисс имеет вид резкого нарастания. По этому поводу мнения существенно расходятся, поскольку неизвестно, действительно ли имеет место это возрастание, или оно является следствием несовершенства аппаратуры или методики, проявляющегося при высоких скоростях деформации, когда могут нарушаться основные предположения теории. Более того, при моделировании динамического поведения материалов обычно не учитывают влияния истории процесса по скорости деформации, которая, как было показано, может быть существенной для многих материалов. Одна из первых попыток учесть историю или эффекты памяти в модели динамического поведения материала предпринята в работе [56], где была предложена концепция состояния твердости, соответствующего дислокационной структуре, которая формируется в процессе пластического деформирования. Уравнение состояния вида
п = п(у, е), (5.58)
где у-параметр твердости, используется для описания поведения поли-кристаллических металлов при малых скоростях деформации в той области их значений, где наблюдаются явления ползучести и релаксации. В работе [12] предложена модель механического поведения материала в приращениях, учитывающая историю нагружения. Аналогично теориям распространения пластических волн в материале с полулинейной или квазилинейной моделями его динамического поведения скорость деформации разлагается на упругую и пластическую составляющие, причем упругая составляющая скорости деформации связана со скоростью изменения напряжения законом Гука. При данной температуре пластическая составляющая скорости деформации записывается в виде
£р = £р(ст, Z), (5.59)
где Z-параметр состояния, который зависит от истории процесса и характеризует сопротивление материала пластическому течению. Предполагается, что £р подчиняется классическому закону пластического течения Прандтля-Рейсса и что среда несжимаема. Тогда уравнение
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 249
эволюции в общем виде записывается следующим образом:
Z = F(J2,Z), (5.60)
где J2-второй инвариант девиатора тензора напряжений. Предполагается, что параметр состояния Z является функцией работы пластической деформации Wp
Z = Zi - (Zi - Zo) exp (- mWp), (5.бГ)
а пластическая составляющая скорости деформации для одноосного напряженного состояния определяется выражением
2 о _
£р = —- т—г Do exp уз н
1
2
(5.62)
где Zo, Zx, т, п, Do-материальные константы. Уравнение эволюции тогда принимает вид
Z = (dZ/dWp) (dWp/dt), (5.63)
удобный для численных расчетов. Характерно, что в этой модели нет квазистатической кривой деформирования. Скорость деформации, разложенная на упругую и пластическую составляющие, является функцией напряжения и работы пластической деформации. Квазистатическая же кривая деформирования есть не что иное, как решение краевой задачи об одноосном растяжении с заданной скоростью деформации. Описание поведения меди на основе этой модели при изменении скорости деформации на шесть порядков и температуры от 77 до 523 К было проведено в работе [11]. Сравнение с экспериментальными данными работы [121] показало, что с помощью единственного внутреннего параметра состояния достигается хорошее согласие между величиной работы пластической деформации, температурой и чувствительностью к скорости деформации. На рис. 5.27 представлены для сравнения расчетные и экспериментальные данные, полученные для меди при температуре 523 К в испытаниях с постоянными статическими и динамическими скоростями деформации, а также со ступенчатым изменением скорости деформации. Можно видеть, что рассматриваемая модель достаточно точно представляет экспериментальные данные и вполне пригодна для объяснения не только влияния скорости деформации, но и ее изменения.
На нелинейных соотношениях между напряжением и деформацией наследственного типа основаны другие модели пластичности, зависящей от скорости деформации и ее изменения. Такие модели широко применялись для описания временной зависимости деформации полимеров. Работнов и Суворова [115] применительно к металлам предложили модификацию теории вязкоупругости, в которой полные деформации заменены ее пластическими составляющими. Эта теория объясняет результаты работы [46], в которой в испытаниях на алюминии 1100-0 догрузочным изменением скорости деформации был обнаружен спад
250
Глава 5
Рис. 5.27. Расчетные и экспериментальные статические, динамические и догрузочные кривые деформирования для меди при температуре 523 К [11].
-------- эксперимент [7];-------расчет.
напряжения после достижения предела текучести, а также данные экспериментов из работы [73], в которых динамическое нагружение сменялось квазистатическим. Иной подход к описанию динамического поведения металлов в пластической области был развит в работе [137], где были предложены уравнения состояния для деформационного упрочнения и разупрочнения в рамках эндохронной теории вязкопластичности. Результаты расчета хорошо согласуются с экспериментальными данными из различных источников и, по-видимому, учитывают влияние истории процесса. Пежина (1966 г.) предложил обобщенный закон пластического течения в приращениях с учетом скорости деформации, который содержит комбинированную трактовку реологических и пластических явлений. Он же позднее пересмотрел термодинамические основы теории вязкопластичности и обосновал влияние температуры и скорости деформации с математической точки зрения.
Модель динамического поведения материала проверяется по ее способности объяснить наблюдаемые физические явления в широком диапазоне условий эксперимента. Модели, основанные на результатах экспериментов с постоянной скоростью деформации и с ее ступенчатым изменением, должны объяснять и наблюдаемые явления распространения волн. Кроме того, они должны основываться на физически реальных предположениях и поддаваться математической трактовке. В большом потоке публикаций по динамической пластичности лишь немногие были посвящены развитию и применению моделей динамического поведения для объяснения как результатов экспериментов при высоких скоростях деформации, так и явлений распространения волн. Большинство исследователей фокусировали свое внимание на том или ином типе задач, применительно к которым разрабатывались частные модели. К тем немногим исследованиям, в которых рассматривались
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 251 сразу оба аспекта проблемы, относится работа [82], в которой на основании экспериментальных данных, полученных при постоянной скорости деформации для титана, относительно чувствительного к скорости, подбиралось хорошо согласующееся с экспериментом уравнение состояния, которое в свою очередь использовалось для прогноза результатов эксперимента по распространению волн. Хотя и было достигнуто неплохое согласие с экспериментом, эти же экспериментальные результаты столь же хорошо описывались и другими уравнениями состояния, что указывает на необходимость проведения дополнительных опытов для обоснования модели. Другие примеры моделей динамического поведения, которые были разработаны на основании экспериментальных данных, полученных при постоянной скорости деформации, для описания явлений распространения волн, обсуждались в гл. 2. Ввиду сложности явлений, наблюдаемых в экспериментах при постоянной и переменной скоростях деформации и в исследованиях распространения волн, где проявляется чувствительность многих металлов к скорости деформации и ее изменению, представляются обоснованными дальнейшие исследования по разработке моделей динамического поведения и обоснованию их применимости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Albertini С., Montagnani М., in Mechanical Properties at High Rates of Strain, J. Harding (Ed.), Institute of Physics, London, 1974, p. 22.
2. Alder J. F., Phillips V. A, J. Inst. Met., 83, 80 (1954).
3. ASTM, Instrumented Impact Testing, ASTM STP 563, American Society for Testing and Materials, 1974.
4. Bailey J. A., Singer A. R. E., J. Inst. Met., 92, 404 (1963).
5. Baker W.E, Yew C.H., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 33, 917 (1966). [Имеется перевод: Бейкер, Ю. Влияние скорости деформации на распространение пластических волн при кручении-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. Е: Прикладная механика, 1966, № 4, с. 220.]
6. Barker L.M., Ludnergan С. D., Herrmann W., J. Appl. Phys., 35, 1203 (1964). 7. Bell J. F., J. Meeh. Phys. Solids, 14, 309 (1966).
8. Bertholf L. D., Kames C.H., J. Meeh. Phys. Solids, 23, 1 (1975).
9. Bitans K., Whitton P. W., Proc. Inst. Meeh. Eng., 185, 1149 (1971).
10. Bhushan B., Jahsman W.E., Int. J. Solids Structure, 14, 739 (1978).
11. BodnerS. R., Merzer A. J. Eng. Mater. Tech., Trans. ASME, 100, 388 (1978). [Имеется перевод: Боднер, Мерцер. Определяющие вязкопластические соотношения для меди, учитывающие влияние температуры и истории скорости деформирования-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. D: Теоретические основы инженерных расчетов, 1978, № 4, с. 56.]
12. Bodner S.R., Partom Y., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 42, 385 (1975).
13. Bridgman P. W., Studies in Large Plastic Flow and Fracture, Harward University Press, Cambridge, MA, 1964.
14. Campbell J. D., Dowling A. R., J. Meeh. Phys. Solids, 18, 43 (1970).
15. Campbell J. D., Eleiche A. M., Tsao M. C.C., in Fundamental Aspects of Structural Alloy Design, R. I. Jafee and B.J. Wilcox (Eds.), Plenum Press, N.Y., 1977, p. 545.
16. Campbell J. D., Ferguson W.G., Phil Mag., 21, 63 (1970).
252
Глава 5
17. Campbell J. D., TsaoM. C.C., Quart. J. J. Meeh. Appl. Math., 25, 172 (1972).
18. Chalupnik J. D., Ripperger E. A., Exp. Meeh., 6, 547 (1966).
19. Chiddister J. L., Malvern L.E., Exp. Meeh., 3, 81 (1963).
20. Christman D. R., Isbell W. M., Babcock S. G., McMillan A. R., Green S. J., Rpt. No. DASA 2501-2, MSL 70-23, Vol. II, Arlington, VA, 1971.
21. Clark D.S, Duwez P.E., Proc. ASTM, 50, 560 (1950).
22. Clausing D. P., J. Mater, JMISA, 4, 566 (1969).
23. Clifton R. J., in Mechanical Properties at High Rates of Strain, J. Harding (Ed.), Institute of Physics, London, 1980, p. 174.
24. Conn A. F., J. Meeh., Phys. Solids, 13, 311 (1965).
25. Copper R.H, Campbell J. D, J. Meeh. Eng. Sci., 9, 278 (1967).
26. Costin L. S., Duffy J., Freund L. B., in Fast Fracture and Crack Arrest, G. T. Hahn, M. F. Kanninen (Eds.), ASTM STP 627, American Society for Testing and Materials, 1977, p. 301.
27. Culver R.S, Exp. Meeh., 12, 398 (1972).
28. Curran D.R., et al., Annual Rpt. Army Contract DAAK 11-78-C-0115, SRI International, Mento Park, CA, 1979.
29. Daniell. M., La BedzR. H., Liber T., Exp. Meeh., 21, 71 (1980).
30. Davies E.D., HunterS. C., J. Meeh. Phys. Solids, 11, 155 (1963).
31. Davies E.D., Magee C.L., J. Eng. Mater Tech., Thins. ASME, 97, 151 (1975). [Имеется перевод: Дэвис, Мейджи. Влияние скорости деформации на механические свойства при растяжении-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. D: Теоретические основы инженерных расчетов, 1975, № 2, с. 58.]
32. Davies Е. D., Phil. Trans. Roy. Soc., London A., 240, 375 (1948).
33. Dowling A.R., Harding J., 1st Int. Conf, of the Center for High Energy Forming, Estes Park, University of Denver, Denver, CO., 1967.
34. Dowling A. R., Harding J., Campbell G. D., J. Inst. Met., 98 215 (1970).
35. Duffy J., in Mechanical Properties at High Rates of Strain, J. Harding (Ed.), Institute of Physics, London, 1974, p. 72.
36. Duffy J., in Mechanical Properties at High Rates of Strain, J. Harding (Ed.), Institute of Physics, London, 1980, p. 1.
37. Duffy J., Campbell J. D., Hawley R. H., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 38, 83 (1971). [Имеется перевод: Даффи, Кэмбл, Холи. О применении крутильного разрезного мерного стержня Гопкинсона к исследованию влияния скорости нагружения на поведение алюминиевого сплава 1100-0.-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. Е: Прикладная механика, 1971, № 1, с. 81.]
38. Edington J.W., Phil. Mag., 19, 1189 (1969).
39. Eleiche A. M., Air Force Materials Laboratory Rpt AFML-TR-72-125, Wright-Patterson AFB, OH, 1972.
40. Eleiche A. M., Campbell J. D., Exp. Meeh., 16, 281 (1967).
41. Eleiche A. M., Campbell J. D., Air Force Materials Laboratory Rpt AFML-TR-76-90, Wright-Patterson AFB, OH, 1976.
42. Eleiche A. M., Duffy J., Int. J. Meeh. Sci., 17, 85 (1975).
43. Forrestal M.J., Duggin B.W., Butter R.I., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 47, 17 (1980).
44. Francis P. H., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 33, 702 (1966). [Имеется перевод: Френсис. Распространение волн в тонких стержнях со стационарным распределением температуры-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. Е: Прикладная механика, 1966, № 3, с. 259.]
45. Francis Р.Н., Lindholm U. S., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 35, 441 (1968). [Имеется перевод: Френсис, Линдхольм. Влияние градиента температуры
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 253
на распространение упругопластических волн-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. Е: Прикладная механика, 1968, № 3, с. 10.]
46. Frantz R.A., Duffy J., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 39, 939 (1972). [Имеется перевод: Франц мл., Даффи. Динамическая характеристика напряжение-деформация для алюминия 1100-0 при кручении с резким увеличением скорости деформации.-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. Е: Прикладная механика, 1972, № 4, с. 81].
47. Fyfe I. М., in Mechanical Behavior of Materials under Dynamics Loads. U. S. Lindholm (Ed.), Springer-Verlag, N.Y., 1968, p. 314.
48. Fyfe I. M., Rajendran A. M., J. Meeh. Phys. Solids, 28, 17 (1980).
49. Goldsmith W., Impact, Arnold, London, 1960.
50. Gorham D. A., in Mechanical Properties at High Rates of Strain, J. Harding (Ed.), Institute of Physics, London, 1980, p. 16.
51. Green S.J., Maiden C.J., Babcock S.G., Schierloh F. L., in Inelastic Behavior of Solids, M.F. Kanninen et al. (Eds.), McGraw, N.Y., 1970, p. 521.
52. Gust W.H, Young D.A., Bull. Am. Phys. Soc., 25, 567 (1980).
53. Harding J., Ed., Mechanical Properties at High Rates of Strain. Institute of Physics, London, No. 47, 1980.
54. Hardin J., Huddart J., in Mechanical Properties at High Rates of Strain, J. Harding (Ed.), Institute of Physics, London, 1980, p. 49.
55. Harding J., WoodE.D., Campbell J. D., J. Meeh. Eng. Sci., 2, 88 (1960).
56. Hart E.W., Acta Met., 18, 599 (1970).
57. Hauser F.E., Exp. Meeh., 6, 395, (1966).
58. Hauser F.E., Simmons J. A., Dom J.E., in Response of Metals to High Velocity Deformation, P.G. Shewmon V. F. Zackay (Eds.). Interscience, N.Y., 1961, p. 93.
59. Hayashi T., Tanimoto N., in High Velocity Deformation Solids, K. Kawata, J. Shioiri (Eds.), Springer-Verlag, Berlin, 1978, p. 279.
60. Hockett J. E., Proc. ASTM, 59, 1309 (1959).
61. Hoggat C. R., Recht R. F., Exp. Meeh., 9, 441 (1969).
62. Hoggat C. R., Orr W. R., Recht R. F., 1 st Int. Conf, of the Center for High Energy Forming, Estes Park, University of Denver, CO, 1967.
63. Holt D. L., Babcock S.J., Green S.J., Maiden S.J., Trans. ASM, 60, 152 (1967).
64. Holzer A. J., Int. J. Meeh. Sci., 20, 553 (1978).
65. Holzer A. J., J. Eng. Mater. Tech., Trans. ASME, 101, 231 (1979). [Имеется перевод: Хольцер. Обзор экспериментальных исследований в области динамической пластичности.-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. D: Теоретические основы инженерных расчетов, 1979, № 3, с. 56.]
66. Holzer A. J., Brown R.H., J. Eng. Mater Tech., Trans. ASME., 101, 238 (1979). [Имеется перевод: Хольцер, Браун. Механические характеристики металлов при динамическом обжатии-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. D: Теоретические основы инженерных расчетов, 1979, № 3, с. 67.]
67. Huffington N. J., Jr. (Ed.), Behavior of Materials Under Dynamic Loading, ASME, N.Y., 1965.
68. Jahsman W. E., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 38, 75 (1971). [Имеется перевод: Джасмен. Проверка применимости методики Кольского при исследовании динамических характеристик материалов-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. Е: Прикладная механика, 1971, № 1, с. 72.]
69. Jiang C.W., Chen М.М., Rpt No. AMMRC CTR 74-23, Watertown, MA, 1974.
70. Karnes С. H., Ripperger E. A., J. Meeh. Phys. Solids, 14, 167 (1966).
71. Kawata K., Shioiri J. (Eds.), High Velocity Deformation of Solids, Springer-Verlag, Berlin, 1978.
72. Klepaczko J., Arch. Meeh. Stosow., 2, 19 (1967).
254
Глава 5
73. Klepaczko J., J. Meeh. Phys. Solids, 16, 155 (1968).
74. Klepaczko J., in Symposium on Foundation of Plasticity A. Sawczuk (Ed.), Noordhoff, Amsterdam, 1973, p. 45.
75. Klepaczko J., in Mechanical Properties at High Rates of Strain, J. Harding (Ed.), Institute of Physics, London, 1980, p. 201.
76. Klepaczko J., Duffy J., in Mechanical Properties at High Rates of Strain, J. Harding (Ed.), Institute of Physics, London, 1974, p. 91.
77. Klepaczko J., Frantz R. A., Duffy J., Pol. Akad. Nauk., Ins. Podstawowych Probl. Techn., Eng. Trans., 25, 3 (1977).
78. Klepaczko J., Malinowsky Z., in High Velocity Deformation of Solids, K. Kawata, J. Shioiri (Eds.), Springer-Verlag, Berlin, 1978, p. 403.
79. Kolsky H., Proc. Phys. Soc., B, 62, 676 (1949).
80. Krinke D. C., Barber J. P., Nicholas T., Air Force Materials Laboratory Report AFML-TR-78-54, Wright-Patterson AFB, OH, 1978.
81. Kumar A., Kumble R.G., J. Appl. Phys., 40, 3475 (1969).
82. Lawson J. E., Nicholas T., J. Meeh. Phys. Solids, 20, 65 (1972).
83. Lee E. H., TupperS. J., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 21, 63 (1954).
84. Lengyel B., Mohitpour M., J. Inst. Met., 100, 1 (1972).
85. Leung E.K.C., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 47, 278 (1980).
86. Lewis J. L., Campbell J. D, Exp. Meeh., 12, 520 (1972).
87. Lindholm U.S., J. Meeh. Phys. Solids, 12, 317 (1964).
88. Lindholm U. S. (Ed.), in Mechanical Behavior of Materials Under Dynamic Loads, 'Springer-Verlag, N.Y. 1968.
89. Lindholm U. S., in Mechanical Behavior of Materials Under Dynamic Loads, U.S. Lindholm (Ed.), Springer-Verlag, N.Y., 1968, p. 77.
90. Lindholm U. S., in Techniques in Metals Research, R. F. Bunshah (Ed.), Vol. 5, pt 1, Interscience, N.Y., 1971.
91. Lindholm U.S., in Mechanical Properties at High Rates of Strain, J. Harding (Ed.), Institute of Physics, London, 1974, p. 3.
92. Lindholm U. S. in High Velocity Deformations of Solids, K. Kawata, J. Shioiri (Eds.), Springer-Verlag, Berlin, 1978, p. 26.
93. Lindholm U. S., Bessey R. L., Air Force Materials Laboratory Rpt AFML-TR-69-119, Wright-Patterson AFB, OH, 1969.
94. Lindholm U. S., Nagy A., Johnson G. R., Hoegfeldt J. M., J. Eng. Mater. Tech., Trans. ASME, 102, 376 (1980). [Имеется перевод: Линдхольм, Нэджи, Джонсон, Хогфелдт. Испытание меди в условиях больших деформаций и скоростей деформаций-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. D: Теоретические основы инженерных расчетов, 1980, № 2, с. 64.]
95. Lindholm U.S., Yeakley L.М., Exp. Meeh., 7, 1 (1967).
96. Lindholm U.S., Yeakley L.M., Exp. Meeh., 8, (1968).
97. Lindholm U.S., Yeakley L.M., Nagy A., Int. J. Rock Meeh, and Mining Sei., 11,
181 (1974).
98. Lipkin J., Campbell J.D., Swearengen J.C., J. Meeh. Phys. Solids, 26, 251 (1978).
99. Loizou N., Sims R. B., J. Meeh. Phys. Solids, 1, 234 (1953).
100. Maiden C. J., Green S.J., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 33, 496 (1966). [Имеется перевод: Мейден, Грин. Испытания на скоростное деформирование при сжатии для шести материалов при скоростях деформации от 10"3 до 10~4 мм/мм/с-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. Е: Прикладная механика, 1966, № 3, с. 20.]
101. Malatynski М, Klepaczko J., Int. J. Meeh. Sei., 32, 173 (1980).
102. Malvern L. E., (частное сообщение).
Поведение материалов при высоких скоростях деформации 255
103. Meguid S.A., Campbell J.D., Malvern L.E., J. Meeh. Phys. Solids 27, 331 (1979).
104. NMAB, Tech. Rpt NMAB-341, National Material Advisory Board, National Academy of Sciences, Washington, D.C., 1978.
105. Nicholas T., Exp. Meeh., 11, 370 (1971).
106. Nicholas T., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 10, 277 (1973). [Имеется перевод: Николас, Анализ применимости метода разрезного стержня Гопкинсона при исследовании материалов, характеристики которых зависят от скорости деформации.-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. Е: Прикладная механика, 1973, № 1, с. 288.]
107. Nicholas Т., Air Force Materials Laboratory Report AFML-TR-75-54, Wright-Patterson AFB, OH, 1975.
108. Nicholas T., Exp. Meeh., 21, 177 (1980).
109. Nicholas T., Technical Rpt AFWAL-TR-80-4053, Wright-Patterson AFB OH, 1980.
110. Nicholas T., Lawson J. E., J. Meeh. Phys. Solids, 20, 57 (1972).
111. Niordson F. 1, Exp. Meeh., 5, 29 (1965).
112. Orowan E., Technical Rpt MW/F/22/50, British Iron and Steel Res. Assn, 1950.
113. Papirno R. P., Mescall J. F., Hansen A. M., Proceedings of the Army Symposium on Solids Mechanics-1980, Technical Rpt AMMRC MS 80-4, Watertown, MA, 1980, p. 367.
114. Perzyna P., in Non-Homogeneity in Elasticity and Plasticity, W. Olszak (Ed.), Pergamon, London, 1959, p. 431.
115. Rabotnov Yu. N., Suvorova J. V., Int. J. Solids Structure, 14, 173 (1978).
116. Raftopoulos D., Davids N., Al A A J., 5, 2254 (1967). [Имеется перевод: Рафто-пулос, Дэвиде. Удар упругопластического снаряда о жесткую мишень.-Ракетная техника и космонавтика, 1967, № 12, с. 174.]
117. Recht R.E., Int. J. Eng. Sci., 16, 809 (1978).
118. Ripperger E. A., in Behavior of Materials Under Dynamic Loading, N. J. Huffington Jr. (Ed.), ASME, N.Y., 1965, p. 62.
119. Rohde R.W., Butcher B.M., Holland J.R., Karnes CH. (Eds.), Metallurgical Effects at High Strain Rates, Plenum Press, N.Y., 1973.
120. SamantaS. K., J. Meeh. Phys. Solids, 19, 117 (1971).
121. Senseny P. E., Duffy J., Hawley R. H., J. Appl. Meeh., Trans. ASME, 45, 60 (1978).
122. ShewmonP. G., Zackay V.F. (Eds.), Responce of Metals to High Velocity Deformation, Interscience, N.Y., 1961.
123. Shioiri J., Satoh K., Nishimura K., in High Velocity Deformation of Solids, K. Kawata and J. Shioiri (Eds.), Springer-Verlag, Berlin, 1978, p. 50.
124. Sturges J. L. Parson B., Cole B. N., in Mechanical Properties at High Rates of Strain, J. Harding (Ed.), Institute of Physics, London, 1980, p. 35.
125. Swift R. P., Fyfe I. M., J. Appl. Meeh., Thins. ASME, 37, 1134 (1970). [Имеется перевод: Свифт, Файф. Исследование теории упруговязкопластичности на примере цилиндрических радиальных волн напряжений.-Труды амер, о-ва инж.-мех., сер. Е: Прикладная механика, 1970, № 4, с. 231.]
126. Tatro С. A., Scott R.G., Taylor A. R., Tech. Rpt UCRL-50057-78, Lawrence Livermore Laboratory, CA, 1979.
127. Taylor G. I., Proc. Roy. Soc., London A., 194, 289 (1948).
128. Walling H.C., Forrestal M.J, AIAA J., 11, 1196 (1973). [Имеется перевод: Уоллинг, Форрестол. Упругопластическое растяжение колец из алюминиевого сплава 6061-Тб.-Ракетная техника и космонавтика, 1973, № 8, 1974.] 1 n9. Warnes R. Н., Duffey Т. A., Karpp R. R., Carden А. Е., in Proceedings of the
256
Глава 5
International Conference on the Metallurgical Effects of High Strain-Rate Deformation and Fabrication, M.A. Meyers, L.E. Murr (Eds.) (в печати). 130. Wasley R.J. Hoge K.G., Cast J. C, Rev. Sci. Inst., 40, 889 (1969).
131. Watson H.Jr., Ripperger E. A., Exp. Meeh., 9, 289 (1969).
132. Wesenberg D. L., SagartzM.J., J. Appl. Meeh., Thins. ASME, 44, 643 (1977).
133. WiffinA.C, Proc. Roy. Soc., London A., 194, 300 (1948).
134. Wilkins M.L., Guinan M.W., J. Appl. Phys., 44, 1200 (1973).
135. Wingrove A. L, J. Phys. E. Sci. Inst., 4, 873 (1971).
136. Woodward R. L., Brown R.H., Proc. Ins. Meeh. Eng., 189, 107 (1975).
137. Wu H.C., Yip M.C., Int. J. Solids Struct., 16, 515 (1980).
138. Wulf G. L., Richardson G.T., J. Phys. E. Sci. Inst., 7, 167 (1974).
139. Yeung Wye KongY.C.T., Parsons B., Cole B. N., in Mechanical Properties at High Rates of Strain, J. Harding (Ed.), Institute of Physics, London, 1974, p. 33.
140. Zaslawsky M., Tatro C, Freeman T., Tech. Rpt UCRL-83484, Lawrence Livermore Laboratory, CA, 1980 (готовится к печати).
6
ДИНАМИЧЕСКОЕ РАЗРУШЕНИЕ
Дональд Р. Курран
SRI International
Название этой главы тавтологично. Любое разрушение-динамический, быстропротекающий процесс, при котором в первоначально неповрежденном материале разрушаются связи и образуются пустоты. Следовательно, чтобы понять явление разрушения, необходимо изучить пороговые условия его возникновения, а также его протекания.
Математические попытки выработки такого понимания и методов предсказания последствий разрушения в инженерных приложениях предпринимались в двух различных направлениях. Пионерами первого и до сих пор наиболее успешного подхода были Гриффит и Ирвин [14]. В их подходе макроскопическая трещина рассматривалась как свободная от напряжений поверхность в математической краевой задаче. Пороговое условие роста трещины задавалось величиной критической плотности энергии, предельного значения коэффициента интенсивности напряжений или другой меры полей напряжений и деформаций на вершине трещины. Кинетика роста макроскопической трещины также трактовалась как часть динамической краевой задачи.
Такой подход с большим успехом применялся для предсказания разрушения в тех случаях, когда основное внимание сосредоточено на поведении одиночной большой трещины в идеально хрупкой среде, и термин «механика разрушения» обычно используют для обозначения именно этой дисциплины. Однако во многих случаях описание разрушения в терминах механики сплошной среды (механика разрушения континуума) неприемлемо. Классическим примером является пластическое разрушение гладкого стержня (рис. 6.1). В этом случае не возникает макроскопической трещины, и разрушение происходит вследствие зарождения, роста и слияния миллионов микроскопических пор (пустот) в области шейки стержня. Механика разрушения континуума не может быть использована для описания таких разрушений.
Другой пример-образование большой зоны необратимых деформаций вокруг одиночной большой трещины. В этом случае развитие микропустот можно наблюдать в большой области вокруг вершины ма-
258
Глава 6
Рис. 6.1. Полированные поверхности разреза образцов бескислородной меди высокой электропроводности (3/4 твердости) на различных стадиях пластической деформации при растяжении.
кротрещины (рис. 6.2), и если размер зоны необратимых деформаций приближается к размерам образца, то для описания разрушения невозможно обычным образом использовать механику разрушения континуума.
В таких случаях очень трудно рассматривать каждую микротрещину отдельно, поэтому был развит второй математический подход для описания разрушения, согласно которому в число определяющих внутреннее состояние среды параметров в определяющее уравнение (уравнение состояния) вводятся некоторые ключевые переменные, характеризующие усредненное поведение микропустот [1, 8, 26]. То есть при описании текущего состояния частицы кроме деформации, энтропии и температуры вводятся еще концентрация микропустот и функция их распределения по размерам. При таком подходе кинетика разрушения охватывает поведение микропустот и приводит к соответствующей зависимости определяющих уравнений от скорости процесса. Короче говоря, процесс разрушения «встраивается» в соотношение «напряжение -деформация» для материала.
Рассматриваемый подход, связанный с введением внутренних переменных и микростатистической скоростной зависимости, обладает заманчивыми возможностями, так как в принципе он может учесть микроструктурные переменные и тем самым создать связующее звено между механикой разрушения и материаловедением. Тем не менее до недавнего времени эти возможности в значительной степени не были
Рис. 6.2. Микро трещины вблизи вершины трещины в образце двойной консольной балки из стали Fe-3Si.
Динамическое разрушение
259
реализованы не только из-за сильной нелинейности определяющих уравнений состояния, статистически описывающих процесс микроразрушений, а следовательно, и трудностей теоретического анализа, но также и из-за отсутствия точных данных о зарождении, росте и слиянии микропустот и трещин.
Однако за последние 10 лет был достигнут значительный прогресс по обоим вопросам. Во-первых, широкомасштабное применение ЭВМ сделало возможным численное моделирование сильно нелинейного поведения материала. Во-вторых, использование управляемого удара, взрывного нагружения и метода прерываемых квазистатических испытаний позволило установить связь между параметрами наблюдаемых микропустот и известными величинами амплитуд и длительностей напряжений и деформаций, путем «замораживания» в испытаниях кинетики микропустот на разных стадиях развития и получать точные кинетические данные. Наконец, с развитием теоретических моделей микроскопических процессов (таких, как зарождение микропустот, их дальнейший рост на границах зерен и включениях) удалось объединить теорию с экспериментальными данными и численным моделированием, чтобы добиться максимально реалистического описания разрушения материала при динамических и квазистатических условиях.
В этой главе мы сосредоточим внимание на обзоре достижений второго, микростатистического, подхода. Мы обсудим, как нужно построить определяющие уравнения состояния для моделей зарождения, роста и слияния микропустот и микротрещин и как проверить соответствие моделей экспериментальным данным.
6.1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ КИНЕТИКИ МИКРОПУСТОТ
В металлах обычно наблюдаются три типа микроповреждений: эллипсоидальные пустоты (рис. 6.1), раскрытые трещины и полосы сдвига. Чтобы наблюдать кинетику развития повреждений каждого из этих типов, можно произвести динамические эксперименты, в которых образцы материала подвергаются при заданной температуре воздействию напряжений или деформаций различной амплитуды и длительности. Если Длительность выбрана достаточно малой по сравнению со временами, необходимыми для зарождения, роста и слияния микропустот, трещин или полос сдвига, то повреждение может быть «заморожено» на различных стадиях развития, и таким образом можно получить сведения, характеризирующие кинетику.
Обычно используемая для определения кинетики микроскопических Пустот и трещин установка [1, 26] показана на рис. 6.3. Газовая пушка настреливает пластиной, которая соударяется с пластиной-мишенью. ® результате взаимодействия волн напряжений со свободными поверхностями обеих пластин (как это подробно описано в работах [1, 26]) н Пластине-мишени формируется область растягивающих напряжений.
Длительность растягивающего напряжения максимальна в центре
260
Глава 6
Рис. 6.3. Экспериментальная установка МА-6128-6А по соударению пластин для изучения динамического разрушения.
/-ствол пушки, 2-образец, 3-приемная камера, 4-мягкая ветошь, 5-ударяющая плита, 6-снаряд
мишени и убывает в направлении к лицевой и тыльной поверхностям, вследствие чего центр подвергается наибольшим повреждениям, как это видно из рис. 6.4 (на рисунке вертикальная ось соответствует направлению удара).
Выполняя серию таких экспериментов при различных скоростях соударения и различных толщинах пластин, можно в широких пределах варьировать амплитуду и длительность импульса растягивающих напряжений. После каждого эксперимента образцы мишени могут быть распилены и отполированы с целью выявления повреждений. Таким образом можно измерить пустоты и трещины и подсчитать их число для получения данных о кинетике. На рис. 6.5 показаны результаты такой процедуры для железа армко. На приведенном графике по оси ординат отложено число трещин в единице объема, радиусы которых превышают заданное значение, по оси абсцисс отложен радиус трещины Четыре кривые соответствуют четырем длительностям импульса напряжения при заданной его амплитуде. Как показано в работе [26], на основании этих данных можно получить сведения о скорости зарождения трещин и их роста в зависимости от приложенного напряжения
Аналогичный подход возможен и для изучения процесса зарождения и развития полос сдвига. Один эксперимент, значимость которого доказана, состоит в размещении и детонации взрывчатой смеси в полом цилиндре из исследуемого материала [10]. По мере расширения цилиндра на внутренней его поверхности зарождаются и растут полосы сдвига, что в конце концов приводит к разрыву цилиндра на части. Однако если цилиндр окружен пластической оболочкой и заключен в массивный кольцевой слой (рис. 6.6), то расширение управляемо разрушающегося цилиндра (УРЦ) может быть остановлено на различных стадиях развития. Полосы сдвига затем можно подсчитать и измерить для получения кумулятивной функции распределения по размерам точно так же, как и для пустот и трещин.
Динамическое разрушение
261
I।
Рис. 6.4. Полированная поверхность продольного разреза образца, подвергнутого удару пластиной.
Видны повреждения, возникшие при динамическом разрушении а-алюминия 1145 (сферические поры) и б-железа армко (плоские трещины)
На рис. 6.7 приведены экспериментальные данные для цилиндра из стали 4340. Как и в случае экспериментов по соударению пластин, различные части цилиндра испытывают нагрузки разной длительности и, следовательно, в них возникают различные распределения повреждений (рис. 6.7). Изменяя состав взрывчатой смеси и размеры системы в эксперименте, можно варьировать амплитуду нагрузки и ее длительность и получать множество данных о кинетике, как и в экспериментах по соударению пластин.
262
Глава b
Кумулятивная концентрация трещин ,
Рис. 6.5. Кривые распределения микротрещин по размерам, полученные по результатам подсчета и измерения повреждений при разрушении на полированных поверхностях разреза образцов железа армко.
По оси абсцисс отложены значения радиуса трещины в см.
Рис. 6.6. Схема эксперимента со взрывом цилиндра для изучения кинетики полос сдвига.
/-точка, инициирования детонации; 2-цилиндр-образец; 3- плексиглас; 4 -массивный стальной удерживающий кольцевой слой; 5-свинцовый поглотитель импульса.
Динамическое разрушение
263
а
Рис. 6.7. Результаты экспериментов со взрывом цилиндров из стали 4340 (Rc — = 40).
а-деформация цилиндра; б-полосы сдвига, наблюдаемые на полированной поверхности разреза образца; в -типичное распределение полос сдвига по размерам.
264
Глава 6
Кумулятивные функции распределения по размерам повреждений, подобные приведенным на рис. 6.5 и рис. 6.7, в некотором диапазоне амплитуд напряжений или деформаций и их длительностей составляют, таким образом, базу опытных данных, с помощью которой можно построить модель кинетики микроскопических повреждений. Эта модель в свою очередь должна быть включена в определяющие уравнения материала и использована в программах расчета на ЭВМ процессов зарождения, роста и слияния пустот, трещин или полос сдвига, приводящих к разрушению. В следующих главах мы обсудим отдельно такое моделирование процессов зарождения, роста и слияния микроповреждений.
6.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЯВЛЕНИЯ РАЗРУШЕНИЯ
6.2.1. МОДЕЛИРУЕМЫЕ ПРОЦЕССЫ
Зарождение дефектов. Микроповреждения зарождаются на неоднородностях материала, таких, как включения, границы зерен и т.п. [31]. Зарождение дефектов происходит в два этапа. На первом должен быть превзойден некоторый пороговый критерий. На втором, если достигнут пороговый критерий, возникает дефект с характерной для материала скоростью в диапазоне размеров имеющихся неоднородностей.
Сам пороговый критерий зарождения дефекта требует выполнения двух условий. Первое условие-энергетическое. Оно состоит в том, что рассматриваемый процесс должен происходить только за счет энергии, накопленной в окрестности появляющегося дефекта; свободная энергия должна при этом убывать. Например, в случае, когда дефект образуется в результате диффузионного роста скоплений вакансий на границах зерен до критического размера, возникновение дефекта возможно лишь в случае превышения локальными напряжениями поверхностного натяжения [20]. Второе условие - механическое. Например, если дефект возникает вследствие нарушения связи с включением, напряжение на поверхности раздела с включением должно превзойти прочность этой связи.
В некоторых случаях, таких, как процесс диффузии вакансий [20], условие механического типа не используется, в то время как в других случаях, например при рассмотрении нарушения связи с включением, используются оба типа условий. В поликристаллических металлах процесс зарождения дефектов вблизи включений зависит от порогового условия механического типа, поскольку энергетическое условие обычно выполняется автоматически, за исключением случая субмикронных включений. Это означает, что для пустот, больших 1 мкм, поверхностное натяжение пренебрежимо мало.
Пороговые условия, таким образом, изменяются в соответствии с механизмом зарождения дефектов, но их типичный вид таков:
F(om,^T,R)>0, (6.1)
Динамическое разрушение
265
где среднее напряжение в терминах механики сплошной среды, эквивалентная пластическая деформация сплошной сферы, Т-температура, R- размер неоднородности в месте зарождения дефекта. Как отмечено в работе [11], соотношение (6.1) часто принимает простой вид условия критической деформации.
Если пороговые условия превзойдены, то можно ожидать, что скорость увеличения числа возникших пустот или трещин является функцией Т и R. В соответствии с работой [7] число дефектов всех размеров в единице объема N есть
N = N(X,t), (6.2)
где X-вектор лагранжевых координат, г-время, а скорость зарождения дефектов определяется выражением
• / dN \
N = 1 —) = A(am,T) + B(am)CTm + C(£,p)£f. (6.3)
\ St Jx
В этой формулировке отсутствует зависимость от размера неоднородности R из-за того, что учитывается возникновение трещин или пустот всех размеров.
В уравнении (6.3) два последних члена описывают процесс зарождения дефектов вследствие механического нарушения связи с включением и других подобных эффектов. Член А(<зт,Т) определяет процессы термической и вызванной напряжением диффузии (такие, как диффузия вакансий на границах зерен) [19, 20]. Следовательно, для А можно принять выражение
( -АН А (стт,Т) = Но expt
Г П ' ехр (стт-ст0) ~ .
(6.4)
Предполагается, что > ст0. Через ДЯ обозначена энергия активации процесса диффузии, /с-константа Больцмана, Q-объем активации, о0 - пороговое напряжение начала диффузии, No- частотный множитель, который может также зависеть от напряжения, температуры и самого N,
Таким образом, процесс зарождения дефекта (трещины) можно рассматривать как следствие конкуренции между процессами диффузии, определяемыми температурой и напряжением, и процессами механического разрыва, которые можно считать мгновенными на интересующей нас шкале времен, т.е. по сравнению с длительностью нагрузки и временами роста микротрещин.
Рост дефектов. Рост дефектов по определению есть увеличение размеров микроскопических трещин и пустот. Следовательно, начинать описание роста дефектов необходимо с описания их распределения по размерам. Как следует из работ [3, 16], распределение по размерам дефектов, присущих поликристаллическим материалам, может быть при
266
Глава 6
нято в виде
N,(R) = Noexp[-(R/Ror], (6.5)
где Ng(R)~ число содержащихся в единице объема дефектов с радиусами, большими, чем R, а т равно 1 или 2 в зависимости от того, являются ли дефекты линейными или двумерными. На практике оказывается, что соотношение (6.5) при т = 1 приемлемо описывает наблюдаемые распределения дефектов во множестве материалов в интересующем диапазоне размеров’ (т. е. для начальных размеров дефектов от нескольких микрометров до нескольких миллиметров).
Что касается микростатистического подхода к выводу определяющих соотношений, то в соответствии с ним мы не будем описывать рост отдельных микротрещин или пустот, а будем описывать эволюцию функции Nд (R) во времени. Удобный закон роста, который, как было установлено в результате теоретических и экспериментальных исследований, справедлив для эллипсоидальных пустот, в пластичных материалах при действии динамических нагрузок определяется соотношением
k/K = [(Qw-^0)/4n], (6.6)
где <зт <здо, а г| имеет размерность вязкости. Этот закон роста обладает удобным свойством-он сохраняет экспоненциальный вид соотношения (6.5). В самом деле, эволюция распределения может быть получена просто использованием (6.6) при определении характерного размера Ro в (6.5).
В более хрупких материалах скорость роста микротрещин может быть ограничена величиной порядка скорости волн Рэлея в среде, что усложняет машинный счет эволюции распределения по размерам.
Слияние дефектов и дробление. Когда микротрещины или пустоты вырастают до размеров, сопоставимых со средним расстоянием между пустотами, начинается их слияние. В некоторых крайне пластичных материалах этот процесс происходит путем непосредственного соприкосновения эллипсоидальных пустот. Однако в большинстве пластичных материалов сначала происходит своего рода пластическая локализация между пустотами [34].
• Механизмом слияния дефектов в случае микротрещин и адиабатических полос сдвига является прямое их столкновение [26]. В процессе слияния дефектов материал разделяется на изолированные куски, а распределение их по размерам тесно связано с распределением по размерам трещин, существовавшим до начала слияния [26].
Релаксация напряжений. По мере роста микроповреждений в материале появляется свободная от напряжения поверхность, что приводит к уменьшению напряжений, вызванных общей деформацией. Эта релаксация напряжений происходит из-за двух, по существу, разных процес
Динамическое разрушение
267
сов. Во-первых, под действием растяжения существующие трещины и пустоты открываются, чтобы «приспособиться» к наложенным объемным деформациям. Следовательно, объемная деформация матрицы материала может упруго релаксировать и соответствующее среднее растягивающее напряжение также релаксирует. Во-вторых, из-за уменьшения площади несущей нагрузку поверхности появляется поправочный множитель [4]
CT = CTS(1 - г), (6.7)
где ст5-тензор напряжений в материальной матрице, ст-тензор напряжений в среде как континууме (осредненное напряжение, полученное делением силы на площадь поверхности, содержащей пустоты), а и-относительный объем пустот (равный, как показано Кэрролом и Холтом, поверхностной плотности пустот в пространстве, занятом равномерно распределенными и ориентированными пустотами).
В работе [26], в которой моделировались микротрещины и трещины в условиях растяжения, было обнаружено, что первый эффект является главным до последней стадии слияния. Однако для адиабатических полос сдвига, когда отсутствуют растяжения континуума, главным является второй механизм (6.7).
6.2.2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Чтобы ввести микростатистический подход в численное моделирование кинетики микроповреждений, необходимо, чтобы память ЭВМ позволяла запоминать функцию Ng (R) для каждого элемента материала в последовательные моменты времени и соответственно модифицировать деформации и напряжения. По этим модифицированным напряжениям затем определяются ускорения материала и, следовательно, приращения деформации на следующих временных шагах. Ясно, что явная конечноразностная схема лучше всего подходит для такой организации хранимой в памяти информации.
В приведенных ниже приложениях численным механизмом моделирования служит программа для расчета распространения волн по лагранжевой конечно-разностной схеме. Для определения напряжения, деформации и истории микроповреждения каждого элемента материала численно интегрируются уравнения сохранения массы, импульса и энергии совместно с определяющими соотношениями материала.
Из-за сложного обратного влияния развивающегося повреждения на напряжения определяющие соотношения нелинейны и зависят от истории деформирования, что свидетельствует о необходимости численного моделирования.
В разд. 6.3 описаны три приложения изложенного выше подхода для предсказания детальной истории разрушения, а именно рассмотрены задачи о взрывном дроблении, взрывном разрушении геологической породы и квазистатическом разрушении металла.
268
Глава 6
6.3. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ
6.3.1. ОСКОЛОЧНЫЕ СНАРЯДЫ
Многие осколочные снаряды распадаются на отдельные фрагменты в результате пересечения адиабатических полос сдвига. Вычислительная модель, способная предсказать фрагментацию снаряда в зависимости от его геометрии и свойств материала, определяющих процесс образования полос сдвига, была бы очень полезной. В отчете [10] дан обзор работ, в которых выведены определяющие соотношения, описывающие зарождение, рост и слияние полос сдвига.
Пороговый критерий зарождения дефектов. Как указывалось ранее, критерий зарождения дефектов определяется двумя условиями: термомеханическим и энергетическим. Термомеханическое условие определяет, какие возмущения пластического течения на границах зерен или других неоднородностей способны перерасти в локализованные полосы сдвига.
При обычном объяснении термомеханического инициирования адиабатических полос сдвига они рассматриваются как проявление пластической неустойчивости, возникающей в тех случаях, когда термическое размягчение преобладает над механическим упрочнением, что приводит к тому, что эффективный модуль упрочнения становится отрицательным. В работах [5, 21] недавно были подведены итоги теории таких неустойчивостей. В связи со сказанным в нашей модели поведения материала при задании термомеханического порогового критерия используется значение эквивалентной пластической деформации, при которой термическое размягчение в условиях адиабатического нагружения приводит к более быстрому уменьшению предела текучести, чем происходит его увеличение вследствие механического упрочнения. Для сталей средней прочности это значение составляет около 20%.
Второй пороговый критерий состоит в требовании достаточности энергии для возникновения дефектов, т.е. при наличии зародыша полосы сдвига необходим приток достаточного количества энергии к ее вершине для обеспечения возможности ее продвижения. На рис. 6.8 схематически изображен фронт проскальзывающей полосы сдвига. Смещение одной стороны дефекта по отношению к другой обозначено через В. Если Gy- допустимое напряжение сдвига в плоскости полосы, то энергетическое условие имеет вид
qi7(2K)(B)>E, (6.8)
где Е- приходящаяся на единицу длины фронта полосы энергия, необходимая для преодоления сопротивления срезу (порядка энергии плавления) внутри примыкающей области значительных деформаций (или в ядре макродислокации).
Заметим далее, что Е/В-это критическая энергия, приходящаяся на
Динамическое разрушение
269
Рис. 6.8. Геометрия полосы сдвига.
единицу возникающей поверхности. Обозначим эту величину через Jsbc- Таким образом, получаем критическое условие типа аналогичных условий в механике разрушения:
Oij>JsBc/2R. (6.9)
Короче говоря, можно ожидать, что критическое значение напряжения сдвига обратно пропорционально размеру дефекта п. В настоящее время это умозрительный критерий, а критическое значение (или, что эквивалентно, критическое значение efy) оценивают по данным управляемо разрушающегося цилиндра. В рассматриваемых приложениях используется критическое значение efj .
Скорость зарождения дефектов. Модель должна определять скорость возникновения дефектов по достижении порогового критерия их зарождения. Для этого требуется, во-первых, определить распределение по размерам дефектов в момент их появления и, во-вторых, определить скорость генерирования этого распределения.
Требования к памяти ЭВМ при моделировании полос сдвига не очень жесткие, так как распределение задается некоторой формулой. Выбранная экспоненциальная формула удовлетворяет экспериментальным данным по полосам сдвига и подобна формуле, используемой для описания пластического и хрупкого разрушения. Число дефектов, приходящихся на 1 см3, радиусы которых больше R, определяется по формуле
Ng = Noexp(-R/R{), (6.10)
где No-общее число дефектов в 1 см3, Rj-параметр характерного размера распределения. Предполагалось, что дефекты плоские и круглые
° Критические условия в механике разрушения иные - там они формулируются в виде ограничений на характер особенности напряжений в окрестности вершины трещины. Этому же соответствует затрата работы только в указанной окрестности, тогда как в рассматриваемом случае учитывается работа на всей поверхности полосы сдвига-Прим. ред.
270
Глава 6
радиусом R. Предполагалось также, что полосы появляются и растут в шести дискретных плоскостях, чем приближенно учитывалось полное их угловое распределение. Для каждого угла использовалось аналитическое распределение по размерам (6.10). Таким образом, для каждого направления заданы три числа: No, Rj и Rb, где Rb~максимальный размер дефекта.
Скорость зарождения полос сдвига задается соотношением
= (6Л,)
at у at J
где N<p0 и 8фо-соответственно число полос и пластическая деформация сдвига в направлении ориентации плоскости дефекта ф0, а Ап, п и т- экспериментально определяемые константы. Ограничение на скорость появления дефектов обусловлено требованием того, чтобы полная дисторсия, возникающая при появлении новых полос, не превосходила полной приложенной пластической деформации сдвига. Деформация сдвига, связанная с появлением дефектов, определяется по формуле
teps=^-№=obR3dN, (6.12)
где b = В/R-максимальное относительное смещение противоположных граней полосы, a dN - число зародившихся полос радиусом R. Используя выражение (6.10) для определения производной N по R и интегрируя (6.12), получаем
teps = 3nbb.NR3, (6.13)
где AN-общее число образовавшихся в 1 см3 дефектов с параметром распределения R{ =Rn- Тогда уравнение (6.13) дает верхнюю границу числа появившихся дефектов в любом интервале времени.
В выражении (6.13) использован наблюдаемый экспериментально факт пропорциональности относительного полного смещения В граней полосы радиусу R. Для стали 4340 экспериментальное значение константы пропорциональности b имеет порядок 0,1. Причина этой пропорциональности пока еще не понятна, но она оказывается приемлемой, потому что усилие, приложенное к вершине большего дефекта, действует через больший рычаг, вызывая большее смещение граней.
Рост дефектов. Рост, или распространение, полос сдвига моделируется законом вязкости, который выдвигается, но не подтвержден на основе данных испытаний управляемо разрушающихся цилиндров. Таким образом, принимается соотношение
dRi/dt = CGRi (de$/dt), (6.14)
где Cg~ коэффициент роста. Когда этот закон роста используется вме
Динамическое разрушение
271
сте с распределением по размерам (6.10), то в полном распределении возрастают размеры. Получающееся в результате распределение имеет ту же экспоненциальную форму, No не изменяется, а изменение R{ определяется выражением (6.14).
На рассматриваемый закон роста наложены два ограничения: максимальная скорость роста ограничена скоростью звука в поперечном направлении, общая дисторсия в результате роста дефектов не должна превосходить полной приложенной пластической деформации. Максимальная скорость роста в соответствии с законом вязкости достигается на максимальном радиусе Rb- Следовательно, получаемое из ограничения на скорость в конце интервала времени значение максимального радиуса Rb2 есть
Кв2^Яв1 + ИшДг, (6.15)
где Vm- скорость волн сдвига. Ограничение возрастания параметра радиуса диктуется требованием сохранения отношения Rb/Ri • Учет ограничения на возникающую в процессе роста дисторсию производится так же, как и в соотношениях (6.12) и (6.13). Возрастание пластической деформации, связанное с ростом дефекта в плоскости ф0, определяется по формуле
Де^е = 3nbN0 (К|фе - К 1Фе), (6.16)
где R2- значение параметра распределения по размерам в конце шага. Следовательно, ограничение, обусловленное приложенной деформацией, будет следующим:
К1Фе = К?Фе + (Ае$/ЗлЫУ0(рв). (6.17)
Объединяя (6.14), (6.15) и (6.17), находим, что R2 на плоскости ф0 определяется условием
Я2ф0 = min
^Вф0
R1(po ехр(СсДе£§),
Д£ф§ \1/3 3nbNOq>Q /
(6.18)
После расчета роста дефектов, размеры которых были распределены по старому закону, и расчета распределения вновь появившихся дефектов с параметром Rn объединяем эти два распределения и получаем новое распределение в виде (6.10) с параметрами N3 и R3. На объединенное распределение наложены два ограничения:
1. Новое распределение сохраняет число и размеры самых больших полос сдвига (R = Rb).
2. Новое распределение сохраняет сумму пластических деформаций, вычисляемых по распределениям появившихся и растущих дефектов.
272
Глава 6
Ограничение 1 требует, чтобы число дефектов размера Rb сохранялось. Следовательно,
N3b = N3 exp ( - Rb/R3) =
= No exp (- Rb/R2) + &N exp (- RB/Rn)
(6.19)
Полная пластическая деформация по новому распределению равна
ePS = 3nbN3R33. (6.20)
Исключая N3 из (6.20) с помощью (6.19), получаем выражение для R3
eps = 3TtbN3Bexp(RB/R3)R33, (6.21)
где величина N3b известна из (6.19). Для решения уравнения (6.21) в программе был разработан простой алгоритм. Затем из (6.20) вычисляется N3 и тем самым полностью определяется новое распределение.
Если рассчитанное для полос сдвига значение приращения полной деформации больше полной приложенной деформации, скорости роста уменьшаются до требуемого уровня, чтобы приращение деформации для полос сдвига было равно приращению полной пластической деформации.
Слияние полос. Построение детальной модели слияния полос сдвига вплоть до образования макроскопических фрагментов - работа непреодолимая. Однако можно сделать несколько упрощений. Если предположить, что дефекты ориентированы изотропно (иногда это предположение неверно), то будет иметь место статистическая тенденция формирования больших фрагментов в результате пересечения больших полос, средних фрагментов в результате пересечения полос средних размеров и т.д. Таким образом, распределение фрагментов по размерам должно будет отражать распределение дефектов по размерам в начале их слияния.
В начале слияния полос полная пластическая деформация, которую накапливают полосы при любой ориентации, равна
= (6.22)
i
Это соотношение аналогично соотношению Орована для атомных дислокаций. Когда материал распадается на фрагменты, их относительный объем равен
K=7>LN{(K{)3 = 1, (6.23)
где Тр- безразмерный объемный фактор (около 4), n{h R^- число и ра-диус фрагментов i-й группы размеров.
Предполагается, что число фрагментов связано с числом полос через
Динамическое разрушение
273
множитель 0:
M=₽Ni. (6.24)
Большие фрагменты имеют обычно шесть или восемь граней, образованных полосами сдвига или трещинами. Так как каждая полоса образует по одной грани у двух фрагментов, то каждому фрагменту будет соответствовать три или четыре полосы сдвига. Следовательно, 0 равно 1/3 или 1/4. Аналогично размеры фрагментов связаны с размерами полос через множитель у
Rfi = yRi. (6.25)
Здесь размер /Допределен так, что объем фрагмента равен Тр(/Д)3, где 7>^4тс/3. Так как полосы, формирующие грани фрагментов, имеют примерно одинаковую площадь, то приближенно у = 1. Теперь можно переписать (6.23) в виде двойной суммы по ориентациям полос и их размерам:
V= T>₽Y%e Е = 1 • (6.26)
i
Сравнение (6.26) и (6.23) показывает, что повреждение связано с комбинацией NR3 в течение всего времени расчета. Будем использовать (6.26) в качестве нашего определения полной фрагментации (V= 1), и пусть V определяет долю фрагментации для величин, меньших, чем при полной фрагментации. Следовательно, величина ?г0У3 £ Мфе/Кфе/- мера повреждения, связанного с развитием полос, i
имеющих ориентацию <р0. Равенство единице суммы этих величин для всех ориентаций полос означает полное дробление элемента материала, и распределение фрагментов по размерам получается из окончательных распределений полос по размерам (формулы (6.24) и (6.25)).
Релаксация напряжений. Основная часть любой модели повреждений материала-связь между повреждением и напряжениями в поврежденном материале. Это обусловлено тем, что повреждения прогрессивно ослабляют материал, производя механическое разупрочнение и вызывая релаксацию напряжений континуума (или осредненных напряжений). В следующем разделе будет описана совремейная модель этого процесса, являющаяся частью полного вычислительного описания связи между напряжениями и деформациями для материала, подверженного повреждению полосами сдвига.
Основные предположения. Главное предположение относительно процесса релаксации напряжений состоит в том, что предел прочности на сдвиг частично поврежденного полосами сдвига материала зависит как от числа полос, так и от нормального напряжения поперек полосы.
274
Глава 6
Предел прочности на сдвиг вычисляется по формуле
5 = (l/h) tg <р + [(h - 0/Л] Ys, (6.27)
где /-длина полосы, h-длина блока материала в направлении полосы, ст„-нормальное напряжение поперек полосы, ф-угол трения, Ys- предел текучести при сдвиге (половина предела текучести при растяжении). На рис. 6.9 показана ориентация полосы и напряжения. Заметим, что полоса одинаково уменьшает напряжения сдвига 512 и 521, но не влияет на ^13-
Уравнение (6.27) обобщается на случай большого числа дефектов разного размера. Переобозначим через Тк функцию плотности повреждения, представляющую собой общую площадь полос сдвига в единице объема, связанных с к-й плоскостью. При т/с = 1 плоскость полностью покрыта дефектами; тогда предполагается, что (6.27) принимает вид
5/c = x/cCTntg9-F(1-т/с) У5, Sk^Ys. (6.28)
Предел прочности на сдвиг всегда положителен и не превосходит У$. Главные для использования соотношения (6.28) предположения состоят в следующем.
1. Распределение полос сдвига можно перенести на интересующую плоскость (такую, как Х-Y) вместо того, чтобы рассматривать реальную плоскость повреждений в материале.
2. Процесс течения можно связать с определенными плоскостями (подход Треска) вместо того, чтобы рассматривать все напряжения одновременно (как в процессе течения Мизеса).
Оба этих предположения, по-видимому, подходят к упомянутым ранее основным механизмам.
Рис. 6.9. Ориентация сдвигающего S и нормального о напряжений в блоке материала, содержащем полосу сдвига.
Динамическое разрушение
275
Далее предполагается, что процесс течения не влияет на давление, если среда сжата. Таким образом, давление остается функцией только плотности и внутренней энергии и не изменяется в процессе течения, если не учитывать выделяющегося тепла.
Эти предположения составляют основу модели релаксации напряжений. Наряду с этими предположениями в модели предусматривается анизотропия прочности, так что на плоскостях с полосами сдвига предел прочности на сдвиг может обратиться в нуль, тогда как касательные напряжения на других плоскостях могут полностью сохраняться. Это понижение напряжений позволяет полосам сдвига распространяться через расчетные ячейки, представляющие материал в условиях больших сдвигов.
Рассмотренная модель релаксации напряжений подробно описана в работе [10].
Применение модели. Описанное ниже применение вполне соответствует калибровочным экспериментам с управляемо разрушающимися цилиндрами (УРЦ), а именно рассматривается самодробящийся артиллерийский снаряд. Требуется найти окончательное распределение осколков по размерам и сравнить с результатами измерений, выполненных Кроу [10].
В этом расчете использовалась простая форма модели, в которой нормальная компонента напряжения tg <р в (6.28) полагалась равной нулю. Двумерное моделирование разрушающегося снаряда было выполнено на расчетной сетке, изображенной в верхней части рис. 6.10. Все металлические части были изготовлены из стали HF-1, для которой имеются калибровочные УРЦ-данные. На границе двух частей системы не ставилось особых условий. Первичным ВВ в запальнике было СН6, вторичным BB-PBXN 106. Моделирование учитывало распространение детонации, которая начиналась в первичном ВВ и перемещалась со скоростью Чепмена-Жуге по вторичному. Развитие детонации видно по движению ячеек на рис. 6.10, где представлена серия полученных в двумерном расчете картин. На рисунке отмечены ячейки, в которых развивается разрушение.
На рис. 6.11 сравниваются рассчитанное и измеренное распределения осколков по размерам. В расчете распределение получалось суммированием распределений осколков по размерам в расчетных ячейках и подсчетом относительной массы каждой ячейки. Неразрушившиеся ячейки главным образом расположены в новой части снаряда, и вся эта неразрушенная масса была учтена как один большой осколок. В этом двумерном численном моделировании возникали только полосы сдвига, ориентированные под углом 45° между радиальным и азимутальным направлениями. Длительность детонации составляла около 65 мкс. Через 110 мкс почти все охваченные полосами сдвига ячейки были полностью разрушены. Не наблюдалось зарождения полос левее сорок восьмого ряда узлов (считая с правого конца).
В этих модельных расчетах постепенно возрастала часть полной
276
Глава 6
75$мкс
^йИй®!!!!й1йй^
Й11111И1И1ШИИЧ1ИИИ1
89,9 мкс
104 мкс
gHHHiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
Ю7мкс
^miiiiisss^
Рис. 6.10. Численное двумерное моделирование развития детонации и повреждений полосами сдвига в дробящемся снаряде.
Зачерненные участки-дробление полосами сдвига
Рис. 6.11. Сравнение расчетного и измеренного распределений по размерам осколков образца дробящегося снаряда.
/ расчет, 2-данные Кроу [10]
Динамическое разрушение
277
пластической деформации, связанная с процессами появления и роста полос сдвига. Общая рассчитанная пластическая деформация к моменту полного дробления составляла 60 - 80%; из них 40% оказались связаны с однородной деформацией, а остальные 20-40% были обусловлены образовавшимися полосами сдвига. Измерения показали, что на долю осколков приходится около 35% однородной деформации. Это находится в хорошем соответствии с расчетами.
В расчетах предполагалось, что дробление происходит только вследствие образования полос сдвига; тем не менее в некоторых экспериментах на процесс дробления оказывали влияние микротрещины отрыва во внешнем слое. В будущем при расчетах необходимо будет учесть действие этих микротрещин.
Подводя итоги, можно сказать, что соответствие расчета и экспериментальных результатов представляется весьма обещающим, и можно ожидать, что этот подход к моделированию полос сдвига станет полезным при проектировании и оценке дробящихся боеприпасов.
6.3.2. РАЗРУШЕНИЕ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
Второе применение микростатистического подхода к изучению разрушения относится к хрупкому разрушению геологических материалов.
Проблемы дробления и разрушения геологических твердых тел и других материалов возникают во многих ситуациях. Например, при расчетах кратерообразования или проникания в грунт необходимо определить размеры кратера, зоны дробления, распределение извергаемого материала по размерам, скорости. При разработке проекта создания полости в горном массиве требуется предсказывать степень загромождения полости вывалившимися блоками породы, оптимизировать распределение блоков породы по размерам в области дробления и оценить пористость и проницаемость зоны дробления. При стимулировании нефтяных и газовых скважин путем подрыва в них зарядов ВВ или сжигания топлива увеличение проницаемости пласта до оптимального уровня не должно сопровождаться засорением скважины обломками или уплотнением стенок забоя скважины. Во всех этих приложениях условия разрушения (например, характеристики материала, поле напряжений растяжения-сжатия, проникание продуктов взрыва или горения в трещины) и соотношения между разрушением, дроблением и возрастанием проницаемости должны быть надлежащим образом определены.
Микростатистический подход к этим задачам был использован в работах [2, 6, 9, 12, 13, 32]. В следующих разделах представлен пример такого рода приложения, а именно использование подрыва ВВ и жидких горючих для дробления туфа из выпавшего вулканического пепла вокруг буровой скважины в нем [17].
Использованная модель численного моделирования разрушения была названа сокращенно BFRACT (от англ. Brittle FRACTure-хрупкое разрушение).
Глава 6
278
Модель BFRACT. Распределение трещин по размерам. Как и в предыдущем примере с полосами сдвига, в модели BFRACT-плотность трещин (т.е. число трещин в единице объема) и их ориентация (например, горизонтальная или вертикальная) трактуются статистически. Следовательно, параметры разрушения в модели описывают не поведение отдельных трещин, а комбинированное поведение всей их совокупности. Это позволяет рассматривать параметры разрушения как внутренние переменные состояния континуума, в котором разрушение проявляется как разупрочнение.
Модель BFRACT основана на наблюдениях разрушения в железе армко, бериллии, новакулите и поликарбонате лексан (прозрачный пластик). В ударных экспериментах с этими материалами разрушение происходило в результате зарождения и роста микротрещин. На поверхностях разделенного на части образца грубо измерялись длина монетообразных трещин и их ориентация по отношению к направлению действия нагрузки. Трещины были разбиты на группы по размерам и ориентации. Поверхностное распределение (т.е. число трещин в зависимости от их радиуса) было преобразовано затем в объемное распределение по размерам и углам. При этом преобразовании предполагалось, что трещины имеют форму монеты и осесимметрично распределены вокруг направления действия нагрузки [27].
Как и в случае полос сдвига, эти эксперименты показали, что соотношение между кумулятивной плотностью трещин и их размером примерно экспоненциальное:
Ng = Noexp(-R/Rl), (6.29)
где No~ общее число трещин в 1 см3, Ng- число трещин с радиусами, большими R, Rj-константа, определяющая форму распределения трещин по размерам.
В этой модели трещины возникали на присущих материалу дефектах и росли до тех пор, пока не пересекались с другими трещинами или пока не исчезало напряжение. Степень разрушения или дробления под действием заданного импульса нагрузки зависит от числа активизированных напряжением начальных дефектов и скорости роста трещин. Начальное распределение дефектов в материале задавалось в модели BFRACT параметром разрушения Т3 (максимальный размер дефекта Rmax в момент появления трещины). В табл. 6.1 приведены значения этого и других параметров разрушения для туфа из вулканического пепла.
Зарождение микротрещин. Эксперименты показали, что скорость зарождения трещин зависит от растягивающего напряжения а, перпендикулярного плоскости микротрещины, и что число возникших трещин определяется функцией скорости зарождения [26]
N = JVoexp[(CT-ano)/CT1], (6.30)
Динамическое разрушение
279
Таблица 6.1. Свойства туфа, характеризующие его разрушение, использованные при численном моделировании по модели BFRACT лабораторных и полевых (дробление газом) экспериментов
Параметр Значение
7\ Коэффициент роста, кПа-1 с-1 -80
т2 Пороговое напряжение роста, кПа 500
Т3 Параметр размера зарождающихся трещин, м 1,210"3
т4 Пороговая скорость зарождения трещины, м"3 ЗЮ5
Пороговое напряжение зарождения трещины, МПа -3,5
т6 Фактор чувствительности к напряжению, МПа - 20
Т, Верхний предел размера возникающей трещины, м 1,0 10"2
ТЙ Критерий образования осколков 1
Т9 Коэффициент в константе времени релаксации напряжений 1
Т1О Отношение числа фрагментов к числу трещин 0,25
Тп Отношение радиуса фрагмента к радиусу трещины 1
т12 ENR3 при слиянии трещин 0,2
Коэффициент пропорциональности для расчета объема
фрагмента 1,33
Т>4 Коэффициент включения эффекта проникания 1
где N-скорость зарождения трещин, a No, стпо и стх-параметры разрушения. No = Т4- пороговая скорость зарождения трещин, стпо = = Т5- пороговое напряжение зарождения трещины, стх = Т6 определяет чувствительность скорости зарождения трещины к уровню напряжения. В задачах, для которых существенно образование трещин сдвига, соотношение (6.30) заменялось соотношением, в котором скорость зарождения пропорциональна скорости деформации сдвига [17].
Рост трещин. В модели BFRACT рост трещин может быть вызван комбинацией растягивающего напряжения, перпендикулярного направлению распространения трещины ст, и (или) давления жидкости или газа на внутренней поверхности трещины Рс. Соотношение для роста трещины имеет вид
dR/dt = 7\ (ст + Рс - адо) R. (6.31)
Здесь 7\-коэффициент роста (равный 1/4т|, где ^-эффективная вязкость у вершины трещины), <здо = Т2- пороговое напряжение роста, R- радиус трещины. Параметр Т14 учитывает проницаемость газа. Если Т14 = 0, то проницаемости нет (т. е. Рс = 0). Скорость роста R по соотношению (6.31) не может быть больше скорости волн Рэлея или 1/3 продольной скорости звука в таком материале, как туф.
Предполагается, что активация дефектов некоторых геологических материалов, таких, как новакулит и нефтяной глинистый сланец, происходит в соответствии с представлениями механики разрушения по Гриффиту-Ирвину, и, следовательно, нормальное напряжение будет активировать дефекты, радиус которых больше критического радиуса R*,
280
Глава 6
но не будет влиять на меньшие дефекты [32]. Для определения критического размера монетообразной трещины, находящейся под действием однородного растягивающего напряжения, перпендикулярного плоскости трещины в бесконечной среде, использовалось соотношение Снеддона [14]:
K* = ti(X?c/4q2), (6.32)
где Kjc - критический коэффициент интенсивности напряжений (константа трещиностойкости материала). Если <здо- критическое напряжение роста трещины, то
ago = Klc]/n/4R*, (6.33)
и, следовательно, ст^0 зависит от размера трещины. Таким образом, распределение по размерам начальных дефектов в образце скальной породы определяет число дефектов, активируемых нормальным растягивающим напряжением в соответствии с соотношениями (6.29), (6.30) и (6.33). Главный результат использования соотношения (6.33) для определения напряжения <здо вместо того, чтобы считать его константой, состоит в смещении рассчитанного распределения трещин по размерам в сторону больших размеров.
Релаксация напряжений вследствие взаимодействия трещин. Модель BFRACT предусматривает естественную релаксацию или уменьшение напряжений с развитием повреждений. Каждое приращение деформации Де1 перпендикулярно плоскости трещины состоит из упругопластической деформации неповрежденной среды и деформации, связанной с раскрытием трещины:
Дег = Aes + Дес, (6.34)
где Дес - относительный объем трещины. В наших расчетах разрушения в материалах с большими плотностями трещин и маленькими трещинами предполагалось, что развитие трещины находится в равновесии с приложенным напряжением. Таким образом, время раскрытия трещины и время рассеяния волн напряжений считаются малыми по сравнению с расчетным шагом по времени.
Для изучаемой в данной работе задачи о разрушении скальной породы трещин было столь мало, что можно было сделать предположение о том, что мгновенной релаксации напряжений в результате раскрытия трещин в соответствии с (6.34) не происходило. Для учета задержки раскрытия трещин использовалось время релаксации тп, равное времени пробега волн напряжений между трещинами:
tn = Noll3/Ct. (6.35)
Здесь No-плотность разрушения, а С/-скорость продольных упругих
Динамическое разрушение
281
волн. Это время релаксации использовалось для расчета эффективной деформации Ае^, связанной с раскрытием трещины, которая постепенно приближается к мгновенному раскрытию Де^ в соответствии с выражением
Дс£ = Де“ — (Де^1 — Де£ _ j) ехр ( — Т9 —— ), (6.36)
\ /
где Де£_j-эффективное раскрытие в начале шага по времени At, Т9-безразмерная константа, принятая равной единице. При раскрытии трещины в соответствии с (6.36) уменьшение жесткости материала из-за роста повреждений задерживается до его разгрузки вследствие возникающих у трещин волн разгрузки.
Откол. В программе BFRACT дробление определяется как полная фрагментация и разделение среды в расчетной ячейке. Если плотность трещин достаточно велика, то предполагается слияние трещин и формирование плоскости откола. Использованный алгоритм слияния трещин и дробления материала почти такой же, как и описанный выше для случая полос сдвига. При отсутствии проникания газа в трещины напряжение на сформированной плоскости полагается равным нулю; в противном случае напряжение задается равным Рс (давлению газа в трещине). Модель BFRACT предусматривает также консолидацию, следующую за отколом [28].
Критерий откола задается неравенством тр>Т8, где тр-степень фрагментации среды,
tp = Py3tzTf, (6.37)
где р — Т10- отношение числа фрагментов к числу трещин (принято равным 0,25); у = 7\ t - отношение радиусов фрагмента и трещины (принято равным 1); xz = EAR3 (суммирование производится по общей плотности трещин N и радиусам трещин R); Тр = 7]3-коэффициент пропорциональности, определяемый таким образом, что объем фрагмента определяется как Tpy3R3.
Алгоритм откола позволяет рассчитывать напряжения и приращение деформации от раскрытия откольной трещины. Напряженное состояние получается из обычного соотношения между напряжением и деформацией для упругопластической среды и из условия на свободной поверхности в направлении откола.
Лабораторные эксперименты по калибровке модели. Параметры модели BFRACT (табл. 6.1) получены в лабораторных экспериментах, подобных описанным ранее экспериментам по определению параметров модели трещин сдвига. Во-первых, параметры распределения по размерам Ri и Rmax (Т3 и Т7 в табл. 6.1) получены по данным микроскопического исследования материала. Во-вторых, производилась детонация ВВ в толстостенных цилиндрах из материала, взятого из сердцевины монолитов породы. Диаметр цилиндров из туфа был равен 0,3 м, длина так
282
Глава 6
же 0,3 м; вдоль оси было просверлено отверстие диаметром 1,27 см. Эксперименты предпринимались с целью разделить эффекты, обусловленные растягивающими напряжениями, возникающими вследствие распространения ударных волн, и эффекты, связанные с прониканием газа в трещины. Одна серия экспериментов проводилась со встроенными в материал датчиками напряжений и скоростей частиц для регистрации их показаний в процессе испытания (для сравнения с расчетами), а другая - только с датчиками давления газа, размещенными в просверленном отверстии, так что на разрушение не влияла установка датчиков в материале (для сравнения с численным моделированием разрушения и определения параметров модели BFRACT).
В программе BFRACT учтено зарождение разрушения только под действием растягивающих напряжений или деформаций сдвига, возникающих в результате прохождения ударной волны. (Эти разрушения могут затем развиваться как под действием растягивающих напряжений, так и под действием давления газа в трещинах.) Первоначально планировалось, следовательно, что параметры модели BFRACT будут определяться из экспериментов, в которых распространение трещин происходило только под действием растягивающих напряжений, возникающих после прохождения ударной волны, чтобы отделить эффекты растягивающих напряжений от эффектов проникания газа. Чтобы определить действие растягивающих напряжений без проникания газа, в трех экспериментах внутрь высверленного отверстия помещали тонкие (0,15 мм) стальные оболочки, не пропускавшие продуктов детонации. Датчики давления между туфом и оболочкой измеряли передаваемое туфу давление, которое использовалось в расчетах. В целях сравнения и для определения распределения трещин в результате проникания газа проводились также эксперименты со стеклянным вкладышем. Последний предохранял ВВ от содержащейся в туфе воды, но разрушался после детонации ВВ и позволял продуктам детонации проникать в трещины.
В каждом случае в качестве ВВ использовался тетранитрат пентаэритрита (PENT) в пластмассовых соломках, установленных в просверленном отверстии; детонирование осуществлялось взрывающейся проволокой. Заряды заделывались с обеих сторон пробками из оргстекла на эпоксидной смоле, а на отверстие в цилиндре эпоксидной смолой наклеивалась плита из оргстекла толщиной 1,9 см.
В каждом эксперименте образец вставляли в корпус соленоида, размещенный в сосуде, в котором создавалось давление. Магнитное поле соленоида было необходимо для работы датчиков скорости частиц. Сосуд наполняли легким маслом, закупоривали и с помощью сжатого азота через масло на образец передавали ограничивающее давление 7 МПа.
После детонации PETN ограничивающее давление снимали. Затем образец извлекали из сосуда, разделяли на части и фотографировали. Показания датчиков пересчитывали для получения из зависимостей
Динамическое разрушение
283
электрического напряжения от времени зависимостей механического напряжения и скоростей частиц от времени.
Чтобы получить первые оценки параметров модели BFRACT, наблюдаемые распределения повреждений затем сравнивали с рассчитанными и измеренными зависимостями напряжений и деформаций от времени, подобно тому как это описано для случая полос сдвига. Затем производилось итеративное численное моделирование для уточнения параметров и улучшения соответствия между рассчитанными и наблюдаемыми уровнями повреждения. Окончательные значения параметров приведены в табл. 6.1.
Применение для описания полевых экспериментов. В 1978 г. «Сандиа лабораториз» (Альбукерке, шт. Нью-Мексико) был проведен ряд полевых экспериментов в вулканическом туфе на полигоне в шт. Неваде [23, 24]. Кратко можно сказать, что «Сандиа» были выполнены три испытания с использованием метода дробления газом: GF1 (с использованием медленно горящего топлива), GF2 (со средней скоростью горения) и GF3 (с высокой скоростью горения). После каждого эксперимента участок вокруг буровой скважины раскапывался, чтобы обнажить картину разрушений. Хотя имелись изменения в характере разрушений вдоль скважины, можно было получить относительно надежные численные данные для сравнения трех испытаний по плотностям трещин, их длинам и ориентации.
Число трещин и их длины в каждом испытании определяли тем же методом, что и в лабораторных взрывных экспериментах. Объем, в пределах которого возникали трещины, также определяли по методике лабораторных экспериментов, т.е. по задаваемому на стенке скважины давлению выполняли расчеты с целью определения распространения зоны растягивающих напряжений. Трудности наблюдения картины разрушений приводят к неоднозначности измерения плотности трещин-истинная плотность может отличаться примерно в 2 раза от измеренной. Тем не менее три различные истории нагружения буровой скважины приводят к явно различным картинам разрушений и, следовательно, представляют собой критический тестовый материал для модели BFRACT.
Численное моделирование трех упомянутых выше полевых экспериментов осуществлялось по программе BFRACT с использованием полученных в лабораторных испытаниях параметров из табл. 6.1. В этих расчетах учитывались как растягивающие напряжения, так и давление газа в трещинах. Несколько модельных вариантов расчетов было выполнено для оценки действия градиента давления газа в трещинах (который не измерялся в испытаниях) на процесс разрушения; свойства материала в этих вариантах не изменялись. В то время как рассчитанные длины трещин изменялись при учете градиента давления в газе, плотности трещин оставались при этом неизменными. Таким образом, эти полевые испытания явились серьезной проверкой способности модели BFRACT предсказывать разрушения среды по данным лабораторных испытаний.
284
Глава 6
Радиус трещины, Радиус трещины, Радиус трещины,
см см см
а 6 6
Рис. 6.12. Графики изменения во времени давления в буровой скважине и сравнение рассчитанных распределений разрушения с измеренным в экспериментах по дроблению газом.
а-эксперимент GF1 согласно расчету, разрушение отсутствует (рассчитанные растягивающие напряжения ниже порогового напряжения зарождения трещин), б-эксперимент GF2 результаты для расчетной ячейки, примыкающей к скважине, в-эксперимент GF3 результаты для расчетной ячейки, примыкающей к буровой скважи не 1 - экспери мент, 2 - расчет
На рис. 6.12 сравниваются рассчитанные и измеренные в эксперименте распределения разрушений. При моделировании эксперимента GF1 разрушение не предсказывалось расчетом, так как растягивающие напряжения нигде не превосходили порогового напряжения зарождения трещин. Возможными причинами расхождения с результатами эксперимента GF1, при котором возникли только две большие трещины, а нагрузка была почти квазистатической, могли быть следующие.
1. Рассчитанные растягивающие напряжения могли оказаться неправильными потому, что в действительности напряжения колебались в пределах 5,4—10,3 МПа, а не были равны принятым 6,9 МПа.
2. Порог зарождения трещин (полученный при высоких скоростях нагружения 2,06-108 МПа/с) был слишком высок для этого эксперимента с низкой скоростью нагружения.
3. Активировались дефекты лишь большого масштаба (т.е. поверхности контакта блоков).
4. Возникли трещины сдвига.
Динамическое разрушение
285
При моделировании эксперимента GF2 учитывался градиент давления газа при образовании трещин. Давление газа полагалось равным давлению в буровой скважине и линейно падало до нуля в самой дальней от скважины расчетной ячейке, в которой еще происходило образование трещин. На рис. 6.12 воспроизведенные распределения разрушений для эксперимента GF2 сравниваются с наблюдавшимися. Общая рассчитанная плотность трещин (ЛГ0) приблизительно равнялась наблюдаемой, а наклон кривой рассчитанного распределения составлял приблизительно 2/3 наблюдаемого. Рассчитанный максимум длины трещины (Ктах) был в 4 раза меньше наблюдаемого.
При моделировании эксперимента GF3 также учитывалось убывание напряжения с расстоянием по линейному закону. На рис. 6.12 для эксперимента GF3 сравниваются рассчитанные и экспериментальные распределения разрушений. Уменьшение плотностей трещин вызвано пластическим течением вокруг скважины и сопровождающим течение эффектом подавления разрушения. Предсказанные диапазоны значений No и перекрывают наблюдаемые; рассчитанные значения No и несколько больше наблюдаемых (в некоторых случаях в 2 раза).
Подводя итоги, можно сказать, что модель BFRACT правильно классифицирует полевые эксперименты по числу и распространению трещин. В варианте GF1 не было предсказано появления трещин, поскольку медленно горящее топливо не в состоянии создать вблизи скважины достаточно больших азимутальных растягивающих напряжений, способных привести к разрушению отрывом. Наблюдавшиеся в действительности две трещины, возможно, возникли путем гидроразрыва на поздней стадии. В варианте GF2 с использованием топлива со средней скоростью горения было получено максимальное число повреждений ^что соответствует эксперименту), так как давление в скважине было достаточным для активации трещинообразования, но недостаточным для появления пластических деформаций вокруг скважины, вызывающих устранение растягивающих азимутальных напряжений. В эксперименте GF3 с использованием быстро горящего топлива правильно предсказано появление меньшего числа трещин вследствие возникновения пластического течения вокруг скважины в этом случае.
Главное расхождение между предсказаниями и данными наблюдений состояло в том, что максимум размеров трещин в расчете получался примерно в 4 раза меньшим, чем в экспериментах. Причина этого расхождения состоит в том, что существующий в настоящее время вариант модели BFRACT не допускает дальнейшего распространения трещины по расчетным ячейкам по достижении полной фрагментации (образовании макроскопической поверхности отрыва). Это ограничение реалистично, если газ не проникает в трещины, но не соответствует действительности, когда трещины могут расширяться под действием давления газа. В следующей работе предполагается снять это нереалистичное ограничение на расширение трещин и ожидается лучшее соответствие с данными полевых экспериментов.
286
Глава 6
Таким образом, микростатистический подход применительно к хрупкому разрушению геологических сред дал обнадеживающие результаты даже в случае возникновения относительно малого числа трещин, когда применимость самого этого подхода неочевидна.
6.3.3. КВАЗИСТАТИЧЕСКОЕ ПЛАСТИЧЕСКОЕ
РАЗРУШЕНИЕ МЕТАЛЛОВ
Микростатистический подход достаточно давно применяется для описания динамического разрушения металлов под действием нагрузок, вызванных ударом, взрывом или радиацией. Эти задачи были первыми применениями данного подхода [1]. Недавно, однако, он был также успешно использован для детального описания квазистатического разрушения пластичных металлов.
Ниже подведены итоги применения микростатистического подхода к квазистатическому разрушению стали А533В, используемой для изготовления сосудов высокого давления [33].
Феноменология разрушения при растяжении стали А533В при температуре работающего реактора (560 К) изучалась путем исследования поверхностей излома и полированных частей разрушенного и частично разрушенного по методу Шарпи образца и образцов круглых стержней, испытанных при верхнем уровне температур (355 К). На поверхностях излома были видны пластические полусферические впадины, бимодально распределенные по размерам, а на полированных поперечных срезах-сферические пустоты. Был сделан вывод, что разрушение при растяжении происходит в результате возникновения, роста и слияния пустот (пор).
Поры возникают главным образом на включениях MnS и А12О3 диаметром обычно 5-10 мкм. Они растут пластически и независимо, сохраняя приблизительно сферическую форму. Когда соседние растущие пустоты приближаются друг к другу, на частицах Fe3C размером 0,2 мкм, однородно рассеянных по материалу, возникают пустоты гораздо меньших размеров вдоль границ бейнитовых полос. Субмикронные пустоты формируют довольно хорошо очерченные поверхности, связывающие большие пустоты, и растут до радиусов ~ 1 мкм, прежде чем объединиться путем пластического соприкосновения. Таким образом, механизм объединения больших пустот заключается в появлении, росте и слиянии меньших пустот.
Для получения численных закономерностей процесса микроразрушения измеряли распределения включений по размерам, статистическое распределение пор и впадин на поверхности излома и устанавливали связь этих измерений с наложенным полем деформаций. На фотоснимке (рис. 6.13) видны поры, пересекающие отполированную плоскость, проходящую сквозь образец растягиваемого круглого стержня. Пустоты были подсчитаны и измерены. Эти сведения о поверхностных распределениях были превращены путем статистического преобразования [27]
Динамическое разрушение
287
Рис. 6.13. Распределение по размерам включений, пор и поверхностных впадин в растягиваемом гладком стержне из стали А533В при различных значениях пластической деформации
в распределение радиусов пустот в единице объема для каждой изображенной на рисунке зоны. Кумулятивное распределение по размерам регулярно возрастало по характерным размерам и по числу пустот по мере приближения к плоскости разрушения; вдали от этой плоскости оно совпадало с распределением включений, а вблизи нее-с распределением впадин. В областях с пластической деформацией менее 11% пустот обнаружено не было, что свидетельствует о том, что эта деформация соответствует не только началу формирования шейки, но и является пороговой для зарождения пустот. Скорости роста пустот определялись по этим данным путем проведения горизонтальных линий постоянного числа пор и нахождения точек их пересечения с кривыми распределений при различных деформациях.
Модель пластического разрушения задается аналитическими выражениями, описывающими зарождение, рост и слияние пустот, и алгоритмом для расчета постепенного уменьшения прочности образца по мере развития пустот. Модель была построена таким образом, чтобы по возможности максимально точно воспроизвести данные экспериментальных наблюдений и измерений.
288
Глава 6
Предполагалось, что поры зарождаются путем отрыва матрицы от включений. Предполагалось также, что материал не содержит пустот до достижения деформации 11%. В момент достижения такой деформации в материале появляется множество пустот так же распределенных по размерам, как и включения (рис. 6.13). Как и для полос сдвига и хрупких трещин, это распределение может быть задано в экспоненциальной форме
Ng = Noexp(-R/Rn), (6.38)
где Ng- число включений (пустот), радиусы которых больше К, No-общее их число в 1 см3, a Rn-характерный линейный размер распределения. Предполагалось, что пустоты распределены одинаково в каждой расчетной ячейке, так что разрушаемый материал можно рассматривать как однородный и изотропный. Экспериментальные наблюдения показали, что зарождение пустот зависит главным образом от пластической деформации сдвига ёр, и на этой основе была предложена следующая линейная модель зарождения пор:
No = Nt(Ep - £t), £1<ер<£2>
(6.39)
No = Ni (e2 - £j) + N2 (ep - £2), £2 < ёр,
где и N2-характерные Для материала плотности пустот, а 8Х и б2-пороговые деформации, определяемые по опытным данным. Результаты испытаний на растяжение дают значения 5-106 и 1 • 105 см" 3 для и N2 соответственно и 0,11 и 0,13 для 8Х и s2.
Если поры возникли, то они постепенно растут из-за пластического течения, упругих деформаций и термического расширения. Закон пластического роста имеет следующий вид:
Fp = yoexp -T1^-(£p-£g)
(6.40)
где Ps-среднее напряжение в твердой среде, а 7]-безразмерный параметр, определяемый по графику зависимости объема поры от деформации, который был построен по результатам измерений, выполненных на ряде надрезанных и ненадрезанных растягиваемых брусьев [33]. Это уравнение очень похоже на выведенный теоретически в работе [22] закон роста.
Упругое расширение поры задается соотношением
А К = - VvLPs [(1 - 3K/4G)/K], (6.41)
выведенным Лявом [15]. Это расширение включено в модель для физически точного учета жесткости пористого материала, хотя его влияние обычно мало. Термическое расширение пор определяется просто отно-
Динамическое разрушение
289
шением температурных множителей
1 +(Гр50ВД (6-42)
в начале и конце приращения деформации, где Г-коэффициент Грю-найзена, Е- внутренняя энергия, a pso-начальная плотность материала.
Объединяя выражения для роста вследствие пластического течения, упругой деформации и термического расширения, получаем следующее выражения для окончательного объема поры в конце приращения деформации:
Кз = К1
1 + Г Pso 1Е/К
14-Гр Ё/К
APS / ЗК'
1"ТГ+<Г
ехр
(6.43)
По мере формирования и роста пустот в материале способность образца выдерживать нагрузку падает. Это падение прочности является важным следствием развития пустот и учитывается в рассматриваемой модели разрушения подобно тому, как это было описано ранее для хрупких трещин.
Детальная модель слияния пор не строилась. Вместо этого предполагалось, что рост пустот продолжается до тех пор, пока их относительный объем не станет примерно равным 0,01 (эта величина получена в экспериментах по растяжению круглых стержней), после чего происходит слияние пустот и разрушение.
Эта модель была оформлена в виде подпрограммы DFRACTS, вставленной в двумерную лагранжеву программу расчета распространения волн TROTT [27], и использована для расчета разрушения при растяжении гладкого стержня и стержня с глубоким надрезом. Для проверки надежности модели производилось сравнение измеренных и рассчитанных кривых зависимостей силы от перемешения и относительного объема пустот от местоположения в образце.
Сначала путем итеративного моделирования испытания гладкого стержня на растяжение, варьированием зависимости напряжения от деформации и коэффициента роста пустот добивались соответствия кривой зависимости смещения от нагрузки и распределений пустот по размерам с данными наблюдений. Затем моделировались испытания на растяжение круглого бруса с кольцевым надрезом 1} (в котором напряжения в большей степени неоднородны и, следовательно, более разнообразны условия развития пустот) с использованием полученной для гладкого стержня зависимости напряжения от деформации и коэффициента роста пустот. Было получено хорошее соответствие между рассчитанной и измеренной кривыми зависимости смещения от нагрузки и деформациями разрыва.
п Диаметр образца 1,27 см, диаметр по дну надреза 0,897 см. Надрез в сечении имеет вид угла в 60° с радиусом скругления в основании 0,025 см.
290
Глава 6
Чтобы проверить способность модели описывать разрушения в случаях, когда применимы стандартные параметры сопротивления развитию трещины, проводилось численное моделирование деформации плиты с трещиной в центре (рис. 6.14, а). Размеры-плиты и длина трещины выбирались так, чтобы получить плоско деформированное состояние и /-управляемые условия инициирования и роста, т. е. чтобы половина длины трещины, перемычка и толщина плиты превосходили 200J[ /ст0 [18, 29]. Для экономии сначала производилось полное моделирование с использованием грубой сетки (рис. 6.14,6). Целью такого моделирования было определение движений границы похожей на бабочку маленькой области у вершины трещины. Эта маленькая область была затем разбита на более мелкие расчетные ячейки
Рис. 6.14. Образец и его разбивка на ячейки при моделировании деформации
плиты с трещиной в центре.
а-схема гипотетического испытания плиты с трещиной в центре, моделируемого с учетом микротрещин для получения параметра Jjc, b-четверть плиты, использованная в первом расчете, минимальный размер ячейки 0,16 см, 100 х 82 ячеек, в-второй расчет подобласти вблизи вершины трещины, минимальный размер ячейки 0,015 см, 50 х 25 ячеек, / -контур для расчета параметра Л 2-мелкая сетка в более точно рассчитываемой зоне
Динамическое разрушение
291
Рис. 6.15. Область разрушения и изолинии пластической деформации, полученные при моделировании деформации плиты с трещиной в центре.
1-мелкая сетка в более точно рассчитываемой зоне, 2-зона образования микротрещин
(рис. 6.14, в), и при расчете разрушений в этой области использовались данные о движении ее границ, полученные на грубой сетке. Движения границ, управляемые уравнениями сохранения импульса, приводили к изменениям деформации в каждой ячейке, по которым рассчитывались напряжения с помощью соотношения между напряжением и деформацией, включающего стандартную упругую зависимость и соотношение механического упрочнения, а также условия возникновения и роста пустот. На рис. 6.15 показаны рассчитанное поле пластических деформаций и находящаяся у вершины макротрещины зона значительных деформаций, в которой происходит интенсивное образование пустот.
В табл. 6.2 приведены расчетные значения трех параметров сопро-
Таблица 6.2. Сравнение рассчитанных и измеренных параметров сопротивления развитию трещины
Рассчитано в данной работе Экспериментальные данные
Критическая удельная энергия разрушения при плоской ’деформации и разрушении раскрытием J, МДж/м2 0,45 0,23-0,43
Раскрытие трещины 5Г, см 0,084 0,035-0,072
Половина угла раскрытия трещины, град 54 *
** Измеренные значения этой величины высоки и не могут быть хорошо определены на начальной стадии расширения трещины Постоянное значение 11-17° достигается после того, как трещина продвинется на несколько миллиметров
292
Глава 6
тивления развитию трещины в точке, где объем пустот в одной ячейке п достиг 1% (начало роста макротрещины), и для сравнения экспериментальные значения из работ [29, 30]. Предсказываемое по модели микроразрушений сопротивление разрушению лишь слегка превосходило диапазон экспериментальных измерений, что говорит о возможности расчета параметров сопротивления развитию трещины по моделям кинетики микропустот.
6.4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При описании разрушения твердого тела с образованием большого числа пустот, трещин хрупкого отрыва или полос сдвига возможен микростатистический подход. Этот подход представляется многообещающим для многих динамических и квазистатических задач, в которых неприменима классическая механика разрушения. Одно из достоинств микростатистического подхода - более тесная связь кинетики разрушения с микроструктурными переменными.
Однако приведенные примеры построения определяющих соотношений показывают, что модели такого рода неизбежно сложны. Таким образом, более глубокое понимание достигается ценой возрастающей сложности. С другой стороны, углубленное понимание позволяет использовать упрощенные подходы с большим доверием в тех случаях, когда они справедливы. Например, в тех случаях, когда конструктор желает полностью избежать повреждений, необходимо учитывать только пороговые критерии появления повреждений.
В заключение можно сказать, что разрушение является результатом многих микроскопических быстропротекающих процессов, но каждый из них можно исследовать аналитически и промоделировать. Эти модели при использовании современных ЭВМ обещают сделать разрушение понятным и предсказуемым явлением.
ЛИТЕРАТУРА
1. Barbee Т. W., Jr., Seaman L., Crewdson R., Curran D., J. Mater., 7, 3, 393 (1972).
2. Barbour T.G., Maxwell D.E., Young C. (1980), Numerical Model Developments for Stimulation Technologies in the Eastern Gas Shales Project, Science Applications, Inc., for DOE/METC.
3. BatdorfS. B., Nuclear Eng. Des., 35, 349 (1975).
4. Carroll M, Holt A. C., J. Appl. Phys., 42, 759 (1972).
5. Clifton R.J., in Materials Response to Ultra-High Loading Rates, W. Herrmann (Ed.), National Materials Advisory Board, Rpt No. NMAB-356, 1980.
n Размер ячейки выбирается так, чтобы в ячейке было несколько включений; таким образом, модель поведения материала содержит характерную для нее шкалу размеров.
Динамическое разрушение
293
6. Curran D. R., Shockey D. A., Seaman L., Austin M., Mechanisms and Models of Cratering in Earth Media, in Proceedings of the Symposium on Planetary Cratering Mechanics - Impact and Explosion Cratering, Pergamon Press, N.Y., p. 1057, 1977.
7. Curran D. R., Seaman L., Shockey D.A., Dynamic Fracture, in Proceedings of the UCLA Short Course on Impact Dynamics, University of California, Los Angeles, 1980.
8. Davison L., Stevens A. L., J. Appl. Phys., 44, 2, 668 (1973).
9. Dienes J. K., Los Alamos Scientific Laboratory Annual Rpt, LA-8104-PR, 1979.
10. Erlich D.C., Seaman L., Shockey D. A., Final Rpt for U. S. Ballistic Research Laboratory, Contract DA A DOS-76-C-0762, 1980.
11. Goods S. H., Brown L. M., Acta. Met., 27, 1 (1979).
12. Grady D. E., Kipp M.E., Int. J. Rock Meeh. Min. Sci. Geom. Abstr., 17, 147 (1980).
13. Johnson J. N., Los Alamos Scientific Laboratory Annual Rpt, LA-8104-PR, 1978.
14. Liebowitz H. (Ed.), Fracture, Vols. I-VII, Academic Press, N. Y., 1968. [Имеется перевод: Разрушение/Под ред. Г. Либовица, т. 3, Инженерные основы и воздействие внешней среды-М.: Мир, 1976; т. 7. Разрушение неметаллов и композиционных материалов: В 2-х частях-М.: Мир, 1976.]
15. Love А.Е. Н., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, Cambridge University Press, London, 1906, p. 142.
16. McClintock F. A., Fracture Mechanics of Ceramics, Vol. 1, Plenum^ Press, N. Y., 1973.
17. McHungS. L., DeCarliP. S., Keogh D.D., SRI Quarterly Rpts 1 and 2 for Contract No. DE-AC21-79MC11577, for Dept, of Energy, Morgantown Energy Technology Center, 1980.
18. McMeeking R., Parks D. M., Paper presented at ASTM Symposium on Elastic-Plastic Fracture, Atlanta, GA, 1977.
19. Raj R., Acta Met., 26, 995 (1978).
20. Raj R., Ashby M.F., Acta Met., 23, 653 (1975).
21. Rice J. R., Theoretical and Applied Mechanics, North-Holland, 1976, p. 207.
22. Rice J. R., Tracey D. M., J. Meeh. Phys. Solids, 17, 202 (1969).
23. Schmidt R., Worpinski N., Northrup D., Proc. 3rd Eastern Gas Shales Symposium, METC/AP-J9/6, U.S. Dept, of Energy, Morgantown Energy Technology Center, 1979.
24. Schmidt R. A., Worpinski N. R., Cooper P. W., Paper presented at Society of Petroleum Engineers Meeting, Pittsburgh, PA, 1980.
25. Seaman L., Curran D. R., TROTT Computer Program for Twodimensional Stress Wave propagation, SRI International Final Rpt for U. S. Army Ballistic Research Laboratory, Aberdeen Proving Ground, MD, 1978.
26. Seaman L., Curran D. R., Shockey D. A., J. Appl. Phys., 47,' 4814 (1976).
27. Seaman L., Curran D.R., Crewdson R. C., J. Appl. Phys., 49, 10, 5221 (1978).
28. SeamAn L., SRI Rpt PLTR 001-80, 1980.
29. ShihC. F, et al., EPRI Special Rpt NP-701-SR, 1978.
30. Shih C. F., Paper presented at OECD-CSNI Specialist Meeting, Washington University, St. Louis, MO, Sept., 1978.
31. Shockey D.A., Curran D. R., Seaman L., in Metallurgical Effects at High Strain Rates, Plenum Press, N. Y., 1973, p. 473.
32. Shockey D. A., Curran D. R., Seaman L., Rosenberg J. T., Petersen C. F., Int. J. Rock Meeh. Sci. Geom. Abstr., 11, 303, (1974).
33. Shockey D. A., Seaman L., Curran D. R., in Nonlinear and Dynamic Fracture Mechanics, AMD, Vol. 35, ASME, N. Y., 1979.
34. Tvergaard V., Technical University of Denmark Rpt No. 159, 1979.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода.................................... 5
Предисловие....................................................... 7
Глава 1. Разрушение композитных материалов при ударах с малыми скоростями. Лонгин Б. Грещук......................................... 8
1.1. Разработка теории............................................ 8
1.1.1. Распределение давлений................................... 9
1.1.2. Продолжительность удара................................. 20
1.1.3. Внутренние напряжения, порождаемые ударным давлением 23
1.1.4. Критерии разрушения..................................... 27
1.2. Приложения теории........................................... 29
1.2.1. Влияние свойств волокон и заполнителя................... 29
1.2.2. Влияние толщины мишени.................................. 32
1.2.3. Влияние ориентации волокон .’........................... 33
1.2.4. Влияние кривизны мишени................................. 36
1.3. Экспериментальные исследования.............................. 36
1.3.1. Экспериментальная установка и измерительные средства . . 37
1.3.2. Наблюдаемые в экспериментах формы разрушения .... 38
1.3.3. Заключение.......................................... 45
Литература........................................................... 45
Глава 2. Упругопластические волны напряжений. Теодор Николас .... 47
2.1. Волны одноосных напряжений в длинных стержнях............... 48
2.1.1. Анализ по теории с не зависящим от скорости деформации уравнением состояния................................... 48
2.1.2. Метод характеристик..................................... 54
2.1.3. Экспериментальные исследования.......................... 58
2.1.4. Анализ по теории с зависящим от скорости деформации уравнением состояния....................................... 63
2.1.5. Экспериментальная проверка теории....................... 67
2.1.6. Замечания о плато деформации............................ 69
2.1.7. Чувствительность уравнений к результатам экспериментальных наблюдений............................................. 72
Оглавление
295
2.1.8. Другие модели среды................................... 78
2.2. Волны одноосных деформаций................................ 85
2.2.1. Введение.............................................. 85
2.2.2. Теория................................................ 86
2.2.3. Сравнение с данными при одноосном напряжении .... 93
2.2.4. Интерпретация экспериментальных данных................ 96
2.3. Волны напряжений в других телах........................... 98
2.3.1. Волны в струнах и проволоках.......................... 98
2.3.2. Распространение волн в балках.......................... 101
2.3.3. Волны двухосных напряжений............................. 103
Литература........................................................ 106
Глава 3. Проникание и пробивание твердых тел. Джонас А. Зукас ... ПО
3.1. Проникание и пробивание.................................... 112
3.1.1. Физические процессы в соударяющихся телах..........- . 117
3.1.2. Экспериментальные методы..............................122
3.2. Аналитические модели..................................... 139
3.2.1. Проникание в полубесконечные мишени.................. 141
3.2.2. Проникание в мишени конечной толщины................. 145
Приложение А. Вычисление остаточной скорости при пробивании мишени длинными стержнями................................................ 154
А.1. Предыстория и разработка методики...................... 154
А.2. Модель................................................. 159
Приложение Б. Параметры, влияющие на предельную баллистическую скорость ............................................................ 160
Б.1. Влияние твердости материала на предельную баллистическую скорость............................................... 160
Б.2. Влияние угла рыскания при соударении................... 163
Б.З. Влияние плотности...................................... 164
Б.4. Влияние формы передней части снаряда................... 165
Б.5. Влияние удлинения снаряда.............................. 166
Литература.........................................................168
Глава 4. Механика соударения со сверхвысокими скоростями. Хэлдок Ф. Свифт.......................................................... 173
4.1. Механика сверхвысокоскоростного проникания............... 174
4.1.1. Проникание в толстые мишени.......................... 174
4.1.2. Проникание в мишени средней толщины ................. 179
4.1.3. Пробивание тонких пластин............................ 182
4.2. Установки для метания тел со сверхвысокими скоростями ... 189
4.2.1. Многоступенчатые легкогазовые пушки.................. 189
4.2.2. Взрывное метание..................................... 191
4.2.3. Электромагнитные ускорители.......................... 194
Обозначения...................................................... 196
Литература........................................................ 197
Глава 5. Поведение материалов при высоких скоростях деформации. Теодор Николас........................................................... 198
5.1. Динамические испытания................................... 200
5.1.1. Математическое описание поведения материалов..........200
296
Оглавление
5.1.2. Одноосные испытания при высоких скоростях деформаций 203
5.1.3. Испытания при средних скоростях деформаций........205
5.1.4. Экспериментальное исследование распространения волн . . 207
5.2. Разрезной стержень Гопкинсона.........................208
5.2.1. Теория.................................................. 209
5.2.2. Аппаратура и калибровка..................................211
5.2.3. Испытания на растяжение................................. 212
5.2.4. Другие варианты стержня Гопкинсона.......................217
5.2.5. Аналитическое исследование метода стержня Гопкинсона . . 222
5.3. Другие экспериментальные методы.......................229
5.3.1. Цилиндр Тейлора......................................... 229
5.3.2. Расширяющееся кольцо.....................................233
5.3.3. Динамические испытания на сдвиг..........................234
5.3.4. Испытания на копре.......................................235
5.3.5. Испытания на динамический изгиб..........................236
5.4. Экспериментальные результаты.......................... 238
5.4.1. Общие замечания................................... 238
5.4.2. Испытания в условиях двухосного нагружения........242
5.4.3. Влияние истории процесса по скорости деформации .... 243
5.4.4. Модели материала..................................248
Литература..................................................... 251
Глава 6. Динамическое разрушение. Дональд Р. Курран............257
6.1. Экспериментальные исследования кинетики микропустот . . . 259
6.2. Моделирование явления разрушения......................264
6.2.1. Моделируемые процессы................................... 264
6.2.2. Численное моделирование................................. 267
6.3. Примеры приложений....................................268
6.3.1. Осколочные снаряды...................................... 268
6.3.2. Разрушение геологических материалов..................... 277
6.3.3. Квазистатическое пластическое разрушение металлов . . . 286
6.4. Заключение............................................ 292
Литература..................................................... 292
Оглавление.....................................................294
ДИНАМИКА УДАРА Джонас А. Зукас, Теодор Николас, ХэллокФ. Свифт, Лонгин Б. Грещук, Дональд Р. Курран
Старший научный редактор О Н Вишнякова Младший научный редактор Ю Л. Евдокимова. Художник Г А Шипов Художественный редактор Н М Иванов
Технический редактор Н И Борисова Корректоры Н В Андреева, Е В Морозова ИБ № 5117
Сдано в набор 1412 84 Подписано к печати 26 06 85 Формат 60 х 90*/lfo Бумага офсетная № 1 Гарнитура тайме Печать офсетная 9,25 бум л Усл печ л 18,50 Уч-изд л 19,16 Усл кр отт 37.26 Изд № 20/3905 Тираж 3850 экз Зак 1239 Цена 2 р 90 кол
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва, 1-й Рижский пер, 2
Можайский полиграфкомбинат Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
143200, г Можайск, ул Мира, 93