Text
APPLIED
NONSTANDARD
ANALYSIS
MARTIN DAVIS
Courant Institute of Mathematical Sciences
New York University
A W1LEY-1NTFRSCIENCE PUBLICATION
JOHN WILEY к SONS \ew York-London Sydney Toronto
1977
М, ДЕВИС
ПРИКЛАДНОЙ
НЕСТАНДАРТНЫЙ
АНАЛИЗ
Перевод с английского
С. Ф. СОПРУНОВА
под редакцией
и с предисловием
В. А. УСПЕНСКОГО
Издательство «Мир»
Москва 1980
УДК 517.11
Книга посвящена актуальному, но совершенно
недостаточно освещенному в монографической ли-
литературе разделу математической логики — теории
нестандартных моделей математического анализа.
Этот раздел представляет фундаментальный обще-
математнческий интерес, так как позволяет по-
новому взглянуть на логические основы анализа,
заложенные еще Лейбницем и Ньютоном. Изложе-
Изложение очень отчетливое и не требует специальных
знаний.
Книга рассчитана на математиков различных
специальностей, аспирантов и студентов универ-
университетов.
Редакция литературы по математическим наукам
1702050000
20204-003
Д 041 @1)-80
3-80
Copyright © 1977 by John Wiley & Sons, Inc.
All Rights Reserved. Authorized translation from
English language edition published by John Wiley
& Sons, Inc. 1977
\§) Перевод на русский язык, «Мир», 1980
О НЕСТАНДАРТНОМ АНАЛИЗЕ
1. Читатель, нашедший в серьезной научной монографии
описание эндокринных систем грифонов и единорогов или
химических реакций между философским камнем и флогисто-
флогистоном, будет, наверное, несколько ошарашен. А ведь отдельные
страницы сочинений по нестандартному анализу — в том числе
и предлагаемой книги М. Девиса — могут произвести на не-
неподготовленного читателя (впрочем, достаточно подготовлен-
подготовленного, но именно в области обычной, стандартной математики)
сходное впечатление.
Приведем несколько примеров.
Пример пе р вый —вычисление производной для функ-
функции у = х2. Производная равна отношению бесконечно малого
приращения функции (dy) к бесконечно малому приращению
аргумента (dx). Итак, берем бесконечно малое число dx;
в нашем случае dy = (x + dxJ—x2 = 2xdx-j- (dxJ. Далее
2 d
dx dx -tx^ax, (i)
но, поскольку dxttO (здесь и в дальнейшем запись „а«О"
означает бесконечную малость а), этим dx можно пренебречь,
и искомая производная равна 2х.
Пример второй—доказательство равномерной непре-
непрерывности функции, непрерывной на отрезке. Непрерывность
функции / в точке х означает, что для любой бесконечно
близкой к ней точки х значение /(х') бесконечно близко
к f(х)\ иначе говоря, для всякого х'
(x')&f(x), B)
где запись amf> означает бесконечную близость чисел аир.
Поскольку по условию / непрерывна в каждой точке х, то
B) выполняется для всех х и всех х'. Таким образом, беско-
бесконечная близость любых двух аргументов влечет за собой бес-
бесконечную близость значений функции, а это и означает равно-
равномерную непрерывность.
Пример третий—определение риманова интеграла
ь
\ f(x) dx для непрерывной функции /. Разбиваем отрезок [а, Ь]
6 Предисловие редактора перевода
на бесконечно большое число Н частей бесконечно малой
длины dx. Рассматриваем бесконечную сумму
a + (H—l)dx)dx. C)
2
Представляем эту сумму в виде S + e, где S—действительное
число, а е«0. Число S и есть искомый интеграл.
Пример четвертый — построение неизмеримого мно-
множества. Каждое действительное число х, удовлетворяющее
неравенству О^лг^1, разлагаем в бесконечную двоичную
дробь; для обеспечения однозначности запрещаем разложения
с бесконечным числом идущих подряд единиц. Фиксируем
произвольное бесконечно большое натуральное число v и от-
отбираем те действительные числа, у которых v-й член разло-
разложения равен единице; множество всех отобранных таким обра-
образом действительных чисел не измеримо по Лебегу.
Пример пятый — разложение синуса в бесконечное про-
произведение. Отправляясь от равенства
«e*=(l+-£-)', D)
где / означает бесконечно большое число» (от латинского
"infinitus", что значит „бесконечный"; не путать с обозначением
мнимой единицы, происходящим от латинского же "imagina-
rius" — „воображаемый"), «рассмотрим выражение
Далее, используем делимость двучлена а"—г" на трехчлены
2& / х \
вида а2 — 2azcos — n + z2, причем полагаем а=A+ —J,
z = ( 1 —2~ ) > " = i- «Так как дуга у л бесконечно мала, то
2k Ik2
COS — Л = 1 ^- Л2». F)
Поэтому «функция ех—е~х будет делиться на I+tf-г—"г '
ft Tt t
X*
где член — может быть опущен без опасения, потому что
даже после умножения на i он останется бесконечно малым.
Кроме того, .. . первый множитель будет равен х. Вследст-
О нестандартном анализе
вие этого, после расположения этих множителей по порядку,
будет
ех—е-х
Делая в тождестве G) подстановку х = г Y—1. получаем окон-
окончательно
(^)(^)(^).. (8)
Студент-математик, ответ которого на экзамене по мате-
математическому анализу содержал бы пересказ любого из изло-
изложенных примеров, надо думать, получил бы двойку. Однако
способ вычисления производной, указанный в примере 1,
содержится ниже в § 2—7 (так мы ссылаемся на § 7 второй
главы) данной книги, примеры 2 и 4 прямо заимствованы
с ее страниц (теорема 5.8 в гл. 2 и § 2—9), а определение
интеграла взято с несущественными изменениями из учебника
Кейслера „Элементарный анализ", упомянутого в примечании,
предпосланном списку литературы в конце книги. Пример 5
воспроизводит рассуждения Эйлера, содержащиеся в § 155—158
первого тома его сочинения "Introductio in Analysin infinito-
rum", опубликованного в 1748 г.1' Текст, взятый при изло-
изложении примера 5 в кавычки, принадлежит непосредственно
Эйлеру; заключительная формула (8) есть знаменитая формула
Эйлера для синуса, верная при любом комплексном г.
Если пример 1 хотя и может шокировать нас наивной не-
нестрогостью, но все же в известной мере соответствует интуи-
интуиции, то пример 2 противоречит на первый взгляд именно
здравому смыслу, остается непонятным, почему проведенное
рассуждение нельзя применить не к отрезку, а, скажем,
к интервалу, для которого, как известно, теорема о равно-
равномерной непрерывности неверна. Примеры 3 и 5 (если не знать,
что последний принадлежит Эйлеру) производят еще более
странное впечатление, а пример 4 представляется просто-на-
просто-напросто абракадаброй.
Нестандартный анализ, однако, почти сплошь состоит из
подобной „абракадабры", имеющей в нем точный математи-
математический смысл. Он позволяет, в частности, с новой точки зрения
посмотреть на многие рассуждения классиков математического
анализа, кажущиеся нестрогими, но приводящие к успеху, и
ч Русский перевод с латинского. Эйлер Л, Введение в анализ беско-
бесконечных, г. I, изд 2-е,— М , 1961.
8 Предисловие редактора перевода
путем относительно небольших уточнений сделать их удовле-
удовлетворяющими современным критериям строгости.
2. Один из наиболее принципиальных моментов нестан-
нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно малые рас-
рассматриваются не как переменные величины (т.е. не как функ-
функции, стремящиеся к нулю,— как учат нас современные учеб-
учебники), а как величины постоянные. Уместно отметить, что
такой подход хорошо согласуется как с интуицией естествоис-
естествоиспытателя, так и с реальной историей зарождения матема-
математического анализа. Что касается интуиции, то достаточно
раскрыть любой учебник физики, чтобы натолкнуться на бес-
бесконечно малые приращения, бесконечно малые объемы и т. п.
Все эти величины мыслятся, разумеется, не как переменные,
а просто как очень маленькие, почти равные нулю. Было бы
неправильным считать подобного рода интуицию присущей
лишь авторам учебников физики. Вряд ли какой-либо мате-
математик воспринимает (наглядно) элемент дуги ds иначе, чем
„очень маленькую дугу". Любой математик, составляя соответ-
соответствующее дифференциальное уравнение, скажет, что за беско-
бесконечно малое время At точка прошла бесконечно малый путь Ах,
а количество радиоактивного вещества изменилось на беско-
бесконечно малую величину AN.
Что же касается истории математического анализа, то
в наиболее явной форме излагаемый подход проявился у од-
одного из основоположников этой науки —у Лейбница. Скоро —
в 1984 г.— исполнится 300 лет с того дня, как символы dx
и dy впервые появились на страницах математических публи-
публикаций, а именно в одной статье Лейбница. Именно Лейбниц
яснее других ощущал бесконечно малые величины постоянными
(хотя, скорее всего, воображаемыми, идеальными) величинами
особого рода — и именно Лейбниц сформулировал правила опе-
оперирования с бесконечно малыми в виде исчисления.
Попытаемся, рассуждая наивно, изложить идеи Лейбница
на современном языке. Допустим, что наряду с обычными
действительными числами существуют еще и бесконечно малые
числа. Положительное бесконечно малое число больше нуля,
но меньше всякого положительного действительного числа.
Мы рассматриваем, таким образом, новую, расширенную чи-
числовую систему, состоящую как из старых, стандартных чисел,
так и из новых, нестандартных; среди последних находятся
бесконечно малые. Мы хотим, чтобы с элементами расширенной
числовой системы можно было обращаться как с обычными
числами (в этом одна из основных черт замысла Лейбница!),
прежде всего сравнивать их по величине и совершать над
ними арифметические действия. В таком случае следует при-
О нестандартном анализе
знать, что наряду с бесконечно малыми числами существуют
и бесконечно большие (бесконечно большим является резуль-
результат деления стандартного числа на бесконечно малое) и что
для каждого стандартного числа а существует окрестность бес-
бесконечно близких к нему нестандартных чисел вида а+ 8, где
б»0; из уважения к Лейбницу эта окрестность называется
монадой числа а. Если е бесконечно мало, но отлично от
нуля, то таковы же и —, 2е, е2 и т. п.; это другие, отлич-
отличные от е бесконечно малые, причем е2 — бесконечно малая более
высокого, чем е, порядка. Стандартные (действительные) числа
вместе с нестандартными образуют систему гипердействитель-
гипердействительных чисел *R, являющуюся упорядоченным полем. Гипердей-
Гипердействительное число а может быть конечным (если | а | < с для
некоторого действительного с) или бесконечным. Для каждого
конечного гипердействительного числа а, очевидно, существует
единственное бесконечно близкое к нему действительное число;
это последнее число называется стандартной частью числа а
и обозначается st(a), или "а. Если a£R, то st(a) = a.
Таким образом, цепочка вложений NczZcQcR (где, как
обычно, N— натуральный ряд, Z—множество всех целых,
Q—множество всех рациональных и R — множество всех дей-
действительных чисел) получает продолжение в виде вложения
Rd"R. Принципиально новое свойство поля "R состоит в его
неархимедовости. Как известно, упорядоченное поле (и, вообще,
кольцо) называется архимедовым, если для любых его поло-
положительных элементов а и b найдется такое натуральное п,
что па > Ь. Но если a£*R, a»0, то при любом п £ N будет
па < \,na<Cjjr^ и, вообще, па < b для любого положитель-
ного действительного Ь. Поэтому нестандартный математичес-
математический анализ —по крайней мере анализ на гипердействительной
оси —можно было бы называть неархимедовым математическим
анализом.
Мы оставляем пока в стороне вопрос о существовании •/?,
а занимаемся тем, что в геометрических задачах на построение
называется анализом: предположив, что требуемое построение
осуществлено, исследуем свойства построенной фигуры. Суще-
Существование поля *R мы обсудим в разд. 3.
Мы можем теперь пересмотреть наше отношение к изло-
изложенным в разд. 1 примерам. Пример 1 становится совершенно
корректным, если только дополнить правило вычисления про-
производной требованием перехода на заключительной стадии
к стандартной части: stBx-\-dx) = 2x, коль скоро производная
вычисляется в стандартной точке х. На уровне интуиции наши
возражения против примера 2 сводились к тому, что неявно,
10 Предисловие редактора перевода
где мы использовали компактность области определения функ-
функции. С целью прояснения ситуации попробуем применить наши
рассуждения, скажем, к функции — на интервале @, 1). Ока-
Оказывается, что — не непрерывна на @, 1), если рассматривать
этот интервал как интервал гипердействительной прямой *R;
в самом деле, эта функция не непрерывна в любой точке а,
удовлетворяющей условиям а»0, афО: ведь не для всякого х
выполняется утверждение лгл;а=> — да— (достаточно взять
х = -^\. Точно так же функция х2 не будет непрерывна в бес-
бесконечно большой точке v (см. пример 2 на стр. 138). Разу-
Разумеется, можно доказать, что использованные в нашем при-
примере 2 нестандартные — в терминах бесконечно малых величин—
определения непрерывности и равномерной непрерывности
равносильны обычным (стандартным) — см. теоремы 5.4 и 5.7
в гл. 2.
Критическому разбору примеров 3—5 необходимо предпо-
предпослать дополнительную информацию, относящуюся к нестан-
нестандартному анализу. Начнем со следующего очевидного замечания:
при последовательном переходе от натуральных чисел к целым,
далее к рациональным и действительным соответствующим
образом расширяются области определения арифметических
операций — сложения, умножения, вычитания, деления, возве-
возведения в степень, извлечения квадратного корня и т. п.; новые,
расширенные операции на R принято называть теми же сло-
словами („сложение", „умножение") и обозначать теми же значками
(,.+"> »•")> что и исходные, определенные на N. Аналогично
поступают и при переходе к гипердействительным числам: без
каких-либо специальных оговорок мы рассматривали выше
определенные на *R функции х + у, —, х1. Однако в нестан-
нестандартной теории появляется более общий, принципиально новый
эффект, составляющий существеннейшую ее черту: каждая
определенная на R операция (а не только сложение, умноже-
умножение и т. п.) обладает естественным продолжением на *R, при-
причем это естественное продолжение сохраняет все существенные
свойства исходной операции (например, сложение на *R —
продолжение на *R операции сложения, определенной на R,—
остается коммутативным). Более того, сохраняющее основные
свойства естественное продолжение существует для любой
функции из R" bR (а не только для операций, т. е. всюду
определенных функций); естественным продолжением такой
функции служит некоторая функция из (*R)" в *R. Мы не
располагаем здесь возможностью точно перечислить список
О нестандартном анализе 11
тех свойств, которые должны сохраняться при естественном
продолжении; достаточно сказать, что эти свойства опреде-
определяются синтаксически, т. е. в терминах способности быть
выраженными на подходящем точно очерченном логико-мате-
логико-математическом языке. Естественное продолжение функции / удобно
обозначать тем же символом f — как это делается, например,
в случае операции +.
Если, в частности, в качестве / взять характеристическую
функцию натурального ряда N, т. е. функцию, задаваемую
равенствами /(л;)=1 при x£N и /(л:) = 0 при x£R\N, то
можно рассмотреть ее естественное продолжение на *R. Отби-
Отбирая те гипердействительные числа, для которых значение f
равно 1, мы приходим к некоторому множеству *Nr)N. Это
*jV естественно назвать гипернатуральным рядом, а его эле-
элементы—гипернатуральными числами. Устройство гипернату-
гипернатурального ряда — надо сказать, достаточно экзотическое — опи-
описывается ниже на стр. 66—68. Здесь мы заметим только, что
понятие бесконечно большого натурального (точнее — гипер-
гипернатурального) числа (такие числа заполняют собою разность
*jV\jV) позволяет дать весьма изящное определение предела
и предельной точки числовой последовательности: точка яв-
является пределом (соответственно, предельной точкой) последо-
последовательности sn тогда и только тогда, когда \sn—с|«?0 для
всех (соответственно, хотя бы одного) n£*N\N (см. теоре-
теоремы 5.1 и 5.3 в гл. 2).
Конструкции примеров 3 и 4 приобретают теперь точный
смысл. Упоминаемые в них бесконечно большие числа — это
элементы гипернатурального ряда *jV. Бесконечная сумма
Н-1
F (dx) = 2^ f (a + idx) dx, где Я = —т-^, есть не что иное, как
1 = 0
значение (в точке dx) естественного продолжения функции F,
заданной равенством F (Ля) = ^ / (я + i Ля) Ах, где ^ = -т—•
1=0
Член с индексом v £ *jV двоичного разложения действительного
числа х —это не что иное, как s(v), где s(n) при n£N есть
п-й член разложения. Пример 5 разбирается на стр. 64—65
статьи [7]; там разъясняется, как ход рассуждений Эйлера
становится корректным (с современной точки зрения) в свете
нестандартного анализа.
3. В отличие от N, Z, Q и R множество гипердействитель-
гипердействительных чисел *R неединственно —в том смысле, что существует
много различных (неизоморфных!) упорядоченных полей *R,
обладающих нужными нам качествами, и не видно никакого
способа выбрать какое-нибудь из них в качестве наилучшего,
12 Предисловие редактора перевода
или „истинного" упорядоченного поля гипердействительных
чисел.
Существование поля *R (точнее — одного из таких полей),
т. е. неархимедова расширения поля R, причем такого, для
которого верен принцип естественного продолжения опреде-
определенных на R функций, выводится (в гл. 2 данной книги) из
общих построений гл. 1. Поскольку, однако, гл. 1 в ее полном
объеме представляет наибольшие трудности для читателя, не
занимавшегося математической логикой (хотя, как справедливо
указывает автор, не требует предварительных знаний), мы
вкратце коснемся вопроса о существовании *R в настоящем
предисловии.
Существование множества *R может быть обосновано двумя
способами. Первый способ состоит в применении основных
теорем математической логики, а именно теорем компактности
или полноты для узкого исчисления предикатов. Эти теоремы
гарантируют в определенных ситуациях существование так
называемых моделей — т. е. математических структур, удовлет-
удовлетворяющих заданным аксиомам.
Второй способ состоит в прямой (хотя также принципиаль-
принципиально неоднозначной) конструкции. Получение этим способом *R
из R в какой-то мере аналогично получению каждого из мно-
множеств цепочки NzzZczQczR из предыдущего. В самом деле,
целое число можно рассматривать как класс эквивалентных
пар натуральных чисел, рациональное — как класс эквивалент-
эквивалентных пар целых чисел, действительное — как класс эквивалент-
эквивалентных фундаментальныхu последовательностей рациональных
чисел.
Конструкция, приводящая к *R, такова. Фиксируется не-
некоторое бесконечное множество индексов / и рассматриваются
всевозможные отображения / в R, т. е., согласно термино-
терминологии § 1 — 1, индексированные семейства действительных
чисел с множеством индексов /. В простейшем частном случае
/ = yV, таким образом, рассматриваемые семейства суть просто
последовательности действительных чисел. Далее, на / фик-
фиксируется некоторый нетривиальный ультрафильтр (см. § 1—2
данной книги) и два семейства X и X' объявляются эквива-
эквивалентными, коль скоро множество {i£ I |X; = X;} принадлежит
ультрафильтру. В случае I = N, таким образом, две последо-
последовательности <а0, alt а2, ...> и <а'о, a[, а'2, ...> действитель-
действительных чисел объявлются эквивалентными, если множество тех i,
для которых al = a'c принадлежит заданному (произвольному,
но фиксированному) ультрафильтру. Класс эквивалентных
11 В данной книге такие последовательности называются последователь-
последовательностями Коши (см. § 3—5).
О нестандартном анаише 13
последовательностей (в общем случае — эквивалентных семейств)
объявляется гипердействнтельным числом. Действительное
число а отождествляется с классом последовательностей, экви-
эквивалентных стационарной последовательности <й, а, а, ...>.
Порядок на последовательностях вводится так: {ап\ < {а'п\ коль
скоро {г | ах < а\) принадлежит заданному ультрафильтру.
Итак, возникает упорядоченное множество *R^dR. В нем вы-
выделяются бесконечно малые элементы (таковы, например,
классы, задаваемые последовательностями /1,-^-,-г-, -у»---)
и ( 1. Т ' "9"' Ть '■'')' пРичем вт0Рая задает бесконечно малый
элемент более высокого порядка, чем задаваемый первой) и
бесконечно большие элементы (например, классы, представлен-
представленные последовательностями <1, 2, 3, . . .> и <1, 4, 9, ...>). Любая
функция / из R в R естественно продолжается до функции
из *R в *R: если x£*R есть класс эквивалентности, пред-
представленный последовательностью <a0, alt a2, ...>, то / (х) есть
класс эквивалентности, представленный последовательностью
</(ао)> /(ai). /(аг)> •••>• Аналогично поступают с функциями
многих переменных. В частности, если л £ *R и х' £ *R суть
соответственно классы эквивалентности последовательностей
<а0, аг, а2, ...> и <а'й, а'и а'2, ...>, то л-j-x' и х-х' суть со-
соответственно классы эквивалентности последовательностей
<ао+а'о, аг + О1, аг + а'г, ...> и <ао-а'о, a^a[, a2-a'2, ...>.
(В случае произвольного множества индексов все построения
совершенно аналогичны.) Можно проверить, что *R вместе
с описанной процедурой естественного продолжения функций
обладает всеми нужными свойствами. Неоднозначность построе-
построения *R вызвана произволом как в выборе /, так и в выборе
нетривиального ультрафильтра на /. Если выбор / еще можно
сделать определенным, полагая, например, l = N, то прин-
принципиальная неоднозначность в выборе ультрафильтра неустра-
неустранима: нетривиальные ультрафильтры строятся с помощью
аксиомы выбора или других подобных ей неэффективных фор-
формулировок, и потому у нас нет средств указать какой-либо
конкретный нетривиальный ультрафильтр.
Таким образом, рассуждая о *R, мы, строго говоря, не
знаем, с каким именно *R мы имеем дело. (Подобная ситуа-
ситуация не слишком уникальна: ведь и поле R задается всего
лишь с точностью до изоморфизма.) Это, однако, не страшно,
поскольку делаемые в нестандартном анализе утверждения
одинаково справедливы для любого из допустимых *Rl).
1( Можно сказать, что *# задается в известном смысле однозначно —
а именно в том точном смысле, что с помощью рассматриваемых утвержде-
утверждений различные *R не могут быть различены.
14 Предисловие редактора перевода
В последней фразе содержалось, впрочем, несколько не-
неопределенное слово „утверждение". Разумеется, при развитии
строгой теории это слово должно быть уточнено — что и дела-
делается с помощью математической логики. В частности, должно
быть уточнено, о каких объектах высказываются утвержде-
утверждения. Простейший и наиболее естественный класс утвержде-
утверждений— это утверждения об элементах *R, об отдельных под-
подмножествах *R и об отдельных функциях с аргументами и
значениями в *R. Именно для такого класса утверждений вы-
выполняется основной тезис предыдущего абзаца: всякое утверж-
утверждение, верное для одного поля •/?, верно и для другого.
Однако можно рассматривать и более сложные утвержде-
утверждения— утверждения о множествах функций и множествах под-
подмножеств *R и т. д. Для подобных утверждений об объектах
возрастающей сложности сформулированный только что тезис
перестает быть верным.
Постараемся кратко (и, по необходимости, огрубленно) про-
прояснить, насколько возможно, ситуацию. Можно рассмотреть
шкалу, или башню, объектов возрастающей сложности. На
нижнем уровне (этаже) находятся действительные числа, на
первом уровне — множества действительных чисел, на вто-
втором— множества таких множеств и т. д. Мы требовали,
чтобы при переходе от R к *R сохранялись основные свой-
свойства объектов нижнего уровня (в частности, чтобы с R на */?
переносились и отношение порядка, и алгебраические опера-
операции). Можно требовать большего, а именно, чтобы сохраня-
сохранялись свойства объектов и более высоких уровней; тогда запас
допустимых *R будет сокращаться — тем больше, чем к более
высокому уровню относятся наши требования. Построение та-
таких полей *R, в которых сохраняются свойства более слож-
сложных объектов, требует, естественно, и более сложных кон-
конструкций. В предлагаемой книге строится такое поле гипер-
гипердействительных чисел *R, в котором сохраняются свойства
объектов всех уровней (из шкалы, надстроенной над R). Вряд ли
нужно прибавлять, что само понятие „свойство" надлежащим
образом уточняется. Однако уточнению подлежит и наше по-
понимание того, что означают слова „свойства сохраняются". Дело
в том, что хотя нестандартным аналогом поля R служит поле *R,
нестандартным аналогом, скажем, понятия функции на R ока-
оказывается не понятие функции на *R, как можно было бы думать,
а понятие так называемой внутренней функции на *R (тако-
(таковыми заведомо будут естественные продолжения всевозможных
функций на R); поэтому свойство, верное для всех функций
на R, не обязано, вообще говоря, оставаться верным для всех
функций на *R, но лишь для всех внутренних функций. За
О нестандартном анализе 15
более точными формулировками мы отсылаем читателя к тек-
тексту книги.
4. Построение поля *R возможно осуществить в рамках
даже еще более общей конструкции, чем конструкции, упомя-
упомянутые в конце предыдущего раздела. Эта более общая кон-
конструкция такова. Для произвольного множества индивидов S
рассматривается надстроенная над ним так называемая супер-
суперструктура, т. е. система множеств S, задаваемая равенствами
50 = 5, Sl+i = S,US>(St), 5 = 50и51и52и...,где ^(SJ-мно-
^(SJ-множество всех подмножеств множества St. На 5 определяется
некоторое специальное отображение, относящее каждому эле-
элементу а £ S его так называемый „образ в нестандартном уни-
универсуме". В случае, если R^S, образом R оказывается поле
(т. е. одно из полей) гипердействительных чисел *R. Это дает
основание закрепить значок * для обозначения указанного ото-
отображения. Для a£S выполняется *а = а, для йе5 выполня-
выполняется *а^а; в общем случае—для произвольного множества а
из S — включение а^*а не имеет места. Описанная конструк-
конструкция подробно излагается ниже в гл. 1. Надо признать, что
она не слишком проста. Однако ее достоинство в том, что она
универсальна v и обеспечивает образ в нестандартном универ-
универсуме для любого множества, являющегося элементом исход-
исходной суперструктуры. Тем самым оказывается возможным —
путем перехода от X к *Х — применить нестандартные методы
к изучению самых разнообразных математических структур,
в частности, к изучению произвольных метрических, тополо-
топологических и векторных (линейных) пространств. Ряд тополо-
топологических понятий и фактов получает при этом весьма изящные
нестандартные определения и доказательства; в качестве при-
примера укажем на нестандартный критерий хаусдорфовости то-
топологического пространства в § 3—1 (пространство X хаусдор-
фово тогда и только тогда, когда монады любых двух его различ-
различных точек не пересекаются, при том, что монады состоят из
элементов *Х) и на нестандартное доказательство теоремы Ти-
Тихонова о компактности произведения компактных пространств
(теорема 2.6 в гл. 3).
Можно считать, таким образом, что сам термин нестандарт-
нестандартный анализ имеет два смысла. В более узком и менее специ-
специальном смысле нестандартный анализ представляет собой теорию
х> Замечательно, что, как устанавливается в гл. 2, само множество
действительных чисел R может быть получено из множества Q рациональ-
рациональных чисел при помощи отображения *; именно, П изоморфно факторколь-
цу F/I, где F — множество всех конечных, а /—множество всех бесконеч-
бесконечно малых элементов множества *Q.
16 Предисловие редактора перевода
множества гипердействительных чисел *R и функций на этом
множестве; такую теорию можно называть также „неархиме-
„неархимедовым математическим анализом"; неархимедов анализ позво-
позволяет, в час и ости, излагать на его основе обычный математи-
математический анализ. В более специальном и более абстрактном
смысле нестандартный анализ представляет собой, по существу,
общую теорию отображений типа звездочка * из одной супер-
суперструктуры в другую; в качестве приложений такого абстракт-
абстрактного (общего) нестандартного анализа можно рассматривать и
неархимедов анализ на *R, и теорию нестандартного гильбер-
гильбертова пространства */2 (являющегося образом „обычного" Р в
нестандартном универсуме) и многое другое.
5. Нестандартный анализ имеет сравнительно недолгую ис-
историю. Он зародился осенью 1960 г., когда его основатель Аб-
Абрахам Робинсон (известный советскому читателю по русскому
переводу его монографии: Введение в теорию моделей и ме-
метаматематику алгебры.—М.; Наука, 19671)) сделал на одном
из семинаров Принстонского университета доклад о возможно-
возможности применения методов математической логики к обоснованию
математического анализа. В 1961 г. появилась статья А. Ро-
Робинсона „Нестандартный анализ" в Трудах Нидерландской
академии наук21. В статье были намечены как основные поло-
положения нестандартного анализа, так и некоторые его прило-
приложения (например, к аналитической механике). В этой статье
Робинсон, в частности, писал: „Наша главная цель — показать,
что эти модели дают естественный подход к старой почтенной
проблеме построения исчисления, включающего бесконечно
большие и бесконечно малые количества. Как хорошо извест-
известно, использование бесконечно малых, настойчиво защищае-
защищаемое Лейбницем и без колебаний принимаемое Эйлером, было
дезавуировано с появлением методов Коши, поставивших ма-
математический анализ на твердую основу". (Заметим в скобках,
что за твердость основы надо было платить и сложностью
аппарата, и отдалением от физической наглядности.)
В течение последующих восьми лет вышли в свет три мо-
монографии, излагающие нестандартную теорию: в 1962 г.—
книга В. А. Дж. Люксембурга „Нестандартный анализ. Лек-
Лекции о робинсоновой теории бесконечно малых и бесконечно
больших чисел" [4], в 1966 г.—книга самого А. Робинсона
„Нестандартный анализ" [10] и в 1969 г.—книга М. Махове-
11 Нестандартному анализу посвящены три заключительных параграфа
указанной монографии: 9.4, 9.5 и 9.6.
2> Robinson A. Non-standard analysis. — Proc. Koninkl. ned. akad. wet.
A, 1961, v. 64, Нч 4, 432—440. Дублировано в Indagationes matheraati-
cae 1961, v. 23, p. 432—440,
О нестандартном анализе 17
ра и Дж. Хиршфелда „Лекции о нестандартном анализе" [8]
(из 77 страниц этих „Лекций" действительной прямой отведе-
отведено немногим более двух: „нестандартный анализ" понимается
здесь в самом общем смысле). Наибольший резонанс вызвала
книга Робинсона, вышедшая в известной серии „Исследования
по логике и основаниям математики". В девяти первых главах
этой монографии содержались как построение необходимого
логико-математического аппарата (со ссылкой на А. И. Маль-
Мальцева как автора лежащей в основе этого аппарата теоремы
компактности), так и многочисленные приложения — к диффе-
дифференциальному и интегральному исчислению, к общей тополо-
топологии, к теории функций комплексного переменного, к теории
групп Ли, к гидродинамике и теории упругости. Специаль-
Специальный интерес представляет последняя, десятая глава, в кото-
которой автор излагает свой взгляд на историю развития матема-
математического анализа. Хотя книга Робинсона, выдержавшая не
одно издание, и сыграла значительную роль в развитии не-
нестандартного анализа, ее вряд ли следует рекомендовать для
начального ознакомления; она написана сжато и трудно.
Помимо выхода книги Робинсона, в 1966 г. в нестандарт-
нестандартном анализе произошло еще одно событие. Появилась статья
А. Р. Бернстейна и А. Робинсона1', в которой впервые мето-
методами нестандартного анализа было получено решение ранее
поставленной проблемы, относящейся к обычным, „стандарт-
„стандартным" математическим объектам. Речь идет о проблеме инвари-
инвариантных пространств для полиномиально компактных операто-
операторов (оператор Т называется полиномиально компактным, ес-
если компактен оператор р(Т) для некоторого полинома р с
комплексными коэффициентами). Краткая история вопроса та-
такова. Теорема о существовании нетривиального инвариантно-
инвариантного замкнутого подпространства для компактных операторов в
сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве 2) была
доказана Дж. фон Нейманом в начале тридцатых годов. Его
доказательство, однако, не было опубликовано. Та же теоре-
теорема для компактных операторов в произвольном банаховом
пространстве над полем комплексных чисел была установлена
впоследствии Н. Ароншайном и К. Т. Смитом31. В очерке
11 Bernstein A. R., Robinson A. Solution of invariant subspace problem
of K. T. Smith and P. R. Halmos. — Pacific J. Math., 1966, v. 16, №3,
p. 421—431.
2) Как известно, все такие пространства изоморфны „каноническому"
пространству I2, состоящему из всевозможных последовательностей ком-
комплексных чисел; что касается несепарабельных пространств, то для них
названная теорема очевидна.
3) Aronszajn N., Smith К. Т. Invariant subspaces of completely conti-
continuous operators. —Ann. Math., 1954, v. 60, № 2, p. 345—350,
18 Предисловие редактора перевода
П. Р. Халмоша „Взгляд в гильбертово пространство' в ка-
качестве проблемы №9 фигурирует поставленная К- Т. Смитом
задача о существовании инвариантного подпространства для
таких операторов Т в гильбертовом пространстве /2, для кото-
которых оператор Т2 компактен (все такие Т, очевидно, полино-
полиномиально компактны). Решение этой проблемы и было получе-
получено А. Р. Бернстейном и А. Робинсоном методами нестандарт-
нестандартного анализа; именно они доказали, что любой полиномиаль-
полиномиально компактный оператор в гильбертовом пространстве /2 имеет
нетривиальное инвариантное замкнутое подпространство; их
доказательство,связанное с рассмотрением нестандартного гиль-
гильбертова пространства */2, воспроизводится ниже, в § 5—3
данной книги. П. Р. Халмош ознакомился с доказательством
двух названных авторов и переработал их доказательство в
свое, не использующее нестандартный анализ 2). В дальнейшем
Бернстейн, используя нестандартный анализ, распространил
теорему Бернстейна — Робинсона на случай полиномиально ком-
компактных операторов в произвольных банаховых пространст-
пространствах над полем комплексных чисел3'. Сравнительно недавно тео-
теорема об инвариантных подпространствах для компактных опе-
операторов была обобщена (также методами нестандартного ана-
анализа) на более широкий класс линейных топологических про-
пространств, чем банаховы41.
Теорема Бернстейна — Робинсона представляет собою от-
отнюдь не единственный (хотя, быть может, наиболее эффект-
эффектный) пример применения методов нестандартного анализа.
Число и разнообразие таких применений (заложенных, как
мы видели, еще Робинсоном) неуклонно растет. Приложения
нестандартного анализа внутри математики охватывают обшир-
обширную область от общей топологииъ) до теории вероятностей
(в которой возникает возможность понимания вероятности со-
l) Halmos P. R. A glimpse into Hilbert space. — Lectures on Modern
Mathematics, v. 1, New York—London, 1963, p. 1—22.
2> Halmos P. R. Invariant subspaces of polinomially compact opera-
operators.—Pacific J. Math., 1966, v. J6, №3, p. 433—437.
3> Bernstein A. R. Invariant subspaces of polinomially compact opera-
operators on Banach spaces. —Pacific J. Math., 1967, v. 21, №3, p. 445—464.
4) Grainger A. D. Invariant subspaces of compact operators on topologi-
cal vector spaces. —Pacific J. Math., 1975, v. 56, № 2, p. 477—493.
61 Краткий обзор работ по применению нестандартного анализа в об-
общей топологии содержится на стр. 210—211 статьи: Малыхин В. И., Поно-
Пономарев В. И., Общая топология (теоретико-множественное направление).—
В кн.: Алгебра. Топология, Геометрия, т. 13, М., ВИНИТИ, 1975 (Ито-
(Итоги науки и техники).
О нестандартном анализе 19
бытия как отношения бесконечного числа благоприятных ис-
исходов к общему числу исходовI1 и теории игр2).
Что касается внематематических приложений, то среди них
мы встречаем даже приложения к математической экономике
(рассматривается рынок с бесконечно большим числом участ-
участников, каждый из которых вносит бесконечно малый вкладK'»
Многообещающим выглядит использование нестандартного
гильбертова пространства */2 для построения квантовой меха-
механики (традиционно формулируемой в терминах „обычного"
пространства /2L).
6. В 1976 г. вышли сразу три книги по нестандартному
анализу (их библиографическое описание приведено на стр.
223): упоминавшийся уже „Элементарный анализ" и „Основа-
„Основания исчисления бесконечно малых" Г. Дж. Кейслера и „Вве-
„Введение в теорию бесконечно малых" К. Д. Стройана и В. А.
Дж. Люксембурга. Первая из них представляет собою написан-
написанный с нестандартных позиций учебник по математическому ана-
анализу — типа учебника для втузов с повышенными требования-
требованиями по математике. В этой книге большое число примеров и
упражнений; однако многие доказательства даны лишь эскиз-
эскизно; само существование поля гипердействительных чисел и
принцип естественного продолжения (точнее, некоторое его
усиление) провозглашены в качестве аксиом. Все необходимое
обоснование перенесено во вторую книгу, тесно связанную с
первой и выступающую в качестве руководства для препода-
преподавателей: „Основания исчисления бесконечно малых" содержат
тот материал, который следует предварительно изучить, что-
чтобы квалифицированно использовать в преподавании „Элемен-
11 См. Bernstein A. R., Watteneberg F. Nonstandard measure theory.—
В [5], стр. 171 — 185; Parikh R., Parnes M. Conditional probabilities and
uniform sets. —В [15], стр. 180—194; Loeb P. Conversion from nonstandard
to standard measure spaces and applications to probabiliyt thory. — Trans.
Amer. Math. Soc, 1975, v. 211, p. 113—122.
2) Cm. Wesley E. An application of nonstandard analysis to game theo-
theory.—The Journal" of Symbolic Logic, 1971, v. 36, №3, p. 385—394.
3) Brown D., Robinson A. A limit theorem on the cores of large stan-
standard exchange economies. —Proc. Nat. Acad. Sci., 1972, v. 69, №5, p.
1258—1260; Brown D., Robinson A. Nonstandard exchange economies.—
В [15], стр. VIII—IX.
4) См., например, Farrukh M. О. Application of nonstandard analysis
to quantum mechanics. —J. Math. Phys., 1975, v. 16, №2, p. 177—200.
О применениях нестандартного анализа в квантовой механике см. также
Kelemen P. J., Robinson A. The nonstandard K:fi(x): model. — J. Math.
Phys., 1972, v. 13, № 12, p. 1870—1878 (рассматривается бесконечная флу-
флуктуация поля в бесконечно малой области); Kelemen P. J. Quantum me-
mechanics, quantum field theory and hyper-quantum mechanics,—В [15], стр,
116—121.
20 Предисловие редактора перевода
тарный анализ". Наконец, книга Стройана и Люксембурга —
это фундаментальная монография, вызывающая при чтении
трудности даже у специалистов.
Предлагаемая вниманию читателей книга известного аме-
американского математика Мартина Девиса11, вышедшая в 1977 г.,
в наибольшей степени, пожалуй, подходит для первого озна-
ознакомления с предметом. Слова „прикладной нестандартный ана-
анализ" суть буквальный перевод английского названия книги;
содержанию книги больше отвечало бы название „Нестандарт-
„Нестандартный анализ и его приложения" — при понимании термина
„нестандартный анализ" в широком смысле общей абстрактной
теории: действительно, первая глава книги посвящена именно
такой теории, а остальные главы — приложениям этой тео-
теории. Так, в главе второй общие построения первой главы
применяются к изучению множества действительных чисел R,
а в главе третьей — к изучению метрических и, более общо,
топологических пространств. В главе четвертой осуществля-
осуществляется приложение методов нестандартного анализа к исследо-
исследованию нормированных линейных пространств, а в главе пя-
пятой — к исследованию гильбертова пространства /2; централь-
центральное место в последней главе занимает доказательство упо-
упоминавшейся уже теоремы Бернстейна — Робинсона.
Читателю, интересующемуся лишь подобного рода прило-
приложениями, мы рекомендуем не читать первую главу (посвящен-
(посвященную довольно изощренной логико-математической и теоретико-
множественной технике), а ограничиться беглым ее просмотром
и тщательным изучением ее последнего, 9-го параграфа. Чита-
Читателя же, заинтересовавшегося именно гл. 1, надо предупредить
о следующем. Основой всех конструкций этой главы служит
множество индексов вместе с ультрафильтром на этом множест-
множестве. Для многих содержащихся в гл. 1 утверждений выбор мно-
множества индексов и ультрафильтра безразличен; с другой сторо-
стороны, так называемая теорема направленности (теорема 8.1), игра-
играющая в последующих главах фундаментальную роль, требует
специального множества индексов и специального ультрафильт-
ультрафильтра. Автор молчаливо предоставляет читателю самому опреде-
определять, какого рода ограничения (в частности, никаких) налага-
налагаются в каждом отдельном случае на индексное множество и
ультрафильтр. На самом деле в целом ряде важных случаев
необходимы менее обременительные ограничения, чем требу-
требуются для теоремы направленности; именно, очень многие тео-
теоремы остаются справедливыми при одном лишь предположе-
предположении о нетривиальности рассматриваемого ультрафильтра —
хотя автор об этом даже не упоминает.
11 Его фамилия транслитерировалась также как „Дэвис".
О нестандартном анализе 21
К сожалению, в английском оригинале оказалось доволь-
довольно много опечаток, а также мелких и не очень мелких неточ-
неточностей (число которых особенно велико в последней главе);
переводчик и редактор старались по мере сил их устранять.
В настоящем русском издании опечатки исправлены без ка-
каких-либо специальных оговорок. Что касается неточностей, то
их исправление оговорено — б подстрочных примечаниях —
лишь в принципиальных случаях. Естественно, что „порог
принципиальности" постепенно повышался, и таких примеча-
примечаний делалось все меньше и меньше.
Было бы неправильным, впрочем, закончить обзор книги
Д1. Девиса критическими замечаниями. Написанная с неза-
незаурядным педагогическим мастерством, доступная по своему со-
содержанию студентам-математикам старших курсов, эта книга
может с успехом служить как для самостоятельного чтения,
так и для использования в специальных курсах и специаль-
специальных семинарах. Нет сомнения, что ее русский перевод будет
встречен с интересом.
7. В настоящее время нестандартный анализ завоевывает
все большее признание. Состоялся ряд международных сим-
симпозиумов, специально посвященных нестандартному анализу
и его приложениям [5, 6, 15]. В течение последнего десяти-
десятилетия нестандартный анализ (точнее — элементарный мате-
математический анализ, но основанный на нестандартном подхо-
подходе) преподается в ряде высших учебных заведений США.
Некоторые итоги такого рода преподавания подведены в мето-
методической статье, опубликованной в „Американском математи-
математическом ежемесячнике'. Статья заканчивается следующими
фразами: „Опасения, ... что те студенты, которые будут изу-
изучать математический анализ при помощи инфинитезимальных
(бесконечно малых) элементов, в меньшей степени овладеют ос-
основными навыками, должны быть, без сомнения, сняты. Более
того, представляется весьма вероятным, что использование
инфинитезимального подхода сделает курс математического
анализа гораздо более живым и увлекательным как для пре-
преподавателей, так и для студентов".
А. Успенский
2) Sullivan К. The teaching of elementary calculus using the nonstandard
analysis approach.— Amer. Math. Monthly 1976, v. 83, № 5, p. 370—375.
Памяти Абрахама Робинсона
ПРЕДИСЛОВИЕ
В нестандартном анализе применяются методы теории мо-
моделей (которая сама по себе является важным разделом ма-
математической логики) для включения универсума математи-
математических рассуждений в так называемый „нестандартный
универсум", содержащий как бесконечно малые, так и бес-
бесконечно большие объекты. Цель данной книги состоит в том,
чтобы сделать методы нестандартного анализа доступными
читателям, не обладающим предварительными знаниями в ло-
логике. На протяжении всего изложения главный упор де-
делается на приложениях нестандартного анализа в „стандарт-
„стандартной" математике (в противоположность исследованиям собст-
собственно нестандартного универсума). Так как нестандартный
анализ может быть интересен читателям с различной подго-
подготовкой, предварительные знания, необходимые для понимания
книги, весьма невелики. Для первых трех глав достаточно
знания простейших свойств групп, колец и полей и некото-
некоторое предварительное знакомство с е — 6-техникой. Для по-
последних двух глав требуется также знакомство с элементами
конечномерной линейной алгебры.
В первых трех главах основное внимание уделяется интуи-
интуитивно ясным доказательствам результатов, стандартные до-
доказательства которых более сложны. В последних двух главах
свободно используются как стандартные, так и нестандартные
методы для получения результатов в теории линейных опе-
операторов; при этом не предполагается никакого предваритель-
предварительного знакомства с функциональным анализом. В частности,
сюда включено доказательство Бернстейна — Робинсона су-
существования инвариантных подпространств для полиномиально
компактного оператора в гильбертовом пространстве.
Эта книга написана на основе курсов, читавшихся в Ку-
рантовском Институте и в Университете Британской Колум-
Колумбии; она может быть использована в качестве учебника для
студентов средних и старших курсов. Для меня были весьма
полезными беседы со студентами и преподавателями, слушав-
слушавшими мои лекции. В частности, я благодарен за полезные
замечания Петеру Гилки, Мелвину Хауснеру и Дэвиду Ру-
синову. Эта книга никогда не была бы написана без кон-
конспектов лекций, сделанных Барри Джэкобсом. Наконец, я о
Предисловие 23
удовольствием выражаю благодарность Конни Энгл за пере-
перепечатку книги, как всегда безупречную.
Нестандартный анализ во многом является созданием
одного человека, Абрахама Робинсона, чья недавняя без-
безвременная смерть является огромной потерей для математики.
Читатель может считать, что Робинсону принадлежат все
результаты, автор которых не оговорен.
Развитие методов математической логики было обуслов-
обусловлено (по крайней мере частично) стремлением достичь
абсолютной строгости в анализе; но есть доля иронии в том,
что эти самые методы обеспечили необходимый фундамент
для оправдания некогда дискредитированного метода беско-
бесконечно малых. Возможно, что в действительности энтузиазм
по отношению к нестандартным методам в какой-то мере свя-
связан со знакомым каждому стремлением к недозволенному.
Но в еще большей степени этот энтузиазм объясняется ма-
математической простотой, элегантностью и красотой нестан-
нестандартных методов и их богатыми приложениями.
Нью-Йорк, ноябрь 1976 г. Мартин Девис
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Зачем нужен нестандартный анализ?
Нестанаартный анализ является скорее техникой, чем дис-
дисциплиной. Все полученные теоремы, кроме тех, которые
утверждают, что некоторое нестандартное понятие эквива-
эквивалентно соответствующему стандартному, могут быть доказаны
'стандартными методами. Следовательно, наша дисциплина
может претендовать на важность лишь постольку, поскольку
она приводит к более простому и доступному изложению или
(что важнее) к математическим открытиям.
Что касается первого, судьей должен быть читатель. Наи-
Наилучшим основанием для второго служит теория Бернстейна—-
Робинсона инвариантных подпространств бесконечномерного
линейного пространства, ответившая на вопрос, который
оставался открытым в течение многих лет. Сейчас сущест-
существуют достаточно простые стандартные доказательства соот-
соответствующих результатов. Однако мы рассмотрим часть этой
теории не только потому, что она представляет собой путь,
который привел к открытию, но и потому, что это дает нам
возможность продемонстрировать поистине прекрасную идею—
аппроксимации сверху бесконечномерного пространства с по-
помощью пространства, к которому применимы результаты
конечномерной линейной алгебры.
§ 2. Бесконечно малые как идеальные элементы
С точки зрения математики изучение нестандартного ана-
анализа сосредоточено в области метода идеальных элементов.
Это освященная временем и важная математическая идея.
Теория некоторых математических объектов упрощается, если
предположить существование некоторых дополнительных
„идеальных" объектов. Примерами являются включение целых
алгебраических чисел в идеалы, построение системы комплекс-
комплексных чисел, введение бесконечно удаленных точек в проектив-
проективной геометрии.
Нестандартный анализ предполагает введение идеальных
элементов, расположенных бесконечно близко к изучаемым
объектам, а также бесконечно удаленных идеальных объектов.
Лейбниц впервые использовал эти идеи для развития диффе-
дифференциального и интегрального исчисления. Несмотря на то
26 Введение
что этот способ рассуждений интуитивно выглядит очень при-
привлекательным, казалось невозможным обеспечить теорию бес-
бесконечно малых прочным математическим базисом.
Никаких трудностей с чисто алгебраическими проблемами
не возникает при расширении действительных чисел до поля,
содержащего бесконечные элементы (т. е. до структуры, на-
называемой на алгебраическом языке неархимедовым полем).
Но трудности появляются, как только мы имеем дело с
трансцендентными функциями. Так, дифференцируя sinx
в духе Лейбница, хочется записать:
sin (х + dx)—sin x = sin x (cos dx — 1) + cos x sin dx,
где dx — бесконечно малое. Но эта запись требует не только
того, чтобы sin был определен для „чисел" вида „действи-
„действительное 4- бесконечно малое", но это должно быть, кроме того,
сделано так, чтобы сохранилось правило для синуса суммы.
(В теории функций комплексного переменного аналогичные
проблемы приводят к аналитическому продолжению и к
принципу сохранения форм.) Оказывается, что это как раз та
проблема, ключом к которой является современная логика
(точнее, теория моделей).
§ 3. Роль логики
Лейбниц постулировал существование системы чисел,
имеющей те же свойства, что и обычные числа, но содержа-
содержащей бесконечно малые. Таким образом, у Лейбница не было
проблем с дифференцированием sinx указанным выше обра-
образом. Однако позиция Лейбница кажется очевидно абсурдной.
Обычные действительные числа конечно же имеют по крайней
мере одно свойство, которым не обладает желаемое Лейбни-
Лейбницем расширение. А именно, среди действительных чисел нет
бесконечно малых.
Парадокс устраняется точным выбором формального языка
в терминах современной логики (столь же жестко определен-
определенного, как и языки программирования для ЭВМ). Таким обра-
образом, принцип Лейбница уточняется: существует расширение
действительных чисел, содержащее бесконечно малые элементы
и имеющее те же свойства, что и действительные числа,
поскольку эти свойства могут быть выражены в точно ука-
указанном формальном языке. Отсюда заключаем, что свойство
быть бесконечно малым не может быть выражено указанным
способом, или, как мы научимся говорить: множество беско-
бесконечно малых является внешним множеством.
§ 5. Математическая логика и строгость 27
§ 4. Три техники
В нестандартном анализе работают с двумя структурами—
со стандартным универсумом и нестандартным универсумом.
Кроме того, имеется формальный язык, который может быть
использован для формулировки утверждений, двусмысленных
постольку, поскольку они могут быть отнесены к любой из
э-шх двух структур.
Существуют три главных инструмента нестандартного ана-
анализа. Один из них, принцип переноса, утверждает, грубо го-
говоря, что в стандартном универсуме истинны те же утверж-
утверждения формального языка, что и в нестандартном универсуме.
Типичное использование состоит в том, что мы доказываем
Желаемый результат в нестандартном универсуме, а потом,
заметив, что результат выразим в языке, заключаем, что он
выполнен также в стандартном универсуме.
Другим техническим приемом является направленность.
Это логический принцип, который гарантирует, что расши-
расширенная структура содержит все возможные пополнения, ком-
пактификации и т. д.
Третья техника — это техника внутренних множеств. Не-
Некоторое множество s элементов нестандартного универсума
является внутренним, если само s является элементом не-
нестандартного универсума; в противном случае s внешнее. Уди-
Удивительно полезным методом доказательства является reductio
ad absurdum, при котором противоречие состоит в том, что
некоторое заведомо внешнее множество должно оказаться
внутренним при опровергаемых предположениях.
Конечно, предыдущее обсуждение весьма приблизительно.
Не следует ожидать, что эти вопросы станут действительно
ясными, пока не будет проведено подробное изложение.
§ 5. Математическая логика и строгость
Математики, которые полностью удовлетворены обычным
уровнем строгости математических рассуждений, относящихся
к их прямой специальности, и которых редко беспокоят фи-
философские сомнения, иногда проявляют симптомы острого
беспокойства, когда те же самые стандарты сохраняются при
применении математической логики. Поэтому предупреждаем:
Несмотря на то что логика важна при обсуждении фун-
фундаментальных проблем оснований математики, эти проб-
проблемы не следует привносить, когда математическая логика
используется просто как некоторая математическая тех-
техника.
28 Введение
Использование логики в нестандартном анализе в некото-
некотором смысле аналогично использованию языка геометрии
в математике. Интуицию, позволяющую нам вкладывать
„смысл" в „высказывания" формального языка (с технической
точки зрения „высказывание" — это просто конечная последо-
последовательность объектов, называемых символами), вполне можно
сравнить с интуицией, позволяющей нам установить истину
простым просмотром чертежа (в обоих случаях возникают
сходные проблемы, связанные с наглядностью). Как только
мы научились это делать, выписывание подробных аналити-
аналитических доказательств геометрически очевидных вещей быстро
превращается в утомительный неблагодарный труд. Анало-
Аналогичным образом, предъявление детальных доказательств того,
что точно сформулированные высказывания формального языка
„утверждают" то, что они интуитивно кажутся утверждаю-
утверждающими, быстро становится излишним. Читателю рекомендуется
опускать такие доказательства там, где они, по-видимому, не
являются необходимыми, и вставлять свои собственные там,
где они опущены, если суть дела вызывает хоть малейшее
сомнение.
§ 6. Нумерация теорем
Ссылка на теорему 2—8.1—это ссылка на теорему 8.1 гл. 2,
т. е. на первую теорему § 8 гл. 2. Когда делается ссылка на
теорему той же главы, ссылка на главу опускается. Следо-
Следовательно ссылка на теорему 7.2 в пределах гл. 2 является
ссылкой на теорему 2—7.2.
1. УНИВЕРСУМЫ И ЯЗЫКИ
§ 1. Множества и отношения
При рассмотрении нестандартного анализа мы используем
тот удобный факт, что различные объекты и отношения, с кото-
которыми работает математика, могут быть все истолкованы как
множества. Таким образом, мы начинаем с краткого обзора
понятий элементарной теории множеств, которыми мы будем
пользоваться в дальнейшем.
Запись х £ А означает, что х является элементом множе-
множества А, запись х^А означает обратное. Для множеств А, В
пишем А ^ В или В ^ А для обозначения того, что х£ А вле-
влечет х £ В, и А с В или В => А для обозначения того, что А ^ В,
но АфВ.
Мы используем обычные обозначения
{х\ }, {х£А\ }
для определения конкретных множеств. Конечное множество,
членами которого являются в точности ах, .. ., ап, записывается
{аи ..., ап}. Пустое множество, обозначаемое 0, является
единственным множеством, не содержащим элементов. Мы так
же рассматриваем другие объекты, называемые индивидами,
которые не содержат элементов, но они не могут быть множе-
множествами. Для любого множества А пишем
9* (А) называется множеством-степенью множества А. Для лю-
любых объектов а, Ъ пишем
<а, by = {{a), {a, b\\.
<а, by называется упорядоченной парой объектов а и Ъ. Хотя
это определение выглядит достаточно произвольным, название
„упорядоченная пара" оправдывается следующей леммой.
Лемма. <а, 6> = <а', Ь'у тогда и только тогда, когда а = а'
и b = b'.
Доказательство. Дано
{{а\, {а, 6}} = {{а'}, {а',Ь'\\.
Равенство этих множеств означает, что они содержат одни и
те же члены. Таким образом, приходим к двум случаям.
30 /. Универсумы и языки
Случай i
\а\ — \а'\, {а, Ь\ — \а', Ь'\. В этом случае а = а', так что {а, Ь) —
= {а, Ь'\. Если афЬ, то {а, Ь\ имеет два члена. Следовательно,
то же имеет место для {а, Ь'\ и Ь — Ь'. Если а — Ь, то а — Ь';
так что опять b = b'.
Случай 2
\а\ = \а', Ь'}, {а, Ь} = {а'\. Тогда а = а' = Ь' и а = Ь = а'. Так
что а = а' и b = a' = b'. ш
Мы определяем (упорядоченную) п-ку <хи ..., хп>, п>2
по рекурсии
<*i xn> = «xt xn_!>, xny.
Из тривиальной индукции следует, что <xlt ..., хпу =
= <Ui, ■■ ■> Уп> Т0ГДа и только тогда, когда л1 = «/1, х2 = у2, ...
■■■' хп~Уп- Для того чт°бы включить случай /г = 1, запишем
= х. Для любого множества X положим
Если Л и В множества, пишем
АхВ = {<х, у>\х£А и г/б5[.
Если Rs АхВ, то R называется отношением. Если В = Л,
то мы иногда говорим об отношении на А. Если /? — отноше-
отношение, то мы иногда пишем xRy вместо <х, у> £ 7?. Под областью
определения отношения R (записывается dom(R)) понимается
множество всех х, таких, что xRy для некоторого у. Если
g^AxB (т. е. если g—отношение) и для каждого х£ А суще-
существует в точности один у£В, такой, что <*, yy£g, то g назы-
называется отображением множества А в В, или функцией с обла-
областью определения Л и значениями в В. При х£А через g(л:)
обозначается единственный элемент множества В, такой, что
<х, g(x)y£g- При С<=А полагаем
g[C] называется образом С при (или относительно) g. Здесь
A-dom(g) есть область определения g, а множество g[A]
называется множеством значений g. Если g[A] = В, то говорят,
что g отображает А на В. Если g(x)=g(y) влечет х — у, то
g называется взаимно однозначной функцией.
Если / отображает X" в Y, то / называется п-местной функ-
функцией (или функцией от п аргументов) с областью определения
X и значениями в У, и мы пишем f(xv ..., хп) вместо
/«*!. ■••. х„У).
§ 1. Множества и отношения 31
Всюду в дальнейшем через N обозначается множество
{О, 1, 2, 3, ...\ натуральных, или неотрицательных целых
чисел. Через N + обозначается множество {1,2,3...} положи-
положительных целых чисел.
Иногда, когда мы интересуемся областью определения функ-
функции меньше, чем ее областью значения, мы изменяем наши
обозначения и язык: мы называем область определения функ-
функции индексным множеством и вместо функции говорим об индек-
индексированном семействе. Следовательно, индексированное семей-
семейство с индексным множеством / — это отображение X с областью
определения /. В этом случае для каждого i£l пишем X,-
вместо X (i) и пишем {X,-1 i £ /} для обозначения самого семей-
семейства (т. е. отображения). Когда индексное множество ясно из
контекста, мы иногда пишем просто {Xt\. Если индексное мно-
множество имеет вид / = {1,2, ..., п) или {0, 1, ..., п), то семей-
семейство называется конечной последовательностью, а если индекс-
индексным множеством является N или А^ + , то семейство называется
бесконечной последовательностью.
Пусть {Xt\i£l\— индексированное семейство множеств,
т. е. каждое X,- — множество. Тогда обозначаем
U X, = \){Xt\i€I\
IS/
= {г|г£Хг Для некоторого i£l\,
ПХ, = П{Х,|£€П
IS/
= {z|z£X,- для всех ££/},
П**=1№1'е/}
— \S\S—функция с областью определения / и такая, что
g(i)£Xt для каждого i£I\
и говорим соответственно об объединении, пересечении и декар-
товом произведении семейства. В специальном случае / =s
= {1,2, ..., п} пишем
хгих2и ... их„= и х„
IS/
XiOXjO ... ПХ„= П Х„
х^х^х.-.хх^дх,.
IS/
Если А и В — множества, пишем
32 /. Универсумы и языки
Пусть Ai^U при i£l. Тогда легко проверяются так назы-
называемые тождества де Моргана:
U—[)A,= П (U-At),
t S / ! S /
U—nA,= \) (Li-Л,-).
is/ 16/
§ 2. Фильтры
Нам понадобятся некоторые очень простые свойства фильт-
фильтров при построении нашего „нестандартного универсума", и
теперь мы переходим к изложению необходимого материала.
Определение. Пусть / — некоторое непустое множество; тогда
F ^ !Р (I) называется фильтром на I, если
A) A£F, В£РA) и Лей влечет В £ F,
B) Л, B£F влечет Л П В 6 F и
C) 0$F, I&F.
Из B) очевидно следует, что пересечение любого конеч-
конечного числа элементов фильтра также принадлежит фильтру.
Пример. Пусть Лое/, АоФ0. Тогда, как очень легко
заметить,
является фильтром на /.
Определение. F является ультрафильтром на /, если
A) F—фильтр на /,
B) если Т7^/7, и Z7!—фильтр на /, то /г = /г1.
Пример. Пусть А0 = \х\ для некоторого х£ /. Тогда семей-
семейство
является ультрафильтром1*. Действительно, если F^kFt и
A^Ft — F, то х$Л (так как в противном случае Л э {х} и,
следовательно, Л £ Z7); следовательно, Л Г) \х\ = 0 £ Т^, так что
F1 не может быть фильтром.
Основным утверждением о существовании ультрафильтров
является
*> Такой ультрафильтр называется тривиальным. Если множество У
конечно, то всякий ультрафильтр на нем тривиален. Если же / бесконечно,
то существуют и нетривиальные ультрафильтры. В самом деле, рассмотрим
совокупность всех подмножеств множества /, имеющих конечные дополне-
дополнения; эта совокупность есть фильтр и по теореме 2.1 содержится в некотором
ультрафильтре, очевидно нетривиальном.— Прим. ред.
2. Фильтры 33
Теорема 2.1. Если Fo —фильтр на 1, то существует ультра-
ультрафильтр F на I, такой, что F^F0.
Эта теорема является с технической точки зрения слабой
формой так называемой аксиомы выбора. Точнее, известно,
что:
A) теорема 2.1 не может быть доказана на основе аксиом тео-
теории множеств без аксиомы выбора;
B) она может быть доказана с использованием аксиомы выбора;
C) она слабее аксиомы выбора, т. е. из теоремы 2.1 не следует
аксиомы выбора.
Доказательство, приводимое ниже, использует лемму
Цорна11, представляющую собой удобный эквивалент аксиомы
выбора. Мы, разумеется, приветствуем читателя, который пред-
предпочитает опустить доказательство и использовать саму тео-
теорему 2.1 как некоторую аксиому теории множеств, и пригла-
приглашаем его так и поступить. Такой подход имеет даже известные
технические преимущества: а именно про некоторый результат,
классическое доказательство которого использует аксиому вы-
выбора в полном объеме (например, существование множества
действительных чисел, не измеримого по Лебегу), можно иногда
показать (если дано нестандартное доказательство), что он
зависит только от более слабой теоремы 2.1. Однако здесь мы
не интересуемся такими вопросами21.
Доказательство. Пусть g = {G^F0|G—фильтр на /}. Мы
хотим применить лемму Цорна к Ъ. Итак, пусть eDsV, где
Ш> линейно упорядочено отношением s (т.е. из Glt G2££D
следует Gx s G2 или Gi^G^. Пусть G= U G. Тогда G^F0,
3)
так как G э Fo для любого G £ <2). Более того, как мы сейчас
покажем, G является фильтром на /:
A) Если Л £ G и S=5i4, то Л £ G для некоторого G £ S) и (так
как G—фильтр) B£G. Следовательно, B£G.
1) Лемма Цорна гласит: если в частично упорядоченном множестве всякая
цепь (т. е. всякое линейно упорядоченное подмножество) ограничена сверху,
то в этом множестве существует максимальный элемент. Эквивалентность
аксиомы выбора и леммы Цорна доказывается, например, в книге: Мендель-
Мендельсон Э. Введение в математическую логику. Пер. с англ.— М:, 1976 (пред-
(предложение 4.37 в § 5 гл. 4).— Прим. ред.
2) Здесь автор не совсем точен. Дело в том, что нестандартные дока-
доказательства опираются, как правило, не только на теорему 2.1, но и на
теорему 7.3; доказательство же теоремы 7.3 исполь^'ет (при построении
функции t во второй части рассмотрения случая 3) аксиому выбора.—
Прим. ред.
34 1. Универсумы и языки
B) Если Л, B£G, то A£Glt B£G2, Gv G2€&. 1ак как 3)
линейно упорядочено, то или A, B£Glt или A, B&G2,
поэтому А ЛВ 6 G1 или А ЛВ 6G2, так что A(]B£G.
C) Если 0£G, то 0£G для некоторого G£i9, что невоз-
невозможно; так как /£G для всех G&&), то имеем /£E.
Мы показали, что ® имеет верхнюю грань в Ъ. Следова-
Следовательно, по лемме Цорна Ъ содержит максимальный элемент F.
Это значит, что f££, и если F^F1£$, то F=FX. Так как
Т7^, Tof2F0 и Т7—фильтр. Если F<=F^ где /^—фильтр
на /, то, очевидно, Ft £ "§, так что F = FX. Это завершает дока-
доказательство. ■
Определение. (! = ?(/) называется базисом фильтра на I,
если
A) 0^G-
B) Л, В е G влечет Л Л £ € G,
C) G^=01).
Теорема 2.2. £слц G — базис фильтра на I, то существует
фильтр F на I, такой, что F^G.
Доказательство. Пусть /7={Ле/|Л^С для некоторого
G}. Ясно, что GsF. Покажем теперь, что F—фильтр.
A) Пусть A£F и В^А. Тогда А^С для некоторого C£G.
Так как ВэЛ, имеем ВэС и, следовательно, B£F.
B) Пусть Л, B£F. Тогда для Си C2£G выполнено Л э Сг и
В э С2 и, следовательно, Л Л 5 э Сх П Сг. Так как G — базис
фильтра, то С\ Л С2 g G и, следовательно, Лл^^/7.
C) Если 0£F, то 03 С для некоторого C£G, т. е. 0 £ G,
что противоречит тому, что G—базис фильтра; следова-
г) Более распространенным (и более целесообразным) является другое
(неэквивалентное предложенному М. Девисом), более общее определение
базиса фильтра —см., напр., Бурбаки Н. Общая топология: Основные
структуры. Пер. с франц.— М.: Мир, 1968, с. 81. В этом более общем
определении условия A) и C) те же, а условие B) выглядит-так: если
A, B£G, то существует такое C£G, что А Л В =2 С. Именно при таком опреде-
определении базиса множество F, получаемое из G по формуле F = {A g: I \ А^. С
для некоторого C£G}, т.е. посредством конструкции, применяемой в дока-
доказательстве теоремы 2.2, тогда и только тогда оказывается фильтром, когда
G является базисом фильтра (принимая определение М. Девиса, нельзя
утверждать, что „только тогда"). Полезно сравнить определение базиса
произвольного семейства множеств на стр. 20 книги: Архангельский А. В.,
Пономарёв В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях.—
М.: Наука, 1974. Заметим еще, чго для целей данной книги вполне подошло
бы сформулированное более общее определение базиса фильтра.— Прим. ред.
§ 2. Фильтры 35
тельно, 0&.F- Наконец, так как G=£0, то существует
некоторое C0£G. Так как / = С0, имеем / £ F. я
Комбинируя теоремы 2.1 и 2.2, получаем основной резуль-
результат о существовании ультрафильтров:
Следствие 2.3. Если G— базис фильтра ца I, то существует
ультрафильтр F на /, такой, что F^T. (^
Полезность ультрафильтров в данной работе основана на
том, что для каждого подмножества А множества /, или А,
или / — А должно принадлежать ультрафильтру. То есть
Теорема 2.4. Если F—ультрафильтр на I и Ле/, то
А £ F или I — A £ F, но не оба вместе.
Доказательство. Предположим, что A (j-F и / — А (£/\ Пусть
G = {X^I\ A \jX£F\. Покажем, что G—фильтр, G ^ F, и
посредством этого получим противоречие. Чтобы убедиться,
что F ^/,*возьмем Х£ F. Так как XsA[jX и F—фильтр,
то A\jX£F. Следовательно, X£G. Проверим теперь, что
G—фильтр на /.
A) Пусть X^G и Х, = Х2. Тогда А[]Х1^А[)Х2. Так как
A\jX1£F, то A[)X0£F и, следовательно, Х2 g G.
B) Пусть Xlt X2£G. Тогда A\jX^, A\}X2£F. Так как F —
фильтр, то (А и Хх) Л (A U Xt) 6 F. Но (A U Xt) Л (Л (J Х2) =
= Ли(Х]П^2) и> следовательно, А^ЛХ^С.
C) Если 0£ G, тоЛ110 = Л£Л Но мы предположили Л ^F,
следовательно, 0^G. Так как А\}1 — I £F, имеем /£G.
Следовательно, G—фильтр и G^tF. Так как F — ультра-
ультрафильтр, то G — F. Однако
Следовательно, / — Л £ G и, таким образом,/ — Л £ F —проти-
—противоречие. Наконец, если Л, I — A^F, то 0 = Л Л (/ — Л) g/7,
что невозможно. ■
Определение. Пусть F —ультрафильтр на /. Положим
\ 1, если A£F,
1 0, если A^F.
Мы называем отображение j.if множества 5* (I) в {0, 1} мерой,
порожденной ультрафильтром F. Там, где нет двусмысленно-
двусмысленности, мы пишем [I вместо \iF.
Теорема 2.5.
Доказательство. Доказательство немедленно следует из оп-
определения \iF. ш
36 1. Универсумы и языки
Теорема 2.6. Если ц (Л ,•) = (), i=\, ..., п, то
H(XxUi4lU... иЛ„) = 0.
Доказательство. По теореме 2.4
I — At£F при i=l, 2, ..., п.
Следовательно, положив У —{1, 2, ..., п\,
Л (/-Л,)€Р.
«s J
Но по одному из тождеств де Моргана
Л (/-Л,-)
te J
Следовательно, (j Ai&F, т.е.
Л (/-Л,-) = /- U А{.
te J te /
§ 3. Индивиды и суперструктуры
Приложения нестандартного анализа начинаются с выбора
подходящего множества индивидов S. Обычно S бывает множе-
множеством точек топологического пространства или множеством
действительных чисел. По техническим причинам полезно счи-
считать, что члены множества S не являются множествами, т. е.
если x£S, то х-ф 0 и х не имеет членов (т. е. утверждение
t£x автоматически ложно). Следовательно, при х£S утверж-
утверждение t s х всегда ложно и 9* (х) = 0. В дальнейшем, когда мы
будем говорить пусть S—множество индивидов, это следует
всегда понимать так, что члены S не являются множествами.
Однако обычно члены множества 5 включают объекты,
которые в наиболее распространенных математических изложе-
изложениях определяются как множества. Например, действительные
числа могут быть определены как множества рациональных
чисел или натуральное число п-\-\ может быть отождествлено
(следуя фон Нейману) с множеством {0, 1, ...,п). Как согла-
согласовать эту ситуацию с нашей договоренностью о том, что
члены S не являются множествами? Существуют различные
способы, из которых мы упомянем один.
Мы можем предполагать, что в нашем распоряжении имеется
некоторое заданное достаточно большое множество W истин-
истинных индивидов (иногда называемых урэлементами), о которых
мы не предполагаем ничего, кроме того, что они не являются
множествами. Тогда мы можем просто взаимно однозначно
вложить 5 в W и перейти к отождествлению каждого элемента S
с его образом в W.
tj. Инбцеиды у суперструктуры 37
В любом случае вопрос об истинной „природе" математи-
математических объектов — такой, как является ли У2 множеством —
никогда не является существенным в математической практике.
В математике каждый интересуется исключительно абстракт-
абстрактными взаимоотношениями, а не „внутренним устройством" объ-
объектов. Именно эту ситуацию имел в виду Бертран Рассел
в своем известном афоризме:
Математика—это предмет, в котором мы не знаем1],
о чем говорим. (Mathematics is the subject in which we don't
know what we are talking about.)
Оставляя философию и возвращаясь к математике, рассмот-
рассмотрим некоторое множество индивидов S. Теперь мы покажем,
как реализовать в простой структуре все множества, включая
отношения и функции, необходимые в обычных математиче-
математических построениях, связанных с элементами S.
Сначала определим иерархию
S =—5
так что 5,- определено при / = 0, 1, 2 ... . Теперь мы определим
5= U S, =
Тогда S2) называется суперструктурой с индивидами S. Каж-
Каждый элемент из S называется индивидом суперструктуры S, а
каждый элемент из S—S называется множеством суперструк-
суперструктуры § (или, короче, в S). Заметим, что 0sS, так что
Определение. Пусть A s S. Множество А называется тран-
транзитивным в S (или просто транзитивным, если это не вызы-
вызывает никаких недоразумений), если для любого х£А либо
x£S, либо xsl
Тот факт, что А транзитивно в S, может быть эквивалент-
эквивалентно записан в виде
из х6 Л —5 и у£х следует у £А.
Ведь если Л—множество, то хеЛ просто означает, что из
у £х следует у 6 А.
D Для наших целей „не заботимся" (don't care) было бы точнее.
а> Обозначение § и термин суперструктура взяты из статьи Робинсона
и Закона [12]. Это использование символа ~ никакие связано с его исполь-
использованием в книге Маховера и Хиршфелда [8],
38 1. Универсумы и языки
Лемма 1. Каждое S,- транзитивно в §■
Доказательство. Докажем по индукции: So транзитивно
очевидным образом. Предположим, что установлена транзитив-
транзитивность 5,-, и пусть x£Si+1 — S. Тогда либо х£5, — S, либо
x£!P{S-). В первом случае х s 5,- по индуктивному предпо-
предположению, а во втором случае хе5; по определению множе-
множества-степени. Но Sj^.Sf+1, Следовательно, xsS/+1. Это по-
показывает, что Si+1 также транзитивно. в
Лемма 2. Если х£у и y£S{—S, то x^S,-^.
Доказательство. Так как y^S, то i > 0. По определению
S,- либо у £ S;_i, либо г/ s S,--i.' Но и в первом случае, исполь-
используя лемму 1, получим j/sS,-.!. Следовательно, х является
элементом некоторого подмножества Sl-_1 (а именно, у) и по-
поэтому элементом 5,-_г в
Лемма 3. Если x£Sl—S, то Р (x)£Si+2.
Доказательство. По лемме 1 х s S,-. Следовательно, каждое
подмножество х является также подмножеством S,-. То есть
?(х)Е#E,)с5,Ч1. Следовательно, P(x)GSi+3. ш
Лемма 4. S транзитивно в S.
Доказательство. Еслих£5—S, то x£Sc—S для некоторо-
некоторого г. Результат следует из леммы 1. ■
Лемма 5. Если x£S—S, то Р{х)£§.
Доказательство. Доказательство немедленно следует из
леммы 3. ■
Лемма 6. Если i/sx и x£S—S, то y£S.
Доказательство. Доказательство немедленно следует из лемм
4 и 5. ■
Лемма 7. Пусть a-^S,— S, и пусть xf\S=0. (To есть х
является множеством множеств.) Пусть у = U г. Тогда у £ 5;.
гех
Доказательство. Для любого t£y найдется некоторое г,
такое, что t^zwz^x. По лемме 2 2 ££,■_,. Тогда по пред-
предположению z£Si-x—5. По лемме 1 ^£S,-_r Таким образом,
показано, что j/sS,-_1. Следовательно, у 6 S,-. ш
Лемма 8. Пусть x£S—S, и пустьх[}$ — 0. Пустьу= U г.
гех
Тогда у£§.
§ 3 Индивиды и суперструктуры 39
Доказательство. Доказательство немедленно следует из
леммы 7. ■
Лемма 9. S,-£S,-+1. Поэтому каждое S,-£S.
Доказательство. S,-^S,-, так что S;^9y(Si). ш
Лемма 10. Если alt ...,ak£Sn то {alt . . ., ak\£Si+i.
Доказательство. {ах, ..., ak\ — подмножество 5,-, а поэтому
является членом St+1. m
Лемма 11. Если аи ..., ak£S, то \alt ..., ak\£S.
Доказательство. Пусть 0,-GS,-., i= I, 2, ..., k. Пусть /W—
= щах(/1, ..., /A).
Тогда каждое a{^SM и результат следует из леммы 10. ■
Лемма 12. Если хи ..., xk G S—S, то хг U ... U xh G S.
Доказательство. Пусть каждое X;
име 1 каждое XjSS^h, следовательно
Лемма 13. Если x,y£S;, то <х, у>
лемме 10 {а-},
= {{х\, {x,y}}c=Si+1
Доказательство. Пусть каждое X;£SM, i = l, ...,/г. По
лемме 1 каждое х, s SM и, следовательно, (хг U . . . (J xk) s 5Л1. ■
Доказательство. По лемме 10 {а-}, {л:, i/} £S,-+1. Следова-
Следовательно,
и <Х уУ t\+J. ■
Лемма 14. Если х17 ..., xn£St и п^2, то <xlf ...,#„>£
Доказательство. Это тривиальная индукция с использова-
использованием леммы 13. ■
Теорема 3.1. Если X, Y£S—S, то XxY£S. Точнее, если
X,Y^Si—S, то XxY£Si+3. Кроме того, Хп£§ для всех
Доказательство. Пусть X, Y^St — S. Тогда, используя лем-
леммы 1 и 13,
<х, уУ £ X X Y влечет х 6 X и у 6 Y
влечет х, у £ 5,-
влечет <х, yy£Si+2.
Следовательно, ХхКе5;+2 и XxY £Si+3. Аналогично
X" sSl42n_2, так что X" (ES;+2!i-i- ■
40 1. Универсумы и языки
Теорема 3.2. Если X, Y£§—S и f отображает X в У, то
A) fes,
B) если а£Х, то f(a)£S,
C) если AsX, то f[A]£S.
Доказател ьство.
A) Пусть X, Y£Si — S. Тогда, как в доказательстве тео-
теоремы 3.1, XxYsSi+2. Так как /sXxK, то /sS,-+2 и
fesi+3.
B) Так как S,- транзитивно и f(a)£Y, имеем /()
C) /[Л]гУ и YsS{. Следовательно, /[Л] sS,. и
Теорема 3.3. Пусть J,V £§—S, и для каждого j£J пусть
eV. Тогда
A) U X,GS,
B) П ^/ € 5.
Доказательство.
A) Пусть J,V£Si. Так как Xj^V Для каждого j^JuSt
транзитивно, то для каждого / выполнено X,-£S(- и,
следовательно, XjSSt. Следовательно, (uXy)sS,,
/6 У
т. е. и ^-es,+1.
B) Пусть / £ П X,. Тогда / (/) g X.- для каждого / g /. Рас-
I'eJ
суждая, как и в A), получим /(/)€5,-. Так как /s5,-,
то / s StxSj и, наконец, / g 51 E,-xS,-). Следовательно,
(Il^
Так как 5,6 5—S, то результат следует из леммы 5 и теоре-
теоремы 3.1. ■
Пусть г, s£5. Если существует единственное / £ S, для ко-
которого
§ 4. Универсумы 41
положим r\s—t; в противном случае (т. е. если таких t не
существует или их больше одного) мы положим г fs = 0. Опе-
Операция Г важна, так как обладает следующими свойствами:
A) если /^ функция и s£dom(r), то rts = r(s);
B) rts$S для всех г, s£S.
§ 4. Универсумы
Пусть S — некоторое множество индивидов.
Определение. Подмножество U множества S называется
универсумом с индивидами S, если
A) 0€t/;
42) SsU;
C) если х, y£U, то {х, у} € t/;
D) U транзитивно в S.
Следующее утверждение является очевидным следствием
предыдущего параграфа:
Следствие 4.1. § является универсумом с индивидами S.
Важно отметить, что универсум автоматически удовлетво-
удовлетворяет следующему свойству замыкания:
Теорема 4.2. Если r,s£U, то <r,s>£U и r\s£U.
Доказательство. По определению {г, sj и {г} = {г, г} при-
принадлежат U. Следовательно, то же относится к <r, s> =
= {{г}, {г, s}\. Если r\s = 0, то, конечно, rfs^U. В про-
противном случае r\s есть то единственное t, для которого
<s, t>£r. Так как U транзитивно, то <s, t>£U. Используя
транзитивность еще дважды, получим {s, t}£U, t$U. m
Суперструктура S называется также стандартным универ-
универсумом с индивидами S, или иногда просто стандартным уни-
универсумом. Мы покажем, как можно построить другой универ-
универсум, так называемый нестандартный универсум, чьи индивиды
включают элементы S и чьи свойства тесно связаны со свой-
свойствами S.
Для этой цели выберем /—некоторое непустое индексное
множество (позже мы захотим уточнить /); пусть F — ультра-
ультрафильтр на /, и пусть (х—мера, порожденная F. Мы скажем,
что некоторое свойство элементов / выполнено п. в. (почти
всюду) или для почти всех б, если множество элементов /,
для которых это свойство выполнено, имеет меру 1 (или, что
то же самое, множество тех элементов, для которых свойство
ложно, имеет меру 0).
42 /. Универсумы и языки
В нашей конструкции мы используем функции /, отобра-
отображающие / в S; для таких / мы пишем /6 = /(б) для каждого
б£/. Для каждого n£N обозначим через Zn множество всех
функций /, отображающих / в .§ и таких, что /б€5„ п. в. На-
Наконец, пусть Z= U Zn.
пй N
Существует естественное вложение стандартного универсума
S в Z. А именно, отождествим элемент г £5 с „постоянной"
функцией, такой, что
г6 = г для всех б £ /.
При /, g£Z0 мы пишем f ~ g, если fe = g'6 п. в. Имеет место
Лемма 1. Отношение ~ является отношением эквивалент-
эквивалентности на Zo.
Доказательство. Очевидно, что f~f и что f~g влечет
g~f. Предположим, что f~g и g~h. Тогда равенства
выполняются почти всюду. Далее, равенство
выполнено, как только оба равенства из (*) выполнены; сле-
следовательно, оно ложно самое большее на объединении мно-
множеств, на которых каждое равенство из (*) ложно, т. е. самое
большее на объединении двух множеств меры 0. Следовательно,
по теореме 2.6 f^ — hd п. в., т. е. f~h. ш
Теорема 2.6 использовалась в доказательстве леммы 1 для
вывода того, что если каждое из двух условий выполнено
почти всюду, то же самое имеет место для одновременного
утверждения1'. Мы часто используем теорему 2.6 таким об-
образом. (Конечно, то же самое доказательство показывает, что
отношение fe, = g(, п. в. является отношением эквивалентности
на всем 2, но нам нужен этот результат только относительно Zo.)
Для каждого /£Z0 положим
li Полезно заметить, что этот вывод не нуждается в использовании
теоремы 2.6. В самом деле, если исходные условия выполнены соответст-
соответственно на множествах А и В, то оба они вместе выполнены на пересечении
А[]В. Коль скоро А и В принадлежат ультрафильтру, то и А[]В по оп-
определению принадлежит ультрафильтру. —Прим. ред.
§ 4. Универсумы 43
так что Zo разбивается отношением ~ на непересекающиеся
классы эквивалентности J. Положим
Очевидно, что при х, у £S (в силу естественного вложения
эти х и у принадлежат Zo), если хфу, то х-Фу. Следова-
Следовательно, мы можем отождествить каждый элемент x£S с соот-
соответствующим элементом x£W, т. е. мы можем считать, что
S £ W, и говорить, что при x£S имеет место х = х.
Мы собираемся определить универсум W с индивидами W,
который мы называем нестандартным универсумом (соответст-
(соответствующим 5). Для этого требуется построить суперструктуру W,
которая, естественно, задается равенствами W0 = W, Wi+1 =
^WiU^iWi), W= \JW;. Нестандартный универсум W co-
is N
стоит из W вместе с некоторыми множествами из W, которые
будут уточнены далее.
Некоторых читателей может все еще беспокоить то, что
элементы W, которые, как мы только что видели, являются
„на самом деле" классами эквивалентности, рассматриваются
в связи с суперструктурой W как не множества. Мы рекомен-
рекомендуем им перечитать начало § 3, прежде чем двигаться дальше.
Для завершения определения нестандартного универсума W
мы должны выделить некоторые множества из W, принадле-
принадлежащих к W. Точнее, каждому элементу f£Zn мы сопоставим
некоторый элемент, соответствующий /£№„, и эти-то /и об-
образуют W.
Элемент f уже был определен для каждого f£Z0, причем
таким образом, что ]£W = W0- Пусть i^O, и предположим,
что ] определены для всех f£Zh причем таким образом, что
f£W;. Тогда при f£Z{+1—Z; определим:
f—это множество всех g, таких, что g £ Z,- « ga G /б п. в.
Тогда по предположению для каждого g£~f выполнено g£ Wt.
Следовательно, / s W{ и ~f£Wi + 1l. Таким образом, дано индук-
индуктивное определение / для всех /£Z; более того, /£Z; влечет
Н Не-
Неопределим, наконец,
и назовем W нестандартным универсумом, соответствующим 5.
(Конечно, W зависит, кроме того, от индексного множества /
44 /. Универсумы и язьти
и ультрафильтра F.) Мы увидим, что W и в самом деле яв-
является универсумом.
Так как S^.Z при нашем вложении, то для каждого эле-
мента г £ S найдется соответствующий элемедт г £ W. Элемен-
Элементы г, для которых г £ 5, называются стандартными элемен-
элементами W. Остальные элементы W (если они существуют)
называются нестандартными элементами. В частности, стан-
стандартными индивидами являются в точности элементы S, не-
нестандартные индивиды—элементы W—S.
Лемма 2. При f,g(-Z выполнено g$] тогда и только тогда,
когда £б£/б п. в.
Доказательство. Если g^J, то по определению ge€/e п. в.
Обратно, пусть / £ Zn и пусть gb £ f6 п. в. Поскольку /в является
множеством для почти всех б, невозможно, чтобы f6£S0*=S
п. в.; следовательно, п > 0. Тогда /б€^«—^ п- в- По лемме 2
§ 3 и по теореме 2.6 £б£.5п-1 п. в. Следовательно, g^Zn.t.
А тогда по определению g£/. ■
Лемма 3. Если /в = £6 «• в. и f£Zn, то g£Zn.
Доказательство. Утверждения /e£Sn п. в. и f6 = g6n. в.,
взятые вместе, влекут по теореме 2.6 £б£5„п. в. ■
Лемма 4. Ясли /, g£Z и fe = g6 «• в., то J = g.
Доказательство. Используя лемму 3, считаем, что /, g(zZn.
Если п = 0, то результат следует из определения. Так что
предположим, что /, g£Zn—Z0, n > 0.
Так как /в = ёб п. в., то имеем для каждого k£Z (по тео-
теореме 2.6):
п. в. тогда и только тогда, когда £а€&б п. в.
Следовательно, по лемме 2
k £/ тогда и только тогда, когда k6£f6n. в.,
тогда и только тогда, когда fta€j&n. в.,
тогда и только тогда, когда k£g.
Следовательно, J = g. ■
Лемма 5. Если f,g£Z uj^g, то fb^gb п. в.
Доказательство. Так как J, g— множества, то /,
Пусть
4. Универсумы 45
Мы хотим показать, что \х(А)=\. Предположим противное,
т. е. что ц(А) = 0. Определим функцию k следующим образом.
При 6 £/1 положим &б = 0; при 8£/ — А пусть /гй таково:
что &б€/б, но k6^g6. Так как для некоторого n,fb£Snn. в.,
то имеем (по лемме 2 § 3 и теореме 2.6) &5£Sn_T п. в. Сле-
Следовательно, k£Z Так как k6£fb п. в., то по лемме 2 к£]. По
предположению ft £g, т. е. &6£g6 п. в. Но k(,^g6 для всех
8£/— А, множеству меры 1. Это противоречие доказывает
лемму. ■
Комбинируя леммы 2, 4 и 5, получаем теорему.
Теорема 4.3. При f,g£Z имеем
A) f£g тогда и только тогда, когда /e£g6 п. в.
B)/ = ^ тогда и только тогда, когда /c = g6 п. в.
Доказательство. Надо лишь проверить „только тогда" в B).
Если f = g, то / £ g и gs f. Следовательно, по лемме 5 /e^ge
п. в. и geS/e п. в. По теореме 2.6 fe = gu п. в. ■
Лемма 6. Пусть f,g£Z. Пусть кб = Ц&, g&} для каждого
i
Доказательство. Пусть /б€5„ п. в. и ge,€.Sn п. в. Тогда по
теореме 2.6 и по лемме 10 § 3 &e£Sn+1n. в. Следовательно,
kZ
Так как /66^б и £5_€&б Для всех б £ /, то /, g€&. Пусть
Л—некоторый элемент &. Тогда /гй g /Се п. в. Так как из h6 б /Сб
следует А6 = /б или h6 = g6, то отсюда получается, что или
^6 =/s п. в., или hd — gb п. в. То есть нли/г = /, или h — g.
Следовательно, & = {/, g}. ■
Лемма 7. IF транзитивно в W.
Доказательство. Пусть ]£W,~f (^W. Тогда по определению f
состоит из элементов g множества W, т. е./slF.
Теорема 4.4. W является универсумом с индивидами W.
Доказательство. Сверившись с определением, мы видим,
что результат почти полностью содержится в леммах 6 и 7.
Остается показать, что 0 £W.
Имеем 0£S1sZ1. Далее,
0 = {il^€0 п. в.} = 0.
Следовательно, 0£#. ■
46 1. Универсумы и языки
Лемма 8. Пусть /, g, h£Z. Тогда h — {f, g} в том и толь-
только в том случае, если А6 = {/6, g6} п. в.
Доказательство. Пусть &5 = {/б>ёб} Для всех б. Тогда по
лемме 6 k = Q,g). Следовательно, по теореме 4.3 /i = {/,g) то-
тогда и только тогда, когда Ла = £б п. в., что и требовалось
доказать, ш
Лемма 9. Пусть f, g, h£Z. Тогда h = </, g> в том и толь-
только в том случае, если ht> — </с, g&> п. в.
Доказательство. Пусть «б = {/б}> v6 = {f6, Ы. ^б = {«б, ^б}
для всех б£/. Тогда k6 = <f6,g6> для всех б£/. По лемме 6
u = {f\, v^={f,g} и Ъ = {и, v). Следовательно, по теореме 4.3
h= <], g> тогда и только тогда, когда h6 = k6 п. в., что и тре-
требовалось доказать. ■
Лемма 10. Пусть f,j;£Z. Пусть ^б = /б1'йгб для каждого
6 6/. Тогда k£Z и k = f\~g.
Доказательство. Пусть /б^5„п. в. Для каждого б g / дол-
должен иметь место один из следующих случаев:
A) k6 — это единственное т, такое, что <£б, m>£f6;
B) k6 — 0 и существуют /, т, такие, что 1фти <g6, О€/б.
<ge, ту е /el
C) /гв = 0 и не существует /л, такого, что <g6, m> g/6.
Один из пунктов A), B), C) должен быть выполнен п. в. (так
что k£Z), и мы имеем три случая.
Случай i
A) выполняется почти всюду. Тогда <ge> ^6> £ ft п. в. По
лемме 9 <g, &>€/• Предположим теперь, что <g, h>€f. По
той же лемме 9 <^б, /гб>€/б п-в- Следовательно, это послед-
последнее условие и A) должны выполняться одновременно почти
всюду, т.е. h(, — kb п.в. и h — k. Это показывает, что k = f\g.
Случай 2
B) выполняется почти всюду. Тогда на множестве элементов
б£/ меры 1 мы можем определить t6, u6, так, что t6=t=ub и
<ge. /e>€fe и <^в, иб>е/в- На множестве меры 0, на кото-
котором B) ложно, положим t6 = u6 = 0- Тогда t6, u6 gS^ п. в.,
так jito J, BgZ. По теореме_ 4.3 и лемме 9 <£,_£> $f,
<g, u>£f и по теореме 4.3 Гфи. Следовательно, f\g=0.
Но ka = 0 п. в., так что ~k~0.
§ 5. Языки 47
Случай з
C) выполняется почти всюду. Предположим, что <g, /*>£/
для некоторого h£Z. Тогда <gs, /*6>€/c п. в. Но это невоз-
невозможно, так как C) выполняется почти всюду. Следовательно,
J\g=0 = k. m
Лемма 11. Пусть /, g, h£Z. Тогда h = j\g в том и только
том случае, если hs = fб\ёб п. в.
Доказательство. Пусть k6 = f6\g6 для всех б, так что по
лемме 10 k = f\g. Теперь теорема 4.3 дает требуемый резуль-
результат. ■
Объединяем леммы 9 и 11 в виде следующей теоремы:
Теорема 4.5. Пусть /, g, h£Z. Тогда
AIг=</, g> тогда и только тогда, когда h6 = <f6, g&> п. в.;
B) h = f\g тогда и только тогда, когда /i6 = /efg6 п. в.
Теорема 4.5 является частным случаем важной теоремы
Лося и используется при доказательстве этой теоремы.
§ 5, Языки
Для каждого универсума U построим соответствующий
язык 2?ц (или просто 3), который используется для форму-
формулировки утверждений об U. Конечно, эти "языки" сами по
себе являются точно определенными математическими объек-
объектами.
Основой каждого языка 3? является множество Л, назы-
называемое алфавитом J?', члены которого называются символами.
(Читателю не следует выводить философские заключения из
нашего использования слова "символ". Это использование
отражает природу объектов не более, чем, например, термин
"точка" в каком-либо "пространстве".) Мы предполагаем, что
никакой элемент Л не является конечной последовательностью
других элементов из Л; в остальном Л может состоять из
произвольных объектов.
Запишем Л в виде
где Л1 и Лг не зависят от конкретного универсума U. Мно-
Множества Л1Г Л2, Л3 попарно не пересекаются. Мы выбрали для
наших символов обозначения, которые должны подсказывать,
какой "смысл" мы в них вложили. Однако, для того чтобы
48 1. Универсумы и языки
подчеркнуть формальную и абстрактную природу нашей кон-
конструкции, символы печатаются полужирным шрифтом.
A) Символами, принадлежащими Ли являются
B) Символы, принадлежащие Лл, называемые переменными,
образуют счетное бесконечное множество:
"i "а "з • • • •
C) Множество Л9 находится во взаимно однозначном соот-
соответствии с универсумом U. Для каждого b £ U элемент из Лъ,
соответствующий Ь, обозначается b и называется именем Ь.
Символы из Л3 называются константами (языка J?). Конечно,
в общем случае Л3 бесконечно и даже несчетно.
Конечная последовательность символов алфавита & назы-
называется выражением в $. Например,
является выражением (длины 2).
Выражение \х называется термом (языка J?, или, короче,
в &), если существует конечная последовательность ц1? ц2, ...
..., |Л„ = \х выражений, такая, что для каждого i, 1 =s^ / <! /г, или
A) [i{ — переменная, или
B) (х£-—константа (языка &), или
C) Ц[ = ^^, |xft) , где /, k < i, или
D) fx,- = ((j.yjjuj^), где /, k < i.
Выражения
(x,fx2) и <(х3Гх2), х3>
являются примерами термов.
Заметим, что в C) и D) мы пишем "=", а не "=". Запись
D), например, является сокращением для следующего: [it со-
состоит из "(" далее следует выражение \if; далее "f", далее
выражение \xF, далее ")". Терм, не содержащий переменных,
называется замкнутым или закрытым термом.
Выражение а называется формулой (языка &, или, короче,
в £), если существует конечная последовательность выражений
at, a2, ..., а„ = а, такая, что для каждого i, l^t^n, или
A) a,- = ((i, = v), где |х и v термы в S?, или
B) а,- = ((xev), где |х и v термы в =2', или
C) а, = па/, где / < i, или
D) а. = (ау &ak), где /, ft < i, или
E) а, = Cх/ 6jj,)aft, где1' k<i и (х-терм в J?, в который
не входит х,-.
Обычно |i будит или константой, или переменной,
§ 6. Семантика 49
Пример формулы:
Выражения вида Cx,€ji) называются кванторами сущест-
существования.
Данный символ может входить в выражение более одного
раза. Например, переменная xs входит в формулу
((ххбх2
в качестве третьего, десятого и пятнадцатого символа.
Мы говорим о первом вхождении х1 как о свободном, а об
остальных двух — как о связанных в следующем смысле:
Вхождение переменной х,- в формулу а называется связан-
связанным, если существует формула [3, являющаяся частью а, со-
содержащая данное вхождение х, и такая, что р имеет вид
(Эхг-€}х)у. Вхождение х,- в а, не являющееся связанным, на-
называется свободным.
Формула (в J?), не содержащая переменных со свободными
вхождениями, называется высказыванием (языка S, или, ко-
короче, в 3).
Например, формула
(ЭХХ6Ь) ~1 (ЗХ2€С) (х^Х,)
является высказыванием, так как все вхождения переменных
в нее связаны.
Пусть ц — терм в 3, и пусть среди х,-,, ..., х, содержатся
все переменные, входящие в \\ (а, возможно, также и другие).
В этом случае мы пишем
и через [I (Ьг, ..., bfc) обозначаем замкнутый терм, получен-
полученный заменой каждого вхождения х,-, на Ь±, х,2 на Ь2 и так
далее. Для формулы а в Л~ мы пишем
когда все переменные, имеющие свободные вхождения в а,
включены в список х,,, ..., xIfc. В этом случае через
a(t>i, ..., bk) обозначаем высказывание, полученное заменой
каждого свободного вхождения х/, на Ьх, х/2 на Ь2 и так далее.
§ 6. Семантика
Предполагается, что каждый замкнутый терм в J?^ ''пред-
''представляет" определенный элемент в U и что каждое высказы-
высказывание в J?'и образует утверждение, истинное или ложное,
50 1. Универсумы и языки
об U. Мы приступаем к уточнению этих понятий, или, как
говорят, к формулировке семантики для £?и.
Пусть \х — замкнутый терм в 3"ц. Мы определим значение
|ц|у (или просто | ц |) следующим образом:
A) \Ъ\и — Ь для всех b£U,
B) | <Ц, v> |у = <|ц|у, |v|y>,
C) |(иМ|с/ = (Нс/ЖМУ).
Это определяет \\i\u рекурсией по длине \к. То, что
||-i|i/€^> следует сразу (по индукции) из теоремы 4.2.
Определим теперь по рекурсии U\zа (читается "а истинно
в U"), где а — высказывание в J?'и:
A) (/J=(jj, = v) тогда и только тогда, когда | j-i |у = | v |у,
B) U\=:{iiev) тогда и только тогда, когда (\ц \и) £ (j v|y),
C) U\p~\a тогда н только тогда, когда не верно, что £/|=а,
D) С|=(а&Р) тогда и только тогда, когда U\za и С[=р,
E) и\=(Зх{е\1)а(Х[) тогда и только тогда, когда £/|=а (с)
для некоторого c^l^ly-
Это определение представляет собою рекурсию относительно
общего числа вхождений символов -|, &, 3 в высказывание.
Пункты A) и B) определяют £/f=a в случае, когда это число
равно 0, а пункты C), D) и E) сводят рассмотрение U\=a
для а, у которого это число > 0, к рассмотрению U)p$ для
одного или более высказываний р, у каждого из которых это
число меньше, чем у а. Заметим, что из-за того, что мы
имеем дело с высказываниями, ц, v в A) и B) и ц в E)
должны быть замкнутыми термами, так что значения |ц|у.
\v\u определены.
Читатель, не встречавший до сих пор подобных опреде-
определений "истинности", может найти, что в нем имеется пороч-
порочный круг. И в самом деле, определение мало помогает, если
надо установить, верно ли U\=a для сложных высказываний а.
(При некотором навыке легко построить такое высказывание а,
что 5|=сс эквивалентно гипотезе Римана или какому-нибудь
другому открытому вопросу классической математики.) Важно
то, что интуитивное понятие "истины" было сделано точным,
причем таким способом, который позволяет нам доказывать
важные теоремы об этом понятии.
Если неверно, что U |= а, то мы пишем t/tfa и говорим,
что а ложно в U.
Формулы в 3и могут использоваться не только для фор-
формулировки утверждений об U, но также для определения
подмножеств U.
Определение. Пусть A s U. Тогда А называется опреде-
определимым (или определимым подмножеством U), если существует
§ 7. Теорема Лося 51
a~a(xi) в Л?и, такая, что
В этом случае а называется определением А в &ц.
Введем теперь с помощью сокращений некоторые основные
логические операции, которые не были непосредственно пре-
предусмотрены в Su- Пусть а, Р — произвольные формулы языка
S М полагаем
Также положим
Прямым вычислением, используя определение (=, получим
U\=(a\/R) тогда и только тогда, когда U\=a или
^t=P;
G[=(a-»P) тогда и только тогда, когда U&ia или
(У(=(а<->Р) тогда и только тогда, когда либо U\=a
и £/f=p, либо Utita и [/ fctP;
У(=(Ух,е,и)а(х,-) тогда и только тогда, когда U\=a(c)
для всех с £ | [х |у.
§ 7. Теорема Лося
В § 6 для каждого универсума U мы построили язык 3V.
Однако имеется ровно два универсума, с которыми мы будем
работать: стандартный универсум S и нестандартный универ-
универсум W. Впредь будем обозначать
Кроме того, если \i—замкнутый терм в 2, то положим
| fx | = | ц \j>, а если [х—замкнутый терм в *&, положим |fx|^. =
= |ц|«^?1)- Наконец, если a — высказывание в J?, пишем
\=а вместо S[=a, а если a—высказывание в *=2!>, то пишем
*t=a вместо W\=a.
Выразительная сила языка 3? очень велика. А именно,
как станет ясно в дальнейшем, все утверждения классической
математики выразимы в 2'.
1) Ввиду обозначений, принятых в начале § 6, следовало бы писать
IH IM \\ \\n д
52 /. Универсумы и языки
Пусть К—терм (формула) в «5. Обозначим через *Х терм
(формулу) в *,3'\ полеченный из ^заменой каждой константы Ь,
встречающейся в К, на соответствующую константу Ь. [Мы
используем тот факт, что Ь является (стандартным) элемен-
элементом W при каждом b£S.] Если, в частности, b £ 5 для каж-
каждого b в К, то *Х — Х. [В этом случае К одновременно слу-
служит термом (формулой) и в £?, и в *J?\]
Решающим моментом в построении нестандартного универ-
универсума является тесная взаимосвязь семантик J(" и *J? отно-
относительно только что введенного отображения.
Теорема 7.1. Пусть |х = |х(х,1, ..., х,-), где п^О, есть
терм в Я'', пусть g1, g2, ..., g"£Z, и пусть
g = IV(g1 i")|*-
Тогда
ft = ||A(gi, • ■-. g?)l п-в-
Доказательство. Доказательство индукцией по числу /г
вхождений "(" и "<" в и.
Во-первых, пусть k — 0. Тогда ц должно быть или пере-
переменной, или константой. Если \а — переменная, то можно
записать
[i = Xi. при некотором /, l^.j^Zn.
Тогда g— \gJ'\* =gJ. По теореме 4.3
g6 = g& п. в.
Но для каждого б £ /
g'« = IMge. •••. g8)l.
что дает нужный результат. Если j.i — константа, например
^i = b, b£S, то *|x = b и
Следовательно, по теореме 4.3
g& = b п. в.
(Разумеется, если b£ S, то b^ = b для всех б.) Но для всех S
6 = |b| = |n(gi, ..-. gg)|.
что опять дает искомый результат.
Разобрав случай /г = 0, предположим, что k > 0, и рас-
рассмотрим два случая:
§ 7. Теорема Лося 53
Случай i
№— <v» TI)» гДе v> Ц СУТЬ термы, содержащие каждый менее
k вхождений "(" и "<". Пусть
По индуктивному предположению
j)| п. в.
и
*e=-h(ge. gi ..., gg)| п.в.
Теперь по определению Ij.iI*
£=<a, h.
Следовательно, по теореме 4.5 и определению | jx |
g6 = 06, h> п. в.
= <|v(gj, gl, ..., gg)|, hfei, g5 gg)|> п.в.
Случай 2
^^(f^), где v, r\ суть термы, содержащие каждый менее k
вхождений "(" и "<". Доказательство в этом случае пол-
полностью такое же, как доказательство случая 1. ■
Следствие 7.2. Пусть jx = [x(x,-i, ..., х,-) терм в «2\ и
пусть g1, ..., g" £ Z. Пусть для каждого б £ /
Лв = | И (вв. •••- ge)l-
h£Z и
h = \*[i(t, •••- g")|*.
Доказательство. Предположим на время, что h£Z, пусть
По теореме 7.1 g6 = h6 п. в., так что по теореме 4.3 g = h —
требуемый результат.
Мы покажем, что h£Z с помощью индукции, подобной
той, что использовалась в доказательстве теоремы 7.1.
Если (л константа, jj. = b, то Нь*=Ь для всех 6 и/igZ; если
fx = xy то h =
54 1. Универсумы и языки
Продолжая индукцию, пусть |x=(v, цу и пусть
^б= |v(g^, .... gg)|,
'e=h(gS, •••- g8)l
для всех б£/. По индуктивному предположению мы можем
считать, что k6, k € Sm для некоторого т и почти всех б.
Тогда в силу леммы 13 из § 3 h6£Sm+2 для почти всех б.
Наконец, если n = (vfr]), аргументы почти такие же, за
исключением того, что теперь hs<zSm п. в. (как в доказатель-
доказательстве теоремы 3.2). ■
Теорема 7.3 (теорема ЛосяI). Пусть а = а(х,1, ...,х,п),
где'п^О,—формула в g, и пусть g1, ...,gn£Z. Тогда
*f=*a(g\ ...,g")
тогда и только тогда, когда
t=a(g«. •••. gg)«. в.
Доказательство. Доказательство индукцией по числу k
вхождений в а символов ~1, &, 3- Если это число 0, то
a = ([х = v) или a = (jx e v)
для некоторых термов \а, v. Пусть сначала a = (fx = v), так
что *a = (*n = *v). Используя теоремы 7.1 и 4.3, получаем
*^*a(is .... g»)
тогда и только тогда, когда
1№. ..-, g") I. Ч* v (g1, •-.,g'i)|*,
тогда и только тогда, когда
ЫЙ, •■•, g6)| = |v(g16 gg)| п. в.,
тогда и только тогда, когда
|=a(ge, •■•. gg) п. в.
В случае a = (|W€v) доказательство дословно то же с заменой
в двух местах "=" на "^".
Предположив, что k > 0, следует рассмотреть три случая:
Случай i
a = ~l|J. Используя индуктивное предположение, заключаем,
что
*E*a(gl, .... g")
2) Обсуждение теоремы Лося в более широком контексте смотри у Белла
и Сломсона [1].
§ 7. Теорема Лося 55
тогда и только тогда, когда
тогда и только тогда, когда неверно, что
t=P(gi. ••■, gg) п. в.,
тогда и только тогда, когда
btp(go. •■•, gg) п. в.,
тогда и только тогда, когда
W=«(ge. •••- ge) п. в.
Случай 2
а = ф & у). Тогда, используя индуктивное предположение,
*|=*a(g1, .... g»)
тогда и только тогда, когда
*t=*P(g\ .... g») и *t=*Y(gx g"),
тогда и только тогда, когда
hP(ge. .... gg) п. в. и |=y (gj gg) п. в.,
тогда и только тогда, когда
\=а(й> .... gg) п. в.
Случай з
а (х,„ .... х(„) == Cxft е ц) р (хА, х/„ . .., х,„),
где ^ = [х(х^, ..., х,„)—терм в 2. Предположим сначала, что
*(=*a(g1, . .., g") и пусть /i = |*|x(g\ . ..,g")|». На основании
семантики языка *3?, существует g£W, такое, что
g€ft и *t=*P(g. g1. •••> g").
Тогда по теореме 4.3 и по индуктивному предположению
g6£h6 п. в. и (=P(g6. ge ge) п. в.
Кроме того, по теореме 7.1
^6 Ч И (gs. • • •. ge) I п. в.
Следовательно, для почти всех б £ I имеет место
!=«($, •••»ge),
что и требовалось доказать.
56 1. Универсумы и языки
Обратно, пусть
t=«(ge, •••• ge) п- в.,
т. с. пусть это условие выполнено для всех б £ А, где ц (А)— 1.
Пусть ftв = | (.1 (ge, . . ., gg) | для всех б £ /. В силу следствия 7.2
/i£Z, например hu£Sm п. в. Тогда для каждого б£Л суще-
существует такое t — t(b), что /£fte и
t=P(t, gl 88)-
Пусть g—отображение I в S, определенное так, что g(&) = t (б)
при 6 £Л, g(b) = 0 при б(£Л. При транзитивности Sm имеем
gt,£Sm для каждого б£Л, такого, что fte €5га; следовательно,
ge€Sm п. в., так что g^Z а для почти всех б выполнено
gs€u6 и t=p(ge, gj, .... gg).
По теореме 4.3 и индуктивному предположению
Г I1, .... g").
Кроме того, по следствию 7.2 ft = |*>(g1, ..., g")|*. Следова-
Следовательно,
*\=*OL(g\ ..., g"). В
Важным случаем теоремы Лося является случай /г = 0, дающий
а^ Пусть ос—высказывание в S'. Тогда
*^=*ос тогда и только тогда, когда (=а.
Принцип переноса образует один из основных инструмен-
инструментов нестандартного анализа. Математическая теорема, экви-
эквивалентная (= а (при некотором высказывании а в S), может
быть доказана посредством демонстрации того, что *(=*ос. Заме-
Заметим, что если а содержит только константы вида b npnfrgS,
так что *а = а, то принцип переноса допускает более простую
форму:
*(=а тогда и только тогда, когда \=а.
Теорема Лося может быть использована для определения
важной операции на определимых подмножествах S.
Теорема 7.4. Пусть a = a(xt), р = C(хг)—формулы в 3',
причем
{b€S||=a(b»={b€$||=p(b)}.
Тогда
\g£ W |*t=*a(g» = {~g<=. W |*|
§ 7 Теорема Лося
Дикилииельипш. 1кпольз>я ieopeiny Лося, имеем
*(=*а (g) тогда и только тогда, когда (=a(g6) п. в.,
тогда п только тогда, когда f=P(ge) п. в.,
тогда и только тогда, когда *|=*р (g). ■
Эта теорема оправдывает
Определение. Пусть А = {£>£ S |a(=aF)}, где a—формула
в 3?. Тогда положим
Только что доказанная теорема гарантирует, что М зависит
только от множества А, а не от частной формулы а, исполь-
используемой для определения А.
Следствие 7.5. Пусть г — множество из S. Тогда г—опреде-
г—определимое подмножество универсума S и *г = г.
Доказательство. Имеем
Следовательно,
•r = {g€W *\=(ger)\
С другой стороны, S само по себе является определимым
подмножеством универсума S; например, используя формулу
а(х1) = (х1 = х1), имеем
(хотя S, очевидно, не является1) элементом универсума S).
Следовательно,
Здесь и далее мы обозначаем U—S, т. е. мы используем
букву U исключительно для обозначения стандартного универ-
универсума. Тогда *£/ = W, и в нашем распоряжении имеется при-
приятное обозначение *U для нестандартного универсума.
х) Обычные аксиомы теории множеств запрещают х£х. Однако даже
без такого запрещения ясно, что S(£S. Действительно, если S£S, то
S£Sn при некотором п. Тснда S,1 + 1£Sn и даже Sn+1c5,,. Но $> (Sn) S
9~Sn + 1, откуда следует, что S,1 + 1 имеет мощность, большую, чем Sn.
58 1. Универсумы и языки
Для каждого t^O опять-таки U—S^S—S^S. (Если
S—S/ZS, то так как S,-£5, должно иметь место S =
= ((S-S,)US,.)€5.)
Множество U—S,- определимо с помощью формулы
-|(S)
Тогда, используя следствие 7.5,
=*u—st=*u—*s{.
Заметим также, что по теореме 4.3 /£S тогда и только
тогда, когда /e£S п. в., т. е. тогда и только тогда, когда
/£Z0. Но по определению W соотношение / £W выполняется
тогда и только тогда, когда /£Z0- Следовательно, S — *S — W,
и, полагая / = 0 в соотношении предыдущего абзаца, получаем
Замечание по поводу употребления звезды (*) вместо черты (~).
Так как для элементов х из U—S справедливо х = *х, то мы
можем по желанию использовать любое из двух обозначений.
На самом деле отображение "~" множества Z в W важно
только при построении W и не используется в приложениях.
Поэтому всюду с данного момента почти без исключения мы
будем использовать обозначение *. С целью полноты положим
также *х — х при x£S. Стандартными элементами *U яв-
являются в точности элементы вида *х при x£U.
Теорема 7.6. Если Л=5, то А^*А и *Af\S = A.
Доказательство. Пусть а£А. Тогда ^(ае А). По принципу
переноса *\=(ае*А), так как *а = а = а. Следовательно, а£ *А.
Это показывает, что А<=*А. Следовательно, As*A(]S.
Обратно, пусть a£*Ar\S. Так как a£S, то "а —а. Тогда
*f=(*ae*A), так что по принципу переноса (=аеА, т. е. а£А.
Использованием следствия 7.5 и теорем 4.3 и 4.5 сразу
получается
Теорема 7.7. Пусть х, y£U. Тогда
A) х~у тогда и только тогда, когда *х = *у,
B) х £ у тогда и только тогда, когда *х £ *у,
C) •<*, */> = <**, *#>,
D)
§ 7. Теорема Лося 59
Теорема 7.8. Пусть А, В—определимые подмножества U.
Тогда
(A U В)* = Л* и В*,
(ЛПВ)* = /1*ПВ*,
(Л — 5)* = Л* — В*.
Доказательство. Пусть А — {b£ V \\=а (b)}, 5 = {5^t/|
|=Р(Ь)}. Тогда
Следовательно,
Остальные случаи аналогичны, ш
Следствие 7.9. *0 = 0, *{alt ..., ak} = {*ait ..., *ak\.
Доказательство. Используя теорему, имеем
Кроме того, если с = {а} = {Ь £ *U ||=(b = a)}, то *с =
= {b£*t/ |*i=(b = *a)} = {*а}. Это случай &=1 требуемого
утверждения. Переходя к индукции и применяя теорему, имеем
•{alf ..., ak, ak+1} = *\a1 ak}V\ak+1})
= *{fll> .... ak}(j*{ak+1\
Теорема 7.10. *^У = U *(S,).
o
« = o
Доказательство. Так как каждое S^U, то имеем *S,-^i/.
И так как *£/ транзитивно, то *Sfs*f/. Следовательно,
U Si<=*U.
(=0 _
Обратно, пусть f£*U = W. Тогда / € ■Z/ для некоторого
t£A/. Следовательно, /б€$; п. в. и теорема 4.3 влечет / £ S,-=
= *S,. ■
60 1. Универсумы и языки
Введем теперь некоторые соглашения, которые сокращают
формулы в Jz? и *J2? и облегчают их чтение.
A) Мы свободно используем полужирные буквы в качестве
переменных; это позволяет нам отражать обычное математи-
математическое использование (т. е. п для натуральных чисел, f для
функций и т. д.).
B) Скобки в формулах опускаются, если они не нужны
для понимания.
C) Мы употребляем русские фразы напечатанные полужир-
полужирным шрифтом (в сочетании с математическими обозначениями)
вместо соответствующих формул в JaP; способ такого употреб-
употребления будет ясен из приводимых ниже примеров.
1. X есть множество. Это просто замена формулы
а = а (X) = (X = 0) V (Эх е X) (х = х).
Конечно, А в действительности является множеством (в §)
как раз в случае |=а(А), т. е. в случае
\=.А есть множество.
2. XS Y. Соответствующая формула (содержащая две сво-
свободные переменные) — это
X есть множество &Y есть множество & (Vх e X) (xe Y).
Естественно, (=(А£В) в точности тогда, когда А, В суть
множества и А £ В.
3. Z = XX Y заменяет собою формулу:
(VzeZ)CxeX)CyeY)(z=<x, y>)
&(VxeX)(VyeY)CzeZ)(z=<x, у».
4. f отображает X в Y служит сокращением для
X есть множество & Y есть множество & f есть множество
4(VxeX)(VyeY)(<x, y> e f ^ у = f Гх)
<fe(VxeX)Cy€Y)(<x, y> ef)i>
f отображает X на Y служит сокращением для
f отображает X в Y &(Vy e Y)Cxe X) (y = f [ х),
х) Конъюнктивный член (Vх е X) (ЗУ бУ)({х, у) 6 f) в английском
оригинале отсутствует. Однако без этого члена формула задавала бы не
отображение множества X в множество Y, а лишь (частичное) отображе-
отображение из множества X в множество Y, т. е. функцию, определенную на не-
некотором подмножестве множества X,— Прим. ред.
§ 7. Теорема Лося 61
В приложениях часто бывает необходимым вычислять *А
и *а для различных конкретных множеств А и формул ее.
Рассмотрим приведенные выше примеры в этой связи.
1. Для формулы X есть множество имеет место *сс = сс (так
как *0 = 0). В стандартном универсуме а определяет мно-
множество U—S. Следовательно, в нестандартном универсуме
она определяет *(U—S), которое, как мы только что видели,
совпадает с *U — W.
2. Предпопожим, что A s В, A, B£U. Тогда f= A £ В.
По принципу переноса
*[= *А множество &*Ъ множество & (Vxe*A) (х е*В).
Используя семантику *<£, заключаем, что Мд'В. Доказана
Теорема 7.11. Если A, B£U и А^В, то *А^"В.
Теорема 7.12. Пусть В £ U, A^"U, и пусть А <=*В. Тогда
А£*Р{В).
Доказательство. По теореме 7.10 A£*S{ для некоторого
i£N. Пусть Р = Р(В). Имеем
f=(VXeS,)(XSB-*XeP).
По принципу переноса
• |= (VX e *S,) (X S *В -»X е *Р).
Из семантики *£? следует А € *Р. ш
3. Так как формула, сокращенная в виде Z = XX V, не
содержит констант, то операция * оставляет ее неизменной.
По принципу переноса получаем
4. Пусть / отображает А на В. Тогда, используя принцип
переноса,
• (= (V t е *f) (Эх е *А) (Эу е *В) t = < х, у >,
*t=(Vxe*A)(Vy6*B)(<x, y> 6*
= *f Г х).
Мы заключаем, что */ есть функция, отображающая *А
на *В. Тот факт, что оператор * переводит функции в функ-
функции очень важен. Более того, имеет место
Теорема 7.13. Пусть /б U—фцнщчч, и пусть С s ilom (/).
Тогда
62 1. Универсумы и языки
Доказательство. Имеем
/[C] = {6^|M3ceC)(b = f Г с)}.
Следовательно,
*(/ [С]) = \ь е >и h 1= (зс с *с> (ь=*\ r с)}
Важным частн1 м сличаем является случай A, BsS.
В этом случае А я^ Л В^'В (по теореме 7.6). Если а£А
и Ь = /(а), то (= (b = f fa), так что по принципу переноса
*f=(b = *f Га). т-е- b--^*f{a). Таким образом, показано, что
в этом случае */ совпадает с / на Л. Другими словами, */
просто продолжает / с А на *А. В этом случае (т. е. когда
dom (/) s dom (*/) и "f является просто продолжением /) мы
часто опускаем *, записывая f вместо */.
В более общем случае, если г есть отношение г ^ Ах В,
тогда по теореме 7.11 и ввиду вышеприведенного примера 3
VS*(j4xB) = Mx*B. Аналогично предыдущему, если A, B^S,
r^*r: ведь если <а, &>€''. то f=<a, b> €г, так что
* \= <а, b>e*r и, следовательно, <а, 6>^V. Как и в случае
функций, мы часто опускаем * в данной ситуации, записывая
г вместо *г.
§ 8. Направленность, бесконечные целые числа,
внутренние множества
Хотя мы в достаточной мере развили технику нестандарт-
нестандартного анализа, все это до сих пор несколько бессодержательно.
Мы даже не показали еще, что S с W, а только лишь, что
SsW. Конечно, если S = W, то S = W = W и трудно ожидать
от нестандартного универсума чего-нибудь впечатляющего.
И действительно, легко видеть, что без дополнительных пред-
предположений относительно индексного множества / мы не можем
исключить этот вырожденный случай. Например, если 1~{а\
состоит из одного элемента, то единственным ультрафильтром
на / является F = {I}. Тогда \iF@) — O, цРA)=1 и, очевидно,
W — S. Это равенство сохраняется, пока / остается конечным.
В этом параграфе мы выберем в качестве / очень большое
множество1). Ключевым понятием здесь является понятие
направленности.
1) Впрочем, для того чтобы прийти к строгому включению Sell7,
т. е. к существованию нестандартных элементов, не обязательно выбирать /
столь большим (и столь сложным), как это делается далее в данном па-
параграфе с целью получить теорему 8.1. В случае бесконечного 5 доста-
достаточно положить / = S и задать на / какой-либо нетривиальный ультра-
ультрафильтр. Примером нестандартною индивида можег служить тогда эле-
§ 8. Направленность, бесконечно целые чш т 63
Определение. Отношение г называется направленным отно-
относительно U (или просто направленным), если r£U, и как
только alt ..., an£dom(r), найдется такой элемент Ь, то
<aitb}^r при /=1, 2, ..., п.
Нам встретится большое число направленных отношении.
В качестве первого примера, рассмотрим для каждого k£N*
отношение
Так как
<А, B>£rh влечет A, B£Sk+i,
влечет <Л, B>£Sk+3,
то rk^Sk+3 и r6Sft+4. Поэтому rft££/.
Для того чтобы убедиться в направленности гк, пусть
Ах, ..., A,,^dom(rk). To есть пусть
Пусть 5 = Sx U • • • U Вп. Так как А { s 5,- £ 5ft при г == 1, ...,«,
то /4fs5sSft. То есть <Л;, By^rk при i=l, ..., п.
Основным результатом о направленности является
Теорема8.1. Теорема направленности1). Пусть отношение г
направленно относительно U. Тогда существует такой элемент
b£*U, что <*й, Ь> £*г для всех я £ dom (г).
Для каждого конечного подмножества А множества dom (r)
определение направленности дает элемент qA£ U, такой, что
<й, qA)(zr для всех а^А.
Интуитивно теорема направленности дает элемент Ь, являю-
являющийся в некотором смысле „пределом" этих qA, когда А „стре-
„стремится" к dom (r).
Мы не можем доказать теорему направленности без допол-
дополнительной информации об индексном множестве / и об ультра-
ультрафильтре F, используемых в построении W. В действительности
мент /, вычисленный для функции / £ 20, задаваемый равенством /в = б
при всех S £ /. Очевидно, / £ W. Покажем, что /^5. Действительно,
для любого элемента г £ S отождествляемая с ним функция г £ Zo, зада-
задаваемая равенством ''g==r (при всех б £ /), совпадает с / лишь на одно-
одноэлементном множестве {г} с I- Никакое одноэлементное множество не
может принадлежать нетривиальному ультрафильтру. Поэтому / ~ г не
имеет места, т. е. JФ г = г.— Прим. ред.
1) Теорема и доказательство заимствованы из статьи Робинсона [11],
64 1. Универсумы и языки
мы определим теперь / как множество всех таких функий а,
что
A) а определена на множестве направленных отношений
r£U и
B) для каждого такого г значение а (г) есть некоторое ко-
конечное подмножество множества dom(r).
Мы введем следующие обозначения (используемые только
в доказательстве теоремы направленности).
При а, р£/ пишем а<р для обозначения того, что
а(г)^Р(г) для каждого направленного r^U. Так же при
а, Р£/ пишем у = а\/Р для обозначения того, что у(-1
определена так, что
у (г) = а (г) Up (r).
[у £ / так как объединение двух конечных подмножеств dom (r)
является конечным подмножеством dom (г).] Далее, для каж-
каждого а £/ обозначим
Тогда имеем следующую лемму.
Лемма 1. ГцПГр —ravp.
Доказательство.
у 6 Г« Л Гр тогда и только тогда, когда а < у, |3 < у;
тогда и только тогда, когда для всех г
a(f) = YC). Р @^7@;
тогда и только тогда, когда для всех г
a(r)UP(r)=Y(O;
тогда и только тогда, когда a V Р < у,
тогда и только тогда, когда убГаур. в
Лемма 2. Пусть G = {Га|а£ /}. Тогда G — бйзис фильтра
на [.
Доказательство. Мы проверим, что G удовлетворяет трем
определяющим условиям базиса фильтра:
A) Так как а£Га, то для всех а£/ имеем ГаФ0. Сле-
Следовательно, 0 Фв.
B) Если Га, ГрбС, то по лемме 1 Г« Г1 Гр =raVp g G.
C) Наконец, если мы положим а0 (г) = 0 для всех направ-
направленных r(zU, то видим, что ао£/, так что Г„о£С.
Следовательно, G^0. ш
Используя следствие 2.3, условимся теперь, что Р—такой
ультрафильтр на I, что F^G, что завершает выбор F и /.
§ 5. Направленность, бесконечно целые числа в,5
Суммируем:
Лемма 3. F—такой ультрафильтр на I, что Ta£F для
каждого а £ /.
Теперь для доказательства теоремы направленности пред-
предположим, что г — направленное отношение г (zSk. Пусть / отоб-
отображает / в U так, что для каждого а£/ выполняется
<я. /<х> € г при всех а£а(г). Так как г направленно и а (г)—•
конечное подмножество dom (r), такое отображение существует.
Для каждого а выполнено (из-за транзитивности Sk) fa£Sk,
так что f £Z. Мы полагаем b = f, так что b£*U, и собираемся
показать, что b удовлетворяет заключению теоремы направ-
направленности.
Лемма 4. Для каждого а £ dom (г) выполнено <а, fa> £r п. в.
Доказательство. Пусть а—некоторый фиксированный эле-
элемент dom (r), положим
Мы хотим показать, что ixF(Ta)=\, т.е. Ta^F. Переходим
к доказательству этого. Определим Р£/, положив
{а}, если Х — г,
0, если Хфг.
По лемме 3 T^^F. Следовательно, достаточно показать, что
Гр s Та. Но последнее утверждение доказывается просто.
А именно,
из а £ Гц следует C < а,
следует P(r)sa(r),
следует а£а(г),
следует <a, fa>£r,
следует a g Та. ш
Теперь мы легко можем доказать теорему. Пусть b = f, и
пусть ha — <,a,fa> для всех а£/. По теореме 4.5 h = <a, f>—
== <*й, by. По лемме 4 /ia £ г п. в., так что по теореме 4.3
h£r = *r. Следовательно, <*a, by $*г, и доказательство теоремы
направленности закончено, ш
Предположим теперь, что iVsS, т.е. что натуральные
числа содержатся среди индивидов стандартного универсума.
Тогда, конечно, N£Slt так что N$S, !P(N)£S и так далее.
По теореме 7.6 Ns*N. Рассмотрим отношение
L = {<*, г/> | х € /V, у € Л', * < «/}.
66 /. Универсумы и языки
Отношение L, очевидно, направленно, так как dom(L) = W,
и если а1У . .., ап£ N, a b больше, чем аи . . ., ап, то a-JJ), . ..
.. ., anLb. По теореме направленности существует элемент
6£*У, такой, что
<а, by 6 *£
для всех a£/V (здесь *а = а, так как a£jVsS). Так как
L^Nx N, то получим (вспоминая рассуждения § 7) *L?='kN x*M.
Следовательно, b£*N. Верно ли, что b£N? Если да, то мы
можем написать *b — b и из *[=<*а, *b> e*L (для всех a£N)
получить (по принципу переноса) (= <а, b> e L, т. е. а < Ъ для
всех a£N. То есть, если b£N, то & является наибольшим на-
натуральным числом. Так как такого числа не существует, мы
вынуждены заключить, что b £ *iV — iV. Следовательно,
*N — N^=0. Так как b£*N — N, то по теореме 7.6 b^S; т. е.
b — нестандартный индивид. Мы получили, в частности, что
нестандартные индивиды существуют!
На самом же деле это рассуждение показывает, что нестан-
нестандартные индивиды существуют в точности в том случае, когда
S бесконечно. Ведь если S бесконечно, то N может быть вза-
взаимно однозначно вложено в S. Обратно, если S конечно, то
нетрудно показать, что нестандартных элементов не существует.
Естественно писать х < у при <х, г/> £ *L для всех х, у £ */V,
так как *L является продолжением отношения < с N на *N.
Мы также пишем хк^у для обозначения того, что или
х < у, или х = у.
То, что <—линейный порядок на N, может быть выра-
выражено с помощью
(= (VxeN)l(x < х)
t= (VxeN)(VyeN)(VzeN)((x <y&y<z)-»x<z)
< yvy<xvx = y).
По принципу переноса заключаем, что < линейно упо-
упорядочивает *N.
Покажем теперь, что элементы *N — N больше любого на-
натурального числа.
Теорема 8.2. Если u£*N — N и n£N, то п < и.
Доказательство. Проведем доказательство от противного.
То есть пусть
для некоторого n£N. Пусть п — минимальное из таких чисел.
Имеем
§ 8. Направленность, бесконечно целые числа 67
По принципу переноса
Ввиду семантики *£ё мы видим, что и ^ 0. Следовательно,
пфО. Итак, положив п = /п+1, получим m£N и
m < и ^т+ 1.
Но и и=£/п+1. так как /п+1 стандартно. Следовательно,
т < и < т+ 1.
Но
|= (VxeN)l(m < х < m+1)-
Так как u£*N, принцип переноса дает
* \= 1 (m < u < т + 1)-
Получаем противоречие. ■
Эта теорема приводит к следующему определению.
Определение. При u£*N мы называем и конечным, если
u£N, и бесконечным (или даже бесконечным целым числом),
если u£*N — N.
Следовательно, конечными элементами *N являются стан-
стандартные элементы, а бесконечными элементами *N являются
нестандартные элементы. До сих пор мы выявили только одно
бесконечное целое число. Но существует много других. Так,
имеется функция P£U, такая, что
Естественно обозначать
для произвольных т, n£*N. Таким образом, при и £ *N — N
н + 1, и + 2, м + 3, . ..£*Л/. Применив принцип переноса
к [= (Vх е N) (х < х + 1), где х —|— 1—сокращение для выра-
выражения Р Г < х, 1 > , получим
Следовательно, и-\-\, и-\-2 и так далее все являются беско-
бесконечными.
Аналогично для данных и, v£*N, н>и существует (по
принципу переноса) элемент z£*N, такой, что u = vJrz. Обоз-
/. Универсумы и языки
начим г = ы—v, так что (снова принцип переноса) г < и.
Следовательно, при u£*N — N имеем
...<« — 3< и — 2< и — 1 <«.
Каждый такой элемент *Л/ должен быть бесконечным, так как
если и — k, k£N, то u = (u—k) + k£N.
Итак, начав с бесконечного целого и, мы получаем „блок"
бесконечных целых:
Используя принцип переноса, мы видим, что не может
быть v£*N, для которого
и < v < и + 1.
Однако если дан некоторый „блок", то существует другой
„блок", состоящий из еще больших элементов. Например,
существует целое и + и, где u-{-k <« + « для всех k£N.
И это v~u-\-u само является частью блока
.. . <и—3<у—2 <и— 1 <у <и+1 <и + 2<У + 3< ... .
Конечно, и<и + и<^ + ^и так далее. Существуют даже такие
бесконечные целые, как а-и и ии и т.д.
Продвигаясь в обратном направлении, заметим, что если
u£*N — N, то или и, или и + 1 имеет вид и + и (по принципу
переноса). Здесь v должно быть бесконечным. Итак, не суще-
существует первого „блока", так как v < и. На самом деле порядок
блоков плотный. Для доказательства предположим, что блок,
содержащий v, предшествует блоку, содержащему и, т. е.
\<.. .<.. . <и — 2<и— 1
Или и + у. или « + у+1 может быть записано как г-\-г, где
v + k < z < и—/ для всех &, Z£jV.
Вывод: *N состоит из начального сегмента /V, за которым
следует упорядоченное множество „блоков". Порядок на этом
множестве блоков плотный без первого и последнего элемента.
Каждый блок сам по себе изоморфен в смысле порядка целым
числам
. . ., -—о, /, 1, и, 1, 2, о, ... .
Хотя *N — N является непустым подмножеством */V, оно,
как мы только что видели, не имеет наименьшего элемента
(так же как любой „блок"). Однако любое непустое подмно-
подмножество N должно иметь наименьший элемент. Не противоре-
противоречит ли это принципу переноса? Для современной логики
характерно получение ценных заключений из подобных кажу-
кажущихся парадоксов.
§ 8. Направленность, бесконечно целые числа 69
Теорема 8.3. Пусть A^*N таково, что A £*U, Аф0.
Тогда А содержит наименьший элемент.
Доказательство. Пусть P = !P{N). По теореме 7.12 А£*Р.
Далее, так как каждое непустое подмножество множества /V
должно содержать наименьший элемент, то
t=(VXeP)(X = 0 v Cm_eX)(VxeX)(m<x)).
Принцип переноса дает
* t=(VXe*P)(X=0 V Cm6X)(VxeX)(m ^ х)).
Так как А£*Р и А ф0, то из семантики *J2 следует, что
существует такой элемент т£А, что т^.х для всех х£А.
То есть т — наименьший элемент А. ■
Следствие 8.4. *N — N$_*U.
Доказательство. В противном случае оно должно содер-
содержать наименьший элемент. ■
Множества из W, принадлежащие *U, называются внут-
внутренними; множества из W, не являющиеся внутренними, на-
называются внешними: они и в самом деле расположены вне
пределов нестандартного универсума *U. Мы показали, что
множество */V — Л/ внешнее и, следовательно, что существуют
внешние множества.
Очень важно уметь показать, что те или иные множества
являются внутренними.
Теорема 8.5. (Теорема о внутренних множествах.) Пусть А—
внутреннее множество, и пусть В—определимое подмноже-
подмножество *U. Тогда множество А(]В внутреннее.
Доказательство. Имеем
для подходящей формулы а = а(х) в *&. Пусть g1, g2, .. ., g"—
все константы, входящие в а. Пусть уг, ..., уп суть п пере-
переменных, не входящих в а, и пусть у = у(х, ух, ..., уп) полу-
получается из а заменой каждого вхождения g' на соответствую-
соответствующую у,-. Следовательно, у является такой формулой в 3?, что
*У — у (потому что у не содержит констант) и
а(х) = Т(х, g\ -.., g»).
Используя теорему Лося,
B = {h_<t*U\*\=y(b, g\ .... g")}
=={п£*и\\= Y(hu, ge ge) п. в.}.
70 /. Универсумы и языки
Так как А внутреннее, то A=g для некоторого g£Z, напри-
например g(zZn- Определим k так, что
для всех 8£/. Так как g(,£Sn п. в. и для каждого б &б s ge»
то имеем &6£<Sn+1 п. в. и, следовательно, fe£Z. Покажем, что
k — Af)B, а это завершит доказательство.
Итак,
h £ Л тогда и только тогда, когда /i6g,
тогда и только тогда, когда h^^gs n. в.
Следовательно,
/1п5 = {Л£*[/|/гб €ft п. в. и (=?№«, ge, •••. Й) п. в.}
= {h€*U\h6 £k6 п. в.}
= |7i e*U\~heI} =1. ш
Следствие 8.6. Если В^А, где А—внутреннее и В опре-
определимо в *U, то В — внутреннее.
Доказательство. B = AftB. m
В качестве приложения получим
Следствие 8.7. N—внешнее множество.
Доказательство. Предположим, что N — внутреннее, т. е.
N£*U. Тогда *jV — N было бы определимо с помощью
(Существование константы N в *jg предполагается на осно-
основании того, что N — внутреннее множество.) Так как *N —
внутреннее множество и *N — N s *N, то должно получиться,
что и *N — N — внутреннее множество Это противоречит
следствию 8.4 г). ш
г) Полезно также
Следствие 8.7'. Если A^S и А бесконечно, то А—внешнее множество.
Доказательство. Для случая счетно-бесконечного А доказательство
такое же, как для N (если угодно, мы можем считать, что А и есть N;
говоря более точным языком, надо рассмотреть на А линейный порядок,
изоморфный порядку < на N). Если теперь А — произвольное бесконеч-
бесконечное множество индивидов, то выделим в нем счетно-бесконечное и (потому
заведомо внешнее) подмножество В. Множество *В — внутреннее, и, сле-
следовательно, определимое в *U [например, с помощью формулы (х е *В)].
Далее, в силу теоремы 7.6 B = *Bf\A. Поэтому, если бы А было внутрен-
внутренним, то и В было бы внутренним по теореме о внутренних множествах —
Прим. ред.
9. Резюме 71
Теорема 8.8. Если А и В—внутренние множества, то
Ах В тоже внутреннее.
Доказательство. Воспользовавшись теоремой 7.10, считаем,
что А, В 6*5,-. По теореме 3.1
Используя принцип переноса,
Ввиду семантики *3, находим такое С £ *Si+3, что С = А хВ.
Еще раз воспользовавшись теоремой 7.10, убеждаемся, что С
внутреннее. ■
Теорема 8.9. (Теорема о внутренних функциях). Пусть f
отображает А в В, где А, В—внутренние множества уни-
универсума *U. Пусть \х = \х (х)—терм в *3', такой, что
/И = Ыа)|*
для каждого а£А. Тогда f—внутренняя функция.
Доказательство. Имеем
Следовательно, / является определимым подмножеством уни-
универсума *{]. Кроме того, f <=, Ах В и по теореме 8.8 Ах В —
внутреннее множество Ввиду следствия 8.6, / — внутреннее
множество.
§ 9. Резюме
Теперь мы завершили рассмотрение основной техники не-
нестандартного анализа и сейчас самое время остановиться для
подведения итогов. Большая часть аппарата, применяемого
в данной главе, нужна только для нашей основной конструк-
конструкции и не используется в оставшейся части книги.
Сейчас мы перечислим ключевые идеи и результаты, кото-
которые читателю следует хранить в памяти:
A) Мы ввели два универсума: стандартный универсум U = S,
который является просто суперструктурой, построенной над
подходящим множеством индивидов 5 (если мы хотим избе-
избежать тривиального случая, то над бесконечным множеством),
и нестандартный универсум *U = W, который состоит из мно-
множества индивидов №з£ (Wz)S, если 5 бесконечно) и из не-
некоторых множеств, принадлежащих суперструктуре W.
B) Множества W состоят из внутренних множеств, принад-
принадлежащих *U, и из внешних, не принадлежащих *U, множеств.
C) Существует отображение *, отображающее U в * U. Эле-
72 /. Универсумы и языки
менты *U вида *х, где x£U (т. е. элементы из множества
значений отображения *), называются стандартными; осталь-
остальные элементы называются нестандартными.
D) Для формулировки утверждений об U и *U и для опре-
определения подмножеств в них в нашем распоряжении имеются
соответственно язык J? и язык *£?. Отображение * порож-
порождает отображение высказываний в 3 в высказывания в *££,
и важнейший принцип переноса гласит: а истинно для U
тогда и только тогда, когда *а истинно для *U.
E) Направленное в 5 отношение г (т. е. такое, что если
A s dom (г) и А конечно, то существует Ь, для которого
<а, by £ г при всех а£/1) приводит к существованию „пре-
„предельных" элементов в *U, т. е. таких элементов b£*U, что
<*а, &>£л для всех а £ dom (r). Это обеспечивает что-то вроде
универсальной компактификации и пополнения, точный смысл
этого утверждения будет ясен позже.
F) Существуют внешние множества; даже обычное множество
натуральных чисел является внешним. Тем не менее любое
множество, ограниченное внутренним множеством и опреде-
определимое в *=27, является внутренним.
Читатель, запомнивший эти основные положения, прекрасно
разберется во всем последующем. В частности, теперь уже
можно совершенно забыть, как был определен нестандартный
универсум, и изгнать понятие ультрафильтра из нашей памяти.
Упражнения
1. Пусть F — ультрафильтр на некотором непустом множестве/.
Пусть A, Bs/, A(]B — 0. Покажите, что
HF(A U Я) = МЛ) + МВ).
(Конечно, \if потому и называется мерой, что выполнено
данное свойство.)
2 Дайте прямое доказательство того, что N — внешнее мно-
множество, использовав высказывание языка J?, выражающее
принцип математической индукции.
3. Докажите теорему 8.8 при помощи теоремы о внутренних
множествах.
4. Пусть а — такая функция, что dom (а) = N и для каждого
n£N выполняется а (п) — {т £ N | т ^ п\. Покажите, что для
n£*N выполнено *a(n) = {m£ *N \m^L n\.
5. Покажите, что каждый „блок" в *jV является внешним
множеством.
6. Пусть r = {<a, 6>||=a(a, b)}, где r£U. Покажите, что
*г = {<а, Ь>|*^*а(а, Ь)}.
7. Покажите, что *!Р (А) при А £ U является множеством всех
внутренних подмножеств множества *Л.
2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Упорядоченные поля
До сих пор мы применяли нестандартный анализ только
к натуральному ряду N. В качестве следующего примера
мы применим нестандартные методы к упорядоченным полям.
Одна и та же конструкция используется для двух различных
целей: A) для построения весьма изящного нестандартного
эквивалента классического „построения" действительных чисел
и B) для исследования структуры *R, где R—множество
действительных чисел.
В этом параграфе мы используем только стандартные ме-
методы для получения необходимых сведений об упорядоченных
полях. Нестандартные методы применяются в § 2.
Пусть D^S, пусть 0,1 —элементы D, и пусть -f- , •
отображают DxD в D. Как обычно, мы пишем а~\-Ь вместо
-f- [ <а, by и а-Ь или даже ab вместо • \ <а, by. Рассмотрим
высказывания Ф, выписанные ниже:
Ф2. (Vx е D) (уу е D) (yz e D) ((х + (у + z))=((x + у) + z)).
ФЗ. (VxeD)((x + 0) = x).
Ф4. (VxeD)CyeD)((x + y) = 0).
Ф5.
Ф6.
Ф7. (VxeD)((x.l)=x).
Ф8. (VxeD)(n(x = 0)_>
Ф9. -1@=1).
Ф10. (Vxe D) (уу е D)(VzeD)((x.(y + z)) =
Сказать, что предложения Ф истинны в £/?, — все равно, что
сказать, что D является полем в обычном смысле с опера-
операциями + , • и соответствующими единичными элементами 0, 1.
Пусть, кроме того, < есть некоторое отношение на D; рас-
рассмотрим высказывания
Ql. (VxeD) i(x<x).
Й2. (VxeD)(VyeD)(VzeD)((x<y
74 2. Действительные числа и гипердействительные числа
Q3. (VxeD)(VyeD)(x<yVy <xVx = y).
Q4. (Vx6D)(VyeD)(Vz6D)(x<y-*x -fz<y + z).
Q5. (VxeD)(VyeD)(\/z€D)((x<y & 0<z)_*x-z<y<z).
Тогда все высказывания Ф, Q выполнены в 3? в том и только
том случае, если D образует упорядоченное поле с поряд-
порядком <. (Читатель может рассматривать предыдущее утвержде-
утверждение в качестве определения.) В дальнейшем мы считаем, что
D является упорядоченным полем. Как обычно, мы пишем
х > у вместо у<.х, а х^у вместо (х < у или х — у). Если
х < у и и < v, то
Лемма 1. О < 1. Для всех x£D выполнено х < х + 1.
Доказательство. В силу Ф9, 0^=1. Если 0< 1 было бы
неверным, то Q3 давало бы 1<.0. Ввиду Q4, 0<—1. Ис-
Используя Q5, можно умножить обе части данного неравенства
на —1 и получить 0< 1.
Наконец, мы имеем лг = лг + О < а'+1, что завершает дока-
доказательство. ■
Итак,
0< 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1<... .
Следовательно, отображение
0
0
1
I
1
1
2
I
+
1 1
3
I + 1 + ]
[ 1
+
4
1 +
1 + 1
является порядковым изоморфизмом N в D. В силу Ф1—3
Ф5—7, это отображение сохраняет также " + " и "•". Поэтому
естественно рассматривать это отображение как тождественное
и считать N вложенным в D; таким образом, в дальнейшем
можем предполагать, что NczD.
Через Q мы обозначаем множество рациональных чисел.
Конечно, Q является упорядоченным полем. Более того, так
как каждый элемент Q может быть записан в виде а/b или
— (а/b), где a, b£N, то вложение N в D порождает вложе-
вложение Q в D, которое на самом деле является взаимно одно-
однозначным. Это вложение мы также рассматриваем как тожде-
тождественное, и, таким образом, мы в дальнейшем считаем, что
Qs=D.
Лемма 2. х < у влечет —у <—х.
1. Упорядоченные поля 75
Доказательство. Если —х =— у, то у — х<СУ, что проти-
противоречит Q1. Если — х <—у, то 0 = х + (—х)<у + (—у) = 0,
что также противоречит Q1. Результат следует из Q3. ■
Определение. Для любого х £ D
\х\ — тах(х, —х).
Следующий результат легко получается обычным образом,
например рассмотрением различных случаев.
Лемма 3. |# + #| ^ | х\ + \ у | и \х-у\ = \х\-\у\.
Определение. Поле D называется архимедовым, если для
каждого х£ D существует п £ N, такое, что х < п. В противном
случае D называется неархимедовым.
Рациональные числа дают пример архимедова упорядочен-
упорядоченного поля. Получим теперь некоторые основные свойства
архимедовых полей.
Лемма 4. Пусть D—архимедово поле. Если х, у £ D, х, у > О
и у — л; > 1, то для некоторого n£N выполняется х < п < у.
Доказательство. Так как D архимедово, то найдется нату-
натуральное число п > х. Пусть п — минимальное натуральное
число с таким свойством. Так как х > 0, то п^О. Покажем,
что п < у.
Из минимальности п следует, что п — 1^ж. По предполо-
предположению 1<у—х. Следовательно, п = (п—1) + 1<х +
+ {У—х) = У- ■
Теорема 1.1. (Плотность.) Если D—архимедово поле и
х, у £ D, где х < г/, то существует г £ Q, такое, что х < г < у.
Доказательство.
Случай i
х>0. Рассмотрим положительный элемент 1/(г/ — х) поля D,
Так как D архимедово, то найдется n£N, такое, что
y—x
Следовательно,
my—mx > 1.
По лемме 4 найдется n£N, такое, что
т\ < п < ту.
7G 2. Действительные числа и гипердействительные числа
Так как \/т > 0, то
, п .
х < — < и.
т *
Случай 2
х = 0. Выберем n£N, п> My. Тогда 0 = л:< \,'п<у.
Случай з
х < 0 < у. Выберем г = 0.
Случай 4
/. Тогда по лемме 2 0^—у <■—х. В силу случая 1
(или 2), найдется r£Q, такое, что —у < г <—,v, так что,
воспользовавшись еще раз леммой 2, получим %< — г<у. ■
Элемент / £ D является верхней гранью непустого множе-
множества Л=О, если л;^/ для всех х£А. Если, кроме того,
никакое m£D, такое, что т</ не является верхней гранью
множества А, то / называется наименьшей верхней гранью
множества А.
Определение. D называется полным, если любое непустое
подмножество поля D, имеющее верхнюю грань, имеет наи-
наименьшую верхнюю грань.
Теорема 1.2. Полное упорядоченное поле является архиме-
архимедовым.
Доказательство. Предположим, что D — полное упорядо-
упорядоченное поле, не являющееся архимедовым. Тогда найдется
х£D, такое, что х > п для всех n£N. Таким образом, х яв-
является верхней гранью для N. Так как D полное, то N имеет
наименьшую верхнюю грань /.
Так как / является наименьшей верхней гранью для N,
то /— 1 не верхняя грань для N, т. е. / — 1 < т для некоторого
m£N, так что /<т+1. Противоречие. ■
Теорема 1.3. Пусть D, D—полные упорядоченные поля.
Тогда существует единственное взаимно однозначное отобра-
отображение г); поля D на D, такое, что, во-первых, ty(q) = q для
q(:Q и, во-вторых, при х, y£D имеет место х<.у в том и
только том случае, если я|; (х) < г); (у).
Доказательство. Для x£D пусть ty{x) будет наименьшей
верхней гранью в D для множества
§ /. Упорядоченные поля 77
(Sx имеет верхнюю грань в D, так как, из-за того, что D ар-
архимедово для некоторого п £ N выполняется х < п.)
При q£Q будет ty(q)^q, так как g является верхней
гранью для Sq. Более того, если x£D и x<Cq, то из-за плот-
плотности найдется r£Q, такое, что х </■<<?, так что /(ES,, и
# не является верхней гранью для Sq. Итак, ty(q) = q.
Если х < у, то из-за плотности найдутся q, r£Q, такие,
что х <Cq < г < у. Тогда q является верхней гранью для Sx
и r£Sy. Поэтому ар (х) ^ g < г ^ ар (г/). Обратно, если ор(х)<
<ор(у), то х < у, так как у < х влечет ар (у) < ар (х).
Пусть ар является другим отображением с требуемыми
свойствами. Если r£Sx, то г < х, так что г = т|з (г) < т|з(х).
Таким образом, ар (л:) является верхней гранью для Sv в D.
Покажем, что \\> (х) является наименьшей верхней гранью для
Sx в D, так что ар (х) = гр (лг). Пусть ар (у) < ар {х). Тогда у < х
и можно выбрать г £ Q, такое, что у < г < х. Следовательно,
r£Sx и ар (у) < ар (г) = л, и поэтому ар (у) не может быть верх-
верхней гранью для Sx1). я
Позже мы увидим, что ар (я) является на самом деле изо-
изоморфизмом D на D.
Перейдем теперь к неархимедовым полям. Для любого
упорядоченного поля D сформулируем
Определение. F= {x£ D\\x\ < n для некоторого n£N\.
Если х 6 F, то х называется конечным элементом; если х £ D — F,
то х называется бесконечным элементом.
*) Теорема 1.3 может быть без труда усилена путем замены единствен-
единственности в классе отображений на на единственность в классе отображений
в. Именно, в дальнейшем понадобится
Теорема 1.3'. Пусть D, D — полные упорядоченные поля. Тогда суще-
существует единственное отображение \|э поля D в поле D, такое, что, во-первых,
■ф(<7)=<7 для q£Q и, во-вторых, если х, y£D, x < у, то \р (х) < ф (у).
Доказательство. В качестве t|) берем отображение, построенное при
доказательстве теоремы 1.3. Пусть гр-—-другое отображение с указанными
свойствами. Предположим, что х (jf Q и что i|) (x) Ф ф (х). Берем рацио-
рациональное q = i|) (q) = ф (q) между о|з (х) и ty(x), так что либо ty (х) < г|з (<?) =
= "Ф (<?) < гр (х), либо г|> (*) < -ф (<?) = "ф (<?) < г|> (х). Каждая из возможнос-
возможностей q < х и х <. q немедленно вступает в противоречие со свойством отоб-
отображений ф и ф сохранять порядок; таким образом, ф (х) =ф (х). g
Замечание. Можно было бы усилить теорему еще больше, потребовав
от D только архимедовости и заменив в ограничениях на ф знак "<" на
знак "<". Такое усиление, однако, избыточно для целей дальнейшего
изложения,— Прим. ред.
78 2. Действительные числа и гипердействительные числа
Определение. I = {x£D\x = 0 или (l/x)£D — F\. Элементы
множества / называются бесконечно малыми.
Тот случай, когда D архимедово, описывается, следова-
следовательно, одним из эквивалентных условий:
Лемма 5, х£1 тогда и только тогда, когда \х\^.1/п для
всех п£ N + .
Доказательство. х£1 тогда и только тогда, когда или
л' = 0, или 1/х бесконечно, т. е. тогда и только тогда, когда
или х = 0, или \\/х\~^п для всех n£N, или, наконец, в том
и только том случае, если \х\^1/п для всех n£N. ш
Отметим, что, в частности, |х|^1 при х£Т, следователь-
следовательно, / s F.
Теорема 1.4. Если x£F и y£F, mo x-\-y£F и x-y£F.
(Таким образом, F является подкольцом поля D.)
Доказательство. Пусть х, y£F, \x\ < т, \у\ < п, т, п£ N.
Тогда \x-\-у\^\х\ + \у\ <С т + п и \х-у\ = \х\-\у\<С т-п.
Следовательно, л'-f y£F и x-y£F. ш
Теорема 1.5. Справедливы утверждения:
A) х, у£1 влечет х-\-у£1;
B) х£1, у £ F влечет х-у£1.
(Таким образом, I является идеалом в F.)
Доказательство. A) Для любого n£N +
Следовательно, лг-f у £ I.
B) Так как y£F, то найдется некоторое m£N, такое,
что |у|<т. Следовательно, для любого n£N +
l 1
Следовательно, ху£1. ш
Определение. Мы пишем хту, если х, y£D и х—у£1.
В этом случае скажем, что х бесконечно близко к у или просто
х близко к у. В противном случае мы пишем х ^ у.
Лемма 6. ж является отношением эквивалентности на D
и, следовательно, на F.
Доказательство, х—х = 0£1, так что xwx. Так как
(— \)£F, то х—у£1 влечет у—х = (—\)(х—у)^1. Таким об-
§ /. Упорядоченные поля 79
разом, из хх у следует ухх. Наконец, если х—у£1 и
г/—г 6 /, то х— г — (х—у) + (у—г)$1. ш
Так как / является идеалом в кольце F, мы можем по-
построить факторкольцо F/I. Тогда существует естественный
гомоморфизм кольца F на F/I с ядром /. Для каждого x£F
через °х обозначим соответствующий элемент кольца F/I при
этом гомоморфизме. При х, y£F тогда и только тогда °х = °у
имеет место, когда х—у£1, т. е. тогда и только тогда, когда
хх у.
Так как ° является гомоморфизмом, то имеем
Другим способом записи данных соотношений является сле-
следующий: для любых х, у, хх, yx(:F, если хххх и yxyL, то
у | /I /~^/ y I— II 1-Г Y11 /~*-/ V //
Л —|— и /~"*-> Л] "] if ^ Н A- Lf '-*-' Л'лЧ\'
Лемма 7. Если x£D — /, то \/x£F.
Доказательство. Так как лг(£/, то для некоторого n£N+
выполнено |лг|>1/тг. Тогда |1/х|</г. ■
Теорема 1.6. F/I является полем.
Доказательство. Пусть °x£F/I, охф0. Следовательно,
х^1. По лемме 7 \/x£F. Тогда
°х" (^) =
Следовательно, °х имеет обратный элемент в F/I. в
Рассмотрим теперь порядок, индуцируемый в поле F/I по-
порядком на F.
Лемма 8. Если x£F — /, х > 0 и t£I, то х-f/>0.
Доказательство. Так как х положительно и не бесконечно
малое, то для некоторого n£N +
п
Требуется рассмотреть только случай t < 0. Так как i беско-
бесконечно малое, то Ш^1/я; следовательно,
Складывая приведенные неравенства, получим #-М>0. ш
Используя лемму 8, можно показать, что ° сохраняет по-
порядок.
80 2. Действительные числа и гипердействительные числа
Лемма 9. Пусть х, y£F и х < у, х =£ у. Пусть также
хххг и у ж ух. Тогда хх < ух.
Доказательство. Так как х < у, то у—х>0. Рассмотрим
Первый член положителен и не бесконечно мал, второй и тре-
третий члены являются бесконечно малыми. По лемме 8 у,—х1 > 0,
т. е. xt < yv и
Лемма 9 оправдывает следующее
Определение. Для °х, °у 6 F/I
°х < °у, если х < у и хфц.
Следствие 1.7. х, у £ F и х^у влечет °х^.°у.
Доказательство. Если х&у, то °х<°у, и если хжу, то
°х = °у. ш
Теорема 1.8. F/1 образует упорядоченное поле с только что
определенным порядком.
Доказательство. Мы должны проверить, что Q1—5 истин-
истинны в J? при D — F//.
A) Так как хтах, то, следовательно, °х < °х.
B) Если °х < °у, °у < °г, то к < у, у < 2. Следовательно,
л: < 2. Так как 0 < у — х < г—х, то если бы х « 2, было
бы также х ху. Следовательно, л: =£ 2 и °х < °2.
C) Если °хф°у, то л; gfc у, а также л; < у или у<х, так
что °х < °у или °у < °х.
D) Пусть °х<°у, т. е. х < у, л тЬ у. Тогда x-\-z<y-\-z и
[так как (y-f г) — (х + г) = у—*]. Наконец,
)о о о( )о + оо о
( )у (у ) у +
E) Пусть °х < °у, 0 < °г. Тогда х < у, 2 > 0, х & у, г ф 0.
Так что xz<yz. Если xzmyz, то так как 1/(у—x)^/7,
2 = [1/(у—x)]-(yz — xz)mQ. Следовательно, xz^yz и
°x-oz = o(xz)<°(yz) = °y.°z. и
Так как F/I является упорядоченным полем, то, восполь-
воспользовавшись рассуждениями, которые следуют за леммой 1,
можем считать, что Qsf/
Лемма 10. При q£Q справедливо °q — q.
Доказательство. Так как ° является гомоморфизмом, то
°0 = 0, °1 = 1. Следовательно, ° (п -}- \) — °п -f 1, так что по ин-
индукции °п = п при п£ N. Для — /-; g /V имеем ° (— п) — —°(п) =
= —«. Наконец, °{т1п)~°тГп=^т'п при целых т, «. ш
§ 2. Нестандартная теория архимедовых полей 81
Теорема 1.9. F/I является архимедовым полем.
Доказательство. Пусть °x£F/I. Так как x£F, то сущест-
существует n£N, такое, что х < п; следовательно, °х^п < п-\-1. ш
§ 2. Нестандартная теория архимедовых полей
В данном параграфе мы предполагаем, что D является архи-
архимедовым упорядоченным полем и что D ^ S (где, как обычно,
S—множество индивидов стандартного универсума U =5).
Таким образом, и отображения -j-, •, и отношение < явля-
являются элементами U.
Что нам известно о *D? Во-первых, D^*D = *5. Во-вто-
Во-вторых, *+ и *■ являются отображениями *Dx*D в *D, a *<
является отношением на *D. Так как D^S, мы (как было
объяснено в рассуждениях, следующих за теоремой 1—7.13)
опускаем * и пишем + , • и <. То, что D образует упоря-
упорядоченное поле, эквивалентно тому, что
ЁФ,-, i=1, 2, ..., 10; |=Q,, 1=1, 2, ..., 5.
По принципу переноса получаем
t = l, 2, .... 10; »\=Qit t=l, 2, ..., 5.
Таким образом, *D является упорядоченным полем с опера-
операциями + , ■ и отношением <.
Так как N ^D, получаем *N <=*D. И так как мы знаем,
что *N содержит элементы (бесконечные целые), которые больше
всех элементов N, то получается
Теорема 2.1. *D — неархимедово упорядоченное поле.
Этот результат требует небольшого обсуждения. Мы ви-
видели, что из того, что D является упорядоченным полем, сле-
следует по принципу переноса, что таковым же является и *D.
Почему тот же метод не может быть использован при дока-
доказательстве архимедовости *D? Рассуждения могут быть при-
примерно следующие: так как D архимедово, то имеем
HVxeD)CneN)(x<n).
Тогда принцип переноса дает
*(=(Vx e*D) Cn e*N) (x<n).
Таким образом, мы можем вывести только то, что для любого
x£*D найдется n£*N, такое, что х<п. Какова мораль?
Надо научиться быть осторожным при применении принципа
переноса.
Применим теперь к неархимедовому полю *D рассмотрения
§ 1. Мы используем обозначения F, /, °, « в том смысле,
82 2. Действительные числа и гипердействительные числа
как это было определено в указанном параграфе. Так как
Dg*D и + , • на *D является продолжением тех же опера-
операций на D, то D — подполе поля *D. Более того, так как D
архимедово, то D^F. Далее, гомоморфизм ° отображает F
в Fjl. Так как D^F, то ° отображает!) в F/I. Имеет место
Лемма. ° является изоморфизмом D в F/I.
Доказательство. Так как ° — гомоморфизм, то достаточно
дополнительно показать, что ° взаимно однозначно. Итак,
пусть °х — °у при х, y£D. Тогда х—у £ /, так что \х—у | ^ 1/п
для всех n£N + . Так как D архимедово, то х—у = 0, т. е.
* = £/• ■
Как обычно, мы пользуемся данным изоморфизмом для
того, чтобы рассматривать D как вложенное в Fjl; т. е. при
x£D пишем °х — х. Таким образом, архимедово поле D вло-
вложено в архимедово же (см. теорему 1.9) поле Fjl.
Теорема 2.2. *N r\F = N.
Доказательство. Так как N^F, N ^*N, то достаточно
показать, что *N П F^N. По теореме 1—7.6 *N n F^*N Л S=N. m
Мы используем этот результат для демонстрации того, что
разнообразные множества являются внешними.
Теорема 2.3. Множества F, D, I и *D — F—являются внеш-
внешними подмножествами *D.
Доказательство1). Мы используем теорему о внутренних
множествах. Ясно, что *N является определимым подмноже-
подмножеством универсума *U, например, с помощью формулы (xe*N).
Если бы F было внутренним, то тогда таким же было бы и
множество *N П F — N. Но мы уже знаем, что N является
внешним (следствие 1—8.7).
Далее, так как
iV != *N П D ;= *N П F = N,
имеем
Следовательно, те же рассуждения показывают, что D внешнее.
Пусть теперь K = *D — F, предположим, что К внутреннее,
и пусть
:) Множество D очевидно, бесконечно. Поэтому то, что оно внеш-
внешнее, вытекает из общего факта, указанного в следствии 1—8.7'—Прим.
ред.
§ 2. Нестандартная теория архимедовых полей 83
Тогда А определимо в *U, и
A = *D—K = *D — (*D — F) = F.
Так как Fa*D, из этого следует (следствие 1—8.6), что F
внутреннее. Это противоречие показывает, что *D — F внешнее.
Наконец, предположим, что / внутреннее, и пусть g(x)=l/x
при x£D — Щ, g@)=l. Тогда g£U, и
*N — yV = {nG*yV|*[=(*grn)eI},
т. е. *N—N должно быть внутренним. ■
В качестве приложения теоремы направленности докажем
теперь следующую теорему.
Теорема 2.4 (теорема Дедекинда). Пусть А, В — непустые
подмножества поля D, такие, что из а £ A, b £ В следует а < Ь.
Тогда найдется c£F/I, такое, что для всех а^А и b£B вы-
выполнено a^ic^Lb.
Доказательство. Пусть отношение г состоит из пар <а, &>,
таких, что а£А, b£D, a^.b и b меньше всех элементов мно-
множества В. Покажем теперь, что г — направленное отношение,
dom (г) = А, так как <а, а> £ г для любого а£А. Пусть а1,...
..., ak£A, и пусть Ь= max at. Тогда b £D и каждое at s b.
i < i < k
Наконец, так как b£A, то b меньше каждого элемента Б.
Заключаем, что <.апЬу£г при /=1, ..., k. Следовательно,
г направленно. А тогда по теореме направленности мы полу-
получаем элемент t£*U, такой, что <а, /> £ *г для всех а£А.
Так как г s Л xD, то V^Mx*O и, следовательно, f g*D.
Из определения г следует, что
}=(VxeA)(VyeD)(<x, y>
fr(VxeA)(VyeD)(VueB)(<x, y>er-»y<u).
Используя принцип переноса, получаем
a^t<b для всех а£*А, b£*B.
Так как ВФ0, то / конечно. Таким образом, по следствию 1.7
для а£А, Ь£В выполнено
и мы получаем требуемое заключение при c = °t. ■
Из данной теоремы вместе с плотностью рациональных
чисел без труда следует
8£ 2. Действительные числа и гипердействительные числа
Теорема 2.5. F/I— полное упорядоченное поле.
Доказательство. Пусть C^F/I, СФ0, и пусть С имеет
верхнюю грань в F/I. Покажем, что С имеет наименьшую
верхнюю грань.
Пусть B=\b£D\b— верхняя грань множества С}. Если /
является верхней гранью множества С в F/I, то можно найти
n£N, такое, что / < п (так как F/I архимедово). Так как
это п, очевидно, лежит в В, то В^0.
Далее, пусть A=D — В. Так как С^=0, то можно вы-
выбрать хо£С. Существует n£N, такое, что —х0 < п, т. е.
х0 >—n£D. Так как —п не является верхней гранью мно-
множества С, то —п£А. Следовательно, Аф0.
Для того, чтобы показать, что условия теоремы Дедекинда
полностью выполнены, предположим, что а£А и b £ В. Так
как а £ А, то а не является верхней гранью С. Тогда найдется
х£С, такой, что х > а. Так как х£С и b является верхней
гранью множества С, то х^Ь. Следовательно, а<,х^.Ь.
Применив теорему Дедекинда, найдем c^F/I, такое, что
а£А и b£B влечет
Осталось показать, что с является наименьшей верхней гранью
множества С.
с является верхней гранью множества С. Предположим
противное. Тогда найдется х£С, такой, что
х > с.
Так как F/I архимедово, можно найти рациональное число г,
такое, что
х > г > с.
Так как г не является верхней гранью множества С и, будучи
рациональным, лежит в D, то имеем г£А. Но из этого сле-
следует, что г^с; противоречие.
с является наименьшей верхней гранью множества С. Пред-
Предположим, что d < с и d является верхней гранью С. Выберем
r£Q, так, что d<r<Cc. Так как r^D и г также является
верхней гранью множества С, то г£В. Итак с^.г; противо-
противоречие, ш
Как мы увидим, принцип переноса часто используется для
замены „сколь угодно точной" аппроксимации в U на „беско-
„бесконечно точную" аппроксимацию в *U. Мы закончим этот пара-
параграф первым таким примером.
Теорема 2.6. Для каждого x£D существует q£*Q, такое,
что х « q.
§ 3. Действительные числа 85
Доказательство. В силу плотности Q в D (теорема 1.1)
для каждого х £ D получим
HVne N+)CqeQ)(|x-q|<l/n).
По принципу переноса
*t=(Vne*N+)Cqe*Q)(|x —q|<l/n).
Пусть n£*N — N. В силу семантики *££, существует такое
<7(Е*<3> что \х—</1 < '/«, т. е. хтац. ш
§ 3. Действительные числа
В § 2 D ^ S было произвольным архимедовым упорядо-
упорядоченным полем. Теперь мы выберем в качестве D поле Q ра-
рациональных чисел. В этом случае обозначим /? = F/I. В общем
случае D было изоморфно вложено в F/I; следовательно,
Q ^ R. Ввиду теоремы 2.5 имеем теорему:
Теорема 3.1. Существует полное упорядоченное поле R.
Далее, то, что обычно называется „построением" системы
действительных чисел, в точности состоит в доказательстве
существования и единственности (с точностью до изоморфизма)
полного упорядоченного поля1). Стандартное доказательство
теоремы 3.1 требует „построения" действительных чисел (через
дедекиндовы сечения, последовательности Коши и т. д.), опре-
определения + , •, < и довольно утомительной проверки свойств
упорядоченного поля. Принцип переноса дает все это нам
сразу. Требуется доказать только свойство полноты, а здесь
к нашим услугам теорема направленности.
Чтобы закончить наши рассуждения, предположим, что D,
D—два полных упорядоченных поля. По теореме 1.3 суще-
существует (и единственное) отображение хр поля D на D, сохра-
сохраняющее порядок н тождественное на Q. Мы покажем, что о|э
на самом деле является изоморфизмом между D и D.
Для этого предположим, что D, D являются подмноже-
подмножествами множества 5 стандартных индивидов. (Естественно, тот
факт, что полные упорядоченные поля были обнаружены нами
лишь в пределах нестандартного универсума, ни в малейшей
степени не имеет значения. Доказав однажды существование
таких полей, мы не имеем никаких препятствий к тому, чтобы
импортировать их в стандартный универсум.) Тогда *D, *D
являются (неархимедовыми) упорядоченными полями и *-ф
*) Элементы этого поля и называются действительными числами.—
Прим. ред.
86 2. Действительные числа и гипердействшпельные числа
отображает *D на *D. Так как Dg*D, Ds*D, мы пишем ty
вместо *i|). Применив принцип переноса к теореме 1.3, получим
A) при х, у £*D имеет место х < у тогда и только тогда, когда
B) при q £*Q выполнено ty(q) = q.
Лемма 1. Если x£D и q(z*Q, то XT^q тогда и только
тогда, когда )
Доказательство.
vq тогда и только тогда, когда q < х < <Н—для всех
n£N + ,
тогда и только тогда, когда q—— < о|з(х) < q-\— для
всех п € Л/+,
тогда и только тогда, когда
Лемма 2. При х, y£D
Доказательство. По теореме 2.6 можно выбрать q, r
такие, что
Тогда
х-\-уж q + r, x-y&q-r.
По лемме 1
так что
Так как обе части последних соотношений стандартны (т. е.
лежат в D), можно заменить да на =. ■
Комбинируя лемму 2 с теоремой 3.1, получаем теорему 3.2.
Теорема 3.2. Существует единственное с точностью до
изоморфизма полное упорядоченное поле R.
§ 4. Гипердействительные числа 87
§ 4. Гипердействительные числа
В § 2 мы считали D произвольным архимедовым упорядо-
упорядоченным полем D s S и изучали *D. Как мы видели в § 3,
при подстановке D = Q получается система действительных
чисел R1).
В данном параграфе мы полагаем D = R и изучаем неар-
неархимедово упорядоченное поле (теорема 2.1) *R, элементы
которого называются гипердействительными числами. Так как
Q^R, то *Q = */?. Кроме того, Rс*/?; включение здесь стро-
строгое, потому что *R содержит бесконечные целые числа.
Так как *R неархимедово, то применимы рассмотрения § 1,
и можно говорить о F, конечных элементах *R, и об /, бес-
бесконечно малых элементах *R. Более того, имеется гомоморф-
гомоморфное отображение ° поля F в архимедово упорядоченное поле
F/I (теоремы 1.8, 1.9). Переходя к § 2, видим, что F/I яв-
является полным упорядоченным полем (теорема 2.5). Следова-
Следовательно, в соответствии с рассуждениями § 3 F/I изоморфно
(и единственным образом) полю R\ Так что можно просто
отождествить F/I и R2}.
Чтобы резюмировать, начинаем с R s S. В нестандартном
универсуме имеется-неархимедово поле */? и существует гомо-
гомоморфное отображение ° кольца конечных элементов *R в R.
Если х — конечное гипердействительное число, то °х назы-
называется стандартной частью х. Следующие теоремы суммируют
предыдущие результаты в рассматриваемом сейчас контексте.
Теорема 4.1. При х, у £ F имеем
если3) х^.у, то
х) Разумеется, не в качестве D*=Q*, а в качестве /*//.-—Прим. ред.
2) Здесь следует остановиться, чтобы сделать некоторые комментарии.
Дело в том, что к настоящему моменту у нас возникло два способа ото-
отождествления элементов поля R с элементами (всеми или некоторыми) поля
F/I, появляющегося, когда R берется в качестве исходного архимедова
поля D и к нему применяется конструкция § 2. Первый способ носит
общий характер и указан в том абзаце § 2, который заключен между
леммой и теоремой 2.2; он состоит (в данном случае) в отождествлении
элемента x£R с элементом °x£F/l (пока еще не известно, все ли элементы
поля F/1 окажутся при этом использованными). Второй способ применяется
специально к данному случаю и вытекает из теоремы 3.2, утверждающей,
что упорядоченные поля Я и F/I изоморфны, и теоремы 1.3, утверждаю-
утверждающей, что такой изоморфизм единствен; способ состоит в отождествлении
элемента x£R с соответствующим ему при указанном изоморфизме эле-
элементом поля F/I. То, что оба эти отождествления совпадают и что, в
частности, отображение ° является отображением на все F/I, требует обо-
обоснования; это обоснование дается теоремой 1.3'. — Прим. ред.
3) В оригинале ошибочно „если и только если".— Прим. ред.
88 2. Действительные числа и гипердействительные числа
Если x£R, то °х==х.
Теорема 4.2. Пусть х, у, хг, yx^.F. Тогда если
у
Также имеется следующее исчисление бесконечно малых;
Теорема 4.3. Имеют место утверждения:
A) хжО, уж 0 влечет х+ужО;
B) х да 0, у £ F влечет х ■ у да 0;
C) x£F, х 9^0 влечет l/x£F.
Доказательство. A) и B) есть в точности теорема 1.5, при-
примененная к данному случаю. Для доказательства C) см.
лемму 7 из § 1. ■
Следствие 4.4г). Если x£F, х^ьО, хм у, то 1/хда1/г/.
Доказател ьство.
llli, .
х ух у ^ У)-
Результат следует из теоремы 4.3, C) и B). t
Отношение да (определенное так, что хдау тогда и только
тогда, когда х—у£1) является отношением эквивалентности
на всем множестве *R (а не только на F) (см. лемму 6 § 1).
При x£F класс эквивалентности, содержащий х, содержит
единственное действительное число °х, стандартную часть х.
Теорема 2.6 может быть теперь переформулирована:
Теорема 4.5. Для любого действительного числа х сущест-
существует q*£Q, такое, что xxq.
§ 5. Действительные последовательности и функции
В этом параграфе мы применяем гипердействительные числа
для того, чтобы показать, как некоторые типичные результаты
элементарного анализа могут быть получены нестандартными
методами. Все, что мы действительно используем,— это то, что
*R^iR, и то, что выполнен принцип переноса. Мы не ставим
себе целью систематическое изложение, так как позже мы будем
рассматривать вопрос в более общем случае. Здесь и далее
х) Условие х£Г в этом следствии [как и в п, C) теоремы 4,3] из-
излишне,— Прим. ред.
§ 5. Действительные последовательности и функции 89
через R+ обозначается множество положительных действитель-
действительных чисел. Тогда ввиду принципа переноса *R + = *(R+)— мно-
множество гипердействительных чисел х, таких, что х > 0.
Пусть \sn\n£N*\ — последовательность действительных чи-
чел; т. е. пусть s отображает N+ в R. Тогда *s отображает
*N+ (очевидно */V+ = *yV — {0}) в *R. Как обычно, пишем sn
вместо *s(n) даже тогда, когда п бесконечно. Тогда имеет
место
Теорема 5.1. sn—*L тогда и только тогда, когда sn«L
для всех бесконечных п.
Доказательство. Пусть sn—*L, и пусть выбрано некоторое
e£R + . Существует no£N, соответствующее данному е, такое,
что
Применив принцип переноса, видим, что для любого n£*N,
для которого п > п0, выполнено
Так как «0 конечно, то данное неравенство выполнено для
всех n£*N — N. Но в качестве е выбиралось произвольное
положительное действительное число. Следовательно, можно
получить \sa—L|»0, т. е. sn«Z, для всех бесконечных целых п.
Обратно, пусть sn«L для всех n£*N — iV, и выберем снова
e£R+. Так как sn«L для всех бесконечных п, то
для всех бесконечных п. В частности, если п0 некоторое фи-
фиксированное бесконечное целое, то \sn—L\ < е для всех п > па.
Следовательно,
*Hanoe*N)(Vne*N)(n>no-*|sn-L|<E).
уя принцип переноса, мы видим, что ста
ие для s,,—>■ L выполнено. ■
Следствие 5.2. Пусть sn—* L, tn—>-М. Тогда
Используя принцип переноса, мы видим, что стандартное оп-
определение для s,,—>■ L выполнено. ■
и, если
sn L
Тп "М-
Доказательство. При бесконечном п выполнено sn^L,
tnw M. Тогда по теореме 4.3 sn-\-tn& L-\-M, sJn^LM, что
дает первые два утверждения.
90 2 Действительные числа и гипердействительные числа
Так как М действительное, то М конечно. Следовательно,
tn конечно даже для бесконечных п. По следствию 4.4г)
l/fn«l/M. Итак, sn/tn = sn(l/tn)&L(l/M) = L/M. ш
Напомним, что х называется предельной точкой последова-
последовательности {sn\n £ N + \, если для любого s£R+ неравенство
\sn — х|<е выполнено для бесконечно многих п. Имеет место
Теорема 5.3. х — предельная точка последовательности
{sn\n£ N+} тогда и только тогда, когда sna;x для некото-
некоторого бесконечного целого п.
Доказательство. Если L — предельная точка {sn\, то
t=(VeeR+)(VneN)(ameN)(m>n&|sm — x|<e).
По принципу переноса
*j=(Vee*R+)(Vne*N)Cme*N)(m>n&|sm —х]<е).
Выберем е бесконечно малым и п бесконечным. Мы приходим
к заключению, что существует т > п (следовательно, т тоже
бесконечно), такое, что \sm — х|<е. Так как еякО, то smmx.
Обратно, пусть sn « x для некоторого фиксированного бес-
бесконечного п. Пусть e£R + , так что \sn—x|<e. Пусть m£N
фиксировано. Так как п > т, то
*\= (Эп е *N) (n>m & \ sn — х | <е).
Используя принцип переноса, получаем п£ N, такое, что п > т
и \sn—х|<е. Так как m£N было произвольным, то послед-
последнее неравенство выполнено для бесконечно многих п. ш
Как обычно, обозначим [а, Ь] = \х£ R\а^.х^.Ь\, где а,
b£R и <6
Теорема 5.4. Пусть f отображает [а, Ь] в R. Функция f
непрерывна в точке х0 £ [а, Ь] тогда и только тогда, когда
для всех х б * [а, Ь]
х я» х0 влечет f (х)» / (х0).
Здесь мы пишем f вместо */ для соответствующего отобра-
отображения *[а, Ь] в *R.
Доказательство. Пусть А = [а, Ь], и пусть / непрерывна в
точке х0. Тогда для любого e.£R+ найдется соответствующее
б g R+, такое, что
MVxeA)(|x — xo|<6-*|f(x) — f(xo)|<e).
Используя принцип переноса, получаем, что если х£*А и
\х— хо|<8, то | f{x) — f(xo)\ < е. Теперь если хжх0, то, оче-
J) Ср. подстрочное примечание к этому следствию,— Прим. ред.
§ 5. Действительные последовательности и функции 91
видно, \х—хо|<6, так как б стандартно. Так что можно
заключить, что
Но так как е было произвольное положительное действитель-
действительное число, то \f(x)—/ (хо)\ меньше, чем каждое положительное
действительное число, и, следовательно, должно быть беско-
бесконечно малым. То есть
/(*)«/(*„)■
Обратно, предположим, что хжх, влечет f(x)wf(xB) при
х£*А. Выберем теперь некоторое фиксированное е в R + .
Предъявляя 8 да 0, видим, что
*t=C 6 6*R+)(Vx6*A)(|x — х01<6_♦ 1 f (х) — f (х„)|<в).
В силу принципа переноса / удовлетворяет стандартному усло-
условию непрерывности в точке х0. ш
Теперь мы используем это нестандартное описание непре-
непрерывности для получения нестандартного доказательства клас-
классической теоремы:
Теорема 5.5. Пусть f непрерывная функция с действитель-
действительными значениями, определенная на [а, Ь]. Пусть / (а)<0</F).
Тогда найдется с, такое, что а < с < 6 и / (с) = 0.
Доказательство. Определим сначала последовательность
t<.m= {а + —^г1> если n£jV, 0<i<n, р.ч
@ в противном случае.
Это последовательность точек, делящих отрезок [а, Ь] на п
равных частей. Можно рассматривать эту последовательность
как отображение
t: NxN-^R, т.е. t«n, iy) = tf\
Тогда •/ отображает *Nx*N в •/?. Мы пишем tf1 вместо
Н \ <n, i> даже для п, i б *ЛЛ По принципу переноса (|) вы-
выполнено для всех t, n£*N.
Выберем теперь некоторое v б *ЛГ — jV и рассмотрим мно-
множество
L является определимым подмножеством *U, например, при
помощи формулы
92 2. Действительные числа и гипердействительные числа
Так как L^*N, то из теоремы о внутренних множествах сле-
следует, что L является внутренним. Так как /F)>0, то v£L.
Следовательно, L=£0. Так как L—непустое внутреннее мно-
множество, то оно содержит наименьший элемент / (см. теорему
1—8.3). Следовательно,
Так как /(й)<0, то /=^0. Поэтому
Кроме того, tf} конечно, так как a^t^^b. Пусть c = 0(^-V)),
т. е. с равно стандартной части tfK Итак,
с « t)vK
Но, кроме того,
/(V) /^ /(V)
t/ да t/_ll
так как разность между этими двумя гипердействительными
числами равна (а—b)/v, т. е. бесконечно малому.
Следовательно, по теореме 5.4
Так как / (с) стандартно, то
Используя выписанные выше неравенства и теорему 4.1, по-
получим
Следовательно, /(с) = 0. ■
Другим примером является
Теорема 5.6. Пусть f — непрерывная функция с действитель-
действительными значениями, определенная на отрезке [а, Ь]. Тогда f при-
принимает максимальное значение.
Доказательство. Пусть tf> определено, как в предыдущей
теореме. Тогда
Это выполнено из-за того, что конечное множество {/(^if')>•••
..., / (t^)} действительных чисел имеет максимум. Используя
§ 5. Действительные последовательности и функции 93
принцип переноса и подставляя в качестве п некоторое фикси-
фиксированное бесконечное целое v, мы получаем, что существует
некоторое i, O^t^v, такое, что для всех /, для которых
/^ v, выполнено
Пусть c = °{t\y)), и пусть х — некоторая стандартная точка из
[а, Ь]. По принципу переноса существует такое /' < v, что
Так как (a—6)/v да О, то x = °(^v)). Используя непрерывность,
получим
/ (с) = °(mv)))>W/V))) ==/(*)•
Следовательно, значение f (с) является максимальным. ■
Поразительно, что эти доказательства напоминают некото-
некоторые наивные студенческие попытки указать нуль функции /
в теореме 5.5 как "первую" точку, в которой / перестает быть
отрицательной, или максимум в теореме 5 как самое большое
из значений f(x).
Далее,
Теорема 5.7. Функция f равномерно непрерывна на отрезке
[а, Ь] тогда и только тогда, когда для любых х, х'£*[а, Ь],
если хжх', то /()/(')
Доказательство. Пусть / равномерно непрерывна на [а, Ь].
Тогда для любого е£#+ можно найти b£R+, такое, что
HVx6[a, b])(Vx'e[a, b])(|x —x'|<6-|f (x)-f (x')|<e).
По принципу переноса получается, что для всех х, х' из
•[а, Ь]
\х—х' | < б влечет \f(x) — f(x')\<.&.
Если на самом деле х ж х', го заведомо \х—х' | < 8 и, следо-
следовательно, |/(л;)—/(х')|<е. Так как е было произвольное
положительное действительное число, то f (х) да/ (л:').
Обратно, пусть /(я) да/(*'), как только х, х' б * [а, Ь] и
х да х'. Тогда для любого е ^ R+ получаем, выбирая в качестве б
произвольное положительное бесконечное малое,
6*[a, b])(Vx'e*la, Ы)(|х —х'|<6
Используя принцип переноса, получаем стандартное описание
равномерной непрерывности. ■
94 2. Действительные числа и гипердействительные числа
Теорема 5.8. Если f непрерывна на [а, Ь], то f равномерно
непрерывна на [а, Ь].
Доказательство. Предположим, что х, х'£*[а, Ь] и что
хжх'. Мы хотим показать, что / (x)mf {х). Так как х, х' £ *[а, Ь],
то имеем а^х, х'<Ь и, следовательно, х, х' конечны. Сле-
Следовательно, для некоторого t £ [а, Ь] выполнено t=°(x)=°(x'),
т. е. xttt и /ж/. Так как / непрерывна в t, то / (.х)~/ @ и
/(*')«/(О- Наконец, /(*)«/(*')■ ш
§ 6. Теоремы о продолжении
Пусть {sjn£*yv+} — семейство гипердействительных чисел,
заиндексированное множеством *N + . Допуская некоторую
вольность речи, мы говорим о \sn\ как о последовательности.
Конечно, s^*N+x'*R- Мы рассматриваем случай, когда s —
внутреннее множество, или, как мы говорим, \sn\n£*N + } —
внутренняя последовательность.
Теорема 6.1. Пусть {sn\n£*N+}—внутренняя последова-
последовательность гипердействительных чисел. Пусть |sJ<M, где
M£*R, для всех n£N + . Тогда существует такое v£*N — N,
что | sn К М для всех п < v. -
Таким образом, неравенство |sn|^M "продолжается" с Л^ +
на некоторый начальный отрезок бесконечных целых чисел.
Доказательство. Пусть А = \п б *М+ || sn ] > М}. Так как А —
определимое подмножество внутреннего множества *Af, то оно
само внутреннее по следствию 1—8.6.
Предположим сначала, что Л = 0; тогда теорема выпол-
выполнена при произвольном бесконечном целом v. В противном
случае, так как А внутреннее, по теореме 8.3 гл. 1 оно со-
содержит наименьший элемент vg *Л^. Следовательно, при n<v
получаем |sn|<!M. Наконец, v^N + , так как по условию
теоремы А не пересекается с N + . ш
Следующий результат неоднократно применяется.
Теорема 6.2 (теорема о продолжении последовательности
бесконечно малых). Пусть {sn\n£*N + }—внутренняя последо-
последовательность гипердействительных чисел, и пусть sn«0 при
всех n£N + . Тогда для некоторого v£*N~—N выполнено sn та О
для всех п < v.
Для проверки понимания материала читателем дадим сна-
сначала неверное доказательство, построенное по аналогии с вер-
верным доказательством предыдущей теоремы.
6 Теоремы о продолжении 95
Ошибочное доказательство. Пусть А = \п £ *jV+ | sn qk 0}.
Если А = 0, то все в порядке; в противном случае пусть v —
наименьший элемент в А. Тогда при п < v имеем sn«0,
причем v бесконечно ввиду условия теоремы, и
В чем здесь ошибка? Множество А не обязано быть внут-
внутренним: ведь определяющее его условие использует внешнее
множество / бесконечно малых. Следовательно, А не обязано
содержать наименьший элемент.
Подготавливая переход к корректному доказательству, обо-
обозначим
s = \sn\ п 6 *N + \ = {<п, sn> | п 6 *N + }.
Пусть tn = n-sn при n£*N + . Тогда, так как s — внутренняя
функция при каждом я£*УУ + , имеем
Итак, по теореме 8.9 гл. 1 {/„ [ п Q*N+}— тоже внутренняя
последовательность.
Теперь дадим
Корректное доказательство. Пусть tn = n-sn. Так как sn«0
при n£N+, то tnv0 при n£N + . Следовательно,
К|<1 ПРИ n£N + .
(Мы заменяем "внешнее условие" tn « 0 на более слабое "внут-
"внутреннее условие" |/„|г^ 1.) Так как, как мы только что видели,
\tn\n£*N*\ — внутренняя последовательность, то теорема 6.1
показывает, что для некоторого v б *Л/ — iV
| ^„К 1 при п < v.
Тогда |sn|^l/n«0, если п бесконечно и п < v. ■
В качестве применения теоремы о продолжении последо-
последовательности бесконечно малых дадим нестандартное доказа-
доказательство утверждения, что равномерно сходящаяся последова-
последовательность непрерывных функций имеет непрерывный предел.
Сначала надо получить подходящий нестандартный эквивалент
для равномерной непрерывности. Мы пишем snz^.s(x) для
обозначения того, что sn(x) равномерно сходится к s(x).
Теорема 6.3. sn(x)ZZs(x) на [а, Ь] в том и только в том
случае, если sv(x)&s(x) при х£*[а, Ь] и v£*N — N.
Заметим, что, так же как и в случае равномерной непре-
непрерывности, переход от "поточечного" определения к "равномер-
"равномерному" имеет вид нестандартного условия, выполненного на
всем отрезке *[а, Ь] вместо [а, Ь].
96 2. Действительные числа и гипердействительные числа
Доказательство. Пусть sn(x) zzis(x) на [а, Ь]. Тогда для
любого действительного е>0 найдется no^N, такое, что
HVneN)(Vxe[a, b])(n>no_|sn(x) —s(x)|<e).
По принципу переноса для всех n£*N
п > п0 и х£*[а, Ь] влечет \sn (x)~s (x)\ < е.
Если теперь х£*[а, Ь] и v£*N — N, то v > п„, и поэтому
\sv(x) — s{x)\ < e.
Так как это выполнено для всех e£R + , то sv(x) ж s(x).
Обратно, пусть е — произвольное положительное действи-
действительное число. Выбирая пв£*Ы — N, получим
*N3no6*N)(Vn6*N)(Vxe*[a, b])(n>no_>|sn(x) — s(x)| < е)).
Требуемый результат получается обычным образом с помощью
принципа переноса. ■
Теорема 6.4. Пусть sn(x) непрерывна на [а, Ь] для каждого
n£N + . Пусть sn (x) nj s (x) на [а, Ь]. Тогда s(x) непрерывна
на [а, Ь].
Доказательство. Пусть хи G [а. Ь] и х£*[а, Ь], где хжха.
Требуется показать, что s(x) » s (ха). Итак, для каждого п б Л^+
известно, что
sBM«sn(xe), т. е. sn(x)—sn(xo)&0.
Тогда по теореме о продолжении последовательности беско-
бесконечно малых sv(x)—sv (л;0) « 0 для некоторого v£*N — N.
Используя теорему 6.3, получаем
s (х) ^ sv (х) х sv (х0) да s (х0). а
В качестве другого применения метода продолжений рас-
рассмотрим нестандартный вариант критерия сходимости Коши.
Теорема 6.5. Пусть {sn\n£N+} — некоторая последователь-
последовательность действительных чисел. Пусть sn да sm для всех п,
m£*N—N. Тогда sn—*L для некоторого действительного
числа L.
Доказательство. Достаточно показать, что для всех п£
£*JV — iV значение sn конечно. В этом случае выберем неко-
некоторое бесконечное v£*N — N. Тогда при L = °(sv) получим
sv&L. По условию теоремы для всех \i£*N — N, имеем
sM да sv да L, т. е. по теореме 5.1 sn —> L.
Итак, пусть v£*N — N. Мы хотим показать, что sv конечно.
Рассмотрим множество
§ 7. Нестандартное дифференциальное исчисление 97
Так как А определимо в *U и As*N, то А внутреннее.
Далее, при n£*N — N выполнено sn»sv и, следовательно,
Is»—sv|<l; поэтому *jV—N^A. Так как А внутреннее и
*N — N внешнее (следствие 1—8.4), то *N — N Ф А. Тогда
найдется п0 £ А П Л^+. Следовательно,
Ы = I sno — (sno—sv) I < I sno | +1 sno—sv I < I sno I + 1;
таким образом, sv конечно, в
§ 7. Нестандартное дифференциальное исчисление
В данном параграфе мы кратко опишем в духе Лейбница
дифференциальное исчисление для случая функций одной пе-
переменной. Наше рассмотрение несколько отличается от при-
принятых в литературе и предназначено для того, чтобы с по-
помощью простого обобщения прийти к производной Фреше
(см. § 4 гл. 4).
Напомним, что через / обозначается множество бесконечно
малых элементов поля *R.
Определение. Пусть /, g отображают / в /. Обозначим
f~g и назовем fug эквивалентными, если для всех нену-
ненулевых /i«0
Обозначив (/ (К)—g(h))/h через а, можно записать данное
условие в эквивалентном виде
Здесь a-h является бесконечно малым "более высокого порядка",
чем h, в том смысле, что (a-h)/h бесконечно мало. Таким обра-
образом, f~g просто означает, что f (К)—g{h) бесконечно малое
более высокого порядка, чем h.
Определение. / называется локально линейной, если / ото-
отображает / в / и для всех а, р « 0 справедливо равенство
/(ар)=а/(Р).
Для локально линейных функций получаем
для любого ая*0. Следовательно, /@) = 0.
Теорема 7.1. Пусть f локально линейна. Тогда существует
конечное k£*R, такое, что f(a) = ka для всех ос» О,
98 2. Действительные числа и гипердействительные числа
Доказательство. Пусть а, |5«0, а, Р^О. Тогда
f (Р) а/ (Р) / (ар) _ Р/ (а) ^ f (а)
Р ар ар ' afS ' а '
Пусть k — постоянное значение / (а)/а при а « 0, аф§. Тогда
f(a) — ka для всех а«0. (При а = 0 это равенство выпол-
выполняется автоматически, так как /@) = 0.)
Чтобы показать, что k конечно, предположим противное.
Тогда l/k « 0 и
что противоречит тому, что / отображает / в /. в
Теорема 7.2. Пусть f1(a) = k1a, f2(a) — k2a — локально ли-
линейные функции. Тогда
/i ~ /а тогда и только тогда, когда kx я? /га.
Доказательство. Имеем
h («) — /2(«) __ha — k&_u .
а. - a. ~Ri **'
так что левая часть есть бесконечно малое в том и только
в том случае, если правая часть — бесконечно малое. ■
Определение. Если / (а) = ka, где k £ R, то / называется диф-
дифференциалом.
Следствие 7.3. Каждая локально линейная функция эквива-
эквивалентна единственному дифференциалу.
Доказательство. Доказательство непосредственно следует
из теоремы 7.1 и 7.2. в
Следуя Лейбницу, мы используем символы dx, dt, dy для
переменных, принимающих бесконечно малые значения.
Определение. Пусть /—действительная функция, опреде-
определенная в точке х0. Функция AXJ определяется так:
Заметим, что / непрерывна в точке х0 тогда и только тогда,
когда AXJ отображает / в /.
Определение. / дифференцируема в точке х0, если AXJ
эквивалентна некоторому дифференциалу.
Ввиду доказанного, если / дифференцируема в точке х0,
то AXJ эквивалентна единственному дифференциалу, обозна-
^_____ $ 7. Нестандартное дифференциальное исчисление 99
чаемому dxj или даже просто df и называемому дифферен-
дифференциалом функции f (в точке х0). В этом случае для всех dx£l
имеет место
dj(dx) = kdx
для некоторого действительного числа k. Число k называется
производной f в точке х0 и обозначается /'(#„). Мы обычно
пишем (в соответствии с обозначениями Лейбница) dxj или
даже просто df вместо dxj(dx). Таким образом, получаем
и производная просто равна отношению двух бесконечно
малых1).
Заметим, что утверждение о том, что / дифференцируема
в точке х0 и имеет производную /' (*„), в точности совпадает
с тем, что AXJ (dx) ~ f (xo)dx, т. е.
f(xa + dx)-f(xB)-f'(x<))dx_f(xu+dx)-f(x<j) ,, , n
dx ~ dx M^o) — U.
для всех dxwO, т. е., что
Мы получили не что иное, как стандартное определение про-
производной.
Теорема 7.4. Если f дифференцируема в точке х0, то f
непрерывна в х0.
Доказательство. Пусть AXJ (dx) ~ k dx. To есть
/ {хе + dx)—f {х0) = k dx -i- a dx,
где атО. Тогда / (х0 + dx) » / (х,,) при dxxO, т. е. f непре-
непрерывна в х0. и
В качестве примера возьмем f(x)~x2.
Так как dx2 — бесконечно малое высшего порядка по сравне-
сравнению с dx (dx^/dx = dxw 0), то Ах / ~ 2хй dx. Следовательно,
df 2d, df/dx = 2x.
1) В работе Робинсона [10] df определяется так, что совпадает с тем,
что мы называем Л/. Следовательно, в рассмотрении Робинсона условие
(|) в общем случае не выполнено. Вместо этого имеет место /' (xo) = "(dj/dx).
100 2. Действительные числа и гипердействительные числа
Условие hxj ~ /' (х0) dx может быть записано в эквивалент-
эквивалентной форме:
т. е.
Теорема 7.5. Если /, g дифференцируемы в точке х0, то
fg тоже дифференцируема и
Доказательство, f (х0 + dx) = f {х0) + dxj + adx,
g (x0 + dx) = g (*e) + dXo
a, p«0. Следовательно,
+ сф dx2 + ag- dx + a dg ■ dx).
Для получения искомого результата нам достаточно прове-
проверить, что каждый член в фигурных скобках является беско-
бесконечно малым более высокого порядка, чем dx. Это непосред-
непосредственно проверяется для всех членов, кроме df-dg. Но
df.dg = df-g'{xo)dx
ввиду d/«0, так что порядок действительно выше, чем dx. ■
Теорема 7.6 (дифференцирование сложной функции.) Пусть
k(x) = f{g(x)), где g дифференцируема в точке х0 и f диффе-
дифференцируема в точке g(x0). Тогда k дифференцируема в точке х0 и
dk = f'{g(x,))dg.
Доказательство. Пусть uo = g(xo). Тогда для некоторого
0
g (хй + dx) = uo+g' (x0) dx + a dx.
Записав du = g' (xo)dx-\-adx x- 0, имеем
при некотором £> « 0. Следовательно,
bxak = f'(g(x,)) g' (*,) dx + {/ К) a dx + p du},
что дает искомый результат, в
§ 5. Аддитивность 101
§ 8. Аддитивность1)
В данном параграфе мы рассматриваем три разнообразных
применения нестандартных методов, использующих аддитив-
аддитивность.
Во-первых, рассмотрим функциональное уравнение
f(x + y) = f(x)+f(y). (|)
Простой результат, полученный Коши, состоит в том, что все
непрерывные функции, отображающие R в R и удовлетворяю-
удовлетворяющие ({), имеют вид f{x) = kx для некоторого k£R. Было по-
получено много обобщений результата Коши. Дадим нестандарт-
нестандартное доказательство следующего обобщения.
Теорема 8.1 (Дарбу). Пусть f отображает R в R, удов-
удовлетворяет ф и ■ограничена на некотором интервале. Тогда
/(*) = /(!)■*•
Доказательство. Начнем с некоторых простых следствий
соотношения (+).
A) /@) = 0. В силу того, что /@) = /@)+/@).
B) Для всех n£N f(nx) = nf(x). Индукцией по п. При
п = 0 результат совпадает с A). Предположим, что результат
выполнен для п. Тогда
+l)) f( + )
= f(nx)+f(x)
C) Для всех x£Rf(—х) = — f(x), так как/(*)+/(—х) =s
= f@) = 0.
D) Для всех целых п f(nx) — nf(x). Ввиду B) результат
выполнен при п^О. Пусть п < 0. Тогда
= nf(x).
E) Для всех рациональных q f (qx)~ qf (x). Пусть q=*m/n,
m, n—целые, /г=^0. Тогда
=m.f(x).
l) Этот и следующий параграфы в основном следую! работам Люксем-
Люксембурга [4, 7J.
102 2. Действительные числа и гипердействительные числа
Следовательно,
г / т \ т , , .
/ — X = — / (х).
Для рационального <? из E) следует f (q)~f A)-9> и тРе"
буемый результат может быть сразу же получен для непре-
непрерывных f использованием плотности рациональных чисел в R.
Пусть теперь / — интервал1), на котором / ограничена, и
пусть хй—некоторая внутренняя точка интервала /. Пусть
\f(x)\^M, M£R для всех *£/. Сначала мы перейдем к до-
доказательству того, что f(/i)»0 при h«0. Так как хо —
внутренняя точка интервала /, то найдется действительное
б > 0, такое, что
для всех |/г|<б и, следовательно (по принципу переноса),
для всех h w 0.
Следовательно, при h « 0
Далее, Л » 0 и л £ N влечет я/i« 0. Следовательно, я I f (Л) |
|/(й)|<М + |/(*0)|. То есть
\f(h)\<
для всех n£N+. Следовательно, /(/i)«0.
Пусть теперь x£R. По теореме 4.5 x = q-\-h, где
и /i w 0. Тогда (дважды используя принцип переноса)
Следовательно, f(x) = xf{\). ш
В качестве следующего примера рассмотрим принадлежа-
принадлежащее Люксембургу обобщение одного результата из списка
задач Пойа—Сегё. (В случае р = 0 получается результат
Пойа—Сегё2).)
Теорема 8.2. Пусть \sn\n£N + ] — последовательность дей-
действительных чисел, такая, что \sn+m—sn—sm\^s(пя + тР)
для всех п, m£N + , для некоторого р, 0^р< 1 и для неко-
:) Разумеется, этот интервал / не имеет ничего общего с множеством
бесконечно малых элементов /, фигурировавшем в § 7 и предыдущих па-
параграфах —Прим. ред.
2) См. Г. Полиа, Г. Сегё, Задачи и теоремы из анализа, ч. I, пер. с
немецкого, М., 1978; отдел первый, задача 99,—Прим. ред,
8. Аддитивность 103
торого s£ft. Тогда существует o£R, такое, что
A) }-.„,
B) |sB-H
Заметим, что A) немедленно следует из B), так как р < 1
влечет гср~7A— Я?'1) ->0.
Условия теоремы представляют некоторую разновидность
приближенной аддитивности. Итерированием получается
Лемма. В предположениях теоремы
k-i
5 snP 2, 2' 'Р' = sn
l -О
2*
\-2p-i
Доказательство. Индукцией по k. По предположению (в слу-
случае т = п)
Но это как раз случай k—l леммы. Предположим, что ре-
результат доказан при некотором k. Тогда
*2*+'я S2n
2* + i 2
Второй член в правой части ^.sn^ ввиду случая k—l. По
индуктивному предположению
( = 0
Следовательно,
2ft
1 = 0
(-=0
Доказательство теоремы. Положим в лемме k = v £*N — N.
Тогда
snP
Следовательно,
So V,,
1— 2P-1
конечно для всех
. Пусть tn —
По предположению
) —s2vn —s2vm
104 2. Действительные числа и гипердействительные числа
Следовательно,
2v
Так как /?—1 < 0, то правая часть неравенства бесконечно
мала, и, взяв стандартную часть, получим | tn+m — tn — tm\~0.
То есть tn+m=tn+tm. Но (как, например, мы видели в дока-
доказательстве теоремы 8.1) это влечет
где пг = ° ( SgV j Переписав неравенство (*) и взяв стандарт-
стандартную часть, мы видим, что
А это и есть требуемый результат, к
Нашим последним примером является нестандартное дока-
доказательство существования так называемого банахова предела.
Определение. Отображение LIM множества ограниченных
последовательностей действительных чисел в R называется
банаховым пределомх), если оно удовлетворяет аксиомам:
A) sn>0 влечет LIM(sJ>0.
B) LIM(asn + p/J=aHM(sn) + pLIM(/n) при п. n f p
C) lim inf sn ?SZ LIM (sn) ^ lim sup sn.
D) LIM(sB+1) = LIM(sB).
Доказывается
Теорема 8.3. Существует банахов предел.
Доказательство. Начнем с рассмотрения средних
^к ~~ k S ' ^п'
п-к
Это равенство должно выполняться при всех k£*N+. Если
k конечно, то найдется такое k0, что \ak\^\sk0\— max \sn\.
k < n < Чк
Следовательно, по принципу переноса ю же самое верно при
бесконечных k. Если {sn\n £ N + } — ограниченная последова-
последовательность |5„|^УИ, то (опять применяем принцип переноса)
г) См., например, У. Рудин, Функциональный анализ, пер. с англий-
английского, М., 1975; гл. Ill, упражнение 4. Заметим, что в книге Рудина от-
отсутствует первая из приводимых ниже а> сисм, поскольку она, очевидно,
вытекает из третьей. — Прим. ред.
5 Аддитивность 105
каждое sn при n£*N должно быть конечным. Отсюда следует,
что для ограниченной последовательности {sn} ak конечно при
всех k£*N + . Итак, мы выбираем некоторое фиксированное
v£*/V— /V и определяем
Перейдем теперь к проверке аксиом 1—4.
A) Если sn> 0 при всех п£ N + , то я„>0 при всех л£ N+.
По принципу переноса av>0, так что LIM(sJ>0.
B) Пусть un = asn-\-$tn. Тогда
2v-l ч ° , . 2v-l ч
I о у; \ 1
П — \
2л — 1 2v-l
п — v я = v
° / 2v-l \ °/ 2v~l
C) Пусть е — положительное действительное число. Тогда
(см. георему 5.3) °(sj является предельной точкой последо-
последовательности {sjrt£ N+} для любого п£*М—N. Следовательно,
для каждого такого п
lim inf {sn} < °(sB) < lim sup {sn},
и, следовательно,
lim inf {sn} —
Так как это, в частности, выполнено при всех п, таких, что
п < 2v, получаем
2V-1
lim inf {sj — e<^- ^ sn<lim sup {sj + e.
Взяв стандартные части, получим
lim inf {ьп\ — b
106 2. Действительные числа и гипердействительные числа
Результат получается переходом е —► 0.
D) Пусть un = sn+1. Тогда
°/ 2v—1
ЫМ(«Я)= ^Es»+1
/■2V-1
1
°/ 2v-l
§ 9, Существование неизмеримого множества
В этом параграфе представлено любопытное и довольно
нетипичное использование нестандартного анализа для дока-
доказательства существования ограниченного множества действи-
действительных чисел, не являющегося измеримым по Лебегу. Мы
предполагаем (только в данном параграфе), что читатель зна-
знаком с мерой Лебега и интегралом Лебега.
Как обычно, скажем, что число р является периодом функ-
функции /, отображающей R в R, если / (х -\- р) — f (х) для всех
х £R. Напомним, что если р является периодом ограниченной
измеримой функции /, то
х+р у+р
S 5
х у
для любых х, y£R. Будем использовать следующую теорему.
Теорема 9.1. Пусть f—ограниченная измеримая функция
на R со сколь угодно малыми периодами. Тогда f является
константой почти всюду (п.в.).
Доказательство. В силу основной теоремы интегрирования
по Лебегу для любых х, у£ R выполнено
x+h y+h
/(*)= Mm т С f(f)dt=lim-\- [ f(t)dt = f(y),
п в ft -* 0 " J A -»• 0 " J пв
х У
где величина h принимает значения из множества периодов f
(это возможно по условию). Следовательно, f(x) — f(y) п. в.,
т.е. f(х) — константа почти всюду. ■
9. Существование неизмеримого множества 107
Определение. Двоичное рациональное число — это число вида
п
2 akl2k, где каждое ак есть или 0, или 1. Через В обогна-
обогнала 1
чим множество двоичных рациональных чисел.
Очевидно, что каждое двоичное рациональное число г яв-
является таким рациональным числом, что 0^г< 1.
Для каждого действительного числа х, 0^х<1 пусть
sx(n) будет /г-й „знак" в двоичном разложении х. То есть
X-< 2"
n= 1
где каждое sx(n) = 0 или 1. (Для двоичных рациональных чи-
чисел г данное описание не определяет sr (п) единственным обра-
образом; мы устраним неопределенность, требуя, чтобы выполня-
выполнялось sr(rt) = 0 для достаточно больших п.) При каждом x sx
отображает N + в {0, 1}; следовательно, для каждого х *(sx)
отображает *N+ в {0, 1}. (Так как {0, 1} конечно, то *{0, 1} =
= {0, 1}.) Мы пишем, как обычно, sx вместо *(sx).
Выберем некоторое фиксированное v£*N—-N, и пусть А —
множество действительных х, 0^л:< 1, таких, что sx(v)=l.
Покажем, что А неизмеримо по Лебегу. Предположим, что А
измеримо по Лебегу с мерой т (А)
и постараемся вывести противоречие.
Каждое действительное число х имеет единственное пред-
представление вида т-\-у, где т — целое и 0^г/< 1. Определим
тогда
( 1. если у£ А,
'{-х'~\0, если у^А.
Так как мы предполагаем, что А измеримо, то, следовательно,
f—ограниченная измеримая функция на R.
Лемма 1. г£В влечет f(x + r) — f(x) для всех x£R.
Доказательство. Мы можем предполагать, что r=£Q.
Случай i
^<, ^ + < 1. Мы хотим доказать, что х6А тогда
и только тогда, когда х-\-г£А, т. е. sx(v) — sx+r(v). Для до-
доказательства заметим, что для некоторого конечного т
t=(Vn6N+)(n>m-»sje+r(n)=sje(n));
108 2. Действительные числа и гипердействительные числа
Это имеет место потому, что прибавление г к х изменяет
только конечное число знаков в двоичном разложении х.
Используя принцип переноса, получим
Случай ч
т^.х^.т-\-1, /n<x + r<m + l, где т — целое. Положив х' =
= х—т, получим 0^.х', х'-\-г<_\ и применим случай 1.
Тогда можем заключить, что
Случай з
х </п<л: + г, где т — целое. Пусть х' = х—т-\-г. Тогда х =
= (x + r) — m>0; х' = х—т + г< г < 1; х' + A — г) > х > 0;
' A r) = x — (m — 1)<т — (т—1)=1. То есть
где, конечно, 1 — г £ S. Тогда, используя случай 1,
Так как В содержит сколь угодно малые элементы, то мы
получаем из теоремы 8.1, что f — почти всюду константа.
То есть f(x) = Q п. в. или f{x)=i п. в. Следовательно, имеет
место
Лемма 2. т(Л) = 0 или т(Л) = 1.
Лемма 3. Если 0 < л: < 1 и х^В, то s1_x(n) = l — sx(n)
при n £ N +.
Доказател ьство.
Esx(n) . у \—sx(n) _ у J_ ^ 1
2" ' £* 2" "^ 2п
п= 1 «= 1 /1=1
Следовательно,
V \-sx(n) _, _v т
Используя лемму 3 и принцип переноса, мы получаем,
что Si_^(v)= I— s/(v) при х^Б. Следовательно, х£А— В
тогда и только тогда, когда 1—л:£Л — В, где Л =
1, ^}
Поскольку отображение дг—> 1-х—просто евклидово дви-
движение (т. е. отражение относительно точки x = -^j , то оно
Упражнения 109
сохраняет меру. Следовательно,
т(А — В) = т(А—В).
Так как В счетно, мера его равна 0, то
Следовательно, получили, что
Но это противоречит лемме 2.
Упражнения
1. Докажите, что существует элемент x£*R — R, такой, что
*<£*Q.
2. Покажите, что теорема 4.5 выполнена для гипердействи-
гипердействительных х.
3. (а) Покажите, что последовательность \sn |n£ N+\ действи-
действительных чисел ограничена тогда и только тогда, когда sn
конечно для всех бесконечных п.
(б) Далее используйте теорему 5.3, чтобы показать, что
всякая ограниченная последовательность действительных
чисел имеет предельную точку.
4. (а) Пусть / отображает [а, Ь] в /?, а<Ь. Пусть г = {<х,
уу\а^х, ys^b и / (i)</ (y)\. Покажите, что г направленно,
(б) Используйте (а) для другого доказательства теоремы 5.6.
5. Дайте нестандартное доказательство того, что sn—>-L вле-
влечет
+...+sn)/n — L.
(Замечание: Без потери общности, предположим L = 0, sn^0.
При v£*N — ./V запишем Sj + s2+ • ■ • +sv = (si+ • • • +sn) +
+ (Sn+i+...+sv), где p/vxiO.)
6. Покажите, что для любого xg* /^множество {у g *R | у «; х\
внешнее.
3. ТОПОТТОГНЧГГКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Топологические пространства
Для того чтобы оправдать нестандартный подход к иссле-
исследованию топологических пространств, вновь обратимся к то-
топологии вещественной прямой, рассматриваемой с точки зрения
гипердействительных чисел. Топологические понятия, такие,
как предел и непрерывность, были систематически сведены
к отношению х»х0, где xo£R и х£*/?. Это позволяет нам
рассматривать каждую вещественную точку хъ как включен-
включенную в некоторую „бесконечно малую окрестность", состоящую
из всех точек вида хо + п, где ft«0. Мы будем обозначать
это множество через |х (х0) и называть (следуя Лейбницу)
монадой точки х0. Таким образом,
Чтобы увидеть, как это понятие может быть обобщено в более
абстрактном направлении, для каждого r£R+ положим
1Г = {х € R | х0 — г < х < х0 + г}
и заметим, что
и (х ) = П */
Учитывая это замечание, перейдем к общему случаю. Напом-
Напомним
Определение. Топологическое пространство — это множество
X вместе с семейством 6sP(X), таким, что
A) 0, хев,
B) если Gx, ..., GB £ 0, то Gi П • •. Л GB € б,
C) если G;£6 для каждого i£J, то U G,-^0.
Элементы семейства 6 называются открытыми множест-
множествами .
Для того чтобы использовать нестандартные методы, мы
предполагаем, что X£U. (Мы не предполагаем, что XsS.)
Тогда все подмножества множества X, а также семейство Q
принадлежат U.
Для каждой точки р £ X мы положим
§ /. Топологические пространства 111
Произвольный элемент множества 6р мы называем открытой
окрестностью точки р.
Определение, ц (р) — П {*G | G £ вр}. Мы называем jli (p) мо-
монадой точки р. Мы пишем ^«р вместо q£\i{p).
Заметим, что это отношение q w p может выполняться
только при q£*X и р£Х. В частности, это отношение в об-
общем случае несимметрично.
Как показывает пример *R, монады могут и не быть внут-
внутренними множествами. Однако каждая монада содержит внут-
внутреннее подмножество, которое ведет себя как открытая ок-
окрестность. Точнее, имеет место
Теорема 1.1. Для каждой точки р£Х существует внут-
внутреннее множество D£*6p, такое, что D^fx(p).
Доказательство. Пусть г — {<х, у>\х£бр, у£б„, у^х}.
Покажем, что г — направленное отношение.
Очевидно, с!от(г) = бя. Для того чтобы показать, что г
направленно, предположим, что At, ..., Ak£6p. Тогда В —
— П A;£6D, так что <Л-, By£r, i—\, 2, ..., k, и, следо-
вательно, г направленно.
По теореме направленности существует такое множество
D£*U, что для любого А£бр имеет место <М, D}£*r. Мы
имеем
Так как •/• s *бя X *6Я, то по принципу переноса получаем
DgM, Следовательно,
Напомним, что топологическое пространство X называется
хаусдорфовым пространством (или Т^пространством), если
любые две его различные точки содержатся в непересекающихся
открытых множествах.
Теорема 1.2. X является хаусдорфовым пространством
тогда и только тогда, когда из того, что р, q£X и p=^=q,
следует \х (р) П [A (q) — 0.
Доказательство, Пусть X хаусдорфово, и пусть р, q£Х
и p=£q. Так как X — хаусдорфово пространство, то сущест-
существуют G£6p и H£6q, такие, что p£G, q£H и Gf]H = 0.
Из определения монады следует, что ц(р) g'G иц(q) s*Я.
112 S. Топологические и метрические пространства
По теореме 1—7.8 (или по принципу переноса) *GD*# = 0.
Следовательно, [х (р) П \i {q) = 0.
Обратно, предположим, что X не хаусдорфово. Тогда най-
найдутся точки р, q£X, такие, что
По предыдущей теореме мы можем найти внутренние мно-
множества D^'-бр и D2£*Qq, такие, что D1<=\i(p) и D2sjx(g).
По принципу переноса найдется точка х в D^Oj. Следова-
Следовательно, ц (р) П [х (9) ¥= 0- ■
Выведем теперь нестандартные эквиваленты для некото-
некоторых топологических понятий.
Теорема 1.3. G открыто тогда и только тогда, когда
[х (р) s *G для любой точки p£G.
Доказательство. Пусть G открыто и p£G. Так как G£
6
то, следовательно, jx(p)s*G.
Пусть теперь р—такая точка множества G, что (x(p)s*G.
Тогда найдется внутреннее множество D £ *вр, такое, что
DSjx(p)s*G. Следовательно,
Применяя принцип переноса, мы видим, что существует от-
открытая окрестность Ар точки р, такая, что A g=G.
Следовательно, если jx (p) ^ *G для всех р £ G, то откры-
открытая окрестность Ap^G существует для каждой точки p£G.
Отсюда следует, что множество G— \) А является откры-
P6G
тым. ■
Другим способом записи этой эквивалентности является
Следствие 1.4. G открыто тогда и только тогда, когда
для любой точки p£G
q&p влечет q£*G.
Важным следствием теоремы 1.3 является то, что монады
задают топологию; действительно, монады задают открытые
множества и потому топологию. Следовательно, любое топо-
топологическое свойство должно быть определимо в терминах
монад.
Напомним, что F называется замкнутым, если X — F от-
открыто. Таким образом, F замкнуто тогда и только тогда,
§ /. Топологические пространства 113
когда для любой точки р£Х — F
q « р влечет q £ *(Х — F).
Так как (по теореме 1—7.8) *(Х — F) = *X — *F, то это усло-
условие эквивалентно следующему:
если р£Х и qmp, и q£*F, то p£F.
Таким образом, мы доказали
Следствие 1.5. F замкнуто тогда и только тогда, когда
для любой точки р£Х,
если q£*F и q £ [i (p), то p£F.
Определение. Пусть X—топологическое пространство. Точка
р£*Х называется околостандартной, если pxq для некото-
некоторой точки q £ X, в противном случае р называется отдаленной.
Мы напомним, что множество /CsX называется компакт-
компактным, если каждое открытое покрытие множества К содержит
конечное подпокрытие (то есть, если /CS U A, »#s6, то
К Е А1 и ... U Ak для некоторых Alt .. ., Ak £ <Ж).
Нестандартное условие компактности является особенно
полезным.
Теорема 1.6. К компактно тогда и только тогда, когда
для любой точки р£*К существует точка q £К, такая, что
p^q.
Непосредственным следствием теоремы является
Следствие 1.7. Пространство X компактно тогда и только
тогда, когда любая точка р £ *Х околостандартна.
Доказательство теоремы. Пусть К компактно. Предполо-
Предположим, что р£*К, но p^\i(q) для всякой точки q£K- Это зна-
значит, что для любой точки q£K справедливо р(£п {*G\G €6q\.
Следовательно, для любого q£K найдется Gq£6q, такое, что
pdj:*Gq. Теперь, так как q£Gq, то
К<= U Gq.
Следовательно, ввиду компактности К, существуют qt,
..., qt£K, /CsG?1U...UG?i, т. е.
Используя принцип переноса и тот факт, что р £ */С, мы полу-
получаем, что р принадлежит одному из множеств *G?i, ..., *G(l(_
Мы пришли к противоречию, так как р не принадлежит ни-
никакому *Gq.
114 3. Топологические и метрические пространства
Обратно, предположим, что для любой точки р£*К спра-
справедливо соотношение p&q для некоторой q£K, но К неком-
некомпактно. Тогда найдется открытое покрытие "§ множества К
несводимое к конечному подпокрытию. Пусть
Покажем, что г является направленным отношением. Во-пер-
Во-первых заметим, что для любого G£$ найдется р£К, такое,
что <G, ру £ г. (Иначе само {G} было бы конечным подпокры-
подпокрытием из "&.) Поэтому dom (r) = £. Пусть теперь Glt ...,Gm£$.
Так как \Glf ..., Gm\ не может покрыть К, то найдется р£К,
такое, что p^G1U---L)Gm. To есть
<G,., /»er, *=1, 2, ..., т\
и поэтому г направленно.
Применяя теорему направленности, найдем p£*U, такое,
что для любого G £$ выполняется <*G, p>€*r. Так как
Ve'Sx4. то р£*К- Теперь для любого G ££ выполнено
|= (VxeK)(<G, x> 6r-*"l(xeG)).
По принципу переноса мы получаем, что для любого G£$
p^*G. По предположению существует q(zK, такое, что p&q.
Так как Ъ — открытое покрытие К и так как q£K, то для
некоторого G£$, q£G. Так как \i(q) является пересечением
всех *G, где G£6q, то мы получаем p£|ii(g)s*G. Следова-
Следовательно, мы имеем и p^*G, и p^*G: противоречие. ■
Мы закончим этот раздел нестандартными доказательствами
двух элементарных теорем.
Теорема 1.8. Замкнутое подмножество компактного мно-
жества компактно.
Доказательство. Пусть F^Kt где F замкнуто, а К ком-
компактно. Пусть p£*F. Тогда р£*К. Так как К компактно, то
р & q для некоторой точки q £К- Но так как F замкнуто,
то q£F. По теореме 1.6 F компактно. ■
Теорема 1.9. В хаусдорфоеом пространстве компактное мно-
множество замкнуто.
Доказательство. Пусть К компактно. Пусть q£*K, и пусть
q£\i(p). Мы хотим показать, что р£К. Так как К компактно
и q€*K, то q£n(r) для некоторого г£К- Так как простран-
пространство хаусдорфово, мы получаем г = р. ■
§ 2. Отображения и произведения И б
§ 2. Отображения и произведения
Рассмотрим теперь ситуации, в которых участвуют сразу
несколько топологических пространств. В таком случае поня-
понятие \i(p) неоднозначно; во всех конкретных случаях, однако,
неоднозначность будет устраняться контекстом.
Пусть f отображает топологическое пространство X в топо-
топологическое пространство Y. Утверждение „/ непрерывна в точ-
точке р £ X" означает, что если множество GsK является неко-
некоторой открытой окрестностью точки f(p), то найдется такая
открытая окрестность Н точки р, что |[//]gG,
Конечно, для того чтобы рассматривать непрерывность
с нестандартной точки зрения, мы должны предполагать, что X,
Y£U. (Если неверно, что X, Y^S, то мы не можем считать,
что */ является продолжением функции /. В любом случае */
отображает *Х в *К.)
Теорема 2.1. Пусть f отображает X в Y, где X и Y —
топологические пространства. Пусть р£Х. Тогда функция /
непрерывна в точке р в том и только в том случае, если
qm р влечет *f (q) да / (р).
Последнее условие может быть записано в эквивалентном
виде:
q$\i(p) влечет •/ (q) g ц (/ (/?))
или просто
Доказательство. Пусть f непрерывна в точке р. Пусть
G— некоторая открытая окрестность точки f (р). Тогда най-
найдется некоторая открытая окрестность Н£Q , такая, что
/[tfjsG. По теоремам 1—7.11 и 1—7.13 */[*Я] s*G. Так
как [х (р) s *#, то
Следовательно,
Доказывая в обратную сторону, по теореме 1.1 найдем
внутреннее множество D, такое, что D£*6p и Dsjx(p). Сле-
Следовательно, по предложению q£D влечет */(q) £ [i (/(p)). Итак,
если Я —некоторая открытая окрестность точки f(p), то из
q£D следует *f(q)£*H- Мы получили, что для каждого
116 3. Топологические и метрические пространства
По принципу переноса найдется открытая окрестность D точ-
точки р, такая, что f[D]sH. Следовательно, функция / непре-
непрерывна в точке р. т
В качестве простого приложения этой теоремы дадим не-
нестандартное доказательство одной из основных теорем:
Следствие 2.2. Если функция / непрерывна в каждой точке
множества К и К компактно, то f[K] компактно.
Доказательство. Пусть q(z*{f[K])- По теореме 1—7.13
*(/[/С]) = */[*/С], поэтому q = */(/") для некоторого г б *К. Так
как К компактно, то г« г0 для некоторого г0«К- По тео-
теореме 2.1 9 = */(г)«/Чго)£/[/<]- По теореме 1.6 f[K] ком-
компактно, в
В дальнейшем мы хотим рассматривать прямые произве-
произведения топологических пространств. С этой целью напомним,
что если в—семейство открытых множеств топологического
пространства X, то Ъ называется базой пространства X, если
A) S<=6,
B) для любого множества G g 6 найдется множество
{Gi\i£J}, такое, что каждое G,g^ и G= и G-.
Пусть Ъ — база пространства X и р£Х\ положим
т. е.
Теорема 2.3. Если Ъ является базой пространства X, то
для каждой точки р£Х
Р(р)= П 'G.
Ое8я
Доказательство.
[х(р)= п *Gg= П *G.
Обратно, для любого Н£бр мы можем найти GH€$p, такое,
что GHsH. (Это можно сделать потому, что Н является
объединением множеств, принадлежащих семейству %, и хотя
бы одно из этих множеств должно содержать р.) Следовательно,
П *G<= П *GH9= П *Я = (А(р). ■
Рассмотрим теперь произведение
X = П X-i = {/1 / @ € Л-,- Для каждого i
§ 2. Отображения и произведения 117
где мы предполагаем, что {XJi £ /} £ U1). Если каждое Xt
является топологическим пространством, то топология произ-
произведения на X, определяемая обычным образом, описывается
базой, состоящей в точности из всех множеств вида
A = {f\f(vt)€Gt, i=\, 2, .... /},
где Glt ..., GL—открытые множества в XVl, ..., Xv соот-
соответственно. С нестандартной точки зрения более наглядное
описание топологии произведения дается следующей теоремой:
Теорема 2.4. Пусть X = J\Xr Пусть g£*X и f£X. Тогда
g & f в том и только в том случае, если g (i) « / (t) для всех
ieJ1)-
Доказательство. В доказательстве мы через Ъ обозначаем
описанную выше базу пространства X. Пусть g~f, но пред-
предположим, что для некоторого /0£/ g(j0) ^ f(j0), т. е.
S(io)i\l(f(io))- По определению монады g(jo)(£*G яля неко-
некоторого G£6fu0). Пусть W = {h£X\h(jo)£G\; таким образом,
W — открытое множество. (Фактически W £$.) Теперь
По принципу переноса
*f=(Vt<=*X)(t«=*W-(trjoN*G).
Так как g£*X и g{jo) = g\ io$*G> T0 должно иметь место
g^*W. С другой стороны, f^W, так что W £6/. По опре-
определению [i(/), следовательно, £(£ц(/), так что g^f.
Обратно, пусть g(t)~/(O для всех t££-Пусть G £S
Тогда мы можем положить G = {/i|/i(v,-) ^G,-, i=l, 2, ...,/},
где каждое G,- является открытым множеством в Xv . Так
как f£G, то, следовательно, /(v,.)gG;, i=l, 2, ...,/. По
предположению g(v,-) « /(v,-). Так как каждое G; — открытое
множество, то g(v,-) G*G;. Применив принцип переноса, мы
2) Здесь автор, к сожалению, несколько небрежен. Во-первых, исполь-
использование буквы X двусмысленно: ведь, согласно § 1 гл. 1, эта буква ис-
используется для обозначения самого семейства {X(\i£ J], понимаемого
как отображение. Во-вторых, предположения « {X/ \ г'£ J}£U » недоста-
недостаточно для дальнейшего: надо еще, чтобы было Jgz*j. Без этого включе-
включения, в частности, не имеет смысла используемая в формулировке тео-
теоремы 2.4 запись g(i): ведь в силу принципа переноса всякий элемент g
множества *('ТТ^Л является функцией с областью определения *J.
Для того чтобы гарантировать включение J s *J, достаточно потребовать,
например, включения J E5.— Прим. ред.
118 3. Топологические и метрические пространства
получим, что g£G. Следовательно, по теореме 2.3 g£ П "'G =
= [х(/), т. е. g-«/. в
Теорема 2.5. Произведение хаусдорфовых пространств явля-
является хаусдорфовым пространством.
Доказательство. Пусть Х = Дх,-, где каждое X,- хаусдор-
фово. Пусть /, g-gX и fфg. Мы хотим показать, что \х (f) n
f\\x(g) = 0. Предположим вместо этого, что h £ \х (/) Л |i (g)■
То есть h(i)tvf(i), h(i)&g(i) для всех i из /. Но так как
каждое Хг хаусдорфово, то из этого следует, что для любого
l£J fV) = g{i), т. е. f = g. ш
Теорема 2.6 (Теорема Тихонова.) Если Xt компактно для
каждого i£J, то Ц Х; компактно.
Доказательство. Пусть X = \\ Xh и пусть g £ *Х. Мы хотим
показать, что g»f для некоторого f£X. Так как g£*X, то
по принципу переноса мы получаем, что g(i)(z*X; для всех
/£/. Ввиду компактности каждого X,- g(i)ma[ для неко-
некоторого ai(tXt. Следовательно, отображение f, определенное
так, что f(i)~ai для t£/, принадлежит X. Очевидно, что
g{i)~f(i) для всех i£J, и по теореме 2.4g«/. ■
Техническое замечание: если всеХ,- хаусдорфовы, то каждое а{
определяется однозначно и данное доказательство не исполь-
использует аксиому выбора в явном виде; в противном случае аксиома
выбора используется при построении функции /\ Слабая форма
аксиомы выбора уже была использована в развиваемой нами
теории.
§ 3. Топологические группы
Топологической группой является множество G, которое
удовлетворяет одновременно следующим условиям:
A) G—топологическое пространство; т, е. некоторое семей-
семейство 6 подмножества множества G, удовлетворяющее обычным
требованиям, указано в качестве семейства открытых мно-
множеств пространства G.
B) G—группа с операцией • с единичным элементом е и
с обратным элементом для x£G, обозначаемым х~х. (Как
обычно, мы пишем ху вместо х-у.)
C) Функции х-у и х~х непрерывны в топологии, задавае-
задаваемой семейством б1).
1) Функция х-у осуществляет отображение декартова произведения
QXG в G; имеется в виду непрерывность этого отображения в предполо-
предположении, что на GXG задана топология произведения.— Прим ред.
§ 3. Топологические группы 119
Мы предполагаем, что G^S, так что функция произведе-
произведения и обратная функция принадлежат стандартному уни-
универсуму U.
Условия непрерывности C) ввиду предыдущих рассужде-
рассуждений равнозначны следующим:
(За) Если х0, f/0 € G, х, y£*G, хъх0, у да у0, то %-уда
&хо-уо.
(ЗЬ) Если xo£G, x£*G, хжхв, то х^дал^1.
Так как G — группа, то мы имеем
(Vx e G) (Vy 6 G) (Vz e G) ((x.(y.z)) =
= ((x-y)-z)<s((e.x) = x)<g(x-1.x = e)).
Из принципа переноса следует, что *G также является груп-
группой. Так как мы предположили, что GgS, то Gs*G, так
что G— подгруппа группы *С
Пусть J является множеством околостандартных элемен-
элементов *G, т. е.
J — {*€ *G \x да х0 для некоторого a;0^G}.
Теорема 3.1. J является подгруппой группы *G.
Доказательство. Пусть х, y£J. Достаточно показать, что
x-y£J и x-^J. Пусть хяхх0 и у & ув, где л;0, r/0€G. Из (За),
(ЗЬ), выписанных выше,
Следовательно, х-г/, х принадлежит J.
Теорема 3.2. \х (е) является нормальной подгруппой группы J.
Доказательство. Очевидно fx(e)s/, так как e£G. Пусть
х, y(z[i{e). Тогда х&е и г/дае, поэтому х-уж е-е = е и
х~1дае-1 = е. Следовательно, jx (е) — подгруппа группы J.
Далее, пусть y£J, x£\i(e). Мы хотим показать, что
y-1xy€]i{e). Имеем г/дау0 для некоторого r/06<j и хдае. Сле-
Следовательно,
у-1хутув1еу0 = е. ш
Пусть Л, Bs*G и x€*G. Как обычно, положил!
= {ху\х£А и
Теорема 3.3. Для x£G
Доказательство. Пусть /gxjLi(e), т. е. t — лу для некото-
некоторого утае. Тогда txxe = x, т. е. ^€|г(л:). Обратно, если
120 3 Топологические и метрические пространства
t£\x(x), то tf&x, так что x~xt ял х~хх — е. Тогда x-1t^\i(e),
так что t = x(x~1t) £x\i (е). Это доказывает, что jx (x) = x\i (e).
То, что ji (x) = j.i (е) х, может быть доказано так же; или
же мы можем заметить, что так как \i(e)— нормальная под-
подгруппа в /, то левый смежный класс хц(е) совпадает с пра-
правым смежным классом jx (е) х.
Лемма 1. Пусть yxx£G. Тогда y\i (е) — x\i (e) = jx (х).
Доказательство, у — уе, так что г/£г/[х(е). Кроме того,
у€ И (х) = хц (е). Но два смежных класса с общими элементами
должны совпадать. ■
Таким образом, мы видим, что смежные классы по \х(е)
в / являются в точности монадами \i(x) для x£G.
Лемма 2. \* (ху) = ц (х) р (у) для х, y£G.
Доказательство. Если z£\i(xy) = xy\i(e), то z = xyt, где
tee. Нох £ [а(л:) и yt g j/j.i(e) = [х(г/). Таким образом, z(i[x(x) \i(y).
Обратно, если z £ \i (x) jx (у), то z = uv, где ижх, vtay.
Тогда гт&ху, т. е. z£\x(xy). в
Заметим теперь, что элементы факторгруппы J/\i(e) суть
в точности смежные классы |i (x). Следовательно, из леммы 2
получается
Теорема 3.4. Отображение х—*-[а(лг) группы G на Jl\i(e)
является гомоморфизмом.
Если G хаусдорфово пространство, то каждый смежный
класс [х (л:) содержит только один элемент из G. Таким обра-
образом, в этом случае отображение х—>-|л(л:) взаимно-однозначно.
Из этого следует
Теорема 3.5. Если G хаусдорфово, то G изоморфно J/ц (е).
Теорема 3.6. Пусть H<=G, и пусть x£G. Тогда если Н —
открытое множество, то и хН—открытое множество.
Доказательство. Пусть xh £ хН, где h £ Н. Так как И от-
открыто, то A (h) s *H. Для того чтобы показать, что хН от-
открыто, достаточно доказать, что \i(xh) s *{xH) — x(*H). Итак,
пусть q«xh. Тогда x~xq«/i. Следовательно, х~гц £*Н и
qex(*H). в
Теорема 3.7. Пусть A, B^G, где А замкнуто и В ком-
компактно. Тогда А'В замкнуто.
Доказательство. Пусть t£*(A-B), где tzag для некоторого
g£G. Достаточно показать, что g£AB. Так как *(А-В) —
= *А-*В, то мы можем записать ^ = а-|3 для а£*А, |ig*B.
§ 4. Существование меры Каара 121
Так как В компактно, то |3даb для некоторого b £ В. Следо-
Следовательно, t — а-$&а-Ь. Так как tmg, то из этого следует,
что ab я, g и a да gb~1. Так как gb'1 £ G, сс£*Л и Л замкнуто,
то получаем g6~J£i4. Следовательно, g^lgb'^b^ А -В.ш
§ 4, Существование меры Хаара*)
Теперь покажем, как нестандартные методы могут быть
использованы для получения простого и интуитивно ясного
изложения основного этапа построения меры Хаара на ло-
локально компактной хаусдорфовой топологической группе. (Мы
не предполагаем никаких предварительных знаний в этой об-
области.)
В данном параграфе G является хаусдорфовой топологи-
топологической группой; как обычно, б—семейство открытых множеств
группы G и для каждого q £ G
Определение. A<=G является ограниченным, если А<=К
для некоторого компактного множества К-
Пусть ,53 — семейство всех ограниченных подмножеств
группы G.
Определение. G называется локально компактной, если
®Г\6еф0.
Теперь мы предполагаем, что G локально компактна. Сле-
Следовательно, существует некоторое Ао, такое, что А0£33 и
Л0£(Зе. В дальнейшем мы считаем, что некоторое такое Ао
фиксировано.
Определение. Н отделяет А от В, если
A) Не6е и A, B£S3,
B) для любого x£G или А (]хН — 0, или В{\хН= 0.
"Н отделяет А от В" означает, что, какое бы ни было вы-
выбрано левое "смещение" Н, результат никогда одновремьнно
не пересечется с Л и с В.
Определение. А \\ В отделены, если некоторое Н отделяет их.
Перейдем к рассмотрению функций /, отображающих 3i
в некоторое упорядоченное поле D.
Определение. Пусть f отображает 33 в некоторое упорядо-
упорядоченное поле D. Функция / называется допустимой, если вы-
выполнены следующие условия:
(а) /(Л)>0 для всех Л £53,
у) Мы следуем раОоте Хауснера [16]; сравните также со статьей Па-
Парика 19].
122 S Топологические и метрические пространства
(b) As В влечет /(Л)</E),
(c) f(Ai)B)^f(A) + f(B),
(d) /(Ло) = 1,
(e) f(xA) = f(A) для всех x^G и А£®.
Определение. / слабо аддитивна, если f (A U В) = / (Л) -f
всякий раз, когда А и В отделены.
Наконец, дадим
Определение. Функция X, отображающая 33 ъ R (множество
действительных чисел), называется протяженностью на G,
если К является одновременно допустимой и слабо аддитивной.
Нашей основной теоремой является
Теорема 4.1. На G существует протяженность.
В действительности мерой Хаара является такое отобра-
отображение v "борелевских" множеств группы G в /?и{о°К что
A) v(A)^0, если v(A) определено,
B) В£33 влечет v(£)< оо,
C) vD0) = l,
D) v(xA; = v(A) при x&G,
E) v "счетно аддитивна".
Если задана некоторая протяженность на G, то построение
такой функции v получается прямым применением методов
теории меры 1).
Итак, пусть А £33, Н£бе. Тогда As К, где К — компактное
множество. Так как е £ Н, то х £ хН. Кроме того, по теореме 3.6
хН открыто для каждого x£G. Следовательно, и (xH) — G,
хе а
так что {хН | х £ G} является открытым покрытием f(. Так как
К компактно и A s К, то
AsxtHUx2HU ..UxNH (|)
для некоторого конечного множества {хх, ..., xN\. Пусть
(А:Н) равнр наименьшему значению N, при котором (|) вы-
выполнено, и определим
для каждого A G 33-
Лемма 1. Для каждого li$.Qe функция gHдопустима. Более
того, если Н отделяет А от В, то
х) Протяженность применяется сперва для определения "внешней меры".
Детали см., например, в книге Халмоша [13],
§ 4. Существование меры Хаара 123
Доказательство. Мы проверяем условия (а) — (е), указан-
указанные на стр. 121—122:
(a) Доказательство очевидно.
(b) Если Лsfi, то Ве^Яи ... UxNH влечет Лд^Ди • ..
. . . [)xNH, так что (А:Н)^(В:Н).
(c) Если А <= хгН U ... U xNH и В s ytH U ■ • • U УкН, то
Ли^е^Я U • • • и^Яи^Яи . . . \iykH, так что
(Л5Я)(ЛЯ) EЯ)
(
(d) gH(A0) = (A0)@)
(e) Если Asxfl U • • • U xNH, то хЛ s (xxx) Я и • • • U {xxh)H,
обратно, если хЛ е^Яи ... UykH, то Лд(х-1(/,)Яи . ..
... U {х~уу^Н. Следовательно, (хА:Н) = (А:Н).
Наконец, пусть Н отделяет Л от В, и пусть
А и В s *!# и • • • U *л^-
Так как ни одно х,-Я не может иметь пересечения сразу с А
и с 5, то можно записать (перенумеровав xh если необходимо)
Л s *!# U • ■ • U хАЯ; fi s ха+1Я U • • • U х^Я.
Следовательно, (Л и
Лемма 2. Существует допустимая слабо аддитивная функ-
функция k, отображающая S3 в *Rl).
Доказательство. Отображение g, определенное выше, отобра-
отображает 33х.6е в R. Следовательно, *g отображает *33х*6е в*/?.
Далее, из теоремы 1.1 известно, что существует внутреннее
множество D£*6е, такое, что Ds\i(e). Определим k(A) = *gD(A)
для всех Л £33. Так как мы знаем, что для каждого Я £бе
функция gH допустима, то из принципа переноса следует, что
k = *gD допустима. Покажем теперь, что k слабо аддитивна.
Пусть А и В отделяются множеством Я £бе. Мы хотим пока-
показать, что k(A U B) = k(A)+k(B). Так как каждая открытая
окрестность точки е, являющаяся подмножеством Я, также
отделяет А от В, то имеем
L) = g(A, L) + g(B, L)).
Применяя принцип переноса,
*^(VL6*6e)(LS*H-**g(AUB, L) = *g(A, L) + *g(B, L
Но так как Оец(е)с'Я и DQ*6e, то имеем
Здесь молчаливо предполагается, что R^S.—Прим.
124 3. Топологические и метрические пространства
т. е.
Наконец, имеет место
Лемма 3. k (А) конечно для каждого А £ 93.
Доказательство. Пусть А — некоторый элемент 93. Тогда
А ограничено и, следовательно, As К, где К компактно.
Так как К. компактное множество и A sATs (J xAQ, то
хча
А д= XlA0 U x2A0 U ... UxnA0
для некоторого конечного множества {xlt ..., хп}. Используя
то, что k допустимо,
= k(Aa)+...+k(A0) = n.
Определим теперь протяженность
так что К отображает S3 в R. Так как ° есть гомоморфизм,
сохраняющий <Г, то % допустима и слабо аддитивна, так что
в самом деле она является протяженностью.
§ 5. Метрические пространства
Напомним, что метрикой на множестве Хф0 является
отображение р: XxX—^R, такое, что для всех х, у, z£X
(a) р(х, г/)>0,
(b) p (x, t/) = 0 тогда и только тогда, когда х = у,
(c) р(х, у) = р(у, х),
(d) p(x, г)<р(х, у) + р(у, г).
Действительное число р (х, у) называется расстоянием
между х я у. Множество X вместе с метрикой р называется
метрическим пространством.
Определение. При р^ X и действительном г > 0 множество
Bp(r) = {qeX\p(q, p)<r)
называется открытым шаром с центром р и радиусом г. Если
GgX и если для каждого p£G существует г £ /?+, такое, что
Bp(r)^G, то G называется открытым множеством в метри-
метрическом пространстве.
Если через в обозначить семейство всех таких открытых
множеств, то утверждение о том, что X с открытыми множе-
§ 5. Метрические пространства 125
ствами 6 образует топологическое пространство, совершенно
тривиально. Следовательно, применимы все предыдущие утверж-
утверждения, относящиеся к топологическим пространствам. Имеет
место
Лемма 1. Для каждого р^Х и г £ R+ множество Вр(г)
открыто.
Доказательство. Пусть q£Bp(r), т. е. р (q, р) < г. Пусть
s = r — p{q, p)>0. Мы утверждаем, что B((s)EBp(f), а это,
конечно, дает требуемый результат. Для проверки утвержде-
утверждения пусть m£Bq(s), так что р (т, q)<is. Тогда
р(т, /))<р(т, q) + p(q, p)<s + p(q, p) = r.
Следовательно, т£Вр(г). и
Мы предполагаем, что X, R ^ S, так что р £ U и *р отобра-
отображает *Хх*Х в *R, и пишем, как обычно, р вместо *р. По
принципу переноса (а) — (d) выполнены при х, у, z£*X. Ко-
Конечно, "расстояние" между двумя точками в *Х является в общем
случае гипердействительным числом.
Теорема 5.1. Для любой точки р£Х
= П *Вр(г).
R +
Доказательство. По лемме 1 Вр(г)£бр для всех
Следовательно,
= П *Gc= П *В {г),
сев £Х +
Для доказательства обратного включения рассмотрим неко-
некоторое G (:6р. По определению существует r = ro£ R +, такое,
что Вр (ra) s G. Тогда
Л *5„ (г) = Л *В {ro) s Л *G = }i (/>). в
е^+ ^ оее р аеб
При X = R обычной метрикой является р (х, у) = \х—у\.
При данной метрике для каждого фиксированного xo£R
Вг (*„) = {х 6 ЛI х0 — г < х < л;0 + г},
т. е. fir (х0) = Ir в терминологии начала данной главы. Следо-
Следовательно, теорема 5.1 показывает, что jx(xo)= л *^г, как
мы и предвидели.
Возвращаясь к произвольным метрическим пространствам,
рассмотрим q£*X, p(-X. Тогда по теореме 5.1 q x, p тогда
и только тогда, когда 0^р(<?, р)^г для всех л6-£?+1 т. е.
126 3. Топологические и метрические пространства
тогда и только тогда, когда р (q, р) бесконечно малое. Это
подсказывает нам запись q& р в случае произвольных q, p£*X
для обозначения того, что р (q, p) бесконечно малое. В част-
частности, при X = R и х, y£*R имеем
х« у тогда и только тогда, когда \х—у\ бесконечно малое,
так что наши обозначения согласуются с обозначениями гл. 2.
Для каждого р £ *Х обозначим теперь ц (р) = {q £ *Х \
p(q, p)f&0\, так что можно говорить о монаде произвольной
точки из *Х.
Определение. Точка р£*Х называется конечной, если для
некоторой точки q £ X расстояние р (р, q) конечно.
Следствие 5.2. Каждая околостандартная точка конечна.
Доказательство. Пусть р£*Х околостандартна. Тогда для
некоторой точки q£X имеем ptaq, т. е. р (р, q)&0. Следо-
Следовательно, р (р, q) конечно, ш
Следствие 5.3. Метрическое пространство является хаус-
до рфовым.
Доказательство. Пусть р, q£X, и пусть sgц (р), s£n(q).
Итак, р (s, q), p (s, р)&0. Следовательно, р (р, (?)<р(р, s) +
+ p(s, q)&0. Так как р(р, q)£R, то р(р, q)~0 и p = q. ш
Это оправдывает следующее определение.
Определение 1. Для каждой околостандартной точки р через
°р обозначается единственная точка q^X, такая, что p£\i(q).
Точка °р называется стандартной частью точки р.
Разумеется, это согласуется с обозначением °х для конеч-
конечных гипердействительных чисел.
Определение 2. Множество В<= X называется ограниченным,
если BsBp(r) для некоторого р £ X и r£R+.
Лемма 2. Если р£*Х конечна и q£X, то р(р, q) конечно.
Доказательство. Так как р£*Х конечна, то р (р, s) конечно
для некоторого s 6 X. Пусть q — некоторая другая стандартная
точка. Так как
s, q)
и р (р, s) и р (s, q) конечны, то из этого следует, что р (р, q)
конечно. ■
Теорема 5.4. 6s X ограничено тогда и только тогда, когда
каждый элемент *В конечен.
§ 5. Метрические пространства 127
Доказательство. Пусть Bs Вр (г) для р £ X и г 6 £?+- Тогда
МУхбВ)(р(х,р)<г).
По принципу переноса отсюда следует, что р (q, р) < г для
любого ^ € *В- Следовательно, все элементы *В конечны.
Обратно, пусть каждый элемент х£*В конечен; выберем
некоторое р£Х; по лемме 2 р (х, р) < г для любого положи-
положительного бесконечного гипердействительного г. Следовательно,
*HCr€*R+)(Vx€*B)(p(x, Р) < г).
Применяя принцип переноса, получим, что существует г £ R+,
такое, что Bs Вр(г). ш
Следствие 5.5. Любое компактное множество ограничено.
Доказательство. Пусть К компактной q£*K- Тогда q&p
для некоторого р£К- Но отсюда следует, что q конечно. По
теореме 5.4 К. ограничено. ■
Теорема 5.8. Пространство X удовлетворяет условию
каждое ограниченное замкнутое множество компактно
тогда и только тогда, когда каждая конечная точка *Х око~
лостандартна.
Доказательство. Пусть каждая конечная точка в *Х около-
стандартна. Пусть В замкнуто и ограничено, и пусть х£*В.
Для того чтобы убедиться, что В компактно, покажем, что
xmq для некоторой точки q£B. Так как В ограничено, то х
должна быть конечной; таким образом, по условию х около-
стандартна. То есть xinq для некоторого q£X. Так как В
замкнуто, то q £ В.
Обратно, предположим, что условие выполнено. Пусть р£*Х
конечна; покажем, что р околостандартна. р (р, q) < г для не-
некоторых q £ X и г £ R+. Пусть
Ясно, что ЯсВв(г + 1) и, следовательно, Я ограничено. Для
того чтобы показать, что Я, кроме того, замкнуто, пусть
/£*Я, ttts£X. По принципу переноса p(t,q)^r. Следова-
Следовательно, р (s, q) ^ r + р (t, s). Взяв стандартные части, получим
p(s, q)^r, так что s£#; следовательно, Н замкнуто. По-
Поскольку Н и ограничено и замкнуто, оно по условию ком-
компактно. Отсюда получаем, что каждый элемент *Н околостан-
дартен. Так как р£*Н, то р околостандартна, что завершает
доказательство. ■
128 3. Топологические и метрические пространства
Естественно, каждое подмножество А метрического прост-
пространства 5 с метрикой р само является метрическим простран-
пространством с метрикой р (ограниченной, конечно, на А).
Теорема 5.7. Пусть К^Х, где X—метрическое простран-
пространство. Тогда К в том и только том случае компактно как
подмножество пространства X, если оно компактно как под-
подпространство пространства X.
Доказательство. Ясно, что оба условия эквивалентны тому,
что
для каждого pZ*K имеет место рдаq при некотором q £К- ш
Значение этой теоремы состоит в том, что теоремы о ком-
компактных метрических пространствах могут также рассматри-
рассматриваться как теоремы о компактных множествах в метрическом
пространстве.
Рассмотрим теперь последовательности точек в метрических
пространствах, т. е. отображения s множества N+ в X, где,
как обычно, пишем sn вместо s(n). Тогда *s (которое мы, ко-
конечно, будем обозначать через s) отображает *N+ в *Х. Мы
пишем sn'—► х и говорим, что х—предел последовательности
{sn | п £ N+\, если р (sn, x)—^0. Ввиду наших рассмотрений
сходимости последовательностей действительных чисел (теорема
2 — 5.1) немедленно получается
Теорема 5.8. sn —* х тогда и только тогда, когда р (sn, x) та 0
для всех n£*N — N.
Следствие 5.9. sn—*x влечет ограниченность множества
Доказательство. Очевидно, при n£N+ sn конечна. По тео-
теореме 5.8 sn околостандартна и, следовательно, конечна при
n£*N — N. Следовательно, sn конечна при всех n£*N.
Множество членов последовательности {sn\ n£ N + \ является
просто множеством значений s [Л/^+]. По теореме 1—7.13
* (s [7V+]) = s [*7V+]. Следовательно, по теореме 5.4 s[iV+]—огра-
s[iV+]—ограниченное множество. ■
Следствие 5.10. sa—>-x и sn—+y влечет х = у.
Доказательство. При n£*-N — N будет snя
что хжу. Так как X хаусдорфово, то х = у.
1) Допуская „вольность речи", автор обозначает здесь через {sn | n£N+}
не самое последовательность (т. е, отображение), а множество членов после-
последовательности,— Прим. ред.
Метрические пространства 129
Определение. Точка х£Х является предельной точкой по-
последовательности \sn\ n£N + \, если некоторая подпоследова-
подпоследовательность последовательности {sn\ сходится к х.
Если х—предельная точка {sn[, то разумеется, для любого
е£/?+ неравенство
р (sn> x)< г
выполняется для бесконечно многих п £ N + . Обратно, если для
каждого е > 0 это неравенство выполняется для бесконечно
многих п, то подпоследовательность последовательности {sn},
сходящаяся к х, может быть получена следующим образом:
Пусть п1=1; предположив, что пх < я2 < . .. < п, возьмем
в качестве п/+1 такое число, большее яу., что
9{sttJ+1,x)<j-.
Тогда sn/—>x.
Обобщая теорему 2.5.3, получаем следующую теорему:
Теорема 5.11. Точка х является предельной точкой \sn\ тогда
и только тогда, когда sv«x для некоторого v £*N — N.
Доказательство. В доказательстве теоремы 2—5.3 замените
каждое вхождение "\sn — x\" на "p(s«. *)" и "|sn—х|" на
"p(sn,x)". ■
В качестве непосредственного следствия получается
Теорема 5.12. (Теорема Больцано—Вейерштрасса.) В ком-
компактном метрическом пространстве каждая последовательность
содержит сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть \sn | n 6 /V + } — последовательность
точек пространства, и пусть v£*A/ — N. Так как пространство
компактно, то sv околостандартна, т. е. svmx£X. Следова-
Следовательно, х—предельная точка последовательности, т. е. неко-
некоторая подпоследовательность сходится к х. т
Определение. Последовательность {sn\n£N + \ называется
последовательностью Коши, если для любого действительного
е > 0 найдется п0 6 N+, такое, что т, п > п0 влечет р (sm, sn)<e.
Теорема 5.13. Последовательность \sn\n£N+\ тогда и
только тогда является последовательностью Коши, когда sn «sm
для всех т, n£*N — N.
Доказательство. Пусть {sn\ последовательность Коши, и
пусть е£/? + . Тогда найдется na£N, такое, что
|=(VneN+)(Vni6N+)((n > ri^m > no)-»p(sB, sj < e),
130 3. Топологические и метрические пространства
По принципу переноса получим, что п, m£*N — N влечет
Р (s«> sm) < е- Так как е произвольно, то р (sn, sm) « 0 и sn да sm.
Обратно, пусть sn&sm при m,n£*N — /V. Пусть е££?+.
Выбирая в качестве п0 произвольное бесконечное целое, по-
получаем
-»P(s». se)<e).
Результат получается применением принципа переноса. ■
Определение. Метрическое пространство X называется
полным, если каждая последовательность Коши, состоящая
из точек данного пространства, имеет предел.
Теорема 5.14. Если sn—*x, то {sn\ есть последовательность
Коши.
Доказательство. Так как {sn|«£A/ + } имеет предел х, то
svдах и s^ttx для любых v, \i£*N — N. Следовательно,
Теорема 5.15. Если последовательность Коши \sn\ имеет
предельную точку, то она имеет предел.
Доказательство. Так как {sn\ имеет предельную точку х,
то имеем sVo«x для некоторого vo£*N — N. Так как {sn\ —
последовательность Коши, то svxsVo для всех v£*N — N.
Следовательно, sv « х при всех vg*iV — iV и sn—*х. ш
Следствие 5.16. Компактное метрическое пространство яв-
является полным пространством.
Доказательство. В компактном метрическом пространстве
каждая последовательность имеет предельную точку. ■
Теорема 5.17. Любая последовательность Коши ограничена.
Доказательство. Пусть {sn\n£N + } — последовательность
Коши, и пусть v — произвольное бесконечное целое. Как и
в доказательстве следствия 5.9, достаточно показать, что sv
конечная точка.
Рассмотрим множество
Ясно, что А — определимое подмножество */V; следовательно,
оно внутреннее. Так как {sn\n£ N+\ — последовательность
Коши, то *Л/ — A/s А. Так как */V — /V внешнее, а А внутрен-
внутреннее, то A(]N^0. Следовательно, существует конечное п,
такое, что *t^p (sv, sn) < 1, и точка sv должна быть конечной. ■
§ 5. Метрические пространства 131
Теорема 5.18. Пусть X— полное метрическое пространство,
А—замкнутое подмножество X. Тогда А, рассматриваемое
как подпространство X, тоже полно.
Доказательство. Пусть \sn\ — некоторая последовательность
Коши точек А. Так как X полное, то sn—>■ х для некоторого
х£Х. При n£*N— N sn(£*A (по принципу переноса) и snxx.
Так как А замкнуто, то х£А. Следовательно, А полно. ■
Следующая теорема дает полезный нестандартный эквива-
эквивалент условия полноты.
Теорема 5.20. X полно тогда и только тогда, когда для
каждой отдаленной точки р £ *Х существует такое действи-
действительное г > О, что р (р, q) > г для всех q £ X.
Доказательство. Предположим, что X полно, но заключе-
заключение не выполнено. Тогда для некоторой отдаленной р£*Х
существует такая стандартная последовательность \qn\n£N+},
что р(р, qn)< 1/и при n£N+. Тогда
7„. Р) < (l/n) + (l/m),
так что \qn\ n^ N + \ есть последовательность Коши и, следо-
следовательно, имеет предел q£X. Но тогда
Р(Р> q)<P(P, Чп) + Р(Чп> Я)
для всех я£Л/+,так что р (р, q)mO, что противоречит отда-
отдаленности р.
Для доказательства в обратную сторону предположим, что
{sn\n £ N+\ — последовательность Коши и пусть v — некоторое
бесконечное число. Ввиду теорем 5.11 и 5.15, достаточно до-
доказать, что sv околостандартна. Предположим, что sv отдалена.
По условию существует такое действительное число г > 0, что
Р (sv. q)>r для всех q g X.
В частности,
р (sv, sj>r для всех n£N+.
Так как {sn|«€A/ + } — последовательность Коши, то существует
такое по£ N + , что
HVneN+)(VmeN+)((m>n0<£n>no)-*p(sn, sj<r).
По принципу переноса р (sn, sra) < г для всех т, п£ *N, таких,
что т,п~>пй. Подставляя m — v, а в качестве п — любое на-
натуральное число, большее п0, получаем противоречие. ■
132 3. Топологические и метрические пространства
Мы заканчиваем этот параграф одним результатом о вну-
внутренних последовательностях; этот результат будет полезен
в дальнейшем.
Теорема 5.21 (Теорема об отдаленности.) Пусть \рп \ п £
£ *N + }—внутренняя последовательность точек *Х. Пусть г >0—
действительное число. Предположим, что р (p/t pk) ^ r для всех
j=^=k, /,&€iV + . Тогда для некоторого n£*N+ точка рп от-
отдаленная.
Доказательство. Предположим, что рп околостандартна для
всех n£*N+-. Пусть qn = °(pn) при n£ N + . Так как q является
стандартным отображением N + в X, то *q (которое мы, как
обычно, обозначаем через q) отображает *N+ в *Х. (Конечно,
отношение qn ж рп гарантированно выполняется только при
n£N.) Рассмотрим внутреннюю последовательность (см. тео-
теорему 1—8.9)
Так как p(qn, р„)&0 при n£N + , то по теореме о продолже-
продолжении последовательности бесконечно малых найдется v £ *N — N,
такое, что р (qn, р„) « 0 при всех n< v. Выберем p,<v, \x £*N—N.
Так как р^ околостандартно, то можно положить1) q~°{pv)-
Так как р (рц, q^) « 0 и р (р^, q) « 0, то q^ m q. Следовательно,
q — предельная точка последовательности {qn\nx,Q\. Тогда
существует подпоследовательность qn.—> q. Так как эта под-
подпоследовательность сходится, она является последовательно-
последовательностью Коши. Поэтому существует такое /0, что при /, k > /„
выполняется р (qn, qnk) < г/2. Так как
Р (рп/ - Pnk) < 9 (Pnr qnj) + p{qn/ - Qnk) + p(qnk, Pnk)
и так как первый и третий члены в правой части бесконечно
малы, то получаем р(рП/, Pnk)< г. Противоречие. ■
§ 6. Равномерная сходимость
В этом параграфе мы рассматриваем функции /, отобра-
отображающие метрическое пространство X в метрическое простран-
пространство Т, а также последовательности таких функций.
Определение. Последовательность {fn\n£N + } равномерно
сходится к функции f на X (обозначается fn=tf), если для
х) Точку q, которая сейчас будет введена в рассмотрение, не следует
путать с отображением q, введенным несколькими строками выше. Прим.
ред.
§ 6. Равномерная сходимость 133
любого действительного е > 0 существует п0 £ N, такое, что
для всех р £ X
п > п0 влечет р (/„ (р), f (р)) < е.
Теорема 6.1. /„=г/ на X тогда и только тогда, когда
fv(p)~f(p) для всех р£*Х и всех v(£*N— N.
Доказательство. Пусть /„=*/ на X, и пусть е — положи-
положительное действительное число. Тогда существует п0 £ Л^ + , такое,
что
j=(Vn e N+) (VP е X) (п > n0 ^p (fB (p), f (p))<8).
Из принципа переноса следует, что для любого v£*N — N
и р£*Х
p(fv(p),f(p))<B.
Так как это выполняется при всех действительных е > 0, то
р(Мр)./(?))« о,
то есть
fv(p)~f(p)-
Обратно, предположим, что если v бесконечно и р£*Х, го
p(/v(p), f(p))xO. Следовательно, если е — некоторое фиксиро-
фиксированное положительное действительное число, то
*j=Cn0e*N+)(VnG*N+)(Vpe*X)(n>ii0^p(fn(p))f(p))<e).
Применяя принцип переноса, видим, что [n^xf яа X. ш
Теорема 6.2. Пусть /„=£/ на X, где каждая /„ непрерывна
на X. Тогда f непрерывна на X.
Доказательство. Пусть q£X, р £ *Х, р « q. Надо показать,
что f(p)&f(q). Так как для конечного п функция fn непре-
непрерывна, то внутренняя последовательность
гипердействительных чисел бесконечно мала при конечных п.
Следовательно, по теореме о продолжении последовательности
бесконечно малых существует v£*N — N, такое, что
р(/„1р). Ш) «о
при всех п < v. Пусть |.i£*yv — N, где \х < v. Тогда
По предположению / (р) ж}^ (р), /ц (?) ^/(<?)• Следовательно,
f()f() ш
134 3. Топологические и метрические пространства
Теорема 6.3 (Дини). Пусть {/„ | и € N+\ —последовательность
непрерывных функций, отображающих компактное простран-
пространство X в R. Пусть fn + 1{p)^fn{p) при n£N+ и р£Х. На-
Наконец , пусть fn (р) —>f(p)e каждой точке р £ X и f непрерывна
на X. Тогда /„=£/ на X.
Доказательство. Без потери общности можем считать, что
f(p) = O при р£Х. (Общий случай сводится к данному рас-
рассмотрением последовательности \fn—f\n£N + \.)
Далее по условию, если п^т, п, m£N + , тоО</п(рХ
^fm(p) для всех р£Х. Пусть v£*N — Nup£*X. Достаточно
показать, что /v (р) да 0. По принципу переноса 0 <I /v (р) ^ /„ (р)
для всех n£N + . Так как X компактно, то р да q для неко-
некоторого q£X. Имеем /„ (р) да fn (q) для каждого n£N + , потому
что каждая fn непрерывна. Так как fn(q)(zR, то fn(q) =
= °(fn{p))- Так как fn(p) конечно, то /v(^) тоже конечно и,
следовательно, околостандартно. Отсюда следует, что
0 ^°(
для всех n£N+. Так как /„ (q) —>■ 0, то °(/v(p)) = 0, Т. е.
Ыр)~о. в
§ 7. Равномерная непрерывность и равностепенная
непрерывность
Мы продолжаем рассмотрение отображений метрического
пространства X в метрическое пространство Т.
Определение. Функция / равномерно непрерывна на X, если
для любого действительного числа е > 0 существует действи-
действительное число 6 > 0, такое, что для всех р, q£X
р {р, q)<6 влечет р (/ (р), f (q)) < e.
При рассмотрении отображений множества *Х в множе-
стео *Г мы используем несколько различных понятий непре-
непрерывности.
Определение. Пусть f отображает *Х в *Т и q£*X. Функ-
Функция / называется микронепрерывной в точке q, если p&q
влечет / (р) « / (q) для всех р £ *Х. Функция / микронепрерывна
на *Х, если / микронепрерывна во всех точках q ^ *Х.
Теорема 7.1. Функция f равномерно непрерывна на X тогда
и только тогда, когда f микронепрерывна на *Х.
Доказательство. Пусть f равномерно непрерывна на X.
Тогда для любого действительного е > 0 найдется действи-
§ 7. Равномерная непрерывность и равностепенная непрерывность 135
тельное б > 0, такое, что
t=(VpeX)(VqGX)(p(p, q)<8-»p(f(p), f(q))<e).
По принципу переноса получается, что при р, q£*X
р (р, <?)< б влечет р (f (р), f (q)) < e.
Следовательно, pwq влечет, что р(/(р), / (q)) меньше, чем
любое действительное е > 0, так что р (/ (р), f (q)) « 0. То есть /
микронепрерывна на *Х.
Обратно, пусть / ыикронепрерывна на *Х. Пусть е — неко-
некоторое положительное действительное число. Тогда если б —
любое положительное бесконечно малое, а р, q£*X таковы,
что р(р, <7)<б, то р([(р), /(<7))<е. Следовательно,
, q)<6-»p(f(p),
Требуемый результат вытекает из принципа переноса. ■
Теорема 7.2. Если f непрерывна на компактном простран-
пространстве X, то f равномерно непрерывна.
Доказательство. В силу предыдущей теоремы достаточно
показать, что / микронепрерывна на *Х. Пусть q, p£*X, где
qzzp. Мы хотим показать, что f(q)^f(p)- Так как X ком-
компактно, то q « s для некоторого s£X. Следовательно, и p»s.
Тогда f(q)&f(s) и / (р) да / (s), так как f непрерывна на X.
Следовательно, f(q)&} (p). ■
Определение. Последовательность {fn\ti£ N + \ функций,
отображающих X в Т, называется равностепенно непрерывной,
если для каждого действительного е > 0 существует действи-
действительное б > 0, такое, что для всех р, q € X и всех n£N +
р(р, q)< б влечет р (/„ (р), fa (q)) < s.
Теорема 7.3. Последовательность {fn \ n £ N+\ равностепенно
непрерывна на X тогда и только тогда, когда fn микронепре-
микронепрерывна на *Х для каждого n£*N + .
Доказательство. Пусть {/„} равностепенно непрерывна на X,
и пусть е — положительное действительное число. Тогда суще-
существует действительное б > 0, такое, что
f=(VneN+)(VpeX)(VqeX)(p(p, q)<6-»p(fB(p), Мч))<е).
Используя принцип переноса, получим
р{р, <?)< 6 влечет р (/„ (р), fa (<?)) < в
при р, q£*X и всех n£*N+. Так как е произвольно, то,
следовательно, pmq влечет fn(p) &fn(q). Следовательно, /„
микронепрерывна при n£*N + .
136 3. Топологические и метрические пространства
Обратно, пусть /„ микронепрерывна на *Х при каждом
n£*N + . Пусть е — некоторое положительное действительное
число. Тогда
*^C6e*R)(Vpe*X)(Vqe*X)(Vne*N+)(p(p, q)<8
-»p(Up),
Результат, как обычно, получается применением принципа
переноса. ■
Теорема 7.4. Если fn(p)—+f(p) при р£Х и \fn\n£N + \
равностепенно непрерывна, то f равномерно непрерывна на X.
Доказательство. По условию
t=(VeeR+)(VueX)CmeN+)(VneN+)(n>m->
p(fB(u), f(u))<e).
Подставляя в качестве е произвольное положительное беско-
бесконечно малое и выбирая р, q£*X, получаем по принципу
переноса, что существуют vp, v?£*/V + , такие, что
п > vp влечет р (fn (p), f (p)) < е,
п > vq влечет р (/„ (q), f (q)) < е.
Следовательно, если ц — некоторое бесконечное целое > vp,
vq и если р« q, то
Следовательно, / равномерно непрерывна на X. ■
Теорема 7.5. Пусть fn (p) -* f (p) при каждом р£Х, и пусть
X—компактное пространство. Пусть \п непрерывна на X при
любом n(zN+. Тогда fniXf на X тогда и только тогда, когда
\fn\n(i N + \ равностепенно непрерывна.
Доказательство. Пусть fnZXf на X; следовательно, / не-
непрерывна на X. Так как X компактно, то / и все /„ при
п £ N+ равномерно непрерывны на X. Следовательно, / и все /„
при n£N+ микронепрерывны на *Х. Пусть теперь v £ *N — N.
Тогда, если р, q£*X и ptaq, то
Следовательно, fn микронепрерывна при n£*N — N. Так как
это уже известно при n£N + , то получаем, что {fn\n£N+\
равностепенно непрерывна.
Обратно, пусть \fn\n£ N+\ равностепенно непрерывна,
так что /п микронепрерывна на *Х для всех п£*М + . Пусть
q 6 *Х. Так как X компактно, то q& р£Х и /„ (?) ~ /„ (р) для
§ 7. Равномерная непрерывность и равностепенная непрерывность 137
всех n£*N+. Для бесконечных v, кроме того, fv(p)&f(p)-
По теореме 7.4 / (равномерно) непрерывна на X, так что
f{)- Следовательно, при v £ *N — N
и поэтому fnZtf на X. ш
Полезно сравнить понятие микронепрерывности с двумя
родственными понятиями. Поэтому введем
Определение. Пусть / отображает *Х в *7\ и пусть q £ *Х.
Функция / является еб-непрерывной в точке q, если для лю-
любого действительного г > 0 существует действительное 6 > О,
такое, что для всех р(£*Х
р (р, q)<6 влечет р (/ (р), f (q)) < е. (j)
Функция / является *-непрерывной в точке q, если для любого
гипердействительного е > 0 существует гипердействительное
б > 0, такое, что для всех р£*Х выполнено ф.
Лемма 1. Если f непрерывна на X, то f является *-непре-
*-непрерывной во всех точках q £ *Х.
Доказательство. Поскольку
j=(VqeX)(VBeR+)C8GR+)(VxeX)(p(q,
p(f(q), f
то, используя принцип переноса, видим, что / «-непрерывна
в каждой точке q£*X. m
Лемма 2. Если f является г8-непрерывной в точке q, то f
микронепрерывна в q.
Доказательство. Пусть е—-некоторое положительное дей-
действительное число. По предположению можно найти действи-
действительное число б > 0, такое, что для всех р £ *Х
р{р, <7)<б влечет p{f{p), f(q))<&.
Следовательно, если ртад, то p{f{p), /(<7))<e. Так как е
было произвольным положительным действительным числом,
то f(p)ttf{q). ш
Чтобы показать, что утверждение, обратное данной лемме,
неверно, построим
Пример 1. Пусть / определена на *R следующим образом:
| 0, если х « О,
138 3. Топологические и метрические пространства
Ясно, что / микронепрерывна. Однако / не является еб-не-
прерывной. В самом деле, для любого выбранного действи-
действительного б > 0 имеет место
Построим теперь пример «-непрерывной, но не микроне-
микронепрерывной функции.
Пример 2. Пусть f(x) = x2 для всех x^R. По принципу
переноса f(x) = x2 для всех x(£*R. Так как / непрерывна на R,
то по лемме 1 / является «-непрерывной функцией в каждой
точке *R. Однако / не микронепрерывна на *R. А именно,
пусть v£*N — N. Тогда v-f-(l/v)«*v, но
Рассмотрим, наконец, микронепрерывную (и внутреннюю)
функцию, не являющуюся «-непрерывной.
Пример 3. Пусть а>0 и а«0. Пусть
f . , asin— при хфО и x£*R,
I ix) = < х
{ 0, если х = 0.
В точке х = 0 функция / микронепрерывна, но не «-непрерывна.
Для проверки микронепрерывности пусть л;«0, хфО; тогда,
используя принцип переноса,
\f(x)-f(O)
. 1
a sin —
х
а
Чтобы убедиться, что f не «-непрерывна, пусть е = а/2. При
х = 1/Bпя + я/2), п £ *./V выполнено sin (l/.v) = 1. Следовательно,
для любого положительного гипердействительного числа б
можно найти такое х, что 0 < х < б и
|/(*)—/@)|=asini-=-a>e.
Хотя микронепрерывность в общем случае не влечет еб-не-
прерывности, это имеет место для внутренних функций.
Лемма 3. Если f —внутренняя функция, микронепрерывная
в точке q, то / является еб-непрерывной в ц.
Доказательство. Пусть е — некоторое положительное число.
Пусть
, q)<l/n-*p(f(p),
§ 7. Равномерная непрерывность и равностепенная непрерывность 139
Ясно, что А—определимое подмножество *N; следовательно,
А — внутреннее множество. С другой стороны, из-за микроне-
микронепрерывности f в q выполнено *N — N <= А. Так как А вну-
внутреннее, a *N — N внешнее, то A[\N=^0. Пусть 8=1/& для
некоторого k£Af\N. Тогда для любого р£*Х
Р (р. Я)< б влечет р (f (p), f (<?)) < е,
т. е. / является еб-непрерывной в точке q. ш
Эти рассмотрения приводят к следующей важной теореме.
Теорема 7.6 (Теорема об аппроксимации.) Пусть X — ком-
компактное пространство. Пусть [ микронепрерывная на *Х
внутренняя функция, и пусть f (p) околостандартна при всех
р£Х. Пусть F (р) = ° (/ (р)) для всех точек р£Х. Тогда F
непрерывна на X и F (р) та f (p) для всех pg*X.
Доказательство. Пусть р£Х. Покажем, что F непрерывна
в р. Так как f внутренняя и микронепрерывная, то / также
еб-непрерывна. Пусть е — некоторое положительное действи-
действительное число. Ввиду еб-непрерывности существует действи-
действительное б > 0, такое, что для всех q £ *Х
р (р, <?)< б влечет р (f (p), f (q)) < j .
Итак, пусть q — некоторая точка X, такая, что р (р, q) < б.
Ввиду определения F выполнено f(q)~F(q), f (р)ж F (р).
Следовательно,
p(F(q), F(p))^p(F(q), f (q)) +p (f (q), f (p)) +
+ P(f(p), F(p))<B.
Поэтому F непрерывна в точке р. Так как р — произвольная
точка X, то F непрерывна на X.
Пусть теперь р£*Х. Так как X компактно, то p&q£X.
Так как / микронепрерывна, то f(p)&f{q)- Ввиду определе-
определения F имеем f(q)xF(q). Наконец, ввиду того что (как мы
только что видели) F непрерывна, получаем F (р)«F (q).
Следовательно, F(p)xf(p). ш
С помощью данной теоремы об аппроксимации сейчас будет
доказана известная
Теорема 7.7 (Теорема Арцела — Асколи.) Равностепенно
непрерывная последовательность функций, отображающих ком-
компактное пространство X в компактное пространство Т, со-
содержит равномерно сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пу1 ть {/„ | и £ N+}—данное равностепенно
непрерывное семейство. Пусть v — некоторое фиксированное
140 3. Топологические и метрические пространства _____
бесконечное целое. Тогда по теореме 7.3 fv микронепрерывна
на *Х. Так как /v, очевидным образом, внутренняя, то при-
применима теорема об аппроксимации. То есть полагаем F (р) =
—°(fv(p)) при р£Х и заключаем, что fv(p) ~ F(р) при всех
р£*Х. Следовательно, для любых фиксированных k, m£N+
имеем
* f= Cq e *N) (q > m* (Vx e *X) (p (F (x), f, (x)) < 1/k)).
Применяя принцип переноса, получим, что существует отобра-
отображение q декартова произведения NxN в N, такое, что
q(m, k)>m и для всех х£Х выполнено р (F (х), /?(m,ft)(x))
<1/&. Полагая ио=1, nl + 1 — q (nt, i + 1), видим, что nl + i > n,
и что p(F(x), fni(x))<C l/i при />1. Следовательно, /„; Ht .F.
§ 8. Компактные отображения
Пусть X и Т — метрические пространства, и пусть / ото-
отображает X в Т.
Определение. Отображение / является компактным, если
для любого ограниченного подмножества В пространства X
найдется такое компактное подмножество К пространства Т,
что выполняется включение /[jf
Нестандартный критерий компактности функции дает сле-
следующая
Теорема 8.1. Функция f компактна тогда и только тогда,
когда f отображает конечные точки множества *Х в около-
околостандартные точки множества *Т.
Доказательство. Пусть f компактна, и пусть р — некоторая
конечная точка из *Х. Мы хотим показать, что точка [(р)
околостандартна. Так как р конечна, то существует такое
q£X, что р (р, q)^r для некоторого r£R + . Пусть В =
= {х£ Х\р (х, q) ^ г). Так как В _= Bq {г + 1), то В ограничено.
Следовательно, /[Bjs/C для некоторого компактного множе-
множества К- Так как р£*В, то / {р) 6/[*В] = *(/ [В]). Следова-
Следовательно, f(p)£*K. Так как К компактно, то f (p) околостан-
околостандартна.
Обратно, пусть / отображает конечные точки из *Х в около-
околостандартные точки из *Т, и пусть В —ограниченное подмно-
подмножество пространства X. Требуется показать, что /[В]_=/С для
некоторого компактного множества К. Пусть К состоит из
всех таких точек q£T, что q « p для некоторого p£*(f[B]).
Ясно, что /[В]_=/С- Осталось показать, что К, компактно.
§ 5. Компактные отображения 141
Итак, если q £ К и е — положительное действительное число,
то имеем
*f=Ope*(f[B]))p(p, q)<e.
По принципу переноса получаем, что для каждого q £ /С и
e£R+ существует такое p£f[B], что р(р, q) < e. То есть
Снова применяя принцип переноса, заключаем, что если q £*/(
и е — положительное бесконечно малое, то должно существовать
p(z*{f[B]) = f[*B\, такое, что р (р, q)<e, т. е. q « р. Далее,
так как В ограничено, то все точки В конечны и, следовательно,
по условию р околостандартна, скажем p«s. По определению
множества К имеем s£/(; кроме того, q ж р л; s. Следователь-
Следовательно, каждая точка из *К бесконечно близка к некоторой точке
из /С; т. е. К компактно. ■
С использованием этого критерия доказывается следующая
Теорема 8.2. Пусть {fn\n£ N + \ — последовательность ком-
компактных отображений метрического пространства X в метри-
метрическое пространство Т, причем Т —полное метрическое про-
пространство. Пусть /„nt/ на X. Тогда отображение \ компактно.
Доказательство. П>сть р£*Х, где р—конечная точка. По
теореме 8.1 достаточно доказать, что / (р) околостандартна.
Предположим вместо этого, что f (р) отделена. Тогда по тео-
теореме 5.20 существует такое г £ R+, чтор(/(р), q) ^ r для всех
q g Т. Но существует такое «0 € N, что р (/„„ (s), / (s)) < г/2 для
всех s £ X. По принципу переноса получим р (}Па (р), f (р))<л/2.
Так как /ПA компактна и р конечна, то /„0 (р) околостандартна.
Следовательно, /По (р) « q для некоторого q £ Т. Тогда
Р(/(/>). q)<pti(p), fnAP)) + P(fnAP), q)<r.
Мы пришли к противоречию.
4. НОРМИРОВАННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Линейное пространство
В этой главе мы рассматриваем линейные пространства сЛР
над полем D. Для наших целей предполагаем, что D, dfsS.
Тогда поскольку аксиомы линейного пространства представимы
в виде истинных в U высказываний в языке Jf, то по прин-
принципу переноса получаем, что *Jf—линейное пространство над
полем *D.
В действительности мы работаем только с двумя полями:
с полем действительных чисел R и с полем комплексных чисел,
которое обозначим через С. Так как z£C тогда и только тогда,
когда z — x-\-iy при х, y£R, то получаем
При z — x-j-iy £*С, |г| — гипердействительное число (л
Таким образом, если z конечно, то х и у также конечны, и
мы можем записать
Легко проверяется, что определенное таким образом отобра-
отображение с является гомоморфизмом подкольца всех конечных
элементов поля *С в поле С.
Определение. Нормированным линейным пространством <Jf
над D является линейное пространство над D вместе с отоб-
отображением ||.. . || пространства о)\Г в R, такое, что для всех
X, (/€# и a£D:
A) llxll^O,
B) ||х|| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0,
C) ||ах||=|а|-||*11,
D) Hx + t/IK 11*11 + ||#|| (неравенство треугольника).
||л;|| называется нормой х.
Ясно, что функция р(х, у)=\\х—у\\ является метрикой на
нормированном линейном пространстве, так что применимы
результаты гл. 3. В частности, если оЛГ—полное метрическое
пространство, то оЛГ называется банаховым пространством.
В нестандартном универсуме ||v||£*7? определено для всех
x€*gJV и по принципу переноса A) — D) выполнено при
х, у€*Ж, «€*£>.
§ /. Линейное пространство 143
Следует заметить, что при D = R или D — C само D явля-
является нормированным линейным пространством над D с опера-
операциями над полем и ||х||=|л;|.
х £ *о)\Г называется бесконечно малым, если х да 0. Следова-
Следовательно,
Теорема 1.1. Элемент х £ *о)\Г является бесконечно малым
тогда и только тогда, когда Цх|]даО.
Доказательство.
л; да 0 тогда и только тогда, когда р (х, 0) да 0,
тогда и только тогда, когда ||х||да6. ■
Теорема 1.2. Если х, у £ VT и хм у, то Цл;||да[|г/||.
Доказательство. Предположим (без потери общности), что
||л;||<||г/||. Тогда ||0|| = [|х + (#—л?IК1М1 + №—*||. Итак,
Отсюда следует, что ||г/|| —||л;||да 0, т. е. ||л:||да(|£/||. ■
Теорема 1.3. x£*c!f является конечной точкой (в смысле § 5
гл. 3) тогда и только тогда, когда \\x\\—конечное гипердей-
гипердействительное число.
Доказательство. Если ||х|| конечно, то \\х—0|| конечно, так
что х—конечная точка. Обратно, если х—конечная точка, то
IIл:—у\\ конечно для некоторого y£jf- Следовательно,
IUII = 11(*—у) +у\\<\\х—у\\ + \\y\\
тоже конечно. ■
Если xlf хг, ух, y2(z*df, то, как легко видеть, из отноше-
отношений хг да хг, yi~y2 следует х1 + у1 да х2 + у2. Кроме того, если
а—конечный элемент *D, то ал^дасо:,,.
Если х £ *сДГ и х да у £ о)\Г\ то мы пишем у = °х в соответст-
соответствии с обозначениями § 5 гл. 3.
Теорема 1.4. Bs^ является ограниченным множеством
тогда и только тогда, когда ||х(|^уИ для некоторого М £R и
всех х^В.
Доказательство. Если В ограничено, то по определению
существуют хд£Ж и Mg^R, такие, что \\х—л;0||^Л10 для всех
х £ В. Тогда
при х£В. Доказательство в обратную сторону тривиально.
144 4. Нормированные линейные пространства
Определение. Пусть <Ж и в£— нормированные линейные про-
пространства над одним и тем же полем D. Отображение Т про-
пространства off в пространство &€ называется линейным опера-
оператором, если
A) Т{х+у) = Т(х) + Т(у) для всех х, у£Ж,
B) Т{ах) = аТ(х) при х£Ж, a£D.
Если e£ = D, то Т называется линейным функционалом.
Мы часто пишем Тх вместо Т(х). Конечно, *Т (которое мы
обычно пишем как Т) отображает *М' в *Л и удовлетворяет
условиям A) и B).
Теорема 1.5. Пусть Т — линейный оператор на <#, непре-
непрерывный в некоторой точке х0 £ о)\Г. Тогда Т равномерно непре-
непрерывен на (Ж-
Доказательство. По теореме 3—7.1 нам достаточно пока-
показать, что оператор Т микронепрерывен на Vf. Итак, пусть
х, {/€*сЛР> х&у. Имеем хо = хо + О ж ха + [х—у). Тогда
Следовательно, Т(х)жТ(у). ш
Определение. Линейный оператор Т называется ограничен-
ограниченным, если для некоторого М £ R
\\Тх\\^М\)х\\ при всех
В оставшейся части данного параграфа буква Т всюду упо-
употребляется для обозначения линейного оператора.
Теорема 1.6. Т ограничен тогда и только тогда, когда
{Txlx^tW, \\x\\ = \) —ограниченное множество.
Доказательство. Положим А = {Тх\х £oj\f\ ||х|] = 1}. Если Т
ограничен, скажем, ||Tx|[^;M|[j|| при всех х £ off, то для каж-
каждого у d А имеет место у = Тх, ||х|| = 1, так что \\y\\ = ||Тх||^
^УИЦх|| =УИ; следовательно, А ограничено.
Обратно, если А ограничено, то имеем Цг/Ц^СМ для неко-
некоторого M£R+ и при всех у£А. Мы утверждаем, что ||Тх||^
<Л1Ца'[| при всех x£off. Это очевидно при х = 0. Если хфО,
положим и = х/\\х\\ и у = Ти = Тх/\\х\\. Так как ||м|| = 1, то
у£А. Следовательно, ||г/||<М, т. е. \\Тх\\^.М\\х\\. ш
В последней части данных рассуждений в качестве М может
быть выбрана любая верхняя грань для А. Следовательно,
рассуждения показывают, что если для любого ограниченного
Т определить
||Г||= sup
1,-4=1
§ 1. Линейное пространство 145
ТО получим
Следствие 1.7. Для ограниченного линейного оператора Т
\\Тх\\^\\т\\-\\х\\.
Рассмотрим теперь нестандартный критерий ограниченности
линейного оператора. В этих рассмотрениях мы положим А =
= \Тх | х £ off, ||д:|| = 1}, так что Т и А или оба ограничены,
или оба неограничены. Пусть В = {х £etf| ||x|| = 1}. Тогда А =
= Т [В], так что по теореме 1—7.13 *А = Т [*В]. Следовательно,
Теорема 1.8. Т ограничен тогда и только тогда, когда Т
переводит конечные точки в конечные точки.
Доказательство. Если Т ограничен, то ||Гл;||С11Л1 • IM1.
последнее выражение, по теореме 1.3, конечно для всех конеч-
конечных х. Обратно,- пусть Т переводит конечные точки в конеч-
конечные точки. Тогда ||х|| = 1 при х£*В, так что х конечно; по
предположению Тх тоже конечно. Итак, ввиду (|) каждая
точка в *Л конечна, т. е. по теореме 3—5.4 А ограничено и,
следовательно, по теореме 1.6 Т ограничен, ш
Теорема 1.9. Т ограничен тогда и только тогда, когда Т
непрерывен на о!У\
Доказательство. Пусть Т ограничен, скажем ||Тх||^М||х||.
По теореме 1.5 достаточно показать, что Т непрерывен в 0.
Но при хжО \\Тх\\<^М-\\х\\жО.
Обратно, пусть Т непрерывен на о)\Г, но предположим, что
Т не ограничен. Тогда по теореме 1.6 А не ограничено, т. е.
*А содержит бесконечный элемент. Следовательно, ввиду (|)
при некотором x£*gjV ||jk|| = 1, но Тх бесконечно. Пусть
у = х/\\Тх\\. Тогда №11 = 1/117*11, т. е. у « 0. Но \\Ty\\ = 1. Это
противоречит непрерывности Т в точке 0. ■
Теорема 1.10. Т ограничен тогда и только тогда, когда Т
переводит околостандартные точки в околостандартные точки.
Доказательство. Пусть Т ограничен, и пусть *«s при
s€ol\P. Так как Т непрерывен, то TxttTs; следовательно, Тх
околостандартна.
Обратно, предположим, что Т переводит околостандартные
точки в околостандартные, но А не ограничено. Следователь-
Следовательно, ввиду (j) \\Tx\\ бесконечно при некотором x£*off, ||*|| = 1.
Положим г/ = л;/(||71А-||I<'». Так как|х|,= 1 и \\Tx\\ бесконечно,
146 4. Нормированные линейные пространства
то у w 0, так что у околостандартна. Но
бесконечно, т. е. Ту не околостандартна, что противоречит
предположению. ■
Если Ти Г2 —линейные операторы, отображающие норми-
нормированное линейное пространство Jf в нормированное линейное
пространство <J и a^D, то естественно положить
х = а (Тхх).
Легко проверяется известное утверждение о том, что так опре-
определенные T1JrT% и а7\ сами являются линейными операто-
операторами. Конечно, 7\ — Т2 просто означает 7\ + (—1)Т2, так что
G\ — Т^х = Тхх—Т2х. Имеет место
Теорема 1.11. Пусть ТгТ2 — ограниченные линейные опера-
операторы, отображающие о)\Г в <Ж, и пусть a£D. Тогда Тх-\-Тг,
а7\ и TtT2—ограниченные линейные операторы и
Доказательство. Имеем
Следовательно, Тг + Т2 ограничен и | Т1 + Тг || < || Т11| + || Т2
гак что аТ1 ограничен и
= sup ||аТ1д;|| = |а|- sup
IUH=i 11*11=1
Наконец,
jl!. Более того,
Т,
Следовательно, TJ2 ограничен и \\T1TJ^\\T1\\-\\Ti\\. ш
Теорема 1.12. Пусть В = {х\\\х\\^Ц. Пусть Т, Тп—огра-
Тп—ограниченные линейные операторы, и пусть ||Т„—ГЦ —«-0. Тогда
Тп^Т на В.
1. Линейное пространство 147
Доказательство.
\\Тпх-Тх\\ = \\(Тп-Т)х\\^\\Тп-Т\\.\\х\\^\\Тп-Т\\
при х£В. Отсюда сразу следует результат. ■
Теорема 1.13. Если Т—ограниченный линейный оператор
на Ж и
с£ = {х£Ж\Тх = 0},
то а#—замкнутое линейное подпространство Ж.
Доказательство. Пусть х, у^.оМ, h£D. Тогда
Поэтому х-\-у и %х принадлежат^, так что <Ж линейное под-
подпространство Ж-
Для того чтобы убедиться в замкнутости &# предположим,
что х £ *Л, хжу е Ж. Тогда Гл; = 0 и ТхжТу. Так как Ту € Ж,
то Ту = 0. Таким образом, у£е£. ш
Вкратце упомянем о специальном случае евклидова я-мер-
ного пространства, т. е. Ж = #п, являющегося линейным про-
пространством над R с обычными операциями покоординатного
сложения и скалярного умножения. Евклидова норма опре-
определяется следующим образом:
И = К2+...+4I/2 при x = <alt ...,aB>.
Тот факт, что евклидова норма удовлетворяет неравенству
треугольника, представляет собою элементарное неравенство
(неравенство Минковского).
Теорема 1.14. Каждая конечная точка *R" околостандартна.
Доказательство. Если |f д:j| = (a|-f- ... -f-a^I/2 конечна, то
и | ax |, ..., | ап | конечны. Следовательно, аг, ..., ап — конечные
гипердействительные числа, и поэтому мы можем положить
b, = °{at), i=l п, у = <blt ..., bn>. Тогда
т. е.
Из теоремы 3—5.6 можно заключить, что каждое ограни-
ограниченное замкнутое множество компактно. Это дает, в частности,
классические теоремы Гейне—Бореля и Больцано — Вейер-
штрасса (ср. с теоремой 3—5.12) для /?",
148 4. Нормированные линейные пространства
§ 2. Компактные операторы
Определение. Т называется компактным оператором, если
A) Т — линейный оператор на нормированном линейном
пространстве Jf,
B) Т — компактное отображение на оЛГ.
Из теоремы 3—7.1 непосредственно следует
Теорема 2.1. Линейный оператор Т является компактным
тогда и только тогда, когда Т переводит конечные точки *oif
в околостандартные точки.
Так как, в частности, околостандартные точки являются
конечными, то из теоремы 1.8 получается
Следствие 2.2. Если линейный оператор Т компактен, то
он ограничен.
Теорема 2.3. Пусть Тп—последовательность компактных
операторов, отображающих банахово пространство off
в себя. Пусть \\Т„ — ГЦ—>0. Тогда Т — компактный оператор.
Доказательство. Положим В = {#|||л;|]<Г 1}. По теореме 1.12
TnZ^T на В и, следовательно, по теореме 3—8.2 Т — ком-
компактное отображение В в Jf. Используем это для доказатель-
доказательства того, что Т — компактный оператор на Jf.
Пусть х—конечная точка в *оА(\ Требуется показать, что
Тх околостандартна. Пусть r£R+ таково, что ЦлгЦ^г. Поло-
Положим у = х/г. Тогда [jr/jj = [jjt|j/r sC I, т.е. у£*В. Так как Т
компактно на В, то Ту околостандартна, скажем, Ту ж г при
г g «ЛГ. Тогда
Тх — гТу а: гг,
так что Тх на самом деле околостандартна. ■
Закончим этот параграф рассмотрением важного семейства
компактных операторов — интегральных операторов Фред-
гольма. Обычно для доказательства компактности этих опера-
операторов используется теорема Арцела — Асколи. Мы вместо
этого используем ту же самую теорему об аппроксимации
C—7.6), которую мы использовали в доказательстве теоремы
Арцела —Асколи.
Пусть % — множество непрерывных функций, отображаю-
отображающих [0, 1] в действительные числа. При /£5р положим ||/|| =
= max \f{x)\. Хорошо известно и легко проверяется, что %
с этой нормой при обычном понимании f-\-g и а/ образует
банахово пространство. (Проверим, в частности, полноту:
пусть {/nlttG^+} — последовательность Коши, так что
§ 2. Компактные операторы 149
||/„ —/Л—-О ПРИ т> «-^оо; тогда, так как \fn{x)—fm (x) | <
^|1/« —/mil ПРИ всех х€[0, 1], получаем fn~Ztf для некото-
некоторой /£».)
Пусть /С—некоторое фиксированное непрерывное отобра-
отображение декартова произведения [0, 1]х[0, 1] в R- Оператором
фредгольма с ядром К является отображение Т, сопоставляю-
сопоставляющее каждой Ф£# функцию Тф = ^, такую, что
1
ip (х) = J К" (х, t)<t>(t)dt.
Докажем, что Т — компактный линейный оператор, отобра-
отображающий i? в i?. Покажем сначала, что если г|) = Тф, то г|) £ '€.
В самом деле, для любых х, //6 [0, 1]
о
<|Ф|- max \K(x, t)—K(y, t)\.
о< << i
Следовательно, если х, у £ *[0, ]]ихл;г/, то имеем i|) (x) « ф (у).
То есть 1|з микронепрерывна на *[0, 1] и, следовательно, ^£'6.
Это показывает, что Т отображает if в if.
Исследуем теперь *#. Имеем % = {f€U\ |=a(f)}, где a(v)
есть формула:
v отображает [0, 1] в R и v непрерывна на [0, 1].
Следовательно, *# = {/ £*£У | * |=*a (f)}. To есть/ принадлежит*^
в точности тогда, когда /—такое внутреннее отображение
*[0, 1] в */?, которое всюду «-непрерывно. Тогда *Т отобра-
отображает *% в *%. По принципу переноса из предыдущего абзаца
следует
Ж*)-ФЫК!1Ф|1- тах \K(x,t)-K(y, 01
F*[0, 1]
при Ф^*ё, г|; == 7"ф. Следовательно, имеет место
Лемма 1. Пусть элемент Ф из *% конечен (т. е. его норма
\\Ф\\ конечна). Пусть ^ = Тф. Тогда Ф микронепрерывна на *[0, 1].
150 4. Нормированные линейные пространства
Ясно, что Т—линейное отображение Ч в себя, так как
Т (Фх + Ф2) = S к (х- *) (*i
о
1 1
$ S(x, t)<pt(t)dt
о о
(^ + 7^.
1
/С(х, t)a*(t)dt
о
1
Кроме того, если ^ = Тф, то для всех х£[0, 1]
1
о
max |/C(jc, t)\
< i
где
М= max \K(x, t)\.
о< / < 1
О < лг< 1
Следовательно, ||1|э|КМ-||Ф!1, так что ^ ограничен и ]|Т[|^Л4.
Наконец, доказывается
Теорема 2.4. Т—компактный линейный оператор на #.
Доказательство. По теореме 2.1 достаточно показать, что
если Ф6*# конечна, то Тф околостандартна. Пусть ур = Тц>,
По лемме 1 г|з микронепрерывна. Ввиду этого имеет место
Лемма 2. Значение if(x) околостандартно для каждого
*<Е*[0, 1].
Доказательство. Используя принцип переноса, получаем
Следовательно, значение г|>(х) конечно и поэтому околостан-
околостандартно для каждого х£*[0, 1]. ш
Используя лемму 2, можно применить теорему об аппрок-
аппроксимации C—7.6) для завершения доказательства теоремы.
§ 3. Интегрирование функций 151
Положим ijj (х) = °(-ф (х)) при х£[О, 1] и получим ij; (х)«i|? (х)
при всех х€*[О, !]• Следовательно,
IIФ—^!l= max luM—it(x)|«o.
Поэтому i|j«ijj и, таким образом, функция г|) околостан-
дартна. ■
§ 3. Интегрирование функций, принимающих значения
в банаховом пространстве
Положим J = [а, Ь], где a,b£>R, a<b, и пусть ,33—бана-
,33—банахово пространство. Обозначим J~ = J — {b}. Обозначим через
%\33\ множество непрерывных функций, отображающих Jb33.
Легко видеть, что %[33] само является банаховым простран-
пространством с операциями f+g и а/, имеющими обычный смысл, и с
||/|l = sup||/(x)[| = max|/(x)||. Мы построим теорию интеграла
b
\ , рассматриваемого в качестве линейного оператора, отобра-
а
жающего % [9В] в S.
Определение. Ступенчатой функцией на J является отобра-
отображение s, определенное на /~ и принимающее значения в S3,
такое, что
S(x) = rl-1 При X,_t^X <X/, 1 = 1 Я,
где а = х0 < хх < ... < хп — Ь и {r^lO^t < n\ — конечная по-
последовательность точек 33.
Начнем с интеграла от ступенчатой функции.
Определение. Пусть s—ступенчатая функция на /. Тогда
Ь
Подчеркнем, что \s(x) зависит только от s, а не от того
а
конкретного разбиения, которое используется для задания s.
В самом деле, пусть
s (х) = r,-_j при х,_! ^ х < X;, i — 1, ..., я,
где а = х0 < хх <... < хп — Ь. Тогда та же самая функция s
будет определена, если поместить точку £ между х,_х и Xj
152 4. Нормированные линейные пространства
при некотором фиксированном / так, что
S{X)J r'-* ПРИ
\ гу_! при у
ь
Теперь в сумме, определяющей \js{x)dx, член Гу-^Лу—Ху-,)
а
заменяется на rj^1{l,—xJ^1)Jtrj_1{x/— I), но это не меняет
величины суммы. Продолжая этот процесс, мы видим, что
добавление конечного числа точек к разбиению не меняет
ъ
значения \js(x)dx. Наконец, если s задано двумя различными
а
разбиениями, то разбиение, полученное соединением точек их
обоих, дает ту же величину интеграла, что и каждое из них.
Пусть of — семейство всех ступенчатых функций на /. Для
любого s£af мы определим норму s так, что
||s||= sup ||s(x)|i= max ||r,-|j.
J 0<<
Лемма 1. of является нормированным линейным пространст-
пространством при обычном понимании s-\-t и as и с определенной выше нор-
ъ
мой. Кроме того, ^ —ограниченный линейный оператор, ото-
а
бражающий of в 93.
Доказательство. Пусть s и t — ступенчатые функции. Ясно,
что s-j-t и at — ступенчатые функции.
Для проверки свойств нормы имеем
p|
\<=J
=n+iuii.
||as|j = sup [|as (a;)!
xej
= |a|sup||s(x)|J = |a
X£j
Кроме того, из |]s|| = 0, очевидно, следует s(x) = 0 при всех х,
так что s = 0.
Ясно, что
J as(x)dx=. 2 a^z-i (xl — x/_]) = a j s(x)dx.
a <= 1 n
§ 3. Интегрирование функций 153
Равенство \j (s(x) + t{x))dx — jj s (x)dx+ \jt(x)dx полу-
a a a
чается аналогично, если мы используем одно и то же разбие-
разбиение при определении обеих функций. Наконец,
II " II
(*)dx = 2 ri-tixi—xt-Jj
Следовательно, J —ограниченный линейный оператор на ЯР. ш
а
Теперь требуется описать *&'. При этом необходимо рабо-
работать с if очень аккуратно. Для каждого n£N положим
а„= {mg N \т^п\.
Таким образом, а отображает N в 3s (N) так, чтоа£ U. Конеч-
Конечная последовательность элементов множества A (rfle<4sS)—
это просто отображение множества оп в А при некотором
n£N. Итак, для каждого s^vf существует n£N и пара ко-
конечных последовательностей: х, отображающая оп в J так, что
хо — а, хп — Ь и X; <х,-+1 при (Хл<я; и г," отображающая
а„_х в 93. Наконец, s{x) = rt_x при х!_1^.х <xit 1<г'<«.
*а отображает теперь *N в *53(Л/), и, используя принцип
переноса, получаем (*a)n = jmg *A/|m^tt} при всех п^*Л/.
Так как (*а)п = оп при n£N, то, как обычно, можно опустить *.
(Что нового1) в этом случае, так это то, что o[N]^S.) Исполь-
Используя принцип переноса, получаем, что каждый элемент s из *<У
задается с помощью
A) элемента n£*N + ;
B) внутренней функции х, отображающей оп в *J, такой,
что хо = а, х„ = Ь и Xt<xi+1 при 0^£<д;
C) внутренней функции г, отображающей оп_1 в ЭВ, такой,
ЧТО S(x) = r,-_1 При X,'_i<X<X,-, l<t<tt.
При каждом s g *&" имеем (по принципу переноса)
х) По сравнению с ситуацией, описываемой в заключительных абзацах
§ 7 гл. 1,— Прим. ред.
154 4. Нормированные линейные пространства
A) ||s(х)|)<||s|| при каждом x£*J-;
B) для каждого положительного гипердействительного
числа б существует x£*J~, такое, что ||s(x)||^||s||—6.
Следовательно, ||s||«0 тогда и только тогда, когда s(x)«0
при всех x£*J~. Поэтому при slt s2 £ *af тогда и только тогда
будет sttts2, когда \\sl — s2j|«O, т. е. тогда и только тогда,
когда sx(x) ~ s2 (x) при x£*J~.
ь ь
Так как j отображает ^ в S, то j отображает *<^ в *,©.
Пусть sg*ey, и пусть s (х) = г,-_х при х,-_] ^* < х:, ^
где n£*N и г и х — внутренние последовательности. Тогда по
принципу переноса
a
b b
В частности, *j и ^ совпадают на <Sf. Следовательно, мы
а а
b
опускаем * в \.
а
Ъ
Так как ^ —ограниченный линейный оператор, то он ми-
а
кронепрерывен на *&'. То есть
ь ь
если s1 « s2, то J sx (x) dx та ] s (л:) rfx.
а а
Ключевым результатом является
Теорема 3.1. Пусть /£#[,33]. Тогда существует такое
ь
s6*^. что f{x)&s{x) для всех x£*J~ и )s(x)dx околостан-
а
дартно.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 2—5.5,
рассмотрим отображение t множества NxN в J, такое, что
*(я, 0 = <}л) = а + —i при
Далее, положим s(n, x) = sn(x) = f(tjn>) при ^^i,
0^/<tt. Тогда sn€*<SP для каждого n£*N + . В частности,
при v£*N — N /<u_/«v> =*!!£»о, так что из ^)^д:</^1
§ 3. Интегрирование функций 155
следует xcatf1. Следовательно (так как f равномерно непре-
непрерывна на компактном множестве У), /(%) да f(tiV)) = sv(x). Оста-
ь
лось показать, что \jsv(x)dx околостандартно.
а
b
Пусть In = ]sn(x)dx при n£N + . По принципу переноса
In-=\jsn{x)dx при n£*N+. Пусть теперь v, ц, £ *N — Л?. Тогда,
а
как мы уже доказали, sv(х) да/ (х) да вц (х) при x£.*J~. Сле-
ь
довательно, sv»s,a. Ввиду микронепрерывности ^ получим
я
/гда/ц. То есть {/п|д£Л? + } — последовательность Коши. Так
как fB — банахово пространство (т. е. оно полно), то найдется
точка /£53, такая, что /чда/ при всех v£*A/ — N. Следова-
Следовательно, /v околостандартно. ш
Теорема 3.2. Пусть sx, s2g*^, ]£Ъ\®\, где s1(x)^f(x),
ь ь
s2 (х) да / (х) при х €*■/". Тогда ^ s1(x)dx»\i s2(x)dx.
а а
Доказательство. Из условий следует sx»s2. Тогда заклю-
ь
чение следует из микронепрерывности \j . ■
я
Две предыдущие теоремы оправдывают следующее
Определение. Пусть / € % [Щ. Тогда
6 о. Ь v
где s—произвольный элемент *af, такой, что s(x)^f(x) для
всех х£ *J~.
Нам понадобится
Лемма 2. £Ъги \^%[di\ s£*<y и s(x)xf(x) при x£*J~,
то ||/|] = 1s||.
Доказательство. Пусть (|s|| = [|s(|)|| для подходящего £€*/".
Пусть ^ = 0?. Тогда f(t)& /(j)»s(|). Следовательно, ЦД^Цда
да||з|], т. е. ||/@11 = W Пусть теперь х€У". Тогда ||s||>
>||s(x)||. Взяв стандартные части, получим 1/@11^11/WII-
Наконец, в силу непрерывности последнее неравенство также
156 4. Нормированные линейные пространства
выполнено при х = Ь, т. е. при всех x£J. Следовательно,
1/11 = 11/@11 = 1*11. ■
ь
Теорема 3.3. ) —ограниченный линейный оператор на
Более определенно
\f{x)dx
<(b-a)\\fl
Доказательство. Пусть flt f2(z%[%!]. Пусть /t (х) « sx (x),
/2(*)«sa(x) при x€*J~, где slf s26*^. Тогда /х (*) +/а (*) ^
« sx (x) 4-s2 (jc) так, что
6 ° / Ь
[/i W + /2 (*)] ^ = ( S [Sx (х) + s2
= [\s1(x)dxj+ П
Аналогичным образом
b
af lx)dx— I ^ as tx\dx 1
s^(x)ux ]==: cc \ fi^Xfdx*
\a /a
Наконец, используя леммы 1 и 2, получаем
Теорема 3.4.
Доказательство. Коль скоро f{x) = k, функция / является
ступенчатой функцией. ■
Теорема 3.5. Пусть а—непрерывная функция, отображаю-
отображающая J в R, и пусть k£33. Тогда
ь ь
ka (x) dx = k j a (x) dx.
§ 3. Интегрирование функций 157
Доказательство. Пусть s(x) = rl_1 при xl^1^.x < xt,
i^v, s(x) » а(х) для всех х£ У~, так что и &s(x)»&a(x), и
t=i
1=1
Теорема 3.6. Пусть «€#[$?], и пусть f—ограниченный
линейный функционал на 93. Тогда
/ b \ "
f(Au(x)dx)=\f(u(x))dx.
Доказательство. Пусть u(x)ms(x) при х^*/~, где s^*^,
т. е. s(x) = r,-_! при х,_1^х < X;, 1 ^f^v. Так как / микро-
микронепрерывна, то / (ы (х))« / (s (x)) при xg*/~ и
( 2
а а '='
Так как / непрерывна и линейна, то
ы (х)
S
Непосредственным следствием данной теоремы является
возможность изменения порядка интегрирования в случае
непрерывных функций действительного переменного.
Следствие 3.7. Пусть f—непрерывное отображение мно-
множества [a, b]x[c, d] в R. Тогда
d Ь b d
\\f{x, y)dxdy = \\f{x, y)dydx.
с а ас
Доказательство. Пусть 3B = R, так что #[.33] — простран-
пространство непрерывных, действительнозначных функций на Л
158 4. Нормированные линейные пространства
Пусть F—ограниченный линейный функционал на
определенный так, что
d
F(a)=\a{y)dy.
с
Тогда из теоремы следует
)l, y))dx.
А это и есть требуемый результат. ■
§ 4. Дифференциальное исчисление
В этом параграфе мы обобщим рассмотрение дифферен-
дифференциального исчисления гл. 2.
Итак, пусть off, <М—нормированные линейные простран-
пространства над одним и тем же полем D. (Как обычно, D совпа-
совпадает с R или с С.) Пусть 1^, I^—множества бесконечно
малых в оЛГ и <*# соответственно.
Укажем очевидные свойства замкнутости:
A) х, уе/дг влечет х + у£1^\
B) если х€.1^ и a£*D является конечным, то сус £/.,->.
Определение. Пусть f — внутреннее отображение, область
определения и множество значений которого являются под-
подмножествами *оЛГ и *<М соответственно. Отображение / назы-
называется локальным отображением, если /[/др]^/^.
Если f и g—локальные отображения, то пишем f ~ g и
говорим, что fug эквивалентны, если при всех х£/ w>,
имеет место
Очевидно, что ~ является отношением эквивалентности.
Как и в частном случае oj\p = ©# = /?, это условие может
быть записано в виде
где а«0 при всех x^Ij^, т. е. а само является локальным
отображением.
Определение. Локальное отображение / называется локально
линейным, если
§ 4. Дифференциальное исчисление 159
A) х, yZljf влечет
B) если *€/jp и cc£*D является конечным, то
f(ax) = af(x).
Теорема 4.1. Пусть f—локально линейное отображение.
Тогда существует единственный внутренний линейный опера-
оператор Т, отображающий *оЛГ в *е£, такой, что f(x) — Tx при
х£1м>. Более того, норма \\T\\ конечна.
Доказательство, Пусть а, р—бесконечно малые ненулевые
элементы *D. Пусть х£*е!\Г таково, что ах, рх»0. Тогда
f (ах) _ р/ (ах) _^ f (ар*) a/ (fU) _ / (Р*) ,f.
а ар ар ар ' р ' U^
Пусть v — некоторое фиксированное бесконечное целое. Тогда
x/v | л; | » 0 для всех ненулевых % £ Vf. Определим Тх =
= v||х|/(x/v;|х|j) при хфО; Т0 = 0. Оператор Т — внутренний
(по теореме 1—8.91)). Кроме того, (}) показывает, что Тх=
= f (cwc)/cc для каждого бесконечно малого а, такого, что
ах& 0.
В частности, если x£lkr>, то для любого а«0 имеем
Проверим теперь, что Т — линейный оператор. Пусть х, y
пусть а £ *D выбрано так, что сс»О, ах, аужО. Тогда
Кроме того, для любого %£*D выберем а«0, так что
ах, аКх ж 0. Тогда
Т (Хх) = 1 f (аХх) = А / (ах) = ХТх %
1) Не видно, как здесь может помочь теорема 1—8.9. Скорее уж
к цели приводит следствие 1—8.6 (надо рассмотреть Т как определимое
подмножество внутреннего множества *cffx*aM).— Прим. ред.
2) Справедливость этой цепочки равенств (точнее, перехода от второго
члена к третьему) имеет место лишь при конечном К. Чтобы охватить
случай произвольного, в том числе бесконечного, Х£*£>, следует выбрать
такое а, что а Ф 0, а « 0, ах « 0, аЛ конечно. Тогда
— Прим. ред.
160 4. Нормированные линейные пространства
Для доказательства единственности положим / (х) = Т1(х)=
= Г2(х) при x^Ijf, где 7\, Тг — линейные операторы на *dV\
Пусть х — некоторая точка *oj\P. Тогда
Т xx = vl x\T A -^-A =v \x\\T А -£-Л =Т гх.
Предположим, наконец, что \Т\\ бесконечна. Тогда (по
принципу переноса) для некоторой точки xgVf, такой, что
||x|j=l, выполнено \\Тх}^\\Т\—1, т. е. \Tx\\ должна быть
бесконечна. Следовательно, х/Ц Гх|] « 0 и получим
т. е.
II Г* И
Тогда 1=||/(х/||Гх||)Л^0, противоречие. ■
Теорема 4.2. Пусть fx, ft — локально линейные отображе-
отображения и пусть 7\, Г2 связаны соответственно с f1 и /2, как в
предыдущей теореме. Тогда /\ ~ f2 в том и только в том
случае, если ТгхтТ2х при всех xgVf, таких, что [|х||=1.
Доказательство. Предположим сначала, что Тхх ж Т2х для
всех xgVf с |[л;||=1. Пусть u^fj^. Тогда
II «J II «II
—т(и\ т ( и
~ Л\\и\\) УЧ11«И
Следовательно, Л~/2-
Обратно, если fi~f2 и |]д;|]=1, то, выбрав а«0, а > 0,
имеем
Тг(х) - Т2 (х) = 1 [7х (ах) - Г 2 (ах)]
_ /l («■*) - /2 (°"С) ^ п
- 1Щ и- ■
Определение. Локально линейное отображение f называется
дифференциалом, если существует ограниченный линейный
оператор Т, отображающий о!\Г в <Л, такой, что Тх — ]{х) при
i
Теорема 4,3, Если [1г /а — дифференциалы и f1~[2, mo
§ 4. Дифференциальное исчисление 161
Доказательство. Имеются стандартные линейные операторы
Tlt T2, такие, что f1x = T1x, f2x = T2x при х&0. По тео-
теореме 4.2 Tjti да Т2и при || «||= 1- Если ы — стандартная точка off,
такая, что []«[|=1, то получаем Тги = Тги. Следовательно,
для любого я£оЛР, если хфО, то
Наконец, так как Тг=^Тг, то имеем f1 = fi. ш
Определение. Пусть f — некоторое отображение oJV в <М, и
пусть л:0 £oJV\ Тогда через ДЛо обозначим функцию на /jy>, опре-
определенную следующим образом:
Немедленно получается
Следствие 4.4. / непрерывна в точке х0 тогда и только
тогда, когда Ах f—локальное отображение.
Определение. Пусть f отображает <Jf в <Л>, и пусть х0 ^ off.
Тогда f называется дифференцируемой в точке х0, если Ах f
эквивалентна некоторому дифференциалу.
В этом случае по теореме 4.3 существует единственный
дифференциал, которому эквивалентна функция Ах f. Мы
обозначим его через dx f, или просто через df, и заметим, что
где а (и) «О при ««О (т. е. а—локальное отображение).
Рассмотрим теперь некоторые классические специальные
случаи. Во-первых, пусть Jf — Rn, n > 0 и eS = R. Тогда
отображение f пространства oJV в пространстве аЛ является
просто действительнозначной функцией от п действительных
переменных; линейный оператор на <Jf со значениями в о/Я за-
задается формой гххх + г2х2 + • • • + гпх„. То, что / дифферен-
дифференцируема в точке а = <а1, ..., а„>, означает, что
где h — ф^ ..., Л„> и а (/г) «О при Л да 0. Числа Г£, ..., гл
являются частными производными функции / в точке а по
xv ..., хп соответственно. Детали оставляем читателю.
Если Ж = Rn, eS — Rm, п, т > 0 и / — отображение oJV в eS,
дифференцируемое в точке а £ off, то дифференциал функции /
связан с матрицей размерности п на m — якобианом соответ-
соответствующего линейного оператора. Снова оставляем детали чи-
читателю.
5. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
§ 1. Унитарные пространства
В данной главе мы применяем нестандартные методы для
получения некоторых важных теорем о гильбертовом про-
пространстве. Одна из них (теорема Бернстейна—Робинсона о
существовании инвариантных подпространств), доказанная
впервые с помощью нестандартных методов, дает ответ на во-
вопрос, остававшийся открытым долгое время.
Мы применяем результаты конечномерной линейной алгебры,
используя для ссылок книгу Халмоша [14]. Однако не пред-
предполагается никакого предварительного знакомства с беско-
бесконечномерной теорией.
Как обычно, через г обозначается элемент, сопряженный
с г£С, где С, как и выше, — поле комплексных чисел.
Определение. Унитарное пространство Н есть линейное про-
пространство над С, на котором определено скалярное произведе-
произведение (а, Ь), отображающее Ях# в С и удовлетворяющее
условиям:
A) (а, а)^0 (так что (a, a)£R); (а, а) = 0 тогда и только
тогда, когда а=0,
B) (а, Ь) = (ЬГа),
C) (а + Ь, с) = (а, с) + ф, с),
D) {%а, Ь) = К(а, Ь) при %£С.
Из B), C) и D) сразу следует, что, кроме того, выпол-
выполнены равенства
E) (а, Ь + с) = (а, Ь) + (а, с),
F) (а, Щ = К(а, Ь).
Положим || я || = (я, хI/3 для любого х£Н; нетрудно про-
проверить (см., например, [14]), что ||...|| является нормой (так
что унитарное пространство является нормированным линей-
линейным пространством) и что выполнено неравенство Шварца
Из неравенства Шварца следует, что скалярное произве-
произведение является непрерывным отображением НхН в С, так как
\\(х, у)-(и, i/)|j = f(%, у)-(х, v)+(x, v)-(u, v)l
<||(%, y-v)\\ + \\(x-u, v)\\
§ /. Унитарные пространства 163
Если а, Ъ—точки унитарного пространства и (а, Ь) — 0,
то пишем а_|_6 и говорим, что а перпендикулярна к ft. По-
Последовательность {е„|п£М + } точек называется ортонормаль-
ной, если
(a) |>в||=1,
(b) еп\_ет при n^rn.
Это условие может быть выражено в виде одного равенства
(е„. о=в»,
где Ъпт („символ Кронекера") равен 0, еслия^т, и равен 1,
если п — т.
Очевидно, что ортонормальная последовательность линейно
независима. Действительно, из
п.
2 сс,е,- = О
следует, что при 1<;/<!п
Линейный оператор Т на унитарном пространстве назы-
называется эрмитовым, или самосопряженным, если для любых
х, у из этого пространства
G% у) = (х, Ту).
В частности, если Т—эрмитов оператор, то
(Тх, *) = (*. Тх) = {Тх, х),
так что (Тх, %) — действительное число для каждого л;
из этого пространства.
Пусть Тх, Тг — эрмитовы операторы на одном и том же
пространстве. Тогда пишем 7\ ^ Т2 для обозначения того,
что при всех х из этого пространства
(Тгх, х)^(Т2х, х).
В качестве первого примера унитарного пространства рас-
рассмотрим n-мерное линейное пространство С", точками кото-
которого являются /г-ки комплексных чисел, а сложение и умно-
умножение на комплексные числа определяются покомпонентно.
В этом случае мы можем определить скалярное произведение
a = <alt ,..., а„> и 6 = <Р1, ..., р„> в виде
п
(а, Ь) = 2 аД,.
1
164 5. Гильбертово пространство
Легко проверить, что аксиомы A)—D) выполнены. Так как
таким образом определенное С" является унитарным про-
пространством, то из неравенства Шварца следует
Нашим следующим примером (имеющим важное значение
в этой главе) будет пространство /2, бесконечномерный ана-
аналог С". Элементами /2 являются все бесконечные последова-
последовательности комплексных чисел
а = (а1У а2, ...),
такие, что
Если а и Ь = ф^ C2, ...)—точки I2 и ^£С, то положим
taz = (^a1( hx2, ...).
To, что a-\-b£l2, легко следует из неравенства треугольника
для С" (известного также, как неравенство Минковского):
1/2 / П \1/2 / П \1/2
Кроме того, мы хотим определить (а, 6) = 2 a$i- Для
i— 1
того чтобы убедиться в законности определения, применим
неравенство Шварца для Сп к точкам <|ах|, ..,, |а„|>,
<IPil» •••> \$п\> и получим
/ " ^ V/2
i-\ ' (=1 /
так что ряд 2 аД< сходится абсолютно. Легко видеть, что
при этих определениях /2 образует унитарное пространство.
Рассмотрим последовательность \bk\k£ N+\ точек I2, где
для каждого k bk = (^\n^,N+}. Следовательно,
&* = @, 0 О, 1, 0, ...),
где 1 встречается в качестве й-ой компоненты. Ясно, что
последовательность {Ьк\ ортонормальна и, следовательно, ли-
§ У. Унитарные пространства 165
нейно независима. Пусть a = (alt a2, ...)£/2. Тогда
п 2 со п
i= I { = n+ 1 ( = 1
при /г—>-оо. Поэтому
со
1=1 ' '
и последовательность {bk) является ортонормальным базисом
в I2. Так как {6ft} линейно независима, I2 имеет бесконечную
размерность.
Определение. Унитарное пространство называется гильбер-
гильбертовым пространством, если оно бесконечномерно и полно.
Теорема 1.1. /3 является гильбертовым пространством.
Доказательство. Требуется проверить полноту. Итак, пусть
{an\n(zN + }—последовательность Коши точек I2, скажем
ап = {а%'\ при п=1, 2, 3, .... Пусть е — некоторое опреде-
определенное положительное действительное число. Тогда сущест-
существует no£N + , такое, что
р, q>n0 влечет \{ар~а„||<е-
То есть при р, q > п0
ее
так что при этих р, q и всех K£N+
к
к ~~^т= ,1 m ~~- я. ?
Таким образом, при каждом фиксированном т последователь-
последовательность комплексных чисел {о#?; | n g Л/+} является последова-
последовательностью Коши и потому сходится; т. е. а#' -
п—>-оо. Следовательно, полагая q—>-оо, при каждом
и при р > п0 имеем
\а1П —ат
что в свою очередь влечет (полагая К
00
1
166 5. Гильбертово пространство
Ввиду сходимости этого последнего ряда мы заключаем, что
при р = по + \
Следовательно,
Наконец, последнее неравенство просто означает, что
р > п0 влечет \\а —а||2^е.
Следовательно, ар—'п и пространство полно. ■
Мы установили существование ортонормального базиса
(именно {bk} для Р). Теперь в оставшейся части главы мы счи-
считаем, что \ек\ — некоторый фиксированный ортонормальный
базис для I2. Мы хотим показать, что скалярное произведение
вычисляется в случае базиса {ek\ в точности так же, как и
в случае базиса \bk}. А именно,
Теорема 1.2. Пусть а= 2 ateh ^— 2Рл* Тогда
00
(а,Ь)= 2«/Р/-
Доказательство. Используя B)—F) в начале данного па-
параграфа и тот факт, что \ек) ортонормален,
a,.e,, 2Рл-)=2 2 («А,
1 1= 1 / 1= 1 /= 1
22
Искомый результат следует из непрерывности скалярного про-
произведения. ■
ее
Следствие 1.3. Пусть а— 2а/е/- Тогда
Определение. Гильбертово пространство называется сепара-
бельным, если оно имеет счетное плотное подмножество.
§ 1. Унитарные пространства 167
Теорема 1.4. 1г сепарабельно.
Доказательство. Пусть А—множество всех конечных ли-
линейных комбинаций базисных векторов et с коэффициентами,
действительная и мнимая часть которых—рациональные числа.
Ясно, что А счетно; покажем, что оно плотно в I2.
Пусть Ь= 2аА- € 1г, и пусть е > 0—действительное число.
Найдем а£А, такое, что \\Ь—а|<е. Выберем сначала п так,
что ^ | а,-12 < -п- е2. Далее для каждого i = 1, 2, ..., п выбе-
рем у,- с рациональными действительной и мнимой частью, так
что let,- — Y;|<e/2', и положим а— 2 YA'- Тогда
I&-a||I=»S|a,-Y/lI+ S l«/l2
1=1 t=n+l
Известная теорема Рисса — Фишера утверждает, что любые
два сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны (при
изоморфизме, сохраняющем скалярное произведение). Следо-
Следовательно, все, что мы доказываем для Р, выполнено для
любого сепарабельного гильбертова пространства. Мы не исполь-
используем, однако, теорему Рисса — Фишера и потому в соответ-
соответствующих случаях ограничиваемся рассмотрением I2.
Полезно считать, что С s S и I2 s S. Конечно, I2 опреде-
определялось как состоящее из последовательностей и поэтому в дей-
действительности не состоит из «истинных» индивидов. Все это,
как обычно, устраняется предположением, что S достаточно
велико, так что I2 может быть взаимно однозначно вложено
в 5; точки I2 могут, таким образом, быть отождествлены с их
образами в S.
Ортонормальный базис \еп\—это отображение е множества
N+ в I2. Следовательно, мы можем рассматривать е как ото-
отображение множества *N+ в */2. По принципу переноса для
всех т, n(-*N +
0 при пфт,
1 при п = т.
168 5. Гильбертово пространство
Кроме того, по принципу переноса для любого а£*/2 найдется
внутренняя последовательность {an\n£*N}, такая, что
а= 2 апеп> A)
ne*N +
где данное равенство означает просто, что для каждого e,£*R +
существует no£*N, такое, что при n£*N, п > п0,
:-2 ^
Если а удовлетворяет A), то имеем также
N1= 2 К|2. B)
ne*N +
Здесь || а ||—гипердействительное число, обладающее следующим
свойством: для каждого e£*R + найдется такое no£*N, что
при p£*N, р> п0
И а ||— е < 2 lail2^lal-
В силу теоремы 4—1.3, имеет место
Теорема 1.5. Пусть а£*12 удовлетворяет B). Тогда а ко-
конечно в том и только том случае, если 2 1а/|а конечно.
Достаточно тонким результатом является
Теорема 1.6. Пусть а б*/2 конечно и удовлетворяет B).
Тогда а является околостандартным в том и только том
случае, если 2 l^l2^^ при всех бесконечных k.
п> k
Доказательство. Пусть сначала а£/2. Тогда а= 2 а«е«-
Пусть rft= 2 ianl2. так что rk--+0 при k—+оо. По тео-
реме 2—5.1 гк « 0 при бесконечных k. Но, используя прин-
принцип переноса,
6^
п >k
при бесконечных fe. Это дает требуемый результат при a
Пусть, далее, а б*/2 — околостандартно, а«&б/2, где
6= 2 IV,,-
§ 1. Унитарные пространства 169
Тогда
Так как b£l2, то 2 |Pnl2?s;O ПРИ k£*N— N. Теперь из
п> k
неравенства треугольника для 1г (неравенства Минковского)
и из принципа переноса получим
/ ] | ССП \ \ 5^. / j^ J ССЛ рп | \ -\-1 £j | рп
ne*N+ I [ne*N+ I \ ne*N+
п > k / \ я > k / \ п> k
и поэтому 2 1ап1ада0 при бесконечных k.
п > /г
Для доказательства в обратную сторону предположим, что
2 \ап\г конечно и что 2 (оь„ [я г=аг 0 при всех & б *ЛГ—АЛ
ne*N+ ne*N+
п > k
Следовательно, ап конечно при всех n£*N. Пусть |Зп = °(ап)
при n£N+ и пусть Ь— 2 Рлел- Покажем, что б£/2 и а«6.
пб /V +
Так как |Зп»а„ при /г^Л^ + , то для каждого k£N+ вы-
выполнено
k к
п= 1 «=1
так что
2lPJ2<2KI2+i.
п= 1 п=1
Так как а конечно и 2 la«l2^ 2 \ап\г — \\аЬ то имеем
2lPJ<
п= 1
Так как эта граница не зависит от k, то
2
п= 1
и, следовательно, b ^ /2.
Тогда для любого k£*N
170 5. Гильбертово пространство
к
Далее, если k конечно, то 2 \ап—Рп|2~0- Следовательно,
по теореме о продолжении последовательности бесконечно ма-
малых, это выполнено для некоторого бесконечного k. Но для
любого бесконечного k, применяя еще раз неравенство Мин-
ковского, получим
2 |o»,-pB|»Y/a</ 2 К|Л1/3+/ 2 |&,1Л1/1«о,
nz*N J I ne*N J \ ne*N+ j
п> k j \ n>k J \ п> k j
используя условия и первую часть данного доказательства.
Следовательно, \\а — Ь||2ж0, что и требовалось доказать. ■
Пусть отображение Р множества Л^+х/2 в I2 таково, что
если
00
fl= 51 ее е- £■ /2 C)
t — 1
ТО
п
Р{п, а) = Рп(а)= 2а,е,.
Очевидно, что при каждом n£N+ Рп отображает Р в I2.
Теорема 1.7. Р„ является ограниченным линейным операто-
оператором и ||Р„|]=1.
Доказательство Линейность Рп получается непосредст-
непосредственно. Кроме того (предполагая, что а удовлетворяет C)),
так как
то||Р„||^1. Наконец, так как ||Р„(ei)II —Ieii> To получаем
Отображение *Р, которое мы, как обычно, обозначаем че-
через Р, отображает *N+x*l2 в */2. По принципу переноса
|| Рп||=1 при n£*N+,
и если
а— 2
то для всех v£*N +
Pv (a) -
§ 1. Унитарные пространства 171
Как обычно, мы через / обозначаем тождественный опера-
оператор на I2; следовательно, и на */2 имеем (по принципу пере-
переноса) 1а = а для всех а£*12. Важную аппроксимацию дает
Теорема 1.8. Пусть v£*N — N, и пусть а£*/2—околостан-
а£*/2—околостандартная точка. Тогда (I—Pv)ax0, т. е. Pvatva.
Доказательство. Пусть а= 2 afii — околостандартная
точка */2. Тогда
(> V
(> V
Но так как а околостандартна, то последняя сумма беско-
бесконечно мала по теореме 1.6. ■
Теорема 1.9. Если Т—компактный линейный оператор на /2
и k бесконечно, то \\Т — РкТ\]ж0.
Доказательство. Пусть ||а||=1, а£*/2. Тогда по теореме
4—2.1 Та околостандартна. Следовательно, по теореме 1.8
\\(Т-РкТ)а\Ы\A-Рк)Та\\ъ0. ш
Для каждого n£N+ пусть Нп — подпространство /2, порож-
порожденное {е1? ..., еп\. Следовательно, Рп отображает /2 в п-мер-
ное пространство Нп (которое в действительности, очевидно,
изоморфно С"). Мы можем рассматривать Я как отображе-
отображение N в 5>(/2), так что для каждого n£N+ H(n) — Hn. Тогда
*Н (которое мы тоже обозначаем через Н) отображает *N
в *9i(li). При v£*N #v является линейным подпространством
*/2, порожденным {elt e2, ..., ev}.
В заключение параграфа дадим нестандартное доказатель-
доказательство классической теоремы теории компактных операторов.
Определение. Оператор Т на /2 является оператором ко-
конечного ранга, если существует конечномерное пространство
Яс/2, такое, что Тх£Н при всех х£1г.
Теорема 1.10. Пусть Т—компактный оператор на 1г, и
пусть е — положительное действительное число. Тогда найдется
ограниченный линейный оператор Т' конечного ранга, такой,
что ЦТ — Т'\\<г.
Доказательство. По теореме 1.9 ЦТ — PfcT||<e при всех
k£*N — W. Следовательно, внутреннее множество
A = {k£*N+ HI Г — РкТ\\<г\
содержит все бесконечные целые и, таким образом, должно
содержать хотя бы одно конечное целое. Но при k£N+ оче-
172 5. Гильбертово пространство
видно, что оператор T' — PkT конечного ранга, так как он
отображает 1! в Я,, i
§ 2. Ортогональные проекции
В этом параграфе Я будет произвольным гильбертовым
пространством. (В частности, мы не предполагаем, что Я се-
парабельно.) Мы рассматриваем классическую теорию орто-
ортогональных проекций на замкнутые подпространства Я, исполь-
используя там, где это удобно, нестандартные методы. В частности,
предположим, что Я s S.
Рассмотрим разложение
\\u±vf = (u + v, u±v) = \\uf±(v, и)±(и, v)+\\v\f.
Сложив случаи + и —, получим
|!« + у|!2 + ||«—у||2 = 2 (||и|2 + ||у||2) (тождество параллелограмма).
В частном случае разложения при и }_v, так что (и, v) =
= (v, и) = 0, получаем
и \_v влечет \и ± vf = \uf + \v f.
Применением математической индукции к последнему соот-
соотношению получается
Теорема Пифагора. Если их, ..., ип£Н и и{ \_ и; при i,
/=1, 2, ..., п, 1Ф\, то
Если tt, ..., tk—точки Н, то положим
span (flf ..., tk) = \ J] a,t, | a, € С J .
Очевидно span (tlt ..., tk) является линейным подпростран-
подпространством Я, и если {tlt ..., tk) линейно независимы, то его раз-
размерность равна k.
Теорема 2.1. Если конечная последовательность {tif ...,tk}
ортонормальна в Я, то пространство span (tly ..., tk)
замкнуто.
Доказательство. Пусть £' = span(^1, ..., tk), x£*E, хяг
£zy£H. Достаточно показать, что у£Е.
По принципу переноса
§ 2. Ортогональные проекции 173
По теореме Пифагора
Так как ||x||«||#|| (см. теорему 4—1.2) и у стандартно, то
||*|| конечна. Так как |а,-|^||л:|, то каждое ai конечно и, сле-
следовательно, околостандартно. Пусть р,- = °(а/). Тогда
Отметим также почти очевидную теорему о замыкании (ко-
(которая на самом деле верна для любого нормированного ли-
линейного пространства).
Теорема 2.2. A) Если {Еп | n£N+\— последовательность ли-
линейных подпространств Я и Еп<=Еп^1 при каждом п, то
00
G— (J Еп также является линейным подпространством Н.
л=0 _
B) Если Е—линейное подпространство Я, то Е1)—тоже
линейное подпространство Я.
Доказат ел ьство.
A) Если х, y£G, KQC, то для некоторого п х, у£Еп, так
что х-\-у, Kx£En^G.
B) Если х, у£Е, h£C, то существуют последовательности
{х„|/г=1, 2, ...}, {уп\п=\, 2, .. .}, такие, что хп, уп£Е,
хп-+х, уп^у.
Тогда для каждого п хп + уп£Е, Ххп^Е, так что х + у,
1х€Ё~. т
В последующих леммах Е является замкнутым линейным
подпространством Я. Напомним, что отсюда по теореме 3—5.18
следует, что Е — полное метрическое подпространство Я.
Лемма 1. Для каждого £Н существует единственная
точка у£Е, такая, что
для всех г £Е.
Доказательство. Если х£Е, то ясно, что при у — х соот-
соотношение выполнено и что такое у единственно. Поэтому пред-
предположим, что х^Е.
Пусть a = inf [| л;—1\\. Следовательно, для каждого действи-
(Е
тельного е>0 существует z£E, так что а<||л:—г|| < а
По принципу переноса мы можем взять е«0 и получить
г) Через А, где Ая=Н, обозначается замыкание множества А в объем-
объемлющем пространстве Я.— Прим. ред.
174 5 Гильбертово пространство
z£*E, так что [х — г\жа. Мы утверждаем, что г околостан-
дартна.
Предположим напротив, что 2 —отдаленная точка. Так как
Е полно, то по теореме 3—5.20 существует положительное
действительное число г, такое, что \\и — г|^г для всех и£Е.
По определению а можно выбрать фиксированное и£Е, так
что ||х—«|| < (аа + га/4I/'2. Покажем, что отсюда следует
и« — 2|[<г; противоречие.
По тождеству параллелограмма
Далее, ||(х—u) + (x —z)l = 2 x—f (и + г)
-к-(« + г) £*Е. Следовательно, при некотором
1
2а, так как
противоречие. Отсюда видно, что z околостандартна.
Итак, пусть г« у£Н. Так как Е замкнуто, то у £ Е
Тогда ||х—у|| = а, так что ||х— г/|К||х—г|| для всех z£E.
Для доказательства единственности предположим, что
||х—у'\\~\\х—уЦ при у'£Е. Еще раз используя тождество
параллелограмма,
<4a2 — 4a2 = 0.
Следовательно, у = у'. ■
Определение. Через PFx мы обозначим единственное у из
леммы 1. Кроме того, положим E-L = {x^H\xJ_u для всех
и£Е} и назовем Е1- ортогональным дополнением к Е.
Лемма 2. £-L является замкнутым линейным подпрост-
подпространством Н.
Доказательство. Пусть х, у^Е1-, К£С и пусть и—неко-
и—некоторая точка Е. Тогда
(х + у, и) = (х, и) + (у, ы) = 0
и
(kx, ti) = 'k(x, u) = 0.
Следовательно, v^i/^E1- и ^х^Е-1, так чго Е1- — линейное
подпространство Я.
§ 2. Ортогональные проекции 175
Чтобы убедиться в замкнутости Е^, предположим, что
х£*(ЕА-), хху£Н. Тогда для любого и£Е
{у, и)т(х, и) = 0.
Так что (у, ы) = 0 и у£Е±. ш
Лемма 3. Для любого х^Е (х—Ррх)^.Е^-.
Доказательство. Пусть z£E, гфО, y = PFx, и пусть K£R,
КфО. Как и раньше, пусть а = \\х—г/||>0. Тогда, обозначая
через Э{, 3 действительную и мнимую части соответственно,
имеем
— ((х—у) — Кг, (х—у)—Кг)
^lx~yf + ^\\z\\2—(x—y, Kz) — (Kz, x—y)
= а2 + А,21| 2 f—2КЯ(х—у, г).
Следовательно, А2К2—2ВК>0, где А =[|г|]^=0 и B=m(x—y,z).
Но
при К — В/А2 и —В2/А2 < 0, если ВфО. Мы заключаем, что
для любого z£E, если гфО, то Э1{х—у, г) = 0. Следова-
Следовательно, также
3(х—у, z) = 5l[(—i)(x—y, х)] = Я(х—у, iz) = 0.
Наконец, (х—у, г) = 0 и х—у£Е±. ш
Лемма 4. у = Рвх тогда и только тогда, когда у£Е и
Е±
Доказательство. В одну сторону результат следует из
леммы 3.
Для доказательства в другую сторону пусть у£Е,
х—у£Е^-. Тогда по теореме Пифагора для всех г£Е
Следовательно, у — РЕх. ш
В частности, из леммы следует, что
если х^Е-1, то
Лемма 5. Рр—ограниченный линейный оператор, и если
Щ, то ||РЯ||=1.
176 5. Гильбертово пространство
Доказательство. Пусть у — РЕх, у' = РЕх'. Тогда по лемме 4
у, у'£Е, х—у, х'—y'G.E-L. Так как Е и Б-1—линейные
пространства, то для любого Я£С
у^, Кх—
По лемме 4
РЕ (х + х') = у + у' = РЕх + РЕх',
РБ(кх) = Ху = ХРЕх.
По теореме Пифагора
Следовательно, ||Р£х|^;|1л:||, отсюда следует, что РЕ ограничен
и ||РЕ|<11. Наконец, если Еф{0}, то существует и£Е, где
||и||=1 (т. е. и = х/\\х\\, где х£Е, хфО). Но так как РЕи = и,
то ||Ря«|| = ||«||. Следовательно, ||РЯ||=1. ш
Определение. Если А, В — линейные подпространства Я,
то мы пишем А _]_ В и говорим, что А и В—ортогональные
пространства, если и _\_ v, как только и£ А и v£B.
Лемма 6. Пусть Е, F—замкнутые линейные подпрост-
подпространства Н. Пусть Е _\_F, и положим
Тогда G—замкнутое линейное подпространство Н и каждый
элемент G имеет единственное представление в виде х + у,
где х£Е и у £ F.
Доказательство. По предположению Е s F-1, F s £x. Пусть
V = I — (PE + PF). Тогда из х£Е и y£F следует V(х + у) = 0.
Обратно, если Уг = 0, то г = PEz-\-PFz, так что z£G. Следо-
Следовательно, по теореме 4—1.13 G замкнутое линейное подпро-
подпространство Н.
Пусть, z = x + y, x£E, y£F. Тогда по лемме 4 x — PEz.
Аналогично, у — РFz. Это доказывает единственность. ■
Определение. В условиях леммы 6 обозначим G = £10/7 и
назовем G прямой суммой Е и F.
Так как ясно, что Ег 0 (£2 ф Es) = B^ 0 £2) 0 Ея (конечно,
это соотношение имеет смысл только тогда, когда Е1 _]_ Е2,
Е2±Е3 и Et±E3), то подпространство Е^Е^ ■■•®Е„
для попарно ортогональных замкнутых линейных подпрост-
подпространств Ev .., Еп определено однозначно. Если {Еп\п=\,
2, 3, ...} — последовательность попарно ортогональных замк-
§ 2. Ортогональные проекции 177
нутых линейных подпространств Н и если Gn = E1@ ... ©£„
для каждого п, то положим *)
00
и по теореме 2.2 получим, что U Gn—замкнутое линейное под-
пространство Я.
Лемма 7. Н — ЕфЕ1. Следовательно, для каждого х£Н
имеется единственное разложение х~у + г, у£Е, z^E-1.
Доказательство. Разложение х = Рвх + (х— РЕх) и лемма 3
показывают, что х^Е^Е-1. Единственность следует из
леммы 6. ■
Лемма 8. £-LJ- = £.
Доказательство. Если х£Е, то х \_у при всех (/££-<-.
Так как х ортогонально ко всем у^Е1-, то a:£(£-l)-l- Следо-
Следовательно, £ s Я-1--1.
Обратно, если лг^Е-11, то положим х = х1-\-у, хг^Е,
у^Е1. Так как х^Е-1-1, то х J_ t/. Тогда
О = (х, у) = (х, + у, у) = (xlt у) +1| у р -1| у f.
Поэтому г/ = 0. То есть х = хх£Е. т
Лемма 9. Пусть G = E®F. Тогда Ра = РЕ + РР.
Доказательство. Пусть и = РБх, v = PFx для х£Н. Мы хо-
хотим показать, что u-\-v = Рах, т. е., используя лемму 4, что
u-\-v£G, (u+v)—x^G^. Итак, u + v^G по определению пря-
прямой суммы. Пусть t — некоторый элемент G, пусть t — r-\-s,
где r££, s£F. Осталось показать, что (u+v)—х\_t. Но это
легко следует из вычисления
(u + v—х, г +s) = (u + v—х, r) + (u+v—х, s)
= (и — х, r) + (v, r) + (u, s) + (v—x, s)
= 0,
использующего лемму 4 и тот факт, что Е J_ F. ш
J) В подлиннике знак замыкания над правой частью отсутствует; без
этого знака, однако, ссылка на теорему 2.2 становится неоправданной а
00
само подпространство U Gn может оказаться незамкнутым,— Прим. ред.
И=1
178 5. Гильбертово пространство
Следствие 2.3. I = PE + P x
Доказательство. Очевидно, Рн = 1. и
Очевидной индукцией получается
Следствие 2.4. Если С = £1ф£2ф ... ©£„, то
Лемма 10. (РЕх, у) = (РЕх, РЕУ) = (Х> РрУ)- Следовательно,
РЕ—эрмитов оператор.
Доказательство. Пусть у = РЕу-\-и, и^Е-1. Тогда
(РБх, у) = (РЕх, РЕу) + (РБх, и)
= (Рвх, РЕу).
Используя это, получаем
(х, РЕу) = (РЕу, х) = (РЕу, РБх) = (РЕх,РЕу). ш
Оператор РЕ является не только эрмитовым, но и идемпо-
тентным, т. е. РЕ — РБ. (Это выполнено потому, что Р^с^Е
и, следовательно, РЁ(РБх) = РЕх.) Все это подсказывает
Определение. Ограниченный линейный оператор на Н на-
называется ортопроектором, если он эрмитов и идемпотентен.
Теорема 2.5. Если Р ортопроектор, то существует замк-
замкнутое линейное подпространство Е пространства Н, такое,
что Р = Р£.
Доказательство. Пусть Е — множество значений опера-
оператора Р. Если х£Е, то х — Ри для некоторого и£Н, так что
A — Р)х = Ри — Р2и = 0. Обратно, если (/ — Р)х = 0, то х =
— Рх£Е. Следовательно, по теореме 4—1.13 Е—замкнутое
линейное подпространство Я и оператор РЕ определен.
Итак, пусть у = Рх. По лемме 4 достаточно показать, что
х—у\_и при всех и£Е. Но, используя тот факт, что Р —
эрмитов и идемпотентен,
(х—у, Pv) = (x, Pv) — {Px, Pv)
= (х, P2v)—(Px, Pv)
= {Px, Pv) — (Px, Pv)
= 0. ■
ieopeiwa ^.6. Пусть E, F—замкнутые линейные простран-
пространства H. Тогда следующие условия эквивалентны;
2. Ортогональные проекции 179
A) £sf,
B) PEPF = PE,
C) ||PEx|K||Pf*|| для всех х£Н,
D) PE^PF.
Доказательство. A) =>B): Пусть y = PE(PFx) при х£Н.
Докажем, что у = РЕх. По лемме 4 это эквивалентно тому,
что л:—у£Е±. Но по лемме 3 PFx—у£Е± и x—PpX^F^sE^-.
Так как Е±-—линейное пространство, то
B)=>C): ||^! = «^^«<11^1Н1^| = [|^х||.
C)=>D): Имеем (/Vе' PEx)s^(PFx, PFx). По лемме 10 можно
записать: (Ргх, х) ^ (Р^х, х); по определению получаем РВ^.РР.
D) =>(!): Пусть х£Е, т. е. пусть РЕх = х. Ввиду следствия
2.3 / — PF = P I. Следовательно, по лемме 10
\\(l~PF)xf = ((I-PF)x, A-РР)х)
= ((J-PF)x, х)
= (х, x) — (PFx, х)
= (PFx, x) — (PFx, x)^0.
Следовательно, (/ — PF) х = 0, т. е. PFx — x и x£F. ш
Лемма 11. Пусть EsF, где Е и F—замкнутые линейные
подпространства Н. Тогда
A) PePf — Ре~ Pf^e »
B) PF—РЕ является ортопроектором.
Доказательство.
A) По теореме 2.6 PFPF= РЕ. Кроме того, так как по
предположению PEx£F, то имеем PF(PFx) = Ptx для всех
х 6 Я.
B) Ввиду теоремы 2.5 требуется убедиться, что РР—РЬ-
эрмитов и идемпотентен. Имеем
{(PF-PB)x, y) = {PFx, у)-(РЕх, у)
= (х, PFy) — (x, РЕу)
= (*, (РР~Рв)у)
и, используя A),
{РР- РЕУ = PF - PF Рв- PBPF
Лемма 12. Пусть {Gn\n£N+}—последовательность замк-
замкнутых линейных подпространств пространства Н, таких, что
180 5. Гильбертово пространство
Gn^Gn+1 для всех п. Пусть G= (j G.x). Тогда Рах—+Рах
для всех х£Н.
Доказательство. Пусть х£Я, и положим уп = Рапх. По те-
теореме 2.6C) ||£/„||<£/„-и!| для всех п. Кроме того, для каждого
п \\у„\\^:\\х\]. Следовательно, последовательность {)|г/„1|2| п £ JVT}
является монотонно возрастающей ограниченной последова-
последовательностью действительных чисел и, следовательно, является
последовательностью Коши. При т~>п Рп —Pg является
1 т п
ортопроектором по лемме 11B), так что (используя лемму 10)
\\Ут-УпТ = ((Рот-Рап)х, (Рат-Рап)х)
=((Рат-Рап)х, х)
Следовательно, {yn\n£N + } является последовательностью
Коши в Я и, значит, имеет предел, скажем, уп—*у.
Осталось показать, что y = PGx. Для этого мы еще раз ис-
используем лемму 4. Так как каждое уп £ Gn s G и G замкнуто,
то y£G. Поэтому достаточно показать, что х—y^G1-.
Пусть сначала u£Gk, и вычислим (х—у, и). Мы имеем
(х — уп, и) = 0 при всех n^k, так как х—уп£Gj[ sG^. Сле-
Следовательно, (х—у, и) = 0. Пусть, наконец, v£G. Тогда для
некоторой последовательности \uk\k£N+} имеем uk—*v и
k
каждое ик£ U Gn. Тогда (х—г/, ик) — 0 и, следовательно,
(х—у, у) = 0. Таким образом, мы показали, что х—y^G1. ш
Лемма 13. Пусть {Еп\п£ N + } — последовательность замкну-
замкнутых линейных подпространств пространства Н. Пусть G—E1 ф
00
ф£2ф2:3C3 ... . Тогда для каждого х£Н, Ра— 2 Ре х.
{ п
2
Доказательство. Пусть Gn = E1Qj.. .ф£„. Используя след-
следствие 2.4, Pg x — PEtx+ . .. -\-Ре х для всех х£Н. Результат
следует из леммы 12. ■
Лемма 14. Пусть {Qn\n£ N + \—последовательность орто-
проекторов в Н, таких, что Qn+i^Qn npu каждом п. Тогда
!) В подлинникеО= U Gn(cp, предыдущее примечание на стр, 177), —■
Прим. ред.
§ 2. Ортогональные проекции 181
последовательность {Qnx\n£N + \ имеет предел при каждом
Доказательство. Пусть О_п = Рк . так что по теореме 2.6
/еп£/Св+1. Пусть Gn = K^ при каждом п, так что I — Qn = Pan.
Итак, Gn^Gn+1. Следовательно, по лемме 12 для каждого
х£Н существует у (iff, такой, что
(l-Qu)x-*y.
Но тогда
Qnx-~+x—y. ш
Рассмотрим теперь классический процесс Грама — Шмидта
ортонормализации базиса. Пусть {^, ..., tk\—ортонормаль-
tk\—ортонормальная последовательность в Н, пусть £' = span(/1-, ..., tk), и
пусть м£#—Е. По теореме 2.1 Е замкнуто. Следовательно,
можно положить v = и — РЕи, так что v ортогонально tlt ..., tk.
Наконец, положив tk+x = vl\v\, имеем
A) {tlt ..., tk, tk+1\ ортонормальна,
B) span(/1, ..., tk, tk+1) = span{t1, .... th, u).
Так как для одной точки и£Е, и*£0, очевидно, выполнено
span («) = span («/[[«|), то по индукции доказывается
Теорема 2.7. (Процесс Грама—Шмидта.) Пусть {ип\п£1\
(конечная или бесконечная) последовательность линейно неза-
независимых точек в Н. Тогда существует ортонормальная после-
последовательность {tn\n£l\, такая, что для каждого k£l
span(M1, ..., Mft) = span(^ tk).
Следствие 2.8. Конечномерное подпространство простран-
пространства Н замкнуто.
Доказательство. Доказательство непосредственно следует
из теорем 2.1 и 2.7. ■
Лемма 15. Пусть £ = span(^, ..., tk), где {tlt ..., tk\ —
ортонормальная последовательность в П. Тогда для всех *6##
Рвх= 2(х, t,)tt.
1=1
k
Доказательство. Пусть у = 2 (х, tt) t;. Так как у, оче-
i = i
видно, лежит в Е, то достаточно показать (по лемме 4), что
х—г/gf-L. Но это получится сразу, как только мы сможем
доказать, что
(х—у, tj) = O, / = 1, 2, ..., k.
182 5. Гильбертово пространство
Мы имеем
*-£(*, ti)tt, '/) = (*.',)- 2 (*. tt)(tlt tj)
1=1 / i=i
= (X, t;)—(X, tj)
= 0. a
Возвращаясь к частному случаю Я = /2 из § 1, заметим,
что Рп совпадает с Рн • Для этого п)сть х£Р, скажем,
со
Тогда по лемме 15
п
Рн (х) = 2 (*, et) e,
п i
- lim (
m->oo i= 1 \/ = 1
т
lim 2 ai 2 (e,'ei)ei'
Теперь
m->oo ) = i
,,если
, если/>я
Следовательно,
^
Обозначим теперь через $ множество конечномерных под-
подпространств Н. Так как ^^^(Я), то, очевидно, &€.U. По
теореме 1—7.11 *<^>е*5>(Я). Через dim обозначим функцию,
отображающую^ в N так, что dim^) — размерность простран-
пространства Е. Torfla*dim отображает *£ в *N. По принципу пере-
переноса если Е £ *£ и *dim(£) = v, то существует внутренняя
последовательность {/,-1 1 ^ i'^. v} (базис Е), такая, что t{ б *Н
при 1 =sC i ^ v и
{a,*,|«z€*c|. A)
Также если £ — подмножество *Н и {/,| 1 ^i^v} — внутрен-
внутренняя последовательность точек в *#, для которой (|) сыпол-
нено, то Е £ *<^ и *dim (£) ^ v. Таким образом, если Е£(§,
то £ ^ * $ и dim (£)= *dim(£'). Следовательно, мы можем,
§ 3. Теорема Бернстейна — Робинсона 183
как обычно, опустить звездсчку * и писать просто dim (В) для
всех Е € *£■х)
Так как конечномерные подпространства Н замкнуты, то РЕх
определено для всех Е£<§, х£Н. Если Р рассматривать как
отображение из <§хН в Н, то *Р отображает *gx*H в *//,
так что мы можем говорить о *РЕх при всех Е£*<§, х£*Н.
Применяя лемму 4 и принцип переноса, видим, что *РЕх —
=РЕх при х£Н, Е€£, так что мы опять совершенно безбо-
безбо*
лезненно можем опустить*.
Применяя принцип переноса, легко заметить, что различ-
различные свойства ортопроекторов выполнены для Рр, когда Е £ *<§.
Например, РЕх = х для всех х£Е и Е£*<§. Также \РЕ\—\.
Возвращаясь, наконец, к случаю # = /2, заметим, что
Нп€<§ и dim (#„) — « при всех n£N. Следовательно, при
n£*N выполнено //„£*(£ и d\m(Hn) = n.
§ 3. Теорема Бернстейна—Робинсона
В этом параграфе мы введем технику, позволяющую при-
применять результаты конечномерной линейной алгебры к беско-
бесконечномерным пространствам. Эта техника используется в ос-
оставшейся части данной главы. Основная идея состоит в на-
нахождении пространства Е £ *<£, аппроксимирующего данное
бесконечномерное пространство. Тогда принцип переноса
позволяет применять результаты конечномерной теории к аппро-
аппроксимирующему пространству и, следовательно, в конечном
счете к данному бесконечномерному пространству.
В данном параграфе мы покажем, как этот метод исполь-
использовался Бернстейном и Робинсоном для решения проблемы,
остававшейся открытой в течение многих лет. Введем сначала
терминологию.
Определение. Т называется полиномиально компактным,
если Т—ограниченный линейный оператор и для некоторого
полинома
оператор р(Т) компактный.
*) Последние две фразы нуждаются в исправлении. Прежде всего,
если Е££ и Е Ф {0}, то Е(£*<§ и потому функция *dim не определена
на Е; при сделанных предположениях можно лишь утверждать, что
*Е£*$ и что dim (£) = *dim(*£). Далее, поскольку неверно, что dom(dim)E
Edom(*dim) (ведь dom (dim) = (£, dom (*dim) = *^>, a <§f)*<g = {0}), то
слова "следовательно" и "как обычно" здесь неуместны: все предыдущие
случаи опускания звездочки в обозначении */ подчинялись принятому
в конце § 7 гл. 1 соглашению, согласно которому эту звездочку было
разрешено опускать при dom (/) £ dom(*/),— Прим. ред.
184 5. Гильбертово пространство
Определение. Подпространство £ унитарного пространства
Н является инвариантным для оператора Т, если Т[Е]^Е.
В 30-х годах фон Нейманом было доказано (но не опубли-
опубликовано) утверждение о том, что любой компактный оператор на
гильбертовом пространстве имеет нетривиальное (т. е. отличное
от {0} и от всего пространства) инвариантное подпространство.
Вопрос о том, какие некомпактные операторы обладают не-
нетривиальными инвариантными подпространствами, рассматри-
рассматривался, но почти без какого-либо успеха. Однако в 1966 г.
с помощью нестандартных методов была получена
Теорема 3.1. (Теорема Бернстейна—Робинсона.) Пусть Т—
полиномиально компактный оператор на Р. Тогда существует
замкнутое линейное подпространство пространства /2, отлич-
отличное от {0} и I2, являющееся инвариантным для Т.
Начнем наше обсуждение*) с некоторых общих рассмотре-
рассмотрений. В данном параграфе мы рассматриваем только Н = 12.
Пусть {ei\i€.N+) — некоторый ортонормальный базис в 1г.
(Позже нам потребуется точно определить этот базис.) Тогда
если Т—линейный оператор на I2, то можно записать
Teft= jja^e,, k= 1,2,3, ...
Массив [afk] (который, конечно, есть просто отображение N+ x N+
в С) называется в этом случае матрицей Т (относительно
данного базиса). Как обычно, мы можем считать, что a]k
определено при /, k£*N и имеет значения в *С.
Лемма 1. Пусть [a/k]—матрица компактного оператора Т.
Тогда aJktt0 при j£*N — ./V и при всех k£N+.
Доказательство. По принципу переноса
Так как Т компактный и ek конечно, то Tek околостандарт-
но (теорема 4—2.1). Следовательно, Tek & у б Р, где у — 2 Ufii-
Пусть
l=\Tek-yf
= 11 2 (a.s-JOeJ1
1) Мы следуем работе Бернстейна [3],
3. Теорема Бернстейна — Робинсона 185
применяя чеорем) Пифагора. Так как Те^ху, ю^л;0. Вы-
Выберем любое j£*N — N. Ясно, что
К*
и, следовательно,
Тогда
со
Так как у б/2, то 2 \Уп\2 сходится, так чтог/„—*0 и, следо-
Л=1
вательно, \у^\хО. Мы заключаем, что
К*1«о- ■
Определение. Матрица [я/А] называется почти наддиагональ-
ной, если aJk = 0 при всех />fe+l.
Пусть [ау/г] почти наддиагональна. Определим тогда по
рекурсии
<$ = <*/»
00
„(Л+1) X1 nW>n V л№л
ajk — ,2j fl/j aik — ^ а/г c,-ft.
i=i t<fe+i
Лемма 2. Пусть матрицей ограниченного линейного опера-
оператора Т является почти наддиагональная матрица [aJk]. Тогда
матрицей Т" является [a)f\.
Доказательство. Доказательство индукцией по п. При п — 1
очевидно. Предположим, что результат выполнен для п.
Пусть [bjk]—матрица Тп+Х. Тогда
GO
^2^*2'
I {JJ'
со
186 5. Гильбертово пространство
Лемма 3. Пусть [aJk]~ почти наддиагональная матрица.
Тогда при s, пг, п > О
A) 4+m,n = 0- ecm s<m,
B) ап+тп — xl an+i + i> n + t-
[ = 0
Доказательство, Докажем сначала A) индукцией по s. При
s— I m>2. Следовательно, так как [ayft] почти наддиагональ-
на, то аЙт,п=-ая+»,„ = 0.
Предположим, что A) выполнено при верхних индексах
< s. По индуктивному предположению
ип+т, п — и
при s — 1 <т и при всех т, п. Но
ип+т, п— 2л "+'«. ' (> и"
Но при t < n -f 1 и т > s все члены суммы по индуктивному
предположению равны 0 и, следовательно, а^1т, п тоже равно 0.
Докажем теперь B) индукцией по т. При т = 1 резуль-
результат очевиден. Предположим, что B) выполнено при т—1,
т. е. что
мт-i)
ип+т-1,п—
i l
при всех п. Используя A), имеем а$т?1 = 0 при i^n. Итак,
ип+т, п — 2j ап+т I и[, п
n+m, rt+1 "n + 1, n
m-2
11 an+i + 2, n + i + i I' an + l, n
1=4
11 un+i + l. nH
< = (!
Лемма 4. Пусть Т — полиномиально компактный оператор
на Р, матрица [a/k] которого почти наддиагональна. Тогда
для некоторого бесконечного целого vav+1,v«0.
Доказательство. Пусть оператор р (Т) = а0 + агТ-{- ... +<хкТк
компактный и имеет матрицу [bik]. Тогда, используя лемму 2,
Используя A) и B) леммы 3,
К-г
к, п = «а^'л, » = ак П а„
§ 3. Теорема Бернстейна — Робинсона 187
Так как р{Т) компактный, то из леммы 1 следует, что bn+Kt п«0
при бесконечном п. Выбирая такое п, мы видим, что одно из
чисел а„+/+1,n+,-, i=0, .. .,К—1, должно быть бесконечно малым.
Отсюда следует нужный результат. ■
Определение. При Е £ *£ определим °Е как множество
х£/2, таких, что хтау для некоторого у£Е.
Лемма 5. °Е—замкнутое линейное подпространство Р.
Доказательство. Пусть х, у £ °Е и К £ С. Так как хжх' £ Е
и У&у'£Е, то х + ужх' +у' £Е; итак, х + у£°Е. Также
Xxttbx'^E, так что %х€°Е.
Чтобы убедиться в замкнутости °Е, предположим, что х—
предельная точка °Е, и покажем, что х£°Е. Пусть n$N+.
Тогда существует х'€°Е, такая, что \\х — х'\\<.1/2п. Кроме
того, х'&у для некоторой точки у£Е, так что, очевидно,
Цх' — г/|<1/2п. Тогда |х — у|<1/п. Положим
В силу предыдущего, N+cz К. Так как /С внутреннее, то должно
найтись бесконечное v£K. Следовательно, существует у£Е,
такое, что \\х—у\\< l/v«0. То есть, х£°Е. т .
Мы используем следующий фундаментальный результат
конечномерной линейной алгебры (см., например, [14]).
Теорема инвариантности. Пусть Е—конечномерное линейное
пространство размерности т и Т—линейный оператор на Е.
Тогда существует цепь
где dim {Et) = i и каждое Et инвариантно для Т.
Это утверждение эквивалентно тому, что существует базис,
в котором Т имеет „треугольную" матрицу. Наш план состоит
в использовании принципа переноса и леммы 5 для получе-
получения инвариантных подпространств 1г.
Лемма 6. При x£l2 и Е£*<§ х£°Е тогда и только тогда,
когда х&РЕх.
Доказательство. Если хжРЕх€Е, то, конечно, х£°Е. Об-
Обратно, если х£°Е, то хжу для некоторого у£Е. Тогда по
определению РБ и по принципу переноса
Пусть Т — некоторый данный ограниченный линейный опе-
оператор на /2. Пусть v£*N — N, пусть #v, Pv определены, как
в § 1, пусть Ту = РуТРу, и пусть 7 —ограничение оператора Tv
188 5. Гильбертово пространство
на Hv. Так как Tv—линейный оператор на */2, то Tv—ли-
Tv—линейный оператор на Hv и
||?||<||rvKPv77\|<||71.
Так как Hv£*£, то для любого внутреннего линейного подпро-
подпространства Е пространства Hv выполнено Е £ *<§•
Лемма 7. Если Е—линейное подпространство Hv и TV[E]^E,
то Т[°Е]д=°Е.
Доказательство. Пусть х£°Е; мы хотим показать, что
Тх £ °Е. По лемме 6 РЕхшх.Так как Т непрерывный, то ТРЕххТх
и, следовательно, ТРех околостандартна. По теореме 1.8
Pv {TPEx)&TPEx.
Далее,
Но РЕх$Е и, следовательно, по предположению TvPEx£E.
Следовательно, Тх бесконечно близко к точке Е (а именно,
к TvPEx) и, следовательно, по определению Тх£°Е. ■
Лемма 8. Пусть Е, F£*£, такие, что E^F и dim(F) —
= dim(£)+l. Тогда °E^°F и для любой пары х, y£QF су-
существуют. %£С и г£°Е, такие, чтоилих = гКу-^гилиу=гКх-\-г.
Доказательство. Если х£°Е, то хму для некоторого у££.
Так как E<=F, то у£F и, следовательно, x£°F. Поэтому
°Es°F.
Пусть х, y(i°F. Тогда Jt«/, у я* у'', где х', у'£F. Так
как £, F€*$ и так как dim(F) = dim(£)+ 1, то по принципу
переноса
(или х' = Ьу' + г)
при X £ *С, z£E. Рассмотрим два случая.
Случай 1
X конечно.
Так как х', у' и % околостандартны, то же верно и для
г = у'—Кх' (или г = х'—Яг/').
Поэтому
°г = °у'—°(кх') (или °z = °x'—°(hy'))
3. Теорема Бернстейна — Робинсона 189
Следовательно,
у = °Хх + °г (или х =
Случай 2
Я бесконечно.
Разделив на X, получим
, 1 / 1 / , 1 , 1
х =тУ~тг (или 0 =тх-т
Но так как г£Е, то AД)г тоже лежит в £. Следовательно,
мы вернулись к первому случаю. ■
Теперь все готово для доказательства теоремы Бернстейна—
Робинсона.
Выберем некоторое х£12, такое, что [|л:||=1, и рассмотрим
множество А — {х, Тх, Т2х, ...}. Сначала устраним два три-
тривиальных частных случая.
Случай 1
А не является линейно независимым множеством
Пусть k—наименьшее целое, такое, что
A)
Полагаем тогда
, Тх, ..., Tk-ix)
и утверждаем, что Е удовлетворяет требованиям теоремы
Бернстейна — Робинсона. Так как х£Е, \\х\\= 1, то^:^ {0}. Так
как Е имеет конечную размерность, то Е замкнуто (следст-
(следствие 2.8) и Ф1г. Наконец, если а£Е, т. е.
а = ^х + ^Тх+...+^Тх, B)
Та = ^Тх + №*х +...+ ру%, C)
так что в силу A) Та£Е.
Рассмотрев случай 1, мы можем считать, что А линейно
независимо. Пусть Gn = span(x, Тх, ..., Тп~1х), и пусть Е =з
= U Gn, F = E. Тогда по теореме 2.2 F—замкнутое линей-
п = \
ное подпространство /\
190 5. Гильбертово пространство
Случай 2
Очевидно, F=/={0\. Покажем теперь, что F инвариантно
для Т. Если а £ Е, то можно записать равенство B), и тогда C)
показывает, что Та£Е, так что Е инвариантно для Т. Нако-
Наконец, пусть a£F. Тогда должна найтись последовательность
{an\n£N+\ точек Е, такая, что ап—+а. Но тогда Тап—+Та
и, следовательно, Ta£F.
Итак, остался
Случай 3
F = l*
Так как множество А линейно независимо, то точки
!^Т1~Н, j=l, 2, 3, ...
образуют базис I2. Применив процесс Грама—Шмидта (тео-
(теорема 2.7) к точкам {/,}, мы получим ортонормальный базио
{в;} пространства I2, такой, что для каждого n£N +
spanfo en} = span{/j, .... fn\.
Именно этот ортонормальный базис мы будем использовать
в завершение доказательства.
Так как для каждого k£N +
flt ..., fk),
то
reft6span(/2> ,.,, fft+1)sspan(e1( ..., ек, ek+x).
Пусть [ajk\ — матрица Т относительно ортонормального ба-
базиса {elt e2, ...}. Тогда имеет место
со fe+1
2 2
; = 1 /= 1
так что [atj] почти наддиагональна. Используя предположе-
предположение о полиномиальной компактности Т и лемму 4, заключаем,
что для некоторого бесконечного v (которое мы фиксируем
с данного момента) av+i, v»0.
Далее мы покажем, что Т является хорошей аппроксима-
аппроксимацией для Т: ~
Лемма 9. Если ££#v и | конечно, то ТЪ,жТЪ,.
Доказательство. Так как Hv = span (elf ..., ev), то имеем
§ 3. Теорема Бернстейна — Робинсона 191
По теореме Пифагора
V
II £ 112 V |„ 12 \ I „ |2,
U 6II — Zj I ak I ^ I av I .
k— i
поэтому av конечно. Тогда, так как [aJk] почти наддиаго-
нальна,
4=1 ft=l /=1 /в
v v+1
= 2 а* 2 а/
/г = 1 / = 1
v+1 / v
Следова1ельно,
Поэтому
2
k=l
так как матрица почти наддиагональна. Таким образом,
используя тот факт, что av конечно. ■
Лемма 10. Если I конечна « 1С Hv, mo Tn\«Тп\ для
всех n£N+.
Доказательство. Случай п = 1 совпадает с леммой 9. Пред-
Предположим, что результат выполнен для п—-1. Теперь ЦТ*""!!^
^||Г||П~1 |||[| конечно. Поэтому, используя индуктивное пред-
предположение, непрерывность Т и лемму 9, имеем
ССи.-.;.ич;.м теперь через р(К) данный полином, такой, что
р(Т) компактно.
192 5. Гильбертово пространство
Лемма 11. Пусть I конечно ul£Hv. Тогда р(Г)|«р(Г)|.
Доказательство. Доказательство непосредственно следует
из леммы 10. ■
Лемма 12. p(Tv) микронепрерывна на */2.
к
Доказательство. Пусть р(к)= 2аЛ'- Тогда, применяя тео-
1 = 0
рему 4—1.11,
где М — положительное действительное число. Следовательно,
если U&V, и, у£*/2, то имеем
\\p(Tv)u-p(Tv)v\\^\\p(Tv)\\.\\u-v\\
Лемма 13. p(Tv)x&0.
Доказательство. р(Т)хфО, так как в противном случае
точки Т'х были бы линейно зависимы. По теореме 1.8 Рухязх.
Следовательно, p(T)Pvxx р(Т)х, так как р(Т) — ограничен-
ограниченный линейный оператор (теорема 4—1.11), и p(Tv)Pvxm
&p(Tv)x по лемме 12. По лемме 11 p(Tv)xm р(Т)х, т. е.
°(п (Т ) х\ = d (T) х / 0 ■
Теперь мы применим теорему инвариантности для конечно-
конечномерной линейной алгебры, цитированную выше, и принцип
переноса для получения внутренней последовательности
где dim (E{) = i и
T[Ei]s=El при t = 0, 1, .... v.
Так как Яv £ *g, то каждое Е( £ *<£ и ортопроектор РЕ{ опре-
определен. (Вспомните рассуждения в конце § 2.) Определим те-
теперь внутреннюю последовательность {//|/ = 0, 1, ..., v}
гипердействительных чисел так, что
rj = \p(Tv)x-p(T*)PE/x\.
Теперь, так как Е0 = {0}, то РЕох~0. Следовательно, го =
= \\p{Tv)x\\ и по лемме 13 найдется положительное действи-
3. Теорема Бернстейна — Робинсона 193
тельное число г, такое, что г0 > г. С другой стороны, Pev —
= Phv = Л» так что
rv = \\p(Tv)x-p(Tv)Pvx\\^O
по лемме 12. В частности, rv<.-^r. По теореме 1—8.3 най-
найдется наименьшее (i, такое, что rYl<.-^r п> следовательно,
Теперь, в силу лемм 5 и 7, пространства °£), / = 0,
1, ..., v — замкнутые линейные подпространства простран-
пространства /2, инвариантные для Т. Следовательно, осталось лишь
показать, что хотя бы одно из них нетривиально. На самом
деле мы покажем, что или с£ц-1, или °Evl действительно не-
нетривиально.
Лемма 14. х^°Е11^1, так что °Е]Х„1^1г.
Доказательство. Предположим, что х£°Ец-1. Тогда по
лемме 6 х^Ре, .х. Но тогда по лемме 12 было бы
/V-i = И Р G\) х-р {Tv) Pe^x|| « О,
что невозможно, так как Гц-! > уг. ■
Лемма 15. °E^{Q}.
Доказательство. Пусть у = р (Tv) Ре„х. Так как Еи инва-
инвариантно для Г (а следовательно, также для р(Т)), тоу^Е^.
По лемме 11 у« р(Т) Ре„х. Далее, так как р(Т) компактен
и Ре х конечно, то получаем (по теореме 4—2.1), что р(Т) Ре„х
околостандартна, и поэтому и у околостандартпа. Пусть у та
«г^/2, тогда г£°Ец. Для доказательства леммы достаточно
показать, что гфО.
Если, напротив, z = 0, то г/«0. Но тогда Гц » ||p(jTv) x\\ >
> г, что невозможно, так как Гц<-2-г. ■
В силу лемм 14 и 15, если оба °Eli-1, °Ell тривиальны,
то должно быть
Но dim (Ец) = \х = dim (-Ец-i) + 1. Ввиду леммы 8 отсюда сле-
Дует, что для любой пары точек х, у£12 имеет место у = кх
или х = \у для некоторого к£С. Но это, конечно, ложно.
Мы заключаем, что или °Ец_и или Е^ нетривиально, и
Доказательство теоремы Бернстейна — Робинсона закончено.
194 5 Гильбертово пространство
§ 4. Спектральная теорема для компактных эрмитовых опера-
операторов
Техника конечномерной аппроксимации сверху, использо-
использованная в § 3 для построения инвариантных подпространств,
в данном параграфе используется для получения классиче-
классического результата: спектрального разложения компактного эр-
эрмитова оператора на гильбертовом пространстве. На этот раз
мы начинаем с произвольного заданного гильбертова про-
пространства Я и используем теорему направленности для на-
нахождения пространства Е £ *<§ (вспоминая рассуждения в
конце § 2), такого, что
Таким образом, Я будет вложено в пространство, которое
ведет себя как конечномерное.
Итак, положим
Так как для любого х£Н выполнено (х, span(x)>£r, то,
следовательно, dom(/•) = #. Кроме того, если xlt ..., хп£Н,
то О,, span^, ..., хп)} £ г при /=1, 2 п, так
что г направленно. По теореме направленности существует та-
такое Е, что
для всех х£Н. По принципу переноса имеем Е £ *<£, и для
каждого л- из Я, л; должно быть также в Е, т. е. Н<=,Е.
До конца данной главы Е — полученное пространство, и
положим Р = РЕ.
Лемма 1. Если х£*Н околостандартна, то Рхтх.
Доказательство. Пусть х = у + 8, где у£Н и б ж 0. Тогда
б|
ужх, так как
Пусть Т — некоторый ограниченный линейный оператор
на Я; через 7" обозначим оператор РТ, ограниченный на Е.
Так как Рх — х при х£Е, то 7" может быть эквивалентно
описан как РТР, ограниченный на Е.
Лемма 2. || 7" |)< || Т ||. При х£Н Т'х = Тх.
Доказательство.
Если х£Н, то Tx£HsE. Следовательно, Т'х = Р{Тх) =
= Тх. ш
§ 4. Спектральная теорема для компактных эрмитовых операторов 195
Лемма 3. Если Т эрмитов на Н, то Т эрмитов на Е.
Доказательство. При х, у£Е
(Т'х, у) = (РТРх, у)
= (ТРх, Ру)
= {ТРх, у)
= (Рх, Ту)
= (*, РТу)
= (х, Г у), ш
До конца данного параграфа Т =И= О — некоторый дан-
данный компактный эрмитов оператор на гильбертовом про-
пространстве Я; таким образом, 7" — эрмитов оператор на Е
иЦТ'КЦТЦ.
Лемма 4. Если х£Е конечна, то Т'х околостандартна.
Доказательство. Так как Т — компактный оператор, то
по теореме 4—2.1 Тх околостандартна. Следовательно, по
лемме 1 Т'х = РТх^Тх и, следовательно, Т'х околостан-
околостандартна. ■
Уравнением для собственных значений оператора U на уни-
унитарном пространстве является
(U-U)x^O.
Если данные "к^С и хфО из пространства удовлетворяют
уравнению, то они называются соответственно собственным
значением и собственным вектором оператора V.
Конечномерная теория собственных значений эрмитовых
операторов1) мо»ет быть применена (с помощью принципа
переноса) к эрмитову оператору 7" на пространстве Е. Сле-
Следовательно, мы можем обозначить собственные значения Т"
через К,, ..., A,v (допуская повторения), где |kj ^ \\ \~^...
. ..^|kv|. Существуют (опять применяя принцип переноса)
соответствующие собственные векторы гг, г2, ..., rv, являю-
являющиеся ортонормальными (т. е. (г,-, г>) = 0 при 1ф\, |r,-J|=l).
Выполняется уравнение для собственных значений: (%L1 —
— 7")г,- = 0, или, эквивалентно, T'ri = Kiri при t = l, 2, . .
..., v.
Лемма 5. При t^v |^,-1 ^|Т||. Следовательно, каждое Х(
конечно.
1) Смотри [14],
196 5. Гильбертово пространство
Доказательство. Так как [/■,■!,= 1, то
HlV/ll
HIF'rJ
<||П|-1|г,-к||гц. ■
Лемма 6. Если А,- дь 0, то rs околостандартна.
Доказательство. Из уравнения для собственных значений
r. = \rr По лемме 4 Я,г.- околостандартна, т. е. Я,гу-«
t£H П ЧЙ)^ Т
. Пусть ц^ЧЙ.,)^. Тогда
Лемма 7. Пусть е—положительное действительное число,
и пусть | Яу | ^ е ярг/ всех j^k. Тогда k£N+.
Доказательство. Так как |Яу|^е, то Xj^bO и, следова-
следовательно, по лемме 6, г,- околостандартна при всех j^k.
По теореме Пифагора | г; — г; | = ]/2 ПРИ J> j^k, г=/=/. Пред-
Предположим, что k£*N — Л/. Тогда внутренняя последователь-
последовательность
| г,-, если ^
' "~\ 0, если i > /г,
обладает тем свойством, что \\si—sy-|j^ 1 при 1ф j и t, j £*N.
По теореме 3—5.2] некоторая точка s;, г^/г, отдаленная.
Но это противоречит тому, что г,- околостандартна. ■
Лемма 8. Пусть кГ+1 = Хг+2 = ... = A,,+ft 9b 0. Тогда k£N+.
Доказател ьство.
\К\>\К\>- ■ ->\K+i\-\K+A= ■ ■ ■ =\K+kl
и, следовательно, для всех j^.r-\-k |Xy|^e для некоторого
положительного действительного е. По лемме 7 r + k^N+ и,
следовательно, k£N + . в
Перепишем теперь последовательность {Я,-|г^у} без по-
повторений в виде {х,-11 ^р,}. Таким образом, х,- равно не
меньше чем одному %/
где [x^v и каждое Х{ равно в точности одному ху-. Пусть
f(/\ '■<2'). •••. ^—собственные векторы, соответствующие Ху.
§ 4. Спектральная теорема для компактных эрмитовых операторов 197
Поэтому можно записать
Е = span (/-<", ..., г(/}),
так что по принципу переноса Ef — линейное подпростран-
подпространство Е (собственное пространство для у,,). Используя спект-
спектральную теорему для конечномерных пространств (см., на-
например, [14]), вспомнив, что Т' эрмитовый оператор на Е
и применяя принцип переноса, имеем
Итак, по следствию 2.4 имеем
P = PEl + PE2+...+PEil.
Отсюда можно получить спектральное разложение Т':
Для проверки этого равенства заметим, что Т'и—к.и при лю-
любом и £ Е,. (Это имеет место ввиду того, что при и = a-j^ + ...
• • • ~г" &т, I'm- >
Следовательно,
T'x*=T'Px=T'
m.Tr,!l.
Лемма 9. Существует b^E и действительное е > 0, та-
такое, что
Щ<\ и |Г6||>в.
Доказательство. Так как ТФ0, то существует eg Я, сфО,
такое, что ТсфО. Пусть а = с/\\с\\, а==||7'а||. Следовательно,
а = ||71с||/|с|>0. Пусть Ь — Ра^Е. Так как а стандартно, то
baa а по лемме 4 и, следовательно, ТЬтаТа. Следовательно,
\\ТЬ\\ъ\\Та\\ = а; ±
Тогда
\\Т'Ь\\ = \\РТЬ
198 5. Гильбертово пространство
так как Tb околостандартно. Итак,
II7"
Наконец,
Определим теперь
Так как это определение включает внешнее отношение „»",
то W тоже может быть внешним. Однако мы увидим, что W
содержит только конечные числа.
Лемма 10. \?Ф0.
Доказательство. Если W — 0, то х^«0 при всех j£*N+.
Следовательно, х = |хх|«0. Выберем е и Ь, как в предыдущей
лемме. В силу предыдущих рассуждений можно записать:
Т'Ь = к1Ь1 + х262 + ... + Идбд.
Итак, дважды применяя теорему Пифагора,
r'bf= 2|х,п[б,.ц2
^«■J; 1 &, II»
Это противоречит лемме 9. ■
Лемма 11. W czN + .
Доказательство. Пусть т £ W. Тогда \кт\^е для некоторого
действительного & > 0. Тогда | ^ j >■ е при всех j-^rn. Но по
лемме 7 отсюда следует, что m£N + . и
Очевидно, что если m£Wn l=S^/^m,To;£W. Итак, ввиду
лемм 10 и 11 существуют две возможности. Либо
W = N+ (и W — внешнее),
либо
W = \],2, ...,k\ при некотором k£N (и W внутреннее).
Наш анализ разделяется на два случая в зависимости от того,
конечно или бесконечно множество W,
§ 4. Спектральная теорема для компактных эрмитовых операторов 199
Лемма 12. Если х£*Н околостандартна, то Т'РхтТх.
Доказательство. По лемме 1 Рх&х, так что
Тх « ТРх.
Так как Тх околостандартна (например, по теореме 4—1.10),
то и ТРх околостандартна. Еще раз применяя лемму 1, имеем
ТРХ « Р (ТРх). Следовательно,
ТхшРТРх^Т'Рх. ш
Лемма 13. Если и, v£*H околостандартны, то с(и, v) =
=»(°и, °v).
Доказательство. Это просто нестандартная формулировка
непрерывности скалярного произведения. ■
Теорема 4.1. Если %j ф 0, то %j конечно, г}- околостандартна
и каждое °(hj), °{r]) является собственным значением и соответ-
соответствующим собственным вектором Т в Н.
Доказательство. Ввиду лемм 5 и 6 Xj конечно и г,- около-
стандартна. Используя лемму 12 и тот факт, что РГ] = Г}, по-
получаем
Г/
= V/
Наконец, °г/=^=0, так как ввиду леммы 13
(°#- °#* \ — °/#" #■ \ I. . i 1 ■
Заметим, что если Я,^ %.j ф 0, то
(°г;, °г,) = °(г/, г,) = 6}. (|)
Далее, ввиду лемм 6 и 8 при /' ^ W все векторы г'/', ..., г„
околостандартны и ту- конечно. Пусть sl'^^r'"). i = 1,2, ...
•.., m,, и положим
Тогда, в силу (|), последовательность |sF' | 1 ^^^/П/} орто-
нормальна и поэтому линейно независима. Следовательно,
Я/ имеет размерность tnf. Также, применяя (\), получаем, что
при /, k£W, \Фк
ИДЯ,.
200 5 Ги чьбертово пространство
Кроме того, по лемме 15 из § 2 имеем
1
Лемма 14. При х£Н, j £W Рй x&PEjx.
Доказательство. Используя лемму 13, лемму 15 из § 2 и
принцип переноса, получаем
Р-н х= 2 (х, W~ I (x,
1 l=\ l=\
Пусть теперь
где прямая сумма конечна или бесконечна в зависимости от
конечности или бесконечности W, и пусть Яо = /С-1. Тогда ввиду
рассуждений в § 2 (следствие 2.4 или лемма 14 соответственно)
имеем
и для каждого х € Я
Для каждого j£W обозначим v/ = °(x/-). Тогда имеет место
Теорема 4.2. (Спектральная теорема для компактных эрми-
эрмитовых операторов (часть I).) Если W = {\, 2, ..., k\, то соб-
собственными значениями Т являются 0, vlt ..., vk и
Доказательство. Начнем вычислять Тх при х£ Н. По лемме
2 Тх — Т'х. Следовательно, используя спектральное разложе-
разложение Т',
Тх = 2 х.Рн х
= /+//.
Применяя лемму 14, получим
к
I да 2 viPh,x.
5 4. Спектральная теорема для компактных эрмитовых операторов 201
Осталось показать, что // да 0. Но, дважды применяя теорему
Пифагора,
i
о.
так как
;= 2 Ре.х.
Заметим теперь, что 0 — собственное значение Т, так как для
каждого х£Й0
Пусть, наконец, Я,—любое собственное значение Т, г — соот-
соответствующий собственный вектор. Осталось показать, что если
"О, то "K = \f для некоторого /=1, ..., k. Итак,
В силу единственности представления в виде прямой суммы,
имеем
Если КфО, то Рйг = 0, так что для некоторого (единствен-
(единственного) / >0 Р^гфО и Я, = уЛ ■
Если W бесконечно, то мы не можем утверждать столь же.
много:
202 5. Гильбертово пространство
Теорема 4.3. (Спектральная теорема для компактных эрми-
эрмитовых операторов (часть II).) Если W = N, то для всех х£Н
Сначала будет получена
Лемма 15. Если W = N + , mo lim v, = 0.
Доказательство.
| ку- | для всех / 6 N + . Следовательно,
| y1 | у |
по теореме о продолжении последовательности бесконечно ма-
малых |vn|«|x,,|«0 для некоторого бесконечного п. Итак, 0
является предельной точкой последовательности {| Vj\\ j £N+\.
С другой стороны, эта последовательность монотонно не воз-
возрастает (так как такова последовательность {|>vl|/£N+} и
v/- = °x/-) и, следовательно, сходится. Поэтому jv^j—>0. ■
Доказательство теоремы. Пусть х б Н, и положим
Мы хотим показать, что sn—*-0.
Итак, в силу леммы 14, при конечных п
Также
х.
Отсюда
при всех конечных п.
Но, применяя теорему Пифагора, имеем
/=л + 1
§ 5 Некомпактные эрмитоеые операторы 203
Так что при всех конечных п
и по лемме 15 sn—* 0. ■
§ 5. Некомпактные эрмитовые операторы
Теперь мы получим спектральную теорему не только для
компактных эрмитовых операторов на гильбертовом простран-
пространстве Н. (Мы следуем Бернстейну [2] ) Снова вопрос состоит
в сопоставлении оператору семейства ортопроекторов, в терми-
терминах которых может быть выражен оператор. Однако в общем
случае оператор „представляется" в виде интеграла, а не суммы.
Сначала необходимо разъяснить, какой тип интегралов мы
используем. Итак, пусть I = [а, Ь] — интервал, а < b, a,b£R.
Пусть g отображает / в R, и пусть V(К) — функция, опреде-
определенная на /, множество значений которой — ограниченные ли-
линейные операторы на Н. Тогда пишем
для обозначения того, что для любого действительного е > 0
существует соответствующее действительное б, такое, что не-
неравенство
п -1
Т— 2 S(rj)[V(t/+1)~V(t,)] <е
1 = 0
выполнено, как только выполнены следующие условия:
(a) a = tft<tl<... <tn = b,
(b) tl + 1 — t,<6, i = 0, 1, .... n—l,
(c) f/<r,<f,.+1, i=0, 1 n—l.
После этих разъяснений может быть сформулирована
Спектральная теорема. Пусть Т — эрмитовый оператор
на Н. Пусть
а= inf (Тх, х), Ь— sup (Tx, х).
II «ll=i цж||=1
Тогда существует такое семейство {Е(Х)\%£ R} ортопроекто-
ортопроекторов в Н, что
A) если Х<ц, то Е(%)■ Е(ц) = Е(%);
B) Т-Е(К) = Е(К)-Т для каждого l^,R;
C) если {хп|п= 1, 2, 3, ...} — последовательность действи-
действительных чисел, такая, что х„>Я, при каждом п и х„—► X,
то для каждого х£Н Е(хп)х—>Е(Ъ)х;
204 5. Гильбертово пространство
D) Е(к) = 0 при 1<а и Е(К) = 1 при
E) для каждого действительного h > 0
ь
a-ft
Итак, в дальнейшем Г —произвольный эрмитовый оператор
на Н; Е, Р я Т" определяются, как в предыдущем параграфе.
Опять конечномерная спектральная теорема применима к Т"
как к эрмитову оператору на пространстве Е. Доказательства
лемм 1, 2, 3 и 5 (но не леммы 4) сохраняются без изменений.
Обозначим через J интервал [—\\T\\, \\T\\]. Тогда ввиду
леммы 5 из § 4 для каждого i, I ^/^v, имеем X, £*J. Также
имеет место
Лемма 1. a, b£j.
Доказательство. При ||я||=1
\(Тх, x)\^\\Tx\\-\\xl = \\Tx\\,
Следовательно, \b\= sup (Tx, x) ^ sup \(Tx,
< sup ||^|l-||
lllli
Также la I =
inf (Tx, x) = sup (—Tx, x)
: sup \(—Tx, x)
II л f= 1
: sup \\-Tx\\-\x\\
11*11=1
Лемма 2, При п^О (Т')п = 2 К}Р{-
Доказательство. Доказательство индукцией по п. Случай
п — 0 тривиален. Предполагая, что результат выполнен для п,
доказываем его для п + 1:
так как Я^Ру =? 0 при i ^= у и Pj =
§ 5. Некомпактные эрмитовые операторы 205
Для любого полинома р(к) = ао + а1Х+ ... -f anXn, at£*R из
леммы 2 следует, что
Р(Т')= ip(h)P,.
i = i
Это оправдывает
Определение. Пусть / — внутреннее отображение в *R,
область определения которого содержит *J. Тогда определяем
оператор
H)i>
Лемма 3. Пусть f удовлетворяет условиям предыдущего
определения. Тогда f (Т')-эрмитовый оператор.
Доказательство. Применяя тот факт, что Р{ — эрмитовые
операторы,
2
I = 1
/)(^-, у)
,)(Х, Р;У)
= (х, f(T')y),
так как каждое ДА,-)^*/?. ■
Лемма 4. (Операционное исчисление.)
A)
B)
C)
Доказательство. Проверяем B), оставляя читателю триви-
тривиальные доказательства A) и C),
/ (Г) ■ ё (Г) -= 2 / &,) р^ ■ 2
= 2
(i/
206 5. Гильбертово пространство
Так как f-g и £•/ — одна и та же функция, то из леммы
следует, что
Лемма 5. Пусть /, g—внутренние функции, определенные
на V и f(X)^g(k) при всех %£*J. Тогда T'")
Доказательство. Проведем вычисления
2
»= 1
используя лемму 10 из § 2. Аналогично
(М(Т')х, x)=i
(=1
Результат следует из сравнения. ■
Лемма 6. Пусть f, g, h—внутренние отображения в •/?, об-
область определения которых содержит *J, и f (К) < g (К) <Л (I)
при X£*J. Тогда
(a) g(T')-f(T')^h(T')-f(T') и
(b)\)g(T')x-f(T')x\\^\\h(T')x-f(T')x\\ при всех х£Е.
Доказательство.
(a) Так как g(k) —f (X)^h(X)—f (X) при X£*J, то эта часть
следует из двух предыдущих лемм.
(b) Так как при %£*)
то имеем
В силу леммы 5,
((£(П-/(ПJ*, *)<((А(Г)-/(Г))»лг, х)
при всех х£Е и, следовательно, по лемме 3
5 Некомпактные эр шиповые операторы 207
Окончательно имеем
i(g(T')-f(T'))x\*^\\(h(T')-f(T'))x
Определение. Назовем ограниченный линейный оператор V
на Е околостандартным, если для каждой околостандартной
точки х£Е Vx околостандартна.
Лемма 7. Если V—внутренний околостандартный опера-
оператор на Е, то \V\\ конечно.
Доказательство. Для любого ограниченного линейного опе-
оператора W в стандартном универсуме должна быть (по определе-
определению fW\\) такая точка х, что \х\\=\ и
Следовательно, по принципу переноса существует такая точка
х£Е, \х\=\, что {Vx\~^l^l1— 1; следовательно, если [|V[| бес-
бесконечно, то \\Vx\ тоже бесконечно. Пусть y = x/(\\Vxl)l/2. Так
как х конечна и \\Vxft бесконечно, то ужО, и поэтому у около-
стандартна. Далее, Vy = Vx/(\ Vx]I'1, так что \\Vy \ = (\\Vx\\)in,
и \\Vy\\ бесконечно и, следовательно, Vy-—отдаленная точка.
Это противоречит предположению об околостандартности опе-
оператора V. ш
Определение. Пусть V—околостандартный оператор на Е.
Тогда положим (°V)x = °(Vx) для всех х 6 Н.
Лемма 8. Пусть V—околостандартный оператор на Е-
Тогда °V—ограниченный линейный оператор на Н и |]0V||^
Доказательство. Пусть х, у £ // и "К £ С. Тогда
(°V)(xly) = a(V(x + y))
= °(Vx + Vy)
= °(Vx)+°(Vy)
= (~V)x + (°V)y.
Также
(°V)(hc) = °(V(hc))
= °(XVx)
= Я, (°V) x.
Следовательно, °V—линейный оператор на Н.
208 5. Гильбертово пространство
Далее, используя непрерывность скалярного произведения
(§ 4, лемма 13\
так как х стандартно и [jKJj (по лемме 7) конечно. Эго завер-
завершает доказательство. ■
Лемма 9. Т' — околостандартный оператор.
Доказательство. Пусть х околостандартная точка, хяш^Н.
Тогда Т'х&Т'и = Ти. ■
Лемма 10. G")"—околостандартный оператор при п^О.
Доказательство, Доказательство очевидно при п — 0. Пред-
Предположим, что результат выполнен при некотором п, и пусть
точка х околостандартна. Так как
(Т')'"-1х=Т'({Т')пх)
и (Т')" х околостандартна (по индуктивному предположению),
то из леммы 9 следует, что (T')"+1 x околостандартна. ■
Лемма 11. Пусть р (К) — полином с действительными коэф-
коэффициентами. Тогда оператор р(Т') околостандартный.
Доказательство. Если р(к)~а0 + ахк+ . . . +апХ", то при
околостандартном х
р(Т')х = а0 + aj"x +...+an (Г)" х.
Результат следует из предыдущей леммы и из того факта, что
линейная комбинация околостандартных точек околостан-
околостандартна. ■
Теорема 5.1. Пусть f — непрерывное отображение J в R.
Т огда оператор f (Г1) околостандартный, а °(/ (Т"))—эрмитовый.
Доказательство. Предположим, что точка / (Т") отдаленная,
хотя х£Е околостандартна. По теореме 3—5.20 существует
действительное число г, такое, что
\lf(T')x—b\>r при всех Ь^Н.
По аппроксимационной теореме Вейерштрасса существует по-
полином p(k), такой, что для всех Я£ J
§ 5. Некомпактные эрмитовые операторы 209
И по принципу переноса это неравенство истинно при всех
%£*J. (Ясно, что ||х\Ф0, так как если х = 0, то /G") = 0,
хотя мы предполагали, что f(T')x—отдаленная точка.) При-
Применяя теорему Пифагора, получаем
\\f{T')x-p(T')xf= _
V
V IIP л
11 " i=i
в силу (|), так как 'kiQ.*J при l<i<v. Далее, х = Р1х-\-
■•. .-\-Pvx, так что, снова используя теорему Пифагора,
= 2 1Р Iх II2- Поэтому
\\f(T')x~p(T')x\\<^.
Наконец, применяя лемму 11,
\\f(T')x-°(p(T'))x\\^\\f(T')x-p(T'
j + бесконечно малое < г.
Пришли к противоречию.
Закончим доказательство, показав, что °/(^')—эрмитовый
оператор. Применяя лемму 3, получаем
(f()y)
= °(x,f{T')y)
{°fT'))
Следствие 5.2. Пусть f—непрерывное отображение J в R
и /(Я)>0 при всех K£J; тогда °(fT'))^O
Доказательство. По принципу переноса f(k)^O при h£*J.
В силу леммы 5,/(Т")^0. Следовательно, прах^Е (f(T')x,x)^0.
Так как Н^Е, то последнее неравенство выполнено при всех
х£Н. Результат получается переходом к стандартной части. ■
Теорема 5.3. Пусть {/„ | n € N + \ —последовательность непре-
непрерывных функций из J в R, такая, что
A) /в(*)>0 при X£J,
„ B) /„+1 (*)</„(*). Я.€Л
Тогда при каждом х£Н последовательность {"(/„ (Т )) х | п £ N + }
имеет предел.
Доказательство, Положим Fn=^°(fn{T')).
210 5. Гильбертово пространство
Утверждение i
При всех т, п £ N
р р _ р р
Из операционного исчисления
fn(T')fm(T') = fm(T')fn(T").
Результат получается взятием стандартных частей.
Утверждение г
При т^п и % £ J
Так как fn (к) ^ fm (к) ^ 0 и /п(Я)^0, то первое неравенство
выполнено. Второе неравенство получается аналогично.
Ввиду следствия 5.2 и утверждения 2 при т^п
Fi^FnFm^Pm^0. A)
Следовательно, при tn^zn и х£Н
(Fix, х) > (/^х, х) > 0.
Поэтому последовательность
является монотонно невозрастающеи последовательностью дей-
действительных чисел и, следовательно, сходится. Таким образом,
она должна быть последовательностью Коши. Из A) получаем,
что при т^п и х£Н
(Fix, %) > (FnFmx, x) > (F'nx, x) > 0. B)
Так как последовательность {(Fix, x)} — последовательность
Коши, то при всех п, m£*N — N
(Fix, x) « (F2mx, x)
и ввиду B)
(Fix, х) да (FnFmx, х) да (Fl%x, х) C)
Так как Fn эрмитов, то, применяя утверждение 1,
Fnx-Fmxf~(Fnx, Fnx)-(Fnx, Fmx)-(Fmx, Fnx) + (Fmx, Fmx)
= (FU, x)-2(FnFmx, x) + (Fmx, x).
Применяя C), видим, что при п, m£*N — N выполненоFnxxFmx,
Следовательно, {Fnx} — последовательность Коши и имеет пре-
предел. ■
§ 5. Некомпактные зрмитоеые операторы 211
При каждом rj £ *R положим
sD)= 2 pt.
Ввиду следствия 2.4 и принципа переноса каждое S(r\) яв-
является ортопроектором в Е. Для того чтобы применять опе-
операционное исчисление к S{r\), введем единичную функцию
Хэвисайда:
/1 при Х<г),
0 при
Лемма 12. S(ri) = /iri(T').
Доказательство.
Лемма 13. Пусть r)j < ц2 < ri3, и пусть %££. Тогда
Доказательство. Из данных неравенств следует, что для
всех Я
Тогда результат следует из лемм 6 и 12. ■
Теорема 5.4. Пусть х£Н и ii£R. Тогда существует т) > О,
т) да 0, г]£*/?, такое, что
A) S(n + r|)x околостандартно,
B) если т)'> т), г)'да 0, mo S ([x -f rj) х да S ([х + л')х- (За-
(Заметим, что в общем случае ц зависит и от \х, и от х.)
Доказательство. Определим
1 при X^fi-f A/я)
О при К >fi + [l/(n— 1)].
To есть £„(?0 равно 1 при Я^[х + A/«), равно 0 при Кц
+ 1/(/г—1) и линейно убывает от 1 до 0 на [[х+A//г), \х~\-1/(п—1)].
Следовательно, каждая функция gn (К) непрерывна на R. Кроме
того (читатель может при желании нарисовать график), gn+1 (A.)^
^ёл(^) ПРИ всех h£R- Тогда, в силу предыдущих результа-
результатов, получаем
A) gn(T')x околостандартно при п = 2, 3, ...;
212 5, Гильбертово пространство
B) последовательность {уп+1\п€ N+}, где yn — °gn(T')x,
сходится к некоторому г/£//.
Итак, упжу при всех n£*N — N. Так как последователь-
последовательность \gn(T')x\ внутренняя и yn~gn{T')x при всех конеч-
конечных п, то по теореме о продолжении последовательности бес-
бесконечно малых существует x£*iV— N, такое, что yn^gn(T')x
при всех к^х. Следовательно, y~gn{T')x при бесконечных
. Из этих рассуждений мы заключаем, что
(a) gn(T')x околостандартно при всех п<х,
(b) gn{T)x&gm{T')x при бесконечных т, п<х.
Легко проверить (нарисуйте график!), что при X£R и n£N +
Положим теперь г)=1/(х—1), так что г)«0. Применяя прин-
принцип переноса,
при всех Я g *R. Применяя лемму 6,
Из (Ь) следует, что правая часть бесконечно мала, следова-
следовательно, то же выполнено и для левой части. Поэтому
r)x»gxG")x D)
и из (а) следует, что S (ц + r\) x околостандартно.
Для завершения доказательства выберем ц > г), где т)'«0.
Так как l/ц бесконечно, то существует (по принципу пере-
переноса) некоторое m£*N — N, такое, что т—1<1/г)'^т и,
следовательно, l/m^ rf < \/(т—1). Так как т]'> г\, 1/т)'< 1/г)=
—%—1, то т—1 <х — 1; итак, т^к — 1.
Далее, легко проверить (нарисуйте, пожалуйста, последний
график!), что если n(-N(n>2) и 1/п< t < 1/(п—1), то
Применяя принцип переноса и лемму 6, имеем
Так как т—1 <т+1<х, то ввиду (Ь) правая часть (а сле-
следовательно, и левая часть) неравенства бесконечно мала.
Поэтому
S ([х + ц') х = А^+ч. (Г') х « £и+1 (Г') х « gx (Т') ^ « S (ц + Tj) *,
используя (Ь) и D).
Это завершает доказательство. ■
Как следует из предыдущей теоремы, заданным % £ R и
х£Н соответствует бесконечно малое rfc > 0, такое, что
§ 5. Некомпактные эрмитовые операторы 213
A) SCk + rfyx околостандартно,
B) ti>t$, Ti»0 влечет S(l + r))x&S(I + цх)х.
Мы опускаем верхний индекс К, если это не вызывает не-
недоразумений.
Теперь все готово для определения семейства операторов,
являющихся (как будет доказано) ортопроекторами в Н,
\Е (%)]%£#}, встречающегося в формулировке спектральной
теоремы. А именно, положим,
Лемма 14. Е (К) —ограниченный линейный оператор на Н.
Доказательство. Пусть х, у £ #. Тогда при г)жО имеем
Е (Я) х да S (к + г)) х при г) > у\х,
при Ti > Tiy,
при ц>
Следовательно, все три соотношения выполняются при любом
бесконечно малом г), которое > г\х, г\у, г\х+у. Так как S(A, + T})
линеен, то, используя такое т), имеем
Е {Щх + у)& Е (К)х + Е (К)у,
и "«" может быть заменено на "=", так как обе части стан-
стандартны.
Аналогично, при х$Н, а£С можно записать
при r\>r\ax,
и
аЕ (к) х да aS (К + г\) х при ц > г\х.
Следовательно,
Наконец,
так как |[S(n)||=l при всех \i£*R. Взяв стандартные части,
Лемма 15. Е* (к) = Е(к).
214 5 Гильбертово пространство
Доказательство. Пусть у = Е (К) х. Выберем ц > max \цх, цу]
и t]« 0. Тогда
где мы используем то, что S2(X-fn.) = S(^-fri), так как этот
оператор — ортопроектор. ■
Теорема 5.5. При каждом k£R Е (К) — ортопроектор в Н.
Доказательство. По теореме 2.5 и по предыдущим двум
леммам достаточно показать, что Е (К)—эрмитовый оператор.
Но это легко следует из выкладок, использующих непрерыв-
непрерывность скалярного произведения. Именно, пусть х, у£Н, и
пусть ц ж 0, У]>ч)х,г\у. Тогда
)x, у)
«(*, Е(К)у). t
Лемма 16, При цг < ц2
S(Th)-S(»U) = S(*li).
Доказательство. При ци гJ ^ /?, г)г < гJ, очевидно, имеем
An. W-A4lW = AntW
при K£R. Результат следует из принципа переноса и из опе-
операционного исчисления. ■
Лемма 17. Яр«
Доказательство. При [х = х результат следует из идемпо-
идемпотентности Е (ц). Пусть ^ < х. Выберем т) < tj^, г|^, т]^ W)x, г\ « 0.
Тогда
A) £(n)««S(n + T))jr,
B) £ (х) х « S (х + Ti) х.
Итак,
§ 5. Некомпактные эрмитовые операторы 215
где мы использовали лемму 16. в
Лемма 18. Т-Е (Я) = £ (К)-Т.
Доказательство. Заметим сначала, что ввиду операционного
исчисления
S &). Г = А; (Г) -T'^T'-h^T^^T'-S (£)
при всех £,£*R.
Пусть теперь х £ Н. Пусть г\ да 0, ц > t^.iir*. Тогда
£ (X) (Гх)
Лемма 19. Пусть нп—строго убывающая последователь-
последовательность, такая, что кп—>-К. Тогда Е(кп)х—*ЕСк)х при каж-
каждом х£Н.
Доказательство. Ввиду леммы 17 и теоремы 2.6 ^(x^+j)^
^.Е(кп). Следовательно, по лемме 14 из § 2 последователь-
последовательность {Е(хп)х\ n£N*\ сходится при каждом %£#. Следова-
Следовательно, достаточно показать, что для каждого х£Н выпол-
выполнено Е (xv) х iv E (К) х для некоторого бесконечного целого v.
Поэтому выберем положительные бесконечно малые т}„,
п— 1, 2, 3, ..., и т], для которых
где второе соотношение выполняется также для любого бес-
бесконечно малого > т]. Тогда, так как к < у,п для каждого п,
имеем
1
П П \П П ft
Для каждого п£Ы+ имеем
^s(xn+^)x—ECk)x ^
+ \\S(l + r\)x—E{K)x\\.
Поэтому
нечно малое.
216 5. Гильбертово пространство
Аналогично,
нечно малое.
Теперь по лемме 13
±) x-S(кп + г)п)
Следовательно, величина
с = ■•■ ' '
.±)х-Е(кп)х\\ E)
или ^0, или бесконечно мала при всех n£N + . Пусть сп оп-
определено, как в E), при всех n£*N + , и пусть dn = \cn\—с„.
Таким образом, если с„^0, то dn = 0, и если сл«0, то dn?nQ.
Следовательно, dn&0 при n£N+ и по теореме о продолжении
последовательности бесконечно малых dw«0 при всех п<ц,
где fi£*N — N. Выберем v£*N — N так, что v < [х и v< 1/т].
Это можно сделать, так как [х и 1/ti — положительные беско-
бесконечные гипердействительные числа. Следовательно, l/v<T],
так что £ (A.)x^S(A.4-r)')^» если t)' > 1/v. Кроме того, так
как х„—'^ и х„ > А., то имеем
Следовательно,
«О
> 1/v.
Поэтому
E(\)x&S[X+ (xv-%+-\ )x
Следовательно, из E)
= 6— cv,
где б ж 0. Так как б—cv^0, то cv должно быть бесконечно
малым. (Еслиcv < 0 иcv& 0, Todv = —2сл,^ь 0.)Итак, б — cv«0h
§ 5. Некомпактные эрмитовые операторы 217
Следовательно, окончательно
Е (xv) х « Е (к) х. и
Лемма 20. Пусть kx<k2<ks. Тогда
Доказательство. Положим
£(A-,)*«S(X, + ti)*, i = l, 2, 3,
где г) > 0, Ti « 0. Ввиду леммы 13,
IIS (К + Ч) x-S (К +1!) х Ц < || S (k3 + ti) х -S (kt + п) х ||.
Взяв стандартные части, получим требуемый результат. ■
Лемма 21. Пусть хп—+Х, гЗе х„>А. пр« есел: п.
£() £ (Я) H
Доказательство. Пусть {х„. |г б W + } — некоторая строго убы-
убывающая подпоследовательность последовательности \кп\ п £ Л? + }.
(Например, предположим, что кП1, ..., х„ определены, тогда
nft+1 может быть определено как наименьшее число > пк,
такое, что хЛа+1<х„а. Из условий следует, что такое nk+i
всегда существует.) По лемме 19 Е (х„) х —>- Е (к) х. Выберем
некоторое действительное е > 0. Тогда для некоторого i
\\Е(кп)х-Е(К)х\\<г.
Пусть п0 таково, что х„ < кщ при всех п > пп. Следовательно,
по предыдущей лемме, если п > п0, то
\\Е(кп)х-Е(к)х\Ш\Е(кп)х-Е(к)х1<г.
То есть £ (кп)х—>-Е (к)х. т
Мы доказали в точности C) из спектральной теоремы,
сформулированной в начале данного параграфа. A) совпадает
с леммой 17, а B)—с леммой 18. Утверждения D) и E)
включают в себя числа а, Ь, определенные в формулировке
теоремы. Доказательство D) содержится в следующих леммах:
Лемма 22. Если к>Ь, то Е(к) = 1.
Доказательство. Предположим, что к > Ь, но Е (к) Ф I.
Так как Е (к)—ортопроектор, то E(k) = PF для некоторого
замкнутого линейного подпространства F пространства Я.
Следовательно (см. следствие 2.3), /—Е (к) = Рр1 Ф 0 и по-
поэтому Р^Ф {0}. Итак, пусть %£ F1 и ||xl|= 1. Так как %£ FL, то
= х а Е(К)х = 0,
218 5. Гильбертово пространство
Имеем
для некоторого положительного г\ ж 0. Пусть W = {i
Тогда
х — х—Е (к)х
2
2
г=1
Используя спектральное разложение Т' и то, что х стандарт-
стандартно, имеем
= 2 hpfx-
jew
Вспоминая определение W и используя непрерывность ска-
скалярного произведения, получим
(Тх, х)« ( 2 Л,Р,х, 2 Ptx)
\iew iew J
= tJlh(Ptx, Ptx)
2ll
Итак, взяв стандартные части, имеем (Тх, x)^k>b. Так как
b= sup (Тх, х), мы пришли к противоречию. ■
§ 5. Некомпактные зрмитоеые операторы 219
Лемма 23. Е(Ь) = 1.
Доказательство. Пусть х„>6, кп—+Ь (например, -лп —
=&A + 1/п)). По лемме 22 £(хи)л: = х при всех п и всех %£#.
Следовательно, по лемме 21 (или даже по лемме 19) Е(Ь)х = х
при всех х£Н. т
Лемма 24. £сл« X < а, то £ (X) = 0.
Доказательство. Предположим, что X < а, но £(Х)^0.
Тогда Е(К) = РР для некоторого замкнутого подпространства
F=£{0\. Пусть %6F и ||х|=1. Выберем подходящее положи-
положительное г) «0, такое, что Е (>i) = oS(A, + т)). Положим W =•
= {г IX,,- < ?v+ii}- Так как x£F, то
д; = £ (К) х
fv S (Я + Ti) х
= 2 Р,х
= S
Поэтому х « 2 •Р(л:-
Так как д; стандартна, то
= 2 ^-Р/ ( 2
= 2 а-Л*.
Поэтому
2
Поэтому, взяв стандартные части, получим
(Гд;, д;)<X < а.
Так как II л: 11= 1, то это противоречит тому, что а= inf Gлг, дг).
у * ц=1
220 5. Гильбертово пространство
Последние три леммы дают D) из спектральной теоремы.
В заключение дадим
Доказательство E). Пусть е—действительное число, е > 0.
Разобьем интервал [а—h, b] следующим образом:
а—h — щ < »! < и2 <...< uk — b,
где и{+1 — it; < е/2. Выберем промежуточные точки г(, м,- </",-<
^ и,-+1. Соответствующей суммой Римана—Стильтьеса является
1 = 0
Для завершения доказательства надо показать, что ||5 — Т\\ < е.
Однако при вычислении S — T нам надо использовать
спектральное разложение 7" в терминах собственных значе-
значений {^f|l^t^v}, и, как мы видели, все эти собственные
значения лежат в интервале */ = *[—\\T\\, \\T\\]. По лемме 1
интервал [а — h, b] содержится в интервале [—\\T\\-h, ||Т||].
Следовательно, мы расширяем разбиение {«,-|0<t<fe[ интер-
интервала [а—h, b] до разбиения
\\т\\ h — t <* t ^ <? t —II Til
I! * II " — (o ^ l\ ^ • • • ^ ln — II * II
добавлением дополнительных точек, если требуется, слева от
а—h и справа от b таким образом, что tJ+1 — ^ < е/2 при
/ = 1, 2, ..., п. Мы положим tj ^ Sj ^ ^+1, / = 0, 1, ..., п— 1,
где sj — ri при tj = Ui и ^+1 = м,-+1. Тогда
/=0 /=0
п-1
1 = 4
где tp+1 — a — h и tq = b. Но по лемме 24
J] Sj (E (tJ+1)~E (*,)) = 2 S/ @-0) = 0
и по леммам 22 и 23
2 sy(£(fy+1)-£(^))= Sjil-l^Q.
§ 5. Некомпактные эрмитовые операторы 221
Следовательно,
Пусть х£Н и (|х||=1. Пусть г\« 0 — такое положительное
число, что
£'(//)a:«S(// + ti),v при / = 0, 1, ..., п.
Пусть
п-\
= 0, 1, ..., га—1. Тогда (J
Также
Итак,
iX = 2 2 pi
v «-I
Л-1
/=0
2 s/ 2
o iW
-"s 2
v} и
C= 2 P^C.
Пусть Ц( =
Поэтому
n-1
2 У (s,—M
—ЯЛ где s, выбрано так, что t^W7,-. Так как
И 0 + 1l<:>l^0+i + rl' Имеем 1Г< /2 +
2 ViPi*
222 5. Гильбертово пространство
Таким образом,
Наконец, так как х—произвольная точка в Н, такая, что
|л:||=1, то имеет место равенство
IS — T\= sup \\Sx-
11*11=1
4
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Конечно, приводимый ниже краткий список не имеет ничего общего
с полной библиографией по нестандартному анализу. Мы отсылаем чита-
читателей к библиографиям работ [5], [6] и [15]. Добавлено при корректуре:
полная библиография подготовлена Д. Рандольфом Джонсоном (D. Randolph
Johnson) и издана как Lecture Notes in Mathematics No. 3, Department
of Mathematics and Statistics of the University of Pittsburg. Читателей,
кроме того, заинтересует книга Кейслера (Н. Jerom Keisler) Elementary
Calculus1) и сопровождающее ее руководство для преподавателей Founda-
Foundations of Infinitesimal Calculus, вышедшие в издательстве Weber & Schmidt,
Prindle A976), а также книга Строяна (К. D. Stroyan) и Люксембурга
(W. A. J. Luxemburg) Introduction to the Theory of Infinitesimals, Aca-
Academic Press A976).
1. Белл и Сломсон (Bell J. L., Slomson А. В.). Models and Ultraproducts.
North-Holland, 1269.
2. Бернстейн (Bernstein Allen R.). The Spectral Theorem — a Non-Standard
Approach.—2. Math. Logik Grundlagen Math., 1972, v. 18, p. 419—434.
3. Бернстейн (Bernstein Allen R.), Non-Standard Analysis, в: Studies in
Model Theory, M. D. Morley, Ed. Studies in Mathematics, 1973, v. 8,
p. 35—58.
4. Люксембург (Luxemburg W. A. J.), Non-Standard Analysis, Lectures
on Robinson's Theory of Infinitesimals and Infinitely Large Numbers.
Pasadena, 1962 and revised edition, 1964.
5. Люксембург (ред.) (Luxemburg W. A. J. (Ed.)). Applications of Model
Theory to Algebra, Analaysis and Probability Theory. Proceedings of
an International Symposium on Nonstandard analysis. Holt-Rinehart
and Winston, 1969.
6. Люксембург (ред.) (Luxemburg W. A. J. (Ed.)). Contributions to Non-
Standard Analysis. Symposium at Oberwolfach, 1970, North-Holland,
1972.
7. Люксембург (Luxemburg W. A. J.). What is Nonstandard Analysis?.
B: Papers in the Foundations of Mathematics.—Amer. Math. Monthly,
1973, v. 80, № 6, Part II, p. 38-67.
8. Маховер и Хиршфелд (Machover Moshe, Hirschfeld Joram). Lectures
on Non-Standard Analysis, Lecture Notes in Mathematics, No. 94,
Springer-Verlag A969).
9. Парик (Parikh Robert). A Nonstandard Theory of Topological Groups.
В [5], 279—284.
10. Робинсон (Robinson Abraham). Non-Standard Analysis, Studies in Lo-
Logic and the Foundations of Mathematics, North-Holland, 1966.
П. Робинсон (Robinson Abraham). Nonstandard Theory of Dedekind Rings.—
Indag. Math., 1967, v. 29, p. 444—452.
') Рецензия Б. М. Шайна на эту книгу опубликована в бюллешне
„Новые книги за рубежом сер. А', 1978, № 9.— Прим. ред.
224 Список литературы
12. Робинсон и Закон (Robinson Abraham, Zakon Elias). A Set-Theoretical
Characterization of Enlargements, в [5], p, 109—122.
13. Халмош (Halmos Paul R.). Measure Theory, Van Nostrand A950).
[Русский перевод: Халмош П. Теория меры. Пер. с англ.—М: ИЛ,
1953.]
14. Халмош (Halmos Paul R.). Finite-Dimensional Vector Spaces, 2nd
edit., Van Nostrand A958). [Русский перевод: Халмош П. Конечно-
Конечномерные векторные пространства. Пер. с англ.—М: Физматгиз, 1963.1
15. Хард (ред.) (Hurd Albert (Ed.)). Victoria Symposium on Non-Standard
Analysis. Lecture Notes in Mathematics, N° 369, Springer-Verlag, 1974.
16. Хауснер (Hausner Melvin). On a Non-Standard Construction of Haar
Measure. Comm. Pure Appl. Math., 1972, v. 25, p. 403—405.
СЛОВАРЬ СПЕЦИАЛЬНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
? (А) Множество-степень множества А 29
<а, Ь) Упорядоченная пара а и Ь 29
. ■, х„> Упорядоченная п-ка 30
g[C] Образ С относительно g 30
Af Множество натуральных чисел 31
N+ Множество положительных целых чисел 31
U-X; Объединение индексированного семейства мно-
жеств 31
П Х[ Пересечение индексированного семейства мно-
жеств 31
ДХ,- Декартово произведение индексированного се-
16/
мейства множеств 31
|xf Мера, порожденная ультрафильтром F 35
S Суперструктура с индивидами S 37
r\s Совпадает с r(s), когда это последнее опреде-
определено 40, 41
п. в. Почти всюду 41
2и Язык, соответствующий универсуму U 47, 48
|(л|у Значение в U замкнутого терма ц из 2?v 50
U\=.a Предложение а истинно в U 50
Предложение а ложно в U 50
J? Язык, соответствующий стандартному универ-
универсуму 51
*3? Язык, соответствующий нестандартному уни-
универсуму 51
•Я Образ терма или формулы языка 2? в %3! 52
•Л Подмножество нестандартного универсума, соот-
соответствующее определимому подмножеству А
стандартного универсума 57, 58
Q Упорядоченное поле рациональных чисел 74
226 Словарь специальных обозначений
F, I Множество конечных и множество бесконечно
малых элементов
упорядоченного поля 77, 78
гипердействительных чисел 87
х»(/ х бесконечно близко к у 78, 111, 126
°х Образ x£F при естественном гомоморфизме
в F/I 79
Стандартная часть гипердействительного чис-
числа х 87
°р Стандартная часть околостандартной точки 126
R Упорядоченное поле действительных чисел 85
R+ Множество положительных действительных чи-
чисел 89
[а, Ь] Замкнутый промежуток с концами а, Ь 90
sn (x) =£ s (x) sn (x) равномерно сходится к s (x) 95
f~ ё Локальные отображения /, g эквивалентны
97, 158
6 Семейство открытых множеств топологического
пространства 110
вр Семейство открытых окрестностей точки р
110—111
ц(р) Монада точки р 111
р (х, у) Расстояние между х и у в метрическом прост-
пространстве 124
Вр{г) Открытый шар с центром р и радиусом г 124
\\x\\ Норма х 142
Пространство непрерывных отображений дей-
действительного отрезка в банахово пространст-
пространство SB 151
3* Нормированное линейное пространство ступен-
ступенчатых функций на действительном отрезке 152
F Сопряженное к г число 162
(й, Ь) Скалярное произведение а и b в унитарном
пространстве 162
8Ц, Символ Кронекера 163
а]_Ь а перпендикулярно Ь 163
I2 Гильбертово пространство бесконечных после-
последовательностей комплексных чисел 164
Словарь специальных обозначений 227
Упорядочение эрмитовых операторов на уни-
унитарном пространстве 163
Р„ Проекция /2 в «-мерное подпространство 170
tk) Линейное пространство, натянутое на /х, ..., tk
172
Е Замыкание подпространства £ 173
Рв Оператор проектирования на замкнутое линей-
линейное подпространство Е 174
Е± Ортогональное дополнение замкнутого линей-
линейного подпространства Е 174
Aj_B Подпространства А и В ортогональны 176
Прямая сумма ортогональных замкнутых под-
подпространств 176
W Множество индексов, соответствующих беско-
бесконечным собственным значениям 198
ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома выбора (axiom of choice) 33, 118
Арцела — Асколи теорема (Arzela — Ascoli theorem) 139
База топологического пространства (basis of a topological space)
116, 117
Базис унитарного пространства (basis of a unitary space) 165,
166, 190
— фильтра (of a filter) 34, 35, 64
Банаха предел (Banach limit) 104—105
Банахово пространство (Banach space) 142, 151—158
Белл (Bell, J. L.) 54, 223
Бернстейн (Bernstein, Allen R.) 183, 203, 223
Бернстейна—Робинсона теорема (Bernstein— Robinson theorem)
25, 184
Бесконечно малое в нормированном линейном пространстве
(infinitesimal, in a normed linear space) 143
— упорядоченном поле (in an orderd field) 78
— — как идеальный элемент (as ideal element) 25—26
Больцано—Вейерштрасса теорема (Bolzano—Weierstrass theo-
theorem) 129, 147
Взаимно однозначная функция (one—one function) 30
Выражение (expression) 48
Высказывание (sentence) 49
Гейне—Бореля теорема (Heine—Borel theorem) 147
Гильбертово пространство, определение (Hilbert space, defeni-
tion of) 165
■ ортогональная проекция в нем (orthogonal projection in)
172-183
Предметно-именной указатель 229
— — ортогональное дополнение замкнутого подпространства
(orthogonal complement of a closed subspace of,) 174
прямая сумма подпространств в нем (direct sum of sub-
spaces of) 176, 177
— — сепарабельное (separable) 166
Гипердействительные числа (hyperreal numbers) 87
Г рама—Шмидта процесс (Gram —Schmidt process) 181, 190
Грань верхняя (upper bound) 76
— наименьшая верхняя (least upper bound) 76
Дарбу (Darboux, Gaston) 101
Де Моргана тождества (De Morgan identities) 32, 36
Дедекинда теорема (Dedekind's theorem) 83
Действительные числа, существование и единственность (real
numbers, existence and uniqueness of,) 85—86
Декартово произведение (Cartesian product) 31, 116—118
Джонсон (Jonson, D. Randolph) 223
Дини (Dini, Ulisse) 134
Дифференциал (differential) 98—99, 160
Евклидово /г-мерное пространство (Euclidean n-space) 147, 161
Закон (Zakon, Elias) 37, 223
Замкнутое множество (closed) 112
Идеальный элемент (ideal element) 25—26
Имя (name) 48
Индивид как не множество (individual, as nonset) 29, 36
— нестандартный (nonstandard) 44, 66
— стандартный (standard) 44
Интегрирование (integration) 151—158
Истина, определение (truth, defenition of,) 50
Квантор существования (existential guantifier) 49
Кейслер (Keisler, H. Jerome) 223
Компактное множество (compact set) 113
— отображение (compact map) 140—141
Коши (Cauchy, Augustin) 101
Кронекера символ (Kronecker's delta) 163
230 Предметно-именной указатель
Лейбниц (Leibniz G.) 25, 26, 97, 99
Линейный оператор идемпотентный (linear operator idempo-
tent) 178
— — компактный (compact) 148, 194
— — конечного ранга (of finite ran) 171
— — непрерывный (continuous) 145
— — ограниченный (boundeed) 144
— — околостандартный (near standard) 207
— — ортопроектор (progection) 178—179
— — полиномиально компактный (polynomially compact) 183
— — самосопряженный (self adjoint) 163
— — эрмитов (hermitian) 163, 195
— функционал (linear functional) 144
Логика (logic) 26, 27—28
Локально линейное отображение (locally linear map) 97, 158—159
Лося теорема (Los theorem) 47, 51, 52, 53, 54, 55, 56
Люксембург (Luxemburg W. A. J.) 101, 102, 223
Маховер (Machover, Moshe) 37, 223
Мера Лебега (measure Lebesgue) 106—109
— порожденная ультрафильтром (induced by an ultrafilter)
35—36, 41, 72
— существование меры Хаара (existence of Haar) 121 —124
Метрика (metric) 124
Метрическое пространство, конечная точка в нем (metric space,
finite point in) 126
— — ограниченное подмножество в нем (bounded subset) 126
определение (defenition of) 124
— — открытый шар в нем (open ball in) 124
полное (complete) 130, 131, 142
— — расстояние в нем (distance in) 124
— — теорема Больцано —Вейерштрасса в нем (Bolzano —
Weierstrass theorem in) 129
Микронепрерывность (microcontinuity) 134, 192
Минковского неравенство (Minkowski's inequality) 147, 164, 170
Множества отделенные (sets, separated) 121
Множество (суперструктуры) (set of a superstructure) 37
— внешнее (set, external) 27, 69, 70, 71, 72, 109, 198
— внутреннее (internal) 27, 69—72
— индексов (index set) 31, 38
— транзитивное в суперструктуре (transitive in a superstruc-
superstructure) 37, 38, 45
Монада (monad) 111
Натуральные числа (natural numbers) 31
Предметно-именной указатель 231
Натуральные числа бесконечные (finite) 67
конечные (infinite) 67
Неотрицательные целые числа (nonnegative integs) 31
Непрерывность действительной функции (continuity, of a real
function) 90
— отображения топологического пространства (of maps bet-
between topological spaces) 115
— равномерная (uniform) 93, 134
— равностепенная (eguicontinuity) 135—136, 139
— £-5 137
— * 137 См. также Микронепрерывность
Норма (norm) 142
Область определения (domain) 30
Образ (image) 30
Объединение (union) 31
Околостандартная точка (near standard point) 113
Операционное исчисление (operational calculus) 205
Отдаленная точка (remote point) 113, 132
Открытая окрестность (open neighborhood) 111
Открытое множество (open set) 110
Отношение направленное (relation concurrent) 63, 72
— область определения (domain of) 30
Отображение (mapping) 30 (см. также функция)
Парик (Parikh, Robert) 121, 223
Переменная свободная (variable, free) 49
— связанная (bound) 49
Пересечение (intersection) 31
Пифагора теорема (Pythagorean theorem) 172
Подмножество определимое (definable [subset) 50—51, 56—57
Пойа (Polya, G.) 102
Поле архимедово упорядоченное (field, Archimedian orderd)
75, 76
— неархимедово упорядоченное (non-archimedian orderd) 26,
75, 77—80, 81
— полное упорядоченное (complete ordred) 76, 84
— упорядоченное (orderd) 73—80
Полужирный шрифт, использование (boldface, use of) 48
Последовательность бесконечная (sequence, infinite) 31
— конечная (finite) 31
— Коши (Cauchy) 129
Почти всюду (п. в.) (almost everywhere (a. e.)) 41
232 Предметно-именной указатель
Почти иаддиагональная матрица (almost superdioganal matrice)
185—186, 190
Предел точек в действительных числах (limit points, in the
real numbers) 89
в метрическом пространстве (in a metric space) 128
Предельная точка (limit point) 90
Принцип переноса (transfer principle) 27, 56, 72
Производная функции (derivative of function) 99
Протяженность (content) 122
Равномерная сходимость (uniform convergence) 95—96, 132—134
Радиус (radius) 124
Рассел (Russell, Bertrand) 37
Рациональное число двоичное (rational number, linary) 107
Pucca—Фишера теорема (Reiz—Fischer theorem) 167
Робинсон (Robinson, Abraham) 37, 63, 99, 223
Cere (Szego, G.) 102
Семантика (semantic) 49—51
Семейство индексированное (indexed family) 31
Символ (symbol) 47
Скалярное произведение (inner product) 162
Сломсон (Slornson А. В ) 54, 223
Собственное значение (eigenvalue) 195
Собственный вектор (eigenvector) 195
Спектральная теорема (spectral theorem) 200, 202, 203
Спектральное разложение (spectral resolution) 197, 200, 202, 203
Стандартная часть в метрическом пространстве (standard part,
in a matric space) 126
— — конечного гипердействительного числа (of a finite hyper-
real number) 87
Строян (Stroyan К. D.) 223
Степень-множество (power set) 29
Ступенчатая функция (step function) 151
Суперструктура (superstructure) 37—41
Теорема направленности (concurrence theorem) 27, 63, 64—65
См. также отношение направленное
— о внутренних множествах (internality theorem) 69, 72
— функциях (internal function theorem) 71
— — дифференцировании сложной функции (chain rule) 100
— — продолжении последовательности бесконечно малых
(infinitesimal prolongation theorem) 94, 95, 133, 170
Предметно-именной указатель 233
Теорема об аппроксимации (approximation theorem) 139,
140, 150
инвариантности (invariance theorem) 187, 192
— — отдаленности (remoteness theorem) 132
Теоремы о продолжениях (prolongation theorems) 94—97
Терм (term) 48
Тихонова теорема (Tychonoff's theorem) 118
Тождество параллелограмма (parallelogram identity) 172
Топологическая группа локально компактная (topological group,
locally compact) 121
определение (defenition of) 112
Топологическое пространство (topological space) 110—114
Транзитивное множество (transitive set) 37, 38, 45
Ультрафильтр (ultrafilter) 32—36, 64
Универсум нестандартный (universe, nonstandard) 27,41—44, 57
— общее понятие (general notion of) 41, 45
— стандартный (standard) 27, 42, 57, 71
Унитарное пространство, инвариантное подпространство в нем
(unitary space, invariant subspace in) 184
■ определение (defenition of) 162
ортонормальная последовательность в нем (orthonormal
sequence in) 163
— — перпендикулярные точки в нем (perpendecular points
in) 163
Шварца неравенство в нем (Schwarz inequality in) 162, 164
Упорядоченная пара (orderd pair) 29
— и-ка 30
Фильтр (filter) 32—36
Фон Нейман (Von Neumann, John) 36, 184
Формула (formula) 48
Фредгольма оператор (Fredholm operator) 148—151
Функция дифференцируемая (function, differentiable) 98, 161
— допустимая (admissiable) 121
— компактная (compact) 140
— определение (notion of) 30
— слабо аддитивная (weakly additive) 122. См. также Непре-
Непрерывность
Халмош (Halmos, Paul) 122, 162, 223
Хард (Hurd, Albert) 223
Хаусдорфово пространство (Наusdorf space) 111, 118
Хауснер (Hausner, Melvin) 121, 223
Хиршфельд (Hirschfield, Jorarn) 37, 223
Хэвисайда единичная функция (Heaviside unit function) 211
234 Предметно-именной указатель
Целое бесконечное (integer, infinite) 66—68
— блок бесконечных (block of infinite) 67—68, 72
Центр открытого шара (center of open ball) 124
Цорна лемма (Zorn's lemma) 33
Эквивалентность локальных отображений (equivalence, of local
maps) 97, 158
Элемент нестандартный (element, nonstandard) 44
— бесконечный (infinite) 77
•— конечный (finite) 77
— поля бесконечно малый (element of field, infinitesimal) 78
— стандартный (standard) 44
Элементы поля бесконечно близкие (elements of field, infini-
infinitely near) 78
Язык (language) 47—49, 72
ОГЛАВЛЕНИЕ
В. А. Успенский. О нестандартном анализе 5
Предисловие 22
Введение 25
§ 1. Зачем нужен нестандартный анализ? 25
§ 2. Бесконечно малые как идеальные элементы 25
§ 3. Роль логики 26
§ 4. Три техники 27
§ 5. Математическая логика и строгость 27
§ 6. Нумерация теорем 28
1. Универсумы и языки , 29
§ 1. Множества и отношения 29
§ 2. Фильтры 32
§ 3. Индивиды и суперструктуры 36
§ 4. Универсумы 41
§ 5. Языки 47
§ 6. Семантика 49
§ 7. Теорема Лося 51
§ 8. Направленность, бесконечные целые числа, внутренние
множества 62
§ 9. Резюме 71
Упражнения 72
2. Действительные числа и гипердействительные числа 73
§ 1. Упорядоченные поля 73
§ 2. Нестандартная теория архимедовых полей 81
§ 3. Действительные числа 85
§ 4. Гипердействительные числа 87
§ 5. Действительные последовательности и функции 88
§ 6. Теоремы о продолжении 94
§ 7. Нестандартное дифференциальное исчисление 97
§ 8. Аддитивность 101
§ 9. Существование неизмеримого множества 106
Упражнения 109
3. Топологические и метрические пространства ПО
§ 1. Топологические пространства 110
§ 2. Отображения и произведения 115
§ 3. Топологические группы 118
§ 4. Существование меры Хаара 121
§ 5. Метрические пространства 124
§ 6. Равномерная сходимость 132
§ 7. Равномерная непрерывность и равностепенная непрерывность 134
§ 8. Компактные отображения 140
236 Оглавление ■
4. Нормированные линейные пространства 142
§ 1. Линейное пространство 142
§ 2. Компактные операторы 148
§ 3. Интегрирование функций, принимающих значения в бана-
банаховом пространстве 151
§ 4. Дифференциальное исчисление 158
5. Гильбертово пространство 162
§ 1. Унитарные пространства 162
§ 2. Ортогональные проекции 172
§ 3. Теорема Бернстейна—Робинсона 182
§ 4. Спектральная теорема для компактных эрмитовых опера-
операторов 194
§ 5. Некомпактные эрмитовые операторы 203
Список литературы , 223
Словарь специальных обозначений 225
Предметно-именной указатель 228