/
Text
ДИ Раскатов
по ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
и ЭЛЕКТРО¬
ОБОРУДОВАНИЮ
!
А. И. РАСКАТОВ
ЗАДАЧНИК
ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
И ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЮ
ТРЕТЬЕ ИЗДАНИЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва 1964
6П2.1
Р.24
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Книга содержит задачи по электротехнике, теорети¬
ческим основам электротехники, электрическим маши¬
нам, электрическим сетям и электроприводу. В каждом
разделе книги даны краткие пояснения и формулы для
решения задач. В конце книги помещен справочный
материал, к которому приходится прибегать при ре¬
шении задач.
Задачник предназначен в качестве учебного пособия
для техникумов системы профессионально-технического
образования. Кроме того, он может быть использован
в качестве учебного пособия для отраслевых промыш¬
ленных техникумов.
Все отзывы и предложения просим направлять по
адресу: Москва, И-51, Неглинная ул. t 29[14, издатель¬
ство «Высшая школа».
ВВЕДЕНИЕ
Современное развитие электротехники и внедрение ее во все
области народного хозяйства требуют все большего увеличения
мощностей электростанций, построения сотен тысяч километров
высоковольтных магистральных и распределительных сетей во
всех районах страны.
Без достаточно глубоких знаний основных законов электро¬
техники и ясного представления о физических процессах в
электрических установках, машинах, аппаратах нельзя улуч¬
шить технологию производства, применить новые методы конт¬
роля, измерений и т. д.
Для более прочного усвоения курсов электротехники, теоре¬
тических основ электротехники, электрических измерений, элек¬
трических машин и т. д. и предназначен настоящий зада¬
чник.
Все задачи и примеры в настоящем учебном пособии даны
с ответами, наиболее типовые и сложные из них — с решениями.
В начале каждой главы задачника приведены краткие объясне¬
ния и основные формулы.
В конце задачника имеются справочные таблицы, которые
необходимы для решения задач.
Во всех задачах, где не указана частота переменного тока,
последняя принимается равной 5Ô гц.
Цифровые данные, приведенные в задачах, в большинстве
случаев взяты из практики.
3
В третьем издании задачника в отличие от второго в текст вне¬
сены коррективы в соответствии с новыми ГОСТ, переработаны
электрические схемы согласно ГОСТ 7624—62, помещено не¬
сколько новых задач и т. д.
Глава первая
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Электрическим током называется явление движе¬
ния заряженных частиц.
Величина электрического тока определяется электрическим
зарядом проходящим через поперечное сечение проводника в
1 сек., т. е.
(1)
с
где I — ток в проводнике, а\
q — электрический заряд, к;
t — время, сек.
Постоянным электрическим током назы¬
вается электрический ток, значение которого не изменяется во вре¬
мени.
Плотность тока равна отношению тока к площади по¬
перечного сечения проводника:
<3 = -, (2)
$
где Ô — плотность тока, а/м?\
s — площадь поперечного сечения проводника, м*.
Обычно на практике площадь поперечного сечения проводни¬
ков измеряется в мм2, поэтому плотность тока выражается в
а/мм2.
2. ЗАКОНЫ ФАРАДЕЯ
Первый закон Фарадея. Весовое количество веще¬
ства, выделяемого на электродах при электролизе, пропорцио¬
нально электрическому заряду, прошедшему через электролит:
G = cq = clt, (3)
* Вместо термина «электрический заряд» часто употребляется термин
«количество электричества».
5
где G — весовое количество вещества, мг\
с — коэффициент пропорциональности, называемый элек¬
трохимическим эквивалентом, мг/к.
Электрохимический эквивалент выражает весовое коли¬
чество вещества, выделяющегося при прохождении через
электролит электрического заряда, равного одному
кулону.
Второй закон Фарадея. При прохождении одного и
того же электрического заряда через различные электролиты
весовые количества выделяющихся веществ пропорциональны их
химическим эквивалентам.
Так как отношение электрохимического эквивалента с к хими-
^4
ческому эквиваленту — равно постоянному числу 0,01036, т. ѳ.
— = 0,01036
А
п
или
с = 0,01036—, (4)
п
то оба закона Фарадея можно выразить математически одной
т формулой:
Рис. 1
д
G = clt = 0,01036 —П, (5)
п
где А — атомный вес;
п — валентность;
А
химический эквивалент
п
вещества.
3. ЗАКОН ОМА
Закон Ома для замкнутой ц е п и. Ток, проходящий
по цепи (рис. 1), пропорционален электродвижущей силе (э.д.с.)
источника электрической энергии * и обратно пропорционален со¬
противлению всей цепи:
* Вместо термина «источник электрической энергии» употребляются так¬
же термины «источник энергии», или просто «источник». Источником электри¬
ческой энергии может быть источник напряжения (э.д.с.) или источник тока.
В первом случае источник электрической энергии характеризуется величиной
э.д.с. и внутренним сопротивлением. Во втором случае источник электриче¬
ской энергии характеризуется величиной тока в нем и внутренней проводи¬
мостью. Источниками электрической энергии могут быть гальванические
элементы, аккумуляторы, генераторы и т. п.
6
I = (6)
или г + rQ
Е = ri + гвЦ (7)
где Е — электродвижущая сила источника электрической энер¬
гии, в\
г — сопротивление внешней цепи, ом\
гв— внутреннее сопротивление источника электрической
энергии, ом\
гі — падение напряжения во внешней цепи, в\
гвІ — падение напряжения внутри источника электрической
энергии, в.
Так как падение напряжения гі во внешней цепи равно напря¬
жению U на зажимах источника электрической энергии, то фор¬
мулу (7) можно представить так:
Е = U + rtI. (8)
Закон Ома для пассивного участка (для
участка цепи, не содержащего э. д. с.) электрической цепи.
Ток 7, проходящий по участку цепи (рис. 1), пропорционален
напряжению £7, приложенному к участку цепи, и обратно пропор-»
ционален его сопротивлению г:
/ = -, (9)
Г
где U — напряжение на данном участке цепи, в*
Ь. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ
ПРОВОДИМОСТЬ
Электрическое сопротивление, или просто
сопротивление, проводника пропорционально его длине, обратно
пропорционально площади поперечного сечения проводника и
зависит от материала, из которого он сделан:
г = е±, (10)
Я
где I — длина проводника, м\
Q — удельное сопротивление материала проводника, ом-мм^м.
Удельная электрическая проводимость,
или просто удельная проводимость, является обратной величиной
удельного сопротивления:
Y=-, (И)
е
где у — удельная проводимость, м/ом-мм2л
1
В этом случае формула (10) примет следующий вид:
г=±. (12)
ys
Электрическая проводимость, или просто про¬
водимость, является обратной величиной сопротивления провод¬
ника:
где g — проводимость, і/ом.
Зависимость сопротивления проводника от температуры опре¬
деляется по формуле
г2 = Гі [1 + а (-02 — (14)
где г2— сопротивление проводника при температуре Ф2, ом;
гг — сопротивление проводника при температуре ом;
а — температурный коэффициент сопротивления, т. ѳ. отно¬
сительное изменение сопротивления проводника, делен¬
ное на разность температур.
Температурный коэффициент сопротивления металлов поло¬
жителен, а угля и электролитов отрицателен, т. е. с повышением
температуры сопротивление угля и электролитов уменьшается.
5. РАБОТА (ЭНЕРГИЯ) И МОЩНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА
Если за промежуток времени t через поперечное сечение про¬
водника переносится электрический заряд g, то работа на данном
участке проводника равна:
А = Uq, (15)
где А — работа электрического тока, дж.
Так как q = It,
то А = Ult. (16)
Работа (энергия), развиваемая источником электрической
энергии, определяется по формуле
Ар = Eq = Elt, (17)
где Ар — работа (энергия), развиваемая источником электриче¬
ской энергии, дж.
Работа (энергия) электрического тока измеряется в джоулях
или ватт-секундах. Джоуль и ватт-секунда обозначаются через
дж и вт-сек. Так как на практике время обычно выражают в ча¬
сах, то работа (энергия) электрического тока измеряется в ватт-
часах (втп-ч), гектоватт-часах (гвт*ч) и киловатт-часах (квт-ч).
Мощность электрического тока есть работа,
произведенная в единицу времени, т. е. отношение электрической
8
работы А ко времени Z, в течение которого эта работа была произ¬
ведена:
Р= — = иі = ГІ2 = —, (18)
t г
где Р — мощность, вт.
На практике, кроме единицы измерения мощности ватт, при¬
меняются также киловатт (1 иетп=1000 вт) и мегаватт (1 Мвт =
= 10в вт).
Закон Ленца —Джоуля. Количество тепла Ç, выде¬
ляемое при прохождении электрического тока I через сопротив¬
ление г, пропорционально квадрату тока, сопротивлению и време¬
ни t прохождения тока:
ГТ2
Q= 0,24Izrt = 0,2WIt = 0,24 — t, (19)
Г
где Q — количество тепла, кал.
6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ПРИЕМНИКОВ И ИСТОЧНИКОВ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Последовательным соединением прием¬
ников (участков электрической цепи) называется такое соеди¬
нение, при котором через все участ¬
ки цепи проходит один и тот же ток
(рис. 2).
При последовательном соединении
приемников напряжение, приложен¬
ное к цепи, равно сумме напряжений
на зажимах отдельных приемников:
U = U, + U2 + . . . + Un. (20)
где U — напряжение, прило¬
женное к цепи, в\
Uv U2, ..., Un— напряжения на за¬
жимах отдельных
приемников, в.
Так как
Ui = rj, U2 = r2I Un = rnI.
то
U = rj + r2I +... + rnI = (Гі + r2 + ... + rn)l = rl,
если положить
Г = Гі + r2 + . . . + rn, (21)
г — эквивалентное сопротивление цепи, ом\
, ..., гп— сопротивления отдельных приемников, ом.
где
г2
9
Следовательно, эквивалентное сопротивление цепи при после¬
довательном соединении приемников равно сумме сопротивлений
отдельных приемников.
При последовательном соединении источников электрической
энергии (рис. 3) ток в цепи определяется по формуле
I^i + E2+...+Æn (22)
гві + Гв2 + .. . + Гвп + Г
где Еѵ Е2і и rel, re2, ..., гвп— э.д.с. и внутренние сопротив¬
ления отдельных источников
электрической энергии;
г — сопротивление внешней цепи,
ом.
г
Рис. 3
Если э.д.с. и внутренние сопротивления источников электри¬
ческой энергии одинаковы, то ток в цепи будет равен:
/=—, (23)
пгв + г
где п — число последовательно включенных источников электри¬
ческой энергии;
Е — э.д.с. одного источника электрической энергии;
гв— внутреннее сопротивление одного источника электриче¬
ской энергии.
7. ЗАКОНЫ КИРХГОФА
Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма
токов в узле * электрической цепи равна нулю:
к = п
2 Л = 0, (24)
К = 1
при этом токи, притекающие к узлу, считаются (условно) поло¬
жительными, а утекающие токи — отрицательными.
Второй закон Кирхгофа. Во всяком замкнутом
контуре алгебраическая сумма электродвижущих сил, действую-
* У злом электрической цепи называется место соеди¬
нения трех или большего числа ветвей.
10
щих в отдельных участках контура, равна алгебраической сумме
падений напряжений в сопротивлениях, входящих в этот контур:
к = п к = п
2 Ек= 2 ГКІК. (25)
к = 1 к — 1
Э. д. с. и токи, направленные по обходу контура, условно счи¬
таем положительными, а э. д. с. и токи, направленные против об¬
хода контура,— отрицательными.
8. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ПРИЕМНИКОВ И ИСТОЧНИКОВ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Параллельным соединением приемников
[участков (ветвей) электрической цепи] называется такое их соеди¬
нение, при котором все приемники (ветви) присоединены к одной
и той же паре узлов, т. е.
когда приемники находятся /
под действием одного и того
же напряжения (рис. 4).
Ток в неразветвленной
части цепи равен сумме то¬
ков отдельных приемников:
I = Iі + І2 + . . . + Ini (26)
где I — ток в неразветвлен¬
ной части цепи, а;
1Ѵ І2, ..., Іп — токи отдельных
Токи приемников равны:
Рис. 4
приемников, а.
т U тт
It = — = Ugt;
rt
т U TT
І2 — = Ug2,
(27)
n
= Ugn,
где rr r2, rn, gv g2, gn— сопротивления и проводимости от¬
дельных приемников.
Из уравнений (27) имеем:
I2 Гі g2
І2 =g2_
In Г2 gn'
(28)
it
т. e. токи в параллельных ветвях распределяются обратно про¬
порционально сопротивлениям или пропорционально проводимо¬
стям отдельных ветвей.
Подставляя
(26), получим:
значения токов из уравнений (27) в уравнение
U
»
г
если положить
(29)
где г — эквивалентное сопротивление цепи при параллельном со¬
единении приемников, ом.
Если вместо сопротивлений подставим проводимости, то
g = gi + gz + • • • + gny (30)
1
где g= эквивалентная проводимость цепи при параллель-
г
ном соединении приемников, і/ом.
Следовательно, эквивалентная проводимость цепи при парал¬
лельном соединении приемников равна сумме проводимостей от-
дельных приемников.
Если сопротивления парал¬
лельно включенных приемников
одинаковы, то эквивалентное со¬
противление цепи определяется
по формуле
п
(31)
Рис. 5 где п — число параллельно вклю¬
ченных приемников.
Эквивалентное сопротивление двух параллельно соединенных
приемников (рис. 5)
г — Г1Г2
П + г2 ’
Токи в параллельных ветвях (рис. 5) можно выразить через
ток I в неразветвленной части цепи. Так как L7=r/=r1/1=r2^2>
ТО ГіГ2
Іі=І — =ІГі + Гг=1 Гг ; (33)
И П п + г2
Г1Г2
(34)
Г? r2 Г, + r2
12
При параллельном соединении источни¬
ков электрической энергии с одинаковыми элект¬
родвижущими силами Ег=Е2 = ...=Еп—Е и внутренними сопро¬
тивлениями ^в1=гв2=...=гвп=гв (рис. 6) ток в цепи будет равен:
—. (35)
— +г
п
9. СМЕШАННОЕ СОЕДИНЕНИЕ ПРИЕМНИКОВ
Смешанным соединением приемников
(участков электрической цепи) называется такое их соединение,
когда часть приемников (участков) соединена параллельно и часть
последовательно (рис. 7).
Расчет такой цепи произво¬
дится следующим образом. Сна¬
чала определяем эквивалентное
сопротивление параллельных
ветвей по формуле
Г23=-^-. (36)
г2 +г3
Так как сопротивление г. Рис. 7
включено последовательно с со¬
противлением г23, то эквивалентное сопротивление всей цепи
будет (рис. 8) равно:
г = Гі +г23 = Г1 + ГгГз -. (37)
г2 +г3
Зная напряжение на зажимах всей цепи и ее сопротивление,
можно определить ток в неразветвленной части цепи:
(38)
Г
13
Напряжение на зажимах параллельных ветвей
U2 = ггзЦ. (39)
Токи в параллельных ветвях:
г
■*2 = .
Г2
I -U*
із •
Гз
(40)
10. СМЕШАННОЕ СОЕДИНЕНИЕ ГАЛЬВАНИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
И АККУМУЛЯТОРОВ
При смешанном соединении гальванических элементов * или
аккумуляторов ток в цени определяется по формуле
т пЕ
nrt
(41)
ш
где ш — число параллельных ветвей^
Наибольший ток получается при смешанном соединении эле¬
ментов тогда, когда внешнее сопротивление цепи равно внутрен¬
нему сопротивлению элементов:
г _ пг**
m
Число последовательно соединенных элементов в одной парал¬
лельной ветви
(42)
п =
Nr
(43)
* Первичных элементов. Вместо термина «гальванический элемент» бу¬
дем употреблять термин «элемент».
** Если обозначим через N общее число элементов батареи, то N = пгп,
отсюда уу
ш = — •
п
14
N
Подставляя в формулу (41) выражение т= — , получим:
т _
1 2«
„ , Гвп _ , гвп
г Ч
Æ
п
N
Для того чтобы получить максимальный ток I макс, необходимо
найти производную от этого выражения по п и приравнять ее
нулю:
е(г + ^ — 2—=0,
\ N nJ
откуда
ren2 г.га2 гвп
г = = = ,
N тіг иг
что и требовалось доказать.
Число параллельных ветвей
т = — , (44)
п
где N — число всех элементов в батарее.
И. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА СОПРОТИВЛЕНИЙ
В ЭКВИВАЛЕНТНУЮ ЗВЕЗДУ
Иногда при определении токов в сложных цепях встречаются
контуры, представляющие собой треугольник, вершинами кото¬
рого являются три узла, а сторонами — три пассивные ветви,
включенные между узлами (рис. 9, а).
Для упрощения расчетов треугольник сопротивлений заме¬
няется эквивалентной звездой (рис. 9, б). Это значит, что при не¬
изменных напряжениях между вершинами треугольника и концами
звезды токи в подводящих проводах должны быть одинаковыми.
Если прикладывать напряжение вначале к точкам Л и В, затем к
точкам В и С, наконец, к точкам С и Л, то
гА + гв = 2Ав.(5.вс+гСа) . (45>
ГАВ + Г ВС + ГСА
15
(46)
(47)
r rBc(rAB + T*Ca) ,
г в + rc = ;
rAB + r ВС + ГСА
r I „ rCA (rAB + rBC)
rA ~ГГС ; •
rAB + r BC + rCA
Складывая два из этих уравнений и вычитая третье, найдем
искомые сопротивления лучей эквивалентной звезды:
ГА
_ Г АВГ С А .
(48)
ГАВ + Г ВС + ГСА
Г г.
_ rABrBC
(49)
' в
Г АВ + г ВС + ГСА
Гс
_ Г ВСГСА
(50)
Г АВ + г ВС + ГСА
Если сопротивления треугольника одинаковы (глв=гвс=гсл=
= гд), то сопротивления эквивалентной звезды также равны, т. е.
Гл = Ц- (51)
и
12. РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИ ПОМОЩИ
ЗАКОНОВ КИРХГОФА
Электрические цепи, не сводящиеся к последовательному и
параллельному соединению приемников, называются слож¬
ными цепями.
Пусть заданы э. д. с. всех источников электрической энергии
и сопротивления всех ветвей. Найти токи в ветвях.
16
Если сложная цепь состоит из к ветвей и п узлов, то на основа¬
нии первого закона Кирхгофа составляем число уравнений n—1,
т. е. на единицу меньше числа узлов, так как уравнение для и-го
узла является следствием уже составленных (л—1) уравнений. Не¬
достающие уравнения составляем по второму закону Кирхгофа;
при этом контуры нужно выбирать так, чтобы каждый последую¬
щий контур отличался от предыдущих хотя бы одной новой ветвью.
На рис. 10 показана сложная электрическая схема, имеющая
пять ветвей и три узла. Задаемся произвольно положительными
направлениями токов. Так как данная цепь имеет три узла, то по
первому закону Кирхгофа составляем два уравнения для узлов
А и Е:
ІЗ = Іі + Іь или — /1 + h — І5 = 0; (52)
Л + Л = 12 или - I2 + I4 + Л = 0. (53)
Недостающие три уравнения составляем по второму закону
Кирхгофа для контуров АВС А, АЕСА и EDCE-.
Еі = г Ji + г3І3\ (54)
О = r3I3 + rjb — rjt- (55)
Еі = r2/2 + r4/4. (56)
Имея пять уравнений с пятью неизвестными токами, можно
их определить.
Если при решении уравнений получается отрицательная ве¬
личина для какого-либо тока, то это значит, что действительное
направление этого тока противоположно принятому за положи¬
тельное направление току.
Если в ветви, содержащей источник, ток и э. д. с. имеют проти¬
воположные направления, то данный источник будет потреблять
энергию от другого источника (работает в режиме нагрузки).
17
13. МЕТОД УЗЛОВОГО НАПРЯЖЕНИЯ
Этот метод применяется при определении токов в цепи, имею¬
щей два узла (рис. И). Примем положительными э. д. с. и токи
во всех ветвях, если они направлены от узла В к узлу Л. Напряже¬
ние между узлами А и В (узловое напряжение) равно разности
между э. д. с. и падением напря¬
жения в любой из ветвей:
Рис. 11
[7 Ек гк Ік,
где к — номер ветви.
Ток в любой ветви определяет¬
ся по формуле
Л= — — = (EK — U)gK.
Следовательно, токи в параллель¬
ных ветвях будут равны:
Ц = (Еі - U) gl; )
12 = (Е2 - U) g2, [ (57)
13 = (0 - U) g3 = - Ug3.)
Применяя первый закон Кирхгофа к узлу А, получим:
+ І2 + Із = 0.
Подставляя в это уравнение значение токов из уравнений (57),
будем иметь:
откуда
(Еі - U) gi + (Е2 - U) g2 + (- Ug3) = 0,
U _ Ejgj + E2g2
Si + ёг + ёз
(58)
или в общем виде
к = п
(59)
Следовательно, узловое напряжение равно отношению алгеб¬
раической суммы произведений э. д. с. на проводимости соответ¬
ствующих ветвей к арифметической сумме проводимостей всех
ветвей, включенных между двумя узлами. Если э. д. с. направ¬
лена от узла А к узлу 5, то эта э. д. с. берется со знаком минус.
Зная напряжение С7, можно определить токи в параллельных
ветвях по формулам (57).
14. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ
Этот метод применяется при определении токов в сложных раз¬
ветвленных цепях, так как он дает возможность сократить число
уравнений, составленных на основании законов Кирхгофа.
Если в каждом контуре задаться произвольным положитель¬
ным направлением тока, так называемым контурным то¬
ком, то действительный ток в любой ветви двух смежных конту¬
ров равен сумме или разности этих контурных токов в зависимости
от их направления. Так, например, для схемы, изображенной на
рис. 12, токи в сопротивлениях г4 и гб будут равны:
А = А — An’» (60)
А = Ai — Аіі- (61)
Эти уравнения заменяют уравнения, составленные по первому
закону Кирхгофа.
Условимся направление обхода контуров выбирать совпадаю¬
щим с направлением контурных токов.
Применяя второй закон Кирхгофа для контуров I, II и III, по¬
лучим:
Еі = (ri + г4) А — г4Аи; (62)
— #2 = (Г2 + Гь) ІЦ r5 All’» (63)
о = (гз + Г4 + rfi) Іш — г4zx — г5/ы. (64)
Решив эти уравнения, найдем контурные токи Іѵ Іп и /ш,
которые в данном частном случае равны действительным токам
в первой, второй и третьей ветвях (/,=7^, Іи=І2з
Затем, подставив их значения в уравнения (60) и (61), опреде¬
лим токи в ветвях смежных контуров.
15. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ
Этот метод применяется для определения токов в сложной
электрической цепи, в которой одновременно действуют несколько
э. д. с. Сущность метода наложения заключается в том, что сна¬
чала предполагаем, что в данной цепи действует только э. д. с.
19
первого источника, а э. д. с. всех остальных источников предпо¬
лагаем равными нулю (но их внутренние сопротивления остаются
включенными) и находим токи для этой цепи. Затем производим
расчет, полагая, что в данной цепи действует только э. д. с. второго
источника, а э. д. с. остальных источников равны нулю.
Аналогичные расчеты производим поочередно для всех э. д. с.
Так как для каждого участка сложной цепи получается не¬
сколько токов, создаваемых на этом участке каждой э. д. с. в от¬
дельности, то алгебраическая сумма этих токов определяет ис¬
тинную величину тока, проходящего по этому участку при одно¬
временном действии всех э. д. с.
Рис. 13
Применим метод наложения к цепи, изображенной на рис.
13, а. Предположим, что в цепи действует только э. д. с. Еѵ а £2=0,
но сопротивление второго источника э. д. с. остается включенным.
В этом случае получим схему, изображенную на рис. 13, б.
Ток в ветви первого источника э. д. с.
(65)
Ток /' распределяется в параллельных ветвях обратно пропор¬
ционально сопротивлениям этих ветвей:
4 = Л —— ; (66)
г + гв2
Гв2
г + г«2
(67)
20
Теперь предположим, что в цепи действует только э. д. с. второго
источника Е2, а э. д. с. первого источника Ет равна нулю. Тогда
получим схему, изображенную на рис. 13, в, из которой следует,
что ток в ветви второго источника э. д. с.
г;-—, (68)
_ I г«іг
а токи в параллельных ветвях:
Г— ; (69)
Г.і + г
Г = 4
г«1
г«1 + Г
(70)
Наложив слагаемые токов в ветвях один на другой (рис. 13, г)
и приняв во внимание их направления, получим действительные
токи в цепи:
Л = / = r+Z". (71)
16. ЕМКОСТЬ И ОТДАЧА АККУМУЛЯТОРА
Емкостью аккумулятора называется количество
электричества, отдаваемое аккумулятором при разрядке (разряд¬
ная емкость) или поглощаемое при зарядке (зарядная емкость),
т. е.
Çp = Л>^р» (72)
Яз = (73)
где qp и q3 — емкости при разрядке и зарядке аккумулятора, а-ч\
tp и t3 — время разрядки и зарядки аккумулятора, час.;
Ір и І3 — токи при разрядке и зарядке аккумулятора, а.
Отдачей аккумулятора по емкости называет¬
ся отношение разрядной емкости qp к зарядной q3:
■п — Ур _ ^р^р
Лд — — у—»
Çj •* з Із
где — отдача аккумулятора по емкости.
Отдачей аккумулятора по энергии назы¬
вается отношение энергии, отданной аккумулятором при разрядке,
к энергии, поглощенной им при зарядке:
__ Wp _ Uplptp
W3 U3I3t3 9
где г) — отдача (к. п. д.) аккумулятора по энергии;
21
Up — среднее значение напряжения на зажимах аккумуля¬
тора при разрядке, в;
U3 — среднее значение напряжения на зажимах аккумулятора
при зарядке, в;
Wp — энергия, отданная аккумулятором при разрядке, втп-ч\
W3 — энергия, поглощенная аккумулятором при зарядке, вт>ч.
Задачи
1. Какое количество электричества q проходит через попереч¬
ное сечение проводника в течение £=0,2 часа при токе в нем
2=30 а?
2. Определить ток I в цепи, если в течение £=1 часу протекло
#=1440 к количества электричества.
3. Какое количество G меди выделилось из раствора медного
купороса в течение £=0,48 часа при токе 2=15 а, если электрохи¬
мический эквивалент меди с=0,328 мг/кі
4. Определить электрохимический эквивалент с цинка, если в
элементе при токе 2=0,247 а в течение £=12 мин. израсходовалось
G=60,1 мг цинка.
5. Вычислить сопротивления гр г2 обмоток однофазного тран-
сформатора при температуре û2=75°, если при температуре
^ = 22° они соответственно равны: г1(22)=8,63 ом и г2(22)=0,648 ом.
Температурный коэффициент сопротивления меди а=0,004 і/град.
6. Определить температуру ûa обмотки якоря генератора по¬
стоянного тока параллельного возбуждения при работе, если
сопротивление ее при 0^=15° гя(15)=0,0089 ом. После работы
генератора сопротивление обмотки якоря повысилось до
гл—0,01104 ом. Температурный коэффициент сопротивления меди
<z=0,004 Иград.
7. Э. д. с. гальванического элемента £=1,88 в, а его внутреннее
сопротивление гв=0,24 ом. Определить сопротивление г внешней
цепи и напряжение U на зажимах гальванического элемента, если
ток в цепи 2=0,2 а.
8. Каково сопротивление г внешней цепи, если э.д.с. гальва¬
нического элемента £=1,4 в, а его внутреннее сопротивление
гв=0,4 ом и напряжение на зажимах гальванического элемента
27=1,2 в?
9. К генератору постоянного тока присоединен приемник
энергии, сопротивление которого г=11,5 ом. Ток в приемнике
/=10 а. Определить э. д. с. £, индуктируемую в обмотке якоря,
и напряжение U на зажимах генератора, если сопротивление
цепи якоря гя=0,3 ом.
10. Вычислить сопротивление гл нити (в горячем состоянии)
газонаполненной лампы накаливания мощностью РЛ=400 вт и
напряжением [7=220 в.
22
И. Электрический утюг потребляет мощность 7*=300 вт при
напряжении £7=120 в. Найти сопротивление г нагревательного
элемента и ток 7, проходящий через него.
12. Двигатель постоянного тока параллельного возбуждения
включен в сеть с напряжением £7=220 в и потребляет мощность
Pj=66,7 кет. Определить ток I двигателя и полезную мощность
Р2 на валу двигателя, если коэффициент полезного действия ц =
=90%.
13. Электрический чайник емкостью 1,5 л включен в сеть с на¬
пряжением £7=120 в. Сопротивление нагревательного элемента
г=24 ом, коэффициент полезного действия ц =80%. Начальная
температура воды ^=20°. Чему равны мощность Р, потребляемая
чайником, ток 7, проходящий через нагревательный элемент, вре¬
мя t, в течение которого чайник закипит, и стоимость электроэнер¬
гии, если 1 квт-ч стоит 4 коп.?
14. Определить коэффициент полезного действия электриче¬
ского сосуда, в котором требуется вскипятить 2 л воды в течение
£=20 мин. Начальная температура воды ^ = 15°. Найти сопро¬
тивление г нагревательного элемента и ток 7, проходящий через
него, если мощность, потребляемая электрическим сосудом,
7*=660 вт при напряжении £7=110 в,
15. В сеть с напряжением £7=110 в включены последовательно
четыре приемника, сопротивления которых равны: 7^=60 ом; г2=
=25,5 ом; г3=70 ом; г4=64,5 ом, Определить ток 7 в цепи и напря¬
жение на зажимах каждого приемника.
16. Последовательно включены два гальванических элемента,
э. д. с. и сопротивления которых соответственно равны: Е.=1,5 в;
£2=1,4в; гв1=0,2 (ш;гв2=0,4 олі.
Вычислить ток 7 в цепи, напря¬
жение на зажимах каждого
гальванического элемента, на¬
пряжение U на зажимах цепи,
если сопротивление внешней це¬
пи г=28,4 ом,
17. Три одинаковых гальва¬
нических элемента включены
4
Рис. 14
последовательно. Э. д. с. каждо¬
го из них £=1,5 в. Ток в цепи
7=0,25 а. Сопротивление внеш¬
ней цепи г=17,4 ом. Определить
напряжение U на зажимах внешней цепи и внутреннее сопротив¬
ление гв гальванического элемента.
18. В сеть с напряжением £7=220 в включены последовательно
два приемника (рис. 14). Чему равно сопротивление гр реостата,
поглощающего излишек напряжения в сети, если напряжение
на зажимах каждого приемника £71=£72“90 в, а ток в цепи
7=20 а?
23
19. В сеть с напряжением Z7=220 в включен приемник, сопро¬
тивление которого г=38 ом. Определить полное сопротивление рео¬
стата и сопротивление секции реостата, при помощи которого
можно будет изменять ток в приборе и иметь 5,5; 4; 2,5; 2,2 а.
20. К батарее, состоящей из последовательно включенных
аккумуляторов, присоединено сопротивление г=3,9 ом. Ток в
цепи 7=20 а. Определить необходимое число аккумуляторов п
батареи, если э. д. с. каждого аккумулятора Е=2 в, а его внут¬
реннее сопротивление гв=0,0025 ом.
21. К батарее, состоящей из 63 последовательно включенных
аккумуляторов, присоединено
Рис. 15
сопротивление г=12 ом. Ток в
цепи 7=10 а. Внутреннее сопро¬
тивление батареи гвб=0,6 ом.
Определить э. д. с. Еб батареи,
э. д. с. Е одного аккумулятора,
внутреннее сопротивление гв
одного аккумулятора, напря¬
жение U на зажимах внешней
цепи, мощность Р, отдаваемую
батареей.
22. Построить потенциаль¬
ную диаграмму для цепи рис.
15, если Ег=8 в, Е2=24 в,
£’3=12 в\ ^=4 ом, г2=6 ом,
г3=10 ом, 12 ом и г5 = 8 ом.
Внутренним
источников э. д. с.
Решение. Прежде чем найти потенциалы всех
ходимо определить ток в цепи:
т Е2 + Ез —Еі
сопротивлением
пренебречь,
точек, необ-
= 0,7 а.
24 + 12—8
Г1 + 7*2 + г3 + Г4 + г5 4 + 6 + 10 + 12+8
Начинаем обход контура с точки А, потенциал которой равен
нулю, так как она соединена с землей.
При переходе к точке В мы должны пройти через сопротив¬
ление по направлению тока, а так как ток течет от высшего по¬
тенциала к низшему*, то потенциал точки В должен быть ниже по¬
тенциала точки А на величину падения напряжения I, т. е.
фА — фв=г17, откуда фв=фл—r17=0—4-0,7=—2,8 в.
Потенциал точки С ниже потенциала точки В на величину
э. д. с. Ег, так как внутренним сопротивлением источника э. д. с.
пренебрегли**, т. е. фв—фс=£’1, откуда ФС=ФВ—Ег =—2,8 —
—8=—10,8 в. Потенциал точки/) ниже потенциала точки С на ве¬
личину падения напряжения г27, т. ѳ. фс — фэ = r2I, откуда
ф^ = фс—г2/ =—10,8—6-0,7 =—15 в.
* Это справедливо для пассивного участка цепи.
** Фв~Фс—Еі = 0 или Фв—Фс= Еѵ
24
Так как положительный зажим второго источника э. д. с. при¬
соединен к точке Е, а отрицательный — к точке D, то потенциал
точки* Е выше потенциала точки D на величину э. д. с. £2,
т. е. фд—q>D=E2, откуда ф£=фл+£2=—15+24=9 в. Потенциал
точки F ниже потенциала точки Е на величину падения напря¬
жения r3Z, т. е. ф£—фг=г8/, откуда фг=фв—г37=9—10-0,7=2 в.
Потенциал точки G выше потенциала точки F на величину э. д. с.
£3, т. е. Фо—Фг=2?зі откуда ф0=фр+£3=2+12=14 в. Потенциал
точки Н ниже потенциала точки G на величину падения напря¬
жения r4Z, т. е. ф0—Фя=^4^, откуда фн=фо—rJ=]A—12- 0,7 =
=5,6 в. Потенциал точки Л ниже потенциала точки Н на величину
падения напряжения г6/, т. е. ф^—фА=г0/, откуда Фа=Фя—г67 =
На основании полученных данных построена потенциальная
диаграмма, изображенная на рис. 16.
23. Построить потенциальную диаграмму для цепи, изобра¬
женной на рис. 15, если £^=30 в, Е2=29 в, £3=26 в, 7^=20 ом,
г2=10 ом, г3=5 ом, г4=3 ом, г6=12 ом. Внутренним сопротивле¬
нием источников э. д. с. пренебречь.
* Фп--Фв+^2= 0 ИЛИ ф£“Фэ=^г
25
24. Построить потенциальную диаграмму для цепи, изобра¬
женной на рис. 17 (т. е. для контуров ABCDEFGHA, ABCDEA и
AEFGHA), если £'1=12 в, Е2 = 15 в, Е3 = 18 в, = 2,4 ом,
г2=3,6 ом, г3=5 ом, г4=4,5 ом, гб=7 ом и гв=6 ом. Внутренним
сопротивлением источников
э. д. с. пренебречь.
25. Построить потенци¬
альную диаграмму для цепи,
изображенной на рис. 18, ес¬
ли £^=125 в, £2=115 в,
гв1=0,4 ом, гв2=0,2 ом,
г±=2ом, г2=5 ом и г3=2,4<ш.
26. В сеть с напряжением
/7=220 в включены последо¬
вательно две лампы накали¬
вания мощностью Рх=25 вт
и Р2 = 200 вт и номинальным
напряжением UH =110 в. Оп¬
ределить напряжения U± и
U2 на зажимах ламп.
27. Напряжение на зажимах генератора £71 = 115 в, ток в ли¬
нии 7=125 а, сечение провода s=50 мм2 и длина линии 7=53 м.
Провода линии медные (у=53 м/ом*мм2). Вычислить потерю на¬
пряжения АС/ в линии, напряжение U2 в конце линии, мощность
Рѵ отдаваемую генератором, мощность Р2 нагрузки.
28. Параллельно с реостатом (рис. 19) включено сопротивле¬
ние гх=4 ом. Реостат имеет четыре секции, сопротивление каждой
секции 2 ом. Напряжение на зажимах цепи £7=110 в. Определить
ток в неразветвленной части цепи, токи в реостате и сопротивле¬
нии г если рукоятка реостата будет находиться поочередно на
каждом из его контактов.
26
29. В сеть с напряжением С7=220 в включены параллельно три
лампы накаливания, сопротивления которых равны: г1 = 1936 ом\
г2=242 ом\ г3=484 ом. Найти токи в лампах, ток I в неразветвлен-
ной части цепи, эквивалентное сопротивление г цепи.
Рис. 20
30. В неразветвленной части цепи (рис. 20) ток 7=46,2 а, со¬
противления параллельных ветвей соответственно равны: =
= 10 ом\ г2=50 ом\ г3 = 20 ом\
г4=25 ом. Вычислить эквива- - о
лентную проводимость g цепи,
эквивалентное сопротивление г
цепи, напряжение U на зажи¬
мах цепи и токи в параллель¬
ных ветвях.
31. В сеть с напряжением
U=225 в включено 10 ламп на¬
каливания (рис. 21). Ток каж- Рис 21
дой лампы 7Л=1,1 а и ее со¬
противление гЛ=200 ом. Определить напряжение UA на лампах
и сопротивление г подводящих проводов.
27
32. Найти ток I в цепи (рис. 22), если известно, что э. д. с. каж¬
дого гальванического элемента £' = 1,45 в, а его внутреннее сопро¬
тивление гв =1 ом и внешнее сопротивление цепи г=4,8 ом.
Рис. 22
33. Ток /=121 а (рис. 23) рас¬
пределяется по трем параллельным
ветвям с сопротивлениями гг=2 ом,
г2=5 ом и г3=2,5 ом. Определить
напряжение U на зажимах парал¬
лельных ветвей и токи в параллель¬
ных ветвях.
Решение. Проводимости параллельных ветвей:
gi = — = — = 0,5 і/ом;
П 2
1 1
g2 = — = — =0,2 ІЛш;
r2 5
g3 = — = = 0,4 і/ом.
гз 45
Эквивалентная проводимость цепи
g = gi g2 ”Ь ёз = 0,5 + 0,2 + 0,4 = 1,1 і/ом.
Напряжение на зажимах параллельных ветвей
g 1,1
= 110 в.
Токи в параллельных ветвях:
т U
110 гг
Л = — =
72 — -
Г2
/ _ и _
*3 — -
Гз
= — = 55 а;
2
110 99 „■
= = 22 а,
5
но ,,
= — = 44 а.
2,5
28
34. Ток 1=30 а (рис. 23) распределяется по трем параллельным
ветвям с сопротивлениями ^=12 оле, г2=1,2 ом и г3=3 ом. Вычи¬
слить напряжение U на зажимах параллельных ветвей и токи в
параллельных ветвях.
35. Ламповый реостат состоит из 22 параллельно включен¬
ных ламп накаливания с сопротивлением гл=484 ом каждая.
Каково сопротивление реостата: 1) при включении всех ламп;
2) при включении 8 ламп?
36. В группе А (рис. 24) включены 22 лампы накаливания с со¬
противлением гг=2І2ом каждая, в группе В—44 лампы накалива¬
ния с сопротивлением г2=484 ом каждая и в группе С — И ламп
накаливания с сопротивлением г3 —
= 96,8 ом каждая. Определить токи
IА, Iв> Ici ток I в неразветвленной
части цепи, мощность Р, потреб¬
ляемую лампами накаливания, и стои¬
мость электроэнергии за 10 час. го¬
рения ламп, если 1 квт-ч стоит 4 коп.
и напряжение сети £7=220 в.
37. Механическая мастерская ос¬
вещается 50 параллельно включен¬
ными лампами накаливания. Ток Рис. 25
каждой лампы 7л=0,5 а, а сопротив¬
ление ее гл=240 ом. Вычислить ток I всех ламп, общее сопротив¬
ление г ламп, напряжение U на лампах, потерю напряжения ДС7 в
линии, мощность Р, потребляемую лампами, мощность ДР, теряе¬
мую в линии, если сопротивление проводов линии равно 0,044 ом.
38. Генератор постоянного тока, э. д. с. которого £\=112 в
и сопротивление якоря гя=0,02 ом, и аккумуляторная батарея
работают параллельно на сеть (рис. 25). Э. д. с. аккумуляторной
29
батареи £2=110,4 в, а ее внутреннее сопротивление гвб=0,04 ом.
Найти ток генератора, ток І2 аккумуляторной батареи, ток I се¬
ти, напряжение U на зажимах генератора и аккумуляторной бата¬
реи. Выяснить, происходит ли зарядка или разрядка аккумулятор¬
ной батареи, если сопротивление внешней цепи г=1 ом.
39. Вычислить напряжение и токи в схеме, изображенной на
рис. 26, если э. д. с. источников £х=113,6 в. £2 = 115 в, а их внут¬
ренние сопротивления гв1=0,454 ом, гв2=0,2 ом. Внешняя цепь
состоит из двух параллельно включенных сопротивлений: г3=10 ом
и г4=5 ом.
40. Имеется 15 гальванических элементов с э. д. с. £=1,88 в
и с внутренним сопротивлением гв =0,24 ом каждый. Внешнее со¬
противление цепи г=0,4 ом. Как нужно соединить гальванические
элементы, чтобы получить максимальный ток Імак<3
Решение. Как известно, максимальный ток Імакс может
быть получен при смешанном соединении гальванических элемен¬
тов тогда, когда внешнее сопротивление цепи равно внутреннему
пгѳ
сопротивлению, т. е. г=-^~.
Ток при смешанном соединении гальванических элементов
т
Число последовательно соединенных гальванических элемен¬
тов в одной параллельной ветви (в группе)
7n ÏFcvî с
п = — = = 5.
0,24
Число параллельных ветвей
N 15 о
т = — = — =3.
п 5
30
Зная пит, можно вычислить максимальный ток
r En
макс
1,88-5 4,й
— = 11,8 а.
04 .0,24-5
т ' 3
41. Имеется 40 гальванических элементов с э. д. с. 2?=1,39 в
и с внутренним сопротивлением гв =0,8 ом каждый. Внешнее со¬
противление цепи г=2 ом. Как следует соединить гальванические
элементы, чтобы получить максимальный ток Імаксі
42. Имеется 25 гальванических элементов с э. д. с. £=1,3 в
и с внутренним сопротивлением гв =0,5 ом каждый. Внешнее со¬
противление цепи г=0,5 ом. Как нужно соединить гальванические
элементы, чтобы получить макси¬
мальный ТОК Лиакс? Каковы будут
токи Іг и І2 при последовательном
и параллельном соединении галь¬
ванических элементов?
43. Определить эквивалентное
сопротивление г цепи, изображен¬
ной на рис. 27. Сопротивления от¬
дельных ветвей цепи равны: ^ =
=7,9 сш;г2=17 ом; г3=20 олг, г4 = 14
ол; гб = 13 ом; гв=5 ом; г7=50 ом;
г8=30 ом. Найти токи в отдель¬
ных ветвях цепи, ток I в нераз-
ветвленной части цепи; составить
баланс мощностей, т. е. определить мощности отдельных ветвей
цепи и всей цепи, если напряжение на ее зажимах £7=220 в.
іі. Определить токи Іѵ І2 и I в цепи (рис. 28), пользуясь
1) законами Кирхгофа и 2) методом наложения, если ^ = 120 в,
Е2=119 в, гві=0,6 ом, rQ2=Q,^ ом, г*=4,4 ом, г2=2,7 ом и
г=22 ом9
31
Решение. Решим эту задачу, пользуясь законами Кирх-
гофа.
Задаемся произвольно положительным направлением токов
Д как показано на рис. 28. Чтобы определить токи Іѵ І2, Ц
необходимо составить три уравнения. По второму закону Кирх-
гофа для контуров ABEFA и BCDEB составляем уравнения:
— Е2 = (гв1 + Гі) Ц — (гв2 + г2) Л; (76)
Е2 = І2 (гв2 + г2) + Іг. (77)
Применяя первый закон Кирхгофа к узлу В, получим:
Д+W- (78)
Подставляя данные значения в уравнения (76) и (77), будем
иметь:
120 - 119 = (0,6 + 4,4) Д - (0,3 + 2,7) Z2;
1 = 5 Д - 3 Д; (76')
119 = (0,3 + 2,7) І2 + 22-Д
119 = 3 І2 + 22 I. (77')
Подставляя значение тока I из уравнения (78) в уравнение
(77'), найдем:
119 = 3 І2 + 22 Ц + 22 І2 = 22 Ц + 25 І2. (79)
Умножив уравнение (76') на 25 и уравнение (79) на 3 и сложив
их, получим:
382 = 191 Д,
откуда
Г 382 9 „
191
Полученное значение тока 7. подставим в уравнение (79):
119 = 2271+25 72 = 44+ 25 72,
откуда /2 = — = 3 а.
25
Ток в неразветвленной части цепи
I = Ц + І2 = 2 + 3 = 5 а.
Решим эту задачу методом наложения.
Предположим, что в цепи действует только э. д. с. а £2 =
=0 (ветвь содержит только сопротивления гв2 и г2)> в этом случае
получим схему, изображенную на рис. 29.
Ток в ветви первого источника э. д. с.
Еі
+
(гв2 + Г2)Г
Гв2 + г2 + г
32
Если обозначим rei+r1=rI, а re2+r2=rH, то предыдущее вы¬
ражение примет следующий вид:
1\ = Æ1(rn+r) (80)
+ ГцГ ГУц + Г1Г + гиг
Пі +г
Этот ток в параллельных ветвях распределяется обратно про-
порционально сопротивлениям этих ветвей:
Рис. 29
Рис. 30
Подставляя данные значения, получим:
гі = 0,6 + 4,4 = 5 ом; = 0,3 + 2,7 = 3 ом;
120(3 + 22)
і 1 — ' ' — Іо, / а*
5-3+5-22+3-22
, 22
72 = 15,7- =13,82 а;
22 + 3
I = 15,7 . —— = 1,88 а
22+3
или
Г = Г, -Гг = 15,7 - 13,82 = 1,88 а.
Теперь предположим, что в цепи действует только э. Д. с. Ег, а
Е1=0, тогда получим схему, изображенную на рис. 30.
2 Заказ 936 33
Ток в ветви второго источника э. д. с.
^2 ^2 (гі + г) = 119 (5 + 22) — 16 82 а
ггг ГхГц + гпг + туг 5 • 3 + 3 • 22 + 5 • 22
Токи в параллельных ветвях:
16,82--^—
5 + 22
= 13,7 а;
Г = у" _JL_ = 16,82 • 3,12 а.
Гх + г 5+22
Наложив друг на друга слагающие токов в ветвях (рис. 29 и
30) и учитывая их направления, получим (рис. 31) действитель¬
ные токи в цепи:
Л = - Г\ = 15,7 - 13,7 = 2 а;
І2 = /"2 __ Г2 = 16,82 - 13,82 = 3 а;
I = Г + /" = 1,88 + 3,12 = 5 а.
45. Определить токи Іѵ І2 и I в цепи, показанной на рис. 28,
пользуясь 1) законами Кирхгофа и 2) методом наложения, если
£’1=36 в, £*2=40 в, гві=0,1 ом, гв2=0,2 ом, гх=1,9 ом, г2=3,8 ом и
7=2,4 ом.
46. Вычислить токи в цепи (рис. 32), пользуясь 1) законами
Кирхгофа * и 2) методом наложения, если £х=1,5 в, Е2=і,і в,
гві=0,5 ом, гв2=2 ом, гх=2 ом, г2=3 ом, г3=2 ом, г4=8 ом и
г6=3,4 ом.
* Для упрощения решения задачи рекомендуется предварительно заме¬
сить сопротивления г, и г4 эквивалентным сопротивлением гм.
34
47. Определить токи в отдельных ветвях цепи, изображенной
на рис. 33, если £’1=117 в, £2=120 в, гв1=1 ол, гв2=0,8 ом, г1=
=3ом, г9=1,2 ом,г\=іом, г, = 15 ом, г, = 10 ом, г=2 ом и г,=40 ом.
* 7 7 0 7 4 7 О 7 О <
48. Найти токи в отдельных ветвях цепи (рис. 34) методом кон¬
турных токов, если 2?х=120 в, £"2=120 в, £3=128 в, гв1=0,4 ом*
Гм=0,5 ом, гв3=0,6 ом, /1=1,6 ом, г2=4,5 ом, г3=6,4 ом, г4=5 ом,
г6=3 ом, гв=3 ом и г7=4 ом. Составить баланс мощностей, т. е.
определить мощности отдельных ветвей цепи и мощности, отда¬
ваемые источниками э. д. с.
2
35
Решение. Задаемся произвольно положительным направ¬
лением контурных токов /р Іи и 71И, как показано на рис. 34.
Применяя второй закон Кирхгофа к контурам ABGHA, BCFGB
и CDEFC, получим:
— Е2 = Іі (Ли + Гі + гв2 + г2 + г6) — Іц (re2 + г2); (83)
Е2 = Іц 0*7 + гв + г4 + г2 + гв2) — Іх (гв2 + г2) + 7щг6; (84)
Ез = Іщ (гв* + гв + г3) + /цгв. (85)
Подставив данные значения в эти уравнения, будем иметь:
120 - 120 = /і (0,4 + 1,6 + 0,5 + 4,5 + 3) - 7ц (0,5 + 4,5),
отсюда
Іі = 0,57ц; (83')
120 = Іц (4 + 3 + 5 + 4,5 + 0,5) - Іт (0,5 + 4,5) + 37щ =
= 17 Іц - 5Л+ 37IIX; (84')
128 = /ПІ (0,6 + 3 + 6,4) + 37 ц = 107щ + 37ц. (85')
Подставляя значение тока 7Т из уравнения (83') в уравнение (84'),
получим:
120 = 177ц — 5-0,57ц 4- 37щ = 14,57ц -h 37щ. (86)
Умножив уравнение (85') на 3, а уравнение (86) на 10 и вычтя
из уравнения (86) уравнение (85'), найдем:
1367ц = 816,
откуда
Подставив полученное значение тока 7И в уравнения (83') и
(85'), будем иметь:
Zj = 0,57ц = 0,5-6 = 3 а\
128 = 107щ + 3-6,
отсюда
Т И0 44
7ці = —- =11 й.
10
По полученным значениям контурных токов 7Ѵ 7П и 7П1 опреде¬
ляют величину и направление истинных значений токов в со¬
противлениях гг гб, г7, Г4, г3, т. е.
7і = 7б = 7Х = 3 а;
77 = Z4 = 7ц = 6 а;
Із = Z m = 11 а.
Токи в сопротивлениях г2 и гв равны:
І2 = Iц — Іі = 6 — 3 = 3 л;
7б = Іц + Ini = 6 + И = 17 а.
36
Мощности отдельных ветвей цепи:
Pt = rJÏ = 1,6-32 = 14,4 вт;
Р2 = = 4,5-З2 = 40,5 вт;
Р3 = г3Г, = 6,4-Н2 « 774 вт;
Р4 = = 5-62 = 180 вт;
Р& = г6І} = З-З2 = 27 вт-,
ра = гЛ = 3-172 = 867 вт;
Р1 = г71‘ = 4-62 = 144 вт.
Мощности, отдаваемые источниками э. д. с.:
Pi = EJi — reJÏ = 120-3 — 0,4-З2 = 356 вт;
Рп = E2I2 — r„Jl = 120-3 — 0,5-З2 « 356 вт;
Рт = Е3І3 — гпГ, = 128-11 - 0,6-112 « 1335 вт.
Мощность всей цепи
Р = Рі + Ры + Рш = 356 + 356 + 1335 = 2047 вт
или
Р = Рі + р2 + Рз + Р4 + Р6 + Ре + Р7 =
= 14,4 + 40,5 + 774 180 + 27 + 867 + 144 « 2047 вт.
49. Определить токи в отдельных ветвях цепи, изображенной
на рис. 35, методом контурных токов, если Ех=126 в, гв1=0,4 ом,
£2=120 в, гв2=0,5 ом, гх=1,6 ом, г2=3,5 ом, г8=10 ом, г4=2 ом,
г5=17 ом и гв=8 ом.
Найти мощности отдельных ветвей цепи и мощности, отдавав*
мые и развиваемые источниками электрической энергии.
37
50. Вычислить токи в отдельных ветвях цепи (рис. 36) методом
контурных токов и методом преобразования треугольника в эк¬
вивалентную звезду, если £^=254 в, £2=261,4 в, гв1=6,4 ом,
гв2=9 ом, 7^ = 18 ом, 7*2 = 12 ом, 7*3=30 ом, г4=50 ом, 7*6 = 10 ом
Найти мощности отдельных ветвей цепи и мощности, отдавае¬
мые и развиваемые источниками электрической энергии.
Рис. 37
51. Определить токи в отдельных ветвях цепи (рис. 37), ток I
в неразветвленной части цепи, напряжение U на зажимах цепи
и мощность Р всей цепи, если 7^ = 5 ом, т*2 = 16 ом, t-3=2 ом, г4=
= 9,2 ом, т*б=6 ом, 7*в = 10 ом, г7=8 ом, г8 = 28 ом, г9=20 ом, г10=
=30 ом, а мощность, поглощаемая сопротивлением гь, Рб = 150 вт9
38
52. Определить ток /6 в диагонали схемы моста (рис. 38, а),
сопротивление которой г6=100 ом, если плечи моста имеют сопро*
тивления: =40 ом, г2=20 ом, r3=QQoM, г4=30 ом, а э. д. с. истич*
ника £=12 в и внутреннее сопротивление его гв =4 ом,
Решение. Заменим треугольник ABD (рис. 38, а) эквива¬
лентной звездой со сторонами (рис. 38, б):
ГіГ3 40-60
= = 12 ом;
г і 4~ ^з 40 + 60 100
39
ГіГ5
40-100
Г в = - =
Гі + г3 + г5
= = 20 ом;
40 + 60 + 100
„ Г3Г5
rD~ =
гі + Гз + г5
60-100
= = 30 ом.
40 + 60 + 100
Ток в неразветвленной части цепи
- г 4-г ! (Г^+Г2) ’ (Гв+Г4) / . л о I (20+20) • (30+30)
Гв+Г л и 4 +1Z 4
rB+r2+rD+r, 20+20+30+30
Токи в параллельных ветвях распределяются обратно пропорцио¬
нально сопротивлениям ветвей:
Т Т Г D п о 30 +30 П 1Q .
І2 = 1 • = 0,3 • = 0,Іо а;
+ г2 + Гр + г4 20 +20 + 30 +30
Д = I • Гв +Г2 = 0,3 20 +20—; 0,12 а
Гр + г2 + гр+г4 20 + 20 + 30 + 30
или
/4 = I — І2 = 0,3 — 0,18 = 0,12 а.
Применив второй закон Кирхгофа к контуру BCDB (рис. 38, а),
получим:
г2І2 — г*!* — rj6 = 0,
откуда ток в диагонали BD
r2I2 — rJt 20-0,18—30-0,12 п
— = = и.
Г5 100
Это значит, что мост уравновешен; следовательно, ток, прохо¬
дящий через сопротивление гѵ равен току, проходящему через
сопротивление г2 (72=72), и токи в сопротивлениях г3 и г4 также
равны (/3=/4).
53. Определить ток І& в диагонали схемы моста (рис. 38, а),
сопротивление которой г6=200 ом, если плечи моста имеют сопро¬
тивления: г2=60 ом, г2=80 ом, г3=40 ом, г4=100 ом; э. д. с.
источника £=10 в и внутреннее сопротивление его гв =1 ом.
54. Вычислить напряжение U на зажимах цепи, изображенной
на рис. 39, сопротивления которой равны: гх = 16,2 ом, г2=^ ом,
г3=20 ом, г4=5 ом, г5=18 ом, г6=2 ом, г7=25 ом. Найти токи в от¬
дельных ветвях цепи, ток I в неразветвленной части цепи, если
мощность, поглощаемая сопротивлением г2, Р2 = 121 вш. Опреде¬
лить стоимость электроэнергии, затраченной данной цепью за 10
час. при стоимости 1 квш-ч 4 коп.
40
55. Найти токи в отдельных ветвях цепи (рис. 40), ток I в нераз-
ветвленной части цепи, мощность Р всей цепи, если г*=16,2 ом,
г2=4 ом, г3 = 3,4 ом, т*4=5 ом, г&=2 ом, гв=11 ом, г7=9 ом, г8=
=3,2 ом, г9=2 ом, т*10=4 ом; напряжение на зажимах цепи С7=
=220 в. Определить стоимость электроэнергии, затраченной дан¬
ной цепью за 12 час., при стоимости 1 квт-ч 4 коп.
56. Вычислить э. д. с. Е источника цепи, изображенной на рис.
41, если гх=2,5 ом, г2=5 ом, г3=8 ом, т*4=10 ом, г5=2,5 ом,
т*в=6 ом, г^ = 4 ом, гв =2 ом; ток в сопротивлении т*6 /6=0,024 а.
57. Два источника с э. д. с. £х=122 в и Е2=128 вис внутрен¬
ними сопротивлениями (рис. 42) гв1=0,5 ом и гв2=0,4 ом работают
параллельно на приемник, сопротивление которого г=5 ом. Оп¬
ределить токи Іѵ 7а и I методом узлового напряжения.
41
Решение. Задаемся произвольно положительным направ
лениём токов, как показано на рис. 42.
Проводимости параллель¬
ных ветвей:
1 1
£і=- = —=2 1Лш;
гві 0,5
g2 = — = — =2,5 і/ом\
Г82 о,4
1 1
g = — = — = 0,2 і/ом.
г 5
Узловое напряжение определяется по формуле:
п — — 122 *2 + 128 • 2,5 , 9n
gi+g2+g 2+2,5+0,2
Токи:
Ц = (£t _ (J) gl = (122 - 120) 2 = 4 a;
I2 = (e2 - U)g2 = (128 - 120) 2,5 = 20 a;
/ = (-[/) g = (__ 120) 0,2 = - 24 a.
Знак минус показывает, что выбранное направление тока I
прямо противоположно действительному направлению его.
Проверка решения.
л + І2 + I = 4 + 20 — 24 = 0.
58. Два источника (рис. 42) с э. д. с. Ег=222 в и £*2=221,2 в
и с внутренними сопротивлениями гв1=0,25 ом и гв2=0,4 ом рабо¬
тают параллельно на приемник, сопротивление которого г=20 ом.
Вычислить токи Іѵ І2 и I методом узлового напряжения.
59. По условию задачи 58 определить э. д. с. Ег первого источ-
42
ника, если второй источник полностью разгрузить (72=0), при
этом предполагаем, что э. д. с. Е2 второго источника остается не¬
изменной.
60. Определить токи во всех ветвях цепи, изображенной на
рис. 43, ток I в неразветвленной части цепи, мощность Р, потреб¬
ляемую всей цепью, если параметры цепи равны: /’1=10 ом, г2^=
=2,5 ом, г3=ЗО ом, г4=50 ом, г5=120 ом, гв=22 ом, г7=30 ом,
г8=6 ом, а напряжение U, приложенное к цепи, равно 110 в. Ре¬
шить эту же задачу, если задано не напряжение U, а ток, прохо¬
дящий через сопротивление гв, 76=3,3 а.
Рис. 44
43
Решим задачу, когда известно напряжение U.
Решение. Задаемся произвольно положительными направ¬
лениями токов, как показано на рис. 43; чтобы упростить решение
задачи, заменим треугольник сопротивлений АВС эквивалентной
звездой:
гА
г в
Гс
_ г3г4
_ 30-50
Гз + г4 + г5
30 + 50 + 120
_ Г4г5
= 50-120
гз 4- г4 4- гь
“ 30 + 50 + 120
_ г3г5
_ 30-120
Гз + *4 + Г5
30 + 50 + 120
= 7,5 ом;
= 30 ом;
= 18 ом.
В этом случае схему, изображенную на рис. 43, можно заменить
схемой рис. 44. Найдем эквивалентное сопротивление участка
(разветвления) OD, т. е. заменим две параллельные ветви одной
ветвью, сопротивление которой будет равно*
(гв 4- г7) • (гс 4- гв) __(30 4- 30) • (18 + 22) 9
г в 4~ г7 + гв 30 -J- 30 4“ 18 4~ 22
Следовательно, схему рис. 44 можно заменить схемой рис. 45.
Так как сопротивления г2, гА, г' и г8 включены последовательно
(рис. 45), то их можно заменить эквивалентным сопротивлением
(рис. 46):
г" = г2 4~ гА + г* 4" г8 = 2,5 4” 7,5 4“ 24 4“ 6 = 40 ом.
Эквивалентное сопротивление всей цепи
гр" 10 • 40
г= — =
П 4- г" 10 4- 40
Таким образом, вместо сложной цепи получили цепь с одним
приемником (рис. 47). Зная напряжение С7, приложенное к цепи,
и эквивалентное сопротивление г цепи, можно найти ток в нераз-
ветвленной части цепи
г
Токи, проходящие через сопротивления и г2 (рис. 46),
т и но .. т и но
г, 10 г" 40
= 8 ом.
ІЮ
— = 13,75 а.
8
или
І2 = I - Ц = 13,75 - 11 = 2,75 а.
Так как эквивалентное сопротивление г' разветвления (участка)
44
45
OD и ток Z2, проходящий через это сопротивление, известны, то
напряжение на этом участке будет равно:
Uod = г' І2 = 24-2,75 = 66 в.
Зная напряжение на зажимах параллельных ветвей и сопротив¬
ления этих ветвей, можно найти токи в параллельных ветвях
(рис. 44):
т Uqd
-«6 =
гс +
или
66 л т Uod 66
= 1,65 а; Z7 = —= = 11 а
18 + 22 rB+r7 30 +30
/7 = І2 — Iq = 2,75 — 1,65 — 1,1 а.
Токи в параллельных ветвях можно найти, не определяя нап-
ряжение на зажимах ветвей, т. е. по формулам:
9 30 +30 .
— 2,7 5 * — ————— — 1,65 а,
18 + 22 + 30 +30
о _ 18 + 22 . ,
= 2, /5 • = 1,1 а.
18 + 22 + 30 + 30
Применив второй закон Кирхгофа к контуру BCDB (рис. 43),
найдем ток 15, т. е. гьІь + г^Ц — r7Z7 = 0,
откуда
гс +
г7/7—г6/в 30-1,1 — 22-1,65 ппо/.
= = — U,0o а.
г5
120
Знак минус у тока Iъ показывает, что выбранное положительное
направление тока Z5 не соответствует действительному направле¬
нию. На самом деле ток Z5 направлен от узла С к узлу В.
Применив первый закон Кирхгофа к узлам В и С (рис. 43),
найдем токи, проходящие через сопротивления г9 и г4, т. е.
Л = 1$ + Л» Л + Iь = Z6,
откуда
Z4 = - 0,03 + 1,1 = 1,07 а;
І3 = Ц - /б = 1,65 - (- 0,03) = 1,68 а.
Мощность, потребляемая всей цепью,
P = UI = 110-13,75 = 1512,5 вт или Р = гР = 8-13,752 =
= 1512,5 вт.
Решим задачу, когда задан ток 7в.
Если бы не была решена задача первым способом, то сначала
следовало бы заменить треугольник сопротивлений АВС (рис. 43)
эквивалентной звездой (рис. 44).
46
Воспользуемся при решении задачи ранее полученными дан¬
ными. Обращаясь к схеме рис. 44, найдем напряжение на участке
OD:
Uod = (гс + г6) Ц = (18 + 22)-3,3 = 132 в.
Теперь можно найти ток, проходящий через сопротивление т*7,
Z7=_£o^==_lÊL_ = 2,2a.
7jg 7*7 30 -J- 30
Так как токи 7в и /7 известны, то, применив первый закон
Кирхгофа к узлу О (рис. 44), найдем ток 72, проходящий через соп¬
ротивления Т*2 И Г8,
/г = 4" = 3,3 + 2,2 = 5,5 л.
Напряжение на зажимах всей цепи (рис. 44)
U = (г2 + Гд) Л + Uod + г8 І2 = (2,5 + 7,5).5,5 + 132 +
+ 6-5,5 = 220 в.
Зная напряжение U на зажимах всей цепи и сопротивление
rr вычислим ток, проходящий через это сопротивление:
„22и=22а.
г, 10
На основании первого закона Кирхгофа определим ток I
в неразветвленной части цепи
I = ц + І2 = 22 + 5,5 = 27,5 а.
Применяя второй закон Кирхгофа к контуру BCDB (рис. 43),
найдем ток
+ гвЛ — г1І1 = 0,
откуда
т гіІі—гб^в 30*2,2—22*3,3 Л
.*5 — — —— ————— — —■ 0,055 tz.
гй 120
Применив первый закон Кирхгофа к узлам В и С (рис. 43),
получим токи І3 и /4, т. е.
Ц = Іь + Л = - 0,055 + 2,2 = 2,145 « 2,15 а;
Г3 = Ц - І5 = 3,3 - (- 0,055) = 3,355 « 3,35 а.
Мощность, потребляемая всей цепью, •
P = UI = 220’27,5 = 6050 вт.
61. Вычислить токи во всех ветвях цепи, изображенной на
рис. 43, ток I в неразветвленной части цепи, мощность Р, потреб¬
ляемую всей цепью, если сопротивления цепи равны:
7^=50 ом, 7*2=20 ом, 7*3=60 ом, т*4=20 ом, т*6=320 ом,
гв=30 ом, т*7=10 ом, г8=7,5 ом, а напряжение, приложенное к
47
цепи, £7=110 в. Решить эту же задачу, если задано не напряже¬
ние U, а ток, проходящий через сопротивление гв, Ів=і ,1 а.
62. К аккумуляторной батарее, состоящей из 7 элементов, при¬
соединен приемник, который находится на расстоянии 1=52,5 м,
сечение провода линии $=6 мм2, провода медные (у=53
м/ом-мм2). Ток в приемнике 7=5 а. Найти сопротивление г прово¬
дов линии, напряжение Z7X на зажимах батареи, потерю напряже¬
ния Л U в линии, напряжение U2 на зажимах приемника и
мощность Р2, потребляемую приемником, если э. д. с. каждого акку¬
мулятора Е=2 в, а его внутреннее сопротивление гв=0,01 ом.
63. Чему равна емкость qp аккумулятора типа С-4 при раз¬
рядке, если разрядка производилась в течение tp=3 час. при
токе 7Р=36 а, а также определить емкость q3 при зарядке аккуму¬
лятора, если его отдача по емкости 1^=90%.
64. Свинцовый аккумулятор имеет внутреннее сопротивление
гв=0,005 ом, разряжается при токе Ір=18 а и напряжении U=2 в.
Вычислить э. д. с. Е аккумулятора (в данный момент).
65. Свинцовый аккумулятор заряжался в течение t3=4,5 часа
при токе 73=126 а. Определить ток Ір при разрядке аккумулятора,
если он будет разряжаться в течение £р=10 час., а отдача по ем¬
кости г] =88,9%.
66. Какое напряжение U на зажимах генератора должно быть
в конце зарядки аккумуляторной батареи (свинцовой), состоящей
из 90 последовательно включенных элементов, если батарея заря¬
жалась при токе 73=18 ai Сопротивление подводящих проводов
г=0,5 ом.
67. Свинцовая аккумуляторная батарея питает нагрузку, со¬
стоящую из 120 ламп накаливания. Ток каждой лампы при напря¬
жении £7 = 110 в равен Іл =0,5 а. Сопротивление подводящих прово¬
дов г=0,115 ом. Определить число элементов аккумуляторной
батареи в начале (пх) и в конце (п2) разрядки, а также емкость qp,
если время горения ламп t=5 час.
Решение. Ток ламп
I = Ілп = 0,5-120 = 60 а.
Потеря напряжения в подводящих проводах
АС7 = гі = 0,115-60 = 6,9 в.
Напряжение аккумуляторной батареи
иб = и + \и = 110 + 6,9 = 116,9 в.
Считая, что в начале разрядки каждый элемент имеет напря¬
жение 2,1 в, число элементов в начале разрядки аккумуляторной
батареи будет равно:
U6 116,9
Пі = — = -
2,1 2,1
= 55,7« 56.
48
Так как в конце разрядки напряжение элементов должно быть
(не ниже) 1,8 в, то число элементов в конце разрядки
ТІ2 =
U6 = 116,9
1,8 “ 1,8
= 65.
Следовательно, для поддержания постоянного напряжения
на зажимах нагрузки при помощи элементного коммутатора де¬
вять элементов (п2——56=9) присоединяются к сети по¬
степенно по мере падения напряжения батареи.
Емкость аккумуляторной батареи при разрядке
qp—It = 60 -5 = 300 а-ч.
68. Свинцовая аккумуляторная батарея питает нагрузку, со¬
стоящую из 100 ламп накаливания. Ток каждой лампы при напря¬
жении U=220 в равен Іл =0,91 а. Сопротивление подводящих
проводов линии г=0,12 ом. Определить число элементов аккуму¬
ляторной батареи в начале (пх) и в конце (тг2) разрядки, а также
емкость <7Р, если время горения ламп t=10 час.
69. По условию задачи 67 определить число элементов акку¬
муляторной батареи в начале (пх) и в конце (п2) разрядки, если ба¬
тарея состоит не из свинцовых аккумуляторов, а щелочных и нап¬
ряжение при разрядке на один элемент меняется от 1,3 до 1,15 в.
Глава вторая
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
1. ЗАКОН КУЛОНА
Сила взаимодействия между двумя точечными электрическими
зарядами * прямо пропорциональна их произведению и обратно
пропорциональна квадрату расстояния между ними:
F = к^,
Г
(1)
» т. е.
где к — коэффициент пропорциональности.
Коэффициент пропорциональности зависит от выбора системы
единиц и от свойств среды, в которой расположены взаимодейст¬
вующие заряды. В абсолютной практической системе единиц**
XX 1
коэффициент пропорциональности принимается равным —
тсЗѴО
А_ 1
Тогда формула (1) примет следующий вид:
<71(72
4лг2еа’
(2)
где F — сила взаимодействия, н;
(h и #2 — электрические заряды, к\
г — расстояние между электрическими зарядами,
* Электрическое поле создается взаимодействующими заряженными
телами, размеры которых малы по сравнению с расстояниями между ними.
** Согласно ГОСТ 8033—56 для электрических и магнитных измерений
установлена основная абсолютная практическая система единиц МКСА, ос¬
новными единицами которой являются: метр, килограмм, секунда и ампер.
Данный ГОСТ допускает применение для электрических и магнитных из¬
мерений также абсолютной системы СГС; ее основные единицы: сантиметр,
грамм и секунда.
50
Еа — абсолютная диэлектрическая проницаемость вещества
(среды), характеризующая электрические свойства ди¬
электриков.
Абсолютная диэлектрическая проницаемость измеряется в
ф/м*
Диэлектрической проницаемостью ве¬
щества, или относительной диэлектриче¬
ской проницаемостью вещества, называется от¬
ношение абсолютной диэлектрической проницаемости вещества еа
к электрической постоянной е0:
е=— , (3)
е0
откуда абсолютную диэлектрическую проницаемость вещества
можно представить так:
еа = е80, (4)
где е — диэлектрическая проницаемость вещества (отвлеченная
величина);
е0 — электрическая постоянная, ф/м.
Электрическая постоянная равна:
е0= —-—а ф/м = 8,85 • ІО”12 ф/м = 8,85 • ІО-14 ф/см.
4л9-109
1
Если га выразить через е и е0 = ■ jgg ф/м, то закон Кулона
примет следующий вид:
г— Çi72 109 7ig2[ ,
* / 2 2
4Ш’ EEq r e
2. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ
СМЕЩЕНИЕ
Напряженность электрического поля
есть векторная величина, характеризующая силовое действие
электрического поля на электрически заряженные тела, равная от¬
ношению силы F, с которой электрическое поле действует на непод¬
вижное точечное заряженное тело, внесенное в рассматриваемую
точку поля, к заряду q этого тела:
F
E=—, (5)
Я
где E — напряженность электрического поля, в/м.
Напряженность электрического поля
точечного заряда определяется по формуле
Е =
4лг2еа’
♦ Фарада/метр.
(6)
51
где г — расстояние от заряда до точки, в которой определяется
напряженность электрического поля, м.
Если электрическое поло создается не одним, а несколькими
точечными зарядами, то напряженность поля в любой точке равна
геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых отдель¬
ными зарядами,
Ê = Ё, + Ё2 + . . . + Ёп, (7)
где Еѵ Е2, ...» Еп — напряженности электрического поля, соз¬
даваемые отдельными зарядами, которые
можно определить по формуле (6).
Напряженность электрического поля
между двумя параллельными, разноимен¬
но заряженными плоскостями
Е= —, (8)
ее0
где о — поверхностная плотность электрического заряда, к/м2.
Электрическое смещение равно произведению
абсолютной диэлектрической проницаемости вещества etf на напря¬
женность электрического поля Е.
D = гаЕ = ее0£, (9)
где D — электрическое смещение, к/м2.
3. КОНДЕНСАТОРЫ
Конденсатором называется система из двух проводни¬
ков (обкладок), разделенных диэлектриком.
Электрической емкостью, или просто
емкостью, конденсатора называется отношение
электрического заряда g на одной из обкладок конденсатора к на¬
пряжению на его обкладках при условии, что обкладки конденса¬
тора имеют одинаковые по величине и противоположные по знаку
заряды, т. е.
С=-^, (10)
где С — емкость конденсатора, ф\
U — напряжение на обкладках конденсатора, в.
Емкость измеряется в фарадах (дб), а также в более мелких еди¬
ницах — микрофарадах (1 Л€«д6=10“вдб) и пикофарадах (1 пф =
=10-12 ф).
Емкость плоского конденсатора
С = —, (11)
d
52
где S — площадь одной обкладки конденсатора, м2;
d — расстояние между обкладками конденсатора, м.
Эта формула показывает, что емкость плоского конденсатора
не зависит от величин приложенного напряжения и заряда и
является постоянной величиной для данного конденсатора *.
Напряженность электрического поля в плоском конденсаторе
прямо пропорциональна напряжению на обкладках конденса¬
тора U и обратно пропорциональна расстоянию d между его об¬
кладками:
Емкость цилиндрического конденсатора
P _ q __ 2л/ее0
U г2 (13)
In—
Гі
где Fj и г2 — радиусы внутреннего и внешнего цилиндров, м\
I — длина цилиндров (конденсатора), м.
Напряженность электрического поля в
цилиндрическом конденсаторе
Е = 7~— = <14)
2nrZte0 , f2
ГІП —
Гі
где F — расстояние от точки, в которой определяется напря¬
женность электрического поля, до оси цилиндров, м.
Из формулы (14) видно, что напряженность электрического
поля обратно пропорциональна радиусу г равнопотенциальной
поверхности. Следовательно, наибольшая напряженность элек¬
трического поля будет на поверхности внутреннего цилиндра
(г = fJ, т. е.
Е _ U
*^макс •
пііА
гі
Емкость сферического конденсатора
£ 4лееогрг
U г2 — и
где гх и г2 — радиусы внутренней и внешней сфер, м.
(16)
Это положение справедливо и для других типов конденсаторов.
53
Напряженность электрического поля
в сферическом конденсаторе
я=-4-,
4лг ее0
где г — расстояние от точки, в которой определяется напряжен¬
ность электрического поля, до центра конденсатора, м.
Из формулы (17) видно, что наибольшая напряженность
электрического поля будет на поверхности внутреннего шара,
т. ѳ.
J7 Я. ГТ Г2
& макс — - 2 — U
чл^еео П(г2—П)
4. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ
КОНДЕНСАТОРОВ
Эквивалентная емкость при параллель¬
ном соединении конденсаторов равна сумме ем¬
костей отдельных конденсаторов:
С = Сі + С2 + . . . + СП9 (19)
где С — эквивалентная емкость;
Сѵ С2, ..., Сп — емкости отдельных конденсаторов.
Если параллельно соединено п конденсаторов и они имеют
одинаковую емкость, то эквивалентная емкость определяется
по формуле
С = пСи (20)
где Сх — емкость одного конденсатора;
п — число параллельно соединенных конденсаторов.
Эквивалентная емкость С при последо¬
вательном соединении конденсаторов опре¬
деляется по формуле
Если емкости последовательно соединенных конденсаторов
одинаковы, то эквивалентная емкость равна:
С = —. (22)
п
5. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Энергия электрического поля определяется по формуле
W = =
9 2 2 2С'
где W9 — энергия электрического поля, дж.
(23)
54
Задачи
70. Какова сила взаимодействия F между двумя зарядами
^=0,25 мкк и ^2=0,8 мкк. находящимися в воздухе на рас¬
стоянии друг от друга г=20 см? Диэлектрическая проница¬
емость воздуха eœl.
71. Чему равен точечный заряд q, создающий на расстоянии
г=5 см поле с напряженностью Е = 18 кв/см?
72. Два одинаковых заряда ç1 = ?2=l,2*ІО"7 к расположены
на расстоянии друг от друга d=18 см. Определить величину и
направление вектора напряженности электрического поля Е
в точке А. удаленной на расстояние а\=12 см от первого заряда
и г2=15 см от второго (рис. 48). д
73. Вычислить напряженность электри- іѵ
ческого поля Е между двумя параллель- г N.
ными разноименно заряженными плоско- г, /
стями, если поверхностная плотность за- / N.
ряда / cl X
о = 2,5-ІО”9 кісм2.
74. Определить напряженность элект- Рис. 48
рического поля Е и электрическое смеще¬
ние D между двумя параллельными металлическими пластинами,
находящимися на расстоянии одна от другой d=5 мм. Между
пластинами находится диэлектрик с диэлектрической проницае¬
мостью 6=7,5. Напряжение, приложенное к пластинам, U = 220 в.
75. Между двумя параллельными металлическими пластинами
помещена стеклянная пластинка с диэлектрической проницае¬
мостью е=6. Металлические пластины заряжены до напряже¬
ния С71=110 в. Каково будет напряжение С/2 между ними, если
их отсоединить от источника и вынуть стеклянную пла¬
стинку?
76. В электрическое поле с напряженностью £=100 кв/см
помещена стеклянная пластинка, диэлектрическая проницаемость
которой е=8. Определить внутренние силы в стекле.
77. Плоский воздушный конденсатор заряжен до напряжения
С71=220 в, расстояние между обкладками конденсатора dx=0,5 ел.
Вычислить напряжение С/2 на обкладках конденсатора, если его
отсоединить от сети и обкладки раздвинуть до d2=3 см. Пред¬
полагаем, что утечки зарядов нет.
78. К обкладкам плоского конденсатора приложено напря¬
жение [7=10 кв. Найти напряженность электрического поля Е,
если расстояние между обкладками конденсатора d=l см.
79. По условию задачи 78 определить напряженность элек¬
трического поля в воздушном слое и в стеклянной пластинке,
если между обкладками конденсатора поместить стеклянную
пластинку (е=8) толщиной 0,4 см.
55
80. Какова емкость С плоского конденсатора, если расстоя¬
ние между обкладками d=0,l см, площадь каждой обкладки
5 = 100 см2 и диэлектрическая проницаемость диэлектрика (слю¬
ды) в=7,5?
81. Какое число пластин п должен иметь конденсатор, чтобы
емкость С была бы равна 5 мкф, если площадь каждой пластины
5=5-6 см2\ диэлектриком является парафинированная бумага
(е=3,5, d=0,006 см)1
82. Два конденсатора емкостью каждый 4 мкф присоединены
параллельно к сети постоянного напряжения С7х = 220 в. Какое
напряжение U2 получится на обкладках обоих конденсаторов,
если их после зарядки отсоединить от сети и соединить после¬
довательно? Предполагаем, что утечки зарядов нет.
83. Четыре конденсатора, емкости которых соответственно
равны: С±=7 мкф, С2=Ь мкф, С3=2 мкф и С4=6 мкф, вклю¬
чены параллельно. Определить эквивалентную емкость С батареи.
84. К источнику постоянного тока с напряжением [7=220 в
присоединены параллельно четыре одинаковых конденсатора.
Какова емкость С\ одного конденсатора, если конденсаторы по¬
лучили заряд 7=11-10"6 kï
85. Параллельно включены три конденсатора, емкости кото¬
рых соответственно равны: Сх = 1,6 мкф\ С2=%мкф', С3=0,4 мкф.
0__________у Определить заряд и энергию
*I Г электрического поля каждого
I конденсатора и энергию всех
у ’1 конденсаторов, если им сооб-
Г щен заряд 7=8,8-10"4 к.
86. К сети постоянного тока
Т % присоединены последовательно
& • два плоских конденсатора (рис.
Рис. 49 49), эквивалентная емкость ко¬
торых С = 1,2 мкф. Найти на¬
пряжение на обкладках каждого конденсатора и напряжение се¬
ти, если емкость первого конденсатора 6^=3 мкф, а энергия его
^=127-10"4 дж.
Решение. Зная эквивалентную емкость С и емкость Сг
первого конденсатора, можно определить емкость С2 второго
конденсатора из следующего выражения:
1 = £ _1
С ~ С1 С2'
откуда
с_ ССі _ 1,2-ІО-6-3-10“
2~Сі—С 3-10"®—1,2-10
2 • 10—3 g5.
Зная энергию электрического поля первого конденсатора,
можно определить напряжение на обкладках первого конденса¬
56
тора из формулы
2
отсюда
Так как при последовательном соединении конденсаторов за¬
ряды их равны, то
CiUt = C2U2,
откуда
U2 = Ui • — = 92 • 3‘10 = 138 в.
С2 2-ІО-6
Напряжение сети
U = + U2 = 92 + 138 = 230 в.
87. К сети постоянного тока присоединены последовательно
два плоских конденсатора (рис. 49), эквивалентная емкость ко¬
торых С=2,1 мкф. Найти напряжение на обкладках каждого
конденсатора и напряжение U сети, если ем¬
кость первого конденсатора Сг=1 мкф, а
энергия его И/1 = 166,6-10-4 дж.
88. Последовательно включены три кон¬
денсатора, емкости которых соответственно
равны: С1=2 мкф; С2 = 10 мкф; С3=5 мкф.
Определить эквивалентную емкость С бата¬
реи, напряжение на обкладках каждого кон¬
денсатора, энергию электрического поля
каждого конденсатора и всех конденсаторов,
если напряжение, приложенное к цепи, Рис. 50
С7=220 в.
89. Между двумя обкладками плоского конденсатора распо¬
ложены три параллельных слоя: слюды, эбонита и парафиниро¬
ванной бумаги (рис. 50). Вычислить емкость С плоского конден¬
сатора, напряженность электрического поля и падение напряжения
в каждом слое, если слюдяной слой: ^=0,03 см, е1=7; эбонито¬
вый слой: d2=0,02 см, е2 = 2,5 и бумажный слой: d3=0,5 см,
е3=3,5; площадь каждой обкладки 5=200 см2, напряжение,
приложенное к конденсатору, £7=220 в.
90. Последовательно включены три конденсатора, емкости
которых соответственно равны: 6^ = 10 мкф; С2=2 мкф; С3=
=2,5 мкф. Определить напряжение на обкладках каждого кон¬
денсатора и энергию электрического поля каждого конденсатораа
если напряжение, приложенное к цепи, £/ = 110 в.
57
91. Найти выражение для определения емкости С плоского
конденсатора, если площадь каждой обкладки 5, а промежуток
между этими обкладками состоит из двух разных диэлектриков
Рис. 51
толщиной dx и d2 с диэлектрическими прони¬
цаемостями и е2 (рис. 51).
92. По условию задачи 91 найти выражение
для определения напряжений [7Х, U2, напря¬
женностей Ег и Е2 в двух диэлектриках (дан¬
ный конденсатор можно рассматривать как два
последовательно включенных конденсатора),
если известно напряжение U на обкладках кон¬
денсатора.
93. Диэлектрик плоского конденсатора со¬
стоит из трех параллельных слоев толщиной
dv d2, d3 с диэлектрическими проницаемостями
е2, е3 (рис. 50). Какова напряженность электрического
поля в каждом слое, т. е. Е±, Е2 и Е3, если напряжение на обклад¬
ках конденсатора равно Ш
94. Определить эквивалентную емкость С цепи, изображенной
на рис. 52, если Сх=і мкф, С2 = 10 мкф, С3=2,5 мкф, С4=2 мкф,
С5=0,5 мкф и Св=5 мкф.
95. Цилиндрический конден¬
сатор имеет внутренний радиус
^ = 2,4 см, а внешний г2 = 2,7 см.
Вычислить наибольшую напря-
женнность электрического поля
Емакс, если напряжение, прило¬
женное к обкладкам конденса¬
Рис. 52
тора, [7=6 кв.
96. Сферический конденсатор имеет внутренний радиус
т\=8 см, а внешний г2=10 см. Пространство между сферами за¬
полнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью
8=2,2. Найти наибольшую напряженность электрического поля
Емакс И емкость С сферического конденсатора, если напряжение,
приложенное к обкладкам конденсатора, [7=10 кв.
97. Определить емкость 1 км одножильного кабеля, если
радиус его жилы гх = 2 мм, а радиус свинцовой оболочки г2=4 мм-
Диэлектрическая проницаемость изоляции между жилой и обо¬
лочкой 8=4,2.
58
Глава третья
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
1. ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ПРОВОДНИК С ТОКОМ
Если в однородное магнитное поле поместить прямолинейный
проводник с током (рис. 53), то на проводник будет действовать
электромагнитная сила, которая пропорциональна магнитной
индукции, току в проводнике, длине проводника и синусу угла
между направлением тока и направлением
поля (вектора магнитной индукции): — ►
/’ = S/Zsina, (1) T?" *
где F — электромагнитная сила, н; А/А* &
В — магнитная индукция, тл (ітл= A/f T"
= 1 в б/at2) ;
I — ток в проводнике, а;
I — длина проводника, м\ рис $
а — угол между направлением тока
и направлением поля, град.
Электромагнитная сила F направлена перпендикулярно как
направлению поля, так и направлению тока.
Если проводник, расположен перпендикулярно магнитному
полю, то электромагнитная сила*, действующая на проводник с
током, будет наибольшей, т. е.
Рмакс = ВИ. (2)
2. МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ И МАГНИТНЫЙ ПОТОК
Магнитная индукция — векторная величина, харак¬
теризующая силовое действие магнитного поля на проводник
с током.
* Вместо термина «электромагнитная сила» применяются также тер¬
мины «механическая сила» или «сила».
59
Магнитную индукцию можно определить из формулы (2):
ту F макс (3)
В==~ГГ'
т. е. магнитная индукция численно равна электромагнитной силе,
с которой магнитное поле действует на единицу длины проводни¬
ка, расположенного перпендикулярно направлению поля, если
по проводнику проходит ток, равный единице.
Магнитная индукция измеряется в теслах (тпл).
На практике магнитная индукция часто измеряется в гаус¬
сах (гс); 1 гс=1О“4 тпл=10“4 вб/м2.
Магнитный поток — поток вектора магнитной ин¬
дукции, который определяется как произведение магнитной ин¬
дукции на поверхность, расположенную перпендикулярно нап¬
равлению поля (вектора магнитной индукции):
Ф = BS, (4)
где Ф — магнитный поток, вб\
3 — поверхность, через которую проходит магнитный
поток, л2.
Если поверхность неперпендикулярна направлению поля, т. е.
вектор магнитной индукции образует с нормалью к поверхности
3 угол а, то магнитный поток будет равен:
Ф = BS cos а = BnS, (5)
где Вп — составляющая вектора магнитной индукции В, нор¬
мальная к поверхности 3.
При расчетах магнитный поток часто выражают в максвел¬
лах (мкс)\ 1 лие = 10”8 вб\ 1 вб = 108 мкс.
3. МАГНИТНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ И НАПРЯЖЕННОСТЬ
МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Абсолютной магнитной проницаемостью
вещества называется величина, характеризующая магнитные
свойства вещества, равная отношению величины магнитной индук¬
ции В к величине напряженности магнитного поля Н:
На=-^-, (6)
п
где [іа — абсолютная магнитная проницаемость вещества, гн/м\
Н — напряженность магнитного поля, а/м.
Магнитной проницаемостью вещества,
или относительной магнитной проницае¬
мостью вещества, называется отношение абсолютной маг¬
60
нитной проницаемости вещества к магнитной постоянной:
(7)
Но
где |л — магнитная проницаемость вещества* (безразмерная
величина);
р,0— магнитная постоянная, равная 4л10"7 гн/м = 1,256-lû"e
гн/м = 1,256-ІО"8 гнісм.
Из формулы (6) следует, что напряженность магнитного поля
определяется как отношение магнитной индукции В к абсолют¬
ной магнитной проницаемости вещества (среды) ріа:
Я = —=—. (8)
P-а РИО
Как было сказано выше, напряженность магнитного поля
измеряется в а/м.
На практике напряженность магнитного поля иногда выра¬
жают в а/см\ 1 а!см=іЫ) а!м.
Рис. 54
4. РАСЧЕТ МАГНИТНОГО ПОЛЯ С ПОМОЩЬЮ ЗАКОНА
ПОЛНОГО ТОКА
Закон полного тока — линейный интеграл вектора
напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру
равен полному току (алгебраической сумме токов), проходящему
через поверхность, ограниченную этим кон¬
туром:
(f)Hdl= 2Z. (9)
При помощи закона полного тока мож¬
но определить напряженность магнитного
поля, а следовательно и магнитную индук¬
цию в любой точке магнитного поля.
Напряженность магнитного поля в точ¬
ке, отстоящей на расстоянии а от оси пря¬
молинейного проводника ** (рис. 54), равна:
н = (10)
2ла
а магнитная индукция в этой точке
В = щі0Н = |ці0 —,
2ла
где а — расстояние от оси прямолинейного проводника до точки
Л, м.
* Для пустоты р,=1.
** Теоретически бесконечно длинного проводника.
(И)
61
Напряженность магнитного поля внутри цилиндрического
проводника
в точке, удаленной от оси на расстоянии х, равна
Я = (12)
2лг
а напряженность магнитного поля на поверхности проводника
(і=г)
»=А из)
2лг
где г — радиус проводника, м.
Напряженность магнитного поля в цен¬
тре кольцевого (кругового) проводника
Н =
2г
(14)
где г — радиус кольца, м\
d — диаметр кольца, м.
Напряженность
Рис. 55
Из формул (15)
магнитного поля внутри кольцевой катушки
в точке А (рис. 55) определяется по фор¬
муле:
н = — =—, (15)
Іх 2лгх
а магнитная индукция
В = щло# = ННо — = ННо т , (16)
Л 2лгх
где Іх — длина линии магнитной индукции
в сердечнике катушки, м;
w — число витков катушки;
гх — радиус от центра кольцевой ка¬
тушки до точки Л, м.
и (16) видно, что напряженность магнитного
поля и магнитная индукция в сердечнике кольцевой катушки
на различных расстояниях от центра неодинаковы; наиболь¬
шее значение магнитной индукции будет на внутренней поверх¬
ности катушки:
о Iw
&макс = ННо
2лг<
а наименьшее — на внешней поверхности
Р _
&MUH ННО о
2лл2
(17)
(18)
62
(19)
Если разница между Fj и г2 невелика, то магнитную индук¬
цию можно определить по формуле:
„ Iw Iw
В =|1|ХО—- =щ*о —,
I 2лг
где I — средняя длина катушки*, м\
і\ и г2 — внутренний и внешний радиусы кольцевой ка¬
тушки, м\
г=г* — средний радиус кольцевой катушки, м.
Напряженность магнитного поля на оси цилиндрической катушки
в любой точке А (рис. 56)
гт fw / \
Н — — (coscti—cosa2),
а магнитная индукция
„ Iw, X
В = |і|і0 — (cos ai — cosa2).
2/
Если имеется бесконечно длин¬
ная катушка, то угол ах=0 и
cos cz1=1, а угол а2 = 180° и cos а2=—1.
Подставляя эти значения cos и cos a2 в формулы (20) и (21),
получим:
(20)
I
(21)
Рис. 56
Я = -.
I
T> Jw
В =|Л|Ло—.
(22)
(23)
5. РАБОТА СИЛ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Работа Л, совершаемая при перемещении в магнитном поле
проводника, по которому проходит неизменяющийся ток /,
равна произведению тока I на пересеченный этим проводником
магнитный поток Ф:
А = ІФ. (24)
Работа Л, совершаемая при перемещении в магнитном поле
контура, по которому проходит неизменяющийся ток /, опреде¬
ляется по формуле:
Л = I (Ф2 - ФО, (25)
где Фх — магнитный поток в начальном положении контура;
Ф2 — магнитный поток в конечном положении контура.
* Длина средней линии магнитной индукции в сердечнике.
63
6. РАСЧЕТ НЕРАЗВЕТВЛЕННОЙ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ
Расчет неразветвленной магнитной цепи,
состоящей из нескольких разнородных участков, производится
по формуле
фHdl — Нtit 4~ Н2І2 4" • • »4~ = Ііѵ, (26)
где Нѵ Н2 — напряженности магнитного поля отдельных
участков магнитной цепи;
Zv 12 — длины отдельных участков магнитной цепи.
При расчете магнитной цепи будем предполагать, что маг¬
нитный поток везде одинаков, т. е. пренебрегаем магнитным
потоком рассеяния:
Ф — ВiSі = B2S2 — ' . . — = • • • (27)
Задавшись величиной магнитного потока Ф, определяем для
каждого участка магнитной цепи величину магнитной индукции
Вѵ В2, В3 и т. д. по формуле (27). Затем по кривым намагничи¬
вания (приложение 34) находим напряженности магнитного поля
Нѵ Н2, Н3 и т. д.
Для участков из неферромагнитного материала или для воз¬
душного зазора напряженность магнитного поля определяется
по формуле
Я=—. (28)
Ro
Если магнитная индукция выражена в гауссах, а напряжен¬
ность магнитного поля — в а/см, то
Н = 0,85. (29)
Зная Нѵ Н2, Н3, ... и длины отдельных участков магнитной
цепи Z1? Z2, Z3. ..., можно определить по формуле (26) магнито¬
движущую (намагничивающую) силу.
7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОКОВЕДУЩИХ ПРОВОДОВ.
ПОДЪЕМНАЯ СИЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТА
Сила взаимодействия двух параллельных проводов с токами
определяется по формуле *
F = щі0 —J = 2 • 10~7—1 [и] (30)
2л а а
или
F = 0,204 • 10“7— I [кГ], (31)
а
где F — сила взаимодействия;
а _ расстояние между осями проводов, м.
* Для воздуха [іа = = 4л-10”7 гн/м.
64
Подъемная сила подковообразного эле к-»
тромагнита определяется по формуле
F = —, (32)
Но
где F — подъемная сила, н\
S — площадь поверхности одного полюса, м*.
При расчетах магнитную индукцию иногда выражают в raye-»
сах, площадь полюса — в слі2, а подъемную силу электромаг¬
нита — в кГ\ тогда формула (32) примет следующий вид:
d2ç
F= [кГ]. (33)
4Л-981000
8. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
Электродвижущая сила, индуктируемая в замкнутом контуре
с числом витков w, равна произведению числа витков на ско-
гіФ
ростъ изменения магнитного потока -j— этого контура, взятой
с обратным знаком:
ЙФ
е = — w —,
dt
(34)
где е — электродвижущая сила, в\
w — число витков контура.
Произведение числа витков w на магнитный поток Ф назы¬
вается потокосцеплением*:
V = ірФ, (35)
где V — потокосцепление, вб.
При этом предполагаем, что все вит¬
ки пронизываются одним и тем же
магнитным потоком. В этом случае
формула (34) для э. д« с, индукции
примет следующий вид:
Рис. 57
dW
е = .
dt
(36)
Если в магнитном поле перемещается прямолинейный провод-»
ник со скоростью V под углом а к направлению поля (рис. 57),
то в проводнике индуктируется э. д. с., равная
е = Blv sin а, (37)
где V — скорость перемещения проводника, м/сек\
I — активная длина проводника, м,
* В общем случае потокосцеплением называется сумма магнитных пото¬
ков, сцепленных с отдельными витками данной электрической цепи.
3 Заказ № 936
65
Если проводник перемещается перпендикулярно направлению
магнитного поля, то э. д. с., индуктируемая в проводнике, опре-»
деляется по формуле
е = Віѵ. (38)
Если В, I и V выражены соответственно в ас, см и см/сек, то
е = В/глІО"8. (39)
9. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА САМОИНДУКЦИИ
При изменении тока в контуре (цепи) изменяется сцепленный
с ним магнитный поток (потокосцепление самоиндукции), вслед¬
ствие чего в контуре индуктируется э. д. с., которая называется
э. д. с. самоиндукции.
Явление возбуждения электродвижущей силы в контуре
(цепи) при изменении потокосцепления самоиндукции этого кон¬
тура (цепи) называется самоиндукцией.
Э. д. с. самоиндукции равна произведению индуктивности L
di » *
на скорость изменения тока , взятой с обратным знаком:
r di
eL = —L—9
dt
где Cr — э.д.с. самоиндукции, в;
L — индуктивность контура (цепи), гн.
На практике, кроме генри, применяется еще и более мелкая
единица для измерения индуктивности — миллигенри (мгн)\
1 гн.
(40)
10. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ
Если два контура расположены близко один от другого и по
ним проходят токи і± и г2, то при изменении тока в первом
контуре произойдет изменение потокосцепления взаимной индук¬
ции (магнитного потока взаимной индукции), сцепленного со
вторым контуром, и в нем будет индуктироваться э. д. с., кото¬
рая называется э. д. с. взаимной индукции. Явление
возбуждения электродвижущей силы в контуре (цепи) при изме-»
нении потокосцепления взаимной индукции этого контура (цепи)
называется взаимной индукцией.
Электродвижущая сила взаимной индукции
еМ1 = -М^-, (41)
at
где еМі — э. д. с. взаимной индукции, индуктируемая во втором
контуре, в;
М — взаимная индуктивность контуров, гн>
£6
При изменении тока і2 во втором контуре в первом контуре
будет индуктироваться э. д. с. взаимной индукции:
еМі=-М^-, (42)
dt
где eMl — э. д. с. взаимной индукции, индуктируемая в первом
контуре, в.
Коэффициент связи двух контуров опре¬
деляется по формуле
М
к = -Д=, (43)
1/
где к — коэффициент связи двух контуров;
Lx — индуктивность первого контура, гн\
Ь2 — индуктивность второго контура, гн.
И. ИНДУКТИВНОСТЬ
Если средний радиус кольцевой катушки значительно больше
радиуса ее витков, то магнитный поток этой катушки можно опре-,
делить по формуле
ф = BS = |Л|ЛОЯ5 = ццоS.
I
Так как этот магнитный поток сцеплен со всеми витками
катушки, то потокосцепление самоиндукции будет равно:
LI = =wQ — St
I
откуда индуктивность кольцевой катушки
т Ть ш2 „ w2 „
L=~r = !Фо—=Щ1о — 5, (44)
I I 2пг
где L — индуктивность катушки, гн\
S — площадь поперечного сечения катушки, м2\
I — средняя длина катушки,
г — средний радиус катушки, м.
Индуктивность цилиндрической катушки
Z=ji|Xoy<$. (45)
Индуктивность двухпроводной линии
L=4-l(T7Zln—, (46)
Г
3*
67
где I — длина линии, м\
а — расстояние между осями проводов, м\
г — радиус проводов, м>
Обычно длина линии составляет несколько километров, по¬
этому индуктивность линии удобнее определять на 1 км ее длины.
Так как 1 ил£ = 103 лг, то индуктивность 1 км линии
£о=4-1О-41п —, (47)
Г
где Lq— индуктивность 1 км линии, гн/км.
В этой формуле не учитывается магнитный поток внутри са¬
мих проводов.
Если же учесть этот поток, то индуктивность двухпроводной
линии на 1 км
£0 = (41п—+ ц (48)
\ г /
где |а — магнитная проницаемость провода, которая для всех
проводов, кроме стальных, приблизительно равна еди¬
нице.
Эквивалентная индуктивность при по¬
следовательном соединении двух кату¬
шек (контуров) с взаимной индуктивностью между ними М
определяется по формуле
L = L, + L2 ± 2М. (49)
Знак «плюс» соответствует согласному соединению катушек,
а знак «минус» — встречному соединению катушек.
Эквивалентная индуктивность L при па*
раллельном соединении двух катушек (кон¬
туров) с взаимной индуктивностью М между ними определяется
по формуле
L LtL2-M2
Li + L2 =F 2Af
Знак «минус» в знаменателе соответствует согласному соеди¬
нению катушек, а знак «плюс» — встречному соединению кату¬
шек.
Формула (50) справедлива при условии, что сопротивления
катушек (контуров) очень малы.
Эквивалентная индуктивность при последовательном соеди-*
нении п катушек (контуров) с индуктивностями Lv L2, ..., Ln
и при отсутствии взаимной индуктивности определяется по
формуле:
L = Li + L2 + . • . + Ln> (51)
68
а при параллельном их соединении определяется по формуле
МАГНИТНОГО
ного поля определяется по
(53)
LI2 W
2
2
12. ЭНЕРГИЯ
Энергия магнит
формуле
WM =
где WM — энергия магнитного поля, дж\
L — индуктивность цепи (контура), гн.
Энергия магнитного поля двух магни¬
тосвязанных катушек (контуров) определяется по
формуле
W-^+^+МІЛ (54)
В зависимости от направления токов и і2 третий член фор¬
мулы может быть положительным или отрицательным; вслед¬
ствие этого энергия системы может быть больше или меньше
суммы энергий магнитных полей обеих катушек (контуров), взя¬
тых отдельно.
Задачи
98. В однородное магнитное поле с магнитной индукцией
В=0,8 тл помещен прямолинейный проводник длиной Z=50 см,
по которому проходит ток 7=10 а. Вычислить электромагнитную
силу F, действующую на проводник, если направление тока в про¬
воднике образует с направлением вектора магнитной индукции
угол а=30°.
99. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий плоскую
площадку со сторонами 10 и 50 см, если магнитная индукция
во всех точках этой площадки одинакова и равна В=0,6 тл\
при этом направление вектора магнитной индукции образует
с нормалью к площадке угол а=20°.
100. В однородное магнитное поле с магнитной индукцией
В=1,2 тл помещена плоская прямоугольная площадка 5=
=300 см2, причем направление вектора магнитной индукции
образует с площадкой угол а=90°. Чему равен магнитный поток
Ф, пронизывающий площадку?
101. По прямолинейному проводу длиной I проходит ток I
(рис, 54). Вывести выражение для определения напряженности
69
магнитного поля Н в любой точке 4, отстоящей от оси провод-*
ника на расстоянии а.
102. По длинному прямолинейному медному проводу диамет¬
ром d=12,2 мм проходит ток /=300 а. Построить кривую изме-*
нения напряженности магнитного поля внутри и вне проводника.
103. Определить напряженность магнитного поля Н в центре
кольцевого проводника *, по которому проходит ток 7=20 а,
а радиус кольца г=20 см.
104. По длинному прямолинейному медному проводу диамет¬
ром d=13,8 мм проходит ток 7=350 а.
ность магнитного поля Н и магнитная
Чему равна напряжен-
индукция В в точках,
расположенных на рас¬
стоянии а=0; 0,3; 0,69;
1,38; 3 и 5 см от оси
прямолинейного про¬
водника, если магнит¬
ная проницаемость про¬
вода |Х^1?
105. Определить на¬
пряженность магнитно¬
го поля Н в центре на
оси цилиндрической ка¬
тушки, если магнитный
поток Ф, создаваемый
магнитодвижущей сип¬
лой катѵшки. павен
лХр:оіоіо:оіоіоіогогоіо:отс>:
1,1-10“® еб. Поперечное сечение катушки 5=10 см2,
106. Вычислить напряженность магнитного поля Н вдоль
оси цилиндрической катушки (рис. 58) в точках, находящихся
на расстоянии х=80, 60, 40, 20 и 0 см от ее центра, если длина
катушки 2=80 см, диаметр катушки d=10 см, число витков
и?==400 и ток в катушке 7=2,5 а.
Решение. Напряженность магнитного поля на оси катушки
в любой точке А (рис. 58) определяется по формуле
* Кругового проводника.
70
где
Подставляя данные значения в формулу, получим напряжен¬
ность магнитного поля на оси катушки за пределами катушки:
_2,5-400
2-0,8
0,052 + 0,8 +
0,8+ —
2
4,37 а/м = 0,0437 а!см\
„ 2,5-400
Ш =
2-0,8
0.6
&
0,052 + (о,6 +
V 2 J
17,5 а/м =0,175 а/см.
Напряженность магнитного поля на концах катушки
Напряженность магнитного поля на оси катушки на расстоя¬
нии 20 см от ее центра
71
Напряженность магнитного поля в центре катушки
/ 0+^ 0-И к
„ 2,5-400/ 2 2 \
/25=’ 'I .. ■ ■ ■ ———■— — 1 =
20,8 \]/^°’052 +(°+у)2 |/°,°52+(°—уУу
= 1240 а/м = 12,4 аісм.
Следовательно, наибольшая напряженность магнитного поля
получается в центре катушки, а на концах катушки напряжен¬
ность магнитного поля в два раза меньше, чем в центре.
107. Определить напряженность магнитного поля Н вдоль
оси цилиндрической катушки в точках, находящихся на рассто¬
янии я=60; 45; 30; 15 и 0 см от ее центра, если длина катушки
2=30 см, диаметр d=6 см, число витков ш=360 и ток в катуш¬
ке 7=5 а.
108. Сколько метров проволоки потребуется для изготовления
цилиндрической катушки длиной 2 = 1,2 м и диаметром d=0,l м,
если при прохождении тока 7=1 а в ней (в центре) будет созда¬
ваться напряженность магнитного поля 77=500 а/мЧ
109. Найти магнитодвижущую силу F катушки длиной
2=30 см, если напряженность магнитного поля внутри ее (в
центре) 27=120 а/см.
110. По условию задачи 109 определить число витков w ка*
тушки, если в ней проходит ток 7=10 а.
111. Вычислить напряженность магнитного поля Н внутри
полого цилиндрического проводника, если по нему проходит
ток 7.
112. Намагнитится ли стальной сердечник, если его вставить
в полый цилиндрический проводник, по которому проходит
ток 7?
ИЗ. Чему равен ток 7, проходящий по обмотке цилиндриче*
ской катушки, если длина ее 2=32 см, поперечное сечение
5=8 см2, число витков н?=250 и магнитный поток, создаваемый
магнитодвижущей силой катушки, Ф=7,2*10“в вб?
114. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий сталь*
ное кольцо круглого сечения с внутренним диаметром dx=32 см
и внешним d2=47 см, если на кольцо намотана обмотка с числом
витков ір=800, магнитная проницаемость стали |Л=35ОО и ток
в обмотке 7=15 а.
72
115. По условию задачи 114 определить, какой ток I дол¬
жен проходить по обмотке, если в кольце сделать воздушный
зазор длиной 6=2,5 мм, причем предполагаем, что магнитный по¬
ток Ф остается таким же, как и в задаче 114?
116. Два прямолинейных параллельных провода, расстояние
между осями которых а=1 м очень мало по сравнению с их
длиной и велико по сравнению с их радиусом. По проводам
проходит в противоположных направлениях ток 7=250 а.
Окружающая среда — воздух. Определить магнитную индук¬
цию В и напряженность маг¬
нитного поля Н в точке, лежа¬
щей в плоскости, проходящей
через оси проводов и удаленной
от оси первого провода на
аг = 0,7 м, а от оси другого
на а2=0,3 м.
117. По двум прямолинейным
параллельным проводам прохо¬
дит в противоположных направлениях
ние между осями проводов а=0,5 м. Окружающая среда — воз¬
дух. Какова магнитная индукция В в точках А, В, С, D, Е, F,
расположенных в плоскости оси проводов (рис. 59)?
Решение. Магнитная индукция в любой точке определяется
по формуле
Рис. 59
ток 7=200 а. Расстоя-
Так как *
В = |Л|Ло77 = |іцо — .
2ла
[іо=4л-1О“7 гн/м, то
В =4я’10 7/ = 2• 1СГ7 — [тл].
2ла а
Магнитная индукция внутри проводника на расстоянии х от
его оси определяется по формуле
Тх
В = ]ці0Н = ННо—2-
Магнитная индукция в точке А, создаваемая током в первом
и втором проводниках, 51Л=0;
В2Л = 2 • ІО”7 — = 2 • ІО”7 • = 0,8 • ІО”4 тл = 0,8 го.
а 0,5 '
Так как В1Л=0, то ВЛ=В2Л=О,8 го*
♦ Для воздуха рд=
73
Магнитная индукция в точке В
Вів=2- ІО-7 —— 2 • ІО-7 — = 4 • ІО"4 тл = 4 гс;
АВ 0,1
Вгв=2- ІО'7 — = 2• 10“7.— = 1 • ІО-4тл = 1 гс.
FB 0,4
Так как ток в проводах направлен в разные стороны, то век¬
торы магнитной индукции Вів и В2В имеют одинаковое направлен
ние, а поэтому результирующая магнитная индукция равна*
арифметической сумме магнитных индукций В1в и В2В:
Вв = В1В 4“ 52Д = “Ь 1 = 5 2с,
Аналогичным образом определим магнитные индукции в точ¬
ках С, D, Е, F, т. е.5с=3,33 гс; 5О=3,33 гс; ВЕ=5гс и5Г=0,8гс.
118. Три параллельных провода расположены в вершинах
равностороннего треугольника (рис. 60). Расстояние между осями
проводов а=15 см. Токи, проходящие по проводам, соответственно
равны: 7х=8000а, /2=4000а и 73=4000 а,
а их направления показаны на рис. 60.
Определить величину и направление
силы F, действующей на опоры, поддер¬
живающие провод 1, если расстояние
между соседними опорами равно 1 м.
119. По двум параллельным проводам
проходит в противоположных направле¬
ниях ток /=500 а. Расстояние между
осями проводов а=0,1 м. Провода укреп¬
лены на изоляторах, причем расстояние
между соседними изоляторами 1=1 м. Определить величину и
направление силы F, действующей на каждый изолятор.
120. Двигатель постоянного тока имеет число проводников
2Ѵ=ЗОО, ток в каждом проводнике ія =45 а. Вычислить работу А,
совершаемую двигателем, если магнитный поток Ф, пересекае¬
мый каждым проводником в течение 1 сек., равен 3,4-ІО"2 вб.
121. Двигатель постоянного тока имеет число проводников
/V=198, ток в каждом проводнике ія =147,5 а, активная длина про¬
водника 7=0,725 м. Скорость вращения двигателя п=660 об/мин.
Определить мощность Р2, развиваемую двигателем, и вращаю¬
щий момент М, если якорь двигателя вращается в радиальном
магнитном поле с магнитной индукцией 5=0,702 тл\ диаметр
якоря Вя =0,35 м.
122. По замкнутому плоскому контуру, симметричному отно¬
сительно оси, проходит ток /=50 а. Чему равен магнитный поток
ф пронизывающий контур в его начальном положении, если
74
контур поворачивается вокруг оси симметрии на угол 180°, совер-»
шая при этом работу А =1000 джі
123. Магнитная проницаемость стали =4000. Вектор магнит¬
ной индукции в стали равен Вг=0,3 тл и образует с нормалью к
поверхности раздела угол ах=86°.
Определить угол а2, который обра¬
зует вектор магнитной индукции
В2 в воздухе (рис. 61) с нормалью
к поверхности раздела, а также
найти магнитную индукцию В2 и
напряженность магнитного поля
Н2.
124. В среде с магнитной про¬
ницаемостью ^4=1 магнитная ин¬
дукция 5х=0,2 тл. В поле по¬
мещена пластинка, магнитная про¬
ницаемость которой |л2=8, так
что нормаль к поверхности раз- рис 61
дела образует с вектором магнит¬
ной индукции В± угол ax=30°È Чему равны угол а2 между век¬
тором магнитной индукции В2 и нормалью к поверхности раз¬
дела, магнитная индукция В2 и напря¬
женность магнитного поля Н2?
125. Определить магнитное сопро¬
тивление гм стального сердечника коль¬
цевой катушки (рис. 62), если внутрен¬
ний диаметр ее dx=18 см, внешний
d2=24 см, магнитная проницаемость
стали ц=4000, длина воздушного зазо¬
ра 6=0,3 см.
126. По условию задачи 125 вы¬
числить магнитодвижущую силу F коль¬
цевой катушки, если магнитная индук¬
ция В=0,6 тл.
127. Сколько витков w имеет коль¬
цевая катушка, площадь поперечного
сечения которой £=25 см2, средний
диаметр d=50 см, магнитный поток внутри нее Ф=45*10”4 вб?
Сердечник катушки имеет два воздушных зазора длиной каж¬
дый ô=0,2 см. Материал сердечника — стальное литье. Ток в
катушке 7=20 а.
128. Внутренний диаметр кольцевой катушки dx=20 см,
внешний d2=25 см, число витков w=900, поперечное сечение
стального сердечника катушки — круглое, магнитная прони-*
цаемость стали |і=3000. Определить энергию Wм, запасенную в
в магнитном поле катушки, если по ней проходит ток 7=30 я,
75
129. Вычислить магнитную индукцию В в сердечнике под¬
ковообразного магнита, если подъемная сила его F=95 кГ, а
поперечное сечение 5=8 см2,
130. Электромагнит рассчитан на напряжение 500 в и имеет
число витков и?=500, диаметр провода d=0,8 мм. Какое число
витков и диаметр провода будет иметь обмотка электромаг¬
нита, если он должен быть включен в сеть напряжением 220 в?
131. Прямолинейный проводник с активной длиной 2=0,5 м
пересекает однородное (равномерное) магнитное поле под углом
а=90° со скоростью ѵ=20 м/сек. Определить э. д. с. е, индукти¬
руемую в проводнике, если магнитная индукция В=і тл.
132. По условию задачи 131 найти э. д. с., индуктируемую в
проводнике, если он пересекает магнитное поле под углом а=
=33°20'.
133. Прямолинейный проводник с активной длиной 2=0,7 м
пересекает однородное магнитное поле под углом a=30Q со ско¬
ростью ѵ=10 м/сек. Какова магнитная индукция 5, если э. д. с.,
индуктируемая в проводнике, е=4,9 в?
134. В однородном магнитном поле с магнитной индукцией
В=0,3 тл вращается катушка со скоростью п=3000 об/мин\
Рис. 63
при этом ось катушки перпендикулярна
направлению магнитного поля. Площадь
катушки 5=400 см2, число витков катуш¬
ки м?=20. Определить наибольшее значе¬
ние э. д. с. Ет, индуктируемой в катушке.
135. В однородном магнитном поле
(рис. 63) перпендикулярно к линиям маг¬
нитной индукции движется прямоуголь¬
ная рамка, имеющая стороны а=20 см и
0=30 см, со скоростью ѵ=8 м/сек. Опре¬
делить э. д. с. индукции е, ток I, прохо¬
дящий по рамке, мощность Р, если из¬
вестно, что рамка сделана из медной про¬
волоки диаметром d=l,38 мм (у=57 м/ом-мм2), магнитная ин¬
дукция В=0,5 тл и линии магнитной индукции пересекаются
только одной стороной рамки а (как показано на рис. 63 стрелкой).
136. Вычислить индуктивность L контура, если потокосцеп¬
ление самоиндукции контура ЧгІ=5*10"3вб при токе в нем 7=40 а.
137. Определить потокосцепление самоиндукции контура,
если индуктивность его L=5,5 мен, а ток в нем 7=40 а.
138. Чему равен ток 7 в контуре, если известно, что потоко¬
сцепление самоиндукции контура 1FI=55‘10“3e6, а индуктивность
его L=2,5 мгні
139. Вычислить индуктивность L катушки, если ток в ней
изменяется на 4 а в течение 0,1 сек., при этом индуктируется
э. д. с. самоиндукции е£=40 в.
140. Какова э. д. с. самоиндукции eL катушки, обладающей
76
индуктивностью £=0,5 гн, если ток в ней уменьшается на 0,2 а
в течение 0,001 сек?
141. Ток, изменяющийся с течением времени по закону си¬
нуса i=/wsin (ùt =10 sin 314£, проходит по катушке с индуктив¬
ностью £=57 мгн (сопротивление г»0). Определить наиболь¬
шее значение э. д. с. самоиндукции Ет1, а также построить кри¬
вые тока і и э. д. с. самоиндукции eL по времени.
142. По катушке, сопротивление которой г=10 ом и индук¬
тивность L=21 мгн, проходит ток, возрастающий со скоростью
— =1000 а/сек. Чему равно мгновенное значение напряжения
и на зажимах катушки для момента, когда абсолютная вели¬
чина тока і=10 at
143. По условию задачи 142 определить мгновенное значение
напряжения и на зажимах катушки, если ток не возрастает,
а убывает со скоростью ~ =—1000 а/сек.
Cil
144. Катушка, сопротивление которой г«0 и индуктивность
£=1 гн, включается на напряжение, равное 20 в. Вычислить
время t, в течение которого ток в катушке достигает 30 а.
145. Найти индуктивность L катушки, если ток в ней £=20 а,
а энергия ее магнитного поля WM=11 дж.
146. Определить энергию WM, запасенную в магнитном поле
катушки, индуктивность которой £=85 мгн, если ток, проходя¬
щий по обмотке катушки, 7=8 а.
147. Вывести выражение для индуктивности L двухпровод¬
ной линии с медными проводами, имеющими радиус г, расстоя¬
ние между осями проводов а, длину линии I.
148. Определить индуктивность 1 км двухпроводной линии
из медного провода при расстоянии между осями проводов
а=2,5 м и диаметре провода d=2r=l,l см.
149. Вычислить эквивалентную индуктивность двух катушек,
индуктивно не связанных при последовательном и параллельном
соединении, если их индуктивности соответственно равны:
£х=24 мгн и £2=80 мгн.
150. Определить эквивалентную индуктивность трех катушек,
индуктивно не связанных при последовательном и параллельном
соединении их, если индуктивности катушек соответственно
равны:
Li = 25 мгн;
L2 = мгн;
L3 = 20 мгн.
151. По контору I (рис. 64) проходит ток /х=10 а. Опре¬
делить взаимную индуктивность М контуров, если потокосцепле¬
ние взаимной индукции контура II Y21=16 * ІО”3 вб*
77
152. Найти потокосцепление взаимной индукции кон¬
тура II (рис. 64), если по контору I проходит ток /х=12 а, а
взаимная индукция контуров М=15 мгн.
153. Чему равен ток Іѵ проходящий по контору I (рис. 64),
если потокосцепление взаимной индукции контура II Чг21=
= 12-ІО”2 вб и взаимная индуктивность контуров М = 12 мгні
- -Ь-Ь ~
<Z> « » 1 0
ІдГ
I 5 С
0 1 * 0
Рис. 64
Рис. 65
154. Определить взаимную индуктивность М контуров (рис. 64),
если в контуре I через каждые 0,02 сек. ток изменяется на 5 а, а
в контуре II индуктируется э. д. с. взаимной индукции 6^=10 в.
155. Определить электродвижущую силу взаимной индукции
еМ2, индуктируемую в контуре II (рис. 64), если в контуре I через
каждые 0,08 сек, ток изменяется на
4 а и взаимная индуктивность контур
ров М=0,05 гн.
156. Найти взаимную индуктив¬
ность М катушек, включенных после¬
довательно (рис. 65), если при со¬
гласном включении индуктивность
цепи L' =42 мгн, а при встречном
L"=4,4 мгн.
157. Чему равен коэффициент
связи к двух катушек, включенных
последовательно (рис. 65), если при согласном включении индук¬
тивность цепи L'=274 мгн, а при встречном L"=32 мгн-, ин¬
дуктивность второй катушки Л2 = 65 мгн.
Решение. При согласном включении катушек индуктив¬
ность цепи равна:
L' = Li 4“ Z>2 “h 2Af,
(55)
a при встречном включении
L" = L, + L2 - 2M. (56)
Имея два уравнения с двумя неизвестными, можем опреде¬
лить взаимную индуктивность М катушек и индуктивность L±
первой катушки, т, е., вычитая из уравнения (55) уравнение
(56), получим:
L' - L" = 4M,
78
откуда L —L” 0,274 — 0,032 п
4 4
Сложим уравнения (55) и (56), тогда
L' + L" = 2Li 27>2»
отсюда L+L" _ 0,274 +0,032 nnQQ
Li = L2 = — ■ 0,065 = 0,088 гн.
2 2
Коэффициент связи определяется по формуле
, М 0,0605 n Q
к = — ; = — = 0,8.
ѴЛ£2 Ѵ0,088-0,065
158. Определить коэффициент связи к двух катушек, вклкн
ченных последовательно (рис. 65), если при согласном включе¬
нии индуктивность цепи L' =173 мгн, а при встречном L"=
=25,2 мгн. Индуктивность второй катушки L2=44 мгн.
159. Вычислить индуктивность цепи (рис. 65) при согласном
и встречном включениях катушек, если индуктивность первой
катушки Л,=25 мгн, второй L2 = 16 мгн и коэффициент связи
А=0,75.
160. Определить коэффициент связи к двух обмоток, намо¬
танных на общий сердечник, если индуктивность первой обмотки
Lx=55 мгн, второй L2=35,2 мгн и взаимная индуктивность
М=37,4 мгн.
161. Две катушки с индуктивностями Lx=40 мгн, Л2=60 мгн
включены параллельно (рис< 66) и имеют взаимную индуктив-
включены параллельно (рис< 66)
ность 7И=2О мгн. Чему равна
эквивалентная индуктивность
цепи при согласном и встречном
включениях катушек?
162. По контуру проходит
ток Z=50 а. Найти энергию
WM, запасенную в магнитном
поле контура, если индуктив¬
ность его L=60 мгн.
163. Два контура имеют ин¬
дуктивности Lx= 12 мгн и L2=
=29 мгн, коэффициент связи Zc=0,8. Определить энергию маг¬
нитного поля, создаваемого контурами при токах ^=20 а и
і2=30 а, когда токи имеют одинаковые направления и когда они
направлены в противоположные стороны.
164. По условию задачи 163 вычислить энергию магнитного
поля WM, создаваемого двумя контурами, если эти контуры раз¬
двинуть на весьма большое расстояние.
165. На стальное кольцо, магнитная проницаемость которого
р,=3000, равномерно намотаны две обмотки с числом витков
Lz
Рис. 66
&
79
1^=500 и ір2=700. Сечение кольца 5=3,5 ел*2, средний диаметр
d=20 см. Найти взаимную индуктивность М катушек, а также
энергию магнитного поля внутри кольца при токах іх=8 а и
г2=14а, когда токи имеют одинаковые направления и когда они
направлены в противоположные стороны.
Решение. Магнитный поток первой катушки
ф, = B1S = щіо/Л-S = Wo — s.
I
Так как этот магнитный поток пронизывает вторую катушку,
то потокосцепление взаимной индукции
^21= — •
I nd
Взаимная индуктивность катушек
м = ^2‘= WlишоН — = 500• 700• 1,256 • 10~8• 3000 —=
*nd 3,14-20
— 0,735 гн.
Индуктивность первой катушки
т wfanS 5002-1,256-10-8-3000-3,5
ii l 3,14-20
Индуктивность второй катушки
и?2Ф2 _ w^d^S _ Lt wl _ 0,525 • 700 2 _ . n9Q
i2 I w2 5002
Энергия магнитного поля при одинаковом направлении токов
’»'.=¥+¥+мі‘‘‘ -
0,525-82 1,029-142 я от.
1 h 0,735 • 8 • 14«200 дж.
2
Ь.
2
Энергия магнитного поля, когда токи направлены в противо¬
положные стороны,
H/2=^+^L2-W2=9j^l2+1’029'14-0,735• 8• 14=35,30^.
'22 2 2
166. На стальное кольцо, магнитная проницаемость кото¬
рого |і=4000, равномерно намотаны две обмотки с числом вит¬
ков 1^=300 и и?2=500. Сечение кольца 5=3 см2, а средний
диаметр d=18 см. Определить взаимную индуктивность М ка¬
тушек, а также энергию магнитного поля внутри кольца при
токах /j=2,5 а и /2=4 а, когда токи имеют одинаковые направ¬
ления и когда они направлены в противоположные стороны.
Глава четвертая
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПЕРЕМЕННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ТОКЕ
Переменным электрическим током, или
просто переменным током, называется электрический ток, изме¬
няющийся с течением времени. Значение тока в рассматриваемый
момент времени называется мгновенным значением
тока. В технике обычно применяют периодический электри¬
ческий ток, мгновенные значения которого повторяются через
равные промежутки времени. Наиболее широкое применение по¬
лучил синусоидальный ток, т. е. ток, являющийся синусоидальной
функцией времени.
Мгновенное значение синусоидального тока определяется по
формуле
І = Іт sin (fût + ip(), (1)
где i — мгновенное значение синусоидального тока, а;
Iт — максимальное значение или амплитуда тока, а;
со — угловая частота, \!сек\
ір- — начальная фаза;
t — время, сек.
Значение аргумента синусоидального тока отсчиты¬
ваемое от ближайшей предшествующей точки перехода этого тока
через нуль к положительному значению, называется фазой
синусоидального тока, а величина определяющая
значение фазы синусоидального тока в начальный момент вре¬
мени (£=0), называется начальной фазой синусо¬
идального тока.
Период электрического тока — наименьший
промежуток времени, по истечении которого мгновенные значения
периодического тока повторяются.
Частота тока есть величина, обратная периоду тока,
т. е. число периодов в секунду:
/- ÿ-. (2)
81
где / — частота тока, гц\
Т — период тока, сек.
Частоту тока можно выразить через число пар полюсов гене¬
ратора переменного
тов в минуту) его,
оборсн
тока и скорость вращения (число
т. е.
i =
60 ’
полюсов;
(3)
где р — число пар
п — скорость вращения генератора переменного тока,
Угловая частота синусоидального тока равна
синусоидального тока, умноженной на 2л, т. е.
© = 2л/.
об/мин.
частоте
(4)
Действующе
тока определяется
е*
по
значение периодического
формуле
(5)
где I — действующее
— синусоидальном токе sin действующее значение
При
тока
значение периодического тока, а.
2 т
V2
(6)
С р е
тока
днее значение синусоидального
за положительную полуволну
о ТІ2 о
Zcp = — Ç Im Sin atdt = — 0,637 Im,
T J л
о
(7)
где Іср — среднее значение синусоидального тока, а.
Коэффициент формы кривой тока называют
отношение действующего значения переменного тока I к его сред*
нему значению Zcp:
кф =f-,
*ср
где кф — коэффициент формы кривой тока^
Для синусоидального тока коэффициент формы кривой ра*
вен 1,11.
(8)
* Вместо термина «действующее значение» иногда употребляют термин
«эффективное значение».
82
О
2. СЛОЖЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН
Даны две э. д. с.:
в! = Еіт sin (tot + фі) и e2 = E2m sin (tot -ф- ф2)«
Найти суммарную э. д, с. е, Отложив амплитуды э, д. с,
Е1т и Е2т, как показано на рис, 67, и сложив эти амплитуды,
получим амплитуду суммарной э. д. с. Е^ Из треугольника
О АВ имеем:
Ет = Еіт + Е2т *Ф* 2ЕітЕ2т cos (фі фг)» (9)
а начальную фазу суммарной э. д. с. определим из соотношения:
tg = Ет sin^ = Eim sin^ sin^2 (io)
Em cos ф Eim cos фі + E2m cos ф2 ’
где Em sin ty=Elm sin sin ф2, Em cos ф=£'ш cos + E2m-
• cos ф2 — проекции векторов на оси ординат и абсцисс при t=0.
Следовательно, зная Ет и ф, можно написать:
е = ві -ф е2 = Ет sin (tot -ф- ф).
3. ЦЕПЬ С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
При синусоидальном напряжении
и = Um sin tot . с
на зажимах цепи (рис. 68) ток в цепи с активным сопротивлением
также изменяется по закону синуса, т. е.
и Um sin tot ,
I = — = = Im sin tot, (11)
r r
83
где
Іт^- (12)
Г
амплитуда тока, а\
и — мгновенное значение напряжения, в;
г — активное сопротивление, ом\
Uт — амплитуда напряжения, в.
Ток и напряжение совпадают по фазе (рис. 69).
Разделив левую и правую части уравнения (12) на ]/~2, по¬
лучим действующее значение тока:
(13)
где U — действующее значение напряжения, et
Мгновенной мощностью называется скорость по-»
ступления в цепь электромагнитной энергии в данный момент
времени, равная произведению мгновенного значения напряжения
и на мгновенное значение тока і:
p=ui=Umlmsu?<ùt ^^?cos 2ast = UI—UI cos 2a>t, (14)
2 2
где p — мгновенная мощность, вт.
Среднее значение мгновенной мощно¬
ст и за период называется активной мощностью * электрической
* Средняя мощность переменного тока за период.
84
цепи:
т
V 1 г 1 '
2 — Ç uidt = — С (UI — UI cos 2юЛ dt =
Т Т J Т J
О о
Г/2
= С// = г/2 = —, (15)
Г
где Р — активная мощность, впг.
4. ЦЕПЬ С ИНДУКТИВНОСТЬЮ
При прохождении синусоидального тока по катушке (рис. 70)
і = Im sin Се/, (16)
обладающей постоянной индуктивностью (активным сопротивле¬
нием катушки пренебрегаем), в ней создается синусоидальный
магнитный поток Ф=Фт sin се/, который индуктирует э. д. с.
самоиндукции:
т di d(Im since/)
= -Ь = ѣ =
dt dt
= — <ùLIm cos се/ =
= (ùLIm sin ( се/ —— ),
\ 2 J
где eL— э. д. с. самоиндукции, в;
L — индуктивность катушки, гн\
Ф—мгновенное значение магнитного потока, вб\
ФЛ — амплитуда магнитного потока, вб.
Из уравнений (16) и (17) видно, что э. д. с. самоиндукции
по фазе отстает от тока на четверть периода или на угол 90°
(рис, 71 и 72).
85
-üoLI
(18)
Рис. 72
(20)
(21)
(22)
Э. д, с. самоиндукции имеет такое направление, что всегда
препятствует изменению тока, поэтому, чтобы по катушке про¬
ходил переменный ток, необходимо приложить к зажимам ка¬
тушки напряжение и, равное по величине, но
противоположное по направлению э. д. с. са¬
моиндукции eL, т. е.
I j. di\ * di j- т ,
и = —eL = — —L— = L— = (ùLlm cosû)/ =
\ dtj dt
= Um coswt = Um sin
где
Um = ®LIm - (19)
амплитуда напряжения.
Из уравнений (16) и (18) видно, что ток
отстает по фазе от напряжения, приложен¬
ного к катушке, на четверть периода или на
угол 90°.
Разделив левую и правую части уравнения (19) на У 2, по¬
лучим действующее значение напряжения:
U = (йЬЦ
откуда действующее значение тока
I = — - —
~ û)L ~ Xl'
где xL=d)L=2nfL— индуктивное сопротивление, ом.
Мгновенная мощность равна:
р = иі = Um cos at • Im sin (at = —m— sin 2(ùt = UI sin 2g>£,
2
T. e. мгновенная мощность изменяется по синусоиде с двойной
частотой (рис. 71).
Цепь с индуктивностью обладает лишь реактивной мощностью,
которая равна:
Q = UI sin ф = xLI\ , (23)
где Q — реактивная мощность, -вар, а активная мощность равна
нулю. Это объясняется тем, что в первую четверть периода, когда
ток возрастает от нуля до наибольшего значения Iт, ток і и напря¬
жение и имеют одинаковое направление, а э. д. с. самоиндукции
eL имеет направление, противоположное току. Поэтому источник
приложенного напряжения совершает положительную работу
86
(р=иі>0) против э.д. с. самоиндукции, и в магнитном поле ин*
дуктивности запасается энергия, равная
Т/4 Т/4 Іт
WM. = ^uidt = ^L^.idt = L^idi (24)
о о dt о 2
где максимальное значение энергии, запасаемой в
магнитном поле, дж.
Во вторую четверть периода ток * уменьшается от Iт до нуля
и магнитное поле постепенно распадается, а энергия, запасен¬
ная в магнитном поле, возвращается источнику приложенного
напряжения. Следовательно, в цепи с индуктивностью происхо¬
дит непрерывный обмен энергии
между источником напряжения и _L—>
магнитным полем индуктивности. 0~
5. ЦЕПЬ С ЕМКОСТЬЮ 1
Если к зажимам источника,
создающего напряжение
и = Um sin at, (25) 0
присоединить емкость (конденса- Рис. 73
тор) С (рис. 73), то конденсатор
будет заряжаться и разряжаться и в цепи будет проходить
переменный ток. На самом деле, если за бесконечно малый
промежуток времени dt напряжение источника возрастет на
величину du. то к обкладкам конденсатора притечет электриче*
ский заряд: dq=Cdu.
Так как dq—idt. то ток, проходящий по цепи, будет:
dq Cdu Cd(Um sinœ/)
i = — = = - = <ùCUm cosoH =
dt dt dt
T T • / 3T \
= cos at = sin l (ùt H I, (26)
\ 2 J
где
= Im- (27)
— амплитуда тока, a\
С — емкость конденсатора, ф.
Из уравнений (25) и (26) видно, что ток опережает по фазе
напряжение на четверть периода или на 90° (рис. 74 и 75). Раз¬
делив левую и правую части уравнений (27) на У2. получим
* В этом случае і и eL имеют одинаковое направление, а и имеет направ¬
ление, противоположное току і.
87
действующее значение тока:
I=&CU
и_ = и_
1 хс'
<лС
(28)
где хс=—^— емкостное сопротивление, ом.
CùO
Мгновенная мощность цепи с емкостью
р = иі = Um sin<ùtlm cos®/ = —m^sin2®/ = UI sin?®/,
2
(29)
т. e. мгновенная мощность изменяется по синусоиде с двойной
частотой, и наибольшее значение ее будет равно —/а^ст= UI.
О*
и
Рис. 75
В первую четверть периода, когда напряжение возрастает
от нуля до наибольшего значения U т, конденсатор заряжается,
и энергия, сообщаемая источником напряжения конденсатору,
запасается в электрическом поле и равна:
(30)
где W9, макс — максимальное значение энергии, запасаемой в элек¬
трическом поле, дж, что соответствует положи¬
тельному значению мощности.
Во вторую четверть периода, когда напряжение уменьшается
от Um до нуля, конденсатор разряжается, а энергия, запасен¬
ная в электрическом поле конденсатора, возвращается источнику
напряжения, что соответствует отрицательному значению мощ¬
ности.
88
Следовательно, энергия, расходуемая в цепи с емкостью за
полупериод или за целое число полупериодов, а также и актив-*
ная мощность равны нулю.
6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ АКТИВНОГО
СОПРОТИВЛЕНИЯ г, ИНДУКТИВНОСТИ L И ЕМКОСТИ С
При последовательном соединении активного сопротивления г,
индуктивности L и емкости С (рис. 76) напряжение, приложенное
к цепи, на основании второго закона Кирхгофа, будет:
и = ur + uL + uc, (31)
где иг=гі — напряжение на активном сопротивлении, в;
у di f
ul—L -у- — напряжение на индуктивности ь, уравновешиваю-*
dl
т di
щее э.д. с. самоиндукции eL=—L д-, в;
Ut
и =
ис с
— напряжение на обкладках конденсатора, в.
Уравнение (31) можно представить в векторной форме для дей¬
ствующих значений:
Û = UT + ÛL + Üc. (32)
Это уравнение дает возможность построить векторную диаграмму
для данной цепи.
В произвольном направлении откладываем вектор тока I
(рис. 77). По направлению вектора тока I откладываем вектор
напряжения Uг = гі на актив¬
ном сопротивлении, под углом
90° в сторону опережения векто¬
ра Z, откладываем вектор на-*
пряжения на индуктивности
Ul—(ùLI=xlI. а под углом 90°
в сторону отставания от векто¬
ра I откладываем вектор на¬
пряжения на емкости Uc=
"Ï
= —^І=хгІ. Складывая векто-
(ùC __
ры C7r, UL и С7с, получим век¬
тор напряжения U на зажимах
всей цепи.
Треугольник О АВ (рис. 77)
напряжений, который можно рассматривать как разложе¬
ние вектора приложенного напряжения U на две составляющие:
активную составляющую напряжения (ак-
называется треугольником
89
тивноѳ напряжение) Ua=Ur—rI = U cos <p, совпадающую по фазе
с вектором тока 7, и реактивную составляющую
(реактивное напряжение) Up=xI=U sin <р, опережающую (или
отстающую, в зависимости от того, что преобладает в цепи — ин-*
дуктивное или емкостное сопротивление) вектор тока I на 90Q.
Из прямоугольного треугольника О АВ имеем:
#= V ÜÏ+ÜÏ = Vr4* + (xL-xc)4* = іѴ^ + (хъ_Хс)\ (33)
откуда
У г 2 + (xl— хс)
Отношение действующего значения напряжения U на зажи-»
мах цепи к действующему значению тока I в этой цепи назы*
вается полным сопротивлением цепи:
у = z = Ѵг2 + (xL — Хс)2 = Vr2 + ®2, (35)
где z — полное сопротивление цепи, ом.
1
Величина x=xL—xc=®L — — реактивное сопротивление
цепи, омл
90
Угол сдвига фаз ф между вектором тока I и вектором напряже¬
ния U определяется из выражения:
tgî XL~XC Л(36)
Это соотношение показывает, что угол ф может получиться
положительным или отрицательным в зависимости от того, что в
1
цепи преобладает индуктивное сопротивление (cùL>—) или
сое
Если все стороны треугольника напряжений разделим на ве¬
личину тока 7, то получим треугольник сопротивлений (рис, 78).
Из треугольника сопротивлений имеем:
= Vr2+(xL—хс)2=]/ г2+^2;
(37)
(38)
г
cos ф = — ;
Z
sin ф
XL — Хс =
X
(39)
Z
Z
tg<p =
= XL —хс _
X
(40)
Если вектор тока I разложить на две составляющие: актив¬
ную составляющую тока (активный ток) совпадающую по
фазе с вектором напряжения С7, и реактивную составляющую
(реактивный ток) 7Р, отстающую (или опережающую, в зависи¬
мости от того, что преобладает в цепи — индуктивное или ем*
костное сопротивление) от вектора напряжения U на 90Q, то по*
лучим треугольник токов (рис. 79).
91
Из треугольника токов (рис. 79) имеем:
Іа = I cos ф; (41)
Ip = I sin ф; (42)
I = V Га Гр. (43)
Если все стороны треугольника токов разделим на величину
напряжения U, то получим треугольник проводимостей (рис, 80)
Активная проводимость цепи (см. рис. 80)
Іа I 1 г г ...
g = —= —-СО8ф= =-2-, (44)
U U z z ъ
где g — активная проводимость цепи, 1/олс,
Реактивная проводимость цепи
. /р 1 1 X X
Ь = — = — Sin ф = — • — = —г ,
U U z z Z2
(45)
где b — реактивная проводимость цепи, 1/ол€.
Полная проводимость цепи
1/=-^ (46)
или
£/=- = + (47)
Z
где у — полная проводимость цепи, 1/оле,
Если известны полная и активная проводимости цепи, то
реактивная проводимость цепи равна корню квадратному из
разности квадратов полной и активной проводимостей:
b = ± V у2 - g2. (48)
Знак плюс принимаем, если ток отстает по фазе от напряжения,
а знак минус, если ток опережает по фазе напряжение.
Если все стороны треугольника напряжений умножим на
величину тока 7, то получим треугольник мощностей (рис. 81)<
Активная мощность переменного тока (см. рис. 81)
P = гР = UI cos ф = UIa = UaI = IPg. (49)
Реактивная мощность цепи (см. рис. 81)
Q = хР = UI sin ф = UIp = UPI = IPb. (50)
Полная мощность цепи (см. рис. 81)
' S = UI (51)
92
или
s = V р2 + ç»,
(52)
где S — полная мощность цепи, ва.
Если известны цолная и активная мощности, то реактивная
мощность цепи равна корню квадратному из разности квадратов
полной и активной мощностей при синусоидальных токе и
напряжении:
Ç = ± Vs2 - Р2. (53)
Знак плюс принимаем, если ток отстает по фазе от напряжен
ния, а знак минус, если ток опережает по фазе напряжение.
Отношение активной мощности к полной называется коэф¬
фициентом мощности:
P Р
cos ф = — = .
Y S UI
(54)
Активная мощность измеряется в ваттах (вт) или киловат*
тах (квт\ 1 квт=і03 втп), реактивная мощность — в вольт-ампе¬
рах реактивных (вар) или киловольт-амперах реактивных (квар;
1 квар=і03 вар),, полная мощность — в вольт-амперах (ва) или
киловольт-амперах (ква\ 1 ква=ІО3 ва).
7. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ (РЕЗОНАНС В ЦЕПИ
С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ УЧАСТКОВ)
Если в цепи, состоящей из последовательно включенных
активного сопротивления г, индуктивности L и емкости С (см.
рис. 76), индуктивное сопротивление xL равно емкостному сопро-*
тивлѳнию яс, т. ѳ,
xL=xc
или 1 ,
2л/і=— ’ (55)
93
то в цепи возникает резонанс напряжений. Следо¬
вательно, условием резонанса напряжений является равенство
индуктивного и емкостного сопротивлений цепи.
Из формулы (55) видно, что резонанс напряжений можно
получить изменением одной из трех величин L, С и / при постоян¬
стве двух других. Значения индуктивно¬
сти, емкости и частоты, при которых
наступает резонанс, определяются по
формулам:
т 1_. Ï
L° tâfc'
с 1 > .
Со W/l’
2лѴьс'
При резонансе напряжений напряже¬
ния на зажимах индуктивности и емко¬
сти равны по величине, но противопо¬
ложны по фазе, т. е. взаимно уравно¬
вешиваются, а приложенное к цепи
напряжение U равно напряжению на активном сопротивлении
г (рис.; 82). Ток при резонансе совпадает по фазе с приложенным
к цепи напряжением, так как
7 1
(ùL
(ùC О Л Л
tg ср = = — =0, а Ф = О,
г г
и ток достигает наибольшего значения:
U = и
Ѵг2 + (xL -хс)~ г
(57)
Если активное сопротивление г очень мало, то напряжения
на зажимах индуктивности UL и емкости Uc могут оказаться зна¬
чительно больше приложенного к цепи напряжения.
8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ АКТИВНОГО
И ИНДУКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЙ
При последовательном соединении активного и индуктивного
сопротивлений емкостное сопротивление яс=0, тогда формула
(33) примет следующий вид:
94
где U — напряжение, приложенное к цепи, в;
Ur=Ua—rI — напряжение на активном сопротивлении или
активная составляющая напряжения, прило¬
женного к цепи, в;
UL^Up—xJ=(ùLI — напряжение на индуктивном сопротивлении
или индуктивная (реактивная) составляют
щая напряжения, приложенного к цепи, в.
Из формулы (58) находим ток в цепи
I = U -U
У г2 + x2L * z
(59)
где z=‘J/r7,24-Æ2£ — полное сопротивление цепи, ом<
На рис. 83, а показана векторная диаграмма для последова¬
тельного соединения активного г и индуктивного xL сопротивле-»
ний, а на рис. 83,6 — треугольник сопротивлений.
Активная мощность цепи
P = UI cos ф = ri2. (60)
Реактивная мощность цепи
Q = UI sin ф = xLI2. (61)
Полная мощность цепи
S = UI (62)
или
s = V Р2 4- Q*, (63)
Коэффициент мощности цепи
cos<p-y=£ (64)
ИЛИ
г
COS ф = —.
Z
(65)
95
9. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ АКТИВНОГО г
И ЕМКОСТНОГО хс СОПРОТИВЛЕНИЙ
Если Яд=сі)£=О, то формулу (33) можно представить так:
игт+игс=-/ иі+и2ѵ=Уг*І*+х*с1*=Іу/~г^+хгс, (66)
где Ur=Uа=гІ — напряжение на активном сопротивлении
или активная составляющая напряжения,
приложенного к цепи, в;
UC=Uр=хсІ= — напряжение на емкостном сопротивлении
или емкостная (реактивная) составляющая
Ток в цепи
напряжения, приложенного к цепи, в.
(67)
U
! I
+ %С Z
где z=yг2+х2с — полное сопротивление цепи, ом.
На рис* 84,а изображена векторная диаграмма для последо¬
вательного соединения активного г и емкостного хс сопротив¬
лений, а на рис. 84,6 показан треугольник сопротивлений.
Активная мощность цепи
р = UI cos <р = гР. (68)
Реактивная мощность цепи
Q = хсР = UI sin ф. (69)
Полная мощность цепи
S = UI (70)
или
s = V Р2 + Ç».
(71)
96
Коэффициент мощности цепи
или
P Р
cos ф = — =
т 5 UI
(72)
(73)
г
cos ф = —.
Z
10. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ПРИЕМНИКОВ
При последовательном соединении приемников (рис. 85) на¬
пряжение, приложенное к цепи, равно геометрической сумме
напряжений на зажимах отдельных приемников:
Ü = и, + Ü2 + . . . + (74)
где U1=z1I=lVr\+x\, U2=z2I=lVrl+£, ....
Un=znI=IVr n+Xn — напряжения на зажимах отдельных
приемников, в;
zv z2, ..., zn — полные сопротивления отдельных приемни¬
ков, ом',
rv г2, ..., гп — активные сопротивления отдельных при¬
емников, ОМ]
хѵ х2, ...,хп — реактивные сопротивления отдельных при¬
емников, ом.
На рис. 86 изображена векторная диаграмма напряжений
для трех последовательно соединенных приемников, при этом
х3<0. Разложив векторы напряжений на активные и реактивные
составляющие (рис. 86), получим:
U = Uai + Upi + Ua2 + UP2 + . . . + Uan + Upn = Ua + Up, (75)
где UaV Ua2, . . ., Uan — активные составляющие напряжений
отдельных приемников, в;
UP1, Up*' • • м Upn — реактивные составляющие напряжѳ*
ний отдельных приемников, в.
4 Заказ М 936
97
Активная составляющая напряжения *, приложенного к цепи,
равна арифметической сумме активных составляющих напряжений
отдельных приемников:
U а = U al + U а2 + ••• + ?/ an = 4" г2^ + • • • + ГпІ =
= (Гі + r2 + . . . + rn) I = ri, (76)
где r2, . . ., rn — активные сопротивления отдельных прием¬
ников, ом*
Эквивалентное активное сопротивление г цепи равно ариф¬
метической сумме активных сопротивлений отдельных приемников:
+ г2 + . . . + гп. (77)
Реактивная составляющая напряжения **, приложенного
к цепи, равна алгебраической сумме реактивных составляющих
напряжений отдельных приемников:
Up = Upi + Up2 + . . . + Upn = xj 4- x2l -h . . . + =
= (Xi + х2 4- . . . + хп)І = хЦ (78)
где xv х2, . . ., хп — реактивные сопротивления отдельных при¬
емников, ом.
Эквивалентное реактивное сопротивление х цепи равно алгеб¬
раической сумме реактивных сопротивлений отдельных прием¬
ников:
X = Хі 4~ «^2 • • • 4“ *£п* (79)
Следовательно, напряжение на зажимах цепи (рис. 86) равно:
и = Vu2a + U2p. (80)
Закон Ома для цепи при последовательном соединении при¬
емников: тт тг
* Активное напряжение.
** Реактивное напряжение.
98
Коэффициент мощности цепи
cos<p= —. (82)
Z
Активная мощность всей цепи равна арифметической сумме
активных мощностей отдельных приемников:
Р = Рі + Р2 + . . . + Рп = ГіР + г2Р + ... + гпР. (83)
где Рѵ Р2, . . ., Рп — активные мощности отдельных приемни¬
ков, вт.
Реактивная мощность всей цепи равна алгебраической сумме
реактивных мощностей отдельных приемников:
Q = Çi + Q2 + • • • + Qn = XJ2 + х2Р + . . . + ХпР, (84)
где Qv Ç2, ...» Qn — реактивные мощности отдельных приемни¬
ков, вар.
И. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ПРИЕМНИКОВ
При параллельном соединении приемников (рис. 87) токи при-
!- U .
1 Z,
_и _ и
2 ~ — 1/ 2 I 2 ’
Z2 V Г2 + Х2
Zn /г2п + X2„ J
Коэффициенты мощности приемников:
п.)
cos epi ='— ;
Z1
Г2.
CO S Ф2 = — >
^2
(85)
(86)
rn
COS(pn = —
Zn
99
Ток в неразветвленной части цепи равен геометрической сумме
токов отдельных приемников:
7 = Л + 72 + ... +7П. (87)
На рис. 88 показана векторная диаграмма токов для трех
параллельно соединенных приемников, при этом х3<0.
Разложим векторы токов на активные и реактивные состав¬
ляющие (рис. 88), получим:
I — I ai + Ірі + I а2 + Ір2 + • • • + Ian + Ipn = Іа + Ip (88)
ПЛИ I = V /а + /2р, (89)
где Ifll, Ia2, ..., Ian — активные составляющие токов отдельных
приемников, а\
Ірг 1 •••’ Iрп ~ реактивные составляющие токов отдель¬
ных приемников, а.
Активная составляющая тока (активный ток) в неразветвлен¬
ной части цепи равна арифметической сумме активных состав¬
ляющих токов отдельных приемников:
Іа = lai + Іа2 + • • • + Ian = Ugl + Ug2+ ... + Ugn = Ug, (90)
где gi> ^2’ •••» £n — активные проводимости отдельных приемни¬
ков, l/ом.
Эквивалентная активная проводимость g цепи равна арифме¬
тической сумме активных проводимостей отдельных приемников:
g = gi + g2 + • • • + gn* (91)
100
Реактивная составляющая тока* (реактивный ток) в нераз-
ветвленной части цепи равна алгебраической сумме реактивных
составляющих токов отдельных приемников:
Ір = Ірі + /р2 + . . . + Ірп = Ubi + Ub2 + . . . + Ubn = Ub, (92)
где bv b2, ..., bn — реактивные проводимости отдельных при¬
емников, і/ом.
Эквивалентная реактивная проводимость b цепи** равна алге¬
браической сумме реактивных проводимостей отдельных прием¬
ников:
b = bi 4- b2 + . . . + bn. (93)
Эквивалентная полная проводимость цепи
У = / g2 + Ь*. (94)
Коэффициент мощности всей цепи
cosq)=^; (95)
cos ф = —. (96)
У
Активная мощность цепи равна арифметической сумме актив¬
ных мощностей отдельных приемников:
Р = Рі + Рг + • • • + Рп —г\і\ + г2^2 + • • • + і пІ2п* (97)
Реактивная .мощность цепи*** равна алгебраической сумме
реактивных мощностей отдельных приемников:
Q = Qi + Qz + • • • + Qn = хіЛ + ^2І2 + . . • + хп^п> (98)
Полная мощность цепи
S = UI = ]/Р2 + Q2. (99)
12. РЕЗОНАНС ТОКОВ (РЕЗОНАНС В ЦЕПИ С ДВУМЯ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ВЕТВЯМИ)
При параллельном соединении ветвей (приемников) (рис. 89,а)
может возникнуть явление резонанса токов. При резонансе токов
ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряже¬
нием, приложенным к цепи (рис. 89,6). Это возможно тогда, когда
* Реактивные составляющие токов в ветвях с емкостями входят в
формулу (92) со знаком минус.
** Емкостные проводимости входят в формулу (93) со знаком минус.
*** Реактивные мощности емкостей входят в формулу (98) со знаком
минус.
101
реактивные составляющие токов параллельных ветвей равны по
величине, но противоположны по направлению, т. е.
/рі = /р2. (100)
Так как
Ipi=It sin фі = U^ = UbL
и
/р2 = Л sin ф2 = и = иЬс,
то формулу (100) можно представить так:
UbL = Ubc
или
bL = bc. (101)
Это уравнение показывает, что резонанс токов возникает при
равенстве реактивных проводимостей параллельных ветвей, т. е.
эквивалентная реактивная проводимость цепи и реактивная состав¬
ляющая тока в неразветвленной части цепи равны нулю.
Ток I в неразветвленной части цепи при резонансе равен
сумме активных составляющих токов параллельных ветвей:
I = Іаі + Іа2 = Л COS Çt + I2 COS ф2 = Ug, (102)
так как при резонансе токов y=]/rg2+b2=g,
где g — эквивалентная активная проводимость цепи, Иом\
b=bL —bc — эквивалентная реактивная проводимость цепи, 1/ол^
13. СМЕШАННОЕ СОЕДИНЕНИЕ ПРИЕМНИКОВ
Пусть даны активные и реактивные сопротивления приемни¬
ков и напряжение на зажимах всей цепи (рис. 90,а) и требуется
найти токи приемников, ток в неразветвленной части цепи, актив-
102
ную, реактивную и полную мощности всей цепи. Заменим два
параллельно включенных приемника одним эквивалентным. Для
этого определим активные и реактивные проводимости параллель¬
ных ветвей:
/т Г2
£2 =-2
z2
Г2 . „ _ Г3 ' к
2 « 2 ’ 2 « 2 ’ ^2
7*2 + х2 7*3 + Х3
Рис. 90
*2 . к
~2~. 2’
7*2 + х2
(ЮЗ)
7*3 + #3
Находим эквивалентные активную, реактивную и полную прово¬
димости параллельных ветвей:
S23 = §2 + ёзі ^23 = &2 + У23 = У #23 + ^23* (104)
Эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления
параллельных ветвей:
r _ &3 __ ^23 . __ ^23
23 “ „2 “ „2 , ,2 » ^23 — 2 2 ’ ,
^23 ^23 + ь>23 #23 + ^23
Z23 = + #23- J
(105)
В этом случае схему, изображенную на рис. 90, а, можно
заменить схемой рис. 90,6.
Полное сопротивление всей цепи
z=/(r1+r!S8)2+(a:1+a:23)2. (106)
Зная напряжение на зажимах всей цепи и сопротивление цепи,
можно определить ток в неразветвленной части цепи:
z
(107)
Напряжение на зажимах параллельных ветвей
U г = (108)
103
Токи в параллельных ветвях
/2 = £? и /3 = —2. (109)
^2 Z3
Коэффициент мощности всей цепи
cos <р . (НО)
Z Z
Активная мощность всей цепи
Р = гі* = иЦ cos ф. (111)
Реактивная мощность всей цепи
Q = xl\ = tf/isin ф, (112)
. . X
где ж=х1+х23; sin ф=— •
Полная мощность всей цепи
S = иц = / Р2 + Q2. (113)
Задачи
167. Частота переменного тока /=50 гц. Определить период Т.
168. Частота переменного тока /=50 гц. Определить угловую
частоту со.
169. В цепь переменного тока вклю¬
чен вольтметр, который показывает
действующее значение напряжения
U=380 в. Вычислить амплитуду напря¬
жения U т.
170. Амплитуда тока Іт =141 а.
Чему равно действующее значение
тока /?
171. Прямоугольная катушка, число
витков которой ір=20, вращается в
однородном магнитном поле с постоян¬
ной скоростью п=3000об/лшн (рис. 91).
Определить амплитуду Ет и частоту /
э. д. с., индуктируемой в обмотке
катушки, и построить кривые измене¬
ния во времени э. д. с. е и магнитного
потока Ф, сцепляющегося с катушкой,
если площадь катушки 5=8 слі2, а
магнитная индукция В=0,05 тл.
172. Вычислить мгновенное значение э. д. с. е=Ет sinœ£ для
следующих моментов времени: t=0\ 0,0025; 0,005; 0,0075; 0,01;
0,0125; 0,015; 0,0175; 0,02 сек., если амплитуда э. д. с. Bm=179,6 et
104
а частота /=50 гц. Построить кривую изменения э. д. с. е во вре¬
мени.
173. По проводнику проходит постоянный ток Z = 10 а. Ка¬
кова будет амплитуда тока Іт, если через проводник пропустить
переменный ток, который будет выделять в проводнике то же
самое количество тепла, что и постоянный ток?
174. Генератор переменного тока вращается со скоростью
п=750 об[мин и имеет число пар полюсов р=4. Определить частоту
тока /, период Т, угловую частоту ю и угловую скорость toMex
вращения генератора.
175. Один генератор переменного тока имеет число пар
полюсов рг=^ и дает ток с частотой /*=60 гц\ другой генератор
дает ток с частотой /2=50 гц и вращается со скоростью на 50 об/мин
больше первого. Сколько пар полюсов р2 у второго генератора?
176. Один генератор переменного тока имеет число пар полю¬
сов р1 = 2 и вращается со скоростью пх = 1500 об/мин, а другой
генератор вращается со скоростью тг2 = 1000 об/мин. Сколько пар
полюсов р2 должен иметь второй генератор, чтобы он мог работать
параллельно с первым генератором, т. е. иметь ту же частоту?
177. Построить кривые изменения во времени мгновенных зна*
чений напряжения и тока для следующих случаев:
1) и = 310 sin tot в;
2) и = 310 sin tot в;
3) и = 179 sin Çtot + в;
4) и = 179 sin ( tot — — ) в;
\ 6 J
5) и = 536 sin ( tot + — ) в\
\ 15/
і = 14,1 sin ( tot —— ) а}
i = 70,5 sin tot a;
i = 50 sin ( tot — — ) a}
i = 20 sin( tot + — ) a;
\ 3/
( 3T \
i = 90 sin ( cd£ a.
\ 107
Для всех случаев частота f=50 гц,
178. Найти среднее значение тока Іср за половину периода,
если мгновенное значение тока в цепи і=40 sin tot а,
179. Напряжение, приложенное к цепи, u=Um sin (ю£-|-30о) в.
Определить амплитуду напряжения Um, если мгновенное зна¬
чение напряжения в момент времени t=0 равно 89,5 в,
180. Два приемника включены последовательно (рис. 92).
Мгновенные значения напряжений на зажимах этих приемников
ux=26,5 sin ((о^+36°50') в и u2=95,5 sin (tot—33°40') в. Написать
уравнение для мгновенных значений напряжения и на зажимах
всей цепи.
105
181. Два приемника включены параллельно (рис. 93). Мгно¬
венные значения токов этих приемников =20 sin
и
і2=10 sin a. Написать уравнение для мгновенных значе¬
ний тока і в неразветвленной части цепи. Определить мгновенные
значения токов в момент
I
Рис. 92
времени t=0.
182. К проволочному ре¬
остату, обладающему только
активным сопротивлением
uz г=11 ом, приложено напря¬
жение U=220 в. Вычислить
наибольшее (амплитуду),
действующее и среднее зна¬
чения тока II, Iс
183. Напряжение, прило¬
женное к цепи, содержащей
только активное сопротивление г=5 ом, равно u=Uт sin ©£=179,1 •
•sin 314 t в. Написать выражения мгновенных значений тока і и
мощности/). Определить ток I в цепи. Построить кривые изменения
во времени мгновенных значе¬
ний напряжения и, тока і и I
мощности р.
184. К реостату приложено
напряжение и = 179 sin cat в.
Определить активную мощность
Р, поглощаемую реостатом, и
активное сопротивление г рео¬
стата, если ток в реостате
і=28,2 sin (ùt а.
185. В сеть переменного тока Рис. 93
включено активное сопротивле¬
ние г=50 ом. Вычислить напряжение U на зажимах активного
сопротивления и мощность Р, поглощаемую активным сопротив¬
лением, если ток в цепи 7=4,4 а.
186. Определить активное сопротивление г и мощность Р,
поглощаемую активным сопротивлением (рис. 94), если показание
амперметра 7=5 а, а показание вольтметра 77=127 в.
187. К приемнику приложено напряжение U=220 в\ ток
в приемнике 7 = 10 а. Определить полное, активное и реактивное
сопротивления z, г и æ приемника, активную, реактивную и полную
мощности P, Q и S приемника. Написать уравнения для мгновен¬
ных значений напряжения и, тока і, если известно, что ток отстает
от напряжения на угол 43°20' и начальная фаза напряжения равна
нулю.
106
188. Напряжение, приложенное к цепи, содержащей только
индуктивность £=31,9 мгн, равно u = Umsin ю£=179,1 sin 314 te.
Написать выражения для мгновенных значений тока і, э. д. с.
самоиндукции eL и мощности р. Определить ток I в цепи. По¬
строить кривые изменения во времени мгновенных значений
напряжения и, э. д. с. самоиндук¬
ции eL, тока і и мощности р. По¬
строить векторную диаграмму.
189. По катушке, индуктивность
которой £=86 мгн (активным сопро¬
тивлением катушки можно прене¬
бречь), проходит ток /=4,7 а. Опре¬
делить э. д. с. самоиндукции EL и
максимальную энергию WM^MaKcf за¬
пасенную в магнитном поле катуш- Рис 94
ки, если частота /=50 гц.
190. Приемник с активным сопротивлением г=12,5 ом и ин¬
дуктивностью £=121 мгн включен в сеть с напряжением [7=220 в
и частотой /=50 гц. Вычислить ток I в приемнике, коэффициент
мощности cos ф, угол сдвига фаз <р между током и напряжением,
активную и реактивную составляющие напряжения Ua и Up.
191. В сеть переменного тока с напряжением [7=3 кв включен
приемник, активное сопротивление которого г=18 ом. Ток в при¬
емнике /=100 а. Определить полное сопротивление z приемника,
индуктивность £, активную, реактивную и полную мощности
P, Q и S приемника, если частота /=50 гц.
192. К приемнику, активное сопротивление которого г=3 ом,
приложено напряжение [7=220 в. Вычислить индуктивность L
приемника, коэффициент мощности cos ср, активную, реактивную
и полную мощности P, Q и S приемника, если ток в приемнике
/=44 а и частота /=50 гц. Построить векторную диаграмму.
Решение. Полное сопротивление приемника '
[7 220 с
Z = — = = о ом.
I 44
Индуктивное сопротивление приемника
xL = / z2 - г2 = / 52 - З2 = 4 ом.
Индуктивность приемника
L= — = = 0,01273 гн« 12,7 мгн.
2л/ 2-3,14-50
Коэффициент мощности приемника
г 3 Л о
cos ф = — = — = 0,6.
z 5
107
Активная мощность, потребляемая приемником,
Р = ri2 = 3-442 « 5810 вт = 5,81 кет
или
P = UI cos ф = 220-44-0,6 « 5810 вт = 5,81 кет.
Реактивная мощность приемника
Q = Х1р = 4-442 = 7740 вар
или
4
Q = UI sin ф = 220 • 44 • -j- = 7740 вар.
Полная мощность приемника
S = UI = 220-44 = 9680 ва
или
5 = У рг + Ç2 = у 58102 + 77402 = 9680 ва.
Для построения векторной диаграммы (рис. 95) определяем
активную составляющую напряжения Uа=гІ=Ъ- 44=132 в и
индуктивную (реактивную) составляющую напряжения Up=UL=
7=4 -44=176 в. Выбираем масштаб для напряжения ти =
= 2 в!мм. В произвольном направлении откладываем вектор тока I
и по направлению вектора тока I откладываем вектор активной
составляющей напряжения Ua=rî, а под углом 90° в сторону опе¬
режения вектора I откладываем вектор индуктивной составляющей
напряжения UL—xLI. Складывая эти векторы, получим вектор
напряжения U на зажимах приемника,
108
193. К приемнику, активное сопротивление которого г=48 ом,
приложено напряжение U=Q кв. Вычислить индуктивность L
приемника, коэффициент мощности cos ф, активную, реактивную
и полную мощности P, Q и 5, потребляемые приемником, если ток
в приемнике /=100 а и частота /=50 гц.
194. Определить активную, реактивную и полную мощности
P, Q и 5 цепи, ток I в цепи, активную и реактивную составляющие
напряжения Uа и Up, активное, полное и реактивное сопротивле¬
ния г, z и X цепи, если напряжение, приложенное к цепи, U=220 в,
активная проводимость цепи g=0,038 Ном и полная проводимость
г/=0,05 Ном.
195. По катушке, активное сопротивление которой г=34,9 ом
и индуктивность Л = 114 мгн, проходит ток /=4,4 а. Определить
графически и аналитически напряжение U на зажимах катушки,
угол сдвига фаз ф между током и напряжением, активную и
реактивную составляющие тока /а и I р, активную, реактивную
и полную мощности P, Q и S, активную, реактивную и полную
проводимости g, b и у катушки.
196. Полное сопротивление приемника z=40 ом и коэффициент
мощности его cos ф = 0,6. Вычислить напряжение U на зажимах
приемника, активную и реактивную составляющие напряжения
Uа и Uр, активную и реактивную составляющие тока /а и 1 р,
активную, реактивную и полную мощности P, Q и 5, активную,
реактивную и полную проводимости g, b и у приемника, если ток
в нем І = 1Ь а. Построить векторную диаграмму.
197. Катушка имеет активное сопротивление г=6 ом. При
прохождении тока по катушке /=22 а в последней индуктируется
э. д. с. самоиндукции £*L=176 в. Определить напряжение U на
зажимах катушки, индуктивность L катушки, коэффициент
мощности cos ф, активную, реактивную и полную мощности Р,
Q и S, потребляемые катушкой. Построить векторную диаграмму.
198. Реактивное сопротивление приемника х=24 ом, активная
составляющая тока Iа=4,4 а и реактивная составляющая напря¬
жения С7р=132 в. Определить ток I в приемнике, реактивную
составляющую тока I р, коэффициент мощности cos ф, угол сдвига
фаз ф между током и напряжением, активное сопротивление г
приемника, полное сопротивление z, активную, реактивную и
полную проводимости g, b и у, напряжение Ü на зажимах прием¬
ника, активную составляющую напряжения U а, активную, реак-
тивную и полную мощности P, Q и S, потребляемые приемником.
Построить векторную диаграмму.
199. Приемник с активной проводимостью g=0,038 Ном пот¬
ребляет активную мощность Р = 1839 вт при токе / = 11 а. Вычис¬
лить активное сопротивление г приемника, индуктивность L
приемника, коэффициент мощности cos ф, угол сдвига фаз ф между
током и напряжением на зажимах приемника, напряжение U на
зажимах приемника, активную и реактивную составляющие
109
напряжения Ua и Up, активную и реактивную составляющие тока
Iа и Ір, реактивную и полную проводимости b и у, если частота
У=50 гц. Построить векторную диаграмму.
200. В сеть с напряжением [7=220 в включен приемник, ак¬
тивное сопротивление которого г=9,8 ом и индуктивность
£=73,3 мен. Определить графически и аналитически активную
и реактивную составляющие напряжения Uа и Up, угол сдвига фаз
<р между вектором тока I и вектором напряжения С7, если частота
/=50 гц.
Решение. Графический метод. Выбираем масштабы для
напряжения и сопротивления: тц—2 в/мм и тпг=0,2 ом/мм.
По горизонтали вправо (рис. 96) откладываем вектор тока* I
и по направлению вектора тока откладываем активное сопротив-»
ление г=тг • О А (ОА = ~) и под углом 90° в сторону опережения
* Вектор тока можно откладывать не в масштабе.
110
вектора тока / откладываем индуктивное сопротивление хЛ=7пг*
• АВ (АВ=^\ тогда отрезок ОВ в масштабе сопротивлений пред¬
ставит собой полное сопротивление z=25 ом. По направлению пол¬
ного сопротивления откладываем вектор напряжения 1}=тй-0Ву
(РВЛ=—), величина которого 220 в, и из конца вектора ОВг опу-
ти — —
скаем перпендикуляр на вектор тока /, тогда отрезок AJBX в мас¬
штабе напряжений представит собой вектор реактивной состав¬
ляющей напряжения Up=xLI (С7 =202,4 в), а отрезок ОАг —
вектор активной составляющей напряжения Ua = rl (Uaœ8& в).
При помощи транспортира находим угол ф^67°.
Аналитический метод. Индуктивное сопротивление приемника
xL = 2л/£ = 2-3,14-50-0,0733 = 23 ом.
Полное сопротивление приемника
z = V г2 + x2l = /9,82 + 232 = 25 ом.
Ток в приемнике
Активная составляющая напряжения
Ua = гі = 8,8-9,8 = 86,2 в.
Реактивная составляющая напряжения
Up = xLI = 23-8,8 « 202 в.
Угол сдвига фаз между током и напряжением определим из
соотношения!
tg ф = = — = 2,347; ф«66°55'.
s г 9,8 т
201. В сеть переменного тока с напряжением U=3 кв включен
приемник, активное сопротивление которого г=38 ом и индук¬
тивность £=39,8 мгн. Определить графически и аналитически
активную и реактивную составляющие напряжения Ua и £7 ,
активную и реактивную составлящиѳ тока Iа и Iр, угол сдвига
фаз <р между током и напряжением, если частота /=50 гц.
202. В сеть переменного тока включена катушка, активное
и индуктивное сопротивления которой соответственно равны:
г=7 ом их, =24 ом. Активная составляющая напряжения катуш¬
ки Uа=106,4 в. Вычислить ток I в катушке, реактивную состав¬
ляющую напряжения Up и напряжение U на зажимах катушки,
активную, реактивную и полную мощности P, Q и S, коэффициент
111
мощности cos ф, активную, реактивную и полную проводимости
g, b и у катушки. Построить векторную диаграмму.
203. Приемник имеет активное сопротивление г=30,4 ом
и коэффициент мощности cos ф=0,76. Чему равны активная и
реактивная составляющие напряжения Uа и Up, напряжение U
на зажимах приемника, активная, реактивная и полная мощности
P, QnS, потребляемые приемником, если ток в приемнике 7=5,5 а?
Построить векторную диаграмму.
204. В сеть с напряжением 77=220 в включен приемник, обла¬
дающий индуктивностью 7=74,2 мгн. Ток в приемнике 7=4 а.
Определить полное, индуктивное и активное сопротивления z, xL
и г приемника, коэффициент мощности cos ф, активную и реактив¬
ную составляющие напряжения Uа и Up, активную, реактивную
и полную мощности P, Q и S, потребляемые приемником, если
частота /=50 гц.
205. В сеть с напряжением [7=220 в включена катушка,
активное сопротивление которой г=5,9 ом и индуктивность
7=67,5 мгн. Вычислить индуктивное и полное сопротивления xL
и z катушки, активную, реактивную и полную проводимости g, b
и у, ток 7, активную, ре-
! Jé активную и полную мощ-
0 У ИіЛ ♦ ности P, Q и S и коэффи-
I циент мощности cos ф
JL I |г катушки: 1) для частоты
(у) LJ /=50 гц и 2) для частоты
Y Л /=100 гц.
I «206. Приборы, вклю-
jj - t I —t ченные в цепь переменного
тока (рис. 97), имеют сле-
Рис- 97 дующие показания: вольт¬
метр [7=220 в\ амперметр
7=8,8 а; ваттметр Р=542 вт. Определить полное, активное и ин¬
дуктивное сопротивления z, г и xL катушки, коэффициент мощ¬
ности cos ф и индуктивность 7 катушки, если частота /=50 гц.
Построить векторную диаграмму.
207. В однородном магнитном поле вокруг оси, перпендикуляр¬
ной направлению поля, вращается катушка со скоростью
п=3000 об/мин и в ней индуктируется э. д. с. 7=157 в. Активные
сопротивления и индуктивности катушки и внешней цепи соответ¬
ственно равны: ^=0,5 ом\ 7j=10 мгн\ г2=4 ом\ 72=30 мгн. Опре¬
делить коэффициенты мощности вращающейся катушки cos фр
внешней цепи cos ф2 и всей цепи cos ф, ток I в цепи, напряжение U
на зажимах внешней цепи и активные мощности Рѵ Р2 и Р, если
частота /=50 гц.
Решение. Индуктивное сопротивление* вращающейся ка-»
ТУШКИ Хі = а>7і = 314-0,01 = 3,14 ом.
* со = 2л/ = 2-3,14-50 = 314 сек-1.
112
Индуктивное сопротивление внешней цепи
х2 = юЛ2 = 314-0,03 = 9,42 ом.
Индуктивное сопротивление всей цепи
X = Хі + х2 = 3,14 + 9,42 = 12,56 ом.
Активное сопротивление всей цепи
г = Гі + г2 = 0,5 + 4 = 4,5 ом.
Полное сопротивление всей цепи
z = V r« + X2 = / 4,52 + 12,562 « 13,3 ом.
Полное сопротивление вращающейся катушки
Zi = V r\ + х\ = V0,52 + 3,142 = 3,18 ом.
Полное сопротивление внешней цепи
z2 = Vг2 + х2 = К42 + 9,422æ 10,2 ом.
Коэффициент мощности вращающейся катушки
cos фі = — = —— = 0,157.
Т Zl 3,18
Коэффициент мощности внешней цепи
cos ф2 = — = = 0,392.
z2 10,2
мощности всей цепи
cos ф = — = = 0,338.
v z 13,3
Коэффициент
Ток в цепи
Е 157 лло
— = = 11,8 а.
z 13,3
на зажимах вращающейся катушки или напря-
Напряжениѳ
жениѳ на зажимах внешней цепи
U = z2I = 10,2-11,8 « 120 в.
Активная мощность, теряемая во вращающейся катушке,
Pi = г J2 = 0,5-11,82 = 69,6 вт « 70 вт.
Активная мощность, потребляемая внешней цепью,
р2 = г2І2 = 4-11,82 « 556 вт
ИЗ
или
Р2 = UI ços ф2 = 120-11,8-0,392 « 556 вт.
Активная мощность всей цепи
Р = (гі + г2)Р = (0,5 + 4)-11,82 = 626 вт
или
Р = El cos ф = 157-11,8-0,338 = 626 вт.
208. В однородном магнитном поле вокруг оси, перпендикуляр¬
ной направлению поля, вращается катушка со скоростью
лг=3000 об/мин и в ней индуктируется э. д. с. /?=290 в. Активные
сопротивления и индуктивности катушки и внешней цепи соответ¬
ственно равны: гх = 0,4 ом\ Z1 = 20,7 мгн\ г2=5,6 ом\ Z>2 =61,8 мгн.
Определить коэффициенты мощности вращающейся катушки
cos фг внешней цепи cos ф2 и всей цепи cos ф, ток I в цепи, напря¬
жение U на зажимах внешней цепи и активные мощности Рѵ Р2,
Р, если частота /=50 гц.
209. Приемник включен в сеть с напряжением U=220 в и пот¬
ребляет активную мощность Р = 784 вт при коэффициенте мощ¬
ности cos ф=0,89. Чему равны ток I в приемнике, активная и
реактивная составляющие тока Iа и /р, реактивная и полная
мощности Q и S, индуктивность L приемника, активная, реактив¬
ная и полная проводимости g, b и у, если частота /=50гц? По¬
строить треугольники: напряжений, мощностей, сопротивлений,
токов и проводимостей.
210. По цепи, активное сопротивление которой г=7,6 ом
и индуктивность Л=20,7 мгн, проходит ток f=17,9 sin 314 t а.
Написать уравнения мгновенных значений напряжения и на за¬
жимах цепи, напряжения иг на зажимах активного сопротивления
и напряжения uL на зажимах индуктивности. Определить напря¬
жение U на зажимах цепи, активную и реактивную составляющие
напряжения Uа и Up, коэффициент мощности cos ф, активную,
реактивную и полную мощности P, Q и S цепи. Построить вектор¬
ную диаграмму напряжений и кривые изменения во времени
мгновенных значений напряжений и, ur, uL, тока і, мощностей
р, рг и pL.
211. В сеть с напряжением U=220 в включен приемник, актив¬
ное сопротивление которого г=38 ом и индуктивность Л=39,8 мгн.
Вычислить коэффициент мощности cos ф приемника, активную,
реактивную и полную проводимости g, b и у, ток I, активную
и реактивную составляющие тока Iа и Ір, активную, реактивную
и полную мощности P, Q и S, потребляемые приемником, если
частота /=50 гц. Построить векторную диаграмму.
Решение. Индуктивное сопротивление приемника
xL = cdZ/ = 2 л/Л = 2-3,14-50-0,0398 = 12,5 ом.
114
Полное сопротивление приемника
z = /г2 + x2l = V382 + 12,52 = 40 ом.
Коэффициент мощности приемника
1=^ = 0,95.
z 40
COS ф
Активная проводимость
£ „2 . 2
Z Г + Хь
Реактивная проводимость
приемника
= 5 =0,0237 Ном.
382 + 12.52
приемника
12,5
, = хь = xL
z2 г2 + хі 382 + 12,52
Полная проводимость приемника
у = — = — = 0,025 і/ом
z 40
0,0078 ІАш.
или
У = / 4- = у 0,02372 + 0,00782 = 0,025 1 /ом.
Ток в приемнике
U 220 __
— = = 5,5 а
z 40
или
I = Uy = 220-0,025 = 5,5 а.
Активная составляющая тока
Іа = 1 cos ф = 5,5-0,95 « 5,2 а
или
Ia==Ug== 220-0,0237 « 5,2 а.
Реактивная составляющая тока
Ip = I sin ср = 5,5-0,312 « 1,72 а,
где
sin ф = — = = 0,312
т z 40
или
Ір = Ub = 220-0,0078 1,72 а
115
Активная мощность, потребляемая приемником,
Р = гР = 38-5,52 æ 1150 ей,
или
P = UI cos ф = 220-5,5-0,95 « 1150 вт.
Реактивная мощность приемника
Q = XlP = 12,5-5,52 = 378 вар
или
Q = UI sin ф = 220-5,5-0,312 ~ 378 вар.
Полная мощность приемника
S = UI = 220-5,5 = 1210 ва
или
S = У pi + Qi = у 11502 + 3782 = 1210 ва.
Для построения векторной диаграммы определяем активную
составляющую напряжения [7а = г7=38-5,5=209 в и индуктивную
(реактивную) составляющую напряжения UL=Up=xL 7=12,5-
•5,5=68,7 в. Построение ее производится так же, как ив задаче 192.
212. В сеть с напряжением [7=220 в включен приемник,
активное сопротивление которого г=19,5 ом и индуктивность
І/=32,5 мгн. Определить коэффициент мощности cos ф приемника,
активную, реактивную и полную проводимости g, Ь и у, ток I
в приемнике, активную и реактивную составляющие тока Iа и I ,
активную, реактивную и полную мощности P, Q и S, потребляе¬
мые приемником, если частота /=50 гц. Построить векторную диа¬
грамму.
213. Реактивная мощность приемника Ç=1452 вар. Активная
составляющая тока в приемнике Iа=8,8 а. Чему равны полное,
активное и реактивное сопротивления и, г и х приемника, актив¬
ная, реактивная и полная проводимости g, b и у, напряжение U
на зажимах приемника, ток I в приемнике, если активная состав¬
ляющая приложенного напряжения [7а=176 в?
214. В сеть включен приемник, полное сопротивление которого
z = 120 ом. Активная составляющая напряжения приемника
[7а=96 в. Определить активную, реактивную и полную прово¬
димости g, b и у, ток 7, активную и реактивную составляющие
тока Iа и Ір, напряжение U на зажимах приемника, активную,
реактивную и полную мощности P, Q и S, потребляемые приемни¬
ком, если коэффициент мощности его cos ф=0,8. Построить век¬
торную диаграмму.
215. К катушке с активной проводимостью g=0,0112 1/ом
приложено напряжение [7=380 в. Ток, проходящий по катушке,
7 = 15,2 а. Вычислить индуктивность L катушки, коэффициент
мощности cos ф, активную и реактивную составляющие напряжен
ния Uа и Up1 активную и реактивную составляющие тока Iа и Ір,
активную, реактивную и полную мощности P, Q и S, потребляе-
116
мые катушкой, если частота /=50 гц. Построить треугольники:
напряжений, мощностей, сопротивлений, токов и проводимостей.
216. Цепь переменного тока обладает активным и индуктивным
сопротивлениями (рис. 98). При каком условии активная мощность
Р цепи будет наибольшей, если:
1) будет меняться только активное сопротивление г, а индук¬
тивное xL = const;
а)
2) будет меняться индуктивное сопротивление xL, а активное
r=const.
Решение. Активная мощность, потребляемая цепью,
P = UI cos ф.
Ток в цепи
Коэффициент мощности цепи
(114)
(115)
. (116)
Подставив уравнения (115) и (116) в уравнение (114), получим:
Р = и ■ и - • г = rU .
l^r2 + x2L 4- x2L r2 +
Рассмотрим первый случай, т. е. когда r=var, а xL =const.
Для того чтобы определить наибольшую мощность, подводи¬
мую к цепи, необходимо найти производную от уравнения (117)
по г и приравнять ее нулю:
dP = U2(r2 +x2L) — U2r2r
dr (r2+4)2
117
или
r2+4_2r2=0,
откуда
или
г2 =x2l
г = xL.
Следовательно, мощность, подводимая к цепи, будет наиболь¬
шей тогда, когда активное сопротивление цепи будет равно индук¬
тивному.
Второй случай, когда xL = ѵаг, а r=const. Чтобы получить
наибольшую мощность, подводимую к цепи, необходимо найти
производную от уравнения (117) по xL и приравнять производ¬
ную нулю:
dP = 0-(r2 +xj)-2U2rxL
dxL (г2 + хі)2
откуда
xL = 0.
В этом случае мощность, подводимая к цепи, будет наиболь*
шей тогда, когда индуктивное сопротивление цепи равно нулю.
217. К приемнику, активное и реактивное сопротивления
которого равны между собой, приложено напряжение £7=110 в.
Определить коэффициент мощности cos <р приемника, ток I в при
емнике, активное, реактивное и полное сопротивления г, х и z
приемника, активную, реактивную и полную мощности P, Q и S,
потребляемые приемником, если реактивная составляющая тока
в приемнике 7^=4,5 а.
218. В сеть с напряжением C7j=220 в включен приемник
с меняющимися сопротивлениями г2 и х2 (рис. 99) и постоянным
коэффициентом мощности cos cp2=const=0,8. Активное и индук¬
тивное сопротивления проводов линии г=2 ом и я=3 ом. При
каких значениях сопротивлений г2 и х2 активная мощность, по¬
требляемая приемником, и к. п. д. линии будут наибольшими?
118
Найти МОЩНОСТЬ Р2Максч к- п- Д* Л» коэффициент МОЩНОСТИ COS ф,
всей цепи и ток I в приемнике.
Решение. Активная мощность, потребляемая приемником,
Р2 = U2I cos ф2- (118)
Ток в приемнике
I = г Ui (119)
V (г + Г2)2 + {х + х2)2
Напряжение на зажимах приемника
U2 = 1ѴгІ+хІ (120)
Подставляя значение тока I из уравнения (119) в уравнение
(120), получим:
и2 = ^1^*2 + . (121>
^(г + Г2)2 + (я + Æ2)2
Коэффициент мощности приемника
cos 4,2 = (122>
К 7*1 -|- #2
Подставляя уравнения (119), (121) и (122) в уравнение (118),
найдем:
р2 = ___£Ь__,
2 (г + Г2)2 + (я + ^)2’
так как по условию задачи cos <р2=0,8 или
tg(p2 ==£2 =0,75,
Ъ
откуда
х2 = 0,75г2. (124)
Подставляя значение х2 в уравнение (123), будем иметь:
P .
(г + г2)2 + (ж + 0,75г2)2
Чтобы получить наибольшую активную мощность, потребляе¬
мую приемником, необходимо найти производную от последнего
выражения по га и пр’иравнять производную нулю:
dP2 _J72 [(r+r2)2+(rc+0,75r2)2—2г2(г+^*2)—2* 0,75r2 (x+0,75r2)] q
dr2 [(r+r2)2+(x+0,75r2)2]2
119
откуда
Г2 + X2 = ri + (0,75r2)2
(125)
ИЛИ
z = z2. (126)
Следовательно, активная мощность, потребляемая приемки-*
ком, будет наибольшей тогда, когда полное сопротивление прием¬
ника будет равно полному сопротивлению линии.
Активное сопротивление приемника определим из выражения
(125), т. е. подставим в него значения г и х:
22 + 32 = г1+(0,75г2)2,
откуда
г2 2,88 ом.
Реактивное сопротивление приемника
х2 = 0,75г2 = 0,75-2,88 = 2,16 ом.
Коэффициент мощности всей цепи
г + г2 2 + 2,88
cos фі = ■ ■ -■ — = ■■■ ■■■■- - ■ ■ ■ = 0,687.
И (г + г2)2 + (х + я2)2 г (2 + 2,88)2 + (3 + 2,16)2
Ток в приемнике
T U' 220 ~ ол
и (г + г2)2 + (# + я2)2 к (2 + 2,88)2 +(3 4- 2,16)2
Напряжение на зажимах приемника
U2 = z2I = Ѵг2 + x22I = /2,882 + 2,162.31 = 111,6 в.
Максимальная мощность приемника
Р2макс = г2Р = 2,88-312 « 2770 вт
или
Ръмакс = U2I cos ф2 = 111,6-31-0,8 » 2770 вт.
Коэффициент полезного действия линии
Р2 _ tZ2Zcos<p2 _ Г2 2,88
Pi U il cos фі I2 (г + r2) г + r2 2 + 2,88
или
T] = 59%.
На рис. 100 изображена векторная диаграмма для цепи, по¬
казанной на рис. 99.
Построение векторной диаграммы производится следующим
образом. Выбираем масштаб напряжения. В произвольном направ¬
лении откладываем вектор тока I (рис. 100), а под углом ф2 в сто¬
рону опережения вектора I откладываем вектор напряжения
Z72 (Z72=z2/ = K2,882+2,162-31 =111,6 в) на зажимах приемника —
в конце линип. Из конца вектора U2 параллельно вектору I
120
откладываем вектор активного падения напряжения в линии гі
(г7=2-31=62 в), а из конца вектора гі под углом 90° в сторону
опережёния вектора I откладываем вектор индуктивного падения
напряжения в линии хі (х7=3-31=93 в). Складывая векторы
гі и хі, получим вектор полного падения напряжения zi в линии.
Соединяя точку О с концом вектора zi, получим вектор напря¬
жения иг в начале линии (на входе линии).
219. В сеть с напряжением ^=127 в включен приемник
с меняющимися сопротивлениями г2 и х2 (см. рис. 99) и постоянным
коэффициентом мощности при-
емника cos <р2 =const = 0,9.
Активное и индуктивное сопро-
тивления проводов линии рав- //
ны: г=1 ом и х=1,6 ом, Опреде- /fa
лить, при каких значениях / /
сопротивлений г2 и х2 активная / /
мощность, потребляемая прием- / /
ником, к. п. д. линии будут / Л}
наибольшими; при этом найти / jS г
мощность Р2макс, к. п. д. ц, //
коэффициент мощности cos ср*
всей цепи и ток I в приемнике? \
220. В конце двухпроводной fçs V 1
линии включен приемник,
активная мощность которого Рис. 100
Р2=^квт и коэффициент мощ¬
ности cos <р2=0,8. Активное сопротивление проводов линии г=1ом
и индуктивное х—2 ом. Определить аналитически и графически
напряжение в начале линии, падение напряжения в линии,
потерю напряжения AZ7 в линии, потерю мощности ДР в линии,
индуктивность L линии, индуктивность L2 приемника и индуктив¬
ность всей цепи, если напряжение в конце линии U2=3 кв и
частота /=50 гц,
р е ш е н и е. Ток в линии
I
t72cosq?2 3000-0,8
Падение напряжения в линии
гі = VrI 2 + х*-І = Vl2 + 2M6,7 = 37,3 в.
Активное сопротивление приемника
Р2 40000
-f = = 143,4 ом.
Г 16,72
r2 =
121
Полное сопротивление приемника
С72 3000 .70А
г2 = — = = 179,6 ом.
I 16,7
Реактивное сопротивление приемника
х2 = Ѵ&—г22 = Ѵ179,62 —143,42 « 108 ом.
Напряжение в начале линии
Ui — Zil = lV(r + r2)4 + {x + x2)2 =
= 16,71/(1 + 143,4)4 + (2 + 108)4 = 3033 в.
Графическое определение напряжения ясно из рис. 101 и не
требует пояснений.
Напряжение в начале линии можно найти из векторной диа-’
граммы (рис. 101):
U\ = (U2 + rl cos ф2 + xl sin ф2)2 + (xl cos ф2 — rl sin Ф2)2,
откуда
Ui = ~V(U2 + ГІ COS ф2 + ХІ sin ф2)2 + (xl COS ф2 — rl sin фг)2 =
=1/(3000+1 • 16,7 -0,8+2-16,7- 0,6)2+(2-16,7 • 0,8-1 • 16,7 • 0,6)4=
= 3033 в.
Потеря напряжения есть арифметическая разность между
напряжениями в начале и в конце линии, т. е.
ДЕ/ = Ui — U2 = 3033 - 3000 = 33 в
или в процентах
Ди% = Ui~Ü2 -100 = 3033 ~ 3009.100« 1,1 %.
и, 3033
Потеря мощности в линии
ДР = гР = 1-16,72 « 279 вт.
Индуктивность
L = —
€0
ЛИНИИ
2
= = 0,00637 гн = 6,37 мгн.
2-3,14-50
Индуктивность
приемника
L2 =—= 0,344 гн = 344 мгн,
œ 314
Индуктивность всей цепи
Li = L + L2 = 6,37 + 344 = 350,37 мгн « 350,4 мгн.
122
221. В конце двухпроводной линии включен приемник, актив¬
ная мощность которого Р2=270 кет и коэффициент мощности
cos ср2=0,9. Активное сопротивление проводов линии г=10 ом
и индуктивное я=15 ом. Определить аналитически и графически
напряжение U± в начале линии, падение напряжения в линии,
потерю напряжения ДС7 в линий, потерю мощности ДР в линии,
индуктивность L линии, индуктивность L2
ивность L± всей цепи, если напряжение
в конце линии £72=10 кв и частота /=50 гц.
222. Приемник, имеющий чисто актив¬
ное сопротивление г2=200 ом, присоеди¬
нен через линию передачи к генератору
переменного тока с напряжением
^=6,3 кв. Вычислить напряжение U2 на
зажимах приемника, потерю напряжения
ДС7 в линии передачи, активное и индук¬
тивное сопротивления гл и хл каждого
провода линии передачи, если мощность
генератора Рг = 188,1 кет, а мощность
приемника Р2=180 кет.
223. Конденсатор емкостью С=20лядб
включен в сеть. Каково емкостное сопро¬
тивление хс конденсатора, если частота
/=50 гці
224. Определить емкостное сопротивле¬
ние хс конденсатора, включенного в сеть
с напряжением U=380 в, если ток в цепи
1=2 а. Найти активную, реактивную и
полную мощности, потребляемые конденса-
приемника и индукт-
тором. Построить векторную диаграмму.
225. К конденсатору емкостью С=2,5 мкф приложено напря¬
жение U=3000 в. Вычислить емкостное сопротивление хс конден¬
сатора, ток I и максимальную энергию электрического поля
конденсатора WdMaKC, если частота /=50 гц, Построить вектор¬
ную диаграмму.
226. Каково напряжение U на обкладках конденсатора, если
его емкостное сопротивление хс=440 ом и ток в цепи I=0,5 а?
227. Напряжение, приложенное к цепи, содержащей емкость
С=579 мкф, равно u=Um sin co£=310 sin 314/ в.
Написать выражения мгновенных значений тока і и мощности
р. Чему равен ток I в цепи? Построить кривые изменения во вре¬
мени мгновенных значений напряжения и на обкладках конден-*
сатора, тока і и мощности р. Построить векторную диаграмму.
228. К генератору переменного тока с напряжением £7=220 в
присоединен конденсатор емкостью С=57,9 мкф. Определить
амплитуду заряда qm в конденсаторе и действующее значение
тока I, если частота /=50 гц.
123
229. Реостат с сопротивлением г=25 ом и конденсатор ем¬
костью С=65 мкф включены последовательно. Найти напряжение
Uг на зажимах реостата, напряжение Uc на обкладках конден¬
сатора, напряжение U на зажимах всей цепи, коэффициент мощ¬
ности cos <р всей цепи, активную, реактивную и полную мощности
P, Q и S всей цепи, если ток
/ в цепи/=4а, ачастота/=50 гц.
230. К цепи, состоящей из
последовательно включенных
активного сопротивления г=6
ом, индуктивности L =87 мгн
и емкости С =165 мкф (рис. 102),
приложено напряжение и =
= t/OTsin at = 179,1 sin 314^e.
Написать уравнения мгновен-
ных значений тока і, напряже¬
ния иг на активном сопротивле¬
ние. 102 нии, напряжения uL на индук¬
тивности, напряжения ис на
емкости и мощностей р, pr, pL и рс. Определить ток I в цепи,
напряжения на зажимах активного сопротивления U г, индуктив¬
ности UL и емкости U с, активную, реактивную и полную мощ¬
ности P, Q и S цепи, коэффициент мощности cos <р всей цепи.
Построить векторную диаграмму напряжений и кривые изменения
во времени мгновенных значений напряжения и на зажимах
цепи, напряжения иг на активном сопротивлении, напряжения
uL на индуктивности, напряжения ис на емкости, тока і и
мощностей р, pr, pL и рс.
231. К цепи, состоящей из
последовательно включенных
катушки, активное сопротивле¬
ние которой г=8 ом и индук¬
тивное xL =88 ом, и конденса¬
тора, обладающего емкостным
сопротивлением яс=94 ом, при¬
ложено напряжение £7=220 в.
Определить ток I в цепи,
активную, реактивную и пол¬
ную мощности P, Q и S
цепи и коэффициент мощности
cost? цепи. Построить векторную диаграмму напряжений.
232. Последовательно с катушкой, активное сопротивление
которой гх=7 ом и индуктивное xL1 = 24 ом, включен приемник,
обладающий активным сопротивлением г2=18 ом и емкостным
^2=73 ом (рис. 103). Вычислить полное сопротивление z цепи,
коэффициент мощности cos ф цепи, активную и реактивную со¬
ставляющие тока Iа и Ір, напряжение U на зажимах цепи, актив¬
124
ную, реактивную и полную мощности P, Q и S цепи. Построить
векторную диаграмму напряжений, если ток в цепи Z—*4 а.
Решение. Полное сопротивление цепи
Z =Ѵ(Г1 + г2)2 + (*ы - ^С2)2=У(7 + 18)2 + (24 - 73)2=55 ом.
Коэффициент мощности цепи
+ т*2 7 + 18 Л . - ,
cos ф = = = 0,454.
z 55
Активная составляющая тока
Іа = I cos ф = 4-0,454 « 1,82 а.
Реактивная составляющая тока
Ip = I sin ф = 4 (— 0,891) = — 3,56 а,
где
• —хс2 24 — 73
sin ф = = ~ —и,оУ1.
z 55
Напряжение на зажимах цепи
U = zi = 55-4 = 220 в.
Активная мощность, потребляемая цепью,
Р = (гі + г2)/2 = (7 + 18)42 = 400 вт
или
Р = UI cos ф = 220-4-0,454 = 400 вт.
Реактивная мощность цепи
Q = UI sin ф = 220-4 (— 0,891) = — 784 вар
или
Q = (хь1 _ хС2)Р = (24 - 73)-42 = - 784 вар.
Полная мощность цепи
S = UI = 220-4 = 880 ва
или
S = Ѵр2 + Ç2 = V 4002 + 7842 = 880 ва.
Построение векторной диаграммы напряжений производится
следующим образом.
Выбираем масштаб для напряжения =2 вімм. По горизон¬
тали вправо (рис. 104) откладываем вектор тока* I и по направле¬
нию вектора тока откладываем вектор активной составляющей
напряжения ггІ (1^1=7-4=28 в). Из конца вектора отклады¬
ваем вектор индуктивной составляющей напряжения xL1I (xL11=
* Выбор масштаба для тока в данном случае не обязателен; достаточно
задаться направлением вектора тока.
125
= 24-4=96 в) в сторону опережения вектора тока I на 90°. Скла¬
дывая геометрически эти два вектора, получим вектор напряже*
ния Ux на зажимах катушки. Из конца вектора Ux проводим
параллельно вектору тока I вектор активной составляющей
напряжения г2І (г2І = 18-4 =72 в) и под углом 90° в сторону отста¬
вания от вектора тока откладываем вектор емкостной составляю¬
щей напряжения хС2І (хС2І=73 4 =292 в), Складывая векторы
г2І и хС2І, получим вектор напря¬
жения U2 на зажимах приемни¬
ка. Геометрическая сумма векторов
ГіЛ xL1I, Г2І и хС2І равна вектору на¬
пряжения U на зажимах всей цепи.
233. Последовательно с катушкой,
активное сопротивление которой
^ = 12 ом и индуктивное xLx =60 ом,
включен приемник, обладающий ак¬
тивным сопротивлением г2=3,1 ом и
емкостным хС2 =76 ом. Определить
полное сопротивление z цепи, ко¬
эффициент мощности cos ф цепи,
активную и реактивную составляю¬
щие тока Iа и Ір, напряжение U на
зажимах цепи, активную, реактив¬
ную и полную мощности Р, Q и S
О
0
Uc
и
%
Рис. 104 Рис. 105
цепи и построить векторную диаграмму напряжений, если ток
в цепи 7 = 10 а,
234. К цепи, состоящей из последовательно включенных ка¬
тушки и конденсатора (рис. 105), приложено напряжение U=127 в.
Активная мощность, подводимая к цепи, Р = 1835 вт при токе
7 = 25,4 а. Вычислить активное сопротивление г катушки, индук¬
тивность L, емкость С конденсатора и коэффициент мощности
cos ф цепи, если напряжение на обкладках конденсатора Uc =452 в
и частота / = 50 гц.
126
235. В сеть с напряжением /7=127 в включены последова¬
тельно активное сопротивление г=25,4 ом, емкость С=20 мкф
и переменная индуктивность L (рис. 106). Найти величину индук¬
тивности Lq при резонансе напряжений, ток I в цепи и построить
кривые зависимости тока I, напряжения Uc на емкости, напряже¬
ния UL на индуктивности и
угла сдвига фаз ср мэжду
вектором тока I и вектором
напряжения U от величины
индуктивности L при изме¬
нении ее от нуля до двойного
резонансного значения, если
частота /=50 гц.
236. К цепи, состоящей
из последовательно включен¬
ных активного сопротивле¬
ния г=9 ом, индуктивности
£ = 200 мгн и емкости С =
= 20 мкф, приложено напряжение U= 36 в. Определить час¬
тоту /о’ ПРИ которой наступит резонанс напряжений, ток I
в цепи, напряжение Uc на емкости, напряжение UL на индуктив¬
ности при найденной частоте. Построить кривые зависимости
тока I, напряжения Uc на емкости, напряжения UL на индуктив¬
ности и угла сдвига фаз ф между вектором тока I и вектором
напряжения U от частоты при изменении ее от нуля до двойного»
резонансного значения.
237. К цепи, состоящей из последовательно включенных
активного сопротивления г=12,7 ом, индуктивности £=63,7 мгн
и емкости С = 70 мкф, приложено напряжение £7=127 в, частота
/=50 гц. Определить ток I в цепи при резонансе напряжений,
напряжение Uc на емкости и напряжение UL на индуктивности,
если будут изменяться:
1) емкость C = var, £=const и /=const,
2) индуктивность £ = ѵаг, C=const и /=const,
3) частота /=ѵаг, £=const и C=const.
Построить векторную диаграмму напряжений.
238. К генератору переменного тока с напряжением £7=133 в
и частотой /=50 гц присоединена цепь, состоящая из последова¬
тельно включенных активного сопротивления г=26,6 ом и ем¬
кости С=87 мкф. Какую индуктивность £0 надо включить в цепь
последовательно, чтобы наступил резонанс напряжений, при этом
найти ток I в цепи, активную мощность Р, потребляемую цепью,
напряжение UL на индуктивности и напряжение Uc на емкости?
239. Последовательно включены три приемника (рис. 107),
активные и реактивные сопротивления которых соответственно
равны: г2 = 16,1 ом; xL1 =15 ом-, г2=19,2 ом-, xL2 =5,6 ом;
127
r3 = 17,7 ом, хсз=35,3 ом. Определить полные сопротивления каж¬
дого приемника и всей цепи, ток I в цепи, напряжения на зажимах
каждого приемника и всей цепи, коэффициенты мощности каж¬
дого приемника и всей цепи, активные, реактивные и полные
мощности каждого приемника и всей цепи, если активная
мощность, потребляемая вторым приемником, Р2=307 вт. Пост¬
роить векторную диаграмму.
Решение. Полные сопротивления приемников
2, = Ѵг2і + х2ц = Ѵ16,12 + 152 = 22 ом;
z2 = Ѵг| + x2l2 = V19,22 + 5,62 = 20 ом;
z3 = Vd + x2c3 = V17.72 + 35,32 = 39,5 ом.
Полное сопротивление всей цепи
z = Ѵ(П 4- r2 4- r3)2 4- (хіл 4- xL2 — хсз)2 =
= V(16,l 4- 19,2 + 17,7)2 4- (15 4- 5,6 - 35,3)2 = 55 ом.
Ток в цепи
Напряжения на зажимах приемников
U, = ZJ = 22-4 = 88 в;
U2 = ^2-7 = 20*4 — 80 в\
U3 = z3I = 39,5-4 = 158 в.
Напряжение на зажимах всей цепи
U= zi = 55-4 = 220 в.
128
Коэффициенты мощности приемников:
rt 16,1 „„„„
cos <pt = — = 0,732;
zt 22
r2 19,2
cos <p2 = — = = 0,96
z2 20
cos <p3 = — = 1Z1Z= 0,448.
z3 39,5
Коэффициент мощности всей цепи
COS ф = Гі ±-Г2-±І? = 16>1 + 19)2 + 17’7 = 0,964.
2 55
Активные мощности, потребляемые приемниками,
Рі = ГіР = 16,1-42 = 258 вт
или
Pi = U J cos фі = 88-4-0,732 = 258 вт;
Р3 = Гзр = 17,7-42 = 283 вт
или
Рз = U3I cos фз = 158-4-0,448 = 283 вт.
Активная мощность всей цепи
P = р i + p2 + p3 = 258 + 307 + 283 = 848 вт
или
P = UI cos ф = 220-4-0,964 = 848 вт.
Реактивные мощности приемников:
Qi = яыі2 = 15-42 = 240 вар
или
15
Qi = UJ sin фі = 88 • 4 • — = 240 вар;
Q?. = xL2P = 5,6-42 = 90 вар
или
5 6
Q2 = U2I sin ф2 = 80 • 4 • æ 90 вар;
Q3 = — хсзі2 = (- 35,3)-42 = - 565 вар
или
QE: о
Q3 = и3І sin фз = 158 • 4 • = — 565 вар.
Реактивная мощность всей цепи
Q = Q, + q2 -J- Q3 = 240 + 90 - 565 = - 235 вар
5 Заказ Ка 936
129
или
ТТ Г • ООП / H- 5,6 35,3
Q = UI sin ф = 220 • 4 • = — 235 вар.
55
Полные мощности, потребляемые приемниками,
51 = UJ = 88-4 = 352 ва\ S2 = U2I = 80-4 = 320 ea-,
S3 = U3I = 158-4 = 632 ва.
Полная мощность всей цепи
S= UI = 220-4 = 880 ва.
Для построения векторной диаграммы определяем активные
и реактивные падения напряжения* в отдельных приемниках:
rj = 16,1-4 = 64,4 в\ xLiI = 15-4 = 60 в;
т2І = 19,2-4 = 76,8 в; xL2I = 5,6-4 = 22,4 в;
г3І = 17,7-4 = 70,8 в и хСзІ = 35,3-4 = 141,2 в.
Выбираем масштаб напряжения шй =2 в/мм. В произвольном
направлении откладываем вектор тока I (рис. 108), по направле¬
нию вектора I откладываем вектор т\І, а под углом 90° в сторону
опережения вектора I откладываем вектор xL1I. Складывая эти
векторы, получим вектор напряжения Ux на зажимах первого
приемника. _ __
Из конца вектора U± параллельно вектору тока I отклады¬
ваем вектор г/, а под углом 90° в сторону опережения вектора I
♦ Активные и реактивные составляющие напряжений отдельных прием¬
ников.
130
cos <р1=0,76, при этом его
Z
Рис. 109
откладываем вектор xL2I. Складывая векторы г2І и получим
вектор напряжения U2 на зажимах второго приемника.
Из конца вектора U2 параллельно вектору I откладываем
вектор r3Z, а под углом 90° в сторону отставания от вектора 7
откладываем вектор хсзІ. Складывая векторы г3І и хсзІ, получим
вектор напряжения U3 на зажимах третьего приемника. Соединяя
точку О с концом вектора С73, получим вектор напряжения U на
зажимах всей цепи.
240. Приемник энергии потребляет активную мощность
Р=і,і8квт притоке /1=25а и напряжении С7=220в. Найти ем¬
кость Со конденсаторов, которые необходимо включить параллель¬
но приемнику, чтобы повысить коэффициент мощности до едини¬
цы, если частота /=50 гц. Построить векторную диаграмму.
241. Асинхронный двигатель работает при напряжении
Е71=380 в и коэффициенте мощности
полезная мощность на валу Ра=
=5 кет, а коэффициент полезного
действия ц=84%. Чему равна ем¬
кость С конденсаторов, которые не¬
обходимо включить параллельно
двигателю, чтобы повысить коэффи¬
циент мощности до 0,9, если частота
/=50 гц. Построить векторную диа¬
грамму токов.
242. Индуктивность L и емкость
С (рис. 109) включены параллельно.
Определить частоту /0 при резонансе токов, а также постро¬
ить кривые изменения тока IL в индуктивности, тока /св емко¬
сти, тока 1 в неразветвленной
части цепи в зависимости от ча¬
стоты, если индуктивность Л=
=72 мгн, емкость С=60 мкф,
напряжение U=36 в, частота
С изменяется от нуля до двойного
резонансного значения.
243. Построить кривые из¬
менения тока Iг в активном со¬
противлении, тока IL в индук¬
тивности, тока Іс в емкости,
тока I в неразветвленной части
цепи, угла сдвига фаз ср между током в неразветвленной части
цепи и напряжением на зажимах цепи, изображенной на
рис. 110, в зависимости от величины индуктивности L при
изменении ее от нуля до двойного резонансного значения, если
емкость С=50 мкф, активное сопротивление г=25,4 ом, частота
/=50 гц и напряжение £7=127 в,
/
Рис. 110
5’
131
244. В сеть с напряжением Л7=127в включены параллельно
катушка, индуктивное сопротивление которой æl=42,3 ом (актив¬
ным сопротивлением катушки можно пренебречь) и реостат с ак¬
тивным сопротивлением г=31,8 ом (рис. 111). Определить анали¬
тически и графически ток I в неразветвленнойчасти цепи, коэффи¬
циент мощности cos ф цепи, активную, реактивную и полную
мощности P, Q и iS цепи. Построить векторную диаграмму.
Рис. 111
Рис. 112
245. В сеть с напряжением [7=220 в включены параллельно
две катушки (рис. 112), активные сопротивления и индуктивности
которых равны: гх=3 ом. £х=69,5 мгн. г2=5,2 ом и Л2=61,5 мгн.
Определить коэффициенты мощности каждой катушки и всей цепи
cos фр cos ф2 и cos ф, токи и І2 в катушках, ток I в неразвет-
вленной части цепи, активную, реактивную и полную мощности
P, Q и S всей цепи, если частота /=50 гц. Построить векторную
диаграмму.
Решение. Индуктивные сопротивления катушек:
xL1 = (ùLi = 2-3,14-50-0,0695 = 21,8 ом;
xL2 = cûZ/2 = 2-3,14-50-0,0615 ~ 19,3 ом.
Полные сопротивления катушек:
21 = V4 + 4і = Ѵз2 + 21,82« 22 ом;
z2 = Vrl + 4,2 = V5.22 + 19,32« 20 ом.
Коэффициенты мощности катушек:
cos ф1 = — = — = 0,136;
Y z, 22
cos ф2 = — = — = 0,26.
z2 20
132
Токи в катушках:
U 220 .л
— = 10 а;
22
Z1
1 -и
12
Z2
220 ..
— — 11 а.
20
Активные составляющие токов катушек:
Іаі = It cos ф! = 10-0,136 = 1,36 а;
Za2 = Л COS ф2 = 11-0,26 = 2,86 а.
Реактивные составляющие токов:
Ірі = Л sin фі = 10 • = 9,91 а;
22
Ір2 = І2 sin ф2 = 11 • = 10,61 а.
20
Активная составляющая тока в неразветвленной части цепи
Іа = Іаі + Іа2 = 1,36 + 2,86 = 4,22 а.
Реактивная составляющая тока в неразветвленной части цепи
Ір = Ірі + ІР2 = 9,91 + 10,61 = 20,52 а « 20,5 а.
Ток в неразветвленной части цепи
I = Ѵ/2 + 4 = Ѵ4.222 + 20,52 = 20,9 а.
Коэффициент мощности всей цепи
Т 4 99
cosq)=^=^ =0,202.
I 20,9
Активная мощность всей цепи
P = UI cos ф = UIa = 220-4,22 « 928 em
пли
P = Г Ji + rJl = 3 • ІО2 + 5,2 • 112 = 929 em.
Реактивная мощность всей цепи
Q = хілЛ + wi = 21,8 • ІО2 + 19,3 • 11W 4510 вар
133
или
Q = UI sin ф = U Ip = 220-20,5 = 4510 вар.
Полная мощность всей цепи
S = UI = 220-20,9 = 4600 ва
или
s= Ѵр* + Q* = V9292 + 4510г= 4600 ва.
В произвольном направлении откладываем вектор напряжения
77 (рис. ИЗ), под углом ф1=70°50' в масштабе (тп7=0,2 а/мм)
откладываем вектор тока Іѵ в сторону отставания от вектора U.
Из конца вектора Іѵ под углом ф2=15°3' в сторону отставания от
вектора U откладываем вектор тока /2. Складывая векторы иІ2>
получим вектор тока I в неразветвленной части цепи.
246. В сеть с напряжением £7=220 в включены параллельно
две катушки (см. рис. 112), активные сопротивления и индуктив¬
ности которых соответственно равны: ^=10 _олг, ^=62,4 мгн\
г2 = 12,5 ом\ Z2=121 мгн. Определить коэффициенты мощности
каждой катушки и всей цепи cos <р1, cos ф2 и cos ф, токи І± и /2 в
катушках, ток I в неразветвленной части цепи, активную, реак¬
тивную и полную мощности P, Q и S всей цепи, если частота
f=50 гц. Построить векторную диаграмму.
247. Две катушки (см. рис. 112), полные сопротивления и
коэффициенты мощности которых соответственно равны: z1=20 ом\
cos ф1 = 0,6; z2=22 ом\ cos ф2 = 0,504, включены параллельно.
Определить напряжение U на зажимах катушек, э. д. с. самоин¬
дукции Elv> EL2 катушек, активные сопротивления^, г2катушек,
индуктивности L2 катушек, ток I в неразветвленной части цепи,
коэффициент мощности cos ф всей цепи, угол сдвига фаз ф между
вектором тока I и вектором напряжения С7, если ток в первой
катушке ^=11 а и частота /=50 гц. Построить векторную диа¬
грамму и треугольники мощностей. По треугольникам мощностей
определить графически полную мощность каждой катушки и
обеих катушек.
134
248. Два приемника (рис. 114) включены параллельно. Токи
и коэффициенты мощности приемников соответственно равны:
Z]L=5,5 а\ І2=4а\ cos фх=0,76; cos ф2=0,89 (ф2<0). Активная
мощность, подводимая к приемникам, Р = 1703 вт. Вычислить
ток I в неразветвленной части
цепи, напряжение U на зажи¬
мах цепи, коэффициент мощно¬
сти cos ф всей цепи и мощность
каждого приемника. Найти па¬
раметры приемников, т. е. zv
rv хѵ z2, r2, x2 и построить век¬
торную диаграмму.
249. Цепь состоит из двух па¬
раллельных ветвей (рис. 115),
активные и реактивные сопро¬
тивления которых соответствен¬
но равны: гх = 16 ом\ хс=12 ом\ г2 = 17,2 ом\ х£=10,2 ом. Опреде¬
лить графически и аналитически полное сопротивление z цепи
и коэффициент мощности cos ф цепи, напряжение U на зажимах
цепи, токи Іѵ І2 в' параллельных ветвях и активную мощность Р
цепи, если ток в неразветвленной части цепи I = 18,3 а. Построить
векторную диаграмму.
250. В сеть с напряжением [7=220 в включены параллельно
две катушки. Коэффициент мощности первой катушки cos фх=0,5
и ток в ней Іг=Ьа. Активная мощ¬
ность, потребляемая второй катуш¬
кой, Р2=528 вт и коэффициент
мощности cos ф2=0,6. Чему равны
полное, активное и индуктивное со¬
противления каждой катушки, ток
I в неразветвленной части цепи, ко¬
эффициент мощности cos ф всей цепи,
активная, реактивная и полная мощ¬
ности P, Q и S всей цепи? Построить
векторную диаграмму и треугольни¬
ки мощностей для каждой катушки и
обеих катушек.
251. Два приемника включены
параллельно. Ток в первом прием¬
нике Іг = 10 а и коэффициент мощности cos ф. =0,8 0).
Ток в неразветвленной части цепи /=13,8 а и коэффициент мощ-»
ности всей цепи cos ф=0,86. Определить напряжение U на зажи-»
мах приемников, ток І2 во втором приемнике, коэффициент мощ¬
ности cos ф2, активное, реактивное и полное сопротивления
приемников rv хѵ zv r2, x2 и z2, активную, реактивную и полную
мощности P, Q и S цеци, если активная мощность, потребляемая
вторым приемником, Р2=849 вт. Построить векторную диаграмму.
135
252. Три приемника (рис. 116) включены параллельно. Актив¬
ные и реактивные сопротивления приемников соответственна
равны: Fj = 15,2 ом\ xL1 = 13 ом; г2=32 ом\ хС2 = 24 ом\ г3=20 ом.
Определить показания приборов, а также активную и реактивную
Рис. 116
мощности каждого приемника, если амперметр Л1 показывает
гок 71=11 а. Построить векторную диаграмму.
Решение. Ток в неразветвленной части цепи, т. ё. пока¬
зание амперметра А, определим двумя способами:
і-й способ. Полные сопротивления приемников:
zt = Vr2i + x2Li = Ѵ15,22 + 132 = 20 ом.
Z2 = г2 H- = 322 -|- 242 = 40 ом; z$ = Г3 = 20 ом.
Коэффициенты мощности приемников:
П 15,2
cos epi = — = — = 0, /6;
zt 20
32 „ „ I
— = 0,8; cos <рз = 1.
40 Y
Напряжение на зажимах цепи
U = zJi = 20-11 = 220 в.
1'2
cos ф2 —
*2
Показания амперметров Л2 и А3 равны:
т U 220 с с
І2 = — = = 5,5 а;
z2 40
т U 220 лл
z3 20
136
Активные составляющие токов приемников:
Іаі = Ц cos фі = 11-0,76 = 8,36 а;
/а2 = Л cos ф2 = 5,5-0,8 = 4,4 а;
I аЗ = Л = 11 а-
Активная составляющая тока в неразветвленной части цепи
= Іаі + Iа2 + Іаз = 8,36 4" 4,4 4~ 11 = 23,76 а æ 23,8 а.
Реактивные составляющие токов приемников:
13
Ipl=Il sin Ф1 = 11 -— = 7,15 a;
p Y 20
24
Ip2 = h sin ф2 = 5,5 • = — 3,3 a.
Реактивная составляющая тока в неразветвленной части цепи
Ір = Ірі + Ір2 = 7,15 — 3,3 = 3,85 а.
Ток в неразветвленной части цепи, т. ѳ. показание амперметра
А, равно:
I = Ѵ12а + 4 = Ѵ23.82 + 3,852 = 24,1 а.
Коэффициент мощности всей цепи
cos<p =L° =2-^ =0,987.
/24,1
2-й способ. Активные проводимости приемников:
й=^=В=о’о21/“!
^2
g3 = — = — = 0,05 і/ом.
r3 20
Эквивалентная активная проводимость всей цепи
g = gi “f~ g2 4- g3 = 0,038 4“ 0,02 4“ 0,05 = 0,108 І/ол^.
Реактивные проводимости приемников:
bi =^‘ = —, =0,0325 1/<ш;
zî 202
137
b2 =—^£2 =—= —0,015 l/03t;
z| 402
*з_ 0
°3-z’-202
Эквивалентная реактивная проводимость всей цепи
Ъ = + Ь2 + Ь3 = 0,0325 - 0,015 + 0 = 0,0175 Ном.
Эквивалентная полная проводимость всей цепи
У = Vg2 + b2 = Уо,Ю82 4- 0,01752 = 0,1094 Ном.
Ток в неразветвленной части цепи
I = - = Uy = 220 • 0,1094 = 24,1 а.
Z
Активные мощности приемников:
= rj\ = 15,2 • il2 = 1839 вт
или
Pi = UI\ cos фі = Ulai = 220-8,36 = 1839 вт;
Р2 = г2І2 = 32 • 5,52 = 968 вт
или
Р2 = UI2 cos ф2 = UIa2 = 220-4,4 = 968 вт;
Р3 = г3І23 = 20 • И2 = 2420 вт
или
Р3 = UI3 cos фз = UIa3 = 220-11 = 2420 вт.
Активная мощность всей цепи, т. е. показание ваттметра»
равна:
р = + р2 + р3 = 1839 + 968 + 2420 = 5227 вт
или
P = UI cos ф = иіа = 220-23,76 = 5227 вт.
Реактивные мощности приемников:
Ql = хціі = 13 • H2 = 1573 вар
или
Qi = Uli sin фі = UIpi = 220-7,15 = 1573 вар;
Qz= — xC2Il = (- 24)-5,52 = - 726 вар
138
или
Q2 = UI2 Sin ф2 = UIP2 = 220-(— 3,3) = - 726 вар-,
<?3=х3/|=0-11 =0.
Реактивная мощность всей цепи
Q = Ql + q2 + Q3 = 1573 - 726 + 0 = 847 вар
или
Ç=Z7/sin(p=/7/p=220-3,85-847 вар.
Построение векторной диаграммы производится следующим
образом. Выбираем масштаб для тока пг;=0,2 а/мм. В произволь¬
ном направлении откладываем вектор напряжения U (рис. 117).
Под углом ф1=40°30' в сторону отставания от вектора U отклады¬
ваем вектор тока Z1. Из конца вектора Іѵ под углом ф2=36°50'
в сторону опережения вектора U откладываем вектор тока І2. Из
конца вектора І2 параллельно вектору U откладываем вектор
тока І3. Соединяя точку О с концом вектора /3, получим вектор
тока / в неразветвленной части цепи.
253. Три приемника (рис. 116) включены параллельно. Актив¬
ные и реактивные сопротивления приемников соответственно
равны: ^—32 ом\ xL1 =30, 2 ом\ г2=18,5 ом, х^2=7,6 ом; г3—40 ом.
Определить показания приборов, а также активную и реактивную
мощности каждого приемника, если амперметр показывает
ток 7Х=5 а. Построить векторную диаграмму.
254. В сеть с напряжением [7=220 в включены параллельно
двигатель, потребляющий активную мощность Р2 = 11 кет при
коэффициенте мощности cos ф2=0,84 и 12 ламп накаливания мощ¬
ностью по 200 вт каждая (реактивное сопротивление ламп очень
мало и им пренебрегаем). Определить аналитически и графически
ток I в неразветвленной части цепи, коэффициент мощности
cos ф всей цепи и угол сдвига фаз ф между вектором тока I и
вектором напряжения U. Найти активную, реактивную и полную
мощности P, Q и 5 всей цепи.
255. Амперметр, включенный в цепь (рис. 118), показывает ток
7j = 11 а. Вычислить напряжение U, приложенное к цепи, токи
в параллельных ветвях, ток I в неразветвленной части цепи,
139
коэффициент мощности cos ср всей цепи, активную, реактивную
и полную мощности P, Q и S всей цепи при разомкнутом и замкну¬
том рубильнике Р. Сопротивления цепи равны: г, = 20 ом; хС2 =
=25 ом; xL3=22 ом; г4=16 ом; xL4=12 ом. Построить векторную
диаграмму.
Рис. 118
256. Амперметр, включенный в цепь (рис. 119), показывает
ток 72=7,2 а. Сопротивления отдельных участков цепи равны:
гі=5?56 ом; ^=5,2 ом; г2=12 ом; я2=16 ом; г3=40 ом; х3=ЗО ом.
Определить ток І4 в неразветвленной части цепи, напряжение С7,
Рис. 119
приложенное к цепи, коэффициент мощности cos <р цепи, активную
и реактивную мощности отдельных участков цепи и всей цепи.
Построить векторную диаграмму напряжений и токов.
Решение. Полные сопротивления параллельных ветвей:
Z2 = Уг} + 4 = V122 4- 162 = 20 ом;
z3 = V4 + 4 = Ѵ402 + 302 = 50 ом.
140
Напряжение на зажимах параллельных ветвей
U2 = 22-^2 = 20-7,2 = 144 в.
Ток, проходящий по сопротивлению z3,
_t/2_144 „
1 а — — — — и. У а
z3 50
или
12 %3
/з Z2
отсюда
I3 = I2-~ = 7,2-— =2,9 a.
z3 50
Активные проводимости параллельных ветвей:
й = 4 = ^-2 = ло212^2 = 0,03 І/ОМ-,
^2 1*2 %2 12 +16
g3 = ++ = /ч240оп2 = 0>016 І/ОМ-
ГІ + х23 402 + 302
Реактивные проводимости параллельных ветвей:
*2 = -2-^-2 = ;»24\п2 = 0-04 І/ОМ'>
jj + xl 122 +162
b3 = ; Л+ = 0,012 і/ом
ti+xl 402 + 302
Эквивалентная активная проводимость параллельных ветвей
g23 = g2 + £з = 0,03 + 0,016 = 0,046 і/ом.
Эквивалентная реактивная проводимость параллельных ветвей
Ь2з = ъ2 + Ь3 = 0,04 + 0,012 = 0,052 Ном.
Эквивалентная полная проводимость параллельных ветвей
У2з = 1/ #23 + ^23 = 0,0462 + 0,0522
Эквивалентное активное сопротивление
0,046
= 0,0694 Ном.
параллельных ветвей
г = ^23
Z/23 #23 + ^23 0,0462 + 0,0522
= 9,54 ом.
141
Эквивалентное реактивное сопротивление параллельных
ветвей
&23 0,052
#23 = г = 5 Ю,8 ом.
ё2з 4" ^23 0,046 + 0,052
Эквивалентное полное сопротивление параллельных ветвей
или
Z23 = Vrf3 + *23 = Ѵ9,542 + 10,82 = 14,4 ом.
Активная составляющая тока в неразветвленной части цепи
Іа.= U2g23 = 144-0,046 « 6,6 а.
Реактивная составляющая тока в неразветвленной части цепи
IP1 = U2b23 = 144-0,052 ж 7,5 а.
Ток в неразветвленной части цепи
Л = ѴЛ1+ Zpf = Ѵб.62 + 7,52« 10 а
пли
/1 = и2у23 = 144-0,0694 10 а.
Напряжение на зажимах цепи
и = Ij~V (г і + Г2з)2 + (#1 + 3?2з)2 =
= 10 Ѵ(5,56 + 9,54)2 + (5,2 + 10,8)2 = 220 в.
Напряжение на зажимах первого приемника
Ui = IlZl = л Vr2t + x2t = 10 • Ѵ5,562 + 5,22 = 76,1 в.
Коэффициенты мощности отдельных участков цепи и всей цепи:
cos <р, = — = 5,56 = 0,731;
zi V5.562 + 5,22
Г2 12 А «
cos q>2 = — = — = 0,6;
V z2 20
cos ф3 = — = — = 0,8;
z3 50
cog(p^ П + r23 5,56 +9,54 ^0 686
+^2з)2+(^i+#2з)2 (5,56+9,54)2+(5,2+10,8)2
142
Активные мощности отдельных участков цепи и всей цепи:
Pt = nil = 5,56 • ІО2 = 556 вт
или
Pi = UJi cos фі = 76,1-10-0,731 = 556 вт;
P2 = r2I% = i2-7,22 =622 вт
или
Р2 = и2І2 cos ф2 = 144-7,2-0,6 = 622 вт;
Р3 = г3І2 = 40 • 2,92 = 336 вт
или
Р3 = U2I3 cos фз = 144-2,9-0,8 = 334 вт;
Р = Р, + Р2 + Р3 = 556 + 622 + 334 = 1512 вт
или
Р = иЦ cos ф = 220-10-0,686 ~ 1510 вт.
Реактивные мощности отдельных участков цепи и всей цепи:
Ql = = 5,2 • ІО2 = 520 вар
или
Qi = UJi sin = UJi— = 76,1 • 10 • 5,2 •= 520 вар;
Zi V5,562 + 5,22
Q2 — %2I2 — 16 • 7,2 = 829 вар
или
Ç2 = U2I2 sin ф2 = U2I2 -2 = 144 • 7,2 • — = 829 вар;
z2 20
Q3 = х3І2з = 30 • 2,92 = 252 вар
или
Q3 = U2I3 sin <p3 = U2I3 = 144-2.9- —« 251 вар.
z3 50
Q = Qi + <?2 + <?з = 520 + 829 + 251 = 1600 вар
или
Q = Uh sin ф = Uh xi+x^ =
"V/(rl + r2з)2 + (æl + ^23)2
= 220 • 10 —- ■ 5’2.+ 10’8 = 1595 вар№ 1600 вар.
V(5,56 + 9,54)2+ (5,2 + 10,8)2
143
Векторная диаграмма напряжений и токов изображена на
рис. 120.
Построение векторной диаграммы производится следующим
образом. Выбираем масштабы для напряжения тй=2 в/мм и
тока тп;=0,1 а!мм. В произвольном направлении откладываем
120), а под углами ф2=53 10 и
<р3=36°50' в сторону отставания
от вектора U2 откладываем
векторы токов /2 и/3, Складывая
векторы І2 и /3, получим вектор
тока Іг в неразветвленной части
цепи. Из конца вектора U2 парал¬
лельно вектору тока отклады¬
ваем вектор (г171 = 5,56-10 =
=55,6 в), а под углом 90° в сто¬
рону опережения вектора откла¬
дываем вектор (xJ/1=5,2-10=
= 52 в). Складывая векторы
и получим вектор напряже¬
ния Uv Соединяя точку 0 с кон¬
цом вектора Uv получим вектор
напряжения U на зажимах всей
цепи.
257. К цепи, показанной на
рис. 121, приложено напряжение
етвях цепи, ток I в неразветвленной
части цепи, активные, реактивные и полные мощности отдельных
ветвей и всей цепи, если параметры цепи равны: гх=2,8 ом\
яа=5,6 ом] г2=5 ом\ хсз=20 ом] xL4=5 ом\ хСб = 12,5 ом. Пост¬
роить векторную диаграмму напряжений и токов.
Решение. Активные и реактивные проводимости парал^
лельных ветвей разветвления (участка) ВС:
1 1
= — = — =0,2 1/ом;
г2 5
g4 = °
Ьз = —
= Г2 = Г2 = Г2 =
Б2 ѣ rï + û і+о"
?з=°;
(так как г3 и г4 равны нулю);
b ~ -
2 г22+ х22 52’ + О '
-J— = —0,05 1/ом; h = — = — = 0,2 I/oм
— Хсз — 20 xLi 5
•- 0:
144
Эквивалентная активная проводимость разветвления ВС
ёвс = ё2 + + #4 = 0»2 + 0 + 0 = 0,2 Ном.
Эквивалентная реактивная проводимость разветвления ВС
b вс = &2 “Ь ”1“ ^4 = 0 — 0,05 4- 0,2 = 0,15 Ном.
Эквивалентная полная проводимость разветвления ВС
у вс = ё2вс + вс = Ѵ0,2 2-|- 0,15 2= 0,25 1/ом.
Рис. 121
Эквивалентное
активное сопротивление разветвления ВС
g вс 0,2 « ~
Гвс = — = —2 = 3,2 ом.
Уве 0,25
Эквивалентное
реактивное сопротивление разветвления ВС
b вс 0,15 q .
Хвс =~2~ = = 2>4 0М-
1/вс 0>^5
Эквивалентное
полное сопротивление разветвления ВС
Zbc = Ѵг2вс + х2вс = Ѵ3,22 + 2,42 = 4 ом
или
1 1
z вс = — = = 4 ом.
Уве 0,25
В этом случае схему, изображенную на рис. 121, можно заме¬
нить схемой рис. 122.
145
Активная проводимость ветви АВС
г9 — 7*і + г вс = 2,8 -|- 3,2 — 6 ом.
Реактивная проводимость ветви АВС
X = xL1 + хвс = 5,6 + 2,4 = 8 ом.
Полное сопротивление ветви АВС
z = Ѵг'2 + х'2 = Ѵб2 + 82 = 10 ом.
Следовательно, схему рис. 122 можно заменить схемой 123.
Рис. 122
ъ' х'
Ъ = ^2
Z
Ь5=—=
Активные проводимости параллельных ветвей (рис. 128)
g = ^2 = = °>06 І/ОМ’
а = 0, так как гь = 0.
Реактивные проводимости параллельных ветвей (рис. 123)
= 0,08 і/ом}
ІО2
1
= — 0,08 ï/ом.
-хСъ 12,5
Эквивалентная активная проводимость цепи
g = g' + gô = 0,06 + 0= 0,06 і/ом.
Эквивалентная реактивная проводимость цепи
Ъ = Ъ' + Ъь = 0,08 — 0,08 = 0.
Так как в данной цепи эквивалентная реактивная проводи-»
мостъ цепи равна нулю, то в ней имеет место резонанс токов,
146
Эквивалентная полная проводимость цепи
у _ Vg2 + = Ѵо.062 + О2 = 0,06 1/ом,
т. е. при резонансе полная проводимость цепи равна активной
проводимости цепи.
U
Рис. 123
Эквивалентное активное сопротивление цепи
Г==4 = ^ = 16,67 І/ОМ-
у2 0,Об2
Эквивалентное реактивное сопротивление цепи
b 0 А
І=?=^=о-
Эквивалентное полное сопротивление цепи
1 1
z = — = — =16,67 і/ом,
У 0,06
т. е. при резонансе полное сопротивление цепи равно актив¬
ному сопротивлению цепи. Схему рис. 123 можно заменить схемой
5
/
и
Рис. 124
рис. 124. Зная напряжение U на зажимах всей цепи и эквивалент¬
ное полное сопротивление z цепи, можно определить ток в нераз-
147
ветвленной части цепи
U _ 380
z “16,67
= 22,8 а
или
I = Uy = 380-0,06 = 22,8 а.
Ток в первой ветви (рис. 123)
/,=£ = 3А» = 38«.
Z' 10
Напряжение на разветвлении (участке) ВС
U2 = zBCIi = 4-38 = 152 в.
Токи в параллельных ветвях разветвления ВС
I - Щ
/2 —
Тг
I - и*
^3 —
ХСЗ
I -и*
— —
ХІА
Ток в сопротивлении хс5
I - и
хСі
152 ОЛ ,
— 30,4 а;
5
152
— 7,6 а;
20
152 оп,
— = 30,4 а.
5
380
= 30,4 а.
12,5
Активные мощности ветвей
Р1 = ГііI 2і = 2,8 • 382« 4040 вт
или
9 о
Рі = UJi cos фі = 238 • 38 • —- ’ — œ 4040 вт,
V2,82+5,62
где
С7і = IlZi = 381/2,82 4- 5,62 « 238 e\
P2 = r2ll = 5’ 30,42 = 4620 em
или
P2 = U2/г cos Ф2 = 152-30,4-1 = 4620 em\
P3 = 0; P4 = 0; P& = 0
(так как r3, r4 и r6 равны нулю).
Активная мощность всей цепи
Р = гР = 16,67-22,82 « 8660 вт
или
P = UI cos ф = 380-22,8-1 « 8660 вт
148
или
P = P, + Р2 = 4040 + 4620 = 8660 вт.
Реактивные мощности ветвей
Qi — x^jf = 5,6 * 382 = 8086 вир
или
Qi = и Ji sin фі = 238 • 38 • —— = 8085 вар;
Т/2,82 + 5,62
(?2 = 0 (так как х2 = 0);
Q3 = — xcJl = — 20-7,62 = —1155 вар
или
Qz — и2Ц sin фз = 152-7,6-(—1) = — 1155 вар;
Q4 = = 5-30,42 = 4620 вар
или
Ç4 = UJ4 sin ф4 = 152-30,4-1 = 4620 вар;
<?5 = — xcJl = —12,5 • 30,42^ —11550 вар
или
Q6 = UI6 sin <ps = 380-30,4-(—1) « — 11550 вар.
Реактивная мощность всей цепи Q= + *?з+ Ç«+ Q&—
=8085+0-1155+4620-11550=0 или Ç=a;-/2 =0-22,82 = 0.
Полные мощности ветвей:
= U Ji = 238-38 = 9044 ea-,
52 = U2I2 = 152-30,4 = 4620 ea-,
53 = U2I3 = 152-7,6 = 4620 ea-,
St = u2l4 = 152-30,4 = 4620 ea-,
S. = UIR = 380-30,4« 11550 ea.
Полная мощность всей цепи
S = UI = 380-22,8 « 8660 ва.
Из сопоставления полных мощностей отдельных ветвей и всей
цепи видно, что полная мощность всей цепи не равна арифметиче¬
ской сумме полных мощностей отдельных ветвей. Векторная диа¬
грамма напряжений и токов показана на рис. 125.
Построение векторной диаграммы производится следующим
образом. Выбираем масштабы для напряжения ти=2 в/мм и тока
mz=0,5 а.
В произвольном направлении откладываем вектор напряжения
U2 (рис. 125). Так как вторая ветвь обладает только активным
сопротивлением, то вектор тока І2 совпадает по фазе с вектором
напряжения U2. Третья ветвь обладает чисто емкостным сопро¬
тивлением, поэтому из конца вектора тока І2 откладываем вектор
149
тока /3 под углом 90° в сторону опережения вектора U2. Четвертая
ветвь обладает только индуктивным сопротивлением, поэтому из
конца вектора І3 откладываем вектор тока Z4 под углом 90° в сто¬
рону отставания вектора U2. Складывая геометрически векторы
токов /2, І3 и Z4, получим вектор тока в первой ветви. Чтобы
получить вектор напряжения U на зажимах всей цепи, необходимо
к вектору напряжения U2 прибавить вектор напряжения Ux
на зажимах первой ветви. Для этого из конца вектора U2 парал¬
лельно вектору тока откладываем вектор rxZx (гх/х=2,8-38=
= 106,4 в), а под углом 90° в сторону опережения вектора IL откла¬
дываем вектор (æLxZx=5,6-38=212,8 в). Складывая векторы
г1І1 и xL1Iv получим вектор напряжения на зажимах первой
ветви. Соединяя точку О с концом вектора Uv получим вектор
напряжения U на зажимах всей цепи.
Чтобы получить вектор тока I в неразветвленной части цепи,
следует к вектору тока Іх прибавить вектор тока Іь, Для этого из
конца вектора тока откладываем вектор тока Z6 под углом 90д
в сторону опережения вектора U. Соединив точку О с концом век-»
тора /б, получим вектор тока I в неразветвленной части цепи.
258. Определить полное сопротивление z всей цепи, токи
в параллельных ветвях, ток Zx в неразветвленной части цепи,
напряжения на отдельных участках цепи, коэффициент мощности
cos ф цепи, показания ваттметров (рис. 126), если напряжение на
зажимах цепи <7=120 в, активные и индуктивные сопротивления
150
отдельных участков цепи соответственно равны: ^=2 ом;
=4 ом; г2 = к ом\ xL2=50 ом; г3=8 ом; xL3=40 ом; г4=10 ом;
xL4=20 ом. Построить векторную диаграмму напряжений и токов.
259. Вычислить полное, активное и реактивное сопротивления z,
г и X цепи (рис. 127). Сопротивления отдельных участков цепи
равны: г1 =8 ом; æ£1=10 ом; хС1=4 ом, xl2=10 ом; г3=20 ом;
г4=6 ом; ^/4=8 ом; г6=5 ом.
Рис. 126
Определить показания приборов, если амперметр А б показывает
ток 76=13,8 а.
Рис. 127
260. Цепь, изображенная на рис. 128, обладает сопротивлени¬
ями, соответственно равными: хС1 = 125 ом; г2=20 ом; г3=2 ом;
xL3 = 15 ом; г4=28ом; х15=10 ом; гв=20 ом; xlq=4Qom; ^=5 ом;
хС7 = 24ом; г8 = 10 ом; xlq=8 ом. Чему равны токи в отдельных
участках цепи, ток I в неразветвленной части цепи, коэффициент
мощности cos ф всей цеди, напряжение U на зажимах цепи, актив¬
ная, реактивная и полная мощности P, Q и5 всей цепи, если ток в
сопротивлении xLb 7б=6,45 а? Построить векторную диаграмму
напряжений и токов.
151
261. К цепи, изображенной на рис. 129, приложено напряже¬
ние £7=220 в, сопротивления отдельных участков цепи соответ¬
ственно равны: гх=5 ом; хС1=20 ом; г2=і2 ом; г3=8 ом; xL3 =
=14 ом; г4=3 ом; хС4=іО ом; xL5=25 ом; гв=40 ом; г7=6 ом;
Рис. 129
xL7=4 ом; xlq = 2Q ом. Определить активные и реактивные мощ¬
ности отдельных участков цепи и всей цепи, коэффициент мощ¬
ности cos <р всей цепи. Построить векторную диаграмму напря¬
жений и токов.
262. Для цепи, изображенной на рис. 130, найти токи в отдель¬
ных участках цепи, ток I в неразветвленной части цепи, активную,
реактивную и полную мощности P, Q и S всей цепи, коэффициент
мощности cos ф всей цепи, напряжение U на зажимах цепи, если
сопротивления отдельных участков цепи равны:
7^=100 ом; #L1=120 ом; хС1=200 ом; г2=2 ом; xL2=20 ом;
7'з=25 ом; г4=5 ом; ом; г5=28 ом; хс&=40 ом; гв=12 ом;
152
Рис. 130
Ядв=65 ом. Амперметр показывает ток 74=4,5 а. Построить век¬
торную диаграмму напряжений и токов.
263. Для цепи, показанной на рис. 131, определить токи в от¬
дельных участках цепи, ток I в неразветвленной части цепи,
Рис. 131
активную, реактивную и полную мощности P, Q и 5 всей цепиг
коэффициент мощности cos (р всей цепи, напряжение U на зажимах
цепи, если ток в сопротивлении хи 74=1,94 а, сопротивления от¬
дельных участков цепи равны: хС1=20 ом; г2=3 ом; жС2=Ю ом;
г3=8 ом; xL3 = 14 ом; xL4=25 ом; гб=50 ом; гв=6 ом; xLe =4 ом;
г7=12 ом; xlj =20 ом. Построить векторную диаграмму напряже¬
ний и токов.
153
264. Параметры цепи (рис. 132) равны: 7^=5 ом; хС1=45 ом;
г2=5 ом; яД2=40 ом; г3=8 ом; xL3=10 ом; г4=4 ом; х£4=12 ом;
г6=2 ом; хС6=100 ом. Найти токи в отдельных участках цепи,
ток I в неразветвленной части цепи, активные, реактивные и пол¬
ные мощности отдельных участков цепи и всей цепи, коэффициент
мощности cos ф всей цепи, если напряжение на зажимах цепи
£7=127 в. Построить векторную диаграмму напряжений и токов.
Глава пятая
ПРИМЕНЕНИЕ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА К РАСЧЕТУ
ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
При расчете цепей переменного тока
широкое распространение получил символический метод, так как
с комплексными числами можно производить все алгебраические
действия и при помощи их выражать векторы тока и напря¬
жения.
Комплексным числ
называется алгебраическая сум¬
ма действительного (веществен¬
ного) и мнимого чисел.
Положительные и отрица¬
тельные числа называются
действительными, а
квадратные корни из отрица¬
тельных чисел — мнимыми.
Следовательно, мнимое число
можно представить в виде про¬
изведения положительного чис¬
ла на квадратный корень из
отрицательной единицы — мни¬
мой единицы, обозначенной бук¬
вой 7=]/—1. Тогда ]2 =—1, і3 = —74 = 1 и т. д. Как было уже
сказано выше, векторы тока и напряжения можно выражать ком¬
плексными числами. Если по оси абсцисс откладывать действи¬
тельные числа (значения величин), а по оси ординат — мнимые,
то получим следующую связь между вектором тока I (или каким-
либо другим вектором) и комплексным числом, его изображающим^
Проекция вектора Ï (рис. 133) на действительную ось равна
действительной (вещественной) части комплекса 7', проекция
вектора І на мнимую ось равна мнимой части комплекса Г'.
155
В этом случае вектор Г снабжается оператором 1,
который показывает, что вектор Г повернут относительно век¬
тора Г на 90° в сторону вращения векторов. Следовательно, вектор
тока І можно выразить комплексом:
I = Ï + И = I (cos а + 7 sin а) = 7Уа, (1)
где е — основание натуральных логарифмов;
I = у/2 + /2 _ (2)
— модуль комплексного числа, т. ѳ. абсолютная величина вектора;
а — аргумент комплексного числа, который определяется из
соотношения:
tga=p (3)
Так как каждому значению тангенса соответствуют два зна¬
чения угла, отличающиеся один от другого на 180°, то угол
определяем по знакам слагающих комплекса. Форму Г+]Г на¬
зывают алгебраической формой комплекс¬
ного числа, форму /(cos «+/ sin a)—-тригонометри¬
ческой, а форму /У* — показательной.
Комплексные числа Г4-77"=Z(cosa+7*sina)=/yr(X й
Г—jl"=/(cosa—7’sina)=/^”^a, отличающиеся только знаком при
мнимой части или же знаком аргумента, называются сопря¬
женными.
Произведение двух комплексных со¬
пряженных чисел равно квадрату их модуля:
итги (Г + ]Г) ■ (Ï = /2 + /"2 = I21 (4)
ИЛИ Іе1а • Іе~}л = J
Сложение комплексных чисел сводится к
сложению отдельно их действительных и мнимых частей:
Л +12 = (А+/Л) + (Л+/Л) =(Л+Л) +
+ 7 (Л + Л ) = ^ + ]І = Î* (5)
Так как действительная и мнимая части комплексного числа
являются одновременно координатами соответствующего вектора,
то при сложении комплексных чисел изображающие их векторы
тоже складываются (рис. 134).
Вычитание комплексных чисел сводится к
вычитанию отдельно их действительных и мнимых частей:
Л —12 = (Л + /Л)—{І2 +7^2)= (^і —Л) +
+ 7 (Л — І2 ) = I + ]І = /, (6)
156
т. e. вычитание комплексных чисел можно заменить вычитанием
соответствующих им векторов. Вычитание векторов, изображаемых
в комплексной форме, можно заменить сложением вектора уменъ-
іпаемого с вектором вычитаемым, причем последний вектор необ¬
ходимо взять с обратным знаком, как это показано на рис. 135.
При умножении комп
(комплекса) À = Ае^ на комплексное
число получится новое комплексное
число (комплекс) * *, равное:
Âe™= АеѴ = АеЛа+₽) = Aejv = В, (7)
леке
ного числа
т. е. если множимый комплекс представ¬
лен вектором, то получаем вектор той
же длины, но повернутый относитель¬
но множимого вектора на угол р в
положительном направлении, т. е. про¬
тив часовой стрелки (рис. 136).
Если р=90°, то e±/90O=cos 90®±/ sin 90° =
Следовательно, умножение вектора на j означает поворот его
на 90° в положительном направлении, а умножение на —j—
поворот вектора на 90® в отрицательном направлении.
При умножении комплексов Â=A'+jA" и В=В' +jВ", изоб¬
ражающих векторы (рис. 137), получаем новый комплекс, равный:
АВ =(A' + jA'')-(B' + jB") = (А'В'—А"В") + ](А'В"+А"В') =
= C' + jC"=C. (8)
* В дальнейшем вместо термина «комплексное число» будем употреблять
термин «комплекс».
157
Умножение комплексов удобнее производить, если они пред¬
ставлены в показательной форме ♦:
АВ=АеіаВе™ = АВеЛа+® = Сеіу = С. (9)
Модуль произ
дению модулей
произведения р
множителей.
ведения равен
множителей, а
п р о и з в е-
аргумент
авен сумме аргументов
При делении комплекса Л =А'+/Л" на ком¬
плекс В=В' В" необходимо умножить делимое и делитель
на сопряженный делителю комплекс:
Л _ Л' + М" В' —]В" _ А'В' + Л"5" . А"В'—А'В" _
В ~ В' +]В" В'— ]В" В'2 + В"2 1 В'2+В"2 ~
= C' + jC"=C. (10)
Деление комплекса (рис. 138) на комплекс удобнее произво¬
дить, когда они представлены в показательной форме:
Л Aeja А
— == •
В Be™ В
Ла—3) _ ^Ла—3) = Qjy _ q
(И)
Следовательно, модуль частного равен частному модулей де¬
лимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргу¬
ментов делимого и делителя.
2. СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Если имеем синусоидальную функцию ѵ=Ѵт sin((D^+ip) =
=Ѵ2Ѵ sin (соt+ф), то ее можно представить комплексным чис-
* Переход от алгебраической формы к показательной можно произвести
/ А"
следующим образом: А = AeJ\ где А = V А'2+А"2, tga = -т/, где
А,
в = К5'2 + в"2, tgp =
158
лом: V т=Ѵ те'^ или V=Vert> trs Vm и V — амплитуда и действую¬
щее значение синусоидальной функции;
ф — начальная фаза.
Если синусоидальную функцию ѵ=Ѵт sin (со^+ф) изображать
не неподвижным вектором, а вектором, вращающимся с постоян¬
ной угловой скоростью со, то ему соответствует комплексное число
Vme^t+^=Vm cos (со^+ф). Второе слагаемое вы¬
ражения без множителя / представляет собой мгновенное значение
синусоидально изменяющейся величины.
3. КОМПЛЕКСНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И КОМПЛЕКСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Комплексным сопротивлением* элект¬
рической цепи называется отношение комплексного
пряжения U (рис. 139) к комплексному току Ï:
Z = ^_еt.k. = — • = ze34> =z (cos <p+; sin (p)=r+jx,
на-
Iej^
где Z — комплексное сопротивление цепи, ом\
U — модуль комплексного напря¬
жения, равный действующе¬
му его значению, в\
I — модуль тока, равный дейст¬
вующему его значению, а;
з,гия—полное, активное и реактив¬
ное сопротивления цепи, ом.
При записи сопротивления в ком¬
плексной форме вещественная часть
комплексного сопротивления всегда
равна активному сопротивлению, а
мнимая часть — реактивному. При
индуктивной нагрузке мнимая часть
ния положительна, а при емкостной
Комплексной
ческой
к комплексному напряжению U:
.г і
(12)
комплексного сопротивле-
— отрицательна.
проводимостью электр и-
ц е п и называется отношение комплексного тока I
= —— = — e =-Le-^= ye =
Ue3'*’" U U
= y (cos ф — j sin <p) = g — jb,
(13)
Ù
♦ Вместо терминов «комплексное сопротивление цепи», «комплексная
проводимость цепи», «комплексное напряжение» и «комплексный ток» упо¬
требляются также термины «комплекс полного сопротивления цепи», «ком¬
плекс полной проводимости цепи», «комплекс напряжения» и «комплекс
тока».
159
где Y — комплексная проводимость цепи, Ном\
g, buy — активная, реактивная и полная проводимости цепи, Ном.
Формулы (12) и (13) справедливы для цепи, в которой ин¬
дуктивное сопротивление преобладает над емкостным*, если же,
наоборот, емкостное сопротивление преобладает над индуктив¬
ным, то комплексные сопротивление и проводимость цепи будут
соответственно равны:
Z = ze“J<p = z (cos <р —J sin <р) = г —jx\ (14)
У = ye3<t = y(cos<p +і sin <р) = g +jb. (15)
Произведение комплексны х сопротив¬
ления Z и проводимости У равно единице, т. е.
ZY = і. (16)
4. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В СИМВОЛИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Закон Ома в символической форме для цепи переменного тока:
7=Л = £7У, (17)
Первый закон Кирхгофа — алгебраическая сум¬
ма комплексных токов в узле электрической цепи равна нулю:
к = п
2 À = О, (18)
к = 1
при этом комплексные токи, направленные к узлу (условно),
считаются положительными, а комплексные токи, направленные
от него,— отрицательными.
Второй закон Кирхгофа — во всяком замкну¬
том контуре алгебраическая сумма комплексных электродвижущих
сил, действующих в отдельных участках контура, равна алгебраи¬
ческой сумме комплексных падений напряжений в этом контуре:
к — п к = п
2 ёк= 2 iKzK, (19)
к = 1 К = 1
при этом комплексные э. д. с. и токи, направленные по обходу
контура (условно), считаются положительными, а комплексные
э. д. с. и токи, направленные против обхода контура,— отрица¬
тельными.
♦ Комплексное сопротивление цепи, содержащей активное сопротивле¬
ние г, индуктивность L и емкость С, равно:
Z = r + i[(i)L— -АЛ = r + j(XL _ Хс),
160
5. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ПРИЕМНИКОВ
Комплексный ток в неразветвленной части цепи (рис. 140)
равен алгебраической сумме комплексных токов отдельных при¬
емников:
І = Л + Л + . . . + Іп. (20)
где îv І2, ïn — комплексные токи отдельных приемников, а.
Токи приемников:
(21)
Подставляя эти выражения токов в уравнение (20), получим:
f Ü , Ü Ü
/-z1+z2 + ---+f„’
где Zv Z2, Zn — комплексные сопротивления отдельных при-»
емников, ом.
Разделив обе части уравнения на Ù, найдем:
/1,1 11
-г = -+—
N
с
N
N
N
à
где
111 1
И
ИЛИ
Y = Уі + У2 + . . . + Yn, (23)
6 Заказ Mi 936 161
где Уг= -ÿ-, Y2= — , . . . , У„=- комплексные проводимо-
.2 сти отдельных приемни¬
ков, 1/ом.
Следовательно, комплексная проводимостьУ
цепи при параллельном соединении при¬
емников равна алгебраической сумме
комплексных проводимостей отдельных
приемников.
Если цепь состоит из двух параллельно включенных прием¬
ников, то комплексное сопротивление цепи равно:
Zi + Z2
6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ПРИЕМНИКОВ
Комплексное напряжение, приложенное к цепи, при последо¬
вательном соединении приемников (рис. 141) равно алгебраической
сумме комплексных напряжений отдельных приемников:
Ù = Üi-^Ù2~\~»»»~\-Un = ÎZi + -fZ2 + . . . + ÎZn =
= I (Zi + z2 + ... + Zn),
где Uv U2t ...» Un — комплексные напряжения отдельных при¬
емников, в
или — Zi + Z2 4-... + Zn = Z, (25)
T. e. комплексное сопротивление всей цепи
при последовательном соединении при¬
емников равно алгебраической сумме
комплексных сопротивлений отдельных
приемников.
162
7. КОМПЛЕКСНАЯ МОЩНОСТЬ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА*
Комплексная мощность цепи переменного тока определяется
как произведение комплексного напряжения Ù на сопряженный
комплексный ток I (рис. 139):
5 = 6’/= Ue^uIe~nt = Ule3^^ =
= UIei<f = UI cos <p + jUI sin <p = P + ]Q, (26)
где S — комплексная мощность, ва\
P — активная мощность, втп\
Q — реактивная мощность, вар.
Из формулы (26) видно, что действительная (вещественная)
часть комплексной мощности представляет собой активную мощ¬
ность, а множитель при мнимой части — реактивную мощность.
Если нагрузка емкостная, то мнимая часть имеет отрицательный
знак. Иногда комплексную мощность определяют как произве¬
дение сопряженного комплексного напряжения U на комплекс¬
ный ток І:
S = ÙÎ = Ue~3^ Іе^ = иіе~Ми~^ =
= UIe~™ = f/Z со s cp — 7 t/Z sin <p = P — /(Z (2 / )
В данном случае знак минус перед мнимой частью соответ¬
ствует индуктивной нагрузке. Если нагрузка емкостная, то
мнимая часть имеет положительный знак.
Модуль комплексной мощности равен полной мощности.
8 . ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА В ЭКВИВАЛЕНТНУЮ ЗВЕЗДУ
И ЗВЕЗДЫ В ЭКВИВАЛЕНТНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Преобразование треугольника в экви¬
валентную звезду (рис. 142) производится по формулам:
2 ^АВ^СА.
%АВ + % ВС + %СА
ZB I (28)
Z АВ + Z вс + %СА
2 _ % ВС^СА
%АВ + % ВС + %СА
Если сопротивления всех фаз в треугольнике равны: 7ЛВ=
=2вс=7са=2д, то эквивалентные сопротивления в звезде также
равны:
ZA=ZB=ZC=ZÀ=^. (29)
О
♦ Комплекс полной мощности.
6*
163
Для преобразования звезды в эквива¬
лентный треугольник разделим третье из уравнений
(28) на первое и второе, получим:
Z — Z Zc •
^ВС — ^АВ —— »
Подставляя эти значения в первое уравнение (28), будем
иметь:
Z2 —
2^ %АВ%А%С
7 , 7 %С ! 7 %С Яа^В + ZBZC + Ѣа^С
^АВ H- А АВ — h А АВ —
&А %В
7 7 Л-7 Л- %А%В + 2BZC + ZAZC
^АВ = ^А TZB H = •
Zq Zq
Аналогично рассуждая, найдем:
7 7 I 7 » ^В^С Z А% в + Ыс + Z AZ c
&BC = &B -V &C Л = >
^А ^A
Y 7 t 7 ! %А%С %A% B ~}~ZBZC -+-ZAZC
^СА = ^A + H = •
ZB Z в
(30)
(31)
(32)
Если вместо сопротивлений подставить проводимости, то
уравнения (30), (31) и (32) примут следующий вид:
164
Задачи
265. Определить активное г и реактивное х сопротивления
цепи, если комплексное сопротивление цепи Z=10 е>зб°50' Ом.
266. В сеть включена катушка, активное сопротивление ко¬
торой г=7 ом и индуктивность Л=76,4 мгн. Найти комплексное
сопротивление Z и комплексную проводимость Y катушки, если
частота /=50 гц.
267. Построить в комплексной плоскости векторы напряжения
и тока для следующих случаев:
1) Ü = 110 + /190,5 в, І = 36,7- /15,7 а;
2) Û = 228 —/304 в, Ï = 38 а;
3) Ü = 220 в, Ï = 8,5+/5,3 а;
4) Ü = 220 е>30° в, Ï = 22 е->бо50' а\
5) Ù = 102,7+/194,5 в, Ï = /20 а.
268. Определить ток I в цепи и написать уравнение мгно¬
венных значений тока і в цепи, если комплексный ток в цепи
/=18-/24 а.
269. Комплексное напряжение на зажимах цепи £7=220 в,
комплексный ток в цепи /=3,2—/2,4 а. Вычислить комплексное
сопротивление Z и комплексную проводимость Y цепи, а также
построить в комплексной плоскости векторы напряжения U
и тока I.
270. Активное сопротивление цепи г=23,4 ом и реактивное
я=8,8 ом. Чему равно напряжение £7, приложенное к цепи, если
ток в цепи 7=8,8 а?
271. Активное сопротивление цепи г=35,2 ом и реактивное
#=19 ом. Определить напряжение £7 на зажимах цепи, активную
мощность Р цепи и коэффициент мощности cos <р цепи, если ток
в цепи 7=9,5 а.
272. В цепи переменного тока под действием напряжения *
. Я . Я
£7=220 е 4 в проходит ток 7=22 е 5 а. Найти комплексное со¬
противление Z цепи, активную и реактивную мощности Р и Q
и коэффициент мощности cos ср цепи.
273. В цепи переменного тока под действием напряжения
Е7=110+/190,5 в проходит ток /=40,4 +/17,3 а. Вычислить ком¬
плексное сопротивление Z цепи, активное и реактивное сопротив¬
ление г и X цепи, активную, реактивную и полную мощности Р,
Q и S цепи.
274. К катушке, активное сопротивление которой г=11 ом
и индуктивное яь=42,6 ом, приложено напряжение £7=220 в.
* Иногда вместо терминов «комплексное напряжение» и «комплексный
ток» будем употреблять термины «напряжение» и «ток».
165
Определить комплексную проводимость Y катушки, ток I в ка¬
тушке, активную, реактивную и полную мощности P, Q и S,
потребляемые катушкой, и коэффициент мощности cos ср катушки.
Решение. Комплексная проводимость катушки
1 _ 1 _ 1 _ 1 11-/42,6 =
Y ~ Z ~ r+jxL~~ И Ч-/42,6 — 114-/42,6’ 11-/42,6 ”
° 1А+;422,’б^ =0.°°57—/0,022 1/о.к,
модуль (величина) проводимости
у = Ѵ0,00572+0,0222 = 0,0227 1/ом;
tg <р = ^ = ^ = 3,87; <р» 75’30'.
г И
Комплексная проводимость катушки в показательной форме
Y = уе~М= 0,0227 е->75°30' Ном = 0,0227 / — 75°30' Ном.
Направим вектор напряжения U по действительной оси в
положительном направлении, тогда С7=С7=220 в.
Ток в катушке
Ï = — = ÜY = 220-0,0227 е->75’30' « 5е-Л5’30' а = 5 / — 75’ЗО' а.
Комплексная мощность катушки
5 = С7/ = 220.5е>75о30' = 1100е>75ез°' = 1100 (cos75°30'4-/sin75°30') =
= 1100 (0,25 + /0,968) = 275 + /1065 ва.
Полная мощность, потребляемая катушкой,
S = 1100 ва.
Активная мощность, потребляемая катушкой,
Р = 275 вт.
Реактивная мощность, потребляемая катушкой,
Q = 1065 вар.
Коэффициент мощности катушки
cos ф = cos 75°30' = 0,25
или
Р Р 275
cos ф = — = — 0,25.
S UI 220-5
275. К катушке, активное сопротивление которой г=2,8 ом
и индуктивное хь=9,6 ом, приложено напряжение [7=127 в.
166
Определить комплексную проводимость Y катушки, ток I в ка¬
тушке, активную, реактивную и полную мощности P, Q и S, пот¬
ребляемые катушкой, и коэффициент мощности cos (р катушки.
276. К приемнику, комплексное сопротивление которого
Z=36+/25,3 ом, приложено напряжение £7=220 в. Определить
комплексную проводимость Y приемника, ток I в приемнике,
активную и реактивную мощности Р и Q и коэффициент мощности
cos ср приемника.
277. К приемнику, активное сопротивление которого г=9,6 ом
и индуктивностьL=8,92мгн, приложено напряжение u=179,l sin*
• (314^+60°) в. Найти ток I в приемнике, активную, реактивную
и полную мощности P, Q и S, потребляемые приемником. На^»
писать уравнение мгновенных значений тока і в приемнике.
Решение. Индуктивное сопротивление приемника
xL = = 314*0,00892 = 2,8 ом.
Комплексное сопротивление приемника
Z = г + ]xL = 9,6 + /2,8 ом9,
модуль сопротивления
Z = Ѵг2 + х2ь = Ѵэ,62 + 2,82 = 10 ом;
tg ф = 0,292; ф« 16°20'.
г 9,6
Комплексное сопротивление в показательной форме
z = = 1О?1в°20' ом = 10 16°20' ом.
Комплексное напряжение
т'т 179 1
U = = 1-^Де>60° = 127 № в= 127 / 60° в.
/2 /2
Ток в приемнике
І = j = = 12,7 e>43°40' а = 12,7 Z 43’40' а;
I = 12,7 а.
Комплексная мощность приемника
S = Ьі — 127 е7в0° -12,7 = 1613еяв°20 =
= 1613 (cos 16°20' +/ sin 16°20') = 1548 + /452 ва;
активная мощность, потребляемая приемником, Р=1548 впг, реак¬
тивная мощность Ç=452 вар и полная мощность 5=1613 ва.
Уравнение мгновенных значений тока
і = Ѵг-12,7 sin (314« + 43®40') a = 17,9 sin (314« ф 43’40') a.
167
278. К приемнику, активное сопротивление которого г=25 ом
и емкость С=65 мкф, приложено напряжение u=310,2 sin (3142-f-
+20°)в. Вычислить комплексный ток I в приемнике, активную и
реактивную мощности Р и Ç, потребляемые приемником. Написать
уравнение мгновенных значений тока і в приемнике.
279. К цепи, состоящей из последовательно включенных рео*
стата, обладающего активным сопротивлением г=25 ом, и конден-*
сатора емкостью С=65 мкф, приложено напряжение £7=220 в.
Найти комплексные сопротивление Z и проводимость У цепи,
ток I в цепи, активную, реактивную и полную мощности P, Q и
S цепи, коэффициент мощности cos ф цепи, если частота /=50 гц>
У/
Рис. 143
280. В сеть с напряжением U=220 в включены последовательно
два приемника (рис. 143), комплексные сопротивления которых
равны: Z1=25+/49 ом и Z2=19—/16 ом. Определить ток I в цепи,
напряжения UY и Uz на зажимах приемников, активные и реак¬
тивные мощности каждого приемника и всей цепи и коэффициент
мощности cos ф всей цепи. Построить векторную диаграмму.
Решение. Комплексное сопротивление всей цепи
Z = Zi + Z2 = 25 + /49 + 19 - /16 = 44 + /33 ом.
Если направить вектор напряжения U по действительной оси
в положительном направлении, тогда U=U=220 в.
Ток в цепи
t _ É _ - 22T~?3j = 3.2 —7'2,4 a;
Z 44+/33 442 + 332
модуль тока 7 = /3,22 + 2,42= 4а.
Напряжение на зажимах первого приемника
= ÎZi = (3,2 - /2,4).(25 + /49) = 197,6 + /96,8 а;
модуль напряжения £71=Ѵ<197,62+96,82 = 220 в.
168
Напряжение на зажимах второго приемника
Ü2 = /z2 = (3,2 - /2,4)-(19 - /16) = 22,4 - /96,8 в;
модуль напряжения U2 — j/22,42 + 96,82 = 99,3 в.
Комплексная мощность первого приемника
Sx = ÙJ = (197,6 + /96,8).(3,2 + /2,4) = 400 + /784 ва;
активная мощность, потребляемая первым приемником, Р1 =
=400 вт, а реактивная мощность Çx=784 вар.
Комплексная мощность второго приемника
§2 = ü2î = (22,4 - /96,8).(3,2 + /2,4) = 304 - /256 ва\
активная мощность, потребляемая вторым приемником, Р2 =
=304 вт, а реактивная мощность Ç2=—256 вар.
Комплексная мощность всей цепи
5 = ÜÏ = 220 (3,2 + /2,4) = 704 + /528 ва\
активная мощность всей цепи Р=704 вт, а реактивная мощность
Ç=528 вар.
Коэффициент мощности всей цепи
220-4
Р
cos ф =
Y U1
или
г
cos ф =—
z
44
= 0,8.
V442 + ЗЗ2
169
На рис. 144 изображена векторная диаграмма для цепи, по¬
казанной на рис. 143.
281. Цепь, состоящая из двух параллельных ветвей (рис. 145),
имеет сопротивления: ^—19,7 ом, xL=ÿ,8 ом, г2= 44 ом и
яс=33 ом. Определить комплексные сопротивления Zr и Z2 па¬
раллельных ветвей, комплексное сопротивление Z всей цепи, токи
/х и /2 в параллельных ветвях, ток I в неразветвленной части
цепи, активные и реактивные
мощности параллельных ветвей
и всей цепи, коэффициент мощ-
I . ности cos <р всей цепи, если на-
£ пряжение, приложенное к цепи,
1 U=220 в. Построить векторную
диаграмму.
Решение. Комплексные
сопротивления параллельных
ветвей:
Zi = ri 4- jxL = 19,7-|- j’9,8 ом\
Z2 = r2 — jxc = 44 — /33 ом',
модули этих сопротивлений: z1=)/19,72+9,82 = 22 ом\
Z2 = V442 + зз2 = 55 ом; tg<Pi= — = 0,497; 26°30';
tg <р2 = Z^£ = = —0,75; <р2 = — 36°50'.
г2 44
Комплексные сопротивления параллельных ветвей в показа¬
тельной форме:
Zi = Zleiv> = 22?2в°30 ом; Z2 = z2e~i,f‘ = 55e->3e°s0 ом.
Комплексное сопротивление всей цепи
ZtZ2 _ 22?28°30' • 55е~ізв°50 _ 1210е~-,'10°20 _
Z = Zi +Z2 = 19,7 +/9,8 + 44-/33 “ 63,7 —/23,2 “
12lQe-J1° = 17 87 ,9°40' = 17 87 9°40'
67,7^20
Вектор напряжения Ù направим по действительной оси в по¬
ложительном направлении, тогда С7=[7=220 в. Токи в парал¬
лельных ветвях:
« = 10Z-26-30-«;
Л= І = „ _2S-51. = « = 4 Z 36-50- «.
Z2 55e
170
Ток в неразветвленной части цепи
І = - = = 12,Зе- 79°40' а = 12,3 — 9°40' а.
Комплексные мощности параллельных ветвей:
= Ùli = 220 • ІО?26’30' = 2200e7'26030' =
= 2200 (cos 26°30' + у sin 26°30') = 1969 + 7’981 ea;
s2 = ùi2 = 220 • 4e~ 736°50' = 880e“ 7'36°50' = 880 (cos 36°50' —
— j sin 36°50') = 704 — /528 ea;
активные мощности параллельных ветвей Р1=1969 вт и
Р2=704 вт, а реактивные мощности Q± = 981 вар и Ç2=—528 вар.
Комплексная мощность всей цепи
S = щ = 220 • 12,Зе7'9’40' « 271Ое79’40' =•
= 2710 (cos 9°40' + i sin 9°40') « 2670 + j 454
активная мощность всей цепи P=2670 вт или
Р=Р1+Р2==1969+7О4 =2673 ezn^2670 вт, реактивная
всей цепи Ç=454 вар
или
Q = Qi + Q2 = 981 - 528 = 453 вар.
Коэффициент мощности всей цепи
Р 2670 АПО^
cosœ = — = = 0,987.
UI 220-12,3
На рис. 146 изображена векторная диаграмма для
казанной на рис, 145.
ва*,
мощность
цепи, по-
171
282. Цепь, состоящая из двух параллельных ветвей (рис. 145),
имеет сопротивления: гх=17,9 ом\ жь = 12,8 ом\ г2=48 ом\ хс =
=14 ом. Найти комплексные сопротивления Zx, Z2 параллельных
ветвей и комплексное сопротивление Z всей цепи, токи 1\ и І2
в параллельных ветвях, ток I в неразветвленной части цепи, ак¬
тивные и реактивные мощности параллельных ветвей и всей цепи,
если напряжение, приложенное к цепи, £7=220 в. Построить век¬
торную диаграмму.
283. В сеть с напряжением £7=220 в включены параллельно
две катушки, активные и индуктивные сопротивления которых
равны: гх=24 ом\ яЬх=49,5 ом\ г2=17,2 ом\ хь2=40,5 ом. Чему
равны токи 7Х и І2 в катушках, ток I в неразветвленной части цепи,
активные и реактивные мощности, потребляемые каждой катуш¬
кой и всей цепью?
284. Цепь состоит из двух параллельных ветвей (рис. 145).
Сопротивления параллельных ветвей соответственно равны: гх=
=16 ом\ хь = і2 ом\ г2=48 ом\ хс=6& ом. Определить напряжение
U на зажимах цепи, токи /х и/2 в параллельных ветвях, активные
и реактивные мощности параллельных ветвей и всей цепи, если
ток в неразветвленной части цепи 7=11,3 а.
285. Параллельно включены две катушки, активные и индук¬
тивные сопротивления которых соответственно равны: гх=8 ом\
а:Ьх=20,5 ом\ г2 = 14,9 ом\ xL2 = 41,4 ом. Вычислить напряжение
U на зажимах катушек, ток /2 во второй катушке, ток I в нераз¬
ветвленной части цепи, активные и реактивные мощности, пот¬
ребляемые каждой катушкой и всей цепью, если ток в первой
катушке 7х=10 а.
286. В сеть переменного тока включены параллельно два
приемника. Определить комплексные токи 7Х и І2 приемников,
комплексный ток I в неразветвленной части цепи, активные и
реактивные мощности, потребляемые каждым приемником и всей
цепью, активные и реактивные сопротивления каждого приемника
и всей цепи. Написать уравнение мгновенных значений тока і
в неразветвленной части цепи, если токи приемников гх=14,1 •
• sin (tot—13°20') а; і2=28,2 sin(co £-|- 66°50') а и напряжение на зажи¬
мах цепии=310,2зіп (ю£+30°)в. Построить векторную диаграмму.
Решение. Токи в параллельных ветвях:
Ц = Lg=lzt’le = Юг"'13°20' а.=
V2 Ѵ'2
- 10 (cos 13°20' — j sin 13°20') = 9,73 — j 2,31 a;
/2 = 28-2g7T50 = 2O?66°5o'a =
V2 V2
= 20 (cos 66°50' + 7 sin 66°50') = 7,86 + 7 18,38 a.
172
Ток в неразветвленной части цепи
І = І\ + І'2 = 9,73 - у 2,31 + 7,86 + j 18,38 = 17,59 + 7'16,07 a =
= 23,8e7 * * * * *'42°3° a = 23,8 42° 30' a.
Напряжение на зажимах цепи
Ü = = 310,2^3Q = 220eJ30°e = 220 /_ 30 е.
V2 V2
= 22
Комплексные сопротивления параллельных ветвей:
' Ü 22оХ 99мз«20' „
(cos 43®20' + 7 sin 43°20') « 16 + j 15,1
Z_Ù_ 220e730° _ ;зво50' ом _
Z2”72"2ÔP^_1
(cos 36°50' — j sin 36°50') = 8,8 — j 6,6
сопротивления параллельных ветвей
OM\
OM\
7^ = 16 (Ш,
= И
активные
г2=8,8 ом, а реактивные сопротивления ^=15,1 ом и х2=—6,6 ом.
Комплексное сопротивление всей цепи
Z = Z = 22qO"2o- = 9,24e- ом =
I 23,8e742 30
= 9,24 (cos 12°30' — 7 sin 12°30') ом = 9,02 — /2 ом
или
7 у по /43’20' . , л -736’50'
z = ZA. = = 9,24e- 712°30' ом.
Zi + Z2 16 + 115,1 + 8,8 —7'6,6
Комплексные мощности параллельных ветвей:
St = d/’ = 22О?зо° • ІО?13 * * * * * *’20 *' = 2200e 743°20,=
= 2200 (cos 43®20' + j sin 43°20') « 1600 + /1510 ea;
S2 = ÙÎ2 = 220e730° • 20e~ 7б6°50 = 4400e“ ;36°50' =
= 4400 (cos 36°50' - 7 sin 36°50') = 3520 - j 2640 ea;
активные мощности параллельных ветвей Pj=1600 вт,
P2=3520етп, а реактивные мощности (^=1510 вар и Ç2=—2640 вар.
Комплексная мощность всей цепи
S=ùi = 220e j30° • 23,8e” J42°30' « 5240e” •/12°30' =
= 5240 (cos 12°30' - ; sin 12e30') = 5120 - j 1130 eaj
активная мощность всей цепи P=5120 вт или
Р = Рі + Р2 = 1600 + 3520 = 5120 вт, а реактивная мощность
Q = — ИЗО вар или Q = Qi + Q2 = 1510 — 2640 = — ИЗО вар.
173
Уравнение мгновенных значений тока в неразветвленной
части цепи:
і = Ѵ2-23,8 sin ((at + 42°30') = 33,6 sin (at + 42°30') a.
Векторную диаграмму можно построить, как на рис. 146.
287. Цепь, состоящая из двух параллельных ветвей (рис. 147),
имеет параметры: ^=30 ом\ г2=11,1 ом\ г3=ЗО ом\ L=50 мгн\
<7 = 69 мкф. Определить токи 7\, І2 в параллельных ветвях и ток I
Рис. 148
Рис. 147
неразветвленной части цепи, активные и реактивные мощности
каждой ветви и всей цепи, если напряжение на зажимах цепи
U=220 в и частота /=50 гц.
Рис. 149
288. В сеть с напряжением U включены параллельно две
катушки (рис. 148 и 149), обладающие активными сопротивле¬
ниями и г2, индуктивностями Lx и L2 и взаимной индуктив¬
ностью М. Чему равны токи І± и /2 в катушках, ток I в неразвет¬
вленной части цепи и комплексное сопротивление Z всей цепи при
согласном и встречном соединении катушек? Построить векторные
диаграммы.
Решение. Сначала рассмотрим случай, когда катушки
включены согласно (рис. 148), т. е. потоки самоиндукции и взаим¬
ной индукции имеют одинаковое направление (складываются).
174
В этом случае э. д. с. самоиндукции и взаимной индукции имеют
одинаковое направление.
Напряжение на зажимах первой катушки
Ù = г Ji + I 4- 7cùA/72 =
— (r i + jaL^ïi + j(ùMÏ2 = ZJi + (34)
где Z1=f1+/(ùL1; ZM=j^M.
Напряжение на зажимах второй катушки
Û = r2ï2 + j^L2î2 + і&МІі = (r2 + j(ùL2)ï2 + ]<ùMÎi = Z2I2 +
+ ZÆÂ, (35)
где Z2=r2+/(ùL2.
Ток в неразветвленной части цепи
1 = Л + І2. (36)
Из формулы (35) имеем:
f Ü —ZMîr
/2 =
2 Z2
Подставляя это соотношение в формулу (34), получим:
Тт 7 т л. 7 Û—ZMiy ZiZ2î1-\-ZMÛ—Z2MÎX
U = + ZM - =
^2 Z<2
или (Z2 —ZM) Ü = (Z^Z2 —Z2M) îv
откуда Ï1 = Û Zy~Zy2 • (37)
Таким же путем найдем:
f/ Zi — 2м
Z\Z2 —Z2,
Подставляя найденные
в формулу (36), получим:
Ï^Û 2,2 ~Zm « тт
значения токов из формул (37)
(38)
Zi —ZM fjZi 4"Z2 — 2ZM
ZjZ2 — Z2M ZjZ2 — Z2M
Z\Z2 — Z2M
(39)
и
отсюда следует, что комплексное сопротивление всей цепи
Z ^1^2 Z2M
Zi + Z2 — 2Zm
(40)
На рис. 150 показана векторная диаграмма напряжений и токов
для согласного соединения катушек.
При встречном соединении катушек, когда их одноименные
зажимы присоединены к разным узлам (рис. 149), магнитные
175
потоки самоиндукции и взаимной индукции направлены навстречу
один другому. В этом случае э.д.с. самоиндукции и взаимной
индукции имеют разные направления, т. е. комплексы ](йМ1х
и /<оМ/2 в формулах (34) и (35) берем со знаком минус«
Токи катушек:
А =и
. j __ jj Zj + ZM
ZiZ2 — Z2M ZiZ2 — Zm
Комплексное сопротивление всей цепи
Z — ^1^2 Z\
Zi + z2 + 2ZM
(41)
(42)
176
На рис. 151 дана векторная диаграмма напряжений и токов
для встречного соединения катушек.
289. В сеть с напряжением [7=220 в включены параллельно
две катушки, активные сопротивления которых гх=2 ом, г2=4 ом,
индуктивности 7^ = 15 мгн, L2 = 20 мгн и взаимная индуктив¬
ность М=Ьмгн. Определить токи Ц и /2 в катушках, ток /внѳ-
разветвленной части цепи
и комплексное сопротив¬
ление Z всей цепи при со¬
гласном (рис. 148) и встреч¬
ном (рис. 149) включениях
катушек, если /=50 гц.
Построить векторные диа¬
граммы.
290. Параллельно вклю¬
чены три приемника (рис.
152), сопротивления кото¬
рых соответственно равны:
гх=18,5 ом\ ^lx=7,6 ом\ Рис- 152
г2—8,8 ом\ хЬ2=6,6 ом\
г3=38,4 ом\ zCa=21,5 ом. Вычислить коэффициенты мощности
приемников, токи в приемниках, ток I в неразветвленной части
цепи, активные и реактивные мощности каждого приемника и
всей цепи, если напряжение на зажимах цепи [7=220 в.
Построить векторную диаграмму напряжения и токов,
Решение. Коэффициенты мощности приемников:
COS ф! = — = 18,5 = 0,925; Ф1 = 22°20';
zi V18.52 + 7,62
cos ф2 = — = — 8,8 = 0,8; ф2 = 36° 50 ;
22 V8.82 + 6,б2
cos фз = — = 38,4 = 0,873; ф3 = 29’10*.
z3 Ѵ38,42+ 21,52
Комплексные сопротивления приемников:
Zi = 18,5 + /7,6 ом = 2Ое722°20 ом = 20 / 22’20* ом;
Z2 = 8,8 + /6,6 ом = Не736’50 ом = 11 / 36’50' ом;
Z3 = 38,4 —/21,5 ом = 44е~ >29’10' ом = 44 £ — 29’10' ом.
Направим вектор напряжения U по действительной оси в
положительном направлении, тогда U=[7=220 в.
ill
Токи приемников!
= 20e“ •'3e°50 a =
— 7 sin 36°50') = 16 — / 12 a;
220 _ __
44^-729010' a-
7і = — = -220 = Не-^20' а =
Z1 го?22’20'
= 11 (cos 22’20' - j sin 22°20') = 10,18 — j 4,18 a;
f _U _ 220
*~z2 ~
= 20 (cos 36°50'
z3
= 5 (cos 29°10' + / sin 29°10') = 4,36 + j 2,44 a.
Ток в неразветвленной части цепи
ï = Д + Z2 + Л = 10,18 - /4,18 + 16 - 7’12 + 4,36 + /2,44 =
= 30,54 - 7 13,74 a.
Комплексные мощности приемников:
Si = Ûîi = 220 (10,18 + j 4,18) = 2240 + j 920 ва;
активная мощность, потребляемая первым приемником, Рх=
=2240 вт, а реактивная Çx=920 вар;
S2 = ÜÏ2 = 220 (16 + 7’12) = 3520 + j 2640 ва;
активная мощность, потребляемая вторым приемником, Р2=
=3520 вт, а реактивная Ç2=2640 вар;
S3 = ÜÎ3 = 220 (4,36 - j 2,44) = 959 - j 537 ва;
активная мощность, потребляемая третьим приемником, Р3=
=959 вт, а реактивная Q3=—537 вар.
Комплексная мощность всей цепи
S = ÜÏ = 220 (30,54 + 7 13,74) = 6719 + /3023 ва;
активная мощность всей цепи Z>=6719 вт
или Р = Рі + Р2 + Рз = 2240 + 3520 + 959 = 6719 вт;
реактивная мощность всей цепи Ç=3023 вар
или Q = Qi + Q2 + (?з = 920 + 2640 — 537 = 3023 вар.
291. Параллельно включены три приемника, комплексные
сопротивления которых соответственно равны: Zx=8+/6 ом;
Z2=19,7+/9,8 ом; Z3=42—/13,1 ом. Определить токи приемников,
ток I в неразветвленной части цепи, активные и реактивные мощ¬
ности каждого приемника и всей цепи, если напряжение на зажи¬
мах приемников [7=220 в.
178
292. Какова должна быть емкость Сх, чтобы напряжение между
точками В и D (рис. 153) равнялось нулю, а также найти токи
І2 и 7, если С7=220 в, г. =30 олі, г2=25 ом, Со=65 мкф и /=
=50 гц.
293. Два однофазных генератора с э.д.с. Ег=128 в и £,2 = 130 в
работают параллельно на нагрузку, комплексное сопротивление
Рис. 153
которой Z = 3 + /4 ом (рис.
154). Э. д. с. Et первого ге¬
нератора отстает от э. д. с.
Е2 второго генератора на 30°.
Комплексные сопротивления
генераторов Z1=Z2 = l+/7 ом.
Определить комплексные то¬
Рис. 154
ки Іг и І2 генераторов, комплексный ток Ï нагрузки: 1) мето¬
дом Узлового напряжения, 2) методом контурных токов, 3) ме¬
тодом наложения, а также найти активные мощности Рг и Р2>
развиваемые генераторами.
Р ѳ ш ѳ н и е. 1) Определим токи методом узлового напряжения.
Проводимости отдельных ветвей цепи:
1
1 +/7
—= 0,02 —/0,14 ІАш.
1+/7 1-/7
Y = — = —— = 0,12 —/0,16 і/ом.
Z 3+/4
Направим вектор э.д.с. Е± по действительной оси в положитель¬
ном направлении, тогда È1=E1 = i28e, a É2=E2^3QO=E2(cos80q-}-
+/ sin 30°)=130(Ç+/0,5)=112,6+/65 в.
Напряжение между узлами
= ÈtYt +ÈzY2 = 128(0,02—/0,14)+(112,6+/65) • (0,02—/0,14) =
-У1 + П + У 0,02—/0,14+0,02—/0,14+0,12—/0,16 “
= 75,1 + /4,29 в.
179
Токи генераторов:
Д = = Щ Yl = (128 — 75,1 —/4,29) •
• (0,02 —7'0,14)« 0,46 —7'7,49 а = 7,5e~ J8e°3° а;
/2 = £2..~£ = (£2 _ Û) У2 = (112,6 + 7'65 — 75,1 —7'4,29) •
Z2
• (0,02 —7'0,14) = 9,25 — ДОЗ а« 10,9е~ >23°30' а-,
Ï = — = ÜY = (75,1 +7'4,29) • (0,12 —7'0,16)=9,71 —/11,51 а
Z
пли
Ï = Л + І2 = 0,46 - 7 7,49 + 9,25 - / 4,03 = 9,71 — j 11,51 а =
=15,1е->49°50' а.
2) Определим токи Iv ï2 и I методом контурных токов. При¬
меним второй закон Кирхгофа к контурам I и II (рис. 155), тогда
Éi = h (Zi +Z)+ InZ; (43)
(44)
е2 = /ы (Z2 + Z) + ZjZ,
отсюда
.. È2-I\Z
11 Z2+z'
Подставим значение тока /ц в уравнение (43), получим:
ZI(Z,+Z)+^~/^-Z
z2 + z
(45)
или
£i(Z2 + Z) = ii(Zi + Z)-(Z2 + Z) + È2Z -i^ =
= ïi(ZiZ2 + ZjZ + Z2Z) + Ë2Z,
откуда
j _ j _ Êi (Z2 + Z) —È2Z _
ZiZ2 4- Z|Z 4~ Z2Z
128 (1 +/7 +3 4-/4)- (112,6 4-/65) - (3 4-/4) _ 0 46 _ /7 48 a
" (14-/7) • (14-/7) +(14-/7) • (34-/4) +(14-/7) • (3 +/4)^ ’ ’
Ток второго генератора
112, 6+7'65_-(O, 46-^7,48)-(3+7'4)^
2 Z2+Z 1+/7 +3+1'4
Ток нагрузки
І = Л 4- Z*2 = o,46 - j 7,48 4- 9,25 - / 4,03 = 9,71 - j 11,51a.
180
3) Определим токи Іѵ ï2 и Î методом наложения.
Предположим, что в цепи действует только э.д.с. Еѵ а Е2=0
(сопротивление второго генератора остается включенным); в этом
случае получим схему, изображенную на рис. 156.
Ток в ветви первого генератора
Èi 128
' г,+^=1+Л+()+'7>'<3+'4>
Z,.+Z 1+;-7+з+,-4
Этот ток в параллельных ветвях распределяется обратно про¬
порционально комплексным сопротивлениям этих ветвей:
—— = (2,92 —/12,46) • -
Z2 + Z ' ’ ' 1
І'і —= (2,92 —/12,46) •
22+Z
2,92 —/12,46 а.
І2 =
3,27 —/7 а
или
I = л — 7*2 = 2,92 —7*12,46 + 0,35 +/5,46 = 3,27 —/7 a.
Токи 12 и Г можно определить по формулам:
j' U АВ
Z ’
где Û’AB=i'1ZAB=ï'i^- - на-
пряжение на зажимах параллель¬
ных ветвей (напряжение между
точками А и В).
Предположим, что в цепи действует только э. д. с. £2, а Ег=0
(сопротивление первого генератора остается включенным); в этом
случае получим схему, изображенную на рис. 157.
181
Ток в ветви второго генератора
4 = Ь = 1U6+/65 89 _ .9 49
z2+^- 1+/7+<±±2ZHi±^
Z1+z i+/7+3+/4
Этот ток в параллельных ветвях распределяется обратно про¬
порционально комплексным сопротивлениям этих ветвей:
г = = (8,9 —/9,49) « 6,44 —/4,51 а;
2Zi+Z Ц-/7+3+/4
•7
4=4——=(8,9-/9,49)-
Zi + Z
= 2,46 —/498 а
или
ï[ = 4 _ г = 8,9 —7*9,49 — 6,44 + /4,51 = 2,46 —/4,98 а.
Наложив друг на друга слагающие токов в ветвях и учитывая
их направления, получим:
Zi = І\ — ï[ = 2,92 —/12,46—2,46 +/4,98 = 0,46 —/7,48 а;
4 = 4 _ 4 = 8,9 —/9,49 + 0,35 + /5,46 = 9,25 —/4,03 а;
І = ï + Г = 3,27 —/7 + 6,44 —/4,51 = 9,71 —/11,51 а
или
І = îi + 4 = 0,46 —/7,48 + 9,25 —/4,03 = 9,71 —/11,51 а.
Активную мощность, развиваемую каждым генератором, можно
определить как вещественную часть произведения комплексной
э.д.с. на сопряженный комплексный ток, т. е.
Рі = Re Г ДЛ] = Re [128 • (0,46 + /7,48)] = 58,9 вт\
Р2 = Re[£2Z ] = Re [(112,6 + /65) • (9,25 + /4,03)] = 780 вт.
Символ Re обозначает, что берется действительная или веще¬
ственная часть комплексной мощности.
294. По условию задачи 257 определить токи во всех ветвях
цепи, ток I в неразветвленной части цеци, активные и реактивные
мощности отдельных ветвей и всей цепи. Построить векторную
диаграмму напряжений и токов.
Решение. Комплексные сопротивления ветвей:
Zj = гі + jxLi = 2,8 + / 5,6 ом;
Z2 = 7*2 = 5 ом;
Z3 = — І%сз = — / 20 ом;
Z4 = jxL4 = / 5 ом;
Z* = — jxc5 = — j 12,5 ом.
182
Комплексные проводимости параллельных ветвей разветвле¬
ния (участка) ВС:
У2 = — = — =0,2 і/ом;
Z2 5
Y = — :
1
= — = /0,05 1 /ом;
1 3 „
—/20
Z3
20
у4 = —
_ 1 _
—— = —/0,2 і/ом.
z4
“/5 “
5
Комплексная проводимость разветвления (участка) ВС
Y вс = Y2 + Y3+Y4 = 0,2 + у 0,05 - 7 0,2 = 0,2-/ 0,15 Пом.
Комплексное сопротивление разветвления ВС
7 1 1 0,2 +/0,15 Q9l.9/
ZBC = = = —-—- - = 3,2 + 72,4 ом.
YBC 0,2—/0,15 0,22 +0,152
В этом случае схему, изображенную на рис. 121, можно заме¬
нить схемой рис. 122.
Комплексное сопротивление ветви АВС
Z' = Zl + Zвс = 2,8 + /5,6 + 3,2 + /2>^ = 6 + / 8 ом.
Следовательно, схему рис. 122 можно заменить схемой рис.
123.
Комплексное сопротивление всей цепи
ZgL_=(6+78)(-^5)==16>67(ut
Zf + Z5 6 + 78 —7’12,5
Схему рис. 123 можно заменить схемой рис. 124. Направим век-*
тор напряжения U по действительной оси в положительном на»
правлении, тогда U--U=380 в.
Ток в неразветвленной части цепи
Z 16,67
модуль тока
I = 22,8 а.
Ток в первой ветви
Д = —, = = 22,8 —7'30,4 а,
Z 6+/8
модуль тока
Ц = Ѵ22,82+30,42 = 38 а.
183
Напряжение на зажимах первой ветви
Ù, = Ziî1 = (2,8 + /5,6) • (22,8 — /30,4) = 234 + / 42,6 в,
модуль напряжения
Ui = Ѵ2342+42,62« 238 в.
Зная ток и сопротивление ZBC, можно найти напряжение
на разветвлении ВС\
Ü2 = ZBC Zi = (3,2 +7’2,4) (22,8 —7*30,4) = 145,9 —7*42,6 в9
модуль напряжения
U2 = V145.92 + 42,62 = 152 в.
Токи в параллельных ветвях разветвления ВС\
у ^ = 145^-W
2 Z, 5
Z, -7'20
g-2-145'9-^6--3,51-729.2 о,
Z. /5
модули токов
І2 = Ѵ29.22 + 8,512 = 30,4 а;
І3 = Ѵ2.132 + 7,32 = 7,6 а;
Ц = Ѵ8,512 + 29,22 = 30,4 а.
Ток в пятой ветви
t Ü 380 .
L = — = = 730,4 а.
6 Z5 -/12,5
модуль тока
Z5 = 30,4 а.
Комплексные мощности ветвей
Si = ЬГіЛ = (234 + /42,6).(22,8 + /30,4)« 4040 + /8085
активная мощность первой ветви Р,=4040 втп, а реактивная мощ¬
ность Çx=8085 вар}
S2 = Ù2I2 = (145,9 —/42,6).(29,2 +/8,51) = 4620 вт,
184
активная мощность второй ветви Р2=4620 вт, а реактивная мощ¬
ность Ç2=0;
53 = Ù2Ï3 = (145,9 —/42,6) • (2,13 —/7,3) = — у 1155 вар,
активная мощность третьей ветви Р3=0, а реактивная мощность
Q3=—1155 вар*,
54 = Ѵ2Ц = (145,9 —/42,6) (—8,51 +/29,2) =/4620 вар,
активная мощность четвертой ветви Р4=0, а реактивная мощ¬
ность Ç4=4620 вар*,
s5 = ÛÎ5 = 380 (—/30,4)« —/И 550 вар,
активная мощность пятой ветви Рб=0, а реактивная мощность
Ç6=—11550 вар.
Комплексная мощность всей цепи 5 = ?77=380-22,8«8 660,
активная мощность всей цепи Р=8 660 вт или Р=Р1+Р2+^>3+
+Р +Р6=4040+4620+0+0+0=8 660 вт, а реактивная мощ¬
ность Ç=0 или Q = Ç. + Q2+ (?з+ <?4+ <?й = 8085+0-1155+
+4620-11 550=0.
На рис. 158 показана векторная диаграмма напряжений и
токов, построение которой ясно из рисунка и не требует пояснений.
185
295. Для цепи, изображенной на рис. 159, вычислить напря¬
жение U на зажимах цепи, напряжения Uv U2 на отдельных
участках цепи, ток І3 и ток в неразветвленной части цепи, если
амперметр показывает ток І2=5а, а сопротивления участков цепи
равны: гй=6 ом; xLj= 8 ом; г2 = 10 ом; яСз=12,5 ом. Построить
векторную диаграмму напряжений и токов.
296. Определить комплексные сопротивление Z и проводимость
Y цепи, изображенной на рис. 160.
Сопротивления отдельных участков цепи соответственно рав¬
ны: г4=9 ом; хС1=10 ом: г2=2 ом; хЬ2=3 ом; г3=8 ом; яЬз=5 ом;
г^=Л ом; xL4=8 ом. Найти токи Іѵ І2, /3, активную мощность Р
всей цепи и коэффициент мощности cos ср всей цепи, если напря¬
жение на зажимах цепи U=120 в. Построить векторную диаграмму
напряжений и токов.
297. Для цепи, показанной на рис. 161, определить токи мето¬
дом контурных токов и методом наложения, если Æ’I=225 в и
Еи=228 в, Zx=Z^=jlQ ом (активным сопротивлением генерато¬
ров пренебрегаем), ^ = 104-/5 ом, Za=44-/3 ом, Z3=2—/20 ом
и Z4=8 ом. Э. д. с. Ej первого генератора отстает от э. д. с. Еи
второго генератора на 20°. Составить баланс мощностей, т. ѳ.
186
определить мощности отдельных участков цепи и мощности ге¬
нераторов.
Примечание. Для упрощения решения задач 297 и 298 рекомен¬
дуется заменить комплексные сопротивления Z8, Z4 и Z4, Zs эквивалентными
сопротивлениями Z34 и Z4S.
298. Для цепи, изображенной на рис. 162, найти токи методом
контурных токов и методом наложения, если э. д. с. генераторов
совпадают по фазе и равны £'1=£'2=£’3=220 в, а комплексные
сопротивления Z1=2 ом, Z2=i+j3 ом, Z3=i+j5 ом, Z4=10+
+/20 ом hZ6=5—/40 ом. Внутренним сопротивлением генераторов
пренебречь. Составить баланс мощностей.
299. Сопротивления отдельных участков цепи (рис. 163) равны:
Гі =2 ом; хСі = 10 ом; г2 = 4 ом; хС2 = 20 ом;
г3 = 6 ом; xL3 = 15 ом; г4 = 14 ом; = 5 ом.
Определить токи Іѵ /2и/3, активную и реактивную мощности Р
и Q всей цепи, если напряжение, приложенное к цепи, £7=127 в,
Построить векторную диаграмму напряжений и токов.
187
300. Цепь, изображенная на рис. 164, обладает сопротивле¬
ниями, соответственно равными: ^=50 ом; яС1=80 ом; г2=2 ом-
xL2=25 ом; г3=5 ом; æL3=35 ом; хсз=50 ом; xL4=8 ом; г5=15 ом.
Рис. 164
Вычислить активные и реактивные мощности отдельных участков
цепи и всей цепи, если напряжение на зажимах цепи £7=220 в.
Построить векторную диаграмму напряжений и токов<
301. Чему равны токи в отдельных участках цепи, изображен¬
ной на рис. 165, ток I в неразветвленной части цепи, напряжение
U на зажимах цепи, активная, реактивная и полная мощности
188
P, Q и S цепи, коэффициент мощности cos ф всей цепи, если со¬
противления отдельных участков цепи соответственно равны:
гх=8 ом; xL1 = 10 ом; хС1=4 ом; г2=5 ом; г3=6 ом; яЬз=8 ом;
xL4=10 ом; г5=20 ом? Показание амперметра 7’2=13,8 а. Постро¬
ить векторную диаграмму напряжений и токов.
302. К цепи, показанной на рис. 166, приложено напряжение
17=120 в. Сопротивления отдельных участков цепи соответственно
Рис. 166
равны: гг=4 ом; хЬ1=15 ом; хС1=40 ом; г2=12 ом; xL2=20 ом;
г3=20 ом; г4=5 ом; xL4=10 ом; г5=2 ом; хСб=14 ом; гв=8 ом;
;гЬв=20 ом; xL7=25 ом. Вычислить активные и реактивные мощ¬
ности отдельных участков цепи и всей цепи, коэффициент мощ¬
ности cos ф всей цепи. Построить векторную диаграмму напряже¬
ний и токов.
Рис. 167
303. Цепь, изображенная на рис. 167, обладает сопротивле¬
ниями, соответственно равными: яС1=20 ом; г2=Ю ом; г3=2 ом;
#l3=10 ом; г4=5 ом; хС4=10 ом; г5=2 ом; xL5=20 ом; гв=3 ом;
xLe=5 ом. Определить токи в отдельных участках цепи, напря¬
жение U на зажимах цепи, активные и реактивные мощности
189
отдельных участков цепи и всей цепи, если ток в неразветвленной
части цепи /=21,3 а. Построить векторную диаграмму напряже¬
ний и токов.
304. Цепь, показанная на рис. 168, обладает сопротивлениями,
соответственно равными: ггС1=80 ом; г2=6 ом; xL2= 8 ом;
г3=15 ом; хС4=12,5 ом; г6=10 ом; гв=50 ом; яСв=100 ом;
Гу=2 ом; хЬ1=25 ом; xLg=20 ом. Найти токи в отдельных участ¬
ках цепи, ток I в неразветвленной части цепи, активные и реак¬
тивные мощности отдельных участков цепи и всей цепи, если
напряжение на зажимах цепи £7=127 в. Построить векторную
диаграмму напряжений и токов.
305. К цепи, изображенной на рис. 169, приложено напря¬
жение U=220 в.
Определить активные и реактивные мощности отдельных
участков цепи и всей цепи, если сопротивления отдельных уча¬
стков цепи соответственно равны: ^=8 ом; агС1 = 6 ом; г2=к ом;
xl^=2Q ом; г3=25 ом; г4=2 ом; æL4=10 ом; ггСб=24 ом; гв=3 ом;
xLe=i ом; xL7=20 ом; г8=3 ом. Построить векторную диаграмму
напряжений и токов.
190
306. К цепи, показанной на рис. 170, приложено напряжение
[7=220 в; комплексные сопротивления отдельных участков цепи
соответственно равны: Z1=2+/9 ом; Z2—2—/10 ом; Z3=12+/16 ом;
Z4=8+/6 ом; Z6=24+/1Ô ом; Ze=20 ом; Z7=30+/40 ом. Вычис¬
лить токи в отдельных участках цепи, ток I в неразветвленной
части цепи, активные и реактивные мощности отдельных участков
цепи и всей цепи, коэффициент мощности cos <р всей цепи. Построить
векторную диаграмму напряжений и токов.
Глава шестая
КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О КРУГОВЫХ ДИАГРАММАХ
Круговые диаграммы применяются при исследо*
вании как цепей переменного тока, так и трансформаторов, асин¬
хронных двигателей и т. п. Круговые диаграммы дают возможность
определить ток, напряжение, подводимую мощность, полезную
мощность, потери, коэффициент мощности, к. п. д., вращающий
момент, скольжение (для асинхронного двигателя) и т. д.
к
м
л
м
т
в
о
е
о
е
о
е
°)
вг
Рис. 171
При
н ц ы
с т е * (рис. 171, а), н а
п о д о б н
этом
одной
умножении
которых ле
(или
жат
а получается
сто
ч к и
кторов.
А2В2С2, при
лежат на
Д е
н а
в
[ о
лении) в е к т о р о в,
геометрическом
щественное чис-
геометрическоѳ
о о т в е т с
с
е
е
с
прямой
т в у ю щ и ѳ
началом
* Если вектор изменяется так, что начало его остается
расположенным
в одной точке, а конец его перемещается по какой-нибудь кривой (или пря¬
мой), то эта кривая (или прямая) называется геометрическим ме¬
стом концов векторов.
192
Пусть задано геометрическое место — прямая А1В1С1 (рис,
171,а); при умножении векторов на вещественное число а получим:
ОА.2 = ОАі * ÆJ = ОВі * а*, ОС2 = ОС 1 *
ИЛИ
ОА-2 ОВ2 ОС2 /л \
Ж '
Следовательно, новое геометрическое место также представ¬
ляет собой прямую А2В2С2.
Если геометрическим местом является окружность Л1В1С1
(рис. 171,6), то при делении векторов на вещественное число
а будет:
ол2= — ; ОВ2 = —1 ; ос2= —
алл
или
Ж=£®2 = ££2 = _1 (2\
ÔÂ! ÔCi а9 '
т. е. новое геометрическое место также является окружностью
Л2В2С2, положение центра и радиус ко¬
торой можно определить из формулы:
ÔÔ2 = 2S = _1 (3)
ООі О1В1 а ‘
При умножении (или деле¬
нии) векторов геометриче¬
ского места на комплексное
число аеГ* необходимо умножить (или
разделить) все векторы на модуль этого
числа а и повернуть на угол <р против
часовой стрелки (рис. 172) (или почасовой стрелке при делении
векторов).
Два проведенных из одной точки (О) вектора ОАг и ОА2
(см. рис. 171), концы которых Аг иЛ2 лежат на прямой, проходя¬
щей через О, и произведение которых ОАг-ОА2 равно постоянной
величине S, называются взаимно обратными или
просто обратными. Вѳличина£называется сте¬
пенью обращения, общее начало векторов (точка О) —
центром обращения.
а) Кривая, обратная прямой линии, причем эта прямая не
проходит через центр обращения (рис. 173), есть окружность,
проходящая через центр обращения и имеющая свой центр на
перпендикуляре к заданной прямой. Докажем, что окружность,
описанная на отрезке ОА2 как на диаметре, представляет кривую,
7 Заказ Хе 936
193
обратную прямой К. Пусть линия ОАг перпендикулярна линии
К. Проведем произвольно вектор ОВ1 и соединим точки Л2 и В2,
получим два подобных треугольника ОА1В1 и ОВ2А2, так как
" “а углы ОА1В1 и ОВ2А2 — прямые. Из
подобия треугольников имеем:
ОВ2 ОА2
угол А1ОВ1 — общий,
Рис. 173
откуда
авс ов2 = -0л2 = s. (4)
Следовательно, векторы ОА2 и ОВ2
являются обратными векторам OAt и ОВ±
и окружность К'— геометрическим местом
концов обратных векторов. При переме¬
щении конца вектора слева направо по
прямой К конец обратного вектора пере-
направо по окружности К'. Аналогично
мещается также слева
можно доказать и обратную теорему, что кривая, обратная ок¬
ружности, проходящей через центр обращения, будет прямая,
перпендикулярная к диаметру, проходящему через центр обра¬
щения.
б) Кривая, обратная окружности, не проходящей через центр
обращения, есть также окружность, не проходящая через центр
обращения, причем центры обеих окружностей лежат на одной
прямой с центром обращения, и обе окружности имеют общие
касательные, пересекающиеся в центре обращения (рис. 174, а).
При движении точки Аг в одном направлении, например против
часовой стрелки, точка А2 движется в противоположном направ¬
лении — по часовой стрелке.
Если выбрать масштаб так, что обе окружности совпадут
(рис. 174, б), то
ÔB1-ÔB2=ÔC1-ÔC2=ÔÂ2 = S. (5)
Это значит, что данная окружность является обратной самой
себе.
194
в) Если центр обращения находится внутри заданной окруж*
ности, то центр обратной окружности лежит на одной пря*
мой с центром заданной окружности, при этом центр обращения
лежит внутри обеих окружностей. Согласно теореме о постоянстве
произведения хорд, пересекающихся в одной точке (рис. 175),
будем иметь:
ОАі-ОА'2 = ОВі-ОВ'2 =ОСі-ОС2 = const.
Отсюда следует, что обратные векторы по величине равны
отрезкам продолжения прямых векторов от центра обращения до
противоположной части окружности. Так как отрезки ОА21 ОВ'2
и ОС2 по направлению про^
тивоположны прямым век-*
торам ОА1, ОВѴ ОСѴ то,
откладывая на направлен
ниях прямых векторов
значения обратных векто^
ров ОА2=ОА2, ОВ2=ОВ'2,
ОС2=ОС2, получим обрат-»
ную кривую К', которая
является также окружно-»
стью. Можно не строить
Рис. 175
две окружности К и К',
а построить заданную окружность К (рис. 175, б) и рассматри¬
вать ее одновременно как кривую прямых и обратных векто¬
ров, при этом отсчитывать обратные векторы от центра обраще¬
ния в противоположном направлении прямым векторам.
Величина степени обращения*? зависит от
выбранных масштабов, например, если полная проводимость
у=ту ОАѵ а полное сопротивление z=mz*OA2 и так как yz=A, то
Шу • О A j • mz* О А 2=1.
Отсюда степень обращения
S = О А1 • О А 2 =
1
Шу mz
(6)
где mz — масштаб сопротивления, указывающий, скольким омам
соответствует единица длины вектора сопротивления;
Шу — масштаб проводимости.
2. КРУГОВАЯ ДИАГРАММА НЕРАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ
С ПОСТОЯННЫМ АКТИВНЫМ И ПЕРЕМЕННЫМ ИНДУКТИВНЫМ
СОПРОТИВЛЕНИЯМИ
Построим круговую диаграмму для цепи (рис, 176), состоя-»
щей из последовательно включенных г и xL, предполагая, что
напряжение U на зажимах цепи и активное сопротивление г
7*
195
неизменны, а индуктивное сопротивление xL изменяется от нуля
до бесконечности. Вектор индуктивного сопротивления отклады¬
вают в направлении положительных значений мнимой оси, так
как полное сопротивление цепи Z=r+jxL = ze/(?\ вектор реак¬
тивной проводимости индуктивности откладывают в направлении
отрицательных значений мнимой оси,
так как полная проводимость цепи
Y=g—jb=ye~J\ Следовательно, вза¬
имно обратные величины Z и Y изо¬
бражают векторами, повернутыми от¬
носительно действительной оси (0+)
на угол ф, но в разные стороны.
При нахождении обратных величин
методом обращения прямые и обрат-
Рис. 176 ные векторы располагают на одной
прямой, поэтому совмещают обе ча¬
сти чертежа, лежащие по обе стороны оси действительных зна¬
чений (0+), т. е. активное сопротивление г и активную прово¬
димость g откладывают по оси действительных значений (0+),
а индуктивное сопротивление xL и реактивную проводимость ин¬
дуктивности b — по мнимой оси от¬
рицательных значений *.
Выбираем масштаб сопротивлений
mz и откладываем от точки О по
действительной оси в положительном
направлении постоянную величину
активного сопротивления r=mzx
хОА (ОЛ = ^-)(рис. 177). От точки
А вправо параллельно оси О (—/) от¬
кладываем переменное индуктивное
сопротивление xL=mz-AB (АВ=^^
(при наличии в цепи вместо индук¬
тивности емкости емкостное сопро¬
тивление надо откладывать влево от
Рис. 177
точки Л). Вектор О В в масштабе
сопротивлений mz представляет собой полное сопротивление
цепи, т. е. Z =mz-0B. Если будет изменяться индуктивное
сопротивление xL от нуля до бесконечности, то конец вектора
полного сопротивления будет перемещаться по прямой АВ,
являющейся геометрическим местом векторов полных сопротив-
лений Z цепи. Так как полная проводимость Y= у есть величина,
X * Если нагрузка емкостная, то г и g откладывают также по оси дейст-.
вительных значений (0+), а емкостное сопротивление и реактивную про¬
водимость емкости — по мнимой оси положительных значений.
196
обратная полному сопротивлению, то геометрическим местом кон¬
цов обратных векторов полных проводимостей будет окружность
(см. пункт а), проходящая через начало координат и имеющая
центр на линии ОА.
Для построения окружности проводимостей выбирают масштаб
проводимостей ту. Так как при коротком замыкании индуктивного
сопротивления (xL=0) полное сопротивление цепи равно актив-
1
ному сопротивлению zK=r и полная проводимость г/к=—, то
г
диаметр окружности проводимостей будет равен:*
00 = ^. (7)
Шу
Следовательно, построим окружность диаметром ОС и получим
геометрическое место концов векторов полных проводимостей.
При данном значении индуктивного сопротивления xL=mz-AB
(рис. 177) проводимость цепи изображается вектором OD. При
неизменном напряжении U на зажимах цепи ток в цепи пропорци¬
онален полной проводимости:
I = - = Uy = y. (8)
Z
Следовательно, ток и проводимость можно изображать одним
и тем же вектором, но в разных масштабах. В этом случае окруж¬
ность проводимостей будет также представлять собой геометриче¬
ское место концов векторов тока (диаграмму тока).
Масштаб тока определяется по формуле
пц^Шуи. (9)
Определить масштаб тока можно, исходя из того, что при ко¬
ротком замыкании индуктивного сопротивления (xL=0) полная
1 1
проводимость цепи ук = — = —, а ток ** в цепи
г
IK = UyK = U--. (Ю)
Г
Так как этот ток на круговой диаграмме изображается век¬
тором ОС, равным диаметру окружности, то масштаб тока будет
* Можно было бы задаться диаметром проводимостей ОС и, зная пол-
< - Ук
ную проводимость ук, определить масштаб проводимостей ту=
ОС
** Так как вектор напряжения отложен в положительном направлении
действительной оси.
197
равен:
ТГІ!
ОС
(И)
Если индуктивное сопротивление xL изменяется от нуля (т. е.
переменное индуктивное сопротивление замкнуто накоротко) до
бесконечности (цепь разомкнута), то полное сопротивление цепи
(вектор ОВ) увеличивается от z=zK=r до z= оо, а полная прово-
димость и ток в цепи уменьшаются от у=ук= — и I=IK—UyK
(изображаемых на диаграмме вектором ОС) до нуля. Следова¬
тельно, точка D перемещается по окружности от точки С (соответ-*
ствующая короткому замыканию хь) до точки О, называемой точ¬
кой холостого хода. Угол сдвига фаз ф между напря¬
жением и током можно определить непосредственно из круговой
диаграммы (рис. 177).
Если требуется получить из круговой диаграммы не угол <р,
а cos <р, то для этого на действительной оси (0+) строят (любого
диаметра) полуокружность. Тогда
OF = ОЕ • cos ф,
откуда
(12)
(13)
OF
cos ф = .
ОЕ
Диаметр полуокружности лучше принять равным 100 мм
(QE=100 мм)> в этом случае
OF (мм)
cos ф = —-
Y 100
т. е. отрезок OF в мм непосредственно выражает cos ф в сотых
долях единицы.
При постоянном активном сопротивлении г цепи активная
составляющая напряжения пропорциональна току I(JJа—гІ=І)'
поэтому один и тот же вектор может изображать как активную
составляющую напряжения, так и ток (но в разных масштабах).
Тогда одна и та же окружность ODC будет одновременно как
геометрическим местом концов векторов тока, так и активной
составляющей напряжения. Масштаб напряжения можно опре¬
делить по формуле
ТПу =
(14)
ИЛИ
U
ос9
при этом и активная составляющая напряжения равна
(15)
198
напряжению на зажимах цепи и изображается диаметром окруж*
ности ОС.
Напряжение на зажимах цепи можно представить как сумму
двух составляющих:
С7=г/ +jxLî = Üa + ÜP9 (16)
при этом активная составляющая напряжения Uа=тй-ОВ сов¬
падает по фазе с вектором тока Z, а реактивная составляющая
1}р=тПц'ВС опережает вектор тока на 90Q.
Круговая диаграмма дает возможность найти активную и ре-*
активную мощности цепи.
Активная мощность цепи при неизменном напряжении
(£7=const) пропорциональна активной составляющей тока цепи:
P = UI cos ф = Umi • OD *cos ср = Umi • DH = mp*DHt (17)
т. e. активная мощность пропорциональна длине перпендику*
л яра, опущенного из конца вектора тока на ось абсцисс (ось мни*
мых чисел). Масштаб мощности равен:
тр = тп/£7. (18)
Реактивная мощность цепи при неизменном напряжении про¬
порциональна реактивной составляющей тока: .
Q = UI sincp = Umi'OD • sin ср = Urrij-DK = mp*DK, (19)
T. e. реактивная мощность пропорциональна длине перпендику¬
ляра DK. опущенного из конца вектора тока на ось ординат
(ось вещественных чисел); масштабы для активной и реактивной
мощностей одинаковые.
Круговая диаграмма позволяет определить все величины,
характеризующие данную цепь при различных значениях индук*
тивного сопротивления хь. в результате чего можно построить
в прямоугольной системе координат кривые I. Uа. Up. P. Q и
cos (p=/(xL).
3. КРУГОВАЯ ДИАГРАММА ОБЩЕЙ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ
Так как эквивалентная схема или схема замещения (рис. 178}
применяется при рассмотрении рабочего процесса в трансфер-
маторах, в асинхронных двигателях и т. п., то рассмотрим по*
строение круговой диаграммы для этой схемы. Сопротивления
гг хѵ гі2’ г2’ х2 неизменны, а г изменяется от нуля до беек о*
вечности *. Выбираем масштаб сопротивлений mZ2 и отклады*
* Мы рассматриваем частный случай; переменным сопротивлением явг
ляется активное сопротивление г, но может быть переменным сопротивле¬
нием полное сопротивление z, а коэффициент мощности при этом остается
постоянным.
199
ваем от точки О2 (рис. 179) вправо индуктивное сопротивление
x2=mZ2‘^2^ ( О2Л = -^-Y От точки А вверх активное сопротивле-
\ mZ2j
ние r2=mZ2-AB ( АВ=—)и переменное активное сопротивление
\ т Z2J
mZ2-
ВС= ). Соединив точки О2 и В, получим полное
mZ2j
сопротивление ri ^xl=mZ2'^2^ (^2^==~^~} правой па-
\ mZ2 J
раллельной ветви (вторичной цепи) при г=0 (зажимы а и b замкну¬
ты накоротко).
Так как геометрическим местом концов векторов полных со¬
противлений правой параллельной ветви является прямая АВС>
200
то геометрическим местом концов обратных векторов полных про-
водимостей этой ветви будет окружность, проходящая через точку
О2 и имеющая центр на линии О2А, перпендикулярной АВС.
Масштаб проводимости опредбляется из соотношения:
1
— Шу2 * ^2^,
Х2
откуда
mY2 = — » (20)
О2и • х2
где O2D — произвольный диаметр окружности [но можно было
задаться масштабом проводимостей mY2 и определить из соотно¬
шения (20) диаметр окружности]. При г=0 полная проводимость
правой ветви будет определяться вектором (отрезком) О2ЕК. а
при г=оо проводимость равна нулю. Следовательно, при изме¬
нении г от нуля до бесконечности конец вектора полной прово¬
димости будет перемещаться по дуге окружности ЕКЕО2 между
точками Ек и О2. Так как при параллельном соединении полные
проводимости складываются геометрически, то к проводимости
правой параллельной ветви необходимо прибавить проводимость
У12 левой параллельной ветви, т. е. откладываем от точки О2
влево реактивную проводимость b12=:~=my2-O2F (o2F=-^-\
Z 12 \ У2/
а от точки F вниз активную проводимость
gl2 = Г-£ = mY2 • FO, (fO, =
Z12 \ ^У2/
Соединив точки О2 и О„ получим вектор полной проводимости
второй параллельной ветвиУ12=тГ2-О1О2( Ofi2=-^- 1. Прибавляя
к проводимости У12 проводимость У2 правой ветви, получим, что
проводимость обеих параллельных ветвей будет определяться
вектором (отрезком) ОгЕ. При разомкнутой правой ветви прово¬
димость определяется вектором Ofi21 а при коротком замыкании
(г=0) эквивалентная проводимость параллельных ветвей будет
равна вектору ОХЕК^
Следовательно, при изменении г от нуля до бесконечности
конец вектора проводимости будет перемещаться от точки Ек до
точки О2. Так как геометрическим местом концов векторов полных
проводимостей является окружность, не проходящая через центр
обращения, то геометрическим местом концов обратных векторов
полных сопротивлений также является окружность, не проходя¬
щая через центр обращения.
201
Для упрощения чертежа окружность проводимостей можно
принять за обратную кривую, но тогда масштаб для векторов,
изображающих эквивалентное полное сопротивление параллель¬
ных ветвей, уже не будет произвольным, а должен быть определен
из чертежа. Для определения его можно воспользоваться любым
из векторов, изображающих проводимость *. При разомкнутой
правой ветви ее проводимость равна нулю, а проводимость двух
Y
параллельных ветвей определяется вектором (отрезком) О±О2=^~
и обратная ей величина полного сопротивления Z12=t^ векто*
ром O^q. Измерив длину вектора можно определить мас¬
штаб для полного сопротивления обеих параллельных ветвей из
соотношения:
212
12 + #12 = inZl * OiGq9
откуда
212
—
(21)
OiGq
При коротком’замыкании г (г=0) эквивалентное сопротивление
параллельных ветвей определяется вектором OrGK как вектором,
обратным вектору полной проводимости этих ветвей ОхЕп.
Следовательно, при изменении сопротивления г от нуля до беско¬
нечности конец вектора полного сопротивления параллельных
ветвей перемещается по дуге окружности GKGG0 от точки GK до
точки Go.
Чтобы найти сопротивление всей цепи, необходимо к эквива¬
лентному сопротивлению параллельных ветвей приба¬
вить в том же масштабе полное сопротивление Zv Откладываем
от точки Oj вниз активное сопротивление ( 0^1=-^— Y
\ mzi J
а от точки Н влево индуктивное сопротивление х^т^НО
(НО=-^-\ тогда Z1=mzl-OO1.
mzi J
Геометрическая сумма векторов ОО± и O±G равна полному
сопротивлению всей цепи Z=mZ1-OG.
При изменении сопротивления г от нуля до бесконечности
конец вектора полного сопротивления всей цепи будет переме-*
щаться по дуге окружности GKGGQ от точки Gn до точки Go,
При неизменном напряжении ток I пропорционален полной
проводимости всей цепи, поэтому необходимо сначала определить
ее. Так как окружность полного сопротивления всей цепи не
* Прямому вектору проводимости ОѴЕ на чертеже будет соответствовать
обратный вектор сопротивления O^G.
202
проходит через центр обращения, то обратная ей кривая есть
также окружность, не проходящая через центр обращения.
Примем окружность полных сопротивлений за обратную ей
окружность полных проводимостей. Масштаб проводимости всей
цепи определим для частного случая; если правая ветвь будет
разомкнута (холостой ход г=оо), то проводимость всей цепи будет
равна:
1
У = -= = rnYt • ОК^
Ѵ(Г1 + Г12)2 + (Хі + Л42)
откуда
тѵі = (22)
OKq .
При коротком замыкании г(г=0) полная проводимость цепи
определяется вектором ОККі а при холостом ходе (разомкнутой
правой ветви) — вектором ОК0. Следовательно, при изменении
сопротивления г от нуля до бесконечности конец вектора полной
проводимости всей цепи перемещается по дуге окружности KkKKq
от точки Кк до точки Ко. Умножая первичное напряжение
на полную проводимость цепи, получим первичный ток Іѵ
Ток при холостом ходе определяется вектором OKQ:
1гх=- U,т n • ОКп = mrOKQ< (23)
При нагрузке (r=mZ2-BC) первичный ток определяется век¬
тором OK а при коротком замыкании r(r=0) — век¬
тором ОКк(І1к=трК^. Следовательно, при изменении г от нуля
до бесконечности конец вектора первичного тока будет переме¬
щаться по дуге окружности KkKKq от точки Кк до точки Æo«
Угол сдвига фаз находят непосредственно по диаграмме, а
коэффициент мощности определяется так же, как и на рис. 177.
Если из конца вектора тока Іх опустить перпендикуляр KL
на ось абсцисс, то этот перпендикуляр в масштабе mp=mTU1
представляет собой активную мощность Рѵ потребляемую цепью.
Задачи
307. В сеть переменного тока с напряжением 27=127 в вклю¬
чены последовательно активное сопротивление г=5 ом и пере-»
менноѳ индуктивное сопротивление которое изменяется от нуля
до бесконечности. Построить круговую диаграмму и по ней кри-»
выѳ зависимости тока /, активной мощности Р, реактивной мощ¬
ности Ç, коэффициента мощности cos ср, активной составляющей
203
напряжения Uа и реактивной (индуктивной) составляющей на¬
пряжения Up от индуктивного сопротивления xL, т. е. /, P, Q,
COS ср, Ua, Up=f(xL).
308. В сеть переменного тока с напряжением [7=220 в вклю¬
чены последовательно индуктивное сопротивление xL=10 ом и пе¬
ременное активное сопротивление г, которое изменяется от нуля
до бесконечности. Построить круговую диаграмму и по ней кри¬
вые зависимости тока I, активной мощности Р, реактивной мощ¬
ности Ç, коэффициента мощности cos ср, активной составляющей
напряжения Uа и реактивной (индуктивной) составляющей напря¬
жения Up от активного сопротивления г, т. е. /, P, Q, cos ф,
[7а, Up=f(r). Определить, при каком значении г активная мощ¬
ность цепи будет наибольшей.
309. В сеть переменного тока с напряжением U=380 в вклю¬
чены последовательно индуктивное сопротивление æl = 19 ом и
переменное активное сопротивление г, которое изменяется от
нуля до бесконечности. Пост¬
роить круговую диаграмму и
по ней кривые зависимости тока
I, активной мощности Р, реак¬
тивной мощности Ç, коэффици¬
ента мощности cos ф, активной
составляющей напряжения Uа
и реактивной (индуктивной)
составляющей напряжения Up
от активного сопротивления г,
т. е. 7, Р, (?, cos ф, [7Д,
Up=f(r). Вычислить, при каком
значении г активная мощность цепи будет наибольшей.
310. Последовательно включены активное сопротивление гх =
=2,8 ом, индуктивное #£X=9,6 ом и меняющееся от нуля до
бесконечности активное сопротивление г2 (рис. 180). Построить
круговую диаграмму и по ней кривые Р, Р2, ц, cos ф, U2=f(I),
если напряжение, приложенное к цепи, [7=220 в.
311. Последовательно включены активное сопротивление гх=
=5 ом, индуктивное xL1=9,8 ом и меняющееся от нуля до беско¬
нечности активное сопротивление г2 (рис. 180). Построить круговую
диаграмму и по ней кривые Р, Р2, ц, cos ф, [72=/(7), если напря¬
жение на зажимах цепи [7=220 в.
312. Приемник энергии с постоянным коэффициентом мощ¬
ности cos ф2=0,8 питается через линию, активное сопротивление
которой г=3,7 ом и индуктивное ж=9,3 ом. Построить круговую
диаграмму и по ней кривые зависимости напряжения [72 и
мощности Р2 приемника энергии, мощности Рх в начале линии,
коэффициента мощности cos ф. всей цепи от тока I в цепи,
т. е. U2, Р2, Р cos фі =/(/)< Напряжение в начале линии
[7х=6300 в.
204
313. К цепи, состоящей из последовательно включенных ак*
тивного сопротивления г=15 ом, индуктивности £=63,7 мгн и
Ѵс
Рис. 181
Рис. 182
емкости С=0,6 мкф, приложено напряжение [7=220 в (рис. 181)t
Построить круговую диаграмму и
определить, когда наступит резонанс
напряжений, если будут меняться:
1) индуктивность L, 2) емкость С, 3)
частота /. На основании полученных
данных из круговой диаграммы по¬
строить кривые зависимости Z, Ur,
UL,Uc,q и cos ср в функции L(C и /).
314. В сеть с напряжением [7=
=127 в включены параллельно ка¬
тушка, активное сопротивление ко¬
торой г = 7,1 ом, индуктивность
£=59,6 мгн и емкость £ = 100 мкф
(рис. 182). Определить, когда наступит резонанс токов в цепи,
если будут изменяться: 1) индуктивность L, 2) емкость С, 3) ча¬
стота /, а также построить кривые
зависимости I, Іѵ І2, ф и cos ср в
функции £ (С и /).
315. К цепи, изображенной на
рис. 183, приложено напряжение
[7=220 в, сопротивления отдельных
участков цепи соответственно равны:
t\=8 ом; xL1=& ом; г2=12 ом;
^L2=16 ом. Найти с помощью кру¬
говой диаграммы величину емкости
С, которую необходимо приключить
к точкам а и Ь, как показано на рис.
183, чтобы угол сдвига фаз между током в неразветвленной части
цепи и напряжением на зажимах всей цепи был бы равен нулю.
316. К цепи, показанной на рис. 183, приложено напряжение
[7=127 в, сопротивления отдельных участков цепи соответственно
равны: гх=15 ом; xL1=20 ом; г2—40 ом; xL2=30 ом. Определить
205
с помощью круговой диаграммы величину емкости С, которую не¬
обходимо приключить к точкам а и Ь, чтобы сдвиг фаз между
вектором тока I в неразветвленной части цепи и вектором на-,
пряжения U был бы равен нулю.
317. Построить круговую диаграмму для цепи, изображенной
на рис. 184, если гх=1 ом, хг=2 ом, U=380 в, а г2 и х2 изменяются
от нуля до бесконечности, при этом угол сдвига фаз <р2 остается
постоянным (cos ф2=0,8). При каких значениях г2 и х2 мощность
Р2 будет наибольшей?
z г, *с
Zz cessons t
І J
Рис. 185
318. Для цепи, изображенной на рис. 178, построить круговую
диаграмму, если ^=7 ом, х±=2і ом, г2=1,4 ом, х2=4,8 ом,
г32=100 ом, æ12=200 ом, а г изменяется от нуля до бесконечности.
Напряжение на зажимах цепи 77=220 в.
319. Последовательно с катушкой, активное сопротивление,
которой 7^=3 ом и индуктивное xLji=21,8 ом, включено перемен¬
ное активное сопротивление г2. Напряжение на зажимах цепи
11=220 в. Построить круговую диаграмму и найти из нее актив¬
ное сопротивление г2, ток I, коэффициент мощности cos ср, актив¬
ную мощность Р всей цепи и активную мощность Р2, поглощаемую
сопротивлением г2, для следующих случаев: 1) при наибольшем
токе; 2) при наибольшей мощности всей цепи; 3) при наибольшей
мощности, поглощаемой в сопротивлении г2.
320. Построить круговую диаграмму для цепи, изображенной
на рис. 185ft Определить ток I при резонансе, наибольшее зна-»
206
чение активной мощности РіМакс и наибольшее значение активной
мощности РЛШѵс всей цепи, если напряжение на зажимах цепи
U—220 в, т\=8 ом, яс=20,5 ом и cos ф2=0,8 (<р2>0).
321. Линия, имеющая активное сопротивление г=2,1 ом и
индуктивное х=3,4 ом, питает приемник, потребляющий в нор¬
мальных условиях мощность Р2=90 кет при постоянном сдвиге
фаз (cos q2=const=0,9). Напряжение в начале линии С71=6,3 кв.
Определить, пользуясь круговой диаграммой, ток I и напря¬
жение U2 на зажимах приемника при нормальном режиме работы
приемника.
322. В конце линии, имеющей активное сопротивление г=3,7 ом
и индуктивное 2=9,3 ом, приключен приемник (рис. 186), реак¬
тивная проводимость которого £>2=0,05 і/ом, а активная проводи¬
мость g2 изменяется от нуля до бесконечности. Напряжение
в начале линии C71=const=6,3 кв. Построить круговую диаграмму
и по ней кривые I, U2, &U, cos <р2, cos ср, ц=/(Р2)*
Глава седьмая
ТРЕХФАЗНЫІЙ ТОК
1. ПОНЯТИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ МНОГОФАЗНЫХ СИСТЕМ
Многофазной системой электрических
цепей называется совокупность нескольких электрических
цепей, в которых действуют синусоидальные э. д. с. одной и той
N
S
Рис. 187
Симметричн
же частоты, сдвинутые друг относительно
друга по фазе и создаваемые общим ис¬
точником электрической энергии.
Отдельные электрические цепи, вхо¬
дящие в состав многофазной системы, на¬
зываются фазами.
Многофазной системой
э. д. с. называется совокупность синусои¬
дальных э. д. с. одной частоты, сдвинутых
друг относительно друга по фазе, дейст¬
вующих в многофазной системе электри¬
ческих цепей. Многофазная система э. д. с.
при числе фаз, равном трем, называется
трехфазной системой э. д. с.
Многофазные системы делятся на:
1) симметричные и несимметричные,
2) уравновешенные и неуравновешен¬
ные,
3) связанные и несвязанные.
ой многофазной системой
э. д. с. (и л и токов) называется многофазная система, в
которой э. д. с. (или токи) всех фаз равны по величине и сдвинуты
у „2л
по фазе друг относительно друга на одинаковый угол а = — ,
где т — число фаз. Если многофазная система э. д. с. (или токов)
не соответствует указанным условиям, то она называется не¬
симметричной.
208
В настоящее время из многофазных систем наиболее широкое
‘применение получила симметричная трекфазная система (трех¬
фазный ток).
Трехфазный генѳратер имеет три обмотки (фазы), сдвинутые
в пространстве друг относительно друга на* 120° (рис. 187).
Если за начало отсчета времени принять момент, когда э. д. с.
Рис. 188
фазы А проходит через нулевое значение (рис. 188), то э. д. с.,
индуктируемые в фазах А, В и С, будут соответственно равны:
еА = Ет sin tot; (1)
/ 2 \
ев = Ет sin I tot л ) ; (2)
X 3 /
/ 4 \
ес =Ет sin I tot -л U (3)
\ о . /
где еА, ев и ес — мгновенные значения э. д. с. отдельных фаз, в;
Ет — амплитуда фазных э. д. с., в;
to — угловая частота, сек.-1;
t — время, сек.
Выразим действующие значения фазных э. д. с. в символиче¬
ской форме, при этом вектор э. д. с. ЕА фазы А направим по дей¬
ствительной оси, тогда
Яд = Е А = Е$; (4)
ÈB = EAe~}*n =Е^-і + л-, (5)
Èc =ÈAe-}** =Ефе~^к, (6)
где Еа,ЕВ'Ес — э. д. с. отдельных фаз, в.
* Электрических градусов.
209
Уравновешенными многофазными сис¬
темами называются такие системы, мгновенная мощность
которых не зависит от времени.
Неуравновешенными многофазными си¬
стемами называются такие системы, мгновенная мощность
которых с течением времени изменяется.
Рис. 190
Если к каждой фазе генератора присоединен приемник энергии
и эти фазы не соединены между собой, то такая система называет¬
ся несвязанной многофазной системой (рис. 189).
Если же отдельные фазы генератора и приемника соединены
друг с другом и между собой, то такая система называется с в я-
8 а нн ой многофазной системой (рис. 190). В свя¬
занной трехфазной системе фазы могут быть соединены звездой
или треугольником.
210
2. СОЕДИНЕНИЕ ЗВЕЗДОЙ
Звездой называется такое соединение, когда концы или
начала фаз соединены в одну точку, называемую нейтраль¬
ной или нулевой точкой.
Если три обратных провода в схеме (см. рис. 189) заменить
одним, который называется нейтральным или нуле¬
вым проводом, то получим четырехпроводную связанную
трехфазную систему, соединенную звездой (см. рис. 190).
Напряжения между началами и концами фаз генератора или
приемника (или напряжения между каждым из линейных про-»
водов и нейтральной точкой) называются фазными н а п р я-»
жениями и обозначаются UAi Uв и Uc>
Напряжения между линейными проводами называются л и-»
нейными напряжениями и обозначаются UAB, U вс
И исА-
Линейными токами называются токи, проходя-»
щие по линейным проводам; они обозначаются IА, Iв и Іс.
Фазными токами называются токи, проходящие в
фазах.
При соединении звездой линейный ток равен фазному току:
IЛ Іфі
(7)
где Іл— линейный ток, а\
Іф— фазный ток, а,
а линейные напряжения равны геометрическим разностям
ветствующих фазных напряжений (рис. 191):
COOT*
Üab =Ûa-Üb;
(8)
Übc = Üb—Üc;
(9)
Üca = Ùc ÙA.
(10)
При симметричной системе напряжений и симметричной (рав„
номерной) нагрузке фаз* линейное напряжение ил больше фаз¬
ного напряжения U# в}/3 раз:
(in
где ил— линейное напряжение, в;
Uф — фазное напряжение, в.
Рассмотрим четырехпроводную трехфазную цепь, изображен¬
ную на рис. 190. Если принять, что сопротивления нейтрального
и линейных проводов равны нулю, то напряжения на фазах при¬
* При симметричной системе напряжений и симметричной нагрузке
фаз Uд=иB=Uc=Uф, иАв=^вс—^сА=^л 1 и фд = фв=
=фс=ф.
211
емников равны напряжениям на соответствующих фазах генера¬
тора.
Фазные токи приемников определяются так же, как и в одно-»
фазных цепях переменного тока, т. е.
ЦА_ и А . J __ и в . ив .
Ѵ^+4’ в Ѵг^+х2/
r~_Uc_ _ис
ZC -|/г2 + х2’
где zA, '’а» г в, гс> хАі хв и хс — полные, активные и
реактивные сопротив¬
ления фаз приемни¬
ков, ом.
Коэффициенты мощности фаз приемников:
•А ' В ' С /ло\
cos фА = — ; cos фв = — 5 cos фс =—• (13)
zA zB ZC
Ток в нейтральном (нулевом) проводе равен геометрической
сумме токов отдельных фаз (рис. 190 и 192, а):
І^Іа + Ів + Іѵ (I4)
где ÏN — ток в нейтральном (нулевом) проводе, а.
212
При симметричной системе напряжений* и симметричной на-*
грузке фаз ток в нейтральном (нулевом) проводе равен нулю
(рис. 192, б), а поэтому нейтральный провод не нужен. В этом
Рис. 192
случае получим трехпроводную трехфазную систему, соединен¬
ную звездой (рис. 193),
Так как при симметричной нагрузке фаз напряжение между
нейтральными точками генератора и приемника О и О' равно
нулю, то каждую фазу системы можно рассматривать как замк¬
нутый контур. В этом случае расчет трехфазной системы при
* В дальнейшем будем сокращенно называть «симметричная нагрузка
фаз», предполагая при этом, что система напряжений симметрична.
213
симметричной нагрузке фаз* сводится к расчету одной лишь
фазы (рис. 193), т. е.
т т ^Ф
*Ф —1л— = —
У (гг + а) + (#г + #л + %а)
~ - ■ ■ ■ ■ ■ )
Ѵ(гг + Гл + Гн)2 + (хг + Хл + хн)2
где Еф — фазная э.д.с* генерато¬
ра, в;
Гпгл, гл=гк, хг,хл, хА—хн — активные и индуктив¬
ные сопротивления со¬
ответственно генерато¬
ра, линии и нагрузки
(приемника), ом*
Угол сдвига фаз между э.д.с. и током в генераторе можно
определить из соотношения:
X хг + %л 4“ Хн /а
tg фі = , (lb)
г г + Гл + Гн
* Формула (15) представлена для общего случая, а на рис. 193 активное
и индуктивное сопротивления гл и хл равны нулю.
214
а угол сдвига фаз между фазным напряжением нагрузки (прием¬
ника) и током определяется из формулы
tg <р2 = — • (17>
Гн
На рис. 194 изображена векторная диаграмма напряжений и
токов для трехфазной трехпроводной цепи, соединенной звездой.
Если задано линейное напряжение на зажимах нагрузки (при-»
емника) и ее сопротивления, то сначала определяют фазное на-*
пряжение:
<7,=^. (18)
а затем фазный ток:
Коэффициент мощности нагрузки
cos<p2=-. (20)
Zh
При несимметричной нагрузке фаз* потенциалы нейтральных
(нулевых) точек приемника энергии О' и генератора О неоди-»
* При несимметричной нагрузке фаз трехфазной системы или при
несимметричной системе напряжений решение задач следует производить
символическим методом.
215
наковы (]ф. 195), поэтому между ними получается узловое
напряжение:
и N =
где ZN— комплексное сопротивление нейтрального провода, олг,
ÎN— комплексный ток в нейтральном проводе (а), который
согласно первому закону Кирхгофа для точки О' равен:
Іа + І в + ІС = In- (21)
Токи в отдельных фазах и линейных проводах:
/д = = (ÈA -ÙN) Ya; (22)
Ів — = (Èв -Ü N) Y B; (23)
B
ic = Eç- Un ^(Éc_üjf) Yc, (24)
Ток в нейтральном проводе
= (25)
где EA, Eb, Ec — фазные э.д.с. генератора;
/л, ZB, Zc, Yл, YB, Yc — комплексные сопротивления* (ом) и
комплексные проводимости отдель¬
ных фаз**, Иом\
Yn — комплексная проводимость ней¬
трального провода, 1/(Ш.
Подставляя значения токов из уравнений (22—25) в уравне¬
ние (21), получим:
(ÉA - ÜN) Ya + (ÉB - ÜN) YB + (Èc - ÙN) Yc = ÛNYN9
откуда
[/ _ ^aYa + ÈBYB + ÈCYC
N~~ Ya + Yb + Yc+Yn ‘
Зная напряжение UN можно определить токи по формулам
* Комплексное сопротивление одной фазы в общем случае слагается из
сопротивлений фазы приемника, линейного провода и фазы генератора. В на¬
шем частном случае сопротивлением линейных проводов и обмоток генера¬
тора пренебрегаем.
** В дальнейшем вместо терминов «комплексное сопротивление» и «ком¬
плексная проводимость» будем употреблять термины «сопротивление» и «про¬
водимость».
216
(22—25), а зная токи, легко найяи фазные напряжения приемника
и генератора:
Ù в= І в% в\ Ùc=îc^c) 1
ÙА = Ёа — ІА%г\ Ü в = Ев — І В^г\ &С = Èc — j
Если сопротивление нейтрального провода ZN = 0, т. е. YN— ос
то узловое напряжение равно нулю:
тт 2ÉY ZÈY п
U N = — — U.
2У QO
(27)
Это значит, что потенциалы нейтральных точек генератора и
приемника одинаковы, а фазные напряжения приемника равны
фазным напряжениям генератора. Если нейтральный провод от-
1 1
сутствует, то YN = ъ—=— = 0, и тогда формулу (26) можно пред-
Z2V 00
ставить в следующем виде:
ÊaYa +ЁвЪ в + ÈçYс
Ya + YB + Y с
Если даны не э.д.с., а фазные напряжения, то вместо э. д. с.
Еа, Ев и Ес в вышеуказанные формулы необходимо подставить
фазные напряжения Ù А, Ùв и Üc.
Если даны не фазные напряжения, а линейные напряжения*
С7ЛВ, U вс и С7сл, то токи в отдельных фазах можно определить
следующим образом.
Так как нейтрального провода нет, то ток в нейтральной точке
звезды равен нулю:
/а + Îв + îc = ÛaYа + ÙBYв Л-ÙcYc = 0. (29)
Из уравнений (8) и (10) можно найти фазные напряжения
Ùв и І7С, т. е.
Ùb^Ùa-Ùab\ 1
= t?A + f/cA. J
Подставляя уравнения (30) в уравнение (29), получим:
ÜaYa + (Üa - Üab) y в + {ÛCA + Üa) Yc = 0,
откуда
TT — АВ^ b — ÙçaYç
A ” Y A + Y B + Yc 9
a затем по формулам (30) определяем Uв я Uc.
Зная ÜA, ÙB n ÜCi можно вычислить и токи ІА, 1'в и Іс<
♦ Этот метод определения токов 7Л, Ів и Іс применяется при несимме¬
тричной системе напряжений.
(30)
(31)
217
3. СОЕДИНЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОМ
Треугольником называется такое соединение, когда
начало фазы А соединяется с концом фазы В, начало фазы В —
с концом фазы С, начало фазы С — с концом фазы А. Точки сое-*
динения начал и концов фаз служат для отвода (или подвода)
трехфазного тока.
При соединении треугольником, как это видно из рис. 196,
линейное напряжение UA равно фазному напряжению U
, ' (32)
а соотношения между линейными и фазными токами можно опре->
Рис. 196
делить, если применить первый закон Кирхгофа для узлов Л, В иС
(рис. 196):
7д + ^СА = ІАВі 1В + 1 АВ = I ВС> ^С + 1 ВС = ^СА*
где /А в, / вс и Іса — фазные токи, а,
откуда
Іа — Іав —ІсА> (33)
І в — Івс — Іав 9 (34)
Іс — Іса — І вс, (35)
т. е. линейные токи равны геометрическим разностям соответст¬
вующих фазных токов (рис. 197). При симметричной системе
напряжений и симметричной нагрузке фаз линейный ток Іл больше
фазного тока в ]/3 раз:
Іл = Ѵзі*. (36)
218
Фазный ток
, _и _ Uф
z V г2 + X2
(37)
где г, X и z — активное, реактивное и полное сопротивления
одной фазы приемника энергии, ом.
ÜAB
Рис. 197
Коэффициент мощности приемника энергии
cos ср = (38)
Z
В общем случае токи в отдельных фазах равны:
I АВ
_ и АВ
%АВ
= Ü авУ АВ 1
(39)
I ВС
_ùBC
%вс
= U всУ ВС;
(40)
і С А
... иСА
= U саУса,
(41)
2>сл
где ZAB, ZBC, ZCA — комплексные сопротивления отдельных
фаз, ом\
YАВ, Y вс, Уса — комплексные проводимости отдельных фаз,
і/ом.
219
к. МОЩНОСТЬ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ
Активная мощность трехфазной цепи при несимметричной на¬
грузке фаз равна сумме активных мощностей всех фаз:
P = UАІА cos <рА + UВІВ cos + UcIc cos фс, (42)
где Р — активная мощность трехфазной цепи, вт.
Реактивная мощность трехфазной цепи при несимметричной
нагрузке фаз
Q = UAIA sin фА + UВІВ sin фв + UCIC sin фс, (43)
где Q — реактивная мощность трехфазной цепи, вар.
Полная мощность трехфазной цепи при несимметричной на¬
грузке фаз
5 = VP2 + Q2, (44)
где S — полная мощность трехфазной цепи, ва.
При симметричной системе напряжений и симметричной на¬
грузке фаз активная мощность трехфазной цепи равна:
Р =ЗС709/09со8ф. (45)
Если даны линейное напряжение ил и линейный ток то
формулу (45) можно представить так* *:
Р = Узусов <р. (46)
Реактивная мощность трехфазной цепи при симметричной на¬
грузке фаз
Q = 3>ифІф sin ф = ѴЗС7Л/Л sin ф. (47)
Полная мощность трехфазной цепи при симметричной нагрузке
фаз
8=ЗифІф = ѴзилІл. (48)
5. МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ
Данный метод находит широкое применение при анализе ра¬
боты трехфазных машин, трансформаторов, при расчете токов
короткого замыкания в трехфазных цепях и при расчете всякой
несимметричной системы. Он основан на том, что любую несим¬
метричную трехфазную систему векторов (напряжений, токов
и т. д.) можно разложить на три симметричные трехфазные си¬
стемы (рис. 198): прямой, обратной и нулевой последовательно-*
* Обычно формулы (46), (47), (48) пишутся без индекса л, т. е. Р= р^З UT»
• cos ф и т. д.
220
стей. В системе прямой последовательности векторы равны между
собой по величине и сдвинуты по фазе на 120°; порядок следова¬
ния фаз: А, В и С.
В системе обратной последовательности векторы равны между
собой и сдвинуты по отношению к вектору фазы А на 120°, но
вектор фазы В опережает вектор фазы А, а вектор фазы С отстает
от нее, т. е. порядок следования фаз обратный: 4, С, В.
В системе нулевой последовательности векторы равны между
собой и совпадают по фазе. Векторы, относящиеся к системам
прямой, обратной и нулевой последовательностей, снабжаются
соответственно индексами 1, 2 и 0. На основании рис. 198 можно
написать следующие соотношения:
•2л .2л
Bi^Âte 3, Ct = Àte • ;
у2Л . . __ ^.2Л
B2=À2e *, C2=À2e • ;
Л о =Вд = Cq.
Обозначим комплексный множитель * е 3 буквой а:
2л . 2л 1 , .1/3
а = е 3 = cos b/sin— = \-j-—.
3 3 2 2’
(49)
(50)
(51)
(52)
Умножение вектора на а соответствует повороту вектора впе¬
ред (против часовой стрелки) на 120°.
•2л ;2л .4л .2л л i/o’
а2 = е3е3=е3=е 3 = (53)
2 2
Умножение вектора на а2 соответствует повороту вектора
вперед на 240ç или назад (по часовой стрелке) на 120°.
а3 = = 1. - (54)
* Вместо термина «комплексный множитель» употребляются также тер¬
мины «фазный множитель» и «оператор».
221
Умножение вектора на а3 соответствует повороту вектора
вперед на 360ç, т. е. вектор возвращается в свое первоначальное
положение, Поскольку а3=1, то а4=а3-а=а, аъ=а3-а2=а29 а6=1.
Рис. 199
Так как 1, а и а2 образуют симметричную систему единичных
векторов (рис. 199), то их сумма равна нулю:
і+а + а2 = і А 0. (55)
2 2 2 2 Ѵ ’
Уравнения (49) и (50) можно представить следующим образом:
Ві = а2 Ât, Ct = aÀt; (56)
В2 = @2 — л2Лг. (57)
ж Если дана несимметричная трехфазная система векторов А, В
и С, то каждый из заданных векторов можно представить как
сумму трех составляющих:
А = Л о + Аі + А2; (58)
В = Èo + Bi + È2; (59)
С = Cq + Ci -J- C2. (60)
222
Подставляя в эти соотношения значения ÈQ, CQ, Вѵ Сѵ В2 и С2
из формул (51), (56) и (57), получим:
À = Ло + 4- À2] (61)
B = Àq + a Ài 4~ яЛ2$ (62)
С = Ло 4- aÀi 4- a2À2. (63)
Следовательно, имея три уравнения с тремя неизвестными
векторами Ло, Àr иЛ2, можно их определить. Складывая уравне-*
ния (61), (62) и (63), получим:
À 4”В 4” С = Ло 4- Лі 4“ Л2 4" Ло 4~ л2Лі 4" #Л2 4~ Ло 4“ #Лі 4*
4“ й Â2 = ЗЛо 4- Л| • (1 4~ я 4- л) 4- А2 (1 4- а 4- а ) = ЗЛо,
отсюда находим составляющую нулевой последовательности:
Ло =
Л +в 4- с
3
(64)
Умножая уравнение (62) на а и уравнение (63) на а2 будем
иметь:
aÈ = яЛо 4" Л-t 4~ я Л-2? (65)
л Ô = а Л о 4“ Л-f 4“ а Л2. (66)
Складывая уравнения (61), (65) и (66), получим:
Л 4" аВ 4- о С == Ло (1 + а 4- « ) 4- ЗЛ| 4“ Л2 (1 4~ о 4~ о) == ЗЛ^,
откуда находим составляющую прямой последовательности:
Л 4" оВ 4" о С
(67)
Умножим уравнение (62) на а2 и уравнение (63) на а, тогда:
и В = а Ло 4“ oÀf 4" A2f (68)
аС = dÀo 4“ о Лі 4* Л2. (69)
Складывая уравнения (61), (68) и (69), будем иметь: А-\-а2В+
4-а/7=Л0(14-л24-я)4-Л1(14-я4-я2)4-ЗЛ2=ЗЛ2, откуда находим со¬
ставляющую обратной последовательности:
% Л 4~ с? В + а С
л2 = . (/0)
о
При помощи уравнений (64), (67) и (70) можно определить
симметричные составляющие как аналитическим методом, так
и графическим. Рассмотрим последний. Пусть даны векторы Л, В
223
и С (рис. 200, а) и требуется графически найти векторы ЗА0, ЗА
и ЗЛ2. 1
Складывая геометрически три вектора А, В и С, получим век¬
тор ЗА0 (рис. 200, б). Чтобы найти вектор ЗАГ следует к вектору А
прибавить вектор В, повернутый на угол 120° в положительном
направлении, и вектор б?, повернутый на угол 120° в отрица¬
тельном направлении (рис. 200, в). Вектор ЗА2 найдем, если к
вектору À прибавим вектор В, повернутый на угол 120° в отри¬
цательном направлении, и вектор С, повернутый на угол 120°
в положительном направлении (рис. 200, а). Следовательно, если
найденные векторы ЗА0, ЗА! и 3Â2 разделить на 3, то получим
векторы Ао, Ах и А2.
Если геометрическая сумма векторов Â, В и С равна нулю,
т. е. векторы A, È и С образуют замкнутый треугольник, то А0=0,
224
Таким образом, система линейных напряжений, а в трехпровод¬
ной трехфазной цепи и система линейных токов не содержат со¬
ставляющей нулевой последовательности.
Задачи
323. В сеть трехфазного тока с линейным напряжением Ѵл =
= 380 в включен приемник энергии, соединенный звездой. Опре¬
делить ток Іл в линии, активную мощность Р, потребляемую при¬
емником, и коэффициент мощности cos ср приемника, если ак¬
тивное и реактивное сопротивления на фазу приемника г =
= 39,8 ом и X = 4 сии. Построить векторную диаграмму напряже¬
ний И токов.
324. Трехфазный асинхронный двигатель, обмотки которого
соединены звездой, включен в сеть с напряжением Z7X = 380 в.
Вычислить ток /105 в фазе обмотки двигателя, фазное напряжение
С7195, мощность Рѵ подводимую к двигателю, если ток в подводя¬
щих проводах І1Л = 7,3 а и коэффициент мощности cos фх = 0,91.
325. В трехфазную четырехпроводную сеть включены равно¬
мерно лампы накаливания (рис. 201). Линейное напряжение
Uл = 220 в. Чему равны напряжение U на лампах и мощность Р,
потребляемая лампами, если линейный ток Іл = 20 ai
326. Каков ток Inb нейтральном (нулевом) проводе (рис. 201),
если в каждую фазу было включено пА = 30, пв = 20 и пс=50
ламп мощностью по 40 вт каждая? Линейное напряжение ил =
= 220 в. Предполагаем, что сопротивление ламп накаливания
остается неизменным.
327. В нейтральный провод четырехпроводной трехфазной сети
по ошибке был включен предохранитель (рис. 202), который пе¬
регорел в то время, когда в фазу А было включено 20 ламп, в
фазу В — 30, в фазу С—10 ламп накаливания сопротивлением
гл = 242 ом каждая. Определить напряжения на лампах после
8 Заказ № 936
225
перегорания предохранителя, если линейное напряжение
= 220 в. Принимаем, что сопротивление ламп накаливания остается
неизменным. Построить векторную диаграмму напряжений
328. В сеть трехфазного тока включены треугольником лампы
накаливания (рис. 203). Число ламп на фазу п = 20, ток каждой
лампы I = 0,91 а. Вычислить напряжение U на лампах, линейный
ток Iл и мощность Р, потребляемую лампами, если линейное на¬
пряжение Uл = 220 в. Построить векторную диаграмму напряже¬
ний и токов.
329. По условию задачи 328 найти напряжение на лампах,
токи в линейных проводах и мощность Р, потребляемую лампами,
если в одном из линейных проводов, например в проводе Л, пере¬
горит предохранитель. Предполагаем, что сопротивление ламп
накаливания остается неизменным.
330. В сеть трехфазного тока с линейным напряжением Uл=
■= 220 в включены треугольником лампы накаливания мощное
226
стыо по 200 вт каждая. Число ламп в каждой фазе соответственно
равно: пАВ = 30; пвс = 20; пСА = 40. Определить токи в ли¬
нейных проводах. Найти напряжение на лампах и токи в линей¬
ных проводах, если в линейном проводе В перегорел предохра¬
нитель. Предполагаем, что сопротивление ламп накаливания ос¬
тается постоянным.
331. Трехфазный асинхронный двигатель, обмотки которого
соединены треугольником, включен в сеть с напряжением Uy=
= 220 в. При номинальной (полной) нагрузке полезная мощ¬
ность двигателя Р2 = 70 кет, коэффициент полезного действия
г| = 90,8% и коэффициент мощности cos <р2 = 0,87. Вычислить
мощность Рѵ подводимую к двигателю, ток І1Л в подводящих
проводах, ток І1ф в фазе обмотки двигателя.
332. 300 ламп накаливания включены треугольником (на¬
грузка симметричная). Ток каждой лампы I = 1,25 а, напряже¬
ние на лампах U = 120 в. Найти ток Iл в подводящих проводах,
мощность Р, потребляемую лампами, сопротивление гл подводя¬
щего медного провода, если длина его I = 67,3 м, а сечение $=
= 95 мм2 (у = 53 м/ом-мм2), потерю напряжения At/, напряже¬
ние иг питающего пункта. Построить векторную диаграмму на¬
пряжений и токов.
333. Трехфазный трансформатор, обмотки которого соединены
треугольником, питает лампы накаливания, включенные также
треугольником. Линейное напряжение на зажимах вторичной об¬
мотки трансформатора UA = 127 в, линейный ток Іл = 102 а.
Определить напряжение U на лампах, число ламп п в каждой
фазе при параллельном соединении их, мощность Рл, потребляе¬
мую одной лампой, мощность Р, потребляемую лампами, если ток
в каждой лампе I = 1,18 а.
334. Лампы накаливания сопротивлением г = 121 ом (каж¬
дая) включены треугольником. Чему равны фазные токи ІАВ,
Iвс, іса, линейные токи IА, Iв, Іс, мощность Р, потребляемая
лампами, если число ламп в фазе АВ равно 30, а в двух других
фазах — по 20, сопротивление каждого провода линии гл =
= 0,5 ом (индуктивным сопротивлением проводов линии пренеб¬
регаем) и линейное напряжение Uл = 220 в?
335. Определить ток Iл в трехфазной линии при передаче
мощности Р = 8000 кет при линейном напряжении Ѵл = 10,5 ке
и коэффициенте мощности cos <р = 0,85.
336. Три одинаковые катушки с полным сопротивлением
z = 20 ом и коэффициентом мощности cos <р = 0,29 соединены
звездой и включены в сеть с линейным напряжением Uл = 220 е.
Найти линейный ток Іл и мощность Р, потребляемую катушками.
Если же эти катушки соединить треугольником и включить в сеть
с линейным напряжением ил = 127 е, то изменится ли линейный
ток Тл и мощность Р, потребляемая катушками? Построить век¬
торную диаграмму напряжений и токов.
8’
227
337. В сеть трехфазного тока с напряжением Ut = 380 в
включен трехфазный асинхронный двигатель. Мощность, подво¬
димая к двигателю из сети, Рг = 3,64 кет при коэффициенте
мощности cos ф1 = 0,75. Определить емкость С конденсаторной
батареи, которую необходимо приключить к зажимам двигателя,
чтобы увеличить коэффициент мощности до 0,95, если частота тока
Д = 50 гц.
338. Электрическая станция снабжает энергией небольшой за¬
вод, находящийся от станции на расстоянии I = 100 м, Сечение
каждого провода s = 50 мм2 (провода медные — у — 53м/ом-мм2).
Найти мощность Р, передаваемую со станции на завод при
напряжении U = 380 в и коэффициенте мощности cos ф = 0,85,
если потеря мощности в проводах не должна превышать ДР=3%.
339. Три одинаковые катушки включены в сеть трехфазного
тока с напряжением U л = 220 в. Активное сопротивление каж¬
дой катушки г = 2 ом и индуктивное хъ = 9,8 ом, Определить
линейный ток Iл и мощность Р, потребляемую катушками, если
они будут включены звездой и треугольником. Построить век¬
торные диаграммы напряжений и токов.
Решение.
При соединении катушек звездой фазное напряжение
иф =
Ѵз
220
Ѵз
= 127 в.
Фазный ток
иФ
ф ~ —;
ТѴ + Й
-Ли. = 12>7 а.
Ѵ22 + 9,82
Линейный ток
Іл = ІФ = 12,1 а.
Коэффициент мощности катушки
г 2
cos ф = — = — ■ = 0,2.
Ѵг2 + 4 Ѵ22 + 9,82
Мощность, потребляемая катушками,
Р = cos ф = 3 • 127 • 12,7 • 0,2« 967 вт
или
Р = Ѵз t/x cos ф = Ѵз • 220 • 12,7 • 0,2« 967 вт.
На рис. 204, а показана векторная диаграмма напряжений
и токов при соединении катушек звездой.
228
Рис. 204
При соединении катушек треугольником фазное напряжение
равно линейному напряжению
U# = ил = 220 в.
Фазный ток
Іф = = 220 = 22 а.
У г2 + d V22 + 9,82
Линейный ток
Іл = У 31# = Уз-22« 38,1 а.
Cos ф определяется так же, как и при соединении звездой.
Мощность, потребляемая катушками,
Р = cos ф = 3 • 220 • 22 • 0,2 = 2904 втя 2,9 кет
или
р = Ѵзиліл cos ф = Ѵз • 220 • 38,1 • 0,2« 2900 ет = 2,9 кет.
На рис. 204, б показана векторная диаграмма напряжений и
токов при соединении катушек треугольником.
340. Три одинаковые катушки включены в сеть трехфазного
тока с линейным напряжением 220 в. Активное сопротивле¬
ние каждой катушки г = 5,6 ом и индуктивное xL = 19,2 ом.
Вычислить линейный ток Iл и мощность Р, потребляемую катуш¬
ками, если они будут включены звездой и треугольником. По¬
строить векторные диаграммы напряжений и токов.
341. Приемник энергии, соединенный звездой, включен в сеть
трехфазного тока с линейным напряжением 220 в. Ток в
приемнике I = 100 а и коэффициент мощности cos ф = 0,65. Най¬
ти активную, реактивную и полную мощности P, Ç и S , потреб¬
ляемые приемником. Построить векторную диаграмму напряжений
и токов.
342. Если в задаче 341 коэффициент мощности приемника
энергии увеличился с 0,65 до 0,9, то каковы будут активная,
реактивная и полная мощности P, Ç и 5 приемника?
343. В сеть трехфазного тока с линейным напряжением UA=
= 380 в включен приемник, соединенный звездой, у которого
активное сопротивление на фазу гг= 6 ом, а реактивное сопро¬
тивление æ-l = 8 ом. Определить активное и реактивное сопро¬
тивление г2, #2 на ФазУ другого приемника, включенного треу¬
гольником, и мощность Р2, предполагая, что он при том же са¬
мом линейном напряжении будет иметь такой же ток и одинако¬
вый коэффициент мощности cos ф, что и первый приемник.
344. В сеть трехфазного тока включен приемник энергии,
соединенный треугольником. Приемник потребляет активную мощ¬
ность Р = 30 кет при токе Іл= 69,2 а и напряжении Uл= 380 в.
Вычислить активное и индуктивное сопротивления г и хь прием¬
ника энергии, индуктивность L и коэффициент мощности cos ф
230
на фазу (предполагая, что zÂB = zBC = zCA = z), если частота
тока / = 50 гц.
Чему будет равен ток I в проводах линии, если приемник
энергии будет включен звездой при том же напряжении ил =
= 380 в?
Решение. При соединении приемника энергии треуголь¬
ником фазный ток
Т h 69,2
Уз Уз
40 а.
Активное сопротивление на фазу определяем из формулы:
Р = з4г,
откуда
30 000 „
5- = 6,25 ом.
3-402
Р
Г = 34
Полное сопротивление на фазу
Пл иф 380 Q_
і‘ф Іф 40
Индуктивное сопротивление на фазу
XL = Уг2—г2 = У9,52—6,252» 7,43 ом.
Зная индуктивное сопротивление xL, можно определить ин¬
дуктивность приемника:
L да 0,0237 гн = 23,7 мгн.
<л 2xf 2-3,14-50
Коэффициент мощности приемника
= ^5да 0,658.
9,5
энергии звездой фазное напряжение
= ^«220 е.
Уз
При соединении
Фазный ток
Ток в проводах
cos ф = —
Z
приемника
Ѵз
Т -U$
1Ф — —
Z
линии
220 л
— 23,1 а.
9,5
/ = ІфЪ 23,1 а.
231
345. В сеть трехфазного тока включен приемник энергии,
соединенный треугольником. Приемник потребляет активную
мощность Р = 41,6 кет при токе Іл = 65,7 а и напряжении
Uл = 380 в. Определить активное и индуктивное сопротивления
г и xL приемника энергии, индуктивность L и коэффициент мощ¬
ности cos ф на фазу (предполагая, что zAB = zBC = zCA = z),
если частота тока / = 50 гц. Чему будет равен ток I в проводах
линии, если приемник энергии будет включен звездой при том же
напряжении UA=380 в?
346. Трехфазный трансформатор напряжением 6000/220 в пи¬
тает пять трехфазных асинхронных двигателей. Данные двига¬
телей следующие:
Полезная мощность
К. п. д.
Коэффициент мощности
Pj =35 кет
=45 кет
Рш = 55 кет
Руу = 70 кет
Ру =85 кет
«л « ГО —
Il II II II II
СО СО СО ОО ОО
о О OOj^i
О 00 КЭ СП
X© X© X© X© X©
©X ©X ©X ©X
cos =0,78
cos qp2 — 0,79
cos фз = 0,84
cos <p4 = 0,87
cos ф5 = 0,85
Найти активные мощности, подводимые к отдельным двига¬
телям, полную мощность S трансформатора, на которую он дол¬
жен быть рассчитан, общий коэффициент мощности cos ф и угол
сдвига фаз ф между током и напряжением на зажимах вторич¬
ной цепи трансформатора.
Решение. Активные мощности, подводимые к двигателям:
111
p2=^ =
Л2
/>.=£!!■:
Из
P4=Æ =
1]4
35
= = 40 кет:
0,875
45 _n „
= æ 50,7 кет:
0,887
55
= æ 61 кет;
0,902
70 __ .
= « 77,1 квт\
0,908
Р5 = 93,4 кет.
П5 0,91
Токи отдельных двигателей:
Рі
40 000 .о/_
_ _— = 134,7 а;
Ѵ3£/cos фі 1/3-220-0,78
232
= 168,7 а;
= 190,7 а;
« 233 а;
289 а.
I = Pz - 50 700
V3C7cos<P2 УЗ-220-0,79
r P3 61000
■*3 = —— = ~~==
V3Z7cos<p3 УЗ-220-0,84
I Pi - 77100
Уз £7 cos <p4 УЗ-220-0,87
I P& 93400
Уз U cos ф5 Уз • 220 • 0,85
Мощность трансформатора, на которую он должен быть рас¬
считан, определяется по формуле
s = Ѵзиі.
Общий ток двигателей можно определить аналитически или
графически. Сначала определим ток аналитически.
Активные составляющие токов отдельных двигателей:
Іаі = I} cos фі = 134,7 • 0,78 = 105 а\
I а2 = I2 cos ф2 = 168,7 -0,79 = 133, 3 а\
I а3 = I3 cos фз = 190,7 -0,84 = 160,2 а;
I аь = Л cos ф4 = 233 • 0,87 æ 203 а;
Іа5 = /5 cos ф5 = 289 • 0,85 æ 246 а.
Активная составляющая общего тока двигателей
Іа = Ial Iа2 + IаЗ + ^а4 + ^а5 = Ю5 + 133,3 + 160,2 + 203 +
+ 246 =847,5 а.
Реактивные составляющие токов отдельных двигателей:
Ір1 = Ц sin фі = 134,7 • 0,625 = 84,2 а;
Ір2 = І2 sin ф2 = 168,7 • 0,613 = 103,4 a;
Ip3 = I3 sin фз = 190,7 • 0,542 = 103,4 a;
/р4 = /4 sin ф4 = 233 -0,492 = 114,6 a;
Zp5 = I5 sin ф5 = 289 • 0,527 = 152,3 a.
Реактивная составляющая общего тока двигателей
/р = Ірі + Ір2 + Ірз + Ipik + Ірь = 84,2 + 103,4 + 103,4 + 114,6 +
+ 152,3 = 557,9 a.
Общий ток двигателей
I = У л + 4 = У847,52 + 557,92 = 1014 а.
233
Если коэффициенты мощности отдельных двигателей мало
отличаются один от другого, то общий ток двигателей будет
Рис. 205
на которую он должен быть рассчитан, т. е.
равен арифметической сумме
токов отдельных двигателей:
I = Л + І2 + h + lit + Л =
=134,7 + 168,7 + 190,7 + 233 +
+289= 1016,1 œ 1016 а.
На рис. 205 показано гра¬
фическое определение общего
тока двигателей; отсюда нахо¬
дим I = 1014 а.
Подставляя полученные дан¬
ные в формулу S = УЗІ/І, най¬
дем мощность трансформатора,
S = Ѵз • 220 • 1014 « 386 000 ва = 386 ква.
Общий коэффициент мощности
0,835
1014
cos ф = —
или
Р 322200 ЛООС
cos ф = — = « 0,835,
S 386000
где Р = Р^ + Р% + Рз + Р± Р§== 40 000 + 50 700 + 61 000 +
+ 77 100 + 93 400 = 322 200 вт.
Угол сдвига фаз между током и напряжением на зажимах
вторичной цепи трансформатора ф = 33°20'.
347. Трехфазный трансформатор напряжением 6000/380 в пи¬
тает пять трехфазных асинхронных двигателей, данные двигате¬
лей следующие:
Полезная мощность
К. п. д.
Коэффициент мощности
Pj = 40,5 кет
т)і = 88,2%
cos <рт = 0,85
Рп = 72 кет
і)±=90,7%
cos ф2 = 0,9
РП1 = 105 кет
і],=91,0%
cos фз = 0,9
РІѴ = 100 кет
1)4=90,5%
cos <р4=0,905
Рѵ = 65 кет
і), = 89,2%
cos ф5 = 0,91
234
Найти активные мощности, подводимые к отдельным двигателям,
мощность S трансформатора, на которую он должен быть рассчи¬
тан, общий коэффициент мощности cos <р и угол сдвига фаз <р
между током и напряже¬
нием на зажимах вторич-»
ной цепи трансформатора.
348. В трехфазную сеть
включены три одинаковых
активных сопротивления,
соединенные звездой. Вы¬
числить фазное напряже¬
ние [Л, линейное напряже¬
ние С/л, линейный ток Іл,
активную мощность Р це¬
пи, если активное сопро¬
тивление на фазу г=100олг и фазный ток 7^= 2,2 а. Построить
векторную диаграмму напряжений и токов.
349. Нагрузка, включенная звездой в сеть трехфазного тока
(рис. 206), имеет активное и индуктивное сопротивления на фазу
г = 4 ом и хь = 3 ом. Активное сопротивление каждого подво¬
дящего провода линии гл= 0,3 ом (индуктивным сопротивлением
провода пренебрегаем). Определить аналитически и графически
напряжение U± в начале линии, если напряжение на зажимах
нагрузки U2 = 220 в,
350. Определить аналитически и графически ток IN в ней¬
тральном (нулевом) проводе, если токи фаз нагрузки соответст¬
венно равны: ІА = 50 а, I в = 20 а, Іс = 60 а и сдвинуты друг
относительно друга на 120°.
351. Вычислить линейный ток 7Л, линейные напряжения Uл
и СГ в начале и в конце линии, изображенной на рис. 207, если
235
активное и индуктивное сопротивления фазы генератора, каждого
провода линии, нагрузки соответственно равны: гг= 0,4 ом\
хг — 1 ом\ гл= 0,2 ом\ хл= 0,4 ом\ гн—§ ом; хн= 2 ом. Фазная
э.д.с. генератора Еф = 149 в. Построить векторную диаграмму
напряжений и токов.
352. Трехфазный генератор, обмотки которого соединены звез¬
дой, питает через индуктивную линию нагрузку, соединенную
треугольником (рис. 208). Активное сопротивление каждого про¬
вода линии гл= 2 ом, а индуктивное хл= 3 ом. Найти линейное
напряжение и на зажимах нагрузки (в конце линии), линейное
236
напряжение Ѵл на зажимах генератора, ток I в линии, если
активное и индуктивное сопротивления на фазу генератора и на¬
грузки соответственно равны: гг= 1 ол; хг= 1,2 ом; гн= 30 ом;
хн= 18 ом. Фазная э.д.с. генератора Еф = 312 в.
Решение. Преобразуем треугольник нагрузки в экви¬
валентную звезду (рис. 209). Активное сопротивление на фазу
эквивалентной звезды
, гн 30
Гн = — = — = 10 ом.
3 3
Индуктивное сопротивление на фазу эквивалентной звезды
18 с
— = ь ом.
3
— "о"
о
Коэффициент мощности
cos ф = —
Ѵгн'2+а:н'2
10
X 0,858.
Vio2 + б2
Ток в линии
г_ __ Еф
~У(гг + гл + гн) 2 + + ^н)2
Ѵ(1 + 2 + ІО)2 + (1,2 + 3 + 6)2
Фазное напряжение нагрузки (эквивалентной звезды)
и'ф = IzH = /Ѵг42+ аМ2= 18,9 Ѵ102 + 62« 220 в.
Линейное напряжение на зажимах нагрузки
и'л= Ѵзиф = ѴЗ • 220« 380 в.
Фазное напряжение генератора
Ü ф = Ü ф + Zjj.
Определим фазное напряжение генератора из векторной диа¬
граммы (рис. 210):
и$ = ~Ѵ(и'ф + ІГЛ COS ф + Іхл sin ф)2 + (Іхл cos ф —Ігл sin ф)2 =
= / (220 + 18,9.2.0,858 + 18,9-3-0,514)2 + (18,9-3-0,858 — 18,9-2-0,514)2 =
= 283 в.
Линейное напряжение на зажимах генератора
ил= УЗ • иф = УЗ • 283^ 490 в.
237
Рис. 210
353. Трехфазный генератор, обмотки которого соединены
звездой, питает через индуктивную линию нагрузку, соединен¬
ную треугольником (рис, 208). Активное сопротивление каждого
провода линии гл= 3 ом, а индуктивное хл= 5 ом.
Вычислить линейное напряжение Uл на зажимах нагрузки
(в конце линии), линейное напряжение Uл на зажимах генерато¬
ра, ток I в линии, если активное и индуктивное сопротивления
на фазу генератора и нагрузки соответственно равны: г,= 0,6 ом\
хг= 6 ом; гн= 47,7 ом; хн= 15 ом. Фазная э.д.с. генератора Е$=
= 6,36 кв. Построить векторную диаграмму напряжений и токов.
354. Трехфазный трансформатор, обмотки которого соединены
звездой, питает приемник энергии, включенный треугольником.
Активное сопротивление приемника на фазу г = 24 ом и реактив¬
ное X = 6 ом. Активное сопротивление каждого провода линии
гл= 0,2 ом, а индуктивное хл= 0,73 ом. Найти токи в проводах
линии, напряжение U на зажимах приемника, активную Р, реак¬
тивную Q и полную S мощности, потребляемые приемником, если
линейное напряжение на зажимах вторичной обмотки трансфор¬
матора Uл= 230 в.
238
355. В конце трехфазной линии* включена треугольником на¬
грузка, имеющая активное сопротивление на фазу гн~ 9 ом и
индуктивное хя= 6 ом (рис. 211). Определить токи в проводах
линии, напряжение U' л на зажимах нагрузки, мощность Р, по¬
требляемую нагрузкой, мощность ДР, теряемую в линии, и мощ¬
ность Рх в начале линии*, если линейное напряжения в начале
линий UдВ = Uвс = иСА — UA = 230 в, активное сопротивле-»
ние каждого провода линии гл=0,1 ом, а индуктивное хл= 0,17 ом.
Решение. Преобразуем треугольник нагрузки и эквива¬
лентную звезду (рис. 212). Активное и индуктивное сопротивле¬
ния на фазу эквивалентной звезды
г; =—=3 ол;
3 3
Хн = — = — - 2 ом.
3 3
♦На входе линии.
239
Складывая эти сопротивления с сопротивлениями провода
линии, получим полное сопротивление одной фазы:
з = Vfo + г,.)2 + (х'л + ^)2 = Ѵ(3 +0,1)2 + (2 + 0,17)2« 3,78 ом.
Фазное напряжение в начале линии
тг ил 230 ^4 99
kJrfi — —— — —— ± оо в.
Уз Уз
Токи в проводах линии:
т т т т 133 ~
іа — Iв — Іс — I = — = ——~ За,2 а.
Z О, < О
Фазное напряжение нагрузки (эквивалентной звезды)
Ѵф= Iz'H = /Ѵ<2+ х'н2 = 35,2Ѵз2 + 22« 127 в.
Напряжение на зажимах нагузки
ил = V3t7^ = ѴЗ • 127« 220 в.
Коэффициент мощности нагрузки
3
H
Vr7+Z2 VFT^
Мощность, потребляемая нагрузкой,
P = Ѵзи'лІ cos <р' = ѴЗ • 220 • 35,2 • 0,831 « И 130 вт = 11,13 кет.
Мощность, потребляемую нагрузкой, можно также определить
по следующей формуле:
Р = Згя7^ = 3 • 9 • 20,32^ 11130 вт = 11,13 кет,
TJ& Iф — фазный ток при соединении нагрузки треугольником,
который равен:
cos <р'
0,831.
т I 35,2 оло
1 гА — —— — —— — 2U, о л.
Ф Ѵз Ѵз
Мощность, теряемая в проводах линии,
ДР = 3 глІ2 =3-0,1 -35,22« 371 вт.
Мощность в начале линии
Р1=7>4-ДР=11 130+371 = 11 501 втп^11,5 кет
или
Рі = ѴЗС7л/ cos ф = ѴЗ - 230 • 35,2 • 0,82« И 500 вт = 11,5 кет,
где «Лот гн + гл 3+0,1 Пй9
cos ф = = = и,оД
z 3,78
240
356. В конце трехфазной линии включена треугольником на¬
грузка, имеющая активное сопротивление на фазу гн= 44,9 ом
и индуктивное хн= 22 ом (рис. 211). Вычислить токи в проводах
линии, напряжение £7' на зажимах нагрузки, мощность Р, по¬
требляемую нагрузкой, мощность ДР, теряемую в линии, и мощ¬
ность Рх в начале линии, если напряжение в начале линии Uл =
= 3,15 кв, активное сопротивление каждого провода линии гл=
= 1,5 ом, а индуктивное хл= 2,5 ом.
357. Три катушки, соединенные треугольником, включены в
сеть трехфазного тока с линейным напряжением Uл= 380 в. Оп¬
ределить графически и аналитически токи IА, I в и Іс в проводах
линии, если активные и индуктивные сопротивления катушек со¬
ответственно равны: гАВ = іом; хАВ = 19,6 ом; г вс — ом;
хвс = 20,5 ом; гСА — 9,5 ом; хСА = 17,6 ом. Построить вектор¬
ную диаграмму напряжений и токов.
358. Для цепи, изображенной на рис. 213, найти линейные
токи ГА, I в, Іс, активную Р и реактивную Q мощности цепи,
если г = 40 ом, хс= 40 ом, xL = 40 ом и линейные напряжения
иАВ = Uвс = UCA = Uл= 220 в. Построить векторную диа¬
грамму напряжений и токов.
359. Трехфазный генератор, обмотки которого соединены звез¬
дой, питает трехфазный асинхронный двигатель, соединенный
также звездой. Двигатель имеет следующие номинальные данные:
полезная мощность на валу двигателя Р2м= 70 кет; скорость
вращения п2н= 970 об/мин; коэффициент полезного действия
т]к = 90,4 %; коэффициент мощности cos ср1я=0,87; напряжение
на зажимах двигателя С7Х = 380 в. Определить ток двигателя,
фазное и линейное напряжения U& и Uл генератора, падение
напряжения в проводе линии, потерю напряжения в про-<
воде линии, потерю напряжения ДС7, если активное сопротивле-»
ние каждого провода линии гл= 0,1 ом, а индуктивное хл= 0,15 ом.
241
360. Для трехфазной цепи (рис. 214) вычислить токи /А,
Іс, активную Р, реактивную Q и полную S мощности цепи, если
линейные напряжения UAB = Uвс = UCA = UA= 380 в; хь =
= 38 ом, хс = 38 ом и г = 38 ом. Построить векторную диаграм¬
му напряжений и токов.
361. Для трехфазной цепи, изображенной на рис. 215, найти
токи IА, Iв, Іс, активную Р, реактивную Q и полную S мощно¬
сти цепи, если линейные напряжения UAB = U вс = UCA = U л=
= 220 в, ZAB = 13+/15,2 ом, ZBC = 20 ом и ZCA = — /10 ом.
Построить векторную диаграмму напряжений и токов.
362. Три лампы накаливания включены звездой (рис. 216).
Линейные напряжения на зажимах генератора UAB = UВс =
= UCA = Uл= 220 в. Определить напряжения на лампах, токи
в лампах и ток Inb нейтральном проводе. Каковы будут напряже¬
ния на лампах и токи в лампах при отсутствии нейтрального
242
провода? Сопротивление ламп считаем неизменным, а сопротив¬
лением соединительных проводов пренебрегаем. Построить век-*
торную диаграмму напряжений и токов.
363. Конденсатор, реостат и катушка (активным сопротивле¬
нием катушки можно пренебречь), соединенные звездой, включе¬
ны в сеть трехфазного тока с симметричным линейным напряже¬
нием иАВ = Uвс = UCA = UA= 220 в (рис. 217). Определить
фазные напряжения U'А, U'в, U'cn& зажимах приемника, линей¬
ные токи IА, I в, Іс, активную Р, реактивную Q и полную S
мощности, потребляемые приемником, если хс = 10 ом, г = 4 ом
и хь = 8 ом. Решить задачу для режимов: 1) нормальный режим;
2) обрыв фазы В\ 3) короткое замыкание фазы В. Построить век¬
торные диаграммы напряжений и токов для всех трех случаев.
243
Решение. 1. Нормальный режим. Фазное напряжение
источника питания
_ ил -220
ѵ/ +) ~ — 127 в.
Уз Уз
Выразим векторы фазных напряжений в комплексной форме,
при этом вектор напряжения UA направим по действительной
оси в положительном направлении, тогда
ÙA = иА = иф = 127 в; Üв = ифе-уі20° =
= 127e~Jt20° = 127 (cos 120° —j sin 120°) =
= 127( 7—) = —63,5— i НО в-,
\ 2 2 J ■
Ùc = 127e-','240° = 127 (cos 240° —j sin 240°) = — 63,5 + j 110 в.
Выразим сопротивления и проводимости фаз приемника в
комплексной форме:
ZA =—jx с = —/ІО ом; Zв = г = 4 ом; Zc = jxL = 78 ом;
Ya = = = /01 1/ом; Ув = Д=- = 0,25 1/олі;
ZA —/10 ’ ’ в ZB 4 ’
1 1
Y с = — = - = —/0,125 Ном.
Zc /8
Узловое напряжение, т. е. напряжение между нейтральными
точками приемника и источника питания
п ÛaYa+ÜbYb + ÛcYc
N Ya + Yb + yc
127-70,1 + (—63,5—/110)0,25 + (—63,5 +/НО)-(—/0,125) _
“ /0,1+0,25-/0,125
= — 5,7 —/28 в,
модуль напряжения
UN = У5,72 + 282 = 28,6 в.
Фазные напряжения на зажимах приемника:
UA = ÜA — ÜN = 127 + 5,7 + ;28 = 132,7 + /28 в,
модуль напряжения
и'А = У132,72+282 = 135,5 в;
и’в = Üв — ÙN = — 63,5 —/НО + 5,7 +/28 = —57,8 —/82 в,
U в = У57,82 + 822 = 100,4 в; Uc =ÜC — ÜN =
= — 63,5 + /110 + 5,7 +/28 = —57,8 + /138 в,
Uc = У57,82+1382 = 149,3 в.
244
Фазные (они же линейные) токи
Ï +а_. 132,7 +/28 (132,7 +/28)/10 _ 2g
А = ZA= —/10 ІО2 ’ ’
ИЛИ
ÎA = UaYa = (132,7 + /28)/0,1 = —2,8 + /13,27 a,
модуль тока
IA = V2,82+ 13,272= 13,56 a;
ï Ûb —5/,8—/82 .. . _
I в = — = — = — 14,45 —/20,5 a
ZB 4
или
ÎB = UBYB = (—57,8 —/82) • 0,25 = — 14,45 —720,5 a,
IB = V14.452 + 20,52« 25,1 a;
; _ -57,8 +Л38 _<-57.8 + ,138)• (-/> , 17.25 + д22 ,
Zc /8 8
ИЛИ
/с = ÜCYC = (—57,8 +7138) (—/0,125) = 17,25 +/7,23 a,
Ic = V17.252 + 7,232« 18,7 a.
Проверка:
7a+/в+Іс=_2,8 +/13,27 —14,45—/20,5 + 17,25 +/7,23 =0.
Верно.
Комплексная мощность приемника
5 = ~SA + 's в + S с = U AIА + U ві в + U cl с =
= (132,7 +у28) • (—2,8 —/13,27) + (—57,8—/82) •(—14,45 +
+ /20,5) + (— 57,8 + /138) • (17,25-/7,23) = 2517 + /959 ea.
Если не учитывать сопротивления проводов линии, то такой же
результат получим из выражения комплексной мощности источ-*
ника питания, т. е.
s = ÛAÎA + иВІв + Ùcic = 127 (-2,8 —7’13,27) +
+ (—63,5—/НО)-(—14,45 +/20,5) +(—63,5 +/110) • (17,25—
—/7,23) = 2517 +7’959 ва.
Активная мощность, потребляемая приемником, Р = 2517 вт,
а реактивная мощность Q = 959 вар.
Проверка: так как активные сопротивления фаз А иС равны
нулю, то активная мощность, потребляемая приемником, равна
245
активной мощности фазы В
Р =Рв = гі2в=4.25,12 = 2520 вт,
а реактивная мощность, потребляемая приемником, равна алге¬
браической сумме реактивных мощностей фаз А и С, так как реак¬
тивное сопротивление фазы В равно нулю, т. ѳ.
Q = Qa + Qc хсІІ + = -10 • 13,562 + 8 • 18,72 = 959 вар.
На рис, 218 изображена векторная диаграмма напряжений
и токов.
Рис. 218
Обрыв фазы В. В этом случае сопротивление фазы В (рис. 119)
равно бесконечности (ZB = оо), а проводимость равна нулю
1 1
(У в = — — = 0) и узловое напряжение будет:
оо
JJ +С/сУс_ 127»/0,1 +(-63,5 + /110)» (-/0,125) _
* Уа+Ус /0,1 -/0,125 ~
« — 826 + /550 в, UN = V8262 + 5502 = 1012 в.
Фазные напряжения на зажимах приемника:
UА = ÜA—ÙN = 127 + 826 —/550 = 953 -/550 в,
модуль напряжения
иА = Ѵ9532+5502 = 1100 в;
UB = üB — ÙN = —63,5 — /110 + 826 —7'550 = 762,5 —/660 в,
246
и'в = V762.52 + 6602 = 1008 в;
Uс = ÛC — ÙN = — 63,5 + /НО + 826 —/550 = 762,5 —/440 в,
U'c =V 762,52 + 440г = 880 в.
Фазные (они же и линейные) токи:
ІА = UaYa = (953 —/550) /0,1 = 55 +/95,3 а,
модуль тока
ІА = Ѵ552 + 95,32 = 110 а;
Ів =0; Іс = UCYC = (762,5 — /440) (—/0,125) = — 55 —/95,3 а.
Комплексная мощность приемника
S = Ù'AÎA + Ùcîc = (953 —/550) • (55 —/95,3) + (762,5 —/440) х
X (— 55 + /95,3)« —/24200 вар
или
S = ÙAÎA + Ùcîc = 127 (55 —/95,3) + (—63,5 +/110)х
Х(—55 +/95,3) = —/24200 вар.
Следовательно, активная мощность, потребляемая прие¬
мником, равна нулю (Р = 0), а реактивная мощность
Q = — 24200 вар — — 24,2 квар.
Полная мощность приемника S = 24,2 ква.
Проверка: реактивная мощность приемника
Q = QA +Qc = -xcFa +xlIc =-10-110? +8-11О2 =
= —24200 вар = —24,2 квар.
247
На рис. 220 показана векторная диаграмма напряжений и то¬
ков при обрыве фазы В.
Короткое замыкание фазы В. При данном режиме работы со¬
противление фазы В (рис. 221) равно нулю (ZB = 0), а проводи¬
мость равна бесконечности (Y в = = оо); поэтому узловое
^в
напряжение будет равно фазному напряжению:
ÜaYa+ÜbYb + ÜcYc U*Yb + Ub + UcYb
N Ya + Yb + Yc іа+1+і£
YB YB
= Ü B = —63,5— /110 e.
248
Фазные напряжения на зажимах приемника:
UA=ÜA—ÜN =ÜA—ÜB = ÜAB = 127 + 63,5 + /110 = 190,5 +
+/110 в;
в = 0; Ü с — Ü с — Ü N = Û с — Ü в = Ù с в = — Ü Вс =
= —63,5 +/НО + 63,5 +7*110 =7*220 в.
Следовательно, при коротком замыкании фазы напряжение
на этой фазе равно нулю, а напряжение на двух других фазах
равно линейному напряжению.
Токи в фазах приемника:
ІА =UaYa =(190,5 + /110) •/0,1 =—11 +7* 19,05 а,
модуль тока
ІА - Ѵн2+ 19,052 = 22 а; Іс = V с Ус = І 220 х
х(—7* 0,125)= 27,5 а, Іс =27,5 а.
По первому закону Кирхгофа имеем:
Іа + І в + Іс = 0,
откуда
l'B = —(ïA +/с) = —(— И + /19,05 + 27,5)= —16,5—/ 19,05 а,
Ів^ 25,2 а.
Определим активную, реактивную и полную мощности при¬
емника из комплексной мощности приемника, которая в данном
случае равна комплексным мощностям двух фаз:
5 = ÙAÎA + Ùcîc = (190,5 + /НО)-(— И —/19,05) +/ 220- 27,5 =
= /1211,
249
активная мощность, потребляемая приемником, Р = 0, реактив¬
ная мощность Q = 1211 вар и полная мощность S = 1211 ва.
На рис. 222 изображена векторная диаграмма напряжений и то-*
ков при коротком замыкании фазы В.
364. Трехфазный генератор, обмотки которого соединены
звездой, питает нагрузку, состоящую из трех одинаковых актив¬
ных сопротивлений гд = гв=гс=^ ом' соединенных также зве¬
здой (рис. 223). Линейные напряжения на зажимах нагрузки
UA'Bf — UBfc, = UcfA,—^^e- Активное сопротивление каждого про¬
вода линии гд=2,4 (ш, а индуктивное хл=3,5 ом. Вычислить
250
линейные токи 7Л, Ів, Іс, фазные и линейные напряжения UA,
UB, Uc, UАв, Uвс, UCA генератора, фазные напряжения UA>, UB',
Uс' нагрузки, фазное и линейное падения напряжения, фазную и
линейную потери напряжения ЬѴф и ДСЛ Построить векторную
диаграмму напряжений и токов.
365. По условию задачи 364 определить линейные токи ІА,
Ів, Iс и фазные напряжения UA>, UB4 Uc< 1) при коротком замы¬
кании фазы А приемника и 2) при обрыве фазы А приемника.
Построить векторные диаграммы напряжений и токов.
366. Трехфазный генератор, обмотки которого соединены зве¬
здой, питает через линию передачи приемник энергии, соеди¬
ненный также звездой. Активное сопротивление каждого про¬
вода линии гл=А ом, а индуктивное яЛ=10 ом. Линейные напря¬
жения в начале линии UAB=UBC=UCA— С71=10,5 кв. Найти ток Іл
в линии, напряжение U2 на зажимах приемника энергии, мощ¬
ность Рѵ отдаваемую генератором, мощность ДР, теряемую
в проводах линии, мощность Р2, потребляемую приемником, коэф¬
фициент полезного действия ц линии передачи, если активное
сопротивление на фазу приемника г2=48 ом, а реактивное х2=
=14 ом.
367. В сеть трехфазного тока включена треугольником
нагрузка (рис. 224) с сопротивлением фаз Илв=804-/60 ом,
ZBC=—j30 ом и Zcx=144-/48 ом. Линейные напряжения UАв=*
= Ü BC=U CA=U л=& кв. Вычислить фазные токиIАв, Iвс, ІСА, ли¬
нейные токи IА, Iв, Іс, активную, реактивную и полную мощности
P, Q и S цепи для нормального режима, для обрыва фазы АВ
и для обрыва линейного провода А — А. Построить векторные
диаграммы напряжений и токов для всех трех случаев,
251
Решение. Нормальный режим. Выразим векторы линей¬
ных напряжений в комплексной форме, при этом вектор напряже¬
ния ÜАв направим по действительной оси в положительном направ-
Рис. 225
= 60001
лении (рис. 225), тогда
Üав —UАв = 6000 в;
Übc = иАВе~іі2й° = 6000(cos 120°—/ sin 120°) =
— А—/АТ) =—3000—/5196 в;
£ j
Üca = ÛABe~iW!ia = 6000 (cos 240’ —j sin 240°) =
= 6OOof— A+ /АТ= — 3000 + j 5196 e.
\ Û û J
Фазные токи:
/ і/ав
'ав =-у—
^АВ
модуль тока
f Übc —3000—j 5196 4709 . ллл
Iвс = — = rh = 173»2 —J 100
Z вс —) оО
6000 6000(80-/60) ,о .„е
— X z — 4 О —7 о О
80 +/60 802 + 602
I Л R = Ѵ482 + 362 = 60
252
модуль тока
Івс = Ѵ173.22 + 1002 = 200 а;
ІСА
ÛCA
%CA
— 3000 + /5196~
14 4-/48 ~
83 4-/„86,7 a,
модуль тока
Ісл = V832 4- 86,72 = 120 a.
Зная фазные токи, можно найти линейные токи:
Іа = Іав — Іса = 48 —/36 —83—/86,7 = —35 —/122,7 а;
іа = Ѵ352 + 127,62 = 127,6 а; Ів = І вс -/АВ =
= 173,2—/100—48 +/36 = 125,2—/64 а; Ів = Ѵ125,22 + 642 =
= 140,6 а;
Іс = Іса — Івс = 83 + / 86,7 —173,2 + /100 = — 90,2 + / 186,7 а,
Іс = Ѵ90.22 + 186,72 « 207 а.
Активную, реактивную й полную мощности цепи можно
определить из выражения комплексной мощности, которая равна
сумме комплексных мощностей отдельных фаз:
S = SАв + S вс + Sca = UАВІАВ + U BCIBC + UCA^CA =
= 6000 (48 + /36) +(—3000—/5196) • (173,2+ 7100) + (—3000 +
+ 7 5196) • (83—7 86,7) = 489 500—7 292 600 ea,
активная мощность, потребляемая цепью, Р=489 500 етп=489,5
кет, реактивная мощность Q =—292 600 еар =—2$2,6 кеар и пол¬
ная мощность S=J/rP2+Ç2=)/489 5002+292 6002æ547 800 еа =
=547,8 кеа.
Активную, реактивную и полную мощности, потребляемые
цепью, можно определить также по формулам:
Р = Р АВ Л- Р ВС + Pc А = г АВІАВ + г ВС^ ^С + г СА^СА = 80 • 60? +
+ 0,- 2002 + 14• 1202= 489 500 ет = 489,5 кет
или
P = UАВІАВ <РаВ + ИВСІВС COS фвс + ѴсАІСА СО$<рСА =
= 6000 • 60 • 80 + 6000 • 200 • 0 + 6000 • 120 • —• 14 =
V802 + 602 V142 + 482
=489 600 ет = 489,6 кет\
Q = QaB + Q ВС + QcA = хАВІ2АВ + ХВСІ2ВС + ХСАІСА = 60 • 602 +
+ (—30) • 2002 + 48• 1202= -292 800 вар = -292,8 кеар
253
или
Q = UАВІАВ sin фЛр + UВСІВС sin фвс + Uca^CA sin Фса =
=6000 • 60 • 60 + 6000 • 200 (— 1) + 6000 • 120 • 48 =
V802 + 602 V142 + 482
= —292 800 вар = —292 8 квар;
S = Ѵр2 + Ç2 = Ѵ489.52 + (—292,8)2« 547,8 кеа.
При построении векторной диаграммы напряжений и токов вы¬
бираем масштаб для напряжения т^=100 в/мм и тока аімм.
На рис. 225 изображена векторная диаграмма напряжений и
токов.
Обрыв фазы АВ. При обрыве фазы АВ получим схему, изобра¬
женную на рис. 226. Так как при обрыве фазы АВ сопротивле¬
ние ее равно бесконечности, то ток в ней равен нулю. Токи в
фазах ВС и СА останутся такими же, как будто обрыва фазы АВ
не было вследствие того, что линейные напряжения не изменятся
(рис. 226),
т.е. /вс=173,2—/ЮОа, 7вс=200а;/сл=83+7 86,7 а, /сл=120 а.
Зная фазные токи, можно найти линейные токи (рис. 227):
іа = ІАв — Іса = 0—83—у 86,7 = —83—j 86,7 а, ІА = 120 а;
Ів = Івс —IАв = 173,2—7 100 —0 = 173,2—7 100 а, Ів = 200 а;
ïc = ÏCA — ÏBC =83 + 7 86,7 —173,2 + 7 100 = 90,2 + 7 186,7 а,
Іск 214 а.
254
Активную, реактивную и полную мощности найдем из выражения
комплексной мощности:
S = ÙBCiBC + ÙcaIca =(-3000 —/ 5196). (173,2 + j 100) +
+ (-3000 + / 5196).(83 —J86,7)= 201 600 — /508 800 ea;
активная мощность, потребляемая цепью, Р=201600 вт=
=201,6 кет, а реактивная мощность Q=—508 800вар=—508,8квар
и полная мощность 5=рг201,62 +508,82 = 815,6 кеа.
Активную, реактивную и полную мощности цепи можно
определить также по формулам:
Р = гсаіса = 14 • 1202 = 201 600 вт = 201,6 кет
(так как активное сопротивление фазы ВС равно нулю);
Q = Qвс + Qca = — вс + ^са-^са = — 30 • 2002 + 48 • 1202 =
= —508 800 вар = —508,8 квар; S = VP2 + Q2 =
= Ѵ201,62 + 508,82 = 815,6 кеа.
На рис. 227 показана векторная диаграмма напряжений и
токов при обрыве фазы АВ.
Обрыв линейного провода А —А. При обрыве линейного про¬
вода А — А получим схему, изображенную на рис. 228. Найдем
токи в фазах приемника:
f Ùbc —3000—/5196
1 вс = =
ВС
= 173,2-/100 а,
—/30
вс = 200 а\
255
ÏAB = ІСА = = 3000 + A5196— = 41,1 + y 8,02 a,
Z a в + ZCA 80 + /60 + 14 + / 48
Iab = Ica~ 41,9 a.
Линейные токи:
ів= - îc = Івс - I AB = 173,2-7 100 -41,1-7 8,02 =
= 132,1—7 108,02^ 132,1—7 108 a, IB = IC = 170,6 a.
Вычислим активную и реактивную мощности из выражения
комплексной мощности:
S = ЬВСІВС + ÙcbÎab =(-3000-7 5196). (173,2 + /Ю0) +
+(3000 + 7 5196) - (41,1 —у 8,02)æ 16 500—j 1 010 500 eay
активная мощность, потребляемая цепью, Р = 165 000 вдп = 165 кет,
а реактивная мощность Q=—1010500 вар =—1010,5 квар.
Активную, реактивную и полную мощности, потребляемые
цепью, можно определить также по формулам:
Р = (гАВ + гСА) І1в = (80 + 14) • 41,92^ 165 000 вт = 165 кет;
Q — а в + хса) * -7а в — хвсІ2вс = (60 + 48) • 41,92 — 30 • 2002~
«—1010 500 еар=—1010,5 квар;
S = Ур^+Q2 = ]/1652 + 1010,52 = 1023 кеа.
Векторную диаграмму напряжений и токов предлагается
построить самим учащимся.
368. В конце линии передачи включен приемник, соединен¬
ный звездой (рис. 229), сопротивления отдельных фаз которого
равны: 2Л=15,2+7*13 ом; ZB=6—j8 ом; ZC=4O+7*3O ом. Сопро-
256
тивление каждого провода линии 7л=5+/9 ом. Чему равны токи
/л, /в, Iс в проводах линии, напряжения на зажимах приемника,
активная Р, реактивная Q и полная S мощности приемника,
если линейные напряжения в начале линии U AB=U BC=U СА =
=6,3 кв? Построить векторную диаграмму напряжений и токов.
сопротивления
сопротивления
369. Трехфазный генератор, обмотки которого соединены
звездой, питает приемник энергии, соединенный треугольником.
Активное сопротивление каждого провода линии гл=2 ом, а индук¬
тивное хл=3ом. Определить токи IА, Iв, Ісв проводах линии, то-
ки Ід'в', Ів'С’, І&А' в фазах приемника, напряжения СТд'в', Ub'C',
Uc'A' на зажимах приемника, активную Р, реактивную Q и пол¬
ную S мощности, потребляемые приемником, если
фаз приемника энергии Za'b,=
= 15,2 — /37 ом, ^в'С' == 39 +
+7’8,9 ом, Zaд'=24—/18 ом и
фазные напряжения генератора
иА=ив= ис= иф =3640 в.
370. Трехфазный генератор,
обмотки которого соединены зве¬
здой, питает приемник энергии,
сое диненный треу гол ьник ом.
Активное сопротивление каждо¬
го провода линии гл=4 ом, а
индуктивное хл= 7 ом. Опреде¬
лить токи IА, Iв, Iс в прово¬
дах ЛИНИИ, ТОКИ ІА'В’і
ІС'А’ в фазах приемника, на¬
пряжения Ua'B4 Ub'C'i U с А'
на зажимах приемника, актив¬
ную Р, реактивную (? ‘и пол¬
ную S мощности, потребляемые приемником, если
фаз приемника энергии ZA'B' = 19,2+7’5,6 ом, ом.
9 Заказ № 936
257
Zc'â'—39+/8,9 ом и фазные напряжения генератора U A—U B=U с—
=3640 в. Построить векторную диаграмму напряжений и токов.
371. На рис. 230 показана несимметричная трехфазная систе¬
ма векторов напряжений. Разложить данную систему напряжений
на симметричные составляющие,
и С7с=6600 в,
372. На рис. 231 показана
двухфазная система векторов э.д.с.
Разложить эту систему на сим-
если /7л=6000 в. UB=MW в
метричные составляющие трехфазной системы, если ЕА = Ев=
=130 в.
373. Случайно произошел обрыв одной из фаз симметричного
трехфазного генератора, при этом получилась система э. д. с.,
как показано на рис. 232. Разложить данную систему на сим-»
метричные составляющие трехфазной системы.
Глава восьмая
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ
1. НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ Э.Д.С., НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКИ
На практике кривые периодических э. д. с., напряжений и
токов в большей или в меньшей степени отличаются от сину¬
соиды. Причиной этого могут быть как генераторы переменного
тока, так и приемники энергии. Если распределение магнитной
индукции в воздушном зазоре генератора переменного тока
отличается от синусоиды, то кривые индуктируемых в обмотках
э. д. с. отличаются от синусоиды. Если цепь содержит нелиней¬
ный элемент (например катушку со стальным сердечником),
то при синусоидальном напряжении возникает песинусоидаль-
ный ток.
2. РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ НЕСИНУСОИДАЛЬНОЙ КРИВОЙ
В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД (РЯД ФУРЬЕ)
Всякая однозначная периодическая функция может быть
разложена в ряд Фурье:
/(©0 =4о + А17П sin (юг +Ф0 +А2т зіп(2юг+ ф2) +
+ A3msin(3œZ +фз) + ... +Акгпзіп(кюг +фк) + ..., (1)
гдеА0—постоянная составляющая (или нулевая гармоника);
А1т— амплитуда основной или первой гармоники, период ко¬
торой равен периоду данной несинусоидальной кривой;
А2/п, A3w, » « ., Акт — амплитуды высших гармоник;
фг» фз» • » Ф# — начальные фазы первой или основной, вто¬
рой, третьей и т. д. гармоник.
Начальные фазы отсчитываются в своем масштабе и относят¬
ся к общему началу счета времени. Преобразуем члены ряда (1),
содержащие синусы сумм:
Акт sin (K(ùt + фк) = Акт sin K(ùt cos + Акт cos «юг sinxpK =
= Вкт Sin K(ùt + CKm cos K(ûZ,
где a CKm=AKmsinqK,
2*
259
Следовательно, ряд (1) можно представить так:
/ (cat) = А о + sin at + В2т sin 2(ùt +... + BKm sin Ktot +... +
+ Cim COS CD t + C2m COS 2tot + ... + CKrn COS Ktot +...
Коэффициенты ряда Фурье Ло, Вкт и определяют по
мулам:
(2)
Фор-
(3)
фор-
(4)
I 2л j 2л
Л о = — у / (coZ) rf (cat); Вкт = — у /(cat) sin «catd(cat);
о о
j 2л
Скт = — Г/ (cat) cos Ktotd(cat).
л J
о
Зная коэффициенты ряда Фурье (2), можно перейти к
муле (1). Так как Вкт=А„OTcos^ и Скт=А^эіпф^, то
лкт = VtfL + cLntg фк=
Вкт
Если среднее значение ординат за период равно нулю, то
ряд Фурье не содержит постоянной составляющей (Ао=О).
Если кривая (рис. 233, а) удовлетворяет условию /(cat) =
= —/(cat-j-л), то она называется симметричной относи¬
тельно оси абсцисс и ряд не содержит постоянной
составляющей и четных гармоник:
/(œt) = Aim sin (cat + фО + А3т sin (Зсаt + ф3) +
+ Аьт sin (5cat + ф5) +... (5)
Если кривая (рис. 233, б) удовлетворяет условию f (rat) =
=/ (—cat), то она называется симметричной относи¬
тельно оси ординат и ряд не содержит синусов:
/(at) = Aq + Alzncoscat + А2т cvs2(ùt + А3т cos3cat +... (6)
Если кривая (рис. 233, в) удовлетворяет условию / (cat) =
= —/ (—cat), то она называется симметричной относи¬
тельно начала координат и ряд не содержит по¬
стоянной составляющей и косинусов:
/ (cat) = А1т sin cat + А2т sin2cat + А3т sin3cat + ... (7)
3. ДЕЙСТВУЮЩИЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКОВ,
ЭЛЕКТРОДВИЖУЩИХ СИЛ И НАПРЯЖЕНИЙ
Действующее значение тока любой формы определяется по
формуле:
4 1
— С<2 dt.
•Z J
о
(8)
261
Если несинусоидальный ток выражается в виде ряда Фурье
І = Jo + Jim sin (tot + — Ф1 ) +
+ I2m Sin (2œ/ + ф2 — Ф2) + • • • + Jnm sin (ntot + фп — фп),
то, подставляя это соотношение в формулу (8), получим:
-1 /Т7 ’
J = |/ у у/о +li7n sin № + —Фі) + -*
_ о
— + 12т Sin (2tot + ф2 — Ф2) + • •. + Inm Sin (ntot + фп — фп)]2 dt.
Возведя в квадрат многочлен, заключенный в квадратные
скобки, будем иметь многочлен, содержащий суммы квадратов
всех членов, плюс удвоенные произведения каждого из членов
на все последующие.
Следовательно, получим члены:
1 Т Л Т т2
■— Ç/o^ = /o; — Ç sin2(Km< + 1|)к — <рк) dt = = І2К',
J. J 1 J ш
О О
1 Т
Т J hIKm sin (к®« + — фк) dt = 0;
о
1 п
— I 2IKm sin (ки« + — <рк) Itm sin (lat + — Tz) = 0.
0
Таким образом, действующее значение несинусоидального тока
равно:
/ = V 7F+7F+7T+77+72, (9>
где Іо— постоянная составляющая тока, а;
7 ; 79=^L, . , « , — действующие значения токов
1 /2 2 ]/2 " /2
отдельных гармоник, а.
Действующее значение несинусоидальной э. д. с.
Е = У Eq + É\ + Ег + £3 + • • • + + • • • (Ю)
Действующее значение несинусоидального напряжения
и = Ѵи20 + и} + Ul + Ul +... + u2K +...
(11)
262
4. КОЭФФИЦИЕНТЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ФОРМУ
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КРИВЫХ
Коэффициент формы кривой равен отношению
действующего значения к среднему:
(12)
ср
где А — действующее значение;
Аср — среднее значение.
Для синусоиды к^=1,11.
Коэффициент амплитуды есть отношение макси¬
мального значения к действующему:
^макс /л *э\
Ка=——, (13)
А
где амакс — максимальное значение.
Для синусоиды ка=]/2 = 1,41.
Коэффициентом искажения называется отно¬
шение действующего значения основной гармоники к действующему
значению всей кривой А:
«и=ф, (14)
А
где Ал — действующее значение основной гармоники.
Для синусоиды ки=1.
5. МОЩНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКОВ
Средняя мощность за период или активная мощность перио¬
дического несинусоидального тока определяется по формуле:
1 т і т
Р = — у uidt = — у tUo + Uim sin((û£ +фі) + U2m sin(2(ù£ +
0 0
+ Ф2 ) + U3nt Sin (3(ùt + фз) + ...] [/о + Jim Sin ((ùt + фі — фі) +
+ I2m sin (2cù£ + ф2 — фг) + Ізтп sin (Зюг + фз — <р3) +... ] dt. (15)
После перемножения многочленов интеграл (15) можно пред¬
ставить как сумму следующих интегралов:
1 р
— і U^l^dt = UqIq]
1 т
— j икт sin (kü)Z + фк) IKm sin (K(ût + — фк) dt = UKIK cos <рк;
О
2G3
— § ^кт sin (K(ùt + 1|)K) Iim sin (lait + — <Pz) = 0;
0
1 r
— I ийІкт sin («û)Z + ipK — <pK) dt = 0.
0
Таким образом, активная мощность несинуеоидального тока
равна:
P = UqIq 4- U\І1 COS фі + U2I2 cos ф>2 + ^З^З COS (рз + . .. =
= Ро+Р1+Р2+Рз+..., (16)
т. е. активная мощность несинусоидального тока равна сумме
активных мощностей отдельных гармоник *.
По аналогии с синусоидальным током вводится понятие пол¬
ной мощности S, которая определяется как произведение дейст¬
вующих значений напряжения U и тока 7:
5 = £77=1/ S U2KI2, (17)
V к = о
где S — полная мощность.
Отношение активной мощности к полной мощности называется
коэффициентом мощности:
Реактивная мощность определяется как сумма реактивных
мощностей отдельных гармоник:
Q = 2 = 2 SIH /4О\
к = 1 к = 1
Следует отметить, что для несинусоидальных токов квадрат
полной мощности обычно не равен сумме квадратов активной
и реактивной мощностей.
Величина
Т = -]/s2 — P2 — Q2 (20)
называется мощностью искажения,
6. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ (ИЛИ Э. Д. С.)
Найдем ток і в цепи с постоянными параметрами г, Ln С
(рис. 234) при установившемся режиме, если к цепи приложено
периодическое несинусоидальное напряжение и, которое может
* Постоянные составляющие можно рассматривать как нулевые гармо¬
ники с То= оо и ф0 = 0.
264
быть разложено в ряд Фурье:
и=С7о + ^і + ^з+“« + UK — U Ъ + Uim SÎn (® t + грі) + U^m •
• sin (3ü)Z + ірз) +... + UKm sin (K(ùt + г|\), (21)
где UQ — постоянная составляющая
постоянную составляющую тока в
том случае, если в цепи нет емко¬
сти, а остальные члены ряда представ¬
ляют собой синусоидальные функции.
Применяя принцип наложения, оп¬
ределяем ток і в цепи как сумму
токов, вызванных каждой из гармо¬
ник напряжения в отдельности:
і = і*і + і’з + • • • + ік- (22)
напряжения, которая дает
С
Найдем амплитуды токов от- рис> 234
дельных гармоник и углы сдвига
фаз между соответствующими гармониками напряжения и тока:
(23)
где со — угловая частота первой (основной) гармоники нап¬
ряжения;
zv z3,...,zK — полные сопротивления для первой, третьей и я-й гар¬
моник.
Из формул (23) видно, что индуктивное сопротивление zLfe =
=k(ùL увеличивается пропорционально порядковому номеру гар-
1
моники, а емкостное сопротивление %Ск=—, наоборот, уменъ-
шается, т. е. обратно пропорционально порядковому номеру гар-
265
моники. Следовательно, реактивное сопротивление х =~-k(ùL -,
/ -f ГѴ г Kti>c
полное сопротивление zK = i / r2_|_ / K(ù£ \ = yr2_j_x2 и
угол сдвига фаз <pK=arctgy зависят от порядка гармоники.
Мгновенные значения токов отдельных гармоник:
іі = Itm sin (at + ф, —<р();
ІЗ = Ізт sin (3<ùt + ф3 — <рз);
ік = Iкт Sin (K(ùt + г|)х— фк).
Подставляя эти соотношения в формулу (22), получим мгно¬
венные значения тока в цепи:
і = Zlrosin (at + фі — фі) + І3т Sin (3at + ф3 — <р3) +..
■ (Kat +фк —<рк).
• + Iкт sin-
(24)
Действующие значения токов отдельных гармоник:
j I іт j ^Зт j
1-Ў2’ 3_-ЎГ"" К —1/2*
(25)
Действующее значение тока в цепи
z = Vz? + zf+...+z2.
(26)
Определим ток і в цепи с последовательно соединенными ак¬
тивным сопротивлением г и индуктивностью L, если к цепи при¬
ложено периодическое несинусоидальное напряжение:
и = + sincù£ + £73m 8Іп(Зю^+фз)+... + С7К7П зіп(ию/-|-фк). (27)
Постоянную составляющую тока вычисляем по формуле:
Іо = -? (28)
Г
Амплитуды токов отдельных гармоник и углы сдвига фаз
между соответствующими гармониками напряжения и тока найдем
из следующих соотношений:
іт —
^Зт —
кт
Ulm
= Uim
(ùL 9
tor (T) j =
Zt
Vr2 + (aL)2
Y1
>
r
Ü3m
_ _u3m
_ 3côL
tor CD« =
z3
Vr2 + (3<o£)2 ’
Y3
r
UKm
_UKm .
tor CD„
_ kcùL
Zk
Vr2 + (каЬ)2 ;
tK
r
(29)
266
Мгновенные значения токов отдельных гармоник:
h =Л,п sin(œ£ — фД і3 = Z3m sin (3œ£ + фз—Фз), •••,
ік = Ікт sin (Ktot + фк — фк).
Мгновенные значения тока в цепи
І = /0 + Ііт Sin(œ£ — фі) + І3т sin(3co£ + фз — фз) +••• +
+ Ікт sin (K(ùt + фк — фк). (30)
Действующее значение тока в цепи
Активная мощность цепи
P = UqI0 + С7іЛсозфі + СѴзСОБфз + ... + С7к/ксозфк, (32)
где г г г
cosфі = — ; cosфз = — ;cosфк = —.
21 23 ZK
Найдем ток і в цепи с последовательно соединенными г и С, если
к цепи приложено несинусоидальное напряжение:
и = Uq + Uim sin (ùt + U3m sin (3œZ + фз) +... + UKm sin (Kent + фк).
Как было сказано выше, постоянная составляющая тока IQ
в цепи с емкостью не может возникнуть, так как для постоян¬
ного тока цепь с емкостью является разомкнутой. Поэтому Zo=O.
Амплитуды токов отдельных гармоник и углы сдвига фаз
между соответствующими гармониками напряжения и тока
ляем из следующих соотношений:
1
ВЫЧИС-»
1
(33)
х k(ùC
tg фк =
Г
267
Следовательно, мгновенные значения токов отдельных гармо¬
ник будут равны:
it =Itm sin (at + фО; із = І3т sin (Зю/ + ф3 + ф3); ..
Ік = Ікт Sin (KCùZ + фк + фк).
Мгновенное значение тока в цепи
і = Ilm sin (at + фі) + І3т sin (3<ùZ + фз + <Рз) + • • • +
+ Ікт sin (каі + фк + фк). (34)
Действующее значение тока в цепи
I = Ѵ/1 + Л+... +/2K. (35)
Активная мощность цепи
Р = ихЦ costpi + U3I3 cosq)3 + ... + UKIK cos<pK. (36)
7. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ
Если к цепи, состоящей из последовательно соединенных
активного сопротивления г, индуктивности L и емкости С, при¬
ложено периодическое несинусоидальное напряжение, то в этой
цепи может возникнуть резонанс напряжений для к-й гармоники.
Это возможно, когда индуктивное и емкостное сопротивления
к-й гармоники равны:
kcoL = .
кв) С
(37)
Действующее значение тока этой гармоники достигает наиболь¬
шей величины:
и.
Г ( 1 \2 г
1/ г2 + кв)Ь „ )
V \ кв)С J
(38)
В этом случае ток к-й гармоники совпадает по фазе с ее гармо¬
никой напряжения.
8. ВЫСШИЕ ГАРМОНИКИ В ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЯХ
Пусть в каждой фазе трехфазного генератора индуктируются
симметричные несинусоидальные э. д. с.:
ел = еАі + еАЗ + еА$ = Еіт sin cot + Е3т sin Scot + Е5т sin 5co Z; (39)
= еВІ + eB3 + 0В5 = Еіт sin CO
+ E3rn sin 3(0 X
268
f 1 \ [ 1 \ [ 2 \
X I t T + E$m sin 5ю £ ■- T = Eim sin coZ л +
\3/ \ 3 / \ 3/
f 2 \
+ E3m sin Sat + E5m sin ( 4 л ] ;
\ 3 /
/ 2 \
?C = eCi + eC3 + ^C5 = ^im sin G)l t — T 1 +
\ о /
(40)
f 2 \ I 2 \
•4- E3m sin 3© ( t T \ + Ebm sin 5cù ( t =
\ 3 / \ 3 /
/ 2jx \ / 2
= Eim sin ( (at 4 ) + E3m sin 3co£ + E5m sin( 5<d£ — —л
\ 3 / \ 3
Эти формулы показывают, что э. д. с. фазы В сдвинута отно-
1
сительно э. д. с. фазы А на -^-Т (периода основной синусоиды),
2
а э. д. с. фазы С на -^-Т. Кроме того, из этих формул видно, что
о
третьи (и кратные им) гармоники в отдельных фазах совпадают
по фазе.
Если фазы генератора (или трансформатора) соединены звез¬
дой, то при несинусоидальном фазном напряжении линейные
напряжения, равные разностям соответствующих фазных напря¬
жений, не содержат третьи и кратные им гармоники напряжений.
Это объясняется тем, что третьи и кратные им гармоники напря¬
жений отдельных фаз генератора совпадают по фазе, а поэтому
разность их равна нулю. Следовательно, линейное и фазное нап-»
ряжения будут равны:
ил = УЗ Ѵи\ + Щ + U2 +... ; (42)
= VU} + U23 + UI + U21+.... (43)
Отношение линейного напряжения к фазному меньше ]ЛЗ, т. е.
u«_VïVtA + ul+‘tA+...
иФ Уи^ + иі + иі + и^...
В четырехпроводной трехфазной цепи при симметричных
несинусоидальных фазных напряжениях, содержащих гармоники
порядка, кратного трем, и при симметричной нагрузке ток в нейт^
' ральном (нулевом) проводе будет равен:
Іо = ЗѴ/f + Iq 4- -J-.... (45)
Если нейтральный провод отсутствует, то токи в каждой из
фаз не имеют высших гармоник порядка кратного трем. В этом
269
случае между нейтральными точками генератора (трансформатора)
и симметричной нагрузкой появляется напряжение *:
и0 = Ѵе23+ЕІ+.... (46)
Если фазы генератора соединены треугольником, то при
несинусоидальных фазных э. д. с. суммарная э. д. с. в замкнутом
контуре треугольника будет равна утроенной сумме третьих и
кратных им гармоник фазных э. д. с.
е = Зе3 + Зе9 + Зеі5 +... = 3 (е3 + е9 + еі5 + ...),
так как сумма остальных гармоник равняется нулю.
Действующее значение суммарной э. д. с.
Е = ЗѴ£І+Е92 + £і2з4-... (47)
Следовательно, при соединении фаз (обмоток) генератора
треугольником в них будет проходить ток:
і = із + h + + • • • (48)
Этот ток будет проходить независимо от того, приключена ли
внешняя цепь к генератору или разомкнута. Действующие значе¬
ния гармоник тока
J. ЗЕ$ т ЗЕд т 3£і5
3< 3ze 15' 3z15
где z3, и z15— полные сопротивления каждой фазы генератора
для соответствующих гармоник.
Действующее значение тока определяется по формуле
I = Ѵ4 + /І +/«+.... (49)
Так как э. д. с. третьих и кратных им гармоник уравновеши¬
ваются падениями напряжений в фазах генератора, то линейные
напряжения не содержат этих гармоник, т. е.
Uл = U ф = Е2 + Е2 + £7 +.... (50)
Если к генератору, фазы которого соединены треугольником,
присоединить симметричную нагрузку, то в линейных токах
будут отсутствовать третьи и кратные им гармоники.
Фазный ток ** генератора при симметричной нагрузке
* Если даны не э.д.с., а напряжения, то
0 ' $3 ‘ U $9 ‘ ’
** Вместо терминов «действующее значение фазного тока» и «действую¬
щее значение линейного тока» будем употреблять термины «фазный ток» и
«линейный ток».
270
іф = Ѵ]2 + і2~і2 + і2 + і2 + ... (51)
Линейный ток
/л = УЗ V/i + il + I7 + /и -f- • • • (52)
271
Отношение линейного тока к фазному при симметричной на¬
грузке меньше )/3, т. е.
-г<ѵз.
Ï05
Задачи
374. На рис. 235 изображена кривая распределения магнит¬
ной индукции в воздушном зазоре синхронного генератора. Раз¬
ложить данную кривую в
ряд Фурье аналитическим
методом.
375. Напряжение, прило¬
женное к цепи, изменяется
по кривой прямоугольной
формы (рис. 236). Разложить
данную кривую в ряд Фурье
аналитическим методом.
376. Напряжение, прило¬
женное к цепи, изменяется
по кривой треугольной фор¬
мы (рис. 237). Разложить
данную кривую в ряд Фурье аналитическим методом.
377. На рис. 238 показана кривая тока при двухполупериодном
выпрямлении. Разложить указанную кривую в ряд Фурье анали¬
тическим методом.
378. По цепи проходит ток
і =
/ JÏ \ I тг \
98,7 sin со/ + 28,2 sin ( Зю£ H ) + 14,1 sin ( 5ю£ H )
\ 18/ \ 10/J
Каково действующее значение тока I в цепи?
379. Определить первую, третью и пятую гармоники кривой
тока, симметричной относительно оси абсцисс, если известны
следующие значения тока:
град
0
15
30
45
60
75
90
105
120
135
150
165
180
і (а)
0
13
24
30
33
32
25
19
15
12
9
5
0
Построить на одном и том же чертеже * кривую тока и кри¬
вые его гармоник.
* В одних и тех же осях координат.
272
380. К цепи, состоящей из последовательно включенных ак¬
тивного сопротивления г=15 ом и индуктивности Л =53,7 мгн,
приложено несинусоидальное напряжение, действующее значение
которого U=220 в. Найти действующее значение тока I в цепи,
активную мощность Р цепи и коэффициент мощности cos ф цепи,
если действующие значения напряжений гармоник С73=0,5£71;
Z76=0,25C71; [/7=0,08^. Частота пер¬
вой гармоники /=50 гц. Гармониками
порядка выше седьмого пренебрегаем.
381. К цепи, состоящей из последо¬
вательно соединенных активного сопро¬
тивления г=7,6 ом и индуктивности
£=20,7 мгн, приложено напряжение
и = (100+170 sin (ùt) в с частотой основ¬
ной гармоники /=50г^. (рис. 239). На¬
писать уравнение мгновенного значения
тока і в цепи. Определить действующее
значение тока I в цепи и активную
мощность Р цепи.
Решение. Амплитуду основной (первой) гармоники тока и
угол сдвига фаз между током и напряжением этой гармоники
найдем из следующих соотношений:
170
• Uim
іт Ѵг2 + (юЛ)2
СОЗ <Р1 =
Ѵг2 + (шА)2
= 17 а;
Ѵ7,62 + (2-3.14-50-0.0207)2
7,6
_ = 0,76;
Ѵ7,62 + (2-3,14-50-0,0207)2
<р1=40°30'.
Следовательно, мгновенное значение тока основной гармоники
будет равно:
h = Jim sin (со t — фі) = 17 sin (соt — 40 30 ) а.
Так как для постоянной составляющей напряжения цепь пред¬
ставляет только сопротивление г, то
С70 100
— = « 13,1 а.
г 7,6
Таким образом, мгновенное значение тока в цепи будет опре¬
деляться следующим выражением:
і = ]q 4- Ilm sin (coi —фі) = Ц3,1 + 17 sin (coZ —40°3Ô)j a.
273
Действующее значение тока в цепи
2
I « 17,8 а,
где Z1=——действующее значение тока основной гармоники.
|/ 2
Активная мощность цепи
а
С
в
&
Рис. 240
Зю/4—] вс ча"
170 17
р = [70/0 + и.Ц cos Ф1 = 100-13,1 + -+• 24-0,76« 2410 вт.
V2 Ѵ2
382. Реостат с активным сопротивлением г=52,4 ом и катушка
с индуктивностью Л=53,2 мгн (активным сопротивлением катушки
можно пренебречь) соединены последовательно и включены в сеть
с напряжением и =(26,2+310 sin о/) в и частотой основной гармо¬
ники /=50 гц. Нагіисать уравнение мгновенного значения тока і
в цепи. Определить действующее зна¬
чение тока I в цепи и активную мощ¬
ность Р цепи.
383. Приемник, активное сопро¬
тивление которого г=25 ом и емкость
С=65 мкф, включен на напряжение
u=[110+170sincùZ+80sin (Зю£ + ^р
с частотой основной гармоники
/=50 гц. Вычислить действующее
значение тока I в приемнике, активную мощность Р, потребляе¬
мую приемником, и коэффициент мощности coscp приемника. На¬
писать уравнение мгновенного значения тока і в приемнике.
384. Реостат с активным сопротивлением г=5 ом и конденсатор
емкостью С=8,5 мкф, соединенные последовательно (рис. 240),
включены на напряжение и= 310 sinœ£ + 60 sin
стотой основной гармоники /=50 гц. Определить действующее
значение тока / в цепи, активную мощность Р цепи и коэффициент
мощности cos ср цепи. Написать мгновенные значения тока і,
напряжения иг на зажимах реостата и напряжения ис на зажимах
конденсатора.
385. К цепи, состоящей из последовательно включенных ак¬
тивного сопротивления г=12 ом, индуктивного юР=32 ом и ем-
1
костного —^ = 20 ом, приложено напряжение u=[310 sin ю£ +
юс
+140sin3(ù£ + 30sin (5œf+30o)]e с частотой основной гармоники
/=50 гц. Написать уравнение мгновенного значения тока ів цепи.
Найти действующее значение напряжения U на зажимах цепи,
274
действующее значение тока I в цепи, активную мощность Р цепи
и коэффициент мощности cos ф цепи.
Решение. Амплитуды токов отдельных гармоник и углы
сдвига фаз гармоник:
1 20
5ю£ — —— 5-32 ~
tg ф5 = — = Ï = 13; ф5 = 85°3б'.
Мгновенное значение тока в цепи
і = [18,3 sin(û)£ —45°) + 1,55 sin(3œ£ —82°20) +
+ 0,19 sin (5 at — 55°36 )] a.
Действующие значения напряжения отдельных гармоник:
гт Uïm 310 99П U3m 140 Qqn
U1 = —_ = —22U в; U3 = —= = —- = 99,о в\
Ѵ2 Ѵ2 V 2 Ѵ2
= ^ = « 21,3 е.
V2 V2
Действующее значение напряжения на зажимах цепи
U = Vtfi + Z7| + tZs = V22O2 + 99,32+ 21,32« 242 в.
275
Действующее значение напряжения можно определить, не
вычисляя действующих значений напряжения отдельных гармо¬
ник, т. е.
u^\ffK^Y+feï+feY=i/31°2 14°2 з°2
= У \У2 / \1/2 J \У2 J V 2 2 + 2
= 242 в.
Действующие значения токов отдельных гармоник:
г I Im
18,3 T I3m 155 .
= ^= = 13 a; /3 = —= ^= = 1,14
У2 У2 У2
I5 = ^ = °+ = 0,135 a.
У2 У2
Действующее значение тока в цепи
I = У/? + /32 + Il = У132+ 1,12 + 0.1352 Л 13 а.
Активная мощность всей цепи равна сумме активных мощно¬
стей отдельных гармоник:
Р = Рі + Рз + Рь — U± COS фі + и^Із COS ф3 + U5/5 COS фб =
= 220-13-0,707 +99,3-1,1-0,133 +21,3-0,135-0,077 =2035 вт,
где cos фі = cos 45° = 0,707; cos ф2 = cos 82 20 = 0,133;
cos фз = cos 85 36 = 0,077.
Коэффициент мощности всей цепи созф
UI
2035
242-13
0,646.
386. К цепи, состоящей из последовательно включенных ак¬
тивного сопротивления г=8 ом, индуктивного cùZ/=9 ом и ем-
КОСТНОГО
1
— ~ = 15 ом, приложено напряжение u = [179 sin со/ +
û)C
+ 60 sin 3<ùt + 20 sin (5cû£+20°)] в с частотой первой гармоники
/ = 50 гц. Написать уравнение мгновенного значения тока і в цепи.
Определить действующее значение напряжения U на зажимах
цепи, действующее значение тока I в цепи, активную мощность Р
цепи и коэффициент мощности cos ф цепи.
387. Определить показания амперметров, включенных в две
параллельные ветви, если токи в параллельных ветвях равны:
ц = (60 sin tot + 28 sin 3(ot + 10 sin 5cù£ + 6 sin 7 tot) a;
i2 = [50 sin tot + 25 sin (Зю/ + 30°) + 16 sin (5ю/ + 45 ) +
+ 8 sin (Itot + 60°)] a.
276
388. Реостат с сопротивлением г=40 ом, катушка с индук-*
тивностью L = 79,6 мгн (активным сопротивлением катушки мож-*
но пренебречь) и конденсатор емкостью С = 7,5 мкф соединены па-»
раллельно (рис. 241) и включены на напряжение
I / Л \ / тг
и = 250 sin cat + 60 sin Sat -J 1+30 sin 5ю£ H—
L \ 6 J \ r
12/J
с частотой основной гармоники /=50 гц. Определить мгновенные
с
Рис. 241
значения токов ir, iL и іс, действующие значения токов I r, 1L и
Іс, действующее значение тока I в неразветвленной части цепи.
389. Для цепи, изображенной на рис. 241, найти мгновенные
значения токов ir, iL и іс, действующие значения токов Ir, IL и
Іс, действующее значение тока I в неразветвленной части цепи,
активную мощность Р всей цепи и коэффициент мощности cos ср
всей цепи, если напряжение приложено к цепи
и = (60 + 180 sin (ùt + 60 sin Sat + 20 sin 5ю£) в, г = 34,3 ом,
L=2Q7 мгн, С=29,5 мкф и частота основной гармоники /=
=50 гц.
277
390. Определить показания вольтметров, присоединенных к за¬
жимам вторичных обмоток трансформатора, соединенных звездой
(рис. 242), если в обмотках трансформатора индуктируются сим¬
метричные фазные э.д.с., определяемые уравнением: e=(170sin ю£+
+6Osin3co^+15 sin 5œ£) в. Найти отношения линейного напряже¬
ния к фазному.
391. Во вторичных обмотках трансформатора (рис. 243) индук¬
тируются симметричные фазные э. д. с., определяемые урав¬
нением: е = (300 sin tot + 60 sin 3 at + 30 sin 4- 18 sin 7&t+
+10 sin Q(ùt) et Найти показание вольтметра,
Глава девятая
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Переходным процессом электрической
цепи называется электромагнитный процесс, возникающий
в электрической цепи при переходе от одного установившегося ре¬
жима к другому, вледствие изменения э. д. с. в цепи или напряже¬
ния, приложенного к цепи, или вследствие изменения сопротивле¬
ний, индуктивностей и емкостей цепи.
Переход от одного установившегося режима в цепи к другому
установившемуся режиму совершается не мгновенно, а длится
некоторый промежуток времени, так как этот процесс обусловлен
изменениями энергии магнитных и электрических полей, связан¬
ных с электрической цепью, которые совершаются с конечной
скоростью.
Изучение переходных процессов сводится к исследованию и ре¬
шению уравнений, составленных на основании законов Кирхгофа
для мгновенных значений токов и напряжений. Во время переход¬
ного режима * в цепи с постоянными параметрами на установив¬
шийся (принужденный) ток накладывается свободный (преходя¬
щий) ток, который и обусловливает переход из одного стационар¬
ного состояния в другое, т. е.
Ï = Іуст + ï’ce» (1)
где і — ток в цепи, а\
іуст — установившийся ток, а\
ісѳ — свободный ток, а.
Вид функции зависит как от характера действую¬
щих в цепи э. д. с., так и от характера самой цепи. Вид функ¬
ции іСб=/(0 зависит только от характера самой цепи. В выра¬
* Вместо термина «переходный процесс» употребляется термин «пере¬
ходный режим».
279
жение ісв=/(0 входят постоянные интегрирования, число которых
равно порядку п дифференциального уравнения и которые опре¬
деляются из начальных условий. Число начальных условий дол¬
жно быть равно числу постоянных интегрирования. В качестве
начальных условий должны быть известны токи в реактивных
катушках и напряжения между обкладками конденсатора в мо¬
мент перехода цепи из одного состояния в другое (включение, вы¬
ключение , переключение).
2. ВКЛЮЧЕНИЕ ЦЕПИ, СОДЕРЖАЩЕЙ СОПРОТИВЛЕНИЕ г
И ИНДУКТИВНОСТЬ Ь, НА ПОСТОЯННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
Применяя второй закон Кирхгофа к цепи г, L (рис. 244,а),
получим:
Рис. 244
(2)
где
U— напряжение, приложенное к цепи, в\
г — сопротивление, ом\
L — индуктивность, гн,
или
т di тт
L — = U — п.
dt
Умножим обе части последнего уравнения на
280
тогда
di _ dt
U —ri~~'~L
или
U— ri L
Интегрируя это уравнение, находим:
In (U — ri) = — — t + In A
L
или
r
U — ri = Ae L .
В момент включения цепи (t = 0) ток i — 0, поэтому U = А,
тогда
-L*
U—ri = Ue ,
откуда
, U U U,, т/л ~ТЧ
і = е = — (1—е ) = I (1—е ). (3)
г г г
Из этого уравнения видно, что при переходном процессе ток і
в цепи можно рассматривать как алгебраическую сумму двух то-
U т к
ков: установившегося тока іуст= — = 1 и свободного тока
L
где т= постоянная времени цепи, сек.
Следовательно, как было сказано выше [см. формулу (1)
стр. 279], ток в цепи при переходном процессе равен:
3. КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ ЦЕПИ, СОДЕРЖАЩЕЙ СОПРОТИВЛЕНИЕ г
И ИНДУКТИВНОСТЬ L
Так как при коротком замыкании цепи г, L (рис. 244, б) на¬
пряжение U на зажимах цепи равно нулю, то установившийся ток
U п
также равен нулю, т. е.
поэтому
& — Іустп 4“ ^св — Ісв — Ав
281
В момент короткого замыкания (t=0) ток і = /, поэтому
г л
it = о = I = Ае = А,
следовательно
і=ісв = Іе =1 \ (4)
4. ВКЛЮЧЕНИЕ ЦЕПИ, СОДЕРЖАЩЕЙ АКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ г
И ИНДУКТИВНОСТЬ Ь, НА СИНУСОИДАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
При включении цепи г, L на синусоидальное напряжение
и = C7msin (ю^+гр) ток переходного процесса будет равен:
“Г*
ï — Іуст "4“ Ісв — Іуст Ав , (о)
при этом установившийся ток
іустп = — sin (œ£ + гр — ф) = Im sin (û)£ + гр — ф), (6)
Z
где Uт— амплитуда напряжения, в\
гр — начальная фаза;
Ф — угол сдвига фаз между напряжением и током;
Іт— амплитуда тока, а;
z — полное сопротивление цепи, ом.
Так как в момент включения (£=0) ток і=0, то постоянную
интегрирования определим из соотношения:
О = /msin(со-0 + гр — ф) + Ае L ,
откуда А = — 1т sin (гр — ф).
Ток в цепи будет равен:
і = іуст + ice sin(û)f + гр — ф) —Im sin (гр — ф) е . (7)
Это уравнение показывает, что во время переходного про¬
цесса на синусоидальный установившийся ток іуст налагается
свободный ток:
-ь
ісв = — Іт sin (ф — ф) е , (8)
который уменьшается по показательному закону. Следует отме¬
тить, что если цепь включается в момент прохождения устано-
282
вившегося тока іѵст через нуль (ф=ф или ф=л+ф), то ісв=0 и в
цепи сразу наступает установившийся режим. Если же цепь вклю¬
чается в момент прохождения установившегося тока через наи¬
большее значение —ф =
тока будет наибольшим.
л\
2 )’
то начальное значение свободного
5. ВКЛЮЧЕНИЕ ЦЕПИ,
СОДЕРЖАЩЕЙ СОПРОТИВЛЕНИЕ г
И ЕМКОСТЬ С, НА ПОСТОЯННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
Применяя второй закон Кирхгофа к цепи г, С (рис. 245, а),
получим:
U =гі + ис, (9)
у
Рис. 245
откуда
. = ü —uc
r
(10)
или
z i =
_ Cduc __U — uc
dt r
(11)
где ис—напряжение на обкладках конденсатора при зарядке, в.
Введя под знак дифференциала постоянную величину U, най¬
дем:
г d(U — ис) _ U — uç
dt r
283
или
d(U— ис) 1
= at.
u—uc rC
Интегрируя это уравнение, получим:
1
in (U — uc) t + In A,
rC
отсюда _ _L
77 Л TG
U — uc = Ae
или
t__
uc = U — Ae rC.
В момент включения (t = 0) uc = 0, предполагая, что конден¬
сатор не был заряжен до включения, поэтому
А = U.
Таким образом, напряжение на обкладках конденсатора при
зарядке (рис. 245, а) определяется по формуле
t _ t_
uc = U — Ue rC — U(l—e T), (12)
где x=rC — постоянная времени цепи, сек.
Из этого уравнения видно, что напряжение на обкладках
конденсатора при переходном процессе (рис. 245, а) состоит из
двух слагающих: установившегося напряжения
UC уст = &
и свободного напряжения
t_
Т7 ГС
uCce = —Ue
Следовательно,
Uc = Uc уст “h Ucce>
а зарядный ток [формула (И)]
i = tù^£_£e_® = 2e_\ (І4)
Г Г г
6. КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ ЦЕПИ, СОДЕРЖАЩЕЙ СОПРОТИВЛЕНИЕ г
И ЕМКОСТЬ С
Если цепь г, С замыкается накоротко (рис. 245, б), то напряже¬
ние на зажимах цепи равно нулю.
Так как в этом случае установившееся напряжение на обклад¬
ках конденсатора и ток равны нулю, т. е,
284
UC уст — О И J уСт — О,
ТО
t
гС
иС = ис уст + ис св = иСсв = Ае . (15)
Предположим, что в момент замыкания цепи накоротко (t = 0)
напряжение на обкладках конденсатора равно Uc, Тогда
о
ис t = о = ис = Ае гС — А,
и уравнение (15) примет вид:
t_
ис =Ucce= Uce rC ; (16)
ток в этом случае будет равен:
„ duc Uс ~ тс .. ...
i=ice=t = -е . (1/)
dt г
7. ВКЛЮЧЕНИЕ ЦЕПИ, СОДЕРЖАЩЕЙ АКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
г И ЕМКОСТЬ С, НА СИНУСОИДАЛЬНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
Рассмотрим включение цепи г, С на синусоидальное напря¬
жение u = f7OTsin (о^+гр), при этом предположим, что конденсатор
не был заряжен.
Напряжение на обкладках конденсатора во время переходного
процесса
t_
Uc == ис уст + Uçce = Uc уст 4“ Ав . (18)
Так как установившиеся ток и напряжение на обкладках кон¬
денсатора
іуст = — sin (tot + ф + ф) = Im Sin (tot + ф + ср) (19)
Z
то уравнение (18) примет следующий вид:
t
I — гс
ис = cos (tot + гр + ф) + Ае
toC
285
В момент включения (t = 0), ис = 0, следовательно
I - —
Uç t=о = — — cos (со • 0 ф <р) -J- Ав = 0,
œC
откуда j
А = — cos(t|) 4- ф).
cùC
Поэтому свободное напряжение на обкладках конденсатора
будет равно:
t_ _ t__
иСсв = Ае rC cos (г|> + <р) е rC = ~ cos (ip + <p) е т, (21)
(ôC CùO
а напряжение на обкладках конденсатора
I I - —
Uc=Uc уст~\~иС св = t;C0S((l4 4“'Ф4“ф) 4 ^СО8(‘ф4_ф)^ гС • (22)
(ùC û)C
Ток при переходном процессе
1 t t
i=c -l^iycn+i'* =/msin((ù«+i|)+<p) -2-cos(tp+q>)e-7ë. (23)
at toCr
Из уравнений (22) и (23) видно, что во время переходного
процесса на установившиеся синусоидальные ток іуст и напря¬
жение ис уст налагаются свободные ток ісв и напряжение ис св,
абсолютная величина которых уменьшается по показательному
закону. Если цепь включается в момент, когда установившееся на-
(л \
ф 4- ф = ± — )♦
2 /
то
UC св == 0 И Iq Cfj = 0.
И наоборот, если цепь включается в момент, когда установив¬
шееся напряжение на обкладках конденсатора по абсолютной
величине наибольшее (ф4-ф=0), то начальные значения свобод¬
ных тока и напряжения на обкладках конденсатора по абсолют¬
ной величине также наибольшие, т. е.
1 т
asCr
„ л т тт
и —~ U Ст*
О)С
Задачи
392. Какова постоянная времени т неразветвленной цепи, со¬
противление которой г = 10 ом и индуктивность L = 0,2 гні
393. Определить сопротивление г катушки, если индуктив¬
ность ее L = 0,44 гн, а постоянная времени цепи т=0,02 сек.
286
394. Катушка с сопротивлением г и индуктивностью //при¬
ключается на постоянное напряжение U. В какой момент t ток
I равен нулю и в какой момент он равен — ? Чему равен ток в мо¬
мент t—x?
395. Чему будет равен ток через 0,005; 0,0075; 0,01; 0,0125;
0,015; 0,02; 0,025; 0,03 сек. после присоединения цепи с сопро¬
тивлением г = 30 ом и индуктивностью L = 147 мгн к источнику
постоянного тока с напряжением U = 220 в? Построить кривые
свободного, установившегося и переходного токов.
396. По условию задачи 395 определить, через какой проме¬
жуток времени ток в цепи достигнет 50% от значения тока уста¬
новившегося режима.
397. Цепь с сопротивлением г и индуктивностью L вклю¬
чается на постоянное напряжение U. Определить свободный ток ісв
и переходный ток і в моменты t =0
и t = _оо.
398. Две цепи с постоянными II
времени ^=0,05 сек. и т2 = 0,4 сек.
присоединяются к источникам с
равными постоянными напряже- 0 ° И °
ниями U. Через какой промежу-
ток времени каждый из токов до- ц
стигает 63,2% своего установив- ■■
шегося значения тока? В какой г
цепи переходные процессы проте- & > | 1 е
кают быстрее?
399. Определить постоянную Рис. 246
времени т для цепи, состоящей
из последовательно соединенных конденсатора емкостью С =
= 10 мкф и сопротивления г = 40 ом.
400. Найти постоянную времени т для цепи, изображенной на
рис. 246, если Сг=10 мкф. С2=25 мкф. С3=Ъ мкф и г=200 ом.
401. Какое сопротивление г необходимо включить последова¬
тельно с конденсатором емкостью С = 5 мкф. чтобы эта цепь имела
постоянную времени т =0,002 сек.?
402. Цепь, состоящая из последовательно соединенных кон¬
денсатора емкостью С и сопротивления г. приключается на по¬
стоянное напряжение U (рис. 245, а). Определить зарядный ток
и напряжение на обкладках конденсатора в моменты t = 0 (вклю¬
чение) и £=оо (конец заряда конденсатора).
403. Конденсатор емкостью С, заряженный (предварительно)
до напряжения U. разряжается на сопротивление г. Вычислить раз¬
рядный ток и напряжение на обкладках конденсатора и моменты
t=0 и t= оо.
404. Конденсатор емкостью С = 5 мкф. соединенный последо¬
вательно с сопротивлением г=600 ом. приключается к постоян-
287
ному напряжению [7 = 110 в. Построить кривые (зарядного)
тока і и напряжения ис на обкладках конденсатора. Через ка¬
кой промежуток времени ток понизится до 10% начальной ве¬
личины?
405. Цепь, изображенная на рис. 247, приключается на по¬
стоянное напряжение U, Определить токи в параллельных вет¬
вях и ток в неразветвленной
части цепи в начале переход¬
ного процесса Ц=0) и в конце
rz его (f = oo), если параметры це¬
пи равны: г2 и С.
406. Построить кривую на-
растания тока при включении
цепи, изображенной на рис. 248,
на постоянное напряжение U =
= 220 в. Параметры цепи: г =
= 200 ом и £=60 мгн.
407. По условию задачи 406 определить постоянную времени
цепи т и построить кривую свободного тока гсв, если цепь, показан¬
ная на рис. 248, мгновенно отклю¬
чается от аккумуляторной бата¬
реи и замыкается накоротко.
408. Вычислить ток в катушке,
сопротивление которой г=10 ом
и индуктивность L = 62,4 мгн,
по истечении 0,2 сек. после ее
включения в сеть постоянного
г
тока с напряжением U = 220 в. £
409. Катушка с активным со- Рис. 248
противлением г = 4 ом и индук¬
тивностью L = 0,114 гн включается в сеть с напряжением и =
= 180 sin (314^+ф) в.
Определить свободный ток в момент включения: 1) для ф = 0;
2) ф=30°; 3) ф = 60°; 4) ф= 83°40'.
Решение. Полное сопротивление катушки
z = Ѵг2 + (œl,)2 = V42 + (3140Д14)2 = 36 ом.
Коэффициент мощности катушки
г 4
cos ф = — = — = 0,111,
z 36
откуда угол сдвига фаз между током и напряжением цепиф«83°40\
Амплитуда установившегося тока
, ит _ 180 _ _
— — — — э а»
Z 36
т —
288
Свободный ток определяется по формуле
г __ г
U ~~ Т*
ісв = sin (ф — ф) е = — Im sin (ф — ф)е
z
Следовательно, свободный ток в момент включения будет
равен *:
1) для ф = 0 iCQ, t=o = — Im sin (ф — ф) = — 5 sin (0 — 83°40 ) =
= 4,97 а;
2) для ф = 30° ісв, t=Q = — Іт sin (ф—ф) = —5 sin (30°—83°40 j =
= 4,03 а\
3) для ф = 60° гсб. t=о = —Іт sin (ф—ф) = —5 sin (60 —83 40 ) =
= 2 а;
4) дляф=83°40' ісв. <=о = — /Пгзіп(ф—ф) = —5sin(83°40 —83 40) =
= 0.
410. Катушка с активным сопротивлением г=1,9 ом и индук¬
тивностью L = 57 мгн включается в сеть с напряжением
и =180 sin (314^+Ф) в* Вычислить свободный ток в момент включе;
ния: 1) для ф = 0; 2) ф = 30°; .
3) ф=60°; 4) ф=84°.
411. Цепь, имеющая сопротив- " Л-.
ление г и индуктивность £, от- I
ключается от источника э. д. с. LJ
путем замыкания накоротко. До- J
казать, пользуясь выражением
для тока переходного процесса, 0 | j
что энергия, выделенная в виде 4?
тепла после замыкания, равна
первоначальному запасу энергии Рис. 249
магнитного поля, если в момент
замыкания цепи накоротко в ней проходит ток I.
412. Определить постоянную времени т для цепи, изображенной
на рис. 249, если = 4,5 ом, 7^=2 гн, =0,5 ом, L2=2,5 гн, г3 =
=3 ом и L3=0,5 гн.
413. Катушка, активное сопротивление которой г=2,8 ом и ин¬
дуктивность L = 30,6 мгн (рис. 250), включается в сеть с напряжен
нием и = 179,1 sin 314 t в. Построить кривые переходного процесса,
если включение произведено: 1) в момент прохождения напряже¬
ния через наибольшее положительное значение; 2) в момент про¬
хождения напряжения через нуль.
414. До какого напряжения U был заряжен конденсатор ем¬
костью С = 5 мкф, если при полном разряде конденсатора вы¬
деляется в виде тепла количество энергии, равное 90 дж?
* Для разных начальных фаз.
10 Заказ № 936
289
415. Определить начальное значение свободного тока при вклю¬
чении цепи, изображенной на рис. 251, если u = U^sin (<о£ + гр) =
=6000]/2 sin (314/ + 30°) в\ г=30 ом*. С = 10 мкф.
416. Определить начальное значение тока при замыкании на¬
коротко цепи, изображенной на рис. 251, находившейся до замы¬
кания под синусоидальным напряжением, действующее значение
которого U=220 в. Параметры цепи равны: г = 100 ом и С =40 мкф.
Найти постоянную времени цепи т.
417. Построить кривые для напряжения и тока при разряде
конденсатора емкостью С = 5 мкф. заряженного до напряжения
220 в. на сопротивление г = 600 ом.
418. В сеть переменного тока с напряжением U=380 в вклю¬
чены последовательно активное сопротивление г = 50 ом и ем¬
кость С = 60 мкф. Каково должно быть напряжение и в момент
включения, чтобы свободного тока не было, и каково будет при
этом начальное значение установившегося (стационарного) тока?
Глава десятая
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
1. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
Всякое измерение, какие бы точные приборы не использова¬
лись, всегда сопровождается погрешностями, которые в большей
или меньшей степени искажают результат измерения, вследствие
этого получается лишь приближенное значение измеряемой вели¬
чины. Поэтому, кроме приближенного значения измеряемой ве¬
личины, надо знать ошибку измерения, т. е. степень точности
найденной величины. Для этого в электроизмерительной технике
приходится вычислять абсолютные и относительные погреш¬
ности.
Абсолютной погрешностью называется раз¬
ность между измеренным и действительным значениями измеряе¬
мой величины:
ДА=Аиэ-А, (1)
где ДА — абсолютная погрешность измерения;
Аш — измеренное значение;
А — действительное значение.
Относительной погрешностью называется от¬
ношение абсолютной погрешности к действительному значению
измеряемой величины:
ДА Аиз —А '
Y = = —
А А
или
(2)
у = — 100% = —- 100%, I
Л A J
где у — относительная погрешность измерения.
Погрешности показаний измерительных приборов выражаются
в процентах от номинального значения (верхнего предела изме¬
рения прибора) измеряемой величины, характеризующего при¬
ю
291
бор; в этом случае они называются приведенными пог¬
решностями*, т. е.
л л
Уп —100%, (3)
Ан
где уп— приведенная погрешность;
Ан — номинальное значение.
Чтобы исключить погрешности при измерении, вводят поправки,
т. е. величины, которые должны быть алгебраически прибавлены
к показанию измерительного прибора, чтобы получить действи¬
тельное значение измеряемой величины, т. е.
Аиз + а=А, (4)
где а — поправка.
Поправка равна абсолютной погрешности, взятой с об¬
ратным знаком:
а = — ДА = А — Аиз. (5)
Иногда вместо поправки вводят поправочный коэффи¬
циент, на который надо умножить показание прибора, чтобы
получить действительное значение измеряемой величины, т. е.
kAUil — Л]
или
(6)
7 А
к = ,
Аиз >
где к — поправочный коэффициент.
Наибольшая приведенная погрешность (ГОСТ 1845—59), по¬
лучившаяся при нормальных условиях работы прибора, назы¬
вается основной (допустимой) погрешностью**
электроизмерительного прибора.
Эта погрешность обычно выра¬
жается в процентах от номиналь¬
ного значения, характеризующего
прибор, и перед числовым ее вы¬
ражением ставят знаки ± или
только один из них, если погреш¬
ность эта одного знака.
2. ШУНТЫ
Для расширения пределов из¬
мерения амперметров в цепях
постоянного тока применяются так называемые шунты, при по¬
мощи которых через амперметр проходит только часть измеряемого
* Проведенными относительными погрешностями.
** По ней определяется класс точности прибора.
292
тока. Шунт представляет собой сопротивление, включаемое по¬
следовательно в цепь измеряемого тока.
Амперметр (измеритель) (рис. 252) присоединяется параллель¬
но к шунту.
По первому закону Кирхгофа имеем:
I = А + Іш
ИЛИ
ІШ = І-ІА.
Так как токи в параллельных ветвях распределяются обратно
пропорционально их сопротивлениям, то
ІА гш
I ш ГА
отсюда находим величину сопротивления шунта:
= I аг а = I аг а = гА = гА
Іш I ІА I 1
TA~
гдегш — сопротивление шунта, ом\
rA — сопротивление амперметра, в которое входит также
сопротивление соединительных проводников, ом\
I — измеряемый ток, проходящий по цепи, а\
ІА— ток, проходящий через амперметр, а\
Ім— ток, проходящий через шунт, а\
n=fA~ коэффициент шунтирования (или шун¬
товой коэффициент), который показывает, во сколько раз
увеличивается предел
измерения амперметра
при включении шунта.
В цепях переменного тока для
расширения пределов измерения
амперметров применяются изме¬
рительные трансформаторы тока.
3. ДОБАВОЧНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Для расширения пределов из¬
мерения вольтметров применяются
добавочные сопротивления, включаемые последовательно с вольт-*
метром (рис. 253).
Если вольтметр с сопротивлением гѵ рассчитан на номиналь¬
ное напряжение Ux, то для измерения этим вольтметром напря-»
жения U в т раз больше напряжения U х необходимо включить
последовательно добавочное сопротивление vq такой величины,
293
чтобы ток Іѵ, проходящий через вольтметр, был один и тот же при
обоих напряжениях Ux и U, т. е.
r U, U mU,
1Ѵ= — = = ,
Гу rv+rd rv+rd
отсюда
r9 = rv(m — 1). (8)
Кроме добавочных сопротивлений, в цепях переменного тока
для расширения пределов измерения вольтметров применяются
измерительные трансформаторы напряжения.
4. ИЗМЕРЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ ПО МЕТОДУ ВОЛЬТМЕТРА
И АМПЕРМЕТРА
Этот метод на практике получил широкое распространение;
он основан на применении закона Ома к участку цепи. Зная
падение напряжения Ux на участке с сопротивлением гх и ток
Рис. 254
Iх, проходящий через него, можно определить величину сопро¬
тивления по формуле:
Приборы могут быть включены по двум схемам (рис. 254).
При измерении сопротивления по схеме рис. 254, а вольтметр
измеряет не только падение напряжения в сопротивлении
во и падение напряжения U А в амперметре.
Поэтому искомое сопротивление следует определять по формуле:
U — UA_ U—IxrA_ U
Гх “ I ~ I I Га'
лх лх лх
где U — напряжение, показываемое вольтметром, в\
Iх — ток, показываемый амперметром, а;
гА — сопротивление амперметра, ом.
294
При измерении сопротивления по схеме рис. 254,6 вольт¬
метр покажет падение напряжения в измеряемом сопротивлении
гх, а амперметр покажет сумму токов, проходящих через изме¬
ряемое сопротивление и вольтметр.
В этом случае искомое сопротивление должно определяться
по формуле:
Ux их
I— Iv J —
rv
где I — ток, показываемый амперметром, а;
Iѵ — ток, проходящий через вольтметр, который равен:
Іѵ^. (12)
гѵ
Если не требуется особой точности при измерении сопротив¬
лений, то можно пользоваться приближенной формулой для
определения сопротивлений независимо от того, как включены
приборы (по первой или второй схеме) * **:
Гх=у, (13)
где U — напряжение, показываемое вольтметром, в;
I — ток, показываемый амперметром, а.
5. ИЗМЕРЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ ОДИНАРНЫМ МОСТОМ ♦♦
(рис. 255)
При равновесии моста потенциалы точек В и D одинаковы, т. ѳ.
Uab=^Uad или rJi =ГзЛ
и ВС= U DC ИЛИ Г2І2==
Разделив одно равенство на другое, получим:
г_ гзЛ
г2Л ГхЦ
Так как при равновесии моста ток через гальванометр нѳ
* Первой схемой можно пользоваться тогда, когда измеряемое сопро¬
тивление гх велико по сравнению, с сопротивлением амперметра, а второй
схемой — когда сопротивление гх мало по сравнению с сопротивлением
вольтметра гѵ.
** Мост постоянного тока.
295
проходит, то Іх=Іг и /3=/4. Тогда предыдущее выражение при¬
мет следующий вид:
П =г3
гг Гх
откуда
гж = г3-2. (14)
Гі
6. ИЗМЕРЕНИЕ АКТИВНОЙ МОЩНОСТИ В ЦЕПЯХ
ТРЕХФАЗНОГО ТОКА
Активная мощность в цепях трехфазного тока может быть
измерена тремя методами: 1) одним ваттметром, 2) двумя ваттмет¬
рами, 3) тремя ваттметрами.
Каждый из этих методов имеет свою область применения, оп¬
ределяемую параметрами трехфазной системы. Рассмотрим каж¬
дый из этих методов.
1) Измерение активной мощности в трехпроводных цепях
трехфазного тока одним ваттметром применяется при симмет¬
ричной системе напряжений и симметричной нагрузке фаз (т. е.
все фазные напряжения, фазные токи и углы сдвига фаз между
фазными напряжениями и токами равны между собой). Если
приемники энергии соединены звездой и нейтральная точка
доступна, то ваттметр включаем по схеме рис. 256. Если
приемники энергии соединены треугольником, то последова¬
тельная цепь ваттметра включается в одну из фаз, как показано на
рис. 257.
296
Ваттметры, включенные по указанным схемам, измеряют ак-»
тивную мощность только одной фазы, которая равна:
Рі = ифІф cosq), (15)
где Р^- активная мощность одной фазы-, вт\
иф— фазное напряжение, в;
Іф — фазный ток, а\
ф — угол сдвига фаз между фазным напряжением и фазным
током.
Чтобы получить активную мощность трехфазной цепи, надо
показание ваттметра умножить на три, т. е.
P = ЗР1 = cos ф, (16)
где Р — активная мощность трехфазной цепи, вт,
При соединении приемников звездой с недоступной нейтраль-»
ной точкой или треугольником с невыведенными концами на
щиток применяют схему с искусственной нулевой точкой, Искус-»
297
ственная нулевая точка создается тремя (или двумя) активными
сопротивлениями г2 и г8, включенными звездой (рис. 258).
Эти сопротивления подбираются так, чтобы
ri + rwv = r2 = r3
(или rwv = г = г),
где rwv—сопротивление параллельной цепи ваттметра, ом.
В этом случае на параллельную цепь ваттметра, а следова¬
тельно и на сопротивления г2 и г3 действуют фазные напряже¬
ния U А, Uв и Uc, а через последовательную цепь ваттметра
проходит фазный ток ІА. Так как сопротивления искусственной
звезды равны между собой и система напряжений симметрична,
то фазные напряжения UA, Uв, Uс равны и в]/3 раза меньше
линейных напряжений UAB, Uвс, и UCA и сдвинуты по отноше¬
нию к ним на углы в 30° в сторону отставания.
Активная мощность, показываемая ваттметром, равна:
Л = С7а/а со s(ü!?7a) (17)
или
Рі = Ѵфіф cos ф. (18)
Следовательно, ваттметр покажет активную мощность одной
фазы, а чтобы получить активную мощность трехфазной цепи,
надо показание ваттметра умножить на три.
2) Измерение активной мощности трехфазного тока двумя
ваттметрами применяется в трехфазных трехпроводных цепях.
Этот метод дает возможность измерять активную мощность в трех¬
фазной цепи независимо от нагрузки фаз (симметричной или не¬
симметричной) и способа соединения фаз (звездой или треуголь¬
ником).
Мгновенная мощность трехфазной системы равна сумме мгно¬
венных мощностей всех трех фаз:
298
P = UAiA + U ВІ B + uciCy
(19)
где p — мгновенная мощность;
uA, ив и ис — мгновенные значения фазных напряжений;
іл, ів и іс — мгновенные значения фазных токов.
При соединении приемника энергии звездой без нейтрального
провода согласно первому закону Кирхгофа сумма токов в нейт«
ральной точке О' (рис. 259) равна нулю:
іа + ів + іс = О,
откуда
Подставляя это выражение в уравнение (19), получим:
р = иАіА + ивів — ис (Іа + і в) = Іа (ua — ^с) + і в {и в — Uc) =
= ІаЫас -|- івив& (20)
где иАС = иА—ис и
и вс в—^с—’ мгно¬
венные значения ли¬
нейных напряже¬
ний, в.
Эта формула пока¬
зывает, что активная
мощность цепи трех¬
фазного тока при
отсутствии нейтраль¬
ного провода может
быть измерена двумя
ваттметрами.
Показание перво¬
го ваттметра будет
равно (рис. 260):
Рі = иАСІА cos (UAC, IA (21)
299
а показание второго ваттметра
Рп = UBCIB cos (22)
Так как при симметричной системе напряжений и симметрии-
ной нагрузке фаз
UАв = U вс = UCA = Uл, IА = Iв = Іс = Іл>
Фа = фв = фо = ф,
то показание первого ваттметра будет равно:
Рі = илІл cos (30° — ф), (23)
а показание второго ваттметра
Рц = илІл cos (30° +ф), (24)
где ил — линейное напряжение, в;
Іл — линейный ток, а.
Сумма показаний обоих ваттметров равна активной мощности
трехфазной цепи
Р = Pl -Р Рц = илІл cos (30° — ф) + илІл cos (30 °+ ф) =
= УЗ UЛІЛ cos ф. (25)
При ф=60° показание второго ваттметра равно нулю (Рц=0),
так как угол сдвига фаз между фазными напряжением и током 90°.
В этом случае активная мощность трехфазной цепи измеряется
только одним (первым) ваттметром.
При ф>бр° стрелка второго ваттметра отклоняется влево
от нуля; для отклонения стрелки вправо от нуля нужно пере¬
ключить концы параллельной цепи ваттметра. В данном случае
активная мощность трехфазной системы равна разности пока¬
заний этих ваттметров Р=Р^ —Рц. Следовательно, активная
мощность трехфазной цепи в общем случае определяется по фор¬
муле:
Р = Рі ± Ль (25')
При симметричной системе напряжений и симметричной на¬
грузке фаз по показаниям двух ваттметров можно определить
реактивную мощность трехфазной системы. Для этого необходимо
их разность показаний умножить на ]/3, т. е.
Q = УЗ (Pj - Рп) = Уз I иЛІЛ_СО5 (30 °- ф) -
— илІл cos (30° 4- ф)1 = ѴЗ илІл sin ф( (26)
где Q— реактивная мощность, вар.
3) Измерение активной мощности трехфазного тока тремя
ваттметрами применяется в трехфазной четырехпроводной це-
300
пи (рис. 261), так как метод двух ваттметров в этом случае дает не¬
правильное показание. Активная мощность трехфазной цепи рав¬
на сумме показаний всех трех ваттметров:
^=^1+^11+^111 — UАІА cos фА ~^иВІв cos + фс, (27)
где IА, I в и Іс — фазные токи, а;
созфА, созфв и соэфс — коэффициенты мощности.
7. ПОСТОЯННАЯ ВАТТМЕТРА
Постоянной (или ценой деления) ватт¬
метра называется число ватт, приходящихся на одно деление
шкалы при данных пределах измерения:
Cw = (28)
ан
где Cw— постоянная ваттметра, втІдел.\
Іп и Uн-— номинальные значения тока (а) и напряжения (в) при
данном способе включения;
ан— полное число делений шкалы.
8. НОМИНАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ТРАНСФОРМАЦИИ
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ТРАНСФОРМАТОРОВ
Номинальным коэффициентом трансфор¬
мации трансформатора напряжения назы-*
вается отношение номинального первичного напряжения к ном и*
нальному вторичному напряжению:
301
кип = (29)
^2н
где кия— номинальный коэффициент трансформации трансфор¬
матора напряжения;
ихя— номинальное первичное напряжение, в\
U2fi— номинальное вторичное напряжение, в.
Номинальным коэффициентом трансфор¬
мации трансформатора тока называется отноше¬
ние номинального первичного тока І1Я к номинальному вторичному
току Іін-.
(30)
*2н
где кІН— номинальный коэффициент трансформации трансфор¬
матора тока.
9. НОМИНАЛЬНАЯ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ПОСТОЯННЫЕ СЧЕТЧИКА.
ЕГО ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Номинальной постоянной Сн счетчика на¬
зывается количество энергии, учитываемое счетным механизмом
за один оборот диска.
Действительная постоянная С счетчи¬
ка — количество энергии, которое прошло через счетчик за то
время, когда диск его сделал один оборот.
Передаточным числомА0счетчика называется
число оборотов, которое должен сделать его диск, чтобы счет¬
ный механизм учел одну единицу энергии, например 1 киловатт-
час или 1 гектоватт-час.
Относительная погрешность счетчика определяется по формуле
= W_—Wi 1000 = CHN — CN 100 = Сн — С 100
ï0 W, CN (7
где у0 — относительная погрешность счетчика;
Иг=<7н7Ѵ’ — энергия, учтенная счетчиком; при этом диск счетчика
за это время сделал N оборотов;
— энергия, действительно израсходованная в сети.
П о п равочным коэффициентом счетчика
называется отношение действительно израсходованной энергии
в сети к энергии, учтенной счетчиком:
CHN
где к — поправочный коэффициент счетчика.
302
Задачи
419. Для измерения э. д. с. генератора к его зажимам при¬
соединен вольтметр (рис. 262), сопротивление которого гг=
= 10 000 ом. Сопротивление якоря генератора гя =0,2 ом. Опре¬
делить, на сколько процентов делаем ошибку, считая показание
вольтметра, равным э. д. с. генератора.
420. Амперметр, сопротивление которого
шкалу в 150 делений и постоянную прибора
Определить сопротивление шунта гш, при
помощи которого можно было измерять ток
до 300 а.
421. По условию задачи 420 определить,
какое сопротивление гд необходимо после¬
довательно включить с амперметром, чтобы
этим прибороіи можно было измерять напря¬
жение до 150 в.
422. Какой ток можно измерять ампермет-
гА=0,3 ом, имеет
СА =0,001 а! дел.
Рис. 262
1
ром (см. задачу 420), если имеется шунт с сопротивлением-^ омЧ
<7 У
423. Необходимо подобрать к амперметру с сопротивлением
гА шунты, расширяющие пределы измерения в 10 и 100 раз. Ка¬
ковы будут соотношения между сопротивлением амперметра и
шунта?
424. К амперметру требуется шунт с сопротивлением гш =0,1 ом,
1
а имеется шунт с сопротивлением гш =— ом. Какое сопротивле-
У
ние необходимо присоединить параллельно к имеющемуся шунту,
чтобы выполнить поставленное условие?
425. Магнитоэлектрический вольтметр с сопротивлением гг=
= 10 000 ом включен в сеть с напряжением £7=120 в. Определить
ток Іѵ, проходящий через вольтметр, и мощность Рѵ, поглощае¬
мую им.
426. Вольтметр на 150 в, шкала которого содержит 150 де-1
лений, имеет сопротивление гг=10 000 ом. Какое добавочное
сопротивление гд необходимо включить последовательно с вольт¬
метром, чтобы им можно было измерять напряжение до 600 в?
427. В сеть с напряжением U=220 в включены последовательно
два вольтметра со шкалами на 120 и 150 вис внутренними сопро¬
тивлениями rFl=10 000 ом и гГ2 = 12 000 ом. Определить показание
каждого вольтметра.
428. Магнитоэлектрический прибор (милливольтамперметр)
имеет три зажима (клеммы): один общий слева и два справа;
один из этих зажимов с обозначением 10 ом, 45 мв служит для
присоединения шунтов и измерения тока до 4,5 ма, а второй
с обозначением 1000 ом, Зе — для присоединения добавочных
сопротивлений и для измерения напряжения до 3 в. Определить
303
сопротивления шунтов для этого прибора, чтобы им можно было
измерять токи до 1,5; 15; 30 и 60 а, а также найти постоянные при¬
бора для этих пяти случаев, если его шкала имеет 150 делений.
Каковы должны быть величины добавочных сопротивлений для
этого прибора, чтобы им можно было измерять напряжение до 15
и 150 в? Чему равны постоянные прибора для этих трех случаев?
429. Найти сопротивление приемника (рис. 263) по методу
вольтметра и амперметра, если известно, что показания вольт¬
метра С7=120 в, амперметра 7 = 10 а, сопротивление вольтметра
гѵ=10 000 ом. Задачу решить для двух случаев: 1) не учитывая
тока, проходящего через вольтметр, и 2) учитывая его.
Решение. Если не учитывать ток, проходящий через вольт¬
метр, то сопротивление приемника будет равно:
Гі =
120
10
= 12 ом.
Если учитывать ток, проходящий через вольтметр, то пока¬
зание амперметра равно сумме токов,, проходящих
метр и сопротивление, 7=7И+71 = ^-+^-. Из этого
находим сопротивление приемника:
г = 120 = 12,014 ом.
10--^-
10000
через вольт-
соотношения
Гѵ
U
U
430. Вычислить сопротивление приемника (рис. 263) по ме¬
тоду вольтметра и амперметра,если показание вольтметра U=220 в,
амперметра 7=4 а, сопротивление вольтметра гѵ=4000олі. Задачу
решить для двух случаев: 1) не учитывая тока, проходящего через
вольтметр, и 2) учитывая его.
431. Ток в неразветвленной части цепи (рис. 264) равен 7.
Чему равен ток Іг в диагонали моста, если мост неуравновешен
и сопротивления плеч моста и гальванометра соответственно рав¬
ны: Гѵ Г2У ?*3, Г4 и гг?
304
432. Измерение большого сопротивления производится по ме¬
тоду вольтметра, как показано на рис. 265. При постановке пе¬
реключателя П в первое положение отклонение прибора равно аѵ
а во второе положение —
а2. Найти выражение для
определения величины со¬
противления гх, если со¬
противление вольтметра
равно гѵ.
433. Определить сопротивление гл нити лампы при помощи
моста (рис. 266), если равновесие его наступает при ^ = 10 ом,
г =-100 ом и г3=20 ом.
Рис. 266
434. Найти выражение для
определения величины сопро¬
тивления гх по методу замеще¬
ния (рис. 267), если известно, что при постановке переключателя
П в положение I отклонение гальванометра равно ах, в положение
II—а2, сопротивление гальванометра равно гг , а образцовое со¬
противление равно гобр.
435. Магнитоэлектрический прибор имеет сопротивление г=
=1 ом, шкалу в 150 делений и постоянную прибора (7=0,001 а!дел.
305
Требуется при помощи этого прибора измерять ток до 1,5; 3 и
15 а и напряжение до 1,5; Зи 15 в. Определить сопротивления шун¬
тов (т. е. сопротивления отдельных секций, так как предполагается
секционированный шунт), добавочные сопротивления и постоянные
приборов для всех пределов измерений. Начертить схему всех
соединений прибора.
436. Активная мощность, подводимая к трехфазному асин¬
хронному двигателю, измерялась по методу двух ваттметров.
При номинальной нагрузке двигателя стрелки обоих ваттметров
отклонялись в одну и ту же сторону, при этом первый ваттметр
показывал Р[ =1274 вт, а второй Рл=589 виг. При уменьшении наг¬
рузки двигателя первый ваттметр показал Р' =571 вт, а второй
ваттметр — Р'т=0. Когда с двигателя сняли нагрузку и он стал
работать вхолостую, то первый ваттметр показал Р"=550 виг,
а стрелка второго ваттметра отклонилась в обратную сторону;
после переключения концов параллельной цепи (обмотки) ватт¬
метр показал Р"п = 23 виг. Определить для трех случаев — актив¬
ную мощность, подводимую к асинхронному двигателю, угол сдви¬
га фаз ф между током и напряжением, коэффициент мощности и
реактивную мощность.
437. В сеть трехфазного тока включен приемник, соединен¬
ный треугольником (рис. 268), имеющий активное сопротивле¬
ние на фазу г=24 ом, индуктивное tl=32 ом. Определить пока¬
зания ваттметров и активную мощность, потребляемую приемни¬
ком, если линейные напряжения U AB=U вс — исА=ил =220 в.
Решение. Показания ваттметров:
Pi = UACIAcos(uQlA\ (33)
Рц = иВСІв cos (U BCi 1 в)* (34)
гоб
При полной симметрии трехфазной системы, т. ѳ. при UAB =
= ивс = иСА = ил, IА=Ів=Іс=Іл ъЧа=Чв=Чс=Ч (рис. 269),
уравнения (33) и (34) примут следующий вид:
Рі = cos (ф — 30°); (35)
Pu = UЛІЛ cos (ф + 30°). (36)
Рис. 2G9
Фазный ток
Z Ѵг2 + 4 Ѵ242 + 322
Линейный ток
Л = уз Іф = 1,73-5,5« 9,52 а.
Коэффициент мощности приемника
г 24
cos ф = —--- ■ ■ -- = —== = 0,6,
Ѵг2 + 4 Ѵ242 + 322
следовательно, <р=53°10'.
Подставив числовые значения в формулы (35) и (36), получим:
Л=*ЛЛсоз(ф— 30°) =220-9,52- соз(53°10'— 30°) = 1924 вт,
Рц= илІл соз(ф + 30°) = 220-9,52- соз(53°10' + 30°) = 249 вт.
Активная мощность, потребляемая приемником,
Р = + ри = 1924 + 249 = 2173 вт
307
или
P = уз tZXcosq) = 1,73-220-9,52-0,6 =2173 вт.
438. Электродинамический ваттметр имеет следующие данные:
пределы измерения по току 5 и 10 а, а по напряжению 30 в,
сопротивление параллельной цепи 1000 олц число делений
Рис. 271
шкалы прибора равно 150. Каковы будут величины добавочных
сопротивлений, подключаемых к ваттметру, чтобы расширить
пределы измерения по напряжению до 75, 150 и 300 в? Начер¬
тить схему включения этого
ваттметра для измерения ак¬
тивной мощности трехфазной
цепи о созданием искусст¬
венной нулевой точки. Опре¬
делить постоянные ваттметра
для всех пределов, измерения
_ и найти активную мощность
+ трехфазной цепи для двух
случаев: 1) напряжение сети
Uл = 380 в, линейный ток
Iл=-8 а, 2) напряжение сети
UA = 220 в, линейный ток
IЛ=4 а, если известно, что
стрелка ваттметра в первом
случае отклонилась на 120
делений, а во втором слу¬
чае — на 100 делений.
439. ДОя цепи, изображепной на рис. 270, определить токи IА,
Iв, Іс, показания ваттметров, активную мощность Р цепи, если ли¬
нейные напряжения UAB=U BC = U СА=17л=880 в, г=50 ом,
xl=50 ом и хс=50 ом.
308
Решение. Фазное напряжение генератора
иА = ив = ис =
Ѵз
380 _
Ѵз~
220 e.
Выразим векторы напряжений в комплексной форме; при
этом вектор напряжения ÙA направим по действительной оси
в положительном направлении (рис. 271), тогда UA = 77а=220 в;
ÜB = Ü Ае~ Jt20° = UA (cos 120° —/ sin 120°) =
= 220 ( - /^ ) = — НО —7190,5 в;
\ 2 2 7
Üc^ÙAe-^
= UA (cos 240° —/ sin 240°) = 220
= —H0 +/190,5 e.
Выразим в символической форме сопротивления и проводи¬
мости фаз:ZA =г=50ом, Z B=jx L=j50 ом, Zc=—]%с=—]50ом.
11 11
Ya = — = — = 0,02 і/ом, YB= — =— = —/0,02 і/ом,
ZA 50 ZB /50
Y с = — = —— =/0,02 і/ом.
Zc —/50
Так как нагрузка фаз несимметричная (неравномерная), то
нейтральная точка приемника не будет совпадать с нейтральной
точкой генератора.
Напряжение между нейтральными точками приемника и ге-»
нератора
тт ü aY а + Ü BY в + Ü cYc
Ya + YB + Yc
__ 220• 0,02 +(—110-/190,5) • (—/0,02) +(—110 +/190,5) -/0,02_
“ 0,02—/0,02+/0,02 “
=—161 e.
Напряжения на фазах нагрузки:
UA=ÙA—ÙN =220+161=381 в; lfA = 381 в;
UB=ÛB—ÛN=— НО—/190,5+161=51—/190,5 в; U'B^t01 <?;
UC=ÜC—ÛN=— Н0+/190,5+161=51 +/190,5 в; Z7'c«197 &
Определим токи:
Ïa = Ù'ДУа=381-0,02=7,62a;ZА=1,62 а; вектор тока ІАсовпадает
309
по фазе с вектором напряжения ÜA:
Zb = U в Y в = (51 —/190,5)- (—/0,02) = — 3,81 —/1,02 а;
Ів = Ѵз,812 + 1,022 = 3,94 а;
вектор тока I в отстает от вектора напряжения U' в на 90°; Іс =
= Ù'C Ус=(51-+/190,5)/0,02=—3,81+/1,02 а,/с^З,94 а; вектор
тока I с опережает вектор напряжения Uc на 90°.
Активную мощность, показываемую ваттметром W\ , можно
определить как вещественную часть произведения комплексного
напряжения UАС на сопряженный комплексный ток IА. Следо¬
вательно,
Pi = Re \ÙACIA] = Re [(330 —/190,5)• 7,62] = 2514 em,
где
ÛAC = -ÜCA =-(Uc~UA) = -(51 +/190,5-381) =330-
—/190,5 e.
Следует обратить внимание, что берется напряжение UАСі
а не UCA потому, что начало параллельной цепи ваттметра, отме¬
ченное звездой, приключено к проводу А—А.
Активную мощность, показываемую ваттметром ІѴп, можно
определить как вещественную часть произведения комплексного
напряжения Uвс на сопряженный комплексный ток Iв, т. е.
Рц = Re [(7bq/ві = Re Ï(Ùв — Ùс)Іві=
= Re [(51-/190,5—51 —/190,5)-(—3,81 +/1,02)] =389 em.
Активная мощность цепи равна сумме показаний двух ватт¬
метров
Р = Pj + Рп = 2514 + 389 = 2903 вт
или
Р = иА ІА = 381.7,62 = 2903 вт.
440. Для цепи, изображенной на рис. 270, определить токи
IА, /ві ICi показания ваттметров, активную мощность Р цепи,
если линейные напряжения U AB=U BC = U CA = U л =220 в, г=44 ом,
хс=44 ом и xl=44 ом.
441. Активная мощность приемника измеряется по методу
двух ваттметров (рис. 272). Линейные напряжения UAR=Uвс=
= UСА~Uл =220 в, а полные сопротивления фаз приемника zA =
= zB = zc=§Q ом (индуктивный характер нагрузки). Определить
показание второго ваттметра, если показание первого ваттметра
равно нулю.
442. Найти показания ваттметров в схеме, изображенной на рис.
272, если приемник вместо полных сопротивлений имеет только
310
индуктивные сопротивления хА=х в=хс=50 ом. Линейные нап-
ряжения UАв— Uвс = иСА = ил =220 в.
443. Для измерения активной мощности при симметричной сис->
теме напряжений и симметричной нагрузке фаз (с недоступной ней-*
тральной точкой приемника) применяется один ваттметр, вклю¬
ченный, как показано на рис. 273, с образованием искусствен¬
ной нулевой точки. Линейное напряжение UA =220 в\ активное
Рис. 273
и индуктивное сопротивления на фазу г=49 ом и хѣ=25 ом. Опре¬
делить показание ваттметра: 1) при нормальной работе; 2) при
обрыве провода В—В в точке D\ 3) при обрыве провода В—В
в точке Е.
444. В доме установлена 21 лампа (нагрузка симметричная)
мощностью по 150 вт каждая и напряжением U=220 в. На какой
ток I требуется поставить трехфазный счетчик в доме и сколько
будет стоить электроэнергия, потребляемая всеми лампами в
311
течение 10 час., если киловатт-час стоит 4 коп.? Напряжение
сети 220 в.
445. Для цепи, изображенной на рис. 274, определить фаз¬
ные токи ІАР, I вс, ІСА, линейные токи IА, I в, Iç, показания
ваттметров, активную мощность Р цепи, если линейные напря¬
жения UAB= Uвс = UCа =220 в, г=10 ож, яс=10 ом, xL==10 ом.
Решить эту задачу также при обрыве фазы АВ. Построить век-»
торные диаграммы напряжений и токов для обоих случаев.
312
Решение. Выразим векторы линейных напряжений в ком¬
плексной форме, при этом вектор напряжения ÜAB направим по
действительной оси в положительном направлении (рис. 275), тогда
Ü Ав — U ав = 220 в;
ÜBct = иАве~іао° = Глв(соз 120°—/ sin 120°) =
= 220 Ç— 1 —7 Y") = — ІЮ —/190,5 в;
Ûca =ÙABe~>240°= UAB(cos240°—/ sin240°) =220
2 2.
= —110 +7’190,5 e.
Фазные токи:
f Ü Ав U Ab 220 „„ r
ZAB r 10
вектор тока I Ав совпадает по фазе с вектором напряжения Ù Ав,
т Üвс Üвс —НО—7’190,5 ... .„„г іплг ...
1 вс —=—;—= — =—711+19,05 a=19,05—/11 a;
Z вс —І%с —/10
Івс = Ѵ19,О52+112 = 22 a;
вектор тока Îвс опережает по фазе вектор напряжения Üвс на 90°;
/СА =— = —=~110 +7~190’5 =7’11 + 19,05а = 19,05 + /11 а;
%СА ]XL /Ю
Ica ~ 22 а;
вектор тока ІСА отстает по фазе от вектора напряжения ÜCA на
90°.
Линейные токи:
4= Іав— Îca =22 —19,05— /И = 2,95-/11 a; IAæ 11,4 a;
ïв = Івс — Іав = 19,05 —/11 — 22 = —2,95 —/11 a; Ів = 11,4 a;
Іс = ІсА — Івс = 19,05 +/11 —19,05 + /11 = /22 a; Іс =22 а.
Активную мощность, показываемую ваттметром W\, можно
определить как вещественную часть произведения комплексного
напряжения UAC на сопряженный комплексный ток 7Л, т. е.
Рі = Re [ÙacÎa] = Re [( 110 —/190,5)-(2,95 +/11)1 = 2420 em.
Активную мощность, показываемую ваттметром И7ц, можно
определить как вещественную часть произведения комплексного
напряжения Uвс на сопряженный комплексный ток I в, т. е.
313
Pu = Re [ÜBCÎB] =Re [(—110—/190,5)-(—2,95 + /11)1 =2420^.
Активная мощность трехфазной цепи равна сумме показаний двух
ваттметров
Р = Л + Лі = 2420 + 2420 = 4840 вт.
Так как активная мощность второй и третьей фаз-равна нулю,
то вся активная мощность цепи будет расходоваться только в пер¬
вой фазе, т. е. Р = С7лв/лв=220-22=4840 вт или
Р = ГІ\В = 10-222 = 4840 вт.
При обрыве фазы АВ сопротивление ее равно бесконечности,
следовательно, ток в ней равен нулю; токи в фазах ВС и СА
останутся такими же, как будто обрыва фазы АВ не было, вслед¬
ствие того, что линейные напряжения не изменятся (рис. 276, а),
т. е.
Івс = 19,05 —/И а; Iвс = 22 а;
Іса = (19,05 + /11) ^са = 22 а.
Линейные токи будут равны (рис. 276, б):
Іа = Іав — Іса = 0 —19,05 —jii = —19,05 —jii a\ IA = 22 a;
ïв = Івс — Іав = 19,05 —/11 —.0 = 19,05 —/11 a; IB = 22 a;
ïc = ÎCA — ÎBC = 19,05 + /11 —19,05 +/11 =/22 a; Ic = 22 a.
Активная мощность, показываемая ваттметром Wl , равна ве¬
щественной части комплексной мощности
Pt = R е [ÜACIA\ = Re [(110 —/190,5)-(—19,05 + /11)1 = 0.
Следовательно, активная мощность, показываемая ваттметром
И7! , равна нулю. Активная мощность, показываемая ваттметром
Wu, равна:
ри = Re [ÜВСІВ] = Re [(—110— /190,5) (19,05 +/11)] =0, т. е.
активная мощность, показываемая ваттметром Жп, равна нулю.
Следовательно, активная мощность трехфазной цепи при обры¬
ве фазы АВ равна нулю.
,/п тэ х X Ю0
44Ь. В сеть однофазного тока через трансформатор тока -g-
х 3000
и трансформатор напряжения включен электродинамиче¬
ский ваттметр на 5 a и 120 в. Начертить схему включения прибо¬
ров и определить активную мощность Р цепи, если показание
ваттметра равно 85 делениям, а шкала ваттметра имеет 150 де¬
лений.
314
447. В сеть однофазного тока через трансформатор тока —-
5
и трансформатор напряжения 6000/100 (рис. 277) включены при¬
боры: амперметр, вольтметр и ваттметр. Определить ток Іѵ
напряжение Uv активную мощность Р цепи и коэффициент
мощности cos ф цепи, если показания амперметра /2=4 а, вольт¬
метра С/2 = 100 в и ваттметра Р'=350 вт.
Решение. Номинальный коэффициент трансформации
трансформатора тока
, 500 .
кІН == = 100.
5
Номинальный коэффициент трансформации трансформатора
напряжения
I 6000 m
ка"- wô=6ft
Зная коэффициент трансформации трансформатора тока и по-
к; зание амперметра, можно определить ток в цепи:
Л = кініъ = 100-4 = 400 а.
Напряжение цепи
U! = kUnU2 = 60 • 100 = 6000 в = 6 кв.
Активная мощность цепи
Р = кінкипР = 100-60-350 = 2 100000 вт = 2100 кет.
316
Коэффициент мощности цепи
Р 2 100 000 п _
cos ф = = = 0,875.
U 6000-400
448. В сеть однофазного тока через трансформатор тока
200/5 и трансформатор напряжения 6000/100 включены приборы:
амперметр, вольтметр и ваттметр (рис. 277). Определить ток Z ,
напряжение С/р активную мощность Р и коэффициент мощности
cos ф цепи, если показания амперметра І2—4,2 а, вольтметра С/2 =
=55 в и ваттметра Р'=165 вт.
449. Вычислить активную мощность Р и коэффициент мощности
cos ф для цепи, изображенной на рис. 278, если приборы показали:
амперметры по 4,3 а, вольтметры по 60 в, ваттметр И7! 300 вт,
ваттметр 100 вт, номинальный коэффициент трансформации
трансформатора тока Æ7k=80, номинальный коэффициент транс¬
формации трансформатора напряжения /^=100.
450. Почему при включении ваттметра через измерительные
трансформаторы ток в цепях ваттметра должен иметь такое же
направление, какое он имел бы при непосредственном включении
прибора в цепь?
451. На щитке счетчика написано: 1 гектоватт-час=400 оборо¬
тов диска. Найти мощность Р нагрузки, номинальную (фабричную)
постоянную счетчика Ся, если диск счетчика сделал 66 оборотов
за 120 сек.
452. На щитке счетчика написано: 120 в, 5 а, 1 гектоватт-
час=500 оборотов диска. Определить номинальную постоянную
счетчика Сн, действительную постоянную счетчика С, абсолютную
погрешность Д№, относительную погрешность у0, поправочный
317
коэффициент Л, если при поверке счетчика при постоянном напря¬
жении [7=120 в и постоянной величине тока /=4 а диск счетчика
сделал 7Ѵа=42 оборота за 60 сек.
Решение. Номинальная постоянная счетчика
С
W 1.100-60-60 _оп
— = = 720 вт-сек/об.
N 500
Действительная постоянная счетчика
_ UH 120-4-60 CQC . е
С = — = « ооо вт-секіоб.
Ni 42
Абсолютная погрешность
ДРР = Сн — С — 720 —686 = 34 вт-секіоб.
Относительная погрешность счетчика
у0 = С*~С 100% = 720 — 68.6 юо% = 4,96% «5%
С 686
Поправочный коэффициент счетчика
ft = 2L = £ =686=0,953.
Сн 720
Поправочный коэффициент показывает, насколько надо умно¬
жать показание WC4 счетчика, чтобы получить действительно
израсходованную энергию W. Если поправочный коэффициент
меньше единицы, то это указывает на то, что счетчик вращается
быстрее, чем следует, а если поправочный коэффициент больше
единицы, значит счетчик вращается медленнее, чем следует.
453. На щитке счетчика написано: 220 в, 5 а, 1 гектоватт-час=
=200 оборотов диска.
Вычислить номинальную постоянную счетчика Сн, действи¬
тельную постоянную счетчика С, абсолютную погрешность А И7,
относительную погрешность у0, поправочный коэффициент к, если
при поверке счетчика при постоянном напряжении [7=220 в и
постоянной величине тока Z=5 а диск счетчика сделал 7Ѵ\=37 обо¬
ротов за 60 сек.
Глава одиннадцатая
КАТУШКИ СО СТАЛЬНЫМИ СЕРДЕЧНИКАМИ
И ТРАНСФОРМАТОРЫ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Для увеличения индуктивности катушек обмотку их распола¬
гают на замкнутом стальном сердечнике; обычно эти сердечники
изготовляют из листовой электротехнической стали. Индуктив¬
ность этих катушек не остается постоянной величиной, а зависит
от величины тока в обмотке ка¬
тушки.
Трансформатором
называется статический элек¬
тромагнитный аппарат, в кото¬
ром переменный ток одного на¬
пряжения преобразуется в пе¬
ременный ток другого напряже¬
ния (частота при этом остается
неизменной); процесс подобного
преобразования энергии назы¬
вают трансформацией.
По числу фаз различают
трансформаторы однофазные и
многофазные (обычно трехфаз¬
ные). Основными частями трансформатора являются его сердеч-»
ник и обмотки. Чтобы уменьшить потери на вихревые токи,
сердечник собирают из листов специальной электротехнической
стали толщиной 0,35 или 0,5 мм\ листы изолируют лаком или
бумагой. Сердечник состоит из стержней, на которых помеща¬
ются обмотки, и ярем, которые замыкают стержни. Следова¬
тельно, сердечником трансформатора назы¬
вается система, образующая его магнитную цепь.
На рис. 279 изображена принципиальная схема однофазного
двухобмоточного трансформатора (для наглядности обмотки
319
показаны на разных стержнях, а на самом деле эти обмотки
располагают на одном стержне).
Первичной обмоткой называется обмотка, к кото¬
рой электрическая энергия подводится, а вторичной об¬
моткой — та обмотка, от которой электрическая энергия от¬
водится.
Обмоткой высшего напряжения (А — X) на¬
зывается обмотка, приключаемая к сети более высокого напряже¬
ния, а обмотка (а — х), приключаемая к сети с меньшим напря¬
жением, называется обмоткой низшего напряже¬
ния.
Холостым ходом трансформатора называет¬
ся такой режим его работы, когда к зажимам одной из обмоток,
например первичной, подводится номинальное напряжение при
номинальной частоте, а вторичная обмотка разомкнута. Под дейст¬
вием напряжения по первичной обмотке проходит переменный
ток, который создает основной магнитный поток* Ф. Поток пере¬
секает обе обмотки и индуктирует в них э. д. с., действующие
значения которых соответственно равны:
. Et = 4,44 jwt<&m-, (1)
Hz = 4,44 /іг2Фт, (2)
где Е1 и Е2— э. д. с., индуктируемые в первичной и вторичной
обмотках, в;
wi и w2 — числа витков первичной и вторичной обмоток;
Фт — амплитуда магнитного потока, вб.
Разделив уравнение (1) на (2), получим коэффициент транс¬
формации трансформатора:
і = = (3)
Е2 W2
т%е к — коэффициент трансформации трансформатора.
Так как при холостом ходе падение напряжения очень мало,
то приближенно можно считать, что üfîEv a U2x=E2, тогда
уравнение (3) можно представить в следующем виде:
(4)
U>2 U2x
где Ux — напряжение на зажимах первичной обмотки, в;
U2Х — напряжение на зажимах вторичной обмотки при холо¬
стом ходе трансформатора, в.
Согласно ГОСТ 401—41 коэффициентом транс¬
формации трансформатора называется отношение
* Вместо термина «основной магнитный поток» употребляется термин
«главный магнитный поток».
320
номинальных напряжений, т. е. отношение напряжений первичной
и вторичной обмоток при холостом ходе трансформатора. Мощ¬
ность холостого хода трансформатора расходуется на потери
в стали Рс трансформатора и электрические потери гхІ^ в первич¬
ной обмотке * вследствие про¬
хождения по ней тока холостого
хода, т. е.
Px=Pc+rJ2Xi (5)
где Рх— мощность холостого
хода, вт\
Рс— потери в стали, вт\
Iх— ток холостого хода, а\
Fj— активное сопротивле¬
ние первичной обмот¬
ки, ом.
Следовательно, зная элек¬
трические потери в первичной
обмотке и мощность холостого
хода, можно определить поте¬
ри в стали трансформатора:
Рс=Рх-гЛ (6)
Так как при холостом ходе
трансформатора электрические
потери в первичной обмотке
малы по сравнению с Рх, то
ими обычно пренебрегают. Сле¬
довательно, можно считать, что
мощность холостого хода ** рас¬
ходуется исключительно на по¬
тери в стали, состоящие из по¬
терь на гистерезис и потерь на вихревые токи:
РРс — Рг + Рв.т,
где Рг — потери на гистерезис, вт;
Рв,т— потери на вихревые токи, вт.
Ток холостого хода Iх (рис. 280) состоит из двух составляющих:
активной составляющей, обусловленной потерями в стали транс-*
форматора, и реактивной составляющей, идущей на создание
основного магнитного потока Фда. Следовательно, ток холостого
* Для трехфазного трансформатора электрические потери в первичной
обмотке равны 3^7
** В дальнейшем вместо термина «мощность холостого хода» будем упо¬
треблять термин «потери холостого хода».
11 Заказ Ка 936
321
хода равен:
I — 1/72 4- 72
1х — У 1 ха 1 1 хр>
где I ха— активная составляющая тока, а;
Іх— реактивная составляющая тока, а*
Коэффициент мощности холостого хода *
Рх
cos .
UJX
Параметры намагничивающей ветви (намагничивающего кон¬
тура) в схеме замещения трансформатора:
212 = Ѵгі2 + #12 =
7»
(8)
(9)
(Ю)
*х
У 2 2
212 Г12»
тце z12, г12 и я12 — полное, активное и индуктивное сопротивле¬
ния намагничивающей ветви схемы замещения
трансформатора, ом.
Если не требуется особой точности вычисления, то параметры
намагничивающей ветви в схеме замещения трансформатора мож¬
но определить по формулам:
7
212 ~ — »
X
(Н)
х12 = Vzi2 — Г?2.
2. ПРИВЕДЕНИЕ ВТОРИЧНОЙ ОБМОТКИ К ПЕРВИЧНОЙ
Чтобы можно было бы складывать э. д. с. и токи первичной
и вторичной обмоток, имеющих разные числа витков, необходимо
привести вторичную обмотку к первичной. Это значит, что вто¬
ричную обмотку необходимо заменить эквивалентной обмоткой
* Коэффициент мощности холостого хода для трехфазного трансфер¬
ах
матора cos фх=~-- * - ,
ОІУ 11
где £7,— фазное напряжение, в;
7Х— фазный ток, а.
322
с таким же числом витков, что и первичная обмотка. При этом
изменятся величины э. д. с., тока и сопротивлений вторично”!
обмотки, но не должны измениться мощности и взаимное расіи-
ложение векторов. Приведенная вторичная э. д. с. равна:
Е2 = кЕ2=Еи (12)
т. е. приведенная вторичная э. д. с. Е* в к раз больше действитель¬
ной э. д. с. Е2 и равна первичной э. д. с. Ех.
Так как полная мощность вторичной обмотки при ее приведе¬
нии к первичной не должна измениться, то
Е2і2 = Е2 і2 ,
отсюда
4 = ^L2 = A( (із)
е2 к
т. е. приведенный вторичный ток /' в к раз меньше действитель¬
ного тока /2.
Электрические потери во вторичной обмотке также не должны
измениться от приведения, следовательно
Г27І = Г2 І2,
, ( Т \2
Г2=гг[-р-} =к2Гъ (14)
\ Т2 /
т. е. приведенное активное сопротивление г2 вторичной обмотки
в к2 раз больше действительного активного сопротивления г2.
Приведенное индуктивное сопротивление рассеяния вторичной
обмотки определим из соотношения:
#2 _ #2
Г2 г2 ’
откуда
= г2 = к2х2. (15)
Ъ
Полное сопротивление вторичной обмотки, приведенное к пер¬
вичной,
z2 = Ѵг2 х2 = "l/(A2r2)2-j" (АЛе2)2 = /c2z2. (16)
11
323
Если требуется привести первичную обмотку к вторичной, то
будем иметь:
к
Л = Л = кі^
(17)
где rï и активное и полное сопротивления первичной об¬
мотки, ом\
— индуктивное сопротивление рассеяния первичной
обмотки, ом.
3. ОПЫТ КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ
Опыт короткого замыкания служит для определения пара¬
метров (сопротивлений обмоток) трансформатора, напряжения
короткого замыкания и, кроме того, дает возможность опреде¬
лить потери в меди обмоток
трансформатора. При опыте
короткого замыкания тран¬
сформатора вторичная обмот¬
ка (рис. 281) замыкается на¬
коротко, а к первичной об¬
мотке подводится при номи¬
нальной частоте такое пони¬
женное напряжение Uik=U k,
при котором токи в обеих
обмотках равны номиналь¬
ным. Напряжение Uk назы¬
вается номинальным напряжением корот¬
кого замыкания или просто напряжением ко¬
роткого замыкания. Напряжение короткого замыкания
обычно выражается в процентах от номинального напряжения
первичной обмотки:
иК = —100 % = 100 % = 100 %, (18)
иін и1н ин
где ик— напряжение короткого замыкания, %.
324
Обычно ик равно 5,5—10,5%. Величина ик не зависит от того,
которая из двух обмоток замыкается накоротко.
Активная и реактивная составляющие напряжения короткого
замыкания определяются по формулам:
г I г I2 Р
иа =^100% = -^-100% = —"100%, (19)
Un UHIH SH '
Up =^i00% (20)
или
Up =Vu2K—Uaf (21)
где rK, хк и zK— активное, индуктивное и полное сопротивления
короткого замыкания трансформатора, ом\
иа и ир— активная и реактивная составляющие напряже¬
ния короткого замыкания, %;
UH и Ік— номинальные напряжение и ток той обмотки, к
которой подводится питание при опыте корот¬
кого замыкания.
Так как при сильно пониженном напряжении магнитный по¬
ток Ф мал (С7=Ф), то и потери в стали, пропорциональные квад¬
рату магнитного потока (магнитной индукции), будут незначи¬
тельными; ими обычно пренебрегают. Поэтому можно считать,
что мощность короткого замыкания трансформатора расходуется
только на электрические потери в обмотках трансформатора:
РР9 = Рді Рэ2 = rill г2^2 =
= гіі2 + г212 = (Гі + гг) I2 = г«Л (22)
где Рк— мощность короткого замыкания трансфор¬
матора, 0тп;
— электрические потери в первичной обмот¬
ке, вт\
^э2=г2^1==Г2^ ï — электрические потери во вторичной обмотке,
вт.
Для трехфазного трансформатора электрические потери в его
обмотках будут равны:
Р3 = Рз1 + Рз2 = Зг,Ц + 3r2Z2 = 3rJl + 3r;z2'2= 3rKI* (23)
В дальнейшем вместо термина «мощность короткого замыкания»
будем употреблять термин «потери короткого замыкания».
При коротком замыкании током холостого хода пренебрегаем,
так как он очень мал, поэтому І^Г (рис. 282 и 283). В этом слу-»
чае магнитодвижущая сила (намагничивающая сила) первичной
325
обмотки будет приближенно равна м. д. с. вторичной обмотки:
Рис. 282
Полное, активное и индуктивное сопротивления короткого за¬
мыкания трансформатора соответственно равны:
- = 1/(гі + r2 )2 + (#i + ;
Л
' Рк ►
гк=Г1 +г2 = -^;
/1
У 2 2 , '
%к = і %2 • j
Коэффициент мощности *
Рк
cos фк = .
икц
* Для трехфазных трансформаторов:
cos ф*= з&7?
где Гг — фазный ток, а;
Uк — фазное напряжение при опыте короткого замыкания, в.
(25)
(26)
326
Электрические потери в обмотках трансформатора можно раз¬
делить на:
1) электрические потери, которые имели бы место при постоян-*
ном токе, они равны:
Рэо = г 10^ + 20^2 = (Г 10 +г 2о) = (Г10 + 20) (27)
где г10 и г2о— сопротивления первичной и вторичной обмоток
при постоянном токе, ом\
2) добавочные потери, обусловленные вихревыми
возникающими в обмотках, и
рассеяния в стенках бака и
т. д.; эти добавочные потери
учитываются коэффициента¬
ми кгі и кг2, показывающими
увеличение сопротивлений
обеих обмоток г10 и г2о, ко"
токами,
потерями, вызываемыми потоками
торые называются коэф¬
фициентами доба¬
вочных потерь.
Следовательно, активные
сопротивления обмоток тран¬
сформатора будут равны:
Гі = kriri0,
r2 — кг2Гго.
(28)
Коэффициенты кг1 и кг2 Рис. 283
зависят от частоты перемен¬
ного тока, сечения и формы проводника, типа обмотки и т. д.
Отношение электрических потерь в обмотках трансформатора
при переменном токе к потерям в них при постоянном токе назы¬
вается приведенным коэффициентом доба¬
вочных потерь, т. е.
= Л» = ГКІІ = Гк
Рво Рт (гі0 + Гго) Zi г10 + гзд ’ (29)
4. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ РАССЕЯНИЯ
Переменные во времени магнитные потоки рассеяния Фб1 и
Фо2 индуктируют в обмотках э. д. с. рассеяния, действующие
значения которых соответственно равны:
Еп =<oZ-„ А =о!і/ій
= I2 = X2Z2» I
(30)
327
где Е01 и EÜ2— э. д. с. рассеяния первичной и вторичной обмо¬
ток, в;
LOi и Ь02 — индуктивности рассеяния первичной и вторичной
обмоток, гн\
х{ и х2 — индуктивные сопротивления рассеяния первич¬
ной и вторичной обмоток, ом.
Ь. ПЛОТНОСТЬ ТОКА, НОМИНАЛЬНАЯ МОЩНОСТЬ И КОЭФФИЦИЕНТ
ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ ТРАНСФОРМАТОРА
Зная поперечные сечения проводников первичной и вторич¬
ной обмоток и s2 и токи Іі и І2, можно определить плотности
тока в обмотках, т. е.
01=ЛИ02=Л (31)
Si s2
Номинальная мощность обозначается на щитке трансформа*
тора и указывается в киловольт-амперах.
Для однофазного трансформатора номинальная мощность
равна:
SH = UHIHiO~3, (32)
а для трехфазного
SH = 3UHIH ІО-3, (33)
где SH— номинальная мощность трансформатора, ква.
Первичная и вторичная мощности условно считаются одина¬
ковыми и равными номинальной мощности SH, так как потерями
в трансформаторе, током холостого хода и изменением напряжения
пренебрегают.
Для трансформаторов различают к. п. д. по мощности и го¬
довой (суточный) к. п. д. или к. п. д. по энергии. К. п. д. по мощ¬
ности представляет собой отношение мощности, отдаваемой транс¬
форматором, к мощности, подводимой к нему:
или
я = ^?юо%
Pl
100% = — 100% =
Р% + Pc + Рэ Р2 РX Л~ Рк
= (1 Р * + Р” 100%,
1(34)
где т] — коэффициент полезного действия трансформатора;
— мощность, подводимая к трансформатору, вт\
Р2— мощность, отдаваемая трансформатором, вт.
328
Для любой нагрузки P2 = p5Hcos ф2 к. п. д. можно написать
в следующем виде:
л = P5“COS<1’2 а- ■ 100 % =
Р5М СО S ф2 + + р Р к
= ( 1 :—Р-х-+ р2р”—— • 100 %, (35)
\ Р5НСО S ф2 + ^х+р Р К/
где cos ф2— коэффициент мощности нагрузки;
Р — коэффициент загрузки трансформатора, т. е. отно¬
шение данной нагрузки к номинальной.
К. п. д. по энергии называется отношение энергии, отданной
трансформатором за определенный промежуток времени, к энер¬
гии, полученной за этот же промежуток времени:
Т|да = ( 1 — Р**+Р*** . 100 %, (36)
\ COS фСр -J- Pxt 4" Рк^к/
где Ла/— коэффициент полезного действия по энергии;
t — время, в течение которого трансформатор был включен
в сеть;
tH— время, в течение которого трансформатор, работая
при номинальной мощности SH и среднем коэффициенте
мощности cos фср, отдает ту же энергию, что и при ра¬
боте по действительному графику;
tK — время, в течение которого трансформатор, работая при
номинальной мощности, имел бы те же номинальные на¬
грузочные потери Рк, что при работе по действительному
графику.
6. АВТОТРАНСФОРМАТОРЫ
Автотрансформатором называется такой транс¬
форматор, у которого имеется только одна обмотка, часть которой
одновременно принадлежит пер¬
вичной и вторичной системам
(рис. 284).
Автотрансформаторы бывают
однофазные и трехфазные, повы¬
шающие и понижающие.
Если вторичная обмотка авто¬
трансформатора разомкнута, а по
первичной обмотке проходит ток
холостого хода 7Х, создающий в
сердечнике переменный магнитный
поток, то этот магнитный поток
будет индуктировать в обмотках
Отношение э. д< с. (как и у трансформатора) называется к о-
эффициентом трансформации автотранс-
Рис. 284
э. д. с. Ел и Ел.
329
форматора, т. е<
Е2 W2
где кА— коэффициент трансформации автотрансформатора;
іѵі— число витков первичной обмотки;
ІГ2— число витков вторичной обмотки.
Так как при холостом ходе падение напряжения очень мало,
то можно приближенно считать, что U^EV a U2X=E2. Тогда
коэффициент трансформации можно представить в следующем
виде:
Ui
w~ и2х'
(38)
Если нагрузить автотрансформатор и пренебречь потерями,
то
Z71/1 = и2І2 (39)
или
£* = £? = 1 = ^. (40)
z2 ut кА Wl
Это уравнение показывает, что в автотрансформаторе имеем
те же соотношения между напряжениями (э. д. с.) и токами, как
и в обычном трансформаторе.
Применяя первый закон Кирхгофа к узлу а, получим *:
/'+ л = /2; /' = І2-Ц = кАЦ-Ц = Ц (кА-і) (41)
или
і' = І2-Іі=І2(і-±\ (42)
Ток Г создается э. д. с. Е2, индуктируемой в обмотке а — х,
и проходит через обмотку а — хи нагрузку (приемник). Следо¬
вательно, ток нагрузки состоит из тока Іѵ текущего непосред¬
ственно из первичной цепи, и тока Г=І2— создаваемого
э. д. с. Е2, т. е.
/2 = Л + Л (43)
Вторичную полную мощность автотрансформатора можно
представить в следующем виде:
C72Z2 = U2h + и21' = SM + SaM. (44)
* В данном случае сумму токов следовало был рассматривать как гео¬
метрическую сумму. Так как геометрическая сумма токов мало отличается от
алгебраической, то в дальнейшем будем брать алгебраическую сумму токов.
330
Это уравнение показывает, что вторичная мощность авто¬
трансформатора состоит из двух частей: мощности S3Jl=U2Iv
поступающей непосредственно из первичной цепи во вторичную,
называемой электрической мощностью, и мощности S3M=U2I',
передаваемой обмотке а — х путем трансформации при участии
магнитного потока; эту мощность называют электромаг¬
нитной мощностью. Выразим мощности 8ЗЛ и S3M через
мощность S2 = UJ2 и коэффициент трансформации /сА, т. е.
8Эл = и2Ц = U2I2-— = S2* — (45)
*А *А
И
S3M = U2f = £72(72-/0 = ^2(1(46)
\ Лд/ \ kAJ
Задачи
454. Катушка со стальным сердечником, размеры (сл^) которой
показаны на рис. 285, имеет число витков ір=2000. Сердечник
набран из листовой стали марки Э41. Изоляция между листами
равна 10% всего сечения. Построить кривую изменения тока
по времени, при этом не учитывая поте¬
ри в катушке, если она включается в
сеть с синусоидальным напряжением
U=G кв.
455. Катушка со стальным сердечником
включена в сеть с напряжением [7=127 в
и потребляет мощность 7\=200 вт при
токе 1^=Ьа. Эта же катушка при том же
напряжении, но вынутом стальном сердеч¬
нике, потребляет мощность Р2=80 вт
при токе /2=10я. Определить электричес¬
кие потери в катушке Р3 и в стали Рс и
построить векторную диаграмму.
456. По условию задачи 455 вычислить
для катушки параметры схемы замещения.
457. Катушка со стальным сердечником с указанными на рис. 286
размерами (см) имеет число витков w=120. Активное сопротив¬
ление катушки г=0,5 ом. Сердечник набран из трансформаторной
стали марки Э41 толщиной А=0,35 мм. Найти потери Рс в стали
и ток I в катушке, если она включена в сеть с синусоидальным
напряжением U=380 в и частотой /=50 гц.
Решение. Определим магнитный поток из выражения:
Е = 4,44/uXD(n,
331
откуда
Фт = -Е-
4,44/ір-
Так как падение напряжения бывает, как правило, невелико, то
им (в начале) можно пренебречь и считать, что тогда
Фт« —— = — = 0,01426 вб = 14,26-10» мкс.
4,44-50-120
Принимая изоляцию между листами, равной 10% всего се¬
чения, получим активное сечение сердечника (стержня):
5С = 11-11-0,9 = 108,9 см2.
Активное сечение ярма
5Я = 11 -12-0,9 = 118,8 см2.
Магнитная
Вс
Магнитная
Вя
индукция в сердечнике
Фт 14,26-ІО5 ,„,ПЛ , ...
= — = — « 13 100 гс — 1,31 тл.
Sc 108,9
индукция в ярме
Фт 14,26-ІО5 ,опт
= — = « 12 000 гс = 1,2 тл
8Я 118,8
По кривой намагничивания трансформаторной стали марок
Э41, Э42 и Э43 толщиной 0,35 и 0,5 мм (рис. 287) для индукции
Вс=13 100 гс=1,31 тл и
ВЯ=І2 000 гс=1,2 тл нахо¬
дим напряженности магнит¬
ного поля: Нс=-7 а/см и Ня=
=5 а/см. Магнитодвижущие
силы (м. д. с.), необходимые
для проведения магнитного
потока в стали сердечников
и ярем, будут равны:
Fc=Hc2lc = 7-2-25 =350 а;
2?я = Яя2/я = 5-2-15 = 150 а.
Теперь можно определить
реактивную составляющую
тока, затрачиваемую на соз¬
дание магнитного потока:
Fc [ Ря
~Ѵ'2іѵ V 2w
332
Эта формула справедлива только для тока, изменяющегося
по закону синуса, но если учесть наличие высших гармоник,
то предыдущая формула примет следующий вид:
1р : А" + РЯ--
~V2wkei v‘2wka
На основании кривой (рис. 288) находим кгі—1,16, кгг—1,11,
тогда
I = _ 350 + - 150 = 2,59 а.
* Ѵ2-120-1.16 Ѵ2-120-1,11
Вес сердечника
Ge = 2/с5су = 2 • 25 • 108,9 • 7,6 • 10" 3« 41,4 кг.
Вес ярем
= 2/я5яу = 2-15-118,8-7,6-Ю-3 =27,1 кг.
Рс.с=Ог~
Потери в стали сердечника определяем по формуле
Рт Y fl ■ а f / . рт \ _
100007 с+ в'т \100 10000/ с
= 24- — (13—У • 41,4 + 0,6 ( — • 1È222V. 41,4« 95,9 вт,
’ 100410000/ \Ю0 10000/
где ог =2,4; о0.т=0,6.
333
Потери в стали ярем
п 50<12000\2 <50 12000V _07
РС.Л = 2,4 -27,1 + 0,6-1 : -27,1^52,7^.
100410 000/ 4100 10 000/
Общие потери в стали
Рс = Рсс + ?с.я— 95,9 + 52,7 = 148,6 вт.
Активная составляющая тока
__РС~РС _ 148,6
а ~~Ё~ U ~
Ток в катушке
= 0,391 а.
380
% = Ѵ0,3912 + 2,592 = 2,62 а.
458. Катушка со стальным
рис. 289 размерами (см) имеет
сопротивление катушки г=0,45
сердечником с указанными на
число витков ір=250. Активное
ом. Сердечник набран из транс-»
Рис. 288
форматорной стали марки Э41 толщиной А =0,35 мм. Чему равны
потери Рс в стали и ток I в катушке, если она включена в сеть с си¬
нусоидальным напряжением £7=220 в?
459. Какой воздушный зазор Ô должна иметь магнитная цепь
катушки, размеры (см) которой изображены на рис. 290, если на¬
пряжение на зажимах катушки £7=60 в, ток в катушке 7 = 15 а,
магнитная индукция в сердечнике В=0,65 тпл=6500 гс и сечение
£=50 слі2? Сердечник набран из трансформаторной стали марки
Е41.
460. Однофазный трансформатор номинальной мощностью £и =
= 600 кѳа включен в сеть с напряжением С71 = 10000в. При холостом
334
ходе трансформатора напряжение на зажимах его вторичной об*
мотки * U2x=i00 в. Определить коэффициент трансформации к.
461. По условию задачи 460 найти число витков wi первич¬
ной обмотки, если известно, что число витков вторичной обмотки
і^2=32.
462. Однофазный трансформатор номинальной мощностью SH=
=600 ква имеет число витков первичной обмотки 1^=480 и вторич¬
ной ір2=32. Напряжение на зажимах первичной обмотки при холо¬
стом ходе С71=6000 в. Найти напряжение
U2x на зажимах вторичной обмотки.
463. По условию задачи 462 опреде¬
лить ток І2 вторичной цепи, а также
найти плотности тока ôj и ô2 в первичной и
вторичной обмотках, если первичная и
вторичная обмотки имеют по две парал¬
лельных ветви и сечения проводов соот¬
ветственно равны: st=13,3 мм2 и s2=
=208 мм2.
464. Однофазный трансформатор но¬
минальной мощностью 5к=600 ква вклю¬
чен в сеть с частотой /=50 гц. Вычислить
э. д. с. Е'ѵ Еѵ Е"х в первичной обмотке,
э.^д. с. £2во вторичной обмотке, если ак¬
тивное сечение стержня и ярма 5С=5Я=395 см2, наибольшая
магнитная индукция в стержне 5С = 1,465 тпл=14 650 гс, число
витков первичной обмотки irt=779 ± 5% и вторичной ір2 = 18.
465. Однофазный трансформатор номинальной мощностью
SH=2 ква включен в сеть с напряжением [7^380 в, напряжение
на зажимах его вторичной обмотки при холостом ходе С72 = 120 в.
Определить число витков обеих обмоток и ір2, если активное
сечение стержня Sс=47,7 см2, наибольшая магнитная индукция в
стержне Вс = і,01 тл = 10 100 гс и частота /=50 гц.
466. По условию задачи 465 определить напряжение U2 при
холостом ходе и магнитную индукцию Вс в стержне трансформа¬
тора, если последний по ошибке был приключен со стороны низ¬
шего напряжения к сети высшего напряжения ^=380 в.
467. Трехфазный трансформатор имеет следующие данные:
номинальная мощность 5к=50 ква; высшее напряжение —
=20 000 ±5% в; низшее напряжение С72 = 230 в\ группа соедине¬
ния Л/Уо—11, активное сечение стержня и ярма SC=Sя =98,3 см2\
наибольшая магнитная индукция в стержне 5Г=1,355 тл =
= 13 550 гс. Найти число витков на фазу обмоток высшего и низ¬
шего напряжения іѵг и ір2, а также число секционированных вит¬
ков.
* В последующих задачах напряжение на зажимах вторичной обмотки
при холостом ходе будем обозначать U2 вместо U2X.
335
Решение. При холостом ходе падение напряжения очень
мало, поэтому им можно пренебречь, тогда:
Е^ Ut = 20 000 в; Е2 = ^== 133 в.
Уз Уз
Э. д. с., индуктируемая в каждой фазе обмотки высшего напря¬
жения,
Еі = 4,44/іРіФ^.
Так как при расчете трансформаторов пользуются понятием
э. д. с., индуктируемой в одном витке,
^=4,44/0^ = 4,44/5^,
то предыдущая формула примет следующий вид:
Еі =EwWi.
Подставляя данные значения в выражение э. д. с., индукти¬
руемой в одном витке, получим:
Ew = 4,44 - 50 • 1,355 • 98,3 • 10~4 « 2,95 в.
Число витков на фазу первичной обмотки высшего напряжения
Е, 20 000
Ew 2,95
Так как трансформатор имеет регулировку напряжения на
±5%, то полное число витков на фазу будет равно:
w\ = Wi + 0,05u?i = 6780 + 0,05-6780= 7119.
Число секционируемых витков
і (^і —^і) = ± (7119 —6780) = і 339.
Следовательно, число витков по обе стороны от среднего поло¬
жения будет равно:
2-339 =678.
фазу обмотки низшего напражения
Е2 133 _
w2 = — = « 45.
Ew 2,95
трансформатор имеет следующие данные:
Число витков на
468. Трехфазный
номинальная мощность 5к=420 ква, высшее напряжение Ut=
=10 000^5% в, низшее напряжение С72=400 в, группа соедине¬
ния Y/Yo— 12; активное сечение стержня 5С=279 см2] наибольшая
магнитная индукция в стержне 5С=1,435 тл=14 350 гс. Опреде¬
336
лить число витков на фазу обмоток высшего и низшего напряже¬
ния wi и w2, а также число секционированных витков.
469. Однофазный трансформатор имеет следующие данные:
номинальная мощность 5я=600 ква; высшее
=60004:5% в; низшее напряжение /72 = 400 в;
активное сечение стержня и ярма 3С=8Я=
=395 см2; наибольшая магнитная индукция в
стержне и ярме 5С=5Я=1,425 тпл=14 250 гс;
высота окна Л=74 см; расстояние между
осями стержней (рис. 291) пг=46 см; диаметр
стержня D=25,5 см. Магнитная система соб¬
рана внахлестку и выполнена из трансфор¬
маторной стали марки Е42, толщина листов
Д=0,5лмі. Вычислить потери холостого хода
Рх, ток холостого хода I х, ток холостого
хода в процентах от номинального тока,
если удельные потери в стали р10 = 1,6 вт/кг
и удельный вес ее у=7,6 кг/дм3.
Решение. Полная м. д. с. определяет-
напряжение U^
ся по формуле:
F = Fc + /\ + Fô = НС1С + НЯ1Я + 0,8ôfi =1/2 IхрЩ (47)
где^с — м. д. с., необходимая для проведения магнитного по¬
тока через стержни трансформатора;
F я — м. д. с., необходимая для проведения магнитного по¬
тока через ярмы;
Fô — м. д. с., необходимая для проведения магнитного по¬
тока через воздушные зазоры;
НспНя — напряженности магнитного поля в стержне и в ярме
(для данной магнитной индукции);
Іс — средняя длина линии магнитной индукции в стержнях;
Іл — средняя длина линии магнитной индукции в ярмах;
ô — общая длина воздушных зазоров;
Z — реактивная составляющая тока холостого хода, затра¬
чиваемая на создание магнитного потока;
и) — число витков намагничивающей обмотки (чаще всего
при испытании трансформаторов намагничивающей об¬
моткой является обмотка низшего напряжения);
В — магнитная индукция в воздушном зазоре.
Так как кривые намагничивания сняты при постоянном токе,
то для получения действующего значения переменного тока в фор¬
мулу введен множитель Y2.
Эта формула справедлива только для тока, изменяющегося
по закону синуса, но, как известно из курса трансформаторов,
ток холостого хода не синусоидален, поэтому при расчете транс-»
форматоров вводят в предыдущую формулу поправочный коэффи¬
337
циент /сг, который учитывает наличие гармоник в кривой намагни¬
чивающего тока; этот коэффициент зависит от величины магнитной
индукции и сорта стали; он может быть определен по кривой на
рис. 288. Следовательно, предыдущая формула примет следующий
вид:
F = НС1С + НЯ1Я + 0,80 В = V2kJxpw. (48)
Будем вести сначала расчет по первой формуле, т. е. условно
считать, что ток изменяется синусоидально.
Средняя длина линии магнитной индукции в стержнях
/с^ 2 (Л + D) = 2 (74 + 25,5) = 199 см.
Средняя длина линии магнитной индукции в ярмах
Ія — 2т =2-46 =92 см.
При сборке внахлестку воздушный зазор принимается равным
=0,0035 см, а так как их четыре, то общая длина воздушных за¬
зоров будет равна:
ô = 46 ! = 4-0,0035 = 0,014 см.
Определим м. д. с., необходимую для проведения магнитного
потока в стали стержней и ярем; по кривой намагничивания
(рис. 287) для магнитной индукции 5 = 1,425 тл=14 250 гс находим
напряженность магнитного поля НС=Ня=25 а/см^
Следовательно,
5С= ЯЛ =25-199^4 980 а\
Ря = НЯ1Я = 25-92 = 2300 а.
М. д. с., необходимая для проведения магнитного потока через
воздушные зазоры,
Fô = 0,805 =0,8-0,014-14250 = 159,6 а.
Определим число витков вторичной обмотки трансформатора
из соотношения:
52 = 4,44/ш2Фт = 4,üfiv2BcSc,
откуда
52 400 ~ _
ір2 — — 32.
4,44/ад 4,44 • 50 • 1,425-395-10 ~4
Теперь можно найти реактивную составляющую тока холо¬
стого хода, затрачиваемую на создание магнитного потока:
т 5С + 5Я + 56 4980 + 2300 + 159,6 . Q
Іхр = = = — = 164,9 а.
Ѵ2ір Ѵ2-32
338
Потери в стали на вихревые токи и гистерезис определяем по
формуле
(J. \ 1,3 / D \ 2
é/ \îov Gleml (49)
где Вт— наибольшая магнитная индукция в стали, гс;
G — вес стали, кг',
Ріо— удельные потери в стали.
При частоте /=50 гц формула примет следующий вид:
/о \2
G: <5°)
\10 J
Вес двух стержней
Gc = 2hScyl0 - 3 = 2 • 74 • 395 • 7,6 • 10 - 3« 444 кг.
Вес двух ярем
6я=2(иг£я+еду-Ю’3 =2(46-395 4-20,4-395)-7,6-ІО-3 «399 кг,
где Ья «0,8D=0,8-25,5=20,4 см — ширина листов ярма.
Потери в стали в двух стержнях
D , _/14 250\2 ,,, ,„9
Рсс = 1,6 I— • I -444« 1442 вт.
Потери в стали в двух ярмах
/14 25О\2
Рс я = 1,6 IZrïï -399 = 1296 вт.
\ 10 /
Потери холостого хода
Рх = 1,08(Рс.с+ Рея) = 1,08(1442 + 1296)« 2960 вт.
Активная составляющая тока холостого хода
Т Рх 2960 _ ,
Іха = — = = 7,4 а.
U2H 400
Ток холостого хода
Іх = Ѵі2а + І2хр = Ѵ7,42+164,92 = 165 а.
Номинальный ток
T S H
І2н = тГ =
^2h
600-103 ,CAA
= = 1500 a.
400
Ток холостого хода в процентах от номинального
lx% = Ll 100 = — • 100 = и %.
i2n 1500
339
Ток холостого хода получился немного большим *, так как
не принят в расчет поправочный коэффициент на высшие гармо¬
ники. Если ввести этот поправочный коэффициент в расчет намаг¬
ничивающего тока, взяв его значение по кривой рис. 288 (кг =1,29)
для индукции 5=1,425 тпл=14 250 гс, то реактивная составляю¬
щая тока холостого хода, затрачиваемая на создание магнитного
потока, будет равна:
т 164,9
1хр — — 12/, 8 о,.
Р 1,29
В этом случае ток холостого хода будет равен:
Іх «= + І2Хр = Ѵ7,42 4- 127,82 = 127,9 а.
Ток холостого хода в процентах от номинального
Іх% = -k. 100 = 8,53%.
І2П 1500
Коэффициент мощности холостого хода
Рх 2960
cos = = « 0,06.
U2HIX 400-127,9
470. Однофазный трансформатор имеет следующие данные:
номинальная мощность SH =33 ква; высшее напряжение ^=380 в;
низшее напряжение С72=220 в; активное сечение стержня 5С=86
см2; активное сечение ярма 8Я =88 см2; наибольшая магнитная
индукция в стержней ярме 5С=5Я=1,11 тпл=11 100 гс; высота
окна Л=30,5 см; расстояние между осями стержней (рис. 291)
т = 26 см; диаметр стержня 5=12 см. Магнитная система собрана
внахлестку и выполнена из трансформаторной стали марки Е42;
толщина листов Д=0,5 мм. Определить потери холостого хода Рх,
ток холостого хода /х, ток холостого хода в процентах от номи¬
нального тока, если удельные потери в стали />10=1,3 втп/кг и
удельный вес ее у=7,6 кг/дм3.
471. Трехфазный трансформатор имеет следующие данные:
номинальная мощность Sn =75 ква, высшее напряжение и{=
=6000±5% в; низшее напряжение С72=230 в; группа соединения
У/Уо—- 12; высота окна Л=22,5 см; расстояние между осями стерж¬
ней тп=28 см; диаметр стержня 5=140 см; активное сечение стерж¬
ня 5С=117,3 см2; наибольшая магнитная индукция в стержне
5С=1,42 тпл=14 200 гс; коэффициент усиления ярма кя =1,193.
Вычислить потери Рс в стали сердечника трансформатора, если
удельные потери в стали р10=1,3 вт/кг и удельный вес ее у =
= 7,6 кг!дм3.
* По сравнению с данными ГОСТ 401—41.
340
472. Трехфазный трансформатор имеет следующие данные:
номинальная мощность SH =20 квад частота /=50 гц\ высшее на¬
пряжение U 100±5% в; низшее напряжение С72=220 е; груп¬
па соединения Y!Y0—12; напряжение короткого замыкания ик =
=5,5%; потери холостого хода Рх=180 вт\ потери короткого за¬
мыкания Рк =600 вт. Найти коэффициент полезного действия ц
при номинальной нагрузке и коэффициентах мощности cos ф2 = 1
и cos ф2=0,8.
473. Построить кривые коэффициента полезного действия ц
трехфазного трансформатора в функции от его полезной мощности
Р2[Л=/(^2)] при коэффициентах мощности cos ф2=1 и cos ф2=0,8,
если известны следующие данные трансформатора: номинальная
мощность 5к=560 ква\ высшее напряжение =35 000^5% в\
низшее напряжение ?72 = 400 в\ группа соединения Y/YQ— 12;
напряжение короткого замыкания и*=5%; потери холостого хода
Рх=3380 вт\ потери короткого замыкания Рк=9520 вт\ частота
/=50 гц.
474. Трехфазный трансформатор имеет следующие данные:
номинальная мощность 5к=320 ква\ высшее напряжение Ur=
=60003)25% в\ низшее напряжение С72=230 в\ группа соединения
Д/Уо— 11; частота /=50 гц. Определить наибольшее значение
к.п.д. и мощность, при которой он получается, если потери хо¬
лостого хода Рх=1,7 кет. а потери короткого замыкания Рк =
=5,7 кет.
Решение. Коэффициент полезного действия трансформа-»
тора для любой нагрузки можно представить в таком виде:
__ COS ф2 _ Р5М cos ф2
COS ф2 + Pc + Р2Рэ Р^Н COS ф2 + Рх + р2Р«
где р — коэффициент загрузки трансформатора (равен отноше¬
нию данной нагрузки к номинальной);
РС~РХ— потери в стали трансформатора;
РЭ^РК— потери в меди обмоток трансформатора.
Чтобы получить наибольшее значение к.п.д., необходимо
взять производную от этого выражения по переменной р и при¬
равнять производную нулю:
dï) _ £НСО S ф2(Р^нСО 5фг + -Рх + Р2Рк) —Р5КСО 8ф2(5нСО 8ф2 +2рРк) = g
dp (PSK со s ф2 + Рх + р2/*к)2
откуда
Рх = Р2РК.
Из полученного выражения видно, что к.п.д. трансформатора
достигает наибольшего значения тогда, когда переменные потери
равны постоянным, т. е. электрические потери в обмотках транс¬
форматора равны потерям в стали.
341
Следовательно, для нашего трансформатора к.п.д. достигает
наибольшего значения при
1700 ns/r
= 0,546,
5700
т. е. при 54,6% номинальной нагрузки.
Мощность, отдаваемая трансформатором при созф2=1,
Р2 = cos ф2 = 0,546-320- ІО3-1 = 174 700 вт = 174,7 кет.
К. п. д. при коэффициенте мощности cos ф2 = 1
= COS <р2 = I Рх + Р2Рк =
0і£к COS q>2 + Рх + Рк COS ф2 + Рх + р2^к
1 = ! 2^22 » 0.981
cos <р2 + 2Рх 0,546-320-ІО3-1+2-1700
ИЛИ
гц =98,1%.
Мощность, отдаваемая трансформатором при cos ф2=0,8,
P2=p5Hcos ф2=0,546-320-10’.0,8=139 800 emœiAO кет.
К. п. д. при коэффициенте мощности cos <р2=0,8:
л 2Рх л 2-1700
'іъ = 1 = 1 5 ~ 0,976
1 р5н со s ф2 + 2РХ 0,546 • 320 • ІО3 • 0,8 + 2 • 1700
или
Г]2 = 97,6%.
475. Трехфазный трансформатор имеет следующие данные:
номинальная мощность 5к=420 ква\ высшее напряжение U4 =
= 10 000^5% в; низшее напряжение С72=400 в\ группа соедине¬
ния Y/Yq—12; частота /=50 гц. Вычислить наибольшее значе¬
ние к. п. д. и мощность (для COS ф2=0,8 и COS ф2 = 1), при которой
он получается, если известно, что потери холостого хода Рх =
=2,1 кет, а потери короткого замыкания Рк=7,7 кет.
476. Однофазный трансформатор включен в сеть с напряжением
^=380 в и питает лампы накаливания (cos Ф2 = 1) при напряжении
U2=120 в. Найти ток Ц в первичной обмотке и потери короткого
замыкания трансформатора Рк, если коэффициент мощности пер¬
вичной цепи cos ф4=0,97, потери холостого хода Рх=40 вт> к.п.д.
т]=95,3% и ток 72=16,7 а.
477. На рис. 292 изображен график суточной нагрузки силового
трехфазного трансформатора, который имеет следующие данные:
номинальная мощность 5н=320 ква\ высшее напряжение L\=
342
=6000±5% в; низшее напряжение С72 = 230 в; группа соединения
bJYQ— 11; потери холостого хода Рх=і,6 квпг, потери короткого
замыкания Р*=6,07 кет; напряжение короткого замыкания ик=
=5,5%, частота /=50 гц. Определить суточный коэффициент по-*
лезного действия г)с при номинальной нагрузке, а также вычис¬
лить разницу между коэффициентом полезного действия по мощ¬
ности т] при номинальной нагрузке и суточным коэффициентоіѵі
полезного действия по энер¬
гии т%, если средний коэффи¬
циент мощности cos ф2=0,75.
478. Построить внешнюю
характеристику U2— / (72) трех¬
фазного трансформатора при
cos ф2=0,8. Данные трансфор¬
матора следующие: номиналь¬
ная мощность SH=5 ква\ высшее
напряжение U^=6300±5% в\
низшее напряжение С72л.=220 в\
группа соединения Y/YQ— 12;
потери холостого хода Рх=60
вт\ потери короткого замыка¬
ния Ру = 185 вт\ напряжение
короткого замыкания utf=5,5% ;
частота /=50 гц.
Решение. Чтобы пост¬
Рис. 293
роить внешнюю характеристи¬
ку, необходимо определить изменение напряжения для несколь¬
ких нагрузок, например 5/4, 4/4, 3/4, 2/4 и 1/4 от номинальной
мощности трансформатора.
Из теории трансформаторов известно, что изменение напряже-»
ния можно определить графическим или аналитическим методом.
343
В первом методе пользуемся диаграммой короткого замыкания
(рис. 293), из которой определяем отрезки т и п. Построение диа¬
граммы видно из рис. 293 и не требует пояснений. Зная отрезки
Tn и п, можно определить изменение напряжения по формуле
п2
ДС7% =т + —. (51)
200
Из этой формулы легко можно получить формулу для анали¬
тического определения изменения напряжения.
Из рис. 293 имеем:
т = ОС = ОЕ + ЕС = иа cos <р2 + up sin ф2;
п = АС = AD — CD = ир cos ф2 — иа sin ф2.
Подставляя значения т и п в формулу (51), получим:
АГ70/ . • , (Цр cos ф2 — иа sin ф2)2
Д U% = U a COS ф2 + Up sin ф2 + — "~2Qq 9
Последним членом ввиду его малой величины часто пренебре¬
гают. Следовательно, как для графического, так и для аналитиче¬
ского определения изменения напряжения нужно знать активную
и реактивную составляющие напряжения короткого замыкания
И Up.
Напряжение короткого замыкания, выраженное в процентах
от номинального, равно:
u Ѵн.юоо^.
Un
Реактивная составляющая напряжения короткого замыкания
U =^5.100%.
Un
Активная составляющая напряжения короткого замыкания
г I г 1% Р
и С^юо =C±Ùi_.100 = —100%.
UH UHIH SH
Напряжение короткого замыкания можно выразить через ее
составляющие:
77^ == 1/Ua -f- Up.
P 18^
= f-MOO = —ч. 100 = 3,7 % ;
Sn 5-103
Up = Vu2—u2 = V5,52 —3,72 = 4,07%.
344
Определим изменение напряжения * графическим методом;
для этого строим диаграмму короткого замыкания (рис. 293),
из которой находим:
т = 5,4% и п = 1,1 %,
тогда
1 1^
ДС7% = ДС71% = w + — = 5,4 + — = 5,406%« 5,41%.
200 200
Напряжение на зажимах вторичной обмотки
и2 =U2x(i — = 220 fl —= 208 в.
\ 100 / \ 1007
Определим изменение напряжения аналитическим методом:
А 770/ А ГТ 0/ 1 • ,( Up COS ф2—и а sin <р2)2
àU% = Д?7\% = иа cosœ2 + Up sinœ2 + ———— — =
р ’ 200
= 3,7-0,8 + 4,07-0,6 + (4і°—^8"3,7-.’-^ =
200
= 5,4 + 0,005 = 5,405« 5,41 %.
Из полученного результата видно, что последним слагаемым
можно пренебречь ввиду его малой величины, тогда получим:
Д£7% = иа cos ф2 + ир sin ф2-
Этой формулой будем пользоваться в дальнейших наших рас¬
четах. Данная формула показывает, что изменение напряжения
прямо пропорционально току, а следовательно и нагрузке.
1
Таким образом, при нагрузке S2= изменение напряжения
равно:
Напряжение на зажимах вторичной обмотки
ТТ ТТ (А Д^2%\ 99л (А 1,35\ 947
U2 = с/2х 1 — — 220 1 = 217 в.
\ 100 J <100/
При нагрузке
с _ 2 с __ 1 с
ô2 -ом —
4 2
* Для номинальной нагрузки.
345
имеем:
ДС73% = AZ2È. = 2,7%;
2і 2
U2 = U2x(l — = 220fl -АГ) = 214в.
\ 100 J \ 100/
з
При нагрузке S2=-^ SH имеем:
ДС74% =3^^ = = 4,06% ;
4 4
тт ТТ ( 1 ДС74%А 99пЛ 94 4
U 2 = С/2х 1 — 1 = 211 в.
\ 100 J \ 100/
На основании полученных данных строим кривую U2=f (72)t
как показано на рис. 294?
479. Построить внешнюю характеристику С72=/(72) трехфаз¬
ного трансформатора при cos ф2=0,8. Данные трансформатора
следующие: номинальная мощность 5^=50 ква\ высшее напря¬
жение £^=3000^5% в\ низшее напряжение Z7x=230 в\ группа
соединения YIY0 —12; потери холостого хода Рж=350 вш\ потери
короткого замыкания Р*=1325 вш\ напряжение короткого замы¬
кания ик =5,5%, частота /=50 гцч
346
480. Однофазный трансформатор имеет следующие данные:
5н=20 ООО ква\ 121/38,5 кв\ Рх=^1 кѳт\ Р*=129 квт\ и*=10,5%.
Построить внешнюю характеристику t/2=/(72), если трансфор¬
матор питает активную нагрузку (cos <р2 = 1).
481. По данным задачи 480 определить коэффициент полез¬
ного действия при номинальной и половинной нагрузке.
482. Однофазный трансформатор с номинальной мощностью
5н=1067 кеа имеет число витков первичной и вторичной обмоток
соответственно равным: и?1=301 и ір2 = 164; активное сечение
сердечника 5С=595 см2. Вычислить наибольшую магнитную ин¬
дукцию Вс в сердечнике трансформатора, активную и реактивную
составляющие напряжения короткого замыкания иа и ир и э.д.с.
Е2, индуктируемую во вторичной обмотке, если первичная обмотка
Т7 10 000
включена в сеть с напряжением с/А=- — в, напряжение корот¬
кого замыкания ик =5,5% и потери короткого замыкания трансфор¬
матора Рк=і ,45 кет.
483. Трехфазный трансформатор имеет следующие данные:
номинальная мощность 5м=1000 ква\ высшее напряжение
UY=6000±5 % е; низшее напряжение С72=400 е; частота /=50 гц,
группа соединения Д/У—И; напряжение короткого замыкания
ик=5,5%. Найти число витков на фазу wl и w2 первичной и вторич¬
ной обмоток, активную и реактивную составляющие напряжения
короткого замыкания иа и ир, если магнитный поток в сердечнике
трансформатора Фот=547,4-10”4 еб и потери короткого замыкания
трансформатора Р*=15 кет.
484. Однофазный трансформатор имеет следующие данные:
2 кеа} 500/110 в; 4/18,2 а; мощность при холостом ходе Рх=38,3 вт,
а при короткозамкнутой вторичной обмотке мощность Рк=55,5 вт,
при токе =4 а. Чему равны коэффициент трансформации
А, активное сопротивление короткого замыкания гк трансформа¬
тора, приведенный коэффициент добавочных потерь kr, активные
сопротивления гі и г2 обмоток и к.п.д. ц при активной нагрузке
347
(cos ф2 = 1), если сопротивления обмоток при постоянном токе
г1о=2,О2 ом и г2о=О,О699 ом?
485. При испытании однофазного трансформатора 333 кеа,
20 200/6000 в. 16,5/55,5 а были получены следующие данные при
опыте холостого хода: С/2=6000 в\ Іх=3,47 а\ Рх=2100 втп, а при
опыте короткого замыкания: С/2* =384,4 в\ І2к=І2н=55,5 а\
Р*=5490 вт. Определить параметры схемы замещения транс¬
форматора (рис. 295), если сопротивления обмоток при
постоянном токе
Решение.
трансформатора
г1о=1О,5 ом и г20=0,785 ом.
Активное сопротивление короткого замыкания
К ~ 72
*2к
Рк 5490
— 5= 1,782 ом.
55,52
Коэффициент трансформации трансформатора
. , = К1 = 2_2а20 = 3,366.
и2 6000
Сопротивление трансформатора при постоянном токе
г0 = ÿ + r20 = + 0,785 = 1,711 ом.
kr 3,366
Приведенный коэффициент добавочных потерь
kr = ù. = IdÊÊ = 1,041.
го 1,711
Активное сопротивление первичной обмотки
ri = krriQ = 1,041 • 10,5 = 10,93 ом.
Активное сопротивление вторичной обмотки
г2 = krr2Q = 1,041-0,785 = 0,817 ом.
Полное сопротивление короткого замыкания трансформатора
U2K 384,4 „QQ
zK = » 6,93 ом.
І2к 55,5
Индуктивное сопротивление короткого замыкания трансфор¬
матора
Хк = Vz2 — = Ѵб,932 —1,7822» 6,7 ом.
Индуктивное сопротивление рассеяния вторичной обмотки
, X 6 7
Ж2=Х1=^=±1=3,35<ж.
2 2
348
Индуктивное сопротивление рассеяния первичной обмотки
Хі = /Лгі = 3,3662-3,35æ 38 ом.
Полное сопротивление ветви (контура) намагничивания схемы
замещения трансформатора
~ и2 6000 .790
' zx = — = = 1729 ом.
Іх 3,47
Коэффициент мощности холостого хода
Рх 2100 Л |П.
co s œx = = & 0,101.
Y U2IX 6000-3,47
Активное сопротивление ветви (контура) намагничивания
схемы замещения трансформатора
гі2« гх = zx-cos срх = 1729-0,101 = 174,6 ом.
Индуктивное сопротивление ветви (контура) намагничивания
схемы замещения трансформатора
£х = zx sin <рх = 1729-0,995 = 1720 ом.
486. По условию задачи 485 построить для трансформатора
векторную диаграмму для номинального тока и коэффициента
мощности cos ф2=1.
487. В задаче 485 опреде¬
лить напряжение на зажимах
вторичной обмотки при но¬
минальном токе /2к=55,5 а
и коэффициенте мощности
cos <р2=0,8 для индуктивной,
активной и емкостной на-»
грузок.
488. Однофазный транс¬
форматор номинальной мощ¬
ностью 5К=1867 ква имеет
напряжение короткого замы¬
кания и*=7,5%. Каково из¬
менение напряжения транс¬
форматора при активной на¬
грузке (cos <р2=1), при индуктивной нагрузке и cos <р2=0,8, ем¬
костной нагрузке и cos ф2=0,8, если потери короткого замыкания
трансформатора Рк =22 квті
489. Определить изменение напряжения Д U% трехфазного труп-»
нового трансформатора при номинальной нагрузке и коэффициент
те мощности cos <р2=0,8 для индуктивной и емкостной нагрузок,
если известно, что номинальная мощность 5к=3-600 ква, высшее
напряжение Ul=6000±5% в, низшее напряжение U2=iOQ в,
349
напряжение короткого замыкания і^=5,5%, группа соединения
Д/Д — 12, потери холостого хода Рх=3-3000 вт, потери короткого
замыкания Z\=3-9500 вт и частота /=50 гц.
490. Два трехфазных трансформатора включены на параллель¬
ную работу. Данные трансформаторов следующие:
Номинальные данные
I трансформатор
II трансформатор
k
и,
ик
иа
Группа соединения
30 кв а
3000 ±5% в
230 в
5,5%
2,84%
У/Уо—12
10 ква
3000±5% в
230 в
5,5%
3,35%
У/У.-12
Определить ток каждого трансформатора Іх и Zn, если ток в
сети /=90 а.
Решение. Из курса трансформаторов известно, что если
напряжения короткого замыкания трансформаторов равны, то
они будут нагружены в одинаковой степени; но так как активные
составляющие напряжений короткого замыкания разные, то оче¬
видно, что токи их будут сдвинуты по фазе на угол <р t—(р^и (рис.
296).
Соотношение между токами трансформаторов
Л £?іі _ 30 _
Іц ^ніі 10
откуда
/i=3Zn.
Из диаграммы рис. 296 имеем:
Z = VIj + Ііі + 2/jZn cos (фкі — фкіі) =
= V(3-Zn)2 + Zn +6Z11 cos((pKi —фкп);
ual 2,84
cos <pKl = = = 0,516;
uK I 5,5
фкі œ 59°.
uall 3,35 л ллп.
cos фкп = = = 0,609;
ик и 5,5
фкіі = 52 30.
Подставляя найденные значения, получимі
cos (<рКІ — фин) = cos (59° — 52°30) = 0,994;
I = /ПѴ9 + 1 + 6-0,994« 47ц,
350
отсюда найдем ток второго трансформатора:
т I 90 г
/и = — = — = 22,5 а,
4 4
Ток первого трансформатора
Іт = 3/п = 3-22,5 = 67,5 а.
491. Два трехфазных трансформатора включены на параллель¬
ную работу. Данные трансформаторов следующие:
Номинальные данные
I трансформатор
II трансформатор
SH
30 ква
50 ква
и.
3000 ±5% в
3000±5% в
230 в
230 в
ик
5,5%
5,5%
иа
2,84%
2,65%
Группа соединения
У/У.-12
У/Уо—12
Чему равен ток каждого трансформатора и 7И, если ток
в сети /=150 а?
492. Параллельно включены три трансформатора, имеющие
следующие мощности и напряжения короткого замыкания: пер¬
вый трансформатор 5j=1800 ква\ икХ=&^%\ второй трансформа¬
тор 5и=3200 квад ики=7%*, третий трансформатор 5ш=5600 ква\
utfin=7,5%. Как распределится между ними суммарная мощность
5=10 600 ква и на сколько процентов будет нагружен каждый
трансформатор?
Решение. Приведем напряжения короткого замыкания
всех трансформаторов к мощности первого трансформатора:
иКІ = икі — = 6,5- =6,5% ;
5Т 1800
' 5j 7 1800 о п/о/
иКІІ = икіі — = 7 « 3,94%,
5П 3200
' S I _ _ 1800 9/4 0/
wkiii = икіп — = 7,5 • = 2,41 %.
5in 5600
Приведенная мощность
s' = s-,
V
351
где
11 111 1
/cI=2_+J_+_2_ = ±+ _L_+2_ = 0,823;
ukI ukII
S'=*
*1
1.1.1 ЛППП,
6,5 3,94 2,41
10 600 ,ПООЛ
= « 12 880 ква.
0,823
Нагрузка между трансформаторами распределяется следующим
образом:
для первого трансформатора
S 12 880 ,no.
*Sj = — =—;~ 1981 ква, т. е. перегрузка на 10,1%;
икі 6,5
для второго трансформатора
S 12 880 оолп П4ГП/
= ~г— = =3269 ква, т. е. перегрузка на 2,15%;
иКІІ 3,94
третьего трансформатора
*$' 12 880 , ,сп/
5ooU ква, т. е. недогрузка на 4,46%.
Sn
Для
*$ПІ = z
wKiii 2,41
Отсюда
S = $1 4- *$іі 4“ *^iii = 1981 4~ 3269 4~ 5350 = 10 600 ква,
493. Параллельно включены три трансформатора, имеющие
следующие мощности и напряжения короткого замыкания:
первый трансформатор *$,=420 ква; икі=5,5%;
второй трансформатор *$„=320 ква; игП=5,5%;
третий трансформатор *$„,=320 ква; икШ=5%.
Как распределится между ними суммарная мощность 5 =
= 11 000 ква и на сколько процентов будет нагружен каждый
трансформатор?
494. При холостом ходе однофазного автотрансформатора бы¬
ли получены следующие данные: мощность Р*=79,5 вт; ток
/х=0,76 а; напряжение на зажимах первичной обмотки С71=220 в;
напряжение на зажимах вторичной обмотки С72=127 в. Определить
коэффициент мощности cos холостого хода и число витков
w2 вторичной обмотки, если число витков первичной обмотки
№1=157.
495. Трехфазный автотрансформатор мощностью *$н=560 ква,
6300±5%
напряжением ——в, группа соединения Y/У имеет активное
сечение сердечника *$с=154,5 слі2 и наибольшую магнитную ин¬
дукцию в сердечнике Вс=1,32 тпл=13 200 гс. Вычислить наиболь¬
ший магнитный поток Фт, число витков на фазу іг1 и первичной и
352
вторичной обмоток, коэффициент полезного действия ц при номи¬
нальной нагрузке и коэффициенте мощности cos ф2 = 1, если
потери холостого хода Рх=723 етп, а потери короткого замыкания
автотрансформатора Рк =1965 етп и частота /=50 гц.
496. При испытании однофазного трансформатора 6,6 ква,
110/65 в, 60/101,5 а были произведены опыты холостого хода и
короткого замыкания. При опыте холостого хода были получены
следующие данные: ^7±=110 в; /х=2,83 а\ Рх=&2 впг и U2x=65 в\
при опыте короткого замыкания: С71ѵ=8,2 в\ 11яг=60 а и /^=213 впг.
Найти коэффициент трансформации Л, потери в стали Рс,
коэффициент мощности cos <px холостого хода, активное, индук¬
тивное и полное сопротивления короткого замыкания гк, хк и z*
трансформатора, коэффициент мощности cos ф* короткого замыка¬
ния, коэффициент полезного действия ц при номинальной нагруз¬
ке и коэффициенте мощности cos ф2=1; построить треугольник
короткого замыкания трансформатора.
Глава двенадцатая
АСИНХРОННЫЕ ДВИГАТЕЛИ
1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АСИНХРОННОМ ДВИГАТЕЛЕ
Асинхронным двигателем называется двигатель
переменного тока, у которого скорость вращения ротора при по-* *
стоянной частоте тока в сети изменяется в зависимости от нагруз¬
ки.
Асинхронный двигатель состоит из двух основных частей:
неподвижной — статора и вращающейся — ротора. По
устройству ротора асинхронные двига-
х' \ тели делятся на два основных типа: 1) с
фазным ротором (с контактными
кольцами) и 2) с короткозамкну¬
тым ротором.
X. s' Обмотки машин переменно»
го тока можно разделить на три
• • • группы: 1) к ату шечные, 2) стерж-
Рис. 297 невые и 3) специальные. К спе¬
циальным обмоткам относятся: а) ко¬
роткозамкнутая обмотка в виде беличьей клетки; б) обмотка
асинхронного двигателя с переключением на разные числа полю¬
сов; в) обмотка асинхронного двигателя с противосоединениями
и т. д. Кроме вышеуказанного деления, обмотки отличаются по
ряду других признаков, а именно:
1) по характеру исполнения — ручные, шаблонные и
полушаблонные; 2) по расположению в пазу — одно¬
слойные и двухслойны е; 3) по числу пазов на полюс и
фазу — обмотки с целым числом q пазов на
полюс и фазу и обмотки с дробным числом q.
Витком называется контур, образованный двумя последо¬
вательно соединенными проводниками.
Секция, или катушка, представляет собой ряд последо¬
вательно соединенных витков, лежащих в двух пазах и имеющих
общую изоляцию от корпуса. Катушка имеет две активные сторо-
354
ны. Левую активную сторону называют началом катуш¬
ки, а правую — концом катушки (рис. 297). Расстояние меж-*
ду активными сторонами катушки называется шагом катушки
(г/). Шаг у можно измерять или числом зубцовых делений или в
долях полюсного деления *. Шаг катушки называется диамет¬
ральным, если он равен полюсному делению т, и с о к ра¬
щен н ы м, если он меньше полюсного деления т, так как шаг у
больше полюсного деления не делают.
Число пазов статора
Zi = 2pqimi, (1)
где Zt— число пазов статора;
— число пазов на полюс и фазу статора;
ті— число фаз статора;
р — число пар полюсов двигателя.
Число пазов ротора
Z2 = (2)
где Z2— число пазов ротора;
q2— число пазов на полюс и фазу ротора;
т2— число фаз ротора.
Число пазов на полюс статора
ç*=A (3)
где Qi— число пазов на полюс.
Угол между соседними пазами в электрических градусах
а= —, (4)
Qi'
TRQ а — угол между соседними пазами.
При прохождении трехфазного переменного тока по обмоткам
статора создается вращающееся магнитное поле, которое пересе¬
кает как обмотки статора, так и обмотки ротора и индуктирует
в них э.д. с., действующие значения которых равны:
Еі = 4,44/і иУіАгобіФ; (5)
Е2 = 4,44/і «’г&обгФ, (6)
где Ех— э. д. с., индуктируемая в фазе обмотки статора, в;
Д— частота тока в статоре, гц\
w±— число последовательно соединенных витков фазы
обмотки статора;
кобі=кр}куі — обмоточный коэффициент обмотки статора;
* Полюсное деление обычно измеряется в пазах или электрических гра¬
дусах.
12* 355
я
Sin2ÏÏT
крі = коэффициент распределения обмотки* при целом
^sin-н
числе пазов на полюс и фазу и числе фаз тпі [если qL равно
дробному числу, то точное значение обмоточного коэффициента
можно определить с помощью векторной диаграммы (звезды пазо¬
вых э.д.с.)];
j . Я Y Y
- — коэффициент укорочения шага обмотки статора;
Е2—э.д. с., индуктируемая в фазе обмотки ротора,
когда ротор неподвижен, в;
w2— число последовательно соединенных витков фазы
обмотки ротора;
коб2~кр2ку2 — обмоточный коэффициент обмотки ротора;
кр2— коэффициент распределения обмотки ротора;
ку2 — коэффициент укорочения шага обмотки ротора;
Ф — основной магнитный поток, еб.
Если разделить уравнение (5) на уравнение (6), то получим
коэффициент трансформаций э.д.с., т. е.
k _Е\ ko6iWj
Е2 kô62w2
(7)
откуда
Еі = кеЕ2 = Е2,
где ке— коэффициент трансформации э. д. с.;
Е2 — приведенная э. д. с. фазы обмотки ротора к обмотке ста¬
тора.
Скольжение определяется по формуле:
(8)
Пі — п2
s =
или
(9)
S = 12100%,
«1
6°Л
где —— — скорость вращения, об/мин, вращающегося маг¬
нитного поля (синхронная скорость вращения);
р — число пар полюсов двигателя;
п2— скорость вращения ротора, об/мин.
* Коэффициент распределения обмотки и коэффициент укорочения шага
обмотки статора приведены для основной синусоиды или первой гармоники
356
Из формулы (9) можно найти скорость вращения ротора:
П2 = Пі (1 — s). (10)
Частота э. д. с. и тока в роторе определяется по формуле
_р(т — п2) _(щ — п2) рпі _
60 Пі 60
где /2— частота э. д. с. и тока в роторе, гц.
Когда ротор вращается, то э. д. с., индуктируемая в фазе
обмотки ротора, будет:
E2s = 4,44/г ю2коб2Ф = 4,44$/1ір2£о62Ф = E2st (12)
где E2s— э. д. с., индуктируемая в фазе обмотки ротора при его
вращении, в,
т. е. э. д. с. E2s, индуктированная в фазе обмотки ротора при его
вращении, равна э. д. с. Е2, индуктированной в фазе обмотки
ротора, когда ротор неподвижен, умноженной на скольжение s.
Ток в роторе, когда ротор неподвижен (при пуске),
7 = — =
Z2 Vrj + ^2
где z2 и г2— полное и активное * сопротивления фазы об¬
мотки ротора;
я2=юЛ02=2л;/1Л02 — индуктивное сопротивление рассеяния фазы
обмотки ротора;
Lo2 — индуктивность фазы обмотки ротора (гн),
обусловленная потоком рассеяния ротора.
Ток в роторе, когда ротор вращается,
/2 = — = — Егг - = ■ EzS ■1 (14)
Z2S Vri+^s Vrl + sM'
где xis=2af2Lci=2nflsL<s2=sx2,
т. e. индуктивное сопротивление рассеяния x2s фазы обмотки
ротора при его вращении равно индуктивному сопротивлению
рассеяния фазы обмотки х2 неподвижного ротора, умноженному
на скольжение s.
Формулу (14) можно представить в другом виде:
= :■ (14')
г \$ /
Эта формула дает возможность определить ток І2 в роторе,
если известны Еѵ г2, х2 и s. Угол сдвига фаз между током ротора
* Если в цепь ротора включается реостат, то под г2 надо понимать сумму
сопротивлений фазы обмотки ротора и сопротивление пускового реостата.
357
и его э. д. с. определяется из соотношения:
. I SX2 Х2 , * /л гг\
tg4’2s=— = — =tgî|b (15)
Г2 Г2
s
2. ПРИВЕДЕНИЕ ОБМОТКИ РОТОРА К ОБМОТКЕ СТАТОРА
При исследовании работы асинхронного двигателя приходится
обмотку ротора приводить к обмотке статора. Приведенная э. д. с.
фазы обмотки ротора [см. формулу (8)] равна:
£2 = ^£££‘£2 = /Се£2. (16)
^об2^об2
Коэффициент трансформации токов определяется из соотно-
шения:
= ^2^об2^2^2і
откуда
ki==L^=m^w\ (17)
Л т2коб2ш2
где kt— коэффициент трансформации токов.
Приведенный ток ротора
І2 ^2^062^2^2
ki miko6iWi
(18)
Сопротивления г' и х'г определяем из условия, что при при-*
ведении электрические потери в обмотке ротора и угол сдвига
фаз между э. д. с. ротора и током ротора должны остаться без
изменения, т. е.
77^7^2 =
откуда
^І2^2
Г 2 = Г 2
ТТТ^Т^і^обІk0Q\WI 77ljA:ogj
772<i 772-2/соб21^2 ^o62^2 ^2-2^062^2
М^2 = fer2- (19)
Коэффициент k=keki называется коэффициентом
приведения сопротивлений.
Из условия
х2 х2 /
— = — определим х2, т. е.
г2 г2
4 = г2—— кг2— = кх2.
г2 г2
(20)
358
Зная г2 их2, можно найти z2 по формуле
Ъ = r r2 + х? = V(kr2)2 + (fcr2)2 = kVr2 + xl = kz2. (21)
3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ДИАГРАММА
Процесс преобразования энергии' в асинхронном двигателе хо¬
рошо можно иллюстрировать при помощи так называемой энер¬
гетической диаграммы
водимая к двигателю, равна:
Рі = ЗСЛД cos фь (22)
где Pi— мощность, подводи-»
мая к двигателю, вт;
напряжение, прило¬
женное к фазе обмотки
статора, в;
іі— ток в фазе обмотки
статора;
cos ф1— коэффициент мощно¬
сти двигателя.
Часть подводимой мощности
расходуется на электрические по¬
тери в обмотках статора:
раі = ЗгЛ
(23)
Рис. 298
где Рд1— электрические потери в
обмотках статора, вт;
— активное сопротивление
Часть подводимой мощности идет на потери от гистерезиса
и вихревых токов в стали статора. Остальная мощность при помощи
вращающегося магнитного поля передается со статора на ротор
и называется электромагнитной мощностью или
мощностью вращающегося магнитного по-»
ля, т. е.
фазы
обмотки статора, ом.
РдМ = Рі — Рэі — P ch
(24)
где Рэм— электромагнитная мощность, вт;
Рс1— потери в стали статора, вт.
Часть электромагнитной мощности теряется на электрические
потери в обмотке ротора и потери в стали ротора, а остальная
часть мощности преобразуется в механическую мощность и назьн
вается полной механической мощностью, раз-»
виваемой двигателем, т. е.
Р2 = Рэм — Рэ2 Рс2 І
(25)
359
где Р2 — полная механическая мощность, вт*
Рэ2— электрические потери в обмотке ротора, вт\
Рсі— потери в стали ротора, вт.
При нормальных условиях работы асинхронного двигателя со
скольжением s=l -н 6% [ввиду малой частоты перемагничивания
/2=5Л=(0,5 3) гц\ потери в стали ротора Рс2 очень малы и ими
можно пренебречь, тогда полная механическая мощность, разви¬
ваемая двигателем, будет:
Р2^Р>М-Р»2. (26)
Если из полной механической мощности Р2, развиваемой
двигателем, вычесть механические потери и добавочные потери,
то получим полезную мощность на валу двигателя:
Р2 = Р2-Рмех-Рд, (27)
где Р2— полезная мощность на валу двигателя, вт\
Рмех — механические потери, вт\
Рд — добавочные потери, вт.
Механические потери состоят из потерь на трение в подшипни¬
ках и в контактных кольцах и потерь вентиляционных. Добавоч¬
ные потери состоят из пульсационных и поверхностных потерь,
возникающих в зубцах статора и ротора при вращении двигателя*.
4. ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ И К.П.Д. АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ
Электромагнитная мощность равна:
Рам = ГП2Е2І2 COSlp2 = 9,8171/0)!,
откуда вращающий момент двигателя
М _m2E2I2 cos *ф2 _ т24,44А:об2и>2/іФ^2 cos і|)2 _
9,81û)i 9 81 2л/і
P
= 0,072рт2/соб2ш2Ф72 cos i|)2 = кмФІ2 cos i|?2,
— вращающий момент двигателя, нГм;
— угол сдвига фаз между векторами
э.д.с. Е2 и тока /2;
— угловая скорость вращающегося
(28)
(29)
где М
Ѣ
п п, 2ЯЛ
“■“2"65=У
магнитного поля;
— число фаз ротора
_
км = Gfil2pm2ko62iv2— постоянный коэффициент, определяем
мый конструктивными данными двига¬
теля.
* Кроме этих потерь, еще имеются потери, создаваемые высшими гар¬
моническими м.д.с. статора и ротора.
360
Уравнение (29) можно представить в другом виде, если под¬
ставить
г ^І^обі^і г'
22 = — 7 2,
^2*^об2 ^2
т. е. 7И = 0,072ртпі/соб cos (30)
Вращающий момент двигателя можно выразить через элек«
трическиѳ потери в обмотке ротора:
М = m2Zjr2
9,81(1)!$
или
(31)
М Г2 _
9,81юі$ 9,81а>!
т. е. вращающий момент, развиваемый двигателем, пропорцио¬
нален электрическим потерям в обмотке ротора.
Начальным пусковым враща ю щ им момен¬
том* называется момент, развиваемый асинхронным двигателем
при его пуске (т. е. при неподвижном роторе). Следовательно, если
в уравнениях (31) принять s = 1, то получим величину пускового
момента:
или
мп
m24r2
9,81(û
Мп
_ 7ntZ22r2
(32)
9,81û)f j
где Мп— начальный пусковой вращающий момент, кГм.
Зная полезную мощность Р2 на валу двигателя и скорость
вращения двигателя п2 (об/мин), можно определить полезный
вращающий момент двигателя по следующей формуле:
Л/г = 975—2.
«2
(33)
5. РЕГУЛИРОВАНИЕ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ И К.П.Д. АСИНХРОННОГО
ДВИГАТЕЛЯ
Скорость вращения асинхронных двигателей, как это следует
из формулы (10), т. е.
TÎ2 = Щ (1 — s) = —- (1 — s), (34)
P
* Пусковым моментом.
ЯСИ
можно регулировать тремя способами, а именно: 1) изменением
скольжения s, 2) изменением частоты /х питающего тока и 3) изме¬
нением числа пар полюсов р двигателя.
К. п. д. асинхронного двигателя называется
отношение полезной мощности Р2 на валу двигателя к мощности Рѵ
подводимой к двигателю:
Р2 Л-SP t 2Р
Pl Pl Pl
или
n 100 % = ( 1 — — ) 100 %, (36)
Pl \ Pl /
где т|— к.п.д. асинхронного двигателя;
— сумма потерь в двигателе, вт<
Задачи
497. Трехфазный восьмиполюсный асинхронный двигатель
имеет на статоре число пазов Z* = 72, а на роторе Z2 = 96.
Определить число пазов на полюс и фазу qi и q2 статора и ро¬
тора, а также найти число пазов, приходящихся на одно полюс¬
ное деление и Ç2.
498. Вычертить схему однослойной обмотки вразвалку для
статора трехфазного асинхронного двигателя, имеющего четыре
пары полюсов (р=4) и число пазов Z1=48; соединение катушек
последовательное, соединение фаз звездой.
499. Вычертить схему однослойной обмотки вразвалку для
статора трехфазного асинхронного двигателя, имеющего четыре
пары полюсов (р=4), число пазов на полюс и фазу ql=2 и шаг
обмотки ^=5; соединение катушек последовательное, соедине¬
ние фаз треугольником.
500. Трехфазный асинхронный двигатель номинальной мощ¬
ностью * Р2к=2,5 кет имеет число пазов статора Z1=48, син¬
хронную скорость 721 = 1500 об/мин; соединение катушек после¬
довательное, соединение фаз звездой. Вычертить схему одно¬
слойной трехплоскостной катушечной обмотки.
501. Трехфазный асинхронный двигатель номинальной
мощностью Р2я=7,5 кет имеет число пазов Z± = 24; синхронную
скорость ^=3000 об/мин, соединение катушек последовательное,
соединение фаз звездой. Вычертить схему однослойной трех¬
плоскостной катушечной обмотки.
* В некоторых задачах указываются номинальная мощность и скорость
вращения; это делается для того, чтобы знать, для какого двигателя пред¬
назначается данная обмотка.
362
502. Вычертить схему шаблонной обмотки вразвалку (с ко¬
сыми лобовыми соединениями) для статора, имеющего две пары
полюсов (р=2); число пазов на полюс и фазу * д=4, число
фаз т = 3; соединение катушек последовательное, соединение фаз
звездой.
503. Вычертить схему однослойной обмотки для разъемного
статора с косыми лобовыми соединениями, если число пазов на
полюс и фазу ç, = 2, число фаз = 3 и число пар полюсов
р = 2; соединение катушек последовательное, соединение фаз
звездой.
504. Вычертить схему однослойной трехплоскостной обмотки
для разъемного статора, если число пазов на полюс и фазу
ql = 2, число фаз = 3, число пар полюсов р = 2; соединение
катушек последовательное, соединение фаз звездой.
505. Трехфазный асинхронный двигатель номинальной мощ¬
ностью Р2Н = 0,65 кет имеет число пазов статора Zx = 24, число
пар полюсов р = 2; соединение катушек последовательное, соеди¬
нение фаз звездой. Определить число пазов на полюс и фазу ql
и шаг у1 двухслойной петлевой обмотки, предполагая сокраще¬
ние шага, близкое к 0,8. Вычертить схему обмотки.
506. Трехфазный асинхронный двигатель номинальной мощ¬
ностью Р2н = 3 кет имеет число пазов статора Zx = 36, число пар
полюсов р = 2; соединение катушек последовательное, соединение
фаз треугольником. Определить число пазов на полюс и фазу qi
и шаг двухслойной петлевой обмотки, предполагая сокраще¬
ние шага, близкое к 0,8. Вычертить схему обмотки.
507. Трехфазный асинхронный двигатель номинальной мощ¬
ностью Р2н = 1,8 кет имеет число пазов статора Zx = 36; число
пар полюсов р = 3, шаг обмотки г/х = 5; соединение катушек
последовательное, соединение фаз звездой. Определить число
пазов на полюс и фазу çx и вычертить схему двухслойной
петлевой обмотки.
508. Обмотка ротора асинхронного двигателя имеет следующие
данные: число пазов на полюс и фазу q2 = 2; число пар полюсов
р = 2; число фаз т2 = 3; р1==6; у2 = 6. Вычертить схему двух¬
слойной волновой обмотки.
509. Обмотка ротора асинхронного двигателя имеет следующие
данные: число пазов на полюс и фазу q2 = 2; число пар полю¬
сов р = 3; число фаз т2 = 3; yt = 6; у2 = 6. Вычертить схему
двухслойной волновой обмотки.
510. Вычертить схему двухслойной петлевой обмотки для
статора трехфазного асинхронного двигателя, имеющего еле-*
дующие данные: число пар полюсов р = 2; число пазов статора
Zx = 48; шаг обмотки^ = 10; соединение катушек последователь-»
* В некоторых задачах у обозначений g, т и Z опущены индексы.
363
ное, соединение фаз звездой. Определить число пазов на полюс
и фазу
511. По условию задачи 497 вычислить обмоточные коэффи¬
циенты кобі и коб2 однослойных обмоток с целым числом пазов
на полюс и фазу = 3 и q2 = 4 для статорной и роторной
обмоток.
512. По условию задачи 498 найти обмоточный коэффициент
кобі однослойной обмотки с целым числом пазов на полюс и
фазу qi = 2.
513. По условию задач 500 и 502 определить обмоточный
коэффициент кобі однослойной обмотки с целым числом пазов
на полюс и фазу q± = 4.
514. Вычислить э. д. с., индуктируемые в фазах обмоток ста¬
тора и ротора трехфазного асинхронного двигателя при непо¬
движном роторе и при ѣращении его со скольжением s = 2,65%,
если основной магнитный поток Ф = 2,18-10“2 вб, число витков
фазы обмотки статора wi = 96, число витков фазы обмотки ротора
ш2 = 80, обмоточный коэффициент обмотки статора к~ = 0,945,
обмоточный коэффициент обмотки ротора коб2 = 0,96, частота
тока в статоре ft = 50 гц.
Решение. Э.д.с., индуктируемая в фазе обмотки статора,
= 4,44/co61W1/^ =4,44-0,945-96-50-2,18-Ю"2 «439а.
Э.д.с., индуктируемая в фазе обмотки ротора, когда ротор
неподвижен,
Е2 = 4,44/соб2и?2/1Ф = 4,44• 0,96 • 80 • 50 • 2,18 • 10'2 « 372 в
или
Е2 = Еі = 439°’96-80 « 372 в.
ko6lWi 0,945-96
Э.д.с., индуктируемая в фазе обмотки ротора, когда ротор
вращается со скольжением s = 2,65%,
E2s = E2s = 372-0,0265^ 9,86 в.
515. Определить э.д.с., индуктируемые в фазах обмоток
статора и ротора трехфазного асинхронного двигателя при
неподвижном роторе и при его вращении со скольжением s = 6%,
если число витков фазы обмотки статора = 128, число витков
фазы обмотки ротора w2 = 24, обмоточный коэффициент обмотки
статора коб1 = 0,933, обмоточный коэффициент обмотки ротора
коб2 = 0,96, магнитный поток Ф = 0,782-ІО"2 вб, частота тока
в статоре Д = 50 гц.
516. Найти э.д.с., индуктируемые в фазах обмоток статора
и ротора трехфазного асинхронного двигателя с короткозамкну¬
тым ротором при неподвижном роторе и при его вращении
364
со скоростью тг2 = 1440 об/мин, если число последовательно сое¬
диненных витков фазы обмотки статора wi = 192, число последо¬
вательно соединенных витков фазы обмотки ротора w2 = 0,5,
обмоточный коэффициент обмотки статора коб1 = 0,908, обмоточ¬
ный коэффициент обмотки ротора коб2 = і, магнитный поток
Ф=0,554-10“2 вб, частота тока в статоре Д = 50 гц.
517. Трехфазный асинхронный двигатель включен в сеть
с напряжением С71 = 220 в. Обмотки статора соединены треуголь¬
ником; число последовательно соединенных витков фазы обмотки
статора = 736. Обмотки ротора соединены звездой, а число
последовательно соединенных витков фазы обмотки ротора w2 =
= 288. Определить э.д.с. Ег и Е2, индуктируемые в фазах обмо¬
ток статора и ротора при разомкнутом и неподвижном роторе.
Падением напряжения в обмотке статора пренебречь и считать,
что обмоточные коэффициенты равны.
518. В задаче 517 определить э.д.с. E2s, индуктируемую в
фазе обмотки ротора, если последний будет вращаться со сколь¬
жением s = 3%.
519. Если обмотки статора асинхронного двигателя задачи 517
пересоединить на звезду, то каковы будут э.д.с. Ег и Е2, индук¬
тируемые в фазах обмоток статора и ротора при разомкнутом
и неподвижном роторе?
520. Трехфазный асинхронный двигатель с фазным ротором
вращается со скоростью п2 = 480 об/мин. Определить число пар
полюсов р и скольжение s, если синхронная скорость вращения *
двигателя п1 = 500 об/мин.
521. Трехфазный двухполюсный асинхронный двигатель при
номинальной нагрузке имеет скольжение sH = 5%. Чему равна
скорость вращения п2н двигателя, если частота тока в статоре
Д = 50 гц.
522. Трехфазный шестиполюсный асинхронный двигатель с
фазным ротором включен в сеть с напряжением Ux = 3 кв и пре¬
одолевает полезный момент сопротивления Мс = 74,4, кГм при
скорости вращения п2 = 980 об/мин. Какова полезная мощность
Р2 на валу двигателя, к.п.д. ц, скольжение s, если ток двига¬
теля It = 18,5 а и коэффициент мощности cos = 0,87?
523. Крановый трехфазный шестиполюсный асинхронный дви¬
гатель с фазным ротором включен в сеть с напряжением U =
= 380 в и преодолевает полезный момент сопротивления Мс —
= 4,2 кГм, при этом его скольжение s = 1%. Определить коэф-»
фициент мощности cos cpt, скорость вращения п2, полезную мощ¬
ность Р2 на валу двигателя и к.п.д. ц, если известно, что мощ->
ность, подводимая к двигателю, Р = 5,1 кет при токе =
= 10,6 а.
* Скорость вращения магнитного поля.
365
524. Мощность, подводимая к трехфазному асинхронному
двигателю, Р1 = 60 кет. Электрические потери в обмотке статора
и потери в стали статора равны 1 кет. Найти электромагнитную
мощность Рэм, передаваемую со статора на ротор, полную меха¬
ническую мощность Р2, развиваемую двигателем, и электриче¬
ские потери в обмотке ротора Рэ2, если двигатель вращается со
скольжением s = 3%.
525. Мощность, подводимая к трехфазному асинхронному
двигателю, Рі = 40 кет при скорости вращения п2 = 975 об/мин.
Электрические потери в обмотке статора и потери в стали статора
равны 1 кет, а механические и добавочные потери равны 2 кет.
Вычислить скольжение s, электрические потери в обмотке ротора
Рэ2 и к.п.д. т], если число пар полюсов р = 3, частота тока в
статоре / = 50 гц.
• 526. На щитке короткозамкнутого трехфазного асинхронного
двигателя имеются следующие данные: 2,2 кет, 1440 об/мин,
220/380 е, 8,3/4,8 а. Определить число пар полюсов р двигателя,
скольжение s и пусковой ток Ііп для случаев соединения обмо¬
ток статора треугольником и звездой при включении в сеть с
напряжением £71 = 220 в, если кратность пускового тока для сое¬
динения треугольником равна 5,5, а синхронная скорость вра-»
щения двигателя = 1500 об/мин.
527. Асинхронный двигатель номинальной мощностью Р2н =
= 2,2 кет имеет следующие данные: число фаз статора ту = 3;
обмоточный коэффициент обмотки статора ko6l = 0,956; число по¬
следовательно соединенных витков фазы обмотки статора wx =
= 336; число пар полюсов р = 3; число пазов (стержней) ротора
Z2 = 52; сечение латуни стержня и меди кольца ротора sc =
= 34,5 мм2 и sK = 120 мм2. Вычислить ток и плотность его в стерж¬
нях и кольце короткозамкнутого ротора, если ток в статоре I =
= 6,3 а.
528. По условию задачи 527 определить приведенное к об¬
мотке статора активное сопротивление ротора короткозамкнутого
двигателя, если известно, что длина стержня ротора Іс = 80 мм
и средний диаметр кольца DK = 139 мм.
529. Трехфазный асинхронный двигатель имеет следующие
данные: номинальная мощность Р2н = И кет; номинальное на¬
пряжение U= 220 в\ номинальный ток ІіЯ = 21,5 а. При холо¬
стом ходе ток двигателя Iх = 7,85 а. Определить ток двигателя,
если его привести посторонним двигателем до синхронной ско¬
рости и включить его в сеть.
530. Трехфазный асинхронный двигатель с фазным ротором
потребляет из сети мощность Рх = 2,56 кет при токе = 13,5 а
и напряжении Uх = 127 в.
Чему равен коэффициент мощности coscp, и к.п.д. т], если
полезная мощность на валу двигателя Р2 = 2,2 кет?
366
531. Трехфазный четырехполюсный асинхронный двигатель с
фазным ротором имеет следующие данные: номинальная мощ-»
ность Р2н = 3,68 кет; номинальное напряжение 220/380 в; номи¬
нальная скорость вращения п2н = 1450 об/мин; номинальный
коэффициент мощности cos (р1н = 0,85; номинальный к.п.д.
цн=0,86. Определить мощность подводимую к двигателю,
токи двигателя при соединении обмоток статора треугольником
и звездой, вращающий момент Мн и скольжение sH, если частота
тока в статоре Д = 50 гц.
Решение. Мощность, подводимую к двигателю из сети,
определим из соотношения:
отсюда
Рі = — = — 4280 ет = 4,28 кет.
Пн 0,86
Ток двигателя при соединении обмоток статора звездой
, Р, 4280 __
I = —= = —= « /,66 а.
л ѴЗСДсозфін ѴЗ-380-0,85
Ток двигателя при соединении обмоток статора треугольником
Т Рі 4280
/д = — - = —= » 13,2 а,
ѴЗСД cos<p1H ѴЗ-220-0,85
Вращающий момент двигателя при номинальной нагрузке
Мн = 975^ = 975-^- = 2,47 кГм.
«2Н ' 1450
Скольжение при номинальной нагрузке
_ "■-^.100 - юо = 3,3%,
Пі 1500
где
ВОД 50-60 nn
ni = = = 1500 об/мин.
Р 2
532. Трехфазный четырехполюсный асинхронный двигатель с
фазным ротором имеет следующие данные: номинальная мощ->
ность Р2Н = 22 кет; номинальное напряжение 220/380 в; номи-»
нальная скорость вращения п2н = 1460 об/мин; номинальный
коэффициент мощности cos = 0,88 и номинальный к.п.д. т|к =
= 88,9%. Вычислить мощность Рѵ подводимую к двигателю,
367
токи двигателя при соединении обмоток статора треугольником
и звездой, вращающий момент Мя и скольжение если частота
тока в статоре Д = 50 гц.
533. Трехфазный восьмиполюсный асинхронный двигатель,
имеющий активное сопротивление фазы обмотки ротора г2 =
= 0,0174 ом, вращается при номинальной нагрузке со скоростью
п2н = 705 об/мин. Найти величину добавочного сопротивления гд,
которое необходимо включить в цепь ротора двигателя, чтобы
при том же моменте сопротивления и неизменной частоте тока
статора двигатель вращался со скоростью п2 = 600 об/мин, если
частота тока в статоре Д = 50 гц.
Решение. Синхронная скорость вращения двигателя (или
скорость вращения магнитного поля)
60Д 60-50 7_п
Пі = = = 750 об/мин.
Р 4
Скольжение при номинальной скорости вращения п2я = 705
об/мин
= = 750-705 _
Пі 750
Скольжение при скорости вращения п2 = 600 об/мин
«1 — «2 750 — 600 _ о
s — ■ — — О, Л.
щ 750
Величину добавочного сопротивления гд определим из соот¬
ношения:
~Н г2 ^2
s Sn
откуда
/\ \ / О 2 \
гд = г2 - — 1 = 0,0174 ( — 1 = 0,0405 ом.
\sH J \0,06 J
534. Трехфазный шестиполюсный асинхронный двигатель,
имеющий активное сопротивление фазы обмотки ротора г2 =
= 0,0485 ом, вращается при номинальной нагрузке и частоте
Д = 50 гц со скоростью п2я = 945 об/мин. Чему равна величина
добавочного сопротивления гд, которое необходимо включить в
цепь ротора двигателя, чтобы при том же моменте сопротивле¬
ния и неизменной частоте тока статора двигатель вращался со
скоростью п2 = 700 об/мин?
535. Трехфазный восьмиполюсный асинхронный двигатель при
номинальной нагрузке Р2Я = 14 квтп и частоте Д = 50 гц вра¬
щается со скоростью п2я = 725 об/мин. Определить мощность Рд,
теряемую в реостате, который необходимо включить в цепь ро¬
тора двигателя, чтобы при помощи его снизить скорость враще-
368
ния до 600 об/мин, предполагая, что момент сопротивления и
частота тока статора остаются неизменными.
536. Вычислить к.п.д. трехфазного асинхронного двигателя
с фазным ротором, имеющего следующие номинальные данные:
Р2я = 1200 квт\ U1H = 6000 в\ Іхп = 147 а; п2н = 369 об/мин.
Данные опыта холостого хода при переменном напряжении и
номинальной частоте приведены ниже.
CZ1, в
7260
6900
6300
6000
5100
4500
3870
3300
2670
2100
1470
Іх, а
Рх, кет
87
75,5
75
63
61
47,5
55,5
45
42,5
31,3
36
27
30
23,4
25
27
20
18
16
14
13
10,8
Сопротивление фазы обмотки статора при 15° г1(15) = 0,295 ом.
Опыт непосредственной нагрузки двигателя, произведенный при
номинальном напряжении и номинальной частоте, показал сле¬
дующие данные! Ut = 6000 e;Z1 = 148 а; s = 1,5%; cos(p1 = 0,84;
Рг = 1292,8 кет.
537. Определить к.п.д. трехфазного асинхронного двигателя
с фазным ротором, имеющего следующие номинальные данные:
Р2М = 600 квт\ UlH = 6000 в\ ІІН = 73 а; п2к = 494 об/мин. Дан¬
ные опыта холостого хода при переменном напряжении и номи-*
нальной частоте приведены ниже.
в
7620
6900
6000
5430
4680
3840
3240
3000
2160
Іх,а
Рх> кет
52,5
57
40,5
39,6
30
27,9
25
23,4
20
19,3
15,5
17,4
11,75
13,5
9,0
10,8
7,0
8,65
Сопротивление фазы обмотки статора при 15° г1(1б) = 0,735 ом.
Опыт непосредственной нагрузки двигателя при номинальном
напряжении и номинальной частоте показал следующие данные:
t/1 = 6000 в; Z1 = 73,5 а; Р1 = 651 квт>, s = 1,33%; cos <р1 =0,835.
538. Номинальная мощность асинхронного двигателя Р2п =
= 3 кет, номинальный ток Іхп = 9,3 а, номинальное напряже-»
ниѳ U1H = 380в, синхронная скорость вращения пх = 1000 об/мин,
соединение обмоток звездой, сопротивление фазы обмотки статора
при 20°г1(20)=1,612 ом, сопротивление фазы обмотки ротора при
2О°г2(2о)=0,605 ом. Построить упрощенную круговую диаграмму
и по ней рабочие характеристики, т. е. P., I , cos ср , т|, М, п2,
* = / (PJ.
Данные опыта холостого хода:
= 380 в; Іх = 5,95 а; Рх = 426 вт.
369
Данные опыта короткого замыкания:
UiK = 112,2 в; Іік = Іін = 9,3 а; Рік = 998 вт.
539. Номинальная мощность асинхронного двигателя Р2н =
= 22 кет, номинальный ток ІІН = 54 а, номинальное напряжение
UiH = 380 в, скорость вращения п2н = 712 об/мин, соединение об¬
моток звездой, сопротивление фазы обмотки статора при 20°
г1(20)=0,131 ом, сопротивление фазы обмотки ротора при 20°
z*2'20)=0,0158 ом. Построить упрощенную круговую диаграмму и
по ней рабочие характеристики, т. е. Рѵ Iѵ cos г], M, іг2,
S = f (Р2).
Данные опыта холостого хода:
Ui = 380 в; lx = 31,95 а; Рх = 1340 вт.
Данные опыта короткого замыкания:
UiK = 76 в; Іік = Іін = 54 а; Рік = 3,76 кет.
540. Для асинхронного двигателя, имеющего следующие
данные: номинальная мощность Р2ч = 240 вт, напряжение
127/220 в, скорость вращения п2н = 1490 об/мин, соединение обмо-*
ток Д/У, сопротивление фазы обмотки статора при 75° гг = 13,2 ом,
требуется построить на основании опытов холостого хода и ко¬
роткого замыкания упрощенную круговую диаграмму и по ней
рабочие характеристики асинхронного двигателя, т. е. Рѵ Іѵ
cos <pp Tl, M, п2, s = / (Р2).
Данные опыта холостого хода:
U, = 220 в\ 1Х = 1,25 а\ Рх = 112 вт.
Данные опыта короткого замыкания:
U к = U н = 220 в; Ік = 4,44 а; Рп = 1360 вт.
541. Для асинхронного двигателя, имеющего следующие дан-*
ные: номинальная мощность Р2н = 650 вт, напряжение 127/220 в,
скорость вращения п2н — 1490 об/мин, соединение обмоток Д/У,
сопротивление фазы обмотки статора при 75° гг = 3,61 ом, по¬
строить на основании опытов холостого хода и короткого замы¬
кания упрощенную круговую диаграмму и по ней рабочие ха-*
рактеристики асинхронного двигателя, т. е. P , I , cos <р , г), М,
п2, S = f (Р2).
Данные опыта холостого хода:
U! = 220 в; Іх =2,1 а; Рх = 105 вт.
Данные опыта короткого замыкания:
Uк = UH = 220 в; Ік = 14,3 а; Рк = 3650 вт.
Глава тринадцатая
СИНХРОННЫЕ МАШИНЫ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИНХРОННЫХ МАШИНАХ
Синхронной машиной называется машина пере-*
менного тока, у которой скорость вращения ротора независимо
от нагрузки пропорциональна частоте тока сети:
60/ /п
п = , „ (1)
р
где р — число пар полюсов синхронной машины;
п — скорость вращения ротора, об/мин;
/ — частота тока сети, гц.
Так как частота тока сети остается постоянной, то скорость
вращения синхронной машины не меняется.
Синхронная машина возбуждается постоянным током.
Синхронные машины, как и любые электрические машины,
могут работать как генераторами, так и двигателями. Кроме
того, синхронная машина может применяться в качестве компен-
сатора для улучшения коэффициента мощности электрической
сети (синхронный компенсатор). В конструктивном
отношении различают два типа синхронных машин: ^неявно¬
полюсные, т. е. машины с неявно выраженными полюсами;
2) я в н о п о л ю с н ы е, т. е. машины с явно выраженными полю-»
сами. Неявнополюсная синхронная машина применяется при
больших скоростях (р = 1 или 2). Явнополюсная синхронная ма¬
шина применяется при числе пар полюсов
Если синхронный генератор приводится во вращение паровой
турбиной, то он называется турбогенератором. Так как
паровые турбины принадлежат к числу быстроходных машин,
то турбогенераторы имеют неявнополюсное исполнение.
Если синхронный генератор приводится во вращение гидрав¬
лической турбиной, то он называется гидрогенератором.
371
2. ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА СИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА
Рассмотрим векторную диаграмму неявнополюсного синхрон¬
ного генератора для индуктивной нагрузки. Э. д. с., индукти¬
рованная в фазе обмотки статора (якоря), при холостом ходе
£х = 4,44Лйбш/Ф0, (2)
где Ех — э. д. с., индуктированная в фазе обмотки статора
(якоря) при холостом ходе, в\
w — число последовательно соединенных витков фазы об¬
мотки статора;
коб—обмоточный коэффициент обмотки статора (якоря);
Фо — основной магнитный поток, создаваемый обмоткой воз¬
буждения ротора, вб.
Построение векторной диаграммы производится следующим
образом: по горизонтали (рис. 299, а) откладываем вектор тока I.
Под углом ф к нему в сторону опережения откладываем вектор
э. д. с. Ех, индуктируемой основным потоком Фо. Вектор основ¬
ного магнитного потока Фо опережает вектор э.д. с. Ех на 90°.
По направлению вектора тока I откладываем потоки рассеяния
обмотки статора Фо и реакции якоря (статора) Фа, а э. д. с. Ед
и Еа, индуктируемые Этими потоками, отстают от них на 90°.
Кроме того, необходимо отложить вектор э. д. с. активного
сопротивления Ег = — гаІ (га — активное сопротивление фазы об¬
мотки якоря), который находится в противофазе с вектором
тока I. Чтобы получить напряжение генератора, необходимо
сложить геометрически э. д. с. Ех, Еа, Ед, Ег, т. е.
U = Ех + Еа + Ео + Ег. (3)
Складывая геометрически потоки Фо и Фа, получим резуль¬
тирующий поток Ф в воздушном зазоре, который реально су¬
ществует в нем при нагрузке генератора. Этот поток индуктирует
в фазе обмотки статора (якоря) э. д. с.
Я = 4,44^/Ф. (4)
Вектор э. д. с. Е отстает от вектора потока Ф на 90°.
Обычно при построении векторных диаграмм вместо векторов
э. д. с. Еа, Ед и Ег откладывают равные и противоположно им
направленные векторы, представляющие собой индуктивные и
активные падения напряжения в фазе обмотки якоря:
— Еа =хаІ, —Еа =xQI и — Ег = гаІ (рис. 299,6).
Вместо векторов магнитных потоков Фо, Фд и Ф отклады¬
вают магнитодвижущие силы (намагничивающие силы) F& Fa и
F, создающие эти магнитные потоки.
372
в)
Рис. 299
Так как э. д. с. Еа и Еа пропорциональны току и имеют оди¬
наковые направления, то
(Ej а, “F Eq) == Xql “F XqI = {Xq "j~ Xq) I = XqI) (5)
где xc = xa + xa — синхронное индуктивное сопротивление;
xa — индуктивное сопротивление, обусловлен¬
ное реакцией якоря;
— индуктивное сопротивление рассеяния фа¬
зы обмотки якоря (статора).
В этом случае напряжение генератора при нагрузке будет:
Û=Êx-xJ-rJ (6)
или
U = Е — хоІ — гаІ. (б')
На рис. 299, в показана векторная диаграмма напряжений
для неявнополюсного генератора.
3. УРАВНЕНИЯ МОЩНОСТИ И МОМЕНТОВ СИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА
Если Р1 — механическая мощность, подводимая к генератору
от первичного двигателя (паровой турбины или гидравлической
турбины), то часть подводимой мощности идет на покрытие по¬
терь холостого хода:
Рх = Рмех + Pc, (7 )
где Рх — потери холостого хода, вт\
Рс — потери в стали статора на гистерезис и вихревые токи, вт\
Рмех — механические потери, состоящие из потерь на трение в
подшипниках, трение щеток о контактные кольца, тре¬
ние щеток о коллектор (если на валу синхронного ге¬
нератора имеется возбудитель), потерь на трение о воз¬
дух ротора генератора, вт.
Если из механической мощности Р1 вычтем потери холостого
хода Рх, то получим электромагнитную мощность, которая пере¬
дается от ротора к статору посредством вращающегося магнит¬
ного поля:
Рэп = Рі — Рх ~ Рі — Рмех — Рс, (8)
где Р9М— электромагнитная мощность, вт.
Чтобы получить полезно отдаваемую генератором мощность Р2»
нужно из электромагнитной мощности Р9М вычесть электрические
потери Р9 в обмотке статора:
Рг = Рем —Рв= Рем — ЗГаЛ (9)
где Р2 — полезно отдаваемая генератором мощность, вт\
га — активное сопротивление фазы обмотки статора, ом\
Рэ — электрические потери в обмотке статора, вт.
374
Величину мощности Р2 трехфазного генератора можно пред¬
ставить в другом виде:
Р2 = 3UI cos ф, (10)
где С7— фазное напряжение генератора, в\
I — фазный ток, а\
cos ф — коэффициент мощности нагрузки (внешней цепи).
Вращающий момент первичного двигателя
Мі = — [н - ж] = —— {кГм ], (11)
cd 9,81cù
где Afj — вращающий момент первичного двигателя;
2л/г п
cù=-gQ угловая скорость вращения генератора, длектромаг-
нитный момент генератора
р
М =
(О
(12)
где М — электромагнитный момент генератора, н-Мі
Момент холостого хода генератора
(13)
(Û
где Мх— момент холостого хода генератора, н-м.
4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ И СИНХРОНИЗИРУЮЩАЯ МОЩНОСТИ
Из формулы (9) можно определить электромагнитную мощность;
эту же мощность можно найти также из векторной диаграммы
напряжений (рис. 299, в), если
спроектировать векторы Ех, U
и гаІ на направление вектора
тока I и помножить проекции
их на 3/, т. е.
РдМ—ЗЕхІ cos ф =
= 3C7Z cos ф + 3raZ2. (14)
Если пренебречь активным
сопротивлением фазы обмотки
статора га ввиду малой величи¬
ны по сравнению с хс, то полу-
Рис. 300
чим векторную диаграмму на¬
пряжений, изображенную на рис. 300. В этом случае электро¬
магнитная мощность приближенно равна полезной мощности Р2,
отдаваемой генератором в сеть:
Рдм~ Р2 = 3C7Z cos ф.
(15)
375
Из векторной диаграммы напряжений (рис. 300) имеем:
АВ =хсІ cosip = U sinO,
откуда
COS1|) =
U sinO
xcI
Подставляя значение cos гр в уравнение (14), получим:
РдМ = 3£х- — sinO.
хс
Подставив значение Рэн в уравнение (12), найдем электро¬
магнитный момент:
(16)
„ 3EXU . п 3pExü . А
М = —— • SinO = -і—— • sinO,
(ùxc 2nfxc
M — электромагнитный момент;
2л/
— угловая скорость вращения ротора.
(17)
где
2т
œ = "6Ô’ р
Из этого уравнения видно, что электромагнитный момент
зависит от напряжения £7, э.д.с. Ех (т. е. тока возбуждения)
и угла Ѳ.
Изменение электромагнитной мощности Р9М, рассчитанной на
единицу угла 0, называется удельной синхронизирующей
мощностью.
Следовательно,
Рсх =ЗЕХ — cosG,
de хс
(18)
где Рсх—удельная синхронизирующая мощность.
5. КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ СИНХРОННЫХ МАШИН
К.п.д. трехфазного синхронного генератора определяется по
формуле:
n=^-fL_ = l
Pi Р2 + 2Р Р2 + 2Р
к.п.д. синхронного двигателя
sp
‘Л Рі Р/
где 2Р = Ра + Рс + Рмех+Рв + Рд — сумма потерь;
Рв — электрические потери на возбуждение,
Рд — добавочные потери, вт\
Р9 = 3raZ2 — электрические потери в обмотке статора,
(19)
(20)
вт\
вт<
376
6. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ЕДИНИЦЫ
Чтобы иметь возможность сравнивать между собой машины
различного конструктивного типа, различного напряжения и мощ¬
ности, удобнее выражать основные величины, характеризующие
работу машин, не в практических, а в относительных единицах.
В системе относительных единиц за единичные величины при¬
нимают:
1) номинальную мощность (SK = 1);
2) номинальное напряжение (Un = 1);
3) номинальный ток (Ін = 1);
4) ток возбуждения, который дает единицу напряжения при
холостом ходе и единице скорости вращения (feH= 1);
5) номинальное сопротивление цепи, по которой проходит
единица тока при единице напряжения на зажимах цепи
6) номинальную скорость вращения (пн = 1);
7) момент, соответствующий единице мощности и единице
угловой скорости (Мн = 1).
Например, синхронное индуктивное сопротивление в относи¬
тельных единицах выразится так:
/94 \
UH UH
ІН
Задачи
542. Трехфазный синхронный генератор с номинальной мощ¬
ностью SH = 1500 кеа, номинальным напряжением UH = 6600 в,
обмотки которого соединены звездой, имеет активное сопротив¬
ление на фазу га = 0,45 ом и синхронное индуктивное сопротив¬
ление хс = 6 ом. Вычислить активное и индуктивное (реактивное)
падения напряжения на фазу в процентах от фазного напряже¬
ния, если при номинальном напряжении и коэффициенте мощ¬
ности cos ф = 0,8 ток генератора равен номинальному.
543. По условию задачи 542 с помощью векторной диаграммы
определить э.д.с. Е синхронного генератора.
544. По условию задачи 542 определить напряжение U на зажи¬
мах трехфазного синхронного генератора, если он работает при том
же самом возбуждении и номинальном токе, но при опережаю¬
щем коэффициенте мощности cos ф = 0,8.
545. Трехфазный синхронный двигатель с номинальной мощ¬
ностью Р2Я = 74,6 кет, напряжением UH = 500 в, обмотки кото¬
рого соединены звездой, имеет активное и синхронное индуктивное
сопротивления на фазу, соответственно равные га = 0,03 ом и
377
хс = 0,3 ом. Найти для номинальной нагрузки и коэффициента
мощности cos ф = 0,8 (опережающем и отстающем) э.д.с. в каж¬
дой фазе и полную механическую мощность, развиваемую дви->
гателѳм, если к.п.д. ц = 93%.
546. Трехфазный синхронный двигатель, обмотки которого
соединены звездой, имеет активное и синхронное индуктивное
сопротивления на фазу, соответственно равные: га = 1 ом и хс =
= 10 ом. Вычислить мощность подводимую к двигателю, и
э.д.с. Е при коэффициенте мощности cos ф = 0,8 (опережающем
и отстающем), если напряжение на зажимах двигателя U = 11 кв,
а ток двигателя I = 60 а.
547. Трехфазный синхронный генератор с номинальной мощ¬
ностью SH = 1500 ква, номинальным напряжением UH = 6600 в,
номинальным коэффициентом мощности cos фя = 0,8 имеет актив¬
ное падение напряжения 2% и индуктивное 8% от номиналь¬
ного напряжения. Обмотки статора соединены звездой. Генера¬
тору дано такое возбуждение, что при холостом ходе напряже¬
ние на его зажимах равно номинальному. Построить кривую
зависимости напряжения от нагрузки при постоянном возбужде¬
нии и постоянном коэффициенте мощности cos фк = 0,8, а также
построить векторную диаграмму.
548. По условию задачи 547 определить активное га и син¬
хронное индуктивное хс сопротивления фазы обмотки статора
трехфазного синхронного генератора.
549. По условию задачи 547 определить, какую мощность
может отдать трехфазный синхронный генератор, если обмотки
статора соединить треугольником, а возбуждение оставить преж¬
ним.
550. До условию задачи 547 определить вращающий момент
на валу первичного двигателя, соединенного с генератором, если
генератор имеет число пар полюсов р = 6 и коэффициент полез¬
ного действия т] = 0,92.
551. Синхронный двигатель с номинальной мощностью
Sn = 2650 ква, номинальным напряжением UH= 6000 в, номиналь¬
ной скоростью вращения пя = 750 об/мин имеет механические
потери при номинальной скорости вращения Рмех=22 квт\ элек¬
трические потери в обмотке статора и добавочные потери при
номинальной нагрузке Рэ + Рд = 27,5 кет-, потери в стали при
номинальной нагрузке Рс = 22 кет. Ток возбуждения при номи¬
нальной нагрузке ів = 217 а. Сопротивление обмотки возбуждения
в нагретом состоянии гв = 0,352 ом. Чему равен коэффициент
полезного действия ц при номинальной нагрузке?
552. Гидрогенератор, имеющий номинальную мощность
SH = 68 750 ква, номинальное напряжение UH = 13 800 в, номи¬
нальный ток Ік = 2880 а, номинальный коэффициент мощности
cos фя = 0,8, работает на сеть U = const = 13 800 в при номи¬
нальном токе возбуждения const. Синхронное индуктивное
378
сопротивление хс = 0,127 (в относительных единицах). Найти
о т /4 3 2 1 \
углы 0, cos ф и 1 для различных нагрузок ( \.
553. По условию задачи 552 определить электромагнитную
мощность Рэм и синхронизирующую мощность Рсх при работе
гидрогенератора параллельно с сетью U = const = 13 800 в при
. • , 4 3 2 1
номинальном токе возбуждения const для-^- и от
номинальной полезной мощности Р2н. Синхронное индуктивное
сопротивление хс = 0,127 (в относительных единицах). Построить
кривые Р9М= /(Ѳ) и Рсх= /(Ѳ) (для этого необходимо определить
дополнительно Рам и Рсх для значений угла Ѳ, равного 0, 30°,
60° и 90°).
554. Два трехфазных синхронных генератора работают парал¬
лельно и имеют силовую нагрузку Р^ = 5000 кеш при коэффици¬
енте мощности cos ф4 = 0,71 и осветительную нагрузку Р2 =
= 3000 кет. Первый генератор' дает мощность Pj = 5000 кет
при коэффициенте мощности cos фА = 0,8. Какова нагрузка Рц
и коэффициент мощности cos фи второго генератора?
555. Заводу требуется активная мощность Р = 900 кет при
коэффициенте мощности cos ф =0,6.
Решить: 1) какую мощность SH должен иметь синхронный гене¬
ратор; 2) чему равна мощность синхронного компенсатора, чтобы
повысить коэффициент мощности до 0,8; 3) чему равна мощность
синхронного компенсатора, чтобы повысить коэффициент мощ¬
ности до единицы?
556. На заводе установлены асинхронные двигатели, которые
потребляют мощность Р4 = 1000 кет при коэффициенте мощности
cos ф1 = 0,8; кроме того, заводу требуется дополнительно мощ¬
ность Р2 = 200 кет. Вычислить мощность трехфазного синхрон¬
ного двигателя в киловольт-амперах, который мог бы дать ука-*
занную добавочную мощность и в то же время повысить коэф¬
фициент мощности всей установки до единицы, если коэффициент
полезного действия синхронного двигателя ц = 91 %.
557. На заводе установлены асинхронные двигатели, которые
потребляют мощность Рі = 1500 кет при коэффициенте мощности
cos ф1 = 0,84, кроме того, заводу требуется дополнительно мощ¬
ность Р2 = 500 кет.
Чему равна мощность трехфазного синхронного двигателя в
киловольт-амперах, который мог бы дать указанную добавочную
мощность и в то же время повысить коэффициент мощности всей
установки до единицы, если коэффициент полезного действия
синхронного двигателя ц = 94% ?
558. Трехфазный синхронный двигатель включен в сеть с
напряжением U = 6000 в. Работает ли двигатель в данный мо¬
мент с опережающим или отстающим током и как необходимо
379
изменить ток возбуждения, чтобы коэффициент мощности cos ср
был равен единице, если мощность, подводимая к двига¬
телю, рі = 240 кет, а ток I = 29 а?
Решение. Так как ток, напряжение и мощность, подводи¬
мая к двигателю, известны, то можно определить коэффициент
мощности двигателя:
Л 240-ІО3 nQ
cos <р = —- = —= « 0,8.
V3UI УЗ-6000-29
Для того чтобы определить работает ли двигатель с опере¬
жающим или отстающим током, необходимо при помощи реостата
немного увеличить ток возбуждения. Если в этом случае ампер¬
метр будет показывать меньше 29 а, значит двигатель работает
с отстающим током. Если же при увеличении тока возбуждения
амперметр будет показывать больше 29 а, значит двигатель ра¬
ботает с опережающим током. Очевидно, для того чтобы коэф¬
фициент мощности был равен единице, необходимо в первом
случае увеличить ток возбуждения, а во втором случае умень¬
шить на столько, чтобы ток в статоре (якоре) синхронного дви¬
гателя достиг минимального значения, равного:
240-103
_ - _ 23,1 а.
V3U УЗ-6000
559. Трехфазный синхронный двигатель включен в сеть
с напряжением U = 6000 в. Работает ли двигатель в данный мо¬
мент с опережающим или отстающим током и как необходимо
изменить ток возбуждения, чтобы коэффициент мощности cos ср
был бы равен единице, если известно, что мощность, подводимая
к двигателю, Р^= 400 кет, а ток I = 48,2 а.
560. (Синхронный и асинхронный генераторы работают парал¬
лельно на нагрузку, требующую активную мощность Р = 400 кет
при коэффициенте мощности cos ф = 0,8. Определить мощность Sc
синхронной машины и коэффициент мощности ее cos фс, если
мощность асинхронного генератора Sa2= 250 кеа при коэффици¬
енте мощности cos Фаг= 0,9.
561. Какова должна быть мощность SCK синхронного компен¬
сатора, параллельно с которым включен асинхронный генератор
с номинальной мощностью $аг= 100 кеа при cos Фаг= 0,85, для
того чтобы последний мог питать небольшой завод, требующий
активную мощность Р = 85 кет при коэффициенте мощности
cos ф = 0,85?
Глава четырнадцатая
МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОБМОТКАХ МАШИН
ПОСТОЯННОГО ТОКА
Проводники, уложенные на якоре и соединенные между
собой по определенному правилу, образуют обмотку якоря*.
При вращении обмотки якоря в магнитном поле в ней индук¬
тируется э.д.с. и происходит преобразование одного вида энер¬
гии в другой — механической в электрическую (генератор) или
электрической в механическую (двигатель). По типу якоря об¬
мотки делятся на кольцевые и барабанные. В на¬
стоящее время применяют только барабанные обмотки. В зави¬
симости от того, как соединены проводники между собой, обмотки
могут быть параллельные, или петлевые, и по¬
следовательные, или волновые. Петлевые и вол¬
новые обмотки делятся на простые и сложные.
Активным проводником обмотки якоря
называется проводник, который пересекает полезный магнитный
поток машины и в котором индуктируется э.д.с.
Виток обмотки якоря — два последовательно со¬
единенных активных проводника, охватывающих своим контуром
(приблизительно) полезный магнитный поток одного полюса.
Секцией обмотки называется часть обмотки, заклю¬
ченная между двумя последовательными присоединениями к
коллектору (коллекторным пластинам), следующим друг за другом
по схеме. Секция имеет две активные стороны, располагаемые
одна наверху, а другая внизу пазов якоря.
Число коллекторных пластин равно числу секций:
K=S, (1)
где К — число коллекторных пластин;
S — число секций. •
* Иногда якорь называют ротором, так как в машинах переменного
тока вращающаяся часть называется ротором.
381
Число проводников в активной стороне секции равно числу
витков wc в секции.
Первый шаг обмотки* ух есть расстояние между на¬
чальной и конечной сторонами одной и той же секции (рис. 301),
т. е. это расстояние равно ширине секции.
Второй шаг обмотки у2 называют расстояние между
конечной стороной какой-нибудь секции и начальной стороной
следующей секции (рис. 301).
Результирующий шаг обмотки якоря у равен рас¬
стоянию между начальными сторонами двух следующих друг
за другом по схеме секций (рис. 301).
Рис. 301
Результирующий шаг у петлевой обмотки равен разности
первого и второго шагов обмотки (рис. 301):
У = Уі— У2- (2)
Результирующий шаг у волновой обмотки равен сумме первого
и второго шагов обмотки (рис. 302, а и б):
У = Уі + Уъ (3)
Так как при выполнении обмотки важно знать не действи¬
тельное расстояние между активными сторонами, а порядок их
соединения между собой, то шаг измеряют не единицами длины,
а числом реальных пазов (зубцов) или числом так называемых
элементарных пазов **, на которое приходится смещаться по
окружности якоря вперед или назад, чтобы сделать шаг. Под
элементарным пазом понимают паз с двумя актив¬
ными сторонами (рис. 303, а). Так как один элементарный паз
соответствует одной секции или одной коллекторной пластине,
* Вместо терминов «первый шаг обмотки» и «второй шаг обмотки» упот¬
ребляются термины «первый частичный шаг обмотки по якорю» и «второй
частичный шаг обмотки по якорю».
** Шаг можно измерять также числом секций.
382
то число элементарных пазов Z>9 якоря равно числу секций S или
числу коллекторных пластин Æ:
Z3=S = К. (4)
$
Рис. 302
Шагом по коллектору ук называют расстояние по коллек^
тору, измеренное числом коллекторных делений (или числом
коллекторных пластин) между начальной и конечной сторонами
секции. Коллекторное деление — расстояние от центра одной
коллекторной пластины до центра соседней коллекторной плас-»
тины, которое равно ширине пластины плюс ширине изоляцион-*
ного слоя между пластинами.
383
2. ПЕТЛЕВЫЕ ОБМОТКИ
Простая петлевая обмотка применяется для
машин средней мощности нормального напряжения и для машин
большой мощности повышенного напряжения.
При простой петлевой обмотке число секций в машине
5- ",
2шс
где N — число проводников обмотки якоря;
wc — число витков в секции.
Первый шаг
S Z
е = е=ц. ч., (6)
Ар
где р — число пар полюсов машины;
е — правильная дробь для получения ух целым числом. Если
е = О, то такая обмотка называется диаметраль¬
ной. Результирующий шаг у обмотки по якорю равен
шагу по коллектору, т. е.
У = ук = ± 1, (7)
где ук — шаг по коллектору.
Если Уі >У2, то у будет положительным и обмотка наматы¬
вается в правую сторону с неперекрещенными концами, присо¬
единяемыми к коллекторным пластинам, поэтому такая обмотка
называется правоходовой или просто п.р а в о й (не¬
перекрещенной) (рис. 301, а).
Если Уі< у2, то у = — 1 и обмотка наматывается влево
с перекрещенными концами секции, присоединяемыми к кол¬
лекторным пластинам, поэтому такая обмотка называется лево¬
кодовой или просто левой (перекрещенной) (рис.
301, б). Последняя обмотка имеет большой расход меди на соеди¬
нительные концы, поэтому ее стараются не применять.
Второй шаг
Уг=Уі— У- (8)
Число параллельных ветвей (цепей) обмотки якоря 2а равно
числу полюсов 2р:
2а = 2р; (9)
где а — число пар параллельных ветвей обмотки якоря.
Число щеток равно числу полюсов.
Сложная петлевая обмотка применяется при
больших токах и невысоких напряжениях *, так как применение
* Машины малой мощности низкого напряжения и машины большой
мощности нормального, пониженного и низкого напряжения.
384
, если на якоре рас-*
Рис. 304
простой петлевой обмотки при небольшом числе полюсов при-»
водит к большому сечению обмотки якоря и небольшому числу
коллекторных пластин.
При одном и том же числе пар полюсов машины можно уве->
личить число параллельных ветвей в т р
положить т одинаковых простых петлевых
обмоток (рис. 304), т. е.
2а = 2тр. (10)
Результирующий шаг у и шаг по кол¬
лектору ук равны:
У = Ук = ± т. (11)
Знак плюс (+) соответствует правой
обмотке, а знак минус (—) — левой об¬
мотке.
Первый шаг сложной петлевой обмот¬
ки по якорю Уі определяется так же, как
и в простой петлевой обмотке, по формуле (6):
У! = —=F е=ц. ч.
Сложные петлевые обмотки могут быть однократно¬
замкнутые и многократнозамкнутые. Если К
и ук не имеют общего делителя, то обмотка однократнозамкнутая,
если же К и ук имеют общий делитель g, то обмотка g — крат¬
нозамкнутая. Практически выполняют только двукратные петле’
вые обмотки (т = 2).
3. ВОЛНОВЫЕ ОБМОТКИ
Простая волновая обмотка применяется тог¬
да, когда требуется получить высокое напряжение на коллекторе
машин постоянного тока, например в тяговых и крановых дви¬
гателях.
В простой волновой обмотке число параллельных
зависит от числа полюсов и всегда равно двум, т. е.
2а = 2.
Первый шаг обмотки по якорю определяется так
в простой петлевой обмотке, по формуле (6)1
Результирующий шаг
5 T 1 4=1
р = = .
P Р
ветвей не
(12)
же, как и
(13)
13 Заказ № 836
385
Знак плюс (+) соответствует правой (перекрещенной) об¬
мотке (рис. 302, б), а знак минус (—) — левой (неперекрещенной)
обмотке (рис. 302, а).
Второй шаг обмотки по якорю
У2=У— Уі- <14)
Шаги у± и у2 желательно выбирать так, чтобы yt « у2, но
это не всегда возможно, так как у может быть нечетным числом.
Шаг по коллектору
К^і
Ук — У = ■ (15)
Р
Как в простых, так и в сложных волновых обмотках можно
устанавливать при любом числе полюсов только две щетки.
В этом случае ток на щетку увеличивается, вследствие чего уве¬
личивается площадь щетки и длина коллектора. Две щетки при¬
меняют в машинах небольшой мощности и в некоторых тяговых
двигателях. Чтобы уменьшить ток, приходящийся на одну щетку,
обычно устанавливают число щеток, равное числу полюсов.
Сложная волновая обмотка (множествен-
н о-в олновая обмотка) применяется в том случае,
если двух параллельных ветвей простой волновой обмотки ока¬
зывается недостаточно, а при простой петлевой обмотке получа¬
ется слишком большое число параллельных ветвей.
Следовательно, сложная волновая обмотка применяется в ма¬
шинах высокого напряжения и средней мощности.
Сложная волновая обмотка получается так же, как и слож¬
ная петлевая обмотка, т. е. на якоре располагают а = т
ковых простых волновых обмоток *.
Шаг по коллектору
К T т Æ =F а
Ук = = .
P Р
Результирующий шаг
У = Ук = Уі + У*
Первый шаг обмотки по якорю определяется так же,
в простой волновой обмотке:
Второй шаг обмотки по якорю
У2=У—Уі-
одина-
(16)
(17)
как и
(18)
(19)
* Где а — число пар параллельных ветвей обмотки якоря.
386
Сложные волновые обмотки, как и сложные петлевые обмотки,
могут быть многократнозамкнутыми и однократнозамкнутыми
(см. стр. 384—385).
Число параллельных ветвей
2а = 2т. (20)
4. РАСЧЕТ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ
Магнитодвижущая сила (намагничивающая сила) воздушного
зазора
Магнитодвижущая сила (м.д.с.), необходимая для проведения
магнитного потока Ф через воздушный зазор между полюсным
наконечником и якорем, определяется по формуле
2
Fô= — Bôô, (21)
Но
где — магнитодвижущая сила, а\
Въ — наибольшее значение магнитной индукции в воз¬
душном зазоре, тл\
|і0 — магнитная постоянная*, гн!м\
Ô' = к$ — расчетная длина воздушного зазора, м\
ô — действительная длина воздушного зазора, м\
кь — коэффициент воздушного зазора, который может
быть определен по формуле
7 ti + 10
= ,
&31 + 10
(22)
где ti — зубцовый шаг у поверхности зазора (зубцовое деление);
ЬЗІ — ширина головки зубца (рис. 305).
* Для воздуха р^І.
13*
387
Зубцовый шаг
пйя
где — зубцовый шаг;
£>я — внешний диаметр якоря;
Z — число зубцов якоря.
Ширина головки зубца
^31 = 11 ЬП1
(23)
(24)
где
Ьп— ширина паза.
Рис. 306
Магнитная индукция
в воздушном зазоре
Я0 =
Ф
ад//
(25)
где т — полюсное деление;
Ф — полезный магнитный поток на полюс, пересекаемый об-*
моткой якоря, вб;
— расчетная длина якоря [основание прямоугольника
(рис. 306)], которая приближенно равна длине пакетов
стали якоря, т. ѳ.
1^1 =ія — пвЬв9 (26)
где I — длина пакетов стали якоря;
Ія — полная длина якоря;
388
пв — число вентиляционных каналов;
Ьв — ширина вентиляционного канала.
Обычно расчетную длину якоря определяют по формуле
іі =0,5 (ln +Z), (27)
где Іп — длина полюса по оси машины (см. рис. 306).
Отношение расчетной полюсной дуги [ширина прямоугольника
(рис. 307)] к полюсному делению т называют расчетным
коэффициент
ом полюсной дуги:
п - Ьі
(28)
т
коэффициент полюсной дуги;
полюсная дуга.
где az — расчетный
Ьі — расчетная
Если машина постоянного тока не имеет добавочных полю¬
сов, то az = 0,7н-0,8; а в машинах с добавочными полюсами
а. = 0,62-4-0,72.
При приближенных расчетах расчетную длину полюсной
дуги можно определять по формуле
Ьі^Ь+2&, (29)
где b — длина дуги полюсного наконечника (см. рис. 307).
Магнитодвижущая сила зубцов якоря
При определении м.д.с. зубцов необходимо различать два
случая: случай небольших магнитных насыщений, когда наи¬
большая магнитная индукция в зубце В3 18 000 гс = 1,8 тл,
и случай больших магнитных насыщений, когда В3 >1,8 тл.
Первый случай. Если В3 1,8 тл, то можно считать, что
весь магнитный поток, приходящийся на зубцовое деление, про¬
ходит только через зубец, так как магнитная проницаемость
паза очень мала по сравнению с магнитной проницаемостью
зубца. Магнитный поток, приходящийся на одно зубцовое деле¬
ние, равен Вь1^^ а магнитный поток в зубце:
^зх^зх^а
где Взх — магнитная индукция в произвольно выбранном
сечении зубца, имеющем ширину &зж;
— расчетная длина якоря;
— зубцовое деление;
кс = 0,92-4-0 95 — коэффициент заполнения пакетов сталью (ко¬
эффициент пакета), учитывающий изоляцию ли¬
стов стали, который равен отношению длины
стали пакета к полной длине его.
Следовательно,
В^Щі = B3Xb3Xlkc,
389
откуда
р
£>зх =
Ъэх1кс
(30)
По этой формуле обычно определяют магнитные индукции
в двух сечениях зубца — верхнем Взі и нижнем Вз2:
В&іі ti.
ВьШі
(31)
(32)
где Ьз2 — ширина зубца внизу.
Как было сказано выше, приближенно можно считать, что
расчетная длина якоря lt равна длине пакетов стали якоря I
[см. формулу (26)], тогда
о .
&з1 = І
b3ikc
Г>
Вз2 = —~Г-
О82ГСо
390
По кривым намагничивания * для листовой электротехник
ческой стали марок ЭИ, Э12 и Э21 (рис. 308) определяем соот-
ветствующие этихИ магнитным индукциям напряженности магнит¬
ного поля Я31 и Яз2. М.д.с. зубцов будет равна:
+ Яэ2 -2^ (35)
di
где h3 — высота зубца.
Второй случай. Если В3^ 18 000 гс = 1,8 тл, то вследствие
магнитного насыщения зубца часть магнитного потока ответв-*
ляется через паз (см. рис. 305).
Следовательно, магнитный поток для любого концентричѳ*
ского сечения зубца и впадины будет:
Ф, = Фзх + Фпх, (36)
где Фзд>— магнитный поток, проходящий через зубец, вб\
Ф«х— магнитный поток, проходящий через паз, вб.
Не будем останавливаться на выводе формулы м.д.с. зубцов,
а воспользуемся следующей формулой:
= Нзі + ^Нэ ср + Н32 (37)
6
где Н3 — средняя напряженность магнитного поля в
зубце, а/м\
Нзѵ Нз ср и Н32 — напряженности магнитного поля в верх¬
нем, среднем и нижнем сечениях зубца, а/м.
Для определения Н3 необходимо найти расчетную магнитную
индукцию Взх для соответству¬
ющих трех сечений зубца **
(рис. 309), т. е.
, (38)
о зі Ьзі1кс
B'3CP=^L=^L; (39)
Sacp b3cplkc
R’ <Dt
B3z = — = ——. (40)
à32
Затем по кривым намагничивания (рис. 308) для этих магнит¬
ных индукций находим Я31, Н3 ср и Яз2. Зная высоту зубца h3 и
* Л. Н. Пиотровский. Электрические машины. Энѳргоиздат, 1952.
** Необходимо также знать зубцовые коэффициенты для тех же сече¬
ний зубца, определяемые по формуле:
г. _ Ъх $зх= Ь*зх b3Xlkc ljtX3 4
ЗХ $зх $зх baxlkc ~b3Xlkc 19
где Sn— поперечное сечение паза.
391
среднюю напряженность магнитного поля в зубце Н3, можно
определить м.д.с. зубцов на пару полюсов, т. е.
F3=2H3h3. (41)
Чтобы упростить расчет, иногда определяют магнитную ин¬
дукцию и напряженность магнитного поля только в одном се¬
чении, находящемся на расстоянии у от основания зубца. В дан¬
ном случае м.д.с. зубцов
F3=2H3ith3. (4Г)
Формулы (41) и (41') практически дают одинаковый результат.
Магнитодвижущая сила сердечника якоря
Сечение стали якоря (рис. 310)
5Л — 1гяІкСі
(42)
где 5Л — сечение стали якоря;
/гя — высота стали якоря.
Магнитная индукция в якоре
1Ф
Вя = ^=±-
8Я 2hnlke
где Вя — магнитная индукция в якоре, тпл.
В знаменатель этой формулы входит число 2, потому что
магнитный поток якоря делится на две равные части. Зная Вя,
по кривой намагничивания определяем напряженность магнит¬
ного поля в якоре.
392
(43)
М.д.с, сердечника якоря
РЯ=НЯЬЯ> (44)
где Ря — магнитодвижущая сила сердечника якоря, а\
Ья — средняя длина линии магнитной индукции в стали
сердечника якоря,
Ня — напряженность магнитного поля в якоре, а!м.
Магнитодвижущая сила полюсов
Магнитный поток в полюсе Фп больше магнитного потока Ф
в якоре на поток рассеяния Фо, т. е.
фп=ф + фа, (45)
который можно представить так:
ФЛ=оФ, (46)
где а — коэффициент рассеяния.
Магнитная индукция в сердечнике полюса
вп=^=^>, (47)
где Sn — сечение сердечника полюса, лі2.
Зная Вп, по кривой намагничивания определяем напряжен¬
ность магнитного поля Нп в сердечнике полюса.
М.д.с. на пару полюсов
Fn = 2hnHn, (48)
где Fn — магнитодвижущая сила полюсов, а\
hn — высота полюса, включая полюсный наконечник, м
(рис. 310).
Магнитодвижущая сила станины (ярма)
Так как магнитный поток Фп s' станине (ярме) делится на
две равные части, то магнитная индукция в станине (ярме) будет
равна:
где Вс — магнитная индукция в станине, тл.
Sc — сечение станины (ярма), м\
Зная Вс, по кривой намагничивания определяем напряжен¬
ность магнитного поля Нс в станине. М.д.с. станины
FC=HCLC, (50)
393
где Fc — магнитодвижущая сила станины, а}
Lc — средняя длина линии магнитной индукции в станине
(ярме), м.
Результирующая м. д. с. возбуждения на пару полюсов
F. = F 6 + F3 + Fя + F n + Fc, (51 )
где Fq — результирующая магнитодвижущая сила возбуждения
на пару полюсов, а.
5. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ОБМОТКИ ЯКОРЯ.
РЕАКЦИЯ ЯКОРЯ
Э.д.с., индуктируемая в обмотке якоря машины постоянного
тока,
Е = пФ = кЕпФ, (52)
60а Ѵ '
где р — число пар полюсов;
п — скорость вращения, об/мин;
N — число активных проводников обмотки якоря *;
а — число пар параллельных ветвей (цепей) обмотки
якоря;
nN
кЕ —■ тгк постоянный коэффициент для данной машины, зави-
оі) а
сящий от ее конструктивных данных.
При работе машины по обмотке якоря проходит ток, который
создает магнитное поле якоря. Воздействие поля (м.д.с.) якоря
на поле (м.д.с.) полюсов называется реакцией якоря.
Продольная составляющая м.д.с. реакции якоря **
N
Ряпр=2Ъ$А = р-/я, (53)
л
где Ря гір — продольная составляющая м.д.с. реакции якоря, а\
— дуга окружности якоря, соответствующая углу сдвига
щеток р с геометрической нейтрали;
А Ni*
А = —— линеиная нагрузка;
ія = — ток в одной параллельной ветви (ток в проводнике
обмотки якоря);
здесь Ія — ток в якоре, а.
♦ Иногда вместо термина «число активных проводников обмотки якоря»
употребляется термин «число проводников обмотки якоря».
** Продольная составляющая м.д.с. якоря.
394
Поперечная составляющая м.д.с. реакции якоря * равна:
Ряп =(т-263)А, (54)
ГДѲ ^Яп — поперечная составляющая м.д.с. реакции якоря, а;
т — полюсное деление.
6. ГЕНЕРАТОРЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Уравнение э.д.с. генератора можно записать независимо
от способа возбуждения в следующем виде:
U = Е—гямІя —&ищ, (55)
где U — напряжение на зажимах генератора, в\
Е — э.д.с., индуктируемая в якоре, в\
Iя — ток в обмотке якоря, а\
— падение напряжения в контакте щеток обеих полярно¬
стей ** (на пару щеток), в\
гям = R* + гпос+ г^п+ гк0 — сопротивление обмоток цепи якоря
(ом), состоящее в общем случае из Ня— сопротивления обмотки
якоря, гпос— сопротивления последовательной обмотки возбуж¬
дения (если она имеется), гдп— сопротивления обмотки дополни¬
тельных полюсов и гко — сопротивления компенсационной
обмотки. Если не требуется особой точности определения напря¬
жения U, то члены гямІяп \ U в формуле (55) можно объединить,
полагая, что величина изменяется пропорционально току Ія.
В этом случае формула (55) примет следующий вид:
и = Е-гяІя, (56)
где гя = гям+-у-^=гям+гщ— сопротивление цепи якоря, ом*,
1 я
гяІя—~ падение напряжения в цепи якоря, в\
гщ— сопротивление переходного контакта щеток, ом.
По способу возбуждения генераторы постоянного тока могут
быть с независимым возбуждением (рис. 311) и с самовозбужде¬
нием. Генераторы с самовозбуждением делятся на три типа:
1) генераторы параллельного возбуждения, у которых обмотка
возбуждения приключена параллельно к якорю;
2) генераторы последовательного возбуждения, у которых
обмотка возбуждения соединена последовательно с якорем;
3) генераторы смешанного возбуждения, у которых имеются
две обмотки возбуждения — параллельная и последоватѳльная<
* Поперечная составляющая м.д.с. якоря.
** Вместо термина «падение напряжения в контакте щеток обеих по¬
лярностей» употребляется термин «переходное падение напряжения на пару
щеток разной полярности».
395
Рис. 311
Рис. 312
(56) :
(57)
(58)
(59)
Генератор параллельного возбуждения (рис. 312)
Напряжение на зажимах генератора найдем из формулы
U =Е— гяІя,
откуда ток в якоре
__Е — U
*Я •
Гя
Ток в цепи возбуждения
U U
ів »
Re Гв + Грг
где ів— ток в цепи возбуждения, а;
Вв= гв+ грг— сопротивление цепи возбуждения, т. е. сопро¬
тивление обмотки возбуждения гв и сопротивление регулировоч¬
ного реостата грг, если он имеется в цепи возбуждения, ом.
Ток в якоре
Ія = I + Ів, (60)
где I — ток внешней цепи или ток нагрузки, а9
396
Полезная (или отдаваемая) мощность генератора
Рг = UI. (61)
Электромагнитная мощность равна полной мощности, раз¬
виваемой якорем,
Рэм = ЕІЯ (62)
или
Рэм = ЕІЯ = (И + Глія) Iя = IIІя + Тяія — U (I ів) + Гяія =
= III + Uie + гяія = Р2 + Рв + Ря> (63)
где Р2 — полезная мощность генератора, вт\
Рв= Uie — электрические потери в цепи возбуждения, вт\
Ря= гяІ2я — электрические потери в цепи якоря, вт.
Генератор последовательного возбуждения (рис. 313)
Напряжение на зажимах генератора последовательного воз¬
буждения, как и генератора параллельного возбуждения, опреде¬
ляется по формуле (57):
U = Е — гяІя,
397
откуда ток в якоре
-E — U
'я —
Гя
Полезная мощность генератора
Рг = UI = иіЯі (65)
так как у генератора последовательного возбуждения ток Ія
в якоре равен току I внешней цепи, т. е. Ія = I.
Электромагнитная мощность равна полной мощности, раз¬
виваемой якорем,
Рэм = ЕІЯ (66)
или
Рзм = ЕІЯ = (U + гяІя) Ія = иія + гяІ2я = Р2 + Ря. (67)
Генератор смешанного возбуждения
По способу приключения параллельной обмотки возбуждения
различают генераторы смешанного возбуждения с длинным шун¬
том (с длинным ответвлением — рис. 314, а) и с коротким шунтом
(с коротким ответвлением — рис. 314, б).
Так как сопротивление последовательной обмотки возбуж¬
дения и падение напряжения в ней очень малы, то разницы между
обеими схемами практически нет. Поэтому рассмотрим генератор
смешанного возбуждения с длинным шунтом.
Напряжение на зажимах генератора
U = Е-гяІя. (68)
Ток в якоре
Ія = I + is- (69)
Полезная (отдаваемая) мощность генератора
Рг = UI. (70)
Электромагнитная мощность генератора смешанного возбуж¬
дения, как и генератора параллельного возбуждения, опреде¬
ляется по формуле (62):
или <71>
Рэм = ЕГЯ = (U + ГЯІЯ) Ія = иія + гяІ2 — U (I + 4) + гяІ2 =
= UI + иів+гяІ2, (72)
где Uie — электрические потери в параллельной цепи возбуж¬
дения, вт.
Электрическим коэффициентом полезно¬
го действия называется отношение полезной мощности Р2
398
генератора к электромагнитной мощности
Р2 UI
Лэ = = •
PSM ЕІЯ
(73)
К.п.д. генератора постоянного тока называется отношение
полезной (или отдаваемой) мощности Р2 генератора к мощно*
сти Рр подводимой к нему:
или
(74)
(75)
7. ДВИГАТЕЛИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Двигатели постоянного тока, так же как и генераторы по¬
стоянного тока, в зависимости от способа включения обмотки
возбуждения к якорю делятся на:
1) двигатели параллельного возбуждения (независимого воз¬
буждения);
2) двигатели последовательного возбуждения;
3) двигатели смешанного возбуждения.
При вращении двигателя в обмотке якоря индуктируется
электродвижущая сила * (э.д.с.):
Е=^-пФ = кЕпФ, (76)
60а
где р — число пар полюсов двигателя;
п — скорость вращения, об/мин;
N — число активных проводников обмотки якоря;
а — число пар параллельных ветвей (цепей) обмотки якоря;
Ф — полезный магнитный поток на полюс, пересекаемый
обмоткой якоря, вб\
— постоянный коэффициент для данного двигателя, за*»
оОа
висящий от его конструктивных данных.
* Так как э.д.с. направлена против тока и, следовательно, против прило¬
женного к двигателю напряжения, то, наряду с термином «электродвижущая
сила» иногда употребляется термин «противоэлектродвижущая сила» или
«обратная э.д.с.».
399
Двигатели параллельного возбуждения (рис. 315)
Вращающий момент (электромагнитный момент) двигателя
пропорционален току Ія в якоре и магнитному потоку Ф;
Рис. 315
м = кмІяФ, (77)
где М — вращающий момент, н-м;
, PN
КМ = 9 постоянный коэффициент
для данного двигателя,
зависящий от его кон¬
структивных данных. Ес¬
ли вращающий
выражен в кГм,
k - PN
9,81 • 2ла
Напряжение на зажимах
теля
момент
то
двига-
U = Е + гяІя,
откуда ток в якоре двигателя
_ U — E
*Я •
(78)
(79)
Ток в цепи
U U
Ів~ Re
г в + грг
•я
возбуждения
(80)
где гв — сопротивление обмотки возбуждения, ом;
грг— сопротивление регулировочного реостата в цепи
возбуждения, ом;
Re = гв + Грг—- сопротивление цепи возбуждения, ом.
Ток двигателя равен сумме токов якоря и возбуждения:
I — Ія + Ів*
(81)
Мощность, подводимая к двигателю,
Р, = UI.
(82)
Электромагнитная мощность равна полной механической мощ¬
ности, развиваемой двигателем:
РдМ = ЕІЯ (83)
или
Р,м = ЕІЯ = (U — гяІя) Ія = иія - гяІ2 =
= (7 _ ів) - гяІя = UI- Uie - гяІ2я = Pt - Рв - Ря, (83 )
400
где Рв = Uie — электрические потери в цепи возбуждения, вт\
Ря = гяІ\- электрические потери в цепи якоря, вт.
Полезная мощность на валу двигателя
Р2 = 1,028М2п, (84)
где М2 — полезный вращающий момент двигателя, кГм.
Скорость вращения двигателя можно определить из форму-
лы (76):
Е U— гяІя
п = =
/с^Ф к^Ф
(85)
или
„ _и —(гя + гр) Ія
(85')
ТЬ — л
кБФ
где гр — сопротивление регулировочного реостата, включенного
в цепь якоря, ом.
Из формул (85) и (85') видно, что скорость можно регули¬
ровать тремя способами: 1) изменением напряжения U сети (на¬
пряжения, подводимого к двигателю), 2) изменением сопротив¬
ления в цепи якоря и 3) изменением магнитного потока Ф (тока
возбуждения). Напряжение U может быть изменено путем регу¬
лирования напряжения, подводимого к двигателю от отдельного
генератора (система генератор — двигатель).
Двигатели последовательного возбуждения
Напряжение на зажимах двигателя (рис, 316)
U = Е + гяІя,
(86)
откуда ток в якоре двигателя
I
7 я — 1 —
(87)
Гя ’
Мощность, подводимая к двигателю,
Рі==иі = иія.
<88)
Электромагнитная мощность двигателя
Рэм = ЕІЯ
(89)
ИЛИ
Рэм =ЕІя = (и — гяІя) Ія = иія —гяІІ
(89')
Вращающий момент двигателя последовательного возбужде¬
ния, как и двигателя параллельного возбуждения, определяется
по формуле (77):
М = кмІяФ.
401
Если магнитная цепь машины не насыщена, то магнитный
поток пропорционален току Ф = 7Я, а следовательно вращающий
момент пропорционален квадрату тока, т. е.
М = кмІ2 = к'мІ2. (90)
Двигатели смешанного возбуждения
Напряжение на зажимах двигателя смешанного возбуждения
с длинным шунтом (с длинным ответвлением — рис. 317)
и=Е + гяІя, (91)
откуда ток в якоре двигателя
_U—E
Л я •
ГЛ
Ток в параллельной цепи возбуждения
U U
Iq •
Re Гв + трг
Ток двигателя
I = Л + 4.
(92)
(93)
(94)
402
Мощность, подводимая к двигателю,
P, = UL (95)
Электромагнитная мощность двигателя
(96)
или
Рам = ЕІЯ = (U — гяІя) Іа = иія -гяІ2 =
= U(I — ів) - гяІ2я = UI- Шв - гяІ2 = (96')
= Рі-Рв-Ря,
где Рв = Uie — электрические потери в параллельной цепи
возбуждения *, вт.
К.п.д. двигателя называется отношение полезной мощности Р2
на валу двигателя к мощности подводимой к двигателю:
Pz
или 1
п =^2 100%.
Рі
Задачи
562. Данные простой петлевой обмотки якоря машины по¬
стоянного тока следующие: число активных проводников ** TV=36;
число витков в секции wc = 1; число пар полюсов р = 2; число
секций S равно числу коллекторных пластин К. Определить шаги
обмотки у2, у и yk, вычертить схему обмотки в радиальном
и развернутом виде, расставить полюсы и щетки, распределить
секции в параллельные ветви.
563. Данные простой петлевой обмотки якоря машины по¬
стоянного тока следующие: число проводников TV = 112; число
витков в секции wc = 4; число пар полюсов р = 2; число секций S
равно числу коллекторных пластин К. Найти шаги обмотки г/р
уг, у и yk1 вычертить схему обмотки в радиальном и разверну¬
том виде, расставить полюсы и щетки, распределить секции
в параллельные ветви.
564. Данные простой петлевой обмотки якоря машины по¬
стоянного тока следующие: число пар полюсов р = 3; число кол¬
лекторных пластин К = S = 48; число пазов Z = 16. Определить
шаги по элементарным и реальным пазам, вычертить схему об¬
мотки в радиальном и развернутом виде, расставить полюсы
и щетки, распределить секции в параллельные ветви.
* Наряду с терминами «электрические потери в цепи возбуждения» и
«электрические потери в цепи якоря» употребляются термины «потери в цепи
возбуждения» и «потери в цепи якоря».
** В дальнейшем слово «активный» опускается.
403
565. Данные обмотки якоря машины постоянного тока следу¬
ющие: число пар полюсов р = 2; число коллекторных пластин
К = S = 42; число пазов Z = 14. Род соединений — простая пет¬
левая обмотка. Вычислить шаги по элементарным и реальным
пазам, вычертить схему обмотки в развернутом виде, расставить
полюсы и щетки, распределить секции в параллельные ветви.
566. Данные обмотки якоря машины постоянного тока сле¬
дующие: число проводников N = 80; число витков в секции
wc = 1; число пар полюсов р = 2; число секций (элементарных
пазов) в одном реальном пазу ис = 2. Род соединений — сложная
(множественная) петлевая обмотка (т = 2). Определить шаги
обмотки, число параллельных ветвей, вычертить схему обмотки
в радиальном и развернутом виде, расставить полюсы и щетки,
распределить секции в параллельные ветви.
567. Данные обмотки якоря машины постоянного тока сле¬
дующие: число проводников N = 72; число витков в секции
шс = і; число пар полюсов р = 2; число секций (элементарных
пазов) в одном реальном пазу ис — 2. Род соединений — сложная
(множественная) петлевая обмотка (т =2). Найти шаги обмотки,
число параллельных ветвей, вычертить схему обмотки в ради¬
альном и развернутом виде, расставить полюсы и щетки, рас¬
пределить секции в параллельные ветви.
568. Данные обмотки якоря машины постоянного тока сле¬
дующие: число пар полюсов р = 2; число коллекторных пластин
К = S = 20; число пазов Z = 20. Род соединений — сложная (мно¬
жественная) петлевая обмотка (т = 2). Определить шаги обмотки,
число параллельных ветвей, вычертить схему обмотки в раз¬
вернутом виде, расставить полюсы и щетки, распределить сек¬
ции в параллельные ветви.
569. Данные обмотки якоря машины постоянного тока сле¬
дующие: число проводников N = 34; число витков в секции
ыс = 1; число пар полюсов р = 3; число коллекторных пластин К
равно числу секций S, Род соединений — простая волновая об¬
мотка. Вычислить шаги обмотки, вычертить схему обмотки в
радиальном и развернутом виде, расставить полюсы и щетки,
распределить секции в параллельные ветви.
570. Данные обмотки якоря машины постоянного тока сле¬
дующие: число пар полюсов р = 2; число коллекторных пластин
К = S = 17. Род соединений — простая волновая обмотка. Опре¬
делить шаги обмотки, вычертить схему обмотки в развернутом
виде, расставить полюсы и щетки, распределить секции в па¬
раллельные ветви.
571. Данные обмотки якоря машины постоянного тока сле¬
дующие: число проводников N\ число витков, в секции ірс, число
пазов Z; число пар полюсов р. Род соединений — простая вол¬
новая обмотка (обмотку возможно намотать для некоторых ва¬
риантов лишь при наличии мертвой секции, которую при
404
намотке обмотки можно оставить свободной). Определить шаги по
элементарным и реальным пазам и составить таблицу соединений
обмотки.
Наименование
Значения параметров при различных вариантах задачи
1 1
1 2
3
4
5 1
1 6
7
8 1
9
N
280
420
560
840
1120
252
372
212
504
wc
1
2
3
3
4
1
2
1
2
Z
35
35
35
35
35
42
31
53
42
Р
2
2
2
2
2
2
2
2
2
572. Данные обмотки якоря машины постоянного тока сле¬
дующие: число проводников N = 36; число витков в секции
wc = 1; число пар полюсов р = 2; число секций (элементарных
пазов) в одном реальном пазу ис = 1. Род соединений — сложная
(множественная) волновая обмотка (т = 2). Найти шаги обмотки,
вычертить схему обмотки в развернутом виде, расставить по¬
люсы и щетки, распределить секции в параллельные ветви.
573. Данные обмотки якоря машины постоянного тока сле¬
дующие: число проводников N = 40; число витков в секции
шс = 1; число пар полюсов р = 2; число секций (элементарных
пазов) в одном реальном пазу ис = 1. Род соединений — сложная
(множественная) волновая обмотка (т = 2). Определить шаги
обмотки, вычертить схему обмотки в развернутом виде, расста¬
вить полюсы и щетки, распределить секции в параллельные
ветви.
574. Выбрать обмотку якоря для генератора постоянного
тока, имеющего номинальную мощность Р2ч = 70 кет, номиналь¬
ное напряжение UH = 460 в, номинальный ток Ія = 152 а, номи¬
нальную скорость вращения пя = 1470 об/мин, число пар полю¬
сов р = 2, диаметр якоря Бя — 340 мм и полезный магнитный
поток одного полюса, пересекаемый обмоткой якоря, Ф = 178,3-
•10"4еб.
575. Выбрать обмотку якоря для генератора постоянного
тока, имеющего номинальную мощность Р2Я = 55 кет, номиналь¬
ное напряжение UH = 115 в, номинальный ток Ія = 478 а, номи¬
нальную скорость вращения пя = 1470 об/мин, число пар полю¬
сов р = 2, диаметр якоря Бя = 340 мм и полезный магнитный
поток одного полюса, пересекаемый обмоткой якоря, Ф = 643,8-
•10"бвб.
576. Определить коэффициент воздушного зазора къ для ге¬
нератора параллельного возбуждения, имеющего номинальную
мощность Р2Я = 300 кет, диаметр якоря Оя = 85 см, число пазов
Z = 93, полную длину якоря Ія = 31 см, длину воздушного зазора
ô = 0,4 см, число вентиляционных каналов пв = 3, ширину вен¬
тиляционного канала Ьв = 1 см, ширину паза Ьп = 1,2 см.
405
Решение. Для определения коэффициента воздушного за¬
зора было предложено несколько формул; наибольшее примене¬
ние получили только две формулы, которые мы рассмотрим. Зуб¬
цовый шаг (зубцовое деление) у поверхности зазора
h
_ 3,14-85
“ Z “ 93
Ширина зубца у поверхности зазора
Ьз1 = h — bn = 2,87 —1,2 = 1,67 см.
Шаг по
вентиляционным
. Пв Ъв .
= "Т"! г
1 + nQ
каналам
Коэффициент воздушного
*0 = Wô2=— — ■
«1—Y1Ô tie—Ï2Ô
зазора
2,87
_ 1 23
2,87—1,125-0,4 8—0,833-0,4 ’ ’
8
Коэффициент воздушного зазора можно определить по дру¬
гой формуле:
__ tj 4- 106 ___ 2,87 + Ю-0,4 _ j 21
6 “ b3i + 10ô - 1,67 + 10-0,4 “ ’
577. Найти коэффициент воздушного зазора к* для генератора
параллельного возбуждения, имеющего номинальную мощность
Р2я = 200 кет, диаметр якоря Бя = 135 см, число пазов Z = 210,
полную длину якоря Ія = 23,5 см, длину воздушного зазора
Ô = 0,5 см, число вентиляционных каналов пв = 3, ширину венти¬
ляционного канала Ьв = 1 см, ширину паза Ьп = 0,8 см.
578. Двигатель параллельного возбуждения имеет следующие
данные: номинальная мощность Р2н = 20 кет; номинальное на¬
пряжение Un = НО в; номинальная скорость вращения пн =
= 1060 об/мин; число пар полюсов р — 2; число пар параллельных
ветвей обмотки якоря а = 1; число активных проводников обмотки
406
якоря N — 154; число витков в секции wc = 1; число пазов Z = 39;
число коллекторных пластин К = 77; внешний диаметр якоря
Ря == 25 см; внутренний диаметр якоря гія = 7,5 см; полная длина
якоря Ія = 22 см; число вентиляционных каналов пв = 8; ширина
вентиляционного канала Ьв = 1,6 см; коэффициент полюсной
дуги az = 0,69; сечение станины Sc = 200 см2; длина средней линии
магнитной индукции в станине Lc = 19 см; сечение полюса Sn =
= 172 см2; высота полюса hn = 9 см; воздушный зазор Ô = 0,15 см;
ширина паза Ьп = 0,87 см; высота зубца h3 = 3,4 см; коэффициент
рассеяния о = 1,2. Материалы: станины — сталь; полюсов и яко¬
ря — листовая электротехническая сталь марок ЭИ и Э12. Рас¬
считать магнитную цепь при холостом ходе для значений э.д.с.:
^=0,50^; E2=^7Uh; E3=0,9tfH; Е, = UH;
Б. = 1,ШН и Eq = l,25f7H.
Построить характеристику холостого хода.
579. Двигатель последовательного возбуждения имеет сле¬
дующие данные: номинальная мощность Р2Н = 21,5 кет; номи¬
нальное напряжение UH = 110 в; номинальная скорость вращения
пн = 930 об/мин; число пар полюсов р = 2; число пар параллель¬
ных ветвей обмотки якоря а = 1; число активных проводников
обмотки якоря N = 154; число витков в секции wc = 1; число па¬
зов Z = 39; число коллекторных пластин К = 77; внешний диа¬
метр якоря Бя = 25 см; внутренний диаметр якоря гія — 7,5 см;
полная длина якоря Ія = 22 см; число вентиляционных каналов
пв = 8; ширина вентиляционного канала Ьв = 1,6 см; коэффи¬
циент полюсной дуги az = 0,69; сечение станины S = 200 см2;
длина средней линии магнитной индукции в станине Lc = 19 см;
сечение полюса Sn = 172 см2; высота полюса hn = 9 см; воздуш¬
ный зазор Ô = 1,15 см; ширина паза Ьп = 0,87 см; высота зубца
h3 = 3,4 см; коэффициент рассеяния а = 1,2. Материалы: ста¬
нины — сталь, полюсов и якоря — листовая электротехниче¬
ская сталь марок ЭИ и Э12. Рассчитать магнитную цепь при
холостом ходе для значений э.д.с.:
= 0,5Z7M; Е2 =0t7UH; Е$ = Е^ = UH;
Б, = itiUH и Eq = i,25UH.
Построить характеристику холостого хода.
580. Машина постоянного тока имеет следующие данные:
число витков в секции wc = 1; число проводников * (сторон сек¬
ции) в пазу ип = 6; число коллекторных пластин К = 111; число
пар полюсов р = 2. Обмотка якоря — простая последовательная.
Определить число пазов Z машины и найти полезный магнитный
* В данном случае число проводников и пазу равно числу сторон секции,
так как секция имеет один виток.
407
поток Ф, необходимый для создания в обмотке якоря э.д.с. Е =
= 205,5 в при скорости вращения п = 675 об/мин.
581. Машина постоянного тока имеет следующие данные: число
пазов Z = 37; число витков в секции wc= 1; число секций (эле¬
ментарных пазов) в одном реальном пазу ис = 3; число пар по¬
люсов р = 2. Обмотка якоря — простая последовательная. Чему
равен полезный магнитный поток ф, необходимый для создания
в обмотке якоря э.д.с. Е = 211 в при скорости вращения п =
= 760 об/мин?
582. Двигатель параллельного возбуждения имеет следующие
данные: номинальная мощность Р2я = 60 кет; номинальное напря¬
жение UH = 220 в; номинальный ток/н = 303 а; номинальный ток
возбуждения івн = 3,77 а; номинальная скорость вращения пя =
= 980 об/мин; сопротивление цепи якоря гл = 0,0404 олі. С какой
скоростью надо вращать данную машину, чтобы она работала
в качестве генератора при напряжении Uг = 230 в? Предполагаем,
что насыщение стали машины и ток в обмотке якоря не изме¬
нятся.
583. Двигатель параллельного возбуждения имеет следующие
данные: номинальная мощность Р2я = 60 кет; номинальное на¬
пряжение UH = 110 в\ номинальный ток Ія = 608 а; номинальный
ток возбуждения івн = 8,46 а; номинальная скорость вращения
пя = 980 об/мин и сопротивление цепи якоря гл = 0,0122 ом. Опре¬
делить напряжение Uг на зажимах данной машины при работе
ее в качестве генератора со скоростью вращения п = 1470 об/мин;
предполагаем, что насыщение стали машины и ток в обмотке
якоря не изменятся.
584. Генератор параллельного возбуждения имеет следую¬
щие данные: номинальная мощность Р2я = 55 кет; номинальное
напряжение UH = 230 е; номинальная скорость вращения пя =
= 400 об/мин; полезный магнитный поток на полюс ф = 2,63-
•10“2 еб; число пар параллельных ветвей обмотки якоря а = 1;
число активных проводников обмотки якоря N = 684; число пар
полюсов р = 2; ток возбуждения ів = 3,76 а. Вычислить ток Ія
генератора при номинальной мощности, ток Iяя в якоре, э.д.с.
F, индуктируемую в обмотке якоря, сопротивление цепи якоря
гя, сопротивление цепи возбуждения Re .
585. По условию задачи 584 определить, на сколько процен¬
тов необходимо уменьшить скорость вращения генератора парал¬
лельного возбуждения, чтобы напряжение генератора как при
холостом ходе, так и при номинальной нагрузке было бы одним
и тем же? Предполагаем, что магнитный поток как при холостом
ходе, так и при номинальной нагрузке остается постоянным.
Падением напряжения в якоре при холостом ходе пренебречь.
586. Генератор параллельного возбуждения 16 кет, 230 в,
69,6 а, 1600 об/мин имеет сопротивление цепи якоря гя = 0,128 ом
и сопротивление обмотки возбуждения гв = 150 ом. Найти ток I я
403
в якоре, ток ів в обмотке возбуждения, э.д.с. Е, индуктируемую
в обмотке якоря, электрические потери в цепи якоря Ря, потери
в обмотке возбуждения Рв , электрический коэффициент полезного
действия цэ, потери вращения Рвр (т. е. потери от гистерезиса,
вихревых токов и механического трения), если коэффициент по*
лезного действия ц = 88,5%.
Решение. Ток в обмотке возбуждения
е о *ѵ ѵ
Ток в якоре
Ія = I + ів = 69,6 + 1,53 = 71,13 а.
Электродвижущая сила, индуктируемая в обмотке якоря,
Е = U + гяІя = 230 + 0,128-71,13« 239 в.
Электрические потери в цепи якоря
Ря = гяГя = 0,128- 71,13’« 648 вт.
Потери в обмотке возбуждения
Рв = гві* = 150-1,532« 351 вт.
Электрический коэффициент полезного действия
_ UI _ Р2 _ 16000
Пэ~ UI + гяГя + гві‘ ~ р2 + ря+рв~ 16 000+648+351
ИЛИ
= 94,1%.
Потери вращения определим из уравнения:
UI + г яІя + г ві2е + Рер
откуда
= — ~(иі+гяРя +г.О =
Л
= — ~(Р2 + Ря + Ре) = - (16 000 + 648 + 351) = 1080 вт.
ц 0,885
587. Электрический коэффициент полезного действия генера¬
тора последовательного возбуждения при напряжении U = 220 в
и токе I = 20 а равен г]э= 94%. Вычислить сопротивление цепи
якоря гя, сопротивление г внешней цепи (нагрузки), э.д.с. Æ,
индуктируемую в обмотке якоря, полезную мощность Р2 гене¬
ратора.
588. Генератор смешанного возбуждения с длинным шунтом
имеет следующие данные: сопротивление цепи якоря гя=0,0044 ом;
409
сопротивление параллельной обмотки возбуждения гв = 20 ом\
ток во внешней цепи I = 800 а. Определить напряжение U на
зажимах генератора, электродвижущую силу Е, индуктируемую
в обмотке якоря, ток Ія в якоре, ток ів в параллельной обмотке
возбуждения и электрический к.п.д. цэ, если сопротивление внеш¬
ней цепи г = 0,275 ом.
589. Генератор параллельного возбуждения 200 кет, 230 в,
869,6 а, 175 об/мин имеет сопротивление цепи якоря гя = 0,0102 ом,
сопротивление обмотки возбуждения rQ = 8,5 ом. Найти ток I я
в якоре, ток ів в обмотке возбуждения, э.д.с. Е, индуктируемую
в обмотке якоря, потери в цепи якоря Ря, потери в обмотке
возбуждения Рв , электрический коэффициент полезного дейст¬
вия цэ, потери вращения Рвр (т. е. потери от гистерезиса, вих¬
ревых токов и механического трения), если коэффициент полез¬
ного действия генератора ц = 90%.
590. Электродвижущая сила генератора параллельного воз¬
буждения £=115 в, сопротивление цепи якоря гя = 0,045 ом,
сопротивление обмотки возбуждения гв = 50 ом, сопротивление
внешней цепи г=1 ом. Определить ток Ія в якоре, напряжение U
на зажимах генератора, ток ів в цепи возбуждения, ток I во
внешней цепи, мощность Р2, отдаваемую генератором.
591. Чему равны поперечная и продольная м.д.с. якоря че¬
тырехполюсного генератора напряжением U=250 в, если щетки
сдвинуты с нейтрали на 15°? Число проводников обмотки якоря
N = 432, число пар параллельных ветвей обмотки якоря а = 2
и ток в якоре Iя = 194 а.
592. Генератор параллельного возбуждения 1,5 кет, 120 в»
1750 об/мин имеет сопротивление цепи якоря гя = 0,86 ом, а со“
противление цепи возбуждения Re = 200 ом. Данный генератор»
работая двигателем вхолостую при номинальном напряжении и
номинальном токе возбуждения, развивает номинальную скорость
вращения при токе в якоре Іях = 1 а. Каковы потери вращения Рвр
(т. е. потери от гистерезиса, вихревых токов и механического
трения)?
593. По условию задачи 592 определить коэффициент полез-
1
ного действия — электрический и промышленный—при
3 4 5
"4 ’ "4 и ~4~ номинальнои сгрузки генератора параллельного
4 ’
воз-
буждения.
594. Ток генератора параллельного возбуждения равен 200 а
при напряжении [7=250 в. Вычислить ток ів в цепи возбужде¬
ния, сопротивление Re цепи возбуждения, ток Ія в якоре, э.д.с.
Е, индуктируемую в обмотке якоря, сопротивление цепи яко¬
ря гя, если потери в цепи якоря 4%, потери в цепи возбужде¬
ния 5% от полезной мощности генератора.
410
595. Генератор параллельного возбуждения имеет следующие
данные: номинальная мощность Р2н = 55 кет; номинальное на¬
пряжение UH = 230 в; номинальная скорость вращения пк =
= 400 об/мин; число пар полюсов р=4; число пар параллельных
ветвей обмотки якоря а = і. Ток в цепи возбуждения івн=3,76 а.
Сечение меди обмотки якоря 16,8x2,41 мм2. Найти ток іян
в одной параллельной ветви обмотки якоря при номинальной
нагрузке и плотность тока ôK.
Решение. Номинальный ток генератора определим из со¬
отношения
^2н =
откуда
7 = — = 55 ‘1000 » 239 а.
UH 230
Ток в якоре равен сумме токов нагрузки и возбуждения:
Іян = Ін + іен = 239 + 3,76 = 242,76« 242,8 а.
Ток в одной параллельной ветви обмотки якоря
U=^=^ = 121,4a.
Сечение меди обмотки якоря
8Я = 2,41 • 16,8« 40,5 мм2.
Плотность тока при номинальной нагрузке
с Іян 121,4 q / 2
ôw = — = 3 а!мм.
зя 40,5
596. Ток генератора смешанного возбуждения с длинным
шунтом / = 100 а при напряжении <7=110 в. Сопротивления цепи
якоря гя=0,1 ом и параллельной обмотки возбуждения гв = 24 ом.
Определить э.д.с. Е, индуктируемую в обмотке якоря, ток Іл
в якоре, потери в цепи якоря Ря, потери в параллельной обмотке
возбуждения Ре , электрический к.п.д. цэ, мощность Р2, отдавае¬
мую генератором.
597. Два генератора параллельного возбуждения, имеющих
каждый сопротивление цепи якоря гя=0,02 ом и сопротивление
цепи возбуждения Re = 25 ом, работают параллельно на нагрузку,
ток которой 4000 а. Вычислить напряжение U на зажимах гене¬
раторов (т. е. на шинах) и мощность, отдаваемую каждым гене¬
ратором, если Е^= 230 в и £2=225 в.
598. Два генератора параллельного возбуждения, имеющих
каждый сопротивление цепи якоря гя=0,045 ом, сопротивление
цепи возбуждения /?в=50 ом, работают параллельно на нагрузку,
411
ток которой 220 а. Найти напряжение U на зажимах генерато¬
ров (на шинах) и мощность, отдаваемую каждым генератором,
если Æ’1 = l 15 в и £*2=118 в.
599. Два генератора параллельного возбуждения работают
параллельно и отдают во внешнюю цепь мощность Р=34,5 кет
при напряжении на зажимах генераторов £7=230 в. Определить
э.д.с. Е± и Е2 генераторов, мощность, отдаваемую каждым гене¬
ратором, и электрический к.п.д. каждого генератора, если сопро¬
тивления цепей якоря и возбуждения соответственно равны:
гя1 = 0,0412 ом; гя2 = 0,05 ом; Rei = 61,2 ом; Re2 = 45 ом.
600. На электрической станции установлены четыре генера¬
тора, которые работают параллельно. Ток в якоре каждого ге¬
нератора Iя = 500 а, э.д.с., индуктируемая в обмотке якоря
генератора, Е = 240 в, а напряжение на зажимах генераторов
U = 230 в. Сопротивление внешней цепи остается постоянным.
Вычислить напряжение U на зажимах генераторов (шинах) и ток
каждого генератора, если э.д.с. одного из генераторов увели¬
чится на 5%, а э.д.с. других генераторов остаются неизменными.
601. Два генератора с номинальными напряжениями на зажи¬
мах 220 в работают параллельно. Напряжение одного генера¬
тора при холостом ходе 265 в, а при нагрузке током 40 а—220 в;
напряжение другого генератора при холостом ходе 275 в, а при
нагрузке токоіи 60 а—220 в. Внешняя характеристика генера¬
торов прямолинейна. Определить напряжение U на зажимах
генераторов и ток каждого генератора, если ток нагрузки 7=80 а.
602. Двухполюсный двигатель параллельного возбуждения
работает от сети с напряжением U=220 в. Ток двигателя 7=52,2 а,
сопротивление цепи возбуждения Re = 110 ом и сопротивление
цепи якоря гл = 0,2 ом. Определить электродвижущую силу Е.
индуктируемую в обмотке якоря, скорость’ вращения а, если
полезный магнитный поток на полюс ф=2,72-10”2 вб, число
проводников обмотки якоря N = 300 и число параллельных вет¬
вей обмотки якоря 2а=2.
Решение. Ток в цепи возбуждения
_ и -220
Ід — — U d.
R, 110
Ток в якоре
Ія = I — ів = 52,2 —2 = 50,2 а.
Электродвижущая сила, индуктируемая в обмотке якоря,
Е = U — гяІя = 220 — 0,2 • 50,2« 210 в.
Из уравнения электродвижущей силы
60 а
412
можно определить скорость вращения п, т. ѳ<
60âÆ
60-1-210 .с/.
п =
р2ѴФ
= г- = 1544 об/мин.
1-300-2,72-ІО-2 '
603. Четырехполюсный двигатель параллельного возбуждения
работает от сети с напряжением U = 110 в. Ток двигателя
7=608 а, сопротивление цепи возбуждения Re = 13 ом и сопро¬
тивление цепи якоря гя = 0,0121 ом. Вычислить электродвижущую
силу Е, индуктируемую в обмотке якоря, скорость вращения и,
если полезный магнитный поток на полюс ф=249-10“ 4 вб, число
проводников обмотки якоря 7Ѵ=252 и число параллельных ветвей
обмотки якоря 2а=4.
604. Двигатель параллельного возбуждения, имеющий сопро¬
тивление цепи якоря гя = 0,2 ом, вращается со скоростью п=
= 1200 об/мин, при этом ток в якоре при напряжении £7=110 в,
Іяі = 10 а. С какой скоростью будет вращаться якорь, если его
обмотку заменить другой, которая будет иметь число витков
вдвое меньше, причем ток в якоре при напряжении U = 110 в
будет Ія2 = 5 ai
605. По условию задачи 604 определить полный вращающий
момент* М, потери в цепи якоря и электромагнитную мощность
двигателя параллельного возбуждения в обоих случаях.
606. Двигатель параллельного возбуждения включен в сеть
с напряжением U= НО в. Ток двигателя I = 10 а, сопротивление
цепи возбуждения Re = 100 ом и сопротивление цепи якоря
гя = 1 ом. Найти ток ів в цени возбуждения, ток Ія в якоре,
потери Рв в цепи возбуждения, потери Ря в цепи якоря и электро¬
движущую силу Е, индуктируемую в обмотке якоря.
607. Четырехполюсный двигатель с простой параллельной
обмоткой включен в сеть с напряжением U=220 в. Ток в якоре
Ія = 140 а при скорости вращения п=750 об/мин. Полезный
магнитный поток на полюс Ф = 5-ІО”2 вб, число активных про¬
водников обмотки якоря 7Ѵ=ЗОО. Вычислить электромагнитную
мощность Рэм двигателя и полезную мощность Р2 на валу дви¬
гателя, если потери в стали составляют 3%, а потери трения —
2% от полезной мощности Р2.
608. Двигатель параллельного возбуждения имеет номиналь¬
ное напряжение С7к=110 в, номинальный ток 7к=10 а, сопротив¬
ление цепи якоря гя=0,6 ом и сопротивление обмотки возбужде¬
ния гв = 100 ом. Определить ток ів в обмотке возбуждения, ток Ія
в якоре, потери Рѳ в обмотке возбуждения, потери Ря в цепи
якоря, электродвижущую силу Е, индуктируемую в обмотке яко¬
ря, и электромагнитную мощность РдМ двигателя.
609. Двигатель параллельного возбуждения был нагружен
тормозом, при этом получены следующие данные: ток 7=91,8 а;
* Электромагнитный момент.
413
напряжение £7=110 в\ ток возбуждения ів = 1,8 а; скорость вра¬
щения п=1200 об/мин. Плечо тормоза 2=42 см, а уравновеши¬
вающий груз G=15 кг. Сопротивление цепи якоря гя = 0,08 ом.
Каковы потери Ря в цепи якоря, потери Рѳ в цепи возбуждения,
потери вращения Рвр и к.п.д. ц?
610. Двигатель параллельного возбуждения работает от сети
с напряжением £7=115 в. Ток в якоре двигателя при холостом
ходе 7ЯХ=4,1 а, сопротивление цепи якоря гя=0,1 ом, ток воз¬
буждения іѳ = 2,5 а. Найти потери вращения Рвр, полезную мощ¬
ность Р2 на валу двигателя при нагрузке и к.п.д. ц, если двига¬
тель нагружен так, что ток в якоре /я—50 а. Потери вращения
предполагаем постоянными.
611. Определить вращающий момент М, развиваемый двига¬
телем параллельного возбуждения, вращающимся со скоростью
п=1000 об/мин. Ток двигателя 7=10 а при напряжении £7=110 в,
сопротивление цепи якоря гя = 0,8 ом, а сопротивление цепи
возбуждения Re = 100 ом.
612. Двигатель параллельного возбуждения включен в сеть
с напряжением £7=220 в и вращается со скоростью п=450 об/мин.
Ток двигателя I = 680 а, электродвижущая сила, индуктируе¬
мая в обмотке якоря, Е = 209 в, сопротивление обмотки воз¬
буждения гв = 44 ом. Вычислить ток Ія в якоре, сопротивление
цепи якоря гя, потери вращения Рвр, полезную мощность Р2
на валу двигателя, полезный вращающий момент Л72, если коэф¬
фициент полезного действия ц = 90,5%.
613. Двигатель параллельного возбуждения потребляет мощ¬
ность Р1=167,5 кет при токе Iя = 500 а. К.п.д. двигателя ц =
= 90,7%. Определить сопротивление цепи якоря гя, полезную
мощность Р2 на валу двигателя, потери в двигателе, если электри¬
ческие потери в цепи якоря Ря=5020 вт.
614. Двигатель параллельного возбуждения с номинальным
напряжением £7я=110 в имеет сопротивление цепи якоря гя=0,3 ом
и вращается вхолостую со скоростью пх=1200 об/мин, при этом
ток в якоре 7ЯХ=2,4 а. Если магнитное поле ослабить на 25%,
а последовательно с якорем включить сопротивление гр=1,5 ом
и двигатель нагрузить так, чтобы в якоре проходил ток 1Я = 25 а,
то с какой скоростью этот двигатель будет вращаться? Двига¬
тель работает в обоих случаях от сети с напряжением Е7я=110 в.
615. Двигатель параллельного возбуждения с сопротивлением
цепи якоря гя=0,42 ом работает от сети с напряжением £7=110 в
и вращается со скоростью п=1200 об/мин. Ток в якоре 7Я1=2,4 а.
Если уменьшить магнитное поле на 40% путем включения сопро¬
тивления в цепь возбуждения, то какое сопротивление гр необхо¬
димо включить последовательно с якорем, чтобы он вращался
с той же скоростью (т. е. п=1200 об/мин) при токе в якоре 1я2=*
= 2,2 а?
616. Двухполюсный двигатель параллельного возбуждения
414
работает от сети с напряжением С7я=110 в. Ток в якоре двига¬
теля /яя=90 а, число параллельных ветвей обмотки якоря 2а=2,
число проводников обмотки якоря 7Ѵ=ЗОО, полезный магнитный
поток на полюс Ф = 3,4-10“2 вб и сопротивление цепи якоря
гя = 0,08 ом.
Определить скорость вращения при номинальной нагрузке пя
и при холостом ходе пх, а также степень регулирования скорости
вращения двигателя, если ток в якоре при холостом ходе Iях=
= 3 а. Предполагаем, что магнитный поток как при холостом
ходе, так и при номинальной нагрузке остается постоянным,
т. е. реакцией якоря пренебрегаем.
Решение. Электродвижущая сила, индуктируемая в об¬
мотке якоря, при холостом ходе
Ех = UH — гяІях = НО —0,08-3^ 109, 8в.
Скорость вращения двигателя при холостом ходе определим
из следующего соотношения:
в,=.£ЪА.ф,
60 а
откуда
пх
__ 60аЕх
“ рТѴФ
60-1-109,8
1-300-3,4-ІО-2
646 об/мин.
Электродвижущая сила, индуктируемая в обмотке якоря, при
номинальной нагрузке
Ен = ин—гяІян = НО —0,08-90 = 102,8 в.
Скорость вращения двигателя при номинальной нагрузке
60а/?н
" рТѴФ
60-1-102,8 ___ й,
= 5 ~ 605 об/мин.
1-300-3,4-ІО'2 '
Степень регулирования скорости вращения
Дп . 100 % = ———. 100 % « 6,78 %.
пн 605
617. Четырехполюсный двигатель параллельного возбуждения
работает от сети с напряжением С7я=220 в. Ток в якоре двига¬
теля 7ЯЯ=298,7 а, число проводников обмотки якоря N = 212,
полезный магнитный поток на полюс ф = 600,3-ІО-4 вб, число
параллельных ветвей обмотки якоря 2а = 2 и сопротивление цепи
якоря гя=0,0403 ом. Определить скорость вращения при номи¬
нальной нагрузке пн и при холостом ходе пх, а также найти
степень регулирования скорости вращения двигателя, если ток
в якоре при холостом ходе /ях=6,7 а. Предполагаем, что маг-*
нитный поток как при холостом ходе, так и при номинальной на-»
грузке остается постоянным, т. е. реакцией якоря пренебрегаем.
415
618. По условию задачи 616 определить скорость вращения
двигателя как при холостом ходе пх, так и при номинальной
нагрузке а также найти электрические потери Ря в цепи якоря
при номинальной нагрузке, если последовательно с якорем двух¬
полюсного двигателя включено сопротивление гр = 0,2 ом.
619. Генератор параллельного возбуждения имеет следующие
данные: номинальная мощность Ряг=50 кет; номинальное напря¬
жение инг=250 в; номинальная скорость вращения пнг =
= 850 об/мин; ток в цепи возбуждения івн=6 ci; сопротивление
цепи якоря гя=0,04 ом; к.п.д. при номинальной нагрузке г]яг=
= 90%. Определить скорость вращения пд, если генератор па¬
раллельного возбуждения будет работать в качестве двигателя
параллельного возбуждения при напряжении на зажимах его
UHd = 220 в и номинальной мощности Рпд = 45 кет, предполагая,
что насыщение стали и к.п.д. в обоих случаях остаются одинако¬
выми. Найти также изменение скорости вращения двигателя
параллельного возбуждения при переходе от номинальной на¬
грузки к холостому ходу. Действием реакции якоря и током холос¬
того хода пренебречь.
620. Двигатель параллельного возбуждения имеет следую¬
щие данные: номинальное напряжение Un = 220 е; номинальный
ток Ін = 680 а; номинальная скорость вращения пя=450 об/мин;
номинальный ток возбуждения івя—5 а; сопротивление цепи
якоря гя=0,0163 ом. Вычислить скорость вращения п, двигателя,
если напряжение на зажимах его уменьшится до t71=170 в, при
этом поддерживаем неизменными ток в цепи возбуждения и тор¬
мозной момент.
Решение. Номинальный ток в якоре
Іян = Ін — івн = 680 — 5 = 675 а.
Вращающий момент двигателя при номинальном напряжении
UH= 220 в
М = Ад/Ф7Лн.
Вращающий момент двигателя при напряжении С7±=170 в
= кмФіІяі.
Так как по условию задачи MmopAt=const* и івн = const, то
ф =ФЬ
следовательно, IЯН—Ія1=675 а.
Скорость вращения двигателя при номинальном напряжении
Un = 220 в
♦ М = AfP
416
Скорость вращения двигателя при напряжении £71=170 в
Uf гЛ/Я1
Щ = .
*£Ф1
Разделив одно уравнение на другое, получим:
U 1 ГЯ1я1
Пн
Uh ГЯ1ян
откуда
и{—гяІя{ 170—0,0163-675
Пі = пн — = 450- « 342 об/мин.
UH — гяІян 220 — 0,0163 • 675
621. Двигатель параллельного возбуждения имеет следую-*
щие данные: номинальное напряжение UH = 220 в\ номинальный
ток Ін=275 а\ номинальная скорость вращения ик=665 об/мин;
номинальный ток возбуждения feK=4,6 а\ сопротивление цепи
якоря гя=0,0362 ол. Найти скорость вращения nï двигателя,
если напряжение на зажимах его уменьшится до С71 = 180 в, при
этом поддерживаются неизменными ток в цепи возбуждения и
тормозной момент.
622. Двигатель параллельного возбуждения имеет следующие
данные: номинальная мощность Р2к=13 квт\ номинальное напря¬
жение С7н=110 в\ номинальный ток возбуждения івн = 5,2 а;
к.п.д. 91%; сопротивление цепи якоря гл= 0,025 ом. Чему
равен ток Iх двигателя при холостом ходе?
Решение. Мощность, подводимая к двигателю при номи¬
нальной нагрузке,
Р, = — = 1^229« 14 300 вт = 14,3 кет.
Пн 0,91
Ток двигателя при номинальной нагрузке
Т Рі 14 300
Iн = — = = 130 а.
ин 110
Ток в якоре
Лн = Ін —івн = 130 —5,2 == 124,8 а.
Электрические потери в цепи якоря при номинальной нагрузке
Ря = гяГ2ян = 0,025-124,82 = 389 вт.
Потери в цепи возбуждения
Л = i«nUH = 5,2-110 = 572 вт.
Добавочные потери согласно ГОСТ 183—55 принимаются рав¬
ными 1 % от мощности, подводимой к двигателю:
Рд = 0,01 • Л = 0,01 • 14 300 = 143 вт.
М Заказ № 936
417
Суммарные потери в двигателе
SP = Р, — Р2п = 14 300 —13 000 = 1300 вт.
Потери в стали и механические потери
Рс+РМех= ЪР—РЯ— Рв— Р0 = 1300—389—572—143=196 вт.
Так как мощность, потребляемая двигателем при холостом
ходе, равна (приближенно) потерям в стали, в цепи возбужде¬
ния и механическим потерям, то ток холостого хода может быть
определен из следующего соотношения:
г Pc + Рмех 4" Рв 196 + 572
1Х = — = « / а.
UH НО
623. Двигатель параллельного возбуждения имеет следующие
данные: номинальная мощность Р2м=30 квт\ номинальное напря¬
жение Uн=220 в; номинальная скорость вращения пк=600 об/мин;
номинальный ток возбуждения few=3,4 а; номинальный к.п.д.
т)м=85,2%; сопротивление цепи якоря гя=0,117 ом. Определить
ток Iх двигателя при холостом ходе.
624. Тяговый двигатель последовательного возбуждения имеет
следующие номинальные данные: мощность Р2я=19 квт\ напря¬
жение С7м=550 в\ ток 7я=40 а; скорость вращения пк=580 об/мин.
Вычислить мощность Рѵ подводимую к двигателю, коэффици¬
ент полезного действия и полезный вращающий момент М2
двигателя.
625. Двигатель последовательного возбуждения включен в сеть
с напряжением £7=250 в, вращается со скоростью п=474 об/мин,
при этом полезный вращающий момент двигателя Л/2=23,8 кГм,
сопротивление цепи якоря гя=0,61 ом и к.п.д. ц=84,3%. Найти
полезную мощность Ра на валу двигателя, подводимую мощ¬
ность к двигателю, ток Iл в якоре, электрические потери Рл
в цепи якоря, электродвижущую силу Е, индуктируемую в об¬
мотке якоря.
626. Тяговый двигатель смешанного возбуждения работает
от сети с напряжением £7=550 в, потребляет мощность из сети
Pt=82,5 кет, ток в параллельной обмотке возбуждения f^ = l ,8 а
и к.п.д. ц = 89,7%. Определить ток I двигателя, электродвижу¬
щую силу Е, индуктируемую в обмотке якоря, полезную мощ¬
ность Р2 на валу двигателя, полезный вращающий момент М2,
если скорость вращения п=1200 об/мин, а сопротивление цепи
якоря гя=0,32 ом.
627. Двигатель последовательного возбуждения включен
в сеть с напряжением U = 220 в и вращается со скоростью
= 450 об/мин. При этом ток в якоре Ія = 500 а. Полезный
магнитный поток на полюс Ф = 7,57-10“2 вб. Вычислить электро¬
движущую силу Е, индуктируемую в обмотке якоря, сопротив-
418
ление цепи якоря гя и вращающий момент М, развиваемый дви-*
гателем, если число проводников обмотки якоря N = 178, число
полюсов 2р=4, число параллельных ветвей обмотки якоря %а=2<
628. Двигатель последовательного возбуждения включен fi сеть
с напряжением І7К=22О в и вращается со скоростью пк=650 об/мин;
при этом электродвижущая сила, индуктируемая в обмотке якоря,
£*=204 в. Определить полезный магнитный поток на полюс Ф,
падение напряжения в цепи якоря и ток Іп двигателя, если
сопротивление цепи якоря гя= 0,0533 ом, число проводников об¬
мотки якоря N = 220, число полюсов 2р = 4, число параллель¬
ных ветвей обмотки якоря 2а=2,
629. Четырехполюсный двигатель смешанного возбуждения
с длинным шунтом работает от сети с напряжением UH=220 в
и вращается со скоростью пн = 1100 об/мин, при этом ток двига¬
теля 7К=94 а. Сопротивление цепи якоря гя = 0,172 ом, сопротив-*
ление параллельной цепи возбуждения 7?в=338 ом, число про¬
водников обмотки якоря N =372, число параллельных ветвей об¬
мотки якоря 2а=2. Найти ток Іян в якоре, электродвижущую
Силу Е, индуктируемую в обмотке якоря, полезный магнитный
поток на полюс ф, вращающий момент М, развиваемый двигате¬
лем, электромагнитную мощность Р9М двигателя, полезную мощ¬
ность Р2н на валу двигателя, полезный вращающий момент М2,
к.п.д. т]к, если потери вращения Pejp=1043 вт<
Решение. Ток в параллельной обмотке возбуждения
Ток в якоре
Іян = Ін —івн = 94 —0,65 = 93,35 а.
Электродвижущая сила, индуктируемая в обмотке якоря,
Е = ип—гяІян =220— 0,172-93,35^ 204 в.
Полезный магнитный
щего соотношения:
поток на полюс определим из следую-
Е = пнФ,
60 а
откуда
ф=60а£
60-1-204 . 4п_2 „
=1,495-10 2 вб.
pnHN 2-1100-372
Вращающий момент, развиваемый двигателем,
ЕІЯН Elян • 60 204-93,35
9,81cù 9,812п,пн 9,81
— =16,86 кГм.
2-3,14-1100
14*
41»
Электромагнитная мощность двигателя
Рам = ЕІЯН = 204-93,35 = 19 043 вт.
Полезная мощность на валу двигателя
Р2 = Р — Р р = 19 043 —1043 = 18 000 вт = 18 кет.
Полезный вращающий момент двигателя
м2 = 975-^ =975-— «16 кГм.
Пи . 1100
К.п.д. двигателя
г]н = — = ^- = 12222 = 0,87
Pi UHIn 220-94
или
Т] =87%.
630. Четырехполюсный двигатель смешанного возбуждения с
длинным шунтом работает от сети с напряжением С7м=220 в и
вращается со скоростью пк=955 об/мин, при этом ток двигателя
Ін = 168 а. Сопротивление цепи якоря гя = 0,0804 сш, сопротивле¬
ние параллельной цепи возбуждения Яв=236 ом, число провод¬
ников обмотки якоря N = 278, число параллельных ветвей об¬
мотки якоря 2а=2. Определить ток Iля в якоре, электродвижущую
силу Е, индуктируемую в обмотке якоря, полезный магнит¬
ный поток на полюс Ф, вращающий момент М, развиваемый дви¬
гателем, электромагнитную мощность Рэм двигателя, полезную
мощность Р2кнавалу двигателя, полезный вращающий момент М2
двигателя, к.п.д. если потери вращения Рвр = 1436 вт.
Глава пятнадцатая
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СЕТИ
1. НАГРЕВАНИЕ ГОЛЫХ ПРОВОДОВ ПРИ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНЫХ
НАГРУЗКАХ
Количество тепла,
тока 1(a) по проводу
выделяемое в 1 сек., при прохождении
с сопротивлением R (ом) равно:
Р = i2r.
(1)
Отдача количества тепла проводом в окружающую среду про¬
исходит путем конвекции (унос тепла перемещающимися части¬
цами окружающего воздуха), лучеиспускания и теплопроводности
(непосредственное нагревание окружающего воздуха). Передачей
тепла путем теплопроводности (ввиду малой теплопроводности
воздуха) можно пренебречь, тогда полная отдача тепла прово¬
дом в окружающую среду за 1 сек. будет равна:
P=Pk+Pa=CkF(О - ÛO) + GF(û-Oo)=(CK + G)F(û-û0)«
■=CF(& — û0), (2)
где PK — количество тепла в 1 сек., отдаваемое через конвек¬
цию, вт;
Рл — количество тепла в 1 сек., отдаваемое лучеиспуска¬
нием, агп;
/~рѵ
Ск = 9 1/ 1й~*вт/см*-град — коэффициент теплоотдачи
конвекцией, т. ѳ. количество тепла (втп), приходящееся
на 1 см* поверхности и на 1° перегрева;
р — давление воздуха, ат; для всех линий, проходящих не
в горной местности, принимается р = 1 ат;
V — скорость перемещения воздуха около проводов, м/сек;
внутри помещений эта скорость составляет 0,1—0,15
м/сек; вне помещений наименьшая скорость, обуслов¬
ленная не только свободной конвекцией, но и воздуш¬
ными атмосферными течениями, 0,6 м/сек;
d — внешний диаметр провода, мм;
421
F — охлаждаемая поверхность провода, см2;
— температура провода, град;
— температура окружающего воздуха, град;
Сл = 2,8(100+0,6$)- 10"в — коэффициент теплоотдачи луче¬
испусканием, втісм2 • град;
С = Ск + СЛ.
Так как количество тепла, выделенного током по формуле (1),
и количество отведенного тепла по формуле (2) при установив¬
шемся тепловом состоянии равны между собой, то
I2R = CF($ — Оо), (3)
откуда
ps^.(O-Oe). (4)
11
Так как
В =1 =— и F = ndl,
ys ула
то формула (4) примет следующий вид:
Z2 = É^^Y.(ô_û0) =^(0—О0),
4
откуда
I = —д0), (5)
где I—длина провода, м;
s—площадь поперечного сечения провода, мм2;
у — удельная проводимость, м[ом- мм2;
j Сл2
к = .
4
Формула (5) дает возможность найти длительно допускаемый
по данному проводу ток, исходя из заданной предельной темпе¬
ратуры провода и температуры воздуха, а также по заданному
току и температуре воздуха определить установившуюся темпе¬
ратуру провода. Кроме того, по формуле (5) можно пересчитать
допускаемые нагрузки при изменении температурных условий.
Если обозначим величины, соответствующие новым условиям*,
значком ' (штрихом), то для новых условий будем иметь:
I = VAYd3(ô' —до). (6)
Разделив уравнение (5) на последнее выражение, получим:
♦ В практических расчетах изменением коэффициента теплоотдачи и
удельной проводимости при изменении допускаемой температуры провода
пренебрегают.
422
откуда допускаемый ток при новых температурных условиях
« — #о’
(7)
При помощи формулы (5) можно решать и другие задачи.
1) Известен допускаемый ток / для медных проводов данного
сечения. Определить ток Іа для алюминиевых проводов того же
сечения и при том же перепаде температуры. Для этого напишем
формулу (5) один раз для медного провода, а другой для
алюминиевого провода и, разделив одно выражение на другое,
получим:
откуда
(8)
2) Известен допускаемый ток Ц для данного провода при
определенном перегреве его относительно окружающего воздуха
тх = $ — û0. Определить допускаемый ток І2 для этого же про¬
вода при другой температуре окружающего воздуха û', т. ѳ. при
другом перегреве т2 = û — Оо- Аналогичным образом, как и при
решении первой задачи, получим:
(9)
3) Известен допускаемый ток Ц для провода диаметром dv
Найти допускаемый ток І2 для провода диаметром d2. Аналогич¬
ным образом, как и при решении первой задачи, найдем:
h =Л1/?. (10)
2. РАСЧЕТ ЛИНИЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА НА ПОТЕРЮ НАПРЯЖЕНИЯ
На рис. 318, а изображена линия постоянного тока, питаю¬
щая три приемника (потребителя). Так как прямые и обратные
провода отдельных участков сети загружены одинаково и имеют
одинаковые сопротивления, то двухлинейную схему (рис. 318, а)
можно заменить однолинейной — в виде одного провода (рис.
318,6).
Обозначим:
А — питающий пункт;
UA —напряжение в начале линии, в;
423
U2 — напряжение в конце линии, в;
UH — номинальное напряжение сети, в;
/р і2 и і3 — токи отдельных приемников (нагрузок), а;
/р І2 и І3 — токи, проходящие по отдельным участкам линии
(линейные токи), а;
Zp 12 и 13 — длины отдельных участков линии, м;
Lv L2hL3 — длины от питающего пункта до каждой нагрузки, м;
Рис. 318
Гр г2 и г3 — сопротивления одного провода отдельных
участков линии, ом;
Яр Я g и Дз — сопротивления одного провода от питающего
пункта до каждой нагрузки, ом;
ДСТр ДС72 и А^з — потери напряжения на отдельных участках
линии, в.
Потеря напряжения в линии (прямом и обратном проводах)
равна сумме потерь напряжения на отдельных участках:
Д СТ = Uа — U2 = ДСТ1 + Д СТ2 + Д СТ3 = 2 (г4/і + г2/2 4“ гз^з)
или в общем виде для нескольких нагрузокі
At7=2£r7. (И)
Эта формула позволяет определить потерю напряжения в
линии по токам, проходящим в отдельных участках линии.
Так как
Л = hi Д = і*2 + hi Л = h + h + hi Ri = ri>
^2=rl + r2Î R3 = rl 4-7*2 4“ 7*3,
то предыдущие формулы примут следующий вид:
ДСТ = 2 [Гі (іі 4-1’2 4- h) 4- 7*2 (*2 4- h) 4- 7*3/3] = 2 (qfli 4- 12R2 4- hR^i
bU =ï£iR. (12)
Формула (12) позволяет определить потерю напряжения
в линии по нагрузочным токам. При одинаковом сечении про¬
водов всех участков линии имеем:
„ іі. г ^2. „ Т3 Li L2 d L3
уз ys ys ys ys ys
424
В этом случае формулы (11) и (12) примут вид:
о
Д £7 (13)
ys
9
Atf=-£i£. (14)
Произведение iL называется моментом тока.
Зная величину допускаемой потери напряжения &Uэоп, можно
определить сечение провода из формул (13) и (14):
s = ^_2//
(15)
или
2
S =
4&U9on
Так как в практических расчетах обычно допускаемая потеря
напряжения выражается в процентах от номинального напряже¬
ния, т. е.
ДС79оп% = ^100; &U9on = àUd^U~ ’
UH 100
то сечение проводов вычисляется по формулам:
s = 2-100
YAt7don%C7„
s=^ioo 2^
yàu9on%u,r
Если нагрузки заданы в мощностях р2 и р3 квтп, то токи
приемников и токи, проходящие по отдельным участкам линии,
определяются по формулам:
lOOOpt ,
î І2
(16)
или
(17)
(18)
1000p2. . _ 1000p3. '
ин ’13 ~ ин :
1000Р2 ф J. _ ЮООРз
ин ’ = ин ' 3~ ин
Pi = Pi + Р2 + Рз> Р2 = Р2 + Рз'і Рз = Рз-
Подставляя эти соотношения в формулы (17) и (18),
2-100.1000 2-lQ6
уА^оп°/оС7н
2-ІО5 у
уАС7воп%С7н ‘
*1
ин'
ІОООРі ,
; *2
(19)
получим:
y\Udan%Ul
2-100-1000^ r
s =
у\идоп%игп
(20)
(21)
425
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕРИ НАПРЯЖЕНИЯ В ЛИНИИ ТРЕХФАЗНОГО
ТОКА С НАГРУЗКОЙ НА КОНЦЕ
В трехфазной сети при симметричной (равномерной) нагрузке
фаз можно вести расчет и строить векторную диаграмму только
для одной фазы и затем уже определять линейные напряжения,
так как токи в проводах линии равны и имеют одинаковый сдвиг
фаз по отношению к соответствующим фазным напряжениям.
На рис. 319, аиб изображена трехфазная линия с одной нагрузкой
и построена векторная диаграмма напряжений для одной фазы
этой линии (рис. 296, б). В ней даны следующие обозначения:
I — ток нагрузки, а;
R = г01 — активное сопротивление линии;
г0 — активное сопротивление единицы длины
линии;
X = Хоі — индуктивное сопротивление линии;
х0 — индуктивное сопротивление единицы длины
линии;
cos ф 2 — коэффициент мощности нагрузки;
Ѵф2 и U2 —УГ^иф2 — фазное и линейное напряжения в конце
линии, в;
и =УЛЗС7йб1 — фазное и линейное напряжения в начале
линии, в.
Геометрическая разность векторов напряжений в начале и
в конце линии АС = Ѵфі — иф2 = zi называется падением
напряжения в линии. Алгебраическая разность на¬
пряжений в начале и в конце линии АЕ = Uфі — Uф2 (исходя
из ОЕ = ОС) называется потерей напряжения в
линии. Чтобы определить потерю напряжения, сначала на-
кодим напряжение ифі в начале линии. Если обозначим AD =
426
= XU ф — продольную составляющую падения напряжения,
CD == ЬѴф — поперечную составляющую падения напряжения, то
ДС7# = AD = АВ + В D == RI cos (р2 + XI sin ф2;
Ô U$ = CD = CF —DF = XI cos ф2 — RI sin ф2;
иЛі = V(Ua2 + A^)2 + (Ô U#)2 =
= V(Z/02 + RI cos <p2 + XI sin <p2)2 + (XI cos ф2 — RI sin ф2)2. (22)
Следовательно, зная напряжение £7^ в начале линии и напря¬
жение Uф2 в конце линии, можно определить потерю напряжения:
АЕ = ифі-иф2. (23)
Так как определение потери напряжения этим способом очень
трудоемко, то практические расчеты сетей производятся не по
потере напряжения, равной отрезку АЕ, а по продольной со¬
ставляющей падения напряжения Д£7^ = AD. Получающаяся
при этом ошибка не превышает 3—5% от действительной потери
напряжения. Следовательно, величину потери напряжения будем
приравнивать к величине продольной составляющей падения на¬
пряжения и определять ее по формуле
AU# = RI cos ф2 + XI sin ф2. (24)
Потеря напряжения, отнесенная к линейному напряжению,
будет:
ЫІ=ѴЗЫІФ=ѴЗ(І{І созф2 + XI 8Іпф2)=ѴЗ(Л/а + ХІр). (25)
Если нагрузка задана активной или полной мощностью и
коэффициентом мощности, то, имея в виду, что
т т Р т r . Q S
Іа = I cos ф2 = ——— ; Ір = I sin ф2 = —; I = —=— ,
ѴЗС72 Ѵзсі2 Ѵзи2
и подставив вместо I а, Ip и Z их значения в формулу (25), получим
£
Д/7 = — (R cos ф2 + X sin ф2) (26)
и2
или
А;/_Д.Р+Х?дДР + ^, (27)
иг ѵн
где Р — активная мощность нагрузки (потребителя), вш;
Q — реактивная мощность нагрузки, вар;
S — полная мощность нагрузки, ва.
Так как напряжение в конце линии может быть неизвестно,
то в формулах (26) и (27) с достаточной для практики точностью
вместо U2 берут Un.
427
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕРИ НАПРЯЖЕНИЯ В ЛИНИИ
ТРЕХФАЗНОГО ТОКА С НЕСКОЛЬКИМИ НАГРУЗКАМИ ВДОЛЬ ЛИНИИ
На рис. 320, а изображена трехфазная линия с двумя на¬
грузками и построена векторная диаграмма для одной фазы этой
линии (рис. 320, б). Нужно обратить внимание на следующее
допущение: углы сдвига фаз отдельных нагрузок отсчитываются
Рис. 320
от одного и того же вектора напряжения в конце линии, а не
от соответствующих этим нагрузкам векторов напряжений, так
как углы Ѳ очень малы. Как было сказано выше, общая потеря
напряжения в линии равна сумме потерь напряжения по отдель¬
ным участкам:
= Д^12 + Д^А1 (28)
или по векторной диаграмме*:
Д £7ф = АЕ = АВ 4~ В С (J В 4~ ВЕ = ^2^2 соs <р2 Л~^2^2 зіп <р2 4"
4- ГА/1 COS ф 4" sin ф = г2^а2 4" Х2І р2 + гі^аі + хі^ pi*
* Определение активных и реактивных составляющих нагрузочных то¬
ков производится по формулам:
7ûâ = cos фя = la2\
J ал “ 4"
7p2 = i2 sin <p2 ~
Ipl = ip\ 4“
428
Потеря напряжения, отнесенная к линейному напряжению,
для нескольких нагрузок будет:
АU =.Ѵ32 (rl cos ф + xl sin ф) = 1/32(г/а + xlp). (29)
Так как
Г = rQl И X = XqL,
то
АС/ = Ѵ32 (го/ cos ф + xqI sin ф) I = Ѵз2 (гоЛ + I. (30)
Формулу (29) можно представить в другом виде, если потерю
напряжения определять не по линейным, а по нагрузочным токам:
А 77 = Ѵз£(гЯ cos ф + ІХ sin ф) = Уз^ (га7? + іРХ). (31)
Если нагрузки выражены в мощностях, то, имея в виду, что
т Р Р . т Q ’ 9
— -= ; іа — -= , Ір -= и ір — ,
Ѵ377к ѴЗС7„ Ѵ377„ Ѵзт/К
и подставив эти выражения в формулы (29) и (31), получим:
ди •уі гР ~Ь xQ уі (^оР + xoQ) I .
-Zj Un ~
At; =
Un ~ UH
Чтобы получить АС/ в вольтах, в формулы (32) и
ходимо подставлять: Р и р в ваттах или киловаттах, Q и q в
вольт-амперах или киловольт-амперах реактивных, г, х, R и X
в омах, г0 и Яо в омім или в ом/км, I и L в метрах или кило¬
метрах, UH в вольтах или киловольтах.
Un
{Рго + Qxq) L
(32)
(33)
(33) необ-
Частные случаи
1) Если линия выполнена однородной (одинаковые сечение,
расположение проводов и материал) и у всех нагрузок одинако¬
вый cos ф , то
АС/ = ѴЗ (го cos ф 4-æo sin ф) 2^ (34)
или
АС/=]/з (r0 cos ф + х0 sin ф) ^iL, (35)
а при нагрузках, заданных мощностями (в ваттах),
А 77 = г0 со s ф-|~ Д-о sin ф
UHcos<p
2) Если нагрузки чисто активные (созф = 1) и сечение про¬
водов по всей длине одинаковое, то
А 77 = ѴЗго2Л (37)
429
или
Af7 = ѴЗго2іЬ. (38)
3) Если индуктивное сопротивление линии не учитывается и
сечение проводов по всей длине одинаковое, то
MJ = Уз r^Il cos ф =УЗ r^Ial =У1%1а1 (39)
ys
или
ДС7 =УЗ r0 ZiL cos ф =УЗ го ZiaL =И 2ioL. (40)
ys
Так как любая сеть переменного тока обладает индуктивным
сопротивлением, то при расчетах линий с учетом только актив¬
ного сопротивления будем вносить некоторые погрешности. Можно
не учитывать индуктивного сопротивления электрической сети
для следующих случаев*:
а) воздушные сети при cosçp, близком к единице;
б) внутренние сети, выполненные шнуром или проводом в
трубках;
в) кабельные сети напряжением до 10 кв при cos<p не ниже
0,95 и сечениях жил не выше 35 мм2;
г) линии, прокладываемые к электродвигателям проводами
на роликах при сечениях проводов меньше 6 мм2.
Во всех остальных случаях электрические сети необходимо
рассчитывать с учетом индуктивных сопротивлений. .
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ПРОВОДОВ И КАБЕЛЕЙ
ПО ДОПУСКАЕМОЙ ВЕЛИЧИНЕ ПОТЕРИ НАПРЯЖЕНИЯ
ПРИ ПОСТОЯННОМ СЕЧЕНИИ ПРОВОДОВ ВДОЛЬ ЛИНИИ
Формулу (29) можно представить в следующем виде:
ДZ7 = УЗ 2(г/а + хІр) = УЗ 2г/а + уЗ ZxIp = bUa+MJP. (41)
Эта формула показывает, что потерю напряжения можно рас¬
сматривать как состоящую из двух частей: части, обусловленной
активными сопротивлениями, и части, обусловленной индуктив¬
ными сопротивлениями. Так как потеря напряжения зависит от
активного и индуктивного сопротивлений, то при определении
сечения проводов в сетях переменного тока с учетом индуктив¬
ного сопротивления применяем искусственный прием, предложен¬
ный проф. В. Н. Степановым. Этот прием основан на том, что
индуктивное сопротивление линии мало зависит от сечения
* ёолее подробно см.: А. Я. Рябков, Электрические сети, Госэнер-
гоиздат, 1960; А. А. Глазунов и А. А. Глазунов, Электричес¬
кие сети и системы, Госэнергоиздат, 1960.
430
и расстояния между проводами, поэтому можно задаться в начале
расчета некоторой средней величиной индуктивного сопротивле¬
ния для данного типа линий (воздушной, кабельной и т. д.).
Для воздушных линий средняя величина индуктивного сопро¬
тивления составляет 0,35—0,45 ом/км. Затем определяем часть
потери напряжения, обусловленную индуктивными сопротивле¬
ниями, по формуле
А£7Р =уЗгго 27р/ =“і/3яо 2ZpL. (42)
Зная величину допускаемой потери напряжения AUdon и вы¬
читая реактивную составляющую потери напряжения Л?7Р из
AUdon, получим величину потери напряжения AUadon, обуслов¬
ленную активными сопротивлениями проводов:
\иадоп^ \идоп-\ир. (43)
При постоянстве сечения проводов вдоль линии можно напи¬
сать:
àUaдоп= уз 2г/а =
S7oz =
SiaL;
ys
ys
A U а доп
1
2PZ = ——
ZpL,
ysUH
ysUH
откуда
S = 2/а1
уз
ZiaL-, (44)
Y А £7 а доп
Y A U a oon
ЪРІ
S =
_ ^pL
. (45)
Y Af7a Qon UH
У AUa Q0n
UH
Полученное сечение провода
необходимо округлить до бли-
жайшего стандартного, затем подсчитать потерю напряжения в
линии при выбранном сечении проводов. Если полученная вели¬
чина потери напряжения не больше допускаемой потери напря¬
жения, то принимаем выбранные сечения проводов, в противном
случае расчет следует произвести снова, изменив соответственно
сечение провода. В частных случаях расчета сетей переменного
тока, а именно, когда все нагрузки имеют coscp = 1 или индук¬
тивное сопротивление сети не учитывается, сечения проводов
можно найти из следующих формул.
Нагрузки сети имеют cos<p « 1:
s = ■ 2/Z = 2ZL; (46)
уАС79оп у^ид оп
8 = ZPL : (47)
уЬидопин yMJeonUH
431
Индуктивное сопротивление сети не учитывается:
s = 1/3 27а/ = ■ 2гаЛ;
уЛі/аоп y^Udon
s
2Р1 _ 2рЛ
yàUd
on Un yA£79on UH
(48)
(49)
6. РАСЧЕТ СЕТЕЙ НА НАИМЕНЬШУЮ ЗАТРАТУ ПРОВОДНИКОВОГО
МАТЕРИАЛА
Разомкнутая неразветвленная сетъ. Предположим, что линия
обладает активными и индуктивными сопротивлениями и имеет
несколько нагрузок с различными коэффициентами мощности
Рис. 321
(рис. 321, а). Требуется найти сечения проводов отдельных участ¬
ков линии, чтобы потеря напряжения в линии не превосходила
допускаемую величину, причем полученные сечения проводов
должны удовлетворять условию наименьшей затраты проводни¬
кового материала.
Задаемся средней величиной индуктивного сопротивления
Xq (ом/км) и определяем реактивную составляющую потери на¬
пряжения ДС/р в линии. Вычитая ДСТр из заданной допускаемой
величины потери напряжения &Udon для всей линии, получим
величину потери напряжения \Ua доп, обусловленную активными
сопротивлениями, т. е.
а доп = Д^ доп Д^р* (^^)
432
Следовательно, решение данной задачи сведено к опреде¬
лению сечения проводов линии, имеющей только активные сопро¬
тивления и активные составляющие нагрузок (рис. 321, б). Считая,
что составляющие потери напряжения в активных сопротивле¬
ниях на отдельных участках линии, при которых получается
наименьшая затрата проводникового материала, известны, т. е.
на первом участке &UaV а на втором участке \Uadon— \Uai>
где &Uadon— допускаемая активная составляющая потери на¬
пряжения во всей линии. Тогда сечения проводов отдельных
участков линии будут равны:
уз т . уз т .
y\Ual y(&Uadon-bUal)
Объем всех трех проводов линий 7, соответствующий сечепиям
и s2, будет:
V в 3$jZ| 3$2^2
_зуз/о1/У зуз/а2/22
а доп AZ7at)
Из полученного выражения видно, что независимой перемен¬
ной величиной является &UaV Чтобы получить наименьший
объем (вес) материала, нужно взять от выражения V производ¬
ную по и приравнять ее нулю:
dV = ЗуЗ/д/і ЗуЗ/а2/1 0
d(àUal) у(ДІ7аі)2 Y(AC7a9ün-Atfal)2
или
3ZalZ2 3Za2Z22
yTÂO - Y(^aôon-Atfal)2’
Умножая левую и правую части этого уравнения соответственно
на и , получим:
уіаі УІа2 _
1 <y3/alzA2 = _i_ y3Za2z2 12
Zai X Y ACZai / Zo2 л ( AC7a don ACZai) J
Так как выражения в скобках представляют собой сечения
проводов на соответствующих участках, то последнее уравнение
примет вид:
2 „2
$1 _ J>2_
Z al Za2
ИЛИ
= S2 = к
Ѵіа1 Ѵіаг
433
откуда
Sj = /Cj ~\/1 alt — kj 1 a2* (51)
Эти формулы показывают, что сечение провода на любом
участке определяется через постоянную для данного случая ве¬
личину кі и корень квадратный из активного тока *, проходя¬
щего по данному участку. Для определения значения кі напишем
уравнение активной составляющей потери напряжения для всей
линии:
Уз ialit Уз Ia2i2 Уз ѴцУца , Уз Ул2Ул2/2.
àü а = 1 = 1
Y«i ys2 ySi ys2
Так как
ѴЛі _ _ 11
«1 t>2 ki
TO
ди. -УзУ/,-|і‘ + + Ѵ7ІД
у/Сі укі укі
откуда, считая, что &Ua = &Uadon, получим:
кі
ѴЗ
у Д а Qon
(V/aiZj + Ѵ/а2^)
или для линии с несколькими нагрузками
*/ = —^—2 Ул/.
уДС7 адоп
(52)
Зная Аг, определяем сечения проводов на отдельных участках
по формулам (51). Если нагрузки выражены мощностями, то
получим аналогично:
— 82 — к
■ — .— Кр>
ѴРі Ур2
откуда
S1 = &рУл;1 (53)
s2 = арУр2 I
и
1 /с,ѵ
кр = . (54)
yàU a6onUH
Следует отметить, что для одной и той же линии величины
кі и кр не равны между собой. Найденные сечения проводов
* Активная составляющая тока.
434
округляем до ближайших стандартных сечений, причем это
округление на головных участках производится в сторону уве¬
личения, а на конечных — в сторону уменьшения. Затем линия
с принятыми сечениями проводов и с учетом индуктивных сопро¬
тивлений проверяется на допустимую потерю напряжения и до¬
пустимую нагрузку током по нагреву.
Рис. 322
Если полученная величина потери напряжения не больше
допустимой, то принимаем выбранные сечения проводов; в про¬
тивном случае следует изменить сечения проводов некоторых
участков и снова проверить линию на допускаемую потерю
напряжения.
Таким образом, ход расчета при определении сечения прово¬
дов по условию наименьшего расхода проводникового материала
для линии с несколькими нагрузками следующий:
1) задаемся средним значением индуктивного сопротивления
2) определяем реактивную составляющую потери напряже¬
ния Д{7Р;
3) находим активную составляющую потери напряжения
Д^ = а^0„-а^;
4) определяем кі или кр по формулам (52) или (54);
5) определяем сечения проводов $2 и т. д. по формулам (51)
или (53);
6) округляем полученные сечения проводов до стандартных;
7) проверяем линию на допускаемую потерю напряжения и
на допускаемую нагрузку током по нагреву.
Разомкнутая разветвленная сетъ. Предположим, что развет¬
вленная сеть (рис. 322) обладает активными и индуктивными со¬
противлениями и что данная сеть вышеуказанным приемом
435
приведена к схеме с одними активными сопротивлениями. Опре¬
делить сечения проводов по условию наименьшего расхода про¬
водникового материала.
В этом случае задача сводится к разбивке общей допускаемой
активной составляющей потери напряжения Uadonна две части*
AJ7al и KUadon— AUai так, чтобы расход металла на сеть был
наименьшим. Сечения проводов отдельных участков сети будут
равны:
"1/3 , , „ , „ , ,, ,,
si = —~г; • Ual^l + (l’ai + іа2 + la2 + ІаЗ + Іаз) ^і ] =
ybüai
S,= (М +і'а24')= ~ ^2іаЦ (56)
2 Y(AC7aOon-At7ai) у(Д£7а9оп-ДС7а1)
«з=, У3 лгг +^^) = д„ У3 лгг X 2зг“Д <57>
Y( g don AU аі) y(AUadon AU ai)
Объем проводникового материала всей сети
V = 3siLi 4" 3s2^72 Ч“ 3$з-£/з =
_ ЗУЗ Li ^iiaL Зд/З Z/2 . Зд/З L3 23/aL
yMJai y(AE7aô()n-AC7ol) y(AU adl)n-AUai)'
Из этой формулы видно, что независимой переменной вели¬
чиной является AUai. Чтобы получить наименьший объем (вес)
материала, нужно взять от выражения V производную по Д£7а1
и приравнять ее нулю:
rfy зуз
d(&Uai) у
Li Z/2 ^2^aL
(&uai)2 (ДС7а9оп-ДС7а1)2
L3 2>ziaL
\AUadûn-AUai)\
откуда
Lj ^ijigL __ L2 ^2lgL Z/3 ^igL \
(ДС7а1)2 “ (ДС7авоп-ДС701)2 (àUadon- Д£7О1)2 ’
или
( AU g доп — \U ql) 2 _ L2 ^igL + L3 TisigL
(AC7al)2 ” L^iigL
* Очевидно, что активные составляющие потери напряжения в ответ¬
влениях должны быть равны между собой, т. е. &Uai=&Uai=&Ua ўоп—&Uax.
Если сеть обладает только активными сопротивлениями, то At7al=At7j и
&Uа доп~&Uдоп*
436
Извлекая из обеих частей уравнения квадратный корень,
получим:
&U а доп — &U al Ту/^2 + ^3 ^З^а^
At7ai * L{^iiaL
Прибавляя к обеим частям уравнения по единице, получим:
А 77 g доп А £7 Qi
АЛ^
£*2 + L3 5зІа1Ў
откуда
А77а1 =
1 +
At7g доп
где S2iaL и — суммы моментов активных токов*
для линии А1 и ответвлений 12 и 13\ L"x, L”, L” — полные
длины линии и ответвлений.
Если нагрузки заданы мощностями, то предыдущая формула
примет вид:
Д£7в1 = ^Uadon _ (59)
I I -| / Z?2 ^2pZ/ + Z/3 2зрД
Ход расчета следующий:
1) определяем по формуле (58) или по формуле (59) величину
Д77а1, которая соответствует условию наименьшего расхода
металла;
2) находим по формуле (55) сечение провода линии А1 и
округляем до ближайшего стандартного сечения;
3) подсчитываем действительную величину Д77а1 на участке А1\
4) определяем Д£/а2 = bUa3 = Ѵадоп— ДС7а1;
5) определяем $2 и $3 и округляем их до ближайших стандарт¬
ных сечений.
7. РАСЧЕТ СЕТИ СО СТАЛЬНЫМИ ПРОВОДАМИ ПО ПОТЕРЕ
НАПРЯЖЕНИЯ
Если сечение медных или алюминиевых проводов выбирается
не по потере напряжения, а по механической прочности, то се¬
чение провода мало используется в электрическом отношении
и в этом случае целесообразно вместо проводов из цветного ме¬
талла применять стальные провода. Это может иметь место в
сельскохозяйственных сетях, в поселковых сетях, в небольших
♦ Активные составляющие токов.
437
установках наружного освещения и т. п. Так как стальные про¬
вода представляют собой магнитный материал с большой вели¬
чиной магнитной проницаемости, то при переменном токе внутри
и вне проводов образуется переменное по величине и направле¬
нию магнитное поле, которое индуктирует в проводе э.д.с. само¬
индукции, большую в центре и меньшую к поверхности провода.
Вследствие этого имеется явление поверхностного эффекта, сме¬
щающее ток к поверхности провода. Это приводит к повышению
активного сопротивления по сравнению с сопротивлением при
постоянном токе. Следует отметить, что потеря активной мощно¬
сти на перемагничивание (потери на гистерезис) также как бы
увеличивает активное сопротивление провода. Индуктивное со¬
противление линий, выполненных стальными проводами, во много
раз больше, чем для линий из цветного металла. Индуктивное
сопротивление одной фазы на 1 км трехфазной линии равно:
х0 = ®(4,61g^ + 0,5р. ) ІО-4 =
\ г /
= 4,6® lg 10“4 + 0,5® ц. 10“4 — хо + Хо.
Г
Здесь x'Q= 4,6colg—^ІО”4— индуктивное сопротивление (ом/км),
обусловленное магнитным полем вне
провода;
х“ = 0,5со|х10“4 — индуктивное сопротивление (ом/км),
обусловленное магнитным полем
внутри провода;
ш — угловая частота, равная 314 сек.”1
при 50 гц;
р, — магнитная проницаемость материала
провода;
б/ /X
г = и— внешний радиус провода, см (илилш);
d — внешний диаметр провода, см (илимм);
Dcp = D 12Z>23Z>31 — среднее геометрическое расстояние
между осями проводов, см (или мм);
Z>12, ^23» — расстояние между осями проводов.
При расположении проводов по вершинам равностороннего
треугольника Dcp = D, т. е. Dcp равно стороне треугольника.
Если провода расположены в одной плоскости,то Dcp^= у DD 2D -
= j/2D3 = 1,26Z>,
где D — расстояние между проводами.
Активное и внутреннее индуктивное сопротивления стальных
проводов зависят от магнитной проницаемости рі, а так как р
является функцией напряженности магнитного поля JÏ, то Н
438
зависит от тока I. Поэтому активное и внутреннее индуктивное
сопротивления стальных проводов зависят от проходящего по
ним тока. Так как определение этих сопротивлений сложно, то
в практических расчетах пользуются значениями сопротивлений,
полученными экспериментально. В приложениях 16 и 18 приведены
активные и внешние индуктивные сопротивления воздушных
линий со стальными проводами, а в приложениях 16, 17 и 19 —
активные и внутренние индуктивные сопротивления стальных
проводов (ом/км) в зависимости от проходящего по ним тока.
Зная активное и индуктивное сопротивления стальных проводов,
можно определить потерю напряжения в линии по формуле
ДЕ7 =уз [ 27 cos <pr0Z + 27 sin <р (xQ + х'о ) I ]. (60)
Расчет сети со стальными проводами производится следующим
образом. Задаемся сечением (или диаметром) стального провода,
а затем подсчитываем потерю напряжения и сравниваем ее с
допускаемой. Если полученная величина потери напряжения
мало отличается от допускаемой, то сечение провода выбрано
правильно. В противном случае необходимо произвести пересчет
на другие сечения провода.
8. РАСЧЕТ ЗАМКНУТОЙ СЕТИ
Общие сведения. Так как в разомкнутых сетях при поврежде¬
нии одного из участков сети (например участка Ла — рис. 323,а)
прекращается электроснабжение всех последующих участков,
то для повышения надежности электроснабжения потребителей
Рис, 323
применяют замкнутые сети, которые характеризуются тем, что
потребители получают питание не менее чем с двух сторон
(рис. 324, а). Если соединить точки end (рис. 323, а), то полу¬
чится кольцевая замкнутая сеть (рис. 323, б). В этой сети по¬
требители a, b,c, d и е при аварии на одном из головных участков
Аа и Ае получают питание через другой головной участок. Коль¬
цевая сеть представляет собой частный случай сети с двухсто-
439
ронним питанием при одинаковых напряжениях питающих пун¬
ктов. На самом деле, если разрезать кольцо (рис. 323, б) по пи¬
тающему пункту Л, то получим линию с двухсторонним пита¬
нием (рис. 324, б). Сеть с двухсторонним питанием обеспечивает
а)
Рис. 324
бесперебойность электроснабжения всех потребителей при аварии
на любом из участков сети или при аварии на одном из питающих
пунктов А или В. Точка сети, которая в данный момент питается
Lf, Zt I
h
h
Lab» ZАв
Рис. 325
одновременно с двух сторон, называется точкой т око-
раз д е л а и обозначается на схемах сети знаком у. Знак V
ставится у точки раздела токов или активных мощностей.
Замкнутые сети применяются в энергоснабжающих сетях
высокого напряжения, городских сетях низкого напряжения и
в сетях уличного освещения.
Линия с двухсторонним питанием. Рассмотрим общий случай
расчета линии трехфазного тока с двухсторонним питанием
(рис. 325), когда: 1) напряжения питающих пунктов неодинаковы
как по величине, так и по фазе (t/A =# Uв)\ 2) линия обладает
440
активными и индуктивными сопротивлениями и 3) нагрузки
потребителей имеют различные коэффициенты мощности.
Сначала предположим, что задача решена и точка токораздела
оказалась у нагрузки 3. Применяя второй закон Кирхгофа,
получим:
ù А Ù в ="|/3 ( І Azi + І 2^2 4" 4*3 І BZÔ* (61)
На основании первого закона Кирхгофа имеем:
/2 = /а—]
(з = ІД — — *2’ Г (62)
І в = + і3 — Ід- J
Подставив эти соотношения в формулу (61), найдем:
û А Ù в =~[/3 [ І AZj + ( ІА — ij) z2 + ( Іа 4 i2)
( il + І2 + *3 Ід)
или
—A —- — Іa(z1 + z2 4" z3 + Z4) Ц (z2 +^3 +z4) i2 (z3 + Z4) —
V3
откуда ток, вытекающий из питающего пункта Л,
у = ÛА Ü в р *i(Z2 + Z3 + Z4) 4~ І2 (Z3 + ^4) + Ê3Z4
1/3 (zi 4~ z2 4- z3 4" zi) zi 4- z2 4- z3 4" zk
Аналогичным образом найдем ток, вытекающий из питающего
пункта В\
j н __ Ùа — Ü в |_ iizi 4- і2(2і 4~ Z2Ï 4- i3 (zi 4-^4- zs)
1/3 (zi 4- z2 4- z3 4- z4) z^ + Z2 4- z3 4" zk
Так как согласно рис. 325 полные сопротивления от питаю¬
щих пунктов до отдельных нагрузок Z,, Z1? Z2, Z2 и т. д. и
Zi+2a4-z84-24 = ZAB, то формулы (63) и (64) примут вид:
у üа — ÜB . 4- і2^2 4- і^з
V3Zab Zab k 7
и
y Üa — Ù в I ijZj -j- taZ2 4- Ê3Z3
V3Zab Zab
или в общем виде
y _Ûa-Üb . ^iZ_j r
A V3ZAB +zAB AS A
(66)
(67)
441
Q UA—ÜB t .
Здесь —^=—- = IAb — сквозной уравнительный ток,обуслов-
V 3&AB
ленный разностью напряжений питающих пунктов и сопротив-
лениемвсей линии, а Т =іа и ——= Ів — токи, вытекающие
У'ав %АВ
из питающих пунктов при равенстве напряжений питающих
пунктов, обусловленные нагрузками сети.
Частные случаи: 1. Если напряжения питающих пунктов
совпадают по фазе и равны между собой (U А = Uв), что имеет
место при расчете местных сетей, то формулы (67) и (68) примут
вид:
(69)
А АВ
= ™ (70)
^АВ
Так как вычисление по формулам (69) и (70) громоздко, то
для упрощения расчетов эти формулы можно видоизменить, под¬
ставляя в них
—— = У ab = GAb —jRab,
%ав
где
Gab
Rab
АВ
riï I ® В АВ g I -у2
tiAB -b Алв пав -f- Ал.ч
Тогда формулы (69) и (70) примут вид:
іа = (GAb —^Вав) 2 iZ = (GAb —jBab) 2 (ia —jip) (R + /X);
Ів = (GAb —jBab) 2 iZ = (GAb —jBab) 2 (ia —jip) (R + jX).
Перемножив все члены и отделив затем действительные вели¬
чины от мнимых, получим по отдельности выражения для актив¬
ной и реактивной составляющих токов, вытекающих из питаю¬
щих пунктов А и. В:
IаА = GAb 2 (iaR + ipX ) + Bab 2 (iaX —ipR )j
I pa = — Gab 2 (iaX —ipR ) + BAb 2 (iaR + ipX )>
Іав = Gab % (iaR + ipX) + BAb 2 (iaX —ipR)'t 1 (72)
Ірв = — Gab 2 (iaX —ipR) + BAb 2 (iaR + ipX).\
} (71)
442
При выражении нагрузок в мощностях будем иметь:
Ра = GAB 2 (pR + qX ) + ВАВ S (рХ —qR );
Qa = - Gab 2 (pX -qR) + Вдр 2 (pR + qX')}
P в = Gab 2 (pR + qX) + BAB 2 (pX —qR)\ <
Qb = - Gab 2 (pX-qR) + BAB 2 (pR + qX).f
(73)
2. Если линия по всей длине однородна по конструктивному
выполнению и имеет одинаковое сечение, то активные и индук¬
тивные сопротивления единицы длины линии постоянны и фор¬
мулы (69) и (70) примут вид:
у (Го + 7^о) L_ L__ %iaL . ИлрЬ
J. A == — — —7 î
(r0 + 7’xo) R AB R AB Lab LAB I
» 2i L ZiaL . %ipL
l = L ~L ’~L^
LAB ^AB U bAB
или
Sa = P a ~ÎQa = -7 J
Zx ZX. J V ZX —. J -p 1
B A B B A B
c p 40 T>pL T>qL
о B = rB —](JB — — —7 — .
BAB Bab
(75)
(76)
Если имеем линию с двухсторонним питанием с тремя нагруз¬
ками, то формулы (76) можно представить так:
р .g = PîLj + Р2В2 + P3L3 qjBj 4- g2^2 + дз^з
В В
d PiLt + p2B2 + P3L3 . qiLi + q2L2 + дзЬз
в —]ѵв = 7 •
ВАв ВАВ
Разделив действительные и мнимые части этих соотношений,
получим:
p — PiLi + P?L2 4- P3B3 )
A » J
z Ѣав, , l (77)
q = + Q2B2 4~ дзВз 11
BAb )
T) Pi^i 4- P2L2 4- P3L3 J /7Q4
гв — , (/0)
BAB
n qiBi + q2B2q3L3
T
•L'A B 7
443
Эти формулы показывают, что для однородных линий, имею¬
щих одинаковое сечение проводов, распределение активных и
реактивных мощностей и токов в линии не зависит друг от друга.
Поэтому можно рассматривать как бы две независимые линии —
одну с активными нагрузками, а другую с реактивными нагруз¬
ками. При определении полных мощностей отдельных участков
линии накладывают одну схему на другую и складывают гео¬
метрически активные и реактивные мощности этих участков.
3. Если сеть по своим свойствам может рассчитываться без
учета индуктивного сопротивления, то формулы (71),
и (74) упрощаются:
7 —С у; п' — 2і’“й — •
а А— 1*АВ Lila£i — ~~Z — 9
“АВ ' “Ав
iPA = GABZipR =4^:
Lab .
(72), (73)
(79)
гав = GABbiaR =
Li А в
(80)
IpB = GABZipR=^P- ;
Lab I
P - ZpR - ZpL' ■
R AB LiABf
A О Г *
Пав lab
2pR XpL
= j
R AB Lab
ZqR ZqL
R AB R AB
(81)
(82)
4. Если линия постоянного тока с двухсторонним питанием
имеет одинаковое сечение проводов вдоль линии, то нахождение
токов, вытекающих из питающих пунктов А и В, при равных
напряжениях в них производится по формулам:
(83)
Вав
и
Ів=^. (84)
Определение потери напряжения в ли¬
ниях с двухсторонним питанием произво¬
дится следующим образом:
1) определяем точку раздела активных и реактивных состав¬
ляющих токов (мощностей) и, мысленно разрезая линию в точке
токораздела, получаем две разомкнутые линии;
2) если напряжения питающих пунктов равны, то находим
наибольшую потерю напряжения при нормальной работе в лю¬
бой из разомкнутых линий. Если же напряжения питающих
пунктов неодинаковы, то наибольшая потеря напряжения будет
в той разомкнутой линии, которая примыкает к питающему
пункту с более высоким напряжением;
3) находим наибольшую потерю напряжения в линии для
случая выпадения одного из питающих пунктов или отключения
одного из головных участков.
Задачи
631. Определить сечения проводов линии постоянного тока,
питающей два двигателя параллельного возбуждения, ток кото-^
рых /=50 а. Напряжение на зажимах двигателей U2 = 110 в,
допускаемая потеря напряжения Д£/дол%=5%; линия должна
быть выполнена медными изолированными проводами; расстояние
от питающего пункта до двигателей 1 = 70 м.
632. Вычислить сечение трехжильного кабеля, который не¬
обходимо присоединить к трехфазному трансформатору номиналь¬
ной мощностью SH = 100 ква, напряжением U2h = 230 в, если
кабель должен быть проложен вместе с двумя другими кабелями
в канале, где температура воздуха может достигать Фо=2О°; рас¬
стояние между кабелями 100 мм.
Решение. Ток трансформатора
, SH _ 100 000 _ п
І2 — — — —— — 2о1 cl.
уз. 230
Так как кабель прокладывается не в земле, а в канале, то
нагрузка его должна быть взята на 25% меньше нормальной.
При расположении в канале трех кабелей необходимо уменьшить
их нагрузку еще на 15% (согласно приложению 12), а при по¬
вышении окружающей температуры с 15 до 20° уменьшить еще
на 4% (приложение 11). Следовательно, при определении сечения
кабеля надо разделить нормальную нагрузку его на коэффициент
0,75-0,85-0,96=0,612; это будет равносильно определению сече¬
ния при нормальных условиях его на нагрузку;
По приложению 4 значению полученного тока соответствует
трехфазный кабель сечением 3x150 мм2.
633. Каково сечение трехжильного кабеля, который необхо¬
димо присоединить к трехфазному трансформатору номинальной
4 45
мощностью SH = 50 ква, напряжением U2n = 400 в, если кабель
должен быть проложен вместе с двумя другими кабелями в ка^-
нале, где температура воздуха может достигать О'о = 20°; расстоя¬
ние между кабелями 100 мм?
634. По линии трехфазного тока требуется передать активную
мощность Р = 80 кет при напряжении = 380 в и коэффициенте
мощности coscp = 0,85. Определить сечение линии для различных
видов проводки: 1) голыми воздушными проводами; 2) изолирован¬
ными проводами; 3) однофазными кабелями; 4) трехфазными
кабелями.
635. Рассчитать пропускную способность линии трехфазного
тока сечением 5 = 50 мм2, выполненной: 1) голыми воздушными
проводами; 2) изолированными проводами; 3) однофазными кабе¬
лями; 4) трехфазным кабелем, если известно, что напряжение
линии UH = 380 в и коэффициент мощности cos<p = 0,8.
636. Изолированный провод сечением 5 = 16 мм2 нагружен
током I = 80 а. Определить наибольшую температуру О' провода.
637. На сколько процентов увеличится нагрузка изолирован¬
ных медных проводов, если они будут работать зимой со сред¬
ней окружающей температурой +7°?
638. Согласно нормам (приложение 2) допускаемая нагрузка
изолированного медного провода сечением = 16 ж2 равна
Ц = 100 а. Определить допускаемую нагрузку І2 изолированного
медного провода сечением s2 — 50 мм2, находящегося в тех же
условиях.
639. Согласно нормам * для голого медного провода сечением
$ = 25 мм2 допускаемый ток I = 140 а. Вычислить допускаемый
ток для голого алюминиевого провода такого же сечения, находя-
щегося в тех же условиях (удельная
4 — — проводимость меди у =53 м/ом*мм\
T 1 а алюминия уа = 32 міом-мм2}.
"О 640. Найти сечение медных изо-
№ лированных проводов линии одно-
Рис. 326 фазного переменного тока, изобра¬
женной на рис. 326. Допускаемая
потеря напряжения ДС7доп=3 в. Нагрузки даны в амперах. Под¬
черкнутые цифры означают длины отдельных участков линии в
метрах, цифры, отмеченные знаком —значения коэффициентов
мощности cosç нагрузок. Индуктивным сопротивлением проводов
линии пренебречь.
641. Определить сечение медных изолированных проводов
двухпроводной линии, изображенной на рис. 327, питающей три
приемника. Напряжение линии UK =220 в, а допускаемая потеря
напряжения не должна превосходить &Udon= 11 в. Нагрузки даны
в киловаттах. Подчеркнутые цифры означают длины отдельных
* Приложение 10.
446
участков линии в метрах, цифры, отмеченные знаком L,— зна¬
чения коэффициентов мощности coscp приемников. Угол ф3<0,
т. е. ток третьего приемника опережает напряжение; Провода
проложены в трубе.
642. Дана линия постоянного то- — — —
ка с тремя нагрузками (рис. 328). I I 1
Номинальное напряжение линии г jr
UH= 220 в. Нагрузки даны в кило-
ваттах. Подчеркнутые цифры означа- Рис. 327
ют длины отдельных участков линии
в метрах. Вычислить сечение медных изолированных проводов
линии при условии, чтобы допускаемая потеря напряжения не
превышала \Udon%=2%,
А~ 80~ 10 643. По условию задачи 642 оп-
° I I 1 ределить сечение медных изолиро-
I * * ванных проводов линий постоянного
6 10 тока, если потеря мощности в линии
Рис. 328 не должна превышать ДР% =2%.
644. Каково сечение медных изо¬
лированных проводов осветительной линии, изображенной на
рис. 329. Номинальное напряжение линии (7Н=127 в. Допускае¬
мая потеря напряжения &U9on =1,2 в.
Нагрузки даны в ваттах. Подчеркну¬
тые цифры означают длины отдель¬
ных участков линии в метрах.
645. Дана двухпроводная линия
(рис. 330) с номинальным напряже¬
нием кв. Нагрузки выражены
в амперах. Подчеркнутые цифры означают длины отдельных уча¬
стков линии в метрах. Рассчитать сечение проводов этой линии
4 12 S S
zoo 200 ZQO
Рис. 329
на наименьший расход меди, если
А МОР ООО допускаемая потеря напряжения не
с 1 111 Д°лжна превышать Af7don%=8%.
T t Т Коэффициенты мощности нагрузок
Z00 100 60 равны единице.
Рис. 330 6 46. Дана двухпроводная линия
(рис. 331) с номинальным напряже¬
нием UH= 6 кв. Нагрузки выражены в амперах. Подчеркнутые
цифры означают расстояния в мет¬
рах. Рассчитать сОчение проводов А
этой линии на наименьший расход *
меди, если допускаемая потеря на¬
пряжения не должна превышать
ДС^0П%=8%. Коэффициенты мощ-
6000 600 /ООО
о
1206 Z60 /60
Рис. 331
ности нагрузок равны единице.
647. Согласно нормам (приложение 10) для голого алюми¬
ниевого провода сечением $ = 35 лілі2 при температуре провода
447
-ft = 70° и температуре окружающего воздуха û0 = 25° допу¬
скается ток I = 170 а. Определить наибольшую допускаемую
нагрузку в амперах при температуре провода 0' = 85° и темпе-
л я ,a,s,
Г-Щ
І . г а
\0.в \11 \№
Рис. 332
жение линии Uя — 220 в. 1
черкнутыѳ цифры означают
ратурѳ окружающего воздуха
fto = 25°.
648. Вычислить сечение мед¬
ных изолированных проводов ли¬
нии однофазного переменного тока
(рис. 332) при условии, чтобы
потеря мощности не превышала
ДР°/о = 5%. Номинальное напря-
агрузки даны в киловаттах. Под¬
длины отдельных участков линии
в метрах, цифры, отмеченные знаком — значения коэффици¬
ентов мощности приемников.
Решение. Токи приемников:
' jt - Pi
_ 4000
= 30,3 a;
Ц —
U H CO S фі
220-0,6
_ —p?_
_ 8000
45,5 a;
^2 —
UH CO S ф2
220-0,8
= — = 12000 = а
t7Hcos<p3 220-0,85
Активные и реактивные составляющие токов приемников!
іаі = іі cos (pt = 30,3-0,6« 18,2 a\
ia2 = i2 cos ф2 = 45,5-0,8 = 36,4 a;
ia3 = i3 cos фз = 64,2-0,85« 54,6 a;
ipl = ii sin (pt = 30,3-0,8« 24,2 a;
ip2 == i2 sin ф2 = 45,5-0,6 = 27,3 a;
ірз = h sin фз = 64,2-0,527 = 33,8 a.
Активная и реактивная составляющие тока на участке Аад
і ai — ^аі + іа2 + іаз = 18,2 4- 36,4 4~ 54,6 = 109,2 а;
Iрі — ірі 4- ір2 4- ірз ~ 24,2 4" 27,3 4- 33,8 = 85,3 d.
Ток, проходящий по участку Аа,
Ц = Ѵ/2аі + Л і = Ѵ109.22 4- 85,32 = 138,6 а.
Активная и реактивная составляющие тока на участке abï
Іа2 = Іа2 + I aS = 36,4 4-54,6 = 91 d}
Ip2 == ip2 4- ірз = 27,3 4“ 33,8 = 61,1 d.
448
Ток, проходящий по участку ab,
I2 = V/^+/2p2=V912+61,l2 = 109,5 a.
Ток, проходящий по участку be,
h = Ѵ/дз + Zp3 = i3 = 64,2 a.
Коэффициенты мощности отдельных участков линии:
^= 0,787;
138,6
91
— =0,831;
109,5
cos <pAa = —
ï a2
СО S фдЬ = ■
Л
cos фЬс = cos фз = 0,85.
Мощность, потребляемая приемниками,
Р = Рі + Р2 + Рз = 4 + 8 + 12 = 24 кет.
Потеря мощности в линии
Ап ЛР%Р 5-24000 лопп , о
ДР = = — 1200 вт = 1,2 кет.
100 100
Потерю мощности можно представить в другом виде:
ДР = г 1^1 +• Г2^2 + г з^з- (85)
При одинаковом сечении проводов сопротивления отдельных
участков линии будут равны:
21 і 212 2l3
Гі=—\ r2 = — ; r3 = —.
ys ys ys
Подставляя уравнения (86) в уравнение (85), получим:
др 2(1 jlj 4- /2^2 + /3%)
L YS
откуда
2(/jh + /2^2 4~ 72/з)
“ уДР
(87)
Подставляя данные значения, получим сечение провода линии:
2 (138,62-40 + 109,52-20 + 64,22-25) ос 2
s = —:— 35 мм.
53-1200
15 Заказ Ml 936
449
Сечение проводов линии можно определить и по другой фор-
муле, если вместо токов подставить мощности, тогда
_ 2 / P*lt ! Pjl2 [ pfy3 \
у kPUl \cos2 ц>Аа cos2<paî) COS^bc /
2-10002 /242-40 2O2-2O 122-25\ nr .
= , _i — ~ 35 ММл
53 • 1200 - 2202 \ 0,7872 0,8312 0,852 J
Полученное значение сечения провода необходимо проверить
на нагрев. По приложению 2 для медного изолированного про¬
вода сечением $ = 35 лш2 наибольший допустимый ток 170 а,
а в нашем случае ток, проходящий
по первому участку, 138,6 а.
Следовательно, выбранное сечение
проводов удовлетворяет условию
нагрева.
649. Определить сечение мед¬
ных изолированных проводов ли¬
нии однофазного тока, изображенной на рис. 333, при условии,
чтобы потеря мощности не превышала ДР% =3%. Номинальное
напряжение линии UH = 220 в.
Рис. 333
Нагрузки даны в киловаттах, подчеркнутые цифры означают
длины отдельных участков линии в метрах, цифры, отмеченные
знаком — значения коэффициентов мощности приемников.
650. Вычислить сечения проводов сети постоянного тока
(рис. 334), исходя из наименьшего расхода меди, если наибольшая
допускаемая потеря напряжения не должна превышать &Udon=
= 4,4 в. Нагрузки даны в амперах, подчеркнутые цифры означают
расстояние отдельных участков линии в метрах, буквы в круж¬
ках — сечение проводов линии. Сеть должна быть выполнена
медными изолированными проводами.
450
Решение. Потеря напряжения в магистрали согласно
формуле (58)
Л17і
А доп
L2 i2^ + ^3 -SglZJ + £4 2.iL
V Li I41L
Подставляя данные значения в формулу, получим потерю
напряжения в линии Аа:
ДСЛ =
4,4
1 , 20(8-10+4-20)+12 (2-4+12-8+3-12)+25(6-8+5-20+14-25)
"г V ' 50 (7-204-10-30+57-50)
3,32 в.
Сечение провода линии Аа
22JL 2(7-20’+ 10-30 + 57-50) , 2
s 1 Л/ 3 7,4 мм.
yAtfi 53-3,32
По приложению 2 ближайшее стандартное сечение = 35 ж.ч1 2,
тогда потеря напряжения в линии А а будет равна:
А77 3,32-37,4
Д с7і = — — = 3,55 в.
35
Потеря напряжения в ответвлениях
ДС72 =Д U3 = Д#4 = àUdon — ДЕЛ = 4,4 — 3,55 = 0,85 в.
Сечения проводов ответвлений
2 2.iL 2(8-10 + 4-20) л 2
s2 = =— = — = 7,1 мм ,
уДС72 53-0,85
s2 = 10 мм2;
2 23iL 2(2-4 + 12-8 + 3-12) с 9 2
s3 = = — = 6,2 мм,
уД^з 53-0,85
s3= 6 мм2;
2 2.iL 2(6-8 + 5-20 + 14-25) 00 . 2
s4 = = — 22,1 мм,
уД[/4
s4= 25 мм2.
берем
берем
53-0,85
берем
Проверим сечения проводов па нагрев.
Нормально проходящие токи по проводам с сечениями slt
s2> s3 и s4 соответственно равны: 74; 12; 17; 25 а, а наибольшие
15* 451
допустимые токи согласно приложению 2: 170; 80; 50; 140 а.
Следовательно, полученные сечения проводов удовлетворяют
условию нагрева.
651. Определить сечения проводов сети постоянного тока
(рис. 335) на наименьший расход меди, если наибольшая допу¬
скаемая потеря напряжения не должна превышать \Uдоп=8,8 в.
Нагрузки даны в амперах. Подчеркнутые цифры означают рас¬
стояние отдельных участков линии в метрах, буквы в кружках —
сечение проводов линии. Сеть должна быть выполнена медными
изолированными проводами.
652. Определить сечения проводов сети постоянного тока,
изображенной на рис. 336, исходя из наименьшего расхода меди.
Нагрузки даны в амперах. Подчеркнутые цифры означают рас¬
стояние отдельных участков линии в метрах, буквы в кружках —
сечение проводов линии. Допускаемая потеря напряжения
в.
653. Рассчитать сечения проводов сети постоянного тока
(рис. 337, а) по методу фиктивной длины. Номинальное напря¬
жение сети UH = 220 в, допускаемая потеря напряжения MJdon~
452
= 4,4 в. Нагрузки даны в амперах. Подчеркнутые цифры озна¬
чают длины отдельных участков линии в метрах.
Решение. Метод фиктивной длины заключается в том, что
все ответвления заменяем одним фиктивным (эквивалентным)
ответвлением определенной длины. Будем исходить из выведен-)
ного уравнения (57') согласно условию наименьшего расхода
меди
Lj HijiL L2 . L3 l£i3iL Z/4 S4i£
AC/Î “ ( At79on -At/j)2 (\Udon-àUfi (àU9on -Atfj)2’4 7
где Li — длина магистрали Aa (главного провода);
Z/2, L3, L4 — длины ответвлений ab, ас, ad;
AU\ — потеря напряжения в магистрали, в.
Так как в нашем случае в каждом ответвлении имеется только
по одной нагрузке, то уравнение (88) примет следующий вид:
L2j L2Î2 + + ^4
~ (Аидоп-Ли,)2 ’
откуда
Lj L2i2 + L3i3 + L4î4
“ (Д^оп-ДСЛ)2^/
Извлекая из обеих частей уравнения корень квадратный,
получим:
Lt 1 ^2^2 - X
ДЕЛ ” Д^оп — ДС7і * И “ MJdon— ДС/і
или — = —_(89)
X Д£70оп —ДЕ7/ k '
л "I / L2i2 + + L4Z4
где Л = I/ ■' фиктивная длина провода, имею¬
щего сечение одинаковое с магистралью.
453
Уравнение (89) можно представить в таком виде:
4~ А£7 дсп
AU доП— Ді/і
или
£|+ À = * . (90)
AUdon MJdon-M7t
Умножая обе части уравнения (90) на 2—, получим сечение
провода магистрали:
= 2(Lr+X) 2 = 2к^і = 2^ ^
YAt70en Ѵ(А£70ОП-Д£Л) y&Ut
Таким образом, расчет разветвленной сети сводится к расче¬
ту неразветвленной сети длиной Li + к с нагрузкой в конце
(рис. 337, б). Определив сечение провода магистрали вычи¬
сляем Д^ и Д£/2 = ДС73 = = ^UdGn— а потом и
сечения ответвлений.
Данный метод удовлетворяет условию наименьшего расхода
проводящего материала.
На практике часто фиктивную длину определяют по прибли¬
женной формуле:
~ 7^*2 + 7L3i3 + Lij,^
Сначала рассчитаем сечение проводов по точной формуле,
а затем по приближенной и сравним полученные результаты
между собой.
Фиктивная длина
. 1 f402-10 + 302-5 + 202-8 _ .
л = I/ = 32,1 ле.
Г 10 + 5+8
Сечение провода магистрали
2(100 + 32,1) 2-132,1.23 2
Si = — —. (10 + 5 + 8) = « 26 мм.
53-4,4 53-4,4
Ближайшее стандартное сечение = 25 мм2.
Потеря напряжения в магистрали
ДР)=^ = ^3^.
ys1 53-25
Потеря напряжения в ответвлениях
ДС72 = ДІ73 = ДС74 = АС7 всп — MJ, = 4,4 — 3,47 = 0,93 в.
454
Сечения проводов ответвлений:
$2
$з
$4
2/>2г2
2-40-10
53-0,93
16,2 лш2,
2L3Z3
2-30-5^
6,1 MMt
уДІ/'з
53-0,93 ~
2Л414
_ 2-20-8_
6,4 3f3?.
уДГ4
53-0,93~
Ближайшие стандартные сечения по приложению 21
$2 = 16 ММ2} $з=6 ММ2- $4=6 ММ\
По приближенной формуле фиктивная длина
« L2I2 + 4* 40 • 10 + 30 • 5 + 20 • 8 7
Ov, I Л€.
І2 + ï*3 4~ 4 10 + 5 -J- 8
Сечение провода магистрали в этом случае
е _2(100 + 30,7) 9, 7 2
$і — • 23 —— 25, 7 мм •
53-4,4
Берем $4 = 25 мм2.
Так как сечение проводов магистрали получилось то же са¬
мое, что и по точной формуле, то сечения проводов ответвлений
получатся такими же, как и выше. В дальнейшем будем поль¬
зоваться приближенной формулой для определения фиктивной
длины.
654. Вычислить сечения проводов сети постоянного тока»
изображенной на рис. 338, по методу фиктивной длины. Номи¬
нальное напряжение сети UH= 220 в, допускаемая потеря на¬
пряжения &Udon= 4,4 в. Нагрузки даны в амперах. Подчеркну¬
тые цифры означают длины отдельных участков линии в метрах.
655. На рис. 339 изображена однофазная линия, питающая
два электродвигателя. Нагрузки даны в амперах. Подчеркнутые
455
цифры означают длины отдельных участков линии в метрах,
цифры, отмеченные знаком — значения коэффициентов мощности
двигателей. Определить сечения $р $2, $3 проводов магистрали
и ответвлений по способу фиктивной длины при условии, что
допускаемая потеря на¬
пряжения не должна пре¬
вышать \Udon=5 в.
656. Определить сече¬
ния проводов двухпровод¬
ной сети (рис. 340) на на¬
именьший расход меди по
способу фиктивной длины,
если допускаемая потеря
напряжения Д{7доп==4,4 в.
Нагрузки даны в амперах. Подчеркнутые цифры означают длины
отдельных участков линии в метрах.
657. Найти распределение токов IIв и определить сечение
двухпроводной линии, питае-
А 60 00_ 50 50 20 в
О I ■■■ I I І —О
I ♦ ♦ м
50 8 00 20
Рис. 341
медных , изолированных проводов
мой с обоих концов (рис. 341).
Нагрузки даны в амперах. Под¬
черкнутые цифры означают дли¬
ны отдельных участков линии в
метрах. Коэффициент мощности
приемников одинаков и равен еди¬
нице. Напряжения питающих
пунктов UA = U в = 220 в, допускаемая потеря напряжения
Д^-6,6 в.
658. По условию задачи 657 найти распределение токов IА,
Iв и определить потерю напряжения Д/7 в двухпроводной линии,
если напряжения питающих пунктов будут различны, т. е.
UА = 220 в и Uв= 216 в, сечение проводов линии $=16 ммI 2.
659. Найти распределение токов и напряжений для двухпро¬
водной линии с тремя нагрузками, изображенной на рис. 342,а.
Напряжение в конце линии
?72=3000 в. Сечение проводов
линии по всей длине одинаково
равно 16 мм2. Нагрузки даны
киловаттах. Подчеркнутые
А 500 а 912 ь //4 с:
о ■ I "П
и
в
ЬО , 60 ,5Ù
OS \Ш
500 g 9j2 b с А
I 3Ç6 |^|
13,0 20 16,6
500 (/ 91.2 ь 110 г
îfo
10 11,3 8,1
Рис. 342
456
цифры означают длины отдельных участков линии в метрах,
цифры, отмеченные знаком £,— значения коэффициентов мощно¬
сти приемников.
Решение. Токи приемников:
і - Р1
li — •
U2 cos фі
40000
= « 16,7 а;
3000-0,8
. Р2
І2 = z
U2COS ф2
60000
ши d.
3000-0,87
і - Р3 .
, С/2 COS фз
50 000 . о _
= « 18,5 а.
3000-0,9
Разложим токи приемников на активные и реактивные со¬
ставляющие:
ial = iï cos фі = 16,7-0,8« 13,4 а\
іа2 = І2 cos ф2 = 23-0,87« 20 a;
ia3 = i3 cos фз = 18,5-0,9« 16,6 a;
ipl = h sincpi = 16,7-0,6 = 10 a;
ip2 = h sin cp2 = 23-0,492 = 11,3 a;
ірз = із sin фз = 18,5-0,436« 8,1 a.
Активная составляющая тока на участке А а
10,1 = ІаЛ 4" г а2 4" І аЗ = 13,4 -р 20 -р 16,6 = 50 d.
Активная составляющая тока на участке ab
I а2 = Іа2 4“ ІаЗ = 20 + 16,6 = 36,6 Л.
Активная составляющая тока на участке be
ІаЗ = ІаЗ = 16,6 а.
Реактивные составляющие токов на отдельных участках линии:
Ipi = tpi 4“ t,p2 4“ ірз = Ю 4“ 11,3 -p 8,1 = 29,4 d\
Ip2 = ip2 4- ірз = 11,3 4- 8,1 = 19,4 ctj
I рз = ірз = 8,1 d.
Распределение активных и реактивных составляющих токов
изображено на рис. 342, бив. Чтобы получить токи на отдель¬
ных участках линии, мы должны произвести геометрическое
сложение активной и реактивной составляющих (налагая друг
на друга токораспределение для обоих случаев). Определение
токов отдельных участков линии может быть произведено также
аналитически. Воспользуемся последним способом как более точ¬
ным.
457
Ток, проходящий по участку Аа,
/1 = ѴЛ1 + 4i = V50* 2 + 29,42 = 58 а.
Коэффициент мощности на участке Аа
wS<fAa = к* = 22 =0,862.
11 5о
Ток, проходящий по участку ab,
h = ѴЛг+^г = Ѵ36,62+19,42 = 41,4 а.
Коэффициент мощности па участке ab
Iа2 36,6 n оо/
cos фаЬ = — = 777 = 0,884.
Z2 41,4
COS фЬс =
Ток, проходящий по участку te,
Із = ~^^2аз + Zp3 = і3 — 18,5 а.
Коэффициент мощности на участке Ьс
^=1Л2=О,9.
І3 18,5
Определим напряжение в начале линии по формуле
иі = V(U2 + ГіЦ cos <pAg + r2I2 cos <Pab + r3I3 COS фьс)2 4-
+ (r Ji sin фла + r272’sin фаЬ + r3I3 Sin фЬс)2
Подставим в эту формулу численные значения:
2/1 2-500 . ,о
х1Д8ом’,
53-16
2'91>2 ЛО1Г.
~ 0,215 ом;
53-16
2-114 n9ftQ .
~ 0,269 ом;
53-16
2і2
г2= —
ys
213
Гз ——
ys
Ц cos фла = 58-0,862 = 50 а;
12 cos фаЬ = 36,6 а\
Z3cos<pbc =16,6 а;
Ц sin фАа = 29,4 а;
Z2 sin фаЬ = 19,4 а;
13 sin фЬс = 8,1 а,
458
токов и напряжении для двухпро-
Рис. 343
получим:
U, = V'(3000 + 1,18-50 + 0,215 36,6 + 0,269-16, 6)2 +“*
+ (1,18-29,4 + 0,215-19,4 + 0,269-8,l)2 = 3071 в.
Потеря напряжения в линии
ДС7 = U, — U2 = 3071 —3000 = 71 в.
На практике обычно редко применяют точную формулу.
Потерю напряжения в линии определяют по приближенной
формуле:
Д{7=ГіЛ cos фАа + r2I2 со s ср ab + r3I3cosqbc = 1,18-58 х
х0,862 +0,215-41,4-0,884 +0,269-18,5-0,9 = 71,4 в.
Из полученного результата видно, что приближенная формула
дает вполне достаточную точность.
660. Найти распределение
водной линии с тремя на¬
грузками, изображенной на
рис. 343. Напряжение в кон¬
це линии U2=6 кв. Сечение
медных изолированных про¬
водов линии по всей длине
одинаково и равно $=25 мм2.
Нагрузки даны в киловаттах.
Подчеркнутые цифры означают длины отдельных участков линии
в метрах, цифры, отмеченные знаком J_,— значения коэффици¬
ентов мощности приемников.
661. На рис. 344 показана линия однофазного тока, питаю¬
щая с двух сторон три приемника. Напряжения питающих пунк¬
тов одинаковы и равны U A = U в=220 в. Нагрузки даны в ки¬
ловаттах. Подчеркнутые цифры означают длины отдельных участ¬
ков линии в метрах, цифры, отмеченные знаком — значения
коэффициентов мощности приемников. Найти токи на отдельных
участках линии и определить сечение проводов линии, если
допускаемая потеря напряжения не должна превышать \Udon% =
= 5%. Индуктивным сопротивлением проводов линии пренебречь.
Решение. Потеря напряжения в вольтах
\Udon%UA 5-220
ZXC/ доп = == = 110.
100 100
Токи приемников:
Pt 5000 ос .
іі — ——— = —— = 28,4 а;
U2cos<pt 220-0,8
459
; _ P2
І2 —
U2 COS ф2
Рз
Із = —
и2 cos <рз
2000 .„np
= 11,96 12 а;
220-0,76
6000 „. _
= ol,7 а.
220-0,86
4 т м м м и
°—і п 0
V ’2 Ч
[£8 \0,78 \0,80
а)
А !00 2_0 ѵ 4£ S0_ в
TÏ23 I I 7^ I 2^7
1709 7,79 to,2
«)
А tOO 2О_
° зоо I 4?1
22,7 9,2
A fOO_ 20_ W 80_ $
I ~92 J 4T J
22,7 9,1 27,3
Q
'А 100 20_ _ 90_ 80 g
ffI 973 I J 3Ô3
28,0 f2 11,7
00 80 &
J T? I 322
9,9 27,3
Рис. 344
Разложим токи приемников на активные и реактивные
составляющие:
cos çi= 28,4-0,8^ 22,7 а\
га2—z*2 cos ср? = 12-0,76~ 9,1 а\
î’a3= г’з cos фз= 31,7 -0,86~ 27,3 а\
ірі = г'і 8Іпфі= 28,4-0,6 = 17,04 а;
ір2 = h sin ф2 = 12-0,649 = 7,79 а;
ірз = із sin фз = 31,7-0,51^ 16,2 а.
Активная составляющая тока питающего пункта А
іаі^і Л~іа2^2 4" іаз^з 22,7 • 140+9,1 • 120 4~27,3 • 80
А
Реактивная составляющая тока питающего пункта А
г ірі-^і ір2^2 ірз^з 17,04• 140+7,79• 120+ 16,2• 80 4Олп
р а = = = 1У,^о Л.
L
240
460
Активная составляющая тока питающего пункта В
îai^i + ^а2^2 + іазВз 22,7 • 100 +9,1.120 +27,3 • 160 «л q
a в = -т = »32,2 a.
L 240
Реактивная составляющая тока питающего пункта В
, ipiLi+i2L2+i3L3 17,04.100+7,79.120+16,2-160
/ рв= - -— = û 1, о а.
L 240
Следовательно, распределение активных и реактивных состав¬
ляющих токов приемников может быть изображено на рис. 344,
б и в.
Токи, проходящие по отдельным участкам линии:
= 1/26,92 + 19,232» 33 а;
= Ѵ4,22 + 2,192 = 4,73 а;
= Ѵ4,92 + 5,62 = 7,44 а;
= ]/32,22 + 21,82 = 38,8 а.
11 = ѴА1 + J pi
12 = I2g2 + /p2
Л = + /рз
Л = V ^а4 + ^р4
Распределение токов по
Знак у показывает точку токораздела; в этой точке мысленно
можно разрезать провод, приведя его к виду, изображенному
на рис. 344, д.
Сечение провода (если оно по всей длине одинаково) полу¬
чается одинаковым при подсчете провода слева и справа:
2(йі^і+^2) 2(22,7-100 + 4,2.120) Q „ 2
s = — = ——— = У, 5 мм .
участкам показано па рис. 344, г.
53-11
yàU доп
Выбираем ближайшее стандартное сечение прог од ч 5 = 10 мл А
Проверим полученное сечение провода па нагрев. По прило¬
жению 2 для медного изолированного провода сечением $ = Ю
наибольший допустимый ток
первому участку, равен 33а.
Следовательно, полученное
сечение проводов линии удов¬
летворяет условию нагрева.
662. На рис. 345 показана
линия однофазного тока, пи¬
тающая с двух сторон три
приемника. Напряжения пи¬
тающих пунктов одинаковы и равны UA = Uв=380в. Нагрузки да¬
ны в киловаттах. Подчеркнутые цифры означают длины отдельных
участков линии в метрах, цифры, отмеченные знаком L,— коэф¬
фициенты мощности приемников. Найти токи на отдельных
участках линии и определить сечение медных изолированных
равен 80 а, а ток, проходящий по
А 00 20 20 110 в
О — I I I -о
10 , 12
Рис. 345
461
проводов линии, если допускаемая потеря напряжения не должна
превышать &Udon% — 5%. Индуктивным сопротивлением прово¬
дов линии пренебречь.
663. Каково сечение медных изолированных проводов, под¬
водящих энергию к трехфазному асинхронному двигателю номи¬
нальной мощностью Р2я= 45 кет и напряжением UH=220 в.
если расстояние от трансформаторной подстанции до двигателя
I = 120 м, допускаемая потеря напряжения не должна превы¬
шать &Udon% = 5%, коэффициент полезного действия двигателя
т) = 88%, а коэффициент мощности cosq)1 =0,83? Индуктивным
сопротивлением проводов линии пренебречь.
664. Предположим, что в задаче 642 изображена линия не
постоянного тока, а линия трехфазного переменного тока с ли¬
нейным напряжением ?7к=220 в. Определить сечение трехжиль-
пого кабеля, если допускаемая потеря напряжения &Udon% =
= 2,2%, а коэффициент мощности каждого приемника равен
единице. Нагрузки даны в киловаттах. Подчеркнутые цифры
означают длины отдельных участков линии в метрах. Кабель
следует взять с медными жилами.
665. В сеть трехфазного тока е номинальным напряжением
Z7K=127 в включены треугольником 60 ламп накаливания мощ¬
ностью по 100 вт каждая (нагрузка симметричная). Вычислить
сечение медных изолированных проводов линии, подводящей ток
к лампам, если длина ее 1 = 20 м, а допускаемая потеря напря¬
жения в линии не должна превышать AUdon=l,2e.
666. По условию задачи 665 определить сечение проводов
магистрали, если лампы накаливания включены звездой. Пред¬
положим, что напряжение ламп UH=127 в, а допускаемая потеря
напряжения в линии Д6гдоп=1,2 в.
667. В четырехпроводную трехфазную сеть включены равно¬
мерно лампы накаливания. Найти сечение медных изолирован¬
ных проводов, если допускаемая потеря напряжения \Udon=2 в,
расстояние от питающего пункта до ламп 1 = 60 м, фазный ток
Іф = 10 а.
668. По условию задачи 667 определить сечение медных изо¬
лированных проводов, если лампы накаливания будут включены
треугольником в трехпроводную
трехфазную сеть.
669. Вычислить сечения мед¬
ных изолированных проводов
четырехпроводной линии, изо¬
браженной на рис. 346, при ус¬
ловии, чтобы допускаемая по¬
теря напряжения не превышала MJdon% = 2,5%. Напряжение
сети 380/220 в. Нагрузки даны в киловаттах. Подчеркнутые
цифры означают длины отдельных участков линии в метрах.
Коэффициент мощности каждой нагрузки равен единице.
A W 20 Ю
‘ Г~Г~)
15 8 10
Рис. 346
462
670. Каково сечение четырехжильного кабеля для четырех¬
проводной сети трехфазного тока, питающей лампы накаливания
(рис. 347)? Напряжение на зажимах питающего трансформатора
400/231 в, допускаемая потеря напряжения в магистрали Д Udon % =
=3%. Нагрузки даны в киловат- w 20
тах. Подчеркнутые цифры озна- о ~~ — — —
чают длины отдельных участков | | Т
магистрали в метрах. Кабель взят J 8 12
с медными жилами. ■ j
• 671. Определить сечение трех- Рис. 347
жильного кабеля для передачи
мощности _Р=100 кет на расстояние I = 450 м при напряжении
Ui = 380 в и коэффициенте мощности coscp = 0,9, если потеря
мощности не должна превышать ДР% = 3%.
30 30 30 30 30 30
30 30 30 30 30 30
Рис. 348
672. Вычислить сечение одножильного кабеля с медной жилой
при передаче мощности, указанной в задаче 671, по однофазной
системе. Какова экономия меди при применении трехфазной
системы по сравнению с однофазной?
673. Определить сечение проводов трехфазной сети, изобра¬
женной на рис. 348, а также выяснить, где лучше расположить
питающий пункт, в начале или посередине линии? Нагрузки даны
в киловаттах. Подчеркнутые цифры означают длины отдельных
участков линии в метрах. Номинальное напряжение сети Un —
= 220 я, коэффициент мощности
каждого приемника равен едини¬
це, допускаемая потеря напряже¬
ния \Udon% = 5%.
674. Найти сечение проводов
трехфазной линии (рис. 349), пи-»
а 80 100 120 100 g
°—m 0
Ц8 10,8 23,2
\0,83 \0t87 \0,88
тающей с двух сторон три асин-
Рис. 349
463
хронпых двигателя при номинальном напряжении UH = 380 в
при условии, что допускаемая потеря напряжения не должна
превышать l^Udon%=b%. Мощности, подводимые к двигателям,
даны в киловаттах. Подчеркнутые цифры означают длины отдель¬
ных участков линии в метрах, цифры, отмеченные знаком |_,— зна-
b 6~ 10 пения коэффициентов мощности
о — — — двигателей. Индуктивным со-
III I противлением проводов линии
20 S 30 3 пРенебРечь-
675. Вычислить сечение трех-
Рис. 350 жильного кабеля с медными
жилами для магистрали трех¬
фазного тока, изображенной на рис. 350, питающей четыре при¬
емника; допускаемая потеря напряжения не должна превышать
&Udon= 2,2 в. Нагрузки даны в амперах. Подчеркнутые цифры
означают длины отдельных участков линии в метрах. Коэффи¬
циент мощности каждого приемника равен единице.
676. От заводской трансформаторной подстанции с напряже¬
нием = 230 в подается энергия в сборочный цех, в котором
установлены три трехфазных асинхронных двигателя и 21 лампа
накаливания. Общая мощность цеха Р = 20 кет при коэффи¬
циенте мощности cosçp =0,85. Каково сечение трехжильного кабеля
с медными жилами для магистрали, если расстояние от подстанции
до цеха I = 150 м? Напряжение
на зажимах двигателей и ламп
U2 = 220 в. Индуктивным сопро¬
тивлением кабеля пренебречь.
677. На рис. 351 изображена
трехфазная сеть, питающая че¬
тыре приемника. Номинальное
напряжение сети U п = 120 в,
допускаемая потеря напряжения Д?7эоп% = 5%. Нагрузки даны
в амперах. Подчеркнутые цифры означают длины отдельных участ¬
ков линии, цифры, отмеченные знаком — значения коэффициен¬
тов мощности приемников. Определить сечения проводов линии,
Рис. 351
если:
1) провода вдоль линии имеют одинаковое сечение;
2) сечение проводов по отдельным участкам линии взять,
исходя из наименьшего расхода меди. Индуктивным сопротив¬
лением проводов пренебречь.
Решение. 1) Найдем сечение проводов, если они имеют
одинаковое сечение.
Потеря напряжения в линии
... 5-120
АС7*“ = Чю=ва-
100
464
Разложим токи приемников на активные и реактивные состав¬
ляющие:
іаі = it cos фі = 20-0,8 = 16 а;
Іа2 = І2 COS ф2 = 40-0,9 = 36
іаз = із cos фз = 5-0,86 = 4,3 а;
га4 = ü cos ф4 = 10-0,6 = 6 а;
ірі = іі sin фі = 20 • 0,6 = 12 а;
ір2 = *2 sin ф2 = 40-0,436» 17,4 а;
ірз = із sin фз = 5-0,51 = 2,55 а;
ірь = it sin ф4 = 10-0,8 = 8 а.
Сечение провода линии
1/3 {igiLj + Ід2^2 + ІдЗ^З + ^4-^4) __
ykUdon
уз(16-40 + 36-45 +4,3-50 + 6-60) , 2
53-6
По приложению 2 выбираем ближайшее стандартное сечение
s = 16 мм2. Проверяем его на нагрев.
Активная и реактивная составляющие тока на первом участке:
Iаі = Іді + ід2 + І аЗ + а4 = 16 + 36 + 4,3 + 6 = 62,3 а;
Ірі = ірі + ір2 + ірз + ірь = 12 + 17,4 + 2,55 + 8 = 39,95 я» 40 а.
Ток, проходящий по первому участку,
h = ѴЛі + 41 = Ѵб2,32 + 4О2« 74 а.
Наибольший допустимый ток по медному изолированному
проводу сечением s = 16 мм2 равен 100 а согласно приложению 2,
поэтому данное сечение определено правильно.
Вес меди трех проводов
(?! == 3ZsY-10—3 =3-60-16-8,9-10“3æ25,6 кг.
2) Определим сечения проводов линии, если они по ее от¬
дельным участкам взяты, исходя из наименьшего расхода меди.
Активные составляющие токов на отдельных участках линии:
Iаі = Іаі + Іа2 + ІаЗ + l’a4 = 16 + 36 + 4,3 + 6 = 62,3 d\
Ia2 = Іа2 + ІаЗ “F г'а4 = 36 + 4,3 + 6 = 46,3 а\
IдЗ = ІаЗ 4" ІаЬ = 4,3 + 6 = 10,3 а\
Iа4 == І а4 === 6 (L.
465
Чтобы определить сечения проводов отдельных участков ли¬
нии, необходимо сначала найти постоянную по формуле (52):
кі = ^~кпІа1 = ЛП3 (V7“1Zt + +
уДс/00П уДс/д on
+ Vi ash 4~ I aJiï = ;У (V^62,3 • 40 + ~V 46,3 • 5 4-
эЗ-6
+ VÏ^3-5 + Уб-10) æ 2,12.
Сечения проводов отдельных участков линии:
S1 = kt ѴЛі = 2,12 ѴбДЗ« 16 лш2;
«2 = кі Ѵ/а2 = 2,12 Ѵ46,3 = 14,4 лш2,
берем s2 — 16 мм2;
s3 = h V7L - 2,12 ѴЩЗ« 6 за2;
Si = kt Ѵ/а4 = 2,12 /б = 5,19 лш2,
берем $4 = 6 мм2.
Вес меди трех проводов линии
G2 = 3 (Zi$i + I2S2 + /3S3 + /4^4) у • Ю =
= 3(40-16 + 5-16 + 5-6 + 10-6)-8,9-10~3 æ 21,6 кг.
Сравнительно с первым вариантом расчета экономия меди
составит:
G = Gt — G2 = 25,6—21,6 = 4 кг
или в процентах:
4
— •100^ 15,6%.
25,6
Таким образом, при расчете на наименьший расход проводя¬
щего материала получается некоторая экономия, поэтому этот
способ расчета на прак¬
тике получил широкое
применение.
678. На рис. 352 изо¬
бражена трехфазная сеть,
питающая четыре прием¬
ника. Номинальное напря¬
жение сети UH = 220 в,
допускаемая потеря напряжения \Udon% = 4%. Нагрузки даны
в амперах. Подчеркнутые цифры означают длины отдельных
участков линии в метрах, цифры, отмеченные знаком+ ,— зна¬
чения коэффициентов мощности приемников. Определить сечения
466
проводов линии, если: 1) они вдоль всей линии имеют одинаковое
сечение; 2) они на отдельных участках линии взяты, исходя из
условия наименьшего расхода меди.
679. На рис. 353 изображена
трехфазная линия, питающая лампы
накаливания. Вычислить сечения
проводов линии и ответвлений по
методу фиктивной длины, если допу¬
скаемая потеря напряжения не дол¬
жна превышать &Ùdon= 2,2 в. На¬
грузки даны в амперах. Подчеркну¬
тые цифры означают длины отдель¬
ных участков линии в метрах.
680. Найти сечение проводов трехфазной линии (рис. 354),
питающей три асинхронных двигателя при напряжении UH =220 в,
если допускаемая потеря напряжения
&Udon % = 5%. Номинальные мощно¬
сти двигателей даны в киловаттах.
Подчеркнутые цифры означают дли¬
ны отдельных участков линии в мет¬
рах, цифры, отмеченные знаком J_,—
значения коэффициентов мощности
двигателей; коэффициенты полезного
действия двигателей соответственно равны:
гц = 80%; ц2 = 84% и г|3 = 88,5%.
Индуктивным сопротивлением
681. , Определить сечения
проводов трехфазной сети,
изображенной на рис. 355,
исходя из наименьшего рас¬
хода меди, если известно, что
номинальное напряжение се¬
ти СЛК=22О в, коэффициент
мощности каждого приемни¬
ка равен единице (чисто ак¬
тивная нагрузка), допускае¬
мая потеря напряжения не
должна превышать \Udon% —
= 3%. Нагрузки даны в ки¬
ловаттах. Подчеркнутые циф¬
ры означают длины отдѳль-
проводов линии пренебречь.
ных участков линии в метрах.
Сеть должна быть выполнена медными изолированными проводами.
Решение. Допускаемая потеря напряжения
.тт _ bUdon%UH _ 3-220 _ „
Дс/лэ-м, — ' — — и,и в.
100 100
467
Потеря напряжения в проводах линии Аа
доП
L2 22і7ў 4~ L3 ^iL 4~ Z.iL
2 if L
или, выражая
Д^
слагаемые в киловатт-метрах, получим:
доп
1 4" 1/ + L^ ^zpL 4~ Lk ѣьрЬ
И
6,6
—-—т _ ~ 4,82в.
1_і_т/ 40(20-204-4.40)4-40(10-204-10-40)4-60(2,5» 204-10.404-5-60)
100(4-804-63,5.100)
Сечение провода линии Аа
(Pi^i+Pi Li) (4-80 4-63,5 • 100) 1000 2
ykUiUH 53-4,82-220
Выбираем ближайшее стандартное сечение провода линии Аа
= 120 мм\ тогда потеря напряжения в линии
4,82-118,7 /7_
ДС/1 = æ 4 77 в.
120
Потеря напряжения в ответвлениях
ДС/2= ДС73 = Д£74 = &идоп — ДС7і = 6,6—4,77 = 1,83 в.
Сечения проводов ответвлений:
(р2А24-рг L2) (20-20 4- 4-40) 1000 9 2
§2 = == ~ мм .
y^U2UH 53-1,83-220
(19120+ wAiooo^ 2
53-1,83-220
По приложению 2 выбираем ближайшее стандартное сечение
s3 = 35 мм2
(2,5-20 + 10-40 + 5-60) 1000 ос 2
»4 — —— ~ 35 мм .
53-1,83-220
Проверим полученные сечения проводов на нагрев.
Токи в ответвлениях:
h
24-1000_
УЗ-220^
63а;
468
20-1000~
уЗ -220~
52,5а)
17,5-1000
УЗ-220 ~
46а.
Ток в линии
ц = .611000 + 63 + 52,5 + 46« 177,3а.
уз-220
По приложению 2 для медного изолированного провода сече¬
нием 120 мм2 наибольший допустимый ток 385а. Для про¬
вода сечением s3= 35 мм2 наибольший допустимый ток 170а.
Таким образом, выбранные сечения проводов удовлетворяют
условию нагрева.
682. Определить сечения проводов трехфазной сети, изобра¬
женной на рис. 356, на наименьший расход меди, если номинальное
напряжение сети UH= 220 в,
коэффициент мощности каждого
приемника равен единице (чисто
активная нагрузка), допускае¬
мая потеря напряжения не дол¬
жна превышать \Udon% =2,5%.
Нагрузки даны в киловаттах.
Подчеркнутые цифры означают
длины отдельных участков линии
Рис. 357
в метрах. Сеть должна быть вы¬
полнена медными изолированными проводами.
683. Чему равна потеря напряжения в воздушной линии трех¬
фазного тока с номинальным напряжением UH= 10 кв, изображен¬
ной на рис. 357? Сечения алюминиевых проводов даны на схеме
сети. Провода расположены по вершинам равностороннего тре-
469
угольника со сторонами 1 м. Нагрузки даны в киловаттах. Под¬
черкнутые цифры означают длины отдельных участков линии
в километрах, цифры, отмеченные знаком — значения коэффи-
циентов мощности.
684. Вычислить наибольшую величину потери напряжения для
разомкнутой разветвленной сети трехфазного тока с номиналь¬
ным напряжением Ин=220 в
(рис. 358), Сеть выполнена
голыми медными проводами,
сечения которых показаны на
схеме сети. Нагрузки даны в
амперах. Подчеркнутые циф-
)ры означают длины отдель¬
ных участков линии в мет-
8 рах, цифры в кружках — се¬
чения медных проводов, на¬
грузки чисто активные.
685. Определить сечение
проводов воздушной сети
трехфазного тока с номинальным напряжением UH= 10 кв (рис. 359).
Линия должна быть выполнена алюминиевыми проводами одного
сёчения со среднегеометрическим рас¬
стоянием между осями проводов 1 м.
Нагрузки даны в киловаттах. Под¬
черкнутые цифры означают дЛины
отдельных участков линии в километ¬
рах. Цифры, отмеченные знаком
значения коэффициентов мощности.
Допускаемая потеря напряжения не
должна превышать 5% от номинального напряжения сети.
686. Найти сечения проводов воздушной сети трехфазного
тока с номинальным напряжением UK = 380 в (рис. 360) двумя
способами: а) исходя из постоян¬
ного сечения вдоль линии, б) ис¬
15
Л
30
30
10
- to го
'—^~30
Рис. 358
. 800
Рис. 359
L£85
а ™
О ■■■■ ■
40 50
111U1V KJVJ T.VXXX1.Z1. .111111111 , ѵі
ходя из наименьшего расхода ме-
ггпттттп тптгт тг тл’тттгтж ТТттттгжгт ТТГА ТГЛТЛТТ Г.
{Q9
таяла вдоль линии. Линия должна
быть выполнена алюминиевыми
проводами со среднегеометриче¬
ским расстоянием между осями
проводов 0,6 м. Нагрузки даны в киловаттах. Подчеркнутые
цифры означают длины отдельных участков линии в метрах,
цифры, отмеченные знаком J_,— значения коэффициентов мощ¬
ности. Допускаемая потеря напряжения не должна быть боль¬
ше 5% от номинального напряжения сети.
S
Рис. 360
Глава шестнадцатая
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ОСВЕЩЕНИЕ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Световым потоком называется мощность лучистой
энергии, оцениваемая по световому ощущению, которое она произ¬
водит.
Силой света называется отношение светового потока
dF к телесному углу йю, в котором он распространяется,
где I — сила света, се,
т. е. сила света есть пространственная плотность светового по¬
тока, излучаемого источником. Сила света относится к определен¬
ному направлению в пространстве. Это направление определяется
осью бесконечно малого телесного угла éZco, в пределах которого
излучается световой поток dF. При равномерном распределении
светового потока F в пределах телесного угла со сила света / опре¬
деляется по формуле
F
(2)
(О
где F — световой поток, лм\
со — телесный угол, рад.
Телесным или пространственным углом
называется часть пространства, имеющая свою вершину в центре
сферы и опирающаяся на ее поверхность. Величина телесного
угла измеряется отношением площади сферы, на которую он опи¬
рается, к квадрату ее радиуса:
(3)
где 5 — площадь сферы;
г — радиус сферы.
471
Средней сферической силой света назы¬
вается отношение полного потока F источника света к полному те¬
лесному углу, равному 4л стерадианов,
где Іо — средняя сферическая сила света, св.
Следовательно, средняя сферическая сила света есть сила света
такого условного точечного источника света, световой поток ко¬
торого равен световому потоку данного источника, но излучается
равномерно по всем направлениям. Если обозначим через F^ и
F^y световые потоки, излучаемые источником света в верхнюю и
нижнюю полусферы (относительно горизонтальной плоскости),
то отношения
и
(6)
носят названия верхней и нижней полусфе¬
рических сил света.
Яркостью называется отношение силы света в данном на¬
правлении к проекции светящейся поверхности на плоскость,
перпендикулярную к тому же направлению,
В = (7)
dS cos а
где В — яркость, св}м* или нт (нит);
а — угол между перпендикуляром к светящейся поверхности
и направлением силы света (или, что то же, направление
яркости).
При равномерно светящейся плоской площадки S яркость
определяется по формуле
В = —. (8)
Seos а
Если источники света и освещенные тела, отражающие или
пропускающие свет, имеют практически одинаковую яркость неза¬
висимо от направления, то такие поверхности называются рав¬
нояркими во всех направлениях или диффуз¬
ными.
Следовательно, для плоской поверхности, равнояркой во всех
направлениях, будем иметь следующее соотношение:
В = const,
S cos а S
472
отсюда
l'a. —1'маис СО S Ct. (9)
Это уравнение показывает, что плоская поверхность, равно¬
яркая во всех направлениях, излучает свет по закону косинуса.
Световой поток, излучаемый такой поверхностью, равен силе
света в перпендикулярном направлении, умноженной на л, т. е.
F = Л 7 метке- (Ю)
Так как яркость светящейся поверхности в общем случае мо¬
жет быть неодинакова по разным направлениям пространства, то
указывают не только величину яр¬
кости, но и ее направление.
Следует отметить, что понятия
яркости и светности (см. далее) отно¬
сятся не только к самостоятельно
светящимся поверхностям, но также
и к Поверхностям, отражающим или
пропускающим световой поток, па¬
дающий на них от какого-либо источ¬
ника света.
4 Освещенностью цазы-
вается отношение светового потока
dF ,к площади освещаемой им по¬
верхности dS:
Е= — ,
dS
(И)
где Е — освещенность, лк,
т. е. освещенность есть поверхностная плотность светового потока.
При равномерном распределении светового потока по поверх¬
ности освещенность определяется по формуле
5
(12)
Освещенность в какой-либо точке поверхности можно выра¬
зить и через силу света источника. Предположим, что точечный
источник О, помещенный в центре сферы радиуса L, освещает
элемент поверхности dS (рис. 361), расположенный наклонно к
направлению падающего на него светового потока dF, заклю¬
ченного внутри телесного угла dto, тогда на основании соотноше¬
ния (3)
dS dS со s В
dû) =—Z = X—-,
L2 I?
473
где р — угол между перпендикуляром к элементу поверхности
и направлению силы света, град.;
L — расстояние от освещаемой точки до источника света, м.
Так как световой поток, падающий на элемент поверхности
dS, равен:
__ /dS’cosB
dF = Ida = -—£
L2
то освещенность элемента поверхности dS будет:
dF IdS cosр /cosp ...
~dS L2dS Ü~'
Из этого соотношения видно, что освещенность в данной точке
пропорциональна силе света источника по направлению к ней,
косинусу угла между падающим лучом и перпендикуляром к по¬
верхности и обратно пропорциональна квадрату расстояния осве¬
щаемой точки от источника света.
Свѳтность — поверхностная плотность светового потока
излучения, испускаемого поверхностью, равная отношению све¬
тового потока к площади светящейся поверхности:
(14)
aS
где R — свѳтность, лм/м\
dS — площадь светящейся поверхности (испускающей, отра¬
жающей или пропускающей свет).
Если светность поверхности равномерная, то ее определяют
по формуле
*4-
Следовательно, светность подобна освещенности, но освещен¬
ность представляет собой поверхностную плотность светового
потока, падающего на поверхность, а светность представляет со¬
бой поверхностную плотность светового потока, испускаемого
светящейся поверхностью.
Если обозначить через Q коэффициент отражения, а через
х коэффициент пропускания, то можно написать следующие со¬
отношения:
R = рЯ, (16)
R =хЕ. (17)
2. ОТРАЖЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И ПРОПУСКАНИЕ
СВЕТОВОГО ПОТОКА
Световой поток, падающий на тело, в общем случае частью
отражается, частью пропускается и частью поглощается.
Коэффициент отражения р — величина, харак¬
474
теризующая свойства поверхности среды или тела по отношению
к падающему на них излучению, равная отношению потока от¬
раженного излучения Fотр к потоку Fnad, упавшего на поверх¬
ность излучения:
e=_f^LP. (18)
Fпад
Коэффициент пропускания т — величина, ха¬
рактеризующая прозрачность среды или тела по отношению к
падающему на них излучению, равная отношению потока излу¬
чения Fnpox^ прошедшего через данную среду (тело), к потоку из¬
лучения Fnad, упавшего на данную среду (тело):
F
1 прох
Т =
F пад
Коэффициент поглощения а — величина, ха¬
рактеризующая способность среды или тела задерживать попав¬
шее на них излучение, равная отношению потока излучения
Рпогл, поглощенного средой (телом), к потоку излучения Fnad>
упавшему на данную среду (тело):
F погл
а = .
F пад
Па закону сохранения энергии
Рпад == Pomp 4" Рпрох 4“ Рпогл*
Разделив все члены этого уравнения на Fnad, получим:
q 4- т 4- а = 1, (22)
т. е. сумма коэффициентов отражения, пропускания и поглоще¬
ния для данного тела равна единице.
3. ЛАМПЫ НАКАЛИВАНИЯ И ОСВЕТИТЕЛЬНЫЕ
ПРИБОРЫ
Основными характеристиками ламп накаливания являются:
1) номинальное напряжение, 2) номинальная мощность, 3) номи¬
нальный световой поток, 4) номинальная световая отдача или
удельная мощность,^ 5) нормированная продолжительность горе¬
ния (расчетное время горения лампы при заданном напряжении
до ее перегорания).
Эти характеристики относятся не только к лампам накали¬
вания, но и к другим источникам света. В стандартах все характе¬
ристики даются для номинального напряжения, на которое рас¬
считана лампа (приложение 29).
475
Источник оптического излучения, который излучает в резуль¬
тате теплового излучения проводника, через который проходит
электрический ток, называется лампой накаливания.
Лампа накаливания, в которой нить накала находится в атмо¬
сфере инертных газов, называется газополной (газона¬
полненной) лампой. Лампа накаливания *, в которой
нить накала находится в высоко разреженном газе, называется
вакуумной лампой. Источник оптического излучения,
который излучает в результате люминесценции, называется л ю-:
минесцентной лампой. Люминесцентная лампа, кото¬
рая излучает в результате люминесценции газа или паров металла
под воздействием электрического разряда в них, называется га¬
зоразрядной лампой.
Полезный срок службы для люминесцентных ламп опреде¬
ляется как продолжительность горения люминесцентной лампы,
в конце которого ее световой поток уменьшается до заданной ве¬
личины по сравнению с номинальным световым потоком.
Номинальная световая отдача лампы** оп¬
ределяется как отношение поминального светового потока лампы
к ее номинальной мощности Рл:
Пл = £, (23)
Рл
где — номинальная световая отдача лампы, лм/вт;
Fл — номинальный световой поток лампы, лм\
Рл — номинальная мощность, вт.
Световая отдача характеризует экономичность лампы, так как
чем больший световой поток излучает лампа на 1 вт, тем она вы¬
годнее.
Удельной мощностью лампы называется отно¬
шение мощности лампы к средней сферической силе света:
w = — {вт/св\, (24)
/о
где w — удельная мощность лампы, вт/св.
Осветительным (световым) прибором на¬
зывается совокупность источника света и осветительной арматуры,
предназначенной для рационального перераспределения свето¬
вого потока этого источника. Осветительные приборы делятся на
две группы: осветительные приборы ближнего действия — све¬
тильники и осветительные приборы дальнего действия —
прожекторы.
* Вместо термина «лампа накаливания» будем употреблять термин
«лампа».
** В дальнейшем вместо термина «номинальная световая отдача лампы»
будем употреблять термин «световая отдача лампы».
476
Основные характеристики светильников следующие: 1) кривая
силы света; 2) к. п. д.; 3) защитный угол.
К. п. д. светильника называется отношение светового
потока Fce светильника к полному световому потоку Рл находя¬
щейся в нем лампы:
(25)
Рл
где — коэффициент полезного действия светильника.
Величина к. п. д., характеризующая экономичность светиль¬
ника, зависит от материала осветительной арматуры и конструк¬
ции светильника.
4. ВЫБОР ВЫСОТЫ ПОДВЕСА СВЕТИЛЬНИКОВ
И ИХ РАЗМЕЩЕНИЕ
Высота подвеса есть расстояние от рабочей (расчет¬
ной) поверхности до центра источника света — светильника.
Если в цехе имеются трансмиссии, вентиляционные трубы и т. п.,
то светильники следует располагать
на уровне их или немного ниже,
чтобы избежать затенения оборудо¬
вания цеха. Если цех большой вы¬
соты и в нем имеется мостовой кран,
то светильники следует располагать
над краном на ферменных стяжках.
В этом случае рекомендуется уста¬
навливать на ферме крана дополни¬
тельные светильники или их следует
располагать так, чтобы кран не мог
затенять более одного светильника.
Наименьшая допустимая высота под¬
веса светильника определяется нор¬
мами ограничения ослепленности.
Высота подвеса светильника над рабочей поверхностью (рис.
362) может быть определена по формуле
Нр = h — hc — hp> (26)
где Нр — высота подвеса светильника над рабочей поверхностью
(расчетная высота), м;
h — высота помещения, м;
hc — свес, т. е. расстояние от потолка до центра источника
света, м\
hp — высота рабочей поверхности над полом, м.
При выборе высоты подвеса светильника прямого света следует
исходить из условия применения лампы наибольшей мощности,
477
допускаемой выбранным типом светильника, и из наивыгоднейшего
отношения (табл. 1).
При выборе высоты подвеса светильника рассеянного и стра¬
го
жеішого света следует учитывать не только отношение но и
L р
отношение у-, где L — расстояние между светильниками.
Чтобы получить достаточно равномерную освещенность потолка
при светильниках преимущественно прямого света, отношение
должно быть не более 5—6; для светильников рассеянного света
L h
отношение -тг= 1,4—1,6 или 0,20—0,25. Свес светильников
при подвесе их к потолку составляет 0,3—1,5 м.
Система освещения, предназначенная для освещения всего
помещения, называется общим освещением. При проек¬
тировании осветительных установок различают два способа разме¬
щения светильников общего освещения: равномерное и
локализованное. При равномерном размещении расстоя¬
ния между светильниками в каждом ряду и расстояния между
рядами остаются неизменными. Равномерное расположение све¬
тильников применяется тогда, когда требуется обеспечить равно¬
мерность освещения по всей площади помещения, например сбо¬
рочные, литейные и мартеновские цехи, склады, конторы и пр.,
а также при комбинированной системе освещения, т, е, при системе
освещения, представляющей собой совокупность общего и мест¬
ного освещения. В этом случае общее освещение служит допол¬
нением к местному * *, например инструментальные и механические
цехи.
Расстояние между светильниками при общем освещении зави¬
сит от их светораспределения, высоты подвеса, строительных
особенностей помещения (например расположения колонн, строи¬
тельных ферм и пр.), заданной освещенности, а также и от распо¬
ложения оборудования. Следовательно, светильники могут быть
размещены или по вершинам прямоугольника или по вершинам
ромба (рис. 363). При размещении светильников по вершинам
прямоугольника (рис. 363, а) наивыгоднейшее относительное рас¬
стояние ** между ними будет равно:
/ L \ ~VLaLb
\Н р /наи в Н р
* Система освещения, предназначенная для освещения рабочей поверх¬
ности, называется местным освещением.
** Относительным расстоянием между све¬
тильниками называется отношение расстояния между ними к высоте
подвеса над освещаемой поверхностью.
478
(27)
где La и Lb— расстояние между светильниками по ширине и длине
помещения, м.
Следует отметить, что при расположении светильников по
вершинам прямоугольника наивыгоднейшим вариантом (наимень¬
шая установленная мощность) будет размещение их по углам
квадрата (La~ Lb); при размещении светильников по вершинам
ромба (рис. 363, б) (jv~) ’ пРичем следует стремиться к
р' наиз .
тому, чтобы La~ Lc, что соответствует Lb= p^3La. В табл. 1
Рис. 363
приведены наивыгоднейшие относительные расстояния светиль¬
ников при размещении их по вершинам квадрата и вершинам
ромба *.
Кроме расстояния между светильниками, нужно выбрать рас¬
стояние I от стен до крайнего ряда светильников (рис. 363). Это
расстояние зависит от расположения рабочих поверхностей у стен
помещения. Если рабочие поверхности расположены непосред¬
ственно у стен, то
1= (0,25 4-0,3) Д (28)
а при отсутствии рабочих поверхностей у стен
I =(0,4 ч- 0,5)Д (29)
где L — расстояние между светильниками, м.
Локализованное размещение светильни¬
ков применяется в помещениях, в которых оборудование разме¬
щено несимметрично и местное освещение не применимо из эко¬
номических или производственных соображений (банкаброши,
сельфакторы, сборочные конвейеры и пр.). Размещение светиль¬
ников относительно рабочих поверхностей выбирается в каждом
конкретном случае индивидуально на основе подробного знаком-
* Епанешников М. М. и Соколов М. В. Электрическое
освещение, под ред. проф. В. В. Мешкова, Госэнергоиздат, 1955.
479
ства с характером производственного процесса и конструктивными
особенностями цеха.
Следует отметить, что при локализованном освещении отдель¬
ные светильники могут отличаться типом, мощностью или высотой
подвеса.
Преимущества этого способа по сравнению с равномерным
размещением: уменьшение установленной мощности и возмож¬
ность получения желательного направления светового потока на
рабочие поверхности *.
Таблица 1
Наивыгоднейшие относительные расстояния между светильниками
Тип светильника
Относительное расстояние
Предельная ши¬
рина помещения,
при которой
целесообразно
однорядное
размещение
многорядное
расположе¬
ние
однорядное
расположе¬
ние
ПІар молочного стекла, плафоны,
: фарфоровый и водопыленепро¬
ницаемый .
2,3-3,2
1,9-2,5 ..
1,3 нр
Универсалъ без затенителя, Уни¬
версалъ с опаловым и матиро¬
ванным затенителем
1,8-2,5
1,8-2,0
р
1,2 Нр
Люцетта цельного стекла и Лю-
цетта сборная, Глубокоизлуча¬
тель эмалированный
1,6-1,8
1,5-1,8
1,0 Нр
Глубокоизлучатель зеркальный
1,2—1,4
1,2—1,4
0,75 Нр
Примечание. Первая цифра определяет наивыгоднейший вариант
размещения,, вторая — допустимый.
5. РАСЧЕТ ОСВЕЩЕНИЯ ПО МЕТОДУ КОЭФФИЦИЕНТА
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СВЕТОВОГО ПОТОКА
Этот метод дает возможность определить световой поток ламп,
необходимый для создания освещенности горизонтальной рабочей
поверхности при симметричном расположении светильников с уче¬
том света (светового потока), отраженного от стен и потолка. Сле¬
довательно, данный метод необходимо применять тогда, когда
отраженный свет играет существенную роль, т. е. при освещении
светильниками отраженного, преимущественно отраженного и
рассеянного света, а в помещениях со светлыми стенами и потол¬
ками применяются также и светильники преимущественно прямого
света. Следует отметить, что освещенность и число светильников
выбираются до расчета.
* К н о р р и н г Г. М. Справочник для проектирования электриче¬
ского освещения, Госэнергоиздат, 1960.
480
Коэффициентом использования освети¬
тельной установки* называется отношение светового
потока излучения, падающего на рабочую поверхность, ко всему
световому потоку источников света:
и = ——, (30)
пРл
где и — коэффициент использования осветительной установки;
п — число источников света (светильников) ** в освещаемом
помещении;
— световой поток излучения, падающий на рабочую (рас¬
четную) поверхность, лм.
Величина коэффициента использования осветительной уста¬
новки зависит от к. п. д. светильника, кривой силы света, высоты
подвеса светильника над рабочей поверхностью, размеров помеще¬
ния, окраски стен и потолка помещения.
Коэффициент использования осветительной установки опреде¬
ляется по таблицам, в которых для каждого типа светильника
даются значения коэффициентов использования в зависимости от
коэффициента отражения потолка (р„) и стен (Qcm) и показателя
помещения *** (приложение 20).
Показатель помещения определяется по формуле
ab S
<р = =
ftp (я 4" Ь) /Ур (а + 6)
где а и b — длина и ширина освещаемого помещения, л;
S — площадь освещаемого помещения, л2.
Так как изменение показателя помещения свыше пяти почти
не влияет на коэффициент использования, то таблицы строятся
только до этого предела. Поэтому, если по расчету показатель
помещения получится больше пяти, то коэффициент использования
определяется для ф = 5.
Найдя коэффициент использования осветительной установки
и суммарный поток всех источников света, размещенных в осве¬
щаемом помещении, можно определить световой поток, падающий
на рабочую поверхность, по формуле
= utiFл. (32)
Зная световой поток , падающий на рабочую поверхность,
* Вместо термина «коэффициент использования осветительной уста¬
новки» употребляется термин «коэффициент использования».
** Как правило, каждый светильник имеет одну лампу.
* * * Вместо термина «показатель помещения» употребляется также термин
«индекс помещения».
16 Заказ № 936 481
равную площади пола помещения,
щенность:
можно найти среднюю осве-
F — —
ср_ S
unFà
~S~
(33)
где Еср — средняя освещенность, лк.
Эта формула не учитывает снижения освещенности в период
эксплуатации осветительных установок, поэтому в формулу (33)
вводят коэффициент запаса освещенности к
(табл. 2),ѵ который предусматривает увеличение нормированной
освещенности с целью компенсации потерь светового потока в
условиях эксплуатации. Коэффициентом запаса освещенности
учитываются все факторы, влияющие на снижение освещенности
в период эксплуатации, а именно: 1) уменьшение светового потока
с течением времени, 2) загрязнение светильников, 3) загрязнение
стен и потолка, 4) возможность снижения напряжения у
отдаленных от питающего пункта ламп.
Таблица 2
Значения коэффициента запаса освещенности
Характеристика помещений
Коэффициент запаса
освещенности
Срок чистки
светильников
при лампах
накаливания
при люмине¬
сцентных
лампах
Помещения с большими выделе¬
ниями пыли, дыма или копоти
(помещения дробления руды
или угля и т. п.)
1,7
2
4 раза в месяц
Помещения со средними выделе¬
ниями пыли, дыма или копоти
(прокатные, деревообделочные
цехи и т. п.)
1,5
1,8
3 раза в месяц
Помещения с малыми выделения¬
ми пыли, дыма или копоти (ме¬
ханические цехи, бытовые по¬
мещения)
1,3
1,5
2 раза в месяц
Наружное освещение светильни¬
ками
1,3
1,5
3 раза в год
Прожекторное освещение ....
1,5
—
3 раза в год
Для светильников общего освещения коэффициент запаса
освещенности устанавливается согласно табл. 2 (СН-81—60).
В нормах указывается не средняя освещенность, а минималь¬
ная*, поэтому вводят поправочный коэффициент, характеризую¬
щий равномерность освещения (табл. 3), который равен отноше^
* Иногда вместо термина «минимальная освещенность» употребляется
термин «нормированная освещенность», которая обозначается Енорм»
482
нию минимальной освещенности к средней:
Емин ЕНОрМ
2
ЕСр Еср
где z — поправочный коэффициент;
Емия — минимальная освещенность, лк.
Этот коэффициент всегда меньше единицы, и численное значе¬
ние его зависит от светораспределения (типа) светильников и их
размещения в освещаемом помещении.
Таблица 3
Значения коэффициента z для различных светильников, соответствующие
наивыгоднеишему размещению их
Тип светильника
Глубокоизлучатель
Универсаль
Люцетта
цельного
стекла
Шар молоч¬
ного стекла
зеркаль¬
ный
эмалиро¬
ванный
без зате¬
нителя
с матиро¬
ванным
затените¬
лем
с молоч¬
ным зате¬
нителем
II 5-
и
0,75
0,9
0,82
0,85
0,85
0,8
0,87
Если принять, что начальная средняя освещенность в установке
к
равнаТ?^ — , то формулу (33) можно представить так:
z
к _ипРл
ЕМин —I
z о
откуда световой поток одной лампы *
= E MUVSk' (35)
unz
В настоящее время расчет освещенности методом коэффициен¬
та использования находит широкое применение в установках с
люминесцентными лампами вследствие достаточно равномерного
распределения потока по рабочей поверхности.
Последовательность расчета электрического освещения по
методу коэффициента использования:
1) определяем показатель помещения ф [формула (31)];
2) находим по таблице коэффициент использования освети¬
тельной установки и;
3) находим поправочный коэффициент z по табл. 3;
4) выбираем коэффициент запаса освещенности к по табл. 2;
■
* Если под z понимать отношение —, то формула (34) примет вид:
мин
= (35')
un
16*
483
5) устанавливаем норму освещенности, если она не задана;
6) определяем световой поток Рл одной лампы [формула (35)];
7) по вычисленному световому потоку Рл выбираем мощность
Р * стандартной лампы, при этом отклонение светового потока по¬
следней от расчетного в пределах от —10 до -|-20% считается до¬
пустимым. Если расчетный световой поток значительно отличается
от ближайших стандартных световых потоков, то следует изменять
число светильников, стремясь к лучшему совпадению;
8) подсчитываем общую установленную мощность по формуле
р = пРл‘, (36)
9) подсчитываем удельную мощность осветительной уста¬
новки, которая представляет собой отношение установленной мощ¬
ности Р осветительной установки к площади S освещаемой поверх¬
ности (освещаемого помещения):
р
Р = (37)
где р — удельная мощность, вт/м\ т. е. удельная мощность есть
число ватт, приходящееся на 1 лі2 освещаемой поверх¬
ности (площади помещения). Удельная мощность служит
для оценки экономичности установки.
6. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ
УСТАНОВЛЕННОЙ МОЩНОСТИ*
Этот метод основан на некоторых средних значениях коэффи¬
циентов использования осветительных установок, выполненных
светильниками различных классов. Если необходимо ориентиро¬
вочно определить установленную мощность для освещения, то,
пользуясь данными приложений 21—25, в котором приведены
значения наименьшей (нормированной) освещенности с равномер¬
ным размещением светильников и источников света различной
мощности, можно найти установленную мощность по формуле
Руст = Р$- (38)
7. РАСЧЕТ ОСВЕЩЕНИЯ ПО ТОЧЕЧНОМУ МЕТОДУ**
Этот метод применяется при определении светового потока
ламп, необходимого для создания заданной освещенности незави¬
симо от расположения поверхности и светильников. При этом
считают, что отраженный свет не играет значительной роли.
* Метод удельной мощности.
** Вместо термина «расчет освещения по точечному методу» употреб¬
ляется термин «расчет освещения по силе света».
484
Следовательно, точечный метод дает хорошие результаты при
светильниках прямого света, а также при светильниках преиму¬
щественно прямого света, если коэффициенты отражения стен и
потолка небольшие. При произвольном расположении освещае¬
мой поверхности по отношению к лучу света от точечного источ¬
ника (рис. 364,а) освещенность в точке А определяется по форму¬
ле
ЁА=Л^₽> (39)
Li к
где — сила света светильника по направлению к точке А, св;
р — угол между направлением силы света (лучом света)
в точку А и перпендикуляром N к освещаемой поверх¬
ности, град.;
L — расстояние от светильника до освещаемой точки, ле.
Если точка А освещается не одним, а несколькими светиль¬
никами, то общая освещенность точки А равна сумме освещен¬
ностей, создаваемых отдельными светильниками в этой точке:
ЕА общ = Еаі + ЕА2 + ••• + Еаъ (40)
где Е Avt Еа2, ..., ЕАп — освещенности, создаваемые в точке А
отдельными светильниками, лк.
Освещенность горизонтальной плоско¬
сти может быть определена по формуле (39), но ее можно
привести к виду, более удобному для практических расчетов. Так
как L = —(рис. 364, б), то
cos а '
ІаЫ8а
Аг Н2рк ’
где FАг— горизонтальная освещенность в точке А, лк;
а — угол падения светового луча в расчетную точку, град.
16 Заказ N 936* 485
(41)
Последовательность расчета горизонтальной освещенности от
симметричных светильников общего освещения сводится к следую¬
щему:
1) определяем тангенс угла падения светового луча в расчет¬
ную точку:
где d — расстояние между проекцией оси симметрии светильника
на горизонтальную плоскость и точкой, в которой опре¬
деляется освещенность;
2) зная tg а по приложению 28, находим угол а и cos3 а;
3) по кривой силы света заданного светильника находим силу
света Іл для найденного угла а (приложение 26);
4) подсчитываем освещенность по формуле (41).
Следует обратить внимание, что найденная освещенность пра¬
вильна для условной лампы со световым потоком, равным 1000 лм,
так как кривая силы света светильника строится для этого по¬
тока. Поэтому при проверке освещенности в осветительной уста¬
новке с выбранной мощностью ламп в формулу (41) вводят коэф¬
фициент 7п, который равен отношению потока Fл данной лампы к
F
1000, т. е. тп = . Следовательно,
1000
17 СО S* Q // О\
Едг = „2,-т- (42)
/У р /С
Задачи
687. Определить световой поток FA лампы, если средняя сфе¬
рическая сила света /0 = 18,2 св.
688. Вычислить световой поток Рл натриевой лампы, если из¬
вестно, что она испускает в видимой части спектра 18 вт излуче¬
ния длины волны * X = 0,59 мк и относительная видимость
кх = 0,757.
689. В вершине конуса помещен источник света, который дает
равномерно распределенный внутри конуса световой поток F =
= 3050лм. Чему равна сила света / источника по оси конуса, если
высота его h = 0,4 м, а диаметр d = 0,32 м?
690. Определить световую отдачу цл лампы накаливания мощ¬
ностью Рл = 60 вт, напряжением U — 127 в, если ее световой по¬
ток Fл = 660 лм.
691. Какова удельная мощность w лампы мощностью Рл =
= 400 вт, напряжением U =220 в, если ее световой поток Fл =
= 6000 лмі
692. Лампа мощностью Рл = 500 вт, напряжением U = 220 в
имеет световую отдачу цл = 16 лм/вт. Вычислить световой поток
* 1 мк = 10“® м.
486
Fл, среднюю сферическую силу света 70 и удельную мощность
w лампы.
Решение. Световой поток лампы определим из соотноше¬
ния:
откуда
F л = Лл • Рл = 16 • 500 = 8000 лм.
Средняя сферическая сила света лампы
Рл 8000 ~
20 = = ~ ООО Св.
4л 4-3,14
Удельная мощность лампы
Рл 500 А
w = — = — « 0, /8 втісв.
Iq 638
Определить световой поток
693. Лампа мощностью Рл = 400 вт, напряжением U = 127 в
имеет световую отдачу 17,5 лм/вт.
F л, среднюю сферическую силу света
Іо и удельную мощность w лампы.
694. Лампа мощностью Рл=75 втп,
напряжением І7=127 в имеет свето¬
вой поток 77\=915 лм. Найти све¬
товую отдачу г)д и удельную мощ¬
ность w лампы.
695. Чему равна мощность Рл лам¬
пы, если световая отдача ее 8,5 лм/вт,
а световой поток Fл — 340 лмЧ
696. В телесном угле © =0,4 сте¬
радиана равномерно распределенный
световой поток F=100 лм. Опреде¬
лить силу света I источника по на¬
правлению телесного угла.
697. Световая отдача газополной
лампы 17,2 лм/вт, средняя сфериче¬
ская сила света Іо = 411 св. Вычис¬
лить световой поток FA лампы, мощ¬
ность Рл и удельную мощность w лампы.
698. Лампа мощностью Рл = 200 вт с номинальным напряже¬
нием UH = 127 в включена в сеть, напряжение которой в течение
одинакового времени повышалось и понижалось на ±10% от но¬
минального. Определить на основании кривой (рис. 365) срок
службы лампы при номинальных условиях эксплуатации, т. е.
при отсутствии колебания напряжения, если фактический срок
службы лампы 600 час.
16** 487
699. Лампа мощностью Рл = 100 вт с номинальным напряже¬
нием UH = 127 в дает световой поток FA = 1275 лм. Найти по
кривой (рис. 366) световой поток Fi лампы, если она будет вклю¬
чена в сеть с напряжением Ui = 110 в.
г 700. Вычислить освещенность Е и светность R белой жестяной
пластинки размером 40 X 40 еле2, равномерно освещаемой свето¬
вым потоком F = 400 лм и отражающей 60% падающего потока.
701. На серебряную полированную пластинку падает и рав¬
номерно по ней распределяется световой поток F = 12 лм. Опре-
делить площадь пластинки S, отра¬
женный поток F отр и светность /?,
если освещенность Е = 1500 лк, а
коэффициент отражения q = 0,92.
702. Каковы яркость В и свет¬
ность R участка стены, оклеенной
светлыми обоями, если освещенность
ее £=25 лк, а коэффициент отраже¬
ния Q = 0,5?
703. Для освещения фасада здания
применен прожектор ПЗ-45, имеющий
силу света I = 40 000 св и находя¬
щийся от здания на расстоянии I =
= 100 м. Чему равна освещенность £
фасада здания, если луч прожектора
падает на поверхность под углом
а = 60°?
704. Световой поток лампы нака¬
ливания £л = 4100 лм равномерно
стороны. Вычислить освещенность £
tea
160
^120
? 100
во
60
ио
го
о
НТ
\soo
\ 1
Светобо
1 7
7 ПОП
1O/J
\700
Светова
отддчсГ
я /
Мои
'НОСі
П6
<ОО
зоо-ср своя жи-
^гнелбность го-
10
1ОО
рен
ия
6 6 90 96 100 106 110 116
Напряжение, %
Рис. 366
I
распространяется во все
площадки, которая находится на расстоянии г =4 м и располо¬
жена нормально к направлению световых лучей, а также найти
среднюю сферическую силу света 70 лампы.
705. По условию задачи 704 определить освещенность Е пло¬
щадки, если она будет расположена под углом а = 70° к направ¬
лению световых лучей.
706. Найти световой поток F^, излучаемый в нижней полу¬
сфере светильником Люцетта сборная преимущественно отражен¬
ного света с лампой мощностью Рл = 300 вт и напряжением
U = 220 в.
707. Световой поток лампы без арматуры мощностью Рл =
= 200 вт при напряжении U = 120 в равен Рл = 3050 лм. Опре¬
делить световой поток Fce светильника, если коэффициент полез¬
ного действия его т]св = 78%.
708. Чему равен коэффициент использования и осветительной
установки для прямоугольного помещения (класса средней шко¬
лы), имеющего длину а = 10 м и ширину b = 6 мі Высота под¬
веса светильника Люцетта цельного молочного стекла над рабочей
488
поверхностью Нр = 2,5 м. Стены светлые с коэффициентом отра¬
жения Qcm = 0,5, а потолок белый с коэффициентом отражения
еп = о,7.
709. Вычислить коэффициент использования и осветительной
установки для прямоугольного помещения литейного цеха, имею¬
щего длину а = 60 м и ширину b = 15 м. Высота подвеса светиль¬
ника Глубокоизлучатель эмалированный над рабочей поверх¬
ностью Нр = 7,5 м. Стены и потолок темные с коэффициентом от¬
ражения Qcm = 0,1 И Qn = 0,3.
710. Определить коэффициент использования и осветительной
установки для прямоугольного помещения (конторы), имеющего
длину а = 18 м и ширину b = 6 м. Высота подвеса светильника
Люцетта цельного стекла над рабочей поверхностью Нр = 3 м.
Стены светлые с коэффициентом отражения Qcm = 0,5, а потолок
белый с коэффициентом отражения = 0,7.
Решение. Показатель помещения
ab 6-18
ф = = = 15.
Нр(а + Ь) 3(6 + 18)
Зная показатель помещения и коэффициенты отражения стен
и потолка, можно по приложению 20 определить коэффициент
использования осветительной установки, т. е. и = 0,44.
711. Найти коэффициент использования и осветительной уста¬
новки для прямоугольного помещения (конторы), имеющего длину
а = 30 м и ширину b = 10 м. Высота подвеса светильника Лю¬
цетта цельного молочного стекла над
рабочей поверхностью Нр=3,2м. Сте¬
ны светлые с коэффициентом отраже¬
ния Qcrn = 0,5, а потолок белый с коэф¬
фициентом отражения = 0,7. Если
вместо светильника Люцетта цельного
молочного стекла установить светиль¬
ник Шар молочного стекла, то, каков
будет коэффициент использования
осветительной установки?
712. По условию задачи 710 опре¬
делить число светильников и мощ¬
ность ламп для помещения конторы,
если известно, что минимальная освещенность ЕМйН = 75 лк,
коэффициент запаса к= 1,3 (табл. 2). Напряжение электрической
сети U = 220 в.
713. Определить число светильников и мощность ламп механи¬
ческой мастерской длиной а = 31,6 м, шириной b = 20,2 м и высо¬
той h = 5,6 м (рис. 367). Стены и потолок темные с коэффициентом
отражения qCm = 0,3; Qn = 0,5. Высота рабочей поверхности от
пола hp = 0,8 м. Напряжение электрической сети U = 220 в,
минимальная освещенность Емип = 50 лк.
31,6
®
®
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Рис. 367
489
Решение. Для освещения помещения выбираем светиль
ники Универсалъ с матированным затенителем. Высоту подвеса
светильника над рабочей поверхностью принимаем равной Нр =
= 4,1 м.
Показатель помещения определяем по формуле
ab 20,2-31,6
ср = = == 3.
Нр(а + Ь) 4,1(20,2+31,6)
Коэффициент использования осветительной установки и для
полученного показателя помещения находим по приложению 20:
и = 0,45. .
„ . L
Наивыгоднеишее отношение уу- при прямоугольном располо-
**р
жении светильников Универсаль с матированным затенителем
определяем по табл. 1:
— = 1,8.
Нр
При этом поправочный коэффициент на минимальную осве¬
щенность z = 0,85 (табл. 3). Наивыгоднейшее расстояние между
светильниками
L = 1,8//р = 1,8-4,1 = 7,38 мх 7,3 м.
Располагаем на плане (см. рис. 367) три ряда светильников
по 5 светильников в ряду; расстояние от стен до светильников бе-
L *
рем і = -у, так как рабочие поверхности находятся непосред-
о
ственно у стен.
Световой поток одной лампы определяем по формуле
г, EMUnS к
л — ' »
YIUZ
где S — освещаемая площадь, л*2;
п — число светильников (ламп);
к — коэффициент запаса освещенности (табл. 2), т. е. к = 1,3.
Подставляя данные значения в предыдущую формулу, получим:
„ 50-20,2-31,6-1,3 _Qn
Гл = -ж 5580 лм.
15-0,45-0,85
По приложению 29 выбираем лампу мощностью 400 вт, свето¬
вой поток которой F* = 6000 лм.
Освещенность в этом случае будет:
F -j? ^_.n6000 _
"JHUH — -^мйн ~~ OU 00,0 ЛК.
FA 5580
490
714. Определить число светильников и мощность ламп для
механической мастерской длиной а = 40 м, шириной b = 18 м и
высотой h = 6 м. Стены и потолок темные: QCm = 0,1; Qn = 0,3. Вы¬
сота рабочей поверхности от пола hp = 0,8 м. Напряжение элек¬
трической сети U = 220 в. Минимальная освещенность Емая =
= 50 лк. Произвести также расчет числа светильников и мощность
ламп по удельной мощности.
715. Какова высота подвеса светильника наружного освещения
с лампой мощностью 200 вт и напряжением U = 220 в, если ми¬
нимальная горизонтальная освещен¬
ность Емия = 0,3 лк, относительная
освещенность 2е=5 лк и коэффици¬
ент запаса освещенности к = 1,3?
716. Определить ориентировочно
установленную мощность Руст и чис¬
ло ламп п по удельной мощности для
помещения, имеющего длину а=30 м,
ширину b = 20 м и высоту подвеса
светильника над рабочей поверхно¬
стью Нр = 2,7 м. Помещение осве¬
щается светильниками Универсаль с
затенителем с лампами напряжением
17 = 220 в. Минимальная освещен¬
ность Емия = 50 лк и коэффициент запаса освещенности к = 1,3.
717. Найти ориентировочно установленную мощность Руст и
число ламп по удельной мощности для помещения, имеющего
длину а = 20 м, ширину b = 16 м и высоту подвеса светильника
над рабочей поверхностью Нр = 2,8 м. Помещение освещается
светильниками с эмалированными отражателями и люминесцент¬
ными лампами белого света мощностью Рл = 30 вт (Рл = І230 лм).
Коэффициент отражения стен QCm = 0,5, а потолка Qn = 0,7 (свет¬
лое помещение). Напряжение электрической сети U = 220 в.
718. Вычислить горизонтальную освещенность в точках А и
В, показанных на плане помещения (рис. 368); эти точки находятся
в плоскости рабочей поверхности на высоте hp = 0,8 м от пола.
Помещение освещается четырьмя светильниками Универсаль с
матированными затенителями и лампами мощностью Рл = 100 вт
и напряжением U = 220 в. Высота подвеса светильников над ра¬
бочей поверхностью Нр = 3,2 м. Коэффициент запаса освещен¬
ности к = 1,3.
Глава семнадцатая
ЭЛЕКТРОПРИВОД
Электроприводом называется машинное устройство,
состоящее из трех звеньев: 1) электродвигателя; 2) аппаратуры для
управления двигателем и 3) передач от двигателя к исполнитель¬
ному механизму.
1. МЕХАНИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДВИГАТЕЛЯ ПОСТОЯННОГО
ТОКА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ
Механической характеристикой называет¬
ся зависимость скорости вращения от момента при постоянном
номинальном напряжении и номинальном токе возбуждения:
п = f(M) при U = Uп = const и ів = const.
Напряжение, приложенное к двигателю, равно:
U — Е + (гя+Гр)Ія=Е + гІя = кЕпФ + гІя, (1)
откуда скорость вращения двигателя
’где п — скорость вращения двигателя, об/мин;
U — напряжение, приложенное к двигателю, в;
Ія — ток якоря, а;
г = гя + гр — полное сопротивление цепи якоря, ом;
гя — сопротивление цепи якоря двигателя (внутреннее
сопротивление), ом;
гр — добавочное сопротивление реостата (внешнее со¬
противление), ом;
j pN
кЕ = — постоянный коэффициент для данного двигателя,
зависящий от его конструктивных данных;
р — число пар полюсов двигателя;
N — число проводников обмотки якоря;
492
а — число пар параллельных ветвей обмотки якоря;
Е = кЕпФ, (3)
Е — электродвижущая сила, индуктированная в об¬
мотке якоря, в;
Ф — полезный магнитный поток на полюс, пересекае¬
мый обмоткой якоря, вб.
Уравнение (2) [я = /(/я)] представляет собой скоростную
характеристику.
Вращающий момент, развиваемый двигателем, т. е. электро¬
магнитный момент двигателя
где
М = кмІяФ, (4)
М — вращающий момент, развиваемый двигателем,
кГм\
км ~ à постоянный коэффициент для данного двигате-
«7,0-1 *
ля, зависящий от его конструктивных данных,
тт т М /оч
Подставляя значение тока7я = 7——- в уравнение (2), получим:
U гМ
П = X-
кЕФ кЕкмФ
(5)
Уравнение (5) представляет собой механическую характери¬
стику двигателя, которая при неизменных U, Ф и г будет прямой
линией, пересекающей ось ординат в точке:
По =
U
кЕФ
(6)
Скорость вращения и0 при М = 0 носит название погра¬
ничной скорости или скорости идеального
холостого хода двигателя. Следовательно, скорость
идеального холостого хода получается при токе в якоре Ія = О,
т. е. когда э. д. с., индуктированная в якоре, равна по величине
приложенному напряжению, но противоположна по направле¬
нию.
Естественной механической характери¬
стикой называется такая характеристика, которая получает¬
ся при отсутствии добавочного сопротивления в цепи якоря и
номинальных значениях напряжения и магнитного потока двига¬
теля (рис. 369). Если в цепь якоря включено добавочное сопротив¬
ление (реостат), то механические характеристики, получаемые при
этом, носят название искусственных или реостат¬
ных характеристик.
Естественная или искусственная механическая характеристика
двигателя может быть построена по двум точкам. Эти две точки
могут быть любыми; но обычно построение естественной механи¬
493
ческой характеристики производится по точкам, одна из которых
соответствует номинальной скорости вращения (п = пн) и номи¬
нальному вращающему моменту двигателя:
М„ = 975^‘, (7)
Пн
где Р2н — номинальная мощность двигателя, кет,
а другая — скорости идеального холостого хода (п = nQ и М = 0):
U UnH UnH zQv
TIq = = = . (о)
ЛЯФ ЛЕФпн U — гяІян
Если известна естественная механическая характеристика, то
можно построить искусственную механическую характеристику
для любого сопротивления реостата гр. Эта характеристика строит¬
ся по двум точкам: скорости идеального холостого хода п = nQ
при М = 0 и скорости п = пнр, соответствующей номинальному
вращающему моменту двигателя (М = Мн) при заданном сопро¬
тивлении реостата гр. Скорость пнр может быть определена из соот¬
ношения (8):
откуда
UnHP
nQ = ,
U —(гя + Гр) Іян
Пнр =По 1 —
(9)
494
Генераторное торможение с отдачей
энергии всеть может быть тогда, когда машина (электро¬
двигатель) приводится в движение исполнительным механизмом со
скоростью вращения выше п0- В этом случае электродвижущая
сила Е будет больше напряжения U сети.
Если электродвигатель работает в качестве генератора, то он
будет отдавать энергию в сеть, в которую он включен. Так как ток
меняет направление, что видно из формулы:
U—E E—U
ІЯ = = , ЦО)
г г
то меняет знак и момент М = кмФІл<^0. Механическая характери¬
стика для данного режима является продолжением двигательной
характеристики в сторону второго квадранта (см. рис. 369).
Динамическое торможение происходит при
отключении якоря электродвигателя от сети и замыкании его на
сопротивление, а обмотка возбуждения остается приключенной
к сети. Электродвигатель работает в качестве генератора незави¬
симого возбуждения, преобразуя кинетическую энергию, которая
запасена в нем и в движущихся частях приводимого им исполни¬
тельного механизма, в электрическую. Электрическая энергия
расходуется на нагревание обмотки якоря и тормозного сопротив¬
ления. Так как якорь двигателя отключается от сети, то в урав¬
нении (5) надо напряжение сети принять равным нулю (U = 0),
т. е.
и
По = = 0.
кЕФ
В этом случае уравнение механической характеристики будет
иметь вид:
кЕкмФ
Из этого уравнения видно, что механическая характеристика
при динамическом торможении (при г = const) представляет собой
прямую линию, проходящую через начало координат (см. рис.
369).
Ток в якоре
Е
!« = --• (12)
г
Торможение противовключением происхо¬
дит тогда, когда электродвигатель вращается исполнительным
механизмом в сторону, обратную действию момента, развиваемого
машиной *. Например, электродвигатель включен на подъем груза,
* Электродвигателем.
495
а под действием момента, развиваемого грузом, привод вращается
в сторону спуска груза. Такой же режим получим и при переклю¬
чении двигателя для быстрой остановки на другое направление
вращения. Так как при торможении противовключением направ¬
ление магнитного потока не изменилось, а машина (якорь) вра¬
щается в обратную сторону (скорость вращения становится отри¬
цательной), то э. д. с. якоря изменит направление на обратное.
В этом случае ток в цепи якоря определяется по формуле
т _и+Е
* Я
Г
Для уменьшения величины тока /Л и получения соответствую¬
щего тормозного момента в цепь якоря двигателя включается
добавочное сопротивление гр, которое равно:
Гр=г—гя. (14)
При торможении противовключением к двигателю подводится
мощность с двух сторон: 1) электрическая из сети Р вл = Шя и
2) механическая со стороны вала исполнительного механизма
Рв = ЕІЯ, Эта мощность расходуется в сопротивлении цепи якоря
Рдл + Рв = иія + ЕІЯ = Ія(и + Е) = гІ2я . (15)
Механическая характеристика для данного режима является
продолжением двигательной характеристики в сторону четвертого
квадранта (см. рис. 369).
2. МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВИГАТЕЛЯ ПАРАЛЛЕЛЬНО¬
ГО ВОЗБУЖДЕНИЯ ПРИ U= const И РЕГУЛИРОВАНИИ ЕГО СКОРОСТИ
ВРАЩЕНИЯ ИЗМЕНЕНИЕМ МАГНИТНОГО ПОТОКА*, T. Е. ТОКА
ВОЗБУЖДЕНИЯ
С уменьшением тока возбуждения, а следовательно, и магнит¬
ного потока увеличивается скорость идеального холостого
двигателя, которую можно определить по формуле (6)
U
^Ох — •
кЕФх
Скоростные характеристики п = /(/я) для всех значений
нитного потока пересекаются в одной точке на оси абсцисс (рис.
370, а). Это следует из формулы (2), при п = 0 уравнение для лю¬
бой скоростной характеристики будет иметь вид:
хода
(6')
маг-
к дФ
* Влиянием реакции якоря пренебрегаем.
496
откуда найдем ток в якоре двигателя:
(16)
Таким образом, при любом значении магнитного потока и при
п = 0 ток в якоре равен току короткого замыкания двигателя.
Если вместо скоростных характеристик п — построить
механические характеристики п = і(М) для различных магнитных
потоков, то они будут иметь
вид, как на рис. 370, б. Меха¬
ническую характеристику
можно построить по двум
точкам: 1) скорости идеаль¬
ного холостого хода пох =
= j при М = 0 и 2) ско-
^Е^х
рости п=0, соответствующей
моменту короткого замыка¬
ния (т. е. моменту трогания
с места)
= кмФхІк.
3. ВЫБОР МОЩНОСТИ
ДВИГАТЕЛЯ ПРИ ДЛИТЕЛЬ-
НОЙ НЕИЗМЕННОЙ ИЛИ
ВЕСЬМА МАЛО МЕНЯЮЩЕЙСЯ
НАГРУЗКЕ
Режим работы машины на¬
зывается длительным (п р о-
должительным), если
рабочий период настолько
Рис. 370
велик, что нагрев машины
достигает своего установив¬
шегося состояния.
Если потребная мощность исполнительного механизма изве¬
стна, то по каталогу выбираем двигатель, номинальная мощность
которого равна или немного больше мощности исполнительного
механизма. Так как нагрузка в данном случае постоянная, то ни¬
какой проверки на нагрев и перегрузку во время работы выбран¬
ного типа двигателя не требуется. Только в исключительных
случаях приходится проверять достаточность развиваемого двига¬
телем начального пускового момента, например, когда исполни¬
тельные механизмы имеют повышенное сопротивление трения в
момент трогания или значительные динамические моменты во время
пуска. Если температура окружающей среды больше или меньше
497
35°, то мощность двигателя надо выбирать с учетом этого отклоне¬
ния. В этом случае мощность двигателя определяется по формуле
Рд=хР, (17)
где Р — мощность исполнительного механизма;
Х = 1/ Ê£f(a+1)_а=1/
V û„cm-35V V
/ 35а + ûyCyn •— ûcp (a + 1) (jgj
^уст — установившаяся температура двигателя (изоляции), град;
— температура окружающей среды, град;
а — отношение постоянных потерь к переменным потерям
в двигателе при номинальной нагрузке, т. е. коэффи¬
циент потерь.
і. ВЫБОР МОЩНОСТИ ДВИГАТЕЛЯ ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ НАГРУЗКЕ
МЕТОДОМ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ТОКА
Этот метод основан на том, что действительно проходящий
в двигателе и изменяющийся по величине ток заменяется эквива¬
лентным током /э, который создал бы в двигателе такое же коли¬
чество тепла, а следовательно, такое же нагревание двигателя,
как и действительный ток. Следовательно, при переменном гра¬
фике нагрузки потери в двигателе
__ Qitj + (?2^2 + » » » + Qn^n
t{ + t2 + • • • + tn
ИЛИ
, т2 (к + ГІ^) ti + (к + г il) t2 + . . . + (К + Г/д) tn
1* -j- rls — :
tï + t2 + • • • + tn
где Qcp — средние потери в двигателе за 1 сек.;
t2, . . . , tn — продолжительность отдельных участков
цикла, сек.;
<?2, . . . , Qn — потери, выделяющиеся в двигателе на этих
участках за 1 сек.;
г — сопротивление якоря, статора или ротора,
ом (для трехфазного тока г — сопротивле¬
ние всех трех фаз);
к — постоянные потери в двигателе, т. е. по¬
тери в стали, механические потери на тре¬
ние в подшипниках и вентиляционные по¬
тери на трение о воздух. Эти потери в
некоторой мере зависят от нагрузки и ско¬
рости вращения двигателя, но обычно их
считают постоянными. Из уравнения (20)
имеем:
498
j2 _ + > » > +
+ І2 + • • • + tn
откуда находим величину эквивалентного тока:
1/^і + І2.І2 + ♦ « - +
' іі + t2 +... + tn
(21)
Если рассматриваемый цикл содержит как периоды работы,
так и периоды остановки, то уравнение (21) примет вид:
-1 /"+ І2І2 + » - » + Intn ,
И ti + t2+^. + tn + t^
(22)
где îq — время остановки двигателя, сек.
Так как условия нагревания и охлаждения для самовентили-
руемого двигателя зависят от его скорости вращения, то при по¬
ниженной скорости вращения и неподвижном состоянии тепло¬
отдача двигателя ухудшается. Поэтому, если в рассматриваемый
цикл работы входят пуск, торможение и остановка двигателя,
то в уравнение (22) вводят коэффициенты, меньшие 1: а — для пе¬
риодов пуска (ускорения) и торможения (замедления), Р — для
периода остановки. Для двигателя постоянного тока открытого
типа с самовентиляцией а = 0,75 и р = 0,5; для асинхронных дви¬
гателей а = 0,5 и Р = 0,25. После определения І9 выбираем дви¬
гатель так, чтобы номинальный ток Іп был равен или больше экви¬
валентного тока, т. е. Затем двигатель должен быть прове¬
рен на перегрузку, т. е.
где Імакс — наибольшее значение тока из графика нагрузки, а;
Ін — номинальный ток, а\
— допустимый коэффициент перегрузки двигателя по
току.
Если последнее условие не соблюдено, то выбираем двигатель
большей мощности.
Так как для двигателей постоянного тока параллельного воз¬
буждения, асинхронных при нормальной работе и коллекторных
двигателей переменного тока магнитный поток (приблизительно)
постоянный (Ф « const), то электромагнитный момент пропорцио¬
нален току:
М = ZcjvfZO =
499
В этом случае метод эквивалентного тока превращается в метод
эквивалентного момента:
Мэ = “1 f +... + M2ntn (23)
' + ^2 + • • • + + А)
где М3 — эквивалентный момент;
М{, М2, ...» Мп — моменты на отдельных участках цикла.
Выбираем двигатель, номинальный момент Мк которого должен
быть равен или немного больше эквивалентного момента Мэ,
т. ѳ. Мп^Мэ. Затем проверяем двигатель на перегрузку по соот-
М
ношению —и на пусковой момент,
п
здесь Ммакс — наибольшее значение момента из графика на¬
грузки;
— коэффициент, характеризующий перегрузочную
способность двигателя (по моменту).
Номинальная мощность двигателя
Р2н = (24)
где со — угловая скорость двигателя, об/мин.
Уравнение для эквивалентной мощности можно получить из
уравнения (23), так как момент пропорционален мощности при
постоянной скорости вращения.
Следовательно,
Р9 = 1/" + <РІ*2 + »». + 9 (25)
' ti + h + • • • + tn +
где Рэ — эквивалентная мощность, втгг,
Рр Р2, . . . , Рп — мощности на отдельных участках цикла, вт.
Метод эквивалентной мощности предполагает постоянство
к. п. д., а для двигателей переменного тока, кроме того, постоян¬
ство cos ф. Метод эквивалентной мощности без поправки можно
применить тогда, когда скорость вращения двигателя остается по¬
стоянной (двигатель постоянного тока параллельного возбужде¬
ния, асинхронный и синхронный двигатели) и если в рассматривае¬
мый период не входят пусковые и тормозные режимы.
5. ВЫБОР МОЩНОСТИ ДВИГАТЕЛЯ ПРИ КРАТКОВРЕМЕННОМ
РЕЖИМЕ РАБОТЫ
Режим работы машины называется кратковременным,
эсли рабочий период, в течение которого нагрев машины не дости¬
гает установившегося состояния, не настолько длителен, а период
500
же остановки машины настолько длителен, что температура ма
шины снижается до температуры окружающей среды. На рис.
371, а изображен идеальный график кратковременной нагрузки-
Так как кратковременная мощность
исполнительного механизма остается
постоянной, равной Р, то соответст¬
венно этой мощности выбираем дви¬
гатель кратковременной мощности Р
на период работы tv Обычно график
кратковременной нагрузки может
включать периоды пуска, торможе¬
ния и кратковременной работы. На¬
пример, для графика, изображенного
на рис. 371, б, эквивалентный момент
определяется по формуле
Мэ='\/'М^1 +мгк. (26)
' ^1 + ^2
Выбираем двигатель с МН^МЭ,
предназначенный для кратковремен¬
ной работы длительностью tï + t2.
Затем проверяем двигатель на пере¬
Рис. 371
грузку по соотношению:
Ммакс
Мн
Мощность двигателя для кратковременной работы выбирается
по каталогу двигателей для кратковременной работы.
6. ВЫБОР МОЩНОСТИ ДВИГАТЕЛЯ
ПРИ ПОВТОРНО-КРАТКОВРЕМЕННОМ РЕЖИМЕ РАБОТЫ
Режим работы машины называется повтори о-к ратко-
временным (прерывистым), если кратковременные рабочие
периоды чередуются с кратковременными периодами отключения,
называемыми паузами.
Отношение времени работы (включения) двигателя к суммар¬
ному времени работы и паузы
ПВ = tp - = (27)
tp 4“ to Іц
называется относительной продолжительно¬
стью работы (включения ПВ). Здесь = tp + t0 —
время цикла, состоящее из длительности рабочего периода tp и
паузы tQ.
17 Заказ № 936 501
Обычно продолжительность включения выражают в процен¬
тах:
ПВ % = —100 % = 100 %. (28)
tp 4“ ^0
Согласно ГОСТ 185—53 установлены следующие стандартные
продолжительности включения
: ПВ% = 15, 25, 40 и 6О?/о; при
этом принято, что продолжитель¬
ность одного цикла не превышает
10 мин.
Для графика повторно-кратко¬
временной нагрузки, изображен¬
ного на рис. 372, эквивалентная
мощность за время работы опре¬
деляется по формуле
р'д = -1 P2jij 4- Р&2 4~ Рзіз (29)
' h 4-t2 + t3
Время паузы t0 в эту форму¬
лу не входит, так как оно учиты¬
вается величиной продолжительности включения ПВ%. Формулу
(29) можно получить из выражения эквивалентной мощности для
цикла:
+ Р'&ъ 4~ Р^з
* *1 + І2 + h + /о
П ГP\t, + Р2% + Plh
4- t2 4“ t3
X
X _Л+Л+А_ = р'Упв,
Ч 4" t2 4- t3 4“ to
откуда
(30)
Зная мощность Р'э по специальному каталогу, подбираем дви¬
гатель с Р^Р’9 для продолжительности включения:
ПВ% = —^-±Л±А 1ООо/о.
t\ 4" t2 4-t3 4- to
Если ПВ графика отличается от стандартной, то выбираем
двигатель по ближайшему стандартному значению ее, пересчиты¬
вая соответственно мощность двигателя. Так как при переходе от
одной продолжительности включения к другой эквивалентная
мощность двигателя должна оставаться неизменной, то
~пві = р2Ѵ 1Гв2,
502
откуда
Р2=лі/'
У нв2
(31)
Если J7B>0,6, то выбираем двигатели, рассчитанные на дли¬
тельную работу, а если Л7?<;0,1, то выбираем двигатели для крат¬
ковременной работы.
Для более точного пересчета мощности следует пользоваться
не уравнением эквивалентных мощностей, а уравнением потерь.
Пусть Р2 = хРѵ Условие равенства потерь будет:
(к + ѵ) ПВ{ = (я + ѵх2) ПВг
или
( к+—)ПВ1 = (к + —х2}пВ2,
\ а J \ а J
где V переменные потери, которые пропорциональны квад¬
рату тока, т. е. пропорциональны квадрату мощности.
Отсюда
(# 1) ПВ^ =(&-}-#) ПВ2
или
x = -\f ££‘(а + 1)_а. (32)
У пв2
Следовательно,
Р2=Л1/^-1(а + 1)-а. (33)
У пв2
7. ЗАВИСИМОСТЬ К. И. Д. ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ ОТ НАГРУЗКИ
Значение к. п. д. двигателя при разных нагрузках можно опре¬
делить по формуле
а*
х +Т
Г]х = 1 —(1 —цк)—— ,
1 + а
(34)
* К.п.д. двигателя при различных нагрузках может быть определен
также по другой формуле:
X 1
17*
503
где qx — к. п. д. двигателя для различных нагрузок;
т]я — к. п. д. двигателя при номинальной нагрузке;
х = — коэффициент загрузки двигателя по току,
здесь I х и Іін — токи при данной и номинальной нагрузках, aj
а = коэффициент потерь.
При изменении нагрузки (х — 0,25 -н 1,1) можно определить
коэффициент загрузки двигателя по отношению мощностей на его
валу, т. е.
Задачи
719. Двигатель постоянного тока параллельного возбуждения
имеет следующие данные: номинальная мощность Р2я = 5 квт\
номинальное напряжение UH = НО в; номинальный ток ZK=52,5 а.
Сопротивление цепи якоря гя = 0,1 ом. Построить кривые
к. п. д и потерь в зависимости от нагрузки, если при холостом
ходе двигателя ток в якоре Іях = 4а при напряжении UH = 110 в.
720. У трехфазного асинхронного двигателя с номинальной
мощностью Р2я = 24 кет, номинальным напряжением UH = 220 в,
при номинальной нагрузке ток равен Ія = 83 а. Определить к. п. д.
т]н при номинальной нагрузке, если известно, что потери холостого
хода Рх = 1,5 кет, а мощность и ток при опыте короткого замыка¬
ния соответственно равны: Рк = 2 кет и Ік = 83 а.
721. Электродвигатель с номинальной мощностью Р2^
= 11 кет имеет при номинальной нагрузке к. п. д. = 84%. Вы¬
числить к. п. д. гр/2 при половинной нагрузке, если мощность хо¬
лостого хода двигателя Рх = 0,8 кет.
722. Построить естественную механическую характеристику
двигателя постоянного тока параллельного возбуждения, имею¬
щего номинальные данные: Р2я = 29 кет; Ія = 154 а; UH = 220 е\
пя = 740 об/мин. Сопротивление цепи якоря гя = 0,112 ом, а со¬
противление обмотки возбуждения гв = 70,7 ом.
723. По условию задачи 722 определить, что произойдет с дви¬
гателем, если магнитный поток мгновенно возрастет до номиналь¬
ной величины? Ток нагрузки равен номинальному, а магнитный
поток 0,85Фк.
724. По условию задачи 722 построить характеристики п =
= /(/я) и п = для двигателя постоянного тока параллельного
возбуждения, если магнитные потоки Ф£ = ФК, Ф2 = 0,8 Фя и
ф3 = 0,6Фк.
725. Построить естественную и искусственную механические
характеристики трехфазного асинхронного двигателя с контакт-
504
ними кольцами при гд = 0,03 ом, имеющего следующие данные:
Р2н = 55 кет; пн = 720 об/мин, —- = 2,2; Еік = 376 в; І2н = 92 а.
Мн
726. Двигатель постоянного тока параллельного возбуждения
имеет следующие данные: номинальная мощность Р2Н = 30 кет;
номинальное напряжение Uп = 220 в; номинальный ток якоря
Іян = 16 а; номинальная скорость вращения пн = 600 об/мин;
сопротивление цепи якоря гл = 0,117 ом. Построить механические
характеристики при магнитном потоке возбуждения Ф' = 0,85Фк
и Ф" = 0,4 Фк.
727. Найти величину добавочного сопротивлени гд, которое
следует включить в цепь ротора трехфазного асинхронного дви¬
гателя, чтобы при реверсе в первый момент двигатель развивал
тормозной момент М = 2МН, если до переключения двигатель ра¬
ботал вхолостую, а после переключения будет работать на прямо¬
линейной части механической характеристики. Данные двигателя:
М
Р2н = 40 кет; пн = 965 об/мин; —-=2. 2; Е2к = 390 в; І2п = 65 а.
М-н
728. Построить естественную механическую характеристику
трехфазного асинхронного двигателя, имеющего следующие но¬
минальные данные: Р2/і = 10 кет; 220/380 в; п2н = 2935 об/мин;
cos = 0,89.
729. Двигатель постоянного тока последовательного возбуж¬
дения 220 в, 300 а вращается со скоростью п = 650 об/мин. Вы¬
числить добавочное (внешнее) сопротивление гр, которое необхо¬
димо включить последовательно с якорем для того, чтобы ско¬
рость его уменьшить до = 400 об/мин, не изменяя нагрузки;
сопротивление цепи якоря гя = 0,0533 ом.
730. По условию задачи 729 определить сопротивление гп
пускового реостата для двигателя постоянного тока последова¬
тельного возбуждения, если пусковой ток не должен превышать
Іп = 500 а.
731. Найти сопротивление цепи якоря гл двигателя постоян¬
ного тока параллельного возбуждения, имеющего следующие
номинальные данные: Р2Н = 66 кет; пн — 420 об/мин; UH = 220 в;
Ін = 340 а. Определить также графически число ступеней пуско¬
вого реостата и сопротивления отдельных ступеней при условии,
что пусковой ток не должен превышать 510 а (т. е. колебания тока
от 380 до 510 а). Скорость двигателя при холостом ходе п0 =
=• 440 об/мин.
Решение. В определенном масштабе строим скоростную
характеристику п = /(/). Первая точка этой характеристики
соответствует холостому ходу двигателя * п0 = 440 об/мин и
* Пренебрегаем током в якоре при холостом ходе ввиду малой величины.
505
Вторая точка соответствует номинальной нагрузке двигателя,
т. е. пн = 420 об/мин и IHæ Іян= 340 а. Соединяя эти точки, по¬
лучим естественную скоростную характеристику (рис. 373).
Для того чтобы определить сопротивление первой ступени
реостата, проводим вертикальные линии: одну из точки а', соот¬
ветствующую току Імик— 380 а, a другую — из точки В, соответ¬
ствующую пусковому току ІЛ!акс= 510 а. Соединив точки п0 и
В, получим скоростную характеристику для случая, когда весь
реостат включен.
Сопротивление якорной цепи соответствует отрезку АВ. Так
как пусковой ток не должен превышать 510 а, то в цепи якоря
. . ин 220 n /Q,
необходимо иметь сопротивление гя-\-гп=у—0,431 ом.
* макс 01V
Зная длину отрезка АВ (т. е. АВ = 88 мм), можно определить
масштаб сопротивления:
тг = Гя +Гп = 0,0049 ом/мм.
АВ 88
506
Первая ступень реостата выключается по достижении ско¬
рости, соответствующей точке С пересечения характеристики 1 с
линией а'Ь', Проводя через точку С линию CD параллельно оси
абсцисс до пересечения с линией АВ, получим отрезок BD =
= 22 мм, дающий в полученном масштабе сопротивление первой
ступени реостата, т. е. г, = mr-BD = 0,0049-22 = 0,1078 ом.
Подобным образом находятся и остальные ступени, т. е. г2=
=mr-DE = 0,0049-16,5 = 0,0808 ом; r3= mr-EF = 0,0049-12,5 =
= 0,0612 ом; r4= mr-FG = 0,0049-9,5 = 0,0465 ом; г5= тгх
xGH = 0,0049-7,5 = 0,0367 ом; гв= тг-НІ= 0,049-5= 0,0245 ом;
г7= 0,0196 ом; г8= 0,0147 ом; г9= 0,0098 ом.
Сопротивление цепи якоря (внутреннее сопротивление двига¬
теля) определяется величиной отрезкаЛЛ^ = 6,5мм, т. е. гя= тгХ
ХАК = 0,0049-6,5 = 0,0294 ом.
732. Определить сопротивление цепи якоря гя двигателя по¬
стоянного тока параллельного возбуждения, имеющего следую¬
щие номинальные данные: Р2н= 30 кет, пн= 600 об/мин; UH=^
= 220 в; Ін= 160 а. Определить также графически число ступе¬
ней пускового реостата и сопротивления отдельных ступеней при
условии, что пусковой ток не должен превышать 300 а (т. е. ко¬
лебания тока от 180 до 300 а). Скорость двигателя при холостом
ходе п0 = 654 об/мин.
733. Двигатель постоянного тока последовательного возбуж¬
дения имеет следующие номинальные данные: P2rt= 43 кет;
UH== 220 в; Г*= 220 а; пн= 765 об/мин. Сопротивление цепи
якоря гя= 0,062 ом. Найти графически и аналитически число сту¬
пеней и сопротивление пускового реостата для двигателя, если
при пуске ток колеблется в пределах Імакс= 21 н и Імип= 1,47я.
Скоростная характеристика двигателя изображена на рис.
374.
Решение. 1) Графический метод. Пусковой ток
Лшкс = 21 н = 2 • 220 = 440 а.
Ток переключения
Лгин = 1,44 = 1,4-220 =308 а.
Откладывая полученные значения токов по оси абсцисс
(рис. 374), получим соответствующие им скорости вращения
= 700 об/мин и п2 = 630 об/мин. Влево от начала координат
откладываем сопротивление цепи якоря гя = 0,062 ом в масш¬
табе тг = 0,01 омімм и из точки А’ проводим линию, параллель¬
ную оси ординат до пересечения с параллелями, проходящими
через = 700 об/мин и п2 = 630 об/мин, получаем точки А и В,
Затем находим точки С и D; первая соответствует наибольшему
току, а вторая — наименьшему, т. е. отрезки ОС и OD опреде¬
507
ляются по формулам
U,
тг • ОС = Г/
1 макс
220 лс
— = 0,5 ом',
440
TJ 220
mr. OD = гп = = — = 0,714 ом.
Імин 308
Через точки D и Л, С и В проводим прямые линии. Если из
точки С провести ломаную линию между прямыми AD и ВС, то
число горизонтальных отрезков ломаной линии определит число
необходимых ступеней. В нашем случае число ступеней равно 4.
Величины отрезков EF, GH ит. д. в масштабе сопротивлений дают
полное сопротивление цепи якоря на первой, второй и других
ступенях реостата, т. е. mr-EF = 0,5 ом, mr*GH = 0,335 ом,
mr-LK = 0,21 ом и mr-NP = 0,13 ом.
Вычитая из сопротивлений каждой ступени сопротивление
цепи якоря гя (внутреннее сопротивление двигателя), получим со-
противление ступеней реостата:
гі =0,5 —0,062 = 0,438 ом;
r2 = 0,335—0,062 = 0,273 ом;
508
г3 = 0,21 —0,062 = 0,148 ом;
г4 = 0,13 —0,062 = 0,068 ом.
2) Аналитический метод. Сопротивление тп-й ступени опре¬
деляется по
формуле:
Гт
*
X Х(2—Х)т-‘
ri— rdt
где
ГІ
ин = 0,5; Л =-^-= — =0,7)
440 Імакс 440
макс
гд = гя — внутреннее сопротивление двигателя.
Первая ступень т = 1:
220
— гд = — —0,062 = 0,438 ом.
1 макс 440
Вторая ступень т = 2:
Г 1 1 1
г2 = 1 + -0,5 —0,062 = 0,273 ом.
L 0,7 0,7(2— 0,7)2 .
Третья ступень т = 3:
= Г ! 1
ГЗ"" L 0,7 + 0,7(2—0,7)3"1.
Четвертая ступень т = 4:
— + Z-. I - 0,5 — 0,062 = 0,049 ом.
0,7 0,7(2— 0,7)4-1J
•0,5—0,062 = 0,146 ом.
г\
Следовательно, определение сопротивлений ступеней реостата
графическим и аналитическим методами дает почти одинаковые
результатъ!.
734. Двигатель постоянного тока последовательного возбуж¬
дения имеет следующие номинальные данные: Р2к= fi кет;
ÙH— 220 в; Іп= 43 а; пн= ИЗО об/мин. Сопротивление цепи
якоря гя= 0,55 ом. Найти графически и аналитически число сту¬
пеней и сопротивление пускового реостата для двигателя, если при
пуске ток колеблется в пределах Імакс= 21 н иІЛіан= 1,47н. Ско¬
ростная характеристика изображена на рис. 375.
735. Крановый двигатель постоянного тока последовательного
возбуждения имеет следующие номинальные данные: />2І<=
= 52 кет; 220 в; Ін= 265 а; пн= 675 об/мин. Сопротивле¬
ние цепи якоря гя= 0,053 ом. Скоростная характеристика изоб¬
ражена на рис. 376. Построить скоростную характеристику дви¬
509
гателя, если в цепь якоря включить добавочное сопротивление
гр— 3 ом.
736. По условию задачи 735 определить, какое добавочное
сопротивление гр необходимо включить в цепь якоря двигателя,
чтобы он вращался со скоростью п = 500 об/мин при токе I = 265 а.
737. Трехфазный асинхронный двигатель имеет следующие
ротора, чтобы двигатель работал с моментом 0,75Мя
при скорости вращения п2 = 400 об/мин? Потерями вращения
пренебречь.
738. Двигатель постоянного тока параллельного возбуждения
имеет следующие номинальные данные: 55 кет; UH= 220 е;
Ін= 275 а; пн= 665 об/мин. Сопротивление цепи якоря гя=
= 0,0362 ом и сопротивление параллельной обмотки возбуждения
гв= 47,8 ом. Найти добавочное сопротивление гр, которое следует
включить в цепь якоря двигателя, чтобы он работал при токе в
якоре Ія= 260,4 а: 1) в режиме двигателя со скоростью вращения
п{ = 300 об/мин; 2) в режиме торможения замыкания якоря на
сопротивление гр со скоростью вращения п2 = 300 об/мин; 3) в
режиме торможения противовключением со скоростью вращения
510
n3= 300 об/мин; 4) в режиме торможения с отдачей энергии в
сеть при скорости вращения п = 1000 об/мин.
739. По условию задачи 738 определить, какое сопротивление
гп необходимо включить в цепь якоря двигателя, чтобы в момент
пуска ток был бы равен Іп= 2ІН?
740. Двигатель постоянного тока параллельного возбуждения
имеет следующие номинальные данные: Р^= 29 кет; пн=
= 740 об/мин; Ін= 154 а; UH= 220 в. Сопротивление цепи якоря
гя= 0,112 ом и сопротивление параллельной обмотки возбужде¬
ния гв— 70,7 ом. Вычислить добавочное сопротивление гр, которое
необходимо включить в цепь якоря двигателя, чтобы при тормо¬
жении противовключением и скорости вращения пн= 740 об/мин
ток в якоре Ія был бы равен 1,87к.
741. Построить скоростную характеристику и определить на¬
чальный пусковой вращающий момент Мп для двигателя постоян¬
ного тока параллельного возбуждения, имеющего следующие
номинальные данные: Р2іі= 42 кет; UH= 220 в; Ін= 220 а;
пн= 950 об/мин. Сопротивление цепи якоря гя= 0,0658 ом. со¬
противление параллельной обмотки возбуждения гв= 53,6 ом.
если в момент пуска включается реостат с сопротивлением гп= 5 ом.
742. Двигатель постоянного тока имеет следующие данные:
часовая мощность Рч= 74 кет; номинальное напряжение UH=
■= 550 в; часовой ток Іч~ 150 а; скорость вращения при часовой
511
мощности пч= 1270 об/мин. Чему равна постоянная времени на¬
гревания Г двигателя, если известно, что при длительной работе
он имеет следующие данные: Р2 = 60 кет; I = 120 a; U = 550 в;
п = 1330 об/мин?
743. Двигатель постоянного тока последовательного возбуж¬
дения в защищенном исполнении при длительной работе имеет
следующие данные: Р2 — 126 кет; U = 750 е; I = 185 а; п = 970
об/мин. Определить постоянную времени нагревания Т двигателя,
если часовая мощность Рч= 170 кет, часовой ток Іч= 250 а, на¬
пряжение UH= 750 в, скорость вращения при часовой мощности
пч= 865 об/мин.
Решение. Тепловая перегрузка
2 2502
| =±±1=1,35.
г2 1852
I2
J- к
P ~~г2
Постоянная времени нагревания двигателя определяется по
формуле:
Т = ——— = —— = 44,5 мин.
р . 1,35
In —-— In
р —1 1,35 — 1
Если разница в кратковременной и длительной мощностях не¬
велика, то такой же результат можно получить, исходя из отно¬
шения мощностей:
—, т. е. р = —
Р2 Л
Л
р2
170_
126~
1,35,
у
р-1
60
, 1,35
111
1,35 — 1
= 44,5 мин.,
т. е. результаты в первом и втором случаях одинаковы.
Если разница между Рк и Р2 велика, то последний расчет ме¬
нее точен, так как он основан на допущении постоянства к. п. д.
двигателя, а для трехфазных двигателей предполагается постоян¬
ным также коэффициент мощности cos ср Р
744. Двигатель постоянного тока в закрытом исполнении
имеет следующие данные: Р2 = 4 кет; U = 150 в; I = 32 а; п =
= 650 об/мин. Вычислить постоянную времени нагревания Т дви¬
гателя, если известно, что часовая мощность Рч= 10 кет, напря¬
жение UK= 150 в, часовой ток Іч= 82 а, скорость вращения при
часовой мощности пч= 385 об/мин.
745. Для тягового двигателя постоянного тока последователь¬
ного возбуждения, имеющего следующие данные: Рч= 170 кет^
Іч= 250 а, U = 750 в, пч= 865 об/мин, имеется ряд кривых
512
X = f(t) (рис. 377). На основании этих кривых определить, какую
нагрузку й в течение какого времени способен развивать двига¬
тель, не перегреваясь выше 70°.
746. Двигатель постоянного тока параллельного возбуждения
имеет следующие номинальные данные: Р2<— 29 кет, UH= 220
150,9 а, ігн— 740 об/мин и, работая при температуре окру¬
жающего воздуха 35°, нагре¬
вается до 80°. Какова мощность
Р2 двигателя при длительной |
работе и температуре окружаю- од —— ... ■■■ у.
щего воздуха 29°? Отношение
постоянных потерь к перемен-
ным а = 1. 20
747. Определить величину
эквивалентного тока электро- 53f0/Zf4f(îf320 * ù сск
двигателя, работающего по гра- '
фику (рис. 378). Рис- 378
748. Найти величину экви¬
валентного тока электродвигателя, работающего по графику
(рис. 379).
749. Вычислить мощность электродвигателя методом эквива¬
лентной мощности для механизма, работающего с постоянной
скоростью вращения приводного вала, по графику (рис. 380).
Расчет произвести: 1) без поправки на пуск и период остановки и
2) с поправками на пуск и период остановки.
750. Крановый двигатель имеет следующие номинальные дан¬
ные: 17,5 кет, 220 в, 90 а, 1180 об/мин при ІІВ% = 25%. Какую
513
мощность сможет давать двигатель при ПВ% — 20% и ПВ% =
= 35% ?
Решение. Пересчет мощности двигателя на работу при
другом режиме работы можно осуществить двумя способами, ис¬
ходя из равенства эквивалентных мощностей и уравнения потерь:
Рис. 379
2) по формуле -^ = 1/ 1 (1 + а)—а, где а — отношение
постоянных потерь к переменным; для нашего случая примем
а = 0,75. При пересчете на ПВ% = 20% и 35% получим:
Р2о=Р
^(1+«)-а=17,5)Л^(1+0,75)-0,75 =21
' 1IB2 ’ 0,35
(1+0,75)—0,75=12,4 кет.
751. Пользуясь каталогом электродвигателей трехфазного тока
для повторно-кратковременной работы, определить мощность
электродвигателя, работающего со скоростью п2 = 720 об/мин при
нагрузке Р4= 17,5 кет (рис. 381).
Решение. Так как в каталоге приводятся данные для че¬
тырех режимов работы электродвигателей — ПВ% = 15, 25, 40
514
и 60%, то для выбора электродвигателя необходимо найти относи¬
тельную продолжительность рабочего периода:
ПВі % = 100 % = -—100 % = 31 %.
G “F *o 16 + 36
Следовательно, электродвигатель должен работать при
ПВ'% = 31%, развивая мощность Рх= 17,5 кет.
Пересчитывая эту мощность на ПВ2% =25%, указанную в
каталоге, получим:
Р25 = Л1/^ф-(1+а)-а = Р,1/ ^|11(1+а)-а =
* 11112 * Л -^25
/ О 31
= 17,5]/ (1 + 1) — 1« 21,3 кет,
V 0,25
где а — отношение постоянных потерь к переменным; для нашего
случая примем а = 1, а по приближенной формуле будем иметь:
Р2І = 7’1]/'= 17,5]/"19,5 кет.
V ПВ2і у 0,25
В каталоге находим ближайшую мощность для ПВ% =25%;
это будет 22 кет, что соответствует электродвигателю МТ-51-8
(приложение 31).
Такой же результат получим, определив эквивалентную мощ¬
ность для длительного режима:
17,5216 qq
= 9,9 кет.
16 +36
ti + to
Повторно-кратковременная мощность при ПВ% =25%
9 9
Р25 = —2— = 19,8 кет.
Ѵ0,25
515
752. Крановый трехфазный асинхронный двигатель МТ-52-8
имеет следующие номинальные данные: 30 кет*, 725 об/мин;
380/220 в\ 71,6/124 а\ ПВ%= 25%; т]н= 86%. Какую мощность
сможет давать двигатель при ПВ % =
= 15% и ПВ% = 30%?
753. Пользуясь каталогом двига¬
телей трехфазного тока для повтор¬
но-кратковременной работы, вычи¬
слить мощность двигателя, работаю¬
щего со скоростью п2 = 925 об/мин
(рис. 382).
754. Пользуясь каталогом элек¬
тродвигателей для повторно-кратко¬
временной работы, определить мощ¬
ность двигателя трехфазного тока для графика нагрузки, дан¬
ного на рис. 383.
755. Завод потребляет мощность Р = 400 кет при коэффи¬
циенте мощности созф = 0,6. Какова должна быть мощность син¬
хронного компенсатора, если требуется повысить коэффициент
мощности с 0,6 до 0,9?
ОТВЕТЫ
Глава 1. Электрические цепи постоянного тока
1. q = 21 600 к.
2. I = 0,4 а.
3. G № 8500 мг.
4. с = 0,338 мг/к.
5. & 10,46 ом; г2 = 0,785 ом.
6. û2 № 75°.
7. г = 9,16 ом; U № 1,83 в.
8. г = 2,4 ом.
9. Е = 118 в; U = 115 в.
10. гл = 121 ом.
И. I = 2,5 а; г = 48 ом.
12. I № 303 а; Р2 & 60 кет.
13. Р = 600 вт; J=5 a; t ях 17,4 мин.
14. 7 = 6 а; г № 18,3 ом.
15. 7 = 0,5 a; Ux = 30 в; U2 ъ 12,8 е;
U3= 35 в; 1\= 32,2 в.
16. / = 0,1 a; U.= 1,48 в; 772 = 1,36 в;
U = 2,84 в.
17. U = 4,35 в; гв= 0,2 ом.
18. і*р ~ 2 о м.
19. fj= 2 ом; г2 — 15 ом; rt= 33 ом;
г\= 12 ом; rD = 62 ом.
20. п = 40.
21. £О-=126 в; Е=2 в; г,=0,00952 ом;
U=120 в; Р—1,2 кет.
23. фА=0; фв=—10 в; Фс=—40 в;
—45 в; фВ=—16 в; фв=
=—18,5 в; <pQ=7,5 е; фн=6 в.
24. фА=0; фв=—1,8в;фс=—13,8 в;
Фр=—16,5 в; ф£=—1,5 в; фр=
=—6,5 в; ф0=11,5 в; фН=7 в.
25. фА=0; фв=—2 в; ф^=122,6 в;
Фр=117,6 в; фв=2,4 в.
26. Ur = 195,5 в; U 2ъ24,4 в.
Из полученного результата вид¬
но, что первая лампа перегорит,
т.е. такое включение невозможно.
27. АС7=5в;Г2=110в;Р2=13,75кв/п.
28. 1) 7=66 а; 71=11 a; 7Р=55 а;
2) 7Х = 13,75 а; Ір=27,5 а; 3) 7№
№36,6 а; 7Х№18,3 а; 7Р№18,3 а;
4) 71=27,5 а; ID=13,75 а.
29. 71№0,114 а; 72 =0,909 а; 7.=
=0,454 а; г №149 ом.
30. g=0,21 і/ом; г=4,76 ом; U=220s;
Ц=22 а; І2=4,4 а; 73=11 а; І.=
=8,8 а; 1=40 а.
31. ил=220 в; г=0,454 ом.
32. 7=0,29 а.
34. U=24 в; Іг=2а; І2=20а; h=8a.
35. г1=22 ом; r2=60,5 ом.
36. 7A=20 a; 7B=20 a; Ic=25 a;
7=65 a; P=14,3 кет; 5 p. 72 к.
37. 7=25 a; U=120 e; AZ7=1,1 e;
P=3 кет; AP=27,5 em.
38. 7x = 100 a; 72=10 a (аккумулятор¬
ная батарея разряжается); 7=
= 110 a; U=H0 в.
39. 7^8 a; 72=25 a; 73=11 a; 74=
= 22 a; U=U0 e.
41- Лиак^3,47 «•
42. 7^СѴ£>=6,5 cl; 7j = 2,5 a; I2=2,5a,.
43. г=22ом;І=І1 = 10а;І2=4а; I.=
=4,5 a; 75=6 a; 7e=l,5 a; P1 =
=790 em;P2 = 272 em; P3№266 em;
P4№284 em; P5=468 em; P=
=2200 em.
45. 71=6 a; I2=4 a; 7=10 a.
46. 7x=0,19a;72=0,015 a; 73=0,164 a.
74=0,041 a; 75 = 0,205 a.
47. /j=3 a; I2=7,5 a; 73=8,4 a; I.=
= 3,36 a; 75=5,04 a; 7e=10,5 a;
77=2,1 a.
49. 71 = 13 a; 72№7,13 a; 73№7,63 a;
75=0,5 a; Ц=12$ a; P1OOT№
№1570 вт; P2 о/я^830 em; P.№
№270 em; P2 = 177,8 em; P3№
№582 em; P4=116,4 em; Psx&
№4,2 em; Pe=1250 em; P1D=
= 1638 em, P2p№856 em; àP.=
=67,6 вт; ЬР2=25,4 em.
50. 7I=4,4 a; 7n=3 a; 7x=0,62 a;
72 = 5,02 a; 73=2,38 a; 74=3,26 a;
75=0,26 a; 7e=4,14 a; Pin^
№1118 вт; РІІР=784 em; Pj№
№994 вт; Рп=703 вт; Р±ъз
№6,9 em; P2^302e/n;P3=169,9e/n;
P4№531 em; Pe№686 em; AP.=
= 123,9 em; APn=81 em.
517
51. 7j=44 а; 72=10 а;73=7 а; 74=5 а;
75=5 а; 7в=3а; 77=2 а; 78=5,5а;
7в=3,3 а; 710=2,2 а; 7=59,5 а;
/7=220 в] £=13 090 вт.
53. 75=0,00537 а.
54. 71 = 11 а; 72=5,5 а; 73=1,1 а; 74=
=4,4 а; 75=1,1 а; 7=19,8 а; /7=
=220 в,
55. 7Х = 11 а; 72=3,3 а; 7в=11 а; 79=
=7,7 а; 7=22 а; £=4,84 кет,
56. £=1,2 в.
58. 7Х=8 а; 72=3 а; 7=—11 а. Знак
минус показывает, что выбран¬
ное направление тока 7 прямо
противоположно его действи¬
тельному направлению.
59. £^224 в,
61. 1. 7=4,4 а; 71=2,2 а, 73=0,55 л;
74= 77=1,65 а; 75=0; £=484 вт.
2. 7=8,8 а; 71=4,4 а; 73=1,1 а;
74=77=3,3 а; 75=0; £=1936 вт.
62. г=0,33 ом] А /7=1,65 в] U2=A2 в]
7*2=60 вт.
63. Çp = 108 а*ч]
ç?=120 а-ч.
64. £=2,09 в.
65. 7р=50,4 а.
66. /7=252 в.
68. п1 = 110; п2^128; ç=910 а*ч.
69. тг^ЭО; и2^102.
Глава 2. Электрическое поле
70. £=0,045 н=4,59*10“3 кГ.
71. ç=5.10-’ к.
72. £=1680 в/см.
73. £=28,2 кв/сле=2820 кв/м.
74. £=44 »а/ле=440 в/см] 7>=292Х
Х10“12 «/cjt2=292-10”8 к/м*.
75. /72=660 в.
76. 361.ІО’4 кг/см2.
77. £2=1320 в.
78. £=10 «в/см=1000 кв/м.
80. £^664.ІО-12 ф.
82. /72=440 в.
83. £=20 мкф.
84. С1=0,125 мкф.
85. ^=35,2-10-4 И\=387.10-4<Ы;
ç2=44«10“5w; РГ2=484*1О”4 дж]
(?3=8,8-10“5 «;ТѴ3=96,8.10“4дж;
Ж=968« 10“ 4 дж.
87. /7г=69 в] /72=161 в; /7=230 в.
88. £=1,25 мкф] /71 = 137,5 в] U2=
=27,5 в] U3=55 в] И\ = 189Х
Х10“4 дж; Ж2=37,8.10-4 дж]
ТУ3=75,6.10-4 дж.
89. £=1142-ІО"13 ф] £^203 в/см]
£2=567 в/см] £3^405 в/см.
90. =0,0355 дж] иг=12Ь.1 e]W2=
518
=0,01978 дж] U2=G2$ в] W3=
=0,00986 дж] £3=31,4 в.
= —u—,Et=-
ь2 в,
O3.£1=ÿ_ В- ;
“• «1+
Ь2 е8
р иг_- и
Л ’ «
с?» j * В2 j . е2 j
2
„и, и
^z~~d ~ е е
94. (7=0,618 мкф.
95. Емакс=21 220 в/см.
96. Емакс=6250 в/см; Ся»979х
Х10-1’ ф.
Глава 3. Магнитное поле
98. /’=2и=0,204 кГ.
99. Ф=0,0282 вб.
100. Ф=0,036 вб.
101. Я=тД-.
103. 27=0,5 аІсм—ЬО а/м.
104. Я1=О;В1=О;Я2=24,2 а/см]В2=
=30,4*10“4 тл] Нз=:Ь5,1 а/см]
£з=70.10“4 тл] а/см]
В4=5О,7.1О“4 тл.
105. Я=87,6 а/см.
107. Яі=0,03 а/см] Я2=0,12 а/см]
Яз=0,54 а/см] H^2^fi а/см]
775=58,8 а/см.
108. По приближенной формуле
188,4 ле, а по точной формуле
189 м.
109. £=3600 а.
110. і^=360.
111. Я=0.
112. Не намагнитится.
ИЗ. 7^9,2 а.
116. Я=189,5 а/м] В=2,38.10“4 тл.
118. £№73,9 «=7,54 кГ.
119. £=0,5 «=51-10~3 кГ.
120. И =459 дж.
122. Ф1=—10 вб.
123. а2=2°3'; В2 № 0,021 тл;
№167,3 а/см.
124. а2 = 76°21'; В2№ 0,259 тл;
Н2^258 а/см.
131. е=10 в.
132. е=5,5 в.
133. В=1,4 тл.
134. Ærw=141,3 в.
135. е=0,8 в; I ъ 68,4 а; Р=57,4 вт.
136. £=0,125 мгн.
137. 47=0,22 вб.
138. 1=22 а.
139. £=1 гн.
140. еі=—100 в.
141. Етд=179 в.
142. «=127 в.
143. «=73 в.
144. /=1,5 сек.
145. £=55 мгн.
146. И7Л<=2,72 дж.
147. £=4-10-’Лп —
Г
148. £=24,5-10-4 гн.
149. £' = 104 мгн; £"№18,5 мгн.
150. £'=85 мгн; £"=8,7 мгн.
151. 717=1,6 мгн.
152. Т21=0,18 вб.
153. 71 = 10 а.
154. 717=40 мгн.
155. вд|2=2,5 в.
156. 717=9,4 мгн.
158. &=0,75.
159. £' = 71 мгн; £"=11 мгн.
160. к=і.
161. £'=33,3 мгн; £"=14,28 мгн.
162. Жж=75 дж.
163. И\=24,4 дж; Ж2=6,5 дж.
164. 11^=15,45 дж.
166. 717=0,4 гн; ГГ1 = 10,08 дж;
Ж2=2,08 дж.
Глава 4. Электрические цепи
переменного тока
167. Т=0,02 сек.
168. 0=314 сек.-1.
169. £^№536 в.
170. 7=100 а.
171. £w=0,251 в; /=50 гц.
e=Emsin се/=0,251 sin 314f в;
O=6wcos cù/=4«10-5 cos 314 t.
172. ej=O; e2№127 в; ез= 179,6 в;
е4№І27 в; е5=0; сб№—127 в;
е7=—179,6 в; е8№—127 в; ee=0.
173. 7^=14,1 а.
174. /=50 гц; Т=0£2 сек.;
<jù=314 сек.”1.
175. р2=6.
176. р2 = 3.
178. /гр№25,5 а.
179. £^=179 в.
181. і=Іт sin (со/+ф) =
=29,1 sin (œ/+50°6') a; i\ =
= 17,32 a; i2 = 5 a; i=22,3 a.
182. 7^=28,2 a; 1=20 a; 7cp№18 a.
183. 7№25,4 a; i=35,8 sin 314/ a.
184. P=2,54 кет; r=6,35 ом.
185. £=220 в; P=968 вт.
186. r=25,4 ом; P=635 вт.
187. г №16 ом; X № 15,1 ом;
Р=1600 вт; Q=1511 вар;
5=2200 ва; «=310,2 sin со/ в;
і=14,1 sin (со/—43°20') а.
188. 7=12,7 а;
i=17,9 sin ( 314Z— у) a;
р=16130 sin 628/ вт.
189. £т№127 в; WM макс № 1,9 дж.
190. 7=5,5 a; cos ф=б‘зі2; £а=
=68,7 в; £р=209 в.
191. Р=180 кет; Q=240 квар;
5=300 ква.
193. £=114,6 мгн; cos ф=0,8;
Р=480 кет; Q=360 квар;
5 =600 ква.
194. г=15,2 ом; ж=13 ом; £р=143 в;
cos ф=0,76; Р=1839 вт;
Q—ibl8 вар.
195. £=220 в; Р^ОЮ вт; Q=693 вар;
5 = 968 ва; і/=0,02 1/олі.
196. £=3 кв; Ua=2,4 кв; Up=i,8 кв;
Іа=ѢЬ а; 7р=60 а; Р=135 кет;
5=225 ква; g=0,015 і/ом;
6=0,02 і/ом; і/=0,025 і/ом.
197. £=220 в; £№25,5 мгн;
cos ф=0,6; Q№3870 вар;
5 = 4840 ва.
198. 7=5,5 а; Ір=3,3 а; cos <р=0,8;
г=32 ом; z=40 ом; g=0,02 1/ом;
6=0,015 і/ом; і/=0,0125 і/ом;
U=220 в; Ua=ilO в; P=968 вт;
Q=726 вар.
199. г№15,2 ом; cos ф=0,76;
£=220 в; Ua=i01,2 в; Up=i43e;
£=41,4 мгн; y=0f05 і/ом.
201. £a=2850e; £р=937 в; ф№І8°10'.
202. 7=15,2 а; Up^305 в; £=380 в;
Р=1617 вт; 5№5780 ва;
cos ф=0,28; g=0,0112 і/ом;
6=0,0384 і/ом; у=0,04 і/ом.
203. £a№167,2 в; £р=143 в; £=220в.
204. z=55 ом; xl=23,3ом; г=49,8олі;
cos ф=0,905; Uа= 199,2 в;
519
77р=93,2 в; Р&707 вт;
<2=373 вар.
205. 1) xL=21,2 ом; z=22 ом; 7=10 а;
7*=590 вт; Q=2120 вар;
*$=2200 ва; cos ф=0,268;
2) хь=42,4 ом; z=42,8 ом;
Р=156 вт; <2=1119 вар;
*$’ = 1131 ва; coscp^0,138.
206. z=25 олг, г=9 ом; zL=24 ом;
L=76,4 мгн; cos ф=0,28.
208. cos фх=0,061; cos ф2=0,277;
cos ф=0,225; [7^220 e;
P1=47,5 em; P2=665 em.
209. 7=4 a; g & 0,0162 1/ам;
6^0,0083 1/о.м; у 0,0182 1/олг,
Qs=400 вар; L=70,8 мгн.
210. /7=127 в; Ua=08,5 в; Up=82,5 в;
Р=1226 вт; <2=1048 вар;
6*^2790 ва.
212. cos ф=0,886; g^0,0403 і/ом;
у=0,0454 і/ом; 7=10 а;
Р=1950 вт; <2=1020 вар;
S=2200 ва.
214. 6=0,005 і/ом; 7=1 а; 7о=0,8 а;
[7=120 в; Р=96 вт; Q=72 вар;
^ = 120 ва.
215. Z=76,4 мгн; cos <р=0,28;
[7а=106,4 в; иръ385 в;
Р=1617 вт; <2^5540 вар;
5^5780 ва.
217. cos ф=0,707; 7=6,36 а;
г=х^12,2 ом; z^17,2 ом;
Р=493 вт.
219. Мощность приемника будет наи¬
большей тогда, когда его полное
сопротивление будет равно пол¬
ному сопротивлению линии.
223. хс=159,2 ом.
224. а:г=190 ом; 0=780 вар; S=
=760 ва;
225. ^ = 1274 олі; П\ .ШѵС=22,5 дж.
226. tZ=220 в.
227. і=56,4 sin ^314 а!
р=8800 sin 6281 вт; 1=40 a.
228. çm=179,6-l(?_4 к; 7=4 а.
229. [7С = 196 в; U=220 в; cos ф=
=0,454; Р=400 вт; £=880 ва.
230. 7=12,7 a; Ur=78,2 в; UlkA47 в;
Uc=245 в; cos<p=0,6; РъООЪвт;
(2=1290 вар;
i=17,9 sin (314Z—53°10') а;
u-=107,4 sin (314г—53°10' )в;
uL=480 sin (314Н-36°50') в;
ис=345 sin (314г—143°10') в;
р=1676—2790-cos (628z—
—53°10') вт.
231. 7=22 а; Р^3870 вт; cos ф=0,8.
233. z=22 ом; U=220 в; Р=1510 вт;
<2=—1600 вар; S=2200 ва.
234. г=3 ом; 7>=69,4 мгн;
С=107,2 мкф; cos ф=0,6.
235. £о^5О7 мгн; 1=5 а при резо¬
нансе.
236. ]^80гц; /=4а; UL=Uc^402e.
237. 1) 7=10 a; Uc=UL=200 в;
Со=159,2 мкф; 2) 7=10 а;
Uc=U£=455 в; L =144,9 мгн;
3) 7=10 a; Uc=UL=300 в;
гц.
238. £О=116,5 мгн; 7=5 а; Р=665 вт;
UC=UL=183 в.
240. СО=235 мкф.
241. <7^48,6 мкф.
242. /О^77 гц.
243. £о^2ОЗ мгн; 1=5 а при резо¬
нансе.
244. 7=5 а; cos ф=0,8; Р=508 вт;
<2=381 вар.
246. cos <Рі =0,454; cos ф2=0,312;
cos <р=0,404; 7j = 10 а; 72=5,5 а;
7^15,5 а; Р=1378 вт.
247. ЕЬ1 = І76 в; £Ь2=190 в; Г1 =
=12 ом; r2f^i 1,1 ом; £х=51 мгн;
La=60,5 мгн; 7^21 а; [7=220 в.
248. [7=220 в; cos ф=0,976;
7\^920 вт; Р2 = 783 вт; zx =
=40 ом; гг=30,4 ом; z2 = 55 ом;
г2^49 ом.
249. z^12 ом; cos ф=0,998; U^220 в;
7г = 11 а; 72 = 11 а; Р^4,02 кет;
Q=—218 вар.
250. zx=44 ом; ^=38,1 ом; z2=55 ом»
я2=44 ом; Р=1078 вт;
Q=1657 вар; 5’ = 1980 ва.
251. 72^4 а; [7^220 в; ^ = 13,2 ом;
я2=14,7 ом; 7*^2610 вт;
6^3040 ва.
253. [7=220 в; 72=11 а; 73=5,5 а;
7^19,3 а; Р=4250 вт;
<2=—165 вар.
254. 7=57,6 a; cos ф=0,918; Р=
= 13 400 вт; 6* = 12 670 ва.
255. При разомкнутом рубильнике
Р 7з=Ю а; 74=11 а; 1=25,8 а;
cos ф=0,768; Qa^3650 вар.
При замкнутом рубильнике Р
7^21,3 a; cos ф=0,93; Q=
= 1716 вар.
258. za^15,8 ом; 7і^7,6 а;
І2=і,72а; 73=2,12 а; 7^3,86 а;
[7^34 в; [72^86,3 в.
259. [7^220 в; [71=69 в; U2=i87,2 в;
71=6,9 a; h=i0,72 а; 74 = 8,36 а.
75=22 а; 7=40,4 а; Р=6500 вт.
260. [7^220 в.
261. Р^^‘327 вт; Р2=240 вт;
520
Рз=221 вт; P6æ26,7 вт;
Рв= 124,2 вт; Р^яхЗІО вт;
Р=1520 вт; Q^1630 вар.
Глава 5. Применение символиче¬
ского метода к расчету цепей перемен¬
ного тока
265. г=8 ом; х=6 ом.
266. Z=7+/24 ом;
У=0,0112—/0,0384 і/ом.
268. /=г30а; t=42,3 sin (œz—53°8') а.
269. Z=44+/33 o«i=55e/36’50' ол=
= 552£36°50' ом.
270. U=220 в.
271. £7^380 в; Р^3180 вт; Qzx
ях 1715 вар;
cos ф=0,88.
272. Z=10?9°oju=10^9° ом;
Р^4780 вт; cos <р^0,988.
273. Z=5e13® ^'ом', г^4 ом; хяхЗ ом;
РяхІІЬй впг; S=9680 ва.
275. У=0,1е->74°5°'1/ол»=
=0,1/—74°50' і/ом; І=І2,7 а;
Р^452 вт; Q^1550 еар;
6’ = 1613 ва; cos ф=0,28.
276. У=0,0186—/0,01307 1/ом;
7=5 а; Р=900 вт; Q=633 вар;
cos ф=0,818.
278. 7=4?83°а=4/83°а; Р=400 вт;
0=—784 вар;
і=5,64 sin (314t+83°) a.
279. Z=25—/49 о.и = 55е“'63° o.u=
=554—63° °-и;
У=0,0182е/63°1/<ш=
=0,0182463° 1/олі; /=4а;
Р=400 вт; Q=—784 вар;
cos ф=0,454.
282. ом=
==22еі33°3(>' o.w=22 435°30' ом;
Z2=48—/14олі=50е--’16°20<ш=
=504—16°20' ом; Л = 10 а;
і2=4~4 а; /№13,3 а; Р^ІІ^вт;
Qx = 1280 вар; Р2 = 928 вт;
Q2 =—271 вар.
283. 7Х=4 а; 72=5 а; Рх =384 вт;
Q1==794 вар; Р2 = ^30 вт;
Q2 = 1012 вар.
284. £7=220 в; 11==И а; Рх^1930 вт;
Q1a^1450 вар; Р2=362 вт;
Q2^481 вар.
285. £7=220 в; 72=5 а; 7=15 а;
Р1 = 800 вт; Qi=2050 вар;
Р2^373 вт; Q2^1035 вар;
Р=1173 вт.
287. 7Х=4 а; І2=5 а; 1ях7 а;
Р1 = 480 вт; Qi= — 737 вар;
Р2=ІО21 вт; Q2 = 392 вар;
Р=1507 вт; Q- —345 вар.
289. При согласном соединении ка¬
тушек 7j = l 1,63—/35,1 а; І2 —
=0,325+/0,511 а. При встреч¬
ном соединении катушек:
Л=27,6—/44,9 а;
72=О,325+/1О,21 а.
291. I =22 а; 72 = 10 а; 7з=5 а;
Р.^3870 вт; Qx=2904 вар;
Р2^1970 вт; Q2^ 980 вар;
Рз=1050 вт; (?з=—328 вар;
Р=6890 вт; Qa^3560 вар.
292. Сх=54,2 мкф; 72аь4 а.
300. Рх^162,4 вт; Р2=1022 вт;
Р4=160,6 вт; Р5=271,5 вт;
Р=1617 вт; Q± ^2028 вар;
Q2^3067 вар; Qs^302 вар;
(9,^434 вар.
301. 72=6,9 а; 73=16,75 а; 7^8,37 а;
Цях22,1 а; ІяА0,5 а; U ъ 221 в;
Рях 6560 вт; Q^6130 вар;
cos ф=0,732.
302. Рх = 12,7 вт; Р2=10,4 вт;
Рз=^ вт; Р6=71,5 вт; Р6=
=90 вт; Р=269 вт; Q2=20,8eap;
Q3=73,6 вар; Q4=283 вар;
Qs=174 вар; Qe=161 вар;
Q7 = 562 вар; Q=415,6 вар.
303. 17^380 в.
304. Р^728 вт; вар.
305. Рх^ь73,2 вт; Р3=143 вт;
Р4=220,5 вт; Р5^106 вт;
Р7=107,3 вт; Р8=3872 вт;
Р ях 4522 вт; Q1=97,9 вар;
Q2 30,7 вар; Q3 715 вар;
Q5 529 вар; Qe 230 вар;
Q8=2904 вар; Q 1760 вар.
306. 7=32,35 а; Ц 20,4 а;
Ц=8,51а; І3=2,5а; 75=12,24а;
7в=6,16 а; 77 ях 23,9 а;
Рх 832,3 вт; Р2=587,5 вт;
Рз=125 вт; Р4= 187,5 вт;
Р$ ях 1800 вт; Р6=$07,1 вт;
Р7 = 1142 вт; Qx=4162 вар;
Q2=440,6 вар; Q4=250 вар;
Qs 2400 вар; Q9 ях 379 вар;
Q7 5140 вар; Р ях 5580 вт;
Q ях 4440 вар; cos ф ях 0,783.
Глава 7. Трехфазный ток
323. 7л=5,5 а; Р ях 3,6 кет;
cos ф=0,995.
324. 7lfl6=7,3 а; и1ф 220 в;
Рг ях 4380 вт.
325. U ъ 127 в; Р=7£2 кет.
326. І^ях 7,4 а.
521
327. UA' = 132,2 e; U в' & 97 в;
CZc' = 159,8 в.
328. С/=220в;7л^31,5а; P ^12 кет.
329. UAB=UCA=110 в; UBC=220 в;
1A=0; ів^2с 27,3 и.
330. 7А=55,3 а; Ів ъ 39,7 а;
7С=48,1 а.
При перегорании предохрани-
ТѲЛЖ
иАВ ъ 88 е; Uвс ъ 132 в;
UCA=220 в.
331. Рх 77,1 кет; І1Л 233 а;
^іф 135 а.
332. 7Л=216,3 а; Р 45 кет;
ДІ7=5 в; СЛХ = 125 в.
333. 77=127 в; м=50; Рл ъ 150 вт;
Р 22,5 кет.
334. ІА ъ 23,5 а; Ів ъ 23,5 а;
7С = 16,43 а.
335. 7Л=518 а.
336. При соединении звездой:
7Л=6,35 а; Р=701 вт.
При соединении треугольником:
7Л 11 а; Р=701 вт.
337. С ъ 44,3 мкф.
338. Р ъ 82,9 кет.
340. При соединении звездой:
7Л=6,35 а; Р—871 вт. При
соединении треугольником:
7л=19,03 а 19а; Р 2,03кет.
341. Р № 24,74 кет; Q & 29 квар;
S № 38,06 кеа.
342. Р 34,3 кет; Q 16,59 квар;
S 38,06 кеа.
343. г2=18 ом; х2=24 ом.
345. г=9,6 ом; xL=2,8 ом; L &
f=& 8,92 мгн; cos ф=0,96; 7=22 а.
347. Рх 45,9 кет; Р2 79,4 кет;
Рз=115,4 кет; Р4= 110,5 кет;
Ps 72,9 кет; S 472 кеа;
cos <р=0,898; <р=26°10'.
348. £Л*=220 в; £/л=380 в; Іл=2,2 а;
Р=1452 вт.
349. Ur № 230 в.
350. 7дг=26,4 а.
351. 7л=20,1 а; Гл=230 в;
и'л=220 в.
353. 7=252,3 а; Ѵ'л ъ 7280 в;
ил ъ 9340 в.
354. ІА = ІВ=ІС=І 15,4 а; U ъ
220 в; Р 5,69 кет.
357. 7А=35,3 а; Ів ъ 29,8 а;
7с=30,2 а.
358. 7а=3,06 а; Ів 2,89 а; Іс=
= 3,24 а.
359. 71 = 135,3а; ъ 242 е; илъ
№ 419 в; 24,3 в; Д U^=22 в\
ДС7^38,1а.
360. 7а 19,3 а; 7в=10 а; Іс
19,3 а; Р=3800виг; S=3800 ва.
361. 7а=29,2 а; 1В 36,4 а;
7^=23,5 а; Q —1730 вар.
362. При наличии нейтрального про¬
вода: Ua' = Ub' = Uc' 127 в;
при отсутствии нейтрального
провода: Ua' = 158,6 в; Ub' =
= 158,6 в; Uc' ъ 76,1 в.
364. ІА=:ІВ=ІС=^^ а; UA—Uв=
= ис=231 в; UAB=UBC=
= UCA 400 в; Д£7=20 в.
365. 1) С/а'=0; Z7b' = C/c'=380 в;
7а = 13,15 a; IB=Ic=lfi а;
2) tZB' = C/c' = 190 в; ІА=0;
в=Іс=3£
366. 7Л № 106 а; U2 9170 в;
Pt 1750 кет.
. 367. ІАВ 9,5 а; Iвс 7,6 а;
7СА = 19а; 7А=26,8а; 7 в=3,92 а;
Ic=28t3 a; Q=—1701 еар.
Глава 8. Несинусоидальные токи
374. В= ^^Fsin a sin со£-(-
ла I 1
1
+ -g- sin За-sin 3(ù« +
+ 25 sin 5a-sin 5(lH +
+ sin 7a-sin 7œZ-|- . . .1 .
4Z7m/ 1 J
и = —sin G)t + — sin 3ûtf +
4--|- sin 5<üZ+ ... 4-
o
375.
376.
377.
378.
380.
382.
386.
1 \
+ y sin 7(üt4- ... \ .
8Umf 1
U=-^FI sin at — -g-sin 3cù^4-
11 \
4-7TF sin 5^—77; sin 7cùf4-... ) .
2o 49 J
i=—-I 1—cos 2œz—
л \ 3
2 2 \
— cos 4œt—^cos6cù^—... I .
lo 00 J
I 73,3 a.
7=10,24 a; P=1572 em.
i = /o+/imsin (<ùï— <P!) =
=[0,5+5,64 sin (ші—17°40')] a;
I pu i a; P=846 em.
i=[17,9 sin (œ/+36°52')+
+2,56 sin (3œt—70°)+
+0,47 sin (5<ot— 39°13')1 a;
£7=134,2 e; Z=12,83 a № 12,8 a;
P=1317 em.
522
387. 71=47,5 а; 72=41,5 а.
388. іг= ^6,25 sin œZ +
+ 1,5sin ^3(ùZ + -2-^ +
+ 0,75 sin ^5cùZ+ a\
iL = £10,42 sin ^o)Z— +
+3,47 sin f 3 coZ— —Л +
+0,25sin ^5(BZ—~л a;
iç==z Г0,106 sin Г coz + ~2~ \ +
(2 \
3 art + -X- л ) +
О J
+0,353 sin ^5oz+^n a;
Ir 4,57 a; IL & 7,4 a;
7c=0,397 a.
389. ir=(l ,75+5,25 sin cùZ+
+ 1,75 sin 3(ùZ+0,58 sin 5oZ) a;
ib=[2,77 sin (coz—90°)+
+0,31 sin (3œz—-90°)+
+0,06 sin (5œz—90°)] a;
ic=[1,49 sin(oz+90°)+
+ 1,49 sin (3(ùz+90°)+
+0,83 sin (5coz+90°)] a\
Іг—^^Ьа\ Іь & 1,97 a; 7c^l,6a.
390. UAX=U$ =127,9 e;
иАв=ил^ 209e; ^=1,63.
ли л Ѵф
391. 77=129 в.
Глава 9. Переходные процессы в
цепях с сосредоточенными парамет¬
рами
392. т=0,02 сек.
393. г=22 ом.
394. В момент включения t=0 ток
равен нулю. Ток достигает ко-
U
нечного значения — через про¬
межуток времени z=oo (теоре¬
тически). В момент t=x
0,632 —, т. е. 63,2% своей
г
конечной величины.
396. t 0,00346 сек.
397. В момент t=0 і=0 и ice=— ;
в момент Z=oo iee=Q и і=~ •
398. z=t, следовательно, переход¬
ные процессы протекают быст¬
рее в цепи с меньшей постоян¬
ной времени.
399. т=4 10”4сек.
400. т=0,008 сек.
401. г—400 ом.
402. В момент t=0 і= у (т. е. в мо¬
мент включения можно считать,
что конденсатор как бы не су¬
ществует), и=0. В момент Z=oo
і=0 и u=U.
403. В момент t=Q і= ; в мо-
г
мент z=oo і=0 и u=0.
405. В момент Z=0 і.= — ;
• и • • I - . и о
і2 = — » і=гх+і2 = —+— . В мо-
Гг . и Гі .
мент Z=oo 'î 12=О и i = it,
407. %=0,000417 сек.
410. 1) iCQ f=0=9,95 a\ 2)
=8,09 a; 3) ttfef=o=4,O7 a*>
4) he t
T J2
411. W=~ .
412. т=0,625 сек.
414. £7=6000 e.
Глава 10. Электрические
измерения
419. 0,002%.
420. гш № 0,00015 о'м.
421. га=999,7 ом.
422. 7 4,45 а.
423‘ ^=9 или га=9г‘“:
2) гд=99гщ.
424. г^=1 ом.
425. 7^=0,012 а; Ри=1,44 от.
426. râ=30 000 ом.
427. 771=12О в; Т/2=100 в.
428. гш1 0,0301 ом; гш2 0,003 ом\
гш^Ъ№іЪом\ гш4^0,00075 ом\
CA=Q,m3 а]дел\ САі =
=0,01 а/дел\ С'а2=0,1 а/дел\
Саз=^^2 а/дел\ САі=§./ь а/дел\
г^і=4000 ом\ 7^2=49 000 ом\
Срг=0,02 в/дел\ Cj/1==O,l в/дел\
С 1/2=1 в/дел.
430. 1) гх=55 ом\ 2) 7*2=55,76 ом.
523
431. Іг =
Л¥і~Ѵі)
г г (ri + г t + г, + г4) + (г, + г,) (гг + г.)
432. гж=гк(^1—.
\ «г ) \аг J
Этим же методом можно вос¬
пользоваться для измерения со¬
противления вольтметра, если
вместо гх включить извест¬
ное сопротивление г. Тогда
433. гл=200 ом.
434. Гх=1іг (rr+roSp)-rr-
Если сопротивление гг незначи¬
тельно по сравнению с гобр и гх,
то им можно пренебречь, тогда
_аі
г*-а2 Г°6Р-
1 1
435. гш1= -g- ом; гш2=^ ом;
1
гшз= ддолі; ГЙ1=9 ом< Гд2—19ом;
гдз= 99 ом] СА1=0,01 а/дел]
СА2=0,02 a/дел] САз=0,1 а/дел.
436. 7^ = 1863 вт] Р1 = 571 вт]
Р'х =527 вт] Qi = 1185 вар]
Qj = 989 вар.
438. При 75 в г1 = 1500 ом]
г2 = гз=2500 ом] С1 = 7,5 вт/дел]
С2 = 15 вт/дел (постоянная ватт¬
метра определена с учетом трех¬
фазной системы); при 150 в
71=4000 ом] г2 = 7-3=5000 ом]
б?! = 15 вт/дел] С2=30 вт/дел]
при 300 в 71=9000 ом]
т-2= 7*3=10 000 ом] Сі=30 вт/дел]
С2=60 вт/дел] постоянная ватт¬
метра без добавочных сопротив¬
лений С1=% вт/дел] С 2=6 вт/дел]
1) Р=7,2 кет]
2) Р2 = 1,5 кет.
440. ІА = 5а] /в^2,59 а] /с^2,59а;
Р] = 953 вт] Pji № 147 вт]
Р=1100 вт.
441. Рп 484 вт.
442. Pj=—279 вт] Рп=279 вт.
443. а) Р=261 вт] б) Р=196 вт.
КА. 10 а] 1 р. 26 к.
446. Р=204 кет.
448. /і = 168 а] /71=3300 в] Р=
=396 кет] cos <р=0,714.
449. Р=3200 кет] cos <р=0,893.
450. Как известно из курса электро¬
техники, при неправильной по¬
лярности одного из измеритель¬
ных трансформаторов вектор
тока в соответствующей обмотке
ваттметра будет повернут на
180° относительно вектора тока
в другой его обмотке. Таким об¬
разом, измерение активной мощ¬
ности по методу двух ваттмет¬
ров может привести к неверным
результатам.
451. Р=495 вт] Сн=$00 вт-сек/об.
453. Ск=1800 вШ'Сек/об]
£=1784 вт-сек/об] у0 0,897%;
к № 0,991.
Глава И. Катушки со стальными
сердечниками и трансформаторы
460. Ат=25.
461. 1^1=800.
462. £2Х=400 в.
463. /2 = 1500 а] 0і 3,76 а/мм*]
02 3,61 а/мм2.
464. £>10 500 в] Е± ъ 10 000 в]
£>9500 в] Е2 ъ 231 в.
465. 355; 112.
466. /72 = 1204 в] Всъ 3,204 тл.
472. т)і=96,25%; т)2=95,35%.
473. т)і=97,75% при номинальной
нагрузке и cos ф2=Г, т]2=97,2%
при номинальной нагрузке и
cos ф=0,8.
476. /і^ 5,7 а] Рк=5$ вт.
481. т|і=99,13%; т]2=99,21%.
482. 1,4540 тл] 1,36%;
Мд № 5,33%; £2^ 3150 в.
483. і/>4937; u>2=190; ua=l,5%;
Up = 5,29%.
484. 7*^=3,469 ом] kr= 1,0014;
Гі^ 2,02 ом] r2^ 0,07 ом]
т)=95,52%.
487. £72=5698 в при индуктивной
нагрузке; /72=6144 в при емко¬
стной нагрузке; /72=5901 в при
активной нагрузке.
488. ДС7% 1,18% при активной
нагрузке; Д/7%=5,39% при ин¬
дуктивной нагрузке; AZ/%
^—3,5% при емкостной на¬
грузке.
489. \U% 4,43% при индуктив¬
ной нагрузке; Д/7% —1,9%
при емкостной нагрузке.
524
494. cos qpx=0,476; u?2%91.
495. Ah 805; w2=671; -q=99,52%.
496. Pc^ 62 em; cos фх=0,199; zK^
Ah 0,1366 ом; /-*=0,0592 ом;
z =0,1232 ом; cos ф*=0,433;
T)=96%.
Глава 12. Асинхронные двигатели
497. Ç1=3; ç2=4; Q1=9; Q2=12.
498. çt=2.
499. Zx=48.
500. çx=4.
501. çx=4.
502. Z=48.
503. Z. =24.
504. Zx=24.1
505. çx=2.
506. <7i=3.
507. Ç1=2.
508. Z2=24.
509. Z2=36.
510. çx=4.
517. £1=220 в; E2 & 86,1 в.
518. E2S& 2,58 в.
519. Ег = 127 в; Е2ъ 49,7 e.
520. p=6; s=4%.
521. «2K=2850 об/мин.
522. Р2ъ 75 кет; rj 0,897; s=2%.
523. cos <px =0,732; P2& 4 кет;
n2=930 об/мин; т]=78,4%.
524. =59 кет; />=1,77 кет.
529. 7X=7X=7,85 a.
530. cos фх=0,863; ï] 85,9%.
Глава 13. Синхронные машины
542. ua=l,374%; uD № 20,6%.
544. £7=8300 в.
548. гая& 1,007 олг, 4,02 ом.
549. Р=1200 кет.
550. М ъ 13 170 кГм.
554. Рп=3000 кет; cos фп=0,924.
Глава 14. Машины постоянного
тока
562. У1=4; у2=3; у=1; ук=1.
563. Уі=3; у2=2; у=1; ук=і.
564. !/і=8; уг=7; j/=1; ук=1.
565. yx=10; ÿ2=9; ÿ=l; ук=1.
566. yx=10; j/2=8; j/=2; yK—2;
2a=8.
567. ^=9; ÿ2=7; y=2; yK=2;
2a=8.
568. уг=5; y2=3; y=2; yK=2;
2a=8.
569. уг=3; y2=^; 0=6; yK=6.
570. j/i=4; y2=4; y=8; yK=8.
572. 0X=4; 02=4; y=8; yK=8.
573. 0X = 5; 02=4; 0=9; yK=9.
574. Простая последовательная об¬
мотка.
575. Простая параллельная обмотка.
580. Z=37; Ф 0,0411 вб.
581. Ф 0,0375 вб.
584. I Ah 239 а; Іянъ 242,9 а; Е ъ
Ah 240 в; гя& 0,0412 ом; Re£&
яа 61,2 ом.
585. 4,25 %.
587. £=234 в; гя=&,1 ом; г=11 ом.
588. £7=220 в; E=223fi в;
7Я=811 а; ія=11 а; Т|э^ 0,97.
590. 7Я=112,2 а; U ъ 110 в;
ів=2,2 а; 7=110 а;
Р2=12,1 кет.
592. Р6Р = 119,1 вт.
593. т|эк=87,2%; т]м=81,6%.
594. ія=10 а; Йв=25 ом; 7я=210 а;
£=259,5 в; гяъі 0,0453 ом.
604. п & 589 об/мин.
605. 717=0,877 кГм; Ря1=20 ет;
Ря2=5 ет; Р2=1,08 кет;
Р2=530 ет.
606. ів=1,1 а; Ія=8$ а;
Ря=19,2 ет; Рв=121 ет;
£=101,1 е.
607. РЭЛ=29,05 кет; Р2=25 кет.
608. ів=1,1 а; Ія=8$ а;
7\=121 ет; Ря=47,5 вт;
£=104,7 в; Р9М^ 932 вт.
609. Ря=648 вт; Рв=198 вт;
7\р=1484 вт; т)=76,9%.
610. РвІ)=470 вт; Р2^ 5030 вт;
П=83,3%.
611. М=0,891 кГм.
612. 7Я=675 а; гяъ 0,0163 ом;
Л72=293 кГм; Р2^ 135,4 кет;
РврЯ& 5670 вт.
613. гя^а 0,0201 ом; Р2^ 151,9 кет.
614. «=951 об/мин.
615. гр 20 ом.
618. пх=642 об/мин; пя^ 499 об/мин;
Ря=2268 вт.
619. 71^=695 об/мин; Д«з%=4,17%.
621. «1=538 об/мин.
623. 7Х=13,3 а.
624. Р1=22 кет; 86,4%;
М2аь 31,9 кГм.
625. Р2^а И 570 ет; Р^ 13 720 вт;
Iяа* 55 а; Ря=1845 вт;
£=216,5 в.
626. 7=150 а; Е 503 в; Р2=14 кет;
Л/2=60,1 кГм.
627. гяаь 0,036 ом; 717=218,6 кГм;
Е Ah 202 в.
628. Ф 0,0428 вб; Інъ 300 а.
525
Глава 15. Электрические сети
631. 25 мм2.
634. 1) s=50 мм2; 2) s=120 мм2;
3) s=35 мм2; 4) s=70 мм2.
635. 1) Z=266 а; Р ъ 139,9 кет;
2) 7=160 а; Р=84,15 кет;
3) 7=357 а; £=187,7 кет;
4) 7=235 а; £=123,6 кет.
636. *0=51,7°.
637. На 46,6%.
640. 5=70 мм2.
641. 5=16 мм2.
642. s 70 мм2.
643. 5=70 мм2.
644. 5=2,5 лии2.
652. 5j=240 мм2; 52=50 мм2;
53=70 мм2; 54=16 мм2.
655. 5х=95 л«л{2; 52=25 мм2;
5а=35 мм2.
656. 5j=50 мм2; 52=6 мм2;
53=16 лілі2; 54=25 лілі2.
657. 7а = 55 а; /в=63 а; 5=25 мм2.
658. /А=64,12 а; /в=53,88 а;
bUACK 10,08 в; MJBC=bfiüe.
663. 5=50 мм2.
664. 5=35 лмі2.
665. 5=16 мм2.
666. 5=10 мм2.
667. 5=10 мм2; сечение нейтраль¬
ного провода s0=6 мм2.
668. s=16 мм2.
669. 5=10 мм2; сечение нейтраль¬
ного провода 50=6 мм2.
670. 5=10 мм2.
671. 5=240 мм2.
672. 5=500 мм2; экономия меди 28%.
673. При расположении питающего
пункта в начале линии 5=95лмі2.
При расположении питающего
пункта по середине линии
5'А^ 16 мм2 и s" = 25 мм2.
674. s=10 мм2.
675. s=50 мм2.
676. 5=25 мм2.
678. 5 25 мм2.
679. 5j = 185 мм2; s2 = 35 ліле2;
5з=95 мм2; 54=50 мм2.
680. s 25 мм2.
Глава 16. Электрическое
освещение
687. £л=288 лм.
688. Рлъ 8460 лм.
689. 7 № 6750 св.
690. цл=11 лм/вт.
691. і/7=0,84 вт/св.
693. £л=7000 лм; 7О=557 св;
w 0,72 вт/св.
694. цл=12,2 лм/вт; іг=1,03 вт/св.
695. £л=40 вт.
696. 7=250 св.
697. £л=5160 лм; £л=300 вт;
и?=0,73 вт/св.
698. 1017 час.
699. £^ 727 лм.
700. £=2500 лк; £ = 1500 лм/м2.
701. 6*=80 см2; Fomp=AïW лм;
R = 1380 лм/м2.
702. В 3,99 нт; R = 12,53 лм/м2.
703. £=2 лк.
704. £=20,4 лк; /О=326,4 св.
705. £=18,45 лк.
706. 974 лм.
707. £гв=2379 лм.
708. и=0,44.
709. и=0,42.
711. и^0,57; u2^0,41.
715. h 6,02 м.
Глава 17. Электропривод
720. т)к=^87,3%.
721. т)1/г=0,831.
723. Двигатель обращается в генера¬
тор с током нагрузки в 160 а.
729. 0,262 ом.
730. гп^ 0,387 ом.
736. 0,202 ом.
745. При токе /=350 а двигатель
сможет работать непрерывно
в течение 12 мин. При токе
/==300 а двигатель сможет ра¬
ботать непрерывно в течение
16 мин. При токе /=250 а дви¬
гатель сможет работать в тече¬
ние 26 мин. При токе /=200 а
двигатель сможет работать в те¬
чение 36 мин. При токе /=185 а
двигатель сможет работать в те¬
чение 52 мин. При токе /=150 а
двигатель сможет работать в те¬
чение 94 мин. При токе /=120 а
двигатель сможет работать дли¬
тельно в течение любого проме¬
жутка времени.
746. £2=^ 30,9 кет.
747. /э^ 49 а.
748. /э^ 24,3 а.
749. 1) £э=51,5 кет.
2) При суммировании времени
в знаменателе учитывается
время ускорения с коэффи¬
циентом 0,75, а время покоя
с коэффициентом 0,5;
£э=66,6 кет.
526
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЕДИНИЦАМИ АБСОЛЮТНОЙ ПРАКТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ МКСА
И АБСОЛЮТНОЙ СИСТЕМЫ СГС
Величина
В системе МКСА
В системе СГС
1 единица
СГС
равна
Наимено¬
вание
Обозначение
Наимено¬
вание
Обозначение
русское
1 междуна-
1 родное
русское 1
международ¬
ное
Механическая сила
ньютон
н
N
дина
дин
dyn
10“5 н
Работа и энергия
джоуль
дж
J
эрг
эрг
erg
10“7 дж
Мощность
ватт
вт
W
—
—
10"7 вт
Электрический заряд
кулон
к
С
—
—
—
1
— 10 к
Электрическое напряжение, э.д.с.,
со
разность электрических потенциа¬
лов
вольт
в
V
соАО~в в
Напряженность электрического поля
—
в)м
Ѵ/т
—
—
—
со-10 6 в/м
Электрическая емкость
фарада
Ф
F
—
—
—
Электрический ток .
ампер
а
А
—
—
—
і.».
Электрическое сопротивление . . .
ом
ом
Q
—
—
—
Со
с*. 10-9 ом
Магнитный поток . .
вебер
во
Wb
максвелл
мкс
Мх
ІО"8 вб
Магнитная индукция
Индуктивность и взаимная индуктив¬
—
вб]м2
Wb/m2
raye
гс
Gs
10“4 вб/м2
ность
генри
гн
H
—
с*-10“9 гн
Магнитодвижущая сила (намагничи¬
1
вающая сила)
ампер
а
A
гильберт
гб
Gb
-, 10 а
4л
Напряженность магнитного поля
—
а /м
A/m
эрстед
э
Ое
■т—• 10s а/м
4л '
Примечание. с0=2,998-10los=3* 101О-числовое значение скорости света в пустоте, выраженной в сантиметрах в секунду.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ДЛИТЕЛЬНО ДОПУСТИМЫЕ НАГРУЗКИ НА ПРОВОДА И ШНУРЫ
С МЕДНЫМИ ЖИЛАМИ С РЕЗИНОВОЙ И ПОЛИХЛОРВИНИЛОВОЙ
ИЗОЛЯЦИЕЙ
Сечение
токопро¬
водящей
жилы, лш2
Токовые нагрузки, а
провода,
проложенные
открыто
провода; проложенные в одной трубе*
два одно¬
жильных
три одно¬
жильных
четыре
одно¬
жильных
один
двух¬
жильный
один
трех¬
жильный
0,5
И
—
—
—
—
—
0,75
15
—
—
—
—
—
1
17
16
15
14
15
14
1,5
23
19
17
16
18
15
2,5
30
27
25
25
25
21
4
41
38
35
30
32
27
6
50
46
42
40
40
34
10
80
70
60
50
55
50
16
100
85
80
75
80
70
25
140
115
100
90
100
85
35
170
135
125
115
125
100
50
215
185
170
150
160
135
70
270
225
210
185
195
175
95
330
275
255
225
245
215
120
385
315
290
260
295
250
150
440
360
330
—
—
—
185
510
—
—
—
—
—
240
605
—
—
—
—
—
300
695
—
—
—
—
—
400
830
—
—
—
—
• При определении числа проводов, проложенных в одной трубе, нулевой рабочий
провод четырехпроводной системы трехфазного тока в расчет не принимается.
528
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ДЛИТЕЛЬНО ДОПУСТИМЫЕ НАГРУЗКИ НА ПРОВОДА
С АЛЮМИНИЕВЫМИ ЖИЛАМИ С РЕЗИНОВОЙ
И ПОЛИХЛОРВИНИЛОВОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ
Сечение то¬
копроводящей
жилы, леи2
Токовые нагрузки, а
провода, проло¬
женные открыто
провода, проложенные в одной трубе *
два одножиль¬
ных
три одножиль- 1
НЫХ 1
четыре одножиль¬
ных
2,5
24
20
19
19
4
32
28
28
23
6
39
36
32
30
10
55
50
47
39
16
80
60
60
55
25
105
85
80
70
35
130
100
95
85
50
165
140
130
120
70
210
175
165
140
95
255
215
200
175
120
295
245
220
200
150
340
275
255
—
185
390
—
—
—
240
465
—
—
—
300
535
—
—
—
400
645
—
—
—
♦ При определении числа проводов, проложенных в одной трубе, нулевой рабочий
провод четырехпроводной системы трехфазного тока в расчет не принимается.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ДЛИТЕЛЬНО ДОПУСТИМЫЕ НАГРУЗКИ НА ПРОВОДА С МЕДНЫМИ
ЖИЛАМИ С РЕЗИНОВОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ В МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ЗАЩИТНЫХ
ОБОЛОЧКАХ И КАБЕЛИ С МЕДНЫМИ ЖИЛАМИ С РЕЗИНОВОЙ ИЗО¬
ЛЯЦИЕЙ В СВИНЦОВОЙ, ПОЛИХЛОРВИНИЛОВОЙ И НЕГОРЮЧЕЙ РЕ¬
ЗИНОВОЙ ОБОЛОЧКАХ, БРОНИРОВАННЫЕ И НЕБРОНИРОВАННЫЕ
Сечение
токопрово¬
Токовые нагрузки (а) ♦ на провода и кабели
одножильные
1 двухжильные |
трехжильные
дящей жи¬
лы, АІЛІ2
при прокладке
в воздухе
в воздухе
в земле
в воздухе
1 в земле
1,5
23
19
33
19
27
2,5
30
27
44
25
38
4
41
38
55
35
49
6
50
50
70
42
60
10
80
70
105
55
90
16
100 .
90
135
75
115
529
Продолжение приложения 4
Сечение
токопрово-
Токовые нагр^
одножильные | двухж
дящей жи¬
лы, Л1.Ч2
:
в воздухе
1 в воздухе
25
140
115
35
170
140
50
215
175
70
270
215
95
325
260
120
385
300
150
440
350
185
510
405
240
-
605
—
узки (а) ♦ на провода и кабели
сильные
1 трехжильные
при прокладке
1 в земле
1 в воздухе
в земле
175
95
150
210
120
180
265
145
225
320
180
275
385
220
330
445
260
385
505
305
435
570
350
500
—
—
—
• Токовые нагрузки относятся к проводам и кабелям как с заземляющей жилой*
так и без нее.
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ДЛИТЕЛЬНО ДОПУСТИМЫЕ НАГРУЗКИ НА КАБЕЛИ
С АЛЮМИНИЕВЫМИ ЖИЛАМИ С РЕЗИНОВОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ
В СВИНЦОВОЙ, ПОЛИХЛОРВИНИЛОВОЙ И НЕГОРЮЧЕЙ РЕЗИНОВОЙ
ОБОЛОЧКАХ, БРОНИРОВАННЫЕ И НЕБРОНИРОВАННЫЕ
Сечение
токопрово¬
дящей жи¬
лы, мм2
Токовые нагрузки (а) на кабели
одножильные
двухжильные
трехжильные
при прокладке
в воздухе
в воздухе
в земле
в воздухе
в земле
2,5
4
6
10
16
25
35
50
70
95
120
150
185
240
23
31
38
60
75
105
130
165
210
250
295
340
395
465
21
29
38
55
70
90
105
135
165
200
230
270
310
34
42
55
80
105
135
160
205
245
295
340
390
440
19
27
32
42
60
75
90
110
140
170
200
235
270
29
38
46
70
90
115
140
175
210
255
295
335
385
530
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
ДЛИТЕЛЬНО ДОПУСТИМЫЕ НАГРУЗКИ НА КАБЕЛИ С МЕДНЫМИ
ЖИЛАМИ С БУМАЖНОЙ изоляцией, пропитанной
МАСЛОКАНИФОЛЬНОЙ И НЕСТЕКАЮЩЕЙ МАССАМИ, В СВИНЦОВОЙ
ИЛИ АЛЮМИНИЕВОЙ ОБОЛОЧКЕ, ПРОКЛАДЫВАЕМЫЕ В ЗЕМЛЕ
Токовые нагрузки (а)* на кабели
одножильные
двухжиль¬
ные
до 1 кв
трехжильные
четырех¬
жильные
до 1 кв
Сечение токо¬
проводящей
жилы, мм2
до 1 кв
до 3 кв
6 кв
10 кв
при
максимальной допустимой температуре жил
80°
80°
80°
65°
60°
80°
2,5
—
45
40
—
—
—
4
80
60
55
—
—
50
6
105
80
70
—
—
60
10
140
105
95
80
—
85
16
175
140
120
105
95
115
25
235
185
160
135
120
150
35
285
225
190
160
150
175
50
360
270
235
200
180
215
70
440
325
285
245
215
265
95
520
380
340
295
265
310
120
595
435
390
340
310
350
150
675
500
435
390
355
395
185
755
—
490
440
400
450
240
880
—
570
510
460
—
300
1000
—
—
—
—
—
400
1220
—
—
—
—
—
500
1400
—
—
—
—
•—
625
1520
—
—
—
—
—
800
1700
—
—
—
—
—
Токовые нагрузки на одножильные кабели даны для работы при постоянном токе.
531
ПРИЛОЖЕНИЕ 7
ДЛИТЕЛЬНО ДОПУСТИМЫЕ НАГРУЗКИ НА КАБЕЛИ С МЕДНЫМИ
ЖИЛАМИ С БУМАЖНОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ, ПРОПИТАННОЙ
МАСЛОКАНИФОЛЬНОЙ И НЕСТЕКАЮЩЕЙ МАССАМИ, В СВИНЦОВОЙ
ИЛИ АЛЮМИНИЕВОЙ ОБОЛОЧКЕ, ПРОКЛАДЫВАЕМЫЕ В ВОЗДУХЕ
Токовые нагрузки (а)* на кабели
одножильные
до 1 кв
двухжиль¬
ные
до 1 кв
трехжильные
четырех¬
жильные
до 1 кв
Сечение токо¬
проводящей
жилы, мм2
до 3 кв
6 кв
10 кв
при максимальной допустимой температуре жил
80°
80°
80°
65°
60°
80°
2,5
40
30
28
—
—
—
4
55
40
37
—
—
35
6
75
55
45
—
—
45
10
95
75
60
55
—
60
16
120
95
80
65 -
60
80
25
160
130
105
90
85
100
35
200
150
125
110
105
120
50
245
185
155
145
135
145
70
305
225
200
175
165
185
95
360
275
245
215
200
215
120
415
320
285
250
240
260
150
470
375
330
290
270
300
185
525
—
375
325
305
340
240
610
—
430
375
350
—
300
720
—
—
—
—
—
400
880
—
—
—
—
—
500
1020
—
—
—
—
—
625
1180
—
—
—
—
—
800
1400
—
—
—
—
—
• Токовые нагрузки на одножильные кабели даны для работы при постоянном токе.
532
ПРИЛОЖЕНИЕ 8
ДЛИТЕЛЬНО ДОПУСТИМЫЕ НАГРУЗКИ НА КАБЕЛИ. С АЛЮМИ¬
НИЕВЫМИ ЖИЛАМИ С БУМАЖНОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ, ПРОПИТАННОЙ
МАСЛОКАНИФОЛЬНОЙ И НЕСТЕКАЮЩЕЙ МАССАМИ, В СВИНЦОВОЙ
ИЛИ АЛЮМИНИЕВОЙ ОБОЛОЧКЕ, ПРОКЛАДЫВАЕМЫЕ В ЗЕМЛЕ
Сечение токо¬
проводящей
жилы, мм2
Токовые нагрузки (а)* на кабели
одножильные
до 1 кв
двухжиль¬
ные
до 1 кв
трехжильные
четырех¬
жильные
до 1 кв
до 3 кв
6 кв
10 кв
при максимальной допустимой температуре жил
80°
80°.
80°
65°
6 0°
80°
2,5
—
35
31
—
—
—
4
60
46
42
—
—
38
6
80
60
55
—
—
46
10
110
80
75
60
—
65
16
135
110
90
80
75
90
25
180
140
125
105
90
115
35
220
175
145
125
115
135
50
275
210
180
155
140
165
70
340
250
220
190
165
200
95
400
290
260
225
205
240
120
460
335
300
260
240
270
150
520
385
335
300
275
305
185
580
—
380
340
310
345
240
675
—
440
390
355
—
300
770
—
—
—
—
—
400
940
—
—
—
. —
—
500
1080
—
—
—■
—
—
625
1170
—
—
—
—
—
800
1310
—
—
—
—
—
* Токовые нагрузки на одножильные кабели даны для работы при постоянном токе,
18 Заказ Ка 936 533
ПРИЛОЖЕНИЕ 9
ДЛИТЕЛЬНО ДОПУСТИМЫЕ НАГРУЗКИ НА КАБЕЛИ С АЛЮМИ¬
НИЕВЫМИ ЖИЛАМИ С БУМАЖНОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ, ПРОПИТАННОЙ
МАСЛОКАНИФОЛЬНОЙ И НЕСТЕКАЮЩЕЙ МАССАМИ, В СВИНЦОВОЙ
ИЛИ АЛЮМИНИЕВОЙ ОБОЛОЧКЕ, ПРОКЛАДЫВАЕМЫЕ В ВОЗДУХЕ
Сечение токо¬
проводящей
жилы, лша
Токовые нагрузки (а)* на кабели
одножильные
до 1 кв
двухжиль¬
ные
до 1 кв
трехжильные
четырех¬
жильные
до 1 кв
до 3 кв
6 кв
10 кв
при максимальной допустимой температуре жил
80°
80°
80°
65°
60°
80°
2,5
31
23
22
—
—
—
4
42
31
29
—
—
27
6
55
42
35
—
—
35
10
75
55
46
42
—
45
16
90
75
60
50
46
60
25
125
100
80
70
65
75
35
155
115
95
85
80
95
50
190
140
120
НО
105
110
70
235
175
155
135
130
140
95
275
210
190
165
155
165
120
320
245
220
190
185
200
150
360
290
255
225
210
230
185
405
—
290
250
235
260
240
470
—
330
290
270
—
300
555
—
—
—
—
. —
400
675
—
—
—
—
—
500
785
—
—
—
—
—
625
910
—
—
—
—
—
800
1080
—
—
—
—
—
* Токовые нагрузки на одножильные кабели даны при постоянном токе.
534
ПРИЛОЖЕНИЕ 10
ДЛИТЕЛЬНО ДОПУСТИМЫЕ НАГРУЗКИ НА ГОЛЫЕ МЕДНЫЕ,
АЛЮМИНИЕВЫЕ И СТАЛЕАЛЮМИНИЕВЫЕ ПРОВОДА
Медные провода
Алюминиевые провода
Сталеалюминиевые
провода
Марка
Токовая нагрузка, а
Марка
Токовая нагрузка,а
Марка
Токовая
нагрузка
вне поме¬
щений, а
вне поме¬
щений
внутри
помещений
вне поме¬
щений
внутри
помещений
М-4
50
25
А-10
75
55
АС-16
105
М-6
70
35
А-16
105
80
АС-25
135
М-10
95
60
А-25
135
НО
АС-35
170
М-16
130
100
А-35
170
135
АС-50
220
М-25
180
140
А-50
215
170
АС-70
275
М-35
220
175
А-70
265
215
АС-95
335
М-50
270
220
А-95
325
260
ÀC-120
380
М-60
315
250
А-120
375
310
АС-150
445
М-70
340
280
А-150
440
370
АС-185
515
М-95
415
340
А-185
500'
425
АС-240
610
М-120
485
405
А-240
610
—
АС-300
700
М-150
570
480
А-300
680
—
АС-400
800
М-185
645
550
А-400
830
—
АСО-332
745
М-240
770
650
А-500
980
—
АСО-480
925
М-300
890
—
А-625
1140
—
АСУ-300
710
М-400
1085
—
—
—
—
АСУ-400
865
МП-240
950
—
—
—
—
—
—
МП-300
1050
—
—
—
—
—
—
18*
535
ПРИЛОЖЕНИЕ 11
ПОПРАВОЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ НА ТЕМПЕРАТУРЫ ЗЕМЛИ И ВОЗДУХА ДЛЯ ТОКОВЫХ НАГРУЗОК
НА КАБЕЛИ, НА ГОЛЫЕ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ПРОВОДА И НА ШИНЫ
Расчетная
температура
среды, град.
Нормированная
температура
жил, град.
Поправочные коэффициенты при фактической температуре среды
-5°
0°
+ 5°
+ 10°
+ 15°
+ 20°
+ 25°
+ 30°
+ 35°
+ 40°
+ 45°
+ 50°
15
80
1,14
1,11
1,08
1,04
1,00
0,96
0,92
0,88
0,83
0,78
0,73
0,68
25
80
1,24
1,20
1,17
1,13
1,09
1,04
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
0,74
25
70
1,29
1,24
1,20
1,15
1,11
1,05
1,00
0,94
0,88
0,81
0,74
0,67
15
65
1,18
1,14
1,10
1,05
1,00
0,95
0,89
0,84
0,77
0,71
0,63
0,55
25
65
1,32
1,27
1,22
1,17
1,12
1,06
1,00
0,94
0,87
0,79
0,71
0,61
15
60
1,20
1,15
1,12
1,06
1,00
0,94
0,88
0,82
0,75
0,67
0,57
0,47
25
60
1,36
1,31
1,25
1,20
1,13
1,07
1,00
0,93
0,85
0,76
0,66
0,54
15
55
1,22
1,17
1,12
1,07
1,00
0,93
0,86
0,79
0,71
0,61
0,50
0,36
25
55
1,41
1,35
1,29
1,23
1,15
1,08
1,00
0,91
0,82
0,71
0,58
0,41
15
50
1,25
1,20
1,14
1,07
1,00
0,93
0,84
0,76
0,66
0,54
0,37
—
25
50
1,48
1,41
1,34
1,26
1,18
1,09
1,00
0,89
0,78
0,63
0,45
—
ПРИЛОЖЕНИЕ 12
ПОПРАВОЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ НА ЧИСЛО РАБОТАЮЩИХ КАБЕЛЕЙ, ЛЕЖАЩИХ РЯДОМ В ЗЕМЛЕ
Расстояние
в свету, мм
Значения поправочных коэффициентов при числе кабелей
1 1
2
3
4
5
6
100
1,00
0,90
0,85
0,80
0,78
0,75
200
1,00
0,92
0,87
0,84
0,82
0,81
300
1,00
0,93
(
0,90
0,87
0,86.
0,85
ПРИЛОЖЕНИЕ 13
ИНДУКТИВНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУШНЫХ ЛИНИЙ С МЕДНЫМИ ПРОВОДАМИ
Среднее геометри¬
ческое расстояние
между проводами,
мм
Индуктивное сопротивление (ом/км) проводов марок
М-6
м-ю
М-16
М-25
М-35
М-50
М-70
М-95
М-120
М-150
М-185
М-240
М-300
400
0,371
0,355
0,333
0,319
0,308
0,297
0,283
0,274
—
—
—
—
—
600
0,397
0,381
0,358
0,345
0,336
0,325
0,309
0,300
0,292
0,287
0,280
—
—
800
0,415
0,399
0,377
0,363
0,352
0,341
0,327
0,318
0,310
0,305
0,298
—
—
1000
0,429
0,413
0,391
0,377
0,366
0,355
0,341
0,332
0,324
0,319
0,313
0,305
0,298
1250
0,443
0,427
0,405
0,391
0,380
0,369
0,355
0,346
0,338
0,333
0,327
0,319
0,312
1500
—
0,438
0,416
0,402
0,391
0,380
0,366
0,357
0,349
0,344
0,338
0,330
0,323
2000
—
0,457
0,435
0,421
0,410
0,398
0,385
0,376
0,368
0,363
0,357
0,349
0,342
2500
—
—
0,449
0,435
0,424
0,413
0,399
0,390
0,382
0,377
0,371
0,363
0,356
3000
—
—
0,460
0,446
0,435
0,423
0,410
0,401
0,393
0,388
0,382
0,374
0,367
3500
—
—
0,470
0,456
0,445
0,433
0,420
0,411
0,403
0,398
0,392
0,384
0,377
4000
—
—
0,478
0,464
0,453
0,441
0,428
0,419
0,411
0,406
0,400
0,392
0,385
4500
—
—
—
0,471
0,460
0,448
0,435
0,426
0,418
0,413
0,407
0,399
0,392
5000
—
—
—
—
0,467
0,456
0,442
0,433
0,425
0,420
0,414
0,406
0,399
5500
—
—
—
—
—
0,462
0,448
0,439
0,431
0,426
0,420
0,412
0,405
6000
—
—
—
—
—
0,468
0,454
0,445
0,437
0,432
0,426
0,418
0,411
ПРИЛОЖЕНИЕ 14
ИНДУКТИВНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУШНЫХ линий
С АЛЮМИНИЕВЫМИ ПРОВОДАМИ
Среднее геометри¬
ческое расстояние
между проводами,
мм
Индуктивное сопротивление (ом/км) проводов марок
А-16
А-25
А-35
А-50
А-70
А-95
А-120
А-150
А-185
600
0,358
0,345
0,336
0,325
0,315
0,303
0,297
0,288
0,279
800
0,377
0,363
0,352
0,341
0,331
0,319
0,313
0,305
0,298
1000
0,391
0,377
0,366
0,355
0,345
0,334
0,327
0,319
0,311
1250
0,405
0,391
0,380
0,369
0,359
0,347
0,341
0,333
0,328
1500
—
0,402
0,391
0,380
0,370
0,358
0,352
0,344
0,339
2000
—
0,421
0,410
0,398
0,388
0,377
0,371
0,363
0,355
ПРИЛОЖЕНИЕ 15
ИНДУКТИВНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУШНЫХ линий
СО СТАЛЕАЛЮМИНИЕВЫМИ ПРОВОДАМИ
Среднее гео¬
метрическое
расстояние
между прово¬
дами, АІАІ
Индуктивное сопротивление (ом/км) проводов марок
АС-35
АС-50
АС-70
АС-95
АС-120
АС-150
АС-185
АС-240
АСУ-
300
АСУ-
400
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
8500
9000
0,429
0,438
0,446
0,418
0,427
0,435
0,408
0,417
0,425
0,433
0,440
0,446
0,397
0,406
0,414
0,422
0,429
0,435
0,391
0,400
0,408
0,416
0,423
0,429
0,384
0,398
0,401
0,409
0,416
0,422
0,377
0,386
0,394
0,402
0,409
0,415
0,369
0,378
0,386
0,394
0,401
0,407
0,413
0,402
0,407
0,412
0,417
0,421
0,424
0,427
0,393
0,398
0,403
0,408
0,412
0,415
0,420
538
ПРИЛОЖЕНИЕ 1в
АКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРОВОДОВ СТАЛЬНЫХ МНОГОПРОВО¬
ЛОЧНЫХ ДЛЯ ВОЗДУШНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧ
(ГОСТ 5800—51)
Ток по
проводу» а
Активное сопротивление (ом[км) проводов марок
ПМС-25,
ПС-25
ПМС-35,
ПС-35
ПМС-50,
ПС-50
ПМС-70,
ПС-70
ПМС-95,
ПС-95
1
5,25
3,66
2,75
1,70
1,55
1,5
5,26
3,66
2,75
1,70
1,55
2
5,27
3,66
2,75
1,70
1,55
3
5,28
3,67
2,75
1,70
1,55
4
5,30
3,69
2,75
1,70
1,55
5
5,32
3,70
2,75
1,70
1,55
6
5,35
3,71
2,75
1,70
1,55
7
5,37
3,73
2,75
1,70
1,55
8
5,40
3,75
2,76
1,70
1,55
9
5,45
3,77
2,77
1,70
1,55
10
5,50
3,80
2,78
1,70
1,55
15
5,97
4,02
2,80
1,70
1,55
20
6,70
4,40
2,85
1,72
1,55
25
6,97
4,89
2,95
1,74
1,55
30
7,10
5,21
3,10
1,77
1,56
35
7,10
5,36
3,25
1,79
1,56
40
7,02
5,35
3,40
1,83
1,57
45
6,92
5,30
3,52
1,88
1,57
50
6,85
5,25
3,61
1,93
1,58
60
6,70
5,13
3,69
2,07
1,58
70
6,60
5,00
3,73
2,21
1,61
80
6,50
4,89
3,70
2,27
1,63
90
6,40
4,78
3,68
2,29
1,67
100
6,32
4,71
3,65
2,33
1,71
125
—
4,60
3,58
2,33
1,83
150
—
4,47
3,50
2,38
1,87
175
—
—
3,45
2,23
1,89
200
—
—
—
2,19
1,88
539
ПРИЛОЖЕНИЕ 17
ВНУТРЕННЕЕ ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ (ом’км) ПРОВОДОВ
СТАЛЬНЫХ МНОГОПРОВОЛОЧНЫХ ДЛЯ ВОЗДУШНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕ¬
СКИХ ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧ
(ГОСТ 5800 — 51)
Ток по
проводу, а
Марки проводов
ПМС-25,
ПС-25
ПМС-35,
ПС-35
ПМС-50,
ПС-50
ПМС-7 0,
ПС-70
ПМС-95,
ПС-95
1
0,54
0,33
0,23
0,16
0,08
1,5
0,55
0,34
0,23
0,16
0,08
2,0
0,55
0,35
0,24
0,17
0,08
3
0,56
0,36
0,25
0,17
0,08
4
0,59
0,37
0,25
0,18
0,08
5
0,63
0,40
0,26
0,18
0,08
6
0,67
0,42
0,27
0,19
0,08
7
0,70
0,45
0,27
0,19
0,08
8
0,77
0,48
0,28
0,20
0,08
9
0,84
0,51
0,29
0,20
0,08
10
0,93
0,55
0,30
0,21
0,08
15
1,33
0,75
0,35
0,23
0,08
20
1,63
1,04
0,42
0,25
0,09
25
1,91
1,32
0,49
0,27
0,09
30
2,01
1,56
0,59
0,30
0,09
35
2,06
1,64
0,69
0,33
0,09
40
2,09
1,69
0,80
0,37
0,10
45
2,08
1,71
0,91
0,41
0,11
50
2,07
1,72
1,00
0,45
0,11
60
2,00
1,70
1,10
0,55
0,13
70
1,90
1,64
1,14
0,65
0,15
80
1,79
1,57
1,15
0,70
0,17
90
1,73
1,50
1,14
0,72
0,20
100
1,67
1,43
1,13
0,73
0,22
125
—
1,29
1,04
0,73
0,31
150
—
1,27
0,95
0,73
0,34
175
*
—
0,94
0,71
0,35
200
J
—
—
0,69
0,35
540
ПРИЛОЖЕНИЕ 18
ВНЕШНИЕ ИНДУКТИВНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУШНЫХ ЛИНИЙ
СО СТАЛЬНЫМИ ПРОВОДАМИ
Среднее гео¬
метрическое
расстояние
между прово¬
дами, мм
Внешнее индуктивное сопротивление x'Q (ом/км) провода при
расчетном диаметре
3,5 мм
марки
ПСО-3,5
(ж-3,5)
4 мм
марки
ПСО-4
(ж-4)
5 мм
марки
ПСО-5
(ж-5)
6 АС И
марки
ПСО-6
(ж-6)
5,6 мм
марок
ПС-25,
ПМС-25
7,8 мм
марок
ПС-8 5,
ПМС-35
11,5 AtAt
марок
ПС-70,
ПМС-70
12,6 мм
марок
ПС-95,
ПМС-95
400
600
800
1000
1250
1500
2000
2500
3000
0,341
0,368
0,384
0,398
0,332
0,359
0,375
0,389
0,403
0,414
0,318
0,345
0,361
0,375
0,389
0,400
0,307
0,334
0,350
0,364
0,378
0,389
0,311
0,336
0,354
0,368
0,381
0,393
0,412
0,426
0,437
0,290
0,317
0,333
0,347
0,361
0,372
0,391
0,405
0,405
0,281
0,308
0,324
0,338
0,352
0,363
0,382
0,396
0,406
0,295
0,311
0,325
0,339
0,350
0,369
0,383
0,394
0,303
0,317
0,331
0,342
0,361
0,375
0,386
ПРИЛОЖЕНИЕ 19
АКТИВНЫЕ И ВНУТРЕННИЕ ИНДУКТИВНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
(ом/км) СТАЛЬНЫХ ОДНОПРОВОЛОЧНЫХ ПРОВОДОВ
РАЗЛИЧНЫХ МАРОК
Ток по про¬
воду, а
Марки проводов
ПСО-3,5
(ж-3,5)
ПСО-4
(ж-4)
ПСО-5
(ж-5)
ПСО-6
(ж-6)
г0
х"0
г0
г 0
г0
х"о
0,5
14,9
1,04
11,5
0,69
1
15,2
2,27
11,8
1,54
—
__
1,5
15,7
4,24
12,3
2,82
7,90
2,13
—
—
2
16,1
6,45
12,5
4,38
8,35
3,58
7,20
3,95
3
17,4
9,6
13,4
7,90
9,50
6,45
7,70
5,53
4
18,5
11,9
14,3
9,70
10,80
8,10
8,85
7,20
5
20,1
14,1
15,5
11,5
12,30
9,70
10,10
8,40
6
21,4
16,3
16,5
12,5
13,80
11,20
10,70
9,15
7
21,5
16,5
17,3
13,2
15,00
12,30
11,10
9,55
8
21,7
16,7
18,0
14,2
15,40
13,30
11,80
9,85
9
21,8
16,9
18,1
14,3
15,20
13,10
11,40
9,90
10
21,9
17,1
18,1
14,3
14,60
12,40
11,50
10,30
15
20,2
18,3
17,3
13,3
13,60
11,40
11,30
10,30
20
—.
—
—.
—
12,70
10,50
11,00
9,70
25
—
—
—
—
—
—
10,70
9,20
541
ПРИЛОЖЕНИЕ 20
КОЭФФИЦИЕНТ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОСВЕТИТЕЛЬНЫХ УСТАНОВОК
Светильник
Глубокоизлу¬
чатель эмали¬
рованный
(Гэ)
Универсалъ
без затенителя
(У)
Универсаль
с матирован¬
ным затените¬
лем (Ум)
Шар молочного стекла
(Шм)
Люцетта цельного
стекла (Лц)
Плафон однолам¬
повый (Ш)
Коэффициент
отражения по¬
толка, (Qn, %)
30
50
70
30
50
. 70
30
50
70
30
50
50
70
70
30
50
50
70
70
30
50
50
70
70
Коэффициент
отражения стен,
10
30
50
10
30
50
10
30
50
30
30
50
50
70
30
30
50
50
70
30
30
50
50
70
(Qcm, %)
Показатель
помещения
Коэффициент использования, %
0,5
19
21
25
21
24
28
14
17
21
8
9
12
13
20
14
16
20
22
29
8
9
13
14
20
0,6
24
27
31
27
30
34
19
22
26
10
12
16
17
23
19
21
25
27
33
10
12
16
17
24
0,7
29
31
34
32
35
38
23
26
29
12
14
18
20
26
23
24
29
30
38
13
14
18
20
26
0,8
32
34
37
35
38
41
26
28
32
14
16
20
21
28
25
26
31
33
41
15
16
20
22
28
0,9
34
36
39
38
40
44
28 .
30
34
16
17
21
23
30
27
29
33
35
43
16
17
21
23
30
1,0
36
38
40
40
42
45
30
32
35
17
19
22
24
31
29
31
34
37
44
17
19
22
24
31
1,1
37
39
41
42
44
46
31
33
36
17
19
23
25
32
30
32
36
38
46
19
20
23
25
33
1,25
39
41
43
44
46
48
33
35
37
19
21
24
28
35
31
34
38
41
48
19
21
25
27
35
1,5
41
43
46
46
48
51
35
36
40
21
23
27
30
36
34
37
41
44
51
21
23
27
30
37
1,75
43
44
48
48
50
53
37
39
41
22
25
29
32
39
36
39
43
46
53
23
26
30
33
39
2,0
2,25
44
46
49
50
52
55
39
40
43
24
27
30
34
40
38
41
45
48
55
24
27
31
34
41
46
48
51
52
54
56
40
42
45
25
28
31
36
42
40
43
47
50
57
26
29
32
36
42
2,5
48
49
52
54
55
59
42
44
46
27
29
33
37
43
41
45
48
52
58
27
30
34
37
44
3,0
49
51
53
55
57
60
43
45
47
28
31
35
39
45
44
47
51
54
60
29
32
36
40
45
3,5
50
52
54
56
58
61
44
46
48
30
33
37
41
47
45
49
52
57
63
30
34
38
42
47
4 0
51
52
55
57
59
62
45
47
49
31
35
38
43
48
46
50
54
59
64
32
35
39
44
49
5,0
52
54
57
58
60
63
46
48
51
32
37
40
46
49
48
52
56
61
65
33
36
41
46
50
ПРИЛОЖЕНИЕ 21
УДЕЛЬНАЯ МОЩНОСТЬ ОБЩЕГО РАВНОМЕРНОГО ОСВЕЩЕНИЯ *
Расчетная
высота
м
Е, лк
S, лі»
Универсалъ без затенителя (при любой окраске стен
и потолков)
5
10
20
30
50
75
100
150
200
10—15
3,1
5,8
10
14
21
28
34
52
68
15—25
2,5
4,7
8,5
11,3
17
24
29
43
58
25—50
2,2
4
7
9,4
14
20
24
36
48
2—3
50—150
1,9
3,6
6,3
8,5
12,2
17
19
29
38
150—300
1,7
3,2
5,7
7,5
11,3
16
19
28
37
>300
1,6
3
5,4
7
10,7
15
18
26
35
10—15
4,1
7
12
16
24
34
44
66
88
15 — 20
3,5
6
10,3
13,6
21
29
38
56
75
20—30
2,9
5,2
8,7
12,2
18
25
32
48
64
0 Z
30—50
2,4
4,2
7
9,9
14,6
21
26
38
51
о — 4
50—120
2
3,6
5,9
8
12,2
17,4
21
31
42
120—300
1,7
3,2
5,2
7
11,3
15
19
28
37
>300
1,6
2,7
4,7
6,6
10,3
14
17
25
34
10—17
4,9
8,3
14
20
31
45
58
86
115
17—25
3,9
6,6
11,3
15,5
25
35
46
68
91
25—35
3,2
5,5
9,4
13
21
30
38
56
75
z А
35—50
2,8
4,7
8
11,3
18
25
31
47
62
4 — о
50—80
2,3
3,9
6,6
9,4
14
21
26
38
51
80—150
1,9
3,1
5,5
8
11,7
16,4
23
34
45
150—400
1,6
2,6
4,7
6,6
10,3
14,6
20
30
40
>400
1,4
2,3
4,2
5,9
9,4
13
18
26
35
25 — 35
4
*
6,5
11,6
16,5
26
39
52
78
104
35—50
3,2
5,4
9,9
14,6
22
33
44
66
88
50—65
2,7
4,6
8,5
12,2
19
28
38
57
75
А Я
65 — 90
2,3
4
7,5
10,8
16,5
24
32
48
64
О О
90—135
2,1
3,5
6,1
8,5
13,6
21
28
42
56
135—250
1,7
2,8
5,1
7
11,3
17
24
36
48
250—500
1,4
2,4
4,3
6,1
9,9
15
20
30
40
>500
1,3
2,3
3,8
5,2
9
14
19
28
37
* Г. М. К н о р р и н г. Справочник для проектирования электрического освеще¬
ния. Госэнергоиздат, 1960.
543
ПРИЛОЖЕНИЕ 22
УДЕЛЬНАЯ МОЩНОСТЬ ОБЩЕГО РАВНОМЕРНОГО ОСВЕЩЕНИЯ
Расчетная
высота
Нр, лі
Е, лк
S, лР^Х.
Универсалъ с полуматовым затенителем (при любой
окраске стен и потолков)
ь 1
10 1
20
30
50 J
75
100
150
200
10—15
4,2
7,5
13
18
26
36
45
67
90
15—25
3,4
6,2
10,8
14,6
22
30
35
52
69
О Q
25—50
2,8
5,1
9
11,3
17,4
25
31
45
61
Z—о
50—150
2,4
4,4
7,5
9,4
15
22
25
37
50
150—300
2,2
4
6,8
8,5
13
19
22
32
43
>300
2
3,8
6,4
8
12,2
17,4
20
30
40
10—15
5,3
9
15
21
31
47
58
87
115
15 — 20
4,3
7,7
13
17
27
41
47
71
94
20—30
3,8
6,6
10,8
15
23
34
39
57
77
3—4
30—50
3
5,3
9
12,2
19,3
26
31
47
62
50—120
2,5
4,3
7,2
9,9
15,5
22
27
41
54
120—300
2,3
3,9
' 6,3
8,5
13
19
23
35
46
>300
2
3,5
5,6
7,5
12,2
16
20
30
40
10 — 17
6,2
10,3
17,4
24
40
58
72
108
140
17—25
4,9
8,2
14,4
21
32
47
59
89
118
25—35
4,1
7
12,2
17
27
39
49
73
98
z л
35—50
3,6
6
10,3
15
22
30
39
59
78
4 — О
50—80
2,9
4,9
8,5
11,7
17,4
25
34
50
67
80 — 150
2,3
4
6,8
9,4
15
21
20
45
59
150 — 400
1,9
3,3
5,9
8,5
12,2
18
25
37
50
>400
1,8
2,8
5,2
7,5
10,8
16
22
32
44
ПРИЛОЖЕНИЕ 23
УДЕЛЬНАЯ МОЩНОСТЬ ОБЩЕГО РАВНОМЕРНОГО ОСВЕЩЕНИЯ
Расчетная
высота
Нр, м
^Х. Е, лк
S, м2 ^Х.
Люцетта цельного молочного стекла
(при Qn=70% и Qcm=50%)
5 1
10
1 20
30
50 1
75 1
100
1 150
1 200
10—15
3,5
6,1
10,3
14,6
22
30
35
51
69
15 — 25
2,9
5
8,9
12
18
25
30
47
59
о ч
25—50
2,4
4,3
7,7
10
15
20
25
37
49
z—о
50—150
2
3,6
6,5
8,8
13
17,4
21
31
41
150—300
1,8
3,2
5,7
7,5
11,3
15
18
27
36
>300
1,7
3
5,4
7
10,3
14
16
24
32
544
Продолжение приложения 23
Расчетная
высота
і£р, м
Е, лк
S, лі’\
Люцетта цельного молочного стекла
(при Qn= 70% и Qcm = 50%)
5
10
20
30
50
75 1
100
150 1
1 200
10 — 15
3,8
6,8
11,5
16
24
35
47
69
93
15 — 20
3,4
6
10,3
14,6
20
29
39
59
78
20—30
2,9
5,3
9
12,7
17,4
25
34
50
67
3—4
30—50
2,4
4,5
7,7
10,5
14,6
22
29
43
58
50—120
2
3,8
6,5
8,6
12
18,3
24
36
48
120—300
1,8
3,1
5,6
7
10,3
15,5
20
30
40
>300
1,6
2,8
4,9
6,1
9,4
13
18
27
36
10—17
4,5
7,9
12,8
21
31
46
60
90
120
17 — 25
3,7
6,4
10,5
16
26
38
49
73
97
25 — 35
3,1
5,5
9,4
13
22
32
42
62
84
/« ft
35 — 50
2,8
4,8
8,3
И
18
27
36
54
72
4 — О
50 — 80
2,3
4,1
7,3
9,4
15
24
31
47
62
80—150
2
3,5
5,8
8,1
13
20
26
40
52
150—400
1,7
2,9
4,8
6,7
10,8
16,5
23
33
45
>400
1,5
2,4
4
5,7
9,4
14
19
27
37
ПРИЛОЖЕНИЕ 24
УДЕЛЬНАЯ МОЩНОСТЬ ОБЩЕГО РАВНОМЕРНОГО ОСВЕЩЕНИЯ
Расчетная
высота
Нр, лі
Е, лк
S,
Люцетта цельного молочного стекла
(при Qn=50% и 0сш=30%)
5
10 1
20
30 1
50
75 1
100
150
200
10 — 15
4
7,3
13
17,4
26
36
43
63
85
15—25
3,4
6,1
10,6
14
22
28
35
53
70
25 — 50
2,8
5,1
9
11,7
18
23
30
44
59
Z — о
50—150
2,4
4,3
7,5
10
15
19,2
.24
36
48
150—300
2
3,8
6,5
8,7
12,7
17
21
31
42
>300
1,8
3,4
6,1
8
12
16
19
29
38
10—15
5,2
9
14,8
23
34
50
64
96
128
15 — 20
4,3
7,5
12,2
18
27
40
51
74
100
20—30
3,6
6,4
10,7
14,5
22 .
32
42
62
83
3—4
30—50
3
5,3
9
12
18
26
34
51
68
50—120
2,4
4,3
7,5
9.9
14,2
22
29
43
58
120—300
2
3,6
6,1
8,1
12
18
24
36
48
>300
1,7
3,1
5,3
6,8
9,9
15
21
31
41
10—17
6,3 .
10
21
28
48
70
94
140
180
17—25
4,9
8,2
16
23
38
55
72
108
140
25—35
4
6,7
12,7
18
30
43
56
84
110
a ft
35—50
3,4
5,7
10
14
24
35
46
68
90
4 — О
50—80
2,8
4,9
8,3
11,3
19
28
38
57
76
80—150
2,3
4
6,7
9,2
14,6
23
32
48
64
150—400
2,0
3,3
5,5
7,5
12,8
20
27
40
53
>400
1,7
2,8
4,6
6,6
10
17
22
32
43
545
ПРИЛОЖЕНИЕ 25
ел
CD
УДЕЛЬНАЯ МОЩНОСТЬ ОБЩЕГО РАВНОМЕРНОГО ОСВЕЩЕНИЯ
Расчетная
высота
Яр, м
\Е, лк
S, м*
Светильники: ОДР (при любой окраске стен и потолков), ОДОР и АОД (при Qn—70% и Qcm —50%)
Лампы БС: 30, 40, 80 вт’, ТБС: 40 вт
Лампы ДС: 30, 40, 80 вт’, ТБС: 30, 80 вт’,
ХБС: 30, 40 вт
75
100
150
200
1 300
1 400
500
75
100 1
150
200
300
1 400
500
10—15
8,2
10,9
16,4
21,8
33
43
55
9,1
12,2
18,2
24,4
36
49
61
15—25
7
9,4
14
18,8
29
37
47
7,8
10,4
15,6
20,8
31
41
52
2—3
25—50
6,2
8,3
12,4
16,6
25
33
41
6,9
9,2
13,8
18,4
27
37
46
50—150
5,4
7,2
10,8
14,4
21
29
35
5,9
7,9
11,8
15,8
23
31
39
150—300
4,9
6,5
9,8
13
19
26
32
5,3
7,1
10,6
14,2
21
28
35
>300
4,5
6
9
12
18
24
30
5
6,6
10
13,2
20
26
33
10—15
11,8
15,8
23,6
32
47
63
78
13,2
17,6
26,4
35
53
70
88
15—20
9,5
12,7
19
25,4
38
51
63
10,7
14,3
21,4
29
43
57
71
3—4
20—30
8,1
10,8
16,2
21,6
32
43
54
9,1
12,2
18,2
24,4
36
49
61
30—50
7
9,3
14
18,6
28
37
47
7,7
10,3
15,4
20,6
31
41
51
50—120
6
8
12
16
24
32
40
6,7
9
13,4
18
27
36
45
120—300
5,2
6,9
10,4
13,8
21
27
34
5,8
7,7
11,6
15,4
23
31
38
>300
4,7
6,3
9,4
12,6
19
25
31
5,2
6,9
10,4
13,8
21
27
34
10—17
16,5
22
33
44
66
88
110
19
25
38
50
76
100
126
17—25
12,7
17
25,4
34
51
68
85
14
19
28
38
56
76
94
25—35
10,5
14,2
21
28,4
42
57
70
11,8
15,8
23,6
32
47
63
79
4—6
35—50
8,7
11,6
17,4
23,2
35
46
58
9,6
12,9
19,2
26
38
51
64
50—80
7,3
9,7
14,6
19,4
29
39
48
8.0
10,7
16
21,4
32
43
53
80—150
6,4
8,6
12,8
17,2
25
34
42
7,2
9,6
14,4
19,2
29
38
48
150—400
5,5
7,4
И
14,8
22
29
37
6,1
8,2
12,2
16,4
24
33
41
>400
5,0
6,6
10
13,2
20
26
33
5,5
7,4
И
14,8
22
29
37
Примечание. Осветительные люминесцентные лампы разделяются по цветности на четыре типа: 1) дневного
света—ДС, 2) белого света—Б С, 3) холодного белого света—ХБ С, 4) теплого белого света—ТБ С.
ПРИЛОЖЕНИЕ 26
КРИВЫЕ СИЛЫ СВЕТА СВЕТИЛЬНИКОВ С УСЛОВНОЙ ЛАМПОЙ
РЛ = 1000 лм
Угол на¬
правления
светового
луча а,
град.
Глубоко¬
излуча¬
тель эма¬
лирован¬
ный (Гэ)
Универ¬
салъ без
затенителя
(У)
Универ¬
салъ с за¬
тенителем
(Ум)
Шар мо¬
лочного
стекла
(Шм)
Люцетта
цельного
стекла
(Лц)
Плафон
однолам¬
повый
(П1)
Альфа
(А)
0
263
235
177
63
141
59
175
5
269
234
177
63
142
59
175
15
259
229
174
64
144
61
164
25
237
206
162
63
144
63
160
35
214
185
142
62
146
63
154
45
179
167
121
61
133
62
145
55
91
140
100
60
88
61
122
65
30
114
76
59
51
61
38
75
12
16
42
58
50
61
15
85
1
3
И
56
46
61
2
90
—
_—
6
55
45
61
—
95
—
—
3
54
45
61
—
105
—
—
—
53
47
61
.—
115
—
—■
—
50
47
58
—
125
—
—
—
47
47
52
—
135
—
—
—
44
45
39
—
145
—
—
—
42
40
18
—
155
—
—
—
38
37
7
165
—
—
—
34
37
.—
—
175
—
—
—
33
36
.—
—
180
—
—
—
33
35
—
—
ПРИЛОЖЕНИЕ 27
ЗОНАЛЬНЫЕ ТЕЛЕСНЫЕ УГЛЫ
Интервал меридионального угла, град.
Телесный угол,
стерадиан
в нижней полусфере
в верхней полусфере
0—10
170—180
0,096
10—20
160—170
0,284
20—30
150—160
0,463
30—40
140—150
0,628
40—50
130—140
0,774
50—60
120—130
0,897
60—70
110—120
0,992
70—80
100—110
1,057
80—90
90—100
1,092
547
548
ПРИЛОЖЕН И Е 28
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ ПОДСЧЕТА ОСВЕЩЕННОСТЕЙ
cos а
tga
а°
cos2 а
cos3 а
cos а
tg а
а°
cos2 а
cos3 а
1,00
0,0
0
1,0
1,0
90
0,694
1,04
46
0,482
0,335
44
0,99985
0,0175
1
0,999
0,999
89
0,682
1,07
47
0,465
0,317
43
0,9994.
0,0349
2
0,998
0,998
88
0,669
1,11
48
0,447
0,299
42
0,998
0,0524
3
0,997
0,996
87
0,656
1,15
49
0,430
0,282
41
0,997
0,0699
4
0,995
0,993
86
0,643
1,19
50
0,413
0,265
40
0,996
0,0875
5
0,992
0,988
85
0,629
1,23
51
0,395
0,249
39
0,994
0,105
6
0,989
0,983
84
0,615
1,28
52
0,379
0,233
38
0,992
0,123
7
0,985
0,978
83
0,602
1,33
53
0,362
0,218
37
0,990
0,1405
8
0,981
0,971
82
0,588
1,38
54
0,345
0,203
36
0,988
0,1584
9
0,975
0,968
81
0,573
1,43
55
0,329
0,189
35
0,985
0,176
10
0,970
0,955
80
0,559
1,48
56
0,312
0,175
34
0,982
0,194
И
0,963
0,946
79
0,544
1,54
57
0,296
0,161
33
0,978
0,212
12
0,957
0,936
78
0,530
1,60
58
0,280
0,149
32
0,974
0,230
13
0,949
0,925
77
0,515
1,66
59
0,265
0,137
31
0,970
0,249
14
0,941
0,913
76
0,500
1,73
60
0,250
0,125
30
0,966
0,268
15
0,933
0,901
75
0,485
1,80
61
0,235
0,113
29
0,961
0,277
16
0,924
0,888
74
0,469
1,88
62
0,220
0,103
28
0,956
0,306
17
0,914
0,874
73
0,454
1,96
63
0,206
0,0936
27
0,951
0,325
18
0,904
0,860
72
0,438
2,05 .
64
0,192
0,0843
26
0,945
0,344
19
0,894
0,845
71
0,423
2,14
65
0,178
0,0755
25
0,939
0,364
20
0,883
0,830
70
0,407
2,25
66
0,165
0,0673
24
0,933
0,384
21
0,872
0,814
69
0,391
2,35
67
0,152
0,0596
23
sin а
1
sin2 а
sin3 а
а°
sin а
sin2 а
sin3 а
а°
Продолжение приложения 2 8
cos а
tg а
а°
cos2 а
cos’ а
cos а
tg а
а°
cos2 а
cos3 а
0,927
0,404
22
0,859
0,797
68
0,375
2,47
68
0,140
0,0526
22
0,920
0,424
23
0,847
0,780
67
0,358
2,60
69
0,128
0,0460
21
0,913
0,445
24
0,834
0,762
66
0,342
2,75
70
0,117
0,0400
20
0,906
0,466
25
0,821
0,744
65
0,325
2,90
71
0,106
0,0345
19
0,899
0,488
26
0,808
0,725
64
0,309
3,08
72
0,0955
0,0295
18
0,891
0,509
27
0,794
0,707
63
0,292
3,27
73
0,0855
0,0250
17
0,882
0,532
28
0,779
0,688
62
0,275
3,48
74
0,0759
0,0209
16
0,874
0,554
29
0,764
0,669
61
0,259
3,73
75
0,0670
0,0173
15
0,866
0,577
30
0,750
0,649
60
0,242
4,01
76
0,0586
0,0142
14
0,857
0,601
31
0,735
0,630
59
0,225
4,33
77
0,0506
0,0114
13
0,848
0,625
32
0,719
0,610
58
0,208
4,70
78
0,0432
0,00899
12
0,838
0,649
33
0,703
0,590
57
0,191
5,14
79
0,0363
0,00686
11
0,829
0,675
34
0,687
0,570
56
0,173
5,67
80
0,0301
0,00520
10
0,819
0,700
35
0,671
0,550
55
0,156
6,31
81
0,0244
0,00379
9
0,809
0,726
36
0,655
0,529
54
0,139
7,11
82
0,0193
0,00268
8
0,794
0,753
37
0,637
0,509
53
0,122
8,14
83
0,0148
0,00181
7
0,788
0,781
38
0,621
0,489
52
0,1045
9,51
84
0,0109
0,00115
6
0,777
0,810
39
0,604
0,469
51
0,0872
11,43
85
0,00700
0,000561
5
0,766
0,839
40
0,587
0,449
50
0,0697
14,30
86
0,00486
0,000339
4
0,754
0,869
41
0,569
0,430
49
0,0523
19,08
87
0,00274
0,000144
3
0,743
0,900
42
0,552
0,410
48
0,0349
28,64
88
0,00122
0,0000425
2
0,731
0,932
43
0,534
0,391
47
0,0174
57,29
89
0,000306
0,0000053
1
0,719
0,966
44
0,517
0,372
46
0,0
90
0,0
0,0
0
0,707
1,0
45
0,500
0,353
45
—
—
sin а
sin2 а
sin3 а
а°
sin а
sin2 а
sin3 а
а°
ел
ПРИЛОЖЕНИЕ 29
ЛАМПЫ НАКАЛИВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ОСВЕТИТЕЛЬНЫЕ ОБЩЕГО НАЗНАЧЕНИЯ (ГОСТ 2239—60)
Типы
ламп
Номинальные величины
Предельные величины
напряже¬
ния, в
мощности,
вт
светового
потока,
лм
световой
отдачи,
лм/вт
мощности,
вт
(не более)
светового
потока, лм
(не менее)
Лампы с нормальной
; световой отдачей
НВ 127-15
15
130
8,7
16,5
120
НВ 127-25
25
235
9,4
27,0
215
НВ 127-40
40
440
11,0
42,5
400
НВ 127-60
60
740
12,3
63,5
685
НБ 127-75
75
980
13,1
79
900
НБ 127-100
100
1400
14,0
106
1300
НГ 127-150
127
150
2300
15,3
159
2130
НГ 127-200
200
3200
16,0
212
2970
НГ 127-300
300
5150
17,2
318
4780
НГ 127-500
500
9100
18,2
530
8450
НГ 127-750
750
14250
19,0
795
13200
НГ 127-1000
1000
19500
19,5
1060
18100
НГ 127-1500
1500
29500
19,7
1590
27400
НВ 220-15
15
105
7,0
16,5
95
НВ 220-25
25
205
8,2
27,0
190
НБ 220-40
220
40
370
9,3
42,5
340
НБ 220-60
60
620
10,3
63,5
570
НБ 220-75
75
840
11,2
79,0
780
D
(не более)
L *
н ♦
мм
61
104±3
110±4
—
66
121 ±4
90±4
81
170±5
130 ±4
97
200 ±6
153 ±5
112
232 ±8
180 ±6
152
300 ±9
225 ±8
167
335 ±10
250 ±9
104 ±3
61
110±4
—
61
110±4
66
121 ±4
Р27-2
Р40-1
Р40-2
Р27-1
Типы
цоколей
(ГОСТ
2520-51)
Продолжение приложения 29
Типы
ламп
Номинальные величины
предельные величины
D
(не более)
L ♦
я*
Типы
цоколей
(ГОСТ
2520-51)
напряже¬
ния, в
мощности,
вт
светового
потока,
лм
световой
отдачи,
лмівт
мощности,
вт '
(не более)
светового
потока, лм
(не менее)
мм
НВ 220-100
100
1240
12,4
106
1150
90±4
Р27-2
НГ 220-150
150
1900
12,7
159
1740
81
170±5
130 ±4
НГ 220-200
200
2700
13,5
212
2500
97
200±6
153 ±5
НГ 220-300
220
300
4350
14,5
318
4000
112
232 ±8
180 ±6
Р40-1
НГ 220-500
500
8100
16,2
530
7500
НГ 220-750
750
13100
17,5
795
12100
152
300 ±9
225 ±8
НГ 220-1000
1000
18200
18,2
1060
16900
Р40-2
НГ 220-1500
1500
28000
18,7
1590
26000
167
335 ±10
250 ±9
Лампы
с повышенной световой отдачей
НБ К127-40
40
490
12,3
42,5
450
46
87±3 ♦
НБ К127-60
4 97
60
820
13,7
63,5
760
51
93±3 *
НБК127-75
12/
75
1080
14,4
79,0
1000
56
97±3 *
НБК127-100
100
1560
15,6
106,0
1450
61
102+3 *
Р27-1
НБК220-40
40
430
10,8
42,5
390
46
87±3 *
НБК220-60
99П
60
700
11,7
63,5
650
51
93±3 *
НБК220-75
75
950
12,7
79,0
880
56
97+3 *
НБК220-100
100
1380
13,8
106,0
1280
61
102±3 *
* В проверяемой группе у 10% ламп допускают удвоенные положительные допускаемые отклонения (при остав¬
лении отрицательных допускаемых отклонений без изменений).
ПРИЛОЖЕНИЕ 30
Си
ТЕХНИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ ЗАКРЫТЫХ ОБДУВАЕМЫХ АСИНХРОННЫХ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ ТРЕХФАЗНОГО
ТЕХНИЧЕСКИЕ Д,о“ А СЕРИЙ мтк с КОРОТКОЗАМКНУТЫМ РОТОРОМ ДЛЯ ЧАСТОТЫ 50 гц
Вели¬
чина
Тип
электро¬
двигателя
15% ПВ
25% ПВ
Мощность на
валу, кет
Скорость
вращения,
об/мин
Линейный ток статора
(а) при напряжении
Коэффициент
мощности
Коэффи¬
циент по¬
лезного
действия,
%
Мощность на
валу, кет
Скорость
вращения,
об/мин
Линейный ток статора
(а) при напряжении
Коэффи¬
циент ’
мощности
Коэффи¬
циент по¬
лезного
действия,'
%
220
в
380
в
500
в
220
в
380
в
500
в
МТК11-6
2,7
837
13,1
7,6
5,8
0,82
65,5
2,2
883
11,1
6,4
4,9
0,76
68,5
1
МТК12-6
4,0
852
18,5
10,7
8,1
0,82
69,0
3,5
875
16,6
9,6
7,3
0,78
70,5
МТК21-6
6,2
880
27,1
15,7
11,9
0.81
73,5
5,0
910
23,1
13,4
10,2
0,75
75,0
2
МТК22-6
9,0
880
38,3
22,2
16,9
0,81
76,0
7,5
905
33,3
19,3
14,7
0,76
77,5
МТК31-6
13,5
896
53,7
31,1
23,6
0,83
79,0
11,0
920
45,6
26,4
20,1
0,78
81,0
3
МТК31-8
9,3
657
39,7
23,0
17,5
0,82
74,5
7,5
682
33,0
19,1
14,5
0,76
78,0
МТК41-8
13,5
665
58,7
34,0
25,8
0,78
77,0
11,0
685
49,7
28,8
21,9
0,73
79,0
4
МТК42-8
19,5
667
79,8
46,2
35,1
0,81
79,0
16,0
685
68,3
39,6
30,1
0,76
80,5
МТК51-8
26,5
675
106
61,3
46,6
0,81
80,5
22,0
692
90,8
52,6
40,0
0,77
82,5
5
МТК52-8
33,5
681
129
74,5
56,6
0,83
82,0
28,0
695
112
64,6
49,1
0,79
83,5
Продолжение приложения 30
553
Вели¬
чина
Тип
электро¬
двигателя
40% ПВ
60% ПВ
Мощность на
валу, кет
Скорость
вращения,
об/мин
Линейный ток статора
(а) при напряжении
Коэффициент
мощности
Коэффи¬
циент по¬
лезного
действия,
%
Мощность на
валу, кет
Скорость
вращения,
об, мин
Линейный ток статора
(а) при напряжении
Коэффи¬
циент
мощности
Коэффи¬
циент по¬
лезного
действия,
%
220
в
380
в
500
в
220
, в
380
в
500
в
МТК11-6
1,8
910
9,8
5,7
4,3
0,69
69,0
1,5
926
9.2
5,3
4,0
0,63
68,0
1
МТК12-6
2,8
907
14,5
8,4
6,4
0,70
72,0
2,3
923
13,3
7,7
5,9
0,63
72,0
МТК21-6
4,2
925
20,7
12,0
9,1
0,70
75,5
3,5
938
19,0
11,0
8,4
0,64
75,0
2
МТК22-6
6,3
922
29,9
17,3
13,2
0,71
77,5
5,0
938
26,8
15,5
11,8
0,63
77,5
МТК31-6
9,5
930
41,3
23,9
18,2
0,74
81,5
7,5
945
36,4
21,1
16,0
0,66
81,5
3
МТК31-8
6,5
693
30,2
17,5
13,3
0,71
79,5
5,3
705
27,6
16,0
12,2
0,63
79,5
МТК41-8
9,5
695
45,9
26,6
20,2
0,68
79,5
8,0
705
41,8
24,2
18,4
0,63
79,5
4
МТК42-8
13,0
700
60,2
34,9
26,5
0,69
81,5
10,5
710
54,6
31,6
24,0
0,62
81,0
MTFÎ51-8
17,5
705
77,6
45,0
34,2
0,71
83,0
14,5
713
70,1
40,6
30,8
0,65
83,0
5
МТК52-8
22,0
708
93,3
54,0
41,1
0,73
84,0
19,0
715
87,0
50,3
38,2
0,68
84,0
Продолжение приложения 30
Величина
Тип
электро¬
двигателя
100% пв
1 час
Кратность по отношению к
номинальным величинам при
25% ПВ
Маховой момент
ротора, кГм2
Мощность на
валу, кет
Скорость
вращения,
об/мин
Линейный ток
статора (а) при
напряжении
Коэффициент
мощности
Коэффициент
полезного
действия, %
Мощность на
валу, кет
Скорость
вращения,
об,мин
Линейный ток
статора (а) при
напряженим
Коэффициент
мощности
Коэффициент
полезного
действия, %
220
в
380
в
500
в
220
в
380
в
500
в
М
макс
м
пуск
I
пуск
^25%ПВ
^25%ПВ
725%ПВ
А
МТК11-6
1,1
947
8,6
5,0
3,8
0,52
64,0
1,8
910
9,9
5,7
4,3
0,69
69,0
2,6
2,6
3,3
0,16
1
МТК12-6
1,8
940
12,3
7,1
5,4
0,55
70,0
2,8
907
14,5
8,4
6,4
0,70
72,0
2,6
t
2,6
3,6
0,25
о
МТК21-6
2,5
955
17,4
10,1
7,7
0,52
72,0
4,2
925
20,7
12,0
9,1
0,70
75,5
3,1
2,9
4,3
0,39
2
МТК22-6
3,6
355
24,2
14,0
10,6
0,52
75,0
6,3
922
29,9
17,3
13,2
0,71
77,5
3,1
3,0
4,4
0,55
о
МТК31-6
6,0
955
33,7
19,5
14,8
0,58
80,0
9,5
930
41,3
23,9
18,2
0,74
81,5
3,4
3,2
5,1
1,00
3
МТК31-8
3,7
720
24,5
14,2
10,8
0,51
77,0
6,0
698
29,0
16,8
12,8
0,68
79,5
3,0
2,9
4,5
1,00
г
МТК41-8
5,3
722
37,1
21,5
16,4
0,48
77,5
9,2
697
45,0
26,1
19,8
0,67
79,5
3,2
3,0
4,5
1,78
4
МТК42-8
7,0
723
48,2
27,9
21,2
0,48
79,0
13,0
700
60,3
34,9
26,5
0,69
81,5
3,3
3,1
4,8
2,60
с
МТК51-8
10,0
726
61,0
35,3
26,8
0,53
81,0
17,5
705
77,7
45,0
34,2
0,71
83,0
3,1
2,8
5,0
4,20
о
МТК52-8
14,0
725
76,0
44,0
33,4
0,58
83,0
24,0
704
99,5
57,5
43,8
0,75
84,0
3,2
2,8
5,2
5,50
ПРИЛОЖЕНИЕ 31
ТЕХНИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ АСИНХРОННЫХ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ ТРЕХФАЗНОГО ТОКА,
ЗАКРЫТЫХ ОБДУВАЕМЫХ, СЕРИЙ МТ, С ФАЗНЫМ РОТОРОМ ДЛЯ ЧАСТОТЫ 50 гц
555
Величина (
Тип электро¬
двигателя
15% ПВ
25% ПВ
Напряжение между
кольцами ротора, е
Мощность на
валу, кет
Скорость враще¬
ния, об/мин
Линейный ток
статора (а) при
напряжении
Коэффициент
мощности
і
Коэффициент
полезного дей¬
ствия, %
Ток ротора, а
Мощность на
валу, кет
Скорость враще¬
ния, об/мин
Линейный ток
статора (а) при
напряжении
Коэффициент
мощности
Коэффициент
полезного дей¬
ствия, %
Ток ротора, а
220 в
380 в
500 в
220 в
380 в
500 в
1
МТ 11-6
2,7
855
14,3
8,3
6,3
0,78
63,0
16,3
2,2
885
12,4
7,2
5,5
0,72
64,0
12,8
135
МТ 12-6
4,2
885
20,0
11,6
8,8
0,79
69,5
15,5
3,5
910
17,8
10,3
7,8
0,73
70,5
12,2
204
2
МТ 21-6
6,5
922
30,2
17,5
13,3
0,75
75,0
28,0
5,0
940
25,7
14,9
11,3
0,68
74,5
20,6
164
МТ 22-6
9,5
928
42,0
24,3
18,5
0,76
78,0
28,8
7,5
945
36,1
20,9
15,9
0,69
78,5
21,6
227
3
МТ 31-6
13,2
944
54,5
32,1
24,5
0,76
82,0
43,6
11,0
953
49,0
28,4
21,6
0,71
82,5
35,6
200
МТ 31-8
9,3
688
42,3
24,5
18,6
0,75
76,5
36,0
7,5
702
36,7
21,2
16,1
0,69
77,5
28,0
185
4
МТ 41-8
13,2
708
59,0
34,1
25,9
0,73
80,5
57,3
11,0
715
53,2
30,8
23,4
0,67
81,0
46,7
155
МТ 42-8
18,0
713
78,5
45,3
34,4
0,73
82,5
52,5
16,0
718
73,4
42,5
32,3
0,69
82,5
46,3
222
5
МТ 51-8
26,5
716
110
63,8
48,5
0,75
84,0
86,2
22,0
723
97,6
56,5
43,0
0,70
84,5
70,5
197
МТ 52-8
36,0
720
142
82,0
62,3
0,78
85,0
90,5
30,0
725
124
71,6
54,4
0,74
86,0
74,3
257
6
МТВ-611-10
55,0
568
228
132
100
0,75
84,5
195
45
575
200
115
87
0,70
85,0
155
185
МТВ-612-10
75,0
572
288
172
131
0,77
86,0
195
60
578
250
145
НО
0,72
87,0
153
245
МТВ-613-10
100
574
386
223
170
0,78
88,0
198
80
580
330
190
145
0,72
88,5
155
320
7
МТВ-711-10
125
580
520
300
228
0,71
89,0
290
100
584
440
255
195
0,67
89,0
230
275
МТВ-712-10
155
582
645
373
284
0,70
90,0
282
125
587
555
320
245
0,66
90,0
225
345
МТВ-713-10
200
582
805
465
355
0,72
91,0
300
160
587
685
395
300
0,68
91,0
235
420
Продолжение приложения 31
Величина
Тип электро¬
двигателя
40% пв
60% пв
Напряжение между
кольцами ротора, в
Мощность на
валу, кет
Скорость враще¬
ния, об/мин
Линейный ток
статора (а) при
напряжении
Коэффициент
мощности
Коэффициент
полезного дей¬
ствия, %
Ток ротора, а
Мощность на
валу, кет
Скорость враще¬
ния, об/мин
Линейный ток
статора (а) при
напряжении
Коэффициент
мощности
Коэффициент
полезного дей¬
ствия, %
1 Ток ротора, а
220 е
380 в
500 в
220 в
380 в
500 в
1
МТ
11-6
1,8
910
11,4
6,6
5,0
0,64
64,5
10,2
1,5
925
10,7
6,2
4,7
0,58
63,0
8,4
135
МТ
12-6
2,5
940
15,2
8,8
6,7
0,62
69,5
8,5
2,0
955
14,3
8,3
6,3
0,54
67,5
6,8
204
2
мт
21-6
4,2
950
23,8
13,8
10,5
0,62
74,5
17,3
3,4
960
22,1
12,8
9,7
0,55
73,0
14,0
164
мт
22-6
6,3
957
33,0
19,1
14,5
0,64
78,0
18,1
5,0
966
30,4
17,6
13,4
0,56
77,0
14,4
227
3
мт
31-6
8,8
962
43,2
25,0
19,0
0,65
82,0
28,0
7,0
970
39,7
23,0
17,5
0,57
81,0
22.5
200
мт
31-8
6,3
712
33,5
19,4
14,8
0,63
78,0
23,0
5,0
720
30,8
17,8
13,5
0,55
77,0
18,0
185
4
мт
41-8
8,8
722
48,0
27,8
21,1
0,60
80,0
36,5
7,0
728
45,2
26,2
19,9
0,52
77,5
29,0
155
мт
42-8
13,0
724
66,5
38,5
29,3
0,62
82,5
37,0
10,5
729
61,7
35,7
27,1
0,55
81,0
29,6
222
5
мт
51-8
17,5
728
86,4
50,0
38,0
0,63
84,0
55,0
14,5
732
81,5
47,2
35,9
0,56
83,0
45,5
197
мт
52-8
23,5
730
107
62,0
47,1
0,67
85,5
56,5
19,0
734
97,5
56,5
42,9
0,60
85,0
45,6
257
6
МТБ
611-10
36,0
581
178
103
78
0,62
85,5
122
28,0
586
161
93,0
71,0
0,54
85,5
94,0
185
МТБ
612-10
48,0
582
225
130
99
0,65
87,0
120
35,0
588
200
115
87,0
0,54
86,0
87,0
247
МТБ
613-10
65,0
584
290
168
128
0,67
88,0
125
43,0
590
250
145
110
0,52
87,0
82,0
320
7
МТБ
711-10
80,0
588
390
225
171
0,61
89,0
182
52,0
592
335
193
147
0,47
87,0
115
275
МТБ
712-10
100
590
500
290
220
0,58
90,0
178
65,0
593
435
250
190
0,45
88,0
115
345
МТБ
713-10
125
590
595
343
260
0,61
91,0
182
86,0
593
525
303
230
0,48
89,5
125
420
Продолжение приложения 31
Величина
Тип электро¬
двигателя
100% пв
1 час
Кратность макси¬
мального момента
к номинальному
при 25% ПВ
Напряжение между
кольцами ротора, в
Маховой момент
ротора, кГм2
Мощность на
валу, кет
Скорость враще¬
ния, об/мин
Линейный ток
статора (а) при
напряжении
Коэффициент
мощности
Коэффициент
полезного дей¬
ствия, %
Ток ротора, а
Мощность на
валу, кет
Скорость вра¬
щения, об/мин
Линейный ток
статора (а) при
напряжении
Коэффициент
мощности
Коэффициент
полезного дей¬
ствия, %
Ток ротора, а
220 в
380 в
500 в
220 в
380 в
500 в
1
МТ 11-6
1,1
945
10,0
5,8
4,4
0,49
58,5
5,8
1,8
910
11,4
6,6
5,0
0,64
64,5
10,2
2,3
135
0,17
МТ 12-6
1,7
960
13,8
8,0
6,1
0,49
65,5
5,7
2,5
940
15,2
8,8
6,7
0,62
69,5
8,5
2,5
204
0,27
2
МТ 21-6
2,3
972
20,6
11,9
9,0
0,43
68,0
9,6
4,2
950
23,8
13,8
10,5
0,62
74,5
17,3
2,9
164
0,41
МТ 22-6
3,6
978
28,3
16,4
12,5
0,46
77,0
10,3
6,3
957
33,0
19,1
14,5
0,64
78,0
18,1
2,8
227
0,57
3
МТ 31-6
5,0
980
36,6
21,2
16,1
0,46
77,5
16,0
8,8
962
43,2
25,0
19,0
0,65
82,0
28,0
3,1
200
1,05
МТ 31-8
3,6
728
28,7
16,6
12,6
0,45
73,0
12,8
6,3
712
33,5
19,4
14,8
0,63
78,0
23,0
2,6
185
1,05
4
МТ 41-8
5,0
735
42,2
24,4
18,5
0,42
73,5
20,7
8,8
722
48,0
27,8
21,2
0,60
80,0
36,5
2,9
155
1,86
МТ 42-8
7,0
735
56,1
32,5
24,7
0,42
77,5
19,5
13,0
724
66,7
38,5
29,2
0,62
82,5
37,0
3,0
222
2,70
5
МТ 51-8
10,0
738
74,3
43,0
32,6
0,44
80,0
30,8
17,5
728
86,4
50,0
38,0
0,63
84,0
55,0
3,0
197
4,40
МТ 52-8
14,0
738
88,6
51,3
39,0
0,50
82,5
32,5
23,5
730
107
62,0
47,1
0,67
85,5
56,5
3,0
257
5,70
6
МТБ ібИ-10
24
588
154
89,0
68
0,48
85,0
80,0
45,0
575
200
115
87,0
0,70
85,0
155
3,0
185
17
МТБ 612-10
30
590
190
110
83,5
0,49
85,0
75,0
60,0
578
250
145
110
0,72
87,0
154
3,0
245
21
МТБ 613-10
36
592
239
138
105
0,46
86,0
68,0
80,0
580
330
190
145
0,72
88,5
155
3,0
320
25
7
МТБ 711-10
МТБ 712-10
Не изготовляются.
Следует применять электродвигатели МТБ
100
125
584
587
440
555
255
320
195
245
0,67
0,66
89,0
90,0
230
225
2,8
2,8
275
345
41
51
МТБ 713-10
с независимой вентиляцией (продуваемые).
160
587
685
395
300
0,68
91,0
235
2,8
420
60
ПРИЛОЖЕНИЕ 32
ХАРАКТЕРИСТИКИ ТРЕХФАЗНЫХ ДВУХОБМОТОЧНЫХ ТРАНСФОРМАТОРОВ
(ГОСТ 401—41)
Номиналь¬
ная
мощность,
кеа
Верхний предел но¬
минальных напряже¬
ний обмоток, кв
Потери, вт
Номинальный
коэффициент
полезного
действия, %
Изменения
напряжения
при номиналь¬
ной нагрузке
и COS ф2 = 1, %
Напряжение ко¬
роткого замыка¬
ния в процентах
от номинального
напряжения
Ток холостого
хода в процен¬
тах от номиналь¬
ного тока
холостого
хода при но¬
минальном
напряжении
короткого
замыкания
при номиналь¬
ной нагрузке
высшего
напряже¬
ния
низшего
напряже¬
ния
5
6,3
0,400
60
185
95,33
3,8
5,5
10
10
6,3
0,400
105
335
95,79
3,45
5,5
10
10
0,400
140
335
95,47
3,45
5,5
10
20
6,3
0,400
180
600
96,25
3,1
5,5
9
10
0,400
220
600
96,06
3,1
5,5
10
30
6,3
0,400
250
850
96,46
2,95
5,5
8
10
0,400
300
850
96,31
2,95
5,5
9
50
6,3
0,525
350
1325
96,75
2,75
5,5
7
10
0,400
440
1325
96,59
2,75
5,5
8
35
0,400
540
1325
96,40
2,85
6,5
9
75
6,3
0,525
490
1875
96,94
2,6
5,5
6,5
10
0,400
590
1875
96,82
2,6
5,5
7,5
100
6,3
0,525
600
2 400
97,09
2,5
5,5
6,5
10
0,525
730
2 400
96,96
2,5
5,5
7,5
35
0,525
900
2 400
96,81
2,6
6,5
8
135
6,3
0,525
830
3 070
97,19
2,4
5,5
6,5
10
0,525
1000
3150
97,02
2,46
5,5
7,5
180
6,3
0,525
1000
4 000
97,30
2,35
5,5
6
10
0,525
1200
4100
97,14
2,4
5,5
7
10
3,15
1 500
4100
96,97
2,4
5,5
8
35
10,5
1500
4100
96,97
2,45
6,5
8
Продолжение приложения 32
Номиналь¬
ная
мощность,
ква
Верхний предел но¬
минальных напряже¬
ний обмоток, кв
Потери, вт
Номинальный
коэффициент
полезного
действия, %
Изменения на¬
пряжения
при номиналь¬
ной нагрузке и
COS(J)2=1, %
Напряжение ко¬
роткого замыка¬
ния в процентах
от номиналь¬
ного напряже¬
ния
Ток холостого
хода в процен¬
тах от номиналь¬
ного тока
холостого
хода при но¬
минальном
напряжении
короткого
замыкания
при номиналь¬
ной нагрузке
высшего
напряже¬
ния
низшего
напряже¬
ния
240
6,3
0,525
1400
4 900
97,44
2,17
5,5
6
10
0,525
1600
5100
97,28
2,25
5,5
7
320
6,3
0,525
1 600
6 070
97,65
2,05
5,5
6
10
0,525
1900
6 200
97,54
2,05
5,5
7
10
3,15
2 300
6 200
97,41
2,05
5,5
7,5
35
10,5
2 300
6 200
97,41
2,15
6,5
7,5
420
10
0,525
2100
7 700
97,72
1,96
5,5
6,5
560
10
0,525
2 500
9 400
97,87
1,8
5,5
6
10
6,3
3 350
9 400
97,77
1,8
5,5
6,5
35
10,5
3 350
9 400
97,77
1,85
6,5
6,5
750
10
0,525
4100
11 900
97,91
1,73
5,5
6
1000
10
6,3
4 900
15 000
98,05
1,64
5,5
5
35
10
5100
15 000
98,03
1,7
6,5
5,5
1350
10
6,3
6 000
19 500
98,15
1,59
5,5
5
35
10,5
6 500
19 500
98,11
1,65
6,5
5,5
1800
10
6,3
8 000
24 000
98,25
1,47
5,5
4,5
35
10,5
8 300
24 000
98,24
1,53
6,5
5
2 400
10
6,3
9 200
31 500
98,33
1,45
5,5
4,5
35
10,5
10 000
31 500
98,3
1,51
6,5
5
3 200
10
6,3
11000
37 000
98,52
1,3
5,5
4
38,5
10,5
11500
37 000
98,51
1,4
7
4,5
121
38,5
16 600
39 500
98,28
1,78
10,5
4,5
4 200
10
6,3
14 000
47 000
98,57
1,27
5,5
4
35
10,5
14 500
47 000
98,56
1,4
7
4,5
Продолжение приложения 32
Номиналъ*
ная мощность,
кеа
Верхний предел но¬
минальных напряже¬
ний обмоток, кв
Потери*, вт
Номинальный
коэффициент
полезного
действия, %
Изменения на¬
пряжения
при номиналь¬
ной нагрузке и
COS ф2 = 1, %
Напряжение ко¬
роткого замыка¬
ния в процентах
от номиналь¬
ного напряже¬
ния
Ток холостого
хода в процен¬
тах от номиналь¬
ного тока
холостого
хода при но¬
минальном
напряжении
короткого
замыкания
при номиналь¬
ной нагрузке
высшего
напряже¬
ния
низшего
напряже¬
ния
5 600
10
6,3
18000
56 000
98,7
1,11
5,5
4
38,5
10,5
18 500
57 000
98,67
1,3
7,5
4,5
121
38,5
25 500
62 500
98,45
1,67
10,5
4,5
7 500
38,5
И
24 000
75 000
98,7
1,25
7,5
3,5
121
38,5
33 000
77 000
98,55
1,58
10,5
4
10000
38,5
И
29 000
92 000
98,8
1,2
7,5
3
121
38,5
38 500
97 500
98,66
1,53
10,5
3,5
15000
38,5
11
39 000
122 000
98,93
1,1
8
3
121
38,5
50 000
133 000
98,79
1,44
10,5
3,5
20 000
38,5
11
48 000
148 000
99,3
1
8
2,5
121
38,5
60 000
163 000
98,9
1,37
10,5
3
31500
38,5
И
73 000
180000
99,2
0,9
8
2,2
121
38,5
86 000
200 000
99,1
1,19
10,5
2,7
40 500
38,5
И
94 000
222 000
99,22
0,9
8,5
2,3
121
И
115 000
222 000
99,17
0,9
10,5
10,5
60 000
121
И
150 000
300 000
99,26
1,0
11,5
3,6
ПРИЛОЖЕНИЕ 33
ХАРАКТЕРИСТИКА ОДНОФАЗНЫХ ДВУХОБМОТОЧНЫХ ТРАНСФОРМАТОРОВ
(ГОСТ 401—41)
Номиналъ*
ная мощность,
кеа
Верхний предел но¬
минальных напряже¬
ний обмоток, кв
Потери, кет
Номинальный
коэффициент
полезного
действия, %
Изменение на¬
пряжения при
номинальной
нагрузке и
cos<p2=l, %
Напряжение ко¬
роткого замыка¬
ния в процентах
от номиналь¬
ного напряже¬
ния
Ток холостого
хода в процен¬
тах от номиналь¬
ного тока
холостого
хода при но¬
минальном
напряжении
короткого
замыкания
при номиналь¬
ной нагрузке
высшего
напряже¬
ния (ВН)
низшего
напряже¬
ния (НН)
5 000
38,5
И
14
45
98,83
1,18
8
4
110
И
18
47
98,62
1,49
10,5
4
6 667
38,5
И
17
53,5
98,95
1,08
8
3,5
121
11
24
56
98,81
1,39
10,5
3,5
10500
38,5
11
23,5
77
99,05
1,01
7,5
3,3
121
38,5
29,5
81,5
98,96
1,33
10,5
3,3
13 500
121
38,5
33,5
98,5
99,03
1,28
10,5
3,3
20 000
121
38,5
47
129
99,13
1,20
10,5
2,85
30000
121
10,5
66
172
99,21
1,12
10,5
2,5
40 000
121
15,75
84
216
4
99,25
1,09
10,5
2,5
Примечание. Для определения потерь в трехфазной группе указанные в таблице потери следует умно¬
жить на 3.
ПРИЛОЖЕНИЕ 34
КРИВЫЕ НАМАГНИЧИВАНИЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ СТАЛИ,
ЛИТОЙ СТАЛИ И ЧУГУНА
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Глава первая. Электрические цепи постоянного тока 5
Глава вторая. Электрическое поле 50
Глава третья. Магнитное поле . 59
Глава четвертая. Электрические цепи переменного тока 81
Глава пятая. Применение символического метода к расчету цепей пе¬
ременного тока 155
Глава шестая. Круговые диаграммы 192
Глава седьмая. Трехфазный ток 208
Глава восьмая. Несинусоидальные токи Г 259
Глава девятая. Переходные процессы в цепях с сосредоточенными пара¬
метрами 279
Глава десятая. Электрические измерения 291
Глава одиннадцатая. Катушки со стальными сердечниками и трансфор¬
маторы 319
Глава двенадцатая. Асинхронные двигатели 354
Глава тринадцатая. Синхронные машины 371
Глава четырнадцатая. Машины постоянного тока 381
Глава пятнадцатая. Электрические сети 421
Глава шестнадцатая. Электрическое освещение 471
Глава семнадцатая. Электропривод 492
Ответы 517
Приложения 527
Раскатов Афанасий Иванович
ЗАДАЧНИК ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ И ЭЛЕКТРО¬
ОБОРУДОВАНИЮ, 3-е изд., испр. и доп. М. «Высшая
школа», 1964 г.
564 с. с илл. 6П2.1
♦ * #
Научный редактор канд. техн, наук М. Б. Майкопар
Редактор Г. А. Силъвестрович
Обложка художника В. Н. Иванова
Технические редакторы Л. А. Дороднова, H. Н, Баранова
Корректор А. В. Канатова
Т-03619. Сдано в набор 7/Х 1963 г. Подо, к печ. 9/Ш 1964 г.
Формат бум. 60ж90‘/ів—35,25 п. л. В 1 п. л. 35 000 ан.
Уч.-изд. 30,76 л. Уч. № 3/6667« Тираж 50 000 экз.
Цена 87 коп. Заказ № 936.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Главполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров
СССР по печати. Москва, Ж-54, Валовая, 28.