Логика модальностей знания и мнения - Бежанишвили М.Н.

Глава 1. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
1.4. Корректность
1.5. Семантические таблицы
3. Нормальная и монотонная эпистемическая предикатная система S4
Глава 2. Ненормальные и немонотонные эпистемические и доксастические пропозициональные логики
8.2. Правила таблиц для DxT и Dx4
8.3. Характеристические и ассоциированные формулы
Глава 3. Ненормальные и немонотонные эпистемические предикатные логики
2. Исчисления частичных предикатов Хао Вана
2.2. Критерии доказуемости формул в PPs и EPs
3. Эпистемическая логика и исчисления частичных предикатов Хао Вана
4.3. Корректность и полнота предикатной версии табличного исчисления E4
4.4. Об обобщении исчислений частичных предикатов Хао Вана, допускающем итерации импликации
Author: Бежанишвили М.Н.
Tags: логика искусственный интеллект философские науки модальная логика
ISBN: 978-5-484-00779-0
Year: 2007
Similar
Семантика модальных и интенсиональных логик
Математическая логика и основания математики. Модальная логика.
Основы логики
Математическая логика и теория алгоритмов
Text
                    М. Н. Бежанишвили
логика
МОДАЛЬНОСТЕЙ
ЗНАНИЯ и МНЕНИЯ
Предисловие доктора технических наук, профессора
В. К. Финна
МОСКВА
URSS

ББК 87.4
Бежанишвили Михаил Николаевич
Логика модальностей знания и мнения / Предисл. В. К. Финна.
М.: КомКнига, 2007. — 288 с.
В настоящей книге систематически рассмотрены и исследованы логики
модальностей знания и мнения. Автор оригинальным образом решает проблему
«логического всеведения», используя семантику частичных возможных миров.
Формулируются соответствующие системы, исследуются их метатеоретические
особенности (корректность, полнота и т. д.), устанавливается связь с другими
известными системами. Для чтения книги вполне достаточно ознакомиться с
элементами классической логики, а также начальными понятиями теории множеств,
обычно используемыми в простейших семантических определениях.
Книга адресована логикам, философам и специалистам в области
искусственного интеллекта.
Текст опубликован в авторской редакции.
Издательство «КомКнжа». 117312, г Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
Формат 60x90/16. Печ. л. 18. Зак. №640.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, д 11 А, стр 11.
Соотв. 13-значный ISBN, вводимый с 2007 г.:
ISBN 978-5-484-00779-0
10-значный ISBN, применяемый до 2007 г.:
ISBN 5-484-00779-8
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
URSS
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тал ./факс: 7 (495) 135-42-16
; Тел./факс: 7 (495) 135-42-46
© КомКнига, 2007
3983 ID 47943
■и
785484||007790,|>

Оглавление
Предисловие к русскому изданию 7
Предисловие 17
Введение 19
Глава 1
Некоторые нормальные и монотонные модальные логики 46
1. Пропозициональная модальная система К 46
1.1. Формальный язык 46
1.2. Теория доказательств 49
1.3. Семантика 56
1.4. Корректность 58
1.5. Семантические таблицы 58
1.6. Семантическая полнота 64
2. Некоторые расширения К 72
2.1. Теория доказательств 75
2.2. Редукция модальностей 82
2.3. Семантика 85
2.4. Семантические таблицы 86
2.5. Семантическая полнота 88
2.6. Разрешимость 105
3. Нормальная и монотонная эпистемическая
предикатная система S4 108
3.1. Формальный язык 108
3.2. Теория доказательств 110
3.3. Семантика 116
3.4. Корректность 118
3.5. Семантические таблицы 119
3.6. Семантическая полнота 120

4
Оглавление
Глава II
Ненормальные и немонотонные эпистемические
и доксастические пропозициональные логики 127
1. Формальный язык 127
2. Теория доказательств 130
3. Семантика частичных возможных миров 139
4. Корректность 143
4.1. Сохранение общезначимости в модели 143
4.2. Дальнейшие теоремы 152
5. Критерий Роуза 153
6. Взаимозаменимость 165
7. Редукция модальностей в Dx5 и Ер5 173
8. Семантические таблицы 175
8.1. Правила таблиц для ЕрТ и Ер4 176
8.2. Правила таблиц для DxT и DxА 181
8.3. Характеристические и ассоциированные формулы . . 181
9. Семантическая полнота 183
9.1. Семантическая полнота систем ЕрТ и Ер4 183
9.2. Полнота систем Dx5 и Ер5 204
10. Разрешимость 205
11. Полимодальности 208
Глава III
Ненормальные и немонотонные эпистемические
предикатные логики 212
1. Табличное исчисление ЕрА 213
1.1. Теория доказательств 213
1.2. Семантика 215
1.3. Корректность ЕрА 217
1.4. Семантическая полнота ЕрА 220
2. Исчисления частичных предикатов Хао Вана 227
2.1. Пропозициональные фрагменты
исчислений РР и ЕР 230
2.2. Критерии доказуемости формул в PPs и EPs 233
2.3. Аналоги теоремы Крэйга для РР и ЕР 238

Оглавление
5
3. Эпистемическая логика и исчисления частичных
предикатов Хао Вана 247
4. Табличное исчисление ЕЛ 250
4.1. Теория доказательств табличного исчисления ЕЛ ... 251
4.2. Семантика табличного исчисления ЕЛ 251
4.3. Корректность и полнота предикатной версии
табличного исчисления ЕЛ 252
4.4. Об обобщении исчислений частичных предикатов
Хао Вана, допускающем итерации импликации .... 255
Заключение 257
Литература 263
Summary 273
Contents 283

Посвящаю светлой памяти
моих родителей

Предисловие к русскому изданию
Книга М. Н. Бежанишвили посвящена важной проблеме
современной философской логики — формализации логик модальностей
знания и мнения [1]. Высказывания типа «а знает, что Р» и «а
считает, что Р» относят, соответственно, к объектам изучения эпи-
стемических и доксастических логик. За внешней простотой этих
высказываний скрыто множество возможностей их формализации.
Дело в том, что возможны различные допущения о логической
и семантической природе знания и веры агента а (субъекта
пропозициональной установки), посредством которых он принимает или
отвергает высказывание Р. Во-первых, допущения относительно
агента а могут состоять в том, что а владеет только средствами
дедуктивной логики; во-вторых, можно предположить, что а может
использовать свои знания (т. е. некоторое подобие теории) для
применения эвристики принятия Р, включающей «догадки» [2],
формализуемые недедуктивными процедурами — индукцией,
аналогиями, абдукцией (с последующим применением дедукции).
Последний тип допущений имеет отношение к проблемам искусственного
интеллекта и многоагентным системам [3], в которых субъектом
принятия решения Р является множество агентов {ai,...,a„}:
множество агентов {аь ..., а„} считает, что Р.
Сказанное означает, что проблемы формализации
пропозициональных установок [4] интересны не только с философской
точки зрения, но интересны и актуальны также и с точки зрения
развития интеллектуальных возможностей компьютерных систем,
имитирующих принятие решений человеком или группой людей.
Следовательно, имеется актуальный вызов академической науке —
разработать логический аппарат анализа пропозициональных
установок «а знает, что Р», «а считает, что Р» и т. п.
Естественно, что наиболее ясным с логической точки зрения
является случай допущений относительно агентов а таких, что а

8
Предисловие к русскому изданию
обладает только средствами дедуктивной логики . Однако и в этом
случае возникают серьезные трудности, которые Я. Хинтикка
назвал «ужасными следствиями» [6]. Дело в том, что если К(я,Р)
и В (а, Р), соответственно, модальности представляющие “а знает,
что Р” и “а считает, что Р”, то, согласно Я. Хинтикке, кажутся
неизбежными следующие правила вывода:
(1) Из А э В следует К (а, А) Э К(а, В) и
(2) Из А Э В следует В(а, А) Э В(а, В).
Это означает, что всякий раз, когда импликация А Э В
логически истинна, каждый (т. е. агент а), кто знает, что А (т. е. К (а, А)),
или считает, что А (т. е. В (я, А)), должен также знать, что В (т. е.
К (я, В)) (соответственно, считать, что В (т. е. В (я, В)), но это
означает, что агент а обладает логическим всеведением.
Очевидно, что если Ах представляет аксиомы логики высказываний, то
а знает все следствия Ах, т. е. знает доказательства всех теорем
логики высказываний (аналогичное имеет место и для логики
предикатов первого порядка).
Следовательно, возникает проблема ограничения
«логического всеведения». Отсутствие логического всеведения означает, что
существуют такие я, А и В, что а знает, что А, А логически
влечет В (т. е. A D В логически истинна), но а не знает, что В.
Я. Хинтикка замечает [6], что источником логического
всеведения является допущение, что каждый эпистемически возможный
мир является логически возможным, т. е. каждая эпистемическая
альтернатива данного мира w логически возможна. Для
преодоления парадоксальной (с точки зрения здравого смысла) ситуации
логического всеведения Я. Хинтикка ввел понятие «невозможного
возможного мира» [6,7].
Противоречивые возможные миры Я. Хинтикки при всей их
логической изощренности не приводят к естественной
идеализации логических возможностей обладателя пропозициональной
установки такой, что эта идеализация выражает существенные
особенности познающего индивида, которые были бы эпистемически
^ Отметим, что и в этом случае используемая логика может быть неклассической
(см. в связи с этим [5]).

Предисловие к русскому изданию
9
содержательными. В книге М. Н. Бежанишвили предлагается новое
интересное решение проблемы устранения логического всеведения
в эпистемических и доксастических логиках, т. е. логиках знания
и мнения, соответственно. Он формулирует два источника
логического всеведения, полагая, что DP интерпретируется либо как
К(л,Р), либо как 2?(а, Р):
(1) если ПА. истинна в некотором мире ад, а Аэ В классически
общезначима, то □ В истинна в ад;
(2) если А классически общезначима, то ПА истинна в любом
возможном мире ад.
Изменение семантики возможных миров, предлагаемое
автором данной книги, состоит в том, что все возможные миры
подразделяются на тотальные и частичные. Возможные миры
первого типа характеризуются тем, что функция оценки V(P,v)
всюду определена и имеет областью значений {Т, _1_} — «истину»
и «ложь», соответственно, где Р — пропозициональная
переменная, a v — возможный мир. Собственно частичные возможные
миры характеризуются тем, что V(P,v) для некоторых пар (Р, и)
не определена (для выражения этого факта вводится обозначение
non! V(Р, v), а V(Р, v) обозначает, соответственно, что эта
функция определена для пары (Р, »)).
Множество всех возможных миров обозначается посредством
Н а множество всех тотальных миров — посредством W.
Фреймом называется тройка Fr = (Н, W, R), где 0 ф W С Н,
a R — бинарное отношение достижимости между мирами, т. е.
Я С Я х Я. Если R рефлексивно, то Fr называется ЕрТ-фрей-
мом для эпистемического аналога модальной системы Т. Если же R
рефлексивно и транзитивно, то Fr называется Ер4-фреймом для
эпистемического аналога модальной системы 54. Если же R
обладает еще и свойством эвклидовости (т. е. для любых u, v, ад 6 Н
из (и, v) £ R и (и, ад) £ R следует (», ад) £ R), то (JET, W, R)
называется Ер5 -фреймом для эпистемического аналога модальной
системы 55.
Моделями рассматриваемых систем являются конструкции
вида М = (Fr, V) , где Fr — ЕрТ-, Ер4-, Ер5-фреймы, а V —
функция оценки. Аналогично определяются фреймы и модели для
доксастических систем DpT, Dp4 и Dp5.

10
Предисловие к русскому изданию
Очевидно, что для тотальных возможных миров имеют место
законы противоречия и исключенного третьего двузначной
логики, тогда как для собственно частичных возможных миров законы
противоречия и исключенного третьего не имеют места, ибо
означивания формул для логических связок Л и V осуществляется
в трехзначной логике Я. Лукасевича [8]. Однако собственно
частичные возможные миры (в отличие от невозможных возможных
миров Я. Хинтикки) исключают одновременную оценку
пропозициональных переменных как истинных и ложных.
Модальная логика называется нормальной, если А всегда
влечет ПА, соответственно, модальная логика называется монотонной,
если A Э В всегда влечет ПА Э □ В. Модальная логика называется
ненормальной, если А не всегда влечет ПА, соответственно,
модальная система называется немонотонной, если А Э В не всегда
влечет ИМ э ПВ. В книге М. Н. Бежанишвили в первой и второй
главе рассмотрены, соответственно, нормальные и монотонные
(относительно оператора □) модальные логики и ненормальные
и немонотонные эпистемические и доксастические как
пропозициональные, так и предикатные логики.
Нормальные модальные логики содержат множество
тавтологий двузначной логики PC, аксиому П(Р Э (?) Э (ПР D □(?),
правило вывода modus ponens, правило подстановки, правило мо-
дализации: из А следует ИМ. Очевидно, что это правило является
производным в силу П(Р D (?) D (ПР D □(?), правил модали-
зации, подстановки и modus ponens. Легко понять, что если ПР
интерпретируется как К (я, Р) или В (я, Р), то возникает эффект
логического всеведения. Этот эффект отсутствует в
ненормальных и немонотонных эпистемических и доксастических логиках,
что обусловлено новой семантикой частичных возможных миров,
введенных М. Н. Бежанишвили, и тем фактом, что имеют место
теоремы адекватности (теоремы корректности и полноты)
рассматриваемых исчислений ЕрТ, ЕрА, Ер5 и DpT, Dp4 и Dp5 и
семантики частичных возможных миров, т. е. моделей М = (Fr,V),
доказанных автором книги.
Концепция эпистемических и доксастических логик,
систематически развитая М. Н. Бежанишвили, имеет ряд несомненных
логических и методологических преимуществ по сравнению с кон¬

Предисловие к русскому изданию
11
цепцией Я. Хинтикки [4,6,7]. Дело в том, что согласно Я. Хинтикке,
агент знает все следствия, выведенные посредством
«поверхностных тавтологий», т. е. тавтологий, являющихся отрицанием
тривиальных в некотором смысле противоречий, но существуют
противоречия, совместимые со знанием агента в некотором возможном
мире. Кроме того, в его системе недоказуема формула ~>К{а, А) Э
К{я, ->К(а, А)) (также, как и -iB(a, A) D В(а,->В(а, А))),
выражающая «знание о незнании», что обедняет эпистемологическое
содержание логики знания и мнения Я. Хинтикки (для
общезначимости приведенных формул отношение а-достижимости должно
быть эвклидовым). В системах Ер5 и Dp5 эти формулы доказуемы.
Существенным допущением эпистемологии, принимаемой
автором этой книги, является предположение о неполноте знания
(или — в широком смысле — информации) о мире, имеющейся
у типологически определенного агента. Это допущение
характеризует эпистемологию с познающим субъектом, имеющим
ограниченные познавательные возможности, которые исключают как
логическое всеведение, дак и принятие каких-либо противоречий.
Систематическое исследование эпистемически
интерпретированных нормальных и монотонных и, соответственно,
ненормальных и немонотонных модальных логик дало возможность построить
схему включения для логик Т, S4, S5 и ЕрТ, Ер4, Ер5 и DxT,
Dx4 и Dx5, аналогичную известной схеме Е. Леммона [9].
Частичные возможные миры и соответствующие им эписте-
мические логики, рассмотренные М. Н. Бежанишвили, оказались
естественным образом связанными с исчислением частичных
предикатов Хао Вана [10] и пропозициональными фрагментами этого
исчисления А. Роуза [11]. В третьей главе книги имеется цикл
результатов, связанных с исчислением Хао Вана, в том числе —
аналоги интерполяционной теоремы У. Крэйга и обобщение
частичных предикатов Хао Вана, допускающее итерации импликации.
Построение и систематическое исследование логик знания
и мнения весьма актуально, поскольку оно создает логический
аппарат формальной эпистемологии — дисциплины, возникающей
со второй половины прошлого века. Если использовать
словоупотребление недавнего прошлого, то можно сказать, что «тремя
источниками, тремя составными частями» формальной эпистемо¬

12
Предисловие к русскому изданию
логии являются проблемы философии познания и методологии
науки, философская логика и искусственный интеллект
(представление знаний, автоматизированные рассуждения и интеллектуальный
анализ данных — knowledge discovery). Проблемы, рассматриваемые
формальной эпистемологией, подразделяются на два класса —
статические и динамические. Статическими проблемами являются
проблемы изучения строения знания (в искусственном интеллекте
это представление знаний), динамическими проблемами являются
проблемы приобретения знания (в искусственном интеллекте это
машинное обучение и knowledge discovery, в философской логике —
индукция, аналогия, абдукция и средства порождения гипотез)2).
Очевидно, что статические проблемы относятся к изучению
свойств знания, а динамические — к изучению специфики
познания. Следовательно, возникает проблема характеризации
познающего субъекта и его логических возможностей извлечения
следствий из имеющихся у него знаний. Это обстоятельство и делает
актуальным создание и исследование логик модальностей знания
и мнения. М. Н. Бежанишвили справедливо замечает о
необходимости изучения этапов формирования знаний познающим субъектом,
что связано с уменьшением неопределенности в знании
познающего субъекта (агента в логиках модальностей знания и мнения).
Поэтому идея использования частичных возможных миров
методологически интересна и плодотворна для эпистемологии с
познающим субъектом, альтернативной эпистемологии без познающего
субъекта, которая была предложена Карлом Поппером [12] 3>.
На новом этапе развития логики снова возникла проблема
влияния на нее психологизма. В самом деле, каковы те ограничения
на логические средства познающего субъекта, которые должны быть
присущи агентам логик модальностей знания и мнения? В
концепции Я. Хинтикки таковыми являются нераспознаваемость
некоторого класса противоречий, что связано с введением невозможных
2) В современной символической логике следующие логические системы можно
отнести к средствам изучения динамики знания, имитирующим (и усиливающим)
логические средства познающего субъекта: временные логики, динамические
логики, немонотонные логики, логики с пересматриваемыми истинностными
значениями [14], логики изменения теорий, логические средства порождения гипотез [13,15].
3) В связи с эти см. также [13].

Предисловие к русскому изданию
13
возможных миров. В семантических допущениях М. Н. Бежани-
швили «психология» агента предполагает его возможное незнание,
что представимо посредством собственно частичных возможных
миров и означиванием связок -i, А и V в трехзначной логике
Я. Лукасевича. Обратим внимание на тот факт, что трехзначную
логику Я. Лукасевича можно отнести к логикам неопределенност-
ного типа таким, что третье истинностное значение характеризуется
как незнание истины или лжи высказывания [16]. В силу этого
обстоятельства естественно полагать, что адекватной теорией истины
для логик с частично определенными предикатами будет
неклассическая (неаристотелевская) теория истины, отличная от теории
истины А. Тарского. Можно предположить, что для этого случая
адекватной теорией истины будет теория, предложенная С. Крип-
ке [17]. Таким образом, проблемы, рассмотренные в данной книге,
имеют далеко идущие и глубокие следствия для развивающейся
формальной эпистемологии. Формальная же эпистемология может
быть охарактеризована как дисциплина, изучающая посредством
логико-математических методов отношения между имеющимся
знанием и получением из него нового знания (knowledge
discovery), что означает имитацию познания точными методами. Из этой
характеризации формальной эпистемологии следует, что она
является теорией рационального знания. Перечислим лишь некоторые
проблемы формальной эпистемологии, которые имеют прямое или
косвенное отношение к содержанию книги М. Н.Бежанишвили.
1. Представление знаний (логическая структура систем знаний,
языки представления знаний с дескриптивной и аргумента-
тивной функциями в смысле К. Р. Поппера).
2. Логические средства получения нового знания — как
дедуктивные, так и недедуктивные (в том числе, формализация
различных эвристик в виде синтеза познавательных
процедур — индукции, аналогии, абдукции и дедукции).
3. Неклассические логики для формализации правдоподобных
рассуждений, порождения гипотез и аргументации.
4. Теории принятия высказываний познающим субъектом (в том
числе, логики модальностей знания и мнения) и типология по¬

14
Предисловие к русскому изданию
знающих субъектов (представления их знаний, эпистемические
и доксастические модальности, семантика возможных миров).
5. Анализ неполноты информации в данных и уменьшение
неопределенности высказываний посредством обучения на
основе наличных фактов.
6. Агрегирование субъектов познания и принятие решений
личностью и коллективом с использованием логических средств.
7. Теоремы адекватности логик, формализующих
эпистемологические проблемы, и семантик, представляющих
соответствующие предметные области (онтологии — стохастические,
детерминистские, комбинированные).
Включение представления знания о субъекте и логических
средств принятия им высказываний означает тот факт, что
формальная эпистемология содержит важный раздел «эпистемологии
с познающим субъектом». Следовательно, возникают новые
проблемы психологизма в логике, ранее отвергнутые Э. Гуссерлем
и логическим позитивизмом. Этот психологизм состоит в том,
что некоторые когнитивные возможности абстрактных
типологизированных субъектов погружаются в логические системы.
Таковыми, в частности, являются эпистемические и доксастические
ненормальные и немонотонные системы, рассмотренные в книге
М. Н. Бежанишвили.
Проблема принятия высказывания Р познающим субъектом
(агентом а, обладающим знанием Т(а)) может быть
представлена как выводимость ПР из Т(а) в L: Т(а) Ь/, ПР, где L —
соответствующая логика, образованная как немодализированными
аксиомами и правилами (в том числе, классическая, трехзначная,
паранепротиворечивая, немонотонная относительно выводимости
и т. п.), так и модализированными аксиомами и правилами.
Таким образом, проблема формализации принятия Р агентом
а решается посредством задания логики L и ее семантики и выбора
Т(а) как некоторой «личной теории агента а» (точнее, типов таких
агентов). Например, в случае невозможных возможных миров
интересно было бы испытать применимость паранепротиворечивых
логик (в том числе, трехзначных) [18,19]. Кажется естественным
рассмотреть для случая семантики частичных возможных миров

Предисловие к русскому изданию
15
различные трехзначные логики как неопред еленностного, так и бес-
смысленностного типа [16] в качестве исходного немодализиро-
ванного исчисления с последующим его расширением посредством
эпистемических и доксастических модальностей. Естественность
таких исследований обусловлена тем, что частичные возможные
миры соответствуют логике частично определенных предикатов.
Отметим, что в работах по логике модальностей знания и
мнения не рассматривается спецификация знаний агента а (т. е.
некоторая система дескриптивных высказываний), но определяется
логика L и соответствующая ей семантика с теми или иными
допущениями и ограничениями. Это означает, что Т(а) = 0. Последнее
обстоятельство говорит о том, что фиксируются познавательные
возможности агента, ограниченные его логическими (но не
дескриптивными) средствами.
Философская логика является современным разделом
символической логики, идеями и задачами которой являются проблемы
формальной эпистемологии и проблемы формализации знания
социальных и гуманитарных наук. В книге М. Н. Бежанишви-
ли оригинально и систематически исследованы эпистемические
и доксастические логики, которые являются дедуктивным
аппаратом формальной эпистемологии. Результаты, полученные в книге,
являются несомненным успехом философской логики.
Книга «Логика модальностей знания и мнения» адресована
логикам, философам, специалистам в области искусственного
интеллекта и всем тем, кто интересуется точными рассуждениями и готов
стать агентом логики в социальных и гуманитарных дисциплинах.
Литература
1. Карнап Р. Значение и необходимость // Исследование по семантике
и модальной логике. М.: ИЛ, 1959.
2. Бернайс II. О рациональности // Эволюционная эпистемология и
логика социальных наук. М.: УРСС, 2000. С. 154-162.
3. Тарасов В. Б. От многоагентных систем к интеллектуальным
организациям: философия и психология, информатика. М.: УРСС, 2002.
4. Хинтикка Я. Семантика пропозициональных установок // Хинтикка Я.
Логико-эпистемологические исследования. М.: Прогресс, 1980. С. 68-
101.

16
Предисловие к русскому изданию
5. Rescher N. Topics in Philosophical logic // Dordrecht (Holland): D. Reidel
Publ. Co. 1968. Ch.V. P.40-53; Ch.XIV. P.250-286.
6. Хинтикка Я. В защиту невозможных возможных миров // Хинтик-
ка Я. Логико-эпистемологические исследования. М.: Прогресс, 1980.
С. 228-242.
7. Hintikka J. Knowledge and Belief. An Introduction to the Logic of Two
Notions. Ithaca: Cornell University Press, 1962.
8. Карпенко А. С. Многозначные логики. M.: Наука, 1997.
9. Леммон Е. Алгебраическая семантика для модальных логик I //
Семантика модальных и интенсиональных логик. М.: Прогресс, 1981.
С. 98-124.
10. Wang Н. The calculus of partial predicates and its extenion to set theory I //
Zeitschrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. Bd. 7.
P.238-288.
11. Rose A. A formalization of the propositional calculus corresponding to Wang’s
calculus of partial predicates // Zeitschrift fur mathematische Logik und
Grundlagen der Mathematik. Bd. 9. P. 177-198.
12. Поппер К. Объективное знание. Эволюционный подход. М.: УРСС,
2002. Гл. 3 (Эпистемология без субъекта знания). С. 108-152.
13. Финн В. К. Эволюционная эпистемология Карла Поппера и
эпистемология синтеза познавательных процедур // Эволюционная
эпистемология и логика социальных наук. М.: УРСС, 2000. С. 364-424.
14. Вагин В.Н., Головина Е.Ю., Загорянская А. А., Фомина М. В.
Достоверный и правдоподобный вывод в интеллектуальных системах. М.: Физ-
матлит, 2004.
15. Гаек 77., Гавранек Т. Автоматическое порождение гипотез. М.: Наука, 1984.
16. Финн В. К, Аншаков О. М, Григолия Р. 777, Забежайло М. И.
Многозначные логики как фрагменты формализованной семантики // Семиотика
и информатика. Вып. 15. 1980. С. 27-60.
17. Kripke S. Outline of a theory of truth // The Journal of Philosophy. Vol. 72.
1975. P.690-716.
18. da Costa N. C. A. On the theory of inconsistent formal systems // Notre
Dame Journal of Formal Logic. Vol. XV. № 7. 1974. P. 497-510.
19. Розоноэр Л. И. О выявлении противоречий в формальных теориях I //
Автоматика и телемеханика. №6. 1983. С. 113-124; О выявлении
противоречий в формальных теориях II; Там же. № 7. 1983. С. 97-104.
В. К. Финн
29 июля 2006 года.

Предисловие
В широком понимании эпистемическая логика является
разделом модальной логики, изучающим модальности знания и мнения
(веры) идеализированного агента (идеализации не всегда бывают
одинаковыми). В вышеуказанном смысле этот раздел модальной
логики реже называют доксатической. Но в узком понимании
эпистемическая логика исследует лишь знание агента, а доксасти-
ческая — его мнение (веру). В настоящей работе мы пользуемся
этими названиями, без уточнения в каком значении они
употребляются, так как это всегда достаточно ясно из контекста.
Долгое время не существовала удовлетворительная
семантическая теория логического аналиа модальностей знания и веры.
Безуспешными оказались попытки построения их адекватной
семантики на основании поиска критериев тождества смыслов и
синонимичности имен и предложений.
Для современных, более успешных подходов к логическому
анализу эпистемических модальностей характерно рассмотрение
альтернативных положений дел, ситуаций, совместимых или
несовместимых с знанием, верой (мнением) лица. Разные
подходы к экспликации и исследованию эпистемических модальностей
в определенной степени обусловлены неформальным,
интуитивным пониманием основных особенностей этих понятий.
В предлагаемой работе кроме хорошо известных толкований
модальностей знания и веры (рассматриваются минимальная
модальная система К и ее эпистемические и доксастические
расширения) также излагается один из возможных подходов к
семантическому анализу эпистемической и доксатической логики
на базе частичных возможных миров. Формулируются
соответствующие системы, исследуются их метатеоретические особенности
(корректность, полнота и т. д.), способность преодолевать
обсуждаемые в литературе трудности, устанавливается связь с другими
известными системами.

18
Предисловие
Автор предполагает, что читатель может выводить формулы
классической логики (поэтому соответствующие доказательства
в книге всюду опущены), хотя для чтения книги вполне
достаточно знакомство лишь с элементами классической логики, а также
начальными понятиями теории множеств, обычно используемыми
в простейших семантических определениях.
Книга написана для специалистов модальной логики. Ею
могут пользоваться также студенты и аспиранты, проходившие
подготовку по логике, и представители смежных дисциплин. Введение
можно читать независимо от основного текста и оно вполне
доступно для более широкого круга читателей, проявляющих интерес
не только к символической логике, но и к ее философии.
Ссылками на литературу отмечены научные заимствования.
Литература указана в конце книги. За фамилиями авторов
по хронологическому порядку следуют названия их исследований
для упрощения ссылок в тексте. Буквами а и Ь, добавленными
к дате, отмечаются дальнейшие названия с той же датой.
Автор благодарен В. К. Финну, склонившему его к
опубликованию этой книги и давшему ценные замечания и советы. Он также
выражает свою искреннюю признательность Л. И. Мчедлишвили,
тщательно просмотревшему рукопись книги и
способствовавшему улучшению первоначального текста, автор также благодарен
Л. Л. Эсакиа за ценные советы.
М. Н. Бежанишвили
Июнь 2005 г.

Введение
В ранних работах Фреге и Рассела особое внимание уделялось
логическому анализу сложноподчиненных предложений с
придаточными, вводимыми союзом «что» и глаголами главного
предложения: «знать», «верить» («считать»), «сомневаться» и т.д. (например,
«Колумб верил, что он проложил новый морской путь в Индию»).
Следуя Расселу [1940] и Дюкассу [1940], отношения между
лицом и пропозицией, выраженные в подобных сложноподчиненных
предложениях, в литературе часто называют пропозициональными
или эпистемическими (познавательными) установками. Карнап же
иногда не совсем адекватно именовал такие предложения
психологическими [1956].
В повседневном языке использование предложений,
выражающих эпистемические установки, и их обыденное понимание весьма
просты и не ведут к каким либо проблемам. Трудности
возникают лишь при попытке их логического анализа и теоретического
осмысления.
Истинность таких предложений не всегда зависит от
истинностного значения придаточного и, стало быть, не является
функцией последнего. Поэтому замена придаточного любым
эквивалентным предложением может изменить истинность
сложноподчиненного предложения в целом. В самом деле, рассмотрим
предложение А: «существует множество, состоящее из элементов,
которые выбраны по одному из каждого множества произвольно
заданного семейства попарно непересекающихся множеств». Как
известно, оно было впервые явно сформулировано Эрнстом Цер-
мело в 1904 году и названо аксиомой (свободного) выбора. Пусть,
далее, В означает утверждение: «существует максимальный
собственный идеал, который не пересекается с таким подмножеством
произвольно заданной булевой алгебры, которое не содержит ее
наименьшего элемента». Впервые его сформулировал в 1955 году
С. Мрувка и доказал, что оно эквивалентно аксиоме выбора. Но ес¬

20
Введение
ли в истинном сложноподчиненном предложении С:
«Цермело знал, что А»,
мы заменим А на В, получим явно ложное утверждение
«Цермело знал, что В»,
поскольку Цермело, естественно, не мог знать ни утверждения,
установленного через два года после его смерти, ни того факта,
что оно в качестве следствия содержится в его аксиоматической
системе.
Аналогичная ситуация может возникнуть и при замене
составляющего имени придаточного на равное по значению имя.
Действительно, если в истинном предложении «Брут не знал, что
число римских цезарей из рода Юлиев больше, чем 1» имя «число
римских цезарей из рода Юлиев» заменим на равное по значению
имя «6», опять получим ложное предложение: «Брут не знал, что 6
больше, чем 1». В самом деле, трудно предположить, что
просвещенный римский патриций не умел считать до шести.
Следуя совету Карнапа [1956], эти противоречия впредь
будем называть антиномиями интенсиональное™, подчеркивая наше
с ним несогласие в объяснении действительных причин их
возникновения (сам Карнап же такие противоречия называл антиномиями
отношения именования, считая это отношение источником
возникновения противоречий во всех неэкстенсиональных контекстах).
Примеры подобного рода (наряду с другими
конструкциями естественного языка), как было отмечено, анализировал еще
Фреге (см. [1892]). Он был уверен, что его метод, основанный
на различении денотата и смысла имен (а предложения можно
рассматривать как имена абстрактных предметов: истина, ложь),
не только справляется с логическим анализом сложноподчиненных
предложений указанной категории, но предусматривает и
охватывает также другие логические конструкции, заключенные в
естественном языке. Вместе с обычными денотатами (обозначаемыми
объектами) и обычными смыслами (способами презентации
обозначаемого объекта) имен он рассматривал также их косвенные
денотаты и косвенные смыслы. Придаточные, вводимые
перечисленными выше глаголами, выражают косвенную речь. Денотатом

Введение
21
такого придаточного в целом сложноподчиненном предложении
является косвенный денотат, т. е. обычный смысл придаточного,
выраженная им мысль (т. е. способ презентации обозначаемого).
Так в нашем первом примере А имеет в С косвенный денотат.
Им является обычный смысл А и поэтому в С нельзя заменить А
неравносильным с ним по смыслу (хоть и эквивалентным)
предложением В. Смысл же утверждения D, гласящего: «существует такое
множество, что его пересечение с каждым множеством из
произвольно заданного семейства попарно непересекающихся множеств
есть единичное множество», по-видимому, равносилен смыслу А,
так как фраза: «содержать один элемент из некоторого множества»,
вероятнее всего, подобным же способом представляет
обозначаемое, что и выражение: «пересечение с некоторым множеством
есть единичное множество». Стало быть, замена А на D в С
вполне допустима (т. е. в результате вновь получим равносильное
с С предложение). Во втором примере «число римских цезарей
из рода Юлиев» и «6» различными способами представляют один
и тот же объект, в силу чего осуществленная там замена
недопустима. Однако точные формальные условия тождественности или
равносильности смыслов не установили ни Фреге, ни позднее Чёрч,
неоднократно пытавшийся формально усовершенствовать его
подход с помощью карнаповского критерия тождества смыслов имен
(интенсионального изоморфизма; см. Карнап [1956]).
Примерно в таком ключе пытались исследовать предложения
о знании и мнении Карнап, Льюис (см. [1943-1944]), Чёрч и их
современники. Можно определенно сказать, что эти поиски зашли
в тупик, надежду выхода из которого Чёрч в одной из своих поздних
работ связывал с необходимостью учета концепции возможных
миров, альтернативных положений дел (см. Чёрч [1973]).
С сложноподчиненными предложениями указанной категории
часто ассоциируется также ряд сопутствующих значений, которые
мы им приписываем в соответствии с законами психологии, хотя
формально они не выражены эксплицитно. Но учет сопутствующих
значений нужен далеко не всегда, и в таких случаях необходимо
от них полностью отвлечься, чтобы не оказаться в плену
психологизма и не исказить содержание высказываемого.

22
Введение
Итак, отсутствие удовлетворительных критериев
равносильности смыслов и синонимичности имен, а также опасения
возрождения психологизма в логике, по всей вероятности, отодвинули
на задний план проблему логического анализа эпистемических
установок. Хотя в конце 30-х и начале 40-х годов прошлого
столетия она достаточно широко обсуждалась как с прагматической,
так и с семантической точек зрения. В этой дискуссии негативную
позицию занимал Куайн, без дифференциации относящий к
неэкстенсиональным контекстам как эпистемические установки, так
и другие модальности и всякую косвенную речь. Допустимость
взаимозаменяемости эквивалентных или тождественных, а также
вывода единичного из общего и использования
экзистенциального обобщения он ограничивал лишь экстенсиональными
контекстами и запрещал их применение в неэкстенсиональных случаях
(см. Куайн [1943]).
Теперь рассмотрим трудность, связанную с правилом
экзистенциального обобщения. Если мы применим это правило вывода
к нашему утверждению из второго примера: «Брут не знал, что
число римских цезарей из рода Юлиев больше, чем 1», получим новое
утверждение: «существует х, такой, что Брут не знал, что х больше,
чем 1». И неясно, о существовании какого х идет в нем речь,
имеется в виду предмет, названный именем «число римских цезарей
рода Юлиев», т. е. число 6 (тогда последнее утверждение ложно),
или выраженный этим именем смысл, т. е. наш способ презентации
числа 6 (но тогда последнее утверждение истинно, так как оно
устанавливает существование х, такого, что Брут не знал является ли
число, представленное этим смыслом х больше, чем 1. В самом
деле, когда после поражения республиканцев Брут покончил с собой,
ему был известен лишь один римский цезарь из рода Юлиев —
Гай). Стало быть, мы не можем однозначно интерпретировать
переменную х и содержащий ее контекст. Поэтому не обоснована
и допустимость применения правила экзистенциального
обобщения. По мнению Куайна, в неэкстенсиональных контекстах ни одна
переменная не может подразумевать обратной ссылки на квантор,
предшествующий этому контексту (см. Куайн [1943]). Заметим, что
согласно методу Фреге—Чёрча, здесь речь все-таки однозначно
идет о существовании косвенного денотата, т. е. смысла нашего

Введение
23
имени и в подобных случаях переменная должна иметь
интенсиональную область, содержащую надлежащие косвенные денотаты
(см. Чёрч [1943]). А в семантике возможных миров заменителем
такой области может стать определенное множество
альтернативных экстенсиональных областей.
Что же касается критерия синонимичности, Куайн считал
возможным искать его только в психологических и лингвистических
терминах (см. Куайн [1943]).
К поискам эпистемических оснований логики следует
также отнести ранние попытки рассмотрения частично определенных
предикатов и множеств наряду с полностью определенными
предикатами и множествами ^.
Другой, альтернативный подход, насколько автору известно,
впервые предложил фон Вригт [1951]. Эпистемические установки
он рассматривал не как специальные бинарные отношения,
двухместные предикаты, а как особые виды логических модальностей,
операций. Во всяком случае, первые эпистемические
пропозициональные системы с (нерелятивизированным по отношению к
агенту) модальным оператором знания «известно (проверяемо), что...»
были сформулированы им по аналогии с некоторыми своими але-
тическими и деонтическими модальными пропозициональными
системами. Он же ввел термин «эпистемические модальности». Так
имплицитно наметилась возможность использования семантики
модальной логики к анализу эпистемических установок. Но тогда
современная теория моделей еще не была разработана. Она
возникла значительно позже и преимущественно на другой основе.
Поэтому указанная возможность еще долго оставалась нереализи-
рованной.
Однако, несмотря на это обстоятельство, такой подход
существенно расширял класс пропозициональных тавтологий
(логически истинных, общезначимых формул) за счет таких модали-
зированных выражений, которые не являются подстановковыми
частными случаями классических тавтологий.
^ Подробный обзор этих работ содержится в статье С. Фефермана [1984]. К
обсуждению одного из таких подходов мы вернемся позже.

24
Введение
В самом деле, эпистемические установки обычно
рассматривались как специальные бинарные отношения между некоторым
лицом (агентом) и пропозицией или предложением (в последнем
случае вводили дополнительный параметр, указывающий на каком
языке сформулировано это предложение. Но в дальнейшем мы
сможем пренебречь упомянутым различием, так как условимся,
что агент эпистемической установки владеет лишь языком
первопорядковой теории или логики предикатов). Пусть а, Ь имена
агентов, А — имя некоторой пропозиции, а К и В — символы для
специальных бинарных отношений знания и мнения (веры). Тогда
записи К(Ь, А) и В(а, А) соответственно означают: «Ь знает, что А»
и «а верит (считает), что А». Поскольку эти записи сами
выражают определенные пропозиции (сами являются формулами), их мы
всегда сможем выбирать в качестве последующих членов этих же
отношений, что, как видим, позволяет без труда итерировать такие
бинарные отношения: К(Ь, К(а, А)), К(а, В(Ь, К(а, 4))) и т. д.
Эпистемические установки так же просто итерируются и в том случае,
когда мы их рассматриваем как логические операции, т. е. способы
образования сложных пропозиций из более простых (с помощью
рассмотренных примеров мы убедились, что такие операции
неэкстенсиональны2)). Но несмотря на внешнее сходство эти подходы
все же отличаются друг от друга.
В первом случае, к языку первопорядковой логики предикатов
L добавляем символы специальных бинарных отношений, скажем
К и В. Эти отношения обладают специфическими структурными
свойствами, которые выражены в постулатах значений 2 (в смысле
Карнапа [1952]). В зависимости от принятой экспликации среди 2
могут, например, встречаться К(а, А) Э А, К(а, А) Э К(а, К(а, Л)),
В(а, (В(а, А) Э А)) и другие эпистемические принципы. Пусть,
далее, L' получается присоединением Е к L. Возможные миры (т. е.
описания состояния) L' ограничиваются теми возможными
мирами L, в которых выполняется каждый постулат из 2. Формула
общезначима в L', если она выполняется в каждом возможном
^Экстенсиональными же, как известно, являются логические связки: -i, Л,
V, Э и = (для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, материальной импликации
и материальной эквиваленции).

Введение
25
мире L'. Нетрудно убедиться, что пропозициональное строение
каждого постулата значения (и их любого нетривиального
следствия) будет нетавтологичным (т. е. пропозициональные части L
и V, включая пропозициональные тавтологии, будут полностью
совпадать). А1'в отличие от L будет не логикой, а
первопорядковой теорией.
Во втором случае, присоединяя к пропозициональным
связкам L эпистемические модальные операторы, скажем К и В3), мы
получаем L". Согласно реляционным семантикам, в L" множество
возможных миров L упорядочивается бинарным отношением
достижимости (как и в обычных семантиках алетических модальных
систем), а с каждым отдельным миром определенным образом
связывается соответствующая область индивидов. Выполнение
специфических структурных особенностей эпистемических операторов,
скажем К и В, теперь обеспечивается свойствами отношения
достижимости между мирами (разумеется, это можно осуществить
и с помощью других семантических методов). Постулаты значения
из Е (и их следствия) в L" уже будут представлены
соответствующими пропозициональными (а не первопорядковыми предикатными)
формулами и каждая из них будет пропозициональной тавтологией
в новом смысле (как например, Ю Э А, Ю D ККЛ, В(ВЛ Э А)
и т. д., опять в зависимости от принятой экспликации). Благодаря
этому класс пропозициональных тавтологий L" значительно шире,
чем соответствующий класс L и к тому же L", подобно L, будет
логикой, но уже обогащенной неэкстенсиональными способами
получения следствий, т. е. будет эпистемической логикой. Хотя,
как уже отмечалось, преимущество такого подхода до конца было
осмысленно позже.
Второй из вышеуказанных подходов после фон Вригта
избрал также Леммон при формулировке своих слабых модальных
пропозициональных систем, которые выражают логические
особенности некоторых эпистемических понятий (см. Леммон [1957]).
3' Мы пока не приписываем им личностные индексы, игнорируя агента
установки, поскольку сам фон Вригт рассматривал оператор знания безотносительно
к лицу; он иначе обозначал и толковал модальности; но его метол их семантического
анализа не нашел дальнейшего применения и развития.

26
Введение
В них теоремой не является ни одна формула вида ПА, где □
интерпретируется как некоторый безличностный эпистемический
модальный оператор, а А есть произвольная формула. Оператор
знания Леммон содержательно интерпретировал фразой:
«научно, но не логически достоверно, что...». Очевидно он стремился
уловить различие между научной теорией и логикой. Первая
всегда выражает специфические особенности действительного мира
или отдельных (но не всех) возможных миров, тогда как законы
логики изображают общие для всех возможных миров
особенности и, в этом смысле не имеют отношения к действительному
(или к какому либо иному) миру, точнее говоря, не выражают его
специфические особенности. По-видимому, именно в этом смысле
противопоставлял Леммон знание логике, связывая его с научной
теорией, но не с логикой (это старая проблема, восходящая к
Платону и мы вновь вернемся к ней в настоящем введении).
Однако, как указали Хьюз и Крессвелл (см. [1968], примечание
355), интуитивное понимание Леммоном знания, не реализовано
в его системах, в каждой из которых легко выводится не имеющая
вида ПА формула HQ Э П(Р э Р). Действительно, если
содержательно Q интерпретируется как некоторое научно, например,
экспериментально, но не логически обоснованное положение, а Р
интерпретируется как, скажем, научно не достоверное или
просто некоторое не научное утверждение, то антецедент OQ нашей
формулы в такой интерпретации будет истинным, а консеквент
□(Р D Р) ложным, так как, тогда формула (Р Э Р) будет
логически, но не научно достоверной (свои слабые системы и
соотношения между ними Леммон более детально исследовал в [1966]).
Следующий весьма важный шаг в этом направлении, как
известно, сделал Яакко Хинтикка в [1962]. Он впервые релятиви-
зировал эпистемические операторы по отношению к агенту, лицу
(пропозициональной установки) и связал условия истинности
предложений с такими операторами с возможными, альтернативными
мирами (точнее, с возможными, альтернативными состояниями
знания или мнения соответствующего лица). Так он впервые
построил семантику возможных миров для анализа эпистемической
логики. Условием истинности КаЛ и ВаЛ в некотором мире w
является истинность А в каждом достижимом для а из w (а-до-

Введение
27
стижимом или а-альтернативном) мире и. Однако особенности
а-достижимости (а-альтернативности) для КаА и ВЛА различные.
Именно после опубликования этого исследования стало обычным
учитывать эпистемические альтернативы для характеристики
знания и мнения некоторого лица. Хотя каждый, кто когда либо
обдумывал и осмысливал свое знание или мнение в данной
ситуации, тем самым невольно рассматривал и другие возможные,
альтернативные состояния своего знания, мнения или же разные
возможные направления их изменения и выяснял согласованность
последних с данным, в частности, с действительным состоянием
своего знания и мнения (см. Хинтикка [1969]).
При экспликации пропозициональной установки знания
Хинтикка исходит из его первичного значения, находя подтверждение
своей позиции в исследованиях древних и современных
философов (Платона, Аристотеля, Спинозы, Шопенгауера, Урмсона,
Айера и других; см. Хинтикка [1962]). Согласно такому
пониманию, мы имеем право утверждать: «а знает, что А», в случае, если
содержание А позволяет лицу а отстоять (обосновать или
доказать) А в любом случае, даже если против А выдвигаются новые
аргументы или используется новая информация. При этом, доводы
агента а должны быть такими, что никакие контраргументы или
дополнительная информация не должны заставить а отбросить А,
не из-за своей субъективности, скажем, упрямства или своеобразия
характера, а в силу неопровержимости А.
Надо также отказаться от использования слова «знание» в
переносном или метафоричном значении. Мы уже видели, что
истинность КаА в некотором возможном мире w равносильно
истинности А в каждом его а-альтернативном мире и, а среди
таких и непременно должен быть и w, т. е. знание чего-то всегда
предполагает истинность последнего4!. Если я знаю, что
подброшенный камень падает на землю, то он обязательно должен упасть
и в данной ситуации. Иными словами, для интерпретации зна¬
4! Противоположная точка зрения преобладала, например, в докладах и выступ-
лениях большинства московских логиков и лингвистов на конференции
«Логический анализ естественного языка» (29, 30 ноября 1985 г., Москва, МГУ, материалы
не опубликованы), где автор настоящей работы (в докладе «К семантике
пропозициональных установок») защищал изложенную здесь позицию.

28
Введение
ния каждый возможный мир должен быть а-достижимым из себя,
т. е. отношение а-достижимости (а-альтернативности) должно
обладать свойством рефлексивности. Но, вообще говоря, это не верно
по отношению к мнению (вере). Будучи твердо уверенным, что он
проложил новый морской путь в Индию, Колумб, на самом деле,
открыл Америку, о существовании которой и не подозревал. Хотя,
вероятно, многие в этом случае предпочли бы говорить не о вере,
мнении Колумба, а скорее об его знании (сам он психологически
свою веру, по-видимому, также воспринимал, как знание). Но
согласившись с этим, мы внесли бы в толкование знания ненужный
психологический элемент, поскольку, как было отмечено, с логико-
эпистемической точки зрения, знание есть обоснованное,
доказанное мнение в соответствии с четкими критериями обоснованности
и доказуемости.
Следующая особенность, которая отличает знание и веру
от других пропозициональных установок, согласно
первоначальному толкованию Хинтикки (см. [1962]), заключается в том, что
знание чего-то (вера во что-то) подразумевает знание этого знания
(веру в такой вере). Другими словами, знание и вера для Хинтикки —
это только лишь осознанное знание и вера. Поэтому он
принимает соответствующие принципы: КаД Э КаКаД и ВаД Э ВаВаА,
которые, как нетрудно проверить, не будут общезначимыми, если
миры, а-альтернативные по отношению к а-альтернативным
мирам данного мира w, в то же время не окажутся а-альтернативными
мирами самого w, т. е. если отношение а-достижимости
(а-альтернативности) между возможными мирами не будет обладать
свойством транзитивности (к этому вопросу мы вновь вернемся).
В качестве личностных индексов эпистемических операторов
можно рассматривать как собственные имена лиц (агентов), так
и определенные дескрипции или же личные местоимения. При
этом предполагается, что в предложениях вида: КаД, ВаД, личные
местоимения всюду строго относятся к подразумеваемым лицам.
Так, в нашем примере «Колумб верил, что он проложил новый
морской путь в Индию», мы обязаны пренебречь требованиями стиля
и представить это предложение в виде утверждения Е: «Колумб
верил, что Колумб проложил новый морской путь в Индию» или
всюду заменить в Е имя «Колумб» соответствующей дескрипцией.

Введение
29
Теперь охарактеризуем агента, лицо пропозициональной
установки.
Предполагается, что агент не забывает то, что он знает и во что
он верит, а также не приобретает нового знания и не меняет своего
мнения. В противном случае, формулы КаА и -iKaj4, а так же ВаА
и -iBaA, не были бы противоречащими друг другу. По аналогичной
причине фиксированной, неменяющейся во времени
предполагается та ситуация, в которой формулируется А (т. е. при анализе
неизменными считаются не только знание и вера агента, но и сама
пропозиция, а также отношение агента к ней).
Реальные лица, разумеется, обладают разными способностями
видения дедуктивных связей. Некоторые могут довольно глубоко
прослеживать цепи дедукций, выводить из посылок самые
отдаленные следствия. Некоторые не способны делать даже тривиальных
заключений.
Существует два существенно отличающихся подхода к анализу
эпистемических модальностей. Согласно первому из них
необходимо отвлечься от реальной ограниченности способностей
эмпирического агента прослеживать дедуктивные связи и в качестве агента
рассмотреть идеализированное лицо, создающий теорию субъект,
лишенный всех других индивидуальных качеств (философ
предпочел бы термин «познающий субъект»). Такую позицию занимал
Хинтикка в своей вышеуказанной книге [1962]. Самой подходящей
логикой модальности знания он считал эпистемическую
интерпретацию системы Льюиса S4. Аналогичную позицию, основанную
на известной геделевской трансляции интуиционистской логики
в S4 (см. К. Гедель [1933]), отстаивают Ст. Шапиро, Н. Гудмен,
Дж. Майхилл и др. (см., например, Ст. Шапиро, издатель, [1985]).
Модальный оператор знания эти авторы интерпретируют как
«идеальную (потенциональную) познаваемость» или как
«принципиальную доказуемость» и не ограничивают его доказуемостью в какой
либо конкретной дедуктивной системе, например, в
арифметике Пеанов. Указанная интерпретация имеет лишь поверхностное
В [1933] Гедель замечает, что если модальный оператор необходимости □
системы Льюиса 54 интерпретировать как доказуемость в конкретной формальной
системе, тогда теорема 54 □(□? Э Р) не окажется доказуемой ни в одной

30
Введение
сходство с системами, исследуемыми в работах Р. Соловея, Г. Бу-
лоса, С. Н. Артемова, Г. Джапаридзе и др. В них модальный
оператор интерпретируется как предикат доказуемости в формальной
арифметике Пеано, а итерации модального оператора трактуются
с помощью арифметизации. В таких системах, например, ПОА
означает Bew(gn(Bew (дп(А)))), где Bew —- предикат
доказуемости в арифметике Пеано, а дп — функция, сопоставляющая
каждой формуле ее геделев номер. В эпистемической же версии 54
□□А просто означает CL4. Если учитывать и другие тонкости, то
разница получится весьма существенной.
Сторонники второго подхода к исследованию эпистемических
модальностей считают, что идеализация, принятая представителями
первого подхода является крайне абсолютизированной. Лицо
эпистемической установки фактически отождествляется с «возможным
знанием» (включающим в себя все его логические следствия), с
всеведущим «универсальным разумом», Богом. Из такого анализа
полностью ускользает ограниченность кругозора (горизонта знаний)
реального лица, его логических и познавательных возможностей,
ограниченность, которая с использованием более слабой
идеализации непременно должна учитываться адекватной логической
теорией эпистемических установок. В последующих главах книги мы
рассмотрим системы, соответствующие обоим указанным подходам.
По их мнению, сомнения также вызывает целесообразность
использования стандартной семантики возможных миров в качестве
удовлетворительного средства анализа эпистемических установок,
поскольку эта семантика обязательно предполагает т. н. логическое
всеведение. Один из его видов заключается в следующем: если
некое лицо знает (считает, верит), что А и из А логически
следует В, согласно экстенсиональным законам (т. е. импликация А Э В
общезначима, скажем, классически), то это лицо знает (считает,
верит), что В. Нетрудно заметить, что такая формулировка
логического всеведения является ослабленной формой антиномии
интенсиональное™ (действительно, в нашем первом примере утвержде-
системе, содержащей арифметику. В противном случае, в ней доказуемыми были бы
□(0 ф 0) Э (0 Ф 0) и, следовательно, ->□(() ф 0). Но тогда непротиворечивость
такой формальной системы оказалась бы доказуемой в этой же системе.

Введение
31
ние Мрувки логически следует из аксиомы выбора Цермело, т. е.
соответствующая импликация классически общезначима, но сам
Цермело ничего не знал о нем и поэтому напрашивающийся
вывод парадоксален). Но о наличии прямой связи между логическим
всеведением и антиномией интенсиональности, — многократно
обсуждаемым старым затруднением, — в современной литературе
редко упоминается.
Пусть знак □ содержательно интерпретируется так же, как К„
или Ва. Тогда логическое всеведение можно, например, выразить
с помощью одной из следующих форм:
(1) Если формула □ А истинна в некотором мире, а А Э В
классически общезначима, то ПВ истинна в том же мире.
(2) Если А классически общезначима, то СМ истинна в любом
мире.
В обеих формах оно неизбежно возникает в обычной
семантике возможных миров. Действительно, в первом случае, согласно
условию истинности !КаД и Е„ А, □ А истинна в некотором мире w,
если А истинна во всех а-альтернативных для w мирах и и так
как A D В общезначима, в силу условия истинности для
материальной импликации, В тоже будет истинной в каждом из этих
миров и, что означает истинность ШВ в мире w. Во втором случае,
из общезначимости А, в частности, для любого данного мира w
вытекает истинность А в каждом а-альтернативном по отношению
к w мире. А это означает истинность UA в мире w.
В слабых системах Леммона устранено логическое всеведение
в виде (2), но в форме (1) оно заключено уже в постулированном им
правиле вывода: из A D В следует □ A Э ПВ (ср. Леммон [1957]).
О нежелательности возникновения логического всеведения
Хинтикка позднее писал: «...следует отдать себе отчет в том,
насколько неприятными оказываются следствия этой проблемы для
анализа пропозициональных установок, опирающегося на идею
возможных миров. Эти следствия не просто неприятны, они
ужасны. Все мы знаем и верим в большое количество таких вещей,
о следствиях которых у нас нет ни малейшего представления.
Евклид не знал всего, что можно знать в элементарной геометрии,
и Максвелл не знал всего, что мог знать об электромагнетизме.

32
Введение
Идеализация, содержащаяся в анализе знания с помощью
возможных миров, не только кажется слишком сильной, но, по-видимому,
делает бессмысленным сам этот анализ» (см. Хинтикка [1978]).
В той же работе Хинтикка показывает, что анализ знания
и других пропозициональных установок, опирающийся на
семантику возможных миров, не обязательно ведет к логическому
всеведению. Оно, по его мнению, возникает лишь в том случае, когда
каждый эпистемически возможный мир является стандартным.
Поясним, что это значит. Эпистемически возможными Хинтикка
называет те возможные миры, которые должны учитываться при
оценке формул согласно условию истинности эпистемических
операторов (т. е. а-альтернативные миры данного возможного мира).
Стандартным же называют возможный мир w, если каждая
атомарная формула истинна или ложна вчини одна из них не является
одновременно и истинной и ложной в w. Далее, общезначимость
формулы определяется, как ее истинность лишь в каждом
стандартном мире. Поэтому если из А логически следует В, т. е. A D В
(классически) общезначима, то А Э В будет истинной в
каждом стандартном возможном мире. Если к тому же О А истинна
в мире w и все его а-альтернативные миры (в которых
истинна А) стандартны, то ОВ тоже будет истинной в w. Но если
множество возможных миров содержит «невозможные возможные
миры», которые не стандартны, но эпистемически возможны, и
если к тому же они достижимы для а из w, логическое всеведение
в форме (1) устранится. Действительно, в таком случае, A D В
остается истинной во всех стандартных мирах. Этого достаточно
для ее общезначимости. Но, с другой стороны, ввиду
истинности □ А в мире w, А будет истинной во всех его эпистемически
а-достижимых мирах, включая невозможные возможные миры,
в одном из которых В уже может оказаться ложной (хотя в
каждом а-достижимом из w стандартном возможном мире В остается
истинной, ввиду общезначимости A D В). Поэтому в мире w ОВ
окажется ложной (притом w может быть стандартным).
Аналогично устраняется логическое всеведение и в форме (2). В самом деле,
из общезначимости А следует ее истинность в каждом стандартном
мире, но в некотором эпистемически а-достижимом из w
невозможном возможном мире формула А свободно может оказаться

Введение
33
ложной. Но тогда формула Ш-А ложна в мире w (который, при
этом, может быть стандартным).
Согласно мотивировке Хинтикки, лицо а считает
«невозможные возможные миры» эпистемически возможными или
совместимыми со своим знанием из-за ограниченности своих логических
возможностей, так как в силу их противоречивости, они
представляют собой мнимые возможности. Но их противоречивость
неуловима для обыкновенного индивида, каким бы логически
проницательным он ни был (т. е. ограниченность агента, в силу
такой мотивировки, проявляется в его неспособности обнаружить
некоторые противоречия). По мнению Хинтикки, это понятие
невозможных возможных миров сильнее, чем понятие странных,
ненормальных миров Крипке (предложенных им для анализа двух
слабых модальных систем Леммона; см. Крипке [1965]). Новое
воплощение «невозможные возможные миры» нашли в т. н. «ур-
новых моделях» Ранталы, в которых также сохраняется обычная
интерпретация логических связок и, в определенном смысле, даже
кванторов, но некоторые логические противоречия в них могут
оказаться истинными (см. Рантала [1975], Хинтикка [1978]). Свой
новый подход к анализу пропозициональных установок,
основанный на идее возможных миров, Хинтикка назвал единственным
разумным способом решения проблемы логического всеведения
в вышеуказанных рамках (см. [1978]).
В настоящей работе будет описан еще один возможный подход
к решению этой проблемы. Он также основан на идее возможных
миров, по всей вероятности, тоже не лишен разумности и может
также служить хорошей основой для устранения противоречий
(в том числе и логического всеведения).
Следует особо подчеркнуть, что превращать в самоцель
устранение логического всеведения не оправдано ни с теоретической,
ни с методологической точек зрения. Нельзя стремиться точно
воспроизвести логический аппарат какого бы ни было
эмпирически существующего индивида, нельзя строить логику исходя только
из его индивидуальной способности прослеживать цепи логических
умозаключений, из присущей только ему логической
проницательности. В таком случае, нам пришлось бы формулировать огромное
множество не только совершенно неинтересных, но также стран¬

34
Введение
но урезанных и уродливых «логических систем». Они несомненно
выглядели бы гораздо парадоксальнее, чем логическое всеведение
или любая другая форма антиномии интенсиональное™. И тогда
мы действительно оказались бы в плену психологизма.
Определенная идеализация лица пропозициональной
установки обязательна. Такая абстракция должна сохранять лишь наиболее
общие особенности познающего индивида, чтобы в каком-то
разумном смысле, с хорошей степенью приближения было
возможным приложить наш анализ также к эпистемическим установкам
эмпирической, реальной личности. Поэтому ограниченность
логической проницательности агента надо рассматривать в рамках
четко описуемой категории логического следования.
Ниже принимаются почти все интуитивные характеристики
лица эпистемической установки, которые Хинтикка кладет в
основу своего нового анализа. Исключение составляют, пожалуй,
следующие два пункта.
Во-первых, Хинтикка полагает, что агент знает все следствия,
выводимые с помощью поверхностных (но не глубинных)
тавтологий (т. е. отрицаний тривиальных в некотором смысле
контрадикций; см. Хинтикка [1970]. Это тоже является разумной
идеализацией, о которой говорилось выше). Поэтому какие-то противоречия
могут быть совместимыми со всем тем, что агент знает в некотором
возможном мире. Мы же такие границы связываем со следствиями
фактического знания агента. Оно и формирует его кругозор
(семантический смысл последнего ограничения выявится чуть позже).
Поэтому с тем, что это лицо знает, совместимы все классические
(в частноста, и немодализированные) тавтологии. Но, в отличие
от «невозможных возможных миров», лицо не может в принципе
знать ни одного противоречия (которые ни в одном возможном
мире не совместамы со всем тем, что агент может в нем знать).
Хорошей парадигмой для нашего подхода может служить
диалог Платона «Менон». В нем пытаясь убедить читателя (в лице
своего персонажа — Менона) в том, что знание есть лишь
припоминание, Платон, говорящий от имени Сократа, заставляет
молодого, необразованного раба (принадлежащего Менону) установить
одну из истин геометрии. Способность выводить логические
следствия в рабе актуализируется лишь тогда, когда ему сообщают все

Введение
35
достаточные для извлечения заключения посылки (когда его
заставляют, согласно концепции Платона, припомнить необходимое
для получения нужного заключения знание). Раб легко
устанавливает, что удвоение сторон квадрата увеличивает его площадь
не в два, а в четыре раза, но лишь после того, когда ему
помогут увидеть то, что в квадрате, полученном благодаря удвоению
сторон, будет ровно четыре квадрата, каждый из которых равен
первоначальному. Поэтому вполне естественна та интерпретация
этого пассажа диалога Платона «Менон», согласно которой агент
способен выводить только те логические следствия, достаточные
основания которых он актуально знает (и, стало быть, они для него
полностью определены). А распространенная интерпретация
этого же пассажа, согласно которой случай с рабом в «Меноне» будто
подтверждает, что агент знает все тавтологии классической
логики 6\ выглядит малоубедительной. Агент не может знать ни одну
классическую тавтологию (ввиду того, что, согласно
традиционному пониманию, которую мы разделяем, тавтологии не содержат
фактического знания), хотя каждая из них совместима со знанием
агента (т.е. возможна с точки зрения такого знания7)). Поэтому
агент лишь тогда может использовать тавтологии для вывода
следствий, когда их надлежащие подформулы определены для него и он
знает каждую из них. Это означает, что в таких случаях агент может
всегда правильно пользоваться условиями истинности логических
знаков при оценке формул. Например, если а знает (верит), что
А А В, тогда а знает (верит), что А и а знает (верит), что В, а
также обратно; или, скажем, если а знает (верит), что А, то а знает
(верит), что А У В (невзирая на то, определена или нет В для а);
или же если А не определена для а, то ->А тоже не определена для
61 Например, в докладе И. Ниинилуото «Возможные миры и память» на VI
Советско-финском симпозиуме («Новые направления в логической семантике»,
Москва, 12-17 июня 1989 г.) совершенно справедливо отвергалась общезначимость
принципа: «а помнит, что Т» (где Т — любая пропозициональная тавтология),
но тем не менее отвергнутый автором принцип прямо был ассоциирован с «Мено-
ном» Платона.
С целью шутливого изображения характера знания, заключенного в логических
тавтологиях, вспоминают того недалекого родителя, который страшно гордился
знаниями своего годовалого сына: когда бы он не спрашивая ребенка, сколько ему
лет, тот в ответ всегда либо показывал один палец, либо нет.

36
Введение
а и т. д. Вот подобная идеализация агента эпистемической
установки знания (веры) признается нами целесообразной. А в нашем
случае, правила оценки, скажем для формул, содержащих лишь
знаки -I, Л и V, будут совпадать с условиями истинности таких же
формул в трехзначной логике Лукасевича (см. [1920]). Поэтому,
на наш взгляд, вместо знания агента а предпочтительнее говорить
о знании, соответствующему этапу а в познании мира, а вместо
веры агента а — о вере, высказанной на этапе а в познании мира.
Во-вторых, согласно Хинтикке (ср. [1962]), агент всегда
является рефлексирующим, т. е. им всегда осознано то, что он
знает или во что он верит. Это обязывает нас принять принципы
КаА D КаКаА и ВаА Э ВаВаА, соответственно. Но притом Хин-
тикка считает эпистемически неприемлемой позицию, согласно
которой агент всегда осознает то, чего он не знает или во что не верит,
т. е. им отвергаются принципы -iKaA D Ка->КаА и -iBaA Э Ва->ВаА
для общезначимости которых, как известно, отношение а-достижи-
мости должно быть евклидовым (т. е. если из w а-достижимы v и и,
то из v а-достижим также и). Хинтикка отвергает эти принципы,
по крайней мере, в [1962]. А на наш взгляд, это является ненужным
ограничением возможных «кандидатов» в (абстрактные) индивиды
эпистемической установки знания или веры. От такого ограничения
отказывается, например, В. Рантала (см. его систему Т [1982]). Оно
отвергается также многими другими исследователями (см., к
примеру, систему LB М. Токажа [1990], систему WS5 X. Оно [1992]
(систематическое алгебраическое исследование этих систем проведено
в статье Н. Бежанишвили [2002]) и т.д. Личностное знание
допускает рассмотрение идеализированных (в вышеуказанном разумном
смысле) индивидов с различными способностями рефлексии над
своим знанием и мнением. Некоторые лица не всегда осмысливают
свое знание или веру, другие делают это всегда, а иным даже
удается занять позицию Сократа: если они не знают А, то они знают,
что не знают А, а если они не верят в А, то они верят в то, что
не верят в А. Как видим, в качестве агентов мы можем в принципе
рассматривать также индивиды многих других категорий или
разные этапы в познании мира или же этапы преобладающего мнения
(но здесь мы ограничимся упомянутыми тремя типами).

Введение
37
Сформулируем теперь новую версию условия истинности К„Л
и ВаЛ в мире w, не ведущую к логическому всеведению.
Стандартный возможный мир представляет положение дел в онтологическом
смысле. Мы же должны найти эпистемический, познавательный
аспект его представления. Познавательные возможности всякого
неабсолютизированного агента ограничены, его горизонт знаний
не охватывает полностью факты возможного мира. Поэтому об
обстоятельствах, не попавших в поле его зрения, он не может судить,
осуществлены они или нет в данном возможном мире. В этом мы
видим специфику эпистемического аспекта. Но как представить
его семантически? Для такой цели мы уже имеем готовый хороший
способ построения хинтикковских модельных множеств,
введенный Хинтиккой с другим намерением. Итак, обобщим понятие
стандартного возможного мира w, потребовав лишь то, чтобы в w
никакая атомарная формула в одно и то же время не была и
истинной и ложной. Назовем такой возможный мир w частичным или
фрагментарным (для выражения того, что в нем некоторая
атомарная формула может не быть ни истинной, ни ложной). Если,
кроме того, w стандартен (т. е. любая атомарная формула либо
истинна, либо ложна в w), мы его будем называть тотальным или
полным.
Правда, надо отметить, что Хинтикка строил частичные
возможные миры с целью их последующего превращения в тотальные
(с надлежащими встроенными формулами; см. Хинтикка [1955]).
Мы же будем вводить их с таким расчетом, чтобы проверяемые
нами формулы в определенных случаях всегда оставались в них
неопределенными (т. е. ни истинными, ни ложными), а сами
частичные возможные миры — нетотальными.
Будем также предполагать, что индивиды произвольного
возможного мира содержаться в любом достижимом из него
возможном мире. Это позволяет без осложнений находить ответы
на вопросы об идентификации индивидов, принадлежащих к
различным возможным мирам (см., например, Хинтикка [1969]).
Итак, мы будем считать, что Ка4 или же Ва.А истинна в w, если
А истинна и, следовательно, определена в каждом а-достижимом
из w возможном мире и, среди которых могут также быть частичные

38
Введение
миры8). Соответственно, К^А или ВЯА ложна в w, если найдется
а-достижимый из w возможный мир и, такой, что А ложна или
неопределена в и (см. М. Бежанишвили [1987], [1988] и [1989]).
В первоначальной формулировке этого условия (см. М.
Бежанишвили [1986]) с каждым тотальным возможным миром w
спаривался частичный возможный мир w*, в котором всякой
определенной атомарной формуле придавалось в точности то же
истинностное значение, что и в w, но некоторые атомарные формулы
в w*, естественно, не получали никакого значения. Отношение
а-достижимости определялось только для тотальных возможных
миров, а само условие гласило: формула КЛА (ВЛА) истинна в
мире w, если для всякого а-достижимого из w мира и А истинна как
в и, так и в спаренном с ним мире и*, отличном от w*.
Общезначимость формул определялась только для тотальных возможных
миров. Однако, указанное спаривание онтологически и эпистеми-
чески возможных миров технически оказалось лишним. Оно весьма
удобно при совместном рассмотрении алетических и эпистемиче-
ских модальностей.
Принятое нами толкование эпистемических операторов, как
видим, соответствует нашему интуитивному представлению о
горизонте знаний агента пропозициональной установки. Этим и
мотивировано допущение неопределенности значений формул при
эпистемическом подходе.
Рассмотрим пример. Пусть неформальное свойство G(n)
означает: существует пара таких простых чисел к и 1, что 2п = к +1,
8) В июне 1991 года В. вандерХук (посетивший Институт прикладной
математики Тбилисского государственного университета, где он прочитал два доклада
об эпистемической логике для компьютерной науки) в беседе сказал автору, что
это условие ему очень напоминает определение истинности эксплицитной веры в
исследовании Гектора Левека [1984] (которое так же основано на частичных
возможных мирах). Он же любезно предоставил автору копии двух работ (см. Мейер,
ван дер Хук и Вреесвайк [1991] и ван дер Хук [1990], где сжато изложен
семантический подход Г. Левека, а позже прислал копию статьи Левека [1984]). Несмотря на
очевидную родственность, эти подходы не могут совпадать. Например, импликацию
□(Р A -iP) Э , где □ интерпретируется как Ва, Левек считает видом парадокса
логического всеведения. Однако с точки зрения фактического знания она не
парадоксальна, так как ее антецедент всегда ложен, ввиду того, что агент не в состоянии
знать ни одного противоречия.

Введение
39
где п — натуральное число > 1. Пусть, далее, М(п) означает: для
всякого натурального m ^ п имеет место G(m). Очевидно, что при
n = 1 М(п) ложно. Но при п > 1 вычисление истинности или
ложности М(п) зависит от решения проблемы: каждое ли натуральное
число ш, большее единицы, обладает свойством G, т. е. всякое ли
четное число большее или равное четырем является суммой двух
простых чисел? До сих пор никому не известен ответ на последний
вопрос, хотя многие, вероятно, считают, что G(m) верно для всех
m > 1. Но это всего лишь вера, а не знание, поскольку (до решения
проблемы Гольдбаха) мы не располагаем ни методом, позволяющим
установить справедливость М(п) для n > 1, ни способом
нахождения контрпримера. С эпистемической точки зрения это и есть
пробел, провал в нашем знании или, образно выражаясь, — terra
incognita (не исключается и случай, когда лицо может быть
рассмотрено как tabula rassa). Хотя классически, для онтологического
подхода, т. е. с позиции Бога, вышеописанное свойство вполне
определено (философ выразил бы это обстоятельство словами: при
n > 1 свойство М(п) определено an sich, но не определено для
нашего знания). Именно здесь проходит водораздел между
классическим (онтологическим) и эпистемическим (познавательным)
подходами. С эпистемической точки зрения всякое положение,
предполагающее решение открытой проблемы не определено так
же, как и всякое положение выражающее бессмысленность.
Общезначимость формул мы также определяем только для
тотальных возможных миров. Поэтому очевидно, что логическое
всеведение не возникнет ни в форме (1), ни в форме (2). В самом
деле, в первом случае, формула В может оказаться
неопределенной по крайней мере в одном а-альтернативном для w частичном
возможном мире и, когда А истинна в и, что не мешает
общезначимости A D В и истинности ПА в w. А во втором случае, то же
самое может произойти с общезначимой формулой А в
некотором частичном возможном мире, а-достижимом из w, в котором
ПА уже не будет истинной. Надо подчеркнуть, что при этом,
не приходится принимать неестественное, на наш взгляд,
допущение относительно возможности некоторых контрадикций, т. е. их
совместимости со всем тем, что агент знает в данном возможном

40
Введение
мире (допущение, которое подразумевается при рассмотрении
«невозможных возможных миров»).
В случае, когда мы рассматриваем больше, чем один эпи-
стемический или доксастический оператор, скажем ,...,
(причем есть К* или ; 1 ^ t < п) и соответственно строим
полимодальные системы, каждый индивид ai (или каждый этап а,
в познании мира) будет иметь свое отношение -достижимости
(! ^ ^ 77') с надлежащими (возмохсно никакими)
зависимостями между этими отношениями.
Наш подход также позволяет совместно (в одной полимодаль-
ной системе) рассмотреть эпистемические и алетические
модальности с обычной семантикой возможных миров. В таком случае,
целесообразнее использовать метод спаривания тотальных и
частичных возможных миров (см. М. Бежанишвили [1986]).
В стандартной семантике возможных миров, как известно,
возникает еще одна трудность, связанная с толкованием тождества
в модальном контексте. Для введения тождества обычно
расширяют словарь символом =, а к аксиомам, скажем, первопорядковых
теорий или предикатных систем, присоединяют (г) х = х и (гг)
(х = у) D (А(х) D А(у)), где хну индивидные переменные,
свободные для z в формулу A(z), а А(ж) и А(у) получаются из нее
заменой одних и тех же вхождений индивидной переменной z на х
и у, соответственно. Если наша система, кроме того, содержит
правила модус поненс, модализации и закон перестановки
антецедентов, а в качестве A(z) берется □ (х = z), то из (г) и (гг) легко
можно вывести формулу (3) (х — у) D □ (х — у). Теперь, если □
интерпретируется как необходимость, то (3) утверждает, что
всякое истинное тождество необходимо, т. е. не существует случайно
истинных тождеств 9К Например, из того случайного тождества,
что число планет равно числу муз, согласно (3), следует
необходимость последнего тождества, хотя число планет, естественно,
свободно могло быть отличным от числа муз и даже от девяти.
Совпадение этих чисел случайно. Крипке объяснял эту трудность
9- А в системах Брауэра и 55 выводима интуитивно также неприемлемая формула
х Ф у 3 Ос Ф у, гласящая, что всякое истинное неравенство необходимо, т. е.
не существует случайно истинных неравенств.

Введение
41
следующим образом: формула (3) не покажется парадоксальной,
если мы правильно истолкуем смысл тождества. В нашем примере
рассматриваемый объект, число 9, обладающий случайным
качеством, быть равным числу планет, есть тот же объект, обладающий
другим случайным качеством, быть равным числу муз, но
истинность указанного тождества необходима, поскольку оно выражает
совпадение этого объекта с самим собой (см. Крипке [1972], а
также Хьюз и Крессвелл [1968]). При эпистемическом толковании
знака □, это объяснение сразу становится неубедительным и
принимает парадоксальную окраску. В самом деле, в таком случае (3)
уже означает, что всякое истинное тождество известно любому
агенту. Но знание неким лицом некоторого тождества вряд ли кто-
либо сведет к тривиальному совпадению объекта с собой.
Например, если в (3) ж интерпретируется как человек, называющий себя
царевичем Дмитрием, у — как Григорий Отрепьев, а □ — так же,
как Км или Вм, где М — воевода Мнишек, то неизбежно придем
к парадоксальному заключению. Действительно, из того факта, что
человек, называющий себя царевичем Дмитрием есть Григорий
Отрепьев, ни в коем случае не следует будто воевода Мнишек, выдавая
свою дочь замуж за него, знал (или хотя бы считал), что его будущий
зять — самозванец. Вряд ли удовлетворился бы он осознанием той
очевидной логической истины, что этот человек, кто бы он ни был,
совпадает с самим собой. Как подчеркивал Фреге, знание тождества
предметов — это знание равенства смыслов их имен (ср. [1892]).
Ограничить (гг) немодализированной формулой A(z) в духе
Куайна не является полноценным выходом из затруднения.
Поэтому если индивидная переменная х находится в А(х) в области
действия модального оператора, тогда для ее замены на у в А(х) мы
потребуем соблюдение более сильного условия: Ш(ж = у). При этом,
в предложенной нами семантике частичных возможных миров
легко опровергается (3), так как когда формула х = у истинна в мире w
для данных значений ж и у, она может быть неопределенной в
некотором а-достижимом из w нетотальном частичном мире. Но в
отличие от подхода Кангера [1957] к трактовке случайных тождеств,
для устранения проблем, связанных с интерпретацией квантора
всеобщности с нежелательным провалом формулы V хПА(х) D Ш.А(у),
а также с неестественными дополнительными ограничениями пра¬

42
Введение
вила подстановки вместо предикатной буквы (см., например, Хьюз
и Крессвелл [1968], гл. 11), следуя Крипке [1963а], мы будем
считать, что теоремами могут быть только формулы с замыканием
всеобщности (т. е. всем свободным индивидным переменным
каждой теоремы будем придавать интерпретацию всеобщности).
Утверждение (3) является еще одним видом логического
всеведения и оно легко устраняется в семантике частичных возможных
миров.
Начиная с середины 80-х годов прошлого столетия особый
интерес к эпистемической логике стали проявлять представители
компьютерной науки. В статье Г. Вансинга [1990] можно найти
краткий обзор исследований Г. Левека ([1984]), Р. Фейгина, И. Хел-
перна ([1988]) и др. (см. также работу Орловска [1984]). Но
обсуждение этих вопросов выходит за рамки настоящей работы.
Мы и не претендуем на полноту освещения всех важных
подходов к эпистемической логике. Некоторые из них здесь вовсе
не затронуты. Но нельзя хотя бы не упомянуть ситуационную
семантику Дж. Барвайса и Дж. Перри (см., например, [1983]) или,
скажем, работу И. ван Бентема о частичности и
немонотонности в логике [1986]. В России проблемы эпистемической логики
исследовали В. Н. Костюк ([1977]), И. А. Герасимова ([1993]) и др.
Нельзя оставить без внимания и точку зрения Н. Гудмена о роли
эпистемической логики в преодолении теоретико-множественного
редукционизма, который, по его мнению, может привести к новому
кризису математики (см. Гудмен [1984], [1984а]).
Гудмен полагает, что редукция первоначальных
математических объектов к их теоретико-множественным заменителям ведет
к радикальному упрощению мира математики. Такие
заменители, удачно используемые в чистой математике, вне ее рамках уже
не могут функционировать как полноценные объекты и каким-то
образом надо их вернуть математике.
На протяжении почти всего двадцатого столетия физики
утверждали, что невозможно адекватно описать физический мир без
учета наблюдателя, собирающего данные, которые должна объяснить
физическая теория (скажем, теория относительности и квантовая
механика). При этом, и наблюдатель, и физическая среда, как сфера
наблюдения, предполагаются изначально противопоставленными.

Введение
43
И в этом смысле можно говорить о дуалистичности такой теории,
содержащей как реалистические, так и эпистемические
предпосылки, не сводимые друг к другу. Наблюдатель, естественно, является
идеализированным физиком, лишенным каких бы ни было
субъективных качеств.
Математики же двадцатого столетия всячески пытались
сохранить монистический характер своей науки. Математик
классического направления старается максимально игнорировать
эпистемические аспекты и оставаться преданным математическому
платонизму; он полностью отвлекается от познающего математика
даже тогда, когда рассуждает об эффективности и
конструктивности своих результатов. Редукционистский подход, согласно
которому математика должна осмысливаться как формализуемая в теории
множеств система, исключает всякую возможность ссылки на
математика, создающего или знающего эту теорию. Теории рекурсивных
функций и моделей, Гудмен считает, теоретико-множественными
вариантами эпистемической математики. Они достаточно
адекватны в рамках чистой математики, но полностью абстрагированы
от всякого указания на познающего. Классическая математика,
как видим, похожа на классическую, ньютоновскую физику. Она
предполагает субъекта, растворенного в реальность, который сам
никак не фигурирует в теории. Говоря словами Гудмена, это —
теория, которую можно считать истинной, но нельзя считать
известной [1984а].
Не похожа на современную физику и интуиционистская,
конструктивная математика. Математик конструктивного направления
придерживается другой крайности. Он настолько переоценивает
роль познающего математика, что исключает из рассмотрения
противостоящую, познаваемую реальность. Математические объекты
он считает построенными познающим субъектом и признает за
ними только те свойства, которые ему известны. Он отрицает
существование любой реальности, являющейся внешней по отношению
к познающему. Точнее, он изучает лишь ту реальность, которую
создает в процессе такого изучения. Однако, интуиционистская
математика оказалась недостаточно обширной. И несмотря на это,
конструктивная традиция сыграла весьма важную роль в
исследовании эпистемических аспектов математики. Таким образом, клас¬

44
Введение
сическое и интуиционистское направления в математике — это
два противоположных монизма, причем каждая сторона отрицает
фундаментальную значимость реальности другой (Гудмен [1984а]).
Нам же, согласно Гудмену, наподобие современной физики, нужен
дуалистический подход к основаниям математики с
идеализированным познающим математиком, противостоящим познаваемым
объектам с их свойствами и отношениями между ними. Но даже
подобный идеализированный познающий математик не способен
проследить каждую возможную цепочку умозаключений.
Если соблюдение эпистемических ограничений
интуиционизма обедняет классическую математику, то введение познающего
математика обогащает ее за счет расширения словаря и введения
интенсиональных эпистемических понятий и принципов, не
сводимых к теоретико-множественным понятиям и принципам. По
мнению Гудмена, только так возможно восстановить нашу
математическую интуицию, искаженную теоретико-множественным
редукционизмом. Обогащенной таким путем Гудмен считает предложенную
им модальную теорию множеств с единственным нелогическим
исходным символом принадлежности множеству и с 54 в качестве
лежащей в ее основе логики (см. [1984]). Модальный оператор
следует читать эпистемически: ПА означает, что А познаваема
(для нашего идеализированного математика). В отличие от
неклассической физики, где в некоторых случаях важно соотнести
наблюдения различных агентов, в математике, где всегда
сообщается полная информация, достаточно ограничиться лишь одним
идеализированным агентом. Понятие математической
познаваемости, при этом, Гудмен считает таким же ясным, как и понятие
абстрактного множества.
Обычно, в теории множеств рассуждают о множествах, а не об
описаниях множеств. Но с эпистемической точки зрения важны
сами свойства, задающие множества. В таких случаях мы скорее
интересуемся не множествами, а определяющими их критериями.
Быть элементом множества значит удовлетворять
соответствующему критерию. Но некоторые критерии неэкстенсиональны и
поэтому наряду с экстенсиональным необходимо вводить также
отношение интенсионального тождества между определяющими
множества критериями (в недостаточности ограничиться лишь экстенсио¬

Введение
45
нальными отношениями тождества и эквивалентности мы уже
убедились благодаря рассмотренным выше примерам). Итак,
согласно Гудмену, вернуть утерянную математическую интуицию можно
лишь с помощью интенсионально понимаемых свойств,
отношений и идеализированного познающего математика (см. [1984а]).
Мы уделили особое внимание точке зрения Гудмена потому,
что она созвучна нашему представлению об эпистемической логике
и еще не до конца раскрытых сфер и глубин ее возможного
приложения.
Автор далек от мысли, будто изложенные выше основные
интуитивные соображения и идеи эпистемического подхода к логике
нашли буквальное формальное воплощение в последующих
построениях настоящей книги. Наивно также полагать, что изложенная
здесь версия является единственным разумным подходом к
решению рассматриваемых проблем. Следующие разделы книги можно
читать независимо от обсуждаемых здесь вопросов.
Синтаксические и семантические построения формальны, хотя в значительной
степени они диктовались вышеизложенными содержательными
соображениями и мотивами.

Глава I
Некоторые нормальные и монотонные
модальные логики
1. 	Пропозициональная модальная система К
1.1. 	Формальный язык
Алфавит языка К содержит: неограниченный
(счетно-бесконечный) список пропозициональных переменных (PV): Р, Q, R,
P\,Q\,R\, Р2, ■. ■ (с нижними индексами или без них); логические
знаки: -1, Л, V и □. Они соответственно обозначают логические
связки отрицания, конъюнкции, дизъюнкции (читаются обычно:
«не», «и», «или»), модальный оператор необходимости (читается:
«необходимо, что ...») и скобки: (,).
Конечные последовательности знаков алфавита называются
выражениями, которые будем обозначать начальными заглавными
буквами латинского алфавита. О выражении А будем говорить, что
оно входит в выражение В, если В имеет вид CAD с некоторыми,
возможно пустыми, выражениями С u D. А может образовать одно
и то же выражение В в сочетании с различными парами выражений
С и D. Поэтому мы будем говорить о различных вхождениях
выражения А в выражение В. В зависимости от контекста, В (А) будет
обозначать выделенное вхождение А в В. Выделенными могут быть
как некоторые, так и все вхождения А в В. В(Е) будет означать
выражение, которое получается из выражения В в результате
замены выражением Е тех вхождений Ав В, которые выделены в В (А).
Понятие формулы (Frm), аналога грамматически правильно
составленного повествовательного предложения, задается обычно
с помощью следующего индуктивного определения:
П. Если Р G PV, то Р G Erm;
f2. Если А,Ве йтп, то ->А, (А А В), (А У В) и ПА G FYui;

1. Пропозициональная модальная система К
47
G. Никаких формул, кроме определенных согласно fl, f2, нет.
Атомарными (Atm) будем называть формулы, определенные
только согласно пункту fl.
Очевидно, что множество формул есть подмножество
множества выражений. Выражение или пара выражений, из которых
с помощью логического знака по заданным правилам
получается составное выражение, будем называть областью действия
этого знака (связки, оператора). Во всякой формуле области
действия логических знаков определяются однозначно. Этот важный
факт доказывается обычно (в соответствии с индуктивными
пунктами определения формулы, ср., например, Клини [1952] или
Чёрч [1956]). Понятие подформулы данной формулы определяется
следующим образом:
si. Если А € Fhn, то А есть подформула формулы А;
s2. Если А 6 FYra, то подформулы А являются также
подформулами формулы >А, где > есть ч или □;
s3. Если А, В £ Frm, то подформулы А а В являются
подформулами формулы ААВ, где А есть А или V;
s4. Никаких подформул, кроме определенных согласно пунктам
sl-s3, формула не имеет.
Внешним логическим знаком формулы, не являющейся
атомарной, назовем тот знак, вхождение которого в данную формулу
не находится в области действия ни одного логического знака.
Логической длиной формулы будем называть число входящих в нее
логических знаков (следовательно, логическая длина атомарной
формулы равна 0). Глубиной данного вхождения А в В (А)
называют число тех логических знаков, в области действия которых
в В (А) находится данное вхождение А.
Модальный ранг формулы определяется индуктивно
следующим образом: если А 6 Atm, то г(А) = 0; далее, г(чА) = т{А)\
г(ПА) = r(A) + 1; r(AAB) = тпах(г(А),г(В)), где А есть А или
V. Например, модальный ранг формулы □(пПРУ СЬПР) равен
трем. Формула называется модализированной, если она содержит
хотя бы одно вхождение модального оператора. В противном
случае, говорят, что она немодализирована. Будем говорить, что А

48
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
полностью модализирована, если всякая атомарная формула,
входящая в А, находится в области действия некоторого модального
оператора формулы А. Итерированными модальностями назовем
конечную последовательность знаков □ и 0, содержащую по
крайней мере два таких знака.
В дальнейшем говоря о языковых объектах, мы редко будем
помещать их в кавычки и условимся, как правило, пользоваться
ими автонимно (т. е. в качестве их же собственных имен).
Для введения новых логических связок, скажем
(материальной) импликации и (материальной) эквиваленции, мы принимаем
обычные соглашения:
D1. (АЭВ)=4ЫЧВ),
D2. (Л = В) =df ((A D В) А (В D А)),
где А и В — произвольные формулы, а означает равенство
по определению между определяемым выражением, стоящим слева
этого знака, и определяющим выражением, находящимся справа
него. При этом подразумевается, что разрешено замещать
определяемое определяющим и обратно, как в тех случаях, когда оно стоит
отдельно, так и в тех случаях, когда оно является частью сложной
формулы.
D3. О A —df -'О-'А.
Сокращенную запись <)А, где А — любая формула, в системе
К следует читать как «возможно, что А».
Для сокращения записи формул или их метаобозначений,
а также обеспечения удобства чтения, мы примем обычные
соглашения об опускании скобок. Наружные скобки мы, как правило,
будем опускать вместе с теми скобками, которые окажутся
лишними, если условимся, что знаки А и V связывают теснее, чем Э, = ,
а -1, □, 0, еще теснее, чем А и V. Ради упрощения чтения, круглые
скобки нашего алфавита будем иногда заменять на квадратные или
фигурные.
Метаутверждения, естественно, следует рассматривать, как
относящиеся к несокращенным выражениям.
Следующие пары логических знаков А и V, а также □ и О
будем называть двойственными. Будем говорить, что две
формулы являются двойственными, если одна получается из другой

1. Пропозициональная модальная система К
49
заменой каждого логического знака на двойственный. Отношение
двойственности симметрично как для логических знаков, так и для
формул.
SgA\ будет обозначать формулу, получаемую в результате
подстановки формулы В вместо каждого вхождения переменной Р
в формулу А. Точнее,
SgA\ совпадает с В, если А есть пропозиционаьная
переменная Р\ Sв А\ является отличной от Р переменной Q, если А есть Q.
Далее, 5£(ДДВ)| есть формула (5дД|Д5дВ|), где Д означает Л
или V, aS%>A\ есть формула >SgA\, где > означает или □.
Sg^ '^Al будет сокращением формулы, получаемой в
результате одновременной подстановки формул В\,..., Вп вместо
каждого вхождения переменных Pi,, Рп соответственно в формулу
А, т.е. Sg\\\'РваА\ есть .. (S^Д|)...)), при условии, что
пропозициональные переменные Р* не входят в формулы Bj ни для
каких i9j ^ п таких, что i > j (результат любой одновременной
подстановки можно всегда получить обычным образом с помощью
самое большее 2п последовательных простых подстановок, см.,
например, Чёрч [1956]).
Подстановковым частным случаем формулы А или ее инстан-
сом будем называть формулу, получаемую из А в результате
одновременной подстановки.
1.2. 	Теория доказательств
Систему К мы опишем с помощью следующих аксиом и
правил вывода:
Аксиомы К
1. Р D (Q D Р) (закон утверждения),
2. [Р э (Q => R)} => [(Р DQ)D(PD R)]9
3. bQ D -.p) D(PD Q),
4. D(P D Q) D (DP D □(?) (чаще ее обозначают через К).
Правила вывода К
rl. Из А следует (правило подстановки),
г2. Из А Э В и А следует В (правило модус поненс),
гЗ. Из А следует ПА (правило модализации).

50
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
В правилах вывода посылками называются формулы, из
которых непосредственно следует определенная формула. А выведенная
формула называется заключением. Правила вывода rl—гЗ будем
называть основными.
Замечание 1. Из аксиом 1-3 и правил вывода rl и г2 следует, что
модальная система К содержит все теоремы классического пропозиционального
исчисления, которое в дальнейшем будем обозначать через PC. С целью
сокращения формальных доказательств, проводимых в модальной
системе К, все теоремы PC будем также считать аксиомами К. >
Понятие доказуемой в К формулы или теоремы К
определяется обычно, как конечная последовательность формул, каждая из
которых либо является аксиомой К, либо непосредственно следует
из предыдущей формулы последовательности согласно правилам
вывода rl или гЗ или же непосредственно следует из предыдущих
двух формул последовательности согласно правилу г2.
Доказательство называется доказательством последней формулы А
последовательности, а формулу А называют доказуемой в К или теоремой К
(и пишут Hr- А), если для нее существует доказательство в К.
Заметим, что эти термины, относящиеся к формальной
системе К, естественно, следует четко отличить от подобных терминов,
используемых в их обычном содержательном смысле при метатео-
ретических рассуждениях о системе К. В первом случае теоремы
и доказательства — это формулы и их конечные
последовательности, а во втором — обычные утверждения о формальной системе К
и содержательное обоснование справедливости таких утверждений.
Анализом доказательства, состоящего из последовательности
формул А\,...,Ап, называют разъяснения для каждого i (1 s^i^n)
является ли формула А{ аксиомой и если да, то какой именно; или
является ли формула А* непосредственным следствием правила
вывода и если да, то, в силу какого правила вывода она
выводится и из каких предыдущих формул последовательности, взятых
в качестве посылок этого правила вывода. Эти разъяснения мы
будем указывать справа от каждой формулы, входящей в данное
доказательство.
Для сокращения часто повторяющихся действий в формальных
доказательствах мы будем пользоваться некоторыми
производными правилами, каждое применение которых легко можно заменить

1. Пропозициональная модальная система К
51
применением основных правил. В анализе мы также будем
указывать производные правила в каждом случае их использования.
Покажем, что производным правилом системы К является
г4. Из Аэ В следует ШЛ D СИВ (правило монотонности
модального оператора необходимости).
В самом деле, пусть формула A D В доказуема в К. Согласно
правилу необходимости гЗ из нее следует П(Л Э В). С другой
стороны, формула СП(Л D В) Э (СИЛ Э СПБ) является подстановковым
частным случаем аксиомы 4. Из последней и предыдущей формул
согласно правилу модус поненс г2 прямо следует (СИЛ Э СИВ).
Таким способом мы сможем устранить каждое применение
производного правила г4 из любого доказательства в К.
Теперь сформулируем некоторые очевидные производные
правила PC:
г5. Из Ai D А2, А2 D Л3, ..., Л„_! Э Л„ следует А{ Э Ап (п ^ 3).
гб. Из Л D Вь Л Э В2, ..., Л Э В„ следует Л Э (BiAB2A. . .АВП)
(п 2).
г7. Из А{ Э В, А2 D В,..., Ап Э В следует (Л1УЛ2У...УЛП) Э В
(п ^ 2).
Используя производные правила вывода, проведем
формальные доказательства некоторых теорем системы К.
0л-1. П(Р D Q) D (OP D 0Q).
Доказательство.
1. (Р Э Q) Э (~<Q D -iP) — теорема PC.
2. D(P D Q) D D(-.Q D ~>P) - r4; 1.
3. D(-iQ D -iP) D (CCbQ D СЬР) — rl; аксиома 4.
4. (CbQ D СЬР) D (iD-iP D -'□-iQ) — теорема PC.
5. IH(P DQ)D (OP D OQ) - r5; 2, 3, 4, D3.
Рассуждая таким же образом как при доказательстве
производное™ г4, только вместо аксиомы 4 используя 1?«Т, мы сможем
из всякого формального доказательства в К устранить каждое
применение производного правила

52
Diaea I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
г8. Из А Э В следует О 4 Э О В (правило монотонности
модального оператора возможности).
г4 и г8 называют правилами монотонности модальных
операторов.
Подобным же способом мы сможем показать, что
производными правилами системы К являются также следующие правила
вывода
г9. Из А = В следует СМ = UB и
г 10. Из А = В следует 0-4 = О-В.
0К2. U(PaQ) = (UPaUQ).
Доказательство.
1. Р AQ D Р — теорема PC.
2. П(Р Л Q) ЭПР - г4; 1.
3. Р A Q Э Q — теорема PC.
4. D(PAQ) DUQ - r4; 3.
5. □ (Р A Q) Э (ПР Л □<?) - гб; 2, 4.
6. Р D (Q D (Р A Q)) — теорема PC.
1. 	UP D D(Q D (PA Q)) - r4; 6.
8. D(Q Э (P A Q)) D (□(? Э П(Р Л Q)) — rl; аксиома 4.
9. DP 3 (□<? D D(P A Q) - r5; 7, 8.
10. (DP Л C3Q) D U(P A Q) - PC; 9.
11. U(P AQ) = (DP A DQ) - PC; 5, 6.
Аналогично, используя аксиому 4 и PC, мы сможем установить
&к3. D(Pi Л Рг Л ... Л Р„) = (DPi Л □ Рг Л ... Л QPn).
i?jf4. D-i-iP = -1-OP.
Доказательство.
1. -лР = Р — теорема PC.
2. D-i-iPs UP - r9; 1.
3. СЬ-iP = -i-iDP — rl; теорема PC.

1. Пропозициональная модальная система К
53
Теорема 1. Если \-к А = В, то hK С (А) = С {В).
Доказательство проводится индукцией по глубине вхождения А
в С{А).
Случай, когда глубина вхождения А в С (А) равен нулю,
является тривиальным.
А случаи индуктивного шага, когда внешним логическим
знаком формулы С(А) являются пропозициональные связки PC,
рассматриваются точно так, как при доказательстве
соответствующей теоремы для PC.
Остается рассмотреть случай индуктивного шага, когда
внешним логическим знаком формулы С {А) является модальный
оператор необходимости. В таком случае С {А) имеет вид OD{A).
В силу индуктивного предположения в К доказуема формула
D(A) = D(B), откуда согласно правилу г4 прямо следует
доказуемость в К формулы □ D(A) = OD(B), т. е. С(А) = С(В). о
Из этой теоремы в силу симметричности эквивалентности
следует, что в системе К производным правилом вывода является
следующее правило взаимозаменимости эквивалентных формул:
rll. Из А = В и С (А) следует С(В), соответственно, из А = В
и С (В) следует С (А).
‘djc5. ->□ Р = §—>Р.
Доказательство.
1. Р = Р — теорема PC.
2. OP = П-1-.Р - г9; 1.
3. -ПР = -пР - РС\ 2.
4. -ОР = О^Р - rll; 3, D3.
1?#6. -|ОР = ПНР.
Доказател ьство.
1. -1-iCbP = D-iP — инстанс теоремы PC.
2. Ч>Р = СЪР — rl 1; 1, D3.
Лемма 1. Для любой формулы А, составленной с помощью
логических знаков -1, А, V, □ и 0 > существует формула А*, содер¬

54
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
жащая те же логические знаки, в которой все имеющиеся
вхождения знака отрицания встречаются только непосредственно
перед пропозициональными переменными, такая, что \~к А = А*.
Доказательство. Если А не содержит ни одну подформулу вида
-1-1 С, -i(CAD), -i(СУD), -ОС или -«оС, тогда А совпадает с А*.
Предположим поэтому, что А содержит такие подформулы.
Используя надлежащие теоремы PC, а также #«-5 и <?д-6, с
помощью производного правила вывода rl 1 мы соответственно заменим
каждое вхождение указанных подформул формулами С, ->С V -iD,
-1С Л -1D, О-1 С и ШЬС. Повторением этой процедуры мы сможем
пронести во внутрь знак -> до тех пор, пока он не окажется перед
пропозициональными переменными, входящими в А или не
исчезнет. D>
Замечание 2. В лемме 1 речь идет только о тех вхождениях знака -i,
которые не принадлежат сокращениям, представленным в А и А* вхождениями
знака О- Это подразумевается в каждом случае использования указанной
леммы, поскольку, как уже было отмечено, метаутверждения относятся
только к несокращенным выражениям. >
Теорема 2. Если формулы А 1 и В , содержащие только
логические знаки -1, Л, V, □ и 0, соответственно двойственны
формулам А и В, то
(a) из \~к А = В следует IА+ = В+;
(b) из \~к A D В следует h# В+ Э А+
(принципы двойственности).
Доказательство проводится точно так, как в случае PC, используя
лемму 1 (и, следовательно, PC, дк5, дк6 и rll). >
дк7. ОРее^О-тР.
Доказательство.
1. □ Р = -i-ilZIP — инстанс теоремы PC.
2. -iQPEE<bP - 0*5.
3. -1-.ПР ее <ЬР - PC; 2.
4. UP ЕЕ -iP - PC; 1, 3.

1. Пропозициональная модальная система К
55
Согласно принципу двойственности (а) из t9*7 и i9*2 прямо
следует доказуемость утверждений i9*8 и 19*9:
i9*8. ОР — “'□“'Р,
19*9. 0(PVQ) = (0PV0Q).
i9*10. DPVDg 3 D(Pvg).
Доказательство.
1. PDPVQ - PC.
2. DP 3 П(Р V Q) - r4; 1.
3. QD РУ Q - PC.
4. DQ 3 П(Р V Q) - r4; 1.
5. OP V DQ 3 D(PVQ) - r7; 2, 4.
Согласно принципу двойственности (b) из i9*10 прямо следует
доказуемость утверждения 19* 11:
19*11. 0(рЛQ)D0Pл0Q.
19*12. D(PVQ) 3 OP У OQ-
Доказательство.
1. 0(Q 3 Р) 3 (□(? 3 ПР) — инстанс аксиомы 4.
2. □(-.<? VP) 3 (-.□(? VDP) - г11; PC, 1, D1.
3. D(-.-.Q V Р) 3 (-'CbQ V DP) - rl; 2.
4. D(gvP) 3 (OQ У OP) - rll, PC, 3, D3.
5. 0(P V Q) 3 (OP V OQ) - rll, PC, 4.
i9*13. D(P3 g) 3 (D(PVP) 3 D(gvP)).
Доказательство.
1. (P 3 g) 3 ((P V P) 3 (g V P)) — теорема PC.
2. □(PDg)DD((PVP)D(gvP))-r4; 1.
3. П((Р V P) 3 (gvP)) 3 (D(PVP) 3 D(gvP)) - rl; акс.4.
4. D(P DQ)D (П(Р V P) 3 D(Q V P)) - r5; 2, 3.
Аналогично доказывается
i9*14. D(g 3 P) 3 (D(Pvg) 3 0(P V P)).
Сформулируем еще одно производное правило вывода

56
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
г12. Из А\ = А2, А2 = Аз, ... Ап-\ = Ап следует А\ = Ап (п ^ 3).
Из теорем PC (Р V ->->Р V (?) Э (->-<Р V Q) и (-п(Р V (?) V
Р V -лQ V R) Э (~'~1(Р V (?) V R) с помощью производного
правила вывода г4 в К можно вывести теоремы:
П(Р V -|"1 Р V (?) D □(-'“'Р V (?) и
□(-i-i(P V<?)V —i—'Р V -i-i(? VP) D □(->-i(P V(?) V Д).
1.3. 	Семантика
if-фреймом назовем упорядоченную пару (W, R), где W —
непустое множество (W Ф 0), a R — бинарное отношение в W.
Элементы W будем называть возможными мирами, а
отношение R — отношением достижимости или альтернативности между
ними с той целью, чтобы подчеркнуть интуитивную идею, лежащую
в основе реляционной семантики (эта идея восходит к Лейбницу,
который полагал, что необходимо истинным является то, что
истинно во всех возможных мирах, т. е. во всех мыслимых альтернативах
этого мира). На самом деле, W может быть непустым множеством
объектов произвольной природы. R является подмножеством
множества упорядоченных пар Wx W из W. Если пара (w,v) входит в R,
мы будем писать (w, v) € R и говорить, что из возможного мира w
согласно R достижим возможный мир v (или что возможный мир
v является альтернативным по отношению к w).
if-моделью является упорядоченная тройка (W, R, V), где W
и R — члены if-фрейма, а V — бинарная всюду определенная
функция V : PV х W -> {Т, -L}, где Ти1 - абстрактные объекты истина
и ложь, соответственно. Их также называют истинностными
значениями, а V — означивающей функцией.
Таким образом, У(Р, v) = Т или ±, для любых Р 6 PV и v € W.
Если А — атомарная формула, она является
пропозициональной переменной Р и для каждого v Е W V(P, v) уже задана моделью.
Сформулируем теперь правила оценки для формул,
составленных с помощью логических знаков:
• V(—1^4, v) = Т тогда и только тогда, когда У(Л, v) = ±. В
противном случае, V(-i>4, v) = ±.
• Х(АлВ,v) = T тогда и только тогда, когда V(i4,v) = V(B,v) = T.
В противном случае, У(Л А В,\) = ±.

1. Пропозициональная модальная система К
57
• У(А VB,v) = Т тогда и только тогда, когда У (A, v) = Т или
V(J3, v) = Т. В противном случае, У {A VB,v) = ±.
• V(CLi,v) = Т тогда и только тогда, когда V(A,u) = Т для
всякого и из W, такого, что (v, u) Е R. В противном случае,
V(Q4,v) = -L.
Замечание 3. Сформулируем условие истинности для формулы вида О А
в возможном мире у € W:
• V(0 A, v) = Т тогда и только тогда, когда существует u € W, такой, что
V(A,y) = T.
Это условие выражает идею, согласно которой возможным является
то, что истинно в некотором возможном мире, т. е. в некоторой мыслимой
альтернативе данного мира. >
Замечание 4. Из множества возможных миров W не исключается мир,
из которого не достижим ни один возможный мир, включая его самого.
Такие возможные миры К. Сегерберг называл мертвыми концами (ср. К. Се-
герберг [1971]).
Возникает вопрос: как следует оценивать формулы вида ПА и О А
в мертвых концах? Ответ прямо следует из правил оценки модальных
операторов необходимости и возможности. В мертвом конце v Е W для любой
формулы A V([HA, v) = Т, a V(0A, v) = JL. В самом деле, если из v не
достижим ни один возможный мир, тогда условие, что формула А истинна
в каждом достижимом из у возможном мире, выполняется тривиальным
образом; а условие, что существует по крайней мере один достижимый
из у мир, в котором формула А истинна, просто не выполняется. >
Формула А истинна в if-модели (W, R, V), если У (А, у) = Т
для всякого у из W.
Как видим, каждая модель пропозициональным переменным
языка К сопоставляет только одно распределение истинностных
значений. Истинность в модели мы также определили для
такого сопоставления истинностных значений пропозициональным
переменным. В рамках отдельной модели невозможно говорить
об истинности или ложности какой либо формулы для всякого
сопоставления истинностных значений пропозициональным
переменным. С этой целью и был выделен if-фрейм из if-модели. О
модели (W, R, V) мы будем говорить, что она базируется на фрейме
(W, R). Теперь мы уже можем определить истинность или
ложность заданной формулы во всех моделях, базирующихся на одном

58
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
и том же фрейме. Другими словами, мы можем оценить формулу
для всякого сопоставления истинностных значений
пропозициональным переменным в одном и том же фрейме.
Будем говорить, что формула А истинна в if-фрейме
(сокращенно (W,R) (= А), если она истинна в каждой if-модели (W, R, V),
базирующейся на фрейме (W, R).
Наконец, мы скажем, что формула А общезначима в классе
фреймов К (сокращенно |= А в CF(if)), если она истинна в каждом
if-фрейме.
Задавая модель ®{W,R,V), многие авторы вместо V(>4,v) = T, где
v€W, пишут (W,R,V) |=УА, а вместо V(j4,v) = ± — (W,R,V) Y^yA.
1.4. Корректность
Систему называют корректной, если всякая доказуемая в ней
формула общезначима относительно класса фреймов этой системы.
Покажем, что модальная система if является корректной.
Прежде всего убедимся, что основные правила вывода if: rl, г2 и гЗ,
сохраняют общезначимость в классе фреймов К. Относительно
правил вывода rl и г2 это устанавливается точно так, как в PC.
Поэтому покажем, что и правило вывода гЗ сохраняет
общезначимость в классе фреймов К.
Предположим, что А общезначима в классе фреймов if, а ОА
не общезначима. Тогда существует опровергающая модель (W, R, V)
для формулы □ А. Это означает, что для некоторого w из W
У(ПД, v) = ±. Но тогда существует v из W, такой, что (w, v) 6 R
и V(A, v) = ±. Это, однако, противоречит нашему предположению
об общезначимости А в классе фреймов if.
Теорема 3. Если I~кА,то \=А eCF(if) (теоремакорректности).
Доказательство. Непосредственной проверкой убеждаемся, что
аксиомы К общезначимы в CF(if), а правила вывода rl-гЗ сохраняют
общезначимость в CF(if). >
1.5. Семантические таблицы
С целью установления общезначимости формул относительно
класса фреймов системы if мы воспользуемся методом построения
семантических таблиц Сола Крипке (см. [1963]).

1. Пропозициональная модальная система К
59
Таблицей будем называть подмножество множества Рпп,
составленное согласно правилам, сформулированным ниже,
альтернативной системой таблиц назовем упорядоченное в виде дерева
множество таблиц, а диаграммой — множество альтернативных
систем таблиц. В каждой такой системе S одна таблица (а именно,
начало дерева) является главной. Остальные таблицы S
вспомогательны. Как главная, так и вспомогательные таблицы из S могут
быть альтернанативными напарницами таблиц, принадлежащих
другим альтернативным системам. Альтернативная система S
таблиц исследуемой системы К упорядочена бинарным отношением
% С S х S, которое соответствует отношению R ЙГ-фрейма (т. е.
на И также как на R не налагаются никакие требования).
Для установления общезначимости формулы А мы будем
пытаться найти ее опровергающую йГ-модель. Если мы сможем
показать, что наша попытка не может завершится успешно, тогда не
существует такой модели и А общезначима в классе фреймов К.
Поэтому построение диаграммы мы начнем включением ->А в ее
главную таблицу. Затем помещаем в таблицу другие формулы и по мере
надобности открываем новые таблицы или вводим новые
альтернативные системы таблиц, продолжая построение согласно правилам:
NN. Если в таблице t появляется формула вида то в ту же
таблицу t помещается формула А.
ND. Если в таблице t появляется формула вида ~^(А V В), то
в ту же таблицу помещаются формулы -чД и -iJ3.
D. Если в таблице i из 5 появляется формула вида А У В,
то составляется новая альтернативная система таблиц S' =
где V целиком копирует t за исключением
того, что в t дополнительно помещается формула А, а в V —
формула В. Каждую из таблиц t £ S и V 6 S' будем
называть альтернативной напарницей (или просто напарницей)
другой. Кроме того, для всяких s и s' из S, если (a, s') 6 R
или же (в', s) € И в S, то (s, s') € 71, соответственно,
(s', s) 6 % в S'.
Nec. Если в таблице t появляется формула вида ПА, тогда
в каждую таблицу t', такую, что (t, t') £ 71, помещается
формула А.

60
Плава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
NNec. Если в таблице t появляется формула вида -GA, то
составляется новая таблица t', такая, что (t, t') G % и в нее
помещается формула ->A. t' называется вспомогательной
таблицей для t.
На порядок применения этих правил не налагаются никакие
ограничения.
Заметим также, что мы не формулируем правила для знака
конъюнкции, поскольку, согласно теореме PC:
(А А В) = V тВ)
и производному правилу вывода rl 1, его можно элиминировать
из любой формулы.
Конечная последовательность таблиц SQ,...,sn из S, такая,
что 8 = so, t = sn и (в,, *j+i) е К (0 ^ * < п) есть путь из s в t.
Цепью таблиц в S назовем такое подмножество S, для любых двух
элементов s и t которого существует путь из s в t или из t в *.
Будем говорить, что таблица тривиально замкнута, если она
содержит формулы вида В и ->В. Таблица замкнута, если она
тривиально замкнута или находится в отношении % хотя бы с одной
замкнутой таблицей (последнее определение не содержит
порочного круга, так как в нем используется рекурсия по цепи таблиц).
Будем также говорить, что таблица имплицитно замкнута, если она
замкнута, но не является тривиально замкнутой (т. е. если из нее
достижима отличная от нее замкнутая таблица). Наконец, скажем,
что альтернативная система таблиц замкнута, если замкнута ее
главная таблица (другими словами, альтернативная система таблиц
замкнута, если хотя бы одна ее цепь оканчивается тривиально
замкнутой таблицей).
if-диаграммой для формулы А будем называть множество всех
альтернативных систем таблиц с главной таблицей, содержащей
исходную формулу -1.4. if-диаграмма для А замкнута, если
замкнуты все ее альтернативные системы таблиц.
Пример 1. Построим if-диаграмму для формулы А, которая имеет вид
□Pv(-ingvan(gvJB)).
Бинарное отношение между таблицами

1. Пропозициональная модальная система К
61
а таблицы имеют следующий вид
t
I *3
t = {-А, Р, -.(-.HQ V ПОД V Л)), (Q V Л), ОД;
*2 = {-0(дуЛ)};
*з = (“ЧЗ v л), -i<5, -«л}.
На первой стадии в таблицу t помещается формула -А, на второй —
-*ПР и V □□((? V Л)), согласно правилу ND, на третьей — -t-iCKJ
и -l□□(Q УЛ), опять согласно правилу ND, а на четвертой — DQ, согласно
правилу NN. На первой стадии в таблицу t\ включаются Q, согласно
правилу Nec, и -IР, согласно правилу NNec. На первой стадии в таблицу t2
помещаются формулы Q, согласно правилу Nec, и -»D(Q V Л), согласно
правилу NNec. Наконец, на первой стадии в таблицу 13 включается -»(Q V Л),
согласно правилу NNec, — а на второй — и -|Д, согласно правилу ND.
Рассматриваемая Л-диаграмма состоит из одной альтернативной
системы таблиц, которая содержит две цепи таблиц: Mi и t,t2,t3, причем
ни одна из них не оканчивается тривиально замкнутой таблицей.
Следовательно, данная Л-диаграмма для формулы А не замкнута. >
Мы всегда будем стремиться завершить построение диаграммы.
Поэтому будем предполагать выполненным следующее
Соглашение о недопустимости повторения результата. Наши
правила нельзя применять к формулам тривиально замкнутой
таблицы; а также в случаях, когда они предписывают вновь
включить в данную таблицу формулу, уже содержащуюся в ней
или же, когда они предписывают заново открыть ранее
построенную таблицу (альтернативную систему таблиц) с теми же
исходными формулами. >

62
№ава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
Стадией в построении таблицы будем называть применение
некоторого правила к формуле, содержащейся в ней. Каждой стадии
соответствует множество тех формул, которые находятся в таблице
после данного применения того или иного правила построения
таблиц. Более того, стадии будем отождествлять с соответствующими
им множествами формул. В случае надобности, стадии будем
также нумеровать. На исходной стадии построения главной таблицы
в нее включаем отрицание испытуемой формулы. А на исходной
стадии вспомогательной таблицы, в нее включаем формулы
предписываемые согласно правилам Nec и NNec. Если же к таблице
t G S на n-й стадии применяется правило D, то включение
соответствующих формул как в t € S, так и в V € «S', порожденной
данным применением этого правила, будем также считать n-й
стадией в построении t' 6 S'.
Начиная с исходной (с первой), каждой стадии построения
всякой замкнутой таблицы t, следующим образом сопоставим ее
характеристическую формулу x(t) ■ Номер стадии будем указывать в
качестве нижнего индекса х (например, Xn(t) обозначает
характеристическую формулу n-й стадии таблицы t). Если номер стадии не
указывается, тогда x(t) будет обозначать характеристическую
формулу любой стадии таблицы t. Каждой формуле, принадлежащей
множеству n-й стадии, слева припишем знак отрицания, а Хп(0
определим как конечную дизъюнкцию полученных таким образом
формул. В дальнейшем, от группировки скобок, как и от порядка
дизъюнктивных членов Xn(t) мы, как правило, будем отвлекаться,
не оговаривая это в каждом конкретном случае. Будем также
говорить, что формуле В из t в Хп(0 соответствует дизъюнктивный член
вида ~>В, а формуле -у В из t в Xn(t) соответствует дизъюнктивный
член вида -i-iВ. На исходной стадии главной таблицы t для
формулы А в t включается -уА. Поэтому характеристическая формула
Xi(t) исходной стадии таблицы t будет иметь вид -лА. А
характеристические формулы других стадий в построении таблиц, в силу
только что принятого соглашения, обычно будем представлять в
виде -уВ\/-уС\/Н, соответственно -tBi У~>СУН, где формула В,
соответственно формулы В\ и Яг, включаются в t в результате
применения надлежащего правила к С, а Я — пустое выражение, если

1. Пропозициональная модальная система К
63
t не содержит других формул, или является дизъюнкцией, члены
которого соответствуют остальным формулам, входящим в t.
Далее, если таблица t является вспомогательной для t\,
другими словами, если (t\,t) Е 72., то она порождается согласно правилам
построения таблиц Nec и NNec из t[. Поэтому на исходной стадии
в t включаются формулы в случае, если таблица t\
содержит формулы вида QBi,... , ШВ* {к ^ 0), и формула -iC,
поскольку t\ содержит формулу вида -О С. А характеристическая
формула \{1) каждой стадии такой вспомогательной таблицы t
будет иметь вид -\Bi V ... V V -i-iC V Я (к ^ 0), где Я —
дизъюнкция, соответствующая остальным членам, включенным в t
в результате применения других правил или пустое выражение.
Пример 2. Построим теперь jfiT-диаграмму доя формулы В, которая имеет
вид -1 П(Р V Q) V D(Q V Р).
• t .?
На первой стадии в таблицу t включается —>В, на второй стадии —
—»—»[!](PVQ) и -iD(Q VP), согласно правилу ND, а на третьей — D(PVQ),
согласно правилу NN. На первой стадии в t{ помещаются формулы PVQ,
согласно правилу Nec, и п(р VQ), согласно правилу NNec, на второй
стадии — -1Q и -Р, согласно правилу ND, а на третьей — Р, согласно
правилу D, которое порождает альтернативную напарницу t\ таблицы t\
и таблицу t'. tf полностью копирует t, a t\ копирует t{ до третьей стадии,
а на третьей стадии в t\ помещается формула Q, согласно правилу D,
примененному к t\.
Наша диаграмма состоит из двух альтернативных систем таблиц S
и «S'. Для первой альтернативной системы % = {(Mi)}> а для второй —
И = {(£',£'])}, где таблица t\ альтернативная напарница таблицы t\.
В первой альтернативной системе t = {-iB, -т-С](Р V Q), П(Р V Q)}, а ^ =
(Р V Q, -i(Q V Р), ~iQ, -Р, Р}. Во второй полностью копирует t, а ^ =
{PVQ.-n(QVP),-Q,-P,Q}.
Каждая альтернативная система содержит по одной цепи таблиц:
t, и t[, которые оканчиваются тривиально замкнутыми таблицами
11 и Поэтому обе альтернативные системы ИГ-диаграммы замкнуты.

64
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
Следовательно, замкнута и вся К-диаграмма. Характеристическая формула
последней стадии таблицы t имеет вид
-.-.□(Р V Q) V □(<? V Р) V (Р V Q) V -нП(Р V Q),
а характеристическая формула первой стадии таблицы t\ — вид
-.(PVQ)Vnn(QvP). >
1.6. 	Семантическая полнота
Система называется семантически полной, если всякая
формула, общезначимая в классе фреймов этой системы, доказуема в ней.
Покажем, что система К является семантически полной.
Лемма 2. Пусть замкнутая таблица V из S' является
альтернативной напарницей замкнутой таблицы t из S, порожденной на
(п1)-и стадии построения таблицы t из S ; Xn+i(t) и Xn+i(t')
— характеристические формулы (п+ \)-й стадий таблиц t 6 «5 и
V € S', a Xn(t) — характеристическая формула п-й стадии
таблицы teS. Тогда если \-к Хп-и(*) и \-к Xn+i(?), то \-к Xn{t).
Доказательство. V € S' может появиться на (п + 1)-й стадии
построения таблицы t € S в результате применения правила D.
Пусть Xn+i(t) и Xn+ii?) доказуемы в К. Xn+i(t) имеет вид V
-1 (АуВ)\/Н, a Xn+i(?) — ВВД -iBV-i(AvB)VH, где Я — дизъюнкция
отрицаний остальных формул n-й стадии таблицы t или пустое
выражение. Из Xn+i(0 и Xn+i(t') согласно PC следует формула
((->4 V ->(А V В)) V Я) Л ((-'В V -1(4 V Я)) V Я). (1)
Если Я не является пустым, тогда из инстанса теоремы PC
(Р V R) A (Q V R) = (Р Л Q) V R и формулы (1) согласно PC
следует [(-ч4 V ->(А V В)) А (->В V ->(4 V Я))] V Я. Откуда в силу
инстанса той же теоремы PC и правила взаимозаменимости г11
получим (( >4 А “’Я) V -i(4 V Я)) V Я. Из последней формулы с
помощью инстанса (~>4 Л -Я) = -i(4vB) теоремы PC и rl 1 выведем
(i(4 V Я) V ->(4 V Я)) V Я, откуда согласно PC прямо следует
->(4 V Я) V Я, т. е. Xn(t)- Если Я — пустое выражение, то Xn(t)
совпадает с формулой -i(4 V Я) и аналогичным рассуждением мы
установим ее доказуемость в К. О

1. Пропозициональная модальная система К
65
Как известно, Крипке строил характеристические формулы
для всей конструкции (в нашей терминологии, диаграммы), а
формулы, которые мы именуем характеристическими, он называл
ассоциированными. Поэтому если применением некоторого правила
не затрагивается какая-нибудь формула одной из альтернативной
системы таблиц, в характеристическую формулу следующей стадии
в смысле Крипке она переходит без изменения. Можно
несколько упростить построения Крипке и ограничиться рассмотрением
характеристических формул в используемом нами смысле, если
принять следующее
Вспомогательное предположение. Пусть на т-й стадии
построения любой замкнутой таблицы t G S применяется
правило D, в результате него возникает новая альтернативная
система таблиц S' с альтернативной напарницей V Е Sf
таблицы t £ S. Пусть, далее, для любого т Xm{t) и Хт(Р) ~
характеристические формулы, соответствующие т-м стадиям
построения таблиц tut1. Тогда если Xm(t) доказуема в К, будем
предполагать, что Xm(tf) также доказуема в К. D>
Лемма 3. Пусть Xn(t) и Хп+\(t) — характеристические
формулы п-й и (п + ])-й стадий построения замкнутой таблицы
t Е S; допустим также, что выполняется наше вспомогательное
предположение, В таком случае, если У-к xn+i(0> то \~к Xn(t)-
Доказательство. По построению таблицы t, на (п + 1)-й стадии
к формулам, принадлежащим n-й стадии t, могут применяться
только правила NN, ND и D, поскольку согласно правилам Nec
и NNec формулы помещаются не в £, а в ее вспомогательную
таблицу.
Пусть на (п + 1)-й стадии построения таблицы t применяется
правило NN к формуле -i-u4, принадлежащей n-й стадии t. Тогда
Хп+ i(t) будет иметь вид -u4v-i-i-uiVff, a Xn{t) — вид -i-i-u4v!T, где
Я — дизъюнкция отрицаний остальных формул n-й стадии
таблицы t или пустое выражение. По условию леммы Xn+i(0 доказуема
в К. Откуда мы легко сможем получить Xn(t) с помощью инстанса
(-и4 V -.-.-.Л V Я) Э V Я)
теоремы PC.

66
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
Предположим теперь, что на (п + 1)-й стадии применяется
правило ND к формуле -|(Д V В), принадлежащей п-й стадии t.
Тогда справедливость нашего утверждения, мы устанавливаем с
помощью Хп-и(0 и инстанса
[-■-'(Л v в) v -1 ->А v -т-1 в v я] э [-i->(A V В) V Я]
теоремы PC.
Пусть, далее, на (гг + 1)-й стадии применяется правило D
к формуле А У В, принадлежащей п-й стадии t, согласно
которому порождается новая альтернативная система с напарницей t'
таблицы t. Xn+i(0 доказуема в Я по условию леммы, a x„+i(^) —
в силу вспомогательного предположения, но тогда Xn(t) доказуема
в Я согласно лемме 2. О
Лемма 4. Пусть V является замкнутой впомогателъной
таблицей замкнутой таблицы t и выполняется наше вспомогательное
предположение. Тогда если (-«• то Х(0-
Доказательство. Достаточно рассмотреть характеристические
формулы последней I-й стадии таблицы t и первой стадии таблицы V.
Xi(t) имеет вид -GBi V ... V -iQBn V ->-ОС V Я, если на
последней стадии в t содержатся формулы ОВь ..., □ Вп, -ОС, а Я —
дизъюнкция отрицаний остальных формул или пустое выражение.
Характеристическая формула же первой стадии таблицы V х№)
соответственно будет иметь вид —iBi V ... V -Bn V —>С, поскольку
согласно правилу Nec на исходной стадии в t' включаются
формулы В\,... ,Вп, а согласно правилу NNec — -С.
Пусть Xi(f'), т. е. -iBi V... V ->Bn V —'С доказуема в Я. В силу
PC преобразуем ее в формулу Bi Л ... Л В„ D ->~^С. Согласно
производному правилу г4 из нее следует D(Bi Л ... Л В„) Э iO,
откуда используя надлежащие инстансы ^Зи а также дважды
производное правило rl 1, получим QBiA.. .ЛОВ„ э -i-OC. Из нее
PC преобразованиями вновь выведем -OBi V... V -О Вп V -i-iПС,
откуда опять согласно PC прямо следует -OBi V ... V -iQBn V
Лемма 5. Если таблица t тривиально замкнута и выполняется
вспомогательное предположение, то К к х(0-

1. Пропозициональная модальная система К
67
Доказательство. Достаточно рассмотреть характеристическую
формулу последней I -й стадии таблицы t.
Пусть Xi{t) — характеристическая формула последней l-й
стадии в построении таблицы t. На завершающей стадии тривиально
замкнутая таблица содержит некоторую формулу Е вместе с ее
отрицанием ->Е. Поэтому Xt(t) имеет вид ~^Е V -n-iE V Н, где Н —
дизъюнкция отрицаний остальных формул t или пустое
выражение. Но -uE?V->~>ЕУ Н является теоремой PC, следовательно, Xi(t)
доказуема в К.
Справедливость утверждения леммы для предыдущих стадий
таблицы t будет следовать из леммы 3 и вспомогательного
предположения. с>
Лемма 6. Если К-диаграмма для А замкнута, то I-к А.
Доказательство. Согласно условию леммы, JT-диаграмма для А
замкнута. Поэтому замкнуты все ее альтернативные системы
таблиц, каждая из которых содержит по крайней мере одну цепь
замкнутых таблиц. Выберем из каждой замкнутой альтернативной
системы таблиц по одной цепи замкнутых таблиц. Достаточно
показать, что вспомогательное предположение можно устранить
в каждом случае использования лемм 3-5 при преобразовании
замкнутой ./^диаграммы в доказательство формулы А в К.
Воспользуемся возвратной индукцией по числу п выбранных
цепей замкнутых таблиц, входящих в замкнутую if-диаграмму для
формулы А.
Базис: п — 1. Замкнутая ^-диаграмма для А состоит из
одной альтернативной системы, содержащей одну выбранную цепь
замкнутых таблиц t\, ti,... ,tp (р > 1). Правило D не может
применяться ни к одной таблице этой цепи, так как, в противном случае,
появилась бы вторая альтернативная система таблиц с второй
цепью замкнутых таблиц. Поэтому вспомогательное предположение
не будет применяться ни к одной таблице ti (1 < * < р). Таблица tp
(р ^ 1) тривиально замкнута. Поэтому x(tp) доказуема в К
согласно лемме 5. Далее, если (ti, ^+i) € И (1 ^ * < р) и без
использования вспомогательного предположения в К доказуема x(t»+i) > т°
согласно лемме 4 в К доказуема х(к) также без использования вспо¬

68
Diaea I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
могательного предположения. Следовательно, в К доказуема
характеристическая формула первой стадии главной таблицы t\
Индукционный шаг: n > 1. В силу индуктивного
предположения вспомогательное предположение можно устранить в каждом
случае использования лемм 3-5 при преобразовании замкнутой
АГ-диаграммы для А в доказательство А в К, когда число
выбранных цепей замкнутых таблиц замкнутой if-диаграммы для
формулы А меньше п.
Пусть замкнутая К-диаграмма для А состоит из п
альтернативных систем таблиц, каждая из которых содержит одну выбранную
цепь замкнутых таблиц (n > 1), a S и S' соответственно (п - 1)-я
и n-я альтернативные системы, содержащие цепи замкнутых
таблиц t\,t2, ■ ■ ■ ,tp и t\, tf2,..., t'q. При этом, правило D не может
применяться ни к одной таблице цепи t[, t'2,..., t'q, поскольку,
в противном случае, возникла бы (п + 1)-я альтернативная
система таблиц. Поэтому вспомогательное предположение не будет
применяться ни к одной таблице t\ (1 < i ^ q) при каждом
использовании лемм 3-5 точно так, как в случае, когда п = 1.
Пусть правило D применяется к замкнутой таблице t{ (l^i^p)
на &-й стадии, в результате чего на (&+1)-й стадии порождается
альтернативная напарница t\ таблицы ^ и я-я альтернативная система
таблиц S'. При этом таблицы t\,t'2,..., t'i_] полностью копируют
таблицы t2,.. ■, t(-i. Но мы уже показали, что вспомогательное
предположение не используется при доказательстве
характеристической формулы x*+i(^) в К. А доказуемость Xk+\{U) в К следует
из индуктивного предположения, поскольку цепь замкнутых таблиц
t\,t2,... ,tp была выбрана из (п - 1)-й альтернативной системы.
Таким образом, мы без вспомогательного предположения смогли
показать, что в К доказуемы Xk+i(U) и Хк+\%)- Но тогда согласно
лемме 2 в К доказуема характеристическая формула к-й стадии
Xk(ti) таблицы t{. Так как правило D применяется только на к-й
стадии таблицы U (1 < t < р), для установления доказуемости в К
характеристических формул предшествующих стадий x(U)
таблицы h нам уже не потребуется использование вспомогательного
предположения при каждом применении лемм 3-5 для всякого *
(1 ^ ^ р). Устранение остальных применений вспомогательного

t. Пропозициональная модальная система К
69
предположения для каждого использования лемм 3-5
обеспечивается индуктивным предположением.
Итак, если if-диаграмма для А содержит п альтернативных
систем таблиц, то в К доказуема характеристическая формула
первой стадии ^i(i]) главной таблицы if-диаграммы. Она имеет вид
-|-ьА, из чего в силу PC следует, что формула А доказуема в К. о
Если if-диаграмма для А не замкнута, то по крайней мере не
замкнута одна из ее альтернативных систем таблиц. Не замкнута
также главная таблица такой системы с исходной формулой ~^А.
Значит не замкнута и ни одна из ее вспомогательных таблиц.
Из такой диаграммы для А выберем любую не замкнутую
альтернативную систему таблиц S. Множество S частично упорядочено
отношением 1Z между таблицами. Теперь с помощью S и И
определим фрейм Его = (Wo, Ro).
Пусть 9 — взаимно однозначное отображение S на Wo.
Множество Wo не пусто, так как S содержит по крайней мере одну
таблицу, а именно, главную. Элементы Wq упорядочены
отношением Ro, соответствующим отношению И между таблицами S,
причем, если t\,ti £ S, уi = 6(ti) и ¥2 = #(£2), то (vbV2) € Ro,
тогда и только тогда, когда (t\, £2) Е Р-
Наконец, if-модель Мо определим как пару (Его, Vo), где FVo —
вышеописанный фрейм, a Vo — бинарная функция из PV х Wd
в {Т, ±}, которая с каждой таблицей £ из 5 связана следующими
условиями:
Пусть v = 0(£), £ 6 S. Vq(P, v) = Т, если £ содержит Р и
V0(P,v) = ±, если £ содержит ->Р. Кроме того, для всякой
пропозициональной переменной Р, такой, что £ не содержит ни Р, ни ->Р,
мы полагаем, что Vo(P, v) принимает любое из значений Т или X.
Это гарантирует определенность Vo для любой пропозициональной
переменной и любого элемента Wo.
Теперь покажем, что когда if-диаграмма для А не замкнута,
Мо является опровергающей моделью для А.
Лемма 7. Пусть Мо — вышезаданная модель. Тогда для всякой
формулы В и всякой таблицы £ из не замкнутой альтернативной
системы таблиц S Мо удовлетворяет следующим условиям:

70
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
1) если формула В входит в t, то Vo (В, v) = Т и
2) если формула ->В входит в t, то Vo (В, v) = ±.
Доказательство проведем одновременной индукцией по
логической длине формулы В.
Покажем сначала, что утверждение 1) справедливо. Допустим,
что В входит в t. Если В — атомарная формула, справедливость
утверждения леммы непосредственно следует из определения Vo.
Предположим поэтому, что формула В не атомарна. Учитывая
то, что из каждой формулы в силу PC можно элиминировать
знаки конъюнкции, мы ограничимся рассмотрением случаев, когда
В имеет один из следующих видов ->С, С\ V Сг или □ С.
Пусть В имеет вид ->С. Вновь воспользуемся индукцией по
логической длине формулы С, которая, в свою очередь, может быть
атомарной или иметь один из следующих видов ->Х), D\ V D2 или
□£>. В случае, когда С атомарна, В имеет вид -*Р, тогда согласно
определению V0, Vo(iJ,v) = ±, а согласно правилу оценки для
отрицания, Vo (~>P,v) = Т.
Если С имеет вид тогда В есть формула -лD и поскольку
она входит в незамкнутую таблицу t, к ней применимо правило
NN, согласно которому в t также включается формула D, имеющая
меньшую логическую длину, чем формула В. Поэтому, в силу
индуктивного предположения, Vo (В, v) = Т. А согласно правилу
оценки для отрицания, Vo(5, v) = Vo(->-'D, v) = T.
Пусть С имеет вид (D\ V D2). В таком случае В есть формула
вида -i(£>! V Di) и в незамкнутой таблице t к ней применимо
правило ND, согласно которому в t включаются формулы ->£), и ~>D2,
содержащие меньше логических знаков, чем формула В.
Согласно индуктивному предположению для утверждения 2), Vo(£>i, v) =
V0(I>2,v) = -1, откуда по правилам оценки для дизъюнкции и
отрицания следует, что V0(B, v) = Vo(-’(Bi V D2), v) = T.
Наконец, если С имеет вид QD, то В есть формула -ОD и,
поскольку t незамкнута, к последней формуле применимо правило
NNec, согласно которому составляется новая таблица V, такая, что
(t, t') G % и в нее помещается формула ->D. Но ->D содержит
меньшее число логических знаков, чем В, и к ней применимо
индуктивное предположение, согласно которому Vo(D, w) — ±, где w = 9(t').

1. Пропозициональная модальная система К
71
А тогда, согласно правилу оценки для оператора
необходимости, Vo(QD,v) = -L. Поэтому по правилу оценки для отрицания,
V0(B,v) = VoKlD,v) = T.
Следовательно, утверждение 1) справедливо, когда В имеет
вид -tС. Остается рассмотреть случаи, когда В имеет вид С\ V Сг
или ПС.
Если В имеет вид С\ VC2, то, ввиду незамкнутости t, к Ci У Сг
применимо правило D, согласно которому составляется новая
альтернативная система таблиц S' = (<S\{i})U{£'}, причем t' целиком
копирует t за исключением того, что в t дополнительно включается
формула Ci, а в V — формула Сг. Ввиду того, что t незамкнута,
а С\ содержит меньшее число логических знаков, чем В, в силу
индуктивного предположения, Vo(Ci,v) = Т, а согласно правилу
оценки для знака дизъюнкции, Vo (В, v) = Уо(С\ V Сг, v) = Т.
Наконец, если В имеет вид ПС, так как t незамкнута к ней
применимо правило Nec и в каждую таблицу t\, такую, что
(t,ti)EH, помещается формула С с меньшим, чем В, числом
логических знаков. Поэтому, в силу индуктивного
предположения, для всякого w, такого, что (v,w) € Ro, v = 0(t), w = B(ty),
Vo (C, w) = T. Но тогда по правилу оценки для оператора
необходимости, Vo(-B,v) = Vo(mC,v) = Т.
Теперь покажем, что верно и утверждение 2) нашей леммы.
Предположим, что в t входит -iJ9. Тогда В является атомарной
формулой Р или имеет один из следующих видов ->С, С\ V Сг или
ПС. ->В соответственно будет иметь один из следующих видов ->Р,
->С, -'(Су V Сг) или -'ПС.
Если В — атомарная формула, справедливость утверждения
леммы непосредственно следует из определения Vo.
Пусть формула ->В имеет вид -лС, поскольку она входит
в незамкнутую таблицу t, к ней применимо правило NN, согласно
которому в t также включается формула С, имеющая меньшую
логическую длину, чем формула В. Согласно индуктивному
предположению для утверждения 1), Vo (С, v) = Т. А согласно правилу
оценки для отрицания, V0(.B, v) = Vo(*^C, v) = ±.
Предположим теперь, что формула -iВ имеет вид -i(Cj V Сг).
Поскольку она входит в незамкнутую таблицу t, к ней
применимо правило ND, согласно которому в t включаются формулы -iCy

72
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
и -1С2. Формулы С\ и Сг имеют меньшую логическую длину, чем В.
Поэтому к ним можно применить индуктивное предположение для
утверждения 2), согласно которому Vo(Ci, v) = Vo(C2, v) = _L. Но
согласно правилу оценки для дизъюнкции,
Vo(J3,v) = V0(Ci VC2,v) = ±.
Аналогичным рассуждением мы сможем также показать, что
если -ОС входит в таблицу £, то Vo(DC,v) = ±. >
Лемма 8. Если К-диаграмма для А не замкнута, то \/^-А в
классе фреймов К.
Доказательство. По условию леммы if-диаграмма для А не
замкнута, поэтому не замкнута по крайней мере одна из ее
альтернативных систем. Но тогда не замкнута и главная таблица такой
системы с исходной формулой ->А. Согласно утверждению 2)
леммы 7, в таком случае существует опровергающая модель для А.
Следовательно, А не общезначима в классе фреймов К. с>
Теорема 4. Если |— А в CF(if), то \~к А (теорема полноты).
Доказательство прямо следует из контрапозиции леммы 8 и
леммы 6. >
Таким образом, мы установили, что модальная система К
является семантически полной.
Будем говорить, что модальная система является нормальной,
если она содержит все теоремы PC, формулу
а(Р DQ)D (□ Р D DQ)
и замкнута относительно правил подстановки, модус поненс и мо-
дализации. Будем также говорить, что модальная система является
монотонной, если она замкнута относительно правил
монотонности для каждого ее одноместного модального оператора.
Очевидно, что К является минимальной нормальной, а также
монотонной модальной системой.
2. 	Некоторые расширения К
Мы рассмотрим только такие расширения системы if, в
которых оператору необходимости можно придать естественную эпи-
стемическую или доксастическую интерпретацию. Другие расши¬

2. Некоторые расширения К
73
рения К, которые не содержат специфическую аксиому системы Т
(или ее слабую формулировку), в частности, К4 и GL, мы не
будем рассматривать, поскольку, как было отмечено во введении,
они не поддаются толкованию в терминах принципиальной
познаваемости.
Прежде всего, вспомним некоторые свойства бинарного
отношения R, которые играют существенную роль при формулировке
семантик рассматриваемых ниже систем.
• R сериально в W, если для всякого w G W существует v € W,
такой, что (w, v) G R;
• R слабо рефлексивно в W, если для всяких w, v G W из (w, v) G R
следует (v,v) G R;
• R рефлексивно в W, если для всякого w из W (w,w) G R;
• R транзитивно в W, если для всяких w, v, u € W из (w, v) G R
и (v, u) G R следует (w, u) G R;
• R евклидово в W, если для всяких w, v, u G W из (w, v) G R
и (w, u) G R следует (v,u) G R.
Заметим, что каждое из указанных свойств отношения R
можно выразить на языке первопорядковой логики.
Лемма 9. Для любого класса фреймов справедливы следующие
соотношения:
(a) |= ПТ5 3 ОР тогда и только тогда, когда R сериально в W;
(b) |= □(□Р 3 Р) тогда и только тогда, когда R слабо рефлексивно
в W;
(c) Н= □ Р 3 Р тогда и только тогда, когда R рефлексивно в W;
(d) 1= □ Р 3 СЮР тогда и только тогда, когда R транзитивно в W;
(e) (= ОР 3 ПОР тогда и только тогда, когда R евклидово в W.
Доказательство. Мы установим утверждения (а), (Ь) и (d) нашей
леммы, предоставив читателю с помощью аналогичного
рассуждения убедиться в справедливости утверждений (с) и (е).
(а) Сперва установим справедливость импликации слева
направо. Проще доказать контрапозицию такой импликации, т. е.
показать, что если R не сериально в W, то □ Р 3 ОР. Иными
словами, нам надо показать, что если R не сериально в W, тогда

74
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
существует такая модель {W, R, V), что DP J §Р опровергается
в ней. Построим пример такой модели. Пусть W = {w} и R не
сериально, т. е. из w согласно R не достижим ни один возможный мир,
в том числе и w. Но тогда, согласно замечанию 4, V(DP, w) = Т,
a V(OP,w) = ± и, следовательно, V(QP Э 0P,w) = 1_. Отсюда
в силу контрапозиции получаем, что если |= ПР Э ОР, то R
сериально в W.
Теперь покажем справедливость импликации справа налево:
если отношение R сериально в W, то (= СИР Э ОР- Допустим
противное, пусть R сериально в W и ^ СИР D ОР. Тогда существует
такая модель (W, R, V), базирующаяся на фрейме (W, R), что для
некоторого w 6 W V(QP Э 0P,w) = ±, т. е. (1) V(QP,w) = Т
и (2) У(0Р, w) = .1. Согласно сериальности R из w достижим
по крайней мере один возможный мир v. С другой стороны, (1)
означает, что V(P, v) = Т, а (2) означает, что V(P,v) = _L. Однако
это ведет к противоречию. Следовательно, неверно наше
допущение и если отношение R сериально в W, то (= СИР Э ()Р.
(Ь) Сначала опять установим контрапозицию импликации
слева направо. Допустим, что R не слабо рефлексивно в W и
построим опровергающую модель для П(ПР D Р). Пусть W = {w, v},
R = {w, v}, т. e. из v не достижим ни v, ни какой-нибудь
другой возможный мир и пусть (1) V(P, v) = _L. Тогда,
поскольку v является мертвым концом, V(QP,v) = Т. Откуда, в
силу (1) следует, что V(QP D Р, у) — ±. Это, однако, означает, что
V(D(DP Э Р), w) = -L. Таким образом, мы установили, что если R
не является слабо рефлексивным в W, существует опровергающая
модель для □(□Р Э Р). Откуда с помощью контрапозиции сразу
следует наша импликация слева направо.
Теперь установим справедливость импликации справа
налево: если R слабо рефлексивно в W, то |= П(ПР Э Р).
Допустим противное, пусть R является слабо рефлексивным в W
и П(ПР D Р). Тогда существует модель {W, R, V), базирующаяся
на фрейме (W, R), такая, что V(D(DP Э Р), w) = ± для некоторого
w из W. Это означает, что по крайней мере в одном достижимом
из w возможном мире v V(QP Э Р, v) = ±, т. е. V(QP, v) = Т,
a V(P, v) = J_. Но, так как R слабо рефлексивно, (v,v) 6 R и по¬

2. Некоторые расширения К
75
этому V(CLP,v) = -1. Наше допущение привело к противоречию
и поэтому импликация справа налево является справедливой.
(d) Опять установим контрапозицию соответствующей
импликации слева направо и построим опровергающую модель для
□Р 3 ШОР. Пусть W = {w, v, u}, R = {(w, v), (v,и)},
поскольку R не транзитивно. Далее, V(P, v) = Т и V(P,u) = _L. Тогда
V(dP, v) = ±, У (OP, w) = T, a V(dCIP, w) = _L. Следовательно,
V(QP 3 COP, w) = ±. Отсюда, согласно контрапозиции, следует,
что если |= ПР 3 СЮР, то отношение R транзитивно в W.
Покажем теперь справедливость соответствующей импликации
справа налево. Опять допустим противное. Пусть R транзитивно
в W и ШР 3 ПОР. Тогда существует модель (W, R, V),
базирующаяся на фрейме (W, R), опровергающая СИР 3 СЮР. Это
означает, что V(QP,w) = Т и V(CDP,w) = _1_ для некоторого w
из W, т. е. в каждом достижимом из w возможном мире Р
принимает значение Т, но по крайней мере в одном из них, скажем в v,
V(QP, v) = _L. Из последнего соотношения следует, что существует
хотя бы один достижимый из v мир и, такой, что V(P, u) = _L.
Но поскольку отношение R транзитивно в W, и будет достижимым
также из w. Поэтому V(QP, w) = ± и опять получили
противоречие. Следовательно, неверно наше предположение и если R
транзитивно в W, то j= ПР 3 СЮР. С>
2.1. 	Теория доказательств
Исследуемые нормальные и монотонные расширения системы
К, допускающие естественную доксастическую и эпистемическую
интерпретацию, сформулируем с помощью следующего списка
аксиом и правил вывода:
Аксиомы
Группа А
1. РЗ(<?ЗР),
2. [Р 3 (Q 3 R)] 3 [(Р 3 Q) 3 (Р 3 Я)],
3. нэ 3 -.р) 3 (Р з Q).
Группа В
1. 	П(Р 3 Q) 3 (ПР 3 □(?).

76
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
Группа С
1. □ Р D ОР (чаще ее обозначают через D),
2. □(□РЭР),
3. □ Р D Р (чаще ее обозначают через Т),
4. DP D ПОР (чаще ее обозначают через 4),
5. ОР Э ПОР (альтернативная формулировка: ->QP D □-'□Р,
чаще ее обозначают через 5).
Список правил вывода содержит основные правила системы К
г1—гЗ.
Теперь сформулируем исследуемые системы.
Доксастические системы:
DXT = {А1-АЗ; Bl, Cl, С2; г1-гЗ},
Д4= {DXT; С4},
Dx5 = {А1-АЗ; Bl, Cl, С4; г1-гЗ}.
Эпистемические системы:
Т = {А1-АЗ; Bl, СЗ; rl-гЗ},
S4 = {Г; С4},
55= {Т; С5}.
При интерпретации указанных доксастических систем □ А
означает «имплицитную (подразумеваемую) веру в А», а О А —
«совместимость А со всем тем, что имплицитно принимается на
веру». При интерпретации же перечисленных эпистемических систем
□А означает «потенциональную познаваемость (принципиальную
доказуемость) А», а 0-4 — «совместимость А со всем тем, что
познаваемо потенционально (доказуемо принципиально)».
DXT является доксастически интерпретированной версией
системы Т Фейса и М фон Вригта, Dx4 — доксастически
интерпретированной версией системы 54 Льюиса, Dx 5 полностью совпадает
с доксастическими системами BL Токаша и W55 Оно (с версиями
доксастически интерпретированной системы 55 Льюиса). Далее,
Т — версия эпистемически интерпретированной системы Фейса
и фон Вригта, 54 — версия эпистемически интерпретированной
системы 54 Льюиса (ее эпистемические интерпретации
предложили Гедель и Хинтикка, а Гудмен на ее базе построил модальную

2. Некоторые расширения К
77
теорию множеств). Наконец, 55 — версия эпистемически
интерпретированной системы 55 Льюиса.
Замечание 5. Все модализированные аксиомы рассмотренных систем
(включая систему К) являются т. н. формулами Салквиста и согласно
его теореме они полны (см. Салквист [1975]). Теорема Салквиста
является одним из самих глобальных результатов модальной логики, которая
охватывает широкий класс модализированных формул. Кроме того, из нее
не следует разрешимость этих систем. Поэтому мы будем строить
семантические диаграммы для установления полноты и разрешимости исследуемых
доксастических и эпистемических систем.
Заметим также, что в последующих главах мы рассматриваем
ненормальные и немонотонные доксастические и эпистемические системы
и предикатные расширения некоторых из них, способом исследования
которых мы используем метод семантических диаграмм. >
□ (-.ро-ор).
Доказательство.
1. (Р D Q) D (-'Q Э -1Р) — теорема PC.
2. П(Р DQ)D □(-<? D -тР) - г4; 1.
3. □(□ Р ЭР)Э a(iP Э -ОР) - rl; 2.
4. П(ПР ЭР) — аксиома С2.
5. П(-.Р Э -ОР) - г2; 3, 4.
0и.т2. П(Р Э ОР).
Доказательство.
1. □(-'Р Э -ОР) — Фогт\-
2. □(-.-■Р Э -О->Р) — rl; 1.
3. Р = —>Р — теорема PC.
4. □ (Р Э -О iP) - rll; 3, 2.
5. 0Р = -О-.Р -
6. П(РЭОР) — rl 1; 5, 4.
tfDiT3. □ (Р V -Q) Э П(Р V -ОС?).
Доказательство.
1. п(дэР) d(d(pvq)dd(pvp)) — ^13.
2. о(-д э -од) э (□ (рv -g) э п(рv-og)) — ri; 1.

78
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
3. □(-.(? 3 -0(?) — инстанс 0ц,7>1.
4. □ (Р V ^Q) 3 П(Р V -ОQ) - г2; 2, 3.
0д,т4. -|<)-Р 3 -OP.
Доказательство.
1. QP 3 О-Р — аксиома С1.
2. (Р 3 (?) 3 (-1(? 3 ->Р) — теорема PC.
3. (DP 3 OP) 3 (-.OP 3 -OP) - rl; 2.
4. --OP 3 -OP — r2; 3, 1.
#D,TS. OOP 3 DP.
Доказательство.
1. Ш(ОР 3 P) — аксиома C2.
2. Ш(Р 3 0 3 (DP 3 □(?) — аксиома Bl.
3. □(□.P 3 P) 3 (ППР 3 DP) - rl; 2.
4. ППР 3 DP - r2; 3, 1.
В системе T является инстансом аксиомы СЗ.
$д,т6. -.-ОПР 3 -.-ОР.
Доказательство.
1. □□ Р 3 OP -
2. Р = —.Р — теорема PC.
3. ПОР =-.-OOP - rl; 2.
4. -.-OOP 3 DP - rl 1; 3, 1.
5. ПР = -.-ОР - rl; 2.
6. -.-OOP 3 1-.QP - rll; 5, 4.
t?x)s4l. -OOP 3 -OP.
Доказательство.
1. DP 3 СЮР — аксиома C4.
2. (P 3 (?) 3 (-.(? 3 ->P) — теорема PC.
3. (DP 3 ПОР) 3 (-OOP 3 -OP) - rl; 2.
4. -OOP 3 -OP - r2; 3, 1.

2. Некоторые расширения К
79
dD,A2. ППР = ПР.
Доказательство.
1. ПОР Э □ Р -
2. ПР Э ШОР — аксиома С4.
3. □□Р = ПР - PC; 1, 2, D2.
Согласно принципу двойственности (а) из i?di42 следует
0D.43 . 00P-0P.
t?di42 и i?di43 называются законами редукции систем Dx4 и 54.
«?х,г44. ПОР Э ОР.
Доказател ьство.
1. ШР Э 0-Р — аксиома С1.
2. ПОР D 00Р — П; 1.
3. 00Р = 0Р - #D,43.
4. ПОР Э OP - rl 1; 3,2.
В системе Т i?pi44 является инстансом аксиомы СЗ (т. е. Т).
1?оИ5. Ш(Р Л HQ) = (ПР Л □(?).
Доказательство.
1. П(Р Л Q) = {ПР Л □<?) - I?jf2.
2. П(Р Л □<?) = (ПР Л DDQ) - rl; 1.
3. DDQ = HQ — rl; i?di42.
4. П(Р Л □<?) = (ПР Л □(?) - rll; 3, 2.
Согласно принципу двойственности (а) из i?di45 следует
0Dx46. 0(Р v 0<3) = (0-Р v ОС?).
$ог45 и i?di46 называются законами поглощения систем DXA и 54.
«D.51. ПРЭП(ПРЭР).
Доказательство.
1. Р D (Q D Р) — аксиома .41.
2. Р Э (DP Э Р) - rl; 1.
3. ПР 3 П(ПР ЭР) - г4; 2.

80
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
дВгЬ2. D-OP Э D(DP Э Р).
Доказательство.
1. -гР D (Р D Q) — теорема PC.
2. -ар Э (ОР ЭР) - rl; 1.
3. D-O Р Э D(DP ЭР)- г4; 2.
0х>,5з. dpvd-op.
Доказательство.
1. Р V ->Р — теорема PC.
2. ПР V -ОР - rl; 1.
3. -ОР Э П-ОР — аксиома С5.
4. Р Э (PV Q) — теорема PC.
5. ПР Э (□ Р V СЬПР) — rl; 4.
6. Q Э (Р V Q) — теорема PC.
1. 	СЬПР Э (DP V СЬПР) - rl; 6.
8. -OP Э (DP V CHOP) - г5; 3, 7.
9. (DP V -.ПР) 3 (DP V СЬПР) - г7; 5, 8.
10. DP V П-ОР - г2; 9, 2.
#0,54. D(DP Э Р).
Доказательство.
1. 0РЭ0(ПРЭР) - #ot51.
2. П-ОР Э D(DP ЭР) - #0,52.
3. (DP V D-ОР) Э □(□Р Э Р) - г7; 1, 2.
4. DPVD-OP - #di53.
5. D(DP ЭР) - г2; 3, 4.
#0,55. ПОР = ОР.
Доказательство.
1. D0P Э ОР - #0,44.
2. ОР Э ПОР — аксиома С5.
3. П0Р = 0Р - PC, 1, 2, D2.

2. Некоторые расширения К
81
Согласно принципу двойственности (а) из следует
0D.56- ОПР = ПР.
i9d,55 и называются законами редукции систем Г)г5 и 55.
0Т1. □(□PDP).
Доказательство.
1. ПР Э Р — аксиома СЗ.
2. П(ПР ЭР) - гЗ; 1.
tfT2. Р Э ОР.
Доказательство.
1. DP D Р — аксиома СЗ.
2. (QP Э Р) Э (-iP Э “'□Р) — инстанс теоремы PC.
3. ^Р Э -«ПР - г2; 2, 1.
4. —1—iP Э -iD-iP — rl; 3.
5. Р = Р — теорема PC.
6. Р э -СЬР - rl 1; 5, 4.
7. ОР = -1П-.Р -
8. P D OP - rl 1; 7,6.
0Т3. ПР Э ОР.
Доказательство.
1. ПР ЭР — аксиома СЗ.
2. Р Э ОР - 0Т2.
3. ПРЭ ОР - г5; 1, 2.
tfS5l. ОПР Э ПР.
Доказательство.
1. -iDP Э CHOP — аксиома С5.
2. (-ОР Э П-ОР) Э (-iD-iDP Э -i-iDP) — инстанс теоремы PC.
3. -iCbQP Э -пПР - г2; 2, 1.
4. ПР = -i-iDP — инстанс теоремы PC.
5. Р С ПР - rl 1; 4, 3.

82
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
6. ОР = -пСЪР - 0л-8.
7. ОПР = ->П->ПР — г1; 6.
8. ОПР Э П Р - rl 1; 7, 5.
1?552. ПР Э ПОР.
Доказательство.
1. Р D ОР -
2. ПР э ОПР - rl; 1.
3. ОР Э ПОР — аксиома С5.
4. ОПР Э ПОПР — rl; 3.
5. ОПРЭ ПР - 0J51.
6. П(0ПР Э ПР) - гЗ; 5.
7. П(0ПР Э ПР) D (ПОПР Э ППР) — инстанс аксиомы К.
8. ПОПР D ППР - г2; 7,6.
9. ПР Э ППР - г5; 2, 4, 8.
Рассматриваемые доксастические и эпистемические системы
можно представить следующей схемой включения:
Т <— 54 <— 55
»/»/»/
DXT < Dx4 <
5 <— S' означает, что S строго включается в S', т. е. множество
теорем S является собственным подмножеством множества
теорем S'. В самом деле, В1 (т. е. К) содержится в каждой системе,
С1 является аксиомой систем DXT, Dx4 и Dx5, а также доказуема
в системе Т и, следовательно, в системах 54 и 55, С2 содержится
в системах DXT и Dx4, а также доказуема в системе Dx5, Т и,
следовательно, в системах 54 и 55, наконец, СЗ является
аксиомой Т, 54 и 55, а С4 доказуема в системе 55.
2.2. 	Редукция модальностей
Одна из характерных особенностей систем Dx 5 и 55
заключается в том, что модальности в них с помощью эквивалентных
преобразований можно сводить к упрощенным модальностям. Но для

2. Некоторые расширения К
83
точной формулировки этой особенности нам сначала надо
установить доказуемость законов поглощения в Dx5 и, следовательно,
в S5:
si. U{PA$Q) = {UPA<>Q).
Доказательство.
1. П(Р Л Q) = (ПР Л ОД - 0*2.
2. □ (Р А 0<2) = (ПР А □<><?) - П; 1.
3. □<>£? s ОQ - П; #Вя55.
4. □ (Р А ОQ) = {ПР А ОQ) - П1; 3, 2.
Лd.s8 • П(Р V ОД = (DP V ОД.
Доказательство.
1. П(Р V Q) Э (DP V ОQ) - 0*12.
2. □(PVDQ)D(DPVODQ) — П; 1.
3. <)□<? = ОД — rl; 0Ds5 6.
4. П(Р V ОД) Э (QPVDQ) - rl 1; 3, 2.
5. Р Э (Р V [ОД) — rl; теорема PC.
6. DP D П(Р V ОД) - г4; 5.
7. UQ D (Р V СОД) — rl; теорема PC.
8. ПОДЗОРУ ОД) — г4; 7.
9. DDQ = П(? — rl; "дохА 2.
10. ПОД Э П(Р V ПОД) — rl 1; 9, 8.
11. (DP V ОД) Э П(Р V ОД - г7; 6, 10.
12. П(Р УОД) = ОРУ ОД — PC; 4,11, D2.
i?Ds5 9. n(PvOQ) = (nPVOQ).
Доказательство.
1. D(PVQ) D(DPVOQ) - «jrl2.
2. П(Р V OQ) 3 (DP V 00Q) - rl; 1.
3. 00Q = 0<? - rl; ib*43.
4. D(P V 0Q) D (ПР V 0<3) - rl 1; 3, 2.
5. P D (P V 0<2) — rl; теорема PC.

84
Пива I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
6. ПР Э П(Р V ОQ) - г4; 5.
7. ОQ Э (Р V ОQ) — rl; теорема PC.
8. поQ Э □ (Р V 0Q) - г4; 7.
9. □<><? = 0Q - rl;
10. оQ Э D(PvOQ) — П1; 9, 8.
11. (OP V ОС?) D П(Р V OQ) — г7; 6, 10.
12. n(PVOQ) = (DPVOQ) - PC; 4, 11.
Из t?jr>157 — $Drs9 согласно принципу двойственности (а)
соответственно получаем:
Ю. O(PVDQ) ee(OPvDQ),
*d9s 11. 0(Pa0Q) = (0Pa0Q)9
0Dx512. 0(p a ng) = (op a ng).
Теорема 5. Всякую формулу, модальный ранг которой больше
единицы, в Дс5 (55) можно свести к формуле, модальный ранг
которой равен 1. Иными словами, для всякой формулы А, для
которой r(A) > 1 существует формула А^ такая, wwa r(^4^) = 1
И 1-0,5(55) Д = Д* (Вайсберг [1933]).
Доказательство. Без потери общности рассуждения, мы
ограничимся рассмотрением таких формул, в которых (а) нет сокращений
кроме 0 и все вхождения знака отрицания находятся
непосредственно перед их атомарными формулами, а также (б) нет соседних
вхождений операторов □ и 0, т. е. нет итерированных
модальностей.
Действительно, если некоторая формула не удовлетворяет
требованию (а), то мы сперва с помощью надлежащих определений
и правила взаимозаменимости rl 1 устраним из нее все сокращения
кроме 0, а затем преобразуем ее согласно лемме 1 в эквивалентную
формулу, которая будет удовлетворять требованию (а). Если же
формула не удовлетворяет требованию (б), тогда используя
соответствующие инстансы законов редукции и производное правило
вывода rll, мы в конце концов преобразуем ее в эквивалентную
формулу, удовлетворяющую требованию (б).
Если модальный ранг формулы А, которая удовлетворяет
требованиям (а) и (б), все еще остается большим, чем 1, то это

2. Некоторые расширения К
85
может произойти только потому, что А содержит подформулы вида
□(В Л □ С), □(£ Л ОС), □ (В V ШС) или □ (В V ОС) или же их
двойственные подформулы вида 0(£V0C), O(-BVDC), О(ВЛОС')
или О (В А ПС). Мы отвлекаемся и от порядка конъюнктивных
и дизъюнктивных членов этих подформул.
Рассмотрим каждый из указанных выше случаев.
Если А содержит подформулу вида □(ВЛПС), тогда согласно
закону поглощения #£>^5 и rl 1, мы заменим ее эквивалентной
формулой □ В А ШС.
Случай, когда А содержит подформулу вида □(£ Л ОС),
трактуется аналогично с использованием i?d,s7 и rll.
Если А содержит подформулу вида □(£ V ПС), то опять
согласно закону поглощения $0,58 и rll заменим ее эквивалентной
формулой ПВ V ПС.
А случай, когда А содержит подформулу вида □(£ V ОС),
трактуется аналогично с использованием 0д,59 и rll.
Случаи с вхождениями указанных выше двойственных
подформул рассматриваются подобным же образом с применением
остальных законов поглощения: •Odza6, $0,510, #0,511, #0^512 и rl 1. В
результате описанного эквивалентного преобразования мы установим
доказуемость формулы А = А! в Dx5, причем г(А') на единицу
меньше, чем г (А). Повторяя указанный процесс, мы в конечном
итоге эквивалентно преобразуем А в формулу вида А^, которая
составлена с помощью связок -1, Л и V только из атомов вида
□В или 0В с немодализированным В. Поэтому модальный ранг
формулы А^ равен 1. D>
2.3. 	Семантика
ОгТ-фрейм есть упорядоченная пара (W, R), где W — непустое
множество (W Ф 0), a R — бинарное отношение слабо
рефлексивное в W и сериальное в W (т. е. R С W х W и для всяких u, v 6 W
если (u, v) € R, то (v, v) 6 R, а также для всякого и € W существует
v € W, такой, что (u, v) 6 R). Если, кроме того, R транзитивно
в W (т. е. для всяких u, v, w € W из (u, v) € R и (v, w) € R следует
(u, w) G R) , то ВгГ-фрейм будем называть Вх4-фреймом; а если R
к тому же является евклидовым в W (т. е. для всяких u, v, w G W

86
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
из (u, v) G R и (и, w) G R следует (v, w) G R), то АИ-фрейм назовем
Dx5 -фреймом.
*■(, D* 5-) модель есть пара где Fr — DXT-
(Dx4-, Др5-)фрейм, а V — бинарная всюду определенная
означивающая функция, такая, что V : PV х W -> {Т, !_}. А правила для
формул, содержащих логические связки, формулируются точно так,
как для системы К.
Фреймы и модели эпистемической системы Т определяются
аналогично с той разницей, что отношение R вместо свойств
слабой рефлексивности и сериальное™ в W обладает свойством
рефлексивности в W (т. е. для всякого u Е W (и, и) 6 R). В фреймах
и моделях S4 отношение R, кроме того, транзитивно, а в фреймах
и моделях S5 отношение R также является евклидовым.
Замечание 6. Слабая рефлексивность отношения R в каждом
Dx5-фрейме следует из евклидовости R. Поэтому при определении Dx5-фрейма
требование слабой рефлексивности R можно опустить. Точно также из
рефлексивности отношения R в Т-фрейме следует сериальность R и, далее,
из рефлексивности отношения R в S5-фрейме следует симметричность R,
а из симметричности и евклидовости R следует его транзитивность.
Поэтому при определении Т-фрейма обычно не упоминают сериальность
отношения R, а при характеристике отношения R S5-фрейма можно также
опустить требования симметричности и транзитивности R. Как видим
отношение R в S5-фрейме является рефлексивным, симметричным и
транзитивным, т. е. отношением эквивалентности (это означает, что каждый
возможный мир достижим из каждого возможного мира). Поэтому часто
отношение R S5-фрейма характеризуют как отношение эквивалентности. >
2.4. 	Семантические таблицы
Сначала сформулируем правила построения семантических
таблиц для доксастических систем DXT и Dx4.
Пропозициональные правила NN, ND и D для построения
DXT-(DX4^диаграммы полностью совпадают с соответствующими
правилами ЯГ-диаграммы. Поэтому мы отдельно сформулируем
правила модальных операторов сперва для DXT-диаграммы, а затем
для Dx4-диаграммы:
Вdbt • (а) Если t главная таблица, то составляется новая таблица
£', такая, что (М') € И. V называется
вспомогательной таблицей таблицы t.

2. Некоторые расширения К
87
(Ь) Если в таблице t появляется формула вида Q4, тогда
в каждую таблицу f, такую, что (t,t') € 71,
помещается формула А.
NB^r- Если в таблице t появляется формула вида -CL4, то
составляется новая таблица t', такая, что (t, t') G Я и в нее
помешается формула —>^4. Таблица V называется
вспомогательной таблицей таблицы t.
Вог4 ■ (а) Если t главная таблица, то составляется новая таблица
t', такая, что (t, t') G 7Z. t' называется
вспомогательной таблицей таблицы t.
(b) Если в таблице t появляется формула вида Q4, тогда
в каждую таблицу V, такую, что (t, t') G 71,
помещается формула Di4.
(c) Если во вспомогательной таблице t появляется
формула вида ПА, то в ту же таблицу помещается
формула А.
NBd.,4. Если в таблице t появляется формула вида ~>ПА, то
составляется новая таблица V, такая, что (t, t') G Я и в нее
помещается формула ->А. V называется вспомогательной
таблицей t.
Заметим, что правила Вх)„т(а) и (Ь) обеспечивают эффект
сериальное™ и слабой рефлексивное™, а правила Вд^а), (Ь) и (с) —
эффект сериальное™, слабой рефлексивное™ и транзитавности.
Пример 3. if-диаграмма для формулы А из примера 1 не замкнулась,
так как в конце ни одной ее цепи не оказалась тривиально замкнутая
таблица. Но Ох4-диаграмма для той же формулы замкнется, потому что
отношение Я между таблицами в DZA-фрейме транзитивно и,
следовательно, из таблицы t достижима таблица i3, в которую согласно правилу
Вд,4 (Ь) следует поместить формулу DQ, а затем по правилу Вдг4 (с) —
формулу Q, которая вместе с -iQ, входящей в <3, тривиально замкнет ее. о
Теперь сформулируем правила построения семантических
таблиц для эпистемических систем Т и 54. Пропозициональные
правила, как в доксастических системах, полностью совпадают
с соответствующими правилами построения £)гТ(£)г4)-диаграммы.
Поэтому мы сформулируем правила модальных операторов сперва
для системы Т, а затем для системы 54.

88
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
Кт- (а) Если в таблице I появляется формула вида QA, то
в каждую таблицу V, такую, что (t, tf) € 71, помещается
формула А.
(Ь) Если в таблице t появляется формула вида ПА, то в ту же
таблицу помещается формула А.
Формулировка правила NKj- полностью совпадает с
формулировкой правила NBd.t- Далее,
К54. (а) Если в таблице t появляется формула вида ПА, то
в каждую таблицу V, такую, что (t, t') 6 %, помещается
формула ПА.
(Ь) Если в таблице t появляется формула вида ПА, то в ту же
таблицу помещается формула А.
А формулировка правила NK54 полностью совпадает с
формулировкой правила NB^y.
Заметим также, что правило Кт обеспечивает эффект
рефлексивности, а К54 — эффект рефлексивности и транзитивности.
Характеристические формулы mutatis mutandis определяются
как для таблиц if-диаграммы.
Мы всегда будем стремиться завершить построение
диаграммы и поэтому примем соглашение о недопустимости повторения
результата, сформулированное для системы К.
2.5. 	Семантическая полнота
С помощью нижеследующих лемм попытаемся установить, что
системы DXT и Dx4 являются семантически полными.
Лемма 10. Пусть таблица t' из S' является альтернативной
напарницей таблицы t из S DXT~(DX4)-диаграммы,
порожденной на (п + 1)-н стадии таблицы t из S', xn+i(0 и Xn-н (О —
характеристические формулы (п + 1)-и стадий таблиц t € S
и V G S', a Xn(t) — характеристическая формула п-й стадии
таблицы t € S. Тогда
(a) если t — замкнутая главная таблица и \~dxT(D,4) Xn + \(t), а
также \~DtT{D,4) Xn+lP), то \~D,T(Dt4) Xn(0
(b) если же t — замкнутая вспомогательная таблица и в DXT(DX4)
доказуемы Qxn+i(0 и □xn+i(£,)> то в DXT(DX4) доказуема
также ОХп(0-

2. Некоторые расширения К
89
Доказательство. Случай (а) трактуется точно так, как
доказательство леммы 2 для системы К. Поэтому рассмотрим случай
(Ь) По условию леммы в DXT(DX4) доказуемы формулы
□*n+t(t) и которые соответственно имеют вид
□ [(^4 V V В)) V Я] и □[(-.BV-i(iiVB))V#],
где Я — дизъюнкция отрицаний остальных формул n-й стадии
таблицы t или пустое выражение. Согласно PC в DXT(DX4) доказуема
формула
□((-->1 V -.(А V В)) V Я) Л □((-.В V -*(А V В)) V Я),
откуда в силу и г11 получаем
□ [((и! V -*(А V В)) V Я) Л ((-.В V -.(4 V В)) V Я). (1)
Из инстанса теоремы PC (Р V R) A (Q V R) = (Р A Q) V R и
формулы (1) согласно правилу вывода г11 следует
□[((—V ~>(^4 V В)) А (~>Я V -"(.А V В))) V Я],
откуда в силу инстанса той же теоремы PC и правила rl 1 получим
□[((->А А В) V -'(Л V В)) V Я]. Из последней формулы с помощью
инстанса (~^А А -iB) = ->(А V 5) теоремы PC и rll выводим
□[(i(i4 V Я) V ^(А V Я)) V Я],
откуда опять согласно PC и rll прямо следует V Я) V Я),
т.е. □*„(*). >
Вспомогательное предположение. Пусть на т-й стадии
любой таблицы t € S применяется правило D, в результате чего
возникает новая альтернативная система таблиц S' с
альтернативной напарницей t' € S' таблицы t € S. Пусть, далее, для
любого т Xm(t) и Xm(t') — характеристические формулы,
соответствующие т-ым стадиям построения таблиц tut'. Тогда
(a) если t — замкнутая главная таблица и Xm(t) доказуема в
DXT(D,г4), будем предполагать, что Xm(t') также доказуема
в DXT(DX4).
(b) если же t — замкнутая вспомогательная таблица и
доказуема в DXT(DX4), будем предполагать, что Пхт(Р) также
доказуема в DXT(DX4). >

90
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
Лемма 11. Пусть Xn(t) и Хп - i(t) — характеристические
формулы п-й и (п + 1)-« стадий таблицы t DXT-(Ох4-)диаграммы;
допустим также, что выполняется наше вспомогательное
предположение. В таком случае,
(a) если t — замкнутая главная таблица и в DXT(DX4) доказуема
X„+i(£)> то в DXT(DX4) доказуема также Xn(t)-
(b) если t — замкнутая вспомогательная таблица и в DXT(DX4)
доказуема Dxn+i(0> то в DXT(DX4) доказуема также Пхп(0-
Доказательство, (а) Если t — замкнутая главная таблица, то на
(п + 1)-й стадии к формулам n-й стадии могут применяться только
правила NN, ND и D, поскольку остальные правила предписывают
открыть новые таблицы и поместить формулы не в главную
таблицу t, а во вспомогательные. Поэтому этот случай рассматривается
точно так, как соответствующий случай леммы 3 для системы К.
(Ь) Пусть t замкнутая вспомогательная таблица, тогда к
формулам t могут применяться все правила, кроме NBd,t
(соответственно NBx^r), которое предписывает открыть новую таблицу.
Пусть, далее, на (п + 1)-й стадии таблицы t применяется правило
NN к формуле n-й стадии Тогда Dxn+i^) будет иметь вид
□(-liV-'-'-iiVff), a — ВИД V Н), где Н — дизъ¬
юнкция отрицаний остальных формул n-й стадии или пустое
выражение. По условию пункта (Ь) леммы DXn+i^) доказуема
в DXT(DX4), откуда мы легко сможем получить с помощью ин-
станса теоремы 1?дТ5
□(-а V -.-i-ui V Я) Э □(---.-и* V Я).
Предположим теперь, что на (п 1)-й стадии применяется
правило ND к формуле n-й стадии -<(А\/В). Тогда справедливость
нашего утверждения мы установим с помощью и инстанса
теоремы дц 16
V В) V пА V —>~>В V Я) D □(-'-'(4. V В) V Я).
Пусть на (п + 1)-й стадии применяется правило D к формуле
n-й стадии АУ В, согласно которому порождается новая
альтернативная система с напарницей t' таблицы t. □Xn+i^) доказуема

2. Некоторые расширения К
91
в DXT(DX4) по условию леммы, a — в силу вспомога¬
тельного предположения, но тогда □;£„(£) доказуема в DXT(DX4)
согласно пункту (Ь) леммы 10.
Наконец, пусть на (п + 1)-й стадии применяется правило
Вц*г (Ь), соответственно BDi4 (с), к формуле n-й стадии СМ.
Тогда поскольку t вспомогательная таблица, а отношение Н между
таблицами слабо рефлексивно, то в t помещается также формула А.
□Хп-и(0 имеет вид □(FV-'CMV-M), а □;£„(£) — вид □(FViDi),
где F — дизъюнкция отрицаний остальных формул п-й стадии или
пустое выражение. Из инстанса теоремы догтЗ
□(F V -уПА V ~А) D D(F V -ОА V -ОА)
и с помощью г2 получим D(FV-iDi V-iDl), а затем
согласно г11 и инстансу PC -’EM = (-’□А V -О.А) легко сможем
получить □д'„ (t). О
Лемма 12. Пусть t' является впомогательной таблицей
таблицы t DXT -диаграммы и выполняется вспомогательное
предположение. В таком случае
(a) если t — замкнутая главная таблица и х(Р) доказуема в DXT,
то x(t) также доказуема в DXT;
(b) если tut'— замкнутые вспомогательные таблицы, такие, что
(t, ?)€П и \~DxT □*(£'), то h Dzt □*(£).
Доказательство, (а) Если t — замкнутая главная таблица
-диаграммы, то в ее вспомогательной таблице V формулы могут
появиться только согласно правилам BDiT(b) и NBDiT. В первом
случае t содержит формулы вида ПВ\,..., □ Вп (п ^ 0), а во втором
случае — формулы вида QBb ..., ПВп (п ^ 0), а также формулу
-||ИС. Xi(i') соответственно будет иметь вид ->В\ V ... V -iВп или
-ijBi V ... V ->Вп V a Xi(t) — ВИД -CBi V ... V -ОВ„ V Н или
-iQBi V ... V -iDBn V -i-iDC V Н, где Н — дизъюнкция отрицаний
остальных формул I -й стадии таблицы t или пустое выражение.
Сначала рассмотрим случай, когда применяется правило Ъ^гт
(Ь). Согласно условию леммы в DXT доказуема □xi(£')> которая
имеет вид [H(-iBi V.. ,V-iB„). Эквивалентным PC преобразованием
из нее получим А ... А В„), откуда согласно инстансу

92
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
и PC сможем вывести -iO(-Bi Л... Л Вп). Далее, из инстанса &dxt4
-^0(В\ Л ... Л Вп) Э "'□(Bi Л ... Л Вп)
и предыдущей формулы в силу г2 следует Л ... Л Вп), откуда
согласно инстансу $#3 и г11 можно получить формулу -i(QBi Л
.. .ЛОВп), из которой эквивалентным PC преобразованием можно
вывести -iQBiV..V-iQBn. Характеристическая формула последней
стадии таблицы t имеет вид -iQl?! V ... V -G Вп УН и она легко
может быть получена согласно PC из предыдущей формулы.
Случай использования правила NBp^ трактуется аналогично
лемме 4 для системы К и проведение его доказательства мы
предоставляем читателю.
Доказуемость характеристических формул остальных стадий
таблицы t обеспечивается пунктом (а) леммы 11 и пунктом (а)
вспомогательного предположения.
(Ь) Если t и V — замкнутые вспомогательные таблицы, такие,
что (t, t!) 6 И, тогда из доказуемости формулы мы подобно
случаю (а) настоящей леммы установим доказуемость
характеристической формулы xi(t) последней l-й стадии таблицы t, а затем
с помощью правила вывода гЗ из нее получим \3xi(t)- >
Лемма 13. Пусть t* является впомогателъной таблицей
таблицы t DXA-диаграммы и выполняется вспомогательное
предположение. Тогда
(a) если t — замкнутая главная таблица и х(Ю доказуема в Dx4,
то x(t) также доказуема в Dx4;
(b) если tut1— замкнутые вспомогательные таблицы, такие, что
(М') € И и hDi4 □*($'), то hDi4 Dx(t).
Доказательство, (а) Пусть t —- замкнутая главная таблица
Dx4-диаграммы. В ее вспомогательной таблице V формулы могут появиться
только согласно правилам ВдДЬ) и NBp^. В первом случае t
содержит формулы вида ПВЬ ..., ОВп (п ^ 0), а во втором
случае — кроме формул вида ОВь • • • , ПВ„ (п ^ 0), содержит также
формулу -GC. Для установления леммы достаточно рассмотреть
характеристические формулы исходной стадии таблицы t' и
последней l-й стадии таблицы t. В таком случае, Xift) будет иметь
вид -OBi V... V -'□Вп или “'□Bi V ... V -GBn V -i-iDC, a xi(t) ~

2. Некоторые расширения К
93
вид -1QB1 V ... V -iQBn V Н или -O0i V ... V ->QBn V V Н,
где Н — дизъюнкция отрицаний остальных формул последней 1-й
стадии таблицы t или пустое выражение.
Сначала рассмотрим случай, когда применяется правило Вд^
(Ь). Согласно условию леммы в Dx4 доказуема формула □xi(£,)>
которая имеет вид □(-'QBi V ... V Эквивалентным PC
преобразованием из нее получим □-i(Q0i Л ... Л QBn), откуда
согласно инстансу $#6 и PC можно вывести -i<>(QBi А... Л Q0n).
Затем из инстанса ‘дг>1т4
->0(ПД1 Л ... Л Q0n) Э -'□(□01 А ... Л П0П)
и предыдущей формулы согласно PC получаем
->□(□.01 Л ... Л ОВ„),
а из нее в силу инстанса и г11 выводим формулу
-'(□□01 А ... Л □□0„),
откуда эквивалентным PC преобразованием получаем
-.□□0! V... ч-пивя. (1)
Далее, согласно инстансу
Э ->□0,
и инстансу теоремы PC
-О0,- D (-'□01 V ... V -.П0П V Н)
для любого * (1 ^ i ^ п) согласно г5 получаем
->□□08 Э (-'□01 V ... V -авп V Н), т. е. -'□□0j D Xi(t)>
откуда с помощью г7 выводим
(“’□□01 V ... V -'□□0П) D Xi(t)- (2)
Наконец, из (2) и (1) согласно г2 получаем характеристическую
формулу последней l-й стадии таблицы t Xt(t)'-
-О©! V ... V -'□0П V н.
Доказуемость характеристических формул остальных стадий
таблицы t гарантируется пунктом (а) леммы 11 и пунктом (а)
вспомогательного предположения.

94
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
Теперь рассмотрим случай, когда применяется правило NBd,4-
Согласно условию леммы в Dx4 доказуема \Jxi(t'), которая имеет
вид □(-OBi V ... V -О В„ V -i-iDC). Эквивалентным PC
преобразованием из нее получим
□((□В! Л ... Л ШВ„) Э -.-.ПС),
откуда согласно инстансу аксиомы В1 и PC следует
□(□В, Л ... Л □ В„) Э □-.-.□С.
Из нее соответствующими подстановками в силу $#3, flK4 и г11
выводим
(□□Bi Л ... Л ШШВ„) Э -1-.ППС.
А из последней формулы эквивалентным PC преобразованием
получаем
-.□□В! V ... V-ОПВ„ V 1-ODC. (1)
Далее, согласно инстансу
т?о141~’ППВ| Э -OBi
и инстансу теоремы PC
-ОВ< Э (~OBi V ... V -ОВ„ V Н)
для любого * (1 ^ i ^ п) с помощью г5 выводим
-ОПBi D (-.DBi V ... V iDBn V -.-.ПС V H). (2i)
С другой стороны, из инстанса
^.Охтб-'-ОШС D -1-ОС
и инстанса PC -i-OC D Xi(t) согласно r5 получаем
-i-OlIlC D (-OBi V ... V -iDBn V -i-iDC V H). (3)
А из (2i) и (3) согласно г7 выводим
(-■□□Bi V ... V -ОШВ,, V -1-ОШС) Э Xi(i)-
Наконец, из нее и формулы (1) с помощью г2 получим
характеристическую формулу последней l-й стадии таблицы t Xi(t)'
-1ШВ1 V ... V -ОВ„ V -.-ОС V н.

2. Некоторые расширения К
95
Доказуемость характеристических формул остальных стадий
таблицы t гарантируется пунктом (а) леммы 11 и пунктом (а)
вспомогательного предположения.
(Ь) Если же t и Е — замкнутые вспомогательные таблицы,
такие, что (t, V) G К, тогда из доказуемости формулы
мы подобно случаю (а) настоящей леммы установим доказуемость
характеристической формулы Xi(t) последней l-й стадии таблицы t,
а затем с помощью правила вывода гЗ из нее получим □%;(£). о
Лемма 14.
(a) Если главная таблица t DXT-(Dx4)-диаграммы тривиально
замкнута и выполняется вспомогательное предположение, то \{t)
доказуема в DXT(DX4).
(b) Если вспомогательная таблица t DXT-(Ох4)-диаграммы
тривиально замкнута и выполняется вспомогательное предположение,
то □%(£) доказуема в DXT(DX4).
Доказательство, (а) Достаточно рассмотреть характеристическую
формулу Xi(t) последней I-й стадии таблицы t.
На последней стадии тривиально замкнутая таблица содержит
некоторую формулу Е вместе с ее отрицанием ->Е. Поэтому Xi(t)
имеет вид ->Е V ->-*Е V Н, где Н — дизъюнкция отрицаний
остальных формул t или пустое выражение. Но ~^Е V -пЕ V Н является
теоремой PC, следовательно, Xi(t) доказуема в DXT(DX4).
Справедливость утверждения леммы для предыдущих стадий
таблицы t будет следовать из леммы 11 (а) и вспомогательного
предположения (а).
(Ь) Если t — тривиально замкнутая вспомогательная таблица,
тогда мы подобно случаю (а) настоящей леммы установим
доказуемость характеристической формулы Xi(t) последней I-й стадии
таблицы t, а затем с помощью правила вывода гЗ из нее получим
Доказуемость остальных стадий формул вида в DXT(DX4)
гарантируется леммой 11 (Ь) и вспомогательным
предположением (Ь). >
Лемма 15. Если DXT-(Dx4 )диаграмма для А замкнута, то А
доказуема в DXT(DX4).

96
Diaea I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
Доказательство. Выберем из каждой альтернативной системы
таблиц по одной цепи замкнутых таблиц, как при доказательстве
леммы 6 для системы К, и покажем как следует устранить
вспомогательное предположение в каждом случае использования лемм 11-14
при преобразовании замкнутой DXT-(£>г4-)диаграммы в
доказательство формулы А в DXT(DX4).
Опять воспользуемся индукцией по числу п выбранных цепей
замкнутых таблиц.
Базис: п = 1. ОгТ-(£)г4-Диаграмма содержит одну
выбранную цепь замкнутых таблиц ti,... ,tp (р > 1) и поэтому правило
D не может применяться ни к одной таблице этой цепи.
Если р = 1, тогда tp будет тривиально замкнутой главной
таблицей и x(tp) доказуема в DXT(DX4) в силу леммы 14 (а).
А если р > 1, тогда согласно лемме 14 (Ь) в DXT(DX4)
доказуема Ox(tp), а в силу леммы 12 (Ь) из доказуемости □x(^+i) в DXT
следует доказуемость в DXT (2 ^ г < р) и, далее, согласно
лемме 12 (а) из доказуемости Пх(^) в DXT следует доказуемость
X(£i) в DXT. В случае Dx4-диаграммы к такому же результату
приходим с помощью лемм 14 (а), (Ь) и 13 (а), (Ь). В обоих случаях
доказуемость для каждой таблицы U (1 ^ i < р) формул вида
□x(£i) и %(<i) гарантируется леммой 11 (а) и (Ь).
Индукционный шаг: п > 1. В силу индуктивного
предположения вспомогательное предположение можно устранить в каждом
случае использования лемм 11-14 при преобразовании замкнутой
DXT-(DX4-)диаграммы для А в доказательство А в DXT(DX4),
когда число выбранных цепей замкнутых таблиц замкнутой
К-диаграммы для формулы А меньше п.
Пусть замкнутая DXT-(£>г4^диаграмма для А состоит из п
альтернативных систем таблиц, каждая из которых содержит одну
выбранную цепь замкнутых таблиц (n > 1), a S я S'
соответственно (п — 1) -я и n-я альтернативные системы, содержащие цепи
замкнутых таблиц t\, ti,..., tp и t\, t'2,..., t'q. При этом, правило
D не может применяться ни к одной таблице цепи t\,t'2,... ,t'q,
поскольку, в противном случае, возникла бы (гг + 1)-я
альтернативная система таблиц. Поэтому вспомогательное предположение
не будет применяться ни к одной таблице Ь\ (1 ^ i ^ q) при каждом
использовании лемм 11-14 точно так, как в случае, когда п = 1.

2. Некоторые расширения К
97
Пусть правило D применяется к замкнутой таблице fa (1 < * ^ р)
на fc-й стадии, в результате чего на (к + 1)-й стадии
порождается альтернативная напарница t\ таблицы fa и п-я альтернативная
система таблиц S'. При этом таблицы t\, t'2,..., полностью
копируют таблицы t\,fa,...,fa~i. Но мы уже показали, что
вспомогательное предположение не используется при доказательстве
характеристической формулы x*+i(^) в DXT(DX4). А
доказуемость Xk+i(fa) в DxT(Dx4) следует из индуктивного
предположения, поскольку цепь замкнутых таблиц fa, fa,..., tp была выбрана
из (п — 1 )-й альтернативной системы. Итак, мы без
вспомогательного предположения смогли показать, что в DXT(DX4) доказуемы
X*+i(ij) и Xk+\{t'i)- Но тогда согласно лемме 10 в DXT(DX4)
доказуема характеристическая формула к-й стадии Xk(U) таблицы fa.
Так как правило D применяется только на к-й стадии таблицы
fa (1 < i ^ р), для установления доказуемости в DXT(DX4)
характеристических формул предшествующих стадий x(fa) таблицы
fa нам уже не потребуется использование вспомогательного
предположения при каждом применении лемм 11-14 для всякого i
(1 ^ i < р). Устранение остальных применений вспомогательного
предположения для каждого использования лемм 11-14
обеспечивается индуктивным предположением.
Таким образом, если DXT-{DX4-)-диаграмма для А содержит
п альтернативных систем таблиц, то в DXT(DX4) доказуема
характеристическая формула первой стадии Xi(^i) главной таблицы
ОгТ-(^ж4-)диаграммы. Она имеет вид —«^4, из чего в силу PC
следует, что формула А доказуема в DXT(DX4). о
Замечание 7. Построение Dx4-диаграммы для формулы А в примере 3
завершилось, потому что после конечного числа применения наших
правил, ни одно из них не оказывается вновь применимым. Так ли будет
всегда происходить? Исчерпывающий ответ на этот вопрос будет дан
позже при рассмотрении проблемы разрешимости. А сейчас мы рассмотрим
пример такой формулы, для которой построение Dz 4-диаграммы никогда
не завершится в конечное число шагов, другими словами, оно будет
продолжаться бесконечно, так как какое-то из наших правил всегда окажется
применимым к некоторой формуле ранее открытой таблицы. >
Пример 4. Для иллюстрации замечания 7 мы выберем простую формулу
-iD-GP и построим для нее /7,-4-диаграмму

98
Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
К = {(*, ti), (tuti), (tub), (*, t2), (t2, i2),..
t = {-i-iD-iQP, СЬОР, -iQP};
ij = {-.P, D-iDP, -OP};
*2 = {-1Р,СЬПР, -iDP}
и т. д., процесс построения Dx4-диграммы для формулы -О-ОР будет
продолжаться без завершения. Действительно, к формуле -WD-iOP
таблицы t применимо правило NN, согласно которому в t включается формула
□-ОР. Поскольку t — главная таблица, к последней формуле применимо
правило Вj)x4 (а) в силу которого мы открываем новую вспомогательную
таблицу t\ ив нее по правилу BDx4 (Ъ) помещаем формулу □-ОР. А
согласно правилу BDx4 (с) в t\ включается Р, к которой применимо
правило NBDx4, согласно которому мы вновь открываем вспомогательную
таблицу t2 и в нее включаем формулу -»Р и т. д. Поэтому все составленные
после t\ таблицы будут содержать одни и те же формулы. Произойдет ли
такое зацикливание в каждом случае, когда построение Dx4-диграммы
продолжается бесконечно?
Ответ на этот вопрос будет дан при рассмотрении разрешающей
процедуры для Dx 4. t>
Если #яТ-(Дс4-)диаграмма для А не замкнута, то по крайней
мере не замкнута одна из ее альтернативных систем таблиц. Не
замкнута также главная таблица такой системы с исходной формулой
-ii4. Значит не замкнута и ни одна из ее вспомогательных таблиц.
Из такой диаграммы для А выберем любую не замкнутую
альтернативную систему таблиц S. Множество S частично упорядочено
отношением % между таблицами. Теперь с помощью S и %
определим фрейм Fro = (Wq, Ко) •

2. Некоторые расширения К
99
Пусть в — взаимно однозначное отображение S на Wo.
Множество Wo не пусто, так как S содержит по крайней мере одну
таблицу, а именно, главную. Элементы Wo упорядочены
отношением Ro, соответствующим отношению 7Z между таблицами S,
причем, если ty,ti € «5, vt = 0(М и V2 = 6(ti), то (vi,V2) € Ro,
тогда и только тогда, когда (ty,ti) £ П.
Наконец, DXT(DX4)-модель Мо определим как пару (Ь>о, Vo),
где Нго — вышеописанный фрейм, a Vo — бинарная функция
из PV х Wo в {Т, _1_}, которая с каждой таблицей t из S связана
следующими условиями:
Пусть v = 9(t), t € S. Vo(Р,у) — T, если t содержит Р и
Vo(P, v) = ±, если t содержит ->Р. Кроме того, для всякой
пропозициональной переменной Р, такой, что t не содержит ни Р, ни ->Р,
мы полагаем, что Щ{Р, у) принимает любое из значений Т или ±.
Это гарантирует определенность Vo для любой пропозициональной
переменной и любого элемента Wo.
Теперь покажем, что когда ПгГ-(£)а;4-)диаграмма для А не
замкнута Мо является опровергающей моделью для А.
Лемма 16. Пусть Мо — вышезаданная модель. Тогда для всякой
формулы В и всякой таблицы t (в случае Dx4, псевдотаблицы г)
из не замкнутой альтернативной системы таблиц S Мо
удовлетворяет следующим условиям:
1) если формула В входит в t {в псевдотаблицу т), то Vo(B,v) — Т и
2) если формула -п В входит в t (в псевдотаблицу т),то Vo {В,у) = _L
Доказательство проведем одновременной индукцией по
логической длине формулы В.
Сначала покажем, что лемма верна для незамкнутой ПхТ-диаг-
раммы. Справедливость утверждения 1) в случаях, когда В входит
в таблицу t незамкнутой альтернативной системы DXT-диаграммы
и В имеет вид Р, -iС или Су V С2 трактуется точно так, как при
доказательстве леммы 7 для системы К. Только в подслучае, когда
В имеет вид ->С, а С — вид OD вместо правила NNec надо
воспользоваться правилом NBDiT.
Остается рассмотреть случай, когда В имеет вид □ С. Так как
таблица t незамкнута к ней применимо правило NBd.t и в
каждую таблицу ty, такую, что (Mi) £ 7£, помещается формула С,

100 Diaea I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
логическая длина которой меньше логической длины В. Поэтому,
в силу индуктивного предположения, для всякого и, такого, что
(v, и) € Ro, где v = 6(t), и = 6(t{), Vo (С, и) = Т. Но тогда по правилу
оценки для доксастического оператора, Vo(B,v) = Vo(DC, v) = Т.
Теперь убедимся, что справедливо и утверждение 2) нашей
леммы. Случаи, когда ->В входит в таблицу t незамкнутой
альтернативной системы Dx Т-диаграммы и В имеет один из следующих
видов Р, -’С, Ci V Ci рассматриваются точно так, как при
доказательстве леммы 7 для системы К. Пусть В имеет вид ОС и в таблицу
t входит —IJ3, т. е. -ОС. Поскольку таблица t не замкнута, к формуле
-ОС применимо правило NB DxT, согласно которому открывается
новая вспомогательная таблица ti и в нее помешается формула
->С, содержащая меньше логических знаков, чем -'□С. В силу
индуктивного предположения для утверждения 2), Vo(C,u) = ±,
где и = 9(t\). Но тогда по правилу оценки для доксастического
оператора, V0(B, v) = V0(DC, v) = -L, где v = 6{t) и (v, u) € Ro-
Покажем теперь, что наша лемма справедлива и для
незамкнутой Па.4-диаграммы. Учитывая ситуацию, описанную в примере 4,
нам следует рассмотреть два случая. В первом процесс
построения незамкнутой диаграммы завершается в конечное число шагов,
поскольку ни одно из правил построения таблиц не окажется
применимым. А во втором процесс построения незамкнутой
диаграммы никогда не завершится, так как одно из правил построения
таблиц каждый раз окажется применимым. В случае, когда процесс
построения диаграммы не завершается, будем говорить, что она
бесконечна. Если построение DXA-диаграммы завершается в
конечное число шагов, существует ее незамкнутая альтернативная
система таблиц. В таком случае, справедливость нашей леммы
устанавливается точно так, как для незамкнутой ,Ds!r-диаграммы,
кроме случая, когда В входит в таблицу t незамкнутой
альтернативной системы DXA-диаграммы и В имеет вид ОС.
Поскольку таблица t не замкнута к формуле ОС применимо
правило Вд^Ь), согласно которому в каждую таблицу t\, такую,
что (Mi) € И, помещается формула ОС, к последней формуле
применимо уже правило Вд^с) и в каждую такую таблицу t\
помещается формула С, имеющая меньшую логическую длину, чем
ОС. Согласно индуктивному предположению для утверждения 1),

2. Некоторые расширения К
101
Vo(C, u) = Т, для всякого и такого, что (v,и) Е Ro, где v = 6{t),
и = 9(ti). но тогда в силу правила оценки для доксастического
оператора, Vo(В,\) — V0(DC, v) = Т.
Если же ->В входит в таблицу t незамкнутой альтернативной
системы Dx4-диаграммы и В имеет вид ПС, т. е. в таблицу t входит
•пПС, тогда к формуле -ОС применимо правило NBDi4,
согласно которому составляется новая таблица t\, такая, что (t, t\) Е %
и в нее помещается формула -iС. В силу индуктивного
предположения для утверждения 2), V0(C, и) = ±, где и = Щ\)- Но тогда
по правилу оценки для доксастического оператора, Vo (В, v) =
V0(nC, v) = ±, где v = 0(t) и (v, u) G Ro-
Однако если Dx4-диаграмма бесконечна, тогда процесс ее
построения не завершена и мы не можем сказать, что такая
альтернативная система таблиц существует. Мы имеем незамкнутую
альтернативную систему таблиц на каждой стадии построения
диаграммы, но не альтернативную систему таблиц всей незамкнутой
Dx4-диаграммы. Поэтому следуя Крипке ([1963]), рассмотрим
последовательности стадий бесконечной незамкнутой альтернативной
системы таблиц. Каждый член такой последовательности является
определенным множеством формул. При этом (п + 1)-я стадия
получается из п-й применением некоторого правила. Пусть S —
множество формул, соответствующее n-й стадии бесконечной
незамкнутой альтернативной системы таблиц и пусть на (я + 1 )-й
стадии S не затрагивается применением ни одного правила.
Тогда S не меняется на (п + 1)-й стадии и мы будем говорить, что
на (п+ 1)-й стадии S является своим непосредственным
расширением. Но если на (п + 1)-й стадии S затрагивается применением
некоторого правила, тогда на (п+ 1)-й стадии S преобразуется в Si
или в Si и ^2 (при использовании правила D). В таком случае, мы
будем говорить, что множество формул Si (или множества формул
Si и S2) является (являются) непосредственным расширением
множества формул S из п-й стадии. Аналогично мы будем говорить, что
на (п + 1)-й стадии таблица t\ есть непосредственное расширение
таблицы t из п-й стадии, если выполняются следующие условия:
либо t не затрагивается применением правила, согласно которому
мы получаем (п + 1)-ю стадию из п-й, либо t преобразуется в ti

102 Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
согласно этому правилу или же (если этим правилом является D)
в две альтернативные напарницы, одна из которых совпадает с t\.
Заметим, что на первой стадии бесконечной незамкнутой
альтернативной системы таблиц мы имеем множество {->.4}. Если
теперь мы рассмотрим бинарное отношение «является
непосредственным расширением», между множествами формул, которые
соответствуют последовательности стадий, получим бесконечную
древовидную структуру. Но тогда из леммы Кенига следует, что
существует бесконечная цепь Si, S2, Sy,... множеств формул,
каждое из которых является непосредственным расширением своего
предшественника. При этом S\ соответствует первой стадии в
построении незамкнутой Е>ж4-диаграммы, S2 — второй и т. д. Эта
последовательность образует незамкнутую альтернативную систему
бесконечной незамкнутой Dx4-диаграммы для формулы А.
Обозначим ее через S*. Каждая таблица t из Sn имеет единственное
непосредственное расширение t' из Sn+\. Если t — такая таблица
из Sn, которая не является непосредственным расширением S„-1,
тогда п = 1 или t была введена согласно одному из правил Вд^
или NBDi4.
Последовательность таблиц, первый элемент которой является
начальной таблицей S*, такая, что каждый элемент после первого
является непосредственным расширением своего
предшественника в S*, называется псевдотаблицей из S*. Псевдотаблица из <5*,
на первой стадии которой в нее включается формула -<А,
называется главной. Остальные псевдотаблицы из S* вспомогательны.
Псевдотаблица может содержать не более одного элемента
из таблицы 5„ • Если она содержит такой элемент, будем говорить,
что псевдотаблица имеет представителя в Sn.
Наконец, пусть Т\ и тг — две псевдотаблицы из S*, тогда мы
скажем, что (ть т?) € TV, когда существует Sn с представителями
t\ и ti из т\ и гг. Поскольку Л рефлексивно и транзитивно, то TV
также будет рефлексивным и транзитивным.
Пусть т содержит f 1,и т-Д-> мы скажем, что формула В
входит в псевдотаблицу т, если существует элемент ti
псевдотаблицы т, такой, что В входит в ti.
Справедливость утверждений 1) и 2) для незамкнутой
бесконечной альтернативной системы таблиц Dx4 -диаграммы трактуется

2. Некоторые расширения К
103
точно так, как при доказательстве незамкнутой Dx4-диаграммы,
построение которой завершается в конечное число шагов, с той
разницей, что вместо таблиц в незамкнутой бесконечной
альтернативной системе таблиц следует рассматривать псевдотаблицы, о
Лемма 17. Если DXT-(DX4)-диаграмма для А не замкнута, то
А в классе фреймов DXT(DX4).
Доказательство. По условию леммы £)гГ-(£)х4-)диаграмма для А
не замкнута, поэтому не замкнута по крайней мере одна из ее
альтернативных систем. Но тогда не замкнута и главная таблица такой
системы с исходной формулой ->А. Согласно утверждению
леммы 16. 2), в таком случае существует опровергающая модель для А.
Следовательно, А не общезначима в классе фреймов DXT(DX4). t>
Теорема 7. Если (= А в классе фреймов DXT(DX4), то \г А
в DXT(DX4) (теорема полноты).
Доказательство прямо следует из контрапозиции леммы 17 и
леммы 15. О
Доказательство полноты эпистемических систем Г и 54 мы
предоставляем читателю (для установления полноты 54 при
доказательстве леммы, соответствующей лемме 16 для системы Dx4,
следует рассмотреть два случая, когда построение незамкнутой
54-диаграммы завершается в конечное число шагов и когда
незамкнутая 54-диаграмма бесконечна).
Семантическую полноту систем Dx5 и 55 мы установим
методом, родственным тому способу, который был использован
Вайсбергом при доказательстве полноты модальной системы 55. С этой
целью мы воспользуемся законами редукции для Dx 4, 54, Dx 5
и 55, теоремой корректности Dx5 и 55, а также теоремой полноты
для DXT и Т. Но сначала убедимся, что справедлива
Лемма 18. Пусть А — формула, модальный ранг которой
равен 1, тогда если У= А в классе фреймов DXT (Т), то У= А в
классе фреймов Dx 5 (55).
Доказательство. Пусть формула А удовлетворяет условиям
леммы. Тогда существует ПхТ-(Т-)модель М = (W, R, V), такая, что
для некоторого w из W V(^4, w) = _L. Выберем из W все элементы,

104 Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
необходимые для опровергающей опенки подформул формулы А
в £)гГ-(Г-)модели М. Пусть Sb(A) — множество всех таких
подмножеств формулы А, Wo — выбранное подмножество множества
W, Ro — сужение отношения R на Wo, a Vo — сужение V
на Sb( A) х W0.
Допустим, далее, что в случае Dx5 R'o — наименьшее
сериальное, слабо рефлексивное, транзитивное и евклидово отношение
между элементами Wo (а в случае 55 — наименьшее отношение
эквивалентности между элементами Wo). Тогда Mo = (Wo, R'o, Vo)
будет Пг5-(55-)моделью и так как модальный ранг формулы А
равен 1, при оценке Vo ни одна подформула формулы А не
окажется модализированной ни в одном достижимом из w возможном
мире и поэтому не сможет изменить оценку формулы А в мире w.
Следовательно, А будет опровержимой и в £>г5-(55-)модели Мо. С>
Теорема 8. Если j= А в классе фреймов Dx5 (55), то h А
в Dx5 (55) (теорема полноты Dx5 и 55).
Доказательство. Пусть |= А в классе фреймов Dx5 (55). Если
модальный ранг г формулы А равен 0, тогда утверждение теоремы
является верным в силу полноты PC. Предположим поэтому, что
г (А) > 1. Согласно теореме редукции существует формула А\
модальный ранг которой равен 1, такая, что \~d,5(S5) А = АК В силу
корректности Dx 5 (55), из нее следует, что (= А = А^ в
соответствующих классах фреймов, и, так как по условию теоремы |= А
в классах фреймов Dx5 и 55, и учитывая то обстоятельство, что
законы редукции и поглощения общезначимы, а правила вывода,
используемые при доказательстве теоремы редукции, сохраняют
общезначимость в указанных классах фреймов, мы можем
заключить, что (= А^ в классах фреймов Dx 5 и 55. Отсюда в силу
контрапозиции леммы 18 следует, что |= ^ в классах фреймов
DXT и Т. Но поскольку DxT и Т являются полными, из
последнего утверждения следует, что \~огт(т) ^ ■ С другой стороны, DXT
содержится в Dx5, а Г — в 55. Отсюда следует, что АК
Но согласно теореме редукции 1_п15(55) А = А^, откуда в силу PC
устанавливаем, что I~d,5(S5) А. 1>

2. Некоторые расширения К
105
2.6. 	Разрешимость
Система называется разрешимой, если существует
эффективная (механическая) процедура, с помощью которой относительно
любой ее формулы А в конечное число шагов можно решить
является ли А доказуемой в ней или нет.
Мы покажем, что каждая из рассмотренных нами систем
разрешима.
Ввиду корректности и полноты этих систем множество
доказуемых в них формул совпадает с множеством общезначимых формул
в соответствующих классах фреймов. С другой стороны, мы
убедились, что формула общезначима в классе фреймов этих систем
тогда и только тогда, когда замкнута построенная для них
диаграмма. Поэтому с целью установления разрешимости указанных
систем, мы можем воспользоваться методом диаграмм и показать,
что построение диаграммы для любой формулы указанных систем
обязательно завершится в конечное число шагов.
Пусть Sb(t) обозначает множество всех подформул формул,
входящих в t, а
Sb(t) = {-iB : В € Sb(t)}.
Поскольку множество подформул всякой формулы нашего языка
конечно и на исходной стадии в каждую таблицу включается ко-
цечное число формул, то конечным будет как Sb(t), так и Sb(t).
С другой стороны, очевидно, что всякая таблица t является
собственным подмножеством
5Ь(*)иЩ).
Поэтому любая таблица может содержать лишь конечное число
формул.
Учитывая соглашение о недопустимости повторения
результата, построение диаграммы завершится, если для каждой таблицы
будут построены все ее альтернативные напарницы, а также все ее
вспомогательные таблицы, или же если процесс построения
диаграммы оборвется ввиду того, что диаграмма окажется замкнутой
(т. е. замкнутыми будут все ее альтернативные системы таблиц).
Начнем с рассмотрения систем К, DXT и Т. Построение
каждой диаграммы этих систем завершится в конечное число шагов по
следующим причинам.

106 Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
Всякая вспомогательная таблица V диаграмм перечисленных
систем может быть порождена согласно правилам NNec, NB^r
и NK из таблицы t, содержащей формулы вида ПБЬ ..., □!?*, -СС
(к > 0). При этом, на первой стадии в V помещаются формулы
В\,..., В к, ~>С. А в случае DXT -диаграммы также из формул вида
□Вь • • • j (к 5? 0) — согласно правилу В(b). Поэтому
максимальный модальный ранг формул, входящих в таблицу t',
меньше, чем максимальный модальный ранг формул, входящих
в таблицу t.
С другой стороны, максимальный модальный ранг формул,
входящих в каждую напарницу V таблицы t, равен максимальному
модальному рангу формул, входящих в t. Но число альтернативных
напарниц любой таблицы всегда конечно, потому что всякая
таблица может содержать лишь конечное число формул и,
следовательно, конечным будет также число формул, к которым применяется
правило D, порождающая альтернативные напарницы и
альтернативные системы таблиц.
Поэтому каким бы ни был модальный ранг испытуемой
формулы А, помещенной в главную таблицу, мы обязательно достигнем
таблицу, такую, что максимальный модальный ранг формул,
входящих в нее, будет равным 0, если процесс построения K-(DXT-,
а также Г-)диаграмм раньше не оборвется из-за того, что все
альтернативные системы диаграммы окажутся замкнутыми.
Если диаграммы этих систем замкнутся, тогда испытуемая
формула А доказуема в соответствующих системах, а если их
диаграммы не замкнутся, то А не доказуема в них.
Теперь рассмотрим системы Dx4, 54 и опишем разрешающую
процедуру для них.
Число альтернативных напарниц любой таблицы диаграмм
этих систем всегда будет конечным, так же, как диаграмм
рассмотренных выше систем. А всякая вспомогательная таблица V их
диаграмм может быть порождена согласно правилу NK из таблицы t,
содержащей формулы вида ПВ\,..., ПВк, -'□С (к ^ 0). А в случае
Dx4-диаграммы также из формул вида ПБ|,... ,ОВк (к ^ 0) —
согласно правилу BDj.4 (b). При этом, на первой стадии в V
помещаются формулы QBi,..., СШ*, ~>С и поэтому максимальный
модальный ранг формул, входящих в таблицу f. может оказаться

2. Некоторые расширения К
107
равным максимальному модальному рангу формул, входящих в t.
С помощью примера 4 мы также убедились, что для некоторых
формул если построение диаграмм этих систем не замыкается, то они
могут продолжаться бесконечно. Но тем не менее, мы покажем что
для всякой формулы построение диаграмм этих систем можно все-
таки завершить в конечное число шагов по следующим причинам.
Правила построения диаграмм этих систем предписывают
поместить в каждую таблицу t некоторые подформулы, входящих в t
формул, отрицания таких подформул. С другой стороны, как уже
было отмечено, всякая таблица является собственным
подмножеством конечного множества
Sb({->A}) U ЗЩ-iA}).
Но поскольку число всех подмножеств конечного множества
является конечным, в случае, когда построение некоторой цепи
в Дс4-(54-)диаграмме для формулы А не завершается, то рано
или поздно какая-то таблица tj обязательно совпадет с ранее
построенной таблицей ^ в той же цепи (г < j), т. е. tj и tj будут
содержать одни и те же формулы. Поэтому начиная с tj-й таблицы
совпадение таблиц периодически будет повторяться.
С целью исключения подобных случаев, к соглашению о
недопустимости повторения результата мы добавим еще один пункт:
если таблица tj полностью совпадает с таблицей £,• в той же цепи
таблиц (г < j), то (tj, ti) ЕН и никакое правило не применимо к tj.
Это гарантирует завершение построения £)г4-(54-)диаграммы
любой формулы в конечное число шагов. Таким образом, если Dx4-
(54 ^диаграмма замкнется, тогда испытуемая формула А доказуема
в Dx4 (54), а если построение диаграммы так завершится, что она
не замкнется, то А не доказуема в Dx4 (54).
Пример 5. С помощью примера 4 мы убедились, что для некоторых
формул построение DXA-(S4-)диаграммы не завершится никогда, т. е.
будет продолжаться бесконечно. Но при доказательстве разрешимости
Dx4 (54), мы также показали, что если примем новый пункт соглашения
о недопустимости повторения результата, то в каждом из таких случаев
построение Х)г4-(54-)диаграммы все же можно завершить, как только
одна из таблиц совпадет с предшествующей таблицей. А это, как было
показано выше, рано или поздно обязательно произойдет.

108 Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
-О*4 -диаграмма для формулы -id-iOP из примера 4, изображенная выше,
иллюстрирует как следует завершить процесс в подобных случаях в конеч-
Наконец, разрешимость систем Dx5 и 55 мы установим с
помощью теоремы редукции. Так как пропозициональная система
PC разрешима, достаточно описать разрешающую процедуру для
формул, модальный ранг которых > 1.
С помощью эффективно, механически проводимыми
эквивалентными преобразованиями согласно теореме редукции, для
любой такой формулы А мы сможем в конечное число шагов
установить, что в Dx5 (55) доказуема формула А = , где г(А) > 1,
a r(j4t) = 1. Затем для А^ построим Т>1Т-(Т)-диаграмму. Если она
замкнется, At доказуема в DXT (Т) и, следовательно, в Dx5 (55).
Но тогда А тоже доказуема в Dx5 (55). Если же
DXT-(T)-диаграмма для At не замкнется, то А не доказуема в Dx5 (55).
Таким образом, мы убедились, что справедлива
Теорема 9. Все рассмотренные выше системы, включая К,
разрешимы (теорема разрешимости). !>
3. 	Нормальная и монотонная эпистемическая
предикатная система 54
3.1. 	Формальный язык
Мы расширим алфавит нашего формального языка
присоединив к нему неограниченный перечень индивидных переменных
Ind: х, у, z, х\,...; n-арных предикатных букв Рг1 (п ^ 0): Рп, Qn,
t
ное число шагов.
>

3. Нормальная и монотонная эпидемическая предикатная система 54 109
Rn, Pf, ... (0-арные предикатные буквы являются
пропозициональными переменными); к алфавиту можно также присоединить
неограниченный перечень n-арных функциональных знаков Fun
(п ^ 0): /п, дп, hn, /", ... (0-арные функциональные знаки
являются индивидными константами); а перечень логических связок
пополним кванторами всеобщности У и существования 3. Наш
алфавит может также содержать га-арные конкретные предикаты
и n-арные конкретные функциональные знаки (п >0).
В определении формулы из параграфа 1, главы I пункт fl надо
изменить следующим образом:
fl. Если п = 0, то Рп € PV и Р" € Frm; если же п>0, щ,...,ип£
Ind (или — индивидные константы либо и то и дру¬
гое) не обязательно все различные, то Рп(иь ..., ип) G Frm.
Формулы, образованные согласно пункту И, называются
атомарными.
А к пункту f2 следует добавить фразу:
если ж G Ind, а А 6 йта, то У хА, 3 хА 6 Ihn.
Вхождение переменной х в формулу А называют связанным,
если оно является вхождением ж в V ж или 3 ж или в область
действия квантора Уж или Зж. В противном случае вхождение ж
в А называют свободным. Из данного определения формулы
следует, что одна и та же переменная ж может входить в формулу А
как связанно, так и свободно. Связанное вхождение переменной ж
в формулу А связано посредством самого внутреннего квантора
Уж или Зж, в области действия которого оно встречается. Из
этого определения также следует, что А может не содержать
переменную ж свободно. В каждом случае, когда А содержит ж
свободно, мы будем писать А(ж), а если ж связан одним из
кванторов, тогда — У хА(х) и 3 хА(х). Будем говорить, что квантор У
двойственен квантору 3 и наоборот. Двойственные формулы
определяются как в пропозициональном случае, только к двойственным
парам логических знаков следует присоединить V и 3.
В случае надобности можно вводить термы с помощью
следующего определения:
tl. Если и G Ind или и — индивидная константа, то и € Thn;

110 Пиша I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
t2. Если /" € Fun, а «ь ..., ttn € Thn, то /”(«ь • • •, «п) 6 Trm;
t3. Никаких термов, кроме определенных согласно пунктам tl, t2,
нет.
Если вводятся термы, тогда соответствующим образом следует
расширить понятие формулы.
Пусть у — индивидная переменная, а и — терм, содержащий
переменную у. Будем говорить, что переменная у свободна (терм
и свободен) для х в А(х), если никакое свободное вхождение х
в А(х) (и в А(и)) не входит в область действия какого-нибудь
квантора \/у или 3 у. В противном случае будем говорить, что
переменная у не свободна (терм и не свободен) для х в А(х).
Для определения понятия подформулы к пункту s2 следует
добавить фразу:
если х € Ind, А(х) — формула и переменная у свободна (терм
и свободен) для х в А(х), то подформулы А(у) (соответственно,
А(и)) являются подформулами формул V хА(х) и 3 хА(х).
3.2. 	Теория доказательств
Мы построим эпистемическую предикатную версию
системы 54 без т. н. формулы Баркан: V хПА(х) Э C3V А(х), которая
интуитивно не будет обоснованной, если мы предположим, что
в достижимых из v возможных мирах могут появиться новые
индивиды. Опровергающую модель формулы Баркан мы опишем при
формулировке семантики предикатной версии 54. В настоящем
параграфе говоря о системе 54, мы всегда будем иметь в виду ее
предикатную версию.
Эпистемическая предикатная система 54 задается с помощью
следующих аксиомных схем:
1. Аэ(ВЭ А),
2. [А Э (В D С)] D [(Д D В) Э (А Э С)],
3. (^ВЭ^А)Э(АЭВ),
4. V хА(х) D А(и) (закон V-удаления),
5. А(и) D ^хА(х) (закон 3-введения),
в аксиомных схемах 4 и 5 и — любой терм,
6. D(ii Э В) э (ПА D □ В),

3. Нормальная и монотонная эпистемическая предикатная система 54 111
7. UP 3 Р,
8. UPDUUP
и основных правил вывода:
р 1. Из A 3 В и А следует В (правило модус поненс),
р2. Из А следует П^4 (правило модализации),
рЗ. Из А 3 В(х) следует А 3 V хВ(х),
р4. Из В(х) 3 А следует 3хВ(х) D А,
в рЗ и р4 А является формулой, не содержащей свободного
вхождения индивидной переменной х. рЗ называют правилом V-введения,
а р4 — правилом 3-удаления.
Очевидно, что пропозициональные производные правила г4 —
г10 и г 12 сохраняют силу и для предикатной системы 54.
Сформулируем еще одно правило вывода:
р5. Из А(х) следует V хА(х) (правило V-обобщения),
и покажем, что оно также является производным. В самом деле,
в качестве антецедента как посылки, так и заключения основного
правила вывода р3, мы можем выбрать любую теорему PC,
которая, естественно, не содержит свободно индивидной переменной х.
Но тогда из посылки и заключения правила вывода р3 мы сможем
отделить теорему PC согласно основному правила вывода р 1.
1. V хА{х) = чЗ х->А(х).
Доказательство.
1. V хА{х) 3 А(х) — аксиомная схема 4.
2. ->А(х) 3 хА(х) — РС\ 1.
3. 3 х~'А{х) 3 хА(х) — /)4; 2.
4. ~i~~i V хА(х) 3 чЭ x~iA(x) — PC; 3.
5. V хА(х) 3 чч\/ хА(х) — инстанс теоремы PC.
6. V хА(х) 3 чЭ х-уА(х) — г5; 5, 4.
7. ч^4(ж) 3 3 х~>А(х) — аксиомная схема 5.
8. чЭ жчА(х) 3 ПП А(х) - PC; 7.
9. ч—ij4(x) з А(х) — инстанс теоремы PC.
10. чЗ жчА(х) 3 ^4(ж) — г5; 8, 9.

112 Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
11. -i3x-<A(x) D V хА(х) — рЗ; 10.
12. V хА(х) = ->3 х—>А(х) — PC; 6, 11.
#s42. 3 хА(х) = -iVх—*А(х).
Доказательство.
1. V х^А{х) Э -^А{х) — аксиомная схема 4.
2. -i-vi(ar) э -*fx->A(x) - PC', 1.
3. А(х) D -i-iA(x) — инстанс теоремы PC.
4. А(х) Э _iV x~iA(x) — r5; 3, 2.
5. 3 хА(х) D -iV х-и4(ж) — р4; 4.
6. А(х) D 3 хА(х) — аксиомная схема 5.
7. -i3 хА(х) Э -<А(х) — PC; 6.
8. -i3 хА(х) D V х-tА(х) — рЗ; 7.
9. -Л/ х-<А(х) Э —>3 хА(х) — PC; 8.
10. —1—13 хА(х) Э 3 хА(х) — инстанс теоремы PC.
11. -Л/ х->А(х) Э 3 хА(х) — г5; 9, 10.
12. ЗхА(х) = -Wx-*A(x) - PC; 5, 11.
i?s43. хА(х) = Зх-<А{х).
Доказательство.
1. УхА(х) = -i3»-i^[(x) — $541.
2. -ЫхА(х) = ->-Зх->А(х) - PC; 1.
3. —13 ж-|^4(ж) = 3 х-уА(х) — инстанс теоремы PC.
4. —iV хА(х) = 3 х~>А(х) — г12; 2, 3.
$544. i3 = V ®-|Л(ж).
Доказательство.
1. 3 хА(х) = -iV ж-|4(ж) — $542.
2. ~i3 ж^1(а:) = —'—>V х~>А(х) — PC; 1.
3. -|-Л/ хА(х) = V — инстанс теоремы PC.
4. -i3 ®Л(ж) — V x-ii4(a:) — rl2; 2, 3.

3. Нормальная и монотонная эпистемическая предикатная система 54 113
Теорема 10. Если !-*'■••••*» А = В, то »■ С{А) = С(В),
где Х\,... ,хп — свободные индивидные переменные А или В,
связанные каким нибудь квантором в С {А), в области действия
которого находится вхождение А.
Доказательство проводится индукцией по глубине вхождения А
в С {А) точно так, как при доказательстве теоремы 1, только
дополнительно следует рассмотреть случаи, когда С{А) имеет вид
V XiD(X{) или 3 XiD(xi) (1 ^ i ^ п).
Допустим сначала, что С(А) имеет вид V X(D(xi). Согласно
индуктивному предположению, Иь •• ’Хп D(A) = D(B). Из последней
формулы в силу производного правила р5, получим V®i(D(A) =
D(B)), откуда с помощью р 1 и инстанса теоремы немодальной
системы предикатов VXi(D(A) = D(B)) D (Vат*Х?(^4) = V®,D(B)),
т.е. С(А) = С(В).
Аналогично трактуется случай, когда С( А) имеет вид 3 XiD(A),
только на этот раз надо воспользоваться инстансами немодальной
системы предикатов
Уж*(Д>(А) = D(B)) э (3 XiD(A) = 3 х{П(В))
и
Vxi(D(A) = D{B)). О
Из теоремы 10 следует, что производное правило вывода rll
имеет силу и для предикатной системы 54.
Лемма 19. Для любой формулы А, составленной с помощью
только логических знаков -i, Л, V, □, 0, V «3, существует
формула А*, содержащая те же логические знаки, в которой все
имеющиеся вхождения знака встречаются непосредственно
перед атомарными формулами.
Доказательство. К случаям, рассмотренным при доказательстве
леммы 1, следует добавить еще два: А содержит подформулы вида
-Л/ хС(х) или -пЭ хС(х). В первом случае, с помощью теоремы 1?5Ч3
и производного правила вывода rll, подформулу вида -iV хС(х)
заменим в А эквивалентной формулой 3 ®->С(ж), а во втором случае,
с помощью теоремы •д544 и опять rl 1 подформулу А вида -<3 хС(х)
заменим эквивалентной формулой Уж->С(ж). Дальше рассуждаем
как при доказательстве леммы 1. О

114 Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
Теорема 11. Пусть формулы А и В , составленной с помощью
только логических знаков -i, Л, V, □, О, V и 3, соответственно
двойственны формулам А и В. Тогда
(a) из Н54 А = В следует I-54 А+ = В+;
(b) из I-54 A D В следует (-54 А+ D В+
(принципы двойственности).
Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2
с использованием леммы 11. Дополнительно надо воспользоваться
теоремами #$43, г?544 и производным правилом rll. о
i?S45. VхА(х) = \/уА(у), если у свободна для х в А(х) и у
не входит свободно в А(х).
Доказательство.
1. УжД(ж) Э А(у) — аксиомная схема 4.
2. V хА(х) D V уА(у) — /?3; 1 (условие соблюдается).
3. V уА(у) Э А{х) — аксиомная схема 4.
4. V т/Д(у) D V хА(х) — рЗ; 1 (условие соблюдается).
5. \/хА(х) = УуА(у) - РС-, 2, 4.
Согласно принципу двойственности, при соблюдении тех же
условий, из t?545 следует
1?S46. ЭжД(ж) = ЭуД(у).
Следуя Клини (см. [1952]), формулы А и В будем называть
конгруэнтными, если они отличаются только связанными
переменными, причем соответствующие связанные переменные связаны
соответствующими кванторами. Например, формула
Э yVzP\x,y,z)
конгруентна формуле
3yi Vz2P3(x, yi,z2).
Теорема 12. Если А конгруэнтна В, то I-54 А = В.
Доказательство следует из теорем $545, 1^,546 и производного
правила rl 1. О

3. Нормальная и монотонная эпистемическая предикатная система 54 115
Из теоремы 12 следует, что правило переименования связанных
переменных является производным в 54. Итак, если переменная у
не свободна для ж в А(х) (терм tt не свободен для х в 4(ж)),
тогда мы произведем переименование соответствующих связанных
переменных.
0547. 'ix(A(x)yB)D'ixA{x)\/B, если ж не входит свободно в В.
Доказательство.
1. V х{А(х) У В) D А(х) МВ— аксиомная схема 4.
2. А(х) V В = В У А(ж) — инстанс теоремы PC.
3. V ж(.4(ж) V В) Э ВУА( ж) - rll; 2, 1.
4. В = -I->В — инстанс теоремы PC.
5. V х(А(х) У В) Э —1—IУ^(ж) - rll; 4, 3.
6. -i-iB V .4(ж) = (-1В D 4(ж)) — инстанс теоремы PC.
7. Vж(.А(ж) V В) Э ЬВ Э Л(ж)) - rll; 6, 5.
8. (Уж(Л(ж)УВ) D ЬВ э Л(*))) Э (У х(А(х)УВ)А-^В D 4(ж)) -
инстанс теоремы PC.
9. V х{А(х) У В) А D А(ж) - pt, 8, 7.
10. V ж(4(ж) V В) Л -<В D V ж.А(ж) — рЗ; 9 (условие соблюдается).
11. (V ж(^4(ж) V В) Л -^В D У хА{х)) Э (Vx(A(x) У В) D (^В Э
Уж.А(ж))) — инстанс теоремы PC.
12. Vж(л4(ж) V В) D (-В D VхА(х)) - pi; 11, 10.
13. Vх(А(х) У В) Э —'В V VхА(х) - rll; 6, 12.
14. Vх(А(х) V В) D В VVxA(x) — rll; 4, 13.
15. Vх(А(х) У В) Э Vж.4(ж) V В — rll; 2, 14.
0548. Уж^4(ж)\/ВэУж(4(ж)\/В), если ж не входит свободно в В.
Доказательство.
1. V хА(х) D А(ж) — аксиомная схема 4.
2. >1(ж) Э -А(ж) У В — инстанс теоремы PC.
3. V ж4(ж) Э А(ж) V В - г5; 1, 2.
4. V ж.4(ж) D V ж(Л.(ж) V В) — рЗ; 3 (условие соблюдается).
5. В Э А{ж) У В — инстанс теоремы PC.

116 ГЪава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
6. В D V х(А(х) V В) — рЗ; 5 (условие соблюдается).
7. V хА(х) V В D V ж(Л(ж) V В) — г7; 3, 6.
Из $547 и $548 согласно PC следует
$549. Vx(j4(x)VB)=Vxj4(x)vB, если ж не входит свободно в В.
3.3. 	Семантика
54-фреймом назовем упорядоченную тройку (W, R, D), где
W — непустое множество возможных миров; R — бинарное
отношение достижимости между мирами, рефлексивное и транзитивное
в W; D — функция областей, определенная на W, такая, что для
всякого v из W D(v) Ф 0 и удовлетворяет условию:
(d) если (w, v) € R, то D(w) С D(v) (w, v € W).
Интуитивно D(v) есть множество всех индивидов,
существующих в возможном мире v. Заметим, что D(v) не обязательно должно
быть одним и тем же множеством для различных v. В достижимых
из v возможных мирах могут отсутствовать некоторые индивиды
из v или появиться новые. Условие (d) обеспечивает выполнимость
второй из только что указанных возможностей.
,94-моделью является пара М = (Fr, V), где FV есть 94-фрейм,
а V — бинарная функция, определенная на множестве Prl х W,
такая, что если п = 0, то У(Рп,\) = Т или 1. А в случае, когда
п > 0, V(Pn, v) есть некоторое подмножество [D(v)]n, где [D(v)]ri
является п-кратным декартовым произведением множества D(v)
на себя (v G W).
Пусть, далее,
u=UD(v>
v€W
Значения свободным индивидным переменным каждой
формулы будем сопоставлять из U. Отсюда следует, что формула вида
Рп(х 1,..., хп) может оказаться в мире v ни истинной, ни ложной,
если Xi,... ,хп сопоставляются индивиды, не принадлежащие D(v).
В таком случае, будем говорить, что Рп(хь ..., хп) не определена
для v и писать поп}У{Рп(х\,... ,хп), v), где !У(Рп(жь ..., хп), v)
обозначает, что Рп(х{,... ,хп) определена в возможном мире v.

3. Нормальная и монотонная эпистемическая предикатная система 54 117
Если дана 54-модель М, то всякой формуле А, в случае, когда
она определена, мы можем приписать значение Т или _L для
всякого элемента v из W при определенном сопоставлении элементов
U всем свободным индивидным переменным формулы А.
Если А — атомарная формула, она является
пропозициональной переменной Р° или имеет вид Рп(х\,..., хп) (п > 0).
При п = 0 У(Рп, v) уже задана моделью. Пусть поэтому п > 0
и индивидным переменным ап,..., ж„ соответственно
сопоставлены элементы aj,..., а„ из U. При данном сопоставлении
У(Рп(хи... ,хя),у) = Т или ±
в зависимости от того (aj,..., а„) е У(Рп,у) или нет; в противном
случае, поп1У(Рп(хь ..., хп), v).
Теперь сформулируем условия оценки формул, содержащих
логические знаки.
Пусть дано некоторое сопоставление значений аь ..., а„ из U
всем свободным индивидным переменным х\,...,хп, входящим
в формулы А или В. При таком сопоставлении
• V(-i4,v) = T, если V(j4,v) = -L; V(->.4,v) = J., если V(j4,v) = T;
в противном случае, поп'У(-^А,у).
• У(А/\В,\) = Т, если V(v4,v) = V(B,v) = T; У(ААВ,у) = _L, если
V(.A,v) = ± или V(B,v) = ±; в противном случае, поп\У(АЛ
В,\).
• У(АУВ,у)=Т, если V(j4,v)=T или V(B,v)=T; V(.4vB,v)=±,
если V(.4,v) = V(J3,v) = J.; в противном случае, поп'У(АлВ,у).
• V(Dj4,v) = Т, если V(4,u) = Т для всякого и, такого, что (v,u) €
R; V(C14,v) = -L, если V(^4,u) = ± по крайней мере для одного
и, такого, что (v,u)6R; в противном случае, non!V(QA,v).
• V(Vy i4(xi,...,x„,y),v) = T, если У(Л(жь...,жп,у),у) = Т,
когда переменной у сопоставляется любой элемент b из D(v);
V(Vy i4(*1,...,xn,y),v) = -L, если V(А(хи...,хп,у),у) = ±,
когда переменной у сопоставляется по крайней мере один
элемент b из D(v); в противном случае, nonW(iyA(xx,.. ,,хп,у),у).
• У(ЗуА(хх,...,хп,у),у) = Т, если y(A(xi,...,xn,y),y) = Т,
когда переменной у сопоставляется по крайней мере один эле-

118 Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
мент b из D(v); V(3y.4(a;i,.. .,х„,у),\) = ±, если
V(i4(*i,...,*n,y),v) = ±,
когда переменной у сопоставляется любой элемент b из D(v);
в противном случае, non!V(3уА(х\,..., хп,у), v).
Будем говорить, что формула А истинна в 54-модели (W, R,
D, V) , если !У(Л,у) и У(А,\) — Т, для всякого v G W (т. е. когда
\(А9 v) ф ±). Формула А истинна в 54-фрейме, если она истинна
в 54-модели, базирующейся на 54-фрейме. Наконец, А
общезначима в классе фреймов 54, если А истинна в каждом 54-фрейме.
Замечание 8. Выбранную нами позицию для характеристики истинности
в 54-модели, как не ложности во всех возможных мирах W, Крипке
в [1963] называет точкой зрения Фреге—Строусона. Такая позиция требует
не приписывать истинностного значения формуле А(х), содержащей
свободную индивидную переменную ж, в возможном мире v, если переменной
ж сопоставляется индивид, не принадлежащий к области D(v). Принятие
такой позиции Крипке считает одним из альтернативных соглашений. Сам
он выбирает другую альтернативу. >
Пример 6. Рассмотрим формулу Баркан в форме УжПР(ж) Э С]\/жР(ж)
и построим для нее опровергающую 54-модель М0 = (W0, Ro, D0, Vo).
Пусть W0 = {w,v}, Ro = {(w,w), (w, v), (v, v)}, D0(w) = {а} Ф 0, D0(v) =
{a, b} ф 0, V0(P, w) = V0(P. v) = {a}, a U0 - {a,b}.
Оценим формулу Баркан в возможном мире w. Если переменной х
сопоставляется индивид а, то У0(Р(ж), w) — У0(Р(ж), v) = Т. А если
переменной х сопоставляется индивид Ь, то поп!У0(Р(ж), w) и У0(Р(ж), v) = _L,
так как y0(P,v) = {а}, откуда следует, что V0(DP(a;),w) = Т и
поскольку, D0(w) содержит только один индивид а, то У0(УжПР(ж), w) = Т.
Но Vо(\/жР(ж),у) = ±, поскольку У0(Р(ж),у) = {a}, a D0(v) = {а,b},
откуда следует, что Уо(ПУжР(ж), v) = _1_. Таким образом, в возможном
мире w антецедент формулы Баркан истинен, а консеквент ложен,
следовательно, М0 есть опровергающая модель для нее. О
3.4. 	Корректность
Непосредственной проверкой мы можем убедиться, что все
аксиомные схемы предикатного случая 54 являются
общезначимыми, а основные правила вывода сохраняют общезначимость.
В самом деле, пропозициональные аксиомные схемы общезначимы
при любом сопоставлении свободным индивидным переменным,

3. Нормальная и монотонная эпистемическая предикатная система 54 119
входящим в них, значений из каждой области. Общезначимость
экономных схем 4 и 5 можно проверить точно так, как в
классической логике предикатов. Далее, р\ и р2 совпадают с основными
правилами г2 и гЗ, общезначимость которых также устанавливается
и в случае любого сопоставления свободным индивидным
переменным, входящим в них, значений из каждой области. А то, что
правила вывода рЗ и /£>4 сохраняют общезначимость, устанавливается
также, как в классической логике предикатов. Поэтому справедлива
Теорема 13. Если Ь А в предикатной версии S4, то (=4й классе
фреймов предикатной версии 54 (теорема корректности).
3.5. 	Семантические таблицы
Правила построения семантических таблиц для
54-диаграммы NN, ND, D, К54 и NK.S4 формулируются точно так, как
в пропозициональном случае. Мы не сформулируем также правила
для квантора существования, поскольку, согласно теореме #$42:
3 хА(х) = х->А(х), и с помощью производного правила вывода
rl 1, его можно элиминировать из любой формулы.
Правила квантора всеобщности мы сформулируем для
индивидных переменных. Формулировку для других параметров мы
предоставляем читателю. Будем говорить, что индивидная
переменная х входит свободно в таблицу t, если х свободно входит
в некоторую формулу таблицы t.
П. Если в таблице t появляется формула вида V хА(х), где
Zi — свободно входящая в таблицы данной альтернативной
системы индивидная переменная (1 ^ * < к), то в ту же
таблицу t помещаются формулы вида А(г%).
Nn. Если в таблице t появляется формула вида ->V хА(х), то мы
вводим новую индивидную переменную у, которая еще не
встречалась ни в одной таблице данной альтернативной
системы таблиц, и в ту же таблицу t помещаем формулу вида ~^А(у).
К этим правилам мы присоединяем еще одно правило: если
в таблице t не появилось ни одной индивидной переменной,
входящей свободно в t и ни одна свободная переменная не введена
правилом Nn, то мы вводим в t новую свободную переменную для
обеспечения применимости правил П и Nn.

120 Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
Мы уже увидели, что в пропозициональном случае
Dx4-диаграммы процесс построения незамкнутой альтернативной системы
таблиц может продолжаться бесконечно. Аналогичная ситуация
возникает и в пропозициональном случае 54-диаграммы. Однако
в предикатном случае, незамкнутая таблица 54-диаграммы может
содержать бесконечное множество формул, израсходующих весь
запас индивидных переменных. Например, если в незамкнутой
таблице t появилась лишь одна свободная переменная ап и t
содержит формулу Vx-iУуА(х,у), то к ней применимо правило П,
согласно которому в t помещается -Л/уА(х\, у). К последней
формуле применимо правило N11 и в t помещается -■А(хь xj) с новой
свободной переменной xj. Но так как в t появилась новая
свободная переменная Х2, к V уА(х, у) вновь применимо правило
П и в t помещается формула -Л/ yA{xj, у), к которой применимо
правило Nn и в t помещается формула ->А(х2, ху) и т. д.
С другой стороны, 54-диаграмму для любой формулы А мы
строим с целью нахождения опровергающей модели А, если А
опровержима, или установления того, что опровергающая модель А
не может существовать. При этом мы намереваемся с помощью
незамкнутой диаграммы найти опровергающую модель формулы А
с тем расчетом, чтобы для каждого элемента v из W,
соответствующего таблице t, D(v) совпало с множеством переменных,
ранее появившихся в незамкнутой альтернативной системе таблиц.
Однако в случае, если весь запас переменных будет израсходован
в таблице t, мы не сможем обеспечить соблюдение условия (d)
функции областей. Поэтому с запасом переменных надо
обращаться бережливо. С этой целью каждой таблице t мы сопоставим
счетное множество переменных Yt с тем условием, что множества,
сопоставленные различным таблицам, не пересекались, а при
применении правила Nn к формулам новые свободные переменные
каждый раз появлялись из Yf.
3.6. 	Семантическая полнота
Полноту предикатного случая 54 мы установим с помощью
следующих лемм.
Лемма 20. Пусть таблица V € S' является альтернативной
напарницей таблицы t£S 34-диаграммы, порожденной на (n-t-1 )-й

3. Нормальная и монотонная эпиотемическая предикатная система 54 121
стадии таблицы t £ S; Xn-t\(t) и Xn+\{t') —
характеристические формулы (n + 1 )-й стадии таблиц t 6 5 ut' € S', a Xn(t) —
характеристическая формула п-й стадии таблицы t G 5. В
таком случае, если Xn+iW и Xn+i(t') доказуемы в 54, то Xn(t)
также доказуема в 54.
Доказательство проводится точно так как доказательство леммы 2
для системы К. >
Опять примем вспомогательное предположение в следующей
формулировке:
Вспомогательное предположение. Пусть на т-й стадии
любой таблицы t € S применяется правило D, в результате чего
возникает новая стьтернативная система таблиц S' с
альтернативной напарницей V G S' таблицы t € S. Пусть, далее, для
любого т Xm(t) и Xm(t') — характеристические формулы,
соответствующие т-ым стадиям построения таблиц tut'. Тогда
будем предполагать, что Xm(t') доказуема в 54. >
Лемма 21. Пусть Xn(t) и Хп-н(£) — характеристические
формулы п-й и (п+ 1)-ы стадии таблицы t S4-диаграммы; допустим
также, что выполняется вспомогательное предположение; тогда
если Хп- < (0 доказуема в 54, то Xn(t) также доказуема в S4.
Доказательство. На (п + 1)-й стадии к формулам п-й стадии
могут применяться только пропозициональные правила NN, ND и D,
а также кванторные правила П и N11, поскольку остальные
правила предписывают открыть новые таблицы. Случаи применения
пропозициональных правил NN, ND и D трактуются аналогично
случаям леммы 3 для системы К. Поэтому рассмотрим случаи
использования правил П и Nn.
П. Характеристическая формула (п + 1)-й стадии таблицы t
Xn+i(t) имеет вид -iV хА(х) V -<A(z\) V ... V -'A(zk) V Я, а
характеристическая формула п-й стадии t — вид ->V хА(х) V Я, где Я —
дизъюнкция отрицаний остальных формул п-й стадии таблицы t,
если таковые имеются, в противном случае, Я — пустое
выражение. Действительно, на п-й стадии t содержит формулу V хА(х),
а на (п + 1)-й стадии в t дополнительно включаются формулы

122 Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
вида A(zi), где Z( (1 ^ i ^ к) — все уже появившиеся переменные
в рассматриваемой 54-диаграмме. Далее, формула
-Л/ хА(х) Э -iV хА(х) V Я (1)
является инстансом теоремы PC, а формулы
->A(zi) D -А/ хА{х) (1 ^ i ^ ft)
— контрапозиции инстансов аксиомной схемы 4.
Из указанных формул согласно производному правилу вывода
г5 следует
->A{z%) Э -А/ хА{х) V Я (1 ^ i ^ к). (2i)
Наконец, если Я — непустое выражение, то инстансом теоремы
PC является
И D~>VxA(x)V Н (3)
Теперь из (1), (2г) и (3) с помощью производного правила вывода
г7 выводим
-УхА(х) V ->A{z\) V ... V ~'A{zk) V Я D ->VхА(х) V Я,
антецедент которой совпадает с Xn+i(0> а консеквент — с Xn(t)-
Следовательно, если х„+1(£) доказуема в системе 54, то Xn(t) также
доказуема в ней.
N11. Характеристическая формула (п + 1)-й стадии Xn+i(t)
имеет вид —iV хА(х) V ->->А(у) V Я, где у — новая свободная
переменная, а характеристическая формула Xn(t) — вид —iV xA(x)V Я,
причем Я — дизъюнкция отрицаний остальных формул п-й стадии
таблицы t, если таковые имеются, или пустое выражение. В самом
деле, на n-й стадии таблица t содержит формулы -iV хА(х) и,
возможно, неотрицаемые дизъюнктивные члены из Я, а на (п + 1)-й
стадии в t дополнительно включается формула ~'А(у) с новой
свободной переменной у.
По условию леммы в предикатной системе 54 доказуема
формула Xn+i (t), т.е.
—«V хА(х) V -<-'А(у) V Я. (1)
Согласно PC в ней также доказуема -У хА(х) D ->-'А(у)УЯ. С
другой стороны, у не входит свободно в -У хА(х), так как правило

3. Нормальная и монотонная эпистемическая предикатная система 54 123
N11 предписывает вводить новую свободную переменную у.
Поэтому из предыдущей формулы с помощью основного правила
рЗ получаем -iV хА(х) Э V y(-i->A(y) V Н). Откуда если Я —
непустое выражение и у — новая переменная, согласно ин-
стансу теоремы •Osa 9 и производному правилу вывода г11
следует -N хА(х) Э V у-*->А(у) V Я. Из нее в силу PC выводим
—| —'V хА(х) V V y-i-iA(y) V Я, из которой согласно Asa3 и rll
получаем -т-iVхА(х) V -i3 у->А(у) V Я, откуда в силу 1 и rll
следует —1—iV хА(х) V V уА(у) V Я. Согласно инстансу теоремы PC:
VуА(у) = —«—«VуА(у), и rll из последней формулы получаем
V —>V V Я. (2)
Наконец, из формулы (2) в силу tfsA^ и производного правила
вывода rll следует —>V хА(х) V Я, т. е. *„(£)• >
Лемма 22. Пусть t' — вспомогательная таблица таблицы t
и выполняется вспомогательное предположение. Тогда если %(£')
доказуема в S4, то x(t) также доказуема в 54.
Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 13
(а), в случае, когда используется правило NBdj4 с той разницей,
что t — не главная, а любая таблица. >
Лемма 23. Если таблица t 54-диаграммы тривиально
замкнута, то x(t) доказуема в 54.
Доказательство проводится точно так как доказательство леммы 5
для системы К. >
Лемма. Если S4-диаграмма для А замкнута, то А доказуема
в 54.
Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 6
для системы К, только вместо лемм 3-5 следует воспользоваться
леммами 21-23. о
Если 54-диаграмма для А не замкнута, то по крайней мере
не замкнута одна из ее альтернативных систем таблиц. Не замкнута
и главная таблица такой системы с исходной формулой ^А.
Следовательно, не замкнута ни одна из ее вспомогательных таблиц.
Из такой диаграммы для А выберем любую не замкнутую
альтернативную систему таблиц S. Если процесс построения 54-диаграммы

124 Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
бесконечен, будем рассматривать псевдотаблицы. Множество S
частично упорядочено рефлексивным и транзитивным отношением
% между таблицами (псевдотаблицы из S* упорядочены
отношением TV). Кроме того каждая таблица t (псевдотаблица т) содержит
множество свободных индивидных переменных X, а также
множество индивидных переменных из Y* (YT). Теперь с помощью S, %
(для псевдотаблиц посредством S* и TV), X и Yt (YT) определим
54-фрейм fro = <W0, Ro, D0).
Пусть В — взаимно однозначное отображение S на (для
псевдотаблиц S* на) Wo. Множество Wo не пусто, так как S (для
псевдотаблиц S*) содержит по крайней мере одну таблицу
(псевдотаблицу), а именно, главную. Элементы Wo упорядочены рефлексивным
и транзитивным отношением Ro, соответствующим отношению
71 между таблицами S (для псевдотаблиц отношением TV
между таблицами S*), при этом, если t\, t2 G S (для псевдотаблиц
rbT2 в S*), vi = 6{t\) (vi = 0(т,)) и v2 = B(t2) (у2 = В(т2)), то
(vbv2) € Ro тогда и только тогда, когда (t\, t2) € И ((гь т2) 6 TV).
Далее, если v = 9(t), то Do(v) = XU Х<, где X — множество всех
свободных переменных, входящих в t (г), а X* (Хг) — такое
подмножество множества Y< (YT), которое содержит все новые
свободные переменные таблицы t (г), вводимые согласно
правилу Nn. Do(v) не пусто, поскольку если к t (г) не применяются
правила для кванторов, то в качестве X* (Хг ) выбираем любое
непустое подмножество Y< (YT), так чтобы соблюдалось условие
(d). Пусть (vbv2) G Ro и предположим, что мы уже опреде-
лили D0(vi), тогда D0(v2) = D0(vi)UXt2(= D0(vi) U X^), где X<2
(Xr2) — вышеописанное подмножество множества Y*2 (YT2).
Очевидно, что условие (d) функции областей Do всегда будет
соблюдаться, так как если (vb v2) € Ro, то D0(V]) С D0(v2) ввиду того, что
D0(v2) = D0(vi)UXt2(=D0(vi)UXT2).
Пусть Uo — объединение всех Do(v), где v = B(t) (v = В(т)),
t G S (т € S*). Свободным индивидным переменным, входящим
в формулы таблицы t из S (псевдотаблицы т из 5*), в качестве
значений будем приписывать те же переменные, рассматриваемые
как типографские знаки, обладающие физическими свойствами.
Такое соответствие назовем тождественным.

3. Нормальная и монотонная эпистемическая предикатная система 54 125
Наконец, 54-модель Мо определим как пару (Fro,Vo), где
Вг0 — вышеописанный фрейм, a Vo — бинарная оценочная
функция, которая с каждой таблицей t из 5 (с псевдотаблицей т из S*)
связана следующими условиями.
Пусть v = 9(t) (v = 0(т)), t 6 S (т € S*) и пусть п = О,
тогда Vo(P",v) = Т, если t (т) содержит Рп и Vo(Pn,v) = _L,
если t (т) содержит -тР*. А если п > 0, для всякой предикатной
буквы Рп V0(P", v) = {(ж i,..., ж„): Рп(хи ...,хп) входит в t (т)}
и V0(Pn,v) = {(жь... ,х„): ->Рп(хи... ,ж„) входит в t (т)}.
Соответственно Vo(Pn(®i,..., хп), v) = Т, если Рп(ап,..., хп) входит
в t (в г) и V0(P"(a;i,..., жп), v) = _L, если ->Pn(xi, , х„) входит
в t (в г). Кроме того, для всякой атомарной формулы А, такой, что
t (т) не содержит ни А, ни -’А, мы полагаем, что V0(A,v)
принимает любое из значений Т или ±. Это гарантирует определенность
Vo для любой атомарной формулы и любого элемента Wo.
Покажем, что когда 54-диаграмма для А не замкнута Мо
является опровергающей моделью для А.
Лемма 25. Пусть Мо — вышезаданная модель. Тогда для всякой
формулы В и всякой таблицы t (псевдотаблицы т) из не
замкнутой альтернативной системы таблиц S 54 -диаграммы Мо
удовлетворяет следующим условиям'.
1) если формула В входит в t (в псевдотаблицу т), то \ц(В,\) — Т и
2) если формула В входит в t (в псевдотаблииу т), то Vo (P,v) = ±.
Доказательство проводится одновременной индукцией по
логической длине формулы точно так, как в случае Пт4-диаграммы
с той разницей, что для всякого v оценивать формулы будем при
тождественном сопоставлении элементов из Do(v) свободным
индивидным переменным, входящим в них.
Для установления справедливости утверждения 1)
дополнительно следует рассмотреть подслучай, когда В имеет вид ->С,
а С — вид 'ixD(xi,..., ж„, ж). Но тогда В будет иметь вид
xD(xi,... ,жп,ж). Так как таблица t (псевдотаблица г) не
замкнута, к -N xD(x\,..., хп, ж) применимо правило Nn,
согласно которому в t (в т) помещается ->D(xi,... ,хп,у) с новой
свободной переменной у. В силу индуктивного предположения

126 Глава I. Некоторые нормальные и монотонные модальные логики
\q(D(x\,..., хп, у), v) = JL. Но тогда по условию истинности
квантора всеобщности VoV x(D(xь • • •, хп, у), у) = _L, откуда согласно
условию истинности отрицания следует, что
V0(B,v) = Vo(-iV*2>(*b ... ,хп,у),у) = ±.
Теперь рассмотрим случай, когда В имеет вид
VxC(xi,... ,хп,х).
Поскольку таблица t (псевдотаблица г) не замкнута к ней
применимо правило П, согласно которому в { (в т) помещается
С(х 1,... ,xn,Zi), где Zi — любой элемент из Do(v). В силу индук-.
тивного предположения V0(C(xi,..., хп, у), v) = Т для любого z*
из Do(v), откуда согласно условию истинности квантора
всеобщности VoV х(С(х{, ...,х„, у), у) = Т.
Убедимся, что верно и утверждение 2) нашей леммы.
Дополнительно надо рассмотреть случай, когда таблица t (псевдотаблица т)
содержит формулу В, которая имеет вид -VхС(х\,... ,х„,х).
Поскольку таблица t (соответственно г) не замкнута, к формуле
-<\/хС(хi,...,xn,x) применимо правило Nn, которое
предписывает поместить в t (в т) формулу ->С(х[,..., хп, у) с новой
свободной переменной у. Так как у 6 D0(v) согласно
индуктивному предположению Уо(-'С(жь ... ,х„,у),\) = ±, откуда в силу
условия истинности квантора всеобщности следует, что
V0(-iVxC(xi,... ,хп,х), v) = -L. >
Лемма 26. Если 84-диаграмма для формулы А не замкнута, то
А в классе фреймов предикатной версии S4.
Доказательство проводится с помощью леммы 25.2). О
Теорема 14. Если (= А в классе фреймов предикатной версии
S4, то 1~54 А (теорема полноты).
Доказательство можно получить из контрапозиции леммы 26
и леммы 24. !>
Как известно, предикатная версия S4 неразрешима, так как
она содержит неразрешимую классическую логику предикатов.

Глава И
Ненормальные и немонотонные
эпистемические и доксастические
пропозициональные логики
1. 	Формальный язык
Алфавит ненормальных и немонотонных доксастических и
эпистемических пропозициональных систем содержит те же знаки,
которые входят в алфавит соответствующих нормальных и
монотонных систем, только модальные операторы □ и 0, снабжаются
нижним индексом а, означающим лицо пропозициональной
установки знания или веры или же разные этапы в развитии знания
или формирования мнения; соответственно, □ аА (где А —
любая формула) следует читать как «лицо а знает (верит), что А»
(ср. Хинтикка [1962]) или «на данном этапе развития знания
известно (на данном этапе формирования мнения считается), что А»,
соответственно, ()аА (где А — любая формула) следует читать как
«А совместима со всем тем, что знает лицо а (во что верит а)»
(ср. Хинтикка [1962]) или «А совместима со всем тем, что
известно на данном этапе развития знания (во что верят на данном
этапе формирования мнения)». В дальнейшем изложении мономо-
дальных систем индекс модального оператора, как правило, будем
опускать, поскольку как лицо пропозициональной установки, так
и различные этапы в развитии знания или формирования мнения,
предполагаются фиксированными.
Понятия выражения, формулы, атомарной формулы,
подформулы, логической длины формулы, глубины вхождения А в В(А),
модализированной формулы, полностью модализированной
формулы, модального ранга формулы и итерированных модальностей
определяются точно так, как в нормальных и монотонных системах.

128
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
Пусть С (А) — формула, содержащая некоторое вхождение
формулы А. Модальным рангом данного вхождения А в С (А)
назовем число тех эпистемических (доксастических) операторов,
в области действия которых это вхождение А находится в С {А).
Все попарно различные атомарные формулы (в данном случае,
пропозициональные переменные), имеющие в А вхождение
нулевого ранга, будем называть атомами А, а квазиатомами формулы
А назовем ее атомы вместе со всеми такими попарно различными
подформулами А вида QB, которые также имеют в А модальное
вхождение нулевого ранга.
Конечная конъюнкция, соответственно дизъюнкция, формул
определяется обычно (n ^ 1)
D4. Д"=1 Ai =df ((• • • {Av А Аг) А ...) Л Ап),
D5. V"=i Ai =df ((•.. Mi V Аг) V ...) V An).
Формулу вида
Л* (V*)
i=l ' г=1 7
будем называть элементарной конъюнкцией (дизъюнкцией), если
каждая А, (1 < * < п) есть атомарная формула или отрицание
атомарной формулы. Конъюнктивной (дизъюнктивной)
нормальной формулой называют конечную конъюнкцию (дизъюнкцию)
элементарных дизъюнкций (конъюнкций).
Пусть А и В — конечные конъюнкции (дизъюнкции) формул.
Будем говорить, что В является подконъюнкцией
(поддизъюнкцией) А, если множество конъюнктивных (дизъюнктивных) членов
формулы В является подмножеством конъюнктивных
(дизъюнктивных) членов формулы А.
К двойственным парам логических знаков добавим
П П
Л и V
i=1 t=l
Двойственные формулы определяются как в нормальных и
монотонных системах, учитывая названную выше пару.
С помощью следующих определений мы введем в
рассмотрение связки сильного следования —»а, читается: «из согласно

1. Формальный язык
129
знанию (вере) а, следует », равносильности *->а, читается: «..
согласно знанию (вере) а, равносильно » и равнозначности
ха, читается: согласно знанию (вере) а, равнозначно »
(а соответственно будет обозначать различные этапы в развитии
знания или формирования мнения) ^:
D6. (Д —>а В) (ПаД D DaJ3),
D7. (A oa B) =df ((A В) Л (B -+a A)),
D8. (A xa B) =df ((-4 В) A (->4 «->a ~>B)),
для произвольных формул А и В.
Заметим, что ‘=<г/’ просто выражает не только
эквивалентность, но и равнозначность между определяемым и определяющим
(см. D8 и теорему 2).
Сокращение |а A (ta А), где А формула, вводится для
утверждения: «согласно знанию а, формула А определена (неопределе-
на)».
D9. 4а A =df (Dai4. V Da-i-A),
DIO. ta A =df 4-a A.
Для обеспечения удобства чтения, мы примем обычные
соглашения об опускании скобок. Наружные скобки мы, как правило,
будем опускать вместе с теми скобками, которые окажутся
лишними, если условимся, что знаки А и V связывают теснее, чем Э, =,
->*, *->а, ха, а знаки -i, Па, Оа, 4-a, ta, A"=i и VLi еще теснее, чем
А и V. Ради упрощения чтения, круглые скобки нашего алфавита
будем иногда заменять на квадратные или фигурные.
Метаутверждения также следует рассматривать, как
относящиеся к несокращенным выражениям.
Результат подстановки S§A\ формулы В вместо каждого
вхождения переменной Р в формулу А, результат одновременной
подстановки и подстановковый частный случай или инстанс формулы
определяются также как в нормальных и монотонных системах.
!s Наименования «равносильность» и «равнозначность» для указанных видов
жвивалентностей заимствованы из статьи Бочвара [1938].

130
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
2. 	Теория доказательств
Исследуемые доксастические и эпистемческие модальные
системы мы представим в дедуктивной форме и будем их
формулировать с помощью следующего списка аксиом и правил вывода.
Ради упрощения чтения, мы их запишем используя сокращения,
оправданность которых будет обосновано в дальнейшем (см.
следствие 3.1 теоремы 3).
Аксиомы:
Группа А
1 .PD(QDP),
2. 	[PD(QD R)} D [(P DQ)D(PD R)},
3.
(~>Q D ~>Р) Э(РЭ
Q)•
Группа В
1.
□
>
О
III
п
‘■а
>
OQ),
2.
P-+(PVQ),
3.
Q-^(PVQ),
4.
Р A (Q V R) -> (Р Л Q) V R,
5.
-1-1Р Р,
6.
->(Р Л Q) <-> (~>Р V
~'Q),
7.
->(Р V Q) +* (~>Р Л
->Q).
Группа С
1.
QР D 0Р,
2.
□(□Р D Р),
3.
□Р Э Р,
4.
Р-ЮР,
5.
0РЭпор.
Правила вывода:
Rl. Из А следует SgA\ (правило подстановки),
R2. Из A D В и А следует В (правило модус поненс),
R3. Из А -*■ С и В ->■ С, где А, В и С немодализированы, следует
{А V В) ->• С (правило простой дилеммы),
R4. Из А следует ПА, где А полностью модализирована (правило
модализации).

2. Теория доказательств
131
Правила вывода R1-R4 будем называть основными.
Теперь мы уже можем сформулировать исследуемые нами док-
састические и эпистемические системы.
Доксастические системы:
DxT = {А1-АЗ; В1-В7; Cl, С2; R1-R4},
Dx4= {DxT, С4},
Dx5= {Dx4; C5}.
Эпистемические системы:
ЕрТ = {А1-АЗ; В1-В7; С2, СЗ; R1-R4},
Ер4= {ЕрТ; С4},
Ер5 = {ЕрТ; С5}.
Каждая из этих систем содержит полную формулировку
классического пропозиционального исчисления
PC = {А1-АЗ; Rl, R2}
вместе с любыми модализированными инстансами его теорем.
В дальнейшем мы не будем утомлять читателя выписыванием
полных формальных доказательств теорем PC, используемых в
настоящей работе. В этом и нет необходимости, так как можем просто
условиться, что группа аксиом А содержит все общезначимые
формулы (тавтологии) PC, выразимые в нашем языке.
Понятия доказательства, доказуемой формулы (или теоремы)
рассматриваемых систем и анализа доказательства mutatis mutandis
определяются также, как для системы К.
Производные правила вывода г5-г7 и г12 системы К сохраняют
силу для любых формул рассматриваемых нами систем, так как
в каждой из них R1 является основным правилом.
В-следствиями будем называть следствия PC и аксиом группы
В, выводимые с помощью правил вывода R1-R4. При нумерации
формул, буквой ‘д помечены только В-следствия. В других же
случаях в качестве нижнего индекса •в будем указывать названия самых
слабых систем, в которых выводимы соответствующие формулы.
Очевидна следующая
Лемма 1. Всякое В-следствие является теоремой каждой из
исследуемых нами систем. О

132
Diaea II. Ненормальные и немонотонные логики
В-следствия 01-08 легко можно получить из
соответствующих теорем PC, если в каждую из них вместо всякой
пропозициональной переменной Р, входящей в нее, мы подставим формулу
ПР:
01.
Р-4Р,
02.
(P-+Q)
Э
[(<3 -4 R)
D
(P^R) ]•
03.
(Q R)
3
[(P-+Q)
D
(P^P)].
04.
(P<*Q)
D
(P-+Q),
05.
(P**Q)
Э
(Q-+P),
06.
(P-><?)
D
[«? -> Р)
D
(**+<?)].
07.
(P<»Q)
Э
(Q**P),
08.
(P*>Q)
D
[(Q^R)
D
(P<+R)l
Но, как
ниже станет ясно, ни
в
одной из описанных нами систем
не доказуемы ни (Р <4 С?) Э (~>Q -4 ->Р), ни (Р <4 Q) Э (~>Р -4 ~>Q)
ни, следовательно, (Р <4 Q) Э (~>Р <4 ~>Q).
С помощью 1? 2 мы всякий раз сможем из каждого
доказательства исключить применение производного правила вывода
R5. Из Ау-*Аг, Ai-tA^, ..., An-i~^A„ следует А}-*АП (п >3).
Далее, согласно PC из В1 мы легко сможем вывести
0 9. П(Р A Q) D ПР A UQ и
010. ПР А HQ D 0(Р A Q).
Убедимся, что выводимо также В-следствие
011. PAQ^P,
Доказател ьство.
1. П(Р A Q) Э (DPADQ) - 09.
2. ПР A UQ D ПР — инстанс теоремы PC.
3. □ (Р A Q) D ПР - г5; 1,2, D6.
Аналогично устанавливаем В-следствие
012. PaQ^Q.
Покажем, что В-следствием является также

2. Теория доказательств
133
013. 	(P-+Q) 3 [(Р-> Л) 3 (P-+QAR)}.
Доказательство.
1. (QP 3 DQ) A (QP 3 ШЛ) 3 (DP 3 DQ А ШЛ) — инстанс
теоремы PC.
2. DQ А ШЛ 3 D(Q А Л) - R1; 0 10.
3. (□ Q A QR 3 □(<? А Л)) 3 [(OP 3 DQ А □ Л) 3 (DP 3 □(<£ А
Л))] — инстанс теоремы PC.
4. (QP 3 DQ А ПЛ) 3 (DP 3 ОД А Л)) - R2; 3, 2.
5. (DP 3 DQ) A (DP 3 OR) 3 (DP 3 D(Q А Л)) - R5; 1, 4.
6. [(DP 3 DQ) A (DP 3 ПЛ) 3 (DP 3 ОД А Л))] 3 [(DP 3
□<3) 3 (DP 3 DR) 3 (DP 3 □((? А Л))] — инстанс теоремы
PC.
1. 	(P -4 Q) 3 [(P -4 Л) 3 (P -4 Q А Л)] - R2; 6, 5, D6.
С помощью 0 13 мы сможем установить производность
правила вывода
R6. Из А -4 В\, А -4 i?2, ..., А —> Вп следует А -4 В^АВгА.. .АВп
(п > 2),
а с помощью правила вывода R3 — производность правила вывода
R7. Если формулы А\, Аг,..., Ап, В немодализированы, то из
формул А{ -4 В, А2 -4 В,..., Ап -4 В следует А\ V^V...V4„ -4
Л (п> 2).
Далее, с помощью В-следствий 011, 012 и 013 мы легко
установим В-следствия:
0 14. Р AQ i-y Q Л Р п
0 15. Р A (Q А Л) <4 (Р A Q) A R.
Подобным же образом, используя аксиомы В2, ВЗ и правило вывода
R3 (условие которого соблюдается), получим
016. 	PV Q Qv Р и
0 17. Р V (Q V Л) *4 (Р V Q) V Л.
Теперь установим В-следствие
0 18. (Р -4 Q) 3 (Р А Л -4 <5 А Л).

134
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
Доказательство.
1. РЛД-+Р - R1; 0 И.
2. РЛД-+Я - Rl; 1? 12.
3. (РЛЯ->Р)Э [(Р-Н?) Э (РЛЯ-Н?)] - R1; 02.
4. (Р Q) Э (Р A RQ) — R2; 3,1 •
5. (Р A R R) D [(l5 A R —► Q) Э (Р A R —ь R A Q)] — Rl; 1? 13.
6. (Р Л Я ->• Q) Э (Р Л Я Я Л Q)] - R2; 5, 2.
7. R AQ —ь Q A R — Rl; 1? 14.
8. (R A Q —^ Q A R) D \(Р AR —У R A Q) Э (Р A R —^ Q А Д)] — R1;
#3.
9. (PAR->RAQ)D(PAR->QAR) — R2; 8, 7.
10. (Р Q) э (Р A R -4 Q A R) - R5; 4, 6, 9.
Аналогично можно установить В-следствие
1? 19. (Р -4 Q) Э (Я А Р -4 Я Л (?).
Однако, в рассматриваемых нами системах не доказуемы ни
формула (P->Q)D (PV Д-4 QV R), ни (Р -4 Q) D (RV Р -4 RVQ),
ни (Р -4 Q) Э (-'Q -4 -1Р). Позже мы опишем опровергающие
модели для перечисленных выше (а также для других) формул,
которые не доказуемы ни в одной из наших систем.
Теперь покажем, что В-следствием является
0 20. (Р V Q) A R -4 Р V (Q A R).
Доказательство.
1. PVQ -4 QVP — 0 16.
2. (Р V Q -4 Q V Р) Э [(Р V Q) A R -4 (Q V Р) Л R] - Rl; 0 18.
3. (Р V Q) Л R -4 (Q V Р) Л R - R2; 2,1.
4. (Q V Р) Л R -4 Я Л (Q V Р) - R1; 0 14.
5. Я Л (С? V Р) -4- (Я Л Q) V Р — инстанс аксиомы В4.
6. R A Q —У Q A R — Rl; 1? 14.
7. QAR-+P\/(QaR) — инстанс аксиомы ВЗ.
8. Я Л Q —► Р V (Q Л Я) — R5; 6, 7.

2. Теория доказательств
135
9. Р —> Р V (Q Л Д) — инстанс аксиомы В2.
10. (Д A Q) V Р -¥ Р V (Q А Д) — R7 (условие соблюдается); 8,9.
11. (Р V Q) Л RР V (Q Л R) — R5; 3, 4, 5, 10.
Затем установим В-следствие
0 21. PA(Q VR) -»• (PAQ) V(PA Д).
Доказательство.
1. PA(Q\/R)^P - R1; 0 11.
2. Р А (<Э V Д) -И? V R - R1; 0 12.
3. Q V Д Д V Q — R1; 0 16.
4. Р А (<? V Д) -»• Д V - R5; 2, 3.
5. Р A (Q V Д) -> Р А (Д V Q) - R6; 1, 4.
6. Р А (Д V (?) -)• (Р А Д) V Q — инстанс аксиомы В4.
7. (Р А Д) V Q ->• Q V (Р А Д) - R1; 0 16.
8. Р A (Q V Д) V (Р А Д) - R5; 6, 7.
9. Р А (<? V Д) -> Р A (Q V (Р А Д)) - R6; 1, 8.
10. Р A (Q V (Р А Д)) -> (Р A Q) V (Р А Д) — инстанс аксиомы В4.
11. Р А (<2 V Д) -> (Р A Q) V (Р А Д) - R5; 9, 10.
Также легко можно установить обратное утверждение
0 22. (Р А (?) V (Р А Д) -4 Р A (Q V Д).
Из 0 21 и 0 22 согласно 0 6 сразу получаем В-следствие
0 23. Р A (Q V Д) в- (Р A Q) V (Р А Д).
Аналогично можно установить В-следствия
0 24. (Р V Q) А Д (Р А Д) V (Q А Д),
0 25. (Р А Д) V (Q А Д) -> (Р V Q) А Д
и, следовательно,
0 26. (Р V Q) А Д (Р Л Д) V ((? Л Д).
Далее, выводим В-следствие
0 27. Р V (Q А Д) ->• (Р V Q) А (Р V Д).

136
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
Доказательство.
1. QAR^Q - Rl; 0 11.
2. Q -> РУ Q — инстанс аксиомы ВЗ.
3. QAR-+PVQ - R5; 1, 2.
4. QA R R - R1; 0 12.
5. Я -» Р У Л — инстанс аксиомы ВЗ.
6. Q A R РУ R — R5; 4, 5.
7. Q AR-* (РУ Q) А(РУ R) — R6; 3, 6.
8. Р РУ Q — аксиома В2.
9. Р -4- Р У R — инстанс аксиомы В2.
10. Р-> (PyQ)A(PyR) - R6; 8, 9.
11. РУ (Q AR) -> (РУ Q) А(РУ R) - R7; 10,7.
Аналогично получаем обратное утверждение
0 28. (РУ Q) А(РУ R) РУ (Q A R).
Доказательство.
1. (PVQ)A(PVP) -+PVQ - R1; 0 11.
2. (Р V (?) A (Р V Д) -4 Р V Д - R1; 0 12.
3. PyR-^RyP - R1; 016.
4. (Р У Q) А (Р У R) Ry Р — R5; 2,3.
5. (PVQ)A(PVP)->(PVQ)A(PVP) - R6; 1,4.
6. (PyQ)A(RyP) -4 (Py(QA(RyP)) - Rl; 020.
7. P РУ (Q AR) — инстанс аксиомы B2.
8. Q A(Ry P) (Q A R) У P — инстанс аксиомы B4.
9. (Q A R) V P -4 P V (Q A R) - Rl; 0 16.
10. Q A (R V P) -4 P V (Q A R) - R5; 8, 9.
11. P V (Q A (R V P) -> P V (Q A R) — R3 (условие собл.); 7, 10.
12. (P У Q) A (P У R) P У (Q A R) — R5; 5, 6, 11.
А из 0 27 и 0 8 согласно 0 6 выводим
0 29. Р V (Q A R) <4 (Р V (?) A (Р V R).
Однако, в рассматриваемых нами системах не доказуемы ни
формула (P-+Q) D (РУ R->QyR), ни (P-+Q) Э (RVP-»RVQ).

2. Теория доказательств
137
Подобным же образом устанавливаем В-следствия
30. (PAQ) VP-4 (PVP)A(QVP),
1? 31. (PV R) A(QV R) -4 (Р AQ)V R
и, следовательно,
0 32. (Р A Q) V Р <4 (Р V R) A (Q V Л).
Докажем еще два В-следствий
0 33. (ОРЭ (Q->P)) D (PAQ^R).
Доказательство.
1. D(PaQ) DOTAGE - 0 9.
2. DPADQ D ((DP D (Q -4 P)) D DP) — инстанс теоремы PC,
D6.
3. Ш(Р Л Q) D ((DP D (Q -> R)) D DP) - r5; 1, 2.
4. [П(Р Л Q) D ((DP D (Q -4 P)) D DP)] D [(DP D (Q -4 P)) D
(РЛ Q -4 P)] — инстанс теоремы PC, D6.
5. (QP D (Q -4 P)) D (P Л Q -4 P) — R2; 4, .3.
0 34. (P Л <? -4 P) Э (DP D (Q -4 P)).
Доказательство.
1. DP Л HQ D Q(P Л Q) - 0 10.
2. (QPAQQ Э n(PAQ)) D [(PAQ -4 P) Э (QPAQQ D DP)] -
инстанс теоремы PC, D6.
3. (P A Q -4 P) Э (DP A QQ D DP) - R2; 2,1.
4. (QPAIHQDQR)d(QPd(C?—»P)) — инстанс теоремы PC, D6.
5. (P A Q -4 P) D (DP Э (<? -4 P)) - r5; 3, 4.
034. (PAQ-4P) D (QP D (Q -4 P)).
Доказательство.
1. QP A □(? D D(P A Q) - 0 10.
2. (DPAQQ D D(PA<5)) D [(PAQ -4 P) D (DPADQ D DP)] -
инстанс теоремы PC, D6.
3. (P A Q -4 P) D (DP ADQD DP) - R2; 2,1.

138
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
4. (QP Л □£? Э □ Я) Э (QP D (Q -> Я)) - PC, D6.
5. (Р A Q -4 R) D (ПР Э (Q -»• Я)) - г5; 3, 4.
1- <)чР D чЩР.
Доказательство.
1. 0-^Я О чЦЬчР - PC, D3.
2. ПР Э □ i-iP - PC; В5.
3. (DP D Cb-iP) D (чСЬчР D чЩР) — инстанс теоремы ЯС.
4. (чСЬчР Э ЧЗР - R2; 3, 2.
5. <ЬР D чОР - г5; 1, 4, D3.
&DxT 2. чР А Р Q.
Доказательство.
1. <)чР 3 "ОР — 1.
2. Э (Р -4 Q) - PC; D6.
3. CbP D О~*Р — инстанс аксиомы С1.
4. CHPd(P->Q) — г5; 3, 1,2.
5. (СЬР D (Р -4 Q)) D (~>Р Л Р -4 Q) — инстанс теоремы 1? 33.
6. чРдР-4<?) - R2; 5, 4.
Фохт 3- (Р Э Q) АР -t Q.
Доказательство.
1. (Р D Q) А Р —>■ чР V Q — инстанс теоремы i? 11; D1.
2. (Р Э (?) -4 Р — инстанс теоремы # 12.
3. (Р Э <Э) Л Р -4 (чР v Q) Л Р - R6; 1,2.
4. -1Р Л Р —^ Q — $DxT 2.
5. Q А Р Q — инстанс теоремы 1? 11.
6. (чР Л Р) V (С Л Р) —>■ <5 — R3; 4, 5 (условие соблюдается).
7. (чР V (?) Л Р -4 (чР Л Р) V (Q Л Р) — инстанс теоремы # 24.
8. (PDQ)AP-^Q — R5; 3, 7, 6.
1W 4. П(Р Э Q) Э (Р -4 С?), т. е. П(Р Э Q) Э (DP D □(?).

3. Семантика частичных возможных миров
139
Доказател ьство.
1. (((Р Э Q) Л Р) -> Q) Э (П(Р Э (?) Э (Р ->• <?)) - R1; # 34.
2. (Р D Q) А Р Q — 'OdxT 3.
3. □ (Р 3 (?) Э (Р -»• Q) - R2; 1,2.
Сравнивая вышеописанные доксастические и эпистемические
модальные системы и сопоставляя их с рассмотренными в главе I
эпистемически интерпретированными нормальными и
монотонными системами, можно прийти к следующей схеме включения
этих систем. S <— S' означает, что S строго включается в S', т. е.
множество теорем S является собственным подмножеством
множества теорем S':
Т <— 54 <— 55
v/ ,/ /
ЕрТ <— Ер4 <— Ер5
S S S
DxT <— Dx4 i— Dx5
В самом деле, аксиомы В1-В7 содержатся во всех
рассмотренных нами системах. Аксиомы С1 и С2 принадлежат DxT, Dx4
и Dx5. Аксиома С2 содержится в ЕрТ, Ер4 и Ер5, а аксиома С1,
как мы видели в главе I, доказуема в нормальной и монотонной
системе Т только средствами PC, поэтому она будет также
доказуемой в ЕрТ и, следовательно, будет содержаться в Ер4 и Ер5.
Из главы I мы также знаем, что аксиома С4 доказуема в 55 и так
как в данном там доказательстве используются доказуемые в Dx5
формулы, а правило модализации применяется только к
полностью модализированным формулам, она будет доказуемой в Dx5
и, следовательно, в Ер5. Ниже мы увидим, что ни одна формула
вида □ А с немодализированной А не доказуема в
рассматриваемых ненормальных и немонотонных системах. Поэтому они будут
фрагментами соответствующих нормальных и монотонных систем.
3. 	Семантика частичных возможных миров
В предыдущем параграфе было дано синтаксическое описание
эпистемических и доксастических систем. Теперь мы их охарактери¬

140
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
зуем семантически. Но сначала введем некоторые вспомогательные
понятия.
Пусть Ai,...,A„,B — произвольные непустые множества.
Функцию /, определенную на любом подмножестве прямого
произведения множеств Ai х ... х А„ и принимающую
значения из В, называют частичной. Будем говорить, что частичная
функция / определена для я-ки аь... ,а„ (а,- £ А,-, 1 < t < я)
и писать !/(аь ..., а„), если /(аь • • • >*п) 6 В. В противном
случае будем говорить, что / не определена для n-ки аь...,ап
(а* £ Aj, 1 < i < я) и писать яоя!/(аь..., а„). Областью
определения частичной функции / называют множество таких я-ок
ai,..., а„ (а* € А,-, 1 < i < я), для которых !/(аь ..., а„). Если
область определения / совпадает с Ai х ... х А„, / является обычной,
всюду определенной функцией. В противном случае, / не всюду
определена. А если область определения / является пустым, то ее
называют нигде не определенной.
Предположим, далее, что fug— частичные функции из Ai х
... х А„ в В. Будем говорить, что эти функции условно равны,
и писать /(ж 1,..., ж„) ~ g(xi,..., х„), если всякий раз, когда одна
из них определена для я-ки аь ..., а„ (а,- £ А,-, 1 < г < я), другая
также определена для той же я-ки и /(аь ..., ап) = <?(аь ..., а„).
Сперва опишем семантику частичных возможных миров для
эпистемических систем.
£?рГ-фреймом назовем упорядоченную тройку (Н, W, R), где
Н — множество (частичных возможных миров), содержащее
непустое подмножество W (тотальных возможных миров)2): 0 / WC
Н, R — бинарное отношение достижимости между мирами,
рефлексивное в Н (т. e.R С Н х Н и для всякого и £ Н (и, и) £ R).
Если, кроме того, R транзитивно в Н (т. е. для всяких u, v, w £ Н
из (u, v) £ R и (v, w) £ R следует (и, w) £ R), то ЕрТ-фрейм будем
называть Ер4-фреймом. А если R к тому же является евклидовым
в Н (т. е. для всяких u,v,w £ Н из (u, v) £ R и (u, w) £ R следует
(v,w)£R), то (Н, W, R) назовем Ер5 -фреймом.
Как уже было отмечено, Н может быть множеством элементов произвольной
природы, содержащим непустое подмножество W.

3. Семантика частичных возможных миров
141
ЕрТ-(Ер4-, £7р5-)моделью является пара М = (Fr, V), где FY-
соответственно есть ЕрТ-(Ер4-, 2£р5-)фрейм, а V — бинарная
частичная функция, определенная на множестве PV х Н и
принимающая значения из {T,J_}. V будем также называть оценочной
функцией. Для произвольных Ре PV и v 6 Н \(Р, у) = Т или ±
или же ни Т, ни ±. В первых двух случаях V определена для Р в v
и, как условились выше, мы будем писать !V(P, v), а в третьем V
не определена для Р в v и мы будем писать поп\У(Р, у).
В случае, когда v е W, функция V определена для всех Р и».
А когда v е Н \ W, V может быть неопределенной для некоторых
или ни для каких Риу.
Замечание 1. Очевидно также, что если H\W = 0, то ЕрТ-(Ер4-,
£р5-)фрейм соответственно является Т-(54-,55-)фреймом. О
Теперь, если дана ЕрТ-, Ер А- или Рр5-модель, мы можем
следующим образом индуцировать V на Frm х Н (условия оценки
отрицания, конъюнкции и дизъюнкции формул в любом v е Н \ W
совпадают с трехзначными таблицами Лукасевича с той
несущественной разницей, что третьему неопределенному значению
таблиц Лукасевича здесь соответствует провал, отсутствие значения,
а в случае, когда v £ W, условия оценки упомянутых формул
соответствуют двузначным таблицам классической логики).
Если А — атомарная формула, она является пропозиционал-
ной переменной Р и У(Р, у) уже задана моделью для произвольного
v £ Н. Далее, полагаем, что
• V(->j4,v) = Т, если V(A,v) = _L. V(-i.4,v) = ±, если У(Л,v) = Т.
В противном случае, non!V(-iA, v).
• У(Л А В, у) = Т, если V(A, v) = \(В, у) = Т. V(A AB,v) = l,
если V(4,v) = _L или У(В,у) = _L. В противном случае,
поп\\(А А В, у).
• \(AvB,y)=Т, если V(A,v) = T или V(B,v) = T. V(AVB,v) = ±,
если V(A,v) = V(B,v) = ±. В противном случае, non\V(AvB, v).
• V(Di4, v) = T, если V(A, u) = Т (и, следовательно, !У(Д, и)) для
всякого и из Н, такого, что (v, и) £ R. В противном случае,
V(Q4, v) = J_ (т. е. если non!V(A, и) или V(A, и) = ± для
некоторого и из Н, такого, что (v, и) £ R).

142
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
Условия оценки формул доксастических систем совпадают
с условиями оценки эпистемических систем.
Очевидно, что V(IHA,v) всегда определена как в
эпистемических, так и доксастических системах.
Фреймы и модели доксастических систем DxT, Dx4 и Dx5
определяются аналогично, с той разницей, что отношение
достижимости между мирами в них вместо свойства рефлексивности
обладает свойством слабой рефлексивности: для всяких u, v £ Н
если (u,v) € R, то (v,v) £ R, а также — свойством сериальности:
для всякого и £ Н существует v Е Н такой, что (u, v) £ R.
А истинна в соответствующей модели М (сокращенно, М |= А),
если А истинна в М для всякого v из W (а не для всякого v из Н),
в противном случае будем говорить, что А не истинна в М.
Истинность в соответствующих фреймах и общезначимость в классах
соответствующих фреймов определяются также, как в нормальных
и монотонных системах.
Формулу, которая ни для каких значений ее
пропозициональных переменных ни в каком возможном мире не принимает
значения Т будем называть контрадикцией.
Индукцией по логической длине формулы легко
устанавливается
Лемма 2. Пусть (Н, W, R) — фрейм рассматриваемых
доксастических и эпистемических систем, и £ Н, a У' и У" —
оценочные частичные функции. Тогда для всяких Р £ PV и А £ Frm
если У'(Р, и) ~ У"(Р, и), то
V'(4,u) ~ V"(4,u). >
Лемма 3. Ни одна формула вида \2А с немодализированной А
не общезначима в классе фреймов описанных выше систем.
Доказательство. Пусть
Н = {w, v}, W = {w}, R = {(w, v), (v, v)},
a V есть нигде не определенная функция. Индукцией по логической
длине формулы легко можно убедится, что такая DxT-модель М
будет опровергающей для любых формул указанного в лемме вида.
Пополняя R надлежащими парами элементов из Н х Н, мы легко

4. Корректность
143
убедимся, что утверждение леммы верно для всех доксастических
и эпистемических систем (заметим, что свойству транзитивности R
удовлетворяет тривиально)3). О
4. 	Корректность
Попытаемся ответить на вопрос будут ли опровержимыми
в моделях, базирующихся на фреймах исследуемых нами систем,
все недоказуемые в них формулы и если да, то только ли они?
Мы покажем, что все рассмотренные нами доксастические
и эпистемические системы корректны. С этой целью сперва
установим, что правила вывода R1-R4 сохраняют общезначимость
в классе фреймов описанных выше систем.
4.1. 	Сохранение общезначимости в модели
Прежде всего мы рассмотрим самую слабую систему DxT.
Rl. Начнем с правила подстановки. Но предварительно
убедимся, что справедлива следующая
Лемма 4. Пусть Рь..., Рп, Р — попарно различные
пропозициональные переменные, входящие в формулы А и В, a M=(H,W,
R,V) есть модель рассмотренных доксастических и
эпистемических систем. Тогда существует модель М' = (Н, W, R, V'),
базирующаяся на том же фрейме (Н, W, R), такая, что для всех
u Е Н выполняются следующие условные равенства
(a) У(Рг, и) ~ и), i = 1,..., гг,
(b) V(jB,u)~V'(P,u),
(c) V(5^j4j, и) ~ У (А, и).
Доказательство. Если В и Р таковы, что V(i?,u) ~ \(Р, и) для
каждого и из Н, тогда М’ = Ми условные равенства (а)-(с)
выполняются тривиально. Предположим поэтому, что В и Р такие, что
У (В, u) ~ V(P, и) не имеет места по крайней мере для некоторых
и 6 Н. В таком случае можно просто получить М' из М, не меняя
^ Каждую из рассматриваемых нами систем лемма 2 гарантирует от
возникновения логического всеведения в форме (2).

144
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
в последней ничего, кроме V, а V' определить следующими
соотношениями: У'(Р, и) ~ У(В, и), для указанных Р, В и тех и из Н,
для которых не имеет места условное равенство У (В, и) ~ У(Р, и),
и V(Q, и) ~ У{Я, и) для остальных Q G PV и и € Н.
Очевидно, что дтя МиМ' выполняются условные равенства
(а) и (Ь). Покажем, что для них также будет выполняться условное
равенство (с). Воспользуемся индукцией по логической длине
формулы А.
Пусть А — пропозициональная переменная Q. В таком случае,
SgQ\ есть Q, если Q отлична от Р, и 5д<5| есть В, если Q совпадает
с Р. В первом случае (с) будет частным случаем (а), так как по
условию леммы Q является одной из Pj. Во втором же случае, (с)
просто совпадает с (Ь).
Если А имеет вид -iС, тогда SgA\ есть Sg->C\, т. е. ~>SgC\.
Согласно индуктивному предположению, y(SgC\, и) ~ У'(С, и).
Поэтому, учитывая условие оценки для отрицания формулы, получаем:
y(S%A\, u) = V(-.S£C|, и) ~ У'ЬС, и) = V(A, и).
Если А имеет вид С A D, соответственно С V D, тогда SgA\
есть SgC\ASgD\, соответственно SgC\ VSgD\. В силу
индуктивного предположения, У(5дС|,и) ~ У1(С, и) и y(SgD\, u) ~ Y(D, и).
Поэтому, учитывая условие оценки для конъюнкции,
соответственно дизъюнкции формул, имеем
V(S|U|, u) = V(S£C| A S%D\, и) ~ V(C A D, и) = V(4, и),
соответственно
V(5|i4|, и) = V(Sf С| V SPBD\, и) ~ V(C V D, и) = У'(А, и),
Наконец, если А имеет вид ПС, то SgA\ есть SgUC\, т. е.
□5fC|. В силу индуктивного предположения, У(5дС|, u) ~ У (С, и)
для всех иен, в частности, и для всех v € Н, таких, что (u, v) е R.
Поэтому, учитывая условие оценки для эпистемического оператора,
получаем
У($в4, u) = V(as£c|, и) ~ V(ПС, и) = V(A, и). о
Мы уже можем показать, что правило подстановки
сохраняет общезначимость в классе фреймов рассматриваемых систем.

4. Корректность
145
В самом деле, допустим противное: пусть SgA\ не общезначима
в классе фреймов этих систем, а А общезначима в том же классе.
Тогда существует такая модель М этих систем, что М S§А\, т. е.
y(Sg А\, w) = -1 для некоторого w G W. Но в таком случае,
согласно лемме 4, существует такая модель М', базирующаяся на том же
фрейме, в которой У'(Л, w) = ±. Однако, это противоречит нашему
предположению об общезначимости А в классе фреймов
указанных систем.
R2. Доказательство того факта, что правило модус поненс
сохраняет общезначимость в классе фреймов наших систем, обычное.
R3. Рассмотрим правило простой дилеммы. Однако,
предварительно убедимся, что верна
Лемма 5. Пусть М = (Н, W, R, V) — модель рассмотренных док-
састических и эпистемических систем, а у G Н \ W. В таком
случае существует модель М' = (Н', W', R', Y) (где Н' = Н,
W' = WU W, R' = R, У{Р,и) ~ У(Р,и), для всяких Р G PV,
и G H'\{v}), такая, что если ГУ(Р, у), то У(Р, у) = \(Р, у), для
всех Р G PV и выделенного выше у, и если, кроме того, \У(А, v),
для всякой немодализированной формулы А и для указанного у,
тогда У'(А, у) = У(Д, v).
Доказательство индукцией по логической длине А. Немодализи-
рованная формула А может быть пропозициональной переменной
или иметь один из следующих видов -tВ, ВАС, В У С. В качестве
У можем выбрать такое продолжение функции V на PV х Н', что
для указанного у, У'(Р, у) = Т, если и только если V(P, v) = Т,
и У'(Р,у) = ±, в противном случае.
Если А — пропозициональная переменная, то утверждение
леммы содержится в ее условии.
Пусть А имеет вид и IV(-<В,у). Тогда согласно
условию оценки для отрицания, !V(P, v) и по индуктивному
предположению, У (В, у) = У (В, у), откуда вновь согласно условию
оценки для отрицания формул следует У(-<В, v) = У(->В,у), т. е.
У(А,у) = У(А,у).
А имеет вид ВАС. Если !У(Д, v), то
V(B,v) = V(C,v) = T

146
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
или же либо У(В, у) = ±, либо У (С, v) = ±. В первом случае,
согласно индуктивному предположению,
V(B, V) = У (В, у) = V(C, v) = У (С, у) = Т.
Поэтому, согласно условию оценки для конъюнкции, У (В АС, у) =
V (В А С, у), т. е. У (A, v) = V(j4, v). Во втором случае, вновь в
силу индуктивного предположения, У'(В, v) = У (В, v) = ± или
У {С, у) — У (С, v) = _L и поэтому опять согласно условию оценки
для конъюнкции, У (В А С, у) = У(В А С, у), т. е. У'(Д, v) = У(Д, v).
Случай, когда А имеет вид BVC, рассматривается
двойственным образом. !>
Теперь покажем, что правило простой дилеммы сохраняет
общезначимость в классе фреймов рассмотренных систем.
Предположим противное, пусть А-эСиВ->С общезначимы в классе
фреймов этих систем, а АуВ —> С не общезначима. Тогда
существует DxT -модель М = (Н, W, R, V), опровергающая последнюю
формулу. Итак, для некоторого w 6 W V(.A V В —> С, w) = ±,
Следовательно, V(D(^4VB), w) = Т и V(l3C, w) = ±. Но тогда для
некоторого v € Н, такого, что (w, v) 6 R, У (С, v) = ± или поп'У(С, у). С
другой стороны, из У(П(Л V В), w) — Т следует, что У(А V В, u) = Т
для всякого и £ Н, такого, что (w, и) £ R, в том числе для v.
Так как R слабо рефлексивно, v может совпадать с w.
Пусть, в самом деле, v = w. Построим модель Мо,
полагая, что Но = Wo = {w}; Ro = {(w, w)} из-за его сериальное™,
a Vo есть сужение V на Frm х Но. Согласно ограничительному
условию правила R3, А, В и С немодализированы. Поэтому
значения А,В,А\/ В, С в w не зависят от значений их подформул
в других элементах Н. Но ввиду того, что М — опровергающая
модель для рассматриваемого заключения А V В С правила
вывода R3, то для него Мо тоже будет опровергающей
моделью. Действительно, Уо(Д V В, w) = У(Д V В, w) = Т и, поскольку
Но содержит единственный элемент w, такой, что (w,w) 6 Ro,
Уо(П(Д V В), w) = T. Точно так же Vo(C, w) = V(C, w) = ± и,
ввиду (w, w) € Ro, Vo(nC,w) = X. Но, нетрудно проверить, что Mo
является опровергающей моделью и для одной из рассматриваемых
посылок А -¥ С или В —^ С правила вывода R3, в зависимости
от того, Vq(^,w) = V(.A,w) = Т или Vo(H,w) = У(Б, w) = Т, что

4. Корректность
147
вместе с Vo(DC, w) = _L опровергает в Мо первую или вторую
из них. Это, однако, противоречит нашему предположению об
общезначимости в CF(DxT) посылок правила вывода R3.
Пусть теперь v Ф w. При этом v £ W или v £ Н \ W.
Предположим v £ W. Из условия правила вывода R3 следует, что значения
А, В, AW В, С в v не зависят от значений их подформул в других
элементах Н. Поэтому, как в предыдущем случае, можно построить
модель Мо, полагая на этот раз, что Но = Wo = {v}; Ro = {v, v}, a Vo
есть сужение V на Frm х Но. Ввиду того, что М является
опровергающей моделью для рассматриваемого заключения правила вывода
R3, то, как в предыдущем случае, можно показать, что Мо тоже
будет опровергающей моделью как для него, так и для одной из его
посылок, что опять противоречит нашему предположению об
общезначимости в классе фреймов DxT посылок правила вывода R3.
Предположим поэтому, что v £ Н \ W и определим модель Mi,
полагая, что
Hi = {w, v}, Wi = {w}, Ri = {(w, v), (v, v)},
a Vi есть сужение V на Frm x Hi. Так как M —
опровергающая модель для рассматриваемого заключения правила вывода
R3, для него Mi тоже будет опровергающей (поскольку значения
А, В, А V В, С в v не зависят от значений их подформул в других
элементах Н). В самом деле, Vi(D(^4VjB), w) = У(П(Л VJB), w) = Т,
a Vi(DC, w) = V(DC, w) = 1.
Так как, (w, v) € Ri, to Vy(AvB, v) = T и, значит, Vi(4,v) = T
или Vi {B, v) = T.
Пусть Vi(j4, v) = T, a Vi(C, v) = ± или non\W\{C, v), поскольку
V(C,v) = jL или non\V(C, v).
Предположим Vi(C,v) = _L. Вместе c Mi рассмотрим
модель M'l = (H'l, W'i, R'„ V'i), где H'! = Ht = W', = {w,v},
R'i = Ri, V'i(P,w) = Vi(P,w), для всех P G PV и для w, и
если !Vi(P, v), то V'i(P, v) = Vi(P,v), для всех P £ PV и для v.
Но тогда, согласно лемме 5, для всякой немодализированной
формулы D и для v, являющегося в M'i уже элементом W'i если
!Vi(£>,v), то V'i(£), v) = Vi(D,\) и, следовательно, V'i(4, v) = T,
V'i(.4 VB,v) = T и V'i(C, v) = _L. Учитывая, при этом, что из v
достижим только v, будем иметь: V'i(Dvi, v) = Т, V'i(D(^4VB), v) = Т

148
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
и УДШС,v) = -L, откуда легко можно установить, что M'i —
опровергающая модель не только для рассматриваемого
заключения правила вывода R3, но и для первой из его посылок, и мы
вновь приходим к противоречию.
Наконец, допустим, что non'.Vi (С, v) и с помощью Mi
определим М2 = (Н2, W2, R2, Уг), полагая, что Н2 — Hi U{V}, W2 = Wi,
R2 = Ri U{(v,v/), (v',vy)}, V2(P,u) ~ Vi(P,u), для всех P 6 PV
и u E Hi, a Y2(P,V) ~ Vi(P,v), для всех P E PV. Теперь
вместе с М2, как в предыдущем случае, рассмотрим модель
М'2 = (H'2,W'2,R'2,V2>, где Н;2 = Н2, W'2 = {w,v}, R'2 = R2,
У'г(Р, u) ~ Уг(Р, u), для P E PV и u E H2 \ {v}, и если !Vi(P, v),
to V'2(P, v) = Vi(P,v), для P 6 PV и для v. Но, согласно лемме 5,
для всякой немодализированной формулы D и для v, являющегося
в М'2 элементом W'2 если !V2(P,v), то V'2(D, v) = V2(P,v).
Очевидно, что Уг{А, u) = Т, для всякого и 6 Н'2 такого, что (v, и) € R'2
(т. е. для v и Y). Поэтому для таких uhV'2(.A VB,u) = Т.
Следовательно, V'2(CL4, u) = Т и V'2(D(j4 V В), и) — Т. С другой стороны,
(v, v') Е R'2 и non!V'2(C, v'), так как по определению non!Vt (С, v)
и поэтому non!V2(C, v). Но тогда, V^DC, v) = ±. Итак, М'2
является опровергающей моделью не только для рассматриваемого
заключения правила вывода R3, но и для первой его посылки и мы
опять пришли к противоречию.
Совершенно аналогично рассматривается случай, когда
V,(B,v) = T
с той разницей, что построенная модель будет опровергающей для
заключения и второй посылки правила вывода R3.
Таким образом, в каждом из возможных случаев мы
показали, что если заключение правила вывода R3 необщезначима
в CF(DxT), таковой же будет одна из его посылок. Откуда следует,
что R3 сохраняет общезначимость в CF (DxT).
Замечание 2. Изложенное выше рассуждение можно также использовать
для установления того, что правило вывода R3 сохраняет общезначимость
в классе фреймов каждой доксастической и эпистемической системы,
содержащей DxT. Для этого отношение достижимости R соответствующей
модели в каждом отдельном случае надо пополнить нехватающими парами
из Н х Н и надлежащим образом расширить оценочную функцию.
Например, если мы предположим, что отношение Ri в модели M'i рефлексивно

4. Корректность
149
(и, следовательно, к Ri присоединим пару (w, w) из Hi х Hi) и
соответственно расширим Уь из нашего рассуждения будет следовать, что R3
сохраняет ЕрТ-общезначимость. Заметим также, что во всех
построенных нами 1ЭжТ-моделях, кроме М'2, отношение достижимости R'2 между
мирами тривиальным образом обладает также свойством транзитивности.
Для того, чтобы обеспечить транзитивность R'2 в М'2, из W'2 (а значит
и из Н'2 ) надо удалить элемент w и V2 сузить на PV х (Н2 \ w). Такое
преобразование М;2 мы сможем использовать для установления того, что
R3 сохраняет Dx4- и Ер4-общезначимость. Наконец, если мы, кроме
того, всякий раз будем предполагать, что каждый мир достижим из
каждого (кроме, может быть, минимального элемента множества тотальных
возможных миров) и к соответствующему множеству пар добавим
нехватающие конверсии пар из множества частичных возможных миров, наше
рассуждение будет доказательством того, что правило вывода R3
сохраняет Ер5-общезначимость (а также Dx5 -общезначимость). Действительно,
так как по условию правила вывода R3 А, В и С немодализированны,
в описанных выше моделях значения подформул А, В и С в некотором
достижимом, скажем, из и мире v, не смогут повлиять на значения формул
в мире и, если последний также достижим из v. [>
Замечание 3. Необходимость наложения ограничительного условия на
правило вывода R3 можно проиллюстрировать с помощью примера.
Формулы (Р А ЧИР) —> Р и (QA-iDQ)—как легко проверить, доказуемы
в каждой из описанных нами систем, а также общезначимы в классе
фреймов этих систем. Однако, формула [(Р А -*ПР) V (Q A -GQ)] -* R
не общезначима ни в одном из них (так как антецедент последней формулы,
в отличие от антецедентов предыдущих формул, не является
контрадикцией, хотя, например, □ (Р A -iQP) А □((? A -GQ) есть контрадикция). >
R4. Остается показать, что правило модализации сохраняет
общезначимость в классе фреймов рассмотренных систем. Но сперва
убедимся, что справедлива
Лемма 6. Пусть М= (H,W,R,V) — модель рассмотренных
систем, a v 6 Н\W. Тогда существует модель М' = (Н', W',R', V'})
этих систем и V € W' , такие, что если !V(P,v), то V(P,V) —
V(P, v) (для Р 6 PV, v 6 Н, V € W') и, кроме того, \'(А,у') =
У(Л,у) для всякой полностью модализированной формулы А,
v € Н и V е W'.
Доказательство индукцией по построению А из квазиатомов.
Всякая полностью модализированная формула А является
квазиатомом вида UB, где В — произвольная формула, или же имеет один

150
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
из следующих видов: -iВ, ВАС, ВМС, где В и С полностью
модал изированы.
Сначала рассмотрим случай, когда А есть квазиатом вида □ В.
Перестроим модель М в М' следующим образом: фиксируем v G
Н \ W, к Н присоединяем новый элемент V (у1 ^ Н) таким образом,
чтобы для всяких и и uj, если (u, v) € R, то (и, v') £ R' и если
(v, Uj) € R, то (v', uj) € R'; кроме того полагаем, что Н' = Н U {V},
W' = WU Ю, R' = R U {(u, v') : (и, v) £ R} U {(V, ut) : (v, щ) € R}
U {(v',v), (v', v')}. Наконец, предположим, что У(Р, u) ~ V(P, u)
(для P £ PV, u G H) и если !V(P,v), то У(Р,у') = V(P,v);
в противном же случае, пусть У (Р, v) принимает любое из значений
Т или ± (.Р Е PV, v и v').
Покажем теперь, что V^QB.v') = V(QB,v).
Вновь воспользуемся индукцией только теперь по логической
длине формулы В. Пусть В есть пропозициональная переменная
Р. Тогда !V(P, v) или поп\У(Р, v). Если V(P, v) = Т и, кроме того,
V(P, u) = Т для всех и, таких, что (v, и) 6 R, то по определению
R' и У, У(Р, у') = Т, а также У(Р, и) = Т для всех и, таких,
что (v',u) 6 R'. Следовательно, V'(DP, v') = V(DP, v) = T. А если
V(P, v) = J. или nonl\(P, v), то ввиду слабой рефлексивности R,
V(QP, v) = -L, но тогда V(QP, v1) = J_, так как (V, v) £ R'.
Предположим теперь, что В имеет один из следующих видов
-1 С, CAD, CvD или ПС. Согласно индуктивному предположению,
У(С,\') = V(C,v) и V^PjV') = V(D,v), а согласно лемме 4,
У (С, и) ~ У(С, и) для и Е Н. Поэтому рассуждая точно так, как
в предыдущем случае, легко убедимся, что V'(QP, v) = У(ПЕ, v),
где Е есть -iC, CAD, СVD или □ С.
Остается рассмотреть случаи, когда А имеет вид iВ, ВАС
или В У С, где В и С полностью модализированы. Согласно
индуктивному предположению по построению А из квазиатомов,
У {В, у) = V(J3, v) и У (С, v) = У (С, у) для полностью модализиро-
ванных В и С. Откуда утверждение леммы прямо следует в силу
условий оценки формул вида -<В, ВАС, В У С. О
Теперь мы можем показать, что правило модализации
сохраняет общезначимость в CF(DxT). Допустим противное. Пусть
рассматриваемое заключение ПА нашего правила не общезначимо,

4. Корректность
151
а посылка А общезначима в СF(DxT). Тогда существует
опровергающая для ПА модель М = (Н, W, R, V) и элемент w из W, такие,
что У([ИА, w) = ±. Но по условию истинности для модального
оператора, это равносильно существованию такого v 6 Н, что (w, v) 6 R
и V(A, v) = ± или non!V(A, v), а так как А полностью модализиро-
вана, последняя возможность исключается и поэтому Y(A, v) = ±.
При этом, v может совпадать с w, ввиду слабой рефлексивности
R, или отличаться от него. Во втором случае, либо v € W, либо
v 6 Н \ W. Если v = w или v Ф w и v 6 W, V(A, у) = 1иМ является
опровергающей моделью также для А, что противоречит нашему
предположению об ее общезначимости в классе фреймов ЕрТ.
Поэтому предположим, что v 6 H\W. Но тогда, согласно
лемме 6, существует DxT-модель М' = (Н', W', R', V') и V G W,
такие, что У (A, v) = ±, а это опять противоречит нашему
первоначальному предположению об общезначимости А в CF(DxT).
Итак, правило вывода R4 сохраняет общезначимость в
CF (DxT). Нетрудно проверить, что наше доказательство останется
в силе, если мы предположим, что отношение R рассмотренной
нами модели М не только слабо рефлексивно, но и
рефлексивно или, кроме того, транзитивно или же согласно R из каждого
возможного мира достижим каждый (возможно, также за
исключением минимального). Откуда прямо следует, что правило вывода
R4 сохраняет общезначимость также в классе фреймов всех
исследуемых нами доксастических и эпистемических систем.
Теперь мы можем частично ответить на поставленный выше
вопрос о соотношении доказуемости формул в рассмотренных
нами системах и их общезначимости в соответствующих классах
фреймов.
Теорема 1. Если Ь А в рассмотренных доксастических и
эпистемических системах, то \= А в классе фреймов этих систем
(теорема корректности).
Доказательство. Непосредственной проверкой убеждаемся, что
аксиомы рассмотренных нами систем общезначимы в
соответствующих классах фреймов. Кроме того мы уже показали, что правила
вывода R1-R4 сохраняют общезначимость. Следовательно, всякая

152
Diaea II. Ненормальные и немонотонные логики
доказуемая формула рассмотренных системы будет общезначимой
в соответствующих классах фреймов. >
Из теоремы корректности сразу вытекает следующее очевидное
Следствие 1.1. Если \Ё: А в классе фреймов рассмотренных
систем, то \/ А в соответствующих системах.
С помощью леммы 3 согласно следствию 1.1 нетрудно
установить, что если А — любая немодализированная формула, то I/ НА
в каждой из рассмотренных систем.
4.2. 	Дальнейшие теоремы
Нам также придется пользоваться рядом теорем, к
установлению доказуемости которых мы сейчас приступим.
В параграфе 2 мы доказали теорему •дохт 1 • Теперь установим
доказуемость
^DxT 5. чЩР Э <0чР.
Доказательство.
1. П-.-.Р Э QP — PC, В5.
2. (Q-i-iP D DP) D (-iP D -iD-i-iP) — инстанс теоремы PC.
3. iP D чПччР - R2; 2,1.
4. чР э 0чР - PC, D3.
Из 'дохт 1 и “Оохт 5 согласно PC следует
"&DxT 6- чПР = <£>чР.
Подобным же образом получаем
iW 7. ч<>Р = СЪР.
I?DxT 8 .РА чР —у Q.
Доказательство.
1. РА ч Р чР д Р — PC следствие инстанса теоремы 1? 14.
2. чР А Р Q — 2.
3. Р А чР Q — R5; 1, 2.
0ШТ9. П(РЭОР).

5. Критерий Роуза
153
Доказательство.
1. (-iD-iP V ->Р) —> (~iP V-'П-’Р) — PC следствие инстанса
теоремы ‘д 16.
2. □(-СЬР V-iP) - Rl; С2, D1.
3. □(iP V iD-iP) - R2; 1,2.
4. П(Р Э ОР) - Dl, D3, 3.
Ю. QP ->Рт.е. ППР D ПР.
Доказательство.
1. П(ПР DP) - С2.
2. П(ПР D Р) D (ПР -4 Р) - Rl; 0DxT 4.
3. ПР -4 Р - R2; 2, 1.
®DxT 11 • ПР —^ (ПР Л Р).
Доказательство.
1. ПР -4 ПР — инстанс теоремы # 1.
2. ПР —у Р — “Ojdxt 9-
3. ПР-> ПРЛР - R6; 1, 2.
Из $dxt 10 и С4 согласно PC сразу следует
1. 	ПР <4 Р, т. е. ППР = ПР.
5. 	Критерий Роуза
Чтобы не утомить читателя выписыванием полных
формальных доказательств всех нужных теорем исследуемых доксастических
и эпистемических систем, попытаемся воспользоваться критерием,
введенным А. Роузом для установления доказуемости формул
пропозиционального фрагмента одного исчисления Хао Вана (см. Роуз
[1963]). Как увидим ниже, он действительно сохраняет силу для
некоторого класса доказуемых в DxT формул. Упомянутый
критерий может освободить нас от необходимости проведения многих
формальных доказательств в DxT и в системах, содержащих все
теоремы DxT (т. е. во всех уже рассмотренных нами доксастических
и эпистемических системах). К рассмотрению такой связи между

154
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
доказательствами пропозиционального фрагмента исчисления Хао
Вана и соответствующих формул исследуемых нами систем мы
позже специально вернемся. Сейчас же убедимся, что справедлива
следующая
Лемма 7. Для всякой немодализированной формулы А
существует формула А*, в которой все имеющиеся вхождения знака
отрицания встречаются только непосредственно перед
атомарными формулами, такая, что В-следствиями являются А —> А*
и А* —у А.
Доказательство индукцией по логической длине I формулы А.
I = 0. А является пропозициональной переменной Р, которая
совпадает с Р*, и утверждение леммы выполняется тривиально
(в силу 0 1).
I > 0. А имеет вид ~iJ3, (ВАС) или (В У С).
Сперва рассмотрим случай, когда А имеет вид -iВ. Вновь
воспользуемся индукцией теперь по логической длине к формулы
В, которая либо является пропозициональной переменной Р, либо
имеет вид ->D, DAE или же D V Е.
к = 0. В — пропозициональная переменная Р, а А, подобно
А*, имеет вид ->Р и утверждение леммы выполняется тривиально
(опять в силу 0 1).
к > 0. В имеет вид ~D, а А — вид -i-iD. В силу индуктивного
предположения по к, D —> D* и D* —> D являются В-следствиями.
Но тогда используя индуктивное предположение, В5, 0 4, 0 5 и R5,
мы легко установим В-следствия ->->D -у D* и D* -У -v->D, т. е.
А -у А* и А* -у А.
Пусть теперь В имеет вид D А Е, тогда А будет формулой
вида -I(D А Е). В силу В6 и t?4 имеем ->(D А Е) —> ->D V —<JB?.
А согласно индуктивному предположению по к: (1) ->D -А (-'!))*,
(2) (->DY -У -tD, (3) Е -у (-1ЕУ и (4) (-.Я)* ->Е. Из (1) и (3)
с помощью В2, ВЗ и В6 согласно R5 выводим ->D -У ->(D А Е)*
и -1Е -У- -^(DAE)*, откуда в силу R7, условие которого соблюдается,
получаем ->D V -*Е -У -(Л А Е)*. А последняя формула вместе
с -1 (D А Е) -у ->£) V -*Е в силу R5 сразу дает нам В-следствие
->(D А Е) -У ->(D А Е)*, т. е. А -У А*.

5. Критерий Роуза
155
Подобным же образом, используя (2) и (4), мы сможем вывести
В-следствие ->(D А Е)* ->■ -*{D А Е), т. е. А* -*■ А.
Аналогично рассматривается случай, когда В имеет вид DVE.
Таким образом, мы установили справедливость утверждения леммы,
когда А имеет вид ->В.
Предположим теперь, что А имеет вид ВАС. Согласно ин-
стансам $ 11 и 1? 12 имеем В А С В иВАС-4С;ав силу
индуктивного предположения — J3 -у В* и С —► С*. Из них с
помощью R5 мы легко получим ВАС—) В* и В А С -А С*, откуда
согласно R6 выводим В-следствие В А С (В А С)*, т. е. А -э А*.
Аналогично, используя инстансы теорем $ 11 и $12: (В А
С)* -> В* и (Б А С)* -> С*, а также индуктивное предположение,
согласно которому В* В и С* —» С, мы легко выведем В-
следствие (В А С)* ->ВАС,т.е. А* А.
Наконец, случай, когда А имеет вид В У С рассматривается
подобным же образом, только вместо инстансов $ 11, $ 12 и
производного правила вывода R6 следует воспользоваться инстансами
В2, ВЗ и производным правилом вывода R7. >
Лемма 8. Для всякой немодализированной формулы А
существует нормальная конъюнктивная (соответственно —
дизъюнктивная) формула А#, такая, что А —> Ап и Аш —► А являются
В-следствиями.
Доказательство. Согласно лемме 7, мы преобразуем А в формулу
А*, в которой все вхождения знака отрицания расположены перед
пропозициональными переменными, и В-следствиями являются
А А* и А* -> А. Если, к тому же, А* не содержит ни одну
подформулу вида (С V (D А Е)) или ((D А Е) V С),
соответственно — (С A (D V Е)) или ((D V Е) АС), тогда А* и будет искомой
конъюнктивной, соответственно — дизъюнктивной, нормальной
формулой А*.
Поэтому предположим, что А* содержит подформулы вида
(С V (D А Е)) или ((£> Л Е) V С), соответственно — (С A (D V Е))
или ((DvE)aC), и покажем, что В-следствиями являются А* -э А'
и А! -»• А*, где А' получается из А* надлежащей заменой вхождения
подформулы вида (Cv(DAE)) или ((DaE)VC) на ((CVD)A(CVE))
или ((D УС) А (Е УС)), соответственно — {С A (D У Е)) или ((£> V

156
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
Е)ЛС) на ((СAD)V(СЛЕ)) или ((DЛС)У(ЕЛС)). Воспользуемся
индукцией по глубине d вхождения таких подформул в А*.
d = 0. А* имеет вид (С V (D Л Е)) или ((D АЕ)М С),
соответственно — (С A (D V Е)) или ((D V Е) АС), а справедливость
нашего утверждения о том, что В-следствиями являются А* —> А!
и А! —> А*, следует из инстансов законов дистрибуции
(дизъюнкции относительно конъюнкции, соответственно — конъюнкции
относительно дизъюнкции): § 27, d 28 и d 30, d 31,
соответственно — 1? 21, d 22 и d 24, d 25.
d > 0. Пусть F обозначает формулу вида (С V (D А Е)) или
((£> A Е) V С), соответственно — (С A (D V Е)) или {(D V Е) АС),
a G обозначает ((С V D) А (С V JE?)) или ((D V С) A (Е V С)),
соответственно — ((С A D) V (С А 2?)) или ((D АС)М (Е А С)). В таком
случае, А* будет иметь вид B(F) A Е, Е A B(F), B(F) V -Б или
Е V B(F), но не может иметь вида -чВ (F), так как все вхождения
знака отрицания в >4* находятся перед атомарными
формулами. В силу индуктивного предположения В-следствиями являются
B(F) B(G), а также B(G) -л- B(F).
Пусть А* имеет один из видов B(F)aE или EaB(F). В первом
случае, из инстанса d 11 и индуктивного предположения согласно
R5 выводим B(F) А Е —> B(G), откуда с помощью инстанса:
d 12 B(F) А Е —f Е и R6 получаем В-следствие B(F) А Е -»
B(G)AE. Аналогично устанавливаем обратное сильное следование
B(G)AE —>• B(F)AE. Подобным образом рассматривается и второй
случай.
Если же А* имеет один из видов B(F) V Е или Е V B(F),
кроме индуктивного предположения мы воспользуемся инстансами
В2, ВЗ и правилом вывода R3.
Так, шаг за шагом мы устраним из А* все вхождения
подформул вида (С V (В А Е)) и ((D A Е) V С), соответственно —
(С A (DM Е)) и ((D М Е) АС), в результате чего, нашу исходную
формулу А преобразуем в конъюнктивную, соответственно —
дизъюнктивную, нормальную формулу А*, такую, что В-следствиями
окажутся формулы А Аш и А Ап. О
В дальнейшем формулы указанного выше вида Ап будем
называть конъюнктивными (дизъюнктивными) нормальными формами
формулы А.

5. Критерий Роуза
157
Пусть формулы А и В немодализированны, VtLi Ay Li P}j —
дизъюнктивная нормальная форма формулы А (где P-j —
пропозициональная переменная или отрицание пропозициональной
переменной; т,щ,... ,пт ^ 1), a Vr=i A«=i Qrs ~
дизъюнктивная нормальная форма формулы В (где Q'rs —
пропозициональная переменная или отрицание пропозициональной переменной;
к, , Ik Js 1).
Критерий Роуза. Будем говорить, что формула вида А -»• В,
с немодализированными А и В, удовлетворяет критерию
Роуза, если для каждого такого дизъюнктивного члена Q вида
Д?=1 Pij дизъюнктивной нормальной формы AyLi P[j
формулы А, который в качестве конъюнктивных членов
одновременно не содержит ни одну атомарную формулу
вместе с ее отрицанием, в дизъюнктивной нормальной форме
v*=, Ai=i Qrs формулы В найдется дизъюнктивный член Dr
вида Дlg=iQr89 являющийся подконъюнкцией конъюнкции
A;Li Pij (ср. А. Роуз [1963]).
Пример 1. Предположим, что А обозначает формулу (Q A -iQ) V Р V
(Q А -лR), а В — формулу (Р V Q) A (Р V тй). Формула А уже
приведена к дизъюнктивной нормальной форе, а в качестве дизъюнктивной
нормальной формы формулы В, мы можем рассмотреть формулу Р#:
(Р A Р) V (Q A Р) V (Р А -лR) V (Q А ->й). Согласно критерию Роуза, нам
не следует обращать внимание на первый дизъюнктивный член
формулы А, так как он имеет вид Q A ~>Q. Для второго, т. е. Р, в Вп
существует дизъюнктивный член, удовлетворяющий нашему требованию,
а именно, — первый, т. е. (Р АР), поскольку соответствующее множество
содержит единственный элемент {Р}. Наконец, для третьего и
последнего дизъюнктивного члена А в В* также существует дизъюнктивный
член, удовлетворяющий нашему требованию, а именно, — четвертый, т. е.
(Q А -тй). Множества, соответствующие указанным дизъюнктивным
членам, просто совпадают. Следовательно, А —У В удовлетворяет критерию
Роуза. Нетрудно проверить, и то, что критерию Роуза также удовлетворяет
обратная строгая импликация В А. >
В дальнейшем часто будем пользоваться критерием Роуза, но
проверку его соблюдения в каждом случае предоставим читателю.

158
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
А теперь, используя инстансы #11, # 12, законы коммутации
и ассоциации конъюнкции: # 14 и # 15, а также R6, мы легко
установим производность правила вывода
R8. Если А — конечная конъюнкция формул, а В —
подконъюнкция А, то А -> В является В-следствием.
Точно также, с помощью В2, ВЗ, законов коммутации и
ассоциации дизъюнкции: # 16 и # 17, а также R7, мы сможем установить
производность правила вывода
R9. Если — В конечная дизъюнкция немодализированных
формул, а А — поддизъюнкция В, то А —> В является
В-следствием.
Теорема 2. Пусть А и В немодализированные формулы, тогда
(a) Ь А В в рассмотренных нами доксастических или эписте-
мических систем тогда и только тогда, /согдя критерию Роуза
удовлетворяет формула А В;
(b) h 4 н В ^ рассмотренных нами доксастических или эписте-
мических систем тогда и только тогда, критерию Роуза
удовлетворяют формулы А В и В —>• А\
(c) hixfi g рассмотренных нами доксастических или эпистеми-
ческих систем тогда и только тогда, /сягдд критерию Роуза
удовлетворяют формулы А -> В, В А, -IА —» -«В и -iB —> -нА.
Доказательство. Согласно лемме 8, достаточно установить, что
утверждение теоремы будет верным, если вместо А и В мы
рассмотрим их дизъюнктивные нормальные формы.
(а) Сперва покажем справедливость нашего утверждения
справа налево для самой слабой доксастической системы DxT.
Пусть формула А -> В удовлетворяет критерию Роуза.
Возможны два случая.
Предположим сначала, что дизъюнктивный член С* вида
AyLi P-j дизъюнктивной нормальной формы Vili AjLi
формулы А не содержит ни одной пропозициональной переменной
вместе с ее отрицанием и существует дизъюнктивный член Dr
вида А';=1 Q'rs дизъюнктивной нормальной формы v*=i дг;=1 Q'rs
формулы В, являющийся подконъюнкцией С,-. Но тогда,
согласно R8, В-следствием и, следовательно, теоремой DxT (согласно

5. Критерий Роуза
159
лемме 3) является С* —>■ Dt, т. е. AJjLi P-j —> A;=i Qrs ?
откуда в силу R9 (условие которого соблюдается) и R5 следует, что
Plj -> v;=i Ai=! Q™ также является теоремой DxT.
Пусть теперь дизъюнктивный член Q дизъюнктивной
нормальной формы формулы А содержит некоторую атомарную
формулу Р вместе с ее отрицанием ->Р. В таком случае, мы сначала
согласно R8 выводим В-следствие Сг- -А Р А -тР, т. е. Д”!=1 Р^~>РЛ ->Р,
откуда с помощью инстанса ‘дохт 8: РА~>Р —> Vr=i Д«=1 Qrs> и R5
выводим в DxT Д^, Р'ц -> Vr=l As=l <3rS-
Таким образом, для каждого дизъюнктивного члена С*
дизъюнктивной нормальной формы формулы А
щ к 1Т
А V А
J —1 Г=1 5=1
является В-следствием и, следовательно, теоремой DxT. А для
установления того, что
m rii к lr
\~DxT V A ^V A <*<
i = l j=z 1 г —1 5 — 1
нам остается применить правило производного вывода R7,
ограничительное условие которого будет соблюдаться, так как А и В
немодализированы. Но в таком случае, указанная формула также
будет теоремой каждой из изучаемых нами систем.
Теперь покажем справедливость нашего утверждения слева
направо сначала опять для DxT.
Пусть формула А -> В не удовлетворяет критерию Роуза;
тогда существует такое число i (1 ^ i ^ тп), что если
Дизъюнктивный член С{ вида Д"!=1 P'j дизъюнктивной нормальной
формы vr=, Д”=, P-j формулы А в качестве конъюнктивных
членов не содержит ни одну пропозициональную переменную вместе
с ее отрицанием, то ни для какого г (1 ^ г ^ к)
дизъюнктивный член Dr вида At 1 Q'rs дизъюнктивной нормальной формы
Vj=l Л1=1 Qrs формулы В не является подконъюнкхщей Ci, т. е.
каждый ДИЗЪЮНКТИВНЫЙ член Vr=l Л«=1 Qrs содержит
конъюнктивный член, не входящий в С*.

160
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
Достаточно показать, что А —> В, т. е. ПА D □ В, не
общезначима в классе фреймов DxT, откуда с помощью
следствия 1.1 теоремы корректности для DxT (согласно которой если
ЩсрфхТ) Л -»• в, то I/DxT А В) сразу следует, что А -»• В
не доказуема в DxT.
Определим DxT-модель М' = (Н', W', R', V') следующим
образом. Пусть Н' = {vbv2}, W' = {vj, R' = {(vi, v2), (v2,v2)} и
допустим, что V'(Pij,ys) = T (g = 1,2), если P-j является
пропозициональной переменной, входящей в Q без знака отрицания; далее,
V(Py,v2) = -L, если P-j есть отрицание пропозициональной
переменной Pij, являющееся конъюнктивным членом Q и наконец,
nonW(Pij, v2) для всех таких пропозициональных переменных,
которые либо сами, либо их отрицания являются конъюнктивными
членами Dr, но не являются конъюнктивными членами С*.
Остальные пропозициональные переменные как в vi, так и в v2 могут
принимать любые значения.
Очевидно, что, в таком случае,
/ \ / Щ \
У( VA pij’y9) =V[ Л Г'Ц’Ъ) =V(Ci,y9) = V(Pfij,vg) = т,
= = l ' 'j= 1 '
поэтому ¥'(□ V™ 1 A”Li pij> Vi) = T. Однако для каждого г (1 <
Г < к) V'(Dr, v2) ф Т, ввиду чего V'(Vr=i A«=i Qrs, v2) ф T,
поэтому V'(D Vr=i Ai=iQ™,Vi) = 1 и, следовательно, У'(Д-> D,Vi) = ±.
Описанную опровергающую DxT-модель М' мы легко
сможем перестроить в опровергающую модель для каждой из
рассмотренных доксастических и эпистемических систем. Поэтому ввиду
корректности последних, теорема 2 будет верной для любой из них.
Справедливость же утверждений (Ь) и (с) следует согласно PC
из (а) и определений D7, D8. о
Легко можно проверить, что перечисленные ниже
равнозначности удовлетворяют критерию Роуза для утверждения (с)
теоремы 2. Поэтому в рассмотренных доксастических и эпистемических
систем доказуема каждая из них.
1? 35. Р ж Р,
36. PAQxQAP,

5. Критерий Роуза
161
0 37.
Р Л (Q A R) х (Р Л Q)
ЛЯ,
0 38.
PVQ х <3 VP,
0 39.
Р V (<2 V Я) х (Р V Q)
V Я,
0 40.
Р A (Q У R) х (PAQ)
V (PA
Я,
041.
(PVQ)A Я X (РАЯ)
V(QA
Я),
042.
Р V (Q Л Я) х (Р V Q)
A (P V
Я),
043.
(Р Л Q) V Я х (Р V Я)
A(QV
Я),
0 44.
РЛРхР,
0 45.
PVPxP,
046.
-nP X Р,
0 47.
-|(Р А (?) X -iP V -iQ,
048.
-i(P V (?) х -iP A ->(?,
0 49.
PAQx-i(-.PV-.g),
0 50.
P V Q x -i(-iP A iQ),
051.
P Л C? x -i(P D ~>Q),
0 52.
PVQx^PDC?,
0 53.
P D Q x -.P V Q.
Согласно
же утверждению (а) теоремы
2, в каждой системе дока-
зуемы сильные следования
((P = Q)AP)-H?, ((P = Q)AQ)->P,
((Р = Q)A ->Р) -»• ->Q и ((Р = Q) A -.Q) -> --Р,
из которых с помощью 0 34, R2, R6, D7 и D8 получаем
0 54. n(P = Q) D (Р х Q).
Точно так же мы можем установить, что в каждой системе
доказуемы
0 55. П(Р = Q) Э (~>Р х -.Q),
0 56. П(Р = Q) Э (Р A R х Q Л К),
0 57. П(Р = Q) Э (Р V R х Q V Д),
Совершенно аналогично из ((Р = Q) Л Р -»• Q) и ((Р = Q) Л
Q -Л Р) выводим

162
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
0 58. D(P = Q) Э (Р <-* Q).
Вновь, в силу утверждения (а) теоремы 2, согласно PC
устанавливаем доказуемость формул:
0 59. nnPvP-> -1-1Р,
0 60. -1->(Р V Q) V -1-.Р V 1-.Q х -.-i(P V Q),
061. Р Л -i(Q А Д) Р Л (-!<Э V -Д),
а также — формулы (Р V Q) -> (-iQ D Р). Из нее согласно D6
и 0охт 4 в силу PC следует П(Р V (?) Э (-iD-iQ V (UP), откуда
с помощью D3 согласно PC получаем
062. 0(Р V Q) Э (OPV0Q).
Далее, используя D8, согласно PC выводим
0 63. (Р х Q) Э (P«Q)
и
0 64. (Р х Q) Э (-.Р *+-.$).
Затем из 0 63 с помощью В5 получаем (Р х Q) D (—<—iP <->• -i-iQ),
а из нее и 0 64 опять согласно PC и £)8 выводим
065. (Р х Q) Э (nPxnQ).
Теперь, используя инстансы теорем PC: (QP = DQ) Э (QP Л
□Д = □QAQR) и (ПР = П<5) Э (QRAQP = ОДЛШф), с помощью
065, D7, PC и В1, нетрудно вывести
066. (PxQ) D(PAR^QAR)
и
067. (PxQ) D (ДАР О ДЛ<Э).
Но ни в одной из рассматриваемых нами систем не доказуемы
ни формулы (Р х Q) Э (Р V Д <-» С? V Д) и (Р х Q) Э (Д V Р <->•
Д V <2), ни (Р х Q) Э (i(P ЛД) ->(<Э Л Д)) и (Р х Q) D
(-|(ДЛР) о- -1(ДЛ<Э)), ни, следовательно, (Р х Q) D (РАД х QAR)
и (Р х Q) Э (ДАР х RAQ), не говоря ничего о (Р х <2) Э (РУД х
Q V Д) и (Р х Q) D (Д V Р х Д V Q).

5. Критерий Роуза
163
Далее, используя определения D8 и D7 в силу PC мы легко
сможем установить доказуемость
1? 68. (PxQ) э (Q х Р)
и
а? 69. (Р х Q) э [(£? х Д) D (Р х Д)].
Из #35, #68 и #69 следует, что отношение равнозначности
является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
А сейчас мы укажем как можно строить опровергающие
Ер5-модели для формул, о которых выше было отмечено, что
они недоказуемы ни в одной из исследуемых нами систем. Из
этого, в силу контрапозиции теоремы корректности, будет следовать,
что они не доказуемы ни в Ер5 и, следовательно, ни в одной более
слабой системе.
Пример 2. Рассмотрим некоторые из них. Формула (Р -э Q) D (-«Q -»-iР)
опровергается в модели М0 = (Н0, W0, Ro, Vo), где Н0 = {u, v}, W0 — {и},
Ro — Н0 х Н0, У0(Р,и) = V0(Q,u) = V0(Q,v) = JL и non!V0(P,v)
(остальные переменные из PV как в и, так иву могут получать любые значения).
В самом деле, при таком означивании У0(Р -э Q,u) = V0(D-iQ,u) = Т,
a V0(C-iP, u) = J_. Далее, формула (Р х Q) Э (Р V R Q V R)
опровергается в модели Mi = (Hi, Wt, Rb Vi), где Hi = {u, vb у2, Уз},
Wt = {u}, Ri = H] x Hj, Vi(P,u) - Vi(P,vi) = Vi(P,y2) = V,(P, v3) = T,
non!Vi(P, V!), non!Vi(Q, v2), non\\i(Q,y^) и попГУДД, v3) (остальные
значения переменных для произвольных элементов Н] могут быть
любыми). Тогда Vi(P х Q,u) = Т, a Vj(P V Д f> Q V Д, u) = 1, так как
Vj(n(Р VP), и) = Т, a Vj(□((? VЯ), и) = _L. В том же фрейме можно
опровергнуть (Р х Q) Э (i(PAP) О -i(QAP), а значит и формулы: (Р х Q) Э
(PAR <r* QAR), (Р х Q) D (PVP QVR). В фрейме (Н0, W0, Ro)
заданной выше модели М0 можно также опровергнуть формулы Р -э PA(QV~iQ)
и Р V (Q А -1Q) х Р из замечания 5. С помощью означивания V'(Р, и) =
V'(P, и) = Т и non!V'(Q, v) мы сможем построить опровергающую модель
(Н0, Wo, Ro, V') для первой из указанных формул. Та же модель опровергает
также формулы более простого строения Р —> (Q V -д) и D(Q V -iQ). О
С помощью критерия Роуза также легко сможем убедиться,
что в исследуемых нами системах доказуемы В-следствия:
П[(Р D Q) А (Р V R)] Э □((? V Д),
□[(Р Э Q) А (Д V Р)] Э П(Д V д),

164
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
□[(Р DQ)A(QD Я)] Э П(Р D R),
□[(Р DR)A(QD R)} D П[(Р V Q) Э R)\,
из которых согласно PC и В1 устанавливаем справедливость
следующих В-следствий:
0 70. □ (Р DQ)D (П(Р V R) D □ (Q V Я)),
0 71. D(PDQ) Э (D(flVP) D a(RVQ)),
0 72. D(P DQ)D (□(<? D Я) D □ (P D Я)),
0 73. D(P D R) D (D(Q D R) D D((P V Q) D R)).
&DxT 12. □(□P D nP).
Доказательство.
1. П(ОР D DnnP) D (□(□-i-iP D nnP) D П(ПР D -i->P)) -
инстанс теоремы 072.
2. DP D D-tiP — PC следствие аксиомы B5.
3. П(ПР D П-i-iP) — R4; 1 (условие соблюдается).
4. □(□-|->Р Э Р) — инстанс аксиомы С2.
5. (□(СЬ-.Р Э -i-iP) Э D(DP Э i-iP)) — R2; 1, 3.
6. П(ПР D i-iP) - R2; 5, 4.
0DxT 13. □(("'□PV -’P) D ~>OP).
Доказательство.
1. IH(QP DP) — аксиома C2.
2. □(-.□PVP) - Dl; 1.
3. □(-iQP V P) D (P V -OP) — PC следствие 016.
4. □(PV-dP) - R2; 3,2.
5. □(mPv-ОтпР) - Rl; 4.
6. -i-iP P — аксиома B5.
7. □(-i-iP V DP) — следствие 3.1; 5,6.
8. П(-.Р D -.DP) - Dl; 7.
9. --DP D -OP - 01.
10. □(-.□P D -iQP) - R4; 9.
11. □(-OP D -OP) D (П(-|Р D -OP) D □((iDPV-'P) D -OP)) -
инстанс 073.

б. Взаимозаменимость
165
12. П(-.Р Э ~>ПР) D □((^□Р V -Р) D -»□.Р) - R2; И, 10.
13. □((-iDPV-iP) 3-пПР) - R2; 12,8.
6. 	Взаимозаменимость
Описанные выше системы являются доксастическими и эпи-
стемическими аналогами хорошо известных модальных систем Т,
54 и 55. Но в отличие от последних правила взаимозаменимости
эквивалентных формул в ненормальных и немонотонных доксасти-
ческих и эпистемических системах требуют соблюдения некоторых
ограничительных условий. Эти особенности устанавливает
следующая
Теорема 3. Пусть г — модальный ранг вхождения А в С(А)\
тогда для любой из рассмотренных доксастинеских и
эпистемических систем
(a) ec.au г — 0 и А = В, то \- С (А) = С (В);
(b) если г > 0, А и В полностью модализированы и Ь А = В, то
Ь С(А) = С(В);
(c) если г > 0, А и В немодализированы и Ь А х В, тогда
h С(А) ее С(В).
Доказательство утверждения (а) проводится обычно, согласно
PC, и поэтому мы его опускаем. Что же касается утверждений
(Ь) и (с), для их установления мы предварительно докажем
следующие три леммы.
Лемма 9. Если Р и Q — пропозициональные переменные, а С(Р)
немодализирована, то h Ш(Р = Q) Э (С(Р) х C(Q)).
Доказательство индукцией по глубине d вхождения Р в С(Р).
d = 0. С(Р) совпадает с Р, C(Q) — с Q, а утверждение
леммы — с инстансом теоремы д 55: □ (Р = Q) Э (Р х Q).
d > 0. По условию леммы, формула С(Р) немодализирована
и, следовательно, она имеет один из следующих видов -тО(Р),
D(P) A Е, Е A D(P), D(P) V Е или Е V D(P), причем глубина
вхождения Р в формулу D(P) меньше d. Согласно индуктивному
предположению, Ь Ш(Р = Q) Э (D(P) х D(Q)).

166
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
Пусть С(Р) имеет вид -1 D(P). Тогда утверждение леммы прямо
следует согласно PC из индуктивного предположения и инстанса
(D(P) х D(Q)) D bD(P) x -,D(Q))
теоремы # 67: (PxQ) D (->P x ->Q).
Пусть теперь C(P) имеет вид D(P)AE. Как в предыдущем
случае, из индуктивного предположения и инстанса (D(P) х D(Q)) Э
(D(P) ЛЕ D(Q) А Е) теоремы # 68, согласно PC выводим фор¬
мулу (1):
П(Р = Q)D (D(P) Л Р <-* D(Q) А Е).
С другой стороны, согласно PC, D8 и D7 выводим (D(P) х
D(Q)) D (-1 D(P) —>• ->D(Q)), откуда, опять используя индуктивное
предположение и PC, получаем П(Р = Q) D (~'D(P) н- -n£>(Q)),
а из нее в силу #33: (DP Э (Q —> R)) Э (Р Л Q —> Р) выводим
((Р = Q) Л -tD(P)) -4 -1D(Q) и, используя В2, В6 и R5, наконец
получаем формулу (2):
((Р — Q) Л ~'D(P)) —> ->(D(Q) А Е).
Затем, из инстанса ((Р = Q) А -Е) —> -<Е теоремы # 12
подобным же образом выводим формулу (3):
((Р = Q) А -Р) ->• -(Х>((?) Л Е)
и так как С(Р) немодализирована, а Р и Q являются
пропозициональными переменными, немодализированными будут также D(P)
и D(Q). Поэтому к формулам (2) и (3) можно применить правило
вывода R3, в результате чего получим
{[(Р = Q)A tD(P)] V [(Р = Q) А -Р]} -4 -.(D(Q) Л Р),
откуда с помощью закона дистрибуции конъюнкции относительно
дизъюнкции # 23, согласно R5, выведем формулу
[(Р = Q) A bD(P) V -.Р)] ->• -(P(Q) Л Р).
Если теперь воспользуемся соответствующими инстансами
теорем #63: РА ~>(QA R) РА (~>Q V ->R), #34: (Р AQ -» R) D
(0PD(Q->R)), правилом производного вывода R5 и PC, то
из последней формулы легко получим
□(Р = Q)D h(D(P) А Е) ->• D(Q) Л Р)].

6. Взаимозаменимость
167
Точно также выводим П(Р = Q) D f-i(Z>(Q) ЛЕ)-+ ->(D(P) А Е)\,
а из последних двух формул с помощью PC и D1 получаем
формулу (4):
П{Р = Q) Э b(D(P) АЕ)+У ->(D(Q) Л Е)].
Наконец, из (1) и (4) вновь согласно PC и D8 прямо следует
утверждение леммы для рассматриваемого случая.
Случаи, когда С(Р) имеет вид Е A D(P), D(P) V Е или
Е V D(P), трактуются совершенно аналогично. о
Лемма 10. Если формулы А и В полностью модализированы и
\-А = В, то I- С{А) ж С{В).
Доказательство индукцией по модальному рангу г выделенного
вхождения А в С {А). В силу индуктивного предположения, если
А и В полностью модализированы, то для любой формулы £?(Т),
в которую А имеет модальный ранг вхождения меньший, чем г,
из I- А = В следует I- G(A) ж G(B).
г = 0. Согласно условию леммы, А = В доказуема. Кроме
того, А и В полностью модализированы. Поэтому к формуле А = В
применимо правило R4, согласно которому в X также
доказуема формула (I): П(Л = В). Поскольку в рассматриваемом случае
г = 0, то либо С {А) совпадает с А, и тогда утверждение леммы
следует согласно R2 из соответствующего инстанса 7? 55: П(Р = Q) Э
(Р ж Q) и (1), или же выделенное вхождение А находится в С {А)
в области действия только логических связок -i, А или V. В
последнем случае С(А) будет модализированной за счет А и возможно
других квазиатомов С(А) вида ПН\,... ,ПНт. Выберем попарно
различные пропозициональные переменные P,Ri,, Rm, не
входящие в С {А), и соответственно заменим ими в С (А) выделенное
вхождение А и все квазиатомы вида ПН\,..., □ Нт.
Формула Е(Р), полученная из С (А) в результате указанной
замены, удовлетворяет условию леммы 9, согласно которой доказуема
D(P = Q)D(E(P)^E(Q)),
где Q — отличная от Р и от каждой Ri (1 ^ г ^ ш)
пропозициональная переменная. Но тогда также доказуема формула (2):
П(А = В) Э (С(А) ж С(В)),

168
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
которая получается из нее одновременной подстановкой
формул А, В, [ИЯ|,..., ОНт вместо пропозициональных переменных
P,Q,Ri,... ,Rm, соответственно.
Наконец, из (2) и (I) согласно R2 выводим желаемую формулу
С (А) ж С(В).
г > 0. С(А) содержит подформулу вида □G(j4), с тем же
выделенным вхождением А. П(?(Л) в С(А) может находится только
в области действия логических связок -ц Л или V, а
модальный ранг вхождения А в G(T) равен г — 1. Поэтому, согласно
индуктивному предположению, доказуема G(A) ж G(B), откуда
с помощью инстанса 'д 65: (Р ж Q) 3 (Р Q) и R2 легко выводим
G{A) ++ G(B) т.е. DG(4) = UG{B). Поскольку DG(4) и DG(B)
полностью модализированы, к формуле G(A) о G(B) применимо
правило R4, в силу которого получаем формулу (3):
□(G(4) G(B)).
Теперь, С(А) либо совпадает с \2G{A), либо имеет вид
■F([HG(.A)), причем модальный ранг вхождения DG(j4) в С(А)
равен 0. Но тогда, рассуждая точно так, как в предыдущем случае,
выбирая □G(T) и DG(jB), соответственно, в роли А и В, и
используя (3) вместо (1), с помощью леммы 9 легко сможем установить, что
доказуема формула F(DG(j4)) ж F(DG(B)) т.е. С(А) ж С(В). о
Лемма 11. Если формулы А, В и С(Р) немодализированы и
А^В, то Ь С{А) ж С{В).
Доказательство индукцией по глубине d вхождения А в С (А).
d = 0. С(.4) совпадает с А, С (В) — с В и утверждение леммы
тривиально.
d > 0. Ввиду того, что С {А) немодализирована, она имеет один
из следующих видов ->D(A), D(A) А Е, Е A D(A), D(A) V Е или
E\/D(A), причем глубина вхождения А в D(A) меньше d. Согласно
индуктивному предположению, если соблюдаются условия леммы,
тон* D(A)^D{B).
Пусть С{А) имеет вид ^D( A). Тогда утверждение леммы прямо
следует в силу PC из индуктивного предположения и инстанса
(D(A) ж D(B)) Э bD(A) ж ^D(B)) теоремы i?66.
Пусть, далее, С(А) имеет вид D(A)AE. Согласно определению
D8, достаточно установить, что доказуемы формулы (1) D(A)aE

6. Взаимозаменимость
169
D(B) А Е и (2) -i(D(A) А Е) -\{D(B) А Е). Доказуемость (1)
прямо следует из индуктивного предположения и инстанса (В(А) х
D(B))j(D(A)A Е <4 D(B) А Е) теоремы i? 68. Покажем, что в X
также доказуема (2).
Из надлежащих инстансов аксиомы В6 легко можно
установить доказуемость следующих формул (3):
^(D(A) А Е) -пП(Д) V ~<Е и чD(B) V ч£ ->• ч(1>(В) Л Е).
Затем, в силу индуктивного предположения и 1? 67, как в
предыдущем случае, выводим -iD(A) х ->D(B), откуда сразу получаем
->D(A) -э -ID(B). Из нее и инстанса -iD(B) —>• ->D(B) V -\Е
аксиомы В2 согласно R5 следует формула (4):
—>D(A) —> ~'D(B) V ->Е.
С другой стороны, формула (5):
—\Е —> ~>D(B) V —>Е
является инстансом аксиомы ВЗ и так как по нашему условию
~>D{A), ->Е и ~>D(B) V -'Е немодализированы, то к (4) и (5)
применимо правило вывода R3, согласно которому из этих формул
получаем ~'D(A) V ->Е -э -^D(B) V ->Е, откуда, с помощью
доказуемых формул из (3) и R5, легко выводим ч(D(A)AE) —> -i(D(B)AE).
Точно также устанавливаем, что ч(D(B) А Е) -э -'(D(A) А Е)
и, следовательно, формула (2) ->{D(A) А Е) ++ ~'{D{B) А Е) также
доказуема.
Случаи, когда С{А) имеет вид EAD(A), D(A)\/E или EyD(A),
рассматриваются аналогично. >
Доказательство теоремы 3 (окончание). (Ь) Так как по условию
теоремы модальный ранг г вхождения А в С (А) больше нуля, мы
можем представить С(А) в виде F(DG(j4)), где модальный ранг
вхождения А в □G(jI) равен г. При этом □С?(4) может совпадать
с С{А).
Пусть С (А) есть \3G(A). Рассмотрим формулу G(A). По
условию теоремы, А и В полностью модализированы и Ь А = В.
Поэтому, согласно лемме 10, формула G(A) х G(B) доказуема,
откуда с помощью § 65 легко можно вывести формулу G(T) G(B),
т. е. DG(^4) = nG(jB), которая и есть С(.4) = С(В).

170
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
Пусть теперь, С(А) имеет вид В(ШСг(.4)), а модальный ранг
вхождения □СУ(.4) в ir(D<?(^4)) равен нулю. Опять рассмотрим
формулу G(A) и, как в предыдущем случае, согласно лемме 10,
снова выведем формулу □6:( Л) = □G'(B). откуда, в силу утвержде-
ния (а) нашей теоремы (условие соблюдается, так как модальный
ранг вхождения □Gr(J4) в F(OG(A)) равен нулю) прямо следует,
что доказуема формула F(D<3(^)) = F(DC?(B)), т. е. С(А) = С{В).
(с) Согласно условию теоремы, модальный ранг г вхождения
А в С {А) больше нуля и поэтому мы можем представить С(А)
в виде F(DGr(j4)), где модальный ранг вхождения А в □Сг(.А)
равен г. При этом \Z\G(A) может совпадать с С {А).
Пусть С (А) имеет вид OG(A). Воспользуемся индукцией
по модальному рангу г вхождения А в ПС(Л).
г = 1. Тогда G{A) немодализирована. По условию теоремы
немодализированы также А и В, а кроме того, I- А х В. Но тогда,
согласно лемме 11,1- G{A) х G(B). А из последней формулы с
помощью 1?65 легко выводится HG{A) = DG(B), т. е. С(А) = С{В). •
г > 1. Тогда G(A) можно представить в виде Н(J3J(А)),
причем модальный ранг вхождения А в П7(А) меньше, чем г.
В силу индуктивного предположения, доказуема DJ(A) =
откуда согласно лемме 10 выводим G(A) х G(B) и, следовательно,
G(A) G(B), т. е. DG(j4) = □<т(В). А последняя формула есть
С(А) = С(В).
Наконец, пусть С(А) имеет вид F(DG(A)). Вновь с
помощью индукции по г, как в предыдущем случае, выводим
формулу DG(A) = OG(B). А поскольку модальный ранг вхождения
□G(A) в С (А) равен нулю, в силу утверждения (а) нашей
теоремы, прямо сможем получить формулу ^(П<7(А)) = T’(DG!(B)), т. е.
С(А) = С {В). О
Следствие 3.1. При соблюдении условий теоремы 3,
(a) если г = 0, А = В и h С(А), то h С(В);
(b) если г > 0, А и В полностью модализированы, \~А = В и I- С(А),
то Ну С(В);
(c) если г > 0, А и В немодализированы, I- А х В и b С (А), то
Ь С(В).
Доказательство сразу получается из теоремы 3 согласно PC. >

6. Взаимозаменимость
171
С помощью следствия 3.1 и PC из *&dxt 4 можно вывести
Фпхт 14. П(Р WQ)D ПР V 0Q
точно так, как из аксиомы 4 системы К теорему К к 12.
Следствие 3.2. Для любой формулы А существует формула А*,
в которой все имеющиеся вхождения знака отрицания
встречаются только непосредственно перед пропозициональными
переменными, такая, что А = А*.
Доказательство для случая, когда А немодализирована, прямо
получается из теоремы 3 (а). В случаях же применения пунктов (Ь)
и (с) теоремы 3, оно по существу состоит в следующем: если А
содержит подформулы вида -»(С A D) или -i(CVD), то со¬
гласно 1? 47, # 48, $ 49 и теореме 3 (с) мы их соответственно меняем
на подформулы вида С, -iCV-rD или -iCA-tD. При этом,
соблюдение ограничительного условия теоремы 3 (с) мы обеспечим заменой
модализированных квазиатомов таких подформул формулы А
невходящими в А переменными, а затем удалив двойные отрицания
или сдвинув знак -■ внутрь, используем правило вывода R1 и вновь
подставим устраненные квазиатомы. Если же А содержит
подформулы вида -iDC или -i<>С мы их соответственно заменим на О
или □-!С согласно 'дихт 6, dxt 7, и теореме 3 (b). >
Следствие 3.3. Если формулы Л+ и соответственно
двойственны формулам А и В, то
(a) из h А = В следует Ь А+ = J3+;
(b) из Ь A D В следует Ь В+ Э
(принципы двойственности).
Доказательство следует согласно PC из следствия 3.2 теоремы 3. о
Замечание 4. Утверждения следствия 3.3, вообще говоря, не имеют силу
для равносильности и сильного следования. Так, например, Ь Р V (Q А
-*Q) 4 Р, но обратное сильное следование с двойственными сторонами
Р -4 Р A (Q V -iQ) не доказуема ни в одной из рассматриваемых нами
систем (в них не доказуема также Р V (Q A -iQ) х Р). >
Согласно принципу двойственности (а) и 1 в Dx4
доказуема
#Dx4 2. О<>Р = 0Р.

172
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
Далее, из инстанса ПОТ3 D 00Р аксиомы С1 и формулы
00Р Э ОР, которая получается из дохл 2 согласно PC, можно
вывести
t?Dl43. D0PD0P,
а из нее и аксиомы С5 в силу PC получаем
$Dx5 1 OOP = OP,
откуда согласно принципу двойственности (а) следует
*0X5 2. ОПР = ПР.
Соотношения вида i?d®4 1, &dx5 1, $Dx5 2 и дохА 2 называются
законами редукции.
Рассматривая схему включения доксастических и эпистеми-
ческих систем настоящей главы, мы убедились, что аксиома С4
доказуема в Dx5 и, следовательно, в Ер5. Мы также убедились,
что аксиома С1 доказуема в Ер'Г.
Теперь покажем, что также справедлива
Теорема 4. Из любой формулы исследуемых нами систем
можно элиминировать все вхождения знака конъюнкции
(соответственно, дизъюнкции). Иными словами, для любой формулы А
существует формула А°, не содержащая вхождений знака
конъюнкции (соответственно, дизъюнкции), такая, что Ь А = А°.
Доказательство. Если модальный ранг вхождения подформулы
вида ВАС (соответственно, В VC) в формулу А равен нулю, то
согласно надлежащему инстансу PC и утверждению (а) теоремы 3
мы заменим ее на V ->С) (соответственно, на —>(—’J5 Л ~'С)).
В случае, когда модальный ранг вхождения подформулы вида
ВАС (соответственно, В V С) в формулу А больше нуля и сама
заменяемая подформула полностью модализирована, достаточно
воспользоваться инстансом следствия теоремы 649:
В АС —i(-iB V ~>С)
(соответственно, следствия теоремы $50:
В V С ->(-iB А ~<С))
и утверждением (Ь) теоремы 3.

7. Редукция модальностей в Dx5 и Ер5
173
Остается рассмотреть случай, когда модальный ранг
вхождения подформулы вида ВАС (соответственно, В У С) в формулу
А больше нуля, но сама заменяемая подформула немодализиро-
вана. Заменив ее в А на Р A Q (соответственно, Р У Q), где
Р и Q — пропозициональные переменные, не входящие в А,
в силу 1? 49 (соответственно 'д 50) и утверждения (с) теоремы 3,
мы докажем формулу А(Р A Q) = A(-i(-yP У -iQ)), соответственно
А(Р У Q) = j4(-i(->P A nQ)), откуда подстановкой В и С вместо
Р и <5, соответственно, сможем доказать формулу А = А1, где
формула А' содержит одним знаком конъюнкции (дизъюнкции)
меньше, чем формула А.
Повторяя указанные преобразования до тех пор, пока из А
не будут устранены все вхождения знака конъюнкции
(соответственно, дизъюнкции), мы в конечном итоге сможем установить
доказуемость А = А°. с>
7. 	Редукция модальностей в Dx5 и Ер5
Одна из характерных особенностей систем Dx5 и Ер5
(которая также отличает S5 от других модальных систем) заключается
в том, что модальности в них с помощью эквивалентных
преобразований можно сводить к упрощенным модальностям. Но для точной
формулировки этой особенности нам сначала надо установить
доказуемость т. н. законов поглощения в Dx5 (и, следовательно в Ер5):
$Dx4 4. П(Р A DQ) = DP А ПQ.
Доказател ьство.
1. П(Р A Q) = □ Р А П<5 — аксиома В1.
2. □ (Р A DQ) = UP А □ DQ - Rl; 1.
3. СЮР = СИР — “&Dx4 1-
4. П(Р A DQ) = □ Р A DQ — следствие 3.1 (Ь); 3, 2.
1?£>г5 3. П(Р A 0Q) = ПР А 0Q-
Доказательство.
1. П(Р A Q) = ПР А □ Q — аксиома В1.
2. □ (Р А ОQ) = DP A D0Q - Rl; 1.

174
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
3. [HOQ = OQ — Rl; i?Da;51.
4. Ш(Р Л ОQ) = ПР Л OQ — следствие 3.1 (Ь); 3, 2.
1Ьг5 4- V пQ) = ПР V □ Q.
Доказательство.
1. П(Р V Q) 3 ПР V 0Q - $DxT 14.
2. П(Р V DQ) 3 ПР V ong - Rl; 1.
3. <>□<? = DQ - Rl; tfDl52.
4. П(Р V IHQ) 3 DP V OQ — следствие 3.1 (Ь); 3, 2.
5. ПР 3 □ (Р V DQ) - Rl; В2.
6. DQ 3 П(Р V CHQ) - Rl; ВЗ.
7. DP V DQ 3 □ (Р V DQ) - г7; 4, 5.
8. □ (Р V DQ) = OP V <>□<? - PC, 2, 6.
5. 	□ (Р V 0Q) = ПР V 0Q-
Доказательство.
1. П(Р VQ) 3 QPVOQ - #Dxt 14.
2. П(Р v ОQ) 3 ПР V 00Q - Rl; 1.
3. 00Q = OQ - Rl; 4d*a 2.
4. П(Р V 0Q) 3 ПР V ос? — следствие 3.1 (Ь); 3, 2.
5. ПОQ 3 П(Р V ОQ) - Rl; В1.
6. ОС? 3 DOQ - Rl; С5.
7. OQ 3 □ (Р V 0Q) - г5; 6, 5.
8. ПР V ОС? 3 П(Р V ОQ) ~ г7; 4, 7.
9. П(Р V ОQ) = DP V ОС? — PC'; 4, 8.
Из 5 3, 1?рЖ5 4 и ‘ввх5^> согласно принципу двой¬
ственности (а) соответственно получаем:
'Odx4 5. 0(Р V OQ) = OP V OQ-
^56. 0(-P V DQ) = OP V DQ.
®Dx5 7. 0(P A OQ) = OP A OQ-
&Dx5 8. O(PAQQ) = OPADQ.

8. Семантические таблицы
175
Теорема 5. Всякую формулу, модальный ранг которой больше
единицы, в Dx5 (Ер5) можно свести к формуле, модальный ранг
которой равен L (доксастический и эпистемический аналога
теоремы редукции Вайсберга для 55, Вайсберг [1933]).
Доказательство проводится с использованием законов редукции
и поглощения аналогично доказательству соответствующей
теоремы для доксастически интерпретированной нормальной и
монотонной системы Dx 5 и эпистемически интерпретированной
такой же системы 55. о
8. 	Семантические таблицы
Для установления общезначимости формул относительно
класса фреймов исследуемых нами систем мы не сможем прямо
воспользоваться ни методом семантических таблиц Крипке ([1959],
[1963]), ни методом систем модельных множеств Хинтикки ([1962]).
Эти методы пригодны для нормальных и монотонных модальных
систем. Для ненормальных и немонотонных систем необходимо
модифицировать эти способы, приспособив их к анализу докса-
стических и эпистемических модальностей, исключающему
возникновение парадокса логического всеведения (см. Бежанишвили
[1986], [1987] и [1988]).
Сначала опишем правила построения семантических диаграмм
для рассматриваемых нами эпистемических систем, затем укажем
аналогичные формулировки для построения диаграмм остальных
систем.
Пусть Frm — множество всех меченых верхней черточкой
формул из Frm. Меченые формулы будем также называть выражениями.
А таблицей назовем некоторое подмножество множества Frm U Frm,
альтернативной системой таблиц — упорядоченное в виде дерева
множество таблиц, а диаграммой — множество альтернативных
систем таблиц. В каждой такой системе S одна таблица (а именно,
начало дерева) является главной или исходной. Остальные
таблицы S вспомогательны. Притом как главная, так и вспомогательные
таблицы из S могут быть альтернанативными напарницами таблиц,
принадлежащих другим альтернативным системам. Альтернативная

176
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
система S таблиц для каждой из исследуемых систем упорядочена
двухместным отношением К С S х S, которое соответствует
отношению R € Н х Н из надлежащего фрейма в том смысле, что
обладает всеми свойствами такого R (например, система таблиц S
для ЕрТ упорядочена рефлексивным отношением К С S х S, а для
Ер4 — рефлексивным и транзитивным отношением КС 5 х S).
При этом, элементам W С Н в «5 соответствуют те и только те
таблицы, в которых мечеными могут быть лишь полностью модализи-
рованные формулы, а элементам Н \ W — остальные таблицы из S.
При обычном подходе, когда построение диаграммы завершена
и, в случае удачи, по ней уже найдена опровергающая модель для
испытуемой формулы А, какая-нибудь таблица t для некоторой
подформулы С формулы А может не содержать ни С, ни ->С.
В подобных случаях, в найденной контрмодели опровергающая
оценка А не зависит от значения С в мире, соответствующем
таблице t. Точно так же обстоят дела и в наших построениях для тех
таблиц, которые соответствуют элементам WCH. Нов таблицах t,
соответствующих элементам Н \ W, отсутствие подобных С или -iС
приобретает другой смысл. В частности, оно может означать, что
для указания опровергающей оценки формулы А в такой модели
значение С не истинно, т. е. ложно или не определенно. Это
очень важная информация, которая (не только ради устранения
двусмысленности) должна быть отражена в строении t и как-
то сохранена для подформул вида С и ->С. Поэтому, с целью
фиксации такой информации, в t будут также включаться меченые
верхними черточками формулы, наличие которых сообщает нам
дополнительные сведения об отсутствии в t формул, стоящих под
черточками. Если же отсутствие С и ->С никак не будет отмечено
в t, то оно приобретает обычный смысл.
8.1. 	Правила таблиц для ЕрТ и Ер4
Для установления общезначимости формулы А мы будем
пытаться найти ее опровергающую модель. Если мы сможем показать,
что наша попытка не может завершится успешно, то нет такой
модели и А общезначима в классе надлежащих фреймов. Поэтому
построение диаграммы мы начнем включением ->А в главную
таблицу системы. Затем помещаем в таблицу другие формулы и по мере

8. Семантические таблицы
177
надобности открываем новые таблицы или вводим новые
альтернативные системы таблиц, продолжая построение согласно правилам:
NN; NN. Если в таблице t появляется формула вида ->~>А или
выражение -'-‘А, то в ту же таблицу t помещается
формула А, соответственно — выражение А.
ND; D. Если в таблице t появляется формула вида ->(А\/В) или
выражение А V В, то в ту же таблицу помещаются
формулы -<А и ->В, соответственно — выражения А и В.
D; ND. Если в таблице t из S появляется формула вида А V В
или выражение -'(А V В), то составляется новая
альтернативная система таблиц S' = (S\ {£}) U {£'}, где t'
целиком копирует t за исключением того, что в t
дополнительно помещается формула А, соответственно —
выражение -\А, а в t1 — формула В, соответственно —
выражение -<В. Каждую из таблиц t Е <5 и t' € S' будем
называть альтернативной напарницей (или просто
напарницей) другой. Кроме того, для всяких 8 и S[ из S,
если (s, «i) 6 Я или же («ь «) £ Я в S, то (s, «i) Е Я,
соответственно, («ь а) Е Я в S'.
КЕрт- (а) Если в таблице t появляется формула вида ПА,
тогда в каждую таблицу t', такую, что (t, V) Е Я,
помещается А.
(Ь) Если в таблице t появляется формула вида ПА, то
в ту же таблицу помещается формула А.
КдР4. (а) Если в таблице t появляется формула вида ПА,
тогда в каждую таблицу ?, такую, что (t, t') € Я,
помещается формула вида ПЛ.
(Ь) Если в таблице t появляется формула вида ПА, то
в ту же таблицу помещается формула А.
NK. Если в таблице t появляется формула вида ->СМ, то
составляется новая таблица t', такая, что (t, t') € Я и в нее
помещается выражение А. ? называется
вспомогательной таблицей для t.
К\ NK. Если в таблице t появляется выражение вида ПА или
-ОЛ, то в ту же таблицу t помещается формула -О.А,
соответственно — ->-0.4.

178
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
На порядок применения этих правил не налагаются никакие
ограничения.
Заметим также, что мы не формулируем правила для знака
конъюнкции, поскольку, согласно теореме 4, его можно
элиминировать из любой формулы. Цепь таблиц определяется точно так,
как в if-диаграмме.
Будем говорить, что таблица тривиально замкнута, если она
содержит некоторую формулу В вместе с ->В или вместе с В.
Понятия замкнутой таблицы, имплицитно замкнутой таблицы и
замкнутой альтернативной системы таблиц определяются аналогично
соответствующим понятиям if-диаграммы.
ВрТ-(Вр4-)диаграммой для А будем называть множество всех
альтернативных систем таблиц с главной таблицей, содержащей
исходную формулу ->А. ЕрТ-(Ер4-)диаграмма для А замкнута,
если замкнуты все ее альтернативные системы таблиц.
Очевидно, что в таблицах, принадлежащих альтернативным
системам ЕрТ-диаграммы, правило КВ||Т обеспечивает эффект,
создаваемый рефлексивностью отношения %. Нетрудно видеть
также, что в таблицах Ер4-диаграммы правило К#Р4 гарантирует
эффект рефлексивности и транзитивности отношения %.
Мы всегда будем стремиться завершить построение диаграммы.
Поэтому будем предполагать выполненным соглашение о
недопустимости повторения результата, сформулированное для правил
таблиц if-диаграммы.
Стадией таблицы, как раньше, будем называть применение
некоторого правила к выражению, содержащемуся в ней. Каждой
стадии соответствует множество тех выражений, которые
находятся в таблице после данного применения того или иного правила
таблиц. Стадии как прежде будем отождествлять с
соответствующими им множествами выражений. В случае надобности, стадии
будем также нумеровать. На исходной стадии главной таблицы
в нее включаем отрицание испытуемой формулы. А на исходной
стадии вспомогательной таблицы V таблицы t ЕрТ-диаграммы,
согласно правилу NK в <' включаем С, если t содержит формулу
-'□С, а согласно правилу К ерт в t помещаем В\,... ,Вь, если t
содержит QBi,..., ПВ* (к ^ 0). В случае Ер4-диаграммы, на
исходной стадии вспомогательной таблицы t' таблицы t в f согласно

8. Семантические таблицы
179
правилу NK опять включаем С, если t содержит формулу -GC,
а согласно правилу Кер* в V помещаем если t
содержит QBb ..., IHJ3* (к > 0). Если же к таблице t Е 5 на п-й
стадии применяется одно из правил D или ND, то включение
соответствующих формул как в t Е 5, так и в £' Е 5', порожденной
данным применением одного из этих правил, как раньше, будем
считать п-й стадией таблицы Е 5'.
Непосредственными потомками выражения А будем называть
выражения или пары выражений, которые включаются в данную
или вновь открытую таблицу в результате однократного
применения одного из правил таблиц к А. А потомками А назовем потомки
всех непосредственных потомков А. Очевидно, что потомки
некоторых выражений могут оказаться в разных таблицах, возможно
принадлежащих различным альтернативным системам. Очевидно
также, что потомок потомка А является потомком А.
Пример 3. Построим сперва ЕрТ-диаграмму для следующей формулы
(-\ОР V □(?) V □□QP. Она изображена слева на этой странице. Для
краткости обозначим ее через А.
Пусть
я = {(<,«). (*, *.), («1, <i), (tu h), (t2,t2), (t2, t3), (t3, t3), (tj, t4). (t4, t4)},
a
Я' = {(t\ t'), (t\ t\), (t\X), (t\,t'2), (t'2> t'2), (t\ f3), (t'2> t!3), ({„{,)}.
Далее,
t = {-iA, -!(-.□ P V DQ), “■□□□P, -1-.ПР, -OQ, DP, P};
U={P,Q}-
t2 = {Р,ШР, -.COP};
*3 = {D P, ->□/»};
U = {p}.
t' = t\
t\ ={OP,Q,P};
t2 = {DP, ПОР, P, -ОПР};
t3 = {DP.QP}.

180
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
Как видим, к формуле ->А применяется правило ND, согласно
которому в t помещаются —!(—>□ V PCHQ) и -•□□□Р. К предыдущей формуле
опять применяется правило ND ив t включаются формулы -i-d Р и -CQ.
К первой из них применяется уже правило NN и в нее помещается QP,
а к □ Р применяется правило Керт (Ь), согласно которому в t
помещается Р. Теперь к формуле -^DQ той же таблицы применяется правило
NK, согласно которому открывается вспомогательная таблица t\ и в нее
помещается Q, а согласно правилу Керт (а) включается Р. Правило NK
вновь применяется к формуле -пСЮПР таблицы t и открывается
новая вспомогательная таблица t2, в которую помещается ШОР, а в силу
правила Керт (а) в нее же включается Р. К ПОР уже применяется К
и в t2 вставляется -itUQP. К последней формуле применяется правило
NK, открывается вспомогательная таблица £3, такая, что (^2? ^з) € 11, и в £3
помещается □ Р, а согласно К — -GP. Наконец, к последней формуле
опять применяется правило NK, открывается вспомогательная таблица U,
такая, что (£3,£4) £ ft, и в £4 согласно правилу NK вставляется формула
Р, к которой не применимо ни одно правило таблиц ЕрТ -диаграммы.
Поэтому ЕрТ-диаграмма для формулы А не замыкается.
В Ер4-диаграмме для той же формулы А (представленной справа
ЕрТ-диаграммы) таблица t' будет точно такой, как таблица t
ЕрТ-диаграммы, однако, учитывая особенности правила КЕхл (a), t\ и t\
дополнительно будут содержать □ Р (что обеспечивает эффект транзитивности ft')
а согласно правилу КЕХ4 (Ъ), в те же таблицы включается Р (что
обеспечивает эффект рефлексивности). Таблица t\ содержит формулы □ Р и □ Р.
Поэтому она тривиально замкнута. Следовательно, замкнута и Ер4
-диаграмма.

8. Семантические таблицы
181
Кроме того, например, формулы V Q) и -i;7 !Г:Р таблицы
t ЕрТ-диаграммы яшшются непосредственными потомками ->А из t.
Непосредственными потомками формулы □ Р из t являются Р из t и Р
из t2, а С из <4 потомок -■□□□Р из t. Точно также □ Р из t\ и DP
из t.'i непосредственные потомки Р из t' Ер4-диаграммы, а Г IР потомок
-ОЮР из t'. >
8.2. 	Правила таблиц для DxT и Dx4
Сформулируем теперь правила для модальных операторов веры
(мнения) BDxT и В0г4 для систем DxT и £>ж4 (формулировка
правил В и N В совпадает с формулировкой правил К и NK,
а формулировка правила NB с формулировкой NK. Остальные
правила являются общими для всех систем, кроме Dx5 и Ер5).
BdxT-
Bdx4.
(a) Если t главная таблица, то составляется новая таблица
t', такая, что (t, t') G 1Z. t’ называется вспомогательной
таблицей таблицы t.
(b) Если в таблице t появляется формула вида □ А, тогда
в каждую таблицу V, такую, что (t, t') 6 71, помещается
формула А.
(a) Если t главная таблица, то составляется новая таблица
V, такая, что (t, t') £ Л. t' называется вспомогательной
таблицей таблицы t.
(b) Если в таблице t появляется формула вида ПА, тогда
в каждую таблицу t', такую, что (t, t') G И, помещается
формула DA.
(c) Если во вспомогательной таблице t появляется формула
вида ОД, то в ту же таблицу помещается формула А.
При этом правила Вогт>(а) и (Ь) обеспечивают эффект сери-
альности и слабой рефлексивности, а правила ВоХ4(а), (с) и (Ь)
эффект сериальное™, слабой рефлексивное™ и транзитивности.
8.3. 	Характеристические и ассоциированные формулы
Начиная с исходной, каждой стадии всякой замкнутой
таблицы t ЕрТ-(Ер4^диаграммы, следующим образом сопоставим
ее характеристическую формулу x(t) (номер стадии при
необходимое™ будем указывать в качестве нижнего индекса х)- Прежде

182
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
всего, каждую формулу с верхней черточкой, если она принадлежит
множеству выражений соответствующей стадии, заменим
отрицанием формулы, стоящей под черточкой. Затем каждой формуле,
оказавшейся в множестве соответствующей стадии после такого
преобразования, слева припишем знак отрицания и %(f)
определим как конечную дизъюнкцию полученных указанным образом
формул. В дальнейшем, от группировки скобок, как и от порядка
дизъюнктивных членов x(t) мы, как правило, будем отвлекаться,
не оговаривая это в каждом конкретном случае. Будем также
говорить, что формуле В из t в x(t) соответствует дизъюнктивный член
вида -ii?, а выражениям В и -иВ из t в x(t) соответствует
дизъюнктивный член вида -i-гВ. На исходной стадии главной таблицы t
для формулы А в t включается ^А. Поэтому характеристическая
формула исходной стадии t будет иметь вид -\-\А.
Характеристические формулы других стадий главной таблицы, также как
характеристические формулы произвольных стадий остальных
таблиц, в силу только что принятого соглашения, будем представлять
в виде -iBV-iCVН, соответственно V-uB2 У-^СУН, где
формула В, соответственно формулы В\ и JE?2, включаются в t в результате
применения надлежащего правила к С, а Н — пустое выражение,
если t не содержит других формул, или является дизъюнкцией,
члены которого соответствуют остальным формулам, входящим в t.
Если таблица t является вспомогательной для t\, т. е. (t\ ,t) G ft,
то характеристическая формула x(t) каждой стадии
вспомогательной таблицы t ЕрТ-диаграммы будет иметь вид
F У ->J3i V ... V “iJBfc V ~*~^С УН (к ^ 0), (1)
где F — дизъюнкция тех членов x(t) > которые соответствуют в t
потомкам а Н дизъюнкция тех членов которые
соответствуют в t потомкам С. F и Н могут быть пустыми
выражениями; они таковы, например, в %(£) на исходной стадии
построения вспомогательной таблицы t. Используя сокращения, будем
записывать x{t) также в виде
(G Л 1?! Л ... Л Bjc) D (-т-1СУН), (2)
где G — конъюнкция потомков В\,..., , а Н — та же дизъюнк¬
ция членов х(£), соответствующих потомкам С в t (G и Н могут
быть пустыми выражениями).

9. Семантическая полнота
183
Обозначим через x(f)D (с индексом, указывающим номер
соответствующей стадии t, или без него) формулу вида
(G Л В\ Л ... Л -Bfc) —)■ ( 1 'С* V Я).
При к — 0, x(i)a есть □(—•—«С V Я).
Характеристическая формула каждой стадии таблицы t Ер4-
диаграммы будет иметь вид F V -OBi V ... V -нСИЯ* V -i-iC V Я,
(fc ^ 0), соответственно, (G Л QBi Л ... Л QB*) Э (-•-'С' V Я), где
F, Я и G обозначают то же самое, что в (1) и (2).
Для таблиц Яр4-диаграммы х{^Р будет иметь вид
(G Л ОВ\ Л ... Л □ Вк) -> (-I-.C V Я).
Формулы вида x(i)D и будем называть ассоциирован¬
ными с характеристической формулой %(£).
9. 	Семантическая полнота
9.1. 	Семантическая полнота систем ЕрТ и Ер4
Мы сначала установим семантическую полноту эпистемиче-
ских систем ЕрТ и Ер4. Доказательство полноты доксастических
систем DxT и Dx4 предоставим читателю. А затем, используя
теорему 5 о редукции модальностей в Dx5 и Ер5, установим
полноту Dx5 и Ер5. Но предварительно убедимся в справедливости
следующих лемм.
Лемма 12. Пусть таблица f из S' является альтернативной
напарницей таблицы t из S, порожденной на (п + \ )-й стадии
построения таблицы t Е S; Хп+i(£) и Xn+i(tf) —
характеристические формулы (п+ \)-й стадий построения таблиц t Е S
и V Е S', a Xn(t) — характеристическая формула п-й стадии
построения таблицы t Е S.
(a) Если t — тривиально замкнутая главная таблица и в ЕрТ (Ер4)
доказуемы Xn+\(t) и Хп+i(£')> то в ЕрТ (Ер4) доказуема также
Xn(t).
(b) Если tut' — тривиально замкнутые вспомогательные таблицы
и в ЕрТ (Ер4) доказуемы Xn+i(t)U и Xn+i(t')U, то в ЕрТ
(Ер4) доказуема также Xn(t)D-

184
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
(c) Если tut'— имплицитно замкнутые вспомогательные таблицы
и в ЕрТ (Ер4) доказуемы □;£»»+1(0 и □хп+1(£'), то в ЕрТ
(Ер4) доказуема также
(d) Если t — тривиально, at' — имплицитно замкнутые
вспомогательные таблицы и в ЕрТ (Ер4) доказуемы ^п+1(^)п и
□Xn+i(^)> т0 в ЕрТ (Ер4) доказуема также х„(£)п.
Доказательство, (а) Предположим, что t — тривиально замкнутая
главная таблица и в результате применения правила D на (п+ 1)-й
стадии порождается ее альтернативная напарница t' (правило ND
не применимо к главной таблице, так как последняя не содержит
формул с верхней черточкой). Кроме того, Xn+\(t) и Xn+i(tr)
доказуемы в ЕрТ {Ер4). При этом xn+i(0 имеет вид ->АУ~*(АУВ)УН,
a ^n-)-i(f) — вид -1В V -1(4 V В) У Н. С помощью сокращений
мы соответственно представим их в форме А А (А V В) Э П
и В А (А V В) D Н. Согласно PC мы легко сможем сначала вывести
формулы [(i4A(i4VB))V(BA(i4vB))J Э Я и l(.AVB)A(.AVB)] Э Я,
а затем установить, что в ЕрТ (Ер4) доказуема также формула
Хп(0> имеющая вид (АУ В) D Я. т. е. ->{А V Я) V Я.
(Ь) Теперь предположим, что альтернативные напарницы t
и if являются тривиально замкнутыми вспомогательными
таблицами и t' порождается на n + 1 -й стадии таблицы t в результате
применения правила D. По условию леммы, в ЕрТ (Ер4)
доказуемы Xn+i(On и Xn+i(t')a. Возможны два случая. Xn + \(tf]
и соответственно имеют вид А А (А У В) Л G -У Я
и BA(iV В) A G -У Н или же — G -у -<А У -'{А У В) У И
и G -У ~>В У ->(А У В) У Я. Рассмотрим каждый из этих случаев.
В первом из них, используя правило вывода R3, мы сперва докажем
(AA(AyB)AG)y(BA(AyB)AG) -У Я (выполнение
ограничительного условия R3 легко можно обеспечить надлежащими
подстановками в Xn+i(£)D и Хп-м(^)С>так как tu.? тривиально замкнуты и
замыкание в них происходит только лишь в силу пропозиционального
строения входящих в t и V формул). Затем с помощью инстанса
следствия $44 установим А У В -У (4 V В) А (А V J3). А из последней
формулы согласно инстансов i?18 и $24 с помощью R5 выводим
[(j4VB)A(4VB)aG] -у Я, откуда согласно инстансу следствия $44
заключаем, что в ЕрТ (Ер4) доказуема также х„(£)п, имеющая вид

9. Семантическая полнота
185
(.4 V В) A G -> ОН. Во втором случае, с помощью R6 из Xn+i(0C
и Xn+i^')0 выводим G —► (~>AVB)VН)A(~iB\/->(А\/В)УН),
откуда согласно инстансу #31 получаем G -> ((-и4 V -i(.A V В)) А
{-iBy->{A\JВ)))УН и наконец последовательно используя инстанс
031: (->.4 V -'(.4 V В)) A (-иВ V ~i(4. V В)) —> {->А А -|-В) V -i(.4 V В),
инстанс следствия аксиомы В7, ВЗ, R3, а затем В2 и R5, докажем
в ЕрТ {ЕрА) формулу Xn(t)a, которая имеет вид G -)■ ->{АУ В)V#.
Аналогично рассматривается случай, когда на п + 1 -й стадии
таблицы t применяется правило ND.
(c) Этот случай легко доказывается с помощью инстанса В-
следствия 073:
□(А Э С) D (П(В DC) D П((А V В) Э С)).
А дальше рассуждаем как в случае (а).
(d) Пусть таблицы напарницы t и V вспомогательны, t
замкнута тривиально, a if — имплицитно и в ЕрТ {ЕрА) доказуемы
формулы x„+i(i)D и □Xn+i(^)- Возможны два случая %п+|(<)п
и Пхп+К^) соответственно имеют вид П(А A (А V В) A G) D ОН
и □((BA(AVjB)AC?) Э Н) или же вид — □(? D □(->АУ->{А\/В)УН)
и □((■? Э (->BV ->{AV B)V Н)). По условию леммы □хп-и(^)
доказуема в ЕрТ {ЕрА), но тогда в первом случае из нее согласно инстансу
0дгТ4: □((Ba(AvB)AG) D Н) D (П(ВА(А\/В)AG) D ОН) и
правилу вывода R2 в ЕрТ {ЕрА) доказуема 0{В А {АУ В) A G) D ОН.
Дальше рассуждаем точно так, как в первом случае доказательства
утверждения (Ъ). Второй случай рассматривается аналогично. >
Леммы 13-16 как прежде мы докажем предполагая
выполненным следующее
Вспомогательное предположение. Пусть на т-й стадии
таблицы t € S применяется одно из правил D или ND, в результате
чего возникает новая альтернативная система таблиц S\ с
альтернативной напарницей t\ 6 S\ таблицы t £ S. Пусть, далее,
Xrn(t) и Xm(i\) — характеристические формулы,
соответствующие т-й стадиям в построены как t, так и t\. Тогда
(а) 	если t — тривиально замкнутая главная таблица и Xm{t)
доказуема в ЕрТ (ЕрА), то предполагается, что в ЕрТ {ЕрА)
доказуема также Хт(Т)

186
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
(b) если t и t\ — тривиально замкнутые вспомогательные таблицы
и Xm(t)D доказуема в ЕрТ (Ер4), то предполагается, что
в ЕрТ (Ер4) доказуема также Xm(ti)D;
(c) если t и t\ — имплицитно замкнутые вспомогательные таблицы
и Пхт(0 доказуема в ЕрТ (Ер4), то предполагается, что
в ЕрТ (Ер4) доказуема также □ Xm{t\)\
(d) если t — тривиально, a t\ имплицитно замкнутые вспомогатель¬
ные таблицы и Xm{t)U доказуема в ЕрТ (Ер4), то
предполагается, что в ЕрТ (Ер4) доказуема также Xm(t\ )п. о
Лемма 13. Пусть Xn(t) и Хп-\~i(0 — характеристические
формулы п-й и (п+ \)-й стадий таблицы t Е S; допустим также,
что выполняется наше вспомогательное предположение. В таком
случае
(a) если t — тривиально замкнутая главная таблица и в ЕрТ (Ер4)
доказуема Хп+1(0> то в ЕрТ (Ер4) доказуема также Хп{^)\
(b) если t — тривиально замкнутая вспомогательная таблица и в
ЕрТ (Ер4) доказуема xn+i(£)n, то в ЕрТ (Ер4) доказуема
также Xn(t)D;
(c) если t — имплицитно замкнутая вспомогательная таблица и в
ЕрТ (Ер4) доказуема ПХв+1(0> то в ^рТ (Ер4) доказуема
также □;£„(£).
Доказательство. На (п + 1)-й стадии к выражениям таблицы t,
принадлежащим n-й стадии t, могут применяться все правила,
кроме NK (поскольку только оно не предписывает поместить в t
какую-нибудь формулу). А если наша таблица — главная, к ее
формулам могут применяться только правила NN, ND, D и КЕхТ
(КВг4) (так как главная таблица не содержит выражений с верхними
черточками).
(а) 	Пусть t — тривиально замкнутая главная таблица и пусть
на (п + 1)-й стадии применяется правило NN к формуле
принадлежащей n-й стадии. Тогда \п+1(0 будет иметь вид F V
->А V А, а Хм(0 — вйД F V -1-1-1 А, где F — дизъюнкция
отрицаний формул или пустое выражение. Но в таком случае,
ввиду того, что по условию леммы Xn+\(t) доказуема в ЕрТ (Ер4),

9. Семантическая полнота
187
мы легко сможем получить Xn(t) с помощью формулы
(F V V ^А) D (F V -i-i-ui),
которую можно вывести с помощью PC.
Предположим теперь, что на (п + 1)-й стадии применяется
правило ND к формуле -"(.А V В), принадлежащей п-й стадии t.
Тогда справедливость нашего утверждения, мы устанавливаем с
помощью формулы
(F V -i-i(4 V В) V -п-IА V -1-.J3) Э (F V i-i(j4 V В)),
которая легко выводится с помощью PC.
Пусть, далее, на (п+ 1)-й стадии применяется правило D,
согласно которому порождается новая альтернативная система с
напарницей V таблицы t. (f) доказуема в ЕрТ (Ер4) по
условию леммы, а Хп\\(Р) — в силу пункта (а) вспомогательного
предположения, но тогда Хп(0 доказуема в ЕрТ (Ер4) согласно
лемме 12 (а). Наконец, пусть на (п + 1)-й стадии применяется
правило КЕрт (Кд^) к формуле ПА, которая принадлежит п-й
стадии t. Xn(t) имеет вид FV-O.A, a Xn+i(t) — вид FV-iD-AV-u4.
Но тогда утверждение (а) получается с помощью PC и контрапо-
зиции СЗ.
(Ь) 	По условию леммы, t — тривиально замкнутая
вспомогательная таблица и в ЕрТ (Ер4) доказуема Xn+i(0D- На (п + 1)-й
стадии t к выражениям, принадлежащим п-й стадии, могут
применяться правила NN, NN, ND, D, D, ND, К, NK и КЯрГ (b) (Kgp4
(Ь)) (т. е. все кроме КЕрТ (а), КЕр4 (а) и NK, поскольку они
предписывают включить формулы в новую вспомогательную таблицу).
Пусть на n-й стадии используется правило NN. В зависимости
от того, наследницей каких формул G или Н является ~'~'А, Xn(t)‘
будет иметь вид (G Л —>^4) -4 Н или G —> (-i-r-iA V Я); при этом
G — конъюнкция формул, а Н — дизъюнкция отрицаний формул
(G и Н могут быть и пустыми выражениями). A Xn^\(t) ] будет
иметь вид (G Л ->~>А Л А) —> Н или же G —4 (-i-i-iA V -1А V Я).
В первом случае, мы сможем вывести Хп(0П из Xn+i(0D с
помощью формулы
«С? Л -11А Л А) -> Я) э ((G A -mi) -> Я),

188
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
которая получается из инстанса формулы Р Э Р заменой
вхождения -1-1.4 Л 4 ее равнозначной формулой -i-i4 согласно
следствию 3.1 (с) теоремы 3 и соответствующих инстансов т?46 и #44.
Во втором случае нам надо воспользоваться формулой
(G -> (-.-.-.4 V -'А V Я)) Э (G -+ (-.-.-.А V Я)),
которая выводится точно так же как предыдущая формула,
только вместо инстанса #44 следует воспользоваться инстансом #45.
Случаи использования правил ND, D, К и NK трактуются
аналогично с помощью следующих В-следствий:
((G А -.(4 У В) А -'А А ~>В) -> Я) Э ((6? А -.(4 V В)) -> Я),
(6? —>• (-1-1(4 V В) V -1-14 V -1-1Я V Я)) D (G —> (~*—'(4 V В) V Я)),
((<? А -.04 А -04) -> Я) 3 ((G А -04) -> Я),
(<? -> (-.-04 V -.-04 V Я)) Э (G -> (-1-04 V Я)),
получаемых из надлежащего инстанса Р D Р заменой
равнозначных формул согласно следствию 3.1 теоремы 3 и соответствующих
инстансов В-следствий #48, #60, а также согласно инстансам
теорем PC.
Рассмотрим случаи применения правил КЕрт (Ь) н КЕр4 (Ь).
Xn+i(£)n имеет вид G А -04 А 4 ->• Я или G —>• -04 V -.4,
а Хп(^)П — ВВД G A -04 или G -4 -04.
Сперва установим доказуемость формулы
(G А -04 А 4 -> Я) D (G А -04 -> Я).
Для этого воспользуемся инстансом аксиомы В2:
((Я V -04) -4 Я) D (Я V -.04 V ->4),
где Я — дизъюнкция формул, которые соответствуют остальным
формулам (п + 1)-й стадии, входящим в t или пустое выражение,
если (n + 1 )-я стадия не содержит таких формул. Из последней
формулы с помощью контрапозиции получим -0(jFV-04v-i4) 3
-О (Я V-04), откуда согласно теореме 4 главы II, заменив знак V
на А, сможем вывести формулу (1):
-0(6? А -04 А 4) D -0(6? А -04),

9. Семантическая полнота
189
где G — конъюнкция остальных формул, входящих в таблицу t
на (п + 1)-й стадии или пустое выражение. С другой стороны,
согласно инстансу теоремы PC выводима формула (2):
-D(G Л чПА) Э -0(G Л А) V ОН.
Из формул (1) и (2) в силу производного правила г5 следует
формула (3):
-o(g л -ал a a) d (G л ->ал) v пн.
Кроме того, согласно инстансу теоремы PC в ЕрТ (Ер4) доказуема
формула (4):
ОН Э -'□(G Л ->ОА) V ОН.
Из (3) и (4) следует
-0(G Л -*ПА А А) V ОН Э -a(G А ЧОА) V он,
откуда, используя сокращения D1 и D6, сразу получаем
(G А А А А -»• Н) D (G А А Я).
Антецедент этой импликации совпадает с ^n+i(t)D и он по
условию леммы доказуем, но тогда доказуем и ее консеквент Хп (0а •
Теперь установим доказуемость формулы
(G ->• А^А) D (G ->
Из инстанса i?dzt4 в силу инстанса дохтО и R2 следует
□(-'□А V чА) э ПчПА, откуда в силу аксиомы А1 выводим DG D
(□(чПА V ->А) Э ПчПА), а из нее с помощью аксиомы А2, PC,
D1 и D6 получаем
(G чПА V чA) D (G ->■ чПЛ).
Антецедент последней импликации совпадает с Xn+i(0D и он по
условию леммы доказуем, но тогда доказуем и ее консеквент Xn(t)^ ■
Наконец, пусть на n-й стадии применяется одно из правил
D или ND, в результате чего порождается новая альтернативная
система с напарницей V таблицы t. Как t, так и t! являются
вспомогательными таблицами и V может оказаться замкнутой
тривиально или имплицитно. Кроме того, по условию леммы, в ЕрТ

190
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
(Ер4) доказуема Xn+i(t)a, а согласно пунктам (Ь) или (d)
вспомогательного предположения, в ЕрТ (Ер4) доказуема ^n+iили
□Хп-нЮ* Но тогда, согласно лемме 12 (Ь), соответственно — (d),
Xn(0D тоже будет доказуемой в ЕрТ (Ер4).
(с) 	Согласно условию леммы, t — имплицитно замкнутая
вспомогательная таблица и в ЕрТ (Ер4) доказуема D^n+i (0-
Убедимся, что в ЕрТ (Ер4) доказуема также □^„(<). На (п + 1)-й
стадии к выражениям, принадлежащим n-й стадии, могут
применяться все правила за исключением NK.
Случаи, когда используются правила NN, ND, D, К и NK,
рассматриваются с помощью следующих В-следствий:
□(-ij4 V V Я) Э □(-.-.lii V Я),
□(—1—1(^4 V Я) V —•—1^4. V V Я) D □(—1—>(j4 V В) V Я),
□(-.□4 V -ал V Я) D □(-пПА V Я).
Первую из них можно вывести с помощью PC из #59, В2 и ВЗ,
применяя сначала правило вывода R3, условие которого
соблюдается, а затем правило подстановки. Вторая получается
аналогично, только вместо #59 следует использовать инстанс следствия
#60 (в случаях, когда Я — пустое выражение, следует прямо
применить инстанс следствия #60. А третья выводится
подобным же образом из инстанса В-следствия П(Р V Р) D QP,
справедливость которого легко устанавливается с помощью критерия
Роуза.
В случаях применения правила Керт (К^), мы воспользуемся
теоремой DxT:
□(-.□А V Я) э □(-.□А V -1АУ Я),
получаемой согласно PC из дохт 13 и #70 (а если Я — пустое
выражение, то применяем #о*т4 и #огт 13).
Наконец, пусть на n-й стадии применяется одно из правил
D или ND, согласно которому порождается новая альтернативная
система с напарницей t' таблицы t. □^n+i(^) доказуема в ЕрТ
(Ер4) по условию леммы, a □xn+](i') — согласно пункту (с)
вспомогательного предположения, но, в таком случае, □;£„($) доказуема
в ЕрТ (Ер4) согласно лемме 12 (с). !>

9. Семантическая полнота
191
Лемма 14.
(a) Если главная таблица t тривиально замкнута и выполняется
пункт (а) вспомогательного предположения, то в ЕрТ (Ер4)
доказуема Xi(£).
(b) Если вспомогательная таблица t тривиально замкнута и
выполняются пункты (Ь) и id) вспомогательного предположения, то
в ЕрТ (Ер4) доказуема Xi(On-
Доказательство. Достаточно ограничится рассмотрением случая,
когда x(t) является характеристической формулой последней
стадии таблицы t, a x(f)n — ассоциированной с ней формулой, так
как справедливость утверждений (а) и (Ъ) нашей леммы для
характеристических и ассоциированных с ними формул более ранних
стадий в построении таблицы t, включая первую, прямо следует
из леммы 13 (а), (Ь) и пунктов (а), (Ь), (с) и (d) вспомогательного
предположения.
(a) Итак, пусть x(t) — характеристическая формула последней
стадии таблицы t.
На завершающей стадии тривиально замкнутая главная
таблица t содержит некоторую формулу Е вместе с ее отрицанием ->Е.
Поэтому x(t) будет иметь вид ->Е V -\-\Е V Н. Но тогда мы легко
выведем x(t) в ЕрТ (Ер4) с помощью PC.
(b) По условию леммы, t — тривиально замкнутая
вспомогательная таблица. Поэтому построение t завершится как только в t
появится некоторая формула Е вместе с ее отрицанием -*Е или
вместе с выражением Е.
Пусть (t',t) 6 Я. На исходной стадии таблицы t,
принадлежащей ЕрТ -диаграмме, согласно правилу NK в t включаются С
и By,..., Bk, в случае, когда t' содержит -ОС и QBi,..., ОВ*
(а если t принадлежит Ер4-диаграмме, тогда в t включаются С
и ПВи... ,ПВк). _
Оба выражения Е и ->Е, соответственно Е и Е, могут быть
либо (1) потомками С, либо (2) потомками By,... (а если t
принадлежит Ер4-диаграмме, тогда — потомками QBb...,QB*)
или же (3) одно из них есть потомок С, а другое — потомок
By,... ,Вк (в Ер4-диаграммах, — потомок QBi,..., □ В*).

192
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
В случае (2), доказуемость x(t)n в ЕрТ (Ер4) следует из ин-
станса теоремы (G А Е А ->Е) -» (—>—>С V Н), которая получается
с помощью R5 из соответствующих инстансов $12, iJdxt% и В2.
В случае (3) также легко устанавливаем доказуемость х(1)П
в ЕрТ (Ер4), используя инстансы теорем (G А Е) —У {->-^Е У Н)
или (G А ~'Е) —> (-1Е У Н). Первая из них просто выводится
с помощью R5 из 012, В5 и В2, а вторая — из $12, и В2.
Подробнее рассмотрим случай (1). Все потомки С будут
мечены верхней черточкой, поэтому формула Е без верхней черточки
может появиться в t только в результате применения правил К
или NK к выражению С или к одному из его меченых потомков.
Поэтому t будет содержать выражение вида OD или вида -GD,
а Е будет его потомком.
Если t содержит DD, к нему применимо правило К, согласно
которому в t помещается формула -GD. Е может совпадать с ней,
но не может быть ее потомком, так как к -iQD применимо только
правило NK, которое предписывает открыть новую таблицу. Но это
невозможно, поскольку t замкнута тривиально.
Если t содержит выражение -OD, к нему применимо правило
NK, согласно которому в t включается формула -i-iQD. Е может
совпадать с ней или быть ее потомком.
Покажем теперь, что в ЕрТ доказуема х(£)п, имеющая вид
(GAB\A.. .Л-В*) -»(-i-iCV-iEVН), а в Ер4 соответственно
доказуемой будет (G А □ В\ А... Л Ш-В*) -»■ (—<—'С V ~<Е V -n Е УН).
Заметим, что когда к — 0, t не содержит ни В[,..., Вк, ни G
(а в случае Ер4 — ни ПВ,,..., □ В*, ни G), поэтому (как для ЕрТ,
так и для Ер4) x(0D будет иметь вид D(-nC V ~>Е V ->-*Е V Н),
причем Н в качестве дизъюнкта содержит -лСЮ или —«—»—«□£>.
Предположим сначала, что к = 0. Как было показано, нам
надо рассмотреть всего три подслучая Е имеет вид -<OD или вид
-i-iQD или является потомком формулы ->->OD.
В первых двух подслучаях x(t)a > имеет вид D(-nC V -лСШ V
-ч-лПВ V Н), соответственно □(-лС V -v-i-iDZ) V -л-лСШ у Н),
и легко выводится в ЕрТ (Ер4). Для этого сперва надо применить
правило вывода R4 к полностью модализированным инстансам PC
-лПГ) V -л-iQD или -л-iDjD V -i-i-i-iDB (в силу чего условие R4
будет соблюдаться), а затем использовать В2 и ВЗ.

9. Семантическая полнота
193
Остается рассмотреть подслучай, когда Е есть потомок
формулы -i-iQD, непосредственным предком которой является
выражение -iQD. Поскольку С — общий предок Е и Е, то среди предков
Е будет формула J, такая, что либо С имеет вид -iQD У J, либо
С является предком -GO V J.
Сначала предположим, что С имеет вид -GOV J, при этом
Е является потомком -GO, а Е — потомком «7. В таком случае,
формула ^i(0D> ассоциированная с характеристической формулой
первой стадии t, будет иметь вид ШЬ-чС, так как на первой стадии
в t помещается выражение С.
Пусть D — потомок выражения -iQD (порожденный из него
согласно правилам NK, NN и Керт или К^), G' —
конъюнкция всех таких потомков D, которые являются предками Е,
а Н — дизъюнкция всех таких формул, которые соответствуют в t
всем предкам Е, являющимся потомками <7. Тогда, используя R8,
следствие аксиомы В5: \ЗЕ Э ШН-гЕ и PC, мы легко установим
доказуемость в ЕрТ(Ер4) формулы O(DaG'AE) D □—«—>Е, откуда
в силу В2 получим формулу 0(0 A G' А Е) Э □(—>—УНУ -v-ij).
Затем с помощью методов, использованных при доказательстве
лемм 13 (Ь), 12 (Ь) и пунктов вспомогательного предположения
(b), (с), (d), мы сможем установить доказуемость ПО о О-гчД.
К последней полностью модализированной формуле применимо
правило вывода R4, с помощью которого из нее мы выводим
□(□U Э 0-1-1J). А из последней формулы и инстанса
аксиомы С2: □(□-l-ij D -i->7) с помощью В-следствия i?72 получим
□(□£> D -1-1J), откуда согласно следствию 3.1 теоремы 3 и В5
выводим формулу 0(-i-iOD D -1-1J). Затем из нее в силу определения
D1 сперва получаем □(-г-НПО V -i->J) и, наконец, используя В7,
В6 и следствие 3.1 теоремы 3, устанавливаем, что в ЕрТ(Ер4)
доказуема формула 0-i-i(-iOО V J), т. е. Xi(0D> имеющая вид O-i-iC.
Если -лПО V J является потомком С, то доказуемость П-пС,
т е. Xi(0D в ЕрТ(Ер4) следует из лемм 13 (с), 12 (с), а также
пунктов (с), (d) вспомогательного предположения.
Допустим теперь, что к > 0. Как в предыдущем случае
сперва докажем Cb-iC, а затем согласно PC выведем из нее
□(Bi А ... А Вк) D O-i-iC, в случае ЕрТ и 0(02?i А ... А □ В*) Э
O-i-iC, в случае Ер4. О

194
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
Лемма 15. Если вспомогательная таблица t имплицитно
замкнута,, и выполняются пункты (b), (с) и (d) вспомогательного
предположения, то в ЕрТ доказуема 'TiXi(t)-
Доказательство индукцией по длине цепи замкнутых таблиц.
Согласно условию леммы, t имплицитно замкнута. Поэтому
существует цепь замкнутых таблиц, содержащая по крайней мере
одну таблицу Ь\, такую, что (t, ti) € И, причем t\ не может
совпадать с t, поскольку, если t\ последняя таблица цепи замкнутых
таблиц, то она должна быть тривиально, а не имплицитно замкнутой.
Предположим сначала, что t\ тривиально замкнута и
характеристическая формула ее исходной стадии имеет вид (В\ Л...ЛВк D
—1“1 С) , к ^ 0. В таком случае, характеристическая формула
последней стадии таблицы t будет иметь вид F V ЧПВ] V ... V -СВ* V
-'-'□С V Н, где к ^ 0, a F и Н могут быть пустыми
выражениями. Согласно лемме 14 (Ь), в ЕрТ доказуема формула Xi(ti)n,
имеющая вид D(Bi Л ... А Вк) Э П->->С, к ^ 0. Из нее и теоремы
DxT: D-i-iC D —'ПС7, которую легко сможем получить согласно
PC из дг}Хт6 и с помощью PC и аксиомы В1 выводим
полностью модализированную формулу -OBi V... V-OB* V-i-GC.
Применив к ней правило вывода R4 (условие последнего
соблюдается как при к = 0, так и при к > 0), получим формулу
□(-iQBi V ... V -СВ* V “|С).
Теперь из последней формулы и В-следствий
□-ОВ,- Э □;*;(£), 1 < * < к, и ШЬ-СС D □;*:(£),
выводимых с помощью инстансов аксиом В2 и ВЗ, используя PC
и правило вывода R3 (соблюдение условия которого в каждом
случае его применения нетрудно обеспечить) мы сперва выводим
формулу
□ (В V -iQBi V ... V -OB* V -'“ОС V Н),
ассоциированную с характеристической формулой последней
стадии таблицы t. А затем, с помощью лемм 12 (Ь), (с) и (d), 13 (с),
а также пунктов (Ь), (с) и (d) вспомогательного предположения,
устанавливаем доказуемость Dxi(0 в ЕрТ.

9. Семантическая полнота
195
Предположим теперь, что t\ имплицитно замкнута. Тогда
существует цепь замкнутых таблиц t, t\, М..., такая, что (t, ti) £ И
и (ti,t2) £ 71 и т. д., причем, как уже убедились, t не может
совпадать с t\. Поэтому длина цепи меньше, чем длина
цепи и мы можем применить индуктивное предпо¬
ложение, согласно которому в ЕрТ доказуема формула □xi(^i),
ассоциированная с характеристической формулой исходной стадии
таблицы 11. (ti) имеет вид
□(В] А... А Вк D к ^ 0.
Из нее с помощью &dxt4 и □—<—>0 Э -i-OC сразу получаем
□(£i А ... А Вк) Э -’“ОС,
а дальше поступаем точно так, как в предыдущем случае. [>
Лемма 16. Если вспомогательная таблица t имплицитно
замкнута и выполняются пункты (b), (с) и (d) вспомогательного
предположения, то в Ер4 доказуема Dxi(0-
Доказательство индукцией по длине цепи замкнутых таблиц.
Так как по условию леммы, t является имплицитно замкнутой,
существует цепь замкнутых таблиц, содержащая по крайней мере
одну таблицу t\, такую, что (Mi) 6 71, причем t\ отличается от t.
Сначала допустим, что t\ тривиально замкнута. Характеристическая
формула ее исходной стадии Xi(^i) имеет вид
-OA?i V ... V -О-В* V AM 0.
В самом деле, на исходной стадии согласно Ер4-версии правила
NK в t\ включаются С и ОВь..., OBk ввиду того, что t
соответственно содержит -ОС и QBi,..., OBk k ^ 0. А
характеристическая формула последней стадии таблицы t x(t) будет иметь вид
F V -IОВ\ V ... V -ОВ* V -i-iDC V Н, к О,
где F и Н — или пустые выражения или конечные дизъюнкции
таких членов х(А), которые соответствуют остальным выражениям,
входящим в t.
Согласно лемме 8 (Ь), в Ер4 доказуема формула Xi(^i)D>
которая имеет вид
n(OBi А ... А ПВк) D Cb-iC, AM 0.

196
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
Из нее, используя аксиому В1 и теорему DxT: Cb-iC D -i-OC,
согласно PC выведем формулу
—V ... V -QIl-Bfc V -i-iDC (к ^ 0). (1)
С другой стороны, из инстансов ОВг Э СОВ* аксиомы С4 согласно
PC для каждого г (1 < г ^ к) мы легко получим -ОШВ* D -'□В,,
а из них в силу В2, ВЗ для каждого i сможем вывести формулы:
-■□□Bj Э (-iDBi V ... V ~>ОВк V 1 ^ г ^ к,
из которых вместе с следующим инстансом аксиомы ВЗ
-'-'□С Э (-'□Bi V ... V “OB* V -'-'□С),
с помощью правила вывода R3 (выполнимость условия которого
в каждом случае его использования нетрудно обеспечить), сперва
выводим формулу
(“QIIBi V ... V -'□□В*; V -i-CC’) D (“OB] V ... V -'□В* V "nDC),
а затем из нее и (1) по правилу вывода R2, получаем полностью
модализированную формулу
-СВ] V ... V -iDBfc V -'“«□С,
откуда согласно правилу вывода R4 (условие которого соблюдается)
сможем вывести формулу
□(-iQBi V ... V —iOB/c V ~'_'ПС).
Наконец, из последней формулы с помощью соответствующих
инстансов аксиом В2 и ВЗ мы легко выведем формулу Ок(<),
ассоциированную с характеристической формулой последней стадии
таблицы t, которая имеет вид
0(F V -GBi V ... V -OB* V ->-iDC V Я).
А согласно леммам 12 (b), (с) и (d), 13 (с), а также пунктам (Ь),
(с) 	и (d) вспомогательного предположения, мы прямо установим
доказуемость формулы IDxi(i), ассоциированной с
характеристической формулой первой стадии t.
Теперь рассмотрим случай, когда t\ имплицитно замкнута.
Тогда существует цепь замкнутых таблиц такая, что

9. Семантическая полнота
197
(;t, t\) 6 Я и (t\, ti) E 72. и т. д., при этом таблица t не может
совпадать с ti. Следовательно длина цепи меньше, чем длина
цепи и поэтому, в силу индуктивного предположения,
в Ер4 доказуема формула □xi(ii), ассоциированная с
характеристической формулой исходной стадии таблицы t\. Она имеет
следующий вид □(-•□Bi V ... V -ОВ* V Преобразуем ее
согласно PC в □((□Bi Л... Л DBfc) D Затем из нее с помощью
i?dzt4 сразу получаем □(□В1 Л ... Л ШВ*) 3 Cb-iC, а дальше
рассуждаем также, как в предыдущем случае. о
Лемма 17. Если ЕрТ-(ЕрТ-)диаграмма для А замкнута, то
I- А в ЕрТ (Ер4).
Доказательство. Согласно условию леммы,
ВрТ-(Вр4-)-диаграмма для А замкнута. Поэтому замкнуты все ее альтернативные
системы таблиц, каждая из которых содержит по крайней мере одну цепь
замкнутых таблиц. Выберем из каждой такой системы по одной
цепи замкнутых таблиц. Достаточно показать, что вспомогательное
предположение можно устранить в каждом случае использования
лемм 13-15 при преобразовании замкнутой ЕрТ -диаграммы для
А в доказательство А в ЕрТ и в каждом случае использования
лемм 13,14,16 при преобразовании замкнутой Вр4-диаграммы для
А в доказательство ЕрЛ.
Воспользуемся возвратной индукцией по числу п выбранной
цепи замкнутых таблиц альтернативных систем, входящих в ЕрТ-,
соответственно, в Ер4-диаграмму для формулы А.
Базис: п = 1. Замкнутая ЕрТ - (Ер4 -)диаграмма для А состоит
из одной альтернативной системы, содержащей одну выбранную
цепь замкнутых таблиц t\,ti,...,tp (р > 1). Правила D и ND
не могут применяться ни к одной таблице этой цепи, так как,
в противном случае, появилась бы вторая альтернативная система
таблиц со второй цепью замкнутых таблиц. Поэтому
вспомогательное предположение не будет применено ни к одной таблице
ti (1 < i ^ р) такой цепи в случае использования леммы 13 при
преобразовании ЕрТ-(Ер4^диаграммы для А в доказательство А
в ЕрТ(Ер4). Оно не будет также применено к таблицам t\ и tp
этой цепи в случае использования леммы 14 при преобразовании
ЕрТ-(Ер4^диаграммы для А в доказательство А в ЕрТ(Ер4).

198
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
Наконец, вспомогательное предположение не будет применено
к таблицам U и fj+i цепи замкнутых таблиц, таким, что (£*, ti+i)H
(1 ^ * < р) в случае использования леммы 15 при преобразовании
ЕрТ-диаграммы для А в доказательство А в ЕрТ, а также в случае
использовании леммы 16 при преобразовании Ер4-диаграммы для
А в доказательство А в Ер4.
Таким образом, мы без использования вспомогательного
предположения установили, что если ЕрТ-(Ер4-)лшграмма для А
содержит одну альтернативную систему таблиц с одной выбранной
цепью замкнутых таблиц, в ЕрТ(Ер4) доказуема
характеристическая формула исходной стадии Xi(£i) главной таблицы t\. Она
имеет вид —, откуда согласно PC сразу следует доказуемость
формулы А в ЕрТ(Ер4).
Индукционный шаг: п > 1. В силу индуктивного
предположения вспомогательное предположение можно устранить в каждом
случае использования лемм 13-15 при преобразовании ЕрТ-цш-
граммы для А в доказательство А в ЕрТ, а также в каждом случае
использования лемм 13,14 и 16 при преобразовании
2?р4-диаграммы для А в доказательство А в Ер4, когда число выбранных цепей
замкнутых таблиц меньше п.
Пусть замкнутая ЕрТ{Ер4)-диаграмма для А состоит из п
альтернативных систем таблиц, каждая из которых содержит одну
выбранную цепь замкнутых таблиц {п > 1), &S и S' соответственно
(п— 1)-я и п-я альтернативные системы, содержащие цепи
замкнутых таблиц t\, t2,..., tp и t\, t'2,..., tg. При этом правила D и ND
не могут применяться ни к одной таблице цепи t\, t'2,..., t'q,
поскольку, в противном случае, возникла бы (п+ 1)-я альтернативная
система таблиц. Поэтому мы сможем устранить всякое
использование вспомогательного предположения из цепи замкнутых таблиц
t[, 12,, tg точно так, как в случае, когда п — 1.
Теперь допустим, что правило D (соответственно ND)
применяется на к-й стадии к замкнутой таблице (1 ^ < р), принад¬
лежащей (п - 1)-й выбранной цепи, в результате чего на к + 1-й
стадии порождается альтернативная напарница t\ таблицы £, и п-я
альтернативная система S' с выбранной п-й цепью замкнутых
таблиц. При этом таблицы t\, t\,..., t'i_l полностью копируют
таблицы ... Мы уже показали, что вспомогательное

9. Семантическая полнота
199
предположение не используется при доказательстве
характеристической формулы Хк^i(^) и надлежащих ассоциированных с нею
формул. Кроме того, доказуемость характеристической формулы
Xk+\(U) и надлежащих ассоциированных с нею формул
(предусматриваемых леммами 13-15 для ЕрТ и леммами 13, 14, 16 для
Ер4) следует из индуктивного предположения.
Устранение остальных применений вспомогательного
предположения в обеспечивается индуктивным предположением.
Итак, если ЕрТ-(Ер4^диаграмма для А содержит п
альтернативных систем таблиц, тогда без использования вспомогательного
предположения в ЕрТ(Ер4) доказуема характеристическая
формула исходной стадии Xi(^i) главной таблицы t\9 которая имеет
вид -1-1.4. Из нее согласно PC сразу следует доказуемость А
в ЕрТ(Ер4). [>
Замечание 5. В примере 4 главы I была рассмотрена бесконечная
/^-диаграмма для формулы -iD-iQP. Такая же ситуация возникает и в
Ер4-диаграммах. В частности, для той же формулы она также будет бесконечной.
Поэтому, следуя Крипке, мы опять будем стоить псевдотаблицы для
бесконечных Ер4-диаграмм. О
Если диаграмма для А не замкнута, то по крайней мере не
замкнута одна из ее альтернативных систем таблиц (псевдотаблиц).
Не замкнута также главная таблица (псевдотаблица) такой системы
с исходной формулой -1.4. Значит не замкнута и ни одна из ее
вспомогательных таблиц (псевдотаблиц). Из такой диаграммы для
А выберем любую не замкнутую альтернативную систему таблиц
(псевдотаблиц) 5. Множество S частично упорядочено
отношением И между таблицами, являющимся рефлексивным, если S
выбрана из ЕрТ-диаграммы, и рефлексивным и транзитивным,
если S выбрана из Ер4-диаграммы. Теперь с помощью S и %
определим фрейм F0 = (Н0, W0, Ro).
Выражение С назовем несущественно меченым, если формула
С полностью модализирована. Будем говорить, что таблица
немечена, если среди ее исходных формул с верхней черточкой могут
встретиться только несущественно меченые выражения.
Пусть в — взаимно-однозначное отображение S на Но. Тогда
Wq можно определить как подмножество Но, содержащее все такие

200
Diaea II. Ненормальные и немонотонные логики
элементы 0(f) (0(т)) из Но (f £ S,t £ S), для которых f (г)
является немеченой таблицей. Множество Wo не пусто, так как S
содержит по крайней мере одну немеченую таблицу, а именно,
главную. Элементы Но упорядочены отношением Ro,
соответствующим отношению 1Z между таблицами S, причем, если t\, t2 £ S
(п,т2 £ S), Vi = 0(fi) (=0(n)) и — (=0(т2)), то (vb v2) € Ro,
тогда и только тогда, когда (fi, t2) £ TZ ((ri, т2) G TV).
Наконец, ЕрТ-{Ер4-)мод&ль Мо определим как пару (Fo, Vo),
где Fo — вышеописанный фрейм, a Vo — бинарная частичная
функция из PV х Но в {Т, _L}, которая с каждой таблицей t (т) из S
связана следующими условиями.
Пусть v = 0(f) (= 0(т)), t £ S (т Е S). Vo(Р, v) = Т, если t (т)
содержит Р; Vo(P,v) = J_, если t (г) содержит -Р; и non!Vo(P, v),
если t (г) содержит одно из выражений Р или ->Р, причем в первом
случае Р не входит в t (г), а во втором, ->Р не входит в t (г)
(в частности, non!Vo(P, v), если t (т) содержит выражения Р и -iP).
Теперь покажем, что когда ЕрТ-(Ер4-)диаграмма для А не
замкнута Мо является опровергающей моделью для А.
Лемма 18. Пусть Мо — вышезаданная модель. Тогда для всякой
формулы В и всякой таблицы t (псевдотаблицы т для
Ер4-диаграммы) из не замкнутой альтернативной системы таблиц S
Мо удовлетворяет следующим условиям:
1. Если формула В входит в t (т), то Vo (В, \) — Т.
2. Если формула ~<В входит в t (г), то Vq(В, у) = ±.
3. Если выражение -<В входит в t (г), то или поп\Уо(В,у) или
V0(B,v) = T.
4. Если выражение В входит в t (г), то или поп\У0(В, \) или
V0(В, у) = ±.
Доказательство проведем одновременной индукцией по
логической длине формулы В.
Если В — атомарная формула, справедливость утверждений
1)-4) непосредственно следует из определения Vo.
Предположим, что формула В не атомарна. Мы уже
установили, что из каждой формулы можно элиминировать знак
конъюнкции, поэтому ограничимся рассмотрением случаев, когда В имеет
один из следующих видов ->С, С\ V С2 или □ С.

9. Семантическая полнота
201
Пусть В имеет вид ~->С. Покажем, что утверждение 1)
справедливо. Вновь воспользуемся индукцией по логической длине
формулы С, которая, в свою очередь, может быть атомарной или
иметь один из следующих видов ->D, Di V D2 или QD. В случае,
когда С атомарна, В имеет вид -'С и справедливость
утверждения 1) следует из определения Vo.
Если С имеет вид -*D, тогда В есть формула ->-iD и поскольку
она входит в незамкнутую таблицу t (г), к ней применимо правило
NN, согласно которому в t (г) также включается формула D,
имеющая меньшую логическую длину, чем формула В. Поэтому,
в силу индуктивного предположения, Vo(D,v) = Т. А согласно
правилу оценки для отрицания, Vo (В, v) = V0(-i-iD, v) = Т.
Пусть С имеет вид (Di V D2). В таком случае В есть формула
вида ->{D\ V Di) и в незамкнутой таблице t (г) к ней
применимо правило ND, согласно которому в t (т) включаются формулы
-|£>1 и -|£>2, содержащие меньше логических знаков, чем формула
В. Согласно индуктивному предположению для утверждения 2),
Vo(r>i,v) = V0(D2, v) = -L, откуда по правилам оценки для
дизъюнкции и отрицания следует, что Vq(jB, v) = Vo(-i(X>i V D2), v) = T.
Наконец, если С имеет вид QD, то В есть формула -GD
и, поскольку t (т) незамкнута, к последней формуле применимо
правило NK, согласно которому составляется новая таблица V (г'),
такая, что (t, V) 6 К ((г, т') G К) и в нее помещается выражение
D. Но D содержит меньшее число логических знаков, чем В,
и к ней применимо индуктивное предположение для утверждения
4), согласно которому non!Vo(D, w) или V0(Z), w) = ±, где w = 9(t')
(= в(т')). А тогда, согласно правилу оценки для эпистемического
оператора, V0(.B, v) = Vq(DD, v) = ±.
Следовательно, утверждение 1) справедливо, когда В имеет
вид С. Остается рассмотреть случаи, когда В имеет вид С\ V С2
или вид □ С.
Если В имеет вид С\ V С2, то, ввиду незамкнутое™ t (г),
к С\ V С2 применимо правило D, согласно которому составляется
новая альтернативная система таблиц S' = (S\ {4}) U {£'} (= (S \
{r})U{r'}), причем V (т1) целиком копирует t (г) за исключением
того, что в t (г) дополнительно включается формула С\, а в t' (г') —
формула С2. Ввиду того, что t (т) незамкнута, а С\ содержит

202
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
меньшее число логических знаков, чем В, в силу индуктивного
предположения, Vo(Ci,v) = Т, а согласно правилу оценки для
знака дизъюнкции, Vo (В, v) = Vo(Ci V Ci, v) = T.
Наконец, если В имеет вид □ С, так как t (г) незамкнута
к ней применимо правило Керт (КяР4) и в каждую таблицу t\
(т\), такую, что (Mi) £ ft ((г, Т|) 6 ft), помещается формула С
(□С, если t\ или т\ принадлежат Ер4-диаграмме. Но в таком
случае к □ С применимо правило К^4 (Ь), согласно которому в
или т\ помещается С) с меньшим, чем В, числом логических
знаков. Поэтому, в силу индуктивного предположения, для всякого
w, такого, что (v,w) е Ro, v = e(t) (= в(т)), w = 6{t\) (= fl^)),
Vo(C, w) = T. Но тогда по правилу оценки для эпистемического
оператора, Vo (В, у) = Vo(DC,v) = Т.
Справедливость утверждения 1) леммы 18 доказана.
Утверждение 2) рассматривается точно так же, как
утверждение 3), которое мы также установим с помощью индукции
по логической длине формулы В.
Пусть В имеет вид ->С. Тогда t (т) содержит выражение —«С,
к которому применимо правило NN, так как t (г) не замкнута.
Согласно этому правилу в t (г) включается С и, в силу
индуктивного предположения для утверждения 4), non\Vo(C,v) или
Vo (С, v) = ±. Откуда согласно правилу оценки для отрицания
следует, что non!Vo (В, у) или Vo (В, v) = Vo(~>C, v) = Т.
Если В имеет вид С\ V Сг, то незамкнутая таблица t (г)
содержит выражение -i(Ci V Сг)- К нему применимо правило ND,
согласно которому составляется новая альтернативная система
таблиц S' = (S\ {£}) U{£'} (= (S\ {£}) U {£'}), причем V (г') целиком
копирует t (г) за исключением того, что в t (г) дополнительно
включается выражение ~>С\, а в t' (т1) — выражение ~>С2- Так
как t (г) не замкнута, а ->Ст содержит меньшее число логических
знаков, чем В, в силу индуктивного предположения, non!Vo(Ci,v)
или Vo(Ci,v) = Т. Но тогда, согласно правилу оценки для знака
дизъюнкции, non!Vo(B, v) или Vo (В,у) — Vo(Ci V Сг,у) = Т.
Наконец, пусть В имеет вид ОС. Поскольку таблица t (т)
не замкнута и она содержит выражение -ОС, к нему применимо
правило NK, и в t (т) включается сперва тОС, затем, по правилу
NN, — формула ОС, после чего, согласно КЕрТ (КЕрА), в каждую

9. Семантическая полнота
203
таблицу t\ (ti), такую, что (Mi) £ И ((т, Т\) 6 71),
помещается формула С {ПС, если t\ или т\ принадлежат Ер4-диаграмме.
Но в таком случае к ПС применимо правило (Ь), согласно
которому в t\ или Т\ помещается С), с меньшим, чем В,
числом логических знаков. Поэтому к каждой такой таблице t\ (т|)
и формуле С применимо индуктивное предположение для
утверждения 1), в силу которого V0(С, w) = Т для всякого w, такого,
что (v,w) € R, v = 0(f) (= 0(f)), w = 0(£t) (= 0(£i)). Но,
согласно правилу оценки для эпистемического оператора, Vo {В, у) =
Vo(DC, v) = Т и, следовательно, утверждение 3) выполняется.
Для установления справедливости утверждения 4) мы
поступаем точно так же, как при рассмотрении утверждения 1). о
С помощью леммы 18, контрапозиции леммы 17 и теоремы
корректности мы убеждаемся, что #рТ-( Ер4-)диаграмма для А,
замкнута тогда и только тогда, когда А общезначима в классе
фреймов ЕрТ (Ер4). Это является семантическим оправданием
наших правил построения таблиц для ЕрТ- и Ер4-диаграмм.
Лемма 19. Если диаграмма для А не замкнута, то А не
общезначима в классе фреймов ЕрТ (Ер4).
Доказательство. По условию леммы диаграмма для А не
замкнута, поэтому не замкнута по крайней мере одна из ее альтернативных
систем таблиц. Следовательно, не замкнута также главная
таблица такой системы с исходной формулой ->.4. Но тогда, согласно
утверждению 2) леммы 18, существует опровергающая модель Мо
для А и, следовательно, А не общезначима в классе фреймов ЕрТ
(Ер4). О
Теорема 6. Если |— А в классе фреймов ЕрТ (Ер4), то Ь А
в ЕрТ {Ер4) (теорема полноты ЕрТ и Ер4).
Доказательство прямо следует из контрапозиции леммы 19 и
леммы 17. >
Учитывая особенности DxT- и Dx4-диаграмм, читатель
сможет перестроить вышеизложенное доказательство полноты эписте-
мических систем ЕрТ и Ер4 в доказательство полноты доксасти-
ческих систем DxT и Dx4 и убедиться, что справедлива

204
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
Теорема 7. Если \= А в классе фреймов DxT (Dx4), то Ь А
в DxT (Dx4) (теорема полноты DxT и Dx4). >
9.2. 	Полнота систем Dx5 и Ер5
Семантическую полноту систем Dx5 и Ер5 мы установим
методом, родственным тому способу, который был использован
Вайсбергом при доказательстве полноты модальной системы 55.
С этой целью мы воспользуемся теоремами редукции для Dx5
и Ер5, корректности Dx5 и Ер5 (см. теорему 1), а также теоремой
полноты для DxT и ЕрТ. Но сначала убедимся, что справедлива
Лемма 20. Пусть А — формула, модальный ранг г которой 1.
Тогда если 'ф- А в классе фреймов DxT (ЕрТ), то ф А в классе
фреймов Dx5 (Ер5).
Доказательство. Очевидно, что в Ож5-(£?р5-)моделях для оценки
формул, модальный ранг которых ^ 1, из любого возможного мира
достижимым может оказаться не более одного отличного от него
мира. Очевидно также, что если из w достижим v и w Ф v, то
оценка любой такой формулы в мире v не зависит от оценки
той же формулы в мире w.
Пусть формула А, удовлетворящая условию леммы,
опровержима в DxT-(ЕрТ-)модели М. Чтобы преобразовать М в
опровергающую Dx5-(Ep5-)модель М' для той же формулы А поступим
следующим образом. Определим бинарное отношение R' между
элементами Н' Dx5-(Ep5-)uoaem М' как наименьшее
транзитивное и евклидово отношение, содержащее отношение R из Dx5-
(£'р5-)модели М. Больше в М ничего не будем менять. Тогда
оценка всякой формулы А, модальный ранг которой ^ 1, в
каждом элементе Н' модели М' будет в точности такой же, как в М. о
Теорема 8. Если \= А в классе фреймов Dx5 (Ер5), то Ь А
в DxT (Ер5) (теорема полноты Dx5 и Ер5).
Доказательство. Пусть |= А в CF(Dx5), соответственно в С¥(Ер5).
Если модальный ранг г формулы А равен 0, тогда утверждение
теоремы является верным в силу полноты PC. Предположим поэтому,
что г(А) >1. Согласно теореме редукции существует формула А^,
модальный ранг которой равен 1, такая, что \~Dx5(Ep5) А = АК
В силу корректности Dx5 (Ер5), из нее следует, что 1= А = At

10. Разрешимость
205
в соответствующих классах фреймов, и, так как по условию
теоремы (= А в CF(Z?a;5) и C¥{EpS), и учитывая то обстоятельство, что
законы редукции и поглощения общезначимы, а правила вывода,
используемые при доказательстве теоремы редукции, сохраняют
общезначимость в указанных классах фреймов, мы можем заключить,
что (= в CF(D®5) и С¥(Ер5). Отсюда в силу контрапозиции
леммы 20 следует, что |= А* в CF(DxT) и CF(ЕрТ). Но поскольку
DxT и ЕрТ являются полными, из последнего утверждения
следует, что I~DxT(EpT) АР С другой стороны, DxT содержится в D:с5,
а ЕрТ — в Ер5. Отсюда следует, что 1~ш5(Ер5) А^ • Но согласно
теореме редукции \~ох5(ЕрЬ) А = , откуда в силу PC устанавливаем,
ЧТО \~Ох5{Ер5) А. >
10. 	Разрешимость
Мы покажем теперь, что каждая из рассмотренных нами
систем разрешима. Ввиду корректности и полноты этих систем
множество доказуемых в них формул совпадает с множеством
общезначимых формул в соответствующих классах фреймов. С другой
стороны, мы убедились, что формула общезначима в классе
фреймов этих систем тогда и только тогда, когда замкнута построенная
для них диаграмма. Поэтому с целью установления разрешимости
указанных систем, мы можем воспользоваться методом диаграмм
и показать, что построение диаграммы для любой формулы
указанных систем обязательно завершится в конечное число шагов.
Пусть Sb(t) обозначает множество всех подформул формул,
входящих в t, а
ЩЁ) = {-iB : В Е Sb(t)} U {В : В е Sb(t)}.
Поскольку множество подформул всякой формулы нашего языка
конечно и на исходной стадии в каждую таблицу включается ко-
нечное число формул, то конечным будет как Sb(t), так и Sb(t).
С другой стороны, очевидно, что всякая таблица t является
собственным подмножеством Sb(t) U Sb(t). Поэтому любая таблица
может содержать лишь конечное число формул.
Учитывая соглашение о недопустимости повторения
результата, построение диаграммы завершится, если для каждой таблицы

206
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
будут построены все ее альтернативные напарницы, а также все ее
вспомогательные таблицы, или же если процесс построения
диаграммы оборвется ввиду того, что диаграмма окажется замкнутой
(т.е. замкнутыми будут все ее альтернативные системы таблиц).
Начнем с рассмотрения системы ЕрТ. Построение каждой
ЕрТ -диаграммы завершится в конечное число шагов по следующим
причинам. Всякая вспомогательная таблица t' ЕрТ-диаграммы
может быть порождена только согласно правилу NK из таблицы t,
содержащей формулу вида -ОС. При этом, на исходной стадии
в t' помещается выражение С. Если t содержит также формулы
□Бь...,ОВ* (к ^ 0), тогда согласно правилу ^Ерт в ^
помещаются также формулы В\ Бд:. Поэтому максимальный модальный
ранг формул, входящих в таблицу £', меньше, чем максимальный
модальный ранг формул, входящих в t.
С другой стороны, максимальный модальный ранг формул,
входящих в каждую напарницу V таблицы t, равен максимальному
модальному рангу формул, входящих в £. Но число
альтернативных напарниц любой таблицы всегда конечно, потому что всякая
таблица может содержать лишь конечное число формул и,
следовательно, конечным будет также число формул, к которым
применяются правила D и ND, порождающие альтернативные напарницы
и альтернативные системы таблиц.
Поэтому каким бы ни был модальный ранг испытуемой
формулы А, помещенной в главную таблицу, мы обязательно
достигнем таблицу, такую, что максимальный модальный ранг формул,
входящих в нее, будет равным 0, если процесс построения
ЕрТ-диаграммы раньше не оборвется из-за того, что все альтернативные
системы диаграммы окажутся замкнутыми.
Если ЕрТ -диаграмма замкнется, тогда испытуемая формула А
доказуема в ЕрТ, а если диаграмма не замкнется, то А не доказуема.
Точно таким же рассуждением мы сможем доказать, что
разрешимым является система DxT.
Теперь рассмотрим систему Ер4 и опишем разрешающую
процедуру для нее. Число альтернативных напарниц любой таблицы
Бр4-диаграммы всегда будет конечным, так же, как
ЕрТ-диаграммы. А всякая вспомогательная таблица V ЕрА -диаграммы может
быть порождена только согласно правилу NK из таблицы t, со¬

10. Разрешимость
207
держащей формулу вида -ОС. Если t содержит также формулы
ОВь...,ПБ* (к ^ 0), тогда согласно правилу К.^4 в t на
исходной стадии помещаются также формулы СШь • • •, П-В* (к >о).
Поэтому максимальный модальный ранг формул, входящих в
таблицу f, может оказаться равным максимальному модальному рангу
формул, входящих в t. С помощью примера 4 главы 1 и замечания 5
настоящей главы мы убедились, что для некоторых формул если
построение Бр4-диаграммы не замыкается, то оно может
продолжаться бесконечно. Но тем не менее, мы покажем что для всякой
формулы построение Бр4-диаграммы можно все-таки завершить
в конечное число шагов по следующим причинам.
Правила построения диаграммы предписывают поместить в
каждую таблицу t некоторые подформулы, входящих в t формул,
отрицания таких подформул или подформулы, меченые верхними
черточками. С другой стороны, как уже было отмечено, всякая
таблица является собственным подмножеством конечного множества
5Ь({-1^4}) U >>4}). Но поскольку число всех подмножеств
конечного множества является конечным, в случае, когда построение
некоторой цепи в диаграмме для формулы А не завершается, то
рано или поздно какая-то таблица tj обязательно совпадет с ранее
построенной таблицей £, в той же цепи (i < j), т. е. tj и £, будут
содержать одни и те же формулы и выражения. Поэтому начиная
с tj -й таблицы совпадение таблиц периодически будет повторяться.
С целью исключения подобных случаев, к соглашению о
недопустимости повторения результата (как в параграфе 2.6 главы I
для систем Dx4 и S4) мы добавим еще один пункт: если таблица tj
полностью совпадает с таблицей £, в той же цепи таблиц (i < j), то
(tj ,t{) 6 % и никакое правило не применимо к tj (пример 5 главы I
иллюстрирует действие такого правила для £)г4-диаграммы).
Это гарантирует завершение построения Е4-диаграммы любой
формулы в конечное число шагов. Таким образом, если
Бр4-диаграмма для формулы А замкнется, тогда А доказуема в Ер4, а если
она не замкнется, то А не доказуема в Ер4.
Аналогичным рассуждением мы сможем доказать
разрешимость системы Dx4.
Наконец, разрешимость пропозициональных систем Dx5 и
Ер5 мы установим с помощью теоремы редукции. Так как пропо¬

208
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
зициональная система PC разрешима, достаточно описать
разрешающую процедуру для формул, модальный ранг которых > 1.
С помощью эффективно (механически) проводимыми
эквивалентными преобразованиями согласно теореме редукции, для
любой такой формулы А мы сможем в конечное число шагов
установить, что в Dx5 (Ер5) доказуема формула А = А*, где т(А) > 1,
a r{At) = 1. Затем для А* построим DxT-(ЕрТ)-диаграмму. Если
она замкнется, At доказуема в DxT (ЕрТ) и, следовательно, в Dx5
(Ер5). Но тогда формула А также доказуема в Dx5 (Ер5). Если же
DxT - (ЕрТ) -диаграм ма для А^ не замкнется, то формула А не
доказуема в Dx5 (Ер5).
Таким образом, мы убедились, что справедлива
Теорема 9. Все рассмотренные выше доксастические и эписте-
мические системы разрешимы (теорема разрешимости). t>
11. 	Полимодальности
На примере одной бимодальной системы проиллюстрируем
как следует подходить к построению полимодальных систем знания
и мнения (возможно, и с разными агентами).
Алфавит бимодальной системы КВА вместе с логическими
связками Л и V содержит по одному модальному оператору
знания и веры Ва с одним и тем же фиксированным агентом а.
К определению пропозициональной формулы присоединяем
следующий пункт: если А — формула, то КаА и ВаТ также
являются формулами. Понятия сильного следования и равносильности
согласно знанию или вере лица а теперь надо раздельно вводить
как для знания лица а так и для веры а:
А —>а В =df Ка./4. D КaB,
А «-»•* В =df (А —>я В) Л (В —А),
А В =df ВаА D ВаВ,
А ~а В =df (-4 ~~>а В) А (В ~~>а А).
В дальнейшем нижние индексы модальных операторов знания
и веры, а также сильного следования и равносильности согласно

11. Полимодальности
209
знанию и вере будем опускать, так как лицо а является
фиксированным.
Аксиомы КВ4:
Группа А
1. Все немодализированные классические тавтологии.
Группа В
1.1. ЩР AQ) = KP AKQ,
1.2. P->(PVQ),
1.3. Q^(PWQ),
1.4. (Р A (Q V R)) ->• ((Р A Q) V R),
1.5. —i-ijP о- Р,
1.6. -.(PAg)o(-iPV-iQ),
1.7. -i(P V Q) <->■ (~>Р A ~>Q),
2.1. B(PAQ) = BPABQ,
2.2. Р (PVQ),
2.3. <5 (PVQ),
2.4. (P A (Q V Д)) ((P A (?) V P),
2.5. -н-P ~ P,
2.6. -i(P A Q) ~ (-iP V “'Q),
2.7. -.(PVQ)~(--PA--Q).
Группа C
3.1. КРЭР,
3.2. К(КРэР),
3.3. P-s-KP,
3.4. BP D -.B-iP,
3.5. B(BP 3 P),
3.6. P BP,
3.7. KP D BP.
Последняя формула, выражающая, что лицо верит в свои
знания, является аксиомой, связующей знание и веру.
Правила вывода R1 и R2 переносим без изменения. R3 надо
отдельно сформулировать для —>■ и a R4 — для К и В.

210
Глава II. Ненормальные и немонотонные логики
Семантика КВА. КВА-фреймом является упорядоченная
четверка FF = (Н, W, Rk, R®), где Н и W такие же как в фреймах моно-
модальных пропозициональных систем DxA и ЕрА, RK — бинарное
отношение, рефлексивное и транзитивное в Н, a R3 — бинарное
отношение, сериальное, слабо рефлексивное и транзитивное в Н.
ЯВ4-моделью является пара М = (Fr, V), где Fr есть КВ А-фрейм,
а V — бинарная частичная функция, определенная на множестве
PV х Н, такая, что V(P, v) = Т или ± или же non!V(P, v).
В случае, когда !V(P, v), всякой формуле А мы можем
приписать значение Т или _L для всякого элемента v из Н точно так, как
в моделях мономодальных системах DxA и ЕрА.
Понятия истинности формулы А в модели, в фрейме и
общезначимости в классе ХВ4-фреймов определяются так же, как
в мономодальном случае.
Семантические таблицы. Правила семантических таблиц для
логических связок КВА совпадают с правилами NN, NN, ND, D,
D и ND мономодальных систем.
Сформулируем правила таблиц ЯВ4-диаграммы: К, NK, В
и NB.
К. (а). Если в таблице t появляется формула вида Ю, тогда
в каждую таблицу V, такую, что (t, V) Е Як, помещается
К А.
(Ь). Если в таблице t появляется формула вида Ю, то в ту же
таблицу помешается формула А.
NK. Если в таблице t появляется формула вида -1Ю, то
составляется новая таблица t', такая, что (t, t') Е Як и в нее
помещается выражение А. V называется вспомогательной
таблицей для t.
В. (а). Если t главная таблица, то составляется новая таблица
V, такая, что (t, t1) Е Я. t' называется вспомогательной
таблицей таблицы t.
(b) 	. Если в таблице t появляется формула вида В Л, тогда
в каждую таблицу t', такую, что (t, t') Е Я® и (t, t') Е Як,
помещается формула Kj4.
(c) 	. Если во вспомогательной таблице t появляется формула
вида В4, то в ту же таблицу помещается формула А.

11. Полимодальности
211
Очевидно, что К (Ь) обеспечивает эффект рефлексивности, а К
(а) эффект транзитивности, точно также В (а) гарантирует эффект
сериальное™, В (с) эффект слабой рефлексивности, а В (Ь) эффект
транзитивности.
Теперь сформулируем правила К\ NK и В; NB.
К; NK. Если в таблице t появляется выражение вида КА или
-тЮ, то в ту же таблицу t помещается формула ->Ю,
соответственно —
В; NB. Если в таблице t появляется выражение вида В А или
то в ту же таблицу t помещается формула ->В^4,
соответственно — -i-iB.4.
Как прежде, на порядок применения этих правил не
налагаются никакие ограничения.
С помощью аналогов лемм, использованных для
доказательства корректности, полноты и разрешимости мономодальных
систем Dx4 и Ер4, читатель сможет убедиться, что справедлива
Теорема 10. Бимодальная система КВ4 корректна,
семантически полна и разрешима 4). О
4) Доказательство полноты системы КВА содержится в статье М. Бежали-
швили [1999].

Глава III
Ненормальные и немонотонные
эпистемические предикатные логики
Мы сформулируем два табличных исчисления эпистемических
модальных предикатных систем (в стиле Фиттинга [1969]), которые
могут не содержать индивидных констант, термов и конкретных
предикатов, и сравним их с исчислением частичных предикатов
Хао Вана. Предикатные версии табличных исчислений для ранее
рассмотренных нами пропозициональных доксастических и
других эпистемических систем можно сформулировать аналогичным
образом.
Формальный язык этих исчислений полностью совпадает с
языком нормальной и монотонной эпистемической системы 54,
рассмотренный в параграфе 3 главы I.
Пусть А — формула, а х\,...,хп — все ее различные
свободные индивидные переменные. Если п > 0, мы будем называть
А открытой, а если п = 0, — замкнутой формулой. Замкнутую
формулу V Х\ . ..'i хп А будем называть замыканием всеобщности
формулы А и сокращенно обозначать через V А.
Будем говорить, что вхождение формулы А в формулу В
положительно, если число знаков -i, в области действия которых А
находится в Б, равно нулю или четно. В противном случае,
вхождение формулы А в формулу В назовем отрицательным. Формулу
назовем бескванторной, если она не содержит вхождений
кванторов.
Предваренной называют формулу, если в
последовательности символов, которые ее образуют, кванторы предшествуют всем
остальным символам. А последовательность кванторов
предваренной формулы будем называть ее кванторной приставкой.

1. Табличное исчисление ЕрА
213
1. 	Табличное исчисление Ер4
1.1. 	Теория доказательств
Таблицей, так же как раньше, будем называть некоторое
подмножество множества Frm U Firm, где Frm уже означает
множество формул языка эпистемической предикатной логики. Понятия
альтернативной системы таблиц, ЕрА-диаграммы, главной и
вспомогательной таблицы, а также понятие альтернативной напарницы
таблицы определяются точно так, как в пропозициональном случае.
Составление предикатной версии ЕрА-диаграммы для
испытуемой формулы А, в случае, когда А замкнута, мы начинаем
включением -А в главную таблицу, а если А открыта, тогда
в главную таблицу помещаем ->V А. Затем продолжаем построение
согласно следующим пропозициональным правилам:
ND-
Г, ~<~iA
NN- 7; NN-
Г ,-.-.А,А’ 1
Г ,->(AVB)
■А, А
- Г.ЛуВ
D
rP(iVB),4^’ Т,АУВ,А,В’
Г ,AVB
; ND
Г,п(4УВ)
Г, A\J В, А|Г, А V В, В Г, -i(A V В), “>^4|Г, "'(А V В), ->В
Г, ПА Г,-ОА
К—NK-
К-
Г, ПА, А
г,Па
ГЪ, А
; NX-
Т. -iDA
Г, ПА, -ОА Г,-iDA, “'“'□А
и следующим кванторным правилам:
Е Г, Э хА(х) — Г, -i3 хА(х)
Г, 3 хА(х), А(у) Г, ~i3 хА(х), ~iA(y)
NE г, ^3 хА(х) - Г, 3 хА(х) _
Г,^ЭжА(ж),-пА(2:)’ Г, Э хА(х), A(z) ’
где Г С (FftnU Fhn), Гп = {QB : □ В 6 Г}, x,y,z G Ind, причем
у — новая, еще не встречающаяся ни в одной таблице
индивидная переменная, a z любая уже использованная при построении

214
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
диаграммы переменная (предполагается, что если переменная z
не свободна для х в А(х) мы осуществляем переименование
связанной переменной в А(х)). А, В, А(х) 6 Frm. При этом вместо
Г U {4} мы просто будем писать Г, А. Элементы множества Frm,
как раньше, будем называть выражениями.
К кванторным правилам мы присоединяем еще одно правило:
если в таблице не появилась формула со свободной индивидной
переменной, то для обеспечения применимости правил NE и Е мы
введем новую свободную переменную.
Замечание 1. Если мы не желаем умножить число наших правил, отдельно
вводя правила для знака конъюнкции и квантора всеобщности, условимся,
что исходными логическими знаками являются: i, V, □ и 3,а Л и¥
вводятся с помощью следующих сокращений:
D11. А Л В =4f ->(-ц4 V ~>В),
D12. V хА{х) =,# ->3x~iA(x). >
Пропозициональные правила NN, NN, ND, D, К, К и NK,
а также все кванторные правила предписывают заменить в таблице
t множество выражений (т. е. множество немеченых и меченых
формул), находящееся выше горизонтальной черты правила,
множеством выражений, находящимся ниже горизонтальной черты
этих правил. Правило NK предписывает из таблицы t, содержащей
множество выражений, находящееся выше горизонтальной черты
этого правила, открыть новую вспомогательную таблицу V, такую,
что (t, t') 6 И, и поместить в V множество выражений,
находящееся ниже горизонтальной черты NK. Наконец, правила D и ND
предписывают, исходя из таблицы t £ S, содержащей множество
выражений, находящееся выше горизонтальной черты правила,
составить новую альтернативную систему таблиц S' = (S\ {£}) U {£'},
где множество выражений, находящееся выше горизонтально
черты правила, заменено в t множеством выражений, находящимся
ниже горизонтальной черты правила с левой стороны, а в t'
(напарнице таблицы t) — множеством выражений, находящимся ниже
горизонтальной черты правила с правой стороны.
Понятия тривиально и имплицитно замкнутой таблицы,
замкнутой таблицы и замкнутой диаграммы определяются как в
пропозициональном случае.

1. Табличное исчисление Ер4
215
Запас индивидных переменных будем расходовать экономно,
как в параграфе 3.5 главы I. Каждой таблице t мы опять
сопоставим неограниченное множество Y* индивидных переменных с тем
условием, чтобы множества, сопоставленные различным таблицам
не пересекались и при применении правил Е и NE к формулам,
входящим в t, новые переменные в t каждый раз появлялись из Y$.
Не касаясь здесь вопроса об аксиоматизации гильбертовского
типа эпистемической предикатной логики Ер4, следуя Фиттингу
(см. [1969]), замкнутую Ер4-диаграмму для замкнутой формулы А
будем называть доказательством А. Будем также говорить, что
замкнутая формула А является доказуемой в табличном исчислении
Ер4 или является теоремой Ер4, и писать \~ери А, если существует
замкнутая Ер4-диаграмма для А.
Ниже мы покажем, что табличное исчисление Ер4 является
корректным и полным.
1.2. 	Семантика
Рр4-фреймом назовем упорядоченную четверку (Н, W, R, D),
где Н — множество (частичных возможных миров),
содержащее непустое подмножество W (тотальных возможных миров):
0 Ф W С Н; R — бинарное отношение достижимости между
мирами, рефлексивное и транзитивное в Н; D — функция областей,
определенная на Н, такая, что для всякого v из Н D(v) / 0 и (d)
если (w,v) G R, то D(w) С D(v), w, v £ Н.
Ер4 -моделью является пара М= (Fr,V), где FV есть Ер4-фрейм,
а V — бинарная частичная функция, определенная на множестве
Рг1 х Н, такая, что если п = 0, то V(P",v) = Т или _L или же
non\V(Pn, у). А в случае, когда п > 0, У(Рп, у) есть пара (P;Q) ,
такая, что Р; Q С [D(v)]n и если v G W, то PDQ = 0 и PUQ = [D(v)]n,
а если v € H\W, то PflQ = 0, где [D(v)]n является п-кратным
декартовым произведением множества D(v) на себя (для всякого v
из Н).
В случае, когда v Е W, функция V определена для всех Рп
и v. В самом деле, если п = 0, тогда V(P", v) = Т или ±, так как
возможный мир W тотален, а если п > 0, то V(Pn,y) = (Р; Q), при
этом PUQ = [D(v)]n. А когда v € Н \ W, то при п = О V может быть
неопределенной для некоторых или ни для каких Р" и v, а при

216
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
п > 0 \(Рп, v)=(P; Q), причем PU Q Ф [D(v)]n для некоторых или
ни для каких Рп и v.
Очевидно, что Ер4-модель, в которой (Н \ W) = 0, можно
рассматривать как 54-модель.
Пусть, далее, U = Uv€H D(V)‘
Если дана 2?р4-модель М, то в случае, когда !V(4,v), всякой
такой формуле А мы можем приписать значение Т или _L для
всякого элемента v из Н при фиксированном сопоставлении
элементов U всем свободным индивидным переменным формулы А.
Если А — атомарная формула, она является
пропозициональной переменной Рп (п = 0) или имеет вид Рп(хь..., хп) (п > 0).
При п — 0 V(Pn,v) уже задана моделью. Пусть поэтому п > 0,
индивидным переменным жь ..., хп соответственно сопоставлены
элементы аь •. •, а„ из U и пусть V(Pn, v) есть пара (Р; Q). При
данном сопоставлении У(Рп(жь ..., хп), у) = Т тогда и только тогда,
когда аь ..., а„ 6 Р; У(Рп(х{,... , хп), у) = ± тогда и только тогда,
когда аь ..., an £ Q; в противном случае, поп\\(Рп(хь ..., хя), у).
Условия оценки формул вида -iА, А А В, А V В и ПА для
любого у из Н при фиксированном сопоставлении элементов U
всем свободным индивидным переменным А и В точно такие же,
как в пропозициональном случае.
Замечание 2. Поскольку значение формулы вида ПА в ЕрА всегда
определено, мы не сможем воспользоваться способом Фреге—Строусона (ср.
замечание 8 главы I) для характеристики истинности в Ер4-модели как
не ложности во всех возможных мирах. Такой способ требует считать
неопределенной формулу вида А(х), содержащую свободную индивидную
переменную х, в возможно мире у, если переменной х сопоставляется
индивид, не принадлежащий к области D(v). С другой стороны,
оценка кванторов в возможном мире у предусматривает только индивиды
из области D(v). Но тогда, например, формула V хА(х) D А(у), окажется
опровержимой, если переменной у сопоставляется индивид, не
принадлежащий области D(v) (см. Кангер [1957]). Поэтому Крипке предложил
(см. [1963а]) следовать Куайну, который теоремами считал только
замкнутые формулы или замыкания всеобщности открытых формул, а формулы
со свободными переменными рассматривал только ради удобства. Так как
значение формулы вида □ А в Ер4 всегда определено, то способ Куайна
является единственным выходом из указанного затруднения. О

1. Табличное исчисление ЕрА
217
Сформулируем условия оценки для кванторов. Пусть xi,...,xn
— все свободные индивидные переменные, входящие в формулу
V уА(х ь ... ,хп, у), соответственно в 3 yA{xi,... ,хп, у), и пусть
этим переменным соответственно сопоставлены элементы аь..., а„
из U. В таком случае, V(V уА(х\,..., х„, у), v) = Т тогда и только
тогда, когда \(A(xlf..., хп,у),\) = Т, если переменной у сопо-
сташшется любой элемент b из D(v); V(V уА(х\,... ,хп, у), v) = ±
тогда и только тогда, когда существует элемент Ь из D(v), такой,
что \(А(х{,... ,xn,y),v) = -L, если переменной у
сопоставляется Ь; в противном случае, nonW(yуА{х\,... ,хп,у),у). Далее,
V(3 уА(х\,..., хп, у), v) = Т тогда и только тогда, когда
существует элемент b из D(v), такой, что V(A(x\,... ,x„,y),v) = Т, если
переменной у сопоставляется b; V(3 уА(х{,... ,хп,у),\) = ± тогда
и только тогда, когда У(Д(жь ... ,хп, у), \) = ±, если переменной
у сопоставляется любой элемент b из D(v); в противном случае,
nonl\(\fyA(Xi,... ,хп,у),у).
Понятия истинности формулы А в модели, в фрейме и
общезначимости в классе ЕрА-фреймов определяются так же, как
в пропозициональном случае.
1.3. 	Корректность Ер4
В параграфе 3.6 главы I мы видели, что 54-диаграмма может
быть как конечной, так и бесконечной. Аналогичная ситуация
возникает и в ЕрА-диаграмме. В случае, когда диаграмма бесконечна,
следуя Крипке, будем строить псевдостабильны и все требования,
предъявляемые таблицам распространим и на псевдотаблицы.
Пусть t (т) — некоторая таблица (псевдотаблица) незамкнутой
альтернативной системы ЕрА-диаграммы. Будем говорить, что
таблица t (псевдотаблица т) выполнима, если существует 7?р4-модель
(Н, W, R, D, V) и w € Н, которые удовлетворяют пунктам (i)-(iii)
следующего условия:
(i) 	если атомарная формула положительно входит в немеченую
формулу В таблицы t (псевдотаблицы т) и п = 0, то Рп —
пропозициональная переменная и в таком случае будем считать, что
\(Рп,у/) = Т. Если же п> 0, мы так определим Р, чтобы значения
ai.. .йп из U свободных переменных Х\.. ,хп формулы Рп(хi. ..хп)
входили в Р. Тогда У(Рп(хi. ..хп), w) = T для любого w из Н;

218
Глава III. Ненормальные н немонотонные предикатные логики
(ii) если атомарная формула отрицательно входит в немеченую
формулу В таблицы t (псевдотаблицы т) и я = 0, то Р” —
пропозициональная переменная и будем считать, что V(P", w) = ±.
А если п > 0, мы так определим Q, чтобы значения ai... а„ из U
свободных переменных Х\... х„ формулы Рп(х\...хп) входили
в Q. Тогда V(P"(®i... хп), w) = ± для любого w из Н, кроме
случаев, когда меченая формула В имеет вид □ С или -ОС.
В таком случае правила К и NK предписывают соответственно
заменить эти выражения немечеными формулами -ОС и -i-OC,
поскольку формула вида ШС всегда определена;
(iii) наконец, если атомарная формула входит в меченую
формулу В таблицы t (псевдотаблицы т) и п = 0, то Рп —
пропозициональная переменная и будем считать, что non!V(P", w), поскольку'
в таком случае мы предполагаем, что на данном этапе развития
знания истинность или ложность меченых формул неизвестна. А если
п > 0, то мы так определим Р и Q, чтобы значения ai ... а„ из U
свободных переменных Х\ ... хп формулы Рп(х\... хп) не входили
ни в Р, ни Q. Но тогда non\V(Pn(x 1... хп), w). Если же атомарная
формула отрицательно входит в меченую формулу В, то она
согласно условию оценки знака -i также будет неопределенной.
Очевидно, что ни одна тривиально замкнутая таблица не будет
выполнимой, потому что одна и та же формула в одно и тоже
время не может быть истинной и неистинной, т. е. ложной или
неопределенной; а при соблюдении пунктов (i)—(iii) вышеуказанного
условия, ни одна замкнутая таблица замкнутой Рр4-диаграммы
не будет выполнимой, потому что одна и та же атомарная формула
в одно и тоже время не может быть истинной и неистинной, т. е.
ложной или неопределенной.
Нетрудно также проверить, что все наши правила построения
таблиц (псевдотаблиц) сохраняют выполнимость. Другими
словами, всякий раз когда выполнимы множества немеченых и меченых
формул, находящиеся выше горизонтальной черты правил
построения таблиц (псевдотаблиц), выполнимы и множества немеченых
и меченых формул, находящихся ниже горизонтальной черты этих
правил.
Рассмотрим, например, правило NN и допустим, что
выполнимо множество формул, находящихся выше горизонтальной

1. Табличное исчисление Ер4
219
черты этого правила, т. е. выполнимо множество {Г, —>—<^4}, при
этом меченые формулы могут содержаться только в Г. Поэтому
существует #р4-модель (Н, W, R, D, V) и w € Н, такие, что при
соблюдении вышеуказанных пунктов (i)-(iii), немеченые формулы,
входящие в Г, получат значение Т, а меченые формулы, входящие
в Г, получат значение, отличное от Т. Формула -i-М немечена,
поэтому V(-i-ij4, w) = Т. Множество формул, находящихся ниже
горизонтальной черты правила NN, т. е. {Г, -'-’Л, А},
дополнительно содержит формулу А. Но так как указанное множество содержит
Г и —1—>>4., a V(—1—ivl, w) = V(vl, w), оно также будет выполнимым.
Следовательно, правило NN сохраняет выполнимость.
Теперь рассмотрим правило NK и допустим, что выполнимо
множество немеченых и меченых формул {Г,-|П^4}. Тогда
существуют Ер4-модель (Н, W, R, D, V) и w € Н, такие, что при
соблюдении пунктов (i)-(iii) нашего условия, для каждой
немеченой формулы В из Г, V(B,w) = Т, а для каждой меченой
формулы В из Г, V(J3,w) Ф Т. Формула -О-А немечена, поэтому
V(-G4, w) = Т. Это означает, что существует элемент и из Н, такой,
что (w, u) G R и У {А, и) = J_ или поп\У(А, и). Но поскольку все
формулы из Гп немечены, D(w) С D(u) и Гп С Г, ввиду
транзитивности R все формулы из Гп будут также истинными. Таким
образом, .Ер!-модель (Н, W, R, D, V) гарантирует выполнимость
множества формул, находящихся ниже горизонтальной черты правила
NK, которое предписывает открыть новую вспомогательную
таблицу V такую, что (t, t') € 71 и поместить в нее множество {Гп, А]
(таблица t', псевдотаблица г', будет соответствовать элементу и
из Н, а отношение К между таблицами — отношению R
Ер4-модели). Следовательно, правило NK. сохраняет выполнимость.
Наконец, рассмотрим правило Е и убедимся, что и оно
сохраняет выполнимость. Пусть множество немеченых и
меченых формул, находящихся выше горизонтальной черты правила
Е, т. е. {Г, 3 хА(х)} выполнимо. Тогда существуют Ер4-модель
(Н, W, R, D, V) и w из Н, такие, что при соблюдении пунктов (i)-
(Ш) нашего условия, У (В, w) = Т, если В — немеченая формула,
и У (В, w) Ф Т, если В — меченая формула из {Г, 3 хА(х)}. В
частности, У(Э хА(х), w) ф Т, так как формула 3 хА(х) мечена.
Множество формул, находящее ниже горизонтальной черты правила Е,

220
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
дополнительно содержит формулу A(z). Но V(3 хА(х), w) ф Т
означает, что в D(w) не существует такой элемент Ь, для которого
V(A(z),w) — Т, при соблюдении пунктов (i)-(iii)
вышеуказанного условия, когда свободной переменной z сопоставляется любой
элемент b из D(w), т.е. когда V(A(z), w) Ф Т для любого элемента
D(w), взятого в качестве значения свободной переменной z.
Поэтому V(3 хА{х), w)=V(A(z), w). Следовательно, правило Е сохраняет
выполнимость.
Аналогично можно убедиться, что остальные правила также
сохраняют выполнимость.
Теорема 1. Если h А в табличном исчислении Ер4, то |= А
в классе фреймов Ер4. для всякой замкнутой формулы А (теорема
корректности).
Доказательство. Мы установим контрапозицию утверждения
теоремы, т. е. покажем, что если формула А не общезначима в классе
фреймов Ер4, тогда \/Ер4 А. Предположим, что замкнутая формула
А (или замыкание всеобщности V А открытой формулы А) не
общезначима в классе фреймов Ер4. Тогда существуют Ер4-модель
(Н, W, R, D, У) и w G W, такие, что V(A, w) = _L. Но тогда
выполнима главная таблица Ер4-диаграммы с исходной формулой ->А.
С другой стороны, мы убедились, что наши правила
построения Ер4-диаграммы сохраняют выполнимость и в тех случаях,
когда они порождают формулы со свободными индивидными
переменными. Поэтому такая Ер4-диаграмма с указанной исходной
формулой А или -Л/ А никогда не замкнется. Следовательно, А
не будет доказуемой в табличном исчислении Ер4. Контрапозиция
только что доказанного утверждения устанавливает справедливость
нашей теоремы. D>
1.4. 	Семантическая полнота Ер4
Покажем теперь, что если замкнутая формула А не
доказуема в табличном исчислении Ер4, то существует опровергающая
£?р4-модель для нее. В самом деле, если А не доказуема в Ер4,
то Ер4-диаграмма для А не замкнута. Но в таком случае, мы
будем иметь две возможности. В первом случае, процесс построения
Ер4-диаграммы завершается в конечное число шагов. А во втором

1. Табличное исчисление Ер4
221
случае, построение Ер4-диаграммы не завершается, так как одно
из наших правил всякий раз окажется применимым. В
последнем случае, как раньше, мы будем говорить, что Ер4-диаграмма
бесконечна.
Если незамкнутая Ер4-диаграмма для замкнутой формулы А
конечна, тогда существует ее незамкнутая альтернативная система
таблиц. Это означает, что не замкнута главная таблица такой
системы таблиц с исходной формулой ~'А. Но тогда не замкнута ни одна
из вспомогательных таблиц этой системы (некоторые из них могут
иметь альтернативную напарницу в другой альтернативной
системе таблиц). Но если -диаграмма бесконечна и, следовательно,
процесс ее построения не завершена, мы не сможем утверждать, что
существует незамкнутая альтернативная система таблиц. На самом
деле, существует незамкнутая альтернативная система таблиц лишь
на каждом шаге ее построения. В гаком случае, следуя Крипке
([1963]), как в параграфе 3.6 главы I, мы построим псевдотаблицы
(альтернативные системы в этом случае будут порождаться
правилами D и ND).
Предположим теперь, что Ер4-диаграмма для замкнутой
формулы А не замкнута. Тогда существует незамкнутая альтернативная
система таблиц с главной таблицей или же незамкнутая
альтернативная система псевдотаблиц с главной псевдотаблицей. В обоих
случаях мы сможем построить опровергающую модель для
формулы А следующим образом.
Пусть So (Sq) является незамкнутой альтернативной системой
таблиц (псевдотаблиц), с главной таблицей t (с главной
псевдотаблицей т) и с исходной формулой -<А. Тогда не замкнуты и все
вспомогательные таблицы So (вспомогательные псевдотаблицы <Sq),
среди которых могут встречаться альтернативные напарницы
других альтернативных систем. So (<Sq ) упорядочена рефлексивным
и транзитивным отношением Но, которое есть Н, если «So является
незамкнутой конечной альтернативной системой таблиц или же Но
есть Н*, если <S(* является альтернативной системой псевдотаблиц.
Определим Ер4-фрейм БТго = (Но, Wo, Ro, Do) следующим
образом. Пусть в — функция, преобразующая таблицы «So
(псевдотаблицы 50*)в элементы Но, т.е. в является взаимооднозначным
отображением «So (So) на Hq. Wo определим как подмножество Но, со¬

222
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
держащее все такие элементы 9(t) (9(т)) из Н0, где t Е So (т Е Sq),
для которых t (г) является немеченой таблицей (псевдотаблицей).
Множество W0 не пусто, поскольку So (Sq) содержит по крайней
мере одну немеченую таблицу (псевдотаблицу) — главную.
Элементы Но упорядочены отношением Ro, которое
соответствует отношению Но между таблицами So (отношению Н* между
псевдотаблицами 5q), т. е. если t\, t2 £ So (т\, т2 £ Sq), \i = 9(ti)
и v2 = 9(t2) (vi = 0(ri) и v2 — 0(r2)), to (vbv2) E Ro тогда и только
тогда, когда {t\,t2) £ Но ((ть r2) Е Н*).
Остается определить функцию областей Do для Fr0. Каждой
таблице t из Sq (псевдотаблице г из Sq ) сопоставим
неограниченное множество Ye С Ind (Yr С Ind) таким образом, чтобы множества,
сопоставленные различным таблицам (псевдотаблицам) не
пересекались, и чтобы при каждом применении правил Е и NE к
формулам из t (г) новые индивидные переменные вводились в формулы
t (г) только из Yt (YT). Если t (г) — главная таблица So
(псевдотаблица Sq) и v = 9(t) (v~9(r)), тогда, так как исходная формула
А, соответственно -NА, не содержит вхождений свободных
индивидных переменных, Do(v) есть непустое подмножество X/ (Хг)
множества Yf (Yr), содержащее те элементы Yt (YT), которые
появляются в формулы, входящие в t (в г) в результате применения
правил Е и NE, а если эти правила не применяются, тогда Do(v)
есть любое непустое подмножество X* (X,-) множества Yt (YT).
Пусть, далее, £ь t2ES0, \i=9(t{), \2 = 9(t2) и (vbv2)£Ro (т1;
тг £ Sq , Vi = 0(ti), v2 = 9(t2) и (vbV2) £ Ro) и предположим, что мы
уже определили D0(vi). Тогда D0(v2) = D0(vi)UXt, (= D0(v!) UXT2),
где X<2 C Yti (ХТ2С\Т2).
Очевидно, что условие (d) функции областей Do всегда будет
выполняться, поскольку из (vi, v2) £ Ro следует, что
Do(vi) С D0(vi) U Х*2 (= Do(vO U X,,) = D0(v2).
Как прежде, рассмотрим объединение Uo = (Jv€Ho Do(v), где
v = 9(t), t € So (v = 0(r), r £ ) и каждую формулу В из любой
таблицы So (псевдотаблицы из Sq ) будем оценивать для
сопоставления, при котором всякой свободной индивидной переменной В
соотносится одноименная переменная из Uo, т. е. когда каждой

1. Табличное исчисление Ер4
223
свободной индивидной переменной мы в качестве объекта
сопоставляем эту же самую индивидную переменную, рассматриваемую
как типографский знак, обладающий физическими свойствами.
Теперь мы определим Рр4-модель Мо как пару (Fro, Vo), где
fro — вышеописанный фрейм, a Vo — частичная функция,
определенная следующим образом.
Пусть п = 0 и v = 6{t) (у = в(т)), тогда Vo(P",v) = Т,
если t (т) содержит Рп: Vo(P",v) = _L, если t (т) содержит -iР"
и non!Vo (Р", v) в противном случае, т. е. если t (г) содержит одно
из выражений Р" или ->Рп, причем в первом случае ->Р" не входит
в t (г), а во втором случае Рп не входит в t (т), в частности,
поп\Уо(Рп, v), если t (т) содержит оба выражения Р” и ->Рп).
Если же п > 0, то Vo(P",v) есть пара (Ро; Qo), такая, что
Р0 = {(жь... ,ж„) : Рп(х 1,...,ж„) входит в t в (т)}, a Q0 =
{(жь ..., х„) : ->Рп(х\,..., хп) входит в t в (г)}. Очевидно, что
Ро, Qo С [D0(v)]n и Р0 П Qo = 0, так как t (т) не замкнута.
Далее, (хи...,хп) g Р0 и (жь... ,х„) 0 Q0, если t (г) со-
держит одно из выражений Р"( х\,...,хп) или ->Рп(х\,... ,хп),
причем, в первом случае, в t (т) не входит -iPn(xb..., хп),
а во втором случае, в t (т) не входит Рп(х\ хп), в част¬
ности, (xi,..., х„) 0 Ро и (жь ..., ж„) 0 Qo, если t содержит оба
выражения Рп(жь ..., хп) и ->Рп(жь ..., жп).
Пусть v = 9{t) (v = ^(г)), тогда Уо(Р"(жь ..., ж„)) = Т, если
(жь ... ,ж„) е Р0, V0(Pn(xi,... ,ж„)) = ±, если (жь ..., ж„) G Q0 и
non!V0(P"(xi,... ,ж„)), если (жь ... ,ж„) 0 Р0 и (жь ... ,х„) 0 Q0.
Теперь мы сможем показать, что если Ер4 -диаграмма для
формулы А не замкнута, М0 является опровергающей моделью для
А (как в случае, когда Ер4-диаграмма с исходной формулой
является конечной, так и в том случае, когда она бесконечна).
Лемма 1. Пусть Мо — заданная выше модель. Для всякой
формулы В и всякой таблицы t (псевдотаблицы т) незамкнутой
альтернативной системы таблиц (псевдотаблиц), при
тождественном сопоставлении элементов Uo всем свободным
индивидным переменным В, Мо удовлетворяет следующим условиям:
1. Если формула В входит в t (т), то Vo(J3, v) = Т.
2. Если формула -<В входит в t (г), то Vq(В, у) = _L.

224
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
3. Если выражение -<В входит в t (г), то или поп\Уо(В, v) или
У0(В,у) = Т.
4. Если выражение В входит в t (г), то или nonWo(B,v) или
V0(В, v) = ±.
Доказательство проведем одновременной индукцией по
логической длине формулы В.
Если В Е Atm, справедливость условий 1)-4) непосредственно
следует из определения Vo.
Предположим поэтому, что формула В не атомарна. Учитывая
сокращения D11 и D12, мы рассмотрим случаи, когда В имеет
один из следующих видов -iС, С\ V Сг, □ С или 3 хА(х).
Пусть В имеет вид ~>С. Покажем, что утверждение 1)
справедливо в этом случае. Вновь воспользуемся индукцией по логической
длине формулы С, которая, в свою очередь, может быть атомарной
или иметь один из следующих видов -iD, DiMDj, ЕЮ или 3 хА(х).
В случае, когда С атомарна, В имеет вид ->С и справедливость
утверждения 1) следует из определения V0.
Случаи, когда С имеет вид -iD, (D\ VD±) или QD,
рассматриваются точно так, как при доказательстве леммы 18 главы II.
Предположим поэтому, что С имеет вид 3 xD{x). Заметим, что в таком
случае В будет иметь вид ->3 xD(x), и поскольку таблица t
(псевдотаблица г) не замкнута, к В применимо правило NE, согласно
которому для каждой индивидной переменной z Е D(v), v = 6(t)
(v = 0(t)), в t (т) включается формула -iD(z), содержащая одним
логическим знаком меньше, чем В. Поэтому к ->D(z) применимо
индуктивное предположение для утверждения 2), в силу
которого Vo(£>(z), v) = ± при тождественном сопоставлении индивидных
переменных из Uo всем отличным от z свободным индивидным
переменным, входящим в D(z), когда переменной z сопоставляется
любая переменная из Uo. Откуда, согласно правилу оценки
квантора существования, следует, что V0(3 xD(x), v) = X, а из нее по
правилу оценки отрицания получаем Уц(В, \) = Vo(-'3 xD(x), v) = Т.
Итак, мы показали, что утверждение 1) справедливо, когда В
имеет вид ->С. Случаи, когда В имеет вид С\ V Сг или □ С,
устанавливаются точно так, как при доказательстве леммы 18 главы II.
Поэтому рассмотрим случай, когда В имеет вид 3 хС(х). Так как

1. Табличное исчисление Ер4
225
таблица t (псевдотаблица г) не замкнута, к формуле В применимо
правило Е, согласно которому в t (г) включается формула С(у)
с ранее не встречающейся ни в одной таблице индивидной
переменной у G X* С Yf (у € Xj- С Yr). Число логических знаков С (у)
на единицу меньше, чем число логических знаков В. Поэтому в
силу индуктивного предположения, Vo(С(у), у) = Т при
тождественном сопоставлении индивидных переменных из Uo всем отличным
от у свободным индивидным переменным, входящим в С(у),
когда переменной у сопоставляется у € X* С Do(v) (у G X,- С Do(v)),
v = 9(t) (v = 0(т)). Но тогда, согласно правилу оценки
квантора существования, при тождественном сопоставлении индивидных
переменных из Uo свободным индивидным переменным В,
следует, что Vo(J3, v) = Vo(3 хС(х), v) = Т.
Таким образом, мы установили справедливость утверждения 1)
нашей леммы.
Точно так же можно установить справедливость остальных
утверждений леммы 1. Рассмотрим, например, утверждение 3).
Пусть В имеет вид ->С, С\ V Сг, ОС или ЗхС(х). Случаи,
когда В имеет вид ->С, С\ V Сг или ПС, устанавливаются точно
так, как при доказательстве леммы 18 главы II.
Рассмотрим случай, когда В имеет вид 3 хА(х). Тогда
незамкнутая таблица t (псевдотаблица г) содержит выражение ->3 хС(х)
и поэтому к В применимо правило NE, согласно которому в t (т)
включается выражение ~<С(у) с ранее не встречающейся ни в
одной таблице индивидной переменной у £ X* С Y< (у € Хт С Yr).
-‘С(у) содержит одним логическим знаком меньше, чем В.
Поэтому в силу индуктивного предположения, non\Vo(C(y), v) или
МС(У), v) = Т при тождественном сопоставлении индивидных
переменных из Uo всем отличным от у свободным индивидным
переменным, входящим в С(у), когда переменной у
сопоставляется у € X* С D0(v) (у в Хт С D0(v)), v = 0(t) (v = в(т)).
Но тогда, согласно правилу оценки квантора существования, в
первом случае, non! Vo (Б, v) = non!V0( 3 хС(х), v), а во втором случае,
Vo (В, у) = Vo(3 хС(х),у) = Т при тождественном сопоставлении
индивидных переменных из Uo свободным индивидным
переменным формулы В. >

226
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
Лемма 2. Если ЕрА-диаграмма для замкнутой формулы А не
замкнута, то А не общезначима в классе фреймов ЕрА.
Доказательство. По условию леммы диаграмма для А не
замкнута, поэтому не замкнута по крайней мере одна из ее альтернативных
систем таблиц (псевдотаблиц). Следовательно, не замкнута также
главная таблица (псевдотаблица) такой системы с исходной
замкнутой формулой -уА. Но тогда, согласно утверждению 2) или 4)
леммы 1, существует опровергающая модель Мо для А и,
следовательно, А не общезначима в классе фреймов ЕрА. >
Теорема 2. Если А в классе фреймов ЕрА, то \- А в
табличном исчислении ЕрА, для любой замкнутой формулы А (теорема
полноты).
Доказательство прямо следует из контрапозиции леммы 2 и
определения доказуемости в табличном исчислении ЕрА. о
Пусть А — полностью модализированная формула и
охарактеризуем одну особенность предикатных систем 54 и ЕрА.
Теорема 3. Полностью модализированная формула А
общезначима в классе фреймов предикатной системы 54 тогда и только
тогда, когда она общезначима в классе фреймов предикатной
версии табличного исчисления ЕрА.
Доказательство. Предположим, что А — полностью
модализированная формула, тогда каждая атомарная формула, входящая
в А, находится в области действия модального оператора А.
Семантические правила оценки формул 54 и ЕрА для полностью
модализированных формул совпадают. В самом деле, V(QB, v) = Т
в 54-модели, если для всякого и из W, такого, что У(В, и) = Т.
Точно также V(QB, v) = Т в 2?р4-модели, если для всякого и из Н,
такого, что У (В, u) = Т, следовательно, !V(B, и)) для всякого и
из Н, такого, что (v, и) 6 R. A V(QB, v) = _L в 54-модели, если
для некоторого и, такого, что (v, и) Е R. Точно также V(QB, v) = ±
в 2?р4-модели, если nonW{A, и) или У (А, и) = ± для некоторого и
из Н, такого, что (v, и) Е R). О
Поскольку 54 и ЕрА являются корректными и полными
справедливо также

2. Исчисления частичных предикатов Хао Вана
227
Следствие 3.1. Полностью модализированная формула А
доказуема в предикатной системе ,94 тогда и только тогда, когда
она доказуема в версии табличного исчисления Ер4.
2. 	Исчисления частичных предикатов Хао Вана
При исследовании различных версий исчисления предикатов
и теории множеств, обычно, ограничиваются рассмотрением
полностью определенных предикатов и множеств. Для того, чтобы
естественным образом обобщить такой подход, некоторые логики
считают целесообразным привлечение к рассмотрению частично
определенных предикатов и множеств. Подобные исследования
следует отнести к сравнительно ранним поискам эпистемических
оснований логики. В разные периоды своей деятельности такой
обобщенный подход разрабатывали Т. Скулем, Г. Беман, Д. Боч-
вар, В. Аккерман, К. Шютте, Ф. Фитч и др. (см. обзорную статью
С. Фефермана [1984]). Схожими способами они стремились без
использования типовых ограничений устранить антиномии логики
и теории множеств и в этом направлении достигли определенных
успехов. Но несмотря на общность цели, они пришли к
существенно различным построениям. По мнению Хао Вана это
свидетельствует, что до конца еще не выяснено, как следует трактовать такую
обобщенную точку зрения на логику. Один из альтернативных
подходов был предложен самим Хао Ваном в [1961].
Алфавит исчисления частичных предикатов Хао Вана РР
содержит логические связки для отрицания, конъюнкции,
дизъюнкции и импликации: А, V и =$■, кванторы всеобщности
и существования: V и 3, неограниченные множества: индивидных
переменных (Ind), 71—арных функциональных знаков (Fun, я ^ 0),
тг-арных предикатных букв (Рг1; п ^ 0). Он может также содержать
константы, конкретные функциональные и предикатные знаки.
Термы (Tftn) и атомарные формулы (Atm) определяются
обычно. Формулы (Frm) образуют наименьшее множество такое, что
Atm С Firm и если х € Ind, а А и В — формулы, не содержащие
знака =>, то -<А, А /\В, AV В, А => В, V хА(х), 3 хА(х) G Firm.
Заметим, что, согласно этому определению, ни в одной формуле
не допускается итерация знака =*.

228
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
Аксиомы РР имеют вид А => В, где А и В — такие
бескванторные формулы, что для всякого означивания V, если V(A) = Т,
то и V(B) = Т (т. е. аксиомами РР являются все бескванторные
общезначимые формулы РР).
Правила вывода РР. Правила для введения и удаления
кванторов:
=»Д(у)
А =Ф- V жВ(ж) ’
В(«)=>Л
‘ VхВ(х) => А’
П2.
П4.
A^B(s)
А 3 жВ(ж) ’
В(р) =» А
3 жВ(х) => А ’
где А, В G Fhn, х, у G Ind, д G Thn и у не входит свободно в А.
Правила для сокращения сторон =>:
AaAaB^C „ А^ BV BV С
П5. —-—— ——; П6. — ————
А А В С А ^ В У С
где A,B,C(z Ftan.
Правило для протаскивания кванторов:
П7. Пусть А(х), В G Rm, х G Ind, х не входит свободно в В
и пусть дан следующий список выражений:
V х->А(х) о ->Э хА(х),
V х(А(х) А В) & V хА(х) А В,
V х(А(х) V В) VхА(х) V В,
3 ж-'.А(ж) ~iV жА(ж),
3 ж(А(ж) Л В) & 3 жА(ж) Л В,
3 ж(А(ж) V В) 4Ф 3 хА(х) V В,
тогда если всякую формулу из данного списка, стоящую слева знака
4Ф, в любой теореме РР заменим формулой, стоящей справа знака
и наоборот, вновь получим теорему РР.
Семантика РР. Моделью исчисления частичных предикатов
Вана РР является пара (D,V), где D — любое непустое множество
индивидов, а V — частичная оценочная функция, пробегающая Prl,
такая, что если п = 0 и Рп — пропозициональная переменная, то
V(Pn) = Т или -L или non!V(P"), а если п > 0 и Р" — п-арная
предикатная буква, то \(Рп) = (Р, Q), где (P,Q) есть пара, такая,
что Р Л Q = 0 и Р, Q С [D]" , где [D]” — n-кратное декартово
произведение D на себя.
Если задана модель для РР, то с помощью индукции по
строению формул мы сможем определить значение любой формулы

2. Исчисления частичных предикатов Хао Вана
229
А при данном сопоставлении свободным индивидным
переменным Ж|,..., хп формулы А элементов ai,..., а„ из D. Если Р —
пропозициональная переменная, то У(Р) уже задана моделью.
У(Рп(х 1,, хп)) — Т при данном сопоставлении свободным
индивидным переменным xi,... ,хп формулы Рп(х\,..., хп)
элементов аь ... ,а„ из D, если n-ка (аь ..., а„) е Р, У(Рп(х1,..., жп)) =
± при том же сопоставлении элементов из D, если (аь ..., а„) € Q,
в противном случае, поп1У(Рп(ху,..., х„)).
Оценка формул, в которых входят только знаки: Л и V, осу¬
ществляется согласно трехзначным таблицам Лукасевича (только
свободным переменным xi,...,x„ формул А и В
сопоставляются значения аь...,а„ из D): V(-ij4) = Т, если У(Л) = J.;
У(-ь4) = -L, если У(Л) = Т; в противном случае, nonlV(-iA).
У(АЛВ) = тгп(У(А),У(В)) и V(AVB) = тах(У(А), У(В)),
предполагая, что Т больше, чем неопределенность и неопределенность
больше, чем ±.
Кванторы V и 3 трактуются как обобщения связок Л и V:
V(Vy А(х\,..., хп, у) = Т при сопоставлении ее свободным
индивидным переменным Х[,... ,хп элементов аь ..., а„ из D, если
при том же сопоставлении У(Л(жь • • •, хп, У)) — Т, когда
значением у является любой элемент b из D; V(V уА(х\,..., х„, у) — ± при
сопоставлении ее свободным индивидным переменным х\,... ,хп
элементов аь • • •, &п из D, если при том же сопоставлении У{А{х\,
... ,хп,у)) = -L, когда значением у является хотя бы один элемент
b из D; в противном случае, поп\У{А{х\,..., хп, у)).
Оценка формул вида 3 уА(ху,..., хп, у) производится
двойственным образом.
Импликация является связкой более высокого уровня.
Поэтому Хао Ван определяет не истинность формулы вида А =$■ В
в модели, а ее общезначимость по отношению к множеству
означиваний.
Формула вида А В общезначима в РР тогда и только тогда,
когда для всякого означивания V, всякий раз, когда V(-A) = Т, то
И у (В) = Т.
Отметим, что ни одна формула, не содержащая знака =>,
не является общезначимой. В самом деле, если А не содержит знака
=>, то мы легко сможем так подобрать значения предикатных букв,

230
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
что все атомарные формулы А будуг неопределенными, но тогда
и А будет неопределенной.
Хао Ван показал (см. [1961]), что исчисление РР является
корректным и полным (т. е. формула вида А => В является теоремой
РР тогда и только тогда, когда для всякого V, если V(A) = Т, то
У(В) = Т). Он также установил, что сечение является допустимым
правилом РР и исследовал отношение РР к классической логике.
Кроме того, Хао Ван построил альтернативное по отношению к РР
исчисление ЕР, которое отличается от РР лишь толкованием
импликации: У(А => В) = Т в ЕР тогда и только тогда, когда для
всякого означивания V, если V(A) = Т, то У (В) — Т и если поп'.У(А),
то У (В) Ф -L. Язык, интерпретация, определение общезначимости
формул (с только что указанным единственным отличием) и
правила вывода для ЕР те же самые, что и для РР, а аксиомами ЕР
являются все бескванторные общезначимые формулы ЕР. Хао Ван
также установил корректность и полноту исчисления ЕР.
2.1. 	Пропозициональные фрагменты
исчислений РР и ЕР
Пропозициональные фрагменты исчислений частичных
предикатов Хао Вана РР и ЕР в дальнейшем соответственно будем их
обозначать через PPs и EPs. Очевидно, что атомарными
формулами в них будут только пропозициональные переменные. А. Роуз
сформулировал независимую и полную систему аксиом для PPs,
которая содержит нижеследующие аксиомы А1-А12 и правила
вывода П' 1-П'4:
Al. Р =£• Р V Q,
А2. PVQ^QVP,
АЗ. Р Л Q => Р,
А4. Р aQ Q ЛР,
А5. -'-'Р =>• Р,
А6. Р =>• -.-.Р,
А7. Р A (Q V R) (Р A Q) V (Р Л R),
А8. п(рдд) => (-iP V ->Q),
А9. (-PV^Q)^-(PAQ),

2. Исчисления частичных предикатов Хао Вана
231
А10. ->(PVQ) =» (iPA-iQ),
All. (-пРЛ-iQ) =» n(PvQ),
A12. (PAnP)^g.
П' 1. Из4=^СиВ^С следует iVB^C;
П'2. ИзА=>2?иА=^С следует А =>■ В Л С;
П'З. Из А=>ВиВ=>С следует А =Ф- С, где А, В, С —
не содержащие знака => формулы.
П'4. Пусть Р — пропозициональная переменная, входящая в
формулу А, формула В не содержит знака 4, а С получается
из А в результате замены всех вхождений Р в А на В; тогда
из А следует С.
А. Роуз установил также необходимое и достаточное условие
доказуемости формул в PPs, с его помощью доказал полноту
PPs и сформулировал независимую и полную систему аксиом для
той версии пропозиционального фрагмента РР, которая в качестве
исходных логических связок содержит лишь -i и V (см. Роуз [1963]).
Н. М. Ермолаева исследовала все возможные
пропозициональные исчисления типа Хао Вана (см. Ермолаева [1973]),
получающиеся при варьировании аксиомы А12 и для соответствующих
логик ввела особые обозначения: Li совпадает с PPs (т. е. с
пропозициональным фрагментом РР), Ln получается из Lj, если в ней
А12 будет заменена более слабой аксиомой А12': РЛ ->Р =>■ Q V -><5
(заметим, что левая часть аксиомы А12' является контрадикцией,
т. е. не может принимать в качестве значения Т. Поэтому никогда
не осуществится случай, когда левая часть аксиомы А12' принимает
значение Т, а правая часть не принимает в качестве значения Т.
Следовательно, аксиома А12' тривиально удовлетворяет условиям
общезначимости формул вида А =>■ В в ЕР). При этом, Ермолаева
характеризует Ln как одноимпликативный фрагмент трехзначной
логики Лукасевича. Хотя на самом деле, логику Ьц можно точнее
описать, как пропозициональный фрагмент исчисления Хао Вана
ЕР, т. е. как EPS. Логика Ьш двойственна к Lj (к PPs) и
получается из Li, если в ней А12 будет заменена новой аксиомой:
Р => Q V -\Q. A Ljv является логикой де Моргана и
получается из Lj опусканием аксиомы А12. Ермолаева в [1973] также

232
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
сформулировала семантический критерий истинности одноимпли-
кативных формул и с его помощью доказала теорему полноты
для Lu (=EPs). Ниже мы приведем другое доказательство этой
теоремы, использующее синтаксический критерий доказуемости
формул в EPs ■ Оно ближе к способу, который А. Роуз использовал
для установления полноты PPs-
В названной статье Ермолаевой также указывается, что
классическую логику К можно получить присоединением Р =>■ Q V ->Q
к аксиомам L;; кроме того, описывается точная модель логики Ljv
и по включению упорядочиваются все перечисленные выше логики
(вместе с противоречивой логикой Lq , в которой верны все
формулы): Liv С Ljj, Ljj С Lj, Lu С Lui, Li С К, Luj С К, К С Lq.
Затем доказывается интересный факт о том, что между каждыми
двумя соседними логиками этого списка нет промежуточных логик.
В. К. Финн [1974] показал, что X/ (= PPs) есть одноим-
пликативный фрагмент трехзначной логики Лукасевича, а позже
совместно с О. М. Аншаковым установил, что исчисление ЕР Хао
Вана в некотором смысле эквивалентно секвенциальному
исчислению Дж. Клива (ср. Клив [1974] и Аншаков, Финн [1981]).
Отметим некоторые очевидные особенности исчислений PPs
и EPs '.
I. Если А — конечная конъюнкция формул и В является
подконъюнкцией А, то формула А В доказуема в PPs (EPs)',
II. Если В — конечная дизъюнкция формул и А является
поддизъюнкцией В, то формула А В доказуема в PPs (EPs)',
III. Если формулы: А\ => А2, А2 => А2, ..., А„_i =4- Ап доказуемы
в PPs (EPs), то формула А\ =4> Ап (п ^ 3) также доказуема
в PPS (EPS);
IV. Если формулы: А =>• В\, А => В2, ..., А => Вп доказуемы
в PPs (EPS), то формула А =4> В\ А В2 А... А В„ (п ^ 2) также
доказуема в PPs (EPs);
V. 	Если формулы: А\ =¥ В, А2 => В, ..., Ап =>■ В доказуемы
в PPs (EPS), то формула А\ V А2 V... V Ап =>• В (п ^ 2) также
доказуема в PPs (EPs).
Отметим еще некоторые легко устанавливаемые особенности
исчислений PPs (EPs). Пусть С# обозначает конъюнктивную

2. Исчисления частичных предикатов Хао Вана
233
нормальную форму формулы С, а С° — дизъюнктивную
нормальную форму формулы С, тогда
VI. 	Формула вида А =* В доказуема в PPs (EPs) тогда и только
тогда, когда А0 =ф- В0 доказуема в PPS (EPS) тогда и только
тогда, когда А° =$> В* доказуема в РР$ (EPs) тогда и только
тогда, когда А* =>■ В° доказуема в РР$ (EPs).
VII. 	Если формулы А и В не содержат знака =», то замена А
на В или В на А в любую теорему PPS допустима тогда
и только тогда, когда в PPs доказуемы формулы: А =* В,
В =>■ А, А =>• и ->В -\А (см. Роуз [1963]).
VIII. Формула вида А =$► В доказуема в EPS тогда и только тогда,
когда в PPs доказуемы формулы: А => В а -<В =>• ->А
(см. Ермолаева [1973]).
Из VII и VIII сразу следует
IX. Замена несодержащих знака =>• формул А на В или В на А
в любую теорему EPs допустима тогда и только тогда, когда в
PPs доказуемы формулы: А=>В, ->В В=>А, -<А=>- -\В.
Очевидно, что свойства I—IX и синтаксические критерии
доказуемости формул в PPs и EPs останутся в силе, если в качестве
атомарных формул мы также рассмотрим бескванторные
атомарные формулы исчислений РР и ЕР.
2.2. 	Критерии доказуемости формул в PPs и EPs
Пусть \/Г=1 Cj есть дизъюнктивная нормальная форма
формулы А, V"=, D, — дизъюнктивная нормальная форма формулы В,
a AL, Ек — конъюнктивная нормальная форма формулы В.
Синтаксический критерий доказуемости формул в PPs •
Будем говорить, что формула А =>• В удовлетворяет
синтаксическому критерию доказуемости формул в PPs, если для каждого
такого дизъюнктивного члена Q дизъюнктивной нормальной
формы УГ=, Ci формулы А, который в качестве
конъюнктивных членов не содержит ни одну пропозициональную
переменную вместе с ее отрицанием, существует такой дизъюнктивный
член Dj дизъюнктивной нормальной формы Vj=i Dj формулы
В, что Dj является подконъюнкцией С* (критерий Роуза). с>

234
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
Синтаксический критерий доказуемости формул в EPS.
Будем говорить, что формула А => В удовлетворяет
синтаксическому критерию доказуемости формул в EPS, если а)
каждый дизъюнктивный член Q дизъюнктивной нормальной
формы Vj=i Ci формулы А, который в качестве конъюнктов
не содержит ни одной пропозициональной переменной
вместе с ее отрицанием, удовлетворяет критерию Роуза для PPS,
и б) для каждого дизъюнктивного члена Q дизъюнктивной
нормальной формы Vj=i С* формулы А, который в качестве
конъюнктивных членов содержит по крайней мере одну
пропозициональную переменную вместе с ее отрицанием, каждый
конъюнктивный член Е* конъюнктивной нормальной формы
формулы В является классической тавтологией (т. е.
содержит некоторую пропозициональную переменную вместе с ее
отрицанием) или в качестве дизъюнктивного члена содержит
хотя бы один конъюнктивный член, входящий в указанный
дизъюнктивный член С% дизъюнктивной нормальной формы
Q формулы А. >
Лемма 3. Если формула А =$> В не удовлетворяет
синтаксическому критерию доказуемости формул в ЕР$, то формула
А=$> В не общезначима.
Доказательство. Предположим, что условие леммы выполняется,
т. е. формула А => В не удовлетворяет синтаксическому
критерию доказуемости формул в EPs. Тогда существует такое число i
(1 ^ i ^ га), что а) если дизъюнктивный член Сг дизъюнктивной
нормальной формы VUi С* формулы А в качестве конъюнктов
не содержит ни одной пропозициональной переменной вместе с ее
отрицанием, то ни для какого j (1 ^ j ^ п) дизъюнктивный
член Dj дизъюнктивной нормальной формы V^=i Dj формулы
В не является подконъюнкцией Сг, или б) если дизъюнктивный
член С{ дизъюнктивной нормальной формы V£Li формулы А
в качестве конъюнктов содержит по крайней мере одну
пропозициональную переменную вместе с ее отрицанием, то существует число
k (1 ^ к ^ г), такое, что конъюнктивный член конъюнктивной
нормальной формы Ек формулы В не является классической
тавтологией (т. е. не содержит ни одной пропозициональной пере¬

2. Исчисления частичных предикатов Хао Вана
235
менной вместе с ее отрицанием), а также ни один дизъюнктивный
член Ек конъюнктивной нормальной формы Д*=1 Ек формулы В
в то же время не является конъюнктивным членом Q.
Рассмотрим случай а). Определим Vo следующим образом:
пусть Vo (Р) = Т для всякой пропозициональной переменной Р,
входящей в С, без знака отрицания. Пусть, далее, Vo(Q) = J.
для всякой пропозициональной переменной Q, входящей в С*
со знаком отрицания и пусть nonWo(R) для всех таких
пропозициональных переменных R, которые или отрицания которых являются
конъюнктами Dj , но не являются конъюнктами С*. Остальные
пропозициональные переменные могут принимать любые значения.
Очевидно, что, в таком случае, Vo(V^iC<) = V0(Ci) = Т, а д ля
всякого j (l^j ^п) Vo(Dj)/Т и, следовательно, Vo(Vj=i Dj)Ф
А это означает, что |£ А =Ф- В.
В случае б) мы зададим Vo следующим образом: пусть
поп\Vo (Р) для всякой пропозициональной переменной Р,
входящей в С,. Vo(<?) = -L для всякой пропозициональной
переменной Q, входящей в Ек без знака отрицания и, наконец, пусть
V0(i?) = Т для всех пропозициональных переменных R, входящих
в Ек со знаком отрицания. Остальным переменным можно придать
любые значения.
В таком случае, мы легко убедимся, что
или, возможно, V0(Vr=i Ci) = Т, в зависимости от того, какие
значения получат при означивании Vo отличные от С,- дизъюнктивные
члены дизъюнктивной нормальной формы VT i С* формулы А.
Обе ее стороны находятся в дизъюнктивной нормальной форме. При этом
левая сторона, состоящая лишь из одного дизъюнктивного члена в качестве
конъюнктов содержит пропозициональную переменную Р вместе с ее
отрицанием. Согласно пункту б) синтаксического критерия доказуемости
Следовательно, ^ А =>■ В.
Пример 1. Рассмотрим формулу
О
(Р Л ~>Р A R) =>■ (Q Л ill) V (~Jli Л R).
(1)

236 Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
формул в EPS, каждый конъюнктивный член конъюнктивной нормальной
формы правой стороны формулы (1):
(Q V тй]) Л № V -л{) Л (Q V R) Л (#1 V R), (2)
должен быть классической тавтологией или в качестве дизъюнкта
содержать конъюнктивный член левой стороны формулы (I). Однако первый
конъюнктивный член формулы (2) не удовлетворяет этому условию. Если
теперь мы следующим образом оценим пропозициональные переменные,
входящие в формулу (1): nonW(P), V(Q) = _L, non\\(R) и V(#i) = T,
тогда левая сторона формулы (1) будет неопределенной, а — правая ложной.
Поэтому формула (1) не будет общезначимой в EPg. О
Лемма 4. Если формула В удовлетворяет
синтаксическому критерию доказуемости формул в EPs, то А => В доказуема
в EPS.
Доказательство. Пусть А => В удовлетворяет условию леммы. В та-
ком случае, мы будем иметь всего две возможности:
а) Дизъюнктивный член CV дизъюнктивной нормальной
формы VUi Ci формулы А не содержит ни одной пропозициональной
переменной вместе с ее отрицанием и существует дизъюнктивный
член Dj дизъюнктивной нормальной формы Vj=i Формулы
В, являющийся подконъюнкцией формулы А. Но тогда, согласно
свойству I, в EPs доказуема С* => Dj, откуда в силу свойства II
следует, что С* =>• Vy=i Dj также доказуема в EPs.
б) Дизъюнктивный член С,- дизъюнктивной нормальной
формы Vi*Li С» формулы А содержит некоторую пропозициональную
переменную Р вместе с ее отрицанием ->Р и каждый
конъюнктивный член Ек конъюнктивной нормальной формы t\u=\ &к
формулы В является либо классической тавтологией (т. е. содержит
некоторую пропозициональную переменную Q вместе с ее
отрицанием -IQ), либо конъюнктивный член Ек конъюнктивной
нормальной формы Д£=1 Ек в качестве дизъюнкта содержит G,
являющийся в то же время конъюнктом дизъюнктивного члена С,-
дизъюнктивной нормальной формы \/Г i С» формулы А.
В первом случае, согласно свойству I, в EPs доказуема
формула Ci Р А ~Р. Кроме того, в силу аксиомы А12', мы имеем
РА~>Р => Q\Z~>Q, а согласно свойству II, в EPs доказуема формула
Q V -1Q => Ек- Из этих формул, используя свойство III, мы сразу
выведем формулу С,- => Ек.

2. Исчисления частичных предикатов Хао Вана
237
Во втором случае, конъюнктивный член Еh конъюнктивной
нормальной формы Д*=1 Eh формулы В хоть и не является
классической тавтологией, но содержит некоторый дизъюнктивный
член G, являющийся также конъюнктом дизъюнктивного члена
Ci дизъюнктивной нормальной формы VUi Ci формулы А. Опять
согласно I мы сначала выводим в EPS формулу Ci =Ф- G. Затем,
в силу свойства II устанавливаем доказуемость G 4 ft в EPs
и с помощью III убеждаемся, что в EPs также доказуема Ci => Eh.
В обоих случаях мы показали, что для любого 1 ^ к ^ г в EPS
доказуема С* =>• Eh, но тогда согласно свойству IV в. EPs также
доказуема формула С, => л;_1 и, следовательно, Q =Ф- Vy=i Dj>
в силу свойства VI.
Мы рассмотрели обе возможности а) и б) выполнения
критерия доказуемости формул в EPs и установили, что в каждой
из них для любого i (1 ^ г ^ га) в EPs доказуемы все формулы
вида Ci Vj=i Dj> но тогда, согласно свойству V, в EPs также
доказуема формула V^Li Q => Vj=i Dj- >
Пример 2. Рассмотрим теперь формулу
(Р Л -1JR A R\)W (Q A -*Q А Р) => (Pi А Р) V -р]. (1)
Обе ее стороны находятся в дизъюнктивной нормальной форме. Первый
дизъюнктивный член правой стороны формулы (1) удовлетворяет пункту а)
синтаксического критерия доказуемости формул в EPS, поскольку он
является подконъюнкцией первого дизъюнктивного члена левой стороны
формулы (1). А для второго дизъюнктивного члена левой стороны формулы (1),
который содержит пропозициональную переменную Q вместе с ее
отрицанием -><2, выполняется пункт б) синтаксического критерия доказуемости
формул в EPs. В самом деле, конъюнктивная нормальная форма правой
стороны формулы (1) имеет вид (Ri V-\Ri)A(PV-bRi). Первый ее
конъюнктивный член является классической тавтологией, а второй ее
конъюнктивный член содержит пропозициональную переменную Р, которая является
конъюнктом второго дизъюнктивного члена левой стороны формулы (1). О
Теорема 4. Пропозициональное исчиагение EPs является
полным (Ермолаева [1973]).
Доказательство прямо следует из контрапозиции леммы 3 и из
леммы 4. >

238
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
2.3. 	Аналоги теоремы Крэйга для РР и ЕР
Свою знаменитую интерполяционную теорему У. Крэйг [1957]
доказал для классического исчисления предикатов. Он установил,
что (а) для всякой классически доказуемой импликативной
формулы А Э С, если А и С имеют общие предикатные буквы, то
существует формула В, содержащая лишь те свободные
индивидные переменные и предикатные буквы, которые входят
одновременно как в А, так и в С\ такая, что классически доказуемы также
формулы А D В и В D С. Кроме того, (Ъ) если А и С не имеют
общих предикатных букв и А D С доказуема классически, тогда
классически доказуемы -<А или С. К. Шютте [1962] показал, что
интерполяционная теорема справедлива также для
интуиционистского исчисления предикатов. Е. Расева [1972] установила аналоги
этой теоремы для m-значных исчислений предикатов Э. Поста,
а Л. Максимова [1977, 1979] дала полную характеристику как всех
суперинтуиционистских пропозициональных логик, так и
нормальных модальных пропозициональных логик, расширяющих S4, для
которых справедлива теорема Крэйга.
Мы покажем, что аналоги интерполяционной теоремы Крэйга
справедливы для исчислений частичных предикатов Хао Вана РР
и ЕР (см. Бежанишвили [2000]). Рассмотрим случай, когда язык
РР (ЕР) не содержит термов. Нижеследующее доказательство
аналогов интерполяционной теоремы для РР и ЕР mutatis mutandis
можно распространить и на случай, когда язык РР (ЕР) содержит
термы.
В дальнейшем мы часто будем пользоваться следующими легко
устанавливаемыми свойствами РР (ЕР):
X. Ни одна формула, которая не содержит знака =>, не является
доказуемой в РР (ЕР).
XI. Если А* и В* — предваренные формулы, полученные согласно
правилу вывода П7 из А и В, соответственно, то А => В
доказуема в исчислении РР (ЕР) тогда и только тогда, когда
А* => В* доказуема в РР (ЕР).
Лемма 5. Бескванторная формула вида А => В является
аксиомой РР тогда и только тогда, когда она удовлетворяет
критерию Роуза. (Роуз [1963]).

2. Исчисления частичных предикатов Хао Вана
239
Доказательство. Пусть бескванторная формула А =>■ В
удовлетворяет критерию Роуза, тогда для каждого дизъюнктивного члена Ci
дизъюнктивной нормальной формы V£Li Сг формулы А, который
в качестве конъюнктивных членов не содержит ни одной атомарной
формулы вместе с ее отрицанием, существует такой дизъюнктивный
член Dj дизъюнктивной нормальной формы Dj формулы В,
что Dj является подконъюнкцией Q. Но в таком случае, согласно
условию оценки конъюнкции, следует, что для всякого означивания
V, всякий раз, когда V(Ci) = Т, то и V(Dj) = Т, а в силу условия
оценки дизъюнкции, следует, что всякий раз, когда V(V£Li Ci) — Т,
то и v(V"=i Dj) = Т, т. е. всякий раз, когда V(A) = Т, то и У(В) = Т.
Следовательно, А =>• В является аксиомой РР.
Предположим теперь, что формула А =Ф- В не
удовлетворяет критерию Роуза и определим для нее опровергающую
модель (Do, Vo), где Do — множество всех индивидных переменных,
входящих в формулу А =Ф- В, которые рассматриваются как
типографские знаки, обладающие физическими свойствами. А для
задания Vo зафиксируем любой г-ый член Сг дизъюнктивной
нормальной формы формулы А, не содержащий ни одной
атомарной формулы вместе с ее отрицанием, и предположим, что
V0 (Рп) = (Р, Q), где Р={(®1 ,...,хп): Р"(х ь ..., х„) входит в Q
без знака отрицания}, a Q={(®i,..., хп) : Рп(х\,..., х„) входит
в Ci со знаком отрицания}, п > 0. Так как Cj не содержит ни одной
атомарной формулы вместе с ее отрицанием, то Р П Q = 0. Затем
каждой свободной индивидной переменной х формулы А => В
в качестве значения сопоставим х из Do.
Поскольку критерий Роуза не выполняется для формулы
А В, ни для какого дизъюнктивного члена Ci
дизъюнктивной нормальной формы формулы А, не содержащего атомарной
формулы вместе с ее отрицанием, дизъюнктивная нормальная
форма формулы В не содержит ни одного дизъюнктивного члена
Dj, являющегося подконъюнкцией С,-. Другими словами, каждый
дизъюнктивный член Dj дизъюнктивной нормальной формы
формулы В содержит по крайней мере одну атомарную формулу Gi
или отрицание атомарной формулы -><52, которые не являются
конъюнктивными членами ни одного дизъюнктивного члена С,-

240
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
дизъюнктивной нормальной формы формулы А, не содержащей
атомарной формулы вместе с ее отрицанием.
Теперь, если п=0, тогда Рп — пропозициональная
переменная, входящая в фиксированный дизъюнктивный член Q, мы
придадим Р" значение Т, а если в С* входит ~^Qn, тогда
пропозициональной переменной Q" придадим значение ± и,
следовательно, значением ->Qn будет Т. Точно также, если п > 0, то
по определению V0(P"), каждая атомарная бескванторная формула,
входящая в Сг без знака отрицания получит значение Т, а каждая
атомарная бескванторная формула, входящая в С, со знаком
отрицания, также получит значение Т. Но тогда, согласно условию
оценки конъюнкции, Vo(Cj) = Т и, следовательно, согласно
условию оценки дизъюнкции Vo(A) = Vili Ci = Т, какие бы значения
не принимали атомарные формулы, не входящие в С*.
С другой стороны, если п=0, то конъюнктивные члены G\
или (?2, входящие в каждый дизъюнктивный член Dj, являются
пропозициональными переменными или их отрицаниями, не
входящими в Ci, и мы будем полагать, что non\\o(G\) = non!Vo(->Gi)
или non\Vo(G2) = non[\o(->G2)■ А если п > 0, то из определения
Vo(P") следует, что non!Vo(Gi) = non!Vo(-iGi) или nonW^Gj) =
nonWoi^Gj) ■ Откуда в силу условия оценки конъюнкции
заключаем, что для каждого дизъюнктивного члена Dj дизъюнктивной
нормальной формы формулы В Vo (Dj) Ф Т, а согласно условию
оценки дизъюнкции заключаем, что Уо(В) = Vo(V^=i Dj) ^ ~Г.
Следовательно, А => В не является аксиомой РР. >
Лемма 6. Бескванторная формула вида А => В является
аксиомой ЕР тогда и только тогда, когда она удовлетворяет
критерию доказуемости бескванторных формул в ЕР.
Доказательство. Пусть бескванторная формула А В
удовлетворяет критерию доказуемости бескванторных формул в ЕР, тогда
либо а) для каждого дизъюнктивного члена Ci дизъюнктивной
нормальной формы \/Г-1 С; формулы А, который в качестве
конъюнктивных членов не содержит ни одной атомарной формулы вместе
с ее отрицанием, существует такой дизъюнктивный член Dj
дизъюнктивной нормальной формы Vj=i Dj формулы В, что Dj
является подконъюнкцией С,-; либо б) дизъюнктивный член Ci дизъ¬

2. Исчисления частичных предикатов Хао Вана
241
юнктивной нормальной формы V^ti Q формулы А содержит
некоторую атомарную формулу вместе с ее отрицанием и каждый
конъюнктивный член Ек конъюнктивной нормальной формы Д£=1 Ек
формулы В является либо классической тавтологией (г. е. содержит
некоторую атомарную формулу вместе с ее отрицанием), либо
конъюнктивный член Ек конъюнктивной нормальной формы Д£_, Ек
в качестве дизъюнкта содержит хотя бы один конъюнктивный член
G, входящий в качестве конъюнктов указанного дизъюнктивного
члена С{ дизъюнктивной нормальной формы V£Li С» формулы А.
Случай а) рассматривается точно так, как в доказательстве
предыдущей леммы.
Поэтому отдельно рассмотрим случай б). Предположим
сначала, что дизъюнктивный член Q дизъюнктивной нормальной формы
V^i С{ формулы А содержит некоторую атомарную формулу
вместе с ее отрицанием и каждый конъюнктивный член Ек
конъюнктивной нормальной формы Д£=1 Ек формулы В является
классической тавтологией или же конъюнктивный член Ек
конъюнктивной нормальной формы Д£=1 Ек в качестве дизъюнкта содержит
формулу G, которая в то же время является конъюнктом
указанного дизъюнктивного члена С* дизъюнктивной нормальной формы
формулы А. Но в таком случае, из условий оценки конъюнкции
и дизъюнкции, следует, что для всякого означивания V и для
всякого i (1 ^ i ^ т) У(С{) ф Т, а У(Д*=1 Ек) Ф .L и, следовательно,
V(V и D j) Ф ±. В самом деле, так как V(Ct) ф Т, то V(C',) = -L или
non\V(Ci). Первый случай можно не рассматривать. Пусть поэтому
nonW(Ci). Но тогда для всякого к (1 ^ к < г) Ек есть
классическая тавтология или Ек в качестве дизъюнктивного члена содержит
формулу G, которая также является конъюнктом указанного С<.
Предположим сначала, что Ек — классическая тавтология.
Тогда У(Ек) = Т или non\V(Ek). Пусть теперь Ек в качестве
дизъюнктивного члена содержит формулу G, являющуюся
конъюнктивным членом и пусть V(G) = ±. Но тогда, согласно условию
оценки конъюнкции, V(C,) = ±, что противоречит нашему
предположению о том, что non'V(Ci). Поэтому V(Ek) ф _L. Таким
образом, в обоих случаях У(Д£=1 Ек) Ф ± и невозможно, чтобы
V(vr= 1 С**) "ф- Т, a — -L. Следовательно, А В являет-
ся аксиомой ЕР.

242
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
Рассмотрим теперь случай, когда формула А => В не
удовлетворяет критерию доказуемости бескванторных формул в ЕР.
Тогда либо а) для каждого j Dj содержит по крайней мере одну
атомарную формулу или ее отрицание, которые не являются
конъюнктивными членами С,-; либо б) дизъюнктивный член С*
дизъюнктивной нормальной формы формулы А содержит в качестве
конъюнктивных членов атомарную формулу вместе с ее
отрицанием, но по крайней мере один конъюнктивный член Е%
конъюнктивной нормальной формы Д£_, Ек формулы В не является
классической тавтологией, т. е. не содержит атомарной формулы вместе
с ее отрицанием, и ни один дизъюнктивный член G формулы Ек
не входит в качестве конъюнктивного члена в указанный
дизъюнктивный член С{ дизъюнктивной нормальной формы формулы А.
Случай а) рассматривается точно так, как в доказательстве
предыдущей леммы.
Убедимся, что в случае б) утверждение леммы также будет
верным. Так как критерий доказуемости формул в ЕР не выполняется,
то для каждого дизъюнктивного члена Сг дизъюнктивной
нормальной формы формулы А, содержащей атомарную формулу вместе
с ее отрицанием, зафиксируем конъюнктивный член Ек
конъюнктивной нормальной формы формулы В, который в качестве
дизъюнктов не содержит атомарной формулы вместе с ее
отрицанием (т. е. Ек не является классической тавтологией). Кроме того, Ек
не содержит ни одного конъюктивного члена G указанного
дизъюнктивного члена С( дизъюнктивной нормальной формы формулы
А. Определим модель (Do, Vo), где Do — множество всех
индивидных переменных, входящих в формулу А =>■ В, которые
рассматриваются как типографские знаки, имеющие физические свойства;
a V0(P") = (Р, Q), где Р={(жь ..., ж„): Рп(хь ...,хп) входит в Ек
со знаком отрицания} и <2={(жь ..., хп) : Рп(жь ..., хп) входит
в С,- без знака отрицания}, п >0. Поскольку Ек не содержит ни
одной атомарной формулы вместе с ее отрицанием, то РП Q = 0.
Каждой индивидной переменной х формулы А =>• В вновь
сопоставим в качестве значения ж из Do-
Если п = 0, то Рп — пропозициональная переменная,
входящая в фиксированный конъюнктивный член Ек конъюнктивной
нормальной формы формулы В. Каждую пропозициональную пе¬

2. Исчисления частичных предикатов Хао Вана
243
ременную, входящую в Q, будем считать неопределенной. Точно
также, если п >0, то по определению Уо(Рп) и условию оценки
отрицания каждая бескванторная атомарная формула и отрицание
бескванторной атомарной формулы, входящие в С*, будут неопре-
делены. Поэтому согласно условию оценки конъюнкции мы можем
заключить, что non! Vo (С,).
С другой стороны, если п = 0, то каждой пропозициональной
переменной, входящей в Ек без знака отрицания, мы сопоставим
значение ±, а каждой пропозициональной переменной, входящей
в Ек со знаком отрицания — Т. Тогда ее отрицание получит
значение -L. Точно также, если п > 0, то по определению Vo(Рп) каждая
бескванторная атомарная формула, входящая в Ек, со знаком
отрицания принимает значение Т. Следовательно, ее отрицание получит
значение ±. А всякая атомарная бескванторная формула, входящая
в Ек, без знака отрицания получит значение ±. Откуда по условию
оценки дизъюнкции следует, что Vo (Ек) = 1, а по условию
оценки конъюнкции получаем, что Vo(jB) = Vo(A*=1 Ек) — -L. Вместе
с V0(A) = V0(Vr=i Ci) Ф -L из этого следует, что А => В не является
аксиомой ЕР. О
Теорема 5. Для всякой доказуемой в исчислении РР формулы
вида А => С,
(a) если А и С имеют по крайней мере одну общую предикатную
букву, то существует формула Б, содержащая лишь те свободные
индивидные переменные и предикатные буквы, которые входят
одновременно в А и С, такая, что в РР доказуемы формулы
А => В и В => С ;
(b) если же А и С не содержат общих предикатных букв и в РР
доказуема А => С, то А является контрадикцией
(Интерполяционная теорема для РР).
Доказательство, (а) Сначала рассмотрим случай когда А и С —
бескванторные формулы. В силу свойства VI, мы без ограничения
общности можем предположить, что они являются
дизъюнктивными нормальными формулами.
Построим формулу Б, соблюдая следующие условия:
(i) если в дизъюнктивные члены дизъюнктивной
нормальной формы формулы А входит атомарная формула вместе с ее отри¬

244
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
цанием, которые содержат атомарную формулу или ее отрицание,
входящие в дизъюнктивные члены дизъюнктивной нормальной
формы формулы С, или если дизъюнктивные члены С*
дизъюнктивной нормальной формы формулы А не содержат ни одной
атомарной формулы вместе с ее отрицанием, тогда из дизъюнктивной
нормальной формы формулы А мы опускаем все такие
атомарные формулы и отрицания атомарных формул, которые не входят
в дизъюнктивные нормальные формы формул А и С;
(ii) если дизъюнктивные члены С,- дизъюнктивной нормальной
формы формулы А содержат атомарную формулу вместе с ее
отрицанием, которые не входят в дизъюнктивную нормальную форму
формулы С, то сначала мы их заменим любой атомарной формулой
и ее отрицанием, входящими в дизюнктивные нормальные формы
формул А и С. А затем из так преобразованной дизъюнктивной
нормальной формы формулы А опустим все атомарные формулы
и отрицания атомарных формул, которые не входят в
дизъюнктивные нормальные формы формул А и С.
Очевидно, что в формулу В будут входить только такие
атомарные формулы или отрицания атомарных формул, которые содержат
свободные индивидные переменные и предикатные буквы,
входящие как в А, так и в С (см. пример 3 на стр. 34). Такая формула В
называется интерполянтой.
Если формулы А или С содержат кванторы, то к определению
интерполянты мы добавим следующий пункт:
(ш) если А и С предваренные формулы, мы удалим из кван-
торных приставок А или С те кванторы, которые связывают
индивидные переменные, не входящие в бескванторную интерполянту
и так полученную кванторную приставку присоединим к
бескванторной интерполянте.
Сначала покажем, что если А => С является аксиомой
исчисления РР, то А=>ВиВ=>С также будут аксиомами РР.
Согласно лемме 5, бескванторная формула вида А => С
является аксиомой РР тогда и только тогда, когда она удовлетворяет
критерию Роуза. Другими словами, если для всякого
дизъюнктивного члена Q дизъюнктивной нормальной формы формулы А,
не содержащего бескванторной атомарной формулы вместе с ее
отрицанием, существует дизъюнктивный член Dj дизъюнктивной

2. Исчисления частичных предикатов Хао Вана
245
нормальной формы формулы С, который является
подконъюнкцией Сг. Однако, выполняя пункт (i) при построении формулы В,
каждый ее дизъюнктивный член, не содержащий бескванторной
атомарной формулы вместе с ее отрицанием, мы получили из
дизъюнктивного члена Ci формулы А опусканием бескванторных
атомарных формул и отрицаний бескванторных атомарных формул,
не входящих в А и С. Поэтому каждый такой дизъюнктивный член
С[ формулы В будет подконъюнкцией дизъюнктивного члена С*
формулы А. Следовательно, А => В удовлетворяет критерию Роуза
и, согласно лемме 5, является аксиомой РР.
Аналогичным рассуждением мы легко сможем убедиться, что
В => С также удовлетворяет критерию Роуза и, следовательно,
является аксиомой РР. Поскольку В содержит только те
бескванторные атомарные формулы или отрицания бескванторных
атомарных формул, которые входят в А и С, то ни один
дизъюнктивный член дизъюнктивной нормальной формы формулы С
не может быть подконъюнкцией такого дизъюнктивного члена
дизъюнктивной нормальной формы формулы А, который не
содержит бескванторной атомарной формулы вместе с ее отрицанием.
Для рассмотрения общего случая, в силу свойства XI, мы
без ограничения общности рассуждения можем предположить, что
формула А => С, где А и С — предваренные формулы, имеет вид
ЗхУуЗгУи 1 3 и2А'(х, у,г,щ,и2) => V уЗ z3xV щС'(х, у,г,щ),
где А'(х, у, z, щ, «г) и С'(х, у, z, щ) — дизъюнктивные
нормальные формы бескванторных частей А и С соответственно. Тогда
интерполянта В, согласно пункту (Ш) определения интерполянты,
будет иметь вид Vy 3 z 3 хВ'(х, у, z), причем В'(х, у, z) —
дизъюнктивная нормальная форма бескванторной части В, полученная
согласно пунктам (i) и (ii) определения интерполянты. С помощью
указанного частного случая мы продемонстрируем как можно в
общем случае навешивать кванторы на обе стороны бескванторных
частей импликации Вана => согласно правилам вывода П1-П4.
По условию теоремы формула А =Ф- С доказуема в исчислении
РР. Покажем, что А В и В С также будут доказуемы в РР.
В силу леммы 5, А'{х, у, z, u\, «2) =>• В'(х, у, z) является
аксиомой РР тогда и только тогда, когда она удовлетворяет критерию
Роуза. Предположим, что она удовлетворяет критерию Роуза. Так как

246
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
В'(х, у, z) не содержит свободно Ui, к формуле А'(х, у,г,щ, «2) =>
В'(х, у, z) можно применить правило вывода П4, согласно
которому МЫ получим формулу 3 U2A'(x, у, Z, Щ, «2) =>• В'(х, у, Z.).
Из последней формулы в силу правила вывода ПЗ выводим V«i
3 «2-4'(ж, у, z, «1, щ) В'(х, у, z). Теперь двукратным применени¬
ем правила вывода П2 из предыдущей формулы получим формулу
Vtti 3 U2A'(x, у, z, «1, «2) 3 z 3 хВ'(х, у, z). Правая часть по¬
следней формулы не содержит свободно z. Поэтому из нее согласно
правилу вывода П4 будет следовать 3 z V «1 3 щА^х, у, z, и\, щ) =$
3 z 3 хВ'(х, у, z). а из нее с помощью правила вывода ПЗ получим
формулу Vy 3 2 Vtti 3 щА'{х, у, z, щ, щ) =£• 3 z 3xB'(x,y,z),
левая часть которой не содержит свободно у. Поэтому к
последней формуле можно применить П1, в результате чего получим V у
3 z V«i 3 ^A'fa, у, z, «ь щ) =>• Vy 3 2 3 xB'{x,y,z). Наконец,
поскольку правая часть последней формулы не содержит свободно
х, к ней можно применить правило вывода П4, согласно
которому получим Зж Vy 3 z V«i 3 игА'(х, у, z, щ, ui) =>• Vy 3 z
3 xB'(x, y, z), т. e. формулу A => B.
Теперь покажем, что в РР доказуема и формула В =Ф- С.
Сначала предположим, что бескванторная формула В'(х, у, z) =>
С'(х, у, z, щ) удовлетворяет критерию Роуза, причем В'(х, у, z)
и С'(х, у, z, щ) — дизъюнктивные нормальные формы
бескванторных частей В и С. Так как левая часть последней формулы не
содержит свободно «з к ней применимо правило вывода П1, в результате
чего получим формулу В'(х, y,z) =>• V щС'(х, у, z, щ). Из нее
двукратным применением правила вывода П2 выведем В'(х, у, z) =>
3 z 3 х V щС'(х, у, z, щ). Правая часть последней формулы не
содержит свободно ни х, ни z. Поэтому к последней формуле
мы можем дважды применить правило вывода П4. В результате
получим формулу 3 z ЗжB'(x,y,z) =r- 3z Зж У«зС"(ж, у, г,щ),
из которой согласно ПЗ можно вывести V у 3 z 3 хВ'(х, у, z) => 3z
Зж VщС'(х, у, z, щ). Левая часть последней формулы не
содержит у свободно. Поэтому к ней применимо правило вывода П1,
согласно которому получаем V у 3 z 3 хВ'(х, y,z) =>• V у 3 z Зж
V щС'(х, у, z, «3), т. е. желаемую формулу В С.
А справедливость утверждения (Ь) нашей теоремы следует из
того факта, что в РР из контрапозиции следует все, что угодно, о

3. Эпистемическая логика и исчисления частичных предикатов Хао Вана 247
Пример 3. Рассмотрим бескванторную формулу А => С", где А имеет вид
[Р(ж) Л ~*Q(y, z) A Д(у)] V [Р(ж) Л Q(xx, z) A ->Q(xj, z) А Д(у)] V
V [Р(ж) Л -Ri(y) Л Я,(у) Л -ifl(z)],
а С" имеет вид
ЬЯ(У, z) Л Д(у)] V [Q{xuz) А Q(xu z) А Д(у)] V Д,(у) V у).
В таком случае, интерполянта В' будет иметь вид
ЬQ(y> z) Л Д(у)] V \Q(x,,z) A ->Q(xi,z) А Д(у)] V [-'Д(у) Л fi(y)J.
Она получается из А' заменой подформулы -Д; (у) Л Д) (у) третьего
дизъюнктивного члена формулы А' на -|Д(у) А Д(у), согласно пункту (И)
определения интерполянты, а затем опусканием из А' атомарной
формулы Р(ж) и отрицания атомарной формулы -^R(z), не входящих в С". >
Учитывая особенности ЕР и используя критерий
доказуемости формул в ЕР, аналогичным способом сможем показать, что
утверждение (а) интерполяционной теоремы имеет силу и для ЕР,
а утверждение (Ь) теоремы будет справедливой для ЕР лишь в том
случае, если А является контрадикцией, а С — классической
тавтологией.
3. 	Эпистемическая логика и исчисления
частичных предикатов Хао Вана
Мы покажем, что исчисления частичных предикатов Хао
Вана можно транслировать в табличное исчисление эпистеми-
ческой логики Ер4. Но предварительно убедимся, что справедливо
следующее.
Каждой формуле А системы РР следующим образом поставим
в соответствие формулу Т(А) трансляцию А в Ер4:
• Т(А) = СМ, если А не содержит знака =>, и
• Т(А) = Т(В) Э Т(С), если А имеет вид В => С, а В и С
не содержат знака =>.
При этом формулы РР могут содержать только логические связки
-1, А, V и кванторы V, Э, следовательно, соответствующие формулы
Ер4 будут немодализированными.

248
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
Можно показать, что справедлива
Теорема 6. 1= А в РР тогда и только тогда, когда (= Т(А) в
классе фреймов ЕрА.
Доказательство. Достаточно показать, что ^ А в РР тогда и
только тогда, когда ф Т(А) в классе фреймов ЕрА.
Сначала покажем справедливость нашего утверждения справа
налево.
Пусть А не содержит знака => иф Т(А) в классе фреймов ЕрА\
тогда существует опровергающая модель Мо = (Но, Wo, Ro, D0, V0)
для формулы QA, с немодализированной формулой А, такая, что
У0(ПД, w) ф Т (w £ W0). Это означает, что существует элемент v
из Но, такой, что (w, v) € Ro и Vo (.A, v) Ф Т.
С помощью Вр4-модели Мо следующим образом определим
РР-модель Mi = (D,, Vi). Пусть D| = Do(v), а V] всем
предикатным буквам приписывает те же значения, которые Vo приписывает
им в мире V. Учитывая, что формула А может содержать только
логические связки A, V и кванторы V, 3 и помня, что правила
оценки -1, Л, V в ЕрА и в РР совпадают с трехзначными таблицами
Лукасевича, а для каждого и 6 Но оценки кванторов V и 3
соответственно являются обобщениями Л и V, легко можно убедиться
в том, что Vi(j4) = Уо(Д, v) Ф Т и, следовательно, ф А в РР.
Теперь рассмотрим случай, когда А имеет вид В => С с
несодержащими знака В и С, которые составлены только с помощью
логических знаков Л, V, V и 3. Пусть ф Т(В => С), тогда
существует опровергающая Рр4-модель Мо = (Но, W0, Ro, Do, Vo) для
формулы OB D ОС, такая, что Vo(QB,w) = Т и Уо(ШС, w) = ±.
Это означает, что с одной стороны, для всякого v, такого, что
(w, v) 6 Ro Vo(P,v) = T, а с другой стороны, существует элемент
V € Но, такой, что (w, v) £ Ro и Vo(C, v) Ф T. Как в
предыдущем случае, с помощью Рр4-модели Мо определим РР-модель
Mi = (D1;Vi), полагая, что Di = D0(v). Пусть Vi всем
предикатным буквам опять приписывает те же значения, которые Vo
приписывает им в мире v. Но тогда, учитывая особенности
оценки составных формул в ЕрА и в РР, нетрудно показать, что
Vi(jB) = Vo(J3,v) = Т, a Vi(C) = Vo (С, v) ф Т. Следовательно,
Vi(B =>• С) = Vo (В =» С, у) ф Т и ф В =* С в РР.

3. Эпистемическая логика и исчисления частичных предикатов Хао Вана 249
Убедимся, что наше утверждение справедливо и слева направо.
Сперва опять рассмотрим случай, когда А не содержит => (ввиду
корректности и полноты РР, из свойства X следует, что ни
одна формула, не содержащая знака =Ф-, не общезначима в РР).
Итак, пусть Ф А в РР. Тогда существует опровергающая
РР-модель Mi = (D[,Vi) для формулы А. С помощью Mi построим
Рр4-модель Мо = (Но, Wo, Ro, Do, Vo) для формулы ПТ
следующим образом. Предположим, что
Н0 = {w, v}, W0 = {w}, Ro = {(w, w), (w, v), (v, v)},
следовательно, Ry рефлексивно, а также транзитивно (тривиальным
образом). Пусть, далее, Do(w) — Do(v) = Dj. Это гарантирует
выполнение условия (d) ЕрА -фрейма. А в мире v оценочная функция
Vo приписывает всем предикатным буквам те же значения, которые
им приписывает Vi. Тогда, согласно правилу оценки эпистемиче-
ского оператора □, из V0(A, v) ф Т следует, что V0(D-4, w) = _L и,
следовательно, ф □ А в классе фреймов ЕрА.
Наконец, рассмотрим случай, когда А имеет вид В =4- С с
несодержащими знака =4- В и С, составленными только с помощью
логических знаков Л, V, V и 3. Построим опровергающую
Ер4-модель Мо для формулы □ В Э □ С с помощью РР-модели
М). Рр4-фрейм для Мо определим точно так, как в предыдущем
случае. А оценочную функцию Vo, зададим следующим образом.
Пусть Vo в мире v оценивает все формулы точно так, как V]. Тогда
поскольку v единственный возможный мир, такой, что (w, v) € Ro,
то Vo(P, v) = T и Vo (С, v) Ф Т. Но в таком случае, согласно правилу
оценки модального оператора □, Vo(QB,w) = Т, a Vo(DC, w) = ±.
Следовательно, Vo(QB Э DC,w) = _L и ф □ В D □ С. О
Учитывая тот факт, что РР и ЕрА являются корректными
и полными, из теоремы 6 сразу получим
Следствие 6.1. I- А в РР тогда и только тогда, когда Ь Т(А)
в ЕрА.
Используя свойство VIII пропозиционального фрагмента
исчисления ЕР, мы сможем определить трансляцию исчисления
частичных предикатов ЕР в табличное исчисление ЕрА.
Каждой формуле А системы ЕР следующим образом поставим
в соответствие формулу Т'(А) трансляцию А в ЕрА:

250
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
• Т'(А) = DA, если А не содержит знака =>, и
• Г (А) = (Т(В) Э Т(С)) Л (ТЬС) D т(->В)), если А имеет
вид В =» С, причем В и С не содержат знака =>, а Т -
трансляция формул РР в Ер4.
Подобным же рассуждением можно легко установить аналоги
теоремы 6 и следствия 6.1 для трансляции ЕР в Ер4.
4. 	Табличное исчисление Е4
Из теоремы 6 и ее следствия вытекает, что формулу А => В,
выражающую импликацию Хао Вана, мы можем представить в Ер4
формулой СМ Э QB с немодализированными А и В. Поэтому
Ер4 фактически позволяет рассматривать формулы,
соответствующие итерациям =Ф-, в том числе и в антецеденте. Это, однако
невозможно в РР, потому что, как подчеркивал Ван (см. [1961]),
данное им толкование знака => не предусматривает такие случаи.
Можно ли в РР оценить, скажем, формулу (~>Р =Ф- Р) Р? Для
ее истинности требуется, чтобы при всякой ее оценке каждый раз,
когда -1Р => Р получает значение Т, Р также получало то же самое
значение. Но на самом деле, формула ->Р Р не получает никакой
оценки, ввиду того, что для нее не было разъяснено что означает
получать значение Т при каждой отдельной оценке. Это и является
основной причиной ограничения понятия формулы Ваном.
Как уже отмечалось, в Ер4 можно представить формулы с
итерациями импликации Вана, но несмотря на такие выразительные
возможности, Ер4 нельзя считать родственной системе РР,
потому что Ер4 содержит все классические тавтологии в то время,
когда в РР опровержима каждая из них.
Таким образом, если мы стремимся найти альтернативный
путь построения наиболее близкой к РР системы, допускающей
итерации импликации Вана, нам понадобится либо ограничить
класс формул только полностью модализированными формулами,
что усложнит формулировку правила оценки эпистемического
оператора, либо определенным образом модифицировать Ер4-фрейм.
Второй подход является более естественным.
Алфавит и язык табличного исчисления Е4 эпистемической
предикатной логики первого порядка такие же, как в табличном

4. Табличное исчисление ЕЛ
251
исчислении ЕрЛ. В фрейме ЕЛ уже не требуется выделить
непустое подмножество W тотальных возможных миров. Достаточно
рассмотреть непустое множество Н частичных возможных миров
с теми же R и D, что и в ЕрЛ-фрейме. Истинность формулы А
в U4-модели и, следовательно, общезначимость А в классе
фреймов ЕЛ уже можно определить обычно, как истинность А для
всякого элемента Н. Ни одна немодализированная формула и,
следовательно, ни одна немодализированная классическая тавтология
не будет общезначимой в классе фреймов ЕЛ.
Сокращения D1-D12 вводятся так же, как в ЕрЛ. Ниже мы
более подробно опишем и теорию доказательств и семантику
табличного исчисления ЕЛ эпистемической предикатной логики
первого порядка.
4.1. Теория доказательств табличного исчисления ЕЛ
Понятия таблицы, альтернативной системы таблиц, ЕЛ-та-
граммы, главной и вспомогательной таблицы, а также
альтернативной напарницы таблицы определяются точно так, как для
табличного исчисления ЕрЛ. То же самое относится к понятиям тривиально
и имплицитно замкнутых таблиц, а также к понятиям замкнутой
альтернативной системы таблиц и замкнутой ЕЛ-диаграммы.
Пропозициональные и кванторные правила построения ЕЛ-диаграммы
те же самые. Единственная разница заключается в том, что
составление ЕЛ-диаграммы для испытуемой замкнутой формулы А мы
начинаем не включением ->А в главную таблицу, как это делалось
для построения ЕрЛ-диаграммы, а включением в главную таблицу
выражения А или в случае, когда А открыта, включением V А.
Этим обеспечивается то, что ЕМ-диаграмма не замкнется ни для
какой немодализированной классической тавтологии.
Как в случае ЕрЛ, замкнутую ЕЛ-диаграмму для замкнутой
формулы А будем называть доказательством А. Будем говорить, что
замкнутая формула А доказуема в ЕЛ, или является теоремой ЕЛ,
и писать 1-04 А, если существует замкнутая ЕЛ -диаграмма для А.
4.2. Семантика табличного исчисления ЕЛ
ЕМ-фреймом назовем упорядоченную тройку (Н, R, D), где
Н — непустое множество (частичных возможных миров): Н Ф 0;

252
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
R — бинарное отношение достижимости между мирами,
рефлексивное и транзитивное в Н; D — функция областей, определенная
на Н, такая, что для всякого v из Н D(v) Ф 0 и (d) если (w, v) 6 R,
то D(w) С D(v), w, v 6 Н.
E4-моделью является пара М = (Fr, У), где Fr есть 1?4-фрейм,
а V — бинарная частичная функция, определенная на множестве
PrI х Н, такая, что если п — 0, то V(P”,v) = Т или ± или же
non!V(P",v). А в случае, когда п > 0, V(P",v) есть пара (P;Q),
такая, что Р, Q С [D(v)]n и PnQ = 0, где [D(v)]n является п-крат-
ным декартовым произведением множества D(v) на себя (v £ Н).
Пусть U = Uv€H ®(v) . Теперь если дана Е4-модель М, то в
случае, когда !V(A, v), всякой такой формуле А мы можем приписать
значение Т или ± для всякого элемента v из Н при
фиксированном сопоставлении элементов U всем свободным индивидным
переменным формулы А следующим образом.
Если А — атомарная формула, она является
пропозициональной переменной Р° или имеет вид Рп(х\,..., хп) (п > 0).
При п = О V(Pn, v) уже задана моделью. Пусть поэтому п > О,
индивидным переменным х\,...,хп соответственно сопоставлены
элементы аь ..., а„ из U и пусть V(P", v) есть пара (Р; Q). При
данном сопоставлении \(Рп(хi,..., хп), v) = Т тогда и только тогда,
когда аь ..., а„ £ Р; У(Рп(х\,..., ж„), v) = Т тогда и только тогда,
когда аь ..., а„ G Q; в противном случае, поп!У(Рп(жь ..., х„), v).
Условия оценки формул логических связок: -i, Л, V, эписте-
мического оператора □ и кванторов: V, Э для любого v из Н при
фиксированном сопоставлении элементов U всем свободным
индивидным переменным соответствующих формул точно такие же,
как в Ер4.
Понятия истинности в Р4-модели и общезначимости в классе
фреймов Е4, как уже было отмечено, определяются обычно, т. е.
для всех элементов Н.
4.3. 	Корректность и полнота предикатной версии
табличного исчисления Е4
Доказывая корректность табличного исчисления Ер4, мы
убедились, что правила построения Ер4-диаграммы, которые для мо-
дализированных формул полностью совпадают с правилами постро¬

4. Табличное исчисление ЕА
253
ения ЕА-диаграммы, сохраняют выполнимость. Очевидно также,
что замкнутая ЕА-диаграмма не может быть выполнимой. В самом
деле, тривиально замкнутая таблица не будет выполнимой, потому
что одна и также формула в одно и тоже время не может быть
истинной и неистинной, т. е. ложной или неопределенной. А ни одна
замкнутая таблица £4-диаграммы не будет выполнимой, потому
что одна и та же атомарная формула в одно и тоже время не может
быть истинной и неистинной, т. е. ложной или неопределенной.
Следовательно, ни одно множество, содержащее формулы
тривиально замкнутой или замкнутой таблицы ЕА-диаграммы, не может
быть выполнимой ни в одной модели М = (Н, R, D, V).
Таким образом, пусть замкнутая формула А (или замыкание
всеобщности V А) необщезначима, тогда не замкнута
^-диаграмма с исходной замкнутой меченой формулой А. Следовательно,
Ii А, откуда в силу контрапозиции следует
Теорема 7. Если Ь#4 А, то |= А в классе фреймов ЕА, для
всякой замкнутой формулы А (теорема корректности ЕА). [>
Для установления семантической полноты ЕА мы
воспользуемся леммой 1 главы III, которая справедлива и для табличного
исчисления ЕА, так как правила построения J54-диаграммы для
модализированных формул полностью совпадают с правилами
построения ЕрА-диаграммы. А как уже было отмечено, ни одна немо-
дализированная классическая тавтология не будет доказуемой в ЕА.
Лемма 8. Если ЕА-диаграмма для замкнутой формулы А не
замкнута, то А не общезначима в классе фреймов ЕА.
Доказательство. По условию леммы ЕА-диаграмма для А не
замкнута, тогда не замкнута хотя бы одна из ее альтернативных
систем таблиц (псевдотаблиц). Но в таком случае, не замкнута
также главная таблица (псевдотаблица) этой системы с исходной
замкнутой формулой А и согласно утверждению 4) леммы 1
настоящей главы, которая имеет силу и для модализированных формул
ЕА, существует опровергающая модель Mq для А. Следовательно,
А не общезначима в классе фреймов ЕА. >
Теорема 8. Если |= А в классе фреймов ЕА, то V А в
предикатной версии табличного исчисления ЕА, для всякой замкнутой
формулы А (теорема полноты ЕА).

254
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
Доказательство прямо следует из контрапозиции леммы 8 и
определения доказуемости в табличном исчислении ЕЛ. о
Нетрудно убедиться, что аналог следствия 3.1 теоремы 3 также
будет справедливым для предикатной версии табличного
исчисления ЕЛ.
Охарактеризуем теперь некоторые особенности табличного
исчисления ЕЛ. Прежде всего отметим, что ни одна немодализиро-
ванная классическая тавтология не общезначима в классе фреймов
ЕЛ. В самом деле, предположим, что А — немодализированная
классическая тавтология. Тогда мы следующим образом сможем
построить опровергающую Р4-модель Mi для А. Пусть Mi = (Нь
Ri,Di,V,) , где Hi = {w}, R] = {(w,w)}, Di — любое непустое
множество. Очевидно, что из (w, w) 6 Rt следует Di(w) С Di(w).
Наконец, оценочную функцию Vi определим следующим образом.
Для всякой пропозициональной буквы Рп, входящей в А. если
п = 0, будем полагать, что Vi(Pn, w) /Т и V[(P”,w) ф .L, а если
п > 0, то — \\(Рп, w) = (Р; Q), где Р = Q = 0. Но тогда из правил
оценки -1, Л, V, V и 3 прямо получаем, что non!Vi(.4,w) и,
следовательно, ф А в классе фреймов ЕЛ. Теперь, учитывая
корректность и семантическую полноту табличного исчисления ЕЛ,
сразу можем заключить, что верна
Лемма 9. Ни одна замкнутая немодализированная классическая
тавтология не является доказуемой в табличном исчислении
ЕЛ. >
Кроме того, построив ЕЛ-диаграммы для формул
(Р х --Р) ж f Р (1)
и
tPxt-P, (2)
легко убедимся, что они окажутся замкнутыми. Следовательно,
формулы (1) и (2) являются доказуемыми в ЕЛ.
Заметим также, что в ЕЛ можно осуществить трансляцию
формул РР, соответственно ЕР, с помощью функции 71,
соответственно Т{, следующим образом:
• Т\{А) = Т{(А) — А, если А не содержит знака =>;

4. Табличное исчисление Е4
255
• 71 (Л) = СШ Э ОС, если А имеет вид В =>■ С с несодержащими
знака =>• В и С,
• Т((А) — Т\(В => С) Л 71 (~>С =Ф- “'В), если .А имеет вид В => С
с не содержащими знака =S> В и С, a 7J — трансляция формул
РР в Е4.
Нетрудно показать, что для трансляции формул РР (ЕР) в
табличное исчисление Е4 справедливы аналоги теоремы 6 и
следствия 6.1.
4.4. 	Об обобщении исчислений частичных предикатов
Хао Вана, допускающем итерации импликации
При рассмотрении исчислений частичных предикатов Хао
Вана было указано, что пропозициональная часть PPS исчисления
РР является одноимпликативным фрагментом трехзначной
логики Лукасевича (см. Финн [1974]). Но, тем не менее, трехзначную
логику Лукасевича нельзя считать расширением РР,
сохраняющим своеобразие импликации Вана, ввиду того, что в трехзначной
логике Лукасевича значение импликации зависит от конкретных
значений ее антецедента и консеквента, а не от совокупности их
значений.
Если мы хотим таким образом обобщить исчисления РР
и ЕР, чтобы итерация знака => была в них допустима, мы обязаны
сохранить указанное свойство импликации Хао Вана. Это можно
осуществить, например, с помощью использования трансляции
формул РР и ЕР в Е4.
Мы можем следующим образом подойти к построению таких
обобщений РР* и ЕР* исчислений Хао Вана РР и ЕР. Понятие
формулы РР* (ЕР*) определяется обычно (с итерациями знака
=>), а оценка формул осуществляется в следующей семантике
частичных возможных миров.
РР* (ЕР*)-фрейм является упорядоченной тройкой Fr =
(Н, R, D), где H^0,RCHxH, причем R рефлексивно и транзи-
тивно в Н, далее, D — частичная функция областей, определенная
на Н, такая, что для всякого v из Н, D(v) Ф 0 и если (w, v) G R,
то D(w) C D(v), (w, v € H). Пусть, далее, Prl — множество всех
предикатных букв. РР* (ЕР*)-модель есть пара (Fr, V), где Fr —

256
Глава III. Ненормальные и немонотонные предикатные логики
РР* (РР*)-фрейм, а V — частичная функция из Prl х Н в {Т, ±},
такая, что если Р — пропозициональная переменная, V(P, w) = Т
или _L или non!V(P, w), а если Р — n-арная предикатная буква,
то V(P,w) = (Р; Q) , где (р; Q) есть пара, такая, что PflQ = 0
и Р, Q С [D(w)]n, где [D(w)]n — л-кратное декартово произведение
D(w) на себя.
Теперь при сопоставлении переменным xi,...,xn
элементов аь...,а„ из U = UveHD(v)’ V(P(xb ..., хп), w) = Т, если
(аь...,а„)€ Р, V(P(xb..., хп), w) = -L, если (аь...,а„)е Q,
в противном случае, поп\\(Р(х\,..., хп). w). Условия оценки для
-1, Л, V, V и 3 не меняются.
Наконец, V(i4 JB, w) = Т в РР*, если для всякого у, такого,
что (w, v) G R, всякий раз, когда У(Л, у) = Т, то и V(В, v) = Т. А для
ЕР*, кроме того, требуется выполнение условия: если поп\\(А, у),
то V (В, у) Ф ±. В противном случае, У (А В, w) = ± в РР*, со¬
ответственно в ЕР*. Доказуемыми будем называть общезначимые
в соответствующих классах фреймов формулы.
Можно показать, что РР* (ЕР*) является консервативным
расширением РР (ЕР), т. е. формула А доказуема (в только что
указанном смысле) в исчислении РР (ЕР) тогда и только тогда,
когда А доказуема в РР* (ЕР*).

Заключение
Во Введении настоящей работы были описаны два
существенно отличающихся подхода к анализу эпистемических модальностей.
Первый из них предполагает сильную идеализацию и базовой
логикой признает эпистемически интерпретированную предикатную
систему Льюиса 54. Второй принимает более слабую идеачизацию
и базовой логикой считает ненормальную и немонотонную
версию эпистемически интерпретированной предикатной системы 54
(т. е. предикатные системы Ер4 и FA).
Характерной особенностью второго подхода является
рассмотрение частично определенных предикатов. Это позволяет
строить такие свободные от типовых ограничений расширения
исчислений предикатов первого порядка, в которых устраняются
антиномии логики и теории множеств. Возможности
осуществления такого подхода, как уже было отмечено, исследовали В.
Аккерман ([1950], [1952], [1953]), Г. Беман ([1931], [1959]), Д. Боч-
вар ([1938], [1943]), X. Ван ([1961]), Г. Скала ([1974]), Т. Скулем
([I960], [1963]), К. Шютге ([1953]) и др. Подробный обзор этих
работ содержится в статье С. Фефермана [1984].
Как хорошо известно, при расширении классической
логики предикатов первого порядка Расселом были введены типовые
ограничения для устранения антиномий, которые неизбежно
возникают в ее обычном расширении, не учитывающем типовые
различия. Но теория типов не позволяет реализовать логистический
тезис Фреге—Рассела в его буквальном понимании. Дело в том, что
в расширенном классическом исчислении предикатов с учетом
типовых различий, как показал Рассел, мы можем вывести почти все
аксиомы теории множеств, однако проблемы возникают с выводом
аксиомы бесконечности и аксиомы выбора. Последнюю, по
мнению А. Френкеля и И. Бар-Хиллела, все же можно рассматривать
в качестве логического принципа, поскольку ее формулировка
содержит только логические термины. А аксиома бесконечности, по¬

258
Заключение
стулирующая, что существует бесконечно много индивидов,
определенно выглядит как фактическое, а не логическое утверждение.
Таким образом, по мнению Френкеля и Бар-Хиллела,
единственным действительно уязвимым местом в предпринятом Расселом
и Уайтхедом реализации логистического тезиса, которая основана
на теории типов, является сомнительный фактический статус
аксиомы бесконечности (ср. Френкель, Бар-Хиллел [1958]).
В обычном расширенном классическом исчислении
предикатов, в котором не вводятся типовые различия, очень просто можно
вывести аксиому бесконечности. В самом деле, пусть значениями
переменных x,y,z,... являются множества, ‘6’ есть знак
принадлежности множеству, ‘м означает дополнение множества, a ‘U’ —
объединение множеств. Эти обозначения можно вводить как
обычные сокращения. Тогда мы будем иметь
1. х G z\l х 0 z — закон исключенного третьего;
2. xgz = xEz' — в силу определения дополнения;
3. xEzVxEz' — замена в 1 согласно 2;
4. х G z U z' — в силу определения объединения множеств;
5. V х(х G z U z') — правило V-обобщения; 4;
6. V х(х G z U z') Э (0 G z U z') — закон V-удаления;
7. 0 G z U z' — модус поненс; 6, 5;
8. V х(х G z U z') Э (у U {у} G z U z1) — закон V-удаления;
9. у U {у} G z U z' — модус поненс; 8,5;
10. у U {у} G zli z' Э (у G zU z' D у U {у} G z U z') — закон
утверждения;
11. yEzUz' Dyli {y} G z U z' — модус поненс; 10, 9;
12. V y(y GxU/Dj/U {y} G z U z') — правило V-обобщения; 11;
13. 0 G z U z' A Vy(y G z U z' Э у U {y} G z U z') — r6; 7, 11;
14. (0 G zUz'AV y(y G z U z' D у U {y} G z U z')) D 3 x(0 G
x A Vy(y G x D у U {y} G x)) — закон Э-введения;
15. 3 x(0 Ex A V y(y G x D у U {y} G x)) — модус поненс; 14, 13.
Очевидно, что 0, {0, {0}}, {0, {0}, {0, {0}}} и т. д.
являются членами всякого множества, удовлетворяющему аксиоме
бесконечности (утверждению 15).

Заключение
259
Но, к сожалению, в таком расширении классического
исчисления предикатов первого порядка, как было указано выше,
возникают антиномии. Рассмотрим простейшую из них. Вполне
осмысленно мы можем следующим образом определить
множество г всех таких множеств, которые не являются собственными
элементами:
х G г = х £ х.
Однако г принадлежит области определения х и мы имеем полное
право подставить г вместо х. Получим
г 6 г = г £ г.
Это и есть знаменитая антиномия Рассела. Как раз с целью
устранения антиномий ввел Рассел типовые ограничения для записи
формул, выражающих свойства и отношения предикатов и
множеств. Но если мы классическое исчисление предикатов расширим
на основе теории типов, доказательство аксиомы бесконечности,
приведенное выше, потеряет силу, так как в записи ни одной
формулы такого доказательства не соблюдаются требования типовых
ограничений. В частности, множество, стоящее справа знака G
должна принадлежать более высокому типу, чем множество,
стоящее слева него.
В своей известной работе Д. Бочвар [1938] указал способ
расширения трехзначного исчисления предикатов первого порядка
без использования типовых ограничений, который позволяет
избежать возникновения логических и семантических антиномий. Такое
деление антиномий общепринятым стал после одной ранней
работы Рамсея. Примером логической антиномии является антиномия
Рассела, а примером семантической антиномии — т. н.
антиномия лжеца, которую впервые сформулировал Эпименид, а затем
скорректировал Эвбулид. В названной работе Бочвар принимает
рамсеевское деление антиномий на логические и семантические
и предлагает способ их блокирования. Позже Бочвар установил
непротиворечивость такого расширения (см. Бочвар [1943]). А через
год он радикально изменил свою точку зрения на антиномии.
Первоначальную бочваровскую идею блокирования
антиномий мы объясним с помощью обозначений, принятой в этой книге.

260
Заключение
Только надо помнить, что логика Бочвара трехзначная, а
символы выбранные нами обозначают эпистемические модальности.
В бочваровском расширенном трехзначном исчислении
предикатов на местах свободных индивидных переменных могут появиться
формулы, а на местах связанных переменных — n-арные
предикатные буквы (п ^ 0). В таком расширенном трехзначном исчислении
не доказуема ни одна формула вида А = В, где = — знак
материальной эквивалентности, в частности, не доказуема формула
г € г = г £ г. Но в нем доказуема формула г G г х г 0 г,
где х означает бочваровскую равнозначность, а также формулы:
(г € г х ->г £ г) х | г 6 г и (г € г х -т 0 г) х f г £ г. Из этих формул
следует доказуемость trErnfr^r, поскольку обе последние
формулы в трехзначной логике Бочвара выражают бессмысленность.
Следует заметить, что А. Черч должным образом не оценил
способ устранения антиномий Д. Бочвара. Сперва ему показалось,
что антиномия Рассела в другой форме возникает в системе
Бочвара (см. Черч [1939]). Но сразу же исправив свою ошибку, он все же
упрекнул Бочвара в игнорировании тех задач, с целью решения
которых была расширена классическая логика предикатов первого
порядка (см. Черч [1939а]). Черч имел в виду обоснование
логистического тезиса Фреге—Рассела, согласно которому вся математика
выводима из чистой логики (точнее, все аксиомы теории множеств
выводимы из аксиом классической логики). На это замечание Черча
ответ Бочвара последовал в статье [1944], в которой он в
совершенно новом свете представил проблему антиномий. Новая точка
зрения Бочвара заключается в принципиальном разграничении двух
элементов формализма расширенного классического исчисления
предикатов без теории типов: аппарата логического исчисления
в собственном смысле слова и аппарата аксиом и правил,
определяющих область объектов, к которой применяется собственно
логическое исчисление. Логика не содержит ни экзистенциальных
утверждений об отдельных объектах, ни утверждений о
специальных связях экзистенциального характера между объектами (строго
говоря, в логике все-таки есть одно нетривиальное утверждение
непустоты каждой категории области объектов. Но такое
утверждение в ряд ли представило бы значительный математический
интерес, поскольку оно не обнаружило бы новых фактов и ока¬

Заключение
261
залось бы математически бесплодным). Поэтому, на самом деле,
расширенное исчисление предикатов не представляет собой чисто
логического формализма. По мнению Бочвара, это обстоятельство
долго оставалось незамеченным.
Логика в собственном смысле слова непротиворечива. Все
антиномии возникают в результате присоединения к системе
логических аксиом специальных аксиом, в которых утверждается
существование в области объектов определенных предикатов со
свойствами, противоречащими аксиомам логики.
Математика не выводима из логики, поскольку для построения
математики необходимы аксиомы, устанавливающие определенные
факты относительно области объектов. Но такие аксиомы имеют
внелогическую природу, если в них даже утверждаются
существование объектов, выразимых в терминах классической логики (к числу
таких аксиом относится аксиома выбора, которую Френкель и Бар-
Хиллел с натяжкой сочли логической).
В отличие от логики математика не я&чяется совокупностью
тавтологических (общезначимых) истин (хотя, как было указано
выше, логика содержит одно нетривиальное утверждение о непу-
стоте области объектов). Нетривиальность содержания математики
гарантируется нетривиальностью ее аксиом и, прежде всего,
экзистенциальных аксиом. Не только математика не выводима из
логики, но логикой предполагается содержательная (конструктивная)
математика.
Система, построенная в «Principia Mathematica» Расселом и
Уайтхедом, представляет собой не чистую логику, а некоторую
математическую дисциплину — особую теорию предикатов от п
переменных, где п ^ 1, которая построена с помощью логической
символики. В такой теории предикатов в широких пределах
формализуема теория множеств, которая родственна теории предикатов.
Трудно не согласится с такой оценкой логицизма Фреге-
Рассела, который так и не удалось реализовать, хотя идея сведения
математики к логике казалась привлекательной и интересной.
Логицизм Фреге—Рассела — крайняя форма платонизма.
Платонизм является направлением в философии математики,
согласно которому математика изучает идеальные абстрактные объекты,
существующие независимо от познающего субъекта. Один из кон¬

262
Заключение
курирующих с платонизмом направлений в философии
математики — интуиционизм. Согласно интуиционизму математика изучает
ментальные конструкции. Поэтому интуиционистскую математику
часто называют конструктивной, а платонистскую —
неконструктивной. Интуипионисты отвергают неконструктивные
утверждения как несовместимые с принципами интуиционистской
философии (примером такого утверждения является закон исключенного
третьего).
В начале настоящего Заключения мы упомянули два
существенно отличающихся подхода к анализу эпистемических
модальностей. Как уже было указано (см. окончания главы 1 и главы 3),
оба подхода обеспечивают трансляцию интуиционистской логики
в эпистемически интерпретированную модальную систему 54
(соответственно, в Ер4 или Е4). Это обстоятельство свидетельствует
о смысловой связи между конструктивными процессами
интуиционистской логики и классическими эпистемическими процессами
эпистемической логики (ср. С. Шапиро [1985]). Указанная связь
служит философским основанием конструктивности в
неконструктивных процессах. Таким образом, мы видим, что конструктивный
способ мышления тесно связан с эпистемическими ситуациями,
а конструктивные процессы в классической логике можно
выразить с помощью формального языка, содержащего эпистемические
термины. В этом проявляется одна из особенностей
эпистемической логики.

Литература
В настоящее время литература по эпистемической логике
довольно обширна и автору трудно было проследить за каждой
работой, представляющей интерес в этой области. Поэтому подбор
исследований в нижеследующем списке, разумеется, не может быть
застрахован от случайностей и субъективизма. Сам же перечень
является далеко не полным и включает в себя только те исследования,
которые упоминаются в книге. Правда, некоторые из них относятся
к экстенсиональной логике, но затрагивают общие с
эпистемической и доксастической логиками вопросы.
Литература в тексте указывается датой, стоящей рядом с
именем автора (например, Хинтикка [1962]). Буквой а, добавленной
к дате, отмечается название дальнейшей публикации с той же датой.
Указания на некоторые опущенные здесь источники читатель
сможет найти в библиографических ссылках перечисленных ниже
работ.
Аккерман В. (Ackermann W.)
[ 1950]. Widerspruchsfreier Aufbau der Logik I. Typenfreies Systeme ohne tertium
non datur // The Journal of Symbolic Logic, 15, 33-57.
[1952], [1953]. Widerspruchsfreier Aufbau einer typenfreien Logik (Erweitertes
System) // Mathematische Zeitschrift, 55, 364-384; 57, 155-166.
см. также Гильберт и Аккерман.
Аншаков О. М. и Финн В. К.
[1981]. Так называемые нечеткие логики и одноимпликативные
исчисления // Семиотика и информатика. Выпуск 17, 71-89.
Барвайс Дж. и Перри Дж. (Barwise J. and Perry J'.)
[1983]. Situations and Attitudes. Cambridge, The MIT Press.
Бар-Хиллел И. (Bar-Hillel Y.)
См. Френкель и Бар-Хиллел.

264
Литература
Бежанишвили М. Н. (Bezhanishvili М. N.)
[1986] 	. Семантический анализ пропозициональной установки знания.
Тезисы докладов. IX Всесоюзное совещание но логике, методологии
и философии науки, Киев, 8-10 октября, 1986, Киев, Институт
математики АН УССР, 4-5.
[1987] 	. Некоторые эпистемические пропозициональные системы // В сб.:
Методы логических исследований, Тбилиси, Мецниереба, 27-38.
[1987а]. Logical omniscience paradox free epistemic propositional systems. 8th
International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science.
Abstracts, Moscow, 17-22 August, 1987, Moscow, Nauka, vol. 1, 210-212.
[1988] 	. Доксастические пропозициональные системы с одним модальным
оператором // в сб.: Интенсиональные логики и логическая структура
теорий, Тбилиси, Мецниереба, 174-181.
[1988а]. Эпистемическая логика и семантика частичных описаний
«возможных миров» // в сб.: Исследования по неклассическим логикам,
Москва, Наука, 102-119.
[1998] 	. On a partially interpreted logic // Bulletin of the Section of Logic, vol.
27, no. 1/2, 19-22.
[1998а]. Об одном частично интерпретируемом табличном исчислении //
Логические исследования. Выпуск 5, Москва, Наука, 230-240.
[1999] 	. Теорема полноты для одной бимодальной системы знания и веры //
Логические исследования. Выпуск 6, Москва, Росспэн, 47-60.
[2000] 	. A partially interpreted modal tableau calculus // Multi pie-Valued Logic,
vol. 5, 103-116.
[2000а]. Интерполяционная теорема для исчислений частичных предикатов
Хао Вана //Логические исследования. Выпуск 7, Наука, 148-158.
[2001] 	. Исчисления частичных предикатов Хао Вана и их расширения,
допускающие итерацию импликации // Логические исследования.
Выпуск 8, Наука, 26-37.
Бежанишвили Н. (Bezhanishvili N.)
[2002] 	. Pseudomonadic algebras as algebraic models of doxastic modal logic //
Mathematical Logic Quarterly, 48, 624-636.
Бентем И. ван (Benthem J. van)
[1986]. Partiality and nonmonotonicity in classical logic // Logique et Analyse,
29, no. 114, 225-247.

Литература
265
Беман Г. (Behmann Н.)
[1931]. Zu den Widerspriichen der Logik und der Mengenlehre // Jahresbericht
der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 40, 37-48.
[1959]. Der Pradikatenkalkiil mit limitierten Variablen: Grundlegung einen
natulichen exakten Logik // The Journal of Symbolic Logic, 24, 112-140.
Бернайс П. (Bemays P.)
См. Гильберт и Бернайс
Бонвар Д. А.
[1938]. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу
парадоксов классического расширенного функционального
исчисления // Математический сборник, 4 (46), 287-308.
[1943] 	. К вопросу о непротиворечивости одного трехзначного
исчисления // Математический сборник, 12 (54), 353-369.
[1944] 	. К вопросу о парадоксах математической логики и теории
множеств // Математический сборник, 15 (57), 369-384.
Вайсберг М. (Wajsberg М.)
[1933]. Ein erweiterter Klassenkalkiil // Monatshefte fur Mathematikund Physik,
40, 113-126.
Ван X. (Wang H.)
[1961]. The calculus of partial predicates and its extension to set theory I //
Zeitschrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 7,
238-288.
Вансинг Г. (Wansing H.)
[1990]. A general possible worlds framework for reasoning about knowledge and
belief // Studia Logica, 49, 523-539.
Вреесеайк L (Vreeswijk G.A. W.)
См. Майер, ван дер Хук и Вреесеайк
Вригт Г. фон (Wright G. Н. von )
[1951]. An Essay in Modal Logic, Amsterdam, North-Holland Publishing
Company.
Гедель К. (Goedel К.)
[1933]. Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalkiils // in: Ergeb-
nisse eines mathematischen Kolloquiums, 4, 39-40.

266
Литература
Герасимова И. А.
[1993]. Дилемма экстенсиональности-интенсиональности и контексты с
пропозициональными установками // Логические исследования.
Выпуск 2, Наука, 53-67.
Гильберт Д. и Аккерман В. (Hilbert D. und Ackermann W.)
[1928]. Grundzuge der theoretischen Logik. Berlin, Springer-Verlag (русский
перевод со второго дополненного издания 1946 г.: Гильберт Д. и
Аккерман В., Основы теоретической логики. Москва, ИЛ, 1947.
Поправки неточностей см. в библиографии русского перевода книги
Клини С. К., Введение в метаматематику. Москва, ИЛ, 1957).
Гильберт Д. и Бернайс /7. (Hilbert D. und Bernays Р.)
[1970]. Grundlagen der Mathematik II, Zweite Auflage, Springer-Verlag, Berlin,
(русский перевод: Основания математики II, Наука, Москва, 1982).
Гудмен Я. (Goodmen N. D.)
[1984] 	. The knowing mathematitian // Synthese, 60, 21-38.
[1985] 	. A genuinely intensional set theory // in: Shapiro S. (ed.), Intensional
Methematics, Amsterdam, New York, Oxford, North-Holland, 63-79.
Дюкасс К. (Ducasse C. J.)
[1940]. Propositions, opinions, sentences, and facts // The Journal of Philosophy,
37, 701-711.
Ермолаева H. M.
[1973]. О логиках, родственных исчислению Хао Вана //
Научно-техническая информация, серия 2, 8, 34-37
Кангер С. (Kanger S.)
[1957]. The morning star paradox // Theoria, 23, 1-11.
Карнап P. (Carnap R.)
[1952]. Meaning postulates // Philosophical Studies, 3, 65-73 (русский перевод
в кн. Карнап Р, Значение и необходимость. Исследование по
семантике и модальной логике, Москва, ИЛ, 1959, 321-330).
[1956]. Meaning and necessity. A study in semantics and modal logic, 2nd
ed., Chicago, University of Chicago Press, (русский перевод Карнап R,
Значение и необходимость. Исследование по семантике и модальной
логике, Москва, ИЛ, 1959).

Литература
267
Клини С. (Kleene S.)
[1952]. Introduction to Metamathematics. New York, D. van Nostrand Company,
(русский перевод Клини С. К., Введение в метаматематику. Москва.
ИЛ, 1957).
Крессвелл М. (Cresswell М. /.)
См. Хьюз и Крессвелл
Костюк В. Я.
[1977]. Эпистемическая логика // Методы логического анализа,
Москва, Наука, 94-108.
Крите С. (Kripke &Л.)
[1958]. A completeness theorem in modal logic // The Journal of Symbolic
Logic, 24, 1-14 (руский перевод в кн. Фейс Р., Модальная логика.
Москва, Наука, 1974, 223-246).
[1963]. Semantical analysis of modal logic I. Normal modal propositional
calculi // Zeitschrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathe-
matik, 9, 67-96 (руский перевод в кн. Фейс Р., Модальная логика.
Москва, Наука, 1974, 254-303).
[1963а]. Semantical considerations on modal logic // in: Acta Philosophica
Fennica, Fasc. XVI, 83-94 (русский перевод в сб. Семантика модальных
и интенсиональных логик, Москва, Прогресс, 1981, 27-40).
[1965]. Semantical analysis of modal logic II. Non-normal modal propositional
calculi. The Theory of Models. Proc. of the 1963 International Symposium
at Berkley, Amsterdam, North-Holland Publishing Company, 206-220
(руский перевод в кн. Фейс Р, Модальная логика, Москва, Наука,
1974, 304-323).
[1972]. Naming and Necessity. Cambridge, Harvard University Press.
Крэйг У. (Craig W.)
[1957]. Linear reasoning. A new form of the Herbrand-Gentzen theorems. Three
uses of the Herbrand-Gentzen theorem in relating model theory and proof
theory // The Journal of Symbolic Logic, 22, 250-268; 269-285.
Куайн В. (Quine W. K)
[1943]. Notes on existence and necessity // The Journal of Philosophy, 40,
113-127 (переработанный вариант, расширенный за счет его же статьи
The problem of interpreting modal logic // The Journal of Symbolic Logic,
12 (1947), 43-48, см. в kh. Quine W. V, From a Logical Point of View,
Cambridge, Harvard University Press, 1953, 139-159).

268
Литература
Левек Г. (Levesque Н. J.)
[1984]. A logic of implicit and explicit belief // in: Proceedings NCAI, 198-202.
Леммон E. (Lemmon E.J.)
[1957]. New foundations for Lewis’s modal systems // The Journal of Symbolic
Logic, 22, 176-186.
[1966]. Algebraic semantics for modal logics I. The Journal of Symbolic Logic,
31, 46-65; II, там же, 191-218 (русский перевод в сб. Семантика
модальных и интенсиональных логик, Москва, Прогресс, 1981, 98-124;
125-165).
Лукасевич Я. (Lukasiewicz J )
[1920]. О logice trojwartosciowej (о трехзначной логике). Ruch filozoficmy
(Lwow), 5, 170-171 (английский перевод в: Jan Lukasiewicz, Selected
Works, Amsterdam, North-Holland Publishing Company, 1970, 87-88).
[1930]. Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagen-
kalkuls // In: Comptes rendus des stances de la Soci 6t t des Sciences et
des Lettres de Varsovie, 23, cl. iii, 51-77.
Льюис К. (Lewis С. /.)
[1943-1944]. The modes of meaning // Philosophy and Phenomenological
Research, 4, 236-250 (руский перевод с небольшими сокращениями в сб.
Семиотика. Москва, Радуга, 211-224).
Льюис К. и Ленгфорд К. (Lewis С. /. and Langford С. Н.)
[1932]. Symbolic Logic. New York, The Century Company.
Ленгфорд К. (Langford С. H.)
См. Льюис и Ленгфорд
Мак-Кинси Дж. и Тарский A. (MeKinsey J. С С. and Tarski А.)
[1948]. Some theorems about the sentential calculi of Lewis and Heyting // The
Journal of Symbolic Logic, 13, 1-15.
Максимова Л. Л.
[1977]. Теорема Крэйга в суперинтуиционистских логиках и
амальгамируемые многообразия алгебр // Атгебра и логика, 16, № 6, 643-681.
[1979]. Интерполяционные теоремы в модальных логиках и
амальгамируемые многообразия топобулевых алгебр // Алгебра и логика, 18, № 5,
556-586.
Мейер Дж., Хук В. ван дер и Вреесвайк Г. (Meyer /., van der Hoek, Vreesvijk G.)
[1991]. Epistemic Logic for Computer Science: A Tutorial. EATCS Bulletin.

Литература
269
Оно X (Опо И.)
[1992]. Logics of belief and belief sets; an approach to autoepistemic logic //
in: Information Modeling and Knowledge Bases, III, S. Ohsuga et al., Eds.
IOS Press, 218-228.
Орловска E. (Orlowska E.)
[ 1987]. Semantics of knowledge operators // Abstracts. 8th International Congress
of Logic, Methodology and Philosophy of Science, Moskow, 17-22 August,
1987, Vol. 5, Part 3, Moskow, Nauka.
Перри Дж, (Perry J.)
См. Барвайс и Перри.
Рантат В. (Rantala V)
[1975]. Urn models a new kind of nonstandard model for first-order logic //
Journal of Philosophical Logic, 4, 455-474.
[ 1982]. Impossible worlds semantics and logical omniscience // Acta Philosophica
Fennica, 35, 106-115 (русский перевод в сб.: Модальные и
интенсиональные логики и их применение к проблемам методологии науки.
Москва, Наука, 1984, 199-207).
Расева Е. (Rasiowa Н.)
[ 1972]. The Craig interpolation theorem for m-valued predicate calculi // Bulletin
de l’Academie Polonaise des Sciences, 20, 341-346.
Расева E. и Сикорский P. (Rasiowa #., Sikorski R.)
[1953]. Algebraic treatment of the notion of satisfiability // Fundamenta Math-
ematicae, 40, 62-95.
Рассел Б. (Russell B.)
[1940]. An Inquiry into Meaning and Truth. New York.
Роуз A. (Rose A.)
[1963]. A formalization of the propositional calculus corresponding to Wang’s
calculus of partial predicates // Zeitschrift fur Mathematische Logik und
Grundlagen der Mathematik, 9, 177-198.
Салквист Г. (Sahlqvist H.)
[1975]. Completeness and correspondence in the first and second order semantics
for modal logic // in: Proceedings of the Third Scandinavian Logic
Symposium. Uppsala, 1973 (Kanger S. ed.), North-Holland Publishing Company,
110-143.

270
Литература
Сегерберг К. (Segerberg К.)
[1971]. An Essay in Classical Modal Logic (3 vols), Uppsala, Filosofika Studier.
Сикорский P.
См. Расева E. и Сикорский P.
Скала Г. Л. (Skala Я. L )
[1974]. An alternative way of avoiding the set-theoretical paradoxes // Zeitschrift
fur Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 20, 233-237.
Скулем T. (Skolem T.)
[1960]. A set theory based on a certain three-valued logic // Mathematica Scan-
dinavika, 8, 127 -136.
[1963]. Studies on the axiom of comprehension // Notre Dame Journal of Formal
Logic, 4, 162-170.
Тарский A. (Tarski A.)
См. Мак-Кинси и Тарский.
Токаж М. ( Tokarz М.)
[1990]. On the logic of conscious belief // Studia Logica, 49, no. 3, 321-332.
Фейгин P. и Хелперп И. (Fagin R., Halpern J. Y.)
[1988]. Belief, awareness, and limited reasoning // Artificial Intelligence, 34,
39-76.
Фреге T (Frege G.)
[1892]. Uber Sinn und Bedeutung // Zeitschrift fur Philosophic und philosophis-
che Kritik, 100, 25-50 (русский перевод Фреге Г., Смысл и денотат.
Семиотика и информатика, восьмой выпуск, ВИНИТИ, 1977, 181-210).
Феферман С. (Feferman S.)
[1984]. Toward useful type-free theories. I // The Journal of Symbolic Logic,
49, 75-111.
Финн В. К.
[1974]. Аксиоматизация некоторых трехзначных исчислений и их алгебр //
Философия в современном мире. Философия и логика, Москва,
Наука, 398-438.
Френкель А. и Бар-Хиллел И. (Fraenkel A. A. and Bar-Hillel Y.)
[1958]. Foundations of Set Theory. Amsterdam, North-Holland Publishing
Company (русский перевод: Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания
теории множеств, Москва, Мир, 1966, 2-е изд. М.: КомКнига/URSS,
2006).

Литература
271
Хелперн И. (Halpem J. Y.)
См. Фейгын Р. и Хелперн И.
Хинтикка Я. (Hintikka J.)
[1955] 	. Form and content in quantification theory. Acta Philosophica Fennica,
8, 11-55.
[1962]. Knowledge and Belief. An Introduction to the Logic of the Two Notions.
Ithaca, Cornell University Press.
[1969] 	. Semantics for propositional attitudes // In: Hintikka J., Models for
Modalities. D. Reidel Publishing Company, 87-111 (русский перевод
в кн.: Хинтикка Я., Логико-эпистемологические исследования,
Москва, Прогресс, 1980, 68-101).
[1970] 	. Surface information and depth information // in: Hintikka J., Suppes P.
(eds.). Information and Inference. Dordrecht, D. Reidel Publishing
Company, 263-297 (русский перевод в кн.: Хинтикка Я.,
Логико-эпистемологические исследования, Москва, Прогресс, 1980, 182-227).
[1978]. Impossible possible worlds vindicated. In: Saarinen E. (ed.), Game-
Theoretical Semantics. Dordrecht, D. Reidel Publishing Company, 367-379
(русский перевод в кн.: Хинтикка Я., Логи ко-эпистемологические
исследования, Москва, Прогресс, 1980, 228-242).
Хук В. ван дер (Ноеk W. van der)
[1990] 	. Systems for Knowledge and Beliefs. Proceedings JELIA, Amsterdam.
Хук ван дер и Мейер (Hoek W. van der and Meyer J.)
[1991] Graded modalities for epistemic logic. Technical Report IR 261, Free
University, Amsterdam, 1991.
Хьюз Г. и Крессвелл М. (Hughes G. Е. and Cresswell M. J.)
[1968]. An Introduction to Modal Logic. London, Methuen and Co.
Чёрн A. (Church A.)
[1939]. Review of Bochvar // The Journal of Symbolic Logic, 4, 98-99; 5, 119.
[1943]. Review of Quine // The Journal of Symbolic Logic, 8, 45-47.
[1956] 	. Introduction to Mathematical Logic. Volume I, Princeton, New Jersey,
Princeton University Press, 1956 (русский перевод Чёрч А., Введение
в математическую логику I. Москва, ИЛ, 1960).
[1973]. Outline of revised formulation of the logic of sense and denotation
(Part I) // Nous, 7, 1, 24-34.

272
Литература
Шапиро С. (Shapiro S.)
[1985]. Introduction: intensional mathematics and constructive mathematics //
in: Shapiro S. (ed,), Intensional Mathematics, Amsterdam, New York,
Oxford, North-Holland, 1-9.
Шютте К. (Schutte A".)
[1953]. Zur Widerspruchsfreiheit einer typenfreien Logik // Mathematische An-
nalen, 125, 394-400.
[1962]. Der Interpolationssatz der intuitionistischen Pradikatenlogik.
Mathematische Annalen, 148, 192-200.
[1968]. Vollstandige Systeme modaler und intuitionistischer Logik // Ergebnisse
der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 42. Berlin, Heidelberg, New York,
Springer-Verlag.
Эсакиа Л. JI.
[1976]. О модальных «напарниках» суперинтуиционистских логик //VII
Всесоюзный симпозиум по логике, Киев, 135-136.
[1979]. О многообразии алгебр Гжегорчика // Исследования по
неклассическим логикам и теории множеств, Москва, Наука, 257-287.

Summary
In the Introduction of the book history of the problem is shortly
considered. There are two quite different approaches to analyze modalities
of knowledge and belief. According to the first it is necessary to abstract
from real limitations of deductive abilities of an empirically existent
person and it accepted that the person knows all the logical consequence
of his knowledge and beliefs (early J. Hintikka, N. Goodmen, S. Shapiro
and others). According to the second approach the person considered by
supporters of the first approach is extremely idealized, logically
omniscient and omnibelief. But this analysis disregards the limited character of
knowledge and belief of a real person and they show why usual possible
world semantics is inadequate for the analysis of modalities of knowledge
and belief (J. Levesques, R. Fagin, J. Halpem, late J. Hintikka, V. Rantala
and others).
In chapter I of the book proof theory and semantics of some normal
and monotonic systems are describes (based on usual possible world
semantics, which corresponds to the first approach mentioned in the
Introduction) The propositional part of the system К and its epistemic
and doxastic extensions: T, 54, 55, DXT, Dx4, Dx5 are described. Their
correctness are proved. Also their completeness are proved by the method
of Kripke-style semantic tableaux. Proof theory and semantics of modal
predicate system S4 and its correctness are proved. Its completeness
is proved by the same method. Finally, without proof the theorem is
formulated on embedding intuitionistic predicate logic in system 54
which was proved by K. Schiitte using Kripke models.
In chapter II of the book non-normal and non-monotonic epistemic
and doxastic propositional systems: EpT, Ep4, Ep5, DxT, Dx4, Dx5,
are considered (based on partially possible world semantics, which
corresponds to the second approach mentioned in the Introduction). Their
proof theory is described. Also the following definitions are accepted:
A -»e В =df OaA D □ aB and A <->0=d/ {A В) A (В —A) where
A and В are any formulae, D means material implication, □ denotes

274
Summary
modal operator of our knowledge or of our belief and a is a person or
a stage in the development of our knowledge or a stage in the formation
of our belief. In the further exposition low index of modal operator will
be ommited as in monomodal systems a person or a stage in the
development of our knowledge or a stage in the formation of our belief is fixed.
The following list of axioms and rules of inferences for formulation
doxastic and epistemic systems is given.
Axioms:
Group А.1. All tautologies of classical propositional logic
Group В
1. □(рлд) = (прлпд),
2. P-> (PVQ),
3. Q-+ (PVQ),
4. PA(QVR)^(PAQ)\/R.
5. -v\P «-у P,
6. -i(P A(J) (~P V ~'Q),
7. ->(P V Q) -H- (^PA-^Q).
Group C
1. ПРЭ0Р,
2. □(□PDP),
3. DP DP,
4. P-+QP,
5. OP D ПОР.
Rules of inference (A, В and C are arbitrary formulae. The notions of
non-modalized, modalized and fully modalized formulae are defined as
usual).
Rl. From A, if P is a propositional variable, to infer A|;
R2. From Ad В and A to infer В;
R3. From A C and В C, where A, В and C are non-modalized,
to infer A V В —t C;
R4. From A to infer DA where A is fully modalized.

Summary
275
doxastic systems:
DXT = {Al; B1,C1,C2; rl-r3},
Dx4 = {DXT; C4},
Dx5 = {Al; B1,C1,C4; rl-r3}.
epistemic systems:
T - {Al; B1,C3; rl-r3},
54 = {T; C4),
55 = {T; C5}.
Also semantics of epistemic and doxastic systems are formulated.
A frame is an ordered triple (H, W, R) where H is a set of partially
possible worlds which contain non-empty subset W of total possible
worlds; R is a reflexive binary relation in H for EpT, a reflexive and
transitive binary relation in H for Ep4 and a reflexive and euclidian
binary relation in H for Ep5 (i.e. binary relation of equivalence in H).
In doxastic systems DxT, Dx4 and Dx5 correspondingly instead of
a reflexive R is a weak reflexive (for all u, v € H if (u, v) 6 R then
(v, v) 6 R) in H and serial in H (for every v € H there is some u 6 H,
not necessarily v itself, such that (v, u) G R).
EpT-(Ep4-,Ep5-)mode\ is a pair M = (Fr, V) where Fr
correspondingly is EpT-(Ep4-,Ep5-)frame and V is a binary partial function
defined on set PV x H where PV is the set of all propositional variables
and H is a set of partially possible worlds. The range of V is the set
{T, _L} where T means true and ± means false. V(P, v) = T or _L
neither not T nor ±, but for any P G PV and v G W and P G PV and
new V(P, v) = T or 1. The values V(^4, v), V(AAB, v), V(;lVB, v)
coincide with Lukasiewicz’s tree-valued logic (but instead of the
undefined value there is a gap). V(DA, v) = T (and, therefore, V(.4, u) is
defined) for all u G H such that (v,u) G R; otherwise V(CM, v) = _L
(i. e. if V(A, u) is undefined or if V(A, u) = J. for some u G H such that
(v, u) G R). Models of doxastic systems are defined likewise.
We say that a formula A is true in suitable models if A is true in
those models for all v G W, where W is a set of total possible worlds. We
say that A is true in suitable frames if A is true in all models based on
those frames. Finally, we say that formula A is valid in a given class of
suitable frames if A is true in every those frames.

276
Summary
The correctness of epistemic and doxastic systems are proved. It
is impossible to use directly Kripke’s method of constructing semantic
tableaux. The method is modified for non-normal and non-monotonic
systems, adapting it to epistemic and doxastic systems. Let FVm be a set
of all formulae and Frm be a set of all signed formulae. A tableau is
any proper subset of Frm U Firm. An alternative system of tableaux is
a tree-like ordered set of tableaux. In all alternative systems one tableau is
main (beginning of a tree), others are auxiliary. All alternative systems of
tableaux form a diagram. The main as well as the auxiliary ones may have
alternative tableau. We say that a tableau is trivially closed if it contains
formulae В together with or with В. An alternative system of tableaux
is closed if its main tableau is closed. A diagram is closed if all its
alternative systems of tableaux are closed. Finally, the completeness of epistemic
and doxastic systems are proved by the modified method of this capter.
In chapter III of the book two non-normal and non-monotonic
epistemic predicate tableau calculi are considered. Proof theory of tableau
calculi Ep4 and E4 are constructed. The notions connected with tableau-
method is defined as in the propositional case. Closed and open formulae
and closure of open formulae are defined as usual. V A denotes closure of
formula A. Construction predicate version of Ep4-diagram for examined
formula A in case when A is closed we begin by putting -iA in the main
tableau of Ep4-diagram. After that we continue construction according
to the following propositional rules:
NnJ'^.A NN
ND-
T,^A,A’
Г ,n(4vB)
T,^A,A
D-
T,AVJ3
D
Г, -'(A VB), ~>A, ->B ’ Г, АУ В, A,В’
T.AV В
; ND
Г, -i(AV B)
Г, A V В, A\T,Ay B,B r,i(iVB), -и4|Г, -"(A V B),->B
NK^aA
T,DA,A
T,DA
Г о, A
Г,-04
Ff-= ; NK- r
Г, 04,-04 I\-04,-i-OA

Summary
277
and according to the following quantifier rules:
E T>3 xA^x) . jjjs r> xA(x) .
Г, 3 xA(x), A(y) Г, ~i3 xA(x), -^(y)
мг, Г,пЗж^(ж) _ Г, 3 xA(x)
r,-i3a:4(®),-i4(z)’ Г, 3 xA(x),^A(z)’
Where Г C (Ftan U Fhn), Гп = {QB : □ В G Г}, x,y,z are individual
variables, moreover, у is a new individual variable, which does not
yet appear in any tableau, z is an individual variable already used
in construction of diagrams, A, В and A(x) are formulae. Instead of
Г U {A} we write Г, A.
We add one rule to quantifier rules of EpA-diagram: if in a tableau
a formula with a free individual variable does not appear, then for guaran-
teing use of rules NE and E we introduce a new free individual variable.
We also say that a closed formula A or its closure V A is provable in EpA
(or is a theorem of EpA) if there exists the closed i?p4-diagram for A.
Construction of EA-diagram differs from EpA -diagram only in one
point: instead of ~~>A, if A is closed, we put in the main tableau of
EA-diagram a signed formula A and if A is open, then we put in it
signed closure of A V A. All notions connected with EpA-diagram in
EA-diagram are the same.
In the chapter semantics for EpA and EA systems are also
formulated. EpA -frame is an ordered quadruple (H, W, R, D) where H, W and R
are the same as in propositional EpA-frame and D is a domain function
defined on H such that for all v G H D(v) Ф 0 and if (w, v) € R, then
D(w) C D(v), w, v G H.
Bp4-model is a pair M = (Fr, V) where Fr is an Bp4-frame and
V is a binary partial function defined on a set Prl x H (where PrI is
a set of all predicate letters and H is a set of partially possible worlds)
such that if n = 0, then V(P",v) = T or 1 either not T or not ±
and if n > 0, then У(Рп(жь ..., xn), v) = T is a pair (P; Q) such that
if P; Q != [D(v)]n and if v G W, then P n Q = 0 and if v G W, then
P U Q = [D(v)]n, but if v G H \ W, then P П Q = 0 where [D(v)]n is
n-time Cartesian product of the set D(v) on itself. Let U = (Jv<eh D(v)-
If A is an atomic formula it is a propositional variable Pn (if n = 0) or
has a form Pn(xi,..., xn) (if n > 0).

278
Summary
The conditions of truth of formulae of the form ->A, А А В, A\' В
in any v e H for a given assignment of elements ab ..., a„ of U to all
distinct free individual variables xx,..., x„ of A and В coincide with the
propositional case. Let x\,..., xn be all distinct free individual variables
of a formula V yA{x\,,xn,y) and elements ai,..., a„ of U are
correspondingly assigned to them. We say that V(V yA(xx,... ,xn,y),v) = T
for a given assignment of elements ai,..., a„ of U to all distinct free
individual variables X\,... ,xn when V(A(®i ,..., x„, y), v) = T for any
b € D(v) assigned to y. V(3 yA(xx, ... ,xn, y), v) is defined dually.
The notions of truth of a formula in F?p4-model, truth of a formula
in Ep4-frame and validity in a given class of Ep4 -frames are defined
as in the propositional Ep4 system. As to ^4-frame, it is an ordered
triple (H, R, D) where H is non-empty set of partially possible worlds,
R and D coincide with corresponding Ep4-frame. E4-model is a pair
M = (FV, V) where Fr is an E4-frame and V is a binary partial function
which has all properties of corresponding Ep4 function.
The conditions of truth formulae of the form -<A, А А В, A V В,
DA, V yA( xi, ...,xn,y) and 3 yA(xx ,...,xn,y) in v € H for a given
assignment elements of U а*,..., a„ to free variables xx,..., xn coincide
with corresponding Ep4 system.
For a give* E4-model and possible world v 6 H a formula A is
true in v, if V(A, v) = T. Notions of truth of a formula in E4-model,
truth of a formula in E4-frame and validity of a formula in a given class
of E4-frames coincide with the corresponding notions of Ep4 system.
The correctness of systems Ep4 and E4 are proved. Also their
completeness by the modified method of chapter II are proved.
In the chapter Hao Wang’s calculi of partial predicates PP and EP
are considered. The language of PP and EP contains an unlimited set of
individual variables, of n-ary functional signs, of n-ary predicate letters.
It may also contain individual constants and concrete predicate letters.
It contain also logical connectives Л, V, =4> (Wang’s implication),
quantifiers V and 3 . Terms and atomic formulae are defined as usual.
The formulae are the smallest set Fhn such that all atomic formulae are
in Fhn, and if x is an individual variable, A, В £ Fhn and A and В do
not contain then ~>A, A A B, A\J В, А В, V xA(x), 3 xA(x)
are in Fhn. Notice that according to this definition no formula permits
iteration of Wang’s implication.

Summary
279
Axioms of PP have a form A => В where A and В are quantifier
free formulae such that for all assignment V, if V(T) = T, then V(J3) = T.
Axioms of EP have the same form, but they contain additional condition:
if V(A) is undefined, then \(B) Ф T.
Rules of inference PP and EP have the form:
=»Д(у) .
’ A =$■ V xB(x) ’
B(s)^A
’УхВ(х) =» A’
П2.
П4.
A =» B(s)
A =>■ 3 xB( x)
B(y) =» A
3 xB(x) =£• A
where A, В £ Fhn, x, у are individual variables, s is a term and у is an
individual variable not free in A.
AaAaB=$-C A В У В У C
П5.—-—— ——; П6.— ————,
А А В => С A=> ВУ C
where A, B,C £ Firm, x, у are individual variables s is a term and у
an individual variable not free in A.
П7. If x is not free in В and C =$ D means within each theorem,
replacing a part C by D or a part D by C, we again get a theorem, then
V x-<A(x) -i3 xA(x), 3 x~<A(x) 4Ф -iV xA(x),
V x(A(x) AB)oV xA(x) A B, 3 x(A(x) ЛВ)« 3 xA(x) A B,
V x(A(x) У B)& У xA(x) V B, 3 x(A(x) VB)t4 3 xA(x) V B.
Semantics of PP. The model of Wang’s calculus of partial predicates
is a pair M = (D, V) where D is any non-empty set of individuals and
V is partial valuation function that ranges over predicate letters such
that if n = 0, then Pn is a propositional variable and V(P") = T or
-L neither T nor _L, but if n > 0 and Pn is a n-ary predicate letter,
then V(Pn) = (P, Q) where (P,Q) is a pair such that P U Q Ф 0 and
P,QC[D]“ where [D]> is n-time Cartesian product of the set D on itself.
If a model for PP is given, then we can find value of any
formula A relative to assignment of elements ai,..., a„ of D to free
individual variables x\,... ,xn of A. If Pn is a propositional variable,
then V(Pn) is already given by the model. V(P"(xi,..., x„) = T,
relative to an assignment of free individual variables xi,...,x„ of
a formula Pn(xb ..., xn) elements ai,..., a„ of D, if (aj,..., a„) £ P,

280
Summary
\(Pn(xi,...,xn) = ± by the same assignment elements of D to free
individual variables of Pn( x,,... ,xn), if (ai,...,a„) G Q, otherwise
Pn(xi,, xn) is undefined.
When an assignment to atomic formulae is given, we can built up an
assignment to complex formulae by induction. The conditions for ->A,
AAB, Aw В by an assignment of elements of D to all free individual
variables of A and В coincide with Lukasiewicz’s three-valued logic:
V(--4) = T, if V(A) = ±; V(-. Л) - -L, if V(A) = T; otherwise A is
undefined. Y(AAB) — min(V(v4), V(J3)) and \{AWB) = max(\(A),V(B)).
Hao Wang denotes undefined value by u. It is supposes that T is greater
than и and и is greater than _L.
Quantifiers V and 3 are interpreted as generalization of
connectives A and V. Suppose xy,... ,xn are all distinct free individual
variables of V yA(x\,..., xn, у) and elements ai,..., a„ of D are
assigned to them, then \(WyA(xi,..., xn, у)) = T, if by the same
assignment \(A(xy,... ,x„,y)) = T when value of у is any
element b of D; V(VyA(xi,... ,xn,y)) = ±, if by the same assignment
V(^i(®i,... ,xn,y)) = T when value of у is at least one element b of D;
otherwise W yA(x\,... ,xn,y) is undefined. Valuation of a formula of
the form 3 yA(x\,..., xn, y) is interpreted dually. Hao Wang proved
correcteness and completeness of calculi PP and EP.
In the chapter propositional fragments of PP and EP are
considered. Syntactic criteria of provability of those fragments are formulated.
We say that a quantifier-free formula A =$■ В of propositional part of
Wang’s calculus PP satisfies Rose’s criterion, if for each such disjunctive
member C of a disjunctive normal form of a formula A, which does not
contain any propositional variable togeether with its negation, there exists
a disjunctive normal form of a formula В, each conjunctive member of
which is also conjunctive member of C.
We say also that a quantifier-free formula A => В of propositional
part of Wang’s calculus EP satisfies syntactic criterion provability of
a formula, if it satisfies Rose’s criterion and for each disjunctive member
C of a disjunctive normal form of a formula A, which contain at least
one propositional variable together with its negation, each conjuctive
member E a conjuctive normal form of В is a classical tautology or as
a disjunctive member contains that disjunctive member of a formula A.

Summary
281
In the chapter also analogous of Craig’s interpolation theorem for
PP and EP are proved. For calculus PP it express that for each
provable formula of the form A C in the PP.
(a) if A and C have at least one common predicate letter, then
a formula В exists containing only those free individual variables and
predicate letters, that occur in A and C at the same time, then in
calculus PP formulae A В and В =$■ C are provable and
(ft) if A and C do not contain common predicate letters and
a formula A => C is provable in PP, then A is a contradiction.
Interpolation theorem holds for calculus EP as well, the item (a)
of calculus PP is the same for EP, but the item (ft) asserts that in case
if A is a contradiction, then C is a classical tautology.
Finally, to each formula of Wang’s calculus PP corresponds its
translation in Ep4 system. Translation function is defined as follows
T(A) — CM, if A does not contain =£•
T{A) = (В) D (C), if A has the form В =$■ C and В and C do
not contain => (where => is Wang’s implication for PP).
It is proved that A is valid in PP if and only if T(A) is valid in the
class of 2£p4-frames.
To each formula of Wang’s calculus EP corresponds its translation
in Ep4 system. Translation function is defined as follows
T'{A) — CM, if A does not contain
V(A) = T({B) D T(C)) Л T(bC) D T(-iB)), if A has the form
В =$> C and В and C do not contain => (where => is Wang’s implication
for PP).
It is also proved that A is valid in EP if and only if T'( A) is valid
in the class of Ep4-frames.
Likewise can be state the assertions that A is valid in EP if and
only if T(A) is valid in the class of E4 -frames and A is valid in EP if
and only if T'(A) is valid in the class of £14-frames.
Translation formulae of Wang’s calculi PP and EP allows us to
generalize his calculi of partial predicates, permitting iteration of Wang’s
implication.
In the Conclusion of the book critique Frege—Russell’s logicism by
Bochvar is given. Bochvar shows that logic is inconsistent. There are no
logical antinomies that arise from the addition to the axiom of classical
logic of some existential axioms incompatible with the logical axioms.

282
Summary
But such axioms have no logical nature. Mathematics cannot be deduced
from classical logic. Mathematics is not a collection of tautological
truths. Non-triviality of mathematics is guaranteed by the non-triviality
of its existential axioms. It is difficult not to agree with such critique of
Frege—Russell’s logicism, that has not been realized, though the idea of
reduction of mathematics to logic seemed to be attractive.
Logicism is an extreme form of platonism which is a direction in
philosophy of mathematics. According to platonism the subject matter
of mathematics consists of abstract objects whose existence is
independent from the knowing mathematician. One of competitive direction
with platonism in philosophy of mathematics is intuitionism. According
to intuitionism subject matter of mathematics consists of mental
constructions. Intuitionistic mathematics is often called constructivist while
platonistic — non-constructivist. Intuitionists reject non-constructivist
assertions as incompatible with principles of intuitionistic philosophy
(the most notable of these is the law of excluded middle).
Two approaches mentioned in the Introduction of the book permit
translations of intuitionistic logic into epistemic interpreted modal system
54 (correspondingly in fully modalised parts of Ep4 and in E4). This
circumstance testifies a sense-connection between constructive processes
and epistemic processes of epistemic logic which is extension of
classical logic. This connection is an example of philosophically-grounded
constructive processes in non-constructive ones. Therefore, we see that
constructive method of thinking is closely connected with epistemic
situations and constructive processes in classical logic can be expressed
with the help of a formal language which contains epistemic terms. One
of peculiarities of epistemic logic is revealed here.

Contents
Preface to Russian edition 7
Preface 17
Introduction 19
Chapter I
Some normal and monotonic modal logics 46
1. Propositional modal system if and its extensions 46
1.1. Formal language 46
1.2. Proof Theory 49
1.3. Semantics 56
1.4. Correctness 58
1.5. Semantic tableaux 58
1.6. Semantic completeness 64
2. Some extensions of К 72
2.1. Proof theory 75
2.2. Reduction of modalities 82
2.3. Semantics 85
2.4. Semantic tableaux 86
2.5. Semantic completeness 88
2.6. Decision procedure 105
3. Normal and monotonic epistemic predicate system 54 108
3.1. Formal language 108
3.2. Proof Theory 110
3.3. Semantics 116
3.4. Correctness 118
3.5. Semantic tableaux 119
3.6. Semantic completeness 120

284
Contents
Chapter II
Non-normal and non-monotonic epistemic and doxastic
propositional logics 127
1. Formal language 127
2. Proof theory 130
3. Semantics of partial possible worlds 139
4. Correctness 143
4.1. Validity preservingness in a model 143
4.2. Further theorems 152
5. Rose criterion 153
6. Interchangeability 165
7. Reduction of modalities in Dx5 and Ep5 173
8. Semantic tableaux 175
8.1. Rules of tableaux for EpT and Ep4 176
8.2. Rules of tableaux for DxT and Dx4 181
8.3. Characteristic and associative formulae 181
9. Semantic completeness 183
9.1. Semantic completeness of systems EpT and Ep4 183
9.2. Completeness of systems Dx5 and Ep5 204
10. Decision procedure 205
11. Polymodalities 208
Chapter III
Non-normal and non-monotonic epistemic predicate logics 212
1. Tableaux calculus Ep4 213
1.1. Proof theofy 213
1.2. Semantics 215
1.3. Correctness Ep4 217
1.4. Semantic completeness Ep4 220
2. Hao Wang’s calculi of partial predicates 227
2.1. Propositional fragments of calculi PP and EP 230
2.2. Criteria of provability in PPs and EPs 233
2.3. Analogues of Craig’s theorem for PP and EP 238

Contents
285
3. Epistemic logic and Hao Wang’s calculi of partial
predicates 247
4. Tableau calculus E4 250
4.1. Proof theory of tableau calculus E4 251
4.2. Semantics of tableau calculus E4 251
4.3. Correctness and completeness of tableau calculus E4 . . . 252
4.4. On generalisation of Hao Wang’s partial predicates,
permitting iteration of implication 255
Conclusion 257
Bibliography 263
Summary 273

; ...
^lIRSS.ru
URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru
ел
СЛ
Представляем Вам наши лучшие книги:
Серия «Науки об искусственном»
Финн В. К. Интеллектуальные системы и общество.
Шамис А. Л. Поведение, восприятие, мышление. Проблемы создания
искусственного интеллекта.
Саймон Г. Науки об искусственном.
Арбиб М. Метафорический мозг.
Гаазе-Рапопорт М. Г., Поспелов Д. А. От амебы до робота: модели поведения.
Попов Э. В. Общение с ЭВМ на естественном языке.
Редько В. Г. (ред.) От моделей поведения к искусственному интеллекту.
URSS
09
09
jmm
зм,
09
И
Информатика и кибернетика
Росс Эшби У. Введение в кибернетику.
Бир С. Кибернетика и менеджмент.
Бир С. Мозг фирмы.
Ворожцов А. В. Путь в современную информатику.
Кронрод А. С. Беседы о программировании.
Шамис А. Л. Пути моделирования мышления.
Рапопорт Г. Н., Герц А. Г. Искусственный и биологический интеллекты.
Голицын Г. А., Петров В. М. Информация и биологические принципы оптимальности.
Голицын Г /4., Петров В. М. Социальная и культурная динамика.
Моль А. Социодинамика культуры.
Болотов А. А., Гашков С. Б., Фролов А. Б., Часовских А. А. Элементарное введение
в эллиптическую криптографию: Алгебраические и алгоритмические основы.
Болотов А. А., Гашков С. Б., Фролов А. Б. Элементарное введение в эллиптическую
криптографию: Протоколы криптографии на эллиптических кривых.
Магазов С. С. Лекции и практические занятия по технологии баз данных.
Григорьев В. А. Человек как неформальная интеллектуальная система.
Арлычев А. Н. Сознание: информационно-деятельностный подход.
Бриллюэн Л. Научная неопределенность и информация.
Закревский А. Д. Параллельные алгоритмы логического управления.
Закревский А. Д. Логические уравнения.
Закревский А. Д. Логика распознавания.
Киселева И. А. Коммерческие банки: модели и информационные технологии.
Сгибнев А. В. Информационные технологии и реинжиниринг бизнес-процессов.
Математическое моделирование
Тарасевич Ю. Ю. Математическое и компьютерное моделирование.
Тарасевич Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы.
Плохотников К. Э, Математическое моделирование и вычислительный эксперимент.
Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей.
Блехман И. ИМышкис А.Д., Пановко Я. Г. Прикладная математика: Предмет, логика,
особенности подходов. С примерами из механики.
Колман Р., Фалб /7., Арбиб М. Очерки по математической теории систем.
Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию
социальных наук.
URSS.ru
URSS.ru
-V •:
URSS.ru
URSS.ru.
URSS.ru ; URSS.ru > URSS.ru ТЖ URSS ru URSS.ru llURSS.ru

URSS.ru iURS8S.ru URSS.ru URSS.ru UHSS.ru < URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru
Представляем Вам наши лучшие книги:
Философия и методология науки
Реньи А. Диалоги о математике.
Вейль Г. О философии математики.
Свепиов В. А. Философия математики.
Харди Г. Г. .Апология математика.
Шредингер Э. Мой взгляд на мир. Пер. с нем.
Борн М. Моя жизнь и взгляды. Пер. с англ.
Гейзенберг В. Философские проблемы атомной физики.
Гейзенберг В. Часть и целое (беседы вокруг атомной физики).
Карнап Р. Философские основания физики, введение в философию науки.
Бунге М. Философия физики.
Рейхе нбах Г. Философия пространства и времени.
РеСаенбах Г. Направление времени.
Уитроу Дж. Естественная философия времени.
Грюнбаум А. Философские проблемы пространства и времени.
Койре А. Очерки истории философской мысли.
Бриллюэн Л. Научная неопределенность и информация.
.Аронова Е. А. Иммунитет. Теория, философия и эксперимент.
Поппер К. Р. Объективное знание. Эволюционный подход. Пср. с англ.
Поппер К. и др. Эволюционная эпистемология Карла Поппера
и логика социальных наук: Карл Поппер и его критики. Пер. с англ.
Садовский В. Н. Карл Поппер и Россия.
Системные исследования. Методологические проблемы. Вып. 1992-2005.
Яновская С. А. Методологические проблемы науки.
Суриков К. А., Пугачева Л. Г. Ум, в котором мы живем.
Суриков К. А., Пугачева Л. Г. Эпистемология. Шесть философских эссе.
Лекторский В. А. Эпистемология классическая и неклассическая.
Черняк А. 3. Эпистемология неравных возможностей.
Жилин Д. М. Теория систем: опыт построения курса.
Новиков А. С. Научные открытия: повторные, одновременные, своевременные...
Сачков Ю. В. Научный метод: вопросы и развитие.
Баксанский О. Е., Кучер Е. Н. Когнитивные науки: от познания к действию.
Бейтсон Г. Разум и природа: неизбежное единство. Пер. с англ.
Бейтсон Г. Шаги в направлении экологии разума. Кн. 1-3. Пер. с англ.
JRSS
ев
ев
■
■п
=
“ж*-*
ев
60
я с
ев
ев
■
я
ев
ев
■ «Ж*-i
ч;
09
09
Тел./факс:
(495) 135-42-46,
(495) 135-42-16,
E-mail:
URSS@URSS.ru
http://URSS.ru
Наши книги можно приобрести в магазинах:
«Библио-Глобус» (и. Лубянка, ул. Мясницкая, б. Тел. (495) 625-2457)
«Московский дои книги» (и. Арбатская, ул. Новый Арбат, 8. Тел. (495) 203-8242)
«Молодая гвардия» (и. Полянка, ул.Б. Полянка, 28. Тел. (495) 238-5001,780-3370)
«Дом научно-технической книги» (Ленинский пр-т, 40. Тел. (495) 137-6019)
«Дои книги на Ладожской» (и. Бауманская, ул. Ладожская, 8, стр.1. Тел. 267-0302)
«Гнозис» (и. Университет, 1 гуи. корпус МГУ, номн.141. Тел. (495) 939-4713)
«У Кентавра» (РГГУ) (и. Новослободская, ул. Чаянова, 15. Тел. (499) 973-4301)
«СПб. ДОИ книги» (Невский пр., 28. Тел. (812) 311-3954)
■
-Т
ев
ев
■
URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru

UHSS.ru

URSS.ru

* ч

URSS.ru

URSS.ru

и

09

s

ШОС:

МШ£

SLf^1

09

09

Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!

Наше издательство специализируется на выпуске научной и учебной
литературы, в том числе монографий, журналов, трудов ученых
Российской академии наук, научно-исследовательских институтов и учебных
заведений. Мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных
экономических условиях. При этом мы берем на себя всю работу по подготовке
издания — от набора, редактирования и верстки до тиражирования
и распространения.

Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие:

Зиновьев А. А. Очерки комплексной логики.

Сидоренко Е. А, Логика. Парадоксы. Возможные миры.

Смирнов В. А. Логические методы анализа научного знания.

Шалак В. И. (ред.) Логико-философские труды В. Л. Смирнова.

Бирюков Б. В., Тростников В. Я Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики.
Бирюков Б. В. Крушение метафизической концепции универсальности предметной
обласги в логике. Контроверза Фреге- Шрёдер.

Бирюков Б. В. Грудные времена философии.

Бирюкова Н. Б. Логическая мысль во Франции XVII - начала XIX столетий.
Бахтияров К. И. Логика с точки зрения информатики.

Колмогоров А. Я., Драгалин А. Г. Математическая логика.

Драгалин А. Г. Конструктивная теория доказательств и нестандартный анализ.

Клини С. Математическая логика.

URSS

09

09

Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств.

Гамов Г., Стерн М. Занимательные задачи.

Перминов В. Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства.
Петров Ю. А. Логические проблемы абстракций бесконечности и осуществимости.
Гастев Ю.А. Гомоморфизмы и модели (логико-алгебраич. аспекты моделирования).
Абачиев С. К. Традиционная логика в современном освещении.

Абачиев С. КДелия В. П. Теория и практика аргументации.

Тьюринг А. Может ли машина мыслить?; Нейман Дж. фон. Общая и логическая теория
автоматов.

Пенроуз Р. НОВЫЙ УМ КОРОЛЯ. О компьютерах, мышлении и законах физики.
Асмус В. Ф. Проблема интуиции в философии и математике.

Асмус В. Ф. Немецкая эстетика XVIII века.

Асмус В. Ф. Платон.

Асмус В. Ф. История логики.

Серия «Из истории логики XX века»

Асмус В. Ф. Логика.

Серрюс Ш. Опыт исследования значения логики.
Грязнов Б. С. Логика, рациональность, творчество.
Ахманов А. С. Логическое учение Аристотеля.

Строгович М. С. Логика.

По всем вопросам Вы можете обратиться к нам:
телефакс (495) 135-42-16, 135-42-46
или электронной почтой URSS@URSS.ru
Полный каталог изданий представлен
в Интернет-магазине: http://URSS.ru

Научная и учебная
литература

URSS.ru

URSS.ru

URSSiru

URSS.ru

lURSSIrufe^ URSSlifu I URSS.ru V URSS.ru Щ URSS.ru liURSS.ru