БИБЛИОТЕЧКА .КВАНТ.
ВЫПУСК 7
т
п. с. АЛЕКСАНДРОВ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
rрупп

МОСКВА «НАУКА:.
r ЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
Ф ИЗИКОМА ТЕМА ТИЧЕСК Ой
ЛИТЕРАТУРЫ
1980

22.144
А46
УДК 519.4
р Е Д А К Ц И О Н Н А Я К О Л Л Е f И Я:
Академик И. К. КИКОИН (председате.ТIЬ), академик А. Н. Кол-
Morop O B (заместитель председателя), кандидат физ.мат. наук
\ И. Ш. Слободецкий \ (ученый секретарь), членкорреспондент
АН СССР А. А. Абрикосов, академик Б. К. Вайнштейн, заслу-
женный учитель РСФСР Б. В. Воздвиженский, академик
В. м. rлушков, академик П. Л. Капица, профессор С. П. Капица,
член-корреспондент АН СССР Ю. А. Осипьян, ЧJIенкорреспондент
АН СССР В. r. Разумовский, академик Р. 3. Саrдеев, кандидат
ХИМ. наук М. л. СМОJlЯНiИЙt професСQР Я. А. Смородинекий, ака-
демик С. Л. Соболев, членкорреспондент АН СССР Д. К. Фад-
деев, член-корреспондент .АН СССР И. С. Шкловский.
Александров П. с.
А 46 Введение в теорию rрупп.  М.: Наука. rлавная
редакция Физикоматематической литературы,
1980, 144 с.  (Библиотечка «Квант». Бып. 7) 
25 коп.
Книrа представляет собой введение в элементарную алrебру и
теорию rрупп, которая находит широкое применение в современ1!.ОЙ
математике и физике, кристаллоrрафии, физике твердоrо тела и
физике элементарных частиц. Все вводимые понятия подробно
разъясняются на простых rеометрических примерах. В книrу
включено дополнение, написанное Ю. П. Соловьевым.
Для школьнИJ{ОВ, преподавателей, студентов.
20203106
А 87 -80.
053(02)-80
1702030000
ББК 22.144
517.1
А 20203 106
053(02)80 8780.
1702030000
@ Издательство «Наука».
fлавная редакция
физиком атем атической.
JIИl ературы, 1980

or ЛАВЛ'ЕНуIЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 5
ВВЕДЕНИЕ 7
r л а в а 1. ПОНЯТI1Е rруппы 10
э 1. Простейшие понятия теории множеств 10
1. Сумма множеств (10). 2. Пересечение мно-
жеств (11). 3. Отображения или функции (11).
4. Разбиение множества на подмножества (14).
Э 2. Вводные приме-ры 20
1. Действия над целыми числами (20). 2. Дейст-
вия над рациональными числами (20). 3. Пово-
роты правильноrо треуrольника (21). 4. Клейнов-
ская rруппа четвертоrо порядка (23). 5. Повороты
}{вадрата (24).
 3. Определение rруппы 25
Э 4. Простейшие теоремы о rруппах 27
1. Произведение любоrо конечноrо числа элементов
rруппы. Первое правило раскрытия скобок (27).
2. Нейтральный 9,"емент (29). 3. Обратный эле-
мент (30). 4. Замечания об аксиомах rруппы
(32). 5. «Мультипликативная» и «аддитивная» тер-
минолоrия в теории rрупп (33).
rлава 11. rруппы ПОДСТАНОВО!< 36
Э 1. Определение rрупп подстановок 36
Э 2. Понятие подrруппы 40
1. Примеры и определение (40). 2. Условие, чтобы
подмножество rруппы было подrруппой (41).
Э 3. Подстановки как отображения конечноrо множества
на себя. Четные инечетные подстановки 42
1. Подстановки как отображения (42). 2. Чеl'ные
инечетные подстановки (43).
rлава 111. ИЗОМОРФНЫЕrРУППЫ.ТЕОРЕМАКЭЛИ 48
 1. lIзоморфные rруппы 48
 2. Теорема Кэли 52
r л а в а lУ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ rруппы 55
 1. Подrруппа, порожденная Данным элементом данной
rруппы. Определение циклической rруппы 55
 2. Конечные и бесконечные циклические rруппы 56
 3. Системы образующих 61
1* 3

r л а в а v. ПРОСТЕЙШИЕ rруппы 63
САМОСОВМЕЩЕНИЙ
Э 1. Примеры и определение rруппы самосовмещений
rеометричеСI<lIХ фиrур 63
1. Самосовмещения правильных мноrоуrольников в
их плоскости (63). 2. Самосовмещения правильноrо
мноrоуrольника в трехмерном пространстве (64).
3. Общее определение rруппы самосовмещений дан-
ной фиrуры в пространстве или на ПЛОСКОСТИ (65).
 2. rруппы самосовмещений прямой и окружности 65
 3. rруппы поворотов правильной пирамиды и двойноЙ
пирамиды 67
1. Пирамида (67). 2. ДЕойная пирамида (диэдр)
(68). 3. Случай Еыр()ждения: rруппы поворотов
отрезка и ромба (70).
 4. rруппа поворотов правильноrо тетраэдра 72
 5. rруппа поворотов куба и октаэдра 76
 6. rруппа поворотов икосаэдра и додекаэдра. Общее
замечзние о rруппах поворотов правильных MHoro
rранников 82
r л а в а VI. ИНВАРИАНТНЫЕ подrруппы 85
э 1. Сопряженные элементы и подrруппы 85
1. Трансформация oAHoro элемента rруппы при по-
мощи друrоrо (85). 2. Пример rруппы тетраэдра
(87). 3. Сопряженные элементы (88). 4. Транс-
формация подrруппы (89). 5. Примеры (92).
 2. Инвариантные подrруппы (нормальные делители) 93
1. Определение (93). 2. Примеры (93).
r л а в а VII. rОМО1\10РФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 96
 1. Определение rомоморфноrо отображения и ero ядра 96
 2. Примеры rомоморфных отображений 99
r л а па VIII. РАЗБИЕНИЕ rруппы НА КЛАССЫ
ПО ДАННОЙ подrРУППЕ. ФАктоРrРУППА 104
 1. Левосторонние и правоС'торонние классы 104
1. Левосторонние классы (104). 2. Случай конеч-
ной rруппы G (105). 3. Правосторонние классы
(106). 4. Совпадение правосторонних классов
с левосторонними в случае инвариантных подrрупп
(107). 5. Примеры (108).
 2. Факторrруппа по данной инвариантной подrруппе 1 i О
1. Определение (110). 2. Теорема о rомоморфных
отображениях (112).
Д о б а в л е н и е. rруппы ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА
И их подrруппы. ю. П. Соловьев 116
1. rруппа перемещений плоскости (116). 2. rруппа
перемещений пространства (123). 3. Конечные под-
rруппы rруппы перемещений простраБ-ства (134).
4

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книrа написана на основе моей книrи
с таким же названием, вышедшей в 1938 rоду 1).
Повидимому, потребность в совершенно элементарном
введении в теорию rрупп сохраняется и в настоящее
время, несмотря на довольно обширную литературу
по алrебре, в которой, в частности, не мало хороших
и достаточно полных изло}кений теории rрупп. Поэтому
я был очень обрадован представившейся теперь воз..
можности опубликовать популярное изложение теории
rрупп в серии «Библиотечка «Квант», тем более, что
9та серия предназначена как раз тому Kpyry читателей,
ДJIЯ KOToporo я в основном и писал эту книжку.
Понятие rруппы приобретает в настоящее время все
большее rосподство над самыми рэ.зличпыми разделами
l\1атематики и ее приложений и наряду с понятием функ..
ЦНИ относится К самым ФУН.1\аментальным понятияrvl
всей математики.
Понятие rруппы не труднее понятия функции; ero
10ЖНО освоить на Cal\lbIX первых ступенях математи..
ческоrо образования, тем более, что сделать это можно
на материале элементарной математики. Вместе с Tel\l
знакоl'ЛСТВО с этим понятием кажется мне одним из Cal\1bIX
естественных способов первоrо ознакомления с совре..
менной математикой вообще.
Овладеть понятием rруппы rvfожет с интересом и поль..
зой всякий любящий математику ученик старших клас..
1) П. С. Александров. Введение в теОрИIО rрупп.М.:
Учпедrиз, 1938 r.
5

сов средней школы. Книжка эта и написана в пеРВУIО
очередь для интересующихся математикой учащихся
старших классов средней школы, а также для лиц,
преподающих математику в школе. Что касается харак"
тера изложения, то я старался не давать понятий,
не разъяснив их на простых, в значительной части
fеометрических примерах.
Книrа содержит написанное Юрием Петровичем
Соловьевым добавление «rp уппы перемещений плоскости
.и . пространства и их подrруппы». Это добавление
представляется мне дающим одну из самых живых,
важных и интересных иллюстраций общеrо понятия
rруппы, фундаментальная важность KOToporo для всей
математики и ее приложений уже отмечалась выше.
Переработка моей прежней книrи осуществлена
Ю. П. Соловьевым, которому я выражаю искреннюю
блаrодарность. Особенно же я блаrодарю Ю. П. Соловь-
ева за то, что он написал уже упомянутое добавление
к этой книrе, существенно дополняющее и украшающее ее.
П. С. Александров
r. Москва
12 сентября 1979 rода

ВВЕДЕНИЕ
в школе переход от арифметических за..
дач к алrебраическим находит свое выражение в том,
что в задачах численные данные заменяются буквен..
выми. Обозначение чисел буквами отвлекает нас от
специальных числовых данных, фиrурирующих в той
или иной задаче, и приучает решать задачи в общеl\1
виде, т. е. для любых числовых значений входящих
в нее величин.
В соответствии с этим, в начальных, самых важных,
rлавах школьноrо курса алrебры изучаются правила
действий над буквенными выражениями, или, что то
же самое, законы так называемых тождественных пре..
образований алrебраических выражений. Постараемся
с caMoro начала выяснить это понятие.
I(ая{дое алrебраическое выражение представляет
собой совокупность букв, связанных между собой зна-
ками алrебраических действий; при этом для простоты
МЫ В настоящую минуту будем рассм:атривать лишь
действия сложения, вычитания и умножения. Смысл
кзждоrо алrебраическоrо выражения заключается в
следующем: если буквы, участвующие в выра»;ении,
заменить числами, то выражение показывает, какие
действия и в каком порядк надо выполнить над эТими
числами; друrими словами, всякое алrебраическое выра..
жение представляет собой некQТОрЫЙ, записанный ,в об..
щем виде, рецепт для обыкновенноrо арифметиче(\коrо
вычисления. Тождественное преобразование алrебраи-
. чеекоrо выражения означает переход от одноrо выра-
жения к друrОl'vIУ, связанному с первым следующим
соотношением: если мы в обоих выражениях каждой
букве ДадИм совершенно произвольное числовое значе-
ние с одним условием, чтобы одна и та же буква,
входящая в оба выражения, получила в обоих случаях
одно и то же значение, и если после этоrо произведем
7

nоказанные действия, то оба выражения дадут один
и тот же числовой результат. Тождественное преоб-
разование записывается в виде равенства двух алrе-
браических выражений; равенства эти справедливы
при любой замене входящих в них букв числами (как
указано выше). Равенства этоrо вида называются, как
известно, тождествами. НаПРИlVlер:
aa===O, (1)
(а+ Ь)с===ас+Ьс. (2)
Всякое тождество выражает некоторое свойство входя-
щих в Hero действий. Так, например, тождество (1)
rоворит нам, что вычитая из какоrо-нибудь числа это
самое число, мы всеrда получим один и тот же резуль-
тат, а именно нуль. Тождество (2) утверждает следующее
свойство действий сложения и умножения: произведение
суммы двух чисел на третье число равно сумме произ-
ведения каждоrо из слаrаемых на это третье число.
Тождеств существует бесконечно MHoro. Однако
можно установить небольшое число основных тождеств,
подобных вышенаписанным, таким образом, что любое
тождество является следствием из этих основных
'Тождеств.
Всякое алrебраическое вычисление, т. е. всякое
сколь уrодно сло}кное тождественное преобразование
одноrо алrебраическоrо выражения в друrое, является,
таким образом, комбинацией небольшоrо числа основ-
ных или эле1ентарных тождественных преобразований,
излаrаеl\.IЫХ в элементарноЙ алrебре под названием
правил раскрытия скобок, правил знаков и т. п. Совер..
шая эти комбинации элементарных преобразований,
обычно даже забывают о том, что каждая буква в
алrебраическом выражении есть только символ, знак,
обозначающий некоторое число: вычисления, как rOBO-
рят, производят механически, забывая о реальном
cMыc пе ПрОИЗБодимоrо в каждый момент преобразова-
ния, а заботясь лишь о соблюдении правил этих пре-
образований. Так поступают обычно и опытные мате-
матики и начинающие учащиеся. Однако в последнем
случае иноrда, к сожалению, бывает, что этот реальный
смысл производимых преобразований вообще ускользает
из сознания.
В механическом осуществлении алrебраических опе-
раций есть и друrая, более серьеЗlJая сторона. Она
8

sаключается в ТОМ, что под буквами, входящими
в алrебраическое выражение, во мноrих случаях можнv
понимать не число, а разнообразные друrие объекrIЫ
математическоrо исследования: не только над числами,
но и над друrими объектаl\1И  примеры этому мы
увидим  можно производить действия, которые имеют
ряд общих основных свойств с алrебраическими деЙ-
ствиями, и которые поэтому естественно назвать сло-
жением, умножением и т. д. Например, силы в
механике не являются числами: они являются так
называемыми векторами, т. е. величинами, имеЮЩИf\ЛИ
не только числовое значение, но и направление. Между
тем силы l'.10ЖНО складывать, и это сложение обладает
основными свойствами обычноrо алrебраическоrо сло-
жения чисел. Это приводит К тому, что над силаIVJИ
можно производить вычисления по правилам алrебры.
Таким образом, моrущество алrебраических преобразо-
ваний идет rораздо дальше, чем запись в общей форме
действий над числами: аЛ2ебра учит вычислениям с лю-
быми объектами для которых определены действllЯ
удовлеlпвОРЯЮ1-цuе OCflOBHblM алеебраическ,им, аксиомам.

r ЛАВА 1
ПОНЯТИЕ rруппы
 t. ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
МНОЖЕСТВ
в этом параrрафе мы опишем вкратце те
основные понятия из теории множеств, которые посто..
янно употребляются в теории rрупп. Большинство этих
понятий хорошо известно читателю из курса математики
средней школы.
Прежде Bcero, мы предполаrаем известными понятия
множества и ero подмножеств. Напомним лишь, что
если В является подмно}кеством множества А, ТО этот
факт обозначается так: В с А или А:::) В. Знак с
...
называется знаком включения.
Множества, состоящие из конечноrо числа элементов,
называются конечными .множестваЛ4И. Теория конечных
:множеств называется иноrда комбинаторикой. Но бы..
вают и бесконечные множества. Таковы, например:
1vlножество всех натуральных (т. е. целых положитель-
ных) чисел; множество всех прямых, проходящих через
данную точку (в плоскости или в пространстве);
:множество всех окружностей, проходящих через две
данные точки; множество всех плоскостей, проходящих
через данную прямую в пространстве и Т. д.
Заметим еще одно обстоятельство: в мате1\'1атике
рассматривается и множество, обозначаемое символом ф,
вовсе не содержащее элементов (пустое множество).
Пустое множество есть подмножество вСЯКО20 множества.
Пустое множество в этоЙ КНИl'е нам почти не придется
рассматривать, ВООQще же в математике оно часто
является необходимым моментом в рассуждениях.
Напомним теперь определение операций над мно-
жествами.
t. Сумма множеств. Суммой А U В (или объедине..
нием) множеств А и В называеПiСЯ множество, состоя..
10

(цее из всех элеменпl0в множеспlва А и всех элементов
J,tножества В.
Отметим, в частности, слеДУI{)щее: если множество
В есть подмножество "иножества А, то сумма множеств
В и А совпадает с А.
Соершенно аналоrичным способом определяется
CY1\1Ma любоrо числа множеств. Можно определить и
сумму бесконечноrо числа множеств. Все это содер-
жится в следующем определении:
Пусть дана какаянибудь конечная или .бесконечная
совокупность множеств. Су.м,мой множеств данной
совокупности называется множество всех элементов,
принадлежащих хотя бы одному из множеств) входящих
в данную совокупность.
2. Пересечение множеств. Под пересечение.м, .мно-
жеств А и В nОflимаеmcя множество элементов, nри-
надлежащих и множеству А и множеству В. Пересе-
чение множеств А и В обозначается А n В. Конечно,
Э-ТО множество может оказаться и пустым.
Заметим, что если В с А, то пересечение множеств
А и В есть множество В.
Вообще пepeCetteHueAf, .tfножеств данной (конеч-
ноЙ или бесконечной) совокупности множеств на-
зывается множество, состояu,ее из элементов) при..
надлежащих ко всем множествам данной совокуп..
HOCпlU.
3. Отображения. или функции. Предположим, что
некоторое количество людей идет, сках,ем, в театр.
При входе в театр люди раздеваются и получают
в rардеробе номер, под которым висит их пальто.
Что интересует нас с математической стороны в этом
всем известном явлении? Интересующим нас обстоя-
тельством является факт, который 1\10жет быть сформу-
лироВан слеДУЮЩИ1\1 образом.
Каждому зрителю театра соответствует (или пос-
тавлен в соответствие) некоторый предмет, а именно:
тот HOMept который этот зритель получил в rарде-
робе.
Если каким..нибудь образом каждому элементу а
HeKoToporo множества А поставлен в соответствие опре-
деленный элемент Ь HeKoToporo множества В, то мы
rоворим, что множество А отображено во. множество
В, или что мы имеем фуницию, apzYMeHm КОТОрОЙ
пробеrает множество А, а значения ее принадлежат
11

множеству В. ДЛЯ Toro чтобы показать, что данный
элемент Ь поставлен в соответствие элементу а, пишут:
Ь === f (а) и rоворят, что Ь есть образ элемента а при
данном отображении f (или что Ь есть значение функ..
ции для значения а aprYMeHTa).
При этом MorYT представиться различные случаи,
I{OTOpbIe мы сейчас и разберем. Может случиться, что
на данный спектакль распроданы все билеты. Тоrда
и в rардеробе обычно не остается свободных мест:
не только каждый зритель получит номер, но при
этом все номера окажутся распределенными между зрите..
лями. Этот факт с математической точки зрения означа-
ет, что:
каждому элементу множества А поставлен в соот..
ветствие элемент Ь === f (а) множества В, причем каждый
элемент множества В оказывается поставленным в соот-
ветствие хотя бы OaHOtY элементу множества А. (Выде-
ленные слова выражают в применении к нашему част-
ному примеру как раз то обстоятельство, что все но..
мера оказались розданными.) В этом случае мы rоворИМ,
что имеем отображение множества А на множе-
ство В.
Почему мы пишем «каждый элемент множества В
оказывается поставленным в соответствие хотя бы
одному элементу множества А»? Потому что может
случиться, что нескольким различНЫМ элементам мно-
)кеСтва А поставлен в соответствие один и тот же
элемент множества В. В нашем частном случае это
означает, что несколько человек повесят свои пальто
на один и тот же номер. rlаиболее важным СlIучаем
отображений является случай отображений одноrо
множества на друrое. К нему леrко приводится и
общий случай отображения одноrо множества в друrое.
В самом деле, пусть дано какоенибудь отображение f
множества А во множество В; множество всех тех эле..
ментов множества В, которые в силу отображения f
поставлены в соответствие хотя бы одному элементу
множества А, назовем образом, м,ножества А при
отображении f и обозначим через f (А). Очевидно,
что отображение f есть отображение I\iножества А на
множество f (А).
Это замечание дает нам возможность в дальнейшем
оrраничиться рассмотрениеt\1 отображений одноrо мно"
)кества на друrое.
12

в нашем примере посетителей театра А есть мно-
жество вс&х зрителей, пришедших на данный спектакль,
а f (А) есть множество всех номеров, оказавшихся заня-
тыми в rардеробе.
Оп р ед е л е н и е. Пусть дано отображение f мно-
жества А на множество В. Пусть Ь есть произвольный
элемент множества В. Полным прообразо.м элемента
Ь при отображении f называется Аtflожество всех тех
элементов множества А, которым при отображении
f ставится в соответствие данный элемент Ь. Это мно-
жество обозначается через '1 (Ь).
В нашем примере Ь есть какойлибо из номеров
в rардеробе театра; полный прообраз элемента Ь есть
множество всех тех посетителей театра, которые пове-
сили свои пальто на этот номер Ь.
РаССМОТРИlVI теперь особый случай, коrда на каж-
дый HOAtep пOBftUeflO только одно пальто, т. е. коrда
полный прообраз '1 (Ь) кзждоrо эле]\1ента Ь множества
В состоит лишь из одноrо элемента множества А.
В ЭТО1\1 случае отображение множества А на множество
В называется взаимно однозначны,м.
Дадим еще пример, иллюстрирующий понятис
взаимно ОДнозначноrо отображения. Вообразим кава-
лериЙский отряд. На ка}кдоrо всадника приходится
одна лошадь, на каждой лошади сидит один всадник.
Этим установлено взаимно однозначное отображение
множества всех всадников на множество всех лошадеЙ
(данноrо отряда), а также взаимно однозначное отоб-
ражение множества всех лошадей на множество всех
всадников (речь все время идет о всадниках и лоша-
дях данноrо отряда).
Этот пример показывает, что взаимно однозначное
отображение множества А на мно)кество В автомати-
чески ПРОИЗБОДИТ также взаимно однозначное отобра-
жение множества В на множеqтво А: ведь если каждое
множество fl (Ь), rде Ь  любой элемент В, состоит
лишь из одноrо элемента а, то мы и получаем ото-
-бражение '1 множества в на множество А, ставящее
в соответствие каждому элементу Ь множеСтва В ЭJIе-
мент а == fl (Ь) множества А. Отображение fl назы-
вается обраmны.м отображение.м к отображению t.
Итак, при взаимно однозначном отображении мно-
)кества А на мно}кество В происходит следующее:
каждый элемент а множества А объединяется в пару
13

с некоторым вполне определенным элементом f (а), и
при ЭТОl\1 оказывается, что каждый элемент Ь множе-
ства В. находится в паре с единственным вполне опре-
деленным элементом а множества А. Ставя в соответ-
ствие каждому элементу Ь множества В находящийся
с ним в паре элемент а множества А, мы ПОЛУЧИl\1
взаимно однозначное отображение fl множества в
на множество А, обратное к отображению f.
Таким образом, при взаимно однозначном отобра-
жении одноrо множества на друrое оба множества зани-
мают равноправное положение (так как каждое взаимно
однозначно отображается на друrое). Для Toro чтобы
подчеркнуть это равноправие, часто rОБОрЯТ о взаимно
однозначном соответствии между двумя множествами,
разумея под этим совокупность обоих взаимно одно-
значных отображений каждоrо множества на друrое.
4. Разбиение множества на подмножества. а) М н о-
ж е с т в а м н о ж е с т в. Мы можем рассматривать мно-
жества, состоящие из самых различных элементов.
В частности, можем рассматривать множества множеств,
т. е. множества, элементы которых сами являются
множествами. Мы уже встречались с ними, коrда вво-
дили определения суммы и пересечения множеств: ведь
речь там шла о сумме и опересечении некоторой
(конечной или бесконечной) совокупности множеств,
т. е. именно о множестве множеств. К приведенным
по этому поводу примерам прибавим еще некоторые,
взятые из повседневной жизни. Множеством множеств
является, например, множество всех спортивных КОl\Iанд
Москвы (каждая спортивная команда есть множество
составляющих ее спортсменов); множество всех науч-
ных обществ данноrо rорода или данной страны, мНо-
жество всех профессиональных союзов, 1ножество всех
воинских частей (дивизий, полков, рот, батальонов, взво-
ДОВ 'н Т. д.) данной армии....... также являются множествами
множеств. Эти примеры показывают, что множества,
ЯВJIяющиеся элементами данноrо множества множеств,
MOryт .Б одних случаях пересекаться, в друrих слу-
чаях, наоборот, не иметь общих элементов. Так, напри-
мер, множество всех профессиональных союзов СССР
есть множество попарно непересекающихся множеств,
так к.ак rражданин СССР не может быть одновременно
членом двух профессиональных союзов. С друrой сто-
роны, множество всех воинских частей какой-либо
14

армии дает прим:ер множества множеств, некоторые
элементы KOToporo являются подмножествами друrих
элементов: так, каждый взвод есть подмножество неко-
Toporo полка, полк есть подмножество дивизии и Т. Д.
Множество спортивных команд данноrо rорода со-
стоит, вообще rоворя, из пересекающихся множеств,
так как одно и то же лицо может входить в несколько
спортивных команд (например, в команду пловцов и
в команду волейболистов или лыжников).
3 а м е ч а н и е. Для облеrчения речи мы будем
инотда вместо термина «множество множеств» упот-
реблять, как совершенно равнозначащие, термины
«система множеств» или «совокупность множеС1В».
б) Раз б и е н и е н а к л а с с ы. Очень важный класс
систем множеcrв мы получим, если рассмотрим всевоз
можные разбиения какоео-нuбудь множества на попарно
неnересекающuеся ,М,ножества. Друrими словами, пусть
дано множество М, представленное в виде суммы
попарно непересекающихся подмножеств (в конечном
или бесконечном числе). Эти подмножества (множества.........
слаrаемые нашей суммы) и являются элементами дан-
Horo разбиения множества М.
При м ер 1. Пусть М есть множество всех уча-
щихся какой-нибудь школы; школа разбита на классы,
которые, очевидно, и образуют непересекающиеся под-
множества, дающие в сумме все множество М.
При м е р 2. М есть множество всех учащихся
в средних Iпколах Москвы. Множество М можно раз-
бить на попарно непересекаЮIIиеся подмножеС1ва, на-
пр имер, следующими двумя способами: 1) мы объединяем
в одно слаrаемое всех учащихся одной и той же шко-
лы (т. е. разбиваем множество всех учащихся по
школам); 2) мы объединяем в одно слаrаемое всех уча-
щихся одноrо и Toro же класса (хотя и разных школ).
Пр И.м ер 3. Пусть М есть м:ножество всех точек
плоскости; возьмем на этой плоскости какую-нибудь
прямую g и разобьем всю плоскость на прямые, парал-
Jlельные прямой g. Множества точек каждой такой
ПРЯl\iОЙ и являются теми подмножествами, на которые
;
мы разбиваем множество М.
При м е ч а н и е 1. Те читатели, которые знают,
что такое система координат, пусть представляют себе
прямую g как одну из координатных осей (для опре-
деленности ось абсцисс) этой координатной системы.
15

При м е ч а н и е 2. Если данное множество М разбито
на попарно непересекающиеся подмножества, дающие
в сумме множество М, то для краткости rоворят про-
сто о разбиении множества М на классы.
т е о р е м а 1. Пусть дано отображение f множества
А на множес111lЗ0 В. JIолные nрооб разы fl (Ь) всевозмож-
ных точек Ь множества В образу/{)т разбиение множе-
ства А на классы. Множество этих классов находится
во взаимно однозначном соответствии с множеством В.
Эта теорема, в сущности, очевидна: каждому эле-
менту а множества А соответствует в силу отображе-
ни я f один и только один элемент Ь == f (а) множества
В, так что а входит в один полный прообраз fl (Ь).
А это и значит, что полные прообразы точек Ь, во-пер-
вых, дают в сумме все множество А, во-вторых, попарно
не пересекаются .
Множество классов находится во взаимно однознач-
ном соответствии с множеством В: каждому элементу
Ь множества В соответствует класс fl (Ь) и каждому
классу fl (Ь) соответствует элемент множества В 1).
Т е о р е м а 2. Пусть дано разбиение множества А
на классы. Оно nорождает отображение множества А
на некоторое множество В, а именно, на множество
всех классов данноео разбиения. Это отображение полу-
чаеmся, если поставить в соответСП1вие каждому эле-
менту множества А тот класс, к которому он при-
надлежит.
Доказательство TeOpel\1bI уже заключено в самой ее
формулировке.
При м ер 4. Тем, что учащиеся Москвы распреде-
лены по школам, уже и установлено 2) отображение
множества А всех учащихся на множество В всех
школ: каждому учащемуся соответствует та школа,
в которой он учится.
При всей самоочевидности наших двух теорем факты,
устанавливаемые ими, не сразу получили в математике
отчеТЛИВУIО формулировку; получив же эту формули-
ровку, они сразу приобрели очень важное значение
в лоrическом построении различных математических
дисциплин и прежде Bcero алrебры.
1) Обратите внимание на то, что f отображает А на В. Для
()тображения А в В теорема, вообще rоворя, не верна.
2) В предположении. что ка)кдыЙ учащийся учится липlь
Б одной школе.
16

в) О т н о ш е н и е э к в и в а л е н т н о с т и. Пусть дано
разбиение множества М на классы. Введем следующее
определение: назовем два элемента множества М экви-
валентны.ми по отношению к данному разбиению
множества М на классы, если они nрuнадлежаm
к одному и тому же классу.
Таким образом, если мы разобьем учащихся
Москвы по школам, то двое учащихся будут «эквива-
лентны», если они учатся в одной и той же школе
(хотя бы и в разных классах). Если же мы разобьем
учащихся по классам, то двое учащихся будут «экви"
валентны», если они учатся в одном и том же классе
(хотя бы и различных школ).
Отношение эквивалентности, только что определен-
ное нами, очевидно, обладает следующими свойствами.
Свойство симметрии (или взаимности). Если
а и Ь эквивалентНbl, то эквивалентны пlакже Ь u а.
Свойство транзитивности (или переходности).
Если эквивалентны элеменп1ыl а u Ь, а также Ь u с,
то а u с эквивалентны (с учетом симметричности это
свойство можно сформулировать так: «два элемента,
а и с, эквивалентные третьему, Ь, эквивалентны между
собой» ).
Наконец, мы считаем каждый элеменп-z эквивалент..
ным, самому себе; это свойство отношения эквивалент..
ности Называется своЙством рефлексивносmu.
Итак, всякое разбиение данноrо мно)кества на
классы определяет между элементами этоrо lVIножества
некоторое отношение эквивалентности, обладающее
свойствами симметрии, транзитивности и рефлексивности.
Предположим теперь, что нам удалось,  каким бы
то ни было способом,  установить некоторый признак,
дающий нам возможность о некоторых парах элемен..
тов мно}кества М rоворить как о парах эквиваL'1ентных
элементов. При этом мы требуем от этой эквивалент..
ности только, чтобы она обладала свойствами симмет..
рин, транзитивности и рефлексивности.
Докажем, что это отношение эквивалентности опре.
деляет разбиение Ivlножества М на классы.
В CaMOl\,f деле, обозначим СИМВОЛОl\1 К а Т\lножество
всех элементов М, эквивалентных элементу а.
В силу Toro, что наше отношение эквивалентности,
по предположению, обладает СВОЙСТВОl\1 рефлексивности,
каждый элемент а содержится в CBOel'vl классе I( fl'
11

Докажеl\I, что если два класса nересекаюmся (т. е.
имеют хоть один общий элемент), то они непременно
совпадают (т. е. каждыЙ элемент одноrо класса явля-
ется в то же время элементом друrоrо).
в самом деле,. пусть классы Ка И КЬ имеют общий
элемент с. Записывая эквивалентность двух каких-
нибудь элементов х и у в виде х I"'..J у, имеем по опре-
делению I{.пассов:
а I"'..J С, Ь I"'..J С.
Следовательно, из симметрии с I"'..J Ь и транзитив-
ности вытекает
al"'..Jb. (1)
Пусть укакой-нибудь элемент класса КЬ, т. е.
Ь rv у;
тоrда в силу транзитивности и (1), получаем
а I"'..J У,
Т. е. у есть элемент класса Ка'
Пусть теперь х  какой-нибудь элемент класса Ка.
Имеем
а rv х;
применяя свойство симметрии, получаем
х rv а,
а из (1) и транзитивности вытекает
Х rv Ь.
Применяя опять свойство СИМl\lетрии
Ь rv Х,
получаем, что х принадле)I{ИТ к классу Кь.
Таким образом, два класса, Ка И К ь , имеющие общий
элемент с, действительно совпадают между собой.
Мы доказали, что различные К.пассы Ка обрзуют
систему попарно непересекающихся подмножеств мно-
жества М. Далее, классы в сумме дают все множество М,
так как каждый элемент множества М принадлежит
к своему классу.
Повторим еще раз доказанные в этом пункте резуль-
таты, объединив их в следующее предложение.
т е о р е м а 3. Каждое разбиение на классы каКО20-
нибудь множества М определяет между элементами
множеспzва М некоторое' отношение эквивалеNmносmu,
18

обладающее свойствами симметрии, транзитивности и
рефлексивНОСПlИ. Обратно, каждое отношение эквива-
лентности, установленное между 8лементами множе-
ства М и обладающее свойствами симметрии, mранзи-
тивности и рефлексивности, определяет разбиение
множесmва М на класСbl попарно эквивалентных между
собой элеменmов.
Приведем теперь несколько rеометрических приме-
ров отношений эквивалентности и разбиений множеств
на классы.
При м е р 5. Пусть М  множество всех прямых
на плоскости. Напомним, что две прямые, 11 и 12' на-
зываются параллельными, если либо 11 и 12 совпадают,
либо не имеют общих точек (символически: либо 11 === 12'
либо 11 n 12 == ф). Разобьем множество М на классы,
относя прямые /1 и 12 К одному классу в том и только
том случае, коrда 111112. Параллельность прямых есть
отношение эквивалентности на множестве М. Действи-
тельно, I11I и, если 111112' то 121111. Следовательно, отно-
шение 11 рефлексивно и симметрично. Далее, пусть 1111/2
И 1211/3. Если 11 == /2 И 12 == 1з, то, очевидно, 11 == 13. Если
11 == 12' а 12 n 13 == ф, то 11 n 13 == ф; аналоrично для слу-
чая /1 n 12 == Ф И /2 == 13. Остается рассмотреть случай
11 n 12 == Ф И 12 n 13 == ф. Но тоrда либо 11 n 13 == ф, либо
пересечение 11 n 13 содержит хотя бы одну точку А;
в последнем случае [1 == 13 В силу пятоrо постулата.
Евклида, Т. е. отношение 11 транзитивно. Таким обра-
зом, отношение 11 есть отношение эквивалентности. По
лученные кЛассы эквивалентности называются направ-
лениями на плоскости.
При м е р 6. Назовем две плоские фиrуры Р 1 и Р 2
эквивалентными, если они конrруэнтны (F 1 1"J Р 2 ), т'. е.
если существует такое перемещение f плоскости, что
f (Р 1 ;) =:::. Р 2 . Конrруэнтность также есть отношение экви
валентности. Действительно, F I"J Р, поскольку в этом
случае в качестве перемещения можно взять тождест-
венное перемещение плоскости. Далее, если Р 1  Р2' то
существует такое перемещение f, что f (Р 1 ) == Р 2 . Но
тоrда f1 (Р 2 ) == fl (1 (Р 1 )) == f1 е f (Р 1 ) == Рl' т. е. Р 2 I"J Р 1 .
И, наконец, если F 1 1"J Р 2 и Р 2 I"J Рз, ТО f (Р 1 ) == Р 2 И
g (Р 2 ) === Рз для некоторых перемещений f и g. Поэтому
Р3 == g (Р 2 ) == g (1 (Р 1 )) == g. f (Ft), т. е. Р 1  F з . Итак, отно-
шение I"J рефлексивно, симметрично и транзитивно,
Т. е. является отношением эквивалентности.
19

у пр а ж н е н и я. 1. Доказать, что отношение подо-
бия фиrур является отношением эквивалентности.
2. Доказать, что равенство векторов есть отношение
эквивалентности.
 2. ВВОДНЫЕ ПРИМЕРЫ
1. Действия над целыми числами. Сложе-
ние целых чисел 1) удовлетворяет следующим УСЛОВИЯlvl,
которые называются аксиомами сложения и которые
для Bcero последующеrо будут иметь чрезвычайно боль-
шое значение:
1. Всякие два числа можно Сложить (т. е. для лю
бых двух чисел а и Ь существует вполне определенное
число, называемое их суммой: а + Ь).
11. Условие сочетательности или ассоциативности:
Для любых трех чисел а, Ь, с имеет место тождество:
(а+Ь) +с== ai-- (Ь +с).
1 11. Среди чисел существует одно определенное
число, нуль, удовлетворяющее для всякоrо числа а
соотношению
а ---l о == а.
IV. Для каждоrо числа а существует так называе
мое противоположное ему число,  а, обладающее Tel\1
свойством, что cYMl\fa а+ (a) равняется нулю:
a+(a)==O.
Наконец, занимающее несколько особое место условие
V. Условие переместительности или коммутативности:
а+Ь==Ь+а.
2. Действия над рациональными числами. Рассмот-
рим теперь множество Q, состоящее из всех положи-
тельных и отрицательных рациональных чисел 2), Т. ео
из всех рациональных чисел, отличных от нуля. YMHO
жение этих чисел удовлетворяет так называемым аксио..
.ма-м умножения. Перечислим их.
1. Всякие два числа из Q М,ожно nере.множuть (т. е.
для любых двух чисел а и Ь существует вполне опре-
деленное число, называемое их произведением: а. Ь).
1) ПОД целыми числами всеrда понимаются все положительные
и все отрицательные целые числа и, кроме Toro, число нуль.
2) ПОД рациональным ч'ислом понимается любое целое и любое
дробное число.
20

11. Условие сочетательности или ассоциативности.
Для любых трех чисел а, Ь, с из множества Q имеет
место mOJlCaecmBo:
(а · Ь) · с == а . (Ь · с).
111. Среди чисел множества Q существует единст-
венное число  единица, удовлеmвОрЯЮLцее для вСЯКО20
числа а соопlНОl-uению
а. 1 == а.
IV. Для каждО20 числа а из Q существуеm обратное
ему число al, обладаl0щее тем свойством, что произве-
дение а. al равняется единице:
а . a1 == 1.
V . Условие коммутативности:
а · Ь == Ь . а.
Сравнивая примеры пп. 1 и 2, нетрудно заметить
полное сходство аксиом, которым удовлетворяет опе-
рация сложения для целых чисел и операция умноже-
ния для ненулевых рацио-
нальных чисел. Ниже мы
увидим, что это сходство не
случайно и проявляется при
рассмотрении разнообразных
конкретных операций.
3. Повороты правильноrо
треуrольника. Покажем, что
не только числа, но и мно-
rие друrие объекты мож-
но перемножать и притом
с соблюдением только что перечисленных условий.
При м е р 1. Рассмотрим всевозможные повороты
правильноrо треуrольника BOKpyr ero центра О (рис. 1).
При этом мы будеl'vl считать два поворота совпадаю
щими, если они отличаются друr от друrа на целое
число полных оборотов (Т. е. на целочисленное KpaT
ное 3600) 1). Леrко видеть, что из всех возможных пово
с
А
в
Рис. 1.
1) Так как поворот на целочисленно KpaTHO 3600, очевидно,
ставит ка:ждую вершину на ее первоначальное место, то eCTeCTBeH
но объявить такой поворот совпаД8IОЩИМ с нулевым и вообще
считать совпадающими два поворота) отличающиеся друr от друrа
на целое число полных оборотов.
21

ротов треуrольника лишь три ПОБорота переВQДЯТ тре..
уrольник в себя, а именно: повороты на 1200, на 2400
и так называемый нулевой поворот, оставляющий все
вершины, а следовательно, и все стороны треуrольника
на месте. Первый поворот переводит вершину А в вер..
шину В, вершину В в вершину С, вершину С в вер..
шину А (он пер еi'.1ещает , как rоворят, вершины А, В, С
в циклическом порядке). Второй поворот перемещает А
в С, В в А, С в В (т. е. перемещает в циклическом
порядке А, С, В).
Теперь мы, в соответствии со здравым смыслом,
вводим следующее определение.
у множить два поворота  значит, nоследоватеЛЫiО
llроuзвесmи их один за apyzUM.
Таким образоr, поворот на 1200, умноженный с самим
собой, дает поворот на 2400, умноженный с ПОВОРОТОI\{
на 2400 дает поворот на 3600, т. е. нулевой поворот.
Два поворота на 2400 дают поворот на 4800 == 3600 + 1200,
т. е. их произведение есть поворот на 1200.
Если мы нулевой поворот обозначим через а о , пово-
рот на 1200 через а 1 , поворот на 240 Q через a z , то
получим следующие соотношения:
а о . а о == а о' а о · а 1 == а 1 · а о == а 1 ,
а о . а 2 == а 2 . а о == а 2 , а]. а 1 == а 2 ,
а 1 . а 2 == а 2 . а 1 == а о' а 2 · а 2 == а 1 .
Итак, для каждых двух поворотов определено ИХ
произведение. Читатель леrко проверит, ЧТО это умно...
}}{ение удовлетворяет сочетательному закону; очевидно
также, что оно удовлетворяет переместительному закону.
Далее, среди наших поворотов имеется также нулевой
поворот а о , который удовлетворяет условию
а · а о == а о . а == а
для любоrо поворота а.
rlаконец, ка}кдый из наших трех поворотов имеет
обратный ему поворот, дающий в произведении с дан..
ным поворотом нулевой поворот: нулевой поворот,
очевидно, обратен самому себе, а о 1 == а о , так как а о . ао ===
== а о , тоrда как а 1 1 == а 2 и а 2 1 == а 1 (так как а 1 . а 2 == а о ).
11TaK, умноение поворотов правильноrо треуrоль..
ника, удовлетворяет всем перечис,пенным аксиомам умно-
жения.
22

Запишем еще раз наше правило умножени пово-
ротов более компактным образом в Биде следующей
пuфаzоровой таблицы умножения:
Таблица 1
а о аl а2
а о ай аl а2
аl аl а2 ао
а2 а 2 а о аl
Ilроизведение двух элементов в этой таблице нахо-
дим в пересечении строки, отмеченной первым элемен-
том, и столбца, отмеченноrо вторым элементом.
Читатель, который будет вычислять с наШИl\IИ пово-
ротами механически, возьмет просто три буквы: а о , а 1 ,
а 2 и будет YMHO)l{aTb их, пользуясь только что выписан-
ной таблицей умножения; при этом он может совер-
шенно забыть, что именно эти буквы обозначали.
4. леЙНО8ская rpynna четвертоrо порядка.
При м е р 2. Рассмотрим совокупность четырех
букв а о , а 1 , а 2 , аз, умножение которых определено
слеДУlощей таблицей:
Таблица 2
ао аl а 2 аз
а о ан а 1 а 2 аз
аl аl а о аз а2
а2 а2 аз a J аl
аз аз а 2 а 1 ао
23

или в разверНУТО\'i виде:
а о . а о == а о , а о · а 1 == а 1 . а о == а 1 ,
а о . а 2 == а 2 . а о == а 2 , а о . аз == аз . а о == аз,
а 1 . а 1 == а о ,
а 1 . а'} == а 2 . а 1 == аз,
a 1 . аз === аз . а 1 == а 2 ,
а 2 . а 2 == а о ,
а 2 . аз == аз . а 2 == а 1 ,
аз . аз == а о .
Умножение определено для любых двух букв из
числа наших четырех. Непосредственная проверка сразу
показывает, что это умно}кение удовлетворяет условию
ассоциативности и коммутативности.
Буква а о обладает основным СВОЙСТВОI\1 единицы:
про изведение двух сомножителей, из которых одно
есть а о , равно друrоl'ЛУ сомножителю.
Таким образом, условия, аналоrичные условиям 1,
11, 111, V из пп. 1  2, оказываются выполненными
в нашей «алrебре четырех букв». Для Toro чтобы убе
диться, что условие IV также выполнено, достаточно
заметить, что 1\1bI положили
а о · а о == а о , а 1 . а 1 == а о , а 2 . а 2 == а о , аз · аз == ао,
т. е. каждая буква сама себе обратна (дает при умно-
жении с саrvl0Й собой единицу).
Наша «алrебра четырех букв» на первый взrляд
может показаться CBoero рода математической иrрой,
забавой, лишенной реальноrо содержания. В действи
тельности законы этой алrебры, выраженные табли
цей 2, имеют вполне реальныЙ смысл, с которым мы
вскоре познакомимся; замечу, более Toro, что эта
«алrебра четырех букв» имеет серьезное значение и
Б высшеЙ алrебре. Она называется клейновской еруnnой
чеlпверПl02О порядка.
5. Повороты квадрата.
При м е р 3. Некоторую «алrебру четырех букв»,
отличную от предыдущеЙ, можно построить в полной
аналоrии с те1\1, что мы делали в первом примере.
РаССl\fОТРИМ квадрат ABCD и повороты BOKpyr ero
центра, переводящие фиrуру в самое себя. Опять будеl\t
считать совпадаlОЩИ ми всякие два поворота, отличаю
щиеся друr от друrа на целочисленное кратное 3600.
Таким образом, будем иметь Bcero четыре поворота,
а именно: нулевоЙ, поворот на 900, на 1800 и на 2700.
24

Эти повороты обозначим соответственно через ао, а 1 ,
й2' аз. Если ПОД умножением двух поворотов понимать
снова последовательное ОСУLЦествление двух поворотов,
ТО получим следуюLЦУЮ таблицу умножения, ВПОЛI-Iе
аналоrичную второму примеру:
Таблица 3
ао аl а2 I аз
ао а о аl а2 аз
аl аl а2 аз а о
а2 а2 аз ао аl
аз аз а о аl а 2
Таким же точно образом как в этом и в первом
примере, можно рассматривать повороты праВИЛЬНОI'О
пяти-, шести- и вообще n-уrольника. Читателю пре-
доставляется самому провести относящиеся сюда рас-
суждения и построить соотвеТСТВУЮLЦие таблицы
умножения.
 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ rруппы
Прежде чем идти дальше в изучении
отдельных примеров, подведем итоr уже рассмотренным
примерам, введя оСновное определение.
Пусть задано некоторое (конечное или бесконечное)
множество а, на котором определена операция у.мно-
жения, т. е. определен закон, сопоставляющий любой
паре а, Ь элементов из G некий элемент из G назы-
ваемый произведение.м а и Ь и обозначаемый tимво-
лом а. Ь. Предположим, что эта операция умно)кения
удовлетворяет следующим условиям:
1. Условие ассоциативности. Для любых трех эле-
ментов а, Ь, с множества G справедливо соотношение:
(а. Ь). с == а. (Ь. с).
25

Это значит следующее. ОбознаЧИI\1 через d элемент
множества а, являющийся произведением элементов а
и Ь; точно так же обозначим через е элемент Ь. с MHO
жества О. Тоrда d. с и а. е являются одним и тем же
элементом rvIножества О.
11. Условие существования неЙтральноrо элемента.
Среди элементов множества G имеется некоторый опре-
деленный элемент, называемый нейтральным элемен..
том и обозначаемый СИ/J1,ВОЛОМ 1, такой, что
a.l==l.a==a
при Лl0бом выборе элемента а.
111. Условие СУlцествования обратноrо элемента
к каждому данному эл MeHTY. I( каждому данному эле-
менту а множества G можно подобрать такой эле-
AteHm Ь mО20 же множества а, что
а.Ь===Ь.а== 1.
Элемент Ь называется обраmны", к элементу а и
обозначается al.
Множество G с определенной в нем операцией YMHO
жения, удовлетворяющей только что перечисленным
.,
трем условиям, называется zpyппoи; сами эти условия
называются аксиомами zpyппbl.
Операция умножения, удовлетворяющая аксиомам
., .,
rруппы, иноrда называется zpyппoвoи операциеи или
zpyппoвblM законом. Мы будем пользоваться всеми
этими терминами, не оrоваривая каждый раз их экви-
валентность.
Пусть в rруппе а, кроме указанных выше трех
аксиом, оказывается выполненным еще и следующее
условие:
IV. Условие коммутативности:
а · Ь == Ь . а.
В этом случае rруппа G называется "оммутатив-
ной или абелевой zpyппoи.
rруппа называется конечной, если она состоит из
конеЧноrо числа элементов; в противном случае она
называется бесконечной.
Число элементов конечной rруппы называется ее
порядком.
Познакомившись с определением rруппы, мы видим,
что приведенные в первых двух параrрафах этой rлавы
26

ПРИl\tlеры являются ПрИl\fерами rрупп. Действительно,
мы познакомились последовательно:
1) с rруппой целых чисел (rрупповая операция 
обычное сложение целых чисел);
2) с rруппой отличных от нуля рациональных чисел
(rрупповая операция  обычное умножение рациональ-
ных чисел);
3) с rруппой поворотов правильноrо треуrольника
(rрупповая операция  композиция поворотов);
4) с клеИНОБСКОИ rруппой порядка 4 (rрупповая
операция  умножение букв а о , а 1 , а 2 , аз, задаваемое
таблицей 2);
5) с rруппой поворотов правильноrо четырехуrоль-
ника (rрупповая операция  композиция поворотов);
6) с rруппой поворотов правильноrо пуrольника.
Все эти rруппы коммутативны. rруппа целых чисел
и rруппа ненулевых рациональных чисел бесконечны;
остальные  конечные rруппы.
 4. ПРОСТЕЙШИЕ ТЕОРЕМЫ О rРУППАХ 1)
1. Произведение любоrо конечноrо числа
элементов rруппы. Первое правило раскрытия скобок.
Аксиома ассоциативности имеет в теории rрупп и, сле-
довательно, во всей алrебре очень большое значение:
она позволяет определить произведение не только двух,
но и трех и воосще любоrо конечноrо числа элементов
rруппы и пользоваться при рассмотрении этих произ-
ведений обычными правилами раскрытия скобок 2).
В Cal\IOM деле, если даны, положим, три элемента
а, Ь, с, то мы еще пока не знаем, что значит умно-
жить эти три э.пеl\1ента: ведь аксиомы rрупп rоворят
лишь о произведениях двух элементов и выражения
вида а. Ь . с еще не определены. Однако условие ассо-
циативности rласит, что умножая, с одноЙ стороны,
элемент а на элеlV!ент Ь. с И, с друrой стороны, эле-
мент а. Ь на элемент с мы получим один u тот же
элемент в качестве проuзведенuя. Вот этот элемент,
являющийся произведением двух элементов а и Ь. с,
1) Читате.пь, желающий сначала ознакомиться с дальнеЙ тими
примерами rрупп, может пропустить этот параrраф и вернуться
к нему только по прочтении rлав 11  IV. -
2) При этом надо толы{о помнить, что В случае некоммутатив-
ных rрупп не,1JЬ3Я l вообще rОБОРЯ r менять порядок сомно}кителей.
27

а также произведением двух элеrv1ентов а. Ь и с, и пред-
ставляется естественным определurпь в качестве произ..
ведения трех элементов а, Ь, с в ТО1\-1 порядке, как
только они здесь выписаны, и обозначить ero просто
через а.Ь.с. Таким образом, на равенство
а. Ь . с == а. (Ь . с) == (а. Ь) с
надо ClViOTpeTb, как на определение аЬс произведения
трех элементов а, Ь, с (здесь знак умножения для
удобства опущен).
Таким же точно обраЗОl\f можно определить произ..
ведение четырех элементов а, Ь, с, d, например, как
а. (bcd). Докажем, что при этом
а (bcd) == (аЬ) (cd) == (аЬс) d.
По только что сказанному имеет прежде Bcero место
равенство:
а (bcd) == а [Ь (cd)].
Но для трех элеl\1ентов а, Ь, cd мы им:еем:
а [Ь (cd)] == (аЬ) (cd).
С друrоЙ стороны, имееrvl для трех элементов аЬ, с, d:
(аЬ) (cd) == [(аЬ) с] d == (аЬс) d,
"
что и треоовалось доказать.
Предположим, что произведение любых n  1 эле-
ментов у}ке определено. ОпредеЛИl\1 произведение п
элеl\1еНТQВ а 1 а 2 ... а п как а 1 (а 2 ... а п ). Таким: образом,
выражение a 1 a 2 ... а п может считаться определенным
методом математической (полноЙ) индукции для лю-
боrо n.
Т е о р е м а. П усп1Ь п  Лl0бое натуральное число.
Для л!обоео наmуральноео числа 1) m::=;; 11 справедливо
mОJfсдесп1во (первое правило раскрытия скобок):
(а 1 ... а m ) (а т + 1 ... а ll ) == а 1 ... а п . (2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство будем вести
методом полной индукции 2): для n == 1 TeOpel\f3 выра-
)кает тождество а 1 == a t . Предположим, что она спра..
1) Натуральное число  это целое положительное число.
2) Читателю реКОТ\Iендуется caMOl\1Y провести рассу)кдеНИЯ I и
только потом сверить их с приведеI-ПIЫ:v1Il в тексте.
28

ведлива для n::::; k  1 и докажем ее для n == k. Рас-
смотрим сначала случай т == 1. Tor да формула (2)
превращается в
а 1 (а 2 ... а k) == а 1 ... а k.
Но это есть определение выражения а 1 ... ak'
Итак, для данноrо n == k и т == 1 формула (2) спр-
ведлива.
Теперь, фиксируя n == k, предположим, что наша
формула доказана для т == q ........ 1; докажем ее для т == q.
Так как при т == п формула (2), очевидно, справедлива,
можем предположить. q < k. Тоrда, так как теорема
предположена справедливой для п  k  1, то
(а 1 ... a q ) (a q + 1 ... ak) == [(а 1 ... aql) a q ] (a q + 1 ... ak)'
Условие ассоциативности, примененное к трем элемен-
там (а 1 ... aql)' a q , (a q + 1 ... ak)' дает
[(а 1 ... aql)aq](aq+l ... ak)==(a 1 ... aql)[aq(aq+l ... ak)].
Но выражение, стоящее справа в квадратных скобках,
есть, по определению,
Итак, получаем:
(а 1 ... a q ) (a q + 1 ... ak) == (а 1 ... aql) (a q ... ak),
но в силу предположенной справедливости формулы (2)
для n == k и т == q  1, правая часть последнеrо равен-
ства есть а 1 ... ak. Отсюда следует равенство
(а 1 ... a q ) (a q + 1 ... ak) == а 1 ... ak,
что и требовалось доказать.
2. Нейтральный элемент. Условие существования
нейтральноrо элемента rласит: в 2руппе cyuecmeyeпl
некоторый элемент 1, такой, что для Лl06020 элемента а
ерупnы выполнено условие
а. 1 == 1 · а == а.
a q a q + 1 ... ak.
(3)
в этом условии не содержится утверждения, что не мо-
жет быть в данной rруппе BToporo элемента 1', отлич-
Horo от 1, но обладающеrо тем же свойством
а.l'==I'.а==а
(4)
для любоrо а.
29

Отсутствие TaKoro элемента l' вытекает из следую..
щей более сильной теоремы, которую иноrда называют
тeopeJrtoa об единственности нейтраЛЫ'W20 элемента.
т е о р е м а. Если для kaK020-нuбудь оnределеНН020
элемента а сруnпы G найден элемент l а , удовлетворяю..
щий одному из условий
а. 1 а == а или 1 а . а == а,
то непременно
lа==l.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что
а. 1 а == а. Заметим прежде Bcero, что для любоrо эле..
мента Ь имеем
b.l a ==(b.l).la,
что при замене 1 на al. а дает
Ь. lа == Ь. al. а. lа == Ь. al (а. lа) == Ь. ala == Ь.
Точно так же имеем
lа' Ь == (1 · lа) · Ь == al. а. lа' Ь == al(a. lа) · Ь == ala. Ь === Ь.
Итак, для люБО20 Ь имеем
Ь.lа== lа' Ь ==Ь'
Возьмем, в частности, Ь == 1. Получаем
}.lа==l.
(5)
Но по определению элемента 1 имеем, с друrой стороны,
1.1а== la. (6)
Из уравнений (5) и (6) следует lа == 1, что и требова..
лось доказать.
Совершенно аналоrичным образом можно вывести
тождество 1 а == 1 из предположения 1 а · а == а.
3. Обратный элемент. Условие существования обрат..
Horo элемента rласит: для КQждОёО элемента а сущеСfп..
вует определенный элемент al такой, что
al · а == а · al == 1.
Здесь опять-таки утверждается лишь существование
элемента al, а никак не единственность ero. Докажем
эту единственность, т. е. докажем следующую теорему.
30

Т е о р е м а. Если для aaflfl020 а имеем каКОЙfluбудь
алемеflm а', удовлеtпворяющий OaflOMY из условuй
'а · а' == 1 или а'. а == 1,
то непременно
а' === al.
Доказате.пьство. Пусть
а · а' == 1.
Отсюда следует, что
(al) · (а . а') == a] . 1 == al,
Т. е.
(al . а) . а' == al,
т. е.
1 . а' == al ,
т. е.
а' == a 1.
Совер.шенно а.налоrичным обраЗОl\1 можно из предполо-
жения а'. а == 1 вывести а' == al.
Итак, для данноrо а существует eaUHcтeeflflblU эле-
1eHT х, удовлетворяющий равенству ах == 1 или равен-
ству ха == 1, а именно элемент х == al.
Возьмем теперь элемент al. Элемент а удовлетво..
ряет равенству
a 1 . а == 1,
т. е. является для элемента al как раз тем элементом
х == (al)l, о котором только что шла речь. Итак,
(al)l == а.
Пусть теперь а, Ь  некоторые элементы rруппы а.
Рассмотрим в этой rруппе уравнение
ха == Ь. (7)
Очевидно, что это уравнение имеет решение
х == bal.
Это решение  единственно, так как если элеrvlент с
есть решение уравнения (7), то са == Ь, значит,
с == caal == bal.
31

Точно так же уравнение
ах == Ь
(8)
имеет своим единственным решением элеl\iент alb.
С л е Д с т в и е. Если аЬ == ас, а mакже, если Ьа == са,
то Ь==с.
Докажем теперь
следующее ва)кное тождество:
(ab)l == blal. (9)
В самом деле, элемент (ab)l есть единственный эле-
мент х rруппы, удовлетворяющий условию
аЬ . х == 1;
(10)
но
аЬ · (blal) == а (bbl) al == а. 1 . al == aa1 == 1.
Отсюда элеl\fент х == blal как раз удовлетворяет усло-
вию (10), значит, действительно,
(ab)l == blal.
Л1етодом математической индукции леrко получаем
общий результат
( ) 1 a l a l a l
а 1 · · · а п == n п  1 ... 1.
Отсюда, в частности, следует то)кдество
С (а а ) 1 l a l a l
1 · .. п == сап п  1 . .. 1,
называемое вторым правилам раскрытия скобок.
4. Замечания об аксиомах rруппы. Мы не ставим
себе задачей дать наименьшее число требований, доста-
точных для определения понятия rруппы. Действи-
тельно, l\1bI потребовали, чтобы нейтральный элемент
удовлетворял сразу условиям
а.l == l.a==a,
а обратный элемент al к любому э.пеl\1енту а УСЛОВИЯl\Л
а · al == al · а == 1.
Между тем на основании доказанноrо в пунктах 2
и 3 настоящеrо параrрафа достаточно было бы потре..
бовать выполнения одНО20 какоrонибудь из условий
а . 1 == а или 1. а == а,
а Также ОДНоrо какоrонибудь из условий
а . al ;:::: 1 или al · а == 1.
32

Наконец, заметим, что в определении rруппы ( 3)
аксиомы 11 и 111, т. е. условие существования обра1
Horo элемента ко всякому данному, мо}кно было бы
заменить одной следующей аксиомой (<<условие He02pa
ниченной возможности деления»):
Ко всяким двум эле.Аtентам а и Ь можно найти
элементы х и у такие} что ах == Ь и уа == Ь.
Доказательство предлаrаем привести самому чита
телю (или прочитать ero, наПрИl\iер, в книrе А. r. Ky
роша «Теория rрупп»).
5. «Мультипликативная» и «аддитивная» термино..
лоrия в теории rpynn. Составными частями понятия
rруппы являются:
а) множество тех предметов (числа, подстановки,
повороты и т. д.), которые являются элементами rруппы;
б) определенная операция или действие, которое
мы назвали умножением и которое позволяет для каж
дых двух элементов а и Ь нашей rруппы найти третий
элемент а. Ь той же rруппы.
l\\ы выбрали термин умножение для обозначения
операции, имеющей место в каждой rруппе. Выбор
Toro или иноrо термина на существо дела, конечно,
влияния не оказывает; в применении к каждой rруппе
можно было бы rоворить о сложении ее элементов
(а не об умножении их) и рассуждать не На мульти-
nликап1ивном} а на аддитивном языке. С мультиплика
тивным языком, или, как rоворят, с мультипликатив-
ной записью rруппы, мы уже познакомились. Теперь
сообразиrvI, какое выражение получают rрупповые
аксиомы на аддитивном языке (<<в аддитивной записи»).
Прежде Bcero, мы требуем, чтобы для каждых двух
элементов а и Ь нашеrо множества а (см.  3) был
однозначно определен элемент а + Ь ........ сумма двух эле-
ментов а и Ь.
Собственно rрупповые аксиомы примут при этом
следующий вид:
1. У словие ассоциативности. Для любых трех эле-
ментов а, Ь, с множества G справедливо соотношеflие
(а+Ь) +0 == а + (Ь +с).
11. У СJIовие существования нейтральноrо элемента.
Среди эле,М,ентов множества а имеется не/(,оторый оnре-
делеNflЫU элемент, называемый нейтральным эле,М,енmОА1-
2 П. С, Александров
33

u обпзначаемый через О, пlакой, чп70
а+О==О+а==а
при любом выборе элемента а.
111. Условие существования противоположноrо 9ле..
мента. К каждОАtу данному элеlltенmу а множества а
.АtОЖНО подобрать такой элеменm  а тОёО же 1ttно;нсе-
сmва О, что
а+ (a) == (a) +а ==0.
Мы видим, что если операцию, определяющую дан-
ную rруппу, переименовать из умножения в сложение,
то оказывается естественным нейтральный элемент
переименовать из единицы в нуль и rоворить о про-
тивоположных элементах (a) вместо обратных al.
Условие коммутативности в аддитивной записи
имеет вид
а + ь == ь + а.
'ультипликативная терминолоrия является истори-
чески первой и сейчас употребляется подаВЛЯЮllиrvl
большинством авторов. Наиболее удобно в одних слу-
чаях рассуждать о rруппах на l'vlультипликаТИВНОl\Л,
в друrих случаях на аддитивном языке. Наконец,
Иl\1еется MHoro случаев, коrда оба языка оказываются
одинаково у добньп.fИ.
Как на пример, rде, конечно, удобнее пользоваться
аддитивны:\{ ЯЗЫКОl'vf, YKa)l{ervI на rруПпу целых чисел:
rрупповой операцией является здесь обbIкновенное
арифметическое сложение, нейтральный элемент есть
обыкновеННbIЙ аРИ(vrJетический нуль, и понятие проти-
воположных чисел ИМt:;ет также свой обычныЙ арифме-
тический смысл.
Едва ли можно спорить о том, что непривычно и
неудобно было бы обычное арифметическое сло)кение
вдруr называть умножением, нуль единицей и т. д.
Однако читатель должен хорошо понять, что, несмотря
на все неудобства T3Koro переименования, оно вполне
ВОЗl\fОЖНО и не приведет ни к какому противоречию
до тех пор, пока мы оrраничиваемся изучением rруппы
целых чисел, т. е. рассматриваем единственную опера-
цию над целыми числами, а именно, арифметическое
сложение.
Если МЫ наряду с арифметическим сло)кением стали
бы рассматривать еще и УМНО}l{ение (также в элемен-
34

тарном, арифметическом смысле слова), то переимено
вание сложения в умножение, о котором идет речь,
конечно, совершенно запутало бы терминолоrию. Как
пример rруппы, для которой мультипликативный язык
более удобен, можно назвать I"руппу Q ненулевых
рациональных чисел, которую мы рассмотрели в  2,
n. 2 настоящей rлавы.
Чтобы покончить с вопросами терминолоrии, OTMe
тим, что в настоящее время становится все более и
более общепринятым IОВОрИТЬ об общих rруппах на
мультипликативном языке, а о коммутативных 2рУn-
пах на аддитивном языке (хотя мы только что видели
исключение из этоrо правила, коrда упоминали о rруппе
отличных от нуля рациональных чисел).
В этой книжке мы будем, в основном, придержи-
ваться указанноrо соrлаUIения.

rЛАВА 11
rруппы ПОДСТАНОВОI(
 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ rрупп ПОДСТАНОВОК
Если три человека Сидор, Иван и Петр
сидят на скамейке, предположим, слева направо, то
их можно пересадить шестью разными способами,
а именно (считая все время слева направо):
(1) Сидор, Иван, Петр;
(2) Сидор, Петр, Иван;
(3) Иван, Сидор, Петр;
(4) Иван, Петр, Сидор;
(5) Петр, Сидор, Иван;
(6) Петр, Иван, Сидор.
Переход от одноrо какоrо-нибудь порядка, в KOTO
ром они сидят, к любому друrому порядку называется
подстановкой. Подстановка записывается так:
( Сидор, Иван, петр ) .
Иван, Петр, Сидор ,
и означает, что Иван сел на место Сидора, Петр на
место Ивана, Сидор  на место Петра.
В таком смысле можно rоворить о подстановках
любых предметов. Так как при этом природа пере
ставляемых предметов значения не имеет, то эти пред
меты обычно обозначаются числами, и речь идет о под-
сmановках чисел. Из трех чисел 1, 2, 3 можно сделать
следующие подстановки:
( ; ;), (: ; ;), (;
(; ; ), (;  ;), (;
 ;),
2 3'
2 1)'
Каждая подстановка заключается в том, что на
место числа, стоящеrо в верхней строчке, ставится
подписанное под ним чис.ПО из ни}кней строчки. Пер
36

вая подстановка (: ; ) называется тождественной,
в ней каждое число остается на своем месте. Вторая
подстановка ( ; ) заключается в том, что число 1
остается на месте, число 3 ставится на место числа 2,
а число 2  на место числа 3 и т. д.
Общий вид подстановки из чисел 1, 2, ..., n таков:
( 1 2 ... N )
Ё 1 i 2 . .. i п ·
Здесь it, i 2 , ..., i n  это те же числа 1, 2, ..., n, но
только записанные в друrом порядке. Например, пусть
( 1 2 3 4 5 )
3 1 4 5 2 '
тоrда, очевидно, n == 5, i 1 == 3, i 2 == 1, i3 == 4, i4 == 5,
io == 2.
Из n чисел можно сделать n! различных подстано-
вок. Докажем это. Каждая подстановка из чисел 1,
2, ..., n имеет вид
(   ... ? ) ,
tl t 2 ... ln
rде все i 1 , ..., i n различны и каждое из них есть одно
из чисел 1, 2, ..., n. Значит, i 1 принимает n во Зl\fож..
ных значений. После Toro как одно из них Еыбрано,
мы имеем для выбора значения [ 2 уже только n  1
возможностей. Остановившись на одной из них, имеем
для выбора значения i3 лишь n  2 возможностей.
И так далее, пока для i n останется лишь одна воз..
можность. Bcero таким образом имеется n (n  1) х
х (п  2) . . . 2 · 1 == n! возможностей, что и требовалось
доказать.
Вернемся к подстановкам из трех цифр. По опре-
делению, будем считать, что nеремножuть две подста-
вовки, значит последовательно произвести их одну
За друrой.. В результате получится опять подстановка,
называемая произведение.м, двух данных подстановок.
Перемножим, например, подстановки
(;  ) и (; ; ).
в силу первой подстановки единица заменится
,l\войкоЙ, в силу второй подстановки эта двоЙка оста..
37

нется на месте; итак, после последовательноrо COBep
шения обеих ПОДстановок единица перейдет в двойку.
Точно так же после последовательноrо совершения
обеих подстановок двойка перейдеп1, в InРОЙКУ, тройка
перейдет в единицу:
( 1 2 3 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 3 ) '
2 1 3 · ,3 2 1 == 2 3 1 ·
(1)
Таким же точно образом можно перемножить любые
две подстановки. Для Toro чтобы удобно записать
результаты всех этих перемножениЙ, введем следую..
LЦие обозначения:
РО== ( ; ),
Р з ==(; ; ),
Р 1 ==С ; ;),
P4==(  ),
( 1 2 3 )
Р 2 == 2 1 3'
( 1 2 3 )
Ps == 3 2 1 '
РО  то)кдественная подстановка.
Тоrда имеем следующую таблutу УJrtножения:
Таблица 4
первый второй множитель
множи- I I I I I
тель РО Р 1 Р 2 Р З Р 4 Р Б
РО Р,) I Р 1 I Р 2 I Р З I Р 4 I Р 5
Р 1 Рl I РО I Р З I Р 2 I Р 5 I Р 4
Р 2 Р 2 I Р 4 I РО I Р Б I Р 1 I Р З
Р з Р з I Р 5 I Р 1 I Р 4 I РО I Р 2
Р 4 Р 4 I Р 2 I Р 5 I РО I Р З I Р 1
Р 5 Р 5 I Р З I Р 4 I Рl I Р 2 I Pu
Ltля TOrO чтобы найти произведение двух ПОДстановок,
например, Р2. Р 4' надо взять строчку, в заrоловке
которой (<<первый сомножитель») стоит первая подста-
новка (в нашем случае Р 2)' и столбец, в заrоловке
KOToporo (<<второй сомножитель») стоит вторая подста..
новка (в нашем случае Р 4)' В пересечении выбранной
строки с выбранным столбцом и будет стоять искомое
n)оизведение: Р 2 . Р 4 == Р l'
38

'Проведем вычисление в развернутом виде; пусть
Р2==(;  ), P4==(  ;);
при помощи тех же рассуждений, что и в случае равен..
ства (1), получаем
(;  ). ( i :) == ( ; ),
т. е. действительно:
P 2 .P 4 ==P t .
Читателю рекомендуется проверить таким же образом
всю таблицу умножения.
Непосредственной проверкой можно убедиться
в том, что наше У1vlножение удовлетворяет ассоциатив"
НОМУ закону.
Тождественная подстановка РО есть единственная
подстановка, удовлетворяющая условию
PO,Pi==Pi,PO==Pi
для любой подстановки P i .
Наконец, к каждой подстановке имеется обратная
к ней, дающая в произведении с данной тождествен-
ную подстановку: обратная подстановка к данной ста-
вит все числа, смещенные подстановкой) на их преж-
ние места. Так, например,
( 1 2 3 ) L  ( 1 2 3 )
231  312.
Чтобы в таблице умножения найти сразу подстановку,
обратную к данной подстановке, надо в строчке, отме-
ченной слева данной подстановкой, найти элемент Р О ;
в заrоловке столбца, в котором лежит этот элемент,
и стоит подстановка, обратная данной. Имеем, как
леrко видеть:
Роl == Р О, р-з 1 == Р "
РТ 1 == Р 1, р 4 1 == Р з ,
P"i 1 == Р 2 , P-r/ == Р Б .
Итак, умножение подстановок удовлетворяет всем rруп-
повым аксиомам и, следовательно, совокупность всех
подстановок из трех элементов есть rруппа. Мы обо..
значим эту rруппу через 53. rруппа 5з конечна, ее
порядок равен 6.
31

Заl\fетим, что умножение подстановок, вообще ro-
воря, не обладает свойством переместительности (ком-
мутативности): произведение двух подстановок зависит,
в общем случае, от порядка множителей. Так, мы
имеем, например,
Р2. Р З==Р;" РЗ. Р 2==Рl'
 2. ПОНЯТИЕ подrруппы
1. Примеры и определение. Естественно
возникает вопрос: нельзя ли получить rруппу, взяв
не все, а только некоторые из числа наших подстано-
вок (из трех чисел) и сохранив для них, конечно, тот
же закон умножения? Нетрудно убедиться, что ответ
на этот вопрос утвердительный.
В самом деле, рассмотрим, например, пару элемен-
тов Ро и Рl' Наша таблица умножения дает нам непо-
средственно:
ро. РО == Ро,
Pt. P o==Pl'
Р о .Р 1 ==Р 1 ,
Р 1 · Р 1 == Р о'
Мы видим, что все rрупповые аКСИОМЬJ выполнены
(в частности, Роl == РО И Рll == Р 1 ), значит, два эле-
мента Ро и Р 1 образуют rруппу, составляющую часть
rруппы всех подстановок из трех чисел.
Точно так же можно убедиться, что пара элемен-
тов РО и Р 2 В свою очередь образует rруппу, как и
пара Ро и Р 5 .
Что же касается пары Ро и Р з (и также пары РС)
и Р4)' то она rруппы не образует, так как Р З 'Р З ==Р4
(т. е. произведение элемента Р з С самим собой не есть
элемент нашей пары). Эти простые рассуждения оправ-
дывают введение следующеrо общеrо определения.
О п р е Д е л е н и е. Пусть задана какаянибудь rруп-
па о; тоrда, если множество Н, состоящее из некото-
рых элементов нашей rруппы а, образует (при законе
умножения, заданном в О) rруппу, то rруппа Н назы-
вается подzруппой rруппы а.
Таким образом, пары элементов (Р о , Р 1 ), (Р о , Р2)'
(Ро, Р 5 ), каждая, являются подrруппами порядка 2
rруппы 83. Друrих подrрупп порядка 2 rруппа 8з не
имеет: из опrеделения подrруппы следует, что всякая
подrруппа Н rруппы G содержит нейтральный элемент
40

l 1 рУПЛЫ а, значит, всякая подrрупnа порядка 2 rруп-
пы 8 з имеет вид (Р о, Р i), rде i  одно из чисел 1, 2,
3, 4, 5; но мы видели, что i не может равняться ни 3,
ни 4, значит, остаются только рассмотренные под-
rруппы
(Р о , Pt), (Ро, Р 2 ), (РО, Pf)).
В rруппе 8з имеется также подrруппа, состоящая из
трех элементов (подrруппа порядка 3). Это будет под-
rруппа (Р о , Р з , Р 4)' Читателю предлаrается самому
убедиться, что эта подrруппа есть единственная под-
rруппа порядка 3, содержаЩ8ЯСЯ в 83. Подrрупп
порядка 4 и 5 в rруппе 8з не имеется вовсе 1).
Итак, подrруппы порядка 8з суть: три подrруппы
порядка 2, а именно: (РО, Р 1 ), (РО, Р 2 ), (Р О , Р 5 ), одна
подrруппа порядка 3, а именно: (РО, Р3' Р4)'
Таким же образом, как мы изучили rруппу 8 з ,
можно было бы изучить rруппу 84' состоящую из всех
подстановок из четырех чисел.
rруппа 84 имеет порядок 1. 2 . 3 · 4 == 24.
,L!a и вообще, при любом n подстановки из n чисел
образуют rруппу 8 п порядка 1. 2. 3.. . .. n == пl
Закон умножения во всех этих rруппах один и
тот же: умножить две подстановки из n чисел, значит,
последовательно произвести эти подстановки одну за
друrой.
Отметим, наконец, что rруппа 8 п всех подстановок
.., 
из n элементов называется си.м.меmричеСllои zpyппoи
(подстановок из п элементов).
Любая подrруппа rруппы Sn называется zpyппou
подстаНО801l из n элементов.
2. Условие, чтобы подмножество rруппы было под-
rруппой. При доказательстве Toro, что некоторое под-
множество Н rруппы G является подrруппой, удобнее
Bcero бывает пользоваться следующей общей теоремой:
Подмножество Н еруппы G mоеда u только тоеда
является подерупnой еруnпы G, коеда выполнены следу-
ющие условия:
1) в этом можно убедиться, разобрав все 10 ПОДмножеств
rруппы SЗ, содержащих элемент Р ('1 и состоящих из четырех эле-
ментов, а также все 5 подмножеств, содержащих 5 элементов,
включая непременно Р о. Однако отсутствие подrрупп пор ядка 4
и 5 в rруппе вытекает непосредственно из следующей общей Teo
ремы, которая будет доказана позже (rл. VIII): порядок всякой
подсруппы Н конечной еруппы а есть дели mель порядка а.
41

1. Произведенuе двух элемеН,t'flов а и Ь из Н (в смысле
умножения, оnределенносо в О) есть элемент мнuже-
спlва Н.
2. Нейтральный элемент ёруnnы G есть элемент
множества Н.
3. Элемент} обратный к какомунибудь элементу
множества Н} есть элемент множества Н.
ДЛЯ доказательства достаточно заметить, что наlIIИ
условия выражают в точности требования, чтобы опе-
рация умножения, определенная в О, но применяемая
лишь к элементам множества Н, удовлетворяла всем
аксиомам rруппы (ассоциативности требовать не нужно:
будучи выполнена при умножении любых элементов
множества а, она тем более выполнена в частном слу-
чае, коrда эти элементы являются элементами множе
сТва fl).,
 3.1) ПОДСТАНОВКИ КАК ОТОБРАЖЕНИЯ
КОНЕчноrо МНОЖЕСТВА НА СЕБЯ. ЧЕТНЫЕ
и НЕ ЧЕТНЫЕ ПОДСТАНОВКИ
1. Подстановки как отображения. Мы изло-
жили понятие подстановки тем элементарным и не-
сколько кустарным способом, каким это обычно и
делается. Если не бояться общематематических терминов,
то подстановку из n элементов следует определить про..
сто как взаимно однозначное отображение f множества
данных п элеменпlов на себя.
Если наши элементы суть, положим, числа 1, 2, 3, . . .
. . . , n, то подстановка
Сl :2 
задается как функция
ak == f (k),
... N )
... а п
k== 1,2, ..., n,
причем и значения aprYMeHTa и значения ФУНКIJИИ суть
числа 1,2,3,..., n.
Для двух данных значений aprYMeHTa значения
функuии всеrда различны.
1) Читате.ТIЬ) которому этот параrраф покажется трудным. может
ОПУСТИТЬ ero при первом чтении и вернуться к нему лишь пере)!
rл. VI.
42

в частности, подстановка вполне определена, если
для каждоrо k указано значение f (k), т. е. ak.
ОТСlода следует, что совершенно несущественно,
в каком порядке записаны числа в верхней строчке:
важно только, чтобы под ЧИСЛОl\1 k было подписано
именно ak' Например,
( 1 2 3 4 5 ) ( 3 4 5 2 1 )
24351 и 35142
представляют собой две записи одной и той же под-
становки. Этому, в сущности, са:моочеВИДНОfУ заl'лечанию
можно придать и такую форму.
Пусть дана подстановка
А==С 2 3 ).
аl а 2 аз
Если
р==С 2 3 . . . )
Рl Р2 Рз . . .
(2)
(3)
есть какаянибудь подстановка тех же чисел 1, 2,
3, ... , n, то подстановка (2) может быть записана
в виде
( Рl Р2
а Р ар
1 2
· .. Рп )
... ар ·
п
2. Четные инечетные подстановки. Пусть дана
подстановка
A ( l 2 3... N )
аl а2 аз .. · а п ·
Рассмотрим множество, состоящее из двух какихнибудь
чисел набора 1, 2, . . . , n, положим для определенности
из чисел i и k. Такое множество назовем пароЙ чисел 1),
а именно парой, состоящей из элементов i и k; обоз-
начим ero (i, k).
Число всех пар, которые можно составить из дан-
ных n элементов, нетрудно подсчитать. Сначала вычис-
лим, сколько различных уnорядоче/1,НЫХ подмножеств
из двух элементов содержится в мно}кестве из n эле-
1) Здесь с понятием пары не связано никакое предположение
о порядке следования элементов пары: (i, k) и (k, i) суть две записи
одной и той же пары. Такие пары элементов, взятые из числа
данных n элемеНТОВ 1 называются также сочетаниями из n элемен..
'Сов по 2.
43

ментов. Обозначим число таких подмножеств через A
и покажем, что
A==n(n1).
Действительно, для Toro чтобы распределить два эле-
мента, взятых из данных n элементов, по двум местам,
можно сначала выбрать какойнибудь один элемент и
поместить ero на первое место. Это можно сделать п
способами. На второе место теперь остается n  1 «кан-
дидатов» и значит, n  1 способ выбора BToporo элемента.
Следовательно, Bcero мы получим n (п  1) способов
размещения, что и требовалось.
Пусть C  число всех пар, которые можно составить
из n элементов. Покажем, что
С 2 ! А 2  п (п 1)
n2 п 2 '
или, ЧТО то же самое,
A == 2C.
В самом деле, чтобы образовать упорядоченное MH()
жество, содержащее два элемента из данных п, надо
выделить какиелибо два из этих n элементов, что
можно сделать C способами, а затем упорядочить
выделенные два элемента, что можно сделать ДВУl\lЯ
способами. Итак,
A == 2C,
что и требовалось доказать.
Пара, состоящая из элементов i и k, называется
правильной ПО отношению 1\, подстановке А, если раз
насти i  k и ai  ak имеют один и тот же знак; Э1 О
значит: если i < k, то должно быть ai < ak; если же
i > k, то должно быть ai > ak. В противном случае
rоворят, что наша пара неnравильна в подсmановке А
или образует в ней инверсию. Следовательно, если пара
(Ё, k) образует инверсию, то имеем либо i<k и ai>ak
либо, наоборот, i > k и ai < ak. Рассмотрим, как при
мер, подстановки rруппы 83.
В подстановке РО === С ; ;) нет ни одной инверсии 
все пары правИльны.
В подстановке Р] === с  ;) имеется единственная
инверсия (2, 3), так как при i == 2, k == 3 имееIvI ai == 3
и ak == 2.
44

в подстановке Р 2 == (; ; :) имеется единственная
инверсия (1, 2).
В подстановке Р з == (; : ) имеются две инверсии:
(1, 3), (1, 2).
В подстановке Р 4:Z:= ( ; ) имеются две инверсии:
(1, 3), (2, 3).
В подстановке РI) == (  ) имеются три инверсии:
(1, 2), (1, 3), (2, 3).
Оп Р е Д е л е н и е. Подстановка, содержащая четное
число инверсий, называется четной подстановкой;
подстановка, содер)Кащая нечетное число инверсий,
 u
нечеmнои подстановкои.
Мы видим, что в rруппе Sз четные подстановки (ро,
рз И р 4) образуют подrруппу. Наша задача  доказать,
что это замечание справедливо для любой rруппы Sn.
Доказательство опирается на некоторые предвари-
тельные замечания, к которым мы и переходим.
Знаком подстановки А называется число + 1, если
подстановка А четная, и число  1, если она нечетная.
Отвлекаясь от обычноrо словоупотребления, назовем
теперь знаком рациональноrо числа r число + 1, если
число r поло)Кительно, число  1, если r отрицательно,
и число О, если r === О. Знак числа r в только что уста-
новленном смысле обозначим так: (зн, ,).
При этих обозначениях ясно, что знак подстановки А
n (n 1) ik
равен произведению знаков всех 2 чисел ,
ai  ak
i k ki
причем дробь === строится по одном у Р аз у
aiak akai
для кз)Кдой пары, взятой из чисел 1, 2, 3,... , n.
им замечанием мы воспользуемся для доказатель-
ства следующей теоремы.
т е о р е м а 1. Знак nроuзведенuя двух nодстановок
равен nроuзведенuю знаков сомножuтелей.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть даны две подстановки:
A ( l 2 3 ... N ) B ( 1 2 3 ... N )
 аl а2 аз ... а n ' ........ Ь 1 Ь 2 Ь з ... Ь N ·
l-Ix произведение есть, очевидно, подстановка
А ( 1 2 3 ... п )
.В== Ь а Ь а Ь а ... Ь а ·
1 2 З n
(4)
45

Знаки А и В равны соответственно произведениям всех
знаков
ik ik
aiak И bibk.
Но так как можно также написать
В == (::1 ::2 ::: ::J J
то имеем:
знак В равен произведению всех знаков ai ........ak
baibak.
Отсюда сразу следует:
(ЗН А). (зft В) ==
== произведению всех ( ЗН  = k ) . ( ЗН Ь ai  :k ) ==
а, ak ai ak
== произведению всех ( 3Н =k . bai=:k ) ==
а, ak ai ak
( ik )
== произведению всех 3Н Ь b .
ai ak
fIo последнее произведение есть знак подстановки
( 1 2 3 ... п )
Ь а } Ь а2 Ь аз ... Ь ап '
Т. . е. ПОДстановки А. В, что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы непосредственно следует:
произведение двух nодстановок одинаковой четности 1)
есть четная, а произведение двух nодстаН080К разлИЧНОЙ
четности 2) есть нечетная noacfпaHoeKa. Тождественная
u
подстановка не содержит ни однои инверсии и, сле-
довательно, есть четная подстановка. Далее,
A.AI==E
.(Е  тождественная подстановка), т. е. произведение
данной подстановки А и обратной ей подстановки есть
четная подстановка; отсюда по только что доказанному
следует, что любая подстановка имеет ту же четность,
I!!! U
ЧТО И ооратная еи.
Итак, nроuзведенuе двух че/nНblХ nодстановок есть
Ч,етная nодстановк,а; тождественная nодстановка есть
;1.) То есть произведение двух четных или двух нечетных под-
TaHOBOK.
2) То есть произве,llрние четной и нечетной или нечетной и
етной ПОДстановок.
46

четная подстановка, об рапи-IЙЯ четной пoacfпaHo8/{e ecпZb
четная подстановка.
Отсюда следует, что совокупность всех четных под
становок из n элементов есть подrруппа rруппы Sn
всех вообще подстановок из n элементов. rруппа чет
ных подстановок из n элементов называется знако-
  u
nepe.AteHHoи или альmернирующеи rруппои подста
новок из n элементов, и обозначается через А п .
А п!
Т е о р е м а 2. Порядок ёруnnы п равняеr:cся 2:
Друrими словами, в rруппу А п входит ровно поло
вина всех подстановок из n элементов. Для Toro чтобы
убедиться в этом, достаточно установить взаиrvlНО OДHO
значное соответствие между множеством всех четных
и множеством всех нечетных подстановок из n элемен..
тов. Такое соответствие устанавливается, если выбрать
какуюнибудь определ€нную нечетную подстаНОGКУ Р
и каждой четной подстановке А поставить в соствет-
ствие подстановку р. А. Тоrда:
1) каiкд6й четной подстановке будет соответствовать
нечетная подстановка;
2) двум различным четным подстановкам будут соот..
ветствовать различные нечетные подстановки;
3) каждая нечетная подстановка В окал(ется постав-
ленной в соответствие одной (и только одной) ч(тной
подстановке, а Иl\Iенно: четной подстаНОБке pl. В.
Таким образом, наше соответствие есть взаимно
однозначное соотzетствие между множеством всех четных
и l\лножеством всех нечетных подстановок.

rЛАВА 111
ИЗОМОРФНЫЕ rруппы.
ТЕОРЕМА КЭЛИ
 1. ИЗОМОРФНЫЕ rруппы
Рассмотрим, с одной стороны, rруппу
поворотов R3 правильноrо треуrольника (rл. 1,  2),
а с друrой стороны, содержащуюся в rруппе всех под..
становак из трех цифр подrруппу Аз, состоящую из
трех элементов РО, Р з , Р 4 (rл. 11,  2). Мы обозначили
элементы rруппы R э через ао, а 1 , а 2 . Установим теперь
межлу элементами rруппы R3 и элементами rруппы Аз
следующее взаимно однозначное соответствие:
а о  Pn,
а}  Ра,
а 2 ++ Р 4 .
Это соответствие сохраняет умножение в следующем
смысле. Если какой-либо элемент в левом столбце
может быть записан в виде произведения двух элемен-
тов (конечно, Toro же левоrо столбца), например, aOal ==
== а} или а 1 а} == а 2 или а 1 а 2 == ао, и если мы каждый
элемент полученноrо равенства заменим cooTBeTcTBYIO-
щим элементом правоrо столбца, то равенство останется
справедливым.
Мы видим, что rруппы R3 и Аз хотя и состоят из
элементов различной природы (одна rруппа состоит из
поворотов треуrольника, а друrая из подстановак
цифр), но устроены они одинаково: таблицы умножения
этих rрупп отличаются лишь обозначениями и, следо-
вательно, заменой обозначений, т. е. переименованием
элементов, они MorYT быть приведены к одинаковому
ВИДУ.
Такие сруnnы, которые при надлежащем выборе
обозначений элементов таблицы умножения оказываются
тождественными (одинаковыми), называются uзо.морф-
ны.ми 2руnnамu.
48

Обыкновенно понятие изоморфизма высказываIОТ
в HeMHoro отличной форме. Д,ело в том, что «переиме
нование» элементов в таблице умножения, о котором
шла речь в нашем определении изоморфизма, по суще
ству, сводится к установлению взаимно однозначпоrо
соответствия между элементами двух rрупп. Мы теперь
дадим определение изоморфизма, непосредственно исхо
дящее из понятия взаимно однозначноrо отображения.
О п р е Д е л е н и е 1. Пусть дано взаимно однознач--
ное соответствие
,
g++g
между множеством всех элементов rруппы G и множе-
ством всех элементов rруппы О'. Мы скажем, что это
соответствие есть llзо.морфное соответствие (или
изоморфизм) между двумя rруппами, если выполнено
.условие сохранения умножения, rласящее:
каково бы ни было соотношение вида
gl · g2 :=: gз
лежду элементами одной rруппы, например, О, COOTHO
шение, получаемое при замене элементов gl' g2' g
rруппы G соответствующими им в rруппе О' элеrvtентами
, , , , , ,
gl' g2' gз также оказывается справедливым: gl. g2 == ga.
О П Р е Д е л е н и е 11. Две rруппы называются изо-
морфными, если ме}кду ними возмо}кно установить
изоморфное соответствие.
При м е ч а н и е. Если требовать, чтобы всеrда из
равенства
gl · g2 :=: gз
(в rруппе О)
следовало равенство
, , ,
gt · gз == gз
для элементов rруппы а', соответствующих элементам
gl' g2' g-з, то имеет место и обратное, а именно:
С б ' , ,
е ли для каких-ли о трех элементов gl' g2' gз I'рУППЫ
а' имеет место Соотношение
, , ,
gl · g2 :=: gз,
то для элементов gl' g2' gз rруппы О, соответствующих
, , ,
элементам gl' g2' gз, также выполнено соотношение
gl . g2 :=: gз.
(1)
49

В самом деле, если бы соотношение (1) не имело
места, то было бы
gl . g2 == g4 =1= gз.
В силу взаимной однозначности соответствия между G
и а' элементу rруппы g4 соответствует в rруппе О'
'....../...... '
элемент g4 /""'" gз И в силу нашеrо предположения из
gl . g2 == g-l
должно вытекать
, , ,
gl . g2 == g4'
вопреки тому, что
, , ,
gt . g2 == gЗ 8
Т е о р е м а. При изоморфном отображении
gg'
2руппы G на 2руппу О' нейтральному элементу одной'"
2руппы соответствует нейтраЛЬflЫЙ элемент друсой
2рynпы, и всякой паре взаимно обратных элементов одной
сруппы соответствует пара взаимно обратных элемен-
пzoe друсой 2руппы.
В самом деле, пусть go  нейтральный элемент
rруппы О, и пусть ему при данном изоморфном соот-
ветствии между rруппами G и а' соответствует элемент
go rруппы а'. Докажем, что go есть нейтральный эле-
мент rруппы О'. В самом деле, так как go  нейтраль-
ный элемент rруппы О, то имеем для произвольноrо
элемента g той же rруппы
g . g о == g;
в силу изоморфности отображения g  g' имеем:
, , ,
g . go == g ,
откуда и следует, что g есть нейтральный элемент
rруппы а'.
Пусть gl И g2  пара обратных элементов в rруппе о:
gl . g2 == go
(rде go попрежнему  нейтральный элемент rруппы О).
Отсюда
, , ,
gl · g}. == go.
Так как g  нейтральный элемент rр)'ппы а', 10 g И
g; взаимно обратны.
50

у п р з ж н е н и я. 1) Покзззть, что rруппз, состоя-
щая из двух элеl\1ентов а о и a 1 с таблицей умножения
I ао аl
] ао I а 1
аl аl а()
изоморфна rруппе поворотов отрезка (BoKpyr ero сере-
дины).
2) Доказать, что все rруппы порядка 2 изоморфны
между собой.
3) Доказать, что все rруппы порядка 3 изоморфны
между собой.
Реш е н и е. Пусть ао, а 1 , а2 ---- элементы rруппы;
пусть а о  единичный элемент. Тоrда
а о · ао == а о ; ао · а 1 == а 1 ; ао . а 2 == а 2 .
Не может быть, чтобы а 1 . а 1 == а 1 , так как тоrда а 1 == а о .
Итак,
Аналоrично,
а 1 · а 1 == а 2 .
а 1 · а 2 =1= а 2 и а 1 .  =1= а 1.
Следовательно,
a 1 · а 2 == а о .
Таким же точно образом заключаем, что
а 2 · а 1 == а о .
Наконец, поскольку
а 2 . а 2 =1= а 2 (так как тоrда имели бы а 2 == а о )
и
а 2 . а 2  а о (так как a 1 . а2 == а о ),
то
а 2 . а 2 == а 1 .
51

Итак, для rруппы порядка 3 возможна лишь одна
таблица умножения, а именно:
йо йl I as
ао I йо аl а2
al al й2 йо
а 2 й2 а о аl
4) Доказать, что всякая коммутативная rруппа
порядка 4 изоморфна или клейновской rруппе, или
rруппе поворотов правильноrо четырехуrольника (две
последние rруппы между собой неизоморфны; почему?).
5) Доказать, что rруппа всех положительных чисел
(с арифметическим умножением в качестве rрупповой
операции) изоморфна rруппе всех действительных чисел
(с арифметическим сложением в качестве rрупповой
операции).
у к а з а н и е: изоморфное отображение осущест-
вляется лоrарифмированием.
 21). ТЕОРЕМА КЭЛИ
В этом параrрафе мы докажем следующее
предложение, открытое Кэли 2).
Т е о р е м а. Всякая конечная 2руппа изоморфна неко-
торой еруппе подстановок.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G  конечная rРуппа,
n  ее порядок, а 1 , а 2 , ..., а п  ее элементы, среди них
а 1  нейтральный элемент.
Напишем для каждоrо i == 1, 2, ..., п
at.al' a 2 .al, ..., an.al.
Все эти элементы различны; число их равно n; зна-
чит, это суть те же элементы а], а 2 , ..., а n , но только
1) Читатель, пропустивший  3 предыдущей rлавы, должен
пропустить и этот параrраф.
2) I(эли А. (Cayley)  анrлийский математик (род. 1821, умер
1895)  один из основателеЙ теории rрупп.
52

записанные в друrом порядке, а именно: пусть
а 1 . ai == ai l ' а 2 · ai == ai, ..., а п . ai == ai ·
2 п
Итак, элеlенту ai соответствует подстановка
Р  ( al 02
[
al . а; а 2 . al
. . . а п ) ( al
... а п . a.i  a i1
а2 ... а п )
а i · .. a i
2 п
или подстановка
P  ( l 2 ... N )
t .. .,
11 '2 ... ln
отличающаяся от подстановки P i только тем, что в Р,
переставляются элементы rруппы а, а в Pi  взаимно
однозначно соответствующие этим элементам их номера.
Если i =1= k, ТО P i =1= P k , так как в подстановке P l
под элементом а 1 расположен a 1 . ai == al, а в ПОДСl a
новке Р k под элементом a 1 расположен а 1 . ak ==ak, ak=l=ai'
Итак, имеем взаимно однозначное соответствие между
элементами а 1 , а 2 , '88' а п rруппы G и подстановкаr\lИ
Р 1 , Р 2 , ..., Р п .
Теперь нужно доказать, что вопервых, подстановки
P 1 , Р2' ..., Р п образуют rруппу по отношению к обыч
нам у умножению подстановок и, BOBTOpЫX, что эта
труппа изоморфна rруппе а.
Заметим прежде Bcero:
1. Среди подсmановок Рl' Р2' ..., Р п содеРJlсится
тождественная подстановка.
В самом деле, так как а 1 есть, по преДПОЛО}l{ению,
неЙтральный элемент rруппы О, то подстановка
Р  ( аl а2 .. . а п )
1  аl. аl а2. аl . . . а n . аl
есть тождественная подстановка.
Далее докажем: если ah == ai' ak, то P h == P l . Pk8
Сначала заметим, что
( 01 а2 . . . Оп )
аl . а k а2 · ak . . . а п . °k
И
( 01. О! а2 · ai . . . Оп · О; )
аl . ai . Uk а2 · al . ak . . . а п · а; · ak
представляют две записи одной и той же подстановки
P k ; в самом деле, обе записи означают, что каждому
элементу а rруппы G ставится в соответствие элемент
а . ak 1 ой же rруппы.
53

Итак, мы можем записать
Р k  ( аl' al а2 . ai
аl · ai · ak а2. ai . ak
. . . а п · ai )
. . . а п . ai · ak ·
Заметив это, видим, что подстановка
Pi"Pk==
( аl а2' .. а п ) ( аl. ai а 2 . ai
== аl' ai а2' ai ... йn. ai · аl . ai · ak а2. ai · ak
· . · а п · ai )
· · · а п . ai . ak
на основании общеrо определения УI'ЛНО}l{ения подста-
новок ТОJКдествеина с подстановкой
( аl а2
al. a i. a k a2. a i. a k
. . . а n )
... an.ai.ak ·
Но если ai' ak == ah, то
( аl
аl · а i . а k
а2
а2 . ai . ak
. . . а n )  р
. .. а n . ai . ak  h,
т. е.
Pi.Pk==P h .
Только что доказанное можно сформулировать так:
l1а. Произведенuю двух элементов еруппы G соответ..
cтeyern произведение подстаново!\" соопzветствующих этим
элементам.
Отсюда следует:
Ilb. Произведенuе Лl0бblХ двух из числа подСlпаново1\,
Р l' Р 2' ..., р n есть одна из пocтaHoвo!\' Р l' Р 2, ..., Р n'
Рассмотрим подстаНОБКУ P i , элем:ент al и элемент
ат 1 == ak. Так как al" ak == а 1 , то по только что Доказан..
НОМУ Р/,. P k == Р 1 ; но Р 1 есть, как мы видели, тождест"
венная подстановка, поэтому Р k == Pi 1 .
Итак, мы доказали еще одно утверждение.
111. Подстановка Pi 1 для любоео i == 1, 2, ..., п есть
одна из подстаново!\' Р 1 , Р 2 , ..., Рn.
Из 11 Ь, 1 и 1,1 1 следует, что совокупность подста..
вовок Р 1 , Р 2 , ..., р n есть rруппа при обычном опре..
делении умножения подстановок. Из Ila следует, что
эта rруппа изоморфна rруппе а.
Теорема Кэли, таким образом, доказана.

r ЛАВА IV
ЦИКЛИЧЕСКИЕ rруппы
 1. подrРУППА, ПОРОЖДЕННАЯ ДАННЫМ
ЭЛЕfАЕНТОМ ДАННОЙ rруппы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ЦИКЛИЧЕСКОЙ rруппы
Пусть а  произвольный элемент rруппы а.
Умножим ero на себя, т. е. возьмем элемент а. а. Этот
элемент обозначим через а 2 . Точно так же обозначим
а · а · а через аЗ и вообще ПОЛОЖИl\1
а . а ... а == а n .
у
n раз
Рассмотрим, далее, элемент al и обозначим последо-
вательно
al . al через a2,
al.al.al через
a3
,
........
. . . .
al . al . . . al
,
через an.
v
n раз
Обозначения эти оправданы тем, что, действительно,
'а n . an == 1.
Для доказательства последнеrо утверждения заметим
прежде Bcero, что в случае n == 1 оно очевидно (следует
из caMoro определения al). Предположим, что оно
верно для n  1 и докажем в этом предположении ero
справедливость для n. Имеем
а n . an == (а . an1) (a (n1) . al) == а . {anl . a (n1)} . al.
Но в силу нашеrо предположения фиrурная скобка
равна единице, значит,
а n · an == а · 1 · al == а . al == 1 J
ЧТО И требояалось доказать.
55

Мы определили выражение а n для любоrо положи..
тельноrо и для любоrо отрицательноrо значения n.
Положим, наконец, что, по определению, а О == 1.
Пусть теперь р и q  два целых числа. Из наших
определений следует, что для любых целых р и q имеем
аР . a q == a p + q .
Мы получаем следующий результат:
Множество Н (а) тех элементов еруппы а, которые
моеут быть представлены в виде а n при целом п с той
ерупповой операцией) которая задана в еруппе а, обра
зует еруппу Н (а).
В самом деле: 1) произведение двух элементов, при
надлежащих Н (а), есть опять элемент Н (а); 2) единица
принадлежит Н (а); 3) к каждому элементу а т из Н (а).
найдется элемент am, который также принадлежит Н (а).
Итак, Н (а) есть подrруппа а. Эта подrруппа назы
вается циклической подzруппой zpyппbl а, порож..
денной элементом а.
Поскольку в rруппе Н (а)
а т . а п == а т + n == а п + т == а n . а m
,
то rруппа Н (а) коммутативна.
r Мы определили понятие циклической подrруппы Н (а),
ПОРО)I{денной некоторым элементом а данной rруппы а.
Станем теперь на более абстрактную точку зрения
и рассмотрим rруппу Н такую, что каждый ее элемент
имеет вид а п для HeKOTOpOI"O фиксированноrо элемента а
из Н и HeKoToporo числа п. Такую rруппу мы назовем
циклической еруппой, порожденной элементом а, и будем:
обозначать, как и ранее, Н (а). Теперь нет нужды счи..
тать, что rруппа Н == Н (а) содержится в какойлибо
объемлющей rруппе.
Так как rруппа Н (а) коммутативна, то ее rрупповую
операцию принято записывать на аддитивном языке.
Итак, операция в Н (а) теперь обозначается +, нейт..
ральный элемент О, элемент а + а +. . . + а чере--з па и т. Д.
..................... ............................
n раз
 2. КОНЕЧНblЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ
ЦИI(ЛИЧЕСКИЕ rРУППbl
rруппу н (а) lVlbI определили как состоящую
из всех тех элементов, которые MorYT быть записаны
в виде та. При этом мы не ставили вопроса: будут ли
56

две записи т 1 а и т 2 а при различных целых т 1 и m z
всеrда давать два различных элемента rруппы Н (а)
или же может случиться, что т 1 а == т 2 а, хотя n1,1 и т 2
различны?
Постараемся разобраться в этом. Пусть существуют
два различных между собой целых числа т 1 и 
таких, что т 1 а == т 2 а. Прибавляя к обеим частям пос
JIеднеrо равенства элемент  т 1 а, получим
О == (т 2  т 1 ) а.
Следовательно, существуют такие целые числа т, что
та == О.
т ак как и з та == О следует  та == О, то Bcer да можно
предположить, что число т в равенстве та === О поло-
жительно.
Возьмем теперь среди всех натуральных чисел,
удовлетворяющих условию та == О, наименьшее и обоз
начим ero через а. Имеем
а =#= О, 2а =#= О, ..., (а  1) а =#= О, аа == о.
Докажем, что все элементы
О == Оа, а, 2а, ..., (а  1) а
(1)
различны между собой. В самом деле, если бы было
pa==qa при Op<qa 1,
то имели бы, прибавляя к обеим частям последнеrо
равенства по  ра:
(q  р) а == О,
а это противоречит определению числа а, так как
в наших условиях заведомо
O<qpa 1.
Итак, все элементы (1) различны между собой. Докажем,
что вся rруппа Н (а) исчерпывается элементами (1), т. е.,
ЧТО дЛЯ любоrо uелочисленноrо т имеем
тб- == 'а, пр ичем О:::;; r :::;; а  1.
Для этоrо разделим число т на число а с остатком
(по правилу деления целых чисел), а именно...... пред-
ставим ero в виде
т == qa + "
(2)
57

rде q есть неполное частное, а r  остаток, удовлетво.&
ряющий условию 1)
О  r < а.
Имеем
НО
та == (qa+ ') а == qrx. а+ (а,
qa . а == q (аа) == q · О == О,
значит,
та == ,а.
Итак, если существуют два такие числа т 1 и т 2 , что
т 1 а == т 2 а, то существует натуральное число а, такое,
что вся rруппа Н (а) исчерпывается а различными между
собой элементами:
О, а, 2а, ..., (al)a,
(3)
тоrда как аа==О.
Положение получается такое: весь ряд
. . . ,
тa, ..., a, О,
а, ..., та, ...
представляет собой бесконечное повторение (в обе сто.
раны  направо и налево) cBoero «отрезка» (3).
В самом деле,
(а+ l)а==аа+а==а,
(а + 2) а == аа + 2а == 2а,
.....................
(2а  1) а==аа+ (а  1) а == (а  1) а,
2аа == О,
(2а + 1) а == а и т. Д.
Ч При отрицательном т остаток r при делении на а > О все
же бертся положительным. В самом деле, пусть т отрицательно;
тоrда  т положительно и может быть записано в виде
т== q'a +r',
о ::::; " < а,
rle q' и " неотрицательные. Тоrда т=== q'ar' == (q'+l) а+
+(ar'). в этих условиях число(q'+l) называется неполным
частным от деления отрицателы-lrоo числа т на положительное
число а, а неотрицательное число r==a........r' < а называется
остатком при этом делении. Более подробно см. об этом  2
rл. VII.
58

и аналоrично в левую сторону:
 а == аа  а == (а  1) а,
 2а == аа  2а == (а  2) а,
...................
...... (Ct  1) а == аа  (Ct  1) а == а,
....... аа == О и т. д.
Чтобы найти, какой именно элемент rруппы Н (а)
мы получаем, взяв сумму
а+ а+... +а == та
'--................................
т раз
или
(a) + (a) +... + (a) ==  та,
'--'  .
т раз
надо разделить т (или т) на (х. Неотрицательный
остаток " полученный при этом делении, О  ,  а  1
и дает нам ответ на наш вопрос:
та == 'а.
Отсюда также
rруппы Н (а):
ясно, как складываются
элементы
ра + qa == (р + q) а == 'а,
[де , есть остаток при делении р + q на (х.
Рассмотрим теперь правильный ауrольник; централь-
ный уrол, опирающийся на сторону нашеrо мноrоуrоль
ника, есть
2л
ep==.
а
Мноrоуrольник переходит сам в себя при поворотах
на уrлы:
О (<<тождественный» поворот), ер, 2ер, ..., (а  1) ер.
Если считать тождественными ПОВОр\1ТЫ, отличающиеся
друr от друrа на целое число полных оборотов, то
никакие друrие повороты, кроме перечисленных а,
не переводят наш мноrоуrольник в caMoro себя. При
этом композиция поворота на уrол рер и поворота на
уrол qep есть ПОБОрОТ на уrол 'ер, rде , есть остаток
при делении р --1 q на а.
1\1ы видим: если повороту нашеrо мноrоуrольника
на уrол nzep поставить в соответствие элемент та rруп-
59

пы Н (а), получается изоморфное отобра}I{ение rруппы
/1 (а) на rруппу поворотов правильноrо ауrоЛьника.
rpyпnbl, иЗО'м'орфные zpynпaM поворотов прав ильных
},tнооуzольников, называются конечными цикличе-
скими zpyппaMU.
Итак, если т 1 а == т 2 а для некоторых т 1 и т 2 , то
конечная rруппа Н (а) есть конечная циклическая
rруппа.
Таблица сложения для циклической rруппы поряд-
ка т имеет вид
Таблица 5
ао аl I а2 аз . . . aтl
ао I ао I аl I а2 I аз I . . . I aтl
аl аl I а2 I аз I а4 I . . . I ао
I I I ] I
а2 а2 I аз а4 а5 . . . аl
аз аз I а4 I а5 I а6 I . . . I а2
. . I . I . I . I . . . I .
. . . . . . . . .
. . . . . .
аmз атз I aт21 aтll 00 I . . . I aт4
am2 aт21 aтll ао I аl I . . . I атз
aтl aтl I ао I аl I а 2 I . . . I aт2
Эта таблица сложения может служить вторым опреде..
лением циклической rруппы порядка т.
* *
*
Мы исследовали случай, Коrда для данноrо элемен
та а rруппы Н (а) имеются два таких целых числа m 1
и m 2 , что m1a == т 2 а.
Рассмотрим теперь случай, коrда таких двух целых
чисел нет, т. е. коrда все элементы
. . ., ........та, .........(т  1) а, ...,
3a, .........2а, a, О, а, 2а, За, ..., та, ... (4)
различнr)!. Элементы (4) находятся в этом случае 80
взаимно однозначном соответствии с целыми числами:
60

элементу та соответствует целое число т и обратно.
Если при этом
т 1 а + т 2 а == тза,
то
т 1 +т 2 == тз.
Отсюда следует, что наше взаимно однозначное соот-
ветствие есть изоморфное соответствие между rруппой
Н (а) и rруппой всех целых чисел.
Fpyппbl, изоморфные zруппе целых чисел, называются
бесконечными циклическими z,pyппa,;nu.
Далее, так как две rруппы А и В, изоморфные
одной и той же rруппе С, очевидно, изоморфны между
собой, то все бесконечные циклические rруппы мех<ду
собой изоморфны. Изоморфны между собой (по той же
причине) и все конечные циклические rруппы одноrо
и Toro же порядка т.
 3. СИСТЕМЫ ОБРАЗУЮЩИХ
Бернемся на время к циклической rруппе
Н (а), порожденной элементом а rруппы а. Элемент а
в ТО1\1 смысле порождает rруппу Н (а), что всякий ее
элемент является произведением нескольких сомножи-
телей 1), каждый из которых есть или а или al. Вместо
Toro чтобы rоворить: элемент а порождает rруппу Н (а),
часто rоворят: элемент а есть образующий элемент
rруппы Н (а).
Однако не всякая rруппа есть циклическая, не вся-
кая rруппа порождается одним элементом  нецикли
ческие rруппы порождаются не одним, а с необходимостью
несколькими (иноrда бесконечным числом) элементами;
ПОНЯТИIО одноrо образующеrо элемента приходит на
смену понятие системы образуюuих 2).
О п Р е Д е л е н и е. Некоторое мно}кество Е элементов
rруппы G называется системой образующих этой
rруппы, если всякий элемент rруппы G есть произве
дение конечноrо числа сомножителей, каждый из которых
либо есть элемент множества Е, либо является обрат-
ным некоторому элеl'vlенту множества Е.
1) в «аддитивной» терминолоrии: суммой нескольких слаrаемых.
2) Очевидно, совокупность всех элементов какойнибудь rруппы
есть (тривиальная) система оБРЭ1УЮЩИХ этой rруппы. Итак, всякая
еруnnа имеет cucmpJrty 06разУЮUlsllХ.
61

При 1\1 е р. Рассмотрим плоскость с выбранной на
ней системой декартовых координат. Обозначим через О
множество тех точек Р == (х, У), обе координаты кота..
рЫХ х и у  суть целые Числа. Установим следующее
правило сложения точек: суммой двух точек Рl == (X 1 , Yt)
и Р2 == (Х 2 , У2.) называется точка Рз == (Х з , Уз) с координа-
тами х з -=::!!! Х 1 + Х 2 и .Уз == Уl + У2' Читатель сам леrко
убедится, что это определение сложения превращает
множество а в коммутативную rруппу и что точки (О, 1)
и (1; О) составляют систему образуюш,ИХ этой rруппы.
3 а м е ч а н и е. Читатель, знакомый с понятиеl\1
комплексноrо числа, сразу поймет, что только что
построенная rруппа изоморфна rруппе целых комплекс-
ных чисел (со сложением в качестве rрупповой опера..
ции). При этом комплексное число х+ iy называется
целым, если Х и У суть целые числа.
3 а д а ч а. Доказать, что всякая система натураль..
ных чисел, наибольший общий делитель которых равен
единице, есть система образующих rруппы всех целых
чисел.

rЛАВА v

..
ПРОСТЕЙШИЕ rр}'ппы
САМОСОВМЕЩЕНИЙ
 1. ПРИМЕРЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ
rрупп САМОСОВМЕЩЕНИЙ
rЕОМЕТРИЧЕСКИХ Фиrур
t. Саl\10совмещения правильных MHoro..
уrольников в их плоскости. Обширный и очень аж-
ныЙ класс разнообразных rрупп как конечных, так и
бесконечных составляют rруппы «саl'лосовлещений» reo-
f\летрических фиrур. Под саМОСО8мещенuем. данноЙ
rеометрической фиrуры F понимают такое перемеи{ение
ФU2УРЫ F (в пространстве или на плоскости), Koпiopoe
переводи/п F в caJvloe себя,
Т. е. совмещает фиrуру F
с самой собоЙ.
1\\ы y)J{e познаI{ОМИЛИСЬ
с простейшими rруппами
самосовмещений, а именно:
'А
с rруппзl'ЛИ поворотов пра- 8
вильных мноrоуrольников.
Пусть дан в плоскости
правильный мноrоуrольник
AoAl" . А п (рис. 2), напри-
мер, правильный ВQСЬМИУ-
rольник АоАlА2АзА4А5А6А7
(вершины Бсе перенумеро-
ваны подряд в одном на-
правлении, например, про-
тив часовой стрелки).
Требуется найти те перемеUlения l\Iноrоуrольника
в ero плоскости, которые совмещают ero с самим собой.
При этом перемещении всякая вершина мноrоуrольника
должна переЙти в вершину, всякая сторона  в CTO
рОНУ, а центр мноrоуrольника B caMoro себя. Пусть
63
Рис. 2.

при некотором определенном перемещении вершина Ай
перейдет, положим, в Ak (на рисунке k == 4).
Тоrда сторона АоАl должна перейти либо в сторону
AkAk+i либо в сторону AkAkl' Но если бы сторона АоАI
перешла в сторону AkAk1.' то треуrольник АоА 1 О пере..
шел бы в треуrольник AkAklO. Этот последний тре..
уrольник можно было бы, передвиrая ero в плоскости,
перевести в положение АоА 1 О', являющееся зеркаль
иым отражением треуrольника AoA10 относительно сто..
роны AoAl' В результате оказалось бы, что мы Tpe
уrольник AoAtO перемещением в ero плоскости перевели
в ero зеркальное отражение, а это невозмо}кно 1).
Итак, сторона AoAl должна перейти в сторону
AkAk+J. Точно таким же образом мы убеждаемся в том,
что сторона А 1 А 2 переходит в A k + 1 A k + 2 , сторона А2Аа
переходит в Аk+2Аkrз И т. д. Друrими словами, наше
перемещение есть поворот мноrоуrольника в ero пло
k 2л И
скости на уrол .. . так, мы показали, что:
п
а) всякое са.мОСОВ.lwещеflие праВИЛЬНО20 пУ20льника
в е20 плоскости ecпZb поворот МНО20У20ЛЬN,ика на У20Л
231
k  t еде k  целое число;
п
б) такиrvl образом, самосовмещений имеется п;
в) эти самосовмещения, как мы знаем, образуют
rруппу.
2. Самосовмещения правильноrо мноrоуrольника
в трехмерном пространстве. Предыдущее рассуждение
существенно предполаrало, что мы рассматриваем лишь
саМОСОВl'лещения MHOrO) rольника в ero плоскости.
Если бы мы рассматривали совмещения пуrольника
с самим собой в пространстве, то к перечисленным
поворотам прибавились бы еще «опрокидывания» MHoro
уrольника, т. е. повороты на уrол 1800 BOKpyr осей
СИМIVlетрии мноrоуrольника. Осей симметрии правиль
ный пуrольник имеет п: в случае четноrо п осями сим..
п
метрии являются "2 прямых, соединяющих пары про
п
тивоположных вершин мноrоуrольника, и 2 прямых,
соединяющих середины ero противоположных сторон;
;1.) CTporoe доказательство этой невозможности, являющейся
ОДНИМ из основных фактов rеометрии плоскости) ВЫХОllИТ за рамки
этой книrи.
64

в случае нечетноrо n оси симметрии суть прямые, со..
единяющие вершины с серединами противоположных
сторон мноrоуrольника. Доказательство Toro, что n
поворотами и n «опрокидываниями» правильноrо n-уrоль-
ника исчерпываются все самосовмещения nуrольника,
т. е. все перемещения ero в пространстве, переводящие
мноrоуrольник в caMoro себя, по существу, содержится
в рассуждениях 9 3 этой rлавы. Читателю предлаrается
вернуться к этому вопросу по прочтении указанно-
ro параrрафа и еще раз продумать все вопросы, свя"
ванные с самосовмещениями правильных мноrоуrоль-
НИКОВ.
3. Общее определение rруппы самосовмещений даН-
ной фиrуры в пространстве или на плоскости. ,Пусть
В пространстве или на плоскости дана фиrура Р. Рас-
смотрим все самосовмещения этой фиrуры, Т. е. все
перемещения ее (в пространстве или на плоскости), со-
вмещающие эту фиrуру с нею самой.
В качестве произведения gl' g2 двух самосовмеще-
ний gl и g2 определим перемещение, возникающее
в результате последовательноrо совершения сначала
перемещения g2' а потом перемещения gl' Очевидно,
что перемещение gl. g2 также является совмещением
фиrуры F с собой, в предположении, что перемеще-
ния gl 11 g2 порознь являются таковыми.
Совокупность всех самосовмещений фиrуры F с только
что определенной операцией произведения образует
2рУnnУ. В самом деле, УМНО}l{.ение перемещений удов..
летворяет условию ассоuиативности; далее, в совокуп-
ности самосовмещений имеется единичное, или тожде-
ственное, самосовмещение (JlMeHHO, «покой», т. е. пере..
мещение, оставляющее каждую точку фиrуры на месте).
Наконец, к каждом:у самосовмещению g имеется обрат-
ное el\fY самосовмещение 1 (передвиrающее каждую
точку назад, в исходное положение, из положения,
которое оно заняло после перемеIЦения g).
 2. fРУППЫ САМОСОВМЕЩЕНИЙ ПРЯМОЙ
И ОКРУЖНОСТИ
rруппы самосовмещений правильных мНО-
rоуrольников 1\,онечныl. В этой же rлаве мы познако-
мимся и с друrими конечными rруппами самосовмеще-
ний, а имеННО t с rруппами самосовмещений некоторых
З П. с. Апександров 65

мноrоrранников. А сейчас дадим несколько примеров
бесконечных rрупп самосовмещений.
Первый пример  rруппа всех самосовмещений пря..
мой в какойлибо проходящей через нее плоскости.
Эта rруппа состоит: из скольжений ПрЯl\fОЙ по себе
(самосовмещения nервО20 рода) и из поворотов прямой
в выбранной плоскости на уrол 1800 BOKpyr любой из
ее точек (саl'лосовмещения втОр020 рода).
Труппа саМОС08мещений прямой некоммутати8на.
Чтобы убедиться в этом, достаточно перемножить
два самосовмещения, из которых одно первоrо, а дру'"
roe  BToporo рода: результат этоrо перемножения изме..
нится при изменении порядка сомно)кителей 1). Оче-
видно, все саМОС08мещения вmОрО20 рода можно получиmы 

nереМflОrJIсая (т. е. последовательно осуществляя) всевоз..
можные скольжения nрЯ/tОЙ с одним каким-нибудь пово-
ротом на 1800 (т. е. поворотом на 1800 BOKpyr одной
определенной, но произвольно выбранной точки этой
прямой). .
Скольжения прямой по самой себе составляют под..
rруппу всех ее самосовмещений. Эти скольжения суть
единственные перемещения прямой самой по себе.
Каждому скольжению прямой самой по себе взаимно
однозначным образом ,соответствует некоторое действи
тельное число, указывающее, на какую длину и в каком
из двух возможных направлений мы сдвинули ПРЯМУiО
по ней самой. Отсюда леrко заКЛIОЧИТЬ, что 2руnпа
всех скольжений прямой по самой себе изоморфна 2рУn-
пе действительных чисел (с операцией обыкновенноrо
арифметическоrо сложения в качестве rрупповой опе..
рации).
В качестве BToporo примера рассмотрим rруппу
всех самосовмещений окружности в ее плоскости. Эта
rруппа состоит из всевозможных поворотов окружности
в ее плоскости BOKpyr ее центра, причем, как всеrдз,
повороты на уrлы, кратные 2л, считаются тождествен-
ными. Каждому элементу нашей rруппы соответст...
вует, таким образом, определенный уrол ер. Измеряя
этот уrол в отвлеченной (радианной) мере, мы получим
1) Читателю рекомендуется фактически убедиться в этом, взяв
два какихнибудь определенных rамосовмещения первоrо и BToporo
рода и построив их ПРОИ3Вt'дение J!ЛЯ одноrа 11 друrоrо порядка
сомножителеЙ.
66

действите.пьное число Х. НО, так как уrлы, отличаю...
щиеся на цеЛОЧ.ИС..lIенные кратные 2п, определяют один
и тот же поворот окружности, то каждому элементу
rруппы поворотов окружности соответствует не только
Данное число х, но и все числа вида х + 2п · k, r де
k  любое целое число.
С друrой стороны, каждому действительному числу х
соответствует "единственный вполне определенный пово-
рот окру)кности, а именно: поворот на уrол, отвлечен-
ная мера KOToporo ра!;3на Х. Таким образом, между
поворотами окружности и действительными числами
установлено следующее соответствие: каждому дейст-
вительному числу х СОО1пветствуеп1 одиН,-едиНСlпвенный
вполне определенный поворот, а именно поворот на
У20Л Х. Н о при этом каждыЙ поворот оказывае,пся по-
ставленным в СООlпветствие не одному, а бесконечно-
му множеству действительных чисел, которые все
отличаются дРУ2 от дРУ2а на целочtlсленные крат-
flble 2п. ..
rруппа поворотов окружности обозначается 80 (2).
Все только что рассмотренные rруппы, а именно:
rруппы самосовмещений прямой и окружности, имеют
следующие особенности: все эти rруппы состоят из
перемещений соответствующей фиrуры в себе. Друrими
словаl\fИ, в течение каждоrо перемещения вся фиrура 
окружность, прямая  остается совмещенной с самой
собой. Это свойство не имеет места при самосовмеще
lIИЯХ правильных мноrоуrольников: при этих послед..
них конечное положение перемещающейся фиrуры совме-
щено с начальным, но промежуточные положения, КОТО..
. рые фиrура занимает в процессе перемещения, от ли..
ча.-ются от ее начальноrо и конечноrо положений.
Таково же положение вещей и при перемещениях
мноrоrранников, к которым мы сейчас переходим.
 з. rруппы ПОВОРОТОВ ПРАвильноА
ПИРАМИДЫ и ДВОЙНОЙ ПИРАМИДЫ
1. Пирамида. rруппа поворотов правиль-
ной (рис. 3) п"уrольной пирамиды (BoKpyr ее оси),
очевидно изоморфна rруппе поворотов правильноrо
nуrольника, лежащеrо в ее основании; эта rруппа
есть, таким образом, циклическая rруппа порядка n.
Леrко убедиться, что поворотами пирамиды B'oKpyr оси
З* 

( 2п 2Л )
на уrлы О, n' ..., (п  1) n исчерпываются все пе-
ремещения, совмеllающие пирамиду с самой собоЙ.
2. Двойная пираМИД8 (диэдр). Определим теперь
rруппу самосовмещений тела, известноrо под названием
u v u
«двоинои правильнои пуrоль-
v
нои пирамиды» или n-уеоль_
11020 дuэдра (рис. 4).
Это тело состоит из пра-
вильной п-уrольной пирамиды
Рис. 3.
и ее зеркальноrо отражения в плоскости основания.
Мы сейчас докажем, что rруппа самосовмещений диэдра
состоит из следующих элементов:
1) поворотов BOKpyr оси пирамиДЫ (на уrлы О,
2л 2Л )
,..., (п.......l) ;
n n
2) так называе1\1ЫХ опрокидываний, т. е. поворотов
на уrол 3't BOKpyr ка)f5ДОЙ из осей симметрии «основания
диадра», т. е. правильноrо мноrоуrольника, являющеrося
общим основанием обеих пирамид, составляющих диэдр.
Таких осей симметрии имеется, как мы видели, п, так
что перемещений BToporo рода имеется тоже n.
Число всех полученных перемещений есть, таким
'образом, 2n. Чтобы убедиться в том, что (за исключе-
нием случая n == 4) не имеется никаких друrих пере-
мещений, переводящих n-уrольный диэдр в caMoro себя,
заметим прежде Bcero, ЧТО в случае п =1== 4 всякое совме-
щение диэдра с самим собой должно либо оставлять
на месте точки S и S' (саАtосовмеu-(енuя перв020 рода),
либо менять их J\tестами (самосовмещенuя вmОрО20 рода).
Далее, основание диэдра должно переходить при таком
68

nеремещении в caMoro себя. Заметим, наконец, что
произведение (т. е. последовательное осуществление)
двух самосовмещений первоrо рода дает самосовмеще
ние первоrо рода, произведение самосовмещений пер
Boro рода с самосовмещениями BToporo рода Дает caMO
совмещение BToporo рода. а произведение двух само-
совмещений BToporo рода дает самосовмещение первоrо
рода.
Ilри этом произведение двух самосовмещений, из
которых одно":"'" первоrо, а друrое  BToporo рода, зави
сит от ПОрЯдка сомножителей: если а  самосовмеще
ние первоrо, а Ь  самосовмещение BToporo рода, то
аЬ == bal.
Рассмотрим сначала самосовмещения первоrо рода.
При таких самосовмещениях основание переходит в само
себя, оставаясь в своей плоскости; оно испытывает,
таким образом, поворот на один из уrлов:
2л 2л
О, . ..., (n1).
n n
Таким образом, и все перемещение диэдра оказы-
вается поворотом BOKpyr оси диэдра на тот же уrол.
Итак, самосовмещений первоrо рода имеется (вклю-
чая тождественное самосовмещение, т. е. покой) ровно n.
Эти самосовмещения суть не что иное, как повороты
Диздра BOKpyr ero оси на уrлы
2л 2п
О, , ..., (n1).
n n
Пусть дано некоторое вполне определенное самосов..
мещение BToporo рода, т. е. такое самосовмещение
диздра с самим собой, при котором вершины S и S'
меняются местами.
Произведем после данноrо самоовмещения BToporo
. рода некоторое вполне определенное опрокидыване
диэдра, т. е. перемещение, заключащееся в повороте
диэдра на уrол 1t BOKpyr одной какой-нибудь, раз Ha
8сееда выбранной, оси си,Мметрии основания. Получим
самосовмещение первоrо рода 1), т. е. поворот диэдра
BOKpyr ero оси.
1) в самом деле, этот поворот есть самосовмещение BToporo
рода, а произведение двух самосовмещений BToporo рода есть
самосовмещение nepBoro рода.
69

Итак, всякое самосовмещение BToporo рода перехо-
дит после одноrо и Toro же опрокидывания в неко-
торое самосовмещение первоrо рода. Отсюда следует
леrко: всякое самосовмещение BToporo рода можно
получить, производя (до или после HeKoToporo самосо- '
вмещения nepBoro рода) одно и то же опрокидыIание..
Отсюда, далее следует, что число самосовмещений BToporo
рода равно числу самосовмещений первоrо рода,Т. е. n.
С друrой стороны, ясно, что все опрокидывания
являются самосовмещениями BToporo рода. Так как
u
этих опрокидывании имеется ровно n, то ими, оче-
видно, и исчерпывается вся совокупность самосовмеще..
ний BToporo рода.
Итак, мы доказали следующее: еруппа самосовмеще-
ний п-уеольноео диэдра есть некоммуmативная 2руппа
порядка 2п, состоящая из n поворотов вОКРУ2 оси диддра
S8' u из n опрокидываний, т. е. поворотов на уеол
n вОКРУ2 осей симметрии основания дuэдра. Все п опро-
кидываний получаются умножением одНО20 из них на
п поворотов диэдра ВОКРУ2 еео оси 88'.
Так как все повороты ДИЭДра BOKpyr ero оси полу..
чаются умножение!\1 с саМИ1\1 собой одноrо поворота.........
2л
именно, поворота на уrол , то rруппа всех самосо-
n
вмещений имеет систему образующих из двух элементов:
2л
поворота на уrол  и одноrо какоrонибудь опрокиды",
n
вания.
Случай n == 4 является особым потому, что частным
с.пучаем четырехуrольноrо диэдра является октаэдр,
Допускающий не 8, а как мы увидим ниже, 24 само-
совмещения. Это объясняется тем, что при самосовме-
lll.ении некоторых четырехуrОJlЬНЫХ диэдров,. а Иl'vlенно
правильных октаэдров, вершина 8 может совмещаться
не только с вершиной 8', но и с каждОй из вершин
основания. Одно из необходимых для этоrо условий 
одинаковое число rраней (а также и ребер), примыкаю..
щих к каждой вершине, выполнено, очевидно, в случае
любоrо четырехуrольноrо диэдра. В случае правиль-
Horo октаэдра и все уrлы, телесные и плоские, при
любых двух вершинах оказываются соответственно рав-
ными так же, как и сами rрани и ребра.
3. Случай вырождения: rруппы поворотов отрезка
1I ромба Наименьшее число вершин, которое может
70

иметь мноrоуrольник, есть 3; в известном смысле,
однако, отрезок может рассматриваться как случай
«вырождения» мноrОУI'ольника, или, если уrодно, как
«мноrоуrольник с двумя вершинами».
Возможность такой точки зрения, в частности, под-
7верждается тем, что rруппа саМОСОВl\lещениЙ отрезка
в какой-нибудь плоскости, содержащей ero, есть цикли-
ческая rруппа, и притом порядка 2: она, очевидно,
состоит из тождественноrо самосовмещения и из пово-
рота отрезка на уrол 1800.
Подобно этому равнобедренный треуrольник будет
случаем вырождения правильной пираlVlИДЫ: rруппа
самосовмещений равнобедренноrо треуrольника в про-
странстве rакже есть I'руппа порядка 2.
Далее, вырождением ДИ9дра или двойной пирамиды
будет, очевидно, ромб. rруппа самосовмещений или
поворотов ромба (в пространстве) состоит из четырех
элементов: из тождественноrо преобразования а о , из
поворотов а 1 и а 2 BOKpyr каждой из диаrоналей ромба
На 1800 и из поворота аз ромба в ero плоскости BOKpyr
ero центра на 1800 (этот поворот есть произведение
двух предыдущих) 1). Таблица умножения для нашей
rруппы имеет вид:
ао аl а2 аз
I
ао ао аl а2 аз
аl аl а.) аз а2
а 2 а2 аз ао аl
аз аз а2 аl а о
Она совпадает с таблицей умножения клейновской
rруппы порядка 4, приведенной нами в качестве BToporo
;1) Рассматривая одну из диаrоналей ромба как «основание»,
друrую  как ось диэдра, мы получим эти четыре перемещения
из поворотов BOKpyr «оси> (на уrол n) и опрокидывания ОТНО"
сительио основания.
71

примера в rл. 1, Э 2, п. 4. В этом леrко убедиться
непосредственно, а еще проще  рассматривая вместо
rруппы самих поворотов ромба изоморфную ей rруппу
подстановок ero четырех вершин А, В, С, D: очевидно,-
поворотам а о, й 1 , а 2 , аз соответствуют следующие под-
становки вершин 1):
( А В С D ) ( А В С D ) ( А В С D ) ( А В С D )
ABCD' BACD' ABDC' BADC'
 4. rРУППА ПОВОРОТОВ
ПРАвильноrо ТЕТРАЭДРА 2)
Для определения всех самосовмещний
тетраэдра А о А 1 А 2 А з (рис. 5) рассмотрим сначала те из
них, которые одну определенную веРIПИНУ, пусть на-
пример Ао, оставляют иепо -
вижной. Такие самосовмеще
иия совмещают и треуrоль
ник А 1 А2Аа с самим собою
поворачивая ero BOKpyr е о
центра Во на один из уrлов
2л 4л
О, 3' З' Отсюда следует,
что самосовмещений тетраэд-
ра А о А 1 А 2 А з , оставляющих
вершину Ао на месте, име-
ется ровно три: тождествен-
ное самосовмещеиие а о , оста-
вляющее на месте все эле-
менты тетраэдра, и два пово-
-рота а} и а 2 BOKpyr оси АоВо
Рис. 5. 2л
соответственно на уrлы 3
4л б
11 3. Обозначим теперь через XI какоени удь опреде-
ленное самосовмещение тетраэдра, Ilереводящее верши-
1) Мы принимаем за йl поворот BOKpyr ,Циаrона.ЛИ CD, за
а2  поворот BOKpyr диаrонали АВ.
2) ПОД тетраэдром здесь и везде дальше понимаем nравuльный
тетраэдр.
72

ну Ао в вершину A 1 ,' i == 1, 2, 3 1); через хо обозна-
чим снова тождественное самосовмещение.
Докажем, что всякое самосовмещение Ь тетраэдра
может БыIьь записано в виде
ь == al . Xk,
 (1)
rде i == О, 1, 2 и k == О, 1, 2, 3 являются однозначно
определенными (последнее утверждение означает, что
если Ь == al · Xk, Ь' == ai' · Xk' и по крайней мере одно из
неравенств i =1= i' , k =1= k' имеет место, то непременно
b=l=b').
Итак, пусть дано какоенибудь самосовмещение Ь;
оно переводит вершину Ао в некоторую определенную
вершину Ak' rде k == О, 1, 2, 3; но тоrда самосовмеще-
иие bX"k 1 оставляет вершину Ао на месте и есть следо-
вательно, некоторое вполне определенное ai, так что
Ьх,/ == al и Ь == alXk, rде i и k определены однозначно.
Так как и обратно каждой паре (i, k) соответствует по
записи (1) некоторое самосовмещение тетраэдра, ТО
имеется взаимно однозначное соответствие ме)кду всеми
самосовмещени.ями тетраэдра и всеми парами (i, k),
rде i принимает значения О, 1, 2, а k ---- значения О, 1,
2, 3. Отсюда следует, что имеется ровно 12 самосовме-
щений тетраэдра.
Каждое самосовмещение тетраэдра означает некото-
рую подстановку ero вершин, т. е. некоторую подста-
новку их номеров О, 1, 2, 3. Но всех подстановок из
четырех элементов имеется 24; из них, как мы сейчас
видели, только 12 осуществляются перемещениями тет-
раэдра в пространстве. ПОС?vl0ТРИМ, какие это переме-
rцения и какие подстановки.
Назовем для краткости ераневой .медианой тетраэдра
ПРЯМУIО, проходящую через какуюнибудь вершину AI
тетраэдра и через центр BI rрани, противоположной
этой вершине. Реберной медианой назовем прямую,
пр@ходящую через середины двух какихнибудь взаимно
противоположных ребер тетраэдра.
Каждой rраневой медиане соответствует два нетож",
дественных самосовмещения тетраэдра, именно: пово"
1) Вершина Ао переводится в А 1 и Аз, например, посредством
nOBoporoB BOKpyr оси А 2 В 2 (соединяющей вершину А 2 с центром
tIротивоположной rрани); Ао переводится в А 2 , например. посред
ством ПОБорота BOKpyr оси АзВ з .
73

u  2л:   4л:
роты BOKpyr этои медианы На уrлы 3 и 3' Bcero,
таким образом, получаем восемь поворотов, которые
в виде подстановок номеров записываются так:
а 1 == ( ;  ), а 2 == ( ; i ). аз == (   ),
a4==(   ;). ao==(  ; ), aв==(  ; ). (2)
( О 1 2 3 ) ( О 1 z- 3 )
а 7 == 1 2 О 3' а в == 2 О 1 3 '
BOKpyr каждой реберноЙ медианы имеем один нетож-
дественный поворот на уrол П, что дает нам (так как
реберных медиан имеется три) еще три поворота, запи-
сываемых в виде подстановок:
( О 1 2 3 ) ( О 1 2 3 ) ( О 1 2 3 )
а 9 == 1 О 3 2' а 10 == 2 3 О 1 ' а 11 == 3 2 1 О' (3)
Эти 11 поворотов вместе с тождественным самосовме-
щением (<<тождественным поворотом») а о и дают нам
все 12 са!\Iосовмещений тетраэдра. Каждое из них яв..
"ТIяется поворотом BOKpyr одной из семи осей симмет-
рии 1) тетраэдра; поэтому rруппу самосовмещений и
называют rруппой поворотов тетраэдра.
Леrко проверить, что все подстановки (2) и (3).........
четные; так как всех четных подстановок из четырех
элементов (вершин тетраэдра) имеется 12, то перед
нами взаимно однозначное и, очевидно, изоморфное
соответствие между rруппой поворотов тетраэдра и
u ...
знакопеременнои rруппои под стано во к из четырех эле-
ментов.
Посмотрим теперь, каковы подrруппы rруппы пова..
ротов тетраэдра.
В ней, как и во всякой rруппе, имеются прежде
Bcero две так называемые несобственные подrруппы:
это, во-первых, вся рассматриваемая rруппа и, BOBTO-
1) Эти семь осей симметрии суть четыре rраневые и три ребер-,
иые медианы тетраэдра. В широком смысле слова осью симмет
рии rеометрической фиrуры называется всякая прямая, BOKPYI'
которой фиrуру можно повернуть на отличный от нуля уrол таким
образом, что она совместится сама с собой. Заметим в связи с этим.
что всякое перемеlцение твердоrо тела в пространстве, оставляю..
lцее неподвижной какуюлибо точку О этоrо тела, является пово-
ротом этоrо TeJ1a BOKpyr некоrорой оси, ПРОХОiящей через точку О.
74

u
рых, nодrруппз, состоящая из одноrо неитральноrо
элемента. Нас интересуют остальные, так называемые
собственные 1) подrруппы поворотов тетраэдра. Их
имеется восемь. Прежде Bcero заметим, что произведение
поворотов на уrол л BOKpyr двух различных реберных
медиан дает нам поворот на тот же уrол л BOKpyr
третьей реберной медианы (в этом можно убедиться
как rеометрически, так инепосредственным умноже..
нием двух какихнибудь из подстановок (3)). Отсюда
следует, что повороты на уrол л BOKpyr всех трех
реберных медиан образуют вместе с тождественным
поворотом rруппу, очевидно, четвертоrо порядка; она
ИЗОl\Iорфна клейновскоЙ rруппе (т. е. rруппе всех пово..
ротов ромба). Эту rруппу обозначим через Н. Среди
всех подrрупп rруппы поворотов тетраэдра она имеет
наибольший порядок. В ней содержатся три подrруппы
BToporo порЯдка, состоящие из поворотов на уrлы,О и
:rt BOKpyr каждой данноЙ реберной медианы. Эти под.
rруппы обозначим через BOl' НО2' ВОЗ' Кроме указан..
ных rрупп имеются еще четыре подrруппы TpeTbero
порядка, именно: Hi' i == О, 1, 2, 3, состоящие каждая
2л 4л
из трех поворотов на уrлы О, 3' 3 BOKpyr соответ.
ствующей rраневой медианы.
Для Toro чтобы доказать, что никаких друrих под.
rрупп в rруппе поворотов тетраэдра нет, достаточно
показать, что любые два отличных от нуля элемента,
взятые из двух различных rрупп H i или взятые один
из какойлибо rруппы Hi' а друrой из какойлибо
rруппы HOk' уже дают систеl\tIУ образующих всей rруппы
поворотов тетраэдра. Для этоrо в свою очередь доста..
точно рассмотреть любые два элемеНта из числа эле..
ментов a 1 , аз, а 5 , а 7 , например, а 1 и аз, а также какой...
нибудь из элементов а 2 , а 4 , ав, а в и какой-нибудь из
элементов а о , а 10 , а 11 . Читателю рекоrvlендуется провести
доказательство rеометрически, а именно: показать, что
Каждый поворот тетраэдра может быть получен Yl\1HO-
жением любой упомянутой пары поворотов. Можно
достиrнуть Toro же результата и непосредственно
вычислениями. Следующие тождества доказывают, на 4
пример, что элементы ,а 1 и аз составляют систему обра..
1) Подrруппа Н rруппы G называется собственной, если она
{'одер/кит по крайней мере J].Ba эnемента и Н =-1= а.
75

зующих rруппы поворотов тетраэдра:
1
ао == а 1 аl ,
а 2 == a,
2
а 4 == аз,
1
a s == аз а 1 а з ,
1 2
а в == аз аl == аа,
I
а, == а 1 аза. ,
а в == ааз,
1 2
а о =:s аз а 1 а з ,
1
a 10 === аl аз,
а 11 == аза!.
Не следует думать, что каждый элемент единствен...
НЫМ образом выражается через образующие; например,
1 1 1
а 7 == а 1 а з аl и в то же время а 7 :с: аз аl а з а 1 аз.
rpyппa поворотов тетраэдра неком,м,утатuвна.
Например,
a 1 a:-J == a 10 , а з а 1 == а 11 8
у п р а ж н е н и е. Читателю рекомендуется доказать
следующую общую теорему: некоторое множество Е
элементов ___2руппы G тО2да и только тО2да является
системой образующих этой еруппы, коеда не существует
никакой собственной подеруппы еруппы а, которая
содержала бы все элементы множества Е.
Пользуясь этой TeopeMO, найти все системы обра..
зующих rруппы поворотов тетраэдра (состоящие не
более чем из трех элементов каждая). .
Уже иа этоrо примера будет видно, как MHoro
различных систем образующих может иметь конечная
rру"па.
s 5. rруппы ПО80РQТО8 КУБА
И ОКТАЭДРА l}
1. Для Toro чтобы установить все самосовме..
щения куба, поступим так же, как и в случае тетраэдра-:
рассмотрим сначала лишь те самосовмещения Kya
ABCDA'B'C'D' (рис. 6), которые одну из вершин,..........
пусть А'........ совмещают с самой собой.
При каждом самосовмещении куба вершина пере..
ходит в вершину, ребро в ребро, rpaHb в rpaHb;
акже и диаrонали куба переходят в самих сбя. Если
данное самосовмещение оставляет вершину А непод"
вижной, то оно -оставляет неподвижной и диаrональ
АС' (так как существует лишь одна диаrональ куба,
1) Так же как и в. случае тетраЗjра, мы веЭJ1е ПОI октаэдРОМ
разумеем nравидьныи октаэдр.
16

выходящая из вершины А). Итак, наше самосовмещение
есть ПОБОрОТ куба BOKpyr диаrонали АС' . Таких
поворотов, кроме тождественноrо, имеется два: на
2п 4п
уrол 3 и на уrол 3'
Итак, имеется Bcero три самосовмещения куба,
переводящих верIIIИНУ А в саму себя. Но вершину А
надлежаще подобранным поворотом можно перевести
в каждую из восьми вершин куба; отсюда, повторяя
те же рассуждения, что и
в случае тетраэдра, леrко
выводим, что всех само-
совмещений куба имеется
3 . 8 == 24.
Постараемся опреде-
лить каждое из этих са-
мосовмещений. Заметим
прежде Bcero, что у куба
имеются следующие 13 осей
симметрии: четыре дИаrо-
нали, три прямые, соеди
няющие попрно середины
rраней куба, шесть пря-
мых, соединяющих попар
НО середины противополож-
ных ребер куба. BOKpyr
каждой из четырех диаrо-
налей имеется два нетож
дественных поворота куба, совмещающих куб с са-
мим собой, Bcero имеем восемь повротов BOKpyr ди
аrоналей.
BOKpyr каждой из прямых, соединяющих центры
противоположных rраней куба, имеется три нетождест-
венных поворота. Следовательно, Bcero таких пово-
ротов 9.
Наконец, имеем один нетождественный поворот
(на уrол п) BOKpyr прямой, соединяющей середины
двух ПРОТИОПОJ10ЖНЫХ ребер; общее число этих пово-
ротов равно, следовате.пьНО, шести.
Итак, имеем 8 + 9 + 6 == 23 нетождественных пово"
рота, совмещающих куб с самим собой. Если присое
динить к ним еще тождественный поворот, получим 24
самосовмещения, т. е. все самосовмещения куба, какие
только имеются.
в'
с
Рис. 6.
77

Итак,
поворотами куба вОКРУ2 е20 осей симметрии исцер-
пbtваются все ezo саМDCО8мещеfl,ИЯ.
Поэтому, так же как и в случае тетраэдра, rруппа
самосовмещений куба обычно называется zpyппoi
поворотов куба.
Прежде чем идти дальше в изучении строения
rруппы поворотов куба, докажем следующую лемму:
Л е м м а. Единственный поворот куба, переводящий
каждую из ezo четыlехx дuа20налей в самое себя, есть
тождественный поворот 1).
В Cal\iOM деле, заметим сначала, что всякий пово-
рот, переводящий в себя какие-нибудь две диаrонали
куба, положим, АС' и DB',....... переводит в себя идиа..
rональную плоскость ADC' В' (см. рис. 6). Всякий
нетождественный поворот, переводящий в себя неко-
торую плоскость, имеет своей осью либо прямую, лежа-
щую в данной плоскости,  в этом случае уrол пово-
рота равен п, либо ПрЯl\IfУЮ, перпендикулярную
к этой плоскости. Но поворот плоскости на уrол 11;
BOKpyr оси, лежащей в этой плоскости, переводит
в самих себя, кроме оси поворота, лишь прямые, пер-
пендикулярные к этой оси. Так как прямоуrольник
ADC' В' не есть квадрат, то диаrонали ero, не будучи
взаимно перпендикулярными, не MorYT переходить
каждая в себя саму при повороте BOKpyr какой бы
то ни было оси, лежащей в плоскости прямоуrольника.
Итак, АС' и DB' MorYT переходить в самих себя
лишь при поворотах куба BOKpyr оси, перпендикуляр"
ной к. П.п:оскости ADC' В'. Такой осью является прямая
MN, соединяющая середины сторон A'D' и ВС. Един-
ственный нетождественный поворот куба BOKpyr пря-
:мой MN есть поворот на уrол п. Значит, только при
этом повороте каждая из диаrоналей АС' и DB' пере..
ходит в саму себя. Но при этом повороте две друrие
диаrонали BD' и СА' меняются местами, так что
нетождественноrо поворота, переводящеrо в самиХ
себя все четыре диаrонали куба, вовсе нет.
.
1) Не следует упускать из ,виду следующее обстоятельство:
если при Данном повороте куба данная диаrональ, положим АС' 
переходит в самое себя, то это не значит, что вершины, опреде..
..ТIяющие эту иаrональ (в нашем случае вершины А и C') непре..
менно остаются неподвижными: они MorYT поменяться местами
(т. е. А может перейти в С', а С' в А).
\ 
78

Таким обраэом, при каждом неТQждественном nOBO
роте куба четыре ero диаrонали испытывают нетож-
дественную подстановку. Отсюда следует: при двух
различных поворотах а и Ь Диаrонали испытывают
различные подстановки, так как если бы при поворо-
тах а и Ь происходила та же самая подстановка диа
rоналей, то при повороте ab1 все диаrонали остава-
лись бы на месте, и значит, ab1 было бы тождествен-
ным поворотом, а потому повороты а и Ь совпадали
бы между собой.
Итак, всем 24 различным поворотам куба соответст-
вуют различные подстановки четырех диаrоналей, про-
изводимые этими поворотами. Но всех различных под-
становок из четырех элементов имеется, как известно,
1 . 2 · 3 · 4 === 24.
Отсюда следует: между rруппой всех поворотов
куба и rруппой всех подстановок ero четырех диаrо-
налей имеется, взаимно однозначное соответствие. Так
как при установленном нами соответствии произведе
нию поворотов соответствует, очевидно, произведение
подстановок 1), то имеем следующую теорему:
Fpynпa поворотов куба изоморфна еруппе всех под.
становок, из чеmыlехx элементов.
Среди подrрупп поворотов куба отметим прежде
Bcero циклические подrруппы BToporo, TpeTbero и чет..
BepToro порядков, состоящие соответственно из пово-
ротов BOKpyr каждой из 13 осей симметрии куба.
Циклических подrрупп BToporo IIорядка шесть (по
числу осей, соединяющих середины двух противопо"
ложных ребер), циклических подrрупп TpeTbero порядка
четыре (по числу диаrоналей), циклических подrрупп
четвертоrо порядка имеется три (по числу соединяю..
щих центры противоположных rраней).
Значительно больший интерес представляют сле
дующие перечисленные ниже подrруппы.
а) Подrруппа двенадцатоrо порядка, состоящая из
поворотов переводящих в себя (одновременно) каждый
1) Ведь произведение двух поворотов состоит в последователь-
ном осуществлении этих поворотов, произведение подстановок.......
в послеДОВfiтеJ1ЬНОМ осуществлении этих подстановок, тоrда как
ваимно однозначное соответствие между поворотом и подстанов..
кой диаrона.пей заключается в соответствии данноrо поворота
с фактически произвоимой им подстановкой иаrоналеЙt
79

ИЗ двух тетраэдров ACB'D' и BDA'C' (рис. 7), впи-
санных в куб. Эта подrруппа состоит из 2.4 == 8
нетождественных поворотов BOKpyr диаrьналей куба,
u U
из трех поворотов, каждыи на уrол Л, BOKpyr осеи,
соединяющих центры противоположных rраней, и из
тождественноrо поворота.
б) Три подrруппы BOCbMoro поряда, изоморфные
rруппе четырехуrольной ДВОЙНОЙ пирамиды (диэдра).
Каждая из этих ПQдrрупп состоит из тех поворотов
куба, котор'ые переводят
в самое себя одну из пря-
мых, соединяющих цен-
тры двух противополож-
ных rраней, например,
точки 8 и S' (октаэдр,
вписанный в куб, явля-
ется частным случаем
четырехуrольноrо ди-
эдра; rруппа ero пово-
ротов, оставляющих не-
подвижными или меня..
ющих местами две вер-
шины ero 8 и 8', и бу-
дет, очевидно, rруппой
четырехуrольноrо диэд-
ра).
Эта подrруппа вось-
Moro пор яд ка получается
из следующих восьми поворотов: четырех поворотов во..
Kpyr оси SS' (включая тождественный); двух поворо"
тов на уrол 3t BOKpyr осей, соединяющих соответст-
венно середины ребер АА' и СС', ВВ' и DD'; двух
поворотов на уrол 3t BOKpyr осей, соединяющих СООТ-
ветственно центры rраней АВВ' А' и CDD'C', ADD' A
и ВСС' В' .
в) Подrруппа четвертоrо порядка, соСтоящая из
jождественноrо преобразования и трех поворотов на
u u
уrол 3t BOKpyr каждои из осеи, соединяющих центры
двух противоположных rраней. Эта rруппа состоит
нз тех поворотов, которые входят в каждую И3 пере..
численных в п. б) трех подrрупп BOCbMoro порядка.
Эта подrруппа четвертоrо порядка коммутативна и
изоморфна rруппе поворотов ромба (т. е.. клейновской
rруппе порядка 4).
80
8'
А
J)
Рис. 7.

Кроме упомянутых, имеются еще подrруппы чет-
BepToro порядка, также изоморфные rруппе самосов-
rvfещений ромба.
2. Fpynna самосовмещений или поворотов nравиль-
НО20 октаэдра изоморфна еруnnе поворотов куба.
Чтобы убедиться в этом, Достаточно описать куб
BOKpyr правильноrо октаэдра (рис. 8) или вписать куб
в правильный октаэдр (рис. 9). Каждое самосовмещение
Рис. 8.
Рис. 9.
октаэдра соответствует некоторому самосовмещению
куба, и наоборот.
Это положение вещей есть одно из проявлений
отношения двойственности, имеющеrо место между
кубом м октаэдром; ero мы сейчас определим.
Прежде Bcero мы назовем два элемента (вершина,
ребро, rpaHb) какоrо-нибудь мноrоrранника инцидент-
н,ы.ми, если один из этих двух элементов пр ин ад..
лежит друrому (как ero элемент). Таким образом,
вершина и rpaHb, имеющая эту вершину среди своих
вершин, а также rpaHb и ребро этой rрани, нако-
нец вершина и ребро, одним из концов KOToporo ЯВ-
ляется эта вершина  суть пары инцидентных-- эле-
ментов.
Два мноrоrранника называются двойсmвенны.ми,
если элементы одноrо MorYT быть таким образом постав-
лены во взаимно однозначное соответствие с. элемен-
"
тамм друrоrо, что при TOM пары инцидентных элемен-
тов одноrо мноrоrранника соответствуют парам ИНЦИ-
дентных элементов друrоrо, и при этом:
-81

вершины nepBoro мноrоrранника соответствуют rpa-
иям BToporo, ребра первоrо мноrоrранника соот-
ветствуют ребрам BToporo, rрани первоrо мноrоrраи-
ника соответствуют вершинам BToporo.
Нетрудно видеть, что куб и октаэдр в ЭТОi смысле
двойственны друr друrу, а тетраэдр двойствен
самому себе.
 6. rРУППА ПОВОРОТОВ ИКОСАЭДРА
И ДОДЕКАЭДРА '-). ОБЩЕЕ ЗАМЕЧАНИЕ
О rРУППАХ ПОВОРОТОВ ПРАВИЛЬНЫХ
мноrоrРАННИКОВ
1. Среди всех пяти правильных MHora-
rравников нам осталось рассмотреть два: икосаэдр и
додекаэдр (рис. 10, 11). Эти мноrоrранники двойственны
между собой и rруппы их самосовмещений изоморфны.
Рис. 10.
Рис. 11.
Для Toro чтобы убедиться в этом, достаточно впи"
сать икосаэдр в додекаэдр (рис. 12) или додекаэдр
в икосаэдр (рис. 13). Поэтому Hal\1 достаточно 0зна. 
комиться с rруппой самосовмещений икосаэдра. Чтобы
определить число ее элементов, мы поступим так же,
как и в случае тетраэдра и куба. И!\1енно, мы сначала
рассмотрим те самосовмещения икосаэдра, которые
оставляют неподвижной одну каКУIонибудь из ero
вершин. Таких самосовмещений имеется пять, а именно:
пять поворотов BOKpyr оси, соединяющей данную
1) Имеем опять в виду правильный икосаэдр и правильный
додекаэдр.
82

вершину С противоположной ей. Так как всех вершин
12, то число самосовмещений икосаэдра есть 5.12 == 60.
Все эти самосовмещения оказываются поворотами
икосаэдра BOKpyr ero осей симметрии. В самом деле,
имеются слеДУЮlцие оси симметрии икосаэдра:
Рис. 12.
Рис. 13.
Шесть осей, соединяющих противоположные вер-
шины: BOKpyr каждой из них имеем четыре нетож-
( 2п 4п 6п 8n )
дественных поворота на уrлы 5' "5' 5' 5' сов..
мещающих икосаэдр с самим собой; Bcero, значит,
получаем 4. 6 == 24 поворота;
10 осей, соединяющих центры противоположных
rраней; BOKpyr каждой из этих осей имеем два нетож-
дественных поворота (на уrол 2; и  ). а Bcero 20
поворотов;
15 осей, соединяющих середины противоположных
ребер и дающих каждая по одному нетождественному
повороту (на 180°);
итак, имеем 24 + 20 + 15 нетождественных поворота
и один тождественный поворот  Bcero 60 поворотов.
Как всеrда, из этоrо рассуждения следует, что
икосаэдр имеет 31 ось симметрии.
Ввиду достаточной сложности rруппы поворотов
икосаэдра мы не будем здесь далее останавливаться
На ее изучении. Заметим только, что эта rруппа изо-
морфна знакопеременной rруппе подстановок из пяти
элементов.
2. Мы определяли rруппы поворотов мноrоуrоль-
ников и мноrоrранников как rруппы саМОСОБмещений.
83

Рассмотрим как бы два экземпляра пространства,
вложенных один в друrой. Одно пространство пред-
ставляем себе в виде бесконечно распространяющеrоС'я
во все стороны твердоrо тела и назовем ero твердым
nросmранством. Друrое пространство представляем себе
в виде nусmО20 пространства.
Твердое пространство помещаем в пустое, в котором
оно может перемещаться. Наш r.лноrоrранник представ-
ляем как часть Твердоrо пространства, неподвижную
в нем и способную перемещаться лишь вмесТе с ним.
При такой точке зрения можно рассматривать пово-
роты Bcero «твердО20» пространства в «пуст о,м, » про-
странстве (BoKpyr тех или иных осей), которые совме-
щают данный мноrоrранник с самим собой, т. е.
произв.одят самосовмещения ero. Так как каждое само-
совмещение рассмотренных нами мноrоrранников
оказывалось поворотом BOKpyr той или иной оси и
каЖДЫЙ поворот мноrоrранника BOKpyr оси можно
представлять себе как порожденный поворотом Bcero
пространства BOKpyr той же оси, то rруппа самосов-
мещений данноrо мноrоrранника изоморфна rруппе
поворотов пространства, совмещающих этот MHororpaH-
ник с самим собой. Эту последнюю rруппу обычно и
имеют в виду, коrда rоворят о rруппе поворотов дан-
Horo правильноrо мноrоrранника. Часто ее даже назы-
вают просто «rруппой правильноrо мноrоrранника».
rруппы правильных пирамид (т. е. конечные цик-
лические rруппы), rруппы диэдров и только что рас-
смотренные rруппы правильных мноrоrранников суть
единственные конечные подrруппы rруппы всех пере.меще-
нии пространства.

r ЛАВА VI
ИНВАРИАНТНЫЕ подrруппы
* 1. СОПРЯЖЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
И подrруппы
1. Трансформация oдaoro элемента rруппы
при помощи друrоrо. Рассмотрим в rруппе а два каких..
нибудь элемента а и Ь. Элемент
blab
называется трансформацией элемента а при nо.мОlци
элемента Ь.
Посмотрим, при каких условиях имеет место равен..
ство
blab == а.
(1)
Если равенство (1) выполнено, то умножая ero части
слева на Ь, получим
аЬ == Ьа.
(1 ')
Итак, если выполнено (1), то выполнено и (1'), т. е.
влементы а и Ь переместительны. Обратно, если выпол...
пено (1 '), то умножая обе ero части на bl слева,
получим
blab == blba == а,
Т. е. Иl\lеет место и равенство (1). Итак, мы видим, что
для тО20} чтобы при aaHI-lblХ а и Ь имело ,М,есто
равенство (1), т. е. чтобы трансформация элемента
а nосредство'м элемента Ь равнялось самому эле"uенту
a необходимо и достаточно чтобы элементы а u Ь
были nереместительны (удовлетворяли равенству (1 '».
в частности, в коммутативных rруппах равенство (1)
имеет место ДЛЯ любых элементов а и Ь.
85

В качестве иллюстрации понятия трансформации
рассмотрим rруппу G всех подстановок из n элементов;
пусть
( 1 2 3 '" n )
а== ,
аl а2 аз ... а п
Тоrда очевидно,
ь  ( 1 2 3 ,.. n )
 Ь 1 Ь 2 Ь З ... Ь п ·
bl == ( Ь 1 1 Ь2 Ь з · .. ь п ) ,
2 3 ... n
b l ( ы1 Ь2 Ь з ... Ь п )
а== ,
аl а2 аз ... а п
blab == ( Ь 1 Ь2 Ь з ... Ь п ) .
Ь а1 Ь а2 Ь аз ... Ь ап
Формула (2) может быть записана в виде следующеrо
правила:
пусть
(2)
a ( l 2 ...n ) и b ( l 2...n ) ,
 аl а2 ... а п  Ь 1 Ь 2 ... Ь п '
чmoбы получить mрансформацию подсmановки а при
помощи nодсmановки b нужно в обеих строчках
обычной записи nодстановки а сделать nодстановку Ь.
Поясним это правило еще чаСТНЫl\IИ примерами,
Пусть, например, n == 3 и
( 1 2 3 ) ( 1 2 3 )
а == 2 1 3' Ь == ,3 2 1 ·
Получаем
blab == (;_ ; ) == ( ; ) =l=a.
rораздо проще понять ТОJlЬКО что выведенное пра-
вило, пользуясь термином отображение или функция.
Под станов к а а означает функцию у == f (х), х ==
==1,2, ..., n, у==l, 2, 3, ..., /1" rде двум различным
значениям х всеrда соответствуют два различных зна-
чения у, так что f есть взаимно однозначное отобра-
жение множества {1, 2, ... , n} на себя.
Подстановка Ь есть ФУНI{ЦИЯ У """"""": ер (х) той же природы,
что и f (x); Подстановка blab есть функция у == F (х),
определенная формулой
F (х) == ер {! [epl (х)]}. (3)
Она получается, если элементу ер (х) поставить в
соответствие элемент <р U (х)]; это непосредственно видно,
86

если в формуле (3) поставить fP (х) вместо х и заметить.'
что
epl [ер (х)] == х.
Так как х пробеrает все числа 1, 2, 3, ... , п, то и ер (х)
пробеrает все те же числа, только в друrом порядке,
и формулой
F [ер (х)] == ер [f (х)] (4)
функция F (х), т. е. подстановка blab, вполне опреде-
лена. Формула (4) представляет собой только друrую
запись формулы (2). Наконец, если обозначить f (х)
через у, полученный ре-
зультат можно' сформули-
ровать еще и так:
nодсmановка F заключа-
ется в том) что элемент
(j)(X) заменяется элементом
q.> (у).
Так как всякая конеч-
ная rруппа изоморфна не-
которой rруппе подста- (1
нонок, то формула (2) вы-
ясняет содержание понятия
«трансформация», по край-
ней мере для всех конеч-
ных rрупп.
2. Пример rруппы те-
траэдра. Рассмотрим в ви-
де дальнейшеrо примера rруппу поворотов тетраэдра
ABCD (рис. 14).
Пусть а есть поворот тетраэдра BOKpyr оси MN
(соединяющей середины ребер ве и AD) на уrол 11:,
пусть Ь есть поворот BOKpyr оси DO, переводящиЙ А
в С, В в А, С в В; тоrда blab есть ПОБОрОТ На
уrол 11: BOKpyr оси PQ, соединяющей середины ребер АВ
и CD. В этом можно убедиться как непосредственно,
так и замечая, что ПОБОрОТ а ПрОИЗБОДИТ подстановку
вершин (   ), тоrда как Ь производит подстановку
( А В С D )
CABD'
Производя в каждой
nодстановк у ( А в С D )
CA8D'
.lJ
в
Рис. 14,
( А В С D )
строке выражения D С В А
( С А В D )
получим D В А С' т. е.
87

( А В С D )
В А D С ' соответствующую повороту BOKpyr оси PQ
на уrол n.
Таким же точно образом убедимся, что
alba
есть поворот, переводящий В в С, С в D, [) в В во-
Kpyr оси, соединяющей вершину А с иентром rрани BCD.
Этому повороту соответствует подстановка (  g ).
3. Сопряженные элементы. Пусть а  какая-нибудь
rруппа.
Л е м м а 1. Если элемент Ь есть трансформация
элемента а при помощи элемента c то элемент а есть
трансформация элемента Ь при помощи элемента cl.
В самом деле, из соотношения
Ь === clac,
умножая обе части слева на с, а справа на cl, полу-
чаем
cbcl == а,
т. е.
а === (cl)lbcl,
что И требовалось доказать..
О п р е Д е л е н и е. Два элемента rp уппы называются
сопряженными эле.ментамu, если один из них
есть трансформация. друrоrо.
Л е м м а 2. Если а сопряжен с b Ь сопряжен с d,
то а сопряжен с d.
В самом деле, так как а сопряжен с Ь, то сущест-
вует такой элемент с, что
Ь === clac. (5)
Так как Ь сопряжен с d, то существует такой элемент е,
что
Ь == elde, (5')
так что clac == elde. Умножая обе части последнеrо
равенства слева на с, а справа на 1, получим
а === (cel) d (ecl) == (ecl)l d (ecl),
1. е. а есть трансфорrvlация элемента d при помощи
элемента ec.l, что и требовалось доказать.
Л е м м а 3. l(асдblЙ элемент сопряжен самому себе.
88

В самом деле, совершенно очвидно, что
а == 1  lа. 1.
Содержание лемм 1  3 заключается в том, что
сопряженность двух элементов rруппы обладает свой-
ствами симметрии, транзитивности и рефлексивности.
Отсюда на основании теоремы 3 rл. 1,9 1, п. 4 следует
т е о р е м а 1. Всякая еруппа G распадается на
классы попарно сопряженных м'ежду собой элеМ,ентов,
При этОJ11. "ласс какоео-нибудь элем'ента а pyппы
G состоит из всех сопряженных с а элементов еруnпы
а, т. е. траНСфОРм'аций элемента а при nОм'ои{и все-
возможных элементов ерупnы а.
Заметим, что класс нейmральноео элемента всякой
еруnnы G состоит из одноео эmО20 элемента (так как
при любом а имеем al. 1 · а === 1).
3 з д а ч а. Требуется доказать, что rруппа поворотов
тетраэдр распадается на следующие классы сопряжен-
ных элементов:
1) класс, состоящий из одноrо нейтральноrо эле-
мента;
2) класс, состоящий из поворотов на уrол  11: вок-
u u
pyr каждои из четырех осеи, соединяющих вершину
тетраэдра с центром противоположной rрани;
3) класс, состоящий из четырех поворотов на уrол
4  
3 л BOKpyr тех же осей (всюду по (или против) часо-
вой стрелки, если смотреть из неподвижной вершины);
4) класс, состоящий из поворотов на уrол л BOKpyr
каждой из трех осей, соединяющих середины двух
противоположных ребер тетраэдра.
Читателю рекомендуется также исследовать классы
сопряженных элементов в друrих rруппах поворотов.
4. Трансформация подrруппы. Класс сопряженных
элементов, к' которому принадлежит данный элемент
а rруппы о, состоит из трансформаций элемента а при
помощи всевозможных элементов Ь rруппы а. Теперь
возьмем какуюнибудь подrруппу Н rруппы G и будем
рассматривать трансформации всевозможных элементов
х этой подrруппы при помощи одноrо и Toro же произволь-
но выбранноrо элемента Ь rруппы о. Полученное мно-
"\
жество элементов, т. е. совокупность всех элеМ,ентов виаа
blXb,
89

еде Ь...... выбранный нами определенный элемент еруппы
О, а х пробееает множество всех элементов пoazpynпbt
Н, называетдя mрансrjJоряацuей подzруппь/' Н при
помощи элемента Ь и обозначается через
blHb.
Докажем, что blHb есть еруппа.
В самом деле: 1. Пусть Иl\fеем два элемента С 1 и
С 2 , принадлежащие к blHb. Докажем, что С 1 С 2 при-
надлежит к bIHb. Имеем:
С 1 == blX1b, }
С 2 == blX2b,
(6)
rде Х 1 И Х 2 суть элементы rpYnnbI Н.
Из уравнений (6) следует непосредственно:
СIС2 == blXIX2b;
(7)
итак, С 1 С 2 есть трансформация элемента Х 1 Х 2 при помо-
щИ Ь, а потому С 1 С 2 принадлежит I{ blHb.
2. Докажем, что нейтральный элемент 1 rруппы а
принадле)I{ИТ к blHb. Так как 1 принадлежит к Н,
и так как
bl · 1 · Ь == 1,
то 1 принадлежит и к blHb.
3. Наконец, если а принадлежит к blHb, то и al
принадлежит blHb. В самом деле, если а принадле-
жит к blHb, то а == blxb, rде х есть некоторый эле-
мент Н. Но тоrда элемент al==(blxb)I==blxlb, т. е.
al есть трансформация элемента х--- 1 rруппы Н при
помощи Ь, следовательно, al есть элемент множества
blHb .
Итак, blflb есть zpyппa.
Каждому элементу х rpYnnbI Н соответствует вполне
определенный элемент rруппы blHb, именно элемент
blxb rруппы blHb. При ЭТОl'v1 двум различным элемен-
там Х 1 и Х 2 соответствуют различные элементы blXlb
и blX2b7 так как если Хl и Ха различны, то различны
90

и элементы Х 1 Ь и Х 2 Ь 1); а если различны элементы
Х 1 Ь и Х 2 Ь, то различны и элементы bIXlb и bIX2b 2).
Итак, поставив в соответствие элементу х rруппы Н
элемент blxb rруппы blHb, мы получаем взаимно
однозначное соответствие между Н и blHb. В силу
равенств (6) и (7) произведению двух элементов Х 1 и
Х 2 соответствует при этом произведение элеrvlентов
blXlb и blX2b, т. е. наше соответствие есть изоморф..
ное соответствие между rруппами Н и blHb. Таким
образом, нами доказана слеДУЮIЦая
Т е о р е м а 2. Тран'сформация noazpyпnbl Н zpynnbl
G при nО'л'tощи элемен'та Ь zpYnnbl G есть noazpynпa
2рупnы а, ИЗОМОРфн'ая zpyпne Н.
3 а м е ч а н и е. Непосредственно вытекают из опре-
делений следующие предложения:
1) Если G  коммутативная rруппа" а Н  ее под..
rруппа, то трансформация подrруппы Н при помощи
любоrо элемента Ь rруппы G есть сама rруппа Н (ведь
в этом случае трансформация любоrо элемента х при
посредстве Ь есть сам этот элемент х: blxb == х).
2) Если G  любая rруппа, Н  ее подrруппа, b.....
элемент Н, то
blHb == Н,
так как для всякоrо элемента х rруппы Н ПрИ Ь, при-
надле}кащем Н, принадле)кит Н и элемент blxb.
3) Если подrруппа Н 2 есть трансформация под..
rруппы Н 1 при посредстве элеl\1ента Ь, то Н 1 есть
трансформация подrруппы Н 2 при посредстве элемента
bl.
Доказательство непосредственно следует из леl'.1"
мы 1, п. 3.
Определение. Две подrруппы rруппы а, из
которых одНа является трансформацией друrой, Назы-
ваются сопряженными подzрупnаяu.
Так как ll.H.l==H, то каждая rруппа сопря.
жена с самой собой.
;1.) в самом деле, если
Хl Ь === Х 2 Ь == с,
То
2) Так, если
Х 1 == Cbl И Х 2 == cb1J.
blXlb == blX2b:::::: С,
ТО
ХlЬ _ Ьс и Х2Ь === Ьс.
91

Из леммы 2 п. 4 следует, что две подrруппы, со..
пряженные третьей, сопряжены между собой, так что
множество всех подrрупп rруппы G распадается на
классы сопряженных между собой подrрупп.
Мы уже знаем (теорема 2 этоrо пункта), что все
сопряженные между собой подеруппы изоморфны между
собой.
5. Примеры. В rруппе поворотов правильноrо тет..
раэдра имеются, как мы видели, следующие подrруппы:
1. Две несобственные подrруппы: первая, состоящая
из одноrо нейтральноrо элемента, и вторая, состоящая
из всех двенадцати поворотов тетраэдра. Каждая
из этих подrрупп, очевидно, сопряжена с самой
собой. 
2. Три подrруппы BToporo порядка: но!, Н02' Н оз ,
каждая из которых состоит из поворотов на уrлы О
и n BOKpyr некоторой реберной медианы. Все эти
еруппы образуют один класс сопряженных nодерупn.
3. rруппа н четвертоrо порядка (клейновская),
являющаяся объединением (в смысле теории l\{ножеств)
трех rрупп Н 01' Н 02' Н оз (т. е. состоящая из тождест"
BeHHoro поворота и из поворотов на уrол 1t BOKpyr
каждой из трех реберных медиан). Из определения
rруппы Н как объединения rрупп Н01' Н02' Н оз И из I
Toro, что rруппы НО], Н02' Нов образуют один класс
сопряженных подrрупп, следует, что 2руnnа Н сопря..
жена лишь с самой собой.
4. Четыре подrруппы TpeTbero порядка: НО, Н 1 , Н2'
нз; каждая из них состоит из поворотов на уrлы О,
2л 4л u u В
""3' """3 BOKpyr некоторои 'rраневои медианы. се эти
ерупnы также образуют один класс сопряженных под..
2рупп.
Итак, все 10 подrрупп rруппы поворотов правиль..
Horo тетраэдра следующим образом распадаются на
классы сопряженных подrрупп:
три класса, состоящие каждый из одноrо элемента:
классы, содержащие лишь по одной несобственной
подrруппе, и
класс, состоящий из одной подrруппы Н четвертоrо
порядка;
класс, состоящий из трех подrрупп BToporo порядка;
u
класс, состоящии из четырех подrрупп TpeTbero
порядка.
92

 2. ИНВАРИАНТНЫЕ подrруппы
(НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ)
1. Опреде",ение. Если подrруппа Н дан-
ной rруппы G не им:еет никакой отличной от себя
сопряженной подrруппы (Т. е. если класс всех подrрупп,
сопряженных в rруппе G подrруппе Н, состоит лишь
ИЗ одной rруппы Н), то подrруппа Н называется иHвa
рианmной 1) nодеруnnой (или нор.мальным, делителем)
,еруnnы О.
Очевидно, определение инвариантной подrруппы
можно сформулировать и так:
nодеруnnа Н еруnnы G называется инвариантной,
если mраНСфОрAtацuя любоzо элемента еруnnы Н при
помощи любоео элемента еруnnы а есть элемент еруn-
пы Н.
Понятие инвариантной подrруппы  одно из важ-
нейших понятиЙ всей алrебры: если и невозможно
в, этом кратком изложении довести читателя до полноrо
,понимания всей важности этоrо понятия, раскрываю-
щеrося в алrебре, особенно в так называемой теории
rалуа, то можно Be же надеяться, что из рассужде..
U U u u
нии. этои И следующеи rлав. читатель поимет, насколько
велико значение инвариантных подrрупп в лоrическом
построении самой теории rрупп.
2. Примеры. Тривиальными примерами инвариант..
ных подrрупп являются обе несобственные подrруппы
lIюбой rруппы. Кроме Toro, любая подrруппа комму..
тативной rруппы является, очевидно, инвариантной.
Укажем некоторые менее тривиальные примеры.
1. rруппа скольжений прямой самой по себе есть
инвариантная подrруппа rруппы всех саМОСОВJ\11ещений
прямой (rл. V, Э 2).
2. Циклическая rруппа А порядка 11, состоящая
из всех самосовмещений первоrо рода nуrольноrо
1) Инвариантная B переводе с латинскоrо «неизменяемая»
(по отношению к операции трансформирования подrруппы).
В настоящее время в математической литературе вместо тер-
мина инвариантная все большее распространение получает термин
нормальная подrруппа. По нашему мнению, этот термин сnвер-
шенно не отражает OCHoBHoro свойства рассматриваемых подrрупп:
инвариантности по отношению к операции трансформирования
подrрупп.
QЗ

ДИ9дра, есть инвариантная подrруппа rруппы всех
поворотов п-уrольноrо диэдра 1).
3. Знакопеременная r.руппа А п подстановок из n
элементов есть инвариантная подrруппа rруппы S"
всех подстановок из п элементов. В самом деле, если
Ь есть произвольная четная подстаповка, а а есть
любой элемент rруппы S" (т. е. любая подстановка 
четНаЯ или нечетная), то подстановка a1ba имеет
в качестве знака произведение трех чисел, равных
+ 1 или  1:
(зн al) · (зft Ь) · (3Н а).
Так как (3Н al) == зн а, то (зн al) · (3Н а) в каждом слу-
чае (т. е. для любоrо а) равняется + 1; следовательно,
(зн a1 Ьа) == (зн al) · (зн Ь) · (3Н а) == (зft Ь) == + 1,
а это значит, что alba есть четная подстановка, т. е.
элемент rруппы А п .
Итак, трансформация любоrо элемента Ь rруппы
А п есть элемент rруппы А п (вообще rоворя, отличный
от а), т. е. А п есть инвариантная подrруппа rруппы Sn-
Возвращаемся к -примерам инвариантных и неинва-
риантных подrрупп.
Мы уже видели, что в rруппе всех поворотов тет-
раэдра имеется одна собственная инвариантная под-
rруппа четвертоrо порядка. Так как rруппа всех
поворотов тетраэдра изоморфна знакопеременной rруп-
пе А4 подстановок из четырех элементов (т. е. rруппе
всех четных подстановок из четырех элементов), то
полученный результат можно сформулировать и так:
знакопеременная еруппа \подстановок из четырех эле-
ментов имеет инвариантную подеруппу чет вер тО20
порядка.
Это обстоятельство заслуживает внимания: оказы-
вается, при n > 4 знакопеременная rруппа А п подста-
новок из п элеl\lентов не содержит никакой инвари-
1) Так как, если а ..есть самосовмещение первоrо, а Ь  само-
совмещение BToporo рода, то имеем (как было указано в rл. V,  3)
аЬ == bal,
OTKYJ1a
blab == al;
так как это справе61JIИВО 21ЛЯ любоrо элемента подrруппы А J то
blAb == А.
94

антной подrруппы (кроме двух несобственных подrрупп).
Этот факт, доказательство KOToporo читатель может
найти, например, в книrе «Теория rрупп» А. r. Куроша,
имеет большое значение в алrебре: он тесно связан
с тем, что общее уравнение степени п > 4 неразрешимо
в радикалах.
rруппа поворотов куба, как мы знаем:, изоморфна
rруппе 84' Значит, в ней завеДОlVI0 имеется инвариант-
ная подrруппа, изоморфная rруппе А 4 ; эта rруппа нам
уже знакома из rл. V, 9 5: она состоит из поворотов,
переводящих в себя каждый из двух тетраэдров,
вписанных в куб.
Мы уже упоминали также о трех подrруппах вось-
Moro порядка, содержащихся в rруппе самосовмещений
куба. Эти три rруппы образуют класс сопряженных
между собой rрупп; следовательно, ни одна из них
не инвариантна. Зато инвариантной подrруппой явля-
ется пересечение этих трех rруПП, которое, как мы
знаем, предста:еляет собой rруппу, состоящую из неЙ..
тральноrо элемента и из трех поворотов куба на 180 Q
BOKpyr каждой из трех прямых, соеДИНЯIQЩИХ центры
двух противоположных ero rраней 1).
Никаких инвариантных собственных подrрупп, кроме
указанных rрупп двенадцатоrо и четвертоrо порядка,
в rруппе самосовмещений куба не имеется.
Упомянем еще следующие классы сопряженных
rрупп:
1. Класс, состоящий из трех циклических rрупп
порядка 4 (каждая из этих rрупп состоит из повора..
тов BOKpyr одной из осей, соединяющих центры двух
противоположных rраней куба).
2. Класс, состоящий из четырех циклических rрупп
порядка 3 (каждая из этих rрупп состоит из поворо-
тов BOKpyr одной из диаrоналей).
3. Класс, состоящий из шести циклических rрупп
порядка 2 (каждая из этих rрупп состоит из повора..
'Тов BOKpyr одной из осей, соединяющих середины
двух противоположных ребер).
1) Читателю рекомендуется доказать следующую осщую тео.
рему: пересечение всех rрупп, входящих в некоторый класс СОПР}1'!
женных между собой подrрупп , есть инвариантная ПОllrруппа.

rЛАВА VII
rОМОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
f 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ rомоморФноrо
ОТОБРАЖЕНИЯ и ErO ЯДРА
Пусть каждому элементу а rруппы А
поставлен в соответствие элемент
b==f(a)
rруппы В. Совокупность всех полученных таким образом
элементов' Ь == f (а) rруппы В обозначим через f (А). Мы
rоворим, 'что имеем отображение f rруппы А в rруппу B
а имеННQ: на множество f (А) с В.
Введем теперь следующее фундаментальное опреде-
ление.
Отображение f rруппы А в rруппу В называется
20.мо,М,орФны,М" если для любых двух элементов а 1 и а 2
rруппы А выполнено условие \
f (a 1 · а 2 ) == f (a 1 ) · f (а 2 ),
(1)
причем знак · в левой части равенства (1) надо, есте-
ственно, понимать как знак умножения в еруппе А,
а в правой части равенства (1) как знак умножения
в аруппе В.
Т е о р е м а. Если f есть 20моморфное отображение
epyпnbl А в еруппу В, то множество f (А) с В есть
подеруппа 2рупnы В.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что:
1) если Ь 1 и Ь 2 суть. элементы множества f (А), то
Ь 1 · Ь 2 есть также элемент множества f (А);
2) lJейтральный элемент rруппы В есть элемент
множества f (А);
3) если Ь есть элемент множества f (А), то Ь... 1 есть
также элемент множества f (А).
Докажем последовательно утверждения 1), 2), 3).
96

1) Пусть Ь} и Ь 2 суть два элемента множества f (А).
Это значит, что существуют такие элементы а} и а 2
rруппы А, что
f (а 1 ) ==>bb' f (а 2 ) == Ь 2 .
Но В силу rомоморфности отображения f имеем:
f (а 1 . а 2 ) == Ь 1 . Ь 2 .
Следовательно, Ь}. Ь 2 как образ при отображении f
элемента а}. а 2 rруппы А есть элеl\ент множества f (А).
Первый пункт, таким образом, доказан.
2) Пусть 1  нейтральный, а а  какойнибудь лемент
rруппы А. Имеем (в rруппе А)
а . 1 == а,
откуда (в rруппе В) получаеrvl
f{a.l)==f{a},
и в силу rомоморфности отображения f левую часть
последнеrо равенства мо)кно переписать в виде
f (а). f (1) ==1 (а);
отсюда видно, что f (1) есть нейтральный элемент rруп-
пы В. Этим доказан второй пункт.
3) Пусть Ь  произвольный элемент множества
f (А) с= В. Существует такой элемент а rруппы А, что
f{a)==b.
Обозначим через Ь' элемент f (al) множества t (А).
Докажем, что
Ь' == b}.
в самом деле,
а . a 1 == 1.
Следовательно,
f (а) · f (a 1) == 1
(1 справа означает нейтральный элемент rруппы В), т. е.
Ь . Ь' == 1,
и следовательно,
Ь' == bl,
что И требовалось доказать.
Итак, всякое еО'м'оморфное отображение еруnnы А
в 2руппу В есть ео.мОм'орфное оmображение еруnпы А
на некоmорую nодеруnnу ёруnпы В.
4 П. с. Апександров
97

3 а м е ч а н и е 1. В только что проделанных рас.-
суждениях содержится доказательство следующих важ..
ных утверждений, справедливых для всякоrо rомоморф-
Horo отображения rруппы А в rруппу В:
{(1)==1
(2)
(rде слева 1 есть нейтральный элемент rруппы А,
а справа  нейтральный элемент rруппы В),
f (al) == f (a)l.
(3)
3 а м е ч а н и е 2. На основании примечания в rл. 111
Э 1 мы можем сказать:
Взаимно однозначное сомоморфное отображение
2рупnы А на еруппу В есть изоморфное отображение.
Оп р е Д е л е н и е. Пусть f eGTb rОl'vl0морфное отобра..
жение rруппы А в rруппу В. МножеС1ВО всех элемен..
тов х rруппы А, отображающихся в силу f на ней-
тральный элемент rруппы В, называется ядро.м rOMo"
морфноrо отображения t и обозначается через r 1 (1).
т е о р е м а. fl дро 20МОМОрфНОёО отображения f сруп..
nы А в 2руппу В есть инвариантная подсруппа
2руппы А.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения rомоморфноrо
010бр ажени-я непосредственно следует, что, если
f (а 1 ) == 1, f (а 2 ) == 1, то f (а 1 . а 2 ) == 1,
т. е. если а 1 и а 2 суть элементы '1 (1), то и а 1 . а 2
есть элемент fl (1 ).
Далее, мы видели при доказательстве предыдущей
теоремы, что t (1) есть нейтральный элемент rруппы В,
т. е. 1 есть элемент fl (1).
Наконец, если '(а)== 1, то f(al)==f(a)l== 1, т. е.
если а есть элемент '1 (1), то al есть также элеме.т
'1 (1). ОТСlода уже следует, что tl (1) есть подrруппа
rруппы А.
Чтобы доказать, что '1 (1) есть инвариантная под-
rруппа rруппы А, надо убедиться в том, что трансфор-
fvf3ЦИЯ alxa произвольноrо элемента х rруппы fl (1)
при ПОl\fОЩИ любоrо элемента а rруппы А есть элемент
rруппы '1 (1). Друrими словами, надо убедиться в том,
что
J (а lxa) == 1,
98

если только f (х) === 1. Но это почти очевидltо, так как
при f (х) ::: 1 имеем
t (alxa) == f (a)l. f (х) · t (а) == f (a)l. 1 · f (а) :;:=
=== f (а )1 · f (а) == 1.
11TaK, наша теорема полностью доказана.
В дальнейшем мы увидим, что и обратно, всякая
инвариантная подrруппа rруппы А есть ядро HeKOToporo
rомоморфноrо отображения rруппы А.
 2. ПРИМЕРЫ rомомоРФных ОТОБРАЖЕНИЙ
1. Рассмотрим rруппу О всех целых чисел
. . ., n, (n  1), ...,  2,  1, О, 1, 2,...
..., (n1), n, ...
и rруппу BToporo порядка 02. Эта rруппа является
абелевой. Пусть ее элеt\1енты будут Ь о , b 1 , а таблица
сложения такая:
Ь О + Ь О == Ь о , Ь о + Ь 1 == Ь 1 + Ь О == Ь 1 , Ь 1 + Ь 1 == Ь О '
Очевидно, что Ь О есть нейтральныЙ элемент rруппы 02'
Установим следующее отображение f rруппы о на
rруппу 02. Каждому четному числу ставим в соответ..
ствие элемент Ь О rруппы 02' каждому нечетному числу
ставим в соответствие элемент Ь 1 rруппы 02.
Это отображение еомоморфно. В самом деле, пусть а
и а'  два целых числа. Если а и а' оба четные числа,
'То а + а' тоже четное, и мы имеем
f (а + а') === f (а) == f (а') == Ь о == f (а) + t (а').
Если одно из двух чисел а и а' (пусть а) четное;
а друrое нечетное, то а + а' нечетное, так что
f(a)==b o , f(a')==b 1 ,
f (а + а') == Ь 1 == Ь О + Ь 1 == f (а) + f (а').
Если, наконец, и а и а' нечетные числа, то а+а'
четное, и мы имеем:
f (а) == f (а') == Ь 1 ,
f (а + а') == Ь О == Ь 1 + Ь 1 == f (а) + f (а').
Ядром нашеrо rомоморфизма, очевидно, является
rруппа всех четных чисел.
4*
99

Обобщим этот пример. Пусть дано nроизвольное
натуральное число т;:::: 2. Рассмотрим цикличеСКУIО
rруппу От порядка m с элементами Ь о , Ь 1 , Ь 2 , ..., bтl
и таблицей сложения:
 ь о I Ь] I Ь 2 I . . . bт21 bтl
Ь() b u I Ь} I Ь 2 I . . . I bт2 I bтl
Ь 1 1)1 I Ь 2 I Ь з I . .. I ь т 1 I Ь о
Ь 2 Ь" I Ь з I Ь 4 I . . . I ь о I Ь}
. . I . I . I . I . I
. . . . . . .
. . . . . . .
bт2 bт21 bni11 Ь О I . . . f bт41 bт8
bт1 Ь т 11 Ь о I Ь} I . . . I bт81IJт2
(нейтральный элемент обозначен через ь о )'
Установим rомоморфное отображение f rpYnnbJ G
всех целых чисел на rруппу От.
Для этоrо напомним прежде Bcero следующую ариф-
метическую теорему:
КаЭlсдое целое число а при делении На натуральное
СIUCЛО т дает в качестве остатка одно из чисел О, 1, . ..
. . ., т....... 1. При атом остаток '1.исла а определяется KaJ(;
единственное неотрuцательное целое число " удовлетво-
ряюuее соотношениям'
а == mq +', о  r  т....... 1, (4)
при целом q (называемом неполным частным при деле-
нии а на т).
Теорема эта всем, конечно, известна для сл} i1ая
положительноrо а. Для а == О имеем, очевидно,
О==т.О+О,
т. е. при делении нуля на любое натуральное число
и в частном и в остатке получается нуль.
Случай отрицательноrо а требует, может быть, неко-
торых разъяснений. Если а отрицательно, то.........а поло-
жительно. Разделим натуральное число a на нату-
ральное число т, обозначим частное через q' и OCTa'IOK
через ,'. Можеrvl предположить, чтоr' > О (так как если
100

fT1 " == О, то -----а, а следовательно, и а делилось бы
На m без остатка). Итак,
a == mq' + " , О <,'  т ...... 1
или
I ,
а == mq ......., ==
== т....... тq' + т....... " == т (-----1  q') + (т...... ,').
1з 0<,'  т...... 1 следует, очевидно,
О  т ....... "  т ....... 1.
Поэтому, полаrая q == 1 ....... q', ,== т.......," имеем для
целых чисел а, q соотношения
а == тq + r , О  ,  m ....... 1. (5 )
Леrко убедиться в том, что представление uелых чи..
сел а в виде уравнений (5) при данном целом m и uелых q
и " о  ,  т  1 единственно, т. е. что целые числа q
и r условиями (5) вполне определены.
В самом деле, пусть
a==mQl+'t, O'1т----l. (5')
Тоrда вычтем почленно равенство (5') из равенства (5).
Получим
0== m (q  ql) + (,....... '1)
или
, ----,1 == m (qJ ---- q).
Отсюда следует, что целое число ,.......,1 делится без
остатка на т. Но ,........,1 есть разность двух неотрица-
тельных чисел, не превосходящих т ....... 1; следовательно,
абсолютная величина этой разности также не превос"
ходит m  1; в 3ТИХ условиях число ,  r 1 может
делиться без остатка на m только в том случае, если
оно есть нуль.
Итак,
,----,1==0' Т. е. ,==r}
и, заменяя '1 на , в формуле (5'), получаем
a==mql+ r . (6)
Из равенств (6) и (5) получаем
a' a'
ql ==
т '
q==
т
Т.  е. 'Чl =:; q, ЧТО И 'fребовалось доказать.
JUl

Целому числу r в силу неравенства
Orтl
соответствует элемент b r rруппы О т . Итак, при зафик-
сированном натуральном числе т  2 каждому целому
числу а соответствует вполне определенный элемент
циклической rруппы От порядка т, а именно: элемент b r ,
rде r есть остаток при делении а на т. Этот элеменm ы'
называется вычетом числа а по модулю т.
Только что указанным соответствием и устанавли-
Вается отображение f rруппы G на rруппу От' Докажем,
что отображение f rомоморфно.
Пусть а и а' два целых числа и пусть
т or да
а == mq + "
а' == mq' + " ,
О.:;;  ':;;m 1, }
О ' т 1.
(7)
а + а' == m (q + q') + , + " .
Однако r + ,', удовлетворяя, конечно,
О  r + ,', может не у довлетвор ять
r + "  m  1.
Но во всяком случае
r+r,==тq"+p,
r де q" есть частное от деления r + " на m (оно, как
нетрудно видеть, равно О или 1) и р есть остаток при
этом делении, так что
неравенству
неравеНС1ВУ
а+а' ==т (q+q' +q")+p,
о p < m .......1.
Итак, элементу а+а' при нашем отображении f соот-
ветствует элемент Ь р rруппы От'
Рассматривая таблицу сложений в циклической
rруппе порядка т, видим, что
b r + b r , == Ь р
(rде р по-прежнему есть остаток при делении r + ,е
на т). Итак,
f (а +а') == Ь р == b r + b r , == f (а) + f (а'),
чем и доказано, что отображение f rомоморфно.
Только что построенное rомоморфное отображение f
rpYnnbI всех целых чисел в циклическую rруппу по-
102

РЯДI<а m является основным фактом элементарной тео-
рии чисел; мы это rомоморфное отображение будем
обозначать через 1т.
Ядром rомоморфизма 1т является rруппа всех uелых
чисел, делящихся без остатка на т.
2. В rлаве У.,  2, второй пример, было указано, что
каждому действительному числу соответствует некото-
рый элемент rруппы SO (2). Этим соответствием устанав-
ливается rомоморфное отображение rруппы всех дейст-
вительных чисел на rруппу SO (2), причем ядром этоrо
отображения является бесконечная циклическая rруппа,
состоящая из всех действительных чисел s flВЛЯЮЩИХСЯ
целочисленными кратными 2л.

rЛАВА VIII
РАЗБИЕНИЕ rруппы НА КЛАССbI
ПО ДАННОЙ подrРУППЕ.
ФАкторrРУППА
 1. ЛЕВОСТОРОННИЕ
И ПРАВОСТОРОННИЕ КЛАССЫ
1. Левосторонние классы. Пусть даны
rруппа G и ее подrруппа и. Наша задача заключается
('ейчас в том, чтобы показать следующее: задание под-
rруппы U определяет (и притом, вообще rоворя, двумя
различными способами) разбиение rруппы G на некото-
рую систему попарно непересекающихся подмножеств,
одно из которых есть сама подrруппа и, а остальные
некоторым весьма простым законом MorYT быть взаимно
однозначно отображены на и.
Для получения этоrо разбиения будем поступать так.
Назовем два элемента а и Ь rруппы G эквивалент-
нь/'.ми, если элемент alb есть элемент подrруппы u.
Эта эквивалентность (называемая левой эквивалент-
ностью) обладает свойством симметрии, так как, если
alb == И,
rде и есть элемент подrруппы и, то
bla:::c: (alb )1 == иl
1'акже есть элемент подrруппы u.
Наша эквивалентность обладает, далее, СВОЙСТВОl\f
1'ранзитивНОСТИ, так как, если
alb == И 1 ,
blC == И 2 '
r де И 1 и и 2 ....... суть элементы подrруппы и, то
alc == alb · blC == U 1 и 2
также есть элемент подrруппы u.
104

Наша эквивалентность обладает, наконец, свойством
рефлексивности, так как
ala == 1
есть элемент подrруппы и.
Итак, rруппа G на основании теоремы 3 rл. 1 рас-
падается на классы элементов, эквивалентных между
собой относительно подrруппы и. Эти классы назы
ваются левосторонними классами еруппы G по под-
еруnпе и. Заметим, что левосторонний класс 'К а эле
мента а rруппы G состоит из всех таких элементов х,
что alx == и есть элемент rруппы и, т. е. друrими
словами, из всех элементов вида х == аи, еде и есть эле
.мент подеруппы и.
Заметим еще, что если а есть элемент и (в част
ности, если а == 1), то ' Ка == и, так как в этом случае аи
при любом и, принадлежащем к и, есть элемент rруппы и,
и всякий элемент и rруппы и может быть представлен
в виде аи 1 , rде и 1 == a1и есть элемент rруппы U. Так
как всякий элемент множества' Ка может быть пред
ставлен в виде аи, и при различных элементах и 1 и и 2
rруппы U элементы аи 1 и аи 2 множества' К а различны,
то мы получим взаимно однозначное соответствие между U
и любым' Ка, если каждому элементу и ерупnы U no
ставим в соответствие элемент аи класса ' Ка'
Заметим, наконец, что среди всех классов' Ка имеется
лишь один класс, являющийся подеруппой еруnпы О,
а именно и. ,
в самом деле, если' Ка есть подrруппа, то нейтраль
ный элеl'лент rруппы G должен входить в ' К а; он, сле
довательно, является общим элементом клаСса ' l'а и
класса и, а поэтому' Ка совпадает с и. ,
2. Случай конечной rруппы а. в силу взаимно OДHO
значноrо соответствия, существующеrо между каждым
из ' К а И подrруппой и, все ' К а  В случае конечности
rруппы G  состоят из одноrо и Toro же числа элемен
тов т, rде т есть порядок rруппы U. Если число всех
различных классов равно j, а п есть порядок rруппы О,
то имеем, очевидно, п == mj.
Отсюда, в частности, следует ранее упомянутый
нами факт (rл. 11,  2), а именно:
Т е о р е м а Л а r р а н ж а. Порядок всякой подеруппы
конечной еруппы G есть делитель порядка еруnпы О.
105

Число j, т. е. число левосторонних классов 1)
rруппы G по подrруппе и, называется индексом nод-
еруnnы и в еруnпе о.
3. Правосторонние классы. Назовем два элемента а
и Ь эквивалентными (правая эквивалентность) относи-
тельно подrруппы [1, если bal есть элемент подrруппы и.
Леrко убеждаемся, что свойства симметрии, транзитив-
ности и рефлексивности при этом выполнены.
В самом деле, из
bw 1 == И,
rде u  элемент rруппы и, следует
abl == (bal)l == иl,
а из
bal == И 1 , cbl == И 2
при и 1 И и 2 , принадлежащих к и, следует:
cal == cbl · bal == И 2 · и 1 .
Наконец,
aal == 1
принадлежит к U.
Правая эквивалентность определяет разбиение
rруппы G на правосторонние классы, причем правосто-
ронний класс K даННО20 элеменmа а состоит из всех
таких элементов х, для которых xal == и есть элемент
rруппы и, т. е. из всех элементов вида
х == иа,
rде и принадлежит и.
Для а, принадлежащеrо и, класс K совпадает с и.
Ставя в соответствие элементу и подrруппы U эле-
мент иа класса K, получим взаИl\fНО однозначное соот"
ветствие между U и любым классом K. В случае,
если подrруппа U конечна, все классы K по этой под-
rруппе конечны и состоят из Toro же числа элементов,
что и и. Если rруппа G конечна и имеет порядок n,
а подrруппа U имеет порядок т, то имеем, как прежде,
n==mj,
1) Это число может быть конечным и в случае бесконечной
rруппы а, например, если G есть rруппа всех целых чисел, а и 
подrруппа а, состоящая из всех чисел, llелящихся без остатка на
целое число т  2.
106

rде j...... число всех различных правосторонних классов
по подrруппе и, равное, таким образом, числу всех
различных левосторонних клаСсов.
Итак, индекс nодеруnnы и относительно конечной
еруnnы G может быть определен и как число левоспzо-
ронних, u как число правосторонних классов ё.руnnы G
по nодеруnnе U: он равен частному от деления порядка
rруппы G на порядок rруппы и.
4. Совпадение правосторонних классов с левосторон-
ними в случае инвариаНТНbIХ подrрупп. Зададим себе
вопрос: в каком случае для всякоrо элемента а rруппы
G выполняется равенство
'I(a == K?
Д,ля этоrо, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы
всякий элемент вида аи равнялся некоторому и' а и,
наоборот, всякий элемент иа равнялся HeKOTOpOl\1Y эле-
менту аи' (при этом всеrда и, и' и так далее обозна-
чают элементы подrруппы И). Оба условия при этом
эквивалентны. В Cal\10M деле, первое условие означает:
к каждому а из а и u из и можно подобрать такое и'
из и, чтобы
,
аи == u а,
т.,е. чтобы
aиa1 == и' ,
или
(al)l Иа1 == и.
Так как любой элемент rруппы G может быть при над-
лежащем выборе элемента а представлен в виде al,
то первое условие означает просто: трансформация под-
rруппы и при ПОl'vl0ЩИ любоrо элемента rруппы G
совпадает с U, или U есть инвариантная nодё.руnnа
еруnnы а. ·
, Второе условие rласит: к каждому а из G и и из и
можно подобрать и' из U так, чтобы
иа == аи' ,
т. е.
alиa == и' ,
т. е.
аlUа == и.
Таким образом, второе условие также выражает
требование, чтобы и было инвариантной подrруппой
rруппы а.
107

Итак, мы ВИДИМ, что верна слеДУЮU12Я
т е о р е м а. Пусть {.../  noдpynna. 2руппы а. Для
пl020 чтобы для каждоео элемента а еруnnы G левосто-
ронний класс этоо элемента относительно noдpynпы и
совпадал с nравосторонни,М классом тoo же элемента,
необходимо и достаточно, чтобы и было инвариант-
Hra nодеруnnой 2рУnnЫ а.
T(;iI{ как в случае инвариантноii подrруппы С! дЛЯ
.71юбоrо элемента а rруппы G выполняется равенство
'Ka==K,
то МО}КНО вместо 'К а И K писать К а == ' к а == K, и
это множество называть просто классом элемента а
относительно инвариантной nодс,руnnы u.
в частности, совпадение правосторонних классов
с левосторонними имеет место, если и есть подrруппа
коммутативной rpYnnbI О, так как все подrруппы ком-
мутативных rрупп инвариантны (rл. VI,  2, п. 2).
5. Примеры. 1. Пусть G  rруппа всех целых чисел,
а и с G  rруппа всех чисел, делящихся без остатка
на т.
Если а  произвольное нелое число, то К а состоит
из всех чисел вида a+mq при целом q: это будут все
те числа, которые при делении на т дают тот же
остаток, что и ЧИСJJО, a. Таким образом, различных
классов будет столько же, сколько имеется различных
остатков при делении на т; а этих последних имеется т,
так как в качестве остатков при делении на т появ-
ляются числа О, 1, 2, ..., т....... 1, и только они. Итак,
мы имеем следующие классы:
О) Класс всех чисел, дающих при делении на m
остаток о. Эrот класс совпадает с rруппой и и состоит
из чисел
..., ...... qт, ........ (q ........1) т, ...,  3т,  2т, ...... т,
О, т, 2т, 3fn, ..., qm, ....
1) Класс всех чисел, дающих при делении на т
остаток 1. Это будут:
. . . ,
........ qm + 1, ...... (q  1) т+ 1, ...,  3П1 + 1,
 2т + 1 t ........ т + 1 t 1, т + 1, 2т + 1, 3.:n + -1 t
. . . .
108

2) Класс всех чисел, дающих при делении На т
остаток 2. Это будут:
--- qm + 2, ..... (q ...... 1) m + 2, ..., ..... 3т + 2,
2т+2, т+2, 2, т+2, ..., qm+2, ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
т....... 1) Класс всех чисел, дающих при делении на т
остаток (т...... 1). Этот класс состоит из чисел:
. . . ,
qm+(т.....I), ......(q l)m+(т......l), ...,
...... 3т + (т...... 1), ..... 2т + (т ...... 1), ....... т +
+ (т ...... 1), (т..... 1), m + (т ...... 1), 2 + (т ....... 1), . . .,
или, что то же СЗl\fое,
. . ., ....... 2 m ....... 1, ..... т ...... 1, ...... 1, т --- 1, 2 т ....... 1, 3 т ..... 1, ....
11. Пусть G есть rруппа 8з всех подстановок ИЗ
трех элементов, а и..... подrруппа порядка 2 (следова-
тельно, индекса 3), состоящая из подстановок
Po==(  ) и P2==(  ).
Распадение rруппы G на лево- и правосторонние
классы видно И3 следующей таблицы:
Ле&осторонние Правосторонние
классы классы
и == {ро, Р2} I и=={р о , Р2}
{P 1 , Рз} {Рl' Р4}
{P t , p,J { Р з. Р I)}
111. Знакопеременная rруппа Ал подстановок из п
элементов представляет собой инвариантную подrруппу
индекса 2 симметрической rруппы Sn. Два класса,
определяемые этой подrруппой, суть: сама rруппа А n
и класс всех нечетных подстановок. .
IV. В rруппе поворотов п-уrольноrо диэдра само-
совмещения nepBoro рода обр.азуют инвариантную под-
flJ.) llПУ индекса 2. Один из двух классов по этой nод-
10U

rруппе есть она сама, друrой класс состоит из всех
Самосовмещений BToporo рода.
У. rруппа и всех скольжений прямой по самой
себе есть инвариантная подrруппа индекса 2 в ;rруппе G
всех самос6вмещений прямой. Два класса, определяе-
мые этой подrруппой, суть: сама rруппа и и класс
всех самосовмещений BToporo рода.
VI. Пусть G есть rруппа всех КОl\fплексных чисел
(с операциеЙ обычноrо сложения как rрупповой опера-
цией). Пусть и  подrруппа всех действительных чисел.
Классы, на которые распадается коммутативная rруппа G
относительно своей подrруппы и, суть множества Krp,
каждое из которых состоит из всех комплексных чисел
вида
х+ i,
rде х и   действительные числа,  дано, а х пробе-
raeT все действительные значения. Если, как это обыч-
но делается, изображать КОl\lплексные числа в виде 10-
чек плоскости 1), то каждыЙ класс изобразится в виде
прямой, паРSJlлельной действительной оси (Т. е.
оси абсцисс).
f 2. ФАкторrРУППА ПО ДАННОЙ
ИНВАРИАНТНОЙ подrРУППЕ
1. Определение. Пусть U есть инвариант-
ная подrруппа некоторой данной rруппы о. Рассмотрим
множество всех классов, на которые распадается
rруппа "О относительно и. Это множество обозначим
через V и докажем, что в нем можно определить опе-
рацию умножения таким образом, что V станет rруп-
 пой, на которую rруппу G можно будет rомоморфно
отобразить.
Пусть и 1 И и 2  два произвольнЦ}х элем:ента из V;
таким образом, и 1 и и 2 суть два класса rруппы О по
инвариантной подrруппе и. Быберем в каждом из этих
классов по одному элементу, а именно: выберем эле-
мент Х 1 из класса и 1 и элемент Х 2 из класса и 2 . Обо-
значим через v з класс, к которому принадлежит элемент
Х 1 Х 2 rруппы О.
) Считая за изображение комплеКСllоrо числа х+ iy точку
ПЛОСКОСТИ с координатами (Х, у).
110

Покажем, что класс vз не зависиТ ОТ Toro, какие
именно элементы Х 1 и Х 2 мы выбрали из классов V 1 и и 2 .
Друrими словами, докажем: если X есть какойнибудь
элемент класса V 1 , вообще rоворя, отличный от Х 1 , а X
какоЙнибудь элемент класса и 2 , вообще rоворя, отлич-
ный от. Х 2 ' то элемент XtX2 принадлежит к TOIvlY же
классу V з , к которому принадлежит X 1 X 2 '
В самом деле, два элемента а и Ь принадлежат
тоrда и толы{о Тоrда к одному и TOIviY же классу отно-
сительно инвариантноЙ подrруппы и, если эле/lент abl
принадлежит к и.
РаССМОТрИ1 элемент
Х 1 Х 2 (xx)l === Х 1 Х 2 (x)l (x;)l === Х 1 . (Х 2 (x)l) (x)l.
Так как Х 2 и x принадлежат однолу и тому же
классу и 2 , то
( ' ) 1
Х 2 Х2 == И 2 '
rде и 2 есть некоторый элемент и, и мы имеем
Х 1 Х 2 (X;X) == Х 1 и 2 (x)l. (1)
Но U есть инвариантная подrруппа, поэтому Х 1 И 2 == и' х 1 ,
rде и' есть некоторый элемент rруппы ().
Подставляя это в формулу (1), получаем
( I ' ) 1 , ( ' ) 1
Х 1 Х 2 Х 1 Х 2 == U Х 1 Х 1 ·
fl0 Х 1 И Х; принадлежат к одному и тому же классу и 1 ,
поэтому Х 1 (x;)l == и 1 , rде и 1  некоторый элемент rруп-
пы U. Следовательно,
( , ' ) 1 '
Х 1 Х 2 Х 1 Х 2 == И и 1 ,
т. е. Х 1 Х 2 (xx)l есть некоторый элемент и == И'И 1 rруп-
лы и, что и требовалось доказать.
Так как класс V з , таким образом, определен, коль
скоро определены классы и 1 и и 2 , то полаrаем:
и 1 . и 2 == Vз.
(2)
Это есть определение произведения и 1 , и 2 двух клас-
сов и 1 и и 2 . Итак:
проuзведенuе.м двух классов и 1 и и 2 называется
класс v з построенный по следующему правилу: в каждом
из классов и 1 и и 2 выбираем по nроuзвольному элементу,
111

перемножаем Эl11U два элемента u берем класс, к кото..
рому принадлежит их произведение; этот класс и ecпlb
класс v з .
Из этоrо определения и из Toro, что произведение
элементов в rруппе G удовлетворяет условию ассоциа-
тивности, непосредственно следует, что и умножение
классов удовлетворяет условию ассоциативности.
Докажем, что класс {} по отношению к только что
определеННОl\IУ умножению иrрает роль нейтральноrо
9лемента, т. е. что для всякоrо класса v справедливо
равенство
v · u == и · v == V.
(3)
Для этоrо выберем произвольный элемент х класса v,
а в качестве элемента класса U выберем нейтральный
элемент 1. Тоrда, по определению умножения, класс
v · и есть класс, содержащий элемент х. 1 == х, т. е. тот
же класс v. Точно так же класс [/. v есть класс, содер-
жащий элемент 1. Х == Х, т. е. тот же класс v. ЭrИl\f
формула (3) доказана.
Докажем наконец, что к каждому классу К имеется
некоторый обратный класс, который обозначим через
Kl и который удовлетворяет условию
К . Kl == Kl · К == U.
Для этоrо возьмем в классе К какой-нибудь элемент а
и определим класс K1 как класс, содержащий элемент
al. По определению произведений классов, каждое из
двух произведений К. Kl И Kl. К представляет собой
класс, содержащий элемент а. al == al · а == 1, а это и
есть класс и.
Итак, определенное нами умножение удовлетворяет
всем аксиомам понятия rрупп. Следовательно, при
нашем определении проuзведения множество класС(J8
еруппы G по ее инвариантной подеруппе U есть неко-
mорая ерynпа V. Класс U при этом есть неЙтральный
элемент еруппы v.
rруппа v называется факторzруппой еруnnы G
по ее инвариантной под2руппе u.
2. Теорема о rомоморфных отображениях. Пусть
попрежнему даны rруппа G и ее инвариантная под-
rруппа и. Каждому элементу х rруппы G поставим
в соответствие оп,еделенный элемент фаК'lорrруппы l/,
а именно: тот класс, который содержит в себе элемеН'I х.
112

Этим устанавливается отображение <р rруппы G на
rруппу V и из определения умножения в rруппе V
непосредственно следует, что это отобр ажение rOMo
морфно.
Какие элементы rруппы G отображаются на ней
тральный элемент rруппы V? Так как этим нейтраль
ным элементом является и, то очевидным ответом на
наш вопрос является:
Все элементы инвариантной подrруппы и и только
они при отображении <р отображаютсаН на нейтальный
элемент rруппы V.
Из рассуждений этоrо и предыдущеrо пунктов сле..
дует: всякая инвариантная подrруппа U rруппы G яв
ляется ядром HeKoToporo rомоморфноrо отображения
rруппы а, а именно, rОМОIvIорфноrо отображения rруп
лы G на ее факторrруппу по отношению к u.
Пусть теперь дано произвольное rомоморфное ото..
бражение f какойнибудь rруппы А на какуюнибудь
rруппу В. Пусть и есть ядро этоrо rомоморфноrо OTO
бражения. Мы знаем, что U  инвариантная подrруппа
rруппы А. Обозначим через V факторrруппу rруппы А
по отношению к и.
Пусть Ь есть какойнибудь элемент rруппы В. Суще..
ствует по крайней мере один элемент а rруппы А, ото..
бражающийся отображением f на элемент Ь:
b==f(a).
Определим полный прообраз элемента Ь при ОIобра..
жении " т. е. множество элементов х rруппы А, ото..
бражающихся отображением f на Ь. Этот полный про..
образ обозначим, как обычно, через fl (Ь).
Итак, fl (Ь), по определению, есть множество всех
тех элементов х rруппы А, дЛЯ которых справедливо
равенство
f (х) == Ь.
Пусть, как уже было сказано, а  какойнибудь
элемент, отображающийся на Ь; если х есть друrой
элемент множества fl (Ь), ТО f (а) == Ь, f (х) == Ь,
f (al) == bl,
f (xal) == Ь · bl == 1
(единица справа есть нейтральный элемент rруппы В);
это значит, что xal есть некоторый элемент и rруппы lf,
б п. С. Александров 113

о
Т. е. х == аи есть элемент Toro класса по инвариантнои
подrруппе lJ, к KOTOPOIVIY принадлежит а. Обратно,
если а и х принадлежат к одному классу, то
х==а.и,
f (х) == f (а) · f (и) == f (а) · 1 == f (а),
Т. е. а и х отображаются в один и тот же элемент Ь
rруппы В, или, друrими словами, содержатся в том же
полноrvl прообразе fl (Ь).
Итак, полные прообразы fl (Ь) элементов rруппы В
суть классы rруппы А по инвариантной подrруппе и.
Этим обстоятельством устанавливается взаимно одно-
значное соответствие 'Ф между rруппой В и rруппой v.
Каждому элементу rруппы V, который есть некото-
рый класс rруппы А по инвариантной подrруппе lJ,
т. е. полный прообраз HeKoToporo элемента Ь rруппы В,
соответствует именно этот элемент Ь rруппы В; при
этом каждый элемент Ь rруппы В оказывается постав..
ленным в соответствие одномуединственному классу,
Т. е. одномуединственному элементу rруппы V, именно
тому классу, который является полным прообразом
элемента Ь. Отображение 'Ф rомоморфно: пусть V 1 И
V 2  два элемента rруппы V и
V 1 · V2 == V з .
(4)
Пусть а 1 есть какойнибудь элемент класса V 1 , а 2 .........
какойнибудь элемент класса V 2 , аз == а 1 · а 2 8 Мы знаем,
что тоrда аз принадлежит V з . Положим
f (а 1 ) == b 1 , f (а 2 ) == Ь 2 , f (аз) == Ь з .
Так как f rомоморфно, то 
Ь 1 · Ь 2 == Ь З 8 (5)
Но так как V 1 , V2' V з суть соответственно полные про-
образы элементов Ь 1 , Ь 2 , Ь з , то
'ф (V 1 ) == b 1 , 'Ф (V 2 ) == Ь 2 , 'ф (V з ) == Ь з ,
так что равенство (5) может быть переписано в виде
'Ф (V 1 ) · 'Ф (V 2 ) ::z 'Ф (V з ),
чем и доказан rомоморфный характер отображения 'Ф.
Как взаимно однозначное rомоморфное отображение
rруппы V На rруппу В, отображение 'Ф есть изоморф--
1 ]4

ное отображение V на В. Итоrом Bcero предыдущеrо
является следующее предложение.
т е о р е м а Э. Н е т е р о r о м о м о р Ф н ы х о т о-
б Р а ж е н и я х.
Всякое еомоморфное отображение одной еруппы А
на друеую еруппу В имеет своим ядром некоторую
инвариантную nодсрупnу еруппы А. Обратно, всякая
инвариантная nодсруппа U еруппы А есть ядро неко-
,пороео zомоморфноо отображения ер ерупnы А на фак-
тореруппу V срупnы А по nодеруппе и. Отображение ер
получается, если каждому элементу еруnпы А поставить
в соответствие есо класс относительно иflвариантной
nодеруnпы и. Если f есть произвольное ZОМОМОРфн'ое
отображение еруппы А на ерупnу В, то полные прооб-
разы элементов сруппы В при этом отображении суть
классы еруппы А по ядру U Оfпображения f и еруnnа В
изоморфна факторzруппе epyпnыl А по подсруnпе и.
Итак, инвариантные подrруппы данной rруппы А
совпадают с ядрами всевозможных rомоморфных ото-
бражений этой rруппы, а все rруппы, являющиеся
rомоморфными образами rруппы А, совпадают с rруп-
пами, изоморфными факторrруппам rруппы А по все-
возможным ее инвариантным подrруппам 1).
С л е Д с т в и е. Для mozo чтобы zомоморфное отобра-
жение еруnnы А на сруnпу В было изоморфным, необхо-
димо u достаточно, чтобы ядро эmО20 оrпображенuя
сосmoяло из односо нейтраЛЬflОZО элемента сруппы А.
:1) Читателю рекомендуется еще раз продумать с точки зрения
только что изложенной теоремы о rОМDМОрфНЫХ отображениях paHe
приведенные примеры инвариантных подrрупп и rомоморфных ото..
бражений и определить относящиеся к ним факторrруппы.

ДОБАВЛЕНИЕ
rруппы ПЕРЕМЕll{ЕНИЙ ПЛОСКОСТИ
И ПРОСТРАНСТВА И их подrруппы
Ю. п. Соловьев
Это добавление является введением в ин-
тересный раздел элементарной rеометрии, а именно,
в теОрИIО rеометрических преобразований плоскости и
пространства. Уместность TaKoro добавления в данной
книrе определяется тем, что rеометрия и, в особенно
сти, названный раздел ее, доставляют мноrочисленные
примеры и иллюстрации к основным понятиям теории
rрупп, причем примеры простые, интересные, а rлавное
очень наrлядные. На этих примерах читатель не только
еще раз проверит , насколько он усвои,ТI эти понятия,
но сможет, так сказать, увидеть их в конкретном reo-
метрическом воплощении.
1. rруппа перемещений плоскости. Напомним, что
перемещением плоскости называется такое преобрззова-
ние, которое сохраняет расстояния. ДруrИl'vIИ словами,
преобразование F называется перемещением, если для
Лlобых двух различных точек А и В плоскости спра-
ведливо соотношение I АВ 1==1 А' В' 1, rде А' == F (А) и
В' == F (В). Примеры перемещений хорошо известны чи-
тателю из школьноrо Kypa rеометрии. Это параллель-
flЫЙ перенос Т а, поворот Rб BOKpyr точки О на уrол а,
симметрия Sz относительно оси l, я также скользящая
сиМhlетрия Sr (а 11 Ь), которая по определению есть ком...
позиция sf == т а о Sl == Sl' Т с. Оказывается, что друrих.
перемещений плоскости нет.
т е о р е м а 1.1 (Ш а л ь). Любое пepeMet«eflue плоско
сти есть либо параллельный перенос, либо поворот,
либо с!\'ользяu{ая симметрия (в частности, симметрия,
если а == О).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство этоrо утвер-
ждения основано на так называемоЙ «аксиоме подвиж-
ности плоскосtrlU» (см. rеометрия 8, стр. 92), соrласно
116

которой существует ровно два перемещения, переводя-
щих пару (различных) точек А, В плоскости в любую
друrую пару точек Аl' Вl' для которых I А 1 В 1 1 ==! АВ 1.
Пусть теперь F  некоторое перемещение, Ао  HeKOTO
рая точка на плоскости, А 1 == F (Ао), А 2 == F (А 1 ). Рас-
смотрим три случая:
1) А 2 == Ао;
2) А 2 =F Ао, но точка А 2 лежит на прямой (АоАl);
3) точка А 2 не лежит на прямой (АоАl).
Если в каждом из этих трех случаев мы найдем
по два различных перемещения из тех, которые были
указаны в формулировке теоремы, то в силу упомяну
той выше аксиомы это и
является доказательством те-
оремы.
Ао
Рис. 15.
Рис. 16.
в случае 1) эти перемещения суть поворот HOKpyr
середины отрезка [АоА]] на уrол 1t и симметрия отно-
сительно прямой, перпендику лярной к [АоАl] И прохо
ДЯLЦей через ее середину.
В случае 2) требуемыми перемещениями являются
параллельный перенос на вектор а == АоА l и симметрия
относительно прямой, перпендикулярной к (АоА2) и
проходящей через точку А 1 .
В случае же 3) это поворот BOKpyr точки О  точки
пересечения перпендикуляров, восстановленных из
середины отрезков [АоАl] и [А 1 А 2 ] (рис. 15) и сколь-
зящая симметрия, ось которой параллельна оси (АоА2)
и проходит через середину [AIA], l'де A прямоуrоль
ная проекция точки Al на (АоА2)' а вектор а == A
(рис. 16). Теорема доказана.
Параллельный перенос и поворот называются пере-
мещениями пepeozo рода, а симметрия и скользящая
симметрия  пере.меuенuя.мu второzо рода.
117

Имеет место следующее утверждение: композиция
двух nереlttещений первосо рода есть nеремещение пер-
8020 рода, композиция nере.!Jttещений nервосо и второсо
рода есть nеремещение второсо рода, а композиция nере-
м'ещений второсо рода есть nеремещение первосо рода.
Приведем краткое доказательство этоrо утвержде-
ния, оставляя детали читателю.
Доказательство основываетсн на следующем простом
факте: композиция двух симметрий 512 а 511 есть парал-
лельный перенос Т а В случае, коrда l111l2 и поворот R,
коrда эти прямые пересекаются в точке о. Кроме Toro,
вектор а в переrvlещении Т а перпендикулярен к [1 и 12'
направлен от [1 к l2 И по величине равен удвоенному
расстоянию между этими прямыми. Уr'ол а в пово-
роте Ro есть удвоенный уrол между прямыми [1 и [2'
Из этоrо факта вытекает, что любой параллельный
перенос и любой поворот можно представить в виде
композиции двух симметрий. НаПРИl\1ер, чтобы полу-
чить такое представление для данноrо парал.пельноrо
переноса Т а, выбираем произвольную прямую [1' пер-
пендикулярную к а и параллельно переносим ее с по-
1\10ЩЬЮ Т а/2; тоrда Т а == 512 е 511' rде [2 === Т а/2 (ll). Анало-
rично и для поворота. Значит, любое перемещение
плоскости есть композиция HeKoToporo числа симметрий:
поворот и параллельный перенос  композиция двух
симметрий, сама симметрия  композиция одной сим-
метрии, скользящая симметрия  композиция трех сим..
метрий. Заметим, что перемещения первоrо рода суть
композиции чеmносо числа симметриЙ, а перемещения
BToporo рода  композиции нечетносо числа симметрий.
Верно и обратное: если перемещение первоrо (BToporo)
рода каким бы то ни было способом представлено
в виде композиции HeKoToporo числа симметрий, то это
число симметрий четное (нечетное). Доказательство
этоrо утверждения предоставляем читателю. (У к а за-
н и е. Оно эквивалентно следующему утверждеНI-I10:
не существует представления тождественносо nреобра..
зования в виде нецетносо числа си.м.Лtетрий.)
В силу сказанноrо выше перемещения первоrо и
BToporo рода можно определить как такие перемеще-
ния, которые разлаrаются в композиции соответственно
четноrо и нечетноrо числа симметрий. Следовательно,
композиция двух перемещений nepBoro рода есть пере-
J ]8

u
мещение первоrо рода, композиция перемещении перВоrо
и BToporo рода  перемещение BToporo рода, а компо-
ЗИЦИЯ двух перемещений BToporo рода  перемещение
nepBoro рода, что и требовалось.
В этом приложении мы не можем останавливатьСя
на подробном рассмотрении композиций перемещений
на плоскости. Читателям же, которых заинтересовал
данный вопрос, cOBeTye1\1 обратиться к превосходной
книrе Коксетера «Введение в rеометрию».
Все перемещения плоскости образуют rруппу, опе-
рацией в которой является композиция nеремещений.
Действительно, если два преобразования сохраняют
расстояние между точками, то сохраняет ero и компо-
зиция этих преобразований, т. е. композиция переме..
щений есть перемещение. Аксиома ассоциативности
выполнена, поскольку она выполнена для всех вообще
преобразований плоскости 1). Далее, тождественное пре-
образование есть перемещение. И наконец, преобразо-
, вание, обрgтное к перемещению, также сохраняет рас-
стояние, т. е. является перемещениеl\f.
rруппа всех перемещений плоскости обозначается
Е (2). Она содержит бесконечное число подrрупп.
Прежде Bcero, в силу сказанноrо выше подrруппу обра-
зуют все перемещения первоrо рода. Мы будем обозна-
чать эту подrруппу через Ео (2). Если F  перемещение
первоrо рода, а G  произвольное перемещение, то
G · F о a1 есть непременно перемещение первоrо рода,
поэтому подrруппа перемещений первоrо рода Ео (2)
инвариантна в rруппе всех перемещений Е (2). Леrко
u
видеть, что существуют ровно два класса по этои под-
rруппе: она сама и класс перемещений BToporo рода.
Следовательно, подrруппа Во (2) имеет индекс 2 в rруппе
всех перемещений Е (2) и факторrруппа Е (2) по Ео (2)
является циклической rруппой из двух элементов.
Займемся теперь rруппой Ео (2). Среди подrрупп
этой rруппы отметим прежде Bcero бесконечное число
2рУnn поворотов: совокупность всех поворотов плоско-
сти BOKpyr какойнибудь определенной ее точки обра-
зует rруппу, и каждая из этих rрупп, как нетрудно
видеть, изоморфна rруппе SO (2) (см. rл. У, 9 2); сле...
довательно, все эти 2рУnnЫ коммутативны.
1) I(зк леrко видеть, ассоциативностью обладает вообще ко\{-
позиция отображений! Докажите!
119

Совокупность всех поворотvв подrруппы не обр::t-
зует. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть
два поворота BOKpyr двух различных точек на уrлы,
в сумме составляющие 2л  их композицией будет парал-
дельный перенос (докажите!).
Наряду с rруппами поворотов, в rруппе Ео (2)
имеются nодсруnnЫ nараллельных переносов вдоль раз-
личных прямых.
Если задана прямая 1, то параллельные переносы вдоль
1  эmо такие переносы, векторы которых параллельны1.
Очевидно, что такие параллельные переносы образуют
подrруппу в Ео (2). Так как любой такой параллель-
ныи перенос однозначно характеризуется длиной и
направлением вектора переноса, то rруппа всех парал-
лельных переносов вдоль данной прямой 1 изоморфна
сруппе всех действительных чисел (с обыкновенным
сложением в качестве rрупповой операции).
Рассмотрим два параллельных переноса Т а И ТЬ,
векторы которых не параллельны. Композиция этих
параллельных переносов в любом порядке есть парал-
лельный перенос Т а+ ь. Поэтому множество всех парал-
лельных переносов плоскости образует коммутативную
подrруппу в rруппе Ео (2). Эта подrруппа обозна-
чается т (2).
Пусть даны два перемещения F и G из rруппы Ео (2).
Выясним, что происходит при трансформации переме-
щения F с помощью перемещения О. По определению,
это будет перемеrцение
H(p)==G.FeGl(p). (1)
Так как G  взаимно однозначное отображение плоско-
сти, то перемещение Н будет вполне описано, если
будет указано, куда в результате этоrо перемещения
перейдет точка G (Р) при любой Р. Друrими словами,
отображение Н будет определено для любоЙ точки Р,
если мы будем знать, куда оно переводит точку G (Р).
Поэтому, заменяя в формуле (1) точку Рточкой О(Р),
И учитывая, что Gl о G (Р) == Р, мы ПОЛУЧИl\t1
H-G(Р)==GоF(Р). (2)
Эта формула определяет перемещение Н (Р). Обозначим
F (Р) == Q; тоrда
Н о G (Р) == G (Q),
1'. е. перемещение Н переводит точку G (Р) в точку G (Q).
!20

Пред л ож е н и е 1.2. Если F пoвopoт вОКРУ2
точки О на У20Л а, то Н  поворот вOKPY точки G (О)
также на уол а.
Д.окззательство. Так как Fповорот вокру!'
точки О, то F (О) == О, откуда по формуле (2)
НеО(О)==О(О),
т. е. Н есть поворот BOKpyr точки G (О).
Поскольку перемещение переВQДИТ уrол в конrруэнт-
ный ему уrол, то уrол поворота Н, по-прежнему,
равен (Х, что и требовалось доказать.
С л е Д с т в и е. Трансформация сруnnы поворотов
плоскости вокрус точки Р при помощи nроизвольноо
nеремещения F есть срупnа поворотов плоскости вокруа
точки F (Р). В частности, никакая pynna поворотов
не является инвариантной nодсруnnОЙ в Ео (2).
Рассмотрим теперь rруппу параллельных переносов.
Для нее справедливо следующее утверждение.
Пр е Д л о ж е н и е 1.3. Fpynпa Т (2) всех параллель-
ных переносов плоскости является инвариантной nод-
срупnой в сруnпе Ео (2).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F  некоторый царал-
лельный перенос, а G  произвольное riеремещение
плоскости. Пусть 1  некоторая прямая, параллельная
вектору переноса Р. Тоrда имеет место равенство
F (l) == l,
означающее, что при перемещении F прямая 1 перехо-
дит в себя. Перемещение G переводит ПРЯМУЮ 1 в пря-
мую G (l). Из формулы (2), примененной к любой
точке Р прямой 1, следует
Н с G (1) == G (1);
т. е. перемещение Н переводит ПРЯМУЮ G (1) в себя и,
следовательно, является параллельным переносом вдоль
этой ПРЯ10Й. Поскольку G  перемещение, то расстоя..
ние между точками Р и Q == F (Р) равно раССТОЯ!iИЮ
между точками G (Р) и G ОР (Р), т. е. между G (Р) и
Н о G (Р). Следовательно, вектор параллельноrо пере-
носа Н совпадает с вектором параллельноrо переноса Р.
Предложение доказано.
Выделив в rруппе Ео (2) подrруппу Т(2) парал-
лельных переносов и подrруппы поворотов BOKpyr раз...
121

личных точек, естественно задать такой вопрос: можно ли
представить любое перемещение из Ео (2) как компо-
зицию переноса из Т(2) и поворота BOKpyr некоторой
фиксированной точки.
Ответ на этот вопрос является утвердительным, что
вытекает из следующеrо предложения.
Пр е Д л о ж е н и е 1.4. Любое перемещение первО20
рода можно однозначно представить в виде композиции
R о Т а параллельноzо переноса и поворота 8Окруе фикси-
рованной точки .0 плоскости.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть р...... некоторое переме-
щение первоrо рода, О'  прообраз точки О при пере-
мещении Р, т. е. О' == p1 (О). Рассмотрим КОМПОЗИЦИIО
т б'О · p1. Это перемещение, очевидно, оставляет точку О
ца месте и является перемещением первоrо рода. по-
этому Т б'О .p1 поворот. ]"'ак как перемещение, обрат-
ное повороту, есть поворот, мы получаем требуемую
КОМПОЗИЦИIО. Единственность этой композиции непосред-
ственно следует из единствености параллельноrо пере-
Носа Т б'О' Предложение доказано.
3 а м е ч а н и е. Верно, кроме Toro, и слеДУЮII.\ее
утверждение: любое перемещенue первО20 рода однозначно
разлаzаеmся в композицию Т ь о Rg поворота вокруС! фикси-
рованной точки плоскости и nараллеЛЬНО20 переноса.
Для доказательства рассмотрим некоторое перемещение
nepBoro рода О. Пусть О (О) == О'. Тоrда композиция
т б'О о О переводит точку О в себя и, значит, есть пово-
рот BOKpyr этой точки:
т 0:0 · О == R.
Рассмотрим композицию поворота R& и параллель-
Horo переноса Т QOi' Имеем
Т ............... о R r3  Т ........ Т ............... · О  О
00' о  00 ' 0'0 ,
что и требовалось.
Пусть 01 И 02  два перемещения из rруппы Ео (2).
В силу только что доказанноrо предложения 01 ==
=:;::: R о Т а И 02 == RS. Т ь. Композиция 02 о 01 этих пере-
мещений, с одной стороны, есть перемещение
R. Т ь о R5 · т а, а с друrой стороны, соrласно предло-
жению 02 о 01 == R6 о т с для иекотороrо уrла у и век..
122

тора с. Уrол '\' и вектор с нетрудно вычислить, зная
уrлы С'Х,  и векторы а, Ь. Мы оставляем читателю эти
вычисления' и vкажем здесь лишь окончатель'ный ответ:
'\'==C'X+, c==a+R o a(b).
Полученный результат можно сформулировать сле-
дующим образом. Каждый элемент rруппы Ео (2) одно..
значно представляется в виде упорядоченной пары
(Rg, Т а), rде R Е SO (2), Т а Е т (2). Умножение упо..
рядоченных пар (R,.T а) и (Rg, Т ь ) в rруппе Ео (2)
производится по формуле
(Rg, Tb).(Rg, Ta)==(Rg+, Ta+R o a(b»)'
2. rруппа перемещений пространства. Аналоrично
перемещениям плоскости перемещения пространства
определяются как преобразования пространства, сохра-
няющие расстояния между точками. К ним прежде
Bcero относится параллельныu перенос Т а на вектор а,
определение KOToporo дословно повторяет соответствую-
щее определение для плоскости. Друrими примерами
перемещений пространства являются поворот R вОКРУ2
оси 1 на У20Л С'Х, eUHfпoeoe nеремещение Sf, а, симмет-
рия Src относительно плоскости л, скользящая симмет-
рия, поворотная сиМАtеmрия. Эти перемещения опреде-
ляются следующим образом:
а) Поворот R BOKpyr оси 1 на уrол с'х  это пере-
мещение, состоящее в повороте каждой точки простран-
ства в плоскости, проходящей через эту точку и
перпендикулярной к данной прямой 1 (оси поворота),
на данный уrол а (уrол поворота) BOKpyr точки пере..
сечения этой плоскости с осью.
Ось и уrол поворота задают поворот неоднозначно.
Действительно, один и тот же результат можно полу-
чить, совершая поворот BOKpyr данной оси на уrол а
в одном направлении и на уrол 2л  с'х в друrом на..
правлении.
Впрочем, такая же неоднозначность существует и
для поворотов на плоскости. Чтобы избежать этой
неоднозначности, на плоскости вводят понятие положи-
тельноrо направления поворота  это поворот против
часовой стрелки. В случае поворотов в пространстве
поступают так: вырирают на оси поворота определен-
ное направление и считаЮТ 7 что поворот является
123

положительным относительно данноrо направления на
сси, если любая точка поворачивается в своей плоско-
сти против часовой стрелки для зрителя, стоящеrо
вдоль оси так, что направление от ero Hor к ero rолове
и есть направление, которое было выбрано на оси.
В случае, коrда уrол поворота равен 31, поворот
называют опрокидыванием относительно данной оси 1).
В эт О 1\1 случае нет надобности указывать направление
поворота. Опрокидывание R? обладает следующим
свойством: R? о R? == Е , r де Е  тождественное переме-
щение.
ь) Винтовым перемещением 8 а называется компо"
зиция поворота Rf BOKpyr оси 1 и параллельноrо пере-
носа Т а, при условии, что вектор а параллелен оси по-
Борота.
Порядок, в котором выполняются указанные пере-
мещения, безразличен (что не имело бы места, если бы
вектор а не был параллелен оси 1).
Частными случаями винтовоrо перемещения являются
u
поворот и параллельныи перенос.
Если задано некоторое винтовое перемещение, то
7ем самым задано и направление на оси поворота 
это направление вектора а. В соответствии с этим
винтовое перемещение называется положительным (пра-
вым) или отрицательным (левым), в зависимости от
Toro, имеет ли данный поворот положительное или
ОТРИIlательное направление оси по отношению к на-
правлению а.
с) Симмеmрия 8,,; относи"U!льно плоскости 31  это
nеремещение, которое оставляет все точки данной пло..
скости 31 на месте, а любую друrую точку А простран-
ства переводит в точку А' такую, что прямая (АА')
nерпендикулярна к плоскости n и I АО I , I ОА' 1, rде
о точка пересечения прямой (АА') и плоскости л.
d) Скользящая симметрия  эта композиция Т а о Sn==
== 8,,; о Т а, rде вектор а параллелен плоскости 31 (блаrс..
даря чему порядок операций в композиции безразличен).
1800
е) Повороmнаясимметрия  это композиция Rl 081(===
::::= 8 п о R1 80 o, rде ось 1 перпендикулярна к плоскости Jt
(что снова делает безразличным порядок операциЙ
в композиции).
1) Друrое название перемещения Rf...... осевая симметрия.
124

Оказывается, что этими примерами исчерпываются
все перемещения пространства; точнее, справедлива
следующая теорема (которую мы приведем без дока-
за тельства).
т е о р е м а 2.1. Любое nеремещение пространства
есть либо nараллельный перенос, либо поворот BOKpyZ
ОСИ, либо винтовое nереМещение, либо симметрия отно--
сительно nл OCfJ,OCп1 и , либо СКОЛЬ3Яlцая симметрия, либо
поворотная симметрия.
Чтобы идти дальше, нам 110надобятся некоторые
сведения о композициях пространственных перемещений.
т е о р е м а 2.2. Композиция двух опрокидывании
относительно различных осей представляет собой:
а) если оса параллельны  nараллельный n!!ренос) пер"
nендикулярный к обеим ОСЯМ) равный удвоеННОМУ nереносу,
переводящему первую ось во вторую;
Ь) если оси пересекаются  noeopoпl BOKPYZ общеёО
nерnендикуляра к обеим осям) nроходящеёО через точку
пересечения) на УёОЛ)
равный удвоенному УёЛУ
поворота) переводящеёО
первую ОСЬ во вторую;
с) если оси не лежат
в одной плоскости  вин-
товое nеремещение) име-
10щее своей осью обuий
перnендикуляр к обеим
осям и равное удвоен.
НОМУ винтовому nереме-
щению 1)) переводящему
первую ось во вторую 2).
Доказательство. а) Пусть 11 и 12ОСИ данных
опрокидываний, А  некоторая точка пространства,
а1  ее прямоуrольная проекция на ось 11' A'- образ
точки А при опрокидывании относительно оси 11'
а 2  прямоуrольная проекция точки А' на ось 12 И
А"  образ точки А' при опрокидывании относительно
оси 12 (рис. 17). Плоскость, перпендикулярная осям
t,
b Z
А'
""
"" "
"" ,
а ",,"" ,
'!. 
",,""
",,/ ,
",,"" " Ir
A  A
Рис. 17.
1) Термин удвоенное винтовое перемещение означает следую-
щее. Если Sa [  некоторое винтовое перемещение, ТО удвоенное
,а
по отношению к S а вин.товое перемещениеэто S72a'
2) Существование TaKoro перемещения бу дет следовать из
доказательства теоремы.
125

11 И 12 И проходящая через точку А, проходит через
прямую (АА') перпендикулярную к [1' И через прямую
(АА"), перпендикулярную к 12' Поэтому прямая (а1а2)
является общим перпендикуляром к прямым 11 И 12'
а точка А" получается из точки А параллельным пере-
носом, равным удвоенному переносу, переводящему
прямую [1 в прямую [2'
Ь) Пусть Оточка пересечения осей [1 и [2' л;со..
держащая их плоскость, (ОС)  перпендикуляр к этой
плоскости, проходящей через точку О (рис. 18). Пусть,
далее А  произвольная точка пространства, А'  ее
образ при опрокидывании относительно оси 4 (причем
прямая (АА') пересекает ось [1 в точке а 1 ) и А"  об-
раз точки А' при опрокидывании относительно оси 12
(причем прямая (А' А") пересекает ось [2 в точке а 2 ).
Опрокидывания относительно осей 11 и [2 переводят
плоскость л; в себя. Поэтому если мы спроектируем
с
А'
Рис. 18.
точки А, А', А" на эту плоскость в точки В, в' и В",
то точки В и В" будут получаться из В' с помощью
опрокидываний относительно осей 11 и [2 соответственно.
Значит, точка А" получается из точки А поворотом
BOKpyr оси (ОС) на уrол, равный удвоенному уrлу
между [1 и 12' Так как отрезки [ВА] и [В" А"] кон..
rруэнтны, параллельны (ОС) и направлены в одну и ту
же сторону, то этот же поворот BOKpyr оси (ОС)
совместит точку А с точкой А".
с) Пусть теперь оси 11 и 12 не лежат в одной пло-
скости. Обозначим через (0102) общий перпендикуляр
126

к II И 12' причем точка 01 лежит на оси 11' а точка
02 лежит на оси 12 (рис. 19). Проведем через точку О).
прямую 11, параллельную '1' Рассмотрим КОМПО3ИЦИIО
следующих четырех опрокидываний: Rf е R е Rf, е Rr.
2 1 1 1
Так как Rr, о Rr,  тождественное преобразование, то
1 1
эта композиция совпадает с искомой композицией
Rf е R. С друrой стороны, Rf, е R есть параллельныЙ
2 1 1 1
перенос, равный удвоенному
переносу , переводящему ось
11 в ось 11; композиция же
Rf о Rr, есть поворот BOKpyr
2 1
прямой (0102) на уrол, рав-
ный удвоенному уrлу между
осями 11 и 12' Следовательно,
исходная композиция ReRf
2 1
представляет, собой винтовое,
перемещение, равное удвоенно-
му винтовому перемещению, пе-
реводящему 11 в 12' Теорема
доказана.
Последняя теорема позволяет
разложить любое винтовое "ере-
мещение в композицию двух опро-
кидываний. Именно, имеет место следующее утверждение.
т е о р'е м а 2.3. Любое винтовое перемещение можно
представить в виде композиции двух опрокидывании
относительно двух различных прямых.
Эти прямые удовлетворяют следующим усло-
виям.'
а) если винтовое перемещеНuе есть параллельный
перенос} то они перпендИКУЛЯРНbl к направлению nере-
мещения}'
Ь) если винтовое nеремещение есть поворот или
винтовое nеремещение в собственном смысле слова} то
они пересекают ось под прямым уелом.
Одну из этих прЯА!blХ можно выбрать в осmаЛЬНО)J;t
произвольно}' друеая прялtая при эmом определяется
однозначно.
С помощью TeOpel\1bI 2.3 можно установить следу-
ющий важный результат.
т е о р е м а 2.4. Композиция двух винтовых nеремс-
щений есть винт-овое перемеlцение,
t 2
..... ..... ..... ..... .....  , ,.
..... ..... .... ......... ..::.'

'?
Рис. 19.
127

Если эти винтовые nеремещения суть повороты
60KPY осей, проходящих через одну точку, то их КОМ-
позиция есть также поворот вокруа оси, проходящеu
через ту же точку.
Если эти винтовые nеремещения суть параллельные
переносы , то их композиция также будет параллельным,
nереносом.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим два винтовых
перемещения, имеющих своими осями прямые 11 и [2
(рис. 20). Первое из них есть композиция двух опро-
кидываний относительно
u ,
осеи т 1 и (пl, причем
,
ml можно взя:rь произ-
вольно среди прямых,
пересекающих '1 под
прямым уrлом." Анало-
rично, второе винтовое
перемещение есть ком-
позиция опрокидыва!lИЙ
относительно осей т 2 и
,
m2, причем т 2 можно
взять произвольно средй
прямых, пересекающих
[2 под прямым уrлом.
Совместим теперь пря-
мые тl и т 2 с обш,ИМ
перпендикуляром к осям [1 И [2' Тоrда эти прямые
совпадут и опрокидывания относительно них взаимно
уничтожатся. В результате останутся лишь опроки-
,
дывания относительно прямых т 1 и ffl2, композиция
которых В силу теоремы 2.2 будет винтовым пере-
мещением.
Если данные винтовые перемещения являются по-
воротами BOKpyr осей [1 и 12' ПРОХОДЯII{ИХ через TOKY
О, то через эту же точку пройдут прямые тl, т 1 и т2.
Поэтому композицией этих переrvIещений будет ПОБОрОТ
BOKpyr оси, проходящей через точку О.
Если же данные перемещения суть параллельные
, , I
переносы, то прямые т 1 , ml и т2 параллельны между
собой. Следовательно, результирующее перемещение
'-'акже будет параллельным переносом, что и требо-
валось.
Рассмотрим теперь композицию двух симметрий
8п! и Sft2'
128
-'-'
...--'
1 ...-...-
{fl1..- ..... -,"'- ...-
......
....../
.... ......
.... ....
.........
............
Рис. 20.

Теорема 2.5. Композиция 82oS;r(1 представляет
собой:
а) если плоскости Л 1 и Л 2 nараллеЛЬНbl  nараллеЛЬflblй
перенос} nерnеflдиКУЛЯрflЫЙ к обоим плоскостям и рав-
ный удвоенному переносу} переводящему плоскость Л 1
в плоскость п 2 ;
Ь) если плоскости :rt 1 и п 2 nересекаl0тся по прямой
1  поворот вОКРУ2 1 на уzол} равный удвоенному У2ЛУ
.htежду плоскостями Л 1 и Л 2 .
Д о К а з а т е л ь с т в о. Пусть А  некоторая точка
пространства. Так как симметрии 8 п1 и 8 п2 переводят
в себя плоскость, проходящую через А и перпенди-
кулярную к плоскоСтям Л 1 И Л 2 ' то TeOpel\1a сводится
к изучению композиции двух осевых симметрий на
плоскости. Эта КОМПОЗИЦИЯ есть либо параллельный
r:epeHOc, перпендикуляриый к осям, равный удвоенному
переносу, переводящему первую ось во вторую, либо же
поворот BOKpyr 1;ОЧКИ пересечения осей на удвоенный
)тол между ними. Отсюда следует утверждение теоремы.
Теорема 2.5 позволяет представить параллельный
перенос и поворот в виде композиции двух симметрий.
В частности, опрокидывание есть КОl\ЛПОЗИция двух
симметрий относительно перпендикулярных плоскостей.
Так как винтовое перемещение представляет собой
}{омпозицию двух опрокидываний, то ero можно раз-
ложить в композицию четырех симметрий.
Назовем параллельный перенос, поворот и винтовое
переl\1ещение  nеремещениями первоео рода} а симмет"
рию относительно плоскости, скользящую симметрию
и поворотную симметрию  nеремещеflИЯМU второео poдa
Так же КаК и для перемещений плоскости, имеет
место следующее утверждение:
композиция двух перемещеflUЙ первоео рода есть
nеремещение первО20 рода} композиция nеремещений пер-
в020 рода и втОрО20 рода есть nеремещеflие второео рода и
композиция двух nеремещеflUЙ втОрО20 рода есть пере-
мещеflие nервО20 рода.
Доказательство этоrо утверждения аналоrично Дока..
зательству соответствующеrо утверждения для плос-
кости. Прежде Bcero, в силу теоремы 2.5 любое пере..
мещение пространства можно представить в виде
композиции HeKoToporo числа симметрий относительно
различных плоскостей. Именно, параллельный перенос
и поворот есть композиция двух таких симметрий,
129

винтовое перемещение ...... композиция четырех симметрий,
сама СИМl\fетрия  композиция одной симметрии, сколь-
зящая симметрия и поворотная симметрия  компози-
ция трех симметрий. Следовательно, любое перемещение
первоrо рода есть композиция четноrо числа симметрий,
любое перемещение BToporo рода  композиция нечет..
Horo числа симметрий.
Обратное тоже верно: если переl\fещение есть ком-
позиция четноrо числа симметрий, то это перемещение
первоrо рода; если же перемещение есть композиция
нечетноrо числа симметрий, то это перемеШ,ение вто-
poro рода.
Для доказательства предположим, что некоторое
перемещение разлаrается в композицию симметрий
двумя способами:
F == 8 2k о 82k1 о . . . о 82 о 81
F == 8 2l + 1 о 8 2 l о .. . о 82 · 81,
причем в одном случае число этих симметрий четное,
а в друrоМ....... нечетное. Тоrда имеем тождество
82 k о 8 2k1 о . . . о 82 о 81 == 821 + 1 о 821 о . . . о 82 о 81.
Рассмотрим композицию левой и правой части этоrо
тождества с 821 + 1. Учитывая, что 821 + 1 0821 + 1 == Е ........
тождественное перемещение, получим
821 + 1 о 8 2k о 8 2k1 о. . . о 82 о 81 == 821 о . . . о 82 о 81,
т. е. мы «перенесли симметрию 821+ 1 в левую часть».
Продолжая эту процедуру, в конце концов мы придем
к тождеству
8; о 82 о. . . о 821 о 821 + 1 о 8 2k о 82k1 о. . . о 82 081 == Е, (3)
rде в левой части стоит нечетное число симметрий.
,Доказав, что такое невозможно, мы получим, что для
любоrо перемещения четность или нечетность числа
симметрий, входящих в произвольное разложение этоrо
перемещения в виде композиции симметрий, не зави-
сит от KOHKpeTHoro разложения. Это и будет означать,
что четность или нечетность числа симметрий полностыо
определяет род перемещения. Доказательство Toro, что
тождество (3) не выполняется ни при KaKOl\f выборе
нечетноrо числа симметрий, мы оставляем читателю.
Из Bcero сказанноrо следует, что перемещение пер-
Boro (BToporo) рода можно определить как перемеще..
и
130

ния, разлаrаЮЩI!еся в КОМПОЗИЦИИ четноrо (нечетноrо)
числа симметрий, откуда немедленно вытекает требуе..
мое утверждение.
3 а м е ч а н и е 1. Тот факт, что композиция пере-
мещений первоrо рода есть перемещение первоrо рода,
непосредственно следует из теоремы 2.4, что является
еще одним ero доказательством.
3 а м е ч а н и е 2. Мы не имеем возможности осве-
тить в этом коротком добавлении все аспеJ5:ТЫ теории
пространственных перемещений. Подробно эта теория
изложена в уже упомянутой книrе Коксетера «Введе-
ние в rеометрию».
Так же как в случае плоскости, множество всех
перемещений пространства образует rруппу, операцией
в которой является композиция перемещений. Эта
rруппа обозначается Е (3).
Соrласно сказанному выше множество всех переме-
щений первоrо рода образует подrруппу Ео (3) в rруппе
Е (3). Поскольку трансформация a1 о F о G произволь..
Horo перемещения первоrо рода есть снова перемеще-
Ние первоrо рода, то эта подrруппа инвариантна
в rруппе Е (3). Аналоrично случаю плоскости сущест"
вует ровно два класса по этой подrруппе: она сама
и класс пере1\1ещений BToporo рода. Поэтому Ео (3)
имеет индекс 2 в rруппе Е (3) и факторrруппа Е (3)
по Ео (3) есть циклическая rруппа из двух элементов.
Рассмотрим теперь подrруппы rруппы Ео (3). В ка..
честве своей подrруппы эта rруппа содержит rруппу
Т(3) всех параллельных переносов пространства. Этот
факт непосредственно следует из теоремы 2.4, Соrласно
которой композиция двух параллельных переносов
есть снова параллельный перенос. rруппа Т(3) ком..
мутативна. Проще Bcero это установить, если заме..
тить, что композиция двух параллельных переносов
изображается диаrональю параллелоrрамма, сторонами
которых служат эти параллельные переносы.
Дословным повторением доказательства предложе-
ния 1.3 получается
П р е Д л о ж е н и е 2.6. rpynna т (3) является инва-
риантной подzруппой в zpynne пере.мещений nepeozo
рода Ео (3).
Бесконечную серию подrрупп rруппы Ео (3) обра-
зуют подrруппы поворотов BOKpyr фиксированных осей.
ДействитеЛЬНО J если l...... неКQrорая ОСЬ, RI, Rf....... два
131

поворота BOKpyr нее, то композиция RT о Rr есть пово-
рот BOKpyr этой же оси на уrол а +. Тождественное
переl\1ещение можно рассматривать как поворот BOKpyr
оси 1 на нулевой УI'ОЛ. И, наконец, обратным к пЬво-
роту RT является поворот BOKpyr оси 1 на уrол a.
Поскольку R о RP == Rr+  == RP+a == RP о R, то rруппа
поворотов BOKpyr фиксированной оси коммутативна.
В качестве полезноrо упражнения предлаrаем чиТа
телю доказать, что множество всех поворотов в про
странстве подrруппы не образует. (У к а 3 а н и е: про
верить, что композиция двух поворотов BOKpyr осей,
не лежащих в одной плоскости, представляет собоЙ
винтовое перемещение в собственном смысле слова;
друrими словами, в такую композицию входит HeTO)K
дественный параллельный перенос.)
Более интересную серию подrрупп в Ео (3) образуют
перемещения первоrо рода, имеющие данную неподви}[(
пую точку. Пусть А  некоторая точка пространства.
Рассмотрим все такие перемещения из Ео (3), 'для KOTO
рых точка А является неподвижной, т. е. такие пере-
мещения Р, что F (А) == А. Если Р 1 И Р 2  два таких
перемещения, то для Р20Р1 имеем Р 2 ОР 1 (А) == Р 2 (А) ==
== А. Значит, дЛЯ Р 2 0Р 1 точка А также является
неподвижной. Ясно, что тождественное перемещение
оставляет точку А на месте. Кроме Toro, если F (А) ==
== А, то Fl (А) == А. Это доказывается так:
Поскольку Fl о F == Е  тождественное перемещение,
то
А == p1 о F (А) == Fl (А).
Таким образом, перемещение, обратное к перемещению
с неподвижной точкой А, само есть перемещение с He
подвижной точкой А.
Итак, перемещения, имеющие данную неподвижную
точку, образуют 2руппу. Понятно, что эта rруппз
является подrруппой в Ео (3). Кроме Toro, любые
такие подrруппы, одна из которых оставляет непо-
движной какуюнибудь точку А, а друrая  точку А', 
изоморфны между собой. Эти изоморфные rруппы при
нято обозначать 80 (3) или 80 (3)А, если мы хотим
указать конкретную неподвижную точку А.
rруппа 80 (3)А содержит в качестве подrрупп BC
rруппы поворотов BOKpyr осей, ПРОХОДЯЩИХ чере
132

точку А. Более подробная информаuия о rруппе SO (3)А
получается из следующеrо предложения.
Пр е Д л о ж е н и е 2.7. Любое nеремещеflие F из
SO (3)А имеет вид
F == Rfa о R,
2де II и 12  некоторые nрямые проходящие через tпоч..
ку А.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть В  некоторая точка
пространства, отличная от А и В' == F (В). Имеем
I АВ 1==1 АВ' 1; следовательно, точку В' можно COBMe
стить с точкой В посредством поворота Rl з BOKpyr
оси [2' перпендикулярной к плоскости ВАВ' (и прохо

дящей через точку А) на уrол 1', равный уrлу В' АВ.
Таким образом, композиция R о F оставляет на месте
'Точки А и В, а значит, и любую точку прямой 11 ==
=== (АВ). Следовательно, перемещение RloF есть пово
OT BOKpyr оси [1 на некоторый уrол а:
R о F == R.
Возьмем композицию этоrо поворота R и ПОБорота
R (3 R v.
12 == 12 ·
RP2 о R == R 12 V о R == R 1a у о R1 2 о F == R l 2 V + у о F == F,
что и требовалось доказать.
Выясним теперь, что происходит при трансформа
пии rруПпы 80 (3)А некоторым элеl\Jентом G Е Ео (3).
Прежде Bcero заметим, что для перемещений Простран
ства дословно остаются в силе рассуждения, предше
ствующие предложению 1.2 предыдущеrо пункта.
Именно, если F и G два перемещения из Ео (3) и
Н == G о F о O1, то перемещение Н полностью определя
ется формулой
н о G (Р) == G oF (Р),
совпадающей с формулой (2) предыдущеrо пункта.
Поэтому имеет место следующее утверждение
Пред л о ж е н и е 2.8. Если F перемещенuе из
80 (3) А, то Н == G о F о O1 есть пepeMeuieHue из еруппы
80 (3)G(A).
133

Доказательство. Так как Р(А)==А, то ука-
занная выше форrvtула принимает вид
Н о G (А) === G ор (А) === G (А),
т. е. перемещение Н оставляет неподвижной точку
G (А). Следовательно, Н Е SO (3)а(А).
Из этоrо предложения вытекает, в частности, что
никакая из rрупп SO (3)А не является инвариантной
подrруппой в Ео (3).
3 а м е ч а н и е. Предложение 2.8 можно усилить.
Именно, можно показать, что если перемещение F Е
Е SO (3)А разожено в композицию F == Rt о R, то
Н Е SO (3)0 (А) представляется в виде композиции
Н === R2 о R1' rде прямые т 1 и т 2 проходят через
точку G (А), причем уrол между этими прямыми равен
уrлу между прямыми [1 И [2' Доказательство этоrо
утверждения мы оставляеrvl читателю.
И, наконец, имеет место предложение, аналоrичное
предложению 1.4.
Предложение 2.9. (1) Любое nеремещение из
Ео (3) однозначным образом представляется в виде ком-
nозиlиu
F о т а,
еде F Е SO (3)А  nеремещение J имеющее даННУ10 неnо-
движную точку А, а Т а  nараллельный перенос .
(2) Любое перемещение из Ео (3) однозначным обра-
зом представляется в виде композиции
тьоа,
еде G Е 80 (3)А  nеремещение J имеющее данную неnо-
движную точку А, а Т ь  параллельный перенос.
Доказательство 3Toro предложения почти дословно
совпадает с доказательством предложения 1.4 и по-
ЭТОJ\1У 1\1Ы ero опускаем.
3. Конечные подrруппы rруппы перемещений про-
странства. В rлаве V были рассмотрены rруПпы само-
совмещениЙ правильных пирамид, rруппы диэдров (двоЙ-
ных пирамид) и rруппы самосовмещений правильных
мноrоrранников. Все эти rруппы имели конечный поря-
док. РеШИ1\1 теперь обратную задачу: найти все rруппы,
состоящие из конечноrо числа перемещений простран-
ства. Оказывается, что эmо именно mолько Чlпо nере-
134

численные еруппы и никакие дРУ2ие. Тем самым мы
получаем полный список конечных подrрупп rруппы
переl'л:ещений пространства.
Пусть r......такая конечная rруппа. Установим прежде
Bcero следующий результат.
Предложение 3.1. rpyппa r состоит только
из поворотов пространства.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Х  некоторое переме-
щение, содержащееся в rруппе r; тоrда r будет содер-
жать таКЖQ и все последовательные степени Х 2 , Х 3 , ...
переIVlещения Х . Поэтому прежде Bcero необходимо,
чтобы среди этих степеней было конечное число раз-
личных элементов. Следовательно, перемещение Х не
может быть параллельным переносом.
Действительно, предполаrая противное, обозначим
через а длину вектора параллельноrо переноса Х.
Степени Х также будут параллельными переносами,
длины векторов которых равны 2а, За и т. д. Все эти
параллельные переносы различны между собой и их
имеется бесконечное число.
Далее, перемещение Х не может быть винтовым
перемещением. В самом деле, если обозначить через а
длину вектора параллельноrо переноса, входящеrо
в винтовое перемещение Х, то перемещения Х 2 , Х 3 и
Т. д. будут содержать параллельные переносы, длины
векторов которых равны 2а, За, ... Следовательно,
все такие винтовые перемещения будут различны.
Остаются только повороты. Предложение дока-
зано.
Пр е Д л о ж е н и е 3.2. Все повороты 2руппы r, имею-
щие общую ось  являются степенями одНО20 из них 
именно тО20} которому соответствует наименьший
{j20Л поворота.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ,А с r ....... подмножество
поворотов из rруппы r, имеющих общую ось, R Е А 
поворот, имеющий наИfеньший уrол а. Покажем, что
2л Д u
а ==  , r де п....... положительное целое число. еистви-
n
теЛI)НО, в противном случае мы имели бы ka < 2п <
< (k + 1) а (k....... целое число). Поэтому УI'ЛЫ СХ 1 == 2л 
 k(1, и а 2 == (k + 1) а ....... 2л были бы ОТ личны от ну ля
и не превышали уrла сх. Кроме Toro, уrлы (1,1 и а 2
были бы уrлами поворотов около той же оси, что про-
тиворечит предположению,
135

Итак, мы показали, что поворот R, имеющий наи-
меньший уrол среди всех поворотов с общей осью,
удовлетворяет условию Rп == Е.
Докажем теперь, что всякий поворот из множества А
является степенью R. ДеЙС1вительно, если это не так,
то аналоrично только что доказанному соответствую
ЩИЙ повороту уrол  будет удовлетворять неравенст"
вам та<  < (т+ 1) а. Значит, поворот, которому
соответствует уrол   та, и который, очевидно, ПРИ
надлежит множеству А, будет иметь уrол, cTporo мень..
ШИЙ а. Предложение доказано.
Число п, фиrурирующее в этом предложении (т. е.
такое наименьшее положительное число, что Rп == Е),
называется порядком nО80рота.
П р е Д л о ж е н и е 3.3. Оси всех noвopoтoв npиHaд
лежаll1UХ с-руnпе r проходят через одну точку.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть R 1 И R 2  два поворота
из rруппы r. Покажем прежде Bcero, что их оси лежат
в одной плоСкости. Предположим противное, т. е., что
оси 11 И 12 поворотов R 1 И R 2 являются скрещиваю"
щимися прямыми. Соrласно теореме 2.3 поворот R 1
есть композиция двух опрокидываний относительно
пересекающихся осей т 1 и mi, пересекающих 11 под
прямыми уrлами, причем ml можно взять произвольно.
Точно так же поворот R 2 есть композиция двух опро
u u ,
кидыв.ании относительно пересекающихся осе и т 2 и т-J.,
пересекающих 12 под прямыми уrлами, причем т2
можно выбрать произвольно. Совместим прямые т! и
т; с общим перпендикуляром к осЯм 11 И 12. Опроки
дывания относительно них взаимно уничтожаются, так
что композиция R 2 о R 1 представляет собой композицию
опрокидываний относительно прямых m 1 'и m 2 . Прямые
т 1 и пХ 2 не MorYT пересекаться. В противном случае
определяемая ими плоскость содержала бы общий пер
пендикуляр к 11 и 1'1.. Поэтому прямые 11 и 12 оказались
бы перпендикулярными к этой плоскости (как прямые,
перпендикулярные каждая к двум прямым, лежащим
в плоскости) и, значит, параллельными в противоречие
с предположением. Следовательно, прямые m 1 и m 2 не
имеют обrцих точек, т. е. R 2 о R 1 не является ПОВОРОТО1VI.
Итак, мы доказали, что оси любых двух поворотов
из rруппы r лежат в одной плоскости.
Далее, эти оси не MorYT быть параллельными.
Действительно, если бы ПОБОрОТЫ R 1 И R 2 BOKpyr
]36

u
параллельных осеи имели равные, но имеющие проти"
воположные направления уrлы поворота, то R 2 о R 1
было бы нетождественным параллельным переносом.
Если же повороты R] и R 2 BOKpyr параллельных осей
имели бы неравные уrлы или же равные и одинаково
направленные уrлы, то композиции Rl о R 2 И R 2 о R 1
были бы поворотами на один и тот же уrол BOKpyr
различных осей, так что композиция R 1 о R 2 о (R 2 о Rl)l ===
=== R 1 о R 2 о R 1 l е R2 1 (очевидно, принадлежащая rруп-
пе r) была бы нетождественным параллельным пе-
реносом.
Итак, оси двух поворотов обязаmельно nересекаюmся
в некоmорой точке о.
Покажем теперь, что в rруппе r содержится ПОJj10-
рот R, ось KOToporo проходит через точку О и не лежит
в плоскости, проходящей через оси поворотов Rl И R 2 .
В самом деле, если R 1 и R 2  опрокидывания, то та..
ким поворотом будет композиция R 2 о R 1 . В противном
случае, если один из поворотов, скажем, Rl' не является
опрокидыванием, то таким поворотом будет R 1 · R 2 · R 11 .
Следовательно, ось любоrо поворота из rруппы r
должна - проходить через точку О, так как ОНа долж-
на пересекать оси поворотов Rl' R 2 И R. Предложение
3.3 доказано.
Пусть О  точка пересечения всех осей поворотов,
принадлежащих rруппе r. Пр и Mel\tl эту точку за центр
сферы S единичноrо радиуса. Для Toro чтобы изучить
повороты, принадлежащие Т, достаточно изучить их
действие на сфере S.
Любая ось поворота пересекает сферу S в двух
точках. Очевидно, что эти точки будут единственными
неподвижными относительно данноrо поворота точками
на сфере. Назовем их полюсами данноzо nоворота.
Полюс поворота может принадлежать сразу нескольким
поворотам rруппы r. Пусть, например, некоторому
полюсу соответствуют повороты R 1 ,..., Rk С уrлами
а 1 , ... , ctk, причем уrол а 1 наименьший из них. Тоrда
2л
а 1 необходимо имеет вид аl ==  (п  целое положи..
n
'Iельное число). Действительно, если бы было не так,
т
т. е. аl ==  2л, rде т и п  взаимно простые 1), то в
n
;1.) То есть наибольший общий J;1е.т.итель т и п равен еДинице.
137

rруппе r содержался бы поворот На уrол, CTporo мень..
ший CX 1 .
ДЛЯ Toro чтобы доказать это, будем считать, что
,п < п (случай т> n рассматривается аналоrично).
Представим число n в виде
п == [m + , ,
rде 0< , < т, и рассмотрим поворот Rl l , очевидно
принадлежащий rруппе F. Наименьший положительный
уrол этоrо поворота равен
1т nlm r
2л .......  2п == 2п ==  · 2п < С'Х l
. ппп '
что и требовалось доказать.
Все остальные повороты R2' ... , Rk будут степенями
поворота R 1 . Действительно, если бы уrол Р, соответ"
СТВУЮI.lий одному ИЗ этих поворотов, удовлетворял
неравенствам
: . 2л <  < т  1 2л I
то, взяв композицию этоrо поворота и поворота Rl т ,
МЫ получили бы поворот той же оси на уrол, cTporo
u 2л;
меньшИИ 11" == (Х1, что противоречит сделанному пред-
положению.
Назовем число n порядком, данноrо полюса пово"
рота. Леrко видеть, что полюс n-ro порядка принад"
лежит n  1 поворотам, не считая тождествен Horo.
Нашей ближайшей целью является получение фор..
мулы, связывающей порядок N rруппы r и порядки
п 1 , ..., nk различных полюсов поворота. Для ЭТоrо
введем следующее определение. Точки Рl И Р2 на сфере
S называются эквивалентными относительно rруппы r,
если существует такой поворот R Е F, что R (Рl) == Р2'
Таким обраЗОl\i, любая точка Р на сфере S имеет N
эквивалентных ей точек, которые получатся, если при..
менять к Р все повороты из rруппы F. Если точка Р
не является полюсом, то все эквивалентные ей точки
различны между собой. В самом деле, если несколько
эквивалентных точек совпадают с точкой р', то эта
точка будет полюсом HeKoToporo поворота R', но Tor да
точка Р будет полюсом поворота R.
Если же точка Р есть полюс nro порядка для по..
ворота R, то она совпадает с n  1 эквивалентными
138

ей точками. Пусть теперь р'..... некоторая точка, экви-
валентная точке Р и получающаяся из нее поворотом
R': Р' ==R'(P). Тоrда п из точек, эквивалентных точке Р,
а именно точки R' (Р), RR' (Р), R2R' (Р), ..., RпlR' (Р),
будут совпадать с точкой Р'.
Друrих точек, эквивалентных точке Р и совпадающих
с р', не существует. Действительно, если бы такие
точки существовали, то Р' была бы полюсом поворота
порядка т, причем т> п. Но тоrда и точка Р, кото-
рая получается из р' поворотом (R')l, была бы полю-
сом поворота порядка т. Следовательно, все N точек,
эквивалентных полюсу nro порядка р, по псовпадают
между собой. Таким образом, в этом случае точка Р
N I U
имеет Bcero лишь  различных эквивалентных еи то-
п
чек, учитывая и самое точку Р.
Пусть теперь Р 1 , ..., P k  неэквивалентные полюсы
поворотов, входящих в rруппу Т, п 1 , ... , nk  порядки
этих полюсов и N  порядок rруппы Т.
Предложение 3.4. Числа N, п 1 , ..., пk связаны
.ме{)/сду собою следующим соотношением.' .
( 1.....  ) + ( 1.....  ) +... + ( 1   ) == 2...... (4)
пl п2 пk N
д о к а з а т е л ь с т в о. Подсчитаем число поворотов,
которым принадлежат данные неэквивалентные полюсы
P 1 , ..., P k . Полюс Рl имеет порядок п 1 ; только что
N
мы установили, что эта точка имеет  различных эк..
пl
вивалентных ей точек. В то же время Р 1 есть полюс
п 1  1 поворотов, не считая тождественноrо. Каждая
из точек, эквивалентных точке Рl' также будет полюсом
N
п 1  1 поворотов. Поэтому Bcero мы имеем  (п 1 ..... 1) ==
пl
== N (1  1 ) ПОВОРОТОВ. Аналоrичные вычисления мож-
но проделать и для всех остальных полюсов, в резу ль-
тате чеrо мы получим полное число поворотов
N [( 1  :1 ) + ( 1  :2 ) + · · · + ( 1  n1k )]'
в это число не вошел тождественный поворот, зато
каждый из N....... 1 оставшихся поворотов вошел ровно
139

два раза (ведь все полюсы разбиваются на пары
диаметрально противоположных). Следовательно,
N [(1  J + ( 1   ) + · .. + ( 1  :J ] == 2 (N  1) .
откуда
( 1   ) + ( 1   ) + . . . + ( 1   ) == 2  ,
nl n2 nk N
что и требовалось доказать.
Соотношение (4) позволяет описать все конечные
подrруппы rруппы перемещений пространства.
Т е о р е м а 3.5. Конечные циклические zpynnbt (zpynпbl
nравИЛЬНbtХ nирамид) J zpynnbt диэдров и zpynпbt nравиль-
НЫХ МНОZО2ранников являюпlСЯ единствеННbtМИ конеЧНbtми
nодzруnnами zpynпbt nеремещений пространства.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как числа n l ,..., пk в
1 1
соотношении (4) больше или равны 2, то 1   >  2
n}
для всех j == 1, ... , k. Поэтому число k не может пре-
2
восходить трех, поскольку правая часть 2  N соотно-
2
шени'Я (4) cTporo меньше 2. В то же время 2 N  1,
а каждая из скобок в левой части (4) меньше 1.
Следовательно, число k не может быть равным 1.
Итак, для числа k имеются две возможности: k == 2 и
k == 3.
1. k == 2. В этом случае соотношение (4) превра-
щается в
( 1 ) + ( l  ) ==2
nl n2 N
или в
1 1 2
+==.
nl n2 N
(5)
Уравнение (5) имеет единственное решение n 1 === п 2 == N.
Действительно, в противном случае одно из чисел n 1
или п 2 превосходило бы N, что невозможно, поскольку
N должно быть кратным чисел п 1 и п 2 .
N N '
Так как  ==  === 1, то имеется Bcero лишь два
nl п2
различных полюса поворота И, значит, единственная
ось поворота.
140

Все повороты BOKpyr этой оси представляют собой
степени данноrо из них, т. е. мы имеем циклическую
rруппу конечноrо порядка. Такую rруппу обраЗУIОТ
самосовмещения правильноrо MHororpaHHoro уrла или,
что то же самое, самосовмещения правильной пирамиды
(см.  3, rл. У).
11. k == 3. В этом случае по крайней мере одно из
чисел n 1 , n 2 или n з равно 2, так как если бы OДHOBpe
1 2 1
l\ленно n 1  3, n 2  3 и n з  З, то 1     3 ' 1   ;::::
пl п2
212
""3' 1  пз ""3 ' откуда
( 1   ) + (1   ) + ( 1   ) ;::::2,
nl \ n2 пз
что невозможно. ПОЛОЖИ1\1 п з == 2. Тоrда соотношение (4)
примет в.ид
( 1   ) + ( 1   ) + ( 1   ) === 2  
пl n2 2 N
или
1 1 1 2
+==+.
nl п2 2 N
(6)
Решим уравнение (6) в целых положительных числах.
Прежде Bcero заметим, что если одно из искомых чисел,
например, n 1 , равно 2, то друrое число n 2 находится
из формулы
N
n 2 == 2 ·
в этом случае имеются два полюса и, следовательно,
единственная ось n2ro порядка. Все остальные ПОIЗо
роты, оси которых отличны от этой оси, будут опро
кидываниями. Очевидно, что оси этих опрокидываний
будут перпендикулярны к оси п2ro порядка и COCTaB
ляют между собой равные уrлы.
Такую rруппу образуют саl\10совмещения правиль
Horo мноrоуrольника в трехмерном пространстве или
двойной пирамиды (диэдра), см.  3, rл. v.
Итак, мы рассмотрели случай, коrда одно из чисел
п 1 или n 2 равно 2. Исключая ero, мы имееl\( одновре-
менно n 1 ;?: 3 и п 2  3. Однако оба эти числа не Moryr
быть больше 3, так как для nl  4 и n 2 ? 4 мы ИJ\1lеем
1 + 1 1 1 + 2 С u u
    2 <  2 N · ледовательно, по кр аинеи
пl nз
141

мере одно из чисел пl и п 2 равно 3. Будем считать,
что это число n 1 (в противном случае можно поменять
местами в уравнении (6) числа п 1 и п 2 ); тоrда
1 1 121
-з+-п-;== 2 +fj>2:'
откуда п 2 < 6. Итак, n 2 может принимать только три
значения, 3, 4, 5. Поэтому (с учетом симметрии урав-
нения (6) относительно переменных n 1 и n 2 ) мы полу..
чаем следующие пять решений:
1) 111-==п23' N==12;
2) n 1 == 3, п 2 == 4, N == 24;
3) n 1 ==4, n 2 ==3, N==24;
4) п 1 == 3, n 2 == 5, N == 60;
5) п 1 == 5, п 2 == 3, N == 60.
Для Toro чтобы завершить доказательство теоремы
нужно показать еще, что каждому полученному таким
сбразом решению соответствует некоторый правильный
l\1ноrоrранник, и, следовательно, rруппа всех ero само-
совмещений. Эту часть доказательства мы опускаем............
она требует средств, несколько выходящих за рамки
настоящей книrи. Полное доказательство читатель най..
дет во втором томе «Элементарной rеометрии» Ж. Адамара.
В заключение отметим, что перечисленными под-
rруппами отнюдь не исчерпывается множество всех
подrрупп, лежащих в rруппах Е (2) и Е (3). Среди всех
подrрупп Е (2) и Е (3) особое значение для различных
областей естествознания имеют так называемые кри-
сталлоrрафические rруппы. Они определяются следу-
10ЩИМ образом.
Назовем nространственной решеткой Бравэ (или
nространственным кристаллом) множество L, образо-
ванное всеми точками пространства с радиусами-векто-
рам и R вида
R == n1e 1 + n2 + nзез,
rде e 1 , е2 и ез ............ три некомпланарных вектора, а п 1 , п2
и nз  всевозможные целые числа. Аналоrично опре-
деляется плоская petUemKa Б равэ (плоский кристалл).
Множество перемещений пространства (соответственно
плоскости), переводящих решетку L в себя, называется
пространсmвенной крuсталлоерафической еруппой (соот..
ветственно плоской крuсталлоерафuческой еруппоЙ) и
142

обозначается через 0з (L) (соответственно 02 (I..J». Ясно,
что множество Оз (L) (соответственно 02 (L») является
подrруппой rруппы Е (3) (соответственно rруппы Е (2»).
Аналоrично тому, как мы описали конечные rруппы
перемещений, можно получить полную классификацию
всех кристаллоrрафических rрупп (правда, затратив на
это значительно больше времени и усилий). Оказывается,
что существуют ровно 17 неизоморфных друr друrу
плоских кристаллоrрафических rрупп и 230 неизоморф-
ных пространственных кристаллоrрафических rрупп.
Каждой из этих rрупп отвечает соответствующая пло-
ская или пространственная решетка. 11HTepecHo отме-
тить, что эти плоские решетки были обнаружены еще
в древности еrипетскими архитекторами и художниками,
в то время как классификация трехмерных решеток
была получена лишь в конце прошлоrо столетия.

/lавел Сер2еевuч Александров
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ rрупп
М., 1980 r., 144 стр. с илл.
(Серия: Библиотечка «BaHT)
Редактор В. Ф. ПаХОМО8
Техн. редактор Е. В. Морозова
Корректор Т.. С. Вайсбера
ИБ NQ 11625
Сдано в набор 29.04.80. Подписано к печати 28.07.80. Т-14613. Бумаrа
84ХI08 t /З2, тип. 1'/9' 1. Литературная rарнитура. Высокая печать. Условн.
Dеч. л. 7,56. Уч.-изд. л. 7,46. Тираж 100 000 экз. Заказ Н! 1312. Цена 25 коп.
:J1здательство «Наука,.
rлавная редакция Физико-математической литературы
117071, Москва, В-71. Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудовоrо KpacHoro Знамени Ле-
Ifинrрадское производственно-техническое об'Ьединение «Печатный Двор.
имени А. М. rOpbKoro «Союзполиrрафпрома:. при rосударственном коми-
тете СССР по делам издательств, полиrрафии н книжной торrовли_
197136, Ленинrрад. П-136, Чкаловский пр., 15.