к
к
.Г. в г н
. .Ту ин
URSS

В. Г. Звягин, М. В. Турбин
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ВОПРОСЫ
ГИДРОДИНАМИКИ
ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕД
URSS
МОСКВА

ББК 22.18 22.253.3
Звягин Виктор Григорьевич,
Турбин Михаил Вячеславович
Математические вопросы гидродинамики вязкоупругих сред.
М.: КРАСАНД, 2012. — 416 с.
В настоящей монографии на основе аппроксимационно-топологического
подхода к исследованию задач гидродинамики исследуется разрешимость в слабом
смысле начально-краевых задач для класса вязкоупругих сред типа Кельвина—Фойгта.
Наряду с различными результатами о разрешимости рассматриваемых задач, для
одной из таких моделей получены результаты о существовании минимального
траекторного и глобального аттракторов и существовании решения задачи
оптимального управления с обратной связью, минимизирующего заданный функционал
качества. Также для удобства читателя приведены используемые в книге понятия
степени Лере—Шаудера вполне непрерывных векторных полей, степени
многозначных вполне непрерывных векторных полей с компактными выпуклыми значениями
и теоремы о компактности вложения.
Издательство «КРАСАНД». 117335, Москва, Нахимовский пр-т, 56.
Формат 60x90/16. Печ. л. 26. Зак. № ЖН-95.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 11 А, стр. 11.
ISBN 978-5-396-00458-0
©КРАСАНД, 2012
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
UR8S
E-mail: URSSQURSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс (многоканальный):
+ 7(499)724 2545
12279 ID 162789
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то
электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельца.

Оглавление
Введение 8
1. Математические модели вязкоупругих сред 13
1.1. Задача описания движения жидкости 13
1.2. Реология — наука о течении жидкости 20
1.3. Метод механистических моделей 22
1.4. Модель тела Кельвина—Фойгта 24
1.4.1. Структурная модель тела Кельвина—Фойгта ... 24
1.4.2. Вывод реологического соотношения для модели
тела Кельвина—Фойгта 26
1.4.3. Свойства материалов, описываемых
реологическим соотношением (1.4.2) 27
1.5. Обобщенная модель тела Кельвина—Фойгта 29
1.5.1. Вывод реологического соотношения для
обобщенной модели Кельвина—Фойгта, состоящей из двух
элементов 29
1.5.2. Реологическое соотношение для обобщенной
модели тела Кельвина—Фойгта порядка L, (L =
1,2,...) 31
1.6. Модель движения жидкости Фойгта 32
1.7. Обобщенная модель движения жидкости Кельвина—
Фойгта порядка L,(L = 1,2,...) 32
1.8. Математическая модель слабоконцентрированных
водных полимерных растворов 33
1.9. Модель жидкости Ривлина—Эриксена второго порядка . 35
1.9.1. Принцип объективности поведения материала . . 37
2. Две постановки начально-краевых задач для
обобщенной модели движения жидкости Кельвина—Фойгта.
Существование и единственность слабого решения в
каждой из постановок 43
2.1. Об обобщенной модели движения жидкости Кельвина-
Фойгта 43

4
Оглавление
2.2. Необходимые обозначения 44
2.3. Вспомогательные утверждения 47
2.3.1. Слабая и *-слабая сходимость 53
2.3.2. Определение и свойства преобразования Лапласа 58
2.4. Две постановки начально-краевых задач и
формулировка основных результатов 61
2.4.1. Первая постановка 61
2.4.2. Вторая постановка 63
2.5. Вспомогательная задача 66
2.5.1. Постановка задачи о слабых решениях и
формулировка основного результата 66
2.5.2. Операторные уравнения эквивалентные задаче о
слабых решениях задачи (2.5.1)—(2.5.4) и
исследование свойств операторов из этих уравнений . . 67
2.5.3. Априорная оценка 87
2.5.4. Доказательство теоремы 2.5.1 95
2.5.5. Доказательство теоремы 2.5.2 99
2.6. Доказательство теоремы 2.4.2 100
3. Существование и единственность слабого решения
начально-краевой задачи для модели движения жидкости
Фойгта в области с зависящей от времени границей 112
3.1. О начально-краевых задачах в областях с зависящей от
времени границей 112
3.2. Постановка задачи о слабых решениях и формулировка
основного результата 113
3.2.1. Функциональные пространства и
вспомогательные утверждения 114
3.2.2. Определение слабого решения и основной результат 117
3.3. Аппроксимационная задача 119
3.4. Операторная трактовка аппроксимационной задачи и
свойства операторов 120
3.5. Априорная оценка для слабых решений
аппроксимационной задачи 128
3.6. Теорема существования слабого решения
аппроксимационной задачи 136
3.7. Предельный переход в аппроксимационной задаче
(3.3.1)-(3.3.4) при ε -* 0 138

Оглавление
5
3.8. Предельный переход в задаче (3.7.13), (3.7.14) при δ —> 0 145
3.8.1. Априорная оценка для решений задачи (3.7.13),
(3.7.14) 145
3.8.2. Предельный переход в задаче (3.7.13), (3.7.14)
при δ -► 0 149
3.9. Единственность слабого решения 154
4. Слабая разрешимость начально-краевой задачи для
математической модели движения
слабоконцентрированных водных полимерных растворов 159
4.1. О модели движения слабоконцентрированных водных
растворов полимеров 159
4.2. Обозначения и вспомогательные утверждения 160
4.3. Постановка задачи о слабых решениях начально-краевой
задачи (4.1.2)-(4.1.5) 167
4.4. Аппроксимационная задача 168
4.4.1. Операторная трактовка аппроксимационной задачи 169
4.4.2. Свойства операторов из операторных уравнений
(4.4.3) и (4.4.4) 171
4.4.3. Априорная оценка 187
4.4.4. Теорема существования решения
аппроксимационной задачи 194
4.5. Доказательство теоремы 4.3.1 196
5. Аттракторы математической модели движения
слабоконцентрированных водных растворов полимеров 202
5.1. Постановка задачи 202
5.2. Необходимые определения и утверждения из теории
аттракторов 203
5.2.1. Некоторые пространства функций, определённых
на R+ и принимающих значения в банаховом
пространстве 203
5.2.2. Аттракторы неинвариантного пространства
траекторий 206
5.3. Вспомогательные утверждения и функциональные
пространства 208
5.4. Слабая постановка задачи и аппроксимация 209
5.5. Свойства операторов 211
5.6. Априорные оценки 221
5.7. Существование решений 229

6
Оглавление
5.8. Пространство траекторий и аттракторы 243
6. Оптимальное управление в задаче с обратной связью
для математической модели движения
слабоконцентрированных водных полимерных растворов 248
6.1. О задачах оптимального управления 248
6.2. Функциональные пространства 249
6.3. Постановка задачи и основной результат 250
6.4. Аппроксимационная задача и её операторная трактовка 252
6.4.1. Свойства операторов из операторного включения
(6.4.3) 253
6.5. Существование решения задачи 6.4.1 255
6.5.1. Априорные оценки 256
6.5.2. Теорема существования решения задачи 6.4.1 . . . 260
6.6. Доказательство теоремы 6.3.1 261
6.7. Доказательство теоремы 6.3.2 265
7. Слабая разрешимость начально-краевой задачи для
математической модели движения жидкости второго
порядка 268
7.1. Модель движения жидкости второго порядка 268
7.2. Постановка задачи 271
7.3. Аппроксимационная задача 283
7.4. Функциональные пространства и вспомогательные факты 283
7.4.1. Неравенство Бихари 284
7.4.2. Сведения из теории линейных фредгольмовых
отображений 287
7.5. Определения слабых решений поставленных начально-
краевых задач 288
7.6. Операторные уравнения . . . 290
7.7. Исследование свойств операторов из операторных
уравнений (7.6.1) и (7.6.2) 291
7.8. Априорные оценки решений 310
7.9. Разрешимость аппроксимационной задачи 330
7.10. Теорема существования и единственности слабого
решения задачи (7.2.4), (7.2.5), (7.2.18), (7.2.19) при малых
данных 331
А. Теория топологической степени Лере—Шаудера 343
А.1. Основные факты теории степени отображений
конечномерных пространств 343

Оглавление
7
Α.2. Вполне непрерывные отображения нормированных
пространств 348
А.З. Определение степени Лере—Шаудера вполне
непрерывных векторных полей 351
А.4. Корректность определения степени вполне непрерывных
векторных полей 353
А.5. Свойства степени вполне непрерывных векторных полей 355
А.6. Различные варианты теоремы Шаудера 361
А.7. Признаки гомотопии вполне непрерывных векторных
полей 364
B. Теория степени вполне непрерывных многозначных
отображений с компактными выпуклыми значениями 368
8.1. Сведения из теории многозначных отображений 368
8.2. Определение и свойства степени для вполне
непрерывных мультиотображений 371
В. 2.1. Конструкция топологической степени для вполне
непрерывных мультиполей 372
В.2.2. Свойства топологической степени вполне
непрерывных мультиполей 378
C. Теоремы о компактности вложения 380
С.1. Классические критерии компактности 380
С.2. Компактность в Lp(0,T;E) 381
С.З. Компактность множества функций со значениями в
«промежуточном» пространстве 388
С.4. Теорема Обена—Дубинского— Симона 391
С.5. Теорема о «частичной» компактности 398
Литература
400

Введение
Изучение движения жидкости с давних времен является источником
большого числа задач в математике. При попытках изучения даже
самых простых математических моделей движения жидкости возникает
большое число проблем, многие из которых не решены и по сей день.
Исторически первой научной работой в этом направлении видимо
является трактат Архимеда «О плавающих телах», в котором
впервые вводится понятие давления как основной характеристики
взаимодействия частиц жидкости и используется предположение о
несжимаемости жидкости. На основе этих двух механистических предпосылок
начала развиваться гидростатика, для развития которой был
использован существовавший на тот момент математический аппарат
геометрии Евклида. Собственно создание гидродинамики (науки о движении
жидкости) связано с именами Галилео Галилея, Гюйгенса, Блеза
Паскаля и Исаака Ньютона и было обусловлено созданием основ
дифференциального и интегрального исчисления. Дальнейшее развитие
гидродинамики связано с именами Леонарда Эйлера, Даниила Бернулли,
Лагранжа, Пуассона, Людвига Прандтля, Копта, Навье, Стокса, Сен-
Венана, Пуазейля, Осборна Рейнольдса и многих других. Именно
этими учеными был существенно развит существовавший на тот момент
математический аппарат и была собственно создана классическая
гидродинамика. Для того чтобы характеризовать физическое поведение
жидкости ими были получены различные системы
дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять скорость, давление
и плотность жидкости как функции от времени и координат точки
пространства.
В течение последних полутора столетий в основном изучались
различные начально-краевые и краевые задачи для классических
систем уравнений гидродинамики — системы уравнений Эйлера и
системы уравнений Навье—Стокса. Тем не менее, вот уже на протяжении
более ста лет, основной вопрос: проблема глобального по времени
существования гладкого решения начально-краевой задачи для
системы уравнений Навье—Стокса при гладких начальных данных
остается открытым. Пока существование такого решения доказано только
для случая плоскопараллельных течений. В трехмерном случае для

Введение
9
системы уравнений Навье—Стокса доказано существование решения
при малых данных задачи.
Одним из возможных выходов из сложившейся ситуации стало
применение обобщенной постановки начально-краевой задачи с
использованием некоторого равенства функционалов. Данный подход изложен,
например, в работе Ж. Лере [117], монографиях О.А. Ладыженской
[40] и Р. Темама [71] и имеющейся в них библиографии. В частности
в этих работах описаны различные функциональные методы решения
начально-краевых задач гидродинамики. Для всех этих методов
характерен переход к обобщенной постановке задачи, при которой
исходное уравнение заменяется уравнением в некотором пространстве
функционалов. Решение такой задачи называют обобщенным
решением. Отметим, что любое классическое решение всегда является
обобщенным решением, обратное же удается установить не всегда. Переход
от классической постановки задачи к обобщенной обычно обусловлен
тем, что существование, а иногда и единственность обобщенного
решения доказывается намного проще. Например, для системы уравнений
Навье—Стокса доказано глобальное по времени существование слабого
решения начально-краевой задачи. Однако проблема единственности
этого решения остается открытой.
Основу функциональных методов составляют также априорные
оценки решений. Данные оценки зачастую доказываются для точных
решений и тогда существование решения показывается с помощью
различных теорем о неподвижной точке или теории топологической
степени. Однако, оценка не всегда доказывается для самих решений,
скажем в широко распространенных методе Галёркина—Фаэдо и методе
конечных разностей априорная оценка получается для галёркинских
или соответственно конечно-разностных приближений, а после уже
показывается, что эти приближения сходятся к решению исходной
задачи.
В последнее время получил развитие ещё один метод
исследования, а именно аппроксимационно-топологический подход к решению
такого рода задач [24], [148]. В этом случае переходят от исходной
начально-краевой задачи к эквивалентным операторным уравнениям в
естественных для данной задачи пространствах. При этом, если
операторы в полученных уравнениях обладают достаточно хорошими
свойствами, то разрешимость этих операторных уравнений доказывается
на основе априорных оценок решений при помощи теории
топологической степени (см., например, [73], [74]). Однако, для более сложных
задач оказывается, что операторы из полученных уравнений не облада-

10
Введение
ют необходимыми свойствами для прямого использования какой-либо
теории разрешимости уравнений. При аппроксимационно-топологиче-
ском подходе рассматривают некоторые аппроксимационные
уравнения в более гладких функциональных пространствах и обладающие в
этих пространствах более лучшими свойствами чем исходные. Данные
уравнения обычно получаются из исходных добавлением членов
высшего порядка с малым параметром (см., например, [28], [148]) или
сглаживанием нелинейных членов (см., например, [24], [98], [146], [147]) или
каким-нибудь другим способом. После этого для аппроксимационных
уравнений при помощи теории топологической степени доказывается
существование решений во введенных более гладких функциональных
пространствах и затем на основе априорных оценок этих решений в
естественных для исходной задачи пространствах делается
предельный переход, то есть показывается, что решения аппроксимационных
уравнений сходятся в некотором смысле к решению исходных
уравнений в более широком пространстве. Отметим, что
аппроксимационные уравнения обладают как правило более естественными
свойствами непрерывной зависимости решения от правой части и начального
условия, то есть при малых изменениях начального условия и правой
части уравнения мы получаем малое изменение множества решений
в следующем смысле: для любой окрестности U множества решений
аппроксимационного уравнения существует окрестность V правых
частей и начальных условий такая, что множество решений
аппроксимационных уравнений с правыми частями и начальными условиями из
V содержится в U. Это свойство уравнений (см. подробнее в [22])
называется свойством корректной разрешимости уравнений и в каком то
смысле является аналогом для нелинейных уравнений свойства
непрерывной зависимости решений от правых частей и начальных данных.
Наличие этого свойства позволяет применять для уравнений
различные методы нахождения приближённых решений и исследовать их
сходимость к решению этого уравнения. К сожалению, не удается
установить свойство корректной разрешимости, сформулированное выше,
для большинства эволюционных задач гидродинамики. По-видимому
эти уравнения (в том числе и порожденные системой Навье—Стокса
в трёхмерном случае) не обладают свойством корректной
разрешимости.
Отметим здесь, что другие подходы к исследованию разрешимости
начально-краевых задач гидродинамики (метод Галёркина—Фаэдо,
метод теории полугрупп, итерационные методы), как правило,
основываются на хороших свойствах операторов (положительная опреде-

Введение
11
ленность, самосопряженность), определяемых линейной частью
уравнения, что бывает не всегда и зависит от начальных условий. При ап-
проксимационно-топологическом подходе существуют более широкие
возможности для исследования задач с различными краевыми
условиями. В частности, этот подход позволил исследовать
начально-краевые задачи с условием проскальзывания на границе без выбрасывания
конвективных членов уравнений (см. [112]).
Монография состоит из введения, семи глав, трёх приложений и
списка литературы.
В первой главе излагаются основные характеристики движения
жидкости и описываются исследуемые математические модели.
Во второй главе предлагаются две постановки начально-краевых
задач для обобщенной модели движения жидкости Кельвина—Фойг-
та произвольного порядка L = 1,2, В каждой из предложенных
постановок доказывается существование и единственность слабого
решения.
В третьей главе исследуется начально-краевая задача для модели
движения жидкости Фойгта в области с зависящей от времени
границей. Доказывается теорема существования и единственности слабого
решения данной задачи.
В четвёртой главе изучается начально-краевая задача для
модели движения слабоконцентрированных водных полимерных
растворов. Получена теорема существования слабого решения изучаемой
задачи.
В пятой главе доказывается существование минимального траек-
торного и глобального аттракторов для начально-краевой задачи для
модели движения слабо концентрированных водных полимерных
растворов.
В шестой главе рассматривается задача оптимального
управления с обратной связью для математической модели движения
слабоконцентрированных водных полимерных растворов. Доказывается
существование оптимального решения, дающего минимум заданному
ограниченному и полунепрерывному снизу функционалу качества.
В седьмой главе исследуется начально-краевая задача для
модели движения жидкости Ривлина—Эриксена второго порядка.
Доказана теорема существования и единственности слабого решения при
условии малости на данные задачи.
В приложении А приведена конструкция степени Лере—Шаудера
для вполне непрерывных векторных полей и некоторые свойства этой
степени.

12
Введение
В приложении В излагается конструкция топологической степени
для вполне непрерывных многозначных векторных полей с
компактными выпуклыми значениями.
В приложении С приведены результаты Симона [137] о
компактности вложения пространств, часто используемые при исследовании
задач гидродинамики.
Факты, изложенные в приложениях, используются на протяжении
всего изложения и приведены для удобства читателя.
При написании настоящей работы мы знакомили с отдельными
главами наших коллег и учеников. Хотелось бы выразить особую
признательность профессору Орлову Владимиру Петровичу, прочитавшему
рукопись книги и сделавшему ряд полезных замечаний.

Глава 1.
Математические модели вязкоупругих сред
1.1. Задача описания движения жидкости
Пусть Ω С R3 — ограниченный сосуд с границей Г = 5Ω, целиком
заполненный некоторой средой, которую в дальнейшем будем называть
жидкостью (рисунок 1). Жидкость будем представлять как
совокупность материальных частиц, заполняющих сосуд Ω , причём эти
частицы будем считать настолько малыми, что их молено отождествлять с
точками объёма Ω.
1 хз
#2
XI
Рисунок 1.

14 Глава!. Математические модели вязкоупругих сред
Под движением жидкости мы будем понимать движение
материальных точек объёма Ω . Таким образом, описать путь, который проходит
каждая точка объёма Ω за время to ^ t ^ Т, это и означает описать
движение жидкости за это время. Пусть в трёхмерном пространстве
зафиксирована ортогональная система координат и е i, e 2, е$ —
векторы соответствующего базиса. Сосуд с жидкостью Ω будем
рассматривать как область в трёхмерном пространстве, а положение
движущейся точки объёма Ω (или, что то лее, частицы жидкости) молено описать
с помощью вектор-функции
x(t) = xi(t)ei +X2(t)e2 +яз(*)е3.
Если в начальный момент времени to частица жидкости занимала
положение Хо, а её движение описывается с помощью закона x(t), то
x(to) = Xq.
Каждой частице объёма Ω соответствует своя вектор-функция х(£),
описывающая её движение. Таким образом, движение жидкости будет
описано, если будут найдены все эти вектор-функции x(t).
Зафиксируем момент времени t. В этот момент времени частица
жидкости, двигающаяся по закону x(t), имеет скорость
x(t) = x\(t)ei +X2(t)e2 +хз(*)ез-
Обозначим через v(t, x) — скорость частицы жидкости, находящейся
в момент времени t в точке х. Тогда
x(t) = v(t,x(t)).
Отсюда следует, что если известны скорость движущейся жидкости
в каждой точке χ Ε Ω в каждый момент времени t, то есть известна
вектор-функция v(t,x), определённая для всех χ С Ω и t Ε [£о>^1> то,
для того чтобы найти вектор-функцию х(£), описывающую движение
частицы жидкости, занимающей в начальный момент ίο положение Хо,
надо решить следующую задачу Коши для векторного
дифференциального уравнения:
-^ = v(t,x(t)), t0^t^T,xen, (1.1.1)
at
x(t0)=x0. (1.1.2)
Отметим, что зачастую оказывается, что функция ν не является
достаточно гладкой по t для того, чтобы молено было применить
классические результаты о разрешимости задачи Коши. В работе [128] дано
уточнение теорем разрешимости задачи Коши. Приведём одну из них.

1.1. Задача описания движения жидкости
15
Будем предполагать, что ν G L\(to,T;C(£l)n). Рассмотрим
интегральное уравнение:
t
x(t) = χ0+ v(s,x(s))ds. (1.1.3)
ίο
Под решением уравнения (1.1.3) будем понимать вектор-функцию χ G
G C([to,T],U), которая удовлетворяет уравнению (1.1.3).
Ясно, что каждое решение задачи (1.1.1), (1.1.2) является решением
уравнения (1.1.3). Но при условии υ G Li(to,T;C(Q,)n) верно и
обратное. Каждое решение уравнения (1.1.3) является решением (1.1.1),
(1.1.2). Это следует из того, что если х — решение уравнения (1.1.3),
то v(-,x(-)) G Li(to,T) и, следовательно, производная от интеграла
вектор-функции ν(·,χ(·)) существует при почти всех t G (to, T) и
t
— / v(s,x(s))ds = v(t,x(t)).
to
При этом непосредственно из того, что х — решение уравнения (1.1.3)
получаем, что x(to) = xq. Что и означает, что х — решение (1.1.1),
(1.1.2).
Поэтому в дальнейшем вместо задачи (1.1.1), (1.1.2) будем
рассматривать эквивалентное ей уравнение (1.1.3).
Теорема 1.1.1. Пусть ν G Li(to,T;C(ti)n) и v(t,x) = О при t G
G (to,Τ) и χ Ε 9Ω. Тогда решение уравнения (1.1.3) существует для
всех t e[to,T].
Доказательство. Пусть υ — продолжение вектор-функции ν нулем
вне [to,T] χ Ω. Рассмотрим интегральное уравнение
t
x(t) = x0+ v(s,x(s))ds, teR. (1-1-4)
ίο
Определим оператор К : C([t0,T],Rn) -» C([t0,T],Rn) равенством
t
K(x)(t) = xq+ v(s,x(s))ds.
to

16
Глава!. Математические модели вязкоупругих сред
Покажем, что оператор К непрерывен. Для этого рассмотрим
операторы
KE(x)(t) =x0+ v£(s,x(s))ds,
to
где
ve(t,x) = - / v(s,x)ds, ε > 0.
Тогда операторы Κε непрерывны и справедлива оценка
τ
\\c(Q)nds·
1
\\К(х) - K£(x)\\c{[t0,nRn) ^ f \\v(s, ·) - v£(s, ·
ίο
Но так как \\v — i5e||Ll(io Т]С(П)п) ~* 0 ПРИ e ~* ^> το ^ε ~ непрерывные
аппроксимации оператора К, а значит К — непрерывный оператор.
Далее, заметим, что оператор К переводит всё пространство
C([to,T],Rn) в ограниченный шар из него же. Действительно,
\\к(*)\\с{Цо,т\,*п) < Ы + у Ив,-Л1с(й)·
ίο
c>\nds ^ С, где С = const.
Далее покажем, что семейство функций {К(х),х Ε C([to,T],Rn)}
равностепенно непрерьшно. Действительно, для любой χ Ε
Ε C([to,T],Rn) справедлива оценка
*2
\\К{х){Ь) - K(x)(t2)\\ ^ J Ms, -)\\C(u)nds.
и
Тогда в силу теоремы Арцела множество {К(х),х Ε C([to,T],Rn)}
относительно компактно в С ([to, Τ], Rn), а значит К — вполне
непрерывное отображение.
Применяя теорему Шаудера о неподвижной точке к шару
пространства C([to,T],Rn) с центром в нуле и радиуса С, получаем, что в этом
шарю у оператора К имеется неподвижная точка, и, следовательно,
уравнение (1.1.4) имеет решение χ Ε C([to,T],Rn).
Покажем, что на самом деле χ является решением уравнения (1.1.3).
Для этого достаточно доказать, что χ Ε С ([to, Τ], Ω) при xq E Ω.

1.1. Задача описания движения жидкости
17
Предположим противное, что существует t\ такое, что x(t\) £ Ω.
Пусть t<i — нижняя грань таких точек, для которых x(s) φ Ω и 5 ^ t\.
Тогда xfo) £ dfl. Но в силу того, что v(t,x) = О для χ £ Ω, имеем
x(s) = x{t2) для t<i ^ 5 ^ t\. В частности, x(t\) = x{t2) G Ω. Получили
противоречие. D
Таким образом, для того, чтобы описать движение жидкости,
достаточно знать распределение скоростей жидкости в каждой точке χ G Ω
в каждый момент времени t Ε [to, T] или, что то же самое, знать
вектор-функцию v(t,x).
Для определения вектор функции v(t,x), исходя либо из
принципа Даламбера, либо из второго закона Ньютона, получаем следующее
уравнение, называемое общим уравнением движения среды,
записанное ниже в векторной форме:
ldxi
OwTH=pf.
(1.1.5)
Здесь f(t,x) —плотность внешних сил (их также называют
объемными), действующих на частицы среды (например, плотность поля
гравитационных сил), p(t,x) —плотность жидкости, Тн — тензор
напряжении, a DivΤη^,χ) —дивергенция тензора Τπζί,χ), то есть вектор
2^ dxj
Λ drH2j(t,x)
L> дх3
j=i J
3
γ^ dTH3j(t,x)
dxj
3
-Σ
/dTHlj(t,x)\
dxj
dTH2j(t,x)
dxj
dTH3j(t,x)
dxj
Если жидкость несжимаемая, то для неё имеется несколько больше
информации. Во-первых, для нее
div v(t,x)
Σ
dvj(t,x)
dxj
0.
(1.1.6)
Во-вторых, след тензора напряжений Тн считается полностью
независимым от характеристик деформации и в этом случае удобно ввести
еще одну неизвестную скалярную функцию
p(t,x) = -- tr Гя,
(1.1.7)

18
Глава!. Математические модели вязкоупругих сред
называемую давлением, и тензор
с = Тн-±ЫТн1, (1.1.8)
называемый тензором касательных напряжений (девиатором тензора
напряжений). Он характеризует силы внутреннего трения в жидкости
(здесь / — единичный тензор).
В-третьих, будем считать плотность постоянной и равной единице,
то есть
p(t,x) = l. (1.1.9)
Заметим, также что
Div(pJ) = Vp. (1.1.10)
Суммируя всё вышесказанное из (1.1.5)—(1.1.10) получаем
следующую систему уравнений (часто в литературе она называется системой
уравнений в форме Коши [16], [78]):
|+E^-Div^Vp = /; (1.1.11)
divv = 0. (1.1.12)
Система (1.1.11), (1.1.12) описывает течение всех видов
несжимаемых сред с постоянной плотностью, но при этом она содержит девиа-
тор тензора напряжений, который явно не выражен через неизвестные
ν и ρ этой системы. Чтобы выразить девиатор тензора напряжений σ
через неизвестные системы (1.1.11), (1.1.12), как правило,
используют соотношения между девиатором тензора напряжений и тензором
скоростей деформаций
и их производными по времени. Устанавливая связь между
девиатором тензора напряжений и тензором скоростей деформаций и их
производными, мы тем самым устанавливаем тип жидкости. Такое
соотношение называют определяющим или реологическим соотношением.
Необходимо отметить, что эти соотношения относятся к разряду
гипотез, которые должны подтверждаться для конкретных жидкостей
экспериментальными данными.

1.1. Задача описания движения жидкости
19
Простейшим примером определяющего соотношения, отвечающим
идеальной несжимаемой жидкости, является уравнение:
σ = 0.
Движение идеальной несжимаемой жидкости описывается
уравнениями Эйлера:
dwv = 0. (1.1.14)
В течение последних полутора столетий основным объектом
исследования математиков в области гидродинамики является модель
ньютоновской жидкости. Её реологическое соотношение имеет вид:
σ = ΊνΕ, ν > О, (1.1.15)
где ν — кинематический коэффициент вязкости. Подставляя это
соотношение в (1.1.11), (1.1.12) получаем хорошо известную систему
уравнений Навье—Стокса:
g + E^-^ + VP = /, (1.1.16)
div<y = 0. (1.1.17)
Эта система уравнений описывает течение при умеренных скоростях
большинства встречающихся на практике вязких несжимаемых
жидкостей.
Однако, уже в середине XIX века стали известны такие вязкие
несжимаемые среды, которые не подчиняются ньютоновскому
определяющему соотношению. Они получили название «неньютоновские
жидкости». Таковыми являются, например, жидкости, в которых после
прекращения движения напряжения не обращаются мгновенно в нуль,
а спадают по некоторому закону, то есть имеет место релаксация
напряжений. А также жидкости, в которых после снятия напряжений
движение не прекращается мгновенно, а затухает по некоторому
закону, то есть имеет место запаздывание деформации. И также те
жидкости, в которых имеют место оба этих эффекта. Впервые модели таких
жидкостей были предложены в XIX веке Дж. Максвеллом [64], [65] и
были развиты в середине XX века в значительной степени благодаря
работам Дж. Г. Олдройта [48], [127]. Об одном классе таких моделей —
о моделях некоторого класса вязкоупругих сред и пойдёт речь далее.

20
Глава!. Математические модели вязкоупругих сред
1.2. Реология — наука о течении жидкости
Реология является довольно таки молодой наукой. По словам Рей-
нера [65] она возникла в тридцатые годы двадцатого века. Термин
«реология» происходит от греческого глагола «£έω» — «течь», поэтому
«реология» — наука о течении. Однако, в настоящее время этот термин
употребляется в более широком смысле: под ним понимается раздел
физики, изучающий деформации материалов.
Необходимо пояснить возникшее понятие. Деформацией называется
относительное смещение частиц материального тела, при котором не
нарушается непрерывность самого тела.
Как известно, раздел физики, который рассматривает движение тел,
называется механикой. Теоретическая механика имеет дело с
материальной точкой, с системой материальных точек, с абсолютно твердым
телом и с системой абсолютно твердых тел. Во всех этих случаях
свойства материала, из которого состоят тела, не рассматриваются. В
качестве примера молено рассмотреть движение планет солнечной
системы. При этом планеты считаются материальными точками, и только
масса планет играет роль при решении задачи. Для постановки
задачи безразлично из чего состоят планеты. Планеты будут двигаться по
тем лее самым орбитам и если они состоят из резины, и если они
состоят из глины, и если они состоят из воды, хотя механические свойства
этих материалов весьма различны: вода — жидкая, резина —упругая,
а глина — пластичная. Движения всех таких тел, если они движутся
как целое, одинаковы.
Однако, если рассматривать перемещение отдельных частей таких
тел друг относительно друга, то получатся совсем другие
результаты. Под действием сил они деформируются. Одни тела —упруги, то
есть деформация, имея определённую величину под действием
определённой силы, полностью исчезает после прекращения действия силы.
Другие — пластичны, то есть наблюдается остаточная деформация
после того, как силы перестали действовать. Третьи тела текут, то есть
под действием конечных сил деформация тела увеличивается
непрерывно и необратимо.
Именно описание механических свойств разнообразных материалов
в различных режимах деформирования и является предметом
реологии. Она не интересуется движением тела как целого (этим
занимается теоретическая механика), а рассматривает относительное
перемещение его частиц. Реология, как физика деформации, устанавливает

1.2. Реология — наука о течении жидкости
21
взаимосвязь между силами, действующими на материальное тело, и
вызванными ими деформациями.
В реологии основными уравнениями будут уравнения, связывающие
кинематическую величину, называемую деформацией, с динамической
величиной, называемой напряжением, при помощи параметров,
которые являются константами вещества. Отметим, что реологическое
поведение вещества зависит не только деформаций и напряжений, но
и от скоростей деформаций, а также от скоростей возникновения
напряжений. Таким образом, одной из главных задач реологии является
установление связей между напряжениями, деформациями,
скоростями деформаций материала и их производными по времени. Уравнения,
устанавливающие такую связь, называют реологическими
уравнениями состояния или, короче, реологическими уравнениями. Обычно
реологическое уравнение записывают в виде:
Д(а,7) = 0,
где σ — напряжения в теле, η — деформации, a R — реологическая
функция, введенная впервые Герси в 1932 году.
В литературе зачастую встречается не «реологическое уравнение»,
а «реологическое соотношение». В англоязычной литературе часто
вместо термина «реологическое соотношение» используют термин
«constitutional law».
Реологические уравнения состояния являются математическими
моделями реальных свойств среды. Общий путь построения
реологических уравнений состоит в том, что ставится группа опытов,
описывающаяся теми или иными соотношениями. Затем эти соотношения
обобщаются в виде некоторого реологического уравнения состояния. На
основании полученного уравнения делаются предсказания о том, как
будет вести себя материал в иных условиях эксперимента, отличных
от изученных. Следующим этапом является проверка теоретических
предсказаний. Если при этом модель не даёт разумного соответствия
с экспериментом, то она должна пересматриваться. Сопоставление
поведения модели с экспериментом в существенно различных схемах
деформирования позволяет судить об её общности с тем большей
достоверностью, чем шире круг рассмотренных экспериментов. Но
стремление возможно более точно описать разнообразные эксперименты
часто приводит к чрезмерному усложнению математической модели.
Поэтому требование общности модели всегда противоречит желанию
построить достаточно простую модель. Выходом из этого противоречия
является возможность использования относительно простых реологи-

22 Глава 1. Математические модели вязкоупругих сред
ческих моделей для тех или иных узких групп экспериментов, для
которых они построены и проверены.
Необходимо, однако, отметить, что все реологические уравнения
состояния, которые могут быть предложены, описывают только
идеальные тела. Эти идеальные тела являются более или менее хорошими
приближениями к реальным, но никакое из них не существует в
действительности. Так, например, широко известная ньютоновская
вязкая жидкость является идеальным реологическим телом, которое с
очень большой степенью точности удовлетворяет экспериментальным
данным для вязких жидкостей.
1.3. Метод механистических моделей
В реологии часто заменяют реальную структуру некоторой
моделью, предполагая, что поведение данной модели аналогично
поведению данной структуры ([64]—[66]). Модель состоит из элементов,
которые, естественно, не содержатся в реальном веществе, а именно, из
пружин, поршней, блоков и тому подобных элементов. Подобные
модели пользовались большой популярностью во второй половине
девятнадцатого века во всех областях физики. Например, лорд Кельвин часто
говорил, что он не может понять физического процесса, если ему не
удается построить его механической модели.
Конечно, данный подход как и другие подходы не может
гарантировать истинности выводов. Так в соответствии с этим подходом Кельвин
в своё время предложил большое число различных моделей
мирового эфира, который, как считали, заполняет всё пространство.
Естественно, что в настоящее время такие модели никто серьезно уже не
рассматривает.
В реологии наблюдаются такие случаи, когда нельзя установить
резкой границы между механической моделью и соответствующей ей
структурой. Некоторые модели могут быть легко перенесены на
реальные структуры, например, молекулы каучука молено представлять
в виде мельчайших упругих механических пружин.
Существуют различные теории моделей. Модели первого вида
основаны целиком на аналогиях. Например, в 1933 году Шофильд и
Скотт-Блэр для объяснения реологического поведения мучного теста
предложили электрическую модель. Конечно, в таком случае никто
не полагает, что реологические свойства теста не определяются
электрическими силами как у модели. Предлагали также механические
модели, основанные на сходстве математических уравнений явлений,

1.3. Метод механистических моделей
23
так чтобы молено было экспериментальным путём решать трудные
математические задачи. Такими моделями являются, например, модель
мыльной пленки Прандтля для упругого кручения и модель кучи
песка Надаи для пластического кручения. Такие модели можно назвать
моделями-аналогиями.
Но можно приблизиться к реальным условиям и другим путём,
например, Кун в 1932 году заменил стержень, взвешенный в жидкости,
рядом сфер для того, чтобы можно было применить закон Стокса к
движению этого стержня. Такие модели молено назвать
«структурными моделями».
Отметим, что нельзя резко разграничивать эти различные методы
рассмотрения реологических проблем. В порядке лучшего
приближения к действительности можно расположить изложенные методы
следующим образом:
1. модели-аналогии,
2. структурные модели,
3. упрощенные структурные теории,
4. строгие структурные теории.
В качестве примера не упоминавшихся выше строгих структурных
теорий молено привести теорию вязкости золей Эйнштейна.
Для наших целей мы будем рассматривать структурные модели.
Они состоят в основном из двух элементов (на самом деле, зачастую
выделяют ещё один элемент, но он нам не понадобится и поэтому мы
не будем его рассматривать):
1. Упругой пружины (см. рисунок 2).
t
Рисунок 2. Упругая пружина.

24
Глава 1. Математические модели вязкоупругих сред
Предполагается, что материал пружины подчиняется закону Гу-
ка. Тогда данный элемент — пружина А — представляет собой
модель Гукова тела (модель идеально упругого тела).
2. Просверленного поршня в цилиндре, содержащем вязкую
жидкость (см. рисунок 3).
f
Рисунок 3. Просверленный поршень в цилиндре, содержащем
вязкую жидкость.
Жидкость в цилиндре предполагается подчиняющейся закону
Ньютона. Тогда этот элемент — просверленный поршень В в
цилиндре — является моделью ньютоновской жидкости.
1.4. Модель тела Кельвина—Фойгта
1.4.1. Структурная модель тела Кельвина—Фойгта
Одну из таких структурных моделей мы и будем рассматривать.
А именно рассмотрим задачу установления реологического уравнения
для описания деформационного поведения суглинка. В данном
материале частицы песка соединяются цепочками коллоидных частиц
глины, а промежутки заполнены водой. Система в целом имеет
структуру геля. Для описания материала пригодна предложенная
Кельвином концепция: «Предположим, что имеется вполне упругое пористое
твёрдое тело —или похожее на губку с сообщающимися порами, или
такое, у которого каждая пора окружена упругим твердым телом;
вообразим, что поры и все промежутки заполнены вязкой жидкостью,
в значительной степени аналогичной маслу. При статических опытах

1.4. Модель тела Кельвина—Фойгта
25
такое твердое тело обнаружит идеальную упругость объёма и формы.
Кинетические лее опыты обнаружат потерю энергии такую лее, как
при колебаниях у резины, стекла, металла или других упругих
однородных твердых тел, но более правильную. Коротко, в соответствии
с законом Стокса для вязкости жидкости наш предполагаемый
пористый вибратор будет следовать закону затухания простого вибратора,
при сопротивлении прямо пропорциональном скорости движения».
Мы будем рассматривать модель тела Кельвина—Фойгта.
Структурная модель такого тела изображена на рисунке 4.
А
.-
f
Рисунок 4. Модель тела Кельвина—Фойгта.
На данном рисунке элементы А и В соединены параллельно. Тогда
под действием растягивающей силы пружина удлиняется. При этом
поршень будет двигаться в жидкости, которая проходит сквозь
отверстия поршня. Это просачивание жидкости связано с вязким
сопротивлением, поэтому полное растяжение пружины наступает не
сразу. После устранения нагрузки пружина сжимается до
первоначальной длины, но это требует времени вследствие вязкого сопротивления
жидкости, которая вновь должна пройти через отверстия в поршне.
Часто в литературе эта модель называется моделью Кельвина, так
как идея вязкости твёрдого тела впервые была высказана именно
Кельвином в 1878 году, но соответствующее уравнение, описывающее
поведение данной модели, в действительности было предложено Фойг-
том в 1890 году, поэтому справедливее было бы называть эту модель

26 Глава 1. Математические модели вязкоупругих сред
моделью Кельвина—Фойгта. Это название и является общепринятым
в данное время.
При рассмотрении модели тела Кельвина—Фойгта необходимо
также упомянуть Терцаги и его теорию затвердевания. Он сравнивал
кусок высушенной глины с сухой трубкой. Если её нагрузить, то она
упруго сжимается мгновенно. Но, если поры заполнены водой, то
прежде, чем равновесие будет достигнуто, вода дол лена быть
удалена. Это время («время затвердевания») может быть вычислено, если
общее поперечное сечение внутренних капилляров, через которые
удаляется вода, известно. Таким способом Терцаги рассчитывал время
оседания зданий. Здесь видна прямая аналогия с действиями
пружины и поршня модели Кельвина—Фойгта.
1.4.2. Вывод реологического соотношения для модели тела
Кельвина—Фойгта
Суммарное напряжение σ, приложенное к модели, складывается из
напряжений в её ветвях, то есть
σ = σΑ+σΒ- (1-4.1)
Согласно закону Гука
σΑ = 2μ7,
а согласно гипотезе Ньютона
σΒ = 2ψγ.
Здесь 7 — деформация.
Таким образом получим, что
σ = 2μ7 + ^Ψϊ- (!·4·2)
Это и есть реологическое соотношение для вязкоупругого твёрдого
тела, описываемого моделью Кельвина—Фойгта. Здесь η — это так
называемая вязкость твёрдого тела, а параметр λ (в некоторых книгах его
обозначают Tret)
Tret = λ = —
μ
это время запаздывания (ретардации). Постоянная λ характеризует
запаздывание реакции материала на приложенные напряжения.
Исходя их физического смысла задачи константа λ > 0.

1.4. Модель тела Кельвина—Фойгта
27
1.4.3. Свойства материалов, описываемых реологическим
соотношением (1.4.2)
Соотношение (1.4.2) —это линейное дифференциальное уравнение
относительно η. Решаем его (при естественном предположении, что
7(0) —деформация в начальный момент времени —нам известна).
Домножим (1.4.2) на е*. Получим
β*σ(ί) = 2μβ*7(0 + 2ηβ^η{ί). (1.4.3)
Преобразуем правую часть полученного равенства:
2μβ*7(*) + 2т7е*7М = 2ту ί Ц- η(ί) + еЦ(г) ) = 2η (е*7(*)) - (1-4.4)
Из (1.4.3) и (1.4.4) получим следующее равенство:
β*σ(ί) = 2/7 (е*7(*)) ·
Проинтегрировав последнее равенство по £ от 0 до т, получим:
τ τ
/ β*σ(ί)άί = 2η IYe*7(t)) Λ = 2η (e*7(r) - 7(0)) .
о о
Домножим правую и левую часть последнего равенства на е~* :
о
fe*a(t)dt = 2η (7(r) - е"*7(0)) ·
о
Выражая отсюда 7(т) получим, что
7(г) = е"* 7(0) + V" / β*σ(ί) Λ. (1.4.5)
277 У
о
Соотношение (1.4.5) выражает деформации в теле
Кельвина—Фойгта через напряжения.
Пусть 7(0) — деформации в теле Кельвина—Фойгта в начальный
момент времени г = 0. И пусть тело подвергается действию постоянного

28
Глава 1. Математические модели вязкоупругих сред
напряжения σ = σο· Тогда (1.4.5) можно преобразовать следующим
образом (напомним, что λ = а):
τ/λ
7(r) = е"*7(0) + %^~ /β±σ0Λ = е~*7(0) + σ0^λ ί ez dz =
о о
=е-,7(„)+§_^^+е-,(7(о)_0).
Таким образом, если напряжение постоянно, то есть σ = σο, то
соотношение (1.4.5) молено переписать в следующем виде:
■>«-£+«-* (·*«»-£)■ <·■">
Возможны три варианта:
1. Если σο = 2μ7(0), то мы имеем дело с состоянием статического
равновесия. Это обозначает, что хотя мы и подвергаем тело
воздействию напряжения σο, но деформации в теле остаются
неизменными. Следовательно, при постоянных напряжениях модель,
предложенная Кельвином и Фойгтом, является моделью
твердого тела. Важно отметить, что вязкость в этой модели — вязкость
твёрдого тела.
2. Если σο < 2μ7(0), то, воспользовавшись тем, что I 7(0) — — 1 >
> 0 и функция е~* монотонно убывает, получим, что
деформация постепенно уменьшается.
3. Если σο > 2μ7(0), то I 7(0) — — 1 < 0, и, следовательно,
деформация постепенно возрастает с уменьшающейся скоростью (так
как функция е~* монотонно убывает).
При г = оо деформация достигает значения —. Из формулы (1.4.6)
следует, что деформации в теле Кельвина—Фойгта не развиваются
мгновенно, а задерживаются.
Если снять напряжения, приложенные к телу Кельвина—Фойгта, то
есть положить σο = 0, то из формулы (1.4.6) получим, что
7(г) = е"*7(0). (1-4.7)

1.5. Обобщенная модель тела Кельвина—Фойгта
29
Таким образом в этом случае деформации в теле полностью
исчезают при г = оо. Если время ретардации не слишком велико, то
процесс практически завершается по истечении какого-то конечного
промежутка времени. Действительно, при достаточно большом значении
г правая часть (1.4.7) близка к нулю.
Эффекты запаздывания при нагрузке и разгрузке вызываются
упругим последействием. Время ретардации λ представляет собой
время последействия.
1.5. Обобщенная модель тела Кельвина—Фойгта
Необходимо отметить, что модель Кельвина—Фойгта не совсем
точно описывает реальное поведение большого числа материалов. Для
целого ряда реальных структур более точной является обобщенная
модель Кельвина—Фойгта. Её структурная модель изображена на
рисунке 5.
Она представляет собой последовательное соединение L, (L =
= 1,2...) моделей Кельвина—Фойгта. Также важно отметить, что для
отдельных моделей Кельвина—Фойгта, составляющих обобщенную
модель, константы η и μ могут быть различными. Число L называется
порядком обобщенной модели тела Кельвина—Фойгта.
1.5.1. Вывод реологического соотношения для обобщенной
модели Кельвина—Фойгта, состоящей из двух
элементов
В этом случае модель состоит из двух последовательно соединённых
моделей Кельвина—Фойгта. Предполагается, что у каждой из этих
моделей свои собственные константы η и μ. Реологические уравнения для
последовательно соединённых моделей имеют вид:
σ = 2μι7ι + 277171; (1.5.1)
σ = 2μ272 +2?7272. (1.5.2)
Здесь 7ι и 72 — деформации соответственно первой и второй моделей.
Тогда общая деформация всей модели равна
7 = 7ι +72-
Чтобы получить соотношение между напряжением и полной
деформацией, необходимо исключить 71 и 72-

30
Глава!. Математические модели вязкоупругих сред
т
.„
Рисунок 5. Обобщенная модель тела Кельвина—Фойгта.
Домножим соотношение (1.5.1) на μ2 и прибавим к соотношению
(1.5.2), умноженному на μι. Получим
(μι + μ2)σ = 2μιμ2(7ι + 72) + 2μ2*7ι7ι + Ίμ\Ί)2Ί2 =
= 2μιμ27 + 2μ277ι7ι + 2μι772-γ2. (1.5.3)
Продифференцируем соотношения (1.5.1) и (1.5.2) по t. Получим
σ = 2μι7ι + 27717Ί;
σ = 2μ27*2 + 27^7*2·
(1.5.4)
(1.5.5)

1.5. Обобщенная модель тела Кельвина—Фойгта
31
Умножая соотношение (1.5.4) на щ и прибавляя его к (1.5.5),
умноженному на 77ι, получим
(ηι + т)° = 2771772(71 + 72) + 2μιτ/27ι + 2μ2*7ι72 =
= 277ι7727 + 2μι7727ι + 2μ2η^2- (1.5.6)
Прибавим теперь последнее соотношение (1.5.6) к ранее
полученному соотношению (1.5.3). Имеем
(μι + β2)σ + (τ7ι +772)σ =
= 2τ7ι7727 + 2μιμ27 + 2μ2ϊ7ι(7ι + 72) + 2μι 772(71 + 72) =
= 27717727 + 2μιμ27 + 2μ2Τ7ι7 + 2μι7727 =
= 2τ7ι7727 + 2(μ2^7ι + μι^Η + 2μιμ27·
Таким образом мы получили реологическое соотношение для
обобщенной модели Кельвина—Фойгта, состоящей их двух элементов. Его
можно переписать в виде:
λ2σ + λισ = 2хз7 + 2^27 + 2χι7· (1.5.7)
Здесь
λ2 = Щ + %, λι = μι + μ2, χ3 = mm, *2 = μ2*7ι + μι?72, χι = Α*ιμ2·
1.5.2. Реологическое соотношение для обобщенной модели
тела Кельвина—Фойгта порядка L, (L = 1,2,...)
Также как и для случая обобщенной модели Кельвина—Фойгта
второго порядка можно вывести реологическое уравнение состояния для
обобщенной модели Кельвина—Фойгта произвольного порядка L. А
именно, данное реологическое соотношение имеет вид:
Как и ранее здесь предполагается, что у каждой из L моделей
Кельвина—Фойгта свои собственные константы 77* и μ*, г = 1,...,L. Для
единообразия в формуле (1.5.8) положили J^ = I-

32 Глава 1. Математические модели вязкоупругих сред
1.6. Модель движения жидкости Фойгта
По аналогии с моделью тела Кельвина—Фойгта рассматривают
модель движения жидкости Фойгта (также её называют моделью
Кельвина—Фойгта, но это название является не столь общепринятым). Она
получается заменой в (1.4.2) тензора деформаций η на тензор
скоростей деформаций £. Таким образом реологическое уравнение
состояния для модели жидкости Фойгта имеет вид:
σ = 2με + 2η—. (1.6.1)
Обычно константы в последнем равенстве обозначают несколько
иначе. Более стандартным для соотношения (1.6.1) является следующий
вид:
σ = 2ί/£ + 2χ—, χ,ί/>0. (1.6.2)
at
где ν — вязкость жидкости, а и — время ретардации (запаздывания).
Эта модель движения жидкости описывает течение вязкой
неньютоновской жидкости, которой требуется время, чтобы прийти в движение
под действием внезапно приложенной силы. Отметим, что жидкость,
описываемая данным реологическим соотношением, обладает как
вязкими, так и упругими свойствами.
Отметим, что ни Кельвин, ни Фойгт эту модель не предлагали.
Впервые, насколько нам известно, эта модель была названа моделью
движения жидкости Фойгта в [7]. В дальнейшем для (1.6.2) активно
использовалось название модели Кельвина—Фойгта или модели Фойгта
или модели Навье—Стокса-Фойгта в работах О.А. Ладыженской, А.П.
Осколкова, Е. Titi и многих других. На сегодняшний день для этой
модели наиболее общепринятым является название модели Фойгта.
Именно так мы и будем называть её в данной работе.
1.7. Обобщенная модель движения жидкости
Кельвина—Фойгта порядка L,(L = 1,2,...)
По аналогии с моделью движения жидкости Фойгта, введенной
выше, рассматривают обобщенную модель движения жидкости
Кельвина—Фойгта порядка L, (L = 1,2,...). Уравнение состояния для этой
модели получается из реологического соотношения (1.5.8) для
обобщенной модели тела Кельвина—Фойгта порядка L заменой тензора

1.8. Математическая модель водных полимерных растворов 33
деформаций на тензор скоростей деформаций:
■ot*-1 " ^**т
где 5 = 7·
Обычно уравнение (1.7.1) записывают в виде:
(1 + ΣΑ*^)σ = 2('/ + Σχ*^)^ ^+i.Al>0. (1.7.2)
Коэффициенты λ* называются временами релаксации, ί/ —
кинематический коэффициент вязкости, а коэффициенты щ — времена
запаздывания.
Эта модель является одной из моделей линейных вязкоупругих
жидкостей с конечным числом числом дискретно распределённых времен
релаксации и времен запаздывания [9], [76], [78]. Общая
феноменологическая теория таких жидкостей была построена на основе моделей
жидкостей Максвелла, Кельвина—Фойгта и Олдройта.
Такое название получили жидкости, реологическое соотношение
которых имеет вид:
1 +
tb£)'-*("t*&y <"·3>
В соотношении (1.7.3) коэффициенты λ* —времена релаксации, и —
кинематический коэффициент вязкости, а коэффициенты щ —
времена запаздывания (ретардации). Числа Μ, Ν — натуральные. В
основе теории линейных вязкоупругих жидкостей лежит предположение —
принцип суперпозиции Л. Больцмана — о том, что все воздействия на
среду независимы и аддитивны, а реакции среды на внешние
воздействия линейны. К таким жидкостям относятся эмульсии и суспензии
одной ньютоновской жидкости в другой, сильно разбавленные
суспензии твердых частиц в ньютоновской жидкости, некоторые полимерные
растворы [9].
1.8. Математическая модель
слабоконцентрированных водных полимерных растворов
В этом параграфе мы рассмотрим одну модель, имеющую
формальную связь с моделью движения жидкости Фойгта. Впервые она была

34 Глава 1. Математические модели вязкоупругих сред
рассмотрена в работе [10]. На основе этих исследований В.А.
Павловским в работе [62] было предложено реологическое соотношение:
σ = 2ν(ε + κν-ι—\, χ,ι/>0. (1.8.1)
Здесь ν — кинематический коэффициент вязкости, а х —время
запаздывания. Коэффициент и называют также временем релаксации
деформаций. Выражение
d _ д ^ д
обозначает полную (субстанциональную) производную по времени.
Стоит отметить, что В.А. Павловский, не смотря на внешнюю
схожесть (1.8.1) и (1.6.2), не связывал эту модель с моделью Кельвина—
Фойгта. У него она носит название модели движения
слабоконцентрированных водных полимерных растворов. В.А. Павловский говорил,
что в таких растворах наряду с вязкими необходимо учитывать также
и упругие свойства. Напряжения в таких полимерных растворах
зависят как от истории деформирования, так и от мгновенного значения
скорости деформации, причём проявление вязкостных свойств в
поведении материала связано с влиянием растворителя и в случае низкой
концентрации полимера этот вклад не является пренебрежимо малым.
Это подтверждается экспериментальными исследованиями растворов
полиэтиленоксида и полиакрил амида [1] и растворов полиакрил амида
и гуаровой смолы [2].
Соотношение (1.8.1) отличается от ньютоновского определяющего
соотношения (1.1.15) наличием добавочного члена х—,
учитывающего
го релаксационные свойства жидкости. В случае очень слабых
релаксационных свойств жидкости (при к близких к нулю), а также в случае
установившегося характера движения жидкости, когда полная
производная по времени от тензора скоростей деформаций равна нулю,
добавочный член пропадает. Однако, в случае турбулентного режима и
при неустановившемся ламинарном режиме движения жидкости
добавочный член будет отличен от нуля и должен играть значительную
роль.

1.9. Модель жидкости Ривлина—Эриксена второго порядка 35
1.9. Модель жидкости Ривлина—Эриксена второго
порядка
В данном параграфе мы рассмотрим модель движения жидкости
второго порядка. Что касается самой модели, то она была предложена
ещё в середине прошлого века в работе Ривлина и Эриксена [132] и
монографии Нолла и Трусделла [124]. В указанных работах
авторами было введено понятие модели движения жидкости n-ного
порядка (также эти жидкости называются жидкостями дифференциального
типа и жидкостями Ривлина—Эриксена). Для того чтобы иметь
представление об этой модели, нам сначала потребуется дать определение
тензоров Ривлина—Эриксена [132]. Они задаются рекурсивно
следующими соотношениями:
А2 = А2(и) = ^ + iMVtt) + (νω)τΛι; (1.9.2)
Αι = Αι (и) = (Vu) + (Vu)T; (1.9.1)
dA
dt
An = An(u) = Щр- + An^(Vu) + (VufAn-!
dt
(1.9.3)
Здесь Vu = ( J^- j — матрица Якоби вектор-функции и.
Теперь мы можем выписать реологические соотношения для
жидкостей первого и второго порядка. Именно на модели жидкости второго
порядка мы остановимся поподробнее:
Τ^-ρΕ + ι/Аг; (1.9.4)
Т2 = -рЕ + и Αι + αλΑ2 + а2А\. (1.9.5)
Здесь р — давление, ν — вязкость жидкости, αχ,а2 —коэффициенты
нормальных напряжений.
Что касается коэффициентов в приведённых соотношениях, то они
не могут быть произвольными и исходя из физического смысла
математической модели они должны удовлетворять определённым
соотношениям. А именно, для модели движения жидкости первого порядка,
которая по сути совпадает с моделью ньютоновской жидкости, имеет
место естественное ограничение:
ί/>0.

36 Глава!. Математические модели вязкоупругих сред
Для модели движения жидкости второго порядка в работе [99] с
точки зрения термодинамики было показано, что коэффициенты в (1.9.5)
должны удовлетворять следующим соотношениям:
ν ^ О, αϊ + α2 = 0, αϊ ^ 0. (1.9.6)
Более того, в той же работе было показано, что если неравенства в
(1.9.6) строгие, то состояние покоя для данной модели является
асимптотически устойчивым. Таким образом, далее будем считать, что
ν > 0, αϊ + α2 = 0, аг > 0. (1.9.7)
Вообще, если кратко коснуться истории вопроса, то дискуссия по
поводу использования модели жидкости второго порядка и по
вопросу знака коэффициента αϊ в (1.9.5) длилась очень долго. Одной из
первых работ, в которых возникает модель (1.9.5), является [116]. В
ней она была рассмотрена для изучения медленного движения вязко-
упругой жидкости со слабо выраженными вязкоупругими свойствами
и использовалась главным образом как аппроксимация в пределах
общего класса жидкостей Ривлина—Эриксена. Первоначально
предполагалось, что коэффициент αϊ отрицателен. Например, в работах [94],
[122] авторы указали экспериментальное подтверждение этому и
привели собственные физические доводы в пользу положительности
коэффициента ν и отрицательности коэффициента αϊ. Именно из-за этого
модель жидкости второго порядка на какое-то время была
дискредитирована как нефизичная. Однако, позднее она была пересмотрена.
Одно из первых математическое обоснование того, что
коэффициенты ν и αϊ должны быть положительными дано в работе [139]. Почти
по совпадению, в это же время в работах [95], [96] были
продемонстрированы неустойчивость, «несуществование» и распад сдвигового
течения для жидкости второго порядка при αϊ < 0. Окончательный
ответ на все вопросы дала уже упоминавшаяся ранее работа [99], в
которой было показано, что при при αϊ < 0 даже такой поток как
простое сдвиговое течение между параллельными пластинами не только
не является устойчивым, но для некоторых случаев даже не
существует. В [99] также было показано, что в случае выполнения соотношений
(1.9.6) модель жидкости второго порядка имеет обычную
ограниченность, стабильность и свойства экспоненциального затухания,
известные в пределах классической теории ньютоновских жидкостей.

1.9. Модель жидкости Ривлина—Эриксена второго порядка 37
1.9.1. Принцип объективности поведения материала
Для полноты представления о модели движения жидкости
второго порядка мы кратко расскажем о принципе объективности
поведения материала. Ниже будет показано, что модель движения жидкости
второго порядка является объективной, то есть свойства материала
не зависят от выбора наблюдателя. Более подробное об объективных
моделях смотри [72], [113], [148].
В рациональной механике наблюдатель отождествляется с
некоторой системой отсчета. В этой системе отсчета каждой точке
пространства поставлен в соответствие некоторый элемент χ пространства R3,
а каждому моменту времени сопоставлен элемент t на числовой оси.
При изменении наблюдателя считается, что сохраняется метрика в R3
и на числовой прямой, а также сохраняется направление времени.
Тогда общий вид замены координат при переходе от одного наблюдателя
к другому имеет вид [72]:
ί* = ί + α; (1.9.8)
χ* = a?5(t) + Q(t)(x - xq). (1.9.9)
Здесь α —некоторое значение времени, xq — некоторая точка в
пространстве, Xq — некоторая функция времени со значениями в точках
пространства, a Q — некоторая функция времени со значениями в
множестве ортогональных тензоров.
Замена наблюдателя естественным образом влечет некоторое
преобразование векторов и тензоров. Принцип объективности утверждает
[72], что формулы, выражающие физические свойства тела и
содержащие точку х, время t и их различные функции не должны менять
при преобразованиях (1.9.8), (1.9.9).
Пусть имеется вектор, являющийся геометрическим, то есть
представляющим из себя направленный отрезок, существующий
независимо от наблюдателя. Пусть в первой системе отсчета он имеет вид
w = х\Х2- Тогда в новой системе отсчета
w* = х\х\ = х№) + Q(t)(xi - хо), Xo(t) + Q(t)(x2 - хо) =
= Q(t)x~[x$ = Q(t)w.
Если же Т — тензор, переводящий геометрические векторы в
геометрические, то имеем в первой системе отсчета:
w\ = Tw2,

38 Глава 1. Математические модели вязкоупругих сред
где w\ и W2 — два пробных геометрических вектора. Так как для
ортогонального тензора Q(t) выполнено соотношение
Q(t)TQ(t) = I,
то получаем, что
w\ = Q{t)Wl = Q(t)TQ(t)TQ(t)w2 = T*wZ,
где
Г* = Q(t)TQ(t)T.
Исходя из полученного, будем называть векторнозначную функцию
w времени и точки не зависящей от наблюдателя, если ее координаты
при изменении системы отсчета (1.9.8), (1.9.9) преобразуются как
w*(t*,x*) = Q(t)w(t,x),
а тензорнозначную функцию Τ не зависящей от наблюдателя, если
при изменении системы отсчета (1.9.8), (1.9.9) она изменяется как
T*(t*,x*) = Q(t)T(t,x)Q(t)T.
Из механики известно, что тензор напряжений Тн является таковым
[72].
Скалярная функция А времени и точки называется не зависящей
от наблюдателя, если при изменении системы отсчета при изменении
системы отсчета (1.9.8), (1.9.9) имеет место равенство
A*(t*,x*) = A(t,x).
Примером такой функции является плотность p(t,x).
Для проверки объективности реологического соотношения для
модели жидкости Ривлина—Эриксена второго порядка нам потребуется
следующее утверждение о преобразовании при изменении
наблюдателя тензоров скоростей деформации и завихренности, носящее имя
теоремы Зарембы—Журавского ([72], [148]):
Теорема 1.9.1. При изменении системы отсчета (1.9.8), (1.9.9)
имеют место следующие преобразования:
E*{t,x) = Q(t)E(t,x)Q{t)T, (1.9.10)
то есть тензор скоростей деформаций не зависит от наблюдателя;
W*(t,x) = Q(t)W(t,x)Q(tf + Q'(t)Q(t)T,
то есть тензор завихренности зависит от наблюдателя.

1.9. Модель жидкости Ривлина—Эриксена второго порядка 39
Доказательство. Для доказательства нам понадобится функция
z(t,r,x), обозначающая точку в пространстве, в которой находится в
момент t та частица, которая в момент времени г находилась в точке
х. Из этого определения видно, что
dz{t£X)=v{t,z{t,T,x)\, (1.9.11)
z{t,t,x) = x. (1.9.12)
По определению z(t,r,x) при фиксированных аргументах есть точка
в пространстве. Поэтому в силу (1.9.9):
z*{t*,T\x*)=xl{t) + Q{t){z{t,r,x)-x0).
Отсюда
dz*{t\r*,x*) = ф5(*) + 0(*)(г(*,т,д?)-д?0)] =
dt* d(t + α)
= *5'W + СГ(ШЬг,χ) -хо) + Q(t)dz{t'r'x) -
dt
xl\t)+Q\t)Q{t)T{z*{t\r\x*)-xl{t)) + Q{t)
т,„*и* _· ~*\ ~*u\\ . •v^i*»7"»*)
Положив в этом равенстве £ = τ, £* = τ* и, используя (1.9.11) и (1.9.12),
получим:
V \t ,Χ ) = -
Τ/
dt*
= Xo(t) + Q'{t)Q{t)T{x* - *5(t)) + Q(t)v(t,x).
Поэтому
.,_ft!V!f)_
(v«)·
a*»
a«(Q + Q'(t)Q(t)T(x* - gg(t)) + Q(*)i>(*,*))
T d[Q(t)v(t,x)} dx
dx dx*
<?'(i)<?«T + <?№(Vt>)Q(i)T.

40 Глава 1. Математические модели вязкоупругих сред
Итак,
(Vt/)* = Q(t)(Vv)Q(t)T + Q'(t)Q(t)T. (1.9.13)
Транспонируем это равенство:
[(Vi;)*]r = Q(t)(Vv)TQ(tf + Q(t)Q'(t)T. (1.9.14)
Продифференцировав тождество Q(t)Q(t)T = /, получим
Q'{t)Q{t)T + Q(t)Q'(t)T = 0. (1.9.15)
Возьмем полусумму равенств (1.9.13) и (1.9.14) с учетом (1.9.15):
£* = \ ((Vt/)· + 1(νυ)*}τ) = \ [Q(t)(Vv)Q(tf + Q'(t)Q(tf+
+Q(t)(Vv)TQ(t)T + Q(t)C?(t)T] = Q{t)£Q{t)T.
Теперь рассмотрим полуразность (1.9.13) и (1.9.14)
воспользовавшись соотношением (1.9.15) имеем:
W* = \ ((Vt/)· - [(V*,)*]T) = \ [Q(t)(Vv)Q(tf + Q'W(t)T-
-Q(t)(Vv)TQ(t)T - Q(t)Q'(t)T] = Q(t)WQ(t)T + Q'(t)Q(t)T.
D
Покажем теперь что модель движения жидкости второго
порядка удовлетворяет принципу объективности поведения материала. Для
этого сначала докажем следующую лемму
Лемма 1.9.1. Тензоры Ривлина—Эриксена любого порядка не
зависят от наблюдателя, то есть для любого к = 1,2,... имеет место
равенство
A-k+l=Q(t)Ak+1Q(t)T.
Доказательство. Доказывать данное утверждение будем по
индукции.
Для η = 1 имеем, что
Αλ = 2S.
Следовательно, данное утверждение для А\ следует из утверждения
(1.9.10) для тензора скоростей деформаций £.

1.9. Модель жидкости Ривлина—Эриксена второго порядка 41
Пусть для η = к утверждение верно. Докажем теперь требуемое
утверждение для η = fc+1. Для этого нам потребуются два следующих
соотношения:
Q'(t) = -Q(t)Q'(tfQ(t); (1.9.16)
Q'(tf = -Q(t)TQ'(t)Q(t)T. (1.9.17)
Данные соотношения следуют из равенства:
Q(t)Q(tf = Ε.
Действительно, продифференцировав это равенство по t, получим
соотношение
Q'(t)Q(t)T + Q(t)Q'(t)T = 0.
Перенеся теперь в последнем равенстве слагаемое Q{t)Q'(t)T в
правую часть и умножая полученное равенство на Q(t) справа мы
получим соотношение (1.9.16). Аналогично, перенося в правую часть первое
слагаемое и умножая полученное равенство на Q(t)T слева, получим
(1.9.17).
Далее, в силу определения тензора Ривлина—Эриксена га-ного
порядка (1.9.3), а также в силу соотношений (1.9.13), (1.9.14), (1.9.16) и
(1.9.17) имеем
A'k+l = ±At + Al(Vuy + [(VurfAl = ft(Q(t)AkQ(t)T) +
+ Q(t)AkQ(t)T(Q(t)(Vu)Q(t)T + Q'(t)Q(t)T) +
+ (Q(t)(Vu)TQ(t)T + Q(t)Q'(tf)Q(t)AkQ(tf =
= Q{t)jtAkQ{t)T + Q'(t)AkQ(t)T + Q(t)AkQ'(t)T+
+ Q(t)Ak(Vu)Q(tf + Q(t)AkQ(tfQ'(t)Q(t)T+
+ Q(t)(Vu)TAkQ(t)T + Q(t)Q'(t)TQ(t)AkQ(t)T =
= Q(t) (ftAk + Ak(Vu) + (VufAk\ Q(t)T + Q'(t)AkQ(t)T+
+ Q(t)AkQ'(tf + Q(t)AkQ(t)TQ'(t)Q(t)T + Q(t)Q'(t)TQ(t)AkQ(tf =
= Q(t) (±Ак + Ak(Vu) + (Vu)TAk^ Q(t)T-
- Q(t)Q'(t)TQ(t)AkQ(t)T - Q(t)AkQ(t)TQ'(t)Q(tf+

42 Глава 1. Математические модели вязкоупругих сред
+ Q(t)AkQ(t)TQ'(t)Q(t)T + Q(t)Q'(tfQ(t)AkQ(t)T =
= Q(t) (jtAk + Ak(Vu) + (Уи)тлЛ Q(tf = Q(t)Ak+1Q(tf-
Следовательно получили, что
Л£+1 = Q(t)Ak+lQ(t)T,
что и означает, что тензор Ривлина—Эриксена (к + 1)-го порядка не
зависит от наблюдателя. D
Таким образом мы показали, что тензор Ривлина—Эриксена любого
порядка является объективным. И, следовательно, поскольку
соотношение (1.9.5) представляет собой сумму объективных слагаемых, то
оно тоже является объективным, то есть не зависит от наблюдателя.

Глава 2.
Две постановки начально-краевых задач
для обобщенной модели движения жидкости
Кельвина—Фойгта. Существование и
единственность слабого решения в каждой из
постановок
2.1. Об обобщенной модели движения жидкости
Кельвина-Фойгта
Как уже отмечалось ранее, движение несжимаемой жидкости в
ограниченной области 1]сМп, п = 2,3с локально-липшицевой
границей дО, на промежутке времени [О,Г], Τ > О описывается следующей
системой уравнений в форме Коши:
■£+Y/vi-^ + Vp = Oiva + f, (χ,ί)€Ωχ[0,Γ], (2.1.1)
i=l г
divv = 0, (χ,ί)£Ωχ[0,Τ\. (2.1.2)
В данной системе v(x, t) — вектор скорости частицы в точке χ в момент
времени t и v\,... vn — компоненты v\p = p(rr, t) — давление жидкости
в точке χ в момент времени t\ f = f(x,t) — вектор внешних сил (их
также называют объемными), действующих на жидкость. Через Diva
обозначен вектор, координаты которого являются дивергенцией строк
матрицы σ = (σ^(χ)), где σ — девиатор тензора напряжений.
В этой главе рассматриваются среды удовлетворяющие обобщенной
математической модели движения жидкости Кельвина—Фойгта
(порядка L = 1,2,...). Как уже было сказано в пункте 1.7, реологическое
соотношение для этой модели имеет вид:
(1 + Σ>|Ησ = 2(" + Σ>^)5> *l+i,*l>0. (2.1.3)

44
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Здесь λ* — времена релаксации, ν — кинематический коэффициент
вязкости, а коэффициенты щ — времена запаздывания (ретардации).
Будем предполагать, что корни многочлена
L
<?(ρ) = ι + 5>«ρ*
вещественны, отрицательны и различны. Требование вещественности
и отрицательности продиктовано физическим смыслом задачи, а
требование различности корней наложено исключительно ради простоты
и сокращения вычислений.
2.2. Необходимые обозначения
В данной главе нам потребуются следующие обозначения.
Через Ζ/ρ(Ω)η, 1 ^ ρ < оо, мы будем обозначать множество всех
измеримых функций, суммируемых с р-той степенью, то есть функций,
для которых
/ \u{x)\vdx < оо.
Ω
Известно, что данное пространство является банаховым относительно
нормы:
1М1Мп)«= U\u(x)\pdx\ .
Пусть га — целое неотрицательное число и 1 ^ ρ < оо. Через
W™(Q,)n мы будем обозначать пространство функций, которые
вместе со своими производными до порядка га включительно
принадлежат пространству Ζ/ρ(Ω)η. Обычно такие пространства называют
пространствами Соболева (или Соболевскими пространствами). Известно,
что пространство \ν™(Ω)η банахово относительно нормы
11«К»(П)-=(/ Σ \D°u(x)\Pdx) ■
Здесь а = (αϊ,...,αη), α^ — целые неотрицательные числа, \а\ = а\ +
+ ... + αη, Da = тг~^ ^ п , производные понимаются в смысле
ох™1 ... дхп
теории обобщенных функций.

2.2. Необходимые обозначения
45
Если ρ = 2, то соболевское пространство W^^)*1 обычно
обозначают через Hm(ti)n. В силу сказанного выше пространство Ηρ(Ω)η
банахово относительно нормы
1М1*р(п)« = I у Σ ι^α?χΐ2 · (2·2Λ)
Обозначим через Ί)(Ω)η — пространство функций на Ω со
значениями в Rn класса С°° с компактным носителем, содержащимся в Ω;
V = {ν : ν Ε ί)(Ω)η, divt; = 0} —множество соленоидальных
функций;
Η — замыкание V по норме пространства Ζ/2(Ω)η;
V —замыкание V по норме пространства Ηι(Ω)η. Пространство V
является гильбертовым пространством со скалярным произведением:
((v,w)) = I / Vv : Vwdx
\n )
Здесь Vu : V<£>, и = (щ,..., un), <£> = (<£>ι,..., φη) обозначает
покомпонентное умножение матриц, определяемое равенством
V7 V7 тг^ дщ δψΐ
Норма, порождаемая этим скалярным произведением в
пространстве V, обозначается || · ||у и эквивалентна норме, индуцированной из
пространства Ηι(Ω)η.
Через V* мы обозначим пространство сопряженное к пространству
V, а через (/, ν) — действие функционала / Ε V* на элемент ν Ε V.
Будем по теореме Рисса отождествлять пространство Η с его
сопряженным пространством Н* (см., например, [71]). Поэтому имеем
следующие вложения:
В силу того, что пространство V плотно в Η и того, что
пространство V рефлексивно, получаем, что пространство Н* плотно в V*.
Пусть X — банахово пространство.

46
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Через Lp(0, Т;Х), 1 ^ ρ < оо будем обозначать множество всех
измеримых по Бохнеру функций и : [О, Т] —> X, для которых
τ
ί \\u(t)\\pdt < оо.
о
Известно, что пространство Lp(0, Т;Х) —банахово относительно
нормы:
ι
τ
NIM0,T;X)= UlHsWds
Также отметим следующий факт, что если пространство X
рефлексивно и сепарабельно, то пространства £р(0, Τ; X), 1 < ρ < оо,
рефлексивны.
Через Loo(0,T; X) будем обозначать множество всех измеримых по
Бохнеру существенно ограниченных функций и : [О, Τ] —ϊΧ. Функция
и : [0,Т] —> X называется существенно ограниченной, если существует
такое число Μ < оо, что |Щ$)||х ^ Μ при почти всех 5 Ε [О,Г].
Нижняя грань всех таких чисел Μ обозначается через vrai max||u(s)||x
s€[0,T] " V /M
(иногда в литературе встречается обозначение ess sup ||u(s)||x). Мно-
s€[0,T]
жество Lqo(0, Τ; X) является банаховым пространством относительно
нормы
IMIwo/T;*) = vraimax Η$)||χ.
s€[0,TJ
Через Cm([0,T],X),m ^ 0, обозначается множество всех функций
и : [О, Г] —> X, обладающих непрерывными производными
производными до порядка га включительно. Если пространство X банахово, то
пространство Ст([0,Т],Х) банахово относительно нормы
||^||с-([о,т],х)=^^тах^
— (*)
Пространство С([0,Т],Х) в данной работе будет рассматриваться не
только со стандартной нормой

2.3. Вспомогательные утверждения
47
но и с эквивалентной ей нормой
1М|с([о,т],х),* = ^max^ (e"fc'||ti(t)||x) ,fc ^ 0.
Эквивалентность норм следует из неравенства
1М|с([о,т),х),1в ^ 1М1с([о,т],х) ^ е |Н|С([о,т],х),*·
Обозначим через М(п) пространство матриц η χ η со скалярным
произведением
η
(А,В)Щп) =А:В= ^ aiJbij> гДе А = (aij)lj=i» β = (6о)Г^=1 *
Пусть М3{п) — подпространство симметричных матриц из М(п).
Символ С с индексом внизу будет обозначать различные
положительные константы.
2.3. Вспомогательные утверждения
Приведём в этом пункте ряд утверждений, которые будут
использованы как в этой главе, так и в дальнейшем.
Начнём с одного важного утверждения, которое носит название
проекционной теоремы ([71]).
Теорема 2.3.1. Пусть W — сепарабелыюе вещественное
гильбертово пространство (с нормой || · \\w) и пусть a(u,v) —непрерывная
билинейная форма на W x W, которая коэрцитивна, то есть
существует а > 0, такое что
а(щи) ^ a||tx||^, \fueW. (2.3.1)
Тогда для каждого I из W* — пространства, сопряженного к W, —
существует один и только один элемент и € W, такой что
a(ti,v) = (/,v), VveW. (2.3.2)
Доказательство. Единственность. Пусть и\ и U2 — два решения
уравнения (2.3.2) и пусть и = U\ — U2- Имеем
a(u\,v) = a(u2,v) = (Ι, ν), V ν G W,
а(щ — U2,v) = 0, V ν G W.

48 Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Положив ν = и в последнем равенстве, заключаем на основании (2.3.1),
что
αΙΜΙνν ^ а(и,и) = О
и, следовательно, и = 0.
Существование. Так как W сепарабельно, то существует
последовательность элементов w\, W2,..., wn,... из W, которые линейно
независимы и порождают всюду плотное подпространство в W. Пусть Wm —
пространство, натянутое на w\, u>2, · · ·, wm. Для каждого
фиксированного натурального т определим приближенное решение уравнения
(2.3.2) в Wm как вектор ит G Wm :
т
Um = Σ &™Щ 6,m G К, (2.3.3)
i=l
удовлетворяющий условию
а(ит, ν) = (/, ν), V ν G Wm. (2.3.4)
Покажем, что существует один и только один элемент г*т, такой что
(2.3.4) имеет место. Уравнение (2.3.4) эквивалентно системе т
уравнений
а(ит, Wj) = (l,Wj), j = 1,..., га. (2.3.5)
Система (2.3.5) — это линейная система га уравнений для га компонент
&,т вектора ит :
т
^^m^wuWj) = (l,Wj), j = l,...,m. (2.3.6)
i=l
Существование и единственность um будут доказаны, если мы
покажем, что система линейных уравнений (2.3.6) является
невырожденной. Для того чтобы это показать, достаточно установить, что
однородная система линейных уравнений, ассоциированная с (2.3.6), то
есть
т
У^ £,i,ma>{wi, Wj) = 0, j = 1,..., га, (2.3.7)
имеет только нулевое решение ξι)Τη = ^2,m = ... = £m,m = 0. Но если
6,m,£2,m, · · · ,£m,m удовлетворяют (2.3.7), то умножая j-тое уравнение
(2.3.7) на £j,m и складывая, полученные уравнения, получим
m
Σ ^rnij.rn^i^j) = 0,

2.3. Вспомогательные утверждения
49
или, с учетом билинейности формы а,
(т т \
В силу (2.3.1) получаем, что
m
i=l
откуда, в силу линейной независимости w\,W2,... , wm> получаем, что
si,τη = s2,m = · · · = sm,m == U.
Далее, полагая t; = um в (2.3.4), получим
a(um,um) = (i,txm>.
Отсюда, в силу (2.3.1), следует, что
all^m||v^ ^ а(ит,ит) = {l,um) ^ ||/||w*
Непоследовательно,
a||t*m||w ^ ll'llw·.
Таким образом, последовательность ит ограничена в W. Так как
замкнутые шары в гильбертовом пространстве слабо компактны, то
найдутся элемент и €W и подпоследовательность иш>, га' —> оо,
последовательности ит, такие что
иш> —> и при га' —> оо в слабой топологии W.
Пусть ν — произвольный фиксированный элемент из Wj для
некоторого j. Для всех га' ^ j мы имеем, что ν Ε Wm' и, согласно (2.3.4),
a(um>,v) = (Ι,ν).
Используя доказываемую ниже лемму 2.3.1, можно перейти в
последнем равенстве к пределу при га' —» оо и получить
a(u,v) = (Ι,υ). (2.3.8)
оо
Равенство (2.3.8) справедливо для каждого ν G (J Wj, а так как это
j=i
множество плотно в W, то равенство (2.3.8) справедливо по
непрерывности для всех ν из W. Этим доказано, что и является решением
уравнения (2.3.2). D

50
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Лемма 2.3.1. Пусть а(и,ν) —непрерывная билинейная форма
гильбертовом пространстве W. Пусть ipm (соответственно грт) —
последовательность элементов из W, которая сходится к φ
(соответственно ψ) в слабой (соответственно в сильной) топологии W.
Тогда
lim а(фт, (рт) = α(ψ, φ), (2.3.9)
τη—юо
lim α(φπι,ψπι)=α(φ,ψ). (2.3.10)
171—ЮО
Доказательство. Запишем
а(г/>т, ψπι) - α(ψ, φ) = a(ipm - ψ, (pm) + α(ψ, φγη - φ).
Так как форма а непрерывна, а последовательность ipm ограничена,
то
Ηψτη - Ψ, ψπι)\ ^ ЩФт ~ Ψ\\\ν\\φτη\\\ν ^ ЩФт ~ ФЫ,
где ΰ и ΰ — некоторые константы. Правая часть последнего
неравенства стремится к нулю при т —> оо.
Заметим теперь, что линейный функционал υ »->· α{ψ,ν) непрерывен
на W и, следовательно, существует элемент из W*, зависящий от ψ
(обозначим его через Α(ψ)), удовлетворяющий условию
α(ψ, ν) = (Α(ψ), υ) \fveW. (2.3.11)
Таким образом мы можем написать
0>(Ψ, ψπι-ψ) = (ΜΨ)ι Ψτη ~ ψ).
Правая часть этого равенства стремится к нулю при т —> оо, так как
последовательность ipm слабо сходится. Итак, (2.3.9) доказано.
Для доказательства (2.3.10) достаточно применить (2.3.9) к
билинейной форме а*(и, ν) = α(ν, и). D
Отметим, что требования сепарабельности пространства в
формулировке проекционной теоремы 2.3.1 молено избежать, а именно имеет
место следующая теорема, которая носит название теоремы Лакса—
Мильграма [67]:
Теорема 2.3.2. Пусть Η — гильбертово пространство со
скалярным произведением (и,ν). Далее, пусть B(u,v) —билинейная форма.

2.3. Вспомогательные утверждения
51
определённая для ν G Η, и G Η и такая, что существуют
постоянные К > О, а > О, не зависящие от ν и и, такие что для всех ν, и G Η
\B(v,u)\ ^ /Г||гх||яМя,
Β(υ,υ)>α\\υ\\2Η.
Тогда каждый линейный функционал F, ограниченный на Н, можно
представить в виде
Fv = B(v,z), veH,
где ζ — элемент пространства Н, однозначно определяемый
функционалом F, причём выполняется неравенство
\\z\\H^a-l\\F\\,
где \\F\\ — норма функционала F.
Доказательство теоремы 2.3.2 основано на теореме Рисса и
несколько сложнее доказательства теоремы 2.3.1. К тому же в наших случаях
всегда выполняется условие сепарабельности гильбертова
пространства. Поэтому мы и не будем приводить доказательства теоремы Лак-
са—Мильграма.
Приведём также формулировку теоремы Банаха об обратном
операторе (см., например, [47]). Мы часто будем использовать её на
протяжении всего изложения.
Теорема 2.3.3. Если линейный непрерывный оператор А
отображает всё банахово пространство X на всё банахово пространство
Υ взаимно однозначно, то существует линейный непрерывный
оператор А-1, обратный оператору А, отображающий Υ на X.
Ещё одно утверждение, которым мы часто будем пользоваться как в
этой главе, так и далее,— принцип сжимающих отображений или, как
его ещё называют, принцип неподвижной точки Банаха (см., например,
[14], [471).
Определение 2.3.1. Отображение А метрического пространства X
в себя называется сжимающим отображением, если существует такое
число q < 1, что для любых х, у G X выполняется неравенство:
р(Ах,Ау) ^qp(x,y).
Здесь ρ — метрика в пространстве X.

52
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Теорема 2.3.4. В полном метрическом пространстве X всякое
сжимающее отображение А имеет точно одну неподвижную точку
х, то есть такую точку χ Ε X, что
Ах = х.
Приведём также неравенство Гронуолла—Беллмана (см., например,
[5]) в связи с тем, что оно очень часто будет использоваться в
дальнейшем.
Теорема 2.3.5. Если функции v(t),g(t) — непрерывны и
неотрицательны на отрезке [О,Г], то для С ^ 0 из неравенства
t
v(t) ζ С + / g(s)v(s)ds, t e [О, Г] (2.3.12)
о
следует неравенство
t
v(t) ^ Ce°9{3)d\ t e [Ο,Γ]. (2.3.13)
Доказательство. Обозначим
t
z(t) = C+ I g(s)v(s)ds.
о
Тогда из (2.3.12) следует, 4τοι;(£) ^ z(t). Поэтому достаточно доказать,
что
t
„ ί 9{s)ds
z(t) ζ Ceo
Воспользуемся тем, что интеграл с переменным верхним
пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой
по этому верхнему пределу. Таким образом z(t) —дифференцируемая
функция и
z'{t) = g{t)v{t).
Следовательно,
z'(t) ^ g(t)z(t).
Таким образом
z'(t) = g(t)z(t) - b(t), (2.3.14)

2.3. Вспомогательные утверждения
53
где
b(t) = g(t)z(t) - z'{t) = g(t)z(t) - g(t)v(t) = g(t) (z(t) - v(t)).
Заметим, что функция b(t) — непрерывна и неотрицательна на
отрезке [О,Г]. Общее решение уравнения (2.3.14) с начальным условием
*(0) = С
имеет вид:
t t s
fg(s)ds f Ϊ g{r)dr
fg(s)ds f f9(r)dr
z(t) = Ce° - e° b(s)ds
о
Поскольку, в силу свойств экспоненты
fg(r)dT
е° ^0 при5Е[0,Г],
учитывая, что
получаем, что
6(s) ^0 при se [0,Г],
t s
Γ S9(r)dr
/ e° b(s)ds ^ 0.
Поэтому
fg(s)ds f Jg(r)dr
z(t) = Ce° - e° b(s)ds ^ Ce
t a t
fg(s)ds f Jg(r)dr f g(s)ds
о
0
Отсюда и вытекает требуемое неравенство (2.3.13). D
2.3.1. Слабая и *-слабая сходимость
Пусть Ε — линейное нормированное пространство, Е* — его
сопряженное, а Е** —пространство, сопряженное к Е*. Действие
функционала φ G Ε* на векторе и G Ε будем обозначать (φ,и).
Определение 2.3.2. Последовательность {ит} С Ε называется
слабо сходящейся к элементу и £ Е, если
(<P,Um)-> (<Р,и), m-*oo
для любого φ G Ε*. При этом и называется слабым пределом
последовательности {ит}.

54
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Известно, что если последовательность {ит} сходится сильно к и
в Е, то она сходится и слабо к и. Однако слабая сходимость, вообще
говоря, не влечет сильной.
В пространстве Е* также молено рассматривать слабую сходимость
в соответствии с общим определением: последовательность
функционалов {ψτη} слабо сходится к функционалу φ, если для любого
функционала / G Е** :
(/» <Ргп)е**хе* -> (/, ψ)ε·* хе* m -юо.
Однако на пространстве Е* молено рассматривать и другой вид
сходимости — так называемую *-слабую сходимость.
Определение 2.3.3. Последовательность {</?т} С Е* называется
*-слабо сходящейся к функционалу φ G Ε*, если
(<рт,и)-> (φ,υ) ra-*oo
для любого вектора и G Е. При этом φ называется *-слабым пределом
последовательности {<£>т}.
Если последовательность слабо сходится в Е*, то она сходится и *-
слабо. Это следует из того, что в определении *-слабой сходимости
используются не все функционалы из Е**, а только соответствующие
векторам из Ε (напомним, что имеет место изометрическое вложение
Ε С Е**).
Отметим, что для рефлексивных пространств понятия слабой и *-
слабой сходимости совпадают.
Остановимся подробнее на пространствах суммируемых функций.
Имеет место следующая лемма (см. [14]):
Лемма 2.3.2. Пусть f G (Ζ/ρ(Ω))* —линейный функционал из
сопряженного пространства к банахову пространству Ζ/Ρ(Ω),1 ^ ρ <
< оо. Тогда существует точно один элемент ν G Lq(Sl) (где р" + ^ = 1,
при ρ = 1 полагают q = оо), такой, что
(/, и) = J u(x)v(x) dx Vug £ρ(Ω), (2.3.15)
Ω
причём
l|/||(Lp(n))· = ΙΗΙμω)·

2.3. Вспомогательные утверждения
55
Таким образом, пространство (Ζ/Ρ(Ω))* может быть отождествлено
с пространством Ζ/ς(Ω). В свою очередь пространство (Ζ/ς(Ω))* также
может' быть отождествлено (при 1 ^ q > оо) с Ζ/Ρ(Ω), то есть Ζ/Ρ(Ω) и
(£Ρ(Ω))** действительно изометричны, причём построенная изометрия
в действительности является канонической (см. [80]).
Таким образом в пространствах Ζ/Ρ(Ω) с 1 < ρ < оо понятие *-слабой
сходимости совпадает с понятием слабой сходимости, и слабая
сходимость последовательности {/т} С Ζ/ρ(Ω) к функции / означает
сходимость числовых последовательностей
J fm(x)h(x)dx-> J f(x)h(x)dx (2.3.16)
Ω Ω
для всех функций h G Ζ/ς(Ω).
Та лее формула (2.3.15) устанавливает взаимно однозначное
соответствие между линейными функционалами φ на пространстве Ζα(Ω) (то
есть элементами пространства (Ζ/ΐ(Ω))*) и функциями из Ζ/οο(Ω), и это
соответствие также является изометрическим изоморфизмом. Однако
пространство, сопряженное к /^(Ω), не будет изоморфно
пространству Ζ/ΐ(Ω), так что Ζα(Ω) и Ζ/οο(Ω) оказываются нерефлексивными.
Однако в пространстве /^(Ω) имеет смысл рассматривать *-слабую
сходимость, в этом случае *-слабая сходимость последовательности
{/т} £ ^οο(Ω) к функции / G Ζ/οο(Ω) означает сходимость числовых
последовательностей
/ fm(x)h(x) dx-> J f(x)h(x) dx (2.3.17)
Ω Ω
для всех функций h G Ζα(Ω).
Всё сказанное можно перенести на пространства суммируемых
функций, определённых на отрезке [а, 6] и принимающих значения в
некотором сепарабельном, рефлексивном банаховом пространстве Е.
Тогда (см. [14]) пространство, сопряженное к Lv(a,b\E) (1 < ρ <
< оо), можно отождествить с пространством Lq(a,b;E*), где р + ^ =
= 1; пространство, сопряженное к Lι (α, &;£"), можно отождествить с
L^a^E*).
Таким образом, далее по тексту под слабой сходимостью в
пространстве Lv{a,b',E) (1 < ρ < оо) последовательности {/m} G Lp(a,b;E) к
функции / G Lp(a, 6; Ε) понимается сходимость числовых последова-

56
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
тельностей
τ τ
f(fm(s), h(s))ds -> ^{/(β), Λ(«))ώ (2-3.18)
о о
для всех функций h G Lq(a, 6; Ε1*), ^ + ^ = 1.
Аналогично, под *-слабой сходимостью в пространстве LOQ(a,b;E*)
последовательности {/m} G LOQ(a,b;E*) к функции / G /^(а, &;£"*)
понимается сходимость числовых последовательностей
τ τ
У(/m(s), Μ*))ώ ~> /</(*), Ks))ds (2.3.19)
о о
для всех функций h € L\(a,b;E).
Перечислим некоторые свойства слабой сходимости, которые
потребуются нам в дальнейшем:
Теорема 2.3.6. Пусть Ε — линейное нормированное
пространство. Тогда если последовательность {ит} С Ε слабо сходится к
и, то эта последовательность ограничена по норме, и имеет место
предельное соотношение
Н\е< Ы Ыя. (2.3.20)
т—>оо
Доказательство. По определению слабой сходимости имеем
(φ, v>m) -> (φ, и) (т -> со)
для всех φ G Ε*. В частности, это предельное соотношение означает,
что всякая последовательность вида {(φ, ит)} ограничена; поэтому
если рассматривать векторы ит,т = 1,2,... как элементы пространства
Ε1**, то по принципу равномерной ограниченности получаем
ограниченность последовательности ||гхта||я.
Докажем неравенство (2.3.20). В данной последовательности
выберем такую подпоследовательность {итк}, что
Н^шЛя-» Ит \\ит\\Е (fc-юо),
т—>оо
и пусть функционал φ G Ε* таков, что ||<£>||я* = 1, (<£>,и) = \\u\\e- Так
как φ имеет единичную норму, то справедливо неравенство
K<P>umfc)| ^ ||txmfc||s.

2.3. Вспомогательные утверждения
57
Переходя в этом неравенстве к пределу при к —> оо и замечая, что
в силу определения слабой сходимости левая его часть стремится к
(φ,и) = \\u\\e, получаем неравенство (2.3.20). D
Теорема 2.3.7. Пусть Ε — линейное нормированное
пространство. Тогда если последовательность {(рт} С Е* *-слабо сходится
κ φ, то эта последовательность ограничена по норме пространства
Е*, и имеет место предельное соотношение
\\<р\\в· ^ Mm \\<pm\\E: (2.3.21)
т—>оо
Доказательство. По определению *-слабой сходимости имеем
(φ, у>тп) -> (φ, и) (т -> оо)
для всех и Ε Е. В частности, отсюда следует ограниченность
последовательностей вида {((^m,u)}, и по принципу равномерной
ограниченности нормы ||<£>т||я* ограничены.
Теперь докажем неравенство (2.3.21). В данной последовательности
выберем такую подпоследовательность {<£>mfc}> что
||^тк||я*-* ШП \\ψτη\\Ε· (*-Ю0).
т—>оо
Далее, возьмём произвольное ε > 0. Так как
\\φ\\Ε· = sup \(φ,υ)1
IMU=i
то найдётся вектор ие Ε Е, такой, что ||ме||я = 1, и что
\(<Р,ие)\ > \\φ\\Ε· -ε.
Так как ие имеет единичную норму, то имеет место неравенство
\(<Pmk,Ue)\ < |bmfc|U·.
Переходя в этом неравенстве к пределу при к —> оо, получаем
\(<Р>ие)\ ^ lim ||^т||я·,
т—юо
откуда
Ы\е· < Шп \\<Рт\\Е· +ε.
m—>oo
Переходя теперь к пределу при ε —> 0, получаем неравенство (2.3.21).
D

58
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Для приложений имеют важное значение две следующие теоремы
(см. [31]):
Теорема 2.3.8. В рефлексивном пространстве всякая
ограниченная последовательность содержит подпоследовательность, слабо
сходящуюся к элементу этого пространства.
Теорема 2.3.9. Пусть Ε — сепарабельное нормированное
пространство. Тогда всякая ограниченная последовательность в
сопряженном пространстве Е* содержит подпоследовательность, слабо
сходящуюся к элементу пространства Е*.
2.3.2. Определение и свойства преобразования Лапласа
В этом разделе даётся определение и приводятся некоторые свойства
преобразования Лапласа. Все свойства приводятся без доказательства
и могут быть найдены, например, в [39] (с. 461—511).
Определение 2.3.4. Функцией-оригиналом будем называть любую
комплексную функцию f(t) действительного аргумента £,
удовлетворяющую следующим условиям:
1. Функция f(t) удовлетворяет условию Гёльдера всюду на оси t
кроме отдельных точек, где она имеет разрывы первого рода,
причём на каждом конечном интервале таких точек конечное
число. Это означает, что для каждого t (кроме указанных
исключительных точек) существуют положительные постоянные
А, а ^ 1 и ho такие, что
\f(t + К) - f(t)\ ^ A\h\a для всех /ι, \h\ ^ \ho\
2. Функция f(t) = О для всех отрицательных t.
3. Функция f(t) возрастает не быстрее показательной функции, то
есть существуют такие постоянные Μ > 0,5о ^ 0, что для всех t
\f(t)\<MeSot.
Число so назовём показателем роста /(£); для ограниченных
оригиналов можно принять so = 0.

2.3. Вспомогательные утверждения
59
Определение 2.3.5. Изображением функции f(t) (по Лапласу)
называют функцию комплексного переменного ρ = х + гу, определяемую
соотношением
оо
Cf(t) = f(p) = У'f(t)e-"dt.
О
Относительно обратного преобразования к преобразованию Лапласа
имеет место следующая теорема.
Теорема 2.3.10. Если функция f(t) является оригиналом и f(p)
служит её изображением, то в любой точке t, где f(t)
удовлетворяет условию Гёльдера, справедливо равенство
a+ioo
a—too
Здесь интеграл берётся вдоль любой прямой Кер = а > so и
понимается в смысле главного значения, то есть как предел интеграла
вдоль (а — гб, а + гЬ) при Ь —> оо.
Чтобы выписать свойства преобразования Лапласа напомним
некоторые определения из теории функций комплексного переменного:
Определение 2.3.6. Точка а называется изолированной особой
точкой функции f(z), если существует окрестность 0 < \z — а\ < R
этой точки (с исключенной точкой а), в которой f(z) аналитична.
Определение 2.3.7. Изолированная особая точка а называется
полюсом, если f(z) является бесконечно большой при приближении к а,
то есть если
lim f(z) = оо.
г->а
Определение 2.3.8. Пусть точка а —нуль функции g(z), то есть
д(а) = 0. Порядком нуля а функции g(z) называется наименьший
порядок η отличной от нуля производной д(п'(а).
Определение 2.3.9. Порядком полюса а функции f(z) называется
порядок нуля функции
9{z)=m
Полюс первого порядка называют простым полюсом.

60
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Для преобразования Лапласа имеют место следующие свойства:
1. Свойство линейности. Для любых (комплексных) постоянных
а и β имеет место равенство
£(α/(ί) + β9(ί)) = aCf(t) + pCg(t).
2. Дифференцирование оригинала. Если функция f(t)
непрерывна при t > 0 и f'(t) или вообще f^n\t) является оригиналом,
то
Cf'(t)=pf(p)-f(0), где f(p) = Cf(t)
ИЛИ
Cf(n\t) = pnf(p) - р"-7(0) - р"-2/'(0) - ... - /(-«(О),
где под /^(0) понимается
lim /(/e)(*).
3. Теорема умножения (Э. Борель). Пусть f(p) и д(р)
являются изображениями для f(t) и g(t) соответственно. Тогда их
произведение f(p)g(p) также является изображением, причём
f(p)9(p) = cljf(T)g(t-T)dry
ко
4. Теорема разложения. Если функция
А(р)
F(p) =
В{Р)
дробно-рациональна, причём степень многочлена А(р) в
числителе меньше степени многочлена В (р), то её оригиналом служит,
умноженная на 6(t) — функцию Хевисайда, функция
где Рк~ полюсы F(p), а га* — их кратности и сумма берётся по
всем полюсам.

2.4. Две постановки начально-краевых задач
61
В частности, если все полюсы F(p) простые, то последняя
формула упрощается:
т hB'^ '
2.4. Две постановки начально-краевых задач и
формулировка основных результатов
Для системы уравнений (2.1.1)—(2.1.3) будут предложены две
постановки начально-краевых задач. Для каждой из постановок будет
получена теорема существования и единственности слабого решения.
2.4.1. Первая постановка
Для системы (2.1.1)—(2.1.3) рассмотрим начально-краевую задачу с
начальными условиями
dti
и граничным условием
(х) = аЛх), χ G Ω, г = О, L; (2.4.1)
t=o
(х) = ЪЛх), χ G Ω, г = О, L - 1 (2.4.2)
Чапх[о,т] =0. (2.4.3)
Заданы, начальные условия на ^ (г = 0, L), а не на ^f, поскольку,
зная первые, всегда можно вычислить вторые.
Будем предполагать, что
/ G (^([Ο,Γΐ,Ο,α, G V,bj G L2(tt,Ms(n)), i=07L;J = 0,L-l.
Определение 2.4.1. Слабым решением начально-краевой задачи
(2.1.1)—(2.1.3), (2.4.1)—(2.4.3) называется пара функций
t;GCL+1([0,r],y),aGCL([0,T],L2(n,Ms(n))),
удовлетворяющая для любого φ G V и всех t G [0, Τ] равенствам
Ω Ω lJ=l Ω
(^t^^i^ + g^f (2.4.5)

62
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
и начальным условиям (2.4.1):
и (2.4.2):
= a,i, i = 0,L
t=o
= bu i = 0,L-l.
t=o
В следующей лемме приведены условия, при выполнении которых
начально-краевая задача (2.1.1)—(2.1.3), (2.4.1)—(2.4.3) корректно
поставлена.
Лемма 2.4.1. Если пара ν,σ — слабое решение начально-краевой за-
дачи (2.1.1)-(2.1.3), (2.4.1)-(2.4.3), то функции а* и bj (г = 0^1; j =
= 0, L — 1) удовлетворяют следующей системе:
η ~
Jaupdx-J Σ («o^Mjaif dx = -Jb0: V<pcte +(/|t=s0,<p) ,
Ω Ω i,J = l Ω
η
Ja2<pdx-f Σ ((ai)i(a0)j + (a0)i(a1)j)-g£dx =
Ω Ω ij=l
= -fbl:V<pdx + (%\t=0,V),
faL<pdx-f £ Σ m,ff_112!m),(am)i(az,-1-Tn)J|gf rfx =
Ω Ω t,j=l m=0
= -JbL-1:VVdx + (&U\t=0,<p).
Ω Χ '
(2.4.6)
Система (2.4.6) называется условиями согласования.
Доказательство. Поскольку пара ν,σ по условию леммы
является слабым решением начально-краевой задачи (2.1.1)—(2.1.3), (2.4.1)—
(2.4.3), то она для любого φ Ε V и всех t Ε [0, Τ] удовлетворяет (2.4.4).
Отсюда при t = 0 получим равенство:
/ αχφάχ- j ^2(ao)i(ao)j-g^dx = - / bo : V(pdx + (/|t=0,^>,
Ω Ω *'-*=1 Ω
которое является первым в системе (2.4.6).
Для получения А;-того равенства (k = 2,L) достаточно
продифференцировать равенство (2.4.4) к — 1 раз и рассмотреть значение
полученного равенства в нуле. D

2.4. Две постановки начально-краевых задач
63
Из доказательства леммы следует, что мы должны выбирать
начальные условия (2.4.1) и (2.4.2) таким образом, чтобы они удовлетворяли
условиям согласования (2.4.6), поскольку если решение существует,
то оно необходимо им удовлетворяет. Действительно, напряжения и
скорости деформаций в жидкости взаимосвязаны и зависят также от
внешних сил. Таким образом определённым значениям скоростей
деформаций в жидкости и внешних сил, действующих на жидкость,
соответствуют только определённые значения напряжений, которые не
могут выбираться произвольным образом.
Первым из основных результатов этой главы является следующая
теорема существования и единственности слабого решения для
начально-краевой задачи (2.1.1)—(2.1.3), (2.4.1)—(2.4.3).
Теорема 2.4.1. При f G CL([0,T], V*) исцеУ, bj G £2(Ω,Μ,(η)),
г = 1,L, j = 1, L — 1, удовлетворяющих условиям согласования (2.4.6),
существует единственное слабое решение начально-краевой задачи
(2.1.1)-(2.1.3), (2.4.1)-(2.4.3).
Мы не приводим доказательство этой теоремы, поскольку оно с
некоторыми упрощениями аналогично доказательству теоремы
существования и единственности слабого решения во второй постановке,
которое и будет приведено в пункте 2.6.
2.4.2. Вторая постановка
Как молено заметить из первой постановки, нам не нужно
обязательно задавать одновременно и начальные условия (2.4.1), и начальные
условия (2.4.2). Можно задать только часть этих начальных условий,
а недостающие найти из условий согласования (2.4.6). А именно,
рассмотрим для системы (2.1.1)—(2.1.3) начально-краевую задачу с
начальными условиями (2.4.2):
(х) = &i(rr), χ G Ω, г = О, L — 1;
и
ν \t=o (х) = ао(#)> х £ Ω; (2.4.7)
и граничным условием (2.4.3):
^|апх[о,т] =0.
Мы предполагаем, что / G CL([0,T], V*), α0 G V, bi G L2(Sl,Ma{n)),
2 = 0,L-1.

64
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Определение 2.4.2. Слабым решением начально-краевой задачи
(2.1.1)—(2.1.3), (2.4.2), (2.4.7), (2.4.3) называется пара функций
ν е cL+1([o,:r],n σ е cL([o,r],L2(tt,M5(n))),
удовлетворяющая для любого φ Ε V и всех t Ε [О, Т] равенствам (2.4.4):
-τ^φάχ- Ι Σ ViVi^Tdx =~ J ^ : Vc^dx + (/,<£>),
Ω Ω *Λ = 1 * Ω
(2.4.5):
(φ£)'->{»£*£)
и начальным условиям (2.4.2):
dt*
= bu 2 = 0,L-1
ί=0
и (2.4.7):
ν |t=o= «ο·
Отметим, что для начальных условий на слабое решение
начально-краевой задачи (2.1.1)—(2.1.3), (2.4.2), (2.4.7), (2.4.3) имеет место
следующая система уравнений
'/SfLo*"**-/ Σ (ao)i(aob^dx=-Sb0:^dx+(f\t=oM,
Ω Ω ij=l Ω
/6L·^-/ ς (ФЫ^ + ^И&и),)^-
Ω Ω i,j=l ч ■//
Ω
η L-2
_ Γ V V (L-1)! /атг;| \ /Vzil^tH "\ дЧ>> Λτ-
J 2^ 2^ m!(L-l-m)! V dtm \t=o)i V at'—1"™ !*=()/, d*i ax
Ω г, j=1 m=l ч 'J
-/ Σ ((fe^U)i(«o)i + («o)«(S^tU).)fe<fa=
=-/6L_X : V^cix+(|3|(=0,^) .
(2.4.8)

2.4. Две постановки начально-краевых задач
65
Аналогично предыдущему пункту, если пара ν, σ является слабым
решением начально-краевой задачи (2.1.1)—(2.1.3), (2.4.2), (2.4.7), (2.4.3),
то она обязательно удовлетворяет (2.4.8). Если рассмотреть (2.4.8) как
систему уравнений относительно §ρτ|ί=0> к = 1,L, то она имеет
единственное решение a* G V, к = 1,L. Покажем это. В процессе
доказательства также будет указан способ нахождения этого решения.
Первое уравнение системы (2.4.8) определяет уравнение в
пространстве V*, так как каждый интеграл порождает некоторый функционал
из V*. Выразим в этом уравнении в V* значение fjjf|t=0 и обозначим
полученное выражение через αι. В силу того, что υ G CL+1([0,T], V),
имеем, что на самом деле а\ G V. Теперь подставим уже известное нам
αχ во второе уравнение. Как и ранее второе уравнение определяет
некоторое уравнение в пространстве V*, поскольку каждый интеграл
порождает некоторый функционал из V*. Выразим теперь ^т|ί=0·
Обозначим его через α<ι. Как и ранее аг G V, поскольку υ G CL+1([0, T], V).
И так далее. За к шагов мы получим решение системы (2.4.8). То что
решение системы (2.4.8) единственно следует из построения.
Таким образом в качестве решения системы (2.4.8) мы получим
начальные условия на ^£, к = 1,L. То есть, если пара υ, σ — решение,
то она обязательно удовлетворяет начальным условиям
dkv
_=akeV,k = l,L. (2.4.9)
Однако, стоит отметить, что не при любых /, ао и 6*, г = О, L — 1
решение системы (2.4.8) принадлежит V, так как в общем случае выра-
жая f|L=0 уже из первого уравнения мы получим только функционал
из V* и он не обязательно принадлежит пространству V. А поскольку
(2.4.9) является необходимым условием существования слабого
решения начально-краевой задачи (2.1.1)—(2.1.3), (2.4.2), (2.4.7), (2.4.3), то,
следовательно, данная задача имеет решение не при всех начальных
условиях ао и 6*, г = О, L — 1 и правых частях /.
Вторым основным результатом данной главы является следующая
теорема существования и единственности слабого решения для
начально-краевой задачи (2.1.1)—(2.1.3), (2.4.2), (2.4.7), (2.4.3):
Теорема 2.4.2. При правой части f G CL([0,T], V*) и начальных
условиях ао G V, 6» G 1/2(Ω, М3(гс)),г = О, L— 1 таких, что
решение системы (2.4.8) принадлежит V, существует единственное
слабое решение начально-краевой задачи (2.1.1)—(2.1.3), (2.4.2), (2.4.7),
(2.4.3).

66
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Доказательство этой теоремы будет приведено в параграфе 2.6. Для
доказательства нам потребуются некоторые свойства преобразования
Лапласа, которые мы приведём в следующем параграфе. Также мы
рассмотрим ниже одну вспомогательную задачу и докажем для неё
теорему существования и единственности слабого решения.
Полученные результаты будут использованы при доказательстве теоремы 2.4.2.
2.5. Вспомогательная задача
Для доказательства теорем 2.4.1 и 2.4.2 рассмотрим
вспомогательную задачу. А именно, изучим следующую систему уравнений в
ограниченной области OcRn, п = 2,3с локально-липшицевой границей
5Ω, на промежутке времени [О,Г], Τ > 0:
dv A ^ dv dAv
t
- fh(s,t)&v(s)ds + \?p = f, (ι,ί)Εί1χ[0,Γ], (2.5.1)
о
div ν = 0, (я, t) e П χ [0, Γ]. (2.5.2)
Здесь μι,μ2 — константы, μ2 > 0; функция h G ^((Ο,Γ) χ (Ο,Γ)).
Данную систему уравнений иногда называют системой Осколкова,
поскольку он одним из первых занимался её исследованием.
Для системы (2.5.1), (2.5.2) рассмотрим начально-краевую задачу с
начальным условием
v\t=o(x) = а(х), х G Ω, (2.5.3)
и граничным условием
v\dnx[o,T} =0. (2.5.4)
2.5.1. Постановка задачи о слабых решениях и формулировка
основного результата
Введём пространство:
Wp = {v:ve С([0,Г],У), т/ G Lp(0,r; V)},1 ^ ρ < ос,
с нормой:
IMIWp = IH|C([0,T],V) + |И1МО,Т;10·
Предполагается, что / G Lp(0, Τ; V*), 1 ^ ρ < оо, a G V.

2.5. Вспомогательная задача
67
Определение 2.5.1. Слабым решением задачи (2.5.1)—(2.5.4)
называется функция ν G Wp, удовлетворяющая для любого φ £ V и
почти всех t G (О, Τ) равенству
fdv , f^dv „ , Г „ ,
/ — φαχ + μ2 Ι V— : У φ αχ + μι ι У ν : \/φάχ-
Ω Ω Ω
η *
~ / Σ viv3-p-dx+ / Ι h(s,t)Vv(s)ds :V<pdx = (f,tp) (2.5.5)
ω *λ=1 * ω ο
и начальному условию
ν(0) = α. (2.5.6)
Для вспомогательной начально-краевой задачи (2.5.1)—(2.5.4) мы
установим следующие результаты:
Теорема 2.5.1. При любых f G Lp(0,T;V*), Ι ^ ρ < οο,α е V
существует единственное слабое решение ν G Wp задачи (2.5.1) —
(2.5.4).
Доказательство этой теоремы будет приведено в пункте 2.5.4.
Теорема 2.5.2. Если h G Ск([0,Т\ х [0,Г]),/ G Ck([0,T\,V), где
А; = 0,1,2,..., то слабое решение задачи (2.5.1) —(2.5.4) принадлежит
пространству Ск+1 ([О, Г], V).
Данная теорема будет доказана в пункте 2.5.5.
2.5.2. Операторные уравнения эквивалентные задаче о
слабых решениях задачи (2.5.1)—(2.5.4) и исследование
свойств операторов из этих уравнений
Введём операторы при помощи следующих равенств:
A.V-+V*, (Αν,φ)= jVv:V(pdx, veV,ipeV',
Ω
В : LAO) -> V\ (Β(ν),φ) = ί У" viVj -p- dx, υ G ЬАП)п,<р G V;
J fr±x dxi
J:V-*V*, (Jv,ip)= vipdx v,ipeV.

68
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Тогда (2.5.5) можно записать в следующем виде (здесь и далее ν'
~ at) ·
<Jt/(t), γ>) + (μ2Αν'(ί),φ) + (μϋ4ν(ί),^>+
+ ljh(s,t)Av(s)ds,<p\ - (B(v)(t),<p) = </(*),*>).
Поскольку в последнем равенстве функция <^6 V произвольна, то
оно эквивалентно следующему операторному уравнению:
(μ2Α + J)v' + μιΛν + iVv - Β(υ) = /, (2.5.7)
где
Nv(t)= J h(s,t)Av(s)ds.
Итак, слабое решение задачи (2.5.1)—(2.5.4)—это решение ν Ε Wp
операторного уравнения (2.5.7), удовлетворяющее начальному
условию (2.5.6).
Введём следующие обозначения:
L : Wp -+ Lp(0,T; V*) χ V, L(v) = ((μ2Α + J)v' + М1Лт/ + ΛΓν,ν|4=0);
if : Wp -> Lp(0,T;V*)x V, K(v) = (B(v),0).
Тогда задача (2.5.7), (2.5.6) эквивалентна следующему
операторному уравнению:
L(v)-K(v) = (f,a). (2.5.8)
Для того чтобы не нагромождать обозначения, будем использовать
одну и ту же букву для обозначения операторов, действующих в
разных функциональных пространствах и определяемых одной и той же
формулой. Например, в нижеследующей лемме А — это оператор,
действующий из V в V*, из Lp(0,T;V) в Lp(0,T;V*) и из С([0,Г],У) в
С([0,Т], V*). Отметим также, что мы можем доказать более глубокие
свойства для некоторых операторов, например, в следующей лемме
оператор А не только непрерывен, но и непрерывно обратим. Но мы
ограничимся только теми свойствами, которые нам потребуются для
доказательства существования слабого решения вспомогательной
задачи (2.5.1)-(2.5.4).

2.5. Вспомогательная задача
69
Лемма 2.5.1. Для оператора А имеют место следующие
свойства:
1. Оператор А : V —> V* — непрерывен и для него имеет место
оценка:
\\M\v ^ Mv- (2.5.9)
2. Для любой функции и G 1/р(0,Г;У), 1 ^ ρ < оо, функция
Аи е Lp(0,T; V*) и оператор А : Lp(0,T,V) -► Lp(0,T; V*) -
непрерывен, причём имеет место оценка:
ΙΙ^ΙΐΜΟ,Τ-,ν·) < IM|lp(0,T;V)· (2.5.10)
3. Для любой функции и Ε С*([0,Г],V), где А; = 0,1,2,...,
функция Аи е Ck([0,T],V*) и оператор А : Сл([0,Г],У) -►
-► С*([0, Г], У*) - непрерывен.
Доказательство. 1) В силу линейности оператора А для
доказательства его непрерывности достаточно доказать его ограниченность.
По определению оператора А для ν, φ Ε V имеем
ι <■*«.*>> ι =
/V«:
: Vtpdx
= КО*,</?))! ^ NHMk,
и, следовательно:
II^Hv* ^ \\и\\у-
Таким образом оператор А : V —> V* ограничен и непрерывен.
2) Пусть и Ε Lp(0, T; V). В силу первого пункта данной леммы при
почти всех t Ε (0,Т) имеем оценку
||i4ti(t)||v < \\u{t)\\v.
Возводя теперь последнюю оценку в степень ρ и интегрируя по t от
0 до Т, получим:
τ τ
j \\Au(t)\\pv. dt^J \\u(t)\\pv dt. (2.5.11)
о о
Так как ||u(£)||v Ε Lp(0,T), то ||j4u(i)||v* £ ^ρ(Ο,Γ) и,
следовательно, AueLp(0,T;V*).

70
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Извлекая корень р-той степени из оценки (2.5.11), получим
требуемую оценку сверху:
||>Mlp(o,T;V*) < IM|Lp(o,T;io·
Поскольку, оператор А — линеен и ограничен, то он непрерывен как
оператор из Lp(0, Г; V) в Lp(0,Г; V*).
3) Пусть и G С*([0,Г], V), тогда Au(t) G С*([0,Г], V*) как
суперпозиция к раз непрерывно-дифференцируемого отображения и
линейного оператора:
[0,Г]
"■ ν Α ν*.
Отсюда, используя оценку (2.5.9), имеем:
ll>lu||c*((o,T],v)=S(max]
£<Л»><'>
= Σ
i=o
max
ί€[0,Τ]
4«">
^
i=o
max
*€[0,Τ]
5*tt(t)
IMIcfc([o,T],io·
Так как оператор А линеен и ограничен, то он непрерывен как
оператор из Ck([0,T},V) в Ск([0,Т\,V*). П
Лемма 2.5.2. Для оператора μ2Α + J имеют место следующие
свойства:
1. Оператор μ2Α + J : V —> V* — линейный, непрерывный,
обратимый и для него имеют место оценки:
№\\и\\у < ||(μ2^ + </Η|ν* ^ ΊίΜΙν,
(2.5.12)
где 1\ — константа, зависящая от μ2· Обратный к нему
оператор (μ2Α + J)~l : V* —> V непрерывен и для него имеет место
оценка
1
|(μ2Λ + 7Γ7|| <—||/||v, fev\ (2.5.13)
\ν μ2
2. Для любой функции и G LP(Q,T,V), 1 ^ ρ < оо, функция
(μ2Α + J)tx G Lp(0,T; V*) г* оператор (μ2Α + J) : LP(0,T; V) -►

2.5. Вспомогательная задача
71
—> Lp(0,T;V*) непрерывен, обратим и для него имеет место
оценка:
M2|MIlp(o,T;V) < \\(β2Α + J)u\\lpq,T;V) ^ h\\u\\Lp(olTiv)-
(2.5.14)
Обратный оператор (μ2Α + J)-1 : Lp(0,T;V*) -► Lp(0,T;V)
непрерывен и для него для любых f,g G Lp(0, T; V*) имеет
место оценка
(μ2Α + J)-lf\\ < J-ll/U^.^.). (2.5.15)
3. Для любой функции и G С* ([О, Г], V), где k = 0,1,2,..., функция
(μ2^ +J)ti G С*([0,Г|, V) ti оператор (μ2^ + J) : С*([0,Г|, V) ->
—> С* ([0, Τ], V*) обратим и обратный оператор непрерывен.
Доказательство, i^ Оператор μ2Α Η- J линеен как сумма двух
линейных операторов, непрерывен из V в V* как сумма двух
непрерывных операторов.
Установим оценки (2.5.12). Найдём сначала оценку сверху на μ2Α+J.
Используя определения операторов А и J, имеем
м/ л , т\ м def 1(0*2^ + J)tx,¥>)|
||(μ2Λ + J)ti ν· = sup π =
φεν\{ο] Imlv
sup
μ2 f Vw : V<£> dx + f u<pdx
Ω Ω
<P€V\{0} \\ψ\\ν
Ы(ц,¥0) + (ц,у01 . em М2|Нк1Мк + 1М|я1И1я .
= sup τ—τ ζ sup — ^
<pev\{o} \\Ψ\\ν φεν\{ο} \\ψ\\ν
^ am μ2\\ν\\ν\\φ\\ν + Cf\\u\\y\\(p\\v , ,
^ SUP π—л =*ιΙΜΙν»
φ€ν\{0} WW
где 11 = μ2 + С?; здесь мы воспользовались неравенством Пуанкаре:
Ын<Сг\\и\\у
с некоторой константой С\. Таким образом, мы получили требуемую
оценку сверху. В силу линейности оператора μ2Α + J отсюда следует,
что он непрерывен.

72
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Пусть и EV, тогда для любого φ G V в силу определения операторов
А и J имеем
((μ2Α + J)u, φ) = μ2(Αη, φ) + (Ju, φ) =
= μ2 / Vu : Vipdx+ ι uipdx = μ2((η,φ)) + (η,φ).
Ω Ω
Полагая в последнем равенстве φ = и, получим
(^2A + J)u,u) = μ2({η,η)) + (ν,,υ) =м2|М|к + 1М|я ^Μ2||^||ν·
Здесь мы воспользовались тем, что \\uWJj ^0. С другой стороны:
((μ2Α-\- J)u,u) ^ ||(μ2^ + «/Η|ν4ΜΙν·
Таким образом имеем:
AfcHlv ^ ||(μ2^ + «/Η|ν4ΜΙν·
Отсюда и получается требуемая оценка снизу.
Покажем, что μ2Α + J обратим, как оператор из V в V*. Для
этого воспользуемся теоремой 2.3.1 (проекционной теоремой) и теоремой
2.3.3 (теоремой Банаха ).
Для того чтобы применить теорему 2.3.1 нам достаточно показать,
что соответствующая оператору (μ2Α + J) : V —> V* непрерывная
билинейная форма
а(щ υ) = ((μ2Α + J)u, v)
коэрцитивна, то есть что для неё выполнено условие (2.3.1).
Действительно, для любого и G V имеем, что
а(и, и) = ((μ2Α + J)u, и) = μ2((η,и)) + (и, и) =
= ЫЫ\Ь + Ы\2н ^IMI2/·
Таким образом в силу теоремы 2.3.1 для каждого h G V* существует
единственный элемент w E V такой, что
((μ2Α + J)w,v) = a(w,v) = (h,v), VvGV.
В силу произвольности υ G V это эквивалентно тому, что для каждого
h G V* существует единственный элемент w G V такой, что
(μ2Α + J)w = h.

2.5. Вспомогательная задача
73
С учетом вышеизложенного получаем, что оператор (μ2Α + J) : V —>
—> V* является линейным, непрерывным и взаимно однозначным.
Следовательно, по теореме 2.3.3 он непрерывно обратим.
Требуемая оценка (2.5.13) получается из левой части оценки (2.5.12).
На самом деле для каждого / G V* в силу (2.5.12) имеем
М2
(μ2Α + 7Γ7
ν
откуда и следует (2.5.13).
2) Пусть и G Ζ/ρ (О, Т; V). Тогда в силу оценки (2.5.12) при почти всех
t G (О, Τ) имеем следующую оценку
||(M2i4 + J)ti(t)||v </i||ti(t)||v.
Возведем эту оценку в р-тую степень и проинтегрируем по t от 0 до Т.
Получим:
τ τ
f \\{μ2Α + J)ti||£. Λ < I* J \\u\\vv dt.
о о
Так как и G Lp(0,T; V), то правая часть неравенства конечна, и,
следовательно, левая часть неравенства конечна. Отсюда следует, что
(μ2Α + J)u G Lp(0, Γ; V*), и, что
||(μ2Α +J)u||Lp(o,T;v*) ^ 'l|M|Lp(OfT;V)·
Поскольку μ2^4+«/ — линейный и ограниченный, то получаем, что он
непрерывен как оператор из Lp(0, Τ; V) в Lp(0, T; V*). Покажем теперь
его обратимость. Сначала докажем, что множество значений
оператора μ2Α + J совпадает со всем Lp(0,T; V*). Для этого надо показать,
что для любого w G Lp(0, T; V*) уравнение
{μ2Α Η- J)u = w
имеет решение и G Lp(0,T; V).
В силу того, что оператор μ2Α + J : V —> V* обратим, мы имеем,
что при почти всех t G (О, Т) уравнение (μ2Α + J)u = w имеет решение
η(ί) = (μ2Α + J)~lw(t).
Осталось показать, что определённая таким образом функция и G
G Lp(0,T;V). В силу оценки (2.5.12) при почти всех t G (0, Г) мы
имеем:
V2\\u(t)\\v < ||(ji2;4 + J)ti(t)||v· = MOHv·.

74
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Поскольку w G Lp(О, Т; V*), то из последнего неравенства следует, что
и G Ζ/ρ (О, Г; У). Возводя это неравенство в р-тую степень и интегрируя
его по отрезку [О,Г], получим оценку снизу (2.5.14):
M2|M|Lp(0fT;V) ^ \\&2А+ J)u\\Lpi0tT;Vy
А из этого неравенства следует, что
ΚβΓ(μ2^ + J) = {0}.
В итоге получили, что μ2Α + J обратим как оператор из Lp(0, T; V) в
Lp(0,T;V*).
В силу оценки (2.5.13) для любого / G Lp(0,T;V*) при почти всех
£ G (0, Г) имеем оценку
UbA + J)-xf{t)
v < -ll/Wllv.
ν μ2
Возводя данную оценку в р-тую степень и интегрируя по t от 0 до Т,
получим требуемую оценку (2.5.15):
(Mail + J)"1/
<—I
Lp(0,T;K) μ2
|Lp(o,T;V*)·
Из этой оценки и следует непрерывность оператора (μ2Α + J) l :
Ьр(0,Г;У*)^Ьр(0,Г;У).
5; Пусть ti G С*([0,Г|, V), тогда (μ2Λ + J)u G С*([0,Г|, V) как
сумма двух непрерывно-дифференцируемых отображений.
В силу доказательства предыдущего пункта этой леммы ΚβΓ(μ2Α +
-J-J) = {0}. Таким образом для доказательства обратимости оператора
(μ2Α + J) : Ck([0,T],V) -> Ck([0,T],V*)
достаточно доказать, что его множество значений совпадает со всем
С*([0,Г], V*). Для этого достаточно доказать, что уравнение
(μ2Α + J)u = w
при любом w G C*([0, Г], V*) имеет решение u G Ск([0, Г], V).
Поскольку оператор
μτΑ + J-.V -+V*
обратим, мы имеем, что при каждом фиксированном t G [0, Τ]
уравнение
(μ2Α + J)u(t) = w(t)

2.5. Вспомогательная задача
75
имеет решение
u(t) = fa2A + J)-lw(t).
Определённая таким образом функция и принадлежит пространству
С* ([О,Т], V) как суперпозиция к раз непрерывно-дифференцируемого
отображения и линейного непрерывного оператора:
В силу оценки (2.5.13) для любого / G С([0, Г], V*) при всех t G [О, Г]
имеем оценку
(μ2Α + ^-λ/(ή\\ <-||/(t)||v <
^^^o%ll/(i)l|v' = ^ll/llc('0-Tbv·)·
Правая часть последнего неравенства не зависит от t, поэтому
переходя в ней к максимуму по t, получим оценку
(М2л+7)-1/||с((0)Г]ю<^|1/11с(1о,т],^),
из которой и следует непрерывность обратного оператора (μ2Α+J)-1 :
Ck([0,T],V*) -+ Ck([0,T},V). Π
Лемма 2.5.3. Для оператора N имеют место следующие
свойства:
1. Для любого ν G Wp при 1 ^ ρ < оо функция Nv G Lp(0, T; V*) и
оператор N : Wp —>· Lp(0, T; V*) — непрерывен и для него имеет
место оценка:
/ГР+1
\\Щ\ьр(о,т-у) ^ у-^Щ\Ьооао,т)х(о,т))\Мс([о,т]у)' (2.5.16)
2. Если h(s, t) G С*([0, Г] χ [О, Г]), где к = О,1,2,..., то длл любого
ν G С*([0,Г|, V) 0ункцш1 Nv G С*([0,Г|, V).

76
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Доказательство. 1) Пусть ν G Wp. Покажем, что Nv G
G Lp(0,T; V*). Действительно, используя оценку (2.5.9), получим
τ и t
dt ^
\\Ν*\\Ιρ1ο.Τ;ν*) = / lJh(s9t)Av(s)ds\
о Ho I
τ / t
< / I f \h(s,t)\\\Av(s)\\v.d8 J Λ<
τ / t
^\\Н\\1ж«0,Т)х{0,Т))] Ij M*)\W
0 \0
^ΙΙ^ΙΙ^αο,^χίο,τ))/^!!^5)!^ l/lde) dt
ds I cfa ^
^
^o
τ
iiLooiCo.Tjxco.TMll^Hcdo.Ti.v) I t dt-
b
■/■
IMI?
- p_hlll'l'llL00((o,T)x(o,T))llt/llc([o,T],K)·
Так как правая часть последнего неравенства конечна, то и левая
часть конечна. Таким образом Nv G Lp(0, T; V*) и удовлетворяет
оценке (2.5.16). Непрерывность оператора (в силу ограниченности)
вытекает из его линейности.
2) Пусть ν G С*([О, Г], V). Тогда в силу леммы 2.5.1 пункт 3мы
имеем, что Av G С*([0,Т], V*). Следовательно, JVv будет принадлежать
даже С*+1([0,Г|, V), так как ft(e,t) G С*([0,Г| х [0,Г]). D
Лемма 2.5.4. Длл отображения В имеют место следующие свой-
ства:
1. Отображение В : L\(£l)n —> V* —непрерывно, для него имеет
место оценка:
l|B(w)lk-<C0|Hli4(n). (2.5.17)
с некоторой константой Со.
2. Для любого ν G Z/2P(0,T\L^{^i)n)^\ ^ ρ < оо, функция
B(v) G Lp(0,T;V*) tx отображение В : Ζ,2ρ(0,Γ;Ζ,4(Ω)η) -►
—>· Ι/ρ(0, Γ; V*) — непрерывно.

2.5. Вспомогательная задача
77
3. Для любой функции ν G Wp при 1 ^ ρ < оо функция В (v) G
G Ζ/ρ(0,Γ; V*) г* отображение В : WP —> Lp(0,T; V*) —вполне
непрерывно и для него имеет место оценка:
\\B(v)\\Lp(o,T;v*) ^ Сз|М1с([о,т],гО
с некоторой константой Сз.
(2.5.18)
4- Для любой функции ν G С* ([О, Г], V), где к = 0,1,2,..., функция
B(v)eCk([0,T},V).
Доказательство, i^ Для любых vGZ/4(0)n,<£>GV имеем
\(Β(ν),φ)\ ζ Со max ||^||ζ,2(Ω)ΙΜΙ ν ^ Ο0\\υ\\14{Ω)η\\φ\\ν,
откуда и следует, что
\\Β(υ)\\ν. <CoNli4(n)n
с некоторой константой Со-
Покажем непрерывность отображения
Б:У-*У*, г/н->В(г/).
Для произвольных vm,v0 G L4(ii)n имеем:
\(Β{ιΤ),φ)-(Β(ν°),φ)\ =
-Ι/ς·^*--/.?.·^*
ω м=1
i,J = l
i,j=l
L2(H) dXi
^
L2(n)
< Σ Ь>? -"УЛь2<п) ы\у < imiv Σ 1КЧ1 -^411
Отсюда следует, что
ij=l
L2(H) *
||Β(θ-^°)|Ιν. ^ Σ Ь>Т~^УЛ
L2(n)

78
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Преобразуем правую часть неравенства следующим образом:
η η
\\Vi V3 ViVj\\L2(n) ~ 2^ \\Vi V3 V*> V3 + V» V3 ViVj\\L2(il) ^
< Σ \\ν>τ - v^ILm + Σ h>° - «ЭДНып, =
= Σ \ΚΦ-®\\*α) + Σ l№r-«f)llLl(n)<
< Σ 1Кт11Мп)11^-^11Мп)+ Σ К11мп)11^-*?1к(п) <
< C4 ii^nL4(n)„ |K - «1^. + c4 \\v°\\Li(Q)n \\v™ - v°\\Li(n)n =
= G, (||<Л1МП)" + Икр»-) l·"1 ~ «Ilw ■
Таким образом получили, что
II д(о - b^P)\\v. < с4 (ικιΐΜΩ)η + 1И1Мп>«) IK - Л1 w ·
(2.5.19)
Полагая t;m —> v° в Ζ/4(Ω)η, получаем из последнего неравенства
непрерывность отображения В : L\{Q)n —> V*.
2) Пусть ν G Ζ/2Ρ(0,Γ;Ζ/4(Ω)η). В силу оценки (2.5.17) при почти всех
t e (О, Г) имеем
\\B(v)(t)\\v^C0\\v(t)\\l4{n)n.
Возведем это неравенство в р-тую степень и проинтегрируем по t от О
до Г:
τ τ
J \\B(v)(t)fv.dt < C0P J \\v(t)\\%(n)ndt.
о о
Поскольку правая часть последнего неравенства конечна, то конечна
и левая часть. Таким образом для ν Ε Ζ/2ρ(0, Τ; Ζ/4(Ω)η) мы имеем, что
B(v) € Lp(0,T;V).
Покажем теперь непрерывность отображения
В : L2p(0,T;L4(Q)n) -+ £р(0,Г; V).
Пусть последовательность {vm} С I/2P(0, T; L4(^)n) сходится к
некоторому пределу i;0 G Ζ/2Ρ(0,Γ;Ζ/4(Ω)η). Из неравенства (2.5.19) получим,

2.5. Вспомогательная задача
79
что при почти всех t Ε (О, Τ) имеет место оценка
\\B(vm)(t)-B(v°)(t)\\v.<
< Са (|К(*)11да + FWII^).) ЦК1 - »°)№||да ■
Возведем последнее неравенство в р-тую степень и проинтегрируем
по t от 0 до Т. Воспользовавшись неравенством Гёльдера, получим:
j\\B(vm)(t)-B(v°)(t)\\Pv.dt^
О
Τ
ci J (ikwiw + И*)||мп).)' И"т«) - v°(t)\\pLi(n)n dt ■.
c\ (/ (ικωιΐΜη)- + ΙΚ(*)ΐΐΛ4(η,.)*rfi) x
χ(/ΐΚ(ί)-Λ*)|£(ΐΐ)-*
τ
о
τ
^ : \
Поскольку в силу неравенства Гёльдера
τ
о
- Σ afe / H»mWllU)- FWIG- * «
t-0 Q
τ τ
о о
+ Σ^ί (/ii»m(*)ii&n,-*)P ί/ΐΐΛοιε^Λ

80
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
2р II \ *Р / 1 \ 2р
- Σг^ (/«""«ιιΐν,-ή (/иойи- *
Σ—1ML_ iL/niii ||т;0||2р~'
г!(2р - г)! " "L2p(o,t-l4(Q)") |Г ΙΙί,2ρ(ο,τ;ζ,4(Ω)«) *
__(2Р)? M/,.m||i IL.0||2P-*
ill
г=0
Таким образом:
||В(0 -Β(«°)||ΜΟιΓ;ν.) < 11^ --0HL2p(0,T;L4(n)^) *
х С4 ( 2^ г!(2р-г)! 11^тН Wo,T;L4(nn llv ΙΙζ,2ρ(ο,τ;ζ,4(Ω)») ) ·
Так как правая часть неравенства стремится к нулю при т —> Н-оо,
то стремится к нулю и левая часть. А это и значит, что отображение
В : £2ρ(0,Γ;£4(Ω)η) -> Ьр(0,Г; V)
непрерывно.
#,) Для доказательства требуемого утверждения воспользуемся
теоремой о компактности вложения из приложения С (с. 391, теорема
С.4.1).
В нашем случае
X = V, Ε = £4(Ω)η, Υ = Ь2(П)п,
F = {v:ve L2p(0,T; V);t/ G ^(0,Γ;^(Ω)η)}.
Так как в силу теоремы вложения Соболева мы имеем компактное
вложение V С Ζ/4(Ω)η при п ^ 3, то выполнены все условия теоремы
С.4.1 и из неё следует компактность вложения F в Z/2p(0,T; Ζ/4(Ω)η).
Из того, что вложения
C([0,T},V) С L2p(0,T;V) и L2p(0,T;V)cLl(0,T;L2(n)n)
непрерывны, следует, что Wp С F, причём вложение непрерывно.
Далее, из второго пункта этой леммы мы имеем, что отображение
В : L2p(0, Г; Ь4(П)п) -► Lp(0, Г; У*) - непрерывно.
Таким образом имеем следующую суперпозицию
Wp С F С L2p(0, Г; £4(Ω)η) A LP(0, Г; У*)

2.5. Вспомогательная задача
81
где первое вложение непрерывно, второе вложение — вполне
непрерывно, а отображение В — непрерывно. В итоге, для любой функции
ν G Wp получили, что функция В(v) G Ζ/Ρ(0,Γ; V*), а отображение
В : Wp —> Lp(0, Τ; V*) — вполне непрерывно.
Пусть ν G Wp. Тогда из неравенства (2.5.17) следует, что
\\B(v){t)\\v <Co\\v(t)\\lm„
при почти всех t G (О, Τ).
В силу непрерывного вложения V С L^{Q)n при η ^ 3 имеем:
И*)1к(п)«<С72М01к.
В последней оценке константа Сг зависит от области Ω. Отсюда
\\B(v)(t)\\v. <C0Cl\\v(t)\\2v.
Возводя данное неравенство в р-тую степень и проинтегрировав его по
t от 0 до Т, получим требуемое неравенство (2.5.18):
τ
&dt<
1\\в{у)шру*я^<%Ф/мт$
о о
^ C?Cf (maxj \\v{t)\\vY Jdt = C*C?>T\\v
О
τ
2ρ
/ Λ* _ ^P/^PtIL.II
C([0,T],V)
с константой Сз = CoCf ^/Т.
4) Заметим, что
B(v) = b(v,v),
где 6(г*, г?) — билинейная, непрерывная форма, 6 : V χ V —> V*. Она
определяется следующим образом:
для каждого φ G V форма
φ *-> ΐΥ* UiVj-^-dx
линейна и непрерывна на V. Отсюда следует, что существует элемент
из V*, который мы обозначим через b(u, v), такой, что
/П г\
о i.J=l Х*

82 Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Непосредственно из определения имеем, что b(u,v) непрерывна по
каждому из аргументов. Непрерывность b(u, v) следует из неравенства
^ Co|H|L4(n)" |Μ|ζ,4(Ω)" IMIV,
которое получается полностью аналогично доказательству оценки
(2.5.17).
Тогда имеем, что
b:C([0,T},V) х C([0,T],V) ^ C([0,T],V).
Действительно, если и,υ € C([0,T],V), то b(u,v) G C([0,T\,V) как
суперпозиция непрерывных отображений:
(0,Т]^УхУДУ.
Докажем теперь само утверждение этого пункта.
Пусть veCk([0,T],V).
Если к = О, то B(v) = b(v,v) € С([0,Г], V*).
Если к = 1, то имеем, что
(B(v)(t))' = (b(v(t),v(W = b(v'(t),v(t)) + b(v(t),v'(t)).
В силу вышесказанного b(vf,v),b(v,vf) Ε С([0,Т], V*). Следователь-
но, (B(v)Y € С([0,Г], V*) и B(v) e Cl{[0,T\,V).
Аналогичным образом для любого к = 2,3,... доказывается, что
ВДеС*([0,Г],У*). D
Лемма 2.5.5. Пусть 1 ^ ρ < оо. Тогда для операторов L и К
имеют место следующие свойства:
1. Оператор L : Wp —> Lp(0, T; V*) χ V обратим и обратный
оператор L~l : Ζ/ρ(0,Τ; V*) χ V —> Wp непрерывен.
2. Оператор К : Wp —> Lp(0, T; V*) χ V вполне непрерывен.
Доказательство. 1) Для того чтобы доказать непрерывную
обратимость оператора
L:Wp-+ Lp(0, Г; V*) х У, L(<;) = ((μ2Λ + J)t/ + μι Αν + JVt/, t/|t=0)
воспользуемся теоремой Банаха об обратном операторе (теорема 2.3.3).
/
П Г\
t,j=l

2.5. Вспомогательная задача
83
В силу линейности для доказательства непрерывности оператора L
достаточно доказать его ограниченность. Для любой функции υ Ε Wp
в силу определения нормы в прямом произведении пространств
получим
\\L(v)\\lp(ow)xv = \\(β2Λ + J)v' + μχΑν + Nv\\Lp{0T;V^ +
+ Ν«=θ||у < WfaA + J)V ||Lp(0|r;V·) + HMI^IIlpCO.TjV) +
+ ΙΙ^ΗΙμΟ,Τ^*) + ™fo MQWv <
в силу неравенств (2.5.10), (2.5.14), (2.5.16)
^ 'iHu,||Lp(0,T;V) + IMi|HvI|Lp(0,T;V) +
+ {/ r^-jllftIUoo((0lT)x(0lT))||v||c([0lT]lV) +
+ IMIc([o,t),v) ^ 'i|lv,|lLp(o,T;V) + Imi|^NIc([o,t]iv')+
X (IH|Lp(0,T;lO + IMIc([0,T],V)) =
= Μι + |μι|^Γ + 1 + α^Ι|^||^((ο,τ)χ(ο,τ))) Νινρ·
Здесь мы воспользовались неравенством
IMIlp(0,T;V) < ^IMIc([0,T],VO>
которое следует из непрерывного вложения С([0,Г], V) С 1/р(0,Т; V).
Таким образом, мы получили неравенство
||b(u)||Lp(0,T;V*)xV ^
< Γ/ι -ь ^^^г^ι + O^^II^IU_((o,^)><(o,^))J ll^llv^^,
из которого и следует непрерывность оператора L.

84
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Покажем теперь, что оператор L является взаимно однозначным.
Для этого докажем, что для любых / G Ζ/ρ(0, Τ; V*), α G V существует
единственная функция υ G Wp такая, что
L(v) = (f,a).
Или, что то же самое, что задача
(μ2Α + J)v' + μίΑν + Νν = f
v\t=o = a
(2.5.20)
(2.5.21)
имеет единственное решение ν G Wp для любых / G Z/p(0, T;V*),a G V.
Покажем это:
Поскольку оператор (μ2Α + J) непрерывно обратим как оператор
из Ζ/Ρ(0,Γ; V) в Lp(0,T; V*), то применяя (μ2Α + J)-1 к уравнению
(2.5.20), получим, что задача (2.5.20), (2.5.21) эквивалентна следующей
задаче:
ν' + μι(μ2Α + J)'1 Αν + (μ2Α + J)"1^ = (μ2Α + J)"1/, (2.5.22)
v\t=o = a. (2.5.23)
Определим отображение U по следующей формуле
t
(Uv)(t) = а- ί(μι(μ2Α + jylAv(s)+
о
+ (μ2Α + jy'Nvis) - (μ2Α + J)-7(s))ds, * G [Ο,Γ].
В силу непрерывности интеграла Бохнера от интегрируемой
функции получим, что
U:C([0,T},V)^C([0,T],V).
Для любых г*, ν G С([0,Г], V) имеем
||(tftO(t)-(tft;)(t)||v =
t
/ (μι(μ2-4 -h J)_1,4u(s) + (μ2Α + J)_1iVu(s))cfc>-
o
t
- ί(μι(μ2Α + J)_1At;(5) + (μ2Λ + J)-1iV<i;(s))cfc>ll ^
о

2.5. Вспомогательная задача
85
τ
^ \μι\ί\\(μ2Α + J)~lA(u - v)(s)\\vds+
о
t
+ / \\(μ2Α + J)-1^^ - ν)(β)||νώ ^
воспользовавшись оценкой (2.5.13)
t t
<^Ы /Ίμ(η-ν)(β)||ν.ώ + — /||JV(ti-t;)(e)||v.de<
M2 у μ>2 J
о о
в силу оценки (2.5.9) и определения оператора N
t t II s
ds ^
+ ■
^ — f\\(u-v)(s)\\vds + — (\f h{T,s)A{u-v)(r)d7
о о II о
t
< — /ll(" - «)(e)l|vde+
0
t s t
ψ^^- 11 \\A(U - v)(r)\\VdTds ζ Ы j\\{u - v){8)\\Vd8+
Ιΐ>οο((ο,<
\Loo{{0,T)x
0 0
t 3
M2
+
^^ J J ||(u - ι/)(τ)||„Λ-ώ ^ igl у ||(tt - ι/)(*)||νώ+
0
<2Z» J J\\(u-v)(T)\\vdTda =
О О
I|Loo((0,T)x(
о о
= ^l + WMM»W' /||(tt-i;)(r)||ydr =
μ2 J
о
для к > О (точное значение А; будет указано позднее) имеем
t
|μι| + *ΙΙ
iLoogo,
М2
^^/ll(u-,)(r)lk(
e-fcTefcTdr ^

86
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
^ lMi|+r||fc||^((o,T)x(D,D) Г magt {e-»rUu_vmw)ekrdT =
β2 J T€[0,t]
о
t
- Μ+ΓΙΝΙ^(ΟΤ)χ(0,Γ))|. „и [ Лт - ^
= \\и - v\\c([o,t)y),k e ατ ζ
М2 J
О
^ — -IIм - *11с([о,тт,* v^^J *
Таким образом получаем, что при всех t Ε [О, Т] имеет место
следующее неравенство
\\(Uu)(t)-(Uv)(t)\\v<
s ΙΜι| + ΓΙΙ^ΙΙ^((0,Τ)χ(0,Γ))μ μ fekt^-l\
< IIй - Псф,т],у),к [—£-) ■
Умножая обе части неравенства на e~kt, получим
e-kt\\(Uu)(t)-(Uv)(t)\\v<
, |М1КЭД|^((0,Т)Х(0,Т)) ^^
μ2
fl-e-kt\
и - v\\c{io,T)tv)tk у -£ 1
^ |Mi|+r||fc||Loo((ofr)x(ofT))|| (l-e~kT\
< — IIм - v\\C([o,nv),k у £ J ·
Поскольку правая часть последнего неравенства не зависит от t, то
переходя к максимуму по t в левой части и выбирая к таким образом,
чтобы
|μι| +Г||й||г,оо((0|г)х(0|Г)) < j
μ2Α: ^
в силу того, что
(1-е-*т)<1,
получим, что
\\Uu - Uv\\C{\o,T),v),k ^ XWU - ^||с([о,т],к),л, где 0 < λ < 1.
Согласно принципу сжимаюпщх отображений (теорема 2.3.4),
существует точно один элемент и Ε С([0,Г], V), для которого
и = Uu,

2.5. Вспомогательная задача
87
то есть
t
u(t) = <*- {μι(β2Α + jylAu(s)+
о
+ (μ2Α + J)~lNu(s) - (μ2Α + J)~lf(s))ds, для любого t G [0,Г].
Таким образом существует единственное решение задачи (2.5.22),
(2.5.23), и, следовательно, задачи (2.5.20), (2.5.21). Следовательно,
оператор
L:Wp-+Lp(0,T;V*)xV
взаимно однозначный.
В итоге, в силу теоремы Банаха об обратном операторе (теорема
2.3.3), получаем, что оператор L : Wp —> Lp(0,T;V*) x V обратим и
обратный оператор L~l : Lp(0,T; V*) χ V —> WV непрерывен.
2) Вполне непрерывность оператора
К : Wp -+ Lp(0,Г; V*) χ V, Κ(ν) = (Β(ν),0)
следует из вполне непрерывности оператора В : Wp —> Lp(0, T;V*)
(третий пункт леммы 2.5.4). D
2.5.3. Априорная оценка
Введем вспомогательное семейство операторных уравнений:
L(v) - ηΚ(ν) = 77(/,α), где η G [0,1]. (2.5.24)
В этом параграфе будет установлена априорная оценка для решений
этого семейства. Важно отметить, что семейство операторных
уравнений (2.5.24) содержит в себе как частный случай операторное
уравнение (2.5.8), а именно (2.5.8) получается из (2.5.24) при η = 1.
Имеет место следующая теорема:
Теорема 2.5.3. Если ν G Wp — решение уравнения (2.5.24) для
некоторого η G [0,1], то для него имеет место следующая
априорная оценка:
\\v\\wp ^ С6. (2.5.25)
Константа С& зависит от |μι|,μ2,Γ, ||/||lp(o,T;V*)> На1|я, ||α||ν ^
ΙΝΙί,οοΚΟ,ΤϊχίΟ,Τ))·

88
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Доказательство. Пусть ν Ε Wp — решение уравнения (2.5.24) для
некоторого η Ε [0,1]. Следовательно, функция ν удовлетворяет
равенству
t
(μ2Α + J)v'(t) + μιΑν(ί) + ί h(s, t)Av(s) ds - ηΒ(ν)(ί) = f(t);
о
(2.5.26)
и начальному условию
ν(0) = ηα. (2.5.27)
Применим первую компоненту (2.5.26) при почти всех t Ε (О, Τ) к
v(t). Получим:
((μ2Α + J)v'(t),v(t)) + (μι Av(t), v(t)) + / / h(s, t)Av(s) ds, v(t) \ -
-v(B(v)(t)Mt)) = v(f(t)Mt)).
По определению оператора В имеем, что
(B(v)(t),v(t)) = J fl ч{*Ы1)Ц^ах =
If n
= -- άϊνν(ί)Υ]ν^(ί)ν^(ί)άχ = 0.
2ί
Здесь мы воспользовались соленоидальностыо функций из Wp.
Таким образом получаем, что
((μ2Α + J)v'(t),v(t)) + (μιΑυ(ί),υ(ί))+
+ /Jh(s,t)Av(s)ds,v(t)\ = n(f(t),v(t))-

2.5. Вспомогательная задача
89
Проинтегрируем теперь это равенство по t от 0 до т.
τ τ
ί((μ2Α + J)v'(t), v(t)> dt + ί(μιΑν(ί),ν(ί)) dt+
о
T / * \ T
/7 [h(s,t)Av(s)ds,v(t)\ άί = η Ι{f{t),v{t))dt- (2.5.28)
о
τ , t
+
0 x0 ' 0
Используя определение оператора μ2^4 Η- J и формулу
интегрирования по частям получим:
τ
[fa2Av'(t),v(t))dt = ί ί μ2νν'(ί) : Vv(t)dxdt
ο ω
0 \Ω
= f /I (NOII'v) dt = f ||,(r)||2v - ψ\\α\\1
lv·
at δ δ
О
Далее получим, что
τ
f(Jv'(t),v(t))dt= ί (v'{t)v{t)dxdt =
0 0 Ω
0 \Ω /О
= |Ит)||2н-^1Н12я·
Тогда (2.5.28) можно переписать в виде
τ
у Ит)№ + i||«(r)||i, = ψ\\α\\2ν + |||α||*, - JfaAv(t)Mt))dt-
О
- /7 fh(s,t)Av(s)ds,v(t)\ dt + η f(f(t),v(t))dt.
ο χο

90
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Отсюда, оценивая правую часть сверху и воспользовавшись тем что
η ^ 1, получим
^Нг)\\Ь + \Мт)\\*и<
+ %\\*\\Ь + \\Н2н+
f<jiiAv(t)Mt)№
о
J I I /ф>, t)Av(s) ds, v(t) \ dt + i(f(t), v(t))dt
τ , t
0 λ0
Поскольку
Нт)\\2и>о,
то оценивая левую часть последнего неравенства снизу, имеем
f Нг)\\Ь <
Ю
τ , t
+ ^Ы2у + \\\а\\2н+
ί(μιΑν(ί),ν(ή)άί
о
/7 A /i(s, *)Аф) ds, ν(ί) \ Л + f(f(t),v(t)) dt
о хо
(2.5.29)
Оценим слагаемые в правой части неравенства. Для первого
слагаемого имеем
τ т
Ι {μιΑν(ί),ν(ί))άί\ = \[μι ί Vv(t) : Vv(t)dxdt\ =
τ Ι τ
ίμι\\ν(ί)\\2νάί\ ^\μι\ί\\ν(ί)\\2νάί.
|0 Ω
0
Переходим к следующему слагаемому.
r,t ν Ι τ И t
0 λ0
/Υ ίh(s,t)Av(s)ds,v(t)\ dt\ ^ f Vi ίh(s,t)Av(s)ds
' I olio
τ ί
оо((0,т)х(0,т)) j j\\Av(s)\\v.ds\\v(t)\\vdt
||υ(ί)||v Λ <
^
о о

2.5. Вспомогательная задача
91
в силу оценки (2.5.9)
^ \\h\\Loo((o,T)x(o,T)) J J \\v(s)\\vds\\v(t)\\v dt =
о о
τ t
= \\h\\Loo((o,T)x(o,T)) J J \\v(s)\\v\\v(t)\\vdsdt ζ
о о
О О
) }\Ш\\2у. ,.,
ο,Τ)χ(ο,τ)) / / Ту <tsat+
τ t
WLoeUO^Xi
lW(o,:
о о
τ t
+ IWIloo((0,T)x(0,T)) / /
Η*)ΙΙ2κ
dscft <
<
ЦЛЦ
о о
τ τ
Loc((0;
'p*^ f f м*)\\ь*ал+
о о
+ ||Л||й"((^Т)х(0'Г))|«|||К011аУД<
о
τ τ
l|fc|U»((o.T)x(o,T)) / ll«(*)llv* < r||fc||Lee((0lT)x(o,T)) У NOIIv*·
Здесь мы воспользовались неравенством
, Ъ2 с2
(2.5.30)
которое выполнено для любых 6, с € К.
Таким образом для этого слагаемого имеет место следующая оценка
j Πh(s,t)Av(s)ds,v(t)) dtUT\\h\\L^a0iT)x(0tT)) J \\v(t)\\2vdt.
О ^0 'I О
(2.5.31)

92
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Она также будет использована в доказательстве теоремы
единственности слабого решения вспомогательной задачи.
Переходим к последнему слагаемому. Воспользовавшись
неравенством Гёльдера, получим
j(f(t)Mt))dt\ < У ||/(ί)ΙΙν-ΙΚΟΙΙνΛ <
о I о
τ τ
< / ll/Wlk- N*)||νώ < ^max. \\v(t)\\v J \\f(t)\\v.dt
<
NIc([o,t],k) ljdt\ Π \\f(t)\\pv.dt
<
^T ρ ||/||Lp(0fT;V)||v||c([0fT]fV)·
В итоге неравенство (2.5.29) можно переписать в виде:
ψ\\υ(τ)\\1 < Т^||/||мо,гд-)1М1с<[о.Г|ЛО + f Ml + \ IH|2„+
Τ
+ (Γ||Λ||^((ο,τ)χ(ο,τ)) + |μι|) j \Ht)\\2v <*t.
0
Или, что то же самое в виде
\\υ(τ)\\1 ^ - (2r£Fi||/||Lp(0fT;V)llvllc([ofnfv) +М2||а||?г + \\а\\2н) +
, 2^l|fe||Loo((o>T)x(o>T))+2|Ml| j
β2 J
2 dt.
Воспользовавшись теперь неравенством Гронуолла—Беллмана
(теорема 2.3.5), получим
\Нг)\\Ь <
1 2T^h^L00go,T)x(o,T))+2^i\+1 т
<- е
μ2
(2Г ρ ||/||lp(0J^*)IMIc([0,T],IO +

2.5. Вспомогательная задача
93
Η-μ2||α||κ + 1М1я) ^ " е
' До
2T2Wh\\Loo((0,T)x(0,T))+2T\^l\+T
X
М2
х ^2rV||/||Lp(0fr;v·)IHIc([o,t],v) +M2||a||v + На11я) ·
Поскольку правая часть неравенства не зависит от г, то мы можем
перейти к максимуму по г Ε [О, Т] в левой части:
1 2^2ΙΙΜΙ/,οο((ο>τ)χ(ο>τ))^τ|μι|+τ
ΙΜΙέαο,τι,ν) ^ 77 е μ2 χ
/*2
х (2rJTi||/||Lp(ofT;V)Hvllc([ofnfv) +М2||а||?г + ||а|&) .
Воспользуемся теперь неравенством
/»2 2
be < ^- + ^, (2.5.32)
которое является обобщением неравенства (2.5.30) и выполнено для
любых 6, с Ε R и любого фиксированного ε > 0. Тогда получим
2 1 2т2Н^11/,00((о>т)х(о,т))+2Т1м11+г
llvllc([ofT]fv) ^ 77 е μ2 χ
/*2
ш ^ Р II/IIlp(0,T;V*) 2 2 2
х , pi +£|Ис([о,г],к) +M2||a|fr + ||a|fc
Выбирая теперь
μ2 2Τ ilhHL00((o,T)x(o,T))+27,iMil+T
ε = -е~
получим в итоге
4r2^ll/llL(0,T;V) 4т2"Ч|-.((о.т)х(о.т))+«Я>.1|-ИТ
IMIc([0.T],V) < ^ е "* +
} 2 (#i2||a|lir + ||a||gr)c"a"fc"bw((ol^x=<o.y>>+^iMii+T-^
М2
Для получения оценки на ||i/||l (o,T;V) заметим, что если ν Ε Wp
удовлетворяет уравнению (2.5.24), то справедливо равенство:
(μ2Α + J)v' + μιΑυ + Νυ- ηΒ(ν) = η/.

94
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Выразим из равенства (μ2Α + J)vf и применим к обеим частям
полученного равенства (μ2Α + J)-1. Тогда
г/ = (μ2Α + J)~l (-μι Αν -Νυ + η Β (υ) + 77/).
Отсюда, воспользовавшись оценкой (2.5.15)
1Икр(0,Т;К) = ||(μ2Λ + J)"1 (-μυ4τ/ - JVt; + ηΒ(ν) + »//)||Lp(0fT;V) ^
< — ||(-Mli4v - JVt7 + »/β(ν) + Vf)\\Lp{0,T;V) <
г*2
< — (lMlHl^llLp(OfT;V) + ||M>||lp(0,T;V-) +
M2
+ч\\ЩЩьр{о,т-у*)+ч\Щьр{о,т-у*)) <
в силу оценок (2.5.10), (2.5.16) и (2.5.18) и того, что η ^ 1 получим
М2
1 / ГГР-Н
— ( |Mi|||^||lp(0,T;K) + у —j-jllftllLoo((0fT)x(0fT))||v||c([0fT]fV) +
+ СзН^НсСр.Т],^) + H/llLp(OfT;V)J ^
в силу непрерывного вложения С([0,Т], V) С Lp(0, T; V) имеем
— ί \μι\ΨΤ + Π—-\\h\\Loo{{0,T)x{o,T)) J IMIc([ofT]fv) +
M2
+ —IMIc([0,T],VO + —l|/l|Lp(OfT;V·)·
Воспользовавшись теперь оценкой (2.5.33) для |H|c([o,T],v)> получим
следующую оценку
\\v'\\Lp(o,T;V) < C7 (2.5.34)
с некоторой константой С7, зависящей от
|μι|,μ2,Γ, ||/||lp(o,T;V·), Ι4^((ο,τ)χ(ο,τ))' 1Н1я, llalk·
Из оценок (2.5.33) и (2.5.34) и получаем, что для решения уравнения
(2.5.24) имеет место требуемая оценка (2.5.25). D

2.5. Вспомогательная задача
95
2.5.4. Доказательство теоремы 2.5.1
В этом параграфе будет показано существование единственного
слабого решения вспомогательной начально-краевой задачи (2.5.1)—
(2.5.4). Доказательство будет проведено в два этапа. Сначала будет
показано существование слабого решения, а после этого будет
доказано, что если слабое решение начально-краевой задачи (2.5.1)—(2.5.4)
существует, то оно единственно.
Теорема 2.5.4. Для любых f е £Р(0,Т; V*), 1^р< оо, а е V
операторное уравнение (2.5.8) имеет по меньшей мере одно решение
veWp.
Доказательство. Обозначим R = Cq+Ι. Из оценки (2.5.25) следует
что все решения семейства уравнений (2.5.24) лежат в шаре Br С
С Wp с центром в нуле. Поэтому ни одно из уравнений этого семейства
не имеет решений на границе этого шара Br. В силу непрерывной
обратимости оператора
L:WpxV-+Lp(0,T;Vm)
все решения следующего семейства операторных уравнений
ν - г)1Гх \K(v) + (/, α)] =0, ту е [0,1] (2.5.35)
лежат внутри того же шара Br.
В силу второго пункта леммы 2.5.5 отображение
(*■(·) + (/,о)) :WpxV^ Lp(0,T; V*) χ V
вполне непрерывно.
В силу первого пункта той лее леммы оператор
L-l:Lp(0,T;V*)xV-+Wp
непрерывен. Таким образом отображение
L-l[K(.) + (f,a)]:Wp-+Wp
вполне непрерывно как суперпозиция непрерывного и вполне
непрерывного отображений.
Введём отображение
G : [0,1] χ Wp -+ Wp> G(v, υ) = nL~l [Κ(υ) + (/, α)].

96
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Тогда в силу вышесказанного отображение G вполне непрерывно по
совокупности переменных η и v. Следовательно векторное поле
Ф(77, ν) = ν — G(77, v)
вполне непрерывно и невырождено на границе шара Br. И таким
образом для него определена степень Лере—Шаудера
degLS&,BR,0).
По свойству гомотопической инвариантности степени получим, что
degL5W0, ·), BR, 0) = degL5^(l, ·), BR, 0).
Поскольку в силу определения
Φ(0,·) = /,
а по свойству нормировки степени
degL5(J,Bn,0) = l,
имеем что
аеёьз(Ф(1,-),Вн,0) = 1.
Таким образом существует хотя бы одно решение ν G Wp уравнения
v-L-l[K(v) + (f,a)]=0
и, следовательно, уравнения (2.5.8). Π
Тогда имеет решение и операторное уравнение (2.5.7), причём это
решение удовлетворяет начальному условию (2.5.6). Отсюда имеем,
что существует хотя бы одно слабое решение начально-краевой задачи
(2.5.1)-(2.5.4).
Переходим теперь к доказательству единственности.
Теорема 2.5.5. Слабое решение задачи (2.5.1)—(2.5.4)
единственно.
Доказательство. Предположим противное. Пусть и и ν (и ^ ν) —
два слабых решения задачи (2.5.1)—(2.5.4). То есть и и, и ν
удовлетворяют равенству (2.5.5) и начальному условию (2.5.6). Вычитая из

2.5. Вспомогательная задача
97
равенства (2.5.5) для и равенство (2.5.5) для ν и обозначив через
w = и — ν, получим следующее равенство для функции w :
/dw f dw f
— φάχ + μ2 / V— : Vipdx + μι / Vw : Vipdx+
Ω Ω Ω
t n
+ / / h(s, t)Vw(s) ds : Vipdx — / 2J (ЩЩ — ViVj)-^-dx = 0.
Оно выполнено для любых φ G V и почти всех t G (0,Т). Поскольку,
это равенство выполнено для всех φ G V, то оно выполнено и для
φ = w(-,t) при почти всех t G (0,Т). Таким образом при почти всех
t G (0, Т) получим:
/ —wdx + μ2 / V— : Vwdx + μι Vw : Vwdx +
Ω Ω Ω
t n
/ / h(s, t)Vw(s) ds : Vw(t) dx — ^J (uiuj ~ v%vj)~^~ dx = 0.
η
J J J _л
ΩΟ Ω l'J-1
(2.5.36)
В силу того, что
/ Y^{uiuj-vivj)-^-dx= I ^2(щиу-щу^-^-ах-\-
Ω ^ = 1 ΧΧ Ω ^=1 Χ%
+ / Σ (UiVi" ViV^iitdx = / Σ uiwj-^dx+
Ω ^ = 1 * Ω ^=1
/ν^ 9г^7 . 1 /* ν-^ d(wjWj) , /* ^-^ du>j f
^VjWi—dx=-j ^Щ-^-dx + J ^цщ-^ах^
Ω г'^=1 Ω г^ = 1 Ω ι'ΐ=ί
= — - / div г* > WjWjdx+ Ι > VjWi-^- dx = ι >ν,·ιι;·-χ-^££ι;,
2 7 έ? J £?г' &* J ά?ι dxi
Ω J~1 Ω 1^_1 Ω ιΛ_1
то проделав преобразования аналогичные преобразованиям,
проведенным при доказательстве априорной оценки (теорема 2.5.3), перепишем

98
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
равенство (2.5.36) в виде:
^IKOHSr + у ||И01& + μι\№)\\2ν +
1£
2~dt
п
+ / [h(s,t)Vw(s)ds:X?w(t)dx- i Σ Vj{t)wi{t)-p-{t)dx = Ъ.
ΩΟ Ω *Λ=1
Данное равенство имеет место для почти всех t Ε (О, Τ).
Проинтегрируем его по t от 0 до т, г Ε [О, Т] и перенесем три последних члена
в правую часть
т η
\\Ыт)\\2„ + f И* = // Σ «iW^W^Wcfactt-
0 Ω »'* = 1
τ t τ
- J I J h(s,t)Vw(s)ds : Vw(*)ctecft - μι / ||ti;(t)||^£ft. (2.5.37)
0 Ω 0 0
Здесь мы воспользовались тем, что
w(x, 0) = и(х, 0) - υ(χ, 0) = 0
и, следовательно,
Уш(х, 0) = Vtx(a;, 0) - Vv(a:, 0) = 0.
Оценим правую часть (2.5.37) по модулю. С помощью неравенства
Гёльдера, непрерывного вложения V С L±(Vi)n и априорной оценки
для функции ν нелинейный член молено оценить следующим образом:
ij=l
τ т η
II έ м«м«)^(*)<ья < / / Σ ^(ίΜ(ί)^(ο^
"' ^-1 'Ιο |ω *λ=1
<|iii»j(*w*)iua(n)|^(*)
ί η
^/ Σ HviWiiL4(n)iiw<(i)iiL4(n)
Λ<
Λ<
Ь2(П)
i,j=l
αΧ» 11Ь2(Г2)
is
τ
Ce|||t;(i)llv||«;(i)llL4(n)«
Зги
(ί)
dt ^ Cg
Ь2(П)«
τ
J\\w(t)fvdt.

2.5. Вспомогательная задача
99
Второе слагаемое из правой части (2.5.37) уже было оценено при
доказательстве априорной оценки, а именно, воспользовавшись
неравенством (2.5.31), имеем
τ t
ill h(s,t)Vw(s)ds : Vw(t)dxdt
0 Ω Ο
^
τ
T\\h\\L^a0tT)x{0tT)) J \\w(t)\\2vdt.
Поскольку в левой части (2.5.37) каждое слагаемое неотрицательно,
то её молено оценить снизу:
γ\Μτ)\\2ν^\\Ητ)\\2Η + ^Μτψν.
Из оценок на левую и правую часть равенства (2.5.37) мы получаем
следующее неравенство:
^2 и
— \\w
2
τ
Wllv ^ (<?9 + Ы +r||/l||Loo((0,T)x(o,T))) J \\v>(t)\\2vdt,
которое имеет место при всех г G [О,Г]. Воспользовавшись
неравенством Гронуолла—Беллмана (теорема 2.3.5) получим, что
\\w(t)\\v=0
при всех τ Ε [Ο, Τ], а следовательно и = v. Получили противоречие. D
2.5.5. Доказательство теоремы 2.5.2
Для удобства напомним формулировку теоремы 2.5.2:
Теорема. Если h G Ск([0,Т\ χ [0,Г]),/ G С*([0,Г|, V), где к =
= 0,1,2,..., то слабое решение задачи (2.5.1)—(2.5.4) принадлежит
пространству С*+1([0, Γ], V).
Доказательство. Пусть ν G Wp — слабое решение задачи (2.5.1)—
(2.5.4). Тогда для него имеет место равенство:
(μ2Α + J)v' + μιΑν + Νν- Β (υ) = /.

100
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Его можно переписать в следующем виде:
(μ2Α + J)v' = -μιΑν -Νυ + Β(ν) + /. (2.5.38)
Доказывать будем индукцией по к.
к = 0.
По лемме 2.5.4, пункт ^, мы имеем, что B(v) G С([0,Г], V*); в
силу третьего пункта леммы 2.5.1 получим, что μ\Αυ G С([0,Т], V*);
воспользовавшись леммой 2.5.3, пункт 2, получаем, что Nv G
G С([0,Г],У*). Так как / G С([0,Г], V*), получим, что правая часть
равенства (2.5.38) лежит в С([0,Г], V*). Применяя теперь к (2.5.38)
оператор (дг-А Н- J)-1, получим:
t/ = (μ2Α + J)"1 (-μϋ4ν - JVi (ν) + Β(ν) + /). (2.5.39)
Из последнего равенства в силу третьего пункта леммы 2.5.2 следует,
что v' G C([0,T],V). Таким образом получили, что v G Cl([0,T],V).
То есть при к = 0 утверждение верно.
Пусть утверждение верно при к = т — 1. Докажем его при к = т.
Так как в силу предположения ν G Cm([0,T], V), то по четвертому
пункту леммы 2.5.4 мы получим, что B(v) G Cm([0,T], V*); в силу
леммы 2.5.1, пункт 5, имеем, что μ\Αν G Cm([0, Г], V*); из второго
пункта леммы 2.5.3 следует, что Nv G Cm([0, Τ], V*). Так как / G
G Cm([0, T], V*), получим, что правая часть равенства (2.5.38) лежит
в Ст([0,Г], V·). Применяя теперь к (2.5.38) оператор (μ2Α + J)-1,
получим равенство:
ν' = (μ2Α + J)"1 (-μ^ν - ;ВД + Β(ν) + /).
Его правая часть по третьему пункту леммы 2.5.2 лежит в
Ст([0,Г],У). Следовательно, v' G Cm([0,T],V). Таким образом
получили, что ν G Cm+1([0,Г], У). D
2.6. Доказательство теоремы 2.4.2
Здесь мы приведём доказательство второй из основных теорем этой
главы. Первая доказывается абсолютно аналогично.
Доказательство будет проведено в два этапа.
На Первом этапе мы выразим σ из (2.4.5). А именно применим
преобразование Лапласа С по переменной t к (2.4.5).

2.6. Доказательство теоремы 2.4.2
101
Предположим, что σ, Ε и все их производные, которые участвуют в
(2.4.5), удовлетворяют условиям из определения 2.3.4, то есть
являются функциями-оригиналами. Применим теперь к (2.4.5)
преобразование Лапласа С :
с ί1 + Σ λ« J^Jσ^') = c \2v +2 Σ ъщ;) ε^ *) (2·6·1)
Введём следующие обозначения:
оо
£a(x,t) = σ(χ,ρ) = / e~pta(x,t)dt,
о
оо
C£(x,t) = έ(χ,ρ) = I e~pt£(x,t)dt,
о
L+l
Α{ρ) = ν+Σκιρ\
i=\
Тогда левую часть равенства (2.6.1) можно преобразовать
следующим образом:
(ι+!>έ) "<*.*>
по первому свойству преобразования Лапласа (с. 60)
по второму свойству преобразования Лапласа (с. 60)
L ( i fti-1
= σ(χ, ρ) + Σ λΜ ρί&^ ρ) " Σ P'~j 1UFT (*' °)
dtf-
Q(p)a(x,p)-^^(0) Σ Χα»*-*-1.
i=0 j=i+l

102
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Аналогичным образом преобразуем правую часть равенства (2.6.1):
£(2^ + 2£*;|И£0М) =
по первому свойству преобразования Лапласа (с. 60)
L+1 frf
по второму свойству преобразования Лапласа (с. 60)
L+1 / % Ы-1р
= 2νέ{χ,ρ) + Σ ΧΑ ρ*έ(χ,ρ) - ^-i^±(x,0)
L ~if. L+1
= 2Α(ρ)έ(χ,ρ)- 2Σ^(°) Σ ЧР*-*-1·
i=0 j=i+l
Таким образом равенство (2.6.1) преобразовано к равенству:
L~l яг L
i=0 j=i+l
L Qi£ L+1
= 2А(р)ё(х,р)-2^-^(0) £ жц?-*-\
i=0 j=i+l
Последнее равенство можно переписать в виде:
Q(p)a(x,p) = 2A(p)i(x,p)-
Zil С Ь-fl Li— 1 r\% Li
-*Σϋ«» Σ όρ'-'-1 + Σ|?(ο) Σ V-*-1·
i=0 J=i+1 i=0 J=i+1
Поделив это равенство на Q(p), получим:
α(χ,Ρ) = 2^έ(χ,ρ)+
L-\ βίσ L L a%£ L+1
Σ& Σ Ay-*-1 - 2 Σ |£(0) Σ χίΡ*-'-1
, t=0 ОТ j=t+l t=0 ОТ i=<+1
+ ш · (2·6·2)

2.6. Доказательство теоремы 2.4.2
103
Заметим, что
L+1
αϊ \ ν+ Σ *iPl
/xL xl+iAl-Λ
^ / XL+iAi-Λ 4 /xL xl+iAl-Λ t;1 . i,
, £r——)ρ ψ—^—)SoXiP+l/
1 + Σ AiP*
i=l
Здесь для единообразия положили λο = 1.
Вводя для краткости следующие обозначения:
L-l L-l
^(p) = Σ (Xi ~ ^2Ai_i)pl - μι Σ XiP1 + v =
i=0
L-l
= Σ (щ ~ Μ2λ»-ι - μίλι)ρ1 - μι + ν,
i=l i=0
L-1
i=l
получим, что
Α{ρ) С(р)
Преобразуем второе слагаемое из правой части (2.6.2):
L~l tin L L frf L+!
Σ |>) Σ Α,ρ*-*-» - 2 E тэт(0) Σ ^У-4-1
i=0 С* J=i+1 t=0 αΓ J=i+1
W) =
L-l L β3-ί-Ισ L L+1 д^~1~1Е
Σ ρ4 Σ α,^—?(ο)-2Σρ< Σ *imr(0)
i=o j=t+i <π} * t=o j=i+i c**J l
<?(p)
-2^+15(0)pb +g p< ΙΣ A,^-f (0) - 2 =?+i xi^z^(0)l
<?(p)

104
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
= -2μ2ε(0)+
L-i . / L dj-i~la L+l д*-{-хе >
+ <№)
Для сокращения записи введём следующие обозначения:
σ0; = 2μ2Α^(0) + £ Α,—-^(0) - 2 £ ^^Г*=Г^
J=t+1 J=t+1
при г = 0. . .L — 1.
В итоге получим, что
L-l Λΐσ L L Qi£ L+l
Σ |^(0) Σ «л^-гЕ^о) Σ ajP*-'-»
t=0 °^ j=i+l i=0 ^ j=i+l
Q(p)
L-l
Σ pl<Tot
-2μ2£(0) + i=0
Qip) '
Таким образом равенство (2.6.2) можно переписать в виде:
σ(χ,ρ) = 2μ2ρέ(χ,ρ) - 2μ2£(0)+
L-l
C(n) ? plaoi
+ 2μιέ(χ,ρ) + 2щ*(*»р) + ^(p) - (2·6·3)
Применим теперь к обеим частям (2.6.3) обратное преобразование
Лапласа £-1. Воспользуемся тем, что
'-1| О. „<?/„ „\ О.. С/П\ , О.. Г/~ „\ , O^Wf/. -Λ _L »=0
L-l . ч
Σ Ρ**οΛ
£_1 2μ2ρε(χ,ρ) - 2μ2£(0) + 2μιε(χ,ρ) + 2-^£(a:,p) +
<?(ρ) v '" <?(ρ)
/

2.6. Доказательство теоремы 2.4.2
105
по первому свойству преобразования Лапласа (с. 60)
= 2μ2£~1 (ρέ(χ,ρ) - £(θγ) + 2μι£-ιέ(χ,ρ)+
/L_1 \
\ ι
Воспользовавшись вторым свойством преобразования Лапласа
(с. 60), получим, что
2μ2£~ι (ё(х,р) - £(0)) = 2μ2^(χ,ί).
По четвертому свойству преобразования Лапласа (с. 60) имеем
/L-1 \ L-1
i=0
Q(p)
Σι=0
О'
pbkt
\
)
ζί <Э'Ы
где ak (к = 1... L) — корни многочлена Q(p). Здесь мы
воспользовались тем, что (по предположению) все корни многочлена Q(p)
вещественны и различны.
В силу третьего и четвертого свойств преобразования Лапласа
(с. 60) имеем, что
О K~L
где ak (к = 1... L) — корни многочлена Q(p).
Таким образом, после применения к (2.6.3) обратного
преобразования Лапласа, получим:
ал
a(x,t) = 2μ2-τ^(χ,ί) + 2μ1£(χ,ί)+
L-1
L Σ aka0i
+3/Σ^<'-·>^+Σ%^'··

106
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Используя для краткости следующие обозначения
L-1
Г/ ч Σ «jfe^Oi
_ С{ак) _ j=o
Pi Q>{aky Ql Q>{*k) '
имеем:
σ(χ, t) =
= 2μ2-^(χ,t) + 2μιε{χ,t) + 2 / Σ fceai(t-3)S(x, s)ds + £ Qi ea<i,
(2.6.4)
что и завершает первый этап.
Итак, на первом этапе доказательства мы получили, что пара
функций
υ е CL+l(\0,T},V),a € CL([0,T],L2(n,Ms(n))),
являющаяся решением нашей исходной задачи, будет решением задачи
(2.4.4), (2.6.4), (2.4.7):
f%<pdx-f Σ ViVj^£dx =
Ω Ω i,j = l
-ίσινφάχ+(ί,φ) V<p G V, t G [0,T],
Ω
σ(χ, t) = 2μ2#(χ, ί) + 2μχε(χ, t)+
+2/ Σ Aee'i«-e)f (a:,s)de+ Σ &eQii Vt G [Ο,Γ],
0 i=l i=l
[v(0) = a0.
(2.6.5)
На втором этапе покажем, что полученная задача (2.6.5) будет
эквивалентна исходной. Для этого нам достаточно показать, что решение
(2.6.5) будет удовлетворять начальным условиям (2.4.2), (2.4.9). Имеет
место следующая лемма.
Лемма 2.6.1. Если пара функций
υ € CL+1([0, Г], V), σ е CL([0, Г], ί,2(Ω, Ms{n)))
является решением (2.6.5), то она удовлетворяет начальным
условиям (2.4.2), (2.4.9).

2.6. Доказательство теоремы 2.4.2
107
Доказательство. Если пара функций
υ € CL+l([0,T],V),a € CL([0,T],L2(n,Ms(n)))
решение (2.6.5), то для начальных условий на ν и σ имеет место
следующая система уравнений:
'/tu^^-/i£iWi(ao)>ifdx=
= -/<r(0):V^cte+ </(()),¥>>,
Ω
Ω λ '
Ω
_ Γ ν> V2 (L-1)! /атг;| \ /Э£'~1~таУ| \ 9φ3 ,
J 2^ 2^ m\{L-l-m)\\ dtm lt=()M at*--1-™ \t=oh dXi ax
Ω i,J=l m=l
-/ Σ ((й1«)М + («о)«(йи)Й* =
Ω t,j = l Ч 7
= -/^f|t=0:V¥)dx + (^|(=0,¥)),
Ω V '
σ(0) = 2M2f |(=0+2Μι£(αο) + Σ ft,
f |t=0= 2M20|f=o+2Mlf |(=0+2 Σ /Ща0) + Σ аШ,
(2.6.6)
Поясним откуда появилась данная система. Для получения г-того по
счету уравнения (г = 1,L) достаточно продифференцировать первое
уравнение системы (2.6.5) г—1 раз и рассмотреть значение полученного
уравнения в нуле. Аналогично из второго уравнения системы (2.6.5)
получаются уравнения последней системы с номерами от L + 1 до 2L.
Сейчас мы покажем, что система уравнений (2.6.6) имеет
единственное решение, а именно
a,i,bj г = 0, L, j = 0, L — 1.

108
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
Предположим противное. Пусть существуют два решения
0*νι
dlv2
8>σλ
dt*
t=o
t=0
' atf
dia2
l,L,j = 0,L-l;
' atf
t=0
t=0
i = l,L,j = 0,L-l.
Введём следующие обозначения:
ωί =
д{уг
dti
dlv2
t=o
dti
dtl
dja2
, i = l,L;
i=0
i=0
dV
, j = 0,L-l.
i=0
Первый шаг. Покажем, что
dvi
~dt
t=o
dv2
~dt
αϊ, σι(0) = σ2(0) = 6ο·
ί=0
Для этого вычтем из первого и (L + 1)-го равенств системы (2.6.6)
для первого решения первое и (L + 1)-е равенства системы (2.6.6) для
второго решения. Тогда для ωχ и χο имеют место два равенства:
/ ал φάχ = - χ0 : V(pdx,
Ω Ω
χο = 2μ2ε(ωι).
Отсюда получим, что
/ ω\ψάχ= —μ2 ι Vcji : 4φάχ. (2.6.7)
Ω Ω
И это равенство имеет место при всех φ Ε V. Следовательно и при
φ = ω\. Отсюда
l|wi|lia(n)« + l|willv = o.
Таким образом уравнение (2.6.7) имеет единственное решение ω\ =
ξ 0. А отсюда следует, что
χο = 2μ2£(ωι) = 2μ2£(0)Ξθ.

2.6. Доказательство теоремы 2.4.2
109
То есть мы доказали, что
dvi
~dt
t=o
dv2
σι(0) = σ2(0).
ί=0
В силу того, что у системы (2.6.6) существует решение, а именно
a,i,bj i = l,L,j = 0, L — 1
является решением (2.6.6), получим, что
dv I
dt
αϊ, σ(0) = 60·
ί=0
Второй шаг. Покажем, что
dt2
Ίη
d2v2
t=o
t=o
dt2
da2
~dt
a>2,
t=o
= bi.
t=0
Для этого вычтем из второго и (L + 2)-го равенств системы (2.6.6)
для первого решения второе и (L + 2)-е равенства системы (2.6.6) для
второго решения. Тогда имеем для ω2 и \\:
Отсюда получим
/ ω2φάχ = - ι \\ : Vipdx,
Ω Ω
χι = 2μ2ε(ω2).
/ ω2 φάχ = —μ2 / Vu2 : Vipdx.
Как уже было сказано на первом шаге, это равенство имеет
единственное решение ^ξΟ. А отсюда получаем, что
X! = 2μ2ε (ω2) = 2μ2ε{ϋ) = 0.
Таким образом мы показали, что
1>1
д1
dt2
t=o
ί=0
d2v2\
dt2
9σ2
~дГ\
U=o
t=o

по
Глава 2. Обобщенная модель Кельвина—Фойгта
В силу того, что у системы (2.6.6) существует решение, а именно
a,i,bj г = О, L, j = О, L — 1
является решением (2.6.6), получим, что
да
дЧ
dt2
= Q>2,
t=0
dt
fci.
t=0
Повторяя этот процесс, мы после L-того шага получим, что
ΰ>σ\
дгУ
dti
t=o
ffi
bj i = l,L,j = 0,L- 1,
i=0
что и завершает доказательство данной леммы.
D
Таким образом показано, что исходная задача эквивалентна задаче
(2.6.5), которая в свою очередь эквивалентна следующей задаче:
Ω Ω i,j=l Ω
+μι / Vv : νφάχ + / Σ Αββ«<*-·> / Vv(s) :V<pdxds =
Ω 0 i=l Ω
= ϋ,φ) + !Σ.<Η*αι1φ*ϋ v<pev,te [ο,τ],
Ω i=l
σ{χ,ί) = 2μ2%(χ,ί) + 2μιε(χ,ί)+
+2/ Σ foeai{t-s)£(x, s) ds + Σ ft ea<< Vt G [0,T],
0 i=l i=l
Lv(0) =a0.
Задача
(2.6.8)
f%V"b-f Σ νίν^άχ + μ2ίν%:νφάχ+
Ω i,j = l
ί L
Η-μι / Vv : Vipdx + / Σ Де0"*'"·) / Vv(e) : Vipdxds
Ω 0 i=l Ω
= (f,<p) + f Σ &****** v^y,tG[o,r],
Ω i=l
v(0) = o0.

2.6. Доказательство теоремы 2.4.2
111
была изучена выше как вспомогательная. А именно, в пункте 2.5 было
показано, что данная задача имеет единственное слабое решение ν G
Ε CL+1([0, T], V). Тогда по этому найденному решению ν по формуле:
a(x,t) = 2μ2 — (χ,ί)+2μιε(χ,ί)+2 / ^Деа<('-з)£(я,5)^+^^ eait
ο ί=1 ί=1
можно получить σ. Из вида формулы следует, что σ G
€CL({0,T},L2(il,Ms(n))).
Так как полученные
υ € Ct+1 ([О, Т], К), σ € CL([0, Г], £2(Ω, Ms(n)))
единственное решение (2.6.8), а системы (2.6.8) и (2.6.5) эквивалентны,
то эти же ν и σ являются единственным решением (2.6.5).
Далее поскольку (2.6.5) эквивалентна исходной задаче, то начально-
краевая задача (2.1.1)—(2.1.3), (2.4.2), (2.4.7), (2.4.3) имеет
единственное слабое решение
ν € CL+1([0,T], V), σ € CL([0,T],L2(Q,Ms(n))).
Таким образом теорема 2.4.2 доказана.
Замечание 2.6.1. Теорема 2.4.1 доказывается аналогично, а
именно показывается, что задача о слабых решениях для начально-
краевой задачи (2.1.1)—(2.1.3), (2.4.1)—(2.4.3) эквивалентна задаче
(2.6.8), которая имеет единственное решение ν G CL+1([0,T], V),a G
eCL([0,T],L2(O,Ms(n))).

Глава 3.
Существование и единственность слабого
решения начально-краевой задачи для модели
движения жидкости Фойгта в области с
зависящей от времени границей
3.1. О начально-краевых задачах в областях с
зависящей от времени границей
В большинстве задач гидродинамики изучается движение
жидкости в областях с неподвижной границей. Однако встречаются и такие
ситуации (причём очень часто для неньютоновских сред), когда
граница области, где течет жидкость, подвижна. Например, такая
ситуация встречается в некоторых разновидностях подшипников, в которых
внутренний вал не круглый и может перемещаться в плоскости
подшипника, но без соприкосновения с внешним валом. Полость между
внешним и внутренним валом в этом случае заполнена жидкостью или
гелем и изучение движения этой среды представляет определённый
интерес (см., например, [81]).
Для системы Навье—Стокса одной из первых работ в данном
направлении была статья О.А. Ладыженской [42]. Отметим также
работы [104], [134], [135], [136], [143], где изучалась разрешимость (в слабом
и сильном смысле) начально-краевых задач для различных моделей
движения как ньютоновских, так и неньютоновских сред в случае
подвижной границы.
В этом параграфе изучается начально-краевая задача для модели
движения жидкости Фойгта в случае подвижной границы. Для
исследования разрешимости этой задачи в случае подвижной границы в
настоящей работе используется метод штрафа, предложенный Р.
Курантом (см., например, [44]). Разрешимость (в слабом смысле) для данной
начально-краевой задачи доказывается следующим образом. Вначале
исходная задача сводится к задаче в некоторой области с постоянной
границей. Далее в этой области с постоянной границей рассматрива-

3.2. Постановка задачи о слабых решениях 113
ется задача со штрафом, аппроксимирующая исходную. Затем на
основе топологической степени и априорных оценок решений
доказывается существование слабого решения этой аппроксимационной задачи
и показывается, что из последовательности решений можно извлечь
подпоследовательность, слабо сходящуюся к решению исходной
задачи при стремлении параметров аппроксимации к нулю.
3.2. Постановка задачи о слабых решениях и
формулировка основного результата
Пусть h : [О, Τ] χ Rn —> Rn, η = 2,3 достаточно гладкая соленоидаль-
ная вектор-функция, Ωο С Rn — ограниченная область с достаточно
гладкой границей Го-
Семейство ограниченных областей Ω* G Шп с границей Tt,t G [О,Τ],
определяется по траекториям векторного поля Λ, то есть
nt = {z(t, χ), χ g Ω0}, rt = {z(t, χ), χ е г0},
где z(t, x) — решение задачи Коши:
t
z(t,x) = x+ h(s,z(s,x))ds, xefto. (3.2.1)
о
Поскольку, мы предположили, что векторное поле h достаточно
гладко, то граница Г* будет также достаточно гладкой.
Положим
Q = {(t,x) : t G [0,Τ], χ G Ω*}, Г = {(*,*) : t G [Ο,Γ], χ G Γ*}.
Подставляя реологическое соотношения для модели движения
жидкости Фойгта (1.6.2) в систему уравнений движения несжимаемой
жидкости в форме Коши (1.1.11), (1.1.12), получим следующую
систему уравнений
dv v^a dv dAv . _ „ . ч _ /Λ Λ .
~т^^Щдх~~Х~дГ~ ^ P = f (t'x)G°' (3*2·2)
i=\ l
divv = 0, (t,x) GQ, (3.2.3)
где v(t, χ) = (νι,...,νη)— скорость жидкости в точке χ в момент
времени £, p(t, χ) — давление жидкости в точке χ в момент времени t,i/ —
кинематический коэффициент вязкости, а и — время запаздывания
(исходя из физического смысла задачи, имеем, что ι/, к > 0).

114 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
Для системы (3.2.2), (3.2.3) рассмотрим начально-краевую задачу с
начальным условием
ν(0,χ) = /ι(0,χ), xe Ω0, (3.2.4)
и граничным условием
v(t,x) = h(t,χ), (ί, χ) е Г. (3.2.5)
Для исследования задачи (3.2.2)—(3.2.5) сделаем замену
u = v-h. (3.2.6)
Тогда задача (3.2.2)—(3.2.5) эквивалентна следующей задаче:
ди v^ 9u \-^. ди
+ Σ"*β^7 -*-Qf-vbu + Vp = g, (t,x)eQ, (3.2.7)
divu = 0, (t,x) €Q, (3.2.8)
«|t=o = 0, χ e Ω0, (3.2.9)
ίίΞΟ, (ί,ι)€Γ. (3.2.10)
Здесь
, dh ^L dh dAh
Далее мы будем исследовать разрешимость начально-краевой задачи
(3.2.7)—(3.2.10), поскольку найдя её решение, мы всегда можем найти
решение исходной задачи (3.2.2)—(3.2.5) по формуле (3.2.6).
3.2.1. Функциональные пространства и вспомогательные
утверждения
Введём некоторые функциональные пространства, которые
понадобятся нам в этой главе.
Обозначим через 2)(Ω$)η — пространство функций на ftt со
значениями в Шп класса С°° с компактным носителем, содержащимся в ilt;
Vt — замыкание множества соленоидальных функций
Vt = {w: we ί)(Ωί)η, divw = 0}

3.2. Постановка задачи о слабых решениях
115
по норме пространства /ί1(Ωί)η.
Через V* мы обозначим пространство сопряженное к пространству
Vt, а через (/,w)t —действие функционала / G V* на элемент w G V*.
Щ — замыкание множества соленоидальных функций Vt по норме
пространства Ζ/2(Ωί)η.
Обозначим через D множество соленоидальных функций класса
С°°, определённых на Q, со значениями в Шп с компактным носителем
содержащимся в Ω* для каждого t G [О,Τ].
Через Yq мы обозначим замыкание множества D по норме
IMIyi = max ||г*(£)||^.
Yc — замыкание множества D по норме
||и||ус= ш«||||(*)||я..
lL2
-замыкание множества D по норме
ll«llv£a = ί/ΐΙ«(*)ΙΙν4*
Yl2 — замыкание множества D по норме
Н1па= (/||«(<)11я«
Yl —замыкание множества D по норме
|H|yi =ess sup Н*)||^.
00 t€[0,T]
В [143] было показано, что функция ν G УД принадлежит
пространству V* для почти всех t G (О, Τ), то есть ι;(£, ·) G V* для почти всех
t G (О, Τ). Также было показано, что сопряженное к пространству Υ£
пространство (У^2)* может быть получено как замыкание множества
D по норме
ι
Τ
Н(уу^ lf\Ht)\\vt*dt

116 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
Функция ν G (У12)* ПРИ почти всех * ^ (О,?1) принадлежит
пространству V*, то есть v(t, ·) G V^*.
Пусть
Ωο= (J Ω*; Οο = [0,Γ]χΩ0.
iG[0,T]
Обозначим через V замыкание множества i w G Σ)(Ωο)η, divw = 0 >
по норме пространства /ί1(Ωο)η. Пространство V" гильбертово со
скалярным произведением
((v,w))= / Vv :Vwdx
(Ω0
Норма, порождённая этим скалярным произведением, эквивалентна
норме индуцированной из пространства Ηι(Ωο)η.
Заметим, что если функция w принимает при t G [О, Τ] значение в
функциональном пространстве V*, то её можно продолжить нулем до
функции, принимающей значение в пространстве V.
Пусть Я — замыкание V по норме пространства Ζ/2(Ωο)η.
Через Yq мы обозначим пространство функций из У^,
продолженных нулем до функции из С([0,Т], V). Данное пространство является
подпространством пространства С([0,Т], V).
Ус — пространство функций из Ус, продолженных нулем до
функции из С([О,Г], Я).
Yl2 — пространство функций из Yl2 , продолженных нулем до
функции из L2(О, Г; Я).
ΫΙ —пространство функций из Уьж, продолженных нулем до
функции из Z/oo(0, T; V").
Обозначим через Ϋ£ пространство функций из УД,
продолженных нулем до функции из 1/2(0, Т; У). Данное пространство
является подпространством 1/2(0, Т; У). Важно отметить, что пространство
ΫΙ можно определить и другим образом, следуя [44], а именно это
пространство функций, измеримых на Q, принимающих при почти
всех t G (0, Т) значение u(t) G V* и таких, что её продолжение нулем
до функции, принимающей значение в пространстве V, принадлежит
ueL2(0,T;V).
Отметим, что имеет место следующее утверждение (см., подробнее
[103]):

3.2. Постановка задачи о слабых решениях
117
Лемма 3.2.1. Пусть Tt,t G [О,Τ], —граница семейства областей
fit достаточно гладкая. Пусть w G L2(О, Т; V") и w = О в Qo\Q. Тогда
(УД)*—пространство сопряженное к пространству УД. Отметим,
что мы имеем естественное вложение Ьг(0, Т; V"*) С (УД)*·
Введём ещё два пространства, которые будут использоваться в
дальнейшем:
Ey = {v.veY^v'eYt2}
с нормой:
IHIsi = Μ\γ£ + Wv'\\y12
E^iv.veY^v'eYlJ
с нормой:
Nta = IMta + 1И1?1 ·
Очевидно, что для функции ν € Εχ выполнено равенство ||v||ei =
В связи с тем, что дифференцирование по t для функции,
определённой на Q, вызывает ряд вопросов, поясним понятие
производной по £, возникающей в определении пространств Ει и Е\. Основная
идея состоит в продолжении функции, определённой на области с
изменяющейся границей, на большую область с постоянной границей. А
именно, пусть функция и G Е\. Тогда она, в силу данного выше
определения пространства У£, принадлежит пространству C([0,T],V) и,
следовательно, для неё определена производная по t в смысле
распределений на отрезке [О, Т] со значениями в V. Предполагается, что
данная производная и' принадлежит пространству 1/2(0, Т; V). Тогда,
поскольку при дифференцировании носитель функции не увеличивается,
то получим, что и' = 0 в Qo\Q. Следовательно, в силу леммы 3.2.1,
и' G Yl2 или, что то же самое, и' G УД. Случай с пространством
Е\ сводится к Е\. Возьмём произвольную функцию w Gj^i.
Сначала продолжим нулем функцию w G Υς до функции из У^, а потом
пользуемся приведенными для Е\ рассуждениями.
3.2.2. Определение слабого решения и основной результат
Пусть / G Yl2- Тогда, в силу достаточной гладкости функции /ι,
имеем, что функция g G Yl2 ·

118 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
Определение 3.2.1. Слабым решением начально-краевой задачи
(3.2.7)—(3.2.10) называется функция и € Ει, удовлетворяющая при
почти всех t G (0, Τ) для любого φ G УД равенству
/ —φάχ + ν I Vu : Vipdx — ι ^ щщ-^-dx—
nt nt Ωί *'·*=1
-/Σh^ dx~j Σ и^£^+
Ωί г'>-1 Ωί ι'ΐ-1
+ κ I Vi-^ J :V(pdx= gipdx (3.2.11)
Ωί Ωί
и начальному условию
гх(0,а:) = 0, χΕΩ0. (3.2.12)
Обозначим через 'д продолжение функции д нулем на Qq. В силу
того, что д G Yl2 , получим, что д G Уь2 ·
В силу данных выше определений пространств можно дать
следующее эквивалентное определение слабого решения:
Определение 3.2.2. Слабым решением начально-краевой задачи
(3.2.7)—(3.2.10) называется функция и G Е\, удовлетворяющая при
почти всех t G (0, Т) для любого φ G УД равенству
/ —φάχ + vj Vu : V(fdx — / \^ UiUj-^- dx—
Ωο Ωο Ωο
Ωο l'J-1
ίνί-^j :V(pdx= [g(pdx (3.2.13)
Ωο M=1 Ωο iJ=1
Ωο Ω0
и начальному условию
u(0,rr) = 0, xGU0. (3.2.14)

3.3. Аппроксимационная задача
119
В самом деле, из определения пространств Е\ и Ё\ видно, что если
есть слабое решение в смысле первого определения, то оно
удовлетворяет второму определению и наоборот.
Основным результатом данной главы является следующая теорема:
Теорема 3.2.1. Существует единственное слабое решение
начально-краевой задачи (3.2.7)—(3.2.10).
3.3. Аппроксимационная задача
Для доказательства теоремы 3.2.1 рассмотрим вспомогательную ап-
проксимационную задачу. _
Пусть функция w G С([0,Т], V). Продолжим её на отрезок [—5,0],
а именно мы будем считать, что w(t) = w(0) при t < 0. Полученная
таким образом функция w G С([—£,Т], V) и
IMIc([-*fT),V) = IMIc([0,T],V)·
Учитывая это, определим для w G C([0,T],V) функцию Rs(w) G
G Сг([0,Т\,У) по формуле
t
Rs(w)(t) = - I w(s)ds, 0<δ<Τ.
t-δ
Пусть Μ G Loo(Qo) — функция штрафа такая, что
[1, (t,x)
M(U~' " "x)€Qo\Q.
Рассмотрим в цилиндре Qq следующую аппроксимационную
систему:
О П Г\ П Г\ П QI
OU А V^/^ / чч OU ν-^ , OU ν-^ ОП
^-,Δ«+Σ№(«))<δί+Σ^+Σ^-
-x-^+Vp+-Mu = sf, (i,x)GQ0, (3.3.1)
divu = 0, (t,a?)GOo. (3.3.2)

120 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
Здесь ε > 0 — малый параметр.
Для системы (3.3.1), (3.3.2) рассмотрим начально-краевую задачу с
начальным условием
u\t=o(x) = 0, χ е Ω0, (3.3.3)
и граничным условием
и\[0,Т]хдПо =0· (3*3·4)
Определение 3.3.1. Слабым решением начально-краевой задачи
(3.3.1)—(3.3.4) называется функция
и е Е2 = {и : и е С([0,Т], V),u' G L2(0,T;V)},
удовлетворяющая при почти всех t Ε (0, Τ) и для любого φ ΕΫ
равенству
—ipdx + v / Vu : S/φάχ- / У^ (Rsju^^j^- dx-
Ωο Ωο Ωο
Ωο Ωο Ωο
+ - / Μυ,φάχ = / до<£г (3.3.5)
Ωο Ωο
и начальному условию
tx(0,a:) = 0, χΕΩ0. (3.3.6)
3.4. Операторная трактовка аппроксимационной
задачи и свойства операторов
Дадим её операторную трактовку аппроксимационной задачи
(3.3.1)-(3.3.4).

3.4. Операторная трактовка аппроксимационной задачи 121
Введём операторы при помощи следующих равенств:
А : V -» V*, (Aw,φ) = Vw : Vipdx, w,φ G V;
Ω0
В, : L4(U0)n -> V\ (Bi(w),tp) = / Σ №H)i™if^<*r,
Ωο iJ=1
B2 : L2(U0)n -+ V\ (B2w,φ) = j ]T hiWj^-dx,
Ωο iJ=1
w G L2((l0)n, ipeV;
B3 : £2(Ω0)η -> V·, <Б3™,*>> = / Σ ^^"^ ^
Ωο iJ=1
w G £2(Ω0)η, v? G У;
AT: L2(U0)n -* £2(Ω0)η, (Ww,<^) = (Mw<pdx,
Ωο
w G L2(A0)n, v? G У;
J : V -» V*, (Jw,4>) = / wipdx, w,ip G V.
Ωο
Тогда равенство (3.3.5) при почти всех £ G (О, Т) можно переписать в
виде
((xA + J)u',ip) + (i/j4u,^) - (Βι(υ),φ) - (Β2η,φ) - (Β3η,φ)+
+ ί-Ν<α,φ\ = (§,φ).
Поскольку в последнем равенстве функция φ G V произвольна, то
оно эквивалентно следующему операторному уравнению:
(κΑ + J)u' + vAu - Bi(u) - В2и - В3и + -Nu = д. (3.4.1)
Итак, слабое решение задачи (3.3.1)—(3.3.4) — это решение
операторного уравнения (3.4.1), удовлетворяющее начальному условию (3.3.6).

122 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
Введём следующие обозначения:
L:E2-+ L2(0, Τ; V*) χ V, L(w) = ((κΑ + J)ti/ + ι/Ли;, w\t=o);
K:E2-+ L2(0,T; V*) x V, K(w) = (Bt(w) + £2w + £3w - -ЛГи;,0).
Тогда задача существования слабого решения аппроксимационной
задачи эквивалентна задаче о разрешимости следующего
операторного уравнения:
Ци)-К(и) = (д,0). (3.4.2)
Чтобы не нагромождать обозначения, мы как и ранее будем
использовать одну и ту же букву для обозначения операторов, действующих
в разных функциональных пространствах, но определённых одной и
той же формулой. Например в нижеследующей лемме Л — это
оператор, действующий и из V в V*, и из L2(0,T; V) в L2(0,T; V*).
Лемма 3.4.1. Для оператора А имеют место следующие
свойства:
1. Оператор А : V —> V* — непрерывен и для него имеет место
оценка:
\\M\v < Nlv-
2. Для любой функции и G L2(0,T; V) значение Au G L2(0,T; V*) и
оператор А : L2(0,Τ;V") —> L2(0,T\V*) — непрерывен.
3. Для любой функции и G С([0,Т], V") значение Au G L2(0,T; V"*),
оператор А : С([0,Т], V") —> L2(0,T; V*) — непрерывен и для него
имеет место оценка:
II^IIl2(o,T;V*) ^ ^01М1с([о,т],10· (3.4.3)
Доказательство. Доказательство первого и третьего утверждений
это леммы почти полностью повторяет доказательство первого и
третьего пунктов леммы 2.5.1. Доказательство второго пункта этой
леммы непосредственно получается из доказательство леммы 2.5.1 при
ρ = 2. Π
Лемма 3.4.2. Для оператора κΑ + J имеют место следующие
свойства:

3.4. Операторная трактовка аппроксимационной задачи 123
1. Оператор κ А + J : V —> V* — линейный, непрерывный,
обратимый и для него имеют место оценки:
х\\и\\у ^ \\(*A + J)u\\y. ^ (х + С?)Н|{>.
Обратный к нему оператор (κА + J)-1 : V* —> V непрерывен и
для него имеет место оценка:
(xA + JTVHv^ll/llv.
2. Для любой функции и G L2(0, T;V) значение {κΑ + J)u G
€ £2(0,Г;У*), оператор (κΑ + J) : L2(0,T;V) -> L2(0,T;f*) -
непрерывен, обратим и для него имеют место оценки:
XIMIl2(0,T;V) < 1К"Л +JHIl2(0,T;V*) < (* + ^Μ^Ο,Τ-,ν)'
Обратный оператор (κΑ + J)-1 : L2(0,T; У*) -► L2(0,T; У) -
непрерывен и для него имеет место оценка:
IKxA + Jj-VIUto.^^^ll/llwo.Tiv.)·
Доказательство. Доказательство данной леммы полностью
повторяет доказательство леммы 2.5.2 с заменой μ2 на κ. Отметим лишь,
что константа С\ в неравенствах — это константа из неравенства
Пуанкаре: IM|L2(Ao)n < Ci||tx||^. D
Лемма 3.4.3. Для отображения В\ имеют место следующие
свойства:
1. Отображение В\ : Ζ/4(Ω0)η —> V* — непрерывно.
2. Для любой функции и G C([0,T],Z/4(^o)n) значение В\(и) G
G L2(0,T;V*) и отображение Βλ : С([0,Г],Ь4(П0)п) -►
—» L2(0, Τ; V*) — непрерывно.
3. Для любой функции и G Е2 значение В\(и) G L2(0,T; V*), огаоб-
ражение В\ : Е2 —> L2(0, T; V*) — вполне непрерывно и для него
имеет место оценка:
II^(«)IIl2(o,T;V.)^^||u||^([0iT]^. (3.4.5)

124 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
Доказательство. Доказательство первого и второго пунктов этой
леммы и оценки (3.4.5) аналогично доказательству леммы 2.5.4.
Что касается вполне непрерывности оператора В\ : Е2 —>
—> 1/г(0, Г; V"*), то здесь мы как обычно воспользуемся теоремой С.4.1.
В нашем случае
F={v:ve LM(0,T; V);t/ G £2(0,Γ;£2(Ω0)η)}.
Так как в силу теоремы вложения Соболева мы имеем компактное
вложение V С L±(Clo)n, то выполнены все условия используемой
теоремы и из неё следует компактность вложения F в С([0, Т],Ь±ф,о)п).
Далее Е2 С F, причём вложение непрерывно. Из пункта 2 этой леммы
мы имеем, что отображение Βλ : C([0,T],L4(A0)n) -» L2(0,T;V*) —
непрерывно.
Таким образом получили
Е2 С F С C([0,T},L4(U0)n) -^ L2(0,T;V*),
где первое вложение непрерывно, второе вложение — вполне
непрерывно, а отображение В\ — непрерывно. В итоге получим, что
отображение В ι : Е2 —> L2(0,T\V*) — вполне непрерывно как суперпозиция
вполне непрерывного и непрерывного отображений. D
Лемма 3.4.4. Для отображений В2 и В$ имеют место следующие
свойства:
1. Для г = 2,3 отображение В{ : L2((lo)n —> V* — непрерывно.
2. Для г = 2,3 и для любой функции и Ε С([0,Т], L2(Uo)n)
функция Btu e^L2(0,T;V*) и оператор В{ : C([0,T],L2(A0)n) -►
—> L2(0,T; V"*) — непрерывен и для него имеет место оценка:
\\ВМ\ь2{о,т-,у*) ^ ^3||^||Ο([0,τ],ν)· (3·4·6)
3. Для г = 2,3 оператор Bi : Е2 —> L2(0,T;V*) —вполне
непрерывен.
Доказательство. Докажем эту лемму для отображения В2.
Доказательство для Вз полностью аналогично.

3.4. Операторная трактовка аппроксимационной задачи 125
1) Пусть и Ε Ζ/2(Ωο)η. Поскольку оператор В2 — линейный, нам
достаточно показать его ограниченность:
\(Β2Η,φ)\ =
Ро iJ=1
/Е^Ы*/?,Ь^
Ωο i,,=1
dx ^
^ EllfcWllc(fto)»llttllLa(fto)»llvll
^
i,j=l
<п24^11М011с(по)«11м11ьа(по)«11И1^·
Отсюда следует, что
||В2«||р. ^ n^max. ||fe(i)|lc(n„)nll«llL2(no)n· (3·4·7)
Отсюда и следует непрерывность линейного отображения В2 :
£2(Ω0)η -»· V·.
2,/ Пусть и € С([0, Г], 1/2(^о)п. Тогда в силу оценки (3.4.7) при почти
всех t € (О, Т) имеет место следующее неравенство
ll$2«(t)llv. < n2t^, НЛ(*)11с(йо)-11и(*)11ьа(п„)-
Возведем последнее неравенство в квадрат и проинтегрируем по ί от
О до Г:
J \\B2u{t)\\y.dt ^ j (»2t™« ||М*)11с(по)п) N*)ll2L2(oo)»rfi =
о о
= (n2t^]IIMi)llc(«o)") 11"11мо,Г;Ыад»)· (3-4.8)
Таким образом, ||#2^(£)||^· € £2(0, Τ). Откуда следует, что
\\B2u\\v.eL2(0,T;L2(U0)n).
Требуемая оценка (3.4.6) получается из (3.4.8) и непрерывного
вложения
C([0,T],L2(U0)n) С L2(0,T;L2(Uo)n).
Непрерывность линейного оператора В2 следует из оценки (3.4.6).

126 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
3) Как уже отмечалось, вложение Е2 С С([0,Г], L^{Cto)n) —вполне
непрерывно (см. доказательство леммы 3.4.3). Тогда из
непрерывности вложения C([0,T],L4(U0)n) С C([0,T],L2(U0)n) получим вполне
непрерывное вложение Е2 С С([0, T],L2(ilo)n).
Таким образом имеем
Е2 С C([0,T],L2(no)n) -^ L2(0,T; V'),
где первое вложение — вполне непрерывно, отображение В2 —
непрерывно (пункт 2 данной леммы) и последнее вложение также
непрерывно.
Следовательно, отображение В2 : Е2 —» 1/2(0, Г; V"*) — вполне
непрерывно. D
Лемма 3.4.5. Для отображения N имеют место следующую
свойства:
1. Отображение N : L2((lo)n —> L2(Uo)n — непрерывно.
2. Для любой функции и G L2([0, T],L2(£lo)n) функция Nu G
G L2(0,T;L2(fl0)n) и оператор N : L2(0,T;L2(U0)n) -►
—> 1/2(0, Τ; Ζ/2(Ωο)η) — непрерывен.
3. Для любой функции и £ Е2 функция Nu G L2(0,T; L2((lo)n),
оператор Ν : Е2 —>· L2(0,T;L2(A0)n) — вполне непрерывен и для
него имеет место оценка:
WNuWl2(0,T;V·) ^ С4|М1С([0,Т],У)·
(3.4.9)
Доказательство. 1) Пусть и G L2((lo)n. Оператор N — линейный,
поэтому достаточно показать его ограниченность:
\(Νη,ψ)\ =
/ Mu(pda
^ sup M(t, x)
(t,x)€Qo
/ uipdx
Po
<
ΙΜΙμωοΗΜΙμωο)
Отсюда следует, что
ll^MllLa(no)« < 11м11ьа(По)«·
(3.4.10)

3.4. Операторная трактовка аппроксимационной задачи 127
Таким образом и получаем непрерывность линейного отображения
N : L2(U0)n -> L2(U0)n.
2) Пусть и G 1/г(0, Τ; L2(Uo)n). В силу оценки (3.4.10) при почти всех
t G (0, Т) имеет место следующее неравенство
ιι^ωιίΜΩο)» < n*)iil2(oo)»·
Возведем последнее неравенство в квадрат и проинтегрируем по t от
0 до Т.
τ τ
/ И^ОИыпо)^ < /и*)111(й.).л = ΙΙ«ΙΙΙ(ο.τ·λΑ)->·
о о
Следовательно, ||ЛГг*(£)||^ (^ )п G 1/2(0,Т). Таким образом ЛГг* G
G 1/г(0,Τ;Ζ/2(Ωο)η) и Для него имеет место оценка:
ll^MllLa(0tT;La(no)») ^ ИМ11ьа(0,Т;Ьа(По)»)· (3.4.11)
В итоге в силу линейности оператор N : L2(0, Τ;Ζ/2(Ω)η) —>
—> 1/г(0, Τ; Ζ/2(Ωο)η) — непрерывен.
3) Как уже отмечалось, вложение Е2 С C([0,T],Z/4(^o)n) —вполне
непрерывно (пункт 3 леммы 3.4.3). Тогда из непрерывности
вложения С([0,Т],Ь4(По)п) С L2(0,T;L2(Uo)n) получим вполне
непрерывное вложение Е2 С L2(0,T; L2((lo)n).
Таким образом имеем
Е2 С £2(0,Γ;£2(Ωο)η) ^ L2(0,T;L2(U0)n) С L2(0,T;^).
Здесь первое вложение — вполне непрерывно, отображение N —
непрерывно (пункт 2 этой леммы), а последнее вложение непрерывно. В
итоге получим, что отображение N : Е2 —> L2(0, Τ; V*) — вполне
непрерывно.
Перейдём теперь к доказательству оценки (3.4.9). В силу
непрерывного вложения
C(\0,T},V) С L2(0,T;L2(U0)n)
для любого и G С([0,Т], V) имеет место следующее неравенство:
HMllLa(0fT;La(no)«) < £|М1с([0,Т]АТ (3·4Λ2)
Также в силу непрерывного вложения
L2(0,T;L2(U0)n) С L2(0,T;V*)

128 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
для любого w Ε 1/2(0, Τ; L2(Cio)n) имеет место неравенство:
IMIL2(0,T;V*) < ^H^IlLaiO.TjLaino)»)· (3.4.13)
Тогда требуемая оценка (3.4.9) следует из неравенства (3.4.11) и оценок
(3.4.12), (3.4.13). D
Лемма 3.4.6. Для операторов L и К имеют место следующие
свойства:
1. Оператор L : Е2 —> 1/2(0, Τ; V"*) х V — обратим и обратный
оператор непрерывен.
2. Оператор К : Е2 —> 1/2(0, Т; V"*) χ V — вполне непрерывен.
Доказательство. 1) Доказательство обратимости оператора L и
непрерывности обратного оператора полностью повторяет
доказательство первого пункта леммы 2.5.5 в случае отсутствия члена Νν и ρ = 2
(в обозначениях леммы 2.5.5).
2) Вполне непрерывность оператора
К: Е2 -*1/2(0,Г;У*) х V, K(w) = (Bi(w) + B2w + B3w - -Nw,Q)
следует из вполне непрерывности операторов
Βι : Е2 -> L2(0,T; V*), третий пункт леммы 3.4.3;
82 : Е2 —> 1/г(0, Т; V"*), третий пункт леммы 3.4.4;
83 : Е2 —> L2(0,T; V"*), третий пункт леммы 3.4.4;
N : Е2 -» L2(0, Τ; V*), третий пункт леммы 3.4.5.
D
3.5. Априорная оценка для слабых решений аппрок-
симационной задачи
В этом пункте мы получим априорную оценку для решений
операторного уравнения (3.4.2). А точнее мы получим априорную оценку
для следующего семейства операторных уравнений
L(u) - \К{и) = А(&0), где λ е [0,1], (3.5.1)
которое при λ = 1 совпадает с операторным уравнением (3.4.2).

3.5. Априорная оценка для решений аппроксимационной задачи 129
Теорема 3.5.1. Если и G Е2 —решение операторного уравнения
(3.5.1) для некоторого λ, то для него имеет место следующая оценка:
\и\
|2
"С([0,Т],У)
где
Ъ ^ Се, (3.5.2)
о
п _ ''^''ζ,2(0,Γ;Ζ,2(Ωο)") (ТС2 +2rC5||fe||c(|OT]>c(^o)n)
Og — ехр
κ
Доказательство. Пусть и G ^ — решение уравнения (3.5.1) для
некоторого λ G [0,1]. Применим первую компоненту (3.5.1) при почти
всех t G (О, Τ) к функции u(t). Получим:
((хА + J)u'(t),u(t)) + (vAu{t),u{t)) ~ (АВ^мХОХ*))-
- (\B2u(t),u(t)) - (\B3u(t),u(t)) + /^Nu(t),u(t)\ = (\g(t),u(t)).
По определению оператора В\ имеем, что
^(«хйию)=/ έ (ад)* (i)«i(t)^«*r=
no ij = 1
= ^/div (\ j u{s)ds J £>*(*)<** =
Ωο«-«5
j=l

130 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
Аналогично, исходя из определения оператора Β<ι, получим
(B2(u)(t)Mt)) = 1 Σ hi(t)ui{t)^-dx =
Ω0
i,J = l
Ω0
Таким образом,
((κΑ + J)u'(t), u(t)) + (i/i4«(t), u(t)> - (АД,«(4), «(«)> +
+ (^Nu(t), u(t)\ = (\g(t), «(*)>· (3-5.3)
Преобразуем и оценим слагаемые в последнем равенстве следующим
образом:
((яА + J)ti'(t), tx(t)) = и ί Vu'(t) : Vtx(t) cte + /u'(t)u(£) dx =
Ωο Ωο
A Vtx(f) : Vtx(t) cte + - — / u2(t) cte =
~2di
Ωο
.,2 . ! d и /4M|2
Ωο
(i/Au(t),u(t)) = ν jVu(t) : Vu(t)dx = v\\u(t)\\2~;
Ω0
/-Nu(t),u(t)\ = - ίM(t,x)u(t)u(t)dx =
Ω0
= ±JM(t,x)u(t)M(t,x)u(t)dx = ±\\Mu\\2L2{uo)n
Ωο
|(AB3ti(*),ti(t)>| = A
Ω0
i,j=l
< Σ ΙΙ^(*)ΙΙσ(ήο)Ν(*)ΙΙ^(ήο
duj(t)
dxi
€
L2{n0)

3.5. Априорная оценка для решений аппроксимационной задачи 131
^
Σ llfciWllc(fto)NWIlLa(fto)llttWllv ^ сь\т)\\с{по)4Ф)\\1;
ij=i
\Ш)М*))\^\№М*))\ =
/ g(t)u(t)dx
Ω0
<Ш*)11ып„)»И*)11Мп0)»^
is
\№)\\
£2(Ωο)η
+
N'liiW ^ ii£(*)ii W , c?iiti(t)i|i
2 2
Тогда из (3.5.3) получим, что
1 d
<
+
2 s'W+ 2 sl|tt(t)l|b.(flo)-+"«"W + 7ΐΐΜ^)ΐιΙ(Ω0
2
ν
<C5\\h(t)\\c(uo)n\\u(t)\\2y +
11^)111(00)" с?ц«юц
+
Оценивая левую часть последнего неравенства снизу
κ d
1 d
отМт + отМ^12(по)^
IdV
2dt
и d
1 d
а правую часть сверху
C5llM0llc(^ll^)ll2v +
IfrWIIW , c?N*)ll2y
+ ■
<
<
2С5||М""2Г'-+С? («iwoiil + w.iiU,.) ♦ ^^
получим, что
f|lM«)f, + ^l|uWIII!(ul).i
<
2^ (*И*)Ир + NOIIba(no)n)
+
ιι^)ΐιΐ(ή0)»

132 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
Проинтегрируем последнее неравенство по t от 0 до s, где s Ε [О, Τ].
О
+J 2c5iimow+c? (ж||и(()||, + нт%^ Л (ЗЛ4)
о
Оценим первое слагаемое из правой части последнего неравенства
следующим образом
' IIJWIILn.,. . Ϊ BWJW Л = И^мадм
/"'»..</
о о
Для второго слагаемого из правой части (3.5.4) имеем
f2C5\\h(t)\\c{flo)n+Cf ί ,
J ^ (x\Ht)\\v + ΙΜ*)ΙΙΜη0)») dt ^
о
ВДНУ+С| / («■-*« + imoiiu,.) *.
* 2*
0
Таким образом из (3.5.4) получим
*Ν·)ΙΙ2ρ + \Ш\\2Шо)» < llellaL1(P.T,L1(ftB)-)+
+ ^11^1с([о,тьс(п0)-) + ^ у ^ыть + нт1^ dt {355)
о
Из (3.5.5) воспользовавшись неравенством Гронуолла—Беллмана
(теорема 2.3.5), получим оценку
x\\u(s)\\l + \\u(s)\\l{Clu)n<
< Hall2 - exp (С? + 2С5^с№Л,сфо)") \ <
< Noll2 - pxd /TCi2+ 2ТС5|1^11с([о,г],с(п0)п)\
** Н«11ь2(0,Т;Ь2(По)»)еХР Ι κ J ·

3.5. Априорная оценка для решений аппроксимационной задачи 133
Оценивая левую часть последнего неравенства слева
*\\u(s)\\l<*\\u(S)\\l + \\u(S)\\l{uo)n
и, переходя к максимуму по s E [О, Т] в левой части полученного
неравенства (это можно сделать, так как правая часть последней оценки
не зависит от s), получим неравенство
и max ||^(s)||~ <
e€[0,T)" '"V
(тс\
||~||2 л ρχΏ Ι ^i+2^g5||fe||c([0,T],C(fio)n)>
^ I^Hl2(0,T;L2(«o)-) βΧΡ Ι Η
из которого и следует требуемая оценка (3.5.2). D
Теорема 3.5.2. Если и Ε Е2 —решение операторного уравнения
(3.4.2) для некоторого λ Ε [0,1], то для него имеет место оценка
11^111(0,Т;^(п„)")<^' С3'5·6)
где
r 2C»4fe4c([0,Tl,C(fto)»)+Cl^>T1 , 1„~||2
Доказательство. Пусть и € Е2 — решение уравнения (3.4.2) для
некоторого A G [0,1]. Применим первую компоненту (3.4.2) при почти
всех t £ (О, Τ) к функции u(t). Имеем:
{{κА + J)tt'(t), «(*)> + (vAu(t), «(«)> - (Bi(u)(t), u(t)) - (B2u{t), «(«)>-
- (Bs«(*),«(i)> + (^Nu(t),u(t)\ = <3f(t),«(*)>.
Действуя аналогично доказательству теоремы 3.5.1 (разница
заключается в отсутствии в этом случае λ), получим неравенство
f Iй"11* + ^HOIIW + *ΙΜ«)ΙΙ* + jll^Wlll,^,. <

134 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
Оценим левую часть последнего неравенства снизу
Тогда получим, что
κ d „ /Л|2 .ld„ ,.χ,,ο 1
2а1« + 2AW«)"i.(A,)- + el|Mu(t)l1 W <
< 2CB||Mt)l|g(ftB). + c? Ш*)!!^.
llg(*)llj
2 ..-W..V ' 2
Проинтегрируем последнее неравенство по t от 0 до Т.
>*.. /„v„9 In /„v„9 1
<
< 2IIPll^(0,T;L2(oo)») +У 2 ΙΙ«(*)ΙΙνΛ· (3·5·7)
0
Используя следующую оценку снизу на левую часть (3.5.7)
ellMUllL(0,T;L2(n„)») <
< f ΙΙ«(τ)|$ + ^(T)||2L2(no)„ + jllM4l2L2(0,T;L2(n0)nr
и оценки на второе слагаемое из правой части (3.5.7):
τ
/
о
2С5||М*)11с(»о).,+с12||
—'■ ||«(011сгЛ <
τ
2C5llfellc([o,Tbc(^)+Ci2 ^ Л
пах ||ti(t)||i ft
Е[0,Т]М Л'^У
2 t€[l
О
< 2C,5||fe|lc([0tT]tC(no)") + Cl с Т
мы и получим требуемую оценку. D

3.5. Априорная оценка для решений аппроксимационной задачи 135
Теорема 3.5.3. Если и € Е2 — 'решение операторного уравнения
(3.5.1) для некоторого λ, то для него имеет место следующая оценка:
WU'Wl,(O.T:V) < С? + ^' (3·5·8)
где С$ =
lL2(0,T;V) ^ W"r £
κ
θ7=Ϊ {{иС0 + 2СЗ) ^ + С2Св + °ΊΙ^Ιΐ.2(0.Τ:^(Ω„)-)} ·
Доказательство. Заметим, что если и Ε E2 — решение уравнения
(3.5.1) для некоторого λ Ε [0,1], то оно удовлетворяет равенству:
{κА + J)u' + vAu - XBi(u) - ХВ2и - ХВ3и + -Nu = Xg.
Выразим из этого равенства (κА + 1)и'. Имеем
(κА + J)u' = -vAu + XBi(u) + ХВ2и + ХВ3и Nu + Xg.
Следовательно
-vAu + ΧΒγ (и) + АБ2и + ХВ3и Nu + Xg
. (3.5.9)
L2(0,T;V*)
Из левой части оценки (3.4.4) получим оценку снизу на левую часть
последнего равенства
*IHIl2(0,T;V) < \\("А + JKIIl2(0,T;V*)· (3'5Л0)
Правую часть равенства (3.5.9) при помощи неравенств (3.4.3),
(3.4.5), (3.4.6), (3.4.9), (3.5.2), воспользовавшись непрерывным
вложением
L2(0,T;L2(U0)n) С L2(0,T;V)

136 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
и тем, что λ ^ 1, можно оценить следующим способом
-vAu + XBi(u) + \В2и + ХВ3и Nu + Хд
L2(0,T;V)
S HI>4l2(0,T;V*) +AH5iWHl2(0,T;V*) + Ч^А^^.у^
+ AI|£3U||L2(0,T;V*) + -\\Nu\\l2{0,T;V·) + AH£Hl2(0,T;V*) *
< ^о1М1С([о,т]ЛО +С,2|1и11с([о,т],v) +2С,з||^||С([о,т]у)
IMIc([0,T]fV) + ^ΙΙ£Ι^2(0,Τ;Ζ,2(Ωο)Λ) ^ ^2ΙΙ^ΙΙθ([0,Τ],ν)
+
+
+
c4
+
+
^
\vCo + 2C3 + -Jj |Mlc([0,T],V) + C||3f||La(0fT;La(no)
^ (uC0 + 2C3 + ^) ч/Се + C2C6 + C||^||L2(0)T;L2(no)n).
Из последнего неравенства и неравенства (3.5.10) и следует
требуемая оценка (3.5.8). □
Из теорем 3.5.1 и 3.5.3 как непосредственное следствие получаем
Следствие 3.5.1. Если и Ε Е2 —решение операторного уравнения
(3.5.1) для некоторого λ, то для него имеет место следующая оценка:
Н||^^ + С7+—·
(3.5.11)
Аналогично доказательству теоремы 3.5.3 получаем следующую
оценку:
Следствие 3.5.2. Если и Ε Е2 — решение операторного уравнения
(3.5.1) для некоторого λ, то для него имеет место следующая оценка:
(κΑ + J)u' + -Nu
^С7.
(3.5.12)
L2(0,T;V)
3.6. Теорема существования слабого решения ап-
проксимационной задачи
В этом пункте мы приведём доказательство существования слабого
решения аппроксимационной задачи.

3.6. Теорема существования решения аппроксимационной задачи 137
Теорема 3.6.1. Уравнение (3.4.2) при каждом ε > О и δ > О имеет
хотя бы одно решение ν Ε Е2.
Доказательство. Для доказательства данной теоремы
воспользуемся теорией степени Лере—Шаудера для вполне непрерывных
векторных полей.
В силу априорной оценки (3.5.11) все решения семейства уравнений
Ци) - ХК(и) = \{д, 0), где λ G [0,1],
лежат в шаре Br радиуса
R= у/сё + Ст + ^ + 1
ε
с центром в нуле. Поэтому все решения семейства уравнений
и - XL-1 \К{и) + (£, 0)] = 0, где λ G [0,1],
также лежат в том же самом шаре Br.
Отображение
\К{-) + (д,0)} : Е2 -+ L2(0,T; V*) х V
является вполне непрерывным (лемма 3.4.6 пункт 2). Из первого
пункта той же самой леммы оператор
L"1 :L2(0,T;V*)xV-+E2
непрерывен. Следовательно отображение
L-1{K(-) + (g,0)}-E2^E2
вполне непрерывно как композиция вполне непрерывного и
непрерывного отображений.
Тогда отображение
G : [0,1] χ Е2 -> £2, G(A, и) = XL~l Щи) + (& 0)]
вполне непрерывно по совокупности переменных λ и и.
Из всего вышеперечисленного следует, что вполне непрерывное
векторное поле
Φ(λ, и) = и - G(X, и)

138 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
невырождено на границе шара Br. Поэтому для него определена
степень Лере—Шаудера degL5($, Br, 0). Воспользовавшись свойством
гомотопической инвариантности степени получим, что
degL5(*(0, ·), BR, 0) = degL5^(l, ·), BR, 0).
Тогда, вспомнив что Ф(0, ·) = /, а
degLS(I,BR,0) = l,
получим, что
ώ*ω(Φ(ΐ,·),-Β«.θ) = ι.
Поскольку
Ф(1, и) = и - G(l, и) = и - L'1 [К(и) + (д, 0)],
то, существует хотя бы одно решение и G Еч уравнения
u-L-l[K(u) + (g,0)}=0,
и, следовательно, уравнения (3.4.2). D
В силу существования решения и G Ε<ι уравнения (3.4.2) из
вышеприведенных рассуждений следует, что начально-краевая задача
(3.3.1)—(3.3.4) имеет хотя бы одно слабое решение и G Е2.
3.7. Предельный переход в аппроксимационной
задаче (3.3.1)—(3.3.4) при ε -* 0
Выберем теперь последовательность еп= £. В теореме 3.6.1
показано, что при каждом еп существует ип G Е2 — слабое решение начально-
краевой задачи (3.3.1)—(3.3.4). Тогда каждое ип G Е2 удовлетворяет
при почти всех t G (0, Τ) и для любого φ G V равенству
-^φάχ + ν I Vun'.Vipdx- / ^ {Rs^))^^-^ dx-
Ωο Ωο Ωο
-/ Σ hiUn^dx~ / Σ u^h^dx + κ/ν (^τ) : vvdx+
Ωο Ωο Ωο
+ η Μηηφάχ= Ι 'ξφάχ (3.7.1)
Ωο Ωο

3.7. Предельный переход в задаче (3.3.1)—(3.3.4) при е —> О 139
и начальному условию
tin(0,a;) = 0, хеП0. (3.7.2)
Из оценки (3.5.6) следует, что
Мип -► 0 сильно в L2(0, Г; L2(U0)n).
Но в силу оценки (3.5.2) имеем, что
ип -* w слабо в L2(О, Г; V). (3.7.3)
Следовательно,
Мип -* Mw слабо в L2(0,Τ; Ζ,2(Ω0)η).
В итоге в силу единственности предела имеем, что Mw = 0. Отсюда
получим, что w = 0 почти всюду в Qo\Q, то есть предельная функция
w принадлежит пространству У^ .
Таким образом без ограничения общности, в случае необходимости
переходя к подпоследовательности, получим
" / Vun : Vipdx —> ν \ Vu> : Vipdx при η —> οο; (3.7.4)
Ωο Ωο
/η г\ /* η Я
У^ hiUnj-^-dx -» / У^ hjWj-^-dx при η -> οο; (3.7.5)
iZo Ωο
У^ unihj-^-i-dx -+ / ^ Wihj-^-i-dx при гс -» оо. (3.7.6)
i,j=l
i,J = l
Ω0 "'"' " Ωο
Далее, в силу оценки (3.5.2) получим, что
\\Rs{Un){t)\\y
<
- I un{s)ds]\ ^-j- \\v>n(s)\\yds ^
\\y t-δ
t
J ds ^ s^r\ ^Un^v = H^llc([o,T],v)·
max ||tin(e)|lv \
s€[t—d,t\

140 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
Так как для ип G С[0,Г], V), функция Rs(un) G Сг([0,Т\, V"), то,
переходя к максимуму по t в последнем неравенстве, и используя оценку
(3.5.2) получим
II^K)WIIC[o,T],v) < ΚΙΙσ([ο,η,ν) < С*' (3·7·7)
Оценим теперь (Rs(un)) · Имеем
(Rs(un))'(t)=^U Jun(s)ds\ =
t t-δ \
un(t) - un(t - δ)
= ^ Ι / un(s)ds- / un(s)ds
Отсюда
\v>n(t) -un(t-S)
\(Rs(un))'(t)\\y
V
< J(KWIIv + K(*-*)llv)<
2 2
Таким образом
2 2C
|| (Д*(ип))' (*)||C([ofr]fv) ^ ^II^Hc([o,T],v) ^ ~γ~' (3.7.8)
В силу теорему Арцела—Асколли мы имеем компактное вложение
Сг([0,Т],У) С C([0,T],L4(Oo)n). Таким образом из оценок (3.7.7) и
(3.7.8) следует, что
Rs(v>n) -► * сильно в C([0,T],L4(A0)n).
Однако, поскольку для функции ип G 1/2(0, Τ;Ζ/4(Ωο)η) мы имеем, что
функция Rs(un) G C([0,T],L4(U0)n) и оператор
Д* : L2(0,T;L4(Ao)n) -> C([0,r],L4(tt0)n)
линейный и непрерывный, то в силу слабой сходимости (3.7.3) и
единственности предела получим, что ζ = Rs(w). В итоге имеем, что
Д*(мп) -► Rs(w) сильно в С([0,Г], Ζ,4(Ω0)η).

3.7. Предельный переход в задаче (3.3.1)—(3.3.4) при ε —> О 141
Следовательно, в силу слабой сходимости (3.7.3):
Rs(un)un -» Rs(w)w слабо в L2(0,T;L2(U0)n).
В итоге имеем, что
/п Я /* п Я
Σ (R*(un))iUnj-^:dx -> Ι Σ (R*(w))iwi-foT.dx при п ~* °°·
Ωο Ωο
(3.7.9)
В силу оценки (3.5.12) имеем, что последовательность
(хЛ + J)u'n + гаЛ/u п сходится слабо в Ζ/2 (Ο, Τ; V*),
откуда
/ —^-φάχ + χ / V ί -~-ρ ) : Vtpdx + n Μηηφάχ -»
Ωο Ωο Ωο
-* (F, <£>) при η -* οο. (3.7.10)
Здесь F — некоторый функционал из 1/2 (О, Τ; V"*).
Переходя в (3.7.1) к пределу в каждом из интегралов, получим, что
(F,φ) = -ν I Vw : V(pdx+ / ^ hiwj-^1dx+ / ^ Wihj-^-dx-l·
Ωο Ωο Ωο
+ / Σ (RsM)i ™Γ^Γ. dx + jffpdx. (3.7.11)
Дальше, поскольку равенство (3.7.1) выполнено при почти всех t G
G (О, Τ) для любого φ Ε V, то оно будет выполнено при почти всех
£ G (0,Т) и для <£> G УД. Действительно, при почти всех t G (О,Τ)
функция φ G У£ будет принадлежать пространству V.
Отметим, однако, что при почти всех t G (О, Т) носитель функции φ
лежит в fV Следовательно, член
η Ι Μηηψ(
.»pdx
Ωο

142 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
исчезнет, так как он для таких пробных функций обращается в нуль.
Таким образом для подобных пробных функций получим, что
J^dx + HJv^y.^dx^(FM при
00.
Отметим, что в пространстве УД следующее множество функций
{χφ,χ G ЩО,Т\),фе Ъ(Пг)п,а\уф = 0,supp(X^) С Q}
будет плотно. Действительно, согласно определению пространства Ϋ[
в нём плотным множеством будет множество D. То есть для любой
функции и G Yl2 существует последовательность функций vn G D,
которая сходится к и по норме У£ . Для каждой функции νη
рассмотрим функцию wn, построенную следующим образом. Разобьём
отрезок [О, Т] на интервалы вида (£fc,£fc+i) на которых для любых
r,s e (tk,tk+i) выполнено
\\Vn(r) - Vn(s)\\y < — ·
Это можно осуществить, поскольку функция vn равномерно
непрерывна на отрезке [О, Г]. Поскольку отрезок [О, Т] компактен, то молено
выбрать конечное число таких интервалов. В каждом из интервалов
(£fc,£fc+i) произвольным образом выберем точку Sk и рассмотрим
следующую функцию
m
wn(t,x) = J2xi(t)vn(shx).
1=1
Здесь χι — это функции из разбиения единицы, построенные по
системе интервалов (tk,tk+i), для точки sj. Если мы теперь выберем
последовательность гип, то получим, что wn —> и по норме пространства
Y1
На этом плотном множестве, то есть для любых χ G 2)([0, Т]),ф G
G 2)(^t)n таких, что div^ = 0,supp(%^) С Q, получим, что
τ τ
j j^dxxM + xj jvf^y.Wdxxdt-.
0 Ω0 ° Ω0

3.7. Предельный переход в задаче (3.3.1)—(3.3.4) при ε —> О 143
= JJ^xdtx/jdx + xjvU^xdA :νφάχ =
Τ / Τ \
= - ί ίηη^άίφάχ-κ ίν ί /tin^dt) :4φάχ =
Ω0 0 Ω0 Vo /
Τ Τ
= - / ί ηηφάχ-^άί -κ ί J Vun : νφάχ-^άί.
0 Ω0 ° Ω0
В силу слабой сходимости (3.7.3) получим, что
τ τ τ
- Ι Ι ν>ηφάχ-£(ϋ-κ I I Vun : νφάχ-^dt -> - / / υτφάχ-^άί-
0 Ω0 ° Ω0 ° Ω0
Τ
— χ / / Vu>: νφάχ—dt при η —> οο.
0 Ω0
Далее
τ τ
- / ίνφάχ^άί-κ ί fvw:Vil>dx^dt =
0 Ω0 ° Ω0
Τ / Τ \
= ~ / / ™-£άίΨάχ-κ ίν ι Ι w~frdt) '·νψάχ =
Ω0 ° Ω0 V° /
Τ / Τ \
= /Ι -^χάίφάχ + κ (V Ι /■^ΧΛ) ·νψάΧ =
Ω0 ° Ω0 \° /
Τ Τ
= / ί^φάχχάί + κ ί /ν(-^) -νφάχχάί,
0 Ω0 ° Ω0
где под обозначением ^f понимается обобщенная производная
функции w.

144 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
В итоге получим, что
τ
0 Ω0 ° Ω0
τ τ
Ядт if (dw\
—φ άχχάί + κ / V Ι — 1 : νψ άχχάί при η —> οο.
0 Ω0 ° Ω0
Следовательно, для φ G Υ£ в силу единственности предела
J^dx+xJv^y.Vipdx^&ip)-
Ωο Ωο
/dw f Idw\ , ч
—φάχ + η / V ( — 1 : 4φάχ при η -» οο. (3.7.12)
Ωο Ωο
Таким образом получили сходимость
(J + хЛ)^ - (J + яА)^ слабо в (ί£)\
В силу того, что оператор (J+xA) : УД —> (У^ )* непрерьтно обратим,
получим что ^f G У£ . Раньше уже было получено, что предельная
функция w принадлежит пространству У^ . Тогда w G Е\.
Далее, поскольку последовательность {(J + xA)^^} слабо сходится
в пространстве (У^ )*, а линейный оператор (J + κΑ) : УД —> (У£ )* —
обратим, получим, что последовательность {^*-} слабо сходится в
пространстве У£ и, следовательно, ограничена в УД ·
Таким образом имеем, что последовательность ип ограничена в Yl^ ,
а последовательность {-^-} ограничена в У^ . Тогда аналогично
теореме С.4.1 получим, что из последовательности ип можно выделить
подпоследовательность сильно сходящуюся в Ус·
Последовательность ип удовлетворяет начальному условию (3.7.2).
Переходя в нём к пределу при η —> οο, получим что предельная
функция удовлетворяет начальному условию w(0,x) = О для x G Ωο·
Поскольку все оставшиеся слагаемые в (3.7.1) сходятся при почти
всех t G (О, Τ) для любого φ G V, то они сходятся при почти всех

3.8. Предельный переход в задаче (3.7.13), (3.7.14) при δ —> О 145
t G (О,Г) и для φ G УД. Следовательно из (3.7.4), (3.7.5), (3.7.6),
(3.7.9), (3.7.12) получим, что предельная функция w € Ει при почти
всех t G (О, Т) для любого φ G У£ удовлетворяет равенству
Г Згу Г (dw\ f
/ —φάχ + χ / V I — 1 : V(^dxH-i/ / Vw : Vipdx-
Ωο Ωο Ωο
- / έ №(»))<β,^ώ- / έ ^^ώ-
~ / Σ wihj-p-dx= I g(pdx (3.7.13)
Ωο Ωο
и начальному условию
w(0,:r)=0, χΕΩ0. (3.7.14)
3.8. Предельный переход в задаче (3.7.13), (3.7.14)
при δ —>· О
В предыдущем пункте было показано, что существует функция
w G Е\, которая при почти всех £ G (О, Т) и для любого <£> G УД
удовлетворяет равенству (3.7.13) и начальному условию (3.7.14). В этом
пункте мы сделаем предельный переход в этой задаче при δ —> 0.
Таким образом и будет показано существование слабого решения
исходной задачи (3.2.7)-(3.2.10).
3.8.1. Априорная оценка для решений задачи (3.7.13), (3.7.14)
Для предельного перехода по δ при δ —> 0 нам потребуются
априорные оценки, которые мы сейчас и получим.
Теорема 3.8.1. Если w G Е\ удовлетворяет равенству (3.7.13) и
начальному условию (3.7.14), то для него имеет место следующая
оценка:
ΙΗΙοι < Св, (3-8.1)
где Cq —константа из априорной оценки (3.5.2).
Доказательство данного утверждения проводится полностью
аналогично доказательству теоремы 3.5.1.

146 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
Теорема 3.8.2. Если w Ε Ё\ удовлетворяет равенству (3.7.13) и
начальному условию (3.7.14), то имеет место следующая оценка:
1И1Ь ^<?9, (3.8.2)
где
2Г (С6С10 + 2C5v^6||/i||c([0)Tbc(no)n))2 + 2Cf||3r||
Yl2
Доказательство. Поскольку функция w £ Е\ удовлетворяет
(3.7.13) при почти всех t G (О,Τ) для любого φ G УД, то она
удовлетворяет ему и для φ = w'.
J w'(t)w'(t) dx + κ J Vw'(t) : Vw'(t) dx + v \ Vw(t) : Vw'(t) dx-
Ωο Ωο Ωο
- [Σ №(«;)),(*Η(ί)^^ώ- / Σ Ы{1)ю^)д-^ах-
Ωο 4«o
- / Σ МЩЮ9™!^ dx= fg{t)w'{t)dx. (3.8.3)
Ω0 M Ω0
Преобразуем и оценим слагаемые в последнем равенстве следующим
образом:
Jw\t)w'(t)dx=\\w'(t)\\l;
Ωο
н / Vti/(t) : Vti/(t)da; = ||ti/(t)||£;
Ωο
ι/|V«;(i) : Vw'(t)dx=~jvw(t) : Vu;(i)<te = ™1К«)||£;
Ωο Ωο
у 5«; (t)dar ^ ||5(i)||L2(n0)nlk Wllg < 2 + ^ -·
Ωο

3.8. Предельный переход в задаче (3.7.13), (3.7.14) при δ -> О 147
Переходим к нелинейным членам:
^
dxt
dw'jjt)
dxt
<
dx ^
Ω0
^ £||(Я^)Ш11мп„)1К(*)11 L4(ft
!o)
i,J = l
= Σ
ds
Н^(*)11ь4(Ао)
dxt
dxi
Ь2(П0)
<
ΜΩ0)
^
^2(Ωο)
^
£
If
η *
Г12 Σ ^ NWIkcflo) / *И(*)11ма.>
^
η
<ΙΚ(*)ΙΙν Σ °s?i,llte«(e)llL4(fto)llu,j(')lli.4(fto)
< «2ll«^(*)llvll,i;llc7([o,Ti,i«(fto)-)ll,i;(*)lli;«(fto)- <
<CioW(t)\\vM2cao,nvy
Ωο "'*' * Ι Ω0
dxi
dx ^
Σ II^WIIc^ll^WllLaino)
i,j = l
fti/}(t)
dxt
L2(flo)
< Σ 11^(*)11с(«о)11^(*)1к2(п„)1к'(*)11й <
<с5||М*)11с(п0)"1И')1ЫИ*)11^
< C5||/l|lc([0,T],C(iio)")llU,llc([0,T],V)llU; (*)llV>'

148 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
Наконец, для последнего слагаемого имеем
г " dw'At) Г τ^
dx ^
< Σ H^WIlLa^ll^WHcino)
i,J = l
^ί-W
dxi
<
Ь2(П0)
< Σ lk<WllLa(fto)llfciWllc(fto)KWIIv <
<G5||M*)llc(fto)»lhWllvll^Wllv<
^ C5||/i||c([0)TjC(^o)n)||w;||c([0)T] ^^1^; (£)||y.
Таким образом из (3.8.3) получим неравенство
ν d
+
Hu/(t)l|t + x||u/(*)||i + —IkWII^ < Ciolk'Wllvll^llc([o,T],v)
+ 2C5||ft||c([0iT]fC(no)n)||w||C([ofr],ν)'Ι^ №llv+
27
+
+ ■
Отметим, что поскольку гу Е У£, то
ил
C([0,T],V)
INI
Ус'
Воспользовавшись оценкой (3.8.1), оценим часть слагаемых из
правой части последнего неравенства сверху
Cio|K(*)llvlMlc([o,T],v)+
+ 2С5||Л||С([о ,Т],С(П.0)П) IIWWc([0,T],V) WW' '{t)\\v <
^ (с6Сю + 2С5^СвЩ\С{10<пс(С1о)п)) \\w'(t)\\y <
(CeClo + 2C5VU-6\\h\\caoT]iC({io)~))2 | 7^11^(^111
2-yCf
й
+

3.8. Предельный переход в задаче (3.7.13), (3.7.14) при δ -» О 149
Таким образом получим следующее неравенство
ν d .
~2~d~V
||«/(«)||^ + х||^)||?, + ^|||«,(«)||2р<
(c6C1o + 2C5v^5||fe||c([0|rl>c(^o)n))2 \\Щ)\\2ыйо)п
^ 27С? + 27 +
+ 7C12||U/(i)||2i>.
Проинтегрируем последнее неравенство по t от 0 до Т.
1М1!,,2 +*\ЫЩ +^1ИГ)НИ
Т [С6СЮ + 2С5>/Сб||/1|1с([о,т],с(По)»)) ll^lll.
2тС? + ^Г + Ί°1 llW "?ь
Отсюда, оценивая левую часть данного неравенства снизу
*1Н& <1И12?Ь +χ|ΚΙ|^ +^1ИТ)||2Р
и выбирая
7=2Cf
мы и получим требуемую оценку (3.8.2). D
3.8.2. Предельный переход в задаче (3.7.13), (3.7.14) при δ —> О
Возьмём в качестве δ последовательность δη = ^. При каждом <Sm
существует функция wm G ϋα, удовлетворяющая при почти всех t G
G (О, Τ) и каждого <£> G УД равенству (3.7.13):
J -^φάχ + κ / V (-|^Ч : Victor + ι/ / Vwm :V(pdx-
Ωο Ωο Ωο
/η Я /* η Я
^ (%(Щ*)) .Vhnt-P-dx - Σ hiWmi-КГ dx~
- Ζ" Σ wmih},-^- dx = Jg<pdx (3.8.4)
Ωο Ωο

150 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
и начальному условию (3.7.14):
wm(0,x) = 0, хеП0. (3.8.5)
В силу оценок (3.8.1) и (3.8.2) получим, что
wm —* и *-слабо в 1/оо(0, Т; V") при т —> оо;
w'm —* и слабо в 1/г(0, Т; V) при т —> оо.
Из уже ранее не раз упоминавшейся теоремы С.4.1 (она приведена
на странице 391) получим, что
wm —> и сильно в С(0, Τ; Ζ/4(Ωο)η) при т —> оо.
Так как все функции wm удовлетворяют начальному условию (3.8.5)
в силу указанной сильной сходимости получим, что предельная
функция и удовлетворяет начальному условию
г*(0,я) = 0, χεΩ0.
Далее в силу определения слабой сходимости при почти всех t Ε
G (0,Г) для φ е L2(0,T; V) получим
fdwm f ди
/ ~δΓφ / ~δϊφ ПрИ
Γ2ο Ωο
МЪ) ■■***" *l· (%)■■■
\о Ωο
ν / Vwm : V(pdx —> ν I Vu : ^φάχ при m —> оо;
Ωο Ωο
/У^ hiWmj-^-dx —> / yj hiUj-^-dx при m —> oo;
- ·_., OX\ J ■ -_i OX%
Γ2ο Ωο
/2_. Wmihj-^- dx —> I 2^ u>ihj-^-dx при m —> oo.
Ωο Ωο
Покажем, что при почти всех t Ε (0, Τ)
/ Σ {R^wrn)).wrnj-^:dx^ j Σ UiU^i(b при
m —> oo.
Ωο i,J = 1 Ωο i'i=1

3.8. Предельный переход в задаче (3.7.13), (3.7.14) при δ —> О 151
Действительно,
/ f2{(R^(wm)).(t)wmj(t) + (fii(u)).(i)«;mj(i)-
- («i(t»)). (i)«;mj(i) + (^Jr(u))i (<)«i(*)-
/ Σ {(^(^m)).(i)«;roj(i) - (%(«)).(*КпЛ<)} ^§^ώ
^
Ωο
+
+
/ Σ {(**(«)), (*)«*.,(«)- («*(«)),(*)«*(*)} ^
/iH(^(u0(i)u>w~Ui(i)u'(i)}
<te
+
dxi
Покажем теперь, что каждое из трёх слагаемых в правой части
последней оценки стремится к нулю. Аналогично оценке похожего члена
в априорной оценке получим
/ Σ {(R±(v>m)).(t)wmj(t)- (R±(u))it)wmj(t)}°^-dx
/Σ {[(Я^т-и))]Мют^)}^-ах
^ *, J = 1
> «О
/η
Σ \(я^т-и)^Щ\тт^)\
Ω0
ij=l
Ωο
ij = l
dXi
dx ^

152 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
η
^ Σ ||(%(^m-ti)).(t)
η
Σ
^ τη
L4(Q0)
ι
/ (wm -u)i(s)ds
^Ш\ь4(п0)
WWmj(t)\\L4{Qo)
dxt
dxi
£2(Ω0)
<
L2(«o)
M^o)
η '
Σ/
(wm - ti)i(e)||L4(no)ds||ti;mi(t)||L4(no)||^(t)||^ ^
r
ζ πΐ\\φ(ί)\\ν Σ J113? JK^wi-^WIlL^no) / dsWwmj(t)\\L4{Q0)
^
^
УШу Σ °^ll(wm-ti)i(e)||L4(&)||ti;mi(t)||L4(no)
^
i,J=l
s€[0,T]
^ n ll^Wllvll^m _wllc([0,T],L4(iio)n)ll7i;mllc([0,T],L4(iio
)n)
-*
О при m —> oo.
Для второго слагаемого имеем
< /Σ|(^(«)).(ί)|κ^-^·(ί)ΐ
iiJ=1
< t||(**<«>),(«)||Mflb)ll(«»-«)iWlk(ft.:
dxt
^
dx С
-Σ
i,j = l
m
ds
(Wm-w)jWI|L4(n0)
dxi
a^i
L2(«o)
L2(«0)
МЗД

3.8. Предельный переход в задаче (3.7.13), (3.7.14) при δ —> О 153
<т Σ / iM5)iiL4(«0)d5iK™™ - и)зШЬА{й0)Ы1)\\у <
С m
ЫШу Σ Р1^ Jlu«(s)llL4(no) / ^IK^m-^jWII^tno;
*ij —* ._ ι
^
<M*)llv Σ ^^JI^WII^^II^-^WII^^o)
^
i,j=l
β€[0,Τ]
^ n 1№№1ЫМ1с([0/ПДч(По)п)11^ ~ UWc([0,T],L4(Qo)n) ~* °
при τη —> oo.
Наконец для последнего члена аналогично предыдущим имеем
/Σ {[(**<·>) 4,W4}^*
/Σ|(^(μ)Χ(*)-^)|μ«)ι'^^
Ро
^
Ω0
i,j=l
^Xi
cte ^
< Σ ||(я-ь(«))Л (*) - «*(*)||^(Ав) ιι«ί(*)ΐι^(Α.
η
Σ
Σ
&Pj(t)
m
t
, J Ui{s)ds - Ui(t)
t
/ (tii(5)-tii(t))d5
ΙΜ*)ΙΙζ,4(ω0)
ΜΩ0)
-Σ
о
IM*)llL4(n0)
dxi
dXi
dxi
^2(Ωο)
L4(«0)
/ (tii(t + r)-tii(t))dr
ΙΜ*)ΙΙζ,4(ω0;
L4(fto)
dxi
L2(Qo)
£2(Ω0)
^2(Ω0)

154 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
<
η "
^Σ / ll^(* + T)-^WIlL4(no)dTllMj(*)llL4(^)lbWllv<
m
?
<ΗΜ*)ΙΙρΣ 'Pfn.lMi + Tj-tuitJii^ft,,) / ώ|Μ«)||Μήο)
m
^ ri2||(^(t)||^^^max^ ||tx(^ 4-τ) - ^(t)||b4(^o)ri ||^||o([0/r]>Z/4(^o)ri) -^0
При 771 —> CO.
Таким образом переходя в каждом из интегралов равенства (3.8.4) к
пределу при т —> оо, получим, что предельная функция и будет
удовлетворять при почти всех t Ε (0, Τ) и для любого φ eYl следующему
равенству
ГЛх Г /<9гЛ Г
/ — φάχ + я / V I — 1 : V^drr+ i/ / Vu : Vipdx-
Ωο Ωο Ωο
'fa dXi J& dXi l& dXi
1*0 4*0 *'0
= /flfada; (3.8.6)
Ω0
и начальному условию:
tx(0,a:) = 0, χΕΩ0. (3.8.7)
А в силу полученных выше априорных оценок (3.8.1) и (3.8.2)
получим, что и Ε Е\. То есть функция и удовлетворяет определению 3.2.2
слабого решения.
Таким образом показано, что существует слабое решение
начально-краевой задачи (3.2.7)—(3.2.10), и, следовательно, задачи (3.2.2)—
(3.2.5).
3.9. Единственность слабого решения
В прошлом пункте мы доказали, что задача (3.2.7)—(3.2.10) имеет
хотя бы одно решение. Покажем теперь, что это решение единственно.

3.9. Единственность слабого решения
155
Теорема 3.9.1. Слабое решение задачи (3.2.7)—(3.2.10)
единственно.
Доказательство. Предположим противное. Пусть существуют два
слабых решения щ и u<i (щ φ и?) начально-краевой задачи (3.2.7)—
(3.2.10). Вычтем из равенства (3.2.11) для щ равенство (3.2.11) для и?,.
Обозначим w = щ — U2- Тогда для w мы получим равенство
/ -~74>dx + v I Vw.Vipdx- Ι Σ, {uHuij ~ v>2iU2j} -^ dx-
nt nt nt i}J=1
-/ Σ Л^ёг^-/ Σ ^|^+х/у(1г): ν^χ=0'
Ω4 hj~l nt %J~l Пе
которое выполнено при почти всех t G (0,Т) для каждого φ G УД.
Поскольку, это равенство выполнено для всех φ G УД, то оно выполнено
и для φ = w. Таким образом при почти всех t G (0, Τ) получим:
/ -—wax + v Vu> : Vwdx—
Ωί Ωί
~ J Σ {"""I j - U2iU2j } -^ dx - J Σ hiWJ~fa dX~
ά ^=1 г ω* м=1
-J^mh^dx^xJv(^y.Vwdx = 0. (3.9.1)
Ωί *Λ = 1 * Ωί
Заметим, что
/Зги . 1 /* 9 2 . Id ί о, х α м м2
-mwdx=2j diwdx=2JtJwdx=^llw
1 <f
2^ΙΙ-ΙΙ^(Ω,)'
Ωί Ωί
/„Зги „ κ f д ,„ „ ч ,
V— : Vw;dx= - / — (Угу: Vw)cte
Ъ Ωί
к d f „ _ . χ d M ll9
= IsyV»:V«ito=I5IHIav.,
Ωί
ί/ / Уги : Vwdx = i/\\w\\yt,

156 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
nt ^=l nt ^=1 ω, >=1
/ Y^{uuulj-U2iU2j)^dx= Ι Σ(ηΗη4-ηΗη2ΐ)-^άχ+
+ / Σ (ΜΗ^2> - и^и^)-д^: dx = / Σ UUWj-rj^dx+
/· ^ a^· ι / A 3K2) j /* ^ ^ J
7 2^™^^χ-άΧ=2 2^*4-0^*° +J J^Wiu2j-^dx =
= -jάινηιΣ™)<ΐχ+j ς WiU2jS;ac = J Σ WiU2^
dx.
Тогда равенство (3.9.1) при почти всех £ Ε (О, Τ) можно переписать
в виде
1 ^ и и2 Х ^ .. ||2 „ „о /* V^ / , ч 9Wj ,
2^1^^2(пе) + ^ — IMIu + ИМ1и - / > . wi(u2 + h)<-z-J-dx = 0.
'· d .. Il2 ,, ,,ο ί ν^ / , ч dwj
■jt\\w\\Vt+v\\w\\Vt- J ^Wifa + h)^*
Проинтегрируем это равенство по t от 0 до г где г Ε [О, Т] и
перенесем нелинейный член в правую часть
τ
о
ЯП о
^ Пг(х,г)(и2+к);(х,г)-^(х,{)ах<1Ь. (3.9.2)
О Ω, ^ = 1
Здесь мы воспользовались тем, что
w(x,0) = щ(х,0) - и2(х,0) = 0.
Перед тем как перейти к оценке нелинейного члена отметим, что
для слабого решения начально-краевой задачи (3.2.7)—(3.2.10) имеет
место оценка

3.9. Единственность слабого решения
157
где С& — константа из априорной оценки (3.5.2). Доказательство
данной оценки полностью аналогично доказательству теоремы 3.8.1.
С помощью неравенства Гельдера, непрерывного вложения Vt в
Lb{£tt)n и априорной оценки для функции и2 правую часть (3.9.2)
можно оценить следующим образом
τ
/ / Σ ^i{x^){^2-3th)j{x,t)^-(x,t)dxdt
о nt *Λ=1
^
< J у Σ **(*'*) (U2 + hh i^*)^^'*)
0 Ωί Γ'·* = 1
/* /* n I Я
V У Σ к(М)(и2 + л),(М)^0М)
0 Ωέ *'>=1
τ
< Σ /И(*)1и4(п4)11(^ + ^(*)1к(п.
Μ=1 0
dxdt ^
ctedt ^
dwi , ч
σχ« llL2(n()
<σιι|||«;(ί)||^
О
eft.
Поскольку в левой части (3.9.2) каждое слагаемое неотрицательно,
то её молено оценить снизу:
τ
JlhMifc, < i|k(r)||i2(ii() + |iKr)||2V( +I,|||«,(s)||2v,(di
О
Из оценок на левую и правую часть равенства (3.9.2) мы получаем
следующее неравенство:
τ
ΙΗτ)||^<σιι|Ηβ)||^Λ,
которое имеет место при всех t Ε [О,Τ].
Воспользовавшись неравенством Гронуолла—Беллмана (теорема
2.3.5) получим, что
\\w(r)\\Vt=0,

158 Глава 3. Модель Фойгта в области с изменяющейся границей
а, следовательно, г* ι = u<i.
Получили противоречие, из которого и следует единственность
слабого решения задачи (3.2.7)—(3.2.10), а, следовательно, и задачи
(3.2.2)-(3.2.5). D

Глава 4.
Слабая разрешимость начально-краевой
задачи для математической модели движения
слабоконцентрированных водных
полимерных растворов
4.1. О модели движения слабоконцентрированных
водных растворов полимеров
В данной главе исследуется слабая разрешимость начально-краевой
задачи для системы уравнений, описывающей движение слабых
водных растворов полимеров в ограниченной области Ω С Шп,п = 2,3
с границей класса С°° на промежутке времени [О,Г]. Как уже было
сказано в пункте 1.8, определяющее соотношение для данной модели
имеет вид
2и
(5 + Χί/_1^)' х'1/>0' (4ЛЛ)
где ν — кинематический коэффициент вязкости, а к — время
запаздывания. Коэффициент и называют также временем релаксации
деформаций.
Подставляя σ из реологического соотношения (4.1.1) в систему
уравнений движения несжимаемой жидкости в форме Коши, получим
следующую систему уравнений:
dv A v^ dv dAv
№)
- 2x-Div ( vk—^- )+ Vp = /, χ € Ω, t € [О, Г]; (4.1.2)
divu = 0, xefl,te[0,T].
(4.1.3)

160 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
Для данной системы уравнений мы будем изучать начально-краевую
задачу с начальным условием
v(x,0) =am(x), хеП (4.1.4)
и граничным условием «прилипания»
v\dQx[o,T] =0. (4.1.5)
Отметим, что стационарная модель движения
слабоконцентрированных водных полимерных растворов была изучена в [23].
4.2. Обозначения и вспомогательные утверждения
Кроме обозначений, введенных ранее, ниже будут использоваться
следующие обозначения.
Через (7ο°(Ω)η будем обозначать пространство функций на Ω со
значениями в Шп класса С°° с компактным носителем, содержащимся в
Ω.
Для того чтобы ввести понятие слабого решения нам потребуются
определения некоторых пространств:
V = {ν(χ) = (т7Ь ..., υη) е С£°(П)п : divv = 0}, (4.2.1)
V0 = замыкание V по норме Ζ/2(Ω)η; (4.2.2)
V1 = замыкание V по норме Ηι(Ώ,)η; (4.2.3)
ν2=Η2(Ω)ηηνι. (4.2.4)
Отметим, что пространство V0 можно определить и следующим
образом:
V0 = {ν(χ) е Ь2(П)п : divv = 0, (v,n)|an = 0}, (4.2.5)
где div v понимается в смысле теории обобщенных функций, а
корректность оператора сужения на дО, нормальной компоненты ν доказана,
например, в [71]. Это определение эквивалентно исходному (см., [71]).
Мы будем также использовать хорошо известное разложение Вейля
векторных полей из Ζ/2(Ω)η (см., например, [40], [71]):
Ь2(П)п = V°® Vtf1^), (4.2.6)
где νΗι(Ω) = {Vp : ρ G Η1 (Ω)}, 0 — знак ортогональной суммы
(пространства V0 и ν#χ(Ω) ортогональны в Ζ/2(Ω)η).

4.2. Обозначения и вспомогательные утверждения
161
Пусть
π : Ь2(П)п -+ V° (4.2.7)
проектор Лере.
Рассмотрим в пространстве V оператор
А = -πΔ. (4.2.8)
Оператор А продолжается в пространстве V0 до замкнутого
оператора, который является самосопряженным положительным
оператором с вполне непрерывным обратным (подробнее см., например, в
[11], [70] и монографии [101]). Область определения А совпадает с V2.
В силу теоремы Гильберта о спектральном разложении вполне
непрерывных операторов, собственные функции {ej} оператора А образуют
ортонормированный базис в V0. Отметим, что если граница области
Ω принадлежит классу С°°, то {е3} — собственные функции оператора
А будут бесконечно дифференцируемыми.
Пусть 0 < λι ^ Аг ^ Аз ^ ... ^ λ^ ^ ...—собственные значения
оператора А. Обозначим через
•Еоо
ί Ν ]
I i=l J
множество конечных линейных комбинаций, составленных из ej и
определим пространство Va,a Ε Ш как пополнение Е^ по норме
ΝΙν- = (Σ
\k=l
K\vk\2) · (4.2.9)
Следующее утверждение устанавливает оценки решения задачи
Дирихле для стационарной задачи Стокса. Доказательство его может
быть найдено, например, в [71] (см. также [40]). Оно потребуется нам
для доказательства утверждения об эквивалентности на VQ,a Ε N
нормы (4.2.9) и нормы (2.2.1) пространства Ηα(Ώ.)η.
Теорема 4.2.1. Если f Ε Π^(Ω)η, г > 1, / ^ 0,
a|MeWi+2~*(«l), f(a,n)ds = 0, и дПеС1+2,

162 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
то решение задачи
rAv = Vp + /,
divt; = О,
Mm
таково, что ν G Η^+2(Ω)η, Vp G Η^(Ω)η и имеет место неравенство
IMIwtf+a(n)« + l|Vp||ivi(n)» < С(г,1,П) Н|/||иг1(п)» + Halllv'+»-i(an)) '
(4.2.10)
где С (г, /, Ω) — константа, зависящая от области Ω и чисел г и I.
Также нам потребуется оценка проектора Лере в пространствах
Η3(Ω)η при 5^1. Имеет место следующее утверждение, см. подробнее
[71]:
Теорема 4.2.2. Пусть Ω С Шп — ограниченная область с
границей дО. класса Cz+1, / — целое, I ^ 1. Тогда для и G Ηι(Ω)η имеет
место, что пи G Ηι(Ω,)η (здесь π —проектор Лере (4.2.7),) и
оператор π : Ηι(Ω)η —> Ηι(Ω)η линеен и непрерывен, причём имеем место
неравенство:
НН1я'(П)« < C(l,il)\\u\\Hi{ii)n, и G #ζ(Ω)η, (4.2.11)
где С(/, Ω) — постоянная, зависящая от области Ω и числа I.
Лемма 4.2.1. Пусть a G Ν, то есть а —натуральное число. На
пространстве Va норма (4.2.9) эквивалентна норме \\ · \\на(П)п
пространства Ηα(Ω)η.
Доказательство. Доказывать данное утверждение будем методом
математической индукции.
Собственные функции ej и собственные значения Xj являются
спектральными параметрами оператора (4.2.8), действующего в V0 с
областью определения, совпадающей с V2. Поэтому ej и Xj определяются
из равенств
Aej(x) = —nAej(x) = Xjej(x), x G Ω, ej|an = 0, ej G V°.
(4.2.12)
Так как пространство Е^ конечных линейных комбинаций,
составленных из ej, по определению плотно в VQ, эквивалентность норм

4.2. Обозначения и вспомогательные утверждения
163
достаточно доказать для ν Ε Е^. Поскольку граница области Ω
принадлежит С°°, то е3ϊ — собственные функции оператора А тоже
принадлежат С°°(П)п, поэтому £оо С С°°(П)п. Тогда из (4.2.12) следует,
что для всех ν Ε Е^ и неотрицательных целых к
Akv\ga = 0. (4.2.13)
При а = О доказываемое утверждение проверяется непосредственно.
На самом деле, согласно (4.2.9) для любой функции
<ие£оо, v = ^2vkek
N
С
к=1
имеем
Ν Ν
IMIv° = Σ lVfcl2 = Σ W2(e*»е*)=
fc=l к=\
(Ν Ν \
$^v*efc,^vfcefc J = (ν, ν) = Ν|#ο(Ω)». (4.2.14)
Здесь символ (·, ·) обозначает скалярное произведение в V0.
Таким образом при α = О доказываемое утверждение имеет место.
Далее, из определения (4.2.9) нормы ||·||να, равенств (4.2.12), (4.2.13)
и формулы интегрирования по частям для каждой функции
N
veE^, v = Y^vkek
к=\
находим
Ν Ν
ΙΜΙκ1 = Σλ*Ιν*Ι2 = Σλ*Ιν*Ι2(β*»β*)=
к=1 к=1
/ Ν Ν \
= I 5^Afct7fcefc,^t7fcefc I = (Αν, υ) = - πΔννάχ =
\k=i k=i ) *
= - [avvcIx= f(Vv):(Vv)dx^\\v\\2H1{Q)n. (4.2.15)

164 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
С другой стороны, в силу этих соотношений, равенства (4.2.13) при
к = 0 и неравенства Пуанкаре имеем
1М1я1(п)» < ci /(V^) : {Vv)dx = CiH^i.
Ω
Итак, для α = 1 требуемое утверждение доказано.
Отметим, что в силу определения (4.2.9) нормы || · \\у<* для всякой
функции
N
veEcc, v = ^vkek
к=\
при чётных α = 2р в силу (4.2.14) получим
к=\ к=\
(Ν Ν \
Σ Afr*e*' Σ A*v*c* = (^ APt;)= мр*н^> (4·2·16)
k=l k=l J
и при нечётных α = 2ρ Η- 1 имеем
||<2Р+1 = f>f+1 W2 = £>£*>*! W*) =
= (ΣλΡ+1^^Σλ^β4 =_ [πΔΑρνΑρν<Ιχ =
\к=\ к=\ J £
= ί (VApv) : (VApv) dx = \\Αρν\\2γι . (4.2.17)
Ω
Отметим, что интегрирование по частям в (4.2.17) законно в связи с
тем, что Apv Ε Еж и, следовательно, Apv\dCl = 0.
Дальнейшее доказательство разобьём на два случая: для чётных и
для нечётных а.
Пусть требуемое утверждение верно для α = 2га — 2. Докажем его
для α = 2m. Для любой функции
N
veEoo, у = ^укек
к=\

4.2. Обозначения и вспомогательные утверждения 165
в силу (4.2.16), предположения индукции, теорему 4.2.2 и определение
нормы в Нт(£1)п получим
IMftam = \\Ашу\\2у0 = \\А™-1пАу\\2уо = ||πΔν||^_2 ^
^ c2\\nAv\\2H2m-2{n)n ζ с3||Дг7||^2т-2(П)п ^ С4|Ия*»(П)»· (4.2.18)
Обратно, учитывая оценку решения задачи Дирихле для
стационарного уравнения Стокса (теорема 4.2.1) и предположение индукции,
получим
1М1я*»(П)·» ^С5|кДг7||^2т-2(П)п <: Ce\\nAv\\^2fn-2 = Οβ || V|| y2m .
(4.2.19)
Таким образом, утверждение леммы доказано для чётных а.
Пусть теперь утверждение доказано при α = 2га — 1. Докажем его
для а = 2га + 1. Для каждой функции
N
veEec, v = ^vkek
в силу (4.2.17), предположения индукции, теоремы 4.2.2 и определения
нормы в Нт(0,)п имеем
|Μ|^+1 = \\Amv\\2yl <c7\\A™v\\2H1{n)n =ο7\\πΑΑ™-*ν\\2Η1{η)η ζ
ζ c8\\AA™-^||2„1(Ω)» ^ <*№»-Mhw = *\\*Μ™-2ν\\2ΗΛΙίϊ)η ζ
< сю||ДЛт-2т;||^з(п)п < сп||Лт~21/||ЦП)» < < ο12\\ν\\2Η2^ι{Ω)η.
(4.2.20)
Обратно, как и ранее, учитывая оценку решения задачи Дирихле
для стационарного уравнения Стокса (теорема 4.2.1) и предположение
индукции, получим
|М|я2т+1(П)« ^ С1з|КД^||^2т-1(П)п ^ СЫ || П Av\\ у2ггг- I = СЫ \\v \\ у2ггг + 1 .
(4.2.21)
Таким образом, утверждение леммы верно и для нечётных a. D
Замечание 4.2.1. Отметим, что доказанное утверждение верно не
только для натуральных а. А именно, в [79] приведено
доказательство того, что при а > — ^,α Ε R на пространстве Va норма (4.2.9)
эквивалентна норме || · ||#α(Ω)η пространства Ηα(Ω)η. Однако, в
связи с тем, что использовать данное утверждение мы будем только при
целых неотрицательных а, ограничимся случаем доказанной леммы.

166 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
Следствие 4.2.1. Из доказательства леммы 4-2.1
непосредственно получаем, что в пространствах V1, V2, V3 и V5 норма (4.2.9)
может быть вычислена следующим образом:
\\υ\\νι = ί (Vv) : (Vv)dx; (4.2.22)
\\v\\V2 = / AvAvdx; (4.2.23)
Ω
\\v\\V3 = I (VAv) : (VAv) dx; (4.2.24)
Ω
||t7|| V5 = f (VA2v) : (VA2v) dx (4.2.25)
Ω
Доказательство. На самом деле, (4.2.22) следует из (4.2.15),
соотношение (4.2.22) получается из (4.2.16) при ρ = 1, а (4.2.24) и (4.2.25) —
частные случаи (4.2.17) при ρ = 1 и ρ = 2 соответственно. D
Из доказанной леммы также следует, что при α = 0,1,2
пространства, введённые как пополнение Е^ по норме (4.2.9), будут совпадать
с пространствами (4.2.2)—(4.2.4).
Приведём также теорему о компактности вложения пространств
На(П)п (подробнее см. в [45]):
Теорема 4.2.3. Пусть Ω ограниченная область из Шп с границей
ΘΏ, класса С°°. Пусть sGR- произвольное число. Тогда для любого
ε > О вложение
Н3(П)п С Η*-ε(Ω)η
вполне непрерывно.
В силу леммы 4.2.1 при а ^ О имеет место непрерывное вложение
у а £- #<*(Ω)η. Поэтому из теоремы 4.2.3 получаем вполне непрерывное
вложение Va С V& при а > β ^ 0.
Из определения шкалы пространств Va следует, что оператор
А : Va -+ Va~2
непрерывно обратим.
По теореме Рисса будем отождествлять пространство V0 с его
сопряженным пространством (V0)*. Поэтому имеем следующие вложения:
У3сУг CV° = (V°y С V-1 с V
-з

4.3. Постановка задачи о слабых решениях
167
где каждое пространство плотно в последующем и вложения
непрерывны.
Введём пространства, в которых будет доказана разрешимость
изучаемой задачи и задачи, аппроксимирующей исходную:
Первое
Et = {v:ve ^ (О, Τ; У1), τ/ G L2(0,T; У"1)},
с нормой:
IMUi = IMUooCO.Til") + IHlL2(0,T;V-i);
И второе
Е2 = {« : ν € С([0,Т], V3), t/ € L2(0,T; V3)},
с нормой:
\\v\\e2 = |Mlc([0,T],V3) + |H|l2(0,T;V3)·
Приведём также ещё одно утверждение, которое позволит нам
говорить о выполнении начального условия для функции из пространства
Е\. Дело в том, что в данный момент мы не можем говорить о
значении произвольной функции ν Ε Е\ в точке, так как для функции
из I/oo(0,T;Vl) значение в точке не определено. Однако, имеет
место следующая лемма (подробнее см. [71]), которая является частным
случаем общей интерполяционной теоремы Лионса—Мадженеса [45]:
Лемма 4.2.2. Пусть V, Н, V* —тройка гильбертовых
пространств, таких что V С Η = Η* С V*. Здесь вложения
непрерывны, Н* uV*— пространства сопряженные к пространствам Η
и V соответственно, пространства Η и Н* отождествлены по
теореме Рисса. Если функция и принадлежит пространству 1/2 (О, Т; V),
а её производная и' принадлежит Ьг(0, Т; V*), то функция и почти
всюду равна некоторой непрерывной функции из [О, Τ] β Η (mo есть
функции из С([0,Т],Н)) и имеет место следующее равенство,
которое выполняется в смысле скалярных распределений на (О, Т) :
— \\u\\2H = 2(u',u)v*xV.
4.3. Постановка задачи о слабых решениях
начально-краевой задачи (4.1.2)—(4.1.5)
Будем предполагать, что / G Ьг(0,Т; V x),o* G V1.

168 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
Определение 4.3.1. Слабым решением начально-краевой задачи
(4.1.2)—(4.1.5) называется функция ν G Εχ, удовлетворяющая для
любого φ G V3 и почти всех t G (О, Т) равенству
((J + xA)v',(p)- Σ ViVj-p-dx + v l Vv : Vipdx-
-*f Σ ^wi^rkd"-xl έ *%£lkdx = {f''p)
(4.3.1)
и начальному условию
v(0) = am. (4.3.2)
Отметим, что в силу леммы 4.2.2 начальное условие (4.3.2) имеет
смысл.
Приведённое определение слабого решения выглядит необычно в
связи с тем, что решение и пробная функция имеют разную
гладкость. Впервые подобное определение слабого решения возникло у
А. П. Осколкова (см., например, [53]), изучавшего различные
упрощения данной начально-краевой задачи.
Основным результатом этой главы является следующая теорема:
Теорема 4.3.1. Для любых f G L2(0, Τ; V-1),o* G V1 начально-
краевая задача (4.1.2)—(4.1.5) имеет хотя бы одно слабое решение
ν* еЕг.
4.4. Аппроксимационная задача
На протяжении этого пункта мы будем предполагать, что a G V3, / G
G L2{0,T;V-1).
Для изучения разрешимости начально-краевой задачи (4.1.2)—
(4.1.5) будет использоваться аппроксимационно-топологический
подход к исследованию задач гидродинамики. То есть мы будем
рассматривать следующую аппроксимационную задачу с малым параметром
ε>0:

4.4. Аппроксимационная задача
169
Задача 4.4.1. Найти функцию ν Ε Е2, удовлетворяющую для
любого φ Ε V3 и почти всех t Ε (О, Т) равенству
Ι ν'φάχ — / ^ ViVj-^-dx + v Vv : Vipdx+
Ω Ω *'J=1 Ω
+ ε / V (Δι/) : V (Αφ) άχ + χ / V (ι/) : Vipdx-
Ω Ω
Γ ^ dvt ϋ2φ, f ^ dvj δ2ψΐ
-*J Σ^^ώ-*/ Σ ^^^ = </^>
(4.4.1)
u начальному условию
ν(0) = α. (4.4.2)
Отметим, что (4.4.1) отличается от (4.3.1) наличием члена
ε fv(Av'):V(A<p)dx.
Ω
Далее будет доказано существование решения аппроксимационной
задачи и показано, что из последовательности её решений молено
выделить подпоследовательность, сходящуюся к слабому решению
начально-краевой задачи (4.1.2)—(4.1.5) при стремлении параметра
аппроксимации ε к нулю.
4.4.1. Операторная трактовка аппроксимационной задачи
Определим операторы с помощью следующих равенств:
N : V3 -> У"3, (Νυ, φ) = ί V(Av) : V(Aip) dx, v,ipeV3;
Ω
Вг : Ь4(П)п -> V1, (Bx(v)^) = f Σ ν<ν'^7ώ'
veL4({l)n,<peVl;
B2 : V1 -> У"3, (B2

170 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
veV\ <peV3;
ft: V-V- ЛСЫ-/ Σ *^^*.
Ω l>hk=l
veV\ipeV3;
J:V3-+V~3, (Jv,ip)= ίνφάχ v,<peV3.
Ω
Отметим, что оператор А : V1 —> V~l действует по правилу
(Αν, φ) = / Vv : Vipdx, υ, φ G V1.
Ω
Поскольку в (4.4.1) функция φ G V3 произвольна, то оно
эквивалентно следующему операторному уравнению:
J ν' - Βι (ν) + ν Αν + εΝν' + κ Αν' - κΒ2(ν) - κΒ3(ν) = f (4.4.3)
bL2(0,T;V-3).
Данная запись корректна, поскольку из непрерывного плотного
вложения V3 С V1 следует, что имеет место непрерывное вложение
У-1 С У-3, то есть сужение всякого линейного непрерывного
функционала д из V~l на V3 порождает линейный непрерывный функционал
на У3.
Таким образом, слабое решение аппроксимационной задачи — это
решение ν G Е2 операторного уравнения (4.4.3), удовлетворяющее
начальному условию (4.4.2).
Также введём операторы при помощи следующих равенств:
L : Е2 -+ L2(0,Г; V~3) χ V3, L(v) = ((J + εΝ + χΛ)τ/, t/|te0);
ЯГ:£2-+Ь2(0,Г;У-3)хУ3,
/f(v) = (i/j4v - Βι(ν) - нВ2(у) - κΒ3(ν),0).
Тогда задача о нахождении решения уравнения (4.4.3),
удовлетворяющего начальному условию (4.4.2), эквивалентна задаче о нахождении
решения следующего операторного уравнения
£(*) + *(«) = (/, в). (4.4.4)

4.4. Аппроксимационная задача
171
4.4.2. Свойства операторов из операторных уравнений (4.4.3)
и (4.4.4)
Как и в параграфе 2.5.2 мы, чтобы не нагромождать обозначения,
будем использовать одну и ту же букву для обозначения операторов,
действующих в разных функциональных пространствах. Например, в
нижеследующей лемме Л —это оператор, действующий из V1 в V-1,
из L2(0,T;Vl) в L2(0,T; V"1) ииз£2в L2(0,T; V"3).
Лемма 4.4.1. Для оператора А имеют место следующие
свойства:
1. Оператор А : V1 —> V~l — непрерывен и для любой функции
и €Vl имеет место оценка:
\\Au\\v-i ^ \\u\\Vi.
2. Для любой функции и G Z/2(0, Т; V1) функция Аи G L2(0, Τ; V-1),
оператор А : L2(0,T; V1) —> L2(0, T; V-1) — непрерывен и имеет
место оценка:
||>H|l2(0,T;V-i) < IM|l2(0,T;V1)· (4·4·5)
3. Для любой функции и G Е2 функция Аи G L2(0, T; V-3),
оператор А: Е2 -* Ь2(0, Т; V~3) — вполне непрерывен и имеет место
оценка
ll^||L2(0,T;K-3) < COIMIcao/Tbv1)· (4.4.6)
Доказательство. 1) Доказательство данного утверждения
полностью повторяет доказательство первого пункта леммы 2.5.1.
^Доказательство утверждения этого пункта является частным
случаем второго пункта леммы 2.5.1 при ρ = 2.
3) Для доказательства вполне непрерывности оператора
A:E2-+L2(0,T;V-3)
мы воспользуемся теоремой С.4.1 (она приведена на с. 391).
В этом случае
F={v:ve L2(0,T; V3);t/ G L2(0,T;L2(tt)n)}.
Так как вложение V3 С V1 — компактно, то выполнены все
условия данной теоремы и из неё следует компактность вложения F в
МО, T;Vl).

172 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
Заметим, что Е2 С F, причём вложение непрерывно. Этот факт
получается из того, что вложения
С([0,Г],У3)с£2(0,Г;У3) и L2(0,T;V3)cL2(0,T;L2(n)n)
непрерывны.
Далее, из второго пункта этой леммы мы имеем, что оператор
A:L2(0,T;Vl)^L2(0,T;V-1)
непрерывен.
Таким образом имеем следующую композицию отображений
Е2 С F С L2(0,T; V1) A L2(0,T; V~l) C ί,2(0,Γ; V"3).
Здесь первое вложение непрерывно, второе вложение — вполне
непрерывно, а отображение А и последнее вложение — непрерывны. Таким
образом получили, что отображение А : Е2 —> L2(О,Т; V-3) —вполне
непрерывно.
Покажем теперь оценку (4.4.6). В силу непрерывности вложения
L2(0,T;V-1) С L2(0,T;V-3)
для любой функции w Ε 1/г(0, Т; V-1) имеет место неравенство:
IHIl2(0,T;V-3) < C\\™\\L2(0,T;V-i)' (4-4.7)
Аналогично, в силу непрерывности вложения
C([0,T\,Vl) С £2(0,Г;О
для любой функции w Ε С([0,Т], V1) имеет место неравенство:
ΙΝΙμο,τ^1) ^ y/T\\w\\C([o,T},vi)· (4.4.8)
Из оценок (4.4.5), (4.4.7), (4.4.8) следует требуемое неравенство
(4.4.6):
Pu||l2(0,T;V-3) < CO||ti||c([0,T],KM·
D
Лемма 4.4.2. Для оператора N умеют место следующие
свойства:

4.4. Аппроксимационная задача
173
1. Оператор N : V3 —> V 3 — непрерывен и имеет место оценка
\\Nu\\v-3 ^ \\u\\V3. (4.4.9)
2. Для любой функции и G 1/2(0, Т; V3) функция Nu G
G L2(0,T;V-3), оператор N : L2(0,T;V3) -+ Z/2(0,T; V"3) -
непрерывен и имеет место оценка:
||Mi||L2(0,T;V-3) ^ ||w||l2(0,T;V3). (4.4.10)
Доказательство. В силу линейности оператора N для того, чтобы
доказать его непрерывность, достаточно показать его ограниченность.
По определению оператора N для ν, φ G V3 имеем
\{Νη,φ)\ =
fv(Au):V(Aip)dx
^ΝΙΗΜΙ
V3
и, следовательно,
||<Wm||v-3 ^ ||w||v3.
Таким образом оператор N : V3 —> V~3 непрерывен и имеет место
требуемая оценка (4.4.9).
2) Пусть и G 1/г(0, Т; V3). В силу неравенства (4.4.9) при почти всех
t G (0, Τ) имеет место оценка
\\Nu(t)\\v-3 ^ \\u(t)\\V3.
Возведем это неравенство в квадрат и проинтегрируем по t от 0 до
Г:
τ τ
f \\Nu(t)\\2v.s dt^f \\u(t)\\2v3 dt. (4.4.11)
о о
Поскольку |Щ£)||^з G 1/2(0, Τ), то из полученного неравенства
имеем, что ||Mx(t)||v-3 G £2(0,Г). Таким образом, Nu G Ζ/2(0,Γ; V"3).
Извлекая квадратный корень из оценки (4.4.11), получим требуемую
оценку сверху (4.4.10):
l|Mi||L2(0,T;V-3) ^ IM|l2(0,T;V3)·
Поскольку, оператор N — линеен и ограничен, то он непрерывен как
оператор из L2(0, Г; V3) в L2(0, T; V~3). Π

174 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
Лемма 4.4.3. Для оператора J+εΝ+κΑ имеют место следующие
свойства:
1. Оператор (J + εΝ + κ Α) : V3 —> V~3 — линейный, непрерывный,
обратимый оператор и для него имеет место оценка
е\\и\\уз ^ \\(J + εΝ + xA)u\\v-3 ^ (Сг + ε + хС2) |М|ν^,
(4.4.12)
где Ci, Сг — некоторые константы, зависящие от η и области
Ώ. и не зависящие от и. Обратный к нему оператор (J + εΛΓ +
+κΑ)~ι : V~3 —> V3 непрерывен.
2. Для любой функции и G L2(0, Τ; V3) функция (J + εΛΓ + хА)г* G
G L2(0,T;V-3) и оператор (J + εΝ + xA) : Z/2(0,T;V3) -►
—> 1/2(О, Т; V-3) — непрерывен, обратим и для него имеет место
оценка
£|M|l2(0,T;V3) ^ \\(J + eN + J€A)u\\L2{0,T;V-*) <
< (d + ε + хС2) ||ti||La(ofT;V3). (4.4.13)
Причём обратный оператор (J + εΛΓ Η- хА)-1 : L2(0, Τ; V-3) —>
—> Ζ/2 (0, Τ; V3) непрерывен.
Доказательство, i^ Оператор J Η- εΛΓ Η- κ А линеен как сумма трёх
линейных операторов. Таким образом, для того, чтобы доказать его
непрерывность, достаточно доказать ограниченность. По определению
имеем
|((J + eN + x;4)ti,¥>)| =
/ uφdx + ε / ν(Διι) : V(A(p)dx + χ / Vu : V(fdx\ ^
ω ω ω I
^ C\\u\yzII^IIk3 Η-εΙΜΙνΗΜΙν'3 + хСгЦ^Ц^з||^||v3 =
= (Ci+e + xC2)H|v3|Mlv3.
Здесь мы воспользовались тем, что в силу непрерывности вложений
V3 С V0, V3 С V1

4.4. Аппроксимационная задача
175
имеют место два следующих неравенства:
\\u\\2vo <CiHfr3, Nfri ^C2\\u\\2v3
с некоторыми положительными константами С\,С2, которые зависят
от η и области Ω и не зависят от и.
Отсюда и следует правая часть оценки (4.4.12). Таким образом,
оператор (J + εΝ Η- нА) : V3 —> V~3 непрерывен.
Для того чтобы доказать, что оператор (I + εΝ + κ Α) : V3 —> V~3
обратим, мы воспользуемся проекционной теоремой (теорема 2.3.1) и
теоремой Банаха об обратном отображении (теорема 2.3.3).
Чтобы применить проекционную теорему достаточно показать, что
следующая непрерывная билинейная форма коэрцитивна:
а(и, v) = ((J + εΝ + нА)и, ν) =
= uvdx + ε V(A?i) : V(Av)dx + κ Vu : Vvdx.
Ω Ω Ω
На самом деле, для любого и G V3 мы имеем
а(и, и) = ((J + εΝ + κΑ)η, и) =
= / uudx + ε I V(A?i) : V(Au)dx + κ / Vu : Vudx =
Ω Ω Ω
= ΙΜΙν" + ε|Μ|^3 + *ΙΜ|ν" > ε|ΜΙ ν*. (4.4.14)
Следовательно, в силу теоремы 2.3.1 для каждого φ G V 3
существует единственный элемент h G V3 такой, что
а(Л,v) = ((J + εΝ + xA)h,υ) = {ψ,υ), V ν G V3.
Что, в силу произвольности ν G V3, эквивалентно тому, что для
любого φ G V-3 существует единственный элемент h G V3 такой, что
(J + εΝ + xA)h = φ.
То есть оператор (Ι + εΝ + κ А) : V3 —> V~3 — взаимно однозначен.
Вспоминая, что он является линейным и непрерывным, получаем в
силу теоремы Банаха, что он обратим и обратный оператор (J + εΝ +
+κΑ)~ι : V-3 —> V3 непрерывен.

176 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
Более того, из (4.4.14) получаем
εΙΜΙν* < ((J + εΝ + *А)и,и) ^ ||(J + eN + xj4)tA||v-3||ti||V3,
откуда и следует левая часть оценки (4.4.12).
2) Пусть и Ε 1/г(0, Т; V3). В силу правой части оценки (4.4.12) при
почти всех t Ε (0, Τ) имеет место следующая оценка
\\(J + εΝ + xi4)ti(t)||v-з < (Ci + ε + xC2) Η*)|| уз.
Возводя эту оценку в квадрат и проинтегрировав полученное
неравенство по t от 0 до Т, получим:
τ
[\\(J + eN + κΑ)η(ί)\\2ν-3 dt ^ (Ci + ε + xC2)2 IMli2(o,T;K3)·
о
Так как г* Е L2(0, T; V3), то правая часть неравенства конечна, и,
следовательно, левая часть неравенства конечна. Отсюда следует, что
(J+eN+xA)u Ε Ζ/2(0, Τ; V-3), и, что имеет место правая часть оценки
(4.4.13):
\\(J + εΝ + xA)u||L2(0,t;v-3) ^ (Ci + ε + xC2) ||tx||b2(ofr;v3).
Поскольку оператор (J + εΝ + κ А) — линейный и ограниченный,
то получаем, что он непрерывен как оператор из 1/2(0,Т;У3) в
L2(0,T;V-3).
Покажем теперь его обратимость. Сначала докажем, что множество
значений оператора (J + εΝ + κΑ) : L2(0,Τ; V3) -► L2(0, T; У~3)
совпадает со всем L2(0, T; V-3). Для этого надо показать, что для любого
w Ε L2(0,T;V~3) уравнение
(J + εΝ + κΑ)η = w
имеет решение и Ε I/2(0, T; V3).
В силу того, что оператор (J + εΝ + κΑ) : V3 —> V~3 обратим, мы
имеем, что при почти всех t Ε (0, Τ) уравнение
(J + εΝ + κΑ)η = w
имеет решение
u(t) = (J + εΝ + xA)-xw(t).

4.4. Аппроксимационная задача
177
Осталось показать, что определённая таким образом функция и G
G 1/г(0, Т; V3). В силу левой части оценки (4.4.12) при почти всех t G
G (0, Т) мы имеем:
ε||ίχ(ί)||ν3 ^ \\(J + εΝ + xA)u(t)\\v-3 = \\w(t)\\v-3.
Поскольку w G 1/2(0, Τ; V-3), то из последнего неравенства следует,
что и G 1/г(0, Т; V3). Возводя это неравенство в квадрат и интегрируя
его по отрезку [0, Т], получим требуемое неравенство (4.4.13):
£|MIl2(o,t;v3) ^ ||(J + εΝ + xA)u||L2(0,t;k-3).
Из неравенства (4.4.13) следует, что
Ker(J + eAT + xA) = {0}.
В итоге получили, что (J + εΝ Η- κ А) обратим как оператор из
L2(0,T;V3) в 1/г(0,Т; V-3). Более того, в силу теоремы Банаха
(теорема 2.3.3) обратный к нему оператор
(J + εΝ + κΑ)-χ : L2(0, T; У"3) -+ L2(0, T; У3)
является непрерывным. D
Лемма АЛЛ. Для отображения (J + κΑ) имеют следующие
свойства:
1. Оператор (J + кА) : V1 —> V~l обратим и обратный оператор
(J + xA)~l : V~l —> V1 непрерывен.
2. Оператор (J + яА) : V~l —> V~3 непрерывен, обратим и имеет
место следующая оценка
С^и\\у-\ ^ ||(«/ + χΑ)τχ||ν-3 для любого ugV-1, (4.4.15)
где константа С± не зависит от функции и.
Кроме того обратный оператор (J + κΑ)~ι : V~3 —> V~l
непрерывен.
3. Для любой функции и G 1/г(0, Т; V-1) функция (J + нА)и G
G Z/2(0,T;V-3), оператор (J + хА) : L2(0,T;V-1) -►
—> 1/г(0, Τ; V~3) непрерывен и имеет место следующая оценка
C4|M|l2(0,T;V-i) < IIU+*^H|l2(0,T;V-3)· (4.4.16)

178 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
Доказательство. Утверждение первого пункта этой леммы
полностью следует из первого пункта леммы 2.5.2 при μ2 = и.
2) Рассмотрим вспомогательные операторы:
Мг : V3 -> V~3, Μι = (J + яА)А2
и
М2 : V3 -> V"3, М2 = A(Ji + хА)А.
Здесь мы временно, чтобы не было недоразумений, обозначили через
J ι оператор вложения из V1 в V-1.
Отметим, что для любой функции w Ε V3 имеет место равенство
M\w = M^w.
На самом деле, для любой функции w Ε V3 получаем, что
M\w = A2w + xA3w и M2u> = A2w + xA3w.
Следовательно,
Μλ = Μ2. (4.4.17)
Далее, оператор М2 можно представить в виде следующей
суперпозиции операторов:
у3 Д у\ Ji+*A) у_г Д у-3
Здесь первый и третий операторы непрерывно обратимы по
определению оператора А : Va —> Va~2. Второй оператор обратим и имеет
непрерывный обратный по первому пункту этой леммы.
Следовательно, оператор М2 : V3 —> V~3 обратим и обратный
оператор М2-1 : У-3 —> V3 непрерывен. А в силу (4.4.17) и оператор
М\ : V3 —> V~3 обратим и обратный оператор M-f1 : V-3 —> V3 тоже
непрерывен.
Далее, заметим, что из определения оператора М\ мы имеем, что
(J + χΑ) = ΜγΑ-ιΑ-1. (4.4.18)
Следовательно, оператор (J + κ А) : V~l —> V~3 непрерывен и
обратим как суперпозиция непрерывных и обратимых операторов, причём
обратный оператор (J + κΑ)~ι : V~3 —> V~l можно определить
следующим образом
(Л-хЛ)-1 =Л2М1"1. (4.4.19)

4.4. Аппроксимационная задача
179
В итоге, из (4.4.19) получаем, что оператор (J + κΑ)~ι : V~3 —> V~l
непрерывен как суперпозиция непрерывных операторов.
Следовательно, в силу линейности существует константа С$ > О такая, что
||(J + xA)~lw\\v-i ^ С3|Н| к-з для всех w G V~3
или, что то же самое,
C4IHIV-1 ^ ||(J +хА)г*||^-з для всех u£V~l.
Здесь С\ = -ξ-.
3) Так как оператор (J + κ А) : V~l —> V~3 —линейный,
непрерывный оператор, то
\\(J + κΑ)η\\ν-3 ^ ||J + xj4||||ti||v-i.
Следовательно, для любой функции и G 1/2(0,T\V~l) при почти
всех t G (О, Т) имеет место неравенство
||(J + xi4)ti(t)||v-. ^ ||J + xi4||||«(t)||v-i.
Возводя последнее неравенство в квадрат и интегрируя по t от 0 до
Т, получим, что
τ τ
ί \\(J + xA)u(t)\\2v.3dt ζ || J + xA\\2 j Ht)!^-!* =
о о
= ||J + xA|| ΙΜΙ^ο,τ;^-1)·
Откуда и следует, что (J + xA)u G 1/г(0, Τ; V-3), а оператор (J + κΑ) :
L2(0,T;V-1) -► L2(0,T; V"3) непрерывен.
Далее, в силу неравенства (4.4.15) при почти всех t G (О, Τ) имеет
место неравенство
CA\\u{t)\\v-, <||(J + xi4)ti(t)||v-3.
Возводя его в квадрат и интегрируя по t от 0 до Τ мы и получим
требуемое неравенство (4.4.16). D
Лемма 4.4.5. Для отображения В\ имеют место следующие
свойства:

180 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
1. Отображение В\ : L4(Q,)n —> V 1 — непрерывно, для него имеет
место оценка:
ιΐΒι(»)ΐΐν-ι<σ5ΐΜβ4(η)η. (4·4·20)
2. Для любой функции ν G L4(0,T', L4(Q,)n) функция B\(v) G
L2(0,T;V_1) и отображение Βλ : L4(0,T;L4(il)n) -►
—> 1/г(0, Τ; V-1) — непрерывно.
3. Для любой функции ν е Е2 функция Bi(v) G L2(0, T;V~3) и
отображение В\ : Е2 —> L2 (0, Τ; V-3) — вполне непрерывно и для
него имеет место оценка:
l|£i(v)||L2(ofT;V-3) < C6\\v\\2c{l0inviy (4.4.21)
Доказательство. Первый пункт этой леммы доказывается
полностью аналогично первому пункту леммы 2.5.4.
Второй пункт является частным случаем второго пункта леммы
2.5.4 при ρ = 2.
3) Воспользуемся теоремой С.4.1. Её формулировка приведена в
приложении С.
В данном случае
X = V3,Е = Ь4(П)п, Υ = Ь2(П)п,
F={v:ve L4(0, Τ; V3); ν' G L2(0, Τ; Ь2(П)п)}.
Так как в силу теоремы вложения Соболева мы имеем компактное
вложение V3 С L4(il)n, то выполнены все условия указанной теоремы
и из неё вытекает компактность вложения F в L4(0,Т; L4(Q,)n).
Из непрерывных вложений
C([0,T],V3) С 1,4(0,Г;V3), L2(0,T;V3) С L2(0,T;L2(n)n)
следует, что Е2 С F, причём вложение непрерывно.
Далее, из второго пункта этой леммы мы имеем, что отображение
Βλ : L4(0,T;L4(n)n) -► L2(0,Г; V"1)-непрерывно.
Таким образом имеем
Е2 С F С L4(0,T;L4(n)n) ^ L2(0,T; V"1) С L2(0,T; V"3),
где первое вложение непрерывно, второе вложение — вполне
непрерывно, а отображение В\ и последнее вложение — непрерывны.
Таким образом получили, что для любой функции ν G Е2 функция

4.4. Аппроксимационная задача
181
Βι(υ) е L2{0,T;V-3) и отображение Βλ : Е2-* L2(0,T; V~3) -вполне
непрерывно.
Из оценки (4.4.20) получим при всех t Ε [0,Г], что
\\В1№)\\У-г^СЬ\Ш\2и{п)п.
Возводя данную оценку в квадрат, и проинтегрировав полученное
неравенство по t от 0 до Т, имеем
1 1
У HiMtOWift-Ktt ^ clj Mt)\\lw„dt
<
< с*т ,ffi, И')Н W = с1т\м4С{[олмп)п).
Откуда и следует требуемая оценка (4.4.21) с константой Cq = С$у/Т.
Π
Лемма 4.4.6. Для операторов В2 и В$ имеют место следующие
свойства:
1. Для г = 2,3 оператор Bi : V1 —> V~3 —непрерывен и для него
имеет место оценка:
||Βί(«)ΙΙν-»<σ7ΝΐνΊ. (4·4·22)
2. Для г = 2,3 и любой функции ν € L4(0, Τ; V1) функция Bi(v) E
G L2(0,T;V~3) и отображение Bt : L4(0,T;F1) -*
L2(0, Τ; V~3) — непрерывно.
3. Для г = 2,3 и любой функции ν € Е2 функция Bi(v) E
L2(0,T;V~3), отображение Bi : Ε2 -» L2(0,T;V-3) — вполне
непрерывно и для него имеет место оценка
WBi(v)\\L2(0,T-y-*) < C8||v||c([0fT]fVi)· (4.4.23)
Доказательство. Мы докажем данную лемму для оператора В2.
Доказательство в случае оператора В$ полностью аналогично.
1) Для любых ν Ε Vl,(p Ε V3 в силу определения оператора В2
имеем
\(Β2(υ),φ)\ =
/^ dvi dz(fj
.rrf Л kdxjdxidxk
Λ*_*5Β_ώ
<

182 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
< Σ ΙΗΙμω)
i,j,k=l
dVi
dxj
Ь2(П)
&4>i
dxidxk
<
2
Отсюда и следует требуемая оценка (4.4.22).
Покажем непрерывность отображения Β<ι : V1 —> V~3. Для
произвольных vm,v° Ε Vх имеем:
\{B2(vm),<p)-{B2(v°),<p)\ =
г ^ odvO &Ψί
\f γ- mdv? 92Ψί _ /" γ- odvf аУ,
Ι/ .^,υ* 5xj аа;^хк ж У ^лУкдх,дхгдхк
<
< Σ
i,j",fe=l
г^г „β«$
av,
„ft/?1 „fttf
^
<c9 £
9xj dxj
Ь4(П)
Ь4/з(П)
11^11^3.
Отсюда следует, что
\\B2(v™)-B2(vO)\\v-3<C9 J2
Преобразуем правую часть неравенства следующим образом:
\\Li/3{U)
Σ
i,j,k=l
"ν*Ί
dxj dxj
Σ
«*
5a;,
^ai + ^ai-^
Ь4/з(П)
< Σ
i,j,fc=l
№
0»Г „m0«?
-w*
cte, fc (foj
+ Σ
«*
^? „*i
9rr,
-vfc
&г*
<
Ь4/з(П)
Σ ΙΙ-;
'/с ΙΙΐ,4(Ω)
ij,k=l
dvY1 дя$
dxj dxj
Ь2(П)
+ Σ
аг£
Ь2(П)
IK - ^IL4(n) < "3 ΙΙ"ΊΙΜη)» IK - t/°|| vl +

4.4. Аппроксимационная задача
183
+-3IHU К - ^Ikw- < с10 (ΐκιμ + РЫ IK - «lvl ·
Отсюда следует, что
||ft("w) - ft("°)|| „-» ^ C9C10 (\\vm\\vl + |ИЫ ||ιΛ - ι^||ν1.
(4.4.24)
Пусть последовательность {vm} С V1 сходится к некоторой
предельной функции v° G V1. Тогда непрерывность отображения В2 : V1 —>
—> V~3 следует из неравенства (4.4.24).
2) Пусть ν G L4(0,T; У1). Тогда из (4.4.22) при почти всех t G (0, Т)
получим оценку
\\B2(v)(t)\\v-3<C7\\v(t)\\2vl.
Возводя эту оценку в квадрат и интегрируя по t от 0 до Т, получим
τ τ
I цв2(*)(*)||£-зЛ ^ с27 j Η*)||ία α = σ?ΐΜΐΐ4(ο,Τ;νι,.
о о
Отсюда и следует, что B2(v) G Ьг(0,Т; V-3).
Докажем теперь непрерывность отображения В2 : /^(Ο,^ν1) —>
-^Ь2(0,Т;У-3).
Пусть последовательность {vm} С Ln(Q,T;Vl) сходится к v° G
G L4(0,T; V1). Возведем неравенство (4.4.24) в квадрат и
проинтегрируем по t от 0 до Т. В силу неравенства Гёльдера, получим
j\\B(vm)(t)-B(v°)(t)\\2v_3dt^
< (С9С10)21 (\\vm(t)\\vl + \\v°(t)\\vl)2 \\vm(t) - v°(t)\\2vl dt <
0
(c9c10)2 (lOKWllvi + Fwllvi)4*
|||t;w(*)-«0W|lti*
<
τ
X
^0

184 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
Далее, воспользовавшись неравенством Гёльдера имеем
τ
/(Н«т(*)Н^ + 1К(*)||^)4л =
о
4 Т
= Σ щ^у. J IKWIIw И*С л <
i-0 0
< Σ ^Ь)! (/ «^«ιdi) (/ И<*di) =
i=0 *v '*
Таким образом:
\\B2(vm) - ^°)||L2(0)T;K_3) < C9Ci0\\vm - «0||L4(o,T;vi)X
X ( Σ U(4_i)! llVm|lL4(0,T;VM llV°IL4(0fr;W) 1 *
Так как правая часть неравенства стремится к нулю при т —> +оо,
то стремится к нулю и левая часть. Отсюда и следует, что отображение
В2 : L4(0,T; V1) -► L2(0,T; V-3)—непрерывно.
5^ Для доказательства утверждения этого пункта мы как обычно
воспользуемся теоремой С.4.1.
В данном случае
X = V3, E = V\Y = V°,
F={v:ve L4(0,T; V3);t/ G L2(0,T; V0)}.
Вложение V3 С V1 —компактно, поэтому пространство F вложено
в Z/4(0,T; V1) компактно.
Из непрерывности следующих вложений
С([0,Г], V3) С L4(0,T; V3), L2(0,T; V3) С Ь2(0,Т;У°)
следует, что Е2 С F, причём вложение непрерывно.

4.4. Аппроксимационная задача
185
Из второго пункта этой леммы мы имеем, что отображение В2 :
L4(0, Τ; Vι) -* L2(0, T; V~3) - непрерывно.
В итоге
E2CFC L4(0,T;Vl) ^ L2(0,T;V~3).
Здесь первое вложение непрерывно, второе вложение — вполне
непрерывно, а отображение В2 — непрерывно. Таким образом для любой
функции ν Ε Е2 получим, что функция B2(v) Ε L2(0, T; V-3), а
отображение В2 : Е2 —> Ζ/2(0,Τ; V-3) — вполне непрерывно.
Покажем теперь оценку (4.4.23). В силу неравенства (4.4.22) при
всех t Ε [О, Τ] имеет место следующая оценка
\\B2(v)(t)\\v-^C7\\v(t)\\2vl.
Возводя её в квадрат и интегрируя по t от 0 до Τ получим
τ τ
J \\B2(v)(t)\\2v-3dt < С* j \\v(t)\\4vldt < С*Т\\у\\4с{[0,т]у1).
о о
Откуда и следует требуемая оценка (4.4.23) с константой С$ =
= С7у/Т. Π
Лемма 4.4.7. Для операторов L и К имеют место следующие
свойства:
1. Оператор L : Е2 —» L2(0,T;V~3) x V3 —обратим и обратный
оператор непрерывен.
2. Оператор К : Е2 -> L2(0,T; V~3) x V3 — вполне непрерывен.
Доказательство. 1) Для доказательства утверждения первого
пункта воспользуемся теоремой Банаха об обратном отображении
(теорема 2.3.3).
Сначала покажем непрерывность линейного оператора
L : Е2 -+ L2(0,T;V~3) х V3, L(v) = ((J + εΝ + xA)t/>|*=ο).
В силу оценки (4.4.13) имеем
l|b(v)||L2(ofT;V-3)xv3 = \\(J + eN + j€A)v'\\L2i0tT.v-3) + ||v|t=0|lv3 ^
^ (Ci +e + xC2) ||t;'||L2(o,T;K3) + max |K*)llv3 =
= (Ci + 6 + НС2) |b'||L2(0,T;K3) + ||v||c([0fT]fV3) <
^ (Ci + ε + XC2 + 1) (||t/|Ua(0tT;V3) + |Mlc([0,T],V3)) =

186 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
Из последней оценки получаем, что оператор L непрерывен.
Покажем теперь взаимно однозначность оператора L. Для этого
достаточно показать, что задача
(J + eN + κΑ)υ' = f (4.4.25)
v\t=o = a (4.4.26)
имеет единственное решение ν G Ε2 для любых / G L2(0,T; V_3),o G
GV3.
Поскольку оператор (J + εΛΓ Η- χΑ) обратим как оператор из
L2(0, Τ; У3) в L2(0, T; V~3), то, применяя (J+εΛΓ+χΑ)-1 к уравнению
(4.4.25), получим, что
v'= (J + eN + >cA)-lf и ν'eL2(0,T;V3). (4.4.27)
Откуда, в силу (4.4.26)
t
v(t) = i(J + εΝ + xA)-V(s) ds + о. (4.4.28)
о
Таким образом, из вида решения получаем, что ν G С([0, Т], V3).
Отсюда следует, что t; G £2.
Покажем, что решение единственно. Действительно, если
существует второе решение и G Е2(и φ ν) задачи (4.4.25), (4.4.26), то разность
(ν — и) является решением следующей задачи:
(J + eN + >cA){v' -и')=Ъ,
(v-u)\t=o = 0.
Из ранее полученной формулы для решения этой задачи следует,
что и — ν = 0. Таким образом получили противоречие с нашим
предположением о том, что и φ ν. Следовательно, оператор L взаимно
однозначен.
Таким образом в силу теоремы Банаха об обратном отображении
оператор L : Е2 —» L2(0,T; V-3) x V3 обратим и обратный оператор
L'1 : L2(0,T;V-3) х V3 -+ Е2 непрерывен.
2) Вполне непрерывность оператора
К : Е2 -+ L2(0,T;V~3) xV3,
К (ν) = (у Αν - Вх(у) - кВ2(у) - κΒ3(ν), 0)

4.4. Аппроксимационная задача
187
следует из вполне непрерывности операторов
А: Е2-+ L2(0, Τ; V~3) лемма 4.4.1 пункт 3;
Вх: Е2-+ L2(0, Τ; V~3) лемма 4.4.5 пункт 3;
В2:Е2-+ L2(0, Τ; V~3) лемма 4.4.6 пункт 3;
В3:Е2-+ L2(0, Τ; V~3) лемма 4.4.6 пункт 3.
Π
4.4.3. Априорная оценка
Вместе с уравнением (4.4.4) мы будем рассматривать следующее
семейство операторных уравнений
L(v) + ΧΚ(ν) = λ(/, α), λ G [0,1], (4.4.29)
которое совпадает с (4.4.4) при λ = 1.
Теорема 4.4.1. Если ν G Е2 —решение операторного уравнения
(4.4.29) для некоторого X G [0,1], то для него имеют место
следующие оценки:
Φ\\%φ,Τ).ν») < Сп + 2εΙΗΙν3, (4-4.30)
*1М1с([о,т],^) < <?" + 2е|М1£». (4.4.31)
где
Си = — ΙΙ/Ιϋ2(ο,τ;ν-ΐ) + 2||α||^, + 2χ||α||^ι.
Доказательство. Пусть ν G £2—решение (4.4.29) для некоторого
λ G [0,1], тогда для ν при любом φ G V3 и почти всех t G (0,Т) имеет
место равенство:
[ v'{t)ipdx-\ J Σ Vi(t)vj(t)-jp- dx + Xu jVv(t) :V<pdx+
' "~Λ Ω
■ fv(Av'(t)):V(A<p)dx+
Ω
Ω *Λ = 1
+ ε
г η
^ .· „· ι—

188 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
и ν удовлетворяет начальному условию:
т/(0) = λα. (4.4.33)
Заметим, что
J Σ^^-d^-kdx+j Σ «»(«> 4 dXidXk** =
Ω *»J»fc=1
= -2/ Σ v*w
ggij(w)(0 flyj ^
2|divV(*)£>,-(t;)(i)|&da::
Ω *'·?=1
-'/t'.o-^e^
,agjj(v)(t)flpj
ω *.i.*=i
Тогда (4.4.32) можно переписать в виде
Ι ν'{ί)φάχ-\ Ι Σ Vi(t)vj(t)-^dx + \i/ / Vv(t) : V<£>ax+
Ω i}J = 1 * Ω
/ν(Δτ/(ί)) : ν(Δ^) dx + я fv(v'(t)) : V</?d:r+
Ω
Ω Ω *Λ=1
+ ε
Ω
t,j',fc=l

4.4. Аппроксимационная задача
189
Поскольку последнее равенство имеет место при всех φ Ε У3, то оно
имеет место и при φ = v.
fv'{t)v(t)dx-\ ί Σ Vi^v^t)^^-dx ^ \u ivv{t):Vv(t)dx+
Ω Ω *Λ = 1 Ω
+ ε ί V (Δτ/(ί)) : V (Δν(ί)) dx + κ f V (v'(t)) : Vv(t)daH-
Ω Ω
+ 2Αχ/ Σ υ,(ί)*£«^^λ(/(ί),υ). (4.4.34)
Ω *Λ»*=1
Преобразуем слагаемые в левой части (4.4.34) следуюпщм образом:
Ω Ω Ω
ε J V (Av'(t)) : V (Av(t)) dx - | J | (v(Av(t)) : V (Δ«(*))) ώ =
Ω Ω
=\ 1 /ν(Δυ(ί)): ν(Δυ(ί)) ώ=f ί Ηί)||2^;
Ω
χ / V (ν'(ί)) : Vv(t)dx =\\ί (Vv(t) : Vv(t)) <fe =
Ω Ω
= ||/ν«(*):ν^)ώ = |||Μ*)Ι^;
Ω
/ Σ ^f^C)«J(t)dx = -J div v(t) £ VJ(t)Vj (ί) cte = 0;
oeiiivmdvjjt)^
Ω ».J.*=1
-5 ί/ έ «*>
\Ω «J.fc=1
afij(t>)(t)ft;J(t)j;|.|
9xfc dxi

190 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
/ Σ W
J - - ι ι
+ / у-ъ(№*№Ш,ь
j ^ Vk{t)^m£ij{vmdx..
Ω »Λ»*=1
Э (£»(*)£»(*))
Σ ^
.- _· ι ι
«■■ил &Хк
drr =
/Σ^Σ^^)(^Η(*)^=
fc=l Λ i,j = l
= - divv(t) ^ ε^(ν){ί)ε^{ν)(ί)άχ = 0.
Ω ^ = 1
Здесь мы воспользовались соотношением
которое имеет место в силу симметричности тензора скоростей
деформаций ε.
Таким образом (4.4.34) можно переписать в следующем виде:
Ц|И*)1&о + f |n*)IIv» + \ |ll«(t)ll^ +λ»ΊΚ*)ΙΙ^ = 4№,v(t))·
Так как правую часть последнего равенства можно оценить сверху
\(№Mt))^M(№Mt))\^4f(t)\\v-4v(t)\\vi < ll/Wllv-N*)!^,
а левая часть оценивается снизу
«jImoii?»+||ιι»(')ΐι2^. + f |м<)1&.+чи«)|}·..
то в итоге при почти всех t Ε (0, Τ) получим, что
~ΙΚί)ίν» + f |lK')llv3 + f |Ν*)ΙΙν· < ll/(*)llv-i||«(t)lki.

4.4. Аппроксимационная задача
191
Проинтегрируем последнее неравенство по t от 0 до т, где τ Ε [Ο,Τ].
В силу того, что ν удовлетворяет начальному условию (4.4.33),
получим
|ll«Wllvo - у ||o||2vo + ||b(r)||2V3 - ε—\\α\\2ν3+
<х2
+
^\Ητ)\\2ν1 - ^-\\afvl <J\\№\\v-AHt)\\v*dt.
Правую часть последнего неравенства можно оценить следующим
образом
τ τ
f\\№\\v-4v(t)\\v*dt*i шах \\v{t)\\vi f\\№\\v-idt
J *€[0,т] J
0 0
τ
< max ||v(t)||vi [ \\№\\v-*dt ζ
0
^у/Тш^\\у{Ь)\\уг П \\№\\2V-idt\ =
й
= ^/T\\v\\c([0,T),Vi)\\f\\L2(0,T',V-i) ^ "J ll^llcdO.TJ.VM+xll^llLcO.T^-1)·
Здесь мы воспользовались неравенством Гёльдера и неравенством
Коши:
для δ = у.
Таким образом получили
^Иг)11^о + ||Кт)||^ + ||Кг)||2^<
^ м тм 2 м м 2 и и 2 и и 2 11 ιι 2
κ
Из того, что
|Иг)||^^о,

192 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
следует, что
§1К* + ||Ит)||^
Τ Η 1 Ε К
^ -ΙΙ/ΙΙ^ίο,τ;^-1) + ^ΙΜΙσαο,τι,ν'1) + TjlHlv'0 + ~^a^ + ^l^llw·
Откуда, аналогично, в силу положительной определенности
11^(г)11к3 и ΙΙ^ί7")!!^1' полУчим следующие две оценки:
§IKr)|ft, ^
Τ χ \ s и
^ -ΙΙ/ΙΙ^ίο,Τ;^-1) + "JIHIc([o,T],i") + 2llall^° + 2"a"^3 + "2 "αΙΙ^ι;
-|I/IIl2(o,t;k-i) + "J llvllc([ofT]fvi) + 2"°"^° + 2"a"^3 + 2" "a"^1.
Правая часть в обоих последних неравенствах не зависит от т.
Следовательно, в каждом из них молено перейти к максимуму по г Ε [О, Т]
в левой части:
2lHlc([o,T],v3) ^
Τ к 1 s к
^ -ll/lli2(o,T;K-i) + ^ΙΗΙσαο,ην'1) + TjlHlv'0 + 2Hall^3 + "^llall^i;
(4.4.35)
>*.
I|2
~Z l·^ ГЧГП Tl I/П ^
"2 ΙΙ^ΙΙοίίο,τ],^1)
Τ
^ -||/IIl2(o,t;k-m + jllvllc([o,TifvM + ^Nlv" + ^\\a\\h + ^||α||ίη
■^" -||2 ι XIL,I|2 1 ■
(4.4.36)
Тогда из (4.4.36) непосредственно получаем (4.4.31). Для получения
оценки (4.4.30) достаточно сложить неравенства (4.4.35) и (4.4.36). D
Теорема 4.4.2. Если ν Ε Ε<ι — решение операторного уравнения
(4.4.29) для некоторого λ Ε [0,1], то для него имеет место следующая
оценка:
Ф'\\ь2(0,Т;У*) ^ Ci2, (4-4.37)
lHlL2(o.r;v-i) < тт*. (4-4.38)

4.4. Аппроксимационная задача
193
где постоянная
С12 = С13\\Пыо,т-у->) + (О. + 2яС8) (°"+*\\<^ +
71Си+2е\\а
+ «*W" '""""ν3
Доказательство. Пусть ν Ε £2 —решение (4.4.29), тогда оно
удовлетворяет следующему операторному уравнению
ν' + εΝν' + κ Αν' - ΧΒι (ν) + \νΑν - ΧκΒ2(ν) - ΧκΒ3(ν) = λ/. (4.4.39)
Следовательно:
||ν' + εΝν' + xi4t/||La(0fT;V-3) =
= ||λ/ + \Βγ(ν) - \νΑν + ΧκΒ2(ν) + Ax£3(u)IIl2(o,t;k-3) · (4·4·40)
Правую часть последнего равенства, можно оценить следующим
образом (напомним, что λ ^ 1):
||А/ + ХВг(у) - \vAv + ΧκΒ2(ν) + AxB3(T/)||La(0fT;V-3) <
< A||/||l2(0,T;V-3) + A||-Bl(t7)||L2(0fr;V-3) + Al/||i4t7||L2(ofT;V-3) +
+Ax||B2(v)||L2(0fT;V-3) +Ax||B3(v)||L2(0fT;V-3) < ||/||l2(0,T;V-3) +
+ II^iHHl2(0,T;K-3) + ^||^||l2(0,T;K-3) +
+x||B2(i;)||l2(0,T;K-3) +χ||β3(ν)|^2(0,Τ;Κ-3) ^
откуда в силу непрерывного вложения L2(0,T; V~l) в L2(0,T; V~3) и
оценок (4.4.6), (4.4.21), (4.4.23)
^ Cl3\\f\\L2(0,T;V-1) + Сб|М1с([0,Т]^1) + i/CO|H|c([0,T],V1) +
+2xC8||v||c([0,TlfV1) = Cl3\\f\\L2(0,T;V-i) +
+ (С6 + 2хС8) ||v||c([o,T]fvi) + ^ColMlcao/ai") ^
в силу априорной оценки (4.4.31)
< σΜ||/||^(ο.τ;ν-.) + (сь + 2хс8) (Cll+2x£||a"2^)
+
1Сц + 2e||a|j
+i^l'"" ' ""~1|2/3

194 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
Воспользовавшись теперь оценкой (4.4.13) на левую часть (4.4.40):
£|H|l2(o,t;v3) ^ \\ν' + εΝν' + хАу'Ць^т.у-з)
мы и получим требуемое неравенство (4.4.37).
Оценка (4.4.38) получается следующим образом. Как и ранее ν
удовлетворяет уравнению (4.4.39), следовательно
\\ν' + hAv'\\L2{0,t.v-3) =
= ||-εΛ/ν + λ/ + XBx(v) - ΧνΑν + XxB2(v) + ΧκΒ3(ν)\\^{0Τ.ν_3) ^
<*ll^lLa(0fT;V-3) +
+ ||A/ + ABi(v) - XvAv + ХнВ2{у) + λχΒ3(ν)ΙΙι,2(ο,Τ;ν-3) <
аналогично проделанным выше оценкам и воспользовавшись также
неравенствами (4.4.10) и (4.4.37)
<e||t/||La(0fT;V3)+Ci2<2Ci2.
Таким образом нами получена оценка
||t/ + Xi4t/||La(0fT;V-3) ^2Ci2.
Из этого неравенства и из оценки (4.4.16):
C4|H|l2(0,T;V-i) < II(^ + ^^KIIl2(0,T;K-3)
и получается (4.4.38). D
Из теорем 4.4.1 и 4.4.2 непосредственно получаем следствие:
Следствие 4.4.1. Если ν—решение операторного уравнения
(4.4.29) для некоторого X Ε [0,1], то для него имеют место
следующие оценки:
IMk < Cl4 = у^+2||а||2,з + ^f- (4.4.41)
4.4.4. Теорема существования решения аппроксимационной
задачи
Теорема 4.4.3. Операторное уравнение (4.4.4) имеет хотя бы одно
решение ν Ε Е2.

4.4. Аппроксимационная задача
195
Доказательство. Для доказательства данной теоремы
воспользуемся теорией степени Лере—Шаудера для вполне непрерывных
векторных полей.
В силу априорной оценки (4.4.41) все решения семейства уравнений
(4.4.29):
L(v) + Atf(v) = A(/,a), где AG [ОД],
лежат в шаре Br С Е2 радиуса R = Си + 1 с центром в нуле. И,
следовательно, все решения семейства уравнений
ν ~ AL"1 \-K{v) + (/, a)] = 0, где A G [0,1],
лежат в том же шаре Br.
В силу второго пункта леммы 4.4.7 отображение
[-*■(·) + (/,о)] : Е2 -»· L2(0,T; V~3) x V3
является вполне непрерывным.
В силу первого пункта той же леммы оператор
L"1 :£2(0,Г;У-3)хУ3-+£2
непрерывен.
Таким образом отображение
L"1 [-#(·) + (/,а)] :Е2-+ Е2
вполне непрерывно. Тогда отображение
G : [0,1]хЕ2-+ Е2, G(A, υ) = XL~l [-K(v) + (/, a)]
вполне непрерывно по совокупности переменных X и v.
Из вышесказанного имеем, что вполне непрерывное векторное поле
Φ(Χ,ν) = ν-β(Χ,ν)
невырождено на границе шара Br. Следовательно, для него
определена степень Лере—Шаудера degL5($, Br,0). По свойству
гомотопической инвариантности степени получим, что
degL5^(0, ·), BR, 0) = degL5^(l, ·), Яд, 0).
Вспомним, что Φ(0, ·) = / и по условию нормировки:
degLS(I,BR,0) = l.

196 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
Отсюда,
degL5^(l,.),S*,0) = l.
Таким образом получили, что существует хотя бы одно решение ν G
G ϋ?2 уравнения
v-L-l[-K(v) + (f,a)] = 0
и, следовательно, уравнения (4.4.4). D
Поскольку существует решение ν G Ε<ι уравнения (4.4.4), то из
вышеприведенных рассуждений следует, то аппроксимационная задача
имеет хотя бы одно решение ν G Ε<ι.
4.5. Доказательство теоремы 4.3.1
Доказательство. Поскольку, пространство V3 плотно в V1, то для
каждого a* EV1 существует последовательность ат G V3, сходящаяся
ко* в V1. Если о* = 0, то положим
ат = U, £т = .
т
Если же ||α*||νΊ φ 0, το начиная с некоторого номера ||ата||уз φ 0.
Тогда положим
1
£т —
т11ат||^з'
В силу нашего выбора полученная последовательность {ет}
сходится к нулю при т —> Н-оо. Причём имеет место неравенство
£т||аш||^з ^ 1. (4.5.1)
В силу теоремы 4.4.3 при каждом ет и ат существует vm G E2 С
С Ει — решение аппроксимационной задачи. Таким образом каждое
vm удовлетворяет для всех φ G V3 при почти всех t G (О, Τ) равенству
I v'm(pdx- I Y^(vm)i(vm)j-g-1dx-\-i/ / Vvm : V<^> dx+
Ω Ω *Λ'=1 Ω
+ em J V (Av'm) :V (Δφ)άχ + κ f Vv'm :V<pdx-
Ω Ω
if/ ч 9(vm)i d2ifj f А 0(vm)i #Vj ,
Ω *»J.*=1 Ω l»J,«=l
= </,¥>> (4.5.2)

4.5. Доказательство теоремы 4.3.1
197
и начальному условию:
Vm\t=0(x) = ат(х), хеП. (4.5.3)
Так как последовательность {ат} сходится в У1, то она ограничена
по норме V1. Следовательно,
2\\am\\2vo + 2x||am||^ ^ С15, (4.5.4)
где С15 — постоянная, не зависящая от га.
Вспоминая определение констант в априорных оценках, отметим,
что постоянная Си из неравенства (4.4.31) на самом деле зависит от
га :
4Т
С" = — ΙΙ/ΙΙ12(ο,τ;ν-ΐ) + 2||am||^0 + 2х\\ат\\2у1.
Однако, воспользовавшись (4.5.4), её можно оценить сверху
следующим образом:
AT
Си ^ — ll/HL(o,T;V-i) + Си = С16. (4.5.5)
Таким образом, в силу неравенств (4.5.1) и (4.5.5) из оценки (4.4.31)
получаем, что
^ll^mllcaoj1],^1) ^ Cie + 2· (4.5.6)
Аналогично, воспользовавшись неравенствами (4.5.1) и (4.5.5),
получим из оценок (4.4.37) и (4.4.38):
εΙΙ*4ΙΙι*(ο,Τ;ν3) ^ βΊ3||/||ζ,2(ο,Τ;ν-ΐ)+
+ (Св + 2хС8) (^Р) + "CoyJ^fi, (4.5.7)
llvmlU2(0fT;V-i) < -^Г-||/1к2(0,Т;К-1) +
+
2(Ce+2xC84^crJ+"crv-v- (45·8)
В силу непрерьшности вложений
C([0,T],Vl) С L2(0,T;Vl) и С([0,Т],V1) с Loo(0,T;V1)

198 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
и оценок (4.5.6) и (4.5.8), без ограничения общности (в случае
необходимости переходя к подпоследовательности) получим, что
Ут —^ ν* слабо в 1/г(0, Т; V1) при т —> +оо;
Ут —^ у* *-слабо в Loo(0,T; V1) при т —> +оо;
v'm —^ v+ слабо в 1/г(0, Т; V-1) при т —> Н-оо.
Тогда при т —> Н-оо в силу определения слабой сходимости
ν / Vvm : Vipdx —> ν / Vv* : Vipdx для любого <£> G V3.
Ω Ω
Поскольку линейный оператор переводит слабо сходящуюся
последовательность в слабо сходящуюся, то при т —> Н-оо получим что
jv'^dx + x j Vv'm : νφάχ = ((J + xA)v'm,ip) -+ ((J + κΑ)ν'„φ).
Ω Ω
Далее, используя оценку (4.5.7), как и выше, без ограничения
общности и в случае необходимости переходя к подпоследовательности,
мы имеем, что существует функция и Ε 1/2(0, Т; V3), такая что
СтУ'т ~* и слабо в 1/2(0, Т; V3) при т —> Н-оо.
Итак, мы имеем
emJv(Av'm) : V (Αφ) Ь - / ν(Δ«) : V(^) <fc пр. п. - +oo.
Ω Ω
Однако, последовательность £т^ сходится к нулю в смысле
распределений на отрезке [0,Т] со значениями в V-5. На самом деле, для
любых χ е £>([0,Г]),<£> е У5, используя формулу интегрирования по
частям, мы получим
lim
т—>оо
J J V(At/m(t)) : V(A^) dxX(f)<ft
Τ
J J Avrm(t)A2tpdxX(t)dt
lim ε

4.5. Доказательство теоремы 4.3.1
199
lim en
lim em lim
τη—юо τη—>оо
lim Sm lim
τη—>oo τη—юо
lim em lim
m—юо τη—юо
/ Jv(v'm(t)):V(A2<p)dxX(t)dt
Ω
Τ
J Jv(v'm(t)):V(A2V)dxX(t)dt
0 Ω
/(/V(t/m(t))x(t)*j :V(AV)^
π \o /
У" I / Vt,m(i)^di J : V (Α2ψ) dx
Τ
j jVvm{t):V{A\)dx^-dt
= lim em lim
τη—юо m—юо
так как t;m слабо сходится в Ζ/2(0,T;Vl) к и», и, следовательно,
сходится к^ив смысле распределений, то
I I Vv.(t) : V (AV) te^^dt
О Ω
lim em = 0.
Таким образом в силу единственности слабого предела
еш I V (Av'm) : V (Δ<^>) cte -» 0 при т -» +оо.
Ω
Воспользовавшись теоремой С.4.1 получим вполне непрерывное
вложение
F= {υ : ν € С([0,Т], Vl);v' € £2(0,Г; V"1)} С C([0,T],L4(O)n)·
Отсюда, учитывая оценки (4.5.6) и (4.5.8), получаем, что
vm -> ν», сильно в C([0,T],L4(^)n) при m -» +оо. (4.5.9)
Таким образом получим, что
/ΤΙ ο λ ΤΙ ο
У^ {Vm)i{Vm)j-rT^dx ~> Ι Σ (ν*)*(ν*)*7ϊ~7" ^ ПРИ Ш ""* +00'
Ω *Л'=1
Ω ^ = 1

200 Глава 4. Модель слабоконцентрированных полимерных растворов
В оставшихся интегралах имеем
J .ττ*} dxj dxidxk
Ω г>1>к=1
J -V, dxi дх*дхь
Ω *»J»*=1
—> χ / > (^♦)fc^ -^—^— dx при m —> H-oo;
"J .ЪЫ'-ъГьфГь** прит^+0°·
κ
ω *.i.*=1
ω *.i.*=1
Действительно, здесь последовательность vm сходится к ν* сильно
в С([0,Т],£4(П)п), a V(vm) сходится к Vv* слабо в L4(0,T;L2(n)n2).
Следовательно, их произведение сходится слабо к произведению
пределов.
Таким образом переходя в равенстве (4.5.2) к пределу при т —>
—> Н-оо получим, что предельная функция ν* удовлетворяет
следующему равенству:
Ω *Λ=1 * Ω
κ ί V" (ν ) dfo*)* d2(Pj άχ f S^ (υ) 9^j ^φ> dx =
J .ττ* % * dxj dxidxk J .rr*} * dxi dxidxk
q i,j,fc=l J q i,],k=l
= </.¥>>· (4.5.10)
В силу сильной сходимости (4.5.9) получаем, что vm сходится к ν*
поточечно на [0,Т]. Отсюда, переходя в (4.5.3) к пределу при т —> Н-оо
в силу выбора ат имеем, что ν* удовлетворяет следующему
начальному условию:
1*=0

4.5. Доказательство теоремы 4.3.1
201
Так как для последовательности {vm} имеют место априорные
оценки (4.5.6) и (4.5.8), то для ν* непосредственно получаем оценку:
м м ι м μι <*- ^16 + 2 , 2Ci3 и -и .
^^my^i
C16 + 2
Η
Отсюда получаем, что v+ Ε Е\, что и завершает доказательство
теоремы 4.3.1. □

Глава 5.
Аттракторы математической модели
движения слабоконцентрированных водных
растворов полимеров
5.1. Постановка задачи
В этой главе мы снова обратимся к системе уравнений,
описывающей движение слабоконцентрированных водных полимерных
растворов. Как известно из главы 4, данная система имеет вид:
dv А ^ dv ΟΑν Λ _ [^ θε(υ)\ ^
(5.1.1)
divv = 0. (5.1.2)
Систему уравнений (5.1.1), (5.1.2) будем рассматривать в
ограниченной области ОсМп,п = 2,Зс границей класса С°° с граничным
условием прилипания:
v\m = 0. (5.1.3)
В связи с тем, что нас интересуют вопросы связанные с
аттракторами (5.1.1)—(5.1.3), нас интересует не вопрос существования
решения при каком то конкретном начальном значении вектора скорости,
а вопросы поведения решений сразу при всех возможных начальных
значениях вектор-функции ν из некоторого класса, который мы
уточним позднее. Таким образом, для (5.1.1)—(5.1.3) будем рассматривать
начальное условие:
v\t=o =α. (5.1.4)
В настоящей главе для автономного случая (плотность внешних сил
/ не зависит от времени) будет доказана теорема о существовании
слабых решений (5.1.1)—(5.1.4), описывающей движение
слабоконцентрированных растворов полимеров, а также будет доказано
существование минимального траекторного и глобального аттракторов. Отметим,

5.2. Необходимые сведения из теории аттракторов
203
что несколько более конспективно этот результат изложен в [26]. В
связи с тем, что теорем единственности решения для рассматриваемой
системы не установлено, классический подход к аттракторам,
основанный на понятии полугруппы операторов, в данном случае неприменим.
5.2. Необходимые определения и утверждения из
теории аттракторов
Приведём некоторые и утверждения из теории аттракторов. Данное
изложение не претендует на полноту и содержит только те факты,
которые непосредственно потребуются нам в дальнейшем (подробнее
см. монографии [26], [148], а также статьи [12], [35], [144], [145]).
В этой главе всюду в дальнейшем через Е, Eq будут обозначаться
два банаховых пространства, причем будем считать, что пространство
Ε рефлексивно и непрерывно вложено в пространство jEO-
Также в этой главе будем пользоваться следующим обозначением:
R+ = {£:£eR,£^0}.
5.2.1. Некоторые пространства функций, определённых на
R+ и принимающих значения в банаховом пространстве
Обозначим через C(R+; Eq) пространство непрерывных функций,
определенных на R+ и принимающих значения в пространстве jEO- Так
как полуось R+ некомпактна, то в линейном пространстве C(R+; jEO)
нельзя задать обычную норму пространства непрерывных функций.
Для того чтобы ввести в C(R+;Eq) топологию, на этом пространстве
рассматривают следующий функционал
-к IMIc([o,fc];jgo)
£^[ I + 1М1с([0,А;];Яо)
Определение функционала корректно, так как ряд в правой части
ограничивается сверху суммой убывающей геометрической
прогрессии. С помощью функционала || · ||c(R+;£0) на пространстве C(R+; Eo)
можно задать метрику следующей формулой
р(и, V) = \\U - V\\C(R+;E0)' (5.2.1)
Эта метрика инвариантна относительно относительно сдвигов, но
функционал || · ||c(r+;£0) не является однородным.

204 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
В дальнейшем С(Ш+;Ео) всегда будем рассматривать как
метрическое пространство. Несложно показать, что метрическое пространство
С(Ш+;Ео) полно. Опишем сходимость в C(R+; Ео).
Предложение 5.2.1. Последовательность {ит} С С(Ш+;Е0)
сходится к функции и Ε C(R+;jEb) тогда и только тогда, когда эта
последовательность сходится к и равномерно на каждом отрезке,
содержащемся в R+.
Непосредственно отсюда получаем, что если последовательность
{ит} С С(Ш+;Ео) сходится в пространстве С(Ш+;Ео) к функции и,
то имеет место поточечная сходимость um(t) —> u(t) в Ео при всех
t GR+.
Приведем также одно простое, но полезное утверждение об
относительной компактности множеств в С(М+;£Ь)· Пусть Им (Μ ^ 0)
обозначает оператор сужения функций, заданных на R+, на отрезок
[0, М]. Из предложения 5.2.1 следует, что оператор Им непрерывно
отображает С(Ш+;Е0) в С([0,М];£о)·
Лемма 5.2.1. Для того чтобы множество Ρ С С(Ш+;Е0)
было относительно компактно в С(Ш+;Ео) необходимо и достаточно,
чтобы при любом Μ > 0 множество Им Ρ было относительно
компактно в С([0, М],Ео).
Перейдем ко второму из необходимых нам пространств. Обозначим
через 1/оо(М+;£) пространство функций и, определенных почти
всюду на R+ и принимающих значения в Е, для которых найдется число
аи такое, что |Щ£)||я ^ аи при почти всех t (такие функции
называются существенно ограниченными). Норма в L00(R_|.;jE^) определяется
формулой
IMUooCR+jS) = vrwmax||tx(t)||s.
Здесь vrai max ||г*(£)||я — это нижняя грань множества
i€R+
\ sup \\u(t)\\E
[teR+\M
где Μ пробегает все подмножества R+ нулевой меры. Для всякой
функции и Ε Ζ/οο(Μ+; Ε) при почти всех t ^ 0 имеет место неравенство
■
Н«(*)1|В < ΙΙ«||^(Β+;Β).

5.2. Необходимые сведения из теории аттракторов
205
Пространство Z/oo(R+; £), снабженное указанной нормой, является
банаховым (см. [17]).
Мы допускаем обычную вольность речи, когда говорим, что
пространство L00(R_I_; Ε) состоит из функций: в действительности его
элементами являются классы совпадающих почти всюду функций.
Нам будут важны также пространства функций, определенных на
всей числовой оси: C(R;£0), £«,(11;Я), C(R]E0)nLoo(R-1E). Они
обладают свойствами, аналогичными свойствам соответствующих
пространств, рассмотренных выше.
Пространство C(R;Eo) снабжается семейством преднорма
IMIc(Hkffc];£o)> а (неоднородная) норма в нем задается формулой
ι. .ι ^o-fc IM|c([-fctfc];Eb)
Mc{R;Eo) h i + Nlc([-fcW
Можно доказать аналог леммы 5.2.1, согласно которому сходимость в
C(R; jEO) эквивалентна равномерной сходимости на каждом отрезке.
Пространство Loo (К; Ε) — это пространство существенно
ограниченных функций, заданных почти всюду на R и принимающих значения
вЕ.
Определение 5.2.1. Пусть J — конечный или бесконечный
интервал вещественной оси и J — его замыкание. Далее, пусть Υ — банахово
пространство. Фз'нкция и : J —> Υ называется слабо непрерывной если
из tn —» £, tn € J следует, что u(tn) —* u(t) слабо в Υ. Множество слабо
непрерывных функций и : J —> Υ мы будем обозначать Cw([0,T],F).
Также нам потребуется одна известная теорема (см., например, [71])
Теорема 5.2.1. Пусть Ε и Ео — два банаховых пространства,
таких что Ε С Ео, причем вложение непрерывно. Если функция ν
принадлежит Loo(0,T;jE^) и непрерывна как функция со значениями в
Ео, то w слабо непрерывна как функция со значениями в Е, то есть
v£Cw([0,T],E).
Непосредственно из этой теоремы получаем, что функции,
принадлежащие классу C(R;Eo)C\L00(R;E), слабо непрерывны со
значениями в Ε (и потому их значения принадлежат пространству Ε
при всех t Ε R)\ они ограничены со значениями в Е, и для и Ε
Ε C(R; Ео) Π Loo(R; Ε) верно равенство
IMIc(R;fib)nLoo(R;£) = SUp ||ti(t)||s.

206 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
Также по аналогии с оператором сужения Пм будем обозначать
через П+ оператор сужения функций, заданных на R, на R+.
Рассмотрим операторы сдвигов T(h) (h Ε К), каждый из которых
функции / ставит в соответствие функцию T(h)f, такую что
T(h)f(t) = f(t + h).
Отметим, что имеет место тождество
T(hl)T(h2) = T(h1+h2),
а также что Т(0) — тождественный оператор. Это позволяет говорить,
что семейство {T(h): h ^ 0} является полугруппой, которая
называется полугруппой трансляций.
5.2.2. Аттракторы неинвариантного пространства траекторий
Рассмотрим непустое семейство функций
W+cC(R+;Eo)nLoo(R+;S)
Множество Ήλ будем называть пространством траекторий, а его
элементы — траекториями. Будем предполагать, что множество Н*
непусто.
Дадим основные определения.
Определение 5.2.2. Множество Ρ С C(R+; Eq) Π Loo(R+; E)
называется притягивающим (для пространства траекторий Ή+), если для
всякого множества В С Ή+, ограниченного в L00(R^.]E), выполняется
условие
sup inf \\T(h)u - v\\c(R+;E0) -+ 0 (Л -* oo).
Определение 5.2.3. Множество Ρ С C(R+; Е0) Π Loo(R+; Ε)
называется поглощающим (для пространства траекторий Ή+), если для !
всякого множества В С Ή+, ограниченного в L00(R_I_; Ε), существует i
h ^ 0, такое что при всех t ^ h имеет место включение
i
T(t)B с р. I
Отметим, что любое поглощающее множество является притягива- I
ющим.

5.2. Необходимые сведения из теории аттракторов
207
Определение 5.2.4. Множество Ρ С C(R+; Eq) Π L^ (R+; Ε)
называется траекторным полуаттрактором (пространства траекторий Ή+),
если оно удовлетворяет следующим условиям:
(i) множество Ρ компактно в C(R+;i£o) и ограничено в Loo(R+; E);
(ii) имеет место включение T(t)P С Ρ для всех t ^ 0;
(iii) множество Ρ является притягивающим в смысле
определения 5.2.2.
Определение 5.2.5. Множество Ρ С C(R+;Eo) nLoo(R+; E)
называется траекторным аттрактором (пространства траекторий Ή+),
если оно удовлетворяет условиям (i), (iii) определения 5.2.4, а также
условию
(ii') имеет место равенство T(t)P = Ρ для всех t ^ 0.
Определение 5.2.6. Минимальным траекторным аттрактором
пространства траекторий Ή+ называется наименьший по включению
траекторный аттрактор, то есть такой траекторный аттрактор,
который содержится в любом другом траекторном аттракторе.
Определение 5.2.7. Множество Л С Ε называется глобальным
аттрактором (в jEO) пространства траекторий Ή+, если оно
удовлетворяет следующим условиям:
(i) множество Л компактно в Eq и ограничено в Е\
(ii) для всякого ограниченного в Ζ/οο(Μ+; Ε) множества В С Ή+
выполняется условие притягивания
sup inf \\u(t) - у\\во -> 0 (t-+ oo);
(iii) множество Л является является наименьшим по включению,
удовлетворяющим условиям (i) и (ii) (то есть Л содержится в
каждом множестве, удовлетворяющим этим условиям).
Замечание 5.2.1. Очевидно, что если существует минимальный
траекторный аттрактор или глобальный аттрактор, то он единственный.
Имеют место следующие теоремы о существовании минимального
траекторного и глобального аттракторов (см. [26], [148]):

208 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
Теорема 5.2.2. Пусть существует траекторный полуаттрактор
Ρ пространства траекторий Н~*~. Тогда существует минимальный
траекторный аттрактор U пространства траекторий Ή+.
Теорема 5.2.3. Пусть существует минимальный траекторный
аттрактор U пространства траекторий Н~*~. Тогда существует
глобальный аттрактор А пространства Н~*~, и справедливо соотношение
A = U(t), t^O. (5.2.2)
5.3. Вспомогательные утверждения и
функциональные пространства
В этой главе мы будем активно пользоваться обозначениями и
утверждениями из пункта 4.2 прошлой главы.
Также нам потребуется утверждение из [31] о непрерывности
оператора обращения:
Теорема 5.3.1. Пусть F, G — банаховы пространства. Обозначим
через Isom(F,G) подмножество пространства линейных
непрерывных операторов £(F, G), образованное изоморфизмами F —» G
(линейный оператор Μ : F —> G называется изоморфизмом, если он
непрерывен, обратим и обратный к нему оператор М-1 : G —> F
непрерывен). Тогда
1. подмножество Isom(F,G) открыто в £(F,G);
2. отображение Μ \-ь М~1 подмножества Isom(F,G) в
пространство C(G, F) непрерывно.
Для определения слабого решения на отрезке введем следующие
пространства:
Wi[0,T\ = {ν: ν G Loo(0,T; V1), v' G £«,((),Г; V"1)}
с нормой
INwMo/n = IMUeoCo/rjv1) + IMIwo/rjv-1);
и
W2[0,T\ = {v:ve С([0,Г], V3), t/ G Loc(0,T; V3)}

5.4. Слабая постановка задачи и аппроксимация
209
с нормой
IM|w2[0,T] = IM|C([0,T],V3) + ΙΙνΊΐί<οο(0,Τ;ν3)>
Для определения слабого решения на полуоси R+ будем
рассматривать пространство И^1ос(]К+), состоящее из функций г?, определенных
почти всюду на R+ и принимающих значения в V1, таких что
ограничение ν на любой отрезок [0, Т] принадлежит Wi[0,T], и пространство
W^2°c(^+)? состоящее из функций ν класса C(R+, V3), таких что
ограничение ν на любой отрезок [0, Т] принадлежит W^[0, T].
5.4. Слабая постановка задачи и аппроксимация
Плотность внешних сил / будем считать принадлежащей
пространству V-1. Дадим определение слабого решения задачи (5.1.1)—(5.1.4)
на конечном отрезке и на полуоси.
Определение 5.4.1. Слабым решением задачи (5.1.1)—(5.1.3) на
отрезке [0,Т] будем называть функцию ν Ε Wi[0,Г],
удовлетворяющую почти всюду на (0, Т) для любой функции φ Ε V3 тождеству
((J + κΑ)ν\ ψ)- Σ vtVj-^-dx + ν J Vv : S/φάχ-
(5.4.1)
Слабым решением задачи (5.1.1)—(5.1.3) на полуоси R+ будем
называть функцию ν Ε Wjoc(R+), такую что при каждом Τ > 0
ограничение ν на отрезок [0,Т] является решением уравнения (5.4.1) на этом
отрезке.
В равенстве (5.4.1) оператор J —это оператор вложения J : V~l —>
-+ν-κ
Применив теорему 5.2.1 к пространствам V1 и V-1, приходим к
выводу о вложении
Wi[o,T\ с Ονφ,ην1)·
Следовательно, для уравнения (5.4.1) имеет смысл начальное условие
«(0) = а. (5.4.2)

210 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
с функцией a Ε V1.
Для краткости введем следующее обозначение для
экспоненциальной функции: для β Ε К обозначим
ββ = е#.
Также введем постоянную
а = -^у , (5.4.3)
которую будем использовать до конца главы. Здесь С\ — константа из
неравенства Пуанкаре:
№,(η)»<<?ιΙΜΙν'· (5-4.4)
Рассмотрим теперь аппроксимационную задачу. Чтобы
сформулировать её, введем следующие операторы (отметим, что эти операторы
мы уже вводили в пункте 4.4.1 прошлой главы):
N : V3 -> V~3, (Nu, φ) = ί V(Au) : ЩАф) dx u,ip€ V3;
Ω
Βι : Ь4(П)п -> V"1, (Bi(ti),^) = / Σ W*^**,
Ω *^"=1
Ω tj,fc=l
Q t,J,«—1
uEV1, </?E V3;
J:V3-*V-3, (Ju,<p)= (u<pdx, ueV\ ipeV3.
Ω
Рассмотрим семейство уравнений, зависящее от параметра λ Ε [0,1] :
(J+ee-xaN+xA^+X {иΑν - Βλ{υ) - κΒ2(ν) - χΒ3(υ)) = λ/, (5.4.5)

5.5. Свойства операторов
211
где е G (0,1]. Нас также будет интересовать конкретный случай
последнего уравнения при λ = 1 :
(J + ee-aN + κΑ)ν + ν Αν - Βλ(ν) - κΒ2(ν) - κΒ3(ν) = /. (5.4.6)
Семейство уравнений (5.4.5) рассматривается для того чтобы доказать
разрешимость уравнения (5.4.6).
Исходя из определения пространства ИЪ[0,Т], в котором мы будем
исследовать разрешимость (5.4.5), для уравнений (5.4.5) имеет смысл
начальное условие (5.4.2) с a G V3.
Фиксируем λ и ε.
Определение 5.4.2. Решением уравнения (5.4.5) на отрезке [0, Т]
будем называть функцию ν G W^[0, T], такую что уравнение (5.4.5)
выполнено в Loo(0,T; V-3). Решением уравнения (5.4.6) на полуоси R+
будем называть функцию ν G W^°c(^+)» такУю что ПРИ каждом Τ > 0
ограничение ν на отрезок [0, Т] является решением уравнения (5.4.6)
на этом отрезке.
Замечание 5.4.1. Из свойств операторов (см. п. 5.5 ниже) следует,
что левая часть (5.4.5) принадлежит Loo(0,T; V-3) для любой
функции υ G W2[0,T].
5.5. Свойства операторов
В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые свойства
введенных выше операторов.
Лемма 5.5.1. Оператор А обладает следующими свойствами:
1. Оператор А : V1 —> V~l —непрерывен и для любого и G V1
имеет место оценка:
\\Au\\v-i ^ \\u\\vi. (5.5.1)
2. Пусть Τ > 0 — произвольное фиксированное число и пусть
1 ^ ρ ^ оо. Тогда для любой функции и G Lp(0, T; V1) функция
Аи G Lp(0,T;V_1) и оператор А: ЬР(Ъ,Т;У1) -* Ьр(0,Т;У_1)
непрерывен.
3. Пусть Τ > 0 — произвольное фиксированное число. Оператор А :
И^[0,Т] —> Lqo(0,T; V-3) вполне непрерывен.

212 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
Доказательство. 1) Доказательство данного утверждения
полностью повторяет доказательство первого пункта леммы 2.5.1.
2) Доказательство этого утверждения при 1 ^ ρ < оо полностью
повторяет доказательство второго пункта леммы 2.5.1.
Докажем данное утверждение при ρ = оо. Пусть и G Loo(0,T; V1).
Тогда в силу (5.5.1) при почти всех t G [О, Τ] имеет место неравенство:
\\АиШУ-г < Ht)\\Vl.
Переходя в нём к vrai max, убеждаемся, что функция Аи G
G Loo(0, T;V_1) и оператор А действует в пространствах
Loo(0,T;V1) —> Ьоо(0,Т; V-1) и ограничен. В силу линейности
отсюда и получаем непрерывность оператора А.
3) Для доказательства утверждения воспользуемся теоремой С.4.1
(она приведена на с. 391) для пространств V3 <zVl <ZV~3 к
рассмотрим вспомогательное пространство
F = {υ: υ G ^(Ο,Τ; V3), ν' G ^(Ο,Τ;^0)}.
Тогда по теореме С.4.1 оно компактно вложено в С([0,Т], V1).
Отметим, что Η^Ο,Τ] С F, причём вложение непрерывно. Это
следует из непрерывности вложений:
C([0,T},V3) С ^(Ο,Τ-,ν3) и Loo(0,T;y3)cLoo(0,T;V°).
Таким образом действие оператора А в рассматриваемых
пространствах молено записать в виде следующей композиции:
W2[0,T\ cFcC([0,T\,Vl)c
С £«,((>, Г; V1) -±>Loo^T.V-i) c Loo(0,T;V-%
где первое вложение непрерывно, второе вложение — вполне
непрерывно, третье и последнее вложение непрерывны и согласно
второму пункту этой леммы оператор А в указанных пространствах тоже
непрерывен. Таким образом получили, что отображение А : И^[0, Т] —>
—> Loo (О, Т; V-3) — вполне непрерывно. D
Лемма 5.5.2. Для оператора N имеют место следующие свой-
ства:
1. Оператор N : V3 —> V~3 — непрерывен и для любой функции
и G V3 имеет место оценка
\\Nu\\V-3 ^ \\и\\Уз.
(5.5.2)

5.5. Свойства операторов 213
2. Для любой функции и G L2(0,T;V3) функция Nu G
G L2(0,T;V-3), оператор N : L2(0,T;V3) -> L2(0,T;V-3)-
непрерывен.
Доказательство. Утверждение данной леммы полностью следуют
из утверждений леммы 4.4.2. D
Лемма 5.5.3. Для оператора (J + кА) имеют место следующие
свойства:
1. Оператор (J + κ А) : V~l —> V~3 непрерывен, обратим и для
любой функции и G V~l имеет место следующая оценка
C2\\u\\v-i ^ ||(J + xj4)ti||v-3, (5.5.3)
где константа С2 не зависит от функции и.
Кроме того обратный оператор (J + κΑ)~ι : V~3 —> V~l
непрерывен.
2. Для любой функции и G L2(0, T; V-1) функция (J + нА)и G
G L2(0,T;V-3), оператор (J + хА) : L2(0,T;V-1) -►
—> L2(0,T; V-3) непрерывен.
Доказательство. Утверждение данной леммы следует из леммы
4.4.4. D
Лемма 5.5.4. Линейный оператор J + εΛΓ + χΑ: V3 —> V-3
непрерывен, обратим и для него имеет место оценка
е\\и\\уз ^ ||(J + eN + хЛ)м||v-a ^ (С3 + ε + хС4)Н| уз, (5.5.4)
где Съ,С\ — некоторые постоянные, зависящие от η и области Ω и
не зависящие от функции и.
Обратный к нему оператор {J+eN+xA)~l: V-3 —> V3 непрерывен.
Доказательство. Утверждение этой леммы полностью совпадает
с утверждением первого пункта леммы 4.4.3. D
Лемма 5.5.5. Линейный оператор
J + ee-fiN + xA:Loo(0,T;V3)-+Loo(0,T;V-%
где β G (0,α], постоянная а задаётся формулой (5.4.3), непрерывен и
обратим. Причём обратный оператор
(J + ee-βΝ + хА)-1 : £«,((),Г; V~3) -> £«,((),Τ; У3)
непрерывен.

214 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
Доказательство. Убедимся, что оператор J + ee-βΝ + κΑ на
самом деле действует в пространствах Ζ/ο^Ο,Τ; V3) —> Loo(0,T; V-3) и
покажем его ограниченность.
Пусть и G Loo(0, T; V3), тогда, в силу правой части
неравенства (5.5.4) при почти всех t G (О, Т) имеет место неравенство:
\\{J + ee-ptN + xA)u(t)\\v_t ^ (С3 + εε~βί + xCA)\\u(t)\\v*.
Отсюда, оценивая правую часть сверху, получаем, что
\\(J + ee ~βίΝ + κΑ) u(t)||v_s ^ (С3 + е + яС4)\\
то есть функция (J + ee-βΝ + xA)u действительно принадлежит
пространству Loo(0,T; V-3). Таким образом, переходя в последнем
неравенстве к vrai max, получаем оценку
\\(J + ee-βΝ + xA)u\\Loo{0T;V_3) ζ (С3+ε + xC4)\\u\\Loo{o,T;v*),
означающую ограниченность оператора, из которой в силу линейности
и следует непрерывность.
Переходим теперь к доказательству обратимости исследуемого
оператора. Сначала покажем, что его множество значений совпадает со
всем Loo(0,T; V-3). Для этого достаточно доказать, что для каждого
w G Loo(0,T;V~3) существует решение v G 1>оо(0, Т; V3) следующего
уравнения:
(J + ee-βΝ + κΑ)υ = w.
Однако, в силу леммы 5.5.4 при каждом t G [О, Т] оператор
(J + εε~βιΝ + κΑ) : V3 -> V~3
обратим. Следовательно, при почти всех t G [О, Τ] уравнение
(J + εε~β*Ν + κΑ) v(t) = w(t)
имеет решение
v(t) = (J + εε~βιΝ + κΑ)'1 w(t).
осталось показать, что построенное таким образом решение ν
принадлежит пространству Loo(0,T; V3). На самом деле, в силу левой части
оценки (5.5.4) при почти всех t G [О, Τ] имеет место следующее
неравенство:
εε-βί\\υ(ί)\\ν* ^ \\(J+ εε~βίΝ + xA)v(t)\\v-s = \\w(t)\\v-*.

5.5. Свойства операторов
215
Отсюда получаем, что при почти всех t Ε [О, Т] имеет место
неравенство:
e\\v(t)\\vs ^ e*||ti;(t)||v-3 ^ e^|M|Leo(0fT;V-3).
Следовательно, фикция ν принадлежит Loo(0, T; V3). Далее,
переходя в последнем неравенстве к vrai max, получим, что
elMUooCo/r;^) ^ ββτ\\μ + ee-βΝ + xA)v\\Loo{0,T.v-3y
Из этого неравенства получаем, что Кег( J + ee-βΝ + нА) = {0} .
В итоге имеем, что оператор
3 + εε-βΝ + κΑ:Ιοο{0,Τ·ν*)^Ιοο{{),Τ',ν-%
обратим. Более того, в силу теоремы Банаха об обратном отображении
(теорема 2.3.3) обратный к нему оператор будет непрерывным. D
Лемма 5.5.6. Отображение пространств
[0,1] χ ^(Ο,Γ; V"3) -> £оо(0,Г; V3),
действующее по правилу
(λ, и) h+ (J + ee_XaN + xA)~lu (5.5.5)
непрерывно.
Доказательство. Отметим, что корректность определения
отображения (5.5.5) гарантируется леммой 5.5.5.
/ шаг. Покажем сначала, что оператор J + ee-\aN + κ А
непрерывно зависит от λ G [0,1] в норме пространства
операторов £(Lqo(0,T; V3),Loo(0, Т; V-3)). Рассмотрим последовательность
{Ат} С [0,1], Ат -» λ0 при га -» оо.
Для произвольной функции # Ε Loo(0,T; V3) воспользовавшись
определением нормы в /^(О, Т; V3) и неравенством (5.5.2) имеем:
||((J + ee.XmaN + хА) - (J + εβ_λοα^ + Xi4))^||Leo(0fT;V-3) =
= evrai max ||(e_A-Qi - e-x°at)Ng(t)\\v_3 ^
^ et^l|e_AmQi " e~X°at\ ^ojf ll£rWI1 v3 =

216 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
В силу произвольности д отсюда получаем
||(J + ee-XmaN + хА)-
- (J + €e-\oOLN + ^^)||£(Loo(0,T;Vr3),Loo(0,T;Vr-3)) ^
ζ ε max \e-XmOLt - e~AoQ'| .
te[o,T]' '
Функция (λ,£) н-^ e~Xat непрерывна на [0,1] χ [Ο,Γ], поэтому
e-Xmat _^ e-X0at при ш __> ^
равномерно по t G [0, T]. Следовательно,
\\(J + εβ-Χτη0ίΝ + κΑ)-
- (^H-^_AoQ^H-^^)||£(L00(0,T;Vr3),L00(0,T;Vr-3)) "^ ^
при m —> oo, что и требовалось.
77 шаг. Покажем, что оператор (J + εβ-χαΝ + хА)-1 непрерывно
зависит от λ G [0,1] по операторной норме пространства
CiLco&TiV-^LoofrTiV3)).
Действительно, это следует из того, что отображение
λ ь+ (J + ee-XmaN + κΑ)'1
является суперпозицией отображения
[0,1] -> £(Loo(0, Τ; У3), Loo (О, Г; У"3)), λ -+ J + εβ_λα^ + χΛ,
непрерывность которого установлена на первом шаге доказательства
и непрерывного отображения обращения оператора, действующего в
пространствах
Isom(Loo(0, Г; У3), £«,((), Г; V~3)) -> Isom(Loo(0, Τ; V"3), Loo(0, T; У3))
(непрерывность оператора обращения следует из теоремы 5.3.1).
III шаг. Докажем непрерывность отображения, фигурирующего в
формулировке утверждения. Рассмотрим последовательности
{Ат} С [0,1], Хт -> λ0 при га -» оо
и
{ит} С Loo (О, Т; V~3), ит-+и0 при га -> оо.

5.5. Свойства операторов
217
Обозначим Тт = (J + ee-\m0tN + κ Α) *, тогда требуется доказать,
что
Тшиш -»7о^о·
Действительно, по ранее доказанному имеем
\\%п - ToWciLooiO.T-y-^^LooiO^V3)) -> О,
поэтому
\\TmUm - ToUo\\Loo(0^V3) ^
^ \\TmUm - ТтПоЦ^^т.уЗ) + \\TmU0 - ToU0\\Loo^T;V3) ^
^ SUp ||7in||£(Loo(0,T;K-3),LOc(0,T;K3))||^m ~ ^θ||ί,οο(0,Τ;ν-3) +
тп
+ \\7rn - 7o||£(L00(0,T;K-3),L00(0,T;K3))||^o||loo(0,T;K-3) ~* О,
что и требовалось доказать. D
Лемма 5.5.7. Оператор В χ обладает следующими свойствами:
1. Оператор В\: L^{il)n —> V~l непрерывен и для него имеет
место оценка:
II D /-.Ml ^ Г* ll-.l,
Ιί,4(Ω)"
с постоянной С$, не зависящей от и.
|Bi(«)||v-i<C-5|HL(n). (5.5.6)
2. Для любой функции и G Loo(0,T;L4(i})n) функция
Вг(и) G Ζ,οοίΟ,Γ;^-1) и отображение Βλ: Loo(0,T;L4(ft)n) -►
—> Loo (О, Τ; V~*) непрерывно.
3. Для любой функции и G ИЪ[0,Т] функция Bi(u) G Loo (О, Τ; V-3)
и отображение By: И^[0,Т] —> Loo(0,Τ;V-3) вполне
непрерывно.
Доказательство, i^ Первый пункт данной леммы доказывается
полностью аналогично доказательству первого пункта леммы 2.5.4.
2) Пусть и G Loo(0,T;L4(^)n). В силу неравенства (5.5.6) при почти
всех t G [О, Т] имеет место неравенство:
Ι|Βι(«)(*)|ΐν-<σ5||«(ί)ΐϋ4(η)η.
Оценивая правую часть этого неравенства сверху, получим
oo(0,T;L4(n)n)

218 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
при почти всех t G [О,Τ]. Отсюда и следует, что функция В\{и) G
Εί,οοίΟ,Γ;^-1).
Доказательство непрерывности отображения
B1:Loo(0,T;L4(n)n)-^Loo(0,T;V-1)
основано на неравенстве (2.5.19):
\\Bi(vm) - Βι(υ0)\\ν-ι ^ С6 (|Ьт|к4(П)- + ||^θ||ί,4(Ω)") \\vm ~ ^θ||ί,4(Ω)»>
которое имеет место для любых vm,vo G L^{Q)n. Напомним, что
(2.5.19) было получено в ходе доказательства утверждения первого
пункта леммы 2.5.4.
Тогда для любых функций ит, щ G 1>оо(0, Τ; Ζ,4(Ω)η) при почти всех
t G [О, Τ] имеет место оценка:
||5i(^m)W-^iMWIk- ^
^ С6 (\\um(t)\\L4{Q)n + \\u0(t)\\L4{n)n) \\(um - u0)(t)\\L4{n)n.
Оценивая правую часть этого неравенства сверху, получим при
почти всех t G [О, Т] следующую оценку:
||#i(^W-£iMWIIv-i ^
^ C6(||^m||L00(0,T;L4(n)^)-b||^o||L00(0,T;L4(n)^))||^m-^o||L00(0,T;L4(n)^)·
Таким образом, переходя к vrai max в левой части последнего
неравенства, получим, что
\\Bi(um) - ^(Mllwo/riV-M ^
^ C6(||^m||Loo(0,T;L4(n)-) + ||^0||Loo(0,T;L4(n)-))||Wm-^0||Loo(0,T;L4(n)-)·
(5.5.7)
Пусть последовательность {um} G Ζ/οο(0,Τ;Ζ,4(Ω)η) сходится к
некоторой функции uq G Lqo(О, Τ; L^{Q)n). Тогда требуемая непрерьшность
оператора Вх: Loo(0,T;L4(fl)n) -» Ζ/οο(0,Τ; V-1) следует из
неравенства (5.5.7).
3) Для доказательства утверждения этого пункта воспользуемся
теоремой С.4.1. В данном случае мы имеем в обозначениях
теоремы С.4.1:
X = V3, Е = Ь4(П)п, Υ = Ь2(П)п,
F={v:ve Loo(0,T; V3), v' G Loo(0,T;L2(n)n)} .

5.5. Свойства операторов
219
Отметим, что в силу теоремы вложения Соболева имеет место
компактное вложение V3 С L^{Q)n при η = 2,3. Тогда, в силу
уже упомянутой теоремы С.4.1 пространство F компактно вложено
вС{[0,Т\,Ь4(П)п).
Поскольку вложения
C([0,T},V3) С ^(Ο,Τ-,ν3) и Loo(0,T;V3)cLoo(0,T;Li(it)n)
непрерывны, то И^[0, Т] С F, причём вложение непрерывно.
В итоге получим
W2[0,T] С F С С([0,Т},и(П)п) С
С Loo (О, Г; 1,4 (Ω)η) A Loo (О, Г; V-1) С Loo(0,T; V~3),
где первое вложение непрерывно, второе вложение вполне
непрерывно, а третье и пятое вложения и отображение В\ — непрерывны.
Следовательно, для любой функции и G ^[0, Т] получили, что функция
Bi(u) G ^(Ο,Τ;^-3) и отображение Вх : W2[0,T\ -► ^(0,Τ;^"3)
вполне непрерывно. D
Лемма 5.5.8. Отображения В2, В$ обладают следующими
свойствами:
1. При г = 2,3 отображение Bi'. V1 —> V~3 непрерывно и имеет
место следующая оценка
\\Вг(и)\\у-з^С7\\и\\1г (5.5.8)
с постоянной Ст, не зависящей от функции и G V1.
2. При г = 2,3 для любой функции и G Loo(0, T;Vl)
функция Bi(u) G Z/oo(0,T;V~3) и отображение В{: ^(Ο,Τ;^1) -»
—> Lqo(0, Τ; V~3) непрерывно.
3. При г = 2,3 для любой функции и G И^[0,Т] функция Bi(u) G
G Loo(0, Τ; У-3) и отображение Д: И^2[0,Т] -► Loo(0,T;V-3)
вполне непрерывно.
Доказательство. Установим справедливость утверждений для
оператора В2. Случай оператора В$ рассматривается полностью
аналогично.
1) Утверждение первого пункта этой леммы полностью совпадает с
утверждением первого пункта леммы 4.4.6.

220 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
2) Пусть функция и G Loo(0, Т; V1). Тогда, в силу неравенства (5.5.8)
при почти всех t G [0, Τ] получим, что
\\B2(u)(t)\\v-3^C7\\u(t)\\2vl.
Оценивая правую часть этого неравенства сверху, получим, что при
почти всех t G [0, Τ] имеет место оценка
\\B2(u)(t)\\v-3 < C7\\ufLao{0<T.vl),
из которой и следует, что В2(и) G Ζ/οο(0, Τ; V-3).
Для доказательства непрерывности оператора В2: Ζ/οο(0,Τ; V1) —>
—> Lqq(0, Τ; V'-3) воспользуемся вспомогательной оценкой (4.4.24),
полученной при доказательстве первого пункта леммы 4.4.6:
\\B2(Vm) - B2(vo)\\v-3 ^ С8 (\\vm\\vi + ||«о||νι) ||^т ~ Vo\\Vi ·
которая имеет место для любых г?т,г>о G V1.
Таким образом для любых ит,ио G Loo(0,T; V1) при почти всех
t G [0, Т] имеет место неравенство:
\\B2(um)(t) - B2(u0)(t)\\v.3 ^
^ С8 (\\um(t)\\vl + |М*)Ы ll^m " tlo)(*)||vi ·
Оценим правую часть этого неравенства сверху. Получим, что
\\B2(um)(t) - B2(u0)(t)\\v-3 ^
^ С8 (||Wm||Leo(0fr;VM + IMlLooCO/r;^)) IIм™ ~ ^o||Loo(0,T;KM
при почти всех t G [0,Τ].
Перейдём теперь в левой части последнего неравенства к vrai max.
Имеем
\\В2(ит) - B2(u0)\\Loo{0T.v-3) ^
^ С8 (||^m||Loo(0,T;Ki) + H^oHlooCO.TjV1)) WU™ ~ ^o||Loo(0,T;W) · (5'5·9)
Пусть произвольная последовательность {ит} элементов
пространства Loo(0,T; V1) сходится сильно к некоторой функции щ G
G Ζ/οο(0,Τ; V1). Тогда из (5.5.9) следует, что последовательность
{В2(ит)} сходится к B2(uq) по норме пространства Loo(0,T; V~3). A

5.6. Априорные оценки
221
это и означает, что отображение В2: Loo^TjV1) —> Ζ/ο^Ο,Τ; V-3)
непрерывно.
3) Воспользуемся теоремой С.4.1. В данном случае
X = V3, E = V\ Y = V°,
F={v:ve ^(Ο,Γ; V3), ν' G ^(Ο,Γ; V0)}.
Вложение V3 С V1 компактно, поэтому по теореме С.4.1
пространство F компактно вложено в С([0,Т], V1).
Отметим, что W2[0, Т] С F, причём вложение непрерывно. На самом
деле, это следует из непрерывности следующих вложений:
C([0,T],V3)cLoo(0,T;V3) и ^(Ο,Τ;^3) С ^(Ο,Τ; V0).
Таким образом
W2[0,T] С F С С([0,Т], V1) С 1оо(0,Г; V1) Α ^(Ο,Γ; V"3).
Здесь первое и третье вложения непрерывны, второе вложение
компактно и оператор В2 в силу второго пункта этой леммы в
указанных пространствах действует непрерывно. В итоге, для любой
функции и G Wb[0,T] функция В2(и) G Loo(0,T;V~3) и отображение
В2: W2[0, Τ] -► Ьоо(0, Τ; V-3) вполне непрерывно. D
5.6. Априорные оценки
Основной результат настоящего параграфа содержится в
следующем утверждении.
Теорема 5.6.1. Пусть υ G И^[0,Т] —решение уравнения (5.4.5) на
отрезке [0, Т] (Т > 0) при некоторых λ G [0,1], ε > 0. Тогда при почти
всех t G [0, Т] имеет место неравенство
\\v(t)\\Vi + Vie-^2\\v(t)\\v3 + ||t/(t)||v-i +ee-eV(*)||v» <
< C9 (1 + (||«(0)||^ +e\\v(0)fv3) e~Xat). (5.6.1)
Здесь α — постоянная определяемая (5.4.3).
Если ν —решение уравнения (5.4.5) на R+, то неравенство (5.6.1)
выполняется при почти всех t G R+. В неравенстве (5.6.1)
константа Cg we зависит от ε, λ,£ ιι г?.

222 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
Доказательство этого утверждения мы разобьём на две части:
сначала в следующей теореме мы оценим первые два слагаемых, стоящих
в левой части неравенства (5.6.1), которые содержат v(t). А во второй
части доказательства мы оценим два оставшихся слагаемых,
содержащих v'(t).
Теорема 5.6.2. Пусть ν G W^[0,T] —решение уравнения (5.4.5) на
отрезке [Ο,Τ] (Т > 0) при некоторых AG [0,1], ε > 0. Тогда при всех
t G [0, Т] имеет место оценка
\\v(t)\\2vl +ее-«*И*)||2кз ^ С10 (1 + (\\v(0)\\^ + е||^(0)||^з) е"**).
(5.6.2)
с постоянной Сю, не зависящей от λ, ε, υ, t.
Здесь а — константа, определяемая равенством (5.4.3).
Доказательство. Пусть υ G №^[0, Τ]—решение уравнения (5.4.5)
на отрезке [0, Т] (Т > 0) при некоторых AG [0,1] и ε > 0.
Применим (5.4.5) при почти всех t G [0,Т] к v(t). Воспользовавшись
определениями операторов, получим
(υ'{ί)υ{ί)άχ-\Σ ivii^Vj^^^-dx-l·
Ω *Λ = 1 Ω
+ λί/ / Vv(t) : Vv(t) dx + ee~Xat ί V (Δι/(ί)) : V(Av(t)) dx+
Ω Ω
Аналогично доказательству теоремы 4.4.1, воспользовавшись
симметричностью тензора скоростей деформаций £, получим, что
А г ^dvjjt)d2vj(t) J A f u.dvj{t)d2b
OXk

5.6. Априорные оценки
223
Таким образом, тождество (5.6.3) молено записать в виде
/ v'(t)v(t) dx-\jh ίυ{ (t)vj (t) ^^ dx + \v ί Vv(t) : Vv(t) dx+
Ω *'·7 = 1Ω % Ω
+ εβ"λαί fv(Av'(t)) : V(Av)dx + x ί Vt/(t) : Vv{t)dx = X(f,v(t)).
Ω Ω
(5.6.4)
Аналогично доказательству теоремы 4.4.1 преобразуем слагаемые в
левой части последнего равенства:
Jv'(t)v(t)dx=1-± \\v(t)fvo;
Ω
jv(Av'(t)):nAv(t))ac=^jt\\v(t)fv3;
Ω
jW(t):Vv(t)dx=l±\\v(t)fvl;
Ω
*Λ = 1 Ω
Таким образом, (5.6.4) можно переписать следующим образом
~ΙΚ*)ΙΙ2ν«> + l^jtlWfv + f |lK*)H2v +Mv(t)\\U =
Умножим обе части данного равенства на 2:
Оценим правую часть сверху:
2A(/,t;(*)><2A||/||y-i||i;(t)||vi<
< 2λ (±\\f\\2v-> + ^\№\\2ν^ = ±\\ί\\1-> + \φ(ί)\\2νι.

224 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
Здесь мы воспользовались неравенством Коши:
ДЛЯ δ = V.
В итоге получаем выполняющуюся при почти всех t Ε [О, Т] оценку
jt\Ht)fvo+>c±\\v(t)fvl +ee-^jt\\v(t)\\l3+2Xu\\v(t)fvl <
или, что то же самое,
^11«(*)И^оН-«г^||«(*)||^ +^в-АвЛ^||«(*)111гз + АИ1«(*)И^ < ^ll^lllr-ж.
(5.6.5)
Рассмотрим временно на V1 вспомогательную норму
NI2 = HI2vo+*NI2v">
эквивалентную норме || · Цуг ι. На самом деле, из неравенства
Пуанкаре (5.4.4) непосредственно следует оценка
*IMIv" < IMI2 < (с?+ χ)Μν^
которая и означает эквивалентность указанных норм.
Тогда имеем
^\нтЬо+я±\ш\и = ±\№\\2
"M*)ll2v->^^N*)II2 = "N*)II2.
Таким образом, из неравенства (5.6.5) мы получаем неравенство
lllwWf + ee-^^HtJf^ + AaNtjf^^ll/ll2,^.
В первом и третьем слагаемых из левой части выполним
подстановку
v(t) = v(t)exp(-\at/2),

5.6. Априорные оценки
225
Получим:
- Aae-^||t)(i)||2 + e-^±\\v(t)f + £e-^^\\v(t)fv3 +
-λαί||Λ-/.\ΐ|2 ^ ^||i-||2
+ λαε-λΩί|Ηί)||2^-||/|Γν-1.
Приведем подобные слагаемые:
e-XatjtMt)\\2 +ee-Xatjt\\v(t)fv3 < ±тЬ-*·
Умножив обе части последнего неравенства на βλαί, получаем
| (||δ(ί)||2 + ε||«(ί)||2ν,) < $№&-><*«. (5.6.6)
Предположим сначала, что λ φ 0. Проинтегрировав последнее
неравенство по t от 0 до г Ε [0, Т], получаем при всех τ € [0, Τ] имеет место
оценка:
\\ν(τ)\\2 + ε\\ν(τ)\\2ν3 < Ν0)||2 + ε\\υ(0)\\2ν> + ^\\f\\U (*λΩΤ - 1) ·
(5.6.7)
Далее, последнее неравенство верно как при λ > 0, так и при λ = 0
(при λ = 0 проинтегрировав (5.6.6) по t от 0 до г Ε [0, Τ] мы получим
неравенство (5.6.7) при λ = 0).
Умножив обе части (5.6.7) на е_Аат, получим:
\\v(T)f + se-^\\v(r)\\2v3 < ^-ll/ll2,-. + (IM0)||2+eM0)||2V3)e-
Отсюда и следует доказываемая оценка, так как в силу
эквивалентности норм || · || и || · || vi имеем
\\ν(τ)\\2νι +«Γβ4Κτ)||2,, < С„ (|Кт)||2 + ee-^\\v{r)\\2v3),
И
^ΙΙ/ΙΙν-ι + (И0)||2 + ε|Κ0)||2ν3) β-λ*τ <
^ С12 (1 + (\\v(0)fvl + e\\v(0)fv3) e-x^).
Π

226 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
Теорема 5.6.3. Для любой функции и G V1 имеет место оценка
||/ - vAu + Вг(и) + нВ2(и) + xB3(u)\\v-3 ^ С13 (1 + \\u\\2vl) (5.6.8)
с постоянной С13, не зависящей от и.
Доказательство. В силу непрерывных вложений
V~3 С V-1 и V1 С Ζ,4(Ω)η
имеют место следующие оценки:
||u>i||v-3 ^ Ci4||^i||vr-1? Для любого W\ G V-1;
IW|L4(n)» ^ Cl5||^2|ki ДЛЯ ЛЮбоГО W2 G V1.
Используя оценку (5.5.1), для произвольной функции и G V1 имеем
\\Аи\\у-з ^ Ci4||i4ti||v-i ^ Сы\\и\\уг ^ С14(1 + \\и\\2у1). (5.6.9)
Здесь мы воспользовались неравенством:
6 ^ 1 + б2,
которое имеет место для любого Ь G К.
В силу оценки (5.5.6) для любой функции и G V1 получим
l|Bi(ti)i|v-3 <Ci4||Bi(ti)Hv-i ^^5α14||^ιι14(Ω)η ^C5C14c15ni^.
(5.6.10)
Напомним также, что из (5.5.8) для любой функции и G V1 имеем
\\B2(u)\\v-z^C7\\u\\2vl] (5.6.11)
||Bs(u)lk-3<C7|Mlvi· <5·6·12)
Таким образом, из (5.6.9)-(5.6.12) для любой функции и G V1
получаем
||/ - vAu + Вх(и) + хБ2(и) + хВз(и)||у-з ^ ll/llv-з + ι/ РЧ1к-з +
+ ||Bi(ti)||v-3 + x||B2(ti)||v-3 + x||B3(ti)||v-3< ||/Hv-3 +
+ i/Ci4(l + lltill^O + CsCuCislltill^i +2xC7||ti||^i < Ci3 (1 + N1^0,
что и требовалось доказать. П

5.6. Априорные оценки
227
Теорема 5.6.4. Пусть ν Ε И^2[0,Т] —решение уравнения (5.4.5) на
отрезке [О,Г], (Т > 0) при некоторых λ Ε [0,1], ε > 0. Тогда при
почти всех t Ε [0, Τ] имеет место оценка
||t/(t)||v-i +*e-°V(*)llv-» < de (1 + (Ν0)||£ι + Ф(0)||2Кз) e~Xat)
(5.6.13)
с постоянной Cie, не зависящей от λ, ε, г?, £.
Здесь α — постоянная, определяемая равенством (5.4.3).
Доказательство. Так как функция ν Ε И^[0, Τ] является
решением уравнения (5.4.5) на отрезке [0, Г], (Т > 0) при некоторых λ Ε [0,1],
ε > 0, то при почти всех t Ε [0, Τ] справедливо равенство
(J + ee~XatN + xA)v'(t) + λ (i/Av(t) - Βι(ν)(ί) - χΒ2(«)(*)-
- хЯ3(«)(*)) = λ/,
которое можно переписать в следующем виде:
(J + ee~XatN + χΑ)υ'(ί) =
= λ (/ - vAv(t) + Bi(v)(t) + xB2(v)(t) + xB3(v)(t)).
При помощи неравенства (5.6.8) мы можем оценить правую часть
последнего равенства при почти всех t € [0, Τ] следующим образом:
||Л (/ - vAv(t) + Bi(»)(t) + xB2(v)(t) + xB3{v){t)) \\v-, ^
^ A||/ - uAv{t) + Bi(v)(t) + xB2{v)(t) + xB3{v){t)\\v-3 <
<c13(i + lKt)||^)·
Здесь мы воспользовались тем, что λ ^ 1.
Таким образом, получим, что при почти всех t Ε [0, Τ] имеет место
неравенство:
\\(J + ee-XcxtN + xA)v'(t)\\v-* < C13 (1 + Ν*)||^) (5.6.14)
с константой С13, не зависящей от λ, ε, υ, t.
Далее, воспользовавшись неравенством (5.5.4), при почти всех t E
Ε [0, Τ] получим неравенство:
ee-Xat\\v'(t)\\V3 <ζ \\(J + €e-XatN + xA)v'(t)\\v-3. (5.6.15)
Таким образом, из (5.6.14), (5.6.15) при почти всех t Ε [0, Τ] имеет
место неравенство:
ee-Xat\\v'(t)\\v> < С13 (1 + ||«(ί)||^) · (5.6.16)

228 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
Аналогично предыдущему, если υ € И^[0, Т] является решением
уравнения (5.4.5) на отрезке [О, Г], (Г > 0) при некоторых λ € [0,1],
ε > 0, то при почти всех t € [0, Г] справедливо следующее равенство:
(J+xA)v'(t) = N(ee-Xatv'(t))+
+ λ (/ - uAv{t) + Bi(v)(t) + xB2(v)(t) + xB3(v){t)).
Аналогично, оценивая правую часть последнего равенства с
помощью неравенства (5.6.8) и пользуясь тем, что А < 1, при почти всех
t € [0, Т] получим
\\N(ee-Xatv'(t))+
+ λ (/ - uAv(t) + Bi(v)(t) + xB2(v)(t) + xB3(v)(t)) \\v-3 «ζ
< \\N(ee-Xatv'(t))\\v-3+
+ ||/ - uAv{t) + Βι(υ)(ί) + xB2(v)(t) + xB3{v)(t)\\v-3 ζ
< ||W(ee-A*V(i))llv-3 + C13 (1 + \\v(t)\\2vl) <
учитывая неравенство (5.5.2), имеем
^ ||ee-AaV(i)||v,3 + Cl3 (1 + \\v(t)\\2vl) <
< ee-Xat\\v'(t)\\v3 + C13 (1 + И*)||^) <
наконец, воспользовавшись неравенством (5.6.16), получим
<2С13(1 + И*)||^)·
В итоге при почти всех t Ε [0, Τ] имеем оценку:
||(J + xA)v'(t)\\v-s ζ 2С13 (1 + \\v(t)\\2vl) · (5.6.17)
В силу неравенства (5.5.3) при почти всех t Ε [0, Τ] выполнено, что
C2||t/(t)||v-i < ||(7 + хЛУ(*)|к-з. (5.6.18)
Таким образом, из (5.6.17) и (5.6.18) при почти всех t Ε [0,Г] имеет
место неравенство:
ΙΗ*)ΙΙν-ι<^(ι + ΙΚ<)ΙΙ2νΟ·
Складывая последнее неравенство с (5.6.16), получаем, что
\№\\у-г +ee-et||t/(t)||v. < (^ +С13) (1 + \№\\2ν>).

5.7. Существование решений
229
Наконец, оценивая правую часть последнего неравенства с помощью
неравенства (5.6.2), мы и получаем требуемую оценку (5.6.13). D
Теперь мы в состоянии перейти к доказательству теоремы 5.6.1.
Доказательство теоремы 5.6.1. Поскольку, при всех t Ε [О, Τ]
мы имеем, что
\\v{t)\\v^\ + \\v{t)\\2vl
и
^β-Ωί/2|Κί)||„3 < 1 + ee-at\\v(t)\\2v>,
то из неравенства (5.6.2) получаем
\\v(t)\\vl + Vte-at'2\\v(t)\\v3 ζ 2 + ||«(t)||^ + ее-*(|К*)||2^ <
< 2 + C10 (1 + (||«(0)||^ + e\\v(0)\\2v3) e~Xat) <
< C17 (1 + (\H0)fvl + e\\v(0)fv3)e-Xat).
Отсюда и из (5.6.13) и следует требуемая оценка (5.6.1). D
5.7. Существование решений
Рассмотрим следующее семейство операторов, зависящее от
параметра λ G [0,1]:
LA: W2[0,T\ -> £«,((),Г; V~3) x V\
Lx(v) = ((J + ee-XaN + x4)t/, v(0)) ;
и оператор
К: W2[0,T] -> Loo(0,r; V"3) x V3,
Κ (ν) = (у Αν - Βι(ν) - нВ2(у) - χΒ2(υ), 0).
Лемма 5.7.1. При любом λ Ε [0,1] оператор
Lx: W2[0,T] -> Loo(0,r; V~3) x V3
обратим и обратный оператор L^l(g,a) непрерывен по совокупности
переменных д G Loo(0,T; V~3), α € V3, λ € [0,1].

230 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
Доказательство. Чтобы доказать существование обратного
оператора, рассмотрим уравнение
Lx(v) = (g,a), (5.7.1)
где в правой части д G Lqo(0,T; V~3), a G V3, и получим явную
формулу для решения этого уравнения. Уравнение (5.7.1) эквивалентно
уравнению
(J + ee-χαΝ + κΑ)υ' = д, (5.7.2)
снабженному начальным условием
v(0) = a. (5.7.3)
По лемме 5.5.5 в силу обратимости оператора
(J + εβ-ΧαΝ + хА) : £«,((), Г; V3) -> £«,((),Г; V~3)
из уравнения (5.7.2) молено выразить ν':
υ' = {J + ee.XaN + яА)~1д, (5.7.4)
при этом υ' G Loo(0,T; V3).
Проинтегрируем (5.7.4) от 0 до t, где t G [0,Т]. Тогда с учетом
начального условия (5.7.3), получим
t
v(t) = a+ f{J + ee-XasN + xA)-lg{s)ds, t G [0,T]. (5.7.5)
о
Таким образом, если решение уравнения (5.7.1) существует, то оно
дается формулой (5.7.5) и потому единственно.
Покажем, что формула (5.7.5) действительно определяет решение
уравнения. По лемме 5.5.5 подынтегральная функция принадлежит
пространству Ζ^Ο,Τ; V3), поэтому υ G C([0,T],V3).
Продифференцировав (5.7.5), получаем, что производная υ' удовлетворяет
уравнению (5.7.4) и, следовательно, принадлежит Loo(0,T; V3). Таким
образом, υ G И^2[0,Т]. Следовательно, ν удовлетворяет уравнению (5.7.2)
и начальному условию (5.7.3), поэтому υ является решением
уравнения (5.7.1).
Таким образом, обратимость оператора L\ доказана, а
формула (5.7.5) является явным выражением обратного оператора L^1.

5.7. Существование решений
231
Докажем непрерывность обратного оператора. Рассмотрим
сходящиеся последовательности дт —> до в Ζ/οο(0,Τ; V-3), ат —> ао в V3,
Аш -> λ0. Пусть
vm = L^m(gm,am), vq = L^(go,a0).
В соответствии с (5.7.4) имеем
v'm = (J + εε-XmaN + Xi4)_1^m,
и в силу леммы 5.5.6 получаем, что производные v'm сходятся к υ'0 по
норме Loo (О, Т; У3).
Тогда для самих функций имеем
\vm ~ vo\\c([o,T],v*) = max
a0 +
τ
ds
Q>m
^ ||am-ao||K3+T||^-^||Loo(0,T;K3) -► 0.
v3
Таким образом, последовательность {vm} сходится к vq в
пространстве W2 [0, Τ], и непрерывность обратного оператора доказана. D
Лемма 5.7.2. Оператор К: W2[0, Τ] -► Loo(0, Г; У-3) χ V3
является компактным.
Доказательство. Утверждение следует из определения оператора
К и компактности операторов А и В ι (г = 1,2,3) в соответствующих
пространствах (см. леммы 5.5.1, 5.5.7, 5.5.8). D
Лемма 5.7.3. На любом отрезке [0,Т] существует решение
уравнения (5.4.6), удовлетворяющее начальному условию (5.4.2) с
произвольным a Ε V3.
Доказательство. Рассмотрим семейство уравнений
Lxv + \K{v) = \{f,a),
(5.7.6)
зависящих от параметра λ Ε [0,1]. Уравнения этого семейства
эквивалентны уравнениям (5.4.5), снабженным начальными условиями
ν(0) = λα.

232 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
В частности, уравнение (5.7.6), соответствующее значению
параметра λ = 1, эквивалентно уравнению (5.4.6), снабженному начальным
условием (5.4.2). Из неравенства (5.6.1) следует, что решения этого
семейства уравнений (если они существуют) удовлетворяют при почти
всех t Ε [О, Т] неравенствам:
yTee-«t/2\Ht)\\vz < С9 (1 + (||λα||^ + ε||λα||2ν3) e~Xat);
ee~at\\v'(t)\\v3 < C9 (l + (HAoll^i + ε\\Χα\\2ν3) e~Xat).
Поскольку Α ζ 1 и e~Xat ^ 1, то решения данного семейства
уравнений удовлетворяют при почти всех t Ε [О, Τ] также неравенствам:
y/ϊε-^2\\v{t)\\v* ^ С9 (1 + ||α||^χ +ε||α|β3);
ee-at\\v'(t)\\V3 ζ C9 (1 + ||ο||^ι + ε||α||^3).
Отсюда следует, что для решений имеет место следующая априорная
оценка:
IMIw2[ofT] = IMIc([o,t],v3) + II^IUeoio.TiV3) < Cie, (5.7.7)
с константой C\s,
/ qT/2 aT\
C18 = С. (1 + ||а||^ + £||а||2,,з) \^=- + *—) .
Отметим, что С is не зависит от λ, но зависит от остальных параметров
уравнения.
Воспользовавшись обратимостью оператора L\ (лемма 5.7.1),
перейдем от (5.7.6) к эквивалентному уравнению
v-\L^((f,a)~K(v)) = 0. (5.7.8)
Оператор АЬдХ((/, а) — К (ν)) компактен по совокупности
переменных λ, г?, что следует из компактности оператора К (лемма 5.7.2) и
непрерывности оператора L^1 (лемма 5.7.1). На самом деле, оператор
AL^ *((/, а) — К (ν)) можно представить в виде композиции
компактного отображения
/ х ((/,а)-К): [0,1] х W2[0,T] -> [0,1] х (£«,((),Г; V"3) х V3)
и непрерывного отображения
AL^1: [0,1] х (Ьоо(0,Т;У-3) х V3) -»· W2[0,T].

5.7. Существование решений
233
В частности, при фиксированном λ оператор
I-\L^((f,a)-\K)
представляет собой вполне непрерывное векторное поле. В силу
априорной оценки (5.7.7) это векторное поле не обращается в 0 на границе
шара Bcls+i радиуса С\% + 1 с центром в нуле. Поэтому
топологическая степень Лере—Шаудера векторного поля определена при каждом
λ Ε [0,1], и отображение
Φ(Χ,ν) = ν-Χ^1((/,α)-ΧΚ(ν))
является гомотопией на шаре Bcls+i вполне непрерывных векторных
полей
Ф(0,.) = / и Ф(1,.) = 1-^1((/,а)-К(-)).
В силу гомотопической инвариантности степени Лере—Шаудера
получим, что
degLS(/ - if1 ((/,<*) - *(·)), Вс+ι,Ο) = degLS(I,BClB+i,0) = 1.
Поскольку степень поля / — Lf1((/, α) — К(-)) отлична от 0, то
существует по крайней мере одно решение ν Ε И^[0,Т] операторного
уравнения
V-LZH(M)-K(v)) = 0.
Это уравнение эквивалентно уравнению (5.7.6) с λ = 1, а оно, в свою
очередь, эквивалентно задаче (5.4.6), (5.4.2). Следовательно,
разрешимость задачи доказана. D
В дальнейшем будут доказываться два утверждения, содержащие
предельный переход: о существовании решений аппроксимационного
уравнения, определенных на полуоси R+, и о предельном переходе к
решению исходной задачи. Чтобы не повторять рассуждения два раза,
соберем нужные утверждения технического характера в одной лемме.
Лемма 5.7.4. Пусть {vm} — ограниченная последовательность в
пространстве Loo(0,T; V1), а последовательность производных {v'm}
ограничена в Lqo(0, T; V-1). Тогда имеют место следующие
утверждения:
1. Последовательность {ут} относительно компактна в
пространстве С(0, Г; Vl~s).

234 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
2. Существует подпоследовательность {vmk}, сходящаяся к
предельной функции ν* в пространстве С(0,Т; V1-*), причем
имеют место предельные соотношения
Avmk -* Αν* слабо в L2(0,T; V-1); (5.7.9)
(/ + нА)у'Шк -* (I + κΑ)ν'+ слабо в L2(0,T; V~3); (5.7.10)
Bi(vmk) -* Βι(ϋ*) сильно в £«,(0,Τ; У-1); (5.7.11)
ftKiJ ^ Я2Ы слабо β L2(0,T; V"3); (5.7.12)
ВзК*) ^ #зЫ слабо в L2(0,T; V"3). (5.7.13)
5. Если последовательность {v'm} ограничена в норме
пространства -L/QO
(0,Т, V3), то без ограничения общности можно
считать, что
Nv'mk -* Νυ'* слабо в L2(0,T; У"3). (5.7.14)
4- Если ет —> 0 — такая числовая последовательность, что
последовательность {smv'm} ограничена в норме пространства
-^оо(0, Г, У3), то без огратшчетшл общности можно считать,
что
^rnkNvfmk -* 0 слабо β L2(0,T; V"3). (5.7.15)
Доказательство, i^ Воспользуемся теоремой С.4.1. В данном
случае
X = V\ E = Vl~s, Y = V~\
F = {v:ve ^(Ο,Γ; V1); ν' G ^(Ο,Τ; V"1)}.
Так как вложение V1 С Vl~s компактно, то выполнены все условия
теоремы С.4.1 и из неё следует, что пространство F компактно вложено
ΒΟφ,τι,ν1-').
Из условий леммы следует, что последовательность {ут} ограничена
в F, поэтому она относительно компактна в С([0,Т], V1-*). Заменив в
этих рассуждениях δ на ^, делаем вывод, что последовательность {vm}
относительно компактна и в пространстве С([0,Т], V3/4).
2) Последовательность {vm} относительно компактна в
пространстве С([0,Т], Vl~s), поэтому она имеет подпоследовательность {vmfc},
сходящуюся вС([0,Т],У1_<*)к некоторой функции г?*. Тогда
vmk ~~* vmk B смысле распределений 2)'(0,Т; V-3).

5.7. Существование решений
235
Перейдем от нерефлексивных пространств L^ к рефлексивным
пространствам Lp, чтобы можно было воспользоваться слабой
компактностью ограниченных множеств. Поскольку пространство L^
непрерывно вкладывается в Lp с ρ ^ 1, то последовательности {vm} и {v'm}
ограничены в нормах пространств 1/4(0, Т; V1) и 1/2(0, Т; V~l)
соответственно. Следовательно, без ограничения общности молено считать,
что
ν* слабовЬ2(0,Т;У1), (5.7.16)
слабо в Ζ/2(0,Γ; V"1). (5.7.17)
В силу леммы 5.5.1 линейный оператор А: 1/2(0,Т;У1) —>
—> L2(0,T;V_1) ограничен. Значит он переводит слабо сходящуюся
последовательность в слабо сходящуюся. Таким образом из
сходимости (5.7.16) непосредственно следует сходимость (5.7.9).
Аналогично, лемма 5.5.3 даёт нам непрерывность линейного
оператора J + нА\ L2(0,T;V-1) -► L2(0,T;V-3). Следовательно, в силу
сходимости (5.7.17) получаем сходимость (5.7.10).
Выше было показано, что последовательность {vm} относительно
компактна в С([0, Т], V3/4). Следовательно, без ограничения общности
молено считать, что {vmk} сходится к г?* в С([0,Т],У3/4). Так как при
η = 2,3 имеют место вложения У3/4 С (#3/4(Ω))η С Ζ/4(Ω)η, то
иТПк
-► ν* сильно в Loo(0,Г; Ζ/4(Ω)η). (5.7.18)
Таким образом соотношение (5.7.11) следует из непрерывности
оператора Bi : Loo(0,T;L4(n)n) -» Ζ/οο(0,Τ; V-1), доказанной в
лемме 5.5.7.
Переходим к доказательству сходимостей (5.7.12) и (5.7.13).
Требуется доказать, что для всякой функции φ Ε 1^(0, Τ; V3) имеют место
сходимости:
^«WiMi^
JJ l^^Mt) dx. dXidXk
0 Ω гЛ'Л—х
ο ω *.i.*=1

236 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
J J .^,(t^)fc(t) dXi dXidxkdxdt
0 Ω *»J,*=1
->
-»
fit™**®*®**, (-о,
Ω *.J.fc=1
Поскольку в силу (5.7.18) последовательность {t?mfc} сходится
сильно к г?* в Ζ/οο(0, Τ; Ζ/4(Ω)η), а в силу (5.7.16) последовательность {Vvmfc }
сходится слабо к Vv* в /^(Ο,Τ; Ζ/2(Ω)η ), то их произведение сходится
слабо к произведению пределов. Отсюда и следуют сходимости (5.7.20)
и (5.7.19), которые и означают сходимости (5.7.12) и (5.7.13).
3) Без ограничения общности можно считать, что {^fc}
сходится к v+ слабо в 1/2(0, Т, V3). В силу леммы 5.5.2 линейный оператор
N: 1,2(0,Т, V3) —> 1/г(0,Т, V-3) непрерывен, поэтому мы и имеем
слабую сходимость (5.7.14).
4) Без ограничения общности можно считать, что
последовательность {smkvfmk} слабо сходится в 1/г(0,Т, V3) к некоторой предельной
функции и. Линейный оператор N: £г(0, Т, V3) —> 1/г(0, Т, V-3)
непрерывен (лемма 5.5.2), поэтому имеем слабую сходимость
N{emv'm) -* Νυ"
Покажем, что Nu = 0. Возьмем некоторую функцию φ Ε Е^. Для
произвольной функции χ G Σ)(0, Τ) имеем
lim
к—>оо
lim
= lim emk lim
/с—>оо /с—>оо
J(N{emt/m(t)),<p)
О
У" ( У V (A(emkv'mk(t))) : V(A<p)dx J χ(ί)Λ
J" ί jv(A(v'mk(t))) : ν(Δ^)ώ| χ(ί)Λ
y*i|A(^fc(i))(AV)^)x(i)di
= lim emk lim
/с—юо /с—>oo

5.7. Существование решений
237
lim еШк lim
к—>оо к—>оо
= lim етк lim
к—>оо /с—>оо
= lim emfc lim
/с—>оо /с—>оо
= lim етк lim
fc—>oo к—>оо
О \Ω
/i/v(t/WfcW):V(AV)drjX(*)dti
О \Ω /
f(Jv(v'mk(t))x(t)dt\ :ν{Δ?φ)άχ\
Ω \0 /
/ [/v(t;mfcW)x'W*J : ν(Α2φ)άχ
\ ί / Vvmk (*) : V(AV) ώ ) χ'(*) Λ
0 \Ω
(t):V(AV)^U'W*
lim emfc = 0.
к—><х>
Это значит, что последовательность {N {emkv'mk, φ) сходится к 0 в
смысле распределений. Следовательно,
(Nu, φ) = 0
(5.7.21)
почти всюду.
Рассмотрим теперь счетное множество {φι} С Е^, плотное в V3. Из
равенства (5.7.21) следует, что для всех t из некоторого подмножества
полной меры отрезка [0, Т] имеем
(Νη(ί),φι) = 0
при каждом I. В силу плотности множества {φι} отсюда следует, что
Nu(t) = 0 при почти всех £, что и требовалось. D
Теорема 5.7.1. При любом a G V3 задача (5.4.6), (5.4.2) умеет
решение на полуоси R+.
Доказательство. Пусть vm —решение задачи (5.4.6), (5.4.2) на
отрезке [0,га] (га = 1,2,...), которое существует согласно лемме 5.7.3.
Продолжим функции vm на полуось R+ следующим образом:
Л fv(t), O^t^ra,
vm(t) = <
I г?(га), £ > га.

238 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
Исходя из продолжения, функции vm принадлежат пространству
И/Г2°С(К_|_). Покажем, что последовательность {vm} относительно
компактна в С(Ш+,У1~5). Согласно лемме 5.2.1 для этого достаточно
установить, что для любого Τ > О последовательность ограничений
{ПтУщ} относительно компактна в пространстве С([0,Т], V1-*).
Возьмем произвольное Τ > 0. Отбросив, возможно, несколько
первых членов последовательности, можем считать, что функции {Ibr^m}
являются решениями задачи (5.4.6), (5.4.2) на отрезке [0,Т]. Так как
функции ИтУщ имеют одно и то лее значение при t = 0, то из
теоремы 5.6.1 следует, что они удовлетворяют при почти всех t Ε [0, Τ]
следующим оценкам:
||Πτ«„(*)||νι < С9 (1 + (\\a\\2vl + е\\а\\2у3) e~at) ;
^е-а4/2||ПтЙт(*)||„з < С9 (1 + (\\a\\2vl + ε||α||2/3) e~at);
Ι|Πτ^(ί)||ν- < С9 (1 + (||α||2ν1 + e\\a\\U) e~at);
ee-at\\UTu'm(t)\\v3 < C9 (l + (\\a\\2vl +e\\a\\2v3) e~at).
Далее, так как e~at < 1, то функции П.тйт удовлетворяют при почти
всех t € [0, Т] также неравенствам
||Пт«т(*)||^ < С9 (1 + \\а\\2у1 + ε\\α\\2γ3);
v^e-Qf/2||nTi)m(i)lk3 < С9 (1 + \\α\\2νι + ε||α||2/3);
Ι|Πτ«^(*)||ν-ι < С9 (1 + \\а\\2у1 +e||o||^,) ;
εβ-αί||Πτ^(ί)||ν3 < С9 (1 + Η2,, + ε||α||2/3).
Отсюда следует, что для решений имеет место оценка:
HnrVmllLeoCO.TjV1) + HnrVmllLeoCO.TjV3) + ||Пт#т1коо(0,Т;У3) +
+ Ι|ΠΤ^ΙΙ^(0,Τ;Κ-Μ < С™ (5·7·22)
с постоянной Cig, не зависящей от т :
/ еаТ/2 е<*Т\
С19 = С9 (1 + \\а\\1г + ε||α||£3) (2 + —^- + — J .
Таким образом, последовательность {1Ьгг)та} ограничена в
А»(0>Г; V1)» а последовательность производных {П^г)^} ограничена
в Loo(0, T; V-1). По первому пункту леммы 5.7.4 последовательность
{ИтУщ} относительно компактна в С([0,Т], V1"*), что и требовалось.

5.7. Существование решений
239
Таким образом, последовательность {vm} содержит
подпоследовательность {vmk}, сходящуюся в C(R+, V1-6) к некоторой функции г?*.
Покажем, что эта предельная функция является искомым решением
задачи (5.4.6), (5.4.2) на R+.
Убедимся, что функция г>* принадлежит пространству И^2°с(^+)·
Из оценки (5.7.22) следует, что при произвольном Τ > О
последовательности {ПтУтк} и {Цтъ'тк} ограничены в Ζ/ο^Ο,Τ; V3),
поэтому без ограничения общности можно считать, что они сходятся *-
слабо в Loo(0,T;V3) соответственно к г?» и некоторой функции и Ε
Ε Loo(0, T; V3). Однако в смысле распределений на (0,Т) со
значениями в V-3 производные {П^й^} сходятся к г>*, поэтому и = 1Ьтг£.
Таким образом, функция Пт^* принадлежит пространству /^(О, Т; V3)
вместе со своей производной. Отсюда следует, что функция Птг>* пред-
ставима в виде интеграла с переменным верхним пределом и потому
непрерывна со значениями в V3. Следовательно, Utv* принадлежит
И^[0, Т]. Это верно для любого Т, так что г>* принадлежит И^2°с0^+)>
что и требовалось.
Из сходимости в С([0,T],V1-i) следует поточечная. Так как все
функции {vmk} удовлетворяют одному и тому же начальному
условию и последовательность {vmk } сходится поточечно, то г>* тоже
удовлетворяет начальному условию (5.4.2). Остаётся проверить, что эта
функция является решением уравнения (5.4.6). Для этого нужно
установить, что ограничение ϋχν* на всякий отрезок [Ο,Τ] (Τ > 0)
является решением уравнения (5.4.6) на этом отрезке.
Из сходимости последовательности {vmk} к г?* в C(R+,V°)
следует сходимость ограничений {ИтУтк} к Π^ν* в С([0,Т], V0). Начиная
с некоторого номера функции Нтйтк являются решениями
уравнения (5.4.6), то есть удовлетворяют следующему равенству:
(J + xA)UTv'mk + vAnTvmk + eMITi!»fc - #i(nTi)mfc)-
- xB2(UTvmk) - хВ3(ПТутк) = f. (5.7.23)
Из неравенства (5.7.22) следует, что последовательность {ИтУтк}
ограничена в Loo(0,T; V1), а последовательность производных
{Н-ту'тк} ограничена в Z/oo(0,Г; V-1) и L^O, T; V3), то есть
выполнены условия леммы 5.7.4. Согласно этой лемме, без ограничения
общности можно считать, что (5.7.23) сходится к следующему тождеству
(J + хА)ПтЧ + i/AILtv* + εΛ/ΊΙτ4 - Bi(UTv*) - κΒ2(ΙΙτν*)-
-xB3(UTv*) = f

240 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
например, слабо в Ьг(0, Т; V-3). Это и означает, что П^г?* является
решением уравнения (5.4.6) на [0,Т], что и требовалось доказать. D
Теорема 5.7.2. При любом a G V1 задача (5.4.1), (5.4.2) имеет
решение на полуоси R+, удовлетворяющее неравенству
\\v(t)\\vi + \W{t)\\v-i < C20 (1 + |K0)||2v,ie-at) (5.7.24)
при почти всех t > 0.
Здесь Сго — постоянная, зависящая от параметров задачи и не
зависящая от v. Константа а определяется равенством (5.4.3).
Доказательство. Поскольку V3 плотно в V1, то для любого a G V1
найдется последовательность {ат} С V3, такая что \\ат — α\\γι —> 0.
Положим
1
mmax{||am||^3,l}'
В этом случае, имеем, что еш —> 0 и
£m||am||^3 <1. (5.7.25)
По теореме 5.7.1 для каждого ат Ε V3 на R1 существует решение
ут уравнения (5.4.6) с ε = ет, удовлетворяющее начальному условию
vm(0) = am.
В силу теоремы 5.6.1 с учетом неравенства (5.7.25) имеет место
оценка:
ll«m(*)lki + ||t/m(*)lk-i+eme-et||t;^(t)||V3 < С9 (1 + (||am||^ + l) e~at)
(5.7.26)
При каждом га это неравенство выполняется при всех t Ε K+ \Qm> гДе
Qm — некоторое множество меры нуль. Поэтому при всех t Ε K+\Q, где
Q = UmQm — множество меры нуль, данное неравенство выполняется
для каждого га.
Покажем, что последовательность {vm} относительно компактна в
пространстве C(R+, V1_i). Согласно лемме 5.2.1 для этого достаточно
установить, что для любого Τ > 0 последовательность ограничений
{UrVm} относительно компактна в С([0, Г], V1-5). Однако это следует
из первого пункта леммы 5.7.4, так как из оценки (5.7.26) мы имеем,
что последовательность {ИтУт} ограничена в Loo(0,T; V1), а
последовательность производных {Πτ*4ι} ограничена в Loo(0,T; V-1).

5.7. Существование решений
241
Так как последовательность {г»т} относительно компактна, то она
содержит подпоследовательность {vmk}, сходящуюся в C(R+, V1_i) к
некоторой функции г»*. Покажем, что г»* является искомым решением.
Сначала заметим, что г>* принадлежит пространству И^1ос(М+). В
самом деле, из оценки (5.7.26) следует, что при произвольном Τ > О
последовательности {ИтУтк} и {Н-ту'тк} ограничены в Loo(0,T; V1),
Lqo(О,Τ; V-1). Поэтому, без ограничения общности, можно считать,
что последовательность {П.тУтк} сходится *-слабо в Loo(0,T; V1) кг?*.
Аналогично, без ограничения общности, можно считать, что
последовательность {Птг^} сходится *-слабо в Loo(0,T; V-1) к некоторой
функции и € Loo(0,T; V-1). Однако, в смысле распределений на (0,Т)
со значениями в V-3 последовательность {П^г)^} сходится к г£,
поэтому и = Htv*. Таким образом, функция ϋτν* принадлежит
пространству Loo(0,T; V1), а ее производная — пространству Loo(0,T; V-1), то
есть Птг>* Ε И^[0, Т]. Поскольку это верно для любого Т, то г>*
принадлежит W^oc(R+), что и требовалось.
Покажем, что для г>* выполняется начальное условие (5.4.2). Из
сходимости в C(R+, V1-6) следует поточечная сходимость, поэтому
Omfc=t>mfc(0)->W*(0) bV1-*.
Однако, в силу нашего выбора последовательности {ат} мы
имеем, что атк —> а в V1, поэтому г>*(0) = а, то есть начальное условие
удовлетворяется.
Проверим, что функция г>* является решением уравнения (5.4.1) на
R+. Для этого нужно установить, что ограничение Htv* на всякий
отрезок [О, Г] (Т > 0) является решением уравнения (5.4.1) на этом
отрезке.
Из сходимости последовательности {vmk } к г>* в C(R+, Vl~s) следует
сходимость ограничений {ПтУтк} к Птг>* в С([0,Т], V1-*). Функции
Итутк являются решениями уравнения (5.4.6), то есть
(J + яА)ПТу'тк + vATlTvmk + emkNTiTv'mk-
- Bi(UTVmk) - хБ2(Птг)т,) - xB3(UTvmk) = /. (5.7.27)
Из неравенства (5.7.26) следует, что последовательность {П.тУтк}
ограничена в Loo(0, T; V1), а последовательность производных
{TiTVfmk} ограничена в Loo(0,T; V-1), при этом последовательность
emv' ограничена в Loo(0,T; V3) и в силу нашего выбора ет —> 0.
Поэтому по лемме 5.7.4 без ограничения общности молено считать, что

242 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
левая часть (5.7.27) сходится к
(J+ хЛЩтЧ + vAHTv* - Βι(Πτ^) - хБ2(Пт^) - κΒ3(ΙΙτυ*)
например, слабо в 1,2(0,Т; V-3). Это значит, что функция г>*
удовлетворяет уравнению
(J + хЛК + "Αυ* - Вг(у*) - κΒ2(ν*) - κΒ3(ν.) = f (5.7.28)
при почти всех t из произвольного промежутка (0,Т), а значит, при
почти всех t > 0. Применим обе части этого равенства к
произвольной функции φ G V3. С учётом определения входящих в уравнение
функционалов, получим:
п Г Л Г
((J + κΑ)ν'„φ) ~ Σ v*iv*j-^-i-dx + L·' / Vv* : 4φάχ-
*Λ'=1 Ω * Ω
..k /^^-^^ώ-κ.ΣJ^^-d^-kdx =
= </,¥>>· (5.7.29)
Таким образом, функция г?* при почти всех t из произвольного
промежутка (0, Т) (а значит, при почти всех t > 0) и для любой пробной
функции <£> Ε V3 удовлетворяет соотношению (5.7.29), то есть г>*
является решением задачи (5.4.1), (5.4.2).
Остается доказать неравенство (5.7.24). Отбрасывая часть
неотрицательных слагаемых в левой части (5.7.26), получаем неравенство
\\vmk(t)\\vi ^ С9 (1 + (\\amk\\U + 1) e-at) · (5.7.30)
Это неравенство выполняется для каждого к при всех £,
принадлежащих некоторому (не зависящему от к) подмножеству R+
полной меры. Возьмем некоторое такое t. Прежде всего отметим, что
vmk(t) —> v*(t) в V1-5, так как из сходимости в C(R+, V1-5)
следует поточечная сходимость.
Далее, из неравенства (5.7.30) следует, что последовательность
{vmk(t)} ограничена в V1. Следовательно, она содержит
подпоследовательность vi(t), слабо сходящуюся в V1 к v*(t). Поэтому
\\v.(t)\\Vi < Jim ||fi,(t)||vi < С9 (1 + (||а||2^ + 1) e~at).

5.8. Пространство траекторий и аттракторы
243
Таким образом, для почти всех t Ε Ш+ имеем оценку
KWIIvi < с9 (ι + (IHIv" +!)e_Qi) · (5·7·31)
Оценим теперь значение производной ν+(ί). Так как функция υ'+
удовлетворяет уравнению (5.7.28), то имеет место равенство
(J + xA)v'+ = f - ν Αν* + Βι(ν,) + хВ2Ы + х#зЫ·
По теореме 5.6.3 правая часть этого тождества допускает оценку
||/ - vAv.(t) + ΒιΜ*)) + χΒ2(ν·(*)) + χΒ3Μ*))||ν-3 <
<Ci3(l + |M*)||£i),
откуда
||(J + xi4K(t)||v-» < C13 (1 + \\v.(t)\\v>) ■
В силу неравенства (5.5.3) имеем
C2|Ht)||v-i<||(J + x4)t/(t)||v-».
Таким образом получили, что
ΙΚ(ί)ΙΙν-^^(ι + Κ(ί)ΙΙ2νΟ·
Наконец, окончательно с учетом (5.7.31)
H{t)\\v-^C2i(l + (\\a\\2vl+l)e-at).
Складьшая эту оценку с (5.7.31), получаем оценку, которая может
быть записана в виде (5.7.24). D
5.8. Пространство траекторий и аттракторы
В качестве двух банаховых пространств, необходимых для
определения пространства траекторий (см. п. 5.2), выберем Ε = V1 и Eq = Vl~s
(это можно сделать, так как пространство V1 рефлексивно и
непрерывно вложено в Vl~s).
В качестве пространства траекторий Ή+ уравнения (5.4.1) будем
рассматривать множество решений этого уравнения, определенных на

244 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
R+, существенно ограниченных со значениями в V1 и
удовлетворяющих оценке
Η*)ΙΙνι + Η*)||ν-ι < С20 (l + ||»||lee(R+,vi)e-et) (5.8.1)
при почти всех t > 0. Постоянная α из правой части оценки (5.8.1)
определяется равенством (5.4.3).
Чтобы данное определение пространства траекторий было
корректным, нужно убедиться, что пространство непусто, и проверить
включение
Н+ С C(R+; Е0) Π Loo(R+; E).
Сначала займемся вторым вопросом. Включение Ή+ С L00(R_i_;jE^)
непосредственно следует из определения пространства траекторий.
Чтобы доказать непрерывность траекторий, воспользуемся
теоремой С.4.1 для тройки пространств V1 С Vl~s С V-1. Из
неравенства (5.8.1) следует, что если г? —некоторая траектория, то на
произвольном отрезке [0,Г] имеем П^г; Ε Loo(0,T; V1), II7V Ε
Ε Ьоо(0, Τ; У-1), поэтому из теоремы С.4.1 следует, что ΤΙχν
принадлежит пространству С([0,Т], V1-*). Это верно при любом Т, так что
υ Ε C(R+; V1_i), что и требовалось.
Нижеследующее утверждение не только показывает непустоту
пространства траекторий (и тем самым окончательно утверждает
корректность его определения), но и служит оправданием введения этого
пространства траекторий в рассмотрение.
Теорема 5.8.1. Для каждой точки а Е V1 существует
траектория ν Ε 7ί+, такая что v(0) = a.
Доказательство. Теорема 5.7.2 утверждает, что на R+ существует
решение υ задачи (5.4.1), (5.4.2). Покажем, что эта функция является
искомой траекторией. Для этого нужно только проверить выполнение
оценки (5.8.1). Поскольку ν удовлетворяет (5.7.24), то ясно, что
достаточно установить неравенство
ll«(0)lki < IMIwB+jvi)· (5-8.2)
Из оценки (5.7.24) следует, что функция ν принадлежит
пространству Loo(R+; V1), а ее производная — пространству Loo(R+; V"1).
Отсюда получаем, что ν Ε C(R+; Vl~s) (повторяя рассуждения,
проведенные выше для траекторий). Таким образом, ν Ε C(R+; V1-6) Π
nL00(R_l_; V1), и по теореме 5.2.1 функция ν принадлежит
пространству слабо непрерывных функций Cu,(R+; V1). Неравенство (5.8.2)
следует из слабой непрерывности функции v. D

5.8. Пространство траекторий и аттракторы
245
Теперь перейдем к центральным утверждениям: теоремам о
существовании минимального траекторного и глобального аттракторов.
Теорема 5.8.2. Существует минимальный траекторный
аттрактор U пространства траекторий Н~*~. Аттрактор ограничен в
Ζ/οο(Μ+; V1), компактен в C(R+; Vl~s); он притягивает в топологии
пространства C(R+; Vl~s) семейства траекторий, ограниченные в
Доказательство. Согласно теореме 5.2.2 все, что требуется — это
установить существование траекторного полуаттрактора.
Рассмотрим множество
Ρ = {ν € C(R+; Vl~s) nLoo(R+; V1): ν' e Loo(R+, У"1),
\\v(t)\\vi + ||t/(t)||v-i < 2C20 п.в. t e R+}. (5.8.3)
Из определения Ρ непосредственно следует, что это множество
ограничено в L00(R_|.; V1) и трансляционно инвариантно, то есть
T(h)P С Ρ (h^ 0).
Покажем теперь, что множество Ρ относительно компактно в
C(R+; V1-6). Для этого в силу леммы 5.2.1 достаточно показать,
что для любого Τ > 0 множество ИтР относительно компактно в
С([0, Τ], νι~δ). Действительно, из определения Ρ имеем, что при
любом Τ > 0 множество ΤίχΡ ограничено в пространстве Loo(0, T; V1),
а множество {ν': ν G ИтР} ограничено в Loo(0,T; V~l). По
теореме С.4.1 как и выше отсюда следует, что множество ИтР относительно
компактно в С([0, Т], V1-*). В силу произвольности Τ получаем
относительную компактность множества Ρ в C(R+; Vl~s).
Покажем, что множество Ρ является поглощающим для
пространства траекторий Ή+. Рассмотрим произвольное множество В С 7ί+,
ограниченное в L00(R_I_; V1). Пусть для определенности
IMILooCR-hV1) ^ Я
для всех ν Ε В.
Выберем такое ho ^ 0, что R2e~aho ^ 1. Пусть ν — произвольная
функция из В. Так как ν удовлетворяет неравенству (5.8.1), то при
h ^ ho имеем
\\T(h)v(t)\\vl + ||Γ(ΛΚ(ί)||ν-, = \\v(t + h)\\v> + \\,/(t + h)\\v-i <
< Cao(l + R2e-a{t+h)) < C»(l + R2e~aho) ^ 2C20.

246 Глава 5. Аттракторы модели водных растворов полимеров
Таким образом,
T(h)v e Р.
В силу произвольности ν получаем, что
T(h)B С Ρ
при всех h ^ ho. Следовательно, Ρ — поглощающее множество.
Рассмотрим множество Р — замыкание Ρ в пространстве
C(R+; V1-6). Покажем, что Ρ — полуаттрактор.
В силу вышесказанного имеем, что множество Ρ компактно в
CiR^V1-5). _
Покажем, что множество Ρ содержится в Z/oo(R+; V1) и ограничено
в этом пространстве. Рассмотрим функцию ν Ε Р. Пусть
последовательность {vm} С Ρ сходится к г? в C(R+; Vl~s).
Так как Ρ ограничено в Z/oo(R+; ^X)> то найдется такая постоянная
Сгь что
IkmllLoeCR+iV1) ^ C2l ГП = 1,2,
Функции vm Ε Ρ слабо непрерывны со значениями в V1, поэтому
при всех t ^ О имеем
\\vm(t)\\v^C2i. (5.8.4)
Возьмем число t ^ 0. Согласно (5.8.4) последовательность vm(t)
ограничена в V1, поэтому она содержит подпоследовательность vmk (£),
слабо сходящуюся в V1 к некоторой функции и Ε V1.
С другой стороны, из сходимости в C(R+; V1-6) следует поточечная
сходимость, поэтому
vm(t) -+ v(t) bV1~s.
Таким образом,
u = v(t), и vmk(t) —ь v(t) слабо в V1.
Тогда
\\v(t)\\vi ^ lim ||t;mfc(t)||vi ^ С21.
к—>оо
Следовательно, при всех t имеем
Mt)\\Vi <С2Ь
и функция υ действительно принадлежит Ьоо(М+; V1).

5.8. Пространство траекторий и аттракторы
247
Кроме того, постоянная С21 ограничивает Z/oo(R+; У1)-нормы
функций из Р, так что это множество ограничено в L00(R_I_; V1).
Проверим трансляционную инвариантность множества Р. При
каждом h ^ 0 оператор T(h): С(М+;У1-5) -► C(R+;Vl~*) непрерывен,
поэтому
T(h)p с тЩР с р,
что и требовалось доказать.
Множество Ρ является поглощающим, поэтому множество Ρ тем
более является поглощающим, а значит, притягивающим.
Таким образом, Ρ является искомым траекторным
полуаттрактором. D
Теорема 5.8.3. Существует глобальный аттрактор Л
пространства траекторий Н+. Аттрактор ограничен в V1, компактен в
Vl~s; он притягивает в топологии пространства Vх~δ семейства
траекторий, ограниченные в Z/oo(R+; V1). Кроме того, имеет место
соотношение
A = U{t), t^O. (5.8.5)
Доказательство. Теорема непосредственно следует из теорем 5.8.2
и 5.2.3. D

Глава 6.
Оптимальное управление в задаче с
обратной связью для математической модели
движения слабоконцентрированных водных
полимерных растворов
6.1. О задачах оптимального управления
Данная глава посвящена исследованию задачи оптимального
управления с обратной связью для модели движения
слабоконцентрированных водных полимерных растворов. Отметим, что задачам
оптимального управления в механике жидкости посвящено большое число
работ, (см., например, [79] и имеющуюся там литературу). Однако,
большинство из них посвящены различным задачам оптимального
управления для системы Навье—Стокса. И лишь в малом числе работ
рассматриваются задачи для неньютоновских жидкостей, в том числе и
задачи с обратной связью для подобных моделей движения жидкости
(см., например, [126]).
Как и ранее мы будем предполагать, что жидкость заполняет
некоторую ограниченную область Ω С Rn, η = 2,3 (для простоты будем
предполагать, что граница области dQ. Ε С°°) на промежутке времени
[0,Г](Г<оо).
Как было показано в главе 4, система уравнений, описывающая
движение слабоконцентрированных водных полимерных растворов имеет
вид:
dv A v^> dv dAv
--,,Δυ + XW-x·
i=l
Mv(£,
\k=l
-2xDiv[ y^vh-^j-L ) +Vp = /, xGil, te [0,T]; (6.1.1)
dwv = 0, xen.te [0,T]. (6.1.2)

6.2. Функциональные пространства
249
Для системы (6.1.1)-(6.1.2) мы рассматриваем начально-краевую
задачу с начальным условием
ν(χ,0) =α(ζ), хеП (6.1.3)
и граничным условием
у\эпх[о,т] =0. (6.1.4)
Разрешимость начально-краевой задачи (6.1.1)—(6.1.4) изучалась
нами в главе 4. Задача оптимального управления для некоторых
упрощений системы (6.1.1)—(6.1.2), которая иногда называется системой
Осколкова, была изучена в [27]. Мы же рассматриваем задачу
оптимального управления с обратной связью для для этой системы без
каких-либо упрощений.
6.2. Функциональные пространства
В этой главе мы будем пользоваться обозначениями и
вспомогательными утверждениями из параграфа 4.2.
По теореме Рисса будем отождествлять пространство V0 с его
сопряженным (V0)*. Тогда имеем следующие вложения:
У3 с У1 cV° = (V°y с V~l с V~3.
Обозначим через (Λ, ν) значение функционала h Ε V-3 на функции
veV3.
Введём два следующих основных пространства:
первое
Ex = {v:ve ^(Ο,Τ; V1), υ' G L2(0,T; У"1)},
с нормой
\\v\\e1 = NlLeoCO.TjV1) + H^IUaCO.TjV-1)
и второе
Е2 = {ν : υ е С([0,Г], V3), υ' € L2(0,T; V3)},
с нормой
NlSa = IM|C([0,T],V3) + IKIIl2(0,T;V3).

250 Глава 6. Задача управления для модели полимерных растворов
6.3. Постановка задачи и основной результат
Рассмотрим многозначное отображение Φ : Е\ —о 1/2(0,Т; V-1) в
качестве функции управления. Будем предполагать, что Φ
удовлетворяет следующим условиям:
(Ф1) Отображение Φ определено на пространстве Е\ и имеет
непустые, компактные, выпуклые значения.
(Ф2) Отображение Φ полунепрерывно сверху (то есть, для каждого
ν G Е\ и открытого множества V С Z/2(0,T;V_1) такого, что
Φ (г?) С V существует окрестность U(v) такая, что Φ (U(v)) С
С V) и компактно (то есть, образ Φ относительно компактен в
^(ο,τ-,ν-1)).
(ФЗ) Отображение Φ глобально ограничено, то есть существует
константа Μ > 0 такая, что
11Ф WIIl2(0,T;V-4 := SUP {NIl2(0,T;V--4 : " ^ Ф («)} < М
для всех ν Ε Εχ.
(Ф4) Φ слабо замкнуто в следующем смысле:
если{^}/с^1 С Ει, νι -^ νο,
щ е Ф(^) и тх| -» и0 bL2(0,T;V~1), тогда u0 £ Φ (υ0).
Мы будем рассматривать слабую постановку задачи оптимального
управления с обратной связью для начально-краевой задачи (6.1.1)—
(6.1.4). Под обратной связью мы понимаем следующее условие:
/ Ε 9(υ). (6.3.1)
Будем предполагать, что начальное условие а принадлежит
пространству V1.
Определение 6.3.1. Пара функций (г?,/) е Ει χ 1^(0,Τ; V-1)
называется слабым решением задачи оптимального управления с
обратной связью (6.1.1)—(6.1.4), (6.3.1) если она удовлетворяет начальному
условию
υ(0) = α, (6.3.2)
условию обратной связи
/ е 9(υ)

6.3. Постановка задачи и основной результат
251
и равенству
((J + χΑ)ν\φ) - Σ / ViVj-^-dx + ν I Vv : V(pdx-
Μ,Λ=1Ω J i,j,k=lQ
(6.3.3)
для любого φ € V3 и почти всех t Ε (О, Т).
Отметим, что воспользовавшись леммой 4.2.2 при V = Vl,H =
= v°v* = ν- , мы получим, что каждая функция ν Ε Ει равна
почти всюду непрерывной функции, определённой на отрезке [0,Т]
со значениями в V0. Таким образом, начальное условие (6.3.2)
имеет смысл.
В соотношении (6.3.3) присутствует оператор {J+κΑ). Здесь J — это
оператор вложения, J : V~l —> V-3, а А : V~l —> V~3 — изоморфизм,
введенный в параграфе 4.2. Таким образом, оператор (J+яА) : V~l —>
-+V~3.
Первым результатом данной главы является следующая теорема.
Теорема 6.3.1. Пусть отображение Φ удовлетворяет условиям
(ΦΙ)—(Φ4). Тогда существует хотя бы одно слабое решение задачи
(6.1.1)-(6.1.4), (6.3.1).
Доказательство этой теоремы будет приведено в параграфе 6.6.
Обозначим через Σ С Е\ χ Ьг(0, Τ; V-1) множество всех слабых
решений задачи (6.1.1)—(6.1.4), (6.3.1). Рассмотрим произвольный
функционал качества Φ : Σ —у R, удовлетворяющий следующим условиям:
(Ф1) Существует число η такое, что Φ (ν, /) ^ η для всех (г?, /) Ε Σ.
(Ф2) Если %^^в£1И/т4/*в Ь2(0,Т; V~l), то
Ф(^*,/*)^ Дш ΦΚη,/τη).
m—>oo
В качестве примера такого функционала можно привести
следующий функционал качества:
τ τ
*(«,/) = /11«(*) - Mt)\\Udt +1 ||/(i)|fc-iA.

252 Глава 6. Задача управления для модели полимерных растворов
Здесь и* — некоторое заданное поле скоростей. Данный функционал
характеризует отклонение имеющейся скорости от требуемой
скорости. Его минимум даст нам минимальное отклонение скорости от
заданной при минимальном управлении.
Основным результатом этой главы является следующая теорема.
Теорема 6.3.2. Если отображение Φ удовлетворяет условиям
(ΦΙ)—(Φ4), а функционал Φ удовлетворяет условиям (Ф1),(Ф2),
тогда задача (6.1.1)— (6.1.4), (6.3.1) имеет хотя бы одно слабое решение
(ν*>/*) такое, что
Φ(ι/.,/.) = inf Ф(«,/). (6.3.4)
(ν,/)€Σ
Доказательство приведено в пункте 6.7.
6.4. Аппроксимационная задача и её операторная
трактовка
Для исследования задачи (6.1.1)—(6.1.4), (6.3.1) мы будем
использовать аппроксимационно-топологический подход к исследованию задач
гидродинамики [148]. То есть мы будем рассматривать следующую ап-
проксимационную задачу с малым параметром е > О :
Задача 6.4.1. Найти пару функций (v, f) £ Е2* Ь2(0, Т; V-1),
удовлетворяющую для любого φ £ V3 и почти всех t £ (О, Т) равенству
\ υ'φάχ - / ]P ViVj-^-i-dx + ν ι Vv : V(pdx+
Ω Ω ^=1 % Ω
+ ε / V (Αν') : V (Δ<^>) dx + κ / V (ν) : V(pdx-
Ω Ω
(6.4.1)
условию обратной связи
f е Ф(«)
и начальному условию
«(0) = о. (6.4.2)

6.4. Аппроксимационная задача и её операторная трактовка 253
Мы предполагаем, что 6 G V3.
Введём операторы при помощи следующих равенств:
A:V1-^V~\ (Αυ,φ)= ί Vv : V<pdx u^gV1;
Ω
N : V3 -+ V~3, (Νυ, φ) = f(VAv) : (VA<p) dx, υ,φΕ V3;
Ω
Вг : Ь4(П)п -> V1, {Βλ{ν)Μ = Σ JЩУ^ <**'
ν е L4(il)n, φ e V1;
ft: V-V-, №<„),„>= ± j^gjfc*
v€V\ip€V3;
Тогда аппроксимационную задачу 6.4.1 молено переписать в
следующем виде: Найти пару функций (г?,/) € £г х -^(О,Т; V-1), удовле-
творяющую операторному включению
(J + κΑ)ν' + ί/Αν + εΜ/ - Βι(ν) - χΒ2(ν) - χΒ3(ν) = fe 9(ν) (6.4.3)
и начальному условию
v(0) = b. (6.4.4)
Сначала мы при помощи топологических методов на основе
априорных оценок решений докажем существование решения этой аппрок-
симационной задачи. После этого мы покажем, что из
последовательности решений аппроксимационной задачи можно выделить
подпоследовательность, слабо сходящуюся к слабому решению задачи (6.1.1)—
(6.1.4), (6.3.1) при стремлении параметра аппроксимации ε к нулю.
6.4.1. Свойства операторов из операторного включения (6.4.3)
В этом пункте исследуются свойства операторов А и N из
операторного включения(6.4.3). Данные операторы на самом деле имеют более

254 Глава 6. Задача управления для модели полимерных растворов
лучшие свойства, чем приведённые ниже, но мы приводим только те,
которые будут нами в дальнейшем использоваться.
Лемма 6.4.1. Для каждого и G jE72 функция Аи G Z/2(0,T;V~3),
оператор А : £2 —> L2(0, T; V-3) вполне непрерывен и имеет место
следующая оценка
P4|l2(o,t;v-3) < Ci||^l|c([o,T],W)' (6.4.5)
для некоторой константы С\ > 0, не зависящей от функции и.
Доказательство. Доказательство этого утверждения полностью
повторяет доказательство третьего пункта леммы 4.4.1. D
Лемма 6.4.2. Для любой функции и G L2(0,T; V3) функция Nu G
G L2(0,T;V-3), оператор N : L2(0,T;V3) -* L2(0,T;V-3)
-непрерывен и имеет место оценка:
||^ii||L2(0,T;K-3) ^ |M|l2(0,T;V3). (6.4.6)
Доказательство. Данное утверждение полностью совпадает с
утверждением второго пункта леммы 4.4.2. D
Лемма 6.4.3. Для каждого и G L2(0, T; V3) значение (J + εΝ +
+кА)и G L2(0,r;V"3), оператор (J + εΛΓ + χΑ) : L2(0,T;V3) -►
—> L2(0, T; V-3) непрерывен, обратим и для него имеет место оценка:
£|M|l2(0,T;V3) ^ \\(J + εΝ + Xi4)ti||L2(0fT;V-3). (6.4.7)
Кроме того, обратный оператор (J + εΛΓ + хА)-1 : L2(0,T; V-3) —>
—> L2(0,T; V3) также непрерывен.
Доказательство. Утверждение этой леммы является частным
случаем второго пункта леммы 4.4.3. Π
Лемма 6.4.4. Для любой функции и G L2(0,T; V-1) функция
(J + нА)и G L2(0,T;V"3), оператор (J + хА) : /^(Ο,Γ;^-1) -►
—> L2(0, T; V-3) непрерывен и имеет место следующая оценка
C2|M|L2(o,T;v-i) ^ ||(J + Xi4)ti||La(ofT;v-»)· (6·4·8)
Доказательство. Данное утверждение слово в слово совпадает с
третьим пунктом леммы 4.4.4. D

6.5. Существование решения задачи 6.4.1
255
Лемма 6.4.5. Для каждого ν G jE72 значение Βχ{ν) € L2(0,T; V-3),
отображение В\ : Е2 —> L2(0,T;V~3) вполне непрерывно и имеет
место следующая оценка:
||#i(u)||l2(0,T;V-3) ^ Сз||^||с([0,Т],КМ· (6*4*9)
Доказательство. Доказательство этого факта полностью
повторяет доказательство третьего пункта леммы 4.4.5. D
Лемма 6.4.6. Путь г = 2,3 и ν G Е2, тогда Bi(v) G L2(0,T; V~3),
отображение Bi : Е2 —> L2(0,T;V~3) вполне непрерывно и для него
имеет место оценка:
11ДЫ1к2(о,т;к-з) ^ C4||i;||c([ofTifvM· (6.4.10)
Доказательство. Данное утверждение полностью совпадает с
третьим пунктом леммы 4.4.6. □
6.5. Существование решения задачи 6.4.1
Рассмотрим следующие операторы:
L : Е2 -+ L2(0, Г; V~3) χ V3, L(v) = ((J + εΝ + *Α)υ', v\ts=o);
K:E2-+L2(0,T;V-3)xV3,
Κ (υ) = (у Αν - Βχ(ν) - κΒ2(ν) - χΒ3(υ), 0).
Лемма 6.5.1. Для операторов L и К имеют место следующие
свойства:
1. Оператор L : Е2 —» L2(0,T;V~3) x V3 —обратим и обратный
оператор непрерывен.
2. Оператор К : Е2 -» L2(0,T; V-3) х V3 — вполне непрерывен.
Доказательство. Данное утверждение полностью повторяет
утверждение леммы 4.4.7. □
Введём следующий оператор:
Т : Ег -»· L2(0,T; V'1) χ Vs, Ύ(υ) = (Φ(«),6).

256 Глава 6. Задача управления для модели полимерных растворов
Тогда, используя последнюю лемму, задача существования решения
(г>, /) € Е2 x £2(0, T; V-1) задачи 6.4.1 эквивалентна задаче
существования решения ν € Е2 для следующего операторного включения
ν е ίΚ(ν), где Ж(у) = L-l(T(v) - К (υ)). (6.5.1)
Поскольку оператор L-1 линейный и непрерывный, а оператор К —
вполне непрерывный, при помощи условий (Ф1) и (Ф2) мы получаем,
что многозначное отображение
Ш : Е2 -о Е2
является вполне непрерывным (оно полунепрерывно сверху и
переводит ограниченные множества в относительно компактные) и имеет
непустые, выпуклые и компактные значения. Символ —о обозначает
многозначное отображение.
Рассмотрим также следующее семейство включений
(J + κ А + εΝ)υ' + Χι/Αν - ХВг(у) - ΧκΒ2(ν) - ΧκΒ3(ν) =
= Xfe Φ(ν), 0 ^ λ ^ 1 (6.5.2)
и семейство начальных условий:
„(О) = λδ, 0 ^ λ ^ 1. (6.5.3)
Заметим, что при λ = 1 семейство операторных включений (6.5.2)
совпадает с (6.4.3), а семейство начальных условий (6.5.3) совпадает с
начальным условием (6.4.4).
Исходя из определения многозначного отображения Ш получаем,
что задача (6.5.2), (6.5.3) может быть переписана в виде
veXmt(v), где AG [0,1]. (6.5.4)
Очевидно, что она совпадает с (6.5.1) при λ равном 1.
6.5.1. Априорные оценки
В данном пункте мы получим априорные оценки семейства
включений (6.5.4). Данные утверждения во многом схожи с утверждениями
параграфа 4.4.3.

6.5. Существование решения задачи 6.4.1
257
Теорема 6.5.1. Решения семейства включений (6.5.4)
удовлетворяют следующим оценкам:
*1М1с([о,т],1*) ^ Съ + 2ф|£з, (6.5.5)
*1Н1с([о,п^) < Съ + 2φΙΙν*> (6.5.6)
где
4ТМ2
С5 = ^^ + 2||6||2ко+2х||6||2к1.
Доказательство. Пусть υ G Еч — решение (6.5.4) при некоторых
е > О, λ G [0,1]. Тогда, в силу уже упоминавшейся выше
эквивалентности, ν является решением (6.5.2), (6.5.3). Применим (6.5.2) при почти
всех t G (О, Τ) к v(t). Тогда при почти всех t G (О, Τ) имеет место
равенство
((J + xA + eN)v'{t), v{t)) + Αι/ (Av(t), v(t)) - X (Вг(ν)(ί), v(t)) -
- Xx(B2(v)(t),v(t)) - XxB3(v)(t),v(t)) = X(№,v(t)). (6.5.7)
Преобразуя левую часть (6.5.7) аналогично доказательству теоремы
4.4.1, при почти всех t G (О, Τ) получим
^IM*)ll2vo + !^IK*)llv» + ~\W)\\2v^ + MHt)\\2vl = \(f(t)Mt)).
(6.5.8)
Так как
Αι/||«(*)|βπ>0,
то, оценивая (6.5.8) снизу, получим при почти всех t G (О, Т)
неравенство:
^IK*)ll2vo + f ^IM<)H2v3 + f |ll»(*)llv. < *</(«),»(*)>·
Проинтегрировав полученное неравенство no t от 0 до г, где г G [О, Т]
имеем:
\\Нт)\\Ьо - у ||6||2Vo + £-\\v(t)\\U - £-£\\b\\2v3+
κλ2
+ f ΙΜΌΙΙ^ ~ ^-\\bfvl < JX(f(t),v(t))dt.

258 Глава 6. Задача управления для модели полимерных растворов
или, что то же самое,
\Hr)\\2V0 + £-\Hr)fv3 + ^\\v(T)fvl^
/λ2 Г\2 ντλ2
X(f(t),v(t))dt + yllC + ^-||6||2ν,3 + -2-||6||2vl. (6.5.9)
λ2 , ελ2„,„, κλ2,
λ{}(ΐ),ν[ΐ))Μ +
о
Правая часть неравенства может быть оценена следующим образом:
τ τ Τ
jX(f(t),v(t))dt <J\\f(t)\\v-4v(t)\\vidt ^JwmWv-LWvMWvxlt
0 0 0
τ
^ max \\v(t)\\vi [ \№)\\у-1<И ζ
0
0/?tm£« |K*)||Vi (/ll/WII^-^ij <
\\ 110 -* μ *||2 \\ Il2
^ "jlMlc([o,r],vi) + "ll/Hi^o/nv-1) ^ jlPllcdo.Tl.v1)"! ~·
Здесь мы воспользовались неравенством Коши
_, ьг d2
для δ = ^ и свойством (ФЗ) многозначного отображения Ф.
Поскольку
\\Нт)\\2уо>0,
мы из (6.5.9) получим
|IKr)||^ + 5ll«Wllv-<
< f ΙΗΙ^ρ,ηνυ + ^ + γΙΙ*ΙΙ^ + ^IIC» + ^f\\b\\2vl <

6.5. Существование решения задачи 6.4.1
259
Таким образом, получили, что при всех г Ε [О, Т] имеют место два
неравенства:
1\Нт)\\Ь> < jlM£([o.nvi) + ^г + \т&°+1т^3 + f l|6||2^i;
f ll«WII2vl < f IIHIWi.v-) + ^ + |ll*ll^o + £-\\bfv3 + ^\\bfvl.
Так как правая часть последних неравенств не зависит от г, то
переходя в левой части каждого из этих неравенств к максимуму по
г Ε [0,Т], имеем
2lMlc([o,T],v3) ^
^ 5lMlc([o,T],w) + ^- + \\Н2уо + |||6||2кз + |||6||^;
^£ Μ || 2
~2 ΙΜΙσαο,τΐ,ν1) ^
< f IMIc([o,T],v4 + ^ + §11&И^« + §ИС» + f Wv-
Отсюда мы и получим требуемые оценки. D
Теорема 6.5.2. Пусть υ Ε Е2 — решение семейства операторных
включений (6.5.4). Тогда для него имеют место следующие оценки:
£|И1ыо,т;кз) ^ Св, (6.5.10)
1И1ыо,т;к-Ч ^ у£, (6.5.11)
где
с,- с7м+(с,+2жС<) <^±|НЫ+^ уЖ±
*mu)
Доказательство. Пусть г? Ε £2 —решение (6.5.4) при некоторых
ε > О, λ Ε [0,1]. Тогда, аналогично предыдущему, г? является решением
(6.5.2). Таким образом имеет место равенство:
(J + κ Α + εΛ/>' + λί/Αν - ΧΒι(ν) - ΧκΒ2(ν) - ΧκΒ3(ν) = λ/.
Откуда получаем, что
||( J + нА + εΛ/>||ι,2(ο,Τ;ν-3) =
= ||A/ + XBx(v) - XvAv + XxB2(v) + XxB3(v)\\L2{0,T.y-3y (6.5.12)

260 Глава 6. Задача управления для модели полимерных растворов
Принимая во внимание свойство (ФЗ), оценки (6.4.5), (6.4.9), (6.4.10),
(6.5.6), непрерывность вложения L2(0,T;V~1) С L2(0,T;V-3) и тот
факт, что А ^ 1, мы получим, что
||λ/ + ΧΒι(ν) - \νΑν + ΧκΒ2(ν) + АхВзООНмо/г^-з) ^
+ Ax||B2(v)||L2(o,T;K-3) + Ax||B3(v)||l2(0,T;K-3) ^ C7||/||L2(0,T;K-i)-b
+ сз|М1с([о,т],1") + "CilMlc([o,T]fi") + 2xC4||i;||c([ofTifw) < C7M+
x V χ
Отсюда, в силу неравенства (6.4.7) мы и получим требуемую оценку
(6.5.10).
Аналогично из (6.5.2), воспользовавшись неравенством (6.4.6), в
силу уже полученной оценки (6.5.10) мы имеем
||(J+xAy||L2(0,T;K-3) =
= || - eNv' + λ/ + ΧΒλ{υ) - ΧνΑν + ΧχΒ2(ν) + AxB3(v)||L2(o,t;k-3) <
<e||t/||La(0fT;V3) + Ce<2Ce.
Объединяя эту оценку с неравенством (6.4.8) мы получаем (6.5.11).
D
Из теорем 6.5.1 и 6.5.2 непосредственно получаем:
Следствие 6.5.1. Пусть ν Ε Е2 —решение (6.5.4). Тогда имеет
место оценка:
IMIa ^ С8 = y^ + 2||6||2v3 + ψ; (6.5.13)
6.5.2. Теорема существования решения задачи 6.4.1
В этом параграфе при помощи теории степени вполне непрерывных
многозначных векторных полей с компактными выпуклыми
значениями будет доказано существование решения задачи 6.4.1. Сначала
докажем, что существует решение операторного включения (6.5.1).
Теорема 6.5.3. Существует хотя бы одно решение ν Ε Е2
операторного включения (6.5.1).

6.6. Доказательство теоремы 6.3.1.
261
Доказательство. Мы воспользуемся теорией топологической
степени для многозначных векторных полей вида I — G, где / —
тождественное отображение, a G — вполне непрерывное многозначное
отображение, определенное на ограниченной области банахова
пространства и имеющее непустые, выпуклые, компактные значения (см.,
приложение В).
По следствию 6.5.1 все решения семейства операторных включений
(6.5.4) удовлетворяют априорной оценке (6.5.13). Следовательно, все
включения этого семейства не имеют решений на границе шара Br С
С #2 радиуса R = С% Н- 1 с центром в нуле, то есть
ν £ XM(v) для всех (ν, λ) G dBR x [0,1].
Следовательно, определена топологическая степень
deg(7- АЯК,Б^,0), 0< λ < 1.
Используя свойство гомотопической инвариантности степени и
свойство нормировки степени, мы получим, что
deg(/ - ОТ,Б^,0) = deg(/,^,0) = I.
Так как эта степень отлична от нуля, то существует хотя бы одно
решение ν G Е2 операторного включения (6.5.1). D
Поскольку существует хотя бы одно решение ν G Е2
включения (6.5.1), то из вышеприведенных рассуждений следует, что задача
(6.4.3), (6.4.4) имеет хотя бы одно решение (г?,/) G Е2 χ ^(Ο,Τ; V-1),
а следовательно и задача 6.4.1 имеет хотя бы одно решение (г?,/) G
eE2xL2(0,T;V-1).
6.6. Доказательство теоремы 6.3.1.
Так как V3 плотно в V1, то для любой функции a G V1 существует
последовательность {6т} С V3, сходящаяся к α по норме V1.
Если α ξ 0, то мы положим
От = U, £т = ·
т
Если а ф О, то существует некоторый номер то такой, что ||&m||v3 Φ
Φ О для т > то- И мы тогда положим
1
гп\\0т\\уз

262 Глава 6. Задача управления для модели полимерных растворов
В силу выбора последовательность {ет} сходится к нулю при га —>
—> +оо, причём
em\\bm\\2v3^l. (6.6.1)
По теореме 6.5.3, для каждого еш и Ьт существует пара функций
(vm,fm) £E2x L2(0,T; V'1) С Ει χ L2(0,T; V'1),
которая удовлетворяет включению
fm S *(vm), (6.6.2)
равенству
/ ут<р(1х ~ Σ (vm)i(vm)j-Q-Ldx + v \ Vvm : Vipdx+
Ω ^=1Ω l Ω
+ em Jv{b/m):\?(&tp) dx+
Ω
Ω tj,k=l Ω
t/<->^S^=</^>. (6.6.3)
П
κ
и начальному условию
vm(0) = Ьт. (6.6.4)
Поскольку, последовательность {6т} сходится в V1, то она
ограничена по норме V1. Откуда, получим, что
2||6m||^o+2x||6m||^ < С ю
с некоторой константой Сю, не зависящей от га.
Следовательно, вспоминая определение константы С$ (она будет
зависеть от га) из неравенства (6.5.6):
Съ = —^— + 2||6m||^o + 2x||6m||^i,
имеем, что
ATM2
С5<—;;— +Сю = Сц. (6.6.5)

6.6. Доказательство теоремы 6.3.1.
263
Далее, в силу неравенств (6.6.1) и (6.6.5) из (6.5.6) получаем, что
*llvm|lc([0,T],V·) ** Cl1 + 2· (6·6·6)
Аналогично, воспользовавшись неравенством (6.6.1) получим из
(6.5.10) и (6.5.11), что
e||»/mllMo,TiV») ^ С7М + (С3 + 2xC4){Cll + 2) + уС^Си^2\
(6.6.7)
2С7М ЛСп+2) 2vCx /(С„ + 2)
(6.6.8)
Используя непрерывность вложений
C([0,T],V1)cL2(0,r;V1) и С([0,Г], V1) С Loo(0,T; V1)
и оценки (6.6.6) и (6.6.8), мы без ограничения общности и в случае
необходимости переходя к подпоследовательности получим, что
vm -* ν* слабо в 1/г(0, Т; V1) при т —> +оо,
^т -^ ^* *-слабо в Loo(0,T; V1) при т —> +оо,
^т "^ v* слабо в 1/г(0, Т; V-1) при т —> +оо.
Отсюда, по определению слабой сходимости и используя линейность
и ограниченность операторов J + κ А и А мы получим
jv'mtpdx + xjvv'm : Vtpdx=((J + xA)v'm,tp) -> ((J + χΛΚ,ν?);
Ω Ω
" / Vvm : V(fdx —> ί/ / Уг>* : V<f>dx при m —> +00.
Ω Ω
Используя оценку (6.6.7), как и выше без ограничения общности и
в случае необходимости переходя к подпоследовательности мы имеем,
что существует и Ε 1/2(0, Т; V3) такой, что
emVm -^ и слабо в 1/г(0, Т; V3) при m —> +оо.
Итак, мы имеем, что
ет I V (Δν^) : V (Δ<^>) cte -» / V (Διι) : V (Δ<^>) ώ при m -» +οο.
Ω Ω

264 Глава 6. Задача управления для модели полимерных растворов
Однако, полностью аналогично доказательству теоремы 4.3.1
можно показать, что последовательность emv'm сходится к нулю в смысле
распределений на отрезке [О, Т] со значениями в V-5. На самом деле,
для любых χ Ε 2)([0,Т]),<£> G V5, используя формулу интегрирования
по частям, мы получим
lim
m->+oo
J Jv(A(emv'm(t))) : V(A^) dxX(t)dt
0 Ω
//
0 Ω
Vv,{t):V(A\)dx^-dt
lim em = 0.
m—>+oo
Откуда, в силу единственности слабого предела
ет / V (Δν^) : V (Αφ) dx -» 0 при m -* +оо.
Ω
Поскольку вложение V1 С Ζ/4(Ω)η компактно, то, воспользовавшись
теоремой С.4.1, получим вполне непрерывное вложение
F = {υ : υ G С([0,Г], V1);!/ € L2(0,T; V"1)} С С([0,Т],£4(П)п).
Объединяя это вложение и оценки (6.6.6) и (6.6.8), мы получим, что
% -* ν* сильно в С([0, Τ], Ζ,4(Ω)η) при т -+ +оо. (6.6.9)
Таким образом, мы получим, что
(vm)i(vm)j-jp;dx-± (v*)i(v*)j-^-dx при т -+ +оо.
Ω Ω
Далее, поскольку последовательность vm сходится к г>* сильно в
C([0,T],L4(n)n), a V(vm) сходится к \7г>* слабо в Ζ,4(0,Γ;Ζ,2(Ω)η ),
то их произведение сходится слабо к произведению пределов. Таким
образом, в оставшихся интегралах при т —> +оо имеем
κ[(ν )«_^.&^ЛИ^^&.
*]W">k аг, δχβχ^ ^κ J (v*)k dxj дхгдхь'
Ω Ω
X/^fc ftr, dxidxkaX^XJ(V*h dXi dXidXk

6.7. Доказательство теоремы 6.3.2. 265
Принимая во внимание априорные оценки (6.6.6), (6.6.8) и условия
(ΦΙ)—(Φ4), мы без ограничения общности можем предположить, что
существует /* Ε 1/2(0, Τ; V-1) такое, что
/т -> /* £ Φ(ν·) при га -» +оо.
Далее, переходя в каждом из членов равенства (6.6.3) к пределу при
т —> +00, мы получим, что предельные функции (г?*,/*)
удовлетворяют равенству:
((J + χΑ)ν'.φ) - Σ [(v*)i(v*)j-<p-dx + 1' IVv* : 4φάχ-
*Λ = 1 Ω Ω
-x У* ί(υ) д^У*^ 92(Pj dx V* ί(ν ) d(^*)j d2<fj ^ =
.rr*, У 5xj dxidxk 4^, У * &*ч dxidxk
= </.,¥»>·
В силу вполне непрерывного вложения (6.6.9), поскольку из
сходимости в (7([0,Τ],Ζ,4(Ω)η) следует поточечная сходимость, то переходя
в начальном условии (6.6.4) к пределу при га —> +оо, мы получим, что
г>* удовлетворяет начальному условию:
ϋ· (0) = а.
Более того, поскольку для {ут} имеет место априорные оценки
(6.6.6) и (6.6.8), то для предельной функции ν* мы получаем
следующую оценку:
KlISi = \Ы\Ьоо{0,Т;У) + |K||l2(0,T;V-4 <
х С2 хС2 С2 V χ
(6.6.10)
Таким образом, предельная пара функций (г?*,/*) удовлетворяет
определению 6.3.1, то есть является слабым решением задачи
оптимального управления с обратной связью (6.1.1)—(6.1.4), (6.3.1). Это и
завершает доказательство.
6.7. Доказательство теоремы 6.3.2.
Из теоремы 6.3.1 мы получаем, что множество решений задачи
оптимального управления с обратной связью (6.1.1)—(6.1.4), (6.3.1), ко-

266 Глава 6. Задача управления для модели полимерных растворов
торое мы обозначили через Σ, не пусто. Следовательно, существует
минимизирующая последовательность (vi,fi) Ε Σ такая, что
lim Ф(«|,/|)= Ы Φ (ν J).
l-юо (ν,/)€Σ
Как и ранее, используя оценку (6.6.10), мы без ограничения
общности и в случае необходимости переходя к подпоследовательности,
можем предположить, что при I —> +оо имеют место следующие
сходимости:
νι -* ν* *-слабо в Loo(0, Г; Vх),
νι -► ν* сильно в C([0,T],L4(ft)n),
νι-± ν* слабо в 1/2(0,Т; V-1),
/ι->/·€ Φ(ϋ*) сильно в L2(0,T; V"1).
Откуда, также как и в предыдущем доказательстве при I —> Н-оо
имеем
ν I Vvi : νφάχ —> ν / Vv* : V^cte;
Ω Ω
((J + Xi4)vi, φ) -+ ((J + xA)<, v?);
J(vi)i(vi)j-^dx -+ J(vMv*)j-^dx;
J dxj dxidxk J dxj dxidxk '
J dxi dxidxk J * dxi dxidxk
Ω Ω
Переходя теперь к пределу в соотношении
((J + χΑ)υ[,φ) - Σ j{vi)i{vi)j-^-dx + u JVviVtpdx-
= </!,¥»>.

6.7. Доказательство теоремы 6.3.2.
267
и в начальном условии (это молено сделать так как из сильно
сходимости в (7([0,Τ],Ζ,4(Ω)η) следует поточечная сходимость):
vt(0) = a+,
мы и получим, что (г?*,/*) Ε Σ.
Поскольку функционал Φ полунепрерывен снизу относительно
слабой топологии, мы имеем
Φ(«*,Λ)< , inf *(t/,/),
(ν,/)€Σ
что доказывает, что (г?*, /*) — требуемое решение. Это и завершает
доказательство.

Глава 7.
Слабая разрешимость начально-краевой
задачи для математической модели движения
жидкости второго порядка
7.1. Модель движения жидкости второго порядка
Данная глава посвящена исследованию начально-краевой задачи с
условием прилипания на границе для модели движения жидкости
второго порядка. Эта модель является существенно более сложной, чем
рассмотренные ранее и содержит в себе в качестве частных случаев
модель движения жидкости Фойгта и модель движения
слабоконцентрированных водных полимерных растворов.
В этой главе на основе аппроксимационно-топологического
подхода к исследованию задач гидродинамики [24], [28], [148] мы изложим
теорему существования единственного слабого решения
рассматриваемой начально-краевой задачи при условии малости на данные задачи
(см. теорему 7.10.1 ниже). Используемый подход позволяет получить
результаты сравнимые с известными ранее и избавиться от некоторых
излишних технических требований, возникавших из-за использования
метода Фаэдо— Галёркина.
Отметим, что существует очень большое число работ, посвященных
исследованию разрешимости различных начально-краевых задач для
модели движения жидкости второго порядка, например, [83], [84], [86],
[88], [89], [91], [92], [93], [105], [106], [107], [108], [109], [123], [129], [133],
[142]. Исторически первой работой для задачи с однородными
граничными условиями Дирихле для данной модели является кандидатская
диссертация Е.Н. Ouazar [129], результаты которой были позднее
опубликованы в работах D. Cioranescu и Е.Н. Ouazar [92], [93]. В
указанных работах было доказано существование для малых данных задачи
(правой части / G L2(0, Т\ Ηι{Ω)η) и начального условия и0 G Η3(Ω)η)
глобального слабого решения в ограниченной односвязной области с
гладкой границей класса С3'1. Авторами было доказано существова-

7.1. Модель движения жидкости второго порядка
269
ние решения класса Η по пространственным переменным. Для
этого они искали скорость и, для которой выражение ζ = rot (и — аАи)
принадлежало бы L<i по пространственным переменным (ζ вводилась
как вспомогательная переменная), при этом авторы применяли к
исходному уравнению оператор rot и рассматривали уже новую систему
уравнений. Основная идея работ была в выборе специального базиса
для метода Галёркина — базиса, состоящего из собственных векторов
оператора rot rot (/ — а А). Но при этом данный метод накладывает
ряд ограничений на задачу, а именно появляется чисто техническое
требование односвязности на область, которое не всегда выполняется
в реальных приложениях. Стоит отметить, что имеется большое число
работ связанных с развитием метода, предложенного D. Cioranescu и
Е.Н. Ouazar и представляющих собой различное улучшение уже
полученных результатов, в качестве примера молено привести [83], [84],
[91].
Однако, отметим, что к исследуемой задаче имели место и другие
подходы. Один из них был предложен в работах G.P. Galdi и его
соавторов [106], [107]. Данный подход основан на разложении Гельмгольца
для функции и — аАи :
и - аАи = w + Vq в Ω χ (0, Τ),
d\vw = 0 в Ωχ(Ο,Τ),
wn = 0 на Шх(0,Т),
Aq = 0 в Ωχ(Ο,Γ).
Здесь предполагается, что (и — аАи) G Ят(П)п, w G Hm{£t)n и q G
еЯт+1(П),т^З.
Это вместе с определяющим соотношением и уравнением движения
в форме Коши даёт уравнение типа уравнения Эйлера, включающее
w и и :
a—w + vw + au- Vu> + a(Vu)Tw — vu + Vp = af в Ω χ (0, Τ),
at
(7.1.1)
где р — так называемое модифицированное давление. Для
доказательства существование решения у этой объединенной системы, G.P. Galdi,
Μ. Grobbelaar-Van Dalsen и N. Sauer в работе [106] пользуются
теоремой Шаудера о неподвижной точке. Для малых данных задачи они
доказывают существование решения и принадлежащее Η5(Ω)η по
пространственным переменным. Для этого авторы в указанной работе

270
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
дифференцируют три раза уравнение (7.1.1), что приводит к
большим ограничениям на размер данных задачи, поскольку каждое
дифференцирование удваивает количество нелинейных членов. При этом,
продолжая действовать тем же образом, то есть дифференцируя т раз
уравнение (7.1.1), в указанной работе [106] доказывают существование
локальных решений и класса ifm+2 по пространственным переменным
для сколь угодно большого 771 Ε N, т ^ 3, но при этом размер
допустимых данных задачи уменьшается экспоненциально вместе с ростом га.
Также в случае локального существования решения при данном
методе исследования в той лее работе авторы получают, что интервал
времени, на котором решение существует, уменьшается экспоненциально
вместе с ростом га. Данные решения в силу их высокой гладкости
называют классическими.
На основе указанного метода в 1995 году G.P. Galdi в работе [105]
доказал локальное существование классических решений для модели
движения жидкости второго порядка с коэффициентом αϊ < 0, при
этом αϊ > —j-, где λ ι —первое собственное значение оператора Сток-
са. А в работе [108] G.P. Galdi и V. Coscia доказали глобальное
существование классических решений для установившегося движения.
Идеи метода, предложенного G.P. Galdi, были использованы также в
работах многих других авторов. В частности, уравнение (7.1.1)
оказывается полезным, когда rot/ не принадлежит Ζ/2(Ω)3. Действительно,
использование (7.1.1) позволяет избежать применения оператора rot к
исходному уравнению. Например, в работе [86] данный подход
позволил авторам рассматривать правую часть / из пространства Ζ/ρ(Ω)η
при ρ > 3. Данное доказательство является более деликатным,
поскольку, в отличие от работы [106], при такой правой части функция
w из разложения Гельмгольца уже не принадлежит Η3(Ω)η.
Также стоит отметить подход, который предложил J.H. Videmann
в своей диссертации [142] и который также позволяет избежать
применения оператора rot к исходному уравнению. Его подход состоит в
возвращении к уравнению движения в форме Коши. Он записывает
правую часть / в виде дивергенции:
/ = divF.
Для простоты рассмотрим стационарную задачу (в нестационарной
задаче выкладки значительно отличаются техническими трудностями).
Автор, вводя некоторое модифицированное давление π и тензор σ,
получает следующую систему:
—Аи + \7π = Diva,

7.2. Постановка задачи.
271
div и = О,
и = О на 5Ω,
ί/σ Η- аи · Va — ασ · (Vu) =
= F - an(Vu)T + a(Vw)T (Vtx + (Vu)T) - tx ® u.
На основе исследования этой системы в диссертации [142] были
получены результаты о существовании слабых решений сравнимые с
результатами работы [86], то есть для / Ε LP(Q,)3 при ρ > 3.
Заметим, что несмотря на большое количество работ, посвященных
исследованию модели движения жидкости второго порядка с условием
прилипания на границе, до сих пор в данной тематике имеются
открытые проблемы. Одной из них является то, что ещё никому не удалось
доказать существование слабого решения для правой части / Ε LP(Q,)3
при р^Зив частности при ρ = 2.
7.2. Постановка задачи.
Пусть Ω — ограниченная область в Rn,n = 2,3 с гладкой границей
дО. (для простоты будем предполагать, что дО. Ε С°°) и [О, Т] —
промежуток времени (0 < Τ < оо).
Как уже говорилось в пункте 1.9, определяющее соотношение для
модели движения жидкости второго порядка (иногда её называют
также моделью жидкости Ривлина—Эриксена второго порядка) имеет
вид (1.9.5):
Т2 = -рЕ + ι/Αχ + αϊ А2 + а2А\.
Здесь ν — вязкость жидкости, αϊ, а2 — коэффициенты нормальных
напряжений, р — давление. Тензоры Αχ и А2 зависят от скорости
жидкости ν и определяются следующим образом:
Al=Al(v) = (Vv) + (Vvf;
А2 = A2(v) = ^- + i4i(V«) + (VvfAu
at
Исходя из физического смысла задачи (подробнее см. пункт 1.9) на
коэффициенты ί/, α\ и а2 накладываются ограничения (1.9.7):
ν > О, αϊ +а2 = О, αϊ > 0.

272
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Таким образом, с учетом всего вышеперечисленного реологическое
соотношение для модели движения жидкости второго порядка имеет
вид:
Т2 = -рЕ + ι/Αχ + аА2 - аА\. (7.2.1)
Здесь для краткости обозначили а = а\.
Подставляя (7.2.1) в систему уравнений движения несжимаемой
жидкости в форме Коши, получим следующую систему уравнений:
^ + Σ v*a~ " Div Μ1 + аЛ* " αΑι) + Vp = /' <*,ι/ >0;
i,j=l г
(7.2.2)
divv = 0, (7.2.3)
которую удобнее записывать в следующем виде:
dv« v^ dv< A 9Аг?7
i=l
divv = 0. (7.2.5)
Здесь через ρ = p(x, t) мы обозначаем модифицированное давление:
η
p = p-a^2viAvi - -(Αι ιΑχ).
Таким образом, слагаемое Vp содержит все члены градиентного
вида, которые обнуляются при умножении на произвольную соленои-
дальную функцию и интегрировании по области Ω.
Законность подобной записи непосредственно получается из
следующей леммы:
Лемма 7.2.1. Системы уравнений (7.2.2), (7.2.3) и (7.2.4), (7.2.5)
эквивалентны.
Доказательство. Для доказательства данного утверждения
достаточно вычислить выражение
Div {уΑχ + αΑ2 - аА\).

7.2. Постановка задачи.
273
По определению имеем
Div (ι/Αι +αΑ2 - аА\) = ι/ΌΊν(Αι) +αΌΊν(Α2) - aDiv (A\) =
= i/Div^) +aDiv (^τ1) +aTAv(Ai(Vv)) + aOiv((Vv)TAi) -
/ λ j \ / ΤΙ Я Λ \
- aDiv (Α\) = νΌιν(Αι) + a Div ί -^- J + a Div I Y^vk-^- Ι +
+ aDiv(A1(Vu))+aDiv((Vu)T.41) -aDiv(A?). (7.2.6)
Для первого слагаемого в правой части последнего равенства имеем
Div(^i) = Div
/(А1)11 (Л)12
Hl)2l (^l)22
VMOnl И0»2
(A)ln\
(^l)nj
^rMl)21 + ^(>4l)22 + -+^:Ml)2n
/f;Bk\
i=l
θΧ(
^ dXi
Рассматривая j-тую координату последнего вектора, получим
^ 52г>, ^> d2Vi
i=l
1 t=l ^
92г?^ 9 ^ dvi _ ^ 92^j
9
Συ Vj и ^ч с/и» ^-s и vj и ^-s
~^л +ΐϊζ:2^Ίϊ7 = 2^ -&л + ят:dlv v = L·
t=l l
&r7 ^-f dxi ^-f &r2 &r,
■' t=l г=1 г ^
i=l
d2Vj
dx2
= Avj.
Здесь мы воспользовались соленой дальностью вектор-функции v.
Таким образом, получили, что
ν Div (Αχ) = ν Αν.
Аналогично, для второго слагаемого получим
dAv
aDiv
-(SO
dt
(7.2.7)
(7.2.8)

274
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Переходим к следующему слагаемому
/ П Q Л \
из
(7.2.6):
τν (\- дА'
| fc=i fc=i
у4 г,, Э(А')^1 у4 „..iMiLa
= θΐν|ώ fc «·* έΊ k β·*
fc=l fc=l
fc=l
fc=l
\k=l k=l k=l /
1 5X1 2^ ϋ* дхк + дх2 2s Щ дХк ^ ^ дхп 2-s Vk 0Xfc
k=l k=l k=l
aXl L vk дХк -г- aX2 L· vk dXk -r -t- aXn 2-, v* aXfc
fc=l k=l k=\
a y* *<£i)»l + a y> £(41)^ + ...+ a y> ^л^
\ axi Z-, Vk dxk + dx2 L·, v* dxk
> fc=l «=1
У ,Э(А^)«2 _|_ . . . _|_ _a_ f> ^(^Onii I
L vk dXk -1- -1- 0xn z^ ϋ* axfc /
' 2^ dxi 2^ vk dXk \
v- _a_ y- a(Ai)M
Z^ axi Z^ vk dXk
i=l fc=l
V L, dxi L, v* dxk I
4=1 k=l '
Для j-той координаты последнего вектора имеем
А_а_А д(А^= " dvkd(Al)Ji " аа(Л0я =
^dxif^Vk дхк .^.dxi дхк ^Vkdxidxk
1=1 Л=1 t,AC=l t,AC = l
Edvk д (dvj dvi\ ^ d2 (dvj dvt\ _
dxidxk \dxi dxjj ή-± кdxidxk \dxt dxj J
_ γ^ dvk d2Vj γ^ dvk d2Vj γ^ d?Vj
*г*л dxi dxkdxi 2-*л dxi dxkdxj .^ к дхкдх2
i,k=l г,«=1 J г,Л=1 τ
ул d3Vj = ^А dvk d2Vj γ^ dvk d2Vj
.*--± dxtdxkdxj Z-± dxi dxkdxt ή-± dxi dxkdxj

7.2. Постановка задачи.
275
Ed3Vj γ^ д2 γ^ dvi _
ik=i щъ^щ+^ Vkd^ £i ш; -
_ ^ dvk d2Vj ^ dvk d2Vi ^ dAvj
ή-± dxi дхкдхг ή-± 9xi dxkdxj £-f к дхк
Таким образом j-тая координата вектора
дАг
дхк
η
а
Div [ У2уь^~
может быть записана в виде
\ \к=1 ~ / / j
(γ> dvk d2vj γ> di;fc d2^ A dAvj \ /72qv
f- Охг дхкдхг + /f* ft* dxkdxj t^Vk дхк ' Κί'^}
Для следующего слагаемого из правой части (7.2.6) имеем:
Div(Ai(V«)) =
//(^ι)ιι ИО12 ··· И0т\ /$£ f?
1 ' Их)21 ИОи ··· ИОап
= Div
V
dxi dx2
= Div
I k=\ k=l k=l
k=l k=l k=l
η η
Σ (Ai)nk ait" Σ (^i)nfc ait —
fc=l fc=l fc=l
η I
Σ (Al)nk dx^ I
fc=i /
dvk \
/& Σ (*)*& + ··· + & Σ (*)u£
a^T Σ С^Ог* ait ^ ^ ai^ Σ Миг* aii
Ш[ Σ (-^Onfc ait "· ·" SST Σ (-^Onfc ait/

276
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
1 1=1 к=\ %
п п
Σ дх~ Σ \А\)2к ait
i=l
fc=l
η η
\ Σ ax7 Σ (^i)nfc ax7 /
Рассмотрим j-тую координату этого вектора
dvk
Οχι
Σ9 ST ( л \ dvk
dxi
Ed(Ai)jkdvk t ^ fA ч d2^
Ed fdvj дщ\ дщ_ γ^ / 9^_ с^Л dV =
. &* Vaxfc + ftrj &Ti + .^ Vaxfc + dxj dxi
tjAC—1 t,AC—1
= 'A d2Vj dvk γ^ g2^fe g^fc γ^ du, γ^ d^fc д
/^ dxidxk dxi /^ dxtdxj dxt £-f дхк к £? dxj
Следовательно, j-тая компонента вектора αΌΊν (Ai(Vv)) равняется
следующему выражению
° Σ
&*Vjdvk
d2vk dvk , s^ dvj л t ^ dvk
γ^ c/-i7|g c/^fc γ^ uvj V^^2LA
.^ dxidxk dxi ή-± dx^Xj dxi f^ дхк к f^ dxj
(7.2.10)
Для предпоследнего слагаемого из правой части (7.2.6) аналогично
получим
Div((Vv)Ti4i) =
г дул dv2
Div
дхг dxi
дх2 д%2
дул dvo
дХ2
дхп/
= Div
дхп дх,
АС=1 АС=1
Efe(Ai)ki Σ&(*)
Σ£(Μ* fife (Ми
M021 M022
<(Λΐ)„1 (^0n2
Ml)l„\\
Hl)2n
Ml)»»/
Σ&Μ0*Λ
fc=l
η
fc=l
fc2
Σ ait (^Ofcn
fc=l
4=1
k=l
Σ ait v^1)^
fc=l

7.2. Постановка задачи.
277
/ а^Г Σ axt v^Ofci Η Ь ахГ Σ ait v^1)*™ \
aiT Σ ait C^Ofci "· + aiT Σ ait (^ifcn
V a«i Σ ait №l)ki "· + aiT Σ э^ ИОы/
Ι Σ aiT Σ ait (^ifct ι
η η
Σ ai~ Σ ait (^i)fci
ν Σ дхг Σ ^(^Ofci
Для j-той координаты последнего вектора имеем
EJLsr&!*(A \ - У^ д2щ t л \ ■ у^ dvkd{Al)ki _
_ у> d2vk (dvk дщ\ у> ду^_д_ fdv^ дщ\ =
ή-± dxidxj \dxi dxkj .^ dxj дх{ \дхг дхн)
Е^щ_дщ_ у> _^щ_дщ^ уу дук д2ук
, &Гг&Е7 <Э#г Г^ SXi^i &Е* ГГ* ##7 &£
t,fc=l ^ г,к=1 J г,Л=1 J *
γ^ d^fc _дРщ__ _ γ^ _д^щ_дщ_ γ^ _d^uk_dyiL
/^ дат, dxidxk .^ dxidxj dxi .£f dxidxj dxk
y4 g^fc g2»fc γ^ dvk д y> da, _
2^ axj ax? ^-f axj дхк 2- dXi
t,«=l ^ г k=l J t=l
= y> d2yk dvk y> <92?;fc dvj y> ^fc ^^
/f^ dxidxj dxi 2-*л dxidxj dxk f-f dxj
i,k=l J i,k=l J k=l J
Таким образом, j-тую координату вектор-функции aDiv ((Vv)TAi)
молено записать в виде
γ> d2vk dvk γ^ d2vk dvj у^ dvk i (7 2U)
^ дх*дхз дхг /^ &*&?; 9xfc fr[dxj ЩГ K ' ' >

278 Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Наконец, для последнего слагаемого из правой части равенства
(7.2.6) имеем
Div (Al)
Div
//(Л1)11 (Аг)12
{Αι)2ι (At)22
\\(Αι)η1 (Аг)п2
'(Аг)п (Аг)12 ■■■
(Λι)21 {Αχ)22 ··■
^l)»l Ml)»2
·· (*)ι„\
(^l)lnW
(Ai)nnJ )
/ П
Div
k=l k=\
EHl)tt(^l)tl E(^l)2fcMl)fc2
fc=l
fc=l
EMOlfcMOfcn
fc=l
η
Σ {М)2к{М)кп
fc=l
ΐΣΗΐ)„*(>*ΐ)*1 ΣΜΐ)η*Μ0*2 ··· ΣΜΐ)η*Μΐ)*»;
4=1 fc=l fc=l '
^Σ ΜΟι* Μι)*ι + · · · + Ш: Σ (Лг)1к (Аг)^
1 к=1 к=1 *
£ Σ {М)2к (A)fcl + · · · + ^ Σ HO» ИО*»
fc=l
fc=l
{£ Σ Μι)η*Μι)*ι + ··· + ^τ Σ HiUMi)*„/
\ fc=l fc=l /
i=l k=\
Σ&ΣΜι)2*(Μκ
i=l k=\
4=1 fc=l /
Соответственно, для j-той компоненты последнего вектора, получим
ir^S(yli)ifc(j4i)fci=S^S^+^^+^ =

7.2. Постановка задачи.
279
+
~χ \ дхгдхк dxidxj J \ dxi дхк )
+ у (E0L + ^ (!** + d4i \ = у д2у* дУк\
ή-± \дхк dxjj \ дх2 дхгдхк) ~ 9хгдхк дхг
у^ <92^ dvj A g2^fe ftfr v^ d2vk dvj
*-± дхгдхк дхк /~ dxidxj dxi .^ dxidxj дхк
Edvj d2vk y> cfofe d2?^ y> /dvj 9vk\ 9 y^ <^г _
. fc=i &* dx2 + .^ ^~ &rt2 + ^ V^ + a*, J dxk f^ dxi ~
Ed2Vj dvk γ> d2Vj dvj γ^ d2vk dvk
. , % dxidxk dxi 2-" дх{дхк дхк ^л dxidxj dxi
t,«=l t,«=l t,«=l J
+ y> 92vk dvj y> <9^ д^ y> g^fc д^
Следовательно, для j-той координаты вектора α Div (A2) имеет
место равенство
/ τν ί л2\\ ί V^ д2уз 9vk ^ d2Vj dvi
(aDxv (A1))j = a I £ а^^Г + Σ ^0Ϊ^+
Σ32^ 9vk γ^ Э2^ d^ γ^ dvj ,γ^^Λ |
.fc=i&*&?,■дхг +. j^&*&?,·&* ^[dxk ~9xj VkJ '
(7.2.12)
Таким образом, подставляя в правую часть (7.2.6) полученные
выражения (7.2.7)—(7.2.12), имеем, что j-тая координата вектора
Div {уΑχ + аА2 — «Л2)
равна:
dAvj
j + a~dt +
+ a( У 9щ_9\_ у^ <^fc d2^i y^ dA^
\ - ь , &** 9xkdxi 2-*л dxi 9xkdxj ^-f * dxk

280
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
+
(у^ d2Vj dvk y> d2vk dvk y> dvj ^ γ> dv^^ \
^г дхгдхк dxi .^dxtdxjdxi fr[dxk Щ £г[дхз Щ J
I y> d2vk dvk y> d2vk dvj y> dvk ^
\ ^ dxidxj дхг ή-± dxidxj дхк £^ dxj
+
/f^ dxidxk δχι /f^ dxidxk дхк ?г*л dxidxj dxi
t,fc=l t,k=l t,«=l J
^ d2vk dvt ^ dvj ^ dvk
+ £ а^^к + Σ ^Δ»*+Σ ^
Приводя подобные слагаемые и воспользовавшись тем, что
^> d2Vj dvk _ ^ d2Vj dv{
ή-± дхгдхк дхг .^ дхгдхк дхк'
получим, что
(Div Ml + *А2 - aJQ), = ,Δ* + α^ + α Σ §* j£g-+
-, β«*Λίί
+
В силу того, что
Ση dvk d ^ ^ <9A?;fc
перепишем j-тую координату вектора Div {yA\ + αΑ2 — а А2) в виде:
^ d2vk dvk д ^ A <9A?;fc /7014ч
+αΣ^ϊ-^-+α^;Σ^Δ^-αΣ^^-· (7·2·14)
tjAC — 1 К—1 AC—1

7.2. Постановка задачи.
281
Далее, поскольку
д ^ dvk dvi ^ d2vk dvt ^ dvk d2vt
О ^ OVk OVi _ ^ Q"Vk OVi ^
Ят. £-~* civ? Art- ^-^ Ϊ)τ-Ϊ)τϊ /)tl ^-^
da;* /f^, dxi dxk гг*л dxjdxi dxk гг*л dxi dxjdxk
и в силу того, что, поменяв местами индексы гик, имеем равенство
γ> d2vk dvt _ γ> d2Vj dvk
*-*л dxjdxt dxk т^, dxjdxk dxi
получаем, что
Edvk d2Vj _ 1. _d_ γ> dvk dvt
dxi dxkdxj 2 dxj ^ dxt dxk
i,k
Таюке заметим, что
d2vk dvk _ 1 д γ> dvk dvk
" dxidxj dxi 2 &r7 " ftr» dx%
Таким образом,
Edvk d2Vj y^ d2vk dvk
dxt dxkdxj .^ dxidxj dxt
_ 1 д Ι γ-ν dvk dvi ^> dvk dvk
~ 2ax" I 2- a^a^ + .f-, a^a^"
4 ^xj Ι ττΊ ^Xi ^Xfc t^i ®Xi ®Xi
4 dxj /^ \ 9xi dxk ) 4 9xj
В итоге, с учетом последнего, получим из (7.2.14), что j-тая
компонента вектора Div {уА\ + α^2 — <*А2) имеет вид:
(Div (νΑλ + αΑ2 - aAf)). = vAvj + α-^2 + <* 2^ Vk~faT~~
k=l

282
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Вводя теперь обозначение
р = р-а^УгАУг- -(Αι : Αι)
мы и получим, что системы уравнений (7.2.2), (7.2.3) и (7.2.4), (7.2.5)
эквивалентны. D
Отметим также, что очень часто при η = 3 систему уравнений,
описывающую движение жидкости второго порядка, записывают в виде:
-^ - ι/Δν - α—-^ + rot (ν - αΔν) χ ν + Vp = /, (7.2.16)
at at
divv = 0 (x,t) e Ω χ [0,Τ]. (7.2.17)
Такая запись удобна для применения метода, предложенного Цио-
ранеску и Оуазар, когда к (7.2.16) применяется оператор rot. Здесь
ρ — модифицированное давление, отличное от ρ из (7.2.4).
Эквивалентность системы уравнений (7.2.16), (7.2.17) системе
уравнений (7.2.4), (7.2.5) непосредственно получается из нижеследующих
соотношений:
rot (ν — αΔν) χ ν ■
/Λ 0(νι-αΔνι) » d(vi - αΔν{)\
Σ νΐ * Σ vi *
i=i όχι i=i dxi
" d(v2- αΔν2) A d(vi- αΔν^
L· yi Ζ Σ yi о
i=i dxi i=i dx2
" δ(ν3-αΔν3) " δ^-αΔυ^
\i=i dxi i=i dx3 )
/Π Π П \ / П ν
,Σ^-*Σΐ^ + "Σν^\ /Σ^Λ
η
i=l
i=l
dv-
dAv2
dxi
i=l i=l i=l
-iv
4=1 i=l i=l /
i=l
η
Σ>*ϋ»
i=l
v£^y
В этой главе для системы (7.2.4), (7.2.5) в ограниченной области Ω на
промежутке времени [О, Т] рассматривается начально-краевая задача
с начальным условием
v\t=o(x) = а(х), χ е Ω,
и граничным условием
^|апх[о,т] = 0.
(7.2.18)
(7.2.19)

7.3. Аппроксимационная задача. 283
7.3. Аппроксимационная задача.
Для доказательства существования слабого решения
начально-краевой задачи (7.2.4), (7.2.5), (7.2.18)(7.2.19) рассмотрим следующую
задачу с малым параметром ε > О, аппроксимирующую исходную
задачу:
*-ъГ + аТ,*-ьГ + шр = '» J = 1'n; (7'зл)
di™ = 0; (7.3.2)
v\t=o(x) = a(x), χ e Ω; (7.3.3)
v\dQx[o,T) = 0; (7.3.4)
Δ^ΙθΩχ[ο,τ] = 0; (7.3.5)
А2Чапх[о,т] =0. (7.3.6)
Далее будет доказано существование слабого решения данной
начально-краевой задачи (7.3.1)—(7.3.6), а потом на основе априорной
оценки решений, не зависящей от параметра аппроксимации ε,
показывается, что из последовательности решений аппроксимационной
задачи можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к слабому
решению начально-краевой задачи (7.2.4), (7.2.5), (7.2.18)(7.2.19) при
стремлении ε к нулю. При этом будут получены условия малости на
данные задачи или, что то лее самое, условия на величину отрезка, на
котором существует решение.
7.4. Функциональные пространства и
вспомогательные факты
В данной главе мы будем пользоваться обозначениями и
вспомогательными утверждениями из параграфа 4.2.
Как и ранее по теореме Рисса будем отождествлять пространство V0
с его сопряженным пространством (V0)*. Поэтому имеем следующие
вложения:
У5 с У3 с У1 с У0 ξ (V°y с V~\
где каждое пространство плотно в последующем и вложения
непрерывны.

284 Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Введём в этом пункте пространства, в которых будет доказана
разрешимость изучаемой задачи и задачи, аппроксимирующей исходную:
Первое пространство
\¥г = {и : и G ^(Ο,Τ; V*),u' G L2(0,T, V2)}
с нормой
\\u\\w1 = ΙΜΙί,οοίο,τ-,ν3) + II^'IIl2(o,t,v2)
и второе пространство
W2 = {u:ue C([0,T], Vb),u' G L2(0,T, V5)}.
с нормой
\\u\\w2 = IMIc([o,T],v5) + II^'IIl2(o,t,k5)·
Также нам потребуются вспомогательные утверждения из теории
линейных фредгольмовых операторов и одно обобщение неравенства
Гронуолла—Беллмана известное как неравенство Бихари.
7.4.1. Неравенство Бихари
В этой главе для доказательства априорной оценки нам
потребуется лемма Бихари, точнее говоря её обобщение, которое было
получено А.И. Перовым [63] (для удобства читателя приведём здесь также
ссылку на книгу [77], в которой приведен подробный обзор подобных
неравенств).
Лемма 7.4.1. Пусть функция u(t) неотрицательна и
удовлетворяет интегральному неравенству
t
u(t) ^c+ I {a(s)u(s) + b(s)um(s)}ds, с ^ 0, m > 0, (7.4.1)
ίο
где a(t) ^ 0, b(t) )0u непрерывны при t > to. Тогда при 0 < τη < 1
имеет место неравенство:
it t t \ Т^Г
ci-me t0 + (χ _ m) / b(s)e · ds >
(7.4.2)

7.4. Функциональные пространства и вспомогательные факты 285
а при т = 1 имеет место неравенство
f{a(s)+b(s)}ds
u(t) ^се'° . (7.4.3)
В случае т > 1 предположим дополнительно, что
t0+h
с <
it0+h Ч т-1 • t +^ \ m-i
(1-т) / a(s)ds Г \
е <° \ Um-1) b(s)ds\ . (7.4.4)
Тогда при to ^ t ^to + h справедливо неравенство
(i t
e to _cm-i(m_i) / b(s)e
? t l
(l-m)fa(s)ds Г (1-т) Гα(ξ)άξ
* . <m — 1/ -«\fi/\v ' J ^' ^ . ι
)e я as
to
(7.4.5)
Доказательство. При т = 1 мы получаем известное неравенство
Гронуолла—Беллмана (теорема 2.3.5) :
f {a(s)+b(s)}ds
u(t) ^cet0
Пусть 0 < т < 1. Пусть v(t) является решением интегрального
уравнения
t
v(t) = c+ I {a(s)v(s) + 6(s)vm(s)}ds, t ^ *0,
ίο
которое эквивалентно дифференциальному уравнению
ν'(τ) = α(τ)ν(τ) + Ь(т)ут(т), τ ^ t0, (7.4.6)
снабженному начальным условием
υ(0) = с. (7.4.7)
Разделив (7.4.6) на vm и перенеся первое слагаемое из правой части
в левую, получим
vm(r)
-а(ту-т{т) = Ь(т).

286 Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Умножая обе части последнего уравнения на положительный
множитель
τ
(τη—1) / a(s)ds
(1 - т)е tQ ,
имеем
υ'(τ) (rn-l) f a(s)ds (m-1) / a(s)ds
(l-m)—^re <° -(l-m)a(r)e <° ^1_m(r) =
τ
(τη—1) / a(s)ds
= (1 - m)6(r)e
Последнее равенство можно переписать в следующем виде:
-(l-m) / a(s)ds\ (m-1) / a(s)ds
vl-m{r)e <° =(l-m)b(r)e
Интегрируя это равенство по г в пределах от to ДО £>
воспользовавшись (7.4.7), находим
-(l-m) f a(s)ds f (m-1) f a(s)ds
~ )e t0 dr.
-(l-m) J a(s)ds Г
vl-m(t)e <° - cl-m = (1 - m) J b(r)e
to
Умножая это равенство на
имеем
(l-m) fa(s)ds
(l-m) f a(s)ds > (l-m) f a(s)ds
(l-m) J a(s)ds f
v1-m(t) = c1-me <° + (l-m) / b{r)e '- " dr.
to
Отсюда
t t \ l-m
(l-m) / a(s)ds f ^ (l-m) /a(s)ds
dr
((l-m) J a(s)ds f (
ci-me t0 + (1 - m) / b(r)e
to
Учитывая, что u(t) ^ v(t), получаем требуемое неравенство (7.4.2).

7.4. Функциональные пространства и вспомогательные факты 287
Пусть т > 1. Если с = О, то требуемое неравенство имеет место.
Если лее с φ О, то аналогично предыдущему случаю имеем, что
t t t
(l-m) / a(s)ds f (1-m) f a(s)ds
vl-m{t) = cl~me <o + (i _ m) / b(r)e -dr. (7.4.8)
ίο
Только в этом случае, поскольку га > 1, то для того, чтобы возвести
данное равенство в степень γζ^ мы должны проверить, что правая
часть положительна. Отсюда и возникает условие (7.4.4):
1 ι
t0 + h
с<
it0 + h ч т-1 • t +/l
(l-m) / a(s)ds\ r
e <° \ Urn-I) b(s)ds
при выполнении которого мы можем гарантировать, что правая часть
равенства (7.4.8) будет положительна при t € [to,to + h], где h
определяется из (7.4.4). Таким образом, учитывая, что u(t) ^ v(t) получим
требуемую оценку. D
7.4.2. Сведения из теории линейных фредгольмовых
отображений
В этом пункте мы приведём некоторые сведения из теории линейных
фредгольмовых операторов, которые будут использованы в
дальнейшем. Полное изложение приводимых здесь фактов может быть
найдено, например, в [25].
Пусть E,F — вещественные банаховы пространства. Обозначим
через С(Е, F) пространство непрерывных линейных операторов А : Ε —>
-+F.
Для оператора А Е С(Е, F) обозначим через Кег А ядро оператора
А, то есть
Кег А = {хе Ε : Ах = 0},
а через Im A — образ оператора А, то есть
Im А = {у Ε F : Ах = у для некоторого χ Ε Ε}.
Определение 7.4.1. Фактор-пространство
CoKerA = F/ImA
называется коядром оператора А.

288
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Определение 7.4.2. Линейный оператор А е £(E,F) называется
фредгольмовым, если
1. размерность ядра оператора А конечна, то есть dimKer A < оо;
2. размерность коядра оператора А конечна, то есть dim CoKer A <
< оо.
Индексом фредгольмова оператора А называется число
ind A = dim Ker A — dim CoKer А.
Обозначим через Ф(Е, F) — множество всех фредгольмовых
операторов A G C(E, F), а через Фо(Е, F) — множество линейных
фредгольмовых операторов индекса нуль.
Через C(E,F) будем обозначать множество линейных компактных
операторов С : Ε —> F.
Теорема 7.4.1. Пусть Ε, F, G — банаховы пространства, A G
G Ф(£,Л> В Ξ Φ(^,σ). Тогда В А е Ф(Е,в) и
'md(BA) = ind В + ind A.
Теорема 7.4.2. Пусть Ε, F — банаховы пространства, А Е
G Ф(£,Л, С е C(E,F). Тогда А + Се Ф(£,Л и ind(A + С) = ind A
Теорема 7.4.3. Пусть Е, F — банаховы пространства, A G
еФ0(£,^). Тогда если
КегА = {0}
или
СоКегА = {0},
то оператор А : Ε —» F обратим и обратный оператор А-1 : F —» Ε
непрерывен.
7.5. Определения слабых решений поставленных
начально-краевых задач.
Сначала опишем слабую постановку исходной начально-краевой
задачи (7.2.4), (7.2.5), (7.2.18), (7.2.19).
Мы будем предполагать, что a G V3,/ Ε 1>2(0,Τ;Η1(Ω)η). Здесь и
далее для краткости как обычно будем обозначать ν' = ^.

7.5. Определения слабых решений
289
Определение 7.5.1. Слабым решением начально краевой задачи
(7.2.4), (7.2.5), (7.2.18), (7.2.19) называется функция ν G Wu
удовлетворяющая для любого φ G V1 и почти всех t G (О, Τ) равенству
/ υ'φάχ + а V(v') : Vipdx + ν / Vv : Vipdx + Σ, Щ-^-ψ^-
ω ω Ω *λ=1ω
-α Σ / Vi-jr-*-4>jdx + OL Σ / Vi-r—^ifjdx = / /φάχ. (7.5.1)
и начальному условию
ν(0) = α. (7.5.2)
Соотношение (7.5.1) получается стандартным образом: в
предположении, что имеется классическое решение задачи (7.2.4), (7.2.5),
(7.2.18), (7.2.19), уравнение (7.2.4) умножается на пробную функцию
φ G V1, после чего в некоторых членах производится интегрирование
по частям: вследствие соленоидальности функции φ член Vp
исключается из уравнения.
Теперь дадим определение слабого решения для аппроксимационной
начально-краевой задачи (7.3.1)—(7.3.6).
В данном случае будем предполагать, что / G L2(0,T; Η1 (Ω)η), a G
eV5.
Определение 7.5.2. Слабым решением начально-краевой задачи
(7.3.1)—(7.3.6) называется функция ν G И^, удовлетворяющая для
любого φ G V1 и почти всех t G (О, Τ) равенству
/ υ'φάχ + а V(v') : Vipdx + ν I Vv : Vipdx+
Ω Ω Ω
/n Γ Λ
V(AV) : V<pdx+ Σ / Vi-rp-4>jdx-
Ω *>*=1 ω
ΤΙ л C\ A ft л £)Λ Г
-α Σ / Vi-Q-l-ipjdx + a ^ / νί-^·φίάχ = / /(^dx. (7.5.3)
^ = 1Ω Xl ^=1Ω ^ Ω
и начальному условию
ν(0) = α. (7.5.4)
Соотношение (7.5.3) получается полностью аналогично
соотношению (7.5.1).

290
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
7.6. Операторные уравнения.
В этом разделе вводятся операторные уравнения эквивалентные
задаче о слабых решениях аппроксимационной задачи и изучаются
свойства операторов из этих операторных уравнений.
Введём операторы с помощью следующих равенств:
N:V5-+V~\ {Νη,φ)= ΙV (А2и) :V<pdx, ueV5^eV1'1
Ω
n Г Я
BnVl-+V-1, (Β1(η),φ)=Σ J щ-^-щах, u,<peVl;
B2:V3-+ V~\ (Β2(η),φ) = Σ J^^Vjdx, ueV3,<pe V1;
*Λ=1 Ω
B3:V3-+ V~\ (Β3(η),φ) = Σ [ui^tpjac, ueV3,<pe Vl;
J:Vb-±V~l, (Ju,(p)= ίηφάχ ueV5^eV\
Ω
Таюке будем рассматривать оператор А, введенный в
параграфе 4.2, как оператор, действующий из V1 в пространство V-1 и
задаваемый равенством
(Аи, φ) = I Vu :V(fdx, u^GV1.
Ω
Таким образом (7.5.3) можно записать в следующем виде:
(Jv'(t), φ) + (aAv'(t), φ) + (i/Av(t), φ) + (eNv'(t), φ)+
+ {Вх{уШч>) - (αΒ2(υ)(ί),φ) + (αΒ3(ν)(ί),φ) = (f(t),<p).
Поскольку в последнем равенстве функция φ Ε V1 произвольна, то
оно эквивалентно следующему операторному уравнению:
Jv + olAv' + ν Αν + eNv + Βλ (ν) - αΒ2(ν) + αΒ3(ν) = /. (7.6.1)
Итак, слабое решение задачи (7.3.1)—(7.3.6) —это решение ν Ε W2
операторного уравнения (7.6.1), удовлетворяющее начальному
условию (7.5.4).

7.7. Исследование свойств операторов
291
Введём следующие обозначения:
L : W2 -+ L2(0,T; V~l) x V5, L(v) = ((J + aA + eN)v' + i/i4v,v|t=0);
if : W2 -► L2(0,T; V"1) x V5, Κ (υ) = (Βλ(υ) - αΒ2(ν) + αΒ3(«),0).
Тогда задача (7.6.1), (7.5.4) эквивалентна следующему
операторному уравнению:
L(v) + K(v) = (f,a). (7.6.2)
Одновременно с уравнением (7.6.2) мы будем рассматривать также
следующее семейство операторных уравнений:
L(v) + ΧΚ(ν) = λ(/,α), где λ G [0,1]. (7.6.3)
Отметим, что семейство операторных уравнений (7.6.3) содержит
в себе как частный случай операторное уравнение (7.6.2), а именно
(7.6.2) получается из (7.6.3) при А = 1.
7.7. Исследование свойств операторов из
операторных уравнений (7.6.1) и (7.6.2).
Для того чтобы не нагромождать обозначения, мы, если это не
будет вызывать недоразумений, будем использовать одну и ту же букву
для обозначения операторов, действующих в разных функциональных
пространствах.
Лемма 7.7.1. Для оператора А имеют место следующие
свойства:
1. Оператор А : V1 —> V~l — непрерывен и для для любого и G V1
имеет место оценка:
\\Au\\v-i <Hvi. (7.7.1)
2. Для любой функции и G L2(0, Т; V1) функция Аи G L2(0, Т; V-1),
оператор А : L2(0,T; V1) —> L2(0,T; V-1) — непрерывен и имеет
место оценка:
Ρ^ΙΐΜΟ,Τίν-1) < IM|l2(0,T;1")· С7*7*2)
3. Для любой функции и G С([0,Т], V5) функция Аи G
G L2(0,T;V-1), оператор А : С([0,Т],У5) -> L2{0,T;V-1)-
непрерывен и для него имеет место оценка:
Mti||La(ofT;V-i) < Ciy/T\\u\\c{\Q%T\ivby (7.7.3)

292
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Доказательство. Утверждение первых двух пунктов данной
леммы полностью совпадает с утверждениями первых двух пунктов
леммы 4.4.1.
3) Пусть и G С([0, Г], V5). Тогда в силу неравенства (7.7.2) получаем,
что
τ
H4Il2(0,T;V--i) ^ IMIl2(0,T;V1) = J Ν*)ΙΙν"Λ <
О
τ τ
< Cl j\\u{t)\\2vat < Cfm^ \\u(t)\\2v5 jdt = С2Т\\и\\2С{[0Л.у5у
0 ' 0
Здесь мы воспользовались неравенством
которое имеет место для любого w G V5 в силу непрерывного
вложения
V5 CV1.
Таким образом для любой функции и G С([0,Т], V5) функция Au G
G 1/г(0, Т; V-1) и имеет место требуемая оценка (7.7.3), из которой в
силу линейности и следует непрерывность оператора А : С([0,Т], V5) —>
-+L2%T;V-1). D
Лемма 7.7.2. Оператор N : V5 —> V~l — линейный, непрерывный,
обратимый, для него имеет место оценка:
\\Nu\W-i < \\u\\v>. (7.7.4)
Обратный к нему оператор Ν~λ : V~l —> V5 непрерывен.
Доказательство. Сначала отметим, что оператор N : V5 —> V~l
совпадает с линейным оператором А3 : V5 —> V-1, где оператор А
вводился ранее (см. подробнее параграф 4.2). Однако, в силу
определения оператора А и пространств ν^,β G К имеем, что оператор
А3 : V5 —> V~l непрерывен, обратим и обратный к нему оператор
(A3)'1 :V~l -у V5 непрерывен.
Перейдём к доказательству оценки (7.7.4). По определению
оператора N для любых и G V5, φ G V1 имеем
\(Nu,<p)\ =
/ ν(Δ2?χ) : V(pdx
< IMMMIv*.

7.7. Исследование свойств операторов
293
Отсюда и получаем требуемое неравенство (7.7.4). D
Лемма 7.7.3. Для оператора J+aA+εΝ имеют место следующие
свойства:
1. Оператор J + а А + εΝ : V5 —> V~l — линейный, непрерывный,
обратимый и для него имеют место оценки:
е\\и\\уъ ^ \\(J + OLA + eN)u\\v-i ^ (С0 + аС? + ε)\\u\\v*. (7.7.5)
Обратный оператор (J + а А + εΝ)-1 : V~l —> V5 непрерывен и
для него имеет место оценка:
WiJ + aA + eN^wWv* ^ -ΝΙν-1· (7·7·6)
2. Для любой функции и G Z/2(0,T;V5) функция (J + аЛ +
+εΛ/> G L2(0,r;V_1), оператор J + aA + εΝ : L2(0,T;V5) -►
—> 1/г(0,T;V_1) —непрерывен, обратим и для него имеют
место оценки:
£N|l2(o,t;v5) < \№ + аА + еМ)и\\Ь2(о,Т;У-1) <
^ (Co + aCf+eJIHU^o.T;^)· (7.7.7)
Обратный оператор
(J + aA + εΝ)-1 : L2(0, Τ; V"1) -+ L2(0, Τ; У5)
непрерывен.
Доказательство, i^ Линейность оператора J + аА + εΝ следует
из линейности каждого из операторов J, α Α, εΝ. Покажем теперь его
непрерывность. В силу линейности нам для этого достаточно показать
его ограниченность:
\\(J + aA + eN)u\\v-i = sup ^ — '- '-± =
<pev*\{o} imiv1
fuipdx + afS/u : S/φάχ + ε f V (A2u) : Vtpdx
|Ω Ω Ω , ^
= sup π—Π ^
||ц||уго||у>||уо +Qr||tft||vi||^||yi + g|M|y»IMk1
^ sup ,, .. ^
φ€νι\{0} IMIV1

294
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
^ sup CxCfHHMIw +aC?HHMki +g||ti|k»||y|lw =
^ <pevi\{o} IMIw
= (Co + olC\ + ε) \\u\\v*.
Здесь мы воспользовались тем, что в силу непрерывного вложения
V1 CV° для любой функции w Ε V1 имеет место оценка
IMIv° ^ C^INIvi- (7.7.8)
Таким образом оператор J + α Α + εΝ : V5 —> V~l — непрерывен и
имеет место правая часть оценки (7.7.5).
Далее, в силу первого пункта леммы 7.7.1 и непрерывного вложения
V1 С V~l получаем, что оператор J + а А : V1 —> V~l непрерывен.
Следовательно, поскольку вложение V5 С V1 вполне непрерывно, то
оператор J + аА : V5 —> V~l является вполне непрерывным как
суперпозиция непрерывного и вполне непрерывного операторов.
Таким образом, оператор J + α Α + εΝ : V5 —> V~l можно
представить как сумму непрерывно обратимого оператора εΝ : V5 —> V~l (см.
лемму 7.7.2) и вполне непрерывного оператора J + а А : V5 —> V~l.
Но, тогда в силу теоремы 7.4.2 оператор J + аА + εΝ : V5 —> V~l
является линейным фредгольмовым оператором индекса нуль.
Более того,
Ker(J + aA + £N) = {0}.
На самом деле, пусть и Ε V5, тогда получим, что А2и Ε V1.
Следовательно, воспользовавшись формулой интегрирования по частям,
имеем
({J + aA + eN)u,A2u) =
= J uA2udx + a /vu : V (Δ2ιι) cte + ε / V (Δ2υ) : V (Δ2υ) dx =
Ω Ω Ω
= - /Vu : V (Au) dx-a J Δη: A2udx + ε / V (Δ2υ) : V (Δ2υ) dx =
Ω Ω Ω
= Ι Δυ,Δηάχ + α Ι V (Δτχ) : ν(Δη)άχ + ε /V (Δ2η) :V (Δ2υ)άχ =
Ω Ω Ω
= \\u\\2V2 + a||tx||у* + ε|Μ|ντβ ^ е1М1у»·
Таким образом
{(J + aA + eN)u,A2u) >ε\\η\\2ν*. (7.7.9)

7.7. Исследование свойств операторов
295
С другой стороны:
{{J + aA + eN)u,A2u) ^ \\(J + aA + eN)u\\v-i\\A2u\\vi =
= \\(J + aA + eN)u\\v-i\\u\\v*. (7.7.10)
В итоге из (7.7.9) и (7.7.10) получим левую часть оценки (7.7.5):
εΙΜΙν5 ^ \\(J + aA + eN)u\\v-i.
Из последней оценки и следует, что ядро оператора J + αΑ + εΝ :
V5 —> V~l состоит только из нуля. Следовательно, в силу
теоремы 7.4.3 он обратим, причём обратный оператор (J + α Α + eN)~l :
V~l —> V5 непрерывен.
Неравенство (7.7.6) получается из левой части оценки (7.7.5). На
самом деле, в силу обратимости оператора (J + αΑ + εΝ) для каждого
w G V-1 существует единственный элемент, ν G V5 такой, что υ =
= (J + αΑ + eN)~lw и имеет место неравенство (7.7.5):
ε|Μ|νβ < \\(J + aA + eN)v\\v-i.
Или, что то же самое, что для любого w G V~l выполняется
неравенство:
e\\(J + aA + eN)-lw\\Vb ^ ΙΗΙν-1·
Из последней оценки и следует (7.7.6).
2) Пусть и G L2(0,T;V5). В силу правой части оценки (7.7.5) при
почти всех t G (0, Τ) имеет место следующая оценка
\\(J + aA + eN)u(t)\\v-i ^ (С0 + аС2 + ε)\\u(t)\\v*.
Возводя эту оценку в квадрат и проинтегрировав полученное
неравенство по t от 0 до Т, получим:
τ τ
J ||(J + olA + εΛΓΜΟΐβ-! * < (<?o + "С? + ε)2 / H*)llν**,
о о
Так как и G 1/г(0, Т; V5), то правая часть неравенства конечна, и,
следовательно, левая часть неравенства конечна. Отсюда следует, что
(J+aA+eN)u G 1/2(0, Τ; V-1), и, что имеет место правая часть оценки
(7.7.7):
||(J + ai4 + cN)ti||La(0fT;v-i) < (C0 + aC2+e)\\u\\L2{0,T-y*).

296 Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Поскольку оператор (J + а А + εΝ) — линейный и ограниченный,
то получаем, что он непрерывен как оператор из 1/2(0, Т; V5) в
^(Ο,Γ;^-1).
Покажем теперь его обратимость. Сначала докажем, что множество
значений оператора (J + aA + εΝ) : L2(0,T;V5) -► L2(0,T;V-1)
совпадает со всем 1/г(0, Т; V-1). Для этого надо показать, что для любого
w G L2(0,T; V-1) уравнение
(J + аА + eN)u = w
имеет решение и € L2(0,T; V5).
В силу того, что оператор (J + а А + εΝ) : V5 —> V~l обратим, мы
имеем, что при почти всех t Ε (0, Τ) уравнение
(J + аА + εΝ)η = w
имеет решение
u(t) = (J + aA + eN)-lw(t).
Осталось показать, что определённая таким образом функция и
принадлежит пространству 1/2(0, Т; V5). В силу левой части оценки (7.7.5)
при почти всех t £ (0, Τ) мы имеем:
e\\u(t)\\v* ^ \\(J + aA + eN)u(t)\\v-i = \\w(t)\\v-i. (7.7.11)
Поскольку w Ε 1/2(0,Τ; V'-1), то из последнего неравенства следует,
что и Ε 1/г(0, Т; V5). Таким образом мы получили, что множество
значений оператора (J+aA+εΝ) : L2(0,T;V5) -у L2(0,T;V~1) совпадает
со всем пространством Z/2(0,T; V-1).
Возводя неравенство (7.7.11) в квадрат и интегрируя его по отрезку
[0,Г], получим левую часть неравенства (7.7.7):
e|M|L2(0fT;V») ^ 11(^ + а^ + ^Н|М0,Т;К-1).
Отсюда непосредственно получаем, что
Ker(J + aA + eN) = {0}.
В итоге получили, что (J + а А + εΝ) обратим как оператор из
1/2(0,Т; V5) в 1/2(0,Т; V-1). Более того, в силу теоремы 2.3.3 (теорема
Банаха) обратный к нему оператор
(J + αΑ + εΝ)-λ : L2(0,T;V-1) -+ L2(0,T;V5)
является непрерывным. D

7.7. Исследование свойств операторов
297
Лемма 7.7.4. Для отображения В\ имеют место следующие
свойства:
1. Отображение В\ : V1 —> V~l непрерывно и для него имеет
место оценка:
||Si(t;)||v-i ^C4\\v\\2yl. (7.7.12)
2. Для любой функции ν G 1/4(0,Τ; V1) функция B\(v) G
G L2{Q,T;V-1) и отображение Вг : Ь4(0,Т;У1) -►
—> 1^(0, Τ; V-1) — непрерывно.
3. Для любой функции υ G W2 функция B\{v) G 1/2(0,Τ; V-1) и
отображение В\ : W2 —> 1/2(0, Τ; V-1) —вполне непрерывно и
имеет место неравенство:
ИадИыст·.^) < C4Vf\\v\\2Cil0<Thvl). (7.7.13)
Доказательство. 1) Для любых ν, φ G V1 имеем
η
\{Βι{ν),φ)\ =
i,j = l
9^j
L2(n)
ΙΙ<βΙΙζ,4(Ω)
<
η
<c-4|MiMMIvi.
Отсюда и следует оценка (7.7.12):
||Βι(«)||ν· <С4|И|?г1
с константой С\ = п2С%, где Сз — постоянная из неравенства
1М1мп)»<Сз1Мк·, (7.7.14)
которое имеет место для любой функции w G У1 в силу непрерывного
вложения V1 С Ζ/4(Ω)η.
Покажем теперь непрерывность отображения
Вг iV1 -+V~\ υ^Βλ{υ).

298
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Для произвольных vm,v° Ε V1 имеем:
\(Bl(vm),<p)-(Bi{iP),<p)\ =
.?>&"*-£/*£**
*Λ=1 Ω
^=1 Ω
^
< V \\vm—^-v0—t\\
.4^ Ρ ft* 'ft*
1Ык
η
«Σ
mdvf „дув
ν™—- ν°—-
1 dxi г dxi
(Ω)
\L4(Qy
<
ζ
^4/3(Ω)
<C3\\<p\\vi Σ
i,j = l
ν^1—- ν°—-
1 dxi l dxi
^4/3(Ω)
Отсюда следует, что
|Βι(0-Βι(«°)||ν-ι<σ3χ;
ν™—- v°—-
v% dxi Vtdxi
\L4/3(Q)
Преобразуем правую часть неравенства следующим образом:
Σ
V™ 17° -
ν% dxt %dxt
Ь4/з(П)
= Σ
0< „ft;? „ft;? ηβυ?
ν™—- ν™—- + ν™—- - ν°—-
V% dXi l dXi + l dXi ldXi
<
L4/3(Q)
<Σ
+ Σ
«,J'=1
um—ί ν™—-
+ Σ
Ь4/з(П) *,J=1
v™—L -v°—-
1 dxt г dxt
^
^4/з(П)
dv™ dv°
dxi dxi
1*(П)
dv°
dxt
,.m Л,0|
\\vr - v7\\ T ^ < n2 \\vm\\L4{Q)n |K - v"\\yl +
Ь2(П)
,.m_ Oil
yt llL4(Ω)
+ n2 \\υ°\\νι \\vm - v°\\Li(Q)n < n2C3(IKUm + PIU )IK - ν°\\γ1 ·

7.7. Исследование свойств операторов
299
Таким образом получили, что
\\в!(ут) - βιΗΙΙν- < с* (ll«mllw + Ft·) Ьт - ν°\\νι ■ (7·7·15)
Полагая vm —> v° в V1, получаем из последнего неравенства
непрерывность отображения В\ : V1 —> V"1.
2) Пусть ν Ε L4(0,T;V1). В силу оценки (7.7.12) при почти всех
t € (О, Т) имеем
||Bi(i/)(*)Hv-i ^CA\\v{t)\\2yl.
Возведем это неравенство в квадрат и проинтегрируем по t от 0 до
Г:
τ τ
j WB^mwi-idt < at J мтЬгя.
о о
Поскольку правая часть последнего неравенства конечна, то конечна
и левая часть. Таким образом для ν Ε 1/4(0, Τ; У1) мы имеем, что
ΒχΟΟεί^Ο,Γ;^-1).
Покажем теперь, что отображение В\ : 1/4(0, Т; V1) —> 1/2(0,Т; У-1)
непрерывно. Пусть последовательность {vm} С 1/4(0, T\Vl) сходится
к некоторому пределу i;0 Ε £4(0, Τ; V'1) при τη —> оо.
Из неравенства (7.7.15) получим, что при почти всех t Ε (0,Т) имеет
место оценка
||Bi(«m)(*)-Bi(t;0)(*)|lv-i <
< с4 (ΐΐτΛ(ί)ΐμ + FWIU) ll«m(«) - At)\\v> ■
Возведем последнее неравенство в квадрат и проинтегрируем по t
от 0 до Т. Воспользовавшись неравенством Гёльдера, получим:
/ι
b^OW-SiHWH^^
о
2П (|i«m(*)iiVi + FWIW4 *J i/ll«m(*) -Л*)С rfi)
τ

300
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Поскольку, в силу неравенства Гельдера
τ
f(\\vm(t)\\vl+\\v°(t)\\vlYdt =
о
4 Т
г-0 О
Τ Τ
^/|И0||^ + /|К(')11^+
о о
+ Σ щ^у U \\"т Wilt* * J ί / И*С л
= Σ Ti^b)! (/ »"тю^ Λ) (/ И^ *
i=0 χο
4 ,.
- V ΙΙ7,™ΙΓ ΙΙ«°ΙΙ4"*
~ Ζ^ jf(4 - О» " llL4(0fT;Vi) IP IIl4(0,T;K1) *
i=0 *v '*
Таким образом:
\\Вг(^) - Bi(^)||La(0fT;v-i) < 11^ " Л1Мо,т^) x
x °4 ( Σ г!(4 — г)! "^"^(о.т;^1) ΙΙ^ΙΙζ^ο,τ-ν1) Ι *
Так как правая часть неравенства стремится к нулю при т —> +оо,
то стремится к нулю и левая часть. А это и значит, что отображение
В! : ^(Ο,Τ-,ν1)-+L2(0,T;V-1)
непрерывно.
3) Как обычно воспользуемся теоремой С.4.1. В данном случае
χ = у2, Ε = V\ Y = V°,
F={v:ve L4(0,T;V2);x/ € L2(0,T;V0)}.

7.7. Исследование свойств операторов
301
Так как имеет место компактное вложение V2 С V1, то выполнены
все условия указанной теоремы и из неё следует компактность
вложения F в L4(0, Г; V1).
Из непрерывных вложений
С([0,Г],У5)сМ0,Г;У2) и L2(0,T;V5) С L2(0,T;V°)
следует, что W2 С F, причём вложение непрерывно.
Далее, из второго пункта этой леммы мы знаем, что отображение
Βλ : L4(0, Τ; V1) -► L2(0, T; У"1) - непрерывно.
Таким образом имеем
W2 С F С L4(0,T; V1) ^> L2(0,T; V"1),
где первое вложение непрерывно, второе вложение — вполне
непрерывно, а отображение Βχ — непрерывно. Таким образом получили, что для
любой функции ν G W2 функция Βχ(ν) G L2(0,T; V~l) и отображение
Βι : W2 —> 1/г(0, Τ; V"1) является вполне непрерывным.
Из неравенства (7.7.12) получим при всех t G [0,Τ], что
\\вг(у)(ту-^с4мт^·
Возводя данную оценку в квадрат, и проинтегрировав полученное
неравенство по t от 0 до Т, имеем
τ τ
J ивдеди^сй < dlfb{t)\\U* <
О О
^ ^Ж l|w(*)l1*'1 = σ4τΙΙνΙΙσ([ο,ηνυ·
Откуда и следует требуемая оценка (7.7.13). D
Лемма 7.7.5. Для операторов В2 и В$ имеют место следующие
свойства:
1. Для г = 2,3 оператор Bi : V3 —> V~l непрерывен и для него
имеет место оценка:
\\Bi(v)\\v-i ζ Cb\\vfv3. (7.7.16)
2. Для г = 2,3 и любой функции ν G L4(0, Τ; V3) функция В{(у) G
G L2(0,T; V"1) и отображение Д : L4(0,T; V3) -► L2(0,T; V"1)
непрерывно.

302
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
3. Для г = 2,3 и любой функции ν G W2 функция Bi(v) G
G L2(0,T;V~1) и отображение В{ : W2 ->· L2(0,T;V~1) вполне
непрерывно и для него имеет место оценка
||#iMI|L2(0,T;V-i) < C5Vf\\v\\2caoT]v3y
(7.7.17)
Доказательство. Данная лемма будет доказана для оператора В2.
Доказательство в случае оператора В$ полностью аналогично.
1) Для любых υ G V3,ip G V1 в силу определения оператора В2
имеем
\(Β2(ν),φ)\
Ιν^ ί 9Avj
Σ ы\и
(Ω)
Ψΐ dx
<
ij = l
dxi
Ь2(П)
11^11ь4(п)^
η
<σ6||«||ξτ.|ΜΙ^·
Отсюда и следует требуемая оценка (7.7.16) с постоянной С$ =
= п2СзСб, где Се — константа из неравенства
IHU4<n)-<CelHk», (7·7·18)
которое имеет место для всех w G У3 и следует из непрерывности
вложения V3 С Ζ/4(Ω)η.
Покажем непрерывность отображения В2 : V3 —> V~l. Аналогично
доказательству подобного утверждения для оператора В\ для
произвольных vm,v° G V3 имеем:
\(B2(vm)M-(B2(v°)M\ =
I " /· „,βΔ^ . ^ f 0dAv°
ΙΙ^ΊΙ^(Ω) <
dx
^Σ
dAvV
,dAv°
mrr^j__ o— 3
dxi
dxi
Ь4/з(П)

7.7. Исследование свойств операторов
303
<Σ
vm J- v° J-
1 dxi % dxi
<СгЫ\уг Σ
IMI
L4(n)«
^
Ь4/з(П)
^9Δν:
i._rf«*i
1 dxi l dxi
Ь4/з(П)
Отсюда следует, что
η
||В2Ю-В2(г>0)|к-^<?з£
.ΘΑν:
ν
j-rf«*i
1 dx* г 9xi
lL4/3(n)
Преобразуем правую часть неравенства следующим образом:
Σ
t,J=l
ν?-ζ-2--υ? L
* дач l 9xj
= Σ
0Δυ?
Ь4/з(П)
.8Αυ°4
-Vt
% dxt l dxt
L+v?
6Αν°, ndAv°
-±-υΤ
^Σ
η
+ Σ
η
dAv™
dxi ' йг4
dAv°A
<
1.4/з(П)
1 ft*
ади?
* а*
ί-4/3(Ω)
l_J>«*i
1 <9xi г 9xi
^
Ь4/з(П)
..TO ι
^ Σ IK ML4(n)
η
ад^ш ад^°
дХ{ дХ{
+
+ Σ
dAv?
dxi
\\νΓ-ν?\
Ζ,2(Ω)
< "2 H«mllL4(n)- IK - «Iv»+n* IK nv»
Ьа(П)
1.4 (П) ^
\\vm - v"
1Ь4(П)'
ΐ£
<n2Ce(||t;m||v, + ||t,0||v,)||t;m-t;0||v,.
Отсюда следует, что
||В2Ю - Ihiv0)^ < C5 (||«m||v, + \\v°\\v3) \\vm - v°\\v3 . (7.7.19)
Пусть последовательность {vm} С V3 сходится к некоторой
предельной функции v° Ε V3. Тогда непрерывность отображения Да : V3 —>
—> V~l следует из неравенства (7.7.19).

304 Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
2) Пусть ν е L4(0, Т; V3). Тогда из (7.7.16) при почти всех t G (0,Т)
получим оценку
Возводя эту оценку в квадрат и интегрируя по t от 0 до Т, получим
τ τ
J \\В2(ь)(Щ2у.1(И < С\ J \\v(t)\\4v3dt = C52|Mll4(0,T;V~).
о о
Отсюда и следует, что B2{v) Ε 1/2(0, Τ; V"1).
Переходим теперь к доказательству непрерывности отображения
В2 : L4(0,T;V3) -+ L2{0,T;V~1). Пусть последовательность {vm} С
С Ь4(0,Т; V3) сходится κ ν° е 1/4(0, Т; V3) при m —► оо. Тогда в силу
оценки (7.7.19) при почти всех t Ε (0, Τ) получаем неравенство
\\B2(vm)(t)-B2(v°)(t)\\v_1^
< С5 (||«m(t)||v, + POIW |K(t) - w°(*)||^3 ·
Возведя последнее неравенство в квадрат и интегрируя его по t от
0 до Т, в силу неравенства Гёльдера имеем:
^с52
Ι\\Β2(ν™)(ί)-Β2(ν°)ν\\2ν_ι(ϋζ
О
τ
<S С\ J (\\vm(t)\\v3 + Ρ(ί)||ν3)2 \\vm(t) - v°(t)\\2v3 dt <
0
(j (\\vm(t)\\vs + \\v°(t)\\y3)4 dtj (j \\vm(t) - v°(t)\\4v3 dt
Далее опять же в силу неравенства Гёльдера
τ
j(\\vm(t)\\v3 + \\v°(t)\\v3)4dt =
О
τ
= Σ mhy. I1К(<)|1^||и0(011^dt <
i=0 π

7.7. Исследование свойств операторов
305
3
4
-Σ:
t=0 '
4!
t!(4-
4!
ί!(4-
с/IK
о
'(/'
"(/'
τ
(t)\\4v3dt + J\\v
η
I«m(*)llt3
K(*)llt»
f-ί г!(4 -
t=0 v
<ft J
<ft)
^
-(t)|!
(/-
(l·
Χ
its <Й+
«0(о||^зЛ
\v°(t)\\4v3dt
(0,T;V3) |r II
4-t
I
4-t
Γ
4-i
=
=
r;V3) *
В итоге получим
||ft(*W) - ^2(«0)|La(OfT;V-1) < C5|km - ^0||L4(0,T;K3))
( Z^i!(4 -г)! llvml^4(o,T;V3) F Hl4(o,t;v3) 1
Так как правая часть неравенства стремится к нулю при т —> Н-оо,
то стремится к нулю и левая часть. Отсюда и следует, что отображение
В2 : L4(0, Г; У3) -► L2(0, Г; У-1) - непрерывно.
3) Для доказательства утверждения этого пункта воспользуемся
теоремой С.4.1. В этом случае
X = V4, Ε = V3, Υ = V°,
F={v:ve L4(0,T;V4);v' G L2(0,T;V0)}.
Вложение V4 С V3 — компактно, поэтому пространство F вложено
в 1/4(0, Г; V3) вполне непрерывно.
Из непрерывности следующих вложений
С([0,Т], V5) С L4(0,Τ; V4), и ί,2(0,Τ; V5) с L2(0, Г; V°)
следует, что W2 С F, причём вложение непрерывно.
Из второго пункта этой леммы мы имеем, что отображение В2 :
L4(0, Г; У3) -> L2(0, Τ; У"1) - непрерывно.
В итоге
W2 С F С L4(0,T; V3) -^ L2(0,T; V"1).

306
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Здесь первое вложение непрерывно, второе вложение вполне
непрерывно, а отображение В2 — непрерывно. Таким образом для любой
функции ν е W2 получим, что функция B2(v) Ε 1/г(0, Τ; V"1), а
отображение В2 : W2 —> L2(f),T\V~l) —вполне непрерывно.
Покажем теперь оценку (7.7.17). В силу неравенства (7.7.16) при
всех t Ε [0, Т] имеет место следующая оценка
\\в2(у)ШУ-^с5\ш\2уз.
Возводя её в квадрат и интегрируя по t от 0 до Τ получим
τ τ
J WlbivWfy^dt <S C\ f \\v(t)\\4v3dt *S CiT\\v\\4C{[onv3y
0 0
Откуда и следует требуемая оценка (7.7.17). Π
Лемма 7.7.6. Оператор L : W2 -> L2(0,T; V"1) χ V5 — обратим и
обратный оператор L~l : L2(0, Τ; V"1) χ V5 —> W2 непрерывен.
Доказательство. Для доказательства непрерывной обратимости
оператора
L : W2 -+ L2(0,T;V~l) χ У5, L(v) = ((J + aA + εΝ)ν' + νΑν,ν\ί=0)
мы воспользуемся теоремой Банаха об обратном операторе —
теоремой 2.3.3.
Сначала покажем непрерывность линейного оператора L. В силу
линейности для этого достаточно показать его ограниченность.
Для любой функции υ Ε W2 в силу неравенств (7.7.3), (7.7.7) имеем
\\L(v)\\l2{0,T;V-1)xV* =
= \\(J + aA + εΝ)ν' + "АуЦ^^.у-^ + ||v|t=o||^ ^
^ ||(J + aA + eJVyi^^y-!) + i/ ||^||l2(o,t;k-m + t™ax^ ΙΚΟΙΙκ* ^
^ (C0 + aCi -f ε)||ν||ζ,2(ο,Τ;νβ) + ^ι>/Γ||ν||ο([ο,τ];νβ) + IMIc([o,t];v5) ^
^ (c0 + olC\ + ε + i/CiVT + l) (||i/||La(ofT;VB) + 1М1с([о,П;*">)) =
= (Co + aCj+e + i/CiVT + l) ||v||iv2.
Отсюда получаем, что линейный оператор L : W2 —> L2(0,T; V-1) χ
xVb ограничен и, следовательно, непрерывен.

7.7. Исследование свойств операторов
307
Покажем теперь, что оператор L является взаимно однозначным.
Для этого достаточно показать, что для каждого / G 1/2 (0, Τ; V"1), о G
G V5 существует единственный элемент ν G W2 такой, что
L(t/) = (/,a).
Последнее уравнение можно переписать в виде следующей задачи
Коши:
(J + аА + εΛΤ)τ/ + ι/Λν = /, (7.7.20)
v(0) = a. (7.7.21)
Покажем, что при каждом / G L2(0,T; V_1),a G V5 данная задача
имеет единственное решение ν G И^2.
В силу второго пункта леммы 7.7.3 имеем, что оператор
(J + аА + εΛΓ) : L2(0,T; У5) -> L2(0,T; У"1)
обратим и обратный оператор
(J + аА + εΛΓ)"1 : L2(0, Τ; У"1) -> L2(0, T; У5)
непрерывен.
Следовательно, применяя оператор (J + αΑ Η- εΛΓ)-1 κ (7.7.20)
получаем, что задача (7.7.20), (7.7.21) эквивалентна следующей задаче
Коши:
т/ + i/( J + аЛ + εΝ)-1 Αν = (J + aA + εΛΓ)"1/, (7.7.22)
υ(0) = α. (7.7.23)
Проинтегрировав (7.7.22) от 0 до t где t G [0,Τ], получим, что
задача нахождения решения ν G W2 задачи Коши (7.7.22), (7.7.23)
эквивалентна задаче нахождения решения ν G С([0,Т], V5) следующего
операторного уравнения:
t
v(t) = а - ί (ι/( J + аЛ + εΛΟ"1 Λν(β) - (J + аА + εΛ0~7(*)) ds.
о
(7.7.24)
Введём вспомогательное отображение
(ЕЛ/)(*) = a - / (i/( J + аЛ + εΝ)"Μν(β) - (J + аА + eN)~lf(s)) ds.
о

308
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Здесь te [0,Г].
Поскольку интеграл Бохнера от интегрируемой функции есть
функция непрерывная, мы получаем, что
U : С([0,Г], V5) -> С([0,Г], V5).
Покажем, что отображение U является сжимающим, для того
чтобы воспользоваться принципом сжимающих отображений. Для любых
v, w Ε С([0,Т], V5) в силу определения оператора U получим
\\(Uv)(t) - (Uw)(t)\\v* = \\ί^ + αΑ + εΝ)-1Αν(8)ά8-
о
- I u(J + aA + eN)~1Aw(s)dsl
ο I
t
Iv(J + aA + eN)-lA{ ν — w)(s)ds\\
о I!
t
^ ν f \\(J + olA + εΝ)-1 Α(υ - w)(s)\\v5 ds ^
о
воспользовавшись неравенством (7.7.6), имеем
<
t
V- f \\A(v - w)(s)\\vl. ds ζ
в силу оценки (7.7.1) получим
^
ι
V-\ \\v(s) - w(s)\\v5 ds
для вещественного числа к > 0 (точное значение числа к будет указано
ниже)
t
J / IK*) - Ч
s)\\v&e-kaek4s^

7.7. Исследование свойств операторов
309
t
V
ε
о
- / max (е~кз \\v(s) - w(s)\\y5) eksds =
ε J «€[o,tjv v '
о
t
= -\\v - w\\C([o,t)y*),k / eksds^ -\\v - w\\cw,Tiv*),k ί—£—J ·
0
По поводу нормы II · ||c([o,T],v6),fc см· подробнее параграф 2.2.
В итоге получили, что при t G [0, Τ] имеет место неравенство
\\(Uv)(t) - (Uw)(t)\\v* < -Hi;- w\\c{[0,T]m {—^-j ·
Умножая теперь обе части последнего неравенства на e"fei, имеем
e-kt\\(Uv)(t) - (Uw){t)\\v* < ^||« - ΗΙσαο,η,ν»).* {^~f~) '
Оценивая правую часть сверху, окончательно получим
и /1 - р~кТ\
e-kt\\(Uv)(t) - (Uw)(t)\\v < Ί\\υ - Ч1с([о,т]Л"),* ( —J ·
Правая часть последнего неравенства не зависит от t. Тогда
переходя к максимуму по t Ε [0, Τ] в левой части и выбирая постоянную к
таким образом, чтобы
получим неравенство
\\Uv - t/Hlcao.ni"),* < η\\» - Hlcao/π,ν»),*, (7.7.25)
где η — константа, 0 < η < 1. Здесь мы воспользовались тем, что
1 - е~кт < 1.
Таким образом, из неравенства (7.7.25) непосредственно получаем,
что отображение U : С([0,Т], V5) —> С([0,Т], V5) является
сжимающим. Тогда в силу принципа сжимающих отображений (теорема 2.3.4)
отображение U имеет единственную неподвижную точку, то есть
такую точку w Ε С([0,Г], V5), что
Uw = w.

310 Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Следовательно, эта функция w Ε С([0,Г], V5) удовлетворяет
уравнению (7.7.24):
t
w(t) = а - f (i/( J + аА + eN)~lAw{s) -(J + aA + eN)~lf(s)) ds.
о
Таким образом в силу сказанного выше для каждой пары / Ε
G 1/2(0, Τ; V_1),a Ε V5 существует единственное решение w Ε W2
задачи (7.7.20), (7.7.21). То есть оператор L : W2 -► L2(0,T; V"1) x V5
является взаимно однозначным.
Следовательно, в силу теоремы Банаха об обратном операторе
(теорема 2.3.3) оператор L : W2 —> L2(0,T; V"1) χ V5 обратим и обратный
оператор оператор L~l : L2(0,T; V~l) χ V5 —> W2 непрерывен. D
Лемма 7.7.7. Оператор К :W2 —» £2(0, Τ; V"1) χ V5 вполне
непрерывный.
Доказательство. Доказательство непосредственно следует из
определения оператора К :
K:W2-+ L2(0, T; V~l) x У5, tf(v) = (Βι(ν) - αΒ2(υ) + αΒ3(ν),0)
и вполне непрерывности операторов:
i?i : W2 —> L2(0,T; V~l) третий пункт леммы 7.7.4;
B2 : W2 —> L2(0,T; V~l) третий пункт леммы 7.7.5;
#3 · W2 —> L2(0,T; V~l) третий пункт леммы 7.7.5.
D
7.8. Априорные оценки решений.
В этом параграфе будет установлена априорная оценка для решений
семейства операторных уравнений (7.6.3).
Имеет место следующая энергетическая оценка:
Теорема 7.8.1. Если ν Ε W2 —решение уравнения (7.6.3) для
некоторого λ Ε [0,1], то для него имеет место следующая априорная
оценка:
1Н|С([0,ТЫ") < С7, (7'8Л)

7.8. Априорные оценки решений.
311
с постоянной
_L||f||2 , lll„l|2 ι ц„ц2 , £ ||„||2
2ι/α'
С7 = d:ll/llL(o,T;L2(n)") + -IN2vo + Ikll2^ + -М\Ь>- (7.8.2)
Доказательство. Пусть ν G Wi — решение уравнения (7.6.3) для
некоторого λ G [0,1]. Тогда в силу предыдущих рассуждений
функция ν удовлетворяет при почти всех t G (0, Τ) и для любой пробной
функции φ €zVl равенству
(Jv'(t),<p) + (aAi/{t),<p) + (νΑυ{ί),φ) + (εΝι/(ί),φ)+
+ (ΑΒι(«)(ί),¥>> - (αΧΒ2(ν)(ί),φ) + {αΧΒ3(ν)(ί),φ) = (\f{t),<p).
(7.8.3)
и начальному условию
v{0) = λα. (7.8.4)
Поскольку равенство (7.8.3) имеет место для любой функции φ €
€ V1, то оно имеет место и при φ = v(t) при почти всех t G (0, Τ) :
(Jv'(t),v(t)) + (aAv'(t),v(t)) + (uAv(t),v(t))+
+ (eNv'(t),v(t)) + (XBl(v)(t),v(t)) - (aXB2(v)(t),v(t))+
+ (aXB3(v)(t),v(t)) = (Xf(t),v(t)).
Воспользовавшись определениями операторов, входящих в это
равенство, имеем:
( v'{t)v{t)dx + a /v(v'(*)) : V(v(t))dx + ν ί V(v(t)) : V(v(t))dx+
Ω Ω Ω
+ efv(A2v'(t)) : V(v(t))dx + A £ J'Vi{t)^^-Vj{t)dx-
Ω · J = 1 Ω
-°*Σ,Ι ViW—^Viftdx + aX Σ Ι «((ί)-^^(ί)ώΓ =
= Χ ί f(t)v{t)dx. (7.8.5)

312
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Поскольку,
λ Σ J vM-^v^dx = - ς J *(*) 3dXi3 <** =
ιΛ~ιΩ
χ ί η
- dWv(t)^vj(t)vj(t)dx = 0
i=l г j=l
j=l
-aX £ ίν^)^^ν^)άχ^αΧΣ /^(*)^^^(*)ώ = 0,
Ω ^-ΑΩ
то равенство (7.8.5) можно переписать в виде:
( v'{t)v(t)dx + a (V{v'{t)) : V{v{t))dx + ν ί V(v(t)) : V(v(t))dx+
Ω Ω Ω
+ ε f ν(Δ V(*)) : V(v(t))dx = X ί f(t)v(t)dx. (7.8.6)
Ω Ω
Преобразуем слагаемые в последнем равенстве следующим образом:
Jv'(t)v(t)dx = \j ^{v{t)v{t))dx = \jt Jv(t)v(t)dx = ~Νί)||2νο;
Ω Ω Ω
a J V(t/(i)): V{v{t))dx = f / £ (V(t>(*)): V(t;(f))) dx =
Ω Ω
= f έ / ν(υ(<)): νΜ*))ώ=f sl|v(i)l|2vri;
Ω
ι/У V(t/(*)) : V(t/(*))<te = 4|i/(*)|fti;
Ω
: /v(AV(i)) : V(v(*))d* = -ε ( &?v'(t)bv(t)dx =
ε
Ω

7.8. Априорные оценки решений.
313
Jv(Av'(t)) : V(At;(t))dc = \ J | (ν(Δ«(ί)) : V(At/(i))) dx =
Ω Ω
= ll / V(Mi)): ν(Μ*))ώ = ~||«(ί)||^;
Ω
λ j f(t)v(t)dx\ ζ j f(t)v(t)doL
^
Ω
II/WII2
<ll/(*)IUa<n)-M*)llvo<
W . ДИ011^, ΙΙ/(0ΙΙΙ(Ω)η дс2|и«)||2у1
2ί 2 ^ 2ί 2
_ c2||/(i)HL(n)-
4ι/
+ "N011^·
В последнем неравенстве мы воспользовались уже выписанным ранее
неравенством (7.7.8), которое имеет место в силу непрерывного
вложения У1 С У° И ПОЛОЖИЛИ δ = -JJ-.
Таким образом из (7.8.6) следует неравенство:
Id» /.\м2 ad.. /f41l2 ε d .. /f4ll2 ^ ^М\ч\\ь2(^)п
Проинтегрировав последнее неравенство по t от 0 до т, где τ Ε [О, Τ],
перенеся часть членов в правую часть и оценив правую часть сверху,
имеем
\Hr)\\2vo + ^\\v(r)fvl + £-\\v(T)\\2v3^
is
§ / II/WIIW* + у И* + ^1И
11» + ^Nl2
V3
is
< §ll/llL(o,r;L2(n)n) + \\\afv0 + f И* + |||α||2ν3.
В силу того, что
\\\ν(τ)\\2νο + f Nr)||2vl + |||t;(r)||2V3 Ϊ |Mr)||^,
получим
|Ит)||^<§|
а,
!II2(o,T;L2(n)n) + dWIv» + «Ι|ο|Ιν> + «N«11^»-

314
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Отсюда, в силу того, что правая часть не зависит от г, молено
перейти к максимуму по τ G [О, Т] в левой части:
| m« \\v(r)fvl ζ §11/111,(0,^0) + \\\afv0 + |||α||2ν1 + |||α||2ν3.
Из последнего неравенства и следует требуемая оценка. D
Теорема 7.8.2. Если ν G W2 — решение семейства операторных
уравнений (7.6.3) для некоторого X G [0,1], то для него имеет место
следующее дифференциальное неравенство:
jt(\Ht)\\2v,+a\\v(t)fv3+e\\v(t)\\U)<
< ^liv/(i)lli2(n)„2 + ^g (1К*)||?,2 +«Mf)ll2v3 + 4Ht)\\Ur ■
(7.8.7)
Иначе это можно записать в виде:
^W^IIV/WII^^ + ^W, (7.8.8)
где
y{t) = ΙΜΟΙΙν, + «Ν«)ΙΙ ν» + ФШЬ*-
Доказательство. Пусть ν G W2 ~ решение уравнения (7.6.3) для
некоторого λ G [0,1]. Тогда как и в доказательстве теоремы 7.8.1 мы
имеем, что функция ν удовлетворяет при почти всех t G (О, Т) и для
любой пробной функции φ G V1 равенству (7.8.3):
(Jv'(t),<p) + (aAt/(t),tp) + (vAv(t),<p)+
+ (ΧΒ^ν^,φ) - (aXB2(v)(t),<p) + (*XB3(v)(t),tp) = (Xf(t),tp).
и начальному условию (7.8.4):
ν(0) = Χα.
В силу того, что равенство (7.8.3) имеет место для любой функции
φ G V1, то оно имеет место и при φ = A2v(t) при почти всех t G (О, Т) :
(Jv'(t), A2v(t)) + α (Λτ/(*), Λ2ν(*)) + " (Av(t),A2v(t)) +
+ ε<ΛΓτ/(*),;42ι/(*)> + <ΑΒι(τ/)(*Μ2«(*)> " <aAB2(v)(*MV*)> +
+ <αλΒ3(ν)(*Μ4*)> = <A/(t), Λ2ι/(*)> .

7.8. Априорные оценки решений.
315
Исходя из определений операторов, имеем, что последнее равенство
эквивалентно следующему:
f v'(t)A2v{t)dx + а [ V (т/(*)) : V (A2v(t)) dx+
Ω Ω
+ ν ί V (v(t)) : V (A2v(t)) dx + ε ί V (Δ2(τ/(*))) · V (Δ2<ϊ;(*)) dx+
Ω Ω
+ αλ V ίУг(г)дА^ Α\(ί)ώϋ = Χ ί f(t)A2v(t)dx.
. ,-ι «/ ^XJ «/
Перепишем данное равенство в виде:
ί v'{t)A2v{t)dx + α fv(v'(t)) : V (Δ2ν(*)) dx+
Ω Ω
+ ν ί V (τ/(*)) : V (Δ2ι;(0) dx + ε ί V (Δ2(τ/'(*))) : V (Δ2<ϊ;(*)) dx =
Ω Ω
= "λ Σ fvi{t)^-A2Vj{t)dx + aX £ ivi(t)^^^A2Vj(t)ac-
-α\Σ [ν^)?ήΡ^Α\(ί)άχ + λ [f(t)A2v(t)dx. (7.8.9)
ι'1-1Ω Ω
Преобразуем слагаемые из левой части последнего равенства
следующим образом:
I v\t)A2v{t)dx = - ί V(t/(*)) : V(Av(t))dx = ί Av'{t)Av{t)dx =
Ω Ω Ω
= 1/1 (Μ*)^))^ = Ц Jbv№v(t)dx = ~\\v(t)\\U
Ω Ω
α fv(v'(t)) : V (Δ2υ(ί)) da; = -α ί Av'(t)A2v(t)dx =

316
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
= a fv(Av'(t)): V(Av(t))dx = | ί £ (V(Av(t)) : V(Av{t)))dx =
Ω Ω
= f Ι/ν(Δυ(ί)): ν(Μ*))<** = f |n*)IIv»;
Ω
ί/ / V (ν(*)) : V (Δ2ν(*)) άχ = -ν ί Av(t)A2v(t)dx =
Ω Ω
= ν ίV(Av(t)) : V(Av(t))dx = φ(ί)\\2γ3;
Ω
г У V(A V(i)) : V(A2v(t))dx =lj§i (^(Δ2^(0) : V(A2t>(i))) dx =
Ω Ω
= ljtfV(A2v(t)): V(A2v(t))dx = ljt\Ht)fv*.
Ω
Оценим по модулю сверху слагаемые из правой части (7.8.9):
-λ Σ jvM^b\{t)dx\ < Σ J'υί(ί)^Δ4(ί)ώ
^ = 1 Ω
η
+
Σ /^(«)^ϊτ(«)^(*)ώ
- 1 1 «*
i,j,fc=l
dxkdxi дхк
<
< Σ
αχ* ΙΙζ,4(Ω) IIαχ*
+ Σ 1К(*)11с(П)
i,j,k=l
д\
dxkdxi
w
ΜΩ)
ЫП)
w
+
dAv.
dxk
Ht)
Ьа(П)
1ч(П)
< η3 ||ν«(*)ΙΙ^(η)-» Ι|νν(*)||^(η)-» l|w(*)Hv« +
+п3М«)11с(п)-1Ь(*)11я»(п)-Н"(*)11^
<
< η3 (|К*)|&41(П). ΙΙ«(ί)ΙΙν» + cs ΙΚί)||«ϊ(η), Mt)\\v»)
< η3 (C| + C8Cfo) lk(i)||3V3 = a^||t,(i)||3V3.
<

7.8. Априорные оценки решений.
317
Здесь постоянная Сц = п3 (С% + CsC20), где Cs,Cg,C\o — константы
из неравенств:
IWIc(n)» < <?8||ιι;ι||№(Ω)», Для каждого wx G #2(Ω)η; (7.8.10)
Н^гНи^сп)» < C9||^2||v3, для каждого w2 G V3;
1М1я*(П)»» ^ СюНгУзНуз, для каждого w3 G V3,
имеющих место в силу непрерывных вложений:
#2(Ω)η С С(П)п;
V3cH3(n)ncWl(n)n;
V3 с Н2(П)п
соответственно.
Переходим к следующему слагаемому
^ = 1Ω
.fci/^(i)^r(<)^r(i)<ix+
= α
η г
Σ/
» Ι 1 *
*.i,*=in
dx* 9xi dxk
i,j,fc=l
= α
Σ/
«,*«=! ft
&r* 9xi dxk
(7.8.11)
(7.8.12)

318
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
1 ^ ΐ Λ. /^0Δν«/Λ.βΔνί/Λ4.
η
<« Σ
i,j,k=l
oxk Ис(П)
£
I dAu,
I 9xj
w
L2(n)
w
Ь2(П)
< on3C12 ||v(*)||^3 = aCl3\\v(t)\\3γ3,
где константа Cis = rc3Ci2, а постоянная С\2 возникает из неравенства
l|VHIc(n)«a <σΐ2ΐΗΙν3,
(7.8.13)
которое имеет место для любой функции ги G V3, поскольку из
вложения V3 С Η3(Ώ.)η, следует, что , причём
последнее вложение непрерывно.
Аналогично для следующего слагаемого имеем
αλ £ JVi(t)^(t)A\(t)dx
Σ ί^{ί)Αυί{ί)Α\(ί)άχ + Ε ίVi(t)AVi(t)^i(t)dx
Σ / ^-(t)Avi(t)A2Vj(t)dx + J2 Vi{t)Avi{t)A2dwv(t)dx
«=1Ω ^ ί=1Ω
^ = 1Ω J

7.8. Априорные оценки решений.
319
..fciy^W(iW(i)dx
i,j,k=l
η
+ Σ
d2vt
-(*) ||Δι*(*)||Μη)
fefcfej llL4(n)
<9Ди,
9хл
W
+
dxj
w
С(П)
0Δτ*
9хл
W
Ь2(П)
<9Δι;
дхк
Ht)
Ь2(П)
L2 (Ω)
< an3Cf4 Н*)||^з +aC13 ||ν(*)||^3 = aCi5\\v(t)fv3.
Здесь мы воспользовались оценкой предыдущего члена и тем, что,
поскольку каждой функции w Ε V3 в силу непрерывного вложения
V3 С #3(Ω)η, имеем, что для любых i,j,k = 1,гс
UXfcUX j
то справедливы оценки
02Wi
dxkdxj
L4(n)
< C14 |MI ν», ||Δ«*||Μη) < См |k||K3. (7.8.14)
Для краткости постоянная С is = п3С24 + С is-
Наконец, переходим к последнему члену
J f(t)A2v(t)<L·
/v(/(*)) : V(Av(t))dx+ ί f(t)VAv(t)ndS
ΘΩ
/v(/(i)):V(At;(i))dx
< Ιΐν/(ί)||ΜπΗΜί)ΙΙν~
^
l|v/(*)||*
(Ω)"
4ι/
+ "IK*)lft»·
При оценке последнего члена мы воспользовались тем, что после
умножения на пробную функцию φ Ε V1 мы имеем (/, п) = 0.

320
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Таким образом из (7.8.9) следует неравенство:
2dt
<r „ v ......
4ι/η J v Л|ь2(П)
< illv/WllLnv.* + « (%■ + α. + <?«) ll^Wfva.
Заметим, что так как функция #(х) = χ*, χ € R+ не убывающая, то
имеем, что
«N<)ll^ = ^(«M*)ll^)f <
< -^ (|К«)||2^ + «N*)|ft, +e|k(i)||2vOf ·
Следовательно,
~ (Ht)\\U +c\\v(t)\\2v3 +e\\v(t)fv5) ζ i-||V/(i)||2L2(n)n2 +
+ ^ (%" + Ci3 + Cie) (\\v(t)\\U + <*Ht)\\2v> + 4v(t)\\2v*V ■
Вводя для краткости обозначение
C16 = 2^ + C13 + C15V
мы и получим требуемое дифференциальное неравенство оценку
(7.8.7). D
Теорема 7.8.3. Пусть для f e Ь2(0,Т;Н1(Г1)п),а G V5 из правой
части семейства операторных уравнений (7.6.3) выполняется
неравенство:
(\\afv2 +a\\afv3 + ε\\α\\2ν>) + -^l|V/||22(0T;L2(n)„2) < ^щ-.
(7.8.15)
Тогда, если υ € Wi —решение уравнения (7.6.3) для некоторого λ €
€ [0,1], то для него имеют место следующие оценки:
ΙΗΙσαο,τι,ν») < У'> (7·8·16)
«ll«llc([o,T],v») < У*' (7·8·17)
e||«llc(p,7i,v») < У'· (7·8·18)

7.8. Априорные оценки решений.
321
2'
Здесь постоянная Уе определяется следующим образом:
Уе =
(||<2 + а||<з + ε||α||2ν5) + £|| У/Н^^.,»)
ί1 - ъ*у/{\М2у + «И*+ΦΙΙ'ν) + ^11у/111(о,т;ь2(пК))^
(7.8.19)
Доказательство. В силу теоремы 7.8.2 для функции υ € И^ имеет
место дифференциальное неравенство (7.8.7):
| (Ηί)||2ν2 + «Ν*)|£, + е|К*)|&.) ^
Как уже было сказано, вводя вспомогательную функция у :
y{t) = IKt)llv» +«IK*)llv» + Φ(*)ΙΙ^, * е [о,τ],
это неравенство молено переписать в виде (7.8.8):
Проинтегрируем последнее неравенство по t от 0 до т, где τ Ε [Ο, Τ] :
г г
г/И - У(0) ^ f ^Wmfw* + J ^y4t)dt. (7.8.20)
О О
Оценивая первое слагаемое в правой части следующим образом:
/^l|v/(t)l|W*<
τ
1
о
IJ wnwiw* = ^iiv/n2L2(0iT;t2(n)„2)

322
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
и перенося слагаемое у(0) в правую часть, получим из (7.8.20)
следующее интегральное неравенство:
г
У(т) < У(0) + ^HV/||2t2(0,T;L2(n)„2) 4- / ^y4t)dt. (7.8.21)
О
Воспользуемся для последнего неравенства леммой Бихари 7.4.1.
Подставляя в условия этой леммы
c=y(0) + ^||V/||2L2(OT;L2(n)n2); а(т) = 0; b(r) = ^ m = §,
получим, что при выполнении соотношения (7.4.4), которое в этом
случае оно имеет вид:
^0) + ^llV/"L(o^(n)-)<^ (7-8-22)
при всех г Ε [0, Т] выполняется неравенство (7.4.5), которое в данном
случае примет вид:
у(т) ^ »<°> + &1У/11и^(П).')
О - ^v/i/(0) + ^llv/ll2t2(o,T;L2(ii)„2))2
Вспоминая определение функции у(£), получаем, что при всех г Ε
Ε [0, Т] имеет место неравенство:
\\ν(τ)\\2ν2+α\\υ(τ)\\2ν3+ε\\ν(τ)\\2ν^
(||Аа||», +а||А<з +ε||Λα||2ν5) + Ы^П^т-мау-')
"(ι-^δ»^11^11^· +βΐ'Λβ4ν. +^llAellW+^llv/ii^(0p:i.iia(n).,))!l"
Оценивая правую часть последнего неравенства сверху, так как
т^Г и λ^1
имеем
<
1Кг)||2к2+а|Кг)||2кз+^|Кг)||2к5^
(\\afv2 +д\\д\\*уя +e||g||^) + ^llV/ll2L2(0>T;L2Wn2)
ί1 " ^(W^ + α||<, + ε||<.) + ^l|V/||2L2(0)T;L2(ii)n2 J
(7.8.23)
,2*

7.8. Априорные оценки решений.
323
Поскольку каждое слагаемое в левой части (7.8.23) неотрицательно,
то из (7.8.23) следуют три неравенства:
Мт)\\Ъ$Уе;
«Ντ)||2ν3 < Уе;
еЫт)\\и^Уе.
Здесь через Уе обозначена правая часть (7.8.23).
Так как правая часть в последних неравенствах не зависит от
г G [О,Г], то переходя к максимум по τ G [О, Т] в левой части
каждого из неравенств, мы и получаем требуемые оценки (7.8.16), (7.8.17)
и (7.8.18). D
Теорема 7.8.4. Пусть выполнено условие (7.8.15) на данные
задачи. Тогда, если υ G W<i — решение уравнения (7.6.3) для некоторого
X G [0,1], то для него имеет место следующая оценка:
ΙΙν,|Ιζ,2(ο,Τ;ν2) ^ ^ΙΙ/ΙΙμο,ΤϊΜΩ)»») ~* а ^+
Доказательство. Пусть ν G ^-решение семейства уравнений
(7.6.3) при некотором λ G [0,1]. Тогда аналогично доказательству
теоремы 7.8.1 мы имеем, что функция υ удовлетворяет при почти всех
t G (О, Τ) и для любой пробной функции φ G V1 равенству (7.8.3):
(Jv'(t),<p) + {*Αν'{ί),φ) + {νΑν{ί),φ) + (εΝι/(ί),φ)+
+ (XBx(v)(t)^) - (α\Β2(υ)(ί),φ) + (a\B3(v)(t),<p) = (\f(t),<p).
и начальному условию (7.8.4):
υ(0) = Χα.
В силу того, что равенство (7.8.3) имеет место для любой функции
φ G V1, то оно имеет место и при φ = Av'{t) при почти всех t G (О, Т) :
(Jt/'(t), Av'(t)) + a {Av'{t),Av'{t)) + v (Av(t), Αν''(*)) +
+ e(Ni/(t),At/(t)) + (λΒι(τ7)(*),4ν'(*)> - (aXB2(v)(t),Av'(t)) +
+ (aXB3(v)(t),Av'(t)) = (Xf(t),Av'(t)).

324
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Используя определения операторов, получим :
- (v'(t)Av'{t)dt-a (v{v'{t)) :V(Av'(t))dt-
Ω Ω
- ν ίV(v(t)) : V(Δτ/'(*))dx-ε ίν(Δ V(*)) : V(At/(*))dx-
Ω Ω
<J=ln Χ' ^=1Ω Χ'
- αλ ^ ίυί(ί)9Α^ Av'j(t)dx = -Α ί f(t)Av'(t)dx. (7.8.25)
Аналогично предыдущему преобразуем часть слагаемых из равенства
(7.8.25):
- fv'(t)Av'(t)dx = fv(v'(t)) : V(t/(t))dx = ||t/(i)||^i;
Ω Ω
-a fv(v'(t)) : ν(Δτ/(*)) A = α ί Av'{t)Av'{t)dx = а||т/(*)||£а;
Ω Ω
-ί/ /ν(ν(*)) : ν(Δτ/(*))Λτ = ν ( Av(t)Av'{t)dx =
Ω Ω
= ^/|(Μ*)Δ«(*))ώ= ~JAv(t)Av(t)dx = ~\№\\U
Ω Ω
-ε / V(AV(*)) : V(At/'(*))da; = ε f A2v'(t)A2v'(t)dx = e\\vf (t)\\2v,.
Ω Ω
Оценим сверху по модулю оставшиеся слагаемые из (7.8.25):
λ Σ /^W^MW^ < Σ fviW^Av'^dx
^ = 1 Ω
^ = 1Ω
<
^
Σ ΙΜ')ΙΙα(Ω)
i,j=l
&;,·(*) |
^Xi
<
L2(Q)
2/
IMWll
Ь2(П) ^
2 IL/II
"2 NOIIcw NOIIv" M*)lli« < n2C8C10C17||t;||2V3||t;'||v2
^

7.8. Априорные оценки решений.
325
^
n4CiCf0Ch\\v(t)\\U *1И*)11^2 = Cl8\\v(t)pv3 *1И*)||2у2
2δ 2 2δ 2
Здесь мы воспользовались неравенствами (7.8.10) и (7.8.12), а также
неравенством
\\w\\Vi ^ Ci7\\w\\V3
которое имеет место для любой функции w Ε V3 в силу непрерывности
вложения V3 С V1. Для краткости обозначили Cis = ^C\C\qC\j.
Аналогично для следующего слагаемого
^ = 1Ω
«ΑΣ/«(*)^Δ«!«).ί
i,j=i;
^
^
«Σ iw*)iic(n) l^^l ιΐΔ^ωιι
i,j=l
^Xi
МП)
lL2(n)
< «л2 N*)llc(n>» ЬШу* llt/Wllv» < an2GeC10||i;(*)||?r.||i/(*)||v» <
25 2 25 2
Здесь мы снова воспользовались неравенствами (7.8.10) и (7.8.12) и
обозначили для краткости Cig = rc4CfC20.
Полностью аналогично оценке для этого слагаемого получим для
следующего
_αλ Σ fVi{tf-^l4{t)dx
Σ f *«)*%&>μ,№
ΙΜ*)ΙΙσ<ίΐ) -^
1.1 = 1 '' ^
^
ЩЩ
ЫП)
€
<™2 \\v{t)\\C(ur \\v{t)\\v3 \\v\t)\\v* < ап2С8С-10И*)||^И*)||у»
sS
^ a2Cl9\\v(t)\\U , *IK(*)llk
^ 2ί + 2

326
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Для последнего слагаемого имеем
-λ f f(t)Av'(t)dx
j f(t)Av'(t)d.
<ll/WllL2(n)»||At;'(i)||L2(n)" =
ll/(')l|L2(n)»lF (t)\\v* < ^ + ~ ·
Таким образом из (7.8.25) получаем неравенство:
\\v'(t)\\U+<*\\v'(t)\\2v> +4v'(t)fv< + ^|Νί)ΙΙ2ν~ <
< ЩАти + "/(^(Ω)" + (^ + °ψ) \w)\\
4
уз.
Выбирая δ = j и оценивая левую часть снизу следующим образом:
Ф'ШЪ + ™М«)1&» + ~И*)1&« <
~2~dV
2dV
^ \\v'{t)\\2vl +a\\v'(t)fv2 +e\\f/(t)\\U + ^IK')fv- + —11^)11^,
ν d
~2~dV
2dV
получим неравенство:
|ΐΙ«ΊΙ2ν. + ~Ν«)ΙΙ^ + ||Ν*)ΙΙ^<
<
2II/WII2
Ь2(П)Я
α
-h
^Ч-4аС19)|К0||4кз.
Проинтегрируем последнее неравенство по t от 0 до Τ :
;Μϊ,«>,τ·.ν.)+^ν* + ίιι-mfv. - 5ΐΐΛ«ιιί» - In*·*·«
5"
Τ
^
\ J II/WIIW* + (^ + 4<^ι9) / ΙΚΟΙΙί»*.
ο ο

7.8. Априорные оценки решений.
327
Перенося отрицательные слагаемые из левой части в правую и
оценивая полученную таким образом правую часть сверху, имеем
f IHL(o,t;v») + £ΜΓ)ΙΙν» + f HT)||2V< ^ ^||λα||2ν2 + |||Aa|ft«+
Τ Τ
+ f/||/(*)Н|а(П)-Л+ (^ +4aC19) J \\v(t)\\4v3dt < ^||λα||2ν2 +
0 0
τ τ
+ ^11** + U ||/(*)Ιΐ£,<η)-Λ + (^ + 4«C19) J \\v(t)\\4v3dt ζ
ο ο
< \ ^, Ν*)ΙΙν" + ^ tmaxj ||τ/(*)ΙΙν* + -|l/lli2(o,T;L2(n)n)+
τ
+ f?^+4aC19>) / max ||т/(*)||^зЛ =
V α /у t€[o,T]
о
" II Il2 £"C^20 μ i|2 II rl|2
Здесь С20 — константа из неравенства
HHIv* ^ CfeolMlv5»
которое имеет место для любой функции w Ε V5 в силу непрерывного
вложения V5 С V4.
Таким образом получили, что
f IHL(o,t;V) + £lKr)lft» + |Н«(Г)Н^ <
s V \\ 1|2 , £^20 и „2 .
^ 2 llvllc([o,^],v2) Н—2~llvllc([o1Tj1ve)"r"
2 (ΊΟ \
+ -\\/\\12{о,т-Мп)п) + [~f- + 4aC19J ТЦ^Ц^^^з). (7.8.26)
Оценим правую часть последнего неравенства при помощи
полученных ранее оценок (7.8.16), (7.8.17) и (7.8.18) (мы можем ими
пользоваться, так как предполагали в условиях леммы, что условие (7.8.15)

328 Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
выполнено):
" II 1|2 £^20 . ц2 2 2
^IMIc([o,t],v2) "^ ^""ΙΜΙααο,τι,ν'*) + ~ΙΙ/ΐΙζ,2(ο,τ;Ζ,2(Ω)»)+
+ (^ +4аС19) TNI4c(p.nv> < £У. + ^3>е+
+fii/ιι w*<n>->+(^+4aCi9) ^ =
- 2 и Л,2 , " + <?20 /2С18Т 4ГС19\ 2
Далее, поскольку
то оценивая снизу левую часть (7.8.26) следующим образом:
f ΙΙ«Ίΐ£,<ο,τ;ν») < f ΙΙ«Ίϋ2(ο,τ;^) + £мт)№» + \МП^
мы и получим требуемую оценку (7.8.24). D
Теорема 7.8.5. Пусть выполнено условие (7.8.15) на данные
задачи. Если ν Ε W2 —решение уравнения (7.6.3) для некоторого λ Ε [0,1],
то для него имеет место следующая оценка:
Ф'|и2(о,т;^)^С21. (7.8.27)
где постоянная C<i\ определяется следующим образом:
С21 = ||/||ζ,2(0,Τ;ν-ΐ) +
+ ^^Шлошпг) + ^Ы1о + \\afvl + £||β||^+
+ C4Vf ^||/||!2(0>T;L2(n)") + £ll* + ||a||2vl + ^\\afv^j +
+ 2C5Vfy£.
Доказательство. Пусть ν € W<i — решение (7.6.3), тогда оно
удовлетворяет следующему операторному уравнению
J v' + α Αν' + и Αν + εΝν' + ХВг (ν) - α\Β2(ν) + α\Β3(ν) = λ/. (7.8.28)

7.8. Априорные оценки решений.
329
Следовательно:
|| Jv' + αΑν' + εΜ/ΙΙί,^ο,τ.,ν-ΐ) =
= ||λ/ - νΑν - \Βχ{ν) + α\Β2(υ) - αλΒ3(υ)ΙΙί,2(ο,Τ;ν-ΐ) · (7.8.29)
Правую часть последнего равенства, можно оценить следующим
образом (напомним, что λ ^ 1):
||А/ - νΑν - ΧΒι(υ) + α\Β2(ν) - аХВ3(у)\\Ь2(0<т.у_1} ^
< λ H/IIl2(0,T;V->) + " \\Μ\ΐ*10,Τ-,ν-4 + λ ΙΙβΐ(υ)Ι^2(0,Τ;ν-') +
+ α\\\Β2(ν)\\Ι/2{0Τ.ν-1) +aA||5s(«)|lba(o,Tiv->) < II/Hl2(o,t;v->) +
+ " \\M\l2(0,T;V-i) + WBi(V)Wl,(0,T;V-i) + a Ι^ί^ΙΙί,ΙΟ,Τ^"') +
+ a\\B3(v)\\L2{0J,.v.1) <
откуда в силу оценок (7.7.2), (7.7.13), (7.7.17)
< II/Hl2(0,T;V->) + V |MIl2(0,T;1") +
+ C4VT |Mlc([o,nm) + 2aC5Vf ||w||^([0>r|jVa) ^
в силу непрерывного вложения С([0,Т], V1) С Ь2(0,Т; V1) имеем
< II/IIl2(0,T;V-·) + *>/Т\Нс№,Т\У1) +
+ C4Vf\\v\\2c{l0invl)+2aC5Vf\\v\\2c{[0tnv3) <
наконец, в силу априорных оценок (7.8.1) и (7.8.17) получим
< II/Hl2(o,T;V-m + vy/CrT + C4C7VT + 2С5у/туе.
Напомним, что постоянная CV задаётся равенством (7.8.2):
CV = ^11/1112(о,г;£2(П)п) + ^Ι|α||2νο + MU + ^\\α\\2ν3.
Воспользовавшись теперь оценкой (7.7.7) на левую часть (7.8.29):
z\W\\l2{o,T',v*) ^ \\Jv' +olAv' + eNv'\\L2{^T.v_1)
мы и получим требуемое неравенство (7.8.27). D

330 Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
7.9. Разрешимость аппроксимационной задачи
Пусть данные задачи аппроксимационной задачи (7.3.1)—(7.3.6) —
правая часть / G L2(0,T;Hl(Q,)n) и начальное условие α Ε V5
удовлетворяют (7.8.15). В этом пункте будет доказано, что в этом случае
аппроксимационная задача (7.3.1)—(7.3.6) имеет хотя бы одно слабое
решение. Как мы уже говорили, для этого достаточно показать, что
задача (7.6.1), (7.5.4) или, что то же самое, операторное уравнение (7.6.2)
имеет хотя бы одно решение w G W2.
Теорема 7.9.1. Пусть для f e Ь2(0,Т;Н1(П)п),а G V5 из
правой части операторного уравнения (7.6.2) выполняется
неравенство (7.8.15), Тогда существует хотя бы одно решение ν G W2
операторного уравнения (7.6.2).
Доказательство. В силу априорных оценок (7.8.18) и (7.8.27) при
данных задачи, удовлетворяющих условию (7.8.15), каждое решение
семейства операторных уравнений (7.6.3):
L{v) + \K(v) = \(f,a), AG [0,1]
лежит в шаре радиуса R,
у ε ε
с центром в нуле.
В силу леммы 7.7.6 оператор L : W2 ->· L2(0,T;V~l) χ V5
обратим и обратный оператор L~l : L2(0,T',V~l) χ V5 —> W2 непрерывен.
Следовательно, семейство операторных уравнений (7.6.3)
эквивалентно следующему семейству операторных уравнений:
v + \L-l(K(v) -(f,a)) = 0 AG [0,1]
и все решения этого семейства лежат в том же самом шаре радиуса R
с центром в нуле.
Поскольку, оператор К : W2 —> L2(0,T; V~l) x V5 вполне
непрерывен (лемма 7.7.7), то отображение
L-l(K(v)-(f,a)):W2-+W2
вполне непрерывно как суперпозиция непрерывного и вполне
непрерывного операторов.

7.10. Существование и единственность слабого решения 331
Тогда отображение
G(A,v) = -\L-\K{v) - (/,α)), G : [0,1] χ W2 -> W2
вполне непрерывно по совокупности переменных.
Таким образом для вполне непрерывного векторного поля
Φ(λ,ν) = ν-(?(λ,ν)
определена степень Лере—Шаудера
degL5^,£*,0).
В силу гомотопической инвариантности степени
degLS^(0, ·), BR, 0) = degLS^(l, ■), BR, 0).
Далее, поскольку Ф(0, ·) = / и degL5(/, Br, 0) = 1, то, следовательно,
и
degL5^(l,.),#*,0) = l.
Таким образом в шаре Br с центром в нуле существует хотя бы одно
решение операторного уравнения (7.6.2). D
7.10. Теорема существования и единственности
слабого решения задачи (7.2.4), (7.2.5), (7.2.18),
(7.2.19) при малых данных
В этом пункте устанавливается основной результат этой
главы — теорема существования слабого решения начально-краевой
задачи (7.2.4), (7.2.5), (7.2.18), (7.2.19) при условии малости данных задачи.
А именно, имеет место следующая теорема:
Теорема 7.10.1. Пусть правая часть f e L2(0,T;Hl(Q,)n) и
начальное условие а Е V3 для начально-краевой задачи (7.2.4), (7.2.5),
(7.2.18), (7.2.19) удовлетворяют неравенству:
Mh + «MU + ^Ι|ν/|β2(0ιΤ;ΜΩ)„2) < £§г С7·10'1)
для некоторого фиксированного вещественного числа θ Ε (0,1).
Тогда существует единственное слабое решение начально-краевой
задачи (7.2.4), (7.2.5), (7.2.18), (7.2.19).

332
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Доказательство. Сначала мы покажем существование слабого
решения, а на втором этапе доказательства получим, что слабое решение
начально-краевой задачи (7.2.4), (7.2.5), (7.2.18), (7.2.19) единственно.
Первый этап.
Так как пространство V5 плотно в У3, то существует
последовательность ат Ε V5 такая, что ат —> а, т —> оо в V3. Поскольку
предельная функция a Ε V3 удовлетворяет (7.10.1), то начиная с некоторого
номера,
ll<*m|lv" +а||от||£з + 2^llv/llla(0fT;La(n)»2) < т*Сг'
Если α ξ 0, то положим
1
ат = ", Еш — .
т
Если лее ||α||ν3 Φ 0, то начиная с некоторого номера ||ат||у5 φ 0,
поэтому мы можем выбрать ет таким образом, чтобы
?Щ; ~ £ΐΐν/Ι1(ο,τ*2(η)»*) - IMI2v~ - «IWIv· 1 n
0 < em < 1; τ > 0,
||am||v-5 m
при т —> Н-оо.
При каждом таком ет выполняется условие:
||am||^2 + а\\ат\\2у3 + ет\\ат\\2у5) + ^l|V/||*a(0fT;La(n)na* <
2^4 VJ|lL2(0,T;L2(n)^)
<т^сГ<тюТк (7ла2)
"16 ± ^16
Следовательно, в силу теоремы 7.9.1 при каждом аш Ε V5 и
каждом ет аппроксимационная задача (7.3.1)—(7.3.6) имеет хотя бы одно
слабое решение, удовлетворяющее уравнению
/ ν'γηψάχ + а / V (у'т) : S/φάχ + " Vvm : Vipdx+
Ω Ω Ω
Ω *^=1 Ω
Μ = 1Ω Xl ^ = 1Ω Xj

7.10. Существование и единственность слабого решения 333
/■
f<pdx. (7.10.3)
Ω
и начальному условию:
vm(0) = am (7.10.4)
Покажем, что из последовательности {vm} слабых решений
начально-краевой задачи (7.3.1)—(7.3.6) молено извлечь последовательность
сходящуюся к решению исходной задачи при т —> Н-оо.
Из априорной оценки (7.8.17) получаем следующее неравенство:
4ск
«IMIc([o,T],v3) < 7 Γ2· (7·10·5)
тю?6 (ι - V9)
Здесь мы воспользовались тем, что в силу (7.10.2)
(\\am\\2vi+a\\am\\2v3+sm\\am\\2Vb) + £ΐ|ν/||22(0Τ;ΜΩ)η2)
;<
(1-^v/(ll^ll2v2+«ll«mii2v,3+£m||am||2v,5)+^iiv/i|22(0)T;L2(n)n2J
4afl 4a
< тЩ~6 < т*Щ~6 = 4a
Аналогично, из неравенства (7.8.24), учитывая (7.10.2), получаем
оценку:
II /||2 / 4 11/112 ,^ + ^20 4а
IP llL2(0,T;V2) ^ ^2 И/llL2(0,T;L2(n)») + Τ Τ "Т2 +
а I*C?e (l - л/fl)
2
V «* »2 / г<с;в (ι - ν»)
Наконец, из оценки (7.8.27) с учетом (7.10.2) имеем
£||^'Hl2(0,T;V5) ^ ΙΙ/ΙΙ^ίΟ,Τ-,Κ-1)^
+^)j ^muoway.)+^imi2- + ы2-+^imi2^
+ С^ (^ll/HL(o,r;L2(n)») + ^ll«m||2vo + \\amfvl + ^IMft,) +

334
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
+ 2C5VTy£rn < ||/||La(0,T;V-i) +^^J^II/llL(0,T;L2(n)n) + ~Г +
+ °4^ ( 2^l^^2(0,T;L2(n)n) + ψΪ£Γ ) + 3 ο / 5 ^\2'
(7.10.7)
Из неравенства (7.10.5) без ограничения общности, в случае
необходимости переходя к подпоследовательности, имеем, что
Vm -* ν* *-слабо в Loo(0,Г; ^3)· (7.10.8)
Далее, из неравенства (7.10.6) без ограничения общности и в
случае необходимости переходя к подпоследовательности получаем, что
vm сходится слабо в 1/2(0, Т; V2) к некоторой функции w. Однако, в
смысле распределений последовательность v'm сходится к V+. Таким
образом, в силу единственности предела
v'm -* t/m слабо в L2(0, Г; V2). (7.10.9)
Таким образом, в силу слабых сходимостей (7.10.9) и (7.10.8) имеем
/ v'm<pdx —> Ι ν'+φάχ при т —> +оо;
Ω Ω
α / V (vm) : Vipdx —> a / V (v+) : ^φάχ при га —> H-oo;
Ω Ω
" / Vvm : V^dx —> ν / Vv* : V^dx при m —> H-oo.
Ω Ω
Далее, в силу теоремы С.4.1 имеем вполне непрерывное вложение
F = {υ : ν € С([0,Г], V3);v' € L2(0,T; V2)} С С([0,Г], V2).
Таким образом из неравенств (7.10.5) и (7.10.6), получаем, что
vm -* ν* сильно в С([0, Т], У2). (7.10.10)
Следовательно, в силу данной сильной сходимости при га —> +оо
имеем:
Σ [ыт*^*^ Σ fM^h^.

7.10. Существование и единственность слабого решения 335
Далее, в силу сильной сходимости (7.10.10) и слабой
сходимости (7.10.8) при т —> +оо получаем:
~а L· J (^m)i 9χ J<Pjdx -*-<*2^Ι (vm)i 9χ J4>jdx',
Μ = 1Ω ' ^ = 1Ω '
Μ = 1Ω J ^ = 1Ω J
Из оценки (7.10.7) получаем, что
ет^ -^ г* слабо в L2(0, T; У5)
при т —> +оо.
Тогда
£т / ν(Δ2ΐ4) : V(^dx -* / V(A2u) : 4φάχ при т -► +оо.
Однако, последовательность ^mt^ сходится к нулю в смысле
распределений на отрезке [0,Т] со значениями в V"4. На самом деле, для
любых χ Ε 2)([0, Τ]),φ Ε V4, используя формулу интегрирования по
частям, мы получим
lim
m—>oo
lim ε
m—>oo
lim ε-
lim em lim
m—>oo m—>oo
J Jv(A2v'm):V<pdxxdt
τ
J f A2v'mA<pdxXdt
0 Ω
J Ιν(Αν'τη):ν(Αφ)άχχάί
τ
J J Av'mA2<pdxXdt

336
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
так как v'm слабо сходится в 1/2(0, Т; V2) к у+, и, следовательно,
сходится к^ив смысле распределений, то
= lim еш lim
т—>оо m—>oo
ί Ι Δν'.Δ2φάχχ(Ιί
ο ω
= 0.
Таким образом в силу единственности слабого предела
, / ν(Δ2ι4(£)) : Vipdx -* 0 при m -► +оо.
Ω
Таким образом, переходя в каждом из интегралов из (7.10.3) к
пределу при т —> +оо, получим, что предельная функция удовлетворяет
равенству:
/ v'+ipdx + α / V (ν*) : V<£>dx -f ί/ / Vv* : Vipdx+
Ω Ω Ω
" f db(vm)i , Г.,
OL 2^ / Юг g 4>jdx = / /(^rfX.
Μ = 1Ω J Ω
Μ = 1Ω ^=1Ω
В силу сильной сходимости (7.10.10) и того факта, что ат —» α при
m —> Н-оо, получаем, что предельная функция удовлетворяет
начальному условию
ν*(0) = α.
Наконец, из оценок (7.10.5) и (7.10.6) получаем, что предельная
функция v+ €W\, что и завершает доказательство первого шага.
Второй шаг. Покажем, что слабое решение начально-краевой
задачи (7.2.4), (7.2.5), (7.2.18), (7.2.19) единственно. Предположим
противное. Пусть есть два слабых решения и, w Ε W\, и ф w. Тогда и и, и
w удовлетворяют равенству (7.5.1) и начальному условию (7.5.2).
Вычитая из равенства (2.5.5) для и равенство (2.5.5) для w и обозначив

7.10. Существование и единственность слабого решения 337
через ν = и — w, получим следующее равенство:
η
Ω
+
/ ν'φάχ + а V(v') : Vipdx + ν / Vv: V^cte + ^J / Ui-jr-^-ipjdx—
Ω Ω Ω *'·7 = 1Ω
Σ/* Зги, . ν^> Γ дАщ . ^> /* 5Δμ,
^ = 1Ω 1 ^'=1Ω * ^ = 1Ω l
+α Σ JUi~dx^^dx ~α Σ jWi-dx^^dx = °·
Данное равенство выполнено для любой пробной функции <£> G V1 и
почти всех £ G (0, Т). Положим тогда φ = v(t) при почти всех t G (0, Τ).
Таким образом при почти всех t G (0, Τ) имеем:
(v'(t)v{t)dx + a lv(v'(t)) : V(v(t))dx + i/ /ν(ν(*)) : V(v(*))dx+
Ω Ω
Σ fuM^vMdx- ± J' m(t)^-Vj(t)dx-
-« Σ / MO ^'vjMdx + a Σ у Wi(t)—^-Vj(t)dx+
+ «£ U(t)^^vi{t)dx - α Σ f m(t)^^Vj(t)dx = 0.
(7.10.11)
Преобразуем слагаемые из (7.10.11):
Jv'(t)v(t)dx =\J ^(v(t)v(t))dx = \jt Jv{t)v{t)dx = ^|ΐΚί)||2νο;
Ω Ω Ω
α У V(t/(f)) : V(«(t))dc = | / ^ (V(«(*)) : V(«(i))) d* =
Ω Ω
= ~ /v(«(i)): V(t,(*))d* = ||||«(0|&.;
Ω
ujv(v(t)):V(v(t))dx = u\\v(t)fvl.

338
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Далее
г* = Х Ω
l>i-1 ω
= Σ/».(')^ч(«)<ь+ ς/«.(')ε^»,(^=
= Σ j <t)d-^Vj{t)dx.
Таким лее образом
^ /· ,x,dAUj(t) ,_ ^ /* ,Α40Δτι;,·(*) ,АЧ ,
-α Χ, / ц*^) ях νΑ*)άχ + а 2^ I WiW—Q^VjWdx =
^=1ω Хг ^=1ω
-α Σ J [Mt)-g£- - "»W-^-J Mt)dx =

7.10. Существование и единственность слабого решения 339
А Г u,dAVj(t) ,Α f u,dAWj(t)
= -« Σ J Μ*) gj yvf(0<fa _ α Σ У ν«(*) адГ Ч (*)<**·
И точно также для последних двух членов имеем
α Σ У **(*)—^—«,·(ί)ώτ-α 2^ / tPf(t) Qx Vj(t)dx =
= <* Σ у (u^^— - ω^-9ϊΓJVj(} =
A /V ,ΛβΔ«*(ί) /x.dAwi(t)\ u.,
= a L· / u<ft) дд.. ^ft)dr + a 2^ / *»(*) ^ Vj(*)Ac·
Таким образом (7.10.11) можно переписать в виде:
~И')и^+?|и')1^+,'И*)1^+ Σ Jvm^^v^dx-
-a V fu^^^-v^dx + a^ lui{t)^$-vj{t)dx = 0.
a=d dXi ij-ιί OXj
ιΩ
Или, что то же самое.
2<й'
v(t)\\2vo + ^jt\\v(t)\\bl+V\\v(t)fvl = -Σ I' Vi(t)d-^-Vj{t)dx
a Σ / Ui(t)—^Vj(t)dx-a Σ I Ui(t)-^Vj(t)dx.
П
+
(7.10.12)

340
Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
Оценим члены из правой части сверху по модулю. Для первого
имеем
η
< Σ 1М*)Нмп)
i,j = l
<
dwj(t)
dxi
L2(n)
IM')II
L4(Q)
й
^
n2 Κ*)||Μη>» \\w(t)\\vl ||t/(t)||L4(fl)n ^ n2C32 \\w(t)\\vl \\v(t)\\'v
Здесь мы воспользовались неравенством (7.7.14), которое имеет место
в силу непрерывного вложения V1 С L^{^)n.
Для следующего слагаемого имеем
*>' = 1 Ω
ij=i;
+ Σ ί^{t)^Vj(t)^j^-dx\ = α \ ίdWuiit^Av^Vji^dx
+
dui{i)dvj{i)dvj{i)^v ^ ί ^dvjjt) d2Vj(t)
Σ/'
&Efc 5xfc 5x,
f^±h^
^ /* 9?ii(i) 9vj(i) dvj(t)
ir* J дхк дхк dxt
t,J,fc—1 Q
9xfc dxkdxi
dx+
dx
= a
n г
Σ/
дщ{Ь) dvj(t) dvj(t)
дхк дхк dxt
dx-
dx
_1 y, fdujjt) (ду&)ду&)\
2 ^ J dxt V дхк дхк J
_ γ^ /* guj(^) dvj(t) dvj(t)
~a\^-J дхк дхк dxi
ij,k=lQ

7.10. Существование и единственность слабого решения 341
dx
= а
V ί —
(t) dvj(t) dvj(t)
. . дхк дхк dxi
dx
^
η
<a Σ
dui(t)\\ \\9vj(t)
dxk
\\C(Q)
dxk
Ь2(П)
dxi
^
Ь2(П)
Ix +
^an3Cl2 \\u(t)\\v3 \\v(t)fvl.
Здесь мы воспользовались неравенством (7.8.13).
Для последнего слагаемого имеем
-° Σ ίMV^^v^J = « Σ / ^%(*)«,(ί)Λ
t,j=in J I |<.i=in 3
ν-* ί ma ,^dvj(t)\ I <A г д2щ{ь) dvi{t) u..
Ι ^ f PiHJt) dvj(t) ^ f dm{t) dVi(t) dvi(t) \
Σ J dXkdXj dXk^t)dx+ Σ / ax, a*fc &*η
^
3||ЭЧ(0
^ an M
J/
|dxkdxj
dujjt)
dxj
ΜΩ)
L2(n)
ItoWII
МП)
а*<(*)
МП)
дхк
<
МП)
^ an3C3Ci4 \\u(t)\\v3 \\v(t)fvl +an3Cl2 \\u(t)\\v3 \\ν(ί)\\2γ1 =
= (an3C3Cl4+an3Cl2) \\u(t)\\v* \\v(t)fvl .
[^есь мы воспользовались неравенствами (7.7.14), (7.8.13) и (7.8.14).
Таким образом, из (7.10.12) получим неравенство:
\jt\W)\\2V0 + ~\\v(t)fvl+v\\v(t)\\2vl <
Здесь

342 Глава 7. Модель движения жидкости второго порядка
< п2С2 ||«/(*)||vl \\v(t)\\2vl + (2an3C12 + an3C3Cu) \\u(t)\\v3 \\v(t)fyl.
(7.10.13)
Поскольку u,w € Wi, то есть u,w € С([0,Т],V3), то существует
константа 0 < С22 < оо, что
IK*)||vi ^ С22, ||«(*)||ν» < С22 при всех ί е [0,Г].
Таким образом, вводя для краткости обозначение
С23 = n2Cf C22 + (2an3Ci2 + an3C3Ci4) C22,
получим из (7.10.13) неравенство
|||К«)11^о + f ||К*)Н^ +"1К<)||^ < c2S\\v(t)fvl.
Оценивая снизу левую часть последней оценки снизу
~IK*)lfco + —нтЬг < \jt\W)\\2vo + f |ll«(*)llv· + "NOII^,
а правую часть сверху
С2з||^)||2^ < ^a\\v(t)\\2vl < ^ (|И*)||2^ +a||t/(t)|£1)
окончательно имеем
|||1«(*)11^о + f ±Mt)fvl < ^ (||«(*)||2νο +α И«)||^) · (7.10.14)
Данное неравенство имеет место для почти всех t Ε (0,Т).
Проинтегрируем его по t от 0 до г, г £ [0, Т]. Получим неравенство
г
IdlfWH^+alKr)!!2,,) < ^j(\\v(t)\\2vo+a\\v(t)\\2vl)dt,
О
(7.10.15)
которое имеет место при всех г Ε [0,Г]. Здесь мы воспользовались
тем, что
ν(0) = м(0) - w(0) = 0.
Воспользовавшись неравенством Гронуолла—Беллмана (теорема
2.3.5) получим, что
\\υ(τ)\\2νο+α\\ν(τ)\\2ν1=0
при всех τ Ε [0, Τ], а следовательно и = v. Получили противоречие. D

Приложение А.
Теория топологической степени Лере—Ша-
удера
В этом приложении мы кратко опишем теорию топологической
степени вполне непрерывных векторных полей (теорию Лере—Шаудера).
Но вначале напомним основные факты теории степени
конечномерных пространств и установим вспомогательное утверждение (лемма о
сужении Лере—Шаудера), используемое для построения теории Лере—
Шаудера.
АЛ. Основные факты теории степени отображений
конечномерных пространств
Пусть Ω — ограниченное открытое множество в вещественном
евклидовом пространстве Шп. В дальнейшем Ω называют
ограниченной областью в Rn. Рассмотрим непрерывное отображение / : Ω —>
—> Rn, f(x) = (/ι (χ),..., ίη{χ))- Будем предполагать, что выполнено
Условие А.1.1. f(x) φ ρ для χ G δΩ, = Ω\Ω.
Семейству ограниченных областей пространства Шп и
множеству их непрерывных отображений, для которых выполнено условие
АЛЛ, можно поставить в соответствие целочисленную характеристику
deg(/, Ω,ρ), называемую степенью отображения / на области Ω
относительно точки ρ так, что будет выполнены следующие три свойства.
Свойство А. 1.1 (свойство нормировки). Если f(x) = χ —
тождественное отображение, то
t
А //О \ 3^ eCJlUP£®>,
deg(/,n,p) = \л
если ρ ψ 12.

344 Приложение А. Теория топологической степени Лере—Шаудера
Свойство А. 1.2 (свойство аддитивной зависимости степени от
области). Пусть Ωχ, Ω2 — непересекающиеся открытые подмножества
ограниченной области Ω С Шп. Предположим, что
f(x)^p, χΕΩ\(Ω!υΩ2).
Тогда
deg(/,il,p) = deg(/,ili,p) + deg(/,^2,p).
Свойство А. 1.3 (свойство гомотопической инвариантности
степени). Пусть h : Ω χ [0,1] —> Шп такое непрерывное отображение, что
h(x, ΐ)φρ для χ е дП, t е [О,1].
Положим
/о(х) = Λ(χ,Ο), /ι(χ) = h(x,l), x e Ω.
Тогда
deg(/0,n,p) = deg(/i,il,p).
Замечание АЛЛ. Отображения /о и /χ в условиях свойства АЛ.З
называются гомотопными, а отображение h — гомотопией.
Из свойств АЛЛ—АЛ.З следует утверждение, на котором основано
применение степени к доказательству разрешимости уравнений.
Теорема А. 1.1. Если выполнено условие А. 1.1 и deg(/, Ω,ρ) φ О,
то уравнение
f[x) = ρ
имеет решение в области Ω.
Степень отображения может быть определена различными
способами: методами алгебраической топологии, методами
дифференциальной топологии. Однако, если выполнены свойства АЛЛ—АЛ.З, то
способ определения степени не имеет значения; эта характеристика
однозначно определяется свойствами АЛЛ—АЛ.З (см. [121]).
Отметим следующий способ введения степени. Пусть для
отображения / выполнено условие АЛЛ. Положим
<*= mgJI/(x)-p|l·

АЛ. Теория степени отображений конечномерных пространств 345
Аппроксимируем отображение / непрерывно дифференцируемым
отображением д : Ω —> Шп таким, что
пмх||^)-/(х)|| < -ζ.
χζσίι Ζ
Это можно сделать по теореме Вейерштрасса. Более того, по теореме
Сарда молено добиться, чтобы для тех точек χ Ε Ω, в которых д(х) =
= р, производная Фреше Dg(x) : Шп —> Шп была изоморфизмом. Тогда
д~1(р) либо пусто и в этом случае по определению
deg(/,ft,p) = deg(g,n,p) = О,
либо д~1(р) состоит из конечного числа точек xi,...,rrm. И в этом
случае полагаем
m
deg(/,0,p) = deg(#,n,p) = ^si9nJg(xi),
t=l
где Jg(xi) —якобиан отображения д, вычисленный в точке Xi, г =
= l,...,m.
Возьмем теперь в качестве точки ρ точку 0 — нуль пространства Шп.
Следующее утверждение будет использовано для доказательства
корректности определения степени вполне непрерывных векторных полей.
Лемма А.1.1 (о сужении (Лере—Шаудер [118])). Пусть Ω —
открытое ограниченное подмножество в W1 и φ : Ω —> Rn_1, φ =
= (φι,..., ψη-ι) — непрерывное отображение. Определим
отображение f : Ω —> Шп равенством
f(x) = χ-φ(χ) = (χι -(^ι(χ),...,χη_ι - φη-ι(χ),χη). (Α.1.1)
Предположим, что Ωη_1 = Ω Π Rn_1 не пусто и
/(х)^0, xedil. (АЛ.2)
Тогда
degi/,Π,Ο) = deg(/,Un_1,0), (A.1.3)
где / : Ω —> Шп~1 определяется формулой
/(χι,...,χη_ι) =
= Ы -<£>ι(χι,...Χη-ι,0),...,χη_ι -(^η_ι(χι,...χη_ι,0)). (Α.1.4)

346 Приложение А. Теория топологической степени Лере—Шаудера
Доказательство. Так как
д(шп-1пЩсшп-1пдП,
то в силу условия (А. 1.2) степень в правой части равенства (А. 1.3)
определена.
Заметим, что если f(x) = О, то χ = φ{χ) и, следовательно, χ G Rn_1.
Поэтому
Г1(0) = Г1(0).
Рассмотрим вначале случай, когда φ, а следовательно и /, есть С1-
гладкое отображение и 0 — регулярное значение отображения /.
Тогда
deg(/, Ω, 0) = Σ siSn Jf (χ) »
xcf-40)
где Jf (χ) —якобиан отображения /, вычисленный в точке х.
Учитывая определения отображений / и / (см. (АЛЛ) и (А. 1.4)) и
то, что χ G Rn_1, имеем
fdh\ Ι (*ΜχΆ 0
sign Jf(x) = signdet ( —- ] = sign V dxj J
\OXjJ 0 1
= signJ/~(x).
Кроме того, очевидно, что в этом случае 0 — регулярное значение и
для отображения /. Поэтому в рассматриваемом случае:
deg(/,n,0)= Σ signJ/(x) =
xef-ЧО)
= Σ **&*· Jf(x) = deg(/,iT~ ,0).
xg/-40)
Рассмотрим теперь общий случай. Для j = 1,...,гс — 1 выберем
С^-гладкие функции ф3·, : Ω —> Ш так, что для отображения ф(х) =
= (φι(χ),...,<£η_ι(χ)), χ G Ω выполнено неравенство
\\φ(χ) - φ(χ)\\ <ε, xgH,
где£ = inf ||/(rr)||.
ΧΕ(ΛΖ
Положим
ф(х) = χ — ф(х),
тогда
||/(χ)-^(χ)||<ε, хеП. (А.1.5)

АЛ. Теория степени отображений конечномерных пространств 347
~ п—1
Пусть φ есть сужение отображения φ на Ω . Малым изменением
отображения φ молено добиться, чтобы 0 стало регулярным значением
отображения ф, так, чтобы при этом (А. 1.5) оставалось справедливым.
Поскольку ^-1(0) = ^-1(0), то 0 тогда будет регулярным значением и
отображения ф. При этом из (А. 1.5) следует, что
ф(х) ^ О, хедП
и, следовательно,
deg(/,n,0) = deg(^,n,0),
deg(/,iT~\0) = deg(0,iT~\o).
Но согласно первой части доказательства
deg(tf,n,0) = deg(u?r"\0),
откуда и следует утверждение леммы. D
Обсудим теперь определение степени для непрерывных
отображений вещественных n-мерных пространств. Одним из способов является
следующий.
Итак, пусть Еп — гс-мерное вещественное линейное пространство,
D — ограниченное открытое подмножество в Еп и
/ : ~D -+ Еп
непрерывное отображение, удовлетворяющее условию
/(х)^0, xedD. (A.1.6)
Тогда степень deg(/, D, 0) отображения / на области D относительно
точки 0 определяется следующим образом:
Зафиксируем в Еп какой-нибудь базис ei,..., еп. Этот базис задает
изоморфизм
А : Еп -► Rn.
Обозначим
il = A(D), f = AofoA-\
Рассмотрим отображение
/ : Ω -* Rn.

348 Приложение А. Теория топологической степени Лере—Шаудера
Из (А. 1.6) следует, что выполнено условие
f(x) φ О, хедП
и, следовательно, определена степень
deg(/,n,0).
Положим по определению
deg(/,D,0) = deg(/,n,0).
Несложно показать независимость определения этой степени от
выбора базиса ei,..., еп, а следовательно и изоморфизма А.
А.2. Вполне непрерывные отображения
нормированных пространств
В этом параграфе дается определение вполне непрерывного
отображения и изучается возможность его аппроксимации более простыми,
конечномерными отображениями.
Напомним, что подмножество Μ топологического пространства X
называется относительно компактным, если его замыкание в X
компактно.
В метрическом пространстве имеется ряд полезных критериев
относительно компактности.
Пусть Μ— некоторое множество в метрическом пространстве X и
ε —некоторое положительное число. Множество А из X называется
ε-сетью для Μ, если для любой точки χ Ε Μ найдется хотя бы одна
точка а Е А такая, что р(х, а) < ε.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема А.2.1 (Хаусдорф). Для того, чтобы множество М,
лежащее в полном метрическом пространстве X, было относительно
компактным, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > О
существовала конечная ε-сеть множества М.
Кроме того, в метрическом пространстве полезен и следующий
критерий.
Теорема А.2.2. Для того, чтобы множество М, лежащее в
метрическом пространстве, было относительно компактным,
необходимо и достаточно, чтобы из любой последовательности элементов
множества Μ можно было выделить сходящуюся
подпоследовательность.

Α. 2. Вполне непрерывные отображения
349
Подчеркнем, что предельный элемент этой подпоследовательности
может и не принадлежать множеству М.
Эти критерии и используются в дальнейшем для установления
свойства вполне непрерывности отображений нормированных
пространств.
Итак, пусть теперь £, F — нормированные пространства, Μ —
подмножество пространства Е. Напомним некоторые понятия,
используемые ниже.
Определение А.2.1. Отображение к : Μ —> F называется вполне
непрерывным, если выполнены следующие два условия:
1) к — непрерывное отображение;
2) для любого ограниченного подмножества L С Μ множество k(L)
является относительно компактным.
В частности, у нас в дальнейшем будет встречаться ситуация, когда
E = F.
В дальнейшем будет использоваться подмножество множества
вполне непрерывных отображений, состоящее из конечномерных
отображений.
Определение А.2.2. Вполне непрерывное отображение к : Μ —» F
называется конечномерным, если существует конечномерное
подпространство Fn С F, содержащее к(М) — образ оператора к.
Оказывается, имеет место следующее аппроксимационное
утверждение.
Лемма А.2.1. Пусть Μ — ограниченное подмножество
пространства Ε и к : Μ —> F — вполне непрерывное отображение. Тогда для
любого ε > О существует конечномерное отображение к£ : Μ —» F
такое, что
\\к{х) — fee(х)|| < ε для всех χ Ε Μ.
Доказательство. Так как множество к(М) является
относительно компактным, то для каждого ε > О существует конечная ε-сеть
{2/1» ··· ->Уз) этого множества. Определим непрерывные функции а» :
Μ —> R, г = 1,..., s по формуле:
/ ч {ε- 11*0*0 ~ Уг\\ » если 11*0*0 - Уг\\ < ε,
10, в противном случае.

350 Приложение А. Теория топологической степени Лере—Шаудера
Очевидно, что
s
OLi{x) ^ 0, и 2_]αί(χ) ^ 0 для всех х ^ М.
i=l
Определим функции
по формуле
Тогда
Зг :М ->R, i = 1,...,5
j = l
У^ Д (χ) = 1, для любого χ Ε Μ.
Обозначим через Еп линейную оболочку L(yi, ...ys) элементов
2/1» · · · j Σ/«· Положим теперь к£ : Μ —ϊ Ε равным:
s
fce(x) = Σ βί{χ)νι, хем.
Ясно, что /^ — непрерывное отображение. Кроме того, образ к£(М)
содержится в конечномерном пространстве Еп и является там
ограниченным множеством. Таким образом, он является относительно
компактным подмножеством в Ε и, следовательно, к£ является вполне
непрерывным отображением, образ которого к£(М) принадлежит
конечномерному пространству Еп, то есть является конечномерным
отображением.
Оценим норму разности
||*(х) - к£(х)
Σβί(Φ(χ)-Σ&(χ^
t=l
^
^Р,(х)\\к(х)-т\\.
г=1
Заметим теперь, что если к(х) попало в ε-окрестность точки yi, то
\\к(х)-Уг\\ <ε,
если же не попало, то
А(х) = 0.

А.З. Определение степени Лере—Шаудера
351
Отсюда следует, что
s
\\к(х) - к£(х)\\ ^ εΣβί(χ) = ε.
t=l
Лемма доказана. D
А.З. Определение степени Лере—Шаудера вполне
непрерывных векторных полей
Пусть Μ — подмножество нормированного пространства Е.
Определение А.3.1. Отображение вида
Ф = 1-к:М-+Е,
где / : Ε —> £ —тождественный оператор, а к : Μ —> Ε —вполне
непрерывное отображение, называется вполне непрерывным
векторным полем на Μ.
Вполне непрерывные векторные поля иногда также называют
отображениями типа Лере—Шаудера.
Лемма А.3.1. Пусть Ф = 1—к:М-+Е — вполне непрерывное
векторное поле, Μ — замкнутое ограниченное подмножество
пространства Ε и
Ф(х) ^ О, хеМ. (А.3.1)
Тогда существует ε > 0 такое, что
||Ф(х)|| ^ ε для всех χ Ε Μ.
Доказательство. Предположим противное. Тогда для
последовательности {^} существует последовательность {хп} такая, что
||Ф(хп)|| = \\хп - к(хп)\\ < -. (А.3.2)
п
Выберем из последовательности {к(хп)} сходящуюся
подпоследовательность {k(xni)} к элементу zq Ε Е. Тогда из (А.3.2) следует, что
последовательность {xni} сходится к zq. В самом деле
\\Хщ ~ 201| = \\Хщ - ЦХгы) + k(xni) - 201| <
< \\xni - k(xni)\\ + \\k(xni) - zo\\ < — + \\k(xni) - zo\\,
Щ

352 Приложение А. Теория топологической степени Лере—Шаудера
откуда немедленно и следует сходимость xUi к *о при щ —> оо.
Кроме того, поскольку Μ замкнуто, то *о Ε Μ. Но из неравенства
||Ф(*о)|| = ||*о - *(*о)|| = ||*о - хщ +х^ - *(*о)|| <
^ ||*о - Хщ || + \\хщ ~ Κζο)\\ = \\*о ~ xnt II +
+ ||xni - k(xni) + k(xni) - k(zo)\\ <
< ||*o - хщ\\ + \\хщ ~ ЦхпМ + \\k(xnt) ~ k(zo)\\
следует, что
Φ(*ό) = О,
а это противоречит условию леммы.
Лемма доказана. D
Векторные поля, для которых выполнено условие (А.3.1), называют
невырожденными на множестве Μ.
Пусть D — ограниченная открытая область банахова пространства
Е, D — замыкание D в Е, а 3D — граница области D в Е.
Предположим, что задано вполне непрерывное векторное поле
Ф = 1-к:Ъ-±Е
такое, что
Ф(м)^0, uedD. (A.3.3)
Тогда, как следует из леммы А.3.1, существует ε > О, такое, что
||Ф(х)|| ^ ε для χ е 3D. (A.3.4)
Согласно лемме А.2.1, существует конечномерный оператор ке :
D —> Ε такой, что
||fc(x) - М*)|| < \ (А.3.5)
для всех χ Ε D.
Положим
Φε(χ) = χ — к£(х), для хбД
и проверим, что
Φε(χ) φ О, для χ Ε 3D. (A.3.6)
В самом деле, для χ Ε 3D имеем
\\Фе(х)\\ = \\Фе(х)-Ф(х) + Ф(х)\\>
> ||Ф(а)|| - ||Фе(х) - Ф(х)|| > ε - \\к£(х) - к(х)\\ > |.

A.4. Корректность определения степени
353
Обозначим через Еп конечномерное подпространство пространства
Е, содержащее образ k£(D) и имеющее непустое пересечение Dn =
DC\En. Обозначим сужение &£\jp через Φε. Поскольку Φε(Ό ) С Еп,
то Φε будем рассматривать как отображение из D в Еп. Из (А.3.6)
следует, что
Φε(χ) φ О, для χ е dDn.
Таким образом определена степень deg(&£,D , 0) (см. параграф
АЛ).
Определение А.3.2. Степенью Лере—Шаудера degL5^,D,0)
вполне непрерывного векторного поля Φ = I — к : D —> Е,
удовлетворяющего условию (А.3.3), относительно точки 0 называется степень
deg(&£,Dn,0) отображения Φε : D —> Еп относительно точки 0.
А.4. Корректность определения степени вполне
непрерывных векторных полей
При определении степени degLS^,D,0) имелся произвол как в
выборе конечномерной аппроксимации к£ (лишь только бы она
удовлетворяла условию (А.3.5)), так и в выборе конечномерного
пространства Еп, содержащего образ k£(D). В этом пункте покажем
независимость degL5($, D, 0) от этого произвола.
Этап 1. Покажем вначале независимость определения
degLS^,D,0) от выбора конечномерной аппроксимации ке при
условии, что конечномерное векторное пространство Еп
зафиксировано. Предположим, что имеется два конечномерных отображения к^
и к\ такие, что для них выполнено неравенство
||fc(x) - fc*(x)|| < |, для χ е Д г = 0,1,
и kl(D) С Еп, г = 0,1, где £п — некоторое гс-мерное подпространство
пространства Е, а ε определяется из (А.3.4). Положим D = D Π Εη
и рассмотрим гомотопию F : D χ [0,1] —> Еп,
F(x,t) = x-[tkl(x) + (l-t)k°(x)], xeF, te [0,1].

354 Приложение А. Теория топологической степени Лере—Шаудера
Тогда для χ Ε dD , £ Ε [0,1] имеем
\\F{x,t)\\ = ||* - к{х) + к(х) - [tkl(x) + (1 - t)k°(x)}\\ >
> \\χ - к(х)\\ - t \\к(х) - кЦх)\\ - (1 - ί) \\к(х) - к°е(х)\\ >
>*-*§-<1-*)|>§.
то есть
F(x,*)^0, xedDn, te[0,l]
и по свойству А. 1.3
deg(F(.,0),Sn,0) = deg(F(·, Ι^,Ο).
Но по определению deg(F(·, 0), Ζ) , 0) равна степени Лере—Шаудера
вполне непрерывного векторного поля Φ при использовании
аппроксимации fc£, a deg(F(·, l),Dn,0) равна этой лее степени при
использовании аппроксимации к\. Таким образом, корректность определения
degLS^,D,0) в данном случае доказана.
Этап 2. Покажем теперь независимость определения degLS^,D,0)
от выбора конечномерного подпространства Еп С. Ε в той ситуации,
когда даны два подпространства Еп и £η+1, dim En = η, dim En+l =
= η Η- 1, причем
ЕпСЕп^\ ke(^)<ZEn
для какой-то конечномерной аппроксимации вполне непрерывного
отображения fc, удовлетворяющей условию (А.3.5) и D Π Εη φ 0.
Определим вполне непрерывное векторное поле
Φε(χ) = χ - к£(х), χ Ε D.
Положим
Dn = DC) En, £>n+1 = DC) Ε*1*1
и определим
Φε = Φε|πη :Dn-^En, 1ε = Φ,Ι-pn+i : Β""1"1 -> Εη+\
Зафиксируем какой-нибудь базис в Еп и дополним его до базиса в
Еп+1 Поскольку ke{D) С Еп, то координаты векторного поля Φε в
получившемся базисе имеют вид:
(χι - φι(χ),...χη - <£>η(χ),χη+ι).

A.5. Свойства степени вполне непрерывных векторных полей 355
Следовательно, по лемме АЛЛ:
deg^^O) = deg(4e,Dn+1,0). (А.4Л)
С другой стороны, в силу этапа 1 для определения степени Л ере—
Шаудера при использовании пространства Еп+1 можно использовать
ту же конечномерную аппроксимацию, что и при использовании
пространства Еп. Поэтому имеем:
degb^,D,0) = deg(4e,Sn,0)
при использовании пространства £п и
degLS(*,D,0) = аеё(Ф€Ж+\0)
при использовании пространства Еп+1. Из (А.4Л) получаем
корректность определения степени в этом случае.
Этап 3. Пусть теперь Еп и Ет — различные конечномерные
пространства, содержащие образы каких-либо конечномерных
аппроксимаций (возможно разных) вполне непрерывного отображения А;,
удовлетворяющие условию (А.3.5). Положим
Ер = Еп + Е™.
Тогда согласно второму этапу определение степени degL5($, D, 0) не
зависит от выбора подпространств Еп и Ер, поскольку
ЕП ς £гп+1 С...СЕР.
А также согласно этому же второму этапу определение степени
degL5^, D, 0) не зависит от выбора подпространств Ет и Ер,
поскольку
Ет ς £τη+1 с ...СЕР.
Значит определение степени degLS^,D,0) не зависит от выбора
пространств Еп и Ет.
Корректность определения степени degLS^,D,0) доказана.
А.5. Свойства степени вполне непрерывных
векторных полей
Степень вполне непрерывных векторных полей обладает теми лее
свойствами, что и степень отображений конечномерных пространств.
Кроме того, доказательство этих свойств сводится к справедливости
аналогичных свойств для отображений конечномерных пространств.

356 Приложение А. Теория топологической степени Лере—Шаудера
Свойство А.5.1. Если Ф(х) = χ — тождественное векторное
поле, то
,х^лх , -, если О Ε Д / * ^ .ч
degLS^,D,0) = ^ П ' (А·5·1)
если О £ D.
>.вд={;;
Доказательство. Возьмем любое гс-мерное линейное
подпространство Еп, гс ^ 1, пространства Ε такое, что D Π Εη φ 0. Положим
Dn = DnEn и Ф(х) = х, дляхб^.
По определению
deg^^OHdeg^^O).
Тогда равенство (А.5.1) следует из свойства АЛЛ. D
Свойство А.5.2. Пусть Di,D2—непересекающиеся открытые
подмножества ограниченной области D нормированного
пространства Е. Предположим, что вполне непрерывное векторное поле Φ =
= I — к невырождено на D\(D\ U Д). Тогда
degL5^, ДО) = degL5^, Д,0) Ч^Ь5(Ф,Д,0). (А.5.2)
Доказательство. Пусть
е = тш{||Ф(х)||; χ G 25\(Д U Д)} .
Обозначим через к£ : D -+ Ε такой конечномерный оператор, для
которого
ζ
||fce(χ) - к(х)\\ ^ -, прих G Д
а через £п — конечномерное пространство, содержащее образ k£(D).
Положим
Dn = D Π £n, D? = Д Π £η;
^ = (7-^)1^:^^^.
Тогда, по определению
аеШьз(Ф, D, 0) = deg&.BP.O). (A.5.3)
Но для степени отображения Φε, определенного на области D
конечномерного пространства Еп, справедливо равенство
degfi^.O) = deg(ieX,0) +deg(ie,Sj,0) (A.5.4)

A.5. Свойства степени вполне непрерывных векторных полей 357
(см. свойство А. 1.2).
Учитывая теперь, что
degLS^,A,0) = deg(£e,:D?,0), х = 1,2,
из (А.5.3) и (А.5.4) получаем равенство (А.5.2). Свойство доказано. D
Для того, чтобы сформулировать следующее свойство, введем
понятие гомотопии между двумя невырожденными вполне непрерывными
векторными полями.
Определение А.5.1. Пусть Ф0 = / — к0, Ф\ = I — к\ : D -* Ε —
вполне непрерывные векторные поля, невырожденные на dD.
Векторные поля Фо и Φι называются гомотопными, если существует вполне
непрерывное отображение к : D χ [0,1] —> Ε такое, что для векторного
поля
ф(х, t) = χ - fc(x, t), χ е Д t e [о, ι]
выполнены следующие условия:
1) Ф(а?,0) = Ф0(аО, Ф(ж, 1) = Φι (ж), χ G Д
2) Φ(χ,ί) φ 0 для χ е 3D, t e [0,1].
Векторное поле Φ : D χ [0,1] —> Ε называется гомотопией между
векторными полями Фо и Φχ. Оно порождает семейство Ф* = I — kt,
где kt(x) = k(x,t), x Ε D, вполне непрерывных векторных полей,
соединяющих векторные поля Фо и Φχ.
Свойство А.5.3. Предположим, что невырожденные вполне
непрерывные векторные поля Фо = I — ко и Φ ι = Ι — к\ гомотопны.
Тогда
degL5^0, Д 0) = degL5^x, Д 0). (А.5.5)
Доказательство. Пусть
ф(х,t) = x-к(х,ί), χ е Д te [0,1]
гомотопия между векторными полями Фо и Φχ. Так лее, как в лемме
А.3.1, показывается, что существует ε > 0 такое, что
||Ф(М)Н ^ε, дляхеад te [0,1].
По лемме А.2.1, существует конечномерный оператор ке : Dx [0,1] —>
—> Ε такой, что
\\k(x,t) - k£(x,t)\\ <|, дляхеД *е[0,1].

358 Приложение А. Теория топологической степени Лере—Шаудера
Через Еп обозначим конечномерное пространство, содержащее
образ k£(D χ [0,1]). Как обычно, положим
Dn = ΌΠΕη, &£(x,t) = x-k£(x,t), для χ Ε if1, te [0,1].
Тогда
Φε(χ,ί)/0, пРихе<9£>п, te [0,1].
Положим
кЦх) = ke{x,t), для χ е ТТ, t е [0,1]
и
&£(x,t) = x-kl(x).
Тогда в силу свойства А. 1.3
deg^^O) = deg^^O). (A.5.6)
Но
deg(£°,ir,0) = degL5(<I>o, Д 0), (А.5.7)
deg(<^,Dn,0) = degLS^b Д 0). (А.5.8)
Тогда равенство (А.5.5) следует из (А.5.6), (А.5.7) и (А.5.8).
Свойство доказано. Π
В определении А.5.1 используется отображение к : D χ [0,1] —> Ε,
являющееся вполне непрерывным по совокупности переменных х, t.
Заметим, что, конечно, из того, что к : D х [0,1] —> Ε — вполне
непрерывное отображение по совокупности переменных, следует, что для
каждого t е [0,1] оператор
kt : D —> Ε, kt(x) = fc(x, t), для χ e D,
очевидно, является вполне непрерывным. Однако, обращение этого
утверждения оказывается неверным, а именно, из того, что имеется
семейство вполне непрерывных отображений
kt:T>-+ Е, 0^t^ 1,
не следует, что отображение
к : ~D χ [0,1] -► Е, к{х, t) = kt(x),

Α.5. Свойства степени вполне непрерывных векторных полей 359
будет далее компактным. Соответствующий пример построен в [38],
стр.129.
Тем не менее, имеется, при дополнительных условиях, полезный
вариант подобного обращения.
Предложение А.5.1. Отображение к : D χ [0,1] —> Ε является
вполне непрерывным, если выполнены следующие условия:
1) к непрерывно по совокупности переменных;
2) при каждом фиксированном значении t G [0,1] отображение
kt : Ъ -у Е, kt(x) = k(x, t), x G Д
является компактным;
3) отображение к непрерывно по t G [0,1] равномерно
относительно х, то есть для любого ε > О и to G [0,1] существует
δ = δ (ε, to) > О такое, что из неравенства \t — to\ < δ следует,
что \\k(x, t) — k(x,to)\\ < ε для всех χ G D.
Доказательство. Рассмотрим последовательность {k(xn,tn)} , где
хп G D, tn G [0,1]. Без ограничения общности можно считать, что
последовательность {tn} сходится к некоторому элементу to (в
противном случае можно перейти к соответствующей
подпоследовательности). Далее, из последовательности {k(xn,to)} согласно 2) выделим
сходящуюся подпоследовательность k(xni,to) —> у при г —> оо.
Проверим, что тогда и последовательность {k(xni,tni)} сходится к
элементу у. В самом деле
И*(*п,,*п,)-у|| ^ \\k(xni,tni)-k(xni,to)\\ + \\k(xni,to)-y\\. (А.5.9)
Ясно, что
\\k(xni,t0) - у|| -> 0 при г -у оо,
а из условия 3)
Щхт^гы) ~ k(xni,t0)\\ -► 0 при г -^ оо.
Тогда из (А.5.9) следует, что
WHxnutm) — 2/Ц —^ 0 при г -► оо.
Предложение доказано.
D

360 Приложение А. Теория топологической степени Лере—Шаудера
Замечание А.5.1. Пусть к\,к2 · D —> Ε — два вполне непрерывных
отображения. Определим отображение к : D χ [0,1] —> Ε равенством
k{x,t) = tki(x) + (1 - t)k2{x). (A.5.10)
Тогда, очевидно, что к — непрерывное по совокупности переменных
отображение.Для каждого t Ε [0,1] оператор
kt(x) = tki(x) + (1 - t)k2(x), x e ~D,
является компактным (его образ является выпуклой оболочкой
относительно компактных множеств, и, следовательно, является
относительно компактным множеством), и отображение к непрерывно по t
равномерно относительно х. В самом деле
||*(М)-*(Мо)|| =
= ||*fci(ж) + (1 - t)k2{x) - t0ki(x) - (1 - *0)Μ*)|| <
< Ι* - *ο| ||*ι(χ)\\ +Ι* - *ο| ||Μ*)ΙΙ < 2R\t - to\,
где Д-радиус шара, содержащий как образ k\(D), так и образ k2(D).
Подчеркнем, что эти образы ограничены, поскольку их замыкания
компактны.
Таким образом, из предложения А.5.1 следует, что отображение
(А.5.10) является вполне непрерывным по совокупности переменных
x,t.
Отображение (А.5.10) часто используется для построения так
называемой линейной гомотопии в теории вполне непрерывных векторных
полей.
Конечно, для степени вполне непрерывных векторных полей
справедлив и аналог теоремы АЛЛ.
Теорема А.5.1. Предположим, что для вполне непрерывного
векторного поля Φ = / — k : D —» Е, невырожденного на 3D, степень
degL5($, D, 0) отлична от нуля. Тогда в области D существует
точка х* такая, что
Ф(х*) = 0.
Доказательство. Предположим противное, то есть что
Ф(х) φ 0, χ е D.

A.6. Различные варианты теоремы Шаудера
361
Тогда согласно лемме А.3.1 существует ε > О такое, что
||Ф(х)|| ^ ε для всех χ G D.
Обозначим через ке : D —» Ε конечномерный оператор, такой, что
\\к(х) - ке(х)\\ ^ -, для χ е Д
а через Еп — конечномерное пространство, содержащее образ k£(D) и
имеющее непустое пересечение D Π Εη.
Положим
Dn = DCiEn и Ф£ = {1-к£)\й».
Тогда
и поэтому из теоремы АЛЛ следует, что
deg(^,Dn,0) = 0. (А.5Л1)
С другой стороны, по определению степени degL5(^ D, 0) имеем
равенство
degL5^, Д 0) = deg^^O). (А.5Л2)
Система равенств (А.5Л1), (А.5Л2) противоречит предположению.
Теорема доказана. D
А.6. Различные варианты теоремы Шаудера
В целом ряде задач представляет интерес установить наличие у
рассматриваемого отображения / неподвижной точки, то есть такой
точки х*, для которой
/(*·) = χ*.
Для вполне непрерывных отображений нормированных пространств
Ю. Шаудером был доказан аналог теоремы Брауэра о неподвижной
точке отображений конечномерных пространств, отображающий шар
этих пространств в себя. Ниже приводятся ряд вариантов этого
аналога. Мы доказываем эти аналогии на основании свойств степени вполне
непрерывных векторных полей.
Обозначим через В (г) замкнутый шар вещественного
нормированного пространства Ε с центром в нуле и радиусом г > 0, то есть,
В(г) = {хеЕ; ΝΚ г}.

362 Приложение А. Теория топологической степени Лере—Шаудера
Через дВ(г), как всегда, обозначается граница шара В(г).
Следующее утверждение можно считать первым вариантом теоремы
Шаудера.
Теорема А.6.1. Предположим, что для вполне непрерывного
отображения к : В (г) —» Ε выполнено условие
к(дВ(г)) С В(г). (А.6.1)
Тогда β шаре В (г) есть неподвижная точка отображения к.
Доказательство. Если на границе шара имеется неподвижная
точка отображения к, то теорема доказана. Предположим теперь, что
к(х) фх, при χ G д B(r). (A.6.2)
Рассмотрим вполне непрерывное векторное поле Φ = / — fc,
определенное на шаре В(г). Из (А.6.2) следует, что оно является
невырожденным на дВ(г). Следовательно, определена степень degL5($,i?(r),0).
Для вычисления этой степени рассмотрим векторное поле
F(x,t) = x-tk(x), дляхЕ Б(г), t G [0,1].
Очевидно, в силу предложения А.5.1, отображение
k(x,t) = tk(x), xGD, *е[0,1],
является вполне непрерывным по совокупности переменных х,£.
Проверим, что F(x,t) φ 0 при χ G дВ(г), t G [0,1]. Предположим
противное, то есть, что существуют хо £ дВ(г), to G [0,1] такие, что
F(x0,to) = 0. Тогда
х0 = t0k(x0), (А.6.3)
откуда
*o||fc(*o)||=r.
Но из (А.6.2) следует, что
\\к(хо)Нг.
Следовательно, ίο — 1 и из (А.6.3) имеем
х0 = &(хо),
что противоречит предположению (А.6.2).

A.6. Различные варианты теоремы Шаудера
363
Итак, выполнены все свойства гомотопии для отображения F(x,t).
Поэтому
degLS(F(; 0), В(г), 0) = degLS(F(·, 1), В(г), 0)
ИЛИ
degts^,B(r),0) = degLS(/,B(r),0) = 1.
Следовательно, по теореме А.5.1 существует х* Ε В(г) такое, что
Ф(х*) = 0 или х* = к(х*). Теорема доказана. D
Замечание А.6.1. Имеются доказательства аналога теоремы Брауэ-
ра и без использования теории степени вполне непрерывных
векторных полей. Однако в этом случае, условие (А.6.1) заменяется менее
общим условием
к(В(г)) С В(г).
Чтобы вывести из теоремы А.6.1 другие варианты теоремы
Шаудера, приведем теорему о продолжении непрерывного отображения.
Символом со Μ обозначается выпуклая оболочка множества Μ в
нормированном пространстве, то есть, пересечение всех выпуклых
множеств, содержащих множество М.
Теорема А.6.2 (Дугунжи). Пусть S есть замкнутое
подмножество метрического пространства X и Ε — нормированное линейное
пространство. Тогда каждое непрерывное отображение f : S —» Ε
имеет непрерывное продолжение F : X —> Ε такое, что F{X) С
С со/(5).
Теперь докажем второй вариант теоремы Шаудера.
Теорема А.6.3. Пусть S — ограниченное, замкнутое, непустое,
выпуклое подмножество нормированного пространства Ε и k : S —>
—> S — вполне непрерывное отображение. Тогда к имеет в S
неподвижную точку.
Доказательство. Поскольку S ограничено, то существует
замкнутый шар В с центром в нуле, содержащий S. По теореме Дугунжи
существует непрерывное отображение г : В —> S такое, что r\s = I —
тождественное отображение. Положим
к = к о г.

364 Приложение А. Теория топологической степени Лере—Шаудера
Тогда к отображает В в себя и является вполне непрерывным
отображением. Согласно теореме А.6.1 существует точка х* Ε В такая,
что
к(хт) = х*.
Учитывая, что к(В) С 5, имеем х* G S. Но тогда
*(**) = *(**).
Теорема доказана. D
И, наконец, приведем третий вариант теоремы Шаудера.
Теорема А.6.4. Пусть S — непустое, ограниченное, компактное
выпуклое подмножество нормированного пространства Ε и φ : S —>
—> S — непрерывное отображение. Тогда φ имеет в S неподвижную
точку.
Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что φ
в условиях теоремы является вполне непрерывным отображением, и
остается воспользоваться утверждением теоремы А.6.3. D
А.7. Признаки гомотопии вполне непрерывных
векторных полей
В этом параграфе приведем три наиболее известных признака
гомотопии вполне непрерывных векторных полей: теорему Руше, теорему
об остром угле и теорему Пуанкаре.
Теорема А.7.1 (Руше). Предположим, что для вполне
непрерывного векторного поля Φ = I — k : D -+ Ε и вполне непрерывного
отображения к\ : D —> Ε выполнено неравенство
||Jfci (х) - Jfc(x)|| < ||Ф(х)||, для χ е dD. (А.7.1)
Тогда векторные поля Φ = I — к и Ф\ = I — к\ гомотопны.
Доказательство. Рассмотрим гомотопию
F(x,t) = x- [tki(x) + (1 - t)k(x)], x e ~D, t e [0,1].
Тогда
^(.,0) = Ф, F(-,!) = <!>!.

Α.7. Признаки гомотопии вполне непрерывных векторных полей 365
Оператор
k(x,t) = tki(x) + (l-t)k(x)
в силу замечания А.5.1 является вполне непрерывным.
Остается проверить, что
F(x, t) φ О, при xedD, te [О,1].
В самом деле, в силу условия (А.7.1)
||F(x, t)\\ = ||* - к(х) - t(kx(x) - к(х))\\ >
2\\х-к(х)\\-фг(х)-к(х)\\>
^ \\Ф(х)\\ - ||fci(x) - к(х)\\ > О при χ е dD, t е [0,1].
Теорема доказана. D
Теорема А.7.2 (теорема об остром угле). Предположим, что Ε —
гильбертово пространство и для вполне непрерывного отображения
к : D —» Ε выполнено неравенство
(к(х),х) < (χ,χ), χ е 3D, (A.7.2)
где (у, х) — скалярное произведение векторов у, χ из Ε'. Тогда
векторное поле Φ = I — k гомотопно тождественному векторному полю
I.
Доказательство. Рассмотрим гомотопию
F(x, t) = χ - tk(x), χ e Д t e [0,1].
Тогда
F(.,0) = /, ί\·,1) = Φ.
Отображение
k(x,t) = tk(x)
непрерывно по t равномерно относительно rr, поэтому из
предположения А.5.1 следует, что k(x,t) вполне непрерывно по совокупности
переменных х, t.
Проверим, что
F(x, t) φ 0, при xedD, te [0,1].

366 Приложение А. Теория топологической степени Лере—Шаудера
В самом деле, если существуют хо £ dD, to Ε [0,1] такие, что
F(x0,t0) = 0,
или, что то лее самое,
х0 = t0k(x0).
Умножая последнее равенство скалярно на хо, получим
(хо,я;о) = to(k(xo),xo) ^ (к(хо),хо),
что противоречит условию (А.7.2). Таким образом, F — гомотопия
между векторными полями Фи/. Теорема доказана. D
Теорема А.7.3 (Пуанкаре). Предположим, что вполне
непрерывные векторные поля Фо = I — ко, Φι = I — к\ : D —» Ε невырождены
на 3D и не направлены противоположно ни в одной точке границы
dD, то есть
Ф0(х) φ -λ Φι (χ) для χ e dD и λ > 0. (Α.7.3)
Тогда векторные поля Фо и Φ χ гомотопны.
Доказательство. Рассмотрим отображение
F : D χ [0,1] -> Е, F(x, t) = *ФХ (χ) + (1 - *)Ф0(х).
Проверим, что это есть гомотопия, соединяющая векторные поля Фо
и Φι. В самом деле,
F(x,0) = Ф0(ж), F(x,l) = Φι(χ), дляхеТХ
Далее,
F(x,t) = t(x - ki(x)) + (1 - t)(x - k0(x)) = x- k0(x) - t [ki(x) - k0(x)}.
Оператор
k{x,t) = k0(x) + t [ki(x) - k0(x)},
очевидно, непрерьтен по t равномерно относительно х, и из
предложения А.5.1 следует, что он вполне непрерывен по совокупности
переменных х, t.
Проверим, что
F(x,t) Φ 0, при xedD,te [0,1].

Α.7. Признаки гомотопии вполне непрерывных векторных полей 367
Предположим, что это не так. Тогда существуют хо £ 9D, to Ε [0,1]
такие, что
F(xo,to) = 0
или, что то лее самое
-*οΦι(*ο) = (1 - *о)Фо(*о).
Так как поле Φι невырождено на 3D, τοίο^λ. Поэтому
Фо(хо) =-γ^-Φι(χ) и Ao = T-V>0,
1 — со 1 — со
что противоречит условию (А.7.3).
Итак, отображение F является гомотопией. Теорема доказана. D
Одним из главных следствий теорем А.7.1—А.7.3 является тот факт,
что если выполнены условия какой-либо из этих теорем, то степени
Лере—Шаудера гомотопных векторных полей равны.

Приложение В.
Теория степени вполне непрерывных
многозначных отображений с компактными
выпуклыми значениями
В этой главе мы приведём конструкцию топологической степени для
вполне непрерывных многозначных отображений с компактными
выпуклыми значениями и свойства этой степени. Более подробно данные
факты изложены, например, в [8], [115] и приведенной там
библиографии.
В.1. Сведения из теории многозначных
отображений
Сначала дадим основные понятия и утверждения из теории
многозначных отображений, которые потребуются в дальнейшем для
построения степени.
Определение В. 1.1. Пусть Χ, У — произвольные множества.
Многозначное отображение F множества X в множество У —это такое
соответствие, которое сопоставляет каждой точке χ Ε X непустое
подмножество F(x) Ε У, называемое значением (или образом) х.
Обозначив через P(Y) множество всех непустых подмножеств множества У,
запишем это соответствие в виде F : Χ -ο Ρ(Υ). Обычно многозначное
отображение обозначают символом —о .
Отметим, что класс многозначных отображений включает в себя и
обычные, однозначные отображения. Для них каждое значение
состоит из одной точки.
В дальнейшем многозначные отображения мы будем называть муль-
тиотображениями.
Определение В. 1.2. Для любого множества А С X множество
F(A) = (J F(a)
аеЛ

В.1. Сведения из теории многозначных отображений 369
называется образом множества А при мультиотображении F.
Определение В.1.3. Пусть F : X —о P(Y) — мультиотображение.
Множество IV в декартовом произведении Χ χ У,
Tf = {(*,</) : (х, у) ^хУ,уе F(x)}
называется графиком мультиотображения F.
Определение В. 1.4. Пусть F : X —о P(Y) — мультиотображение.
Малым прообразом множества DcY называется множество
F+l(D) = {x: xeX, F(x) С D].
Определение В.1.5. Пусть F : Χ —ο Ρ(Υ) — мультиотображение.
Полным прообразом множества D с Υ называется множество
FIl(D) = {x: xeX, F(x)DD^ 0}.
Пусть Χ, Υ — топологические пространства, F : Χ -ο Ρ(Υ) —
мультиотображение.
Определение В. 1.6. Мультиотображение F называется
полунепрерывным сверху в точке χ Ε X, если для любого открытого
множества V С У, такого, что F(x) С V, существует окрестность U(x)
точки χ такая, что
F(U(x)) С V.
Определение В. 1.7. Мультиотображение F называется
полунепрерывным сверху, если оно полунепрерывно сверху в каждой точке
хеХ.
Предложение В. 1.1. Мультиотображение F полунепрерывно
сверху тогда и только тогда, когда для любого открытого
множества V С Υ его малый прообраз F+l(V) открыт в X.
Определение В. 1.8. Мультиотображение F называется
замкнутым, если его график IV — замкнутое множество в пространстве Χ χ Υ.
Лемма В. 1.1. Если Χ,Υ —метрические пространства, то
мультиотображение F замкнуто тогда и только тогда, когда для любых
последовательностей {ха} С X, {уа} С Υ таких, что ха —> х, уа £
Ε F(xa), уа —> у выполнено у Ε F(x).

370 Приложение В. Теория степени вполне непрерывных мультиполей
Определение В. 1.9. Мультиотображение F называется компакт-
ным, если область значений F(X) относительно компактна в У, то есть
F(X) компактно в У.
Определение В. 1.10. Мультиотображение F называется локально
компактным, если каждая точка χ G X обладает окрестностью U(x)
такой, что сужение F на [/(х) компактно.
Определение В. 1.11. Однозначное отображение f : Χ —>Υ
называется сечением мультиотображения F, если
/(*) е F(x)
для каждой точки χ G X.
Пусть Χ, Υ — метрические пространства. Через Κ(Υ) будем
обозначать множество всех непустых компактных подмножеств пространства
У.
Напомним, что расстояние от точки χ G X до множества А с X
есть
д{х,А) = inf ox(x,y),
уеА
где ρχ — метрика в пространстве X.
Пусть А С X и ε > 0. Множество
£/£(Л) = {у : у G X, 0(у,А)<е}
называется ε-окрестностью множества А.
Определение В.1.12. Пусть F : X —о Ρ(Υ) — мультиотображение.
Непрерывное однозначное отображение fe : X —> У, где ε > 0,
называется ε-аппроксимацией мультиотображения F, если для каждого χ Ε Χ
найдётся χ' G X такое, что
ρχ(χ,χ') <ε
fe(x) G Ue{F{x')).
Отметим, что это понятие может быть равносильно выражено
условием
/е(х) G Ue(F(Be(x)))
для всех χ G X.

В.2. Определение и свойства степени
371
Определение В. 1.13. Однозначная аппроксимация f£ : X —> Υ
называется регулярной, если
fe(X)Cco(F(X)).
Определение В.1.14. Пусть F0,Fi : X —о P(Y) — мультиотобра-
жения. Мультиотображение Fq + Fi : X -о P(F), определяемое
следующим образом:
(F0 + Fi)(x) = F0(x) + Fi(x), xeX
называется суммой мультиотображений Fq и Fi.
Предложение В. 1.2. Если мулътиотображения F0,Fi : X —о
—о K(Y) полунепрерывны сверху, то их сумма Fq + F\ : Χ -ο Κ (Υ)
полунепрерывна сверху.
Предложение В. 1.3. Полунепрерывное сверху
мультиотображение F : Χ -ο Κ(Υ) замкнуто.
Предложение В. 1.4. Замкнутое и локально компактное
мультиотображение F : Χ -ο Κ(Υ) полунепрерывно сверху.
Определение В.1.15. Мультиотображение F : Χ -ο Κ(Υ)
называется вполне непрерывным, если оно полунепрерывно сверху и образ
F(D) каждого ограниченного множества D С X относительно
компактен в Y.
Предложение В. 1.5. Если мультиотображение F : Χ -ο Κ(Υ)
полунепрерывно сверху, тогда образ F(M) каждого компактного
множества Μ С X компактен.
В.2. Определение и свойства степени для вполне
непрерывных мультиотображений
Зачастую задачу о разрешимости различного вида включений,
возникающих в прикладных задачах, можно свести к задачи о
неподвижной точке мультиотображения.
Пусть X CY — некоторые множества, F : Χ -ο Ρ(Υ) —
мультиотображение. Точка χ Ε X называется неподвижной точкой
мультиотображения F, если χ Ε F(x).

372 Приложение В. Теория степени вполне непрерывных мультиполей
Множество всех неподвижных точек мультиотображения F будем
обозначать FixF.
Понятие неподвижной точки мультиотображения является прямым
обобщением понятия неподвижной точки для обычного однозначного
отображения. Как и в случае однозначных отображений, существуют
различные подходы к изучению неподвижных точек мультиотображе-
ний. Одним из них является теория топологической степени для
мультиотображений, а именно в данном параграфе будет приведена теория
топологической степени для вполне непрерывных многозначных
векторных полей с компактными выпуклыми значениями.
Всюду в дальнейшем будем предполагать, что £ —вещественное
банахово пространство. Пусть X С Е. Всякое мультиотображение
F : X -о Р(Е) определяет мультиотображение Φ : X -о Р(Е),
Ф(х) = x-F(x),
называемое многозначным векторным полем или мультиполем,
соответствующим мультиотображению F. Обозначая г: X —> Ε
отображение вложения, будем записывать
Φ = г - F.
Если Λ — пространство параметров и G : Χ χ Λ —о Р(Е) — семейство
мультиотображений, то Φ : Χ χ Λ —ο Ρ (Ε), заданное как
Ψ (χ, λ) =x-G(x,A),
называется семейством мультиполей.
Точка χ Ε X такая, что
О е Ф(аг),
называется особой точкой мультиполя Ф. Ясно, что особые точки муль-
типоля Φ = г — F и только они являются неподвижными точками
мультиотображения F. Если мультиполе Φ не имеет особых точек, то будем
называть его невырожденным.
В.2.1. Конструкция топологической степени для вполне
непрерывных мультиполей
В этом параграфе будет описана конструкция топологической
степени для вполне непрерывных мультиотображений с компактными
выпуклыми значениями.

В.2. Определение и свойства степени
373
Пусть U С Ε — открытое ограниченное подмножество Е.
Обозначим через Κν(Ε) множество всех непустых, компактных, выпуклых
подмножеств Е.
Определение В.2.1. Вполне непрерывные мультиотображения
F0,Fi : U -о Kv(E) и соответствующие им мультиполя Ф0 = г —
—F0, Φι = г — F\ называются гомотопными
Ф0 ~ Φι,
если существует вполне непрерывное мультиотображение G : U χ
х[0,1] —о Κν(Ε) такое, что
1) χ φ G(x, λ) для всех χ G dU, λ G [0,1];
2) g(-,o) = f0,g(.,i) = f1.
Отметим, что отношение гомотопии есть отношение
эквивалентности на классе всех вполне непрерывных мультиполей невырожденных
на границе.
Определение В.2.2. Вполне непрерывное однозначное векторное
поле φ = г — /, f : U —> Ε называется однозначной гомотопической
аппроксимацией вполне непрерывного мультиполя Ф = г — F, F : U —о
—о Kv(E), если
ψ ~ Φ.
Для доказательства существования однозначных гомотопических
аппроксимаций нам потребуется следующее утверждение.
Лемма В.2.1. Пусть X С Ε — некоторое топологическое
подпространство; Δ — компакт, F : Χ χ Δ —о К ν (Ε) — вполне непрерывное
мультиотображение такое, что .Ρ(·,μ) не имеет неподвижных
точек на замкнутом подмножестве Х\ С X для всех μ G Δ. Тогда для
всех достаточно малых е > О, если f£ : Χ χ Δ —> Ε — регулярная
ε-аппроксимация F, то мультиотображение G : Χ χ Δ χ [0,1] —ο Κν(Ε),
G(x, μ, Α) = λ/ε(χ, μ) + (1 - A)F(x, μ)
таково, что χ $ G(x, μ, А) для всех (χ, μ, λ) G Χ\ χ Δ χ [0,1].
Доказательство. Предположим противное. Пусть данное
утверждение не верно. Тогда существуют последовательности
{ε„}~=ι, εη > 0, ε„ -»· 0; {*„}~=1 С Хи {Мп}~=1 С Δ, {λη}~=1 С [0,1]

374 Приложение В. Теория степени вполне непрерывных мультиполей
такие, что
хп Ε лп
для каждого η = 1,2,..., где /ε : Χ χ Δ —> Ε — регулярные
ε-аппроксимации F.
Последовательности {fe(xn^n)} и {χη} согласно определению
регулярной ε-аппроксимации содержатся в компактном множестве coF(X)
и поэтому без ограничения общности их молено считать сходящимися,
то есть
f£(xn,μη) -»t;0; хп -+ хо е Χι.
Далее, поскольку Δ — компакт, мы, без ограничения общности,
можем считать, что
μη -> μο G Δ.
Аналогично, так как отрезок [0,1] — компакт, без ограничения
общности
λη->Αο€[0,1]·
Для точек хп мы имеем представление
хп — *nj£n(xn,μη) + (1 — Ап)уп,
где уп е ^(χη,μη).
В силу того, что мультиотображение F вполне непрерывно,
последовательность {уп} также без ограничения общности можно считать
сходящейся, причём ввиду замкнутости F получаем, что уо £ -^Οεο,μο)·
Каждая точка вида
\\Xni βη ),Λ(χη,μη)) eXiX AxE
лежит в εη-окрестности графика Гр- Поэтому и предельная точка
(#о>А*о>^о) принадлежит этому графику, то есть
ν0 EF(x0,Mo)·
Переходя к пределу, получаем
хо = λ0ι;ο -f (1 - А0)уо G F(x0,Mo),
что противоречит отсутствию неподвижных точек мультиотображе-
ния .Ρ(-,μο) на Χχ. D
Приведём здесь одну лемму, которая потребуется нам для
доказательства следующей теоремы.

В.2. Определение и свойства степени
375
Лемма В.2.2. Пусть (Χ, ρ) — метрическое пространство, Υ —
нормированное пространство. Для всякого полунепрерывного сверху
мулътиотображения F : X —о Cv(Y) (Cv(Y) — множество всех
непустых, замкнутых, выпуклых подмножеств Y) и любого ε > О
существует непрерывное отображение f£:X—^Y такое, что:
1) для каждого χ Ε X найдётся χ' G X такое, что
ρ(χ, χ')<ε и fe(x) U F(x) С U£(F(x'));
2) fe{X) С coF(X).
Доказательство. Зафиксируем ε > 0. Для каждой точки χ G X
найдётся число δ(χ) G (0, ε) такое, что
F(BS{x)(x)) с U€(F(x)).
Для η(χ) = -γ- рассмотрим покрытие {Βη(χ)(χ)} χ
пространства X и впишем в него локально конечное покрытие {Vj}jeJ - Пусть
{Pj}jeJ ~ соответствующее разбиение единицы.
Выбирая для каждого индекса j G J произвольную точку yj G
G F(Vj),определим отображение f£ : X —> Υ равенством
Отображение f£ является искомым. Действительно, пусть χ G X
принадлежит всем членам семейства {V^}^=1 из покрытия {Vj}jej.
Каждое Vj, j = 1,..., η вписано в некоторый шар B^x.^(xj), поэтому
η
j = l
Пусть fc, 1 ^ к < гс, таково, что ηι^ = max η(χΐ). Возьмём χ' = Xk,
тогда Xj G BVk (x) и, следовательно, Xj G B2Vk (xf) для всех j = 1,..., η.
Тогда
BV(Xj)(Xj) C B4r)k(x'), j = 1, · · · , П.
Но тогда мы получаем
Vi € F(Vj) С F(Bv{Xj)(Xj)) С F(B4„k(x')) С Ue(F(x'))

376 Приложение В. Теория степени вполне непрерывных мультиполей
для всех j = 1,..., гс, а так как множество U£(F(x')) выпукло, то
/е(х) € Ue(F(x')).
Поскольку χ G Vj, j = 1,..., гс, мы получаем также, что
F(x) С U£(F(x')).
Π
Теорема В.2.1. Всякое вполне непрерывное мультиполе Φ = г —
—F, F : U —о Κυ(Ε), невырожденное на границе dU, обладает
однозначной гомотопической аппроксимацией.
Доказательство. Из леммы В.2.1 следует, что в качестве
однозначной гомотопической аппроксимации мультиполя Φ можно взять поле
φ = г — /, где / : U —> Ε — произвольная регулярная ε-аппроксимация
мультиотображения F и ε > О достаточно мало.
Более того, мы можем дать оценку степени малость подходящего ε.
В самом деле, множество Ф(д11) замкнуто и, следовательно,
расстояние от него до нуля равно положительному числу δ.
Тогда в качестве ε можно взять число, удовлетворяющее
соотношению
δ
0<ε<-.
Действительно, пусть fe :U —> Κυ(Ε) — регулярная аппроксимация,
удовлетворяющая также условию (1) из леммы В.2.2. В силу леммы
В.2.2 такая аппроксимация существует. Гомотопию между φε = г — fe
и Φ порождает семейство мультиотображений G : U х [0,1] —о Κν(Ε)
вида
G(x,A) = A/e(*) + (l-A)F(x).
Вполне непрерывность мультиотображения G следует из
предложения В. 1.2 о полунепрерывности сверху суммы полунепрерывных
сверху мультиотображений и условия (2) на аппроксимацию fe из леммы
В.2.2.
Остаётся показать, что
χ $ G(x, λ) для всех χ G dU, λ G [0,1].
Предположим противное. Тогда существует точка хо £ 9U и число
λο G [0,1] такие, что
яо € λοΑ(χο) + (1 ~ Ao)F(xo)·

В.2. Определение и свойства степени
377
Согласно условию (1) из леммы В.2.2 найдём точку χ' Ε dU такую,
что
\\х'-хо\\<е и fe(xo)UF(xo)cU£(F(x'))).
Но тогда хо Ε U£(F(x')) и, следовательно, расстояние от х' до F(x')
меньше 2ε < δ, что противоречит выбору числа δ. D
Определение В.2.3. Топологической степенью deg^,[/)
невырожденного на границе dU, вполне непрерывного мультиполя Φ =
= г — F, F : U —о Κυ(Ε) называется топологическая степень deg((p, U)
его произвольной однозначной гомотопической аппроксимации φ.
Покажем, что это определение корректно, то есть топологическая
степень deg^, U) не зависит от выбора однозначной гомотопической
аппроксимации.
Лемма В.2.3. Пусть φο = г — /о и φι = г — f\ —однозначные
гомотопические аппроксимации невырожденного на границе dU, вполне
непрерывного мультиполя Φ = г — F, F : U —о Κν(Ε). Тогда φο и φι
гомотопны в классе однозначных вполне непрерывных векторных
полей.
Доказательство. Из определения В.2.2 следует, что поля φο и φι
гомотопны в классе вполне непрерывных мультиполей. Пусть эту го-
мотопию осуществляет вполне непрерывное мультиотображение, не
имеющее неподвижных точек на границе dU :
G:Ux [0,1] ^>Kv(E), G(-,0) = /o, G(-,l) = /i.
Согласно лемме В.2.1 найдётся регулярная ε-аппроксимация д :U х
х[0,1] —> Ε мультиотображения G такая, что
χ $ λ#(#,μ) + (1 - Χ)β(χ,μ)
для всех χ е δυ,μ Ε [0,1], λ Ε [0,1].
Тогда искомую гомотопию, связывающую φο и φι порождает вполне
непрерывное отображение h : U х [0,1] —> Е, определяемое следующим
образом:
(3ид(х,0) + (1 - 3i/)/0(a?), О < ι/ < £,
h(x,v)= <^(χ,3ί/-1), 5 ^^ §>
[(3 - 3v)g(x, 1) + (3i/ - 2)fi(x), § < i/ < 1.
D

378 Приложение В. Теория степени вполне непрерывных мультиполей
Из доказанной леммы и свойства гомотопической инвариантности
степени для вполне непрерывных векторных полей получаем, что
степени всех однозначных гомотопических аппроксимаций мультиполя Φ
одинаковы. Это и доказывает корректность определения В.2.3.
В.2.2. Свойства топологической степени вполне
непрерывных мультиполей
Введённая характеристика обладает обычными свойствами
топологической степени, а именно, имеют место следующие утверждения.
Теорема В.2.2 (Свойство нормализации). Если F(x) = А для всех
χ Ε Е/, где А С Ε — выпуклое компактное подмножество, то
deg(i-F,u) = l· *™A^
v ; \0, еслиАпи = 0>.
Доказательство. Для доказательства этого свойства достаточно
взять в качестве однозначной гомотопической аппроксимации
однозначное вполне непрерывное поле вида φ = i — f, где f(x) = xo Ε A. D
Теорема В.2.3 (Свойство гомотопической инвариантности). Если
вполне непрерывные мулътиотображения Fo,F\ : U —о Kv(E) и
соответствующие им мультиполя Фо = г — Fo, Φι = г — F\ гомотопны
(ф0 ~ Фх), тогда
deg(<P0,U) = deg(<PuU).
Доказательство. Доказательство данного утверждения следует из
определения В.2.3 и свойства транзитивности отношения гомотопии.
D
Теорема В.2.4 (Свойство аддитивной зависимости степени от
области). Пусть {Uj}j£j —конечное семейство открытых
непересекающихся подмножеств множества U. Мультиотображение
F:TJ -о Kv(E)
вполне непрерывно и не имеет неподвижных точек на множестве
ΰ\ (J Uj. Тогда
deg(z - F,U) = Y,deg(i - F,U]).

В.2. Определение и свойства степени
379
Доказательство. Пусть / : U —> Е — регулярная ε-аппроксимация
мультиотображения F. Из леммы В.2.1 следует, что если ε > О
достаточно мало, то / не имеет неподвижных точек на множестве U\ (J Uj
_ jeJ
и сужение / на каждую из областей Uj,j Ε J является
гомотопической аппроксимацией сужения F на соответствующее множество.
Тогда утверждение теоремы следует из аддитивной зависимости от
области степени однозначных вполне непрерывных векторных полей. D
Сформулируем теперь основной принцип неподвижной точки.
Теорема В.2.5. Пусть вполне непрерывное мультиотображение
F : U —о Kv(E) не имеет неподвижных точек на dU и
deg(z-F,[7)^0.
Тогда F имеет в U неподвижную точку.
Доказательство. Действительно, если мультиотображение F не
имеет неподвижных точек, то, применяя лемму В.2.1 мы построим
такую регулярную ε-аппроксимацию / : U —>> Ε мультиотображения
F, которая не имеет неподвижных точек. Тогда, применяя подобное
свойство для однозначных вполне непрерывных полей, получим:
deg(i-F,i7) = deg(t-/,£7) = 0.
Полученное противоречие и доказывает утверждение теоремы. D

Приложение С.
Теоремы о компактности вложения
В этом приложении для удобства читателя излагаются теоремы о
компактности вложений пространств. Впервые теоремы такого вида
были получены Обеном и Ю.А. Дубинским. Мы же приводим здесь
результаты Симона [137], которые являются оптимальными и
предъявляют минимальные требования к изучаемым пространствам.
С.1. Классические критерии компактности
Как известно, подмножество К банахова пространства Ε называется
компактным, если из любого его открытого покрытия молено выделить
конечное подпокрытие; К С Ε называется относительно компактным,
если его замыкание К компактно.
Напомним, что имеет место критерий Хаусдорфа, известный из
курса функционального анализа (см., например, [30], [47]). Мы для
удобства читателя уже приводили его на странице 348.
Также имеет место следующее утверждение.
Лемма С. 1.1. Если К есть равномерный предел относительно
компактных множеств (то есть для любого ε > 0 существует
относительно компактное множество Κε такое, что для всякого
χ Ε К найдется у Ε Κε так, что \\х — у\\в ^ ε), то К относительно
компактно.
Доказательство. Зафиксируем ε > 0. Рассмотрим относительно
компактное множество Kl. По теореме Хаусдорфа (теорема А.2.1) у
него найдется |-сеть {ei, i = l,...,je}. Тогда то же самое множество
{ei, г = 1,..., j£} является ε-сетью для К.
Действительно, для любого χ G К найдется у Ε Κ± такой, что
II*-vIIb<!·
А для этого у найдется е^ такое, что
II»-*№<§·

C.2. Компактность в Lp(О, Τ; Ε)
381
По неравенству треугольника
\\х ~ ъ\\Е ^ ||х - у\\е + \\У - ъ\\Е < 2 + 2 = ^
Так как ε было выбрано произвольное, то по теореме Хаусдорфа
(теорема А.2.1) К — относительно компактное множество. D
Приведём также известную теорему Арцела—Асколи:
Теорема С.1.1 (Арцела—Асколи). Множество F С С([0,Т],£7)
относительно компактно тогда и только тогда, когда
1) F(t) = {f(t), f G F} относительно компактно в Е для всех t G
2) F равностепенно непрерывно, то есть для любого ε > О
найдется δ > О такое, что для всех t\,t2 G [О, Τ], \t\—t2\^6u каждого
f G F выполнено
||/(*2)-/(*ι)||εΟ.
С.2. Компактность в Ζ/ρ(0, Τ; Ε)
Для функции / : [О, Τ] —> Ε и числа /ι > 0 определим функцию
тъ/:[-Л,Т-Л]->Я
по формуле
(rhf)(t) = f(t + h).
Теорема С.2.1 (Симон, [137]). Пусть Ε — банахово пространство.
Множество F С Lp(0,T;E), 1 < р < оо, относительно компактно
тогда и только тогда, когда
1) множество
f(t)dt,feF\
относительно компактно в Ε для любых t\,t2 G (0,T),t\ < £2;
2) \\rhf — /||lp(o,t-/i;£) ► 0 равномерно по f G F, то есть для
любого ε > О найдется δ > О такое, что для любых f e F и
h < δ выполнено
\\rhf ~ /||lp(0,T-/i;S) ^ ε.
]

382
Приложение С. Теоремы о компактности вложения
Доказательство. Первый этап. Пусть F — относительно
компактное подмножество Lp(0,T;E).
Покажем, что линейное отображение:
f^jf(t)dt, ίι,ί2€(0,Τ), tx <*2,
*1
действующее из Lp(0, Τ; Ε) в Ε ограничено.
Действительно, в силу свойств интеграла Бохнера и неравенства
Гёльдера, имеем
t2 t2 г
jf(t)dA ζ J \\f(t)\\Edt < f\\№\\Edt <
ti He ti о
<(/Λ) (/ИЛ*)1|Ы =Т,1-р||/||Мо,т;Б).
Поэтому это отображение непрерывно и, значит переводит
относительно компактные множества в относительно компактные. Таким
образом, первое требование выполнено.
Зафиксируем ε > 0. По теореме А.2.1 (теорема Хаусдорфа) найдется
конечная |-сеть {/г,г = l,...,j} в пространстве Lp(0,T,E) для
множества F.
Так как С([0,Т],Е) плотно в Lp(0,Τ; £), то найдутся элементы a Ε
еС([0,Г],£) такие, что
l|ei-/i||Lp(o,T;E) < g, для всех г = l,...,j. (С.2.1)
Для непрерывных функций ^ имеем
\\rhei - ei\\C(iotT-hlE) ——> 0·
/ι—>0
Следовательно,
\\Viei - ei||Lp(o,T-/i;E) -j-^> 0
и при достаточно малом δ > 0 имеет место неравенство:
ΙΐΌιβ. - ei\\Lp(0lT-hiE) < ς при ft < i. (C.2.2)

C.2. Компактность в Lp(0,T;E)
383
Далее, для любого элемента / Ε F найдется некоторый элемент fr
из |-сети такой, что
||/- /ί||ΐ,ρ(0,Τ;Ε) ^ g-
Таким образом из (С.2.1), (С.2.2) и (С.2.3) имеем:
(С.2.3)
\\Vif ~ /||lp(0,T-/i;E) < \Ы(/ ~ /ί)||ΐ,ρ(0,Τ-/ι;Ε) +
+ \\rh(fi ~ е»)||ьр(0,Т-Л;Е) + \\Vie% - βί||ΐ,ρ(0,Τ-/ι;Ε) + llet - /ί||ΐ,ρ(0,Τ-/ι;Ε) +
+ ||/i ~ /Hlp(0,T-/i;E) = ||/ - /i||lp(/i,T;E) + \\fi ~ ei||Lp(fc,T;E) +
+ ||τΛβ» - ei||Lp(0|T-fc;E) + Iki - /i||Lp(0,T-/i;E) +
+ ll/i - /||lp(0,T-/i;E) < 2||/ - /i||Lp(0,T;E) + 2l|/i ~ ^||ΐ,ρ(0,Τ;Ε) +
+ \\rhei - ei||Lp(0,T-/i;E) < 5 · - = ε.
Следовательно, мы доказали, что второе условие также выполнено.
Второй этап. Предположим теперь, что выполнены условия 1 и 2
доказываемой теоремы. Положим для / Ε F и а : О < а <Т :
t+a
(Maf)(t) = ± j f{s)ds.
(C.2.4)
Для ίι,<2 € [0,Τ — α], t\ < £2, воспользовавшись свойствами
интеграла Бохнера и неравенством Гёльдера, имеем:
||(Μα/)(ί2) - (Μ„Λ(<ι)||β =
' t2+a
ti+a
Μ J f(s)ds- J f(s)ds
Ι *ι+α
f(Tt3-tJ-f)(s)dsj <i J ||(rt2_tl/-/)(s)||Etfe<
Τ-(ί2-ίι)
^ / ικ^-^-λοοιιε^
0
1
(«2-tl) \
/ \\(rt2-tlf-f)(s)\\pEds
τ'-i
T-(i2-ti)

384
Приложение С. Теоремы о компактности вложения
г1-*
Ιτί2-ίι/ /Ι1ί,ρ(0,τ-(ί2-ίι);£) *
Из второго условия теоремы следует, что правая часть последнего
неравенства стремится к нулю равномерно по / при |£г — t\\ —> 0.
Следовательно, множество
MaF = {Μα/, / е F}
содержится в С([0,Τ — α], Ε) и равностепенно непрерывно на [0,Τ — а].
Первое условие этой теоремы при ti = t, t% — t + α, t G (0, Τ — a)
дает, что множество
(MaF)(t)={- f f(s)ds,f£F]
it+a
Ц
относительно компактно в Ε для всех t G (0, Τ — α).
Множество (MaF)(0) есть равномерный предел относительно
компактных множеств (MaF)(e) при ε —> 0. Действительно, из
равностепенной непрерывности MaF следует, что для любого ε > 0 найдется
5(ε) > 0 такое, что для любого / G F имеет место неравенство
\\MaF(5)-Ma№\\^e.
Следовательно, множество (MaF)(0) также относительно
компактно.
Абсолютно аналогично множество (MaF)(T — а) относительно
компактно как равномерный предел множеств (MaF)(T—a — S) при δ —> 0.
Мы показали, что на отрезке [0,Т — а] для множества MaF
выполнены условия теоремы С. 1.1 (теоремы Арцела—Асколи).
Следовательно, MaF относительно компактно в С([0,Τ — α],Ε), а значит и в
Lp(0, Τ - α; Ε) для любого a G (0, Τ).
Далее, при £ G [0, Τ — α] имеем:
Maf(t)-f(t) = ± j f(s)ds-f(t) =
t
a a a
= - [f(t + h)dh-- [f(t)dh=- f(rhf-f)(t)dh. (C.2.5)
a J a J a J

C.2. Компактность в Lp(О, Τ; Ε)
385
Следовательно,
\\Maf ~ f\\Lp(OtT-a;E) ζ Sup \\Vif - f\\L{0tT-a'tE)' (C.2.6)
/iG[0,a]
Покажем теперь, что множество сужений
Л[о,т1] = {/|[о,г1],/еГ}
есть равномерный предел множеств MaF в Lp(0,Τι;Ε) для каждого
Τχ G (0, Τ) при a —> О (здесь и ниже мы опускаем символ сужения).
Действительно, зафиксируем ε > 0. При а <Т — Т\ из (С.2.6) следует:
||Ma/-/||Lp(o,Ti;E)^ SUp Ш - f\\Lp{o9T-h;E). (C.2.7)
/i€[0,a]
По второму условию теоремы найдется а такое, что правая, а
следовательно, и левая части (С.2.7) не превосходит ε для любого / G F.
Итак, F относительно компактно в Lp(0,T\\E) как равномерный
предел относительно компактных множеств MaF.
Покажем, что F относительно компактно также и в LP(T — Τι,Τ; Ε).
Рассмотрим множество
F = {f(t) = f(T-t),f€F}.
Очевидно, для F выполнено первое условие теоремы. Покажем, что
для него выполнено и второе условие. Имеем для / G F, что f(t) =
= f(T -t),fe F. Тогда
(T-h
j\\f(t + h)-f(t)\
(T-h
Jp(T-t-h)-f(T-t)\\
0
Jp(T-t-h)-f(T-t)fEd(T-t-h)
r-fc /
= I j\\f(T-t-h)-f(T-t)fEd(T-t-h)\ =

386
Приложение С. Теоремы о компактности вложения
fT-h \ Ϊ
J |/(*)-/(* + Λ)|£ώ I = ||/-ГЛ/||Мо,Т-/,;Е).
Последнее выражение стремится к нулю при h —> О равномерно по
/gFb силу второго условия теоремы, выполненного для множества
F.
Итак, для F выполнены оба условия теоремы, поэтому, по
доказанному выше, F относительно компактно в Lp(0,7\; Е). Это влечет, что
F относительно компактно в LP(T — 7\, Τ; Ε). Полагая Τι ^ у,
заключаем, что F относительно компактно в Lp(0, Τ; Ε). Теорема полностью
доказана. D
Замечание С.2.1. При ρ = оо утверждение теоремы С.2.1 в том виде,
как она сформулирована выше, неверно.
Доказательство. В самом деле, рассмотрим множество F,
состоящее из одной функции
f(t) = sign(t--ju,
где и Ε Е, w^O.
Очевидно, оно компактно в Loo (О, Г; Е).
При этом для данной функции
Th№ - № = sign (t-li+h)- sign (* - f) ·
Следовательно, функция Vif—f тождественно равно двум на
интервале (^ — Л, ^). Поэтому Цгл/ — /||loo (О» Τ — h;E) не сходится к нулю
при h —> О, то есть второе условие теоремы С.2.1 не выполнено. D
Однако, имеет место следующая теорема, которая является
аналогом теоремы С.2.1 для ρ = оо.
Теорема С.2.2 (Симон, [137]). Множество F С £«,((), Г; Я)
удовлетворяет условиям теоремы С.2.1 с ρ = оо тогда и только тогда,
когдаF принадлежитС([0,Т],Е) и относительно компактно в этом
пространстве.

C.2. Компактность в Lp(О, Τ; Ε)
387
Доказательство. Первый этап. Пусть F — относительно
компактное подмножество в С([0, Т],Е). Тогда, в силу непрерывного вложения
C(\0,T],E)cLp(0,T;E),
которое имеет место для всех ρ : 1 ^ ρ < оо, множество F —
относительно компактно в Lp(0, Τ; Ε) и из теоремы С.2.1 следует, что F
удовлетворяет первому условию теоремы С.2.1.
А по теореме С. 1.1 (теорема Арцела—Асколи) F удовлетворяет
второму условию в теореме Арцела—Асколи. Остается заметить, что из
второго условия теоремы Арцела—Асколи (условия равностепенной
непрерывности) следует второе условие теоремы С.2.1 с ρ = оо.
Действительно, для f e F С С([0,Т],£) :
\\Vif ~ /ΙΙζ,οοίΟ,Τ-ΛίΕ) = \\Vif ~ /||c([0,T-/i],E) =
= maxfcl||/(x + fc)-/(x)||E, (C.2.8)
что в силу равностепенной непрерывности стремится к нулю
равномерно по / при h —> 0.
Второй этап. Предположим теперь обратное. Пусть выполнены
условия теоремы С.2.1 с ρ = оо. Как и на втором этапе доказательства
теоремы С.2.1, рассмотрим множество MaF. Как ранее уже было
показано, оно является относительно компактным в С([0,Τ — а],Е) для
любого а е (0,Т). Тогда (С.2.5) влечет (С.2.6) и (С.2.7) при ρ = оо.
Далее, как и в доказательстве теоремы С.2.1 второе её условие влечет,
что
Maf—->/ в ^(Ο,Τν,^,Γ^Ο,Γ)
α—>Ό
равномерно по / Ε F. Тогда для любой последовательности ап —> 0,
последовательность Μαη/ фундаментальна:
||Мвя/ - Mam/||Loo(0,Tl;E) = ||Μβη/ - Mem/||c([OfTi],B) ' Г > °'
max(n,m)—юо
Так как пространство C([0,Ti],i£) полное, то
Maf—>f в С([0,Тг],Е)
а—>0
равномерно по / Ε F, то есть F есть равномерный предел относительно
компактных множеств MaF в C([0,Ti],i£). Поэтому F относительно
компактно в C([0,Ti], £7).

388 Приложение С. Теоремы о компактности вложения
Также, как и в доказательстве теоремы С.2.1, рассмотрев множество
F = {f(T-t),feF},
которое удовлетворяет условиям теоремы С.2.1, а значит,
относительно компактно в C([0,Ti],u7), получим, что F относительно компактно
в С([Т — Τχ,Τ],Е). Полагая 7\ > ^ заключаем, что F относительно
компактно в С([0, Т],£). Теорема доказана. D
Замечание С.2.2. На первом этапе доказательства теоремы С.2.2 мы
показали, что для F С /^(О, Т; Е) условие равностепенной
непрерывности влечет второе условие из теоремы С.2.1 с ρ = оо. А на втором
этапе мы получили, что второе условие из теоремы С.2.1 с ρ = оо даёт,
что для любого / £ F имеем, что
Maf—*f в Οφ,Τύ,Ε).
CL-+0
Следовательно, / G C([0,Ti],£) для / G F.
Но если F удовлетворяет второму условию^из теоремы С.2.1, то и F
ему также удовлетворяет, а значит для / Ε F получим, что
Maf—>J в CW,Tt],E),
CL-+0
что дает / G С([Т - ТиТ],Е) для всех / G F.
Полагая Γι > ^, получим F С С([0,Г],£). Тогда из второго
условия теоремы С.2.1 и (С.2.8) следует равностепенная непрерывность F.
Итак, для F С Loo([0,r];.E) условие равностепенной непрерывности и
второе условие из теоремы С.2.1 эквивалентны.
С.З. Компактность множества функций со
значениями в «промежуточном» пространстве
Пусть X С Ε С Υ — банаховы пространства, причем вложение X С
С Ε вполне непрерывно, а вложение Ε С Υ непрерывно.
Лемма С.3.1 (Ж.-Л. Лионе, [44]). Для любого η > 0 найдется
натуральное число N такое, что для всех и G X :
Me<vmx+n\\u\\y.
(С.3.1)

С.З. Теоремы о компактности
389
Доказательство. Зафиксируем произвольное η > 0. Для каждого
натурального п обозначим
Vn = {ueE: \\и\\Е -η- n\\u\\Y < 0}.
Так как пространство Ε вложено в Υ непрерывно, то функция
\\u\\E-V-n\\u\\Y :E-+R
непрерывна. Поэтому множества Vn открыты. При возрастании п
последовательность множеств Vn расширяется и их объединение
покрывает все пространство Е.
Поскольку вложение X С Ε вполне непрерывно, то единичная
сфера S С X компактна в Е. Следовательно, из открытого
покрытия {Vn} множества S молено выделить конечное подпокрытие
{Vni ,Vn2,...,Vn.}. Пусть N = max(ni, гс2,..., щ). Тогда S С VNj то
есть для любого и Ε S :
\\η\\Ε-η-Ν\\η\\γ<0.
(С.3.2)
Далее, если и φ 0, то элемент ц?» G S удовлетворяет оценке (С.3.2),
то есть
т\х
-η-Ν
\Щ\х
<0.
Умножение последнего неравенства на ||м||х, влечет требуемую
оценку (С.3.1).
Если же и = 0, то требуемая оценка заведомо выполнена. D
При применении полученных выше теорем о компактности
вложения обычно трудности возникают при проверке второго условия
теоремы С.2.1. Использование троек пространств X С Ε С Υ позволяет
ослабить это условие за счет усиления первого условия этой же
теоремы. А именно, имеет место следующее утверждение.
Теорема С.3.1 (Симон, [137]). Пусть X С Ε с Υ — банаховы
пространства, причем вложение X С Ε вполне непрерывно, а вложение
Ε С Υ непрерывно. Пусть множество F С 1/р(0, Т;Х), 1 ^ ρ ^ оо.
Если
1) множество F ограничено в Lp(0, T;X),
2) \\rhf ~ f\\Lp(o,T-h-,Y) η^+ 0 равномерно по f G F,

390
Приложение С. Теоремы о компактности вложения
тогда F относительно компактно в Lp(0, Τ; Ε) (при ρ = оо
множество F содержится в С([0,Т], Е) и относительно компактно в этом
пространстве).
Доказательство. Для доказательства этой теоремы мы проверим
выполнение условий теоремы С.2.1, утверждение теоремы следует в
этом случае или из неё или из теоремы С.2.2 при ρ = оо.
Как мы уже отмечали, линейное отображение
/ н+ J f(t)dt, tut2e (о,г), и < *2,
ti
является непрерывным отображением из Lp(0, T;X) в X. Отсюда,
поскольку F ограничено в Lp(0,T;X), то множество
ограничено в X. Следовательно, это множество относительно
компактно в Е, то есть выполнено первое условие теоремы С.2.1.
Покажем теперь, что выполнено второе условие теоремы С.2.1.
Зафиксируем ε > 0. Так как множество F ограничено в Lp(0, Τ; Χ), то
найдется число R > 0 такое, что
||/||М0,Т;Х) < Я, f€F.
Применяя лемму С.3.1 с константой η = ^, получим что при
некотором N и почти всех t Ε (0, Τ) имеет место неравенство:
Ы№ - f(t)\\B < -^Ш® - №\\χ + Щть№ - №\W-
Отсюда получаем, что
\\Vif ~ /||Lp(0,T-/i;E) ^ ^ \\lbf ~ /||lp(0,T-/i;X) + N||7fc/ - /||ζ,ρ(0,Τ-/ι^)·
(С.3.3)
По второму условию доказываемой теоремы второе слагаемое в
правой части последнего неравенства равномерно по / стремится к нулю
при h —> 0, то есть при достаточно малом h имеет место неравенство:
К\Ы ~ f\\Lp(0,T-h;Y) ^ |.

C.4. Теорема Обена—Дубинского— Симона
391
С другой стороны,
4дН^/-/1ир(0,Т-Л;Х) < |д (||^/|ир(0,Т-Л;Х) + II/IIlp(0,T-/i;X)J =
ε ε ε
= ^Д (H/IUp(/i,T;X) + ||/||lp(0,T-/i;X)) < 4д(й + Й) = 2*
Таким образом, из (С.3.3) получаем, что
ε ε
\\Vif ~ /||lp(0,T-/i;S) < 2 + 2 = ^
для всех /GF. Итак, второе условие теоремы С.2.1 также выполнено.
Теорема доказана. D
С.4. Теорема Обена—Дубинского—Симона
В различных приложениях теоремы о компактности часто
применяются для установления относительной компактности семейств
решений дифференциальных уравнений. При этом часто бывает
известным, что семейство решений ограничено в некотором достаточно узком
пространстве Lp(0, Τ; Χ), а множество их производных по t
ограничено в каком-то «ослабленном смысле», например, в метрике достаточно
широкого пространства Lr(0,T;Y). В этом случае часто оказывается
возможным применение следующей теоремы.
Теорема С.4.1 (Симон, [137]). Пусть X С Ε С Υ — банаховы
пространства, причем вложение X с Ε вполне непрерывно, а вложение
Ε С Υ непрерывно. Пусть F С Lp(0, Т;Х), 1 ^ ρ ^ оо. Будем
предполагать, что для любого f Ε F его обобщенная производная в
пространстве D'(0,T;Y) принадлежит 1/г(0,Т;У), 1 ^ г ^ оо. Далее,
пусть
1) множество F ограничено в Lp(0,T;X),
2) множество {/' : / G F} ограничено в Lr(0,T;Y).
Тогда при ρ < оо множество F относительно компактно в
Lp(0,T;E), а при р = оо и г > 1 множество F относительно
компактно вС([0,Г],£).
Замечание С.4.1. Приведенное утверждение было впервые
доказано Обеном [82] в случае, когда г>1,1<р<оо, пространства X
и Υ рефлексивны. Результат Обена обобщался несколькими авторами

392
Приложение С. Теоремы о компактности вложения
(например, Дубинский [20] дал доказательство для случая ρ = 2, г =
= 1, Χ,Ε,Υ — гильбертовы пространства). В общем виде теорема
была сформулирована и доказана Симоном [137].
Замечание С.4.2. В случае ρ = оо, г = 1 утверждение теоремы
Обена—Дубинского—Симона неверно.
На самом деле, зафиксируем произвольный ненулевой элемент Ь Ε X
и произвольную гладкую функцию φ :Ш —>· R, <£>^0и обращающуюся
в нуль вне интервала (0,Т).
Рассмотрим множество
G = {9n(t) = Ьр(Ш)л η е Ν}.
Имеем:
Mn*)llLoo(o,T) = wri,™ax Mnt)\ = ^ ™5? I^(5)l =
ίΕ(Ο,Τ) s€{O,nT)
IklUooCo.nT) = Никого/г);
nT
\\<p{nt)\\Ll{0,T) = J \φ{ρ£)\ dt=^J \φ{ηί)\ d(nt) =
о о
= -\\φ\\^(ο,ητ) = -ΙΜΙμο,τ);
η η
||(</?Н))'1к(0,Т) = II™/?'Н)1к(0,Т) = П · -|Ик(0,Т) = \\ψ'\\^{0,Τ)·
Следовательно,
||^η||^(ο,τ;χ) = IIIIM^)IIxIILoo(o,t) =
= \\b\\xy(fd)\\Laol0tT) = IWMMIwo/r),
то есть множество G ограничено в Loo(0, Т;Х).
Аналогично, имеем
\\9n\\Ll(0,T;E) = ΙΙΙΙΜ^)ΙΙβΙΙ^(Ο,Τ) =
= ΙΙ&ΙΙε||^Η)ΙΙμο,τ) = -ΙΝιΗΜΙμο,τ),
то есть
дп Ю в Li(0,T;S)· (С.4.1)

C.4. Теорема Обена—Дубинского— Симона
393
А также, имеем
ΙΚΙΙ^(ο,τ;η = ΙΙΙΙ(Μ^))ΊΙν||£ι(0,τ) =
= ||6||y||Mni))'||Ll(o,T) = ||Ь|ИИмо,т),
то есть множество {д'п} ограничено в Li(0, Т;У).
Итак, множество G удовлетворяет условиям теоремы С.4.1 с ρ = оо
и г = 1. Однако, множество G не является относительно компактным
ни в С([0,Т],Е), ни далее в Ζ/οο(0,Т;Е). Покажем это.
Предположим противное. Тогда найдется подпоследовательность
{9пт} С G и элемент д € Loo(0, T;Е) такие, что
9пт >9 в ^(Ο,Τ,Ε).
т—>оо
Отсюда следует, что
9пт >9 в Lx (О, Г; Я).
т—>оо
и из (С.4.1) получаем, что
9 = 0.
Итак, в силу единственности предела,
9пт Ю в £«,(<), Г; Я)·
т—>оо
С другой стороны,
ItonJUooCO/TjE) = llbllElbiWmOIUooCO.T) = ΜεΙΜΙ^Ο/Γ).
Переходя к пределу при т —> оо, получим
о=||Ь|Ы11И1ь<я>(о,г),
что противоречит тому, что
6^0 и <£> ^ 0.
Для доказательства теоремы Обена—Дубинского—Симона нам
понадобятся следующие леммы.
Лемма С.4.1. Пусть Υ — банахово пространство и функция и Ε
G £г(0,Т;У), г ^ 1, h G (0,Т). Тогда длл функции
t+h h
Jhu{t) = / u(s) ds = I u(t + 5) ds.

394
Приложение С. Теоремы о компактности вложения
имеют место следующие оценки:
^Tl—hp\\u\\LAOtT;Y), 1 ^р<оо; (С.4.2)
||ЛЧир(0,Т-/1;У) < hl~r ||ti||Lf.(0|T;y), Ρ = 00. (САЗ)
Доказательство. Пусть к — некоторое натуральное число такое,
что kh ^ Т. Определим функцию и : [0, kh] —> Υ по правилу
w \о, * > г.
о Но
Л ^
Л
Воспользовавшись известным числовым неравенством:
т ι πι \
J=0 \j=0 /
и неравенством Гельдера, получим
(kh-h\\ h
/ / u(t + s)d
| ί|||5(* + β)||νώ
<fc_2 h / h
^J lJ\\u(t+jh + s)\\Yds\ dt
= Uj2ijMt+jh+S)\\YdS
У| У ||S(* + e)||ydej dt\ =[l[ I \Hs)\\Yds\ dt
dt €

C.4. Теорема Обена—Дубинского— Симона
395
τ \ р>
\\γ ds
f [f \\u(s)\\yds\ dt\ = \hU\\u{s)h
hb J \\u(s)\\Yds ^ h7Tl~i IJ \\u(s)\\Yds\ =/ipT1-^||U||Mo,T;y).
Оценка (С.4.2) доказана.
Далее, воспользовавшись опять неравенством Гёльдера, получим:
\\Jhu\\Loo{o,T-h;Y) = Уга1тах||Ли(*)||у =
tG(0,i —п)
vrai max
te(o,T-h)
η
J-
(t + 5) ds
^ vrai max
*e(o,T-/i)
γ о
ds ^
< vrai max/i1"- I / \\u(t + з)\\уаз I ^
*€(ο,τ-Λ) \J /n /
^ vr« EMaft1-* ί | Η«ώ J ^ /ι1"" I |н*)||гу ds
= h -||ti||Lf.(0|T;y)·
Оценка (С.4.3) доказана.
Лемма С.4.2. Пусть Е —банахово пространство, и G V(0,Τ;Ε)
и и' = 0. Тогда существует элемент Ь G Е, такой что и = 6, то
есть для любого φ G Р(0, Т) :
и(ф) = Ь ί φ{ί)Λ.
Доказательство. Зафиксируем некоторую функцию φ G Р(0,Т),
такую что
[(p(t)dt =
1

396
Приложение С. Теоремы о компактности вложения
и положим 6 = ν,(φ).
Возьмем теперь произвольную функцию ф G Р(0,Т). Тогда,
функция
τ
д(з) = ф(з)- φ{8) j^{t)dt
принадлежит Р(0, Т).
Но тогда, функция
~, )ds
о
ζ
v(0 = Jg(s)t
также принадлежит Р(0, Т). На самом деле, она гладкая и обращается
в нуль при малых ξ. Для ξ близких к Т, имеем:
η(ξ)= ft/>(s)ds- f(p(s) frl>(t)dtds =
0 0 0
= Ι tl>{s)ds- I ip{s) [tl>(t)dtds= ltl>(s)ds- [<p(s)ds ίφ(ί)άί =
0 0 0 0 0 0
τ τ
= I rl>{s)ds- ίφ(ί)άί = 0.
о о
Теперь из всего вышесказанного получим:
τ τ
tx(^) -b J φ(ί) dt = и{ф) - η{φ) J φ(ί) dt =
о о
τ
= η{φ-φ ίφ(ί) dt) = η{η') = -и'(η) = 0.
Лемма доказана. D
Лемма С.4.3. Пусть Ε — банахово пространство. Пусть и G
G Р'(0,Г;£) ии' е Lp(0,T;E), 1 ^ ρ ^ оо. Тогда и G С([0,Г],£) и

C.4. Теорема Обена—Дубинского— Симона
397
имеет место представление:
t
u(t) = tx(0)+ l u'(s)ds.
(C.4.4)
Доказательство. Сначала отметим, что и' G Lp(0,T;E) С
С Li(0,T;£). Так как С([0,Г],£) плотно в Lx(0,T;E), то существует
последовательность gn G С ([О, Т],Е) такая, что
дп-+и' в L!(0,T;£).
По формуле Ньютона-Лейбница для произвольного φ G Р(0, Т)
имеем:
τ / ί
I [J 9n{s)ds^{t)\ dt= ίί9η(3)ά3'φ(ί)
0 \0
= 0.
Ho
Следовательно,
τ
ft \ r
Jgn{s)ds · ^(*) J = <?n(*M*) + jgn(s)ds · ^'(*).
τ ί
19n{t)^{t)dt + j j gn{s)ds · ^'(*)Λ = 0.
0 0 0
Переходя к пределу при η —> оо, мы получим
τ τ ί
/ η'(ί)φ(ί) dt+ ί ί u'(s) ds · φ'(ί) dt = 0.
0 0 0
Воспользовавшись определением обобщенной производной, имеем:
t
u'W- ( /"'(*)<**] (^) = 0.
В силу произвольности функции φ G Р(0,Т), получим что
и— u'(s)
ds] = 0.

398
Приложение С. Теоремы о компактности вложения
В силу леммы С.4.2 найдётся элемент Ь Ε Ε такой, что
t
и— u'(s)ds = Ь.
τ
I u'(s)ds.
Таким образом,
t
и = Ь +
о
Следовательно, и Ε С([0,Т],Е). Осталось заметить, что при t =
= О левая часть полученного равенства равняется ΐχ(0), а правая часть
равна 6, поэтому это равенство влечет утверждение леммы. D
Доказательство теоремы С.4.1. Достаточно проверить, что
выполнены условия теоремы С.3.1. Первое условие доказываемой
теоремы совпадает с первым условием теоремы С.3.1.
Переходим ко второму условию. Для / Ε F имеем /' Ε Lr(0,T;Y).
Тогда, воспользовавшись представлением (С.4.4), получим:
t+h t
(rhf-f)(t) = f(t + h)-f(t) = /(0)+ j f(s)ds-f(0)-Jf(s)ds =
о о
t+h
= J f'(s)ds.
t
Тогда по лемме С.4.1 имеют место неравенства:
\\rhf - /||Мо,т-Л;У) < Tl~ihp ||/'||мо,Т;У), 1 ^ ρ < ос,
IIW - /Нмо,т-/1;У) ^ Ί1"-||/'||мо,т;у), ρ = оо.
Из второго условия теоремы С.4.1 следует, что правые части
последних неравенств стремятся к нулю при h —> О равномерно по / Ε F,
поэтому выполнено второе условие теоремы С.3.1. D
С.5. Теорема о «частичной» компактности
Используя ту же самую технику, которая была использована при
доказательстве последней теоремы, Симон [137] доказал следующий
интересный результат.

С.5. Теорема о «частичной» компактности
399
Теорема С.5.1. Пусть X С Ε С Υ — банаховы пространства,
причём вложение X С Ε вполне непрерывно, а вложение Ε С Υ
непрерывно. Пусть F С Lijoc(0,T;X) nLp(0,T;E), 1 < р ^ оо.
Предположим, что для любого f Ε F его обобщенная производная f в
пространстве V(0, Τ; Υ) принадлежит пространству Lijoc(0, Τ; Υ).
Пусть выполнены следующие условия:
1) множество F ограничено в Lp(0,T;E),
2) для любых t\,t2 € (О,Τ), t\ < t2l множество
{/l[ti,t2)> f eF) ограничено в Li(ti,t2;X),
а множество
{/Ί[*ι,ί2]> / е F) ограничено в Li(ti,t2;Y).
Тогда для любых q < ρ множество F относительно компактно в
Lg(0,T;E).

Литература
[1] Амфилохиев В. Б., Войткунский Я. И., Мазаева Н. П.,
Ходорковский Я. С. Течения полимерных растворов при наличии
конвективных ускорений // Труды Ленинградского ордена Ленина
кораблестроительного института — 1975. — т. 96. — С. 3-9.
[2] Амфилохиев В. Б., Павловский В. А. Экспериментальные
данные о ламинарно-турбулентном переходе при течении
полимерных растворов в трубах // Труды Ленинградского ордена Ленина
кораблестроительного института —1976. — т. 104. — С. 3-5.
[3] Астарита Дж., Маруччи Дж. Основы гидромеханики
неньютоновских жидкостей. — М.: Мир, 1978. — 309 с.
[4] Бабин А. В., Вишик М. И. Аттракторы эволюционных
уравнений.-М.: Наука, 1989.-296 с.
[5] Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М.: URSS, 2007.
[6] Берд Р. Байрон, Кертисс Ф. Чарлз Удивительные полимерные
жидкости // Физика за рубежом. 1986. Серия А (исследования) —
1986.-С. 29-51.
[7] Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической
устойчивости.-М.: Мир, 1971.-350 с.
[8] Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В.
Введение в теорию многозначгых отображений и
дифференциальных включений.—М.:Книжный дом<J1h6pokom»/URSS, 2011 .—224с.
[9] Виноградов Г. В., Малкин А. Я. Реология полимеров. — М.:
Химия, 1977.—438 с.
[10] Войткунский Я. И., Амфилохиев В. Б., Павловский В. А.
Уравнения движения жидкости с учетом ее релаксационных свойств
// Труды Ленинградского ордена Ленина кораблестроительного
института —1970. - т. 69. - С. 19-26.

Литература
401
[11] Ворович И. И., Юдович В. И. Стационарные течения вязкой
несжимаемой жидкости // Математический сборник—1961.—т.
53, ΛΜ.-С. 393-428.
[12] Воротников Д. Α., Звягин В. Г. О траекторных и глобальных
аттракторах для уравнений движения вязкоупругой среды //
Успехи математических наук — 2006. — №2. — С. 161-162.
[13] Гарновска В., Осколков А. П. О некоторых двумерных
вырождающихся квазилинейных уравнениях, возникающих в теории ненью-
тоновских жидкостей // Труды Ленинградского ордена Ленина
кораблестроительного института— 1974. —т. 91. — С. 81-87.
[14] Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные
уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М.:
Мир, 1978. - 336 с.
[15] Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные
уравнения с частными производными второго порядка. — М.:
Наука, 1989.-464 с.
[16] Гольдштейн Р. В., Городцов В. А. Механика сплошных сред. 4.1:
Основы и классические модели жидкостей. — М.: Наука. Физмат-
лит, 2000. - 256 с.
[17] Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая
теория. - М.: URSS, 2010.
[18] Дмитриенко В. Т., Звягин В. Г. Конструкции оператора
регуляризации в моделях движения вязкоупругих сред // Вестник ВГУ.
Серия: Физика. Математика — 2004. — № 2. —С. 148-153.
[19] Дмитриенко В. Т., Звягин В. Г. О сильных решениях начально-
краевой задачи для регуляризованной модели несжимаемой
вязкоупругой среды // Известия ВУЗов. Математика — 2004. —
№9.-С. 24-40.
[20] Дубинский Ю. А. Слабая сходимость в нелинейных
эллиптических и параболических уравнениях // Математический сборник —
1965.-т. 67, № 109.-С. 609-642.
[21] Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. — М.:
Наука, 1980. — 382 с.

402
Литература
[22] Звягин А. В. О корректной разрешимости нелинейных уравнений
// Spectral and evolution problems — 2010. — т. 20 —С. 136-139.
[23] Звягин А. В. О разрешимости стационарной модели движения
слабых водных растворов полимеров // Известия Вузов. Серия
Математика- 2011. - № 2. - С. 103-105.
[24] Звягин В. Г., Дмитриенко В. Т. Аппроксимационно-
топологический подход к исследованию задач гидродинамики.
Система Навье—Стокса. — М.: URSS, 2004.
[25] Звягин В. Г., Дмитриенко В. Т., Ратинер Н. М. Линейные фред-
гольмовы операторы и их свойства. — Воронеж: Издательско-
полиграфический центр Воронежского государственного
университета, 2007. - 81 с.
[26] Звягин В. Г., Кондратьев С. К. Аттракторы для уравнений
моделей движения вязкоупругих сред. — Воронеж: Издательско-
полиграфический центр Воронежского государственного
университета, 2010.-266 с.
[27] Звягин В. Г., Кузьмин М. Ю. Об одной задаче оптимального
управления в модели Фойгта движения вязкоупругой жидкости
// Современная математика. Фундаментальные направления —
2006.-т. 16-С. 38-46.
[28] Звягин В. Г., Турбин М. В. Исследование начально-краевых
задач для математических моделей движения жидкостей
Кельвина—Фойгта // Современная математика. Фундаментальные
направления - 2009. - Т.31. - С. 3-144.
[29] Звягин В. Г., Турбин М. В. О существовании и единственности
слабого решения начально-краевой задачи для модели движения
жидкости Фойгта в области с изменяющейся со временем
границей // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика — 2007. — № 2. —
С. 180-197.
[30] Иосида К. Функциональный анализ. — М.: URSS, 2010.
[31] Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.:
Наука, 1977.-744 с.
[32] Каразеева Η. Α., Котсиолис Α. Α., Осколков А. П. О
динамических системах, порождаемых начально-краевыми задачами для

Литература
403
уравнений движения линейных вязкоупругих жидкостей //
Труды МИАН СССР -1988. - т. 179. - С. 126-164.
[33] Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные
формы. - М.: URSS, 2004.
[34] Кириллов Α. Α., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи
функционального анализа. — М.: Наука, 1979. — 384 с.
[35] Кондратьев С. К. Об аттракторах модели движения
слабоконцентрированных водных растворов полимеров // Вестник ВГУ.
Серия: Физика. Математика — 2010. — № 1. —С. 117-138.
[36] Котсиолис Α. Α., Осколков А. П. О разрешимости
фундаментальной начально-краевой задачи для уравнений движения
жидкости Олдройда // Записки научных семинаров ЛОМИ —1986. —
т. 150.-С. 48-52.
[37] Красносельский Μ. Α., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И.,
Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах
суммируемых функций. — М.: Наука, 1966. — 499 с.
[38] Красносельский Μ. Α., Забрейко П. П. Геометрические методы
нелинейного анализа. — М.: Наука, 1975.— 512 с.
[39] Лаврентьев Μ. Α., Шабат Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
[40] Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой
несжимаемой жидкости. — М.: ГИФМЛ, 1961. — 204 с.
[41] Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой
несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1970. — 288 с.
[42] Ладыженская О. А. Начально-краевая задача для уравнений На-
вье—Стокса в областях с меняющейся со временем границей //
Записки научных семинаров ЛОМИ —1968. — т. 11. — С. 97-128.
[43] Ладыженская О. А. О погрешностях в двух моих публикациях по
уравнениям Навье—Стокса и их исправлениях // Записки
научных семинаров ПОМИ - 2000. - т. 271.-С. 151-155.
[44] Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых
задач. - М.: URSS, 2010.

404
Литература
[45] Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их
приложения. — М.: Мир, 1971. —371 с.
[46] Литвинов В. Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. — М.:
Наука, 1982. - 376 с.
[47] Люстерник Л. Α., Соболев В. И. Краткий курс функционального
анализа. — М.: Высшая школа, 1982. — 270 с.
[48] Олдройд Дж. Г. Неньютоновское течение жидкостей и твердых
тел // Реология: теория и приложения —1962.— С. 757-793.
[49] Осколков А. П. К теории нестационарных течений
жидкостей Кельвина—Фойгта // Записки научных семинаров ЛОМИ —
1982.-т. 115.-С. 191-202.
[50] Осколков А. П. Начально-краевые задачи для уравнений
движений жидкостей Кельвина—Фойгта и жидкостей Олдройта //
Труды МИАН СССР-1987.-т. 179.-С. 126-164.
[51] Осколков А. П. Начально-краевые задачи с краевым
условием проскальзывания для модифицированных уравнений Навье—
Стокса // Записки научных семинаров ЛОМИ —1994. — т. 213. —
С. 93-115.
[52] Осколков А. П. О единственности и разрешимости в целом
краевых задач для уравнений движения водных растворов полимеров
// Записки научных семинаров ЛОМИ —1973.— т. 38.— С. 98-
136.
[53] Осколков А. П. О некоторых квазилинейных системах,
встречающихся при изучении движения вязких жидкостей // Записки
научных семинаров ЛОМИ —1975. —т. 52. — С. 128-157.
[54] Осколков А. П. О некоторых модельных нестационарных
системах в теории неньютоновских жидкостей // Труды МИАН
СССР-1975.-т. 127.-С. 32-57.
[55] Осколков А. П. О некоторых модельных нестационарных
системах в теории неньютоновских жидкостей. II // Записки научных
семинаров ЛОМИ - 1979. - т. 84. - С. 185-210.
[56] Осколков А. П. О некоторых модельных нестационарных
системах в теории неньютоновских жидкостей. III // Записки научных
семинаров ЛОМИ -1980. - 96. - С. 205-232.

Литература
405
[57] Осколков А. П. О некоторых модельных нестационарных
системах в теории неньютоновских жидкостей. IV // Записки научных
семинаров ЛОМИ -1981. - т. ПО. - С. 141-162.
[58] Осколков А. П. О некоторых нестационарных линейных и
квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения
вязких жидкостей // Записки научных семинаров ЛОМИ —1976. —
т. 59.-С. 133-177.
[59] Осколков А. П. О нестационарных течениях вязко-упругих
жидкостей // Труды МИАН СССР -1982. - т. 159.-С. 103-131.
[60] Осколков А. П. О разрешимости в целом первой краевой задачи
для одной квазилинейной системы третьего порядка,
встречающейся при изучении движения вязкой жидкости // Записки
научных семинаров ЛОМИ —1972. — т. 27. — С. 145-160.
[61] Осколков А. П. Периодические по времени решения гладких
сходящихся диссипативных ε-аппроксимаций для
модифицированных уравнений Навье—Стокса // Записки научных семинаров
ПОМИ-1994.-Т. 213.-С. 116-130.
[62] Павловский В. А. К вопросу о теоретическом описании
слабых водных растворов полимеров // ДАН СССР — 1971. — т. 200,
№ 4. - С. 809-812.
[63] Перов А. И. Об интегральных неравенствах // Труды семинара
по функциональному анализу — 1957. — вып. 5 — С. 87-97.
[64] Рейнер М. Реология. — М.: Физматгиз, 1965.— 224 с.
[65] Рейнер М. Десять лекций по теоретической реологии. — М.: Госте-
хиздат, 1947. —134 с.
[66] Рейнер М. Деформация и течение. — М.: Гостоптехиздат, 1963.—
381 с.
[67] Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и
технике. — М.: Мир, 1985. — 590 с.
[68] Соболевский П. Е. Об уравнениях параболического типа в
банаховом пространстве // Труды Московского Математического
Общества-1961.-т. 10.-С. 297-350.

406
Литература
[69] Солонников В. А. Априорные оценки для уравнений второго
порядка параболического типа // Труды мат. инст. Стеклова —
1964.-т. 70.-С. 133-212.
[70] Солонников В. А. Оценки тензоров Грина для некоторых
граничных задач // Доклады АН СССР -1960. - т. 130. - № 5. - С. 988-
991.
[71] Темам Р. Уравнения Навье—Стокса. Теория и численный
анализ.-М.: Мир, 1981.-408 с.
[72] Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики
сплошных сред. — М.: Мир, 1975. —592 с.
[73] Турбин М. В. Исследование математической модели движения
жидкости Фойгта // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика —
2003. -№ 1.-С. 169-181.
[74] Турбин М. В. Исследование обобщенной математической модели
движения жидкости Кельвина—Фойгта // Вестник ВГУ. Серия:
Физика. Математика —2004. —№ 1. —С. 163-179.
[75] Турбин М. В. О корректной постановке начально-краевых задач
для обобщенной модели Кельвина—Фойгта // Известия Вузов.
Серия Математика — 2006. — № 3. — С. 50-58.
[76] Уилкинсон У. Л. Неньютоновские жидкости. — М.: Мир, 1964.—
216 с.
[77] Филатов А.Н., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория
нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1976. — 152 с.
[78] Фрейденталь Α., Гейрингер X. Математические теории неупругой
сплошной среды. — М.: Физматгиз, 1962.—432 с.
[79] Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределёнными
системами. Теория и приложения. — Новосибирск: Научная книга,
1999. - 352 с.
[80] Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М: МЦ-
НМО, 2004.-552 с.
[81] Amedodji К., Bayada G., Chambat Μ. On the unsteady Navier-Stokes
equations in a time-moving domain with velocity-pressure boundary
conditions // Nonlinear Analysis — 2002. — V. 49. —pp. 565-587.

Литература 407
Aubin J. P. Un theoreme de compacite // C.R. Acad. Sci. —1963. —
V. 256.-pp. 5042-5044.
Bernard J. M. Fluides de Second et Troisieme Grade en Dimension
trois: Solution Globale et Regularite. These de l'Universite Pierre et
Marie Curie, Paris VI. -1998.
Bernard J. M. Stationary problem of second-grade fluids in three
dimensions: existence, uniqueness and regularity // Math. Meth.
Appl. Sci. - 1999. - V. 22. - pp. 655-687.
Borsuk K. Drei Satze iiber die rc-dimensionale eunlidische Sphar //
Fund. Math. - 1993. - V. 20. - pp. 177-190.
Bresch D., Lemoine J. Stationary solutions for second-grade
fluids equations // Mathematical Models and Methods in Applied
Sciences-1998.-V. 8, №5.-pp. 737-748.
Busuioc V, Iftimie D. A Non-Newtonian Fluid with Navier Boundary
Conditions // Journal of Dynamics and Differential Equations —
2006.-V. 18, № 2.-pp. 357-379.
Busuioc V. On second grade fluids with vanishing viscosity //
Portugaliae Mathematica —2002. —V. 59, № 1. —pp. 47-65.
Busuioc V., Ratiu T.S. The second grade fluid and averaged Euler
equations with Navier-slip boundary conditions // Nonlinearity—
2003.-V. 16, №3.-pp. 1119-1149.
Chepyzhov V. V., Vishik M. I. Attractors for equations of
mathematical physics. — Providence, RI: AMS Colloquium
Publications, 2002. — 363 p.
Cioranescu D, Girault V. Weak and classical solutions of a family
of second grade fluids // International Journal of Non-Linear
Mechanics -1997. - V. 32. - pp. 317-335.
Cioranescu D., Ouazar E.H. Existence et unicite pour les fluides de
second grade // Note CRAS. Serie I. -1984. - V. 298. - pp. 285-287.
Cioranescu D., Ouazar E.H. Existence and uniqueness for fluids of
second grade // Nonlinear Partial Differential Equations. College de
France Seminar, Pitman-1984.-V. 109.-pp. 178-197.

408
Литература
[94] Coleman В. D., Markovitz H. Normal stress effects in second-order
fluids // J. Appl. Physics.-1964.-V. 35.-pp. 1-9.
[95] Coleman B. D., Duffin R. J., Mizel V. Instability, uniqueness, and
non-existence theorems for the equation щ = uxx — uxtx on a strip //
Arch. Rational Mech. Anal.-1965.-V. 19.-pp. 100-116.
[96] Coleman B. D., Mizel V. Breakdown of laminar sheafing flows for
second-order fluids in channels of critical width // ZAMM — 1966. —
V. 46.-pp. 445-448.
[97] Constantin P., Foias C. Navier-Stokes equations. — University of
Chicago Press, Chicago, 1988. - 200p.
[98] Dmitrienko V. Т., Zvyagin V. G. The topological degree method
for equations of the Navier-Stokes type // Abstract and Applied
Analysis -1997. - V. 1,№ 2. - pp. 1-45.
[99] Dunn J. E., Fosdick R. L. Thermodynamics, stability, and
boundedness of fluids of complexity 2 and fluids of second grade //
Arch. Rational. Mech. Anal. -1974. - V. 56,-pp. 191-252.
[100] Dunn J. E., Rajagopal K. R. Fluids of differential type: critical review
and thermodynamic analysis // Int. J. Engng. Sci. —1995. — V. 33,
№5.-pp. 689-729.
[101] Foias C, Manley O., Rosa R., Temam R. Navier-Stokes equations
and turbulence. — Cambridge University Press, Cambridge, 2004.—
347 p.
[102] Fosdick R. L., Rajagopal K. R. Anamalous features in the model
of "second order fluids" // Arch. Rational. Mech. Anal. — 1979. — V.
70,-pp. 145-152.
[103] Fujita H., Sauer N. Construction of weak solutions of the Navier-
Stokes equation in a noncylindrical domain // Bull. Amer. Math.
Soc. -1969. - V. 75. - pp. 465-468.
[104] Fujita H., Sauer N. On existence of weak solutions of the Navier-
Stokes equations in region-moving boundaries // J. Fac. Sci. Univ.
Tokyo, Sect.IA Math. -1970. - V. 17. - pp. 403-420.
[105] Galdi G. P., Coscia V. Existence, uniqueness and stability of regular
steady motions of a second grade fluid // International Journal of
Nonlinear Mechanics—1994. — V. 29. —pp. 493-506.

Литература
409
[106] Galdi G. P., Grobbelaar-Van Dalsen M., Sauer N. Existence and
uniqueness of classical solutions of the equations of motion for second-
grade fluids // Archive for Rational Mechanics and Analysis — 1993. —
V. 124.-pp. 221-237.
[107] Galdi G. P., Sequeira A. Further existence results for classical
solutions of the equations of a second-grade fluid // Archive for
Rational Mechanics and Analysis —1994. — V. 128. — pp. 297-312.
[108] Galdi G. P. Stability and wave propagation in fluids and solids //
International Centre for Mechanical Sciences, Courses and Lectures,
University of Ferrara, Springer-Verlag: Wien-New York —1995. — V.
344.-pp. 67-104.
[109] Girault V., Scott L. R. Analysis of a two-dimensional grade-two
fluid model with a tangential boundary condition // J. Math. Pures
Appl.-1999.-V. 78.-pp. 981-1011.
[110] Gori C, Obukhovskii V., Rubbioni R., Zvyagin V. Optimization of
the motion of a visco-elastic fluid via multivalued topological degree
method // Dynamic Systems and Applications — 2007. — V. 16. —
pp. 89-104.
[Ill] Guillope C, Saut J. С Existence results for the flow of viscoelastic
fluids with a differential constitutive law // Nonlinear Analysis —
1990.-V. 15.-pp. 849-869.
[112] Hoppe R. H. W., Kuzmin M. Y., Litvinov W. G., Zvyagin V. G. Flow
of electrorheological fluid under conditions of slip on the boundary //
Abstract and Applied Analysis — 2006. — V. 2006. — pp. 1-14.
[113] Huilgol R. R. Continuum Mechanics of Viscoelastic Liquids.—
Hindustan Publishing Co.: Delhi, 1975. —367p.
[114] Kalantarov V. K., Levant В., Titi E. S. Gevrey Regularity for the
Attractor of the 3D Navier-Stokes-Voight Equations // Journal of
Nonlinear Science - 2009. - V. 19. - pp. 133-152.
[115] Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued
Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach spaces. — De
Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, 7. Walter de
Gruyter, Berlin - New York, 2001. - 231 p.

410
Литература
[116] Langlois W. E. Steady flow of a slightly viscoelastic fluid between
rotating spheres // Quart. Appl. Math. —1963. — V. 21. — pp. 61-71.
[117] Leray J. Etude de diverses equations integrales nonlineaires et de
quelques problemes que pose Thydrodynamique // J. Math. Pures.
Appl.-1933.-V. 12.-pp. 1-82.
[118] Leray J., Schauder J. Topologie et equations fonctionneles // Ann.
Sci. Ecole Norm. Sup. Ser.3- 1934.- V. 51.-pp. 45-78.
[119] Lions J.-L. Optimal Control of Systems Governed by Partial
Differential Equations. — Die Grundlehren der mathematischen
Wissenschaften, 170. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1971.—
396 p.
[120] Litvinov W. G. Optimization in Elliptic Problems with Applications
to Mechanics of Deformable Bodies and Fluid Mechanics. — Operator
Theory: Advances and Applications, 119. Birkhauser Verlag, Basel,
2000. - 522 p.
[121] Lloyd N. G. Degree theory. — Cambridge: Cambridge University
Press, 1978. -171 p.
[122] Markovitz H., Coleman B. D. Nonsteady helical flows of second-order
fluids // Physics of Fluids-1964. -V. 7. -pp. 833-841.
[123] Necasova S., Penel P. Incompressible non-Newtonian fluids: Time
asymptotic behaviour of weak solutions // Math. Meth. Appl. Sci. —
2006.-V. 29.-PP.1615-1630
[124] Noll W., Truesdell C. The nonlinear field theory of mechanics. —
"Handbuch fur Physics", Vol.III. Springer, Berlin, 1965. - 602 p.
[125] Nunziato J. W. On stress power and boundedness of flows of
incompressible second-order fluids // Acta Mechanica—1978. — V.
30.-pp. 227-235.
[126] Obukhovskii V., Zecca P., Zvyagin V. Optimal feedback control in
the problem of the motion of a viscoelastic fluid // Topol. Methods
in Nonlinear Anal. — 2004. — V. 23, № 2. — pp. 323-337.
[127] Oldroyd J. G. On the formation of rheological equations of state//
Proc. R. Soc. Lond. -1950. - V. 200. - pp. 523-541.

Литература
411
[128] Orlov V. P., Sobolevskii P. E. On mathematical models of
viscoelasticity with memory // Differential ала Integral Equations —
1991.-V. 4, №l.-pp. 103-115.
[129] Ouazar E. H. Sur les fluides de second grade. These Зёте Cycle,
Universite: Pierre et Marie Curie. — 1981.
[130] Peetre J. Another approach to elliptic boundary problems // Comm.
Pure Appl. Math.-1961.-V. 14.-pp. 711-731.
[131] Rajagopal K. R. Thermodynamics and stability of non-Newtonian
fluids, PhD thesis, University of Minnesota. —1978.
[132] Rivlin R. S., Ericksen J. L. Stress-deformation relations for isotropic
materials // Journal of Rational Mechanics and Analysis —1955. —
V. 4.-pp. 323-425.
[133] le Roux C. Existence and Uniqueness of the Flow of Second-Grade
Fluids with Slip Boundary Conditions // Arch. Rational Mech.
Anal. - 1999. - V. 148. - pp. 309-356.
[134] Salvi R. On the existence of weak solutions of a nonlinear mixed
problem for the Navier-Stokes equations in time-dependent domain //
J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect.IA Math.-1985.-V. 32.-pp. 213-
221.
[135] Salvi R. On the existence of periodic weak solutions of Navier-Stokes
equations in regions with periodically moving boundaries // Acta
Applicandae Mathematicae —1994. — V. 37. —pp. 169-179.
[136] Salvi R. On the Navier-Stokes equations in non-cylindrical domains:
on the existence and regularity // Mathematische Zeitschrift —
1988.-V. 199.-pp. 153-170.
[137] Simon J. Compact sets in the space 1^(0, T;B) // Ann. Mat. Рига
Appl. -1987. - V. 146. - pp. 65-96.
[138] Tani Α., le Roux C. Steady-state solutions to the equations of
motion of second-grade fluids with general Navier-type slip boundary
conditions in Holder spaces // Записки научных семинаров ПО-
МИ-2003.-Т. 306.-с. 210-228.
[139] Ting T.-W. Certain non-steady flows of second order fluids // Arch.
Rational Mech. Anal. -1963. - V. 14. - pp. 1-26.

412
Литература
[140] Truesdell С. Fluids of second grade regarded as fluids of convected
elasticity // Physics of Fluids — 1965. - V. 8. - pp. 1936-1938.
[141] Turbin M. V. Research of a mathematical model of low-concentrated
aqueous polymer solutions // Abstract and Applied Analysis —
2006.-V. 2006.-pp. 1-27.
[142] Videmann J. H. Mathematical analysis of visco-elastic non-
newtonian fluids. Thesis. University of Lisbon. — 1997.
[143] Zvyagin V. G., Orlov V. P. On weak solutions of the equations of
motion of a viscoelastic medium with variable boundary // Boundary
Value Problems - 2005. - V. 3. - pp. 215-245.
[144] Vorotnikov D. Α., Zvyagin V. G. Trajectory and global attractors
of the boundary value problem for autonomous motion equations
of viscoelastic medium // J. Math. Fluid Mech. — 2008. — Vol. 10.—
pp. 19-44.
[145] Vorotnikov D. Α., Zvyagin V. G. Uniform attractors for non-
automous motion equations of viscoelastic medium //J. Math. Anal.
Appl. - 2007. - Vol. 325. - pp. 438-458.
[146] Vorotnikov D. Α., Zvyagin V. G. On the existence of weak solutions
for the initial-boundary value problem in the Jeffreys model of motion
of a viscoelastic medium // Abstract and Applied Analysis — 2004. —
V. 2004.-pp. 815-829.
[147] Zvyagin V. G., Vorotnikov D. A. Approximating-topological
methods in some problems of hydrodinamics // Journal of Fixed Point
Theory and Applications - 2008. - V. 3, № l.-pp. 23-49.
[148] Zvyagin V., Vorotnikov D. Topological approximation methods
for evolutionary problems of nonlinear hydrodinamics. — De Gruyter
Series In Nonlinear Analysis and Applications, 12. Walter de Gruyter,
Berlin - New York, 2008. - 248 p.

UHSS.ru UHSStu UHSStu URSStu
Представляем Вам следующие книги:
Оптика
^ Раутиан С. Г. Введение в физическую оптику.
s Майкельсон А. А. Исследование по оптике.
s Саржевский А. М. Оптика. Полный курс. иноо
s Майзель С О. Трансформация лучистой энергии в сетчатке человеческого глаза.
s Майзель С. О. Основы учения о цветах.
s Шепелев А. В. Оптика. Готовимся к экзаменам, зачетам, коллоквиумам.
• Федоров Ф. И. Оптика анизотропных сред.
s Панов Е. А. Познание цвета: Равнозначность цвета в цифровых системах.
s Шутов А. М. Методы оптической астрополяриметрии.
sCmpamm (Рэлей) Дж. В. Волновая теория света.
s Гончаренко А. М., Карпенко В. А. Основы теории оптических волноводов.
s Русинов Μ. М. и др. Вычислительная оптика: Справочник.
s Русинов Μ. М. Композиция оптических систем.
s Русинов Μ. М. Техническая оптика.
s Русинов М. М. Несферические поверхности в оптике: Расчет, изготовление и контроль.
s Тарасов Л. В. Физика лазера.
• Тарасов Л. В. Четырнадцать лекций о лазерах.
• Тарасов Л. В. Физические основы квантовой электроники: Оптический диапазон.
Электродинамика
т/Эйхенвальд А. А. Теоретическая физика: Электромагнитное поле.
s Силин В. Я, Рухадзе А. А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред.
s Сачков И. Я Электромагнетизм: Эффекты, история, парадигма.
у Никольский В. В., Никольская Τ И. Электродинамика и распространение радиоволн.
^Дорфман Я. Г. Магнитные свойства и строение вещества.
s Френкель Я. И. Теория явлений атмосферного электричества.
s Квасников И. А. Введение в теорию электропроводности и сверхпроводимости.
s Зайцев Р. О. Диаграммные методы в теории сверхпроводимости и ферромагнетизма.
s Рвухин Л. Н. Радиационно-стимулированные изменения диэлектрической дисперсии.
^Самойлович А. Г. Термоэлектрические и термомагнитные методы превращения энергии.
s Поклонский Н.А., Вырко С Α., Поденок С Л. Статистическая физика полупроводников.
^Бочкарев Н. Г. Магнитные поля в космосе.
• Яковлев О. Я., Якубов В. Я., Урядов В. Я, Павельев А. Г. Распространение радиоволн.
sЯковлев О. Я., Павельев А. Г., Матюгов С. С Спутниковый мониторинг Земли:
Радиозатменный мониторинг атмосферы и ионосферы.
Учебники и задачники по физике
s Иванов Б. Я. Законы физики.
s Черняев А. И Лекции по физике: Курс физики для медиков.
s Кириллов В. М. и др. Решение задач по физике.
^Жукарев А. С. и др. Задачи повышенной сложности в курсе общей физики.
s Колоколов И. В. и др. Задачи по математическим методам физики.
• Вердеревская Н. Я, Егорова С. П. Сборник задач и вопросов по физике.
и
а
■>·%
Я
%
щ,,,
■^1
и
и
V
«
Η
URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.

URSS.ru URSS.ru URSS.ru
Представляем Вам следующие книги:
Серия «Синергетика: от прошлого к будущему»
у Чернавский Д. С. Синергетика и информация.
s Малинецкий Г. Г. Математические основы синергетики.
s Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нелинейная динамика и хаос: URSS
основные понятия.
s Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б., Подлазов А. В. Нелинейная динамика.
s Малинецкий Г. Г. (ред.) Нелинейность в современном естествознании.
s Малинецкий Г. Г. (ред.) Будущее и настоящее России в зеркале синергетики.
s Малинецкий Г. Г. (ред.) Синергетика: Исследования и технологии.
/Суздалев И. П. Нанотехнология: физико-химия нанокластеров, наноструктур
и наноматериалов.
^ Климонтович Ю. Л. Турбулентное движение и структура хаоса.
^Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны.
^Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания.
s Данилов Ю. А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение.
5Я ^ Трубецков Д. И. Введение в синергетику. В 2 кн.: Колебания и волны;
Хаос и структуры.
^Безручко Б. П. и др. Путь в синергетику. Экскурс в десяти лекциях.
^Олемской А. И. Синергетика сложных систем: Феноменология и статистическая теория.
^Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой.
^Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах.
^ Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел.
^ Князева Е. Н., Курдюмов С. П. Основания синергетики: Синергетическое мировидение.
s Князева Ε. Η., Курдюмов С. П. Основания синергетики: Человек, конструирующий себя
и свое будущее.
• Князева Ε. Η., Курдюмов С. П. Синергетика: Нелинейность времени
и ландшафты коэволюции.
s Арнольд В. И. Теория катастроф.
sАлексеев Ю. К, Сухорукое А. П. Введение в теорию катастроф.
s Быков В. И. Моделирование критических явлений в химической кинетике.
у Быков В. И., Цыбенова С. Б. Нелинейные модели химической кинетики.
sA6au\ioe С. Г. Статистическая физика сложных систем.
ν Кляцкин В. И. Очерки по динамике стохастических систем.
^ Редько В. Г. Эволюция, нейронные сети, интеллект.
s Тюкин И. Ю., Терехов В. А. Адаптация в нелинейных динамических системах.
• Турчин П. В. Историческая динамика: На пути к теоретической истории.
sГуц А. К, Фролова Ю. В. Математические методы в социологии.
s Васильков Г. В. Эволюционная теория жизненного цикла механических систем.
s Долгоносое Б. М. Нелинейная динамика экологических и гидрологических процессов.
s Чумаченко Е. //. и др. Сверхлластичность: материалы, теория, технологии.
ν Баранцев Р. Г. Синергетика в современном естествознании.
sАндрианов И. В.< Баранцев Р. Г., Маневич Л. И. Асимптотическая математика
и синергетика: Путь к целостной простоте.
• Белотелое Н. В.. Бродский Ю. И., Павловский Ю. Н. Сложность. Математическое
моделирование. Гуманитарный анализ.
• Орлов Ю. //., Осминин К. П. Методы статистического анализа литературных текстов.
URSS.ru •<"^UHi8S:ru'7^^URSS:ira^:^*s!IIHSS.ru,

URSS.ru
URSS.
I^v
ru
ru
Представляем Вам следующие книги:
Серия «НАУКУ — ВСЕМ! Шедевры научно-популярной литературы»
• Перельман Μ. Ε. А почему это так? Физика вокруг нас.
• Перельман Μ. Ε. А почему это так? Физика в гостях у других наук.
ν Фрова А. Почему происходит то, что происходит: Окружающий мир
глазами ученого.
• Уле О. Почему и потому: Учебник физики в вопросах и ответах.
ν Гартман 3. Занимательная физика, или Физика во время прогулки.
sJIame В. П. Физические парадоксы, софизмы и занимательные задачи. В 2 кн.
^Ланге В. Н. Физические опыты и наблюдения в домашней обстановке.
• Чирков Ю. Г. Фотосинтез: Два века спустя.
• Закгейм А. Ю. Системность — симметрия — эволюция в физике, химии, биологии.
ν Точидловский И. Я. Что можно в школе сделать и показать по физике.
URSS
• Горобец Б. С. Золотое Ю. Α., Федин С. Н. Ученые шутят.
^Федин С. И. Математики тоже шутят.
• Золотое Ю.А. Химики еще шутят.
• Горобец Б. С. Круг Ландау: Жизнь гения.
• Горобец Б. С. Круг Ландау: Физика войны и мира.
• Горобец Б. С. Круг Ландау и Лифшица.
• Шноль С. Э. Герои, злодеи, конформисты отечественной науки.
^Дорфман Я. Г Всемирная история физики: С начала XIX до середины XX вв.
^Дорфман Я. Г. Всемирная история физики: С древнейших времен до конца XVIII века.
ν Меладзе Ген. Легкомысленные записки ученого с большой дороги: Научный блеф-клуб.
• Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии.
sПопова А. П. Занимательная астрономия.
• Попова А. П. Астрономия в образах и цифрах.
• Иванов Б. Н. Мир физической гидродинамики.
^Алюшин А.Л., Князева Е. //. Темпомиры: Скорость восприятия и шкалы времени.
• Хайтун С. Д. Феномен человека на фоне универсальной эволюции.
• Хайтун С. Д. От эргодической гипотезы к фрактальной картине мира.
Тел./факс:
+7(499)724-25-45
(ииопманальный)
E-mail:
URSS9URSS.ru
http://URSS.ru
Наши книги можно приобрести в магазинах:
«НАУКУ - ВСЕМ!» (и. Профсоюзная, Нахимовским пр-т, 56. Тел. (499) 724-2545)
«Библио-Глобус» (и. Лубянка, ул. Мясницкая, 6. Тел. (495) 625-2457)
«Московский дом книги» (и. Арбатская, ул. Новый Арбат, 8. Тел. (495) 203-8242)
«Молодая гвардия» (и. Полянка, ул. Б. Полянка, 28. Тел. (495) 238-5001,
(495) 780-3370)
«Дои научно-технической книги» (Ленинский пр-т, 40. Тел. (495) 137-6019)
«Дои книги на Ладожской» (и. Бауманская, ул. Ладожская, 8, стр.1.
Тел. (495) 267-0302)
«Санкт-Петербургский Дом книги» (Невский пр., 28. Тел. (812) 448-2355)
«Книжный бум» (г. Киев, книжный рынок «Петровка», ряд 62, места 8
(павильон «Академкнига»). Тел. +38 (067) 273-5010)
Сеть магазинов «Дом книги» (г.Екатеринбург, ул.Антона Валена, 12.
Тел. (343) 253-5010)
URSS.ni
ru
URSS.ru
ru

URSS.ru
URSS.ru
URSS
Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!
Наше издательство специализируется на выпуске научной и
учебной литературы, в том числе монографий, журналов, трудов ученых
Российской академии наук, научно-исследовательских институтов
и учебных заведений. Мы предлагаем авторам свои услуги на
выгодных экономических условиях. При этом мы берем на себя всю
работу по подготовке издания — от набора, редактирования и верстки
до тиражирования и распространения.
Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие:
s Грин Б. Скрытая реальность: Параллельные миры и глубинные законы Космоса.
s Грин Б. Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски
окончательной теории.
у Грин Б. Ткань космоса: Пространство, время и текстура реальности.
у Рэндалл Л. Закрученные пассажи: Проникая в тайны скрытых
размерностей пространства.
^ Покровский В. В. Космос, Вселенная, теория всего почти без формул,
или Как дошли до теории суперструн.
у Перельман М. L·. Наблюдения и озарения, или Как физики
выявляют законы природы. В 2 кн.
у Цвибах Б. Начальный курс теории струн.
s Вайнберг С. Мечты об окончательной теории: Физика в поисках самых
фундаментальных законов природы.
s Пенроуз Р. Новый ум короля. О компьютерах, мышлении и законах физики.
s Воронов В. К., Подоплелов А. В. Физика на переломе тысячелетий: Физика
самоорганизующихся и упорядоченных систем. Новые объекты атомной и ядерной
физики. Квантовая информация. Новейшие открытия в физике органического мира.
-/Воронов В. К., Подоплелов А. В. Физика на переломе тысячелетий:
Конденсированное состояние.
sВоронов В. К., Подоплелов А. В., Сагдеев Р. 3. Физические основы нанотехнологий.
s Майнцер К. Сложносистемное мышление: Материя, разум, человечество.
Новый синтез.
sXeaH M. П. Неистовая Вселенная: от Большого взрыва до ускоренного расширения,
от кварков до суперструн.
s Архангельская И. Д., Чернин А. Д., Розенталь И.Л. Космология и физический вакуум.
-/Раков Д.Л., Печейкина Ю.А. Парадоксальный мир невозможных фигур
и оптических иллюзий.
-/Ушаков И. А. История науки сквозь призму озарений. Кн. 1-8.
s Попков В. И. Физика и ее парадигмы в датах и цитатах.
-/Конобеев Ю. В. и др. (ред.) Физики продолжают шутить.
-/Горобец Б. С. Советские физики шутят... Хотя бывало не до шуток.
09
09
По всем вопросам Вы можете обратиться к нам:
тел. +7 (499) 724-25-45 (многоканальный)
или электронной почтой URSS@URSS.ru
Полный каталог изданий представлен
в интернет-магазине: http://URSS.ru
Научная и учебная
литература
URSS.ru
URSS.ru
ru

117335 Москва,
Нахимовский пр-т, 56
URSS
НАШИ НОВ
КОО ИН
ТЕЛЕФОН/ФАКС (многоканальный)
+ (499)7 4- 5- 5
ул ам Ульянову
Акаде чес
κ-
ω
s
о
α
ω
CD
Μ
с
s
f
α>
с;
л°моносовский
пр-т
ова»
Огтано
Ул.Кр^ан0ВСК0Г°
Остан вк
4 Ремушкин
ры
о
с;
s
со
СО
со
Нахимовскийлр.т"
Ост
•абушкина»
С
Μ
Остан в
Ул В
ул. Кржижановского
со
со
о
е;
s
00
со
со
56
URSS
э
в :Я
Иваьа
На^МОВС1СИЙ
пр-т
От м. Профсоюзна
8 мин пешком
или одна остановка
наземным транспор
автобусы № 67, 67к,
троллейбус № 49
до остановки
«Ул Ивана Бабушку
Отм^Универ τ
трамваи № 14, 39
до остановки
«Черемушкинский ρ
трамваи № 22 26
до остановки
«Ул Вавилова»,
автобусы № 67, 67г,
троллейбус № 49
до остановки
«Ул Ивана Бабушки

Доктор физико-математических наук, проф ссо
ведующи ка едрой алг ι и тепелогиче
етодов анализа м атического факультета Во
неж го государственного университета директо
НИИ математики Воронежского государственного ун
в рситета Соровский профессор
Кандидат физико-математических наук доцент
кафедры алгебры и топологических методов анализа
математического факультета Воронежского
государственного университета научный сотрудник НИИ
математики Воронеже ого государственного
университета.
1
в
ei стм
МИР ФИЗИЧЕСКОЙ
ГИДРОДИНАМИКИ ушичивости
От пробле
т рбуп
М
МЕХАНИКИ
СПЛОШНЫХ
СРЕД
ВЫ СЛИТЕЛЬНАЯ
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
ТЕО ИЯ
ЗАДАЧИ
МЕХАНИКИ
СПЛОШНЫХ
СРЕД
К ИССЛЕДОВАНИЮ
ПРОЦЕССОВ


МАССООБМЕНА
рои ы η н
РАЗНОСТНЬ Ε
МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ГАЗОВОЙ
ДИНАМИКИ
9H785396II004580
Отзывы о настоящем изда ш
а также обнаруженные опечатки при ылайте
SS(UIP
В ши заг ечания и предложения будут уч ены
и о ражены на web с^эа ице этой книги
в нашем интернет-магазине Mtp7/U°SS ш
в*