/
Text
·
М. !. ИВАНОВ, В. С. ПАВЛЕНКО
ТЕОРИЯ
МЕХАНИЗМОВ
И МАШИН
~ЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ПО СТРУКТУРЕ, КИНЕМАТИКЕ
И КИНЕТОСТАТИКЕ
ПЛОСКИХ РЫЧАЖНЫХ
МЕХАНИЗМОВ
«ВНЩА Шl(OJIЛ.
М. ~-
ИВАНОВ, В. С. ПАВЛЕНКО
ТЕОРИЯ
МЕХАНИЗМОВ
И МАШИН
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
• ПО СТРУКТУРЕ, КИНЕМАТИКЕ
И КИНЕТОСТАТ.I1КЕ
ПЛОСКИХ РЫЧАЖНЫХ
МЕХАНИЗМОВ
Киев
Головное издательство
издательского объединения
«Вища школа»
1977
/
6П5.l
И20
IУДК 621.01 .(075)
Т еория ме х анизмов п машин. Решение задач по
структуре, кинематике и кинетостатике плоских рычаж
ных механизмов. Иванов М. Е., Павленко В. С. .
Киев, издательское объединение «Вища школа», 1977, 48 с .
В пособии дана методика решения задач по структуре,
кинематике и кинетостатике плоских рычажных механиз
мов и подробно рассмотрен ~омплексный числовой при
мер по решению таких задач. Методическое пособие
позволит студентам в значительной степени сокра тить
затраты времени, а т.акже избежать характерных ошибо к
при самостоятельном выполнении заданий по теории м е
ханизмов и машин.
Пособие предназначено для студентов немашинострои
тельных специальностей вщ·ших учебных заведений.
Табл. 4. Ил. 17 . Список лит.: 4 назв .
Рецензенты: канд. техн . наук В. И. Бобров, К . Н . Не
rребецкий
Редакция литературы по машиностроению и приборо
строению
Зав. ред. О. А . Добровольский
И ,31301-342 БЗ-l-!3-7?
M21J {04)-77
@ Издательское объединение «Вища школа», 1977
Гл а в а I. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ
ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
§ 1. .ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Система тел, предназначенная для преобразовiния
движения одного или нескольких тел в требуемые движе
ния других тел, называется механизмом.
Тела, из которых состоит всякий механизм, называются
звеньями. Звенья механизма совершают различные, но
взаимосвязанные движения . Это обусловливается тем, что
они соединены друг с другом определенным образом.
С9единение двух соприкасающихся звеньев, допускаю
щее их относительное движение, . называется кинемат иче
ской парой. Поверхности, ЛIJНИИ, точки звена, по которым
оно может соприкасаться с другим звеном, образуя кине
матическую пару, называются элементами звена.
В зависимости от видов элементов звеньев в кинематиче
ской паре одно звено может совершать относительно другого
определенное количество тех или иных движений. Кине
матические пары ограничивают подвижность звеньев, на
кладывают условия связи на относительные движения
звеньев . По числу таких налагаемых условий связи они
делятся на пять классов.
Кинематическая пара, выполненная соприкас а нием
элементов ее звеньев только по поверхности, называется
низшей. Пара, выполненная соприкасанием элементов ее
звеньев только по линиям или в точках, называется высшей.
Связанная система зве_ньев, образующих между -сqбой
кинематические пары, называется кинематической цепью.
_
В технике применяются обычно кинематические цепи, у ко
торых одно из звеньев принимается за неподвижное, т. е.
является стойкой. Рассматривая механизм как частный
случай такой кинематической цепи, можно дать следую
щее определение меха_низма: механизм - это такая кине
матическая цепь, в _которой при заданном движении од
ного _ или нескольких звеньев относительно любого из них
l*
3
все остальные звенья совершают однозначно определяе
мые движения [1].
Звенья, движения которых задаются, называются вход
ными. Чаще входные звенья являются и ведущими [1].
Для _ проведения структурного анализа механизма со
ставляется его схема. Схемой механизма называется его
графическое изображение при помощи условного обозна
чения звеньев и кинематических пар без указания мас-
штаба.
•
А
r,const
·~-
а
в
Рис. 1. Схемы механизмов:
~';const
r'
б
\
1
I
/
а - кривошипно - коромыслового; б
-
кривошипно-ползунного;
в -кривоши.рно-кулисного. '
Чтобь; выполнить кинематическое и силовое исследо
вание механ·изма, необходимо составить его кинематиче
скую схему. Кинематической схемой механизма называ
ется его графическое изображение при помощи условного
qбозначения звеньев и кинематических пар, выполненное
в масштабе.
.
Таблица условных обозначений звеньев и кинемати
ческих пар приведена в приложении.
На рис. 1 изображены схемы механизмов соответствен
но - кривошипно-коромыслового шарнирного четырех
звенника, кривошипно-ползунного и кулисного. · На схе
мах звенья обозначены арабскими цифрами, кинематиче
ские пары - латинскими буквами. Во всех этих механиз
мах звено 1 является ведущим. Оно совершает вращатель
ное движение (вокруг оси _ 0 1) на угол 360° . и называется
кривошипом. Звено 2, совершающее в механизмах (рис.· 1,
а, 6) плоскопараллельное движение и не входящее в кине
матические пары со стойкой, называется шатуном. Звено 3
4
(рис. 1, а) сОDершает качательное движение относительно
oci,i 0 2 на угол меньше 360° и назыв'ается коромыслом.
Звено 4 (рис: 1, 6) совершает постущ1тельное движение
по неподвижной направляющей и называется ползуном.
Звено 5 (рис. 1, в), перемещающееся по подви~ной направ
ляющей, называется кулисным камнем, а сама направляю-
щая 6 -::::- кулисой. • ,
-
§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ подвижн9сти
ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
Степень подвижности плоских механизмов определя
ется по формуле П. Л. Чебышева:
W=3n- 2р5-р4,
где W - степень подвижности механизма; п
-
число под
вижных звеньев механизма; р5 - число кинематических
·
пар V класса; р4 _: _ число кинематических пар IV класса.
Степень подвижности механизма определяет число ве
дущи~ звеньев его, т. е. количество звеньев, которым не
обходимо задать движение, чтобы все остальные звенья .
двигались по вполне определенным законам.
§ 3. СТРУКТУРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
ПО Л. В. АССУРУ-И. И. АРТОБОЛЕВСКОМУ
Структурной классификацией механизмов называется
разделение их на группы и классы Гiо общности структуры.
-Рациональность любой классификации механизмов опре
деляется выполнением следующих требований:
1. Классификация должна быть универсальной, т. е.
охватывать все существующие и возможные новые меха
низмы.
2. Классификация должна определять пути исследо
вания механизмов, т. е. показыват~, какие методы надо
применять при исследовании определенных механизмов.
3. Классификация должна указывать пути образова
ния новых механизмов.
Впервые научно обоснованная, рациональная класси
фикация плоских механизмов была предложена в 1914 г.
русским ученым Л. В. Ассуром.
-
Дальнейшее развитие структурная классификация
плоских механизмов получила в работах академика
'-
5
И. И. Артоболевского, трудами которого ей была придана
стройная последовательность, позвоЛJ!шшая четко увязать
классификацию с методами кинематического и силового
расчета, особенно в групттах высоких классов и порядков.
По Ассуру - Артоболевскому любой механизм можно
образовать путем последовательного присоединенJ:!Я к ве•
ia
в
Al\C
6
в
А~с ,j,
i}
е
В
С
Е
fc,- ~- -....
;у/'_~ с
~ ~vA
В.
3
u
8
Ah
6
-- ~В
сЕ
ДF
)1(
Рис. 2. Структурные группы:
А~8
к
а - исходиыi! механизм I класса I порядка; б ,- группа
II класса II порядка
1-го вида: в - группа II класса II порядка 2-го вида; г
-
группа II класса
11 порядка 3_-го вида; д - группа II класса II порядка 4-го вида; е - группа
II класса II порядка 5-го вида; ж- группа 111 класса III порядка; з- группа
111 класса IV порядка; а - группа IV класса IV порЯдка; к - группа V класса
•
V порядка.
дущему звену (или ведущим звеньям) и к стойке кинемати
ческих цепей с нулевой степенью подвижности так назы
ваемых групп [2]_ .
Эти группы называются группами Ассура,
или структурными группами . •
Группой Ассура называется простейшая кинематиче
ская цепь с парами V класса, которая, будучи присоединена
к стойке свободными элементами звеньев, обладает нуле
вой степенью подвижности.
В рассматриваемой классификации за исходный меха
низм принят механизм I класса I порядка (рис. 2, а). Сте
пень подвижности его равна единице (здесь п = 1; р 5 = 1;
р4=О;W=З•1-2•1=1).
'
6
Для · плоских механизмов с низшими парами структур•
ная формула групп Ассура имеет вид
W=Зп-2р5=О,
3
откуда
Ps.2n.
Поскольку в группе не может быть дробное число кине
матических пар, то группы Асс ура должны состоять только
из четного числа звеньев.
Чтобы из механизма выделять структурные группы,
необходимо помнить их основные признаки, вытекающие
из определения:
а) число звеньев в группе должно быть четным (п = 2,
4,6,8ит.д.);
•
б} степень подвижности группы всегда равна нулю,
например, группа III класса III порядка (рис. 2, ж) содер
житп=4;р5=6;приэтомW=3 •4-2 •6=О;
в) степень подвижности оставшейся части механизма
при отсоединении групп Ассура не должна изменяться.
Элементарная (простейшая) группа, состоящая из двух
звеньев и трех низших кинематических пар, называется
группой II класса, и,п:и двухповодковой группой. Повод
ком называется звено, входящее в группе в две кинемати
ческие пары, одна из которых свобод ная и служит для
присоединения к одному из подвижных звеньев механизма
или к стойке. Порядок с;тру1пурных групп определяется
числом поводков.
Группы II класса II порядка подразделяются на пять
модификаций (видов), в зависимости от количества вра-
. ща тель ных
и поступательн_ых пар и их взаимного располо
жения в группах. Примеры групп II класса II порядка
всех модификаций приведены на рис. 2, 6-е, соотве:гствен-
ноот1до5.
'
•
•
На рис. 2, ж изображена группа, состоящая из четырех
звеньев I;f шести пар V класса. Отличительная особенность
этой группы - звено BCD, входящее в три кинематиче:
ские пары и образующее некоторый жесткий треугольный
замкнутый контур . .Это звено принято называть базисным.
В группу входят три поводка: АВ, СЕ, DF. Такая группа
называется группой III класса III порядка.
Аналогична ей группа, приведенная на рис. 2,з. Од:
нако у последней имеется четыре поводка - АВ, ND, FM,
ЕК - и группа эта III класса IV порядка.
7
На рис. 2, и изображена группа, в состав которой вхо
дит замкнутый четырехсторонний подвижный контур. Это
группа IV класса IV порядка . Группа V класса показана
на рис. .2, к.
,
Произвести структурный анализ механизма - это зна
чит установить, из каких групп звеньев (исходного меха
низма и групп Ассура) состоит данный механизм и в .какой
последовательности эти группы . звеньев присоединяются
друг к другу; определить класс и порядок механизма. При
Рис. 3. Схема механизма.
структурном анализе меха
низм расчленяется на отдель
ные структурные группы. Вы
деление из механизма групп
Ассура можно- начинать с
группы, наиболее удаленной
баз-
аче-
ие•
кине-
мати-
еской
пары
01
А
в
02
D
Е
F
.
Номера
звеньев,
образую-
щих
пару
Ои1
1и2
2и3
3иО
3и4
4и5
5иО
Таблица 1
Характер Класс
относи-
кине-
тельного мати-
движения ческой
звеньев
пары
Враща- V
тельн ое
}}
V
)J
V
}}
V
}}
V
}}
V
Поступа- V
тельное
от ведущего звена, с таким расчетом, чтобы при этом не на
рушалась определенность движения оставшихся звеньев.
Класс и порядок механизма в целом определяется клас
сом И порядком са~1ой сложной его структурной ГРУП?Ы·
Результаты структурного анализа механизма зависят
в общем случае от того, -какое из звеньев исследуемого ме~
ханизма принято в качестве ведущего.
Пример. Произвести структурный анализ механизма,
представленного на рис. 3.
р· е ш е н и е. Механизм имеет пя.ть подвижных звеньев.
Назван}:!Я звеньев: 1 - кривошип; 2 - шатун; 3 - коро
мысло; 4 - шатун; 5 - ползун.
Стойка принята за нулевое звено. Звенья соединены
между собой семью кинематическими царами V класса (на
схеме они обозначены буквами латинского алфавита). Дан
ные о кинематических парах сводим в табл. 1 .
8
Определяем степень подвижности механизма по формуле
W=Зп-2р6-р4,
где п = 5 - число подвижных звеньев; р5 = 7 - число
кинематических пар V класса; р4 = О - число кинемати
ческих пар · 1v класса.
Тогда
W=3•5-2•7=·1.
Это значит, что в данном механизме должно быть о,цно ве
дущее звено. В качестве ведущего звена принято звено 1 -
кривошип.
,
· Раскладываем м'еханизм на
структурные группы. Преж
де всего, отсоединяем группу
Ассура, состоящую из звен
ньев 4 и б и трех кинемати
ческих пар: вращательных D
и Е и постурате:7Iьной F (рис.
4, а). Степень подвижн.ости
этой группы после · присоеди-
нения к стойке
•
W=Зti-2рБ=
=3•2-2•3=о.
А
а
.
J,1~
Рис . 4. Структурный ана .1 1 з ме-
ханизма:
а - группа II класса 11 порядка
2-ro вида; б - группа II класса
II порядка 1-го вида; в - мехащrзм
I класса I порядка.
Группа 4:_5 является группой 11 класса 11 порядка
2-ro вида. ·
.
.
·.
Затем отсоединяем группу, соотоящую из звеньев 2 и 3 •
и трех вращательных пар А, В и 0 2 (рис. 4, 6). Это rруппа
11 класса II порядка 1-го вида.
После отсоединения указанных групп остался исход
ный механизм, состоящий из кривошипа 1, присоединен
ного к . стойке кинематической парой
. 01 (рис. 4, в),
и обладающий степенью п?движности
W=3n-2рБ=3•1-2•1-1.
,
~
Это механизм I класса I порядка.
В целом рассматриваемый механизм является r-,,:еханиз
мом II класса II порядка.
2 7-353
9
Гл 21 в а II. КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
§ 4. ОСНОВНЬJЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ
Основными задачами кинематического исследования
механизмов являются:
а) определение положений звеньев (построение планов
положений механизма);
б) построение траекторий точек;
в) определение скоростей и ускорений точек; _
•г) определение угловых скоростей и ускорений зве-
ньев.
•
Существуют три основных метода кинематического ис
следования механизмов:
1) метод графиков (наименее точный и наименее трудо-
емкий);
-
2) метод планов (более точный и более трудоемкий);
3) аналити9еский (самый точный и самый трудоемкий).
Здесь ограничимся рассмотрением графических мето-
дов (метода графиков и метода планов). Как известно, при
менение этих методов связано с использованием ·масштабов.
Под масштабом при применении графических методов
анализа механизмов подразумевается отношение действи
тельной величию.~, выраженной в соответствующих едини
цах, к длине отрезка, изображающего эту величину, выра
женной в миллиметрах. При построении кинематических
схем и планов положений механизмов определяется мас
штаб длин. Например (см. рис. 5), масштаб длин
lo,A
μl=OiA '
где lo,A - действительная длина кривошипа, м;
01А - длина отрезка, из·ображающего кривошип, мм.
При построении планов скоростей используется мас
штаб скоростей μи.
Если, например, действительная величина скорости
точки А будет vА' а длина отрезка, изображающего эту
скорость - ра, то масштаб скоррстей
VA
μ,,= ра·
Аналогично определяютс~ масштабы ускорений, сил
ит.п.
10
§ 5. ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНОВ ПОЛОЖЕНИЙ МЕХАНИЗМА
Планом положения механизма называется чертеж, .
изображающий расроложение его звеньев в какой-ли.бо оп
ределенный момент движения. Отсюда следует, что план
положения представляет собой кинематическую сх·ему ме
ханизма, вычерченную для заданного положения криво-
шипа. ,
_
Планы положений механизмов, включающих в себя
двухповодковые группы, строятся методом засечек.
Рассмотрим это на примере.
Пример 1. Построить план положения механизма (рис. 5)
для заданного угла поворота ер ведущего звена при
lo,A = 0,03 м; lo,o, ~ 0,055 м; lАв = 0,05 м; lо,в = 0,045 м;
lAc = lвс = 0,027 м; lo,v = 0,024 м; lvE = 0,06 м; смеще-
н:ие а'= 0,015 м и угол ер= 55°.
.
Р е ш е н и е. Для построения плана принимаем, что
длину кривошипа la,A на схеме будет изображать отрезок
01А, длина которого равна 30 мм. Тогда масштаб длин плана
μ.=
la,A = о,о3 = О 001 м/мм.
l
01А 30
'
Затем вычисляем длины осталыiJ:,IХ отрезков, которые
будем откладывать на чертеже:
оо= 10,0, =
0,955 = 55
i2
μ,
о,001
мм;
lAB
[АС
АВ=
-
=
50 мм; АС__: -
=27мм;
μ,
.μ,
1вс
laв
ВС= -
==27мм;02В= - '-= 45мм;
~
~
•
l
•
l
02D= o,v =24мм;DE= DE =60мм;
μz
μ,
а'
а'= -= 15 мм.
μ,
, Построение плана начинаем с нанесения элементов не
подвижного звена. Штрих-пунктирной линией проводим·
линию центров 0102 и на ней наносим точки 01 и 02 на рас
стоянии 0~0 2 = 55 мм. На расстоянии а' от линии 0 102.
проводим траекторию движения точки Е.
Под углом ер = 55° к линии 0 10 2 через точку 01 прово
дим щ:ь :аедущего звена и от этой точки откладываем на ней
( ll.
. отреаок
O1А. Это и будет изображение ведущего звена О1А
в заданном положении.
•
,
Положение точки В определяем методом засечек. Для
этого из точки А радиусом АВ, а из точки 0 2 радиусом 0 2 В
проводим дуги. Точка их пересечения и будет точкой В.
На звене O2 В находим положение точки D. Сделав ра
диусом DE из точки D - засечку на траектории движения
точки Е, определяем положение этой точки на схеме. По-
1· 4ожение точки С находим на пересечении дуг радиусов
Асивс.
§ 6. ПОСТРОЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ТОЧ _ЕК
,,, Чтобы построить траекторию какой - либо точки, нужно
построить несколько планов положений механизма, найти
на каждом из этих планов положение заданной точки и по
следовательно соединить полученные точки плавной кри
tюй (рис . 5).
•Обычно планы · положений механизма строятся для не
скольких равноотстоящих положений ведущего звена O1А.
· Для
этого. окружность - траектория точки А
-
делится
на несколько равных частей. Одно из положений точки А
' принимается з·а нулевое, а остальные пронумеровываются
в направлении вращения звена O1А. За нулевое положе
ние точки А кривошипа вьrбирают такое, при котором д~ль
нейшее движение точки А в заданную сторону вращения
будет соответствовать рабочему ходу исполнительного
звена механизма.
Пример 2. Для механизма по условию при~ера 1
построить планы положений по восьми равноотстоящим по
ложениям звена O1А, начертить траекторию точки S 2
и разместить траекторию точки В, если lAs, == 0,02 м
(рис. 5).
,
Реш е н и е. Кривошип · совершает полное круговое
движение и траекторией движения точки А будет окруж
· ность радиуса O1А. Проводим эту окружность. Поскольку
коромысло совершает качательное движение, то точка В
·· движется по дуге окружности радиуса 0 2 В. Для разметки
траектории точки В необходимо на дуге радиуса 0 2 В найти
крайние полощения точки В. •
Точка В з,щимает крайнее левое положение тогда, когда
длина O1А кривошипа вычитается из длины АВ шатуна,
}! крайнее правое,- когда эти длины складываются. Для
,
,
112
Е:ахождения крайних положений точки В делаем две за•
сечки из центра - O1 радиусами Гmin = АВ - О1А и Гmах ~
= АВ +О1А на дуге радиуса О2В. Получаем точки В0
и Вт,
На пересечении прямой В0 O1 с окружностью радиуса
01А находим тоtJ:ку А0 , а на пересечении прямой Вт01 с этой
окружностью - точку Ат,
-;
Два крайних положения O1А0 и 01Ат кривошипа делят
полный оборот (угол 360°) его на два н~равных по величине
Е,
"'
[,Е,Е,Е,
А,
, Jl,-0,00! !1/t1t1
Рис. 5. Планы положений м~ханизма и траекторий точек.
угла. Больший из них обычно соответствует рабочему ходу
исполнительного звена механизма, меньший - х9лостому
ходу. На рис. 5 эти углы обозначены' соответственно (l)px
И {j)xx•
Чтобы при дальнейшем движении в заданную сторону
вращения точка А кривошипа •двигалась в направленю1
.
рабочего хода исполнительного звена механизма, за нуле
вое положение принимаем крайнее левое положение точки
А, обозначенное А 0 (рис. 5).
Соединяем точки В0 и Вт с точкой 0 2 , находим поло
жения точек D 0 , Dm, · Е0 , Ет и получаем два положения
механизма, соответствующи~ крайним положениям точки В.
Чтобы упростить дальнейшее пщ:троение, положения
точки С не наносим.
Разбиваем окружность радиуса 01А, начиная от точки _
А 0 , 1щ восемь равных частей и нумеруем точки деления
в направлении вращения _ звена 01А. Используя метод
13
засечек, строим первое, второе и все последующие положе
ния механизма.
Определяем длину отрезка
l-
,
AS- AS, -
0 •02
-
20 мм
2-
μ1-0,001-
и находим положения точек S20, S21, S22 и т. д.
Соединяем полученные точки плавной кривой . Это и бу•
дет траектория точки S 2.
§ 7. КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ
МЕТОДОМ -_ГРАФИКОВ
_
С помощью графиков перемещений, скороетей и уско
рений какой-,Jiибо точки можно проследить изменение кине
матических параметров точки за полный цикл дви~ения
механизма.
-
Имея один из графиков, путем графического дифферен
цирования или интегрирования можно получить два ос
тальных, так как между перемещением, скоростью и уско-
рением точки существует зависимость
•
dS
dv
V= dt·;_а:--dt'
т. е. скорость точки в определенный момент времени пред
ставляет собой первую производную от перемещения точки
по времени, а ускорение - первую производную от ско-
, расти по времени. Следовательно, имея график перемеще
ний точки, , можно путем дифференцирования его получить
график скоростей, а путем дифференцирования графика
скоростей - график ускорений.
-
Если исследуется движение точки, совершающей посту
пательное движение, то для нее строится график линейных
перемещений. :
Если же исследуется движение· точки, совершающей
вращательное движение, то для нее строится график ли
нейных перемещений (при этом надо очень тщательно изме
рять перемещение точки по дуге) или график у.rловых пере
мещений звена, к которому относится заданщ1я точка. При
дифференцировании графика угловых перемещений полу
чится соответственно график угловых скоростей; а при диф
ференциров~нии последнего - график угловых ускорений.
14
Известно несколько методов графического дифферен
цирования. Предпочтительными из них являются метод
касательных и метод хорд.
Пример 3. Для механизма (рис. 5) . построить график
перемещений точки В и, дифференцируя его методом каса
тельных, график скоростей этой точки . Кривошип 01А имеет
частоту вращения п1 = 120 об/мин.
Р е ш е н · и е. Строим систему координат графика пере
мещений (рис. 6). По оси ординат будем откладывать пере
мещение точки . В, по оси
абсцисс - время. Отклады
ваем время одного цикла
движения механизма про
извольным отрезком 0-0.
При длительности цикла
Т=_о0_=~=05 с
ni
120
'
и _длине отрезка 0 - 0, рав
ной 80 мм, масштаб време
ни по оси абсцисс
Т
0,5
μt=о-о=во=
= 0,00625 с/мм.
Делим отрезок 0 - 0 •на
восемь равных частей. Точ
ки 1, 2, 3 и т. д. соответст
,О
1
t
вуют моментам времени, Рис. 6. Графики перемещений и
когда механизм занимает 1,
скоростей точки В .
2, 3-е и т. д. положения.
Перемещение точки В пр~ движении механизма из ну
левого положения в первое выражается дугой ВO В1 . Если
дугу В0 В1 измерить непосредственно на схеме механизма
и отложить ординатой 1- 1', равной ее длине на схеме, то
масштаб μs перемещений графика совпадает с масштабом
μ , длин схемы механизма.
Дугу ВоВ1 мьжно подсчитать как в---;iз1 == lа,в01 и, отло
жить произвольной ординатой 1- 1'. Тогда масштаб пере
мещений графика
15
где lо,в - действительная длина звена 02В, •м; 61 - угол
В0О2В1, град; 57,3- переводной коэффициент; у1_1, -
ордината 1-1 1 графика перемещений, мм.
Однако для того чтобы • рационально использовать
поле чертежа, · т. е. чтобы график был не слишком сжат
и не слишком вытянут, удобно задаться максимальной
ординатой у~ _ 4
,
.
nринимаем эту ординату равной 57 мм .
.
т
т
0ткладыщ1ть ее надо из точки 4m, пq.тюжение которой на
оси абсцисс графика перемещений f.Iаходим из соотно
шения
где /4_4т и /4_5
-
длины отрезков на оси абсцисс графика
перемещений; А:Лт и А:Л,6 -отрезки траектории точки А,
соответствующие переходу механизма из четвертого поло
жения в положение максимального . удаления точки В
и в пятое положение.
Порис.5,.(Ат=9 мм, А7Аь=23,5мм;порис. 6,
114_5=10мм;
l
14_5А'°;Ат 10·9 · З84 4•
4-4m =
_ _,.
= 235= , ::.:::::: ММ•
.
A4As
•
Из . · полученной
.
точки . 4m откладываем ординату
У4-4,=57мм.
тт
•
1
Определяем масштаб графика перемещений по формуле
=
lа,вбтах = 0,045 •86,5 =- О ОО12 /
μs 57Зу
573·57
•
м мм,
'
4т-4'т
,
где lо,в - действительная длина коромысла, м; 6max -
максимальный угол ·качания коромысла (LВ0О2Вт), град.
Определяем длины ординат 1-1'; 2-2';, 3-3' и т. д.
графика перемещений точки В, предварительно измерив
соответствующие углы 61 , 62 , 63 и т. д. (L ВоО2В1 ;
LB00 2B2; LB00 2B8 и т. д.):
16
lо,вбt
Y1-l'
-
57,3μ 5
lо,в 02
У2-:--2' ::щ 57,3μ.5
-
0,045 · 6
57,3 : 0,0012 = 4
0,045 · 29
57,3 · 0,0012 = 19
мм;
мм;
lа2вбв
Уз-з' =- 57,3~1 .
•
la,EJe4
У4_4, == 57,1μ.
lа,вб5
Уб-5' = 57,Зμs
0,04,5 · 59
= 57,3 · 0,0012 = ЗS,6 ММ\
0,045 • 82,5 54
= 57,3 . 0,0012 =
мм;
_
Р,945 • 7.2
_
7
-:- 57,3 ·0,00!2- 4 ,2 ММ!
19,!Jба
0,045 . 22
/Jв-6' = 57,Зμs = 57,3. 0,0012 = 14 ,4 ММ\
lа,в6т 0,045 • 3,5
У7-7'-== 57,3μ.
"""57,3 · 0,0012 = 2 ,3 мм.
- из точек 1, 2, 3 и т. д. на оси абсцисс откладываем
~олученные расче.том ординаты у 1_1 ,; у2_2 ,; у3_3 , и т. д.
Полученные точки О, 1'; 2'; 8' и т. д. соединяем плавной
кривой (рис. 6, 1). Это и будет график линейных переме-
щений точки В: Sв = Sв (f).
•
Чтобы определить удаление точки В в заданном (по ус- .
ловию примера 2 углом qJ = 55°) положении механизма
сiт ее начального положения В0 , находим точку За на оси
абсцисс графика (по аналогии с определением положения
точки 4m), соответствующую положению точки А криво
шипа на ее траектории (между 3 и 4 положениями) и про
~одим ординату За - 3~:
S8= Уз _3,μ, = 52•0,0012=62,5мм.
аа
Для построения графика скоростей точки В
Vв = vв(t)
полученный график продифференцируем методом каса
тельных. С этой целью в точках 1', 2', 3' и. т. д. к кривой гра
фика
Sв=Sв(t)
проводим касательные.
.
Под графиком перемещений точки В строим новую си
стему координат для графика скоростей. Влево от начала
этой системы координат (точка О) на оси абсцисс ·произ
вольно выбираем полюс р (рис. 6, 2). Из него проводим
лучтт, параллельные касательным в точках 1', 2', 3' и т, д . .
графика перемещений, до пересечения с осью ординат (ско
ростей) в точках соответственно 1, 2 и т. д. Отрезки 0- 1,
0-2 и т. д. на оси ординат нового графика пропорциональ-
3 7-353
17
ны скоростям точки В в первом, втором и т. д. положениях
механизма.
;Далее, н_а оси ординат точки 1, 2, 3 и т " д. проецируем
соответствеи:но на перпендикуляры к оси абсцисс, восстав
ленные из точек 1, 2, 3 и т. д. деления отрезка 0-0 этой
в,
оси. Получаем точки I, II,
III и т. д. дифференциаль
ной кривой. Поскольку за
начальное положение ме
ханизма принято одно из
крайних его положений,
т. е. скорость точки В в
этот момент равна нулю, то
график скоростей будет ис
ходить из начала системы
координат. Соединяем точ
ки О, I, II, III и~т. д. плав
ной кривой, учитывая, что
она пройдет через нуль в
точке 4m, соответствующей
экстремальному значению
функции перемещений' (рис.
Г3
У!
6, 2).
Из построений,следует,
Рис. 7. Графики угловых переме- что ординаты графика vв =
щений и угловых скоростей звена 8. ·
= v8 (t) пропорциональны
значениям скоростей в различных положениях механизма.
По известной формуле определяем коэффициент про•
порциональности - масштаб скоростей:
μ,,
0,0012
о0144 /
μ,, = μ,рр =0,00625·13,3= '
м с.мм,
где Ор = 13,3 мм ~ полюсное расстояние (рис. 6, 2).
Чтобы определить значения скорости точки В в задан
ном (углом ер = 55°) положении механизма, находим на
оси абсцисс графика скоростей точку За (сносим по верти
кали с :rрафика перемещений), соответствующую задан
ному моменту времени, и через нее проводим ординату
Зa-IIIa:
v; = У<з -'III Jfl-" = 17 •0,0144 = 0,245 м/с.
а
а
18
Пример 4. По условию примера 3 построить график
угловых перемещений звена 0 2 В и дифференцируя его мето
дом хорд - график угловых скоростей этого звена.
Р е ш е н и е. Строим систему координат графика угло
вых перемещений звена 0 2 В (рис. 7).
По оси ординат откладываем угльГповорота · этого звена
относительно начального положения, по оси абсцисс -
время. Длину отрезка 0 - 0, который изображает время
одного цикла движения механизма, принимаем равной
80 мм. Определяем масштаб времени
Т
60
μ1=0_0=120•80=0,00625с/мм.
Углы поворота звена 0 2В относительно начального по
ложения измеряем непосредственно на схеме механизма
(см. рис. 5) и откладываем на графике ординатами 1- 1',
2-2' и т. д. в масштабе μв. Задаемся величиной максималь
ной ординаты графика 4т -4~ (принимаем 57,7 мм) из
ус.Jiовия рационального использования поля чертежа. Опре
деляем значение масштаба:
6max
~6
5
μ0=
•
=
''
= 0,0261 рад/мм, •
57,3y4m_ 4,m
57,3 · 57,7
где 0max = 86,5° - угол между двумя крайними положе
ниями звена 02В.
Измерив углы отклонения звена 0 2 В во всех положе
ниях механизма от- начального, вычисляем с учетом мас
штаба μ 0 размеры соответствующих ординат 1-1'; 2-2';
.3 -3' и т. д. (вычисления здесь не _ приведены) и отклады
ваем их на графике от точек 1, 2, 3 и т. д. оси времени. По
ложение точки 4mна оси абсцисс графика определяем по
аналогии с предыдущим примером.
Соединив точки О, 1', 2', 3' и т. д. плавной кривой, по
лучаем график угловых перемещений звена 0 2 В (рис. 7, 1).
Чтобы определить угловое перемещение звена 0 2 В в за
данном (углом ер = 55°) положении механизма, найдем на
оси абсцисс точку За, соответствующую заданному моменту
времени, и через нее проводим ординату За-3~:
0= Уз _31μ6 = 51,5 •0,0261 = 1,345 рад.
аа
Дифференцируя полученный график методом хорд,
строим график угловых скоростей. Для этого на графике
8 = 8 (t) точки О, 11, 2', 3' и т. д. после~ '.овательно соеди
ним хордами. Под этим графиком (р и с. 7,2) строим новую
3*
19
систему координат (ro, t) и слева от начала О этой системы
откладываем произвольный отрезок - полюсное рцfстоя•
ние Ор . Из полюса р параллельно хордам 0-1', 1'-2' ,
2' - 3 и т. д. проводим лучи до пересечения с ось19 ординат
соответственно в точках 1, 2, 3 и т. д. Отрезки 0-1, 0~2,
Ь-3 и т. д . на оси ординат графика пропорциональны ёред
ПliМ угловым скоростям звена O 2 В на соответствующих
•'
участках .
'·
При построении графика угловых скоростей ординаты
0- 1, 0-2 и т. д. следует откладывать в средних точп:ах
соотnетствующих участков времени, так как эти ордицаты
рропорциональны средним угловым скоростям . Поэtому
участки 0- 1, 1-2 и т. д. и участки 4-4т и 4т~5 на оси
абсцисс делим пополам. Через точки деления проводим
вертикальные линии, на которые сносим по горизонтали со
ответственно точки 1, 2, 3 и т . д . с оси ординат. Точки О, 1,
II, III, IV, IVт и т . д. соединяем плавной кривой, учитывая,
что крива-я угловых скоростей пересечет ось абсп;йсс в точке
4m, соответствующей экстремальному значению функции
угловых перемещений, и получаем график угловых ско
ростей звена 0 2 В: •
(i) = (i) (t).
Поскольку метод хорд является приближенным мето
дом графического дифференцирования, то естественно ожи
дать, что ординаты графика ro = ro (t), . построенного с по
мощью этого метода, приблизительно пропорциональны
•
•d0
значениям угловых скоростеи dt.
•
Чтобы определить угловые скорости · звена O 2 В в раз
личных положениях механизма, нужно соответствующие
ординаты графика ro = ro (t) умножить на масштаб угло
вых скоростей:
Ро
0,0261
μw = l!tOP = О,00625 - 13 = О,314 1/с•мм,
где Ор = 13 мм - полюсное расстояние.
Для определения значения угловой скорости звена O2 В
в заданном (угльм ер = 55°) положении - механизма находим
на оси абсцисс построенного графика точку За, соответству
ющую заданному моменту времени , и через нее проводим
ординату Зa-IIIa. Угловая скорость звена O 2 В
ro~a = У,3- III )μw = 17 •0,314= -5,35 1/с.
а
а
20
,r'
,.· \;
§ 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕА ТОЧЕК МЕХАНИЗМА
МЕТОДОМ ПЛАНОВ СКОРОСТЕЙ
Зная закон- движения ведущего звена и длины всех зве
ньев механизма, можно определить скорости его точек по
величине и направлению в любом положении механизма
путем построения плана скоростей для этого положения .
Построение планов скоростей и чтение их во многом
упрощаются при использовании свойств этих планов, ко
торые заключаются в следующем:
1. Векторы, исходящие из полюса, выражают абсолют
ные скорости соответствующих точек звеньев механизма
в масштабе плана скоростей. Точки плана скоростей, соот
ветствующие неподвижным точкам механизма , находятся
в полюсе.
2. Векторы, соединяющие концы векторов абсолютных
скоростей, выражают величины и направления относитель-
ных скоростей.
•
3. Векторы относительных скоростей точек звена на
плане скоростей образуют фигуру, подобную одноимен
ной жесткой фигуре, образованной отрезками, соединяю
щими эти точки звена на плане механизма, повернутую
по отношению к последней на 90° в сторону мгновенного
вращения данного звена.
Пример 5. Определить абсолютные и относительные
скорости точек звеньев и . угловые скорости звеньев меха
низма (см. рис. 5) методом планов скоростей для положе
ния его , указанного в примере 1 (ер с= 55°), кривошип
О 1А имеет частоту вращения п1 = 120 об/мин в стороцу,
указанную круговой стрелкой. Размеры звеньев - те же.
Дополнительно заданы положения центров тяжести:
lo,s, = 0,014 м;
lo,s, = 0,028 м;
·lлs. = 0,02 м;
lвs, = 0,023 м.
Решен и е. Принимая длину отрезка O1А, изобра
жающего кривошип, равной 20 мм, определяем масштаб
длин
μ = lа,л =о,оз =О0015м/мм.
l
01А
20
'
В этом масштабе вычерчиваем план -положения задан
ного механизма (рис. 8, а).
21
Определяем угловую скорость кривошипа O1 А по фор
муле
_
:r1;n1= ~,14 •120 =1256 l/
Wi- 30
30
'
С.
tJаходим скорость точки А кривошипа O1А по фор
муле
vА= w1l0,A = 12,56 • 0,03 = 0,377 м/с.
-О,00!5!1/1111
Рис . 8. Кинематическое исследование механизма. методом
планов:
а - план механизма; 6 - план скоростей; в
-
план ускорений.
Вектор vA направлен перпендикулярно к оси звена 01 А
в сторону его вращения.
Задаемся длиной отрезка ра, который будет изображать
на плане скорость VA, точки А; ра = 66 мм. Масштаб плана
скоростей
μ=uA'=0
•
377 = О 0057 м/с•мм.
V
ра
66
'
От произвольной точки р, принятой за полюс плана ско•
ростей, откладываем перпендикулярно к звену O 1А отре
зок ра (рис. 8, б).
Скорости неподвижных · точек 0 1 и 0 2 равны нулю,
поэтому векторы р6~. и р02 также равны нулю и, следова-
22
тельно, токи 0 1 и 0 2 на плане скоростей совпадают с rю
люсом р .
Из теоретической механики известно, что скорост ь .ка
кой-л ибо точки звена (например, точки В) может
быть представлена в в.Иде суммы переносной и отно
сительной скоростей . Поэтому для определения скорости
точки В воспользуемся векторными уравнениями:
Vв= Vл+vвл;
Vв= йо,+Vво,,
(1)
(2)
где vА - скорость точки А; v8 A - относительная скорость
точки В во вращении вокруг точки А; v02 -
скорость .
точки 0 2 ; vво - относительная скорость, точки В во вра-
щении вокру; точки 0 2•
•
В этих уравнениях скорость vА известна по величине
и направлению, скорость v02 = О . Относительные скорости
tJ 8 A и Vво, известны лишь по линии действия: vвА пер
пендикулярна к звену АВ, Vво, перпендикулярна к звену
02В. Поэтому для определения скорости v8 точки В через
точ!<у а (конец вектора скорости vА)· проводим перпенди
кулярно к звену АВ линию действия скорости VвА, а через
точку 0 2 , совпадающую .. с полюсом р плана скоростей,
проводим перпендикулярно к . звену 02В линию действия
скорости: vво . На пересечении этих двух линий действия
получим точ~у Ь - конец вектора скорости vв точки В:
V8 = pbμv = 42 •0,0057=0,24 .м/с.
Направление скорости v8 определяется направлением
вектора рЬ.
Согласно уравнению(!) вектор аЬ изображает скорость
VвА точки В в относительном вращении вокруг точки А:
Vвл= аЬμ~~33•0,0057= О,188 м/с.
Согласно уравнению (2) вектор. о2Ь (рЬ) изображает
ско рость vво, точки В в относительном вращении вокруг
точки . 02:
23
Положение точки о •(конец вектора скорости точки С)
определяем на плане скоростей по теореме подобия (третье
свойство - планов скоростей). На отрезке аЬ плана сю;>ро
стей строим тр'еугольник аЬс, подобный треугольнику АВС
звена 2. Определяем длины отрезков ас и Ьо из пропорций
асАСЬсВС
аЬ=АВиаЬ=АВ•
Поскольку АС= ВС, то
ас=- Ьс=аЬАС=33 •18=l?8
АВ
33,3
'
мм.
Из точек а и Ь плана скоростей радиусами, равными со
ответственно отрезкам ас и Ьс, делаем засечки. Получа~
две точки пересечения этих дуг, справа и слева от вектора
аЬ. За точку с плана скоростей следует взять ту и_з полу
ченных точек, при которой порядок букв в треугольниках
, аЬо и АВС будет одинаковым. Так, например, при обходе
сторон L:,. АВС звена 2 по направлению вращения часовой
стрелки читаем: А -+С-+ В. Порядок бук~ в треуголь
нике аЬс при обходе сторон треугольника также по часовой
стрелке должен сохраниться а-+ с-+ Ь. Следовательно,
точка с плана скоростей будет слева от вектора аЬ.
Соединяем полюс плана скоростей р с точкой с и опре
деляем величину скорости точки С:
Vc= pcμv = 48 •0,0057= 0,274 м/с.
Согласно тому же свойству планов скоростей находим
положение точки d на плане исходя из пропорции
o2d . о2Ь
02D = 02В'
В этом случае фигура относительных скоростей o2db
на плане скоростей будет прямой по подобию с прямой 0 2 В
механизма:
Определив положение точки d на плане скоростей, нахо
дим величину скорости
VD= pdμv = 22,4 •0,0057= О,128 м/с.
24
Скqрость точки Е шатуна DE представляем в виде век
торной ~уммы переносной и относительной скоростей. Для
ее определения воспользуемся векторными уравнениям~:
VE= iiD+VED;
(3)
vв=vв.+Vвв.•
(4)
где tJD - скорость точки D; vвD - относительная скорость
точки Е во вращении вокруг точки D; vв. - скорость
точки Е0 , принадлежащей стойке и совпадающей в данный
момент с точкой Е ползуна; Vвв. - скорость точки Б
в поступательном движении относительно точки Е0 •
В этих уравнениях скорость vD шJвестна по величине-
и направлению, скорость vв. = О . .Относительные скорости
tiвD и vвв. известны лишь по линиям действия: tJED пер
пендикулярна к звену DE, vвв. параллельна оси направ
ляющих ползуна. Для определения скорости точки Е
через точку d плана скоростей проводим перпендикулярно,
к звену DE линию дейст1щя ско~ости vED' а через точку
е 0 , совпадающую • с полюсом плана р параллельно оси
направляющих ползуна х - х - линию действия скорости
vвв; Точка е пересечения этих линий действия_ опреде
ляет конец вектора скорости vв точки Е. Величина ско
рости
vв =реμ"= 23 • 0,0057 = О, 131 м/с.
Вектор de определяет величину и направление ско
рости
vED = deμ" = 4,5 • 0,0057 = 0,0257 м/с.
Исходя из теоремы подобия (третье свойство планов,
скоростей) находим на плане точки s1 , s2 , s3 , s4 , соответству
ющие центрам тяжести звеньев S1 , S 2 , S 3 и S4 , и соедин~ем
их с полюсом р. Определяем величины скоростей центров,
тяжести:
V31 = ps1μ" = 31 •О,ООЫ = 0,176 м/с;
V3, = PS2μv = 55 • 0,0057 = 0,314 м/с;
V3 = ps311,v = 26 •0,0057= О,148 м/с;
з
'
Vs, = pS4~tv = 22,5 • 0_,0057 = 0, 128 М/С,
Переходим к определению угловых скоростей звеньев.
Угловая скорость w1 ведущего звена известна по величине
и направлению (ffi 1 = 12,56 1/с и это звено вращается tю
часовой стрелке).
Чтобы определить угловую скорость w2 звена АВ, рас
смотрим вращение точки В вокруг точки А. Направление
скорости VвА точки В во вращении вокруг точки А опреде
ляется направлением вектора аЬ . Мысленно переносим.
этот вектор в точку В механизма и считаем точку А как бы
неподвижной. Точка В ·в направлении вектора -аЬ враща
ется относительно точки А против часовой стрелки, что
и определяет направление · вращения звена АВ. Находим
величину угловой €wорости второго звена по формуле
VBA
0,188
(J)z= [АВ = О,О5 =3,76 J/c.
При определении направления угловой скорости ro 3 по
ступаем аналогично. Перенесенный в точку В звена O 2 В
вектор Ozb показывает, что точка в вращается относительно
точки 0 2 по часовой стрелке. Это определяет направление
угловой скорости третьего звена
• vво,
0,24 • 532 1/
ffiз= -[- =
о045= •'
с.
о.в
'
Чтобы определить угловую скорость w4 звена DE,
мысленно переносим вектор de <;.корости vED в точку Е.
В направлении вектора de точка Е вращается относительно
точки D, которую считаем как бы · неподвижной, против
часовой стрелки, что и определяет направление вращения
звена DE. Величина этой угловой скорости
=
~ED = 0,0257=О428 J/
W4
lDE
0,06
'
С.
Угловая скорость ползуна 5, совершающего прямоли
нейное поступательное движение, равна нулю.
Сравним для задан.наго положения механизма вели-
чины скорости v13 точки В и угловой скорости w3 звена О 2В,
полученные с помощью плана скоростей и графиков (при
меры3и4).
26
По плану скоро-
стей
vв = 0,2'4 м/с,
ro3 = 5,32 1/с.
По графику скоро
стей точки В (рис.
6, 2)
v~ = 0,245 м/с.
По графику угло
вых скоростей звена
О2В (рис. 7, 2)
ffi~ = 5,35 1/с.
а
Таблица 2
Обозначе-1 Значение 1
Значение
скорости,
ние скорости, Обозначение
м/с
м/с
(w в 1/с)
VA
0,377
VS,
0,314
Vв
0.,24
Vs, -
0,148
vвл
0,188
Vs,
о, 128
Vc
0,274
001
12,56
VD
0,128
())2
3,76
VE
о, 131
())3
5,32
VED
0,0257
004
0,428
"vs,
0,176
(J)б
о
Приняв за основу данные, полученные по -плану ско
ростей, вычисляем относительные погрешности:
•
V-V'
0 245
Лv=__!!__!!· 100% = 0•24
-'
• • 100% =-2,08%;
Vв
0,24
. Лffiз= ооз-ооза · . 100% =5,32-5,35 100% =-0,56%.
003
5,32
Полученнь1е значения абсолютных и относительных
скоростей точек и значения угловых скоростей звеньев сво
дим в табл. 2.
§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК МЕХАНИЗМА
МЕТОДОМ ПЛАНОВ УСКОРЕНИЙ •
По аналогии с планами скоростей при помощи планов
ускорений можно найти ускорения любых точек механизма.
При построении плано13 ускорений также следует пользо
ваться их изображающими свойствами, •зю<лючающ1щися
в следующем: •
1. Векторы, исходящие из полюса, изображают собой
· абсолютные
ускорения соответствующих точек _ в масштабе
план~ ускорений. Точки плана ускорений, соответствующие
точкам, ускорения которых равны нулю, располагаются
в пол1осе.
2. Векторы, соединяющие концы векторов абсолютных
ускорений, выражают в том же масштабе полные относи
тельные ус1шрения.
27
3. Полные относительные ускорения на плане ускоре.,.
ний образуют фигуру, -подобную одноименной · _жесткой фи~
гуре на плане положения . механизма, но повернутую по от
-ношению к последней на некоторый угол 180° -
австо"
рану мгновенного углового ускорения данного звена, где
€
а=== arctg2 .
(1) _
Поскольку полные относительные ускорения состоят
из геометрической суммы тангенциальных и нормальных
составляющих, то обычно концы векторов абсолютных
ускорений на планах ускорений обозначают буквами, соот...
ветствующими названию точек. Концы векторов нормаль
ных составля:10щих ускорения обозначают другими (;у~
вами, не встречающимися _ в обозначениях точек механизмао
Пример 6_
. Методом планов ускорений определить абсо-
.
.
лютные и относитель~ые ускорения точек звеньев и угло-
вые ускорения звеньев механизма - (рис. 8, а). Данные взять
по условию примера 5.
_
•
Р е ш е н и е. Определим ускорение точки А. Поскольку
звено 01А вращается равномерно, то точка А имеет только
нормальное ускорение, которое направлено по звену O1А
к центру вращения. Величина этого ускорения
аА == w~l0 А=== 12,562 • 0,03 == 4,75 м/с2• ,
.
1
.
.
Принимаем длину отр_езка р' а', изображающего вектор
ускорения аА точ~и А, равной 65 мм. Тоtда масштаб
плана ускорений
·
_аА
4,75
2•
/.J.a == р' а' === б5 == 0,073 м/с. • мм.
l1з произвольной точки р', принятой за полюс плана
ускорений, откладываем параллельно звену O1 А в направ-
•лении от точки А . к точке 01 отрезок р'а' (рис. 8; в)•
.. Ускорения
точек 0 1 и ·02_ механизма равны нулю, еле ..
довательно, _точки О~ и О~ будут совпадать с полюсом
план:а ускорений.
Рассматриваем движение точки В со ;звеньями АВ_ и В0 2
•
и по_ аналогии с планом скоррстей составляем векторные
уравнения:
28
ав==аА+аВА;
а,В=а02+a,BOs•
(5)
(6)
:Полные относительные ускорения бвл и аво, •представ
ляем в виде суммы двух составляющих - нормал ьной ,
направленной по оси соответствующего звена к центр у вра
щения в относительном движении, и тангенциальной ;- пер
пендйкулярной к это~у sвeuy. Тогда уравнения (5) и (6)
можно sаписать в следующем виде:
iiв= аА+аВА+а~А;
ав=ао,+аъо.+а~о..
В этих уравнениях ускорение аА известно по величине
и по направлению, ускореtше а0, = О.
Определяем величины нормальных ускорений :
2
ивл О,188~
аъА = lлв = 0,05•• = 0,708 м/с2;
~
п
ива, 0,24; 128 / 2
аво,=lа,в =0,045= '
мс•
Ускорение авА направлено по оси звена АВ от точки
В К точке А, ускорение а'Jзо. - ЦО оси звена О2В от точки
В к точке 02.
Относительные тангенциальные ускорещш известf!ы
ТОЛЬКО ПО ЛИНИЯМ ИХ деЙСТВИЯ , Ускорение atA пер!1еНДИ·
кулярно •к ввену АВ, а ускорение а~0, перпендикулярно
к звену 02В . Величины и направления тангенциальных
ускорений определяем путем построения плана ускорений.
От точки а' плана ускорений параллельно sвену АВ
в направлении от точки В к точке А откладываем вектор
а' n1 , изображающий ускорение ii'вл · Величина этого век
тор~
,
_
а'вл_ 0,708 _ 97
аn1 -
μа-0,073-
'
мм.
Ч:ерез точку п1 проводим перпендикулярно к звену АВ
линию действия тангенциального ускорения а~А· Затем от
точки о; плана ускорений, совпадающей с полюсом р',
параллельно звену 02В в направлении от точки В к точке
0 2 откладываем вектор о;п 2 , изображающий ускорение а~0•.
Определим длину этого отрезка :
,
а'во, 1,28
02п2 =Та= 0,073 = 17,5 мм,
29
Через точку n2 проводим перпендикулярно к звену
02В линию •действия тангенциального ускорения а~0• На
пересечении ЛИНИЙ ДеЙСТВИЯ,,,УСКОрениЙ а~А И _ а~О, ПОЛУЧИМ
точку Ь,, - конец ~ектора р' Ь', изображающего ускорение
ii8 точки В механизма :
•
а8 = р'Ь'μа = 68 • 0,073 = 4,96 м/с2•
Точка Ь' определяет также векторы п1Ь 1 и п2 Ь' танген
циальных ускорений а~А и а~0,:
а~А = п1Ь'μа = 56,5 •0,073 = 4, 12 м/с2;
а~0, = п2Ь'μа = 66 • 0,073 = 4,81 м/с2•
Вектор а' Ь' изображает полное отнqсительное ускорение
iiвА точки В во вращении вокруг точки А:
а8А = а'Ь'μа= 57,5 • 0,073 = 4,2 м/с2•
Вектор о~Ь" полного ускорения а во, точки В во вра
щении · относительно точки 0 2 механизма совпадает с век.
тором р' Ь' абсолютного ускорения точки -В. Следова
тельно,
а802 = а~= 4,96 _м/с2•
Исходя из третьего свойства планов ускорений Л а' Ь' с~
относительных ускорений должен быть подобен Л АВС
звена 2, т. е. можно составить пропорции
а'с' АС Ь'с' ВС
а'Ь'=АВиа'Ь' =АВ'
Поскольку АС = ВС, то
,,_Ь',_а'Ь'АС
_
57,5 -!8_ 31
ас~с-:--:;АВ - 33,3
-
мм.
Из точек а' и Ь' плана ускорений радиусами, равными
соответственно длинам отрезков а' с' и Ь' с', делаем засечки.
Из полученных точек пересечения засекающих дуг (слева
и справа от вектора а' Ь') в качестве точки с' выбираем точку,
расположенную слева, так как при этом порядок букв пр и
обходе треугольника а' Ь' с' плана ускорений и треугол ь
ника АВС механизма будет одинаковым . Соединив полюс
30
плана ускорений с точкой с', получаем вектор абсолютного
ускорения точки С механизма:
ас= р'с'μа = ·72 •0,073 = 5,25 м/с2•
Находим положение точки d' на плане ускорений исходя
из пропорции
откуда
мм.
Следовательно, абсолютное ускорение точки D
aD = p'd'!J-a = 36,4 • 0,073 = 2,66 м/с2•
Для определения- ускорения точки Е воспользуемся
векторными уравнениями:
аЕ= aD +ёiED;
jjE = ёiЕ, + а,ЕЕ,•
где aD - абсолютное ускорение точки D; ii,ED - полное
относительцое ускорение точки Е во вращении вокруг
точки D; ав, -ускорение точки Е0 , принадлежащей стойке
и совпадающей в данный момент с точкой Е ползуна;
авв, -ускорение точки Е в поступательном движении
относительно точки Е 0 •
В этих уравнениях:
а) ускорение a.D известно по величине и по направ
лению;
б) полное относительное ускорение авD представляем
состоящим из нормальной a1D и тангенциальной a~D со
ставляющих. Нормальное ускорение
2
п·.VED
О,0257~ 0011 . / 2
aED=/DE=D,06= '
МС
направлено по оси звена DE от точки Е к точке D.
Для тангенциального ускорения a~D известна только
линия его действия, перпендикулярная к звену DE;
в) ускорение ёiв, = О;"
r) ускорение а~в известно по линии действия; оно
о
направлено параллельно оси направляющих ползуна.
31
От точки d' плана ускорений параллельно эвену DB
в направлении от точки Е к точке D откладываем век-
тор d' h3 , изображающий нормальное ускорение а'Jш,
предварительно определив длину этого отрезка:
d,
a1;D 0,0lI О jБ
па=μ;;- = 0,073= ' •мм.
Поскольку его длина d' п3 в выбранном масштабе
плана ускорений' · не превышает I мм, то точки n. 3 и d'
на плане совпадают.
Из точки п3 перпендикулярно к звену DE проводим
линию действия тангенциального ускорения af::D. Поскольку
ускорение ав равно нулю, то точка е~ на плане ускоре-
•о
'
f!ИЙ совпадает с полюсом р'. Через точку е 0 параллельно
оси направляющих ползуна х - х проводим линию дей-
• ствия ускорения аЕЕ. Точка е' пересечения этих линий
действия определяет ~онец вектора, изображающего абсо
лютное ускорение точки Е:
а.8 = р'е'μа= 36 • 0,073 = 2,63 м/с2•
Точка е' определяет также векторы п 3е' = d' е', изо
бражающие тангенциальное a~D и полное относительное
аED ускорения:
aED = a~D = d'e'fJ-a = 3 • 0,073 = 0,219 м/с2•
Вектор е~е' ускорения аЕЕ, совпадает с вектором р'е'
абсолютного ускорения точки Е. Следовательно,
•
аЕЕ, = ав = 2,63 м/с2•
Зная положения центров тяжести S1 , S 2, 8 3 , S4 на
звеньях по аналогии с планом скоростей находим no
б
,
,
,
,
правилу подо ия соответствующие им точки s1 , s 2 , s8 , s4
на плане ускорений. Соединяем полученные точки с по
люсом плана ускорений и определяем ускорения центров
тяжести:
32.
а5, = p's~fJ-a = 30,5 • 0,073 = 2,23 м/с2;
а·=р's'u, = 60 •О073~438м/с2•
52
21а·
,
,
,
а5, = p's;μa = 42 •0,073 = 3,07 м/с2;
а5•=р's~μa = 36 •0,073= 2,63 м/с2•
Звено 5 совершает поступательное движение, поэтому
ускорение его центра тяжести iis совпадает по величине
-
~Е
и направлению с ускорением ав тьчки .
, Определяем угловые ускорения звеньев . Угловое уско
рение ё 1 ведущего звена 01А, совершающего равномерное
движени е , равно н:у- ,
лю.
Угловое ускоре
ние звена 2
Таблица 3
Зи.аче-
Обозначение
ние уа
коре
ния.
м/с 2
Обозначение
Значение
УСКОР()·
ния, м/С, 1
(е в 1/с')
t
(LBA 4,12
€2=--=- =
lАв 0,05
....
80,4 1/с2 •
Для определения
направления . уг лово
го ускорения Ё2 зве
на 2 _р ассмотрим вра
щение точки В вокруг
точки А. Перенесем
мысленно вектор n1b'
тангенциального ус
корения аtл в точку В .
В направлении этого
вектора точка В IJра
щается относительно
ав =' аво,
•аЪо,
t
0 во,
4,75
0,708
4,12
4,2
4,9 6
1,28
4,81
5,25
2,6 6
0,011
0,219
0,219
2,63
2,23
4,38
3,07
2,63 .
2,6 3
о
80,4
107
3,65
о
точки А против часовой стрелки , что и определяет на
правление углового ускорения ё 2 •
Угловое ускорение ё 3 звена O2В направлено против
часовой стрелки __( по вращению точки В относительно
точки 0 2 в · направлении вектора п2 Ь'). Величина его
определяется по формуле
а~о, 4,81
1071/2
€з=
-[-= о045=
с•
о,в
'
Угловое ускорение в4 звена DE направлено в соответ
ствии с 1< руговой стрелкой, направленной против часовой
стрелки ( по вращению точки Е относительно точки D
в направлении вектора п3е 1 тангенциального ускорения
a~D ), и определяется по формуле
_
a~D
_
0,219_ 3б5.l/2
$4-lDB-0,06 -
'
С-.
33
Угловое ускорение звена 5, движущегося поступательно,
равно нулю.
Полученные значения ускорений сводим, в таблицу 3.
Гл а в а III. СИЛОВОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ
§ 10. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ
При силовом исследовании решаются следующие за
дачи: 1) определение усилий, действующих на •звенья;
2) определение давлений в кинематических парах; 3) опре
деление уравновешивающей силы (момента).
Проектирование. нового механизма всегда включает си
лОвой расчет, так как по найденным силам производит<;я
последующий расчет на прочность элементов кинематиче
ских пар и звеньев механизма.
Одним из наиболее распространенных методов силового
расчета является метод кинетостатики. Этот метод осно
ван на принципе Д' Аламбера, который применительно к ме
ханизмам можно сформулировать так: если ко всем внеш
ним силам, действующим на систему звеньев, ,в.обавить
силы инерции, то под действием всех этих сил система зве
>rьев может считаться как бы находящейся в равновесии.
В этих условиях можно црименять уравнения статики для
решения задач динамики. Поскольку статически опреде
лимыми системами являются группы Ассура, то кинето
статический расчет ведется путем последовательного . рас
смотрения условий равновесия отдельно каждой группы,
начиная с наиболее удаленной от ведущего звена.
§ 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ
Общий случаи. Звено АВ совершает плоскопараллель
ное движение (рис. 9). Все точки звена совершают движе
ния с рщтичными по величине и направлению ускорениями.
Соответственно этому к каждой материальной точке звена
может быть приложена · ей присущая элементарная сила
инерции:
dF\; = dm?t,s;·
Как известно из теоретической механики, все эти элемен
тарные силы инерции могут быть сведены к главному век-
34
тору сил инерции Ри, приложенному, в центре тяжести S
звена и к главному моменту сил инерции Ми, которые со-
ответственно выражаются формулами :
5
ри =-mas;
ми·= -Ji,
где т - масса звена, кг; а.5 - ускорение
центра тяжести, м/с2 ; Js - момент инер
ции звена относительно оси, проходя- ~
щей через центр тяжести, кг-м2 ; ё -
угловое ускорение звена, 1/с2 .
,
Знаки минус в формулах указывают
на то, что главный вектор и · главный •
момент сил инерции направлены в сто
роны, противоположные направлениям А
соответствующих ускорений .
Рис. 9. К определе-
Частные случаи. 1. Звено совершает нию сил ич.ер ции
звена, совершающе- •
вращательное движение вокруг оси, не го плоскоп арал лель-
п рохощ~:щей · через центр тяжести (рис. ное движение .
10). Здесь аналогично все элементарные
силы инерции приводятся к главному вектору
ции (Н)
сил ин ер-
Ри= -та5
и к главному .моменту сил инерци и (Н ; м)
м=-J€
и
s•
Рис. 10. К определе
нию сил инерции звена,
вращающегося вокруг
оси, не проходящей
через центр тяжести .
Рис 11. К определению
сил инерции звена , со
вершающего вращ ате
льное движение в о
круг оси, проходящей
через центр тяжести .
35
2. Звено вращается вокруг оси, проходящей через центр
тяжести его (рис. 11), например ротор электродвигателя.
В этом случае а8 = О, следовательно, гл-авный вектор сил
•
-
-fl
Рц
17771•
Рис. 12. К определещ1ю
с_ил инерции звена, совер
шающего поступательное
движение в неподвижных
направляющих. ·
инерции Рп. "'"' О.
Если угловое ускорение е rf:. О,
то к звену _ прикладывается тольк6
главный _момент сил инерции
ми= -Jse·
3. Звено. совершает · поступа
тельное движение (рис. 12) с- уско
рением а8 . Считая, что масса звена
сосредоточена в центре тяжести S,
главный вектор сил инерции -выразится так:
)11 • D,00/ t1/Hl1
п,
Рис . 13. План механизма с действующими силами (а) и план
ускорений (6),
Поскольку угловое ускорение 1 = О, то главный мо
мент сил инерции Ми = О.
Пример. Произвести кинетостатическое исследование
механизма (рис. 13, а) в положении, определяемом углом
'
,
I
36
-ср поворота ведущего . ВЕена О1А, если на коромы9,!IО
(звено 8) действует момент сил полезного сопротивления
Мп. с= 6 Н •м; к ползуну (звено 5) приложена сила по
лезного сопротивления Рп. о= 140 Н; веса звеньев-G1 =
=44-Н,02=38Н,08=28Н,О~=40Н,05=60Н;
моменты инерщш звеньев-Js, = 0 ,00094 кг•м2, Js. =
= 0,00084 кг•мВ, Js. = 0;00575 кг•м2 ; уравновешивающая
• ~ила 7\ приложена в точке А звена O1А перпе1щикулярно
1< оси sвена. Размеры звеньев берем по условию примера
5, §8, ер=55°,
частота вращения кривошипа n1 =
= 120 об/мин в направлении часовой стрелки.
Р е ш е н и е. Чтобы определить величины и направле
ния сил инерции, воспользуемся планом ускорений из
примера 6, ~- 9 (рис. 13, 6).
,
Звено O1А вращаенш с постоянной угловой скоростью,
при этом :3озникает только сила инерции
-
Gi-
44
/Ри11= g/as,1=9,81 •2,23=10Н,
напрю:теннqя вдоль звена O1А от точки S 1 к точке А.
•.
Звено АВ (шатун) совершает плоскопараллельное дви
жение, при этом возникают сила инерции
1Ри2 1= ~2 /as,1=~•4,38 . 17 н,
направленная противоположно ускорению as, центра тя
>Кести и приложенная в точке S 9 , и пара сил инерции с мо
ментом
1Ми2 I = Js, /12/ = О,00094 •• 80,4 = 0,0756 Н:м,
направленным • противоположно угловому ускорению в 2 .
~вена АВ.
Для удобства силового расчета механизма момент пары
'
СИЛ инерции Ми, представляем эквивалентной парой сил,
направление вращения которой совпадает с направлением
момента. Плечо пары сил принимае1у1 равным длине ·звена
АВ . В точке А перпендикулярно к оси зв~на АВ прикла
дьiваем силу P:r, вверх, · в точке В перпендикулярно к оси
звена АВ прикладываем силу Р{[, вниз. Сила
-
lp-, /- IP_,, /- /Ми2I
_
o,075Q _ 1.51 Н
и2-
и2 - -т;;;
-
О,015 -
,
••
37
..
Полученная пара сил заменяет действие момента пар .
сил инерции Ми2 , Поэтому в дальнейшем расчете его
учитывать не будем (на рис. 13, а момент Ми2 зачеркнут),
а будем учитывать пару сил р;2 и J5;;2 на плече АВ. •
Звено О 2В (коромысло) совершает качательное дви~е
ние , в этом случае также имеет место сила инерции Ри,
и пара , сил инерции с моментом Миз, Определяем сил у
инерц ии
Силу Риз прикладываем к точке S3 в сторону, противо
пол ожную ускорению центра тяжести 'iis,
Момент пары сил инерции
1Миз 1= Js.IE3J=0,00084•107=0,09 Н•м.
З ам ен яем Ми. эквивалентной парой сил на плече 02 В
(рис. 13, а).
-
Определяем величины сил пары:
/р,/=/р"/- 1Миз1= 0,09 = 2Н
из
из
l
О 045
•
о,в
'
Звен о DE (шатун) совершает плоскопараллельное
движение. Определяем возникающие при его движении
силу инерции и момент пары сил инерции:
1Ри41= §..1а5 1= 9
4
8°1•2,63 =10,1н.
g
•
'
'
'
!Ми4/= Js, 1Ё4I = 0,00575•3,65= 0,021 Н•м.
Сил у и нерции Ри. прикладываем в точке S4 в; ст орону.
прот и воположную_ ускорению а5., момент пары сил ин~р
ции замен яем эквивалентной парой сил:
1-Р, I= I-P" I = /Ми41 = 0,021= 035 Н
и4
и4
lnE
0,06
,
.
•
Силу Р~4 прикладываем к точке Е вниз перпендику
лярно к оси звена DE , силу ?~4 - в точке D вверх
(рис. 13, а).
38
Звено 5 (ползун) совершает поступательное движение
вдоль неподвижной направляющей. В этом случае возни
кает только сила инерции
/J\s/.
~
5 jci5) = g~il •2,63 =16,1 Н,
направленная противоположно ускорению а5, ц~нтра тя
жести з.вена 5.
§ 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ В КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАРАХ
И УРАВНОВЕШИВАЮЩЕЙ СИЛЫ ,
ПРИЛОЖЕННОЙ В ТОЧКЕ А КРИВОШИПА
(СИЛОВОЙ РАСЧЕТ МЕХАНИЗМА)
Механизм состоит из исходного механизма I класса
1 порядка и двух двухповодковых структурных групп
IIкласса4-5и2-3(см.
е;
рис. 4). Силовой расчет ме-
д я;~
ханизма начинаем с наи- R".,,
более удаленной от веду- 1q *
щего звена группы 4-:5,
IR,:
состоящей из звеньев 4 и 5, )i,"0,00!11/1111
двух вращательных пар D
и Е и одной крайней посту-
пательной пары F.
R,r
5
S
Р,,,
'
G,
е;
.а
rJ
На группу 4_:_5 дейст
вуют известные по величине
и направлению силы G4 , G5 ,
Р,;4, Р;4, Риs,Ри4 И Рп. с• Осво
бождаем группу 4- 5 от свя
зей (рис. 14, а) и прикладьi
ваем ·.вместо них две реак
ции: одну реакцию R. 05 -
в поступательной паре F, пер
пендикулярную 1 к направ
ляющей ползуна и неизвест
ную по величине; другую
Рис. 14. Группа звеньев 4 - 5
с действующими силами (а) и
план сил группы 4 - 5 (6).
R. 34 - в шарнире D, неизвестную по величине и направле-
~ Направление R05 принимается перпендикулярным к направл~ю
щей в условиях, когда силы трения не учитываются.
3!)
нию. Реакцию R34 представляем в виде двух составляющих~
тангенциальной R;4 ,
направленной перпендикулярно
It оси звена /)Е,_ и нормальной Jfs4 , направленной вдоль
звена DE. Направлением состав;nяющих задаемся произ-
1;1ольно, как показано пунктирными векторами на рис. 14, а.
Чтобы определить реакции в кинематических парах D
и F, составляем векторное уравнение равновесия сил,
дейот13ующих 11а груr,ту 4-5, причем сначала в уравнение
записываем IJёe силы, действующие на звено 4, затем -
__
на sвено 5:
-RZ4+R~4+Ри4+ 04+Риs+G5+Рп.с+Rоь=О. (7)
Поскольку это уравнение решается путем построения
плана сил, то силы 7>;4 и 7>;4 в уравнение не запиц,~ваем
как взаимно друг друга уравновешивающие (равные по
величине, но противоположно направленные).
Реакцйю R~4
,
входящую в уравнение, можно опреде- ,
лить аналитически, для этого составляем уравнение мо•
менrов всех сил, действующих на звено DE, относительно
fочки Е:
откуда
t
P:4 DE+-Pи4hpи4 -G4hO•
Rз,i ==
DE
:а:
= Q;1~~ .6,О+10/•7-40•2§-=
_
17lН.
80
-
'
Здесь длины отрезков hP , h0 и DE взяты в миллиметрах .
и.
•
.
•
t
из чертежа. Поскольку составляющая R.. получилась
со знаком минус, то это значит, что ее действительное
напраf!ление противоположно выбранному.
Для построения плана сил исходя из величин сил, вхо
дящих в уравнение (7), задаемся масштабом плана μР =
= 2 Н/мм и - вычисляем длины векторов, изображающих
из в естные силы:
40
cd=04 =40
= 20мм;
μр
2
риБ 16,1
de=- =т=8,05 мм;
μр
.
ef == _Qo.__
=о.О-= 80 ММ'
μр2
'
f Рп.с 140 ?О
q = --;;;-=т= мм.
От произвольной точки а - полюса плана сил (рис. 1'4, б)
-
t
.
параллельно СИ{!е R 34 откладываем в том же направлении
вектор аЬ, изображающий эту - силу. Из конца вектора
аЬ точки Ь параллельно силе Ри4 откладываем в том же
направлении вектор Ьс. Далее откладываем последова
тельно векторы: cd силы 04 , de силы Ри5, ef силы 05 , fq
• силы Рп. с • Через точку а плана сил параллельно звену
DE проводим линию действин силы 7?;4 , а через точку q
перпендикулярно к направляющей ползуна - линию дей
ствия силы R. 05 . Точка h пересечения --этих линий действия
'
-
-
-
-п
определит векторы qh силы R05 и ha силы R34 :
1RоБ1= 1qh/f!,p = 50 •2 = 100Н;
1R.;4J= 1ha1μj, = 56•2 =112Н.
Вектор hb, являясь геометрической суммой векторов
ha и аЬ, представляет в · масштабе f!,p полную реакцию R, 34 :
rRз41 =1hbIf!,p = 57,5 •2 =115н.
Чтобы определить реакции в кинематической паре Е,
составляем уравнение равновесия сил, . действующих на
звено 4:
Rз4+Ри4+G4+R54= О,
. где R54 - реакция со стороны звена ~ на звено 4 .
Векторы сил R.з4 (hb), Ри4 (Ьс), G4 (cd) на плане сил
(рис. 14 1 б) уже имеются, поэтому неизвестная реакция
R. 54 _ будет представлена замыкающим вектором
~h на э·том
плане:
41
Реакция R45 со ~тороны звена 4 на звено 5 равна по
величине реакции R54 и противоположна ей по направ
лению:
R4Б = -R54•
Переходим к расчету группы 2-3, состоящей из
звеньев 2 и 3 и из трех вращательных пар А, В и 02•
а
ёt
е fиs
~~~. .: : :;:;__- -:~~
'о
Рис . 15. Группа звеньев 2 - 3 с дей
ствующими силами (а) и план сил
группы 2 - 3 (6).
На группу 2-3 дейст-
вуют известные по величине
и направлению силы G2 ,
Gз,Ри2,Р:2= - Р:2, Р,:з =
= ~ Р;з, Риз; R.43 - реак
ция со стороны звена 4 на
звено 3, связанная с реак
цией R.34
зависимостью
R.4з= - R.34, и момент сил
полезного сопротивления
Мп. с• Для удобства веде
ния дальнейших расчетов
представим момент Мп. с
в виде эквивалентной пары
сил: Р~. с, приложенной в
точке 0 2 механизма пер
пендикулярно к звену О2В,
и Р;. с, приложенной в точ
ке В таким образом, чтобы
направление ~ращения этой
пары совпадало с направле
нием Мп.с(против часовой
стрелки) (рис. 15, а). Осво
бождаем группу 2-3 от связей (рис. 15, а) и приклады-
ваем вместо них две реакции: R.12 в шарнире А и R. 03
в шарнире 0 2 , неизвестные по величине и направлению.
Представляем реакции R. 12 и R.03 в виде тангенциальных
и нормальных составляющих. Ориентировочные направле-
-
t
-1
ния тангенциальных составляющих R12 и R03 показаны
пунктирными векторами (рис. 15, а).
Для определения реакции R~ 2 составляем уравнение
моменто13 всех сил, действующих на звено 2, относительно
42
tочки В:
откуда
Знак минус показывает, что действительное направле
-t
. ние реакции R12 противоположно выбранному. Для опре-
-t
.
деления реакции . R03 составляем уравнение моментов всех
сил, действующих на звено 3, относительно точки В:
R~30 2B + Р~3О2В- Р~. сО2В + R4.3hR., -
G3ha, -
РизhРиз =0,
-
,
-
,,
1мп.с1
6
н
где /Рп.с1=1Рп.а/= l
~0045 = 133,3
.
о,в
'
Rt _ -Р;3O2В + Р~. 002В- R43hR,, + G3h0, + РизhРиз
оз-
02В
-
= -2 45+133,3.45 - 115 •20+28.2,5+8,75.15=845н·
45
,
'
•
Знак плюс указывает, что направление этой реакции
выбрано правильно.
_
Для определения реакций в кинематических парах А
и 0 2 строим план сил для двухповодковой группы 2-3 в це-
•лом (рис. 15, 6) согласно векторному уравнению
-
п
-
t
-
-
-
-
-
-t
-:-п
R12+R12+ Ри2+G2+Риз+Gз+R4.з+R03+R.03=О.
Силы Р:.2 и Р:2, Р:.з и Р:з, Р~. с и р;_ а в уравнение не
записываем, так как при построении плана сил О!fИ
взаимно уравновешиваются. Масштаб плана сил !1; =
= 3 Н/мм. Из плана сил опр еделяем величины и направ-
-п
-п
-
ления CИJI R12 и R03 , а также полных реакций R12 =
-t
-
,
-
-
t
-п
= R12+~12И Rоз=Rоз+Rоз:
1R~2/= 1kaIf',; = 70•3 =210 Н;
IR;31= 1hk1!1;=18•3=54Н;
IR121=/kb/f1;=70,3·3
.
211 Н;
/Rоз1= 1qk1'r~ = 34•3 =102Н.
43
Чтобы определить реакции в кинематической ларе В,
составляем уравнение равновесия сил , действующих на
звено 2 (отбросив звено 3, а действие его на звено 2 выра
зив реакцией - Rз2):
R12+Ри2+02+Rз2=О.
Согласно riлану сил реакцию R. 32 опре де ляет по вели
чине и направлению вектор dk:
о
~(}
в, μ, •О,00!11/111'1
ho;
-
а
а
'Ь
·а Ри,
о
Реакция R 23 равна по вели
чине реакции R32 и противопо
ложна ей по направлению: _
R2з = -Rв2·
Производим расчет ведущего
звена. На кривошип 01А дейст
ву ют: сила веса 01 , сила инер
:у.ии Ри1, со стороны звена 2 р_е
акция -R21 и со стороны стойки
реакция R.01
.
Кроме этих сил в
точку А -кривошипа перпенди
кулярно к оси звена приложим
уравновешивающую силу Рур
(рис. 16, а). Силы 01, Ри1 и R.21
полностью известны (по величи-
не и направлению), а силы R. 01
и Рур ~ не известны .
Вначале определяем величи.
Рис. 16 . Ведущее звено с
действующими силами (а) и
план сил ведущего звена (6) . ну силы Рур • Для этого состав-
-
ляем .уравнение моментов всех
звено 1, относительно точки 0 1 :
сил, действующих на
откуда
44J
р _ R21hR,~ -
G1ha, =
211-1,4-44•9=85ЗН
УР-
О1А
30
'
'
Реакцию R01 = - R10 по величине. и направлению оп
ределяем путем_ построения плана сил (рис. 16, 6), дейст
вующих на звено 1, сагласно векторному уравнению
Рур+R21+01+Ри1+Ro1=О.
Масштаб план11 сил принимаем
"
3Н/
fJ,p =
мм.
Из плана
1Ro11=/еа1,_,,; =71;3=213Н.
Получены искомые величины реакций и уравновеши
вающей СИJ]Ы в соответствующих кинематиче~ких парах, Н:
...
.
.......
213
211
210
102
Rv-
Rв
Rp,
рУР'••'•'';
•
'
§ 13. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРАВНОВЕШИВАЮЩЕЙ СИЛЫ
С ПОМОЩЬЮ РЫЧАГА Н. Е. ЖУl(ОВСКОГО
.
115
.
130
.
100
. 85,3
Уравновешивающую силу, приложенную к ведущему
звену механизма, можно также определить на основании
теоремы Н. Е. Жуковского о жестком рычаге, суть которой
заключается в следующем: «Если какой-либо механизм с од-
ной степенью подвижности под действием сил р--;_, Р~., Р8
и т. д. , приложенных к точкам А, В, С и т. д. , находится
в равновесии, то в равновесии находится и повернутый на
90° план скоростей этого механизма, рассматриваемый как
жесткий рычаг, вращающийся вокруг полюса р и нагру
женный теми же силами Р1, Р2 , Рз и т. д., приложенными
соответственно к точкам а, Ь, с и т. д.» [2].
Поэтому строим в произвольном масштабе повер·нутый
на 90° план скоростей механизма , Для удобства прини•
маем масштаб fJ-v = 0,00285 м/~•мм, при этом длины
векторов повернутого плана скоростей увеличатся вдвое
по сравнению с векторами построенного ранее плана ско
ростей, и · переносим на этот план заданную силу Рп. с,
пару сил Р~.а и р;_с от момента Мп.с, силы веса 01, 02,
03 , 04 , 05 , силы инерции Ри1~ Ри2, Риз, Ри4, P~s и пары
45
сил Р:2 и Р;2, Ри'з и Р;з, Ри4 и JS;4 от моментов пар сил
инерции Ми2, Миз и Ми4•
Перечисленные силы (рис. 17) переносим параллельно
самим себе и прикладываем в одноименных точках повер-
нутого на 90° плана ско-
ростей: силы Рп. с, J5:4, Риs,
05 - в точке е плана; си
лы Р;.аиР,~з~в полюсе
р;силыр;_с, Р:зи l>:2-
в точке Ь; силу Р,;2 - в точ-
Р,,* кеа;силыРи1иG1втoч-
,-!,1- ~ lsfl;;:;:::~P,,_,
кеS1;силыРи2И G2- В
точкеs2; силы7\зи Gз-в·
точке s3 ; силь1 Ри4 иG4-
в точке s4• В точке а пла
на перпендикулярно к век-
тору. ра
прикладываем
уравновешивающую силу
Рур•-
Составляем уравнение
моментов всех перенесенных
Рис. 17. Рычаг Н. Е. Жуковского. на план скоростей сил от-
носительно полюса р:
-Рурра+Р;.сРЬ+Рп.сРе- G1ho, -
G2ho2 -
Gзho, -
-
G4ho. -
Ри2hРи2 - РнзhРиз
-
Ри4hРи4 - РиsРе +
+ Pи't.de - Р:зрЬ + Р;2аЬ = О,
откуда
Р;_сРЬ+Рп.ере- 01h01 - 02h02- G3h0, -
G4h0, -
Рур = -----~- - --'-'-- - -= -- -"-'--
----' -
-'- -- -+
ра
-
р н2l~Ри2 - ризhРиз
-
ри4hРи4 -Р иsPe+P~4de-P;3Pb+P ~2аЬ
-+
-
46
_
133,3 ·84+140·46 -44
·36-3851
-
28 10- -+
132
-40
-
5-17 53-8 .75-50 - -1 0,7 - 44-16,1 46 -
-+ ----------------------+
-+
-0,35 9-2 •84+1,51 •66 = 83,2 Н..
Сравниваем величины уравновешивающих сил, полу
ченных силовым расчетом механизма (Р УР = 85,3 Н) и с по
мощью рычага Н. Е. Жуковского ((РУР = 83,2 Н), и вы
ч и сляем относительную погрешность, приняв за основу
резу льтат, полученный с пом ощью рычага Н. Е. Жуков-
ского:
-
р
-Р
ЛР - ур.ж
ур.с.Р •100%=
УР-
р.ур. ж
=
83 '\;}5' 3
• 100% = ~2 ,52%.
'
,
Относительная погрешность в вычиолениях уравнове
шивающей силы не превысила допустимой (5 %) . •
'.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин. М. , ,
«Наука», 1975.
2. Б ар а но в Г. Г. Курс теории механизмов и машин. М., «Ма
шиностроение», 1967.
3. Теория механизмов. Под ред. В,· А. Га ври лен к о. М.,
«Высшая школа», 1973 .
4. К о же вник о в С. Н. Теория механизмов и машин. М., «Ма
ш иностроение» ·, 1973.
Приложение
Условные обозначения звеньев и ки~ематических пар
Обозначение
~
~д
/
л
дилиL
--в-
или L-... J
г-,
,,, 1,,,/,J,,,,,,,
· : :J:(/((:(:
11,Ш
•
n.Jl,, "
.
~ ш.u
~
Ш.11
~
~
..
Наименование
Подвижное звено, входящее в дв~
вращательные кинематические пары
2 Сложное подвижное звено, т. е. звено,
входящее в три вращательные кине
матические пары
3 Звено, входящее в три вращательные
пары а параллельными осями враще
ния, , лежащими в одной плоскости
4 Два подвижных ,звена, соединенные
вращательной кинематической парой
5 Вращательная пара, соединяющая
подвижное и н~подвижное звено. _ Не
подвижные звенья (стойки) на схемах
показывают штриховкой
6 Поступательная кинематическая пара
двух подвижных 31,еньев
7 Поступательная кинематическая пара
подвижного звена с неподвижным
8 Поступательная кинематическая пара
двух подвижных звеньев при криво
линейной направляющей
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I . Структурный анализ плоских механизмов
3
§ 1. Основные понятия
3
§ 2. Определение степени подвижности плоских меха -
низмов
5
§ 3. Структурная классификация плоских механизмов
по Л. В. Ассуру - И. И. Артоболевскому
5
Глава II. Кинематическое исследование плоских механизмов
.
10
§ 4. Основные задачи и методы
10
§ 5. Построение планов положений механи1ма
11
§ 6. Построение траекторий точек
12
§ 7. Кинематическое исследование механизмов методом
графиков
14
§ 8. Определение скоростей точек механизма методом
планов скоростей
21
§ 9. Определение ускорений точек механизма методом
планов ускорений
27
Глава III. Силовое исследование плоских механизмов
.
34
§ Ю. Основные задачи и методы
34
§ 11. Определение сил инерции
34
§ 12 . Определение реакций в кинематических парах
и уравновешивающе.й силы, приложенной в точ-
ке А кривошипа (силовой расчет механизма)
39
§ 13. Определение уравновешивающей силы с помощью
рычага Н. Е. Жуковского .
45
Приложение .. •
47
Списоклитературы...........
48
Михаил Евгеньевич Иванов,
Владимир Сергеевич Павленко
ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
Решение задач по структуре, кинематике и кинетостатике
плоских рычажных механизмов
Научный редактор К. Н. Негребецкий
Редактор Е. Ф. Воробьеrза
Художественный редактор С В. Анненков
Технический редактор М. С. Чабан
Корректор С. И. Сокил
Информ. бJJанк No :tJ:t7
Сдано в набор 27.07. 1977 г. Падnисано н 11ечать 2.11 .1977 r .
Формат 84 Х 1 08 1 /з,. Бумага типографская No J . 2,52 усл. печ. л.,
2,36 уч. - изд. ,1. Тираж 15 ООО экз. ( 1 завод l-1000). 11 заво.,,_
( 1001-15 000). Изд . No 3326 БФ 01870. Зак. No 7-353 . Цена 5 1<0а:
Головное 1-1 зда1 ельство издательского объединения «Виша шко
ла». 252054, Кнев-54, ул. Гоголевская, 7.
Отr1ечатано с матри11 1<нижной фабрики им. М. В. Фрунзе
Республика1-1ского производственного объединения «Полнграф
книга» Госком11здата УССР в Харьковской городской типо г ра
фии No 16 Областного у п равления по делам I1здательств, поли
графии и книжной торговли. Харьков•З, У1-~иверси1е:тская, 16.
Зак 2479.
5 коп.
~