в. н. л птв пн емко
стереометрии
с методами решений
ПРОСВЕЩЕНИЕ

ПОСТРОЕНИЕ ОСНОВНОГО С*ДА СЕКУЩЕЙ ПЛОСКОСТИ
В(Р')4- 1_-
М
Построение сечения призмы плоскостыАЛРО
Q(Q)
Q
C(Q')
S
м
Построение линии пересечения
треугольной пластинки с
поверхностью призмы

в.и.лптвпнеико
сборник
по
задач
стереометрии
с методами решений
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ
Рекомендовано Управлением
общего среднего образования
Министерства
общего и профессионального образования
Российской Федерации
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1998

'IQiujfQibie noAiyii сообщества
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151.0
Л64 ^
(№)
Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор А. С.
Солодовников; учитель-методист средней школы № 471 Москвы С. П. Исаханова
Литвиненко В. Н.
Л64 Сборник задач по стереометрии с методами решений:
Пособие для учащихся.— М.: Просвещение, 1998.—255 с:
ил.— ISBN 5-09-006588-8.
Автор доступно, на высоком методическом уровне дает систему задач
курса стереометрии средней школы, позволяющую овладеть техникой
решения задач на построение и вычислительных задач. Первую часть
сборника составляют задачи для самостоятельного решения (их свыше
2000). Вторая часть — это необходимый справочный материал,
методические рекомендации и решение типовых задач, это позволяет
использовать сборник и как самоучитель. Наряду с решением задач
традиционными методами, активно используются координатный и вектор
но-координатный методы. Почти все задачи трехвариантные, с нарастающим
уровнем трудности. Книга может оказать помощь как учащимся, так и
учителям старших классов общеобразовательных учреждений.
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151.0
© Издательство «Просвещение», 1998
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 1998
ISBN 5-09-006588-8 Все права защищены

К читателю
Предлагаемый вашему вниманию сборник включает в себя
задачи, для решения которых вполне достаточно знания
материала школьного курса стереометрии. Более того, задачи сборника
расположены практически в той же последовательности, в
которой изучается теоретический материал стереометрии. Тем не менее
этот сборник не совсем обычен. Особенности его состоят коротко
в следующем:
1. В нем выделены в отдельные главы и параграфы задачи
на построение в пространстве. При решении задач на построение
предполагается активное использование аппарата параллельного
проектирования, что осуществляется применением
вычислительного способа и способа выносных чертежей.
2. В сборнике отводится значительно большее место
координатным, а также векторно-координатным способам решения
задач (и, в частности, задач на построение).
3. Большинство задач сборника являются оригинальными
(они составлялись специально для этого сборника).
Предпочтение при их отборе для этой книги отдавалось задачам,
интересным прежде всего с геометрической точки зрения. Способы
решения новых задач, вполне возможно, не столь хорошо известны
читателю. Учитывая эту особенность задач сборника, автор
включил в него, кроме задач для самостоятельного решения, также
краткий справочный материал и решение типовых задач. (Более
обстоятельное решение типовых задач автор излагает в другой
книге издательства «Просвещение» «Решение типовых задач по
геометрии».)
4. Каждая из задач для самостоятельного решения составлена
таким образом, что она содержит три задания: а), б), в) —по
нарастающей степени трудности. Это позволит использовать сборник
при работе с классами различной подготовленности.
5. В оглавлении читатель увидит две колонки с номерами
страниц. В первой колонке указаны номера страниц первой части
сборника (задачи для самостоятельного решения), во второй
колонке — номера страниц с соответствующим справочным
материалом.

Глава
Модели пространственных фигур.
Позиционные построения
§ 1. Модели пространственных фигур
Перерисуйте развертки пространственных фигур, подобных
заданным на рисунках 1 —10 (с коэффициентом подобия & = 3—5),
на плотную бумагу и затем вырежьте их. Сделайте сгибы по
штриховым линиям, нанесите клей на имеющиеся выступы и
склейте модели этих фигур.
а)
f
Рис. 1

Рнс. 3

Рис. 4

Рис. 5

8
Рис. 6

Рис. в
Рис. 7
9

6)
Рис. 7
10

Рис. 8
11

а)
б)
в.2)
Рис. 9
12

ll
б)
Рис. 10
13

А Ч
в.2)
Рис. 10
§ 2. Построение следов плоскостей
1. На ребрах ВВ\ и СС\ призмы АВСА\В\С\ заданы
соответственно точки Р и Q, а на прямой АА\—точка /?, такая, что
точка А лежит между точками R и А\. Постройте следы плоскости
PQR на следующих плоскостях: а) ВСС\\ б) АВС\ в) А\В\С\.
2. На ребрах ВВ\ и АС призмы АВСА\В\С\ заданы
соответственно точки Р и Q, а на прямой СС|—точка /?, такая, что
точка С\ лежит между точками R и С. Постройте следы плоскости
PQR: а) на грани АВС\ б) на грани Л|В|С|; в) на плоскости АСР.
14

3. На ребрах А\В\ и CD призмы ABCDA\B\C\D\ заданы
соответственно точки Р и Q, а в грани ADDXA\ —точка /?. Постройте
следы плоскости PQR: а) на грани ABCD; б) на плоскости А\В\С\\
в) на грани ADD\A\.
4. На ребре СС\ призмы ABCDA\B\C\D\ задана точка Р,
на отрезке АВ\ — точка Q, а на отрезке BD\ — точка /?. Постройте
следы плоскости PQR: а) на плоскости ЛВС; б) на грани A\B\C\D\\
в) на плоскости АА\С\С.
5. На ребре MB пирамиды МАВС задана точка Р, в грани
МЛ С —точка Q, а на прямой CD, где точка D лежит на ребре ЛВ,
задана точка /?, причем точка С лежит между точками D и /?.
Постройте следы плоскости PQ/?: а) на плоскости MBQ\ б) на
плоскости АВС\ в) на грани МВС.
6. На ребрах Л В, AfC, AC и AfB заданы соответственно
точки D, £, F и К, а на отрезках /CD, KE, KF заданы
соответственно точки Р, Q и /?. Постройте следы плоскости PQ/? на
следующих плоскостях: a) /C£F; б) АВС\ в) МЛВ.
7. Задана пирамида MABCD. Постройте следующие следы:
а) плоскости MAC на плоскости MBD\ б) плоскости МАВ на
плоскости MCD\ в) плоскости МВС на плоскости Л1ЛО.
8. На ребрах MB и ВС пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Р и Q, а на грани M/4D — точка R. Постройте
следы следующих плоскостей на плоскости MCD: a) MPQ\
б) PQR\ в) DP/?.
§ 3. Построение сечений многогранников
(аксиоматический метод)
1. На ребре ВВ| призмы ЛВСЛ1В1С1 задана точка Р, на
ее грани ЛССИ|— точка Q, а в плоскости ABC вне
треугольника ABC задана точка /?. Постройте сечения призмы следующими
плоскостями: a) BXQC\ б) PQC\ в) PQR,
2. На продолжении ребра ВВ| призмы ЛВСЛ1В1С1 задана
точка Р, такая, что точка В\ лежит между точками Р и В.
На ребре АС этой призмы задана точка Q. Через точку К,
заданную на ребре СС|, и точку В проведена прямая, на которой
задана точка /?, такая, что точка V лежит между точками В и R.
Постройте сечения призмы следующими плоскостями: a) BiQCi;
б) PQC,; в) PQR.
3. Постройте сечения призмы ABCDA\B\C\D\ следующими
плоскостями: а) ЛСС| и BDD\\ б) ABD\\ в) ЛВС|.
4. На ребре СС| призмы ABCDA\B\C\D\ задана точка Р,
на отрезке AD\— точка Q, а на прямой ЛВ1—точка /?, такая,
что точка В\ лежит между точками Ли/?. Постройте сечения
призмы следующими плоскостями: a) ACR\ б) APR; в) PQR.
5. На ребре B|Ci призмы ABCDA\B\C\D\ задана точка Р,
а на прямых DD| и ВВ| соответственно точки Q и /?, такие, что
15

С(Р)
Рис. П
точка D\ лежит между точками D и Q, а точка В — между
точками В\ и R. Постройте сечения призмы следующими плоскостями:
а) ACXQ\ б) C\QR\ в) PQR.
6. На ребре АВ призмы ABCDEA\B\C\D\E\ задана точка Я,
на отрезке A\D\—точка Q, а на прямой СС\—точка /?, такая,
что точка С\ лежит между точками Си/?. Постройте сечения
призмы следующими плоскостями: a) BQE; б) RQE; в) PQR.
7. На ребрах СС\ и D\EX призмы ABCDEA\BXC\DXE\ (рис. 11)
заданы соответственно точки Я и Q, а в грани АЕЕ\А\ —точка R.
Постройте сечения призмы следующими плоскостями: a) BC\Q\
б) BPQ\ в) PQR.
8. На ребре MB пирамиды МАВС задана точка Я, в грани
MAC — точка Q и в плоскости ABC вне треугольника ABC задана
точка R. Постройте сечения пирамиды следующими плоскостями:
a) APQ\ б) BPQ\ в) PQR.
9. В гранях МАВУ MAC и МВС пирамиды МАВС заданы
соответственно точки Я, Q и R. Постройте сечения пирамиды
следующими плоскостями: а) АСР\ б) BPR\ в) PQR.
10. В гранях МАВ, MAD и МВС пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Я, Q и R. Постройте сечения пирамиды
следующими плоскостями: a) BCQ\ б) CDP\ в) PQR.
11. На ребрах МЛ, MB и МС пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Лк В\ и Ci, через которые проведена
плоскость. Она пересекает ребро MD в точке Di, и таким образом
от пирамиды MABCD отсечена пирамида MA\B\C\D\. На ребрах
А\В\У AD и СС\ многогранника, оставшегося после, отсечения
пирамиды MA\B\C\D\, заданы соответственно точки Я, Q и /?.
Постройте сечения этого многогранника следующими
плоскостями: a) APR\ б) BPQ\ в) PQR.
16

E(Q')
Рис. 12
Рис. 13
12. В грани МВС пирамиды MABCDE (рис. 12) задана
точка Р, вне этой пирамиды задана точка Q и внутри ее — точка /?.
Постройте сечения пирамиды следующими плоскостями: a) PQC\
б) PQA\ в) PQR.
13. На ребрах MA, MB и ME пирамиды MABCDE взяты
соответственно точки А\у В\ и £| и из заданной пирамиды
удалена пирамида МА\В\Е\ (рис. 13). На ребрах В\Е\, ЕЕ\
Рис. 14
17

и CD оставшегося многогранника (пирамида со «ступенькой»)
заданы соответственно точки Р, Q и /?. Постройте сечения
пирамиды следующими плоскостями: a) APQ\ б) BPQ\ в) PQR.
14. Являются ли закрашенные фигуры (рис. 14—23)
сечениями изображенных многогранников плоскостью PQR?
Рис. 16
18

Рис. 17
к Q
Рис. 18
в)
19

Рис. 20
Рис. 21
а)
в)
20
Рис. 22

В тех случаях, когда сечение показано неправильно, найдите
правильное решение. (На рисунках 14—17 изображены
параллелепипеды, на рисунках 18 и 19 — треугольные призмы, на
рисунках 20 и 21 —треугольные пирамиды, на рисунках 22 и 23 —
четырехугольные пирамиды.)
§ 4. Построение параллельных прямых
и параллельных плоскостей
1. Построение прямой, проходящей через заданную точку
параллельно заданной прямой
1. На ребрах АС и СС\ призмы АВСА\В\С\ заданы
соответственно точки Р и Q. Постройте прямые, параллельные
прямой PQ и проходящие через следующие точки: а) Л; б) В\ в) Af,
заданную на ребре АВ.
2. На ребрах АВ и СС\ призмы АВСА\В\С\ заданы
соответственно точки Р и Q. Постройте прямые, параллельные
прямой PQ и проходящие через следующие точки: а) А\ б) В; в) М,
заданную на ребре В\С\.
3. На ребре СС\ призмы ABCDA\B\C\D\ задана точка Р.
Постройте прямые, параллельные прямой DP и проходящие
через следующие точки: а) А\ б) /(, заданную на ребре АА\\ в) L,
заданную в грани AA\D\D.
4. В грани ВВ\С\С призмы ABCDA\B\C\D\ задана точка Р.
Постройте прямые, параллельные прямой АР и проходящие через
следующие точки: а) /(, заданную на ребре AD\ б) L, заданную
на ребре АВ\ в) Af, заданную на ребре ВВ\.
5. На ребрах ВВ\ и DD\ пятиугольной призмы ABC...D\E\
заданы соответственно точки Р и Q. Постройте прямые, парал-^
лельные прямой PQ и проходящие через следующие точки:
а) Е\ б) /С, заданную на ребре АА\\ в) L, заданную в грани
ААхВхВ.
21

6. На ребре МС пирамиды МАВС задана точка Р. Постройте
прямые, параллельные прямой АР и проходящие через следующие
точки: а) В; б) /С, заданную на ребре АВ; в) L, заданную на
ребре MB.
7. На ребрах МА и MD пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Р и Q. Постройте прямые, параллельные прямой
PQ и проходящие через следующие точки: a) D; б) /(, заданную на
ребре МС; в) L, заданную в грани МАВ.
8. На ребрах АВ, СС\ и АС призмы АВСА\В\С\ заданы
соответственно точки Р, Q и R. Постройте прямую, параллельную
прямой Q/? и проходящую через точку Р, и найдите точки
пересечения построенной прямой со следующими плоскостями:
а) А\В\С\\ б) ВСС\\ в) АСС\.
9. На ребрах ВВ\% СС\ и АВ призмы АВСА\В\С\ заданы
соответственно точки Р, Q и R. Постройте прямую, параллельную
прямой QR и проходящую через точку Р, и найдите точки
пересечения построенной прямой со следующими плоскостями:
а) ABC; б) Л,В,С,; в) АССХ.
10. В грани AA\DXD и на ребре СС\ призмы ABCDAXB\C\DX
заданы соответственно точки Р и Q. Постройте прямую,
параллельную прямой DQ и проходящую через точку Р, и найдите
точки пересечения построенной прямой со следующими
плоскостями: а) ABC; б) ВСС\\ в) АВВ\.
11. В основании призмы лежит трапеция с параллельными
сторонами AD и ВС. На ребрах АА\У ВВ\ и СС\ этой призмы
заданы соответственно точки Р, Q и /?. Постройте прямую,
параллельную прямой Q/? и проходящую через точку Р, и найдите
точки пересечения построенной прямой со следующими
плоскостями: а) АВС\ б) Л1В1С1; в) CDD\.
12. На ребрах МА, МС и АВ пирамиды МАВС заданы
соответственно точки Р, Q и R. Постройте прямую, параллельную
прямой QR и проходящую через точку Р, и найдите точки
пересечения построенной прямой со следующими плоскостями:
а) АВС\ б) МВС\ в) МВКу где точка К задана на ребре АС.
13. На ребрах MB, MD и АВ пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Р, Q и /?. Постройте прямую,
параллельную прямой QR и проходящую через точку Р, и найдите точки
пересечения построенной прямой со следующими плоскостями:
а) АВС; б) MCD\ в) MAD.
2. Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей
через заданную точку параллельно заданной плоскости
14. На ребрах АВУ АА\ и ВС призмы АВСА\В\С\ заданы
соответственно точки Р, Q и R. Постройте сечения призмы
плоскостями, параллельными плоскости PQR и проходящими
через следующие точки: а) /С, заданную на ребре АВ; б) L,
заданную на ребре ССХ; в) Af, заданную на ребре ВХС\.
22

15. На ребрах ВВи А\В\ и АС призмы АВСА\В\С\ заданы
соответственно точки Р, Q и R. Постройте сечения призмы
плоскостями, параллельными плоскости PQR и проходящими через
следующие точки: а) А\\ б) В\\ в) В.
16. На ребрах АС, ВС и СС\ призмы АВСА\В\С\ заданы
соответственно точки Р, Q и R. Постройте сечения призмы
плоскостями, параллельными плоскости PQR и проходящими
через точку Af, заданную на одном из следующих ребер: а) CCi;
б) ВВХ\ в) Л,В,.
17. На ребрах АС и ВС призмы АВСА\В\С\ заданы
соответственно точки Р и Q, а на прямой СС| задана точка /?, такая, что
точка С\ лежит между точками Си/?. Постройте сечения призмы
плоскостями, параллельными плоскости PQR и проходящими
через точку Af, заданную: а) на ребре СС\\ б) на ребре А\В\\ в) в
грани Adi/?!/?.
18. На ребрах ЛВ, ВВ\ и ВС призмы ЛВСЛ|В|С| заданы
соответственно точки Р, Q и /?. Постройте сечения призмы
плоскостями, параллельными плоскости PQR и проходящими
через точку Af, заданную на прямой PL, где точка L — это точка
одного из следующих ребер: a) CCi; б) B|Ci; в) ЛiCi-
19. На ребре AD призмы ABCDA\B\C\D\ задана точка Р,
на прямой СС| — точка Q, такая, что точка С\ лежит между
точками С и Q, а в грани АА\В\В задана точка R. Постройте
сечения призмы плоскостями, параллельными плоскости PQR и
проходящими через следующие точки: а) Л; б) В\\ в) 1Л заданную
на ребре ВС.
20. На ребрах CD, AB и BBi призмы ABCDA\B\C\D\ заданы
соответственно точки Р, Q и R. Постройте сечения призмы
плоскостями, параллельными плоскости PQR и проходящими через
точку Af, заданную: а) на ребре АА\\ б) на ребре A\D\\ в) в грани
AAXDXD.
21. На ребрах CD и АВ призмы ABCDA\B\C\D\ заданы
соответственно точки Р и Q, а на прямой ВВ|—точка /?, такая,
что точка В\ лежит между точками В и /?. Постройте сечения
призмы плоскостями, параллельными плоскости PQR и
проходящими через точку Af, заданную: а) на ребре BiCi; б) в грани
AA\D\D\ в) на отрезке PR.
22. На ребрах АВ и BAf пирамиды МАВС заданы
соответственно точки Р и Q, а на прямой ВС задана точка /?, такая,
что точка С лежит между точками В и R. Постройте сечения
пирамиды плоскостями, параллельными плоскости PQR и
проходящими через следующие точки: a) Af; б) D, заданную на ребре ВС\
в) F, заданную в грани ABC.
23. На ребрах ЛС, ВС и AfC пирамиды МАВС заданы
соответственно точки Р, Q и R. Постройте сечения пирамиды
плоскостями, параллельными плоскости PQR и проходящими
через точку L, заданную: а) на ребре AfB; б) в грани МАВ\ в) на
прямой AfB, где точка В лежит между точками Af и L.
23

24. На ребрах АС и МС пирамиды МАВС заданы
соответственно точки Р и Q, а в грани МВС— точка R. Постройте сечения
пирамиды плоскостями, параллельными плоскости PQR и
проходящими через точку Ny заданную: а) на отрезке ML, точка L
которого лежит в грани АВС\ б) на прямой СК, точка К которой
лежит в грани МАВ и находится между точками С и N\ в) на
прямой £7\ точка Е которой лежит на ребре МВ, а точка F — на
ребре МАУ причем точка Е находится между точками F и N.
25. На ребрах АВ, МА и МС пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Я, Q и R. Постройте сечения пирамиды
плоскостями, параллельными плоскости PQR и проходящими
через заданные точки: а) А\ б) D|, лежащую на ребре MD\ в) С|,
лежащую на прямой МС, такую, что точка С лежит между
точками М и С\.
26. На ребрах CD, ВС и МС пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Р, Q и R. Постройте сечения пирамиды
плоскостями, параллельными плоскости PQR и проходящими
через точку Af, заданную: а) на ребре AD\ б) на ребре МА\
в) в грани МАВ.
27. На ребрах АВУ MB и МС пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Р, Q и R. Постройте сечения пирамиды
плоскостями, параллельными плоскости PQR и проходящими
через точку L, заданную: а) на прямой АВУ причем точка А лежит
между точками В и L; б) на отрезке М/(, точка К которого лежит
в грани ABCD\ в) на прямой CN, точка N которой лежит в грани
МАВ и находится между точками С и L.
§ 5. Построение сечений многогранников
(комбинированный метод)
1. Построение сечения, проходящего через заданную прямую
параллельно другой заданной прямой
1. На ребрах ВВ\ и СС\ призмы АВСА\В\С\ заданы
соответственно точки Р и Q. Постройте сечения призмы следующими
плоскостями: а) плоскостью, проходящей через прямую АР
параллельно прямой BQ, и плоскостью, проходящей через
прямую BQ параллельно прямой АР; б) плоскостью, проходящей
через прямую AQ параллельно прямой С\Р, и плоскостью,,
проходящей через прямую С\Р параллельно прямой AQ\ в)
плоскостью, проходящей через прямую AQ параллельно прямой СР,
и плоскостью, проходящей через прямую СР параллельно
прямой AQ.
2. На ребре ВВ\ призмы АВСА\В\С\ задана точка Р, а в грани
ABC — точка Q. Постройте сечения призмы следующими
плоскостями: а) плоскостью, проходящей через прямую C\Q
параллельно прямой ЛЯ, и плоскостью, проходящей через прямую АР
24

параллельно прямой C\Q; б) плоскостью, проходящей через
прямую СР параллельно прямой CiQ, и плоскостью,
проходящей через прямую C\Q параллельно прямой СР; в)
плоскостью, проходящей через прямую СР параллельно прямой B\Q,
и плоскостью, проходящей через прямую B\Q параллельно
прямой СР.
3. В грани ABCD призмы ABCDA\B\C\D\ задана точка Р.
Постройте сечения призмы следующими плоскостями: а)
плоскостью, проходящей через прямую D\P параллельно прямой B\D,
и плоскостью, проходящей через прямую B\D параллельно
прямой D\P\ б) плоскостью, проходящей через прямую А\Р
параллельно прямой B\D4 и плоскостью, проходящей через прямую
B\D параллельно прямой А\Р; в) плоскостью, проходящей через
прямую ВХР параллельно прямой А\СУ и плоскостью, проходящей
через прямую А\С параллельно прямой В\Р.
4. На ребрах Л С, МС и АВ пирамиды МАВС заданы
соответственно точки Р, Q и R. Постройте сечения пирамиды
следующими плоскостями: а) плоскостью, проходящей через
прямую MB параллельно прямой PQ, и плоскостью, проходящей
через прямую PQ параллельно прямой MB; б) плоскостью,
проходящей через прямую BQ параллельно прямой С/?, и
плоскостью, проходящей через прямую CR параллельно прямой BQ;
в) плоскостью, проходящей через прямую QR параллельно
прямой AfP, и плоскостью, проходящей через прямую МР
параллельно прямой QR.
5. На ребрах МС и МА пирамиды МАВС заданы
соответственно точки Р и Q, а в грани ABC — точка R. Постройте
сечения пирамиды следующими плоскостями: а) плоскостью,
проходящей через прямую CQ параллельно прямой М/?, и плоскостью,
проходящей через прямую MR параллельно прямой CQ; б)
плоскостью, проходящей через прямую ВР параллельно прямой CQ,
и плоскостью, проходящей через прямую CQ параллельно
прямой ВР; в) плоскостью, проходящей через прямую PQ
параллельно прямой MR, и плоскостью, проходящей через прямую MR
параллельно прямой PQ.
6. На ребрах MB и МС пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Р и Q, а в грани ABCD — точка R. Постройте
сечения пирамиды следующими плоскостями: а) плоскостью,
проходящей через прямую АС параллельно прямой DP, и
плоскостью, проходящей через прямую DP параллельно прямой АС;
б) плоскостью, проходящей через прямую DP параллельно прямой
BQ, и плоскостью, проходящей через прямую BQ параллельно
прямой DP; в) плоскостью, проходящей через прямую PR
параллельно прямой BQ, и плоскостью, проходящей через прямую BQ
параллельно прямой PR.
7. На ребрах МС и MB пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Р и Q, а в грани ABCD — точка R — точка
пересечения диагоналей АС и BD. Постройте сечения пирамиды
25

следующими плоскостями: а) плоскостью, проходящей через
прямую DQ параллельно прямой PR, и плоскостью, проходящей
через прямую PR параллельно прямой DQ; б) плоскостью,
проходящей через прямую DP параллельно прямой Q/?, и плоскостью,
проходящей через прямую QR параллельно прямой DP\ в)
плоскостью, проходящей через прямую DR параллельно прямой PQ,
и плоскостью, проходящей через прямую PQ параллельно
прямой DR.
2. Построение сечения, проходящего через заданную точку
параллельно двум заданным скрещивающимся прямым
8. На ребрах АВ и СС\ призмы АВСА\В\С\ заданы
соответственно точки Р и Q. Постройте сечения призмы плоскостями,
параллельными прямым В\Р и A\Q и проходящими через
следующие точки: а) /(, заданную на ребре АА\\ б) L, заданную на
ребре ВВ\\ в) Af, заданную на ребре В\С\.
9. На ребрах АВ и СС\ призмы АВСА\В\С\ заданы
соответственно точки Р и Q. Постройте сечения призмы плоскостями,
параллельными прямым В\Р и A\Q и проходящими* через
следующие точки: а) /С, заданную в грани АА\В\В\ б) L, заданную
в грани А\В\С\\ в) Af, заданную в грани ВВ\С\С.
10. На ребрах АВ и СС\ призмы АВСА\В\С\ заданы
соответственно точки Р и Q. Постройте сечения призмы плоскостями,
параллельными прямым В\Р и A\Q и проходящими через
следующие точки: а) К, заданную на отрезке С\Р\ б) L, заданную на
отрезке BQ\ в) Af, заданную на отрезке PQ.
11. На ребрах АА\ и DD\ призмы ABCDA\B\C\D\ заданы
соответственно точки Р и Q. Постройте сечения призмы плоскостями,
параллельными прямым В\Р и A\Q и проходящими через
следующие точки: а) /(, заданную на ребре СС\\ б) L, заданную на
ребре DD\\ в) Af, заданную на ребре А\В\.
12. На ребрах АА\ и DD\ призмы ABCDA\B\C\D\ заданы
соответственно точки Р и Q. Постройте сечения призмы плоскостями,
параллельными прямым В\Р и A\Q и проходящими через
следующие точки: а) /С, заданную в грани CC\D\D\ б) L, заданную в
грани i4iB|C|Di; в) Af, заданную в грани ABCD.
13. На ребрах AAU DDU AD и АХВХ призмы ABCDA\B\C\D\
заданы соответственно точки Р, Q, R и 1Л Постройте сечения
призмы плоскостями, параллельными прямым »Ри A\Q и
проходящими через следующие точки: а) /(, заданную на отрезке
B\D\ б) L, заданную на отрезке Ci/?; в) Af, заданную на
отрезке RV.
14. В грани ABCD призмы ABCDA\B\C\D\ задана точка Я,
а на ребре СС| — точка Q. Постройте сечения призмы
плоскостями, параллельными прямым В\Р и A\Q и проходящими через
следующие точки: а) /С, заданную на ребре DD\\ б) L, заданную
на ребре Л|В|; в) Af, заданную на ребре AD.
26

15. На ребрах МА и МС пирамиды МАВС заданы
соответственно точки Р и Q. Постройте сечения пирамиды плоскостями,
параллельными прямым ВР и AQ и проходящими через
следующие точки: а) /(, заданную на ребре МА; б) L, заданную на
ребре MB; в) ДО, заданную на ребре ВС.
16. На ребрах МА и МС пирамиды МАВС заданы
соответственно точки Р и Q. Постройте сечения пирамиды плоскостями,
параллельными прямым ВР и AQ и проходящими через
следующие точки: а) /(, заданную в грани МАВ; б) L, заданную в
грани ЛВС; в) ДО, заданную в грани AfBC.
17. На ребрах МА и MD пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Р и Q. Постройте сечения пирамиды плоскостями,
параллельными прямым ВР и >4Q и проходящими через
следующие точки: а) /(, заданную на ребре МВ\ б) L, заданную на
ребре МС; в) ДО, заданную на ребре CD.
18. На ребрах МА и AfD пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Р и Q. Постройте сечения пирамиды плоскостями,
параллельными прямым ВР и AQ и проходящими через
следующие точки: а) К, заданную в грани МАВ; б) L, заданную в
грани MCD; в) ДО, заданную в грани ABC.
19. На ребрах МА и MD пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Р и Q. Постройте сечения пирамиды плоскостями,
параллельными прямым ВР и AQ и проходящими через
следующие точки: а) /(, заданную на отрезке СР; б) L, заданную на
отрезке BQ; в) ДО, заданную на отрезке MR, где точка R задана
в грани ABCD.
§ 6. Построение пересечения заданных
плоскостей и прямых
1. Построение линии пересечения заданных плоскостей
1. На ребрах АА\, ВВ\, AC, Bid и Л,С| призмы АВСА\В\С\
заданы соответственно точки Р, Q, R, U и К. Постройте линии
пересечения следующих пар плоскостей: a) AQU и >4iB/?; б) CPQ
и В/?К; в) PQ/? и BUV.
2. На ребрах AAU ВС, CD, СС\ и DD, призмы ЛВС£>Л,В,С,£,
заданы соответственно точки Р, Q, R, U и К. Постройте линии
пересечения следующих пар плоскостей: a) APU и QRV; б) PQ/?
и ABU; в) PQ/? и Л£/К.
3. На ребрах MB и АС пирамиды МАВС заданы
соответственно точки Р и Q, а в ее гранях AfBC и МАВ соответственно
точки R и U. Постройте линии пересечения следующих пар
плоскостей: a) PQU и MBQ; б) BCU и PQ/?; в) CPQ и Л/?(Л
4. На ребрах МС и ЛВ пирамиды МАВС заданы
соответственно точки Р и Q, на прямых ВС и MB соответственно точки R и
(У, причем точка В находится между точками С и R и между точ-
27

ками М и U. На отрезке М/С, где точка К лежит в грани ЛВС,
задана точка V. Постройте линии пересечения следующих пар
плоскостей: a) PQR и ABV\ б) PQU и ARV\ в) PRU и CQK.
5. На ребре СС\ призмы ABCDA\B\C\D\ задана точка Р.
Постройте линии пересечения следующих пар плоскостей:
a) AAiDi и BDP\ б) АВ\С\ и BDP\ в) ^,CiD и BDP.
6. На ребрах ЕЕХу СС\ и ЛВ призмы ABCDEA\B\C\D\E\
заданы соответственно точки Я, Q и /?. Постройте линии
пересечения следующих пар плоскостей: а) ЛС\Р и D\QR\ б) ЛЖ? и
£,С,/?; в) PQ/? и АСхЕх.
7. На ребрах AD и C|D| призмы ЛВС£Л|В|С|£| заданы
соответственно точки Р и Q, а в гранях ЛЛ|В|В и ВВ\С\С
соответственно точки R и U. Постройте линии пересечения
следующих пар плоскостей: a) ABQ и DRU\ 6)ACU и PQ/?;
в) PRU и Л<?/?.
8. На ребрах МС и AfB пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Р и /(, а на прямых Л С и AfB соответственно
точки Q и /?, причем точка Л лежит между точками С и Q, а точка
М — между точками В и R. Постройте линии пересечения
следующих пар плоскостей: а) АСК и PQR\ б) АРК и PQ/?; в) BQ/( и
PQR.
9. На ребрах MB, MA и CD пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Р, Q и /?. На диагонали BD задана
точка (У и в грани NAD — точка V. Постройте линии пересечения
следующих пар плоскостей: a) MBV и PRU\ б) MRV и APU\
в) Р(УК и BRQ.
2. Построение точки пересечения заданной прямой
с заданной плоскостью
10. На ребрах ADy DD\ и ВВ\ призмы ABCDA\BXCXD\
заданы соответственно точки Р, Q и R. Постройте точки
пересечения с плоскостью PQR следующих прямых: а) Л|С; б) D\B\
в) BDl
11. На ребре ВВХ призмы ЛВСЛ1В1С1 задана точка Я, а
на прямых ЛЛ| и СС| соответственно точки Q и /?, причем
точка Л находится между точками А\ и Q, а точка С| — между
точками Си/?. Постройте точки пересечения с плоскостью
PQ/? следующих прямых: а) С К, точка К которой задана на
ребре Л1В1; б) LN, точка L которой задана на ребре Л1С1, a
точка N — на ребре АВ\ в) LM, точка L которой задана на ребре
А\С\У а точка М — на ребре ВС.
12. На ребрах МЛ, MB и МС пирамиды МАВС заданы
соответственно точки Р, Q и R. Постройте точки пересечения
с плоскостью PQR следующих прямых: а) С/С, точка К которой
задана в грани МАВ\ б) МL, точка L которой задана в грани АВС\
в) KN, точка К которой задана в грани МАВ\ а точка N —
в грани MAC.
28

13. На ребрах АВ, ВС и МС пирамиды МАВС заданы
соответственно точки Я, Q и /?, а в грани ЛВС —точка L.
Постройте точки пересечения с плоскостью PQR следующих прямых:
а) АХ, точка К которой задана на ребре МВ\ б) ML\ в) NLy
точка N которой задана на ребре МС.
14. На ребрах MB и ME пирамиды MABCDE заданы
соответственно точки Р и Ку а на прямых CD и АЕ соответственно
точки Q и /?, причем точка D лежит между точками Си Q, а
точка Л — между точками Е и R. Постройте точки пересечения с
плоскостью PQ/? следующих прямых: а) В/(; б) С/(; в) АК.
15. На ребрах CCi и АВ призмы ABCDA\B\C\D\ заданы
соответственно точки Р и Q, а в грани >4i4iDiD — точка /?.
Постройте точки пересечения с плоскостью PQR следующих
прямых: a) DKy точка К которой задана на ребре В\С\\ б) DLy
точка L которой задана в грани АА\В\В\ в) MN% точка М которой
задана на ребре C\D\, а точка N — в грани ABCD.
16. На прямых ВС, ВЛ и ВВ|, проходящих через ребра
призмы ABCDA\B\C\D\, заданы соответственно точки Р, Q и /?,
причем точка С лежит между точками В и Р, точка Л — между
точками В и Q, а точка Bi — между точками В и /?. Постройте
точки пересечения с плоскостью PQR следующих прямых: a) BD\\
б) С|/(, точка К которой задана на ребре AD\ в) L/V, точка L
которой лежит на ребре Л1В1, а точка N — на ребре CD.

Г лава
■| Метрические построения
§ 7. Выносные чертежи
1. На ребре АВ куба ABCDA\B\C\D\ взяты точки £ и F,
такие, что AE = EF = FB. Постройте фигуры, подобные
оригиналам сечений куба следующими плоскостями: a) BDD\\ б) DD\F\
в) DDiE.
2. На ребре CD прямоугольного параллелепипеда
ABCDAiBiCiDu У которого AB:AD:AAi = 1:2:1, взяты точки £
и F, такие, что C/r=/r£ = £D. Постройте фигуры, подобные
оригиналам сечений параллелепипеда следующими плоскостями:
а) ААХС\ б) AAXF\ в) ЛЛ,£.
3. На ребре AD прямого параллелепипеда ABCDA\B\C\D\,
в основании которого лежит ромб с углом 60° и у
которого АВ:АА\ = \:2> взяты точки Е и F, такие, что AE = EF =
= FD. Постройте фигуры, подобные оригиналам сечений
параллелепипеда следующими плоскостями: a) BB\D\ б) BB\F\
в) BBiE.
4. На ребре АС правильной призмы АВСА\В\С\, боковые
грани которой — квадраты, взяты точки Д Е и F, такие, что
CD = DE=EF = FA. Постройте фигуры, подобные оригиналам
сечений призмы следующими плоскостями: a) BC\D\ б) ВС\Е\
в) ВС,/7.
5. На ребрах CD, BBX и ЛЛ| куба >4BCD^iB|C|D| взяты
соответственно точки £, F и /С — середины этих ребер.
Постройте фигуры, подобные оригиналам сечений куба
следующими плоскостями: а) ВС\Е\ б) C\FE\ в) С\КЕ.
6. На ребрах CD, BB\ и ЛЛ| прямоугольного
параллелепипеда ABCDA|B|C|D|, у которого ЛВ:ЛД:ЛЛ| = 1:2:1, взяты
соответственно точки £, F и /С — середины этих ребер. Постройте
фигуры, подобные оригиналам сечений параллелепипеда
следующими плоскостями: а) С\ВЕ\ б) C\FE\ в) С\КЕ.
7. На ребрах CD, BB\ и ЛЛ| прямого параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\, в основании которого лежит ромб с углом 60°
и у которого ЛВ:ЛЛ| = 1:2, взяты соответственно точки £, F и
/(— середины этих ребер. Постройте фигуры, подобные
оригиналам сечений параллелепипеда следующими плоскостями:
а) С,В£; б) CXFE\ в) CiKE.
8. На ребре ЛС правильной призмы АВСА\В\С\, у которой
ЛЛ|МВ = 2:1, взяты точки D, £ и F, такие, что CD = DE=
30

= EF = FA. На ребрах ВС и СС\ призмы взяты соответственно
точки К и L — середины этих ребер. Постройте фигуры, подобные
оригиналам сечений призмы следующими плоскостями: a) KLD\
б) KLE\ в) KLF.
9. На ребре АС прямой призмы АВСА\В\С\, в основании
которой лежит прямоугольный треугольник ABC и у которой
АС = ВС = ААи взяты точки D, Е и F, такие, что CD = DE =
= EF = FA. Постройте фигуры, подобные оригиналам сечений
призмы следующими плоскостями: a) C\BD\ б) С\ВЕ\ в) C\BF.
10. На ребре АС правильного тетраэдра МАВС взяты точки
D, Е и /\ такие, что CD = DE=EF = FAy а на ее ребре ЛВ взята
точка К — середина АВ. Постройте фигуры, подобные оригиналам
сечений тетраэдра следующими плоскостями: a) KMD\ б) КМЕ\
в) KMF.
11. На ребре АС правильной пирамиды МАВС с отношением
высоты к стороне основания, равным 1 :-\/3, взяты точки D, Е и /\
такие, что CD = DE = EF = FAy а на ее ребре АВ взята точка
К — середина АВ. Постройте фигуры, подобные оригиналам
сечений пирамиды следующими плоскостями: a) KMD\ б) КМЕ\
в) KMF.
12. В основании пирамиды МАВС лежит правильный
треугольник ABC. Сечением пирамиды плоскостью МСК, где точка
К — середина ребра АВ, является также равносторонний
треугольник, и МА = МВ. На ребре АС этой пирамиды взяты
точки D, Е и F, такие, что CD = DE = EF = FA, а на ребре МС —
точка L — середина этого ребра. Постройте фигуры, подобные
оригиналам сечений пирамиды следующими плоскостями:
a) BLD\ б) BLE\ в) BLF.
13. Угол между ребрами МА и МС правильной пирамиды
MABCD равен 90°. На ребре CD пирамиды взяты точки £, F и /С,
такие, что C£ = £F = F/C = /CD, а на ребре МС — точка L —
середина этого ребра. Постройте фигуры, подобные оригиналам
сечений пирамиды следующими плоскостями: a) ALE\ б) ALF\
в) ALK.
§ 8. Построения на изображениях плоских
фигур
1. Приняв произвольный треугольник ABC за изображение
равностороннего треугольника ЛоВоСо, на стороне ВоСо которого
взята точка Ро, такая, что ВоЯо:ВоСо = 2:3, постройте
изображения прямых, перпендикулярных прямой ЛоЯо и проходящих через
следующие точки: а) Во; б) Со; в) Ро.
2. Приняв произвольный треугольник ABC за изображение
прямоугольного треугольника ЛоВоСо, у которого ЛоСо = ВоСо,
постройте изображения квадратов, сторонами которых являются:
а) катет треугольника ЛоВоСо; б) отрезок биссектрисы угла Ло,
31

лежащий внутри треугольника ЛоВоСо; в) высота, опущенная на
гипотенузу ЛоВо.
3. Приняв произвольный треугольник ABC за изображение
треугольника АоВоСо с отношением сторон, равным 3:4:6,
постройте: а) изображение центра окружности, описанной около
треугольника АоВоСо\ б) изображение центра окружности,
вписанной в треугольник АоВоСо\ в) изображения центров
окружностей, вневписанных в треугольник АоВоСо.
4. Приняв произвольный треугольник ABC за изображение
правильного треугольника ЛоВоСо, постройте изображение точки
Мо — середины стороны АоСо — и изображения прямых,
проходящих через точку Мо перпендикулярно прямой СоАь если точка Ро
лежит на прямой АоВо и отношение AqPo'.AoBo принимает
следующие значения: а) 1:2; б) 2:1; в) 3:2.
5. Приняв произвольный параллелограмм ABCD за
изображение прямоугольника AoBoCoDo с отношением сторон,
равным 12:25, на стороне ВоСо которого взята точка Ро, такая,
что ВоРо:ВоСо = 3:4у постройте изображения: а) прямой,
проходящей через точку Do перпендикулярно прямой ЛоЯо; б)
биссектрисы угла AoDoPo\ в) прямой, образующей угол, равный 60°,
с прямой АоРо.
6. Приняв произвольный параллелограмм ABCD за
изображение ромба, постройте изображение прямоугольника с
отношением сторон, равным 2:1, вписанного в ромб таким
образом, что большая сторона прямоугольника параллельна большей
диагонали ромба, если острый угол ромба равен: а) 60°; б) 30°;
в) 45°.
7. Приняв произвольный треугольник ABC за изображение
прямоугольного треугольника ЛоВоСо, постройте изображение
прямоугольника с отношением сторон 1:2, вписанного в
треугольник АоВоСо так, что прямой угол треугольника является углом и
прямоугольника, если отношение катетов АоСо'.ВоСо принимает
следующие значения: а) 1:3; б) 1 :-yj2\ в) -yj2\2.
8. Приняв произвольный параллелограмм ABCD за
изображение прямоугольника с отношением стороны к диагонали,
равным 1:2, постройте изображение квадрата, стороной которого
является: а) одна из сторон прямоугольника; б) диагональ
прямоугольника; в) отрезок EoFOi точка £о которого лежит на прямой
CoDo, а точка Fo — на прямой AoDo и у которого CoEo:DoEo = 3:2,
AFDF 2
9. Приняв произвольный параллелограмм ABCD за
изображение квадрата ЛоВоСоА), постройте изображение точек £0, fo и
/Со, лежащих на стороне ВоСо, таких, что BoEo = EoFo = FoKo =
= /СоСо, и изображение точки Lo, лежащей на прямой СоАь причем
Со£о:СоА) = 2:3, а затем постройте изображения прямых,
проходящих через точку Lo перпендикулярно следующим прямым:
а) Ло£о; б) Ло^о; в) АоКо-
32

10. Приняв произвольный параллелограмм ABCD за
изображение прямоугольника ЛоВоСо/)о, на стороне AqDq которого взята
точка Af0 — середина этой стороны, постройте изображения
прямых, проходящих через вершину Со перпендикулярно прямой
BoAfo, если отношение AoBoiAoDo принимает следующие
значения: а) 1:У2; б) 1:УЗ; в) 1:2.
11. Приняв произвольный параллелограмм ABCD за
изображение ромба, постройте изображение квадрата, вписанного в
ромб таким образом, что стороны квадрата параллельны
диагоналям ромба, если острый угол ромба равен: а) 30°; б) 45°;
в) 60°.
12. Приняв произвольную трапецию ABCD за изображение
трапеции AoBoCoDo с отношением сторон ЛоВо:ВоСо:СоА):ЛоА) =
= 3:3:5:7, постройте изображения: а) прямой, проходящей
через точку Со перпендикулярно прямой ЛоВо; б) биссектрисы
угла ЛоВоСо; в) биссектрисы угла ЛоСА
§ 9. Построения на изображениях
пространственных фигур
I. Построение прямой, перпендикулярной
заданной прямой
1. На ребре М В правильного тетраэдра М А ВС взята точка D —
середина этого ребра. Опустите перпендикуляры из точки D на
следующие прямые: а) МА\ б) АС\ в) С/(, где точка К —
середина ребра АВ.
2. Точка D — середина апофемы МК грани МАВ правильной
пирамиды МАВС, все плоские углы при вершине М которой
прямые. Опустите перпендикуляры из точки D на следующие
прямые: а) МА\ б) МС\ в) АС.
3. Точка D — середина ребра МА пирамиды МABC, в
основании ее лежит правильный треугольник ABC и боковое ребро МА
перпендикулярно плоскости основания, МА=АВ. Опустите
перпендикуляры из точки D на следующие прямые: а) МВ\ б) ВС;
в) В/(, где точка К — середина ребра МС.
4. Точки D и Е — середины соответственно ребер MB и МС
пирамиды МАВС, в основании которой лежит прямоугольный
треугольник ЛВС. Высота МО пирамиды проектируется в середину
ребра ЛВ, и МО=АС = ВС. Опустите перпендикуляры из точки D
на следующие прямые: а) ВЕ\ б) ОЕ\ в) АЕ.
5. Точки Е и F — середины соответственно ребер AD и CD
куба ABCDA\B\C\D\. Опустите перпендикуляры из вершины А\ на
следующие прямые: a) DXE и DXF\ б) C\D и C\F\ в) BD и FE.
6. Точки Е и F — середины соответственно ребер AD и ВВ|
куба ABCDA\B\C\D\. Опустите перпендикуляры из точки F на
следующие прямые: а) В\Е\ б) А\Е\ в) С\Е.
2 В Н Литвиненко jjg

7. Точки О, О\ и Ог — середины соответственно диагоналей
BDy B\D\ и C\D куба ABCDA\B\C\D\. Опустите перпендикуляры
из точки О\ на следующие прямые: а) ОО2\ б) А\О\ в) /Юг.
8. Из вершины А прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\ с отношением ребер AB:AD:AA\ = 1:2:1 опустите
перпендикуляры на следующие прямые: а) А\С\ б) B|D; в) D£,
где точка Е — середина ребра В\С\.
9. Из вершины А прямого параллелепипеда ABCDA\B\C\D\, в
основании которого лежит ромб с острым углом, равным 60°, и
отношением ребер ЛЛ| :ЛВ= 1:2, опустите перпендикуляры на
следующие прямые: а) А\С\ б) B\D\ в) C\D.
10. Точки Д Е и F — середины соответственно ребер АС,
СС\ и АВ призмы АВСА\В\С\ с равными ребрами. Опустите
перпендикуляры из точки D на следующие прямые: а) ВС\\
б) ВЕ\ в) CiF.
11. Точка £ — середина ребра МС правильной пирамиды
MABCD, высота МО которой равна стороне основания. Опустите
перпендикуляры из точки Е на следующие прямые: a) BD\ б) МА\
в) AD.
12. Точка Е — середина ребра МС правильной пирамиды
MABCD, высота МО которой равна стороне основания. На
диагонали АС основания пирамиды взята точка f, такая, что
Л/Г:ЛС= 1:4. Опустите перпендикуляры на прямую EF из
следующих точек: а) М; б) К — середины ребра CD\ в) D.
2. Построение прямой, перпендикулярной заданной плоскости
13. Точка Е — середина ребра CD куба ABCDA\B\C\D\.
Опустите перпендикуляры на плоскость В\ВЕ из следующих
точек: а) А\\ б) К — середины диагонали AD\\ в) L — середины
ребра DD\.
14. Точка Е — середина ребра CD прямоугольного
параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ с отношением ребер AB\AD\AA\ =
= 1:2:1. Опустите перпендикуляры на плоскость В\ВЕ из
следующих точек: а) А\\ б) К — середины ребра AD\ в) L — точки,
заданной на прямой DDiy такой, что DL:DD\=3:2, причем точка
D\ лежит между точками D и L.
15. Точка Е — середина ребра АС прямой призмы АВСА\В\С\,
в основании которой лежит равнобедренный треугольник с прямым
углом при вершине С. Опустите перпендикуляры на плоскость
В\ВЕ из следующих точек: а) К — Середины ребра А\В\\ б) L —
середины ребра АА\\ в) М — середины отрезка С\Е.
16. Опустите перпендикуляры на плоскость грани ВВ\С\С
правильной призмы АВСА\В\С\ из следующих точек: а) А\\б) К —
середины ребра А\В\\ в) L — середины диагонали А\С.
17. Ребра С4, СВ и СМ пирамиды МАВС равны и попарно
перпендикулярны. Опустите перпендикуляры на плоскость грани
МВС из следующих точек: а) К — середины ребра АВ\ б) L — се-
34

редины ребра МА\ в) N — середины медианы МК
треугольника МАВ.
18. Опустите перпендикуляры на плоскость грани МВС
правильного тетраэдра МАВС из следующих точек: а) Л; б) К —
середины ребра АВ\ в) L — центра треугольника MAC.
19. Точка D — середина ребра МА пирамиды МАВС, у
которой ребра АС, ВС и МС равны и попарно перпендикулярны.
Опустите перпендикуляры на плоскость BCD из следующих
точек: а) Л; б) К — середины ребра МВ\ в) L — центра грани
ABC.
20. Высота правильной пирамиды MABCD в два раза больше
стороны ее основания. Опустите перпендикуляры на плоскость
грани MCD из следующих точек: а) Л; б) К — середины ребра
АВ\ в) О — центра основания пирамиды.
21. В правильном тетраэдре МАВС опустите перпендикуляры
на плоскость грани МВС из следующих точек: a) D — середины
ребра АВ\ б) Е— середины ребра МА; в) К— середины
апофемы MN грани MAC.
22. В правильном тетраэдре МАВС через вершину А и точки
D и Е — середины соответственно ребер MB и МС — проведена
секущая плоскость ADE. Опустите перпендикуляры на плоскость
ADE из следующих точек: а) О — основания высоты МО
тетраэдра; б) М\ в) В.
23. Точки D и Е — середины соответственно ребер АС и МС
правильной пирамиды МАВС, высота которой равна стороне
основания. Через прямую BE параллельно прямой MD проведена
секущая плоскость. Опустите перпендикуляры на эту плоскость из
следующих точек: а) Л; б) F — середины ребра АВ\ в) D.
24. В кубе ABCDA\B\C\D\ через вершины А\, С\ к D
проведена секущая плоскость. Опустите перпендикуляры на плоскость
A\C\D из следующих точек: а) В\ б) О — центра грани АА\В\В\
в) А.
25. Точки Р и Q — середины соответственно ребер А\.В\ и
В\С\ куба ABCDA\B\C\D\. Через точки Л, Р и Q проведена
секущая плоскость. Опустите перпендикуляры на плоскость APQ
из следующих точек: a) D\\ б) R — середины ребра D\C\\ в) А\.
26. Точка Р — середина ребра А\В\ куба ABCDA\B\C\D\.
Через прямую АР параллельно прямой A\D проведена секущая
плоскость. Опустите перпендикуляры на эту плоскость из
следующих точек: a) D\\ б) К — середины ребра DD\\ в) L —
середины ребра A\D\.
27. Точка Р — середина ребра ВС прямоугольного
параллелепипеда ABCDA\B\C\D\, отношение ребер которого AB:AD:AA\ =
= 1:3:2. Через прямую Л С параллельно прямой В\Р проведена
секущая плоскость. Опустите перпендикуляры на эту плоскость из
следующих точек: а) В\ б) D\\ в) А\.
28. Точка Р — середина ребра В\С\ прямоугольного
параллелепипеда ABCDA\B\C\D\, отношение ребер которого
2* 35

AB:AD:AA\ = l :2:1. Через точки A\, В и Р проведена секущая
плоскость. Опустите перпендикуляры на эту плоскость из
следующих точек: a) D; б) К— середины ребра DD\\ в) L —
середины ребра CD.
29. Точки Р и Q — середины соответственно ребер АА\ и ВВ\
прямоугольного параллелепипеда ABCDA\B\C\D\, отношение
ребер которого AB:AD:AA\=2:1:2. Через точку Р параллельно
прямым C\D и CQ проведена секущая плоскость. Опустите
перпендикуляры на эту плоскость из следующих точек: а) В; б) С;
в) D.
30. На ребре ВС призмы АВСА\В\С\, все боковые грани
которой — квадраты, взята точка Р и через точки Л, В\ и Р
проведена секущая плоскость. Опустите перпендикуляры на эту
плоскость в тех случаях, когда отношение ВР:ВС принимает
следующие значения: а) 1:4; б) 1:2; в) 3:4.
3. Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей
через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости
31. На ребрах CD, AD и DD\ куба ABCDAXB\C\DX взяты
соответственно точки /\ Е и К — середины этих ребер. Постройте
сечения куба плоскостями, перпендикулярными плоскости B\BF
и проходящими через следующие прямые: а) А\Е\ б) КЕ\ в) В\Е.
32. На ребрах C\D\, AD и DD\ прямоугольного
параллелепипеда ABCDA\B\C\D\t у которого AB:AD:AA\ = 1:2:1, взяты
соответственно точки f, E и К — середины этих ребер. Постройте
сечения параллелепипеда плоскостями, перпендикулярными
плоскости BCF и проходящими через следующие прямые: а) А\Е\
б) КЕ\ в) ВХЕ.
33. Постройте сечения призмы АВСА\В\С\ с равными ребрами
плоскостями, перпендикулярными плоскости АВС\ и
проходящими через следующие прямые: а) СС\\ б) АС\ в) А\В\.
34. В основании призмы АВСА\В\С\, две боковые грани
которой являются квадратами, лежит треугольник с прямым углом при
вершине С. На ребре АС призмы взята точка D — середина
этого ребра. Постройте сечения призмы плоскостями,
перпендикулярными плоскости B\BD и проходящими через следующие
прямые: а) СС\\ б) СА\\ в) BXD.
35. Ребра АС, ВС и МС пирамиды МАВС равны и попарно
перпендикулярны. На ребрах ЛВ, MB и МС взяты
соответственно точки D, Е и F — середины этих ребер. Постройте сечения
пирамиды плоскостями, перпендикулярными плоскости МВС и
проходящими через следующие прямые: а) МА\ б) АЕ\ в) DF.
36. На ребрах АС к MB правильной пирамиды МАВС,
высота которой равна стороне ее основания, взяты соответственно
точки D и Е — середины этих ребер. Постройте сечения
пирамиды плоскостями, перпендикулярными плоскости МВС и
проходящими через следующие прямые: а) МА\ б) АС\ в) DE.
36

37. На ребре МС пирамиды MABCD, в основании которой
лежит квадрат и диагональным сечением которой является
правильный треугольник, взята точка Е — середина этого ребра.
Постройте сечения пирамиды плоскостями, перпендикулярными
плоскости МВС и проходящими через следующие прямые: а) МО,
где точка О — центр основания пирамиды; б) BD\ в) DE.
38. На ребре MB пирамиды MABCD, в основании которой
лежит квадрат и боковое ребро МС которой равно стороне
основания и перпендикулярно плоскости основания, взята точка Е —
середина этого ребра. Постройте сечения пирамиды плоскостями,
перпендикулярными плоскости МВС и проходящими через
следующие прямые: a) MD; б) АС\ в) DE.
39. Плоскость а проходит через точки А, А\ и точку Р —
середину ребра ВС куба ABCDA\B\C\D\. Постройте сечения
куба плоскостями, перпендикулярными плоскости а и
проходящими через следующие прямые: a) DD\\ б) A\D\ в) CDX. Найдите
линии пересечения построенных секущих плоскостей с
плоскостью а.
40. Плоскость а проходит через вершину В\ и через точки Р
и Q — середины соответственно ребер АВ и ВС куба
ABCDA\B\C\D\. Постройте сечения куба плоскостями,
перпендикулярными плоскости а и проходящими через следующие
прямые: a) DD\\ б) A\D\\ в) C\D\. Найдите линии пересечения
построенных секущих плоскостей с плоскостью а.
41. Плоскость а проходит через вершину В\ и через
точки Р и Q, взятые соответственно на ребрах АВ и ВС куба
ABCDAiBiCiDi таким образом, что ВР:ВА =BQ:BC = 3:4.
Постройте сечения куба плоскостями, перпендикулярными
плоскости а и проходящими через следующие прямые: а) А\С\\
б) A\D\ в) C\D. Найдите линии пересечения построенных
секущих плоскостей с плоскостью а.
42. Точки К, L и М — середины соответственно ребер CD,
AD и А\В\ куба ABCDA\B\C\D\. Постройте сечения куба
плоскостями, перпендикулярными плоскости АВ\С и проходящими
через следующие прямые: а) А\К\ б) C\L\ в) DM. Найдите
линии пересечения построенных секущих плоскостей с плоскостью
АВхС.
43. Плоскость а проходит через точку Р — середину ребра
ВС и через вершины А и В\ прямоугольного параллелепипеда
ABCDAiBiCiDi с отношением ребер AB:AD:AA\ = 1:2:1.
Постройте сечения параллелепипеда плоскостями,
перпендикулярными плоскости а и проходящими через следующие прямые:
a) DD\\ б) A\D\\ в) D\C\. Найдите линии пересечения построенных
секущих плоскостей с плоскостью а.
44. На ребре ВС прямоугольного параллелепипеда
iCiDi, у которого AB:AD:AA\ = 1:2:2 взяты точки
Р\, Рч и Рз, такие, что СЯ, =Р,Р2 = Р2Р3 = ЯзВ, а на ребре
A\D\ взята точка /( — середина этого ребра. Постройте сечения
37

параллелепипеда плоскостями, проходящими через прямую ВК
перпендикулярно следующим плоскостям: a) C\DP\\ б) C|D/Y,
в) C\DP3. Найдите линии пересечения построенных секущих
плоскостей с заданными плоскостями.
45. На ребре ВВ\ прямоугольного параллелепипеда
ABCDAiB\C\Du у которого AB\AD:AA\=2:2:2>sJ2y взята точка
Е — середина этого ребра. Постройте сечения параллелепипеда
плоскостями, перпендикулярными плоскости АЕС и проходящими
через следующие прямые: a) B\D\\ б) AD\\ в) CD\. Найдите
линии пересечения построенных секущих плоскостей с плоскостью
АЕС.
46. Плоскость а проходит через точку D — середину ребра
АС и через вершины В и С\ призмы АВСА\В\С\9 все боковые
грани которой — квадраты. Постройте сечения призмы
плоскостями, перпендикулярными плоскости а и проходящими
через следующие прямые: а) АА\\ б) А\С\\ в) А\В\. Найдите
линии пересечения построенных секущих плоскостей с
плоскостью а.
47. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
равнобедренный прямоугольный треугольник ABC. Отношение ребер
призмы АВ:АС:АА\=-у/2:\:^/2. На ребрах АС и В\С\ взяты
соответственно точки D и Е — середины этих ребер. Постройте
сечения призмы плоскостями, проходящими через прямую DE
и перпендикулярными следующим плоскостям: а) АВВ\\ б) АСС\\
в) ВССх.
48. Плоскость а проходит через точку D — середину ребра
АА\ и через вершины В\ и С\ призмы АВСА\В\Си в основании
которой лежит прямоугольный треугольник ABC и боковые грани
АА\С\С и ВВ\С\С которой — квадраты. Постройте сечения призмы
плоскостями, перпендикулярными плоскости а и
проходящими через следующие прямые: а) А\С\ б) А\В\ в) BD. Найдите
линии пересечения построенных секущих плоскостей с
плоскостью а.
49. На ребрах АВ, МА и MB правильного тетраэдра МАВС
взяты соответственно точки D, Е и F — середины этих ребер.
Постройте сечения тетраэдра плоскостями, перпендикулярными
плоскости МВС и проходящими через следующие прямые: a) CD\
б) DF\ в) FE.
50. В основании пирамиды МАВС лежит правильный
треугольник ABC, а ее боковое ребро МС перпендикулярно
плоскости основания. На ребрах АВ и АС взяты соответственно точки
D и Е — середины этих ребер. Постройте сечения пирамиды
плоскостями, перпендикулярными плоскости МВС и проходящими
через следующие прямые: а) МА\ б) МЕ\ в) MD.
51. В основании пирамиды МАВС лежит правильный
треугольник ЛВС, боковая грань МАВ пирамиды перпендикулярна
плоскости основания и является правильным треугольником.
На ребрах АВ, ВС и АС взяты соответственно точки D, Е и F —
38

середины этих ребер. Постройте сечения пирамиды плоскостями,
перпендикулярными плоскости MDE и проходящими через
следующие прямые: a) MF\ б) МА\ в) МС. Найдите линии
пересечения построенных секущих плоскостей с плоскостью MDE.
4. Построение сечения многогранника плоскостью,
проходящей через заданную точку перпендикулярно
заданной прямой
52. На ребре СС\ куба ABCDA\B\C\D\ взята точка /(, такая,
что C/(:CCi=3:4, а на отрезке DK взяты точки Pi, Р2 и Р3,
такие, что йР\ = Р\Р2 = Р2Рз — РзК. Постройте сечения куба
плоскостями, перпендикулярными прямой DK и проходящими
через следующие точки: а) Р\\ б) Р2; в) Р3.
53. На ребре AD куба ABCDA\B\C\D\ взяты точки £|, Е2 и
£з, такие, что АЕ\=Е\Е2 = Е2Ез = ЕзО. Постройте сечения куба
плоскостями, проходящими через вершину С перпендикулярно
следующим прямым: а) С\Е\\ б) С\Е2\ в) С\Ез.
54. Постройте сечения правильного тетраэдра МАВС
плоскостями, проходящими через точку Р — середину ребра МС
перпендикулярно следующим прямым: а) МВ\ б) MN, где точка
N — середина ребра АВ\ в) МКУ где точка К делит медиану BL
треугольника ABC в отношении BK:BL=l:3.
55. Точка К — середина ребра MB правильного тетраэдра
МАВС. На прямой АК взяты точки Р|, Р2 и Рз, такие, что
АР\ = Р\Р2 = Р2Рз = РзК. Постройте сечения тетраэдра
плоскостями, перпендикулярными прямой АК и проходящими через
следующие точки: а) Р\\ б) Р2; в) Р3.
56. Точка К — середина ребра МС правильной пирамиды
МАВС, все плоские углы при вершине М которой прямые. На
отрезке АК взяты точки Р|, Р2 и Рз, такие, что АР\ = Р\Р2 = Р2Р3 =
= Рз/С. Постройте сечения пирамиды плоскостями,
перпендикулярными прямой А К и проходящими через следующие точки:
а) Р,; б) Р2; в) Р3.
57. На диагонали АС основания ABCD правильной призмы
ABCDA\B\C\D\ взяты точки Ри Р2 и Р3, такие, что ЛР|=Р,Р2 =
= р2р3 = Р3С. Постройте сечения призмы плоскостями,
перпендикулярными прямой АС и проходящими через следующие точки:
а) Р,; 2) Р2; в) Р3.
58. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
прямоугольный треугольник, и АС=ВС=АА\. На ребрах ВВ\ и В\С\
взяты соответственно точки К и N — середины этих ребер.
Постройте сечения призмы плоскостями, проходящими через
вершину В перпендикулярно следующим прямым: а) СВ\\ б) С/С;
в) CN.
59. В правильной призме АВСА\В\С\ АА\\АВ=\:2. На ребре
ВС взяты точки К\, К2к Кз, такие, что ВК\=К\К2 = К2Кз = КзС.
Постройте сечения призмы плоскостями, проходящими через вер-
39

шину В перпендикулярно следующим прямым: a) В\К\\ б) В|/(2;
в) В,/С3.
60. В правильной призме АВСА\ВХС\ АА\:АВ = 2:\. На ребре
СС\ взяты точки /Си /С2 и /(з, такие, что СК\ = К\К2 = К2Кз = КзС\.
Постройте сечения призмы плоскостями, проходящими через
вершину С перпендикулярно следующим прямым: a) В/(2; б) ВК\\
в) ВКз.
61. На ребре АА\ правильной призмы ABCDA\B\C\D\ с
отношением ребер АВ:АА\ = 1:2 взяты точки Яь Р2 и Р3,
такие, что ЛР| = Р1Р2 = Р2Рз = РзА\. Постройте сечения призмы
плоскостями, перпендикулярными прямой B\D и проходящими
через следующие точки: a) Pi; б) Р2; в) Р3.
62. Точка М — середина ребра АА\ прямой призмы АВСА\В\Си
основанием которой является прямоугольный треугольник и
отношение ребер которой АС:ВС:СС\ = 1:1:2. На отрезке С\М
взяты точки Pi, Р2 и Р3, такие, что С\Р\ = Р|Р2 = Р2Рз = РзЛ1.
Постройте сечения призмы плоскостями, перпендикулярными
прямой С\М и проходящими через следующие точки: а) Р\\ б) Р2;
в) Рз-
63. На ребре АВ правильной призмы АВСА\B\C\ с отношением
ребер АВ:АА\ = 2:-у/3 взята точка К — середина этого ребра, а на
отрезке С\К взяты точки Р|, Р2 и Рз, такие, что КР\=Р\Р2 =
= Р2Рз = РзС|. Постройте сечения призмы плоскостями,
перпендикулярными прямой С\К и проходящими через следующие
точки: а) Рх\ б) Р2; в) Р3.
64. Точка К — середина ребра ВВХ куба ABCDAXB\C\DX. На
ребре СС\ взяты точки Р|, Р2 и Рз, такие, что СР\ =PiP2 = P2P3 =
= Р3С\. Постройте сечения куба плоскостями, перпендикулярными
прямой А К и проходящими через следующие точки: а) Р\\ б) Р2;
в) Рз.
65. Точка К — середина ребра В\С\ прямой призмы
ABCDA\B\C\D\y в основании которой лежит прямоугольник с
отношением сторон AB:AD=l:2. На ребре CD взяты точки Р\ч
Р2 и Рз, такие, что DP\ =Р|Р2 = Р2Р3 = РзС Постройте сечения
призмы плоскостями, перпендикулярными прямой А\К и
проходящими через следующие точки: а) Рг, б) Р2; в) Р3.
66. Точка К — середина ребра ВВ\ правильной призмы
АВСА\В\С\ с отношением ребер АА\\АВ = 2\\. На ребре СС\
взяты точки Р|, Р2 и Рз, такие, что CPi =P|P2 = P2P3 = P3Ci.
Постройте сечения призмы плоскостями, перпендикулярными
прямой АК и проходящими через следующие точки: а) Р\\ б) Р2; в) Р3.
67. На ребре АВ правильной пирамиды МАВС взята точка
D — середина этого ребра, а на прямой CD взята точка L,
такая, что треугольник MDL равносторонний. На отрезке ML
взяты точки Р|, Р2 и Рз, такие, что LPi=P|P2 = P2P3 = P3Af.
Постройте сечения пирамиды плоскостями, перпендикулярными
прямой ML и проходящими через следующие точки: а) Р\\ б) Р2;
в) Р3.
40

68. На ребре CD пирамиды MABCD, в основании которой
лежит прямоугольник, взяты точки Я|, Р2 и Р3, такие, что
DPi = PiP2 = /V>3 = />3C. Боковое ребро МА перпендикулярно
плоскости основания. Постройте сечения пирамиды плоскостями,
перпендикулярными прямой АВ и проходящими через следующие
точки: а) Р,; б) Р2; в) Р3.
69. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат. Ее боковое
ребро МС перпендикулярно плоскости основания и равно стороне
основания. На медиане DF боковой грани MCD взяты точки Pi,
Р2 и Р3, такие, что DPi = P\P2 = P2P3 = PzF. Постройте сечения
пирамиды плоскостями, перпендикулярными прямой DF и
проходящими через следующие точки: а) Р\\ б) Р2\ в) Р3.
70. Основанием пирамиды MABCD является квадрат ABCD.
Точка О — основание высоты МО пирамиды является серединой
стороны АВ, и МО = АВ. На ребрах MB, МС и MD пирамиды
взяты соответственно точки Р, Q и R — середины этих ребер.
Постройте сечения пирамиды следующими плоскостями: а)
плоскостью, проходящей через точку Р перпендикулярно ребру МВ\
б) плоскостью, проходящей через точку Q перпендикулярно
ребру МС\ в) плоскостью, проходящей через точку R
перпендикулярно ребру MD.
§ 10. Развертки многогранников
1. Развертки отсеченных многогранников
В задачах 1—14 заданный многогранник U разделяется
секущей плоскостью на два многогранника U\ и U2, каждый из
которых является, таким образом, отсеченным от многогранника U.
Постройте развертки многогранников U\ и U2, отсеченных
от многогранников О, указанных в этих задачах. Сгибы выделите
на развертках штриховыми линиями, начертите выступы, нужные
для склеивания моделей многогранников 0\ и U2 из построенных
разверток. Склейте модели многогранников U\ и U2.
1. Многогранник U — куб ABCDA\B\C\D\. Сечения,
разделяющие куб на многогранники U\ и £/2, заданы следующими
точками: а) Л, С и С\\ б) £, F и Е\ —серединами соответственно
ребер AD, ВС и A\D\\ в) С, С\ и К — серединой ребра АВ.
2. Многогранник U — куб ABCDA\B\C\D\. Сечения,
разделяющие куб на многогранники U\ и U2, заданы следующими
точками: а) Аи С\ и D; б) Ей L\ и D2 — серединами
соответственно ребер A\D\, C\D\ и DD\\ в) Е\ и L\ — серединами
соответственно ребер A\D\ и C\D\ и точкой D.
3. Многогранник U — прямоугольный параллелепипед
ABCDA\B\C\D\ с отношением ребер AB:AD:AA\ = 1:2:1.
Сечения, разделяющие параллелепипед на многогранники U\ и U2i
41

заданы следующими точками: а) Л, С и А\\ б) С, С\ и точкой Е—
серединой ребра AD\ в) £, Е\ и F — серединами соответственно
ребер ADy AXDX и CD.
4. Многогранник (У-1 правильная призма ABCDA\B\C\D\y
высота которой в три раза больше стороны ее основания. Сечения,
разделяющие призму на многогранники U\ и £/г, заданы
следующими точками: а) Л, С и В\\ б) £, F и В2 — серединами
соответственно ребер АВУ ВС и ВВ\\ в) £ и F — серединами
соответственно ребер АВ и ВС и точкой В\.
5. Многогранник U — призма АВСА\В\С\, все грани
которой — квадраты. Сечения, разделяющие призму на
многогранники U\ и £/2, заданы следующими точками: а) С, С\ и точкой D —
серединой ребра АВ\ б) Л, В и С\\ в) Л, В и точкой С2 — серединой
ребра СС\.
6. Многогранник £/ — прямая призма АВСА\B\C\, в основании
которой лежит равнобедренный треугольник ABC с прямым углом
при вершине С. Боковое ребро равно большей стороне основания.
Сечения, разделяющие призму на многогранники U\ и £/2, заданы
следующими точками: а) С, С\ и точкой D — серединой ребра АВ\
б) Л, В и С\\ в) Л, В и точкой С2 — серединой ребра СС\.
7. Многогранник U — правильная пирамида MABCD, высота
которой равна половине диагонали основания. Сечения,
разделяющие пирамиду на многогранники U\ и £/2, заданы
следующими точками: а) Л, С и Af; б) Ей F — серединами соответственно
ребер AD и CD и точкой М; в) В и М и точкой F — серединой
ребра CD.
8. Многогранник £/ — пирамида МАВСУ ее основанием
является равнобедренный треугольник ABC, и боковое ребро МС
перпендикулярно плоскости основания, МС=АС = ВС. Сечения,
разделяющие пирамиду на многогранники U\ и £/г, заданы
следующими точками: a) Af, С и точкой D — серединой ребра АВ\
б) £ и F — серединами соответственно ребер МА и MB и точкой С;
в) JH, В и точкой К — серединой ребра АС.
9. Многогранник U — правильный тетраэдр МАВС. Сечения,
разделяющие тетраэдр на многогранники U\ и £/г, заданы
следующими точками: a) Af, С и точкой D — серединой ребра
АВ\ б) Dy Е и К — серединами соответственно ребер АВУ АС и МА;
в) D, £ и F — серединами соответственно ребер ЛВ, Л С и MB.
10. Многогранник U — правильная призма ЛВСЛ|В|С|,
боковое ребро которой в два раза больше стороны основания.
Сечения, разделяющие призму на многогранники U\ и (Уг, заданы
следующими точками: а) Р, Q и R — серединами соответственно
ребер ЛЛ|, Л|В| и А\С\\ б) Л, С\ и точкой Q — серединой
ребра Л|В|; в) /(, L и Af, такими, что AK:AB = CL:CA =
= В,А*:В,Л, = 1:3.
11. Многогранник U — куб ABCDA\B\C\D\. Сечения,
разделяющие куб на многогранники U\ и £/2, заданы следующими
точками: а) Л|, С| и точкой D2 — серединой ребра DD\\ б) Ci и
42

точками Р и D2 — серединами соответственно ребер А\В\ и
DD\\ в) С\ и точками Q и D2— серединами соответственно
ребер АВ и DDX.
12. Многогранник U — правильная призма АВСА\В\С\У
отношение бокового ребра к стороне основания которой равно 2:1.
Сечения, разделяющие призму на многогранники U\ и £/2, заданы
следующими точками: а) Л, В\ и точкой С2— серединой ребра
СС\\ б) Л2 и С2— серединами соответственно ребер АА\ и СС|
и точкой В\\ в) В\ и точками Р и Q — серединами соответственно
ребер А В и АС.
13. Многогранник U — правильная призма ABCDA\B\C\D\
с отношением бокового ребра к стороне основания, равным 3:1.
Сечения, разделяющие призму на многогранники U\ и £/2, заданы
следующими точками: а) Р и D2— серединами соответственно
ребер A\D\ и DD\ и точкой С\\ б) Р и Q — серединами
соответственно ребер Л|О| и CD и точкой Сг, в) /С, С2 и М —
серединами соответственно ребер ADy CC\ и А\В\.
14. Многогранник U — правильная пирамида MABCD,
боковое ребро которой в два раза больше стороны основания.
Сечения, разделяющие пирамиду на многогранники U\ и £/2, заданы
следующими точками: а) Р и Q — серединами соответственно
ребер МА и МС и точкой D; б) Р и Q — серединами
соответственно ребер МА и AfC и точкой /?, такой, что MR:MB= 1:4;
в) Q — серединой ребра МС и точками Р и /?, такими, что
AfPAfD AfPAfB3
В задачах 15—29 от заданного многогранника U отсекается
многогранник, содержащий определенную вершину. В
обозначении отсеченного многогранника эта вершина указывается в
скобках.
15. На ребрах ВВ\ и СС\ куба ABCDA\B\C\DX взяты
соответственно точки Вг и Сг, такие, что ВВ2:5В| = ССг:СС| =3:4,
на прямой CD взята точка Р, такая, что CP:CD = 3:2, причем
точка D лежит между точками С и Р, и на грани ВСС\В\ взята
точка Q — центр этой грани. Постройте развертки
многогранников U (С), отсеченных от куба следующими плоскостями:
а) В2С2Р', б) C\QP\ в) С2<?Я. Склейте модели многогранников
U (С).
16. Боковое ребро правильной призмы ABCDA\B\C\D\ в два
раза больше стороны ее основания. На ребре ВВ| взята точка
Вг — середина этого ребра, а на ребре DD\ взяты точки Di и
Оз — середины соответственно ребра DD\ и отрезка DD2.
Постройте развертки многогранников U(C)y отсеченных от призмы
следующими плоскостями: a) C|B2D2; б) C|B2D3; в) C|B2D.
Склейте модели многогранников U(C).
17. Боковое ребро правильной призмы АВСА\В\С\ в три
раза больше стороны ее основания. На ребрах А\В\У А\С\, ВВ\ и
СС\ взяты соответственно точки Я, Q, В2 и С2- Постройте разверт-
43

ки многогранников U(B)y отсеченных от призмы следующими
плоскостями: а) АВ2С2\ б) APQ; в) АРС2. Склейте модели
многогранников U (В).
18. Боковая грань МВС пирамиды МАВС перпендикулярна
плоскости ее основания, и эта грань, как и грань, лежащая в
плоскости основания пирамиды, является правильным
треугольником. На ребрах MB и МС пирамиды взяты соответственно
точки В\ и С| — середины этих ребер, а на отрезке МВ\ взята
точка В2 — середина этого отрезка. Постройте развертки
многогранников U(В), отсеченных от пирамиды следующими
плоскостями: а) АВ2С\ б) Л1В1С1; в) АВ2С\. Склейте модели
многогранников U (В).
19. На ребрах АА\У СС\ и ВХС\ куба ABCDAXBXC\D\
взяты соответственно точки А2у С2 и Р — середины этих ребер, а
на ребрах DD\ и А\В\ взяты соответственно точки D2 и Q,
такие, что DD2:DDX = A\Q:AiB\ = 3:4. Постройте развертки
многогранников U(B)y отсеченных от куба плоскостями,
параллельными прямым DC2 и А2Р и проходящими через
следующие точки: а) А\ б) Q; в) D2. Склейте модели
многогранников U (В).
20. Все боковые грани призмы АВСА\В\С\ — квадраты.
На ее ребрах АСУ А\С\У СС\ и В\С\ взяты соответственно
точки Q, Му С2 и Р — середины этих ребер и на ребре В\С\
взята точка КУ такая, что BiK:B\C\ = 1:4. Постройте
развертки многогранников О (С), отсеченных от призмы плоскостями,
параллельными прямым PQ и В\М и проходящими через
следующие точки: а) С\\ б) С2\ в) К. Склейте модели
многогранников U (С).
21. Ребра С А, СВ и СМ пирамиды МАВС равны и попарно
перпендикулярны. На ребре СВ взята точка D — середина этого
ребра, а на ребре MB взяты точки /Ci, /C2 и /(з, такие, что
ВК\ = К\К2 = К2Кз = КзМ. Постройте развертки многогранников
U(С), отсеченных от пирамиды плоскостями, параллельными
прямым AD и МС и проходящими через следующие точки:
а) К\\ б) /(г; в) /Сз- Склейте модели многогранников И (С).
22. Высота правильной пирамиды MABCD равна половине
диагонали ее основания. На ребрах АВУ AD и MD взяты
соответственно точки Р, Q и D\ — середины этих ребер. Постройте
развертки многогранников U(D), отсеченных от пирамиды
плоскостями, параллельными прямым MB и ODi, где точка О —
центр основания, и проходящими через следующие точки: а) О;
б) Q; в) Р. Склейте модели многогранников U(D).
23. На ребрах А\В\ и АА\ куба ABCDA\B\C\DX взяты
соответственно точки Р и А2 — середины этих ребер.
Постройте развертки многогранников U(A)y отсеченных от куба
плоскостями, перпендикулярными прямой C\D и проходящими через
следующие точки: а) А\\ б) А2\ в) Р. Склейте модели
многогранников U (А).
44

24. На ребрах CD% CiD, и DDX куба ABCDAXB\CXDX
взяты соответственно точки Му Р и D2— середины этих ребер.
Постройте развертки многогранников U(B\), отсеченных от куба
плоскостями, перпендикулярными прямой С\М и проходящими
через следующие точки: a) D\\ б) D2; в) Р. Склейте модели
многогранников U(B\).
25. На ребре СС\ куба ABCDAXBXC\D\ взята точка С2,
такая, что СС2:СС| =3:4, а на отрезке DC2 взяты точки Pi,
Р2 и Рз, такие, что DP| = PiP2 = P2P3 = P3C2. Постройте
развертки многогранников U(D), отсеченных от куба плоскостями,
перпендикулярными прямой DC2 и проходящими через
следующие точки: а) Р\\ б) Р2; в) Р3. Склейте модели
многогранников U(D).
26. На ребрах CD и DD\ куба ,4fiCD4|fi|C|Di взяты
соответственно точки Р и D2 — середины этих ребер. Постройте
развертки многогранников U(C), отсеченных от куба
плоскостями, перпендикулярными прямой А\С и проходящими через
следующие точки: а) С\\ б) Р; в) D2. Склейте модели
многогранников U (С).
27. Точка Р — середина ребра АС пирамиды МАВС, в
основании которой лежит прямоугольный треугольник и боковое
ребро МС которой перпендикулярно плоскости основания, а
МС = АС = ВС. Постройте развертки многогранников £/(£),
отсеченных от пирамиды плоскостями, проходящими через точку Р
и перпендикулярными следующим прямым: а) АС\ б) АВ\ в) MB.
Склейте модели многогранников U(B).
28. Точка Р —середина ребра АС пирамиды МАВСУ в
основании которой лежит правильный треугольник и боковое ребро
МС которой перпендикулярно плоскости основания и равно
стороне основания. Постройте развертки многогранников U(C)y
отсеченных от пирамиды плоскостями, проходящими через
точку Р и перпендикулярными следующим прямым: а) АС; б) АВ\
в) MB. Склейте модели многогранников U(C).
29. Точка Р — середина ребра CD пирамиды MABCD, в
основании которой лежит квадрат, боковое ребро МС которой
перпендикулярно стороне основания и равно стороне
основания. Постройте развертки многогранников U(C)y отсеченных от
пирамиды плоскостями, проходящими через точку Р и
перпендикулярными следующим прямым: a) CD\ б) MD\ в) МА. Склейте
модели многогранников U(C).
2. Развертки многогранников с вырезами
На рисунках 24—31 изображены многогранники со
сделанными в них вырезами. К каждому из рисунков даны необходимые
пояснения. Постройте развертки заданных многогранников и
склейте их модели.
45

А«.
1 Г
/-
о
/
__
/
?
п
е.
Е D
6)
7!
Л-!
в)
Рис. 24
30. В кубе ABCDA\B\C\D\ сделаны вырезы, как показано
на рисунке 24, а, б, в: a) AE = ED, CF = FD, плоскость ЕОО\
параллельна плоскости АВВ\, плоскость FOO\ параллельна
плоскости ВСС\\ б) AE = EDy CF = FDy DD2 = D2Di, плоскость
Е2О2О1 параллельна плоскости АВВ\, плоскость F2O2O1
параллельна плоскости ВСС\, плоскость E2D2F2 параллельна плоскости
АВС\ в) AE = ED, плоскость ЕОО\ параллельна плоскости
АВВи C,F, = F,D,, EE2 = E2EU F,O,||B,C,, E2D2\\AD.
31. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ с
отношением ребер AB:AD:AA\ = l :3:1 сделаны вырезы, как
показано на рисунке 25, а, б, в: a) AE = ED, плоскость EFFX
параллельна плоскости АВВ\\ б) AE = EL = LD, плоскости EFF\ и LKK\
46

б)
Рис. 25
1 Иг*
6)
в)
Рис. 26
47

параллельны плоскости АВВ\\ в) AE=ED, плоскость EFF\
параллельна плоскости АВВ\.
32. В правильной призме ABCDA\B\C\D\y боковое ребро
которой в два раза больше стороны ее основания, сделаны вырезы,
как показано на рисунке 26, а, б, в: а) точки О и О\—точки
пересечения диагоналей оснований; б) точки F, Е и F\, Е\ лежат
соответственно на диагоналях АС и Л id, причем AF:FE:EC=
= 1:2:1 и A\F\:F\E\:E\C\ = l :2:1; в) из призмы, полученной в
пункте б), удалена призма /V^f^i^ifi, при этом точки F2, D2 и
£г — середины соответственно ребер FF\y DD\ и ЕЕ\.
33. В прямой призме АВСА\В\С\, основанием которой
является равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С
и боковым ребром, равным большей стороне основания, сделаны
вырезы, как показано на рисунке 27, а, б, в: a) AF:FD:DB= 1:2:1,
плоскость FEE\ параллельна плоскости АСС\У плоскость DEE\
параллельна плоскости ВСС\\ б) AF==FM = MD = DBt плоскости
MLLi, FEE\ и АСС\ параллельны, плоскости МКК\, DEE\ и
ВСС\ параллельны; в) AF:FD:DB= 1:2:1, плоскость FEE\
параллельна плоскости ЛССь плоскость DEE\ параллельна
плоскости BCCi, точка F2 — середина отрезка FFU плоскость F2D2E2
параллельна плоскости ABC.
34. В пирамиде МАВСУ основанием которой является
правильный треугольник ЛВС, а боковое ребро МС перпендикулярно
плоскости основания и МС=АВ, сделаны вырезы, как показано
на рисунке 28, а, б, в\ а) точки К и L — середины
соответственно ребер АВ и АС\ б) АА\=А\А2=А2МУ плоскость А\В\С\
параллельна плоскости АВСУ плоскость A2PQ параллельна
прямым МС и АВ\ в) точки Ci, L и N — середины соответственно
ребер МС, АС и ВС, плоскость C\L\N\ параллельна плоскости
ABC.
48

в)
Рис. 28
6)
Рис. 29
49

Рис. 30
35. В правильной пирамиде MABCD, высота которой равна
диагонали основания, сделаны вырезы, как показано на
рисунке 29, а, б, в: а) АК = КВ] AL = LD, МО — высота пирамиды;
б) МА\=А\АУ плоскость A\B\Di параллельна плоскости АВС\
в) АК=КВУ AL = LD, точка А\—середина ребра МАУ
плоскость A\K\L\ параллельна плоскости ABC.
36. В пирамиде MABCD, основанием которой является
квадрат, а боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания
и равно стороне основания, сделаны вырезы, как показано на
рисунке 30, а, б, в: а) точка О — центр основания; б) точки Р и
Q — середины соответственно ребер AD и CD, точка О — центр
основания; в) точка О — центр основания, точка К — середина
медианы МР треугольника AMD.
37. В пирамиде MABCD, основанием которой является
прямоугольник с отношением сторон AB:AD=l:2, а боковая грань
МАВ является правильным треугольником, плоскость которого
перпендикулярна плоскости основания, сделаны вырезы, как
50

в)
Рис. 31
показано на рисунке 31, а, б, в: а) точка О — центр основания;
б) точка О — центр основания, а точки Р и Q — середины
соответственно ребер AD и CD; в) точка К — середина медианы
MQ грани MCD.

г""ва Вычисление расстояний
"■ и углов
§ 11. Расстояние между точками
1. Дан куб ABCDA\B\C\D\ с ребром, равным а. На прямой
АС взята точка £, такая, что АЕ:АС = 2:1, причем точка С лежит
между точками А и £, а на прямой АВ\ взяты точки О и F, такие,
что AO = OB\ = B\F. Найдите расстояния между точкой Е и
следующими точками: a) D\\ б) О; в) F.
2. Найдите расстояния между точками Р и Q —серединами
скрещивающихся ребер следующих многогранников: а) куба с
ребром, равным а; б) правильного тетраэдра с ребром, равным а;
в) правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания,
равной а, и правильным треугольником в диагональном сечении.
3. На ребрах AAU A{BU A\DU CD и ВВ\ куба ABCDAXBXC\D\
взяты соответственно точки /(, L, Af, Р и F — середины этих
ребер. Найдите отношения, в которых плоскостью ADF делятся
следующие отрезки: а) КР\ б) LP\ в) МР.
4. Высота правильной пирамиды MABCD равна //, а /-АМС =
= 90°. На ребре МА взята точка Е — середина этого ребра, а на
диагонали АС — точка /С, такая, что АК:АС=3:4. На ребре MB
взяты точки Fi, F2 и Рзу такие, что MFi =/г|/г2 = /г2/гз = /гзВ.
Найдите периметры следующих треугольников: a) EKF\\ б) EKF2\
в) EKF3.
5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ AB =
АА\ = ау AD = 2a. На ребрах ВВ\, AD и CD взяты соответственно
точки Р, Q и /? — середины этих ребер, а на отрезках АР, C\Q
и C\R взяты соответственно точки /(, L и Af — середины этих
отрезков. Найдите расстояния между следующими точками:
а) L и Af; б) /( и L; в) К и М.
6. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный
треугольник. Боковое ребро MB перпендикулярно плоскости
основания, и АС = ВС = МВ = а. На ребре АВ взята точка D —
середина этого ребра, а в грани МВС взята точка Р — центроид этой
грани. Постройте прямую, проходящую через точку Р
параллельно прямой MDy и найдите расстояния от точки пересечения
этой прямой с плоскостью основания до следующих точек: а) С;
б) А\ в) L — середины ребра АС.
7. В основании усеченной пирамиды АВСА\В\С\ лежит
треугольник, у которого АС = ВС = а и Z.ACB = 90°. Боковое ребро
СС\ перпендикулярно плоскости основания, равно половине сто-
52

роны АВ, и А\В\\АВ=\:2. Найдите периметры фигур,
получающихся в сечении пирамиды плоскостями, заданными: а)
точками Л, В\ и С\\ б) прямой B\D\ и прямой DiK\\AA\, где точка D\ —
середина ребра А\С\\ в) точкой С и условием, что секущая
плоскость перпендикулярна прямой АА\.
8. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат со
стороной, равной.а. Высота пирамиды равна стороне основания и
проектируется в точку О — середину ребра ВС. На апофеме MF
грани MAD взята точка Р— середина апофемы. Постройте
сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку Р
перпендикулярно апофеме MF, и найдите расстояния от середины
боковой стороны трапеции, полученной в сечении пирамиды, до
следующих точек: a) D; б) F; в) А.
9. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат со стороной,
равной а, боковое ребро MB перпендикулярно плоскости
основания, и МВ = АВ. На ребрах АВ и MB взяты соответственно
точки К и L — середины этих ребер и в треугольнике CKL проведена
медиана С Л/, на которой взяты точки Р и Q, такие, что CQ =
= QP = PN. Найдите расстояния от точки О — пересечения
диагоналей основания, до следующих точек: а) Р\ б) N\ в) Q.
10. Все плоские углы при вершине М правильной пирамиды
МАВС прямые. На ребрах ВС и МС взяты соответственно
точки L и N, такие, что BL:BC=CN:MC=\:4, и через точки
Л, L и N проведена секущая плоскость. Считая боковое ребро
пирамиды равным Ьу найдите расстояния от центроида
треугольника до следующих точек: а) М; б) В; в) С.
11. Боковое ребро правильной пирамиды МАВС равно
медиане ее основания. Постройте сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через точку D — середину ребра АВ
перпендикулярно боковому ребру МС. Считая МС = Ь, найдите расстояния от
центроида полученного сечения до следующих точек: а) О —
центроида треугольника АВС\ б) R — центроида треугольника
МАВ\ в) Q —центроида треугольника MCD.
12. На ребрах АВ и MB тетраэдра МАВС взяты
соответственно точки D и Р — середины этих ребер. Вершина С
тетраэдра соединена с точкой N, в которой пересекаются медианы
грани МАВ. Через точку Р, в которой прямая AN пересекает
прямую MB, проведена прямая, параллельная прямой CN.
Проведенная прямая пересекает плоскость ABC в точке L.
Считая ребро тетраэдра равным а, найдите расстояния от точки
К — середины отрезка PL до следующих точек: а) А\ б) С; в) В.
13. На ребрах А\В\ и AD параллелепипеда ABCDA\B\C\D\
с отношением ребер AB:AD:AA\ = 1:2:1 взяты соответственно
точки Р и Q — середины этих ребер, а на отрезках PQ и B\D взяты
соответственно точки К и L — середины этих отрезков. На прямой
C\D\ взята точка Af, такая, что точка С\ лежит между точками
D\ и М и D\M:C\M = 2:1. Считая АВ = ау найдите периметры
следующих треугольников: a) KLD\ б) КМВ\\ в) KLM.
53

14. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
треугольник с прямым углом при вершине С и катетами АС = а и ВС=2а.
Высота призмы равна а. На ребрах Л С, ВС, АА\ и ВВ\ взяты
соответственно точки Р, Q, R и V — середины этих ребер. Через
точки С|, Р и Q, а также через точки С|, /? и К проведены секущие
плоскости. Найдите длины отрезков, заключенных между
секущими плоскостями и принадлежащих следующим прямым:
а) А\С\ б) В\С\ в) МХСУ где точка Мх—середина ребра А\В\.
15. На ребрах AAU B,d, AXDX и CD куба ABCDAXBXCXDX
взяты соответственно точки /(, L, Af и Р— середины этих ребер,
а на ребре BBi взята точка Fy такая, что BF:BBX=2:3. Считая
ребро куба равным а, найдите расстояния до плоскости АСС\ от
точек пересечения с плоскостью AFD следующих прямых: а) КР\
б) МР\ в) LP.
16. Сторона основания правильной пирамиды МАВС равна а.
Отношение высоты пирамиды к медиане ее основания равно 2:3.
На ребрах МВУ АС и АВ взяты соответственно точки Р, Q и
N — середины этих ребер, а на медиане CN взяты точки L и /(,
такие, что CL:CN = 5:6, CK:CN=l:3. Найдите расстояния от
точки Р до следующих точек: a) Q; б) /(; в) L.
17. На ребрах BiCi, CD, DDX и ЛВ куба ,4BCD/l|B,CiDi
взяты соответственно точки Р, Q, R и К — середины этих
ребер. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через
точку Вх параллельно прямым PQ и RV. Считая ребро куба
равным а, найдите расстояния от центроида сечения до
следующих точек: а) Р; б) Q; в) R.
18. На стороне АС основания правильной призмы АВСА\В\С\
взяты точки Р|, Рг и Рз, такие, что СР| = Р|Р2 = Р2Рз = Рз>4, а на
ребре СС| взята точка D — середина этого ребра. Считая
ЛС:ЛЛ| = 1:2, найдите отношения сторон тех фигур, которые
получаются в сечениях призмы плоскостями, проходящими через
прямую B\D и следующие точки: а) Р\\ б) Р2; в) Р3.
19. На ребрах BBU CD< AD и CCi куба ABCDA\BXC\D\
взяты соответственно точки Р, Q, R и К — середины этих ребер,
а в грани ВССХВХ взята точка О — центроид этой грани. Найдите
отношения, в которых плоскостью CiPQ делятся следующие
отрезки: a) OR\ б) DO; в) KR.
20. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX на ребре АВ взята
точка Р — его середина, на ребре ВС — точка Q, такая, что BQ:ВС=
= 2:3. Найдите отношения, в которых секущей плоскостью CiPQ
делятся следующие отрезки: a) BXD\ б) OD, где О — центроид
грани АВВХАХ\ в) DM, где точка М — середина ребра BiC|.
21. На ребрах АХВХ и BiCi прямоугольного параллелепипеда
ABCDAXBXCXDX взяты соответственно точки М и L — середины
этих ребер, а на ребре АВ — точка /(, такая, что АК:АВ = 3:4.
Считая ЛВ = ЛЛ| = 1, Л/) = 2, найдите расстояния от точки Р,
в которой диагональ BXD пересекается с плоскостью KLM, до
следующих точек: a) D; б) Dx\ в) В.
54

§ 12. Расстояние от точки до прямой
1. Точки Р и Q — середины соответственно ребер А\В\ и ВС
куба ABCDA\B\C\D\. Считая ребро куба равным а, найдите
расстояния до прямой PQ от следующих точек: а) С\\ б) D\\ в) D.
2. На ребре AD куба ABCDA\B\C\D\ взята точка Р. Считая
ребро куба равным а, найдите расстояния от вершины А\ до
прямой С\Р в тех случаях, когда отношение AP:AD принимает
следующие значения: а) 1:4; б) 1:2; в) 3:4.
3. В правильной призме ABCDA\B\C\D\ на ребрах СС\ и AD
взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Считая
АВ = а, АА\ = Ъау найдите расстояния от точки D\ до следующих
прямых: а) А\Р\ б) В\Р\ в) PQ.
4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ с
отношением ребер AB:AD:AA\ = l :2:1 на ребре СС\ взята точка Р —
середина этого ребра. Считая АВ = а, найдите следующие
расстояния: а) от точки А\ до прямой DP\ б) от точки Р до прямой
A\D\ в) от точки D до линии пересечения плоскостей A\DP и
АхВхСи
5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\
отношение ребер AA\:AB:AD= I:2:3. На ребрах AD и СС| взяты
соответственно точки Р и Q, такие, что ЛЯ:Л/)= 1:3, CQ:CC\ =
= 1:2. Считая ЛЛ1=а, найдите расстояния до прямой PQ от
следующих точек: a) D; б) Ль в) О — центроида грани ВВ\С\С
данного параллелепипеда.
6. На ребрах AD и А\В\ правильной призмы ABCDA\B\C\D\,
у которой ЛВ:ЛЛ| = 1:2, взяты соответственно точки Р и М —
середины этих ребер, а на ребре СС\ взята точка Q. Считая
АВ = а, найдите расстояния от точки М до прямой PQ в тех
случаях, когда отношение CQ:CCi принимает следующие значения:
а) 3:4; б) 1:2; в) 1:4.
7. Боковое ребро правильной призмы АВСА\В\С\ равно
стороне ее основания. Считая сторону основания равной а, найдите
расстояния от точки Р, взятой на ребре ВВи до прямой АС\ в тех
случаях, когда отношение ВР:ВВ\ принимает следующие
значения: а) 1:4; б) 1:2; в) 3:4.
8. Боковое ребро правильной призмы АВСА\В\С\ в два раза
больше стороны ее основания. На ребрах ВВ\ и АС взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Считая АВ = ау
найдите расстояния до прямой PQ от следующих точек: а) А\\
б) В\\ в) Ci.
9. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С, а ее
боковое ребро равно меньшей стороне основания. В грани ААХС\С
взята точка О — центроид этой грани. Считая АС = а,
найдите расстояния до прямой ВО от следующих точек: а) А\\
б) В,; в) С,.
10. В основании прямого параллелепипеда ABCDA\B\C\D\
55

лежит ромб с углом при вершине Л, равным 60°. Боковое ребро
параллелепипеда равно стороне основания. На ребре В\С\ взята
точка Р — середина этого ребра. Считая АВ = ау найдите
расстояния до прямой DP от следующих точек: а) В\\ б) С; в) А\.
11. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее
боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания и равно
стороне основания. На ребре МА взята точка Р — середина
этого ребра. Считая АВ = а, найдите расстояния до прямой СР от
следующих точек: а) А\ б) D; в) О — центроида основания
пирамиды.
12. Высота МО правильной пирамиды MABCD в два раза
больше стороны основания. На ребре МС взята точка Я
—середина этого ребра, а на диагонали BD — точка Q, такая, что
BQ:BD= 1:4. Считая АВ = ау найдите расстояния до прямой PQ
от следующих точек: a) D; б) М\ в) А.
13. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с
отношением сторон AB:AD=l:2. Боковое ребро MB
перпендикулярно плоскости основания, и МВ = АВ. На ребрах МА и ВС
взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Считая
АВ = ау найдите расстояния до прямой PQ от следующих точек:
а) М\ б) D; в) С.
14. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с
отношением сторон ЛВ:Л/)= 1:3. Боковое ребро MB
перпендикулярно плоскости основания, и МВ = 2АВ, На ребре АВ взята
точка Р — середина этого ребра, а на ребре МD — точка Q.
Считая АВ = ау найдите расстояния до прямой PQ от вершины С
в тех случаях, когда отношение MQ:MD принимает следующие
значения: а) 1:2; б) 1:4; в) 3:4.
15. На ребре АВ правильного тетраэдра МАВС взята точка
К — середина этого ребра, а на ребре MB взята точка Р. Считая
ребро тетраэдра равным а, найдите расстояния от точки Р до
прямой С К в тех случаях, когда отношение МР:МВ принимает
следующие значения: а) 1:2; б) 1:3; в) 1:4.
16. Точка К — середина ребра MB пирамиды МАВС, у которой
основанием является правильный треугольник ЛВС, а боковое
ребро МС перпендикулярно плоскости ABC и МС=2АВ.
Считая АВ = а, найдите расстояния от точки К до следующих прямых:
а) МА\ б) АС\ в) CW, где точка N — середина ребра АВ.
17. Точка О —центроид грани CC\D\D куба ABCDAXBXC\DX.
Считая ребро куба равным а, найдите расстояния до прямой /,
проходящей через вершину В\ параллельно прямой ВО, от
следующих точек: а) А\ б) В; в) D.
18. Все плоские углы при вершине М пирамиды МАВС
прямые, и МА = МВ = МС. На ребрах АВ, МС и АС взяты
соответственно точки Я, Q и R — середины этих ребер. Считая
АВ = а, найдите расстояния до прямой /, проходящей через
точку R параллельно прямой PQ, от следующих точек: а) М\
б) А\ в) В.
56

§ 13. Расстояние от точки до плоскости
1. На ребре C\D\ куба ABCDA\B\C\D\ взята точка Р —
середина этого ребра. Считая ребро куба равным а, найдите
расстояния до плоскости В DP от следующих точек: а) А \\ б) А\ в) С\.
2. На ребрах АВ и AD куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Считая ребро куба
равным а, найдите расстояния до плоскости C\PQ от следующих
точек: а) С\ 6) А\\ в) D.
3. На ребрах CCi, AD и АВ куба ABCDAXBXC\D\ взяты
соответственно точки Я, Q и R — середины этих ребер. Считая
ребро куба равным а, найдите расстояния до плоскости PQR от
следующих точек: а) С; б) А\\ в) А.
4. На ребрах DD\ и C\D\ прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\ с отношением ребер AB:AD:AA\ = 1:2:1 взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Считая АВ = ау
найдите расстояния до плоскости APQ от следующих точек:
а) С; б) Аи в) С,.
5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\
отношение ребер AB:AD:AA\ = \ :2:1. На ребрах >4D и СС\ взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Считая АВ = а,
найдите расстояния до плоскости, проходящей через вершину А\
параллельно прямым PQ и В\С, от следующих точек: a) D\\
б) Р\ в) В,.
6. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\
отношение ребер AB:AD:AA\=2:4:\. На ребрах ADy A\B\ и BiCi
взяты соответственно точки Я, Q и К — середины этих ребер.
Считая АА\=а, найдите расстояния до плоскости, проходящей
через точку К параллельно прямым СР и AQ, от следующих
точек: a) D\\ б) А\ в) С\.
7. На ребрах СС\ и АА\ правильной призмы АВСА\В\С\У
у которой АВ\АА\ = 1:2, взяты соответственно точки Р и К —
середины этих ребер. Считая АВ = ау найдите расстояния до
плоскости, проходящей через точку К параллельно прямым АС\
и ВРУ от следующих точек: а) А\\ б) В\ в) С\.
8. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. На ребрах
АС, СС|, ВВ\ и А\В\ взяты соответственно точки Р, Q, R и К —
середины этих ребер. Считая АС=АА\=а, найдите расстояния
до плоскости, проходящей через точку К параллельно прямым
PQ и С|/?, от следующих точек: а) А\\ б) В\ в) С.
9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\
отношение ребер AB:AD:AA\ = 1:3:1. Через точки Biy D и Р —
середину ребра АА\ проведена секущая плоскость. Считая
АВ = а, найдите расстояния до этой плоскости от следующих
точек: a) D\\ б) А\\ в) С\.
10. В правильной пирамиде MABCD высота МО в два раза
больше стороны основания. Считая ЛВ = а, найдите расстояния
57

до плоскости, проходящей через прямую AD перпендикулярно
плоскости МВС, от следующих точек: а) М; б) О — центроида
основания; в) С.
11. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник
с отношением сторон AB:AD=l:2. Боковое ребро MB
перпендикулярно плоскости основания и равно меньшей стороне
основания. Считая АВ = а, найдите расстояния от точки О —
центроида основания до следующих плоскостей: a) MAD; б) MCD\
в) ADP, где точка Р — середина ребра МС.
12. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный
треугольник, а ее боковое ребро МС перпендикулярно плоскости
основания, и МС=АС = ВС. На ребре MB взята точка К —
середина этого ребра. Считая МС = ау найдите расстояния до
плоскости, проходящей через прямую СК параллельно прямой
МАУ от следующих точек: а) В\ б) М\ в) А.
13. Основанием пирамиды МАВС является правильный
треугольник, ее боковое ребро МС перпендикулярно плоскости
основания, и МС=АВ. Считая ЛВ = а, найдите расстояния до
плоскости, проходящей через вершину А перпендикулярно ребру
MB, от точки Р, взятой на ребре МА, в тех случаях, когда
отношение МР\МА принимает следующие значения: а) 1:4; б) 1:2;
в) 3:4.
14. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник,
боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и
AB:AD:MB= 1:2:1. Считая АВ = ау найдите расстояния от
точки Р, взятой на диагонали BDy до плоскости MCD в тех случаях,
когда отношение BP:BD принимает следующие значения: а) 1:4;
б) 1:2; в) 3:4.
§ 14. Расстояние между скрещивающимися
прямыми
1. На ребрах АВ, СС\ и C\D\ куба ABCDAlBlClDl взяты
соответственно точки Р, Q и R — середины этих ребер. Считая
ребро куба равным а, найдите расстояния между прямой B\D\
и следующими прямыми: a) DP; б) DQ; в) DR.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ AB =
=АА\=а, AD = 2a. На ребрах СС\ и AD взяты соответственно
точки Р и Q, такие, что CP:CC\=AQ:AD= 1:3, а на ребрах
АВ и А\В\ взяты соответственно точки R и V — середины этих
ребер. Найдите расстояния между прямой В\С\ и следующими
прямыми: a) PQ; б) PR\ в) PV.
3. Высота МО правильной пирамиды MABCD равна стороне
ее основания и равна а. На ребре МС взяты точки Р|, Рг и Р3,
такие, что СР\ = Р\Р2 = Р2Ръ = Р$М. Найдите расстояния
между прямой АС и следующими прямыми: a) DP\\ б)
в) DP3.
58

4. На ребре СС\ правильной призмы ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Р\ и Рг, такие, что СР| =Р|Рг = Р2С|.
Считая АВ = ач АА\ = 3а, найдите расстояния между следующими
парами прямых: а) В,С и DP,; б) В\С и DP2\ в) DC\ и В,Р,.
5. На ребре DD\ куба ABCDA\B\C\D\ взята точка Q, такая,
что DQ:DD\=2:3, а на диагонали А\В грани АВВ\А\ взята
точка Я —середина А\В. Считая ребро куба равным а, найдите
расстояния между прямой DP и следующими прямыми: a) C\D\\
б) CiQ; в) С,Л,.
6. Все ребра прямой призмы АВСА\В\С\ равны а. На ее ребрах
АА\ и СС\ взяты соответственно точки Р и Q — середины этих
ребер. Найдите расстояния между прямой АВ\ и следующими
прямыми: а) ВС; б) СР\ в) BQ.
7. Сторона основания правильной треугольной призмы равна
а, а угол между прямыми, на которых лежат непересекающиеся
диагонали двух смежных боковых граней призмы, равен а.
Найдите расстояния между этими прямыми, если cos а принимает
следующие значения: а) 0; б) —; в) — —.
8. На ребрах CD, ВХС\ и АВ куба ABCDAlBlCiD] взяты
соответственно точки Я, Q и R — середины этих ребер. Считая
ребро куба равным а, найдите расстояния между прямой B\D и
следующими прямыми: a) PQ\ б) D\C\ в) QR.
9. В основании правильной призмы ABCDA\BXC\DX лежит
квадрат со стороной а, а боковое ребро призмы равно Ь. На
ребрах AD, DD\ и ВВ\ взяты соответственно точки Р, Q и R—
середины этих ребер. Найдите расстояния между прямой AR и
следующими прямыми: а) СР\ б) A\D; в) A\Q.
10. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный
треугольник, у которого АС = ВС = а. Боковое ребро MB
перпендикулярно плоскости основания, и МВ = а. На ребрах MB,
АВ, АС и ВС взяты соответственно точки /С, D, Р и Q —
середины этих ребер. Найдите расстояния между прямой АК и
следующими прямыми: a) PQ\ б) CD\ в) ВС.
11. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат со
стороной а, а боковое ребро AfB перпендикулярно плоскости
основания и равно стороне основания. На ребрах MD и AD
взяты соответственно точки К и L — середины этих ребер. Найдите
расстояние между прямой ЛХ и следующими прямыми: а) АС\
б) МО, где точка О — центроид основания; в) BD.
12. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник с прямым
углом при вершине С, и АС = а, ВС = 2а. Боковое ребро МС
перпендикулярно плоскости основания, и МС = ВС. На ребрах
АВ, ВС, MB и МС взяты соответственно точки Р, Q, R и V —
середины этих ребер. Найдите расстояния между прямой AR и
следующими прямыми: a) PQ; б) МС; в) QV.
13. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат со
стороной а, боковое ребро MB перпендикулярно плоскости осно-
59

вания, и МВ = а. На ребре МС взяты точки Р и Q, такие, что
точка Р — середина этого ребра, а точка Q — середина отрезка
МР. На ребрах MD и MB взяты соответственно точки R и V —
середины этих ребер. Найдите расстояния между прямой AV и
следующими прямыми: a) PR\ б) BD\ в) RQ.
14. В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный
треугольник с прямым углом при вершине С. Боковая грань
МАВ перпендикулярна плоскости основания, и в треугольнике
МАВ МА = МВ. На ребре MB взята точка Р — середина этого
ребра, а в грани MAC взята точка Q — центроид этой грани.
Найдите расстояния между прямыми АВ и PQ, если ВС=а и
I 1 Ч
принимает следующие значения: а) —; б) — —; в) —.
§ 15. Угол между скрещивающимися
прямыми
1. В правильной призме ABCDA\B\C\D\ угол между прямыми,
на которых лежат диагонали BD\ и B|D, равен 90°. Найдите углы,
которые образует прямая B\D со следующими прямыми: а) АА\\
б) Л,С,; в) CDX.
2. На ребрах AAU CD и C\D\ куба ABCDAlBlClDl взяты
соответственно точки Р, Q и R — середины этих ребер. Найдите
углы между прямой PQ и следующими прямыми: a) DR\ б) A\D\
в) BXD.
3. Точки К и М — середины соответственно ребер АА\ и AD
куба ABCDA\B\CiDi. Найдите углы, которые образует прямая
СхМ со следующими прямыми: а) АВи б) BD\ в) С К.
4. На ребре ССх правильной призмы ABCDAiBidDi взяты
точки Р,, Р2 и Р3, такие, что CPi = PiP2 = P2P3 = PsCi.
Отношение ребер призмы AB:AAi = \:2. Найдите углы, которые
образует прямая BiD со следующими прямыми: a) AiP\\ б) Л1Я2;
в) Л,Яз.
5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiBiCiDi
отношение ребер AB:AD=l:2, а угол между прямыми BiD и
CDi равен 90°. На ребре BxCi взяты точки Pi, P2 и Р3, такие, что
BPi = Я|Р2 = Р2Рз = РзС|. Найдите углы, которые образует
прямая АС со следующими прямыми: а) ВРи б) ВР2\ в) ВЯ3.
6. На ребрах AD и CD прямоугольного параллелепипеда
ABCDAiBjCiDi, боковая грань AAiBiB которого является
квадратом, взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер.
л/30
Косинус угла между прямыми ВхР и CiQ равен —^——. Найдите
углы, которые образует прямая ACi со следующими прямыми:
а) ВР\ б) BiQ\ в) AiQ.
7. На ребрах AD и ВВх прямоугольного параллелепипеда
ABCDAiBiCiDi с отношением ребер AB:AD:AAi = 1:2:2 взяты
во

соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Найдите углы,
которые образует прямая PQ со следующими прямыми: а) АС\\
б) B,D; в) C,D.
8. Точка Р— середина ребра CD прямого параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\, в его основании лежит ромб, угол BAD которого
равен 60°, и АА\=АВ. Найдите углы между следующими
прямыми: a) C\D и ВХС\ б) В\С и С|Р; в) С\Р и В|О, где точка О —
точка пересечения диагоналей основания.
9. Точки Р и Q —середины соответственно ребер А\В\ и АС
правильной призмы АВСА\В\С\, у которой АА\=АВ. Найдите
углы между следующими прямыми: а) А\С и BD\ б) BD и A\Q\
в) AXQ и АР.
10. На ребрах А\В\ и АС прямой призмы АВСА\В\С\Ч у
которой АС = ВС=АА\ и /_АВС = 90°у взяты соответственно точки
Р и Q — середины этих ребер. Найдите углы между следующими
прямыми: а) Л,С и ВР\ б) ВР и A\Q\ в) Л|<2 и АР.
11. На ребрах BiCi, ЛС и Л|В| прямой призмы ЛВСЛ1В1С1,
у которой АС=ВС=АА\ и ^1ЛСВ = 90°, взяты точки Р, Q и R —
соответственно середины этих ребер. Найдите углы, которые
образует прямая PQ со следующими прямыми: а) АС\\ б) BR\
в) АВХ.
12. В правильной призме АВСА\В\С\ с отношением ребер
AA\ = l:^f3 точка Р — середина ребра АС. Найдите углы,
которые образует прямая В\Р со следующими прямыми: а) ВС;
б) АС\\ в) АХВ.
13. Основанием призмы АВСА\В\С\ является прямоугольный
треугольник, у которого АС = ВС. Грань ВСС\В\ перпендикулярна
плоскости основания, и ZLC|CB = 45°, а ВС\ = ВС. Найдите углы,
которые образует прямая АС\ со следующими прямыми: а) ВС;
б) ВХС\ в) АХВ.
14. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный
треугольник ABC. Ребро МА пирамиды перпендикулярно
плоскости ABC, и МА = АС = ВС. На ребре MB взяты точки Pi, P2 и
Ри такие, что ВР1=Р\Р2 = Р2Рз = РзМ. Найдите углы между
следующими прямыми: a) CPi и АР2\ б) СЯ| и АРз\ в) СЯз и АР\.
§ 16. Угол между прямой и плоскостью
1. На ребре СС| правильной призмы ABCDA\B\C\D\,
боковое ребро которой в два раза больше стороны основания,
взяты точки Р,, Р2 и Р3, такие, что СР| =Р1Р2 = Р2Рз = РзСи
а на ребре CD взята точка К — середина этого ребра. Найдите
углы, которые образуют с плоскостью АА\К следующие прямые:
а) DPu б) DP2\ в) DP3.
2. На ребре АВ правильного тетраэдра МАВС взяты точки
Р\ и Рг, такие, что АР\\Р\Р2:Р2В= 1:1:2. Найдите углы,
которые образуют с плоскостью MAC следующие прямые: а) ВС\
б) CPi; в) СР2.
61

3. В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный
треугольник с прямым углом при вершине С. Каждое боковое ребро
пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45°. На
ребре МС взята точка Р— середина этого ребра. Найдите
углы, которые образует прямая АР со следующими плоскостями:
а) МОС, где точка О — середина ребра АВ\ б) МАВ\ в) МВС.
4. На ребрах CD и AD куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Найдите углы,
которые образуют с диагональной плоскостью АА\С\С следующие
прямые: a) C\D\ б) С\Р\ в) C\Q.
5. В основании пирамиды МАВС лежит правильный
треугольник ЛВС, боковое ребро MB перпендикулярно плоскости
основания, и МВ:АВ=^/3:1. На ребре МС взяты точки Ри Р2
и Р3, такие, что СР\=Р\Р2 = Р2Рз = РзМ. Найдите углы, которые
образуют с плоскостью грани МВС следующие прямые: а) АР\\
б) ЛР2; в) ЛР3.
6. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник,
а ее ребро MB перпендикулярно плоскости основания. На
ребрах АВ и AD взяты соответственно точки Р и Q — середины
этих ребер. Отношение ребер пирамиды AB:AD:MB= 1:2:1.
Найдите углы, которые образуют с плоскостью MCD следующие
прямые: а) МА\ б) МР; в) MQ.
7. Высота МО правильной пирамиды МАВС равна стороне
ее основания. Найдите углы, которые образует прямая МС
со следующими плоскостями: а) АВС; б) МАВ\ в) МАК, где
точка К — середина ребра ВС.
8. На ребрах AD и A\D\ куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Р и Pi — середины этих ребер, а на отрезке
РР\ взята точка F — середина этого отрезка. Найдите углы,
которые образуют с плоскостью ВРР\ следующие прямые:
а) СР\ б) С/7; в) СРх.
9. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный
треугольник, а ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости
основания, и МВ = ВС=АО. На ребре MB взяты точки Ри Р2
и Рз, такие, что ВР\ = р,Р2 = Р2Рз = РзМ. Найдите углы, которые
образуют с плоскостью MAC следующие прямые: а) АР\\ б) ЛР2;
в) ЛР3.
10. На ребрах AD и В\С\ прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\ с отношением ребер AB:AD:AA\ = 1:2:1 взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Найдите
углы, которые образуют с плоскостью A\CD следующие прямые:
а) РСи б) PQ; в) РВ,.
11. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат. Боковая
грань МАВ перпендикулярна плоскости основания и является
правильным треугольником. На ребре MB взята точка Р —
середина этого ребра. Найдите углы, которые образуют с плоскостью
основания пирамиды следующие прямые: а) АР\ б) СР\ в) /(Р,
где точка К — точка пересечения диагоналей основания.
62

12. На ребре ВВ\ куба ABCDA\B\C\D\ взята точка Я
—середина этого ребра. Найдите углы, которые образует прямая DP
со следующими плоскостями: а) АВ\С\ б) BDC\\ в) ACD\.
13. На ребре DD\ куба ABCDAXBXC\DX взята точка Я
—середина этого ребра. Найдите углы, которые образуют с плоскостью
BDC\ следующие прямые: a) CD\\ б) CD\ в) СР.
14. На ребрах DDX и AD куба ABCDAXBXC\DX взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Найдите углы,
которые образуют с плоскостью BC\Q следующие прямые: a) CD\
б) СР\ в) CDi.
§ 17. Угол между плоскостями
1. В прямоугольнике ABCD AB:AD=2:3. Через прямую ВС
и точку £, не лежащую в плоскости прямоугольника, проведена
плоскость ВСЕ, с которой диагональ прямоугольника образует
угол, равный а. Найдите угол между плоскостями ВСЕ и ABC
в тех случаях, когда а принимает следующие значения: а) 30°;
б) 45°; в) 60°.
2. Через точку А плоскости Р проведена прямая АВ,
образующая с плоскостью Р угол, равный а. Затем через прямую АВ
проведена плоскость Q, образующая с плоскостью Р угол,
равный р. Найдите следующие углы: а) между прямой АВ и линией
пересечения плоскостей Р и Q; б) между проекцией прямой АВ
на плоскость Р и линией пересечения плоскостей Р и Q; в) между
плоскостью Q и проекцией прямой АВ на плоскость Р.
3. В неравнобедренном прямоугольном треугольнике ABC
проведена биссектриса CD прямого угла, а через эту биссектрису
проведена плоскость Р, образующая с плоскостью ABC угол,
равный а. Найдите углы, которые образуют с плоскостью Р
следующие прямые: а) СВ\ б) СА\ в) С//, если СН±.АВ и
АВС
4. На ребре СС\ куба ABCDA\B\C\D\ взята точка К —
середина этого ребра. Найдите углы, которые образует плоскость
BDK со следующими плоскостями: a) AB\D\\ б) A\C\D\ в) CB\D\.
5. В кубе ЛВСОЛ|В|С|Д| на ребрах ВВ, и СС| взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Найдите углы,
которые образует плоскость АСР со следующими плоскостями:
а) АхСхР\ б) BDQ\ в) B\DXQ.
6. На ребре ССХ куба ABCDAlBlCiDi взяты точки /(,, /(2 и /(3,
такие, что СК\ = К\К2 = К2Кз = КзС\. Найдите углы между
следующими плоскостями: a) BD/(i и B\D\K\\ б) BD/<2 и B\D\K\\
в) BD/Сз и B,D,C.
7. В правильной призме ABCDA\B\C\D\ с отношением ребер
АВ:АА|=2:3 точка К — середина ребра СС\. Найдите углы,
которые образует плоскость АВ\К со следующими плоскостями:
а) АВС\ б) ВСС\\ в) АВВХ.
63

8. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ с
отношением ребер AB:AD:AA\ = 1:2:1 точки Р и Q — середины
соответственно ребер АА\ и СС\. Найдите углы, которые
образует плоскость B\QP со следующими плоскостями: a) ABC;
б) ЯСС,; в) ABBi.
9. В правильной призме ABCDA\B\C\D\ с отношением ребер
АВ:АА | = 1:2 точки Р и Q — середины соответственно ребер
BBi и DD|. Найдите углы, которые образует плоскость APQ со
следующими плоскостями: а) АВВ\\ б) BDD\\ в) Л СР.
10. Боковое ребро правильной призмы ЛВСЛ1В1С1 равно
стороне ее основания. На ребре АА\ взяты точки /Ci, /С2 и /(з,
такие, что AKi = KiK2 = К2Кз = КзА\. Найдите углы между
следующими плоскостями: а) ВК\С и В\К\С\; б) В/(2С и Bi/C2Ci;
в) В/(зС и В,Л,С,.
11. В правильной призме АВСА\В\С\ ЛЛ|МВ=3:2. На ребре
А\В\ взята точка D — середина этого ребра, а на ребрах ВС и СС\
взяты соответственно точки Р и Q. Найдите углы между
плоскостью ABC и плоскостью, проходящей через прямую BD,
параллельную прямой PQ, в каждом из следующих случаев:
а) ВР:ВС=1:2, CQ:CC, = 1:2; б) ВР:ВС = 3:4, а точка Q
совпадает с точкой С\\ в) ВР:ВС=1:4, а точки Q и С\ совпадают.
12. На ребрах В\С\ и СС| правильной призмы ABCDA\B\C\D\
с отношением ребер ЛВ:ЛЛ| = 1:2 взяты соответственно точки
Р и Q — середины этих ребер. Найдите углы, образуемые
плоскостью, проходящей через вершину С\ параллельно прямым А\Р
и DQy со следующими плоскостями: а) АВС; б) АВВ\; в) ВСС\.
13. На ребрах ВС и MB правильного тетраэдра МАВС
взяты соответственно точки D и Е — середины этих ребер.
Найдите углы между следующими плоскостями: а) АСЕ и ABC;
б) ADE и МАВ; в) ADE и ЛС£.
14. На ребрах АВ, ВС и MB правильного тетраэдра МАВС
взяты соответственно точки L, D и /С — середины этих ребер.
Найдите углы между плоскостью ABC и плоскостями,
проходящими через прямую LK параллельно следующим прямым:
a) MD; б) ВС; в) DP, где точка Р — середина отрезка В К.
§ 18. Двугранный и многогранный углы
1. Основанием пирамиды MABCD является прямоугольник, а
ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и
AB:AD:MB= 1:2:1. На ребрах AD и АВ взяты соответственно
точки К и L — середины этих ребер. Найдите следующие
двугранные углы: a) MCLB; б) МАСВ; в) МСКВ.
2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды
равно диагонали ее основания. Найдите следующие двугранные
углы: а) при ребре основания; б) при боковом ребре; в) между
противоположными боковыми гранями.
64

3. Найдите двугранный угол при ребре основания
правильной четырехугольной пирамиды в следующих случаях: а) высота
пирамиды в два раза меньше диагонали основания; б) угол
наклона бокового ребра к плоскости основания равен а; в)
двугранный угол при боковом ребре равен 2р.
4. Найдите двугранный угол при боковом ребре правильной
четырехугольной пирамиды в следующих случаях: а) боковая
грань пирамиды является правильным треугольником; б) угол
наклона бокового ребра к плоскости основания равен а; в) угол
между противоположными боковыми ребрами равен 2р.
5. В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный
треугольник ABC с прямым углом при вершине С, а боковое ребро
МС пирамиды перпендикулярно плоскости ABC, и МС:АС =
= 3:2. На ребре МС взяты точки М\ и Af2, такие, что СМ\ =
= М\М2 = М2М. Найдите следующие двугранные углы: а) САМ\В\
б) САМ2В\ в) САМВ.
6. Найдите двугранный угол при боковом ребре правильной
шестиугольной пирамиды в следующих случаях: а) высота
пирамиды в два раза больше стороны ее основания; б) угол между
боковым ребром пирамиды и смежным с ним ребром основания
равен а; в) двугранный угол при ребре основания равен р.
7. Найдите двугранный угол при ребре основания правильной
я-угольной пирамиды в следующих случаях: а) высота
пирамиды в два раза меньше стороны основания; б) угол между
боковым ребром пирамиды и смежным с ним ребром основания
равен а; в) двугранный угол при боковом ребре пирамиды равен 2р.
8. В правильной пирамиде МАВС боковое ребро в два раза
больше стороны основания. На ребре МС взята точка Р, такая,
Лю плоскость АВР перпендикулярна прямой МС. Найдите
следующие двугранные углы: а) РАВС\ б) ВАРС\ в) ABPL,
где точка L — середина ребра АС.
9. В правильной призме ABCDA\B\C\D\ проведены сечения
AB\C\D и A\B\CD. Найдите двугранные углы A\B\DC\ в тех
случаях, когда отношение АВ\АА\ принимает следующие
значения: а) 1:2; б) 2:1; в) 3:л/7.
10. В основании пирамиды лежит квадрат ABCD, а ее боковое
ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и МВ=АВ.
На ребре МС взята точка L — середина этого ребра. Найдите
следующие двугранные углы: a) LBDC\ б) DBLM\ в) MABL.
11. В основании пирамиды лежит прямоугольник ABCD, а
ее боковое ребро МА перпендикулярно плоскости основания.
Найдите двугранный угол при ребре МС в тех случаях, когда
отношение ребер AB:AD:MA принимает следующие значения:
а) 1:1:1; б) 1:2:1; в) 1:2:2.
12. Боковое ребро МС пирамиды МАВС перпендикулярно
плоскости ее основания, и МС=АС = ВС. Найдите двугранные
углы при боковом ребре МА в тех случаях, когда угол АСВ имеет
следующую величину: а) 90°; б) 60°; в) 120°.
3 В Н Литвиненко 65

13. В основании пирамиды с равными боковыми ребрами
лежит равнобедренный треугольник ABC с прямым углом при
вершине С. Высота МО пирамиды равна половине гипотенузы
треугольника ABC. На ребрах МА и MB взяты соответственно
точки К и L — середины этих ребер. Найдите следующие
двугранные углы: а) АКСО\ б) ALCO\ в) ALCB.
14. В основании пирамиды лежит трапеция с отношением
сторон AB:BC:CD:AD = 2:1:1:1. Боковое ребро МА
перпендикулярно плоскости основания, и MA = AD. Найдите двугранные
углы при следующих боковых ребрах пирамиды: а) МВ\ б) МС\
в) MD.
15. В правильной пирамиде MABCD двугранный угол при
боковом ребре равен 120°. На ребрах МС и MD взяты
соответственно точки К и L — середины этих ребер. Найдите углы,
образуемые прямой DK со следующими прямыми: а) АС\
б) МА\ в) AL
16. В основании пирамиды лежит прямоугольный
треугольник с отношением катетов АС:ВС = 4:3. Боковое ребро МА
перпендикулярно плоскости основания, а косинус двугранного угла
при ребре MB равен -тг"- На ребрах МА и МС взяты
соответственно точки К и L — середины этих ребер. Найдите углы,
образуемые прямой ВК со следующими прямыми: а) АС\
б) МС\ в) AL.
17. На ребрах АА\ и СС\ правильной призмы АВСА\В\С\
взяты соответственно точки К и L — середины этих ребер.
Угол между прямыми АВ\ и СК равен 90°. Найдите следующие
двугранные углы: a) LABC\ б) BALC\ в) B\ALC.
18. Два плоских угла трехгранного угла равны каждый по
45°, а двугранный угол между ними равен а. Найдите третий
плоский угол этого трехгранного угла, если а принимает
следующие значения: а) 90°; б) 60°; в) 45°.
19. Внутри трехгранного угла MPQR, каждый плоский угол
которого равен 2а, через точку М — вершину угла — проведен
луч МК, образующий равные углы с ребрами трехгранного
угла. Найдите следующие углы: а) двугранный угол PMKQ\
б) угол РМК\ в) угол, который образует луч МК с плоскостью
грани MPQ.
20. Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и а.
Через вершину этого трехгранного угла проведена прямая,
перпендикулярная к грани угла, равного 60°. Найдите углы между
проведенной прямой и ребром трехгранного угла, не лежащим в
указанной грани, если а принимает следующие значения: а) 30°;
б) 45°; в) 90°.
21. Ромб ABCD, угол BAD которого равен 60°, согнут по
меньшей диагонали так, что угол ABC стал равным а. Найдите
двугранные углы ABCD в тех случаях, когда а принимает
следующие значения: а) 60°; б) 90°; в) 45°.

Гла"а Координатный метод решения
* * задач
§ 19. Прямоугольная система координат
1. Вершина В куба ABCDA\B\C\DX принята за начало
прямоугольной системы координат, прямые ВА, ВС и ВВ\ с
направлениями на них соответственно от точки В к точкам А, С
и В\ приняты за оси Вх, By и Bz. Найдите координаты вершин
куба, если за единицу измерения принят отрезок, равный: а) ребру
куба; б) диагонали грани куба; в) диагонали куба.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\
отношение ребер AB:AD:AA\ = l :2:1. Вершина А параллелепипеда
принята за начало прямоугольной системы координат, прямые
АВ, AD и АА\ с направлениями на них от точки А к точкам В, D
и А\ приняты соответственно за координатные оси Ах, Ау и Az.
Найдите координаты вершин параллелепипеда, если за единицу
измерения принят отрезок, равный: а) ребру АВ; б) ребру AD\
в) диагонали BD.
3. В основании прямой призмы АВСА\ВХС\ лежит
равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С, а боковое
ребро призмы в два раза больше гипотенузы АВ. Отрезок, равный
ребру АС, принят за единицу измерения. Найдите координаты
вершин призмы, если начало прямоугольной системы координат и
координатные оси выбраны следующим образом: а) начало
системы координат — точка С, оси координат Сх, Су и Cz
соответственно прямые СВ, СА и СС\ с направлениями на них от
точки С к точкам В, Aw С\\ 6) начало системы координат — точка М—
середина ребра АВ, оси координат Мх, My и Mz соответственно
прямые MB, MC и ММ\ (точка М\ —середина ребра А\В\) с
направлениями на них от точки М к точкам В, С и М\\ в) начало
системы координат — точка В\, оси координат В\х, В\у и B\z
соответственно прямые В\С\, B\D\ (точка D\ — точка,
симметричная точке С\ относительно прямой А\В\) и В\В с направлениями
на них от точки В\ к точкам С\, D\ и В.
4. Все грани призмы АВСА\В\С\ — квадраты. Принимая
отрезок, равный ребру призмы, за единицу измерения, точку М —
середину ребра АВ — за начало прямоугольной системы
координат, а прямые МА, МС и MMi (точка М\—середина ребра
A\Bi) с направлениями на них от точки М к точкам А, С и М\
соответственно за оси Мх, My и Mz этой системы координат,
найдите: а) координаты точек О и О\ — центров тяжести соот-
3* 67

ветственно треугольников ABC и А\В\С\\ б) координаты точек
Pi, Рг и Рз — центров боковых граней призмы; в) координаты
центров тяжести треугольников АВС\, ВСА\ и АСВ\.
5. Все плоские углы при вершине М правильной пирамиды
МАВС прямые. Найдите координаты центров тяжести
треугольников, являющихся боковыми гранями пирамиды, если
прямоугольная система координат задана следующим образом:
а) за единицу измерения принят отрезок, равный МЛ, за
начало координат выбрана вершина М, за оси Мх, My и Mz приняты
соответственно прямые MA, MB и МС с направлениями на них
от точки М к точкам Л, В и С;
б) за единицу измерения принят отрезок, равный ЛВ, за
начало координат выбрана точка D — середина ребра ЛВ, за оси
Dx, Dy и Dz приняты соответственно прямые DA, DC и DV
(точка О — точка, в которую проектируется высота пирамиды,
точка К— вершина прямоугольника DOMV) с направлениями на них
от точки D к точкам Л, С и К;
в) за единицу измерения принят отрезок, равный ЛВ, за
начало координат выбрана точка О, в которую проектируется
высота пирамиды, за оси Ох, Оу и Oz приняты соответственно
прямые ОЕ (точка Е— точка ребра АВ, такая, что АЕ:АВ =
= 1:3), ОВ и ОМ с направлениями на них от точки О к точкам
£, В и М.
6. Высота правильной пирамиды MABCD в два раза больше
стороны ее основания. Найдите координаты точек, являющихся
серединами апофем боковых граней пирамиды, если
прямоугольная система координат задана следующим образом:
а) за единицу измерения принят отрезок, равный половине
отрезка АВ, за начало координат выбрана точка О, в которой
пересекаются диагонали основания, за оси Ох, Оу и Oz приняты
соответственно прямые О/С, OL и ОМ (точки К и L — середины
соответственно ребер AD и CD) с направлениями на них от
точки О к точкам /С, L и М;
б) за единицу измерения принят отрезок, равный половине
диагонали основания, за начало координат принята точка О,
в которой пересекаются диагонали основания, за оси Ох, Оу и
Oz приняты соответственно прямые OD, ОС и ОМ с
направлениями на них от точки О к точкам D, С и М;
в) за единицу измерения принят отрезок, равный АВ, за
начало координат выбрана точка Л, за оси Ах, Ау и Az приняты
соответственно прямые АВ, AD и AV (точка О — точка
пересечения диагоналей основания, точка V—вершина
прямоугольника AOMV) с направлениями от точки Л к точкам В, D и V.
7. В пространстве введена прямоугольная система координат,
за начало которой принята вершина В куба ABCDA\B\C\D\,
за единицу измерения принят отрезок, равный ребру этого куба,
а за координатные оси Вху By и Bz приняты соответственно
прямые ВАУ ВС и ВВ| с направлениями на них от точки В
68

к точкам А%С и В\. Какие из шести точек Р|(3; 3; 7), Я2( —2; 1; 1),
Яз(1; 2; 3),Я4(-|; 1; l).ft(-2; -2; 1)иЯ6(1; 0; -5) лежат:
а) в плоскости AA\D\ б) на прямой C\D\\ в) в плоскости BB\D?
8. В пространстве введена прямоугольная система координат,
за начало которой принята вершина В прямоугольного
параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ с отношением ребер AB:AD:AA\ =
= 1:3:1. За единицу измерения принят отрезок, равный ВЛ, а
за координатные оси Вху By и Bz приняты соответственно
прямые ВАУ ВС и ВВ\ с направлениями на них от точки В к
точкам Л, С и В\. Какие из шести точек Рх (4; 4; 1), Я2( — 2; 3; 3),
Я3(1; 3; -2), Р4(4; 1; -3), Я5(-3; -9; 1) и Р<>(-\; -1; 7)
лежат: а) в плоскости ADC\\ б) в плоскости ВВ\Р, где точка Я
на ребре ADy такая, что AP:AD=\:3\ в) в плоскости BB\D?
9. В пространстве введена прямоугольная система координат,
за начало которой принята точка О — середина ребра АВ призмы
АВСА\В\С\, все боковые грани которой — квадраты, за единицу
измерения принят отрезок, равный ребру призмы, а за
координатные оси Ох, Оу и Oz приняты соответственно прямые ОЛ, ОС
и OOi, где точка О\ — середина ребра А\В\, с направлениями
на этих прямых от точки О к точкам Л, Си О\. Какие из шести
точек Я, (2; 0; 0), Я2(3; 0; 1), Я3(-3; 0; 0), РА(±; 0; I),
Я5(—2; 0; 1) и Я6(2; 0; -|-) лежат: а) на прямой АВ\ б) на прямой
А\В\\ в) на прямой AiB?
§ 20. Применение метода координат
к решению задач
1. Расстояние между точками
I. На ребрах AD и СС\ куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Я и Q — середины этих ребер. Найдите
расстояние PQ, принимая за единицу измерения отрезок, равный ребру
куба, и выбирая прямоугольную систему координат следующим
образом:
а) начало координат — точка В, оси координат Вх, By и Bz
соответственно прямые ВА, ВС и ВВ\ с направлениями на них
от точки В к точкам Л, С и В\\
б) начало координат — точка Я, оси координат Рх, Ру и Pz
соответственно прямые PD, РОУ где точка О — центр квадрата
ABCD, и ЯЯ|, где точка Р\— середина ребра A\D\4 с
направлениями на этих прямых от точки Я к точкам D, О и Р\\
в) начало координат — точка О — центр квадрата ABCD,
оси координат Оле, Оу и Oz соответственно прямые OD, ОС
и ОО|, где точка О\ — центр квадрата A\B\C\D\, с
направлениями на этих прямых от точки О к точкам D, С и О\.
69

2. На ребрах CCi, A\B\ и AD прямоугольного
параллелепипеда взяты соответственно точки Я, Q и R — середины этих
ребер. На отрезках QR и DP взяты соответственно точки К
и L — середины этих отрезков. Считая ЛВ = 2а, AD = a, ЛЛ|=За,
найдите следующие расстояния: a) KD\ б) КР\ в) KL.
3. Основанием прямой призмы ABCDA\B\C\D\ является ромб
со стороной, равной а, и острым углом, равным 60°, а боковое
ребро призмы равно 2а. На ребре СС\ взята точка С2—
середина этого ребра. Найдите расстояния от точки F — середины
отрезка ОС? (точка О — точка пересечения диагоналей ромба)
до следующих точек: а) С\\ б) Л; в) В\.
4. Высота правильной пирамиды MABCD равна диагонали
ее основания. Отрезки AD, МС и ВО (точка О — точка
пересечения диагоналей основания) разделены каждый на четыре
равные части таким образом, что AKi = KiK2 = К2Кз = K3D, СС\ =
= С|С2 = С2Сз = СзМ и BBi=BiB2 = B2B3 = B3O. Считая ЛВ = 2а,
найдите расстояние, наибольшее из следующих пар расстояний:
а) К\Сх и /(зС3; б) Bid и В3С3; в) /(2С2 и ВС2.
5. В основании пирамиды МАВС лежит правильный
треугольник. Высота МО пирамиды в два раза больше стороны
основания и проектируется в точку О — середину ребра АВ.
На ребре МС взята точка D — середина этого ребра, а на
высоте МО взяты точки Li, L2 и L3, такие, что OL\ = L\L2 =
= £2£з = £зМ. Найдите отношения, в которых плоскостью ABD
делятся следующие отрезки: a) L2C\ б) L\C\ в) L^C.
6. Высота МО правильной пирамиды MABCD равна половине
диагонали основания и равна 1. На ребрах МАУ МС и CD взяты
соответственно точки Я, Q и R — середины этих ребер. Найдите
точку К, одинаково удаленную от следующих точек: а) О, Л, Я и Q;
б) О, D, Q и /?; в) Af, Я, Q и /?.
7. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
треугольник с прямым углом при вершине С, и АС = ВС=\. Боковое
ребро призмы равно гипотенузе треугольника ABC. На ребрах
ВС, АВ, A A i и A i С\ взяты соответственно точки Р, Q, R и V —
середины этих ребер. Найдите точку О, одинаково удаленную от
следующих точек: а) С, Я, R и V; б) С, Q, /? и V\ в) Я, Q, /? и 1/.
8. На ребрах ЛЛ,, AD и СС, куба ЛВС£Л,В,С1£, взяты
соответственно точки Я, Q и /? — середины этих ребер. Считая
ЛВ=1, найдите точку О, одинаково удаленную от следующих
точек: а) Л, В, Q и /?; б) В, Я, Q и /?; в) В,, Я, Q и /?.
2. Расстояние от точки до прямой
9. На ребрах ЛЛ| и CD куба ЛВСОЛ1В|С1О| взяты
соответственно точки Я и Q — их середины. Считая ЛВ= 1, найдите
расстояния до прямой PQ от следующих точек: a) Df, б) Си в) Л|.
10. На ребрах Л1В1, AD и CCi прямоугольного
параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ с отношением ребер AB:AD\AA\ =
70

= 1:2:1 взяты соответственно точки Р, Q и R — середины этих
ребер. Считая АВ=1, найдите расстояния до прямой PQ от
следующих точек: a) D; б) /?; в) F — точки пересечения диагоналей
грани CDD\C\.
11. Боковое ребро правильной призмы АВСА\В\С\ в два
раза меньше стороны ее основания и равно 1. На ребре АС взята
точка Р— середина этого ребра, а в грани АВВ\А\ взята точка
Q — центр этой грани. Найдите расстояния до прямой PQ от
следующих точе^: а) А\\ б) С; в) В\.
12. Основанием прямой призмы ABCDA\B\C\D\ является
трапеция, основание AD которой равно боковой стороне АВ и
боковому ребру призмы, а основание ВС равно 2. На сторонах
AD и CD взяты соответственно точки Р и Q — середины этих
сторон. Считая AD=l, найдите расстояния от точки С\ до
следующих прямых: a) B\D\ б) B\Q\ в) В\Р.
13. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник, а
ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания.
На ребре МС взята точка Р — середина этого ребра. Считая
АВ=\У МВ = 2У £С = 3, найдите расстояния до прямой ОР, где
точка О — это точка пересечения диагоналей основания, от
следующих точек: a) D; б) М\ в) А.
14. В правильном тетраэдре МАВС на ребре АС взята точка
Р — его середина, а на апофеме MD грани МАВ — точка К —
середина апофемы. Считая ребро тетраэдра равным 2, найдите
расстояния до КР от следующих точек: а) Л; б) В\ в) М.
3. Площадь треугольника
15. Все плоские углы при вершине М правильной пирамиды
МАВС прямые. На стороне ВС основания взяты точки Р,, Рг и
Рз, такие, что ВР\ = Р{Р2 = Р2Рз = РзСу а на боковом ребре МС
взяты точки Qi, Q2 и (?з, такие, что MQi = Q\Q2 = Q2Q3 = Q3C.
Считая боковое ребро равным 1, найдите площади следующих
треугольников: a) AP3Qi\ б) AP\Q2\ в) AP2Q3.
16. В основании пирамиды MABCD лежит ромб, диагональ
АС которого равна его стороне. Треугольник MAC
равносторонний, а треугольник MBD равнобедренный. На ребрах МАУ
MB, МС и АВ пирамиды взяты соответственно точки Р, Q, R
и К, а на диагонали BD взята точка L, такая, что BL:BD =
= 3:4. Считая ЛВ = 2, найдите площади следующих
треугольников: a) PVL\ б) QVL\ в) RVL.
17. В основании призмы ABCDA\B\C\D\ лежит квадрат
ABCD, от вершин которого одинаково удалена вершина А\.
Боковое ребро призмы наклонено к плоскости ее основания под
углом 60°. На ребре АА\ взята точка Р — середина этого ребра, а
на диагонали А\С взята точка Q — середина диагонали. Считая
ЛВ = 2, найдите площади следующих треугольников: a) CDP\
б) СРО\ в) fiQ

Г лава
у Векторы
§ 21. Сумма и разность векторов.
Коллинеарность и равенство векторов
1. Дана призма ABCDA\B\C\D\. Постройте следующие
векторы: a) s,=Agi+B7D,H-"DTCi+"C7S; б) s2^XBl+ThBl +
+DB,; в) S3=Ae,+fi7Di +~DXx+T^D + DA.
2. Дана призма ABCDEA\B\C\D\E\. Постройте следующие
векторы: а)^ h^^\ + CjE±ED\ + ^B\\ б) s2 = AD,+D7£+
+ £,Л,+ЛВ,; в) s3 = BD+ABi+ThE.
3. На ребрах АВ, АС и МС пирамиды МАВС взяты
соответственно точки К, L и N. Постройте следующие векторы:
a) Ji = KL + CN + NB\ б) s2 = /Cr+O? + yvB+M; в) s3 =
= kl+lN+MK+nm.
4. На ребрах AD, МС, АВ и CD пирамиды MABCD взяты
соответственно точки Р, Q, /? и К. Постройте следующие векторы:
a) s{=PQ + QR + RV\ б) 52 = Щ+Л17; в) s3 = AfQ + AfP +
+ MR+MV.
5. Дана призма ABCDA\B\C\D\. Постройте следующие
векторы: a) r,=Afi,—В,/),; б) г2=АЁ\ —С\Ь\ в) г3 =
(+) ( + )
6. На ребрах АВ, АС и МС пирамиды МАВС взяты
соответственно точки КУ L и N. Постройте следующие векторы: а) Г| =
= KL-LN; б) ?2 = KL-Bfi; в) ?3 = MA-NL.
7. На ребре AfC пирамиды MABCD взята точка /(. Постройте
векторы, которые в сумме с вектором АК дают следующие векторы:
a) AD\ б) ЛС; в) ЛИТ _ _^
8. В пирамиде МАВС ЛС=су АВ=5, ЛМ = т. Постройте
следующие^ векторы: а) рх=с-\-Ь + т\ б) р2 = с + В — т\ в) р3 =
= ?— 6 — га.
9. Основанием пирамиды MABCD является параллелограмм,
= d, AB = B и АЛ? = га. Постройте следующие векторы:
а) р1=Ш±^; б) р2 = ^±ЬМ; в) рз = 2
10. На ребрах АВ, АС, МС и MB пирамиды МАВС взяты
соответственно точки Р, Q, R и К —середины этих ребер. Какие
72

из векторов FV, Q%, ВМ, PR, МЛ, f=FV—PR и s =
а) коллинеарны; б) сонаправлены; в) равны?
11. Дана призма ABCDA\B\C\D\. Сумма каких^двух или
более векторов из указанных четырех векторов равна 0 в каждом
из следующих случаев: а) А\С\, A\D, СЛ, СВ\\ б) A\D, АВ\,
~С^Аи DCu в) ВЕи АВ, ЪХи С7#1?
12. На ребрах А\В\ и AD параллелепипеда ABCDA\B\C\D\
взяты соответственно точки Р и Q — их середины, а на ребре CD —
точка V, такая, что CV:CD = 3:4. Параллельны ли следующие
пары прямых: а) С\Р и QV; б) PQ и C\V\ в) PV и Я,С?
13. На ребрах МА и CD пирамиды MABCD, в основании
которой лежит параллелограмм, взяты соответственно точки Р и
Q — середины этих ребер, а на отрезке MQ взята точка V —
середина этого отрезка. Какие из следующих пар прямых
параллельны: a) PV и AQ\ б) CV и PQ; в) PQ и МС?
14. На ребрах АА\, В\С\, СС\ и AD параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\ взяты соответственно точки Р, Q, R и I/ —
середины этих ребер. Определите вид каждого из следующих
четырехугольников: a) PBlRD; б) PQRV; в) РВ,СК.
15. На ребрах ВВ\ и DDi параллелепипеда ABCDA\B\C\D\
взяты соответственно точки йг и Ог — середины этих ребер,
а на отрезках ВВг и D1D2 взяты соответственно точки Вз и D3 —
середины этих отрезков. Лежит ли в одной плоскости каждая из
следующих четверок точек: а) Л, В2С\ и D2; б) Л, В3, С\ и D3;
в) Л, В2> С, и D3?
16. Диагональ АС основания пирамиды MABCD пересекает
диагональ BD в точке V — середине BD. На ребрах MA, MB и МС
пирамиды взяты соответственно точки А\, В\ и С\—середины
этих ребер и точки А2, В2 и С2, такие, что АА2:АМ = СС2:СМ =
= 1:4 и ВВ2:ВМ = 2:3. Лежит ли в одной плоскости каждая из
следующих четверок точек: a) D, Аи В2 и d; б) D, А2, В\ и Сг;
в) D, Л2, В2 и С2?
§ 22. Координаты вектора, координаты
суммы и разности векторов.
Координатное выражение
коллинеарности и равенства векторов.
Длина вектора
1. Вершина А куба ABCDA\B\C\D\ принята за начало
прямоугольной системы координат, а векторы АВ, Аб и АА\ приняты
соответственно за координатные векторы Г, /, k. На ребрах
А\В\ и DD\ взяты соответственно точки Р и Q — середины этих
ребер. Найдите в заданной системе координат координаты
следующих векторов: a) BD, DC], СХР, Р§\ б) QD, ПХУ АВ, ВС],
в) ОС] (точка О —центр квадрата ABCD), ОЛ OQ** ОХХ.
73

2. Вершина А прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\ с отношением ребер AB:AD:AA\=2:1:1
принята за начало прямоугольной системы координат, а векторы —ЛВ,
Л£> и АА\ приняты соответственно за координатные векторы
?, /, k. На ребрах A\D\, CD и ВВ| взяты соответственно точки
Р, Q и /? — середины этих ребер. Найдите в заданной системе
координат координаты следующих векторов:
а) Л77\ PD, DBl EXx и
б) PQ, QR, RP и s2 =
в)
3. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
треугольник, у которого АС = ВС и высота CD которого равна
боковому ребру призмы. Точка D принята за начало прямоугольной
системы координат, а векторы 2ПЛУ П£ и DD\ приняты
соответственно за координатные векторы 7, /, k. На ребрах ЛС, СС\ и
В\С\ взяты соответственно точки Р, Q и R — середины этих
ребер. Найдите в заданной системе координат координаты
следующих векторов: a) DP, Р£\ и r = DC] — DP\ б) u=(DP*+
в) ?=(BQ+i- СТЯ)- (М+АР).
4. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник, у
которого АВ = ВСУ а высота BD в два раза больше стороны АС.
Точка О — основание высоты МО пирамиды является серединой
отрезка BD, и МО = АС. Точка D принята за начало
прямоугольной системы координат, а векторы АС, ОВ и ОМ приняты
соответственно за координатные векторы Г, /, k. На ребрах MB и
ВС взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер.
Найдите в заданной системе координат координаты следующих
векторов: а) 7Ш, DP и МВ\ б) МС, МА и MQ\ в) Ж), 2OQ и
s=(AO + BO)-2OQ.
5. На ребре CD куба ABCDAXBXC\D\ взята-точка Р —
середина этого ребра, а в грани ABCD взята точка О — центр
грани. Задайте прямоугольную систему координат и найдите в ней
координаты указанных ниже векторов. Если среди указанных
троек векторов есть коллинеарные векторы, укажите их: а) ОВ,
O£i и ~CjP\ б) ЯВ|, AD\ и BD; в) OP, B77?i и ЛД
6. На ребрах АА\, В\С\ и СС| прямоугольного
параллелепипеда ABCDA\B\C\D\, у которого AB:AD:AA\ = 1:2:1, взяты
соответственно точки Р, Q и /? — середины этих ребер. Через
точку R проведена прямая /, параллельная прямой PQ. Найдите
координаты точек пересечения прямой / со следующими
плоскостями: а) АВС\ б) АВВ\\ в) BDD\. Постройте эти точки.
7. На ребрах А\В\, AD, В\С\ и CD правильной призмы
ABCDA\B\C\D\ взяты соответственно точки Р, Q, R и К. Есть ли
74

коллинеарные векторы среди векторов следующих троек:
a) C7F, А§, и АР; б) PQ, ~Bj5 и /?!?; в) С^, Л7? и РЛ2, где
точка Л2 —середина ребра АА\?
8. На ребрах AfB и МС правильной пирамиды MABCD взяты
соответственно точки К и N — середины этих ребер, на апофеме
МН грани MCD взята точка F — середина апофемы и на
отрезке ОС (точка О — основание высоты МО пирамиды) взята
точка L — середина ОС. Коллинеарны ли векторы в
следующих парах векторов: a) AT и /Ш; б) ML и ОК\ в) KL и М&
9. На ребрах АА\ и CD куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер, а в грани
A\B\C\D\ взята точка О\—точка пересечения диагоналей
этой грани. Через точку О\ проведена прямая /, параллельная
прямой PQ. Найдите координаты точек пересечения прямой /
со следующими плоскостями: a) CDD\\ б) ВСС\\ в) ABC.
Постройте эти точки.
§ 23. Скалярное произведение векторов
в координатах
1. На ребре АА\ куба ABCDA\B\C\DX взята точка Р —
середина этого ребра. Введите в пространстве прямоугольную
систему координат и найдите в этой системе координаты
нормальных векторов следующих плоскостей: а) СС\Р\ б) CDP\
в) CPQy где точка Q — середина ребра AD.
2. На ребре АА\ куба ABCDA\B\C\D\ взята точка Р —
середина этого ребра, на прямой ВС взята точка /?, такая, что
BR:BC=3:2, и в грани i4|BiCiDi взята точка О\—центр этой
грани. Введите в пространстве прямоугольную систему
координат и найдите в этой системе координаты нормальных векторов
следующих плоскостей: a) DPO\\ б) DRO\\ в) PRO\.
3. Боковое ребро правильной призмы ABCDA\B\C\D\ в два
раза больше стороны ее основания. На ребре АВ призмы взята
точка Р — середина этого ребра, а на диагоналях А\С\ и C\D
ее граней взяты соответственно точки Q и /?, такие, что
A\Q:A\C\=DR:DC\ = \ :4. Введите в пространстве
прямоугольную систему координат и найдите в этой системе
координаты нормальных векторов следующих плоскостей: a) APQ\
б) С,Р/?; в) PQR.
4. Все грани призмы АВСА\В\С\—квадраты. На ее ребре
ВВ\ взята точка Р — середина ребра, на медиане CD
треугольника ABC взята точка Q — середина медианы и на прямой Aid
взята точка /?, такая, что C\R:C\A\ =3:2. Введите в пространстве
прямоугольную систему координат и найдите в этой системе
координаты нормальных векторов следующих плоскостей:
a) AXPQ\ б) C,Q/?; в) PQR.
75

5. В основании пирамиды МАВС лежит правильный
треугольник, а ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости
основания и равно стороне основания. На ребрах МЛ, МС и АС
пирамиды взяты соответственно точки Я, Q и R —
середины этих ребер. Введите в пространстве прямоугольную
систему координат и найдите в этой системе координаты
нормальных векторов следующих плоскостей: a) BPQ\ б) ABQ\
в) BQR.
6. На высоте МО и на ребре МС правильной пирамиды
MABCD взяты соответственно точки Р и Q —середины отрезков
МО и МС. Высота пирамиды в два раза больше стороны ее
основания. Введите в пространстве прямоугольную систему
координат и найдите в этой системе координаты нормальных
векторов следующих плоскостей: a) CDP\ б) DPQ\ в) ADQ.
7. Боковое ребро правильной призмы ABCDA\B\C\D\ в три
раза больше стороны ее основания. На ребре СС\ взята точка Я,
такая, что СР:CCi = 1:3. Введите в пространстве прямоугольную
систему координат и найдите в этой системе координаты
нормальных векторов плоскостей, параллельных следующим прямым:
а) ЛС, и DP\ б) Л,С и DP; в) Л,Я и BXD.
8. Боковое ребро правильной призмы АВСА\В\С\ равно
медиане ее основания. На ребрах АС и ВВ\ взяты соответственно
точки Р и Q — середины этих ребер. Введите в пространстве
прямоугольную систему координат и найдите в этой системе
координаты нормальных векторов плоскостей, параллельных
следующим прямым: а) АВХ и С\Р\ б) АВ и PQ; в) АС\ и PQ.
9. В основании пирамиды МАВС лежит правильный
треугольник, а ее боковое ребро МС перпендикулярно плоскости
основания и равно стороне основания. На ребрах АС и ВС
пирамиды взяты соответственно точки К и L — середины этих
ребер, а на апофеме MD грани МАВ взята точка Я, такая,
что MH:MD = 4:7. Введите в пространстве прямоугольную
систему координат и убедитесь, что векторы ВКУ At и СН
являются нормальными векторами соответственно следующих
плоскостей: а) МАС\ б) МВС\ в) МАВ.
§ 24. Уравнение плоскости
1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ с
отношением ребер AB\AD\AA\ = 1:2:1 через точки Аи С\ и D
проведена секущая плоскость. Составьте уравнение этой
плоскости в следующих прямоугольных системах координат:
а) начало системы координат в точке Л, —~АВ=Т, ~AE=J,
б) начало системы координат в точке В, BA=i, — ВС=/,
BBx=h 2
76

в) начало системы координат в точке D, —DA = iy DC=jy
=k. 2
2. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольная
трапеция, меньшее основание CD которой равно стороне AD и
половине основания АВ. Боковое ребро МА пирамиды
перпендикулярно плоскости основания, и MA = CD. На ребре MB взята
точка К — середина этого ребра. Принимая точку А за начало
прямоугольной системы координат, Аб=7, —AB = J и AM = k,
составьте уравнения плоскостей, перпендикулярных прямой СМ и
проходящих через следующие точки: а) А\ б) В\ в) С.
3. В основании прямой призмы ABCDA\BXC\D\ лежит
ромб, угол ABC которого равен 60°. Боковое ребро призмы равно
половине меньшей диагонали ромба. На ребре СС\ взята
точка L — середина этого ребра, а на диагонали BD основания
взята точка /(, такая, что BK:BD = 3:4. Принимая точку О,
в которой пересекаются диагонали основания призмы, за начало
л/3
прямоугольной системы координат, в которой ОА =?, —%-ОГ) =
= J u~OO\ = k (точка О\—точка пересечения диагоналей грани
A\B\C\D\), составьте уравнение плоскости, перепендикулярной
прямой KL и проходящей через следующие точки: а) О; б) С\\
в) D|.
4. На ребрах AD и СС\ куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Принимая
точку В за начало прямоугольной системы координат, в
которой ВА=Т, BC = J и BI$\ = k, составьте уравнения плоскостей,
проходящих через точку О\ — центр грани A\B\C\D\
параллельно прямой PQ и одной из следующих прямых: а) АВ\ в) A\D\
в) BXD.
5. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
прямоугольный треугольник, а отношение ее ребер CA:CB:CCi =
= 3:4:5. На ребрах ВВ\ и А\В\ призмы взяты соответственно
точки Р и Q — середины этих ребер. Принимая точку С за начало
прямоугольной системы координат, \ CA=Z ^- СВ = ]У 4- C(?i=k%
о 4 О
составьте уравнения следующих плоскостей: а) АВ\С\ б) АСР\
в) ACQ.
6. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник, а ее
боковое ребро МА перпендикулярно плоскости основания, и МА =
=AD = — АВ. На ребрах МА, MB и АВ взяты соответственно
точки Я, Q и R — середины этих ребер. Принимая точку А
за начало прямоугольной системы координат, AD=ly -i-Afi = /,
AM = ky составьте уравнения плоскостей, проходящих через
точку D параллельно следующим прямым: a) AR и CQ\ б) BR и
СР\ в) AQ и BR.
77

7. В основании пирамиды MABCD лежит равнобедренная
трапеция с отношением оснований CD:AB=l:2 и взаимно
перпендикулярными диагоналями. Высота МО пирамиды проектируется
в точку пересечения диагоналей основания, и CD:МО = 1:3. На
ребре MB взята точка L — середина этого ребра. Принимая
точку О за начало прямоугольной системы координат, OC=Jt _ОВ =
= Jy -£-(Ш = £» составьте уравнения плоскостей, проходящих
через прямую CL параллельно следующим прямым: а) МО\
б) BD\ в) МА.
8. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный
треугольник с отношением катетов АС:ВС= 1:2. Боковое ребро МС
перпендикулярно плоскости основания, и МС=АС. На сторонах
ВС, АС и АВ основания пирамиды взяты соответственно точки
/(, L и N — середины этих сторон. Принимая точку С за начало
прямоугольной системы координат, CA = i, — СВ = /, CM = k,
составьте уравнения плоскостей, проходящих через биссектрису
CD угла АСВ параллельно следующим прямым: а) МК\ б) ML\
в) MN.
9. Точки Я|, Я2, ..., Ре— середины соответственно ребер АА\,
A\Bi, B,Ci, CiC, CD и DA куба ABCDAiB,CiD,. Лежат ли в одной
плоскости следующие точки: а) Р\у Я2, Я3 и С; б) Pi, Я2, Рз и D;
в) Ри /V Яз, Я4, Ръ и Р6?
10. Точки Я|, Я2, Яз, Я4, Яб и Я6 — середины соответственно
ребер АВ, MB, МСУ АС, МА и ВС правильной пирамиды МАВС.
Лежат ли в одной плоскости следующие точки: а) Я|, Яг, Яз и Я4;
б) Я,, Яз, Я4 и Я5; в) Я2, Я4, Я6 и Л?
11. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник, а
ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания. На
ребре AD взяты точки Р\, Я2 и Я3, такие, что АР\ = PiP2 = Р2Рз =
= PsD, а на ребре МС взяты точки Qi, Q2 и Q3, такие, что
MQi = QiQ2 = Q2Q3 = Q3C. Лежат ли в одной плоскости
следующие прямые: a) P\Q\ и Я2(?2; б) Я^з и P3Qu в) Я3(?1 и DQ2?
12. На ребре CD правильной призмы ABCDA\B\C\D\ взята
точка Е — середина этого ребра, а на отрезке С\Е взяты точки
Яь Я2 и Я3, такие, что ЕР\ = Р\Р2 = Р2Рз = РзС\. На диагонали
A\D взяты точки Qi, Q2 и Q3, такие, что DQi = QiQ2 = Q2Q3 =
= Q3>4|. Лежат ли в одной плоскости следующие прямые: a) P\Q\
и P2Q2\ б) Л,Я, и C,Q2; в) Л,Я3 и CiQ3?

Глава Векторно_КООрдинатные СПОСОбы
VI решения задач на построение
§ 25. Построение прямой, параллельной
заданной прямой
1. На грани АВВ\А\ куба ABCDA\B\C\D\ взята точка К —
центр этой грани. Постройте прямые, параллельные прямой D\K
и проходящие через следующие точки: а) А\ б) Р — середину
ребра СС\\ в) О — центр грани ABCD.
2. На диагонали C\D грани правильной призмы
ABCDA\B\C\D\, боковое ребро которой в два раза больше
стороны ее основания, взяты точки Pi, P2 и Р3, такие, что С\Р\ =
= PiP2 = Р2Рз = P3D, а на диагонали B\D\ грани >4|B|CiDi взята
точка Q, такая что B\Q:BiDi = 1:4. Постройте прямые,
проходящие через точку А\ и параллельные следующим прямым:
а) ВхРи б) В,Р2; в) В,Яз.
3. Боковые грани призмы АВСА\В\С\ — квадраты. На ее
ребре СС\ взята точка Р — середина ребра, а на медиане BD
грани ABC взята точка М — середина медианы. Постройте
прямые, параллельные прямой МР и проходящие через следующие
точки: а) В; б) Л; в) С\.
4. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
прямоугольный треугольник с катетами ВС = 3 и АС = 4. Боковое ребро
призмы равно 5. Через точку О — центр окружности, вписанной
в треугольник ABC, и точку Р — середину ребра А\В\ — проведена
прямая. Постройте прямые, параллельные прямой ОР и
проходящие через следующие точки: а) С; б) В\ в) А\.
5. В основании пирамиды MABCD лежит ромб, угол ABC
которого равен 60°, а боковое ребро МС пирамиды
перпендикулярно плоскости ее основания и равно стороне основания. На
ребрах АВ и MD взяты соответственно точки Р и Q — середины
этих ребер. Постройте прямые, параллельные прямой PQ и
проходящие через следующие точки: а) К— середину ребра МА\
б) L — середину ребра МВ\ в) N — середину ребра AD.
6. Диагональные сечения правильной пирамиды MABD —
прямоугольные треугольники. На ребрах AD и МС взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Постройте
прямые, параллельные прямой PQ и проходящие через следующие
точки: а) А\ б) О; в) К — середину высоты МО.
7. Ромб A BCD, угол ABC которого равен 60°, согнут под
прямым углом по диагонали АС. На отрезке ОЛ, где точка О —
79

точка пересечения диагоналей ромба, взята точка Р — середина
этого отрезка, а на отрезке, соединяющем точки В и D, взяты
точки Q,, Q2 и Q3, такие, что BQ\ = QlQ2 = Q2Q3 = Q3D.
Постройте прямые, проходящие через точку К — середину
отрезка ОВ и параллельные следующим прямым: a) PQ\\ б) PQ2\
в) PQ3.
8. Прямоугольник ABCD с отношением сторон АВ:ВС = 2:1
согнут по диагонали BD под прямым углом. На сторонах АВ и
CD прямоугольника взяты соответственно точки Р и Q —
середины этих сторон. Постройте прямые, параллельные прямой PQ
и проходящие через следующие точки: а) К — середину отрезка
ВС; б) L — середину отрезка AD\ в) М— середину отрезка,
соединяющего точки А и С.
§ 26. Построение прямой, перпендикулярной
заданной плоскости
1. На ребрах AD и СС\ куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер, а на
отрезке PQ взяты точки К\у /Сг и /С3, такие, что РКх = К\Кч =
= K2K3 = /(3Q. Постройте прямые, перпендикулярные
плоскости ADQ и проходящие через следующие точки: а) К\\ б) К2\
в) /Сз.
2. На ребре В\С\ прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\, у которого AB:AD:AA\ = 1:2:1, взяты точки
/Ci, /C2 и /(з, такие, что В\К\=К\К2 = К2Кз = КзСх. Постройте
прямые, проходящие через точку D\ и перпендикулярные
следующим плоскостям: а) А\К\С\ б) А\К2С\ в) А\КзС.
3. На ребрах AD и ВВ\ правильной призмы ABCDA\B\C\D\,
боковое ребро которой в два раза больше стороны основания,
взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Через
точку Р проведена плоскость а, параллельная прямым АВ\ и
CQ. Постройте прямые, перпендикулярные плоскости а и
проходящие через следующие точки: a) D\\ б) /( — середину ребра
DD\\ в) L — середину ребра A\D\.
4. Основанием прямой призмы АВСА\В\С\ является
равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С.
Боковая грань АВВ\А\ призмы — квадрат. На ребре АВ взята точка
Р — середина этого ребра. Постройте прямые, перпендикулярные
плоскости СВ\Р и проходящие через следующие точки: а) С\\
б) Аи в) С.
5. На ребре А\В\ правильной призмы АВСА\В\С\, боковое
ребро которой в два раза больше стороны основания, взята
точка Р — середина этого ребра. Через прямую СР параллельно
прямой АВ\ проведена плоскость а. Постройте прямые,
перпендикулярные плоскости а и проходящие через следующие точки:
а) Аи б) В\ в) Ви
80

6. На ребрах А\В\ и А\С\ прямой призмы АВСА\В\С\, в
основании которой лежит прямоугольный треугольник и у которой
АС = ВС = СС\, взяты соответственно точки Р и Q — середины
этих ребер. Через прямую ВР параллельно прямой CQ
проведена плоскость а. Постройте прямые, перпендикулярные
плоскости а и проходящие через следующие точки: а) Л; б) К —
середину ребра АА\\ в) L — середину ребра АВ.
7. Высота МО правильной пирамиды MABCD равна стороне
ее основания. Постройте прямые, перпендикулярные плоскости
MCD и проходящие через следующие точки: а) А\ б). К —
середину ребра МА\ в) L — середину ребра АВ.
8. На ребре МС правильной пирамиды MABCD, высота
которой в два раза больше стороны ее основания, взята
точка Р — середина этого ребра. Постройте прямые,
перпендикулярные плоскости BDP и проходящие через следующие точки:
a) F — середину высоты МО\ б) К — середину ребра МА\ в) L —
середину ребра CD.
9. В основании прямой призмы ABCDA\B\C\D\ лежит ромб,
угол BAD которого равен 60°. Боковое ребро призмы равно
половине большей диагонали призмы. Через точку Р — середину
ребра АА\ — проведена плоскость а, параллельная прямым AD\ и
АВ\. Постройте прямые, перпендикулярные плоскости а и
проходящие через следующие точки: а) А\\ б) О — точку
пересечения диагоналей грани ABCD; в) R — середину ребра A\D\.
10. На ребрах МС и АС правильной пирамиды МАВС, высота
МО которой равна отрезку ОС, взяты соответственно точки Р
и Q — середины этих ребер. Постройте прямые,
перпендикулярные плоскости BPQ и проходящие через следующие точки:
а) М\ б) К — середину высоты МО\ в) L — середину ребра АВ.
11. На ребрах МС и MD правильной пирамиды MABCD,
диагональным сечением которой является правильный
треугольник, взяты соответственно точки Р и Q — середины этих
ребер. Через прямую АР параллельно прямой CQ проведена
плоскость а. Постройте прямые, перпендикулярные плоскости а
и проходящие через следующие точки: a) D; б) Q; в) С.
§ 27. Построение сечений многогранников
I. Построение сечения плоскостью, заданной уравнением
1. Вершина В куба ABCDA\B\C\D\ принята за начало
прямоугольной системы координат, а векторы ВА, ВС и ВВ\ приняты
соответственно за единичные векторы /, J и К. Постройте сечения
куба плоскостями, заданными в этой системе координат
следующими уравнениями: a) x-\-y-\-z—1=0; б) 6x-\-4y-\-2z — 3 =
= 0; в) 3x + 4y + 2z — 5 = 0.
81

2. Вершина В куба ABCDA\B\C\D\ принята^ за начало
прямоугольной системы координат, а векторы ВЛУ ВС и ВВ\
приняты соответственно за единичные векторы Г, / и k. Постройте
сечения куба плоскостями, заданными в этой системе
следующими уравнениями: а) 2х — у — 4z + 1 =0; б) х—у — z = 0; в) 2х+
+ 2у-3 = 0.
3. Вершина В прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\BXC\D\ с отношением ребер ВА :BD:BBX = 1:3:2 принята
за начало прямоугольной системы координат, а векторы ВА,
\в€ и -1- ВВ\ приняты соответственно за единичные векторы
Г, / и k. Постройте сечения параллелепипеда плоскостями,
заданными в этой системе координат следующими уравнениями:
a) 2x + 2y + z — 4 = 0\ б) у — z — 2 = 0; в) 2x — y + z = 0.
4. Точка О —середина стороны АВ основания правильной
призмы АВСА\В\С\, боковые грани которой являются квадратами,
принята за начало прямоугольной системы координат, а век-
торы ОАУ ——ОС? и — ОО|, где точка О| —середина ребра Лifii,
приняты соответственно за единичные векторы Г, / и k. Постройте
сечения призмы плоскостями, заданными в этой системе
координат следующими уравнениями: a) 3x — ^f3y + 32 — 6 = 0; б) х +
+ z—l=0; в) 6х — 2V3*/ + 3z = 0.
5. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
прямоугольный треугольник, у которого АС = ВС и вершина С
которого принята за начало прямоугольной системы координат. За
единичные векторы Г, / и k этой системы приняты
соответственно векторы ~СА, ~CS и y^^1* Постройте сечения призмы
плоскостями, которые параллельны плоскости, заданной в
указанной системе координат уравнением х — y-\-z — 2 = 0, и проходят
через следующие точки: а) В\\ б) Р — середину ребра Bid; в) Q—
середину ребра АВ.
6. В основании прямой призмы ABCDA\B\C\D\ лежит ромб,
угол BAD которого равен 60°. Боковое ребро призмы в два раза
больше диагонали BD основания. Точка О, в которой
пересекаются диагонали основания, принята за начало прямоуголь-
ной системы координат, а векторы OD, -^-6С и —ОО\, где
«3 2.
точка О|—точка пересечения диагоналей А\С\ и B\DU приняты
соответственно за единичные векторы /, / и k этой системы
координат. Постройте сечения призмы плоскостями, которые
параллельны плоскости, заданной в указанной системе
координат уравнением Зле—-\j3y-\-3z — 6 = 0, и проходят через
следующие точки: а) С\\ б) D\\ в) О.
7. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник
с отношением сторон AB:AD=l:2. Высота пирамиды проекти-
82

руется в точку О — точку пересечения диагоналей основания,
и МО:АВ = 3:2. Точка О принята за начало прямоугольной
системы координат, а векторы \ВЛ, Т^ и ®^ приняты
соответственно за единичные векторы /, / и k. На ребрах МЛ, MB и
MD взяты соответственно точки Р, Q и R — середины этих ребер.
Постройте сечения пирамиды плоскостями, которые параллельны
плоскости, заданной в указанной системе координат уравнением
6x-\-3y-\-2z— 6 = 0, и проходят через следующие точки: а) Р\
б) Q; в) /?.
8. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник с прямым
углом при вершине С и отношением катетов АС:ВС=\:2.
Боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания, и МС =
=АВ. Точка С принята за начало прямоугольной системы
координат, а векторы СА, ^-СВ и ^—С7Л приняты соответ-
ственно за единичные векторы Г, / и k. На ребре МА взяты точки
Pi, Р2 и Р3, такие, что МР\=Р\Р2 = Р2Рз = РзА. Постройте
сечения пирамиды плоскостями, которые параллельны плоскости,
заданной уравнением 10л:-|-2У5г— 5 = 0, и проходят через
следующие точки: а) Р\\ б) Р2\ в) Р3.
2. Построение сечения, проходящего через заданную
точку перпендикулярно заданной прямой
9. На ребре АА\ куба ABCDAXB\C\D\ взята точка Р —
середина этого ребра, а на прямой CD — точка Q, такая, что
DQ:D€=3:2. Постройте сечения куба плоскостями,
перпендикулярными прямой PQ и проходящими через следующие точки:
a) D; б) К — центр грани АВВ\А\\ в) R — середину отрезка PQ.
10. На ребре CD куба ABCDA\B\C\DX взята точка Р —
середина этого ребра и на отрезке А\Р взяты точки L|, L2 и £з,
такие, что A\L\ = L\L2 = L2Lz = L3P. Постройте сечения куба
плоскостями, перпендикулярными прямой А\Р и проходящими через
следующие точки: a) L2\ б) L\\ в) L3.
11. Боковое ребро прямой призмы ABCDA\B\C\D\ равно
стороне ромба, лежащего в основании призмы. Угол BAD ромба
равен 60°. На ребре СС\ взята точка Р — середина_этого ребра,
а на прямой АА\ взята точка Q, такая, что AQ:AA\=3:2.
Постройте сечения призмы плоскостями, проходящими через
точку D\ и перпендикулярными следующим прямым,
проходящим через точку О, в которой пересекаются диагонали АС и BD:
а) ОР\ б) ОВи в) OQ.
12. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы
ABC...E\F\ равно большей диагонали ее основания. Постройте
сечения призмы плоскостями, перпендикулярными прямой C\F
и проходящими через следующие точки: а) А\ б) В\\ в) Р —
середину отрезка C\F.
83

13. Боковое ребро правильной призмы АВСА\В\С\ равно
половине стороны ее основания. Постройте сечения призмы
плоскостями, проходящими через точку А перпендикулярно
следующим прямым: а) ВА\\ б) ВС\\ в) ВР, где точка Р — середина
ребра А\С\.
14. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
треугольник с прямым углом при вершине С, а отношение ее ребер
СА:СВ:СС\ = 1:2:2. На прямой А\С\ взята точка Я, такая,
что С\Р:С\А\ = 2:1. Постройте сечения призмы плоскостями,
перпендикулярными прямой ВР и проходящими через следующие
точки: а) С\\ б) Q — середину ребра ВС\ в) С.
15. Высота правильной пирамиды MABCD равна половине
диагонали ее основания. На ребре MB пирамиды взята точка Р —
середина этого ребра, а на прямой CD взята точка Q, такая,
что CQ:CD = 3:2. Постройте сечения пирамиды плоскостями,
перпендикулярными прямой PQ и проходящими через следующие
точки: а) А\ б) М\ в) О —точку пересечения диагоналей
основания.
16. На ребрах АС и АВ правильного тетраэдра МАВС взяты
соответственно точки К и L — середины этих ребер, а на
прямой В К взята точка Я, такая, что ВР:ВК = 4:3. В плоскости
MCL через точку L проведена прямая /|, параллельная прямой
МО, где точка О — основание высоты МО тетраэдра, и через
точку М — прямая /г, параллельная прямой CL. Прямые 1\ и /г
пересекаются в точке Q. Постройте сечения тетраэдра
плоскостями, перпендикулярными прямой PQ и проходящими через
следующие точки: а) А\ б) М\—середину высоты МО\ в) L.
3. Построение сечения, проходящего через заданную точку
параллельно двум заданным скрещивающимся прямым, и
сечения, проходящего через заданную прямую параллельно
другой заданной прямой
17. Точка О —центр грани ABCD куба АВСРА\ВХС\Р\.
На прямой CD взята точка Р, такая, что CP:CD = 2:l.
Постройте сечения куба плоскостями, параллельными прямым ОС\
и А\Р и проходящими через следующие точки: а) А\ б) D\\ в) В.
18. На ребрах CD и СС\ куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Постройте сечения
куба плоскостями, параллельными прямым А\Р и DQ и
проходящими через следующие точки: а) А\ б) С; в) В\.
19. Отношение ребер прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\ ABj,AJD:AAi = 1:3:1. На прямой АВХ взята
точка Р, такая, что АР\АВ\=2:\. Постройте сечения
параллелепипеда плоскостями, параллельными прямым DP и CD\ и
проходящими через следующие точки: а) А\\ б) D\\ в) М — точку
пересечения прямой DP с плоскостью ВСС\.
84

20. В основании призмы АВСА\В\С\ лежит прямоугольный
треугольник, а ее грани АСС\А\ и ВСС\В\ — квадраты. На
ребре АА\ взята точка Р — середина этого ребра, а на
отрезках ВР и ВС\ взяты соответственно точки М и L — середины
этих отрезков. Постройте сечения призмы плоскостями,
параллельными прямым ML и А\С и проходящими через следующие
точки: а) А\ б) В\\ в) К — точку, взятую на прямой ML таким
образом, что MK:ML = 2:\.
21. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с
отношением сторон AB:AD=\ :2, а боковое ребро MB
перпендикулярно плоскости основания и равно меньшей стороне основания.
На ребрах MB, CD и МС взяты соответственно точки Я, Q
и R— середины этих ребер. Постройте сечения пирамиды
плоскостями, параллельными прямым PQ и DR и проходящими через
следующие точки: а) О —точку пересечения диагоналей
основания; б) F — середину ребра AD\ в) Е — середину ребра МА.
22. В основании пирамиды MABCD лежит ромб, отношение
диагоналей которого AC:BD=\:2. Высота пирамиды
проектируется в точку О — точку пересечения диагоналей основания и
равна меньшей диагонали ромба. На ребрах ВС и МА пирамиды
взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер, а
на прямой MD взята точка /?, такая, что MR:MD = 3:2.
Постройте сечения пирамиды плоскостями, параллельными прямым
PQ и OR и проходящими через следующие точки: а) В; б) С;
в) F — середину высоты МО.
23. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
равнобедренный треугольник, угол ABC которого равен 120°, а боковое
ребро призмы равно большей стороне этого треугольника. На
ребрах Л|В|, В\С\ и СС\ призмы взяты соответственно точки Р,
Q и R — середины этих ребер, а в плоскости ABC взята точка В',
симметричная вершине В относительно прямой АС. Постройте
сечения призмы плоскостями, проходящими через прямую В\В'
параллельно следующим прямым: a) AR\ б) АР\ в) AQ.
24. В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный
треугольник с прямым углом при .вершине С, а боковые ребра
пирамиды равнонаклонены к плоскости ее основания. На ребрах МС
и АС взяты точки Р и R — середины этих ребер, а на медиане СК
основания взята точка Q — середина медианы. Постройте сечения
пирамиды плоскостями, проходящими через прямую АР
параллельно следующим прямым: a) MQ\ б) QR\ в) BR.
25. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с
отношением сторон AB:AD = 2:3. Высота МО пирамиды равна
стороне АВ% а точка О является серединой стороны АВ. На
прямой МО взята точка Я, такая, что МР:ЛЮ = 3:2, а на ребрах
МС и МА взяты соответственно точки Q и R — середины этих
ребер. Постройте сечения пирамиды плоскостями, проходящими
через прямую PQ параллельно следующим прямым: a) RD\
б) RFy где точка Т7 —середина ребра CD\ в) RC.
85

26. Боковое ребро правильной призмы ABCDA\B\C\D\ в
два раза больше стороны ее основания. На прямых CD и В\С\
взяты соответственно точки, Р и Q, такие, что CP:CD =
= C\Q:C\B\=2:l. Постройте сечения призмы плоскостями,
проходящими через прямую PQ параллельно следующим прямым:
а) В,Л; б) В,С; в) B,D.
27. В основании призмы ABCDA\B\C\D\ лежит квадрат
ABCD. От вершин этого квадрата одинаково удалена
вершина А1. Боковые ребра призмы наклонены к плоскости основания
под углом 60°. Постройте сечения призмы плоскостями,
проходящими через прямую B\D параллельно следующим прямым:
а) AD\\ б) А\ОУ где точка О — точка пересечения диагоналей
основания; в) СЯ, где точка Р — середина ребра АА\.
4. Построение сечения, проходящего через заданную прямую
перпендикулярно заспанной плоскости
28. Точка О —центр грани ABCD куба ABCDA\BXC\D\.
Постройте сечения куба плоскостями, перпендикулярными
плоскости А\В\С и проходящими через следующие прямые: а) ОС\\
б) ОВи в) ОА\.
29. Боковое ребро правильной призмы ABCDA\B\C\D\ в
два раза больше стороны ее основания. На ребрах CD и DD\
взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер.
Постройте сечения призмы плоскостями, проходящими через прямую
B\D перпендикулярно следующим плоскостям: а) В\С\Р\
б) BiCQ; в) BiCiD.
30. На ребре C\D\ куба ABCDA\B\C\D\ взята точка Р —
середина этого ребра. Постройте сечения куба плоскостями,
перпендикулярными плоскости АВ\Р и проходящими через
следующие прямые: а) АС\ б) В\С\ в) B\D.
31. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\, у
которого AB:AD:AA\ = 1:3:2, на ребрах AD и СС\ взяты
соответственно точки Р и Q, такие, что AP:AD = 2:3, CQ:CC\ = l:2.
Постройте сечения параллелепипеда плоскостями,
перпендикулярными плоскости A\C\D и проходящими через следующие
прямые: a) AQ\ б) PQ; в) С\Р.
32. Основанием прямой призмы АВСА\В\С\ является
прямоугольный треугольник. Отношение ребер призмы СА:СВ:СС\ =
= 3:4:5. На ребре В\С\ взята точка Р — середина этого ребра,
а на прямой АС — точка Q, такая, что CQ:CA = 2:l. Постройте
сечения призмы плоскостями, проходящими через прямую PQ
перпендикулярно следующим плоскостям: а) АВ\С\ б) ЛВ|С|;
в) А\ВХС.
33. Боковые грани призмы ABCDA\B\C\D\ — квадраты, а угол
ADC в ее основании равен 120°. На ребрах AD, C\D\ и ВВ\ призмы
взяты соответственно точки Я, Q и R — середины этих ребер.
Постройте сечения призмы плоскостями, перпендикулярными
86

плоскости PQR и проходящими через следующие прямые: a) BD\
б) Л,/?; в) PR.
34. Боковая грань МАВ и основание ABC пирамиды МАВС —
правильные треугольники, плоскости которых взаимно
перпендикулярны. На ребрах АВ и МС взяты соответственно точки О и
Q — середины этих ребер, а на отрезке О А взята точка Р —
середина этого отрезка. Постройте сечения пирамиды
плоскостями, проходящими через прямую PQ перпендикулярно следующим
плоскостям: а) МОС\ б) АВС\ в) МВС.
35. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с
отношением сторон AB:AD=l:2. Высота МО пирамиды
проектируется в точку пересечения диагоналей основания, и МО=АС.
На ребре MD пирамиды взята точка Р — середина этого ребра,
а на отрезке АО взята точка Q —середина этого отрезка.
Постройте сечения пирамиды плоскостями, проходящими через
прямую PQ перпендикулярно следующим плоскостям: а) АВС\
б) MBD\ в) МВС.
5. Построение разверток отсеченных многогранников
36. Вершина В куба ABCDA\B\C\D\ принята за начало
прямоугольной системы координат, а векторы ВЛи В^О и ВВ\
приняты соответственно за единичные векторы ?, / и Я. Постройте
развертки тех многогранников, которые получаются при
рассечении куба плоскостями, заданными в этой системе координат
следующими уравнениями: a) x-\-y-\-z—1=0; б) 6х-\-4у-\-
+ 2^ — 3 = 0; в) 3x + 4y + 2z — 5 = 0.
37. Вершина В куба ABCDA\B\C\D\ принята за начало
прямоугольной системы координат, а векторы _ЯЙи ВС и ВВ\
приняты соответственно за единичные векторы Г, / и Я. Постройте
развертки тех многогранников, которые получаются при
рассечении куба плоскостями, заданными в этой системе координат
следующими уравнениями: а) 2х—у — 42+1=0; б) х—у — г = 0;
в) 2х + 2у — 3 = 0.
38. Вершина В прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\BXC\D\ с отношением ребер ВА:BD:BB\ = 1:3:2
принята за начало прямоугольной системы координат, а векторы
БА, \-ВС и ^гВВ\ приняты соответственно за единичные век-
торы Г, / и k. Постройте развертки тех многогранников, которые
получаются при рассечении параллелепипеда плоскостями,
заданными в этой системе координат следующими уравнениями:
a) 2x + 2y + z — 4 = 0; б) y — z — 2 = 0\ в) 2x—y + z = 0.
39. Точка О — середина стороны АВ основания правильной
призмы АВСА\В\С\, боковые грани которой являются
квадратами, принята за начало прямоугольной системы координат, а
векторы 67f, ~-б£ и 1-Об\, где точка О\—середина ребра
«3 2.
87

А\В\, приняты соответственно за единичные векторы ?, J и k.
Постройте развертки тех многогранников, которые получаются
при рассечении призмы плоскостями, заданными в этой системе
координат следующими уравнениями: а) Зх — -у/Зу + Зг — 6 = 0;
б) Ar + z— 1 =0; в) 6х — 2J3y + 3z=0.
40. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
прямоугольный треугольник, у которого АС = ВС и вершина С
которого принята за начало прямоугольной системы координат.
За единичные векторы Г, / и k этой системы приняты
соответственно векторы СЖ, СЁ и —СС\. Постройте развертки
тех многогранников, которые получаются при рассечении призмы
плоскостями, параллельными плоскости, заданной в выбранной
системе координат уравнением x—y + z — 2 = 0y и проходящими
через следующие точки: а) В\\ б) Р — середину ребра В\С\\
в) Q — середину ребра АВ.
41. В основании прямой призмы ABCDA\B\C\D\ лежит ромб,
угол BAD которого равен 60°. Боковое ребро призмы в два
раза больше диагонали BD основания. Точка О, в которой
пересекаются диагонали основания, принята за начало
прямоугольной системы координат, а векторы OD, ^г-ОС и 1-ОО\,
где точка О\—точка пересечения диагоналей А\С\ \\B\D\,
приняты соответственно за единичные векторы Г, / и k этой
системы. Постройте развертки тех многогранников, которые
получаются при рассечении призмы плоскостями,
параллельными плоскости, заданной в выбранной системе координат
уравнением За: — -y/3y-\-3z — 6 = 0, и проходящими через следующие
точки: а) С\\ б) D\\ в) О.
42. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с
отношением сторон AB:AD = 1:2. Высота пирамиды
проектируется в точку О —точку пересечения диагоналей основания, и
МО:АВ = 3:2. Точка О принята за начало прямоугольной
системы координат, а векторы -^ВА, -~AD и ОМ приняты
соответственно за единичные векторы Г, / и k. На ребрах МАУ MB и
МD взяты соответственно точки Р, Q и R — середины этих ребер.
Постройте развертки тех многогранников, которые получаются
при рассечении пирамиды плоскостями, которые параллельны
плоскости, заданной в указанной системе координат
уравнением 6x-f-3# + 2z —6 = 0, и проходят через следующие точки:
а) Р; б) Q; в) /?.
43. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник с
прямым углом при вершине С и отношением катетов АС:ВС=
= 1:2. Боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания,
и МС = АВ. Точка С принята за начало прямоугольной системы
координат, а векторы СЛУ уСВ и -т-СМ приняты соответ-
88

ственно за единичные векторы Г, / и k. На ребре МА взяты
точки Я|, Р2 и Р3, такие, что Л1Р| =Р|Р2 = Р2Рз = РзЛ. Постройте
развертки тех многогранников, которые получаются при
рассечении пирамиды плоскостями, параллельными плоскости,
заданной в указанной системе координат уравнением \Qx-\-2-\jbz — 5 = 0,
и проходящими через следующие точки: a) Р\\ б) Р2; в) Р3.
44. На ребре АА\ куба ABCDA\B\C\D\ взята точка Р —
середина этого ребра, а на прямой CD — точка Q, такая, что
DQ:DC=3:2. Постройте развертки тех многогранников,
которые получаются при рассечении куба плоскостями,
перпендикулярными прямой PQ и проходящими через следующие точки:
a) D; б) К — центр грани АВВ\А\\ в) R — середину отрезка PQ.
45. На ребре CD куба ABCDA\BXC\DX взята точка Р —
середина этого ребра, а на отрезке А\Р взяты точки L\, L2 и
L3, такие, что i4|L| = LiL2 = L2L3 = L3P. Постройте развертки
тех многогранников, которые получаются при рассечении куба
плоскостями, перпендикулярными прямой А\Р и проходящими
через следующие точки: a) L2; б) L\\ в) L3.
46. Боковое ребро прямой призмы ABCDA\B\C\D\ равно
стороне ромба, лежащего в основании призмы. Угол BAD ромба
равен 60°. На ребре СС\ взята точка Р — середина этого
ребра, а на прямой АА\ взята точка Q, такая, что AQ:AA\ =
= 3:2. Постройте развертки тех многогранников, которые
получаются при рассечении призмы плоскостями, проходящими через
точку D\ и перпендикулярными следующим прямым,
проходящим через точку О, в которой пересекаются диагонали АС и
BD: а) ОР\ б) ОВХ\ в) OQ.
47. Боковое ребро правильной призмы АВСА\В\С\ равно
половине стороны ее основания. Постройте развертки тех
многогранников, которые получаются при рассечении призмы
плоскостями, проходящими через точку А перпендикулярно
следующим прямым: а) ВА\\ б) ВС\\ в) ВР, где точка Р — середина
ребра Л id.
48. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
треугольник с прямым углом при вершине С, а отношение ребер призмы
СА:СВ:СС\ = 1:2:2. На прямой А\С\ взята точка Р, такая, что
С|Р:С|Л| =2:1. Постройте развертки тех многогранников,
которые получаются при рассечении призмы плоскостями,
перпендикулярными прямой ВР и проходящими через следующие точки:
а) С\\ б) Q — середину ребра ВС; в) С.
49. Высота правильной пирамиды MABCD равна половине
диагонали ее основания. На ребре MB пирамиды взята точка Р —
середина _этрго ребра, а на прямой CD взята точка Q, такая,
что CQ: CD = 3:2. Постройте развертки тех многогранников,
которые получаются при рассечении пирамиды плоскостями,
перпендикулярными прямой PQ и проходящими через следующие
точки: а) А\ б) М\ в) О — точку пересечения диагоналей
основания.
89

50. На ребрах АС и АВ правильного тетраэдра МАВС
взяты соответственно точки К и L — середины этих ребер, а на
прямой ВК взята точка Я, такая, что ВР:ВК = 4:3. В плоскости
MCL через точку L проведена прямая /i, параллельная прямой
МО (точка О — основание высоты МО тетраэдра), и через точку М
проведена прямая /2, параллельная прямой CL. Прямые 1\ и /2
пересекаются в точке Q. Постройте развертки тех
многогранников, которые получаются при рассечении тетраэдра
плоскостями, перпендикулярными прямой PQ и проходящими через
следующие точки: а) А\ б) М\—середину высоты МО\ в) L.
51. Точка О —центр грани ABCD куба ABCDAXB\C\DX.
Постройте развертки тех многогранников, которые получаются
при рассечении куба плоскостями, перпендикулярными плоскости
А\В\С и проходящими через следующие прямые: а) ОС\\ б) ОВ\\
в) ОАх.
52. Боковое ребро правильной призмы ABCDA\B\C\D\ в
два раза больше стороны ее основания. На ребрах CD и DD\
взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер.
Постройте развертки тех многогранников, которые получаются при
рассечении призмы плоскостями, проходящими через прямую B\D
перпендикулярно следующим плоскостям: а) ВХС\Р\ б) B\C\Q\
в) B,C|D.
53. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\, у
которого AB:AD:AB= 1:3:2, на ребрах AD и СС\ взяты
соответственно точки Р и Q, такие, что AP:AD = 2:3, CQ:CC\ = \:2.
Постройте развертки тех многогранников, которые получаются
при рассечении параллелепипеда плоскостями,
перпендикулярными плоскости A\C\D и проходящими через следующие прямые:
a) AQ\ б) PQ\ в) СХР.
54. Основанием прямой призмы АВСА\В\С\ является
прямоугольный треугольник. Отношение ребер призмы CA:CB:Cd =
= 3:4:5. На ребре В\С\ взята точка Р — середина_этого ребра,
а на прямой АС взята точка Q, такая, что CQ:CA = 2:\.
Постройте развертки тех многогранников, которые получаются при
рассечении призмы плоскостями, проходящими через прямую PQ
перпендикулярно следующим плоскостям: а) АВ\С\ б) А\В\С\\
в) АхВхС.
55. Боковая грань МАВ и основание ABC пирамиды МАВС —
правильные треугольники, плоскости которых взаимно
перпендикулярны. На ребрах АВ и МС взяты соответственно точки О и
Q — середины этих ребер, а на отрезке О А взята точка Р —
середина этого отрезка. Постройте развертки тех многогранников,
которые получаются при рассечении пирамиды плоскостями,
проходящими через прямую PQ перпендикулярно следующим
плоскостям: а) МОС\ б) ЛВС; в) МВС.

Г лава
решения задач на вычисление
Векторно-координатные методы
§ 28. Расстояние между точками
1. На ребрах CCi, A\]B\ и AD прямоугольного
параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ взяты соответственно точки Р, Q и R—
середины этих ребер, на отрезке QR взята точка М — середина
отрезка, а на отрезке DP взяты точки L\ и L2, такие, что PL\ =
= L\L2 = L2D. Считая ЛВ = 2, ВС= 1, Л Л i = 3, найдите расстояния
от точки М до следующих точек: а) Р; б) L\\ в) L2.
2. Отношение стороны основания правильной призмы
АВСА\В\С\ к ее боковому ребру равно 2:1. На ребрах ВВ\ и АС
призмы взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер.
Через точку В\ проведена плоскость а, параллельная прямым
СР и C\Q. Считая боковое ребро призмы равным 1, найдите
расстояния от точки В\ до точек пересечения плоскости а со
следующими прямыми: а) ВС; б) АС\ в) АВ.
3. На ребрах BXCU CDy DD, и АВ куба ABCDAXBXC\DX
взяты соответственно точки Р, Q, R и V — середины этих ребер.
Через точку В\ параллельно прямым PQ и RV проведена
плоскость а. Считая ребро куба равным 1, найдите расстояния
от центроида сечения куба плоскостью а до следующих точек:
а) Р; б) Q; в) R.
4. На ребрах AD и СС\ куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки F и Е — середины этих ребер. Через середину
отрезка FE перпендикулярно этому отрезку проведена секущая
плоскость а. Найдите отношения, в которых плоскостью а делятся
следующие отрезки: a) VF, где точка К —середина ребра В\С\\
б) CXF\ в) B.F.
5. Высота правильной призмы ABCDA\B\C\D\ в два раза
больше стороны ее основания. На ребре AD взята точка Е —
середина этого ребра. Через точку F — середину отрезка С\Е
перпендикулярно ему проведена плоскость а. Найдите отношения,
в которых плоскостью а делятся следующие отрезки: a) B\D\
б) С\А\ в) Л,С.
6. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее
боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания и в два
раза больше стороны основания. На ребре MB взята точка Р —
середина этого ребра. Через точку V — середину отрезка DP
перпендикулярно этому отрезку проведена плоскость а. Найдите
91

отношения, в которых плоскостью а делятся следующие отрезки:
а) АВ\ б) АМ\ в) АР.
7. На ребрах А\В\ и CD куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Е и F — середины этих ребер, а на прямых С£,
C\F и AF взяты соответственно точки Я, Q и /?, такие, что
£P:ECi = CiQ:CT? = /7/?:^?=l:5. Через точки Р, Q и R
проведена плоскость ой, а через точку Л| и точки М и N— середины
соответственно ребер C\D\ и DD\ проведена плоскость аг. Считая
ребро куба равным 1, найдите расстояния между точками
пересечения с плоскостями ai и о&2 следующих прямых: а) AD\\
б) CDX\ в) BDi.
8. На ребрах DD\ и CXDX куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер, а в грани
АА\В\В взята точка /? — центр этой грани. Через точки Р, Q и /?
проведена плоскость а. Считая ребро куба равным 1, найдите
следующие расстояния: а) между серединами диагоналей сечения
куба плоскостью а; б) от точки пересечения отрезков,
соединяющих середины противоположных сторон, до вершины С\
куба; в) от точки пересечения диагоналей сечения до вершины А\
куба.
§ 29. Расстояние от точки до плоскости
1. На ребрах АА\ и C\D\ куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Считая
ребро куба равным 1, найдите расстояния до плоскости B\PQ
от следующих точек: а) А\\ б) D; в) С\.
2. На ребрах A\D\ и В\С\ прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\B\C\DU у которого AB:AD:AA\ = 1:2:3, взяты
соответственно точки Р и Q, такие, что A\Pi :A\D\ = C\Q:C\B\ = 1:3.
Считая ЛВ=1, найдите расстояния до плоскости DPQ от
следующих точек: а) В; б) D\\ в) А\.
3. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
треугольник с прямым углом при вершине С и отношением катетов
ВС:АС= 1:2. Боковое ребро призмы равно гипотенузе
треугольника ABC. На ребре АА\ призмы взята точка Р — середина
этого ребра. Считая ВС=1, найдите расстояния до плоскости
ВС\Р от следующих точек: а) fli; б) /( — середины ребра АС\
в) Ах.
4. Боковые грани призмы АВСА\В\С\ — квадраты. На
ее ребре СС\ взята точка Р — середина этого ребра, а на
прямых ВВ\ и ВА взяты соответственно точки Q и /?, такие,
что BQ:BB\=BR:BA=3:2. Считая ЛВ = 1, найдите расстояния
до плоскости PQR от следующих точек: а) С\\ б) В\\ в) О~
центра тяжести треугольника ABC.
5. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с
отношением сторон AB:AD=l:2. Высота пирамиды проекти-
92

руется в точку О — центр основания и равна большей стороне
основания. На ребрах МА и МС пирамиды взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Считая АВ = 2, найдите
расстояния до плоскости DPQ от следующих точек: а) N —
середины ребра АВ\ б) L — середины ребра CD\ в) F — середины
высоты МО.
6. На ребре MB правильной пирамиды МАВС, высота
которой равна стороне основания, взята точка Р — середина этого
ребра, а на^ямьпс ABji_BC взяты соответственно точки Q и /?,
такие, что BQ:BA=BR:BC=3:2. Считая АВ = 2, найдите
расстояния до плоскости PQR от следующих точек: а) А\ б) В\
в) О — центра тяжести треугольника ABC.
7. Высота МО правильной пирамиды MABCD равна стороне
ее основания. На ребре CD взята точка Р — середина этого
ребра, а на ребре МС — точка Q, такая, что MQ:MC = 3:4.
Через вершину А параллельно прямым ВС и PQ проведена
плоскость а. Считая АВ=\, найдите расстояния до плоскости
а от следующих точек: а) М\ б) Р\ в) В.
8. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник с прямым
углом при вершине С, и АС = ВС. Ребро МА пирамиды
перпендикулярно плоскости основания, и МА=АВ. Через точку К —
середину ребра АС перпендикулярно прямой MB проведена
плоскость а. Считая ЛС=1, найдите расстояния до плоскости а
от следующих точек: а) В; б) С; в) А.
9. В основании призмы АВСА\В\С\ лежит правильный
треугольник. Боковое ребро призмы наклонено к плоскости
основания под углом 45°, и АВ\ = СВ\. Через вершины А, В\ и С
проведена плоскость а. Считая АВ =—^—,АА\ = I, найдите рас-
стояния до плоскости а от следующих точек: а) А\\ б) О\ — центра
тяжести треугольника А\В\С\\ в) Р — середины ребра АВ.
§ 30. Угол между скрещивающимися
прямыми
1. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный
треугольник ABC. Ребро МА перпендикулярно плоскости основания,
и МА=АС = ВС. На ребрах МА, MB и МС взяты
соответственно точки D, Е и F — середины этих ребер. Найдите углы
между следующими прямыми: a) BD и СЕ\ б) BD и AF\ в) СЕ
и AF.
2. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный
треугольник ABC. Ребро МС перпендикулярно плоскости
основания, и МС=АС = ВС. На ребрах МС, MB и МА взяты
соответственно точки D, Е и F — середины этих ребер. Точка О —
центр тяжести треугольника ABC. Найдите углы между
следующими прямыми: а) МО и АЕ\ б) АЕ и CF\ в) OD и CF.
93

3. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD.
Ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и МВ=АВ.
На ребре МС взята точка Р — середина этого ребра. Найдите
углы, которые образует прямая DP со следующими прямыми:
а) АС; б) МА; в) ЛЮ, где точка О — центроид основания.
4. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с
отношением сторон AB:AD=\:2. Высота МО пирамиды равна
диагонали основания и проектируется в точку пересечения
диагоналей. На ребрах МС и MB пирамиды взяты
соответственно точки К и L — середины этих ребер. Найдите углы между
следующими прямыми: a) DL и АС; б) ВК и DL; в) DK и МА.
5. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с
отношением сторон AB:AD=l:2. Высота МО пирамиды
проектируется в точку О —середину ребра ВС, и МО=АВ. На
ребре МА взята точка Р — середина этого ребра. Найдите углы,
которые образует прямая DP со следующими прямыми: а) МО;
б) АС; в) МС.
6. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее
боковое ребро МА равно стороне основания и перпендикулярно
плоскости основания. На ребре MD взяты точки К\, К2 и /Сз, такие,
что ОК\ = К\К2 = К2Кз = КъМ. Найдите углы, которые образует
прямая MB со следующими прямыми: а) СК\\ б) С/(г; в) СКз-
7. На диагонали B\D куба ABCDA\B\C\D\ взяты точки Р
и Q, такие, что DP = PQ = QB\. Найдите углы, которые
образует прямая С\Р со следующими прямыми: a) A\Q; б) BQ;
в) CQ.
8. На прямой, проходящей через вершины А\ и С\ куба
ABCDA\B\C\D\y взята точка Я, такая, что А\Р:А\С\=2:1,
а на прямой B\D взята точка Q, такая, что BiQ:B|D = 3:2.
Найдите углы, которые образует прямая C\Q со следующими
прямыми: а) ВР; б) СР; в) PQ.
9. Боковое ребро правильной призмы ABCDA\B\C\D\ в
два раза больше стороны ее основания. В гранях ABCD и
CDD\C\ взяты соответственно точки О и Р — центры этих граней.
Найдите углы, которые образует прямая ОР со следующими
прямыми: a) BD\; б) B\D; в) А\С.
10. Боковое ребро призмы АВСА\В\С\ равно гипотенузе
АВ равнобедренного прямоугольного треугольника ЛВС,
лежащего в основании призмы. На ребрах АВ и BBi призмы взяты
соответственно точки К и L — середины этих ребер, а на прямых
CL и С\К взяты соответственно точки Р и Q, такие, что CP:CL =
= С\0:С\К=3:2. Найдите углы между следующими прямыми:
а) С\Р и CQ; б) АР и A\Q; в) KL и PQ.
11. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с
отношением сторон AB:AD=l:3. Высота МО пирамиды равна
стороне AD и_проектируется в точку О, лежащую на прямой ЛВ,
такую, что АВ\АО=\:2. На ребрах MB и МС взяты соответ-
94

ственно точки F и Е — середины этих ребер. Найдите углы,
которые образует прямая OF со следующими прямыми: а) АС\
б) BE; в) DE.
12. На ребрах АВ, AC, MB и МС правильной пирамиды
МАВС, все плоские углы при вершине М которой прямые,
взяты соответственно точки D, Е, F и К — середины этих
ребер. Точка О —точка пересечения медиан основания
пирамиды. Найдите углы между следующими прямыми: a) BE и MD\
б) BE и AF\ в) AF и ОК.
13. В основании пирамиды МАВС лежит правильный
треугольник ABC, а ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости
основания, и МВ=АВ. На ребрах МС и АС взяты
соответственно точки D и Е — середины этих ребер, а точка О — точка
пересечения медиан треугольника ABC. Найдите углы, которые
образует прямая BD со следующими прямыми: а) МА\ б) МЕ\
в) МО.
14. В диагональном сечении MAC пирамиды MABCD,
основанием которой является ромб, угол при вершине М равен 90°,
а в сечении MDB — 60°. Высота пирамиды проектируется в точку
О — точку пересечения диагоналей основания. На ребре МС
взята точка К— середина этого ребра. Найдите углы, которые
образует прямая DK со следующими прямыми: а) АС\ б) МВ\
в) МА.
15. В основании пирамиды MABCD лежит параллелограмм
ABCD, у которого AB:AD=l:2 и ABAD = 60°. Грань МАВ
является правильным треугольником, медиана МК которого
перпендикулярна плоскости основания. На ребре МА взята точка Е —
середина этого ребра. Найдите углы, которые образует прямая DE
со следующими прямыми: а) МК\ б) МВ\ в) МС.
16. На диагонали АС квадрата ABCD взяты точки К\, К2 и
/Сз, такие, что АК\ = /Ci/C2 = /С2/С3 = /СзС. Квадрат ABCD согнут
по диагонали АС так, что треугольник BK2D равносторонний.
Найдите углы, которые образует прямая CD- со следующими
прямыми: а) ВКи б) В/С2; в) В/(3.
17. Прямоугольник ABCD с отношением сторон АВ:ВС = 3:1
согнут по прямой PQ, параллельной прямой ВС, так, что
прямая АР перпендикулярна прямой РВ и АР:РВ = 2:1. Найдите
углы между следующими прямыми: a) BD и AQ\ б) BQ и DP;
в) BD и Л/?, где точка /? —середина отрезка DQ.
§ 31. Угол между прямой и плоскостью
1. В основании пирамиды лежит квадрат ABCD, а ее
вершина М проектируется в точку В, и МВ = АВ. На ребре MD взяты
точки /Ci, K2 и /(з, такие, что DKi = К\К2 = К2Кз = КзМ. Найдите
углы, которые образуют с плоскостью MAD следующие прямые:
а) С/(,; б) СК2\ в) СКз.
95

2. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее
боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания и равно
стороне основания. На ребре МС взяты точки F\, F2 и F^ такие,
что CF\ = F\F2 = F2Fz = FsM. Найдите углы, которые образуют с
плоскостью МАВ следующие прямые: a) DF\\ б) D/V, в) D/Y
3. Диагональ А\С правильной призмы ABCDA\B\C\D\
образует с плоскостью ее основания угол, равный 45°. Найдите
углы, которые образует прямая А\С со следующими плоскостями:
a) ADD\\ б) AB\DX\ в) B\DM, где точка М — середина ребра
ССХ.
4. Отношение высоты МО правильной пирамиды MABCD к
стороне ее основания равно -\/14:2. Через диагональ BD
основания и точку К — середину ребра МС проведена плоскость.
Найдите углы, которые образуют с плоскостью BDK следующие
прямые: а) МО\ б) МС\ в) MB.
5. На ребрах BBU DD\ и AD куба ABCDAXBXC\DX взяты
соответственно точки Р, Q и R— середины этих ребер. Найдите
углы, которые образуют с плоскостью PQR следующие прямые:
а) AXD\ б) Л,<2; в) Л,С.
6. Высота МО правильной пирамиды МАВС равна стороне
ее основания. На отрезке ОВ взята точка Р — середина этого
отрезка. Найдите углы, которые образуют с плоскостью МАВ
следующие прямые: а) МО\ б) МР\ в) МК, где точка К — середина
ребра АС.
7. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный
треугольник, у которого АС = ВС. Боковое ребро MB
перпендикулярно плоскости основания, а угол между прямыми МС и АВ
равен 60°. На ребре MB взяты точки /Ci, /C2 и /(з, такие, что ВК\ =
= /Ci /Сг = /С2/С3 = /СзЛ1. Найдите углы, которые образуют с
плоскостью МАВ следующие прямые: а) СК\\ б) СК2\ в) С/С3.
8. Основанием пирамиды является правильный треугольник
ABC, а ее вершина М проектируется в точку О, симметричную
точке С относительно прямой АВ. На ребре МС, образующем с
плоскостью основания угол, равный 45°, взята точка К —
середина этого ребра. Найдите углы, которые образует прямая А К со
следующими плоскостями: а) МОС\ б) МВС\ в) МАВ.
9. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с
отношением сторон AB:AD=l:2. Каждое боковое ребро
наклонено к плоскости основания под углом, равным 60°. На ребрах МА,
MB и МС взяты соответственно точки Р, Q и R — середины этих
ребер. Найдите углы, которые образуют с плоскостью MAC
следующие прямые: a) DP\ б) DQ\ в) DR.
10. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с
отношением сторон AB:AD=\:2. Каждое боковое ребро
образует с плоскостью основания угол, равный 30°. На высоте МО
пирамиды взята точка Р — середина высоты. Найдите углы,
которые образует прямая DP со следующими плоскостями: а) МАС\
б) MAD\ в) MCD.
96

П. В правильной пирамиде MABCD боковое ребро образует
с плоскостью основания угол 45°. На высоте МО пирамиды взята
точка К — середина МО. Найдите углы, которые образует
прямая DK со следующими плоскостями: a) MAD\ б) МВС\ в) АСР,
где точка Р — точка пересечения прямых DK и MB.
12. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с
отношением сторон AB:AD=\:3. Высота МО пирамиды в два
раза больше стороны АВ и проектируется в точку пересечения
диагоналей основания. На ребре MB пирамиды взята точка К —
середина этого ребра. Найдите углы, которые образует
прямая ОК со следующими плоскостями: а) МВС\ б) МАВ\ в) MAC.
13. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее
боковая грань МАВ перпендикулярна плоскости основания и
является правильным треугольником. На ребре MB взята точка К —
середина этого ребра и через точки Л, С и К проведена
плоскость. Найдите углы, которые образуют с плоскостью АСК
следующие прямые: a) MD\ б) МА\ в) МС.
14. В правильной пирамиде MABCD отношение высоты МО
к стороне основания равно 2:3. На диагонали АС взята точка Р,
такая, что АР:АС= 1:4. Найдите углы, которые образует прямая
МР со следующими плоскостями: a) MBD; б) MCD\ в) MAD.
15. В правильной пирамиде MABCD AB:MA=l:2. На
ребре МА взята точка К — середина этого ребра. Найдите углы,
которые образует прямая DK со следующими плоскостями:
а) МCD\ б) МВС\ в) МАВ.
16. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный
треугольник, у которого АС = ВС. Каждое боковое ребро пирамиды
наклонено к плоскости ее основания под углом, равным 60°. На
ребрах MB и АВ взяты соответственно точки К и О —
середины этих ребер. Найдите углы, которые образует прямая АК со
следующими плоскостями: а) МОС\ б) МВС\ в) MAC.
17. Основанием пирамиды MABCD является прямоугольник,
а ее вершина М проектируется в точку О — середину ребра АВ,
и AB:AD:MO = 4:1:1. На ребрах CD и AD взяты соответственно
точки К и L — их середины. Найдите углы, которые образуют с
плоскостью МВС следующие прямые: a) MD\ б) МК\ в) ML.
18. На ребрах МС и AD правильной пирамиды MABCD,
высота которой равна стороне основания, взяты соответственно
точки Р и Q, такие, что MP:MC=l:4, AQ:AD = 3:4. Постройте
сечение пирамиды плоскостью BPQ и найдите углы, которые
образуют с этой плоскостью следующие прямые: а) АС\ б) МО\
в) МА.
19. На ребрах ААХу AD и ВС прямоугольного
параллелепипеда с отношением ребер AB:AD:AA\ = 1:2:1 взяты
соответственно точки Р, Q и /?, такие, что АР:АА\ = \:2, AQ:AD =
= 1:3 и BR:BC = 2:3. Постройте сечение параллелепипеда
плоскостью PQR и найдите углы, которые образуют с этой
плоскостью следующие прямые: a) D\C\\ б) A\D\\ в) DD\.
4 В Н Литвиненко 97

20. На ребрах fifii, C\Dl и AD куба ABCDAXBXC\DX взяты
соответственно точки Р, Q и /?, такие, что ВР:ВВХ = 1:2,
C\Q:C\D\ = l:3 и Л/?:ЛО = 3:4. Постройте сечение куба
плоскостью PQ/? и найдите углы, которые образуют с этой
плоскостью следующие прямые: а) АВ\ б) AD\ в) АА\.
21. Высота правильной призмы АВСА\В\С\ в два раза больше
стороны ее основания. На ребрах АВ и ССХ призмы взяты
соответственно точки Р и Q, такие, что АР:АВ= I:2, CQ:CC\ =
= 2:3. Постройте сечение призмы плоскостью B\PQ и найдите
углы, которые образуют с этой плоскостью следующие прямые:
а) ААХ\ б) АВ\ в) АС.
22. Высота призмы АВСАХВХСХ, в основании которой лежит
равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С,
равна гипотенузе этого треугольника. На ребрах А\В\ и АС взяты
соответственно точки Р и Q, такие, чтоЛ|Р:Л|В| = 2:3 и AQ:AC =
= 1:4. Постройте сечение призмы плоскостью CXPQ и найдите
углы, которые образуют с этой плоскостью следующие прямые:
а) АА\\ б) Л,В,; в) А\С\.
23. На ребре CD правильной призмы ABCDAxBxCxDXy высота
которой в три раза больше стороны основания, взята точка Q —
середина этого ребра, а на боковом ребре ВВ\ взяты точки К и
Р, такие, что ВХК = КР=РВ. Постройте сечения призмы
плоскостью, проходящей через точку В\ параллельно прямым АР и
KQ, и найдите углы, которые образуют с секущей плоскостью
следующие прямые: а) АХВХ\ б) ВХСХ\ в) ВВ\.
24. На ребрах AD и АА\ куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер, а на ребре СС\ взята
точка /?, такая, что С/?:СС| = 1:3. Постройте сечение куба
плоскостью, проходящей через вершину В\ параллельно прямым PQ
и D/?, и найдите углы, которые образуют с этой плоскостью
следующие прямые: а) ВХСХ\ б) BXDX\ в) АС\.
25. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее
боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания и равно
стороне основания. На ребре MB взята точка Р — его середина,
а на ребре МС — точка Q, такая, что MQ:MC=\:4. Постройте
сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку Р
параллельно прямым ВС и DQ, и найдите углы, которые образуют с
секущей плоскостью следующие прямые: а) МВХ\ б) МА; в) МС.
§ 32. Угол между плоскостями
1. На ребре СС\ куба ABCDAXB\C\DX взята точка К —
середина этого ребра. Найдите углы, которые образует плоскость
BDK со следующими плоскостями: а) АВ\С\\ б) АХВС\ в) Л|В|С.
2. В правильной призме ABCDA\B\C\D\ отношение ребер
АВ:АА\=3:4. Найдите углы, которые плоскость АВ\С образует
со следующими плоскостями: а) Л|В|С; б) ЛВ|С|; в) BC\D.
98

3. Боковое ребро правильной призмы АВСА\В\С\ равно
стороне ее основания. На стороне АС взяты точки К\ и /(2,
такие, что СК\ = К\К2 = К2А. Найдите углы, которые образует
плоскость АВС\ со следующими плоскостями: а) А\ВС\ б) А\ВК\\
в) АХВК2.
4. Точка /( — середина ребра АС правильной призмы
АВСА\В\С\У боковое ребро которой равно стороне ее
основания. Найдите углы между следующими плоскостями: а) ВКС\ и
АВхСиб) ВКСх и АСВи в) ВКСх и ВХКСХ.
5. В правильной призме АВСА\В\С\ боковое ребро равно
стороне основания. На ребрах ВС и СС\ взяты соответственно
точки D и Е — середины этих ребер. Найдите углы, которые
образуют с плоскостью AA\D следующие плоскости: a) A\C\D\
б) Л,£Т>; в) ЛВС,.
6. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
прямоугольный треугольник ЛВС, у которого АС = ВС=АА\. На ребре
BBi взята точка М — середина этого ребра. Найдите углы,
которые образует плоскость АМС\ со следующими плоскостями:
а) АВС\ б) АССи в) ВССХ.
7. В основании прямой призмы ЛВСЛ1В1С1 лежит
прямоугольный треугольник, у которого АС = ВС. Известно также,
что АА\=АС. На ребрах А\С\ и ЛЛ| взяты соответственно
точки Р и Q — середины этих ребер и через точку С|
проведена плоскость а, параллельная прямым АР и B\Q. Найдите
углы, которые образует плоскость а со следующими плоскостями:
а) АВС\ б) АССи в) АВВХ.
8. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный
треугольник. Боковое ребро МС перпендикулярно плоскости
основания пирамиды, и МС = АС = ВС. На ребре MB взяты точки К\
и /(2, такие, что Af/Сi = /Сi/C2 = /Сг^в. Найдите углы, которые
образует плоскость МАВ со следующими плоскостями: а) МАС\
б) АСКх\ в) АСК2-
9. Основанием пирамиды МАВС является правильный
треугольник, а ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости
основания, и МВ=АВ. На ребре МС взяты точки Ки #2 и /(3,
такие, что C/Ci = /Ci/C2 = /С2/С3 = /СзЛ1. Найдите углы, которые
образует плоскость MAC со следующими плоскостями: а) АК\В\
б) АК2В; в) АКзВ.
10. Высота МО правильной пирамиды МАВС равна стороне ее
основания. На ребрах МАУ АС и МС взяты соответственно
точки /С, L и N — середины этих ребер. Найдите углы, которые
образует плоскость BLN со следующими плоскостями: a) MAC;
б) B/CL; в) BNK.
11. Высота МО правильной пирамиды МАВС равна медиане
ее основания. На ребре АС взята точка К — середина этого
ребра, а на ребре МС взяты точки L\, L2 и £з, такие, что CL\ =
= L\L2 = L2L3 = L3M. Найдите углы, которые образует плоскость
BKL\ со следующими плоскостями: a) ABL2\ б) ABL3; в) АВМ.
4* 99

12. Высота МО правильной пирамиды МАВС равна стороне
ее основания. Найдите углы, которые образует плоскость,
проходящая через прямую АВ перпендикулярно прямой МС, со
следующими плоскостями: a) ABC; б) МАВ\ в) MBLy где точка L —
середина ребра АС.
13. Высота МО правильной пирамиды MABCD равна
диагонали основания. Найдите углы, которые образует плоскость,
проходящая через прямую АВ перпендикулярно плоскости MCDy
со следующими плоскостями: а) АВС\ б) MOL, где точка L —
середина ребра AD\ в) MAD.
14. Высота МО пирамиды MABCD проектируется в точку
пересечения диагоналей основания, которым является
прямоугольник с отношением сторон AB:AD= 1:2, и MO=AD. На
ребре МС взята точка К — середина этого ребра. Найдите углы,
которые образует плоскость BDK со следующими плоскостями:
а) АВС\ б) MCD\ в) МВС.

Глава
у HI Вычисление площадей и объемов
§ 33. Площади сечений
1. На ребре АВ куба ABCDA\B\C\D\ взята точка Р —
середина этого ребра, а на ребре DD\ взяты точки Qi и Q2, такие,
что DQ\ = Q\Q2=Q2D\. Постройте сечения куба следующими
плоскостями: a) C\PD\ б) C\PQ\\ в) C\PQ2- Найдите площади
полученных сечений, считая ребро куба равным а.
2. На ребрах В\СХу C\D\ и АА\ куба ABCDAlBlC\D\
взяты соответственно точки Я, Q и /? — середины этих ребер.
Через точку О — центр грани ABCD — и прямую PQ проведена
секущая плоскость. Постройте сечения куба плоскостями,
параллельными плоскости OPQ и проходящими через следующие
точки: а) С\\ б) D\\ в) /?. Найдите площади полученных сечений,
считая ребро куба равным а.
3. На ребрах АВ и AD прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\ взяты соответственно точки Р и Q, такие,
что APiAB^AQiAD^^iS^ на прямой СС\ взяты точки К и М,
такие, что СК:СС!\ =СС\ :СМ= 1:2. Постройте сечения
параллелепипеда следующими плоскостями: a) C\PQ; б) KPQ\ в) MPQ.
Найдите площади полученных сечений, считая АВ=АА\=а и
AD 2
4. На ребрах ВС и A\D\ прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\ взяты соответственно точки Р и Q, такие,
что CP:CB = D\Q:D\A\ = 1:3. Постройте сечения
параллелепипеда следующими плоскостями: a) C\PQ; б) С\АР\ в) С\А\Р.
•Найдите площади полученных сечений, считая АВ=АА\=ау
5. На ребрах CD, A\B\9 ВВ\ и ВС прямоугольного
параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ взяты соответственно точки М9 Р, Q
и R — середины этих ребер. Постройте сечения
параллелепипеда плоскостями, параллельными прямым АС и В\М и
проходящими через следующие точки: а) Р\ б) /?; в) Q. Найдите
площади полученных сечений, считая АВ = а, АА\=а~\/2 и AD =
6. На ребре А\С\ правильной призмы АВСА\В\С\ взята
точка Р — середина этого ребра. Постройте сечения призмы
плоскостями, проходящими через прямую ВР параллельно
следующим прямым: а) АС\ б) C\Q, где точка Q — середина ребра
101

АС; в) АВ\. Найдите площади полученных сечений, считая АВ = а,
7. На ребрах А\В\ и АВ правильной призмы ABCDA\B\C\D\
взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер.
Постройте сечения призмы плоскостями, проходящими через
прямую СР параллельно следующим прямым: a) B\D\ б) B\D\\
в) B\Q. Найдите площади полученных сечений, считая АВ = а,
ААх = 2а.
8. На ребре СС\ куба ABCDA\B\C\D{ взяты точки Р, и Р2,
такие, что CiP\=P\p2 = P2C. Постройте сечения куба
плоскостями, параллельными прямой BD и проходящими через
следующие прямые: а) АС\\ б) АР\\ в) АРъ Найдите площади
полученных сечений, считая ребро куба равным а.
9. На ребрах CD и ВВХ куба ABCDA\BXC\DX взяты
соответственно точки Р и М — середины этих ребер, а на ребре
DD\ взяты точки Q\ и (?2, такие, что DQ\ = Q\Q2 = Q2D\.
Постройте сечения куба плоскостями, проходящими через точку М
параллельно прямой В\Р и следующим прямым: a) C\D\ б) C\Q\\
в) C1Q2. Найдите площади полученных сечений, считая ребро
куба равным а.
10. В основании пирадшды лежит прямоугольник ABCD, а
ее высота МО проектируется в центр основания. На ребре МС
взята точка /С— середина этого ребра, а на ребре CD взяты
точки L\ и Z.2, такие, что DL\ = L\L2 = L2C. Постройте сечения
пирамиды следующими плоскостями: a) BDK\ б) BKL\\
в) BKL2. Найдите площади полученных сечений, считая МО =
=АВ = а и AD = 2a.
11. На ребре MB правильной пирамиды МАВС взяты
точка К—середина этого ребра и точка L — середина отрезка В/С.
Постройте сечения пирамиды плоскостями, проходящими через
точку L параллельно следующим прямым: а) МА и МС\ б) КА и
МС\ в) АВ и С/С. Найдите площади полученных сечений, считая
сторону основания пирамиды равной а, а ее боковое ребро
равным а^2.
12. В основании пирамиды лежит правильный треугольник
ABC, а ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости
основания. На ребрах МА, МС, MB и АС взяты соответственно
точки Р, Q, R и N — середины этих ребер. Постройте сечения
пирамиды плоскостями, проходящими через прямую PQ параллельно
следующим прямым: а) BN; б) AR\ в) NR. Найдите площади
полученных сечений, считая АВ = а и МВ = 2а.
13. На ребрах АВУ ВС и СС\ прямой призмы АВСА\В\С\
взяты соответственно точки /С, L и М — середины этих ребер.
Постройте сечения призмы плоскостями, проходящими через
точку М параллельно следующим прямым: а) С\К и A\L\ б) ВС\ и
A\L\ в) А\В и С|/С. Найдите площади полученных сечений, если
треугольник ABC прямоугольный и АС = ВС—АА\ =а.
102

14. На ребрах ВВ\, C\D\ и CD прямоугольного
параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ взяты соответственно точки М, Р и Q —
середины этих ребер. Постройте сечения параллелепипеда
плоскостями, проходящими через прямую DM параллельно
следующим прямым: а) А\С\\ б) А\Р\ в) A\Q. Найдите площади
полученных сечений, считая АВ = ау AD = AA\=2a.
15. На сторонах АВ, АС и ВС основания правильной
пирамиды МАВС взяты соответственно точки Р, Q и N —
середины этих сторон. Постройте сечения пирамиды плоскостями,
проходящими через прямую PQ параллельно следующим прямым:
а) МО, где точка О — центр основания; б) MN\ в) МА. Найдите
площади полученных сечений, считая АВ = За, М0 = а-\/3.
16. На сторонах АВ и АС основания пирамиды МАВС взяты
соответственно точки N и Р — середины этих ребер. Постройте
сечения пирамиды плоскостями, проходящими через точку Р
параллельно следующим плоскостям: а) МВС\ б) MCN\ в) МАВ.
Найдите площади полученных сечений, если в основании
пирамиды лежит треугольник с прямым углом при вершине С, ЛС =
= — ВС = а и боковое ребро МС перпендикулярно плоскости
основания, a MC = h.
17. В основании пирамиды лежит прямоугольник ABCD, а
ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и
AB:AD:MB— 1:2:1. Постройте сечения пирамиды плоскостями,
проходящими через прямую МС и образующими с плоскостью
основания следующие углы: а) 60°; б) 45°; в) 30°. Считая АВ = ау
найдите площади полученных сечений.
18. Все ребра пирамиды MABCD равны. На ее ребре МС
взята точка Р. Постройте сечения пирамиды плоскостями,
перпендикулярными прямой МС и проходящими через точку Р, в
тех случаях, когда отношение СР:СМ принимает следующие
значения: а) 1:4; б) 1:2; в) 3:4. Найдите площади полученных
сечений, считая АВ = а.
19. На ребре CD куба ABCDAXB\CXD\ взята точка М —
середина этого ребра. Постройте сечения куба плоскостями,
перпендикулярными прямой А\М и проходящими через следующие
точки: a) D\\ б) С\\ в) D. Найдите площади полученных сечений,
считая ребро куба равным а.
20. Боковые грани пирамиды MABCD — правильные
треугольники. На ее ребрах АВ и CD взяты соответственно точки
Р и Q — середины этих ребер. Постройте сечения пирамиды
плоскостями, проходящими через прямую PQ: а) перпендикулярно
плоскости МВС\ б) перпендикулярно плоскости PQL, где точка
L — середина ребра МС\ в) параллельно плоскости МВС Найдите
площади полученных сечений, считая АВ = а.
21. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник
ABC, ее боковое ребро МС перпендикулярно плоскости
основания, и АС — ВС = МС. На ребрах АС, МА и АВ взяты соответ-
103

ственно точки /С, L и N — середины этих ребер. Постройте
сечения пирамиды плоскостями, перпендикулярными прямой
MB и проходящими через следующие точки: а) К; б) L; в) N.
Найдите площади полученных сечений, считая АС = а.
22. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный
треугольник, а ее боковое ребро МС перпендикулярно плоскости
основания, и АС = ВС = МС. Постройте сечения пирамиды
плоскостями, перпендикулярными ребру МА и проходящими через
точку Р, взятую на ребре МА таким образом, что отношение
МР:МА принимает следующие значения: а) 1:2; б) 1:4;
в) 3:4. Найдите площади полученных сечений, считая АС = а.
23. Боковая грань МАВ пирамиды МАВС перпендикулярна
плоскости основания. Треугольники МАВ и ABC являются
прямоугольными, и АС = ВС = МА=МВ. Постройте сечения
пирамиды плоскостями, перпендикулярными плоскости ABC и
проходящими через прямую СР, точка Р которой взята на ребре
MB, в тех случаях, когда отношение МР:МВ принимает
следующие значения: а) 1:4; б) 1:2; в) 3:4. Найдите площади
полученных сечений, считая АС = а.
24. В основании пирамиды лежит правильный треугольник
ABC, а ее боковое ребро МС перпендикулярно плоскости
основания, и МС=АВ. На ребре АС взята точка К — середина этого
ребра. Постройте сечения пирамиды плоскостями, проходящими
через точку К перпендикулярно следующим прямым: а) АС;
б) ВС; в) МА. Найдите площади полученных сечений, считая
АВ
25. Основанием пирамиды MABCD является квадрат, а ее
боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и
МВ:АВ = ^/3:\. Постройте сечения пирамиды плоскостями,
проходящими через точку О, в которой пересекаются диагонали
основания, перпендикулярно следующим прямым: a) CD; б) МС;
в) MD. Найдите площади полученных сечений, считая АВ = а.
26. В правильной призме АВСА1В1С\ АВ:АА{ = \:2. На
ребре СС\ взяты точки /d, /<2 и /С3, такие, что СК\ = К\К2 = К2Кз =
= К3С\. Постройте сечения призмы плоскостями,
проходящими через вершину С перпендикулярно следующим прямым:
а) В/С2; б) ВКз; в) ВК\. Найдите площади полученных сечений,
считая сторону основания призмы равной а.
27. В основании пирамиды лежит прямоугольник ABCD.
Высота МО пирамиды проектируется в точку пересечения
диагоналей основания, и AB:AD:MO= 1:2:У5. Постройте сечения
пирамиды плоскостями, проходящими через вершину D
перпендикулярно следующим прямым: а) АС; б) М/С, где точка К —
середина ребра ВС; в) МС. Найдите площади полученных сечений,
считая АВ = а.
28. В основании пирамиды лежит правильный
треугольник ABC, а ее боковая грань МАВ перпендикулярна плоскости
основания и является также правильным треугольником. На реб-
104

pax МС и АС взяты соответственно точки К и L — середины
этих ребер. Постройте сечения пирамиды плоскостями,
перпендикулярными прямой ВК и проходящими через следующие точки:
а) А; б) О — центр основания; в) L. Найдите площади
полученных сечений, считая сторону основания пирамиды равной а.
29. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный
треугольник, а боковое ребро МС пирамиды перпендикулярно
плоскости основания, и МС = АС = ВС. На ребрах ВС, МС и МА
взяты соответственно точки Р, Q и L — середины этих ребер.
Постройте сечения пирамиды плоскостями, перпендикулярными
прямой BL и проходящими через следующие точки: а) С; б) Р\
в) Q. Найдите площади полученных сечений, считая АС = а.
30. Сторона основания правильной пирамиды MABD в четыре
раза больше ее высоты. На ребрах AD и CD взяты
соответственно точки К и L — середины этих ребер. Постройте сечения
пирамиды плоскостями, перпендикулярными прямой МС и
проходящими через следующие точки: a) D\ б) L; в) К. Найдите площади
полученных сечений, считая сторону основания равной а.
§ 34. Объемы
1. Основанием параллелепипеда является ромб ABCD,
сторона которого равна а, а острый угол равен 60°. Найдите объем
параллелепипеда, если его боковое ребро равно стороне основания
и /LAlAB=/LAiAD = 45°.
2. Каждое ребро параллелепипеда равно а, каждый из трех
плоских углов при одной вершине параллелепипеда равен 2а.
Найдите объем параллелепипеда.
3. Ребра параллелепипеда, равные а и 6, взаимно
перпендикулярны, а ребро, длина которого равна с, образует с каждым
из первых двух ребер угол а. Найдите объем параллелепипеда.
4. Площадь одной из боковых граней треугольной призмы
равна т2. Найдите объем призмы, если расстояние от
противолежащего ребра до плоскости этой грани равно 2а.
5. Основанием прямой призмы является равнобедренный
треугольник, равные стороны которого имеют длину а и образуют
между собой угол а. Диагональ грани, противолежащей этому
углу, образует с другой боковой гранью угол, равный ф. Найдите
объем призмы.
6. Правильная четырехугольная призма, сторона основания
которой равна а, пересечена плоскостью таким образом, что
два смежных ребра получились равными Ьу а каждое из двух
других равно с. Найдите объем этой усеченной призмы.
7. Секущая плоскость проходит через сторону основания
правильной треугольной призмы и образует угол а с плоскостью
основания. От призмы она отсекает пирамиду, объем которой
равен V. Найдите площадь сечения призмы.
105

8. В правильной четырехугольной пирамиде плоскость,
проходящая через сторону основания и среднюю линию
противолежащей боковой грани, образует с плоскостью основания угол 60°.
Найдите объем пирамиды, если сторона ее основания равна а.
9. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник
с боковыми сторонами, равными а, и углом между этими
сторонами, равным а. Боковые грани пирамиды образуют с
основанием углы, каждый из которых равен 45°. Найдите объем пирамиды.
10. Все боковые ребра и два ребра основания треугольной
пирамиды равны а. Угол между равными сторонами основания
равен 2а. Найдите объем пирамиды.
11. Площадь диагонального сечения правильной
четырехугольной пирамиды равна Q. Боковое ребро образует с плоскостью
основания угол а. Найдите объем пирамиды.
12. Высота правильной треугольной пирамиды равна Я, а
двугранный угол при ее боковом ребре равен ф. Найдите объем
пирамиды.
13. Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна а, расстояние от вершины основания до плоскости
противоположной боковой грани равно h. Найдите объем пирамиды.
14. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды
равно Ьу а двугранный угол при ее боковом ребре равен ф. Найдите
объем пирамиды.
15. Объем правильной треугольной пирамиды равен V, а
двугранный угол при ребре ее основания равен ф. Найдите
площадь основания пирамиды.
16. В основании пирамиды лежит прямоугольный
треугольник, гипотенуза которого равна с, а острый угол равен а.
Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом р.
Найдите объем пирамиды.
17. Расстояние от центра основания правильной треугольной
пирамиды до ее бокового ребра равно /, а двугранный угол
при ребре ее основания равен а. Найдите объем пирамиды.
18. Расстояние от центра основания правильной треугольной
пирамиды до ее боковой грани равно /, а угол между ее
боковым ребром и плоскостью основания равен р. Найдите объем
пирамиды.
19. Каждое из боковых ребер треугольной пирамиды равно 6,
два плоских угла при вершине равны каждый по 60°, а третий
плоский угол при вершине прямой. Найдите объем пирамиды.
20. Площади двух взаимно перпендикулярных граней
треугольной пирамиды равны Р и Q, а длина их общего ребра равна
Ь. Найдите объем пирамиды.
21. Основанием пирамиды является квадрат, а ее высота
лежит вне пирамиды и равна Н. Две противолежащие боковые
грани — равнобедренные треугольники, плоскости которых образуют
с плоскостью основания углы, равные аир. Найдите объем
пирамиды.
106

22. Секущая плоскость, проведенная через сторону АС
основания правильной пирамиды SABC перпендикулярно ребру SB,
отсекает пирамиду DABC, объем которой в 1,5 раза меньше
объема пирамиды SABC. Найдите апофему боковой грани
пирамиды SABC, если АС = а.
23. Основанием пирамиды является прямоугольник, а две
боковые грани ее перпендикулярны плоскости основания. Две
другие боковые грани образуют с основаниями углы аир. Найдите
площадь основания пирамиды, если ее объем равен V.
24. Основанием пирамиды является трапеция, боковые
стороны и меньшее основание которой равны а, а угол между боковой
стороной и основанием равен а. Каждое боковое ребро
наклонено к плоскости основания под углом р. Найдите объем
пирамиды.
25. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция,
острый угол которой равен а, а площадь равна Q. Каждая
боковая грань образует с основанием угол р. Найдите объем
пирамиды.
26. На ребрах AD, СС\ и А\В\ правильной призмы
ABCDA\B\C\D\ взяты соответственно точки Р, Q и R — середины
этих ребер. Найдите объем призмы, если AD = a и о
треугольнике PQR известно, что он: а) равносторонний; б) прямоуголь-
ныи; в) имеет площадь, равную
27. В основании пирамиды SABC лежит квадрат со
стороной а. Боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания.
На ребре SC взята точка Р — середина этого ребра. Найдите
объем пирамиды в тех случаях, когда угол между прямой DP и
следующими прямыми: а) АВ\ б) ВС; в) АС равен а.
28. В основании пирамиды SABC лежит правильный
треугольник, сторона которого равна а. Вершина S проектируется в
точку D, такую, что фигура ABCD — ромб. Объем пирамиды
равен V. Найдите углы, которые образуют с прямой SA
следующие прямые: а) ВС\ б) BD\ в) BL, где точка L —середина
ребра SC.
29. В основании пирамиды SABC лежит треугольник, у
которого АВ — АС — а. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости
основания, а угол между прямыми SC и АВ равен а. Найдите
объем пирамиды в тех случаях, когда угол ВАС равен: а) 60°;
б) 30°; в) 120°.
30. В основании пирамиды SABC лежит треугольник, у
которого А АС В = 90°, АС = ВС = а. Боковое ребро SA
перпендикулярно плоскости основания. На ребре SB взята точка Р—
середина этого ребра, а на ребре SA взяты точки Qi, Q2 и Q3,
такие, что AQl = Q\Q2 = Q2Q3 = Q3S. Найдите объем пирамиды
в тех случаях, когда угол 60° образует прямая СР со
следующими прямыми: a) BQ\; б) Вфг; в) BQ3.
107

31. Стороны основания правильной усеченной
четырехугольной пирамиды равны а и Ь (а>Ь). Угол, образованный
плоскостью боковой грани и плоскостью основания, равен а. Найдите
объем пирамиды.
32. На двух скрещивающихся прямых взяты отрезки, длины
которых равны а и Ь. Докажите, что объем параллелепипеда,
ребрами которого являются эти отрезки, не зависит от
расположения отрезков на данных прямых.
33. Из круга, радиус которого равен /?, вырезан сектор
с центральным углом а. Сектор свернут в коническую воронку.
Найдите объем этой воронки.
34. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник со
сторонами АВ = ау AD = 3a. Боковое ребро SB перпендикулярно
плоскости основания. На сторонах АВ, ВС и CD основания взяты
соответственно точки Р, Q и /?. Найдите объем, пирамиды в тех
случаях, когда равны а углы между прямой SP и следующими
прямыми: а) АС; б) AQ\ в) AR.
35. Сторона основания правильной пирамиды SABCD
равна а. На ее ребре SC взяты точки М\, М% и УИз, такие, что
СМ\ =М\М2 = М2Мз = МзЗу а на ребре SB взяты точки L\, L2 и
L3, такие, что BL\ = L\L2 = L2L3 = L3S. Найдите объем пирамиды
в тех случаях, когда равны 2а величины углов между
следующими парами прямых: a) DM\ и CL\\ б) DM2 и CL2\
в) DM3 и CL3.
36. Найдите отношение объемов тел, полученных при
вращении треугольника вокруг основания и вокруг оси, проходящей
через вершину параллельно этому основанию.
37. Докажите, что объемы тел, полученных при вращении
параллелограмма вокруг его смежных сторон, обратно
пропорциональны этим сторонам.
38. Треугольник со сторонами, отношение которых равно
а:Ь:с, вращается вокруг одной стороны, затем вокруг другой
и далее вокруг третьей. Найдите отношение объемов полученных
при этом тел вращения.
39. При вращении прямоугольного треугольника вокруг его
катетов и вокруг гипотенузы образуются тела вращения, объемы
которых равны соответственно V\, V2 и Кз- Докажите, что
- + - + -
V\ П VI'
40. Треугольник ABC, у которого АС = Ь, АВ = с и Z.BAC = a,
вращается вокруг оси /, проходящей через вершину А, вне
треугольника и образует равные углы со сторонами АС и АВ.
Найдите объем полученного тела вращения.
41. Равнобокая трапеция, острый угол которой равен 45°, а
боковая сторона равна меньшему основанию, вращается вокруг
боковой стороны. Найдите объем тела вращения, если боковая
сторона трапеции равна Ь.
108

42. Прямоугольный треугольник вращается вокруг оси /,
проходящей через вершину прямого угла параллельно
гипотенузе. Найдите объемы полученных тел вращения, если известно,
что площадь треугольника равна S, а перпендикуляр,
опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, равен половине
одного из катетов.
43. Основанием пирамиды является правильный треугольник,
сторона которого равна а. Расстояние от середины меньшего
бокового ребра до плоскости противоположной грани равно -5-.
Основание высоты пирамиды лежит вне пирамиды и одинаково
удалено от двух вершин основания, а от третьей вершины
находится на расстоянии, вдвое меньшем, чем от первых двух вершин.
Найдите объем пирамиды.
44. В цилиндре параллельно его оси на расстоянии а от
нее проведена секущая плоскость, которая от окружности
основания отсекает дугу, равную а. Площадь сечения равна S. Найдите
объем цилиндра.
45. Площадь осевого сечения шарового сектора в три раза
меньше площади большого круга шара. Найдите отношение
объема этого сектора к объему шара.
46. В правильной четырехугольной пирамиде площадь сечения,
параллельного основанию, в три раза меньше площади основания.
Найдите отношение, в котором этой секущей плоскостью делится
объем пирамиды.
47. Сторона основания правильной призмы ABCDA\B\C\D\
меньше ее бокового ребра и равна а. Найдите объем призмы в
тех случаях, когда прямая A\D образует угол, равный а, со
следующими плоскостями: а) АВС\\ б) АСС\\ в) ADC\.
48. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\BXC\D\
прямая А\С образует угол ср с плоскостью ADC\, и A\C = d.
Найдите объем параллелепипеда в тех случаях, когда отношение
АВ:АА\ принимает следующие значения: а) 1:1; б) 1:2; в) 2:1.
49. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
прямоугольный треугольник, у которого АС = ВС = а. На ребрах АА\
и СС\ взяты соответственно точки Р и Q — их середины. Найдите
объем призмы в случаях, когда угол, равный а, образуют с
плоскостью BPQ следующие прямые: а) ВВ\\ б) В\С\\ в) А\В\.
50. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С.
Боковое ребро призмы равно Н. Найдите объем призмы в тех
случаях, когда прямая ВС\ образует угол, равный а, со
следующими плоскостями: а) АВВ\\ б) АВ\С\ в) А\ВС (АА\>2АС).
51. В правильной пирамиде SABC сторона основания равна
а. На ребрах АС и ВС взяты соответственно точки Р и Q —
середины этих ребер. Найдите объем пирамиды в тех случаях,
когда угол, равный а, образуют с плоскостью SBC следующие
прямые: a) AQ\ б) АВ\ в) ВР.
109

52. На ребре АС правильной пирамиды SABC, сторона
основания которой равна а, взята точка Р— середина этого
ребра, а на ребре SA взяты точки Qi, Q2 и Q3, такие, что AQ\ =
= QlQ2 = Q2Q3 = Q3S. Секущие плоскости BPQi, BPQ2 и BPQ3
образуют с плоскостью ABC соответственно следующие углы:
a) oti; б) а2; в) аз. Найдите объем пирамиды SABC в каждом из
этих случаев.
53. В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный
треугольник, у которого АС —ВС —а. Ребро SC перпендикулярно
плоскости основания. На ребре АС взяты точки Qi, Q2 и Q3,
такие, что AQ\ = Q\Q2 = Q2Q3 = QsC. Секущие плоскости SBQi,
SBQ2 и SBQ3 образуют с плоскостью ABC соответственно
следующие углы: а) аь б) а2; в) аз. Найдите объем пирамиды
SABC в каждом из этих случаев.
54. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
прямоугольный треугольник, у которого АС = ВС = а. На ребре АА\
взяты точки Р|, Р2 и Р3, такие, что АР\=Р\Р2 = Р2Ръ = РъА\.
Площади сечений призмы, проходящих через ребро ВС и одну из
точек Pi, Р2, Рз, равны соответственно: a) Si; б) S2; в) S3. Найдите
объем призмы АВСА\В\С\ в каждом из этих случаев.
55. В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный
треугольник, у которого АС = ВС = а. Ребро SC перпендикулярно
плоскости основания пирамиды. На ребре АС взяты точки Qi,
Q2 и фз, такие, что AQ\ = QiQ2 = Q2Q3 = Q3C, а на ребре SA
взята точка Р — середина этого ребра. Площади сечений
пирамиды плоскостями BPQ2, BPQ\ и BPQs равны соответственно:
a) S2; б) Si; в) S3. Найдите объем пирамиды в каждом из
этих случаев.
56. Сторона основания правильной пирамиды SABCD равна а.
На ее ребре SC взяты точки Pi, Р2 и Р3, такие, что СР\ — Р\Р2 =
= P2P3 = P3S. Площади сечений пирамиды плоскостями,
проходящими через прямую AD и одну из точек Pi, P2, Рз, равны
соответственно: a) Si; б) S2; в) S3. Найдите объем пирамиды SABCD
в каждом из этих случаев.
57. На ребрах AD и АА\ куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Площади
сечений куба плоскостями, перпендикулярными прямой B\D и
проходящими через одну из точек Р, Л, Q, равны соответственно:
a) Si; б) S2; в) S3. Найдите объем куба в каждом из этих
случаев.
58. Стороны АВ и AD основания прямоугольного
параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ равны соответственно а и 2а. Расстояние
между скрещивающимися прямыми АВ\ и ВС\ равно /. Найдите
объем параллелепипеда.
59. В правильной пирамиде SABCD сторона основания
равна а. На ребрах SC и SB взяты соответственно точки М и N —
середины этих ребер. Расстояние между скрещивающимися
прямыми DM и CN равно /. Найдите объем пирамиды SABCD.
110

60. На ребре СС\ правильной призмы АВСА\В\С\ взята
точка Р — середина этого ребра. Расстояние между
скрещивающимися прямыми АР и А\В\ равно /, а двугранный угол С\АВС
равен а. Найдите объем призмы.
61. Объем прямой призмы АВСА\В\С\ равен V, а ее высота
равна Н. Точка Р — середина ребра А\С\, а угол между
скрещивающимися прямыми ВР и СС\ равен а. Найдите расстояние
между прямыми ВР и СС\.
62. В правильной пирамиде SABCD на ребрах SD и SC
взяты соответственно точки Р и М — середины этих ребер.
Расстояние между скрещивающимися прямыми АР и DM равно /,
а угол между плоскостью, проходящей через прямую АР
параллельно диагонали BD, и плоскостью основания равен а. Найдите
объем пирамиды.
63. На ребре DD, куба ABCDA\BXC\D\ взяты точки Ми
М2 и М3, такие, что DM i=M iAf2 = M2M3 = M3Z)i. Найдите
отношения объемов многогранников, получающихся при
рассечении куба плоскостями, перпендикулярными прямой
BXD и проходящими через следующие точки: а) Мх\ б) М2;
в) М3.
64. На ребрах ВВ\ и CD куба ABCDA\BXC\DX взяты
соответственно точки Р и Q, такие, что BP:BB\ = CQ:CD = 3:4.
Найдите отношения объемов многогранников, получающихся
при рассечении куба плоскостями, перпендикулярными
прямой PQ и проходящими через следующие точки: а) А\\ б) D\\
в) С
65. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\
AB:AD:AA\ = 1:2:1. На ребре AD взята точка F — середина
этого ребра, а на диагонали АС\ взята точка £, такая, что
АЕ:АС\ = 1:4. Найдите отношения объемов многогранников,
получающихся при рассечении параллелепипеда плоскостями,
перпендикулярными прямой АС\ и проходящими через
следующие точки: a) D; б) F\ в) Е.
66. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\
отношение ребер AB:AD:AAi = 1:2:1. На ребрах A\D\ и DD\
взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер.
Найдите отношения объемов многогранников, получающихся при
рассечении параллелепипеда плоскостями, проходящими через
прямую PQ и следующие точки: а) В\\ б) В\ в) М — середину
ребра АВ.
67. Отношение стороны основания правильной призмы
АВСА\В\С\ к ее высоте равно 1:2. На ребре СС\ взяты точки
/Си /(2 и /(з, такие, что СК\=К\К2 = К2Кз = КзС\. Найдите
отношения объемов многогранников, получающихся при рассечении
призмы плоскостями, проходящими через вершину С параллельно
следующим прямым: а) ВК\\ б) B/G; в) ВКз-
68. Все боковые грани призмы АВСА\В\С\ — квадраты. На
ребре СС\ взята точка Р — середина этого ребра. Найдите
111

отношения объемов многогранников, получающихся при
рассечении призмы плоскостями, проходящими через прямую АР
параллельно следующим прямым: а) ВС; б) ВС\\ в) В\С.
69. В правильной призме АВСА\В\С\ отношение ребер
AB:AA\=2:^J3. На ребрах СС\У АВ и А\В\ взяты соответственно
точки /С, L и М — середины этих ребер. Найдите отношения
объемов многогранников, получающихся при рассечении призмы
плоскостями, перпендикулярными прямой KL и проходящими
через следующие точки: а) С; б) М\ в) L.
70. На ребре SC пирамиды SABC взята точка Р, такая, что
SP:SC = 7:10, а на ребрах АВ и SA взяты соответственно точки
М и Q — середины этих ребер. Найдите отношения объемов
многогранников, получающихся при рассечении пирамиды
плоскостями, проходящими через прямую ВР параллельно
следующим прямым: а) АС; б) СМ; в) CQ.
71. На ребрах А\В\ и ВС призмы АВСА\В\С\ взяты
соответственно точки М и /С, такие, что А\М:А\В\ = 1:2, ВК:ВС =
= 1:3, а на ребре В\С\ взяты точки N\ и W2, такие, что B\N\ =
= yViyV2 = yV2Ci. Найдите отношения объемов многогранников,
получающихся при рассечении призмы следующими плоскостями:
a) MNXK\ б) MN2K\ в) МС,/(.
72. На ребрах АА\ и А\В\ куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки М и W — середины этих ребер, а на ребре
CD взяты точки /Ci и /С2, такие, что CKi=K\D, 1(^2 = K2D.
Найдите отношения объемов многогранников, получающихся при
рассечении куба следующими плоскостями: a) MNKu б) MNC\
в) MNK2.
73. Точка М — центр грани ААХВ\В куба y4BCDy4,BiC,D,,
точка N — середина ребра CCi, а точки /d и /С2 взяты на
ребре CD, причем СК\ :C/C2:CD = 2:3:4. Найдите отношения
объемов многогранников, получающихся при рассечении
данного куба следующими плоскостями: a) MNK\\ б) MND\
в) MiV/C2.
74. На ребре BBi прямой призмы АВСА\В\С\, у которой
АС:АА\=3:4У взяты точки Mi и М2, такие, что BAfi=AfiM2 =
= —M2Bi, а на ребре CCi взята точка N, в которой биссектриса
угла А\АС пересекает ребро ССь Найдите отношения объемов
многогранников, получающихся при рассечении призмы
следующими плоскостями: a) AB\N\ б) AM\N\ в) AM2N.
75. На ребрах SA и SB пирамиды SABC взяты
соответственно точки Р и Q, такие, что SP:SA =SQ:SB = 2:3, а на
медиане SN грани SBC взята точка /? — середина этой медианы.
Найдите отношения объемов многогранников, получающихся при
рассечении пирамиды следующими плоскостями: a) BPR\ б) AQR\
в) PQR.
76. На медианах SK и SL соответственно граней SAB и
SAC пирамиды SABC взяты точки Р и Q, такие, что SP:SK=
112

= 1:2, SQ:SL=l:3. Найдите отношения объемов
многогранников, получающихся при рассечении пирамиды следующими
плоскостями: a) BPQ\ б) APQ; в) CPQ.
77. В основании пирамиды SABC лежит правильный
треугольник, а ее боковое ребро SA перпендикулярно плоскости
основания, и SA=AB. На ребре SB взята точка М — середина
этого ребра. Найдите отношения объемов многогранников,
получающихся при рассечении пирамиды плоскостями,
проходящими через точку М перпендикулярно следующим прямым:
а) АС; б) SB; в) SC.
78. На ребре SC правильной пирамиды SABCD взяты
точки Р,, Р2 и Яз, такие, что СР, =PlP2 = P2P3 = P3S. Найдите
отношения объемов многогранников, получающихся при
рассечении пирамиды следующими плоскостями: а) АВР\\ б) АВР2\
в) АВРг.
79. Плоскость, проходящая через одно из ребер
правильного тетраэдра, делит его объем в отношении 3:5. Найдите
тангенсы углов, на которые эта плоскость делит двугранный угол
тетраэдра.
§ 35. Площади поверхностей
1. В правильной четырехугольной призме диагональ равна d и
наклонена к плоскости боковой грани под углом а. Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
2. Углы, образованные диагональю основания
прямоугольного параллелепипеда со стороной основания и диагональю
параллелепипеда, равны соответственно аир. Найдите площадь
боковой поверхности параллелепипеда, если его диагональ
равна d.
3. Высота правильной четырехугольной призмы равна Я,
а угол между диагоналями, проведенными из одной вершины
основания в двух смежных боковых гранях, равен а. Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
4. Боковое ребро правильной призмы ABCDA\B\C\D\ равно а,
угол между диагональю B\D и прямой Л]/7!, где точка Fi
—середина ребра CiDi, равен areeosf — — Y Найдите площадь боковой
поверхности призмы.
5. Высота правильной треугольной призмы равна Н. Прямая,
проходящая через центр верхнего основания и середину стороны
нижнего основания, образует с плоскостью основания угол а.
Найдите площадь полной поверхности призмы.
6. Площадь полной поверхности правильной четырехугольной
пирамиды равна Q. Двугранный угол при ребре основания
равен а. Найдите сторону основания пирамиды.
113

7. Найдите площадь полной поверхности правильной
четырехугольной пирамиды, если ее высота равна #, а площадь боковой
грани равна площади основания.
8. Основанием пирамиды является прямоугольный
треугольник с катетами, равными 6 см и 8 см. Каждый из двугранных
углов, образованных боковыми гранями и основанием
пирамиды, равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды.
9. Основанием пирамиды является квадрат, сторона которого
равна а. Две боковые грани перпендикулярны плоскости
основания, а каждая из двух других боковых граней образует с
основанием угол, равный а. Найдите площадь полной поверхности
пирамиды.
10. Основанием пирамиды является прямоугольник. Две
смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости
основания, а две другие образуют с основанием углы, равные
соответственно аир. Высота пирамиды равна Н. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
11. Основанием пирамиды является треугольник, отношение
сторон которого равно 13:14:15, а каждый из двугранных углов
при ребрах основания равен 45°. Найдите отношение площади
полной поверхности пирамиды к площади ее основания.
12. Правильная треугольная пирамида пересечена
плоскостью, проходящей через вершину основания и середины двух
боковых ребер. Найдите отношение площади боковой
поверхности пирамиды к площади основания, если известно, что
секущая плоскость перпендикулярна одной из боковых граней.
13. В правильной треугольной пирамиде через ребро
основания, длина которого равна а, проведено сечение,
перпендикулярное противолежащему боковому ребру. Найдите площадь
поверхности пирамиды, если секущая плоскость делит боковое
ребро в отношении т:п.
14. Через сторону нижнего основания правильной треугольной
призмы и середину не пересекающегося с этой стороной
бокового ребра проведена плоскость, образующая с плоскостью
основания угол, равный а. Найдите отношение площади боковой
поверхности образовавшейся при этом пирамиды к площади боковой
поверхности данной призмы.
15. Диагональ сечения цилиндра, параллельного его оси,
равна d и образует с плоскостью основания угол, равный а. Найдите
площадь боковой поверхности цилиндра, если:
а) расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью
равно а;
б) угол между проекцией диагонали сечения и диаметром
основания, имеющим общую точку с диагональю, равен Р;
в) секущая плоскость отсекает от окружности основания —
3
часть ее.
114

16. Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого
сечения, содержащего эту образующую, равен ф, а площадь
основания равна Q. Найдите площадь боковой поверхности
цилиндра.
17. Острый угол между диагоналями развертки боковой
поверхности цилиндра равен 2ф, а диагональ развертки равна d.
Найдите:
а) площадь боковой поверхности цилиндра;
б) площадь основания цилиндра;
в) площадь полной поверхности цилиндра.
18. Наибольший угол между образующими конуса равен
120°. Докажите, что площадь боковой поверхности этого конуса
равна площади боковой поверхности цилиндра, имеющего такие
же, как у конуса, основание и высоту.
19. Боковая поверхность конуса — четверть круга, свернутая в
коническую поверхность. Найдите отношение площади полной
поверхности конуса к площади его осевого сечения.
20. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна
сумме площадей оснований, а радиусы оснований относятся как
1:3. Найдите угол наклона образующей к плоскости основания.
21. Высота конуса равна диаметру его основания. Найдите
отношение площади его основания к площади боковой
поверхности.
22. Угол между образующими в осевом сечении конуса
равен 2а. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса
к площади его осевого сечения.
23. Правильный треугольник, сторона которого равна а,
вращается вокруг оси, которая параллельна стороне треугольника
и проходит через его вершину, противолежащую этой стороне.
Найдите площадь поверхности полученного тела вращения.
24. Прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 см и
12 см, вращается вокруг внешней оси, параллельной большему
катету и удаленной от него на расстояние 3 см. Найдите площадь
поверхности полученного тела вращения.
25. Квадрат со стороной а вращается вокруг прямой,
проходящей через его сторону. Найдите:
а) площадь осевого сечения полученного цилиндра;
б) площадь боковой поверхности этого цилиндра;
в) площадь полной поверхности полученного цилиндра.
26. Прямоугольник, стороны которого равны а и 6, вращается
вокруг оси, перпендикулярной его диагонали и проходящей
через один из ее концов. Найдите площадь поверхности
полученного тела вращения.
27. Равнобедренный треугольник с основанием, равным а, и
углом при основании, равным а, вращается вокруг оси,
проходящей через один из концов основания перпендикулярно
основанию. Найдите площадь поверхности полученного тела
вращения.
115

28. В прямоугольной трапеции, описанной около окружности
радиуса /?, острый угол равен а. Найдите площадь поверхности
тела, полученного при вращении этой трапеции вокруг оси,
проходящей через меньшую из ее параллельных сторон.
29. Ромб с острым углом а вращается вокруг оси,
проходящей через его сторону. Найдите отношение площади
поверхности полученного тела вращения к площади ромба.
30. Радиусы двух сфер равны соответственно R\ и /?2- Найдите
радиус сферы, площадь которой равна сумме площадей данных
сфер.
31. Радиусы окружностей, являющихся сечениями сферы
двумя параллельными плоскостями, равны 3 см и 4 см, а
расстояние между этими плоскостями равно 7 см. Найдите площадь
сферы.
32. Радиус сечения сферы плоскостью oti равен ги а
плоскостью 0&2 — гг. Найдите площадь сферы, если плоскости oti и а<2
взаимно перпендикулярны, а сечения имеют единственную общую
точку.
33. Равнобокая трапеция с углом при основании, равным 60°,
вращается вокруг прямой, проходящей через биссектрису этого
угла. Найдите отношение площади поверхности тела вращения к
площади трапеции, если высота трапеции в л/3 раз меньше
полусуммы ее оснований.
34. На ребре АВ куба ABCDA\B\CXD\ взяты точки Р,, Р2 и Р3,
такие, что BPi = Р|Р2 = Р2Рз = РзА Постройте сечения куба
следующими плоскостями: a) C\DP\\ б) С\ЬРъ\ в) C\DP$. Найдите
отношения площадей поверхностей многогранников, на которые
рассекается куб в каждом из этих случаев.
35. На диагонали АС основания куба ABCDA\B\C\D\ взята
точка Р, такая, что ЛР:ЛС = 3:4. Постройте сечения куба
плоскостями, проходящими через вершину С\ перпендикулярно
следующим прямым: а) А\С\ б) ВР\ в) А\Р. Найдите отношения
площадей фигур, на которые заданные секущие плоскости делят
площадь грани ABCD в каждом из этих случаев.
36. На ребрах В\С\, AD и CD прямоугольного
параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ взяты соответственно точки Р, К и L —
середины этих ребер. Отношение ребер параллелепипеда
AB:AD:AA\ = l:2:l. Постройте сечения параллелепипеда
плоскостями, проходящими через точку Р параллельно прямой DD\
и следующим прямым: а) АВ\\ б) В\К\ в) B\L. Найдите
отношения площадей поверхностей многогранников, на которые
рассекается параллелепипед в каждом из этих случаев.
37. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
треугольник с прямым углом при вершине С, и AC — BC — CCi. На ребрах
CCi, АА\ и у4iCi взяты соответственно точки Р, Q и К — середины
этих ребер. Постройте сечения призмы плоскостью, проходящей
через точку К параллельно прямым ВР и B\Q. Найдите
отношения площадей фигур, которые получаются при пересечении
116

заданной плоскостью следующих граней призмы: а) АА\В\В\
б) Л,Bid; в) АА\С\С.
38. В основании пирамиды МАВС с высотой МО лежит
прямоугольный треугольник ABC, и МО = АС = ВС. Все боковые ребра
пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания. На
ребре МС взята точка К — середина этого ребра. Постройте сечение
пирамиды плоскостью, проходящей через точку О — основание
высоты МО перпендикулярно прямой А К. Найдите отношения
площадей фигур, на которые секущая плоскость разделяет
следующие грани: а) АВС\ б) МАВ\ в) MAC.
39. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее
боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и МВ = АВ.
На ребрах AD и МА взяты соответственно точки Р и К —
середины этих ребер. Постройте сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через точку Р перпендикулярно прямой DK. Найдите
отношения площадей фигур, на которые секущая плоскость
разделяет: а) грань MAD\ б) грань MCD\ в) полную поверхность
пирамиды MABCD.
40. Секущая плоскость, проведенная через сторону AD
основания правильной пирамиды MABCD перпендикулярно плоскости
грани МВС, делит площадь этой грани пополам. Найдите
площадь полной поверхности пирамиды, если AD = a.
41. В правильной четырехугольной пирамиде плоскость,
проведенная через сторону основания, делит площадь боковой
поверхности и двугранный угол при ребре основания пополам.
Найдите: а) двугранный угол при боковом ребре пирамиды;
б) двугранный угол при ребре основания.
42. В основании пирамиды лежит ромб со стороной, равной а, и
острым углом, равным а. Каждый из двугранных углов при
ребрах основания равен ф. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
43. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция,
диагональ которой равна dy а угол между диагональю и основанием
трапеции равен а. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к
основанию под углом, равным ф. Найдите площадь полной
поверхности пирамиды.
44. В основании призмы лежит правильный треугольник,
сторона которого равна а. Проекцией одной из вершин верхнего
основания является центр нижнего основания. Каждое боковое
ребро наклонено к плоскости основания под углом, равным а.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.
45. В основании параллелепипеда, боковое ребро которого
равно ft, лежит квадрат со стороной, равной а. Одна из вершин
верхнего основания одинаково удалена от вершин нижнего
основания. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

глава |^ом5инации геометрических
фигур
§ 36. Комбинации с описанными сферами
1. Отношение высоты конуса к радиусу описанного около
него шара равно q. Найдите отношение объема конуса к объему
шара.
2. В шар вписан конус, площадь осевого сечения которого
равна S, а угол между высотой и образующей равен а. Найдите
объем шара.
3. В шар радиуса R вписан конус, а в этот конус вписан
равносторонний цилиндр. Найдите площадь полной поверхности
цилиндра, если угол между образующей конуса и плоскостью
его основания равен а.
4. Около правильной треугольной призмы, высота которой
вдвое больше стороны ее основания, описан шар. Найдите
отношение объема шара к объему призмы.
5. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная
пирамида. Найдите ее объем, если известно, что радиус
окружности, описанной около основания пирамиды, равен г.
6. Угол между высотой правильной пирамиды и ее боковым
ребром равен a(a<C-£-Y Найдите отношение отрезков, на
которые делит высоту пирамиды центр описанного около нее шара.
7. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а, боковая грань образует с ее основанием угол, равный а.
Найдите радиус шара, описанного около этой пирамиды.
8. Радиус шара, описанного около правильной треугольной
пирамиды, равен апофеме ее боковой грани. Найдите угол между
боковой гранью и основанием пирамиды.
9. Две грани треугольной пирамиды — равные между собой
прямоугольные треугольники с общим катетом, равным /. Угол
между этими гранями равен а. Две другие грани образуют угол,
равный р. Найдите радиус шара, описанного около этой
пирамиды.
10. В основании пирамиды лежит прямоугольник, угол между
диагоналями которого равен а. Одно из боковых ребер пирамиды
перпендикулярно плоскости ее основания, а наибольшее боковое
ребро образует с плоскостью основания угол, равный р. Радиус
описанного около пирамиды шара равен /?. Найдите объем
пирамиды.
118

11. В основании пирамиды лежит прямоугольник, угол между
диагоналями которого равен а, а каждое боковое ребро образует с
плоскостью основания угол, равный р. Найдите объем пирамиды,
если радиус описанного около нее шара равен R.
12. Боковые ребра и две стороны основания треугольной
пирамиды имеют длину а. Угол между равными сторонами
основания равен а. Найдите радиус шара, описанного около этой
пирамиды.
13. В шар радиуса R вписана правильная шестиугольная
усеченная пирамида, у которой плоскость нижнего основания
проходит через центр шара, а боковое ребро образует с плоскостью
основания угол 60°. Найдите объем пирамиды.
14. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная
усеченная пирамида, у которой большее основание проходит
через центр шара, а боковое ребро составляет с плоскостью
основания угол, равный р. Найдите объем пирамиды.
§ 37. Комбинации со вписанными сферами
1. Около шара описан усеченный конус, отношение площадей
оснований которого равно k. Найдите отношение объемов
усеченного конуса и шара.
2. Отношение поверхности сферы, вписанной в конус, к
площади основания конуса равно k. Найдите угол между образующей
и плоскостью основания конуса.
3. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду, высота
которой равна #, а каждая боковая грань составляет с основанием
угол 60°.
4. Докажите, что отношение площади полной поверхности
конуса к поверхности вписанного в него шара равно отношению их
объемов.
5. Найдите отношение поверхности шара и его объема
соответственно к поверхности и объему описанного около него конуса,
если известно, что образующая конуса составляет с плоскостью
основания угол 60°.
6. В конус вписан шар. Радиус окружности, по которой
касаются их поверхности, равен г. Найдите объем конуса,
если известно, что угол между его высотой и образующей
равен а.
7. В конус вписан шар. Линией их касания поверхность
шара делится в отношении т:п. Найдите угол между образующей
конуса и его осью.
8. В усеченный конус вписан шар. Сумма диаметров оснований
конуса в 2,5 раза больше диаметра шара. Найдите угол между
образующей конуса и плоскостью его большего основания.
9. Шар радиуса R вписан в конус, образующая которого видна
из центра шара под углом а. Найдите объем конуса.
119

10. Площадь основания конуса равна S\y а площадь его
боковой поверхности равна S2. Найдите радиус шара, вписанного в
конус.
11. В усеченный конус вписан шар, объем которого
составляет -рг объема конуса. Найдите угол между образующей конуса
и плоскостью его основания.
12. Образующая усеченного конуса, описанного около шара,
равна а и составляет с плоскостью его основания угол а. Найдите
объем конуса, основанием которого служит линия касания
поверхности шара с поверхностью усеченного конуса, а вершина
совпадает с центром большего основания данного усеченного
конуса.
13. Докажите, что если в многогранник вписан шар, то объем
многогранника равен одной трети произведения площади его
поверхности на радиус сферы.
14. Около сферы описан прямой параллелепипед, диагонали
основания которого равны а и Ь. Найдите площадь полной
поверхности параллелепипеда.
15. Около шара описан прямой параллелепипед, объем
которого в т раз больше объема шара. Найдите углы в основании
параллелепипеда.
16. Около сферы радиуса R описана правильная
шестиугольная призма. Найдите площадь ее полной поверхности.
17. Около сферы описана прямая призма, основанием
которой служит ромб. Большая диагональ призмы составляет с
плоскостью основания угол а. Найдите острый угол ромба.
18. Шар вписан в прямую призму, основанием которой
служит прямоугольный треугольник, с высотой, опущенной из
вершины прямого угла на гипотенузу, равной h и составляющей с
одним из катетов угол а. Найдите объем призмы.
19. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а, двугранный угол при ребре ее основания равен а. Найдите
расстояние от центра вписанной в пирамиду сферы до бокового
ребра.
20. В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера.
Расстояние от центра сферы до вершины пирамиды равно а, угол
между боковой гранью и основанием равен а. Найдите площадь
полной поверхности пирамиды.
21. В правильную пирамиду, объем которой равен V, а угол
между боковой гранью и основанием равен а, вписан шар. Через
центр шара проведена плоскость, параллельная плоскости
основания. Найдите объем пирамиды, отсеченной от данной
пирамиды этой плоскостью.
22. Около сферы радиуса R описана правильная и-угольная
пирамиды, боковая грань которой составляет с плоскостью
основания угол а. Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды.
120

23. Основанием пирамиды служит равнобедренный
треугольник, каждая из боковых сторон которого равна а. Угол между
этими сторонами равен а. Две боковые грани пирамиды
перпендикулярны плоскости ее основания, а третья грань образует с
основанием угол р. Найдите радиус сферы, вписанной в эту
пирамиду.
24. Найдите радиус шара, вписанного в правильную
четырехугольную пирамиду, объем которой равен К, а угол между двумя
ее противоположными гранями равен а.
25. Основанием пирамиды служит равнобедренный
треугольник, каждый из равных углов которого равен а. Общая сторона
этих углов равна а. Каждая из боковых граней наклонена к
основанию под углом р. Найдите радиус сферы, вписанной в эту
пирамиду.
26. Равносторонний треугольник МАВ перегнули по средней
линии D£, параллельной стороне АВУ таким образом, что
двугранный угол при ребре DE получился равным 90°. Полученную
фигуру достроили до пирамиды MABDE. Докажите, что в эту
пирамиду нельзя вписать сферу.
27. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами
13, 14 и 15 см. Вершина пирамиды удалена от каждой стороны
основания на 5 см. Найдите площадь поверхности сферы,
вписанной в эту пирамиду.
28. В пирамиде, все боковые грани которой равнонаклонены
к основанию, через центр вписанной в нее сферы проведена
плоскость, параллельная плоскости основания. Отношение
площади сечения пирамиды этой плоскостью к площади основания
равно k. Найдите угол между боковой гранью и основанием
пирамиды.
29. Около шара описана правильная четырехугольная
усеченная пирамида, площади оснований которой относятся как
т'2:п2. Найдите отношение объема пирамиды к объему шара.
30. Боковая грань правильной треугольной усеченной
пирамиды составляет с большим основанием угол а. Найдите
отношение площади полной поверхности пирамиды к площади
поверхности вписанной в нее сферы.
§ 38. Разные комбинации геометрических
фигур
1. Сторона ромба равна а. Сфера, радиус которой равен /?,
касается всех сторон ромба. Расстояние от центра сферы до
плоскости ромба равно d. Найдите площадь ромба.
2. На поверхности сферы, радиус которой равен /?,
проведены две равные окружности, общая хорда которых равна а.
Найдите радиус этих окружностей, если известно, что плоскости
их взаимно перпендикулярны.
121

3. В полушар радиуса R вписан усеченный конус так, что
большее основание конуса совпадает с основанием полушара, а
образующая наклонена к плоскости основания под углом а.
Найдите площадь поверхности конуса.
4. В конус вписан шар. Радиус окружности касания конуса с
шаром равен R. Прямая, проходящая через центр шара и точку,
лежащую на окружности касания, образует с плоскостью
основания угол а. Найдите объем конуса.
5. Найдите угол при вершине в осевом сечении конуса, если
известно, что на его поверхности можно провести три попарно
перпендикулярные образующие.
6. Образующая конуса равна /, а угол при вершине в его
осевом сечении равен 2а. Через высоту конуса проведена секущая
плоскость и в получившиеся при этом полуконусы вписаны шары.
Найдите радиусы этих шаров.
7. Плоскость, параллельная основанию конуса и проходящая
через центр вписанного в этот конус шара, делит конус на две
части, объемы которых равны. Найдите угол между образующей
конуса и плоскостью его основания.
8. В вершинах В и С прямоугольного треугольника ABC по
одну сторону от его плоскости восставлены к ней
перпендикуляры BS\ и CS2. Точка Si соединена затем с точками Л и С, а точка
S2 — с точками А и В. Считая АС = ВС = BS\ = BS2 = a, найдите:
а) длину лежащей вне плоскости ABC линии пересечения
поверхностей пирамид S\ABC и S2ABC', б) площадь полной
поверхности полученного многогранника; в) объем полученного
многогранника.
9. Плоскость квадрата S1S2BC со стороной, равной а,
перпендикулярна плоскости ABCD. Найдите объем общей части пирамид
S\ABCD и S2ABCD, если четырехугольник ABCD является:
а) квадратом; б) прямоугольником с отношением сторон
АВ:ВС = 2:\; в) ромбом с острым углом, равным 60°.
10. На сторонах АВ и CD квадрата ABCD взяты
соответственно точки О\ и Ог— середины этих сторон. В точках О\ и О2 к
плоскости квадрата по одну сторону от нее восставлены
перпендикуляры O\S\ и O2S2, длина каждого из которых равна стороне
квадрата. Точки S\ и S2 приняты за вершины пирамид S\ABCD
и S2ABCD. Считая АВ = а, найдите: а) длину лежащей вне
плоскости ABC линии пересечения боковых поверхностей пирамид
S\ABCD и S2ABCD\ б) полную поверхность многогранника,
являющегося общей частью пирамид S\ABCD и S2ABCD: в) объем
многогранника, являющегося общей частью пирамид S\ABCD
и S2ABCD.
11. По одну сторону от плоскости квадрата ABCD к его
плоскости восставлены перпендикуляры BS\ и DS2 и точки S\ и S2
соединены каждая с точками А, В, С и D. Считая BSi = DS2 =
=АВ = ач найдите: а) длину лежащей вне плоскости ABC линии
пересечения поверхностей пирамид S\ABCD и S2>4BCD; б) пло-
122

щадь полной поверхности полученного многогранника; в) объем
полученного многогранника.
12. В вершинах В и D квадрата ABCD со стороной, равной а,
к его плоскости восставлены по одну сторону от этой плоскости
перпендикуляры BSi и DS2. Точки S\ и S2 приняты за
вершины пирамид с общим основанием ABCD. Считая S\B = ay S2D =
= —, найдите: а) длину лежащей вне плоскости ABC линии
пересечения поверхностей пирамид SiABCD и S2ABCD\ б) площадь
полной поверхности полученного многогранника; в) объем
полученного многогранника.
13. В вершинах В и С квадрата со стороной, равной а, к его
плоскости восставлены по одну сторону от нее перпендикуляры
BS\ и CS2, длины которых равны соответственно ои|. Точки S\
и S2 являются вершинами пирамид S\ABCD и S2ABCD. Найдите:
а) длину лежащей вне плоскости ABC линии пересечения
поверхностей пирамид S\ABCD и S2ABCD\ б) площадь полной
поверхности полученного многогранника; в) объем полученного
многогранника.
14. Все боковые грани призмы АВСА\В\С\ — квадраты, а ее
грань АА\В\В является и основанием правильной пирамиды
SAA\B\B, расположенной по ту же сторону от плоскости АА\ВУ что
и заданная призма. Считая высоту пирамиды равной ад/3 и ребро
призмы равным а, найдите: а) длину линии пересечения боковой
поверхности пирамиды с боковой поверхностью призмы; б)
площадь той части боковой поверхности призмы, которая лежит вне
пирамиды; в) объем той части пирамиды, которая лежит вне
призмы.
15. Шар касается всех ребер куба. Считая ребро куба
равным а, найдите: а) длину линии пересечения поверхности шара с
поверхностью куба; б) площадь поверхности части шара,
находящейся вне куба; в) объем той части шара, которая заключена
внутри куба.
16. В куб помещены два равных, касающихся друг друга
шара. Один из них касается трех граней куба, имеющих общую
вершину, а другой касается также трех граней куба, но
принадлежащих его противоположной вершине. Считая ребро куба
равным а, найдите: а) радиусы этих шаров; б) углы, которые
образует плоскость, касающаяся обоих шаров в их общей точке,
с плоскостями граней куба; в) площадь фигуры, получаемой в
сечении куба плоскостью, касающейся обоих шаров в их общей
точке.
17. Найдите ребро куба ABCDA\B\C\DXy если известно, что
шар, радиус которого равен /?: а) проходит через вершины Л,
В, С\ и D куба; б) проходит через вершины Л, В и Сь а также
через точку Р — центр грани ABCD; в) касается сторон
треугольника BC\D и проходит через вершину А\ куба.
123

18. Ребро куба равно а. Найдите радиус шара, о котором
известно, что он: а) касается четырех ребер куба, принадлежащих
одной его грани, а также противоположной грани; б) проходит
через середины трех ребер куба, содержащих одну вершину,
и через вершину противоположной грани; в) касается трех ребер
куба, содержащих одну вершину, и проходит через вершину,
противоположную первой.
19. Шар радиуса R касается трех граней куба, содержащих
одну вершину, и трех ребер этого куба, содержащих
противоположную вершину. Найдите: а) ребро куба; б) длину линии
пересечения поверхности шара с поверхностью куба; в) объем
той части шара, которая находится внутри куба.
20. Шар касается основания правильной призмы АВСА\В\С\ в
точке D — середине ребра АВ и проходит через точку С\. Считая
все ребра призмы равными а, найдите: а) радиус шара; б) длину
отрезка ЛЛг, отсекаемого поверхностью шара от ребра АА\\
в) длину отрезка СС2, отсекаемого поверхностью шара от
ребра CCi.
21. Середины сторон основания правильной четырехугольной
пирамиды являются вершинами куба, расположенного с
пирамидой по одну сторону от плоскости ее основания. Считая ребро
куба равным а и отношение высоты пирамиды к стороне ее
основания равным 3:4, найдите: а) длину линии пересечения боковой
поверхности пирамиды с поверхностью куба; б) площадь той части
поверхности куба, которая находится вне пирамиды; в) объем
той части пирамиды, которая находится внутри куба.
22. В вершинах В и С квадрата ABCD восставлены к его
плоскости по одну сторону от нее перпендикуляры BS\ и CS2, а на
сторонах ВС и CD взяты соответственно точки Р и Q —
середины этих сторон. Считая BS\ = CS2 = AB = a, найдите: а) длину
линии пересечения боковых поверхностей пирамид S\ABCD и
S2APQ; б) площадь поверхности полученного многогранника;
в) объем полученного многогранника.
23. Правильная пирамида TKNML и куб ABCDA\B\C\D\
расположены таким образом, что точки Л, В, d и Di,
являющиеся вершинами диагонального сечения куба, принадлежат
соответственно сторонам KNy NM, ML и L/C основания
пирамиды. Считая ребро куба равным а и отношение высоты
пирамиды к стороне ее основания равным 3(^2—1):2, найдите:
а) длину линии пересечения боковой поверхности пирамиды с
поверхностью куба; б) площадь той части поверхности куба,
которая лежит вне пирамиды; в) объем той части пирамиды,
которая находится внутри куба.
24. В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит
равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С.
Треугольник АА\С\ принят за основание пирамиды, а ее боковое ребро SA\
перпендикулярно плоскости основания, и SA\=SA. Считая ЛС =
= СС|=а, найдите: а) длину линии пересечения грани SAC\
124

пирамиды с гранью АА\В\В призмы; б) площадь поверхности
полученного многогранника; в) объем полученного
многогранника.
25. На ребрах ААи СС\ и DDX куба ABCDA\B\C\DX взяты
соответственно точки Лг, Сг и D2, такие, что АА2: АА \ = СС2: СС\ =
= 3:_4, DD2iDDi = 1:2, а на прямой SBi взята точка 7\ такая,
что B\t:BT—l :5. Точка Г принята за вершину пирамиды, а за
основание этой пирамиды принято сечение куба плоскостью
A2C2D2. Считая ребро куба равным а, найдите: а) длину линии
пересечения боковой поверхности пирамиды плоскостью Л|В|С|;
б) площадь сечения пирамиды плоскостью Л1В1С1; в) объем
пирамиды TB\A2D2C2.
26. На ребрах ААи СС\ и DDX куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Л2, Сг и D2, такие, 4TOy4y42My4i = CC2:CCi =
= 3:4, DD2:DD\ = l:2y а на прямой DD\ взята точка 7\ такая,
что D\T:T)T=\ :3. Точка Т принята за вершину пирамиды, а за
ее основание принято сечение куба плоскостью A2C2D2. Считая
ребро куба равным а, найдите: а) длину линии пересечения
боковой поверхности пирамиды плоскостью А\ВХС\\ б) площадь
сечения пирамиды плоскостью Л|В|С|; в) отношение
объемов многогранников, на которые плоскость рассекает
пирамиду TB]A2D2C2.
27. Конус помещен в цилиндр таким, образом, что одна из
образующих конуса совпадает с образующей цилиндра и
окружность основания конуса имеет с боковой поверхностью цилиндра
еще одну общую точку. Отношение диаметра основания
цилиндра к его образующей равно 3:5. Найдите: а) угол между
высотой конуса и образующей цилиндра; б) угол между
плоскостью основания конуса и плоскостью основания цилиндра;
в) отношение объема конуса к объему цилиндра.
28. В равносторонний конус вписан полушар так, что его
большой круг находится в плоскости основания конуса. Найдите
отношение, в котором окружность касания делит боковую
поверхность полушара и боковую поверхность конуса.
29. В полушар вписан конус, вершина которого совпадает с
центром окружности, являющейся основанием полушара.
Плоскость основания конуса параллельна плоскости основания
полушара, а прямая, соединяющая центр основания конуса с
произвольной точкой окружности большого круга полушара, составляет
с плоскостью основания конуса угол а. Найдите отношение объема
полушара к объему конуса.
30. В конус помещены два шара так, что они касаются друг
друга и поверхности конуса. Отношение радиусов этих шаров
равно m:n (m>n). Найдите угол при вершине осевого сечения
конуса.
31. В куб вписана пирамида, одной из вершин которой
является центр грани куба, а четыре другие вершины — это вершины
противолежащей грани куба. В пирамиду вписан шар. В каком
125

отношении делит объем куба плоскость, проходящая через
центр шара параллельно основанию пирамиды?
32. Шар касается боковой поверхности конуса по окружности
основания. Площадь поверхности шара делится при этом на части,
из которых одна в п раз больше другой. Найдите угол между
образующей конуса и плоскостью его основания.
33. Около конуса описана треугольная пирамида. Боковая
поверхность конуса делится линиями касания на части, отношение
площадей которых равно 5:6:7. В каком отношении делят те же
линии площадь боковой поверхности пирамиды?
34. Два конуса имеют общее основание. В общем осевом
сечении образующая одного из них перпендикулярна
противолежащей образующей другого. Объем одного из конусов вдвое
меньше объема другого. Найдите угол между образующей
большего из конусов и плоскостью их оснований.
35. Из точки, взятой на поверхности шара, проведены три
равные хорды, угол между каждой парой из которых равен а.
Найдите длины хорд, если радиус шара равен R.
36. Через середины боковых ребер куба проходит сфера,
касающаяся одного из оснований куба. Какая часть объема куба
лежит внутри сферы?
37. Шар касается всех ребер куба. Считая ребро куба
равным а, найдите объем части шара, находящейся внутри куба.
38. Ребро куба равно а. Найдите радиус двух равных шаров,
которые можно поместить в куб так, чтобы при перемещениях
куба эти шары не могли передвигаться.
39. В конус вписан шар. Радиус окружности, по которой
касаются их поверхности, равен г. Прямая, проходящая через
центр шара и произвольную точку окружности основания конуса,
составляет с высотой конуса угол а. Найдите объем конуса.
40. На ребрах DD\ и СС\ куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Р и Q, такие, что DP:DD{=3:4 и CQ:CCl = l:2.
Найдите радиус сферы, проходящей через точки А, ВХу Р и Q.
41. В куб с ребром а вписан шар. Затем в один из трехгранных
углов при вершине куба вписан второй шар, касающийся также
первого шара. Найдите радиус второго шара.
42. Шар касается трех граней куба, содержащих одну
вершину, и трех ребер этого куба, содержащих противоположную
вершину. Найдите ребро куба, если радиус шара равен R.
43. Шар касается трех граней куба, содержащих одну
вершину, и проходит через вершину куба, противолежащую первой.
Найдите радиус шара, если ребро куба равно а.
44. Шар касается трех ребер куба, содержащих одну
вершину, и проходит через вершину куба, противолежащую первой.
Найдите радиус шара, если ребро куба равно а.
45. Шар проходит через вершины Л, В и D куба ABCDA\B\C\D{
и середину ребра А\В\. Найдите радиус шара, если ребро куба
равно а.
126

46. Шар касается четырех ребер куба, принадлежащих одной
из его граней, и противолежащей грани. Найдите отношение
объема части шара, лежащей вне куба, к объему шара.
47. Шар проходит через вершины одной из граней куба и
касается ребер его противоположной грани. Найдите отношение
ребра куба к радиусу шара.
48. Шар касается всех боковых ребер правильной
четырехугольной призмы и ее оснований. Найдите отношение площади
поверхности шара, лежащей вне призмы, к площади полной
поверхности призмы.
49. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найдите радиус
шара, касающегося боковых ребер тетраэдра в вершинах его
основания.
50. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найдите радиус
шара, касающегося боковых граней тетраэдра в точках, лежащих
на сторонах основания.
51. Все плоские углы при вершине М пирамиды МАВС прямые.
Докажите, что вершина М, центр шара, описанного около
пирамиды, и точка пересечения медиан основания ABC пирамиды
лежат на одной прямой.
52. Шар радиуса R вписан в пирамиду, угол между каждой
боковой гранью которой и ее основанием равен а. Найдите объем
пирамиды, если в ее основании лежит ромб, острый угол которого
равен р.
53. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при
вершине равен а, а высота пирамиды равна Н и служит диаметром
шара. Найдите длину линии пересечения поверхностей пирамиды и
шара.
54. В правильную четырехугольную пирамиду помещены два
шара, касающиеся друг друга и всех боковых граней пирамиды.
Один из шаров касается также основания пирамиды. Отношение
радиуса большего шара к радиусу меньшего равно п. Найдите
двугранные углы пирамиды.
55. В правильную треугольную пирамиду, плоский угол при
вершине которой равен а, вписана сфера. На какие части делится
поверхность сферы плоскостью, проведенной через точки касания
сферы с боковыми гранями пирамиды?
56. В цилиндр, высота которого равна Я, вписана
треугольная пирамида. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны
плоскости ее основания, а два боковых ребра образуют с
плоскостью основания углы, каждый из которых равен а. Угол между
этими ребрами равен р. Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды.
57. Ребро правильного тетраэдра равно а. Цилиндрическая
поверхность проходит через одно из его ребер и через все его
вершины. Найдите радиус основания цилиндра.
58. Основания шарового слоя и цилиндра совпадают. Объем
тела, заключенного между их боковыми поверхностями, равен
127

36л см3. Найдите высоту цилиндра, если известно, что она равна
высоте шарового слоя.
59. В конус с радиусом основания, равным /?, вписана
треугольная призма с равными ребрами так, что ее основание лежит в
плоскости основания конуса. Найдите объем призмы, если угол
между образующей конуса и плоскостью ее основания равен а.
60. В куб, ребро которого равно а, вписан конус, угол между
образующими которого в осевом сечении равен а. Найдите длину
образующей и радиус основания конуса, если известно, что его
высота лежит на диагонали куба.
61. На прямоугольном листе бумаги, одна сторона которого
равна а, построены окружности, радиус одной из которых равен -^,
а другой — -^-. Расстояние между центрами окружностей равно-^,
4 о
а линия их центров параллельна основанию прямоугольника.
К окружностям проведена общая внутренняя касательная.
Найдите расстояние между точками касания после того, как лист свернут
в круговую цилиндрическую поверхность, ось которой
перпендикулярна линии центров окружностей.
62. Ребра треугольной пирамиды, выходящие из вершины Л,
попарно перпендикулярны и равны а, Ь и с. Найдите объем куба,
вписанного в пирамиду так, что одна из его вершин совпадает с
вершиной А.
63. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно Ь и
образует с плоскостью основания угол а. В пирамиду вписан
равносторонний цилиндр так, что его нижнее основание лежит в
плоскости основания пирамиды. Найдите высоту цилиндра.
64. На листе бумаги, являющемся квадратом PQML,
прорезано отверстие — равносторонний треугольник ABC — так, что
AB\\PL и AB:PL=l:2. Затем квадрат свернут в круговую
цилиндрическую поверхность, ось которой перпендикулярна отрезку
АВ. Найдите отношение площади квадрата к площади
треугольника ABC, вершины которого лежат на цилиндрической
поверхности.

Справочный материал, примеры
§2
Прежде чем рассматривать примеры, остановимся на
некоторых привычных понятиях и терминах.
Поясним, например, что означают слова: задана точка,
задана прямая и т. д.
Изучая свойства геометрических фигур, мы, считая эти фигуры
расположенными в пространстве, имеем дело с изображениями
их на плоскости (говорят и по-другому: с проекциями этих фигур
на плоскости). Указанную плоскость называют плоскостью
изображений (или плоскостью проекций). Те иллюстрации,
которые помещены на страницах учебника геометрии, и те, которые мы
строим на классной доске или в ученической тетради,— это и
есть изображения геометрических фигур на плоскости проекций,
или, короче, проекционные чертежи.
Пусть в пространстве зафиксирована некоторая плоскость ло
и пусть проекцией некоторой точки Ро на плоскость ло является
точка Ро. Выполнив проектирование плоскости л0, точки Ро и
точки Ро на плоскость изображений, мы получим проекционный
чертеж, плоскость которого является изображением плоскости
ло. На этом проекционном чертеже мы получим точку Р —
проекцию точки Ро и точку Р' — проекцию точки Ро.
Итак, точка Р' — проекция точки Р, которая, в свою
очередь, сама является проекцией точки Ро. Таким образом, можно
сказать, что точка Р' является вторичной проекцией точки Ро
(т. е. проекцией проекции).
Проекционный чертеж, используемый в школьном курсе
геометрии, строится по методу только параллельного проектирования.
Это означает, в частности, что если в пространстве PoP6IIQoQ6l|...,
то и на проекционном чертеже PP'||QQ'||... •
Таким образом, между точками Р, Q, /?, ... и точками Р', Q',
/?', ... устанавливается соответствие, которое можно, разумеется
условно, рассматривать также как некое параллельное
проектирование. Оно осуществляется непосредственно на проекционном
чертеже, и по этой причине его называют внутренним
параллельным проектированием, в отличие от проектирования
пространственных фигур на плоскость изображений, которое называют
внешним проектированием.
Отметим еще, что в школьном курсе геометрии внутреннее
проектирование рассматривается и параллельное, и центральное (но
5 В. Н. Литвиненко 129

на одном проекционном чертеже
проектирование может выполняться
только одного из этих видов),
внешнее же проектирование
рассматривается только параллельное. Теперь
можно сказать о том, что означают
слова: задана точка, задана прямая.
Пусть на проекционном чертеже
некоторая плоскость л' выбрана
в качестве плоскости вторичных
проекций — будем называть эту
плоскость основной. Если на
проекционном чертеже построена точка W
и ее проекция на основную
плоскость — W, то точку Wo называют
Рис. 32 заданной на этом чертеже, или
короче, заданной.
Таким образом, ясно, что если на проекционном чертеже
заданы две точки, то задана прямая, проходящая через эти точки,
а если заданы три точки, не лежащие на одной прямой, то
задана плоскость, проходящая через эти точки. И далее: если
плоскость каждой грани многогранника Фо является заданной, то
задан многогранник Фо, которому эти грани принадлежат. Так,
призма, изображение (проекция) которой показано на рисунке 32,
является заданной. Действительно, выберем в качестве
плоскости л', на которую осуществляется внутреннее проектирование,
плоскость ABC, а направление этого проектирования возьмем
параллельным боковому ребру призмы. Тогда проекциями точек
А и В на плоскость л' являются сами эти точки, проекцией
точки А\ на плоскость л' является точка А. Таким образом, три
точки плоскости АВВ\ являются заданными. На одной прямой
эти точки не лежат. Значит, плоскость АВВ\ является
изображением заданной плоскости. Аналогично нетрудно убедиться,
что плоскости всех граней призмы являются заданными и поэтому
призма, изображенная на рисунке 32, является заданной.
Если фигура Фо является заданной, то на ее изображении
разрешима любая позиционная задача.
Можно, например, на изображении заданной фигуры Фо
построить линию пересечения плоскостей, принадлежащих
фигуре Фо, пересечение любой прямой, принадлежащей Фо, с
принадлежащей ей плоскостью и т. д.
Во многих задачах, связанных с построениями на
изображениях пространственных фигур, приходится выполнять построение
сечений этих фигур плоскостями. Одним из эффективных методов
решения задач на построение сечений многогранников и некоторых
других позиционных задач является так называемый
аксиоматический метод, разновидностями которого являются метод следов
и метод вспомогательных сечений.
130

Метод следов
Если плоскость а пересекает плоскость р по прямой s, то
прямую s называют следом плоскости а на плоскости р. Ясно,
что прямая s является также следом плоскости р на плоскости а.
В общем случае секущая плоскость пересекает плоскость
каждой грани многогранника, а также плоскость любого другого
сечения многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость
пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют
следом секущей плоскости на плоскости этой грани, а отрезок следа,
лежащий непосредственно в грани многогранника, называют
следом секущей плоскости на этой грани.
Построение сечения многогранника методом следов обычно
начинают с построения так называемого основного следа
секущей плоскости, т. е. следа секущей плоскости на плоскости
основания многогранника (в случае призмы — нижнего).
Для построения следа секущей плоскости, а также для
построения сечения многогранника этой плоскостью должен быть
заданным не только сам многогранник, но и секущая плоскость.
Секущую плоскость можно задать следующими способами: 1)
тремя точками, не лежащими на одной прямой; 2) точкой и прямой,
не проходящей через эту точку; 3) двумя пересекающимися
прямыми; 4) двумя параллельными прямыми; 5) точкой и двумя
скрещивающимися прямыми, которым секущая плоскость
параллельна; 6) точкой и прямой, которой секущая плоскость
перпендикулярна. Возможны и другие способы задания секущей
плоскости.
Перейдем к рассмотрению примеров.
Пример 1. На ребрах ВВХ и ССХ призмы ABCDAXBXCXDX
заданы соответственно точки Р и /?, а на грани АА \D\D — точка Q.
Построим следы плоскости PQR на следующих плоскостях:
a) ABC; б) CDDX\ в) АВХС.
Решение, [aj] (Рис. 33, а.) I) Находим точки Р\ Q' и /?' —
проекции соответственно точек Р, Q и R на плоскость ABC в
направлении, параллельном боковому ребру призмы. 2) Так как
PP'WQQ'* то прямыми РР' и QQ' определяется плоскость,
в которой лежат эти прямые. Проведем в заданной таким
образом плоскости прямые PQ и P'Q' и найдем точку Sx—точку их
пересечения. Так как точка Sx лежит на прямой PQ, а прямая
PQ лежит в плоскости PQR, то точка Sx лежит в плоскости PQR.
Аналогично точка Sx лежит на прямой P'Q\ т. е. она лежит в
плоскости ABC. Таким образом, точка Sx является общей точкой
плоскостей PQR и ABC. Значит, эти плоскости пересекаются по
прямой, проходящей через точку Sx. 3) Находим точку S2, в
которой пересекаются прямые PR и PR', и доказываем, что точка S2
также принадлежит плоскостям PQR и ABC. 4) Так как точки
Sx и S2 принадлежат плоскости PQR, то прямая S1S2 принадлежит
плоскости PQR. Точно так же прямая SXS2 принадлежит плос-
5* 131

Рнс. 33
кости ABC. Таким образом, прямая S1S2— линия пересечения
плоскости PQR с плоскостью ABC, т. е. она является искомым
основным следом плоскости PQR.
[б)| (Рис. 33, а.) Так как точка R лежит на прямой СС\, а
прямая СС\ лежит в плоскости CDD\, то точка R лежит в
плоскости CDD\. Но точка R лежит и в плоскости PQR. Таким
образом, плоскости PQR и CDD\ уже имеют одну общую точку.
Найдем еще одну общую точку этих плоскостей.
1) Найдем точку S3, в которой пересекаются прямые CD и
S1S2. Так как точка S3 лежит на прямой S1S2, а прямая S1S2
лежит в плоскости PQR, то точка S3 лежит в плоскости PQR.
Аналогично точка S3 лежит на прямой CD, т. е. она лежит в
плоскости CDD\. Итак, точка S3 — это еще одна общая точка плос-
132

костей PQR и CDD\. 2) Проведем прямую /?S3. Так как каждая
из точек R и Ss лежит и в плоскости PQR, и в плоскости CDD\,
то прямая RS3 также лежит в плоскостях PQR и CDD\. Таким
образом, прямая RS3— линия пересечения плоскостей PQR и
CDD\, т. е. она является искомым следом плоскости PQR на
плоскости CDD\.
|в)| (Рис. 33, б.) 1) Найдем точку S4, в которой пересекаются
прямые АС и S1S2, и докажем, что точка S4 принадлежит
плоскости PQR и плоскости АВ\С. 2) Найдем точку Ss, в которой
пересекаются прямые АВ и S1S2, и докажем, что точка Ss лежит и в
плоскости PQ/?, и в плоскости АВВ\. 3) Найдем точку V> в которой
пересекаются прямые PSs и АВ\, и докажем, что точка V лежит и в
плоскости PQR, и в плоскости АВ\С. 4) Проведем прямую VS4 и
докажем, что она является следом плоскости PQR на плоскости
ABC.
Замечание. Для большей наглядности изображения на рисунке 33, б
построена точка U, в которой пересекаются прямые VS* и В\С.
П р и м е р 2. На гранях МАВ и MCD пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Р и Q, а в плоскости ABC задана точка R.
Построим следы плоскости PQR на следующих плоскостях:
а) ЛВС; б) МВС; в) MAC.
Решение.[а]] (Рис. 34.) 1) Строим точки Р' и Q' — проекции
соответственно точек Р и Q на плоскость ЛВС. Так как точка R
задана в плоскости ABC, то точка R' совпадает с точкой R.
Таким образом, точка R принадлежит и плоскости PQR, и плос-
Рис. 34
133

кости ABC, т. е. основной след плоскости PQR проходит через
эту точку. 2) Находим точку Si, в которой пересекаются прямые
PQ и P'Q'y лежащие в плоскости, определяемой пересекающимися
прямыми МР и MQ. Доказываем, что точка S\ принадлежит и
плоскости PQR, и плоскости ABC, т. е. основному следу
плоскости PQR. 3) Строим прямую RSi и доказываем, что она
является основным следом плоскости PQR.
\б)\ (Рис. 34.) 1) Строим точку S2, в которой пересекаются
прямые ВС и RS\y и доказываем, что точка S2 принадлежит
и плоскости МВС, и плоскости PQR, т. е. следу плоскости
PQR и плоскости МВС. 2) Находим точку S3, в которой
пересекаются прямые АВ и RS\, и доказываем, что точка S3
принадлежит и плоскости PQR, и плоскости МАВ, т. е. прямая PS$
принадлежит этим плоскостям. 3) Находим точку V, в которой
пересекаются прямые PS3 и MB, и доказываем, что точка V
принадлежит и плоскости PQR, и плоскости МВС, т. е. следу
плоскости PQR на плоскости МВС. 4) Строим прямую KS2 и
доказываем, что она является следом плоскости PQR на
плоскости МВС.
[в)| (Рис. 34.) 1) Строим точку 7\ в которой пересекаются
прямые PS3 и МА, и доказываем, что эта точка принадлежит и
плоскости PQR, и плоскости MAC. 2) Строим точку U, в которой
пересекаются прямые VS2 и МС, и доказываем, что точка U
принадлежит и плоскости PQR, и плоскости MAC. 3) Проводим
прямую TU и доказываем, что она является следом плоскости
PQR на плоскости MAC.
§з
Метод следов
При построении сечений многогранников методом следов
существенно используется следующее утверждение:
Если точки Р, Q и R принадлежат секущей плоскости и не
лежат на одной прямой, а их проекции на плоскость, выбранную
в качестве основной,— точки Р\ Q' и R', то точки пересечения
соответственных прямых, т. е. точки S\ = PQ[\P'Q\ S2 =
= PR[\P'R' и S3 = RQC\R'Q', лежат на одной прямой. Эта прямая
является основным следом секущей плоскости.
Пример 1. На ребре В\С\ и в грани АА\В\В призмы
ABCDA\B\C\D\ заданы соответственно точки Р и Q, а вне призмы
задана точка R. Построим сечение призмы плоскостью PQR.
Решение (рис. 35). 1) Построим точки Р', Q' и R' —
проекции соответственно точек Р, Q и R на плоскость ABC в
направлении, параллельном боковому ребру призмы.
2) Построим точку Si, в которой пересекаются прямые PQ и
P'Q\ и точку S2, в которой пересекаются прямые PR и P'R'.
134

Рис. 35
3) Проведем прямую S1S2— основной след плоскости PQR.
4) Если плоскость PQR пересекает прямую ВВ\ в точке V,
то точка V — проекция точки V на плоскость ABC— совпадает
с точкой Б, а прямые VQ и VQ' пересекаются в точке S3,
лежащей на основном следе плоскости PQR, т. е. на прямой S1S2.
Поэтому проведем прямую VQ' и найдем точку S3, в которой
пересекаются прямые VQ' и S1S2. Прямая S3Q является тогда следом
плоскости PQR на плоскости грани АА\В\В, а отрезок VA2 —
это след плоскости PQR непосредственно на грани АА\В\В.
5) Так как точки V и Р лежат в плоскости PQR и в плоскости
грани ВВ\С\С, то, проведя прямую VP, получим след плоскости
PQR на плоскости грани ВВ\С\С и след плоскости PQR на
этой грани — отрезок VP.
6) Прямые VP и СС\ лежат в одной плоскости. Пусть точка
Сг — точка их пересечения. Тогда след плоскости PQR на
плоскости грани CC\D\D проходит через точку Сг. Если этот
след пересекает прямую DD\ в точке Т, то прямая СгГ и ее
проекция на плоскость ABC, т. е. прямая СТ\ пересекаются в точке S4,
лежащей на основном следе S1S2. Поэтому проведем прямую
СТ' и найдем точку S4, в которой пересекается прямая СТ' со
следом S1S2.
Прямая S4C2 тогда является следом плоскости PQR на
плоскости грани CC\D\D, а отрезок TF — это след плоскости PQR
на плоскости грани CC\D\D.
135

7) Соединим точку А2 с точкой Т. Они лежат в одной грани и
в секущей плоскости, т. е. отрезок А2Т— это след плоскости
PQR на грани AAXDXD.
Ааналогично находим след PF плоскости PQR на грани
AXBXCXDX.
Итак, многоугольник PVA2TF— искомое сечение.
Метод вспомогательных сечений
Пример 2. На ребре DXEX и в грани АВВ\А\ призмы
ABCDEA\B\C\D\E\ заданы соответственно точки Р и Q и вне
призмы задана точка R. Построим сечение призмы плоскостью
PQR.
Решение (рис. 36, а). 1) Построим точки Р\ Q' и R' —
проекции точек Р, Q и R на плоскость ABC.
2) Построим вспомогательное сечение призмы плоскостью Pi,
определяемой параллельными прямыми РР' и QQ'.
3) Если далее мы хотим найти точку пересечения, например,
прямой ВВ\ с плоскостью PQR, то строим второе вспомогательное
сечение призмы, а именно сечение ее плоскостью Рг, определяемой
параллельными прямыми ВВ\ и RR'.
4) Находим прямую КК\—линию пересечения плоскостей
Pi и р2.
5) Проведем прямую PQ и найдем точку К2, в которой
пересекаются прямые PQ и /C/Ci-
Ясно, что точка К2 лежит и в плоскости Рг.
Таким образом, прямые /?/Сг и ВВ\ лежат в одной плоскости.
6) Находим точку В2у в которой пересекаются прямые /?/Сг и
ВВХ.
Так как точка К2 лежит на прямой PQ, а прямая PQ лежит
в плоскости PQR, то и точка К2 лежит в плоскости PQR. Но
и точка R лежит в плоскости PQR. Значит, прямая RK2 лежит
в плоскости PQR, и поэтому точка В2 лежит в плоскости PQRy
т. е. является точкой пересечения прямой ВВ\ с плоскостью
PQR.
Дальнейшие построения в целях наглядности показаны на
рисунке 36, б. (Построение точки Бг, выполненное на рисунке 36, а,
перенесено и на рисунок 36, б.) Наметим кратко этапы этого
построения.
7) Строим прямую B2Q и находим точки А2 и L\.
8) Проводим прямую L\P и находим точку V.
9) Соединим точку В2 с точкой V.
10) Построим точку F2j в которой пересекаются прямые RK2
и FFi.
11) Проводим прямую A2F2 и находим точку Е2у в которой
прямая A2F2 пересекает прямую ЕЕ\.
12) Соединим точку Р с точкой Е2.
Многоугольник A2B2VPE2 — искомое сечение.
136

137

§ 4, п. 1
Ясно, что построение прямой, параллельной заданной прямой,
необходимо выполнять в плоскости, проходящей через заданную
точку и заданную прямую.
Пример 1. Точка Q задана на ребре АВ призмы АВСА\B\C\.
Построим прямую, проходящую через точку Р параллельно
прямой QR, если точки Р и R заданы следующим образом: а) точка Р
на ребре СС\, точка R на ребре В\С\\ б) точка Р на ребре АС,
точка R на ребре СС\\ в) точка Р на ребре АС, точка R на ребре
ВхСх.
Решение, [а]] (Рис. 37, а.) 1) Строим точки Р', Q' и /?' —
проекции точек Р, Q и R на плоскость ABC. 2) Находим основной
след плоскости PQR — прямую S\Q. 3) В плоскости PQR через
точку Р проводим прямую PS2, параллельную прямой QR.
Прямая PS2 — искомая прямая.
[б)] (Рис. 37, б.) 1) Строим точки Р', Q' и R' — проекции
точек Р, Q и R на плоскость ABC. 2) Ясно, что прямая PQ
является основным следом плоскости PQR. 3) Для проведения искомой
прямой найдем след плоскости PQR, например, на плоскости
грани ВВ\С\С. Для этого находим точку S, в которой
прямая PQ пересекается с прямой ВС. Тогда прямая SR — это
след плоскости PQR на плоскости грани ВВ\С\С. 4) В
плоскости PQR через точку Р проведем прямую PU, параллельную
прямой QR.
Прямая PU — искомая прямая.
[в)] (Рис. 37, в.) 1) Строим точки Р', Q' и R' — проекции
точек Р, Q и R на плоскость ABC. 2) Строим прямую PQ, которая
является основным следом плоскости PQR. 3) Найдем след
плоскости PQR на плоскости грани В\С\С—прямую SR. В плоскости
PQR провести искомую прямую оказывается неудобным, так как
пересечение искомой прямой с прямой SR не помещается в
пределах чертежа. 4) Найдем след плоскости PQR на плоскости
А\В\С\. Для этого построим сначала точку Сг, в которой прямая
SR пересекает прямую СС\У затем точку Г, в которой прямая
С2Р пересекает прямую Л id. Прямая RT — след плоскости
PQR на плоскости А\В\С\. 5) Теперь в плоскости PQR
проведем через точку Р прямую PV, параллельную прямой Q/?.
Прямая PV — искомая прямая.
Пример 2. На ребрах В\СХ и DDX призмы ABCDAXBXC\DX
заданы соответственно точки Q и /?, а в грани AA\D\D задана
точка Р.
а) Построим прямую /, проходящую через точку Р,
параллельную прямой QR. б) Найдем следы прямой / на
поверхности призмы, в) Найдем следы прямой / на плоскостях граней
призмы.
138

139

Решение, m] (Рис. 38.) 1) Построим точки Р\ Q' и /?' —
проекции точек Р\ Q и R на плоскость ABC, а затем построим
прямую S1S2 — основной след плоскости PQR. 2) В плоскости
QS\S2 через точку Р проводим прямую /, параллельную прямой
QR.
[б)] (Рис. 38.) 1) Построим многоугольник QC2RA2V —
сечение призмы плоскостью PQR. 2) Найдем точку Х\у в которой
прямая / пересекает сторону A2V этого многоугольника. Точка Х\
является следом прямой / на плоскости грани АА\В\ВЧ и, таким
образом, на поверхности призмы прямая / имеет два следа:
точки Р и Х\.
^в)\ (Рис. 38.) 1) Построим точку Х2, в которой прямая /
пересекает прямую S1S2. Точка Хг является точкой пересечения
прямой / с плоскостью грани ABCD. 2) Построим точки Хз, Х4 и Хь,
в которых прямая / пересекает соответственно прямые VQ,
QC2 и C2R. Точки Хз, Х4 и Хъ — это следы прямой / соответственно
на плоскостях граней A\B\C\D\, BB\C\C и CC\D\D.
Пример 3. На ребрах MB и CD пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Q и /?, а в грани МВС — точка Р. а)
Построим прямую /, проходящую через точку Р параллельно прямой
QR. б) Найдем следы прямой / на поверхности пирамиды, в)
Найдем следы прямой / на плоскостях граней пирамиды.
Решение, [а)] (Рис. 39.) 1) Построим точки Р\ Q' и R' —
проекции точек T\Q и R на плоскость ABC с центром проектиро-
Рас. Зв
140

B(Q*)<
Рис. 39
вания в точке М. 2) Построим прямую S\R— основной след
плоскости PQR. 3) В плоскости QRS\ через точку Р проведем
прямую /, параллельную прямой QR.
|б)] (Рис. 39.) 1) Построим многоугольник QC1RS2A1 —
сечение пирамиды плоскостью PQR. 2) Находим точку Х\, в которой
прямая / пересекает сторону CiR этого многоугольника. Точка
Х\ является следом прямой / на грани MCD. Таким образом,
прямая / имеет два следа на поверхности призмы — точки Р и Х\.
[в)] (Рис. 39.) Построим точки Лг, Хз и Х4, в которых прямая /
пересекает соответственно прямые S\Rt A\Q и y4iS2. Точки Х2у
Хз и X* — это следы прямой / соответственно на плоскостях
ABC, МАЕ и MAD.
§ 4, п. 2
Пример. Через точки Р, R и Q, заданные соответственно на
ребрах СВ, CD и СС\ призмы ABCDA\B\C\D\y проведена
плоскость. Построим сечения призмы плоскостями, параллельными
плоскости PQR и проходящими через следующие точки: а) Ки
заданную на ребре C\D\\ б) Лг, заданную на ребре АА\.
141

Рмс. 40
Решение, [а)] (Рис. 40.) Обозначим для краткости
плоскость, проходящую через точку К\ параллельно плоскости PQR,
через р. Так как fi\\PQR, то плоскость грани CDD\C\ пересекает
плоскости р и PQR по параллельным прямым. Аналогично
плоскость грани ВСС\В\ пересекает плоскости р и PQR по
параллельным прямым и т. д. Поэтому построение искомого сечения можно
осуществить следующим образом: 1) В плоскости CDD\ через
точку К\ проведем прямую, параллельную прямой QR. Пусть эта
прямая пересекает прямые CCi, DD\ и CD соответственно в
точках С2у D2 и S\. 2) В плоскости ВСС\ через точку С2 проведем
прямую, параллельную прямой PQ. Пусть эта прямая пересекает
прямые В\С\У ВВ\ и ВС соответственно в точках N\9 В2 и S2.
3) Через точки S\ и S2 проведем прямую S\S2. Ясно, что SiS2\\PR.
Пусть прямая S1S2 пересекает прямые АВ и AD соответственно
в точках S3 и S4. Тогда многоугольник KiD2S4SsB2N\ — искомое
сечение.
[б)| (Рис. 40.) Так как точка А2 лежит в гранях, не пересекаемых
плоскостью PQRj то для построения -искомого сечения можно
построить сначала такое сечение, плоскость которого параллельна
плоскости PQR и которое при этом проходит через какую-нибудь
точку грани, содержащей точку А2. В предыдущем пункте
рассматриваемого примера уже построено сечение K\D2S4SsB2N\y
плоскость которого параллельна плоскости PQR и которое
проходит через точку В2.
Используем это сечение как вспомогательное. 1) В плоскости'
АВВ\ через точку А2 проведем прямую, параллельную прямой
S3B2, и точку пересечения построенной прямой с прямой ВВ\
обозначим В3. 2) В плоскости ВСС\ через точку Вз проведем
142

прямую, параллельную прямой B2N\y и точку пересечения
построенной прямой с прямой В\С\ обозначим N2. 3) В плоскости
А\В\С\ через точку N2 проведем прямую, параллельную прямой
yVi/Ci, и точку пересечения построенной прямой с прямой C\D\
обозначим /Сг. 4) В плоскости CDD\ через точку К2 проведем
прямую, параллельную прямой K\D2y и точку пересечения
построенной прямой с прямой DD\ обозначим D3. 5) Точку Ds
соединяем с точкой А2.
Многоугольник A2BsN2K2Ds— искомое сечение.
§ 5, п. 1
Пусть требуется построить сечение многогранника плоскостью,
проходящей через заданную прямую k параллельно заданной
прямой т.
В общем случае можно рекомендовать следующий план
решения этой задачи:
1) Через прямую m и какую-нибудь точку прямой k
проведем плоскость. 2) В этой плоскости через уже
выбранную на прямой k точку проведем прямую mi||m. 3)
Пересекающимися прямыми k и гп\ определяется плоскость
искомого сечения. Построим его.
В некоторых случаях особенности конкретной задачи
позволяют найти более короткое решение.
П р и м е р 1. На ребрах АВ, МС и МА пирамиды МАВС заданы
соответственно точки Р, Q и /?. Построим сечения пирамиды
следующими плоскостями: а) плоскостью, проходящей через
М
а)
Рис. 41
6)
143

прямую PQ параллельно прямой CR; б) плоскостью, проходящей
через прямую CR параллельно прямой PQ.
Р еш ен ие. [а]] (Рис. 41, а.) 1) В плоскости MAC, проходящей
через прямую CR и точку Q, проведем прямую QV\\CR. 2)
Прямыми PQ и QV определяется плоскость искомого сечения. Строим
это сечение (основным следом плоскости PQV является прямая
SiP, где точка S\ — это точка пересечения прямых QV и СА).
Многоугольник PVQS2 — искомое сечение.
[б)| (Рис. 41, б.) 1) Построим плоскость, проходящую через
прямую PQ и точку R. Основным следом этой плоскости яв-
а)
6)
Рнс. 42
144

ляется прямая S\P, где точка Si—это точка пересечения
прямых QR и С А. 2) В плоскости, определяемой прямыми PQ и
SiP, через точку R проведем прямую /?S3, параллельную прямой
PQ. 3) Прямыми CR и RSz определяется искомое сечение. Строим
его (основным следом плоскости CRS3 является прямая CS3).
Треугольник CRS4 — искомое сечение.
Пример 2. На ребре АА\ треугольной призмы
АВСА\В\С\ задана точка Р, а в грани ABC — точка Q.
Построим сечения призмы следующими плоскостями: а) плоскостью,
проходящей через прямую B\Q параллельно прямой ВР;
б) плоскостью, проходящей через прямую ВР параллельно
прямой B\Q.
Решение. (а|| (Рис. 42, а.) 1) Через прямую ВР и точку Q
проведем плоскость. Основным следом этой плоскости является
прямая BQ. Пусть BQ пересекает Л С в точке /С. 2) В плоскости
ВРК через точку Q проведем прямую QL\\BP. 3) Прямыми
B\Q и QL определяется плоскость искомого сечения. Построим
это сечение. Для этого строим точку Si, в которой пересекаются
прямые B\L и BL\ где точка L' — это проекция точки L на
плоскость ABC, в направлении, параллельном боковому ребру призмы.
Прямая S\Q — основной след секущей плоскости, а
многоугольник B1D1S2S3 — искомое сечение.
[б)] (Рис. 42, б.) 1) Через прямую BXQ и точку В проведем
плоскость. Получим сечение ВВ\К\К. 2) В плоскости ВВ\К\
через точку В проведем прямую BR\\\B\Q. 3) Пересекающимися
прямыми ВР и BR\ определится плоскость искомого сечения.
Построим это сечение. Основным следом его является прямая
BSi, где точка Si—это точка пересечения прямых R\P и /?М,
а треугольник BPS2 — искомое сечение.
§ 5, п. 2
Пусть требуется построить сечение многогранника
плоскостью, проходящей через заданную точку К параллельно двум
заданным скрещивающимся прямым / и т. Можно рекомендовать
следующий план решения этой задачи:
1) Через одну из заданных прямых, например через прямую
mf и какую-нибудь точку прямой /, например Wt проведем
плоскость 6. 2) В плоскости б через точку W проведем
прямую т\\\т. 3) Прямыми Ш\ и / определяется секущая
плоскость р. 4) Строим сечение многогранника плоскостью р.
5) Строим сечение многогранника плоскостью, проходящей
через точку К параллельно плоскости р. Построенное
сечение будет искомым.
Разумеется, решение конкретной задачи может быть
короче.
145

Пример 1. На ребрах ААи СС\ и CD призмы ABCDA\BXC\DX
заданы соответственно точки /С, Р и Q (рис. 43). Построим
сечение призмы плоскостью, проходящей через точку К параллельно
прямым AQ и DP.
Решение. 1) В плоскости CDD\ через точку Q проведем
прямую QC2WDP. Пересекающимися прямыми AQ и QC2
определяется плоскость AQC2, параллельная прямым AQ и DP,—
плоскость вспомогательного сечения. 2) Построим сечение призмы
плоскостью AQC2 — многоугольник AQC2VT. 3) Теперь построим
искомое сечение, плоскость которого проходит через точку К
и параллельна плоскости AQC2. В плоскости АВВ\ через точку К
проводим прямую КТ\\\АТ. Затем в плоскости А\В\С\ через
точку Т\ проводим прямую riVM|7T.
Так как КТ\\\АТ и T\V\\\TVy то плоскость, определяемая
прямыми КТ\ и T\V\, параллельна плоскости вспомогательного
сечения. Построение этого сечения можно продолжить, проведя в
плоскости ВСС\ через точку V\ прямую У^СзНКСг, потом в
плоскости CDD\ через точку С3 прямую CsD2\\DP. Точку D2 соединим с
точкой /С.
В итоге получаем многоугольник KT\V\C^D2 — искомое
сечение.
П р и м е р 2. На ребрах АВ, MD, МА и CD пирамиды MABCD
заданы соответственно точки Р, Q, V и 7\ а на ребре MB задана
точка К (рис. 44). Построим сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через точку К параллельно прямым PQ и VT.
Решение. 1) Через одну из заданных прямых, например
через PQ, и точку, взятую на другой заданной прямой, на-
146

Рис. 44
пример через точку V, проведем плоскость. Основным следом
этой плоскости является прямая S\P, где точка S\—это точка
пересечения прямых VQ и AD. 2) В построенной плоскости
VPQ через точку V проведем прямую VS2\\PQ- 3)
Пересекающимися прямыми VT и VS2 определяется плоскость. Построим
сечение пирамиды плоскостью, проходящей через эти прямые.
Основным следом этой плоскости является прямая S27\
сечением является четырехугольник U\VD\T. 4) Строим сечение
пирамиды плоскостью, проходящей через точку К параллельно
плоскости U\VDXT. Получаем многоугольник KA\D2RL —
искомое сечение.
§ 6, п. 1
Пример. На ребрах МС и АВ пирамиды MABCD заданы
соответственно точки Р и Q, на прямой ВС задана точка /?, такая,
что точка В лежит между точками С и /?, а на отрезке MV\ где
точка V лежит в грани ABCD, задана точка V. Построим линию
пересечения плоскостей PQR и ABV.
147

Рис. 45
Решение (рис. 45). 1) Построим сечение пирамиды
плоскостью PQR— многоугольник PD\S\QBi. Основным следом этого
сечения является прямая QR. 2) Построим сечение пирамиды
плоскостью ABV — многоугольник ABC1D2. Основным следом этой
плоскости является прямая АВ. 3) Так как плоскости построенных
сечений имеют общие точки Q и W, то прямая QW — линия
пересечения этих плоскостей.
§ 6, п. 2
Пример. Плоскость PQR — секущая плоскость призмы
ABCDA\B\C\D\—задана следующим образом: на ребре АВ
задана точка Р, на прямой СС\ —точка Q, причем точка С\ лежит
между точками С и Q, а в грани ADD\A\ задана точка R. Задана
также прямая K\L: точка К\ ее задана на ребре В\С\, а точка L —
на ребре CD. Построим точку пересечения прямой K\L с
плоскостью PQR.
Решение (рис. 46). 1) Построим сечение призмы плоскостью
PQR — многоугольник PSsUVWT. Основным следом этой
плоскости является прямая S\P. 2) Построим вспомогательное се-
148

-/--\—/--^с
Рис. 46
чение призмы какой-нибудь плоскостью р, проходящей через
прямую /CiL, например плоскостью, параллельной боковому
ребру призмы. Для этого в плоскости ВСС\В\ через точку К\
проведем прямую KiK\\B\B. Пересекающимися прямыми K\L и
К\К определяется сечение призмы плоскостью р—
четырехугольник K\KLL\. 3) Находим точки М и N, принадлежащие и
плоскости PQR, и плоскости р, и строим прямую MN — линию
пересечения плоскостей PQR и р. 4) Прямые K\L и MN лежат в
одной плоскости. Находим точку X, в которой эти прямые
пересекаются. Так как точка X принадлежит прямой MN, прямая MN
принадлежит плоскости PQR, то точка X принадлежит плоскости
PQR. Но точка X лежит и на прямой /GL. Таким образом,
точка X — искомая точка пересечения прямой K\L с плоскостью
PQR.
§ 7
В стереометрии, имея дело с изображениями фигур,
условились ради краткости говорить, например: опустим
перпендикуляр из точки на прямую, хотя ясно, что речь идет о
построении изображения этого перпендикуляра.
Аналогично, если ставится задача: построить сечение
многогранника заданной плоскостью, то ясно, что речь идет о
построении не на реальном многограннике, а лишь на его
изображении.
149

Если же ставится задача: построить фигуру, получающуюся
в сечении многогранника заданной плоскостью, то, на наш взгляд,
не совсем ясно, что требуется построить. Можно, конечно,
условиться и в этом случае, как понимать такую постановку задачи.
Мы же предпочитаем формулировать постановку таких задач
более полно, без сокращений, например, так: построить фигуру,
подобную оригиналу заданного сечения многогранника.
При выполнении некоторых построений на изображениях
пространственных фигур могут быть использованы так
называемые выносные чертежи.
Чертеж, на котором построена фигура Фо, имеющая
форму оригинала заданной плоской фигуры Ф (т. е.
подобная фигуре Ф), называют выносным чертежом
фигуры Ф.
Так, если фигура Ф — это грань куба, то ясно, что фигура
Фо — это любой квадрат. Чертеж, на котором построен квадрат
Фо,— это выносной чертеж фигуры Ф.
Если фигура Ф — это диагональное сечение куба, то ясно, что
чертеж, на котором построен прямоугольник Фо с отношением
сторон 1:-\/2,— это выносной чертеж фигуры Ф.
Чертеж, на котором построен равносторонний треугольник
Фо, является выносным чертежом любой грани правильного
тетраэдра.
Построение выносных чертежей может быть выполнено
вычислительным, а также геометрическим способом.
Рассмотрим применение этих способов на примере.
Пример. На ребрах ВВ\ и CD куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Построим
фигуру, подобную многоугольнику, полученному в сечении куба
плоскостью CiPQ.
Решение (рис. 47, а). Находим точку Si, в которой
пересекаются прямые С\Р и ВС. Таким образом, прямая S\Q является
основным следом плоскости C\PQy а в сечении получается
четырехугольник C\PS2Q. Покажем два способа построения.
/ способ (вычислительный). Полагая ребро куба равным а,
подсчитаем стороны треугольника C\S\Q. Как нетрудно показать,
точка Р — середина отрезка CiS\ и PS2\\CiQ. Поэтому ясно, что,
построив треугольник, подобный оригиналу треугольника C\S\Qy
мы сможем затем построить и искомую фигуру.
Из прямоугольного треугольника CiSiC, в котором SiC =
= 2ВС = 2а, находим, что C\S\=a-\[5. Затем из прямоугольного
треугольника CiCQ получаем CiQ=-^— и из прямоугольного
треугольника CSiQ SiQ
150

Выбирая теперь некоторый отрезок в качестве отрезка,
равного а, построим отрезки л\ у, z, заданные следующими
формулами: x=a-yf5y у = ^- и 2 = --|—> например, так, как это
показано на рисунке 47, б.
а)
Рис. 47
151

ж)
Рис. 47
Далее на рисунке 47, в строим треугольник (Ci)oQo(Si)o со
сторонами (Ci)o(S\)o = kx, {Cl)0Q0==ky и (S\)oQo = kzy
полученными на рисунке 47, б.
152

Строим затем точку Ро — середину стороны (Ci)o(Si)o этого
треугольника и проводим через нее прямую Ро(5г)о|| (Ci)oQo-
Четырехугольник (Ci)oQo(S2)oA)— фигура, подобная заданному
сечению куба плоскостью C\PQ (т. е. это выносной чертеж
многоугольника, являющегося сечением куба плоскостью C\PQ).
И способ (геометрический). Так как все квадраты подобны
между собой, то квадрат (Ci)oCoA)(£>i)o (рис. 47, г) подобен
оригиналу грани C\CDD\ куба. Построив на этом изображении
точку Qo — середину стороны Со А) и соединив точки (С\)о и Qo, мы
получим отрезок (Ci)oQo, который можно принять за сторону
треугольника (Ci)oQo(Si)o, подобного оригиналу треугольника
CiQSi. С помощью квадрата (Ci)oCoBo(Bi)o (рис. 47, д), равного
квадрату (Ci)oCoA)(£Mo, построенному на рисунке 47, г, строим
отрезок (Ci)o(Si)o, который будет принят за сторону
треугольника (Ci)oQo(Si)o, подобного оригиналу треугольника C\QS\.
И наконец, с помощью квадрата AoBoCoDo (рис. 47, е)у равного
квадрату, построенному на рисунке 47, г, строим отрезок (Si)oQo,
который примем за третью сторону треугольника (Ci)oQo(Si)o-
Получив, таким образом, все стороны треугольника (Ci)oQo(Si)o,
строим этот треугольник. Далее, как и при вычислительном
способе решения, строим точку Ро — середину стороны (Si)o(Ci)o
и т. д.
И в заключение отметим: 1) Рисунки г, д, е (см. рис. 47) можно
было объединить в один рисунок, например, в такой, как
рисунок ж.
2) Так как треугольник (Ci)oQo(Si)o строится с точностью до
подобия, то его сторонами являются отрезки, равные k(C\)o(S\)o,
k(C\)oQo и &(Si)oQo, где k>0. (Мы приняли k = l.)
§8
1. Две опорные задачи
При выполнении построений, рассматриваемых в последующих
параграфах, часто приходится иметь дело с решением таких двух
задач, которые мы будем называть опорными:
Задача 1. Найти отношение АН:АС (или СН:СА)У где
точка Н — основание высоты ВН треугольника ABC.
Задача 2. Построить точку X, делящую данный отрезок АС
в отношении AX:AC=p:q, в следующих случаях:
а) р и q — известные отрезки;
б) р и q — известные целые положительные числа.
Решение опорной задачи 1
1) Для решения этой задачи способом выносных чертежей
следует построить треугольник ЛоЛЗоСо — выносной чертеж
треугольника ABC. В треугольнике ЛоЛЗоСо построить (точно) высоту
во#о. Получив таким образом точку Яо, мы вместе с тем будем
153

иметь и отрезок Ло//о, и, значит, отношение AoHoiAoCo станет
известным. Так как АН\\АС и при параллельном
проектировании отношение длин параллельных отрезков сохраняется, то
искомое отношение АН:АС равно отношению ЛоЯо:ЛоСо.
2) Чтобы найти отношение АН:АС вычислительным способом,
следует подсчитать сначала стороны треугольника ABC, затем,
выразив ВН2 из прямоугольных треугольников АВН и СВНУ
получить равенство
АВ2-АН2 = ВС2-СН2.
Полагая в этом равенстве для краткости АВ = с, ВС = а и
= Ь, будем иметь:
22 22 (1)
Равенство (1) является основой для вычисления одного из
отрезков ЛЯ или СН,
Не останавливаясь на доказательстве, укажем, что
независимо от вида треугольника ABC (рис. 48, а, б, в), сделав в
равенстве (1) замену меньшего из двух отрезков СН или АН, т. е.
полагая СН2=(Ь—АН)2 в случае, когда С#<Л#, или АН2 =
= (Ь — СН)2 в случае, когда АН<сСН, из уравнения
с2-АН2=а2-(Ь-АН)2 (2)
найдем АН и затем искомое отношение АН:АС или из уравнения
с2- (Ь-СН)2 = а2-СН* (3)
найдем СН и затем отношение СН:СА.
Замечание. 1) Выяснить, какой из отрезков СН или АН является
меньшим, нетрудно, исходя из следующих соображений. Так как отрезок СН является
проекцией отрезка ВС на прямую АСУ а отрезок АН — проекцией отрезка АВ
на эту прямую, то из неравенства ВС^АВ следует, что СН^АН, а из неравенства
АВ<ВС следует, что АН<:СН.
а)
154
Рис. 48

Рис. 49
2) Отметим еще, что если Z.C=90°, то отрезок ВН совпадает с отрезком ВС,
т. е. АН:АС=\; если Z.j4=90°, то отрезок ВН совпадает с отрезком ВА, т.е.
СН:АС=\\ если АВ=90°, то отношение АН:АС либо можно подсчитать из
уравнения (2), либо можно воспользоваться известной зависимостью с-АН=Ь2
(или Ь-СН=а2)у откуда найти АН (или СН), а затем отношение АН:АС
(или СН'.СА).
Решение опорной задачи 2.
[aj| На вспомогательном луче /, проведенном через точку А
(рис. 49, а, б), построим отрезки AX\=kp и AC\=kqy где
£>0 (на наших рисунках 49, а и 49, б взято k = 2).
Точку С\ соединим с точкой С и через точку Х\ проведем
прямую, параллельную прямой СС\. Точка пересечения построенной
прямой со вспомогательным лучом / и будет искомой точкой X
(на рисунке 49, а построение выполнено при условии p<Zg, а на
рисунке 49, б — при условии p>q).
[бУ| Выберем некоторый отрезок е в качестве единичного
отрезка. На вспомгательном луче /, проведенном через точку Л,
построим отрезки АХ\=ре и AC\=qe. Дальнейшие построения
сделаны, как в пункте а). Они понятны из рисунка 49, в.
2. Построения на изображениях плоских фигур
Основными способами решения задач этого параграфа
являются следующие:
155

1. Способ выносных чертежей.
2. Вычислительный способ.
3. Геометрический способ.
Пример. Параллелограмм ABCD является изображением
квадрата AoBoCoDo, на стороне АоВо которого взята точка Ео—
середина этой стороны, на стороне AoDo взята точка Fo, такая,
что AoFo:AoDo= 1:4, и на прямой A0D0 взята точка /Со, такая,
что точка Do — это середина отрезка Ло/Со- Через точку Ко
проведена прямая jco, перпендикулярная прямой E0F0. Построим
изображение прямой аго-
Решение. Способ выносных чертежей (рис. 50, а). Так как
при параллельном проектировании отношение длин параллельных
отрезков сохраняется, то точка Е—изображение точки Ео —
является серединой стороны АВ, а точка F лежит на стороне ADy
причем AF: AD— 1:4. Построим эти точки Е и F, а также точку /(,
лежащую на прямой AD, такую, что точка D является серединой
отрезка А К, и проведем прямую EF. Для построения искомой
прямой х обратимся к выносному чертежу, на котором построим
квадрат AoBoCoDo и заданные точки Ео, Fo и Ко (рис. 50, б).
Через точку Ко проведем (точно) прямую аго,
перпендикулярную прямой EoFo. Пусть прямая лго пересекает прямую £о^о в
точке Но. На этом построение на выносном чертеже закончено, и мы
возвращаемся к рисунку 50, а.
С помощью вспомогательного луча / с началом в точке Е
построим на прямой EF точку Я, такую, что EF:EH = EoFo:EoHo
(опорная задача 2, с. 154), где отрезки EqFq и ЕоНо взяты с
рисунка 50, б.
Прямая КН является изображением прямой хо.
Вычислительный способ. Подсчитаем стороны треугольника
EFK (рис. 50, в). Полагая для выполнения расчетов сторону
квадрата равной а, находим из треугольника AEF, где АЕ—
= ?f-. Далее
4
= — -\-а = —, и из прямоугольного треугольника АЕК> где
= ^У АК=2ау находим:
Если KHA.EF, то выполняется соотношение
EK2—EH2 = FK2-FH2 (опорная задача 1, с. 154),
17а2
или р
17а2 Си2 49а2 {си a-JE\2 си За
—р—ЕНг = -^—( ЕН ;-) , откуда ЕН = — , т. е.
4 16 V 4 / ф
= ^-:^-= 12:5.
V5 4
156

6)
A F
A F V D
д)
Рис. 50
Выбрав произвольно единичный отрезок е, разделим отрезок
EF в отношении EH:EF = p:q, где р=12е, q = 5e (опорная
задача 2, с. 155). Получим точку Н и затем искомую прямую КН.
Геометрический способ (рис. 50, г). Так как параллелограмм
ABCD является изображением квадрата, то прямые АС и BD
являются изображением взаимно перпендикулярных прямых.
Воспользуемся этим фактом:
1) Через точку К проведем прямую КЦ\АС. 2) Через точку F
проведем прямую FM\\BD. 'Таким образом, в треугольнике KFL
отрезок FM является изображением высоты. 3) Через точку L
157

проведем прямую LN\\CD. Тогда в треугольнике KFL отрезок LN
является изображением второй высоты. 4) Найдем точку О,
в которой пересекаются прямые FM и LN. 5) Проведем прямую
КО и найдем точку #, в которой эта прямая пересекает прямую
FL. Отрезок КН является изображением третьей высоты
треугольника KFL, т. е. прямая КН— это изображение искомой
прямой лго.
Замечание. Можно доказать, что если в квадрате ABCD (рис. 50, д)
точки R и V — середины соответственно сторон CD и AD, то AR±BV. Так как в
рассмотренном примере EF\\BV, то ARA-EF. Этим фактом можно воспользоваться
для осуществления другого, также геометрического способа построения искомой
прямой.
§ 9, п. 1
Основными способами решения задач этого параграфа
являются следующие способы:
1. Способ выносных чертежей.
2. Вычислительный способ.
3. Геометрический способ.
Пример. Боковое ребро правильной призмы ABCDA\B\C\D\
в два раза больше стороны ее основания. На ребрах АВ и ВВ\
призмы заданы соответственно точки Р и Вг — середины этих
ребер. Построим прямую, проходящую через точку Р
перпендикулярно прямой B2D.
Решение. Способ выносных чертежей (рис. 51, а). Соединим
точку Р с точками Вч и D. Построим треугольник, подобный
оригиналу треугольника B^DP.
1) Фигурой, подобной оригиналу грани ABCD, является
квадрат AoBoCqDo (рис. 51, б). Отрезок DoPOi где точка Ро —
середина стороны AqBo, примем за одну из сторон искомого
треугольника.
2) Фигурой, подобной оригиналу грани АВВ\А\, является
прямоугольник AoBo(B\)o(Ai)o с отношением сторон АоВо:Ао(А\)о =
= 1:2 (рис. 51, в), причем его сторона АоВо взята равной стороне
квадрата, построенного на рисунке 51, б. Строим на сторонах
АоВо и Во(В\)о соответственно точки Ро и (62)0 — середины
этих сторон. Отрезок Ро(В2)о — это еще одна из сторон искомого
треугольника.
3) Строим прямоугольник Bo(Bi)o(£>i)o£)o (рис. 51, г), сторону
Во(В\)о которого возьмем с рисунка 51, в, а сторону BoDo возьмем
равной диагонали квадрата, построенного на рисунке 51, б.
Отрезок (В2)оАь где точка (Вг)о — середина стороны Во(В\)о,—
это третья сторона искомого треугольника.
4) Строим треугольник Po(B2)oDo по трем найденным выше
сторонам (рис. 51, д).
5) В треугольнике Ро(Й2)оА) строим (точно) РоНоА. (Вг)оА).
158

г)
/
(B,)o
В. D.
е)
со
Рис. 51
6) Возвращаемся к рисунку 51, а. С помощью луча /,
проведенного через точку В2у строим точку Я, такую, что B2H:B2D =
= (В2)оНо: (B2)0D0 (опорная задача 2, с. 155).
7) Строим искомую прямую РН.
Замечание. Так как фигуры, построенные на рисунке 51, б, в, г, имеют
общие стороны, то эти рисунки можно было и объединить, например, так, как
это показано на рисунке 51, е.
Вычислительный способ. 1) Подсчитаем стороны
треугольника PB2D (рис. 51, а). Для выполнения подсчетов введем
вспомогательный параметр, положив, например, сторону осно-
159

вания призмы равной а. Тогда ВВ\=2а. Далее из прямоугольного
треугольника ADP DP=^AP2+AD2=-\j(^2+ а2 = ^. Из
прямоугольного треугольника РВВ2 PB2—-\JPB2-\- (ВВ2)2 =
^1(а\2 , 2 ял/5 DD r,
= yf —J -\-сг =-*г-ч и из прямоугольного треугольника ВВ2£>
В2^= -\/ВВ2 + BD2 = -^/а2 + (а-у/2)2 = aV3.
2) Если PHA-B2D, то выполняется соотношение
РВг — B2H2 = PD2 — DH2 (опорная задача 1, с. 154),
или Щ-—В2Н2 = ^— (ал/3 — В2Н)2у откуда В2Н = -^-. Тогда
4 4 v 2УЗ
B2H:B2D ^
2V3
3) С помощью вспомогательного луча / строим на отрезке B2D
точку Ну такую, что B2H:B2D= 1:2 (опорная задача 2, с. 155).
4) Строим искомую прямую РН.
В некоторых случаях построение прямой, перпендикулярной
данной, удается построить и геометрическим способом.
Геометрический способ. Ясно, что прямоугольные
треугольники A DP и ВВ2Р равны (по двум катетам). Тогда DP = B2P,
т. е. треугольник B2DP равнобедренный. Это значит, что медиана
РН этого треугольника является и его высотой, т. е. прямая РН
является искомой прямой.
§ 9, п. 2
Укажем один из возможных планов решения задачи о
построении прямой, проходящей через заданную точку W
перпендикулярно заданной плоскости а (рис. 52).
Рис. 52
160

м
Рис. 53
1) В плоскости у, определяемой точкой W и какой-нибудь
прямой U1U2, лежащей в плоскости а, проведем через точку W
прямую Ш|, перпендикулярную прямой U\U2- Пусть прямая т\
пересекает прямую U1U2 в точке V.
2) Проведем далее в плоскости а через точку V прямую
т2, перпендикулярную прямой U1U2.
3) В плоскости р, определяемой прямыми т\ и т2, построим
прямую т3, проходящую через точку W перпендикулярно
прямой т2. Пусть прямая т3 пересекает прямую т2 в точке Н.
Так как прямая U1U2 пересекает прямые т\ и т2, то прямая
U\U2 перпендикулярна прямой т3. Таким образом, прямая т3
перпендикулярна прямой U1U2 и прямой т2. Это значит, что
прямая т3 перпендикулярна плоскости а, т. е. является искомой
прямой.
Пример. Высота МО правильной пирамиды MABCD равна
стороне ее основания. Опустим перпендикуляр из вершины D на
плоскость МВС.
Решение (рис. 53). Выполним построение в соответствии с
изложенным выше планом.
1) Через точку D и прямую ВС плоскости МВС уже
проходит плоскость у — это плоскость DBC. В плоскости DBC уже
проведена прямая DC А. ВС. Она пересекает прямую ВС в точке С.
2) Чтобы в плоскости МВС (это плоскость а) провести
через точку С прямую, перпендикулярную прямой ВС, заметим,
что в треугольнике МВС МВ = МС. Поэтому медиана ME будет
и перпендикулярна к прямой ВС.
Таким образом, в плоскости МВС через точку С проведем
прямую CF\\ME.
6 В Н Литвиненко
161

3) В плоскости р, определяемой прямыми DC и С/7, из точки D
опустим перпендикуляр на прямую CF. Сделаем это построение
вычислительным способом. Подсчитаем стороны треугольника
CDFy полагая CD = a.
Из прямоугольного треугольника МОЕ
МЕ= VMO2 + ОЕ2 =
Тогда и CF = ^Ц-.
Ясно, что DF = CF (из равенства треугольников CMF и
DMF). Если DH±CFy то DC2 — CH2 = DF2 — FH2 (опорная
задача 1, с. 154).
Так как DC<.DF, то CH<.FH. Таким образом, получаем
уравнение
откуда FH =
Следовательно, СН=-^=- и тогда CH:CF = 2:5. Опираясь
на это соотношение, построим на прямой CF точку Н (опорная
задача 2, с. 155) и затем искомый перпендикуляр DH.
§ 9, п. 3
Пусть заданы плоскость а и прямая т\. Если через какую-
нибудь точку W прямой гп\ провести прямую тг,
перпендикулярную плоскости а, то плоскость 0, определяемая пересекающимися
прямыми т\ и т2, будет перпендикулярна плоскости а.
Таким образом, задача построения плоскости 0, проходящей
через заданную прямую гп\ и перпендикулярной плоскости а,
сводится к построению прямой тг, прокодящей через какую-нибудь
точку W прямой гп\ и перпендикулярной плоскости а.
Пример. На ребре CD правильной пирамиды MABCD,
высота которой равна половине диагонали ее основания, взята
точка Е — середина этого ребра и через точки Му В и Е проведена
секущая плоскость а. Построим сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через прямую BD перпендикулярно плоскости а.
Найдем линию пересечения построенной плоскости с
плоскостью а.
Решение (рис. 54, а). Опустим перпендикуляр из точки О —
середины диагонали BD на плоскость а. Построение этого
перпендикуляра выполним с помощью выносных чертежей.
1) Построим квадрат AqBqCqDq (рис. 54, б), точку О0, в
которой пересекаются его диагонали, и проведем прямую ВоЕОу где
точка Ео — середина стороны СоАь Затем через точку Оо проведем
162

Рис 54
(точно) прямую OoFoA-BoEo и найдем точки Qo и No, в которых
прямая OoFo пересекает соответственно прямые AoDo и ВоСо.
2) Вернемся к рисунку 54, а. С помощью луча 1\ построим на
отрезке AD точку Q, такую, что AQ:AD = kiAoQo:kiAoDo (опорная
задача 2, с. 155). Прямая QO является, таким образом,
изображением прямой, перпендикулярной прямой BE. Построим далее
точки N и /\ в которых прямая QO пересекает соответственно
прямые ВС и BE. Соединим точку М с точками Q, N и F.
6* 163

3) Построим теперь треугольник MoQoNo, подобный оригиналу
треугольника MQN (рис. 54, в). Ясно, что в треугольнике
MoQoM) MoQo = MoNo. Сторону Q0N0 этого треугольника возьмем
с рисунка 54, б вместе с точкой Fo, принадлежащей этому отрезку.
Высоту МоОо возьмем равной отрезку ЛоОо, полученному также
на рисунке 54, б.
В построенном треугольнике MqQqNq через точку Оо
проведем прямую, перпендикулярную прямой MqFOj и точку пересечения
построенной прямой с прямой M0N0 обозначим Ро.
4) Вернемся к рисунку 54, а. С помощью луча /г найдем
точку Р, которая делит отрезок MN в отношении MP:MN—
= йгЛЬЛ): £гМо^о (опорная задача 2, с. 155). Точку О соединим с
точкой Р. Прямыми BD и ОР определяется плоскость искомого
сечения.
5) Строим сечение BVD и находим точку L, в которой
пересекаются прямые DV и ME. Прямая BL — линия пересечения
плоскости МВЕ с плоскостью BVD.
§ 9, п. 4
Пример. В основании пирамиды МАВС лежит
прямоугольный треугольник ABC, боковое ребро МС перпендикулярно
плоскости основания, и отношение ребер CA:CB:CM=^J2:^J2:\. На
ребрах АВ и ВС взяты соответственно точки D и Е — середины
этих ребер. Построим сечение пирамиды плоскостью а,
проходящей через точку Е перпендикулярно прямой MD.
Решение. Способ выносных чертежей (рис. 55, а). Так как
плоскость а перпендикулярна прямой MD, то прямая MD
перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости а. В частности,
если прямая MD пересекает плоскость а в точке Я, то MD±EH,
т. е. отрезок ЕН — это высота треугольника MED. Для построения
EH A-MD обратимся к выносным чертежам, с помощью которых
найдем стороны треугольника MoEoDOj подобного оригиналу
треугольника MED.
1) Построим равнобедренный прямоугольный треугольник
ЛоЛЗоСо (рис. 55, б), точки Do и £0 — середины соответственно его
сторон АоВо и SoCo, и таким образом получим отрезок DqEq. Это
одна из сторон треугольника MqEqDq.
2) Построим прямоугольный треугольник ВоСоМо (рис. 55, в),
катет ВоСо которого взят с рисунка 55, б. Из равенства СВ:СМ —
=-у/2:1 ясно, что катет СоМо следует построить равным В0С0^-
(т. е. он равен половине диагонали квадрата со стороной ВоСо).
Медиана MqEq треугольника ВоСоМо — это вторая сторона
треугольника MqEqDq.
3) Построим равнобедренный треугольник АоВоМо (рис. 55, г),
основание АоВо которого возьмем с рисунка 55, б, а боковые
164

Рис. SS

стороны AoMo = BqMo — с рисунка 55, в. Медиана MoDo
треугольника АоВоМо — это третья сторона треугольника MoEoDo.
4) По трем полученным на рисунке 55, б, в, г сторонам
строим треугольник MoEoDo (рис. 55, д) и проводим в нем (точно)
Н L MD
5) Возвращаемся к рисунку 55, а. На рисунке 55, д точка Яо
разделила отрезок MoDo в отношении MoHo'.MoDo. С помощью
луча / в таком же отношении разделим точкой Н отрезок MD
(опорная задача 2, с. 155).
6) Так как плоскость а и плоскость АВМ имеют общую
точку Я, то эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей
через точку Н. Более того, так как прямая MD перпендикулярна
плоскости а, то прямая MD перпендикулярна линии пересечения
плоскостей а и АВМ. На рисунке 55, а уже есть прямая, которой
прямая MD перпендикулярна. Это прямая АВ. (Действительно,
в треугольнике АВМ АМ = ВМУ a MD — его медиана.) Поэтому,
не обращаясь к новому выносному чертежу, проведем в
плоскости АВМ через точку Н прямую FK\\AB.
Теперь искомое сечение определяется точкой Е и прямой F/C,
и нетрудно его построить, например, заметив, что, так как FK\\AB,
прямая FK параллельна плоскости ABC, а это значит, что
плоскость а, проходящая через прямую F/C, пересечет плоскость
ABC по прямой, параллельной FK, т. е. по прямой EL\\AB.
Таким образом, четырехугольник EFKL — искомое сечение.
Замечание. Треугольники AoBoCOf В0С0М0 и АоВоМо имеют равные
стороны. Этим обстоятельством можно было воспользоваться и объединить
рисунки б, в, г (см. рис. 55) в один рисунок, как это показано на рисунке е.
Вычислительный способ (рис. 55, а). Как и при решении этого
примера способом выносных чертежей, будем строить EHA-MD.
Для этого подсчитаем стороны треугольника MDE, введя для
выполнения расчетов вспомогательный параметр, положив,
например, МС — а.
Тогда AC — BC = ayJ2, и из прямоугольного треугольника ABC
— 2а, следовательно, CD = a. Поэтому MD = a^/2. Ясно, что
DE = -—ЛС = ^-, и из прямоугольного треугольника МСЕ
Подсчитаем теперь отношение MH:MD. Если EHA.MD, то
ME2 — МН2 = DE2 — DH2 (опорная задача 1, с. 154), или
Ц МН2=^ (afi-MH)2,
откуда МЯ = -^-, и, значит, MH:MD = -^-:a^J2 = 3:4.
166

С помощью вспомогательного луча / строим точку Н (опорная
задача 2, с. 155). Далее искомое сечение строится так, как это
сделано способом выносных чертежей.
Геометрический способ (рис. 55, ж). Построим сначала
вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, проходящей через
вершину С перпендикулярно прямой MD. С этой целью
рассмотрим треугольник MCD. Его сторона CD является в
прямоугольном треугольнике ABC медианой, и поэтому CD — -AB. Но
2
AB=~yJCA2 + CB2y где по условию СА = СВ = СМ^/2. Таким
образом, AB=^J(CM-yj2)2+(CM^l2)2 = 2CM. Значит, CD = CM.
Тогда медиана CN равнобедренного треугольника MCD
перпендикулярна его стороне MD. Итак, построена одна прямая,
перпендикулярная прямой MD и проходящая через точку N.
Для проведения второй прямой, перпендикулярной MD и
проходящей через точку N, заметим, что так как в треугольнике МАВ
МА = МВ, то медиана MD является и высотой этого
треугольника, т. е. на рисунке 55, ж уже есть прямая ABA-MD.
Поэтому в плоскости МАВ через точку N проведем прямую
PQWAB. Тогда PQ±MD.
Пересекающимися прямыми CN и PQ определяется
вспомогательное сечение — треугольник CPQ, плоскость которого
перпендикулярна прямой MD.
Теперь построим сечение пирамиды плоскостью а. Ясно, что
плоскость а пересекает плоскости МВС, МАВ и MAC по прямым,
параллельным соответственно прямым СР, PQ и QC.
Итак, в плоскости МВС через точку Е проведем прямую
EF\\CPy затем в плоскости МАВ через точку F проведем прямую
FK\\PQ и в плоскости MAC через точку К — прямую KL\\CQ.
Ясно, что при таком построении точка L лежит в плоскости,
определяемой пересекающимися прямыми EF и FK. Соединим
точку L с точкой Е. Четырехугольник EFKL — искомое сечение.
Замечание. Наметим кратко еще один вариант геометрического способа
решения (без построения вспомогательного сечения).
1) В плоскости ABC проведем прямую EL\\AB и найдем точку V, в которой
пересекаются прямые EL и CD. 2) Построим медиану CN треугольника MCD.
3) В плоскости MCD проведем прямую VH\\CN. 4) В плоскости МАВ через
точку Н проведем прямую FK\\AB. 5) Соединим точку Е с точкой F и точку L
с точкой /(. Как нетрудно убедиться, четырехугольник EFKL — искомое сечение.
§ 10, п. 1
Напомним, что многогранником называют тело, ограниченное
конечным числом плоскостей.
Многогранник, который отделяется от многогранника U
секущей плоскостью, будем называть отсеченным. Таким образом,
если многогранник U разделяется секущей плоскостью на два
167

(или более) многогранника, то каждый из них является
отсеченным.
При рассечении многогранника U плоскостью некоторые его
вершины могут оказаться принадлежащими только одному из
отсеченных многогранников, некоторые — двум, трем и т. д.
Так, многогранник, показанный на рисунке 56, рассекается
на три многогранника. Вершина Е принадлежит каждому из
них, вершина А—двум, а вершины А\, В\, Е\у D и др.— только
одному из трех получающихся отсеченных многогранников.
Принимая во внимание сделанные наблюдения, можно обозначать
отсеченные многогранники с указанием вершин, принадлежащих
только этим многогранникам. Многогранники, показанные на
рисунке 56, можно обозначить, например, так: U(A\)y U(E\)y U(D).
Так как грани многогранника — это плоские фигуры, то ясно,
что, разрезав поверхность многогранника по всем его ребрам, мы
получим совокупность плоских фигур — граней многогранника.
Эта совокупность является разверткой поверхности
многогранника, или, короче, разверткой. Так, разрезав куб по всем его
ребрам, мы получим шесть равных квадратов. Совокупность этих
шести квадратов является разверткой куба.
Имея развертку многогранника, можно склеить его модель.
На практике естественной является задача изготовления
модели многогранника по его развертке. Для изготовления самой
развертки многогранника строят на плоскости совокупность всех
граней многогранника. Полученные при этом фигуры не должны
перекрываться, чтобы при вырезании построенной развертки все
грани многогранника были в наличии.
При изготовлении развертки многогранника вполне понятно
стремление иметь как можно меньше частей и даже, если это
возможно, построить развертку заданного многогранника как одну
плоскую фигуру, разделенную отрезками на фигуры, являющиеся
гранями многогранника. Эти отрезки, называемые линиями сгиба,
условились на развертке показывать штриховыми линиями.
Заметим еще, что если развертка многогранника строится для
склеивания его модели, то обычно к некоторым краям развертки
пристраиваются небольшие выступы, например, в виде трапеций.
После сгибания развертки по линиям сгиба эти выступы,
отделяемые от развертки также линиями сгиба, смазывают
клеем и затем склеивают с их помощью нужные грани
многогранника.
Отметим в заключение, что, строя развертки отсеченных
многогранников, следует иметь в виду, что фигура, являющаяся
сечением многогранника (а в некоторых случаях часть этой
фигуры), для отсеченного многогранника является гранью.
Так, на рисунке 56 треугольник ARE является гранью
отсеченного многогранника U(A\), треугольник PQE — гранью
отсеченного многогранника U(E\), а совокупность этих
треугольников является гранью отсеченного многогранника U(D).
168

Рис. 56
Если это особо не оговорено, то развертка вычерчивается
для склеивания из нее многогранника, подобного заданному.
Пример. Боковые грани призмы АВСА\В\С\ — квадраты.
На ее ребрах АС и СС\ взяты соответственно точки Р и Сг —
середины этих ребер. Построим развертки многогранников U(A),
отсеченных от призмы плоскостями oti, 0C2 и аз,
перпендикулярными прямой ВС\ и проходящими соответственно через
следующие точки: а) С; б) Сг; в) Р.
Решение, [а]] (Рис. 57.) Построим сечение заданной призмы
ПЛОСКОСТЬЮ <Х|.
1) Ясно, что если прямая ВС\ перпендикулярна двум
пересекающимся прямым, то прямая ВС\ перпендикулярна плоскости,
определяемой этими прямыми. Одна прямая, которой прямая ВС\
перпендикулярна, находится легко. Действительно, так как грань
ВСС\В\ — квадрат, то ВС\^В\С (рис. 57, а). Таким образом,
плоскость ai проходит через прямую В\С.
2) Вторую прямую, перпендикулярную прямой ВС\Ч построим
в плоскости АВС\. Сначала опустим перпендикуляр из точки А на
прямую ВС\. Для этого подсчитаем стороны треугольника АВС\,
введя для выполнения расчетов вспомогательный параметр,
полагая ребро призмы равным а.
Тогда ЛС, = ВС,=аУ2. Если АН±ВСи то
AB2-BH2 = AC2-£iH2 (опорная задача 1, с. 154).
Так как АВ<АСи то ВН<СХН. Тогда
а2_ (ал/2-С,Я)2 = 2а2-С,Я2, откуда 0^ = ^-.
Значит, ВН = -^—у и, следовательно, ВН:ВС\ = \\А. Зная от-
2V2
ношение ВН:ВС\, с помощью вспомогательного луча / построим
точку Н (опорная задача 2, с. 155), потом прямую АН и затем
через точку М, в которой пересекаются прямые ВС\ и В|С, в
плоскости АВС\ проведем прямую ML\\AH.
169

Рис 57

3) Пересекающимися прямыми В\С и ML определяется
секущая плоскость <Х|. Строим сечение призмы этой плоскостью.
Получаем треугольник В\СК.
Теперь перейдем к построению развертки отсеченного
многогранника И\(А) (рис. 57, б).
4) Построим развертку боковой поверхности призмы —
совокупность трех равных квадратов.
5) К одному из этих квадратов, например к квадрату
BC (C\) о (Вi) о, «пристроим» равносторонний треугольник
С
6) Совокупность трех построенных равных квадратов и
равностороннего треугольника — это почти готовая развертка
многогранника U\ (А). Не хватает только треугольника, получающегося
в сечении призмы плоскостью oti. Чтобы получить этот
треугольник, построим на рисунке 57, б линию пересечения плоскости oti
с поверхностью призмы.
Так как грань ВСС\В\ пересекается плоскостью ai по
диагонали В|С, то в квадрате BoCo(Ci)o(Bi)o проведем диагональ
(Bi)oCo.
7) Для построения на рисунке 57, б отрезка Со/Со найдем
отношение AoLo:Ao{C\)o. Так как ВН:ВС\ = 1:4 и точка М —
середина отрезка ВС\У то НМ:НС\ = 1:3. Но ML\\AH (по
построению), поэтому и AL:AC\= 1:3. Значит, и AoLq:Ao(C\)o =
= 1:3.
Таким образом, строим на диагонали j4o(Ci)o (рис. 57, б)
грани AoCo(Ci)o(Ai)o точку Lo, такую, что AoLo:Ao(Ci)o —
= 1:3. Затем проводим прямую CoLo. На стороне Ло(Лi)o
квадрата АоСо(С\)о(А\)о получаем точку Ко, которую соединяем с
точкой (Bi)o.
8) Осталось построить треугольник (В\)оСоКо по трем
полученным на рисунке 57, б сторонам (это отрезки (В{)0К0, КоСо и
(В|)оСо). Построим треугольник (В\)оСоКо, например, на стороне
(B)K
На этом построение развертки многогранника U\(A)
закончено. На рисунке 57, б эта развертка закрашена.
Если требуется склеить модель отсеченного многогранника
U\(A)y то можно в местах, намеченных для склеивания,
достроить развертку специальными выступами, а линии сгиба
развертки выделить штриховыми линиями (рис. 57, в).
[б)] (Рис. 58, а.) Так как плоскость аг параллельна плоскости
ось то сечение заданной призмы плоскостью аг легко построить,
используя уже имеющееся сечение ее плоскостью ai. Строим
C2FWB1C, точку Сг соединяем с точкой Ai (тогда С2Л1ЦС/С)
и точку А\ соединяем с точкой F. Треугольник A1C2F — искомое
сечение.
На рисунке 58, б построена развертка многогранника U2(A).
На развертке боковой поверхности призмы (это совокупность
171

Рис. 58
трех равных квадратов) построены два следа секущей
плоскости— это отрезки (C2)o/7ol|Co(Bi)o и (С2)о(А\)о\\СоКо^ Еще один
след плоскости <х2— это медиана (A\)oFo треугольника
(Л,)о(В|)о(С,)о.
Треугольник A\FC2 (рис. 58, а) является сечением заданной
призмы и гранью отсеченного многогранника U2(A). На
рисунке 58, б уже имеются все стороны этой грани. Это отрезки
(А\)о{С2)о, (A\)oFon (C2)o/7o. Построим треугольник (A\)o(C2)oFo
со сторонами (y4i)o(C2)o, (A\)0Fd== (A^oFo и (C2)0Fd= (C2)0F0.
172

6)
Фигура, закрашенная на рисунке 58, б, является искомой
разверткой многогранника U2(A).
[в)| (Рис. 59.) Построим сечение заданной призмы плоскостью
аз, используя параллельность плоскостей аз и он и построенное
ранее сечение призмы плоскостью oti: строим (рис. 59, а)
PQWCK, затем QR\\B{K, далее RS\\B{C и точку S соединяем с
точкой Р.
Четырехугольник PQRS — искомое сечение.
173

С построением развертки боковой поверхности
многогранника 11з(А) все ясно: нужно построить совокупность трех
равных квадратов (рис. 59, б) со следами плоскости аз на них.
Следы плоскости а3 параллельны соответствующим следам
плоскости a,: PoQo||Co/Co, Qo/?oII/Со(^Si)о и /?0S0|| (Bi)oCo. Получим
закрашенные на рисунке 59, б треугольник AoPoQo, трапецию
AoBoRoQo и треугольник BoRoSo.
Еще один след плоскости аз — это отрезок So/V
Четырехугольник PQRS, получающийся в сечении призмы плоскостью аз,
также является гранью многогранника U$(А). На рисунке 59, б
уже есть все стороны этого четырехугольника. Этих данных,
однако, недостаточно для построения четырехугольника PoQoRoSo
на рисунке 59, б. Обратимся снова к рисунку 59, а. Найдем
точку Si, в которой пересекаются прямые RQ и В А. Точка S\
принадлежит основному следу секущей плоскости аз. Поэтому
прямая SP также проходит через точку Si. Таким образом,
четырехугольник PoQoRoSo можно получить, построив
предварительно треугольник /?oSo(Si)o, одна сторона которого на
рисунке 59, б уже есть — это отрезок RoSo. Построим на рисунке 59, б
точку (Si)о, в которой пересекаются прямые АоВо и So/V
Отрезок So(Si)o — это еще одна сторона треугольника /?0S0(Si)0.
Далее, на рисунке 59, а прямые RQ и АВ пересекаются в точке
Si. Построим на рисунке 59, б точку (Si)o, в которой
пересекаются прямые RoQo и А0В0. Получим точку, уже обозначенную
буквой Ро (т.е. QP=QSi, в чем можно было убедиться и
вычислением). Итак, отрезок RoPo равен третьей стороне
треугольника /?oSo(Si)o.
Строим на рисунке 59, б этот треугольник. Откладывая
теперь от вершины /?0 отрезок RoQo = RoQo и от вершины So
отрезок SoPo = SoPo и соединяя затем точку Q6 с точкой Р6, получим
четырехугольник PoQoRoSo. Закрашенная на рисунке 59, б фигура
является искомой разверткой многогранника С1з(А).
§ п
Пример 1. В основании пирамиды МАВС лежит правильный
треугольник со стороной, равной а. Боковое ребро МС
перпендикулярно плоскости основания и равно 2а. Найдем расстояния
между серединами скрещивающихся ребер пирамиды.
Решение (рис. 60). 1) Пусть точка Р — середина ребра MB.
Ребром, скрещивающимся с ребром MB, является ребро АС.
Пусть точка Q — середина этого ребра. Таким образом,
расстояние PQ — это одно из искомых расстояний. Найдем его. Сделаем
дополнительные построения с целью включить отрезок PQ в
какой-нибудь треугольник. Проведем, например, в плоскости
МВС прямую РР'\\МС. Тогда ясно, что прямая РР'
перпендикулярна плоскости ABC.
174

Ряс вО
Соединив точку Р' с точкой Q, получим прямоугольный
треугольник PP'Q, у которого PP'=i-MC = a, P'Q=±-AB = -^-
2) Ясно, что если точка R — середина ребра МАУ то расстояние
между точками R и Р' — серединами скрещивающихся ребер
МА и ВС, как нетрудно убедиться, равно расстоянию PQ.
3) Пусть точка К — середина ребра МС. Ребром, которое
скрещивается с ребром МС, является ребро АВ. Если
серединой ребра АВ является точка L, то, соединив точку L с точкой С,
мы получим прямоугольный треугольник KLC, из которого легко
Итак, иско-
найдем, что KL=^fCK2 + CL2 =^Ja2 + ^==^
ал/5 ал/5 ал/7
мые расстояния равны -|~, -±- и -^-.
Пример 2. На ребрах A\Biy CP, AD и Bid
параллелепипеда ABCDA\B\C\Dy взяты соответственно точки Р, Q, К и L —
середины этих ребер. Найдем отношение, в котором секущая
плоскость BPQ делит отрезок KL.
Решение (рис. 61). Нетрудно доказать, что следом
плоскости BPQ на грани j4|B|CiDi является отрезок PD\4 т.е.
сечением параллелепипеда плоскостью BPQ является
четырехугольник PBQD\.
Чтобы построить точку пересечения прямой KL с плоскостью
BPQ, проведем через прямую KL какую-нибудь плоскость,
например плоскость AB\C\D. Найдем далее линию пересечения
плоскостей BPQ и AB\C\D. Этой линией является прямая MN.
175

Рис. €1
Тогда точка 7\ в которой пересекаются прямые KL и MN,—
это точка пересечения прямой KL с плоскостью BPQ.
Так как в треугольниках MCXDX и NAB C\DX =ABy Z
= /LNAB и Z.MD\C\ = /-NBA, то эти треугольники равны, и,
следовательно, C\M—AN. Так как, кроме того, C\M\\AN, то
четырехугольник AMC\N— параллелограмм. Поэтому точка Т —
середина отрезка АС\. Тогда из равенства треугольников
CXLT и АКТ (у них CiL=AK, CtT=AT и ^LTCX = /.KJA)
следует, что LT = KT, т.е. искомое отношение LT:KT—\.
§ 12
Для определения расстояния от точки до прямой обычно
рассматривают треугольник, одной из вершин которого является
заданная точка, а две другие лежат на заданной прямой. Искомое
расстояние находят как высоту этого треугольника, для чего
в большинстве случаев подсчитывают сначала стороны
треугольника. Вычисление сторон треугольника и затем его высоты
выполняют поэтапно-вычислительным методом.
П р и м е р 1. В прямоугольном параллелепипеде
ABCDAXB\CXD\ AB=AA\=a, AD = 3a. На ребре АХВ\ взята
точка Р — середина этого ребра, а на ребре AD — точка Q,
такая, что AQ:AD = 2:3. Найдем расстояние от вершины D\
до прямой PQ.
176

Решение (рис. 62). Подсчитаем стороны треугольника D\PQ.
Из прямоугольного треугольника D\DQ D\Q = ayJ2. Из
прямоугольного треугольника A\D\P D\P=-yJA\D2-\-A\P2 = —z—~
В плоскости АВВ\ через точку Р проведем прямую РР'\\АА\ и
точку Р' соединим с точкой Q. Из прямоугольного треугольника PP'Q
Если далее в треугольнике D\PQ D\HA_PQ, то
{P2-PH2=DXQ2-QH2, или ™f-PH2 = 2a2-(^
4 \ 2
откуда
/># =
25а
2У2Т
. Тогда
2 пы2 -д 37а2 625а2 аУ798
~~ Т~ "84 21 '
Пример 2. В основании пирамиды MABCD лежит
прямоугольник со сторонами АВ = а, ВС=2а. Боковое ребро MB
перпендикулярно плоскости основания, и МВ=АВ. На ребре АВ
взята точка Р — середина этого ребра, а на ребре MD —
точка Q, такая, что DQ: DM = 3:4. Найдем расстояние от
вершины С до прямой PQ.
Решение (рис. 63). Подсчитаем стороны треугольника CPQ.
Из прямоугольного треугольника ВСР находим:
Чтобы подсчитать стороны CQ и PQ треугольника CPQ,
выполним дополнительные построения.
1) В плоскости MBD через точку Q проведем прямую QN\\MB.
Рис. 62
177

Рис. 63
2) Точку N соединим с точками С и Р. Ясно, что QNA-NC и
QN±NP.
3) В плоскости основания через точку N проведем прямую
NKWAB.
Перейдем теперь к вычислениям.
Из подобия треугольников QND и MBD ~%^'=="jSr- Но
-££- = -3 и МВ = а. Значит, QN = Ц-. Ясно также, что -^ =
DM 4 4 BD
= 1 т е Ж = ±
4 ' BD 4 "
Из подобия треугольников BW/( и BDC -^- = -|^- = |^- =
DC ВС 3D
те NK=^DC=± а В/(=4
=4-, т.е. NK=^rDC=±, а В/(=4-ВС=° и тогда СК=
4 4 4 4 2
= За
2 '
Из прямоугольного треугольника CNK CN2 = CK2 + NK2 =
— ~^~~^"Та=~•§-» а из прямоугольного треугольника CQW
= \^f + 1^ = £Т^- Нетрудно заметить, что
если точка О — середина диагонали BD, то PO\\AD, т. е. /-ВРО =
= 90°, и тогда PN — медиана, проведенная на гипотенузу
треугольника ВОР, т. е.
178

Тогда из прямоугольного треугольника PQN
PQ = ¥
Итак, в треугольнике CPQ известны все три стороны:
4*
Если, далее, в треугольнике CPQ CH A.PQ, то
или 17fl2 »«*-«*
гп Гб \Т
откуда PH = -^j=. Тогда CH=-^CP2-PH2 =
"" 28 '
§ 13
Можно предложить следующий план нахождения поэтапно-
вычислительным методом расстояния от заданной точки И? до
заданной плоскости а:
1) Построим плоскость р, проходящую через точку W
перпендикулярно какой-нибудь прямой mi, лежащей в
плоскости а.
2) Найдем прямую тг — линию пересечения плоскостей
р и а.
3) Выберем на прямой т2 какие-нибудь две точки U и Т
и подсчитаем высоту WH треугольника WUT.
Так как прямая ш\ перпендикулярна плоскости р, то она
перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости р, и,
в частности, m\±WH. Таким образом, WH±mx и WH±m2i
т. е. прямая WH перпендикулярна плоскости а, и, значит,
WH — искомое расстояние.
Пример. В заданном прямоугольном параллелепипеде
ABCDA\B\C\D\ с отношением ребер AB:AD:AA\ = 1:2:1 точка
Р — середина ребра АА\. Найдем расстояние от вершины D\
до плоскости BiDP, считая АВ = а.
Решение (рис. 64). Находим прямую S\S2 — след
плоскости B\DP на плоскости A\B\Ci и строим сечение
параллелепипеда заданной плоскостью B\DP.
179

Рис. 64
Проведем решение в соответствии с предложенным выше
планом.
1) Построим плоскость р, проходящую через точку D\
перпендикулярно, например, прямой SiS2, лежащей в плоскости B\DP.
Одна прямая, проходящая через точку D\ и перпендикулярная
прямой SiS2y на изображении уже есть — это прямая DD\. Для
построения второй прямой, проходящей через точку D\ и
перпендикулярной прямой S\S2j подсчитаем стороны прямоугольного
треугольника D|SiS2. Ясно, что
и тогда
Если DiL_LSiS2, то в треугольнике DiS\S2
откуда SjL=——. Это значит, что S\L:S\S2 = —— :2ал/5 = 4:5.
л/5 л/5
Таким образом, точка L может быть построена с помощью
вспомогательного луча / (опорная задача 2, с. 155).
Прямыми D\D и D\L определяется плоскость р.
2) Найдем прямую, по которой пересекаются плоскости р и
B\DP. Так как точки D и L — общие точки этих плоскостей,
то прямая DL — линия их пересечения.
3) Подсчитаем теперь расстояние от точки D\ до прямой DL.
Если D\H — это высота треугольника D\DL, то, выражая площадь
этого треугольника двумя способами, получим:
где DDx=
180

Следовательно,
4а
D\H = —3L =l£x_— искомое расстояние.
ял/2Г 2I
ал
Л/5
§ И
Для нахождения расстояния между скрещивающимися
прямыми а и Ь можно рекомендовать следующий план:
1) На одной из данных прямых, например на прямой 6,
выбираем некоторую точку W и строим плоскость а,
определяемую прямой а и точкой W.
2) В плоскости а через точку W проводим прямую а\\\а.
3) Строим плоскость р, определяемую пересекающимися
прямыми а\ и Ь.
Ясно, что так как прямая а параллельна прямой а\у то
прямая а параллельна и плоскости р. Поэтому точки прямой а
одинаково удалены от плоскости р. Расстояние от любой точки
U прямой а до плоскости р равно расстоянию между
скрещивающимися прямыми а и Ь. Таким образом, задача
нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми может быть
сведена к задаче нахождения расстояния от точки до плоскости.
Такая задача рассмотрена в справочном материале к § 13.
Пример. В основании пирамиды МАВС лежит
равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Высота
пирамиды проектируется в точку О — середину ребра АВ, и
/_АМВ = 90°. На ребре МА взята точка Р — середина этого
ребра, а в грани МВС взята точка Q, в которой пересекаются
медианы грани МВС. Найдем расстояние между прямыми АВ
и PQ, если ВС = а.
Решение (рис. 65). Выполним дополнительные построения
в соответствии с рекомендуемым выше планом.
1) Через прямую АВ и точку Р, лежащую на другой
заданной прямой, уже проведена плоскость а — это плоскость МАВ.
2) В плоскости МАВ через точку Р проведем прямую РК\\АВ.
3) Строим плоскость р, определяемую прямыми PQ и Р/С.
Ясно, что так как точка Q — это точка пересечения медиан
треугольника МВС, то прямая KQ пройдет через вершину С.
Таким образом в сечении пирамиды плоскостью р мы
получаем треугольник СКР. Так как прямая ЛВЦР/С, то прямая АВ
параллельна плоскости С/СР. Найдем расстояние, например, от
точки О — середины ребра АВ до плоскости С/СР. Для этого
181

Рис. 65
в соответствии с планом, предложенным в справочном материале
к § 13, через точку О проведем плоскость у, перпендикулярную
какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости СКР, например
прямой РК.
Так как прямая РК\\АВ, то плоскость у будет тогда
перпендикулярна и прямой АВ. Итак, в плоскости МАВ прямая ОМ
перпендикулярна прямой АВ, и, легко убедиться, в
плоскости ABC прямая ОС перпендикулярна прямой АВ. Тогда
плоскость, определяемая пересекающимися прямыми ОМ и ОС,—
это и есть плоскость у перпендикулярная прямой АВ, т. е. и
прямой Р/С.
4) Находим линию пересечения плоскостей СКР и у — прямую
CL. Расстояние от точки О до прямой CL равно расстоянию
между скрещивающимися прямыми АВ и PQ. Найдем его как
. высоту прямоугольного треугольника LCO. Если ОН — высота
этого треугольника, то OH-CL = OC-OL, где из прямоугольного
треугольника ABC находим ОС==-^-ЛВ==^|-, из прямоугольного
треугольника МАВ OL =^-OM = ^j-, и из прямоугольного
треугольника LCO
Таким образом, ОН = —-j-— = —— это искомое расстояние.
182

§ 15
При решении задач на нахождение угла ф между
скрещивающимися прямыми а и Ь в общем случае можно поступать
следующим образом:
1) Через одну из заданных прямых, например через а, и
через какую-нибудь точку W, взятую на другой прямой,
проведем плоскость а.
2) В плоскости а через точку W проведем затем прямую
ах\\а.
Угол между прямыми а\ и Ъ равен искомому углу ф.
(Напоминаем читателю, что если ф — это угол между
прямыми, то 0<ф<90°.)
3) Выбрав на прямой щ какую-нибудь точку К и на
прямой Ь — точку L, получим треугольник WKL. Если этот
треугольник не прямоугольный, то, подсчитав все его
стороны, по теореме косинусов находим cos KWL. Понятно, что
если cos KWL>0, то угол KWL острый, т. e. cos ф—cos KWL.
Если же cos/CrL<0, то угол K&L тупой, т.е. ф=180° —
-Z/CWL. Но cos (180°- Z. KWL) = -cos KWL. Таким
образом, в этом случае совф— — cos KWL.
Пример. Все боковые грани призмы АВСА\В\С\ —
квадраты. На ее ребрах АВ, А\С\, А\В\ и СС\ взяты соответственно
точки Р, Q, R и С2 — середины этих ребер. Найдем угол между
прямыми PQ и Сг/?.
Решение (рис. 66). Выполним сначала необходимые
дополнительные построения.
1) Через прямую С2/? и точку Р, взятую на прямой PQ,
проведем плоскость а, в результате чего получим сечение
призмы — четырехугольник PRC\C.
2) В плоскости а через точку Р проведем прямую РС3ЦС2/?.
Угол между прямыми PQ и РСз равен искомому углу.
3) На прямой PQ возьмем точку Q, а на прямой РСз — точку
Сз и найдем cos QPC3.
Подсчитаем с этой целью все стороны треугольника PQC3.
Для выполнения необходимых подсчетов введем вспомогательный
параметр, положив, например, ребро призмы равным а.
В прямоугольном треугольнике РССз СР = ^-^-у ССз =
= CiC2 = y. Тогда
183

ч
ч
р
I
i
/\
-J» С
кис. ее
В прямоугольном треугольнике QC1C3
= -^, m С\Сз =
За х п ъ In г&
= -g-. Тогда C3Q=^JC\Q ^ ^
Соединим точку R с точкой Q. В прямоугольном
треугольнике PQR PR = a, QR = y-
Тогда PQ=
Итак, в треугольнике PQC3 известны все стороны. Далее,
C3Q2 = C3P2 + PQ2-2C3P-PQ cos QPC3, или i^! = a2 + ^l-
^3, откуда cos QPC3=-^-.
ZV)
Таким образом, угол QPC$ тупой, поэтому искомый угол
ф=180°— ZQPC3, и, значит, cos ф = cos (180°— Z.QPC3) =
= —cos
= ^-, т.е. 9 =
§ 16
При решении задач этого параграфа применяется либо
поэтапно-вычислительный метод, либо геометрический.
Пусть в задаче требуется найти угол ф между прямой АВ
и плоскостью а. При решении задачи поэтапно-вычислительным
методом необходимо сначала построить проекцию прямой АВ на
184

плоскость а. Для этого следует из какой-нибудь точки прямой
АВ опустить перпендикуляр на плоскость а. (План построения
перпендикуляра к плоскости приведен в указаниях к § 13.)
Затем необходимо подсчитать какие-нибудь две стороны
полученного прямоугольного треугольника, в который входит
угол ф, и найти какую-либо тригонометрическую функцию угла ф,
а потом и сам угол ф.
Пример 1. В основании пирамиды МАВС лежит
равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Каждое
боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный
45°. На ребре MB взята точка К — середина этого ребра. Найдем
угол между прямой А К и плоскостью МВС.
Решение (рис. 67). Пусть МО — высота пирамиды. Тогда
ОА, ОВ и ОС—проекции соответственно ребер МАУ MB и МС
на плоскость ABC, т.е. Z.MAO= /LMBO= zLMCO = 45°. Так
как высота МО является общим катетом треугольников МОА,
MOB и МОС и эти треугольники имеют еще по равному острому
углу, то они равны, и, следовательно, ОА = ОВ — ОС. В
прямоугольном треугольнике точкой, равноудаленной от его вершин,
является середина гипотенузы. Итак, точка О — середина
гипотенузы АВ треугольника ABC.
Перейдем к построению искомого угла между прямой А К
и плоскостью МВС.
Рис. 67 Л
185

1) Через точку А прямой А К проведем плоскость а,
перпендикулярную, например, прямой МС плоскости МВС. Это легко
сделать, если заметить, что треугольники MAC и МВС
равносторонние (докажите самостоятельно) и поэтому их медианы
соответственно AF и BF являются перпендикулярами к прямой
МС. Итак, плоскость ABF перпендикулярна прямой МС.
2) Линией пересечения плоскостей ABF и МВС является
прямая BF.
3) Опустим перпендикуляр из точки А на прямую BF. Сделаем
это построение вычислительным способом. Введем
вспомогательный параметр, положив, например, АС = а. Тогда ясно, что ВС = а
и ^ ^
Если AH±BF, то AB2 — BH2=AF2 — FH2 (опорная задача 1,
с. 154), или 2а2-ВН2 = ^-(^--ВН)\ откуда ВН = ^.
Следовательно, BH:BF = -!jL : ^L =4:3, и ясно построение точки
Н с помощью вспомогательного луча / (опорная задача 2, с. 155).
4) Ит£к, прямая АН перпендикулярна плоскости МВС.
Соединим точку К с точкой Н. Получим прямую КН, являющуюся
проекцией прямой АК на плоскость МВС. Таким образом, угол
АКН — это угол между прямой АК и плоскостью МВС.
Из прямоугольного треугольника АКН smAKH—^L. Из
прямоугольного треугольника ABH AH=-\JAB2 —
= у 2а2 у =^р, а из прямоугольного треугольника AM К
АК=^МА2 + МК2 =ya2 + ^-==^f. Тогда sin AKH =
= ^т" : ^г- = -гн^> т-е- искомый угол равен
о 2 1о
15
Пример 2. В правильной призме АВСА\В\С\ угол между
прямыми АВ\ и А\С равен 2а. Найдем угол между прямой ВС\
и плоскостью АСС\.
Решение (рис. 68). Выполним дополнительные построения.
В плоскости АВВ\ через точку А\ проведем прямую,
параллельную прямой В\АУ и точку пересечения построенной прямой
с прямой В А обозначим D. Тогда /LDA\C = 2a. Соединим точку D
с точкой С и проведем в треугольнике A\CD медиану А\К. Так как
заданная призма — правильная, то ее боковые грани — равные
прямоугольники, и, следовательно, В\А=А\С. Кроме того, В\А =
= A\D. Тогда и A\D=A\C, т. е. в треугольнике A\CD AiKA-CD.
Проведем далее в равностороннем треугольнике ABC медиану
ВМ. Тогда BM.LAC. Но ясно и то, что прямая АА\ перпенди-
186

Рис. 68
кулярна плоскости ABC, т. е. AA\-LBMy или, наоборот, ВМЛ.АА\.
Так как прямая ВМ перпендикулярна двум пересекающимся
прямым плоскости АСС\, то прямая ВМ перпендикулярна
плоскости АСС\, и, значит, соединив точку М с точкой С\, мы получим
прямую С\М — проекцию прямой ВС\ на плоскость АСС\ и
прямоугольный треугольник С\ВМ, угол ВС\М которого является
углом между прямой ВС\ и плоскостью АСС\.
Рассмотрим прямоугольные треугольники С\ВМ и A\DK.
У них BC\—A\D, и так как в треугольнике ACD CD=AC^[3y
то DK=
Но и в треугольнике ABC
Таким
образом, BM — DK. Итак, прямоугольные треугольники С\ВМ и
A\DK равны (по гипотенузе и катету). Тогда /-ВС\М= A
Но ясно, что /LDAiK = a. Следовательно, и /-ВС\М =
Пусть Л1 и лг — данные плоскости, пересекающиеся по
прямой АВ (рис. 69). Через некоторую точку F прямой АВ проведем
в плоскости т прямую FC.LAB, а в плоскости лг прямую
FDA-AB. Плоскость CFD, таким образом, перпендикулярна
прямой АВ, и угол ф между прямыми FC и FD является углом
между плоскостями Л| а л2.
187

Рис. 70
Рис. 71
По определению угла между прямыми ф
Одним из методов решения задач на нахождение угла между
плоскостями является поэтапно-вычислительный метод.
Применение этого метода может опираться на использование
формулы Snp =S<pCosq)y где Бф—это площадь фигуры /\ лежащей
в одной из плоскостей Л1 или лг, Snp — площадь ортогональной
проекции фигуры Ф на другую плоскость из этих плоскостей,
Ф — угол между плоскостями Л1 и лг. В некоторых же случаях
применение поэтапно-вычислительного метода связано с
необходимостью построения угла ф между плоскостями и затем
треугольника, содержащего угол ф или угол ф1 = 180° — ф. Подсчитывая
стороны этого треугольника, находят какую-либо
тригонометрическую функцию угла ф (или угла ф]), а затем и угол ф.
Если рассматриваемый треугольник не является
прямоугольным, то обычно находят соэф (или соБфО. Если при этом
со8ф = т^0, то угол ф — это искомый угол и ф = агссозт;
если со8ф = т<0, то искомым является угол ф1 = 180° — ф.
В этом случае cos ф| =cos (180° — ф) = —cos ф, и, следовательно,
ф1=агссо8 ( — т).
Пример 1. Высота правильной призмы ABCDA\B\C\D\ в два
раза больше стороны ее основания. Найдем угол между
плоскостями AD\C и ABC.
188

Решение (рис. 70). Найдем площадь треугольника AD\C.
Полагая АВ = а, находим, что АА\ = 2а и в треугольнике AD\C
ADx = CDx=a^b,w АС = а^2. Тогда SADiC==^-.
Найдем теперь площадь треугольника ADC, являющегося
ортогональной проекцией треугольника AD\C на плоскость ABC.
2 О
Получаем SADC = -^-- Таким образом, coscp = ADC =-%-, т.е.
2 SADtC 6
Пример 2. На ребрах АС и МА правильного тетраэдра
МАВС взяты соответственно точки К и L — середины этих ребер.
Найдем угол между плоскостями BLK и MAC.
Решение (рис. 71). Построим угол между плоскостями
BLK и MAC. Для построения перпендикуляра из точки В на
прямую L/C — линию пересечения плоскостей BLK и MAC
воспользуемся тем, что в треугольнике BLK BL = BK (как медианы
равных равносторонних треугольников). Тогда медиана ВР
является перпендикуляром к стороне L/C. Так как, далее, в
треугольнике А L/C AL=AK> то медиана АР перпендикулярна
стороне L/C. Таким образом, угол между прямыми ВР и АР
является углом между плоскостями BLK и MAC.
Пусть прямая АР пересекает ребро МС в точке N. Найдем
угол ВРА треугольника ВРА. Полагая для выполнения подсчетов
ребро тетраэдра равным а, получаем AP = — AN = ^—. Из
прямоугольного треугольника ВР/С, в котором В/С = ^-, РК=
= — L/C = -^-, находим, что
Теперь в треугольнике ВРА известны все стороны. По
теореме косинусов получаем АВ2 = ВР2-\-АР2 — 2ВР-АР-со$> ВРА,
или а2 = 21|1 + ^-2.^.^со8ВРЛ, откуда cosfi/M =
16 16 4 4
___ V33
~~ 33 *
Так как cos ВРА <0, то А ВРА тупой. Таким образом, углом
между прямыми ВР и АР является угол ф= 180°— Z.BPA. Тогда
coscp = cos (180°- /LBPA) = -
Итак, угол между плоскостями BLK и MAC — cp = arccos
189

§ 18
Если ф — величина двугранного угла, то 0°<ф<180°. При
решении задач на нахождение двугранного угла могут быть
применены геометрический, а также поэтапно-вычислительный
методы.
Применение поэтапно-вычислительного метода связано с
необходимостью построения линейного угла искомого двугранного
угла ф и с построением треугольника, содержащего этот угол ф
или угол ф, = 180° — ф. Подсчитывая стороны построенного
треугольника, находят угол ф.
Пример. В основании пирамиды МАВС лежит
прямоугольный треугольник. Боковое ребро MB перпендикулярно плоскости
основания, и АС = ВС. На ребре МС взята точка К — середина
этого ребра. Найдем двугранный угол ВАКС, если: а) МВ—АС\
б) МВ = 2АС.
Решение. JaJ] (Рис. 72, а.) Геометрический метод. Так
как прямая MB перпендикулярна плоскости ABC, то MB А-АС,
т.е. и АСА-МВ. Таким образом, AC.LBC и АСА-МВ,
следовательно, АС±ВК, т.е. и ВКА-АС (1).
м
а)
Рнс. 72
6)
190

Так как в треугольнике МВС МВ = ВСУ то ВК не только
медиана этого треугольника, но и BK-LMC (2).
Из результатов (1) и (2) следует, что прямая В К
перпендикулярна плоскости MAC. Тогда плоскость АВК, проходящая
через прямую В/С, также перпендикулярна плоскости MAC.
Другими словами, двугранный угол ВАКС равен 90°.
|б)] (Рис. 72, б.) Поэтапно-вычислительный метод.
Построим линейный угол искомого двугранного угла, ребром
которого является прямая Л/С, а гранями — полуплоскости ВАК
и САК.
1) В треугольнике АСК через вершину С проведем прямую,
перпендикулярную ребру А К искомого двугранного угла.
Подсчитаем для этого стороны треугольника АСК, полагая,
например, АС = а (вспомогательный параметр). Тогда ВС = а,
Если СН±АК, то СН-АК=АС-СК, откуда СН = ?ф. Тог-
да АН=^АС2 — СН2=^-, и, следовательно, Л#:Л/С = 4:9,
откуда ясно построение точки Н и затем прямой С#, которая
перпендикулярна прямой Л/С.
2) В треугольнике АВК через вершину В проведем прямую,
перпендикулярную ребру А К двугранного угла ВАКС. Для этого
подсчитаем стороны треугольника АВК. Получаем:
= \МС = ^- и АК=
Если BF±AK, то AB2-AF2 = BK2-KF2, или 2a2-AF2 =
= -5j- — (-^- — AF\ , откуда AF — a, и, следовательно, AF:AK=
= 2:3 Таким образом, ясно построение точки F и затем прямой
В/7, которая перпендикулярна прямой А К.
3) В треугольнике А С К через точку F проведем прямую
FL\\CH. Тогда FLA.AK. Так как, кроме того, BFXAK, то
/.BFL—линейный угол двугранного угла ВАКС.
4) Соединим точку В с точкой L И подсчитаем стороны
треугольника BFL.
BF=-\jAB2—AF2=a. Из подобия треугольников AFL и АСН
следует, что FL:CH=AF:AH, где AF = ay АН = Ц-Ч СН = ?ф.
Тогда FL = 2&.
Так как далее AL= ^AF2 + FL2 =-^-, то CL=AL—AC=-j.
Тогда BL=^ + f
191

Итак, в треугольнике BFL известны все стороны:
BF=a, FL = ?fi HBL = ^fi.
5) Из треугольника BFL по теореме косинусов получаем:
BL2 = BF2 + FL2-2BF-FL-cosBFL, или
Щ- = а2 + Ц- -2а£^§cos BFL,
откуда cos BFL = ^§--
Это значит, что двугранный угол ВАКС равен arccos^-.
§ 20, п. 1
Пример. На ребре А\В\ прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\ взята точка М — середина этого ребра, а на
ребре АВ — точка /С, такая, что ВК:ВА = 1:4. Считая АВ =
= y4y4i = l, BC = 2, найдем расстояния от точки Ci до следующих
точек: а) N — середины отрезка М/С; б) Р — точки пересечения
прямой B\D с плоскостью С\МК.
Решение, [а]] (Рис. 73, а.) Введем в пространстве
прямоугольную систему координат Bxyz, за начало которой примем
точку Ву за единицу измерения примем отрезок, равный АВ, а за
оси координат — прямые ВАУ ВС и ВВ\ с направлениями на
них соответственно от точки В к точкам А, С и В\. Таким
образом, в этой системе координат В (0; 0; 0), А (1; 0; 0), С (0; 2; 0),
В, (0; 0; 1).
Найдем координаты точек Ci, M, К и N. Получаем
последовательно
С,(0; 2; 1), М (-^; 0; l), /((i-; 0; о) и затем w(A; 0; -1).
Находим расстояние C\N:
8 *
[бУ] (Рис. 73, а.) Введем в пространстве прямоугольную
систему координат, как это сделано в пункте а), и найдем в этой
системе координаты точки Р. С этой целью сначала обратимся
к прямоугольной системе координат Btz, за начало которой
примем точку В, за единицу измерения примем отрезок, равный
ВВ\У а за оси координат — прямые BD и ВВ\ с направлениями
на них соответственно от точки В к точкам D и В\ (рис. 73, б).
В этой прямоугольной системе координат В\ (0; 1), и так как
то D (V5; 0).
192

С,(О:М)
/А(1:0;0)
1;2;0)
a)
B(0;0)
6)
Рис 73
Составим уравнения прямых B\D и f£ и найдем координаты
точки Р — точки пересечения этих прямых.
Так как координаты точек В\ и D известны, то легко находим
уравнение прямой B\D:
/ + д/5г-75 = 0. (1)
Для составления уравнения прямой FE найдем прежде
координаты точек F и £, являющихся точками пересечения
плоскости BB\D соответственно с прямыми KL и CiAf.
Координаты точки Е можно найти, используя вытекающее
из подобия треугольников В\ЕМ и D\EC\ соотношение —!— =
ED\
= -^-, откуда B,£:£D, = 1:2, т.е. B,£:B,Di = 1:3, и, значит,
координата / точки Е в три раза меньше одноименной координаты
точки D, (V5; 1). Итак, f(^; l).
7 В Н Литвиненко

Координаты точки F можно найти, воспользовавшись тем,
что треугольники BKF и В\МЕ подобны. Получаем -5-F = --^J ,
где BxE=±BxDx=^l-y В/С=-1,в,М = -1. Тогда BF =fy т.е.
координата / точки F в шесть раз меньше одноименной
координаты точки D (Уб; 0). Таким образом, F\j^-\ О).
Теперь нетрудно составить уравнение прямой FE. Получаем:
6/ — -yj5z—\j5 = 0. (2)
Решая далее систему, составленную из уравнений прямых
(1) и (2), найдем координаты t и z точки Р: t=—-д/5, z— — .
Координата / точки Р составляет, как мы видим, -|-одноименной
координаты точки D (в системе координат Btz). Поэтому ясно,
что координаты х и у точки Р также составляют —- одноименных
координат точки D (1; 2; 0). Итак, ^(у; 4-; 4-)-
Тогда C,P=
— искомое расстояние.
§ 20, пп. 2 и 3
Для определения расстояния от точки до прямой обычно
рассматривают треугольник, одной из вершин которого является
заданная точка, а две другие вершины — это точки, лежащие
на заданной прямой. Искомое расстояние находят как высоту
этого треугольника, для чего в большинстве случаев подсчитывают
сначала стороны треугольника.
Разумеется, если известны основание треугольника и высота,
опущенная на это основание, или если известны две стороны
треугольника и угол между ними, то нетрудно найти и площадь
этого треугольника.
П р и м е р 1. В прямоугольном параллелепипеде
ABCDAxBxCxDx AB = AAx = ay AD = 3a. На ребре Л,В, взята
точка Р — середина этого ребра, а на ребре AD — точка Q,
такая, что AQ:AD = 2:3. Найдем расстояние от вершины Dx до
прямой PQ.
Решение (рис. 74). Введем в пространстве прямоугольную
систему координат Bxyz, приняв за ее начало точку В, за единицу
измерения отрезок, равный АВ, а за координатные оси Вх, By и Bz
соответственно прямые ВА, ВС и ВВх с направлениями на них
194

Q(a;2a;0) D(a;3a;0)
Рис. 74
от точки В к точкам А, С и В\. Тогда в этой системе координат
В (0; 0; 0), А (а; 0; 0), С (0; За; 0) и В, (0; 0; а).
Найдем координаты точек D\, Р и Q. Получаем Dx (а; За; а),
Р(-|-; 0; а) и Q(a; 2а; 0). Тогда DiQ=^/a2 + a2 = a^j2,
Подсчитаем теперь cosD\PQ. По теореме косинусов D\Q2 =
= DlP2 + PQ2 — 2DiP-PQ-cosDiPQ, т.е.
2a2 = — + —
f откуда cos D{PQ=
25
Тогда
37-21 f
= D,P.sin
если D,H±PQ, то £>,Я=
— искомое расстояние.
Пример 2. В основании пирамиды MABCD лежит
прямоугольник со сторонами ЛВ = а, ВС = 2а. Боковое ребро MB
перпендикулярно плоскости основания, и МВ=АВ. На ребре ЛВ взята
точка Р — середина этого ребра, а на ребре MD — точка Q, такая,
что DQ:DM = 3:4. Найдем расстояние от точки С до прямой
PQ и площадь треугольника CPQ.
Решение (рис. 75). Воспользовавшись тем, что прямые
ВАУ ВС и ВМ попарно перпендикулярны, введем в простран-
7* 195

А(а;О;О)
Рис. 75
стве прямоугольную систему координат Bxyz, за начало которой
примем точку В, за единицу измерения примем отрезок, равный
АВУ за координатные оси Вх, By и Bz соответственно прямые
ВАУ ВС и ВМ с направлениями на них от точки В к точкам Ау С
и М.
В этой системе координат
В (0; 0; 0), А (а; 0; 0), С (0; 2а; 0), М (0; 0; а).
Найдем координаты точек Р и Q. Получаем
Тогда CP=Vf
Дальнейшие выкладки можно выполнить либо так, как это
сделано при решении предыдущего примера (т. е. находя
cosCPQ), либо следующим образом.
Если CH±PQy то CP2 — PH2 = CQ2 — QH2 (опорная задача 1),
или — НН = —
4 16
^ PH=
2л/14'
Тогда CH=^/CP2-PH2 =
палее, SCPQ=±
аУ2198
28
16
196

§ 23
Пример. На ребрах А\В\ и AD правильной усеченной
пирамиды ABCDA\B\C\D\ взяты соответственно точки Р и Q —
середины этих ребер. Высота этой пирамиды равна стороне А\В\
ее меньшего основания, которая в два раза меньше стороны
другого основания. Зададим в пространстве прямоугольную
систему координат и найдем в этой системе нормальный вектор
плоскости CPQ.
Решение (рис. 76). Прямоугольную систему координат
зададим в пространстве, приняв за ее начало точку О — точку
пересечения диагоналей большего основания пирамиды. В
качестве координатных векторов /, / и £ возьмем соответственно векторы
OQ, UV, где точка V — середина ребра CD, и "601, где точка
О\ — точка пересечения диагоналей основания А\B\C\D\. Находим
в указанной системе координаты точек Q, С, Р и векторов СР и
0(1; 0; 0), V(0; 1; 0), Q, (0; 0; 1), С(-1; 1; 0),
Р(0; —*-; 1), CP(U -|; 1), CQ(2; -1; 0).
Если вектор n(k\ /; т) перпендикулярен плоскости CPQ, то
п±~СР и ii±CQ, т.е.
(-l)-f т-0 = 0.
Из этой системы двух уравнений с тремя неизвестными
находим с точностью до пропорциональности числа А, / и т.
Рис. 76
197

Положив, например, / = 2, мы получим систему уравнений
= 3, откуда k=l9 m = 2.
Таким образом, вектор п(\\ 2; 2)—нормальный вектор
плоскости CPQ. Ясно, что все нормальные векторы плоскости
CPQ коллинеарны между собой, т. е. любой вектор с
координатами (/; 2/; 2/), где t=£0, является нормальным вектором
плоскости CPQ.
§ 24
Пример 1. На ребре А\В\ куба ABCDA\B\C\D\ взята точка
Р — его середина, а на прямой АЬ взята точка Q, такая, что
А0:Аб = 3:2. Составим уравнение плоскости а, проходящей через
точку F — середину отрезка PQ перпендикулярно прямой PQ.
Решение (рис. 77). Введем в пространстве прямоугольную
систему координат, за начало которой примем, например, вершину
В, а за координатные векторы Г, / и £ примем соответственно
векторы В А, ВС и ВЁ\. Определим далее координаты точек
Л, С и Б|, а затем точек Р, Q и F:
(1; 0; 0), С(0; 1; 0), Б, (0; 0; 1), />(i-; 0, l), Q(l; |; о) ,
Так как прямая PQ перпендикулярна плоскости а, то вектор
PQ(—\ —; —1 j является нормальным вектором плоскости а.
Тогда уравнением плоскости а, проходящей через точку F и
имеющей вектор Р0 своим нормальным вектором, будет
следующее уравнение:
Упрощая, получаем х-\-Зу — 2z — 2 = 0 — искомое уравнение.
Пример 2. В основании призмы АВСА\В\С\ лежит
правильный треугольник, а ее вершина В\ одинаково удалена от
вершин Л, В и С. Боковое ребро призмы равно стороне ее
основания. Составим уравнение плоскости АРС\У где точка Р —
середина ребра ВВ\.
Решение (рис. 78). Введем в пространстве прямоугольную
систему координат следующим образом. Точку D — середину
ребра АВ примем за начало этой системы координат. Вектор
DA примем за координатный вектор I. Для задания координатных
векторов / и Я выполним дополнительные построения. Полагая
ребро призмы равным, например, 2, находим, что тогда CD —
198

rA(1;0;0)
Рис. 77
Рис. 78

медиана треугольника ABC, равная УЗ. Ясно также, что DCA.AB.
Таким образом, вектор DC можно принять за вектор л/3/.
Из вершины В\ опустим перпендикуляр В\О на плоскость
ABC. Так как BlA = BiB = BlC, то АО = ВО = СО. Таким образом,
точка О одинаково удалена от вершин А, В и С треугольника
ABC, т. е. она является точкой пересечения перпендикуляров
к серединам сторон этого треугольника. А так как треугольник
ABC правильный, то точка О — точка пересечения и медиан
треугольника ABC, т. е: DO = ^-DC=^. Ясно также, что в пра-
г~
вильном треугольнике В\АВ BiD=^j3, и тогда в прямоугольном
треугольнике BXOD катет BlO = ^/BlD2 — OD2 =^р.
В плоскости B\CD через точку D проведем прямую т\\\В\О
и через точку В\ — прямую m2\\CD. Точку пересечения прямых
гп\ и Ш2 обозначим F. Вектор 7)7, длина которого равна длине
вектора Т)В\, т.е. равна ?^, примем за вектор ^р£. Итак,
прямоугольная система координат Dxyz задана.
В этой системе координат D (0; 0; 0), А (1; 0; 0), С(0; д/З; 0),
^(0; 0; -^-). Найдем еще координаты точек Р и С\, через
которые проходит заданная плоскость:
р( 1 . л/3 . л/6\ г/0. 4л/3. 2л/б\
Ч~Т; "б"; 1"/' ЧUf 3"' "з";-
Если, далее, вектор Я (&; /; т) —это какой-нибудь нормальный
вектор плоскости АРС\, то пА-АС\ и nlSAP. Находим координаты
векторов ~ЖС\ и ~АР\
ЖЛ-1- 4^- 2л/ё>\ ^Р/" з . V3 . л/ё
ЛСЧ 1; "з~; ~)4 af\t> "6"; ~г
Тогда
Из этой системы уравнений находим, полагая, например, /=
=V§, что*-—», m —!!^.
Таким образом, Я(— —; V^; — ^ )» и так как плоскость
АРС\ проходит через точку А (1; 0; 0), то получаем ее уравнение:
(х-\) •(—!) + (У-0) -V3+ (г-0) •(—^) =0,
или после упрощений: 12ж — 8-\/3y+ llV^z—12=0.
200

§ 25
Пример. На ребрах АА\ и CD куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер, а в грани
A\B\C\D\ взята точка О\у в которой пересекаются диагонали
А\С\ и B\D\. Через точку О\ проведем прямую т, параллельную
прямой PQ.
Решение. Введем в пространстве прямоугольную систему
координат Bxyz, как показано на рисунке 79. В этой системе
координат
£(0; 0; 0), Л(1; 0; 0), С(0; 1; 0), В, (0; 0; 1).
Найдем координаты (v\\ v?, £>з) точки V — точки, в которой
прямая т пересекается с плоскостью какой-нибудь грани призмы,
например с плоскостью грани CDD\C\. Ясно, что так как точка V
лежит в плоскости CDDi, то ее вторая координата V2=\. Таким
образом, V (v\', 1; £>з).
Найдем координаты точек Р, Q и О\У координаты векторов
O\V и Р0. Получаем
P(l;0;i-),Q(i-; 1; 0), О,(i-; i-; l),
--L;±; v3-\),
А,
7
1
m
у'
8,(0:6:1)
к
|В(0;0;0)
T
7
c
—^
C(0;1;0)
)
У
A(1;0;0)
Рис 79
201

Так как прямая т параллельна прямой PQ, то O\V\\PQy и,
значит, координаты этих векторов пропорциональны, т. е.
_L _L
2 2 ^з—1
откуда
= y> 0з=-|-, и, следовательно, v(\\ 1; -|"У СтР
Р0ИМ
точку V по ее координатам и затем строим прямую т,
проходящую через точки О\ и V.
§ 26
Пример. На ребрах ЛВ, ВС и ВВХ куба >4BCD>4,BiC,D,
взяты соответственно точки Р, Q и /?, такие, что ВР:ВЛ=3:4,
BQ:BC=\:2 и BR:BB\=3:4. Построим прямую р, проходящую
через точку Di перпендикулярно плоскости PQR.
Решение. Зададим в пространстве прямоугольную систему
координат Bxyzy как показано на рисунке 80, приняв векторы
ВАУ ВС и ВЁ\ соответственно за единичные векторы Г, / и к.
В этой системе координат В(0; 0; 0), /1(1; 0; 0), С(0; 1; 0),
Bl(0; 0; 1).
Рис. 80
202

Найдем далее координаты точек Р, Q, R и векторов PQ, PR:
Найдем затем координаты (k\ /; m) какого-нибудь вектора
п — нормального вектора плоскости PQR. Так как nJ_PQR, то
iLPQ и П-LPR, но это значит, что
*•(-■§•)+/'°+т'т=0'
откуда, полагая, например, k = 2, находим /=3, т = 2. Таким
образом, Я(2; 3; 2).
Ясно, что искомая прямая р не параллельна плоскости ABC.
Пусть прямая р пересекает плоскость ABC в точке V (v\'y V2\ £>з).
Ясно, что тогда третья координата точки V £>з = 0.
Так как прямая р перпендикулярна плоскости PQR> то
YD\\\n, т.е. соответственные координаты этих векторов
пропорциональны. Но YI)\(v\ — I; v2— 1; —1). Поэтому Vx~~ =
= !^Z!=--^, откуда £/,=0, у2=--1. Итак, v(0; --1; о).
Построим точку V по ее координатам и затем построим
искомую прямую р, проходящую через точки D\ и V.
Замеча№ие. Обращаем внимание читателя на тот факт, что при векторно-
координатном методе решения задач этого параграфа мы точку пересечения
построенной прямой с заданной плоскостью не находим. Однако при
необходимости это можно сделать каким-нибудь методом, в том числе и вектор
но-координатным.
§ 27, п. 1
Пример. Вершина В прямоугольного параллелепипеда
ABCDA\B\C\D\ с отношением ребер AB:AD:AA\ = 1:2:3 принята
за начало прямоугольной системы координат, а векторы ВА,
4-й£ и \^ВВ\ приняты соответственно за единичные векторы
Г, / и к.
Построим сечения параллелепипеда плоскостями oti, аг и аз
заданными в этой системе координат соответственно следующими
уравнениями: а) 4х+у — 22 — 2 = 0; б) 4х+у — 2z = 0; в) 2х —
-2-1=0.
203

В,(0;0;3)
Рис. 81
-~~7Ш(0;0;0) *

Решение. [а|] (Рис. 81, а.) Для построения заданного
сечения найдем три точки, принадлежащие плоскости cti, но,
естественно, не лежащие на одной прямой, например точки пересечения
плоскости ai с осями координат. Так, если плоскость сц
пересекает ось Вх в точке К, то точка К имеет координаты (k\ 0; 0).
Подставляя эти координаты в уравнение плоскости cti, получим
* = "2"- Таким образом, плоскость ai пересекает ось Вх в точке
К(у*, 0; 0V Построим эту точку.
Аналогично если плоскость ai пересекает ось By в точке L, то
точка L имеет координаты (0; /; 0). Подставляя эти координаты
в уравнение плоскости аи найдем, что L (0; 2; 0). Построим
точку L (она совпала с точкой С).
Точно так же находим, что плоскость ах пересекает ось Bz
в точке М(0; 0; —1). Построим эту точку и затем построим
сечение призмы плоскостью ai, проходящей через точки /(, L и М.
Получаем четырехугольник KCD2A2.
[6)1 (Рис. 81, б.) Так как в уравнении плоскости а2 нет
свободного члена, то ясно, что плоскость а2 проходит через точ-
205

ку В — начало заданной системы координат, т. е. все
координатные оси плоскость аг пересекает в точке В. Тогда для построения
сечения параллелепипеда плоскостью аг найдем точки пересечения
плоскости аг с какими-нибудь другими прямыми.
Если, например, плоскость аг пересекает прямую АА\ в точке
F, то точка F имеет координаты (1; 0; /). Подставляя эти
координаты в уравнение плоскости аг, получим / = 2. Таким образом,
плоскость аг пересекает прямую АА\ в точке F (1; 0; 2). Построим
эту точку.
Если, далее, плоскость аг пересекает прямую DD\ в точке
£, то точка Е имеет координаты (1; 2; е). Подставляя эти
координаты в уравнение плоскости аг, находим £(1; 2; 3).
Построим эту точку. (Ясно, что точка Е совпадает с точкой D\.)
Тремя точками В, F и D\ сечение параллелепипеда
плоскостью а2 определено. Строим это сечение. Получаем
четырехугольник BFD\V.
Замечание. Нетрудно заметить, что плоскости ai и аг параллельны.
Поэтому если одна из этих плоскостей уже построена, то вторую можно
построить как параллельную первой, т. е. не подсчитывая координат точек
пересечения ее с какими-нибудь прямыми.
[в)] (Рис. 81, в.) Через начало системы координат
плоскость а3 не проходит. Будем поэтому искать точки пересечения
ее с осями координат.
Если плоскость аз пересекает ось Вх в точке 7\ то координаты
(/; 0; 0) точки Т подставляем в уравнение плоскости аз и
находим, что плоскость аз пересекает ось Вх в точке Т(—\ 0; 0).
Построим эту точку.
Пусть, далее, плоскость а3 пересекает ось By в точке U (0; у; 0).
Подставляя координаты точки U в уравнение плоскости аз,
приходим к противоречию (—1=0). Это значит, что предположение
о наличии точки пересечения плоскости а3 с осью By ложно.
Итак, плоскость аз параллельна оси By. Полагая затем, что
плоскость аз пересекает ось Bz в точке W(0; 0; w), находим,
что W (0; 0; —1). Точками Т и W сечение параллелепипеда
плоскостью аз, параллельной прямой By, определяется. Строим
это сечение. Получаем четырехугольник TPQR.
§ 27, п. 2
Пример. В основании пирамиды МАВС лежит
прямоугольный треугольник, ее боковое ребро МС перпендикулярно
плоскости основания, и CA:CB:CM=^j2:^j2:\. На ребрах АВ и АС
взяты соответственно точки D и Е — середины этих ребер.
Построим сечение пирамиды плоскостью а, проходящей через
точку Е перпендикулярно прямой MD.
206

М(0;0;1)
Рис. 82
Решение (рис. 82). Воспользуемся тем, что прямые СА, СВ
и СМ попарно перпендикулярны и СА = СВ=^/2 СМ. Зададим
в пространстве прямоугольную систему координат Cxyz, приняв
точку С за ее начало, а векторы САУ СЁ и СМ соответственно
за векторы -\J2i, V2/, k. В этой системе координат имеем:
С(0; 0; 0), А (л/2; 0; 0), 5(0; л/2; 0), М (0; 0; 1).
Найдем координаты точек D, Е и вектора MD. Получаем:
Вектор ЛШ является нормальным вектором плоскости а. Таким
образом, получаем уравнение плоскости а, проходящей через
точку Е:
.з±+ (у—о) .^l+ (2-o) (-1) =o;
или после упрощений: -\/2x-\-^j2y — 2z—1=0.
Для построения сечения пирамиды плоскостью а найдем
точки пересечения плоскости а с осями Су и Cz. Если плоскость а
пересекает ось Су в точке /(, то К (0; k\ 0). Подставив координаты
точки К в уравнение плоскости а, находим, что £ = ^?. Таким
образом, к(0; ^-; 0).
207

Аналогично если плоскость а пересекает ось Cz в точке N,
то N (0; 0; п). Подставив координаты точки N в уравнение
плоскости а, находим, чтоя= ——. Таким образом, n(0\ 0; —^ J.
Итак, плоскость а проходит через точки £, N и /(. Значит,
плоскость а пересекает плоскость MAC по прямой NEy а плоскость
МВС по прямой yV/(. Находим точки F и L, соединяем точку £ с
точкой /( и точку F с точкой L. Получаем четырехугольник
EFLK — искомое сечение.
§ 27, п, 3
Пример 1. В основании пирамиды МАВС лежит
равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Боковое
ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и МВ = 2АС.
На ребрах АВ и МС пирамиды взяты соответственно точки Р и
Q — середины этих ребер, а на ребре MB взята точка /?, такая, что
BR:BM=l:4. Построим сечение пирамиды плоскостью а,
проходящей через точку К — середину ребра МА параллельно
прямым PQ и AR.
Решение. Зададим в пространстве прямоугольную систему
координат Cxyz, как показано на рисунке 83 (точка С — начало,
~СЯ=1, 7ТВ = ], ~CF=BM = 2k). В этой системе координат
С(0; 0; 0), Л(1; 0; 0), В(0; 1; 0), FJJd; 0^2).
Найдем координаты точек Р, Q и R и векторов PQ и AR. Получаем:
■PQ(-i-;O; l),
Если дг (Л; /; т) — нормальный вектор плоскости а, то n
и Я±^47?, т. е.
1 i "* 2 *
откуда, полагая, например, m = 2, находим * = 4, 1=3. Таким
образом, п (4; 3; 2). Находим координаты точки К, через которую
проходит плоскость а: К(\\ 4-; l).
И теперь составляем уравнение плоскости а. Получаем:
или после упрощений: 8jc + 6t/ + 4z— 11 =0.
Для построения сечения пирамиды плоскостью а найдем еще
две точки, принадлежащие плоскости а.
208

F(0;0;2)
M(0;1;2)
C(0;0;0)
Рнс.
Ясно, что плоскость а пересекает прямую ВМ. Пусть точкой
пересечения является точка N. Тогда N (0; 1; п). Подставляя
координаты точки N в уравнение плоскости а, находим, что п =
=_1. Строим точку n(0; 1; — Y
Если, далее, плоскость а пересекает ось By в точке L, то
L (0; /; 0). Подставляя координаты точки L в уравнение
плоскости а, находим что 1=^- Строим точку L^O; ^-; 0j.
Дальнейшее построение ясно из рисунка 83. В итоге получаем
треугольник KNE—искомое сечение.
Пример 2. В основании прямой призмы ABCDA\B\C\D\
лежит ромб, угол BAD которого равен 60°. Боковое ребро призмы
равно стороне ее основания. На ребрах АА\ и В\С\ взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Построим сечение
призмы плоскостью а, проходящей через прямую PQ параллельно
прямой CD\.
Решение (рис. 84). Зададим в пространстве
прямоугольную систему координат Oxyz. Полагая ребро призмы равным 2,
находим, что тогда OD=1, ОС = л!ъ. Таким образом, положим
~OD=Ty ~ОС=лЩ, V6i=2k (точки О и Oi —точки пересечения
диагоналей соответственно нижнего и верхнего оснований
209

8,(1:0:2)
Q(1:f2> С<(0:УЗ;2)
"/fe.- "J^ - "* ^(0:0:0)
Pmc. 84
призмы). В этой системе координат
О (0; 0; 0), D (1; 0; 0), С (0; УЗ; 0), О. (0; 0; 2).
Находим координаты точек Р, Q, Di и векторов ~PQ и "CDj:
Я(0; -V3; 1), Q(-y; T; 2)' Dl(1; 0; 2)'
Найдем нормальный вектор n(k\ /; m) плоскости а. Так как
Я_1_а, то п±ГР($ и az_L"CSi. Тогда
откуда, полагая, например, 1=2ф, находим /г== 12, т=— 3
т.е. п(12; 2д/3; -3).
Для составления уравнения плоскости а воспользуемся еще
тем, что плоскость а проходит через точку Р(0; — д/3; 1).
Получаем:
(лс-О) -12+ (у+д/З) -2V3+ (2-1) (-3) =0,
210

или после упрощений:
— 32 + 9 = 0.
Для построения сечения призмы плоскостью а достаточно
найти* еще одну точку, принадлежащую этой плоскости.
Если плоскость а пересекает ось Ох в точке L, то точка L
имеет координаты (/; 0; 0). Подставляя эти координаты в
уравнение плоскости а, находим, что /=—А Строим точку
L\— -г-; 0; 0) и затем искомое сечение призмы плоскостью а.
Получаем многоугольник PNQS3S2.
§ 27, п. 4
Пример. На ребрах A\D\ и CD куба ABCDA\BXC\D\ взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Построим
сечение куба плоскостью а, проходящей через прямую PQ
перпендикулярно плоскости АВ\С.
Решение (рис. 85). Введем в пространстве прямоугольную
систему координат Bxyz с началом в точке В и единичными
векторами 1=~ВЛ, j=~B€, U=~BB\.
Bt(0;0;1)
4*)
\ )
С(0;1;0)
1:1:0)
А(1;0;0)
ГНС. ВО
211

Найдем нормальный вектор n\(k\\ Л; т\) плоскости АВ\С.
Так как П\А-АВ\С, то П\А-АВ\ и п\JlAC Находим координаты
векторов ~АВ\ и ~АС:
Ав,(-1; 0; 1), Ж(-1; 1; 0).
Далее получаем систему уравнений
откуда, полагая, например, k\ = l, находим /i = l, mi = l, т.е.
Я. <1; 1; 1).
Составим теперь уравнение плоскости а. Найдем для этого
вектор п2 {k2\ 12\ пг2) — нормальный вектор этой плоскости. Так
как плоскость а перпендикулярна плоскости АВ\С и вектор п2
перпендикулярен плоскости АВ\С, то AZ2J_a. Кроме того, PQ||a.
Тогда ясно, что вектор п2 перпендикулярен векторам пх (1; 1; 1) и
-т;т; ~0' Поэтому
1 +/2- 1 +т2- 1 =0,
откуда, полагая, например, т2 = 2, находим /2=1, k2= — 3,
т.е. й2 (—3; 1; 2).
Теперь составим уравнение плоскости а, проходящей через
точку Q(4-; I; 0j перпендикулярно прямой PQ. Получаем:
{*-\) (-3) + (у-1) -1+ (2-0) -2 = 0,
или после упрощений: 6л:—2t/ — 4z—1=0.
Построим сечение куба плоскостью а. Для этого найдем
еще одну точку, принадлежащую плоскости а.
Если плоскость а пересекает ось Вх в точке L, то точка L
имеет координаты (/; 0; 0). Подставляя эти координаты в
уравнение плоскости а, находим /=-g-- Таким образом, ^(4-; 0; 0J.
Строим точку L.
Теперь плоскость а построим как плоскость, проходящую
через точки Р, Q и L. Основным следом этой плоскости
является прямая QL. Получаем многоугольник ELQD2P. (На
рисунке 85 построена также прямая TV — линия пересечения
плоскости а с плоскостью АВ\С.)
212

§ 28
Пример. Сечение куба ABCDA\B\C\D\ задано точками Я, Q
и /?, лежащими соответственно на прямых АА\, ВВ\ и ВС,
причем ЛТЯ:ЛТЯ=7д:БВ1=Б^:БС = 3:2. Считая ребро
куба равным 1, найдем расстояния от точки В\ до точек
пересечения плоскости PQR со следующими прямыми: a) AD\
б) C,D; в) BDX.
Решение (рис. 86, а). Воспользовавшись тем, что ребра
куба, имеющие общую вершину, попарно перпендикулярны и
равны, введем в пространстве прямоугольную систему координат
BxyZy приняв за ее начало вершину В, а за единичные векторы
Г, / и к — соответственно векторы ~ВА, ~ЕС и ~ЕВХ. В этой системе
координат
В(0; 0; 0), Л(1; 0; 0), С(0; 1; 0), В, (0; 0; 1).
Составим уравнение плоскости PQR. Для этого найдем
координаты точек Я, Q и R и векторов QPt QR. Получаем:
;О; —1),
; 0; -2),
Если вектор п (k; /; m) — нормальный вектор плоскости PQR,
то яХ^Р и rt_LQ/?, или в координатах:
Из этой системы с точностью до пропорциональности
находим (полагая, например, m=l) k = 2 и 1=1. Таким образом,
п (2; 1; 1).
Тогда уравнение плоскости Яф/?, проходящей, в частности,
через точку Q( 0; 0; -|Л, будет следующим:
или после упрощений: 4x + 2t/ + 22 —3 = 0.
|а)| Найдем координаты точки К(^г, ^2; ^з), в которой
плоскость PQR пересекается с прямой AD. Так как точка V лежит
на прямой AD, то ясно, что v\ = lt ^з = 0, т.е. V(l\ V2\ 0).
Подставляя координаты точки V в уравнение плоскости PQR, находим,
что v2= — Y- Таким образом, ^1; —4-; ^)» и» слеД°вательно,
I; —г-; —M. Теперь можно найти расстояние между
точками В. и V:
213

. R(0;3;0)
C(0;1;0) X !>„
\ У
Рис 86

[б)] Найдем координаты точки L(l\\ /2; /з), в которой
плоскость PQR пересекает прямую C\D. Так как точка L лежит
в плоскости CDD\, то /2=1, а так как она лежит на прямой
DC\y то ее координаты Л и /3 связаны зависимостью /i -+-/3 = 1.
откуда /3=1—/|. Таким образом, точка L имеет координаты
(Л; 1; 1-/.).
Подставляя эти координаты в уравнение плоскости PQR,
находим, что 1\ = —-1-.Таким образом, ^( — 4-; '; "§")' и* следо"
вательно, B|lY—^-; 1; -~Л. Теперь можно найти расстояние
между точками В\ к L:
[в)| Найдем координаты точки U (u\\ и2\ из), в которой
плоскость PQ/? пересекает прямую BDj.
Введем для этого в плоскости BjBD прямоугольную систему
координат Btz с началом в точке В и единичными векторами
соответственно F=^-BD, k = BB\ (рис. 86, б). В этой системе
координат
В(0; 0), D(V2; 0), В, (0; 1).
Найдем координаты точки S(s\\ s2; s3) как точки пересечения
прямой BD с прямой QS — линией пересечения плоскостей PQR
и B\BD. Так как прямая BD делит угол ABC пополам, то лежащая
на этой прямой точка S одинаково удалена от прямых ВС и ВЛ,
т. е. s\=S2. Ясно также, что так как точка S лежит в плоскости
Вхуу то ее третья координата S3 = 0. Подставляя координаты
точки S в полученное выше уравнение плоскости PQR, найдем
si=i-, т.е. S(y; у» °V ТогДа BS= ^-y и, следовательно,
в системе координат Btz точка S имеет координаты (^L-\ 0j.
Составив затем в системе координат Btz уравнение прямой
QS: 6/ + л/2-г —Зл/2 = 0 — и уравнение прямой BDX: t—^/2z = 0 —
и решив систему, составленную из этих уравнений, находим
координаты точки U в системе Btz: (^y^; 4-Y Тогда
B\U(^j^; "~уУ В этой же системе координат найдем расстояние
B\U между точками В\ и U:
215

§ 29
Пример. На ребре АВ куба ABCDA\B\C\D\ взята точка Р —
середина этого ребра. Найдем расстояние от вершины А\ до
плоскости CiDP.
Решение (рис. 87). Зададим в пространстве
прямоугольную систему координат Bxyz, приняв, например, вершину В куба за
начало системы координат, а векторы ВА, ВС и ВВ\
соответственно за единичные' векторы /, / и k. В этой системе координат
5(0; 0; 0), А(\\ 0; 0), С(0; 1; 0), £i(0; 0; 1).
Составим уравнение плоскости C\DPy для чего найдем
координаты точек Си D, Р и вектороц 7Х?| и 7)Р. Получаем:
Ci(0; 1; 1), D(l; 1; 0), р(±; 0; о),
-1; 0; l(i
Если вектор Я (k\ /; m) —нормальный вектор плоскости
C\DP, то n±DCi и n±DP, или в координатах:
А(1;0;0)
216
Рис. 87

Из этой системы уравнений находим (с точностью до
множителя пропорциональности) & = 2, /= — 1, т = 2. Итак, вектор
Я (2; —1; 2) —нормальный вектор плоскости C\DP. Тогда, так
как плоскость C\DP проходит, в частности, через точку D (\\
1; 0), ее уравнение будет следующим:
U-1) .2+(0-1) • (-1) + (2-0).2 = 0,
или после упрощений: 2x—y + 2z—\=0.
Если, далее, точка Н (h\\ Л2; Аз) — основание перпендикуляра,
опущенного из точки А\(\\ 0; 1) на плоскость CjDP, т.е. если
вектор АХЙ (hx — 1; А2; Аз—1) перпендикулярен плоскости C\DP,
то А\Й\\п. Это значит, что
Л. — 1 __ h2 _Аз —1
"~2 1Г[ 2~" ( '
Так как точка Н лежит в плоскости C\DPy то ее
координаты удовлетворяют уравнению плоскости C\DP:
2/г,—/г2 + 2/г3—1=0. (2)
Решим систему, составленную из уравнений (1) и (2).
Положим ' =—2—= 3 =/. Тогда Aj=2/+1, A2=—/ и
/г3 = 2/+1, и, следовательно, 2 (2/+1) — ( —/)+2 (2/+1) =0,
откуда /= —. Значит, координаты вектора А\Й будут следую-
о
щими: h\ — 1 = — у, Л2= у, Лз— 1 = — -|-.
Теперь находим расстояние y4i#:
§ 30
Применяя векторно-координатный метод, следует иметь в виду,
что если ф — угол между скрещивающимися прямыми, то cos cp=
\
= |cos(a, 5)|, где а и b — векторы, коллинеарные заданным
скрещивающимся прямым.
Решим векторно-координатным методом пример,
рассмотренный в справочном материале к § 15. Напомним его условие.
Пример. Все боковые грани призмы АВСА\В\С\ —
квадраты. На ее ребрах АВ, А\С\У АХВ\ и СС\ взяты соответственно
точки Я, Q, R и С2 — середины этих ребер. Найдем угол между
прямыми PQ и /?С2.
217

Рис. S8
Решени-е. Введем в пространстве прямоугольную призму
координат, как это показано на рисунке 88 (точка Р — начало,
По-
J=z~PA, /=^Ё/яС, k=~PR). В этой системе координат
Р(0; 0; 0), Л(1; 0; 0), С(0; л/3; 0), /?(0; 0; 2).
Находим координаты точек Q, С2 и векторов 7Q и
лучаем:
4-;|;2), С2(0;л/3; 1),
(;^;2), 7?С2(0; V3; -О-
Тогда
cos (PQ,
= Icos (PQ,
20'
Таким образом, угол между прямыми PQ и Сг/? равен arccos^.
218

§ 31
Решение задач этого параграфа векторно-координатным
методом состоит в следующем. Используя особенности заданной
фигуры, задают в пространстве прямоугольную систему координат.
В этой системе находят координаты какого-нибудь вектора а,
коллинеарного заданной прямой, и вектора п — нормального
вектора заданной плоскости. Далее находят косинус угла между
векторами awn.
Известно, что если прямая АВ пересекает плоскость а и не
перпендикулярна ей, то углом между прямой АВ и плоскостью а
называется угол между прямой АВ и ее ортогональной
проекцией — прямой А'В' — на плоскость а. Если же прямая АВ
параллельна плоскости а, то угол между прямой АВ и
плоскостью а считается равным 0°, а если прямая АВ перпендикулярна
плоскости а, то этот угол считается равным 90°.
Таким образом, ф — угол между прямой и плоскостью — это
угол между двумя^ прямыми, т. е. 0°^ф^90°. Однако угол между
векторами awn может принимать значения от 0° до 180°.
При использовании векторно-координатного метода для
нахождения угла между прямой и плоскостью возможны два случая.
Рассмотрим их.
^1. Если 0°<а, п<90° (рис. 89, а), то cos (а, п)
а, дг = 90°— ф. Но cos (90° — ф)=5Шф, т.е. в этом случае
/\
sin ф = со5 (а, Я).
219

2. Если 90°<а, п<180° (рис. 89, б), то cos (а, п) <0 и
а, Я = 90° + ф. Но со5(90° + ф) = —sin ф, т.е. в этом случае
sin ф= —cos (а, п). (2)
Объединяя результаты (1) и (2), получаем формулу
sin ф= |cos (а, п) |,
которую и используют при решении задач на нахождение угла
между прямой и плоскостью векторно-координатным методом.
Проиллюстрируем применение векторно-координатного метода
на примере, рассмотренном в справочном материале к § 16.
Повторим условие этого примера.
Пример 1. В основании пирамиды МАВС лежит
равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Каждое
боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный
45°. На ребре MB взята точка К — середина этого ребра. Найдем
угол между прямой АК и плоскостью МВС.
Решение. Установив, что медиана МО грани МАВ является
высотой пирамиды, т.е. М01.АВ и М01.0С, и что ОЛ =
= ОС = ОМ, зададим в пространстве прямоугольную систему
координат Oxyz, как показано на рисунке 90. (OA=i, 7Х?=/,
~OM = k.) В этой системе координат О(0; 0; 0), Л(1; 0; 0),
С(0; 1; 0), УИ(О; 0; 1). Находим далее координаты точек В и К,
вектора Alt, коллинеарного прямой А К, и векторов ВС и ВМ.
Получаем В(-1;0;0), *(_±; 0; 1) ,
- |; 0; |) ,
V
Рис. 90
Рис. 91
220

~Б€(\\ 1; 0), BM(l; 0; 1). Если вектор n(k\ /; m)
перпендикулярен плоскости МВСУ то п±Л5£ и п_1_7Ш, или в
координатах:
откуда, полагая, например, Л=1, находим, что /= —1, т= — 1,
т. е. Я (1; — 1; — 1).
Пусть ф — это искомый угол. Тогда
15
Таким образом, угол между прямой А К и плоскостью МВС
равен arcsin ^~^.
Пример 2. На ребрах А\В\ и DDi куба ABCDA\B\C\D\
взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Найдем
угол, который образует прямая B\D с плоскостью а,
проходящей через вершину С\ перпендикулярно прямой PQ.
Решение. Воспользовавшись тем, что ребра В А, ВС и
ВВ\ попарно перпендикулярны и равны, зададим в пространстве
прямоугольную систему координат Bxyz, как показано на
рисунке 91 (точка В — начало координат, БХ=Г, ~В(?=], ~BB\=k).
В этой системе координат
В(0; 0; 0), Л(1; 0; 0), С(0; 1; 0), В, (0; 0; I).
Найдем координаты точек D, Я, Q и векторов B\D, коллинеар-
ного заданной прямой B\D, и PQ — нормального вектора
плоскости а. Получаем:
0(1: 1:0). Р(1;0: l), Q(l; 1; i-),
Пусть ф — это искомый угол. Тогда
=|cos (FQ,
Итак, угол между прямой B\D и заданной плоскостью а
равен arcsin—^-.
221

Замечание. Отметим, что для построения сечения куба плоскостью а
можно составить уравнение этой плоскости, проходящей через точку С\ (0; I; 1)
и имеющей вектор PQl-^-\ 1; —~- \ своим нормальным вектором. Получим
уравнение х + 2у — г— 1 =0.
Как нетрудно подсчитать, плоскость а пересекает оси Вх и By соответственно
в точках Л (1; 0; 0) и l(0; -^-; (Л.
Таким образом, плоскость а проходит через три точки: С|, Л и L, и нетрудно
построить сечение куба этой плоскостью. Получим четырехугольник ALCiK. На
рисунке 91 это сечение построено.
§ 32
Пусть czi и а2 — заданные плоскости, пересекающиеся по
прямой АВ (рис. 92). Через точку /\ взятую на прямой АВУ проведем
в плоскости ai прямую FC.LAB, а в плоскости а2 прямую
FDJ-AB. Тогда угол ф между прямыми FC и FD равен углу
между плоскостями ai и а2.
По определению угол между прямыми 0°<ф<90°.
Применение векторно-координатного метода при решении задач на
нахождение угла между плоскостями требует задания в пространстве
прямоугольной системы координат. В этой системе координат
находят координаты нормальных векторов П\ и Пч заданных
плоскостей ai и а2, а затем косинус угла между векторами п\ и
Я2.
При этом возможны два случая. Рассмотрим их.
1. Угол между векторами п\ и Я2 острый (рис. 93, а). В этом
Рис. 92
Рис. 93
222

случае ф = а1, a2 = /ii, ^2, т.е.
Рис. 94
Я
coscp=cos (ni, Я2). (1)
2. Угол между векторами Я| и п2 тупой (рис. 93, б). В этом
случае <p = ab a2 = 360° — (90o
/\
= со5 (180° — /ii, Яг), или
, л2) =180° — пи п2, т.е.
cos ф=— cos (Я|, п2). (2)
Объединяя результаты (1) и (2), получаем формулу
со5ф= |cos (Я\, Яг) I,
которую и используют при решении задач на нахождение угла
между плоскостями векторно-координатным методом.
Пример 1. На ребрах AD и CXD\ куба ABCDA\BXCXD\
взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Найдем
угол между плоскостями ABC и CPQ.
223

Решение. Зададим в пространстве прямоугольную
систему координат Bxyz, как показано на рисунке 94 (ВЛ=Х
~BG=J,~BB\j=k)y и найдем в этой системе координаты нормальных
векторов: п\ — плоскости ABC и Яг — плоскости CPQ. Ясно, что
вектор ~ВЁ\ (0; 0; 1) является нормальным вектором плоскости
ABC. Координаты (k\ /; m) вектора п2 найдем, принимая во
внимание, что n,2-LCP и U2-LCQ. Так как СР П; —г-; 0 \ и
Y* ®у ' )• т0 ПОЛУЧИМ систему уравнений
откуда, полагая, например, к = 2, найдем /=4, т = — 1. Таким
образом, Я2 (2; 4; — 1).
Теперь находим косинус угла ф между плоскостями ABC и
CPQ:
и, следовательно, cp = arccos^—.
Пример 2. На ребрах АС и МА правильного тетраэдра
МАВС взяты соответственно точки К и L — середины этих ребер.
Найдем угол между плоскостями BLK и MAC.
Решение. После дополнительных построений, понятных из
рисунка 95, положив АВ = 2У зададим в пространстве
прямоугольную систему координат Dxyz (точка D — середина ребра АВ —
начало этой системы координат, DА = i, DC=
= —i—k). В этой системе координат
з
D(0; 0; 0), А (1; 0; 0), С (0; V3; 0),
Найдем координаты точек В, О, L и К. Получаем:
В(-1; 0; 0).О(0; f; о), L(±;f; f) и к(±- ;f; о).
Теперь найдем координаты векторов ii\ и П2 —
нормальных векторов соответственно плоскости BLK и МЛ С.
Находим, что Ж(у; -^-; 0), ВГ( J-; -f-;^f-). Так как пх1Ж
и azi_LBX, то, полагая azi (Л; /; т), получим систему уравнений
224

Рис. 95
3 , , V3 , п /л
откуда с точностью до множителя пропорциональности находим
л, (—2; 2-х/З; д/б)-
Аналогично находим и вектор л2. Принимая во внимание, что
-1; л/3; 0),
найдем
Я2(2д/3; 2; V2).
Находим далее косинус угла ф между плоскостями BLK и
МЛ С:
= |cos
Таким образом, угол между плоскостями BLK и MAC равен
л/33"
arccos__.
8 В Н Литвиненко
225

§ 33
При вычислении площади сечения многогранника можно,
определив сначала вид полученной в сечении фигуры,
воспользоваться затем соответствующей формулой.
В некоторых случаях бывает целесообразней найти площадь
сечения по формуле
С _ 5
cos ф '
где Snp — это площадь ортогональной проекции сечения на
некоторую плоскость, а ф — это угол между плоскостью сечения и
плоскостью ее проекции.
Пример 1. На ребре CD куба ABCDA\B\C\D\ взята
точка Р — середина этого ребра. Построим сечение куба плоскостью,
проходящей через вершину В\ перпендикулярно прямой А\РУ
и, считая ребро куба равным 1, найдем площадь полученного
сечения.
Решение. / способ (рис. 96). Построим заданное сечение
векторно-координатным методом. Для этого зададим в
пространстве прямоугольную систему координат Bxyz (точка В — начало
системы координат, ВА=7, ВС=]У BB\=k). В этой системе
координат
5(0; 0; 0), Л (1; 0; 0), С(0; 1; 0), Вх (0; 0; 1).
С(0;1;0)
Рис. 96
226

Находим координаты точек АХу Р и вектора А\Р. Получаем:
Л,(1; 0; 1), Р(±; 1; о)и Л7Р(~у; 1; "О"
Вектор А \Р является нормальным вектором секущей плоскости.
Тогда ее уравнение будет следующим:
(jc —0) -(-у) + ^-°) -1+ (2-1) • (-1) =0,
или после упрощений: х — 2y + 2z — 2 = 0.
Для построения сечения куба этой плоскостью найдем еще
какие-нибудь две точки, принадлежащие секущей плоскости.
Находим, что прямую ААХ секущая плоскость пересекает в точке
FM; 0; -1-Y а прямую AXDX—в точке ГП; -Ь; И. Таким
образом, сечением является треугольник BXTF. Заметив, что в этом
треугольнике BXF = BXT, и подсчитав, что BxF=^-y а /ГГ = ^,
найдем высоту ВХН этого треугольника:
3V2
4
1 3
Тогда искомая площадь SBFT = — FT-BxH = — .
2 8
// способ. Найдем площадь сечения, воспользовавшись
формулой Sce4 =—^-. В рассматриваемом примере Snp —это
площадь треугольника АХВХТ, являющегося ортогональной
проекцией сечения FBXT (см. I способ решения) на
плоскость >4iBiCi.
Так как точка Т— середина ребра AxDXi то ясно, что Snp =-!-.
Найдем coscp, где ср — угол между плоскостями BXTF и
Л1В1С1. Для этого применим формулу, полученную в справочном
материале к § 32: /\
coscp= |cos (Яь п2) I,
где пх и «2 — нормальные векторы соответственно плоскостей
BXTF и Л|В|С|. Так как плоскость BXTF перпендикулярна прямой
AxPt то вектор АХР(—^-; 1; —1) является нормальным
вектором этой плоскости.
Ясно, что вектор ВВХ (0; 0; 1) является нормальным векто-
ром плоскости АХВХС\. Таким образом, cos ф= |cos (АХР, ВВХ) \ =
227

Рис. 97
Пример 2. Все боковые грани призмы АВСА\В\С\ —
квадраты. На ее ребрах ВВХ и АХС\ взяты соответственно точки Р и
Q — середины этих ребер. Построим сечение призмы
плоскостью CPQ и, считая АВ = 2, найдем площадь этого сечения.
Решение. Построим заданное сечение призмы. 1) Проведем
прямую CQ и найдем точку М, в которой прямая CQ пересекает
прямую АА\ (рис. 97). 2) Проведем прямую РМ и найдем точку /(,
в которой прямая РМ пересекает прямую А\В\. 3) Точку К
соединим с точкой Q, а точку Р — с точкой С. Четырехугольник
CQKP — заданное сечение.
Рассмотрим два способа вычисления площади сечения.
/ способ. Так как четырехугольник CQKP — это
четырехугольник общего вида, то подсчитаем его площадь по формуле
S = -^-PQ-C/( sin а, где а — угол между прямыми PQ и С К.
228

Зададим в пространстве прямоугольную систему координат
Oxyz, началом которой является точка О — середина ребра АС, и
~ОЛ=1, ~ОВ = ^/з], T)Q = 2k. В этой системе координат
О(0; 0; 0), Л(1; 0; 0), 5(0; ф\ 0), Q (0; 0; 2).
Находим координаты точек С и Р. Получаем С(—1; 0; 0),
Р(0; -у/3: 1), и осталось найти координаты точки /С.
Из подобия треугольников А\МК и В\РК следует, что
л,/с л,м
жк=~в1^ где в1/с=л,в,—Л!/с=2—л,/<:,
а из равенства треугольников A\MQ и CC\Q
= СС,=2 и B,P = i-BB, = l.
Получаем г—^-—=2, откуда i4j/(== —, и, следовательно,
Теперь можно подсчитать PQ, CK и sin а. Находим:
у, *f-> 2), я^(0; -л/3; 1),
cosa= |cos (PQ, CK) I = =0,
-4
тогда sina=l и S = -L.2.A-1 = —.
2, о «3
// способ. Подсчитаем площадь четырехугольника CQKP по
формуле Sce4 =—^-.
^ r J сеч cos ф
Спроектировав четырехугольник CQKP на плоскость Л|В|С|
в направлении, параллельном прямой АА\У приходим к выводу,
что
Так как SAlBlCl =^1^-=Л/3, SAiQK =±-AlQ.AiK-s'm 60° =
229

Для нахождения coscp зададим в пространстве
прямоугольную систему координат Oxyz, как это было сделано при решении
данного примера первым способом.
В качестве вектора п\ — нормального вектора плоскости
Л1В1С1 — можно принять вектор с координатами (0; 0; 1), а
координаты вектора Лг (k\ /; т) — нормального вектора плоскости
CPQ — найдем, принимая во внимание, что /г2 J_^Q (1; 0; 2) и
и n^AJCP (1; УЗ; 1). Получим следующую систему уравнений:
из которой находим с точностью до множителя
пропорциональности дг2 (—6; д/3; 3).
Таким образом, coscp= |cos (/гiэ п2)\ =^-, и, следовательно,
S _ 2л/3 . л/3 _ 8
сеч 3*4 3 '
§ 34
Пример. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\
AB:AD:AA\ = 1:3:2. Найдем отношение объемов
многогранников, получающихся при рассечении параллелепипеда
плоскостью а, проходящей через вершину D\ перпендикулярно
прямой B\D.
Решение (рис. 98). 1) Построим сечение
параллелепипеда заданной плоскостью. Сделаем это векторно-координатным
методом. С этой целью зададим в пространстве прямоугольную
систему координат Bxyz (точка В — начало системы координат,
Т=~БАУ J=^L~ECy £ = -1-7Ш|). В этой системе координат
5(0; 0; 0), Л(1; 0; 0), С(0; 3; 0), Si (0; 0; 2).
Найдем еще координаты точек D, D\ и вектора B\D. Получаем:
D(l; 3; 0), D.(l; 3; 2),ТО(1; 3; -2).
Так как плоскость а перпендикулярна прямой B\D, то
вектор В\б является нормальным вектором этой плоскости. Таким
образом, получаем следующее уравнение плоскости а:
(х—1) -1+ (£/ —3) -3+ (2-2) (-2) =0,
или после упрощений:
х + Зу — 2г—6 = 0.
Так как плоскость а имеет с гранью ADD\A\ общую точку
D\y то плоскость а пересекает плоскость ADD\. Найдем точку
пересечения плоскости а, например, с прямой AD. Пусть этой
точкой является точка N. Тогда ее координаты (1; п\ 0) удов-
230

A(1;0;0)
D(1;3;0)
Рис. 98
летворяют уравнению плоскости а. Подставляя их в уравнение
плоскости а, находим я = -1г- Тогда /VM; А; (м.
Для построения сечения параллелепипеда плоскостью а
найдем еще, например, точку пересечения плоскости а с осью By.
Пусть этой точкой является точка L. Тогда ее координаты
(0; /; 0) удовлетворяют уравнению плоскости а. Получаем
МО; 2; 0).
Строим сечение параллелепипеда плоскостью D\NL. Получаем
четырехугольник D\NLK.
2) Найдем теперь отношение объемов получившихся
многогранников. Пусть VD — это объем отсеченного многогранника,
которому принадлежит вершина D. Ясно, что этим
многогранником является усеченная пирамида с основаниями KCL и
DiDN.
Так как треугольники KCL и D\DN подобны, то
7)7Г= тип"» откуда, полагая DD\=2a, находим СК= -£-.
37а3
36 '
Тогда VD =±CD (SDiDN +^SDiDN -SKCL +SKCL ) =
Так как объем заданного параллелепипеда
V=AB-AD-AAl=a-3a-2a = 6a\
то отношение объема VD к объему (V—VD) будет следующим:
231

§ 35
Пример. На ребрах А\В\ и АА\ куба ABCDA\B\C\D\ взяты
соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Найдем
отношение площадей поверхностей многогранников, на которые
рассекает куб плоскость CPQ.
Решение (рис. 99). Нетрудно построить заданное сечение
куба аксиоматическим методом (например, находя следы
плоскости CPQ). Мы, однако, для упрощения дальнейших выкладок
построим это сечение векторно-координатным методом. Зададим
с этой целью в пространстве прямоугольную систему координат
Bxyz с началом в точке В и единичными векторами 7=ВА,
/=В£, 1г = ВЁ\. В этой системе координат:
£(0; 0; 0), Л(1; 0; 0), С(0; 1; 0), В, (0; 0; 1).
Найдем координаты точек Р и Q. Получаем
Я(4-;О; 1). Q(l: 0:4-)-
Составим уравнение плоскости CPQ. Если п (k\ /; т) —
ее нормальный вектор, то nlJCP(—\ — 1; l) и nlCQM; — 1; у),
или в координатах:
откуда с точностью до множителя пропорциональности п (2; 3; 2).
Получаем следующее уравнение плоскости CPQ:
(jc — 0) -2+ (у— 1) -3+ (2 — 0) -2 = 0, или после упрощений:
— 3 = 0.
Найдем точку пересечения плоскости CPQ с прямой В\С\,
Пусть этой точкой является точка /(. Тогда ее координаты
(0; k\ 1) удовлетворяют уравнению плоскости CPQ. Подставляя
координаты точки К в это уравнение, найдем, что * = -^-, т.е.
Аналогично найдем точку L(l; /; 0), в которой плоскость
CPQ пересекает прямую AD. Получаем l(\\ ^-\ oV
Многоугольник PQLCK — заданное сечение.
Выполним теперь необходимые подсчеты. Обозначим площадь
поверхности многогранника t/(B), отсеченного от куба и
содержащего вершину В, через SB, а площадь поверхности много-
232

с,
Рис. 99
гранника U (D), содержащего вершину D, через SD.
Многоугольник PQLCK является гранью каждого из многогранников U (В)
и U(D).
Подсчитаем Sce4 — площадь многоугольника PQLCK. Сделаем
это, применяя формулу SC€4 =——. Найдем Snp — площадь
проекции сечения на плоскость АВВ\ в направлении, параллельном
прямой ВС. Получаем Snp =SABBxAl — SAiPQ. Полагая ребро куба
равным а, найдем:
q 2 \ а а 7а2
Найдем cosip, где ф — это угол между плоскостями CPQ и
ABB,.
ВоСПОЛЬЗуеМСЯ ДЛЯ ЭТОГО формулой СО5ф= |COS (aZj, П2) I (СМ.
справочный материал к § 32), где пх и п2 — нормальные векторы
соответственно плоскостей CPQ и АВВХ. Вектор п\ мы уже
нашли: п\ (2; 3; 2), а в качестве вектора п2 можно взять,
например, вектор ВС (0; 1; 0).
233

т л |2-0 + 3-1+2-0| 3
Таким образом, coscp = -—, ^ !_ = __.
У4Н-9Н-4-1 V^7
Следовательно, Sce4 =^|-- -J= = 24° '
Теперь нетрудно выполнить остальные подсчеты. Получаем:
Sfl =Si +Sce4, где Si =5ЛБС1 -\-SABBiPQ + SBCKBi -\-SBiKP -\- SAQL,
a SD =S2 + Sce4, где S2 = SKy6a —Si.
Итак,
_с _Л2 а2 _7а2
ABBtA, ^AtPQ —" ~g g~
о 1 a a a* с 1 a a fl2
В\КР о о ~o 1 q » AQL о" о о То *
£t £t %J \ £, £, £. \J I £.
Таким образом, Si = -^-, S2 = 6a2—_iL = -_^., и,
следовательно S — 57a2 --L 7У1У°2 S _87a2 , 7VT7a2
тельно, Sfi —+ —^-, SD ~ —+ -^- .
.. 5fi 57 + 7УГ7
И наконец, искомое отношение -с""~= 7=^*
•^D o7-\-7-\j\7

ПРИЛОЖЕНИЕ
Площади плоских фигур
Треугольник. 1. S= ^-aha (a — сторона треугольника, ha —
высота, проведенная на сторону а).
2. S = ~ab sin С (а и b — стороны треугольника, С —
угол между ними).
3. S=-\/p(p — a) (p — b) (р — с) (a, b и с — стороны
треугольника, р — его полупериметр).
4. S = pr (г — радиус вписанной в треугольник
окружности, р — полупериметр треугольника).
Квадрат. 1. S = a2 (a — сторона квадрата).
2. S= — d2 (d — диагональ квадрата).
Прямоугольник. 1. S = ab (а и b — стороны прямоугольника).
2. S = yd2 sin ф (d — диагональ прямоугольника, <р —
угол между диагоналями).
Параллелограмм. 1. S = aha (a — сторона параллелограмма,
ha — высота, проведенная на сторону а).
2. S = ab sin а (а и b — стороны параллелограмма, а —
угол между ними).
3. S= -^-dicksin ф (d\ и с/г — диагонали параллелограмма,
Ф — угол между диагоналями).
Ромб. \. S = ah (а — сторона ромба, h — высота ромба).
2. S = a2 sin a (a — сторона ромба, а — угол между
смежными сторонами).
3. S=—did2 (d\ и d2 — диагонали ромба).
Трапеция. 1. S=^—h (а и b — основания трапеции, h — ее
высота).
2. S= —rfirf2 sin ф (d\ и d2 — диагонали трапеции, ф —
угол между диагоналями).
Произвольный выпуклый четырехугольник.
S= ydicfesin ф (d\ и d2 — диагонали четырехугольника,
Ф — угол между диагоналями).
Площади поверхностей и объемы тел
Призма. 1. S6oK=Pce4 -AA\ (Рсеч—периметр сечения,
перпендикулярного боковому ребру, АА\ — боковое ребро).
^- ^ полн = ^ бок I ^ осн •
3. V=SOCH-H (H — высота призмы).
235

Прямая призма. 1. S6oK =РОСН-ЛЛ| (Яосн —периметр основания,
АА\ — боковое ребро).
*" ^ полн = ^ бок I £Ь осн •
3. V=SOCH-AA\ (AA\—боковое ребро (высота)).
Прямоугольный параллелепипед.
1. S6oK = POCH'AA\ (AA\ — соответствующее боковое
ребро).
2- SnoM=S6oK+2SOCH=2(ab + ac + bc) (а, Ь и с — ребра
параллелепипеда).
3. V = abc.
Куб. 1. S6oK=4a2 (a — ребро куба).
о с аЛ
2. SnojIH==6a2.
3. V=a\
.Правильная пирамида. 1. S6oK=ph (p — полупериметр
основания, h — апофема).
2- 5ПОЛН =«Ьбо
3. V=-TSOCH'H (H — высота пирамиды).
о
Правильная усеченная пирамида.
•• S6oK = (p\+p2) h (р\ и р2 — полупериметры оснований,
h — высота боковой грани).
2. SnojIH=S6oK+S,+S2
(S\ и S2 — площади оснований).
3. V= \-H (S\ + ^/S\S2 + S2) (Я —высота пирамиды, Si и
о
S2 — площади оснований).
Цилиндр. 1. S6oK=2nRH (R — радиус основания, Н — высота).
2. SmwiH =5бок +2SOch =2nR
3. V = nR2H.
Конус. 1. S6oK=nRl (R — радиус основания, / — образующая).
2. SnojIH=S6oK+SOCH=*/? (/ + /?)
3. 1/= уя/?2Я (Я —высота конуса).
Усеченный конус. 1. S6oK =я(/? + г) / (/? и г — радиусы
оснований, / — образующая).
2. 5полн= 2 2
3. К=-1
Шар. 1. 5 = 4л/?2. 2. К=ул/?3 (/? —радиус шара).
Шаровой сегмент. 1. S = 2nRH (R — радиус шара, Н — высота
сегмента).
2. К=л#
Шаровой сектор. V=^rnR2H (R — радиус шара, Я — высота
шарового сектора).

Ответы
§ 11. Расстояние между точками
г- ал/26 ал/26 ал/6 ал/2
I. а) ал/6; б) -^-; в) -L-. 2. а) -£-; б) -^-; в) а. 3. а) 1:2; б) 1:3;
t лУб + 2л/5+лД4 ц g> л/2 + л/3+л/5ц л/б+л/Н ал/5
в) 1:4. 4. а) ^ //; б) ^ "5 в) £ ' ~7~ '
ал/37 ал/66 ал/10 ал/34 ал/1з 1+л/б+л/7
б> ^-; в> "I— 6- а> -б~: б> -6~; в> -g- 7- а) 2 а;
2л/3+л/5 З+л/б+л/15 ал/4Т алУ§9 7а . ал/§9 алДГ
б) 2 а; В) 3 а- 8- 3) "в-' ~8~: б) "Г; В) -в"' ~8—
9. а) ^: б) ff; в) ff. ,„. а) £f; б) ^ в)
.3. a)
дч 4У5+л/Г7+л/89 . ^л/5+2лД4+л/89„ ,„ atf a& a,_ .а
б) ^ а; в) ^ а. 14. а) -у-; б) -g-; в) у. 15. a)-g-;
а а Wui ал/3 алДГ ал/4Т ал/5Г
б) т; в) т. ,6. а) ^-; б) -f; в) V .7. а) -^; б) ^-; в) ^
18. a) 2&V2:5-y/T7:3V21:8-\/26; б) 6лД:Зл/5:л/7:4л/Ш; в) 28л/2:35:л/37:8л/58
7л/б Й
19. а) 5:1; б) 4:1; в) 5:2. 20. а) 5:3; б) 10:1; в) 10:3. 21. а) -^—; б)
лУб9
В) -Г"-
§ 12. Расстояние от точки до прямой
••а)^;б)^Р; В>^Р- «• а, аЛ/|; б) а; в) аЛ,^
* \ а^Ш ы а^^ v aV"57 2алУ30 алУзб . я
3. а) -1Г-; б) -J3-; в) _^. 4. a) -g-; б) --_; в) ал/3.
2ал/5бТ ал/209 ал/5бГ аУП62 За ал/498
3) —33~^"' ' —4—; В* 22 ' 6* а^ —28—; б^ IT* B^ —f2—
б) —Q-'• в> ~2~- |0- а> ~2' б> 14 ; в> ~т~- М-а)~2~' б)
237

ал/2
9ал/5 ал/205 7ал/5
"^б~; б) ~20~~; В) ~
ал/2
. 13. a) -JL; б)
ал/66 ал/3
—£—; в) —-—
и ъ а^ ^ Зал/149 v flV^6 ал/33 _алД05._,5а 1Л ., «л/95.
б)
2л/ТЗ ' "' 2л/46 ' 4л/43
ал/19_ _ч ал/17 R_ _ ал/30
-; в)
- 17- a>
12 '
алДГ
ал/3 ал/2Т
б)
7алДТ
"22"
; в)
6 ' ' 3 ' 2 f
§ 13. Расстояние от точки до плоскости
4ал/Т7 ал/Г7
; в; -g-. z. а) —^j—'• uf
ал/ГТ
1. а) а; б) Ц-; в) -5- 2- а) ^у^
17
17
. 3. а)
22
22
; б) 5£:
. 4. а)
2ал/33 4ал/33 2ал/33
11
. 7.
б)
33
; в)
: в>
2а
з ;
8.
б)
а)
а
т;
а
"б";
в)
б)
2а
3
5а
5а Зал/46 Зал/46
—. 9. а) оо ; б)
а)
б)
ал/5
46 f
в) -Т7Г-
3aV46 1() а) 15aVT7.
46
34
34 f
ал/3 ал/3 ал/3
2- а) "f; б) ^"; в) "Г-
3- а)
ал/17
9ал/2
1б";
б)
Зал/2 Зал/5 ал/5 ал/5
"^- И. а) -—; б) —; в) —.
8 ' "' 16
§ 14. Расстояние между скрещивающимися прямыми
ал/б а
1. а) а; б) -f-; в) -^. 2. а)
; б)
Зал/34
ал/Г4 ал/R
в) =р. П. а) гр; б) =р; в)
13
2а ал/2
. 5. а)
2ал/5 2алДТ
-; б)
в)
ал/6
2ал/ГТ
11 ' w/ 11
„ ¥ _ а ал/2 ал/б
; б) -^-; в) 4- »• а) -?-; б) -^
10. а) =^; б) -g-f
, 12. а) =р б) П|Г; в)
ал/Т54
. 13. а) ^-;
14
26 У
22
§ 15. Угол между скрещивающимися прямыми
л/3 л/30 л^
1. а) 45°; б) 90°; в) arccos-—. 2. a) arccos-~г-; б) 30°; в) arccos ~^-
2л/2 г— 4 лД02 л/2
3. a) arccos—^—; б) arctgV17; в) arccos—. 4. a) arccos ; б) arccos-^—
л/К) ч бл/65
Т
3
7л/10
;
238

29VT38 31VI38 л/3 5-х/З лД5
б) arccos———; в) arccos———. 7. a) arccos—; б) arccos-jf-; в) arccos-=—
414 414 У У О
1 3VT0 9 лДО 9
8. a) arccos —; б) arccos огч ; в) arccos-17г. 9. a) arccos—т—; б) arccos —;
4 20 10 4 10
7 л/30 л/30 1
в) arccos т^. 10. а) 30°; б) arccos—^—; в) arccos -гтг- И- а) 30°; б) arccos — ;
10 о 10 6
2л/2 Jl5 Vl5 ЗлЯб -ч/З
в) arccos—т—. 12.a)arccos-гтг\ б) arccos—r—; B)arccos OA . 13. a)arccos —5—;
о 10 о zO о
л/15 л/33 5 3
б) arccos——; в) 90°. 14. a) arccos-гт-; б) arccosуу; в) arccos j^.
§ 16. Угол.между прямой и плоскостью
4 лДб 4V§5 л/б л/78
1. a) arcsin-=-; б) arcsin—=—; в) arcsin—=—. 2. a) arcsin-^-; б) arcsin o ;
О О DO о «ЗУ
л/2 ^4/5 2-4/2 лДО
в) arcsin-—-. 3. a) arctgV2; б) arctg-=-; в) arcsin-^-.4. а) 30°; б) a resin-^г-;
о О о 10
л[2 Ш \Д0 4
в) arcsin-^-. 5. а) 60°; б) 45°; в) arctg-=-. 6. a) arcsin-^-; б) arcsin -=-;
и / о о
^ Зл/39 л/3 4 2лД4
в) arcsin-r=-. 7. а) 60°; б).arcsin-^-; в) arcsin-^-. 8. a) arctg-^; б) arctg ;
1Э . ли 4 о »
4^9 л/Вб -х/2 л/82 лД5
в) arctg . 9. a) arcsin -jrjr-; б) arcsin —; в) arcsin -Б!Г. 10. a) arcsin -p—;
Z\) ZZ О oz О
л/3 л/i 5л/3 л/6 л/3
12. a) arcsin —; б) arcsin —; в) arcsin -rr-. 13. a) arcsin -5-; б) arcsin—^—;
«з У У о о
лДб лД5 л/оТ
б) arcsin —; в) arcsin -j=-. 11. а) 30°; б) arctg -j=-\ в) arctg
л/3 л/i 5л/3 л/6 л/3
; б) arcsin ; в) arcsin -rr-. 13 a) arcsin ; б) arcsin
У
лД5 1 4л/5
в) arcsin—г—. 14. a) arcsin —; б) arcsin-j-=-; в) 45°.
§ 17. Угол между плоскостями
лДЗ л/26 л/39 sin a
1. a) arcsin-^т-; б) arcsin-—г—; в) arcsin-—г—. 2. a) arcsin—:—2~;
4 4 4 Sin р
tg а /л/2 \
б) arcsin Б ; в) arcsin (cos p-tg а). 3. a) arcsinf — sin а j;
/V2 \ 2л/2
6) arcsinl — sina 1; B) arcsin (sin a- sin (0 — 45°)). 4. a) arccos-^-;
л/2 12 2 5лД7
6) arccos-^-.в) 90°. 5. a) arccos-5-; 6) arccos—; в) arccos—. 6. a) arccos ;
0 о о о Ol
л/5Т лДог Зл/5 бл/бТ Зл/бГ
б) arccos-rj-; в) arccos . 7. a) arctg—7—; 6) arccos ; в) arccos .
01 Ol 4 01 ОI
4лДГ 2лДГ лД^ л/3 л/6
8. a) arccos ; б) arccos ; в) arccos-^т- 9. a) arccos — ; б) arccos-r-;
Z\ Z\ Z\ о «3
239

i 1 л/то лЩч
в) arccos—. 10. a)arccos —; б) arccos-=^-; в) arccos . 11. а) arccos-гтг-;
о I /О ol 1U
V37 л/93 л/б л/6 л/§
б) arccos-^=-» в) arccos-r-j—. 12. a) arccos-^-; б) arccos-r-; в) arccos-^-,
о/ «31 и «3 и
л/2 л/33 2л/22 л/3
13. a) arctg—; б) arccos—r; в) arccos—р—. 14. а) 90°; б) arccos — ;
1 11 11 о
л/зз
в) arccos -|у-
§ 18. Двугранный и многогранный углы
v л/5 л/2 ,- 2л/3
1. arctg—; б) arctg-g-; в) arctg —. 2. a) arctg л/б; б) 2arctg-~—
в) 2arctg—. 3. a) arctg л/2; б) arctg (л/2 tg a); в) arctg *
4. a) arccos ( — — ); б) 2arctg ( ); в) 2arctg ( —^V 5. a)
\ о / V sin а / \cos p/
6) arctg л/2; в) arctg—s—. 6. a) 2arctg—^r—; 6) arccos
2sin2a
VH-cos2p 180° лч / 4 180° ± \
в) 2arctg-—r-5 7. a) ; 6) arccos I ctg ctga);
sin p n \ n ° /
в) arctg / . у 8. a) 90°; 6) arccos -^~
-y_cos(~- +
л/55 /1\ /4\ /9
в) arccos-ГТГ-. 9. a) arccos I— -^ ); 6) arccos ( — -^ ); ь) arccos ( — j^
V3 / V3\ / л/Г0
10. a) arccos-^-; 6) arccos I — -j- J; в) 45°. 11. a) 120°; 6) arccos ( —-^-
/ лД0\ л/3 J7 ^
в) arccos I rrr-J. 12. a) arccos-r-; 6) arccos-=-; в) arccos-r—. 13. a)
\ 10 / о / О
2л^2 / л/33\ 1 лч / 2V7\
б) arccos ; в) arcco.s i ГГ)- 14' a) arccos—; б) arccos I — j;
/ л[7\ л/22 V33 1
в) arccos ( —-^-Ь 15- a) arccos-yr-; б) arccos-—; в) arccos—.
90°;
16. a) arccos-^г-; 6) arccos——=; в) arccos—■—. 17. a) 30°; 6) arccos—;
в) arccos (— ^V 18. a) 60°; 6) arccos-?-; в) arccos ^—. 19. a) 120°;
л/Зл/3— 1
arccos ;
/2л/3 \ /л/3 \ rt
6) arcsin ( —^—sin а 1; в) arcsin ( — tg а 1. 20. a)
2 Vf8 л/6 1 / 1
б) arccos—jr—; в) arccos—. 21. a) arccosy; 6) arccos ( — y
2л/2-1
в) arccos .
3
240

§ 19. Прямоугольная система координат
1. а) Я(0; 0; 0), Л (I; 0; 0), С(0; 1; 0), Я,(0; 0; 1), D(l; 1; 0), Л,(1; 0; 1),
С,(0; 1; 1), D,(l; 1; 1); б) Д(0; 0; 0); л(^; 0; о), с(о; ^; (Л
2. а) И(0; 0; 0), В{\; 0; 0), 0(0; 2; 0), И,(0; 0; 1), С(1; 2; 0), В,(1; 0; 1)
0,(0; 2; 1), С,(1; 2; 1);б) /1(0; 0; 0), й(у; 0; oV D(0; 1; О).Л|(о; 0; -i-
т: 1; °)- в'(т;0; !)• D'(0; 1; т)- с'(т; 1: т); в> и<0; 0;
; 0; |).
В(1; 0; 0), Л(0; 1; 0),
бМ(_|;0;0). В
^; 0;
; 0; 2V2), С(1; 0;
Ci(0; 0; 2->Д), 5,(1; 0;
;О;О), с(о; |; о), „,(-|; 0;
; 2^); в) fi,(O; 0; 0), С,(1; 0; 0), Л,(1; 1; 0)
, Л(1; 1; 2л/2). 4. а) О^О; ^-; (Л, О,(0; ^; Л;
-■!•: 2). л(-4-; Л 2), />,(<>; i; 2); б| p,(i-; -J-;
в) Pi и Pi. 8. а) Р2 и Р4; б) Р, и Р6; в) Р3 и Р5. 9.
7-а) Рз" Рб; б) Р2 и Ра-
, и Р3; б) Р2 и Я5; в) Р4 и Р6.
241

§ 20. Применение метода координат к решению задач
л/6 -у/6 л/6 7а Зал/5 ал/22 ал/39
'• а> V-б) т; в) т-2-а) т; б) ~^; в) -5- 3- а) ~i~;
ал/зГ ал/43 ал/29 Зал/2 Зал/2
б) —-—; в) —-—. 4. а) Д|С|=—-—; б) Я3С3=—^—; в) К2С2 — ВС2——^—•
5. а) 1:2; б) 1:4; в) 3;4. 6. а) Середина отрезка ОР\ б) и в) середина ребра MD.
7. а), б) и в) Середина отрезка CiQ. (Если ввести в пространстве прямоугольную
систему координат, в которой С(0; 0; 0), Л(1; 0; 0), Я(0; 1; 0),С|(0; 0; ^2), то
искомая точка — это точка Of —; —; -=- J.) 8. Если ввести в пространстве
прямоугольную систему координат, в которой В(0; 0; 0), Л(1; 0; 0), С(0; 1; 0),
Bi(0; 0; 1), то искомыми являются следующие точки: а) О(-^-; —; ~
^ п( 5 5 5 ^ л п( Х Х {\ ^* ^^
б) °(Т¥; Т2; 72У в)01т:Т:|
-х/5 3 л/53 2л/5 2л/5 2л/5 2^|б ^
10. а) ^; б) |; в) \-. 11. a) -f; б) -f; -) -f • 12. а) ^>; б) ^_;
4л^ 7л/5 7л/5 7л/5 V^5 V^ V^5
в) ^. 13. a) JJ-; б) JJ-; в) JJ-. 14. а) ^; б) Ь; в) У_ш
7 л/29 л/42 V^ лД5 л/3
§ 21. Сумма и разность векторов.
Коллинеарность и равенство векторов
10. a) PV\\QRt г||s; б) PFftQ^, rffs; в) PP=Q^, r==s. 11. а)
)ЖВН-^С|Н-СД,; B)BB,+^Ti-f С^Й + Ж 12. а) Да; б) нет; в) нет.
13. a) PV\\AQ\ б) CVftPQ; в) PQftMC. 14. а) Параллелограмм; б) параллелограмм;
в) трапеция. 15. а) Да; б) да; в) нет. 16. а) Да; б) нет; в) нет.
§ 22. Координаты вектора. Координаты суммы и разности векторов.
Координатное выражение коллинеарности
и равенства векторов.
Длина вектора
1. а) (-1; 1; 0), (1; 0; 1), (-yi ~U о), (-yi U -у):
б) (0; 0; —L), (0; -1; 0), (1; 0; 0), (0; 1; I); в) (i-; -Ь 1),
-И-(-4'т4М-т'-И- •■ •)
o; -1-; -lV Д§(2; -1; 0), Bl,(-2; 0; 1),?,(0; 0; 0); б)
l; -I; i-), Rp(-2, -i-; -i-), ?2(0; 0; 0); в) M,(-2; 0; 1),
242
; -i-;

; у; -l), Т^О' ~T; °)' Q°(-I; 0; °>- ?3<~2; 0;
3. а) ДР(±; ±; о), ^(^ ') (
в) ?(0; 0; 0). 4. а) Ш*(0; 1; 1), 5?(0; ±; -у V ЛШ(0; 1; -1);
б) МС(\; -1; -l). ЛЯ(-у: -»:-'). М<э(-Ь 0; -l);
у; 1; 0 J, 2^5 (-о-« 0; ° )• ^0; 0; °)" 5* а> Нет; б> нет; в> ОЯЦВ1С1.
6. а) (1; 1; 0); б) ^2; 0; — у Y в) (-|; -1; -i-Y 7. а) АР\\С^\ б) PQ||^F;
8. а) Нет; б) нет; в) нет. 9. а) (-I; I; -|-Y б) ^0; -|-; у Y
в)
§ 23. Скалярное произведение векторов
в координатах
1. В системе координат Bjci/z, гдеМ=/, ЯС=/, BBi=k: а)(1; 1; 0); б)(0; 1; 2);
в) (1; 2; 2). 2. В системе координат Вхуг, где М=Г, ЯС=/, /Ш|=£:
а) ( — 1; 1; 2); б) (2; 4; 3); в) (4; 3; 1). 3. В системе координат Вхуг, где
М=Г, ЯС=/, ЯВ,=2£: а) (0; 8; j-1); б) (2; —1^_1); в) ( — 10; 2; 1).
4. В системе координат Dxyz, где DA=T, DC—^[bjy DD\—i и точка Di—
середина ребра Л,Я,: а) (3; 2->/3; —12); б) (6; 2V5; —3); в) (0; -yfS\ 3).
5. В системе координат Вхуг, где EAX=RA=1, ВЦ=лЩ, ЯЛ} = 2£:
а) (0; 2-\/3; —3); б) ( — 3; V^; —3); в) (2; 0; 1). 6. В системе координат
Охуг, где OR = ^CB = l OZ = ±-AB=], ±-OP=fr a) (0; 2; 1); б) (1; 1; 1);
в) (4; 0; 3). 7. В системе координат Вхуг, где ЯЯ=Т, ЯС=/, /Ш|=3£:
а) (1; —2; 1); б) (1; 4; 1); в) (2; 1; 1). 8. В системе координат Dxyz, где
точка D — середина ребра АВ, ПА=Т, /Х?=л/37, DZ5i=CCiV£
а) (3; —Зл/3; 2V5); б) (0; 1; 1); в) (3; —л/3; 2л/3).
§ 24. Уравнение плоскости
1. а) х—2у + 22-2 = 0; б) 2* + (/ + 2z- 4=0; в) *+2(/—2z = 0. 2. а) 2х—2 =
=0; б) 2х—2=0; в) 2*—2— 2 = 0. 3. а) 2*+-у/Зу—2=0; б) 2*+V&/—г + 3 = 0;
в) 2x+V&/—2—2 = 0. 4. а) 2у — 2г+1=0; б) х + у + г — 2 = 0; в) 4* + 2</ +
+ 62—9=0. 5. а) *—4(/+5г=0; б) 4лг—5t/+8г=0; в) х—Ьу + 22=0/6. а) 4дг—
—3(/Н-22 —4=0; б) 2jc—3(/—82 —2 = 0; в) 4*+</ — 22—4=0. 7. a) jc+i/— 1 =0;
б) 3*+22—3=0; в) 3*+6(/ — 22 — 3 = 0. 8. а) * —(/—2 = 0; б) 2х — 2у+2 = 0;
в) 2*—2(/—2=0. 9. а) Нет; б) нет; в) да. 10. а) Нет; б) нет; в) нет.
11. а) Нет; б) нет; в) нет. 12. а) Нет; б) нет; в) нет.
243

§ 28. Расстояние между точками
Зал/5 ал/217 ал/229 г- ал/17 алрЛ ал/41
1. a) -JL; б) -5L-; в) -1—. 2. а) ал/17; б) -1_; в) -L_. 3. а) JL-.
б) ^1; в) ~~i. 4. а) 1:1; б) 3:4; в) 3:2. 5. а) 17:19; б) 21:23; в) 9:11.
2ал/2 5ал/2 Зал/3 v л/2 х
6. а) 1:1; б) 1:5; в) 1:3. 7. а) -^-; б) -^-; в) -^-. 8. а) ^-; б)
л/6
в>
§ 29. Расстояние от точки до плоскости
2л/2Г л/2Т л/2Т 4л/3 2л/3 л/3
; б) V в) V 2 а) б) ; в)
Зл/505
2л/2Г л/2Т л/2Т 4л/3 2л/3 л/3
• а) "1Г; б) V' в) V- 2' а) з > б) "Г"; в) Т- 3- а)
лД93б л/2Г л/2Г 5л/2Г ^ч 4 ,
; в) Т5Г- 4- а) V; б) V; в) ТГ- 5' а) 2; б) Т; в)
V
л/30378 2л/ГЗ л/13 2л/ТЗ
7 а) ; б) Г в)
Т
9л/бГ л/30378 2л/ГЗ л/13 2л/ТЗ ,3^1
V; б) ^Г; в) 183- 7- а) -ТГ; б) ТГ в) "IT' 8- а) Т; б) Т;
в) -1. 9. а) 1; б) -|; в) -1.
§ 30. Угол между скрещивающимися прямыми
л/3 Л^ 2л/б6 л/3
1. а) arccos-p--; б) arccos-^-; в) 90°. 2. a) arccos оо ; б) arccos-т—;
У о оо о
л/34 л/42 Зл/Тб5 5 ,
в) arccos-^r-. 3. a) arccos-^-; б) arccos ; в) arccos-^-. 4. a) arccos
л/3705 19л/33 в ч л/П
б) arccos 1#лс ; в) arccos ,.. . 5. a) arccos-j-j-; б) arccos-—j—;
195 loo 11 11
2л/22 5 7лД7 л/6
в) arccos -ту-• 6. a) arccos-^-; б) 30°; в) arccos-^—. 7. a) arccos -g~;
V6 л/69 7л/57 Пл/665
б) arccos-^-; в) 90°. 8. a) arccos-^-; б) arccos —gj-\ в) arccos ^ •
л/зо л/зб л/зо 5л/зз
9. a) arccos-г-; б) arccos -r^-; в) arccos-—-. 10. a) arccos-^г-;
6 10 10 33
13л/5 лДО 1 4лД90 л/30
б) arccos ; в) arccos—=—. 11. a) arccos — ; б) arccos—-rrp—; в) arccos-j-r—.
оО 5 1и Уо lo
л/3 2л/30 2л/5 1
12. a) arccos-^-; б) arccos .,. ; в) arccos-rr-. 13. a) arccos-г-; б) arccos-7^—;
о 15 1о 4 zo
в) arccos ^-. 14. a) arccos ^-; б) arccos ^-; в) arccos ^r-. 15. a) arccos -^;
л/15 Зл/То л/2 Vio
б) arccos-J7T-; в) arccos—rrr-. 16. а) 90°; б) arccos —; в) arccos-=-.
1U 1U 4 0
л/зо лДо л/з
arccos\ б) arccos; в) arccos
244
л/зо лДо л/з
17. a) arccos-ттг\ б) arccos-^-; в) arccos-^-.

§ 31. Угол между прямой и плоскостью
2V22 V6 2V38 л/2 -ч/б
I. a) arcsin—рт-; б) arcsin—; в) arcsin ——-. 2. a) arcsin-^-;6) arcsin-^-;
11 6 1У О О
Зл/34 ЗлДО л/2 л/7
in-^- 3 а) 30°; б) arcsin; в) 30° 4 a) arcsin; б) arcsin^;
Зл/34 ЗлДО л/2 л/7
в) arcsin-^-. 3. а) 30°; б) arcsin-Tq-; в) 30°. 4. a) arcsin-~; б) arcsin-^-;
. л/7 в ч л/6 лД5 лДЗ
в) arcsin—. 5. a) arcsin—; б) arcsin-i—; в) 90°. 6. a) arcsin-^г-;
о о О \6
л/3 ч . Зл/3 „ Y 2л/34 ^ч лДО 2л/2
—; в) arcsin 7 a) arcsin ; б) arcsin; в) arcsin
. л/3 ч . Зл/3 „ Y 2л/34 ^ч лДО 2л/2
б) arcsin—; в) arcsin -рг-. 7. a) arcsin ._ ; б) arcsin——; в) arcsin—р—.
1о 16 17 5 о
лДб л[п> 4л/55 2л/3
8. а) 30°; б) arcsin—=—; в) arcsin-—. 9. a) arcsin __ ; б) arcsin—=—;
о К) оо 5
в) arcsin-£—. 10. a) arcsin-^—; б) arcsin^—; в) arcsin ^t .
оо 65 52 221
11. a) arcsin^; б) arcsin^—; в) arcsin-^-. 12. a) arcsin tm?;
1э »> 5 221
12л/26 ч Зл/65 о л/5 л/10
б) arcsin ^ ; в) arcsin -gg-. 13. а) 0°; б) arcsin-—; в) arcsin -j^-.
Зл/2 18л^ 6л/82 л/35 л/^5
14. a) arctg-g-; б) arcsin ; в) arcsin-^=-. 15. a) arcsin-pz-; б) arcsin-pr-;
2л/35 2л/7 л/7 2л^
в) arcsin . 16. а) 60°; б) arcsin—=■—; в) arcsin-=-. 17. a) arcsin
1о 7 7 15
А, . лДО . 8л/Гб5 . 21л/2 лч .11
б) arcsin-—-; в) arcsin ... . 18. a) arcsin-—==; б) arcsin-—
5 Ю5 УшгТ
. IPV6 я 2л/29 Зл/29
в) arcsin—=. 19. a) arcsin-^-; б) arcsin -^- ; в) ^
20. a) arcsin-—=; б) arcsin—=; в) arcsin—=. 21. a) arcsin-
Д02Г л/^г! л/ГогГ л/1569
.36 v 30 лл х . 3 л 6 . 4л/2
б) arcsin—=; в) arcsin ——=. 22. a) arcsin —; б) arcsin-=-; в) arcsin -=—.
лД569 лД569 7 7 7
2л/Г7 ЗлД7 2л/Г7 Зл/19
23. a) arcsin ; б) arcsin ; в) arcsin . 24. a) arcsin ;
2л/38 5л/57 4 л/2 2л/2
б) arcsin ; в) arcsin . 25. a) arcsin-=-; б) arcsin-—-; в) arcsin—=—.
1У о7 о 10 5
§ 32. Угол между плоскостями
л/3 л/3 5л/4Т 5л/41
1. а) 30°; б) arccos-^-; в) arccos-^-. 2. a) arccos .t ; б) arccos ]t ;
bo 41 41
9 o , 1 ^ л/70 лД17 ЗлД05
в) arccos-y. 3. a) arccos^; б) arccos-=g-; в) arccos —^-. 4. a) arccos ;
лД05 л^85 2л/57 л/30 л^1
б) arccos ; в) arccos . 5. a) arccos ; б) arccos-г^; в)arccos-^.
оо 1У 1У 10 7
2 1 2 2л/29 Зл/29
6. a) arccos—; б) arccos—; в) arccos—. 7. a) arccos-—-; б) arccos-—-;
6 6 6 Z\) 29
245

7л/58 л/Т V?5 лД5 л/217
8 a) arccos б) arccos; в) arccos 9 a) arccos
7л/58 л/Т V?5 лД5
в) arccos . 8. a) arccos —-, б) arccos-г=-; в) arccos -г=-. 9. a) arccos ;
Эо о 10 10 о\
1 л/273 л/65 3 лД85
б) arccos-=-; в) arccos . 10. a) arccos-^=-; б) arccos-=-; в) arccos Q .
Ил/3 7л/39 л/30 Зл/39
11. a) arccos ; б) arccos ; в) arccos-^—. 12. а) 30°; б) arccos ;
20 u2 о 2о
л/3 2лД 1 2-чЙ Уб
в) arccos—. 13. a) arccos—^—; б) arccos-^-; в) arccos-rr-. 14. a) arccos-^-;
4 о о У и
л/30 7т/Г02
б) arccos-^-; в) arccos-^-.
§ 33. Площади сечений
9а2 .. 7агУ17 19агУ§5 За2 .. 9а2 . За2 , ,
'• а) Х: б) ~l4-; в> —iao—2" а) ~Г; б) Х; в) 32" 3- а)
7а2т/30Г 5aVST , _ , _ 5aVTi
б) —^—; в) —j|-. 4. а) ^л/З; б) a2V6; в) —f_. 5. а)
в) —575—• 6- а) "о"» б) 1о ; в) -т^. 7. а) сгУ5; б) ———; в) 5 .
Л А А 1 и X/, ^4 о
2 /2; 2 /i i 2 /оо л 9 о 2 /i *7 2 /сг л 9
ы л/О п у 11 О л/оо Зы «ЭЯ л/н £1 л/иО Зы
8. а) —75—; б) —о—*. в) —^—. 9. а) -^-; б) —^—; в) . 10. а) —т—:
7а2 а2л/37 а2л/7 а2^3 5а2УГб а2л/3 а%/7
б) 12"; В) "Т2- "• 3) "6Г; б) "бГ-; В) ~64— 12* а) 1б"; б) -[б" ;
5а2 v а2л/14 „ х а2^2\ ^ а2л/53 ч 4а2л/77
б) т-; в> -iV- 14- а> —^-; б> -^-; в>
16 " ; 32 ' "' 8 f ; 12 • ' 2^" ; 3 " "' 15
15. а) —jg—; б) ш ; в) —j*_. 16. а) —; б) -у^-; в) g •
4a2VTT , г- 2а2л/3 а2л^ а2л/2 5а2л^ 9а2
17. а) —jl—; б) а2^; в) —gl_. 18. a) -ji-; б) -i_; в) —£-. 19. а) -g-;
<v 9a2 . 3a2 „ , 5a2V6 5a2V§ За2л/3 а2^ а2л/2
6) -g-; в) —. 20. a) -gg-; 6) -gg-; в) -yg-. 21. a) -1_; 6) -jg-;
а2-^ а2л/4 a2-^ a2-v/2 3a2Vl7 a2V5 ч 5а2
., _V_. 22. a) ^L; 6) -jf; в) -jf. 23. a) _^_; 6) -jf; в) _-
а2т/3
а2т
ат/3 5ал^ а^ Зат/3
24- а> "Г": б> Т; в) П^ 25'а) -8^; б)
64
о. "\/39 п л/15 д^ 80о л/105 о y 5
—12—; в) ——. 27. а) —; б) —— ; в) -у^-.
21a2Vl0 а2Уб а2Уб а%/б а2 а2 За2
-; в) -g-. Л», а,
§ 34. Объемы
в) 200 • 29> а) ~9^; б) ^"; в) ТГ~- 30. а) -g-; б) —; в) -=g-.
1. -у. 2. 2a3 sin о -y/sin3o-sin о. 3. afrc V—cos 2a . 4. am2.
a3 sin |. sin
sin ф
246

,0.
12.
sin (60°-a) .
//3V3sin(f + 30°) sin (-£-30°)
13.
з
2
3
/3(4 +
2PQ
COS ф
sir
tg2a)
21. ■
cos2-
•COS
-\ Ф
1 T
V^
'sin2
Ф
2
(a
<p
2
»g2a
12V3a2 —4Л
,2_AU2
V2
/3(1+4 tg2 p) л/з+12 tg
Ta sin 2a tg p.
25. -^QtgpVQsina. 26. а) а3; б) 2a3; в) За3. 27. a) --5 V4-5cos2a;
q о COS (X
a3 П—I T~ v fl3 -x/l~10cos2a rtO Y
6) -— V1 — 5cos2a; в) ^ у ^ . 28. a)
; 3cosct v 3cosa V 2
3cosct
6) arccos
За3
=; в)
29.
. a) <ofl3 V3sin(a + 60°)sin(a-60°); 6) -^^ ysin (a-f30°) sin (a-30°);
lzcosa lzcosa
в)
pr
lzCOS OL
sin
6>18
; в) -~
) sin (a—60°). 30. a) —-
. 31. Q 7fr tga. 33.
24л2
a3 -v/l-10cos3a ,. a3 ^/4-13cos2o
S^V fo : 6)2^i^ V i3 ;
— 37cos2 a
37 '
5a3л/cos 2a a3 V&cos 2a a3 Videos 2a
35. а) ,Л_ ; 6) g\;_ ; в) .... ■ 36. 1:2. 38. Va:Vb=b:at
! 6) —^; в) т^—.
6 sin а ' 6 sin а ; 18 sin а
nbc(b-f c) sin a cos2 -£ ттЛ
:fr. 40. , ?-. 41. ^
. 42. ^
43. *(4^+У">> ,44 .g| .45. 1:4. 46. (Зл/3+1):26. 47. a) a3ctgf ;
6)
a3V2 cos 2a v a3(l+2Vsin(30°-f a) sin (30°-а)
}в)
}r—.
2 sin а
; в)
2 sin а
)
. 48. a)
247

б)
5d3 sin2 ф Vl6—25 sin2 ф 5d3 sin2 ф -\l\6-25 sin2 ф
32
S в)
a3V2sina рл Я3 sin2 a
в) ; 50. а)
cos 2a
32
.49. a) a3 ctg a; 6) a3tga;
в) _Л_//3(1 —^l — 4 sin a).
о
51. a)
q3tgq
24
6)
a3 sin a
в)
a3 sin a
24Vsin (60°-fa) sin (60°—a)
a3V3tg(
24Vsin (30°-fa) sin (30°—a)
52. a)
53. a) "JQ-tga,;
в)
54
2a3/
/3(4-ftg2a)-Vl2-f3tg2a
24tg2a
//2tga " 2sin2a-sina*
63. a) 1:383; 6) 1:47; в) 9:119. 64. a) 1:7; 6) 1:7; в) 31:77. 65. a) 1:3; 6) 1:3;
в) 25:167. 66. a) 7:17; 6) 25:47; в) 25:119.67. a) 1:1; 6) 1:3; в) 1:5. 68. a) 1:2;
6) 1:11; в) 13:23. 69. a) 1:11; 6) 5:7; в) 1:95. 70. a) 49:51; 6) 49:81; в) 49:151.
71. a) 1:5; 6) 7:29; в) 13:41. 72. a) 1:1; 6) 25:47; в) 115:173. 73. a) 7:17;
б) 3:5; в) 97:191. 74. a) 11:13; 6) 5:19; в) 7:17. 75. a) 2:37; 6) 4:11; в) 8:37.
76. a) 1:8; 6) 1:14; в) 8:7. 77. a) 9:23; 6) 3:7; в) 5:19. 78. a) 21:11; 6) 3:5;
л/2 5л/2
в) 5:27. 79. 4" и "4--
§ 35. Площади поверхностей
1. 4d2 sin aVcos 2а. 2. d2-fesin 2p cos (45° —а). 3.
6л/6//2 ctg а sin (45°-fa)
4.
лю,+ «jg-v
Z COS p
248

17. a) SI2" ф; б) ^ ф; в) |^- (2л sin 2<p + cos2 q>). 19. ллД5:3. 20. arccos—.
21. V5:l. 22. tticosa. 23 2па2 ^/3. 24. 270л см2. 25. а) 2а2; б) 2ла2; в) 4ла2.
о 2 2 ^
26.
30.
. 27.
cos a
. 28.
<^ +cos a+2sin а)
sin a
. 31. 100л см2. 32. 4л(г? + г\). 33. 4л:л/3 34. a)
б) 13:20; в)
111-I-7V33
^ ^ ^
6 + VT7
в) =. 37. а) 1:3; б) 1:1; в) 1:7. 38. а) 1:2; б) 1:3; в) 1:2.39. а) 1:7; б) 1:3;
34|У17
в)
28+13^
40. а2(1+
41. а) 120°; б) 45°. 42.
°' Si" a
d2 sin 2a cos2 ~-
). 45.
§ 36. Комбинации с описанными сферами
<уг(2-ч7) nSV2S sin 2a
4 • S cos3 a sin2 2a-
-7). 6.,:2cos2a. 7
9- — -\/ctg2 p -f cos4 ~ .
2 cos2— \l z
4
11. T Rs sin2 2P sin2 p sin a. 12.
14. у/?3 sin 2P (1 + cos 2p+cos2 2P).
(l+2ctga)2 '
. 8. arcsin
_
10. ~ /?3 sin 2p cos p sin a.
a
a cos -jr-
2
|3
§ 37. Комбинации со вписанными сферами
3.^.5.4:9. 6
7. arcsin-——. 8. arcsin—. 9. — — л/?3 tg3 a tg 2а. 10.
12. -^-sin5 а cos2 — . 14. Sab. 15. arcsin , л —arcsin—— 16.
}l 2 nm nm '
249

h\l2
17. 2arcsin(tga). 18. lH- _. 19.
180°
*/?2ctg2^tg!^-
20. 8a2 cos a cos2 -%- ctg2 ~. 21. - . 22. 2 n
cosa
23.
27.
и,,. м.
лтп 2л
§ 38. Разные комбинации геометрических фигур
H-cos2 2a + 2 sin 2a sin a).
/ 1\ /(sina + cosa— 1)
4. 1 : '-. 5. arccosf --*- ). 6. ^ •
3 cos a sin a \ 6 / I
7. arccos (V2— 1). 8. a) ——; 6) -^-(7 + 3^+^3); в) —. 9. a) —; 6) —;
5а3л/3 а а2 г- г- Ъа*
в) -тг—- Ю. а) -5-; б) — (4 + л/2 + л/5); в) ^- 11. a) afi; б) 5а2;
4о Z 4 24
(3 + V3)a3 2aV6 (15 + 4V§+V§) о 7a3 a r
в) q - 12. a) -JL; 6) ^ ^ о2; в) ^ 13. а) ± (1+V6);
21-f7^H-V5 9 10a3 r- a2 а3л/3
6) q ^ Q2; в) 1^-. 14. а) ал/17; б) -~; в) -JL. 15. а) бяа;
б) Зла2(2 —V2); в) ^|-(15—8л/2). 16. a) ~ (3—л/3); б) arctg-^; в)
,7. a) H^; 6) l^f: B) !^. 18. a) f; 6) 5^: B) a(3^-
19.a)^i+^L; б)3„^; B)ff(,5V2-8). 20. a)
6) ^(7V3-Vm); в) |-(6-V39). 2.. a) ^t±^L; 6) «tf в)
о
3(2+-^) '"' 6 ' "' 24 -"•"' 2 '
б)—Y"^^; в)^а». 25.a)i±^a; б) f; в) ^.
2(2+VT6) 2 9 лДО 1 г-
26. а) -^ а; б) --а2; в) 1:2. 27. a) arcsin \—; б) arctg-^-; в) 2VT0:9.
о о 1 и о
250

28. 1:1 и 9:7. 29.
2 cos a o_ _ . m — n o. _ r= Ort n—1
- : . 30. 2arcsin ■—. 31. 1:л/5. 32. arccos—-r-.
cos 2a-sin а т-\-п n-\-\
33. ctg 40° :ctg 30° :ctg 20°. 34. arctg л/2. 35. —^- л/l-f2 cos a. 36. 24"^7я .
48
7. ^-(15-8л/2). 38.
24 cos6 a' " 40
2+л/2 3—л/3 ,_ ,- ал/41 ._
42. —^Z?- 43. —^-a. 44. (Зл/2-2л/3)а. 45. -!—. 46. 27:125. 47. 8:л/4Г.
8
3sinp
54. arccos ——- и 2 arcsin -
2 . 2a + p 2a —p
H sin—^ cos—g 3^ 9/?3tg3a
56. V-s • 57. -4-a. 58. 6 см. 59. ^-^ -. 60. /=
ал/3
4(V3 + tga)3
cos у Н-л/2 sin y
63.
4 sin (45° H-a)
. 64.
8л2

Оглавление
К читателю
Глава I. Модели пространственных фигур.
Позиционные построения
Задачи Справочные
материалы.
Примеры
§ 1. Модели пространственных фигур 4 —
§ 2. Построение следов плоскостей 14 129
§ 3. Построение сечений многогранников (аксиоматический
метод) 15 134
§ 4. Построение параллельных прямых и параллельных
плоскостей 21 138
1. Построение прямой, проходящей через заданную точку
параллельно заданной прямой 21 138
2. Построение сечения многогранника плоскостью,
проходящей через заданную точку параллельно заданной
плоскости 22 141
§ 5. Построение сечений многогранников (комбинированный
метод) 24 143
1. Построение сечения, проходящего через заданную
прямую параллельно другой заданной прямой ... — 143
2. Построение сечения, проходящего через заданную
точку параллельно двум заданным скрещивающимся
прямым 26 145
§ 6. Построение пересечения заданных плоскостей и прямых 27 147
1. Построение линии пересечения заданных плоскостей — 147
2. Построение точки пересечения заданной прямой с
заданной плоскостью 28 148
Глава II. Метрические построения
§ 7. Выносные чертежи 30 149
§ 8. Построения на изображениях плоских фигур 31 153
§ 9. Построения на изображениях пространственных фигур 33 158
1. Построение прямой, перпендикулярной заданной
прямой — 158
2. Построение прямой, перпендикулярной заданной
плоскости 34 160
3. Построение сечения многогранника плоскостью,
проходящей через заданную прямую перпендикулярно
заданной плоскости 36 162
252

4. Построение сечения многогранника плоскостью,
проходящей через заданную точку перпендикулярно
заданной прямой 39 164
§ 10. Развертки многогранников 41 167
1. Развертки отсеченных многогранников — 167
2. Развертки многогранников с вырезами 45 —
Глава III. Вычисление расстояний и углов
§11. Расстояние между точками 52 174
§ 12. Расстояние от точки до прямой 55 176
§ 13. Расстояние от точки до плоскости 57 179
§ 14. Расстояние между скрещивающимися прямыми ... 58 181
§ 15. Угол между скрещивающимися прямыми 60 183
§ 16. Угол между прямой и плоскостью 61 184
§ 17. Угол между плоскостями 63 187
§ 18. Двугранный и многогранный углы 64 190
Глава IV. Координатный метод решения задач
§ 19. Прямоугольная система координат 67 —
§20. Применение метода координат к решению задач . ... 69 192
1. Расстояние между точками — 192
2. Расстояние от точки до прямой 70 194
3. Площадь треугольника 71 194
Глава V. Векторы
§ 21. Сумма и разность векторов. Коллинеарность и равенство
векторов 72 —
§ 22. Координаты вектора. Координаты суммы и разности
векторов. Координатное выражение коллинеарности и
равенства векторов. Длина вектора 73 —
§ 23. Скалярное произведение векторов в координатах ... 75 197
§ 24. Уравнение плоскости 76 198
Глава VI. Векторно-координатные способы
решения задач на построение
§ 25. Построение прямой, параллельной заданной прямой . . 79 201
§ 26. Построение прямой, перпендикулярной заданной
плоскости 80 202
§ 27. Построение сечений многогранников 81 203
1. Построение сечения плоскостью, заданной уравнением — 203
2. Построение сечения, проходящего через заданную
точку перпендикулярно заданной прямой 83 206
3. Построение сечения, проходящего через заданную
точку параллельно двум заданным скрещивающимся
прямым, и сечения, проходящего через заданную
прямую параллельно другой заданной прямой ... 84 208
253

4. Построение сечения, проходящего через заданную
прямую перпендикулярно заданной плоскости ... 86 211
5. Построение разверток отсеченных многогранников . . 87 —
Глава VII. Векторно-координатные методы
решения задач на вычисление
§ 28. Расстояние между точками 91 213
§ 29. Расстояние от точки до плоскости 92 216
§ 30. Угол между скрещивающимися прямыми 93 217
§ 31. Угол между прямой и плоскостью 95 219
§ 32. Угол между плоскостями 98 222
Глава VIII. Вычисление площадей и объемов
§ 33. Площади сечений 101 226
§ 34. Объемы 105 230
§ 35. Площади поверхностей 113 232
Глава IX. Комбинации геометрических фигур
§36. Комбинации с описанными сферами 118 —
§ 37. Комбинации со вписанными сферами 119 —
§ 38. Разные комбинации геометрических фигур 121 —
Справочный материал, примеры 129 —
Приложение — 235
Ответы — 237

Учебное издание
Литвиненко Виктор Николаевич
Сборник задач по стереометрии
с методами решений
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Н. Б. Грызлова
Младшие редакторы Л. И. Заседателева, Н. Е. Терехина
Художники О. М. Шмелев, Е. Е. Барк
Художественный редактор Е. Р. Д а ш у к
Технические редакторы С. Н. Терехова, Н. Н. Бажанова
Корректоры О. Н. Леонова, А. В. Рудакова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—
953000. Изд. лиц. № 010001 от 10.10.96. Сдано в набор 09.04.96. Подписано
к печати 15.01.98. Формат 60X90'/i6. Бумага кн.-журн. Гарнитура Литературная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 16+0,25 форзац. Усл. кр.-отт. 35,50. Уч.-изд. л.
15,55+0,42 форзац. Тираж 10 000 экз. Заказ № 5548.
Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Просвещение» Государственного комитета Российской Федерации
по печати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Смоленский полиграфический комбинат Государственного комитета Российской
Федерации по печати. 214020, Смоленск, ул. Смольянинова, 1.

издательство
•Просвещение
предлагает:
учебно-методическую, развивающую,
научно-познавательную литературу
по всем школьным предметам
Q контейнерную отгрузку во все регионы России и стран СНГ
Q книги крупным и мелким оптом со складов издательства
Q розничным покупателям — книги из нашего киоска
Телефоны: отдел реализации 289 44 44
289 60 44
отдел рекламы 289 52 84
факс отдела реализации 289 60 26
E-mail: textbook@glasnet.ru
или
textbook@glas.apc.org
Наши книги оптом и в розницу
можно приобрести в издательстве
по адресу:
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Проезд: ст. метро «Белорусская», далее трол. 18 до
ост. «Гостиница «Северная»; ст. метро «Рижская», далее
трол. 18, 42, авт. 84 до ост. «Гостиница «Северная».
Торговый дом «Просвещение»:
129626, Москва, ул. Новоалексеевская, 8.
Справки по телефону: 2870869

ПОСТРОЕНИЕ ВЫНОСНОГО ЧЕРТЕЖА СЕЧЕНИЯ КУБА
Геометрический способ
В
Вычислительный способ
aV
2
/
За
а
г
\»5 •
—v
а

\
Полностью соответствует школьной
программе.
Эффективно дополняет школьный
учебник по геометрии.
Содержит
— необходимый справочный
материал,
— разобранные решения типовых
примеров,
— задачи для самостоятельного
решения (трех уровней
сложности),
— ответы и указания к решению.
Покажет, как применить новые для
школы (при этом не выходящие за
рамки программы) методы решения
задач.
Поможет старшеклассникам
систематизировать курс стереометрии
при подготовке в вуз.
Основные методические идеи
получат свое развитие в следующей книге
В.Н.Литвиненко "Решение типовых
задач по геометрии."
ПРОСВЕЩЕНИЕ