Author: Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Суворова С.Б. Муравин К.С.
Tags: алгебра 8 класс москва просвещение средняя школа
ISBN: 5-09-001276-8
Year: 1989
Text
СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
CIп = Q т~п / — т \ тп
n
n
П П
СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ
l/ab =|/а-Пэ , ГДЕ a>0, b>0
ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
D= b2-4ac
x =
ПРИ
DW
ББК 22.14я72 А45
Авторы:
Ю. Н. МАКАРЫЧЕВ, Н. Г. МИНДЮК, К. И. ПЕШКОВ, С. Б. СУВОРОВА
Учебник занял первое место на Всесоюзном конкурсе учебников для средней общеобразовательной школы в 1988 г.
В учебнике использованы некоторые упражнения из учебника Алгебра: Учеб, для 7 кл. сред. шк. / Ю. Н. Макарычев. Н. Г. Миндюк, К. С. Муравин, С. Б. Суворова: Под ред. А. И. Маркушевича.— 4-е изд., перераб.— М.: Просвещение, 1981
Условные обозначения
Знаком • отмечены упражнения, соответствующие уровню обязательных результатов обучения (Математика в школе: Сб. нормат. документов / Сост. М. Р. Леонтьева и др.— М.: Просвещение, 1988.).
Светлым курсивом набраны номера упражнений, рекомендуемых для домашней работы.
Знаком * отмечены более сложные упражнения.
Алгебра: Учеб, для 8 кл. сред. шк. / Ю. Н. Макары-А45 чев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.— М.: Просвещение, 1989.— 239 с.: ил.
ISBN 5-09-001276-8
А
4306020000—367 103(03)—89
ипф. письмо — 89 № 96
ББК 22.14я72
ISBN 5-09-001276-8
© Издательство «Просвещение», 1989
Глава I.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ
ДРОБИ
§ 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
И ИХ СВОЙСТВА
§ 2. СУММА И РАЗНОСТЬ ДРОБЕЙ
§ 3. ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ
§ 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И ИХ СВОЙСТВА
1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
В курсе VII класса мы занимались преобразованиями целых выражений, т. е. выражений, составленных из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от пуля. Так, целыми являются выражения
7а2Ь, 7П3 + п3, (х — у) (х2 + у2},
ью&(зь + с^ ж. 2х:9.
7 8
В отличие от целых выражения
2а4-1’ х2 —Зху + у2 ’ 3 л* 4-1’
помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Такие выражения называют д ровными выражениями.
Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.
Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение ЮН—не имеет смысла при а = 0. При всех остальных значениях а это
У
имеет смысл
выражение имеет смысл. Выражение х
при тех значениях х и у, когда х=^у. Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Частным видом рационального выражения является дробь, числитель и знаменатель которой многочлены. Такие дроби называют рациональными дробями. Примерами рациональных дробей служат дроби
5 Ъ — 3 x-f-y 3
а ’ 10 ’ х2 — ху 4- у2 ’ тг — п2 *
В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.
Пример 1. Найдем допустимые значения переменной е. 5 в дроби —— .
а (а — 9)
Чтобы найти, при каких значениях а знаменатель дроби обращается в нуль, нужно решить уравнение а (а — 9)=0.
Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 0 и 9.
Пример 2. Найдем значение дроби Э°—.Ь при а=-%-, Лаи о
Ь=—1,5: 2
За-Ь З'~3~(~1,5)= 24-1,5 3.5 g
2аЬ 2 1.5) 4’(”3) ~2
Пример 3. Пользуясь микрокалькулятором, найдем зна-
чение дроби при х = 3,724 и у
= 1,467. Результат округ-
лим до тысячных.
ИСААК НЬЮТОН (1643—1727)
— английский математик, механик, астроном и физик. Независимо от Лейбница разработал основы математического анализа, сформулировал основные законы классической механики, открыл закон всемирного тяготения.
Как и в курсе VII класса, мы будем описывать вычисления па микрокалькуляторе «Электроника МК-57».
Вычисление можно провести следующим образом: найти значение знаменателя и внести его в память (с помощью клавиши П+ ); затем найти значение числителя и результат разделить на извлеченный из памяти знаменатель. Программа вычислений будет выглядеть так:
ИП
Выполнив вычисления и округлив результат, получим 2,308.
1. Какие из выражений -^-а2Ь, (х — г/)2 —4ху, »
° ~12.аЬ ’ + являются целыми, какие — дробными?
2. Из рациональных выражений 7х2 — 2ху, ,
/ > \ b 1 о 1 9 а Л
а (а — Ь)--, —ттг-----п',------8 выпишите те» которые
v ' За 4 3 а 4-3
являются:
а) целыми выражениями;
б) дробными выражениями.
• 3. Найдите значение дроби -- при г/ = 3; 1; —5;
У 2
— 1,6; 100.
• 4. Найдите значение выражения:
.а — 8 п \ I 8 1
а) при а= — 2; в) хН----- при х = —;
' 2а + 5 н х — 1 н 2
б) Ь +Г> при 5 = 3; г) ------при у = 1,5.
’ 2Ь У у — 3
5. Чему равно значение дроби
н— 3, Ь=—1; б)
(д+ Ь)2 —1 а2 4-1 «=1-1-.
при:
Ь = 0,5?
а)
• (>. Заполните таблицу:
i Н : —' 1 : н i я -13 — 5 -0,2 0 1 17 1 СП оэ| ьэ 7
7. Для вычисления значений дроби —-— при а, близких к нулю, используют приближенное равенство —а.
Пользуясь этим равенством, найдите значение дроби:
_1
1,0 >.
f)
. 1 • \ 1
В‘ 0,99 ’ 0,997 ’
8. За t часов поезд прошел s километров. Выразите среднюю скорость v (в км/ч) поезда через s и t. Найдите v, если: a) i = 3, s = 180; б) t = 2,5, s = 225.
9. Из городов А и В, расстояние между которыми s километров, вышли в одно и то же время навстречу друг другу два поезда. Первый шел со скоростью Vi км/ч, а второй — со скоростью и? км/ч. Через t часов они встретились. Выразите переменную t через s, ш и и2. Найдите значение t, если известно, что:
a) s = 250, Ui = 60, i?2 = 40;
б) s = 310, i?i = 75, Р2 = 80.
10. Составьте дробь:
а) числитель которой произведение переменных х и у, а знаменатель — их сумма;
б) числитель которой разность переменных а и Ь, а знаменатель — их произведение.
• 11. При каких значениях переменной имеет смысл рациональное выражение:
х • б) ь + 4 • в) у2-1 I у г) а + 1° 1?
х — 2 ’ ' Ь' + 7 ’ ' у ' у — 3 ’ а(а—1)
• 12. Укажите допустимые значения I переменной в выра-
же нии:
а) лг —8х + 9; . Зх-6 в) 7 ; Д)^ Зх;
1 . х2 — 8 , х . х—8
' 6х —3 ’ ' 4х(х+1)’ С' х + 8 1 х
• 13. Найдите допустимые значения переменной в выраже-
нии:
а)Ц^; в) у2±Х- • ’ у:-2у ’ . у . 15 Д) у-б + у + б »
б» Д’ г) 32_j/-H ' У У~\~7 ’
14. Найдите область определения функции: v 1 2x4-3 , . 1
б> У“7+1Р в)у=х+1+5-
15. При каком значении переменной значение дроби — равно: а) 1; б) 0; в) —1; г) 3?
16. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби:
У-5 . ~ 2у4-3 , . *(*-!). х(х+3) 9
8 ’ °’ 10 ’ В' х + 4 ’ Г) х—5 ’
17. Определите знак дроби если известно, что:
и
и
а) О 0 и fe>0;
б) а>0 и Ь<0;
18. Докажите, что при чение дроби:
. 3
а) -» — положительно;
' х- 4-1
-5
б) *_|_4 отрицательно;
в) а< 0 г) а<0
Ь>0;
Ь<0.
любом значении переменной зна-
Ч (а-1)2
в) а2 10 неотрицательно;
. (Ь —3)=
г) неположительно.
— 0“ — 1
19. С помощью микрокалькулятора найдите значение дроби:
а) То ПРИ * = 2,47; б) ‘*+9 при х = 3,18.
их •£ ОХ А
Результаты округлите до сотых.
Упражнения для повторения
20. Преобразуйте в многочлен:
а) (х-10)(х + 10); д) (x-j-7)2;
б) (2а + 3)(2а — 3); е) (Ь-|-5)2;
в) (у — 5Ь)(у + 5Ь)-, ж) (а — 2х)2;
г) (8х + у) (у — 8х); з) (ab — I)2.
21. Разложите многочлен на множители:
u) 15ax + 2Qay; в) х’ — ху; д) a2-]-5ab;
б) ЗбЬу—Эсу; г) ху — у2; - е) 15с — 10с2.
22. Разложите па множители:
а) х2 — 25; в) а2 — 6а-f-9; д) а3 — 8;
б) 16 —с2; г) х2 + 8х + 16; е) Ь3 + 27.
2. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ. СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ
Мы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следующее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Иначе говоря, при любых натуральных значениях . а ас
а9 о и с верно равенство — = —.
Ъ Ьс
Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях а, Ъ и с, при которых знаменатель отличен от нуля, т. е. при Ь=/=0 и с^О.
Пусть -у = т. Тогда по определению частного а = Ьт. Умножим обе части этого равенства на с:
ас = (Ьт) с.
На основании переместительного и сочетательного свойств умножения имеем:
ас = (Ьс) т.
Так как Ьс=/=О, то по определению частного
ас
—=т.
Ьс
Значит, а _______________________ас
~Ь ~~Ьс ’
Итак, для любых значений а, Ь и с, где 6=/=0 и с=/=0, верно равенство
Ь ~ Ьс' t1'
Ранее тождествами мы называли равенства, которые верны при любых значениях переменных. Равенство (1) верно при всех значениях переменных, при которых имеют смысл его левая и правая части, т. е. при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства также называют тождествами.
Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
Два выражения, принимающие равные значения при всех допустимых для них значениях переменных, называют тождественно равными, а замену одного такого выражения другим — тождественным преобразованием выражения.
Мы доказали, что равенство (1) верно при всех допустимых значениях переменных. Значит, это равенство является тож-
_ а ас
деством. Свойство, выраженное тождеством — =~^» называют основным свойством дроби.
Поменяв в тождестве (1) его левую и правую части, получим:
J ас__ а
Ьс Ь
Это тождество позволяет заменить дробь вида тождест-
ОС
венно равной дробью -у, или, как говорят, сократить дробь ~ на общий множитель с числителя и знаменателя.
Пример 1. Сократим дробь .
Представим числитель и знаменатель этой дроби в виде произведений, содержащих один и тот же множитель Зу, и сократим дробь на этот множитель:
21у _ 7-Зу __ 7
Зу2 “ У-Зу — у
а2 —9
Пример 2. Сократим дробь —. , .
ао -|- <10
Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:
а2 —9 (а + 3) (а — 3)
<zb + 3t> — &(а + 3)
Сократим полученную дробь на общий множитель а + 3:
(а + 3) (а — 3) а—3
6 (а + 3) — Ъ ’
Итак,
а2 —9 __ а —3
а& + 36 Ь
Тождество (1) используется также для приведения дробей к заданному знаменателю.
Пример 3. Приведем дробь к знаменателю 35i/3.
Так как 35z/' = 7z/-5i/2, то, умножив числитель и знаме-
>
патель дроби на 5у~, получим:
2х
7у
2х 5у2 7у+ут
Юху2 35у3 ’
Множитель называют дополнительным множителем
2х
к числителю и знаменателю дроби —.
Пример
Для этого жим на — 1:
Дробь
4. Приведем дробь ——- к знаменателю х — 2у. числитель и знаменатель данной дроби умно-
5 _ 5-( —1) _ -5
2у — х~ (2у — *)•( — 1) х —2j/‘
можно заменить тождественно равным выра-
жением ------—, поставив знак «минус» перед дробью и изме
нив знак в числителе:
-5 _ 5
х — 2у х — 2у ‘
Вообще если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.
• 23. Укажите общий множитель числителя и знаменателя и сократите дробь:
. 2х а> -з7 ’ , 6а в> ^47; \ —2ху . Д) 5х1у .
«ч 15х • б) 25?’ . 7аЬ Г> 2Tb~c; . 8х2у2 24ху ’
0 24. Сократите дробь:
. 10xz а) 15yz ; в) -2Х--; ' — 4а2Ь д) — ах2 ху ; Ж) 24а2с2 Збас ’
ёа'о2 Ть- -6PJ7 . ’ — 2q3 ' е) Заху вау3 ; з) 63хУ 42x6t/4
о 25. дробь: Представьте частное В виде дроби и сократите эту
а) 4а2Ь1 :(2а4Ь2); в) 24p4g4:(48р2д2);
б) 3xz/2:(6x3z/3); г) 36т2п:(18лгп);
д) -32Ь5с:(12Ь4с2);
е) — 6ах:(—18ах).
0 "26. Сократите дробь:
86 4а2 . а5Ь3
а) бас ’ а:’Ь5
б) 5ау г) 7х:у е) xV
156у ’ 21ху2 ’
27. Найдите значение выражения:
8IG .
161-' ’
8125
27 м ‘
. 56m2n5
-35^?
25р4?
100р5д ’
а)
б)
'• Сократите дробь:
"(/’ -2) . gv 3 (х-Н4') . а6(у + 3) . 15а (а— 6)
5(6 — 2) ’ ' с(х-|-4) ’ В* а26(у + 3) ’ Г 206 (а —6)
- (.'.Э. Разложите на множители числитель и знаменатель
. ,1 ’.<>п и сократите ее:
За -1-126 . баб ’ в) 2а — 4 Д) а — ЗЬ
3 (а — 2) ' a~ — 3ab ’
, 156 —20с 106 ’ г) 5х (у + 2) . 6у+12 ’ е) Зх2 + 15ху * + 5у
>> 30. Сократите дробь:
Зу-1-12 ’ в) (с + 2)2 . д) а- + 10а + 25
7с2 + 14с ’ а2 —25 ’
6) ; ' х —9у г) 6с d—18с (d-3)2 ’ е) У--9 у2-6у + 9 •
31. Сократите дробь:
а2 —аб+62 а3 — Ь3
а‘ + 63 ;
32. Найдите значение дроби:
:1> ~1а6-262 при а=-2’ Ь=-ОД;
_£ 2_
’ l«c d--12fd- Р 3 ’ 2
>') ох‘ + 12ху 2 5ху + 10у н 3 у= —0,4;
’) л ’ |-6ху + 9у2 л ; io ~ ПРИ х=-1х’4 12ху .3.3^ Сократите дробь: -0,2, у =—0,6.
о) ' (-У 7) . . 2т +14 у (у 7) ’ 1 m2 —49 • «> • 1K>2v£4i!
»>) 10<i 156 . , р2 — 2Hq2 l(i« 216 ’ Г) 2р—10q . Зу24-24у . . 6 + 2 ’ f у2 + 16у + 64 ’ 3J 63 + 8 ’
З-f. Представьте частное в виде дроби и сократите дробь:
«0 (‘.•.у' I/"):(Зх | //); в) (х24-2х-|-4):(х3 —8);
г>) (2аЬ а):(4Ь" ЛЬ |• 1); г) (1 + а3): (1 + а).
а)
б)
35. Сократите дробь:
2х4~ 6х — 2у — by .
7х — 7у '
8g 4- 4b
2аЬ~УЬ2 — 2ad—bd ’
36. Из выражений —
в)
г)
ху — х+у — у- .
X2 — у2
а2 4-2ас4-с2 а2 4- ас — ах — сх
У -У
— выпишите те,
У
которые:
а) тождественно равны дроби -у-;
a)
б)
a)
б)
б) противоположны дроби
37. Упростите выражение:
Д-Ь . (а—Ь)2 .
6—а ’ ' 6—а ’
(а — Ь)2 \ а—Ъ
r)(S^F;
38. Сократите дробь:
а (х —2у) .
Ь (2у — х) ’ 5х (х — у) .
Д)
e)
( — a—b)2 .
(д4~ Ъ)~ (-а-ьу
a)
6)
a)
a)
a)
. За — 36 в) -------:
’ 126 — ab
. 76-1462 г) ---:-----,
’ 42b2 — 216 ’
хл (у — х) ’
39. Сократите дробь:
ax-f-bx—ay — by
Ъх— by ab — 36 — 2а4- 6
15 — 5а ’
в)
r)
Д)
e)
25 —а2 .
За —15 ’
3 —Зх
x2 — 2x4-1 ’
7р —35 .
15 —Зр ’
18а —За2 .
8а2 — 48а ’
40. Упростите выражение:
. 862 — 8а2
а2 —2а64-62 ’
з) (Ь~2)3
' (2-6)2 •
\ 4-х2 .
Д) 10 —5х ’
. а2 — 6а 4- 9 е) 27 —а3
67-б'° 65 —62 ’
41. Найдите значение выражения:
аа-|-а'> 1
——- при а = ——;
а'-у а' 2
42. Сократите дробь:
(2а-2 b)2 . (3c-|-9d)2 .
а—6 ’ с 4-3d ’
43. Приведите к знаменателю 24а3Ь2 следующие дроби:
56 7а_
Ba’ ’ 36'
б)
У —У
в)
D 4FF5
6'°-6e
б> 6е-6s
при
6 =—0,1.
. (3x4-бу)2. ’ 5х4-10у ’
г)
4х2- у2 (10х4-5у)2 •
1 2
2аЬ ’ а2Ь2 ‘
44. Представьте выражение 2а + b в виде дроби со знаме-нателем, равным:
;») Ь; б) 5; в) За; г) 2а — Ь.
45. Приведите дробь:
а) —к знаменателю (а — Ь)2;
б) —— к знаменателю х2— а2;
’ х—а ’
н) к знаменателю х3— 1;
X — 1
\ За 3 .3
г) т;—к знаменателю а — Ь ;
а^+аЬ + Ь
ч 7
д) ---г к знаменателю о — у;
у — о а
е) —к знаменателю 10 — а;
' а —10
ж) ^2 к знаменателю 4—р2;
з) к знаменателю 2 (а2 — 9).
46. Приведите дробь:
а) к знаменателю 15х2у2;
б) тД- к знаменателю З5а3с3;
7а с
и) —Д; к знаменателю а2 —2а;
’ а — 2
г) * к знаменателю х34-1;
Ж | J.
х 12
д) —— к знаменателю х — у\
' у—х
е) —к знаменателю 16—а2.
' а—4
Упражнения для повторения
47. Решите уравнение:
а) — 5х --16; в) х = 4; д) 0,6х = 3;
б) 2х^--; г) 4х= —2; е) -0,7х = 5.
48. Упростите выражение:
II) НЬ’ СЛЬ I 5)(ЗЬ 7);
6) Hix' (4.v | О,5)(4х~-0,5);
и) 'Лу (у l,5.v) 5(х | Лу)(у — х);
г) 3 (а 'ЛЬ) ('ЛЬ | а) 0,5b (а — 24д).
49. Разложите на множители:
а) 5Ьс — 5с; г) 5у — 5х + у2 — ху, ж) х2 + 10х + 25;
б) 10п + 15п2; д) pq — 4р+12 — 3g; з) у2 — 2z/ + l;
в) 8ab + 12Ьс; е) а2 —9; и) «3+ 64;
к) Ь3 — 1.
50. Не выполняя вычислений, расположите выражения ^:6, А.од, ^.(_7)
в порядке возрастания их значений.
Контрольные вопросы
1. Приведите примеры целых выражений, дробных выражений.
2. Какую дробь называют рациональной? Приведите пример.
3. Дайте определение тождества. Приведите пример.
4. Сформулируйте и докажите основное свойство дроби.
5. Сформулируйте правило об изменении знака перед дробью.
§ 2. СУММА И РАЗНОСТЬ ДРОБЕЙ
3. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ
При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складывают их числители, а знаменатель оставляют прежним. Например:
_2, 3 _2 + 3_ 5
7+ 7 — 7 — 7 •
Таким же образом складывают любые дроби с одинаковыми знаменателями:
а . & а-|~ Ь с ' с с
Докажем, что’ это равенство верно при любых допустимых значениях переменных, т. е. при с#=0.
Пусть = т, = п. Тогда по определению частного а - ст, Ъ = сп. Отсюда а + Ь = ст-\-сп = с (т-\-п\ т. е. а 4- b = с (m + n). Так как с+=0, то по определению частного
I а+ Ь
т-\-п——— . с
Значит, при с=#=0
а . Ь а 4- Ь
с ‘ с с '
получили тождество, из которого следует правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.
Это правило применяется при сложении любого числа дробей с одинаковыми знаменателями.
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями выполняется аналогично сложению.
Докажем, что при любых а, Ь и с, где с =#= 0, верно равенство
а Ь а— Ъ
с с с ’ а_ь ь
Для этого докажем, что сумма дробей —— и — равна дроби —. Действительно,
а—6 , Ь а—Ь + Ь а с с с с '
Из доказанного тождества следует правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.
т-г -I z-i zr За —7Ь 2а4-2Ь
Пример 1. Сложим дроби , g t и „ ' и :
15аЬ 1ddu
За — 7Ь . 2а + 2&За —7&4-2а + 2Ь 5а —5Ь 5 (а — Ь)а—Ь
15аЬ 15аЬ 15аЬ 15аЬ 15аЬ ЗаЬ
Пример 2. Вычтем из дроби ° ~|~9 дробь -6° :
5а —15 5а—15
а2 4-9__6а а2 -|~ 9 — 6а (а — З)2 а — 3
5а—15 5а —15 5а—15 5 (а — 3) 5
Пример 3. Упростим выражение
х2 —3 . 2 2х —1
х'4- 2х ' X- 4- 2х X- -I-2х '
Здесь удобно сложение и вычитание дробей выполнять не последовательно, а совместно:
х-' -З __2_____ 2х -1 __х2 —34-2 —(2х-1)_
Х’-| 2х х‘ | 2х лЛ’-|-2х xj4~2x
_ х2 • 1 2 г | 1__х2 — 2х______х (х — 2) х —2
х ' | 2х х2 4- 2х х (х 4- 2) х -h 2 '
Пример 4. Сложим дроби За и .
1 г 2х — а а— 2х
Знаменатели дробей являются противоположными выражениями. Изменим знаки в знаменателе второй дроби и перед этой дробью. Получим: бх 6х а — 2х 2х — а
Теперь можно применить правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:
За , 6х ___ За_____6х _За— 6х__—3 (2х —а)__з
2х — а г а — 2х 2х— а 2х — а 2х — а 2х — а
• 51. Выполните сложение или вычитание:
а) 2L+JL; в) JL. + 2а 3^3’ ’ У У д) х + у 9 X . 9 ’
б) a b , 5b2 13b2 ЕЕ* Г) , 5 5 а а е) 2с—х X
Ь ь ’
• 52. Представьте в виде дроби:
а) т т — р ' *4-5 *4-2. д) 1у — 13 2у4-3 _
р р ’ 9 9 ’ 10у 10у ’
б) a-f-b a —2b . Их —5 . Зх—2 е) 8с 4-25 , 5 —2с
6 6 ’ *' 14х ' 14х ’ 6с 1 6с ‘
• 53. Преоб? l зуйте в дробь выражение:
а) 2х-3у . '*/-. а — 2 । 2а 4-5 3 1—а #
4ху । • 4ху ’ * 8а 1 8а 8а ’
5a4-Ь5 5a-7b5 . . 7у —5 10у—19 . 10 —15у .
8b 8b ’ 12у 12у 1 12у ’
в) Зх —у4 У4 + Зх . . 4у5 4у5 ’ ' 11а —2Ь । 2а — ЗЬ а — Ь
4а 1 4а 4а
• 54. Упростите выражение:
а) 17 — 12х , 10 — х > ; д) X X Зр —q 5р 2р4-6д 5р Р —4g . 1 5р ’
б) 12р —1 1-Зр. ч 5с —2d 3d . d- -5с .
~3рг~ е) 4с 4с 1 4с ’
в) бу-3 у4-2 . . 5у 5у ’ ' 2а 1- 6а । 13 — 8а ,
Ь 1 > 1 b ’
Ь 3a —2Ь , у 6 6’ ' 4Ь —2 2Ь—1 , 1
г) ЗЬ зь "* ЗЬ ’
• 55. Упростите выражение:
а) 16 X —4 X2 х —4 ’ в) За —1 а2 —62 36 — 1 . а2-Ь2 ’
б) 25 а 4-5 а^_. л -р 5 9 г) ж-3 ?=64Ч 11 X2—64 ’
, 2a-j-b.2b — 5а (а-6)2"1” (а-6)2 ’
. 13х4-6у__llx-f-4y
(ж-i-y)2 (ж+у)2
56. Докажите, что:
а)
б)
выражение
выражение
(а-ЬЬ)2 (а-Ь)2
аб ab
(а4-Ь)2 (а—6)2
тождественно равно 4;
г , . а тождественно равно 2. а -f- о
57. Найдите значение выражения:
. х2 +1 10 п„
а)7=з-—з при х = 97;
у + 7 2у + 2 у2-25 у2 —25
при у =—5,1.
58. Найдите значение выражения:
а2 — 43 7 __ ,л ос
а)----— Н----z при а = 10,25;
а — о а—о
б) 96-1 66-10 62 —9 62 —9 при Ь = 3,5.
• 59. Упростите выражение:
а) X 4- 5 • в) 2т , 2п д) ^6- w а-4 . «а .
у-1 1 1-У’ т— п 1 п — т ’ * 4—а ’
б) а 6 . г) 5р । 10g . . х24-9у2 ' * —Зу 1 бху
с —3 3—с ’ 2g—р р —2g ’ 1 Зу-х '
• 60. Выполните сложение или вычитание дробей:
а) Юр P — q । Зр ф 9 — Р ’ в) х —3 2 . х— 1 1 —х ’ 3 . 9 — а2 ’
б) 5а । 56 . г) а । 3d b в е) —I— ’ у-1 1 1 1
а — Ь 1 6—а ’ 2а —Ь 6 — 2а ’ -у ‘
61. Докажите, что при всех допустимых значениях х значение выражения не зависит от х:
3x-f-5 . 7х | 3
2х —1 -г 1 - 2х ’
5x4-1 Х4-17
5х — 20-*- 20-бх '
G2. Упростите выражение:
, х2 25 -v х2 + 25 . 10х
а' "(х —5); —(5 —х)2 ’ (х —5)3 ' (5 —х)3 '
63. Преобразуйте в дробь выражение:
, х2 8 (х — 2) . 64 — 2ab , 2аЬ— а2
7^16 х2-16 ’ (а —8)2 п“ (8-а)2 '
„ . „ а + 5 а . 6 г-
64. Пользуясь тождеством —= ——|—— , представьте дрооь
в виде суммы дробей:
а + ь . бч 2а'2+а , . x2 + 6y2 . . 12а + г/2 .
*! х ' у ' ’ 2ху ’ } бау
65. Представьте дробь в виде суммы или разности дробей:
ь)^-; б)^; в)^±1; Г)^-6.
Упражнения для повторения
За2
66. Найдите значение дроби 2а—\ :
а) при а = 2; б) при а=—.
67. Решите уравнение:
а) 3 (5х —4) —8х = 4х + 9;
б) 19х —8 (х —3) = 66 —Зх;
в) 0,2 (0,7х - 5) + 0,02 = 1,4 (х - 1,6);
г) 2,7 (0,1х + 3,2) + 0,6 (1,3 —х)= 16,02.
68. Разложите на множители:
а) 8х' — 16х3у; г) 18b2 —98а2; ж) аЬ + 8а + 9Ь+ 72;
б) 15xt/5 + 10z/2; д) х3—125; з) 6т — 12 — 2п + тп.
в) 8а2 — 50z/2; е) i/3 + 8;
69. Укажите допустимые значения переменной в выражении:
За . 2у . 5х _ч 7а
2а+ 25 ’ 9+р ’ Зх(х + 12) ’ (а + 1)(а-4) ‘
4. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями.
Пусть требуется сложить дроби и . Приведем эти Ь а
дроби к общему знаменателю bd. Для этого числитель и знаменатель первой дроби умножим на d, а числитель и знаменатель второй дроби умножим на Ь. Получим: а ad с be
b bd ’ d bd'
Теперь можно воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями:
- < . I с ______ad , be_ad + bc
J ~bd^~'bd~ bd '
Итак,^ ' • a , c _ad + bc
' ~b ~d ~ bd
Аналогично поступают при вычитании дробей с разными знаменателями: а с ad be ad—be
~b d"~~bd~'bd~ bd '
Значит, a c __ad — be
b d bd '
При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями часто удается найти более простой общий знаменатель, чем произведение знаменателей.
х 5
Пример 1. Сложим дроби -гтт и т-г?.
г 4а b 6аЬ
Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен 12а3Ь4. Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взята с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей равны ЗЬ3 и 2а2.
Имеем:
х____5 _ х-3d3 + 5-2а2 = Зд3х+10а2
— 12а3 b* ~ 12а3 Ь1 *
Пример 2. Преобразуем разность
а + 3 b —3
a2-{-ab аЪ + Ъ2 *
Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель каждой дроби на множители:
а + 3 _ Ъ — 3 _ а + з _ Ь—3 а2+аЬ аЬ + Ъ2 а (а + Ь) Ь (а + Ъ) *
Простейшим общим знаменателем служит выражение ab (а 4- Ь). Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей равны Ь и а.
Имеем:
а + 3 _ Ь-3 __ а + 3 _ Ъ — 3 _(а+3) Ь-(Ь-3)а_ a2+ab аЬ+ Ь2 а(а+Ь) b(a+b) аЬ(а+Ь)
_аЬ + ЗЬ—afr + За_ З(а+Ь) _3 ab(a + b) ab(a+b) аЬ *
Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преобразованию суммы или разности дробей.
Пример 3. Упростим выражение а — 1 — & .
Представим выражение а — 1 в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание дробей:
а2 —3_а-1 _а2 —3_ (а—1)(а+1)—(а2-3) а+1 1 а+1 а+1
а2 —1—а2 + 3_ 2
~ а + 1 а + 1*
• 70. Представьте в виде дроби:
ч X , у а) IT-' з"’ 'tai' «у| (Ь 1 »1 =£ ж) 5х , х 8у + 4? ;
б) —; ' 4 12 ’ . _3 2_ . Д' 2х Зх ’ з) 17у 24с 25у . 36с ’
в) 3 Р , а . За 5?+47 ; и) 5а 18b 7а 45b ’
• 71. Выполните сложение или вычитание:
a) 5у —3 6Р । У + 2 . 1 4у ’ В) Ь + 2 Зе—5 .
15b 45с ’
б) Зх + 5 х—3 . г) 8Ь + у 6у + Ь
35х 1 21х ’ 40b ЗОу *
<9 72. Преобразуйте в дробь выражение:
Зх 5х . 7а 2а v 15а—6 а — 4Ь
а) б) Э 4 9’ f 12b 156 ’ 12а 6а За. . 9р 7р_ . 7х + 4 54’ 10 12 ’ 1 Sy 73. Выполните сложение или вычитание: 9а ’ Зх—1 бу
а) _Ъ 1_. . 1 , 4 —2а’ . _2 _ ’ В) п_7 1 _10 » а а ла а . 2а — 36 Д) а2Ь । 4а —56 . 1 аб2 ’
б) е) 2у —х
• а) б) х х а ab 74. Представьте в виде дроби: 2ху —1 Зу —х . . 1 4х’ 6х2 ’ ' За’ 1 — б2 . 26’ —1 . 62 ЗаЬ 1 баб2 ’ бх5 ху 2 . 5а5 ’ 6 Зх6 ’ X у
• 75. Преобразуйте в дробь выражение:
1 1 ас Ьс । аб — а 6 —а । с — 6 с — а .
б) аб ' аЬ — t а2 —б2 аЬ 1 _ч За64-2Ь2 6с ас ’ а4-26 ] а- -26
а 6 аб f аб а" 1 6 ‘
• 76. Выполните вычитание дробей:
а) *—у X — Z . в) р — я Р + <7 . . 36 + 2с Д) 962с 2с —56 .
*У XZ ’ РЛЯг *2_3 ’ р Q 66с2 ’
а —2Ь 6 — 2а г) Зт— п 2п — т . . 2х-7у 2х2у 5у —8х
б) 36 30 ’ Зтгп 2тп‘ ’ 5ху2 '
• 77. Преобразуйте в дробь выражение:
а) в) За—д) ^-а; ж)
у 4 а ла
б) -—а; г) 5Ь—?--, е) 2р-^~; з)
'а ' Ь ' 2р ' 2Ь
• 78. Преобразуйте в дробь выражение:
а) 5-4-; п 2 15у2 — 1 б) 5/ ; \ 1 L. ® — 3 В) а + Ь 3 ; . 262 —1 . . t Г) — Ь + 5.
79. Представьте в виде дроби:
. . а Ъ . а — 2 . а —3 . а-т-b . ,
а) Х—5—Г’ В)~2----1--3“; Д)~----G + fe;
_.ч 1 1 ч . а— 1 а+2 ч , в"4-Ь‘
б> 12~а—Ъ' Г) 4а 4----3“; е) а+Ь ~
® 80. Упростите выражение:
л > х-у.х+у. о 2х — у , х + 4«
а) Х 2*4’ в) Л 4 1 12
3 о 5 ба — 4Ь Ь-\-"а п
б) 2 ; X X Г) 5 3 2'
• 81. Представьте в виде дроби:
а) Ь-с , ъ . &+с ’ в) тп тп — п п ч т + п ’ Д а а+2 а а —2 ’
ъ +
б) х+1 х —2 — х + 3 X ’ г) 2а 2а — 1 2а+1’ е) Р Зр-1 Р Зр+1 •
82. Преобразуйте в дробь выражение:
а) Зх 2{/ . в) 3 । 2 . । by-bx ? Д) а а
5 (* + jO 3(x+j/) ’ ах —ау 2х + 4 Зх 6 *
б) а2 г>2 г) 13с 126 • е) Р 1 1
5 (а — •Ь) 4 (а — Ь) ’ Ьтп— Ьп 9 С J сп^ст ' 7а-14 1 2 —а’
• 83. Выполните сложение или вычитание дробей:
_Р______Р_ • В) ° I ° •
> 2х + 1 Зх — 2 ’ 7 5х —10 ' 6х —12’
I 2а . 5Ь b
°' х-2у+7+7’ Г' 12а —36—48—16а ’
84. Докажите, что при всех допустимых значениях у значение выражения не зависит от у:
а) 51/ + 3 7</ + 4 . Иу+13 , 15у + 17
2у + 2 3// + 3 ’ Зу-З 1 4-4у '
• 85. Упростите выражение:
а) 1 X . Ь 4а 2а2 — ab 2аЬ — Ь2 ’
ах-х2 1 х — а *
б) Ь2 — 4&1/ i,J . г) /У 9х
2у--Ьу b-2y ’ L> Зх2 + 2ху Зху + 2х2
0 86. Упростите выражение:
х —25 , Зх + 5 . . 1,1.
5х —25^ х2 —5х ’ P+"Pr4b+P ’
12 — у 6 . 1 1
бу — 36 у- — бу’ f b2 — ab ab — a~'
87. Преобразуйте в дробь выражение:
. .. а -4- Ь . । а2 9 „
а) 1-4- ; в) т — п + fдм х----- — 3;
' а—Ь ' т + п х — 3
<Г\а2 + Ь2 ч . , а24-Ь2 . о а4 + 1 ч
,6Ъ—4 а\ г) а-\-Ъ--е) а~-------4^+1.
' а — Ь а + Ь а —1
88. Выполните вычитание дробей: g2 + 3g_____° . б) _У____________*1__
’ ab-5b + 8a — 40 Ь + 8 ’ 7 Зх-2 6ху + 9х — 4у-6 ’
89. Преобразуйте в дробь выражение:
. х2 _ х . ,ч Зх . х2 + 3х
а Зах —2— х-(-6а За— 1’ 2у-{-3‘4ху — 3 — 2j/ + 6x‘
• 90. Выполните сложение или вычитание дробей:
„х х2 —Зху . у . . а —2у у2 — 5ау .
' (* + </)(* — У) ’Г х-у ’ ' а + у а2 —у2 ’
с Ь2 — ЗЪс ZЛ а + 3 1
6)j—czp^i-p+7*
91. Преобразуйте в дробь выражение:
al b~& I 2 . х х— 12а 4а
4 —b2 25 — Ь2 ’ х2 —16а2 4ах —х2 ’
г-. Ъ_____15 Ь — 25а. . а — ЗОу 10у
ab — 5а~ Ъ2 — 25а2 ’ Г а2 —1001/2 Юау —а2 ’
• 92. Представьте в виде дроби:
а) g + 4__Л-- п) 3 I & + 7 • (g + &); I (g-fe)2
' а2 —2а а2 —4 ’ ' 2& + 1^ 1 —4Ь2 ’ а2 + аЬ а2 — аЬ ’
4 — х2 * + 1 . . 5Ь . 16аЬ + 30Ь. . х2 —4 х2 + 4х + 4
*/16-х2 х + 4 ’ Г' 4а —5^ 25-16а2 ’ е' 5х-10 — 5х + 10 ’
93. Упростите выражение и найдите его значение при х= -1,5:
„х х +1 х+ 2 . х + 2__1 + х
' х2 — х х2—1’ ' х2 + 3х х2 —9’
94. Выполните сложение или вычитание дробей:
\ д2 + ь2 1 . . 1—в । в2
) в34-ь3 в4-Ь ’ ) в3 —в4-1
1 __ Зрд . . 6а34-48а
р — q P3 — q3 ’ ™ а3+ 64
95. Представьте в виде дроби:
4______3 12 .
у + 2 у —2' у2 — 4’ _а______3 а2 . а —6 а + б'Зб-а2’
96. Преобразуйте в дробь
2а + Ь 16a 2а — Ь
2а2 —ab 4а2 — Ь2 2а2 + аЬ ’
1 2,1.
(а —З)2 а2 —9' (а+3)2’
б)
а)
в)
б)
а)
б)
а)
б)
а)
б)
г)
х2 (x-yf ь
За2 а2 —4а+16 '
х + у . 2х —2у ’ а + Ь
(а — b)2- b2—ab‘
выражение:
х—2______6х 1 .
х2 + 2х+4 х3 — в-! х— 2’
2а2 + 7а 4-3 1 —2а 3
в3 —1 в2 4- в 4-1 а — 1 *
97. Упростите выражение:
1______1______2а .
а — 4Ь a-j-4b 16b2—а2 *
___J I _______I “ • 2Ь — 2а ' 2Ь + 2а ' d2b—b' ’
98. Докажите, что
3 । а2
а3—За ' а —3
а°___________________
а2 — 4 а — 2 а + 2
в)
г)
. 1 . 6Ьх
В' 2х-Ь ' Ь3-8х3 ’
. 2у2+16____2_
' у3 + 8 у + 2'
тождественно равны выражения: „ I о I 9а + 3 .
а + 3+^3^’
и а — 1.
и
а
2
99. Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения:
X2 I Зх Зх2_1 4 х I 1 6
а) — ----------——----к 2х является положительным числом;
' х+2 х— 4 1
2u’ + 3u + l у3 + 2у
———----------* является отрицательным числом.
100. Две речные пристани А и В расположены на расстоянии s км друг от друга. Между ними курсирует катер, скорость которого в стоячей воде равна v км/ч. Сколько времени t (в часах) потребуется катеру на путь от А до В и обратно, если скорость течения реки равна 5 км/ч? Найдите t при: a) s = 50, v = 25; б) s = 105, и = 40.
101. Туристы прошли з км по шоссе со скоростью v км/ч и вдвое больший путь по проселочной дороге. Сколько времени I (в часах) затратили туристы, если известно, что по проселочной дороге они шли со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем по шоссе? Найдите t при з=10, и = 6.
Упражнения для повторения
2х^ I х_1
102. Найдите значение дроби 4ха_зх_|-2 пРи:
а) ; б) х= — 1.
А
2х_5
103. Функция задана формулой у =—г—. Найдите значе-V
ние функции при х, равном —2; 0; 16. При каком х значение функции равно 3; 0; —9?
104. Функция задана формулой у х — 4. Постройте график. Найдите по графику: а) значение функции при х, равном 6; —6; б) при каком х значение функции равно —2; 0.
105. Постройте в одной системе координат графики функций у = — 4х + 1 и у = 2х — 3 и найдите координаты точки их пересечения. Ту же задачу решите без построения графиков. Сравните полученные результаты.
106. В совхозе имеются две силосные ямы. В первую яму заложили 90 т силоса, во вторую 75 т. После того как из первой ямы взяли силоса в 3 раза больше, чем из второй, в первой яме силоса осталось в 2 раза меньше, чем во второй. Сколько тонн силоса взяли из первой ямы?
107. а) Из формулы и=-|- выразите: переменную з через v и t; переменную t через з и v.
б) Из формулы Р=~~ выразите переменную v через р и т.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
2. Сформулируйте правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
3. Как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знаменателями?
§ 3. ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ
5. УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕН. ВОЗВЕДЕНИЕ ДРОБИ В СТЕПЕНЬ
При умножении обыкновенных дробей перемножают отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записывают в числителе, а второе — в знаменателе дроби. Например:
2 4 _ 2-4 _ 8
3 ' 5 ^3 5 “ 15 •
Таким же образом перемножают любые дроби: а с _______________________ас
~b"~d~~kd ’
Докажем, что это равенство верно при любых допустимых значениях переменных, т. е. при Ь=#=0 и d=#=0.
Пусть -у = т, -у = п. Тогда по определению частного а = Ът, c = dn. Отсюда ас = (Ьпг) (dn) = (bd) (тп). Так как bd=#=O, то из равенства ac = (bd)(mn) по определению частного получим: ас тп=— • bd
Значит, при Ь#=0 и d=^0 а с _______________________ас
~b"~d~~bd '
Мы получили тождество, из которого следует правило умножения дробей: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.
тт it— -в3 а 66
Пример 1. Умножим дробь на дробь :
а3 66^ а3-66 _ За 462 а2 462-а2 26
Пример 2. Умножим дробь на дробь ^27^ :
pm -|- 2р рт~ _ р (т + 2)-ртг _ ргт
т т- — 4 т-(т — 2)(т + 2) т — 2
X _ 1 X “I- 1
Пример 3. Представим произведение •—— в виде
рациональной дроби:
х -1 х-Ц _ (х-1)-(х-Ц)_ X2—1
х | 2 х (х-|-2)-х х2-|-2х"
Пример 4. Умножим дробь на многочлен х2— а2.
При умножении дроби на многочлен этот многочлен записывают в виде дроби и затем применяют правило умножения дробей:
х-'га . 9 х + а х'-а-
—— • х — а- =—X--------— =
х — а ' х — а 1
(х+с) (х — а') (х+а)гх а\2 х — а \ I )
Правило умножения дробей ние трех и более множителей.
распространяется на произведе-
Например:
а с т ас т сст Ь d п bd п bdn
Рассмотрим вопрос о возведении дроби в степень.
Преобразуем выражение > являющееся n-й степенью
дроби -у. Докажем, что
/а\п а"
W)
По определению степени имеем:
(\ fl а \ ___ а а а
~Ь~) ~ ~"Г‘
п раз
Применяя правило умножения дробей и определение степени, получим:
п раз
а а а аа-...-а а"
Ь Ь b bb-...-b b"
п раз п раз
Следовательно,
а"
~Ъ‘Г '
Из доказанного тождества следует правило возведения дроби в степень: чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби.
_ _ .. 2а2
Пример 5. Возведем дробь в третью степень:
/ 2а2 \ 3(2а2)1 8а°
• 108. Выполните умножение:
. 5 2Ь а) з/'Т
. Зх
в) Т
ж)
12х5 15
25 ' 8х2
. Ь2 5
Д) 10 ' ь
5а _7_ . х 18 с3 . . 3 16а2
Sy ’ 10 ’ Г' 2а' 3 ’ е' с4 ' 24 ’ 3' 4а3' 9 ‘
• 109. Представьте в виде дроби:
Зх ю
41/ "зР ’
2,5 4а3 .
2а2 ' 562 ’
г)
т2 24
16 тп *
д)
240
1 Зх . 9х3 2р *
е) 14аЬ-
• 110. Выполните умножение:
а)
12 х3
5х 12а
8с2 1
15m 4с2 *
11а4 126 .
6 ' а5 ’
Г)
4п2 9м
3 m2 2
111. Преобразуйте в дробь выражение:
112. Упростите выражение:
а) 48х5 49г/4 7/ . '16х3’ В) 15р4 8g6 16/ . 25р3 ’ д) 35ах2 12/1/ Sab . ' 21x1/ ’
б) 18m3 22п4 Г) 72х4 / 2,5/ > е) - 25х3/ / 21аЬ>
lln3 9m2 ’ 25/ к 27х5 / J 9 14а26 к 10х2//
113. Выполните умножение:
, 14а26 а>-зР-' 8х2 . 21а26 ’ в) 10х2/ 9а2 27а3 . 5x1/ ’ д) 13х . 2 12mn2
сл 9а2 бах 2m3 / 7а26\ , / Их2'
°' 25х21/ бу ’ Г) 35а3Ь2 к 6m3/ ’ аЬ\ зРР,
114. Упростите выражение:
v 2а2» В*2!/z бах . ЗхуОаб2 1562 ’
6m3n2 49n4 5т4р2
З5р3 m5p3 42пв
• 115. Возведите в степень:
а)
б)
б)
116. Возведите в степень:
117. Представьте в виде
в
2а2Ь Зтп3.
дроби:
4
з
10т2\3 п2р /
118. Выполните умножение: х2—ху у2 . у х ’
За ab + b2 . V 9 ’
т — п
в) ----
тп
2тп . тп— т2 ’
ах + bx .
. 4аЬ
' cx-f-dx 2аЬ
119. Выполните умножение:
») (*-4)uT2?;
в)
г)
У
Д)
е)
mi
ах —у
5х2у1
2mj „ пЬ-гпа ’
.( / 6хУ
\ by — Ьх/ '
.(^-4^4);
Зу2-12 а^-^4-^-^-9Ь2).
120. Представьте в виде дроби:
а)
б)
kx + k2 X . j? x + k ’
ax-f-ay х2у
ху2 Зх + Зу ’
г)
ху а + а2
а2 + а3 х2у2 ’
6а 2х — 2 X2 —х Зах ‘
б)
а)
б)
121. Упростите выражение:
х2 — у2 2х
2ху х + :
4х2 х2 —9
122.
в)
у2 —16 бу ,
Юху ’ Зу4-12 ’
За —ах 4х
. Ь — а ЗаЬ
Г) ~а^-
Представьте в виде дроби:
1а —ЧЪ . . (х + 3)2
В' 2х —4
г)
' 2у + 12
а2 —1 а — Ь
Ь2 + 2Ъс 5& + 15
&+3 ' Ъ2 — 4с2 ’
3x4-9 ’
У2-36 2у-10 ’
123. Найдите значение выражения:
, Зтп — т IGm' — n2 1
а) —:—;-----=----— , если т = — , п =
4ni-|-n 5n —1 4
(х-|-2)2 2x4-6 пс . _
б) —г«------...т. , если х = 0,5; —1,5.
Jx ~г У х — 4
124. Выполните умножение:
х2 — 1 О X у ч а2 — 62 2а —6
а) 5х</ 'T+i* * * * * В> а2 — За (а 4- ЬУ ’
8п2 ,m2-4m. . 6x4-36 (х-5)2
т2 — 1 6 6п ' х2 —25 ах 4-За '
125. Представьте в виде дроби:
а) тх2 — ту2 Зт -|-12 2тп-|-8 тутх ’ г) а2 — 1 а~ — а 4-1 а3 4- 1 а2 4-2а 4-1 ’
б) ах + ау х2 — ху . д) Ь3-8 Ь-|-3
х2-2ху + у2 7х + 7у’ Ь2-9 Ь-'4-264-4’
в) х'' — у:' х2 — у2 е) с24-6с-)-9 с2-Зс-|-9
х4-у х2 + ху + у2 ’ с’ + 27 Зс4-9 '
126. Упростите выражение:
а) х2- 10х + 25 х2 -16 . 3x4-12 2х—10 ’ в) у2 —25 Зу4-18. у2-]-12//+ 36 21/4-10
б) 1—а2 а24-4аЬ-|-4Ь2 . г) 4- 8 2Ь 4- 3
4а -j-- 8 Ь 3 — За 18Ь24-276 Ь2 —264-4 ’
Упражнения для повторения
127. Упростите выражение:
а)
б)
2а + 3с 2Ь — За 2с (За4- Ь)
2а + с За-|-6 6а2-|-2аЬ4-Зас-|-Ьс ’
а2 — 4ас-|-36с . а4- ЗЬ . а 4-2с
а2 — аЬ4~Ьс — ас ‘ Ь — а * а —с
128. Первые 30 км велосипедист ехал со скоростью v км/ч, а остальные 17 км — со скоростью, на 2 км/ч большей. Сколько времени затратил велосипедист на весь путь? Обозначьте время
(в часах) буквой t и найдите t, если: а) и = 15; б) v = 18.
129. Постройте графики функций у = 1,2x4- 0,9 и у = = — 1,3х 4- 4,4. Найдите по чертежу координаты точки пересечения графиков. Каковы абсолютные погрешности приближенных значений абсциссы и ординаты точки пересечения?
130. Выразите х через а и Ъ:
а) Зх4-Ь = а; б) Ь — 7х = а—Ь; в) -^-4"1 = &; г) &—а.
6. ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ
При делении обыкновенных дробей первую дробь умножают на дробь, обратную второй. Например:
8 5 — 8 ‘ 2 —' 16
Так же поступают при делении любых дробей. Докажем, что равенство а , с a d b ’ d be
верно при любых допустимых значениях переменных, т. е. при
Ь = 0, с^=0 и d^=0. Для этого докажем, что произведение a d с а
-Г' — и Равно Т-о С а и
Действительно,
п, / a d \ с а
Так как ( — —=—, то по определению частного
а . с _ a- d
b ' d b с ‘
Из полученного тождества следует правило деления дробей: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
Воспользовавшись этим тождеством и правилом умножения дробей, получим: а ф с a d ad b * d b c be *
tt 1 7a2 _ 14a
Пример 1. Разделим дробь -тг на дробь -г- : ь ь
7a2.14a 7a2 b a
~br'~b~~~br’T4^~~2b^'
Пример 2. Разделим дробь х 2 на дробь
х —2. х + 1 х —2 х + 2 х2 —4
х ' х + 2 х х + 1 х2 + х '
Пример 3. Разделим дробь
а2 —9 . о
—-— на многочлен а-+3.
Зу
При делении дроби на многочлен этот многочлен записывают в виде дроби и затем применяют правило деления дробей:
а2 — 9 а2 — 9.а + 3 а2 —9 1 _а — 3
Зу + Зу ’ 1 ~ Зу "а + 3- Зу '
• 131. Выполните деление:
а) _|^1^ . в) . д) Ш:(22?). ж) Jgl:(9c2</);
е)27а3:^; з) Збх^.
• 132. Упростите выражение:
6х2. Зх . 5у ' 10у‘ ’
12р2. 6р3 .
7d4 *35d2 2
,, 8с . 6с2
°* 213!‘'7d
г)
9у2 у5 .
20х3* 16х ’
. ЗаЪ / 21а2Ь \
Д) 4хуЧ 10х2у/’
. 18a2t>2 / 9ab3\
е* 5cd \ 5c2d4/ "
• 133. Выполните деление:
, бх" . х а) --!
' т п Зтп
4a b3 \ . ЗЗтп/ ’
в)
а2Ъ3 (
llmn2'\
д) ^-:(4т2х); оу
35х2у . 7ху , 12ab ’8аЬ2’
бху2 / 9х2у2\ . 5аЬ ’\ ЮаЬ/ ’
е) 15а2Ьх:4£
134. Представьте в виде дроби:
. Зх2 . 9х3 5у ф
й' 5у3 '2у7’3х ’
61 7р< 5g ♦ Зр ♦ 10g3 14p2"4g4’
135. Упростите выражение:
. 11m4 5m , lln3 е 6п2 6п3'12m3 ’
61 8x3 • 4х< >7х • ' 7у3 " 49у2 ’ у2 ’
2а b . 2cd2, а2Ь е
3c2d’ 9a Ь ’ c3d ’ ч 8х2у. 4ху2 . 2х2у ' 7аЬ2’ 7а2Ь аЬ
. 4c3d2, 2cd2 . 2cd , ' 9а3х3 За2х ’ За2х2 ’
. 2ах . ЗЪх 9b2z
• • о 2 •
' уг ау оа ху
• 136. Выполните деление:
а) т2—3m. 3m 8х2 ’ 8х ’ д) а*Т*аЬ :(7о —21&); do
б) 5а2. а3 е) (д.2_4 2).5х-10р
’ аЬ — Ъ1 ’
в) х2 + х3.4 + 4х . На2 ' а3 ’ ж) (2а О
г) бах . 8ах з) (10m — 15л): —"*2~ Зп)2 .
т2— 2т' 3m — 6 ’
• 137. Представьте в виде дроби:
а) ^~4Уг- *2-2*У . ' ХУ Зу ’ аЬ2 „ 5Ь ф а2 — 1 ‘ а — а2 * . а2 — За . а2 — 9 . В а2 —25 ’ а2 + 5а ’ , 3m2 —За2.6m —ба г) —5 * : т-\-тр р+т Д) (x + 3i/):(x2 —9/); е) (а2 —6аЬ-(-9Ь2):(а2 —9Ь2).
• 138. Выполните действие:
..ч х-*у-21 . } 9р2 ‘ Зу ’ г) (х2 — 25i/2):(x2+10xp + 25p2);
2а3— а25,2а — Ь ф °' 36Ь2 ’ 9Ь3 ’ . с2+4сфЗс+12 Д) с2 —4 ‘ с-2 ’
в) (m2-16n2):-^±i^; ' 4 ' тп е) 9р2 —1 . 1 —Зр J pq — 2q' Зр—6
139. Найдите значение выражения:
а) 34х:(2х— 2), если х = 2,5; —1;
б) (Зо-^-бЬ):2^^^ , если 140. Выполните деление: а = 26, Ь= — 12.
. Зх+6у , 5х+Юу . ' х2 — у2 *х2 —2хр+р2’ в- а2 + ах + х2 . а3 —х3 , ) ах + 2ау " bx + 2by *
а2 + 4а + 4. 4 —а2 ф °' 16 — Ь* ’ 44-Ь2 ’ . 4m2 — 25n2, 2m + 5n ™ m34-8 "m2—2m4-4’
2 Алгебра 8 кл.
33
141. Упростите выражение:
m2-f-6m 4-9. ат + 3а . . а2-\-ax-\-x2 ,а2— х2 .
2х2у ’ 4ху * ' х— 1 ' х‘— 1 ’
аЬл . а2Ь2 . . ар2 — 9а. р + 3
7 — 7р ’ 1 — 2р + р2 ’ Г р3 —8 ‘ 2р — 4 ’
Упражнения для повторения
142. Выполните действия:
. 2Ь । 5 4&2 + 9
а' гь + З^З-йд 4Ъ'~ 9 ’
gv ____с + 6Ь . 2Ь________Ь
' ас + 2Ьс — 6аЬ —За2"’-а2 + 2аb ас —За2’
143. От пристани против течения реки отправилась моторная лодка, собственная скорость которой 10 км/ч. Через 45 мин после выхода лодки испортился мотор, и лодку течением реки через 3 ч принесло обратно к пристани. Какова скорость течения реки?
144. Из формулы выразите:
а) переменную с через а, Ь и у;
б) переменную а через Ь, с и у.
145. Из формулы — Н—J- = — выразите: а b с
а) переменную с через переменные а и Ь;
б) переменную b через переменные а и с.
146. Постройте график функции:
а) У = ^х-, б) у ——|-х.
Б каких координатных четвертях расположен график функции у — кх, если k > 0; k < 0?
7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
Рациональное выражение ( х+у + ж—у):(*2~ Зу2) пред-ставляет собой частное от деления суммы рациональных дробей на многочлен. Деление на х2— Зу2 можно заменить умно-
жением на дробь . Поэтому преобразование данного вы-
X — ЗЦ « х — и 2и
ражения сводится к сложению дробей х^г х_у и умножению результата на дробь 1 — . Вообще преобразование лю-х — Зу
«ого рационального выражения можно свести к сложению, вычитанию, умножению или делению рациональных дробей.
Из правил действий с дробями следует, что сумму, разность, произведение и частное рациональных дробей всегда можно представить в виде рациональной дроби. Значит, и всякое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби.
Пример 1. Преобразуем в рациональную дробь выражение
1 х2 —4
Сначала выполним умножение дробей, затем полученный результат вычтем из многочлена х +1:
n 1 х* 1 2 —4 (х-2)(х+2) х-2 .
' » LO - ’
2) х + 1
Пример 2. Представим выражение
( Ь , а \ a2b-j-ab2 । -\д2 — дб ‘ дЬ — Ь2/ а2 + Ь2
в виде рациональной дроби.
Сначала сложим дроби, заключенные в скобки, затем най-
о -- aJb-|-a&2
денныи результат умножим на дробь —2 ' и, наконец, к по-а -|- b
лученному произведению прибавим 1:
1. b , а __________ Ъ , а ___________ Ь2-\-а2 .
a2 — ab ab—b2 а (а — b')'~ b (а — b) ab(a—b)~’
b2-j-a2 a2b+ab2___(д2 + b2)-ab (д-f- Ь)_ д-f-b
' ab (a — b) a2 + b2 ab (a — Ь)-(д2-|- b2) a — b *
oi a-^~b । i o-j-b-pa — b 2a
' a — b~ a—b a-b'
Запись можно вести иначе:
(b а \ _ д2&4-дЬг । т _ / b . а \ аb (д + Ь) , -д2 —дЬ ab — b2 / а2 + Ь2 \д (д — b)”'" b (а — Ъ)/ а2 + Ь2
(Ь2+д2)дЬ(д + &) , 1 дЬ (д — Ь) (д2 + Ь2) "Г"
а + Ь . J_a + b + a—b_ 2а
а — Ь' а — b а — Ь ‘
Пример 3. Представим выражение х_________________________у_
У X
- +JL —2
У х
в виде рациональной дроби.
Преобразование молено вести по-разному. Можно представить в виде рациональных дробей отдельно числитель и знаменатель, а затем разделить первый результат на второй. А можно умножить числитель и знаменатель на ху, воспользовавшись основным свойством дроби. В этом случае преобразование окажется проще:
= х2 — у2 = (х —у) (х+у) _ х + у
х2 + у2 —2ху (х—у)2 х — у ’
• 147. Выполните действия:
• 149. Упростите выражение:
, / 2т |- 1 2т — 1 \ , Ат .
а \ 2/n —1 2/7г-]-1 / 10m — 5 *
v ab + b2 Ъ3 , а+ b
X —у_5у х2 —ху
х 7” 5у
в)
4а
2 —а
а):
а 4-2 а —2
х -(-3 / х + 3 . х — 3 \
х2+Э Ах-з "^х+зУ
• 150- Выполните действия:
, а2— 9 /6а-|-1 . 6а—1\
2а2 + 1 ’ к а - З’”1" а-(-3 / ’
151. Упростите выражение:
/ a . Ь \ ab
\ Ь1 — ab ‘ d'—ab / b — a ’
/5х + у . 5x —у \ . x2 + y2 \x —5y ‘ x + 5y / ‘ x2 —25y2 ‘
6)
\xy—y
*>
X — y- ,
8xy ’
в)
4р—8 Р3 —2р2
9+2 \ р .
93Ч-2д2 / 2g — р ’
. / а — 75 . 7а + 5 \ , а2 + 52 \ а5 — Ь2 "Т"" а2 — аЬ )' а—Ъ
152. Выполните действия:
. а2 —25 1______а + 5 ,
' а + 3 а2 + 5а а2 — За ’
1 — 2х I j2 + ^x . 3 + х .
°* 2х + 1 4х2 — 1 '4x4-2 ’
Г)
Ь — с аЬ — Ь2 а2 — с2
д + 5 а2 — ас а2—Ь2 *
а2 —4 . д2 —2а , 2 —у х2 —9 ‘ ху-|-Зу х — 3 ’
153. Упростите выражение:
pg , g \.(п .4д2-Р2\.
в)(а’ + 2« + 1)4г^г+^Лг-^т);
15^. Выполните действия:
155. Упростите выражение:
(й ( х~2у 1 . Х+2У А (х+2у)2 .
Цх2 + 2ху х2-4у2' (2у-х)2 /’ 4у2 ’
*<Y / д2__________д3_______\ . /_д______д2 \
.В:>\д + п д2 + п2-|-2ап ) ' \ д4-п д2 —п2 / *
. / 2д 4а2 \ , / 2а . 1 \
Г* \2д4-Ь^- 4д2-|-4дЬ+Ь2 /" \ 4д2 — Ь2 b — 2д ) ’
156. Представьте в виде дроби:
а)' . х-|-2 Зх —3 3 . J х2 —2x4-1 х2 — 4 х —2 ’
6) а —2 • ( а а’4-4 2 \ 4а24- 16а-|-16 ’\2а— 4 2а2 —8 а2-{-2а ) ’
в) / у2-3у _ Зу + 9 \ / - _ _3_\ \ I/2— 6у4-9 I/2 — 9 / \ у}’ 157. Выполните действия:
а) / а —1 1 — За 4-а2 1 \ . а2 4-1 \ За4-(а — I)2 а3 —1 а-1 / ’ 1-а ’
б) \x-j-l х34-1 1 х'2-х4-1 ДХ х4-1 / 158. Докажите тождество:
а) 2р — д 1 / р g_\ _ 1 . РУ Р~гУ \ У Р ) У '
б) / 4а6 । а Ь 2аЪ \ а 4- b J ) а -|- b Ь — а а—Ь2 ’
в) 1,2х2 — ху 20х 0,36х2 — O,25jr 6х-|-5у 159. Докажите тождество:
а) а 4- Ь а — Ь Ь Ь2 — аЪ 2 (а—Ь) 2(а-|-й) а — Ь1 а? — Ь2 ’
б) 4,5а 4- 4х 50 0,31а2 — 0,64х2 9а — 8х 160. Докажите, что при всех допустимых значениях пере-
менных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:
а) / 2аЬ \ 2а ,5 \а2 — Ь~ 2а-\-2Ъ ) а-|-Ь Ь—а. ’
_j,----х'-х^2 7---х--------
х — у х~-\-у- \ (х — у)- х‘ — у /
161. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от а и с:
а) ( 1 Зс2______________£______;
’ \а — с aJ — c‘ aJ+ac-'-cJ / \ a-f-c / ’
6> 3»
а1 4-ас 4-с' \ Зс2 а 4-с / а2 — с-’
162. Представьте в виде многочлена или рациональной дроби:
» (v+1)!+(v-1)’; е) “*(4-- i)’+'’4V+1)’-
163. Упростите выражение:
^ь^+1
б> 2~zh~ ь
ab Ьс ас
164. Представьте в виде
отношения многочленов дробь:
2 — —
\ х
а> ---а
2+—
^+3
с
в)
г)
х у ух
Х — у
х У
165. Выполните подстановку и упростите полученное выражение: а
, —х
. х — a ab b а—b
al --r, если х =—— ; б) -г----------, если х=——.
' х — Ь а-\-Ь а-\-Ъ
а
166. Найдите значение выражения:
.“4 9 2,1
а) при а—-—, Ь=--;
12+18
б) —- при а = — 8, b = 0,6.
— — ь2 25
Упражнения для повторения
167. Найдите координаты точек пересечения с осью х и осью у графика функции: а) у=-|-х— 2; б) у= — 0,4х +2. Постройте график этой функции.
168. Напишите уравнение прямой: а) проходящей через точку (0; 4) и параллельной прямой у = 3х; б) проходящей через начало'Хкоординат и параллельной прямой у= —х — 8.
169. Изобразите схематически график функции, заданной формулой вида у = kx + b, если
a) k>0, Ь>0; в) &<0, Ь<0;
б) k<0, Ъ>0; г) fe = 0, Ъ>0.
170. Одна сторона прямоугольника на 20 см больше другой. Если меньшую сторону увеличить вдвое, а большую — втрое, то периметр нового прямоугольника окажется равным 240 см. Найдите стороны данного прямоугольника.
171. Скорый и пассажирский поезда идут навстречу друг другу с двух станций, расстояние между которыми 710 км. Скорый поезд вышел на час раньше пассажирского и идет со скоростью 110 км/ч. Через сколько часов он встретится с пассажирским поездом, если скорость пассажирского поезда равна 90 км/ч?
k 8. ФУНКЦИЯ у — — И ЕЕ ГРАФИК
Пусть площадь прямоугольника, длина которого х см, а ширина у см, равна 24 см2. Тогда зависимость у от х выражается формулой у=—. При увеличении значения х в несколько раз соответствующее значение у уменьшается во столько же раз, т.е. переменная у обратно пропорциональна переменной х. В этой задаче переменные х и у принимали лишь положительные значения. В дальнейшем мы будем рассматри-k вать функции, задаваемые формулой вида У=~ , в которой переменные х и у могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Такие функции называют обратными пропорциональностями.
Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задавать формулой вида
* L
у = —, где х — независимая переменная и к — не равное нулю
число.
Областью определения функции У=— является множество всех чисел, отличных от нуля. Это следует из того, что выра-к жение — имеет смысл при всех х=#0.
12
Построим график функции у = —. Для этого найдем значения у, соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям х:
X 1 1,5 2 3 4 5 6 8 12
У 12 8 6 4 3 2,4 2 1,5 1
X — 1 -1,5 — 2 — 3 — 4 -5 -6 — 8 -12
У -12 -8 -6 — 4 О -2,4 — 2 -1,5 — 1
Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых помещены в таблице (рис. 1).
Выясним некоторые особенности графика функции у=-^. Так как число 0 не входит в область определения функции, то на графике нет точки с абсциссой 0, т.е. график не пересекает ось у. Так как ни при каком х значение у не равно нулю, то график не пересекает ось х. Положительным значениям х соответствуют положительные значения у. Чем больше положительное значение х, тем меньше соответствующее значение у. Например, если х=10, то у = 1,2; если х=100, то у =0,12; если х = 1000, то у = 0,012. Значит, чем больше положительная абсцисса точки графика, тем ближе эта точка к оси абсцисс. Для достаточно больших значений х это расстояние может стать как угодно малым. Чем ближе положительная абсцисса точки графика к нулю, тем больше ордината этой точки. Например, если х = 0,03, то у = 400; если х — 0,0001, то у = 120 000.
Рис. 1
График функции У — — показан на рисунке 2. Он состоит из двух ветвей. Одна из них расположена в первой координатной четверти, а другая — в третьей. Такой же вид имеет график функции у = — - при любом А>0.
х 12
На рисунке 3 построен график функции у =--. Он так же,
, . 12 „
как и график функции у=—, представляет собой кривую, состоящую из двух ветвей. Однако в отличие от графика ,12 функции у=— одна из них лежит во второй, а другая — в четвертой координатной четверти.
k
График функции у =— при любом k<Q имеет такой же , , Х 12
вид, что и график функции у = —— .
Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей.
• 172. Функция задана формулой у =—. Заполните таблицу:
X — 4 -0,25 2 5 16
У -4 0,4
• 173. Обратная пропорциональность задана формулой
120 „ й
у=----. Заполните таблицу:
X -1200 -600 75 120 1000
У -0,5 — 1 0,4
174. Двигаясь со скоростью v км/ч, поезд проходит расстояние между городами А и В, равное 600 км, за t ч. Запишите формулу, выражающую зависимость: a) v от t; б) t от и.
9 175. Обратная пропорциональность задана формулой У = — • Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 100; 1000; 0,1; 0,02. Принадлежит ли графику этой функции точка А (— 0,05; —200), В( — 0,1; 100), С (400; 0,025), D (500; —0,02)?
176. Известно, что некоторая функция — обратная пропорциональность. Задайте эту функцию формулой, зная, что значению аргумента, равному 2, соответствует значение функции, равное 12.
• 177. На рисунке 4 построен график функции, заданной формулой у = — . Найдите по графику:
а) значение у, соответствующее значению х, равному 2; 4; —1; —4; —5;
б) значение х, которому соответствует у, равное —4; —2; 8.
• 178. Постройте график функции, заданной формулой
У=—^- • Найдите по графику:
а) значение у, соответствующее значению х, равному 4; 2,5; 1,5; —1; —2,5;
б) значение х, которому соответствует у, равное 8; —2. • 179. Постройте график функции, заданной формулой У — — • С помощью графика найдите:
а) значение функции при х=1,5; —2,5; 3,5;
б) значение аргумента, при котором у равно —3; —1,5; 4; 7.
180. Постройте график функции, заданной формулой:
а) У = v ; б) у= —i-; в) у=^~г) у=—^. J, л X
181. Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания а см и Ъ см и высотой 20 см имеет объем, равный 120 см3. Выразите формулой зависимость Ъ от а. Почему эта зависимость является обратной пропорциональностью? Какова область определения этой функции? Постройте график.
182. Задайте формулой обратную пропорциональность, зная, что ее график проходит через точку: а) А (8; 0,125);
б) В ; в) С (-25; -0,2).
\ ** О/
183. На рисунке 5 построен график зависимости времени, затрачиваемого па путь из пункта А в пункт В, от скорости движения. С помощью графика ответьте на вопросы:
а) Сколько времени потребуется на путь из А в В при скорости движения 800 км/ч; 250 км/ч; 120 км/ч?
б) С какой скоростью надо двигаться, чтобы добраться из пункта А в пункт В за 1 ч; за 4 ч; за 8 ч; за 16 ч?
в) Каково расстояние между пунктами А и В?
184. Определите знак числа k, зная, что график функции k
У—— расположен:
а) в первой и третьей координатных четвертях;
б) во второй и четвертой координатных четвертях.
Упражнения для повторения
185. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение дроби не зависит от значений этих переменных:
X 5 (х— У)2 . бх (Зх —бу)2
' (Зу —Зх)2 ’ ' 4 (2у-х)2 '
186. Упростите выражение
/ 3 _ 1______12 \. х+7
\x4-2 х —2 4—х2/ х—2 "
187. Из формулы -------- выразите:
а) х через у и z; б) z через х и у.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте правило умножения дробей.
2. Сформулируйте правило возведения дроби в степень.
3. Сформулируйте правило деления дробей.
4. Какая функция называется обратной пропорциональностью?
5. В каких координатных четвертях расположен график функции у =— при k > 0; при k < 0?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
К параграфу 1
188. Преобразуйте выражение в многочлен:
а) 5х2 (х2 —2х + 3);
б) —8у2 (у2 —5у—1);
в) (а2 - 5а + 4) (?а + 3);
г) (35 —2) (52 —75 —5);
д) Зх2 ( —5х24-4х —1)4-16х4;-е) 8/- 2у3 (1- 5у — у2 + 4</3); ж) (а2 + 7а+ 3) (а2 —4а-|-2); з) (52 — 35 - 5) (&2 + 35- 5).
189. Представьте выражение в виде многочлена:
а) ( — 4х-|-7а) (7а-|-4х); д) (За —2fe) (9а2-|-6а&-|-4Ь2);
б) (Зе2 - 8) (Зе2 + 8); е) (х2 + 5у) (г4 - 5х2У + 25у2);
в) (2х — 5у)2; ж) (тп — п)3 — (т — п) (т2 + тп + п2');
г) (р2 + 2)2; з) (х + у)3 — (х + у) (к2 - ху +у2).
490. Разложите на множители:
a) a2b-[-ab2; д) х4 —х3-|-х2 —х; и) 125х3-|-8;
б) х3у — ху3\ е) с4—2с3 —с2-|-2с; к) 216х3 —27;
в) 7х2 — 14ху + 21ах; ж) (а — 2)2 — 25а2; л) (а-|-1)3-|-а3;
г) 9ху-ЗЬу + 15ау; з) (& + 3)2-36&2; м) (Ь-|-2)3-8Ь3.
191*. Докажите тождество:
а) а4 + а2 + 1= (а2-|-а-|- 1)(а2 — а +1);
б) &8 + &4 + 1=(Ь4 + &2 + 1)(Ь4-Ь2 + 1);
в) с4 + 4= (с2- 2с + 2) (с2 + 2с + 2).
192. Найдите значение дроби:
. 51-F-172 3724-111
а)~4о— ’ б> - -4б—♦
193. Расстояние между городами А и В равно 600 км. Первый поезд вышел из Л в В и шел со скоростью 60 км/ч. Второй поезд вышел из В в А на 3 ч позже, чем первый из А, и шел со скоростью v км/ч. Поезда встретились через t часов после выхода первого поезда. Выразите v через t. Найдите скорость v при £ = 7; t = 6.
194. Найдите допустимые значения переменной в выражении:
\ 2“^— в \ 9 \
а) 25 ’ В) х2 —7х’ Д) |х| -3’
бх_зт_. г)%±®- е) 45
°' 2у + 7’ ’ уг + 8 ’ ’ lyl+2'
195. Составьте дробь с переменной х, которая имеет смысл при всех значениях переменной, кроме: а) х = 2; в) х= —3 и
б) х = 0 и х = 3; г) х=—и
х = 3;
1 Х~ 2 ‘
196. Составьте дробь, содержащую переменную х в знаменателе, которая имеет смысл при всех значениях х.
197. Укажите область определения функции:
a) 1 У~Х-2> Зх б> •-,4 = в) У = 7x4-1 2х —б"
198. Сократите дробь:
a) 99х . 22у ’ 405ас В) 45ау ’ д) 35а 28а у 9
б) 216&С. 180ас ’ г 18а&<? , 180ас ’ е) 7х' 14х 'у4 'у>< •
199. Сократите дробь:
a) 17ху + 34 . 17(ху + 34) ’ . 2Ъ2 — 2а2 . В) (2а-2ЪГ Д) х2 —100 . х3 4-1000 ’ ж) 2х-у . х2 —0,5ху ’
б) (За —Зс)2 . 9а2 —9с2 ’ (а2-9/. v (3 —а)3 ’ ' 8у3 —1 . у-4у” з) 5а2 —ЗаЬ а2-0,36ft2 '
200. Сократите дробь:
a) ЮаЬ — 15Ь2 . 6р2— 8pq Ж) а2 4-4а&4-462 .
4а2 —6а& ’ 9р2 —24ру 4-16у2 ’ а34-8Ь3
б) 21ху — 7у2 . . а2 —4а + 4 а2 + аЬ — 2а — 2Ь 27хэ —у3
6х2 —2ху ’ к ’ J) 18х24-6ху + 2у2 ’
в) 2х24-10ху , х2 —25у2 ’ . 6х2 — Эху + 4х — е' 9х2 + 12х + 4 2у . *
201. Выполните сокращение:
й' Ь'2' + 1 ’
х33 —1
б) жзз+х^+хи;
х (у — ?) —у (х —z) . х(у —z)2-y (х —?)2 ’
а(&4-1)2—Ь(а4-1)г
a (ft 4-1)—ft (а4-1) *
202. Докажите, что если в дроби
хг —2уг Зу2+ 5ху
переменные х и у
заменить соответственно на kx и ky, где fe=#0, то получится дробь, тождественно равная первоначальной.
203. Докажите, что значение дроби
Зхг + Уг
Зх2 —у2
при
£ 7
и
3
равно значению этой дроби при х = 2 и у = 3.
204. Известно, что а — Ь = 9. Найдите значение дроби:
36 . ____.
(а — 6)2 ’ (J—а/ ’
(5а —5Ь)2 , . а24-а6-|-Ь2
‘ 45 ’ г> а3 —
К параграфу 2
205. Упростите выражение:
а) х2 —2х 4х —9 . в) “2 4 62
х-3 х-3 ’ а2 —62 ' 62-а2 ’
б) у2-10 54 г) Х- — 2х 2у-у2
у-8 II х2-у2 у- — X2 ’
206*. Докажите, что тождественно равно многочлену выра
жение:
(У-Ь)2 I у — Ь . х | х + у .
’ y-b + l~y-b + l ’ ' х-у-1~гу-х + 1 ’
(а 4-х)2 2а-|-2х . Ь2 —9с2 . 2(6 —Зе)
а-|-х —2— а4-х-2 ’ Ь4-Зс-2-' 2-Ь-Зс’
207. Найдите значение выражения:
. а2 —126 ЗаЬ — 4а n Q а>^з^6 аГТ^Ь- ПРИ а" °’8’ б) ../-2у.- при х = 20, ’ х2 4-ху 4-2х х24-ху4-2х 6= -1,75; # = 22,5.
Нет ли в задаче лишних данных?
208. Представьте в виде суммы или разности целого выражения и дроби:
а) х+2 . б) y+z2 в) д!!—2я~1~4 . г) 6'4-36-6
' х ’ ' z ’ f а ’ ' 6
209. При каких натуральных п является натуральным числом значение выражения:
а) 2±® ; б) 5п~12 ; л л
210. Найдите значение
. 36-л2 в)
а)
У
211.
выражения, зная, что — =5: г) "
В) ' V
найдите
значение выражения:
г) —.
а)
У ’ 212.
б) у
Зная, что х^~у = 3, У
б)4-; В)^;
х + у У
Выполните сложение или вычитание дробей:
362—56 — 1 . 56 — 3 .
Ьгу “ by ’ а2 —а-|-1 х2— 1 .
1 + с с3 + у4-
’ cY с‘у* ’
м с2 + х2 с + х
с2х5 eV •
213. Представьте в виде дроби:
а) x + i/ + V: в) ab + ac + bc . а а + Ь + с ’
б) , 14-тп m-j-n ' ; п г) 2 г.2 а — о ——. а + b
214. Упростите выражение:
а) тп-{-1 , тп— 1 m + n ' т—п ’ г) 9а —246 216 —6а . а (а — Ь) а (а — Ь) ’
а + b b Зх + 21у . 2ху
2а а + 6 ’ х2 —49у2 । х2— 7ху ’
в) х + 4а а —4х #. За -|- Зх За — Зх е) т2— 2т п , 2п2 т2 —4n2 тп-|-2п2
215*. Упростите выражение:
а) 2b2 — bc 2с г) а2 + 0,За6 аЬ — 0,7 b’
Ь2 —0,25с2 2Ь + с ’ аб + 0,362 а2 — 0,7аЬ ’
61 2х —1 . 4х’+2 . 1,8ху+0,81у2 . 2х
и/ х‘ — 0,5х 1 хг + 0,5х ’ Д/ 0,811/'-’ — 4х2 1 2х- 0,9г/ ’
в) 2у2 — у 2у2 + у 1 е) 6а 8
, 1 2 .1 , 1 ’ 2,25а2-0,64 6а-3,2 '
Г-у+~4 У +У+-4
216. Докажите, что при всех : допустимых значениях пере-
менных значение выражения равно нулю:
1 । 1 , 1
(а — 6) (6 — с ') (с-“)(о — Ь) 1 (6 —с) (с—а) "
217. Упростите выражение:
а) 5 + 1 у—з у+3 4</-18 . Г-9 ’ д) 4m 2m+ 1 . 2т — 1 4m2 —1 6m —3 4m+ 2’
б) 2а , 5 4а2+ 9 е) 1 2 + 1 •
2а + 3~3 — 2а 4а2 —9 (x + j/)2 x2-y2 1 (x-j/)2 ’
в) 2Ь2+10Ь . ЗЬ</ + 15</ 1 Ь2 — 36 by — Зу 26 . Зу ; Ж> 4а2 + За + 2 1 —2а . а3 — 1 а2 + а + 1 ’
г) 14ах —21х 10а-15 6ах-|-9х . 8а+ 12 1 W = »> х —у Зху 1 х2 + ху + у2 х2 — у2 х — у"
218. Докажите, что тождественно равны выражения
ах + by Ьх — ау а2-[-Ь2
(р—Ь)(х + у) (а + 6)(х + у) И а2 — Ь2 *
219*. Упростите выражение:
а (а— Ь) (а — с)'~ b (Ь — с) (Ь — а)'~ с (с —а) (с — Ъ) ’
б> (х-у)(х-г) + (у-х) (j/-z) + (z-x)(z-j+
220*. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби:
. х2 — Зх-1-6 . _ у2 + 5у —8. . а’ + 7а + 2. . 3&2 —10Ь —1
а' х —3 ’ °' у + 5 ’ В' а + 6 ’ Г) Ь-3
221. Учащимся была поставлена задача: «Представить „2 I ____ок
дробь —-— в виде суммы целого выражения и дроби».
X — □
Были получены три ответа:
1) х + 5+^ ; 2) х + 12 ; 3)-х+^р.
Все ли ответы верные?
222. Докажите тождество:
. 6х с
а> 7+з = 6
18 х + 3 ’
б)
ах
Т+Ь
ab
х + Ь ’
а
223. При каком значении а тождественно равны выражения :
. 2х „ . а . 2х а п
а) ——- и 2Н —; в) -г- и ----2
' х-гЗ х + 3 ' 3 —х 3—х
х ч I а . \ х+ 2 а
6) г и 1 Н----- ; г) -з-1— и -=-1 ?
' х —5 ' х —5 ' 5 —х 5 —х
224*. Представьте дробь лого выражения и дроби:
в виде суммы или разности це-
а) —;
’ х + 2 ’
б)
— 2х.
х — 1’
г)
х —3
2 —х *
225*. При каких целых п значение дроби является целым числом:
J 5в; + 2п + 3 б (п-S? в) г) _7п_ ?
' п 'п ' п+2 ’ п—4
226*. Найдите такие значения а и Ь, при которых выпол
няется тождество:
5х а । ь
(х —2) (х + 3) —х —2"' х + 3 ’
5х + 31
(х-5)(х + 2)
а b
х — 5~ х + 2 "
К параграфу 3
227. Выполните умножение:
2ms— 3m4 m4 — 4т
m4 + 2/n* 2
Зт‘ — 2т3 ‘
228. Упростите выражение:
. т5 4-m4 + т3 т3 + т3 . n2 —п4 + пс п2 — 1
а * т3 + т2 т* + т3-\-т2 ’ ' 1 — п п5 — п3 -|- п "
229. Выполните действия:
a2 -j-ax-j-ab + Ьх а2 —ах— bx-f-ab
a2 — ax — ab + bx a2 + ax—bx — ab’
б)
х2 -{-ах—Зх — За х2 + 4х — ах — 4а
х2 — ах — Зх-{-За х2 + 4х-{-ах-{-4а
230. Выполните деление:
, д —де , д9 —д2 . 9х2 —ха . х4 —Зх2
а* Д64-Д2 ‘ д5+д ’ ' х5+х7 ’ x9 + xz
231. Упростите выражение:
. х2 —bx-4-дх— аЬ х2 + bx-4-ax + ab
а) ^+bx-ax-ab ’ x2-bx-ax + ab ;
-V тг{-т-тп — п . т2 — т — тп + п
' т2-[-т-{-тп-{-п '~т^-т~+~тгГ^Г ’
232. Докажите, что если m=#n, m#=0 и л#=0, то значе-
2 /1 1 т~ I
ние выражения —:( —--=-] —-—не зависит от значений
тп \ т п / (т—п)
переменных.
233. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения , „ ч „
3 / \ п ' 3 ) является натуральным числом.
234*. Докажите, что при любом целом а и дробном х значение выражения
(a_^W2jL+_*L\ является четным числом.
235. Докажите, что при любом значении х, большем 2, значение выражения
/х+1 4 2\.х+1 х2-5х + 3
\ 2х х + 3 / х+3 2х
является
отрицате^
ным числом.
236. Упростите выражение:
“> (,“+21’+г^):(“-гт55)+1’
, / 5х2 — 15ху Зху + 9у2 А ./ 5_3_\ .
В* \ х2 — 9у2 х2+бху+Эу2 ) А у х ) ’ . / 4а2 — бас бас + 9с2 \ 6а + 9с
Г \ 4а2 — бас + 9с2 4а2 + бас + 9с2 / 4а2+9с2
237. Представьте в виде дроби:
. , , ab / а + & , \
а> аЬ+-^{^ъ-а~Ь) :
\х2 + ху J у ) х — у х + у’
в1 ( 1 + 2 + 1 \ . 4а2+4аЬ + Ь2 .
' \ (2а— &)2 4а2—&2-1 (2а + &)2 / 16а ’
4с2_.Г 1
(с-2)< Д (с + 2)2 (с-2)2 с--4/
238. Упростите выражение:
б>
239. Докажите тождество
1 I бд________2_______1_ / p2 + 4<?2 . \
р — 2д-Г4д2 — р2 p + 2q 2р \ р2 — 4q2 )'
240*. Одно из тождеств, приведенных знаменитым мате-
матиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так:
<•'+>’+(
Докажите его.
бЬ
241*. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения
-?-а2 — 2аЬ-\—^-Ь2
2 3
1 2 1 г.2
4 9
не зависит от а и Ь.
242*. Упростите выражение:
. / 0,55 — 1,5 2b — 6 \ Ь — 3
\0,562 — 1,55 + 4,5 1 э , / 0,853 + 21,6 ’
Ть +9 2
-•J / а . 3 а . 25 \ 0,5а —1 .
' \0,5а+1 ' 2^а ' 1 , J'o,5a — 2’ -а-1
/ 3,6ху + 2,1у2 , 2х \ 12х2 — Ч ху _ \1,44х2 —0,49у4 -г- 2,4х- 1.41J ’ х + Зу ’
Г) \0,5x + j/
2у \. С 0,5х 1 \ . 2
0,25х2 + ху + у2/ ’ \0,25х2 — у~' 2у — х)‘
243*. Представьте в виде рациональной дроби:
' xz ’ ’ а,-, х х ’ 2 , , 1 ’ ’ , 1
у~~* ~а ~i+^
X X
244. Каки > из точек А(— 4; 1), В (8; 0,5), С (0; 0), D(0,01; - *00), е(16-, ^-) , F (40; 0,1), G (1000; —0,004), К (— 0,004; —1000) принадлежат графику функции у = —^- ?
245. Известно., что точке. Р (— 9; 18) принадлежит графику функции, заданной формулой вида у=— • Найдите значение k.
246. Принадлежит ли графику функции у=-^- точка:
а) А (40; 0,025); в) С (o,O16; 6-J-) ;
б) В (0,03125; 32); г) D (0,125; 0,8)?
k
247. Известно, что график функции у=— проходит через точку А (10; 2,4). Проходит ли график этой функции через точку:
а) В(1; 24); б) с(—|-; — 12с); в) D (—2; 12)?
248*. Найдите область определения функции и постройте ее график:
а) и— 36 в) у = ——--------г;
У (х-|-1)“ — (х — 1J" ’ ’ У (2-х)--(2 + х)- ’
18 —12х 6 . Зх (х + 1) — Зх-’ + 15
б> У=~^зГ-з^- ^У= х(х+5) •
249*. Постройте график функции:
а)»=17Г; В)»=ЛГ; Д)»=-Ы;
2,4 . -1 < „ —3,6
6)к=^: г*1'=|^’ е)!,=“-
k
250*. При каких значениях k и b гипербола У—~ и прямая y = kx-\-b проходят через точку:
а) Р(2; 1); 6)Q(-2;3); в) Л(-1; 1)?
251*. Могут ли графики функций у = ^ и y = ax-\-b пересекаться:
а) только в одной точке;
б) только в двух точках;
в) в трех точках?
252*. Могут ли графики функций У=~ и y = ax-\-b пересекаться в двух точках, лежащих:
а) в одной четверти;
б) в первой и второй четвертях;
в) в первой и третьей четвертях?
Глава II.
КВАДРАТНЫЕ
КОРНИ
§ 4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ числа
§ 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ
§ 6. СВОЙСТВА арифметического КВАДРАТНОГО КОРНЯ
§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ
§ 4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ числа
9. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
В курсе математики мы встречались с различными числами. Числа 1, 2, 3, ..., которые употребляются при счете, образуют множество натуральных чисел. Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль составляют множество целых чисел. Кроме целых, нам известны дробные числа (положительные и отрицательные). Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.
Множество натуральных чисел обычно обозначают буквой N, множество целых чисел — буквой Z, множество рациональных чисел — буквой Q. Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак £. Например, утверждение, что число 2 является натуральным (или что число 2 принадлежит множеству натуральных чисел), можно записать так: 2£N. Число — 2 не является натуральным; это можно записать с помощью знака £: — 2 £ N.
Всякое рациональное число, как целое, так и дробное, мож-- m но представить в виде дроби — , где тп — целое число, ап — натуральное. Одно и то же рациональное число можно представить в таком виде разными способами. Например:
1 _ 2 _ 5 40 . 07_— 7_—14_-28, -_5_10_20
2 — 4 — 10— 80 ’) U,‘ — 10 — 20 — 40 » °- 1 — 2 — 4 ’
Среди дробей, с помощью которых записывается данное рациональное число, всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем. Эта дробь несократима. Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель, равный 1.
Термин «рациональное число» произошел от латинского слова ratio, что в переводе означает «отношение» (частное).
Рассмотрим вопрос о представлении рациональных чисел в виде десятичных дробей.
Представим в виде десятичной дроби число . Для этого
О
разделим числитель дроби на ее знаменатель. Получим:
1 18_____
_10 (0,125
8
20
16 40 40
, 0
Значит, —=0,125. О
2 3
Точно так же можно показать, что -=-=0,4; 1—=1,15; О 20
-2-= -0,025.
40
Применим теперь этот способ обращения обыкновенной дро-би в десятичную к числу — . Делим числитель на знаменатель: о 7
8 |37
80 (0,216216
74
60 37 230 222
80 74
60 37 230 222
8
Первым остатком, полученным при делении, является само число 8. Второй остаток равен 6, третий равен 23. Затем опять
получили в остатке 8. Продолжая деление, мы, как и раньше, приписываем к остаткам нули. Поэтому следующим остатком снова будет 6, потом получим остаток, равный 23, опять остаток, равный 8, и т. д. Сколько бы мы ни продолжали деление, мы не получим в остатке 0. Значит, деление никогда не за-g
кончится. Говорят, что дробь — обращается в бесконечную десятичную дробь 0,216216... :
-^ = 0,216216... .
Так как при делении числителя 8 на знаменатель 37 последовательно повторяются остатки 8, 6 и 23, то в частном в одном и том же порядке будут повторяться три цифры: 2, 1, 6. Бесконечные десятичные дроби такого вида называют периодическими. Повторяющаяся группа цифр составляет период дроби. При записи периодических десятичных дробей период пишут один раз, заключая его в круглые скобки:
^ = 0,(216).
Эта запись читается так: нуль целых, двести шестнадцать в периоде.
Число также записывается в виде бесконечной деся-12 у
тичной периодической дроби: — = 0,58333... = 0,58(3). Эта запись читается: нуль целых, пятьдесят восемь сотых, три в периоде. 1 5
Точно так же можно показать, что 5—= 5,1(6), — — = = -0,(45).
Вообще каждое дробное число можно представить либо в виде десятичной дроби (конечной десятичной дроби), либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби, приписав справа в качестве десятичных знаков бесконечную последовательность нулей. Например:
2,5 = 2,5000...; —3=—3,000... .
Таким образом, каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Верно и обратное утверждение: каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число.
Например, 0,(3) = -^-; 2,(36) = 2-^-; 0,0(945) = -^. Эти равенства легко проверить, выполнив деление.
Разные бесконечные десятичные периодические дроби представляют разные рациональные числа. Исключением являются дроби с периодом 9, которые считают другой записью дробей с периодом 0:
0,(9) = 0,999... = 1,000... = 1;
16,1(9)= 16,1999... = 16,2000... = 16,2.
Бесконечные десятичные дроби с периодом 9 заменяют дробями с периодом 0. Заметим, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может получиться дробь с периодом 9.
253. Какие из чисел —100; —14,5; —2; —0; 10; О
15; 20 являются: а) натуральными; б) целыми; в) рациональными?
254. Верно ли, что:
а) каждое натуральное число является целым;
б) каждое целое число является натуральным;
в) каждое целое число является рациональным;
г) каждое рациональное число является целым?
255. Верно ли, что:
а) 27б) 2,7£ЛГ; в) OgZ; г) — 8£Z?
256. Верно ли, что:
a) —4EN-, —46^; —4^9;
б) 5,6 £ЛГ; 5,6 £Z; 5,6 £(?;
в) 28£ЛГ; 28 £Z; 28 £Q?
257. Представьте в виде отношения целого числа к нату-
2 1 ральному несколькими способами числа 1—; 0,3; —3— ;
-27; 0.
258. Представьте в виде дроби с наименьшим натуральным
знаменателем числа 36; -45; 4,2; -0,8; 154-; — о 9
259. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби
число:
•>т: >т; д) ж)-17; и) -1^;
6) А; е) 10,28; з) ; к) 2^-. 10 11
58
260. Представьте число бесконечной десятичной дробью:
а) 4; б>4: в>4; г) —F ’ Д) 1.347; е) -125.
• 261. Сравните рациональные числа:
а) 0,013 и 0,1004; г) и 0,375;
б) — 24 и 0,003; д) —1,174 и — l^;
в) -3,24 и -3,42; е) -g и .
® 262. Сравните числа:
а) б) 1,009 и 1,011; в) —14- и —1,75; 4 7 — 2,005 и —2,04; г) 0,437 и . 263. Укажите несколько чисел, заключенных между:
а) б) 10 и 10,1; в) —1001 и —1000; — 0,001 и 0; г) -i- и • 264. Назовите пять чисел, заключенных между числами:
а) 1,3 и .1,4; в) —10 000 и —1000;
б) К К 1 \ 1 1 5 и 5Т; г) -- и --. Упражнения для повторения 265. Упростите выражение:
а) а , За 2аЬ . ,, / 1 \ 1 — х х а — Ь а + b а2 — Ь'2 ’ \ х) 1+х х2—1
266. Докажите, что:
а) сумма двух четных чисел — число четное;
б) сумма четного и нечетного чисел — число нечетное.
267. Докажите, что:
а) квадрат четного числа есть число четное;
б) квадрат нечетного числа есть число нечетное.
268. Найдите:
а) |х|, если х=10; 0,3; 0; —2,7; —9;
б) х, если |х| =6; |х| =3,2; |х| =0.
269.
Запишите без знака модуля выражение:
а) |а|, б) |с|,
где где
а > 0;
с <,0;
в) |2&], г) |3с|,
где где
& < 0; с>0.
10. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Пусть точка О — начальная точка координатной прямой и ОЕ — единичный отрезок. С помощью отрезка ОЕ можно измерить длину любого отрезка.
Измерим, например, длину отрезка ОВ (рис. 6). Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОВ два раза, и при этом получается
-----1-----------1-----------нН-----------
Рис. 6 О Е СВ
остаток СВ, который меньше единичного отрезка. Значит, число 2 есть приближенное значение (с недостатком) длины отрезка ОВ с точностью до 1:
ОВ«2.
Чтобы получить более точный результат, разделим единичный отрезок ОЕ на 10 равных частей (рис. 7). Десятая часть отрезка ОЕ укладывается в остатке СВ три раза. При этом получается новый остаток DB, меньший десятой части отрезка ОЕ.
Е CD
— 11 11 111 1111-------------1444|-------►
РИС. 7 0 В
Число 2,3 есть приближенное значение (с недостатком) длины отрезка ОВ с точностью до 0,1:
ОВ^ 2,3.
Продолжая процесс измерения, мы будем использовать сотую, тысячную и т. д. доли единичного отрезка и получать приближенные значения длины отрезка ОВ (с недостатком) с точностью до 0,01, 0,001 и т. д.
В процессе десятичного измерения могут представиться два случая: либо на каком-то шаге не получится остатка, либо остатки будут получаться на каждом шаге.
В первом случае результатом измерения окажется натуральное число или десятичная дробь, во втором случае — бесконечная десятичная дробь. Так как всякое натуральное число и всякую десятичную дробь можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, то можно считать, что результатом десятичного измерения длины отрезка всегда является бесконечная десятичная дробь.
7
Пример 1. Пусть отрезок ОС равен — единичного отрезка. При десятичном измерении его длины получим чисто 1,75.
т. е. ту же десятичную дробь, что и при делении 7 на 4. Результат измерения можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби 1,75000... .
Пример 2. Пусть отрезок OF равен единичного отрезка. При десятичном измерении его длины, как и при делении 8 на 3, получится бесконечная десятичная периодическая дробь 2,666... .
Пример 3. Пусть отрезок ОК равен диагонали квадрата, стороной которого служит единичный отрезок (рис. 8).
Построим на диагонали единичного квадрата новый квадрат (рис. 9). Из рисунка 9 видно, что площадь этого квадрата в два раза больше площади единичного квадрата. Значит, она равна 2. Так как отрезок ОК равен стороне нового квадрата, то длина отрезка ОК равна числу, квадрат которого равен 2. При десятичном измерении отрезка ОК получится бесконечная десятичная дробь, которая не является периодической. Это объясняется тем, что среди, рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2.
Докажем это. Предположим, что число, квадрат которого равен 2, является рациональным. Тогда это число можно представить в виде несократи-, m m / m\2 „
мои дроби — , где пг — целое число, п — натуральное. Так как I — I = 2, п \nj
m2
to^j=2h m2 = 2n2. Число 2n2 четное, значит, и равное ему число пг2 четное. Но тогда и само число т является четным (если бы число т было нечетным, то и число т2 было бы нечетным). Поэтому число т можно подставить в виде т = 2А, где k — целое число. Подставим 2k вместо т в равенство т2=2п2. Поручим: (2й)2 = 2п2, 4fe2 = 2n2, 2k2--п2.
Число 2Л2 четное, значит число п2 тоже четное. Тогда н число п является „ т ~
четным, т. е. числитель и знаменатель дроби-числа четные. Это проти-
п т
воречит тому, что дробь — несократима. Значит, неверно предположение, и Л
что число, квадрат которого равен 2, является рациональным.
Итак, десятичное измерение длин отрезков каждой точке координатной прямой, лежащей справа от начальной точки О, ставит в соответствие положительную бесконечную десятичную дробь. Наоборот, взяв произвольную положительную бесконечную десятичную дробь, мы можем найти на координатной прямой справа от точки О единственную точку А, такую, что длина отрезка О А выражается этой дробью.
Если к положительным бесконечным десятичным дробям присоединить противоположные им числа и число нуль, то получим множество чисел, которые называют действительными числами. Каждой точке координатной прямой соответствует некоторое действительное число, и каждому действительному числу соответствует точка на координатной прямой. Множество действительных чисел принято обозначать буквой R.
Бесконечные десятичные дроби могут быть периодическими и непериодическими. Бесконечные десятичные периодические дроби представляют рациональные числа. Каждое такое число m можно записать в виде отношения —, где m — целое число, п
а п — натуральное. Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами (приставка *ир» означает отрицание). Иррациональные числа нельзя предста-m
вить в виде отношения —, где m — целое число, ал — натуральное. Таким образом, множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.
Приведем примеры иррациональных чисел;
3,010010001... (единицы разделяются последовательно одним, двумя, тремя и т. д. нулями);
— 5,020022000222... (число нулей и число двоек каждый раз увеличивается на единицу).
Иррациональным числом является число л, выражающее отношение длины окружности к диаметру:
л = 3,1415926....
Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби.
Сравним, например, числа 2,36366... и 2,37011... . В этих положительных бесконечных десятичных дробях совпадают целые части и цифры десятых, а в разряде сотых у первой дроби число единиц меньше, чем у второй. Поэтому
2,36366... <2,37011... .
Сравним числа 0,253... и —0,149... . Первое из этих чисел положительное, а второе — отрицательное. Поэтому
0,253... > —0,149... .
Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить (при условии, что делитель отличен от нуля), причем действия над действительными числами обладают теми же свойствами, что и действия над рациональными числами. При выполнении действий над действительными числами в практических задачах их заменяют приближенными значениями. Повышая точность, с которой берутся приближенные значения, получают более точное значение результата.
Пример 1. Рассмотрим сумму чисел а и Ь, где а=-|-, 5 = 1,7132... .
Возьмем приближенные значения слагаемых с точностью до 0,1: а «0,3, b «1,7. Получим:
а + 5« 0,3 + 1,7 = 2,0.
Если взять приближенные значения слагаемых с точностью до 0,01, т. е. а «0,33 и b «1,71, то получим:
а + Ъ « 0,33 + 1,71 = 2,04.
Пример 2. Найдем длину окружности, радиус г которой равен 5 м.
Длина окружности I вычисляется по формуле / = 2лг. Взяв л«3,14, получим:
(«2-3,14-5 = 31,4 (м).
КАРЛ ВЕИЕРШТРАСС (1815 — 1897)
— немецкий математик, почетный член Петербургской Академии наук. Имеет многочисленные труды по математическому анализу и другим разделам математики.
• 270. Приведите пример:
а) рационального числа; б) иррационального числа.
271. Верно ли, что:
а) каждое рациональное число является действительным;
б) каждое действительное число является рациональным; в) каждое иррациональное число является действительным; г) каждое действительное число является иррациональным?
• 272. Среди чисел -у; 0; 0,25; —2,(3); 0,818118111... (число единиц, разделяющих восьмерки, каждый раз увеличивается на одну); 4,2(51); 217; л укажите рациональные и иррациональные.
273. Верно ли, что
а) 7,1беЛГ; 7,16gZ; 7,16gQ; 7,16 ^Я;
б) 409 g IV; 409 gZ; 409 gQ; 409 g Я;
в) n£N', n£Z; ngQ; л С Я?
• 274. Сравните:
а) 7,653... и 7,563...; в) —48,075... и —48,275...;
б) 0,123... и 0,114...; г) —1,444... и —1,456... .
• 275. Какое из чисел больше
а) 1,(56) или 1,56; г) —0,228 или — ;
б) —4,(45) или —4,45; д) л или 3,1415;
в) 1-^- или 1,6668; е) 3,(14) или л?
• 276. Сравните числа:
а) 9,835... и 9,847...; в) 2-^- и 2,142;
б) —1,(27) и —1,272; г) 1,(375) и 1 * О
277. Расположите в порядке возрастания числа 4,62; 3,(3); —2,75...; —2,63... .
278. Расположите в порядке убывания числа 1,371...;
2,065; 2,056...; 1,(37); —0,078... .
279. Найдите приближенное значение выражения а+ 5, где а= 1,0539... и 5 = 2,0610..., округлив предварительно а и Ъ: а) до десятых; б) до сотых; в) до тысячных.
280. Найдите приближенное значение выражения а — Ь, где а = 59,678... и 5 = 43,123..., округлив предварительно а и 5: а) до десятых; б) до сотых.
281. Найдите приближенное значение длины окружности, радиус которой 4,5 см (число л округлите до сотых).
282. Найдите приближенное значение площади круга, радиус которого равен Юм (число л округлите до сотых).
Упражнения для повторения
283. Упростите выражение
а -I- Ъ а \ / а + Ъ ’> Ъ а-\-Ъ а а-}- b
284. Найдите значение выражения |2х— 8| при х =—2,5; 0; 4; 5; 9,5.
285. Упростите выражение |аЬ|, если: а) а>0 и Ь>0: б) а < 0 и b 0.
к
286. Известно, что график функции У—~ проходит через точку А (4; —0,5). Найдите k и постройте этот график.
Контрольные вопросы
1. Какие числа образуют множество рациональных чисел?
2^. Какие числа называются иррациональными?
3. Какие числа образуют множество действительных чисел?
4. Какие действительные числа можно и какие нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному?
§ 5. арифметический квадратный корень
11. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ. арифметический квадратный корень
Пусть площадь квадрата равна 64 см2. Чему равна длина стороны этого квадрата?
Обозначим длину стороны квадрата (в сантиметрах) буквой х. Тогда площадь квадрата будет х2 см2. По условию площадь равна 64 см2, значит, х2 = 64.
Корнями уравнения х2 = 64 являются числа 8 и — 8. Действительно, 82 = 64 и (— 8)2 = 64. Так как длина не может выражаться отрицательным числом, то условию задачи удовлетворяет только один из корней — число 8. Итак, длина стороны квадрата равна 8 см.
Корни уравнения х2 = 64, т. е. числа, квадраты которых равны 64, называют квадратными корнями из числа 64.
3 Алгебра 8«л- 65
Вообще квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.
Число 8 — неотрицательный корень уравнения х2 = 64, называют арифметическим квадратным корнем из 64. Иначе говоря, арифметический квадратный корень из 64 — это неотрицательное число, квадрат которого равен 64.
Определение./ Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а. /
Арифметический квадратный корень из числа а обозначают так: д/а. Знак д/~ называют знаком арифметического квадратного корня', выражение, стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением. Запись д/а читают: «Квадратный корень иза» (слово «арифметический» при чтении опускают).
Приведем примеры нахождения (или, как говорят иначе, извлечения) арифметических квадратных корней:
д/4 = 2, так как 2 — число неотрицательное и 22 = 4;
71,21=1,1, так как 1,1 — число неотрицательное и .1,12 = 1,21;
-т^/О = 0, так как 0 — число неотрицательное и 02 = 0.
Вообще равенство д/а = b является верным, если выполняются два условия:
1) 5^0; 2) Ь2 = а.
При а<0 выражение -\/а не имеет смысла, так как квадрат любого числа неотрицателен. Например, не имеют смысла выражения д/—25; д/ — 3,7.
Из определения арифметического квадратного корня следует, что при любом а, при котором выражение -\/а имеет смысл, верно равенство
(~\1а)2 = а.
287. Докажите, что:
а) число 5 есть арифметический квадратный корень из 25;
б) число 0,3 есть арифметический квадратный корень из 0,09;
в) число — 7 не является арифметическим квадратным корнем из 49;
г) число 0,6 не является арифметическим квадратным корнем из 3,6.
• 288. Докажите, что:
а) д/121 = 11; в) 71,44 = 1,2;
6)7169 = 13; г) ^0,49 = 0,7.
• 289. Найдите значение корня:
a) Vsl; г) V1600; ж) д/0,04; к) Д/ /81. 4 ’
б) -/64; д) V2500; з) V0,25; л)
в) V36; е) V10 000; и) V0.81;
• 290. Вычислите:
a) V400; в) V4900; д) V0.16; ж) и)
б) V900; г) Vo.oi; е) /0,64; з) ; к) Vo 4
• 291. Найдите значение выражения:
а) -\ja-\-b при а = 32, 5 = 4; а = 33, 5= — 8;
а = 0,65, 5 = 0,16; а=—25, 5 = 26;
б) -\/Зх —5 при х = 7; 23; 1,83;
в) x+Vx при х = 0; 0,01; 0,36; 0,64; 1; 25; 100; 3600.
• 292. Найдите значение выражения:
а) д/х + л/^ при х = 25, z/ = 0; х = 0, у = 1; х = -^г, е/ = 0,36;
б) д/4 —2а при а = 0; 2; 1,5; —22,5.
293. Найдите значение выражения:
a) V36-V16; д) 3/9 — 16;
б) -/81;-/100; е)—7^/0,36 4-5,4;
в) V0.09+-/0.25; ж) 0,1л//400 4-0,2^1600;
г) V0.04-V0.01; з) -^V6^36 4-4-^900.
О о
294. Найдите значение выражения:
a) 0..6V36; Д) ~ V0JJ036 4- VO,0025; *
б) — 2,5/25; е) V0,01—V0,0001;
в) V0,49 4-V0,16;> ж) -^-VO.81-1; '
г) V0,64 —V0,04; з) 4 —10V0,01.
• 295. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел от 11 до 20, найдите:
a) -/144, -/289, V196. л/256;
б) -/225, "/169, -/324, /361;
Б) Vl,21, V2,89, V3?61;
r) Vl44, V3^24> V2V56, V2?25.
296. Имеет ли смысл выражение:
a) V100; в) — УТРО; д) V(-25)-(-4);
б) V—ЮО; г) V( —Ю)2; е) /—25^4?
297. Найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен 0; 1; 3; 10; 0,6.
298. Найдите значение переменной х, при котором:
a) "Vx = 4; в) 2^/х = 0-, д) -\/х—8 = 0;
б) Л//х = 0,5; г) 4Vx=l; е) Зл/х-2 = 0.
299. Существует ли значение переменной х, при котором:
а) \х = 0,1; в) V^+l = 0;
б) V*=—Ю; г) -\jx — 3 = 0?
300. При каком значении переменной верно равенство:
a) VX = HJ в) л/х= — 20; д) 5—V* = 0;
б) 10V* = 3; г) 2->/х —1 = 0; е) 2 + у/х = 0?
301. Найдите значение переменной х, при котором верно равенство:
a) V3 + 5x=7; б) V10x —14 = 11; в) Д/4* —4=0.
• о «2
Упражнения для повторения
302. Постройте на миллиметровой бумаге график функции у = х2 для значений х от —3 до 3. С помощью графика найдите:
а) значение у, соответствующее х=—2,5; —1,3; —0,8; 0,6; 1,7; 2,3;
б) значения х, которым соответствует значение у, равное 1; 2; 5; 7,5;
в) квадрат числа —1,4; —0,8; 1,2; 2,8;
г) числа, квадраты которых равны 0,5; 2,5; 3; 4; 5; 9.
303. Найдите значение выражения
"PH *=“2.
304. Запишите без знака модуля:
|а2|; б) |а3|, где а>0; в) |а3|, где а<0.
о
12. УРАВНЕНИЕ X = &
Рассмотрим уравнение х2 = а, где а — произвольное число. В зависимости от числа а при решении этого уравнения возможны три случая.
Если а<0, то уравнение х2=а корней не имеет. Действительно, не существует числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу.
Если а = 0, то уравнение имеет единственный корень, равный нулю.
Если а > 0, то уравнение имеет два корня. Чтобы убедиться в этом, обратимся к графику функции у = х2 (рис. 10). Прямая у—а при а>0 пересекает параболу у = х2 в двух точках. Обозначим абсциссы точек пересечения х( и х2. Тогда х2 = а и х2 = а, значит, числа Xi и х2 — корни уравнения х2 = а. Так как х2 есть положительное число, квадрат которого равен а, то х2 является арифметическим квадратным корнем из а, т. е. х2 = = -\/а. Так как Xi есть число, противоположное х2, то х\ = —\[а.
Например, уравнение х2 = 49 имеет корни Xi = --д/49 и х2 = -\/49, т. е. Х| = —7 и х2 = 7. Уравнение х2 = 6,25 имеет корни Х| = —л/б,25 и х2=^6,25, т. е. Х\ = — 2,5 и х2 = 2,5. <7 2 4 / 4 / 4
Уравнение х = — имеет корни х» = “у"д" и Х2“ у"д"’ 2 2
т. е. Х] = —— и х2 = —.
О О
Уравнение х2 = 2 имеет корни Х\ = —д/2 и х2 = л/2. Эти корни являются иррациональными числами, так как не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. С помощью графика функции у = х2 легко найти приближенные значения этих корней: д/2 «1,4 и —д/2« —1,4 (рис. 11). Уравнения х2 = 3,
х —5, х2 = 6,5 имеют соответственно корни —и д/3, —д/5 и д/5, —т/6,5 и -у/6,5. Эти корни также являются иррациональными числами.
Мы видим, что при любом а^О уравнение х2—а имеет неотрицательный корень иными словами, какое бы число а>0 мы ни взяли, найдется неотрицательное число, квадрат которого равен а. Это означает, что выражение -у/a имеет смысл при любам а^О.
305. Имеет ли корни уравнение:
а) х2 = 81; б) х2=18; в) х2 = 0; г) х2=—25?
® 306. Решите уравнение:
а) х’==36; в) х2 = 121; д) х2 = 8;
б) х2 = 0,49; г) х2 = 11; е) х2 = 2,5.
307. Решите уравнение и с помощью графика функции г/ = х2 найдите приближенные значения его корней: а) х2 = 3; б) х2 = 5; в) х2 = 4,5; г) х2 = 8,5.
308. Решите уравнение и с помощью графика функции у = х2 найдите приближенные значения его корней: а) х2 = 3,6; б) х2 = 2,8; в) х2 = 1,4; г) х2 = 6.
® 309. Решите уравнение:
а) х2-0,01 =0,03; г)2О-&2=-5; ж) -|-х2 = 32;
б) 80 + у2 = 81; д) Зх2 = 1,47; з) -5i/2=1,8.
в) 19 + с2=10; е) -|-а2 = 10;
® 310. Найдите корни уравнения:
а) 16 + х2 = 0; в) 0,5х2 = 30;
б) 0,Зх2 = 0,027; . _5 2 = _1_
' 20*
311. Решите уравнение:
а) (х —3)2 = 25; в) (х-6)2 = 7;
б) (х + 4)2 = 9; г) (х + 2)2 = 6.
312. Имеет ли смысл выражение -\/8 — 5х при х=—3,4; 0; 1,2; 1,6; 2,4?
313. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
а) Зд/а; , б) —5-у/х-, в) д/8с; г) д/—Ю& ?
314. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение:
а) -\/2х; б) ^/ — х?
315. Найдите квадраты чисел: -\/25; д/81; л/2; л/З;
• 316. Найдите значение выражения:
а) (л/7)2; г) (Зл/5)2; ж)
б) (-V26)2; д) 0,5 (-д/8)2;
в) -2 VH-V14; е) ( —2У15)2; 3) х^/б/ ‘
317. Вычислите:
а) 0,49 + 2 (д/0Т)2; в) (2V6)2 + (-3V2)2;
б) (3VH)2—л/64оо; г) -о,1(712д)2-(^--/2о)2.
318. Найдите значение выражения:
а) 2л/6-(-л/6); в) VM4-2(VM")2;
б) — (Зл/5)2; г) (0ДЛ/70)2+7йЙГ.
Упражнения для повторения
IX1
319. Найдите значение выражения — при х— — 8; —5;
1; 7; 128. Чему равно значение выражения -у, если:
а) х>0; б) х<0?
320. Вычислите значение выражения:
1-4 1
а) ----- при х=— 0,5; б) ---j— при х =—0,4.
1+4 1+—г
1+т
321. Сократите дробь:
8-*3 • б) 16/ + ^.
' 25х2 + 100 —100х ’ a' + l—a
322. Изобразите схематически в одной и той же системе 10
координат графики функций У=~ и J/=10x. Имеют ли эти графики общие точки и если имеют, то сколько?
13. НАХОЖДЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
В практических вычислениях числа часто заменяют их приближенными значениями, выраженными десятичными дробями. Рассмотрим, как можно находить приближенные значения арифметического квадратного корня.
Найдем, например, приближенное значение < с тремя знаками после запятой.
Так как I2 меньше 2, а 22 больше 2, то число < заключено между целыми числами 1 и 2 (рис. 12, а). Значит, десятичная запись числа < начинается так:
<2 = 1,... .
Найдем теперь цифру десятых. Для этого будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3; ..., пока не получим число, большее двух. Имеем:
1,12 = 1,21; 1,22 = 1,44; 1,32 = 1,69;
1,42 = 1,96; 1,52 = 2,25.
Так как 1,42 меньше 2, а 1,52 больше 2, то число < больше 1,4, по меньше 1,5 (рис. 12, б). Значит,
<2 = 1,4... .
Чтобы найти цифру сотых, будем последовательно возводить в квадрат десятичные дроби 1,41; 1,42; ... . Так как 1,412 = = 1,9881, а 1,422 = 2,0164, то число <2 больше 1,41 и меньше 1,42 (рис. 12, в). Значит,
< = 1,41... .
Продолжая этот процесс, найдем, что десятичная запись числа < начинается так: 1,414... . Поэтому
<«1,414.
л/2
Рис. 12
Рассмотренный прием позволяет извлекать арифметический квадратный корень из числа с любой точностью. В практических расчетах для нахождения приближенных значений квадратных корней используют специальные таблицы или вычислительную технику.
Для извлечения квадратных корней с помощью микрокалькулятора «Электроника МК-57» используют клавишу, на которой помещен знак . Чтобы извлечь корень из некоторого числа, нужно ввести это число в микрокалькулятор и затем нажать клавишу д/- . На экране высветится значение корня.
П ример 1. Найдем д/42,5 .
Введем в микрокалькулятор число 42,5 и нажмем клавишу со знаком д/-. На экране высветится число 6,5192024 — приближенное значение д/42,5 . Полученный результат округляют до требуемого числа знаков. Округлим, например, результат до сотых, получим:
д/42,5 «6,52.
Пр и м е р 2. Найдем значение выражения д/а2 Ь2 при а = 3,4, 5 = 4,2.
Чтобы найти значение данного выражения, можно поступить следующим образом: возвести в квадрат число а и ввести результат в память; затем возвести в квадрат число Ъ и сложить полученное число с числом а2, извлеченным из памяти; после этого из найденной суммы извлечь арифметический квадрат-
ный корень. Напомним, что для нахождения значения выра-жения а достаточно ввести в микрокалькулятор число а и нажать клавиши X и = . Программа вычислений будет
выглядеть так:
П+
Проведя вычисления по указанной программе для а =3,4 и 5 = 4,2 и округлив полученный результат до десятых, найдем, что д/а2-[-52«5)4.
Заметим, что вычисления можно было бы провести и по такой программе:
а X = П+
П+ ип V
® 323. Подберите два последовательных целых числа, между которыми заключено число: а) Т2?! б) ^[40; в) ^/120; г) д/9?2; д) V0»4 •
• 324. Подберите два последовательных целых числа, между которыми заключено число: а) б) л/^80; в) л/200;
г) 7^3-
325. Найдите цифры разрядов единиц, десятых, сотых в десятичной записи иррационального числа Тб.
326. Найдите цифры разрядов единиц и десятых в десятичной записи числа ^10.
327. С помощью микрокалькулятора вычислите значение выражения:
а) -\х при х = 16; 0,25; 3; 245; 0,37;
б) 7Х + 4 при х = 8,5; 14,1; 0,2549.
328. Площадь квадрата равна 18 см2. Найдите с помощью микрокалькулятора его сторону с точностью до 0,1 см.
329. Составьте программу для вычисления с помощью микрокалькулятора значения выражения вида:
а) б) 7а + ! в) 7“ + V&; г) ^а~ — Ь2.
330. Восстановите выражение по заданной программе вычисления его значения с помощью микрокалькулятора:
а) а лГ + Ь ;
б) b -у/~ X а = ;
г) а
331. Найдите с помощью округлите до сотых):
a) 6+V17; в) Vio+Vi5;
б) 12-^34; г) 762—^48;
332. Вычислите с помощью
микрокалькулятора (ответ
д) 73,4-4,9;
е) 6,5 + 3Л/7\8“.
микрокалькулятора (ответ
округлите до тысячных):
a) -V2 + V3; б) VV2.
333. Найдите с помощью микрокалькулятора значение выражения (ответ округлите до сотых):
а) 7а2 + Ь2
б) 7д2 — &2
при . а = 4,8 и Ь = 6,2; при а = 9,7 и Ь = 5,3.
334. Решите уравнение и найдите с помощью микрокалькулятора приближенные значения его корней (ответ округлите до сотых):
а) х2 = 30; б) 7х2 = 10; в) (х-3)2 = 12; г) (х+1)2 = 8.
Упражнения для повторения
335. Вычислите:
а) Зл/0,16 — 0,1V225; в) 0,3 уЦТ• д/400;
б) 0,2^'900+1,8 y-i-; г) 5:<2Г--^0,81'.
336. Пересекает ли график функции у = х2 прямая:
а) У=— 9; б) г/ = 0; в) у = 25; г) у = 35?
В случае утвердительного ответа укажите координаты точек пересечения.
337. Найдите значение выражения:
а) 10 лОГ+(- д/2)2; б) 0,3 у25- ^Ъ/12)2.
О
338. Найдите значение выражения х+ |х|, если х = 7; 10; 0; — 3; —8. Упростите выражение х-|-|х|, если: а) х^0; б) х<0.
339. Сократите дрсубь:
4а2 —20а+ 25 9х2 + 4у2 — 12ху
’ 25-4а2 5 4у2 —9х2 ’
14. ФУНКЦИЯ у=^/х И ЕЕ ГРАФИК
Пусть длина стороны квадрата равна а см, а его площадь S см2. Каждому значению стороны квадрата а соответствует единственное значение его площади S. Зависимость площади квадрата от его стороны выражается формулой S = a2, где а^0. Наоборот, для каждого значения площади квадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение стороны а. Зависимость стороны квадрата от его площади выражается формулой a=^[S. Формулами S = a2, где а^0, и a = ^/S задаются функциональные зависимости между одними и теми же переменными, однако в первом случае независимой переменной является сторона квадрата а, а во втором — площадь S.
Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у, то получим формулы:
у — х, где х^0, и у=ух.
Мы знаем, что графиком функции у = х2, где х > О, является часть параболы — ее правая ветвь (рис. 13). Построим теперь график функции у = д/х.
Так как выражение -\/х имеет смысл при х^О, то областью определения функции у = -у/х служит множество неотрицательных чисел.
Составим таблицу значений функции у = д/х (приближенные значения у для значений х, не являющихся квадратами целых чисел, можно найти с помощью микрокалькулятора):
X 0 0,5 1 2 3 4
У 0 0,7 1 1,4 1,7 2
X 5 6 7 8 9
У 2,2 2,4 2,6 2,8 3
Построим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице. Проведя от начала координат через эти точки плавную линию, получим график функции у=тД (рис. 14).
Сформулируем некоторые свойства функции у = ->[х.
1) Если х = 0, то z/ = 0, поэтому начало координат принадлежит графику функции.
2) Если х>0, то у>0; график расположен в первой координатной четверти.
3) Большему значению аргумента соответствует большее значение функции; график функции идет вверх. Например, -Дё” > ViX, Уб > уз.
График функции у = -у/х, как и график функции у = х2, где х^О, представляет собой ветвь параболы. Это следует из того, что эти графики симметричны относительно прямой у = х (рис. 15). /Доказательство симметрии графиков основано на том, что точки с координатами (а; Ъ) и (Ь; а) симметричны относительно прямой у = х.
Пусть точка М (а; Ь) принадлежит графику функции у = х2, где х^О. Тогда верно равенство Ъ =а2. По условию а — неотрицательное число, поэтому a = ^/b. Значит, при подстановке координат точки N (й; а) в формулу у = ух получается верное равенство, т. е. точка N (й; а) принадлежит графику функции у = ^[х.
Верно и обратное: если некоторая точка принадлежит второму графику, то точка, у которой координатами являются те же числа, но взятые в другом порядке, принадлежит первому графику.
Таким образом, каждой точке М (а; й) графика функции у = х2, где х^О, соответствует точка N (й; а) графика функции у = ^[х и наоборот. Так как точки М (а; й) и N (Ь; а) симметричны относительно прямой у—-х, то и сами графики симметричны относительно этой прямой.
& 340. Площадь круга может быть вычислена по формуле В = лг2, где г — радиус круга, или по формуле S=~-, где d — диаметр круга. Задайте формулой зависимость: а) г от S;
б) d от S.
• 341. Задайте формулой зависимость: а) площади поверхности куба S от длины его ребра а; б) длины ребра куба а от площади его поверхности S.
• 342. Площадь поверхности шара радиуса R вычисляется по формуле В = 4лЛ2. Задайте формулой зависимость R от S.
• 343. Пользуясь графиком функции у = -у/х, найдите:
а) значение ~\[х при х=2,5; 5,5; 8,4;
б) значение х, которому соответствует -\/х = 1,2; 1,7; 2,5.
о 344. С помощью графика функции у = -^х найдите:
а) значение функции при х = 0,5; 1,5; 6,5; 7,2;
б) значение аргумента, которому соответствует значение у = 0,5; 1,5; 1,8; 2,3.
о 345. Принадлежит ли графику функции у=-\/х точка Л (64; 8); В (10 000; 100); С (-81; 9); В (25; -5)?
346. Пересекает ли график функции у=-\/х прямая:
а) у = 1; б) у = 10; в) у = 100; г) у = — 100?
Если пересекает, то в какой точке?
® 347. Принадлежит ли графику функции у=^[х точка М (121; 11); N (900; 30); А (-400; 20); В (81; -9)?
348. С помощью графика функции у = т/х сравните числа: а) VojF и 7^8; б) Vm” и в) л/7 и -у/8.
• 349. Что больше:
a) V10 или VH; в) V50 или л/60; д) д/60 или 8;
б) -у/0,12 или -\/0,15; г) 7 или -\/50; е) -у/2 или 1,4?
• 350. Сравните числа:
а) д/27 и д/28; в) -^7 и 3;
б) 71^3 и г) 7^25 и 2,5; д) * Т и V V
351. Расположите в порядке возрастания числа:
а) 72Л“» V10.4 и д/19>5 ;
б) V18, V12 и 4;
в) 0,5, -уХ и "У А-; • Z ’ о
Упражнения для повторения
352. Найдите значение выражения:
г) 0,5-7121+З^О^вГ; в) 7400 — (4Л/'0^“)2;
б) VI44 • 7900- л/ОДГ; г) ( - 3 д/“ -10 /б^".
353. Имеет ли смысл выражение:
б) (V^9)2; в) - 7э2“; г) —7^9/”?
354. Решите уравнения:
а) х2 = 11 и -v'x = ll; б) 2х2=~ и 2 7х=-|-.
355. Упростите выражение |аЬ3|, если:
а) а>0 й Ь>0; в) а<0 и &>0;
б) а<0 и &<0; г) а>0 и &<0.
356. Сравните с нулем значение дроби:
а) х* + 7 * Где х<0; б) -V24 * Где х>0-
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение арифметического квадратного корня. При каки^ значениях а выражение -\[а имеет смысл?
2. Имеет ли уравнение х2 = а корни при а>0, а=0, а<0 и если имеет, то сколько?
3. Покажите на примере, как извлекается квадратный корень с помощью микрокалькулятора.
4. Какова область определения функции у=-\[х? Как расположен график этой функции в координатной плоскости?
§ 6. СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ
15. КВАДРАТНЫЙ корень, из произведения и дроби Сравним значения выражений 781’4 и 7®1*V4:
78Ь4Г=7324=18,
781.74 = 9-2 = 18.
Мы видим, что 781-4 = 781’74- Аналогичным свойством обладает корень из произведения любых двух неотрицательных чисел.
Теорема 1. Если а^О и 6^5 О, то уаЬ=^/а-'у/Ъ.
Доказательство. Пусть 0 и Ъ 0. Тогда каждоэ из выражений '/аЬ и д/а-д/& имеет смысл. Пока жем, что выполняются два условия
1) 2) (у/а--\ГоУ —аЬ.
Так как выражения д/а и yb принимают лишь неотрицательные значения, то произведение -\ia-~\jb неотрицательно.
Используя свойство степени произведения, получим
(д/а • д/&)2 = (уя)? • (V&)2 == с: Ъ •
Мы показали, что условия 1) и 2) выполняются. Значит, по определению арифметического квадратного корня верно равенство
д/аЬ=д/а-д/б.
Равенство -\1аЬ=\/а--\ГЬ является тождеством, так как оно зерно 1.ри всех допустимых значениях переменных а и Ь.
Доказанная теорема распространяется на случай, когда число множителей под знаком корня больше двух.
Например, если_а^0,____b^O.cJaC, то Jabc = -\[а• д/b• Ve-
Действительно, -Jabc = д/(аЬ)с = b -Jc~-= Ja -Jb д/с.
Таким образом, арифметический квадратный корень обладает следующим свойством:
корень из произведения неотрицат с :ммх множителей равен произведению корней из этих мложителей.
Рассмотрим теперь арифметический квадратный корень из дроби.
Теорема 2. Если а 0 и Ь > 0, го -д/-^-=^1.
V ь Jb
Доказательство. При а 0 и b > 0 каждое из выражений и имеет смысл. Как и в теореме 1, для доказательства достаточно установить, что выполняются условия:
1) ^>0 и
Так как а^О и b
2
0, поэтому
-Jb
Используя свойство степени дроби, получим:
(л/д)2
а
Т ’
Значит, по определению арифметического квадратного корня при а ^0 и 6> О
/ а _-у/а
* 6 -у/Ь *
Равенство “1/—=-- является тождеством, так как оно верно
V b -Jb
при всех допустимых значениях переменных а и Ь.
Итак, мы установили еще одно свойство арифметического квадратного корня:
корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.
Пример 1. Найдем значение выражения
Воспользуемся теоремой о корне из произведения:
Л/б4 П)’, 04 = л/(И • д/'б/М = 8 • 0,2 = 1,6.
Пример 2. Вычислим значение выражения д/32«98.
Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых является квадратом целого числа, и применим теорему о корне из произведения:
<3 2”98 = 7(16^2). (49-2) = 716-49-4 = 4-7-2 = 56.
Пример 3. Цайдем значение выражения .
По теореме о корне из дроби имеем:
-д/зб _ д/зё _ 6
V 169”" “ 13 •
Поменяв в тождествах -y/ab =-y/a--yfb и ~\/_т_==^р местами
® -\jb
их левые и правые части, получим:
Этими тождествами пользуются при умножении и делении арифметических квадратных корней.
Пример 4. Найдем значение произведения 720
Имеем:
д/20 - 75=720^5 = 7100 = 10-
Пример
5. Найдем значение частного : д/б =716=4.
д/б v 5
• 357. Найдите значение выражения:
a) 7100-49; в) л/64-121 ;
6) л/81'400 ; г) 7144 • 0,25;
д) 7'0,01-169;
е) 72?25-0Ж-
• 358. Вычислите значение
корня:
д> Л/'ll;
к -Л 7 1 ж) \5— ;
З>л/Ц--
• 359. Найдите значение корня: ,----
а) 781-900 ; б) 7^36 ^49• ; в)Д/12^-; г)^10^-
380. Найдите значение выражения:
а) 79-64-0,25 ; в) <1,21-0,0О,ООО!; д) Д/3-^-2-i|
в) ; г) е) л/^Oj.
361. Найдите значение корня:
а) 7'0,04-81-25 ; в) Д/1 ;
* <J £itj
б) у О/ОЭ л 61’6,04 ; г) • 2~ .
’ ’ 144 4
362. Вычислите значение корня:
а) 7810-40 ; в) л/72 • 32 ; д) 750-18 ;
б) 710-250 ; г) 78-98 ; е) <2,5-14,4 ;
ж) ТОО • 6,4 ;
з) 71б7Гбд.
363. Найдите значение выражения:
а) 775^48 ; б) ^5^80 ; в) 74,9• 360 ;
г) <160-6,4 .
364. Вычислите значение выражения:
а) 7132”-122 ; в) 73132-3122 ; д) <16,в2”- 44,22 ;
б) 7'82’+62 ; г) 71 222 — 222 ; е) 721,82-18,22 .
365. Извлеките корень:
а) 7172-82 ; в) 7822-182 ;
б) 7'32'+42 ; г) 71172- 1082 ;
д) л/6^2- 3,22 ;
366. Представьте a) V15 ; б) V21 ;
выражение в виде произведения корней: в) ; г) -\/Зс .
367. Представьте
368. Докажите, что:
а) ;
выражение в виде частного корней:
v -./Т v -./Т
; в)Л/т; г> V-з-
б) 7n=-^7100n.
369. Используя приближенное равенство 775~8,7, найдите приближенное значение выражения:
а) 77 500 ; б) ^/750 000 ; в) T0J5 ; г) 70,0075 .
® 370. Используя свойства квадратного корня, найдите с помощью таблицы квадратов, помещенной на форзаце учебника, значение выражения: s
а) 757 600 ; в) 7152 100 ; д) 720,2'5 ; ж) 70,0484 ;
б) 7230 400 ; г) 7129 600 ; е) 7э,бТ ; з) 70,3364 .
• 371. Найдите значение выражения:
а) 744 100 ; б) 7435 600 ; в) 70,0729 ; г) 715,21.
• 372. Найдите значение произведения:
a) 72-V8; в) 728-77; д) 713-752;
ж) 750-7^5;
б) 727‘Тз ;
г) 72-732;
е) 763-77;
• 373. Найдите значение частного:
X <2 -х <23 х <52 х <12 500 . ч <7?5
*>vn! б)?»; В)7Й; Д)7Й-
• 374. Найдите значение выражения:
a) 710-V40;
б) 712-73 ;
в) 7162*72 ;
д) Tiio-л/м;
е) -714-V6J; ’ и
ж)
з)
<999 .
<ш
<15
<735 *
375. Значение выражения 72-Тз с помощью микрокалькулятора можно вычислить двумя способами: найти значения 72 и 7з и результаты перемножить или заменить произведение 72-д/З выражением Тб и затем найти его значение. Каким из этих способов удобнее пользоваться? Выполните вычисления.
376. Найдите с помощью микрокалькулятора приближенное значение выражения с двумя знаками после запятой:
a) <7-<5 ;
б) <з,Т-<^5;
в) <10-<11-<12 ;
г)
уп~7 .
<6
д)
е)
<10,2 .
-<38,6 ’
л/гл-Уэд
<4j
Упражнения для повторения
377. Найдите значение выражения ~\[х2, если х=—4; —3; 0; 9; 20. При каких значениях х выражение <х2 имеет смысл?
378. Используя определение модуля, упростите выражение х-|х|, если известно, что:
а) х>0;
б) х<0.
379. Упростите выражение:
1 / 1 \ 2
а) 2а2--5-а3; б) 4(3а4)2; в) 20а4-(-=-а3) .
“ \ Л /
380. Представьте в виде квадрата некоторого выражения: а) а4; б) а6; в) а18; г) ; д) а2Ь8; е) -^-2.
381. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной а см, высота параллелепипеда равна b см, а его объем равен V см3. Выразите переменную а через b и V.
382. Сократите дробь:
. 1 — 10а + 25аг й. 1 — бх + Эх1
а) ----5^i-----= б) ~ 8х—1 *
383. Решите уравнение:
. 2х x-f-18 . х х —1 . 2х-|-1 Зх —1
а)Т-------6~ = 23 + зо’ б) —+——=——•
16. квадратный корень из степени
Найдем значение выражения -у/х^ при х = 5 и при х = _ 6 ♦
<52 - <25 = 5, <Г^6?= <36 = 6.
В каждом из рассмотренных примеров корень из квадрата числа равен модулю этого числа:
<5^=151, л/Нб)5- I -6|.
Теорема. При любом значении х верно равенство
^=\х\. (1)
Доказательство. Рассмотрим два случая: х^О и х<0. Если х^О, то по определению арифметического квадратного корня У?=х. Если х<0, то —х>0, поэтому ~\[х2 = —х. Мы знаем, что | х | = х, если х 0, и | х | = — х, если х < 0. Значит, при любом х значение выражения л/х7 совпадает со значением выражения |х|.
Тождество (1) применяется при извлечении квадратного корня из степени с четным показателем. Чтобы извлечь корень из степени с четным показателем, достаточно представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и воспользоваться тождеством (1).
Пример 1. Упростим выражение -у/а™.
Представим степень а'11 в виде (ан)2 и воспользуемся тождеством (1):
^ = ^Y=\as\.
Так как а8^0 при любом а, то |а8|=а8. Итак, .^=ав.
Пример 2. Преобразуем выражение -\/х10, где х < 0.
Представим х10 в виде (х5)2, получим:
V?’°=Y(x7= । х51.
Так как х<0, то х5<0, поэтому |х5| = —х5. Значит, при х<0
10 _ _^5
Пример 3. Найдем значение выражения д/893 025.
Представим число 893 025 в виде произведения простых множителей, получим:
л/893 025 = У36-52-72 = д/З8• д/Г2 • д/72 = У^• 5• 7 =
= 33-35 = 27-35 = 945.
• 384. Вычислите:
а) УЩУ;
б) У(-0,4)*;
в) У(-0,8)2;
г) VCU)-2;
д) VF19)2;
е) V242;
ж) 2д/(- 23)2 ;
з) 5У522;
и) 0,2V(- 61)2.
•a 385< Найдите значение выражения:
a) д/х2 ПРИ х = 22; —35; —1-|-; 0;
б) 2л/а2 при а=—7; 12;
в) 0,It/у5 ПРИ У = — 15; 27.
• 386. Замените выражение тождественно равным:
a) д/р2; б) -Jy2’, в) Зд/b2; г) — 0,2 д/х2; д) д/25а2.
387. Упростите выражение:
а) л]а1, если а >0; Д) д/36х2, если х^О;
б) ул', если л < :0; е) -д/Эу7. если У<0;
в) Зд/с2, если с ^0; ж) — 5д/4х2, если х>0;
г) — 5^/у2, если У>0; 3) 0,5д/16а2 , если а <0.
388. Упростите:
а) 2д/тп2, если т^О; в) д/0,64х2, если х^О;
б) — Зд/а2, если а>0; г) —д/0525у2, если у<0. 389. Упростите выражение:
а) д/у®, где у^О; г) 5-д/а8;
б) д/^*: д) о
в) д/хь , где х<0; е) 1,5л/Р\ где t<0.
390. Преобразуйте выражение:
а) д/0,49х18, где х<0; в) 15д/0,16с12;
б) д/0,01а26, где 0; г) 0,8т/100у16.
391. Упростите выражение:
а) д/р10'» если р: >0; г) 15д/Ьт®;
б) д/х*8, если х <0; д) i,6V^;
в) д/у1Т; е) 0,1д/а\ если а<0,
® 392. Найдите значение корня:
а) д/24; в) д/г5’; д) V(-5)4; ж) д/3^55;
б) - д/з1’; г) Vio*; е) V(-2)8; з) V26-7\
• 393. Вычислите:
а) Vii5; в) д/(-3)8; Д) д/28-32; ж) д/72-28;
б) дФ; г) V(-6)4; е) т/34.56; з) д/36-54.
я 394. Извлеките корень, представив подкоренное выражение ь виде произведения простых множителей:
а) п/20 736; б) -у/50 625; в) л'28 224; г) д'680 625.
э 395. Вычислите:
а) л/2304; б) -V18 225; в) л/254 016.
Упражнения для повторения
396. Сравните числа:
а) 7 и -\/50; б) -/11 и 3;
в) т/б и 2,4; г) 2,1 и -д/4,21.
397. Докажите, что при всех допустимых значениях а значение выражения
/ 5 3 6 \ о + 1
\ а +1 а — 1 ‘ а2 — 1/ 2 не зависит от а.
398. Упростите выражение
х + 5 х2 — 5х
х \ хг —25 х2 —25 / 5
399. На рисунке 16 изображены графики функций </ = 2x4-2, у———3 и у=— 2х-{-2. Для каждой функции укажите ее график.
400. Объем цилиндра вычисляется по формуле V= где R — радиус основания, Н — высота цилиндра. Выразите переменную R через V и Н.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из произведения.
2. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из дроби.
3. Докажите тождество -\/х?=|х|.
4. Покажите на примере выражения ->/а12, как извлекается квадратный корень из степени с четным показателем.
§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ
17. ВЫНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ ИЗ-ПОД ЗНАКА КОРНЯ.
ВНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ ПОД ЗНАК КОРНЯ
Сравним значения выражений -\/50 и 6-\/2. Эту задачу можно решить, преобразовав -\/5б. Представим число 50 в виде произведения 25*2 и применим теорему о корне из произведения. Получим: _
л/50 = V25"- 2 = л/25 * л/2 = W2.
Так как 5-\/2 < 6-\/2, то -\/50 < 6^/2.
При решении задачи мы заменили -\/50 произведением чисел 5 и \/2. Такое преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня.
Значения выражений -\/50 и 6-\/2 можно сравнить иначе, представив произведение &~^2 в виде арифметического квадратного корня. Для этого число 6 заменим -\/36 и выполним умножение корней. Получим:
6V2 = V36-V2 = V72*
Так как 50 <72, то -\/50<-\/72. Значит, V50<6-\/2.
При решении задачи вторым способом мы заменили 6-^2 выражением -^42. Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня.
Пример 1. Вынесем множитель из-под знака корня в выражении -^а1.
Выражение д/о7 имеет смысл лишь при а^О (если а<0, то а7 <0). Представим подкоренное выражение а7 в виде произведения а6-а, в котором множитель ас является степенью с четным показателем. Тогда
л[а7=-л/а6-а = ^/а^-^/а=-\^У--у/а= |а3| --\[a = a3-Ja.
Пример 2. Внесем множитель под знак корня в выражении — 4~\/х.
Отрицательный множитель —4 нельзя представить в виде арифметического квадратного корня и поэтому множитель — 4 нельзя внести под знак корня. Однако выражение —4-\[х можно преобразовать, внеся под знак корня положительный множитель 4:
— 4-^х= —1 -4<с = —1 -^flG-^/x — —->/16х.
Пример 3. Внесем множитель под знак корня в выражении а\2.
Множитель а может быть любым числом (положительным, нулем или отрицательным). Поэтому рассмотрим два случая:
если а>0, то a-'j2 = \а\-у/2=^/а^л/2 — ^/2ат;
если а<0, то а\2 — — |а|-/2=—д/а^-д/2= — ^2а~.
• 401. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) -712; в) л/80; д) -J125; ж) л/363;
б) <18; г) V48; е) <08; з) <45.
• 402. Вынесите множитель из-под знака корня и упростите полученное выражение:
a) -j-<24; в) —^-<47; д) 0,1<20 ООО;
б) 4 <5; г) -Ал/275; о О
е) — 0,05<8 800.
• 403. Вынесите множитель изипод знака корня:
a) <б;
б) <8;
в) <200;
г) <60;
д) 0,2<75;
е)
0,7<300;
ж) — 0,125<92;
з) —^-V'450-<5
• 404. Внесите множитель под знак корня:
а) 7<L0; б) 5-\/3; в) G^/x; г) 10</; д) Зу/2а; е) 5<ЗЬ.
• 405. Внесите положительный множитель под знак корня: а) — 2<3; б) — 3<5; в) г) — 0,2<Ь.
406. Представьте выражение в виде арифметического квад
ратного корня или выражения, ему противоположного:
в) -|-<18; Д) 5^\/-у ;
г) — 10<Ц}2; е) —\-^2х.
407. Замените выражение арифметическим квадратным корнем или выражением, ему противоположным:
а) 2д/2; в) -7д/3; д) -|-д/Ш;
б) 5д/у; г) — бДл; е) — 0,17200с.
• 408. Сравните значения выражений:
а) Зд/З и д/12; в) 5д/4 и 4д/б;
б) д/^б и Зд/5; г) 2д/5 и Зд/2.
• 409. Сравните значения выражений:
a) 4-V351 и -J-V188; в) 724 и 4V216;
б) 4-V54 и -^7150; г) 47^2 и 7Д/4-3 0 О ’ о
410. Расположите в порядке возрастания числа:
а) 3^3, 2д/б, д/29, 4д/2; б) 6^/2, д/58, Зд/7, 2д/14.
• 411. Сравните: k
а) 2д/7 и 7д/2; в) и бдЛ4
б) 3-7120 и 2V270; 2 v 2
412. Вынесите множитель а) -Дх', где х^О;
б) -Дор» где У<0;
413. Вынесите множитель а) yj8a3; в) -Двх2, где х б) д/ЗООР; г) д/72р;
из-под знака корня: в) у/х3; д) 716Р’>
г) д/5*; е)Л/^.’.
v ' V 16
из-под знака корня: СО; д) д/бба7;
е) д/27с6, где с<0.
414. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) д/бх2, б) д/зр,
где где
х>0;
У<0;
в) д/9?;
г) д/50Ь4.
Упражнения для повторения
415. Упростите выражение
/ 2х+1 2х —1 \ х2 —9_|_i
\ ха —Зх х' + Зх/ 7х '
416. В школьной мастерской учащиеся' за три дня переплели 144 библиотечные книги. Сколько книг было переплетено
в каждый из трех дней, если известно, что во второй день учащиеся переплели на 12 книг больше, чем в первый, а в „5 „
третий — числа книг, переплетенных в первый и во второй дни вместе?
417. Решите уравнение:
2х —9 2(5х4-3)_ 1
6 15 — 2 ’
18. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИИ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
Мы рассмотрели ряд тождественных преобразований выражений, содержащих квадратные корни. К ним относятся преобразования корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня. Рассмотрим другие примеры тождественных преобразований выражений, содержащих квадратные корни.
Пример 1. Упростим выражение
3 д/ба—д'20а + 4 д/45а.
Вынесем из-под знака корцЛ в выражении д/20а число 2, а в выражении д/45а число 3. Получим:
3 д'ба — д/20а + 4 = 3 ^5~a - 2 д/ба +12 д/5а =
=д/ба (3 — 2 +12) = 13 т/ба.
Заметим, что, заменив сумму 3 т/ба— 2 д/ба12 д/ба выражением 13 д/5а, мы выполнили приведение подобных слагаемых. Эту замену можно было выполнить короче, не выписывая промежуточный результат.
Пример 2. Преобразуем произведение
(3 д/б — 6 д/2) (д/б + 2 д/2).
Умножив каждый член первой суммы на каждый член второй, получим:
(3 Тб - 6 д/2) (д/б+ 2 д/2)=
= 3(д/б)2-6 д/2.д^ + 6д/^-д/2-12 (д/2)2 =
= 15 —24= —9.
х2 —3
Пример 3. Сократим дробь ---------=.
х + л/3
Так как 3 = (^/3)2, то числитель данной дроби можно представить в виде разности квадратов двух выражений. Получим: хг-3 _ х2-(л/3)г (х+ /3) (x—fi) х _
х + <3 х + Уз х+Уз
Пример 4. Преобразуем дробь -£= так, чтобы знамена-<2
тель не содержал квадратного корня.
Умножив числитель и знаменатель дроби на У2, получим: с с 1/2 с <2 -/л (УУ «
Мы заменили дробь -- тождественно равной дробью , <2 2
не содержащей в знаменателе знака корня. В таких случаях говорят, что мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби.
П ример 5. Найдем с помощью микрокалькулятора при-4-з Уё ближенное значение выражения ——------ с двумя знаками
Уб — 1 после запятой.
Программа вычислений будет проще, если предварительно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель данной дроби на сумму -\/б +1- Получим:
4-ЗУб _(4-ЗУб)(Уб + 1) 4л./6-3(Уб)г + 4-ЗУб
<6-1 _ (Уб- 1)(Уб+1) (Уб)2-1 _
Уб —3-6 + 4 Уб —14 ~ 6—1 — 5 ‘
Проведя вычисления, найдем, что
—2,31.
5
• 418. Упростите выражение:
а) 2 Ух-|-ЗУх—<#;
б) —4\^ + 2У&+зУа;
в) У9а-|-У25а—УЗба;
г) У16п +У25п—УЭп;
д) Уба — 2 У2Оа— 3 У80а;
е) V75. + VJ8 —V300;
ж) 3^8 —д/50 + 2 V18;
з) 7^2-7200 + 78;
и) 7т5-о,1^оо-Т27;
к) 798 - 772 + 0,5 78.
• 419. Упростите выражение:
а) 78Р—л/25 + 718р;
б) 716с+2740с—зТэбс;
в) 5 727 — 4 748m — 2 712m;
г) Т54—724+Т150;
д) 3 72 + 732-7200;
е) 2 772 — 750 — 2 78.
• 420. Выполните действия:
а) (712 + 715)-^;
б) 71(3 75 + 5 78);
в) (4 73-2 7б)-2 73;
г) (375-273)-Тб+Тбо;
д) (7^8 - 2 73 + 77).77 +784;
е) (712 + 2 718).72-796.
• 421. Упростите выражение:
а) 73-(712 — 2 727);
б) (57^-7 7з)-7б;
в) 78-(V10-75)-75;
г) 748 - 2 73 • (2 - 5 712).
422. Выполните действия: у
а) (1 + 3 72) (1-2 72); г) (Тб-78) (75 - 3 72);
б) (3+73)(2 + 73); Д) (275+л^2) (712-^)-7135;
в) (2 72-73)(3 72-2 73); е) (372-727) (727-72)-754.
• 423. Выполните действие, используя формулы сокращенно-
го умножения:
а) («+Ту)(ж-Ту);
6) (7«—75)(7в + л/5);
в) (711-3) (711 + 3);
г) (710+ 77) (77 -710);
д) (7а+7&)2;
е) (7m—7«)2;
ж) (72 + 3)2;
з) (75-Т2)2.
424. Выполните умножение: а) (2 75 + 1) (2 75-1);
б) (5 77 - 713) (713 + 5 77);
в) (3 72-2 73) (2 73 + 3 7?);
г) (0,5 714 + 7Ю(73- 0,5 714);
д) (1 + 3 Тб)2;
е) (2ТЗ- 7)2;
ж) (2 710-72)2;
з) (376-273)2.
425. Выполните действия: а) (7б+75)2-7120;
б) 7бо+(7з-75)2;
в) (714- з 72)2 + 6 728;
г) (3 75+715)2- ю 727;
Д) (V4+77 + V4^)2;
е) (д/б + 2 76- д/б - 2 Тб)2-
426. Преобразуйте выражение:
a) (д/х+1)(д/х—1);
б) (д/х-д/а)(д/х+д/а);
в) (д/й+д/2)2;
г) (д/з-д/х)2;
д) (5 д/7 —13) (5 д/713); _ е) (2 д/2Ц-3 д/3)(2 д/2 —3 д/3);
ж) (6-д/2)2 + Зд/з1;
з) (д/2-Ьд/18)2 —30.
• 427. Разложите на множители, используя формулу разнести квадратов:
а) х2 — 7; в) 4а2—3; д) у — 3, где у^О;
б) 5—с2; г) 11 —16b2; е) х — у, где х>0 и у>0.
428. Разложите на множители выражение:
а) З+д/З; в) д/х+х; д) д/а —д/2а; ж) д/14—д/7;
б) 10-2 Л/10; г) а —5 д/а; е) д/З/п + д/бтп; з) д/ЗЗ+д/22.
429. Сократите дробь:
а) й2 —5 . . Ь — 9 Г) —J д/ьч-з Ж1 д/7 —7
Ь—^5 "т/Т-тЯ
т+д/б Л— -yja
б) 6 — т~ ’ -т/й+д,^ з) у/а — 1
2-уГх 2д/х—Зд/у 3 + д£
в) х — 4 ’ С) 4х-9у ’ и) 3 -у/х+х
430. Сократите дробь:
Н) х+д/2 г) д/2 + 2 . д2 v д/2а —д/2Ь . 3 -у/а — 3 -\/b
д/5 — а б> 5-а2 ’ ч 5+V10 д) д/io ’ , V*+1 Х + д /х ’
-\Х— 5 В) 25-х ’ 2 д/З-З е) 5Л/3 ’ а+д/а и) • а -уа+а
• 431. Освободитесь дроби: от иррациональности в знаменателе
а)^: \ а . Г) by[b’ У 5 ж) F- 2 д /3
6>7Г Д) -y/a+b" X 8 з) —Я ’ Зд/2
в) е) 1 3 д /5 и) — 5 д/2
д/а — Ъ
® 432. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
Л X \ 3 v 3
а) —; в) —; д)------ ;
у/х 5 д/с 2д'3
1 а б
б) -7=; г) —- ; е) —— .
V2 2 д/3 4д/15
• 433. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
\ 4 . х 1 х 33
ад/3-f-l * В) д£-д/у’ Д) 7-Зд/з’
б) ; г) —; е) .
1—д/2 -v's + Vt’ 2д/5 + 5
434. Найдите с помощью микрокалькулятора приближенное значение выражения с точностью до 0,01:
. 1 2 х 3 . 5 -1-3 у'з
a) ~F ♦ б) “F F 5 в) —— г-» г) — --------------------•
д/б —2 д/б—д/3 д/10 + д/7 л'3 + 2
• 435. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) • В) ; д/10-д/2 \ 9 Д Ч 9 ’ о Z у Л
б> X 12 г) —г ; д/3-|-д/б X 14 е) 1 + 5^2
436. Докажите, что:
а) -д^=0,2д/15;
а
-fia.
437. Преобразуйте выражение:
в>л/т =
6)V|; r)Vl;
д)
где
а>0;
е>
где х>0.
438. Преобразуйте выражение:
х -х / т
а) Л/т5
б)
г)
Упражнения для повторения
9 ~ х^ у
439. Упростите выражение ————2 и найдите его значение при х = —2,5.
440. Из А в В со скоростью 12 км/ч выехал велосипедист, а через полчаса вслед за ним выехал мотоциклист со скоростью 48 км/ч. Мотоциклист прибыл в В на 1 ч 15 мин раньше велосипедиста. Каково расстояние АВ?
441. Решите уравнение:
а) = 0; б) -Ц^-—-^=^-=2,5.
2 3 о 4
442. Площадь кольца вычисляется по формуле
В = л. (Л2— г2), где R— внешний радиус, а г — внутренний. Выразите R через S и г.
443. Напишите для каждой прямой, изображенной на рисунке 17, уравнение, графиком которого является эта прямая.
Рис. 17
444. Решите уравнение:
^/х2 — 7 = 0; б) х2 + 49 = 0; в) (х + 1)2 = 1; г) (х — 5)2 = 2.
Контрольные вопросы
1. На примере выражения 3-^ покажите, как можно внести множитель под знак корня.
2. На примере выражения -\/8а покажите, как можно вынести множитель из-под знака корня.
A „ „11
3. На примере выражении — и —-- покажите, как
Va Va + Vb
можно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
К параграфу 4
445. Известно, что числа а и Ь натуральные. Является ли натуральным число:
а) а + Ь; б) а — Ь; в) ab; г) -у ?
446. Известно, что числа а и b целые. Является ли целым число:
а) п + б) а — Ь; в) ab; г) -у(Ь#=О)?
447. Известно, что числа а и b рациональные. Является ли рациональным число:
а) а + &; б) а — Ь; в) ab; г)
448. Докажите, что если числа х и у четные, то четным будет число: а) х — у, б) ху, в) Зх + у.
449. Известно, что числа х и у нечетные. Будет ли четным или нечетным числом:
а) сумма х +у; б) разность х — у; в) произведение ху?
450. Назовите:
а) пять положительных чисел, меньших 0,002;
б) пять отрицательных чисел, больших--— ;
в) пять чисел, больших — и меньших .
мэТйПредставьте в виде бесконечной десятичной перио-дич£бкой дроби число:
. 23 . .11 . 2 . .23 ,
а) 64 ’ В) 13 ’ Л 35 ’ Ж) 30 ’
7 м 1 • ч 7 . 12
25 ’ 27 ’ е) 22 ’ 3) 55 ’
452*. Докажите, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 3. (Сначала докажите, что если целое число не делится на 3, то и его квадрат не делится на 3.)
453*. Назовите два рациональных и два иррациональных числа, заключенных между числами 10 и 10,1.
4 Алгебра В кл.
97
454*. Известно, что число а рациональное, а число Ь иррациональное. Будет ли рациональным или иррациональным число: а) а+ 5; б) а — Ь?
К параграфу 5
455. Найдите значение выражения:
а) 0,3 7289; , л/0,16 е) Y . ; 2 V0.04
б) —4 70,81; ж) 72500-7625;
в) V«_1; г) -^256 -\/64 д) 2 70.0121+7100; 456. Докажите, что: , /б4 /1 3) V 81 V э ’ и) —0,03 710 000 + 716; . 1 . /т К) 1л/ А • у361 V 4
а) 5 —(З-д/-|-+-70^5)=2,5;
б) 11: (0,15 V1600 —0»29 7400) = 55;
в) (7225 + 3 7121)/4-70,09 +0,78 7100) = 6;
\ о
Г)(-б7г+ф.^);^=з.
457. Найдите значение выражения:
а) 7б^ — Ю при х = 2; 2,2; 5,2; 22;
б) 7® — %У при У = 1; —1,5; —15; —37,5;
в) 3 + при х = 0; 1; 16; 0,25;
3 —\/х
г) у/2а—Ь при а = 0, 5 = 0; при а = 4, 5 = 7;
д) 7т —4л при т = 0, л=—1; при тл = 33, л = 2.
458. Решите уравнение:
а) 5 7^ = 3; в) ^=2; д) 1+72х = Ю.
б) -^ = 1; г) 7Х —5 =4;
уЗх
459*. Решите уравнение -\/1 + 72 + V* =2.
460*. Может ли:
а) сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом;
б) произведение рационального и иррационального чисел быть рациональным числом?
461. Приведите пример уравнения вида х~ = а, которое: а) имеет два рациональных корня; б) имеет два иррациональных корня; в) не имеет корней.
462*. Укажите допустимые значения переменной х в выражении:
а) д/P; в) Л/х2 + 1; д) д/—Р;
б) VP; г) 7(4 —Р’; е) V—
463*. При каких значениях а и b имеет смысл выражение:
a) -'jab", б) 7 — ab; в) -ja2b; г) -ja2b2 ; д) -'j^abirl
464*. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
в) А; б) ; в) ?
ух ух 4-2 ух — 1
465. Найдите значение выражения:
а) д/0Д6 + (2 д/ОД)2; г) (3 73)2 + (- 3 Л/3)2;
б) (0,2 V10)2 + 0,5 Vf6; д) (5 72)2 - (2 7б)2;
в) V144-0,5 (V12)2;
е) (-3 7б)2-3(7б)2.
466*. Составьте программу вычисления с помощью микрокалькулятора расстояния между двумя точками координатной плоскости A (xi; i/i) и В (х2; У г) по формуле
d = 7(х, — х2)2 + (jn — 1/г)2.
Вычислите расстояние между точками А(— 3,5; 4,3) и В (7,8; 0,4).
467. Сравните числа:
К параграфу 6
468. Вычислите: a) 7196-0,81-0,36;
в) Vo,87 • 49 + 0,82-49;
г) 71,44-1,21 -1,44 0,4.
469. Найдите значение корня:
. -,/ 1652 —1242
а> V-----164--- ’
6) л/т<62-1122 ’
. / 145.52 — 96,52
г) V -19+5^31+-
470. Вычислите:
а) 15^20'0,1^/45 ;
б) 0,3710-0,2715-0,5V6;
в)
г)
8^/5 .
0,4 TV ’ л/0Л8 5712 '
471*. Известно, что а<0 и Ь<0. Представьте выражение:
a) -Jab в виде произведения корней;
в виде частного корней.
472. Вычислите значение выражения (если оно имеет смысл):
а) 7(^127;
б)
в) 7-Ю2 ;
г) —7( —II)2;
д) 7-(-15)2 ;
е) -7(^257.
473. Вычислите:
а) 37(-2)6; г) 0,172го ;
б) -2710^; д) 0,17(-3)8;
в) -37^; е) юо7о,1‘°;
ж) - 7( —2)^ ; з) 2,57(-0,1)4.
474. Найдите значение выражения:
а) 744
б) л/94
д) 78-162’;
е) 796'486 ;
475*. При каких значениях х верно
ж) 7750-270 ;
з) 7853 776 .
равенство
476*. При каких значениях переменной верно равенство:
а) -^=у2', в) у/х3 = х3; д) у/а^=—а7;
б) д/х12 = х6; г) д/с10 = —с5; е) -Jb3 = ЬЛ?
477*. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у = -^——’, б) У = в) у = хд/Р; г) у=—х^/х2.
478. Преобразуйте выражение:
a) -JcFb11 ; е) где Ь>0;
б) д/Ьбс8, где Ь^О;
в) -д/16лг у 2; ж) где х<0, у <0;
г) д/0,25р2!/6 , где р>0, i/<0; У
д) з) где с<°’ °>о-
479. Упростите выражение: a)VF^; б) -7(_О)2(-ьу.
К параграфу 7
480. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) О.б-^бОо4 ; в) 0,1 д/150х3 ; д) «д/18о2Ь ;
б) 2,1д/300х4 ; г) 0,27225а5 ; е) — т^ДЯат*.
481*. Вынесите множитель из-под знака корня: а) ^9а2Ь, где о<0; д) ^ — Зс3;
б) -\j25a2b3, где о>0; е) д/ —5m7;
в) д/144о3Ь3, где о<0, Ь<0; ж) ад/а^;
г) д/32о4х3 ; з) -i-д/—х3.
482*. Внесите множитель под знак корня:
а) о-\/3, где о^О;
б) од/3, где о<0;
483*. При каких значениях переменной верно равенство: а) х^/З = ТЗх2; в) -\]1с2 =—с-^7‘,
б) у\5 = — Тбу2; г) д/3о2= — а^/3?
484*. Внесите множитель под знак корня:
485. Сравните числа:
а) 0,27200 и 10^/8; в) 0,57108 и 9^3;
б) 7-д/Ц и 0,8750; г) -|-7бЗ и 4,5728.
486. Расположите в порядке возрастания числа:
а) 4772, 730 и 772; б) 5-дД-, 717 и ^-762; 487. Выполните умножение: а) 7х (Та —7^); б) (7«+TF)7*; в) -^ab (Та+75)» г) (7^-7") Т^а; 488. Упростите выражение: а) (i-7*)(i+7*+*); б) (Та+ 2) (а—27а+ 4); 489. Докажите, что: а) ^6 + 472 = 2 + 72; 102 в) 87^2, 741 и 4-V250; г) 12Л0,5, Тзэ и ^-7160- д) (Т*+Т1/)(2Т*—Ту); е) (Та — 7б)(37^+27б); ж) (27а+7б)(37а — 27&); з) (47х — 72х) Ь1х — 72х)- в) (Т777"— 7”) (oi + а+утп'); г) (x+^[y)(x2 + y-x jy). б) -7873+19=73+4.
490. Найдите значение выражения:
а) х2 — 6 при х=14-л/б;
б) х2 — 6х при х = 3 — ^3
491*. Докажите, что значения выражений
в) х2 — 4x4-3 при х = 24-д/3; г) х2 — 3x4-5 при х = 3+/ .
являются натуральными числами.
492. Докажите, что значение выражения есть число рациональное :
1
1
б) —-------1-----—.
5 4-2^ 5 —2Л/б
a)
a)
6)
1 11-2430 5
ите значение выражения:
1 114-2^30 ’ 5
V5-I-V3 .
3 + 2л/2 — 3 — 2-/2 ’
г)
11- /21 11-I-V21
494. Найдите значение
дроби
х2 — 3xi/ 4- у2 _ „ ( /£
----:--, о ПИИ X — О 'V \/ & г ± п ± 9 г 1 *
и
У = 3 — V5.
495*. Сократите дробь:
а)
б)
а)
•/д+Уь . а-у/а + byfb
496. Сократите дробь:
-/76--/з о .
-/35—/15 ’
г)
2/2 — ху/х 2+ /2х-|-х а — у]3а 4- 3 д-/д 4” З/З
2 ,46 — 5 , 4-V10
. 2V3 4-3V2-V6 .
Д' 2 4-^6-72 1
е) (/16 —I)2 —3 -/164-/3-1
497. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
б)
-/15 — 5 .
г) 9~2Уз .
3/6-2/2 ’
а)^;
y+byfy .
' ь^у ’
В)
г) ay[b+ Ъ~у/а .
-yfab
е) 3-~3^.
4/2
. 2д/3 —3
Д) /х~>
493. Освободитесь от дроби: . X—Уху-ГУ . ‘) лб-Л ’ г~ 9 -J- З ’Уд --(* с, J> 3 + д£ ’ иррациональности в знаменателе . 1—2/х-\-^х в) ~г.—; 1 — 2/х г) a2b + Wb + 4 ау/1> + 2
499. Освободитесь от иррациональности в числителе дроби:
а) ух йд a-\-/b . б) п. : ауо В) _з£_._ ; 49 — 7уа-\-а Г) тп -|- -/тп +1
500*. Освободитесь от дроби: иррациональности в знаменателе
а) ; V24-V3 +1 б) . 75-734-2
501*. При каком значении х дробь принимает наи-
большее значение?
502. Упростите выражение:
а) V160;
б) т/135+Юд/О^;
в) 6д/14--л/2’7; ’ о
г) 0,5л/24 + 10Л/
503*. Упростите выражение:
/ 1 _ 1 \ У — 1 ; б) /__ л/g \ (Ь —О)2
\ x + rVy х — х,[у' 2 * \ -д/а — -y/b -y/a+^/b ) 2
Глава III.
КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
§ 8. КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ
§ 9. ФОРМУЛА КОРНЕИ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
§ 10. ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 8. КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ
19. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ. НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Каждое из уравнений —х2-|-6х-|-1,4 = 0, 8х2 — 7х = 0, хг—1"=0 имеет вид ох2-|-6х-|-с = 0, где х — переменная, а, b и с — числа. В первом уравнении а= —1, 6 = 6 и с = 1,4, во втором а = 8, Ь = — 7 и с = 0, в третьем а = 1, 6 = 0 и с = ——. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.
Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2 + Ъх + с = 0, где х — переменная, а, Ь и с — некоторые числа, причем а =/= 0.
Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом ис — свободным членом.
Заметим, что квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Если в квадратном уравнении ах2-|-6х-|-с = О хотя бы один из коэффициентов Ъ или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения — 2х2-|-7 = 0, Зх2 —10х = 0 и — 4х2 = 0— неполные квадратные уравнения. В первом из них 6 = 0, во втором с = 0, в третьем 6 = 0 и с = 0.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
1) ах2 + с = 0, где с=/=0;
2) ах2 +&х = 0, где Ь=/=0;
3) ах2 = 0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Пример 1. Решим уравнение —Зх2 + 15 = 0.
Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на —3:
-Зх2=-15, х2 = 5, х = д/б или х= —д/б.
Ответ: х1=д/б, х2=—-д/б.
Пример 2. Решим уравнение 4х2 + 3 = 0.
Перенесем свободный член в правую часть уравнения и обе части получившегося уравнения разделим на 4: 4х2= —3,
Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 4х2 + 3 = 0.
Ответ: корней нет.
Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ах2 + с = 0 при с#=0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на а. Получают уравнение
2 С
X —-----,
а
равносильное уравнению пх2 + с = 0.
Так как с#=0, то ——=/=0. а
Если ——> 0, то уравнение имеет два корня:
Если —— <0, то уравнение не имеет корней.
Пример 3. Решим уравнение 4х24-9х = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители:
х (4x4- 9) = 0.
Отсюда х = 0 или 4x4-9 = 0.
Решим уравнение 4x4-9 = 0: 4х= — 9,
Ответ: х,=0, х,= — 2—. * 4
Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида ох2 4- Ьх = 0 при b =/= 0 раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение
х (ах 4* Ь) = 0.
Произведение х (ох 4- Ь) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
х = 0 или ах 4- Ь = 0.
Решая уравнение ах4-Ь = 0, в котором о=/=0, находим: ах= — Ь, Ь х=---------------------------.
а
Следовательно, произведение х(ох4-Ь) обращается в нуль при х = 0 и при х=—^-. Корнями уравнения ox24-t>x = 0 п Ь являются числа 0 и-----.
а
Значит, неполное квадратное уравнение вида ох24-Ьх = 0 при Ь^=0 всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ах2 = 0 равносильно уравнению х2 = 0 и поэтому имеет единственный корень 0.
504. Является ли квадратным уравнение:
а) 3,7х2 — 5x4-1 = 0;
б) 48х2 —х3 —9 = 0;
в) 2,1х24-2х—|-=0;
О
г) 1 —12х = 0;
д) 7х2 —13 = 0;
е) —х2 = 0?
505. Укажите в квадратном уравнении его коэффициенты: а) 5х2 — 9х 4-4 = 0; г) — 4х24-5х=0;
б) х24-3х—10 = 0; д) 6х2 —30 = 0;
в) — х2 — 8x4-1 = 0; е) 9х2 = 0.
506. Приведите уравнение к виду ох24- &х-[-с = 0:
а) (2х—1) (2x4-1) = х (2х4~3);
б) (3x4- 2)2 = (х + 2) (х — 3);
в) (х4-1)(х4-2) = (2х-1)(х-2);
г) (х4-3)(3х-2) = (4х4-5)(2х-3).
507. Замените данное уравнение равносильным ему квадратным уравнением:
а) 4х2 — 2х (3x4-1) = 5;
б) х2 + (1-х) (1-Зх) = х;
в) — 5х (х4-6) = 4 (х—3) —10;
г) (х — 8) (2х 4-3) = (Зх — 5) (х 4-4).
508. Приведите примеры неполных квадратных уравнений различных видов.
• $09. Найдите корни уравнения:
а) 4х2 —9 = 0; в) -0,1х24-10 = 0; д) би24-24 = 0;
б) — х2-|-3 = 0; г) у2—|- = 0; е) 3m2 —1 = 0.
• 510. Решите уравнение:
а) Зх2 —4х = 0; в) 10х24-7х = 0; Д) 6z2-z = 0;
б) —5х24-6х = 0; г) 4о2 —За = 0; е) 2у4-У2 = 0.
•__511. Решите уравнение:
а) 2х24-Зх = 0; в) 5u2 —4и = 0; д) 1 — 4у2 = 0;
б) Зх2 —2=0; г) 7о-14о2 = 0; е) 2х2-6 = 0.
512. Решите уравнение:
а) 4х2 — Зх4-7 = 2х24-х4-7; в) 10 —Зх2 = х24-10 —х;
б) — 5у2 4-8у 4-8 = 8у 4-3; г) 1 — 2у + 3у2 = у2 — 2у4-1.
513. Найдите корни уравнения:
а) (х4-3)(х-4)=-12; г) Зх (2x4- 3) = 2х (х4-4,5)4-2;
б) 1-|-х4-(2х4-1)(|-х-1)=0; Д) 18 —(х —5)(х —4)= — х2;
в) (Зх —I)1 —1 = 0; е) (; 1) (х4-1) = 2 (х2-3).
514. Решите уравнение:
а) х2 —5 = (х4~5)(2х—1); г) 6а2 —(а4~2)2= — 4 (а —4);
б) (2x4- 3) (3x4- 1) = Их + 30; д) х (7 —6х) = (1 — Зх) (1 4-2х);
в) 2х —(х + 1)2 = 3х2 — 6; е) (5у + 2) (у — 3) = — 13 (2 + у).
515. Произведение двух последовательных целых чисел в 1,5 раза больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа.
516. Если от квадрата отрезать треугольник площадью 59 см2, то площадь оставшейся части будет 85 см2. Найдите сторону квадрата.
517. Площадь квадрата больше площади круга на 12 см2. Найдите сторону квадрата, если площадь круга равна 36 см2.
518. Площадь круга равна 1 дм2. Найдите радиус круга.
519. Найдите сторону квадрата, имеющего такую же пло-хцадь, как круг радиуса г см.
Упражнения для повторения
520. В каких координатных четвертях расположен график функции:
а) у = (1 — д/2) х; б) у—(д/35 —5,7) х?
9 ~| 6 л-— I- г~
, 521. Найдите значение выражения —"Т+3—bvx ПРИ х = 0,36 и при х = 49.
522. Сравните с нулем значение дроби (ответ запишите в виде неравенства):
20. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИИ ВЫДЕЛЕНИЕМ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА
Рассмотрим примеры решения полных квадратных уравнений, т. е. таких уравнений, у которых все три коэффициента отличны от нуля. Начнем с уравнений, в которых первый коэффициент равен 1. Такие уравнения называют приведенными, квадратными уравнениями.
Решим приведенное квадратное уравнение х2 +10х +25 = 0.
Представим левую часть уравнения в виде квадрата дву-члена. Получим: (х-|-5)2 = 0.
ОтСюда х + 5 = 0,’
х= —5.
Ответ: —5.
Решим еще одно приведенное квадратное уравнение х2 —6х —7 = 0. (1)
Если к разности х2— 6х прибавить число 9, то полученное выражение можно записать в виде (х— З)2, т. е. в виде квадрата двучлена. Прибавим к обеим частям уравнения (1) число 9, а свободный член перенесем в правую часть. Получим:
х2 —6х + 9 = 9 + 7.
Преобразуем это уравнение:
(х-3)2 = 16.
х — 3=—4 или х — 3 = 4, х=—1 или х = 7.
Отсюда
Ответ: х, = —1, х2 = 7.
Способ, с помощью которого мы решили уравнение (1), называют выделением квадрата двучлена. Решим этим способом еще несколько квадратных уравнений.
П ример 1. Решим уравнение
х2 + 8х —1 = 0.
Имеем:
х2 + 2х-4—1 = 0, х2 + 2х-4 + 16 = 16 + 1, (х + 4)2=17, х + 4=—д/17 или х-|-4 = ^17, х = — 4 — т/17 или х = — 4 + д/17.
Ответ: х1 = —4 —n/17, х2= —4 + V17.
Пример 2. Решим уравнение х2-4х+10 = 0.
Имеем:
х2 — 2х • 2 + 4 = 4 —10, (х—2)2=—6.
Ответ: корней нет.
Пр и м е р 3. Решим уравнение Зх2-5х —2 = 0.
Разделим обе части уравнения на 3. Получим приведенное квадратное уравнение
Выделим квадрат двучлена и решим получившееся урав-
523. Решите уравнение:
а) х2 4-12x4-36 = 0; б) х’-х + ^- 0.
524. Найдите корни уравнения:
а) х2 —8x4-15 = 0; в) х2 —5х —6 = 0;
б) х2 4-12x4-20 = 0; г) х2 —8х —9 = 0.
525, Решите уравнение:
а) х2 —4x4-3 = 0; в) х24-9х-|-14 = 0;
б) х24~Зх — 10 = 0; г) х2 —2х —1 = 0.
526. Найдите корни уравнения:
а) х2 —6х4-8=0; в) х24-4х 4-3 = 0;
б) Х24-Х — 6 = 0; г) х24-4х — 2 = 0.
527. Решите уравнение:
а) 2х2 —9x4-Ю = 0; б) 5х24-Зх-8 = 0.
528. Решите уравнение 5х2-|-14х — 3 = 0.
Упражнения для повторения
529. Какие из выражений принимают положительные значения при любых значениях а:
а24-4, (а4-8)2, 5а24-2, а4-13, (а-4)24-4, (а4-1)2-1?
530. Упростите выражение
< ,8 _|__£_____1W—с-_-£±Г|
у 8 —е3 ' с —2 /\с+2 2 /'
531. Сократите дробь:
(Зх— 6)2 # <z2-|-8<z-|-16
“{Я-x)2 ; J (2а + 8)2 *
532. Покажите, что значение выражения (д/Ю + бд/З + д/10 —5д/3)2
является рациональным числом.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение квадратного уравнения.
2. Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением? Приведите примеры неполных квадратных уравнений различных видов.
3. Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида?
4. Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением?
5. Покажите на примере способ решения приведенного квадратного уравнения выделением квадрата двучлена.
§ 9. ФОРМУЛА КОРНЕИ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
21. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИИ ПО ФОРМУЛЕ
Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение
ах2 + Ьх + с = 0. (1)
Разделив обе его части на а, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение
х2+— *+—=0. а 1 а
Преобразуем это уравнение:
2 . г» Ь . ( Ъ \ 2 ( Ь \ 2 с
Х +2Х'2^ + Ы -Т’
/ . Ь\2 Ъ1 с
(Х+2а) “4а5 а ’
Ь \2__Ь2 —4ас
2а) 4аг
(2)
Уравнение (2) равносильно уравнению (1). Число его кор-
Ь~ 4gc
ней зависит от знака дроби —^ос. Так как а=А0, то 4а2 — положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком ее числителя, т. е. выражения Ь2— 4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ах2-}-Ьх-}--|-с=0 («дискриминант» по-латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т. е. D=b2— 4ас.
Запишем уравнение (2) в виде
/ . ь \2_ D
\Х+2^)
Рассмотрим теперь различные симости от D.
1) Если D > 0, то
возможные случаи в зави-
Ь 2а
уо
2а
или
Ъ _ 2а 2а
2а 2а
или
2а
или
х=__"_+^
2а ' 2а
г-Ь+л/Р
2а
Таким образом, в этом случае уравнение (1) имеет два
«ОРЯ*: -ь-Vd _b + Vn
Х'=—а И Х2 = -^Г-‘
Принята следующая краткая запись:
х = -ь^5где D=b2 — 4ас, (1)
которую называют формулой корней квадратного уравнения.
2) Если D = 0, то уравнение (2) примет вид:
Отсюда
_ । ^-=о, 2а
Х = —V-' 2а
В этом случае уравнение (1) имеет один корень —£-.
Формулой корней квадратного уравнения можно пользоваться и в этом случае. Действительно, при D = 0 эта формула принимает вид: ь±^0
Х= 2а ’ откуда ь
Х=~~2а'
3) Если О<0, то значение дроби отрицательно и поэто-
му уравнение / ьч2 D
\ + 2а) 4а5 *
а следовательно, и уравнение (1) не имеют корней.
Таким образом, в зависимости от дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при О>0), один корень (при Z> = 0) или не иметь корней (при D<0).
При решении квадратного уравнения по формуле (I) целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.
Пример 1. Решим уравнение 12х2-|-7х4-1 = 0.
Найдем дискриминант:
О = 72 —4-12-1 = 1, О>0.
Применим формулу корней квадратного уравнения:
Л 11
Ответ: Xi =——, Ха =— 3 4
Пример 2. Решим уравнение х2—12х-|-36 = 0.
Имеем:
£? = ( — 12)2 — 4-1.36 = 0, .______12±->/0
Х---2 ’
Х = ^. 2
Ответ: 6.
Пример 3. Решим уравнение 7х2 —25x4-23 = 0.
Имеем:
О = ( — 25)2 —4-7-23 = 625 —644, D<0.
Ответ: корней нет.
Для квадратных уравнений, у которых второй коэффициент является четным числом, формулу корней удобно записать в другом виде.
Рассмотрим квадратное уравнение
ax2 + 2kx+c = 0.
Найдем его дискриминант: О = 4Л2 — 4ас = 4 (Л2 — ас).
Очевидно, что число корней уравнения зависит от знака выражения k2 — ac. Обозначим это выражение через D\.
Если Di^O, то по формуле корней квадратного уравнения получим, что
— — 2Jfe-4_2 yjj)i - /г I V'Pi
х =--------=--------------------. т. е.
2а 2а а '
х—---------, где D\=k2 — ас. (II)
Если О1<0, то уравнение корней не имеет.
Пример 4. Решим уравнение 9х2—14x4-5 = 0: £>.=(—7)2 —9-5 = 4, 7±д(4
7±2 Х = — *
Ответ: xi=—, х2 = 1.
533. Вычислите дискриминант квадратного уравнения и укажите число его корней:
а) 2х2 + Зх + 1 = 0; в) 9х24-6х 4-1 = 0;
б) 2х2 + х + 2 = 0; г) х2 + 5х —6 = 0.
• 534. Решите уравнение:
а) Зх2-7х4-4 = 0; д) 5у2- бу +1 = 0;
б) 5х2 —8х4-3 = 0; е) 4х2 + х-33 = 0;
в) Зх2-13х-Ь 14 = 0; ж) у2-10у — 24 = 0;
г) 2у2 — 9i/4-10 = 0; з) р2+р— 90 = 0.
• 535. Решите уравнение:
а) 14.x2 — 5х —1 = 0; г) 1 — 18р + 81р2 = 0;
б) -у’ + Зу+5 = 0; д) -Ну+/-152 = 0;
в) 2х2 + * + 67 = 0; е) 18 + Зх2-х = 0.
• 536. Найдите корни уравнения:
а) 5х2 —11х + 2 = 0; г) 35х2 + 2х —1 = 0;
б) 2р? + 7р —30 = 0; д) 2у2— у —5 = 0;
в) 9у2 —ЗОу+ 25 = 0; е) 16х2 —8х+1 = 0.
537. При каких значениях х:
а) трехчлен х2 — Их+ 31 принимает значение, равное 1;
б) значения многочленов х2 — 5х — 3 и 2х — 5 равны;
в) двучлен 7х+1 равен трехчлену Зх2 — 2х+1;
г) трехчлен — 2х2 + 5х + 6 равен двучлену 4х2+5х?
538. При каких значениях х принимают равные значения: а) двучлены х2—6х и 5х —18;
б) трехчлены Зх2 —4х + 3 и х2 + х+1?
• 539. Решите уравнение, используя формулу (II):
а) Зх2 —14х + 16 = 0; б) 5х2 — 16х + 3 = 0; в) х2 + 2х —80 = 0; ,г) х2 —22х — 23^=0; • 540. Решите уравнение а) 8х2 — 14х + 5 = 0; б) 12х2 + 16х —3 = 0; в) 4х2 + 4х + 1 = 0; г) х2 —8х-84 = 0; • 541. Решите уравнение: а) 2х2 —5х —3 = 0; б) Зх2-8х + 5 = 0; в) 5х2 + 9х + 4 = 0; г) 36у2—12у +1 = 0; • 542. Решите уравнение: а) 5х2 = 9х + 2; б) — х2 = 5х—14; в) 6х+9 = х2; г) « —5 = z2 —25; 116 д) 4х2 — 36х + 77 = 0; е) 15у2 — 22у — 37 = 0; ж) 7z2 —20г+14 = 0; з) у2—10у —25 = 0. д) х2 + 6х—19 = 0; е) 5х2+'26х —24 = 0; ж) х2 —34х + 289 = 0; з) Зх2 + 32х + 80 = 0. д) 3t2 — 3t + l = 0; е) х2 + 9х —22 = 0; ж) у2— 12у + 32 = 0; з) 100х2— 160х + 63 = 0. д) у2 = 52у —576; е) 15у2 — 30 = 22у + 7; ж) 25р2 = 10р— 1; з) 299х2 + Ю0х = 500- 101х2.
• 543. Решите уравнение:
а) 25 = 26х —х2; в) у2 = 4у + 96; Д) х2 —20х = 20х + 100;
б) Зх2 = 10 —29х; г) Зр2 + 3 = 10р; е) 25х2 —13х = 10х2 —7.
9 544. Найдите корни уравнения:
а) (2х-3)(5х+1) = 2х+-|; в) (х-1) (х + 1) = 2 (5х-10-1-);
б) (Зх— 1)(х + 3) = х(1 + 6х); г) —х(х + 7) = (х —2)(х + 2).
• 545. Решите уравнение:
а) (х + 4)2 = Зх + 40; в) (х+1)2 = 7918 —2х;
б) (2х —3)2 = 11х —19; г) (х + 2)2 = 3131-2х.
• 546. Найдите корни уравнения:
а) 3 (х + 4)2 = 10х + 32; в) (х+1)2 = (2х-I)2;
б) 15х2 +17 = 15 (х+1)2; г) (х - 2)2 + 48 = (2 - Зх)2.
• 547. Решите уравнение: — 1 4 — 1
а) ——11х = 11; в) - = х(10х —9);
4 о
Хг + х Зх — 7 . . 3 2 2 4 > . 3
б) —=-з-; г> Тх -TX=VX'+T-
548. Найдите корни уравнения и укажите их приближенные значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01: а) 5х2 —х —1 = 0; в) 3 (у2 — 2) — у = 0;
б) 2х2 + 7х + 4 = 0; г) у2 + 8 (г/-1) = 3.
549. Найдите корни уравнения и укажите их приближенные значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01: а) х2-8х + 9 = 0; б) 2у2 — 8у + 5 = 0.
550. Решите уравнение:
а) 0,7х2 = 1,3х + 2; г) г2 — 2г + 2,91 = 0;
б) 7 = 0,4y + 0,2i/2; д) 0,2у2 —10у +125 = 0;
в) х2 —1,6х — 0,36 = 0; е) 4-х2 + 2х —9 = 0.
О
551. При каких значениях х верно равенство:
а) -|-х2=2х —7; б) х2 + 1,2 = 2,6х; в) 4х2 = 7х + 7,5?
552. Существует ли такое значение а, при котором верно равенство (если существует, то найдите его):
а) За+ 0,6 = 9а2+ 0,36; б) 0,4а+ 1,2 = 0,16а2+ 1,44?
Упражнения для повторения
553. Найдите значение выражения:
, х -|-1 х — 1 2 Лг
а> при *=-0,5;
2а — 1 а-------
б)—— при а =—1,5.
“За~
554. Упростите выражение:
a) (V21 + V14-2V35)~+V20;
б) (Тб + л/З-V15) (л/5 - л/3) + ^/75.
555. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций:
а) у = 7х — 1 п у = 2х\ б) у = 3х—11 и у = 4.
22. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИИ
С помощью квадратных уравнений решаются многие задачи в математике, физике, технике.
Задача 1. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см.
Решение. Пусть меньший катет равен х см. Тогда больший катет равен (х-]-4) см. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т. е.
л-2 + (* + 4)2= 202.
Упростим полученное уравнение:
х2 + х2 + 8х-Ь16 = 400, 2х24-8х —384 = 0, х24-4х — 192 = 0.
Отсюда найдем, что
Xi = —16, Хг=12.
По смыслу задачи значение х должно быть положительным числом. Этому условию удовлетворяет только второй корень, т. е. число 12.
Ответ: 12 см, 16 см.
Задача 2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60 м?
Решение. Из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h (в м), на которой брошенное вертикально вверх тело окажется через t секунд, может быть найдена по формуле
h = vot—
где ио — начальная скорость (в м/с), g— ускорение свободного падения, приближенно равное 10 м/с2.
Подставив значения h и Vo в формулу, получим:
60 = 40* —5*2.
ОтСюда 5*2 — 40*4-60 = 0,
t2 —8*4-12 = 0.
Решив полученное квадратное уравнение, найдем, что
*1 = 2, *2 = 6.
На рисунке 18 дан график зависимости h от *, где й = 40* — — 5*2. Из графика видно, что тело, брошенное вертикально вверх, в течение первых 4 с поднимается вверх до высоты 80 м,
а затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно оказывается дважды: через 2 с и через 6 с после бросания.
Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня.
Значит, ответ на вопрос задачи таков: на высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с.
• 556. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.
• 557. Представьте число 120 в виде произведения двух чисел, одно из которых на 2 меньше другого.
• 558. Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см2,
в 559. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м2.
© 560. Периметр прямоугольника равен 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника 210 м2.
• 561. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь треугольника равна 60 см2.
562. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109. Найдите эти числа.
563. От листа картона, имеющего форму квадрата, отрезали полосу шириной 3 см. Площадь оставшейся прямоугольной части листа равна 70 см2. Определите первоначальные размеры листа.
564. Площадь доски прямоугольной формы равна 4500 см2. Доску распилили на две части, одна из которых представляет собой квадрат, а другая — прямоугольник. Найдите сторону получившегося квадрата, если длина отпиленного прямоугольника равна 120 см.
565. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что одна из них на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см.
566. В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.
567. В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нем имеется 884 места?
568. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 869.
Упражнения для повторения
569. Сократите дробь:
. 8а'1 — 27 ,, ах — 2х — 4g -|- 8
9 — 12а -|-4а2 ’ За — 6 — ах~Ь~2х
570. Найдите значение выражения:
а)
2->/аЬ + 2д + 1
б)
x + '^xy + l
при а = 5 и Ь = 2;
при х = 4 и у = 6.
(\П-чуУ + 4^у
571. Решите уравнение:
572. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции у —13х — 2,6 с осью х и осью у.
23. ТЕОРЕМА ВИЕТА
Приведенное квадратное уравнение х2 —7x4-10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Докажем, что таким свойством обладает любое приведенное квадратное уравнение, имеющее корни.
Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Доказательство. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член — буквой q:
x24-px4-g = 0.
Дискриминант этого уравнения D равен р2— 4q.
Пусть О>0. Тогда это уравнение имеет два корня:
-P-Vo -P+-ID
Xl=---5-- И Х2 =-----5--.
Найдем сумму и произведение корней:
— p—^D — p + yD — 2р х, + х2=—-—+—-—=—= - р;
-p-^D -p+^/D (-p)2-(VD)2 р2_(р2-49) 49
Х1’Х2— 2 ’ 2 — 4 — 4 — 4—9-
Итак,
Xi+x2=—p и XfX2 = q.
При 0 = 0 квадратное уравнение х2+рх + g = О имеет один корень. Если условиться считать, что при 0 = 0 квадратное уравнение имеет два равных корня, то теорема будет верна и в этом случае. Это следует из того, что при 0=0 корни уравнения также можно вычислять по формуле
.. -Р + л/Р
2
Доказанная теорема называется теоремой Виета по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.
Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.
Пусть квадратное уравнение ax2-f-bx-|-c = O имеет корни Xi и х2. Равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид
По теореме Виета । Ь с .
Xi + x2=----, Х|Х2 =—.
а а
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета.
Теорема. Если числа тип таковы, что их сумма равна — р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + рх+q = 0.
Доказательство. По условию пгп = — р, a mn = q. Значит, уравнение х2 + рх + q = 0 можно записать в виде
х2 — {тп + п) х + тп = 0.
Подставив вместо х число т, получим:
т2—{тп-^-ri) т-]-тп — т2— т2— тп-^-тп=0.
Значит, число т является корнем уравнения.
Аналогично можно показать, что число п также является корнем уравнения.
Рассмотрим примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета.
Пример 1. Найдем сумму и произведение корней уравнения Зх2 — 5.x-|-2 = 0.
Дискриминант 0 = 25 — 4>3*2 = 1 — положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведенное квадратное уравнение х2 |-х + -|- = 0. Значит, сумма
О J
корней уравнения Зх2 — 5х + 2 = 0 также равна , а произ-
2 d
ведение равно =-. О
По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.
Пример 2. Решим уравнение х2 + 3х —40 = 0 и выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета.
Найдем дискриминант:
D= 32 + 4 • 40= 169.
По формуле корней квадратного уравнения получаем:
— 3±13 х~~ 2
Отсюда
Х| = —8, х2 = 5.
Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении х2 + 3х — 40 = 0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен —40. Сумма найденных чисел —8 и 5 равна — 3, а их произведение равно —40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х2 + 3х — 40 = 0.
ФРАНСУА ВИЕТ (1540—1603)
— французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.
Пример 3. Найдем подбором корни уравнения х2 — х — — 12 = 0.
Пусть Xi и «г — корни уравнения. Тогда
Х|п-Х2 = 1 и Xi-X2— — 12.
Если Xi и х2 — целые числа, то они являются делителями числа —12. Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что Xi =—3 и Хг = 4.
573. Найдите сумму и произведение корней уравнения: а) х2 —37x4-27 = 0; д) 2х2 —9х —10 = 0;
б) у2 + 41у — 371 = 0; е) 5х24-12x4-7 = 0;
в) х2 —210х = 0; ж) — z24-z = 0;
г) у2 — 19 = 0; з) Зх2—10 = 0.
574. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
а) х2 —2х —9 = 0; в) 2х24-7х —6 = 0;
б) Зх2 —4х —4 = 0; г) 2х2 4-9х 4-8 = 0.
575. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
а) х2—15х—16 = 0; г) х2 —6 = 0;
б) х2 — 6х —11 = 0; д) 5х2— 13х = 0;
в) 12х2 —4х —1 = 0; е) 2х2 —41 = 0.
576. Найдите подбором корни уравнения:
а) х2 — 9x4-20 = 0; в) х2 4-х —56 = 0;
б) х24-11х- 12 = 0; г) х2 —19x4-88 = 0.
577. Найдите подбором корни уравнения:
а) х24-16x4-63 = 0; б) х24-2х —48 = 0.
578. В уравнении х2-|-р# — 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р.
579. Один из корней уравнения х2—13х-{-д = 0 равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент q.
580. Один из корней уравнения 5х24- Ъх-\- 24 = 0 равен 8. Найдите другой корень и коэффициент Ъ.
581. Один из корней уравнения 10х2 — ЗЗх-|-с = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.
582. Разность корней квадратного уравнения х2—12х-|-д = = 0 равна 2. Найдите q.
583. Разность корней квадратного уравнения х2 4~^4~с = О равна 6. Найдите с.
584. Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков:
а) 3х24-113х —7 = 0;
б) 5х2-291х- 16=0.
585. Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни и если имеет, то определите их знаки:
а) х2 + 7х- 1 = 0;
б) х2 — 7х-|1 = 0;
в) 5х2 4-17x4-16 = 0;
г) 19х2 — 23x4-5 = 0;
д) 2х24- 5 Л/Зх4- 11 =0;
е) Их2 —9x 4-7 — 5->/2 = 0.
586. Определите знаки корней уравнения (если они существуют), не решая уравнения:
а) х2 —18x4-17 = 0; г) 5х2 —х—408 = 0;
б) х2 —2х —1 = 0; д) х2—>/5x4-1 = 0;
в) х2 —15x4-56 = 0; е) ->/Зх2 — 12х — 7 ->/3 = 0.
Упражнения для повторения
587. При каких значениях х верно равенство: а) (Зх-]-1)2= Зх-]-1; г) (Зх4)2 = 4 (х 4-3);
б) (3х+1)2=3(Х4-1); д) 4(х4-3)2=(2х4-6)2; в) (Зх4-1)2 = (2х- 5)2; е) (6х-]-3)2 = (х-4)2?
588. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 8:15, а гипотенуза равна 6,8 м. Найдите площадь треугольника.
589. Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к
13
одному из катетов равно —5, другой катет равен 15 см. Най-дите периметр треугольника.
Контрольные вопросы
1. Что называют дискриминантом квадратного уравнения? Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
2. Напишите формулу корней квадратного уравнения.
3. Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второйг коэффициент является четным числом.
4. Сформулируйте и докажите теорему Виета. Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения ах24~ 4-Ьх4-с = 0?
5. Сформулируйте- и докажите теорему, обратную теореме Виета.
§ 10. ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
24. РЕШЕНИЕ ДРОБНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
В уравнениях 2х + 5 = 3(8-х),
х—— =—Зх-]-19, х х —4 _х — 9 2х+1 — х
левая и правая части являются рациональными выражениями. Такие уравнения называют рациональными уравнениями. Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым. Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называют дробным. Так, уравнение 2х + 5 = 3(8 — х) целое, а уравнения х—— =—Зх-|-19 и
х — 4 X — 9 -
----дробные рациональные уравнения.
Пример 1. Решим целое уравнение
х — 1 , 2х_5х
~~2 г-3— -g-'
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель входящих в него дробей, т. е. на число 6. Получим уравнение, равносильное данному, не содержащее дробей:
3 (х — 1) + 4х = 5х.
Решив его, найдем, что х=1,5.
Пример 2. Решим дробное рациональное уравнение *~* 3 +—= *+5 . (1) х —5 ~ х х(х—5)
По аналогии с предыдущим примером умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т. е. на выражение х (х — 5). Получим целое уравнение
х(х-3) + х-5 = х + 5. (2)
Понятно, что каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2). Но уравнение (2) может быть не равносильно исходному, так как мы умножили обе его части не на число, отличное от нуля, а на выражение, содержащее переменную, которое может обращаться в нуль. Поэтому не каждый корень уравнения (2) обязательно окажется корнем уравнения (1).
Упростив уравнение (2), получим квадратное уравнение х2 —Зх —10 = 0.
Его корни — числа — 2 и 5.
Проверим, являются ли числа — 2 и 5 корнями уравнения (1).
При х = — 2 общий знаменатель х (х — 5) не обращается в нуль. Значит, число —2 — корень уравнения (1).
При х = 5 общий знаменатель обращается в нуль и выраже-х—3 х-|-5 тт е
ния ---— и —1—— теряют смысл. Поэтому число 5 не явля-
х — 5 х (х— &) ется корнем уравнения (1).
Итак, корнем уравнения (1) служит только число —2.
Вообще при решении дробных уравнений целесообразно поступать следующим образом:
1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3) решить получившееся целое уравнение;
4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Пример 3. Решим уравнение 2 1 _ 4-х
х2 —4 х2 —2х х2 + 2х
Имеем: 2 1 _ 4-х
(х-2)(х+2) х(х—2) — х(х-|-2)'
Общий знаменатель дробей: х (х — 2)(х-|-2). Далее имеем:
2х — (х-|-2) = (х — 2) (4 —х),
2х — х — 2 — &х — х2 — 2Х,
x2-5jf + 6 = 0, 0 = 25-24 = 1, 5±Vi X— 2 ,
х=б±1 х 2 ’ Xj = 2, хг = 3.
Если х = 2, то х(х —2)(х4-2)=0; если х=3, то х(х — 2)(х-|-2)0.
Ответ: 3.
• а) 590. Найдите корни уравнения: Уг _ У . „х У2-6у _ 5 . 5^ + 1- _у4-2 ,
У4-3 у4-3 ’ у-5 5-у ’ У4-1 У ’
б) х2 5х — 6 . д) 2х —1_ _ 3x4-4 . з) 1 + 3х- _ 5 — Зх .
Х- — 4 х2 —4 ’ Х4-7 х-1 ’ ' 1 —2х 14-2х ’
2х- -7x4-6 . 2у4~3 _ У —5 . И) — -2х~1—о
в) х —2 2 —х ’ 2у —1 У4-3 ’ ' 2x4-3 3 —2х U'
• 591. Решите уравнение:
а) 2х —5 х4-5 -4 = 0; г) = ‘ 2х —3 х— 1;
б) 12 7-х = х; д) 4=зх+2>
в) х2 —4 4 = 34-2х . 2 ’ е) Zl±4^= 1 х4-2 _ 2х . 3 ’
• 592. Найдите корни уравнения:
X2 7х . г\ 8?-5 _ 9У .
х24-1 х24-1 ’ г} У 1/4-2 ’
б) У2 y'-Si ... 4(3-2у) / у(б-у) \ *2 + 3 ’ Д) х24-1 = 2;
х —2 Х4-3 . _х 3 _ 1
в) х4-2 х-4 ’ х24-2 X ’
ж)
з)
2х2-5х + 3
10х —5 U
4х3 —9х х4 1,5 —
ж) x-j-2
0.
4x4-1 ’
х2 —5 _ 7х+Ю х—1 — 9
• 593. Решите уравнение:
, 3x4-1 *-1 _4_______L- = _J______1-
' х4-2 х —2 ’ ' х4-3 3-х х —3 ’
б\ 2у —2 У + 3 к. ± ,___4 ^5-х .
' У'ЬЗ у-3 * ' х ' х — 1 х2 — х*
х 4_________4 _ 5 . . Зу —2__1 Зу + 4
' 9у2 —1 3i/4-l 1 —Зу * ' у у —2 у'- — 2у
594. При каком значении х:
а) значение функции у =равно 5; —3; 0; 2;
б) значение функции у
= ,7— Равно -Ю; °; -»?
х о
595. Найдите корни уравнения:
a) х —4 , х-6 . 3 . 7 10 х —5 х4-5 Г // —2 1/4-2 у ’
б) 1 1 1 6-х . . x-i-З , х- 3 1 2-х 1 х —2 Зх -12 ’ х —3 * х4-3 3 3 ’
в) 7у — 3 ___ _ 1 5 . . 5x4-7 _ 2x4-21 = 2 У — у‘ у — 1 У1У — 1) ’ х —2 х4-2 3 596. Найдите значение переменной у, при котором:
а) „ 31/4-9 2у —13 „ сумма дробей „ —и „ равна 2; о у — 1 Лу -г □
б) 51/4-13 4 — бу о разность дробей и 3 равна 3;
в) сумма дробей —- и д равна их произведению;
г; разность дробей и - равна их произведению. 597. Решите уравнение:
а) «с 1 с* «с 1 * со <с: н* Г 5 «с 1 1 +
б) 1 1 _ 3 . X 1 45 = 14 . 2(х-|-1) 1 х4-2 х4-3 ’ W х2 —3x4-16 х —4 ’ 1 4- 1 8 ) 5 4 3
в) х4-2 । х2 — 2х х‘ —4х ’ х — 1 3 —6х4-3х2 598. Решите уравнение:
а) 10 . х = 3 . . 4 1 1 г (х —5)(х-}-1) х4-1 х—5 ’ ' (х4-1)‘ (х — 1)' х“ —1 ’
б) 17 1 = х . . 4 1 4 (х — 3)(х4-4) х —3 х4-4 ’ 9х‘ —1 1 Зх2 —х 9хг —6x4-1 ’ 599. Найдите корни уравнения:
а/ 21 _ 16 6^ . х4-1 х —2 х ’
б) 2 1^5 . У2 —Зу у —3 у3 — 9у ’
в) 18 1 6 4х-’4-4х4-1 2х- — х 4х2 —1 ’
5 Алгебра в кл.
Упражнения для повторения
600. Найдите значение выражения х2— 2ху-\-у2 при ?- = 3+V5, y = 3-V5.
601. Принадлежит ли графику функции у = х2 + 2х 5 точка А (1,5; 7,25); В(-3,2;9); С(->/3-1;7)?
602. Упростите выражение:
603. Сравните с нулем значение выражения:
">0’ д<0;
б) Ь, , где а <_ 0, b < 0.
' а + Ь
25. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
С ПОМОЩЬЮ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Решение многих задач приводит к дробным рациональным уравнениям.
Рассмотрим задачу: «Моторная лодка прошла 25 км по '.п.чспию реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч?»
Пусть х км/ч — скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость лодки по течению (х-|-3) км/ч, а против течения (х—3) км/ч.
По течению реки 25 км лодка прошла за ——ч, а против X -р о
з
течения 3 км — за ——- ч. Значит, время, затраченное на весь
/ 25 , 3 \
путь, равно ( —т-x+-—х) ч.
\ X -р о х — О /
По условию задачи на весь путь лодка затратила 2 ч. Следовательно,
25 . 3 __р
х4-3 ' х — 3“ ’
Решив это уравнение, найдем, что его корни Xi = 2 и х2 = 12.
По смыслу задачи скорость лодки в стоячей воде должна быть больше скорости течения. Этому условию удовлетворяет второй корень — число 12 и не удовлетворяет первый.
Ответ: 12 км/ч.
® 604. Знаменатель обыкнсвзнной дроби больше ее числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменателю 5, то она увеличится иа —. Найдите эту дробь. © 605. Числитель несократимой обыкновенной дроби на 5 меньше ее знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 16, то дробь уменьшится на . Найдите эту дробь.
® 606. Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, а поэтому он пришел к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.
607. Из города А в город В выехал велосипедист. Через 1 ч 36 мин вслед за ним выехал мотоциклист и прибыл в В одновременно с велосипедистом. Найдите скорость велосипедиста, если она меньше скорости мотоциклиста па 32 км/ч, а расстояние между городами равно 45 км.
608. Один из лыжников прошел расстояние в 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч большей.
• 609. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля, зная, что расстояние между городами равно 560 км.
610. Чтобы ликвидировать опоздание на 1 ч, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость, с которой должен был идти по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?
® 611. Турист проплыл иа лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 ч больше, чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки при движении по озеру. • 612. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км, а против течения 25 км. На путь по течению реки она затратила столько же времени, сколько на путь против течения. Какова скорость течения реки?
613. Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошел 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки.
614. Один штукатур может выполнить задание на 5 я быстрее другого. Оба вместе они выполнят это задание за 6 ч. За сколько часов каждый из них выполнит задание?
615. Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить работу каждый рабочий, если одному из них для выполнения всей работы потребуется на 10 дней больше, чем другому?
® 616. Две бригады, работая совместно, закончили отделку квартир в доме за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной для этого требуется на 5 дней больше, чем другой?
617. Из двух городов, расстояние между которыми 720 км, отправляются навстречу друг другу два поезда и встречаются на середине пути. Второй поезд вышел на 1 ч позднее первого со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость первого поезда. Найдите скорость каждого поезда.
Упражнения для повторения
618. Докажите, что:
а) ------------1——=22; б) +
114-2-/30 11 —2-/30 <5-2 -/5 + 2
619. Найдите значение выражения:
а) при х = 5 + 2д/6, у = 5-2д/6;
б) при x = Vii+V3, y = ^/ii—л/з.
620. Найдите значение д, при котором разность корней уравнения х2—10х-)-д = 0 равна 6.
621. Составьте квадратное уравнение, зная его корни:
. V3-1 V3 4-1 о /5 1
«> — И —; 6) 2-^3 и
26. ГРАФИЧЕСКИЙ способ решения уравнении
Рассмотрим уравнение х2= —. Если обе части этого уравнения умножить на х, то получим уравнение х3 = 6, способ решения которого нам неизвестен. Однако-с помощью графиков можно наити приближенные значения корней уравнения х =
Построим в одной координатной плоскости графики функций у = х2 и у —— (рис. 19). Эти графики пересекаются в одной точке. Абсцисса точки пересечения есть то значение перемен-
„ о
нои х, при котором выражения х и — принимают равные значения. Значит, абсцисса точки пересечения графиков функ-о 2 6 2 6 тх
ции у = х и У—— является корнем уравнения х =—. Из ри-сунка видно, что приближенное значение корня равно 1,8.
Примененный способ решения уравнения называют графическим.
Рассмотрим еще один пример решения уравнения графическим способом. Решим уравнение х3—1,2х + 0,5 = 0. Представим это уравнение в виде х3 = 1,2х— 0,5 и построим в одной координатной плоскости графики функций у — хл и у=1,2х— — 0,5 (рис. 20). Графики пересекаются в трех точках. Это означает, что уравнение х3=1,2х — 0,5, а значит, и уравнение х3 — 1,2х +0,5 = 0 имеет три корня. Найдем приближенные значения корней, т. е. абсцисс точек пересечения графиков. Получим:
Xi«—1,3, Х2~О,5, хз~0,8.
622. Постройте график функции у = х2 и, используя его, решите уравнение:
а) х2 = х + 2; б) х2+1,5х-2,5 = 0.
623. Решите уравнение сначала графически, а затем с помощью формулы корней:
а) х2 = 0,5х + 3; б) х.2 — Зх-|-2 = 0.
624. Решите графически уравнение: а)-|-=—х+б; б) -^-=х2.
625. Постройте график функции у=— и, используя его, решите уравнение:
a) v = x; 6)-J-=—х + 6.
626. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение ±-=ах->-Ъ, где а и Ъ — некоторые числа.
627. Решите графически уравнение:
а) х3 — х + 1 = 0; б) х3 + 2х —4 —0.
628. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь при различных значениях Ь уравнение: а) V* —х-у-Ь; б) ~\[х=— х-\-Ь.
629. . Решите графически уравнение:
г~ ' г“ 4
а) ух —6 — х; б) ух = — .
Упражнения для повторения
630. Туристы должны были пройти путь в 18 км за определенное время. Однако они шли со скоростью, на 0,5 км/ч большей, чем предполагали, и поэтому прошли намеченный путь на полчаса быстрее. С какой скоростью предполагали идти туристы?
631. Бригада намечала засеять 120 га за определенный срок. Однако, перевыполняя запланированную ежедневную норму на 10 га в день, она сумела закончить сев на 2 дня раньше. Сколько гектаров засевала бригада ежедневно?
632. Упростите выражение:
a) V* । Уу . б) | .
л/*+л/у V*~Vy ’ 7* + л/у V*—Ту
Контрольные вопросы
1. Приведите пример целого уравнения и пример дробного рационального уравнения.
2. Расскажите, как решают дробное рациональное уравнение.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
К параграфу 8
633. Докажите, что уравнение равносильно квадратному:
а) (х — 3) (х2 4-Зх 4-9) = х (х —— 8) (х 4-9);
б) (У+ 7) (у2 — 7 г/4-49) —у (у 4-8) (у — 7) =0;
в) (2х-1)(2х4-1) -Ь (х —3)2 = 17;
г) (4х4-1)2 —2х (х —6)—1 = 0.
634. Найдите корни уравнения:
а) у--36 = 0; в) -0,2г/24-45 = 0;
б) -г!/2—^ = °; г) — ~г/2-Н2-|-=0.
635. Решите уравнение:
а) 8х2 — Зх = 0; в) х34-^ — 0;
б) — 2х24-5х = 0; г) 2х‘ 50х 0.
636. Решите уравнение:
а) (х + 2)2 + (х-3)2 = 13;
б) (Зх —5)2 — (2х4~1)' — 24;
в) (х — 4)(х24-4х4-16)4*28 = х2 (х—25);
г) (2х 4-1) (4х2 - 2х 4-1) -1 = 1,6х2 (5х - 2).
637. Решите относительно х уравнение:
а) х2 = а; б) х2 = а2; в) х2-|-4& = 0; г) х2-|-9&2=0.
638. Решите уравнение, используя выделение квадрата двучлена:
а) х2 —16x4-48 = 0; д) х24-7х-18 = 0;
б) х24-12x4-27 = 0; е) х2-11х-|-28 = 0;
в) х24-10х —39 = 0; ж) 2х2 —5х4-2 = 0;
г) х2 —6х —55 = 0; з) Зх2 —х —70 = 0.
639*. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно:
а) а24-4а-|-11; в) m2 —4т4-51;
х2 —2х + 7 . . р2 —6д + 18
' 19 ’ ’ р2 + 1
640*. Используя выделение квадрата двучлена: а) докажите, что наименьшим значением выражения х2 — 8x4-27 является число 11; б) найдите наименьшее значение выражения а2 —4а 4-20.
К параграфу 9
641. Решите уравнение:
а) 4х2 + 7х + 3 = 0;
6) х2 4-х —56 = 0;
в) х2 — х — 56 = 0;
г) 5х2 — 18x4-16 = 0;
д) 8х24-х—75=0;
е) Зх2 — Их —14 = 0;
ж) Зх24-Их —34 = 0;
з) х2 —х —1 = 0.
642. При каких значениях х верно равенство:
а) (5х4-3)2 = 5 (х + 3); д) (5х4-3)2 = 5х4-3;
б) (3x4-10)2=3(х4-Ю); е) (5x4-3)2 = (Зх4-5)2;
в) (Зх — 8)2 = Зх2 — 8х; ж) (4x4-б)2 = 4 (х4-б)2;
г) (4х4-5)2 = 5х24-4х; з) (2х4-Ю)2 = 4 (х-}-5)2?
643. Решите уравнение и выполните проверку:
а) х2-*-2х —5 = 0; г) 5 у2 — 7у 4-1 = 0;
6) х24-4х4-1 = 0; д) 2у24-11у + 10 = 0;
в) 3</2 —4</ —2 = 0; е) 4х2 —9х —2 = 0.
644. Найдите приближенные значения корней уравнения
в виде десятичных дробей с точностью до 0,01:
а) х2 —2х —2 = 0; в) Зх2 —7х 4-3 = 0;
б) х24-5х4-3 = 0; г) 5х24-31x4-20 = 0.
645. При каком значении а один из корней уравнения ах2 — Зх—5 = 0 равен 1?
v 2
646*. Докажите, что один из корней уравнения ах — — (а4-с)х4-с = 0 равен 1.
647*. Докажите, что если уравнение ех24- 5х4-в = 0, где с=/=0 и а=/=0, имеет корни, то они обратны корням уравнения ах2 4- 5х-}- с = 0.
648. Выясните, при каких значениях переменной: а) трехчлен а2 4-7а 4-6 и двучлен а 4-1 принимают равные значения и найдите эти значения; б) трехчлены Зх2 — х 4-1 и 2х2 4- 5х — 4 принимают равные значения и найдите эти значения.
649. Найдите пять последовательных целых чисел, если известно, что сумма квадратов трех первых чисел равна сумме квадратов двух последних.
650. Найдите три последовательных четных числа, если известно, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа.
651. Спортивная площадка площадью 1800 м2 имеет форму прямоугольника, длина которого на 5 м больше ширины. Найдите размеры площадки.
652. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа.
653. Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 116 см2. Найдите стороны прямоугольника.
654. Фотографическая карточка размером 12X18 см наклеена на лист так, что получилась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что фотокарточка вместе с рамкой занимает площадь 280 см2.
655*. При розыгрыше первенства школы по футболу было сыграно 36 матчей, причем каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Сколько команд участвовало в розыгрыше?
656*. В шахматном турнире было сыграно 45 партий. Определите число участников турнира, если известно, что каждый участник сыграл с каждым по одной партии.
657. Дно ящика — прямоугольник, ширина которого в два раза мэньше его длины. Высота ящика 0,5 м. Найдите объем ящика, если известно, что площадь его дна на 1,08 м2 меньше площади боковых стенок.
658. Имеется лист картона прямоугольной формы, длина которого в 1,5 раза больше его ширины. Из него можно изготовить открытую коробку объемом 6080 см3, вырезав по углам картона квадраты со стороной 8 см. Найдите размеры — длину и ширину листа картона.
659. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
а) х2 —5-\/2х 4-12 = 0; в) у2 — бу 4- 7 = 0;
б) х24-273х—72 = 0; г) р2—10р4-7 = 0.
660*. Найдите Ъ и решите уравнение:
а) 2х24- Ъх— 10 = 0, если оно имеет корень 5;
б) Зх24- 5x4-24 = 0, если оно имеет корень 3;
в) (5 — 1) х2— (Ь-|-1)х = 72, если оно имеет корень 3;
г) (Ь — 5)х2 — (о — 2)х-|-Ь = 0, если оно имеет корень
661*. Докажите, что уравнение 7x2-|-ftx — 23 = 0 при любых значениях Ъ имеет один положительный и один отрицательный корень.
662*0 Докажите, что уравнение 12х2+70х + а2+1 = 0 при любых Епачениях а не имеет положительных корней.
663. Разность корней уравнения Зх2 + &х + 10 = 0 равна 4 -i-. Найдите Ъ.
О
664. Один из корней уравнения 5х2— 12х + с = 0 в три рака больше другого. Найдите с.
665*. Частное корней уравнения 4х2 Ъх — 27 = 0 равно —3. Найдите Ъ.
666*. Не решая уравнения 5х2+13х— 6 = 0, найдите сумму квадратов его корней.
667*. Разность квадратов корней уравнения 2х2 — 5х + с = 0 равна 0,25. Найдите с.
668*. Один из корней уравнения 4х2 + &х + с = 0 равен 0,5, а другой — свободному члену. Найдите Ъ и с.
669*. Известно, что коэффициенты Ъ и с уравнения х2 + Ьх + + с = 0, где с=И=О, являются его корнями. Найдите Ъ и с.
670*. Выразите через р и q сумму квадратов корней уравнения x2-f-px + g = O.
671*. Известно, что Xi и х2— корни уравнения Зх2-|-2х + + k = 0, причем 2xi=—Зх2. Найдите Л.
672*. Известно, что Xt и х2 — корни уравнения х2 — 8x-J-+ Л = 0, причем 3X1 + 4X2 = 29. Найдите k.
К параграфу 10
673. Решите уравнение:
а) х + 1 6 Ь 20 -1 X —1 = 4; д) —Н 1 —х 1 1 1 + х 28 1-х4 ’
б) х + 15 21 — 2- е) 5 3 _ 20 .
4 х + 2 х —2 х + 2 ха —4 ’
в) 12 х — 1 8 _ х + 1 = 1; ж) х + 2 х + 1 1 х + 3_ х —2 29 (х+1)(х-2) ’
г) 16 1 30 _ 3; Э) х + 2 х + 1_ 4
х — 3 1 1-х х + 3 х-1 (х+3) (х-1) *
674*. Найдите координаты точек пересечения с осью х графика функции, заданной формулой:
в) У = _ х2 —5х + 6 . х—2 ’
б) у=^^-, г) У = х3 —7х2 + 12х х —3
675. При каком значении х:
а) значение функции у— 2 равно —6; 0; 0,8; 0,56;
X I 1
б) значение функции у=—
равно 1,5; 3; 7?
676. Hai’Дите координаты функций:
а) у = 2х-|-3 и
677*. Решите уравнение:
. 2х + 1 3(2х —1) 8 0
} 2х—1 7 (2х + 1) ' 1-4х2 U
б) У________1__I___3___=_0.
' 7^9 уЧ-ЗуП бН-2/ ’
в) Ч"1 I 8 - 2y'hl •
' 1^ + 7у' 12уг — 3 бу’-Зу’
точек пересечения графиков
х*— 5х „
°) У^-^+з- к ^ = 2х-
. 3 1 3
х2 —9 9 —бх-4-х2 — 2Х-' + 6х ’
. 9х 1-12 1 1
Д' ха'"-64 х- |-4х-1 1б'" х —-I ’
е) -4________L.. .
' W 2у + 1 ky - 2.71-1 ’
32 , 1 ... 1 .
х’ - 2х2 - х + 2 ‘ Г (х -1 j (х - 2) ~ X + 1 ’
Э) 3 (х-4)+ 2(х2 + 3)+ х3-4х2 + Зх- 12
678*. Найдите корни уравнения:
х л/З+л/2 . х^З—/2 Юх х^/З—хТЗ+т/2 3x2-2 ’
б)
1—У V5
1+У л/5
г+У ir5 _ 9у 1-J/V5 1 —5у2 ‘
679. Найдите значения переменной у, при которых:
а)
б)
, „ 6
сумма дробей и
_ „ 2
сумма дробей - и
у равна их
6
——х равна их у + З
произведению;
частному;
в)
разность дробей
у + 12 у
у_4 и ^4 равна их произведению.
680. Два самолета вылетели одновременно с одного аэродрома на другой, расстояние между которыми 1800 км. Скорость одного самолета на 100 км/ч меньше скорости другого, а поэтому он прибыл в пункт назначения на 36 мин позже. Найдите скорость каждого самолета.
681. На середине пути между станциями А и В поезд был задержан па 10 мин. Чтобы прийти в В по расписанию, машинист увеличил скорость поезда на 12 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда, если известно, что расстояние между станциями равно 120 км.
682. На перегоне в 600 км после прохождения пути поезд был задержан на 1 ч 30 мин. Чтобы прийти на конечную станцию вовремя, машинист увеличил скорость поезда на 15 км/ч. Сколько времени поезд был в пути?
683. Туристы совершили три перехода в 12,5; 18 и 14 км, причем скорость на первом переходе была на 1 км/ч меньше скорости на втором переходе и па столько же больше скорости на третьем. На третий переход они затратили на 30 мин больше, чем на второй. Сколько времени заняли все переходы?
684. Автомобиль прошел с некоторой скоростью путь от А до В длиной 240 км. Возвращаясь обратно, он прошел половину пути с той же скоростью, а затем увеличил ее на 10 км/ч. В , „ , 2
результате на обратный путь было затрачено на — ч меньше, чем на путь от А до В. С какой скоростью шел автомобиль из А в В?
685. Расстояние от А до В, равное 400 км, поезд прошел О
с некоторой скоростью; обратного пути из В в А он шел с той же скоростью, а потом уменьшил скорость на 20 км/ч. Найдите скорость поезда на последнем участке, если на всю дорогу было затрачено 11ч.
686. Пройдя вниз по реке 150 км, теплоход возвратился обратно, затратив на весь путь 5 ч 30 мин. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в стоячей воде 55 км/ч.
687. Турист проехал на моторной лодке вверх по реке 25 км, а обратно спустился на плоту. В лодке он плыл на 10 ч меньше, чем на плоту. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч.
688. Моторная лодка прошла 35 км вверх по реке и на 18 км поднялась по ее притоку, затратив на весь путь 8 ч. Скорость течения в реке на 1 км/ч меньше скорости течения в ее притоке. Найдите скорость течения в реке, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч.
689. Из пункта А отправили по течению плот. Вслед за ним через 5 ч 20 мин из того же пункта вышел катер и догнал плот, пройдя 20 км. Сколько километров в час проходил плот, если катер шел быстрее его на 12 км/ч?
690. Рыболов отправился на лодке от пункта N вверх но реке. Проплыв 6 км, он бросил весла, и через 4 ч 30 мин п<><-ле отправления из N течение его снова отнесло к пункту /V. Зная, что скорость лодки в стоячей воде 90 м/мин, найдите скорость течения реки.
691. Через 2 ч 40 мин после отправления плота от пристани А вниз по течению реки навстречу ему от пристани В отошел катер. Встреча произошла в 27 км от В. Найдите скорость плота, если скорость катера в стоячей воде 12 км/ч и расстояние от А до В равно 44 км.
692. Теплоход отправился от пристани А до пристани В, расстояние между которыми 225 км. Через 1,5 ч после отправле-ния он был задержан на — ч и, чтобы приити вовремя, увеличил скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость теплохода.
693. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, вышли одновременно два автомобиля. Первый из них ехал все время с постоянной скоростью. Второй автомобиль 3
первые -- ч ехал с той же скоростью, затем сделал остановку на 15 мин, после этого увеличил скорость на 5 км/ч и прибыл в В вместе с первым. Найдите скорость первого автомобиля.
694. Автобус проехал расстояние между пунктами А и В, равное 400 км, с некоторой средней скоростью. Возвращаясь обратно, он 2 ч ехал с той же скоростью, а затем увеличил скорость на 10 км/ч и возвратился в пункт Л, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем на путь из А в В. Сколько, времени затратил автобус на обратный путь?
695. Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил ее на 10 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше. Найдите расстояние между городами.
696*. Из двух городов А и В выходят одновременно два автомобиля и встречаются через 5 ч. Скорость автомобиля, выходящего из А, на 10 км/ч меньше скорости другого автомобиля. Если бы первый автомобиль вышел из А на 4у ч раньше второго, то встреча произошла бы в 150 км от В. Найдите расстояние между городами А и В.
697. Расстояние от пристани М до пристани N пн тгч< пи1<> реки катер проходит за б ч. Однажды, не д<»Ги1.н 10 им д<> при
стани N, катер повернул назад и возвратился к пристани М, затратив на весь путь 9 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
69S. Мотоциклист проехал расстояние от пункта М до пункта N за 5 ч. На обратном пути он первые 36 км ехал с той же скоростью, а остальную часть пути — со скоростью, на 3 км/ч большей. С какой скоростью ехал мотоциклист первоначально, если на обратный путь он затратил на 15 мин меньше, чем на путь из М в N?
699. Отец и сын прошли 240 м, при этом отец сделал на 100 шагов меньше, чем сын. Найдите длину’шага каждого из них, если шаг отца длиннее шага сына на 20 см.
700. Первая бригада должна была сшить 160 костюмов, а вторая за тот же срок — на 25% меньше. Первая бригада шила в день на 10 костюмов больше, чем вторая, и выполнила задание за 2 дня до намеченного срока. Сколько костюмов в день шила вторая бригада, если ей для выполнения задания понадобилось дополнительно 2 дня?
701*. Бригада рабочих должна была за определенный срок изготовить 768 пылесосов. Первые пять дней бригада выполняла ежедневно установленную норму, а затем каждый день изготовляла на 6 пылесосов больше, чем намечалось, поэтому уже за день до срока было изготовлено 844 пылесоса. Сколько пылесосов в день должна была изготовлять бригада по плану?
702. За 4 дня совместной работы двумя тракторами было 2
вспахано -= поля. За сколько дней можно было бы вспахать все 3
поле каждым трактором, если первым его можно вспахать на 5 дней быстрее, чем вторым?
703*. Два хлопкоуборочных комбайна могут собрать хлопок с поля на 9 дней скорее, чем один первый комбайн, и на 4 дня скорее, чем один второй. За сколько дней каждый комбайн может собрать весь хлопок?
704*. Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется на 9 ч больше времени, чем при наполнении через первую и вторую трубы, и на 7 ч меньше, чем через одну вторую трубу. За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?
705*. Две машинистки при совместной работе затрачивают на перепечатку рукописи на 1 ч меньше, чем затрачивает на 142
1 перепечатку половины рукописи первая машинистка и — рукописи вторая. За сколько часов каждая машинистка перепечатает рукопись?
706*. Два слесаря получили заказ. Сначала 1 ч работал первый слесарь, затем 4 ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?
707. Двое рабочих, выполняя задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то все задание будет закончено за 25 дней. За сколько дней каждый рабочий в отдельности может выполнить все задание?
708*. Решите графически ypairnctu;e:
а) х3 4-6 = 0; г) ->/х=Зх; :к) \]'х • х"
б) х3 4-х —2 = 0; д) д/х = х — 2; з) А Л-
в) х3 — х-|-4 = 0; е) -д/х = х2; И)
709*. С помощью графиков выясните, сколько решений может иметь уравнение -\[х = ах-\-Ь, где а и b — некоторые числа.
Глава IV.
НЕРАВЕНСТВА
§11. ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА
§12. НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ и их системы
§ 11. ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА
27. ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Мы можем сравнить любые числа а и b и результат сравнения записать в виде равенства или неравенства, используя знаки = , <, >. Для произвольных чисел а и b выполняется одно и только одно из соотношений: а = Ъ, а<.Ъ, а>Ь. Рассмотрим примеры.
1. Сравним обыкновенные дроби ~ и —. Для этого приведем их к общему знаменателю:
5 _ 35. 32
8 — 56 ’ 7 — 56 ‘
Так как 35 >32, то О I
2. Сравним десятичные дроби 3,6748 и 3,675. Цифры в разрядах единиц, десятых и сотых совпадают, а в разряде тысячных в первой дроби записана цифра 4, а во второй — цифра 5. Так как 4 <5, то 3,6748 0,675.
g
3. Сравним обыкновенную дробь -тт; и десятичную дробь 9 9
0,45. Обратив дробь — в десятичную, получим, что — =0,45.
4. Сравним отрицательные числа —15 и —23. Модуль первого числа меньше модуля второго. Значит, первое число больше второго, т. е. —15 > —23.
В зависимости от конкретного вида чисел мы использовали тот или иной способ сравнения. Однако удобно иметь такой способ сравнения чисел, который охватывает все случаи. Он заключается в том, что составляют разность чисел и выясняют, является ли она положительным числом, отрицательным чис
лом или нулем. Этот способ сравнения чисел основан на следую-Гй определении.
Определение. Число а больше числа Ъ, если разность а — Ь— положительное число; число а меньше числа Ь, если разность а — Ь — отрицательное число.
Заметим, что если разность а — b равна нулю, то числа а и b равны.
На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшое — точкой, лежащей левее. Действительно, пусть а и b — некоторые числа. Обозначим разность а—Ъ буквой с. Так как а — Ь = с, то а — £> —|-с. Если с — положительное число, то точка с координатой b -|- с лежит правее точки с координатой Ь, а если с — отрицательное число, то левее (рис. 21). Значит, если aZ>b, то точка с координатой а лежит правее точки с координатой Ь, а если а < b — левее.
с >0
b b-t С
с <0
Рис. 21 ——« . ----------
b + с b
Покажем, как приведенное определение молено использовать при решении задач.
Пример 1. Докажем, что при любых значениях а верно неравенство , .ч2
(а —3) (а —5)<(а —4) .
Составим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее:
(а — 3) (а — 5) — (а — 4)2 = а2 — За — 5а +15 — а2 + 8а —16 = — 1.
При любом а рассматриваемая разность отрицательна. Следовательно, при любом а верно неравенство (а — 3) (а — 5) < <(а —4)2.
Пример 2. Докажем, что сумма квадратов любых двух чисел не меньше их удвоенного произведения.
Пусть а и b — произвольные числа. Требуется доказать, что а2 + Ъ2> 2аЬ.
Преобразуем разность левой и правой частей неравенства: (а2 Ь2') — 2а b = а2 — 2а Ь + Ь2 = (а — Ь)2.
Разность (а2+Ь2)— 2аЬ мы представили в виде квадрата некоторого выражения. Так как (а — Ь)2^0 при любых а и Ь, то и неравенство a2 -j- b2 ^2аЬ верно при любых а и Ъ.
© 710. Сравните числа р и q, если разность p — q равна — 5; 8; 0.
• 711. Сравните числа а и Ь, если:
а) а — Ь——0,001; б) а— & = 0; в) а — & = 4,3.
© 712. Известно, что а<.Ь. Может ли разность а — Ъ выражаться числом 3,72; —5; 0?
• 713. Даны выражения За (а+ 6) и (За + 6) (а 4* 4). Сравните их значения при а= — 5; при а = 0; при а = 40. Докажите, что при любом а значение первого выражения меньше значения второго.
714. Даны выражения 4& (& + 1) и (26-|-7) (26 — 8). Сравните их значения при Ъ——3; при Ь=—2; при 6 = 10. Можно ли утверждать, что при любом значении Ъ значение первого выражения больше, чем значение второго?
715. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:
а) 3 (а + 1)+а<4 (2-|-а); в) (а —2)2>а (а—4);
б) (7р -1) (7р +1) < 49р2; г) (2а + 3) (2а +1) > 4а (а + 2).
716. Докажите неравенство:
а) 262 — 6& +1 > 2&(& — 3); в) р (р4-7)> 7р-1;
б) (с + 2) (с + 6) < (с + 3) (с + 5); г) 8у (Зу —10) < (5у - 8)2.
717. Верно ли при любом х неравенство:
а) 4х (х-|-0,25) >(2х 4-3) (2х — 3);
б) (5х-1)(5х4-1)<25х24-2;
в) (Зх-}-8)2>Зх(х4-16);
г) (7 4-2х)(7 —2х)< 49 —х (4x4-1)?
718. Докажите неравенство:
а) а (а-\- b)^ab; в) 2bc^.b2-\-с2;
б) т2 — тп+п'^тп; г) а (а — 6)Ь (а — 6).
719. Докажите, что при любом а верно неравенство:
а) 10а2—5а4-1 а24-о; б) а2 — а50а2 — 15а4-1.
720. Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2.
• 721. Докажите неравенство:
722. Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство:
а) а2 — 6а + 14>0; б) &Ч-70>16&.
723. Докажите, что если и Ь^О, то —
724. Что больше: а3-\-Ъ3 пли ab(a-[-b), если а п b — неравные положительные числа?
725. К каждому из чисел О, 1, 2, 3 прибавили одно и то же число k. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности чисел с произведением средних ее членов.
Упражнения для повторения
726. Найдите значение дроби х ~^_Х2^~3 при х = —.
727. Сократите дробь:
. х2 —Юх-1-25 4х2 —12л |-9
728. Решите уравнение:
а) —=2-----б) =5х —9.
' х х — 2 ' 2х — 1
28. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ
Рассмотрим теоремы, выражающие свойства числовых неравенств.
Теорема 1. Если а>Ь, то Ь<а; если а<_Ь, то Ь>а.
Действительно, если разность а— Ъ — положительное число, то разность Ъ — а — отрицательное число и наоборот.
Теорема 2. Если а<.Ъ и Ь<с, то а<с.
Докажем, что разность а — с — отрицательное число. Прибавим к этой разности числа Ь и —b и сгруппируем слагаемые:
а — с —a — c+b — b=(a— b) + (b — с).
По условию а < Ь и Ь <.с. Поэтому слагаемые а — b тл Ь — с — отрицательные числа. Значит, и их сумма является отрицательным числом. Следовательно, а<с.
Аналогично доказывается, что если а>Ъ и Ь>с, то а>с.
Геометрическая иллюстрация этих свойств дана на рисунке 22.
a be
с b а Рис. 22
Теорема 3. Если а<Ъ и с — любое число, то а-{-с< < Ь -] с-
Преобразуем разность (а-}-с)—
(а + <?) — (& + <?) = а — Ь.
По условию а < Ь, поэтому а—Ь — отрицательное число. Значит, и разность (а + с) — (Ь + с) отрицательна. Следовательно, а + с < Ь + с.
Итак, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.
Теорема 4. Если a<Zb и с — положительное число, то ас<Ьс. Если а<Ь и с — отрицательное число, то ас>Ьс.
Представим разность ас — Ьс в виде произведения:
ас — Ьс = с (а — Ь).
Так как а<&, то а — Ъ — отрицательное число. Если с>0, то произведение с (а — Ь) отрицательно, и, следовательно, ас < <&<?. Если с<0, то произведение с (а — Ь) положительно, и, следовательно, ас > Ьс.
Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деления.
Итак, если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство;
если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
Следствие. Если а и Ь — положительные числа и а < Ь,
АРХИМЕД (287—212 до и. э.)
— древнегреческий математик и механик. Разработал новые математические методы, в частности, указал способ, позволяющий выразить любое сколь угодно большое число. Дал образцы применения математики к задачам естествознания и техники.
Разделим обе части неравенства а < Ъ на положительное число аЪ: -Д-<Д-. Сократив дроби, получим, что — <—-, ab ab о а
Приведем пример использования рассмотренных свойств неравенств.
Пример. Оценим периметр равностороннего треугольника со стороной а мм, если известно, что 54,2 <а< 54,3.
Периметр равностороннего треугольника со стороной а вычисляется по формуле Р = 3а. Умножим на 3 обе части каждого из неравенств 54,2 < а и а <54,3 и запишем результат в виде двойного неравенства:
54,2 • 3 < За < 54,3 • 3, 162,6 < За < 162,9.
Значит, периметр Р данного треугольника больше 162,6 мм, но меньше 162,9 мм.
729. Начертите координатную прямую и покажите, где примерно расположены на ней точки, имеющие координаты а, Ь, с, d и е, если а<Ь, Ob, c<Zd, а>е.
730. Пусть т, п, р и q — некоторые числа, причем т > р, п>т, n<q. Сравните, если это возможно, числа р и п, р и q, q и т. При сравнении чисел воспользуйтесь координатной прямой.
731. Известно, что а<Ь. Сравните, если возможно, а и b +1; а — 3 и Ь; а — 5 и b-j-2; a-j-4 и b — 1.
732. Какими числами (положительными, отрицательными) являются а и Ъ, если известно, что верны неравенства:
а) а—3>Ь—3 и Ь>4; в) 7а>7Ь и Ь>-^-;
б) а — 8>Ь —8 и а<—12; г) —2а>—2Ъ и Ь<—|-?
• 733. Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если:
а) к обеим частям неравенства 18 > —7 прибавить число — 5; число 2,7; число 7;
б) из обеих частей неравенства 5 > — 3 вычесть число 2; число 12; число —5;
в) обе части неравенства —9<21 умножить на 2;
, 1
на — 1; на —5-;
О
г) обе части неравенства 15 > —6 разделить на 3; на — 3; на —1.
4» 734. Известно, что a<zb. Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если: а) к обеим частям этого неравенства прибавить число 4;
б) из обеих частей этого неравенства вычесть число 5; в) обе части этого неравенства умножить на 8;
. ч 1
г) обе части этого неравенства разделить на ;
д) обе части этого неравенства умножить на —4,3;
е) обе части этого равенства разделить на — 1.
735. Известно, что а <. Ь. Поставьте вместо * знак < или > так, чтобы получилось верное неравенство: а) — 12,7а* — 12,7b; в) 0,07а* 0,07b;
б) — * Г) __L.
1 3 3 ’ ’ 2 2
736. Каков знак числа а, если известно, что:
а) 5а<2а; б) 7а>3а; в) — 3а<3а; г) —12а > — 2а?
737. Известно, что c>d. Объясните, на основании каких теорем можно утверждать, что верно неравенство:
а) — 7с<—7d; г) 0,01с-0,7 >0,Old —0,7;
б>4>4; д) l-c<l-d;
о о
в) 2с4-11>2сН-11; е) 2-с--<2-*
Z л
738. Известно, что а, Ъ, end — положительные числа, причем а > b, d < b, с > а. Расположите в порядке возрастания 1111 числа — , — , — , —г .
а Ъ с d
• 739. Известно, что 3<а<4. Оцените значение выражения:
а) 5а; б) —а; в) а 4-2; г) 5 — а; д) 0,2а 4-3.
• 740. Зная, что 5<х<8, оцените значение выражения:
а) 6х; б) — 10х; в) х — 5; г) Зх-|-2.
741. Пользуясь тем, что 1,4<-\/2 < 1,5, оцените значение выражения: а) -\/24-1; б) -\[2 — 1; в) 2 — т/2.
742. Пользуясь тем, что 2,2 <-^/5 <2,3, оцените значение выражения:
а) л/54-2; б) З-л/5.
743. а) Оцените периметр квадрата со стороной а см, если 5,1<а< 5,2.
б) Оцените длину стороны квадрата, зная, что периметр квадрата равен Р см, если 15,6^Р^15,8.
744. Оцените значение выражения —если:
?.) 5<i/<8;
б) 0,125 <у< 0,25.
Упражнения для повторения
а)
б)
745. Найдите значение многочлена х2— 4х-]-1 при
—3; 2 — ^3.
4 ’ ’ v
746. Решите уравнение:
8х2 —3 5-9х2 0.
5 4
2 1 2х — 1
.10 3 _ 1
В) 7^4~2Г=4“ . х2 —17 5
2 ’
29. СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ
Рассмотрим теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств.
Теорема 5. Если а<Ъ и c<d, то a-}-c<Zb-\-d.
Прибавив к обеим частям неравенства а<Ь число с, получим а-|-с<Ь-|-с. Прибавив к обеим частям неравенства c<d число Ь, получим Ь-|-с< b-\-d. Из неравенств а-|-е< Ь-|-с и b-\-c<zb-\-d следует, что а + с< Ь + d.
Теорема справедлива и в случае почленного сложения более чем двух неравенств.
Таким образом, если сложить почленно верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
Теорема 6. Если а<Ь и c<d, где а, Ь, с и d — положительные числа, то ac<bd.
Умножив обе части неравенства а<Ь на положительное число с, получим ас<_Ъс. Умножим обе части неравенства с < d на положительное число Ь, получим Ьс < bd. Из неравенств ас < Ьс и be < bd следует, что ас < bd.
Теорема справедлива и для почленного умножения более чем двух неравенств указанного вида.
Таким образом, если перемножить почленно верные пера венства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, то получится верное неравенство.
Заметим, что если в неравенствах а < b и с < d среди чисел а, Ъ, с и d имеются отрицательные, то неравенство ac<bd может оказаться неверным. Так, перемножив почленно верные неравенства — 3< — 2 и —5 <6, получим неравенство 15 <—12, которое не является верным.
Следствие. Если числа а и b положительны и а<Ь, то а" <ЬП (п — натуральное число).
Перемножим почленно п верных неравенств а< Ь, в которых а и Ъ — положительные числа, получим верное неравенство ап<Ьп.
Доказанные свойства используются для оценки суммы, разности, произведения и частного.
Пусть, например, известно, что 15<х<16 и 2<у<3. Требуется оценить сумму х-^-у, разность х — у, произведение ху и частное —.
У
1. Оценим сумму х-'\-у.
Применив теорему о почленном сложении неравенств к неравенствам 15 <х и 2<у, а затем к неравенствам х<16 и у<3, получим 17 <х + у и x + j/<19. Результат можно записать в виде двойного неравенства 17 < х-|- у < 19. Запись обычно ведут короче:
15<х<16
2<у<3 17<x + j/<19
2. Оценим разность х — у.
Для этого представим разность х — у в виде суммы х-)-( — у). Сначала оценим выражение —у. Так как 2<j/<3, то — 2>—у>—3, т. е. —3<—у<—2. Применим теперь теорему о почленном сложении неравенств:
15<х<16 — 3<—у<—2 12<х —J/C14
3. Оценим произведение ху.
Так как каждое из чисел х и у заключено между положительными числами, то они также являются положительными числами. Применив теорему о почленном умножении неравенств, получим:
15 <х< 16 2<у<3 30<хг/<48
4. Оценим частное —.
У х
Для этого представим частное — в виде произведения
х-—. Сначала оценим выражение . Так как 2<i/<3, то
1 1 1 1.1.1 тт
— >—т. е. -=-<—С-?." - По теореме о почленном умно-л У о о у 2
жении неравенств имеем:
15<х<16
1 J_ _1_
3 у 2
• 747. Сложите почленно неравенства:
а) 12>—5 и 9>7; б) -2,5-: 0,7 п -6,5<- 1,3.
• 748. Перемножьте почленно неравенства:
а) 5>2 и 4>3; б) 8<10 и
• 749. Верно ли для положительных~чисел а и Ь, что:
а) если а>Ь, то а2>Ь2;
б) если а2>Ь2, то а>Ь?
• 750. Пусть 3<а<4 и 4<Ь<5. Оцените:
а) а-|-й; б) а— Ъ; в) ab; г) -у.
• 751. Зная, что 6<х<7 и 10<j/< 12, оцените:
а) х+у; б) у— х; в) ху; г) .
752. Пользуясь тем, что 1,4<->/2<1,5 и 1,7<-\/3< 1,8, оцените: а) 72+л/З; б) V3-V2.
753. Пользуясь тем, что 2,2<-\/5< 2,3 и 2,4<-\/б< <2,5, оцените: a) V6 + V5; б) V6-V5.
754. Известны границы длин основания а и боковой стороны Ъ равнобедренного треугольника, выраженных в миллиметрах:
26<а<28 и 41 <5 <43.
Оцените периметр этого треугольника.
755. Измеряя длину а и ширину Ъ прямоугольника (в см), нашли, что 5,4<а<5,5 и 3,6 <6<3,7.
Оцените: а) периметр прямоугольника; б) площадь прямоугольника.
75G. Известны границы длины а и ширины Ъ (в м) комнаты прямоугольной формы:
7,5<а<7,6 и 5,4 <5,5.
Подойдет ли это помещение для бзгблиотекн, для которой требуется комната площадью не менее 40 м2?
757. Пусть аир — углы треугольник?.. Известно, что
5 3 ° < а < 5 9 °, IС 2 ° < [> < 10 3 '.
Оцените величину третьего угла.
Упражнения для повторения
758. Лист жести имеет форму квадрата. После того как от него отрезали полосу шириной 5 дм, площадь оставшейся части листа стала равной 6 дм2. Каковы размеры первоначального листа жести?
759. Упростите выражение
/ 8х . х \ . /. 4 — Зх
\16 — 9х2 ' Зх — 4/'v 4-(-Зх/'
760. Докажите, что:
а) 9а6 при а>0;
б) 25b Н—£-< — 10 при Ь<0.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств, и докажите их.
2. Сформулируйте и докажите теорему о почленном сложении неравенств.
3. Сформулируйте и докажите теорему о почленном умножении неравенств.
;j 12. НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ
30. ЧИСЛОВЫЕ ПРОМЕЖУТКИ
Отметим на координатной прямой точки с координатами — 3 и 2 (рис. 23). Если точка расположена между ними, то ей соответствует число, которое больше —3 и меньше 2. Верно и обратное: если число х удовлетворяет условию — 3 < х < 2, то
Рис. 23
—о— »
-3 X
оно изображается точкой, лежащей между точками с координатами — 3 и 2. Множество всех чисел, удовлетворяющих условию —3<СХ<С2, называют числовым промежутком или просто промежутком от —3 до 2 и обозначают так: (— 3; 2) (читают: «Промежуток от 3 до 2»). Этот промежуток изображен на рисунке 24.
Число х, удовлетворяющее условию — 3 х 2. изображается точкой, которая либо лежит между точками с координатами — 3 и 2, либо совпадает с одной из них. Множество таких чисел обозначают [—3; 2] (читают: «Промежуток от — 3 до 2, включая —3 и 2»). Этот промежуток изображен на рисунке 25.
-32 -32
Рис. 24 Рис- 25
Множества чисел х, для которых выполняются двойные неравенства — 3 х < 2 и — 3 < х 2, обозначают соответственно [ — 3; 2) и (—3; 2] (читают: «Промежуток от —3 до 2, включая —3; промежуток от —3 до 2, включая 2»). Эти промежутки изображены на рисунках 26 и 27.
-32 -32
Рис. 26 Рис. 27
Отметим на координатной прямой точку с координатой 6. Если число х больше 6, то оно изображается точкой, лежащей правее этой точки (рис. 28). Множество всех чисел х, удовлетворяющих условию х > 6, изображается полупрямой, расположенной вправо от точки с координатой 6 (рис. 29).
о---------------•
6 X
Рис. 28
6 Рис. 29
Это множество называют промежутком от 6 до плюс бесконечности и обозначают так: (6; оо).
Множество чисел, удовлетворяющих
условию х^б, изо-
бражается той же полупрямой, включая еще точку с коорди-
6 Рис. 30
натой 6 (рис. 30). Его обозначают: [6; -|-оо) (читают: «Промежуток от б до плюс бесконечности.
включая 6»).
На рисунках 31 и 32 изображены множества чисел х, для которых выполняются неравенства х<10 и х^Ю. Эти множества представляют собой промежутки, обозначаемые соответственно (—оо; 10) и (—оо ; 10] (читают: «Промежуток от минус бесконечности до 10; промежуток от минус бесконечности до 10, включая 10»).
10
10
Рис. 31
Рис. 32
Множество действительных чисел изображается всей координатной прямой. Его обозначают так: (— оо; оо).
На рисунке 33 изображены промежутки [1; 5] и [3; 7]. Промежуток [3; 5] представляет собой, их общую часть. Множество, составляющее общую часть некоторых множеств А и В, называют пересечением, этих множеств и обозначают Промежуток [3; 5] является пересечением промежутков [1; 5] и [3; 7]. Это можно записать так:
[1; 5]П[3; 7]=[3; 5].
Рис. 33
^////////////^
О 4
Рис. 34
Промежутки [0; 4] и [6; 10] не имеют общих элементов (рис. 34). Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто. Значит, пересечение промежутков [0; 4] и [6; 10] пусто.
Каждое число из промежутка [1; 7] (см. рис. 33) принадлежит хотя бы одному из промежутков [1; 5] и [3; 7], т. е. либо промежутку [1; 5], либо промежутку [3; 7], либо им обоим.
Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А к В, называют объединением этих множеств и обозначают -AU-В. Промежуток [1; 7] является объединением промежутков [1; 5] и [3; 7]. Это можно записать так:
[1; 5]U[3; 7]=(1; 7].
Заметим, что объединение промежутков не всегда представляет собой промежуток. Например, множество [О; 4] U[6; 10] не является промежутком (см. рис. 34).
Приведем другие примеры пересечения и объединения множеств. Пересечением множества целых неотрицательных чисел и множества целых неположительных чисел является число нуль, а объединением этих множеств служит множество всех целых чисел. Пересечение множеств положительных и отрицательных чисел пусто, а объединением этих множеств является множество всех действительных чисел, кроме пуля.
• 761. Изобразите на координатной прямой промежуток:
а) [—2; 4]; в) [0; 5]; д) (3; + сю); ж) ( — сю; 4];
б)( —3;3); г) (-4; 0); е) [2; + оо); 3)(_оо;-1).
Запишите промежутки, изображенные на рисунке 35.
а) в)
‘ ^///////////^^^^^^ э
-2 6-1 7
б) г)
7 ^//////////^^^^^^ _______________________________________
-1 4
Рис. 35
• ( 762. Изобразите на координатной прямой промежуток: а)(3;7); б) [1; 6]; в)(-оо;5); г) [12; + оо).
• 763. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству:
а) х> —2; б) х<3; в) х>8; г) х<— 5.
• 764. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству:
в) -5<x<-3-i-; О
а) -1,5<х^4;
б) —2<х<1,3;
г) 2<х<6,1.
• 765. а) Принадлежит ли промежутку ( — 4; 6,5) число — 3; — 5; т5; 6,5; -3,9; -4,1?
б) Принадлежит ли промежутку [—8; —5] число '—9; -8; -5,5; -5; -6; -7,5?
• 766. Какие из чисел —1,6; —1,5; —1; 0; 3; 5,1; 6,5 принадлежат промежутку:
а) [—1,5; 6,5]; б) (3; + оо); в) (—оо; —1]?
767. Принадлежит ли промежутку (1,5; 2,4) число:
a) V2; б) <3; в) Л/5; г) д/б?
768. Укажите два положительных и два отрицательных числа, принадлежащих промежутку:
а) (-4; 5); б) [-1; 1]. •
769. Какие из целых чисел, принадлежат промежутку: а) ( —4; 3); б) [-3; 5]?
770. Какие из целых чисел принадлежат промежутку: а) [0; 8]; б) (-3; 3); в) (-5; 2); г) (-4; 9]?
771. Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку:
а) [-12; —9]; б) [-1; 17); в) (— оо;31]; г) ( — оо;8).
772. Принадлежит ли промежутку (—оо;2) число 1,98? Укажите два числа, большие 1,98, принадлежащие этому промежутку. Можно ли найти наибольшее число, принадлежащее этому промежутку? Существует ли в этом промежутке наименьшее число?
773. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков:
а) (1; 8) и (5; 10); в)(5;4-оо) и (7; + оо);
б) [ — 4; 4] и [—6; 6]; г) (— оо; 10) и (—оо;6).
774. Покажите штриховкой на координатной прямой объединение промежутков:
а)»{7;0] и [— 3; 5]; в) (—оо;4) и (10;+оо);
б) ( —4; 1) и (10; 12); г) [3; + оо) и (8;4-оо).
. 775. Используя координатную прямую, найдите пересечение и объединение промежутков:
а) (— 3; + оо) и (4; + оо); в) (— оо ; 6) и (— оо; 9);
б) (—оо; 2) и [0; + оо); г) [1,5] и [0; 8].
Упражнения для повторения
776. Упростите выражение:
ч х , а
ах ' б) ' 2а^ ’
777. Докажите неравенство а2 + 5>2а.
778. Пассажир проехал в поезде 120 км и вернулся с обратны!’ поездом, проходящим в час на 5 км больше. Определите скорость каждого поезда, если известно, что на обратный путь О7т затратил на 20 мин меньше.
779. При каком х значение функции, заданной формулой .'/ = х_2 . равно —1?
31. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Неравенство 5х—11„>3 при одних значениях переменной х обращается в верное числовое неравенство, а при других нет. Например, если вместо х подставить число 4, то получится верное неравенство 5-4—11>3, а если подставить число 2, то получится неравенство 5-2 —11 >3, которое не является верным. Говорят, что число 4 является решением неравенства 5х —11 >3 или удовлетворяет этому неравенству. Нетрудно проверить, что решениями неравенства являются, например, числа 100; 180; 1000. Числа 2; 0,5; —5 не являются решениями этого неравенства.
Определение. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство,
Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений иет.
Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.
При решении неравенств используются следующие свойства:
1)УЕсли из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.
/2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;
если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.
Например, неравенство
18 + 6х>0 (1)
равносильно неравенству
6х>—18, (2)
а неравенство 6х>—18 равносильно неравенству х> — 3. Указанные свойства неравенств можно доказать, опираясь на свойства числовых неравенств.
Докажем, например, что равносильны неравенства (1) и (2). Пусть некоторое число а является решением неравенства (1), т. е. обращает его в верное числовое неравенство 18 4-6а >0. Прибавив к обеим частям этого неравенства число —18, получим верное неравенство 18 +6а —18 >0 —18, т. е. 6а >—18, а это означает, что число а является решением неравенства (2).
Мы показали, что каждое решение неравенства (1) является решением неравенства (2). Аналогично доказывается, что каждое решение неравенства (2) служит решетки неравенства (1). Таким образом, неравенства (1) и (2) имеют одни н те же решения, т. е. являются равносильными.
Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств неравенств в общем виде.
Приведем примеры решения неравенств.
Пример 1. Решим неравенство 16х> 13х-|-45.
Перенесем слагаемое 13х с противоположным знаком в левую часть неравенства:
16х - 1 Зх > 4 5. ^/////////^^^
Приведем подобные члены: 15
Рис. Зб Зх>45.
Разделим обе части неравенства на 3: х> 15.
Множество решений неравенства состоит из всех чисел, больших 15. Это множество представляет собой числовой промежуток (15; + оо), изображенный на рисунке 36.
Ответ можно записать в виде числового промежутка (15; + оо) или в виде неравенства х> 15, задающего этот промежуток.
Пр имер 2. Решим неравенство lox—23 («+1)>2х 4-11.
Раскроем скобки в левой части неравенства:
15х — 23х — 23 > 2х-}-11.
Перенесем с противоположными знаками слагаемое 2х из правой части неравенства в левую, а слагаемое — 23 из левей части в правую и приведем подобные члены:
15х —23х —2х> 114-23,
— 10х>34.
Разделим обе части на — 10, при этом изменим знак неравенства на противоположный:
_____________
х<—3,4. -3,4
Рис. 37
Множество решений перавепетъ.о представляет собой промежуток (--<<•; 3,4), изображенный и;< рисунке 37.
Ответ; (— со; — 3,4).
При м с р 3. Решим нсраги ш?:тво ;-2.
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, т. е. на 6. Получим:
4-6—4б <2-6,
2x--3.v<12.
Отсюда
— х<12,
х> —12.
Ответ: (—12; 4-°о).
В каждом из рассмотренных примеров мы заменяли заданное неравенство равносильным ему неравенством вида ах >5 или ах<Ь, где а и b — некоторые числа. Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной.
В приведенных примерах мы получали линейные неравенства, в которых коэффициент при переменной не равен нулю. Может случиться, что при решении неравенства мы придем к линейному неравенству вида G-x>-b или 0-х<Ь. Неравенство такого вида, а значит, и соответствующее исходное неравенство либо не имеют решений, либо их решением является любое число.
Ь'1
6 Алгебра 3 г.л
Пример 4. Решим неравенство 2(х + 8)—5х<4—Зх.
Имеем:
2x4-16 — 5х<4 — Зх, 2х — 5x4- Зх< 4 — 16.
Приведем подобные члены в левой части неравенства и запишем результат в виде 0-х:
0-х< -12.
Полученное неравенство не имеет решений, так как при любом значении х оно обращается в числовое неравенство О < —12, не являющееся верным. Значит, не имеет решений и равносильное ему заданное неравенство.
Ответ: решений нет.
• 780. Является ли решением неравенства 5z/>2(z/—1)4-6 значение у, равное: а) 8; б) —2; в) 1,5; г) 2?
781. Какие из чисел —2; —1; —1,5; —0,3 являются решениями неравенства 12х4-4<7х—1?
782. Укажите два каких-либо решения неравенства 2х<
Х4-7.
783. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
а) х-}-8>0; б) х— 7 < 0; в) х 4- 1,5^0; г) х —0,4>0.
• 784. Решите неравенство:
а) Зх>15;
б) — 4х< —16;
в) —х^ — 1;
д) I2z/<1,8;
е) 275> 12;
ж) —6х>1,5;
и) 0,5у > — 4;
к) 2,5а>0;
г) llz/<33;
з) 15х<0;
. 1 с л) — х>6;
О
М) —ту< — 1.
• 785. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
а) 2х<17;
б) 5х> —3;
в) — 12х< -48;
г) —х<-7,5;
д) 30х>40;
е) — 15х<—27;
ж) —4x^ — 1;
з) 10х^ —24;
и) -|х<2;
к) —
л) 0,02х> —0,6;
м) — 1,8х<36.
• 786. Решите неравенство 5x4-1 >11. Укажите три каких-нибудь решения этого неравенства.
• 787. Решите неравенство Зх — 2 <6. Является ли решением
4 4
;>тог<> неравенства число 4; 2 — ; 2 — ? * о 7
• 788. Решите неравенство:
а) 7х —2,4<0,4; д) 17-х>10 —6х;
б) 1—5у>3; е) 30 + 5x^18 —7х;
в) 2х —17^—27; ж) 64 — Gy ^1 — у;
г) 2-За=О; з) 8 + 5у<2Ц-6у.
• - 789. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
а) Их—2<9; д) Зу — 1> — Ц-6у;
6)2 —3;7>—4; е) 0,2х —2<7 —0,8х;
в) 17 —х 11; ж) 6b — К12 + 7&;
г) 2 12г 1; з) 16х —34>х-|-1.
в 790. а) При к.иш:; .шачеинях х дау член 2х — 1 принимает положительные значения?
б) При каких значениях у двучлен 21—Зу принимает отрицательные значения?
в) При- каких значениях с двучлен 5 — Зс принимает значения, большие 80?
• • 791. а) При каких значениях а значения двучлена 2а—1 меньше значений двучлена 7 —1,2а?
б) При каких значениях р значения двучлена 1,5р— 1 больше значений двучлена 1 |-1,1р?
• 792. Решите неравенство:
а) 5(х-1) + 7<1-3(х + 2);
б) 4(а + 8)-7(а-1)<12;
в) 4(6—1,5)—1,2>6??—1;
д) 4х> 12 (Зх—1) —16 (х +1);
е) а-)-2<5 (2а-(-8) +13 (4 — а);
ж) бу — (у + 8) — 3 (2 — у)<2.
г) 1,7 —3(1 —— (ш - -1,9);
• 793. Решите неравенство:
а) 4 (2 —Зх)—(5 —х)> 11 —х;
б) 2(3-г)-3(2 + .г)^г;
в) 1 > 1,5 (4 - - 2а) | 0,5 (2 - 6а);
г) 2,5(2- у) 1,5 (у--4)- ,3-у;
д) х — 21'4,7 (.т.2)- 2,7 (х— 1);
е) 3,2 (а - 6)-- 1,2а 3 (а -8).
794. Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений:
а) а (а — 4) — а2 > 12 — 6а;
б) (2х—1) 2х — 5х<4х2 — х;
в) 5у2 — 5у (у + 4)>100;
г) 6а (а — 1)—2а (За—2)< 6.
795. Решите неравенство:
а) 0,2х2 —0,2 (х —6) (х + 6)> 3,6х;
б) (2х —5)2 —6,5х<(2х —1) (2х-|-1)—15;
в) (12х—1)(Зх + 1)<1+(6х + 2)2;
г) (4у - I)2 >(2у + 3) (8у - 1).
796. Решите неравенство:
а) 4Ь (1 — ЗЬ) —(Ь — 12Ь-)< 43; в) 2р (5р + 2)-р (10р + 3)< 14;
б) Зу2 —2у — Зу (у — 6)^ — 2; г) а (а — 1) — (а2-|-а)<34.
• 797. Решите неравенство:
а)
б)
в)
Зх-1 ~~г~
6 —X .
^<0;
18 ’
ч 12-7х^л ж)-^>0;
з) А(х+15)>4; О
И) 6<4<х + 4)-
• 798. Решите неравенство:
а)
б)
1<^;
г)
5 + 6х —2—>3, ^<0;
4
д) ix^2;
е) -£(х-4)<3.
799. При каких значениях у:
а) значения дроби ——— больше соответствующих значении 6
_ Зу — 7
дроби а ;
А - 4,5 —2у
б) значения дроби -----—- меньше соответствующих зна-
- 2 —Зу 5
чении дроби —;
в) значения двучлена 5у — 1 больше соответствующих зна-
чении дроби —-— ; . - 5 — 2и
г) значения дроби —меньше соответствующих значе-
ний двучлена 1 —бу?
• 800. Решите неравенство:
a>f+f<5’ в)т-Т>-3;
б)^—^->2; г) у+-^->3; е) ^-2х<0.
• 801. Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений:
а) 13х-1 2 <4х; в) 4 V/ н |ю 1
б) ^->2а; 4 г) 2у 5
802. Решите неравенство:
а) 3 + х , 2-х ..Q, г) X —
б) д) у — 2
в) у-2-^> е) Р- Р 1 Р Ч~ 3 Q 2 4
803. Решите неравенство:
2а - 1 За — 3 5х- -1 . х -J-1
а) 2 5 ’ в) 5 । 2
б) 2х-| 3 _х —1 Х 2 4 ’ r>V -^±1-У>2.
804. а) При каких значениях а сумма дробей 2а 1 и а— 1 о 4
—— положительна?
3,. п , - - ЗЬ —1 1 + 5Ь
б) При каких значениях о разность дробей —-— и —-— отрицательна?
805. Решите неравенство:
а) 31 (2x-j-l)—12х>50х; в) Зх-j- 7> 5 (х + 2) — (2х +1);
। л х 2х . 12х—1 . . о
б) х + 4 —; г) —т—< 4х — 3.
«> «> о
806. Функция задана формулой у— — 1,5х-|-7,5. При каких значениях х:
а) у = 0; б) {/>0; в) у<0?
807. При каких значениях х функция, заданная формулой у = 2x4-18, принимает положительные значения; отрицательные значения?
803. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: а) 72^4; г) ;
б) -у'4 —6о; д) л/_3(1_5д.);
в)Л7Ц^-; е) 746^7)?
809. Найдите:
а) наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству 1,6 —(3 —2у)< 5;
б) наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 8 (6-у)<24,2 —7г/.
810. При каких натуральных значениях п:
а) разность (2 — 2п) —(5п — 27) положительна;
б) сумма ( —27,1 4-Зп) + (7,14-5п) отрицательна?
811. Длина стороны прямоугольника 6 civ Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше периметра квадрата со стороной 4 см?
812. Длина основания прямоугольного параллелепипеда 12 дм, ширина 5 дм. Какой должна быть высота параллелепипеда, чтобы его объем был меньше объема куба с ребром 9 дм?
813. Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке не позднее чем через 3 ч. На какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения реки 2 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 18 км/ч?
Упражнения для повторения
814. Найдите значение дроби 1 5 при х=1—\/3.
815. Решите уравнение:
1Z 2
816. Решите графически уравнение —=х.
817. Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч 20 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения'реки равна 3 км/ч.
32. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Задача. Турист вышел с турбазы по направлению к станции, расположенной на расстоянии 20 км. Если турист увеличит скорость на 1 км/ч, то за 4 ч он пройдет расстояние, большее 20 км. Если он уменьшит скорость на 1 км/ч, то даже за 5 ч не успеет дойти до станции. Какова скорость туриста?
Пусть скорость туриста равна х км/ч. Если турист будет идти со скоростью (х + 1) км/ч, то за 4 ч он пройдет 4 (х +1) км. По условию задачи 4 (х + 1) >20. Если турист будет идти со скоростью (х—1) км/ч, то за 5 ч он пройдет 5 (х—1) км. По условию задачи 5 (х -1)«<20.
Требуется найти те значения х, при которых верно как неравенство 4(х + 1)>20, так и первенство 5 (х —1)<20, т. е. найти общие решения этих неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему неравенств, и используют запись
Г 4(х + 1)>20,
I 5(х—1)<20.
Заменив каждое неравенство системы равносильным ейу неравенством, получим систему:
Г х>4, I х<5.
Значит, значение х должно удовлетворять условию 4<х<5> Ответ: скорость туриста больше 4 км/ч, но меньп^б км/ч.
Определение. Решением стемы неравенств с одной переменной называется значении переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.
Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Пример 1. Решим систему неравенств ( 2х —1>6, 1 5 3х>-13.
Имеем: [ 2х>7,
1 - Зх> —18.
Отсюда
3,5, 6.
3,5
6
Рис. 38
Решениями системы являются
значения X, удовлетворяющие каждому из неравенств х>3,5 и х<6. Изобразив на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству х>3,5, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству х<6 (рис. 38), найдем, что оба неравенства верны при 3,5<х<6. Множество решений системы есть промежуток (3,5; 6).
Оувет можно записать в виде промежутка (3,5; 6) или в виде двойного неравенства 3,5<.г<6, задающего этот промежуток.
Пример 2. Решим систему неравенств:
Зх— 2 >25, 1 —х<0.
Имеем:
f Зх>27, i —х<—1;
9
множества решений неравенства верны 9
Изобразим на координатной прямой каждого из^еравенств (рис. 39). Оба при х > 9. Ответ можно записать в виде неравенства х или в виде числового промежутка (9; оо), задаваемого этим неравенством.
Пример 3. Решим систему неравенств
0.
Имеем:
- х > — 2 0,2х<1;
2
Рис. 40
| х < 2, I х<5.
Используя координатную прямую, найдем общие решения неравенств х<2 и х<5, т. е. пересечение множеств их решений (рис. 40). Мы видим, что пересечение этих множеств
I 6х —18>0.
Имеем:
Г —5х>10,
I 6х>18;
-2
Г х<—2,
I х>3.
Используя координатную прямую
состоит из чисел, удовлетворяющих условию х<2, т. е. представляет собой числовой промежуток ( — оо; 2).
Ответ: (— оо ; 2).
Пример 4. Решим систему неравенств
3 Рис. 41
(рис. 41), найдем, что
множество чисел, удовлетворяющих неравенству х<—2, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству х>3, не имеют общих элементов, т. е. их пересечение пусто. Данная система неравенств не имеет решений.
О т г- е т: решений нет.
Пример 5. Решим двойное неравенство
— 1<3 + 2х<3.
Двойное неравенство представляет собой иную запись системы неравенств:
ЗЦ-2х> — 1, 3 4- 2х < 3.
Решив ее, найдем, что оба неравенства верны при — 2<х<0.
В этом примере запись удобно вести так:
— 1<3-|-2х<3, — 4<2х<0, - 2 < х • 0.
С 818. Является ли число 3 решением системы неравенств: а) ( 6х—1>х, б) Г 7х 5х7, в) Г 5х-|-4<20,
I 4х— 32<3х; I Зх -1>5 — х; (3 —2х>—1?
О 819. Какие из чисел - 2; 0; 5; 6 являются решениями системы неравенств
Г Зх— 22 < 0,
I 2х —1>3?
• 820. Решите систему неравенств:
а) f х>17, в) ( х>0, Д) | х>—1, 1 х>12; " 1 х<6; х<3;
б) ( х<1, г) ( х< —3,5, е) Г х>8, t х<5; 1 х>8; t х<20.
• 821. Решите систему неравенств:
а) Г 2х—12>0, в) Г Зх—1О<0, 1 Зх<9; 'Д 2х>0;
б) Г 4у < — 4, г) Г 6j/^42, 1 5 —г/>0; 1 4i/ + 12<0.
• 822. Решите систему неравенств и укажите несколько чисел, являющихся ее решениями:
а) Г х — 0,8 >0, в) ( 1>3х, 1 —5х<10; 1 5х—1>0;
б) Г 2 — х<0, г) ( 10х<2, 1 х — 4<0; 1 х>0,1.
• 823. Решите систему неравенств:
а) (0,4х —1<0, в) Г 0,Зх>4, 12,3x25 4,6; 10,2x4-1 <6;
б) ( 0,7х —2,1<0, г) ( 4-х—10<0, < 1 ь 1 Тх>1; I Зх<1-4- V о
• 824. Решите систему неравенств:
а) / 0,6х + 7,2>0, в) j 0,2х<3,
15,2 2,6х; 1 1
к 6 ’
б) ( 1,5х 4- 4,5 < 0, г) ( 2х — 6,5 < 0,
• 825. Решите систему неравенств:
а) (2х—1<1,4 —х, в) Г 17х — 2>12х — 1, 1 Зх — 2>х — 4; 13 — 9х<1 — х;
б) |5х4-6<х, г) { 25 — 6х<44-х, 1 Зх4-12<х4-17; 1 Зх-|-7,7 > 14* 4х.
& 826. Решите систему неравенств:
а) [ 57 —7х>3х — 2, в) Г 102 —73z> 2z4-2,
i 22х—1 <2x4-47; I 814-llz^s 1Ц-z;
б) Г 1 - 12у<3у + 1, I 2 — бу > 4 4- 4г/;
г) Г 6 4-6,2хЗг 12- 1,8х, !• 2 — х^ 3,5 — 2х.
827. Укажите допустимые значения переменной:
a) -\/3 — 2x4- V1 — х;
б) д/х —-\/Зх — 1;
в) л/6-х-л/3х — 9;
г) д/2х 4-2-Ь "у 3 — 4х .
828. Решите систему неравенств:
а) ( 5(х — 2) — х>2, t 1-3(х —1)<—2;
б) f 2у — (у 4) < б, I у>3(2у->)4 18;
в) Г 7х4-3>5(х-4)4-1,
I 4x4-1^43-3 (74-х)-,
г) ( 3(2-3р)-2(3-2р)>р,
I 6- р'р (р- 8).
829. Решите систему неравенств:
а) Г 2(х — 1)~ 3 (х —2)<х,
I бх-3 - .17— (х—- 5);
б) Г 3,3-3 (1,2 — 5х)> 0,6 (10x4-1), I 1,6-4,5 (1х—1)< 2x4-26,1;
в) ( 5,8(1— а) — 1,8(6 — а) <5,
I 8-4(2 —5с) > -(5«-Ь6);
г) Г х (х—1)—(х‘— 10)< 1 — 6х,
I 3,5 — (х — 1,5) < 6 — 4х.
83Э. Решите систему неравенств и укажите все целые числа, которые являются ее решениями:
a) f 3 — 2а<13, в) Г 2 —6у<14,
I 5с<17; 11 <21 —5г/;
б) Г 12 —6x^0,
I 3x4-1^ 25-х;
г) Г 3 —4х< 15, I 1 —2х>0.
831. Найдите целые решения системы неравенств:
а) ( У ^О, 17,2 ~у ^4;
б) Г 12а-37 > 0, I 6а^С42;
в) ( 6 —4Ь>0, I ЗЬ- 1 >0;
г) Г 3 —18х<0,
I 0,2 —0,1х>0.
332. Решите систему неравенств:
а) . 2,5а - 0,5 (8 - а) < а +1,6, 1,5 (2а-1)-2а<а + 2,9;
б) ; 0,7 (5а + 1)— 0,5 (1 + а)< За, 2а-(а-1,7) >6,7. 833. Решите систему неравенств:
а) f т+т<7’ в)( 2 *<2’ 1 1—-|->0; t 2х-^->1;
б) ( Г) / 2р ^>4, 1 т<5; 1 f-f <6- 834. Решите систему неравенств:
а) < ь- К ‘ h * । to у 1—4 V * о " 1 СО Л ьо • CD <—* <1 » 1 \V~ “I ® w «г
б) 1 • Зх+1 ч 5а + 8 2 -1’ г) ( з а>2а, X 1 J < 2 1,6-154^ ( ! 4 >а. 835. Решите двойное неравенство:
а) б) -3<2х — 1 <3; в) 2<6 —2z/<5; — 12<5 —х<17; г) —l<5z/ + 4<19
• 836. Решите двойное неравенство и укажите три числа, являющиеся его решениями:
а) - 6,5 20,5;
б) -1<^<5; и
В) -2<^<0;
г) -2,51,5.
• 837. Решите двойное неравенство:
а) — 1<15х + 14<44;
в) — 1,2< 1 — 2z/<2,4;
б)
— 1^5—а ;
О
г) -2<^-^<0. О
838. а) При каких у значения двучлена Зу — 5 принадлежат промежутку (— 1; 1)?
б) При каких b значения дроби — принадлежат промежутку [ — 2; 1]?
839. Решите систему неравенств:
а) р>8, б) ( у<—1, в) ( т>9, s х>7, р<;_51 < т >10,
I х>—4; ( г/<4; I т<12;
9 < 6,
9 <5, 9<1.
840. Решите систему неравенств:
х —4<8, 2х+5<13, 3 —х> 1;
б) Г 2х— 1<х + 3, < 5х—1>6— 2х, I х —5<0.
841. Решите систему неравенств:
а) 3 - 2а- 13, а —1 . 0,
, 5а — 35-<0;
'6 — 4л < 2, < G а > 2, . За—1<8.
Упражнения для повторения
842. Укажите допустимые значения переменной:
. 712-25х ,.1 . 4х
а 6 ’ д/Ьх-П ’ б) * В Л/(Зх-2)2'
843. Найдите все натуральные значения п, при которых зна-- 9,г-| 12п |-12
чение дроби------------натуральное число.
844. а) Выразите переменную h через S и а, если S = -^-ah.
Л
б) Выразите переменную р через s и т, если — =0,5 т. р
в) Выразите переменную t через s и а, если s = и t>0.
845. Велосипедист проехал 20 км по дороге, ведущей в гору, и 60 км по ровной местности, затратив на весь путь 6 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на каждом участке пути, если известно, что в гору он ехал со скоростью, на 5 км/ч меньшей, чем по ровной местности?
Контрольные вопросы
1. Изобразите на координатной прямой числовые промежутки различного вида и запишите их обозначения.
2. Что называется решением неравенства? Является ли решением неравенства Зх— 11 > 1 число 5; число 2? Что значит решить неравенство?
3. Сформулируйте свойства равносильности, которые ис
пользуются при решении неравенств.
4. Что называется решением Системы неравенств? Является
ли решением системы неравенств
2х +1 > 3, „
„ ' _ число 3; число 5?
Зх< 10
Что значит решить систему неравенств?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
К параграфу 11
846. Сравните числа тип, зная, что разность т — п равна: а) (- 2,7)'5; б) (-- 3,1):;й.
847. Докажите неравенство:
а) (бу- 1) (у + 2)<(32/ + 4)(2г/ + 1);
б) (Зу-1)(2у + 1)>(2у-1)(2 + Зу).
848. Верно ли при любом значении а неравенство:
а) (а —8)2>0; в)—а2-2<0; д)(5 — а)2^0;
б)а2Д-1>0; г) -а2<0; е) -(а-3)2<0?
849. Докажите неравенство:
а)(х + 1)->4х; б) (36-|-I)2 > 66; в) 4 (х4-2)<(х + 3)2-2х.
850*. Докажите неравенство:
а) а2Д-62 + 2^2 (аД-6); б) а2 + Ь2+ с2+ 3^2 (а + b+с).
851*. Докажите, что при а>3 значение выражения / а — 3________________о 3\ / - ._3\
отрицательно. \o-t-3 а — 3/\ а)
852*. Докажите, что при у>1 значение выражения
Г-1-3 2. I 1 у-3 \
у — 1 У \ уг — у у 2 — 1/
положительно. я я
853*. В каком случае катер затратит больше времени: если он пройдет 20 км по течению реки и 20 км против течения или если он пройдет 40 км в стоячей воде?
854*. Докажите, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.
855*. Сравните площадь квадрата со стороной 10 см с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр.
856*. Используя выделение из трехчлена квадрата двучлена, докажите неравенство:
а) х2 + 2х + 2>0; в) a2-\-ab 4- Ь2^0;
б) у2 — 6z/-|-10>0; г) а2 — аЬ Ь2^0.
857*. Докажите, что при а > 0 и Ъ > 0 верно неравенство
858. Пусть а, Ь, с и d — некоторые числа, причем а >6, с< b и c>d. Сравните числа а и с, Ъ и d.
859. Расположите в порядке возрастания числа а+ 5, а — 7, а 4-1.
860. Докажите, что если а > Ь, то: а)а4-5>54-3; 6)1 — а<2 — Ь.
861. Докажите, что если а • b ' > 0, то:
а) 5а?' 4Ь; в) 4а-?—2Ь;
6) 17а?'12b; г) — 5а<? —1,26.
862. Докажите, что:
а) если а- b и с — произвольное число, то аД-с'^Ь-Ьс» б) если а-^b и с — положительное число, то ас^Ьс;
в) если а^Ь и с — отрицательное число, то ас^Ьс.
863. Верно ли, что если а > Ь, то а — 1 > 6 — 1, 1 —а > 1 — Ь, 5—а-... 5 6?
864. Известно, что 12 У 16. Оцените значение выражения:
а) — 0,5г/; б) 42 — 2у, в) — 4*2. У
865. Оцените значение выражения: а)а4-2Ь, если 0<а<1 и —3<Ь<—2; б) -^-а — Ь, если 7<а<10 и 14<Ь<15.
866. Оцените длину средней линии треугольника АВС, которая параллельна стороне АВ, если 10,4 < АВ < 10,5.
867. Докажите, что:
а) если a<Zl> и c^d, то а4-64*^5
б) если 0 а .Ь и 0 sj с d, то ас bd.
868. Оцените длину средней линии трапеции с основаниями а см и с см, если 3,4 га ? 3,5 и 6,2 ??с^6,3.
К параграфу 12
869. Укажите все целые числа, принадлежащие промежутку:
а) [-4; 4]; б) (-2,5; 7); в) (4,2; 8,5); г) (-4; 3).
870. Существует ли целое число, принадлежащее промежутку:
а) [-1,8; -1,6]; б) [-3,7; -2,7]?
871. Укажите какое-либо число, принадлежащее промежутку:
а) (2,4; 2,8); б) ( —3,8; - 3,1); в)(3,5;3,6); г) ( — 0,2; -0,1).
872. Принадлежит ли промежутку [8; 41) число 40,3? Можно ли указать число, большее чем 40,3, принадлежащее этому промежутку? Существует ли в промежутке [8; 41) наибольшее число; наименьшее число?
873. Принадлежит ли промежутку (7; 17] число 7,01? Можно ли указать число, меньшее чем 7,01, принадлежащее этому промежутку? Существует ли в промежутке (7; 1'7] наименьшее число; наибольшее число?
874. Укажите, если возможно, наименьшее и наибольшее '.пело, принадлежащее промежутку:
а) [12; 37]; б) [8; 13); в) (11; 14); г) [3; 19).
875. Верно ли, что:
а) (-5; 5)П( —3; 2)=(-3; 2);
б) (4; U)U(0; 6) = (4; 6);
в) (—оо; 4)U(.L; оо) = (— оо ; -{-оо);
г) (—оо ; 2)р(—2; -|-со) = (—2; 2)?
876. Найдите пересечение и объединение:
а) множества целых чисел и множества положительных чисел;
б) множества рациональных и множества иррациональных чисел.
877. Является ли число 4,99 решением неравенства х<5? Укажите какое-нибудь число, большее 4,99, удовлетворяющее этому неравенству.
878. Является ли число 3,01 решением неравенства х>3? Укажите какое-либо число, меньшее 3,01, удовлетворяющее этому неравенству.
879. Решите неравенство:
а) 0,01 (1 — Зх)> 0,02x4-3,01;
б) 12 (1 - 12х)4- ЮОх > 36-49х;
в) (0,6у — 1) —0,2 (Зу-|-1)<5у — 4;
г) -}(6Х4-4)—^-(12х-5)<4-6х;
д) (За4-1) (а — 1) — За2 > 6а4-7;
е) 15х2 — (5х — 2)(3х4-1)<7х — 8.
880. При каких значениях а верно неравенство:
881. Решите неравенство:
. х —0,5 . х —0,25 . х- 0,125 п -..5-х 1-х. .
*)-<-+—------Ь—8—-----------------------2->]
882. Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству:
а) 3(5 — 4х)4-2 (144-х)>0; б) (х4-1) (х—1) —(х2 —Зх)< 14.
883. При каких значениях х:
. - Зх—8 -
а) значение дроби —больше соответствующего значе-
- X — 1
ния дроби —— ;
у _L
б) значение дроби —меньше соответствующего значения — 2х -р 3 л
дроби —— ?
884. Решите неравенство:
а) 2 (4у-1)-5у <3у 4- 5; б) 6 (1 - у)-8 (Зу + 1)4- 30г/ >-5.
885*. Найдите, при каких значениях а уравнение имеет положительный корень:
а) Зх = 9а; б) х-|-2 = а; в) х — 8 = За-)-1; г) 2х —3 = а-)~4.
886*. Найдите, при каких значениях b уравнение имеет отрицательный корень:
а) 10х = 35; в) Зх-1 = 54-2;
б) х —4 = 5; г) Зх —3=55 —2.
887*. При каких значениях т верно равенство:
а) \2т — 16|=2т—16; в) |m-f-6| = —т— 6;
|12 —6zn|_« ЦОтп-351 _
J 12-6/n ’ ' Ют —35
888. Найдите промежутки, в которых функция у=— 6х+ + 12 принимает положительные значения, отрицательные значения. Ответ проиллюстрируйте на графике.
889. Для премирования 12 пионеров надо купить краски и карандаши. Набор красок стоит 50 к., набор карандашей стоит 20 к. Сколько наборов красок следует купить, чтобы стоимость покупки не превысила 4 р.?
890. С турбазы в город, отстоящий на расстоянии 24 км, вышел турист со скоростью 4 км/ч. Спустя 2 ч вслед за ним отправился второй турист. С какой скоростью должен идти второй турист, чтобы догнать первого до его прихода в город?
891. От деревни до совхоза 20 км, а от совхоза до станции 40 км (рис. 42). Из совхоза по направлению к станции выехал
40 нм
20 нм
Деревня Совхоз
В-———
Станция
Рис. 42
велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно из деревни на станцию через совхоз по той же дороге отправился мотоциклист. С какой скоростью должен ехать мотоциклист, чтобы догнать велосипедиста до его приезда на станцию?
892. При каких значениях а система неравенств
х>3, х<а
не имеет решений?
893. Решите систему неравенств:
4х> 1, 5х>0, х>9;
х<0, — х> —1, 4х<8;
в) f — х < 3, г) Г Зх > — 9, < 2х>10, < х<—2,
( х<—10; 2х>10.
894. Докажите, что система неравенств не имеет решений:
и) I г: | КО, в) Г 6х<0,
(Зх —1>0; 13х>0;
б) I 2х —4>2х —1, г) Г Зх + 5>0,
t 5х>0; I 3x4-5 <0.
895. Решите систему неравенств:
а) Г О,3х — 1<х + 0,4, г) | 3(х—2)(х + 2)-Зх2<х,
12 —Зх<5х + 1; I 5х —4>4 —5х;
б) Г 2,5х — 0,12> 0,6x4-0,07, д) ( (х-4) (5х — 1) — 5х2>х4-1, 11 — 2х>—х — 4; I Зх — 0,4<2х — 0,6;
\ ✓ о I -1 л Зх — 7 в) 2x4-1,4 < —,
9у 2х>3~4 ;
5
. 1 + х 2х— 1
’ 3 >—6
Зх -4>4.
4
896. Найдите целые решения системы неравенств:
а) Г 6х (х — 1) — Зх (2х —1) < х,
I 0,5х —3,7<0,2х —0,7;
б) Г 0,7х — 3 (0,2х4-1)<0,5х4-1» I 0,3 (1 — х) 4- 0,8х 4- х 4” 5,3;
в) Г -|-(Зх-2)4---(12x4-1)>0, { 4(14х-21)+4(9х-6)<0;
г) ( 0,2 (5х — 1)4-4(3х + 1)<х + 5-8’
| 8х — 7—|-(6х — 2)>х.
897. Решите двойное неравенство:
а) —9<3х<18; в) 3<5х —1<4;
б) 1<^<2; г)0<1^<1.
898. а) При каких х значение выражения 2х — 4 принадлежит числовому промежутку (—1; 5)?
х5
б) При каких х значение дроби —— принадлежит числовому промежутку [0; 5]?
в) При каких х значения функции у = —х + 8 принадле-О
жат промежутку ( — 1; 1)?
г) При каких х значения функции у =—2,5ж-|-6 принадлежат промежутку [—2; —6]?
899. Найдите положительные значения у, удовлетворяющие системе неравенств:
а) Г 3 (у —1) —4(у + 8)<5 (у + 5),
I 1,2(1 + 5г/)-0,2<5(1-3У)-Зг/;
б)Г 15 (у — 4) —14 (у — 3)<у (у — 9) — у2,
I ^-У>14-^;
в)| (2у-1)(3У + 2)-6у(у-4)<48,
I У~1 6У+1 1
I 8 4 '
900. Найдите отрицательные значения у, удовлетворяющие системе неравенств:
а)( б) Hy + 6)(5-y)+y(y-l)>0,
J I 0,Зи(10г/ + 20) —Зу2 + 30>0.
1 1-Ц^<0; \ о
901*. Смешали 12 кг ириса и 10 кг карамели. Килограмм ириса стоит 1 р. 60 к., а стоимость 1 кг смеси больше 1 р. 40 к., но меньше 1 р. 80 к. Какова стоимость 1 кг карамели?
902*. Если туристы будут проходить в день на 5 км больше, то они пройдут за 6 дней расстояние, большее 90 км. Если же они будут проходить в день на 5 км меньше, то за 8 дней они пройдут расстояние, меньшее 90 км. Сколько километров в день проходят туристы?
Efssssa Ей El E3SEB ЕЗЁШЙбВ
QSSQS
Глава V.
СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
§ 13. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЕ СВОЙСТВА
§ 14. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 13. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЕ СВОЙСТВА
33. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ С ЦЕЛЫМ ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
В справочной литературе молено найти сведения о том, что масса Солнца равна 1,985-10” г, а масса атома водорода 1,674-10 г. Запись 10” означает произведение тридцати трех множителей, каждый из которых равен 10. А каков смысл записи 1О 24?
Выпишем последовательно степени числа 10 с показателями 0, 1, 2 и т. д. Получим строку
10°, 10', 102, 103, ... . (1)
В этой строке каждое число меньше следующего за ним в 10 раз. Продолжая строку (1) по тому же закону влево, перед
1 по 11 1
числом 10 следует написать — = —, , перед числом —,—
11 1 1 т-г
число 7оо = 7о2» перед числом —число и т. д. Получим:
-,^3, 10°, 10', 10’, 10\ .... (2)
В строке (2) справа от числа 10° показатель каждой степени на 1 меньше показателя следующей за ней степени. Распространяя этот закон на числа, стоящие слева от числа 10°, их записывают в виде степени числа 10 с отрицательным показателем. Вместо —। пишут 10“', вместо пишут 10“2, вместо пишут 10“ * 1 11 и т. д. Получают:
..., 10“3, 10 2, 10“10°, 10', 102, 103.....
Итак, 10 1 означает ^>10 2 означает -^2, 10 3 означает 1 _ „ —з и т. д. Такое соглашение принимается для степеней с
любыми основаниями, отличными от нуля.
Определение. Если а =#О и п — целое отрицательное число, то
1 д =-----_
а-п тт - с-2 1 1
Пользуясь этим определением, найдем, что 5 ;
о м
Выражение 0" при целом отрицательном п (так же как и при п = 0) не имеет смысла. Напомним, что при натуральном п это выражение имеет смысл и его значение равно нулю.
Вернемся к примеру, рассмотренному в начале пункта. Теперь мы знаем, что запись 1,674* 10~24 г, выражающая массу атома водорода, означает:
1,674*10-24 г= 1,674г = 1,674:1024 г = 0,000...01674 г.
24 нуля
• 903. Замените степень с целым отрицательным показателем дробью:
а) 10-6; в) а-1; д) (аЬ)-3;
б) 9~2; г) ж"20; е) (а + Ь)-4*
• 904. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:
. 1 -.1 . 1 . .1 . 1
а>102’ б)б^; г)т*; Д>Т-
905. Представьте числа:
а) 8, 4, 2, 1, и -i- в виде степени с основанием 2;
б) ,L -, -i, 1. 5, 25, 125 в виде степени с основанием 5.
IZo Zo о
906. Представьте числа:
a) ту. уу, 4*, 1, 3, 9, 27, 81 в виде степени с осно-OX Z । У о
ванием 3;
б) 100, 10; 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 в виде степени с основанием 10.
о 907. Вычислите:
п) 4
б) ( -З)~3;
в) (-1)-9;
и) 0,01~2;
к) 1,125~'.
г)(-1)-20;
е 908. Найдите значение выражения:
а) -10-"; в) (-0,8)~2;
б) — 0,2-3; г) (— 0,5)“ 5;
© 909. Вычислите:
а) ( —4)-3; В)(-4)~2;
6)2,5-'; г) (14) 3;
\ /
д) — ( —2)-3;
е) -(-З)-2.
Д) — 0,4-4;
910. Сравните с пулом значение степени:
а) 9-Г); 6)2,6 4; в) ( 7,1) г) ( — З,9)~3.
911. Верно ли, что:
а) если о 1'0 и п — целое число, то нп>0;
б) если «СО и п — четное отрицательное число, то ап>0;
в) если а < 0 и п — нечетное отрицательное число, то ал<0?
912. Найдите значение выражения хр, если:
а) х= 7, р= — 2; в) х = 2, р= — 6;
б) х = 8, р--—1; г) х ——9, р = 0.
913. Какое значение принимает выражение —хр, если: а)х= —1, р= — 2; в) х = 2, р= — 1;
б) х = 0,5, р= — 2; г) х = 0,5, р= — 5?
914. Найдите значения выражений хп и х~п, если:
а) х=4» п~—2; б) х= —1,5, п = 3.
915. Найдите значение выражения: ,
а) 8-4-’; г) 10-(—ж) 0,5"2 + (4)
б) -2-Ю-5; д) 3-24-4-‘; з) 0,3°+0,1-4;
в) 18-(-9)-1; е) 2-3 —( —2)-4; и) (-2,1)°-(-0,2)-3.
916. Вычислите:
а) 6.12-’; в)6-*-3-2; д) 12—(-j-) *.
б) -4-8-2; г) 1,3°—1,3-*; е) 25 + 0,1-2.
• 917. Представьте выражение в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем:
а) Зх5; в) 5аЬ-7; д) х_|с-3; ж) 2(х4-г/)-4;
б) х-4г/; г) 5(ab)~7; е) — 9yz~Bi з) 10х_| (х —г/)-3.
• 918. Используя отрицательный показатель, представьте в
виде произведения дробь:
. 3 2ав . а)^; в)^; Д) ж) 2а .
(а-2/ ’
х . .а5 б) у, г)^; е) (а + &)2 - Ъ'с4 • 3) (с + Ь)5 2(а—&)* ‘
919. Представьте в виде дроби выражение: а)а“2+Ь-2; в) (а + Ь_|)(а_| — Ь);
б) ху-'+ху-2-, г) (х — 2у~1)(х~1-\-2у).
920. Преобразуйте в дробь выражение:
а) (а-14-Ь_|)(а-(-Ь)_|; б) (а — Ъ)~2 (а~2— Ь-2).
Упражнения для повторения
921. Округлите каждую из дробей 8,175; 0,4361 и 52,25 до десятых. Найдите абсолютную погрешность.
922. Турист проехал на велосипеде 28 км по шоссе и 25 км по проселочной дороге, затратив на весь путь 3 ч 36 мин. С какой скоростью ехал турист по проселочной дороге, если известно, что по шоссе он ехал в 1,4 раза быстрее?
923. Решите неравенство:
а) (2х—1) (2x4-1) —4х (х4-6)<х —6;
б) (6х-1)2- 12х (54- Зх)<8,2.
924. В каком промежутке функция у — —5х —10,15 принимает отрицательные значения?
34. СВОЙСТВА степени с целым показателем
Известные вам свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем (нужно только предполагать, что основание степени не равно нулю). А именно: для любого а=/=0 и любых целых тип ат-ап=ат+п, (1)
ат:ап = ат-п, (2)
(ат)п = атп-, (3)
thin, любых a =7^=0, &=/=0 u любого целого n (ab')n = anbn,
(4)
(5)
Эти свойства можно доказать, опираясь на определение степени с целым отрицательным показателем и свойства степени с натуральным показателем.
Докажем, например, справедливость свойства (1) (основного свойства степени) для случая, когда показатели степеней — целые отрицательные числа. Иначе говоря, докажем, что а~'! •а~р = а~к~р, где а=#0, k и р— натуральные числа.
Имеем:
Заменяя степени а к и а р дробями —г и — и дробь степенью а 1 р>, мы воспользовались определением степени с целым отрицательным показателем. Заменяя произведение акар степенью и.к 1 мы использовали основное свойство степени с натуральным показателем.
Из свойств степени вытекает, что действия над степенями с целыми показателями выполняются по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями.
Пример 1. Преобразуем произведение а~17-а21.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают. Имеем: c-i7 2i= -174-21
Пример 2. Преобразуем частное Ь2: д5.
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Имеем:
&2: Ь5 = ь2-5 = &-3
Для степеней с натуральными, показателями мы! могли применять правило деления степеней с одинаковыми, основаниями в том случае, когда показатель степени делшл'рго^ыл не меньше,' показателя степени делителя. Теперь, послеТгбедония степеней с целыми показателями, это ограничение снижается: шн$я’за-тели степеней делимого и делитеЛя могут быть любыЛпгтХёлыми числами.
Пример 3. Упростим выражение (2a3J>~5)-2.
При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают. При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.
Имеем:
(2a3b-5)-2 = 2-2.(a3)-2(b-5)-2 = -^a-6b10.
• 925. Найдите значение выражения:
а) 3-4-36; г) 2‘°:212; ж) (2"4)-1;
б) 24-2-3; д) 5~3:5“3; з)(52)“2-53;
в) • IO3-10-5.10-6; е) 3~4:3; и) 3~4-(З-2)-4 926. Вычислите:
а) 5-'5-51С; в) 4"8:4-9; д) (2"2)"3;
б) (4)-(4)’= '>(4)Ч4У=
927. Докажите, что степени любого отличного от нуля числа с противоположными показателями взаимно обратны.
\ ~' л / ь \л
— 1 =[ —) при любом целом п,
а^=и и 0^?= и.
• 929. Вычислите:
> (4)”=
(4)";
в) 0,01-2;
д) 0,002-';
Н4Г-
930. Докажите, что если а и Ъ — положительные числа и а> Ъ, то а-1 < Ь~‘.
931. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение:
а) 27-З4; в) 9-2:3-°;
б) (3-')5-812; г) 81’3:(9~2)-3.
932. Представьте выражение в виде степени с основанием 2 и найдите его значение:
а)Л.210; б) 32.(2~4)2; в)8-'-43; г)45.16"2.
933. Представьте в виде степени с основанием 5 выражение, в котором т — целое число:
a) 5m.5m + ,.5,-m; б) (5m)2-(5-3)m; в) 625:б4"-2.
ж) -йзГ:
3)
934. Вычислите:
«>» 2-43; в) 10°:10-3; д) 1
6) 9“6-27s; г) 125~4:25~5; е) ;8~6 .
935. Найдите значение выражения:
а)125-‘-252; в) (62)6:614; д) ;
б) 16-3-46; г) 12°:(12-‘)2; е)
)
936. Представьте какими-либо тремя способами выражение х"10 в виде произведения степеней.
937. Представьте выражение а12, где а#=0, в виде степени: а) с основанием а4; б) с основанием а-6.
938. Представьте d виде степени с основанием х:
а) я11’:»12; в) х" ':х ”, где п — целое число;
б) я°:х-5; г) х°:х" 1 2, где п — целое число.
• 939. Упростите выражение:
а) 1,5аЬ ''-(за ~Ь; г) 3,2х“'y~s--^-xy;
О
3 — — 2„4 о —3„—2. 1 1„ — 3 1 _2„ — 5.
б) — m л -8m л , д) -g-p q "~qP 7 »
в) 0,6c2d4•-i-c-2d-4; e) 3-i-a5b-18•O,6a-1&20.
d d
940. Найдите значение выражения:
a) 0,2a“2b4-5a'b 3 при a=— 0,125, b = 8;
6)-^a_|b~5-81a2b4 при a=-y, b=='H‘
941. Упростите выражение и найдите его значение:
а) 1,6х“'г/|2«5я31/~11 при х—— 0,2, г/ = 0,7;
б)-f-x73z/3-3Ox3f/4 при я=127, у=-±г-
• 942. Представьте степень в виде произведения:
а) (а-1Ь-1)-2; в) (0,5а-3Ь5)-12; д) (-|-р_2д2) 3;
б) (х3у'~‘)2; г) (—2т5л-3)2; е) ( —0,5х-3у4)3.
• 943. Преобразуйте в произведение:
а) (6а-ьЬ) в)
бГ^а-'Ь'1)’ г) (-0,Зх“5у4)-2.
944. Представьте в виде степени произведения выражение: а) 0,0001х~4; в) 0,0081а8Ь-12;
б) 32у~5; г) 10пх_2пу3п, где п — целое-число.
945. Упростите выражение:
а) 12х~5 у . у~G 36x 'J ’ в) 5х'и3 9 х6
3 У-2 ’
б) 63а2 18&2 . г) 16р ‘<72 25р°
21> 5 7а ’ 5 64g-’
946. Преобразуйте выражение:
a) 13х-2 у12 . В) р 15с
У 39х"‘’ Зс 2 р 2 у
б) 5а5 763 г) 26х17 У
Ь"7 25а ’ у- 13х25
947. Упростите выражение:
а) (0,25х-^-3)2-(^-) 3;
в) (iw) ’-(ЭЛ2) 2; Ш’з-т2.
948. Преобразуйте выражение:
а) (тЯ)’’-12^
б) 4а7 Ь~1 ‘(у)~
в) (2а-263)2.(-0 6;
г) (?0
Упражнения для повторения
949. С помощью линейки с миллиметровой шкалой получили приближенные значения длин отрезков в сантиметрах. Оцените абсолютную и относительную погрешности приближенного значения, если: а) АВ» 7,2; б) MZV»0,2.
950. Для того чтобы подняться в гору по тропе длиной 9 км и спуститься по той же тропе обратно, пионерам потребовалось 5 ч. С какой скоростью шли пионеры при подъеме в гору, если известно, что на обратном пути их скорость возросла в 1,5 раза?
951. Существует ли такое значение а, при котором значение выражения:
a) g_1 равно 2; б) — равно 2?
952. Решите систему неравенств:
. ( 2х х— 1 1 ~\( Зх + 1 2 — 6х
п)( -5----з->1, б) Г —------— <0,
( 3,6х<1+2,6х; [ 4,2х<2,2х + 5.
953. Сравните с нулем значение выражения:
. 4-V5 —V30 а) - У- ;
б) г.
V70—2 V8
35. СТАНДАРТНЫЙ ВИД ЧИСЛА
В науке и технике встречаются как очень большие, так и очень малые положительные числа. Например, большим числом выражается объем Земли — 1 083 000 000 000 км3, а малым — диаметр молекулы воды, который равен 0,0000000003 м.
В обычном десятичном виде большие и малые числа неудобно читать и записывать, неудобно выполнять над ними какие-либо действия. В таком случае полезным оказывается представление числа в виде а-10", где п — целое число. Например :
125 000 = 0,125- 10е; 0,0031 = 3,1 • 10“3; 0,237 = 23,7-10 ’2.
Представим каждое из чисел 1 083 000 000 000 и 0,0000000003 в виде произведения числа, заключенного между единицей и десятью, и соответствующей степени числа 10:
1 083 000 000 000 = 1,083• 1012;
0,0000000003 = 3 • 10“,0.
Говорят, что мы записали числа 1 083 000 000 000 и 0,0000000003 в стандартном виде. В таком виде можно представить любое положительное число.
Стандартным видом числа а называют его .запись в виде а-10", где 1^а<10 и п — целое число. Число п называется порядком числа а. Например, порядок числа, выражающего объем Земли в кубических километрах, равен 12, а порядок числа, выражающего диаметр молекулы воды в метрах, равен —10.
Порядок числа дает представление о том, насколько велико или мало это число. Так, если порядок числа а равен 3, то это означает, что 1000 а < 10 000. Если порядок числа а равен — 2, то 0,01^ а <0,1. Большой положительный порядок показывает, что число очень велико. Большой по модулю отрицательный порядок показывает, что число очень мало.
Пример 1. Представим в стандартном виде число а = = 4 350 000.
В числе а поставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна цифра. В результате получим 4,35. Отделив запятой 6 цифр справа, мы уменьшили число а в 106 раз. Поэтому а больше числа 4,35 в 106 раз. Отсюда
а = 4,35-106.
Пример 2. Представим в стандартном виде число а = = 0,000508.
В числе а переставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна отличная от нуля цифра. В результате получится 5,08. Переставив запятую па 4 знака вправо, мы увеличили число а в 104 раз. Поэтому число а меньше числа 5,08 в 104 раз. Отсюда
а = 5,08:104 = 5,08 • ^4= 5,08 • 10“4.
Пример 3. Разделим 1,701-Ю3 на 3,78-10~2:
(1,701 • 103):(3,78- 10 2).
Умножив числитель и знаменатель дроби на 102 и разделив 1,701 на 3,78, получим:
з^я110-* =°’45 •105 = 4’5 •1()4-
Оу I и * 1U
• 954. Назовите порядок числа, представленного в стандартном виде:
а) 1,2-109; в) 2,7-10-3; д) 4,42-105;
б) 3,6-103; г) 6,3-10-1; е) 9,28-10-4.
• 955. Запишите в стандартном виде число:
а) 52 000 000; в) 675 000 000; д) 0,00281;
б) 2180 000; г) 40,44; е) 0,0000035.
• 956. Запишите в стандартном виде:
а) 45-Ю3; б) 117-Ю5; в) 0,74-Ю6; г) 0,06-105.
• 957. Представьте число в стандартном виде:
а) 1 024 000; в) 21,56; д) 0,000004; ж) 508-10~7;
6) 6 000 000; г) 0,85; е) 0,000282; з) 0,042 -102.
958. Масса Земли равна 6 000 000 000 000 000 000 000 т, а масса атома водорода 0,000 000 000 000 000 000 0017 г. Запишите в стандартном виде массу Земли и массу атома водорода.
959. Выразите:
а) 3,8• 103 т в граммах; в) 8,62* 10“1 кг в тоннах;
б) 1,7-10“4 км в сантиметрах; г) 5,24-105 см в метрах.
960. Представьте:
а) 2,85 -108 см в километрах; в) 6,75-1015 г в тоннах;
б) 4,6-10~2 м в миллиметрах; г) 1,9»10“2 т в килограм-
мах.
• 961. Выполните умножение:
а) (3,25-102)-(1,4-103); б) (4,4-10-3)-(5,2-104).
• 962. Выполните деление:
а) (9,9-102): (1,2-10- '); б) (1,23-10 3): (4,8-10"2).
• 963. Выполните действие:
а) (2,5-10 ~3)-(8,4-104); б) (3,6 • 105):(2,4-102).
964. Какой путь пройдет свет за 2,8-10° с (скорость света равна 3-105 км/с)?
965. Масса Земли 5,98 *1024 кг, а масса Марса 6,4-1023 кг. Что больше: масса Земли или масса Марса — и во сколько раз? Результат округлите до десятых.
966. Масса Юпитера 1,90-1027 кг, а масса Венеры 4,87-1024 кг. Что меньше: масса Юпитера или масса Венеры — и во сколько раз? Результат округлите до единиц.
967. Плотность железа 7,8-103 кг/м3. Найдите массу железной плиты, длина которой 1,2 м, ширина 6-10~' м и толщина 2,5-10-' м.
Упражнения для повторения
968. Поезд был задержан на 15 мин. Чтобы прибыть на станцию по расписанию, он на оставшемся участке пути в 120 км шел со скоростью, в 1,2 раза большей, чем по расписанию. С какой скоростью прошел поезд эти 120 км?
969. Найдите значение выражения l,5x~3J/2-6,2x4y' ', если: а) х = 5,5, у = 0,84; б)х=—0,6, у = — 3,2.
970. Упростите выражение:
971. Рещите неравенство:
а> 4 (3х-4)+х>1-4(4~10х):
б) 2(3у —1) —-1(4У + 1)<4(у-3) + 4.
972. При каких значениях х имеет смысл выражение
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение степени с целым отрицательным показателем.
2. Сформулируйте свойства произведения и частного степеней с одинаковыми основаниями и целыми показателями.
3. Как возвести степень в степень?
4. Как возвести произведение и частное в степень?
5. Какую запись числа называют его стандартным видом?
6. Покажите на примере, как представить число в стандартном виде.
§ 14. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
36. ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ
Приближенные значения обычно записывают так, чтобы по записи можно было судить о точности приближения. Рассмотрим некоторые способы записи приближенных значений чисел.
Например, на рулоне обоев написано, что его длина равна 18 ±0,3 м. Эта запись означает, что длина рулона равна 18 м с точностью до 0,3 м, т. е. что точное значение длины I (в м) может отличаться от приближенного значения, равного 18, не более чем на 0,3:
18 —0,3</<18-|-0,3, 17,7 </<18,3.
В математических таблицах и справочниках приближенные значения записывают так, чтобы погрешность не превосходила
единицы последнего разряда. В таких случаях говорят, что число записано верными цифрами. Верной цифрой приближенного значения называют цифру любого разряда, если абсолютная погрешность не превосходит едицицы этого разряда. Например, в таблице плотности вещества указано, что приближенное значение плотности кислорода р (в кг/м3) равно 1,429. В записи 1,429 все цифры ^ерные. Последняя цифра записана в разряде тысячных. Значит, абсолютная погрешность меньше или равна 0,001, т. е.
р = 1,429 ±0,001.
В технической литературе и различных справочниках молено встретить запись приближенных значений в стандартном виде, т. е. в виде а-10", где 1^й<10ип — целое число. При этом в записи множителя а содержатся обычно только верные цифры. По такой записи легко оценить абсолютную погрешность приближенного значения.
Пример. В справочнике указано, что масса Луны равна 7,35-1022 кг. Оценим абсолютную погрешность приближенного значения массы Луны.
Обозначим массу Луны (в кг) буквой х. Так как в множителе 7,35 все цифры верные и последней является цифра сотых, то
х = (7,35±0,01)-1022.
Раскрыв скобки, будем иметь:
х = 7,35 • 1022 ± 0,01 • 1О22, х = 7,35-1О22±1О20.
Последняя запись означает, что абсолютная погрешность приближенного значения х меньше или равна 1О20.
Если число записано в стандартном виде а-10" и в множителе а все цифры верные, то такая запись позволяет легко оценить также относительную погрешность.
Вернемся к примеру. Оценим относительную погрешность приближенного значения х«7,35*1022.
Мы показали, что абсолютная погрешность рассматриваемого приближения меньше или равна 1О20. Значит, его относительная погрешность не превосходит
102° 1 1
7,35 10" — 735 100 '
Мы видим, что относительная погрешность меньше единицы последнего разряда в записи множителя 7,35.
Можно показать, что вообще если хж а -10я, где 1^Са<10, и множитель а записан верными цифрами, то относительная погрешность приближенного значения не превосходит единицы разряда, в котором записана последняя из этих цифр.
Заметим, что при записи приближенных значений вместо а • 103, а • 106, а • 109 часто пишут соответственно а тыс., а млн., а млрд. В подобных записях множитель а может выходить за пределы промежутка от 1 до 10. Например, расстояние от Земли до Солнца приближенно равно 149,6 млн. км.
• 973. Объясните смысл записи:
а) ш = 4,96 ±0,08; в) у = 6482 ±35;
б) х = 0,379±0,021; г) л = 89 000±3000.
• 974. В каких границах заключено число у, если:
а)у = 73±1; в) у = 6,5±0,1;
б) у = 3,9±0,2; г) у = 20,48±0,15?
• 975. Скорость света с в вакууме (в м/с) равна 299 792 458 ± ± 1,2. В каких границах заключено число с?
• 976. Оцените абсолютную погрешность приближенного значения, все цифры в котором верные:
а) 47,62; в) 4,3725; д) 62; ж) 8,4;
б) 13,5; г) 0,00681; е) 250; з) 8,400.
• (^77?) Укажите точность приближенного значения х, записанного верными цифрами:
а) х~ 3,34; в) хх 0,073; д) х«0,02;
б) х» 162,3; г) ха; 1680; е) ха;0,020.
978. Оцените абсолютную погрешность приближенного значения х, записанного в виде а- 10я, если в множителе а все цифры верные:
а) х а; 4,8 • 104; б) ха;2,164• 106.
979. Оцените относительную погрешность приближенного значения у, записанного в виде а* 10я, если в множителе а все цифры верные:
а) у «1,27 • 103; в) у «1,490 • 105; б) у а? 1,27-IO-8; г) у а 2,3162-10 4; 194 д)у«0,006-10-2; е) у а; 7,5 -10°.
980. Оцените относительную погрешность приближенного значения плотности р (в г/см3), взятого из справочника, если: а) р«2,6-102; в) ра5,20-103; д) р1,7-10 :';
б) ра9,12-10; г) ра6,0-102; е) р»5-10~3.
981. В справочнике указано, что масса Солнца и масса Земли (в кг) равны соответственно 1,990-Ю30 и 5,976 *1024. Оцените абсолютную погрешность этих приближенных значений.
982. Масса электрона равна 0,91 *10-27 кг. В числе 0,91 все цифры верные. Укажите относительную точность приближенного значения 0,91-10-27.
Упражнения для повторения
983. Представьте в стандартном виде число:
а) 376 000; в) 0,000085;
б) 12 000 000; г) 0,00169.
<984? Выполните действие:
а) (3,14 -103)- (2,1 • 105); б) (1,96 • 10 2): (2,45 • 10~ 3).
985. Решите систему
( 0,2 (4—5х)4-0,5х<2х —0,5 (4-Зх), I 1,5 (3- 2х)4-0,5> 12- 0,1 (10- 5х).
986. Упростите выражение -\/б (д/З—\/б) — (д/2 4-1)2.
987. Докажите, что при любом значении а верно неравенство а2 > 14а — 50.
37. ДЕЙСТВИЯ над приближенными значениями
Вычисления с приближенными данными постоянно используются в практических задачах, при этом результат вычислений обычно округляют. Рассмотрим, как производятся эти округления при сложении, вычитании, умножении и делении приближенных значений, в записи которых все цифры верные.
Начнем с примера. Найдем приближенное значение суммы х + у, если известно, что
ха; 7,63 с точностью до 0,01, г/а 9,2 с точностью до 0,1.
Сложим приближенные значения 7,63 и 9,2:
7,634-9,2 = 16,83.
Оценим точность приближенного значения 16,83:
7,63 — 0,01 < х < 7,63 + 0,01,
9,2 — 0,1 < у «С 9,2 + 0,1,
16,83 —0,ll<x + i/< 16,83 + 0,11.
Поэтому « + у « 16,83 с точностью до 0,11.
Мы видим, что абсолютная погрешность может составлять чуть больше одной единицы разряда десятых. Поэтому цифру десятых в значении 16,83 целесообразно сохранить. Цифра сотых никакого доверия не заслуживает, так как абсолютная погрешность может достигать 11 сотых. Следовательно, результат целесообразно округлить до десятых (что соответствует менее точному данному 9,2). Значит,
х +у« 16,8.
При нахождении приближенного значения суммы мы сложили приближенные значения и полученный результат округлили по менее точному слагаемому. Таким же образом поступают во всех случаях при сложении и вычитании: находят сумму или разность приближенных значений и результат округляют по менее точному данному, имея в виду абсолютную точность, т. е. оставляют в результате столько знаков после запятой, сколько их содержится в менее точном данном.
Пример 1. Пусть х«17,2 и у«8,407. Найдем приближенное значение суммы х и у.
Имеем:
« + у «25,607.
Из данных приближенных значений 17,2 и 8,407 менее точным является первое. Округлив результат по первому данному, т. е. до десятых, получим:
х + у«25,6.
АЛЕКСЕИ НИКОЛАЕВИЧ
КРЫЛОВ (1863—1945)
— советский кораблестроитель, математик и механик, академик. Автор многих основополагающих трудов по теории корабля, участник проектирования и постройки первых русских линкоров. Внес серьезный вклад в теорию приближенных вычислений.
Пример 2. Пусть хх 6,784 и у«4,91. Найдем приближенное значение разности х и у.
Имеем:
х — ух 1,874.
Из данных приближенных значений 6,784 и 4,91 менее точным является второе. Округлив результат по второму данному, т. е. до сотых, получим:
х — ух 1,87.
Несколько иначе поступают при умножении и делении приближенных значений. Здесь округление производится с учетом относительной точности данных. В этом случае находят произведение или частное приближенных значений и результат округляют по менее точному данному, имея в виду относительную точность. Для этого исходные данные и полученный результат записывают в стандартном виде о-10п, и множитель а результата округляют, оставляя в нем столько знаков после запятой, сколько их имеет соответствующий множитель в менее точном данном.
Пр и мер 3. Пусть хх0,86 и у«27,1. Найдем приближенное значение произведения х и у.
Перемножив 0,86 и 27,1 получим хух 23,306.
Запишем данные числа и результат в стандартном виде:
0,86 = 8,6-10“*, 27,1 = 2,71-10', 23,306 = 2,3306-10'.
В множителе 8,6 одна цифра после запятой, а в множителе 2,71 две цифры после запятой. Округлим число 2,3306 по первому данному, т. е. до десятых. Получим:
хух 2,3-10' = 23.
Пр и м е р 4. Пусть ха; 563,2 и у «32. Найдем приближенное значение частного х и у.
Разделив 563,2 на 32, получим:
х: у «17,6.
Запишем данные числа и результат в стандартном виде:
563,2 = 5,63 2-102, 32 = 3,2-10, 17,6=1,76-10.
Из этой записи видно, что число 1,76 следует округлить по второму данному, т. е. до десятых. Получим:
х:у«1,8-10=18.
Таким образом, при сложении, вычитании, умножении и делении приближенных значений результат округляют по менее точному данному. При этом при сложении и вычитании данные числа записывают в десятичных дробях и менее точное данное определяется по абсолютной точности, а при умножении и делении данные числа записывают в стандартном виде и менее точное данное определяется по относительной точности.
Рассмотрим пример, в котором требуется выполнить несколько действий над приближенными значениями чисел.
Пример 5. Найдем приближенное значение выражения (x-\-y)z при х«3,75, у т 48,8 и zx 0,0095.
Имеем:
3,75 +48,8 = 52,55 «52,6;
52,6 • 0,0095 = 0,4997 = 4,997 • 10“1« 5,0 • 10"1 = 0,50.
При округлении результата умножения было учтено, что 52,6 = 5,26-10; 0,0095 = 9,5-10“3. Поэтому множитель 4,997 был округлен до десятых.
• 988. Найдите приближенное значение суммы х и у, если: а) х« 0,9071, у«6,52; в) х« 2,134, у«11,27;
б) х«7,8, у«4,725; г)х«19, у«31,8.
• 989. Найдите приближенное значение разности а и Ь, если: а) а«5,64, Ь«2,3415; в) а«23,40, Ь« 1,9165;
б) а«42,609, Ь«38,6; г) а «6,385, Ь«0,29.
• 990. Найдите приближенные значения х+у их — у, если:
а) х«34,12 и у«19,6; б) х«4,1608 и у«1,09.
991. Известно, что а«26,1042, Ь«8,98 и с«3,65. Найдите приближенное значение выражения а — & + с.
992. Найдите приближенное значение выражения х + у— z, если х«9,1, у«8,89 и z«0,8517.
993. Масса бутылки с маслом 1,63 кг, масса пустой бутылки 0,706 кг. Сколько масла содержится в бутылке?
994. Найдите периметр четырехугольника, стороны которого приближенно равны 3,26; 6,12; 7,50 и 4,325 м.
995. Электрическая цепь состоит из трех последовательно соединенных проводников, сопротивления которых 2?i =
= 5,26 Ом, 3,815 Ом и 7?з«4,70 Ом. Вычислите сопротивление R всей цепи по формуле R = R\ + Я2 + Я3.
996. На земельном участке площадью 600 м2 построены дом, занимающий 56,5 м2, и сарай, занимающий 16,3 м2. Найдите площадь участка, свободного от строений.
997. Масса Земли 5,976-Ю21 т, а масса Венеры 4,88-1021 т. На сколько тонн масса Земли больше массы Венеры?
• 998. Найдите приближенное значение произведения а и Ь, если:
а)а«2,2-103 и Ь«3,41-104;
б) а«1,154-108 и Ь«6,9-1СГ5;
в) а«8,42-10“4 и Ь«9,81-105;
г) а«7,605 10~2 и ft»l,8«10“3.
• 999. Найдите приближенное значение частного х и у, если: а) х«8,75-106 и у «5,4-104;
б) 4,3-10s и г/«6,95-102.
• 1000. Вычислите приближенные значения выражений аЪ и
4, если а«8,3-104 и Ь«3,12-106. ь
• 1001. Вычислите приближенное значение произведения р и д, если:
а) р«46,5 и (/«0,72; б) р« 0,0638 и (/«18,4.
• 1002. Найдите приближенное значение частного х и у, если:
а) х«18,28 и у«0,54; б) х«0,36 и ух0,0238.
• 1003. Вычислите приближенные значения выражений ху и —, если:
У
а) х«2,05 и у «1,2; б) х«0,6 и у «7,5.
1004. Найдите площадь комнаты, длина которой 5,85 м, ширина 3,75 м.
1005. Длина прямоугольного участка равна 254 м, ширина 194 м. Какова площадь участка?
1006. Наблюдатель услышал гром через 4,7 с после того, как увидел вспышку молнии. На каком расстоянии от наблюдателя произошел разряд (скорость звука в воздухе приближенно равна 332 м/с)?
1007. Найдите периметр квадрата со стороной с, если: а) с «6,29 м; б) с «0,85 м.
1008. Площадь прямоугольной площадки равна 150 м2, ее длина 16,3 м. Найдите ширину площадки.
1009. Масса медной пластинки 325 г. Плотность меди 8,9 г/см3. Найдите объем пластинки.
1010. Найдите периметр и площадь прямоугольника со сторонами а и &, если а «15,4 см и б «8,7 см.
1011. Вычислите приближенное значение выражения:
а) ху — 5у, если х« 46,24 и у «25,2;
б) 2L+.L если х« 10,20 и z/« 2,08.
х—у
1012. Найдите приближенное значение выражения х2— 2х, если х« 3,7.
1013. Какова площадь круга, радиус которого г, если: а) г «8,3 см; б) г«25,1 м?
1014. Прямоугольный участок имеет размер 112X348 м. Предполагаемый урожай картофеля равен 18 т с гектара. Сколько картофеля планируют собрать с этого участка?
Упражнения для повторения
1015. Найдите значение выражения
а) (х2 — 9)(^j— 1) при х=—3,1;
"Р" ->=-10.1, Ь = 12,2.
1016. Сравните с нулем значение выражения
(л/35 - 6) (V35 + 6) - (д/2 - V3)2.
1017. Сравните значения выражений
ЗУ2+УЭД и 2V7 + 2V5.
1018. Моторная лодка прошла 44 км по течению реки и 36 км против течения, затратив на весь путь 4 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.
38. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ДАННЫМИ НА МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРЕ
На микрокалькуляторе действия над приближенными данными производятся так же, как и над точными данными. При этом полученные результаты округляют по известному нам правилу.
Пример 1. Найдем сумму х-\-у, если известно, что хх 613,97 и у «89,716.
Выполнив вычисление по программе
613,97 + 89,716
получим 703,686. Округлим этот результат по первому ела гаемому. Будем иметь:
613,97+ 89,716« 703,69.
Пример 2. Найдем произведение ху, если известно, что хх 4,742 -10"3 и у «1,8 -10е.
Для этого вычислим произведение чисел 4,742 и 1,8 и результат умножим на произведение 10-3-10°, т. е. на 103. Получим:
4,742 • 10“3 • 1,8 • 106 = 8,5356 • 103« 8,6 • 103.
Пример 3. Найдем массу т стального шара, радиус которого г «1,7 см (плотность стали р = 7,8 г/см").
Объем V шара вычисляется по формуле У = — лг3. Так 4 о о •
как zn = pV, то т = —лг р. о
В выражении -|-№р первым действием удобнее выполнить возведение в степень. Поэтому перепишем формулу в другом
ВИДе: г3-4лр
В этом выражении содержатся только умножения и деление. Менее точными из всех приближенных чисел являются г и р, так как 1,7 = 1,7-10° и 7,8 = 7,8-10°. В качестве приближенного значения л возьмем 3,14.
Вычисления выполним по программе:
1,7Г><" Г=^ Г=" 4 Гх~| 3,14 Гх" 7,8 [V 3 .
Полученный результат запишем в стандартном виде, округлив его первый множитель до десятых.
Ответ: т х 1,6 • 102 г.
Заметим, что при вычислении массы данные числа вводились в микрокалькулятор не в стандартном виде. Значения г и р мы записывали в стандартном виде для того, чтобы правильно сделать округление результата.
1019. Выполните действие над приближенными значе
ниями:
а) 765,138+99,8; в) 1925,34-7,6893; д) 0,67631 + 1,498;
б) 981,5+49,6143; г) 2008,163—89,4; е) 6,327-6,01045.
1020. Найдите значения выражений x-j-y и х — у, если: а) хк 16,396 и г/«7,25; в) *«0,19405 и у«0,16;
б) х«607,4 и г/«48,566; г) х«1,315 и ум 1,1162.
1021. Выполните действия над приближенными значениями:
а) 4,37 • 105 • 2,1116 • 10-2; г) 6,314 . Ю~12 - 3,21561 • 10е;
б) 6,3892 • 104: (5,87 • 102); д) 5,34 . 10":(6,54 • 10-2);
в) 1,90 • 10 + (1,8 . 10-6); е) 1,8098 • 10 5: (1,99 • Ю"5).
1022. Найдите значения выражений ху и х:у, если:
а) х«3,12-10\ ум 1,9068-10“';
б) х«6,8-1О10, у«2,308-10";
в) х« 9,909-103, у«8,6-102;
г) х«4,75-10~3, ум 8,36 1 4 -102.
1023. Известно, что х«5,1-10~2, у м 3,68-10~2, гм м 7,121 -Ю".
Найдите значение выражения:
а) (х — у)г\ б) (x + z/):z.
1024. Первая космическая скорость Ui«7,9 км/с. Вторая космическая скорость Vi в -\/2 раз больше первой. Найдите вторую космическую скорость.
1025. Сколько килограммов краски потребуется, чтобы покрасить пол в двух комнатах, размеры которых 5,5 X 4,3 м и 5,2X4,6 м. На 1 м2 пола расходуется 0,17 кг краски.
1026. Атмосфера Земли состоит в основном из смеси азота и кислорода. Общая масса атмосферы 5,16 • 1015 т. Кислород составляет 20,95%, а азот 78,09% массы атмосферы. Сколько кислорода и сколько азота в атмосфере Земли?
1027. Какова масса атома водорода, если 2,00 г водорода содержат 6,02 • 1023 молекул (в одной молекуле водорода содержится два атома)?
1028. Масса Меркурия 3,3 • 1023 кг, а Юпитера 1,90 • 1027 кг. Во сколько раз масса Юпитера больше массы Меркурия?
1029. В баке 1,36 м3 воды. При нагревании ее плотность уменьшилась с 0,998 т/м3 до 0,965 т/м3. На сколько увеличился объем воды?
1030. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Во сколько раз нужно увеличить его скорость, чтобы его кинетическая энергия увеличилась в 2 раза? (Кинетическая энергия Е тела массой т, двигающегося со скоростью v, вычисляется по фор-77! /гаи2 ч
муле Е = —^~.)
1031. На каждый квадратный сантиметр поверхности Земли давит столб воздуха, масса которого 1,033 кг. Какова масса атмосферы Земли? (Площадь поверхности Земли найдите по формуле Я = 4лЯ2, средний радиус Земли R ss 6371,032 км.)
Упражнения для повторения
1032. Оцените абсолютную и относительную погрешности приближенного значения:
а) 6,125 • 102; б) 1,50 • 10 в) 4,6 • 10“4.
1033. При каких значениях х функция у= —0,2х-|-4 обращается в нуль; принимает положительные значения; принимает отрицательные значения?
1034. Решите систему неравенств
’ 2X-J-1 х х . 1 — х
5 3 5 ' 15 ’
•
2х х + 5 . Зх х —5
~3 б- ^2 12 ’
1035. Какое из равенств верно:
a) V40—12л/2=6 —д/2 или д/4°—12V2=V2 —6;
б) -V5-2V6 = V2 —л/З или д/б —2 V6 =л/3-л/2?
Контрольные вопросы
1. Что означает запись х = а±Л?
2. Как округляют результат при сложении и вычитании приближенных значений?
3. Как округляют результат при умножении и делении приближенных значений?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
К параграфу 13
1036. Найдите значение выражения:
а) 10х-3 при х = 0,1; б) ху~6 при х=200, у = 5.
1037. Докажите, что значения выражений взаимно обратны:
а) и О»6-"; в) ЮОО 2 и 0,001 ~2;
Х 5 ' / 9 ч -4
б) 1,253 и 0,83; г) 2,5“4 и (-4) .
\ 5 /
1038. Сравните выражения:
а) 5-3 и 7-3; б) и (f)"'; в) (-2)° и (-2)~2.
1039. Вычислите:
а) — 0,25-2-100; в) 0,2“4-(-1,6); д) з _|_) 2-0,5;
б) 0,01-( —0,5)-3; г) 0,1“1 + 1,1°; е) -4"'-5 + 2,52.
1040. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями:
х атп.~г (а + Ь) Ь . 2а~'Ьг
б) Ь~'(а—Ь) ' в) НГ'
1041. Представьте в виде дроби выражение:
а) ху~2 — х~2у, в) тп (л — т)~2 — п (тл — л)-1;
б) (тГ,+(т)~2; г) (х"1+у“1)(х-1-у“1)-
г) ( —0,2тп2п3)-3-0,1?п6п9;
д) а-2Ь5-(ЗаЬ)~';
е) бДх-^^ОДху-1)-1.
1042. Упростите выражение:
•, + . ab~' —а~'Ъ
а) (»+rf ; б)
1043. Упростите выражение:
а) 0,За“2Ь3-1,5а2Ь_|
б) 6~'х2у~1 • 1,5ху-2
в) 1,2ху~2 • 4х~'у,
1044*. Представьте выражение в виде степени с основанием 10 (п — целое число):
а) 100"; б) 0,1-100я+3; в) 0,01я-102-2я.
1045*. Упростите выражение (п — целое число):
V 25" . - 6я
52л— 1 * 2Л— * «Зл ' *
1046. Представьте выражение х 2 + х 1 + х в виде произведения двух множителей, один из которых равен:
а) х; б) х в) х 2.
1047. В выражении а-6 + а-4 вынесите за скобки множитель:
а) а"4; б) а-6.
1048*. Упростите выражение:
1049*. Докажите, что при любом целом п верно равенство: а) 2Я + 2Я= 2"+б) 2-Зя + Зя = Зя+'.
1050*. Сократите дробь (п — целое число):
. 3',+ 1 — 3" а>
б)
1051*. Докажите, значение при любых
2 я* * 3 я— 1_2 я* “ i • 3 я
а) 2'" • Зл ’
б) 1о^--------;
что выражение принимает одно и то же целых значениях переменных:
. 5m4'1 .
В) 5т-222»_|_5т22П-1 »
21"
г)
1052. Выразите время в секундах и запишите полученное число в стандартном виде: а) 1 ч; б) 1 сутки; в) 1 год; г) 1 век.
1053. Выполните действия над числами, записанными в стандартном виде:
a) (3,4-10l5)-(7-10-12); в) (9,6 10~12): (3,2 -10 “15);
б) (8,1-10-23)-(2-1021); г) (4,42-10“):(5,1 • 10“7).
1054. Выполните действия над числами, записанными в стандартном виде:
а) 8,7-104 + 5,6• 104; в) 9,3-10 3 —8,4-Ю 3;
б) 3,6 -103-1- 4,71 -102; г) 2,26 1 05 —1,3 1 04.
1055. Порядок числа х равен 15. Каков порядок числа: а) ЮООх; б) 0,0001х; в) у^ ; г) у^ ?
1056*. Порядок числа х равен 7, а порядок числа у равен 9. Каким может быть порядок произведения ху; порядок частного — ? х
1057. Расстояние от Земли до звезды а Центавра равно 2,07 • 105 астрономическим единицам (астрономической единицей называется расстояние от Земли до Солнца, которое равно 1,495 *108 км). Выразите это расстояние в километрах.
1058. В 1 ккал содержится 4,2 • 103 Дж. Сколько килокалорий в 1 Дж?
1059. В таблице даны обозначения кратных и дольных приставок и соответствующие им множители:
Приставка Кратность Обозначение Приставка Кратность Обозначение
мега кило гекто дека 106 10s 102 10' м к г да деци санти милли микро io-' 10~2 10“3 10-° д с м мк
Используя таблицу, выразите:
а) 2,5-Ю2 Мт в тоннах; г) 5-106 Н в меганьютонах;
б) 3,1-1О10 мг в килограммах; д) 7-10-7 м в микрометрах;
в) 1,5-10“2 гл в литрах; е) 8,4-10-4 ккал в калориях.
К параграфу 14
1060. Оцените абсолютную погрешность приближенного значения, записанного верными цифрами:
а) 15,63; б) 0,3861; в) 176,1; г) 4,00116.
1061. Оцените относительную погрешность приближенного значения х, записанного в виде а-10", если в множителе а все цифры верные:
а) х«6,24-105; в) x«9,111.10H;
б) х « 1,127 • 10~5; г) х «3,6 • 10~2.
1062. В справочнике указано, что масса Венеры равна 4,88-1021 т. Оцените абсолютную и относительную погрешности этого приближенного значения.
1063. Найдите приближенные значения а+ 6 и а — Ь, если:
а) а«51,642 и Ь« 12,68; в) а«6,33 и Ь«0,295;
б) а «60,1 и &« 25,394; г) а «8,006 и Ь«0,21.
1064. Найдите приближенное значение выражения а -j-b— с, если а«6,184, Ь«21,1785, с «1,8.
1065. Найдите приближенные значения произведения и частного чисел а и Ь, если а«2,15*105 и &«7,11«103.
1066. Вычислите приближенные значения выражений ху х и —, если:
У
а) х«0,6 и у~ 7,5; б) х« 15,94 и у «0,8.
1067. Найдите периметр и площадь прямоугольника со сторонами а м и b м, если а «15,4 и &«8,7.
1068. Основание треугольника равно а см, а высота равна h см. Найдите площадь треугольника, если а «2,3 и h «6,7.
1069. Шнур, длина которого 25 м, разрезали на три части. Длина одной части 5,6 м, другой 0,75 м. Найдите длину третьей части.
1070. Площадь садового участка 600 м2. Длина участка 27 м. Найдите его ширину.
1071. Найдите приближенное значение суммы х и у, если: а)х«9,26-104 и i/«7,l-103;
б)х«6,4-105 и у«4,25-106;
в) х«3,705-102 и у«4,6-10~4;
г) х«9,38-10-3 и у«8,673-10 '.
1072. Найдите приближенное значение разности х и у, если: а)х«7,58-105 и у«2,4-103;
б) х« 2,4-10“ и у« 1,06-102; в)х«6,8-10-2 и у«3,5-10“3;
г) х«5,381-10-' и у«1,2-10-2.
1073. Найдите приближенное значение выражения х — y + z, если х«8,35-102, у«4,1-103, z«6,3-102.
1074. Масса Земли 5,976-1021 т, а масса Луны 7,35-1019 т.
Какова масса Земли и Луны вместе? На сколько тонн масса
Земли больше массы Луны?
1075. Атомный ледокол «Ленин» прошел в одну из арктических навигаций за один рейс 8,16-103 морских миль. Выразите пройденное расстояние в километрах. (1 морская миля приближенно равна 1,852 км.)
1076. Вычислите площадь кругового кольца (рис. 4 3), где R «32,5 мм, г ; 2,0,2 мм.
Гис Ы
ИСТОРИЧЕСКИЕ
СВЕДЕНИЯ
О дробях
Простейшими дробями пользовались еще в древности (2 тыс. лет до н. э.). Так, древние вавилоняне имели специаль-112
ные обозначения для дробей —, —, —. В Древнем Египте 2 о о
пользовались единичными дробями, т. е. дробями вида —, где п
п — натуральное число. Если в результате измерения получа-7 лось число —, то его записывали в виде суммы единичных О
дробей: Такой способ представления дробей был
удобен в практическом отношении. Например, при решении задачи «Разделить 7 хлебов поровну между восемью лицами» этот способ подсказывал, что нужно иметь 8 половинок, 8 четвертинок и 8 осьмушек, т. е. 4 хлеба нужно разрезать пополам, 2 хлеба — на четвертушки и один хлеб — на осьмушки и распределить доли между лицами.
Одновременно с единичными дробями появились и систематические дроби, т. е. дроби, у которых числителями могут быть любые числа, а знаменателями — степени определенного числа (например, десяти, двенадцати, шестидесяти). Шестидесятеричные дроби использовались вплоть до XVII в. До сих пор единицы времени выражаются в шестидесятеричной системе: 1 минута часа, 1 секунда часа. Систематическими дробями являются и десятичные дроби.
Дроби общего вида, у которых числители и знаменатели могут быть любыми натуральными числами, появляются в некоторых сочинениях древнегреческого ученого Архимеда (287—212 гг. до н. э.). Древние греки практически умели производить все действия над обыкновенными дробями. Однако современной записи дробей с помощью черты не было. Такая запись дроби была введена лишь в 1202 г. итальянским математиком Л. Фибоначчи (1180—1240) в его произведении «Книга абака». До этого дроби выражали словесно, применяли особую запись, в которой около числа, обозначающего знаменатель дроби, справа ставился штрих, использовались и другие способы записи. Долгое время дроби не называли числами.
Иногда их называли «ломаными числами*. Только в XVIII в. дроби стали воспринимать как числа. Этому способствовал выход в 1707 г. книги английского ученого И. Ньютона (1643—1727) «Всеобщая арифметика», в которой дроби не только признаются равноправными числами, но и происходит расширение понятия дроби как частного от деления одного выражения на другое. В этой книге, в частности, говорится: «Запись одной из двух величин под другой, ниже которой между ними проведена черта, обозначает частное или же величину, возникающую при делении верхней величины на ниж-нюю. Так, — означает величину, возникающую при делении
6 на 2, ... --величину, возникающую при делении 5 на 8,
О
а ,
... — есть величина, возникающая при делении а на д, ... ab — bb
а^х означает величину, получающуюся при делении аЪ—ЪЪ на a-j-x, и т. д. Величины такого рода называются дробями».
О действительных числах
Понятие числа зародилось в глубокой древности. На протяжении веков это понятие подвергалось расширению й обобщению. Необходимость выполнять измерения привела к положительным рациональным числам. Решение уравнений привело к появлению отрицательных чисел. Однако долгое время их считали «фиктивными» и истолковывали как «долг», как «недостачу». Правила действий над положительными и отрицательными числами длительное время рассматривались лишь для случаев сложения и вычитания. Например, индийские математики VII в. так формулировали зти правила: «Сумма двух имуществ есть имущество, сумма двух долгов есть долг, сумма имущества и долга равна их разности». Лишь в XVII в. с использованием метода координат, введенного Декартом и Ферма, отрицательные числа были признаны в качестве равноправных с положительными.
Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел. Эти числа удобны для вычислений: сумма, разность, произведение и частное (при условии, что делитель птлп чен от нуля) двух рациональных чисел являются рациона >п. ным числом. Рациональные числа обладают свойством плотное ти, благодаря чему всякий отрезок можно с любой erciicni.io точности измерить отрезком, принятым за единицу, и пырюшть результат измерения рациональным числом. Нозтому ран,ио-
пальные числа долгое время вполне обеспечивали (и обеспечивают до сих пор) практические потребности людей. Тем не менее задача измерения величин привела к появлению новых, иррациональных чисел. Еще в Древней Греции в школе Пифагора (VI в. до н. э.) было доказано, что нельзя выразить рациональным числом диагональ квадрата, если за единицу измерения принять его сторону. Такие отрезки, как диагональ квадрата и его сторона, назвали несоизмеримыми. В дальнейшем (V—IV в. до н. э.) древнегреческими математиками была доказана иррациональность -\/п для любого натурального 71, не являющегося полным квадратом.
Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, а позднее и Европы пользовались иррациональными величинами. Однако долгое время не признавали их за равноправные числа. Их признанию способствовало появление «Геометрии* Декарта. На координатной прямой каждое рациональное или иррациональное число изображается точкой, и, наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует некоторое рациональное или иррациональное, т. е. действительное, число. С введением иррациональных чисел все «просветы» на координатной прямой оказались заполненными. Имея в виду это свойство, говорят, что множество действительных чисел (в отличие от множества рациональных чисел) является непрерывным.
Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби (периодической или непериодической). В XVIII в. Л. Эйлер (1707—1783) и И. Ламберт (1728— 1777) показали, что всякая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Непериодическая бесконечная десятичная дробь представляет иррациональное число. Построение действительных чисел на основе бесконечных десятичных дробей было дано немецким математиком К. Вейерштрассом (1815—1897). Другие подходы к изложению теории действительного числа были предложены немецкими математиками Р. Дедекиндом (1831—1916) и Г. Кантором (1845—1918).
О квадратных корнях
С давних пор наряду с отысканием площади квадрата по известной длине его стороны приходилось решать и обратную задачу: «Какой должна быть сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась а?» Такую задачу умели решать еще 4 тыс. лет назад вавилонские ученые. Они составляли таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел.
Вавилоняне использовали метод приближенного извлечения квадратного корня, который состоял в следующем. Пусть а — некоторое число (имеется в виду натуральное число), не являющееся полным квадратом. Представим а в виде суммы Ь2-|-с, где с достаточно мало по сравнению с Ь2. Тогда
Например, если а = 112, то д/И2—д/Ю2 + 12 ~10 + ^ = = 10,6. Проверка показывает, что 10,62 = 112,36.
Указанный метод извлечения квадратного корня подробно описан древнегреческим ученым Героном Александрийским (I в. н. э.).
В эпоху Возрождения европейские математики обозначали корень латинским словом Radix (корёнь), а затем сокращенно буквой R (отсюда произошел термин «радикал», которым принято называть знак корня). Некоторые немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой. Эту точку ставили перед числом, из которого нужно извлечь корень. Позднее вместо точки стали ставить ромбик ф , впоследствии знак V и над выражением, из которого извлекается корень, проводили черту. Затем знак V и черту стали соединять. Такие записи встречаются в «Геометрии» Декарта и «Всеобщей арифметике» Ньютона. Современная запись корня появилась в книге «Руководство алгебры» французского математика М. Ролля (1652—1719).
О квадратных уравнениях
Неполные квадратные уравнения й частные виды полных квадратных уравнений (х2±х = а) умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н. э.). Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (П1 в.). В дошедших до нас шести из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями, в Которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида ах=Ь или ах2 = Ь. Способ решения полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились.
Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ах2 Ьх = с, где О 0, дал индийский ученый Брахмагупта (VII в.)- В трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приемы решения уравнений вида ах2 = Ьх, ах2 = с, ах = с, ах2 -f- с = Ьх, ах2 -{- Ьх = = с, bx-j-c = ax2 (буквами а, Ь и с обозначены лишь положительные числа) и отыскивает только положительные корни.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду x2-j- Ьх = с, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487—1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако свое утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал). После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595—1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.
Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591 г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных обозначениях выглядела так: корнями уравнения (а-|-5)х— х2 = = ab являются числа а и Ь.
О неравенствах
Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием равенства возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа л:
3 —<л<3—.
Ряд неравенств приводит в своем знаменитом трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического, т. е. что верно неравенство .
В «Математическом собрании» Паппа Александрийского (III в.) доказывается, что если (а, Ь, с и d — положительные
о а числа), то ad>bc.
Однако все эти рассуждения проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию. Современные знаки неравенств появились лишь в XVII— XVIII вв. Знаки < и > ввел английский математик Т. Гар-риот (1560—1621), знаки и французский математик П. Буге (1698—1758).
Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических исследованиях, так и при решении важных практических задач.
О приближенных вычислениях
Отдельные приемы приближенных вычислений появились в древности. Это было вызвано потребностями практики, так как при измерении величин всегда получаются приближенные значения. Во все времена люди стремились облегчить свой труд в вычислениях. Для этого составлялись различные таблицы. Еще древние египтяне, у которых вычисления с дробями были очень сложными, составляли таблицы для выражения дробей через суммы единичных дробей. Древние вавилоняне составляли таблицы квадратов, кубов, обратных величин.
Большой вклад в развитие теории приближенных вычислений внес академик Алексей Николаевич Крылов (1863—1945).
Будучи выдающимся кораблестроителем, математиком и механиком, он применял математические методы к решению технических задач. Большое внимание он уделял вопросу рационального выполнения вычислений.
Он писал, что вычисление должно производиться с той степенью точности, которая необходима для практики, причем всякая неверная цифра составляет ошибку, а всякая лишняя цифра — половину ошибки.
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
1077. Докажите, что при положительных значениях х и
у (х=£у) значение дроби
_ - X2 + у1
чения дроби -----2—.
х + у
——— больше соответственного зна-х-у
1078. Сократите дробь:
. х* + а2хг+а* . g. 8а',+г + а'-'
х3 + а3 ' ' 16а',+4 + 4а" + 2 + а" ’
1079. Решите систему уравнений:
x + y + z + u = 5, y + z + u + v = l, z-j-u-f-v~[-x = 2, u + v + x + y = 0, v + x + y+z = 4.
1080. Докажите, что уравнение х4 — 5х3 — 4х2 — 7х 4- 4 = О не имеет отрицательных корней.
1081. Найдите обыкновенную дробь со знаменателем 21, е 5 5
заключенную между дробями — и •
1082. Какой цифрой оканчивается сумма 54354-2821?
1083. Решите уравнение х2 — 2x-f-y2 — 4у4-5 = 0.
1084. Найдите корни уравнения х2— 2х—|-4—р—13 = 0.
1085. Упростите выражение:
а) -\/х4-2-\/х —1 + л/х— 2-V* —1> если 1<х<2;
б)
у/2-^З
1086. Найдите ошибку в доказательстве:
16-36 = 25-45; 16-364- — = 25-454-^ ; '
4 4
1087. Представьте многочлен х8 + х4 + 1 в виде произведения четырех многочленов ненулевой степени.
1088. Упростите выражение
. Укажите
допустимые значения переменных.
1089. Функция у от х задана формулой у = , где
ad — Ъс=/= 0.
Пусть значениям аргумента х,, х2, х3 и х4 соответствуют значения функции у{, у2, у3 и у4. Докажите, что
?/з — .Vi . = хд —X, . х, —х,
У3-Уг ' У^ — Уг х3-х2 ' х4 —х2
1090. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению х2 — у2 = 69.
1091. Докажите, что значение выражения 711+672+ +-V11-6V2 есть натуральное число.
1092. Докажите, что при а^0, Ь^0, с^0, d^0 верно
неравенство
7(о + с) (& + d) "\/®b+x[cd .
1093. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное чисел вида а-\-Ь~^2, где а и Ь — рациональные числа, могут быть представлены в таком же виде.
1094. Пара чисел х = 3, у = 2 является решением уравнения (х + у72)(х—у72)=1. Покажите, что существует бесконечно много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.
1095. При каком значении т сумма квадратов корней уравнения х2 + х + т = 0 равна 13?
1096. Сумма квадратов корней уравнения х" | рх | 1 О равна 254. Найдите коэффициент р.
1097. При каком значении а сумма кпадратоп корней уравнения х2 + (а— 1) х — 2а = 0 равна 9?
1098. Докажите, что функция у=ух2 -\-2-^2х-\-2-\-+^[х2 — 2д/2х-|-2 , где — д/2^х^д/2, линейная.
1099. Из города М в город N вышел автобус со скоростью 40 км/ч. Через четверть часа он встретил ехавшую из города N легковую автомашину. Эта машина доехала до города М, через 15 мин выехала обратно в город N и обогнала автобус в 20 км от города N. Найдите расстояние между городами М и N, если скорость легковой автомашины 50 км/ч.
1100. Два мальчика стартовали по беговой дорожке длиной 50 м с интервалом 1 с. Мальчик, стартовавший вторым, догнал первого в 10 м от линии старта, добежал до конца дорожки и побежал обратно с той же скоростью. На каком расстоянии от конца дорожки он встретил первого мальчика, если известно, что эта встреча произошла через 10 с после старта первого мальчика?
1101. Расстояние между пристанями А тл В теплоход проходит по течению за 5 ч, а против течения за 6 ч. За сколько часов проплывет по течению это расстояние плот?
1102. Катер прошел по течению 90 км за некоторое время. За то же время он прошел бы против течения 70 км. Какое расстояние за это время проплывет плот?
1103. Из пунктов А тл В одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились в 30 км от В. Прибыв в А и В, они повернули обратно. Вторая встреча произошла в 18 км от А. Найдите расстояние между А тл В.
1104. Из АвВиизВвА выехали одновременно два мотоциклиста. Первый прибыл в В через 2,5 ч после встречи, а второй прибыл в А через 1,6 ч после встречи. Сколько часов был в пути каждый мотоциклист?
1105. ИзАвВиизВвА выехали одновременно два автомобиля и встретились через 3 ч. Первый автомобиль пришел в В на 1,1 ч позже, чем второй в А. Во сколько раз скорость второго автомобиля больше скорости первого?
1106. Заготовленную в карьере руду первый самосвал может вывезти на 3 ч быстрее, чем второй. Если треть руды вывезет первый самосвал, а потом оставшуюся часть вывезет второй, то будет затрачено на 7-^- ч больше, чем при одновре-О
менной работе обоих самосвалов. За сколько часов может вывезти руду каждый самосвал?
1107. Два слесаря получили задание. Для его выполнения первому слесарю понадобится на 7 ч больше, чем второму. После того как оба слесаря выполнили половину задания, работу пришлось заканчивать одному второму слесарю и поэтому, задание было выполнено на 4,5 ч позднее, чем если бы всю работу они выполнили вместе. За сколько часов мог бы выполнить задание каждый слесарь?
1108. Дано двузначное число. Число его единиц на 3 меньше числа десятков. Произведение этого числа на число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно 574. Найдите данное число.
1109. Найдите члены пропорции х1:х2 = х3:х4, в которой первый член на 6 больше второго, а третий на 5 больше четвертого. Сумма квадратов всех членов равна 793.
1110. Из города по двум взаимно перпендикулярным дорогам вышли в разное время два пешехода. Скорость одного из них 4 км/ч, а другого 5 км/ч. Сейчас первый находится в семи километрах от города, а второй — в десяти. Через сколько часов расстояние между пешеходами будет 25 км?
2
1111. Докажите, что если 2=~---------(а#=0, 5=/= О,
а "1” Ь
а-}-Ь^О, а — Ь О'), то —-----1—Ц-=— --
1112. Докажите, что если а-\-с = 2Ь и 2bd = с (Ьd), причем 5=/= 0 и d=/=0, то о а
1113. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у=й ; 6) ’ В) у=Х |г|.
1114. Постройте график функции, заданной формулой: а) У=^+х; в)у=|х + 2|;
б) у = л/х7— х; г) у=|х —1|.
1115. Постройте график функций, заданной формулой . 1
У=х+^-
1116. Пересекает ли график функции у = 1 прямую:
а) х = 0; б) у = 0; в) х = 3; г) у = 3?
1117. Постройте график функции:
v 2х + 3 . 12
а) У = ^—! в) У =
6>s=—; ^«=-7Тз-
1118. Докажите, что графиком уравнения ху — 2х-|-Зу — — 6 = 0 является пара пересекающихся прямых.
1119. Докажите, что графиком уравнения (у — 2) (у + 3) = 0 является пара параллельных прямых.
1120. Постройте график уравнения:
а) ху + Зх = 0; г) (х — у)2 + (х —1)2 = 0;
б) (х — у) (у — 5) = 0; д) х2 —4 = 0;
в) (ху— 6) (у — 3) = 0; е) у2 — 9 = 0.
1121. Докажите, что если числа а, Ъ я с таковы, что a-f-b^O, 5 + с =/= о, с + а =/= 0, то при
а—Ь Ь — с с —а
Х =—~~Г > У — -Г-,— . 2 =—;—
a-i-b 3 64-е c-f-a
верно равенство (1 + х) (1 + у) (1 -|- z) = (1 — х) (1 — у) (1 — z).
1122. На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько точек отмечено на плоскости, если известно, что всего проведено 45 прямых?
СВЕДЕНИЯ
ИЗ КУРСА АЛГЕБРЫ
VII КЛАССА
Выражения и их преобразования
1. Степенью числа а с натуральным показателем л, большим 1, называется произведение л множителей, каждый из которых равен а:
ап—а-а-...-а.
л раз
Степенью числа а с показателем 1 называется само число а:
а} =а.
Степень числа а-/-0 с показателем 0 равна 1:
л° = 1.
2. Свойства степеней с натуральными показателями:
а) ат-ап = а"' + п.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
б) ат:ап = ат~п, где а=И=О, т^п.
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
в) (a'n)n = amn.
При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.
г) (ab)n=anbn.
При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.
3. Одночленами называют произведения чисел, переменных и их степеней, а также сами числа, переменные и их степени. Например, 5а2х, — За2Ь3, 4, х, у5 — одночлены.
Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех переменных, входящих в одночлен. Например, степень одночлена —8а2 Ь* равна 6.
4. Многочленом называется сумма одночленов. Например, Зх5 — 4х2 + 1> 7а3Ь— ab2 + a& + 6 — многочлены. Одночлены считают многочленами, состоящими из одного члена.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Например, степень многочлена 5х3у -\-Зх2у3 ху равна степени одночлена Зх2уэ, т. е. равна 7.
Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.
5. При сложении многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Например, (3ab-|-5c2) + (ab— с2) = = ЗаЬ + 5с2 + ab — с'1 = 4аЬ + 4с2.
При вычитании многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Например, (6х2— у) — (2х2— 8у) = = 6х2 — у — 2х2 + Зу = 4х2 + 7у.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен па каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Например, а2 (ЗаЪ — Ь3+ 1)= За3Ь — -а2Ь3 + а2.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Например, (5х - 1) (Зх + 2) = 15х2 — Зх + 10х — 2 = 15х2 + 7х — 2.
6. Формулы сокращенного умножения:
а) (а + Ь)2 = а2 + 2а& + &2.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
б) (а — Ъ)2 = а2 — 2ab-\-b2.
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
в) (а — Ъ) (а + &) = а2 — Ъ2.
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
7. Разложением многочлена на множители называют представление многочлена в виде произведения многочленов.
Для разложения многочленов на множители применяют вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращенного умножения. Например, многочлен 5х3— х2у можно разложить на множители, вынеся за скобки х2: 5х3— х2у = х2 (5х— у). Многочлен Зх —Зу — ах-\-ау можно разложить на множители, используя способ группировки: Зх —Зу —ах + ау = (3х —Зу) —(ах —ау) = 3 (х — у) — а (х — у) = = (х— у)(3 — а). Многочлен а4 — 25х2 можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов двух выражений: а4 — 25х2 = (а2)2 — (5х)2 = (а2 — 5х) (а2 + 5х).
Иногда многочлен удается разложить на множители, применив последовательно несколько способов.
Сумму и разность кубов раскладывают на множители по формулам
а3 + ь3 = (а + b) (a2 — аЬ -|- Ь2) и а3 —&3=(а— Ь) (а2-|-ад + Ь2).
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности;
разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.
Уравнения
8. Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, число 8 — корень уравнения Зх-)-1 = = 5х—15, так как равенство 3-8-[-1 = 5-8—15 является верным.
Решить уравнение с одной переменной — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
9. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Например, уравнения х2 = 25 и (х + 5)(х- 5) О равносильны. Каждое из них имеет два корня: —5 и 5. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.
При решении уравнений с одной переменной используются следующие свойства:
если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
10. Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида ах = Ь, где х — переменная, а и Ь — числа.
Если а=#0, то уравнение ах=Ъ имеет единственный корень
-у. Например, уравнение 7х = 2 имеет корень -у-.
Если а = 0 и Ь =/= 0, то уравнение ах = Ь не имеет корней. Например, уравнение 0-х = 7 не имеет корней.
Если а = 0 и Ь = 0, то корнем уравнения ах = Ъ является любое число.
11. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство. Например, пара чисел х= — 1, у = 4 — решение уравнения 5х + 3у = 7.
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.
В уравнении с двумя переменными можно переносить слагаемые из одной части в другую, изменяя их знаки, и обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю. При этом получаются уравнения, равносильные исходному.
12. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ах-{-Ъу=с, где х и у — переменные, а, Ъ и с — числа.
13. Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен йулю, является прямая.
14. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое
уравнение системы в верное равенство. Например, пара чисел
х = 7, у= —1 — решение системы
х + у = 6, 2х — у = 15,
так как каж-
дое из равенств 7-|-( — 1) = 6и2-7 — (— 1)=15 является верным.
Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
15. Для решения систем линейных уравнений с двумя переменными используются способ подстановки, способ сложения, графический способ.
Функции
16. Функциональная зависимость, или функция,— это такая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
17. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида уlex [ft, где х — независимая переменная, k и Ь — числа.
Графиком линейной функции y--kx-\-b является прямая. Число k называют угловым коэффициентом прямой, являющейся графиком функции у —kx -| Ь.
Если fe#=0, то график функции у--~-1сх-\-Ь пересекает ось х; если fe = O и b5^0, то прямая -график функции y = fex + &, параллельна оси х; если 1г ОиЬ =0, то график функции совпадает с осью х.
Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты различны, и параллельны, если их угловые коэффициенты одинаковы.
Линейную функцию, задаваемую формулой y = kx при k=^0, называют прямой пропорциональностью.
График прямой пропорциональности есть прямая, проходящая через начало координат. При k > 0 график расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при fe < 0 — во второй и четвертой координатных четвертях.
18. График функции у = х2— парабола. Этот график проходит через начало координат и расположен в первой и второй координатных четвертях. Он симметричен относительно оси у.
График функции у = х3 проходит через начало координат и расположен в первой и третьей координатных четвертях. Он симметричен относительно начала координат.
Приближенные вычисления
19. Абсолютной погрешностью приближенного значения числа называется модуль разности точного и приближенного значений.
Если абсолютная погрешность приближенного значения не превосходит числа Л, то это значение называют приближенным значением с точностью до Л.
Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.
ПРЕДМЕТНЫЙ
УКАЗАТЕЛЬ
Верная цифра 123
Внесение множителя под знак корня 88
Вынесение множителя из-под знака корня 88
Выражение дробное 3
— рациональное 3
— целое 3
Гипербола 42
Действительные числа 62
Днскрнминант квадратного уравнения 113
Дополнительный множитель 9
Допустимые значения переменных 4
Дробь бесконечная десятичная 57
----— непериодическая 57
-------периодическая 62
Иррациональное число 62
Квадратный корень 66 ------ арифметический 66
Неравенства равносильные 159
Неравенство линейное с одной переменной 161
Обратная пропорциональность 40
Основное свойство дроби 9
Период десятичной дроби 57
Подкоренное выражение 66
Порядок числа 189
Рациональная дробь 4
Рациональное число 55
Решение неравенства 159
— системы неравенств 167
Сложение числовых неравенств 151
Стандартный вид числа 189
Степень с целым показателем 182
Теорема Виета 121
--- обратная 122
Тождественно равные выражения 8
Тождественное преобразование выражений 8
Тождество 8
Умножение числовых неравенств 151
Уравнение дробное 126
— квадратное 105
---неполное 105
— — приведенное 109
— рациональное 126
— • целое 126
Формула корней квадратного уравнения 113
Числовой промежуток 155
ОТВЕТЫ
Глава I.
О
4. а) —10; б) 2,5; в) —15,5; г) 4. 9. t=—•—; а) 2,5; б) 2. 13. д) Все
U| -f- V2
числа, кроме —6 и 6; е) все числа, кроме — 7
р2а2 85 1
в) г) 2т; д) -—; е) 27. а) 1; б) 3.
45 ОС О
и 0.
29. а)
.2 . 5х ч 1 , _ . у — 4 „ 5
в)^; г)-; д)-; е) Зх. 30. а)—’,6)^-^
Д) е) 31. а) —б) а2 + аЬ + Ь2.
а— & у — о а + &
. х ,, 5 „ 2 „ р-)-5д ч х —2
33. а) — ; б) -д-; в) ——=-; г) —=— ; д) —— ;
у о тп— ( & X
25. а) ; б)
2х‘у
а+45 35—4с
2аЬ : ' ~2Ь
В)
г)
6с d-3
32. а) 100; б) 1,5
е)-^-
’ У + 8
ж)
с + 2 .
7с ’
1 а —1
3)^+4- 34. а)Зх-У;б)^;В)^;Г)1-а+а2. 35. а) *±1
B)S|; Г)Й- а7-8)-1’ л)а + ь
„„ „ 3 1 , а+5 „ 3 „ 8а + 8Ь „ t „
е) 1. 38. в) -т; г) -у ; д)-3-; е) —; ж) ; з) Ь-2
а 4“ 2 — Ъ 1 . 3 х -|- 2.3 — а Л а
39. а)-&—;б) —; В) -2Т; г) ; д)_; е) . 40. а)х
б) _у<; в) — 55; г) с3—с2. 41. а) — у ; б) 0,01; 42. а) 4а —45
б) 9c+27d; в) а2
В) а2 —2а ’
9х + 18у _ 2х—у
5 ! Г) 50х + 25у ’
40х ,ч
46> a)-i5P^= 6)
— 4а — а2
е) 16 —а2
47.
5а Ьсг З5аэс3
а) -3.2
б) 0,1; в) 12; г) —0,5; д) 5. 48. в)
5х2 + 12ху- 18 г/2; г) За2 — О.баЬ
ч 27 —13х 15р —2 . У-1
z op
. d 4 12 ,2
e) - T= ж) ~ь : 3> -3 •
57. a) 100; 6) 10. 58. a) 16,25; 6) 6.
59. a) ——б) а+^ ; в) 2; г) -5; д) а-4; е) х—Зу. 60. а) --у —1 с —3 2 р — q
6)5; в) 1; г)-1; Д)—е) у + 1. 62. а) ; б) J__. Q-po Х — Э * —О
63. а)^±; 6)|±J-. 67. а) 7;
б) 3; в) 1; г) —20.
70. э) -=^-72с
, 11а 2 ч Зу2 —4Ь2
И) 905 ’ 71' 6) 15 5 Г) 1205у ’
74 м а! + ь! • 4а2-3а5-352.
73- г) ~а^Ь— ’ д) -’ в)
а2Ь
72. д) 4^+1^; 36а
х2-ху-2у2
6" 2 • 74«
х*у*
е)
а)
9х + 16
24у ‘
2^-3 .
12Х3 5
2Ь— 1 б)-6^= В>
а2 — Ь2 . ЗаЬ ’
б)
ж)
а2 + Ьг
79.
а — 6
В)~6~
5а2 —6
Тб? ; Г)
Ь2х — 2Ь _ .а
-&?- • 75-в)0: Г)Т-
76.
а)
!/z
г)
Зт2— 2п2 6т2п2
77.
Д)
е)------
2р
э)
. 41а —5
г)-^2—; А)
78. в)
5Ъ — За
2а4-ЗЬ4-3 .
3 :
аЬЬ2 е)—Г—
г)
62+56 —1
80. а)
ft
Зх -j- Зу
4 :
в) .-
4
а
б)-2^: в) 5х + 7у . 17а-(-17Ь + ЗО 4g
12 *) 15 д> ?_4 ’
ei 2а 83 «) - рх—Зр 8ах + 2ау 11а .
' 9?-1 " J 6х2 — х— 2 ’ б) 1 ? — ху — 2у1' ’ ЗОх-60 ’
г) • 85. а) 4оа —144 б) X 2у — Ь У : В) 2g “Ь Ь _ч 12у2-10ху —27Х2
аЬ ’ X2- 87. д) — X Г) 6х3 + 13х2у + 6ху^ -6х ч 2
х — 5 6 — 1 86. а) =—-; б) -^-2 5х бу - В> ab : г) ~^ь-
— 3 ’ С) а2 —1 '
ИЯ „1 8g 2у2 89. а) 2х
ВИ- а) (a-5)(ft + 8) ’ (2у-|-3) (Зх — 2) ’ (За-1) (х+2) ’
7х2 „„ , х — и Ь — с . а 4-у . а + 1 , 2 — Ь
б) (2х—1)(2у + 3)' °’а)х+^: J Ь + с;В) аТ/;Г) ?^Т' 91‘а) Ь2 +2ftJ
Ь — 5а , х —4а а —10у „„ v 6а 4-8 Зх
) aft + 5а2 ’ В х2 + 4ах ’ Г а2 + 10ау ' " а3 — 4а ’ х2 —16 ’
в> Й^Т: г> -4?РГ; д) 2: е) °- 93- а) -4: 6) -17- 94- а>
б) Р' + РЧ + Ч2’ В) Г) ^Т4- 95, а) у"Т"2 5 6) : В) 2(х —у)2 :
. а2 . 8 . „ 36 ч 2х —4 ч 1
Г) 6(6—a)2" 96, а) 2а+Ь’ б) (а-3)2(а + 3)2 ’ В) х“ + 2х + 4 1 Г) а-1 '
2 1 2х—Ъ 4 2$и
W-a)^4ft; б>-; В) g + 2ftx-+ft^; 1O°-t=?^25 =
ft6c* а>-64^- 119
121. в) ;
ОХ
ч 40 мин. 102. а) 0;
е)
г)
б) 0. 106. 63 т.
10а2х
112- Д> Т»^5
115. в) " ’ 1000m3
а) 4 ч 10 мин; б) 5 ч 20 мин. 101. t=-^^—; 6 v (и — 2)
107. а) s = ut, t = — ; б) V т V =—. Р 111. в) — т ; д) — • а
15ху 13тх Их2 т‘
4а 113. д) -х—; е) on ЗаЬ ' 114- a) 56Т ; б)
81а6 . 4а*62 ч 27х6 1000m'1
lb’-1 116- В) 9^??; Г) 8у9 117. ж) пьрл
Уг~2у ч 2а2Ь + 6аЬ2 - ; г) гг: • 120. в) —- ; Г) Д-.
Зу + 6 a — 3ft ах// X
х а" 1П/ -1 30
г)---------------
122. в) Л
, 36
г) —ГТ*
6
123. a) 1; б) -1^-; 2 . 2а :>.b 6х —56 21’ ‘ ’* гг | aft ’ ах+5а
126. а) — — 9х + 20 6 б) а2 4-2аЬ + а + 2Ь 12 в) Зу--15-’ 2у + 12 127. a) -g° ; оа + о
б) а — 4Ь 128. а) 3 ч; б) 2 ч 31 мин. 130. а) х = -Ц^ О Ь . 26 —а
а — Ь » б) X *
в) х = аЬ — а; г) х=10&- -10а. 132. д) - 5х 2аса 14а ’ е) * * Ъ '3 2х -. 133. д) у; Зпгу
е) 450г3 135. а) 5™3 . 2у За» = 6) х2 ’ В) ас 36 d ’ Г 4ху „л G.X 136. в)-^;
ab
г) 9 . 4т Д) 216 ’ е) □ 6аЬ— ЗЬ К’ 2а- + аЬ ’ Юта 3) 2т- Зп
1 <V7 al а2 г) 1 2т ' Д х —Зу а —ЗЬ ’ е) а+ 36 ’ 138-д) зДб;
±04 • BI .1 а — 2а —15 ’
9р + 3 10
е)-----139. а) — ; -1; б) 0,42. 140. в) -у
q 11 а‘
141. в) ^±1; а — х 2ар — 6а 11о , 8 . « с —6 ас —За1
•' р2 + 2р + 4 ’ " 2& + 3 ’
143. 2 км/ч. lit аЪ /» • ЙЪ h аС 147 al Х~ у • 61 “3 = 6) та”
а + о а —с у
. (а + 6)2 . г) 0 тзя a) 2х+1 . 61 5у • в) — а; г) х.
в) ь2 , 149 а) Ю °' 148’ а) 2х—1 ’ б) ——5-. 150. а) 6; х — 3 6) I/+1’ п) б) 10. 151. а) а — о
СО | Н \о
14Э’ ’ 2та + 1 *
РУ 1 ab • 152- ») -д^г; б . 6х — 1 с > в) а ; 1 2а + 2у ’ ах —За ‘
153. а) — 2х; б) 1 1+а. 3g — Зр ' 1 —а ’ г) 1,5х; д) е) у —5.
154. а) 1; б) а; в) х2 + 1; г) —та. 155. а) 2х2 + 2ху; б) 2ху
ап —а2 г) 2аЬ —4а2 , 3 • б) “ в) У
В) а + п ’ 2а + Ь ' 1-х ’ 1 4а + 8 ’
157. а) 1 , , д а -J-1 4х^ — ; б) 1. 162. д) ху ; е) а2 + Ь2. 163. ' Х~1 Я) х+1;
х3 4- U б) 1; в) ,3 ,3 : , аЬ + &с + ас , , 2х —а ’ а+& + с ' 164- а) 2х + а ; б) а —Ь + Зс а + Ь — с
В1 у + х г) - ХУ 165 al б) 4- • 186. а) 3 ь ; б) -1.
У~х х + у ’ 165’ Д) &2’
168. а) у = Зх + 4; б)у=—|х. 170. 12 см и 32 см. 171. Через 4 ч.
182. a) z/=— ; б) у = — ; в) у = — . 186. -3 - . 190. д) х (х — 1) (х2 +1);
X X X X | ।
е) с(с + 1)(с —1)(с-2); ж) 4 (1 — За) (1 + 2а); з) (76+ 3) (3 - 56); л) (2а + 1)Х
Х(а2+а + 1); м) (2 —Ь)(7Ь2 + 8Ь + 4). 193. и ; 45 км/ч; 80км/ч.
t — о
194. д) Все числа, кроме —3 (Д + З)г. 3 —а ’
б) -—?; в) Ь + а--; г) ’ а+с’ ’ 2Ь — 2а ’ ’
, а — 2 , 2х— у
200. д) ----; с) ----
а4- Ь 4 _
201. а)
е)
хи I ~ 2
3; е) все числа. 199. а) --;
ху + 34
4Уг+,2У+1 . 25а
2^4 У ’ х’ 5а + ЗЬ’
__1
ЬЧ
—-——г) 1 —аб. ху — z2
Зх+2
204. а) •£; б) 1|; «) 45;
72 = 3, 4, 6, 2; 6) 4-;
и ч а’-62 2^ + 1 аЬ ’
, Зх ч 2т+ 1 Г) ~4~ ’ д) 12пг—6 : 4-; б) 1. 223. а) При abc
225. а) При тг= ±1, ±3; б) при п — ±1, ±3, ±9; в) при тг=—8,
' 9 ’ '
2, 3, 6; б) при
г)4-
12; в)
207. а) -4; б)
при 72 = 1, 2,
0,9.
210.
209. а) При /2=1,
г) 1,4.
в) —; у
219. а)
а = 7.
211. а)
“)
1;
Д)
е)
г) 0,5. 214. д)
20
1; е) 15а + 8 ‘ iy-
а = -6; б)
а) 6; б) 4; в) 0,2; 46-2с
з.
3 + %У-; е) 1. 215.а) ,
х — Ту ' 2Ь+с
8
ж)
при
217.а)^;б)3 ,
ба2 4-3 2х — 2у
а’ —1 ’ 3) х2 4- xi/ 4- у2 ' а = 5; в) при а = 6; г) при
— 5, — 4, —3, -1, 0, 1, 4. 226. а) а = 2, 6 = 3; б) а = 8, 6 = 3.
22* *) §4$: 6) 1.
. ху 3___
В) х + Зу ’ Г) 2а —Зс 238. а) х2 —т/2; б) а.
аЬ 237‘ а) а+Ч; 242. а) 1^12 О
б) 1. 236.
б)
— ху, в)
б) 4“
а) г=Ъ: 6) 3x-3j/:
Д . . (с + 2)2 (2а —6)2 ’ ' (с-2)2 •
-12’ Г|ЧЧ
243. а) б) °. + *д ; в) г) х4-1. 250. При 6 = 2 и 6=-3.
y — z а—х3 2x4-1
б) 4;
4
и
; б)
; в)
Глава II
259. в) 0,(142857); г) -2,(2); д) -0,5(3); и) -1,075(0). 260. б) 0,2(3); в) 0,(428571); г) -0,625(0). 265. а) 4° ; б) ------------. 279. а) 3,2;
а + ь (х4-1)2
б) 3,11; в) 3,115. 280. а) 16,6; б) 16,56. 281. 28,26 см. 282. 314 м2.
283. у. 293. ж) 10; з) 6,2. 294. д) —0,01; е) 0,09; ж) -0,7; з) 3. 801. а) При х = 9,2; б)прих = 13,5; в) при х = 1,5. 303. —1. 309. д) —0,7 и 0,7; е) —д/40 и ->/40; ж) —8 и 8; з) корней нет. 310. а) Корней нет; б) —0,3 и 0,3; в) —V60 и ->/бб; г) корней иет. 311. а) —2 и 8; б) —7 и —1; в) 6—-/7 и 64-77; г) — 2 — Тб и —24-д/б. 317. а) 1,29; б) 19; в) 42; г) —17. 318. а) —12; б) —45; в) 0; г) 2. 320. а) -3; б) 3. 321. а) * > б) 16а (а 4-1). 325. -/б = 2,44... . 326. 710 3,1... .
Zo ^Z — Xj
328.4,2 см. 330. а)л/а4-6; б) a-fi; в) а—^/Ь; г) /а -/7. 331. а) 10,12; б) 6,17; в) 7,04; г) 0,95; д) 4,08; е) 14,88. 332. а) 1,932; б) 1,189. 333. а) 7,84; б) 8,12. 334. а) —5,48 и 5,48; б) 1,20 и 1,20; в) —0,46 и 6,46; г) —3,83 и 1,83. 335. а) —0,3; б) 6,6; в) 6,6; г) 9. 337. а) 3; б) -2,5. 339. а) б) |^=-3-Ч 352. а) 8,2; б) 36; в) 12; г) - 5.
D —р au “р i>.C ‘
ЗСО. а) 12; б) 10,8; в) 0,0033; г) 1— ; д) 2— ; е) 3— . 361. а) 9; б) 0,24; 8 3 ' & * * * J
в) ; г) I-з-. 362. а) 180; б) 50; в) 48; г) 28; д) 30; е) 6; ж) 24; 15 о
з) 2,6. 363. а) 60; 6) 60; в) 42; г) 32. 364. д) 12; е) 12. 365. д) 6;
е) 370. д) 4,5; е) 3,1; ж) 0,22; з) 0,58. 371. в) 0,27; г) 3,9. 16
372. ж) 15; з) 2. 383. а) 130; б) 7. 387. в) Зс; г) — Зу; д) — 6х; е) Зу;
ж) — 10х; з) — 2а. 388. в) — 0,8х; г) 0,5^. 390. а) — 0,7х’; б) 0,1а13;
в) бс6; г) Зу*. 392. ж) 45; з) 392. 393. д) 48; е) 1125; ж) 112; з) 675. 394. а) 144; б) 225; в) 168; г) 825. 395. а) 48; б) 135; в) 504.
398. ~~~ • 412. б) — уд/1б; в) хл/х; г) a2^Ja; д) 4у3~\[у; е) —
413. а) 2ад/2а; б) 10Ь2д/36; в) — 4хд/3; г) 6а2д/2; Д) 5а3д/2а; е) — 3сэд/3.
414. б) — yi/З; в) За-\[а; г) 5Ь2д/2. 415. 416. В первый день пере-
плели 36 книг, во второй — 48 книг, в третий — 60 книг. 417. а) —2,5; б) —7,2. 418. з) 3-^2; и) д/3; к) 2д/2. 419. д) — Зд/2; е) Зл/2. 420. г) 15; д) 21; е) 12 —2д/б. 421. в) 5-Зд/2; г) 60. 422. в) 18 —7д/6; г) 17 —5д/1б; д) 2—д/15; е) 9д/б —33. 424. в) 6; г) —0,5; ж) 42 —8-^5; з)66 —36д/2. 425. а) 11; 6)8; в) 32; г) 60; д) 14; ё) 8. 426. д) 6; е) —19;
ж) 38; з)2. 429. е)—J-------; ж) — д/7; з) д/5; и) . 43О.д)^ + л^ •
, 2д/х -}-Зуу -ух • д/2 ’
е) 2~^ ; ж)^?; з)—_; и) . 439.20. 440.28 км. 441. а)-1;
5 3 Vх уа
б) 8-|-. 451. в) 0,(846153); г) 0,(037); д) 0,0(571428); е) -0,3(18);
О
ж) 0,7(6); з) 0,2(18). 455. г) е) 1; з) А; и) 1; к) ||. 458. б) ; д) 40,5. 45$. 49. 464. а) При х>0; б) при х>0; в) при х^0, кроме х=/=1.
7 15 77
468. в) 9,1; г) 1,08. 469. а) 8,5; б) в) —; г) 470. а) 45; б) 0,9; ао ЛЭ loo
в) 100; г) 0,04. 473. г) 3,2; д) 8,1; е) 0,001; ж) —64; з) 0,025.
478. г) -0,5ру3; е) -U-; ж) з) 480. a) |а|д/15; б) 21Х2 д/3;
О у ой
в) 0,5хд/бх; г) За2 д/a; д) За|а|д/2Ь; е) — 4т3д/За. 481. а) — Зад/Ь;
в) 12аЬд/аЬ; д) — с д/—Зе; е) — т3 д/—5m; з) — д/ —х. 484. в) — д/За3;
г) —\/ — За3; е) д/2а3Ь; з) д/аЬ2-|-а2Ь. 487. б) x-f-д/х^; г) m д/л —л д/m; е) За —
—д/аЬ —26; з)6х —5х д/2. 488. в) т д/т —л д/л; г) х3д/у. 490.в) 2; г) З-i .
495. а) х + д/ху + у; б) ------; в) д/2—д/х; г)' —4—-. 496. а) д/2;
а—yjab -|-Ь д/а-|-д/8
б) 4-; в) г) д) л/3; 'е) д/16-д/3-1. 498. а)
V2 д/2 д/2 Х~У
27—а д/а . 1-|-8хд/х а36д/б —8
б) 9 —а ; В) 1 —4х ; Г) ~~а26 —4 ~
499. a) Х -L; б) х+^/ху
а2 — 6
а2 д/б — аб
49-a mn—l 2 + ^2-^в л/б-З/З |-2 /1.5 |-4
в) --------•=; г) -—-------. 500. а) --------; б)---------—-------
343 +а-у® тпутп-1 4
501. При х = 0. 502. а) —б) 5^/15; в) -у/3; г) 3,5 /б. 503. а) — А
б) -y/ab (а — 6).
Глава III
511. а) 0; -1,5; б) - -Аб; ±^/в; в) 0; 4 ; г) 0; + ; д) — А-; А ; е) - ^3; V3. 512. а) 0; 2; б) -1; 1; в) 0; А ; г) 0. 513. а) 0;-1; б) —А^/б; 4р/б;
2 11 2 г~ г~ ' " 3 <—
В) 0; — ; г) —-д/2; —д/2; д) — ; е) — д/б; д/б. 514. а) 0; —9; б) —-^2; О а а «7 . м
3 г- 1 г- 1 Г- 1
—-5/2; в) ——-\/5; -77 д/б; г) —2; 2; д) -3-; е) корней нет. 515. 2 и 3. 2 2 2 о
516. 12 см. 517. 4V'3 см. 518. А. дм. 519. см. 521. 3,96; 59. Л
523. б) А. 524. в1-1;6; г) -1; 9. 526. а) 2; 4; б) -3; 2; в) — 3; — 1;
г) — 2-л/б; — 2+V6. 527. а) 2; 2,5; б) —1,6; 1. 528. —3; 0,2. 530. .
531. а) 9; б) А. 534. а) 1; А ; б) 0,6; 1; в) 2; 24 ; г) 2-i ; 2; д) 1; 0,2; 4 о о 2
е) -3; 2-4; ж) -2; 12; а) -10; 9. 535. а) -А 4 5 б) ;
4 7 2 2
в) корней нет; г) 4 ; д) — 8; 19; е) корней нет. 536. а) 0,2; 2; б) —6; 2,5;
в) 14 ; г) —; 4 • д) : е) 4 • 537. а) При х = 5 н х = 6; б) при О О ( 4
7-л/41 7+д/41 , «о. А
х—---------и х=?—; в) при х = 0 и х = 3; г) при х=—1 и х = 1.
2
538. а) При х=2 и х=9; б) при х = 0,5 и х = 2. 539. а) 2; 2—; б) 0,2; 3;
в) -10; 8; г) -1; 23; д) 3,5; 5,5; е) -1; гА *) 10 ± А ; з) 5±5/2. 16 I
540. а) 4? 14 • б) в) —4’ г> ~6: 14'> д) ~3±2д/7; е) -6;
4 4 4 и Z
0,8; ж) 17; з) -6-?-; -4. 541. а) —А 3; б) 1; 14; в) -1; -0,8; о Л о
г) 4 • д) корней нет; е) —11; 2; ж) 4; 8; з) 0,7; 0,9. 542. п> 0,2; 2; 6
б)—7; 2; в)3±Зд/2; г)—4; 5; д) 16; 36; в) — 1; 2-1; ж) А ; и) 11 ; 1-Ю 4
543. а) 1; 25; б) —10; 4? в) — 8; 12; г) 4’ 3; Д) 3° 1..Ю/Г»; с) корней О о
нет. 544. а) —0,2; 1,7; 6) ; в) 5 -I /5; г) 4; 0,5. 545. а) -8; 3;
6
б) 1-?- ; 4; в) —91; 87; г) -59; 53. 546. а) -2; -2-?-; б) ; в) 0; 2; 4 3 15
г) — 2; 3. 547. а) —1; 23; б) 2; 2-|-; в) ; 1; г) —5; -3. 548. а) х,«-0,36, х2«0,56; б) х,« — 2,78, х2х — 0,72; в) г/,»—1,26, г/2~1,59; г) ~—9,20, г/2ж1,20. 549. а) Х]А:1,35, х2«6,65; б) у, га0,78, j/2~3,22. 550. а) —1; 2у ; б) —7; 5; в) —0,2; 1,8; г) корней нет; д) 25;
3 1 4
е) —9; 3. 551. а) 7; б) 0,6; 2; в) —— ; 2—. 553. а) -у; б) 7,5.
554. а) ^/3-|-л/2; б) 2 -|- Зл/5. 558. 32 см. 559. 140 м. 560. 10 м, 21 м. 561. 8 см, 15 см. 562. 11 и 12. 564. 30 см. 565. 16 см, 30 см. 566. 15 см.
567. 26. 568. 16, 17 и 18; -18, -17 и -16. 569. б) -------------. 570. а) 1;
о — X з
б) 2. 571. а) 0; 6; б) -1-^; 0. 578. -5; р=— 2. 579. 0,5; д = 6,25. 4
580. 0,6; Ъ= —43. 581. —2; с=-106. 582.35. 583.-8,75. 587. а) 0; 12 1 2 2
—х- ; б) —5- ; ; в) —6; 0,8; г) —2; —g- ; д) при любом х; е) — 1— ;
ооо У О
у. 588. 9,6 м2. 589. 90 см. 590. д) —27; —1; е) —0,2; ж) —0,5; 1;
з) и) 0; -1-. 591. а) —12,5; б) 3; 4; .>) —2-|-; г) -1; 3,5; д) -2; 9 о о
14-; е) 0; —8; ж) 1; 1,5; з) 0; 1,5. 592. в) ; г) 1; 10; д) —1; 1; О 11
е) 1; 2; ж) — 8-^-; 1; з) -3,5; 5. 593. а) З + л/б; б) -6; 5; в) -4-i-; 4 о
2
г) 1; —9; д) корней нет; е) 4. 595. а) 6; б) —3; у ; в) корней нет; г) 5; д! —6; 6; е) —4; 4. 596. а) 2; б) 1; в) —11; г) 6. 597. а) —3; б) 0;
2 - 1 1 ,_
- 1у ; в) 8; г) -3; 3; д) 9; 13; е) 1у ; 2у. 598. а) 1; 7; б) 1±л/14;
„ 5+V17 „ . 1 . 2 „ — 1±л/& „ 7±3л/б
в)—?—; г)1; -9- 599. а) -п; 6; б) —; в) --------------
602. а) -^/у; б) 604. . 605. . 606. 60 км/ч и 40 км/ч.
5 8
607. 18 км/ч. 608. 10 км/ч и 12 км/ч. 609. 70 км/ч и 80 км/ч. 610. 80 км/ч.
611. 6 км/ч или 5 км/ч. 612. 2,5 км/ч. 613. 2 км/ч. 614. 10 ч и 15 ч.
615. 20 дней и 30 дней. 616. 10 дней и 15 дней. 617. 36 км/ч и 40 км/ч.
619. а) 0,1; б) 3,5. 620. 16. 630. 4 км/ч. 631. 30 б) 2Хх^_2уУ • 636. а) 0; 1; б) 0; 6,8; в) -1,2; 1,2; г) 0. б) —8; 7; в) -7; 8; г) 1,6; 2; д) —3-^-; 3; е) —1;
8
га. 632. а) х-у
3
641. а) — 1; —-г ;
4
2 2
4—; ж) —5—; 2; о О
з)Ц^. 642. a) -1,2; 0,2; 6) -4-J ; в) 2-| ; 4; г) !>'' ;
& О О О II
3 2
— 1; д) —=- ; —=- ; е) — 1; 1; ж) —2,5; 2,5; з) при любом х. 645. При э о
а = 8. 649. 10, 11, 12, 13, 14 или —2, —1, 0, 1, 2. 650. —2, 0, 2 или 6, 8, 10.
652. 7 и 8. 655. 9. 657. 0,36 м2 или 0,81 м2. 658. 54X36 см. 659. а) 2^;
3V2; б) —6V3; 4д/3; в) 3±д/2; г) 5±Зд/2. 666. 9,16. 667. с = 3,12. 6fe8. 6= —2, с = 0. 669. 6 = 1, с=—2. 673. а) 11; 13; б)—14; 5; в) —3; 7; г) —5; 4-^-; д) 12; е) корней иет; ж) 3; —5; з) корней нет.
О
677. а) —I б) —1,5; 1; в) корней нет; г) 9; д) 0; е) —5- ; ж) 2±д/35; 4 о
2
з) 0; —1,5. 678. а) 1; — ; б) 0,4; 0,5. 680. 500 км/ч и 600 км/ч. 681. 60 км/ч. 682. 10 ч. 683. 9 ч. 684. 50 км/ч. 685. 60 км/ч. 686. 5 км/ч. 687. 2 км/ч. 688. 3 км/ч. 689. 3 км/ч. 690. 2,4 км/ч. 691. 3 км/ч. 692. 50 км/ч. 693. 40 км/ч. 694. 4 ч 40 мии. 695. 160 км или 200 км. 696. 450 км. 697. 18 км/ч. 698. 48 км/ч или 9 км/ч. 699. 60 см и 80 см. 700. 10 костюмов. 701. 32 пылесоса. 702. 10 дней и 15 дней. 703. 15 дней и 10 дней. 704. 12 ч. 705. 10 ч и 15 ч. 706. 25 ч и 20 ч. Глава IV
726. 3^. 727. а) ; б) 1. 728. а) 1; 5; б) 0,3; 2. 745. ; 22; 0.
746. а) —1; 1; б) 2; в) —6; 3; г) —1; 5. 758. 6X6 дм. 759. у.
769. а) —3; —2; —1; 0; 1; 2. 771. а) —9; б) 16; в) 31; г) 7. 773. а) (5; 8);
б) [—4; 4]; в) (7; 4-оо); г) (—оо ; 6). 776. а) -Д;; б) ~^г • 778. 40 км/ч;
з
45 км/ч. 779. — . 784. а) (5; 4-00); 6) (4; Н-оо); в) (— оо; 1]; г) (—оо; 3]; Д) (—0°; 0,15); е) |у ; + оо) ; ж) (—оо; —0,25); з) (—оо; 0]; и) (—8; + °о); к) (0; + °°); Л) (18; + оо); м) (7; + 00)• 785. а) (— оо; 8,5); б) [ — 0,6; +°°); в) (4; 4-оо); г) (7,5; + оо); д) (1у; + оо) ; е) (1,8; +оо); ж) —оо; у] ; з) (—оо; —2,4]; и) (—оо; 12); к) (0; 4-°°); л) [ — 30; 4-оо); м) [ — 20; -f-oo). 788. а) (-оо; 0,4); б) (—оо; —0,4); В) [—5; 4" °0); Г) [у ; 4-оо); д) (—1,4; 4-оо); е) (—оо; — 1); ж) (—оо; 12,6); з) [—13; 4-оо). 789. а) (—оо; 1); б) (—оо; 2); в) [6; + оо); г) ( — оо; А) ; д) (— оо; 0); е) (— оо; 9); ж) (—13; 4- оо); в) 4- оо) .
790. а) При х>у; б) при у>7; в) при с<—25. 791. а) При а<2,5; б) при р>5. 792. а) ( — оо; —-1-1; б) (9; 4-оо); в) (— оо; —3,1);
г) (—оо; 0,8); д) — оо; 1-5.) ; е) (—оо; 22,5); ж) (—оо; 2). 793. б) [0; Ч-оо); в) (1; Ч-оо); г) |^2-|- ; + оо) ; д) (—оо; 4,7]; е) (4,8; Ч-оо). 794. а) (6; Ч-оо); б) (0; + оо); в) (-оо; —5); г) ( — 3; +<»). 795. а) (-оо; 2); б) (2; + оо); в) ( — 0,4; Ч-оо); г) ( — оо; у^) • 796. а) ( — оо; 14-|-) ; б) Г—=- ; Ч-оо^; в) (—оо; 14]; г) (—17; + оо). 797. а) (2,5; + оо);
L 8 / / 2\
б) (—оо; 6); в) [0; +оо); г) (3; Ч-оо); д) ( — 4; + оо); е) — оо; ——J ;
ж) ( — оо ; 1у) . 798. а) [0; Ч-оо); б) (1у ; Ч- оо) ; в) ; Ч- оо) ; г) f — оо; 2-5-1; д) [14; -|-оо); е) (—оо; 20,5). 799. а) При у <3; б) при \ -I з Г 5 \
у>7; в) при г) ПРИ У<0,1. 800. а) (—оо; 6); 6)11—; Ч-00J ;
в) ( — оо; 12); г) (2; 4- оо); д) £ —1-5-; -[-«>) ; е) (0; Ч-оо). 801. а) ( — оо; 0,2); б) (— оо ; 0,5]; в) (— оо ; 40]; г) (— оо; — 10]. 802. б) ( — оо; ^1; в) [1,5; 4- 00)• г) (— оо; 3,5]; д) (— оо; —10); е) (9; 4- оо). 803. а) — оо; -5-) ; 6) [—5; 4- оо); в) (—оо; —0,6]; г) — оо; —3-5.) . 804. а) При а>0,7; 6) при Ь<3. 805. а) х — любое число; б) решений нет; в) решений нет; г) решений нет.
2 1
808. а) При х~^ 2; б) при а ; в) при a —— ; г) при 1,4; д) при х^ 0,2; О о
е) при х^б. 809. а) 3; б) 24. 810. а) 1; 2; 3; 4; 6) 1; 2. 811. Меньше 2 см.
2
812. Меньше 12,15 дм. 813. Не более 26—км. 814. 3. 815. а) 1; 4; 6) 0; 1. 3
817. 12 км/ч. 821. а) (6; Ч~ оо); 6) (—оо; —1); в) ^0; 3-5-) ; г) решений пет. 822. а) (0,8; -|-оо); 6) [2; 4]; в)(-|-; -|-) ; г) (0,1; 0,2). 823. а) [2; 2,5]; 6) (1,5; 3);
25
в) (0; 15); г) (— оо;
г) [3; 6,7). 826. а
827. а) ( — оо;
г) — оо; -5.J. 824. а) (—12; 2]; б) решений нет; — 3). 825. а) ( — 1; 0,8); 6) (— оо; —1,5]; в) ; -|- оо ) ;
2,4); б) решений нет; —8; I'jj'J ’ + 00)•
Ч-оо) ; в) [з; 6]; г) [ — 1; 1,5]. 828. а) (3; Ч-оо);
б) (— оо; —3); в) [—11; 3]; г) решений нет. 829. а) ^ 2; 3—J ; б) (0,1; Ч- оо);
в) ( — 0,24; Ч-°°); г) (— оо; —1,8). 830. а) —4, —3, -2, —1, 0, 1, 2, 3;
б) 2, 3, 4, 5, 6; в) —1, 0, 1, 2, 3. 831. а) 0, 1, 2, 3; б) 4, 5, 6, 7; в) 1; г) 1.
832. а) (— оо; 2,8); 6) решений нет. 833. а) (- оо; 6); б) (1; 15); в) [0,6; 5];
г) (2; 16]. 834. a) ; 9^ ; б) ( — 2; —1); в) решений нет; г) ; 2J. 835. а) (-1; 2); б) (-12; 17); в) (0,5; 2); г) (-1; 3). 836. а) [-2у ; sj;
б) [-11; 7]; в)[-5; -1]; г)[-^ > 2} 837- “И”1! 2>: б> в> (-°-7:
г)( —14- ; 1]. 838. а) При 14- <у < 2; б) при 0,5 Ь ^6,5. 840. а) (*— со; 2); \ 4 4 J 5
12 2
б) (1; 4). 841. а) (1; 7); б) (1; 3). 842. а) —; б) х>2,2; в) х^=—.
2и о
843. 1, 2, 3, 4, 6, 12. 845. 10 км/ч, 15 км/ч. 865. а) — 6 <а + 2Ь < — 3;
б) -11,5 <4 а— Ъ< -9.
866. 5,2 <—£—<5,25.
879. а) (-оо; -60); б)
(4,8; 4-оо); в) (0,56; -|-
868. 4,8 <^±^<4,9.
Д) (—оо; —1); е) ^1-|-;
4-ое). 880. а) (—оо; —115); б) (0,2; -j-oo);
в) (—оо; 15); г) (—оо; 1,4). 881. а) (—оо; 0,325); б) (— 1; -|-со).
882. а) 1, 2, 3, 4; 6) 1, 2, 3, 4, 5. 883. Таких значений
иет; б) при любом значении х. 884. а) (—оо; -|-оо); б) (—оо; -|-оо). 885. а) При а>0; б) при а>2; в) при а>—3; г) при
а>—7. 886. а) При Ь<0;
б) при Ь<— 4; в) при Ь<—3; г) при
Ь<—0,2. 887. а) При т>8; б) при т<2; в) при — 6;
г) при т<3,5. 889. Не более 5 наборов красок. 890. Более 6 км/ч. 891. Более 18 км/ч. 893. а) (9; 4-оо); б) (—оо; 0); в) решений нет; г) решений нет. 895. а) ^-1; -|- оо^ ; б) (0,1; 5); в) решений нет; г) (0,8; -|-оо); д) (—оо; 0,2); с) 1 — ; -|-оо^. 896. а) 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9; б) —10; в) I; г) 2, 3. 4, 5. 897. а) ( — 3; 6); б) (1,5; 2,5).
898. а) При 1,5<х<4,5; б) при 5- х- 15. 899. а) ^0; -g-^ ; б) (0; 0,8).
900. а) ( — 1; 0); б) ( — 5; 0). 901. Дороже 1 р. 16 к., но дешевле 2 р. 04 к.
902. Более 10 км и менее 10 км.
Глава V
90». г) ”, д, О 910. •>.*., 0) -1; •) 1; г)
д) 6; е) 125. 919. в) - ‘ г) (ХУ~2И* + 2У) . 920. а) А ;
' ab ху аЪ
б) т- 922. 12,5 км/ч. 923. а)х>4-- 926. б) 3; г) 25; е) 0,001.
а Ь (Ь —а) »
932. а) 2°; б) 2 *; d) 2\ г) 2\ 934. а) 1; б) 27; в) 1000; г) — ; д) 2;
2 и
е) 1; ж) 81; з) 15 625. 935. а) 5; б) 1; в) ; г) 144; д) -1; е) ± . 00 4 01
938. a) x~2-, 6) x5; в) x" + 7; г) x4-". 940. a) —1; 6) 6. 941. a) 0,224.
6) 125. 945. a) -j-x’t/1; 6) 81ab7; в) 15x°t/®; r) -7-P5?10. 946. a) -i- xy"; o 4 О
7 8
б) -^-а4Ь4; в) 5c3p3; r) 947. a) 4x; 6) 36; в) 4a'b7c*; r) — x-2j/5z.
Э О
948. a) 27x3t/; б) 20асЬ~-; в) 4а-'°Ь12; г) -£- х“5/. 950. 3 км/ч. 952. а) Ре-1 2
шений нет; б) х<——. 961. а) 4,55-Ю5; б) 2,288-Ю2. 962. а) 8,25-Ю3;
б) 2,5625-10 963. а) 2,1 • 102; б) 1,5-103. 967. 1,404-Ю3 кг.
968. 96 км/ч. 969. а) 42,966; б) 17,856. 970. а) 2&г'; б) — у х~-у.
971. а) ( — со; — 1^ ; 6) ( — со; -1]. 984. а) 6,594 10е; б) 8. 985. Решений нет. 986. -\/2 —9. 993. 0,92 кг. 994. 21,21 м. 995. 13,78 Ом.
996. 527 м2. 997. На 1,10 -102' т. 998. а) 7,5-107; б) 8,0-103;
в) 8,26-Ю2; г) 1,4-10-4. 999. a) 1,610s; б) 6.2-102. 1004. 21,9 м2.
1005. 4,93 га. 1006. 1,6 км. 1007. а) 25,2 м; б) 3,4 м. 1008. 9,2 м. 1009. 37 см3. 1010. 48,2 см, 1,310s см2. 1011. а) 1,04-Ю3. 1012. 6,3. 1013. а) 2,2-102 см2; б) 1,98-103 м2. 1014. 70 т. 1018. 20 км/ч. 1023. а) 1,0-10’; б) 1,2-10-°. 1024. 11 км/с. 1029. На 0,05 м3.
О
1036. а) 10 000; б) —. 1039. а) ^1600; б) —0,08; в) -1000; г) 11; д) 7; е) 5.
25
х —
а)^;б)
1041.
У(х + У). "2 • У2 — ^ 1П49 „х 1 *.
----ч---, в) ------пг » г) -ч" . 1042. а) -------;---г,
X- {т — п) х у ху (х + у)
б) —(а+Ь). 1043. а) 0,45Ь2; б) 0,25x3i/-3; в) 4,8г/-'; г) —12,5; д) -|-а-3&4; и
е) 61х-4^2. 1048. а) х17; б) а12. 1050. а) З"; б) 2~п. 1053. а) 2,38-104;
б) 1,62-10-'; в) ЗЮ3; г) 8,67-Ю17. 1054. а) 1,43-10®; б) 4,071-Ю3;
в) 9-Ю-4; г) 2,13-10®. 1064. 25,6. 1067. 48,2 м и 1,3-102 м2.
Задачи повышенной трудности
1078. a) б) 2а + * 1079. х = 2, у = 1, 2 = 3, и=-1,
х + а ' 4а3 + 2а--|-а ’
v=— 2. 1082. 2. 1083. х = 1, у = 2. 1085. а) 2; б) 1.
1087.(x2 + x + l)(x2-x + i)(x2 + x V3 + l)(x2-x V3 + 1). 1095. -6. 1096. ±16. 1097. 2. 1099. 160 км. 1100. 10 м. 1101. 60 ч. 1102. 10 км. 1103. 72 км. 1104. 4,5 ч и 3,6 ч. 1105. В 1,2 раза. 1106. За 12 ч и 15 ч. 1107. За 28 ч и 21 ч. 1110. Через 2 ч. 1122. 10.
ОГЛАВЛЕНИЕ
bi
Глава I.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
§ 1. Рациональные дроби и их свойства
3
1. Рациональные выражения...............................3
2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей...........8
§ 2. Сумма и разность дробей...................................14
3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями 14
4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями 19
§ 3. Произведение и частное дробей.......................26
5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень..........26
6. Деление дробей........................................31
7. Преобразование рациональных выражений.................34
k
8. Функция У~~ к ее график..............................40
Дополнительные упражнения к главе I.....................45
Глава II.
КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
§ 4. Действительные числа
55
9. Рациональные числа.................................55
10. Иррациональные числа.............................60
§ 5. Арифметический квадратный корень..65
11. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень • 65
12. Уравнение х2 =а ............. 69
13. Нахождение приближенных значений квадратного корня 72
14. Функция у = у/х и ее график........75
§ 6. Свойства арифметического квадратного корня . . . . 79
15. Квадратный корень из произведения и дроби............79
16. Квадратный корень из степени.........................84
§ 7. Применение свойств арифметического квадратного корня 88
17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня......................................88
18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни 91
Дополнительные упражнения к главе П..................... 97
/ Глава III.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 8. Квадратное уравнение н его корни..............
19. Определение квадратного уравнения. Неполные квадраты! уравнения .........................................
20. Решение квадратных уравнений выделением квадрата д! члена....................................
§ 9. Формула корней квадратного уравнения ....
21. Решение квадратных уравнений по формуле .
22. Решение задач с помощью квадратных уравнений .
23. Теорема Виета................................
§ 10. Дробные рациональные уравнения.............
24. Решение дробных рациональных уравнений .
25. Решение задач с помощью рациональных уравнений
26. Графический способ решения уравнений ....
Дополнительные упражнения к главе III............
Глава IV.
НЕРАВЕНСТВА
§11. Числовые неравенства н нх свойства
27. Числовые неравенства.............................
28. Свойства числовых неравенств.....................
29. Сложение и умножение числовых неравенств .
§ 12. Неравенства с одной переменной н нх системы .
30. Числовые промежутки..........................
31. Решение неравенств с одной переменной ....
32. Решение систем неравенств с одной переменной . Дополнительные упражнения к главе IV..............
Глава V.
СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
§13. Степень с целым показателем и ее свойства ...
33. Определение степени с целым отрицательным показатет I
34. Свойства степени с целым показателем ....
35. Стандартный вид числа....................
§14. Приближенные вычисления.................
36. Запись приближенных значений..........
37. Действия над приближенными значениями .
38. Вычисления с приближенными данными на микрокальку-
ляторе .............................................201
Дополнительные упражнения к главе V.....................204
Исторические сведения...................................208
Задачи повышенной трудности.............................214
Сведения из курса алгебры VII класса....................219
Предметн’ гй указатель..................................225
Ответы..................................................226
Сведения <> пользовании учебником
1 'PllMIHHIJI U ИМЯ 1 ученики Учебный год Состояние учебника
В начале года В конце года
3
4
б
Учебное издание
Макарычев Юрий Николаевич Миндюк Нора Григорьевна Пешков Константин Иванович Суворова Светлана Борисовна
АЛГЕБРА
УЧЕБНИК ДЛЯ 8 КЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Зав. редакцией Р. А. Хабиб Редактор Л. М. Котова Младшие редакторы Е. А. Буюклян, Л. И. Заседателева Разработка оформления В. II. Богданова Художник Э. М. Фрая Художественный редактор Ю. В. Пахомов Технический редактор Е. В. Богданова Корректор О. И. Кузовлева
ИБ № 12102
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Сдано в набор 28.09.88. Подписано к печати 30.01.89. Бумага типографская № 1. Гарнитура школьная. Печать высокая. Ус л. печ. л. 15+0,25 форз. Усл. кр.-отт. 15,69. Уч.-изд. л. 11,14 + + 0,34 форз. Тираж 3 550 000 экэ. Заказ № 405. Цена 50 к.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиграф-прома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.
i
ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ от10до99
ДЕСЯТКИ ЕДИНИЦЫ
0 1 2 3 4 5 6 7 t 9
1 100 121 144 t 169 196 225 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 т г 729 784 1 841
Г 900 961 1024 1089 1156 1225 к 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1936 202S 2116 2209 2304 2401
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3243 ЗЗС4 3481,
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
S 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801
йМИИВаИИЯИИНМИВ HiadМНMlи>№съ «жнинм
ГРАФИК ФУНКИИИ V=£.K>0
юлка к
СССР
у
Библиотека бесплатных учебников на сайте:
ussrvopros.ru
(перейти
каталогу