FUNDAMENTAL
 PHYSICS
 JAY  OREAR
 CORNELL  UNIVERSITY
 JOHN  WIIIY—  HEW  YORK.

ИЗДАТЕЛЬСТВО
 «М  И  Р»

Дж.  ОрирПОПУЛЯРНАЯ
 ФИЗИКА
 ИЗДАТЕЛЬСТВО  «МИР»
МОСКВА  •  1966

Перевод  с  английского
 С.  П.  БАКАНОВА,  Е.  М.  ЛЕЙКИНА.
В.  п.  смилги
 Редактор
 л.  в.  ГЕССЕН
 Издание  второе
 Редакция  литературы  по  физике

Современная  физика...  В  воображении
невольно  возникают  длинные  цепочки  мате¬
матических  формул,  бетонные  громады  ре¬
акторов,  гигантские  кольца  ускорителей,  па¬
утина  проводов,  мозаика  сигнальных  ламп...
 Можно  ли  вообще  достаточно  глубоко  и
вместе  с  тем  просто  и  увлекательно  ввести
непосвященного  в  круг  ее  необычных  пред¬
ставлений  и  сложных  проблем,  познакомить
с  неожиданными  открытиями  и  грандиоз¬
ными  перспективами  дальнейшего  развития?
 Разумеется,  сделать  это  под  силу  лишь
самим  творцам  науки  —  крупным  ученым,
тем,  кто,  находясь  на  вершине  ее  достижений,
умеет  оживить  открытиями  сегодняшнего
дня  покрытые  пылью  страницы  классиче¬
ской  физики.  Но,  к  сожалению,  в  наше  вре¬
мя  крупные  ученые,  как  правило,  не  часто
берутся  за  перо,  а  если  и  делают  это,  то  обычно
лишь  для  того,  чтобы  поделиться  на  страницах
научных  журналов  мыслями  со  своими  кол¬
легами.  На  то  есть,  конечно,  свои  причины.
Физика  сейчас  развивается  трудом  больших
коллективов  ученых  в  лабораториях,  ко¬
торые  больше  всего  походят  на  индустриаль¬
ные  предприятия.  Многие  из  ее  достижений
сразу  входят  в  практику,  оказывают  огром¬
ное  влияние  на  жизнь  людей.  Едва  ли  кто-
нибудь  теперь  представляет  себе  ученого
отшельником,  делающим  в  своей  уединенной
лаборатории  таинственные  опыты.  Но  вряд
ли  широкая  публика  знает,  что,  только  по¬
кончив  с  текущими  делами  и  изолировав
себя  от  дневной  суеты,  физик  лишь  поздним
вечером  может  позволить  себе  задуматься
над  тем,  что  он  делает,  в  полной  мере  от¬
даться  тому,  что  мы  понимаем  под  научным
творчеством  с  его  радостями  и  огорчениями,
с  его  полным  драматизма  ожиданием  и  нео¬
жиданностью  открытий.
 Заслуга  автора  настоящей  книги,  извест¬
ного  американского  физика  Джея  Орира  —
ученика  одного  из  крупнейших  физиков  на¬
шего  времени  Энрико  Ферми  —  состоит  в
том,  что  ему  удалось  не  только  найти  способ
интересно  и  увлекательно  изложить  основы
современной  физики,  но  и  передать  читателю
 5
 ОТ  РЕДАКЦИИ

волнующую  атмосферу  научных  открытий,
помочь  ему  ощутить  мастерство  ученого.  И,
как  всякая  встреча  с  мастерством,  эта  книга
не  может  оставить  читателя  равнодушным.
 Причина  несомненной  удачи  автора  зак¬
лючается  в  том,  что,  отбросив  классические
каноны,  он  излагает  физику  на  основе  «об¬
щих  принципов»,  лежащих  в  основе  совре¬
менной  науки.  Преимущества  такого  под¬
хода  неоспоримы.  Традиционное  изложение
материала  от  истоков  классической  физики
к  современным  представлениям  удовлетво¬
рительно  в  настоящее  время  лишь  с  точки
зрения  «обычного  здравого  смысла».  Но,  как
известно,  «...здравый  человеческий  смысл,
весьма  почтенный  спутник  в  четырех  стенах
своего  домашнего  обихода,  переживает
самые  удивительные  приключения,  лишь
только  он  отважится  выйти  на  широкий  про¬
стор  исследований»  (Ф.  Энгельс,  Анти-
Дюринг,  Введение,  ОГИЗ,  М.,  1948).
 Строя  по-новому  свое  изложение,  автор
как  бы  протестует  против  метафизическо¬
го  подхода  к  развитию  науки.  С  первых
страниц  своей  книги  он  дает  возможность
читателю  увидеть  физический  мир  глазами
«современного  человека».  Ведя  читателя  к
вершинам  современной  науки,  ее  передне¬
му  краю,  Орир  подчиняет  этой  цели  все
изложение.  Под  его  пером  вновь  оживают
и  приобретают  современное  звучание
многие  вопросы  классической  физики.  Это
и  классические  законы  сохранения,  слив¬
шиеся  в  новой  физике  с  принципами  симме¬
трии,  и  проблема  обратимости  законов  фи¬
зики  во  времени,  обогащенная  открытием
несохранения  четности,  и  т.  д.  Умение  авто¬
ра  вскрывать  физическую  сущность  явлений,
наглядно  и  увлекательно  иллюстрировать
материал  делает  эту  книгу  достойной  па¬
мяти  Энрико  Ферми.
 Ознакомление  с  книгой  показывает,  что
первый  опыт  использования  метода  «основных
принципов»  для  изложения  основ  современ¬
ной  физики  следует  признать  удачным.  Число
мест  в  книге,  где  автор  в  какой-то  степени
приносит  строгость  изложения  в  жертву  на-

глядности,  столь  невелико,  что  мы  не  сочли
нужным  их  оговаривать.  Именно  благодаря
своей  наглядности  и  занимательности  книга
в  русском  переводе  названа  «Популярная
физика».  Круг  читателей,  которым  доступна
эта  книга,  чрезвычайно  велик.  Это  прежде
всего  учащиеся  —  от  старшеклассников  сред¬
ней  школы  до  студентов  младших  курсов
физических  факультетов.  Книга,  безусловно,
будет  интересна  и  полезна  для  тех,  кто  пре¬
подает  физику  в  школах,  техникумах  и  ву¬
зах.  Не  останутся  равнодушными  к  ней  и
самые  различные  специалисты: 	инженеры,
 техники,  конструкторы,  исследователи-есте¬
ственники  и,  наконец,  сами  физики.
 Всем  им  книга  поможет  увидеть  содержа¬
тельный  мир  современной  физики,  совершить
яркое  и  увлекательное  путешествие  в  одну
из  важнейших  областей  человеческого  зна¬
ния.
 Однако  при  всех  своих  достоинствах  эта
книга  —  всего  лишь  первая  попытка,  хотя  и
весьма  удачная,  но  во  многом  еще  не  совер¬
шенная.  Вряд  ли  заслуживает  одобрения
традиционное  изложение  теории  электриче¬
ства,  исходным  пунктом  которого  служит  все
тот  же  янтарь,  который  трут  о  кошачий  мех.
Между  тем,  включив  в  книгу  вопросы,  от¬
носящиеся  к  физике  плазмы,  автор  не  только
еще  более  оживил  бы  изложение  таких  раз¬
делов,  как  кинетическая  теория  или  электри¬
чество,  но  и  приоткрыл  бы  перед  читателем
захватывающие  перспективы  в  овладении
термоядерной  энергией.  В  этом  случае,  на¬
пример,  вместо  набившего  оскомину  опыта
с  притягивающимися  проводниками  можно
было  познакомить  читателя  с  «таинственным»
пинч-эффектом.  Изложение  не  потеряло  бы
наглядности,  но  выиграло  бы  в  увлекатель¬
ности.
 А  сколько  сторон  физической  реальности
можно  было  бы  проиллюстрировать  на  при¬
мере  эффекта  Мёссбауэра,  если  бы  автор  не
ограничился  одним  упоминанием  об  этом  яв¬
лении.  Тут  и  ядерная  физика,  и  теория  твер¬
дого  тела,  и  законы  сохранения,  и,  наконец,
теория  относительности.  Много  ярких  стра-
 7

ниц  можно  было  бы  посвятить  новой  области
физики  —  квантовой  радиоэлектронике.
 Несколько  слов  о  том,  что  произошло  в  фи¬
зике  с  момента  написания  книги.  Вопреки
надеждам  автора  число  элементарных  ча¬
стиц  за  последнее  время  еще  возросло.  В  гре¬
ческом  алфавите  сегодня  не  осталось  и  десят¬
ка  свободных  букв,  но,  кто  знает,  может  быть,
при  ближайшей  «инвентаризации»  элемен¬
тарных  частиц  выяснится,  что  это  многообра¬
зие  связано  с  различными  образами  уже  из¬
вестных  частиц.  С  нейтрино  произошло  пря¬
мо  противоположное: 	вопреки  установив¬
 шимся  представлениям  частица  оказалась
двуликой.  Сегодня  мы  знаем,  что  нейтрино,
возникающее  вместе  с  (х-мезоном  при  распаде
тг-мезона,  не  совпадает  с  нейтрино  от  р-рас-
пада,  рождающегося  с  электроном.  Но  сколь¬
ко  бы  много  ни  знали  мы  об  элементарных
частицах,  еще  больше  нам  предстоит  узнать.
Невольно  при  этом  вспоминаются  истори¬
ческие  слова  В.  И.  Ленина  в  знаменитом
труде  «Материализм  и  эмпириокритицизм»
 о 	том,  что  электрон  так  же  неисчерпаем,  как
и  атом.
 И,  наконец,  последнее,  и,  может  быть,
самое  главное.  Эта  книга,  как  о  том  свиде¬
тельствует  автор,  является  проявлением  того
огромного  резонанса,  который  вызвали  в  США
выдающиеся  достижения  нашей  страны  в  за¬
воевании  космоса.  Именно  поэтому,  листая
книгу,  читатель,  возможно,  не  раз  задумается
об  огромной  роли  объединения  усилий  уче¬
ных  всех  стран  в  борьбе  за  овладение  при¬
родой  на  благо  всего  человечества.
 Во  втором  издании  исправлены  замечен¬
ные  опечатки  и  написано  небольшое  приме¬
чание  (стр.  430)  о  некоторых  открытиях  в
области  физики  элементарных  частиц.

Эта  книга,  по  крайней  мере  косвенно,
обязана  своим  появлением  достижениям  Со¬
ветского  Союза,  запустившего  первый  искус¬
ственный  спутник  Земли.  Это  событие  в  пре¬
подавательских  кругах  Соединенных  Штатов
произвело  огромное  впечатление,  не  утратив¬
шее  своей  силы  и  по  сей  день.  Внезапно
многим  стало  ясно,  что  высшее  образование  в
Соединенных  Штатах  находится  в  неудовлет¬
ворительном  состоянии.  К  примеру,  полный
курс  физики  в  объеме  высшей  школы  слу¬
шают  менее  25%  студентов,  а  в  колледжах
физику  изучает  значительно  менее  половины
всех  учащихся.
 К  тому  же  большинство  читаемых  курсов
физики  следует  считать  весьма  устаревшими.
По  традиции  большинство  научных  дисцип¬
лин  преподносилось  в  виде  обособленных
разделов,  содержащих  некоторую  классифи¬
кацию  огромной  массы  фактов.  Между  тем
теперь  нам  известно,  что  в  отличие  от  других
дисциплин  физика  имеет  очень  простую,
логически  стройную  структуру,  связываю¬
щую  ее  в  единое  целое.  Во  многих  учебниках,
например,  свет  и  электричество  излагаются
как  независимые  и  не  связанные  друг  с  дру¬
гом  разделы,  хотя  уже  почти  столетие
известна  глубокая  связь  между  этими  раз¬
делами.  Показательным  примером  может  слу¬
жить  объяснение  на  основе  квантовой  меха¬
ники  электропроводности  и  закона  Ома.
Преподносить  закон  Ома  как  самостоятель¬
ный  закон  природы  —  значит  допускать
ошибку.
 Число  действительно  основных  законов
природы  исключительно  мало.  Кроме  того,
эти  наиболее  важные  законы  обычно  до¬
вольно  просто  формулируются  матема¬
тически.  После  усвоения  этих  основных
законов  весь  остальной  материал  фактически
без  особого  труда  встает  на  свое  место.  Этот
новый  подход  к  изучению  физики  получил
наименование  метода  основных  принципов.
Данная  книга  представляет  собой  приложе¬
ние  указанного  метода  к  изучению  физики
учащимися  колледжей  со  слабым  предвари¬
тельным  ознакомлением  с  основами  физики
 9
 ПРЕДИСЛОВИЕ  АВТОРА
К  РУССКОМУ  ИЗДАНИЮ

или  даже  без  всякой  подготовки.  Прави¬
тельство  Соединенных  Штатов  ассигновало
пять  миллионов  долларов  на  более  широкое
внедрение  метода  основных  принципов  в  пре¬
подавание  физики  в  нашей  высшей  школе.
Многие  из  фотографий,  помещенных  в  этой
книге,  получены  от  Комитета  по  изучению
физических  наук,  субсидируемого  прави¬
тельством.  Этот  Комитет  занимается  разра¬
боткой  новых  курсов  физики  для  высшей
школы,  в  которых  не  только  принят  метод
основных  принципов  в  отличие  от  энцикло¬
педического  подхода,  но  и  воздается  должное
грандиозному  скачку  вперед,  произошед¬
шему  в  физике  с  1925  г.
 Советский  спутник,  безусловно,  послужил
толчком  к  возникновению  нового  направле¬
ния  в  преподавании  науки  в  Соединенных
Штатах.  Я  не  представляю  себе  всех  послед¬
ствий  этого  события,  но  данная  книга  тем
не  менее  даст  советскому  читателю  некото¬
рое  представление  о  том  направлении,  в  ко¬
тором  развивается  сейчас  в  США  высшее
образование.
 Джей  Орир
 Июнь  1961  г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
 Что  же  такое  физическая  реальность?
Что  приводит  в  движение  Вселенную?  Что
представляют  собой  «загадки»  природы?  Та¬
ковы  проблемы,  определяющие  направлен¬
ность  и  дух  данной  книги.  Она  предназначена
в  первую  очередь  как  пособие  для  студентов
со  слабой  предварительной  подготовкой  по
математике  и  физике.  Но  она  должна  быть
на  первых  порах  полезна  и  студентам  кол¬
леджей,  специализирующимся  по.  физике.
 Основное  внимание  в  книге  уделено  тем
главным  принципам  или  фундаментальным
законам,  на  которых  покоится  вся  наука.
Предмет  изложения,  собственно,  представ¬
ляет  собой  часть  обширного  собрания  различ¬
ных  разделов,  называемых  физикой.  Таким
образом,  это  еще  один  учебник  для  коллед¬
жей,  причем  в  нем  поверхностно  изложены
более  прикладные  разделы,  по  традиции  при¬
числяемые  к  физике.  Очень  немного,  к  при¬
меру,  говорится  о  машинах,  вращательной
динамике,  фотометрии,  оптических  приборах,
теории  переменного  тока,  калориметрии,  тео¬
рии  упругости,  акустике  и  т.  д.  Ограничив
книгу  основами  физики,  мы  тем  самым  су¬
зили  предмет  изложения,  получив  воз¬
можность  более  глубоко  рассмотреть  за¬
тронутые  вопросы.  Основным  исключением
является  гл.  9,  в  которой  довольно  подробно
изложена  электроника,  что  позволяет  разъяс¬
нить  основные  принципы  радио  и  телевиде¬
ния  и  дать  представление  об  огромном  зна¬
чении  для  техники  понимания  основных
законов  природы.  Те,  кто  питает  отвраще¬
ние  к  изучению  инженерных  вопросов,  могут
опустить  эту  главу.
 По  своей  природе  физика  в  самой  основе
 — 	глубоко  философская  наука.  Она  отражает
непрерывную  борьбу  человеческого  разума
с  природой,  полную  самых  неожиданных
открытий,  с  которыми  люди  должны  сообра¬
зовывать  затем  свою  деятельность.  Эту  борьбу
заманчиво  преподнести  студентам  гуманитар¬
ных  специальностей  в  историческом  и  фило¬
софском  аспектах.  При  этом,  однако,  часто
впадают  в  ошибку,  рассказывая  студентам
 о 	науке,  вместо  того  чтобы  учить  их  самой
 11

науке.  В  результате  студент  не  получает
реального  представления  о  физическом  мире,
в  котором  он  живет.  «Образованный»  человек
должен  быть  знаком  с  обоими  аспектами.
В  идеале  он  должен  приобретать  знания
в  науке  и  познавать  ее  связи  с  другими  дис¬
циплинами  в  курсах  философии.  Однако
подобный  «гуманитарный  подход»  можно  без
ущерба  для  дела  использовать  во  вводном
курсе  физики,  коль  скоро  основное  внимание
уделяется  изучению  самой  науки.  Поэтому
в  книге  известное  внимание  уделено  влиянию
науки  на  нашу  культуру.  Наряду  с  науч¬
ными  методами  и  «искусством»  научных
открытий  в  ней  обсуждаются  философская,
социальная  и  политическая  стороны  связи
науки  с  нашей  культурой.  Однако  эти  воп¬
росы  играют  второстепенную  роль  по  срав¬
нению  с  изложением  предмета  самой  науки.
Мы  использовали  увлекательные  стороны  и
культурную  ценность  эпизодов  из  истории
физики,  где  это  соответствовало  основной
цели  изложения.  Показателем  того,  насколь¬
ко  успешно  студент  усвоил  материал,  служит
его  способность  решать  задачи,  требующие
некоторого  размышления.  Мой  опыт  исполь¬
зования  значительной  части  материала  этой
книги  и  ее  задачи  в  курсах  для  колледжей,
читавшихся  в  Колумбийском  и  Корнеллском
университетах,  убеждает,  что  студенты  гума¬
нитарных  специальностей  способны  постичь
основные  принципы  науки.  Об  этом  свиде¬
тельствует  их  умение  применять  эти  прин¬
ципы  к  решению  задач.
 Порядок  изложения  материала  опреде¬
лялся  главным  образом  моими  индиви¬
дуальными  соображениями  педагогического
характера.  Кое-где  обсуждение  проблем
современной  физики  опережает  классические
или  доклассические  варианты.  Я  старался,
как  правило,  избежать  такой  последователь¬
ности:  изложить  предмет  в  соответствии  со
старыми  представлениями,  сообщить  студен¬
там,  что  сейчас  это  неверно,  затем  заставить
их  забыть  все  старое  и  переучить  на  новый
лад.  Если  встречается  новый  раздел,  то  сна¬
чала  он  обычно  приводится  в  окончательном
 12

варианте.  Тогда  с  современных  позиций  сту¬
дент  сможет  более  полно  познакомиться  и
усвоить  различные  старые  представления.
Порядок  размещения  разделов  определялся
не  традицией,  а  требованием  более  сжатого
логического  изложения.  Так,  явление  про¬
никновения  через  барьер,  носящее  весьма
общий  характер,  в  тексте  впервые  встре¬
чается  в  связи  с  обсуждением  автоэлектрон-
ной  эмиссии  из  металла.  Это  обсуждение
связано  с  предшествующим  рассмотрением
энергии  Ферми,  связи  в  металле,  кривых
потенциальной  энергии,  которое  в  свою
очередь  зависит  от  знакомства  с  такими
вопросами,  как  электронные  волны  в  ящике,
электронное  облако  в  атоме,  электрический
потенциал.  Возвращаясь  еще  дальше  в  логи¬
ческой  последовательности,  мы  встречаемся
с  корпускулярно-волновым  дуализмом,  ин¬
терференцией  волн,  теорией  электричества,
энергией,  механикой  и  т.  д.  Таким  образом,
большая  часть  этой  книги  отведена  основным
звеньям  логической  последовательности  изло¬
жения.  Вследствие  компактной,  единой  тео¬
ретической  структуры  физики  многие  главы
не  соответствуют  ранее  принятой  последова¬
тельности  разобщенных  и  «независимых»  раз¬
делов  в  традиционных  учебниках.  Я  не  смог
ограничить  содержание  глав  строго  опреде¬
ленными  рамками  и  разделить  главы  как  бы
непроницаемыми  перегородками.  Некоторым
может  показаться  проще  и  последовательнее
излагать  классическую  физику  именно  в  та¬
кой  манере,  однако  это  противоречило  бы
самой  природе.  Я  пытался  излагать  истинное
положение  вещей:  в  книге  откровенно  гово¬
рится  о  недостатках  и  ограниченности  пред¬
ставлений  современной  физики.
 Кроме  того,  я  старался  не  скрывать,
что  для  современного  описания  большинства
физических  явлений  необходима  квантовая
теория.  Благодаря  развитию  квантовой
электродинамики  достигнут  огромный  про¬
гресс  в  понимании  явлений  физического
мира  и  строения  вещества.  Учащихся  кол¬
леджей,  насколько  это  возможно,  следует
знакомить  с  современными  представлениями.
 13

Некоторым  преподавателям  физики  может
показаться,  что  такие  вопросы,  как  элект¬
ронное  облако,  квантовая  теория  химиче¬
ской  связи,  энергия  Ферми,  замедление  хода
времени,  строение  ядра,  космология  и  сохра¬
нение  четности,  чересчур  трудны  и  абстрактны
для  усвоения.  Однако  мой  опыт  преподавания
такого  курса  на  протяжении  последних  шести
лет  показывает,  что  студенты  гуманитарных
специальностей  с  большим  трудом  усваивают
третий  закон  Ньютона,  нежели  энергию
Ферми  или  инвариантность  относительно
зарядового  сопряжения.  Заканчивая  курс,
они  не  только  хорошо  чувствуют  современ¬
ную  физику,  но  и  оказывают  ей  значительное
предпочтение  по  сравнению  с  классической.
 В  заключение  я  хочу  поблагодарить  моих
коллег  в  Корнелле  за  их  поддержку,  и  осо¬
бенно  профессоров  Роберта  Спрулла,
Филиппа  Моррисона,  Джона  Де-Вайра  и
Ричарда  Фейнмана  за  полезные  советы.
Многие  любезно  предоставили  в  мое  распо¬
ряжение  имевшиеся  у  них  иллюстрации,
подбор  которых  для  книги  вряд  ли  оказался
бы  под  силу  одному  человеку.  Ким  Чой  из
Корнелла  помог  мне  рассчитать  элект¬
ронные  облака  атома  водорода  и  ядерное
облако  дейтерия.  Я  благодарен  Френсису
Шрэгу  и  многим  другим  студентам  за  вне¬
сенный  ими  большой  вклад  в  первое  издание
этого  учебника.
 Я  в  неоплатном  долгу  перед  Энрико
Ферми,  который  не  только  сообщил  мне  боль¬
шую  часть  моих  познаний  по  физике,  но  и
научил  методам  ее  изучения.  Как  преподава¬
тель  Ферми  был  хорошо  известен  своей  заме¬
чательной  способностью  предельно  просто
и  ясно  излагать  самые  трудные  вопросы.  Он
достигал  этого  прямым  путем,  очень  мало
прибегая  к  математике  и  обращая  основное
внимание  на  физическую  сущность  явлений.
В  этой  книге  я  пытался  передать  характер
и  увлекательность  физики  так,  как  это  мог
бы  сделать  Ферми.
 Джей  Орир
 Сентябрь  1960  г.

ГЛАВА  1ВВЕДЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
 §  I.  Что  такое  физика?
 ФИЗИКА—ЭТО  ТО,  ЧЕМ  ФИЗИКИ  ЗАНИМАЮТСЯ
В  СВОБОДНОЕ  ВРЕМЯ  ВЕЧЕРОМ.
 У  нас  нет  строгого  определения,  что
такое  физика,  и  мы  не  можем  точно  сказать,
какие  вопросы  относятся  к  этой  науке,  а
какие  нет.  Представление  о  некоторых  раз¬
делах,  отнесенных  автором  этой  книги  к  фи¬
зике,  читатель  получит,  изучив  ее  оглав¬
ление.
 Одна  из  задач  физики  —  установление
«законов»  окружающего  мира.  Открытие  ряда
таких  законов  явилось  сюрпризом  для  уче¬
ных  и  философов.  В  самом  деле,  некоторые
открытия  оказались  столь  неожиданными  и
настолько  противоречащими  «здравому
смыслу»,  что  с  трудом  завоевывали  призна¬
ние.  Скептически  к  ним  относились  даже
нобелевские  лауреаты.  Яркий  пример:  Эйн¬
штейн  опубликовал  теорию  относительности/
и  теорию  фотоэффекта  в  1905  г.,  однако
Нобелевской  премии  за  последнюю  был  удо¬
стоен  лишь  в  1921  г.  Он  не  получил  Нобелев¬
ской  премии  ни  за  одну  из  своих  работ  по
теории  относительности.  По-видимому,  для
некоторых  из  прежних  нобелевских  лауреа¬
тов,  которые  участвовали  в  обсуждении
новых  кандидатур,  теория  относительности
казалась  слишком  радикальной.
 Зато  теперь  физики  весьма  подозрительно
относятся  к  тому,  что  вытекает  из  «здравого
смысла»  и  кажется  очевидным.  Ведь  «здравый
смысл»  является  продуктом  человеческого
разума,  и  совсем  не  обязательно  Мать-При¬
рода  должна  быть  устроена  именно  так,  как
 о 	ней  думают  люди.  Вот  простой  пример.
Сегодня  мы  сомневаемся  даже  в  том,  что
2+2  =  4  в  применении  к  физическим  явле¬
ниям.  Мы  -  знаем,  что,  прибавляя  к
20  млрд.  см/сек  еще  20  млрд.  см/сек  мы
получим  не  40  млрд.  см/сек,  а  только
27,3  млрд.  см/сек\  Мы  твердо  знаем  правило
сложения  скоростей,  хотя  с  точки  зрения
«здравого  смысла»  это  правило  может  пока¬
заться  странным.  Результирующая  скорость
всегда  будет  меньше  суммы  ее  составляющих.
 16

Фиг.  1.  Лодка,  плывущая  по  течению.
 а  —так  лодку  видит  наблюдатель,  плыву¬
щий  по  течению  (лодка  в  неподвижной
воде);  б  —  так  лодку  видит  наблюдатель,
стоящий  на  берегу  (лодка  в  потоке,  ско¬
рость  которого  10  км/час).
 Если  скорости  малы  по  сравнению  со  ско¬
ростью  света,  то  этот  эффект  все  равно  суще¬
ствует,  хотя  он  и  очень  мал.  Рассмотрим
в  качестве  примера  движение  лодки  вниз  по
реке  (фиг.  1)  со  скоростью  20  км/час  относи¬
тельно  воды.  Если  скорость  самой  воды  равна
10  км[часу  то  результирующая  скорость  лодки
по  отношению  берега,  казалось  бы,  должна
быть  в  точности  равна  сумме  двух  этих  ско¬
ростей,  т.  е.  30  км'час.  Однако  из  законов
физики  следует,  что  скорость  лодки  будет
несколько  меньше.  Строго  говоря,  ее  скорость
будет  равна  vx  =  29,9999999999999866  км1час.
Ясно,  почему  потребовалось  столько  вре¬
мени,  чтобы  открыть  этот  эффект.  Закон
физики,  указывающий,  как  надо  складывать
скорости,  получил  имя  эйн¬
штейновского  закона  сложения
скоростей.  Он  гласит:
 Фиг.  2.  Электронная  пушка,  посы¬
лающая  пучок  электронов  в  отвер¬
стия  А  и  В.
 где  с  —  скорость  света.  Из  этой
формулы  видно,  что  для  реше¬
ния  повседневных  задач  вполне  годится  ста¬
рый  классический  закон  vv^  =  vx-\-vt.
 Рассмотрим  еще  один  противоречащий
«здравому  смыслу»  пример.  Оказывается,  что
2-4-2  может  быть  равно  нулю,  или,  если
хотите,  можно  сделать  так,  чтобы  2—[—2=8.
 Направим  пучок  электронов  из  электрон¬
ной  пушки  на  непроницаемое  препятствие,
в  котором  имеются  два  отверстия  А  и  В
(фиг.  2).  Поместим  в  отдалении  за  препятст¬
вием  счетчик  Гейгера  и  закроем  отверстие  В.
В  этом  случае  счетчик  будет  регистрировать
ежесекундно  2  электрона.  Теперь  откроем
отверстие  В  и  закроем  отверстие  А.  И  снова
получим  2  отсчета  в  секунду.  Наконец,
откроем  оба  отверстия.  Счетчик  вообще  пере¬
стал  регистрировать  электроны!  Результат
не  только  меньше  суммы  двух  слагаемых,
как  в  случае  сложения  скоростей,  он  меньше
каждого  из  слагаемых.  Если  хотите,  немного
 17

Фиг.  3.  Картина,  создаваемая  пучком  эле¬
ктронов,  прошедшим  два  отверстия  (со¬
гласно  современной  волновой  теории
вещества).
 Такой  была  бы  интенсивность  электронов  в  дан¬
ный  момент  времени.  Темные  участки  соответ¬
ствуют  нулевой  интенсивности.

подвигайте  счетчик  в  вертикальном  направ¬
лении.  Вы  сможете  найти  точку,  в  которой
он  будет  давать  8  отсчетов  в  секунду,  т.  е.
вдвое  больше  простой  суммы  двух  слагаемых.
На  первый  взгляд  всему  этому  трудно  пове¬
рить.  Однако  это  так,  и  подобную  картину
наблюдали  в  лаборатории  (см.  фиг.  200  на
стр.  305).  Столь  необычное  явление  обуслов¬
лено  волновой  природой  вещества.  В  гл.  12
мы  увидим,  что  все  частицы  обладают  опреде¬
ленными  волновыми  свойствами  и  что  по¬
этому  такие  явления  вполне  естественны.
На  фиг.  3  показано,  как  выглядели  бы  элект¬
ронные  волны,  прошедшие  одновременно  че¬
рез  оба  отверстия  А  и  В.
 Рассмотренные  примеры  с  лодкой  и  элект¬
ронным  пучком  иллюстрируют  соответст¬
венно  применение  теории  относительности  и
квантовой  теории.  Множество  физических
явлений,  гораздо  более  фундаментальных,
чем  рассмотренные  выше,  базируется  на
этих  двух  основных  принципах  нашего  физи¬
ческого  мира.  Поэтому  значительную  часть
этой  книги  мы  посвятим  изложению  теории
относительности  и  квантовой  теории.
 §  2.  Единицы  измерения
 ДЛИНА,  ВРЕМЯ.  МАССА
 В  большой  своей  части  физика  посвящена
измерениям  различных  физических  величин,
таких,  как  длина,  время,  частота,  скорость,
площадь,  объем,  масса,  плотность,  заряд,
температура  и  энергия.  Многие  из  этих
величин  взаимосвязаны.  Например,  скорость
есть  длина,  деленная  на  время.  Плотность
есть  масса,  деленная  на  объем,  а  объем  —
длина,  умноженная  на  длину  и  умноженная
снова  на  длину.  Большинство  физических
величин  можно  выразить  через  длину,  время
и  массу.
 Длина
 Определения  длины,  площади  и  объема
даются  в  евклидовой  геометрии.  В  настоящее
время  используется  несколько  единиц  изме-
 19

Таблица  1
Порядок  величин  расстояний
 Расстояния
 (размеры),
 1025
 1020
 10“
 1010
 10s
 10°
 10-
 10"
 10-
 Расстояние  до  самой  уда¬
ленной  сфотографирован¬
ной  галактики
 Расстояние  до  Большой
туманности  в  созвездии
Андромеды  (ближайшая
галактика)
 Радиус  нашей  Галактики
 Один  световой  год  (расстоя¬
ние,  которое  проходит
свет  за  один  год)
 Размер  солнечной  системы
 Расстояние  от  Земли
до  Солнца
Радиус  Солнца
 Радиус  Земли
 Высота  пика  Эверест
Один  километр
(или  0,6  мили)
 Один  метр
 Один  сантиметр
(или  0,4  дюйма)
 Один  миллиметр
Толщина  волоса
Диаметр  красных
кровяных  шариков
Длина  волны  света
 Размер  органической
молекулы
Размер  атома  водорода
 Размер  ядра  урана
Размер  элементарной
частицы
 рения  длины,  например:  метр,  дюйм,  фут,
миля.  Почти  во  всех  странах,  за  исключением
США  и  стран  Британского  Содружества,
принята  метрическая  система.  Хотя  англий¬
ская  система  мер  принята  в  США  в  качестве
официальной  системы,  американские  ученые,
однако,  пользуются  почти  исключительно
метрической  системой.  Поскольку  метриче¬
ская  система  более  проста  и  повсеместно
применяется  в  физике,  в  этой  книге  мы  ис¬
пользуем  также  метрическую  систему.
 Первоначально  метр  был  определен  через
расстояние  от  Северного  полюса  до  экватора,
которое  составляет  около  10  000  км,  или
107  м.  Эталоном  метра  служит  расстояние
между  штрихами  на  платиновом  стержне,
хранящемся  в  Международной  палате  мер
и  весов  в  Париже.  Однако  Мать-Природа
позаботилась  о  том,  чтобы  обеспечить  нас
несравненно  более  точной  единицей  длины,
нежели  расстояние  между  двумя  штрихами
на  куске  металла.  Это  —  длина  световой
волны,  соответствующей  любой  узкой  спект¬
ральной  линии.  Парижский  эталон  метра
был  прокалиброван  с  помощью  длины  волны
определенной  спектральной  линии.  Амери¬
канский  дюйм  связан  с  международным
метром  следующим  образом: 	1  дюйм
 ц  точности  равен  2,54  см  (100  см=1  м).
 Соотношение  между  другими  единицами
приведены  в  приложении  к  книге  (стр.  431).
В  повседневной  практике  часто  возникает
необходимость  прежде  всего  перевести  анг¬
лийские  единицы  в  метрические.  В  табл.  1
приведены  различные  длины,  с  которыми
имеют  дело  в  физике:  от  самых  малых  (размер
элементарных  частиц)  до  самых  больших
(расстояние  до  самых  удаленных  из  наблю¬
давшихся  галактик).
 Время
 Время  —  это  физическая  категория,  по¬
этому  его  определение  должно  исходить  из
определенных  законов  физики.  Например,
законы  физики  утверждают,  что  период  вра¬
щения  Земли  должен  оставаться  постоянным
с  очень  высокой  степенью  точности.  Этот

Таблица  2
Порядок  величины  времени
 Интервал
 времени,
 Период  полураспада  U2*1  —
возраст  Земли
Время,  прошедшее  с  мо¬
мента  появления  жизни
на  Земле
 10»
 I010
 101
 10°
 10-1
 J0-2O
 Возраст  человечества
Период  полураспада  плу¬
тония
 Продолжительность  жизни
человека
Один  год
 Один  день
 Время  жизни  свободного
нейтрона
 Одна  секунда  —  время  меж¬
ду  двумя  биениями  сердца
 Период  колебания  струны
банджо
 Время  жизни  р,-мезона
 Время  жизни  возбужден¬
ного  атома  до  испуска¬
ния  света
 Период  обращения  элек¬
трона  вокруг  протона  в
атоме  водорода
 Период  обращения  нейтро¬
на  и  протона  в  ядре
Время,  за  которое  свет  пе¬
ресекает  элементарную
частицу
 факт  можно  использовать  для  определения
основной  единицы  времени,  которая  назы¬
вается  средними  солнечными  сутками.  Кроме
того,  согласно  законам  физики,  период  коле¬
баний  пластинки  кристалла  в  генераторе
с  кварцевой  стабилизацией  частоты  должен
оставаться  постоянным,  если  не  меняются
температура  и  другие  внешние  условия.
Таким  образом,  на  основе  электронного
генератора  можно  сделать  очень  точные  часы.
То  же  можно  сказать  о  частоте  колебаний
атомов  в  молекуле.  И  действительно,  атомные
часы,  которые  «считают»  эти  колебания,
являются  самыми  точными  часами  в  мире.
Основная  единица  времени,  применяемая
как  в  английской,  так  и  в  метрической  систе¬
мах,—  это  секунда  (сокращенно  сек).  Она
составляет  долю
 111  1
 60  Х  60  Х  24  “  86  400
 средних  солнечных  суток.
 В  табл.  2  приведены  физические  интервалы
времени,  начиная  с  возраста  Земли  и  кончая
интервалом,  за  который  свет  пересекает  эле¬
ментарную  частицу.
 Основывая  понятие  времени  на  законах
физики,  мы  тем  не  менее  не  можем  быть  уве¬
рены,  что  эти  законы  абсолютно  точны.
Допустим,  например,  что  скорость  света
медленно  увеличивается  со  временем.  Это
привело  бы  к  изменению  некоторых  наших
эталонов  длины  и  времени.  Правда,  до  сих
пор  не  получено  ни  одного  эксперименталь¬
ного  доказательства  изменения  какой-либо
универсальной  физической  константы  со  вре¬
менем.  Однако  не  исключено,  что  они  ме¬
няются  столь  медленно,  что  при  достигнутой
в  настоящее  время  точности  измерений  это
не  может  быть  зафиксировано.  Мы  увидим
в  дальнейшем,  что  новые  экспериментальные
данные  опрокидывают  казалось  бы  «неру¬
шимые»  законы  физики.  Нужно  приучиться
здраво  смотреть  на  существующие  «законы»
физики  и  быть  готовыми  их  пересмотреть,
если  появится  убедительный  эксперимент,
опровергающий  эти  законы:
 21

Масса,  г
10зо
 1020
 1010
 10°
 10-ю
 Ю~20
 10~зо
 Таблица  3
Порядок  величин  масс
 Солнце
 Земля
 Луна
 Океанский  лайнер
 Одна  тонна
Один  фунт
 Один  грамм
 Крылышко  мухи
Подпись,  сделанная
карандашом
 Капелька  масла,
распыленного  форсункой
Молекула  ДНК  (главная
компонента  хромосомы)
 Атом  урана
Протон
 Электрон
 Масса
 Масса  —  тоже  физическая  категория.
В  основе  ее  определения  также  должны
лежать  законы  физики.  В  гл.  3  мы  дадим
современное  определение  массы,  исходя  из
закона  сохранения  импульса.  В  метрической
системе  за  единицу  массы  вначале  была
взята  масса  1  см3  воды  при  определенных
температуре  и  давлении.  Эту  единицу  наз¬
вали  грамм.  Таким  образом,  плотность  воды
выражается  очень  удобной  величиной  —
 1 	г  на  1  см3.  В  английской  системе  за  единицу
массы  принимается  фунт  (ф).  Один  кило¬
грамм  (103г)  равен  2,204#  массы1*.  В  табл.  3
приведены  значения  масс,  встречающиеся
в  физике.
 Такие  величины,  как  силу  и  энергию,  фи¬
зики  измеряют  обычно  в  метрах,  килограм¬
мах  и  секундах  или  соответственно  в  санти¬
метрах,  граммах  и  секундах.  Первая  система
единиц  называется  системой  MKS,  вторая  —
системой  CGS.  Мы  будем  пользоваться
в'  книге  обеими  этими  метрическими  систе¬
мами  единиц.
 §  3.  Математический  аппарат
физики
 10"  X  Ю*  =  10“+*
 Физические  величины  можно  вычислить
и  измерить  с  очень  большой  точностью.  Такой
количественный  подход  требует  знакомства
с  математикой.  К  счастью,  многие  основные
принципы  и  понятия  физики  можно  усвоить,
пользуясь  лишь  элементарной  алгеброй  и  гео¬
метрией.  Таково,-*  по-видимому,  общее
свойство  основных  законов  природы:  чем
ближе  к  истине,  тем  проще  основные  законы.
Необходимость  в  более  сложном  математиче¬
ском  аппарате  обычно  возникает  при  попытке
рассчитать  какие-либо  следствия  из  основ¬
ных  законов.  Например,  решить  так  назы¬
ваемую  задачу  трех  тел  (решить  уравнение
 А)  Для  краткости  мы  будем  писать  вместо
грамм  —  г,  вместо  килограмм  —  кг  и  вместо
фунт  —  ф.
 22

движения  трех  взаимодействующих  тел).
Эта  задача  не  является  основной,  ибо  такое
движение  в  действительности  представляет
собой  суперпозицию  движений  трех  взаимо¬
действующих  пар.  Основную  же  задачу  —
нахождение  орбит  двух  тел,  взаимодействую¬
щих  обратно  пропорционально  квадрату  рас¬
стояния,—  решил  несколько  столетий  назад
Исаак  Ньютон.  В  астрономии  задача  двух
тел  легко  решается  методами  элементарной
математики  (см.  приложение  к  гл.  4,  стр.  93).
Для  точногоже  расчета  движения  трех  тел  по¬
требовалась  бы  сложнейшая  электронная  вы¬
числительная  машина,  которая  выполняет  за
 1 	сек  такое  огромное  число  операций,
для  которых  человеку  необходимо  несколько
недель.  Хотя  производство  вычислительных
машин  находится  еще  на  начальной  стадии,
они  уже  широко  применяются  в  физике  и
других  областях  исследований,  а  также
в  промышленности.
 Для  полного  понимания  всего  изло¬
женного  в  этой  книге  совсем  не  обязательно
знать  тригонометрию,  вычислительные  ме¬
тоды  или  высшую  математику.  Тем  не  ме¬
нее  нужно  хорошо  владеть  некоторыми  раз¬
делами  высшей  алгебры.  Многие  студенты,
изучая  физику  в  колледжах,  не  имеют  дела
с  алгеброй  на  протяжении  нескольких  лет.
Прежде  чем  познакомиться  с  этой  книгой,  им
придется  немного  вспомнить  математику.
Для  этой  цели  мы  приводим  в  конце  главы
задачи.  В  конце  данного  параграфа  мы  даем
обзор  сведений  по  математике,  которые  по¬
требуются  при  чтении  книги.
 Для  тех,  кто  не  уверен  в  своих  познаниях
в  области  математики,  приводятся  следую¬
щие  упражнения.  Проверьте,  какие  из  при¬
веденных  математических  соотношений  не¬
верны.
 1. 	Если  1//?  =  1//?1  +  1//?1,  то  R  =  RX+Rt.
 2. 	(a+b)2  =  a2+b2.
 3. 	Если  диаметр  круга  равен  10-8  см,  то
его  радиус  равен  10-4  см.
 4. 	Радиус  этого  круга  равен  5~8  см.
 - 	А  X  _А+Х
 В  +К  ~~B+Y  *
 23

6. 	Е  ели  катет  прямоугольного  треуголь¬
ника,  лежащий  против  угла  30°,  равен  1  см,
то  гипотенуза  равна  У  3  см.
 7. 	4  :  Уг  =2.
 8. 	l/l6a6=4  ab.
 9. 	1/НР=5».
 1°.
 а+b  а  1  b
 11.  Пусть  а  и  b  —  отрицательные  числа  и
b/а  больше  единицы.  Тогда  разность  (а—Ь)
отрицательна.
 Если  вы  не  смогли  ответить  более  чем  на
один  вопрос,  то  вы  основательно  подзабыли
математику,  и,  прежде  чем  двигаться  дальше,
решите  задачи,  помещенные  в  конце  главы.
Приведенные  выше  соотношения  все  невер¬
ны.  Вот  правильные  ответы.
 1  Г) 	 R1R2
 2. 	(a+b)2=a2+2ab+b2.
 3 	и  4.  Радиус  равен  5-10"9  см.
 с  А  ,  X 	AY-\-BX
 В  +Y  “  BY  ‘
 6. 	Гипотенуза  равна  2  см.
 7. 	4:  У*  =8.
 8. 	V\6ab=4Vab-
 9. 	1/Т05=  10/10.
 11. 	(а—Ь)  больше  нуля.
 Степени  десяти
 Физики  чаще  всего  сталкиваются  с  вели¬
чинами,  которые  либо  много  больше,  либо
много  меньше  единицы.  Поэтому  для  удобства
принято  записывать  любую  величину,  не¬
важно  большую  или  маленькую,  в  виде
произведения  некоторого  числа,  большего
единицы  и  меньшего  десяти,  на  число  десять
в  соответствующей  степени.  Так,  например,
физик  записал  бы  государственный  долг
США  в  виде  2,95-1011  долларов,  или  иначе  —
2,95-105  млн.  долларов.  Показатель  степени
 24

показывает,  насколько  знаков  вправо  нужно
передвинуть  запятую  десятичной  дроби.  Если
вы  захотите  написать  эту  величину,  не  вводя
степени  десяти,  то  запятую  придется  сдви¬
нуть  вправо  на  11  знаков:  295  000  000  000
долларов.  Если  показатель  степени  отрица¬
тельный,  то  запятая  перемещается  точно
таким  же  образом,  но  только  влево.  Напри¬
мер,  радиус  атома  водорода  равен  5-10”*  см.
Передвинув  запятую  влево  на  девять  знаков,
мы  получим  0,000  000  005  см.
 Для  умножения  и  деления  чисел,  пред¬
ставленных  таким  способом,  нужно  пользо¬
ваться  правилом
 юах  10"=  10а+ь  и  ^=10а-ь.
 Пример.  Ядерный  реактор  превращает  в  сутки
в  энергию  1  г  урана.  Какова  его  мощность  в  ваттах?
 Мощность  —  это  энергия,  отнесенная  к  единице
времени.  Если  расчеты  проводить  в  системе  MKS,
то  ответ  получится  в  ваттах.  Энергию  можно  вычи¬
слить  с  помощью  известного  соотношения  Эйнштейна
UУ=Мс2,  где  с  —  скорость  света,  равная  3•  108  м/сек.
Эквивалентность  массы  и  энергии  рассматривается
в  гл.  5  и  11.
 Итак,  мощность
 м*
t  ’
 где  М=10“3кг,  /=60X60X24  сек  =8,64  •  104  сек.
Подставив  численные  значения,  получим
 10“3-(3-108)2 	10~3*(9* 	101в)
 8,64-104 	— 	8,64-104  &т'
 Ответ  выразится  степенью  десяти,  которая  равна
сумме  показателей  в  числителе  за  вычетом  суммы  по¬
казателей  в  знаменателе,  т.  е.  (—3+16)—4=9.  Итак,
 Р  =  ;Д-.  •  10*=  1,04.10*  вт,
 8,64
 или  около  1  млн.  кет.  Такую  мощность  потребляет
в  среднем  целый  штат  США.
 Теперь,  когда  мы  познакомились  с  пра¬
вилами  обращения  со  степенями  десяти,
выясним,  почему  половина  от  10"8  не  равна
ни  10”4,  ни  5“8.  Число  10~4  можно  записать
в  виде
 Ю“4=  10М0“8.
 Отсюда  видно,  что  ответ  10“4  отличается  от
правильного  в  20  000  раз.  Другой  распрост¬
 25

раненный  ответ,  который  обычно  учащиеся
дают,  5"8.  Но  это  означает
 5-'= 	= 	^18 	=  2*  •  10-*  =  256-10-'.
 Мы  видим,  что  этот  ответ  в  512  раз  больше
истинного.
 Дробные  показатели  степени
 Общее  «равило  перемножения  степеней
одного  и  того  же  числа  состоит  в  следующем:
 NaxNb  =  Na+b.
 Положив  а  =  6=^1/2,  получим
 NVixNV*  =  N.
 Это  означает,  что  N'l*=VN.  Точно  так  же
N4*=  ргN.  Выражение  N*1*  означает  (N'l>  )2,
или  квадрат  кубического  корня  из  N.  Оно
совпадает  с  (N2)'i>  —  кубическим  корнем
из  квадрата  N.
 Значащие  цифры
 Допустим,  что  мы  экспериментально  из¬
меряем  скорость  движения.  Тело  прошло
10  см  в  точности  за  3  сек.  Тогда
 с  = 	*  =  3,33333  см1сек.
 О  С6К
 Вопрос  заключается  в  следующем:  сколь¬
ко  нужно  написать  десятичных  знаков,  чтобы
выразить  10/3  в  виде  десятичной  дроби?
Принято  удерживать  самое  большее  один
лишний  десятичный  знак  сверх  последнего
надежного.  Пусть  расстояние  10  см  измерено
с  точностью  до  1%.  Тогда  результат  можно
выразить  в  виде  v=3,33±0,03  см!сек.  Итак,
поскольку  истинное  значение  скорости  лежит
где-то  между  3,30  и  3,36  см/сек,  то  первые
две  тройки  являются  значащими  цифрами.
Сотые  доли  ненадежны.  Запись  результата
в  виде  v  =  3  см/сек  или  v=3,333  см!сек  пред¬
ставляет  собой  порочную  практику.  Предпоч¬
тительна  следующая  запись:  у=3,33  см/сек.
 26

Удержание  большего  числа  десятичных  зна¬
ков  не  только  доставляет  лишнюю  работу,  но
и  вводит  в  заблуждение.  Может  создаться
иллюзия,  что  наш  результат  точнее,  чем  это
есть  на  самом  деле.
 Допустим,  что  v  =  3,33  см/сек  складывает¬
ся  с  другой  скоростью  v'  =  4,51  хЮ2  см/сек.
Пусть  величина  v'  также  измерена  с  точно¬
стью  до  1  %:
 v  =  3,33  см/сек
 v'  =  451,00  см\сек
 v  -\-v'  —  454,33  см/сек
 Заметьте,  что  если  принять  ответ  равным
4,5433-102  см/сек,  то  это  будет  означать,  что
точность  нашего  результата  лучше,  чем
 10-4.  Однако  точность  суммы  не  может  быть
больше  точности  любого  из  слагаемых.  По¬
этому  мы  должны  написать  454±5  см!сек,
или  4,54-102  см!сек.
 При  перемножении  или  делении  относи¬
тельная  (в  процентах)  точность  результата
не  может  превышать  точности  исходных  ве¬
личин.  Если  одна  из  величин  измерена  с  точ¬
ностью  до  1  %,  а  другая  —  с  точностью  до
0,1%,  то  точность  их  произведения  соста¬
вит  1  %.
 В  данной  книге,  если  это  не  оговорено
особо,  мы  будем  записывать  все  величины
с  точностью  до  1%.  Вычисления  в  задачах
следует  проводить  с  такой  же  степенью  точ¬
ности  (например,  с  помощью  обычной  лога¬
рифмической  линейки).
 Переход  от  одной  системы  единиц  к  другой
 В  физических  расчетах  часто  приходится
переходить  от  одной  системы  единиц  к  дру¬
гой.  В  качестве  примера  переведем  значение
скорости  60  миль!час  в  метры  в  секунду:
 60  миль/час  =  60  х  иля  .
 1 	час
 Теперь  вместо  1  мили  подставим  эквивалент¬
ное  ей  значение  1,61  км:
 60  миль/час  =  60  х  f1’61  км)  =  go  х  161  !—  .
 ' 	1 	час 	1  час
 27

Вместо  1  км  напишем  теперь  108  ж  и  вместо
 1 	час  —  60  мин:
 Итак,  вы  видите,  что  перевод  одних  еди¬
ниц  в  другие  можно  осуществить,  подставляя
эквивалентные  значения.  Поскольку  каждая
единица  имеет  свое  собственное  численное
значение,  то  очень  важно  четко  записывать
эти  единицы,  как  в  приведенном  примере.
Результат  решения  физической  задачи  всегда
следует  приводить,  снабдив  численную  ве¬
личину  обозначением  соответствующих  еди¬
ниц.
 Г  еометрия
 Мы  должны  уметь  вычислять  площа¬
ди  и  объемы  простых  фигур:  треугольни¬
ков,  прямоугольников,  кругов,  кубов,  ци¬
линдров  и  шаров.  Нам  придется  ближе
познакомиться  с  так  называемыми  «законами
подобия».  Рассмотрим,  например,  консерв¬
ные  банки  различных  размеров,  высота  кото¬
рых  всегда  совпадает  с  их  диаметром.  С  точки
зрения  геометрии,  все  эти  банки  представ¬
ляют  собой  подобные  фигуры.  Допустим,  что
маленькая  банка  стоит  10  центов,  а  большая,
«двойного  размера»  (высота  и  диаметр  кото¬
рой  вдвое  больше),  —  50  центов.  Многие
хозяйки,  если  не  большинство,  полагают,
что  в  5  маленьких  банках  больше  содержи¬
мого,  нежели  в  одной  «двойной».  Но,  ку¬
пив  8  маленьких  банок,  хозяйка  перепла¬
тит  30  центов.  Действительно,  закон  подобия
гласит,  что  объемы  подобных  фигур  отно¬
сятся,  как  кубы  их  линейных  размеров.  Но
 2 	в  кубе  равно  8.  «Двойная»  банка  вмещает
в  8  раз  больше  содержимого,  чем  одна  малень¬
кая.  Поверхность  же  «двойной»  банки  в  4  раза
превышает  поверхность  маленькой,  потому
что  площади  •  относятся  как  квадраты  линей¬
ных  размеров.  Когда  вы  покупаете  плоскую
 28

Фиг.  4.  Два  прямоугольных  тре¬
угольника.
 а  —  равнобедренный;  б  —  с  углами  30°
и  60°.
 лепешку,  то  выгоднее  покупать  одну  «двой¬
ную»,  чем  четыре  «одинарные»,  при  условии,
конечно,  что  «двойная»  стоит  дешевле,  чем
 4 	«одинарные».
 Для  чтения  этой  книги  необходимо  зна¬
комство  с  теоремой  Пифагора  и  со  свойствами
треугольников  двух  типов,  изображенных  на
фиг..  4.  Это  знаменитые  прямоугольные  тре¬
угольники:  один  с  углом  30°,  а  другой  с  уг¬
лом  45°.  Теорема  Пифагора  утверждает,  что
квадрат  гипотенузы  прямоугольного  тре¬
угольника  равен  сумме  квадратов  катетов.
Кроме  того,  нужно  помнить,  что  такое  «по¬
добные  треугольники»  и  что  соответственные
углы  в  них  равны,  а  стороны  пропорцио¬
нальны.  Еще  одна  полезная  теорема  из  гео¬
метрии:  если  стороны  одного  угла  перпенди¬
кулярны  соответствующим  сторонам  другого
угла,  то  такие  углы  равны.
 §  4.  Наука  и  общество
 А  ЧТО,  ЕСЛИ  ФИЗИКА  ПРИОБРЕТЕТ  ПРАКТИЧЕСКОЕ
ЗНАЧЕНИЕ?
 Почти  каждый  шаг  на  пути  познания
закономерностей  физического  мира  находит
в  конечном  счете  то  или  иное  практическое
приложение.  Однако  физики,  как  правило,
не  очень  уж  интересуются  практическим  при¬
менением  своей  работы.  Многим,  может  быть,
покажется  удивительным,  что  неизбежная
польза,  которую  приносит  человечеству  труд
физиков,  обычно  не  является  движущей
силой  их  деятельности.  Физиков  гораздо
больше  интересует  познание  секретов  при¬
роды,  вскрытие  сущности  физических  явле¬
ний.  Дает  это  практический  «выход»  или
нет  —  дело  второстепенное.  Познание  окру¬
жающего  мира  само  по  себе  необычайно
важно.  Ведь  человек  —  единственное  сущест¬
во,  способное  к  такому  познанию.  Наше
научное  познание  представляет  собой  цент¬
ральную  часть  современной  культуры  и  ци¬
вилизации.  Вот  как  выразил  основной  сти¬
мул  научной  деятельности  журнал  «Тайм»
в  номере  от  19  января  1959  г.  Его  научный
 29

Задачи
 редактор  пишет  об  истинных  целях  изучения
космического  пространства:
 сСамая  простая  и  в  то  же  время  самая  главная
причина,  почему  человек  стремится  в  космос,—  это
неистребимая  и  ненасытная  жажда  познания  окру¬
жающего  мира...  Это  суровое  испытание  его  духа,  а
также  созданных  им  ракет.  Звезды  и  Луна  всегда
были  символами  далекого  равнодушного  мира,  упре¬
ком  ничтожеству  человека.  И  вот  теперь  человек
впервые  бросает  вызов  самим  планетам».
 Что  касается  автора  этой  книги,  то  для
него  именно  в  этом  и  заключается  неотрази¬
мая  сила,  влекущая  к  физике.  Вторая,  чаще
упоминаемая  причина  заключается  в  том,
что  в  наш  век  —  век  автоматики,  излучений,
атомной  энергии,  космических  полетов,  ракет
и  ядерных  бомб  —  просто  невозможно  обой¬
тись  без  научных  знаний.  Почти  в  каждом
номере  газеты  имеется  статья,  которую  нель¬
зя  по-настоящему  понять,  не  зная  физики.
Возьмите  любую  из  этих  статей.  Некоторые
из  них  имеют  жизненно  важное  значение.
Вряд  ли  люди,  имеющие  весьма  слабое  пред¬
ставление  о  науке,  окажутся  в  состоянии
принимать  важные  решения  по  таким  жиз¬
ненным  вопросам.  А  ведь,  насколько  мы  по¬
нимаем,  от  этих  решений  зависит  существо¬
вание  человеческой  цивилизации.
 1. 	Выразите  скорость  60  миль!час  в  футах  в  се¬
кунду.
 2. 	Длина  световой  волны,  отвечающей  определенной
спектральной  линии,  равна  5,98Ы0“5  см.  Сколько
волн  такой  длины  уложится  на  1  м?
 3. 	Диаметр  протона  равен  10”|а  см,  его  масса
 1,6-10  ”24  г.  Какова  плотность  протона  в  г/см9?
 4. 	Разрешите  относительно  х  равенство:
 х—1
 а  =——г  .
 х+1
 5. 	Найдите  Р  из  1/(  1  —Р  2)=1,25.
 6. 	В  4  г  гелия  содержится  No=6,02*  1023  атомов.  Ка¬
кова  масса  одного  атома  гелия?
 7. 	Кусок  мыла  разрезали  на  две  части  одинако¬
 вой  формы  (подобные  фигуры).  Большой  кусок  на
50%  длиннее  маленького.  Во  сколько  раз  в  большом
 куске  больше  мыла,  чем  в  маленьком?
 30

8.  Разрешите  выражение  v  =  yr2as  относительно  а.
 9. 	Период  колебаний  кристалла  в  генераторе  равен
2,5-10—  •  сек.  Какова  частота  генератора  в  числе
колебаний  в  1  сек?
 10. 	2  г  водорода  содержат  N0=6,02-1023  молекул.
Какова  масса  атома  водорода  (в  одной  молекуле  Н2
содержатся  два  атома)?
 11. 	Выразите  W  через  ей  R,  воспользовавшись  сле¬
дующими  соотношениями:
 W  =  ^-mv*+U,
 13. 	Упростите  дроби
a*-_fc2
 Ь  —  а  *  х°  +  х2а  *
 14. 	Разрешите  относительно  v  выражение
 М0
 М  = 			.
 /■-?
 15. 	Найдите  хну:
х  +  у=  —2,
х—у  =  8.
 16. 	Высота  равностороннего  треугольника  5  см.  Чему
равна  его  сторона?
 17. 	В  некоторой  системе  единиц  масса  нейтрона  рав¬
на  939,506,  а  масса  протона  —  938,213.  Какова  раз¬
ница  между  этими  массами  в  той  же  системе  еди¬
ниц  и  сколько  значащих  цифр  она  содержит?
 18. 	На  фиг.  5  D=  1  м,  d=0,1  мм,  А,=5*10“5  см.
Найти  х  в  см.
 31
 Фиг.  5.  К  задаче  18.

19. 	Объект  виден  на  расстоянии  100  м  под  уг¬
лом  1°.  Какова  его  высота?
 (Указание.  1°  равен  1/360  полного  круга.
Таким  образом,  высота  объекта  составляет  1/360
часть  длины  окружности  радиусом  100  м.)
 20. 	Каждые  100  м  дорога  поднимается  на  3  м.  Каков
угол  ее  наклона  к  горизонтали?
 21. 	Исключите  t  из  приведенных  уравнений:
 22. 	Какова  длина  волны,  соответствующая  ча¬
стоте  60  колебаний  в  секунду,  если  скорость  звука
принята  равной  340  м/сек>  (Иными  словами,  на  ка¬
кое  расстояние  перемещается  звуковая  волна  за
1/60  сек?)
 23. 	Получите  выражение  для  х,  не  содержащее  Л  А
теперь  получите  выражение  для  t,  не  содержащее  х:

ГЛАВА  2
 2  Джей  Орир
 КИНЕМАТИКА

КИНЕМАТИКА
 §  I.  Скорость
 Фиг.  6.  График  зависимости  от  вре¬
мени  t  пути  s,  проходимого  телом,
движущимся  с  постоянной  скоро¬
стью.
 ЧТО  ПОКАЗЫВАЕТ  СПИДОМЕТР
 Кинематика  изучает  движение.  В  кине¬
матике  мы  имеем  дело  с  положением  тела
или  частицы,  скоростью  и  ускорением,  но  не
интересуемся  природой  движущихся  тел  или
частиц.  В  наш  век  автомобилизма  с  понятием
скорости  сталкиваются  уже  с  детства.  Спидо¬
метр  автомобиля  показывает  его  мгновенную
скорость  (в  км/час).
 Постоя  нная  скорость
 Если  автомобиль  движется  с  постоянной
скоростью,  то  пройденное  им  расстояние
прямо  пропорционально  времени  движения.
При  движении  с  постоянной  скоростью  v
 s  =  vt,
 где  s  —  расстояние,  пройденное  за  время  /.
На  фиг.  6  изображен  путь  s  тела,  движуще¬
гося  с  постоянной  скоростью,  в  зависимости
от  времени  t.
 Если  разделить  правую  и  левую  части
написанного  выше  равенства  на  /,  то  мы
получим
 если  v  постоянно.
 Мгновенная  скорость
 Рассмотрим  теперь  более  общий  случай,
когда  скорость  может  меняться  со  временем.
Пусть  вначале  скорость  меняется  только
по  величине,  но  не  по  направлению.  Такое
движение  по  прямой  в  заданном  направле¬
нии  носит  название  одномерного  движения.
 Предположим,  что  автомобиль  движется
неравномерно  (ускоряется  или  замедляется).
Совершенно  очевидно,  что  при  этом  формула
 (2.1) 	не  будет  соответствовать  «показанию
спидометра».  Она  будет  давать  правильный
результат  только  в  том  случае,  если  величина
s  очень  мала.  Такие  очень  малые  отрезки
пути  мы  будем  обозначать  символом  As.
Если  через  At  обозначить  время,  за  которое
 34

тело  проходит  этот  отрезок,  то  мгновенная
скорость  определится  следующим  образом:
 Мгновенная  скорость
 (2.2)
 Это  соотношение  означает,  что  v  есть  предел
отношения  As/Д/  при  Д/,  стремящемся
к  нулю.  Перед  нами  математически  строгое
определение  мгновенной  скорости1*.
 Средняя  скорость
 Допустим,  что  автомобиль  проехал  60  км
(фиг.  7),  причем  первые  30  км  он  двигался
со  скоростью  20  км/час,  а  остальные  30  км—
со  скоростью  60  км/час.  У  вас  появляется
соблазн  сказать,  •  что  средняя
скорость  автомобиля  равна
(20+60)/2,  т.  е.  40  км/час.
Однако  так  вычислять  среднюю
скорость  было  бы  неверно.
Вспомните,  что  мы  условились  определять
среднее  значение  скорости  по  отношению  к
прошедшему  времени,  а  не  по  отношению
к  пройденному  пути.  Если  tx—время,  затра¬
ченное  автомобилем  на  первую  половину
пути  (со  скоростью  vj,  a  t2—время,
затраченное  на  вторую  половину,  то  средняя
по  времени  скорость  равна
 Эта  формула  представляет  собой  пример  вы¬
числения  так  называемого  взвешенного  сред¬
него  значения.  Величины  tx  и  /2  в  соотноше¬
нии  (2.3)  носят  название  весовых  множи¬
телей.  Таким  образом,  среднюю  скорость
автомобиля  можно  найти,  вычислив  tx
и  /2  из  соотношения  t  =  s/v,  которое  получено
из  (2.1).
 1}  Тот,  кто  немного  знаком  с  дифференциальным
исчислением,  сразу  же  узнает  в  нашем  выражении
для  мгновенной  скорости  определение  производной
s  по  t  (v=dsjdt).
 2*
 35
 Фиг.  7.  Автомобиль,  двигавшийся
первую  «половину»  пути  со  скоро¬
стью  vv  а  вторую  «половину»  —  со
скоростью  V*.

Легко  видеть,  что  =30  км/(20  км/час)^=
=  1,5  час;  /2=30  км/(60  км/час)=0,5  час.
Подставив  эти  величины  в  (2.3),  получим
 Итак,  средняя  скорость  автомобиля  равна  30,
а  не  40  км/час.
 Из  (2.3)  легко  получить  простую  формулу
для  средней  скорости.  Для  этрго  достаточно
вспомнить,  что  vltl=sl  —  расстояние,  прой¬
денное  со  скоростью  vx.  Аналогично,  v2t2=st.
Формулу  (2.3)  можно,  таким  образом,  пере¬
писать  в  виде
 гдеs  —  полное  расстояние,  a  t  —  время,за  ко¬
торое  проходится  это  расстояние.  Эта  формула
автоматически  учитывает  все  весовые  множи¬
тели  и  поэтому  дает  истинное  значение  сред¬
ней  скорости  в  любых  случаях  при  самых
произвольных  изменениях  мгновенной  ско*
рости.
 Пример  1.  Допустим,  что  движущийся  со  ско¬
ростью  60  км/час  автомобиль  остановился  через
 2 	сек  после  начала  торможения.  Допустим  также,  что
за  эти  2  сек  скорость  равномерно  падала  от  60  км/час
до  нуля.  Тогда  средняя  скорость  за  время  торможе¬
ния  будет  равна  30  км/час.  Какое  расстояние  прой¬
дет  автомобиль  от  момента  начала  торможения  до
полной  остановки?  Если  разрешить  (2.4)  относитель¬
но  s,  то  мы  получим
 Средняя  скорость  и  =  30  км/час,  или  ^=8,3  м/сек.  Та¬
ким  образом,  s=  8,3  м/секХ2  се/с=16,6  м.
 Пример  2.  Велосипедист  едет  по  пересеченной
местности.  Когда  дорога  идет  в  гору,  скорость  его
составляет  5  км/час,  а  с  горы  —  20  км/час.  КакоЬа
его  средняя  скорость,  если  общий  путь,  пройденный
при  подъеме,  такой  же,  как  и  при  спуске?
 Пусть  D  —  протяженность  всех  подъемов.  Тог¬
да  s=2D—все  пройденное  расстояние.  Согласно
(2.4),  средняя  скорость  равна
 км/час  =  30  км/час.
 (2.4)
 s  —  vt.
 (2.5)
 36
 Средняя  скорость
 или

Для  решения  поставленной  задачи  остается  опреде¬
лить  t—время  движения:
 t  —  U  +  ^2»
 где  tx  —  время  преодоления  подъема,  a  t2  —  время
спуска.  Но  из  равенства  (2.1)  имеем
 Следовательно,
 Vi  V2
 Подставим  теперь  это  выражение  в  формулу  (2.5)  и
получим
 Наконец,  воспользовавшись  численными  значения¬
ми  скоростей  (ui  =  5  км/час  и  v2=20  км/час),  имеем
 Заметьте,  что,  решая  эту  задачу,  мы  пользовались
алгебраическими  символами,  пока  не  получили  ко¬
нечный  результат.  В  принципе  это  хорошее  пра¬
вило  —  не  подставлять  численные  значения  до  са¬
мого  конца.  Подстановка  численных  значений  лишь
в  конечную  формулу  обычно  позволяет  избежать
большого  количества  арифметических  операций  и
снижает  вероятность  появления  ошибок.
 §  2.  Ускорение
 НАЖИМАЯ  НА  АКСЕЛЕРАТОР
 По  определению,  тело  движется  с  постоян¬
ным  ускорением,  если  его  скорость  равномер¬
но  возрастает  со  временем:
 v  =  at,
 или
 v
 Постоянное  ускорение  а  =  —  . 	(2.6)
 Величина  а  называется  ускорением  и  имеет
размерность  длины,  деленной  на  квадрат
времени.  Обычно  ускорение  измеряют
в  м/сек2,  см/сек2,  или  фут/сек2.  Если  процесс
 37

ускорения  происходит  неравномерно,  то  ве¬
личина
 Мгновенное  ускорение
 представляет  собой  мгновенное  ускорение.
 В  этой  главе  мы  ограничимся  рассмотре¬
нием  лишь  примеров  с  постоянным  уско¬
рением.
 Пример.  Тело  выходит  из  состояния  покоя  с
постоянным  ускорением  9,8  м/сек2.  Сколько  времени
ему  потребуется,  чтобы  развить  скорость,  равную
скорости  света  (3*  10®  м/сек)?
 Разрешив  (2.6)  относительно  t,  получим
 или
 т.  е.  почти  год.
 Этот  пример  порождает  сомнение  в  пра¬
вильности  формулы  (2.6).  Действительно,
многие  из  вас  уже  слышали  о  том,  что  ни
одно  тело  не  может  двигаться  со  скоростью,
превышающей  скорость  света.  А  формула
 (2.6) 	не  накладывает  никаких  ограничений
на  величину  v.  Все  дело  в  том,  что  формулы
первых  пяти  параграфов  этой  главы,  полу¬
ченные  впервые  Галилеем  в  самом  начале
XVII  века,  представляют  собой  законы  так
называемой  классической  механики.
 В  1905  г.  Эйнштейн  предложил  внести
изменения  в  эти  законы,  которые  были  бы
существенны  только  при  очень  больших  ско¬
ростях,  сравнимых  со  скоростью  света.  Новая
теория  Эйнштейна  получила  название  «теории
относительности»  (релятивистская  механика)
и  подверглась  всесторонней  проверке  в  мно¬
гочисленных  экспериментах.  В  современной
теории  относительности  правильная  формула
 (2.6) 	должна  быть  записана  в  виде
 38

где  с  —  скорость  света,  а  —  постоянное  ус¬
корение,  измеренное  наблюдателем,  находя¬
щимся  на  движущемся  теле.  Из  этой  формулы
видно,  что  когда  величина  (at)  становится  го¬
раздо  больше  с,  то  знаменатель  стремится
к  (at/c)  и  скорость  v  приближается  к
at
 v  =  —7—=  с.
atjc
 С  другой  стороны,  если  (at)  гораздо  меньше  с,
то  квадратный  корень  в  знаменателе  очень
близок  к  единице  и  v=at  с  большой  сте¬
пенью  точности.
 При  «обычных»  скоростях  релятивистски¬
ми  эффектами,  конечно,  можно  пренебречь.
Поэтому  вполне  разумно,  изучая  классиче¬
скую  механику,  продолжать  пользоваться
выражением  (2.6).  Эффекты,  возникающие
при  больших  скоростях,  мы  обсудим  в  гл.  11.
 В  более  общем  виде  формула  (2.6)  описы¬
вает  не  только  ускоренное  движение,  кото¬
рому  предшествовал  покой,  но  и  случай,
когда  тело  первоначально  двигалось  со  ско¬
ростью  v0.  При  этом  ускорение  тела  опреде¬
ляется  по  формуле
 (2.7)
 Фиг.  8.  Зависимость  от  времени  t
скорости  v  тела,  движущегося  с  по¬
стоянным  ускорением  и  начальной
скоростью  v0.
 v
 График  функции  v=v0+at  представлен  на
фиг.  8.  Средняя  скорость  за  период  времени  t
изобразится  на  этом  графике  длиной  отрезка,
верхняя  точка  которого  лежит  посередине
между  v0  и  v,  т.  е.  на  расстоянии  Уг  (v0+v)
от  оси  времени.  Таким  образом,
 (2.8)
 Но  поскольку  средняя  скорость  тела  равна
s/t  [формула  (2.4)],  то
 39

Теперь  подставим  в  эту  формулу  вместо  ско¬
рости  v  ее  значение  (2.7).  Тогда  получим
 или.  окончательно,
 (2.9)
 Этой  формулой  выражается  расстояние,  ко¬
торое  проходит  тело  за  время  t>  если  оно
движется  с  постоянным  ускорением  а.  Если
в  начальный  момент  тело  покоилось,  то
s=at2/  2.
 Формулу  (2.9)  впервые  получил  Галилей.
Вопреки  общепринятому  мнению  того  вре¬
мени  он  показал,  что  если  пренебречь  сопро¬
тивлением  окружающего  воздуха,  то  все  тела
будут  падать  с  одним  и  тем  же  ускорением,
направленным  к  центру  Земли  (фиг.  9).  Это
ускорение  равно  9,8  м/сек2,  его  принято
обозначать  символом  g.  Галилей  провел
тщательные  и  очень  точные  опыты,  чтобы
доказать,  что  расстояние,  пройденное  телом,
прямо  пропорционально  квадрату  времени.
Галилей  измерял  промежуток  времени  по  ко¬
личеству  воды,  вытекавшей  из  тоненькой  тру¬
бочки  в  дне  большого  сосуда.  Это  устройство
похоже  на  песочные  часы.  Только  вместо
песка  была  использована  вода.  Сам  экспе¬
римент  заключался  в  следующем.  По  наклон¬
ной  плоскости  вниз  пускался  шар.  Одновре¬
менно  под  отверстие  трубочки  подставлялся
сосуд.  Оказалось,  что,  если  количество  воды
в  сосуде  возрастало  вдвое,  расстояние,  прой¬
денное  шаром,  увеличивалось  в  4  раза.
 Пример  1.  Турист,  стоя  на  краю  Большого  Кань¬
она,  бросает  вниз  камень.  Пренебрегая  сопротивле¬
нием  воздуха,  определить,  через  сколько  секунд
камень  достигнет  дна.  Глубина  каньона  1500  м.
 м
 Фиг.  9.  Фотография  двух  падающих
шариков  различной  массы,  получен¬
ная  со  стробоскопическим  освеще¬
нием.
 Эту  фотографию  получили,  открывая
объектив  и  чередуя  вспышки  света  каждые
1/30  сек.  Заметьте,  что  маленький  шарик
достигает  пола  одновременно  с  большим.
 Оба  шарика  начинают  падать  одновре¬
менно.

В  этой  задаче  нам  известны  s  и  а.  Нужно  найти  t.
Воспользуемся  для  этой  цели  формулой  (2.9).
Положим  в  ней  и0=0,  a—g.  Тогда
 Таким  образом,  алгебраически  задача  для  t  уже  ре¬
шена.  Остается  подставить  численные  значения:
s=  1500  м,  g=  9,8  м/сек2;  теперь
 Пример  2.  Мальчик  подбрасывает  мяч  на  вы¬
соту  20  м  и  ловит  его,  когда  он  падает  вниз.  Сколько
времени  мяч  находится  в  полете?
 Эту  задачу  можно  упростить.  Дело  в  том,  что
время  подъема  мяча  в  точности  равно  времени  паде¬
ния,  поскольку  изменение  скорости  мяча,  т.  е.  его
ускорение,  в  обоих  случаях  совершенно  одинаково,
а  скорость  в  наивысшей  точке  равна  нулю.  Поэ¬
тому  движение  мяча  при  падении  с  высоты  20  м  яв¬
ляется,  так  сказать,  обращением  его  движения  при
подъеме.  Из  формулы  (2.10)  немедленно  получается
время  падения:
 Полное  время  полета  мяча  равно  удвоенной  величи¬
не,  т.  е.  4  сек.
 Пример  3.  Существуют  ракеты,  которые,  прой¬
дя  расстояние  всего  200  км,  могут  развить  скорость
(примерно  11  км/сек),  позволяющую  им  покинуть
Землю.  Такая  скорость  позволяет  ракете  освобо¬
диться  от  влияния  земного  притяжения.  Предполо¬
жим,  что  ускорение  при  этом  постоянно.  Чему  оно
равно?
 Для  решения  данной  задачи  подошла  бы  формула,
связывающая  s,  v  и  а.  Однако  у  нас  такой  формулы
пока  нет.  Начнем  с  того,  что  выпишем  формулу  (2.6),
которая  служит  определением  ускорения:
 Но  правая  часть  этого  равенства  содержит  новую
неизвестную  величину  t.  Правда,  ее  можно  найти
из  уравнения,  связывающего  t  с  известными  и  и  s.
Для  этой  цели  подходит  формула  (2.4),  если  вспом-
 (2.10)
 41

нить,  что  средняя  скорость  ракеты  за  время  t  равна
v/2  [см.(2.8)].  Итак,  величина  v  =  v/2  должна  быть
равна  sit:
 Подставив  это  значение  в  формулу  для  а,  найдем
 Это  в  31  раз  больше  ускорения  свободного  паде¬
ния  g!  Обычно  в  таких  случаях  говорят,  что  уско¬
рение  равно  31  g.
 Пример,  который  мы  только  что  рассмот¬
рели,  труднее  предыдущих.  Нам  потребова¬
лось  вычислить  дополнительную  величину  ty
и  только  после  этого  мы  смогли  найти  а.
Математик  сказал  бы,  что  нам  пришлось
решить  два  совместных  уравнения  с  двумя
неизвестными  а  и  t.  В  физике  такие  задачи
не  редкость:  для  их  решения  нужно  либо
дополнительно  вычислить  некую  величину,
либо  исключить  ее  из  написанных  уравнений.
Сам  выбор  подходящих  уравнений  и  пере¬
менных  по  существу  представляет  собой
серию  попыток,  причем  зачастую  ошибочных.
В  этом  смысле  работа  физика  напоминает
решение  кроссвордов.
 Покажем  теперь,  как  исключить  t  из  на¬
ших  уравнений,  чтобы  не  тратить  времени
на  вычисление  этой  величины  в  дальнейшем.
Иными  словами,  выведем  соотношение  между
s,  а  и  V.  Если  тело  начинает  равномерно
ускоряться,  имея  скорость  vQJ  то  его  средняя
скорость  выразится  в  виде
 С  другой  стороны,
v  —  v0  =  at.
 Перемножим  эти  равенства  между  собой  и
получим
 42

§  3.  Сложное  движение
 вертикальное  движение  не  ведает  о  том,
 ЧТО  ПРОИСХОДИТ  ПО  ГОРИЗОНТАЛИ
 Представьте  себе  пассажира  самолета,
роняющего  какой-либо  предмет.  Он  видит,
как  тот  вертикально  летит  вниз  с  уско¬
рением  g  и  падает  на  пол  кабины.  Теперь
предположим,  что  в  полу  есть  дыра.  Тогда
пассажир  самолета  увидел  бы,  как  предмет
продолжает  падать  по  вертикальной  линии
прямо  вниз  (фиг.  10).  (В  действительности
упавший  предмет  будет  все  время  отставать
от  самолета  из-за  сопротивления  воздуха.)
 Ну,  а  что  же  увидит  наблюдатель,  находя¬
щийся  на  земле.  Если  у0  —  высота  самолета,
а  у  —  высота  падающего  предмета,  то  наблю¬
датель  на  земле  увидит,  что  расстояние
(Уо—У)  увеличивается  пропорционально  квад¬
рату  времени.  В  нашем  примере  величина
(Уо—У)  соответствует  s  в  формуле  (2.9).  Та¬
ким  образом,
 Фиг.  10.  Положение  шара,  выбро¬
шенного  с  самолета,  через  равные
промежутки  времени.
 В  течение  первого  промежутка  времени
шар  пролетает  путь  s,.
 Обозначим  через  х  расстояние  по  горизон¬
тали  между  падающим  телом  и  вертикальной
линией,  соединявшей  самолет  с  землей  в  мо¬
мент  начала  падения  тела  (на  фиг.  10  х  —
это  расстояние  от  линии  оу).  Если  пренебречь
сопротивлением  воздуха,  то  расстояние  само¬
лета,  а  следовательно,  и  нашего  предмета
от  этой  вертикальной  линии  равно
 x  =  vQt,
 (2.13)
 где  v0  —  скорость  самолета,  т.  е.  начальная
скорость  нашего  предмета  с  точки  зрения
наблюдателя  на  земле.  Уравнение  траекто¬
рии  падающего  тела,  видимой  земным  наблю¬
дателем,  можно  получить,  выразив  t  с  по¬
мощью  (2.13)  и  подставив  это  значение
 43
 ИЛИ

Фиг.  11.  Фотография  двух  мячей
для  гольфа,  брошенных  одновре¬
менно,  полученная  со  стробоскопи¬
ческим  освещением.
 В  начальный  момент  правый  мяч  получил
за  счет  пружины  начальную  скорость  в
горизонтальном  направлении.
 Тот,  кто  знаком  с  аналитической  геометрией,
сразу  узнает  в  этом  выражении  уравнение
параболы.  На  фиг.  И  изображена  траектория
падающего  мяча,  которому  сообщили  началь¬
ную  скорость  в  горизонтальном  направлении.
 Галилей  был  первым,  кому  удалось  пока¬
зать,  что  траектории  снарядов  —  это  пара¬
болы  (если  пренебречь  сопротивлением  воз¬
духа).  Это  он  заметил,  что  горизонтальное  и
вертикальное  движения  можно  рассматри¬
вать  совершенно  независимо.  А  так  как  нет
причин,  ускоряющих  движение  в  горизон¬
тальном  направлении,  то  пройденное  по  го¬
ризонтали  расстояние  описывается  формулой
 *=(».)**•
 Символом  (u0)x  мы  обозначили  составляю¬
щую  начальной  скорости  v0  в  направлении  х.
Вертикальное  же  перемещение  всегда  описы¬
вается  формулой  (2.12).  Если  бы  у  начальной
скорости  тела  была  составляющая  в  верти¬
кальном  направлении  (v0)  ,  то
 Пример.  Бомбардировщик  летит  на  высоте
10  ООО  м  со  скоростью  1000  км/час.  Пренебрегая  соп¬
ротивлением  воздуха,  подсчитать,  за  сколько  кило¬
метров  до  цели  летчик  должен  сбросить  бомбу,  чтобы
точно  поразить  цель?
 Для  решения  этой  задачи  сначала  следует  опре¬
делить  время,  которое  потребуется  бомбе,  чтобы  до¬
лететь  до  цели.  Чтобы  найти  /,  воспользуемся  форму¬
лой  (2.10),  положив  s=  10  000  м
 За  это  время  самолет,  а  следовательно,  и  бомба
пролетят  по  горизонтали  расстояние
 x  —  v0t  —  278M\секх  45  сек  =  12  500  м  =  12,5  км.

§  4.  Векторы
 МАТЕМАТИКА  СТРЕЛОК
 Фиг.  12.  Перемещение  As  и  его  со¬
ставляющие  по  осям  х  и  у'.  Лдг  и  Л//.
 Теперь,  когда  мы  вслед  за  одномерным
движением  приступили  к  разбору  движений
в  двух  направления-х,  очень  важно  понять,
что  скорость  тела  является  величиной,  кото¬
рую  называют  вектором.  Вектор  характери¬
зуется  одновременно  величиной  и  направле¬
нием.  Скорость  не  будет  полностью  опреде¬
лена,  если  вы  зададите  только  ее  величину
и  не  укажете,  в  какую  сторону  она  направ¬
лена.  Очень  часто  удобно  иметь  делос  состав¬
ляющими  (компонентами)  скорости  по  осям
х  и  у:  vx  и  vy.  Они  связаны  с  величиной  полной
скорости  v  соотношением
v*  +  v*  =  v*u
 Это  видно  на  фиг.  12.  На  ней  изображено
движение  тела  из  точки  Рх  в  точку  Рг  в  тече¬
ние  времени  Дt.  Расстояния  Д*  и  Ду  представ¬
ляют  собой  составляющие  полного  переме¬
щения  As  соответственно  вдоль  х  и  у.  По  тео¬
реме  Пифагора
 Фиг.  13.  Составляющие  вектора  v
по  осям  х  и  у.
 ИЛИ
 0.+0.  =  0*.
 Кроме  того,  фиг.  12  иллюстрирует  также
простое  геометрическое  правило  сложения
скоростей.  Перенесем  вектор  vy  так,  чтобы
его  конец  совпадал  с  началом  (т.  е.  со  стрел¬
кой)  вектора  vx.  Тогда  вектор,  соединяющий
конец  vx  с  началом  vyt  и  будет  равен  резуль¬
тирующей  скорости,  как  это  показано  еще
раз  на  фиг.  13.  Так  как  любое  перемещение
тела  в  конечном  итоге  складывается  из  от¬
дельных  перемещений,  то  указанное  геомет¬
рическое  правило  легко  обобщить  на  случай
сложения  скоростей,  направленных  в  любые
 45
 Деля  обе  части  этого  равенства  на  (ДО2,
получаем

стороны.  Это  общее  правило  сложения  век¬
торов  известно  как  правило  параллелограм¬
ма,  или  правило  многоугольника.  На  фиг.  14
показано,  как  сложить  три  вектора,
чтобы  получить  вектор  суммы  v:
 v  =  vl  +  vi  +  v9.
 Нужно  просто  начертить  каждый  последую¬
щий  вектор  так,  чтобы  его  конец  совпадал
с  началом  (стрелкой)  предыдущего.  Сумма
получится,  если  затем  соединить  конец
первого  вектора  с  началом  (стрелкой)  по¬
следнего.
 Многие  из  величин,  с  которыми  прихо¬
дится  иметь  дело  в  физике,  представляют
собой  вектс*ры,  и  чтобы  складывать  любые
из  них,  нужно  поступать  описанным  образом.
Из  понятий,  с  которыми  мы  уже  познакоми¬
лись,  ясно,  что  векторами  являются  переме¬
щение  (путь),  скорость  и  ускорение.
 §  5.  Полет  снаряда
 это  для  ВОЕННЫХ
 Прежде  всего  рассмотрим  такой  случай.
Пушка  стреляет  под  углом  45°  к  горизонту
(фиг.  15).  Допустим,  что  начальная  скорость
снаряда  при  вылете  из  ствола  оружия
v0=l  км/сек,  и,  как  всегда,  пренебрежем
сопротивлением  воздуха.  Нужно  определить,
сколько  времени  снаряд  будет  находиться
в  полете,  на  какую  высоту  он  поднимется,
на  какое  расстояние  от  орудия  долетит
(каков  радиус  поражения  нашего  орудия).
Для  решения  этой  задачи  отдельно  рассмот¬
рим  горизонтальное  и  вертикальное  движе¬
ния.  Так  как  угол  вылета  по  условию  равен
45°,  то
 46
 Фиг.  15.  Траектория  снаряда,  вы¬
пущенного  под  углом  45°  с  началь¬
ной  скоростью  v0.
 Займемся  сначала  вертикальным  движением.
 Фиг.  14.  Как  получить  сумму  трех
векторов  с  помощью  правила  мно¬
гоугольника:  v-vx-\-vz-\-vv

Соотношение  (2.7)  дает
или
 В  самой  верхней  точке  полета,  очевидно,
1^=0.  Следовательно,  в  этой  точке
 >
 где  tl  —  время,  за  которое  снаряд  достигает
максимальной  высоты  подъема.  Полное  время
полета  равно  удвоенному  значению  tv  т.  е.
144  сек.  Найдем  теперь  само  значение  высоты
подъема  h  и  радиуса  поражения  R.  Вспомним,
что  средняя  скорость  движения  по  верти¬
кали  равна  высоте  Л,  деленной  на  72  сек.
Отсюда
 Радиус  поражения  R  немедленно  получается
из  формул:
 Обратите  внимание  на  очень  интересный
факт:  если  стрелять  под  углом  45°,  то  даль¬
ность  полета  снаряда  R  будет  в  4  раза  пре¬
вышать  максимальную  высоту  его  подъема  Л.
Теперь  рассмотрим  случай,  когда  ствол  ору¬
дия  наклонен  под  произвольным  углом  0
к  горизонту.  При  этом  (v0)x=v0  cos  0,
(yo)^=t;os^n®*  Пользуясь  простейшими  форму¬
лами  тригонометрии,  можно  показать,  что
дальность  полета  снаряда  максимальна  при
 47

стрельбе  под  углом  0=45°.  Этот  резуль¬
тат  —  пример  одного  из  первых  примене¬
ний  физики  в  военном  деле  —  был  получен
также  Галилеем.
 Применим  полученные  только  что  сведе¬
ния  к  решению  более  современных  задач.
Мы  имеем  в  виду  межконтинентальные  бал¬
листические  ракеты  (МКБР).  Возьмем  в
качестве  примера  типичную  ракету  с  макси¬
мальной  дальностью  полета  8000  км.  Пред¬
положим,  что  эта  ракета  летит  в  направле¬
нии  цели  с  расстояния  8000  км  и  что
впервые  ракета  обнаружена,  когда  она  про¬
летела  уже  половину  пути.  Попробуем  отве¬
тить  на  следующие  вопросы.  Сколько  времени
остается  для  принятия  необходимых  мер
обороны?  С  какой  скоростью  летит  ракета
в  момент  обнаружения?  Какую  скорость
будет  иметь  МКБР,  когда  она  достигнет
цели?  Какова  максимальная  высота  ее  подъ¬
ема?  Чтобы  ответить  на  все  эти  вопросы,
нужно  ввести  некоторые  упрощающие  пред¬
положения.  Прежде  всего  предположим,  что
можно  пренебречь  кривизной  поверхности
Земли  на  расстоянии  8000  км  и  считать  ее
плоской.  Далее,  будем  считать,  что  величина
g  не  меняется  с  высотой.  Наконец,  как  всегда,
пренебрежем  сопротивлением  воздуха.
 Поскольку  ракета  выпущена  с  максималь¬
но  удаленного  расстояния,  значит,  она  долж¬
на  войти  в  стратосферу  под  углом  45°  к
горизонту.  Таким  образом,  мы  знаем,  что
(uo)x=(t,o^»  /?=8000  кл1,  ускорение  в  верти¬
кальном  направлении  g=9,8  м/сек2.  Этих  до¬
вольноскудных  сведений  оказывается  вполне
достаточно  для  ответа  на  все  поставленные
вопросы.  Начнем  с  движения  по  вертикали:
 Обозначим  через  tx  время  подъема  ракеты
на  максимальную  высоту.  При  t=tl  и  vy=0
 или
 48

Заменим  (v0)y=(v0)x  в  написанном  выше
выражении.  Тогда
 Величину  (v0)x  можно  найти,  деля  расстояние
R  на  2tx  —  полное  время  полета.  Таким  об¬
разом,  заменив  в  последнем  соотношении
(и0)*  на  R/2tl9  получим
 Итак,  для  принятия  мер  обороны  остается
еще  около  10,5  мин.  Скорость  ракеты  в  точке
максимального  подъема  равна
 Скорость  в  момент  поражения  цели  совпадает
с  начальной  скоростью  v0  и  в  |/2  раз  больше,
чем  (v0)x,  т.  е.
 v0=  1,41  -6,26  км/сек=8,85  км[сек.
 Средняя  вертикальная  скорость  равна  просто
максимальной  высоте  Л,  деленной  на  tv  и
составляет  половину  от  (v0)y:
 Величина  же  (у0)у  совпадает  с
(t/0)*=6,26  км/сек.  Следовательно,
 Мы  получили  уже  знакомый  нам  результат,
что  высота  подъема  при  стрельбе  под  углом
45°  составляет  ровно  четверть  от  максималь¬
ной  дальности  полета.  Интересно  отметить
следующее.  Несмотря  на  упрощающие  пред¬
положения,  полученные  результаты  нахо¬
дятся  в  хорошем  согласии  с  тем,  что  нам  из¬
вестно  о  современных  межконтинентальных
 49

баллистических  ракетах.  Ракеты  с  радиусом
действия  8000  км  покрывают  это  расстояние
примерно  за  20  мин,  поднимаясь  на  высоту
около  2000  км.  Кроме  того,  необходимая
начальная  их  скорость  у0=8,85  км/сек  срав¬
нима  со  скоростью  спутника  Земли.
 §  6.  Центростремительное
ускорение
 УСКОРЕНИЕ,  ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЕ  НАПРАВЛЕНИЮ
ДВИЖЕНИЯ
 При  движении  снаряда  в  момент  дости¬
жения  им  максимальной  высоты  ускорение  g
будет  направлено  перпендикулярно  скорости
снаряда.  При  этом,  как  вы  уже  видели,
снаряд  движется  по  кривой.  В  этом  пара¬
графе  мы  рассмотрим  особый  случай  дви¬
жения,  когда  ускорение  всегда  направ¬
лено  перпендикулярно  скорости.  Прежде
всего  покажем,  что  это  имеет  место  при  рав¬
номерном  движении  тела  по  окружности.
При  этом  его  ускорение,  оставаясь  перпен¬
дикулярным  скорости  в  любой  момент  вре¬
мени,  направлено  к  центру  окружности
(радиус  этой  окружности  составляет,  прямой
угол  со  скоростью  тела,  поскольку  скорость
направлена  по  касательной  к  окружности).
 На  фиг.  16,  а  показаны  два  последова¬
тельных  положения  тела,  равномерно  движу¬
щегося  по  окружности.  Пусть  At  —  время,
необходимое,  чтобы  тело  преодолело  расстоя¬
ние  As  между  этими  положениями.  За  это
время  направление  скорости  меняется:  vx
превращается  в  v2.
 Для  вычисления  ускорения  Av/At  мы
должны  прежде  всего  найти  Дгг,  т.  е.  изме¬
нение  скорости  за  время  At.  Вектор  Av
представляет  собой  разность  векторов  v2  и
vx.  Эту  разность  легко  получить,  если  сло¬
жить  векторы  (—vx)  и  v2  (фиг.  16,6).  Вектор
же  (—vj  —  это  не  что  иное,  как  вектор  vlf
повернутый  в  обратном  направлении:
 Av  =  (—  vx)  +  vt  =  v2  —  vx.
 50
 Фиг.  16.  Два  последовательных  по¬
ложения  тела,  равномерно  движу¬
щегося  по  окружности  (а),  и  вектор
Av—vt—vl  (б).

Чтобы  завершить  наш  расчет,  заметим,  что
треугольник  на  фиг.  16,6  со  сторонами  Av,
—vx  и  ^подобен  треугольнику  на  фиг.  16,  а
с  соответствующими  сторонами  As,  Rl  и  Rt.
Действительно,  оба  треугольника  равнобед¬
ренные,  а  стороны  vx  и  v%  перпендикулярны
соответственно  сторонам  Rr  и  R2.  Следова¬
тельно,  и  углы,  обозначенные  через  0,  равны.
Далее,  поскольку  соответствующие  стороны
подобных  треугольников  пропорциональны,
то
 Если  разделить  обе  части  последнего
равенства  на  А/,  то  мы  получим
 Такова  величина  искомого  ускорения,
называемого  центростремительным  ускоре¬
нием  ас.  Каждый  раз,  когда  тело  движется  по
криволинейной  траектории,  мы  имеем  дело
с  центростремительным  ускорением.  Еще
раз  выпишем  только  что  полученную  фор¬
мулу  для  центростремительного  ускорения:
 Отметим,  что  центростремительное  ускорение
меняет  только  направление  вектора  скорости,
совершенно  не  влияя  на  его  величину.  Следует
также  помнить,  что  ускорение  ас  направлено
по  радиусу  окружности  к  ее  центру.
 Пример.  Каково  центростремительное  ускоре¬
ние  тела  на  экваторе,  вызванное  вращением  Земли?
Тело,  находящееся  на  экваторе,  проходит  40  ООО  км
(длина  окружности  земного  экватора)  за  одни  сутки
(8,64-104  сек).  Таким  образом,  его  скорость  равна
 5!
 Центростремительное  ускорение

Согласно  формуле  (2.14),  тело  должно  иметь  ускоре¬
ние  v2/R>  направленное  к  центру  Земли  (R  -6360  км):
 Эта  величина  составляет  примерно  0,34%  от
g=  9,8  м/сек2.  Как  мы  увидим  в  следующей  главе,
именно  по  этой  причине  люди  на  экваторе  весят
примерно  на  0,34%  меньше,  чем  на  любом  из  полю¬
сов.  Поэтому  на  экваторе  легче  пробежать  1  милю
за  4  мин,  нежели  на  Северном  полюсе  1).
 Фиг.  17.  Модель  первого  советского
искусственного  спутника  Земли,
представленная  в  натуральную  ве¬
личину  в  Москве  на  Выставке  дости¬
жений  народного  хозяйства.
 §  7.  Искусственные  спутники
Земли
 ЧТО  УДЕРЖИВАЕТ  ИХ?
 Почему  искусственный  спутник  Земли  не
«падает»  на  Землю  с  ускорением  g~9,8  ж!сек},
как  это  происходит  со  всеми  телами  вблизи
земной  поверхности?  На  самом  же  деле  он
тоже  падает.  Летящий  на  небольшой  высоте
искусственный  спутник  Земли  непрерывно
падает  на  Землю  с  ускорением  силы
тяжести  g.  Больше  того,  если  бы  спутник
перестал  падать  на  Землю,  т.  е.  освободился
бы  от  действия  земного  притяжения,  то,  про¬
должая  двигаться  без  ускорения,  он  улетел  бы
от  Земли  по  касательной  к  своей  орбите.
Наблюдателю  на  поверхности  Земли  при  этом
показалось  бы,  что  спутник  взмыл  вверх.
 Согласно  (2.14),  любое  тело,  движущееся
по  круговой  орбите  вокруг  Земли,  должно
иметь  ускорение  ac=vVRy  направленное
к  центру  нашей  планеты.  Спутник,  вращаю¬
щийся  вблизи  земной  поверхности,  можно
рассматривать  как  тело,  свободно  падающее
с  постоянным  ускорением  ас~9,8  м/сек2.
Мы  можем  теперь  вычислить  скорость  и  пе¬
риод  обращения  первого  советского  искусст¬
венного  спутника  (фиг.  t7).  Эта  скорость  vc
носит  специальное  название  первой  косми¬
ческой  скорости.  Именно  такую  скорость
 1)Напомним,  что  мировой  рекорд  в  беге  на
 1  милю,  установленный  в  1965  г.  французским  спортс¬
меном  Мишелем  Жази,  составляет  3  мин  53,6  сек.
—Прим.  ред.
 52

Фиг.  18.  Запуск  ракеты  с  первым  аме¬
риканским  искусственным  спутником
Земли  «Эксплорер  I»  31  января
1958  г.
 Фиг.  19.  Проект  запуска  искусствен¬
ного  спутника  Земли,  предложенный
еще  Исааком  Ньютоном.
 необходимо  придать  спутнику,  чтобы  вывести
его  на  орбиту.  Поскольку  центростремитель¬
ное  ускорение  равно  g,  то
 С  такой  скоростью  и  были  запущены  первый
советский  искусственный  спутник  и  амери¬
канский  спутник  «Эксплорер  I»  (фиг.  18).
Если  разделить  длину  орбиты  на  скорость,
развитую  спутником,  то  получим  время
одного  оборота  спутника,  летящего  на
небольшой  высоте:
 Если  спутник  движется  по  более  удаленной
орбите,  то  время  одного  оборота  увели¬
чится.
 Впервые  эти  расчеты  произвел  Исаак
Ньютон  еще  примерно  в  1660  г.  На  фиг.  19
изображены  различные  орбиты  спутников
Земли.  Этот  чертеж  сделал  сам  Ньютон.  Он
представлял  себе  запуск  искусственных  спут¬
ников  как  выстрел  из  огромной  пушки  с  вер¬
шины  высокой  горы.  По  мнению  Ньютона,
если  ядру  сообщалась  начальная  скорость
8  км/сек,  то  оно  становилось  спутником
Земли,  что  и  изображено  на  чертеже.  На  нем
изображены  также  траектории  ядер,  вылетаю¬
щих  из  ствола  орудия  с  меньшими,  но  более
доступными  начальными  скоростями.  Итак,
мы  видим,  что  идея  создания  искусственных
спутников  Земли  отнюдь  не  нова.  Еще  во
времена  Ньютона  волновала  она  умы  ученых.
 §  8.  Проверка  размерности
 НЕБОЛЬШОЕ  ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ...
 При  решении  различных  задач  и  попытках
проверить  полученные  формулы  весьма  по¬
лезно  проверять  размерность  обеих  частей
 53
 где  R  ^6500  км  —  расстояние  до  центра
Земли.  Следовательно,

уравнения.  Если  вы  допустили  ошибку,  то
она,  как  правило,  проявится  в  том,  что  раз¬
мерность  правой  части  уравнения  будет  от¬
личаться  от  размерности  его  левой  части.
В  качестве  примера  проверим  размерность
соотношения  и=У2as  в  системе  CGS.  Размер¬
ность  левой  части  —  см!сек.  Если  ускорение
выражено  правильно,  т.  е.  в  см/сек2,  то
размерность  правой  части  будет
 Множитель  ]/}2  справа  является  величиной
безразмерной.  Поэтому  проверить  его  пра¬
вильность  таким  методом  мы,  конечно,  не
можем.
 Пример  1.  Студент  помнил,  что  путь,  пройден¬
ный  свободно  падающим  телом,  выражается  либо
формулой  s—Уг  at,  либо  s=  54  at2.  Как  выбрать  из
этих  двух  формул  верную?
 Ради  разнообразия  представим  себе,  что  он  опе¬
рирует  с  английскими  единицами.  Тогда  получает¬
ся,  что
 размерность  (at)  =  f  ^'%-}х(сек)—фут1сек,
 Отсюда  видно,  что  правильной  оказывается  вторая
формула  для  s.
 Пример  2.  Центростремительное  ускорение
можно  выразить  через  радиус  R  и  период  обраще¬
ния  Т  (время  одного  оборота).  Проверьте  размер¬
ность  нескольких  выражений,  составленных  из  R  и
 Последнее  выражение  совпадает  по  размерности  с
ускорением  ас.  Точная  формула  содержит  еще  чис¬
ленный  множитель  4я2  и  имеет  вид
 54

Задачи
 Ее  можно  вычислить  непосредственно.  Для  этого
достаточно  вспомнить,  что  скорость  тела  равна
длине  окружности  (2я/?),  деленной  на  период  Т.
Подставив  в  соотношение  (2.14)  v  =  2itR/T,  получим
 1. 	Уравнения  (2.1)  и  (2.4)  содержат  в  правой  части
одну  и  ту  же  величину  s/t.  Тем  не  менее  эти  урав¬
нения  имеют  совершенно  разный  смысл.  Объясните,
в  чем  здесь  дело.
 2. 	Тело,  находившееся  в  состоянии  покоя,  прихо¬
дит  в  движение  с  постоянным  ускорением.  Его
мгновенная  скорость  выражается  через  s  и  t:
v  =  2s/t.  Выведите  эту  формулу.
 3. 	Как  согласуется  результат  задачи  2v  —  2s/t  с  вы¬
ражением  (2.1),  по  которому  v  —  sjO
 4. 	Пусть  тело  начинает  двигаться  равномерно  с  на¬
чальной  скоростью  v0.  Выведите  формулу  для  ско¬
рости  v  (задача  2),  выразив  ее  через  v0>  s  и  t.
 5. 	В  какой  точке  траектории  снаряд  обладает  наи¬
меньшей  скоростью?
 6. 	Автомобиль  прошел  расстояние  s1  со  скоростью  vlf
а  расстояние  s2  со  скоростью  vz.  Какова  его
«средняя»  скорость  по  отношению  к  пройденному
расстоянию?  (Здесь  весовыми  множителями  являют¬
ся  Sj  и  s2.)
 7. 	Мальчик  подбрасывает  мяч  вертикально  вверх,
а  затем  ловит  его  через  2  сек  (на  той  же  высоте
от  земли).  С  какой  скоростью  он  бросает  этот  мяч?
На  какую  высоту  он  его  подбрасывает?
 8. 	При  движении  по  прямолинейному  шоссе  ав¬
томобиль  прошел  10  км  с  постоянной  скоростью
30  км/час.  Следующие  10  км  он  прошел  также  с  по¬
стоянной  скоростью  60  км/час.  Какова  средняя  ско¬
рость  автомобиля  на  всем  пути?
 9. 	Тело,  движущееся  со  скоростью  10  м/сек,  на¬
чинает  равномерно  замедляться  и  останавливается,
пройдя  путь  в  20  м.  Чему  равно  его  (на  этот  раз
отрицательное)  ускорение?  Сколько  времени  потре¬
бовалось  телу  для  полной  остановки?
 10. 	Дети  играют  в  мяч.  Водящий  находится  в  20  м
от  «домика».  Он  бросает  мяч,  стараясь  попасть  в  «до¬
мик».  Одновременно  один  из  участников  игры  бежит
 55

в  «домик».  У  него  уходит  на  это  3,5  сек.  Максималь¬
ная  высота  полета  мяча  7  м.  Успеет  ли  участник  во¬
время  спрятаться  в  «домике»?
 11. 	Спутник  вращается  по  орбите  на  высоте  531  км.
Из  сверхдальнобойного  орудия,  направленного
вертикально,  делается  попытка  сбить  этот  спут¬
ник.  Будем  считать,  что  ускорение  свободного  паде¬
ния  g  везде  постоянно  (9,8  м/сек2),  и  пренебрежем  со¬
противлением  воздуха.  Какой  должна  быть  началь¬
ная  скорость  снаряда,  чтобы  он  хотя  бы  долетел  до
спутника?  Сколько  времени  ему  для  этого  потребует¬
ся?
 12. 	Стальной  шар  подпрыгивает  на  стальной  плите
с  периодом  1  сек.  Какова  высота  каждого  под¬
скока?
 13. 	Автомобиль,  мчавшийся  со  скоростью  130  км/час,
останавливается  через  1  сек  после  нажатия  водите¬
лем^  педали  тормозов.  Какое  расстояние  он  успеет
пройти  за  это  время?  Ускорение  можно  считать
постоянным.
 14. 	Двигаясь  со  скоростью  100  км/час,  автомобиль
налетает  на  стену.  Полученный  им  удар  равноси¬
лен  удару,  который  испытал  бы  автомобиль,  упав  на
землю  с  некоторой  высоты.  Какова  эта  высота?
 15. 	Предположите,  что  тот  же  автомобиль  стал¬
кивается  со  встречным  тяжелым  грузовиком,  имею¬
щим  такую  же  скорость  —  100  км/час.  Допустим,  что
грузовик  при  ударе  почти  не  потерял  своей  скорости.
Какова  в  этом  случае  эквивалентная  высота  паде¬
ния?
 16. 	Предположим,  что  реактивный  лайнер  из  сооб¬
ражений  удобства  пассажиров  не  должен  развивать
ускорений  по  горизонтали,  превышающих  2  g.  Рас¬
стояние  от  Нью-Йорка  до  Филадельфии  равно  160  км.
За  какое  минимальное  время  наш  лайнер  проде¬
лает  этот  путь,  соблюдая  указанное  условие?  Какой
максимальной  скорости  он  достигнет  во  время  по¬
лета?
 17. 	Мяч  падает  на  плоскую  поверхность  с  высо¬
ты  20  ж  и  вновь  подпрыгивает  на  высоту  5  м.  Чему
равна  скорость  мяча  в  момент  падения  на  плоскость?
Сколько  времени  проходит  от  начала  падения  мяча
до  момента  достижения  им  точки  наивысшего  подъ¬
ема?  Какова  скорость  мяча  в  момент  отскока?
 18. 	Некоторые  ракеты,  находящиеся  на  воору¬
жении  армии  США,  достигнув  высоты  300  ж,  разви¬
вают  скорость  около  1000  км/час.  Каково  их  ускоре¬
ние  (в  единицах  g)?
 19. 	Предположим,  что  для  запуска  ракеты-пе¬
рехватчика  остается  1  мин.  Нападающая  ракета

летит  на  высоте  200  км.  Если  двигатели  ракеты-пе¬
рехватчика  способны  развить  ускорение  10  g  и  если
она  запускается  вертикально  вверх,  то  будет  ли  этого
времени  достаточно,  чтобы  сбить  ракету?
 20. 	Мотоциклист,  двигаясь  с  постоянной  по  ве¬
личине  скоростью  15  м/сек,  промчался  мимо  полицей¬
ского  поста.  Полисмен  решил  задержать  его  за  нару¬
шение  правил  уличного  движения.  Спустя  4  сек
после  проезда  мотоциклиста,  полисмен  начал  пресле¬
дование.  Будем  считать,  что  машина  полисмена  дви¬
жется  с  постоянным  ускорением,  а  его  начальная
скорость,  естественно,  равна  нулю.  Проехав  365  ж,
он  настигает  нарушителя.  Сколько  времени  ему  для
этого  потребовалось?  Каково  было  ускорение?  Чему
равнялась  скорость  машины  полисмена,  когда  она
поравнялась  с  мотоциклистом?
 21. 	Тело  выходит  из  состояния  покоя  с  постоян¬
ным  ускорением  g  и  движется  так  в  течение  целого
года.  Пользуясь  формулой  релятивистской  меха¬
ники,  найдите  его  конечную  скорость.  Если  бы  тело
ускорялось  в  течение  10  лет,  на  сколько  его  скорость
отличалась  бы  от  скорости  света?
 22. 	Расстояние  Луны  от  Земли  составляет  при¬
мерно  385  000  км.  Каково  центростремительное  ус¬
корение  Луны  при  ее  вращении  вокруг  Земли?
 23. 	Во  сколько  раз  центростремительное  уско¬
рение  спутника  больше  центростремительного  уско¬
рения  Луны,  если  радиус  его  орбиты  в  60  раз  меньше
(считая  от  центра  Земли)?  Можно  ли  сказать,  что
центростремительное  ускорение  меняется  обратно
пропорционально  квадрату  расстояния  от  центра
Земли?
 24. 	Река  течет  на  запад  со  скоростью  5  км/час.
Паром  движется  относительно  воды  со  скоростью
10  км/час  в  направлении  30°  на  северо-северо-восток.
Какова  величина  и  направление  скорости  парома  с
точки  зрения  наблюдателя  на  берегу?
 25. 	Какова  среднесуточная  температура,  если  она
равномерно  растет  от  30  до  60°  с  полуночи  до  10  часов
утра,  затем  до  4  часов  дня  остается  равной  60°  и,  на¬
конец,  равномерно  падает  до  40°  до  полуночи?

ГЛАВА  3
 ДИНАМИКА

ДИНАМИКА  §  I.  Законы  движения  Ньютона
 Первый  закон
 Второй  закон
 Третий  закон
 САМОЕ  ОБЩЕЕ  ОПИСАНИЕ  ВСЕГО  ОКРУЖАЮЩЕГО
 Динамика  занимается  изучением  общих
законов  взаимодействия  материальных  тел.
Одним  из  основных  свойств  любого  мате¬
риального  тела  является  наличие  у  него
инертной  массы.  Другим  новым  для  чита¬
теля  понятием,  используемым  для  описания
взаимодействий  материальных  тел,  является
понятие  силы.  Количественные  представ¬
ления  о  силе  и  инертной  массе  были  впервые
даны  Исааком  Ньютоном.  (В  этой  книге
термины  масса  и  инертная  масса  имеют  один
и  тот  же  смысл.  Мы  будем  пользоваться
любым  из  них,  специально  не  оговаривая  это
в  дальнейшем.)  Определение  массы  и  силы
содержится  в  формулировке  трех  законов
движения  Ньютона.  Прежде  всего  мы  кратко
сформулируем  эти  законы,  а  затем  займемся
обсуждением  содержащихся  в  них  определе¬
ний  массы  и  силы.
 Первый  закон  Ньютона
 Будучи  предоставлено  самому  себе  (при
отсутствии  внешних  сил),  тело  сохраняет
состояние  покоя  или  равномерного  движения
с  равным  нулю  ускорением.  В  математической
форме  это  утверждение  имеет  вид
 Второй  закон  Ньютона
 Действующая  на  тело  результирующая
сила  равна  произведению  массы  тела  на  его
искооение:
 (3.1)
 Третий  закон  Ньютона
 При  любом  взаимодействии  двух  тел  сила,
с  которой  первое  тело  воздействует  на  вто¬
рое,  равна  по  величине  и  направлена  противо¬
положно  силе,  с  которой  второе  тело  воз¬
действует  на  первое:
 60

Рассмотрим  сначала  содержание  первого
закона.  Легко  видеть,  что  с  математической
точки  зрения  он  представляет  собой  частный
случай  более  общего  второго  закона.  Одна
из  причин,  по  которой  этот  частный  случай
выделен  в  особый  закон,  заключается
в  том,  что  на  первый  взгляд  он  кажется  про¬
тиворечащим  всем  повседневным  наблюде¬
ниям.  Известно,  что  если  перестать  тянуть
или  толкать  движущееся  тело,  то  оно,  как
правило,  останавливается,  а  не  продолжает
двигаться  с  постоянной  скоростью.  Так,
автомобиль  с  выключенным  мотором  останав¬
ливается.  Если  верить  первому  закону  Нью¬
тона,  то  на  катящийся  по  инерции  автомо¬
биль  должна  действовать  тормозящая  сила.
И  действительно,  такими  внешними  силами
является  сопротивление  воздуха  и  трение
автомобильных  шин  о  поверхность  шоссе.
Они-то  и  сообщают  автомобилю  отрицатель¬
ное  ускорение  до  тех  пор,  пока  он  не  оста¬
новится.  До  Ньютона  в  науке  безраздельно
господствовало  мнение,  основанное  на  древ¬
нем  учении  Аристотеля.  Главным  принципом
этой  системы  является  утверждение,  что  при
отсутствии  воздействия  внешних  сил  все
тела  должны  покоиться.  Другой  ошибкой
Аристотеля  было  утверждение,  что  все  тела
падают  со  скоростью,  пропорциональной  их
весу.  Как  мы  видели,  Галилей  одним  из
первых  выступил  с  критикой  этих  принципов.
 В  заключение  следует  сделать  еще  одно
замечание  о  первом  законе  Ньютона.  Оче¬
видно,  что  первый  закон  Ньютона  нару¬
шается,  если  сам  наблюдатель  движется
с  ускорением.  Поэтому  Ньютон  специально
указал,  что  все  эти  три  закона  движения
справедливы  только  при  условии,  что  наблю¬
датель  находится  в  так  называемой  инер-
циальной  системе  отсчета.  Ньютон  дал  опре¬
деление  инерциальной  системы  как  любой
системы,  которая  покоится  или  движется
равномерно  и  прямолинейно  по  отношению
к  неподвижным  звездам.
 Внимательного  читателя,  пожалуй,  может
смутить  второй  закон  Ньютона,  ибо  он  со¬
держит  два  новых  понятия  —  сила  и  масса,
 61

ни  одному  из  которых,  собственно  говоря,
не  было  дано  строгого  определения.  Однако
второй  и  третий  законы  Ньютона  совер¬
шенно  однозначно  определяют  обе  эти  ве¬
личины.
 В  нашем  изложении  мы  дадим  определе¬
ние  инертной  массы  с  помощью  закона  сохра¬
нения  импульса,  который  является  совер¬
шенно  эквивалентным  выражением  третьего
закона  Ньютона.  Сейчас  уже  установлено,
что  третий  закон  Ньютона  не  является  аб¬
солютно  справедливым;  наблюдались  значи¬
тельные  отклонения  от  него.  В  главе,  посвя¬
щенной  теории  относительности,  мы  увидим,
что  сигналы  не  могут  распространяться  со
скоростью,  превышающей  скорость  света.
Поэтому  третий  закон  Ньютона,  вообще
говоря,  нельзя  применять  к  силе,  действую¬
щей  на  расстоянии;  в  противном  случае  силы
можно  было  бы  использовать  для  передачи
сигналов  с  бесконечно  большой  скоростью.
 Вот  простой  пример  нарушения  третьего
закона  Ньютона:  заряженная  частица  уда¬
ляется  от  проводника,  по  которому  течет
электрический  ток.  В  гл.  8  мы  увидим,  что
в  этом  случае  на  заряженную  частицу  дейст¬
вует  магнитное  поле  тока.  В  тоже  время  ре¬
зультирующая  сила,  действующая  со  стороны
заряженной  частицы  на  проводник  с  током,
в  точности  равна  нулю.  Это  явно  противоре¬
чит  третьему  закону  Ньютона,  утверждаю¬
щему,  что  действия  двух  тел  друг  на  друга
равны  по  величине.  С  другой  стороны,  тре¬
тий  закон  Ньютона  справедлив  в  тех  слу¬
чаях,  когда  речь  идет  о  взаимодействии
покоящихся  тел,  а  также  в  случае  контакт¬
ных  взаимодействий.  Что  же  касается  закона
сохранения  импульса,  то  он,  насколько  нам
известно,  является  точным  законом  природы.
До  сих  пор  не  обнаружено  ни  одного  случая
нарушения  этого  закона.  Он  тщательно  про¬
верялся  в  самых  разнообразных  экспери¬
ментах.  Прежде  чем  мы  сможем  продолжать
обсуждение  законов  Ньютона,  следует  дать
определение  инертной  массе.  Поэтому  сле¬
дующий  параграф  мы  посвящаем  закону
сохранения  импульса.
 62

§  2.  Закон  сохранения
импульса
 НЕРУШИМЫЙ  ЗАКОН  ПРИРОДЫ
 Импульсом  тела  Р  называется  произве¬
дение  массы  тела  на  его  скорость:
 Закон  сохранения  импульса  гласит,  что  в  от¬
сутствие  внешних  сил  сумма  импульсов  двух
частиц  остается  неизменной.  Пусть,  напри¬
мер,  сталкиваются  две  частицы  с  массами  МА
и  Мв.  Тогда
 гдег>ли  vB—  скорости  частиц  до  соударения,
a  vA  и  vB  —  их  скорости  после  соударения.
 Теперь,  когда  мы  познакомились  с  этим
законом,  у  нас  есть  возможность  дать  точное
определение  массе.  Предположим,  что  МА—
известная  эталонная  масса.  Это  может  быть,
скажем,  эталон  одного  килограмма  —  ци¬
линдр  из  платинового  сплава,  хранящийся
во  Франции.  Тогда  любую  неизвестную
массу  Мв  можно  найти,  приводя  ее  в  столк¬
новение  с  МА.  Если  масса  Мв  до  удара  по¬
коилась,  то,  как  следует  из  уравнения  (3.4),
 Мы  видим,  что  инертную  массу  любого
тела  можно  найти,  просто  измерив  скорости
до  и  после  соударения.
 Из  этого  определения  вытекает  важный
экспериментальный  факт: 	масса 	обладает
 свойством  аддитивности.  Под  этим  мы  пони¬
маем  следующее:  если  соединить  вместе  две
 Определение  импульса
 (3.3)
 Сохранение  импульса
 (3.4)
 (3.5)
 или
 63

о
 V
 о
 о
 о
 о
 X
 1)
 ч,
 с»
 и
 Фиг.  20.  Соударение  двух  биллиардных  шаров  одинаковой  массы.
 Шар  В  до  удара  покоился;  шар  А  появился  сверху,  а  после  удара  покатился  направо;  освещение  стробо»
скопическое  (частота  30  вспышек  в  секунду).
 Фиг.  21.  Последовательные  столкновения  протона  с  другими  протонами,  находившимися
 в  состоянии  покоя.
 Протон  А  появляется  сверху  и  сначала  соударяется  с  протоном  В.  Протоны  В,  С,  D  и  Е  до  соударения
находились  в  состоянии  покоя  (ядра  жидкого  водорода).  Фотография  получена  в  пузырьковой  камере
с  жидким  водородом  в  Лаборатории  излучений  имени  Э.  Лоуренса  Калифорнийского  университета.
В  пузырьковой  камере  следы  летящих  протонов  видны  в  виде  цепочки  мельчайших  пузырьков.

Фиг.  22.  Скорость  отдачи  ружья  та¬
кова,  что  сумма  импульсов  ружья  и
пули  равна  нулю.
 а  —  перед  выстрелом;  б  —  после  выстрела.
 массы  Мв  и  Мс,  то,  определив  описанным
выше  путем  полную  массу  MD,  обнаружим,
что  она  численно  равна  сумме  масс  Мв  и
Мс.  Свойство  аддитивности  массы  может
показаться  читателю  очевидным.  Однако  так
это  или  не  так,  но  любую  гипотезу  следует
проверять  на  опыте.  Многие  привычные
физические  величины  вовсе  не  аддитивны,
например  величины  векторов.  Другим  при¬
мером  является  сложение  объемов.  Если
смешать  литр  спирта  с  литром  воды,  то  общий
объем  будет  заметно  меньше  2  л.
 Определенная  равенством  (3.5)  масса  при
очень  больших  скоростях  (близких  к  ско¬
рости  света)  ведет  себя  удивительным  обра¬
зом.  Опыт  показывает,  что  масса  тела  возра¬
стает  с  ростом  его  скорости.  Как  будет
показано  в  гл.  11,  посвященной  теории  отно¬
сительности,  эта  зависимость  массы  от  ско¬
рости  имеет  вид
 Релятивистская  масса  М  =
 (3.6)
 где  М0  —  масса  покоя,  с  —  скорость  света.
При  обычных  скоростях  мы  будем  считать,
что  масса  постоянна  и  не  зависит  от  скорости.
Это  является  достаточно  хорошим  прибли¬
жением.  К  формуле  (3.6)  мы  вернемся  в  гл.  11.
 Прежде  чем  переходить  к  определению
силы  и  обсуждению  второго  закона  Ньютона,
покажем  на  примерах,  насколько  полезно
применять  закон  сохранения  импульса  при
решении  различных  задач.
 Пример  1.  При  выстреле  из  ружья  весом  3  кг
вылетает  пуля,  которая  весит  10  г  (фиг.  22).  Ее  ско¬
рость  в  момент  вылета  600  м/сек.  Какова  скорость
отдачи  ружья,  если  в  момент  выстрела  приклад  не
был  крепко  прижат  к  плечу  стрелка?  Суммарный  им¬
пульс  ружья  и  пули  до  выстрела  был  равен  нулю.
Согласно  закону  сохранения  импульса,  алгебраиче¬
ская  сумма  импульсов  ружья  и  пули  после  выст¬
рела  также  должна  быть  равна  нулю:
 MgVg  +  Mbvb=°>
 3  Джей  Орир
 65

Фиг.  23.  Фотография  движения  двух
шаров  различной  массы,  полученная
со  стробоскопическим  освещением.
Шары  приведены  в  движение  пружиной,
помещенной  между  ними.  Масса  шара  А
вдвое  больше  массы  шара  В.
 Фиг.  24.  Ракета  после  старта.
 Выхлопные  газы  движутся  налево  со  сред¬
ней  скоростью  и^,  а  ракета  —  направо  со
 скоростью  и  .
 ИЛИ
 vr=—4  км\сек.
 Знак  минус  означает,  что  ракета  движется  в  направ¬
лении,  противоположном  направлению  потока  вы¬
хлопных  газов.
 где  Mgvg  —  импульс  ружья,  Мbvb  —  импульс
пули  после  выстрела,
 Знак  минус  показывает,  что  ружье  отскакивает  в
направлении,  противоположном  направлению  поле¬
та  пули.
 Пример  2.  В  ракете  весом  20  т  (20  ООО  кг)  80%  ее
веса  составляет  горючее.  Какую  конечную  скорость
может  сообщить  ракете  такой  запас  горючего,  если
все  оно  будет  выброшено  в  виде  выхлопных  газов  со
средней  скоростью  1  км1сек  по  отношению  Земли?
Влиянием  земного  притяжения  и  сопротивлением
воздуха  пренебречь.  Этот  пример  аналогичен  преды¬
дущему.  Отдача  ракеты  соответствует  отдаче  ружья.
А  каждую  молекулу  выходящего  газа  можно  рас¬
сматривать  как  маленькую  пульку,  которой  «стреля¬
ет»  ракета.  Полный  импульс  выхлопных  газов  равен
массе  горючего  Mf,  умноженной  на  среднюю  ско¬
рость  газа  и^(фиг.  24).  Как  и  в  предыдущем  примере,
в  начальный  момент  полный  импульс  равен  нулю.
Следовательно,  и  в  любой  момент  времени  суммар¬
ный  импульс  также  равен  нулю:
 где  Мг  —  масса  «пустой»  ракеты,  vr—  ее  конечная
скорость.  Разрешив  это  равенство  относительно  vn
найдем
 Так  как  по  условию  масса  горючего  в  4  раза  больше
массы  «пустой»  ракеты,  a  vr  =1  км/сек,  то

Мы  видим,  что  конечная  скорость  ракеты
может  быть  сколь  угодно  большой;  для  этого
надо  соответственно  увеличить  отношение
масс  горючего  и  пустой  ракеты.  Однако  сле¬
дует  иметь  в  виду,  что  оболочка  ракеты  долж¬
на  быть  достаточно  прочна,  чтобы  выдержать
груз  горючего.  Это,  естественно,  ограни¬
чивает  величину  отношения  Mj/Mr.  Впрочем,
это  ограничение  можно  обойти,  используя
многоступенчатые  ракеты.  Предположим,  что
Мг  —  масса  второй  ступени  ракеты.  Пусть
снова  80%  ее  массы  составляет  горючее.
Тогда  эта  вторая  ступень  может  развить
дополнительно  скорость  vr—4  км/сек.  Следо¬
вательно,  конечная  скорость  «пустой»  второй
ступени  будет  уже  8  км/сек.  А  такая  скорость
как  раз  необходима,  чтобы  вывести
8005м/сек  ракету  на  орбиту  вокруг  Земли.
 > 	Пример  3.  Третья  ступень  ракеты  со¬
 стоит  из  ракеты-носителя  весом  500  кг  и
головного  конуса  весом  10  кг.  Между  ними  поме¬
щена  сжатая  пружина.  При  испытаниях  на  земле
пружина  сообщала  конусу  скорость  5,1  м!сек  по
отношению  к  ракете-носителю.  Каковы  будут  ско¬
рости  конуса  и  ракеты,  если  их  отделение  произой¬
дет  на  орбите  при  движении  со  скоростью  8  км/сек?
 Пусть  М00  кг  —  масса  ракеты-носителя,
Мв=  10  кг  --  масса  конуса.  Полный  импульс  до  мо¬
мента  отделения  равен  (М  A~h  МB)v0.  По  закону  сох¬
ранения  импульса
 Далее,  из  наземных  испытаний  известно,  что
или
 Подстановка  в  уравнение  импульсов  дает
 Итак,  пружина  сообщает  головному  конусу  ракеты
дополнительную  скорость  5  м/сек.  При  этом  скорость
ракеты-носителя  уменьшается  на  0,1  м/сек.
 67
 Фиг.  25.  Ракета  до  освобождения
головного  конуса  (а)  и  после  сра¬
батывания  пружины  (б).

§  3.  Сила
 «тяни-толкай*  В  ФИЗИКЕ
 Теперь,  когда  имеется  строгое  определе¬
ние  массы  и  импульса,  можно  воспользо¬
ваться  вторым  законом  Ньютона,  чтобы  дать
определение  силе.  Первоначальная  ньютонов¬
ская  формулировка  второго  закона  не  совпа¬
дала  с  приведенной  в  начале  главы:  F  =  Ma.
Ньютон  утверждал,  что  сила,  действующая
на  тело  с  массой  М,  равна  скорости  измене¬
ния  импульса  этого  тела  со  временем:
 (3.7)
 где  АР  —  изменение  импульса  тела  за  малый
промежуток  времени  At.  При  обычных  ско¬
ростях  (гораздо  меньше  скорости  света)
массу  М  можно  считать  постоянной.  Тогда
равенство  (3.7)  можно  переписать  в  виде
 или
 F  =  Ma,
 так  как  Av/At  по  определению  есть  уско¬
рение.  Конечно,  Ньютон  не  подозревал,  что
масса  растет  с  увеличением  скорости  в  соот¬
ветствии  с  (3.6).  Он  считал,  что  произведение
массы  на  ускорение  математически  всегда
должно  быть  эквивалентно  скорости  изме¬
нения  импульса  со  временем.  С  точки  же
зрения  современной  релятивистской  меха¬
ники  правильно  первоначальное  определение
силы  (3.7).  Выражение  F  =  Ma  служит
очень  хорошим  приближением,  когда  мы
имеем  дело  с  обычными  скоростями.  Пока
мы  занимаемся  классической  механикой,  мы
будем  продолжать  пользоваться  приближен¬
ным  выражением  F  =  Ma.  Изучение  реляти¬
вистской  механики  отложим  до  гл.  И.  Од¬
нако  ничего  предосудительного  нет  в  том,  что
уже  в  этой  главе,  посвященной  классической
теории,  мы  забежали  несколько  вперед,  дав
строгое  определение  массы  и  силы  [см.  фор¬
мулы  (3.6)  и  (3.7)],  справедливые  как  в  клас¬
сической,  так  и  в  релятивистской  механике.
 68

Фиг.  26.  Брусок,  прижатый  к  непо¬
движной  стенке.
 М
 В  системе  MKS  сила  измеряется
в  кг-м/сек2,  а  в  системе  CGS  —  в  г-см/сек2.
Эти  две  единицы  носят  специальные  назва¬
ния  —  соответственно  ньютон  и  дина.  Сила
в  1  ньютон  сообщает  массе  в  1  кг  ускорение
1  м/сек2.  Коэффициент  перехода  от  ньютона
к  дине  получается  следующим  образом:
 , 	1 	кгх\  м
 1  ньютон  =  -jz 	гтг-  .
 (1  сек)2
 Заменим  1  кг  равной  ему  величиной  103  г,
а  1  м  —  величиной  102  см.  Тогда  получим
 I  ньютон
 Сила  реакции
 Рассмотрим  следующий  «парадокс».  Де¬
ревянный  брусок  с  массой  М  прижимается
к  твердой  неподвижной  стене  с  силой  F
(фиг.  26).  Из  второго  закона  Ньютона  выте¬
кает,  что  его  ускорение  равно
 Это,  казалось  бы,  говорит  о  том,  что  брусок
будет  ускоряться  и  должен  начать  двигаться.
Однако  опыт  показывает,  что  он  не  будет
двигаться.  В  чем  здесь  дело?
 Парадокс  исчезает,  если  вспомнить,  что
сила  F  в  уравнении  F  =Ма  представляет
собой  результирующую  силу.  Если  на  одно
и  то  же  тело  с  массой  М  действуют  одновре¬
менно  две  силы  Fх  и  F2,  то  результирующая
сила  равна  F^^=FV-\FZ.  В  нашем  примере,
кроме  приложенной  силы  F,  на  брусок  дей¬
ствует  еще  сила  F\  с  которой  на  него  давит
стенка.  Результирующая  сила  FVQ3=F+F'.
По  третьему  же  закону  Ньютона  сила  F’
равна  и  противоположна  силе,  с  которой
брусок  давит  на  стенку,  т.  е.  F'  =  —F.  Таким
образом,  F  C3-F-\-  (—F)  ^0  и  второй  закон
Ньютона  дает
 69

Фиг.  27.  Два  бруска,  движущиеся  по
поверхности  без  трения.
 Прежде  чем  перейти  к  дальнейшему  изло¬
жению,  попытаемся  проиллюстрировать  ис¬
ключительную  простоту  и  изящество  законов
Ньютона.  Правда,  правильное  применение
этих  законов  часто  оказывается  делом  очень
тонким.  Приводимый  ниже  парадокс  должен
послужить  предостережением  неосторож¬
ному  «мыслителю».
 Рассмотрим  два  бруска  с  массой  МА  и
Мв,  движущихся  по  плоской  поверхности
без  трения,  как  показано  на  фиг.  27.  Сила  F
приложена  к  бруску  А  и  через  него  пере¬
дается  бруску  В.  По  третьему  закону  Нью¬
тона  брусок  В  должен  с  равной  и  противопо¬
ложной  силой  (—F)  воздействовать  на  бру¬
сок  А.  Если  пренебречь  трением  о  плоскость,
то  результирующая  сила,  действующая  на  Л,
будет  равна  сумме  приложенной  силы  F
и  силы  реакции  —F  бруска  В.  Таким  обра¬
зом,  F?e3=F+(—F)  =  0  и
 Отсюда  следует,  что,  как  бы  ни  была  велика
сила  F,  приложенная  к  бруску  Л,  он  никогда
не  сдвинется  с  места.
 Ошибка  в  этих  рассуждениях  заклю¬
чается  в  предположении,  что  сила  F  пере¬
дается  через  брусок  А  и,  следовательно,
приложена  также  к  бруску  В.  В  законах
Ньютона,  однако,  нигде  не  говорится,  что
это  должно  быть  так.  Поэтому  правильнее
было  бы  предположить,  что  со  стороны
бруска  А  на  брусок  В  действует  некая  про¬
извольная  сила  F'.  В  этом  случае  результи¬
рующей  силой,  действующей  на  брусок  В,
будет  сила  Z7',  а  на  брусок  А  —  сила  F—F'.
Применение  второго  закона  Ньютона  к  брус¬
кам  А  и  В  дает  соответственно:
 70
 Складывая  эти  равенства,  получаем

Заметьте,  что  этот  результат  получается
просто,  если  разделить  приложенную  силу  F
на  общую  массу  обоих  брусков.
 Оставшиеся  три  параграфа  этой  главы  мы
посвятим  приложениям  законов  Ньютона.
Они  дадут  читателю  некоторое  представле¬
ние  о  том,  как  применять  эти  законы  к  реше¬
нию  задач  механики.
 Фиг.  28.  Силы,  действующие  на  бру¬
сок  М,  скользящий  вниз  по  наклон¬
ной  плоскости  без  трения.
 §  4.  Наклонная  плоскость
 КАК  УПРАВЛЯТЬ  СИЛОЙ  ТЯЖЕСТИ
 Из  опыта  известно,  что  все  свободно  па-
дающиетела  имеют  одинаковое  ускорение.  По
второму  закону  Ньютона  сила  тяжести,
действующая  на  любое  тело  с  массой  М
у  поверхности  Земли,  должна  быть  равна
fG=Mg,  где  g=  9,8  м/сек2.
 Рассмотрим  такой  пример.  Тело  с  массой
М  скользит  без  трения  по  наклонной  пло¬
скости  с  углом  наклона  30°  (фиг.  28).  С  ка¬
ким  ускорением  это  тело  движется  вниз?
 В  этом  примере  сила  F\  т.  е.  сила  реакции
наклонной  плоскости  на  тело  М,  должна
быть  такой,  чтобы  Fрез  была  направлена
вдоль  плоскости.  Кроме  того,  сила  F'  не
может  иметь  составляющей  вдоль  наклонной
плоскости,  так  как  мы  предположили,  что
движение  происходит  без  трения.  Итак,  сила
F'  должна  быть  перпендикулярна  наклонной
плоскости.  Три  вектора,  Fpe3,  F'  и  сила  тя¬
жести  Fg  ,показаны  на  фиг.  28.  На  фиг.  28,  б
приведена  схема  сложения  этих  векторов  по
правилу  многоугольника.  Результирующий
вектор  равен  Fpe3.  Угол  между  F'  и  FG
должен  составлять  30°,  поскольку  F'  и  FQ
перпендикулярны  соответственно  наклонной
плоскости  и  основанию.  Образованный  ими
треугольник  прямоугольный.  В  таком  тре¬
угольнике  гипотенуза  ровно  вдвое  больше
короткого  катета.  Поэтому
 71

Фиг.  29.  Машина  Атвуда.
 Если  угол  наклона  равен  0,  то  легко  ви¬
деть,  что
 где
 . 	/.  Высота  наклонной  плоскости
 Sin  Ь  =  ~ 	•
 Длина  плоскости  скольжения
 Такой  же  расчет  был  проделан  Галилеем,
который  применял  наклонную  плоскость  для
«уменьшения»  ускорения  свободного  падения
в  заданное  число  раз.
 §  5.  Машина  Атвуда
 ЕЩЕ  ОДИН  СПОСОБ  УПРАВЛЯТЬ  СИЛОЙ  ТЯЖЕСТИ
 Машина  Атвуда  представляет  собой  два
груза  с  массой  Мг  и  Мг,  которые  подвешены
на  легкой  нити,  перекинутой  через  неподвиж¬
ный  блок  (фиг.  29).  Если  бы  масса  нити  была
действительно  равна  нулю,  то  и  результи¬
рующая  сила,  действующая  на  нить,  также
должна  была  бы  обратиться  в  нуль.  В  про¬
тивном  случае,  ее  ускорение  оказалось  бы
бесконечно  большим.  Иными  словами,  если
один  конец  нити  тянуть  с  силой  7\  то  другой
конец  нужно  тянуть  с  такой  же  силой  Т.  На
фиг.  29  сила  Т  обозначает  реакцию  нити,
действующую  на  каждую  из  двух  масс  Mt
и  Mz.  Результирующая  сила,  действующая
на  Mlt  равна
 (3.8)
 Так  как  длина  нити  не  меняется,  то
аг=—а2  и  последнее  равенство  принимает  вид
 или
 Подставим  теперь  это  выражение  для  Т
в  (3.8):

Разрешая  это  равенство  относительно  а
получаем
 Вы  видите,  что,  беря  достаточно  близкие  по
величине  массы,  можно  сделать  ускорение
сколь  угодно*  малым.  При  этом,  конечно,
надо  иметь  в  виду,  что  если  величина  Мх—Мг
окажется  очень  малой,  то  массами  нити  и
блока  нельзя  будет  пренебрегать.
 §  6.  Простой  гармонический
маятник
 ОБЫЧНОЕ  ДВИЖЕНИЕ
 Простой  маятник  представляет  собой  не¬
большой  грузик  с  массой  УИ,  подвешенный
на  нити  длиной  L.  Когда  говорят  о  движении
такого  маятника,  то  всегда  предполагают,
что  его  отклонение  х  гораздо  меньше  L.
Воспользовавшись  схемой,  изображенной  на
фиг.  30,  найдем  ускорение  грузика  М.  На
фиг.  30,6  приведена  схема  сложения  векторов
Fg  и  Т.  Их  сумма  равна  Этот  вектор¬
ный  треугольник  подобен  треугольнику,  изо¬
браженному  на  фиг.  30,а:  соответствую¬
щие  стороны  этих  треугольников  параллель¬
ны.  Следовательно,
 Подставим  теперь  Ма  вместо
вместо  Fq  и  получим
 Это  первый  пример,  когда  ускорение  ме¬
няется  по  величине.  Заметьте,  что  в  этом  при¬
мере  ускорение  просто  связано  с  отклонением
х—  оно  прямо  пропорционально  х  и  всегда  на¬
правлено  противоположно  х.  Такое  движение
носит  название  простого  гармонического
 73
 Фиг.  30.  Простой  маятник.

движения.  Характерный  признак  такого
движения  —  постоянство  отношения  вели¬
чины  ускорения  к  величине  отклонения:
 ~  =  const.
 X
 Это  соотношение  выполняется  во  многих
известных  видах  движений.  Например,  упру¬
гая  сила  растянутой  пружины  обычно  про¬
порциональна  ее  удлинению  х.  Это  прове¬
ренное  на  опыте  свойство  пружин  получило
название  закона  Гука.  Следовательно,  груз,
подвешенный  на  конце  пружины,  должен
также  совершать  простые  гармонические  ко¬
лебания.  Существует  множество  других  при¬
меров  таких  движений  —  колебания  любой
точки  звучащей  скрипичной  струны,  колеба¬
ния  небольшого  объема  воздуха  в  трубе  ор¬
гана,  колебания  атома  в  твердом  теле.  При¬
чина,  по  которой  огромное  число  движений
в  природе  представляет  собой  простое  гармо¬
ническое  движение,  заключается  в  следую¬
щем.  Независимо  от  того,  как  (пусть  даже
очень  сложно)  сила  зависит  от  расстояния,
пока  она,  как  принято  говорить,  является
гладкой  функцией  расстояния,  ее  изменение
при  достаточно  малых  отклонениях  должно
быть  прямо  пропорционально  этому  откло¬
нению.  Поэтому  при  малых  отклонениях
почти  всех  тел  от  их  положения  равновесия
выполняется  упомянутое  выше  условие  и
тело  начинает  совершать  простые  гармониче¬
ские  колебания.
 Пусть  максимальное  отклонение  грузика
равно  х0.  В  этом  положении  возвращающая
сила  максимальна,  она  тянет  груз  к  положе¬
нию  равновесия  а:=0,  заставляя  его  проско¬
чить  эту  точку  и  дойти  до  положения  х=—х0
(если  пренебречь  трением).  Затем  весь  про¬
цесс  повторяется.  Время,  которое  грузик
затрачивает  на  движение  из  точки  х=х9
в  точку  х——х0  и  обратно,  называется  пол¬
ным  периодом  колебаний  Т.  Величина  Т
зависит  только  от  отношения  а/х.  В  следую-
 Фиг.  31.  Фотография  качаний  про¬
стого  маятника,  полученная  со  стро¬
боскопическим  освещением.

Фиг.  32.  Исходная  окружность.
Проекция  положения  шара  на  вертикаль¬
ную  плоскость  совершает  движение  по
такому  же  закону,  как  и  грузик  маятника.
 щем  параграфе  мы  покажем,  что
 для  простого  гармонического  движения  лю¬
бого  вида.  В  случае  простого  гармонического
маятника
 или
 Заметим,  что  период  колебаний  простого
гармонического  маятника  не  зависит  от  мас¬
сы  грузика,  а  также  от  величины  максималь¬
ного  отклонения  х0.  Именно  эта  независи¬
мость  периода  колебаний  от  величины
отклонения  используется  во  всех  маятнико¬
вых  часах.
 Исходная  окружность
 На  фиг.  32  изображена  тень  шарика,
равномерно  вращающегося  по  окружности
радиусом  х0  со  скоростью  v.  Покажем,  что
движение  тени  на  экране  представляет  собой
простое  гармоническое  движение,  т.  е.  что
отношение  а/х  остается  постоянным  при  всех
значениях  х.
 Поскольку  тень  на  экране  есть  не  что
иное,  как  вид  на  окружность  сбоку,  то
движение  тени  будет  представлять  собой
движение  взад  и  вперед  по  прямой  (вдоль
оси  х)  с  максимальным  смещением  х0.
Ускорение  а  тени  равно  проекции  на  ось  х
центростремительного  ускорения  шарика  ас.
Найдем  а,  воспользовавшись  фиг.  33.
На  ней  изображен  вид  сверху  на  исходную
окружность  (см.  фиг.  32).
Из  подобия  треугольников
 75
 Так  как  ас
[см.  (2.15)],  то

(3.10)
 Итак,  мы  доказали,  что  ускорение  тени,  де¬
ленное  на  ее  смещение,  всегда  постоянно  и
равно  4  я2/Г2,  где  Т  —  период  колебания.
Это  справедливо  для  любого  вида  простого
гармонического  движения.  Отношение  а/х
всегда  равно  4пг/Т2.
 Пример.  Через  центр  нашей  планеты  из  Америки
в  Австралию  просверлен  канал.  Пренебрегая  сопро¬
тивлением  воздуха,  найти,  сколько  времени  понадо¬
бится  камню,  чтобы  пролететь  по  этому  каналу  через
весь  земной  шар,  если  действующая  на  камень  сила
тяжести  меняется  по  закону  Fq=  Mg(r/R),  где  г  —
расстояние  от  центра  Земли,  а  $=6400  км  —  радиус
Земли.  Согласно  второму  закону  Ньютона,
 Отсюда  отношение  ускорения  к  отклонению
 Вы  видите,  что  это  отношение  не  зависит  от  положе¬
ния  камня,  т.  е.  удовлетворяется  условие  простого
гармонического  движения.  С  другой  стороны,  величи¬
на  (g!R)  должна  быть  равна  4я2/Г2,  или
 Т  =  5,1-10*  сек, 	Г  =  85  мин.
 Время  «полета»  до  Австралии  составляет  половину
полного  периода,  т.  е.  42,5  мин.
 Задачи
 1. 	Могут  ли  обе  силы,  о  которых  говорится  в
третьем  законе  Ньютона,  действовать  на  одно  тело?
 2. 	Представьте  себе,  что  вы  находитесь  посередине
площадки,  на  которой  отсутствует  трение,  например
на  идеальном  катке.  Как  бы  вы  вышли  из  такого
затруднительного  положения?
 3. 	Мальчик  едет  на  велосипеде.  Их  общая  масса
равна  М.  Какая  внешняя  сила  ускоряет  эту  массу?
Что  за  сила  (внешняя)  тормозит  М  при  остановке?
(Давление  на  педали  не  является  внешней  силой  в
системе  мальчик  —  велосипед.)
 4. 	Какая  внешняя  сила  может  ускорять  самолет
при  горизонтальном  полете?
 76
 Фиг.  33.  Вид  сверху  на  исходную
окружность.
 Вектор  а  представляет  собой  проекцию
ускорения  грузика  ас  на  ось  х.
 ИЛИ

Фиг.  34.  К  задаче  8.
 Фиг.  35.  К  задаче  12.
 Фиг.  36.  К  задаче  13.
 5. 	К  трактору  .цепью  прикреплено  бревно,  кото¬
рое  он  тащит  с  постоянной  скоростью  5  км/час  с  уси¬
лием  1000  ньютон.  Сила  тяжести,  действующая  на
бревно,  составляет  /**6=2000  ньютон.  Воспользо¬
вавшись  первым  законом  Ньютона,  определите  ре¬
зультирующую  силу,  действующую  на  бревно.
 6. 	Укажите,  в  чем  ошибочность  следующего  рас¬
суждения.  Трактор  тянет  плуг  с  силой  F.  По  третье¬
му  закону  Ньютона  сила  реакции  на  плуг  со  стороны
почвы  равна  —F.  Поскольку  сумма  этих  двух  сил
равна  нулю,  плуг  не  может  двигаться.
 7. 	Сила  F  действует  на  тело  с  массой  М  в  течение
времени  t0.  Насколько  увеличился  импульс  тела?
 8. 	Два  бруска,  связанные  между  собой  нитью,  под¬
вешены,  как  показано  на  фиг.  34.
 а) 	Какую  силу  F  нужно  приложить  к  верх¬
ней  нити,  чтобы  оба  бруска  оставались  в  состоя¬
нии  покоя  у  самой  поверхности  земли?
 б) 	Какую  силу  нужно  приложить  к  верхней
нити,  чтобы  привести  их  в  движение  вверх  с  ус¬
корением  1,2  м/сек2  (силой  тяжести  пренебре¬
гать  нельзя)?
 в) 	В  случае  (б)  какова  реакция  связываю¬
щей  нити  на  брусок?
 9. 	Тело  с  массой  50  г  сначала  покоится  на  гори¬
зонтальной,  лишенной  трения  поверхности.  К  телу
приложили  постоянную  горизонтальную  силу  F.
Оказалось,  что,  когда  тело  передвинулось  на  25  см
от  начальной  точки,  его  скорость  достигла  40  см/сек.
Чему  равна  приложенная  сила  F?  Сколько  времени
понадобилось,  чтобы  передвинуть  это  тело  на  25  см?
 10. 	Пуля  с  массой  5  г,  летящая  с  горизонтальной
скоростью  500  см/сек,  попадает  в  деревянный  бру¬
сок  с  массой  2  Асг,  который  лежит  на  гладкой  гори¬
зонтальной  поверхности,  и  застревает  в  нем.  С  ка¬
кой  скоростью  будет  двигаться  брусок  вместе  с  пу¬
лей  после  такого  удара?
 11. 	Предположим,  что  в  атоме  водорода  элект¬
рон  с  массой  9-10-28  г  вращается  вокруг  протона  по
окружности  диаметром  10-8  см.  Сила  притяжения
составляет  10~2  дин.  Какова  скорость  электрона?
Сколько  оборотов  в  1  сек  делает  электрон?
 12. 	Ребенок  тащит  за  веревочку  с  силой  F  иг¬
рушечный  поезд  из  четырех  вагончиков  (фиг.  35).
Масса  каждого  вагончика  равна  М.  Выразить  на¬
тяжение  веревочек  7\,  Т2  и  Тг  через  F  и  М.  Чему
равно  ускорение  (трением  следует  пренебречь)?
 13. 	Ребенок  везет  без  трения  две  тележки  с  си¬
лой  1,414-104  дин,  натягивая  веревку  под  углом  45°
(фиг.  36).  Чему  равно  ускорение  первой  тележки
(ее  вес  20  г)?  Каково  натяжение  нити,  связывающей
тележки?  Каково  натяжение  веревки,  которую  дер¬
жит  ребенок?  Какая  сила  действует  на  первую  те¬
лежку  со  стороны  пола?
 77

Фиг.  37.  К  задаче  14.
 14. 	Грузы  Мх  и  Mt  подвешены  к  нити,  перекину¬
той  через  блок  без  трения  (фиг.  37).  Груз  Л1,  лежит  на
столе.  Какая  сила  требуется,  чтобы  удержать  Мх  на
столе?  Чему  равно  натяжение  нити  в  динах?  Чему
было  бы  равно  натяжение  нити,  если  бы  груз  Мх
освободился?
 15. 	Тело  с  массой  500  г  установлено  на  одном
краю  горизонтальной  плоскости  без  трения.  Затем
этот  край  плоскости  подняли  на  2,5  см.  Какова  бу¬
дет  скорость  тела,  когда  оно  достигнет  другого  края?
 16. 	Мальчик  качается  на  качелях.  Максималь¬
ное  отклонение  от  положения  равновесия  2  м.  Мак¬
симальное  ускорение  0,5  м/сек  2.  Если  ускорение
пропорционально  отклонению,  каков  период  колеба¬
ний?
 17. 	Космический  корабль  с  массой  10*  кг  под¬
нимается  вертикально  вверх.  Сила  тяги  его  двига¬
телей  2,94  -107  ньютон.  Чему  равно  ускорение?
 (У  к  а  з  а  н  и  е.  Результирующая  сила,  дейст¬
вующая  на  корабль,  не  равна  тяге.)
 18. 	Мальчик  вращает  в  горизонтальной  плоско¬
сти  (фиг.  38)  три  шара,  привязанные  к  веревке  дли¬
ной  1  м  (силой  тяжести  пренебречь).  Масса  каждого
шара  100  г.  Каково  натяжение  всех  трех  кусков  ве¬
ревки,  если  внешний  шар  движется  со  скоростью
6  м/сек?  Какая  веревка  разорвется  в  первую  очередь,
если  вращение  ускорить?  (Веревки,  конечно,  одина¬
ковые.)
 19. 	Пусть  скорость  шара  на  исходной  окружно¬
сти  (см.  фиг.  32)  равна  v0.  Выразите  через  v0  и  ^сле¬
дующие  величины:
 а) 	максимальное  ускорение  тени;
 б) 	период  колебаний  тени;
 в) 	частоту  (число  колебаний  в  1  сек).
 20. 	Брусок  весом  40  кг  лежит  на  поверхности
без  трения.  На  него  действуют  сила  тяжести  и  внеш¬
няя  сила  F,  как  показано  на  фиг.  39.  Чему  равна
результирующая  сила  и  как  она  направлена?  Пусть
теперь  F=S00  ньютон  вместо  200  ньютон.  Как  из¬
менится  величина  результирующей  силы?
 21. 	Измерьте  линейкой  vA,  vA  и  vB  на  фиг.  20.
Сложите  векторы  vA  и  vR  и  сравните  сумму  с  vA.
 22. 	На  фиг.  40  изображена  «двойная»  машина  Ат¬
вуда.  Считая  блоки  невесомыми  и  пренебрегая  тре¬
нием,  найдите  ускорение  Af,.  Выразите  его  через  Mlf
М2,  М3  и  g.
 23. 	В  молекуле  водорода  равновесному  положе¬
нию  двух  протонов  отвечает  расстояние  между  ними
7-10-9слс.  Если  эти  два  протона  несколько  сбли¬
зить  или  удалить  от  равновесного  положения,  то
возникает  сила,  возвращающая  их  в  это  положение.
Она  пропорциональна  величине  отклонения.  Эта
сила  такова,  что  при  отклонении  каждого  протона
всего  на  10~9  см  сила  составит  1,1  •  \0~*дин.  Найдите
частоту  колебаний  молекулы  водорода.  Масса  про¬
тона  1,67•  10“*4  г.
 Фиг.  38.  К  задаче  18.
 Фиг.  39.  К  задаче  20.
 Фиг.  40.  К  задаче  22.

ГЛАВА  4
 ТЯГОТЕНИЕ

ТЯГОТЕНИЕ
 §  I.  Гравитационная  масса
 «источник»  ТЯГОТЕНИЯ
 Из  законов  Ньютона  отнюдь  не  вытекает,
что  все  тела  должны  падать  с  одинаковым
ускорением.  Пока  единственным  подтверж¬
дением  этого  предположения  являются  опыты
Галилея  и  его  последователей.
 Если  Fg  —  сила  гравитационного  при¬
тяжения  между  телом  с  массой  М  и  Землей,
то  из  законов  Ньютона  следует  только,  что
ускорение  тела  равно
 Для  нахождения  же  F0  необходима  теория
тяготения.  Введем  новую  величину  MG  и
назовем  ее  гравитационной  массой.  Опреде¬
лим  ее  таким  образом,  чтобы  сила  тяготения
была  прямо  пропорциональна  MG.  Величину
MG  для  каждого  тела  должен  дать  экспери¬
мент.  Единицу  гравитационной  массы  опре¬
делим  соотношением
 Fg  =  MGg,
 где  g=9,8  м/сек2.  Подставим  это  значение
Fg  в  равенство  (4.1)  и  получим
 Из  этого  соотношения  следует,  что  если  для
всех  тел  MG  =М  (т.  е.  гравитационная  масса
равна  инертной  массе),  то  все  тела  будут
падать  с  одинаковым  ускорением  g.  Чтобы
получить  грубое  представление  о  том,  как
можно  сравнивать  MG/M  для  различных
веществ,  вернемся  к  выводу  формулы  для
периода  колебаний  простого  гармонического
маятника.  Согласно  (3.9),
 80
 Поскольку

При  простом  гармоническом  движении  эта
постоянная  равна  4я2/Г2.  Отсюда
 Если  M/MG  меняется  для  различных
веществ,  то,  подвешивая  грузики  из  различ¬
ных  материалов,  можно  получить  разные
периоды  колебаний.  В  настоящее  время  от¬
ношение  M/MG  измерено  для  различных
веществ  с  очень  высокой  точностью,  и  в  пре¬
делах  точности  эксперимента  (10~,0)  эго  отно¬
шение  оказалось  одинаковым  для  всех  ве¬
ществ.  Это  дает  основание  считать,  что  гра¬
витационная  и  инертная  массы  одинаковы.
Этот  постулат  служит  отправной  точкой
общей  теории  относительности  Эйнштейна.
Равенство  гравитационной  и  инертной  масс
носит  название  принципа  эквивалентности.
Более  подробно  мы  поговорим  об  этом
в  гл.  И.
 «Со  временем,  когда  станет  известно  о  том
наслаждении,  которое  испытывает  человек  в
состоянии  невесомости,  огромное  число  людей
будет  стремиться  испытать  это  ощущение».
 В.  Юнг
 Весом  тела  называют  силу,  с  которой  оно
давит  на  пол.  Следовательно,  вес  измеряется
в  ньютонах  или  динах.  Физики  обычно  не
измеряют  вес  в  граммах,  так  как  это  единица
измерения  массы,  а  не  силы1).
 Пусть  Fw  —  вес  тела  с  массой  М.  Если  тело
покоится  на  поверхности  земли,  то  величина
F  должна  быть  равна  нулю  (здесь  мы  пре¬
небрегаем  слабым  эффектом  вращения  Земли;
 Английская  система  мер  в  этом  отношении
особенно  запутана.  Например,  единицей  силы  в  этой
системе  является  фунт  (ф)>  который  определяется
следующим  образом:  сила  в  1  ф  сообщает  массе  в
 1  ф  ускорение  32  фут/сек2.  Одно  и  то  же  слово  фунт
используется  для  обозначения  двух  совершенно  раз¬
личных  понятий!  Чтобы  избежать  путаницы,
мы  в  этой  книге  не  будем  пользоваться  англий¬
ской  единицей  силы.
 §  2.  Вес  и  невесомость
 81

см.  стр.  51).  Величина  F?e3—этоFG  плюс  реак¬
ция  земной  поверхности.  По  третьему  закону
Ньютона  эта  реакция  всегда  в  точности
равна  —Fw.  Таким  образом,
 или
 Итак,  мы  нашли  вес  тела  с  массой  М,  покоя¬
щегося  на  земной  поверхности.
 Теперь  вычислим  вес  тела  в  лифте,  движу¬
щемся  вниз  с  ускорением  а  (направление
вниз  будем  считать  положительным).  В  этом
случае
 Вы  видите,  что  всякий  раз,  как  только  лифт
начинает  двигаться  вниз,  вес  человека  умень¬
шается.  Если  бы  лифт  свободно  падал,  то
a—gy  и,  как  следует  из  написанного  выше
равенства,  вес  Fw  был  бы  равен  нулю.  Это
состояние  называется  состоянием  невесо¬
мости.  Пассажиры  лифта  выглядели  бы  тогда
подобно  испытателям  на  фиг.  41  или  девушке,
изображенной  на  фотографии,  открывающей
эту  главу.
 Все  предметы  в  лифте  свободно  парили  бы
в  воздухе  до  тех  пор,  пока  кабина  не  оста¬
новится.  Из  гл.  2  мы  знаем,  что  все  спутники
и  снаряды  движутся  подобно  свободно  падаю¬
щим  телам.  Поэтому  пассажиры  межпланет¬
ного  корабля  должны  испытывать  состояние
невесомости,  как  только  будет  израсходовано
все  горючее  или  выключены  двигатели.  Им
будет  нелегко  напиться  воды,  так  как  вода
выльется  из  стакана  и  будет  плавать  в  воз¬
духе  в  виде  большой  капли.  Можно  достиг¬
нуть  состояния  невесомости  и  в  обычном
самолете.  Для  этого  просто  надо  вести
самолет  по  параболической  траектории,  по¬
добной  траектории  снаряда,  летящего  с  та¬
кой  же  горизонтальной  составляющей  ско¬
рости.  Во  время  такого  полета  мотор,  ко¬
нечно,  должен  работать.  Его  энергия  будет

Фиг.  41.  Пассажиры  в  состоянии  невесомости.
 Самолет  леткт  вниз  с  ускорением  а=9,8  м/сек2.

Фиг.  42.  Так  представляет  себе
художник-каррикатурист  пассажи¬
ров  лифта,  спускающегося  с  ускоре¬
нием,  превышающим  g.
 Фиг.  43.  Самолет  движется  с  таким
горизонтальным  ускорением,  что
вес  его  пассажиров  удваивается.
 затрачиваться  на  преодоление  сопротивле¬
ния  воздуха.  При  этом  пассажиры  смогут
находиться  в  состоянии  невесомости  более
15  сек.  Ниже  мы  приводим  выдержку  из
статьи  В.  Юнга,  научного  редактора  жур¬
нала  «Лайф»,  в  которой  описано  ощущение
невесомости.
 «Свободный  полет  в  состоянии  невесомости  при¬
дает  легкость  не  только  телу,  но  и  духу.  Вспоминаю,
как  нелепо  я  ухмылялся,  глядя  на  соседей,  когда
мне  открылся  этот  новый  мир.  Трудно  было  понять,
где  «верх»,  а  где  «низ».  Когда  самолет  начал  очеред¬
ной,  третий,  р'аз  маневрировать,  мне  ничего  не  стои¬
ло,  энергично  оттолкнувшись  от  пола  носками  ног,
«проплыть»  через  всю  кабину  самолета.  Когда  я  до¬
стиг  противоположной  стенки  кабины,  майор  Браун
поймал  меня  прямо  в  воздухе,  иначе  я  влетел  бы  в  ка¬
бину  пилотов.  Хотя  он  крепко  ухватился  за  непо¬
движную  деталь  оборудования  кабины,  все  же,  чтобы
остановить  меня,  ему  потребовалось  немалое  усилие,
ибо  невесомость  не  уничтожает  импульса  тела.  От¬
толкнувшись  от  его  руки,  я  легко  взлетел  к  потолку».
 Если  бы  лифт  опускался  с  ускорением,
превышающим  g,  то  создалась  бы  ситуация,
показанная  на  фиг.  42.  Здесь,  правда,  есть
некая  неправдоподобность:  пассажиры  чув¬
ствовали  бы  себя  гораздо  лучше,  если  бы  они
на  потолке  стояли  ногами,  а  не  головой.
 Пример.  Допустим,  что  пассажиры  самолетов
не  испытывают  неприятных  ощущений,  если  только
их  вес  не  увеличивается  более  чем  вдвое  (Fw=2Mg).
Какое  максимальное  ускорение  в  горизонтальной
плоскости  допускается  этим  условием?
 Пусть  а  —  искомое  максимальное  ускорение.
Кресло  самолета  всегда  воздействует  на  -пассажира  с
силой  (—Fw).  Таким  образом,
 Значения  Fw  и  Fq  равны  соответственно  2  Mg  и  Mg.
Однако  направлены  они  по-разному:  Fq  —  вниз,
а  Ма  —  горизонтально.  Эти  два  вектора  складывают¬
ся,  как  показано  на  фиг.  43.  По  теореме  Пифагора

Фиг.  44.  Построение  эллипса  с  по
мощью  двух  булавок,  нити  и  каран
даша.
 Точки  А  и  В  —  фокусы  эллипса.
 ПРИРОДА  ДОЛЖНА  БЫТЬ  УСТРОЕНА  ПРОСТО
 Утверждать  в  начале  XVII  века,  что  пла¬
неты  вращаются  вокруг  Солнца,  а  не  вокруг
Земли,  было  величайшей  ересью.  Джордано
Бруно,  открыто  защищавший  гелиоцентри¬
ческую  систему  Коперника,  как  еретик,  был
осужден  святой  инквизицией  и  сожжен  на
костре.  Даже  великий  Галилей,  несмотря  на
довольно  тесную  дружбу  с  папой  римским,
был  заточен  в  тюрьму,  осужден  инквизицией
и  вынужден  был  публично  отречься  от  своих
взглядов.
 В  те  времена  священными  и  неприкосно¬
венными  считались  учения  Аристотеля  и  Пто¬
лемея,  гласившие,  что  орбиты  планет  возни¬
кают  в  результате  сложных  круговых  дви¬
жений  по  системе  окружностей.  Так,  для
описания  орбиты  Марса  требовалась  дюжина
или  около  того  окружностей  различного
диаметра.  Иоганн  Кеплер  поставил  задачу
«доказать»,  что  Марс  и  Земля  должны  обра¬
щаться  вокруг  Солнца.  Он  пытался  найти
орбиту  простейшей  геометрической  формы,
которая  точно  соответствовала  бы  многочис¬
ленным  измерениям  положения  планеты.
Прошли  годы  утомительных  вычислений,
прежде  чем  Кеплер  смог  сформулировать  три
простых  закона,  очень  точно  описывающих
движение  всех  планет.  И  не  только  планет,
но  и  их  спутников.
 Первый  закон  Кеплера
 Все  планеты  обращаются  по  эллиптичес¬
ким.:  орбитам,  в  фокусе  которых  находится
Солнце.
 Эллипс  обладает  несколькими  характер¬
ными  геометрическими  свойствами.  Одним
из  них  можно  воспользоваться  для  построе¬
ния  эллипса  с  помощью  нити,  карандаша  и
двух  булавок  (фиг.  44).  Для  этой  цели  оба
конца  нити  закрепляют  в  точках  А  и  В.  За¬
тем,  поместив  в  точку  Р  карандаш,  описыва¬
ют  им  эллипс.  Точки  А  и  В  называются  фо¬
кусами  эллипса.  Часто  эллипс  определяют
 85

Фиг.  45.  К  объяснению  второго  за¬
кона  Кеплера.
 Закрашенные  площади  равны;  отрезки
пути  s,,  s2  и  s3  планета  проходит  за  равные
промежутки  времени.
 как  кривую,  сумма  расстояний  от  любой  точ¬
ки  которой  до  двух  фиксированных  точек
(фокусов)  остается  постоянной.  Эллипс  об¬
ладает  еще  одним  геометрическим  свойством.
Прямые  АР  и  ВР  образуют  с  касательной  к
эллипсу  в  точке  Р  одинаковые  углы.  Иными
словами,  луч  света  или  звуковая  волна,  вы¬
шедшие  из  точки  А  у  обязательно  попадут  в
результате  отражения  в  точку  В.  На  этом
принципе  основано  устройство  «шепчущей
галереи»,  какие  иногда  можно  обнаружить  в
музеях  или  научных  выставках.  В  такой  га¬
лерее  стены  имеют  форму  эллипса.  Два  чело¬
века,  став  в  фокусах  А  и  В  даже  на  расстоя¬
нии  15  му  могут  свободно  разговаривать  друг
с  другом  шепотом,  причем  другие  посетители
не  услышат  ни  единого  слова.
 Второй  Закон  Кеплера
 Прямаяу  соединяющая  Солнце  и  какую-
либо  планету  у  за  равные  промежутки  време¬
ни  описывает  одинаковую  площадь.
 Закрашенные  участки  на  фиг.  45  имеют
одинаковую  площадь.  Согласно  второму  за¬
кону  Кеплера,  планеты  должны  затрачивать
одинаковое  время  для  прохождения  любого
из  отрезков  пути  sl9  st  и  s,.  Отсюда  следует,
что,  когда  Земля  ближе  всего  проходит  около
Солнца  (в  начале  января),  ее  скорость  мак¬
симальна.  Из  второго  закона  Кеплера  следует
также,  что  зимний  период  в  северном  полуша¬
рии  должен  быть  короче,  чем  в  южном.  В
южном  полушарии  зима  начинается  в  июле,
когда  Земля  наиболее  удалена  от  Солнца.
 Третий  закон  Кеплера
 Кубы  расстояний  двух  любых  планет  от
Солнца  относятся  как  квадраты  их  периодов
обращения:
 (4.2)
 где  Ra  и  Тх  —расстояние  и  период  обраще¬
ния  планеты  /,  a  Rt  и  Тг—  расстояние  и  пе¬
риод  обращения  планеты  2.  Кеплер  устано¬
вил,  что  в  качестве  расстояния  R  следует
брать  главную  полуось  эллипса.
 86

Логический  метод,  с  помощью  которого
Кеплер  вывел  эти  три  закона,  носит  назва¬
ние  индуктивного.  В  §  5  мы  увидим,  как
Ньютону  удалось*получить  те  же  законы  де¬
дуктивным  методом.  Ньютон  сумел  сфор¬
мулировать  законы  Кеплера,  исходя  из  за¬
кона  всемирного  тяготения.  В  этом  смысле
можно  считать^  что  он  объяснил,  почему
планеты  движутся  па  законам  Кеплера.
 Пример.  На  какой  высоте  должен  двигаться
спутник  Земли,  чтобы  его  период  обращения  был  ра¬
вен  периоду  обращения  Земли?  Мы  уже  знаем,  что
спутник,  летавший  на  расстоянии  примерно  6400  км
от  центра  Земли  (первый  советский  искусственный
спутник),  имел  период  обращения  Т=  5000  сек.
 Для  решения  поставленной  задачи  воспользуем¬
ся  третьим  законом  Кеплера.  Будем  считать  «плане¬
той»  1  спутник,  «скользящий»  над  поверхностью  Зем¬
ли.  Тогда  /?!=6400  кму  Тх=5-10*  сек.  Нам  нужно
найти  R2  при  условии,  что  период  Тг  равен  1  суткам,
или8,6*104  сек.  Разрешим  (4.2)  относительно  Яг\
 Rt  =  47  000  км.
 Таким  образом,  спутник,  пролетающий  над  эквато¬
ром  на  высоте  примерно  40  000  ос,  будет  парить  над
одной  и  той  же  точкой  земной  поверхности  (если,  ко¬
нечно,  он  вращается  в  ту  же  сторону,  что  и  Земля).
 Предположим,  что  в  этой  задаче  нужно  найти
высоту  спутника  с  периодом  обращения  27,5  су¬
ток.  Проделав  те  же  расчеты,  получим,  что  высота
равна  384  000  км.  Такова  высота  «первого»  спутника
Земли.  Имя  его  —  Луна.
 ОБЩАЯ  ТЕОРИЯ  ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
(УСТАРЕВШИЙ  ВАРИАНТ)
 Если  верить  Ньютону,  то  к  открытию  за¬
кона  всемирного  тяготения  его  привело  упав¬
шее  на  землю  яблоко.  У  Ньютона  возникла
мысль,  что  сила,  заставляющая  падать  на
землю  яблоко,  могла  бы  быть  тождественна
 §  4.  Закон  всемирного
тяготения  Ньютона
 87

Ньютоновский  закон  всемирного
тяготения
 Фиг.  46.  Идея  эксперимента  Кавен¬
диша.
 а  —  два  маленьких  свинцовых  шарика
с  массой  т  скреплены  горизонтальным
стержнем,  подвешенным  на  тонкой  квар¬
цевой  нити;  б  —  две  большие  свинцовые
сферы  с  массой  М  поднесены  к  шарикам  т;
гравитационное  притяжение  между  М  и  т
заставляет  стержень  поворачиваться,  за¬
кручивая  нить;  сила,  необходимая  для
закручивания  нити,  известна  из  предвари¬
тельных  измерений.
 силе,  заставляющей  Луну  «падать»  в  направ¬
лении  Земли.  Зная  расстояние  до  Луны  и,
таким  образом,  ее  скорость,  Ньютон  рассчи¬
тал  величину  v2/R  для  Луны  и  обнаружил,  что
она  составляет  1/3600  часть  от  ускорения
яблока.  Он  обратил  внимание  на  то,  что  эта
величина  равна  квадрату  отношения  расстоя¬
ний  яблока  и  Луны  до  центра  Земли.  Это  на¬
вело  его  на  мысль,  что  сила  тяготения  меня¬
ется  обратно  пропорционально  квадрату  рас¬
стояния.  Мы  уже  говорили  ранее  (см.  §  1)
об  эквивалентности  инертной  и  гравитацион¬
ной  масс.  Таким  образом,  Ньютон  знал  так¬
же,  что  сила  тяготения  должна  быть  пропор¬
циональна  массе.  В  окончательном  виде
ньютоновский  закон  всемирного  тяготения
для  силы,  действующей  между  двумя  телами
с  массой  Мх  и  М2У  выглядит  так:
 f==gMjMj^ 	^43)
 где  г  —  расстояние  между  телами.  Постоян¬
ная  G=6,67  10-11  ньютон  м*/кгг  в  системе
MKS  и  G=6,67-10-8  динсм2/г2  в  системе
CGS.  Величину  G  следует  определить  из
опыта.  Ньютон  оценил  константу  G,  зная
объем  Земли  и  предугадывая  ее  среднюю
плотность,  а  тем  самым  и  массу  нашей  пла¬
неты.  Покажем,  как  можно  таким  способом
определить  G.  Применим  формулу  (4.3)  к
телу  с  массой  М>  лежащему  на  земной  по¬
верхности.  На  него  действует  сила
 (4.4)
 где  Ме—  масса  Земли,  Re—  ее  радиус.  Если
величина  Ме  известна,  то  можно  определить
и  G.  И  обратно,  зная  G  из  прямых  измерений
силы,  действующей  между  двумя  свинцовы¬
ми  шариками,  можно  с  помощью  (4.4)  найти
массу  Земли.  Впервые  прямой  опыт  по  опре¬
делению  G  проделал  в  1797  г.  Генри  Кавен¬
диш.  Схема  его  опыта  показана  на  фиг.  46.
 Отсюда

Теперь  мы  понимаем,  почему  его  экспери¬
мент  назван  «взвешиванием  Земли»,  хотя
сама  Земля  не  принимала  никакого  участия
в  опыте.  Больше  того,  опыт  Кавендиша  было
бы  гораздо  легче  провести  при  отсутствии
земного  тяготения.
 Пример.  Какова  максимальная  сила  гравитаци¬
онного  притяжения  между  двумя  свинцовыми  ша¬
рами  с  массой  45  кг  каждый  и  диаметром  20  см?
Сравнить  эту  силу  с  силой  притяжения  Земли.
 Согласно  (4.3),  сила  гравитационного  притяже¬
ния  между  свинцовыми  шарами  равна
 Эта  сила  меньше  возникающей  в  большинстве  слу¬
чаев  силы  трения.  Именно  поэтому  ее  можно  обна¬
ружить  лишь  в  очень  тонком  эксперименте,  каким  и
был  опыт  Кавендиша.  Земля  притягивает  каждый  из
этих  шаров  с  силой  FG=Mg=  45-9,8  ньютон=
=440  ньютон,  т.  е.  более  чем  в  100  миллионов  раз
сильнее  их  взаимного  притяжения.
 При  выводе  формулы  (4.4)  мы  молчаливо
предполагали,  что  вся  масса  Земли  Ме  сос¬
редоточена  в  ее  центре.  Полученное  Ньюто¬
ном  выражение  (4.3)  описывает  лишь  силу
взаимодействия  двух  точечных  частиц,  а  не
твердых  тел  конечного  размера.  Ньютон
отдавал  себе  отчет  в  том,  что  строгое  приме¬
нение  формулы  (4.3)  к  телу  с  массой  М  вбли¬
зи  земной  поверхности  требует  мысленного
разбиения  земного  шара  на  огромное  число
маленьких  частиц.  При  этом,  обозначив  че¬
рез  М{  массу  одной  такой  частицы,  можно
написать  выражение  для  силы  гравитацион¬
ного  притяжения  М  к  каждой  частице:
 Полная  сила  притяжения  тела  к  Земле  будет
иметь  вид  векторной  суммы  F{.  Открыв  в
возрасте  23  лет  закон  всемирного  тяготения,
Ньютон  оказался  не  в  состоянии  решить  ма¬
тематическую  задачу  сложения  всех  векто¬
ров  Fi.  Таким  образом,  он  был  вынужден
создать  интегральное  исчисление.  Главным
 89

образом  из-за  этого  камня  преткновения  Нью¬
тон  отказался  опубликовать  свою  теорию
тяготения  и  движения  планет.  Только  через
девять  лет  ему  наконец  удалось  доказать,
что  сфера  ведет  себя  так,  как  если  бы  вся  ее
масса  была  сосредоточена  в  центре.  Тогда
Ньютон  разыскал  сделанный  им  когда-то
вывод  законов  Кеплера  и  описал  всю  свою
теорию  в  книге  под  названием  Principia.
 Оказывается,  что  эта  задача,  доставившая
так  много  хлопот  Ньютону,  имеет  очень  прос¬
тое,  не  требующее  никаких  вычислений  ре¬
шение.  Мы  расскажем  о  нем  в  гл.  7.
 Мы  уже  видели,  что  формула  (4.3)  поз¬
воляет  рассчитать  силу  гравитационного  при¬
тяжения,  действующую  на  тело  на  земной
поверхности,  а  также  орбиту  Луны.  Теперь
мы  покажем,  как  оно  позволяет  описать
движение  всех  планет.
 Фиг.  47.  Орбита  первой  искусствен¬
ной  планеты.
 Для  сравнения  приведены  орбиты  Земли
и  Марса.  Все  три  орбиты  представляют
собой  эллипсы,  хотя  орбиты  Марса  и  Земли
кажутся  почти  окружностями.
 §  5.  Вывод  законов  Кеплера
 ВЕРШИНА  НЬЮТОНОВСКОЙ  МЕХАНИКИ
 Давайте  рассмотрим  сначала  частный  слу¬
чай  третьего  закона  Кеплера  —  случай,  ког¬
да  планеты  движутся  вокруг  Солнца  по  ок¬
ружностям.  В  действительности  орбиты  всех
планет,  за  исключением  Плутония,  очень
мало  отличаются  от  окружностей,  причем
Солнце  находится  в  их  общем  центре.  На
фиг.  47  дано  точное  изображение  (в  соответ¬
ствующем  масштабе)  орбиты  первой  искус¬
ственной  планеты  и  орбит  Земли  и  Марса.

Даже  самый  придирчивый  глаз  не  сумеет
отличить  орбиты  последних  от  окружнос¬
тей.  Орбита  же  первой  искусственной  пла¬
неты  совершенно  явно  вытянута.  Итак,  рас¬
смотрим  планету  /,  радиус  круговой  орбиты
которой  равен  Согласно  формуле  (4.3),
сила  Flf  заставляющая  планету  вращаться
по  этой  орбите,  равна
 где  Ms—  масса  Солнца.  Эта  сила  не  что  иное,
как  центростремительная  сила,  удерживаю¬
щая  планету  на  орбите.  Воспользуемся  фор¬
мулой  (2.  15)  для  центростремительной  силы
 Таким  образом,
 Фиг.  48.  Предполагаемые  траекто¬
рии  космического  полета  на  Марс
и  Венеру.
 Заметьте,  что  путь  космического  корабля
всегда  представляет  собой  часть  эллипса,
причем  Солнце  находится  в  одном  из  его
фокусов.
 (4.5)
 Заметьте,  что  это  равенство  не  содержит
массы  планеты  /.  Точно  такой  же  расчет

'  1
Tl
 Фиг.  49.  Последовательные  положе¬
ния  Я,,  Рг  и  Р9  планеты  через  1  сек.
 Площадь  SPiP2,  описываемая  за  первую
секунду,  должна  быть  равна  площади
SPtP3,  описываемой  за  вторую  секунду.
 Plf  Р2  и  Рз  планеты  на  орбите.  Будем  счи¬
тать,  что  планета  проходит  каждый  из  от¬
резков  РхРг  и  РгРг  за  1  сек.  Тогда  расстоя¬
ние  между  Рх  и  Р2  численно  равно  скорости
vx  планеты,  а  Р2Рг—  ее  скорости  v2  в  следую¬
щую  секунду.  По  первому  закону  Ньютона
компонента  скорости,  перпендикулярная  ли¬
нии  SP2t  должна  остаться  неизменной,  по¬
скольку  составляющая  силы  в  этом  направ¬
лении  равна  нулю  (сила  направлена  вдоль
SP2  к  Солнцу).  Иными  словами,  fa,)i~(^2)±*
Площадь,  которую  описывает  за  первую
секунду  линия,  соединяющая  планету  с
Солнцем,—  это  площадь  треугольника  SPXP2;
 92
 можно  повторить  и  для  планеты  2,  расстоя¬
ние  которой  до  Солнца  равно  R2:
 Приравнивая  левые  части  выражений
 (4.5) 	и  (4.6),  получаем
 Это  и  есть  третий  закон  Кеплера.  Вывод
его  для  более  общего  случая  эллиптической
орбиты  гораздо  сложнее,  и  мы  не  будем  при¬
водить  его  здесь.
 Пример.  Расстояние  от  Марса  до  Солнца  на  52%
больше  расстояния  от  Земли  до  Солнца.  Какова  про¬
должительность  года  на  Марсе?
 Так  как
 Второй  закон  Кеплера  —  закон  равных
площадей  —  мы  выведем,  воспользовавшись
фиг.  49.  Рассмотрим  три  близких  положения

за  вторую  секунду  —  площадь  треугольника
SPjP,.  Но  оба  эти  треугольника  имеют  одно
и  то  же  основание  SP2  и  одинаковые  высоты
vj_.  Поэтому  их  площади  равны.  Заметьте,
что  в  этом  выводе  мы  совершенно  не  пользова¬
лись  тем  фактом,  что  сила  тяготения  обратно
пропорциональна  квадрату  расстояния.  Вы¬
вод  базировался  только  на  том,  что  сила
направлена  по  линии,  соединяющей  оба
взаимодействующих  тела  1}.  Таким  образом,
второй  закон  Кеплера  оказался  более  общим,
чем  два  других.  Он  справедлив  и  для  сил,
у  которых  нет  зависимости,  обратно  пропор¬
циональной  квадрату  расстояния.
 Самым  трудным  является  вывод  первого
закона  Кеплера.  Обычно  для  этого  пользуют¬
ся  высшей  математикой  (дифференциальны¬
ми  уравнениями),  и  вывод  оказывается  до¬
вольно  громоздким.  Однако  недавно  теоре¬
тик  Калифорнийского  технологического  ин¬
ститута  Ричард  Фейнман  разработал  вывод,
не  содержащий  сложных  вычислений  и  впол¬
не  доступный  читателю  этой  книги.  Все  же,
поскольку  он  несколько  длинен,  мы  дали  его
в  виде  приложения  к  этой  главе.
 Вывод  первого  закона  Кеплера
 Этот  вывод  первого  закона  Кеплера  не¬
сколько  сложнее  остальных  в  данной  книге.
Читатель  может  опустить  это  приложение  без
ущерба  для  понимания  дальнейшего  изло¬
жения.
 Основная  идея  вывода  заключается  в  сле¬
дующем:  воспользовавшись  законом  всемир¬
ного  тяготения  Ньютона,  получим  простое
соотношение  между  направлением  скорости
и  угловой  координатой  планеты  по  отношению
Солнца.  Так  как  скорость  планеты  всегда
направлена  по  касательной  к  орбите,  то  мы
тем  самым  получим  однозначную  связь  между
направлением  касательной  в  некоторой  точке
орбиты  и  координатой  этой  точки.  Наконец,
 1}  Такие  силы  независимо  от  их  величины  и
природы  называются  центральными.—  Прим.  ред.
 93
 Приложение

Фиг.  50.  Часть  орбиты  планеты.
 Угловая  координата  точки  Р  равна  9.
 будет  показано,  что  эта  же  геометрическая
связь  справедлива  и  для  эллипса  с  Солнцем
в  одном  из  его  фокусов.
 Вначале  рассмотрим  случай,  когда  плане¬
та  находится  в  ближайшей  к  Солнцу  точке
орбиты.  На  фиг.  50  эта  точка  обозначена  Р0;
ее  расстояние  от  Солнца  —  /?0;  скорость  пла¬
неты  v0  перпендикулярна  /?0.  При  переме¬
щении  планеты  в  точку  Р  орбиты  изменение
ее  скорости  Av  совпадает  по  направлению  с
направлением  силы:
 (4.7)
 Будем  измерять  0  в  радианах.  Тогда/?ДО/А/
есть  просто  (см-  Фиг-  49),  а  площадь  тре¬
угольника,  которую  описывает  за  1  сек  пря¬
мая,  соединяющая  планету  с  Солнц1гм,  рав¬
на  l[2R-(Rkb/kt).  По  закону  равных  площа¬
дей  она  должна  быть  равна  1/a/?0w0:
 Фиг.  51.  Окружность  скоростей.
 Видно,  что  величина  0  связана  с  величи¬
ной  и  направлением  скорости  v  простым
геометрическим  соотношением.
 (4.8)
 (4.9)
 Итак,  изменение  скорости  планеты  всегда
прямо  пропорционально  изменению  ее  угло¬
вой  координаты.
 Теперь  легко  определить,  как  меняется
величина  и  направление  вектора  скорости
V  с  изменением  координаты  0  планеты.  Взгля¬
ните  на  фиг.  51.  Пусть  v0—  начальная  ско¬
рость  планеты.  Прибавим  к  ней  сначала  ве¬
личину  —  изменение  скорости,  соответ-
 Приравняв  левые  части  (4.7)  и  (4.8),  полу¬
чим

Фиг.  52.  Эллипс,  построенный  с  по¬
мощью  нити,  длина  которой  равна
радиусу  окружности  скоростей.
Расстояние  между  фокусами  равно  о0
минус  радиус  окружности  скоростей.
Пунктирной  линией  обозначена  окруж¬
ность  скоростей  с  центром  в  точке  5.
 ствующее  АО  —1°,  а  затем  величину  Avz>  соот¬
ветствующую  изменению  0  еще  на  1°.  Но  оба
приращения  скорости  и  Avz  направлены
к  Солнцу.  Значит,  между  ними  угол  АО  =1  °.
Будем  продолжать  эту  процедуру  до  тех  пор,
пока  угол  не  станет  таким,  какой  изображен
на  фиг.  51.  Результирующая  скорость  v
представляет  собой  векторную  сумму  v0  и
всех  последовательных  приращений  Av.  Это
и  показано  на  фигуре.  Если  двигаться  таким
образом  еще  дальше,  то  в  конце  концов  мы
опишем  полную  окружность  и  вернемся  к
начальной  скорости  v0.  Пусть  Rv—  радиус
такой  окружности.  Оказывается,  что  пост¬
роенная  так  окружность  обладает  следую¬
щим  геометрическим  свойством:  если  извест¬
на  угловая  координата  0  планеты,  то  направ¬
ление  ее  скорости  (или,  что  то  же  самое,  на¬
правление  касательной  к  орбите)  можно  полу¬
чить  немедленно.  Для  этого  достаточно  от¬
ложить  0  от  v0  в  центре  нашей  окружности,
как  показано  на  фигуре.  Такое  соотношение
между  угловой  координатой  точки  и  каса¬
тельной  к  орбите  в  этой  точке  и  является  ти¬
пичным  свойством  эллипса.  Остается  лишь
показать,  что  эллипс  действительно  обладает
этим  свойством.
 На  фиг.  52  мы  начертили  эллипс  с  помо¬
щью  описанного  ранее  приема.  Длина  нити
была  Rv,  а  расстояние  между  булавками  —
(v0—Rv).  Рассмотрим  теперь  точно  такое  же
положение  точки,  как  на  двух  предыдущих
фигурах  (с  той  же  угловой  координатой  0).
Направление  скорости  планеты  совпадает
с  направлением  касательной  РТ.  Докажем  в
 заключение,  что  линия  РТ  параллельна
вектору  v  на  фиг.  51.  Это  можно  сделать,  опи¬
сав  из  точки  S  круг  радиусом  Rv  (на  фиг.  52
пунктирная  линия).  Наконец,  покажем,
что  как  РТ,  так  и  вектор  v  на  фиг.  51  перпен¬
дикулярны  линии  AQ,  а  поэтому  параллель¬
ны  друг  другу.  (Прямые,  перпендикулярные
одной  и  той  же  линии,  параллельны  между
собой.)  Действительно,  докажем,  что  тре¬
угольники  APT  и  QPT  равны.  Углыа1  и  аг
равны,  поскольку  секущие  эллипса,  прове-
 95

Задачи
 денные  через  фокусы,  образуют  с  касатель¬
ной  одинаковые  углы.  Сторона  АР  равна
длине  нити  за  вычетом  PS:
 AP  =  R0—PS.
 Но  сторона  QP  также  равна  Rv—PS.  Таким
образом,  AP=QP  и  оба  треугольника  рав¬
ны  (по  двум  сторонам  и  углу  между  ними).
Наконец,  заметьте,  что  вектор  v  на  фиг.  51
также  перпендикулярен  AQ.  Это  видно  из
того,  что  пунктирные  линии  на  фиг.  51  и  52
одинаковы,  но  повернуты  на  угол  90°  (АВ
соответствует  v0,  a  AQ  соответствует®).
 Интересующемуся  читателю  мы  предла¬
гаем  теперь  преобразовать  маленький  эл¬
липс  на  фиг.  52,  положив  SP0=R0.  Вы  уви¬
дите,  что  величины  v0  и  R0  полностью  опреде¬
ляют  вид  эллипса,  и  теперь  мы  можем  точно
построить  этот  эллипс.  В  следующей  главе
будет  показано,  что  произведение  массы  пла¬
неты  наи0  и  R0  представляет  собой  момент  ко¬
личества  движения  планеты.
 1. 	Можно  ли  провести  опыт  Кавендиша  по  «взве¬
шиванию  Земли»  на  Марсе?  Получится  ли  такой
же  результат?
 2. 	Можем  ли  мы,  исходя  из  третьего  закона  Кеп¬
лера,  сравнить  периоды  обращения  Луны  и  Земли?
Можно  ли  сравнить  периоды  обращения  Луны  и
спутника  Юпитера?  Можно  ли  сравнить  периоды  об¬
ращения  всех  спутников  Юпитера?
 3. 	Какова  размерность  G  в  системе  MKS?
 4. 	Если  бы  диаметр  Земли  был  вдвое  меньше,  то
ее  масса  составляла  бы  */,  часть  настоящей  массы.
Какова  была  бы  величина  g  на  такой  уменьшенной
вдвое  Земле?
 5. 	Если  бы  масса  Луны  была  вдвое  больше,  а
вращалась  бы  она  на  той  же  орбите,  каков  был  бы
период  ее  обращения?
 6. 	Масса  Луны  составляет  0,012  от  массы  Зем¬
ли.  Ее  диаметр  в  4  раза  меньше  диаметра  Земли.
Чему  равна  величина  g  на  Луне?
 7. 	Лифт  начинает  движение  с  ускорением  5  м/сек2.
Сколько  будет  весить  человек  в  таком  лифте,  если
его  обычный  весбО/сг?  Лифт,  поднимаясь,  развил
постоянную  скорость  10  м/сек.  Каков  при  этом  вес
человека?  Сколько  будет  весить  человек,  если  трос
оборвется?
 %

8. 	Каков  вес  человека  в  космическом  корабле  из  за¬
дачи  17  гл.  3  (стр.  78)?  Обычный  вес  его  60  кг.
 9. 	Человек  весом  50  кг  начал  спускаться  вниз,
скользя  по  веревке.  Его  ускорение  */7  g.
 а) 	Каков  кажущийся  вес  человека?
 б) 	Каково  натяжение  веревки?
 10. 	Газеты  писали,  что  собака  на  втором  советском
искусственном  спутнике  находилась  в  состоянии  не¬
весомости.  Однако  наблюдения  показали,  что  спутник
во  время  полета  вращался.  Предположим,  что  это  вра¬
щение  происходит  с  периодом  10  сек,  а  собака  нахо¬
дится  на  расстоянии  245  см  от  оси  вращения.  Каков
вес  собаки  в  этих  условиях  по  сравнению  с  ее  нор¬
мальным  весом?
 11. 	Ракета,  в  которой  находилась  мышь  весом  0,1  кг>
стартует  вертикально  вверх.  Когда  она  достигает  вы¬
соты  50  км  и  скорости  980  м/сек,  горючее  кончается.
Каким  будет  теперь  вес  мыши?
 12. 	Расстояние  между  центрами  двух  одинаковых
шаров  равно  1  м.  Сила  их  взаимного  тяготения  равна
1  ньютон.  Каковы  их  массы?
 13. 	В  некоторой  точке  пространства  между  Зем¬
лей  и  Луной  сила  тяготения,  обусловленная  дейст¬
вием  обеих  планет,  равна  нулю.  Где  находится  эта
точка?  Расстояние  Луны  от  Земли  равно  384  000  км,
масса  Луны  составляет  1,2%  от  массы  Земли.  В  ро¬
мане  Жюля  Верна  «Из  пушки  на  Луну»  сказано,  что
пассажиры  снаряда  испытали  состояние  невесомости,
лишь  пролетая  через  эту  точку.  Объясните,  почему
это  неверно.
 14. 	В  этой  задаче  мы  сделаем  расчет  аттракцио¬
на,  в  котором  желающие  могут  испытать  состояние
невесомости  в  течение  короткого  промежутка  вре¬
мени.  Две  «ракеты»  укреплены  на  20-метровых  штан¬
гах  и  вращаются  в  вертикальной  плоскости  со  ско¬
ростью  v  (фиг.  53).  Какова  должна  быть  величина
этой  скорости,  чтобы  пассажиры  стали  невесомыми,
при  верхнем  положении  «ракеты»?  Чему  будет  ра¬
вен  их  вес  в  нижнем  положении  «ракеты»?
 15. 	Вычислите  величину  g  на  расстоянии  100  км
от  поверхности  Земли.
 16. 	Зная  величину  G  и  расстояние  от  Земли  до
Солнца  (150  млн.  км),  рассчитайте  массу  Солнца.
 17. 	Покажите,  зная  расстояние  от  Юпитера  до
одного  из  его  спутников  и  период  обращения  послед¬
него,  как  найти  массу  Юпитера.
 18. 	Какова  скорость  v  спутника  Земли,  вращаю¬
щегося  по  круговой  орбите,  если  последняя  удалена
от  земной  поверхности  на  расстояние  Л?  Выразите  v
через  радиус  Земли  R,  Л,  g  (ускорение  силы  тяжести
на  поверхности  Земли).  Увеличивается  или  умень¬
шается  скорость  спутника  при  его  «торможении»
в  плотных  слоях  атмосферы?
 Фиг.  53.  К  задаче  14.
 4  Джей  Орир
 97

19. 	Если  бы  скорость  Луны  удвоилась,  причем  Луна
продолжала  бы  движение  по  круговой  орбите,  то
каков  был  бы  радиус  этой  орбиты?  Найдите  новый
период  обращения.
 20. 	Ракета  стартует  в  направлении  Луны,  когда
та  находится  в  последней  четверти,  и  ее  скорость  от¬
носительно  Солнца  больше  скорости  Земли.  Считая,
что  ракета  преодолела  земное  тяготение,  сравните  ка¬
чественно  ее  орбиту  с  орбитой  Земли.  Рассмотрите
случай  старта,  когда  Луна  находится  в  первой  чет¬
верти.  Сравните  теперь  орбиты  Земли  и  ракеты.
Влиянием  Луны  пренебрегите.
 21. 	Найдите  силу  притяжения  к  Земле  тела  с
массой  1  кг,  учитывая  влияние  Луны.  Как  будет  при¬
тягивать  Солнце  это  тело,  находящееся  в  месте  рас¬
положения  Луны?  Расстояние  от  Луны  до  Солнца
150  млн.  км,  от  Земли  до  Луны  —  384  тыс.  км.  Эту
задачу  легко  решить,  не  зная  ни  G,  ни  масс  Земли  и
Солнца.

ГЛАВА  5
 МОМЕНТ
 КОЛИЧЕСТВА  ДВИЖЕНИЯ
И  ЭНЕРГИЯ

Существует  несколько  основных  законов
природы,  имеющих  математическую  форму
законов  сохранения.  Закон  сохранения  гла¬
сит,  что  в  замкнутой  системе  некая  физи¬
ческая  величина  (  например,  полный  импульс
или  энергия)  всегда  остается  постоянной  (или
сохраняется).  Под  замкнутой  системой  мы
понимаем  систему  частиц,  не  подверженную
никакому  внешнему  воздействию.  На  нее
не  должны  действовать  никакие  внешние
силы.  Однако  это  не  накладывает  никаких
ограничений  на  внутренние  силы.  Частицы
могут  взаимодействовать  между  собой  любым
способом.  Законы  сохранения,  которые  мы
будем  изучать  в  этой  главе,  все  считаются
точными  законами.  До  сих  пор  не  было
обнаружено  никаких  отклонений  от  этих
законов.  С  одним  из  законов  сохранения  —
законом  сохранения  импульса  —  мы  уже
познакомились  в  гл.  3.  Теперь  рассмотрим
тесно  связанный  с  ним  закон  сохранения
момента  количества  движения.
 Фиг.  54.  Заштрихованные  «треуголь¬
ники»  представляют  собой  площади,
которые  описывает  за  1  сек  прямая,
соединяющая  планету  с  Солнцем,
при  двух  положениях  планеты.
 §  I.  Закон  сохранения  момента
количества  движения
 ЕЩЕ  ОДИН  «НЕРУШИМЫЙ»  ЗАКОН
 В  конце  предыдущей  главы  мы  отметили,
что  вывод  закона  равных  площадей  вовсе  не
связан  с  ньютоновским  законом  всемирного
тяготения.  Действительно,  закон  равных
площадей  —  это  частный  случай  более  об¬
щего  закона  сохранения  момента  количества
движения.  Посмотрите  на  фиг.  54.  Заштри¬
хованные  треугольники  представляют  со¬
бой  площади,  которые  описываются  за  1  сек
прямой,  соединяющей  планету  с  Солнцем.
Площади  этих  треугольников  соответственно
равны  1\2R1(vi)±  и  V*K.  (у2)±.  гДе  vl~  с°-
ставляющая  у,  перпендикулярная  R.
 Таким  образом,
 100
 МОМЕНТ  КОЛИЧЕСТВА
ДВИЖЕНИЯ  И  ЭНЕРГИЯ
 Величина  M(yt)^—это  составляющая  импуль-
са  (^\)±>  перпендикулярная  линии  Rx.  Сле-

довательно,
 Величина  R  Р±  называется  моментом  ко¬
личества  движения.  Равенство  (5.1)  гласит,
что  величина  R  •  Ростается  постоянной  не¬
зависимо  от  положения  планеты  на  орбите.
Иными  словами,  полный  момент  количества
движения  солнечной  системы  сохраняется
(он  никогда  не  уменьшается  и  не  увеличи¬
вается).  Это  утверждение  справедливо  не¬
зависимо  от  того,  измеряется  расстояние  R
от  Солнца  или  от  какой-нибудь  другой  точки
пространства,  ускорение  которой  равно  ну¬
лю.  Закон  сохранения  момента  количества
движения  утверждает,  что  полный  момент
количества  движения  любой  замкнутой  сис¬
темы  должен  всегда  оставаться  неизменным.
Этот  закон  выполняется  независимо  от  ха¬
рактера  взаимодействия  частиц  системы  меж¬
ду  собой.  Он  хорошо  проверялся,  и  не  было
обнаружено  ни  одного  отклонения  от  него.
 Пример.  Спортсмен  легкого  веса,  стоя  на  сто¬
лике,  который  может  вращаться  вокруг  вертикаль¬
ной  оси  держит  в  разведенных  руках  две  тяжелые
гантели  (фиг.  55).  Его  подталкивали,  пока  он  не  на¬
чал  вращаться  со  скоростью  один  оборот  в  секунду.
Затем  спортсмен  согнул  руки,  прижав  гантели  к
груди.  Что  произойдет?
 Допустим,  что  гантели  первоначально  находи¬
лись  на  расстоянии  60  см  от  оси  вращения,  а  потом—
на  расстоянии  10  см.  Пренебрежем  моментом  количе¬
ства  движения  самого  спортсмена  по  сравнению  с  мо¬
ментом  количества  движения  гантелей.
 Начальная  скорость  гантелей  v1=2nRJTl,
где  Rx=60  см,  7\=1  сек.  Полный  начальный  момент
количества  движения  равен
 где  М  —  масса  каждой  гантели.  Когда  руки  согну¬
ты,  то  полный  момент  количества  движения  равен
 По  закону  сохранения  момента  количества  движе¬
ния  эти  два  выражения  должны  быть  равны  между
 1}  Такое  устройство  носит  название  скамьи
Жуковского.—  Прим.  ред.
 101
 Фиг.  55.  Опыт  с  «тремя  гантелями».

Итак,  согнув  руки,  спортсмен  начнет  вращаться
со  скоростью  36  об!сек.  Некоторые  преподаватели
физики  называют  это  опытом  «с  тремя  гантелями».
 ВЗВЕШЕННОЕ  СРЕДНЕЕ  ЗНАЧЕНИЕ
 На  фиг.  56  изображено  движение  замкну-
той  системы.  Она  представляет  собой  летя¬
щий  разводной  гаечный  ключ.  Сумма  внеш¬
них  сил,  действующих  на  него,  равна  нулю.
Заметьте,  момент  количества  движения  клю¬
ча  не  меняется;  ключ  вращае+ся  с  постоян¬
ной  скоростью  вокруг  точки,  которую  мы
обозначили  черным  крестиком.
 Покажем,  что  эта  особая  точка,  не  участ¬
вующая  во  вращении  при  отсутствии  внеш¬
них  сил,  представляет  собой  центр  масс.
Координата  х  центра  масс  системы  N  частиц
определяется  следующим  образом:
 где  М  —  полная  масса  всех  частиц,  хх—  про¬
екция  на  ось  х  расстояния  до  первой  части¬
цы  Rx.  Скорость  центра  масс  мы  получим,
разделив  обе  части  этого  равенства  на  /.
Тогда
 §  2.  Центр  масс
 102
 собой;  таким  образом,

Фиг.  56.  Свободно  летящий  развод¬
ной  гаечный  ключ.
 Деист  вующая  на  ключ  результирующая
«.ила  равна  нулю  Ключ  равномерно  вра¬
щается  вокруг  центра  масс,  который  по¬
мечен  черным  крестиком.
 где  Рх—  проекция  на  ось  л;  полного  импуль¬
са  системы.  Согласно  закону  сохранения
импульса,  составляющие  Рх,  Ру  и  Рг  при  от¬
сутствии  внешних  сил  должны  оставаться
неизменными.  Отсюда  следует,  что  незави¬
симо  от  того,  вращается  система  или  нет,
все  три  компоненты  скорости  центра  масс
должны  быть  постоянными.  А  это  в  свою
очередь  означает,  что  при  отсутствии  внеш¬
них  сил  центр  масс  движется  по  прямой.
При  свободном  движении  твердого  тела  (ти¬
па  разводного  ключа)  с  вращением  при  от¬
сутствии  внешних  сил  центр  масс,  по  опре¬
делению,  не  вращается  и  не  ускоряется.  Вот
почему  твердые  тела  и  системы  частиц  всег¬
да  вращаются  вокруг  своего  центра  масс.
Согласно  закону  сохранения  момента  коли¬
чества  движения,  Земля  неизменно  враща¬
ется  вокруг  своего  центра  масс  с  постоянной
скоростью.  Мы  пренебрегаем  действием  внеш¬
них  сил,  таких,  как  силы,  вызывающие
приливы  и  отливы.
 Пример.  Масса  Луны  составляет  1,2%  от  массы
Земли.  Расстояние  от  Земли  до  Луны  384  ООО  км.
Где  расположен  центр  масс  системы  Земля—Луна?
 Измерим  координату  х  от  центра  Земли  по  на¬
правлению  к  Луне.  Формула  (5.2)  запишется  в  виде
 где  хе=0  —  координата  Земли,  xm  =  384  ООО  км  —
координата  Луны:
 хс  ^  4600  км  от  центра  Земли.
 Земля  и  Луна  должны  вращаться  относительно  этой
точки,  делая  один  оборот  за  месяц.  Земля  соверша¬
ет  один  оборот  в  месяц  относительно  некоторой
точки,  расположенной  внутри  земного  шара.
 103

Фиг.  57.  Монета  будет  вращаться,
даже  если  векторная  сумма  сил  Fx  и
Ft  равна  нулю.
 §  3.  Статика  1}
 как  избежать  вращения
 Мы  видели,  что  полный  импульс  и  мо¬
мент  количества  движения  системы  будут
оставаться  неизменными,  если  на  систему
не  действуют  внешние  силы.  Выясним  теперь,
возможны  ли  случаи,  когда  внешние  силы
приложены,  а  импульс  и  момент  количества
движения  все  же  не  меняются.  На  этот  вопрос
нужно  ответить  утвердительно.  Вспомните
пример  прижатого  к  стене  бруска  на  стр.  69.
На  него  действовали  две  силы,  сумма  которых
была  равна  нулю.  Как  следует  из  законов
Ньютона,  если  векторная  сумма  всех  внеш¬
них  сил  равна  нулю,  то  импульс  системы
остается  неизменным.  Если  начальный  им¬
пульс  твердого  тела  равен  нулю,  то  он  будет
оставаться  равным  нулю  при  условии,  что
векторная  сумма  всех  внешних  сил  обра¬
щается  в  нуль.
 А  что  можно  сказать  о  вращательном  дви¬
жении?  Известно,  что  монету  можно  заста¬
вить  вращаться,  приложив  к  ней  равные
и  противоположно  направленные  силы  Fx  и
Ft,  как  показано  на  фиг.  57.  Хотя  при  этом
векторная  сумма  обеих  сил  равна  нулю,  мо¬
мент  количества  движения  монеты  не  оста¬
ется  постоянным;  он  равен  произведению  дли¬
ны  некоего  отрезка  на  составляющую  импуль¬
са,  перпендикулярную  направлению  этого
отрезка.  Так  как  скорость  изменения  импуль¬
са  равна  силе,  то  можно  показать,  что  ско¬
рость  изменения  момента  количества  движе¬
ния  равна  произведению  длины  упомянутого
отрезка  на  перпендикулярную  ему  состав¬
ляющую  скорости  изменения  импульса,  т.  е.
на  составляющую  силы.  Величина  R-F±
(расстояние,  умноженное  на  перпендикуляр¬
ную  составляющую  силы)  носит  название
момента  силы  (или  вращательного  момента).
Скорость  изменения  момента  количества  дви¬
жения  равна  моменту  силы.  Момент  силы,
 Х)  Этот  параграф  при  желании  можно  опустить.
Его  материал  не  имеет  никакой  связи  с  дальнейшим
изложением.
 104

Фиг.  58.  Семья  на  качелях.
 вызывающий  вращение  в  направлении  про¬
тив  часовой  стрелки,  считается  положитель¬
ным;  момент,  вызывающий  вращение  в  обрат¬
ную  сторону,  —  отрицательным.  Таким  об¬
разом,  условие  постоянства  момента  коли¬
чества  движения  твердого  тела  состоит  в  том,
чтобы  сумма  моментов  сил  обращалась  в
нуль.  Говорят,  что  твердое  тело  находится
в  статическом  равновесии,  если  силы,  дейст¬
вующие  на  него,  таковы,  что  оно  остается  в
покое.  Итак,  существуют  два  условия  стати¬
ческого  равновесия:
 Условие  I.  Сумма  моментов  должна
быть  равна  нулю.
 Условие  II.  Векторная  сумма  сил
должна  быть  равна  нулю.
 Если  к  твердому  телу  приложены  три
внешние  силы  (скажем,  в  точках  /?1Э  Rt  и
/?,),  то  приведенные  условия  запишутся  в
виде
 Расстояния  Rlf  R2  и  /?,  могут  измеряться  от
произвольной  точки.
 Пример  1.  Семья  качается  на  качелях.  Отец  ве¬
сит  70  кг,  мать  —  50  кг.  Они  находятся  на  противо¬
положных  концах  6-метровой  доски.  В  каком  месте
им  нужно  посадить  ребенка  (вес  которого  25  кг),
чтобы  доска  уравновесилась  (фиг.  58)?
 Пусть  Flf  Ft  и  Ft  —  вес  отца,  матери  и  ребенка
соответственно.  Будем  измерять  моменты  сил  отно¬
сительно  точки  опоры.  Отец  создает  момент  RtFlt
направленный  против  часовой  стрелки  (Rj=3  м);
мать  и  ребенок  —  отрицательные  моменты:  —RtFt
и  —R.F,,  направленные  по  часовой  стрелке
(R2—  3  ж,  а  расстояние  Rt  нужно  определить).
Согласно  условию  I,
 Разрешив  это  равенство  относительно  Rit  получим
 105

Фиг.  59.  Силы,  действующие  на  ле¬
стницу  со  стороны  человека,  стены
и  земли.
 Пример  2.  Лестница  длиной  L  =  4  м  приставлена
к  стене  без  трения,  как  показано  на  фиг.  59.  Макси¬
мальная  сила  трения  между  лестницей  и  полом
Ff=  200  ньютон.  На  какую  высоту  может  подняться
по  лестнице  человек  весом  600  ньютон,  прежде  чем
лестница  начнет  скользить?  Весом  лестницы  по
сравнению  с  весом  человека  пренебречь.
 Пусть  s  —  положение  человека  на  лестнице.  Бу¬
дем  измерять  моменты  сил  относительно  точки  опоры
лестницы  о  пол.  Учтем  два  момента:  положительный,
обусловленный  реакцией  стены  Fw,  и  отрицатель¬
ный,  вызванный  весом  Fq  человека.  Компоненты  Fw
и  F(j,  перпендикулярные  лестнице,  равны  соответст¬
венно  (yr3/2)Fw  и  Fq/2.  Согласно  условию  I,  сумма
этих  моментов  равна
 Условие  II  требует,  чтобы  сумма  горизонтальных
сил,  действующих  на  лестницу,  была  равна  нулю,
т.  е.  Ff=Fw.  Отсюда
 В  задачах  статики  иногда  возникает  не¬
обходимость  найти  две  или  три  силы  или  рас¬
стояния.  Условия  I  и  II  дают  три  независимых
уравнения,  которых  достаточно  для  нахож¬
дения  трех  неизвестных  величин.  Решение
такой  задачи  обычно  упрощается,  если  вы¬
числять  вращательные  моменты  относитель¬
но  точки,  к  которой  приложена  одна  или
несколько  сил.
 §  4.  Энергия
 ДЖОУЛИ  И  ЭРГИ
 Энергия  в  системе  MKS  определяется
следующим  образом:  телу  сообщается  едини¬
ца  энергии,  если  сила  в  1  ньютон  воздей¬
ствует  на  него  на  расстоянии  1  м  в  направле¬
нии  действия  силы.  Энергия  в  этой  системе
измеряется  в  кг-мг/секг.  Так  же,  как  и  в-слу-
чае  силы,  единица  энергии  получила  специ¬
альное  название  —  джоуль  (дж).  В  системе
CGS  единица  энергии  называется  эргом.
 106

Сила  в  1  дин,  воздействующая  на  тело  на  рас¬
стоянии  1  сму  сообщает  ему  энергию  в  1  эрг.
Легко  найти  связь  между  джоулем  и  эргом:
 Кинетическая  энергия
 Рассмотрим  такой  идеализированный  слу¬
чай:  тело  с  массой  М  свободно  «парит»  в
космическом  пространстве.  Пусть  в  некото¬
рый  Момент  времени  к  телу  прикладывается
сила  F.  Согласно  второму  закону  Ньютона,
тело  сразу  же  начнет  двигаться  с  ускоре¬
нием  a=F/M.  Согласно  формуле  (2.11),
тело,  пройдя  расстояние  s,  приобретет  ско¬
рость  v:
v2  =  2  as,
 или
 ±rMv'  =  Fs.
 Вы  видите,  что  величина  1/2  Му*  численно
равна  сообщенной  телу  энергии.
 Половина  произведения  массы  тела  на
квадрат  его  скорости  называется  кинети¬
ческой  энергией  (£кин)  этого  тела:
 Если  тело  имело  начальную  скорость  v0,  то,
согласно  (2.11),
 или
 В  этом  случае  вся  энергия  F  s,  сообщенная
телу,  идет  на  увеличение  его  кинетической
 107
 Определение  кинетической  энергии

энергии.  Эта  энергия,  сообщенная  телу  с  мас¬
сой  Му  характеризует  работу,  произведенную
над  телом  внешней  силой.  Итак,  мы  видим,
что  в  идеальном  случае  вся  произведенная
над  телом  работа  проявляется  в  виде  ки¬
нетической  энергии  тела.
 §  5.  Потенциальная  энергия
 ПОТЕНЦИАЛЬНО  ВОЗМОЖНАЯ  ЭНЕРГИЯ
 Мы  увидим,  что  понятие  потенциальной
энергии  имеет  буквальный  смысл.  Прежде
всего  рассмотрим  случай,  когда  тело  с  мас¬
сой  М  находилось  на  поверхности  земли,  а
затем  под  действием  приложенной  силы
F=—Fq  стало  медленно  подниматься  на
высоту  Л.  Произведенная  работа  равна
 Кинетическая  энергия  тела  в  данном  слу¬
чае  не  изменилась.  Куда  же  девалась  энергия
Mgh?  Эта  энергия  превратилась  в  потенци¬
альную,  способную  в  свою  очередь  перейти  в
кинетическую  энергию.  Таков  ответ  на  пос¬
тавленный  вопрос.  Чтобы  перевести  ее  в
кинетическую  энергию,  надо  позволить  телу
падать.  Когда  тело  пролетит  вниз  путь  Л,
то  его  скорость  достигнет  величины,  опре¬
деляемой  соотношением  vx=2gh.  Давайте  вы¬
числим  его  кинетическую  энергию:
 Мы  видим,  что  затраченная  ранее  работа
(U7=Mgh)  может  быть  снова  превращена  в
кинетическую  энергию.
 Определение.  Энергия,  запасенная
телом  благодаря  его  положению  М,  называ¬
ется  его  потенциальной  энергией  U.
 Согласно  другому  определению,  потен¬
циальная  энергия  —  это  работа,  которую
 108

Фиг.  60.  Зависимость  силы,  необхо¬
димой  для  растяжения  пружины,  от
ее  длины.
 нужно  совершить  над  телом  М,  чтобы  пере¬
местить  его  в  направлении,  противополож¬
ном  направлению  действия  «консерватив¬
ной»  силы.  Под  консервативными  мы  будем
понимать  силы,  которые  зависят  только  от
положения  тела.  В  приведенном  выше  при¬
мере  U=Mgh.  Всякий  раз,  когда  тело  ока¬
зывается  на  высоте  Л,  его  потенциальную
энергию  можно  превратить  в  кинетическую,
позволив  ему  падать  вниз.  Потенциальная
энергия  —это,  буквально,  потенциально  воз¬
можная  энергия.
 Заметьте,  что  для  того,  чтобы  медленно
перемещать  тело  в  горизонтальной  плоскос¬
ти,  не  требуется  вообще  никакой  силы  (если
пренебречь  силой  трения).  Поэтому  при  дви¬
жении  тела  по  горизонтали  никакой  работы
не  производится.  Если  тело  с  массой  М  под¬
нимают  на  высоту  h  по  самому  замысловато¬
му  пути,  то  вертикальная  составляющая
силы  производит  работу  Mgh>  работа  же
горизонтальной  составляющей  равна  нулю.
Следовательно,  работа  по  подъему  тела  с
массой  М  на  высоту  h  равна  Mgh  независимо
от  формы  пройденного  пути.
 Тело  обладает  потенциальной  энергией
всякий  раз,  когда  на  него  воздействует  сила
Fc,  зависящая  только  от  его  положения.  Ти¬
пичный  пример  такой  силы  мы  имеем  в  слу¬
чае  тела,  прикрепленного  к  концу  пружины.
Согласно  закону  Гука,  Fc=—кх.  Констан¬
та  k  называется  упругой  постоянной  пружи¬
ны.  Согласно  определению  потенциальной
энергии  (/,  она  равна  работе  по  растяжению
этой  пружины,  умноженной  на  длину  пру¬
жины  х.  По  мере  растяжения  пружины  сила
F  постепенно  растет  от  нуля  до  кх.  Произ¬
веденная  работа  равна  величине  силы  Ft
усредненной  по  расстоянию  х>  умножен¬
ной  на  х.  Зависимость  F  от  х  изображена  на
фиг.  60.  Мы  видим,  что  ее  среднее  значение
на  расстоянии  х  равно  kxj2.  Следовательно,
работа,  или  потенциальная  энергия,  пружи¬
ны  равна
 U  =  ~kx2.
 109

Фиг.  61.  Пример  сохранения  энер¬
гии.
 Величина  (%  М  v2-\-Mgh)  остается  неиз¬
менной.
 §  6.  Закон  сохранения  энергии
 ИЗ  НИЧЕГО  НЕ  ТВОРИТСЯ  НИЧТО
 Допустим,  что  мы  сместили  прикреплен¬
ный  к  концу  пружины  груз  с  массой  М,  так
что  пружина  растянулась  (или  сжалась)
на  величину  х0.  Это  означает,  что  над  грузом
произведена  работа  W=kx\f2.  Она  запасена
в  виде  потенциальной  энергии  U=kx  1/2.
Освободим  теперь  пружину.  В  отсутствие  сил
трения  груз  начнет  совершать  простые  гармо¬
нические  колебания.  Когда  координата  х  гру¬
за  будет  уменьшаться  (х0—максимальное  зна¬
чение),  потенциальная  энергия  также  будет
уменьшаться,  а  кинетическая  увеличивать¬
ся.  Ниже  мы  покажем,  что  увеличение  £кин
должно  быть  в  точности  равно  уменьшению  U.
Иными  словами,  в  отсутствие  каких-либо
внешних  сил  или  трения  сумма  Екин  и  U  бу¬
дет  все  время  оставаться  постоянной.  Это
свойство  известно  под  названием  закона  сох¬
ранения  механической  энергии.  Для  вывода
этого  закона  рассмотрим  общий  случай,
когда  тело  с  массой  М  обладает  начальной
потенциальной  энергией  U0  и  начальной
скоростью  v0.  Пусть  на  тело  действует  сила
Fc,  зависящая  только  от  положения  тела.
Рассмотрим  перемещение  тела  на  расстояние
А*,  настолько  малое,  что  силу  Fc  можно  счи¬
тать  постоянной  на  всем  этом  участке.  Тогда
ускорение  тела  на  этом  пути  будет
 Умножим  обе  части  этого  равенства  на
2Д*.  Получим
 Согласно  (2.11),  левая  часть  этого  равенст¬
ва  равна  v2—а*.  Таким  образом,
 110

Закон  сохранения  механической
энергии
 Фиг.  62.  Маятник,  отпущенный  в  го¬
ризонтальном  положении.
 Но  величина  Fc  kx  равна  уменьшению  запа¬
сенной  энергии  —(U—U0).  Подстановка  в
полученное  выше  соотношение  дает
 Mvl  =  —(U—U9),
 или
 i  Mv*  +  U  =  ±Mv\  +  Ut. 	(5.3)
 Мы  видим,  что  сумма  кинетической  и  по¬
тенциальной  энергий  (левая  часть  равенст¬
ва)  должна  всегда  оставаться  постоянной,
если  на  тело  не  действуют  внешние  силы  и
отсутствует  трение.
 Пример.  Грузик  маятника  М  (фиг.  62)  отвели
в  сторону  (до  горизонтального  положения  нити),  а  за¬
тем  отпустили.  Если  длина  нити  равна  L,  то  какова
скорость  грузика  и  какова  сила  натяжения  нити  в  тот
момент,  когда  нить  проходит  через  вертикальное  по¬
ложение?
 Начальные  условия:  v0  =0  и  UQ  =  MgL.  Когда
нить  достигает  вертикального  положения  и  грузик
тем  самым  опускается  на  высоту  L,  в  этом  положении
U=0.  Из  формулы  (5.3)  легко  найти  скорость  v  гру¬
зика  в  наинизшем  положении
 Фиг.  63.  График  потенциальной
энергии  U  пружины,  растянутой  на
длину  х0.
 W
 111
 Пусть  Т  —  сила  натяжения  нити.  Тогда  результи¬
рующая  сила,  действующая  на  грузик,  равна
 Fрез  —  Т  Fq=^  Mact
 где  ac=v2/L  —  центростремительное  ускорение  гру¬
зика.
 Поскольку  FG=Mg,  то 	Т—Mg—M(v2/L).
 Подставим  в  правую  часть  значение  и*,  даваемое  (5.4):
 Кривые  потенциальной  энергии
 Так  как  энергия  EKKH+U  в  замкнутой
системе  всегда  остается  постоянной,  то  вели¬
чину  £кин  можно  просто  получить,  восполь¬
зовавшись  так  называемой  кривой  потен¬
циальной  энергии.  На  фиг.  63  изображена
зависимость  U  от  х  для  случая  растяжения

пружины.  Горизонтальная  прямая,  поме¬
ченная  WQy  соответствует  энергии  пружины,
растянутой  на  длину  х0.  Согласно  закону
сохранения  энергии,  W0=kx*/2+EKllll  при
любых  значениях  х>  причем  расстояние  по
вертикали  от  кривой  потенциальной  энер¬
гии  до  горизонтальной  линии  должно  соот¬
ветствовать  кинетической  энергии  при  дан¬
ном  значении  х.  Заметьте,  что  эта  величина
плюс  U  (расстояние  от  кривой  до  оси  х)  рав¬
на  W0  —  полной  энергии  системы,  которая  и
должна  сохраняться.  Таким  образом,  поль¬
зуясь  кривой  потенциальной  энергии,  можно
мгновенно  определять  Еккн  для  любой  точки  х.
Метод  кривых  потенциальной  энергии  ока¬
жется  для  нас  чрезвычайно  полезным  в  сле¬
дующих  главах,  где  мы  встретимся  с  более
сложными  силами,  чем  сила  натяжения  пру¬
жины.
 §  7.  Потенциальная  энергия
силы  тяжести
 РАБОТА,  НЕОБХОДИМАЯ,  ЧТОБЫ  ПОКИНУТЬ
ЗЕМЛЮ
 До  сих  пор  мы  говорили  о  потенциальной
энергии  растянутой  пружины  (U=kx2/2)  или
тела  с  массой  т,  поднятого  на  высоту  h
над  поверхностью  Земли  (U=mgh).  Рас¬
смотрим  теперь  более  общий  случай,  когда
тело  удаляется  на  большое  расстояние  от  на¬
шей  планеты.  В  этом  случае  сила  тяжести  FG
будет  уменьшаться  обратно  пропорциональ¬
но  квадрату  расстояния  от  центра  Земли:
FG=GMem/r2,  где  Ме—  масса  Земли.  Давай¬
те  вычислим  работу,  которую  нужно  совер¬
шить  для  перемещения  тела  с  массой  т  из
точки  R  (радиус  Земли)  в  точку  г  (расстояние
измеряется  от  центра  Земли).  Такой  расчет
уже  не  так  прост,  как  прежние,  ибо  сила  здесь
не  постоянна,  а  меняется  равномерно  с  рас¬
стоянием,  как  в  случае  пружины.
 Поэтому  мы  принуждены  разбить  весь
путь  от  точки  R  до  точки  г  на  большое  число
малых  интервалов,  таких,  чтобы  в  каждом  из
них  силу  FGможно  было  считать  почти  пос-

Фиг.  64.  Чтобы  вычислить  работу  по
поднятию  некоторой  массы  с  Земли,
нужно  разбить  расстояние  (г—R)  на
маленькие  отрезки.
 тоянной.  При  этом  мы  можем  вычислить  ра¬
боту  на  каждом  из  таких  участков  пути.
Полная  работа,  которую  нужно  совершить
на  всем  пути,  равна  сумме  элементарных  ра¬
бот.  В  начале  первого  участка  сила  FG  равна
GMem/R2,  а  в  конце  его  GMemlr\,.  Эти  две
величины  почти  одинаковы.  Возьмем  для
удобства  вычислений  их  среднее  значение
FG=GMemlRrx.  Работа  на  этом  участке  равна
 или
 На  втором  участке  средняя  сила  будет
 Подобным  же  образом  на  третьем  участке
работа
 Сложим  теперь  работы,  которые  нужно
совершить  на  этих  трех  участках:
 W.+W.  +  W9  =
 Заметьте,  что  промежуточные  значения
rv  и  гг  взаимно  уничтожились  и  остались  толь¬
ко  координаты  крайних  точек  (R  и  г3).  Это
справедливо  и  в  случае,  когда  мы  сложим  все
оставшиеся  интервалы  от  г%  до  г.  В  результате
получим

Итак,  мы  нашли  работу,  которую  нужно  со¬
вершить  против  силы  земного  притяжения,
чтобы  удалить  тело  тс  Земли  на  расстояние  г.
Это,  по  определению,  и  есть  потенциальная
энергия  силы  тяжести  тела  с  массой  т  в  поле
Земли:
 (5.5)
 Пример.  Покажем,  что  для  (г—R),  малых  по
сравнению  с  R,  величина  U  стремится  к  mgh,  где
h—(r—R).  Согласно  (4.4),
 Подставляя  это  значение  в  (5.5),  имеем
 (5.6)
 Если  г  в  знаменателе  почти  не  отличается  от  /?,  то
 §  8.  Вторая  космическая
скорость
 КАК  ПОКИНУТЬ  ВСЕ  НА  СВЕТЕ
 После  выключения  двигателей  ракеты
сумма  ее  кинетической  и  потенциальной  энер¬
гий  должна  оставаться  постоянной.  В  началь¬
ный  момент  ее  потенциальная  энергия  равна
нулю,  а  кинетическая  EKVlH=mv2/2,  где
v  —  скорость,  сообщенная  двигателями  пос¬
ледней  ступени  ракеты.  Если  ракета  старто¬
вала  в  вертикальном  направлении,  она  будет,
замедляясь,  удаляться  от  земной  поверх¬
ности,  пока  не  достигнет  максимальной  вы¬
соты  гмакс,  после  чего  начнет  падать  вниз.
В  этой  точке  максимального  подъема  вся
кинетическая  энергия  ракеты  переходит  в
потенциальную  энергию  силы  тяжести.  Сог¬
ласно  формуле  (5.6),  начальная  кинетичес-
 114
 Потенциальная  энергия  силы  тя¬
жести

кая  энергия  ракеты  равна
 (5.7)
 Если  начальная  скорость  v  ракеты  известна,
то  из  этого  соотношения  легко  найти  макси¬
мальную  высоту  подъема  ракеты.
 Пример.  Ракета  стартует  вертикально  со  ско¬
ростью,  равной  первой  космической  скорости
(vc=8  км!сек).  Насколько  удалится  ракета  от  Земли?
 Первая  космическая  скорость  ракеты  находит¬
ся  из  равенства  v2c/R=g  (см.  стр.  53).  Поэтому  ее
начальная  кинетическая  энергия  равна
 Приравнивая  эту  величину  правой  части  соотноше¬
ния  (5.7),  получаем
 Рассмотрим  интересный  случай,  когда
начальная  кинетическая  энергия  ракеты  рав¬
на  или  превышает  mgR.  Подставив  это  зна¬
чение  в  левую  часть  (5.7),  получим  l/rw&KC=0>
или  гмакс  =  оо.  Физически  это  означает,  что
ракета  никогда  не  возвратится  назад  —  ее
скорость  никогда  не  обратится  в  нуль.  Эта
особая  скорость,  при  которой  кинетическая
энергия  ракеты  равна  mgR,  называется  вто¬
рой  космической  скоростью  vp.  Найдем  ее
величину
 Заметьте,  что  эта  скорость  ровно  в  2  раз
больше  первой  космической  скорости.  Иными
словами,  вторая  космическая  скорость  рав¬
на  8-1,414  км/сек,  т.  е.  примерно  11,2  км/сек.
 Пример.  Какую  скорость  (в  единицах  v%)  нужно
сообщить  ракете,  чтобы  она  достигла  Луны?
 115
 Вторая  космическая  скорость

Расстояние  до  Луны  равно  шестидесяти  земным
радиусам.  Подставив  гмакс=60  R  в  (5.7),  получим
 v  =0,99  V#.
 Итак,  скорость,  необходимая  для  достижения
Луны,  составляет  99%  от  второй  космической  ско¬
рости.
 Существует  множество  сил,  которые  за¬
висят  не  только  от  положения  тела.  Один
из  примеров  —  сопротивление  воздуха.  Сила
сопротивления  воздуха  и  других  видов  трения
всегда  направлена  против  движения.  Эти  си¬
лы  трения  зависят,  вообще  говоря,  как  от  на¬
правления,  так  и  от  величины  скорости.  Пред¬
положим,  что  деревянный  брусок  медленно
перемещается  по  шершавой  поверхности  стола
на  расстояние  х.  Пусть  сила  трения,  с  кото¬
рой  стол  воздействует  на  брусок,  равна  Ff.
Тогда  работа  W  по  преодолению  этой  силы  и
перемещению  бруска  на  пути  х  равна  Ff  x.
Несмотря  на  этот  значительный  расход  энер¬
гии,  ни  кинетическая  энергия  бруска,  ни
его  потенциальная  энергия  не  увеличиваются.
Куда  же  она  девается?  Оказывается,  при  дви¬
жении  бруска  всегда  выделяется  некоторое
количество  тепла.  Когда  физики  впервые
научились  измерять  тепло,  они  обнаружили,
что  количество  выделяющегося  тепла  всегда
пропорционально  работе,  затраченной  на
преодоление  сил  трения.  Множитель  про¬
порциональности  получил  название  механи¬
ческого  эквивалента  тепла.  Из  следующей
главы  читатель  узнает,  что  тепловая  энер¬
гия  в  действительности  есть  не  что  иное,
как  все  те  же  известные  из  механики  кинети¬
ческая  и  потенциальная  энергии.  Только
теперь  это  будет  кинетическая  и  потенциаль-
 §  9.  Трение  и  тепло
 ЭНЕРГИЯ  МИКРОМИРА
 116

ная  энергии  отдельных  молекул,  из  кото¬
рых  построены  все  физические  тела.  Поэтому
тепловая  энергия  не  столь  наглядна,  как  ки¬
нетическая  и  потенциальная  энергии  мак¬
роскопических  тел.
 Мы  должны  представлять  себе  тепловую
энергию  как  микроскопические  потенциаль¬
ную  и  кинетическую  энергии,  хотя  обычно
понятия  кинетической  и  потенциальной  энер¬
гий  употребляются  как  макроскопические.
Поскольку  закон  сохранения  энергии  дол¬
жен  выполняться  для  микрочастиц  так  же,
как  и  для  макротел,  в  него  должна  быть  вклю¬
чена  тепловая  энергия.  Иными  словами,  сум¬
ма  кинетической,  потенциальной  и  тепловой
энергий  любой  замкнутой  системы  должна
оставаться  неизменной.  Если  на  тело  на  пути
Ах  действует  внешняя  сила  F,  то  закон  со¬
хранения  энергии  приобретает  вид
 117
 Закон  сохранения  энергии
 ИЛИ
 Затраченная  работа  =  (Увеличение  £Кин)~Ь
-{-(Увеличение  U)-J-
-f-(Увеличение  тепловой  энергии).
 Заметим,  что  с  точки  зрения  математики
уменьшение  какой-либо  величины  равно  ее
приращению,  взятому  с  обратным  знаком.
Равенство  (5.8)  легко  получить,  применив
второй  закон  Ньютона  к  малому  перемеще¬
нию  Ах  тела  с  массой  М.  Результирующая
сила  равна  сумме  приложенной  силы  F  и
некоторой  силы  Fc>  приводящей  к  увеличе¬
нию  потенциальной  энергии,  за  вычетом
силы  трения  Ff:
 В  соответствии  с  (2.11)  заменим  величину

Фиг.  65.  При  подъеме  санок  произ¬
водится  работа  против  сил  трения
и  тяжести.
 Рассматривая  энергию,  мы  до  сих  пор
имели  дело  со  случаями,  когда  силы  были
параллельны  перемещению.  Однако  только
что  проделанный  вывод  можно  легко  обоб¬
щить  и  на  случай,  когда  F  и  Ах  не  парал¬
лельны.  Для  этого  достаточно  заменить  каж¬
дую  силу  ее  составляющей  в  направлении
перемещения  Ах.  Итак,  в  общем  случае  ра¬
бота  равна  произведению  перемещения  на
составляющую  силы  в  направлении  переме¬
щения.  Именно  по  этой  причине  центростре¬
мительная  сила  не  производит  никакой  ра¬
боты.  Вообще,  если  сила  перпендикулярна
перемещению,  то  работа  этой  силы  равна
нулю.
 Пример  1.  Масса  ребенка  вместе  с  санками
(фиг.  65)  равна  20  кг.  Сила  трения  полозьев  о  снег
равна  50  ньютон.
 а) 	Какую  работу  надо  совершить,  чтобы
втащить  санки  по  наклонной  плоскости  длиной
100  м  и  углом  наклона  30°?
 б) 	Достигнув  вершины,  мальчик  скаты¬
вается  на  санках  вниз.  Какова  будет  его  ско¬
рость  и  кинетическая  энергия  у  подножия?
 Работа  по  подъему  санок  на  горку  равна  сумме
прироста  кинетической  энергии  £Кнн  (эта  величина
равна  нулю),  увеличения  U,  равного  Mghy  >!  силы
Ffy  умноженной  на  длину  пройденного  пути.  Фор¬
мула  (5.8)  дает
 Произведенная  работа  =0  +  Mgh  +  FfS,
 где  s  =  100  My  /i=50  м  и  Fj  —  ЪО  ньютон,  т.  е.
 Произведенная  работа  =  (20*9,8-50  +  50*100)  дж  =
 =  (9800  +  5000)  дж  =  14  800дж.
 При  спуске  с  горки  произведенная  работа  равна
нулю;  изменение  потенциальной  энергии  остается
прежним,  но  меняет  знак  на  обратный.  Выделенное
тепло  (5СЮ0  дж)  одинаково  в  обоих  случаях.  Таким
образом,  имеем
 118
 Величина  Fc  Ах,  как  и  ранее  (см.  стр.  111),
равна  уменьшению  потенциальной  энергии.
Таким  образом,

Такова  кинетическая  энергия  санок  у  подножия
горки.  Скорость  их  равна
 Пример  2.  Спутник  Земли  весом  1  кг  на  высоте
30  км  возвращается  в  плотные  слои  атмосферы.
Сколько  тепла  выделится  в  результате  торможения?
 В  этом  примере  v0  —  орбитальная  скорость,
равная  8  км!сек,  (U—£/0)=—Mgh,  где  h=  30  км.
Формула  (5.8)  дает
 Mgh  +  (Тепловая  энергия),
 или
 Тепловая  энергия  =
 Как  и  следовало  ожидать,  согласно  закону  сохра¬
нения  энергии,  кинетическая  и  потенциальная  энер¬
гии  переходят  в  тепло.  Подставляя  численные  зна¬
чения,  получаем
 Тепловая  энергия=
 Этот  пример  иллюстрирует  главную  проблему,
возникающую  при  возвращении  спутника  в  атмо¬
сферу,—  его  нагрев.  Например,  1  кг  алюминия,  ес¬
ли  ему  сообщить  тепловую  энергию,  равную  10s  дж,
нагревается  на  1°С.  Мы  видим,  что  если  только  1%
выделяющегося  тепла  пойдет  на  нагрев  алюминие¬
вого  спутника,  то  его  температура  возрастет  при¬
мерно  до  300°  С.
 §  10.  Эквивалентность  массы
и  энергии
 ГРОМАДНАЯ,  НО  НЕДОСТУПНАЯ  ЭНЕРГИЯ
ЗАКЛЮЧЕНА  В  ГОРСТИ  ПЕСКА
 В  заключительных  параграфах  этой  гла¬
вы  мы  увидим,  что  вокруг  нас  имеются  неис¬
черпаемые  запасы  энергии.  Однако  мы  вряд
ли  сможем  ее  когда-либо  использовать.
 Обсуждая  соотношение  (3.6),  мы  отмети¬
ли,  что,  согласно  теории  относительности,
с  ростом  скорости  или  энергии  частицы  воз¬
растает  ее  масса.  Соотношение  между  уве¬
личением  массы  и  увеличением  энергии  ока¬
зывается  весьма  простым.  Эйнштейн  показал,
 119

что  из  теории  относительности  следует
 где  АМ  —  увеличение  массы,  соответствую¬
щее  увеличению  энергии  на  Д1Р.  Эйнштейн
предположил,  что  полная  энергия,  сопос¬
тавляемая  массе  М,
 W  =  Мс2, 	(5.9)
 где  с=3,0  •  10*  м/сек  —  скорость  света.  Это
означает,  что  1  кг  песка  должен  содержать
 1 	кгх  (3,0*  10®  м/сек)2,  т.  е.  9*  10|в  дж  энергии,
иначе  говоря,  почти  вдвое  больше  еженедель¬
ного  потребления  электроэнергии  в  США.
 Однако  вся  эта  огромная  энергия,  заклю¬
ченная  в  песке  или  любом  другом  веществе,  не¬
доступна.  Давно  известный  закон  сохранения
массы  налагает  строгий  запрет  на  получение
полезной  энергии  из  массы.  Этот  закон  гласит,
что  вещество  нельзя  ни  уничтожить,  ни  соз¬
дать  вновь.  Правда,  сейчас  мы  знаем,  что  это
не  совсем  так.  Современный  вариант  закона
сохранения  массы,  запрещающий  получение
энергии  из  песка,  мы  рассмотрим  в  следую¬
щем  параграфе.  Однако  существуют  примеры
превращения  массы  покоя  в  энергию  и  об¬
ратно.  (Масса  покоя  частицы  —  это  ее  масса
при  скорости,  равной  нулю.)  Так,  при  бом¬
бардировке  вещества  протонами  высокой  энер¬
гии  в  большом  количестве  образуются  новые
элементарные  частицы  (см.  гл.  16).  В  подоб¬
ном  процессе  кинетическая  энергия  протонов
высокой  энергии  непосредственно  превраща¬
ется  в  массу  покоя  этих  новых  частиц.  Приме¬
ром  обратного  процесса  является  самопро¬
извольный  распад  некоторых  из  этих  частиц.
При  этом  их  масса  покоя  снова  превращается
в  кинетическую  энергию  продуктов  распада.
Следует,  однако,  заметить,  что,  согласно
формуле  (5.9),  кинетическая  энергия  немыс¬
лима  без  массы.  Поэтому  по  существу  не¬
льзя  говорить  о  превращении  массы  в  энер¬
гию  или  энергии  в  массу.  Поскольку  полная
энергия  Вселенной  должна  оставаться  неиз¬
менной,  то,  согласно  (5.9),  должна  быть  по¬
стоянной  и  ее  полная  инертная  масса.  Не  со¬
 120
 Соотношение  между  массой  и  энер¬
гией

храняется  же  масса  покоя.  Именно  она  может
превращаться  в  кинетическую  энергию  и
обратно.  Но  даже  здесь  имеется  жесткое  ог¬
раничение.  Мы  поговорим  о  нем  в  следующем
параграфе.
 §  II.  Закон  сохранения
тяжелых  частиц
 ПРОТОНЫ  И  НЕЙТРОНЫ  НЕУНИЧТОЖИМЫ
 Обычное  вещество  состоит  из  атомов.  Ато¬
мы  в  свою  очередь  построены  из  атомных
ядер,  которые  окружены  вращающимися  во¬
круг  них  электронами.  Каждое  ядро  состоит
из  протонов  и  нейтронов,  приблизительно  в
1800  раз  более  тяжелых,  чем  электроны.
Именно  поэтому  протоны  и  нейтроны  назы¬
ваются  тяжелыми  частицами.  Закон  сох¬
ранения  тяжелых  частиц  утверждает,  что
полное  число  протонов  и  нейтронов  в  любой
замкнутой  системе  должно  оставаться  посто¬
янным.  В  гл.  15  и  16  мы  узнаем,  что  протоны
и  нейтроны  тем  не  менее  могут  интенсивно
взаимодействовать  друг  с  другом  в  таких
процессах,  как  синтез,  деление  и  ядерные
превращения.  В  реальных  процессах  нейтро¬
ны  могут  превращаться  в  протоны  и  обрат¬
но.  Однако  при  всевозможных  ядерных
взаимодействиях  полное  число  протонов  и
нейтронов  всегда  оказывается  постоянной
величиной.  Еще  никто  никогда  не  наблюдал,
чтобы  масса  покоя  протона  или  нейтрона
превратилась  в  другие  виды  энергии.  Закон
сохранения  тяжелых  частиц  основан  наогром-
ном  количестве  экспериментальных  фактов.
И,  как  утверждает  этот  закон,  нам  никогда
не  удастся  воспользоваться  колоссальной
энергией,  заключенной  в  горсти  песка.
 С  другой  стороны,  имеется  возможность
извлекать  некоторое  ограниченное  количе¬
ство  ядерной  энергии.  Внутри  ядра  нейтроны
и  протоны  взаимодействуют  между  собой  с
чудовищными  силами.  Эти  ядерные  силы
создают  огромную  потенциальную  энергию
ядер.  В  таких  процессах,  как  деление  и  син¬
тез  ядер,  часть  этой  потенциальной  энергии
 121

может  превратиться  в  кинетическую.  Это
превращение  и  служит  источником  энергии
ядерных  реакторов  и  атомных  бомб.  Затро¬
нутые  сейчас  вопросы,  а  также  приложение
закона  сохранения  тяжелых  частиц  к  анти¬
веществу  и  другим  тяжелым  элементарным
частицам  мы  обсудим  в  гл.  15  и  16.
 1. 	Допустим,  что  гаечный  ключ,  изображенный
на  фиг.  56,  брошен  под  углом  45°  к  горизонтали.  Ка¬
кова  при  этом  будет  траектория  его  центра  масс?
 2. 	Теория  равновесной  Вселенной  утверждает,
что  происходит  самопроизвольное  (очень  медленное)
возникновение  нейтронов.  Какие  законы  сохране¬
ния  при  этом  нарушаются?
 3. 	Вы,  наверное,  заметили,  что  кошка  всегда  па  -
дает  на  лапы.  Нарушается  ли  здесь  закон  сохра  -
нения  момента  количества  движения?
 4. 	Вращающийся  волчок  можно  остановить  ру¬
кой.  Куда  девается  тогда  момент  количества  движе¬
ния?
 (У  к  а  з  а  н  и  е.  Предположим,  что  это  делает
человек,  стоящий  на  скамье  Жуковского.)
 5. 	Однородный  стержень  длиной  1  м  имеет  мас¬
су  100  г.  На  один  его  конец  подвешивают  груз  с  мас¬
сой  50  г.  Найти  положение  центра  масс.
 6. 	Обод  велосипедного  колеса  имеет  диаметр  0,8  м
и  массу  1,5  кг.  Каков  момент  количества  движения
этого  колеса  при  скорости  велосипеда  3  м/сек?  Массой
спиц  пренебречь.
 7. 	Автомобиль  движется  со  скоростью  60  км!час.
Во  сколько  раз  нужно  увеличить  его  скорость,  что¬
бы  его  кинетическая  энергия  увеличилась  вдвое?
 8. 	Тяжелый  груз  укреплен  на  верхнем  конце
легкого  метрового  стержня.  Нижний  его  конец  яв¬
ляется  центром  вращения.  Освободившись,  груз  опи¬
сывает  окружность  диаметром  2  м.  Найти  максималь¬
ную  скорость  и  максимальное  центростремительное
ускорение  груза.
 9. 	Шарик  с  массой  5  г  движется  от  точки  А  к
точке  В  (фиг.  66).  Предположим,  что  во  всей  этой
области  на  него  действует  постоянная  электростати¬
ческая  сила  в  2  дин,  направленная  влево.  Какую
работу  надо  совершить,  чтобы  передвинуть  шарик  от
А  к  В?  Что  произойдет  с  его  потенциальной  энергией:
увеличится  ли  она,  уменьшится  или  останется  неиз¬
менной?
 10. 	а)  Какую  работу  надо  совершить,  чтобы  поднять
тело  с  массой  10  г  по  наклонной  плоскости  без
трения  длиной  3  ж  и  высотой  0,5  м?
 122
 Задачи
 Фиг.  66.  К  задаче  9.

Фиг.  67.  К  задаче  12.
 Фиг.  68.  К  задаче  16.
 б) 	Предположим,  что  между  телом  и  плос¬
костью  действует  сила  трения,  равная  700  дин.
Какую  теперь  надо  совершить  работу  при
подъеме  тела  по  плоскости?
 в) 	Допустим,  что  тело  поднимается  силой  в
3000  дин.  Сила  трения  предполагается  тоже
700  дин.  Какова  будет  скорость  тела,  когда  оно
достигнет  верхней  точки?
 11. 	Игрушечный  поезд  массой  800  г  движется  под
действием  постоянной  силы  в  100  дин.  Сначала
поезд  находился  в  состоянии  покоя,  а  затем
развил  постоянную  скорость  v0.  Какова  будет
эта  скорость  при  условии,  что  каждую  секунду  на
ускорение  поезда  затрачивается  2*  10*  эрг?  Какое  рас¬
стояние  проходит  поезд  каждый  раз,  когда  для  этого
совершается  работа  в  2000  эрг?
 12. 	Тележка  спускается  с  горы  высотой  50  м
(фиг.  67).  Пройдя  120  м,  она  снова  оказывается  на
вершине  высотой  40  м.  Вес  тележки  500  кг.  Какова
максимально  допустимая  сила  трения?  (Если  бы  сила
Ff  была  хотя  бы  немного  больше,  то  тележка  не  въе¬
хала  бы  на  вторую  вершину.)
 13. 	Какая  энергия  £кин  теряется  при  столкновении
пули  с  бруском  (см.  задачу  10  гл.  3,  стр.  77)?
Куда  она  девается?
 14. 	Какова  будет  скорость  груза  Af|f  когда  он  прой¬
дет  путь  50  см  (см.  задачу  14  гл.  3,  стр.  78)?
 (У  к  а  з  а  н  и  е.  Определите  начальную  и  конеч¬
ную  потенциальные  энергии  обоих  грузов.)
 15. 	В  опыте  «с  тремя  гантелями»  на  стр.  101  най¬
дите  начальную  и  конечную  кинетические  энергии
гантелей?  Откуда  берется  добавочная  кинетическая
энергия?  Масса  каждой  гантели  20  кг.
 16. 	Рекламный  плакат  массой  15  кг  подвешен
на  проволоке,  как  показано  на  фиг.  68.  Чему  равно
натяжение  проволоки?  С  какой  силой  плакат  давит
на  стену?
 17. 	При  любом  простом  гармоническом  движе¬
нии  U=  /4/ех2,  где  k=F/x.  Выразите  максимальную
потенциальную  энергию  простого  маятника  через
М,  g,  L  и  х0.  Какова  максимальная  скорость  грузика
в  переменных  g,  L  и  х0  (х0  —  максимальное  отклоне¬
ние)?
 18. 	Пусть  масса  лестницы  в  примере  2  (на  стр.  106)
равна  15  кг.  На  какую  высоту  сможет  подняться
человек  в  этом  случае?
 19. 	Лестница  массой  10  кг  приставлена  под  уг¬
лом  45°  к  стене  без  трения.  С  какой  силой  лестница
давит  на  стену?
 20. 	Ядро  урана,  содержащее  92  протона  и  143  нейт¬
рона,  поглощает  нейтрон  и  затем  распадается  на
2  осколка  и  4  нейтрона.  Один  из  продуктов  деления
Csn?  (55  протонов  и  82  нейтрона).  Сколько  протонов
и  нейтронов  будет  во  втором  осколке?

КИНЕТИЧЕСКАЯ
 ТЕОРИЯ
 ГЛАВА  6

Кинетическая  теория  описывает  макро¬
скопические  свойства  газов  на  основе  приме-
нения  законов  механики  к  газовым  молеку¬
лам.  Прежде  чем  перейти  к  изложению  кине¬
тической  теории,  введем  некоторые  макро¬
скопические  понятия,  как,  например,  плот¬
ность  и  давление.
 Таблица  4
Плотности  различных  веществ
 Вещество
 Плот¬
ность,
г  1см3
 Ядерное  вещество  .  .  .
Вещество  в  центре
 Солнца
 Платина
 Золото
 Ртуть
 Свинец
 Железо
 Земля
 Алюминий
 Вода
 Лед
 Вальса  (дерево)  ....
 Воздух
 Наилучший  искусствен¬
ный  вакуум
 Межзвездная  среда  .  .
Межгалактическая  сре¬
да
 2«  1014
 100
 21,4
 19.3
13,6
 11.3
7,8
5
 2,7
 1,0
 0,92
 0,13
 0,0013
 ю-,#
 Ю-24
 Ю-зо
 §  I.  Плотность
 ВОДА  —  УДОБНОЕ  ВЕЩЕСТВО
 Плотность  тела  равна  отношению  M/V,
где  М  —  его  масса,  а  V  —  объем:
 (6.1)
 Напомним,  что  одновременно  с  созданием
метрической  системы  возникла  необходимость
выбрать  и  стандарт  массы.  В  качестве  стан¬
дарта  грамма  была  взята  масса  1  см?  воды.
Таким  образом,  плотность  воды  выражается
очень  удобной  величиной  1  г/см3.  В  системе
MKS  плотность  воды  равна
 В  табл.  4  приведены  плотности  различных
веществ.
 §  2.  Давление
 СИЛА,  ДЕЙСТВУЮЩАЯ  НА  ЕДИНИЦУ  ПЛОЩАДИ
 Если  жидкость  или  газ  поместить  в  ре¬
зервуар,  то  на  каждый  элемент  поверхности
резервуара  будет  действовать  некоторая  си¬
ла.  Рассмотрим  в  качестве  примера  воздух,
накачанный  в  резиновую  камеру.  Если  про¬
должать  накачивать  в  камеру  воздух,  то
давление  в  ней  будет  повышаться,  пока  не
возрастет  настолько,  что  камера  лопнет.
 Давлением  Р  в  газе  {или  жидкости)  на¬
зывается  сила,  с  которой  он  воздействует  на
единицу  площади  поверхности  сосуда:
 (6.2)
 126
 КИНЕТИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ

Фиг.  69.  Силы,  действующие  на  ку¬
бик,  погруженный  в  жидкость  под
давлением  Р.
 В  системе  CGS  давление  измеряется  в  дин/см2,
а  в  системе  MKS  —  в  ньютон/мг.  Направле¬
ние  этой  силы  всегда  перпендикулярно  по¬
верхности  сосуда  независимо  от  ее  ориента¬
ции.  Опустим  в  жидкость,  находящуюся  под
давлением  Р,  полый  кубик  с  тонкими  метал¬
лическими  стенками  и  площадью  грани  А
(фиг.  69).  На  каждую  грань  этого  кубика  бу¬
дет  действовать  сила  F  =  PA  независимо  от
его  ориентации.  Если  жидкость  покоится,
то  в  любой  ее  малой  по  размерам  части  дав¬
ление  будет  одинаково  во  всех  направлениях.
В  противном  случае  на  небольшой  кубик
жидкости  действовала  бы  отличная  от  нуля
результирующая  сила  и  он  пришел  бы  в  дви¬
жение.  Если  пренебречь  силой  тяжести,  то
давление  во  всех  точках  сосуда  должно  быть
одинаковым,  независимо  от  формы  послед¬
него.
 Фиг.  70.  Силы,  действующие  н<
поршни  в  гидравлическом  домкрате
 Пример.  Автомобиль  поднимается  гидравличе¬
ским  домкратом,  состоящим  из  двух  сообщающихся
цилиндров  с  поршнями  (фиг.  70).  Диаметр  большого
поршня  1  ж,  маленького  —  10  см.  Вес  автомобиля
равен  Fq.  С  какой  силой  надо  давить  на  маленький
поршень,  чтобы  поднять  автомобиль?
 Оба  поршня  представляют  собой  стенки  одного
резервуара.  Поэтому  давление  на  них  одинаково.
Пусть  Pl=FJAl  —  давление  на  малый  поршень,
Pt=FJA2  —  давление  на  большой  поршень.  Так  как
Я,=  Р„  то
 Отношение  Л,Мгравно  1/100,  поскольку  площади  от-
носятся  как  квадраты  диаметров.  Таким  образом,
сила  F,  должна  составлять  всего  1%  веса  авто¬
мобиля.
 §  3.  Гидростатика
 ЖИДКОСТЬ  В  ПОКОЕ
 Если  на  жидкость  действует  сила  тяжес¬
ти,  то  благодаря  своему  весу  верхние  слои
жидкости  оказывают  давление  на  нижние
слои.  Поэтому  давление  в  жидкости  растет  с
глубиной.  Рассмотрим  цилиндр  с  площадью
 127

Фиг.  71.  Столбик  жидкости  высотой
h  и  площадью  А.
 основания  А,  наполненный  жидкостью  плот¬
ностью  D  и  высотой  h  (фиг.  71).  На  дно
цилиндра  действует  сила,  равная  массе
жидкости  Л1жидк,  умноженной  на  g:
 F  (^жидк)  8•
 Согласно  (6.1),  масса  жидкости  равна  D  •  (Ah).
Отсюда
 F  =  D(Ah)g.
 Чтобы  найти  давление,  нужно  разделить  обе
части  этого  равенства  на  А:
 Итак,
 Р  =  Dhg.
 (6.3)
 Вы  видите,  что  давление  на  дно  не  зависит
ни  от  величины  Л,  ни  от  формы  сосуда.  Фор¬
мула  (6.3)  выражает  давление  на  глубине  /г,
обусловленное  весом  жидкости.  Оно  оди¬
наково  в  любых  двух  точках,  находящихся
на  одном  и  том  же  уровне,  и  не  зависит  от
формы  сосуда.
 Атмосферное  давление
 Высота  земной  атмосферы  —  несколько
сот  километров.  Согласно  (6.3),  давление  Р0
у  поверхности  Земли  равно  высоте  атмосферы,
умноженной  на  g  и  на  среднюю  по  высоте
плотность  воздуха.
 Численный  результат  таков:
 Барометр
 Возьмем  трубочку  с  ртутью  (D  =  13,6  г/см9)
и,  перевернув  ее,  опустим  в  наполненный
ртутью  сосуд,  как  показано  на  фиг.  72.  Дав¬
ление  ртути  в  точках  А  и  В  будет  одина¬
ковым,  ибо  обе  эти  точки  находятся  на  одной
высоте.  Согласно  формуле  (6.3),  PA=Dght
где  h  —  высота  столбика  ртути.  Давление
на  поверхности  раздела  ртуть  —  воздух  Рв
 128
 Атмосферное  давление

Фиг.  72.  Ртутный  барометр.
 Фиг.  73.  Иллюстрация  того,  как
нельзя  поднять  воду  из  глубокого
колодца.
 Фиг.  74.  Брусок  объемом  AL  погру¬
жен  в  жидкость  плотностью  £>.
 должно  быть  равно  Р0—  атмосферному  дав¬
лению.  Отсюда
 (6.4)
 Высота  столбика  ртути  пропорциональна
атмосферному  давлению.  Подобное  устрой¬
ство,  названное  барометром,  применяется
для  измерения  величины  атмосферного  давле¬
ния.
 Пример.  Вода  в  скважине  находится  на  15  ж
ниже  уровня  земной  поверхности.  В  воду  опущена
трубка,  из  которой  насос,  находящийся  на  поверхно¬
сти,  откачал  весь  воздух  (фиг.  73).  Поднимется  ли
вода  до  насоса?
 С  точки  зрения  физики  ситуация  здесь  точно  та¬
кая  же,  как  в  случае  ртутного  барометра  на  фиг.  72.
Поэтому  для  решения  поставленной  задачи  можно
воспользоваться  формулой  (6.4).  Из  нее  сразу  полу¬
чается  максимально  возможная  высота  подъема
воды
 Итак,  вода  поднимется  только  на  10,3  м.
 Закон  Архимеда
 Погрузим  брусок  высотой  L  и  площадью
основания  А  в  жидкость  на  глубину  А,  как
показано  на  фиг.  74.  Плотность  жидкости  D.
Сила,  с  которой  жидкость  действует  на  ниж¬
нюю  поверхность  бруска,  будет  направлена
вверх  и  равна  по  величине
 F^PA^Dgih  +  D-A.
 Сила,  действующая  на  верхнюю  поверх¬
ность,  направлена  вниз  и  равна
 Ft  =  (Dgh).A.
 Результирующая  сила,  действующая  со  сто¬
роны  жидкости  на  брусок,  равна
 F1  ~ 	=  DgL  •  А  =  (УИЖ11ДК)  g,
 где  Mmfa=DLA  —масса  жидкости,  вытес¬
ненная  бруском.  Итак,  на  брусок  действует
 5  Джей  Орнр
 129

сила,  направленная  вертикально  вверх  и
равная  весу  вытесненной  жидкости.
 Закон  Архимеда  гласит,  что  на  тело,
погруженное  в  жидкость  или  газ,  действует
выталкивающая  сила,  равная  весу  жидкости
или  газа  в  объеме  тела.
 Если  этот  принцип  применить  к  частному
случаю  плавающего  тела,  то  мы  получим,
что  плавающее  тело  вытесняет  как  раз  столь¬
ко  жидкости,  сколько  весит  само  тело.
 Пример.  Вот  очень  популярная  задача:  что  прои¬
зойдет  с  уровнем  воды  в  стакане,  где  плавает  кусок
льда,  когда  лед  растает?  Повысится  он  или  пони¬
зится?
 Оказывается,  что  уровень  воды  останется  преж¬
ним,  если,  конечно,  лед  и  до  таяния  плавал  в  этом  ста¬
кане.  Поскольку  кусок  льда  вытеснял  количество
воды,  равное  его  собственному  весу,  то,  растаяв,
он  заполнит  в  точности  тот  объем,  который  раньше
занимал.
 §  4.  Атомы  и  молекулы
 «НЕВИДИМЫЕ»  КИРПИЧИ  МИРОЗДАНИЯ
 Строение  вещества  будет  рассмотрено  де¬
тально  в  гл.  13  и  14.  Однако  прежде  чем  по¬
знакомиться  с  кинетической  теорией,  нам
следует  задержаться  на  понятиях  атома  и
молекулы.
 Еще  за  400  лет  до  начала  нашей  эры  гре¬
ческий  философ  Демокрит  предполагал,  что
все  вещества  состоят  из  частиц,  которые  он
называл  атомами,  а  пространство  между  ни¬
ми  является  совершенно  пустым  (вакуум).
Греческое  слово  «атом»  означает  неделимый.
Теперь  мы  знаем,  что  на  Земле  встречаются
атомы  92  различных  видов.  Вещества,  пос¬
троенные  из  атомов  только  одного  вида,  назы¬
ваются  элементами.  Водород,  углерод,  кис¬
лород,  медь  —  вот  примеры  некоторых  из
этих  92  элементов.  В  приложении  (стр.  432)
приведена  таблица  (табл.  III)  всех  элемен¬
тов.  Номер  элемента  Z  в  табл.  III  называется
атомным  номером.
 Объяснение  строения  различных  веществ
основано  на  том,  что  при  тесном  сближении
 130

атомов,  когда  они  почти  соприкасаются
друг  с  другом,  между  ними  действуют
огромные  силы  взаимного  притяжения.
Некоторые  даже  совершенно  различные
атомы  сильно  притягиваются  друг  к
другу.  Так,  атом  кислорода  обладает
большим  сродством  к  одному  или  даже
двум  атомам  водорода.  Прочная  ком¬
бинация  двух  атомов  водорода  и  одного
атома  кислорода  носит  название  моле¬
кулы  воды.  Вода  целиком  состоит  из
таких  молекул  Н20.  Если  разделить
водяной  пар  на  мельчайшие  частицы,
сохраняющие  еще  химические  свойства
водяного  пара,  то  это  и  будут  молеку¬
лы  Н20.  Вещество,  состоящее  из  одина¬
ковых  молекул,  построенных  из  различ¬
ных  атомов,  называется  соединением.
 Отдельные  атомы  и  молекулы,  ко¬
нечно,  нельзя  видеть  невооруженным
глазом.  Нельзя  их  увидеть  даже  в  опти¬
ческий  микроскоп  с  очень  большим
увеличением.  Однако  молекулярную
структуру  можно  «разглядеть»  с  по¬
мощью  современных  методов  рентгенов¬
ского  анализа.  На  фиг.  75  показана
«фотография»  молекулы  гексаметилбен-
зола,  полученная  методом  рентгенов¬
ского  анализа.
 Молекулы  твердых  тел  и  жидкостей
находятся  в  довольно  тесном  контакте
друг  с  другом.  Именно  поэтому  твердые
тела  и  жидкости  почти  несжимаемы.
С  другой  стороны,  плотность  газов  при¬
мерно  в  100  раз  меньше.  Таким  обра¬
зом,  средние  расстояния  между  молеку¬
лами  газов  велики.  В  газах  молекула
до  столкновения  с  другой  молекулой
проходит  расстояние,  равное  многим
молекулярным  диаметрам.
 Фиг.  75.  «Фотография»  молекулы  гексаме-
/у  тилбензола.
 Под  фотографией  показана  структурная  формула.
«Фотография*  получена  косвенным  путем  за  счет  пре¬
образования  диффракционного  рентгеновского  изоб¬
ражения  в  видимое,  подобно  преобразованию  в  те¬
левидении  видеосигнала  в  видимое  изображение.
Увеличение  10м.
 131

§  5.  Уравнение  состояния
идеального  газа
 НЕПРЕРЫВНАЯ  БОМБАРДИРОВКА  МОЛЕКУЛАМИ
 Опыт  показывает,  что  если  уменьшать
объем,  заполненный  определенным  количест¬
вом  газа,  то  давление  в  нем  будет  возрас¬
тать  при  условии,  что  температура  остается
неизменной.
 Примерно  300  лет  назад  Бойль  обнару¬
жил,  что  для  большинства  газов  изменение
давления  связано  с  изменением  объема  прос¬
тым  соотношением.  Если  вначале  давление
и  объем  были  соответственно  равны  Рх  и  Vx,  а
в  конце  Р2  и  V2,  то  закон  Бойля  утверждает,
что
 Р^  =  ргуг, 	(6.5)
 если  температура  поддерживается  постоян¬
ной,  а  количество  газа  остается  одним  и  тем
же.
 Пример.  Объем  пузырька  воздуха  по  мере
всплывания  его  со  дна  озера  на  поверхность  увели¬
чивается  в  3  раза.  Какова  глубина  озера?
 Пусть-  Рх  —  давление  воздуха  в  пузырьке,  а
Vx  —  его  объем  у  дна  озера.  Давление  Р2  равно  Р0—
атмосферному  давлению,  a  V2=3VX.  По  закону  Бойля
 Р,Уг  =  Р2-У'  =  Р0-ЗК1(
 Л  =  ЗР0.
 Итак,  увеличение  давления  у  дна  озера  благодаря
весу  воды  равно  Рх—Р0,  или  2  Р0.  Согласно  (6.3),  глу¬
бина  h  озера  находится  из  соотношения
 Теперь,  узнав,  что  газ  состоит  из  частиц,
соударяющихся  со  стенками  сосуда,  мы
должны  научиться  выводить  закон  Бойля,
исходя  из  принципов  ньютоновской  меха¬
ники.  Мы  знаем,  что,  каждый  раз  ударяясь
 о 	стенку,  частица  оказывает  на  нее  некоторое
силовое  воздействие.  Следовательно,  давле¬
ние  газа  должно  быть  обусловлено  многочис¬
ленными  ударами  молекул  о  стенки.  Посколь¬
ку  газ  —  это  разреженное  скопление  моле¬
кул,  ясно,  что  такой  механизм  будет  единст-

Фиг.  76.  Отдельная  частица  с  мас¬
сой  ту  заключенная  в  ящике  объе¬
мом  AL.
 Площадь  А
 венным  возможным  источником  его  воздейст¬
вия  на  стенки  сосуда.
 Вычислим  сначала  среднее  давление  на
стенку,  обусловленное  ударами  только  одной
молекулы  с  массой  т,  составляющая  скорос¬
ти  которой  в  направлении  х  равна  vx.  Допус¬
тим,  что  эта  молекула  находится  в  ящике
длиной  L  (в  направлении  оси  х),  причем
стенки,  перпендикулярные  *,  имеют  пло¬
щадь  А.  Интервал  времени  между  двумя
последовательными  соударениями  о  стенку
равен
 Изменение  импульса  ЛРХ  частицы  при  каж¬
дом  соударении  составляет
 АРХ  =  mvx  —  m  (—  vx)  =  2rnvx.
 Согласно  второму  закону  Ньютона,  средняя
сила,  с  которой  молекула  воздействует  на
стенку,  равна
 г  АРХ  2  mvx  mvx
 ^  =  -дГ==21^  =  -Г'
 а  среднее  давление,  которое  она  оказывает
на  стенку,
 где  V=AL  —объем  ящика.
 Давление,  создаваемое  N  частицами,  бу¬
дет,  следовательно,
 (б.б>
 где  Vx—  среднее  значением*  для  этих  N  мо¬
лекул.  Газы,  которые  подчиняются  уравне¬
нию  (6.6),  называются  идеальными  газами.
Любой  газ  при  достаточном  разрежении
(N  не  очень  велико)  ведет  себя  как  идеальный.
 Среднее  значение  v\  можно  легко  связать  с
v2.  Для  этого  заметим,  что  v2=vl+vl+vl
(теорема  Пифагора  в  трех  измерениях).  Взяв
среднее  значение  от  обеих  частей  этого  ра¬
венства,  получим
 133

Так  как  молекулы  беспорядочно  движут¬
ся  во  всех  направлениях,  то  vl=v*y=vl.  Зна¬
чит,
 v*  =  3?X9
 Подставив  это  соотношение  в  формулу
(6.6),  получим
 PV  —  Nm^. 	(6.7)
 Заметьте,  что  левая  часть  полученного  урав¬
нения  совпадает  с  комбинацией,  входящей  в
закон  Бойля.  Рассмотрим  теперь  одно  и  то
же  количество  газа  (N  молекул)  в  двух  раз¬
личных  состояниях.  Согласно  (6.7),
 В  следующем  параграфе  мы  покажем,  что
 если  температуры  Тх  и  Т2  равны.  Итак,  ле¬
вые  части  обоих  равенств  равны  одной  и  той
 же  величине  [(Nm/3>)v\\,  если  температуры  в
обоих  состояниях  одинаковы.  Иными  слова¬
ми,
 §  6.  Температура
 КИНЕТИЧЕСКАЯ  ЭНЕРГИЯ  МИКРОЧАСТИЦ
 С  понятием  температуры  знакомы  все.
Обычно  мы  измеряем  температуру,  наблюдая
расширение  ртути  или  окрашенного  спирта
в  термометре.  Температуру  можно  измерять
также  по  расширению  газа,  хотя  это  и  не
так  удобно.  Простейший  газовый  термо-
 134

Фиг.  77.  Простейший  газовый  тер¬
мометр.
 Заштрихованная  часть  трубки  заполнена
газом  при  постоянном  давлении.  Высота
подъема  капли  ртути  пропорциональна
температуре  газа.
 Постоянная  Больцмана
 метр  изображен  на  фиг.  77.  «Пробкой»  слу¬
жит  маленькая  капелька  ртути  у  верхнего
края  столба  газа.  Давление  в  ограниченном
объеме  газа  все  время  будет  равно  атмосфер¬
ному  давлению  Р0.  Объем  его,  согласно  (6.7),
 Е
 •^кин
 Учтем  далее,  что  mv*=2EKHH,  где
приходящаяся  на  одну  молекулу  средняя
кинетическая  энергия  поступательного  дви¬
жения.  Символ  £кин  мы  будем  применять  для
обозначения  кинетической  энергии  лишь  пос¬
тупательного  движения  молекулы.  Сюда  не
должна  входить  кинетическая  энергия  ко¬
лебательного  и  вращательного  движений.
Подставим  в  написанное  выше  выражение
 (6.8)
 Итак,  показания  газового  термометра
пропорциональны  приходящейся  на  одну  мо¬
лекулу  средней  кинетической  энергии  по¬
ступательного  движения.  В  случае  идеаль¬
ного  газа  температура  Т  прямо  пропорцио¬
нальна  £'кин  с  коэффициентом  3/2&:
 (6.9)
 Учитывая  (6.8),  имеем
 Наше  определение  температуры  будет  осно¬
вываться  на  этом  соотношении.  Множитель
пропорциональности  k  называется  постоян¬
ной  Больцмана.  Его  можно  получить,  из¬
меряя  Р  и  V  при  известной  температуре  Т.
 Он  ПЯИРН
 В  метрической  системе  за  единицу  темпе¬
ратуры  принят  один  градус  по  шкале  Цель¬
сия.  Последнюю  определяют  следующим  об¬
разом.  За  0°С  принимается  температура
 135

Фиг.  78.  Сравнение  температурных
шкал  Фаренгейта,  Цельсия  и  абсо¬
лютной  (Кельвина).
 таяния  льда,  за  100°С  —  температура  кипе¬
ния  воды  (при  атмосферном  давлении).
В  Англии  и  США  пользуются  шкалой  Фарен¬
гейта  (F),  по  которой  температура  таяния  льда
равна  32°F,  а  температура  кипения  воды
к  212°F.  Таким  образом,  разность  темпе¬
ратур  в  1°С  соответствует  1,8°F.  На  фиг.  78
приведено  сравнение  температурных  шкал
Цельсия  и  Фаренгейта.
 Абсолютный  нуль
 Заметим,  что,  согласно  (6.9),  равная  нулю
температура  не  соответствует  0°С.  Уравнение
 (6.9) 	утверждает,  что  Т=0  в  том  случае,  ког¬
да  в  нуль  обращается  кинетическая  энергия
всех  молекул.  А  это  происходит  при  гораздо
более  низкой  температуре,  чем  температура
замерзания  воды.  Поэтому,  чтобы  поль¬
зоваться  уравнением  (6.9),  нужно  «переопре¬
делить»  нулевую  точку.  Новая  шкала  тем¬
ператур,  1°  которой  равен  1°С,  называется
абсолютной  шкалой,  или  шкалой  Кельвина.
Эксперимент  показывает,  что  вода  замерзает
при  Т  =273°К.  Следовательно,  нулевая  точка
по  шкале  Кельвина  соответствует  —  273°С.
При  этой  температуре  должно  прекратиться
всякое  механическое  движение  молекул.
(Согласно  квантовой  теории  еще  сохраняет¬
ся  «нулевая  энергия».)  Эта  нулевая  темпера¬
тура  получила  наименование  абсолютного
нуля.  Из  такого  определения  температуры
как  меры  молекулярного  движения  следует,
что  не  могут  существовать  температуры  ниже
абсолютного  нуля.  В  настоящее  время  в  ла¬
бораторных  опытах  достигнуты  температуры
ниже  0,0001  °К.
 Теперь  можно  записать  уравнение  состоя¬
ния  идеального  газа  в  самой  общей  форме.
Для  этого  подставим  (6.9)  в  (6.8),  и  тогда
 Уравнение  состояния  идеального
 газа
 В  реальных  условиях  при  температурах,
близких  к  абсолютному  нулю,  газ  конден-
 136

сируется  и  сжижается.  Очевидно,  что  урав¬
нение  (6.10)  несправедливо  при  таких
температурах,  когда  газ  превращается  в
жидкость.  Строго  говоря,  оно  является  точ¬
ным  лишь  для  так  называемого  идеального  га¬
за,  в  котором  суммарный  объем  молекул  много
меньше  V.  Кроме  того,  молекулы  должны
вести  себя  подобно  твердым  шарикам,  т.  е.
взаимодействовать  лишь  непосредственно
при  столкновениях.
 Пример.  Известно,  что  масса  атома  водорода
равна  1,67-10“24г.  Какова  плотность  газообраз¬
ного  водорода  при  атмосферном  давлении  и  0°С?
 Плотность  D  равна  массе  Nmy  деленной  на
объем  V:
 Масса  т  равна  удвоенной  массе  атома  водорода,
так  как  молекула  водорода  состоит  из  двух  атомов.
Давление  Р  равно  1,0Ы06  дин!см2,  температура
Т=  273°  К-  Подставим  эти  значения  в  написанную
формулу  и  получим
 §  7.  Закон  Авогадро
 ЭТО  ПЕРЕСЧИТАННЫЕ  МОЛЕКУЛЫ
 Предположим,  что  мы  перемешали  два
различных  газа,  массы  молекул  которых
равны  гп1  и  пг2.  Опыт  показывает,  что  оба
газа  в  таких  условиях  принимают  одинако¬
вую  температуру.  Однако  из  (6.9)  следует,  что
температура  одного  газа  будетTl=2(EKHH)l/3kt
а  другого  T2=2{EKHH)2/3k.  Таким  обра¬
зом,  наше  определение  температуры  будет
иметь  смысл  только  в  том  случае,  если  мы,
пользуясь  ньютоновской  механикой,  сможем
показать,  что  величина  (ЕКИН)1  равна  (ЕКИН)2.
 137
 Выразим  V  из  уравнения  (6.10)  и  подставим  сюда

Строгое  доказательство  требует  примене¬
ния  сложного  математического  аппарата  и
выходит  за  рамки  этой  книги.  Однако  мы
можем  получить  некоторое  представление  о
ходе  доказательства,  рассмотрев,  что  про¬
исходит  при  лобовом  соударении  молекул  с
массами  тх  и  т2,  летевших  первоначально  с
одинаковой  скоростью.  Допустим,  что  тх
больще  т2.  В  этом  случае  скорость  молекулы
тх  при  соударении  замедлится,  а  скорость
молекулы  тг  увеличится.
 Картина  соударения  тг  с  более  тяжелой
движущейся  молекулой  аналогична  той,  ко¬
торая  возникает  при  соударении  теннисного
мяча  с  движущейся  ракеткой.  В  результате
большого  числа  соударений  среднее  значение
величины  mxv\  окажется  равным  mtv\.  Итак,
любые  два  вещества,  находящиеся  при  од¬
ной  и  той  же  температуре,  будут  обладать
одинаковыми  средними  значениями  кинетиче¬
ской  энергии  поступательного  движения.  Это
явление  природы  носит  название  закона  рав¬
нораспределения  энергии.
 Закон  Авогадро  гласит,  что  в  равных  объе¬
мах  любых  двухгазову  находящихся  при  одном
и  том  же  давлении  и  температуре,  содер¬
жится  одинаковое  число  молекул.
 Покажем,  что  закон  Авогадро  является
следствием  кинетической  теории.  Выразим
N  из  уравнения  (6.10).
 Для  газа  1:
 Для  газа  2:
 Итак,  мы  должны  доказать,  что

Число  Авогадро
 Если  теперь  Р,=Р2,  V,  —  Уг  и  Tt=T2,  то
N,=Nt.
 Итак,  в  1  л  любого  газа  при  комнат¬
ной  температуре  и  атмосферном  давлении
содержится  ровно  столько  же  молекул,  сколь¬
ко  в  1  л  другого  газа  при  тех  же  условиях.
Отношение  масс  двух  газов,  следовательно,
равно  отношению  их  молекулярных  весов
 нУн*-
 Пример.  Сколько  молекул  содержится  в
22,4  л  любого  идеального  газа  при  атмосферном
давлении  и  Т=0°С?
 Согласно  уравнению  (6.10),
 Граммолекула,  или  моль
 Отношение  масс  атомов  кислорода  и  во¬
дорода  равно  16/1,008.  Чтобы  иметь  стан¬
дартную  таблицу  относительных  атомных
масс,  химики  договорились  считать  атомный
«вес»  кислорода  в  точности  равным  16.  Тог¬
да  молекулярный  «вес»  молекулы  кислорода
(02)  равен  32,  а  молекулы  водорода  (Н2)  —
2,016.
 Молем9  или  граммолекулой,  называется
количество  вещества,  численно  равное  моле-
кулярному  «весу»,  выраженному  в  граммах.
 Следовательно,  один  моль  Н2  равен
 2.016 	г  водорода,  один  моль  Н20  равен
 18.016 	г  воды.  Число  молекул  в  одной  грам-
молекуле,  или  одном  моле,  носит  название
числа  Авогадро  N0.  Его  можно  вычислить,
зная  массу  отдельной  молекулы.  Методы
рентгеноструктурного  анализа  позволяют
очень  точно  определить  расстояние  между
атомами  в  твердых  кристаллах.  Масса  атома
водорода  известна:  1,67-10“24  г.  Число  моле¬
кул  в  1  моле  водорода  равно  частному  от
деления  2,016  г  газообразного  водорода  на
 2 	*  1,67  -10“24  г  (масса  одной  молекулы  Н2).  Ре¬
зультат  таков:
 N0  =  6,02-1023.
 Согласно  закону  Авогадро,  1  моль  любо¬
го  газа  при  атмосферном  давлении  и  темпе¬
ратуре  0°С  занимает  один  и  тот  же  объем.
 139

Его  легко  вычислить  из  уравнения  (6.10):
 Пример.  Атомный  вес  углерода  12.  Если  каждый
атом  углерода  содержит  6  электронов,  то  сколько
электронов  содержится  в  1  г  углерода?
 1  моль,  или  12  г,  углерода  содержит  N0  атомов  уг¬
лерода,  т.  е.  67V0  электронов.  Следовательно,  в  1  г  уг¬
лерода  67V0/12,  или  3,01  •  1025  электронов.
 §  8.  Кинетическая  теория
тепла
 МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ  ЭНЕРГИЯ  С  ТОЧКИ  ЗРЕНИЯ
МИКРОМИРА
 За  единицу  количества  тепла  в  метриче¬
ской  системе  принята  калория.  Калория  оп¬
ределяется  как  количество  тепла,  необходи¬
мое  для  нагрева  1  г  воды  на  1°С.  В  §  9  гл.  5
мы  уже  говорили,  что  данное  количество  теп¬
ла  можно  получить,  затратив  эквивалентное
количество  механическойэнергии.  Например,
вращая  в  воде  гребной  винт,  можно  совер¬
шить  над  ней  известную  работу.  Опыт  по¬
казывает,  что  температура  воды  при  этом
будет  возрастать  пропорционально  проделан¬
ной  работе.  Всевозможные  эксперименты  та¬
кого  типа  показали,  что  1  кал  тепла  эквива¬
лентна  4,18  дж  энергии:
 1  кал  =  4,18-107  эрг.
 Вместо  нагревания  воды  будем  нагревать
1  моль  одноатомного  (один  атом  в  одной  моле¬
куле)  газа.  Для  этой  цели  подойдет  гелий
(атомный  вес  4).  Опыты  показали,  что  для
повышения  температуры  4  г  гелия  на  1°С
всегда  требуется  2,98  кал,  или  12,5  *  107  эрг.
На  что  идет  эта  энергия?  Естественно  пред¬
положить,  что  энергия  целиком  идет  на
повышение  кинетической  энергии  молекул
гелия.  Посмотрим,  совпадает  ли  это  экс¬
периментальное  значение  12,5-107  эрг
с  тем,  что  предсказывает  кинетическая  тео¬
рия.  Согласно  этой  теории,  кинетическая
 140
 Механический  эквивалент  тепла

141
 Таким  образом,  кинетическая  теория  пол¬
ностью  раскрывает  «таинственное»  содержа¬
ние  понятия  тепла.
 В  случае  двухатомных  газов  (два  атома
в  одной  молекуле),  таких,  как  Н2,  02  и  N2>
тепло  идет  не  только  на  увеличение  кинети¬
ческой  энергии  поступательного  движения,
но  повышает  также  кинетическую  энергию
вращательного  и  колебательного  движений.
Поэтому  для  нагревания  1  моля  двухатомно¬
го  газа  на  1°С  потребуется  несколько  больше
тепла,  чем  для  той  же  цели  в  случае  одноатом¬
ного  газа.  Ньютоновская  классическая  ме¬
ханика  дает  определенный  ответ  на  вопрос,
сколько  энергии  потребляют  вращательное
и  колебательное  движения  молекул.  Вообще
говоря,  измеренные  значения  удельных  теп¬
лоемкостей  газов  (количество  тепла,  необ¬
ходимое  для  повышения  температуры  на
1°С)  не  согласуются  с  теоретическими  зна¬
чениями.  Это  иллюстрируется  приведенным
ниже  примером.  Однако  современная  кван¬
товая  теория  удельных  теплоемкостей  блес¬
тяще  согласуется  с  экспериментом  (см.
гл.  12).
 Пример.  В  классической  механике  закон  рав¬
нораспределения  энергии  гласит,  что  на  каждую
«степень  свободы»  в  среднем  приходится  энергия,
равная  xl2  kT.  Вообще  говоря,  у  двухатомных  моле¬
кул  имеется  три  вращательные  степени  свободы  и
одна  колебательная.  Какова  должна  быть,  согласно
классической  теории,  удельная  теплоемкость  двух¬
атомного  газа,  находящегося  при  постоянном  объ¬
еме?
 Средняя  кинетическая  энергия  на  одну  молеку¬
лу  равна  3j2kT  для  поступательного  движения,  3/2^7'
 Увеличение  кинетической  энергии  при  нагре¬
вании  на  1°С  составит
 энергия,  запасенная  в  1  моле  гелия,  равна

для  вращательного  и  YzkT  для  колебательного.  Кро¬
ме  того,  поскольку  средняя  потенциальная  энергия
осциллятора  при  простом  гармоническом  движении
равна  средней  кинетической  энергии,  то  на  повыше¬
ние  потенциальной  энергии  колебаний  необходимо
затратить  дополнительно  гАкТ  тепла.  Следовательно,
 моль»  град
 =  33,3*107  эрг  I  моль*  г  рад.
 Но  при  комнатной  температуре  это  зна¬
чение  составляет  20,8*  107  эрг/моль  град.
 Двухатомные  молекулы  ведут  себя  так,
как  если  бы  в  них  возбуждались  только  две
вращательные  степени  свободы  и  не  проис¬
ходило  колебательных  движений.  Однако
при  гораздо  более  высоких  температурах
в  конце  концов  проявляются  и  колеба¬
ния.  Такая  «странная»  зависимость  удель¬
ной  теплоемкости  от  температуры  очень  точ*
но  описывается  квантовой  теорией.  В  рам¬
ках  классических  представлений  удельная
теплоемкость  от  температуры  зависеть  не
должна.
 §  9.  Изменение  состояния
 МОЛЕКУЛЫ  В  ЗАТОЧЕНИИ  И  НА  СВОБОДЕ
 Скопление  молекул  может  находиться  в
твердом,  жидком  или  газообразном  состоя¬
нии  в  зависимости  от  величины  межмолеку-
лярного  взаимодействия  и  средней  кинети¬
ческой  энергии,  приходящейся  на  одну  мо¬
лекулу,  т.  е.  температуры.  В  твердом  теле
при  комнатной  температуре  все  молекулы
колеблются  относительно  их  положения  рав¬
новесия  со  средней  кинетической  энергией
3j2kT(мы  пренебрегаем  здесь  квантовыми  эф¬
фектами).  Однако  межмолекулярные  силы
столь  велики,  что,  для  того  чтобы  оторвать
одну  молекулу  от  твердого  тела,  нужно  зат¬
ратить  энергию,  значительно  превосходящую
3/2/гТ.  С  ростом  температуры  в  конце  концов
достигается  такое  состояние,  когда  относи¬
 142

тельные  положения  молекулы  уже  не  фикси¬
рованы,  но  сил  еще  достаточно,  чтобы  удер¬
жать  молекулы  друг  с  другом.  Эта  темпе¬
ратура  называется  точкой  плавления.  Состоя¬
ние,  при  котором  относительные  положения
молекулы  не  закреплены,  а  молекулы  все
же  удерживаются  вместе,  представляет  со¬
бой  микроскопическую  структуру  жидкости.
В  случае  жидкости  отдельной  молекуле  еще
очень  трудно  вырваться  за  пределы  вещества.
 При  еще  более  высокой  температуре  (на¬
пример,  при  точке  кипения)  энергии  большин¬
ства  молекул  оказывается  достаточно,  чтобы
полностью  преодолеть  межмолекулярные  си¬
лы.  Даже  при  температурах  ниже  точки  ки¬
пения  с  поверхности  жидкости  могут  вылетать
находящиеся  вблизи  нее  молекулы,  кинети¬
ческая  энергия  которых  достаточно  превы¬
шает  среднюю  кинетическую  энергию.  Про¬
цесс,  при  котором  самые  быстрые  молекулы
отрываются  с  поверхности  жидкости,  носит
название  испарения.  Потеря  самых  быстрых
молекул,  конечно,  понижает  среднюю  кине¬
тическую  энергию,  или  температуру,  остаю¬
щихся  молекул.  Поэтому,  чтобы  перевести
данное  количество  жидкости  в  газообразное
состояние  при  той  же  температуре,  ей  нуж¬
но  сообщить  определенное  количество  тепла.
Количество  тепла,  необходимое  для  испаре¬
ния  1  г  жидкости,  называется  скрытой  теп¬
лотой  испарения.  Скрытая  теплота  испаре¬
ния  воды  при  100°С  составляет  540  кал!г.
Вы  видите,  что  для  испарения  чашки  воды
нужно  затратить  значительное  количество
энергии.  По  тем  же  причинам  на  плавление
1  г  льда  при  0°С  расходуется  80  кал  тепла.
Эта  величина  называется  скрытой  теплотой
плавления.  Вообще  с  изменением  состояния
любого  вещества  связана  определенная  скры¬
тая  тепловая  энергия.
 Давление  паров
 Допустим,  что  мы  поместили  определенное
количество  воды  в  откачанный  сосуд.  Вода
будет  продолжать  испаряться,  пока  число
молекул,  покидающих  ежесекундно  поверх¬
ность  жидкости,  не  станет  равным  числу
 143

Фиг.  79.  Кривая  давления  паров  во¬
ды  в  интервале  температур  0—150°  С.
 молекул,возвращающихся  обратно.  Это  усло¬
вие  равновесия  совершенно  однозначно  опре¬
деляет  давление  газаР  при  данной  темпера¬
туре  Т.  ВеличинаР,  строго  соответствующая
данной  температуре  7\  называется  давлением
паров.  А  сам  газ,  находящийся  в  равновесии
с  жидкостью,  обычно  называют  паром.  На
фиг.  79  изображена  зависимость  давления
паров  воды  Р  от  температуры  Т.  Заметьте,
что  Р  —  1  атм  при  Т  =100°С.  Именно  поэтому
на  уровне  моря  вода  кипит  при  100°С.
 Пример.  На  вершине  горы  высотой  4000  м  дав¬
ление  воздуха  на  40%  ниже,  чем  на  уровне  моря.  При
какой  температуре  закипит  здесь  вода?
 Из  фиг.  79  видно,  что  давлению  0,6  атм  отве¬
чает  температура  86°С.  При  этой  температуре  давле¬
ние  паров  воды  будет  равно  атмосферному  и  вода  за¬
кипит.
 Если  давление  паров  воды  превысит  зна¬
чение,  соответствующее  точке  на  кривой
фиг.  79,  то  весь  пар  перейдет  в  жидкость.  Если
давление  окажется  меньше  равновесного  зна¬
чения,  то  вся  вода  будет  находиться  в  газо¬
образном  состоянии.  И  только  при  давлении
Р,  изображаемом  точкой  на  кривой,  могут
одновременно  существовать  и  находиться  в
равновесии  жидкость  и  газ.
 Фиг.  80.  Крива'я  давления  паров  в
пузырьковой  камере.
 Перед  расширением  жидкость  находится
в  условиях,  соответствующих  точке  А,
Точка  В  соответствует  температуре  и  дав¬
лению  жидкости  после  расширения.
 §  10.  Пузырьковая  камера
 ЖИДКОСТЬ  ПЫТАЕТСЯ  ЗАКИПЕТЬ  БЫСТРЕЙ,
ЧЕМ  ЭТО  возможно
 Допустим,  что  мы  сжали  поршнем  некото¬
рое  количество  жидкости.  Пусть  сила,  дейст¬
вующая  на  поршень,  такова,  что  давление  в
жидкости  равно  Plf  а  температура  Тх  соот¬
ветствует  точке  А  на  фиг.  80.  Теперь  быстро
освободим  поршень.  Давление  в  жидкости
упадет  до  атмосферного  давления  Р0,  соот¬
ветствующего  точке  В.  Жидкость  внезапно
окажется  в  условиях,  при  которых  она  долж¬
на  была  бы  быть  газом.  Жидкость  в  таком
состоянии  называют  перегретой.  Это  состоя¬
ние  неустойчиво.  Как  только  сбрасывается
давление  на  поршень,  многие  жидкости  на¬
чинают  кипеть  вблизи  металлических  поверх¬
ностей,  однако  вблизи  поверхности  стекла
 144

кипения  не  наблюдается.  Представим,  что
через  перегретую  жидкость  пролетела  заря¬
женная  частица,  например  электрон  или
протон.  Жидкость  закипит  в  различных  точ¬
ках  вдоль  следа.  Теоретически,  правда,
еще  до  конца  не  ясно,  где  в  первую  очередь
должно  начаться  кипение  жидкости.  Если
взять  жидкость,  которая  начинает  закипать
не  у  поверхности  стекла,  а  вдоль  следа  заря¬
женной  частицы,  прошедшей  через  жидкость,
то  этот  след  можно  увидеть  на  фотографии,
сделанной  через  стеклянное  окно  камеры.
Такие  фотографии  следов  в  пузырьковой  каме¬
ре  вы  видите  на  фиг.  21,  112,  240,  242  и  243.
 Первая  пузырьковая  камера  с  металличес¬
кими  стенками  была  создана  в  1954  г.  Ее
изобретателем  был  Д.  Глезер.  На  фиг.  81
приводится  фотография  этой  первой  пузырь¬
ковой  камеры.  Ее  диаметр  составлял  50  мм.
В  1959  г.  группой  под  руководством  JL  Аль¬
вареса  в  Лаборатории  излучений  им.  Э.  Лоу¬
ренса  Калифорнийского  университета  была
построена  пузырьковая  камера  в  виде  сар¬
кофага  длиной  6  фут  (около  180  см)  (фиг.  82).
 Фиг.  81.  Фотография  первой  пузырь¬
ковой  камеры,  изготовленной  цели-
 Фиг.  82.  Фотография  «саркофага»  из
нержавеющей  стали  для  72-дюймовой
пузырьковой  камеры  с  жидким  водо¬
родом.

Эта  камера  наполнялась
жидким  водородом.  Фотогра¬
фия  этой  камеры  с  вспомога¬
тельным  оборудованием  по¬
казана  на  фиг.  83.  Вес  этой
камеры  настолько  велик,  что
сдвинуть  ее  с  места  оказа¬
лось  невозможно.  Пришлось
сконструировать  специаль¬
ные  приспособления,  и  ка¬
мера  передвигается  наподо¬
бие  шагающего  экскаватора.
 Фиг.  83.  72-дюймовая  пузырьковая
камера,  оборудованная  «шагающим»
приспособлением.
 Фиг.  84.  Необратимое  расширение
газа  в  вакуум.
 Стоит  лишь  открыть  отверстие  в  перегород¬
ке,  как  газ  из  сосуда  1  начнет  расширяться
в  сосуд  2.
 §  II.  Статистическая  механика
 гВся  королевская  конница,  вся  королевская  рать
 Не  могут  Шалтая,  не  могут  Болтая,
 Шалтая-Болтая  собрать*1*.
 Любое  вещество  содержит  столь  большое
число  молекул,  что  для  описания  его  физи¬
ческих  свойств  необходимы  специальные  ма¬
тематические  методы,  носящие  название  ста-
тистики.  Рассмотрим  в  качестве  примера  два
сосуда,  каждый  объемом  в  1  см*>  разделенных
перегородкой  с  отверстием  (фиг.  84).  Пусть
давление  в  сосуде  1  равно  1  атм.  Тогда  чис¬
ло  частиц  в  нем  равно  6,02  •  102*,  деленному  на
число  кубических  сантиметров  в  22,4  л,  т.  е.
2,7  •  1019  частиц  в  1  см9.  Пусть  в  сосуде  2  внача¬
ле  нет  ни  одной  молекулы.  Откроем  теперь  от¬
верстие  в  перегородке.  Через  довольно  ко¬
роткое  время  мы  обнаружим  в  сосуде  2  как
раз  половину  молекул.  Газ  расширился  в
вакуум.  Сколько  бы  времени  мы  ни  ждали,
обратного  процесса  не  произойдет  никогда.
В  действительности,  конечно,  число  частиц  в
сосуде  2  будет  несколько  меняться,  или,  как
говорят,  флуктуировать.  Математическая
статистика  утверждает,  что  примерно  70%
времени  число  частиц  в  заданном  объеме
 1}  В  переводе  С.  Я.  Маршака.
 146

будет  находиться  в  пределах  от  N—У  N  до
n+Vn,  где  N  —  среднее  число  молекул.  В
нашем  случае  это  (1,35*  10,*=ЬТ/^  1,35-101®)  =
=  (1,35±0,00000000037).  10,#  частиц.  Вы  ви¬
дите,  что  эти  флуктуации  столь  малы,  что
обнаружить  их  нет  никакой  возможности.
С  другой  стороны,  столь  огромные  флуктуа¬
ции,  чтобы  в  сосуде  2  не  осталось  ни  одной
частицы,  по  существу  невозможны.
 Теперь  допустим,  что,  открыв  отверстие  в
перегородке  и  выпустив  половину  частиц  из
сосуда  1  в  сосуд  2У  мы  внезапно  остановили
бег  времени  и  заставили  его  идти  в  обратную
сторону.  Физически  время,  конечно,  никогда
не  может  изменить  своего  направления.  Од¬
нако  можно  познакомиться  с  тем,  как  это
выглядело  бы,  если  воспользоваться  кино¬
пленкой  и  пустить  ее  в  обратном  направ¬
лении.  В  этом  случае  сосуд  2  опустел  бы  сам
по  себе  и  там  образовался  бы  вакуум.  Итак,
мы  столкнулись  с  парадоксом.  Мы  знаем,
что  в  реальных  условиях  открытый  сосуд
никогда  сам  не  опустошается  и  вакуум  само¬
произвольно  не  создается.  И  все  же  в  кино¬
фильме  «шиворот-навыворот»  не  нарушается
ни  один  из  законов  Ньютона.  Действитель¬
но,  в  кинофильме  мы  увидели  такое  распо¬
ложение  частиц  и  направление  их  скоростей
в  сосуде  2,  благодаря  которым  частицы  будут
двигаться  и  соударяться  так,  что  все  поки¬
нут  этот  сосуд.  При  этом  не  нарушится  ни
один  из  законов  физики.
 Парадокс  устраняется  следующим  обра¬
зом.  Заметим,  что  одной  специальной  кон¬
фигурации  частиц  в  сосуде  2  соответствует,
в  сущности,  бесчисленное  множество  конфи¬
гураций,  при  которых  частицы  примерно
поровну  распределяются  между  сосудами.
Таким  образом,  хотя  эта  конфигурация,
позволяющая  частицам  покинуть  сосуд  2,
принципиально  возможна,  практически  же
она  никогда  не  осуществляется.  Поэтому
процесс  расширения  газа  в  вакуум  необратим,
несмотря  на  то,  что  в  принципе  возможна
такая  ситуация,  когда  вакуум  «создается
самопроизвольно».
 147

Другим  примером  основанной  на  статис¬
тике  необратимости  является  переход  тепла
от  тела  с  большей  температурой  к  телу  с  мень¬
шей  температурой.  Если  соединить  горя¬
чий  и  холодный  куски  металла,  то  тепло  ни¬
когда  не  потечет  от  холодного  куска  к  горя¬
чему.  Если  бы  это  было  возможно,  то  мы  были
бы  способны  отбирать  тепло  у  куска  метал¬
ла  или  у  океана  и  использовать  его  в  паро¬
вых  машинах.  В  океане  запасено  столько
тепловой  энергии,  что  она  смогла  бы  удовлет¬
ворить  все  потребности  человечества  на  про¬
тяжении  миллионов  лет.  Однако  статисти¬
ческие  закономерности  запрещают  превра¬
щать  эту  кинетическую  энергию  хаотическо¬
го  движения  молекул  воды  в  упорядоченное
движение  машины.  Машину,  работающую
за  счет  получения  тепловой  энергии  от  един¬
ственного  теплового  резервуара,  называют
вечным  двигателем  второго  рода.  Работа  та¬
кой  машины  не  нарушала  бы  закон  сохра¬
нения  энергии.  Закон  сохранения  энергии
в  данном  случае  требует  только  уменьшения
температуры  теплового  резервуара  при  ра¬
боте  машины.  В  применении  к  процессам
передачи  тепла  закон  сохранения  энер¬
гии  носит  название  первого  начала  термо¬
динамики.
 Второе  начало  термодинамики
 Должен  существовать  еще  какой-то  за¬
кон,  который  препятствовал  бы  получению
полезной  энергии  из  тепла,  содержащегося
в  мировом  океане,  и  самопроизвольному  об¬
разованию  вакуума.  Это  видно  из  рассмот¬
ренных  выше,  правда,  всего  лишь  двух  при¬
меров.  Третий  пример  —  «Шалтай-Болтай»  1}.
Таким  законом  является  второе  начало  тер¬
модинамики,  представляющее  собой  не  что
иное,  как  прямое  следствие  статистики,  или
закона  больших  чисел.  В  этом  смысле  это
начало  не  содержит  новых  фундаментальных
 Автор  имеет  в  виду  следующее:  «Шалтай-Бол¬
тай»  —  это  яйцо.  Необычайно  просто  сделать  из  яйца
яичницу.  А  вот  попробуйте  сделать  наоборот—из
яичницы  яйцо.  —  Прим.  ред.
 148

физических  принципов;  оно  является  матема¬
тическим  следствием  наличия  огромного  чис¬
ла  частиц.
 Вот  две  формулировки  второго  начала
термодинамики:  1)  невозможно  практически
осуществить  вечный  двигатель  второго  рода;
2)  беспорядок  (называемый  также  энтро¬
пией)  во  Вселенной  может  только  возрас¬
тать,  но  не  может  уменьшаться.
 Обратимость  времени
 Мы  видели,  что  второе  начало  термодина¬
мики,  выраженное  в  форме  математического
уравнения,  приводит  к  разным  физическим
результатам  в  зависимости  от  направления
течения  времени.  В  предшествующем  рассмот¬
рении  мы  попытались  выявить,  что  это  обсто¬
ятельство  является  прямым  следствием  ста¬
тистики  и  что  в  этом  смысле  второе  начало
термодинамики  вообще  не  является  новым
законом  или  фундаментальным  физическим
принципом.  Мы  имеем  здесь  дело  просто  с  ос¬
нованным  на  статистике  макроскопическим
описанием,  которое  справедливо  лишь  при
наличии  большого  числа  частиц.  Оно  может
быть  получено  из  законов  Ньютона  и  кине¬
тической  теории  с  помощью  статистики.
С  другой  стороны,  применение  методов  ма¬
тематической  статистики  к  законам  Ньютона
открывает  целый  новый  раздел  физики  и
дает  нам  полезные  физические  понятия,  на¬
пример  такие,  как  температура.
 Все  встречавшиеся  нам  до  сих  пор  дейст¬
вительно  фундаментальные  законы  природы
были  обратимы  во  времени.  Это  значит,  что
если  поменять  направления  движения  всех
частиц  (в  том  числе  и  вращение)  на  обрат¬
ные,  то  уравнения  и  законы  физики  останут¬
ся  справедливыми  (если  время  будет  продол¬
жать  течь  в  прежнем  направлении).  Этот
очень  важный  принцип  симметрии  природы
был  недавно  проверен  в  специальном  опыте,
поставленном  с  целью  продемонстрировать
возможные  отклонения.  С  другой  стороны,
было  установлено  нарушение  двух  других
очень  важных  принципов  симметрии
 149

Задачи
 (сохранения  четности  и  симметрии  античас¬
тиц).  Их  проверка  была  предпринята  с  той
же  целью,  что  и  проверка  обратимости  вре¬
мени.  О  недавнем  падении  этих  «нерушимых»
принципов  симметрии  мы  поговорим  в  гл.  16.
 1. 	На  какую  глубину  в  озере  нужно  нырнуть,  чтобы
попасть  в  область,  где  давление  будет  вдвое  выше,
чем  у  поверхности?
 2. 	Предложите  метод  откачки  воды  из  скважины  глу¬
биной  15  м.
 3. 	Когда  в  штате  Нью-Йорк  существовала  система
искусственных  каналов,  то  был  канал,  пересе¬
кавший  реку  по  мосту.  Как  увеличивалась  нагрузка
на  мост,  когда  по  нему  проплывало  судно  массой
105  кг?  Средняя  плотность  судна  0,8  г/см*.
 4. 	Можно  ли  получить  тепло  от  воды,  температура
которой  равна  абсолютному  нулю?Объясните  почему.
 5. 	Площадь  контакта  патефонной  иглы  и  пластин¬
ки  равна  площади  круга  диаметром  25•  10  ~3  мм.
Игла  давит  на  пластинку  с  силой  5  дин.  Найти  дав¬
ление  в  дин/см2.
 6. 	Гидравлический  домкрат  состоит  из  двух  порш¬
ней  диаметром  1  и  5  см.
 а) 	Какую  силу  нужно  приложить  к  малому
поршню,  чтобы  поднять  большим  поршнем  груз
весом  10  ньютон?
 б) 	На  какую  высоту  поднимется  груз,  если
малый  поршень  переместится  на  0,1  м?
 7. 	Масса  шара  зонда  50  кг  (включая  массу  газа
в  нем),  а  объем  110  м3.  Шар  связан  с  землей  верев¬
кой.  Плотность  воздуха  1,3  кг/м3.
 а) 	Каково  натяжение  веревки,  когда  она
находится  в  вертикальном  положении?
 б) 	Каково  натяжение  веревки,  если  она  под
действием  ветра  отклонилась  на  30°  от  верти¬
кали?
 8. 	Вес  тела  в  нормальных  условиях  оказался
равным  300  ньютон.  В  воде  его  вес  составил
200  ньютон.
 а) 	Каков  объем  тела?
 б) 	Какова  его  плотность?
 9. 	Температура  некоторого  количества  газа  при
давлении  1  атм  уменьшилась  от  100  до  0°С.  На
сколько  атмосфер  нужно  изменить  давление,  чтобы
объем  газа  остался  прежним?
 10. 	Плотность  1  см3  льда  оказалась  равной
 0,90  г/см3.  На  какой  высоте  над  поверхностью  воды
 будет  находиться  верхняя  грань  кубика,  если  его
 опустить  в  воду?
 150

11. 	Брусок  дерева  плотностью  0,8  г/см3  плавает  в
жидкости  плотностью  1,2  г/см3.  Объем  бруска  36  см3.
 а) 	Какова  масса  бруска  дерева?
 б) 	Какова  масса  вытесненной  жидкости?
 в) 	Какой  объем  бруска  будет  находиться
над  поверхностью  жидкости?
 12. 	Газ  в  цилиндре  сжат  поршнем,  который  мо¬
жет  двигаться  без  трения  (фиг.  85).  Объем  газа  0,5л13,
высота  столба  газа  Л=1,0  м.  Поршень  весит
5-104  ньютон.  Атмосферное  давление  10*  ньютон/мг.
 а) 	Каково  давление  в  газе?
 б) 	Какую  силу  надо  приложить  к  поршню,
чтобы  уменьшить  h  до  0,6  м  при  той  же  темпера¬
туре?
 13. 	Кубик  с  ребром  1  см  и  плотностью  0,8  г/см*  пла¬
вает  в  воде.  Температура  воды  повышается  на  50°С,
отчего  каждое  ребро  кубика  увеличивается  на  10%.
На  сколько  увеличится  объем  вытесненной  жидкости?
(Плотность  воды  предполагается  неизменной  и  рав¬
ной  1  г/см3.)
 14. 	Под  водой  находится  водородный  пузырь  объ¬
емом  5,6-103  см3,  содержащий  1  г  Н2  при  комнатной
температуре  (21°С).
 а) 	Каково  давление  газа  в  пузыре?
 б) 	На  какой  глубине  находится  этот  пу¬
зырь?  Атмосферное  давление  над  поверхностью
воды  равно  10е  дин/см2.
 15. 	Наилучший  полученный  в  лаборатории  ва¬
куум  составляет  примерно  10-14сжрт.  ст.  Сколько
молекул  остается  в  1  см3  при  этом  «вакууме»?  Вакуум
межзвездного  пространства  соответствует  одному
протону  в  1  см3.
 16. 	При  взрыве  водородной  бомбы  температура  до¬
стигает  10®  °С.  В  этом  очень  горячем  газе  образуют¬
ся  свободные  ядра  водорода  —  протоны,  а  также
множество  дейтронов  (с  массой,  вдвое  превышаю¬
щей  массу  протона).
 а) 	Какова  средняя  скорость  протонов?
 б) 	Каково  отношение  средней  кинетической
энергии  протонов  и  дейтронов,  если  считать,  что
они  находятся  в  тепловом  равновесии?
 17. 	Идеальный  газ  при  температуре  Т  и  давле¬
нии  Р  занимает  объем  V.  Масса  одной  молекулы  газа
равна  т.  Какое  из  написанных  ниже  выражений
характеризует  число  молекул  газа  в  объеме:  PV/m,
k/PVT,  m/k,  kT/V  или  VP/kT?  Какое  из  выражений
описывает  плотность  газа:  mkT,  m/Vt  Pm/kT,  P/kTV
или  P/kT?
 Фиг.  85.  К  задаче  12.

ГЛАВА  7
 ЭЛЕКТРОСТАТИКА

ЭЛЕКТРОСТАТИКА
 §  I.  Электронное  строение
вещества
 ГДЕ  ИСКАТЬ  ЭЛЕКТРОНЫ?
 Изучение  явлений  электричества  и  его
многочисленных  приложений  составляет
значительную  часть  современной  физики.
Одно  из  них,  как  мы  увидим  позднее,  —  это
электромагнитная  теория  света.  Таким  обра¬
зом,  всю  оптику  можно  рассматривать  как
один  из  разделов  теории  электричества.  Дру¬
гой  исключительно  важный  раздел—теория
относительности  —  дедуктивно  вытекает  из
теории  электричества,  если  мы  предполо¬
жим,  что  уравнения,  описывающие  электри¬
ческие  явления,  должны  иметь  один  и  тот
же  вид  во  всех  системах  отсчета.  При  изу¬
чении  атомной  физики,  физики  твердого  тела,
молекулярной  теории  и  химии  мы  сталки¬
ваемся  с  электромагнитными  взаимодейст¬
виями  электронов  с  электронами  и  ядрами.
Таким  образом,  почти  вся  оставшаяся  часть
этой  книги  посвящена  в  той  или  иной  форме
изучению  обширной  области  явлений  электри¬
чества.
 Мы  предполагаем,  что  читатель  имеет  уже
общее  представление  о  строении  атома.  Сим¬
волические  изображения  атомов  в  виде  ядра
с  вращающимися  вокруг  него  электронами
ежедневно  встречаются  в  газетах,  журналах,
передачах  телевидения,  на  детских  игруш¬
ках  и  т.  д.  Атом  в  поперечнике  составляет
около  10“8  см  и  состоит  из  меньшего  по  раз¬
мерам  тяжелого  ядра,  несущего  положитель¬
ный  заряд,  и  движущихся  вокруг  него  по
орбитам  более  легких  электронов,  несущих
отрицательные  заряды.  Заметьте,  что  мы
пользуемся  терминами  «положительный»  и
^отрицательный»  заряды,  еще  не  дав  им  опре¬
деления.  Весь  следующий  параграф  посвящен
разбору  нового  важного  понятия  электриче¬
ского  заряда.
 Знакомое  нам  изображение  атома  осно¬
вано  на  теории  его  строения,  предложенной
в  1914  г.  Нильсом  Бором.  На  фиг.  86  пока¬
зана  боровская  модель  атома  лития.  Атом¬
ный  вес  лития  равен  7,  а  его  атомный  номер
 Фиг.  86.  Строение  атома  лития  сог¬
ласно  модели  Бора.
 Три  электрона,  каждый  с  зарядом  —  е,
вращаются  по  планетным  орбитам  вокруг
ядра  с  зарядом  -\-Ъе.

Z=3.  Ядро  атома  лития  содержит  три  поло¬
жительно  заряженных  протона  и  четыре  ней¬
тральных  нейтрона.  Предположим,  что  элек¬
троны  притягиваются  к  ядру  силой,  обратно
пропорциональной  .  квадрату  расстояния.
Тогда  в  соответствии  с  механикой  Ньютона
каждый  атом  был  бы  похож  на  миниатюрную
солнечную  систему,  где  каждый  электрон
вращается  вокруг  ядра  по  планетной  орбите.
На  первый  взгляд  могло  бы  показаться,  что
существование  атомов  обусловлено  силами
тяготения.  Однако,  если  бы  это  было  так,  то
атомы  всегда  притягивались  бы  друг  к  дру¬
гу,  независимо  от  того,  на  каком  расстоянии
друг  от  друга  они  находятся.  В  этом  случае
вещество  можно  было  бы  сжимать  до  тех  пор,
пока  все  оно  не  слилось  бы  в  одно  гигантское
ядро,  состоящее  из  протонов,  нейтронов  и  не¬
подвижных  электронов.  Но  мы  знаем,  что
жидкости  и  твердые  тела  очень  плохо  под¬
даются  сжатию.  Это  означает,  что  при  сжа¬
тии  вещества  между  атомами  должны  воз¬
никать  большие  силы  отталкивания.  Сле¬
довательно,  должны  существовать  некие
силы  отталкивания,  превосходящие  по  своей
величине  силы  тяготения.
 Чтобы  объяснить  это  свойство  вещества,
надо  ввести  силы  нового  типа,  так  называе¬
мые  электростатические,  или  кулоновские,
силы.  Эти  силы  меняются  также  обратно
пропорционально  квадрату  расстояния.
Между  силой  тяготения  и  электростатичес¬
кой  силой  имеется  одно  различие:  между  те¬
лами  с  противоположным  зарядом  дейст¬
вует  электростатическая  сила  притяже¬
ния,  а  между  телами  с  одинаковым  зарядом—
электростатическая  сила  отталкивания.
Благодаря  электростатической  силе  ядра
отталкивают  протоны  и  притягивают  элект¬
роны.  Кроме  того,  оказалось,  что  электро¬
статическое  отталкивание  между  двумя
электронами  в  4,17-1042  раз  превышает
гравитационное  притяжение  между  ними!
 На  самом  деле  картина,  в  которой  элект¬
роны  вращаются  по  планетным  орбитам  во¬
круг  ядра,  не  соответствует  действительно,-
сти.  Она  противоречит  современной  теории—
 155

квантовой  механике,—  с  которой  мы  позна¬
комимся  начиная  с  гл.  12.  Однако,  согла¬
сно  квантовой  теории,  роль  электростатиче¬
ской  силы  сводится  к  обеспечению  связи
«орбитальных»  электронов  с  ядром.  Изобра¬
жение  атома  лития,  соответствующее  совре¬
менным  представлениям  о  волновой  природе
электрона  и  заменяющее  фиг.  86,  приведено
на  фиг.  215  (стр.  340).
 §  2.  Понятие  заряда
 ЭТО  НАШЕ  ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
 Мы  не  можем  дать  количественного  опре¬
деления  заряда,  пока  не  познакомимся  с  за¬
коном  Кулона,  который  описывает  все  элек¬
тростатические  силы.  Но  прежде  чем  это  сде¬
лать,  было  бы  полезно  рассмотреть  некоторые
свойства  заряда.  Например,  является  ли
заряд  аддитивной  величиной?  Может  ли  он
быть  уничтожен?
 Впервые  эффекты,  связанные  с  электриче¬
ским  зарядом,  были  замечены  еще  древним
человеком;  мы  тоже  повседневно  замечаем
электрические  разряды,  когда,  скажем,  в  су¬
хую  погоду  идем  по  ковру  или  слышим  лег¬
кое  потрескивание,  снимая  пиджак  или  ру¬
башку.  Эти  эффекты  называются  электриза¬
цией  и  возникают  в  результате  соприкоснове¬
ния  двух  разнородных  веществ.  Эффекты
электризации  исследовались  еще  древними
греками.
 Предположим,  что  вещество  А  трется  о
вещество  В.  Тогда  орбитальные  электроны
из  А  будут  взаимодействовать  с  электронами
из  В.  Некоторые  из  них  покинут  вещество  А
и  останутся  на  В,  и  наоборот.  Если  внешние
орбитальные  электроны  атомов  вещества  А
связаны  с  ядром  не  так  прочно,  как  в  ато¬
мах  В,  то  после  того,  как  мы  отделим  одно
тело  от  другого,  в  атомах  А  будет  не  хватать
некоторого  числа  электронов.  В  результате
на  теле  А  окажется  избыточный  положитель¬
ный  заряд,  а  на  теле  В  —  соответствующий
отрицательный  заряд.  Термины  «положитель¬
ный»  и  «отрицательный»  вводятся  примени¬
 те

тельно  к  зарядам  совершенно  произвольно.
Тому,  что  в  настоящее  время  условились
считать  заряд  электрона  «отрицательным»,
мы  обязаны  Бенджамену  Франклину.  Имен¬
но  он  произвольно  назвал  «положитель¬
ным»  заряд,  остающийся  на  стекле,  натертом
шелком.  Позднее,  познакомившись  с  элект¬
рическим  током  в  проводниках  и  электрова¬
куумных  лампах,  мы  пожалеем  о  том,  что
Франклин  в  свое  время  не  выбрал  для  заряда
противоположный  знак.
 Согласно  определению  Франклина,  нап¬
равление  положительного  тока  противопо¬
ложно  истинному  направлению  движения
зарядов.  Действительно,  ток  в  проводниках
и  электровакуумных  лампах  обусловлен
движением  отрицательных  электронов.  Но
мы  не  должны  винить  Франклина  за  эту  пу¬
таницу,  так  как  его  теория  электрического
заряда  примерно  на  100  лет  опередила  откры¬
тие  электрона.
 Само  понятие  заряда  сходно  с  понятием
массы.  Подобно  тому  как  каждое  тело  или  ча¬
стица  обладают  отвлеченным  свойством,
которое  мы  называем  массой,  каждому  телу
или  частице  присущ  также  заряд,  который  мо¬
жет  быть  положительным,  отрицательным
или  равным  нулю.  Введение  отвлеченного
понятия  массы  очень  сильно  упрощает  рас¬
четы,  относящиеся  к  взаимодействующим  те¬
лам  (т.  е.  их  относительные  ускорения  и
т.  п.).  Точно  так  же  представление  о  заряде
позволяет  получить  простое  описание  сил  но¬
вого  типа,  удерживающих  электроны  вблизи
ядра  и  в  то  же  время  препятствующих  сбли¬
жению  двух  атомов.  Мы  приведем  высказы¬
вание,  взятое  из  книги  Бертрана  Рассела
«Азбука  атомов»,  которое  поможет  нам  уяс¬
нить  сущность  заряда:  «Когда  я  говорю,  что
электрон  обладает  определенным  количест¬
вом  отрицательного  заряда,  то  я  подразуме¬
ваю  под  этим  только  то,  что  электрон  ведет
себя  определенным  образом.  Заряд  —  это  не
красная  краска  или  некое  вещество,  кото¬
рое  можно  нанести  на  электрон  и  снова  смыть
с  него.  Он  просто  выражает  определенный
физический  закон».
 157

Возникает  вопрос:  к  какого  рода  величи¬
нам  относится  электрический  заряд?  Если
телу  сообщить  сначала  заряд  Qv  а  затем  за¬
ряд  Q2,  будет  ли  результирующий  заряд  ра¬
вен  Q!+Q2?  Существуют  ли  способы  созда¬
ния  или  уничтожения  заряда?  Например,
массу  покоя  можно  создать  при  образова¬
нии  из  фотона  с  нулевой  массой  покоя  пары
электрон  и  позитрон  (положительный  элект¬
рон).  Ответ  на  эти  вопросы  следующий:
закон  сохранения  заряда  считается  строгим
законом  физики.  Как  и  другие  основные  за¬
коны  физики,  закон  сохранения  заряда  не
имеет  строгого  доказательства.  Единственным
доказательством  законов  сохранения  или
других  законов  природы  служит  то,  что  они
всегда  выдерживают  проверку  на  опыте.  До
сих  пор  мы  имели  дело  в  этой  книге  с  пятью
законами  сохранения.  Эти  законы  считаются
абсолютно  строгими  (т.  е.  не  допускается  ни¬
каких  отклонений  от  этих  законов).  Теперь
наш  перечень  законов  сохранения  следую¬
щий:
 1. 	Закон  сохранения  полной  энергии.
 Речь  идет  о  релятивистской  энергии,
включая  и  энергию  покоя  W0  =  M0c*.
 2. 	Закон  сохранения  полного  импульса.
 Строго  говоря,  здесь  речь  идет  о  реляти¬
вистском  импульсе,  т.  е.  о  релятивистской
массе,  умноженной  на  скорость.
 3. 	Закон  сохранения  полного  момента
 количества  движения.
 4. 	Закон  сохранения  тяжелых  частиц.
 Масса  покоя  может  превращаться  в
 энергию,  но  при  том  условии,  что  суммарное
число  тяжелых  частиц  (протонов,  нейтронов
и  некоторых  других,  см.  более  подробно  в
гл.  16)  должно  навсегда  оставаться  постоян¬
ным.
 5. 	Закон  сохранения  заряда.
 Алгебраическая  сумма  зарядов  в  замкну¬
той  системе  всегда  должна  оставаться  посто¬
янной.
 Заряды  электронов  и  протонов  имеют
одну  и  ту  же  величину,  но  противоположны

по  знаку.  Этот  заряд  называется  зарядом
электрона  е  и  представляет  собой  наимень¬
ший  заряд,  какой  может  нести  на  себе  тело
или  частица.  Мы  говорим,  что  заряд  кван¬
туется;  иными  словами,  он  может  принимать
только  определенные  значения  0,  ±е,  ±2е,
±3е  и  т.  д.  (где  е  —  заряд  электрона).  На  са¬
мом  деле,  согласно  квантовой  теории,  такие
физические  величины,  как  энергия,  импульс
и  момент  количества  движения,  также  кван¬
туются.  В  дальнейшем  при  рассмотрении
электрических  явлений  мы  будем  считать
энергию,  импульс  и  момент  количества  дви¬
жения  непрерывно  изменяющимися  величи¬
нами.  Такое  приближение  называется  класси¬
ческой  электродинамикой.  Оно  вполне  спра¬
ведливо,  когда  мы  имеем  дело  с  электриче¬
ским  взаимодействием  макроскопических
тел.  Для  рассмотрения  взаимодействий  мик¬
роскопических  тел  (с  размерами  порядка
размеров  атома)  совершенно  необходимо
применять  квантовую  теорию.
 §  3.  Закон  Кулона
 «НОВАЯ»  СИЛА
 Очень  точные  эксперименты  показывают,
что  сила  электростатического  взаимодейст¬
вия  двух  зарядов  прямо  пропорциональна
произведению  этих  зарядов  и  обратно  про¬
порциональна  квадрату  расстояния  между
ними,  т.  е.  электростатические  силы  аналогич¬
ны  силам  тяготения.  Эти  свойства  электро¬
статических  сил  выражаются  законом  Ку¬
лона,  который  гласит,  что  сила,  действующая
между  двумя  неподвижными  друг  относитель¬
но  друга  точечными  зарядами  Qx  и  QZ1  равна
 F  =  K^, 	(7.1)
 где  г  —  расстояние  между  двумя  зарядами,
а  К  —  коэффициент  пропорциональности
(больше  нуля),  зависящий  от  выбора  единиц
измерения  заряда.  Если  Qx  и  Q2  имеют
противоположные  знаки,  то  их  произведение
отрицательно  и  F  направлено  в  сторону,
 159

Фиг.  87.  Зависимость  направления
электростатической  силы  от  знака
зарядов.
 F 	Г
 © 	  —©
 противоположную  г,  т.  е.  F  является  силой
притяжения.  Фиг.  87  иллюстрирует  соотно¬
шение  между  направлением  силы  F  и  зна¬
ками  зарядов.  Таким  образом,  электростати¬
ческая  сила  может  быть  либо  силой  отталки¬
вания,  либо  силой  притяжения,  в  зависимо¬
сти  от  того,  одинаковы  или  противоположны
знаки  зарядов.
 В  системеCGS  единицами  измерения  г  и/7
служат  соответственно  сантиметр  и  дина.
Если  бы  в  качестве  единицы  измерения  Q  мы
выбрали  заряд  электрона,  то  тогда  величина
КУ  определяемая,  из  эксперимента,  была  бы
очень  неудобной,  она  равнялась  бы2,3-10"1#.
Но  поскольку  мы  свободны  в  выборе  единицы
заряда,  то  ее  удобно  выбрать  такой,  чтобы
коэффициент  /С  =  1.  Такая  единица  и  взята
в  системе  CGS.  Она  получается  из  формулы
(7.1),  в  которой  /(  —  1.  Эта  единица  заряда
получила  название  1CGSE(Q).
 Чтобы  избежать  путаницы  и  облегчить
понимание  изложения,  в  дальнейшем  в  ка¬
честве  единицы  заряда  будет  использоваться
единица  CGSE(Q).  При  этом  закон  Кулона
принимает  вид
 (7.2)
 где  Q  измеряется  в  единицах  CGSE(Q).  Мы  ви¬
димI,  что  за  единичный  электрический  заряд
[  1CGSE(Q)  1  принят  такой  заряд,  который
отталкивается  от  заряда  той  же  величины  и
того  же  знака,  помещенного  на  расстоянии
1  см  у  электростатической  силой  в  1  дину.
В  этих  единицах  заряд  электрона
 е  =  4,8-10”10  CGSE(Q).
 (7.3)
 Пример  1.  Масса  небольшого  шарика  из  угля
равна  1  г.  Сколько  электронов  содержится  в  нем?
 Порядковый  номер  углерода  Z=6,  а  атомный
вес  12.  Следовательно,  12  г  углерода  составляют
1  моль  и  содержат  6,02*1023  атомов,  или  в  6  раз  боль¬
ше  электронов.  Число  электронов  в  1  г  углерода
равно  V12  (6  •  6,02  •  1023)  =  3,0  Ь  1023.
 Пример  2.  Двум  шарикам  с  массой  по  1  г  каж¬
дый  (фиг.  88)  сообщили  отрицательный  заряд.  Ша¬
рики  подвешены  на  10-сантиметровых  нитках,  и
после  приложения  заряда  нитки  разошлись  на
угол  60°.
 160
 Закон  Кулона

Фиг.  88.  Два  заряженных  шарика.
 а) 	Чему  равна  электростатическая  сила,
действующая  между  двумя  шариками?
 б) 	Сколько  электронов  сообщили  каждому
шарику?
 в) 	Чему  равна  сила  тяготения,  действую¬
щая  между  двумя  шариками?
 Векторная  сумма  всех  действующих  на  шарик
I  сил  —  электростатической  F,  натяжения  нити  Т  и
земного  тяготения  (980  дин)  —  должна  быть  равна
нулю  (см.  фиг.  88,  б).  Поскольку  в  прямоуголь¬
ном  треугольнике  с  острым  углом  60°  отношение
меньшего  катета  к  большему  равно  1/V3,  то
FI980^\/Y~3,  или  F=565  дин.
 Чтобы  ответить  на  вопрос,  сколько  электронов
сообщили  каждому  шарику,  надо  вычислить  заряд
каждого  шарика.  Это  можно  сделать,  воспользовав¬
шись  законом  Кулона:  F^=Q2/r2  и  Q—  V"Fr2.  Подстав¬
ляя  в  эту  формулу  /7=565  дин  и  г=  10  см,  получаем
Q=  У565-102=238  CGSE(Q).  Чтобы  найти  число  элек¬
тронов,  надо  разделить  этот  заряд  на  заряд  элект¬
рона  4,8-10-10  CGSE(Q),  откуда  число  электронов
равно  4,95*1011  электронов.
 Из  закона  всемирного  тяготения  Ньютона  следу¬
ет,  что  сила  притяжения  между  двумя  шариками
равна
 Пример  3.  Согласно  теории  Бора,  атом  водорода
состоит  из  протона  и  электрона,  вращающегося
вокруг  протона  по  круговой  орбите.  Радиус  боров-
ской  орбиты  электрона  в  атоме  водорода  равен
0,53-10~8  см.
 а) 	Какая  сила  действует  между  электроном
и  протоном?
 б) 	Какова  скорость  движения  электрона?
Сила,  действующая  между  электроном  и  прото¬
ном,  определяется  из  закона  Кулона:
 Поскольку  эта  сила  и  есть  центростремительная
сила,  удерживающая  электрон  на  его  орбите,  то
m(v2lr)  =  F,  где  т=9,Ы0-28г  —  масса  электрона;
 6  Джей  Орир
 161
 Еще  одной  общепринятой  единицей  за¬
ряда,  которая  встретится  нам  в  следующих
двух  главах,  является  кулон.  Кулон  связан
с  единицей  CGSE(Q)  через  величину  скоро¬
сти  света:
 1 	кулон  CGSE(Q),

где  с=3-1010  см/сек  —  скорость  света.  Это
обусловлено  очень  важными  причинами,  о
которых  будет  сказано  в  следующей  главе.
Фактически  в  настоящее  время  использует¬
ся  несколько  различных  систем  электриче¬
ских  единиц.  Распространенной  системой,
применяемой  в  определенных  инженерных
областях  и  в  некоторых  учебниках  физики,
является  рациональная  система  MKS.
 В  этой  системе  F  измеряется  в  ньютонах,
г  —  в  метрах,  Q  —  в  кулонах;  коэффициент
К  в  законе  Кулона  равен  с2/107,  причем
с=3-  Ю9  м/сек.  В  этой  системе  вместо  коэффи¬
циента  К  в  законе  Кулона  пишут  коэффициент
1/4яе0,  так  что  ео=107/4  лг2.  Таким  образом,
в  системе  MKS  закон  Кулона  принимает
вид
 где
 е0  =  8,85-10"12  кулон2•  сек21кг•  м2.
 Однако  в  этой  книге  нам  нет  необходи¬
мости  вводить  дополнительные  усложнения.
 §  4.  Электростатическая
индукция
 НЕОГРАНИЧЕННОЕ  «ПРОИЗВОДСТВО.  ЗАРЯДОВ
 Один  из  самых  простых  способов  зарядить
стеклянную  или  пластмассовую  палочку  —
натереть  ее  шерстью.  Часть  заряда  можно
передать  другим  предметам,  например  ша¬
рикам  бузины,  коснувшись  их  заряженной
палочкой.  Однако  с  помощью  электроста¬
тической  индукции  можно  многократно  за¬
ряжать  проводники,  не  передавая  им  при
этом  первоначального  заряда  стеклянной
палочки.  Проводники  обладают  особым
свойством:  внешние  электроны  их  атомов  не
связаны  с  каким-либо  определенным  ато¬
мом,  а  свободно  передвигаются  по  провод¬
нику  или  переходят  из  одного  проводника
в  другой.
 162

Фиг.  89.  Зарядка  проводящей  сферы
с  помощью  индукции.
 Фиг.  90.  Зарядка  большой  проводя¬
щей  сферы.
 Заряд  переносится  на  внутреннюю  поверх¬
ность  сферы.  Принцип  устройства  генера¬
тора  Ван  де  Граафа.
 Поэтому,  если  к  сферическому  проводни¬
ку  приблизить  отрицательно  заряженную
палочку,  то  электроны,  отталкиваясь  отри¬
цательным  зарядом  палочки,  переместятся
на  удаленную  часть  сферы  (фиг.  89)..  Если  те¬
перь  коснуться  сферы  рукой  (человеческое
тело  проводит  электрический  ток),  то  это  по¬
зволит  электронам  еще  более  удалиться  от
отрицательно  заряженной  палочки  и  они
совсем  покинут  сферу.  Если  убрать  палец,
то  на  сфере  остается  избыточный  положитель¬
ный  заряд.  Таким  способом  можно  зарядить
сколько  угодно  сфер,  нисколько  не  умень¬
шив  при  этом  первоначальный  заряд  па¬
лочки.
 В  принципе  с  помощью  такой  заряжен¬
ной  палочки  можно  создать  на  большой
полой  сфере  огромный  заряд  с  потенциалом
в  миллионы  вольт  (определение  электриче¬
ского  потенциала  будет  дано  в  §  9).  В  сле¬
дующем  параграфе  будет  показано,  что  весь
заряд  проводника  должен  располагаться  на
его  внешней  поверхности,  а  внутри  провод¬
ника  не  должно  оставаться  никаких  заря¬
дов.  Как  видно  из  фиг.  90,  маленькую  заря¬
женную  сферу,  изображенную  на  фиг.  89,
можно  поместить  внутрь  полой  сферы  боль¬
шего  диаметра,  просунув  ее  через  отверстие
в  этой  сфере,  и  коснуться  ею  внутренней  по¬
верхности  большой  сферы.  Электроны  с
большой  сферы  немедленно  перейдут  на  ма¬
ленькую  сферу.  Это  значит,  что  первоначаль¬
ный  положительный  заряд  маленькой  сфе¬
ры  окажется  на  внешней  поверхности  боль¬
шой  сферы.  После  многократного  повторе¬
ния  этой  операции  суммарный  заряд  на
внешней  поверхности  большой  полой  сферы
будет  превышать  первоначальный  заряд  ма¬
ленькой  сферы  во  столько  раз,  сколько  раз  мы
повторяем  эту  операцию.  На  этом  принципе
основан  современный  генератор  высокого
напряжения  Ван  де  Граафа,  который  исполь¬
зуется  для  получения  напряжения  в  миллио¬
ны  вольт.  В  генераторе  Ван  де  Граафа  заряд
передается  на  внутреннюю  поверхность  боль¬
шой  полой  сферы  не  вручную  отдельными
порциями,  а  непрерывно  с  помощью  ленты.
 б*
 163

§  5.  Электрическое  поле
 СИЛА,  КОТОРАЯ  ДЕЙСТВУЕТ  ПОВСЮДУ
 Электрическое  и  магнитное  поля  пред¬
ставляют  собой  математические  понятия,  уп¬
рощающие  вычисления  и  облегчающие  пони¬
мание  многих  физических  явлений.  Напря¬
женностью  электрического  поля  в  какой-
либо  точке  пространства  называется  сила,
действующая  на  небольшой  пробный  заряд  q
и  деленная  на  величину  этого  заряда:
 (7.4)
 где  F  —  электростатическая  сила,  действую¬
щая  на  заряд  q.  Единицей  измерения  Е  явля¬
ется  dun/CQSE(Q).  Следовательно,  напряжен¬
ность  электрического  поля  в  данной  точке
численно  равна  силе,  которая  действовала
бы  на  1CGSE(Q)  положительного  заряда,  по¬
мещенного  в  эту  точку.  Иными  словами,  она
характеризует  силу,  которая  действовала  бы
на  единичный  заряд  во  всем  пространстве,
если  бы  мы  располагали  пробным  зарядом
для  измерения  этой  силы.
 Найдем  теперь  напряженность  электриче¬
ского  поля  Еу  создаваемого  изолированным
точечным  зарядом  Q.  Согласно  закону  Ку¬
лона,  на  пробный  заряд  q,  помещенный  на
расстоянии  г  от  заряда  Q,  действует  сила
F  —  q(Q/r2).  Напряженность  поля  Е  в  точке,
где  находится  заряд  qy  мы  получим,  поде¬
лив  силу  F  на  q:
 (7.5)
 Это  и  есть  величина  напряженности  элект¬
рического  поля,  создаваемого  изолирован¬
ным  точечным  зарядом  Q  на  расстоянии  г.
 Во  многих  физических  задачах  мы  стал¬
киваемся  с  несколькими  точечными  заря¬
дами  или  с  непрерывным  распределением  за¬
рядов.  В  этом  случае  напряженность  элект¬
рического  поля  Е  в  любой  данной  точке  бу¬
дет  представлять  собой  алгебраическую  сум¬
му  напряженностей  полей,  создаваемых  каж¬
дым  зарядом  в  отдельности.
 164
 Определение  напряженности
электрического  поля
 Поле,  создаваемое  точечным  зарядом

Пример.  Электрический  диполь  представляет
собой  два  одинаковых  по  величине  и  противополож¬
ных  по  знаку  заряда  Q,  помещенных  на  расстоянии
L  друг  от  друга  (фиг.  91).  Какова  напряженность
электрического  поля  Е  в  точке,  одинаково  удаленной
от  обоих  зарядов,  образующих  электрический  ди¬
поль?  Расстояние  этой  точки  от  каждого  из  зарядов
равно  г.
 Пусть  £j  —  напряженность  поля,  создаваемого
зарядом  1.  Тогда  Ex=Q/r2.  Если  рассмотреть  по¬
добные  треугольники  на  фиг.  91,  то  получим
 Отметим,  что  создаваемое  диполем  элект¬
рическое  поле  меняется  обратно  пропорцио¬
нально  кубу  расстояния  в  отличие  от  обрат¬
ной  пропорциональности  квадрату  расстоя¬
ния  в  случае  единичного  заряда.
 §  6.  Силовые  линии
 РАССУЖДЕНИЯ  НЕСВЕДУЩЕГО  ЧЕЛОВЕКА
 Направления  векторов  напряженности
электрического  поля  Е  во  всем  пространстве
можно  изобразить  с  помощью  непрерывных
линий  (фиг.  92).  Эти  линии  называются  си¬
ловыми  линиями.  Силовые  линии  могут  слу¬
жить  мощным  и  вполне  надежным  орудием
количественного  математического  анализа.
Используя  силовые  линии,  можно  вывести
и  доказать  ряд  положений,  которые  иначе
потребовали  бы  применения  интегрального
исчисления.  Например,  с  помощью  силовых
линий  можно  почти  без  труда  показать,  что
поле  тяготения  Земли  таково,  как  если  бы
вся  ее  масса  была  сконцентрирована  в  центре.
Как  уже  говорилось  в  гл.  3,  именно  этот  факт
был  тем  камнем  преткновения,  который  за¬
ставил  Ньютона  в  течение  многих  лет  воздер¬
живаться  от  опубликования  закона  всемир¬
ного  тяготения.  Мы  перечислим  ряд  положе¬
ний,  которые  можно  доказать,  воспользо¬
вавшись  силовыми  линиями.
 1. 	Напряженность  электрического  поля
£,  создаваемого  равномерно  заряженной  сфе¬
рой  вне  ее,  равна  Q/r2.
 2. 	Напряженность  электрического  поля  Е
внутри  равномерно  заряженной  сферической
или  цилиндрической  оболочки  равна  нулю.
 165
 Фиг.  91.  Электрическое  поле,  созда¬
ваемое  электрическим  диполем.

Фиг.  92.  Силовые  линии  двух  разно¬
именных  зарядов  одинаковой  ве¬
личины  (а),  двух  идентичных  заря¬
дов  (б)  и  двух  зарядов  —  Q  и  +2Q
(в).
 3. 	Напряженность  электрического  поля
Е  внутри  проводника  повсюду  равна  нулю.
 4. 	Избыточные  заряды  могут  распола¬
гаться  только  на  внешней  поверхности
проводника.
 5. 	Напряженность  электрического
поля  £,  создаваемого  цилиндрическим  или
линейным  распределением  заряда  с  плот¬
ностью  qCGSE(Q)/ow,  равна  2q/г.
 6. 	Напряженность  электрического  поля
£*,  создаваемого  равномерно  заряжен¬
ной  плоскостью  с  плотностью  зарядов
oCGSE(Q)jcM2  равна  2ла.
 7. 	Напряженность  электрического  поля
Е  между  двумя  пластинами  конденса¬
тора  с  площадью  А  и  зарядом  +Q  и—Q
равна  4  n(QjA).
 При  использовании  силовых  линий
для  количественных  вычислений  необхо¬
димо,  чтобы  число  силовых  линий,  прохо¬
дящих  через  каждый  квадратный  санти¬
метр,  численно  равнялось  напряженности
электрического  поля  Е  (фиг.  93).  Если
N  —  число  силовых  линий,  проходящих
через  площадку  А  см*,  а  вектор  напря¬
женности  электрического  поля  Е  перпен¬
дикулярен  площадке  Л,  то
 (7.6)
 Если  вектор  Е  не  перпендикулярен  Л,
то  N=E±_-A,  где  Е±_  —составляющая  £*,
перпендикулярная  поверхности  А.
 Вычислим  теперь  полное  число  сило¬
вых  линий  на  расстоянии  R  от  точечного
заряда  Q.  Площадь  сферы  радиусом  R,
окружающей  наш  заряд,  равна  A  =4nR*.
Из  формулы  (7.6)  следует,  что  полное
число  силовых  линий  N,  выходящих  из
точечного  заряда  Q,  составляет:
 166

Фиг.  93.  Силовые  линии  электроста¬
тического  поля  напряженностью
£=5  du«/CGSE(Q),  направленного
вверх.
 Через  каждый  квадратный  сантиметр  долж¬
но  проходить  пять  силовых  линий.
 Заметим,  что  полученный  результат  не  за¬
висит  от  величины  R.  Итак,  силовые  линии,
выходящие  из  точечного  заряда,  непрерывны
в  пространстве  и  расходятся  по  радиусу  в
бесконечность.  Если  заряд  Q  отрицателен,
направление  силовых  линий  оказывается
обратным:  они  начинаются  в  бесконечности
и  оканчиваются  на  заряде  Q.
 Останутся  ли  силовые  линии  непрерыв¬
ными  в  случае  двух  или  нескольких  заря¬
дов,  как  изображено  на  фиг.  92  и  на  заставке
к  этой  главе?  Ответ  утвердительный,  но  его
надо  еще  доказать,  воспользовавшись  коли¬
чественным  соотношением  (7.6).  Мы  прове¬
дем  доказательство  для  случая  двух  точеч¬
ных  зарядов,  но  эти  же  рассуждения  можно
применить  и  для  любого  числа  точечных  за¬
рядов,  распределенных  произвольным  обра¬
зом.  Напряженность  электрического  поля
двух  точечных  зарядов  равна
£  =  £,  +  £,.
 а  составляющая  вектора  Е  вдоль  оси  х
£*  =  (£,)*  +  (£,),. 	(7-8)
 Теперь  рассмотрим  произвольную  малую
площадку  А  и  выберем  в  качестве  оси  х  нап¬
равление,  перпендикулярное  цлощадке  А.
Пусть  N  —  число  силовых  линий,  проходя¬
щих  через  площадку  А  и  отвечающих  £,  а
и  JV2  —  число  силовых  линий,  проходя¬
щих  через  площадку  А  и  отвечающих  соот¬
ветственно  Ех  и  £2.  Тогда
 *,  =  (£,),  Л,  Nt  =  (Et)xA  и  N  =  EXA.  (7.9)
 Если  обе  части  (7.8)  умножить  на  А,  то
получим
 ЕхА  =  (ЕХА  +  (Ег)хА.
 Подставив  теперь  в  это  выражение  (7.9),  при¬
дем  к  ожидаемому  результату: 	*
 N  =  Nt  +  Nt.
 Поскольку  обе  величины,  Nx  и  Nt,  непрерыв¬
ны,  то  их  сумма  также  должна  быть  непре¬
рывной.  Таким  образом,  мы  показали,  что,
во-первых,  силовые  линии  нигде  не  могут
 167

внезапно  начинаться  или  обрываться,  за  ис¬
ключением  самих  зарядов,  и,  во-вторых,
полное  число  силовых  линий,  проходящих
через  замкнутую  поверхность,  внутри  кото¬
рой  находятся  два  заряда  Q  и  Q,,  равно
4  MQi+Qt)-
 В  итоге  мы  приходим  к  выводу,  что  для
заряженных  тел  любой  формы  и  любого  рас¬
пределения  зарядов  силовые  линии  должны
удовлетворять  следующим  трем  правилам:
 1. 	Полное  число  силовых  линий,  начи¬
нающихся  на  теле  с  суммарным  зарядом  Q,
равно  4nQ.
 2. 	Силовые  линии  непрерывны.  Они  на¬
чинаются  или  обрываются  только  на  зарядах.
Если  же  зарядов  нет,  то  силовые  линии  ухо¬
дят  в  бесконечность.
 3. 	Силовые  линии  никогда  не  пересе¬
каются.  Если  бы  они  пересеклись,  то  в  точке
их  пересечения  вектор  напряженности  элек¬
трического  поля  Е  имел  бы  два  различных
направления.
 Эти  три  правила  для  силовых  линий  мате¬
матически  эквивалентны  закону  Кулона.  Ис¬
пользовав  эти  правила  и  принципы  симмет¬
рии,  можно  доказать  все  семь  положений,
перечисленных  на  стр.  165  и  166.
 §  7.  Распределение  зарядов
 БЫСТРЫЙ  СПОСОБ  СЛОЖИТЬ  БЕСКОНЕЧНОЕ  ЧИСЛО
ВЕКТОРОВ
 Качественную  картину  расположения  си¬
ловых  линий  в  случае  различных  заряженных
тел  можно  получить  с  помощью  взвеси  семян
травы  в  жидком  изоляторе  (фиг.  94,  стр.  170).
Электрическое  поле  наводит  на  концах  каж¬
дого  семечка  противоположные  по  знаку  и
одинаковые  по  величине  заряды,  и  благодаря
этому  зернышки  ориентируются  вдоль  сило¬
вых  линий.
 Электрическое  поле,  создаваемое
заряженной  сферой
 Сначала  мы  расправимся  с  задачей,  до¬
ставившей  так  много  волнений  Ньютону.
Рассмотрим  равномерно  заряженную  сферу

с  полным  зарядом  Q.  Вследствие  сферической
симметрии  начинающиеся  на  сфере  силовые
линии  должны  иметь  на  ней  одинаковую
плотность  и  проходить  через  центр  сферы.
 Из  (7.6)  следует,  что  напряженность  элек¬
трического  поля  в  точке  Р  (фиг.  95,  стр.  172)
равна  E=NaoJAam,  причем  Аиот=4  я  г2
это  площадь  сферической  поверхности  радиу¬
сом  г.  Правило  1  (стр.  168)  утверждает,  что
^полн  =  4яС2.  Поэтому  £==4я<3/4яг2,  или
E=Q/r2.  Сравнивая  с  формулой  (7.5),  мы
убеждаемся,  что  получили  в  точности  такой
же  результат,  как  если  бы  весь  заряд  Q  был
сконцентрирован  в  одной  точке  в  центре  сфе¬
ры.  При  исследовании  тяготения  вместо  нап¬
ряженности  электрического  поля  (т.  е.  элек¬
тростатической  силы,  действующей  на
единичный  заряд)  используется  понятие  на¬
пряженности  поля  тяготения  (т.  е.  силы  тяго¬
тения,  действующей  на  единицу  массы).  По¬
скольку  сила  тяготения,  как  и  электростати¬
ческая  сила,  обратно  пропорциональна
квадрату  расстояния,  то  приведенные  выше
правила  для  силовых  линий  электрического
поля  можно  применять  также  и  к  полям
тяготения.
 Предположим,  что  весь  заряд  сферы  не
распределен  равномерно  по  всему  объему,  а
сосредоточен  на  ее  поверхности.  Тогда  сило¬
вые  линии  будут  иметь  вид,  изображенный  на
фиг.  95.  Если  бы  силовые  линии  проходили
внутрь  сферы,  то  они  либо  пересекались  бы
друг  с  другом,  либо  нарушали  бы  условие
сферической  симметрии  (все  направления  из
центра  должны  быть  совершенно  равно¬
правны).  Таким  образом,  ясно,  что  поле  внут¬
ри  сферы  или  цилиндра  с  равномерным  рас¬
пределением  заряда  по  поверхности  должно
быть  равно  нулю.
 Электрическое  поле  внутри  проводника
 Внутри  твердого  проводника,  по  кото¬
рому  не  течет  ток,  не  может  существовать
электрическое  поле.  Это  можно  доказать  от
противного,  рассмотрев  случай,  при  кото¬
ром  внутри  такого  проводника  имелось  бы
электрическое  поле  напряженностью  Е.
 169

Фиг.  94.  Фотографии  силовых  линий  около
заряженных  проводников  различной  фор¬
мы  (получены  с  помощью  семян,  насы¬
панных  в  жидкий  изолятор).
а  —  два  стержня  с  одинаковым  зарядом;  б  —  два
стержня  с  противоположными  по  знаку  и  рав¬
ными  по  величине  зарядами;  в  —  заряженный
цилиндр  (поле  внутри  цилиндра  равно  нулю);
г  —  заряженный  проводник  произвольной  формы
(поле  внутри  равно  нулю);  д  —  заряженная  пло¬
скость;  е  —  две  плоскости  с  одинаковыми  по  ве¬
личине  и  противоположными  по  знаку  зарядами
(конденсатор).

Фиг.  95.  Силовые  линии  в  случае
сферы  радиуса  R  с  зарядом  Q.
 Электрическое  поле,  создаваемое
однородно  заряженным  цилиндром
 На  фиг.  96  изображен  цилиндр,  по  по¬
верхности  которого  равномерно  распределен
заряд  с  плотностью  q  CGSE(Q)  на  1  см  длины
вдоль  оси  цилиндра.  Поскольку  оба  направ¬
ления  вверх  и  вниз  вдоль  оси  совершенно  рав¬
ноправны,  то  силовые  линии  должны  быть
перпендикулярны  оси  цилиндра  и  расходить¬
ся  вдоль  радиусов.  Рассмотрим  участок  дли¬
ной  Lcm  вдоль  оси.  Этот  участок  содержит  за¬
ряд  q  L.  Поэтому  из  него  выходит  N=4nqL
силовых  линий.  Напряженность  электриче¬
ского  поля  Е  вне  цилиндра  на  расстоянии  г
от  его  оси,  согласно  (7.6),  равна
 (7.10)
 Этот  результат  справедлив  и  для  заряжен¬
ного  провода,  или,  иначе  говоря,  для  линей¬
ного  распределения  заряда  с  плотностью
q  CGSE(Q)/cm.
 172
 Тогда  на  свободные  электроны  внутри  про¬
водника  действовала  бы  сила  —еЕ,  под  дей¬
ствием  которой  электроны  пришли  бы  в  дви¬
жение.  Однако  движущиеся  электроны  —
это  электрический  ток,  факт  существования
которого  противоречит  нашему  условию
(электростатика  —  это  наука  о  покоящихся
зарядах).
 Покажем  теперь,  что  все  избыточные  за¬
ряды  в  проводнике  должны  располагаться
на  его  поверхности.  Предположим,  что  где-
либо  внутри  проводника  находится  избы¬
точный  заряд  q.  Поскольку  на  этом  заряде
должны  начинаться  4nq  силовых  линий,  то
эти  линии  окажутся  внутри  проводника,  что
противоречит  прежнему  условию,  согласно
которому  внутри  проводника,  содержащего
неподвижные  заряды,  не  должно  быть  сило¬
вых  линий.
 Фиг.  96.  Силовые  линии  в  случае
равномерно  заряженной  цилиндри¬
ческой  поверхности.

Фиг.  97.  Силовые  линии  в  случае
равномерно  заряженной  бесконеч¬
ной  плоскости  (вид  сбоку).
 Фиг.  98.  Силовые  линии  в  случае
двух  параллельных  бесконечных
плоскостей  с  одинаковыми  по  вели¬
чине  и  противоположными  по  знаку
зарядами.
 Заряженные  плоскости
 Рассмотрим  равномерно  заряженную
плоскость  с  плотностью  заряда  о  CGSE(Q)/cm2
(фиг.  97).  Полное  число  силовых  линий,  вы¬
ходящих  с  1  см2  поверхности,  равно  4лсг.
Поскольку  у  плоскости  правое  и  левое  на¬
правления  совершенно  равноправны,  число
силовых  линий,  выходящих  налево  и  направо,
в  точности  одинаково.  А  так  как  напряжен¬
ность  электрического  поля  численно  равна
количеству  силовых  линий,  приходящихся
на  1  смгу  то  во  всем  пространстве
 Е  =  2ла. 	(7.11)
 Теперь  рассмотрим  случай  двух  парал¬
лельных  плоскостей  с  одинаковыми  по  вели¬
чине  и  противоположными  по  знаку  плотно¬
стями  зарядов  (фиг.  98).
 Поскольку  Е  —  векторная  величина,  то
результирующее  поле  во  всем  пространстве
будет  представлять  собой  сумму  полей,  соз¬
даваемых  каждой  плоскостью  в  отдельности.
Во  внешней  от  плоскостей  области  напря¬
женность  поля  должна  быть
 Е  =  2ла-(-2я(  —  а)  =  0.
 Между  плоскостями  поле  должно  слагаться
из  поля  величиной  £=2tta,  направленного
от  левой  плоскости,  и  поля  величиной
Е  =  2ло,  направленного  к  правой  плоскости.
Таким  образом,
 Е  —  2ла  +2ла
 и  направлено  вправо;  или  между  плоско¬
стями:
 Е  =  4ла. 	(7.12)
 Распространенным  элементом  многих
электрических  схем  является  емкость,  или
конденсатор.  Оба  эти  названия  совершенно
эквивалентны.  Конденсатор  состоит  из  двух
пластин  площадью  А  каждая,  помещенных
на  небольшом  расстоянии  d  друг  от  друга.
В  большинстве  случаев  одна  из  пластин  кон¬
денсатора  имеет  заряд  +Q,  а  другая  —Q.
В  этом  случае  плотность  зарядов  cr=QA4.
 173

Из  формулы  (7.12)  следует,  что  для  плоского
конденсатора
 Во  многих  конденсаторах,  используе¬
мых  на  практике,  пространство  между  пла¬
стинами  заполняется  веществом  —  диэлект¬
риком.  Если  диэлектрик  поместить  в  элект¬
рическое  поле,  то  на  его  поверхности  инду¬
цируются  электрические  заряды,  ослабляю¬
щие  напряженность  электрического  поля
внутри  диэлектрика.  В  этом  случае  величина
Q  в  формуле  (7.13)  должна  представлять
собой  сумму  первоначального  заряда  и  инду¬
цированного  заряда,  который  имеет  проти¬
воположный  знак  и  меньшую  величину.
 Отношение  напряженности  электриче¬
ского  поля  в  вакууме  к  напряженности  поля
в  диэлектрике  называется  диэлектрической
постоянной  и  обозначается  е.
 §  8.  Потенциальная  энергия
электрического  поля
 РАССТОЯНИЕ  БЕСКОНЕЧНО  —  РАБОТА  КОНЕЧНА
 В  гл.  5  указывалось,  что  существует  мно¬
го  различных  видов  потенциальной  энергии.
Потенциальную  энергию  можно  представ¬
лять  как  запасенную  энергию,  которую  в
дальнейшем  можно  использовать  для  произ¬
ведения  работы.  Запасти  энергию  можно,
поднимая  массу  на  некую  высоту  (преодоле¬
вая  силу  тяготения)  или  растягивая  пружину
(преодолевая  силу  упругости).  Аналогично,
энергию  можно  запасти,  перемещая  заряд
против  действия  электрической  силы.  Если
затем  заряд  освободить,  то  электрическая
сила  сообщит  ему  ускорение  и  тем  самым  воз¬
вратит  ту  работу,  которая  была  затрачена
нами  на  преодоление  электрической  силы.
Определение  потенциальной  энергии  было
дано  на  стр.  108.  Из  него  следует,  что  если
заряд  q  переместится  из  точки  А  в  точку  В,
то  его  потенциальная  энергия  возрастет  на
величину
 (7.13)
 (7.14)
 174

Здесь  Fx—  составляющая  по  оси  х  электро¬
статической  силы,  а  Дх  —  расстояние  от  А
до  В.  Эта  потенциальная  энергия,  обуслов¬
ленная  электростатическими  силами,  назы¬
вается  потенциальной  энергией  электриче¬
ского  поля.
 Потенциальная  энергия  сферы
и  точечного  заряда
 Предположим,  что  на  заряд  q  действует
сила  F,  обусловленная  электрическим  по¬
лем,  созданным  заряженной  сферой  с  полным
зарядом  Q.  Тогда  F=  Qq/r2.  Найдем  выра¬
жение  для  потенциальной  энергии  этого  за¬
ряда.  Математически  эта  задача  аналогична
нахождению  потенциальной  энергии  тела  с
массой  т  в  поле  силы  тяжести,  созданном  сфе¬
рой  с  массой  М.  В  этом  случае  сила  тяготе¬
ния  Fg=—GMm/r2.  Электростатическая  си¬
ла,  так  же  как  и  сила  тяжести,  обратно  про¬
порциональна  квадрату  расстояния.  Поэ¬
тому  оба  выражения  можно  преобразовать
друг  в  друга,  заменив  (GMm)  на  (—Qq).
Нужный  нам  результат  получится,  если  в
формуле  (5.5)  для  потенциальной  энергии
силы  тяжести  заменить  постоянную  {GMm)
на  (—Qq).  Это  даст
 Потенциальная  энергия  двух
точечных  зарядов
 Поскольку  напряженность  электриче¬
ского  поля  Е  вне  сферы  с  полным  зарядом
Q  равна  напряженности  электрического
поля,  создаваемого  точечным  зарядом  Q,
то  приращение  потенциальной  энергии  при
перемещении  заряда  из  точки  А  в  точку  В
равно
 где  гЛ  и  гв  —  соответственно  расстояния
от  точечного  заряда  Q.  Это  приращение
 (7.15)
 175

потенциальной  энергии  равно  работе,  затра¬
ченной  на  преодоление  электрической  силы
при  перемещении  заряда  из  одной  точки  в
другую.  Любопытно,  что  эта  работа  не  дол¬
жна  зависеть  от  пути,  пройденного  зарядом
из  Л  в  В.  Действительно,  если  бы  перемеще¬
ние  по  одному  пути  требовало  затраты  боль¬
шей  работы,  чем  перемещение  по  другому
пути,  то,  переводя  заряд  из  Л  в  В  по  пути,
требующему  меньшей  работы,  и  возвращая
его  назад  из  В  в  Л  всегда  по  пути,  требую¬
щему  большей  работы,  мы  получили  бы  воз¬
можность  создать  вечный  двигатель.  Дейст¬
вительно,  работа,  совершаемая  электростати¬
ческой  силой  на  обратном  пути,  превращает¬
ся  в  кинетическую  энергию  движущегося  за¬
ряда,  что  позволило  бы  получить  в  конце
каждого  замкнутого  цикла  выигрыш  в  энер¬
гии.
 Во  всех  наших  расчетах  превращений
энергии  речь  шла  до  сих  пор  лишь  об  изме¬
нении  потенциальной  энергии.  Однако  удоб¬
нее  было  бы  говорить  о  самой  потенциальной
энергии  пробного  заряда  q,  находящегося  на
расстоянии  г  от  заряда  Q.  Такое  определение
«абсолютного»  значения  потенциальной  энер¬
гии  должно  содержать  произвол.  Оно  осно¬
вано  на  выборе  произвольного  положения
(или  начального  уровня),  от  которого  будет
отсчитываться  величина  потенциальной  энер¬
гии.  Условимся  измерять  потенциальную
энергию  от  уровня,  соответствующего  г=сс.
Пусть  в  формуле  (7.15)  U  А  и  будет  этим
начальным  уровнем  отсчета  (гл=  оо).  Тогда
иА=0  и
 (Ц  —  потенциальная  энергия  двух  точечных
зарядов,  находящихся  друг  от  друга  на  рас-
 176
 Обычная  запись  такова:
 или

электрон  с  полной  энергией  W0  может  уда¬
литься  от  протона.
 Энергия  связи
 Энергия  связи  электрона  определяется
как  количество  энергии,  которую  надо  сооб¬
щить  электрону  для  того,  чтобы  перевести
 177
 стоянии  г).  Физический  смысл  этого  выраже¬
ния  следующий:  электрическая  потенциаль¬
ная  энергия  (/двух  точечных  зарядов,  нахо¬
дящихся  на  расстоянии  г,  равна  работе,
затраченной  на  сближение  этих  зарядов  из
бесконечности  до  такого  расстояния.
 В  качестве  примера  рассмотрим  потенци¬
альную  энергию  электрона,  находящегося  в
электрическом  поле  протона.  В  этом  случае
Q=e  (заряд  протона),  a  q=—е  (заряд  элект¬
рона)  и  U=—е*/г.  Эта  функция  изображена
на  фиг.  99.
 Пусть  электрон  вначале  покоится  и  на¬
ходится  на  расстоянии  г0  от  протона.  Затем
электрон  начинает  ускоренно  двигаться  по
направлению  к  протону,  набирая  кинетиче¬
скую  энергию  и  теряя  соответствующее  коли¬
чество  потенциальной  энергии.  Закон  сох¬
ранения  энергии  утверждает,  что  сумма
(Екин+Ц)  должна  оставаться  постоянной.
Обозначим  эту  постоянную,  представляю¬
щую  собой  полную  энергию,  через  W0.  Соот¬
ношение  W0=EKHH+U  удобно  представить  в
виде  графика  (см.  фиг.  63).  На  фиг.  99  сум¬
ма  W0  =  Em+U,  сохраняющая  постоянное
значение,  изображена  красной  горизонталь¬
ной  прямой.  Поскольку  Em=W,—U,  то
кинетическая  энергия  равна  разности  орди¬
наты  этой  линии  и  ординаты  точки  на  кривой
потенциальной  энергии  (/.  При  г=г0  эта  раз¬
ность  равна  нулю.  Итак,  г0  —  это  макси¬
мально  возможное  расстояние,  на  которое

его  в  бесконечность.  Физически  это  количе¬
ство  энергии,  необходимое  для  полного  от¬
рыва  электрона  от  протона.  На  графике,
изображенном  на  фиг.  99,  энергия  связи  Есвязя
равна  величине  Wв:
 Энергия  связи  всегда  должна  быть  поло¬
жительной.
 Пример  1.  Электрон  имеет  на  расстоянии
2,4*10-в  см  от  протона  кинетическую  энергию
1,6-10—  11  эрг.  Чему  равна  его  энергия  связи?  На¬
пишем
 Итак,  энергия  связи  равна  8-10-11  эрг.
 Пример  2.  В  воровской  модели  атома  водорода
электрон  движется  по  круговой  орбите  с  радиусом
£=5,3*10-9  см.
 а) 	Вывести  формулу  для  энергии  связи,  со¬
держащую  только  величины  е  и  R.
 б) 	Чему  равна  величина  энергии  связи  в
эргах?
 Энергия  связи  равна
 Если  приравнять  центростремительную  силу  элект¬
ростатической,  то  мы  получим  еще  одно  выраже¬
ние  для  скорости  электрона  v:
 Подставляя  это  выражение  в  выражение  для  энергии
связи,  находим

§  9.  Электрический  потенциал
 ОТКУДА  БЕРУТСЯ  ВОЛЬТЫ
 Подобно  тому,  как  раньше  из  соображе¬
ний  удобства  мы  оперировали  с  электриче¬
ской  силой,  действующей  на  единицу  заряда,
удобно  ввести  и  электрическую  потенциаль¬
ную  энергию,  приходящуюся  на  единичный
заряд.  Сила,  действующая  на  единицу  заряда,
была  названа  напряженностью  электриче¬
ского  поля.  Электрическая  потенциальная
энергия,  приходящаяся  на  единицу  заряда,
называется  электрическим  потенциалом.
 По  определению,  электрический  потенци¬
ал  в  любой  точке  пространства  представляет
собой  работу,  которую  надо  затратить,
чтобы  переместить  единичный  положитель¬
ный  заряд  из  бесконечности  в  эту  точку.
 В  системе  CGSE  единицей  измере¬
ния  электрического  потенциала  служит
3pejCGSE(V).  В  системеMKS  соответствующей
единицей  является  дж/кулон.  Она  имеет
специальное  название  вольт  (в).  Соотношение
между  единицами  в  обеих  системах  таково:
 1CGSE(F)  =  300  в.
 Если  электрическая  потенциальная  энергия
пробного  заряда  q  в  данной  точке  простран¬
ства  равна  U,  то  потенциал  V  в  этой  точке
равен
 Работа,  произведенная  над  зарядом  q  при
его  перемещении  на  расстояние  Ах  против  сил
электрического  поля  с  напряженностью  £*,
равна  произведению  силы  —qEx  и  расстоя¬
ния  Ах.
 Таким  образом,
 есть  приращение  электрической  потенциаль¬
ной  энергии.  Разделив  обе  части  этого  равен¬
ства  на  q,  получим
 Электрический  потенциал
 (7.17)
 (7.18)
 179

Пример.  Электрическая  потенциальная  энер¬
гия  электрона  равна  21,8*  10”12  эрг.  Чему  равен
потенциал
 Поскольку  1  CGSE(V)  =  300  в,  то,  чтобы  перевести
полученный  результат  в  вольты,  -умножим  его  на
 Емкость
 Простым  примером  применения  формулы
 (7.18) 	является  вычисление  разности  потен¬
циалов  V  между  пластинами  конденсатора.
Поскольку  напряженность  электрического
поля  Е  между  пластинами  конденсатора  по¬
стоянна,  то  разность  потенциалов  между  пла¬
стинами  V=—Ed,  где^  —  расстояние  между
ними.  Подставляя  сюда  выражение  для  Е
из  (7.13),  получаем  величину  V:
 Заметим,  что  разность  потенциалов  прямо
пропорциональна  величине  заряда  Q.  Отно¬
шение  заряда  к  разности  потенциалов  пред¬
ставляет  собой  величину  С,  носящую  назва¬
ние  емкости  и  весьма  полезную  для  прило¬
жений:
 Емкость  плоского  конденсатора  легко  по¬
лучить,  подставив  правую  часть  (7.19)  в  фор-
мулу  (7.20),  откуда  для  плоского  конденса¬
тора
 Если  между  пластинами  имеется  диэлектрик,
то  при  том  же  заряде  Q  поле  £*,  а  следова¬
тельно,  и  V  уменьшится  в  е  раз.  Емкость
плоского  конденсатора  с  диэлектрической  по¬
стоянной  е  равна
 (7.19)
 (7.20)

Фиг.  100.  Сферический  конденсатор,
состоящий  из  двух  концентрических
оболочек  с  радиусами  R&  и  Rr.
 Пример.  Внутренняя  обкладка  сферического
конденсатора,  изображенного  на  фиг.  100,  имеет
заряд  +  Q,  а  внешняя  обкладка  —  заряд  —Q.
Чему  равна  напряженность  электрического  поля
в  областях  /,  II  и  III?  Какова  емкость  конденса¬
тора?
 В  этой  задаче  силовые  линии  электрического
поля  будут  существовать  только  в  области  II.  С
внутренней  поверхности  выходят  и  оканчиваются
на  внешней  поверхности  конденсатора  4л  Q  силовые
линии.  Таким  образом,  Ej  и  Ejjj  равны  нулю.  На¬
пряженность  электрического  поля  в  области  II  рав¬
на  4лQ  (полное  число  силовых  линий),  деленному
на  4яг2  (полная  площадь,  через  которую  проходят
силовые  линии).  Итак,  Еп=  Q/r*.  Поскольку  это
поле  совпадает  с  полем  точечного  заряда  Q,  то  для
определения  разности  потенциалов  между  обклад¬
ками  конденсатора  можно  использовать  формулу
(7.15):
 Электроскоп
 Одним  из  первых  приборов,  применяв¬
шихся  для  обнаружения  заряда  и  измерения
электрического  потенциала,  был  электроскоп,
изображенный  на  фиг.  101.  Если  заряженным
проводником  коснуться  металлического  ша¬
рика  электроскопа,  то  тонкие  металлические
листочки  (из  золотой  или  алюминиевой  фоль¬
ги)  приобретают  тот  же  потенциал,  что  и  наш
проводник.  Заряд,  который  приобретут  ли¬
сточки,  будет  пропорционален  разности  по¬
тенциалов  между  листочками  и  корпусом
электроскопа.  Вследствие  того,  что  листоч¬
ки  приобретают  одноименный  заряд,  между
ними  возникает  сила  отталкивания,  которую
можно  измерить  по  углу  отклонения  листоч¬
ков  на  шкале  электроскопа.
 Электроскоп  можно  зарядить  индуктивно,
аналогично  шару  на  фиг.  89.  Заряженный
электроскоп  можно  использовать  для  обна¬
ружения  зарядов,  а  также  для  определения
 181
 Фиг.  101.  Заряженный  электроскоп.
 емкость  конденсатора.

их  знака.  Предположим,  что  к  отрицательно
заряженному  электроскопу  поднесен  отри¬
цательно  заряженный  стержень.  Стержень
заставит  часть  электронов  с  шарика  перейти
на  листочки,  которые  разойдутся  еще  больше.
Положительно  заряженный  стержень  притя¬
нет  к  шарику  некоторое  количество  электро¬
нов,  и  листочки  несколько  спадут.
 Заряженный  электроскоп  на  протяжении
нескольких  дней  постепенно  теряет  свой  за¬
ряд,  так  как  небольшое  количество  моле¬
кул  воздуха  непрерывно  ионизуется  косми¬
ческими  лучами.  Некоторые  из  этих  ионов
могут  нейтрализовать  избыточный  заряд
электроскопа.  Скорость  разряда  электро¬
скопа  пропорциональна  величине  фонового
излучения  (радиоактивности).  Кстати,  для
измерения  дозы  излучения,  получаемой  че¬
ловеком,  обычно  применяют  маленький  элект¬
роскоп  размером  с  карандаш.  Степень  раз¬
ряда  такого  карманного  дозиметра  легко
узнать,  посмотрев  через  него  на  свет.
 Резюме
 Итак,  мы  наполовину  изучили  теорию
электричества.  Мы  умеем  в  принципе  вычис¬
лять  силы  и  энергии  для  случая  покоящихся
заряженных  тел.  В  гл.  8  мы  познакомимся
с  силами  иной  природы,  которые  возникают
только  при  движении  зарядов.  Они  назы¬
ваются  магнитными  силами.  Мы  увидим  да¬
лее,  что  эти  магнитные  силы  позволяют
объяснить  явление  магнетизма  и  принцип
действия  электродвигателей.  Затем  мы  изу¬
чим  еще  один  класс  явлений  —  электромаг¬
нитную  индукцию,  происходящую  только
тогда,  когда  электрический  ток  меняется  по
величине.  И,  наконец,  законы  электриче¬
ства  будут  использованы  все  вместе  для  дока¬
зательства  того,  что  при  изменении  электри¬
ческого  тока  должны  излучаться  электромаг¬
нитные  волны,  распространяющиеся  со  ско¬
ростью  v=c.  Кульминационным  пунктом
гл.  8  явится  изложение  последнего  выдающе¬
гося  достижения  классической  физики  —
создания  теории  света  на  основё  теории  элект¬
ричества.
 182

6. 	Вычислить  потенциалы  в  центре  этого  квадрата
для  случаев  «а»,  «б»  и  «в»,  имея  в  виду,  что  резуль¬
тирующий  потенциал  равен  алгебраической  сумме
составляющих  его  потенциалов.
 7. 	Сколько  электронов  заключено  в  1  г  водоро¬
да,  углерода  и  урана-238?
 8. 	К  незаряженному  электроскопу  мы  поднесли
отрицательно  заряженный  стержень.  При  этом  лис¬
точки  расходятся.  Какой  заряд  появится  на  лис¬
точках?  Затем  мы  быстро  дотрагиваемся  рукой  до
шарика,  после  чего  отодвигаем  стержень  от  электро¬
скопа.  Какой  теперь  заряд  на  листочках?
 9. 	Электроскоп  заряжен  посредством  индукции
с  помощью  стеклянной  палочки,  натертой  шелком.
Затем  к  электроскопу  поднесен  неизвестный  заряд,
в  результате  чего  листочки  сошлись.  Каков  знак
неизвестного  заряда?
 10. 	Предположим,  что  в  ядре  гелия  имеются  два
протона  на  расстоянии  1,5-10—13  см  друг  от  друга.
 а) 	Какова  величина  электростатической
силы,  действующей  между  ними?
 б) 	Какую  работу  надо  затратить,  чтобы
сблизить  протоны  до  такого  расстояния?
 183
 1. 	Металлическому  шару  сообщается  положи¬
тельный  заряд.  Что  произойдет  при  этом  с  его  мас¬
сой:  'возрастет  ли  она,  уменьшится  или  останется
той  же  самой?
 2. 	Заряд  в  —40  CGSE(Q)  помещен  на  расстоянии
10  см  от  заряда  в  +90  CGSE(Q).
 а) 	Какая  сила  действует  между  ними?
 б) 	Сколько  силовых  линий  уходит  в  бес¬
конечность,  если  считать,  что  больше  заря¬
дов  нет?
 3. 	Заряд  величиной  6-103  CGSE(Q)  расположен
на  расстоянии  1  м  от  шарика  с  массой  Зги  заря¬
дом  300  CGSE(Q).  Какое  первоначальное  ускоре¬
ние  получит  шарик?
 4. 	В  одном  углу  квадрата  со  стороной  10  см  поме¬
щен  заряд  в  +400  CGSE(Q),  а  в  противоположном
углу  —  заряд  в  +300  CGSE(Q).  Найти  полную
силу,  действующую  на  заряд  в  +10CGSE(Q),  поме¬
щенный  в  третьем  углу  квадрата.
 5. 	Во  всех  четырех  углах  квадрата  со  стороной
10  см  помещены  заряды  по  100  CGSE(Q)  каждый.
Найти  величину  и  направление  напряженности  эле¬
ктрического  поля  Е  в  центре  квадрата,  если  знаки
зарядов  О.,  Q*,  Оя  и  О.  (фиг.  102)  следующие:
 Задачи
 Фиг.  102.  К  задаче  5.

11. 	Электрон  находится  на  расстоянии  5,3‘10~*<?Л1
от  протона.  Какова  должна  быть  скорость,  чтобы
он  смог  покинуть  протон?
 12. 	Каково  отношение  электростатической  силы  и
силы  тяготения  двух  протонов?
 13. 	Расстояние  между  двумя  параллельными  плас¬
тинами  2  см.  Напряженность  электрического  поля
между  пластинами  20  dun/CGSE(Q).  Какова  раз¬
ность  потенциалов  между  пластинами?
 14. 	Электрон  ускоряется  разностью  потенциалов
в  1  в.  Каков  прирост  его  кинетической  энергии?
Решите  ту  же  задачу  для  протона.
 15. 	Электроны  притягиваются  заряженной  сфе¬
рой  Ван  де  Граафа  с  потенциалом  в  1  млн.  в.  Какова
будет  их  кинетическая  энергия  (в  эргах),  когда  они
достигнут  сферы?
 16. 	Рассмотрим  две  параллельные  бесконечные
плоскости,  расстояние  между  которыми  8  см.  Плот¬
ность  заряда  на  обеих  плоскостях  5  CGSE(Q)/c^2.
 а) 	Чему  равна  напряженность  электриче¬
ского  поля  между  плоскостями?
 б) 	Чему  равна  напряженность  электриче¬
ского  поля  на  расстоянии  3  см  слева  от  левой
плоскости?
 17. 	Предположим,  что  шарик  из  угля  диа¬
метром  1  см  имеет  один  избыточный  электрон  на
миллион  протонов.
 а) 	Чему  равен  заряд  шарика,  если  его  плот¬
ность  D  =  1,7  г/сл(3?
 б) 	Чему  равна  напряженность  электриче¬
ского  поля  на  поверхности  шарика?
 18.  Начертите  на  графике  потенциальную  энер¬
гию  для  плоского  конденсатора,  изображенного  на
фиг.  98  (стр.  173).
 19.  Начертите  на  графике  потенциальную  энер¬
гию  для  сферического  конденсатора,  изображенного
на  фиг.  100  (стр.  181).
 20. 	Расстояние  между  двумя  металлическими
пластинами  площадью  100  см2  каждая  равно  2  см.
Заряд  левой  пластины  равен  —5  CGSE(Q),  а  заряд
правой  пластины  составляет  —10  CGSE(Q).
 а) 	Какова  напряженность  электрического
поля  непосредственно  слева  от  левой  пластины?
 б) 	Какова  напряженность  электрического
поля  между  пластинами?
 в) 	Какова  напряженность  этого  поля  не¬
посредственно  справа  от  правой  пластины?
 г) 	Какова  разность  потенциалов  между
пластинами?
 184

Фиг.  103.  К  задаче  23.
 Фиг.  105.  К  задаче  26.
 21. 	Предположим,  что  Земля  имеет  постоянную
плотность.
 а) 	Если  бы  ее  диаметр  уменьшился  вдвое,
то  какой  оказалась  бы  ее  масса,  если  масса
Земли  М0?
 б) 	Чему  равнялась  бы  величина  g  на  по¬
верхности  этой  маленькой  Земли?
 в) 	Предположим,  что  мы  прорыли  по  на¬
правлению  к  центру  яму  глубиной  в  половину
радиуса  Земли.  Чему  равна  величина  g  на  дне
этой  ямы?
 22. 	Предположим,  что  на  поверхности  Земли  плот¬
ность  избыточного  заряда  1  электрон!см2.
 а) 	Чему  равнялась  бы  напряженность  эле¬
ктрического  поля  непосредственно  под  поверх¬
ностью  Земли?
 б) 	Чему  равнялась  бы  напряженность  эле¬
ктрического  поля  непосредственно  над  поверх¬
ностью  Земли?
 в) 	Чему  равнялся  бы  электрический  по¬
тенциал  Земли?
 23. 	Два  конденсатора,  С,  и  С2,  соединены  парал¬
лельно  (фиг.  103).  Чему  равна  полная  емкость  С
такой  системы?
 [Указание.  С  —  ((?!+  Q2  )/!/.]
 24. 	Чему  равна  емкость  двух  конденсаторов,  сое¬
диненных  последовательно  (фиг.  104)?
 [У  к  а  з  а  н  и  е.  Поскольку  заряд  Q  на  обоих
конденсаторах  один  и  тот  же,  то  С  =  Q/(V/1+  У2).1
 25. 	Радиусы  двух  концентрических  заряженных
цилиндров  равны  Rx  и  R2.  Соответствующие  плот¬
ности  зарядов  Qj  и  q2  CGSE(Q)  на  1  см  длины  обра¬
зующей  цилиндра.  Найти  напряженность  электри¬
ческого  поля  Е  на  расстоянии  г  от  общей  оси
цилиндров,  если
 а) 	r>R2>Ru
 б) 	R2>r>R,.
 Выразите  ответ  через  г,  Rlt  Rz,  q,  и  q2.
 26. 	Рассмотрим  три  заряженные  плоскости,  изо¬
браженные  на  фиг.  105.  Потенциал  плоскости  А
равен  нулю.
 а) 	Чему  равен  потенциал  плоскости  В?
 б) 	Чему  равен  потенциал  плоскости  С?
 в) 	Каковы  плотности  зарядов  на  каждой
из  трех  плоскостей?
 27. 	Чему  равен  потенциал  на  оси  электрического
диполя  на  расстоянии  г  от  его  центра?  Ответ
выразите  через  г,  Q  и  L.
 28. 	Мы  определяем  напряженность  поля  тяго¬
тения  как  силу  тяготения,  действующую  на  едини¬
цу  массы.  Если  число  силовых  линий  поля  тяготе¬
ния,  проходящих  через  1  см2,  численно  равно  на¬
пряженности  поля  тяготения,  то  сколько  гравита¬
ционных  силовых  линий  выходит  из  тела  с  массой  М?
 Фиг.  104.  К  задаче  24.
 Последовательно

ГЛАВА  8
 ЭЛ  ЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Данная  глава  завершает  наше  изучение
теории  электричества.  В  гл.  9  более  подроб¬
но  рассматриваются  некоторые  приложения
этой  теории,  такие,  как  электроника  и  теория
электрических  цепей.
 В  этой  главе  мы  впервые  столкнемся  с
двумя  «новыми»  электрическими  явлениями:
сильным  взаимодействием  токов  и  возникно¬
вением  электрического  поля  при  изменении
величины  электрического  тока.  Соответствую¬
щие  силы  называются  магнитными,  а  процесс
генерации  электрического  поля  носит  наз¬
вание  электромагнитной  индукции.  Цент¬
ральным  моментом  изложения  этой  главы
явится  доказательство  того,  что  изменяю¬
щийся  электрический  ток  должен  излучать
электромагнитные  волны,  распространяю¬
щиеся  со  скоростью  v=c.
 §  I.  Электрический  ток
 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
 Прежде  чем  приступить  к  рассмотрению
взаимодействия  токов,  надо  дать  определение
понятию  тока.  Сила  тока  /  определяется  вы¬
ражением
 (8.1)
 где  Q—суммарное  количество  заряда,  про¬
ходящего  через  данную  площадку  за  время  t.
Единицей  силы  тока,  называемой  1  CGSE(/)
силы  тока,  служит  1  CGSE  (Q)  заряда  в  1  сек.
В  системе  MKS  единицей  силы  тока  служит
ампер  (а),  равный  1  кулон  в  1  сек.  Таким  об¬
разом,
 la  =  CGSE(Q)/ce«:  =  3.10*  CGSE(/).  (8.2)
 В  металлическом  проводнике  положитель¬
ные  заряды  (атомные  ядра)  неподвижны;  они
закреплены  в  кристаллической  решетке.
Но  внешние  электроны,  или  электроны  про¬
водимости,  могут  свободно  передвигаться
вдоль  проводника.  Если  данное  поперечное
сечение  проводника  ежесекундно  пересе¬
кают  N  электронов,  то  сила  тока  равна  Ne,
где  е  —  заряд  электрона.
 188
 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
 Сила  тока

Каково  же  направление  электрического
тока?  Согласно  правилу,  установленному
Франклином,  считается,  что  ток,  текущий  по
направлению  к  пластине  конденсатора,  должен
приносить  к  ней  положительныйзаряд.  Теперь
мы  знаем,  что  пластина  конденсатора  заряжа¬
ется  положительно,  еслр  ее  покидают  элект¬
роны.  Следовательно,  электроны  проводимо¬
сти  всегда  движутся  в  направлении,  противо¬
положном  направлению  тока.  Если  бы  заряд
электрона  считался  положительным,  а  не
отрицательным,  тогда  эта  путаница  не  воз¬
никла  бы.
 Пример.  Какую  силу  тока  создает  электрон,
вращающийся  вокруг  протона,  в  боровской  модели
атома  водорода?
 Сила  тока  равна  величине  заряда  электрона  ef
умноженной  на  число  прохождений  электроном  в
 1 	сек  данной  точки  орбиты;  иначе  говоря,  I  =  fe,  где
/  =  v/2nR  —  частота  обращения  электрона  по  ор¬
бите.
 Таким  образом,  сила  тока  /  —  ev/2nR.
 На  стр.  161  уже  говорилось,  что  скорость  дви¬
жения  электрона  v  =  2,18-10®  см!сек,  а  радиус
орбиты  R  =  5,3*  10~®  см.  После  проведения  чис¬
ленных  выкладок  сила  тока  оказывается  равной
/  =  3,14-  10е  CGSE(/)  =  1,05*  10-3  а.
 Электрический  ток  можно  также  создать,
перемещая  вдоль  своей  оси  со  скоростью  v  ли¬
нейный  заряд  с  плотностью  gCGSE(Q)Ha  1  см.
В  этом  случае  количество  заряда,  прохо¬
дящего  ежесекундно  через  данную  точку,
равно  плотности  заряда  е,  умноженной  на
длину  проводника,  проходящего  через  эту
точку  за  1  сек.  Следовательно,  сила  тока,
создаваемого  движущимся  линейным  заря¬
дом  с  плотностью  qCGSE(Q)/cjh,  есть
 I  =  q-v  CGSE(/). 	(8.3)
 Токи  могут  течь  в  газах  и  жидкостях.
Примером  тока  в  газе  могут  служить  неоно¬
вые  трубки  и  люминесцентные  лампы.  В  этих
лампах  ток  создается  не  только  электронами,
но  и  движущимися  положительными  ионами.
Однако  электроны  гораздо  подвижнее  ионов,
и  поэтому  именно  они  вносят  основной  вклад
в  силу  тока  в  газах.  При  столкновении  элект¬
рона  с  ионом  или  атомом  газа  кинетическая
энергия  может  пойти  на  возбуждение  послед¬
 189

него,  а  затем  снова  выделиться  как  види¬
мое  глазом  электромагнитное  излучение,
т.  е.  свет.
 Большинство  жидкостей  содержит  свобод¬
ные  ионы  и  поэтому  может  проводить  элект¬
ричество.  Подключим  две  металлические  пла¬
стины  (электроды)  к  источнику  напряжения  и
погрузим  их  в  такую  жидкость.  Через  жид¬
кость  потечет  ток,  который  будет  состоять
из  положительных  и  отрицательных  ионов,
движущихся  в  противоположных  направле¬
ниях,  каждый  к  своему  электроду.  Достиг¬
нув  электродов,  ионы  нейтрализуются.  На¬
пример,  если  растворить  в  воде  столовую
соль  (NaCl),  то  ионы  Na+  будут  двигаться
к  отрицательному  электроду,  а  ионы  С1"
—  к  положительному  электроду.  Нейтрали¬
зуясь,  ионы  С1“  вступают  в  химическую
связь  и  образуют  молекулу  С12  (газообразный
хлор),  который  выделяется  в  виде  пузырь¬
ков.  Такой  процесс  химического  разложения
называется  электролизом  и  имеет  большое
промышленное  значение.
 §  2.  Силы,  действующие
между  токами
 ТЕПЕРЬ  ПУСТЬ  ЗАРЯДЫ  ДВИЖУТСЯ
 До  сих  пор,  изучая  электричество,  мы
имели  дело  только  с  одним  новым  фундамен¬
тальным  законом  природы  —  законом  Ку¬
лона  —  и  строго  оговаривались,  что  все  за¬
ряды  должны  покоиться.  Для  этого  имелись
веские  основания.  Оказывается,  что  если
заряды  начинают  двигаться,  то  возникает
новое  явление:  к  кулоновским  силам  добав¬
ляются  силы  новой  природы,  так  называе¬
мые  магнитные  силы.  В  некоторых  слу¬
чаях,  когда  по  закону  Кулона  сила  должна
быть  равна  нулю,  на  самом  деле  могут
действовать  большие  магнитные  силы.  Од¬
ним  из  примеров  этого  служит  электрический
мотор.
 Принцип  действия  электрического  мотора
основан  на  использовании  магнитной  силы,
действующей  между  двумя  незаряженными

Фиг.  106.  Электрическая  цепь  для
демонстрации  взаимодействия  па¬
раллельных  токов.
 Фиг.  107.  Сила,  действующая  на
элемент  тока  1г1г  со  стороны  беско¬
нечно  длинного  тока  /,.
 параллельными  проводниками,  по  которым
течет  ток.  Чтобы  наблюдать  это  фундамен¬
тальное  явление,  необходимы  лишь  бата¬
рея,  выключатель  и  провод  (фиг.  106).  Когда
цепь  замкнута,  видно,  как  провода  отталки¬
ваются  друг  от  друга.  Помните,  что  нельзя
долго  держать  цепь  замкнутой,  поскольку
такая  электрическая  цепь  —  пример  хорошо
известного  «короткого  замыкания».  При  ко¬
ротком  замыкании  ток  оказывается  очень
большим,  провода  нагреваются,  а  батарея
быстро  выходит  из  строя.
 Силу  взаимодействия  двух  параллельных
токов  можно  измерить  экспериментально.
При  этом  оказывается,  что  сила  прямо  про¬
порциональна  произведению  сил  токов  и  об¬
ратно  пропорциональна  расстоянию  между
токами.  Закон,  которым  описывается  наша
новая  сила,  применительно  к  параллельным
токам  записывается  в  виде
 В  этой  формуле  Fг  обозначает  силу,  дей¬
ствующую  на  участок  провода  длиной  /2,
по  которому  течет  ток  /2  (фиг.  107),  а  К  —
коэффициент  пропорциональности,  который
надо  определить  из  эксперимента.  По  при¬
чине,  которая  скоро  станет  очевидной,  мы  за¬
меняем  К  величиной  k,  связанной  с  К  соотно¬
шением:  К~=  2/k1.
 Тогда
 (8.4)
 Величину  k  можно  определить  экспери¬
ментально,  измерив  величины  Ilt  /2,  /2,  г  и
F-  и  оешив  уравнение  (8.4)  относительно
 (8.5)
 Из  этого  выражения  следует,  что  размер¬
ность  k  равна  CGSE(Q)/c£ac*Удин.  Если  с  по¬
мощью  закона  Кулона  выразить  CGSE(Q)
через  сантиметры  и  дины,  то  размерность  уп¬
рощается.  Из  закона  Кулона  следует,  что
 дина= 	, 	или 	CGSE(Q) 	= 	c^f- 	\fdun.
 см
 191

Следовательно,  размерность  k  такова:
 а  измеренное  на  опыте  k=2,9979-101®  см!сек,
Экспериментально  полученное  значение  ско¬
рости  света  также  равно  2,9979*\§х*см!сек\
Такое  совпадение  не  может  быть  слу¬
чайным.  По  какой-то  «таинственной»  при¬
чине  коэффициент  k  в  этом  новом  законе  дол¬
жен  совпадать  со  скоростью  света.  Поэтому
отныне  мы  будем  обозначать  его  через  с  вме¬
сто  k.
 Наличие  скорости  света  в  фундаменталь¬
ном  законе  теории  электричества  служит
сильным  аргументом  в  пользу  того,  что  меж¬
ду  законами  электричества  и  теорией  света
имеется  нечто  общее.  Одна  из  основных  за¬
дач  данной  главы  —  вывод  теории  света  из
законов  электричества  (см.  §  9).
 Таким  образом,  формулу  (8.4)  можно  за¬
писать  в  таком  виде:
 Пример.  По  двум  параллельным  проводникам,
находящимся  на  расстоянии  1  см  один  от  другого,
течет  ток  в  1  а.  Какая  сила  действует  на  участок
одного  из  проводников  длиной  1  см?
 Подставив  в  формулу  (8.6)  1х—1г—  с/10  CGSE(/)
и  l2=  г  =  1  см,  получим
 СИЛА,  ДЕЙСТВУЮЩАЯ  НА  ВТОРОЙ  ТОК,  КОГДА
ВТОРОГО  ТОКА  НЕТ
 Магнитное  поле  совершенно  аналогично
электрическому  полю.  Это  математическое  по¬
нятие,  упрощающее  вычисления  и  облегчаю¬
щее  понимание  физической  сущности  явле¬
ний.  Исторически  напряженность  магнит¬
ного  поля  была  определена  как  сила,
действующая  на  единичный  магнитный  за¬
ряд.  Однако  мы  знаем  теперь,  что  в  действи¬
тельности  свободных  магнитных  зарядов  не
 Магнитная  сила,  действующая
между  двумя  параллельными  про-
водниками  с  током
 (8-6)
 =  0,02  дин.
 §  3.  Магнитное  поле
 192

существует  и  что  все  магнитные  силы  обус¬
ловлены  взаимодействием  токов.  В  дальней¬
шем  мы  будем  придерживаться  более  формаль¬
ной  точки  зрения  и  рассматривать  магнит¬
ные  явления  как  взаимодействие  токов.
Лишенную  же  физического  смысла  (хотя  мате¬
матически  и  эквивалентную)  концепцию  сво¬
бодного  магнитного  заряда  мы  отбросим.
Однако  теория  магнетизма  будет  дана  в  §6.
 Можно  ожидать,  что  если  напряженность
электрического  поля  была  определена  как
сила,  действующая  на  единичный  заряд,  то
напряженность  магнитного  поля  В  будет  оп¬
ределяться  как  сила,  действующая  на  еди¬
ничный  элемент  электрического  тока.  Сила,
действующая  на  элемент  тока  /2  длиной  /2,
равна
 В  этой  формуле  направления  I  и  В  пер¬
пендикулярны  друг  другу.  Вопрос  о  взаимной
ориентации  векторов  F  и  В  разбирается  в
следующем  параграфе.  Из  этого  определе¬
ния  напряженности  магнитного  поля  можно
получить  выражение  для  напряженности
магнитного  поля  В,  создаваемого  бесконечно
длинным  проводником,  по  которому  течет
ток  1Х.  Для  этого  надо  просто  приравнять
правые  части  выражений  (8.7)  и  (8.6):
 Заметьте,  что  это  выражение  по  своему  виду
сходно  с  выражением  для  напряженности
электрического  поля,  создаваемого  беско¬
нечно  длинным  заряженным  проводником,
где  Е=(2/г)§.  Из  формулы  (8.7)  следует,
что  величина  В  измеряется,  как  и  величина
Е  в  дин/CGSE  (Q).
 (8.7)
 Магнитное  пом  бесконечно  длин-
ного  проводника  с  током
 (8.8)
 f  Джей  Орир
 193

Фиг.  108.  Первое  правило  правой
руки  и  силовые  линии  магнитного
поля,  создаваемого  бесконечно  длин¬
ным  прямолинейным  током.
 В  системе  CGS  единица  измерения  В  имеет
специальное  наименование  —  гаусс  (гс)
 Пример.  Линейное  распределение  зарядов  с
плотностью  q  CGSEfQJ/cjK  движется  вдоль  своей  оси
со  скоростью  V.  Найти  величины  Bt  Е  и  их  отноше¬
ние.
 Из  формулы  (8.3)  следует,  что  /  =  qv  и  поэтому
В  =  2qv/гс;  из  формулы  (7.10)  находим  Е  =  2q/г,
откуда  получается  отношение  В/Е  =  v/c.
 Первое  правило  правой  руки
 Пока  мы  определили  только  величину  Ву
создаваемого  бесконечно  длинным  линейным
током.  Но  поскольку  В  есть  вектор,  то  надо
установить  и  его  направление.  Оно  опреде¬
ляется  направлением,  в  котором  действует
магнитная  сила  (см.  §  4).  Направление  В
оказывается  таким,  что  силовые  линии  пред¬
ставляют  собой  концентрические  окружности
вокруг  тока,  создающего  это  поле  (фиг.  108).
Однако  направление  стрелок  на  этих  лини¬
ях  еще  остается  произвольным.  Для  опреде¬
ления  направления  принято  пользоваться
правилом,  которое  называют  первым  прави¬
лом  правой  руки.  Это  правило  иллюстри¬
руется  фиг.  108.  Если  большой  палец  правой
руки  направлен  по  току,  то  остальные  че¬
тыре  пальца  в  согнутом  положении  будут  ука¬
зывать  направление  В.  Результат,  получен¬
ный  с  помощью  этого  правила,  совпадает  с
направлением  намагниченной  стрелки,  под¬
несенной  близко  к  току.  Например,  стрелка
компаса  ориентируется  вдоль  силовых  ли¬
ний,  причем  ее  северный  конец  указывает  в
положительном  направлении  В.
 Если  стрелка  компаса  первоначально
была  ориентирована  в  направлении  провод¬
ника,  то  при  включении  тока  она  сразу  же
поворачивается  на  90°.  Железные  опилки
также  располагаются  вдоль  силовых  линий
магнитного  поля.  На  фиг.  109  показана  кар¬
тина  расположения  железных  опилок  в  маг¬
нитном  поле,  созданном  проводом,  по  кото¬
рому  течет  ток.
 1}  Строго  говоря,  величина  В  называется  маг¬
нитной  индукцией.  Однако  напряженность  магнит¬
ного  поля  в  вакууме  (или  воздухе)  равна  В.  В  этой
книге  мы  рассматриваем  только  поля  в  вакууме.
 194

Пример.  На  фиг.  110  изображена
стрелка  компаса,  которая  под  действием
магнитного  поля  Земли,  равного  0,2  гсу
указывает  на  север.  Над  стрелкой  ком¬
паса,  на  расстоянии  4  см  с  севера  на  юг
протянут  длинный  проводник.  После  вклю¬
чения  тока  стрелка  вместо  направления
на  север  указывает  на  северо-восток.  Ка¬
ковы  величина  и  направление  электриче¬
ского  тока?
 Поскольку  направление  магнитного
поля  (совпадающее  с  направлением  стрелки
компаса)  составляет  с  осью  х  угол  45°,  то
его  составляющие  по  осям  х  и  у  должны
быть  равны:  Вх=  Ву.  Но  By—  0,2  гсу  т.  е.
напряженности  магнитного  поля  Земли,
а  Вх  =  2//сг,  согласно  (8.8).  Приравняв
эти  величины,  получим  2//сг  =  0,2  гс,
/=0,1  cr  CGSE(/)=0,1  -3*1010  *4  CGSE(/)  =
=  1,2-  10,e  CGSE(/)  =  4а.
 Применив  первое  правило  правой
руки,  находим,  что  ток  течет  с  севера  на  юг.
 §  4.  Сила,  действующая
на  проводник,
по  которому  течет  ток
 ВСЁ  ВЗАИМНО  ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО
 В  формуле  (8.7)  мы  определили
напряженность  магнитного  поля  В
таким  образом,  что  сила  F,  дейст¬
вующая  на  элемент  тока  /  длиной  /,
находящийся  в  магнитном  поле  В,
равна
 F=  -~-В  дин 	(8.9)
 при  условии,  что  I  и  В  взаимно
перпендикулярны.  Наиболее  общее
выражение  для  силы,  действующей
на  ток,  совпадает  с  (8.9),  за  тем
исключением,  что  правую  часть  (8.9)
надо  еще  умножить  на  синус  угла,
заключенного  между  I  к  В.
 М
 Фиг.  109.  Картина  силовых  линий  маг¬
нитного  поля,  созданного  длинным  пря¬
молинейным  током.
 Железные  опилки  ведут  себя  подобно  миниа¬
тюрным  магнитам  и  ориентируются  вдоль  сило¬
вых  линий  В.
 195

Фиг.  110.  Влияние  тока  на  располо¬
женную  под  ним  стрелку  компаса.
Пока  ток  не  включен,  стрелка  ориентиро¬
вана,  как  показано  на  фигуре.  После  вклю¬
чения  тока  она  повернется  в  направлении,
указанном  стрелкой  В.
 Фиг.  111.  Второе  правило  правой
руки  для  определения  направления
силы  F,  действующей  на  ток  /  в
магнитном  поле  В.
 Второе  правило  правой  руки
 Предыдущая  формула  позволяет  найти
только  величину  силы  F.  Помимо  этого,  нам
надо  еще  иметь  правило,  определяющее  ее
направление.  Известно,  что  в  случае  парал¬
лельных  токов  сила  F  должна  быть  перпен¬
дикулярна  В.  В  действительности  оказы¬
вается,  что  в  общем  случае  при  любой  произ¬
вольной  конфигурации  токов  направление  F
всегда  должно  быть  перпендикулярно  В  и/.
Правило,  устанавливающее  направление  F,
мы  будем  называть  вторым  правилом  пра¬
вой  руки  (фиг.  111).  Оно  гласит,  что  если,
как  и  раньше,  большой  палец  раскрытой  пра¬
вой  руки  ориентирован  вдоль  тока  /,  а  ос¬
тальные  пальцы  —  вдоль  направления  В,
то  сила  F  будет  направлена  от  ладони.
 На  первый  взгляд  может  показаться,  что
электрические  явления  могут  помочь  рассе¬
янному  профессору  определить,  где  у  него
правая  рука,  если  бы  он  вдруг  забыл  это.
Казалось  бы,  это  можно  сделать,  установив
направление  силы,  действующей  на  ток,  а
затем  проверив  с  помощью  правила  правой
руки,  какая  рука  дает  правильный  ответ.
Однако  при  этом  надо  знать  направление
магнитного  поля  В.  А  чтобы  определить  это
направление,  потребуется  все  же  знать,  где
у  вас  правая  рука.  Если  же  профессор  при¬
менит  по  ошибке  оба  правила  к  левой  руке,
то  и  в  этом  случае  он  получит  правильное  на¬
правление  силы  F.  Таким  образом,  элект¬
рические  явления  не  позволяют  отличить
правую  сторону  от  левой.  Иными  словами,
зеркальное  отображение  любого  эксперимен¬
та  с  электричеством  представляет  собой  так¬
же  реальный  эксперимент,  не  противореча¬
щий  законам  физики.  Вплоть  до  1956  г.
большинство  физиков  твердо  верило,  что  в
природе  нет  такого  эксперимента,  с  помощью
которого  можно  было  бы  отличить  правую
сторону  от  левой.  Этот  принцип  симметрии
носит  название  закона  сохранения  четно¬
сти.  Этот  закон  считался  столь  же  твердо
установленным,  как  и  пять  других  законов
сохранения,  перечисленных  на  стр.  158»
 196

Фиг.  112.  Траектория  заряженной
частицы,  движущейся  перпендику¬
лярно  направлению  однородного
магнитного  поля.
 Магнитная  сила,  действующая
на  движущийся  заряд
 Но,  как  мы  узнаем  в  гл.  16,  в  1957  г.  были  от¬
крыты  фундаментальные  физические  явле¬
ния,  которые  опровергли  закон  сохранения
четности,  и  рассеянный  профессор  узнал
наконец  несколько  способов  нахождения
своей  правой  руки.
 Сила,  действующая  на  движущийся  заряд
 Если  существует  сила,  действующая  на
элемент  электрического  тока  в  магнитном
поле,  то  должна  также  существовать  сила,
действующая  на  заряд  q,  движущийся  в
магнитном  поле  В.  Из  формулы  (8.3)  следует,
что  линейное  распределение  заряда  с  плотно¬
стью  qCGSE(Q)/o<,  движущегося  вдоль  своей
оси  со  скоростью  v,  представляет  собой  элек¬
трический  ток  I=qv.  Умножив  обе  части
этого  равенства  на  /,  получим  II=qvI.  Но
qI  есть  суммарный  заряд  на  длине  /.  Пусть
суммарный  заряд  равен  q.  Тогда  Il=qv.
Подставляя  в  правую  часть  (8.9)  величину
qv  вместо  //,  получаем  при  условии,  что  на¬
правления  v  и  В  взаимно  перпендикулярны:
 (8.10)
 Пример.  Протон  движется  со  скоростью  10е  см!сек
перпендикулярно  однородному  магнитному  полю
с  напряженностью  В  —  10  ООО  гс,  как  показано
на  фиг.  112.
 а) 	Найдите  величину  и  направление  силы»
действующей  на  протон.
 б) 	Опишите  траекторию  движения  протона.
Из  формулы  (8.10)  находим  силу
 В  соответствии  со  вторым  правилом  правой  руки  эта
сила  должна  быть  направлена  на  фиг.  112  влево  и
всегда  оставаться  перпендикулярной  скорости  v.
Таким  образом,  F  —  центростремительная  сила,  ко¬
торая  заставляет  протон  двигаться  все  время  по
одной  и  той  же  окружности  радиусом  R.  Величи¬
ну  R  можно  найти,  приравняв  выражения  для  цент¬
ростремительной  силы  и  магнитной  силы:
 (8.11)
 197

Фиг.  113.  След  электрона,  полученный  в
пузырьковой  камере  с  жидким  водородом.
 След  искривляется  под  действием  однородного
магнитного  поля,  направленного  из  плоскости
рисунка.  Радиус  кривизны  уменьшается  из-за
торможения  электрона  в  жидком  водороде.

На  фиг.  113  приведена  фотография  следа,
оставленного  электроном,  двигавшимся  в  од¬
нородном  магнитном  поле.  Это  поле  направ¬
лено  вверх  от  плоскости  фотографии.  Так  как
электрон  движется  в  пузырьковой  камере,
наполненной  жидким  водородом,  то  радиус
кривизны  его  траектории  непрерывно  умень¬
шается,  поскольку  при  движении  через  ве¬
щество  электрон,  как  и  любая  другая  заря¬
женная  частица,  постепенно  теряет  свою
энергию.  Зная  величину  В,  можно  определить
импульс  электрона  в  любой  точке  его  орбиты,
если  измерить  радиус  кривизны  последней.
 Из  приведенного  выше  примера  и  фотогра¬
фии  (фиг.  113)  видно,  что  заряженные  частицы
могут  «захватываться»  магнитным  полем.  Этот
принцип  используется  во  всех  ускорителях
частиц  высоких  энергий,  в  которых  приме¬
няются  магниты.  В  таком  ускЬрителе  магнит
создает  поле,  которое  заставляет  пучок  ча¬
стиц  двигаться  по  окружности.
 §  5.  Закон  Ампера
 КАК  НАЙТИ  В
 В  электростатике  мы  научились  вычис¬
лять  напряженность  электрического  поля,
создаваемого  зарядами,  равномерно  рас¬
пределенными  по  сфере,  цилиндру  или  плос¬
кости.  Подобно  этому,  нужно  иметь  метод,
который  позволил  бы  находить  не  только  на¬
пряженность  магнитного  поля,  создаваемого
бесконечным  линейным  током  (8.8).  Сущест¬
вует  более  общее  выражение  для  В,  которое
позволяет  в  принципе  вычислить  напряжен¬
ность  магнитного  поля,  созданного  токами
любой  заданной  конфигурации.  Это  общее
выражение  справедливо  для  любого  замкну¬
того  контура,  охватывающего  рассматривае¬
мый  ток.  Утверждается,  что  произведение
длины  контура  L  на  среднее  значение  состав¬
ляющей  напряженности  магнитного  поля  В
 199
 Масса  протона  т  —  1,67-Ю-24  г.  Поэтому

вдоль  него  равно  суммарному  току,  заклю¬
ченному  внутри  этого  контура,  умноженному
на  4  л/с.  Общее  выражение  для  В  имеет  вид
 Закон  Ампера
 Фиг.  114.  Замкнутый  контур  длиной
2nR  вокруг  тока  /.
 (8.12)
 Фиг.  115.  Соленоид.
 Прямоугольный  замкнутый  контур  исполь¬
зуется  для  вычисления  напряженности
магнитного  поля  В  внутри  соленоида.
 где  /  —  суммарная  сила  тока  внутри  зам¬
кнутого  контура  1).
 Проверим  сначала  это  новое  выражение
для  В  на  примере  магнитного  поля  бесконеч¬
ного  линейного  тока.  Выберем  на  фиг.  114
в  качестве  замкнутого  контура  вокруг  тока
окружность  с  радиусом  R.  Тогда  L=2nRt
a  B=2I/cR  [см.  (8.8)].
 В  таком  случае  (Bl  L)  =  2I/cR  2nR  =
=4я//с,  что  совпадает  с  выражением  (8.12).
В  дополнение  к  (8.12)  можно  показать,  что
силовые  линии  должны  быть  непрерывны.
Поскольку  же  магнитных  зарядов  в  природе
не  существует,  то  силовые  линии  магнитного
поля  нигде  не  начинаются  и  не  кончаются.
Они  образуют  замкнутые  кривые.
 Соленоид
 Теперь  применим  закон  Ампера  к  соле¬
ноиду.  Соленоид  —  это  витая  цилиндриче¬
ская  обмотка,  или  спираль,  намотанная  по
п  витков  на  1  см.  Силовые  линии  магнитного
поля,  создаваемого  соленоидом,  изображены
на  фиг.  115.  В  качестве  замкнутого  контура
рассмотрим  прямоугольник,  показанный
на  фигуре.  Выберем  L2  и  L4  настолько  боль¬
шими,  чтобы  дальний  конец  прямоугольника
оказался  в  области  очень  слабого  поля  В.
Величина  BL  в  законе  Ампера  —  это  взвешен¬
ное  среднее  значение  BL  вдоль  замкнутого
контура.  По  определению  взвешенного  сред¬
него  значения  (см.  стр.  35):
 (8.13)
 1}  Как  видно  из  (8.12),  закон  Ампера  можно
записать  также  в  виде  2£l-Ll=4n//c.  Знак  сумми-
i
 рования  2  означает  2£/-£/=£111+£212-|-...+£дг£дг,
 i
 если  весь  контур  L  разбить  на  отрезки  Lj,  Lt,

Составляющие  магнитного  поля  вдоль  уча¬
стков  пути  L2  и  L4  (В2  и  ВА)  равны  нулю,  так
как  магнитное  поле  перпендикулярно  L2  и  L4.
Кроме  того,  В2  близко  к  нулю,  так  как
участок  L3  находится  далеко  от  соленоида.
В  таком  случае  выражение  (8.13)  при¬
нимает  вид
 (8.14)
 Суммарный  ток,  заключенный  внутри  зам^
кнутов  контура,  равен  силе  тока  /,  умно¬
женной  на  число  витков  nLx.  Таким  образом,
правая  часть  (8.12)  имеет  вид  4zilnLJc.  При¬
равняв  ее  правой  части  (8.14),  получим  вели¬
чину  напряженности  магнитного  поля  внут¬
ри  соленоида:
 Заметим,  что  вывод  совершенно  не  зависит  от
того,  в  каком  месте  внутри  соленоида  поме¬
щен  отрезок  Lx.  Таким  образом,  В  постоянно
повсюду  внутри  соленоида,  и  полное  число
магнитных  силовых  линий,  выходящих  из
соленоида,  должно  быть  равно  ВАУ  где
А  —  площадь  поперечного  сечения  солено¬
ида.  Количество  магнитных  силовых  линий
определяется  аналогично  количеству  элект¬
рических  силовых  линий.  Напряженность
магнитного  поля  В  равна  числу  силовых  ли¬
ний  на  единицу  площади  (B=NB/A).  Следо¬
вательно,  полное  число  силовых  линий  В,
выходящих  из  соленоида,  равно
 (8.16)
 Полное  число  магнитных  силовых  линий  В
называется  также  полным  магнитным  пото¬
ком.
 201

Пример.  Телевизионная  электронно-лучевая
трубка  помещается  между  двумя  катушками,  пред¬
назначенными  для  горизонтального  отклонения  элек¬
тронного  луча  (фиг.  116).  Каким  должно  быть  на¬
правление  тока  в  обмотке  верхней  катушки,  чтобы
пятно  сместилось  на  экране  вправо  (если  смотреть
со  стороны  экрана)?
 Этот  пример  может  послужить  упражнением  в
применении  обоих  правил  правой  руки.  Сначала
воспользуемся  вторым  правилом  для  определения
направления  В.  При  этом  надо  быть  осторожным
и  учитывать,  что  на  фиг.  116  ток  направлен  справа
налево,  хотя  электроны  движутся  слева  направо.
Нам  надо,  чтобы  на  этот  пучок  действовала  сила,
перпендикулярная  плоскости  рисунка  и  направлен¬
ная  от  нас.  Применяя  второе  правило,  кладем  ла¬
донь  правой  руки  на  страницу  так,  чтобы  большой
палец  был  направлен  влево.  Тогда  остальные  паль¬
цы  правой  руки  указывают  направление  В.  Теперь
применим  правило  правой  руки  к  элементу  тока  /.
Если  большой  палец  правой  руки  направлен  вправо
вдоль  элемента  тока  /,  то  остальные  пальцы  в  сог¬
нутом  положении  будут  указывать,  что  В  внутри
соленоида  направлено  вверх,  как  мы  и  хотели.  Сле¬
довательно,  ток  течет  вдоль  элемента  /  слева  напра¬
во.  Таким  образом,  мы  получим  ответ  на  поставлен¬
ный  вопрос:  ток  входит  в  обмотку  верхней  катушки
и  выходит  из  обмотки  нижней  катушки.
 Фиг.  117.  Магнитное  поле,  создава¬
емое  током,  текущим  по  проводящей
плоскости.
 Магнитное  поле,  создаваемое  током,
текущим  по  плоскости
 В  заключение  применим  закон  Ампера
для  определения  напряженности  магнит¬
ного  поля,  создаваемого  током,  текущим  по
бесконечной  плоскости.  На  фиг.  117  пока¬
зан  прямоугольный  участок  бесконечной
плоскости,  по  которой  сверху  вниз  течет  ток.
Приблизительно  такая  задача  возникает,
когда  ток  течет  по  металлическому  листу.
Пусть  i  —  сила  тока,  приходящаяся  на  1  см
по  горизонтали.  Рассмотрим  прямоугольник
со  сторонами  а  и  26,  внутри  которого  течет
ток  ia.  Поскольку  плоскость  бесконечна,  то
магнитные  силовые  линии  должны  идти  в
горизонтальном  направлении,  как  показано
на  фигуре.  При  вычислении  величины  BL
по  такому  замкнутому  контуру  стороны  дли¬
ной  2b  не  будут  вносить  вклада,  так  как  В
перпендикулярна  стороне  2Ь.  Таким  образом,
 Фиг.  116.  Телевизионная  трубка
(вид  сбоку).
 Видны  катушки  системы  горизонтального
отклонения.

BlL=  2  Ba.
 Сила  тока,  заключенного  в  пределах  нашего
контура,  равна  /  =  ш,  поэтому  формула
(8.12)  принимает  вид
 Эта  формула  опять-таки  аналогична  соответ¬
ствующей  формуле  (Е—2ло)  для  электриче¬
ского  поля,  создаваемого  бесконечной  за¬
ряженной  плоскостью.
 НИКОГДА  НЕ  ИСЧЕЗАЮЩИЕ  КРОШЕЧНЫЕ
ЗАМКНУТЫЕ  ТОКИ
 Еще  в  древности  нашим  предкам  наряду
с  электростатическими  явлениями  были  из¬
вестны  и  некоторые  магнитные  явления.  Ряд
встречающихся  в  природе  железных  руд
оказывается  намагниченным  и  притягивает
к  себе  образцы,  сделанные  из  других  ферро¬
магнетиков.  Древние  греки  считали,  что  маг¬
нитные  и  электрические  силы  имеют  общую
природу.  Но  к  XVI  веку  ученые  научились
выводить  законы  природы  в  большей  степени
из  результатов  своих  экспериментов,  чем  из
простого  миросозерцания.  И  поскольку  ни¬
кому  не  удавалось  обнаружить  какое-либо
взаимодействие  заряженного  тела  с  магни¬
том,  они  пришли  к  выводу,  что  магнитные
и  электрические  явления  не  связаны  между
собой.  Наличие  взаимодействия  между  дви¬
жущимся  зарядом  и  магнитом  случайно  от¬
крыл  в  1820  г.  учитель  физики  датчанин
Ханс  Кристиан  Эрстед.  В  конце  лекции  по
физике  он  пытался  продемонстрировать  сво¬
им  ученикам  отсутствие  связи  между  элект¬
ричеством  и  магнетизмом,  включив  электри¬
ческий  ток  поблизости  от  намагниченной
 Этот  параграф  можно  опустить,  поскольку  он
совершенно  не  связан  с  последующим  материалом.
 (8.17)
 §  6.  Теория  магнетизма0
 203

Фиг.  118.  Силы,  действующие  на
магнитный  стержень  в  однородном
магнитном  поле.
 стрелки.  По  словам  одного  из  его  учеников,
«он  был  буквально  ошарашен,  увидев,  как
стрелка  начала  совершать  большие  колеба¬
ния».  Таким  образом,  внезапно  возродилось
к  жизни  представление  древних  ученых  о  свя¬
зи  магнетизма  и  электричества.
 Задача  настоящего  параграфа  —  объяс¬
нить  магнитные  явления  исключительно  на  ос¬
нове  взаимодействия  токов.  Как  ведет  себя  на¬
магниченный  стержень,  помещенный  в  одно¬
родное  внешнее  магнитное  поле?  Как  указыва¬
лось  в  §  4,  при  этом  возникает  вращательный
момеТнт,  который  стремится  повернуть  магнит
так,  чтобы  он  ориентировался  вдоль  магнит¬
ного  поля  (фиг.  118).  Раньше  физики  объяс¬
няли  этот  эффект,  предполагая,  что  кусочек
магнита  имеет  два  полюса  (северный  +т
и  южный  —т)  и  что  на  магнитный  полюс
действует  сила
 F  —  тВ.
 Взаимодействие  двух  магнитов  объясняли
следующим  образом:  магнитный  полюс  тх
создает  магнитное  поле  с  напряженностью
В=тх/г*у  которое  воздействует  на  другой
магнитный  полюс  т2.  При  этом  F=mxmt/r*.
Читатель  может  заметить,  что  это  математи¬
ческое  описание  магнитных  явлений  в  точ¬
ности  аналогично  математическому  описа¬
нию  электростатических  явлений.  Далее,
полное  число  магнитных  силовых  линий,  вы¬
ходящих  из  магнитного  заряда  (полюса)  т,
равно  Nв=4пт.
 Картина  расположения  силовых  линий,
созданных  намагниченным  стержнем,  долж¬
на  напоминать  изображенную  на  фиг.  92
(стр.  166)  картину  силовых  линий  электриче¬
ского  поля,  созданного  двумя  зарядами  про¬
тивоположного  знака.  На  фиг.  119  приводит¬
ся  фотография  расположения  железных  опи¬
лок  около  намагниченного  стержня,  которые
стремятся  ориентироваться  вдоль  направле¬
ния  В.  На  фиг.  120,  а  изображены  магнитные
силовые  линии  поля,  созданного  намагничен¬
ным  стержнем,  а  на  фиг.  120,  б  —  магнит¬
ные  силовые  линии  поля,  созданного  соле¬
ноидом.  Из  сопоставления  этих  фигур  ясно,
 204

Фиг.  119.  Силовые  линии  магнит¬
ного  поля,  созданного  намагничен¬
ным  стержнем  и  полученные  с  по¬
мощью  железных  опилок.

Фиг.  120.  Силовые  линии  В,  создан¬
ные  намагниченным  стержнем  (а)  и
соленоидом  такой  же  формы  (б).
 Фнг.  121.  Силы,  действующие  на
отдельный  виток  соленоида  в  одно¬
родном  магнитном  поле.
 Фнг.  122.  Прямоугольная  рамка  в
однородном  магнитном  поле.
 что  оба  поля  тождественны.  Это  наводит  на
мысль,  что  намагниченный  стержень,  вероят¬
но,  представляет  собой  не  что  иное,  как  со¬
леноид,  состоящий  из  неких  «таинственных»,
никогда  не  исчезающих  внутренних  токов.
 Действительно,  если  соленоид  поместить
во  внешнее  магнитное  поле,  то  он,  так  же  как
и  намагниченный  стержень,  стремится  ори¬
ентироваться  вдоль  силовых  линий  поля.
Это  легко  показать,  если  применить  к  соле¬
ноиду,  изображенному  на  фиг.  121,  формулу
(8.9).  Из  второго  правила  правой  руки  сле¬
дует,  что  сила,  действующая  на  нижнюю
часть  витка,  направлена  вниз,  а  сила,  дейст¬
вующая  на  верхнюю  часть,  направлена  вверх.
Боковые  силы  равны  по  величине  и  дейст¬
вуют  вдоль  одной  прямой  в  противоположные
стороны.  Таким  образом,  на  любой  виток
действует  момент  силы,  стремящийся  повер¬
нуть  катушку,  изображенную  на  фиг.  121,
против  часовой  стрелки,  так  чтобы  ее  ось
совместилась  с  направлением  В.
 Пример.  Выведем  формулу  для  определения  мо¬
мента  силы,  действующего  на  прямоугольную  рам¬
ку,  изображенную  на  фиг.  122.  Момент  силы  7\
действующий  на  сторону  длиной  а,  равен  произве¬
дению  Ы2  на  F  (см.  стр.  104)
 Полный  момент  силы  равен  сумме  двух  одинаковых
моментов,  действующих  на  обе  стороны  длиной  а.
Таким  образом,  Т  =  IBA/с,  где  А  —  площадь  рам¬
ки.  Эта  формула  справедлива  для  витков  любой
формы.  Катушка,  состоящая  из  многих  витков,  на¬
мотанных  на  сердечник,  представляет  принципи¬
альную  схему  электрического  мотора.  В  простейшем
варианте  мотора  постоянного  тока  обмотка  якоря
соединена  с  источником  тока  через  две  щетки,  так
что  направление  тока  в  обмотке  через  каждые  пол-
оборота  меняет  знак.  Благодаря  этому  момент
силы  действует  на  якорь  всегда  в  одном  направле¬
нии,  и  последний  будет  непрерывно  вращаться,
пока  в  обмотке  течет  ток.
 Если  к  рамке  на  фиг.  122  прикрепить  длинную
стрелку  и  пружинку,  то  отклонение  стрелки  будет
тем  больше,  чем  больше  ток.  На  этом  основан  прин¬
цип  действия  амперметра.
 В  1836  г.  Ампер,  чтобы  объяснить  поведе¬
ние  намагниченного  стержня,  предположил,

Фиг.  123.  Амперовы  токи  i
намагниченном  стержне.
 что  он  в  действительности  представляет  со¬
бой  соленоид,  в  который  «вделан»  ток,  теку¬
щий  по  его  внешней  поверхности.  Ампер
говорил:  «...из  простого  сопоставления  фак¬
тов  мне  представляется  невозможным  сомне¬
ваться  в  том,  что  такие  токи  действительно
текут  вокруг  оси  магнита».  Пусть  величина
этого  амперова  тока  равна  i'CGSE(I)jcM
длины  намагниченного  стержня  (фиг.  123).
Тогда,  согласно  (8.16),  полное  число  маг¬
нитных  силовых  линий  равно
 Фиг.  124.  Замкнутые  амперовы  то¬
ки  в  намагниченном  стержне  (вид
со  стороны  полюса).
 Внутренние  токи  взаимно  компенсируют
друг  друга.  Пунктирной  линией  показан
результирующий  поверхностный  ток.  Каж¬
дый  замкнутый  ток  соответствует  току,
текущему  в  молекуле.
 Но  если  считать,  что  поле  создается  магнит¬
ным  полюсом  т,  то
 NB  =  4nm.
 Следовательно,  4ят  =  4ш*'Л  с,
 (8.18)
 Мы  только  что  вывели  формулу,  выра¬
жающую  величину  полюса  магнита  или  со¬
леноида  через  циркулирующий  в  нем  ток  Г.
Но  откуда  берется  этот  непрерывно  текущий
ток?  Ампер  объяснял  это  следующим  обра¬
зом.  Он  сопоставлял  каждой  молекуле  фер¬
ромагнитного  материала  некий  циркулирую¬
щий  ток,  текущий  по  замкнутой  электриче¬
ской  цепи  с  нулевым  сопротивлением.Он  пред¬
положил  также,  что  внешнее  магнитное  поле
может  выстраивать  эти  молекулы  параллель¬
но  друг  другу,  так  что  их  элементарные  маг¬
нитные  поля  складываются.  На  фиг.  124
показано,  как  складываются  эти  элементар¬
ные  токи,  чтобы  в  результате  получался  ток,
текущий  по  поверхности.  Заметьте,  что  при
этом  все  внутренние  токи  взаимно  компенси¬
руются.
 Это  объяснение  магнетизма,  более  чем
на  шестьдесят  лет  опередившее  открытие
электрона,  блестяще  предвосхитило  наши
современные  представления  об  атомной
структуре  вещества  и  природе  магнетизма.
Цепи  амперовых  токов  с  нулевым  сопро¬
тивлением  точно  соответствуют  движению
 207

воровских  электронов  в  атоме.  В  боровской
модели  атома  каждый  электрон  представляет
собой  непрерывный  ток,  подобно  отдельному
витку  соленоида.  В  большинстве  атомов  эти
электронные  орбиты,  или  кольцевые  токи,
ориентированы  таким  образом,  что  они  вза¬
имно  компенсируются.  Однако  ферромагнит¬
ные  вещества,  такие,  как  железо,  кобальт  и
никель,  обладают  следующими  двумя  свойст¬
вами:
 1) 	у  этих  атомов  не  все  электронные  ор¬
биты  и  спины  электронов  (обусловленные
вращением  заряда)  взаимно  компенсируются;.
 2) 	силы,  действующие  между  соседними
атомами,  таковы,  что  все  замкнутые  токи  ори¬
ентируются  в  одном  и  том  же  направлении.
 В  настоящее  время  нам  известно,  что  лю¬
бой  образец  ферромагнитного  материала  при
комнатной  температуре  состоит  из  макроско¬
пических  доменов  —  областей  размером  по¬
рядка  тысячных  долей  дюйма,—  внутри  ко¬
торых  все  атомы  ориентированы  одинаковым
образом.  В  ненамагниченном  образце  доме¬
ны  ориентированы  случайным  образом.
Но  в  процессе  намагничивания  они  ори¬
ентируются  в  одном  направлении  благо¬
даря  движению  границ  доменов.  Размеры  до¬
менов,  ориентация  которых  была  близка  к
направлению  поля,  увеличиваются  за  счет
других  доменов.
 §  7.  Закон  индукции  Фарадея
 ток  ТЕЧЕТ  БЕЗ  БАТАРЕИ
 Мы  не  рассмотрели  еще  один  последний
фундаментальный  закон  теории  электриче¬
ства,  так  называемый  закон  Фарадея.  До  сих
пор  мы  имели  дело  лишь  с  постоянными  то¬
ками,  фиксированными  в  пространстве.
И  поскольку  закон  Фарадея  рассматривает
только  изменяющиеся  токи,  мы  до  сих  пор
не  делали  никакой  ошибки,  не  принимая  его
во  внимание.  Прежде  чем  привести  общее
выражение  закона  Фарадея,  рассмотрим  сна¬
чала  его  основное  применение  —  электриче¬
ский  генератор.  На  фиг.  125  снова  изображена
 фиг.  125.  Прямоугольная  рамка,
вращаемая  в  однородном  магнитном
поле.
 Такое  устройство  является  простейшим  ге¬
нератором  переменного  тока.

прямоугольная  рамка  в  однородном  магнит¬
ном  поле.  Напомним  (см.  фиг.  122),  что  если
по  рамке  пропустить  ток,  то  она  начнет  вра¬
щаться.  Предположим,  что  мы  не  включаем
ток,  а  вращаем  рамку  рукой.  Пусть  скорость
движения  противоположных  сторон  рамки,
Lx  и  L2,  будет  v.  Тогда  из  (8.10)  следует,  что
на  каждый  электрон  проводимости  на  участ¬
ках  Lx  и  Ls  будет  действовать  сила  F=evB/c.
При  перемещении  каждого  такого  электрона
на  расстояние  Lx  эта  сила  совершит  работу
Ur\=evBLJc.  Приращение  энергии  электрона,
проделавшего  весь  путь  вдоль  прямоуголь¬
ной  рамки,  будет  вдвое  больше,  т.  е.
W=2evBLx/c.  Эта  энергия,  приходящая¬
ся  на  единицу  заряда,  называется  электро¬
движущей  силой  (сокращенно  э.  д.  с.).  Элект¬
родвижущая  сила  на  один  оборот  рамки
будет  равна
 Фиг.  126.  Зависимость  от  времени
 э. 	д.  с.,  возникающей  во  вращающей¬
ся  рамке.
 Заметьте,  что  э.  д.  с.  измеряется  в  тех  же  еди¬
ницах,  что  и  электрический  потенциал.
 Если  к  обоим  концам  рамки  подключить
электрическую  цепь,  то  ускорение,  которое
электроны  приобретают  на  участках  Lx  и
Ls,  будет  гнать  их  через  всю  внешнюю  цепь.
Энергию,  накопленную  на  участках  Lx  и
Ls,  электроны  проводимости  отдадут  во  внеш¬
ней  цепи.  Таким  образом,  эта  вращающаяся
прямоугольная  рамка,  подобно  батарее,  слу¬
жит  источником  разности  потенциалов.  Если
рамка  содержит  не  один,  а  N  витков,  то  ин¬
дуцированная  разность  потенциалов,  или
э.  д.  с.,  будет  в  N  раз  больше.  В  этом  и  зак¬
лючается  принцип  работы  электрогенератора.
При  повороте  рамки  на  90°  (см.  фиг.  125)
v  и  В  становятся  параллельными  и  в  этот
момент  э.  д.  с.  обращается  в  нуль.  При  по¬
вороте  рамки  на  180°  сила  и  э.  д.  с.  меняют
направление.  На  фиг.  126  показана  зависи¬
мость  э.  д.  с.  такого  генератора  от  времени.
Эта  колеблющаяся  э.  д.  с.  называется  напря¬
жением  переменного  тока.  В  электрических
линиях,  подводящих  энергию  в  жилые  дома,
 209

напряжение  переменного  тока  колеблется  с
частотой  60  герц  (гцУ\
 Посмотрим  теперь,  какая  существует
связь  между  выражением  (8.19)  и  законом
Фарадея.  Пусть  А  у  —  расстояние  по  верти¬
кали,  которое  сторона  Lx  проходит  за  время
At  (начиная  с  горизонтального  положения
рамки,  соответствующего  углу  поворота  0°).
Тогда  v=Ay/At  и  формула  (8.19)  преобра¬
зуется  к  виду
 (8.20)
 Спустя  время  At,  магнитный  поток,  или  число
силовых  линий  В,  пересекающих  нашу  рам¬
ку,  составит
 В  начале  интервала  At  магнитный  поток
через  рамку  был  равен  нулю.  Следовательно,
изменение  магнитного  потока  за  время  At
равно
 Поэтому  формулу  (8.20)  можно  записать  в
виде
 (8.21)
 Эта  формула  и  есть  закон  Фарадея.  Мы  пока
показали,  что  эта  формула  применима  лишь
к  случаю,  когда  проводник  движется  в  по¬
стоянном  магнитном  поле.  Но  оказывается,
что  закон  Фарадея  носит  более  общий  харак¬
тер.  Он  справедлив  и  в  тех  случаях,  когда
рамка  неподвижна,  a  меняется  за  счет
изменения  В.  Закон  Фарадея  гласит,  что
изменение  тока  в  одной  неподвижной  цепи
индуцирует  напряжение  в  другой  неподвиж¬
ной  цепи.  Это  возникновение  э.  д.  с.  в  не¬
подвижной  цепи  при  изменении  тока  в  ка¬
кой-либо  другой  цепи  было  открыто  в  1830  г.
Фарадеем  и  Генри  независимо  друг  от  друга.
 v  Такая  частота  сети  принята  в  США.  В*Совет¬
ском  Союзе  и  Европе  частота  промышленного  напря¬
жения  составляет  50  гц.—  Прим.  ред.
 210

Трансформатор
 Фиг.  127.  Трансформатор.
 Вторичная
 обмотка
 Одним  из  распространенных  приборов,
основанных  на  законе  Фарадея,  является
трансформатор.  В  трансформаторе  первич¬
ная  и  вторичная  обмотки  обычно  наматы¬
ваются  на  один  и  тот  же  сердечник  так,  что
обе  они  охватывают  почти  одинаковое  число
силовых  линий  В  (фиг.  127).  Поэтому  вели¬
чина  ДNв  /Л/  одинакова  для  обеих  обмоток.
Пусть  число  витков  первичной  обмотки  рав¬
но  Nх,  а  число  витков  вторичной  обмотки
равно  Nг.  Тогда  э.  д.  с.,  или  напряжение  ин¬
дукции  V2,  во  вторичной  обмотке  будет
[см.  (8.21)]
 Точно  так  же  э.  д.  с.  в  первичной  обмотке
 Отношение  этих  напряжений  будет  тогда
равно
 Мы  видим,  что  если  к  первичной  обмотке
трансформатора  приложить  переменное  на¬
пряжение,  то  соответствующим  подбором
соотношения  чисел  витков  можно  получить
либо  большее,  либо  меньшее  напряжение  во
вторичной  обмотке.  Этот  удобный  способ  пе¬
рехода  от  малых  напряжений  к  большим  и
наоборот  является  одним  из  преимуществ
использования  переменного  тока  по  сравне¬
нию  с  постоянным.
 §  8.  Уравнения  Максвелла
 В  ДВУХ  СЛОВАХ  ВСЯ  ТЕОРИЯ  ЭЛЕКТРИЧЕСТВА
 Всю  совокупность  основных  законов  элек¬
тричества  (законы  Кулона,  Ампера  и  Фара¬
дея)  можно  представить  в  виде  системы  урав¬
нений,  известной  под  названием  уравнений
Максвелла.
 211

Напишем  в  левой  части  закона  Фарадея
 (8.21) 	(Ei’L) 	вместо  э.  д.  с.  Это
 \  /  /  позамкн
 контуру
 выражение  представляет  собой  работу  внеш¬
ней  силы  при  перемещении  электрическо¬
го  заряда  вдоль  электрической  цепи.
 Но  поскольку  сила,  действующая  на  еди¬
ницу  заряда,  по  определению  равна  напря¬
женности  электрического  поля  Еу  то  закон
Фарадея  утверждает,  что  изменение  магнит¬
ного  поля  всегда  должно  сопровождаться
возникновением  индуцированного  электри¬
ческого  поля.  Таким  образом,  выражение
 (8.21) 	приобретает  вид
 (8.22)
 У  Максвелла  возникла  мысль,  не  бу¬
дет  ли  иметь  место  также  и  обратное  явле¬
ние?  Не  должно  ли  изменяющееся  электри¬
ческое  поле  индуцировать  магнитное  поле?
Если  бы  это  было  так,  то  к  правой  части  вы¬
ражения
 (8.23)
 следовало  бы  добавить  еще  один  член
l/c(AN  E/At).  Максвелл  назвал  этот  член  током
смещения.  При  этом  он  указал  на  один  при¬
мер,  из  которого  видно,  что  выражение  (8.23)
в  своей  прежней  записи  оказывается  непра¬
вильным.  Этот  пример  и  рассуждения,  кото¬
рые  заставили  Максвелла  ввести  ток  смеще¬
ния,  приведены  в  приложении  к  этой  главе.
 В  итоге  уравнения  Максвелла  (мы  приво¬
дим  их  в  виде,  неудобном  для  дальнейших
расчетов)  1}:
 Х)  В  действительности  уравнения  Максвелла
содержат  еще  одно  равенство,  аналогичное  (8.24),
физический  смысл  которого  заключается  в  отсут¬
ствии  свободных  магнитных  зарядов.—  Прим.  ред.
 212
 позамкн.
 контуру
 по  замкн.
контуру

Величины,  стоящие  в  правых  частях  двух
последних  уравнений,  заключены  в  пределах
замкнутого  контура.  Эти  уравнения  должны
выполняться  для  всех  возможных  замкнутых
контуров.
 §  9.  Электромагнитное
излучение
 ТЕОРИЯ  СВЕТА
 Теперь,  вооруженный  наконец  правиль¬
ными  законами  электричества,  Максвелл
приступил  к  разработке  теории  света.  В  част¬
ности,  он  показал,  что  изменяющийся  ток
излучает  электромагнитные  волны,  которые
распространяются  со  скоростью  v—c,  при¬
чем  с  —  экспериментальный  коэффициент
пропорциональности  в  формуле  для  взаимо¬
действия  токов.  Максвелл  показал  также,
что  векторы  Е  и  В  в  излучаемой  электромаг¬
нитной  волне  перпендикулярны  друг  другу,
а  также  направлению  распространения
волн.  Кроме  того,  он  показал,  что  Е  и  В  име¬
ют  одну  и  ту  же  величину.  В  1864  г.  эта  тео¬
рия  действительно  явилась  выдающимся  до¬
стижением  теоретической  физики.  Простая
система  основных  уравнений  [формулы
(8.24)  —  (8.26)]  давала  объяснение  всем
электрическим,  магнитным  и  оптическим  яв¬
лениям.  Помимо  этого,  теория  Максвелла
предсказывала,  что  электромагнитные  волны
любой,  даже  очень  низкой,  частоты  должны
распространяться  со  скоростью  света.  Впер¬
вые  эта  теория  была  экспериментально  под¬
 213
 по  замкн.
контуру
 7  по  замкн.
контуру
 Это  полное  число  силовых  линий,  выходящих
из  заряда  Q:

тверждена  в  1888  г.  Герцем;  к  1901  г.  Мар-
кони  удалось  передать  электромагнитные
волны  через  Атлантический  океан.  Эти  элек¬
тромагнитные  волны  более  низкой  частоты,
чем  свет  или  инфракрасные  волны,  стали  из¬
вестны  как  радиоволны.
 Обычно  для  доказательства  существова¬
ния  электромагнитного  излучения  требуются
математические  вычисления  с  применением
дифференциальных  уравнений.  Однако  те¬
перь,  после  того  как  мы  в  последних  двух
главах  затратили  столько  усилий  на  вывод
полной  системы  уравнений  Максвелла,  было
бы  стыдно  отступить  перед  самым  концом.
Поэтому  с  помощью  профессора  физики  Ка¬
лифорнийского  технологического  институ¬
та  Р.  Фейнмана  для  этой  книги  было  разрабо¬
тано  следующее  объяснение  электромагнит¬
ного  излучения,  не  требующее  математиче¬
ских  вычислений.
 Рассмотрим  в  качестве  источника  излу¬
чения  бесконечный  плоский  ток.  На  стр.  203
было  показано,  что  напряженность  магнит¬
ного  поля,  созданного  током  iCGSE(I)/cM,
текущим  по  плоскости,  равна  [см.(8.17)1
 Фиг.  128.  Электрическое  и  магнит¬
ное  поле  волны,  испускаемой  по¬
верхностным  током  плотностью
iCGSE(/)/c*.
 Электромагнитная  волна  прошла  расстоя¬
ние  х.
 Теперь  рассмотрим  случай,  когда  сначала
ток  отсутствовал,  а  затем  был  внезапно  вклю¬
чен  (фиг.  128).  Мы  предположим,  что  поле
B=2ni/c  распространяется  в  обе  стороны  от
плоскости  со  скоростью  vy  а  также  что  маг¬
нитному  полю  В  сопутствует  однородное
электрическое  поле  £,  перпендикулярное  В.
Иными  словами,  мы  предполагаем,  что  от
бесконечной  плоскости  со  скоростью  v  рас¬
пространяется  волна,  имеющая  вид  «ступен¬
чатой»  функции  Е  и  В.  Тогда  величины  £,  В
и  v  можно  найти  из  уравнений  (8.25)  и  (8.26).
Мы  получим  E~B~2ni/c  и  v—c.  Следова¬
тельно,  эта  расходящаяся  электромагнитная
волна,  движущаяся  со  скоростью  v=c,  дей¬
ствительно  удовлетворяет  уравнениям  Макс¬
велла  и,таким  образом,  является  правиль¬
ным  решением  нашей  задачи  при  внезап¬
ном  включении  тока  i.

Рассмотрим  ситуацию,  показанную  на
фиг.  117  и  возникающую  вскоре  после  вклю¬
чения  тока,  когда  волна  B=2ni/c  успела  рас¬
пространиться  только  на  расстояние  х<Ь.
В  этом  случае  В  на  концах  прямоугольного
контура  остается  еще  равной  нулю  и  урав¬
нение  (8.25)  принимает  вид
 (8.27)
 Знак  минус  обусловлен  тем,  что  в  качестве
положительного  мы  выбрали  направление
вверх.  Поток  напряженности  электрического
поля  Ne  равен  величине  £,  умноженной  на
площадь  прямоугольника  2ах.  Таким  обра¬
зом,
 есть  скорость  изменения  во  времени  потока
напряженности  электрического  поля  через
наш  прямоугольник.
 Подставляя  это  выражение  в  уравнение
(8.27),  получаем
 Но  поскольку  множитель  (2ni/c)  равен  вели¬
чине  В,  то,  следовательно,
 (8.28)
 Чтобы  найти  отсюда  скорость  v,  необходимо
еще  одно  уравнение.  Оно  получается,  если
воспользоваться  вертикальным  прямоуголь¬
ником  на  фиг.  128.  Вклад  электрического
поля  в  величину  (El-L)  п0  замкн  отличен
 контуру
 от  нуля  только  вдоль  левой  стороны  этого
прямоугольника.
 Таким  образом,
 215

Фиг.  129.  Электромагнитные  импуль¬
сы  длительностью  1-10~в  сек,  воз¬
никающие  в  результате  включения
и  выключения  тока  по  бесконечной
плоскости.
 Показаны  квадратный  элемент  бесконечной
плоскости  и  электромагнитная  волна.  Маг¬
нитные  силовые  линии  изображены  крас¬
ным  цветом,  а  электрические  силовые  ли¬
нии  —  черным.
 а  —  /  =  О  (ток  i  только  что  включен);  б  —
t=\-\0-b  сек  (ток  i  только  что  выключен);
в  —  /  =  3*  10  —  ®  сек  (ток  /  только  что  вклю¬
чен);  г  —  /  =  4-10сек  (ток  /  только  что
выключен).
 Уравнение  (8.26)  принимает  вид
 »
 но  J\/B=tiaxy  AN  B/At  =  Ba{Ax/At)  =  Bov,
поэтому  написанное  выше  соотношение  пре¬
образуется  в
 или
 Разделив  это  уравнение  на  (8.28),  получим
 v=c.
 Точно  таким  же  способом  можно  дока¬
зать,  что  если  внезапно  выключить,  а  затем
внезапно  включить  ток,  то  излучается  пря¬
моугольная  электромагнитная  волна,  или  им¬
пульс.  Процесс  испускания  таких  импульсов
проиллюстрирован  на  фиг.  129.  В  самом  деле,
поскольку  Е  пропорционально  /,  то  при  си¬
нусоидальном  изменении  i  будет  излучаться
синусоидальная  волна.  А^аксвелл  предполо¬
жил,  что  видимый  свет  представляет  собой
электромагнитные  волны  с  соответствующими
длинами  волн.  До  того  времени  (1864  г.),
вероятно,  самой  центральной  проблемой  фи¬
зики  была  как  раз  природа  световых  волн.
Благодаря  Максвеллу  мы  теперь  знаем,  что
световые  волны  —  это  колеблющиеся  элект¬
рическое  и  магнитное  поля.  Обсуждение
этих  вопросов  будет  продолжено  в  гл.  10.

Приложение
 Фиг.  130.  Ток,  текущий  «через»  кон¬
денсатор  с  круглыми  пластинами
радиусом  R.
 Рассмотрим  вопрос  о  необходимости  до¬
бавления  члена  \\/c{ANЕ/Ы)]  к  уравнению
 (8.23).  Мы  покажем,  что  при  применении
уравнения  (8.23)  к  плоскому  конденсатору
с  круглыми  пластинами  возникают  математи¬
ческие  противоречия,  тогда  как  исправлен¬
ное  уравнение  (8.25)  дает  правильный  резуль¬
тат.
 Рассмотрим  ток  /,  текущий  к  конденсато¬
ру  (фиг.  130).  Заряд,  покидающий  правую,
пластину  конденсатора,  накапливается  на
левой  его  пластине.  Как  показано  на  стр.  200,
выбрав  охватывающие  ток  окружности  ради¬
усом  R  и  применив  уравнение  (8.23),  получим
магнитное  поле  в  точках  С  и  £,  равное
Bc=Be=^2I/cR.  Но  внутри  окружности  R,
проходящей  через  точку  Д  нет  тока  и,  соглас¬
но  (8.23),  BD=0.  Противоречие  получится,
если  мы  применим  уравнение  (8.23)  к  прямоу¬
гольнику,  одна  сторона  которого  равна  CD,
две  другие  более  короткие  стороны  длиной  s
перпендикулярны  плоскости  фигуры,  а  чет¬
вертая  сторона  соединяет  концы  коротких
сторон  s  и  параллельна  CD.  Для  такого  пря¬
моугольника  (Bl  L)  позамкн  =£c*s—BD'S.
 контуру
 Но  поскольку  внутри  этого  прямоугольника
ток  равен  нулю,  из  уравнения  (8.23)  сле¬
дует
 Максвелл  обнаружил  это  противоречие  и
предложил  следующее  уравнение,  которое
устраняет  его  и,  кроме  того,  согласуется  с
экспериментом:
 где  NЕ—  поток,  или  число  силовых  линий  £,
заключенных  внутри  рассматриваемого
контура.  Это  уравнение  можно  проверить
 217

Задачи
 на  нашем  примере  конденсатора  с  круглыми
пластинами,  если  в  качестве  замкнутого  кон¬
тура  снова  выбрать  окружность  радиусом  Ry
проходящую  через  точку  D.  Полное  чи¬
сло  силовых  линий  Е  между  пластинами  кон¬
денсатора  равно  NF=4nQ  [см.(7.13)].  Тогда
ANF/At=4n&Q/At=4nI.  Подставим  теперь  в
уравнение  (8.25)  4я/  вместо  ANF/At.  В  этом
случае
 Полученное  значение  BD  согласуется  с  вели¬
чиной  Вс,  и,  таким  образом,  противоречие
устраняется.
 1. 	Будет  ли  наблюдатель,  движущийся  вдоль
заряженного  провода,  измерять  тот  же  самый  ток,
что  и  неподвижный  наблюдатель,  или  нет?
 2. 	Предположим,  что  полный  заряд  провода  ра¬
вен  нулю,  но  по  нему  течет  ток.  Измерят  ли  в  этом
случае  движущийся  и  неподвижный  наблюдатели
один  и  тот  же  ток?
 3. 	По  двум  длинным  параллельным  проводам  те¬
чет  одинаковый  ток  в  4  а.  Расстояние  между  про¬
водами  16  см.  Определить  напряженность  маг¬
нитного  поля  В  в  середине  между  проводами:
 а) 	если  токи  текут  в  одинаковом  направ¬
лении;
 б) 	если  токи  текут  в  противоположных
направлениях.
 4. 	Соленоид  длиной  1  м  и  диаметром  8  см  со¬
стоит  из  500  витков  провода.
 а) 	Чему  равна  напряженность  магнитного
поля  В  внутри  соленоида,  если  по  нему  течет
ток  6  а?
 б) 	Каково  суммарное  число  магнитных  си¬
ловых  линий?
 5. 	Напишите  закон  Фарадея  в  такой  форме,  чтобы
 э. 	д.  с.  выражалась  в  вольтах,  а  остальные  единицы
остались  прежними.
 6. 	Электрон,  двигаясь  горизонтально  с  востока
на  запад  через  магнитное  поле,  отклоняется  вниз.
Каково  направление  магнитного  поля?
 7. 	Катушка,  имеющая  300  витков  и  площадь
поперечного  сечения  100  смг,  вращается  в  магнит¬
ном  поле  напряженностью  5000  гс  со  скоростью
 218

Фиг.  131.  К  задаче  9.
 30  см
 10  см
 Фиг.  132.  К  задаче  13.
 Фиг.  133.  К  задаче  14.
 1800  об/мин.  Какова  амплитуда  индуцируемой  в
катушке  э.д.с.?
 8. 	Катушка,  имеющая  1000  витков  и  площадь
поперечного  сечения  100  см2,  под  действием  магнит¬
ного  поля  Земли,  перпендикулярного  ее  попереч¬
ному  сечению,  отклоняется  на  90°  в  течение  1  сек.
При  этом  среднее  значение  э.  д.  с.,  измеренное  за
это  время,  оказалось  равным  0,6  мв  (0,6-10“3  в).
Чему  равна  напряженность  магнитного  поля  Земли?
 9. 	Пучок  электронов,  летящих  со  скоростью
108  см!секу  отклоняется  магнитным  полем  на  90°,
как  показано  на  фиг.  131.
 а) 	Каким  должно  быть  направление  маг¬
нитного  поля  Ву  чтобы  пучок  электронов  откло¬
нился  вниз?
 б) 	Чему  равен  радиус  кривизны  траекто¬
рии  электронов  между  полюсами  магнита?
 в) 	Чему  равна  сила  в  динах,  действующая
на  электроны  в  магнитном  поле?
 г) 	Чему  равна  величина  В  в  гауссах?
 10. 	Выведите  формулу  для  периода  обращения
протона  в  магнитном  поле  В.
 11. 	Ток  величиной  в  8  а  течет  по  тонкой  медной
трубке  диаметром  2  см.  Чему  равно  В  а)  на  расстоя¬
нии  4  см  от  оси  трубки;  б)  на  расстоянии  0,5  см?
(Эта  точка  расположена  внутри  цилиндрической
поверхности,  по  которой  течет  ток.)
 (У  к  а  з  а  н  и  е.  Проверьте,  есть  ли  внутри  замк¬
нутого  контура  радиусом  0,5  см  какой-нибудь  ток?)
 12. 	Коаксиальный  кабель  состоит  из  внутрен¬
него  и  внешнего  цилиндров  радиусами  Ry  и  R2.
Вдоль  каждого  из  цилиндров  в  противоположных
направлениях  течет  ток  /  CGSE.  Чему  равно  В  на
расстоянии  г  от  общей  оси  цилиндров:
 а) 	когда  окружность  с  радиусом  г  нахо¬
дится  между  цилиндрами?
 б) 	когда  окружность  с  радиусом  г  нахо¬
дится  снаружи  внешнего  цилиндра?
 13. 	По  двум  соленоидам,  Ли  В,  течет  ток,  как
показано  на  фиг.  132.
 а) 	Какой  конец  соленоида  В  является  се¬
верным  полюсом?
 б) 	Каково  направление  результирующей
силы,  действующей  на  соленоид  В?
(Указание.  Считайте,  что  соленоиды  экви¬
валентны  магнитным  стержням.)
 в) 	Действует  ли  на  соленоид  В  какой-либо
момент  силы?  Если  действует,  то  в  каком  на¬
правлении  будет  вращаться  этот  соленоид?
 14. 	Первичная  обмотка  трансформатора  имеет
103  витков,  а  вторичная  —  104  витков.  К  первичной
обмотке  приложено  переменное  напряжение  с  час¬
тотой  60  гц.  В  результате  создается  магнитное  поле,
причем  через  обе  обмотки  трансформатора  прохо¬
дит  максимально  104  магнитных  силовых  линий  В.
 219

На  графике  построена  зависимость  потока  через
обмотки  от  времени.
 а) 	За  какое  время  поток  В  изменяется  от  О
до  максимума  (104)?
 б) 	Какая  средняя  э.  д.  с.  индуцируется  за
это  время  во  вторичной  обмотке?
 в) 	Чему  равно  среднее  напряжение  на  кон¬
цах  первичной  обмотки  за  это  время?
 15. 	Реактивный  самолет  с  размахом  крыла
20  м  летит  прямо  на  север  со  скоростью  960  кмЫас
и  на  такой  высоте,  где  вертикальная  составляющая
напряженности  магнитного  поля  Земли  составляет
0,6  гс.
 а) 	Чему  равна  разность  потенциалов  меж¬
ду  концами  крыльев?
 б) 	На  каком  крыле  более  высокий  потен¬
циал?
 16. 	Масса  электрона  быстро  возрастает  по  мере
приближения  его  скорости  к  скорости  света.  Чему
равна  масса  электрона,  движущегося  по  окружно¬
сти  радиусом  10  см  в  магнитном  поле  10  000  гс.
 (Указание.  Положите  в  формуле  (8.11)  v=c.)
Во  сколько  раз  масса  электрона  превышает  его
массу  покоя?
 17. 	На  Беватроне  в  Беркли  (Калифорния,  США)
масса  протонов  в  7  раз  превышает  их  массу  покоя,
а  скорость  v  =  0,99  с.  Какой  диаметр  должен  иметь
Беватрон,  если  его  вертикальное  магнитное  поле
В  =  10  000  гс  по  всей  орбите  протонов?
 18. 	Сколько  оборотов  в  1  сек  делает  протон
в  циклотроне  с  магнитным  полем  В  =  18  000  гс?
Обратите  внимание  на  то,  что  ответ  не  зависит  от
скорости  протона  или  радиуса  его  орбиты.
 19. 	Ток,  текущий  в  виде  широкой  полосы,  ко¬
леблется  по  синусоидальному  закону  с  частотой
100  Мгц  (10®  колебаний  в  секунду).  Амплитуда  на¬
пряженности  излучаемого  электрического  поля  рав¬
на  5  в!см.
 а) 	Чему  равна  амплитуда  силы  тока  в
CGSE(/)/c>t?
 б) 	Чему  равна  амплитуда  напряженности
магнитного  поля  В  в  гауссах?
 20. 	По  твердому  стержню  радиусом  R  течет
постоянный  ток  /.  Чему  равна  напряженность  по¬
ля  В  внутри  стержня  на  расстоянии  г  от  его  оси
(г  <  /?)?
 21. 	Предположим,  что  траектория  на  фиг.  113
изображена  в  натуральную  величину  и  напряжен¬
ность  магнитного  поля  В  =  12  000  гс.  Вычислите
массу  электронов,  влетающих  в  пузырьковую  ка¬
меру.(считая,  что  их  скорость  почти  равна  скорости
света).  Во  сколько  раз  Ваш  результат  превышает
массу  покоя  электрона?  Затем,  воспользовавшись
формулой  (3.6),  найдите,  насколько  скорость  элект¬
ронов  близка  к  скорости  света.

ГЛАВА  9
 ПРИЛОЖЕНИЯ
ТЕОРИИ  ЭЛЕКТРИЧЕСТВА

ПРИЛОЖЕНИЯ
ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСТВА
 §  I.  Практическая  система
единиц
 ВОЛЬТЫ  И  АМПЕРЫ
 Обычные  электрические  единицы,  исполь¬
зуемые  электротехниками  и  инженерами  в  их
повседневной  практике,—  это  кулон  для  за¬
ряда,  ампер  —  для  тока,  вольт  —  для  элект¬
рического  потенциала,  дж/сек,  или  ватт,—
для  мощности.  В  гл.  7  мы  определили  вели¬
чину  кулона:  1  KyAOH  =  c/\0CGSE(Q),  причем
коэффициент  с  равен  скорости  света  и  имеет
размерность  см/сек.
 Таким  образом,  практические  единицы
заряда  и  тока  в  3  10*  раз  больше  соответ¬
ствующих  электростатических  единиц.  Прак¬
тические  единицы  были  введены,  по-видимо¬
му,  из-за  того,  что  они  имеют  более  «удобный»
масштаб.  Однако  они  были  бы  еще  удобнее
и  практичнее,  если  бы  в  качестве  переводного
множителя  был  выбран  коэффициент  с,  а  не
с!  10.  Согласно  (7.17),  практическая  единица
потенциала  определяется  единицами,  выб¬
ранными  для  заряда  {кулон)  и  энергии
(джоуль):
 ! 		 1  дж  		107 	эрг
 в  ~  1  кулон  ~  3-10»  CGSE(C)  “
 =  _! 	эРг  —  _L_  CGSEfM
 300  CGSE(-Q)  300 	1 	h
 Таким  образом,  электростатическая  еди¬
ница  потенциала  в  300  раз  больше  соответ¬
ствующей  практической  единицы.
 §  2.  Закон  Ома
 ПРОСТОЕ  СЛЕДСТВИЕ  СТРОЕНИЯ  ВЕЩЕСТВА
 Если  к  проводнику  приложить  разность
потенциалов  V,  то  через  него  потечет  некото¬
рый  ток  /.  Еще  в  начале  XIX  столетия  Георг
Ом  обнаружил,  что  если  температура  метал¬
лического  проводника  остается  постоянной,
то  сила  текущего  по  нему  тока  пропорцио¬
нальна  приложенному  напряжению.
 222

Ом  назвал  коэффициент  пропорциональ¬
ности  между  напряжением  и  силой  тока
сопротивлением  проводника,
 В  практической  системе  единиц  V  изме¬
ряется  в  вольтах,  а  /  —  в  амперах.  Поэтому
единицей  измерения  сопротивления  служит
отношение  в/а.  Эта  единица  имеет  специаль¬
ное  название  —  ом.  В  некоторых  учебниках
физики  для  высшей  школы  перечисляются
три  основных  закона  электричества:
 Но  в  какой  степени  закон  Ома  является
основным?  Имеем  ли  мы  дело  с  новым  фун¬
даментальным  законом  природы  или  это
просто  следствие  строения  вещества  и  основ¬
ных  законов  взаимодействия,  как,  например,
кинетическая  теория?  Как  и  можно  было
ожидать,  верно  последнее.  Сопротивление
различных  материалов  в  различных  условиях
очень  хорошо  объясняется  с  помощью  кван¬
товой  теории  твердого  тела  (см.  гл.  14).  В
следующем  разделе,  опираясь  на  теорию
металлов,  мы  выведем  закон  Ома.
 Вывод  закона  Ома  из  теории  металлов
 Как  будет  показано  в  гл.  14,  переносчи¬
ками  тока  в  металле  являются  электроны,
которые  до  столкновения  с  каким-нибудь
атомом  могут  проходить  расстояния,  рав¬
ные  многим  атомным  диаметрам.  Пусть
L  —  длина  свободного  пробега  электрона
между  двумя  столкновениями.  Время  между
двумя  столкновениями  At=L/vy  где  v  —
скорость  электронов  проводимости.  Если
к  куску  металла  приложить  разность  потен¬
циалов,  то  на  каждый  электрон  проводимости
будет  действовать  сила  еЕ.  В  результате  за
время  At  каждый  электрон  проводимости
 223
 Закон  Ома

приобретет  скорость  дрейфа  Ли,  которая
определяется  с  помощью  второго  закона
Ньютона:
 Подставляя  сюда  вместо  At  эквивалентную
ему  величину  L/v,  получаем
 Ду  =  —£. 	(9.1)
 mv 	v  4
 После  каждого  столкновения  электроны  те¬
ряют  скорость  дрейфа,  которая  вследствие
малости  длины  свободного  пробега  всегда
много  меньше  v.  Сила  тока  равна  произведе¬
нию  трех  величин:  заряда  электрона,  пол¬
ного  числа  электронов  проводимости  на  1  см
длины  проводника  и  средней  скорости  дрейфа
Av/2.  Из  формулы  (9.1)  видно,  что  скорость
дрейфа  (а  следовательно,  и  сила  тока)  про¬
порциональна  напряженности  электриче¬
ского  поля  Е,  которая  в  свою  очередь  про¬
порциональна  приложенной  разности  потен¬
циалов.  Таким  образом,  пока  скорость  v
(или  температура)  остается  постоянной,  сила
тока  пропорциональна  приложенному  на¬
пряжению,  что  и  наблюдал  Ом  в  своих  экспе¬
риментах.  Формула  (9.1),  кроме  того,  пред¬
сказывает  правильную  зависимость  сопро¬
тивления  от  температуры.  Если  температура
возрастает,  то  растет  и  и,  а  сила  тока  умень¬
шается  (увеличивается  сопротивление).
 §  3.  Теория  электрических
цепей
 ЭЛЕКТРОНЫ  ПРЕДПОЧИТАЮТ  ПУТЬ  НАИМЕНЬШЕГО
СОПРОТИВЛЕНИЯ
 В  повседневной  практике  мы  на  каждом
шагу  сталкиваемся  с  последовательными  и
параллельными  соединениями  сопротивле¬
ний.  Полное  сопротивление  Rt  цепи  полу-
 224

Фиг.  134.  Последовательное  (а)  и
параллельное  (б)  соединения  со¬
противлений  Rр  R2  и  R3.
 8  Джей  Орир
 225
 чится,  если  разделить  напряжение,  прило¬
женное  к  цепи,  на  протекающий  через  нее
полный  ток.
 Для  каждого  из  соединений  на  фиг.  134
полное  сопротивление  равно
 При  последовательном  соединении  через
все  сопротивления  течет  один  и  тот  же  ток.
При  параллельном  соединении  полный  ток
равен  сумме  токов,  текущих  через  каждое
сопротивление.  При  последовательном  сое¬
динении  полная  разность  потенциалов  V
равна
 или
 Мы  видим,  что  полное  сопротивление  после¬
довательной  цепи  равно  сумме  отдельных
сопротивлений.  При  параллельном  соедине¬
нии  (фиг.  134,6)
 Разделим  обе  части  уравнения  на  V:
 Обратная  величина  полного  сопротивления
параллельной  цепи  равна  сумме  обратных
сопротивлений  отдельных  ветвей.
 Сопротивление  любой  сложной  электри¬
ческой  .цепи  можно  найти,  представив  ее
в  виде  комбинации  простых  последователь¬
ных  и  параллельных  соединений.  Решение
подобной  задачи  иллюстрируется  следующим
примером.

Фиг.  135.  Сложное  соединение  со¬
противлений.
 Фиг.  137.  Иллюстрация  коротко-
замкнутой  цепи.
 Точка  А  накоротко  соединена  с  землей.
 Пример.  Найдем  для  цепи,  изображенной  на
фиг.  135,  а)  полный  ток,  отбираемый  от  батареи;
 б) 	ток,  текущий  через  сопротивление  6  ом.
 Чтобы  определить  /,  надо  сначала  найти  Rt.
Наша  задача  облегчится,  если  перерисовать  эту
цепь  (фиг.  136)  так,  чтобы  последовательные  и  па¬
раллельные  соединения  сопротивлений  стали  более
очевидными.  Начнем  с  параллельного  соединения
сопротивлений  2  и  6  ом.  Пусть  R  —  сопротивление
этого  соединения.  Тогда
 Эта  цепь  последовательно  соединена  с  сопротивле¬
нием  в  1,5  ом;  следовательно,  полное  сопротивле¬
ние  R'  всей  левой  ветви  равно
 R'  =  R-{-1,5  =  3  ом.
 Наконец,  левая  ветвь  соединена  в  параллель  с  со¬
противлением  3  ом.  Таким  образом,
 Таков  полный  ток,  текущий  от  батареи.
 Чтобы  найти  ток,  текущий  через  сопротивле¬
ние  6  ом,  надо  определить  сначала  ток  Г  через  ле¬
вую  ветвь.  Он  равен
 Этот  ток  распределяется  таким  образом,  что  напря¬
жение  на  сопротивлении  6  ом  и  на  сопротивлении
 2 	ом  будет  одинаковым.  Таким  образом,  75%  то¬
ка  Г  течет  через  сопротивление  2  ом  и  25%  тока
или  0,5  а,—  через  сопротивление  6  ом.
 Короткое  замыкание
 На  фиг.  137  изображена  электрическая
цепь,  в  которой  один.полюс  источника  на¬
пряжения  подключен  к  земле  (имеет  потен¬
циал  земли).  В  теории  электрических  цепей
потенциал  земли  принято  считать  равным
нулю.  Если  соединить  с  землей  одну  точку
цепи,  то  через  это  соединение  ток  не  потечет.
Спрашивается,  чему  равен  потенциал  точки
А  цепи,  изображенной  на  фиг.  137?  Заметьте,
что  эту  точку  цепи  можно  соединить  с  землей
зигзагообразным  проводом,  который,  однако,

минует  все  сопротивления.  Мы  считаем,  что
соединительные  провода  имеют  нулевое  со¬
противление.  Падение  напряжения  вдоль
проводника,  согласно  закону  Ома,  равно
 Таким  образом,  потенциал  точки  А  также
равен  нулю.  А  поскольку  разность  потенциа¬
лов  на  концах  сопротивлений  2  и  4  ом  равна
нулю,  то  через  эти  сопротивления  ток  не
будет  течь.
 Мы  говорим,  что  эти  сопротивления  зам¬
кнуты  накоротко.
 Если  бы  вы  дома  замкнули  накоротко  два
конца  с  напряжением  115  в,  то  по  проводнику
потек  бы  ток
 Практически  этот  ток  не  будет  бесконечным,
поскольку  проводник  должен  обладать  ма¬
лым  сопротивлением.  Однако  ток  будет  до¬
статочно  большим,  чтобы  посыпались  искры
и  перегорели  пробки.
 Мощность  электрического  тока
 Мощность  электрического  тока  равна  ко¬
личеству  потенциальной  энергии  электриче¬
ского  поля,  рассеиваемой  в  единицу  времени:
 Потенциальная  энергия  заряда  Q  равна
U=QV.  Когда  заряд  Q  протекает  по  провод¬
нику,  то  его  потенциальная  энергия  прев^-
ращается  в  тепловую.  При  этом  электриче¬
ская  мощность,  или  скорость  выделения  теп¬
ла,  равна
 Мощность  = 	.
 Величина  Q/t  по  определению  есть  сила
тока  /.  Следовательно,
 Мощность  =^-V. 	(9.4)
 8*
 227

Пример.  Лампочка  75  вт  включена  в  сеть  с
напряжением  115  в.  Какой  силы  ток  она  пропускает
через  себя  и  каково  ее  сопротивление?
 По  формуле  (9.4)  находим
 .  Мощность  75  вт  _  __
 1= 			=  -—=0,65  а.
 V 	115  в
 Теперь,  используя  закон  Ома,  можно  определить  ее
сопротивление:
 Фиг.  138.  Вакуумный  диод.
 а  —  на  аноде  положительный  потенциал
(через  лампу  течет  ток);  б—  на  аноде  от¬
рицательный  потенциал,  и  электроны  не
могут  перелетать  с  катода  на  анод  (в  лам¬
пе  нет  тока).
 §  4.  Электронные  вакуумные
лампы
 ОДНОСТОРОННЕЕ  ДВИЖЕНИЕ
 Неограниченную  область  применения  за¬
конов  электричества  представляет  собой
электроника.  Электроника  использует  спо¬
собность  потока  электронов  двигаться  в  од¬
ном  направлении  для  создания  вакуумных
ламп  и  полупроводниковых  приборов.  В
этом  параграфе  мы  рассмотрим  только  два
типа  вакуумных  ламп  —  диоды  и  триоды.
Полупроводниковые  приборы  с  аналогич¬
ными  свойствами  —это  кристаллические  ди¬
оды  и  транзисторы.
 Диоды
 Если  две  металлические  пластины  —
электроды  —  поместить  в  откачанную  стек¬
лянную  трубку,  то  в  этом  месте  цепь  будет
разомкнута  и  ток  по  ней  не  потечет.  Но  если
один  из  электродов  нагреть  до  высокой  тем¬
пературы,  то  тепловая  скорость  некоторых
электронов  проводимости  металла  окажется
достаточно  высокой  для  их  вылета  из  элект¬
рода.  Теоретическое  объяснение  этого  эф¬
фекта,  называемого  термоэлектронной  эмис¬
сией,  будет  дано  в  гл.  14.  Нагретый  электрод
называется  катодом,  а  холодный
электрод  —  анодом.  Это  устрой¬
ство  в  целом  называют  диодом.
Оно  представляет  собой  сопротив¬
ление  току,  текущему  в  одном  на¬
правлении.Как  видно  из  фиг.  138,
электроны  могут  течь  только
от  катода  к  аноду,  а  не  наоборот.

Фиг.  139.  Диодный  выпрямитель.
 К  входной  клемме  А  приложено  перемен¬
ное  напряжение.  У  выходного  напряжения
на  клемме  В  все  отрицательные  полупери-
оды  «срезаны».
 Напряжение
на  клемме  А
 Фиг.  140.  Диодный  выпрямитель  с
емкостью  С.
 В  отсутствие  емкости  С  выходное  напряже¬
ние  имело  бы  вид,  изображенный  красной
пунктирной  кривой.
 Переменное
напряжение
на  входе
 Фиг.  141.  Схематическое  изображе¬
ние  вакуумного  триода.
 Если  к  аноду  приложено  знакопеременное
напряжение,  то  ток  через  диод  будет  течь
только  в  те  моменты  времени,  когда  напря¬
жение  положительно  (фиг.  139).  К  вход¬
ной  клемме  А  приложено  переменное  на¬
пряжение.  В  течение  каждого  положитель¬
ного  полупериода  через  диод  течет  ток,  и
падение  напряжения  на  со¬
противлении  R  будет  равно
величине  этого  диодного
тока,  умноженной  на  R.  За¬
метьте,  что,  хотя  напряжение
на  клемме  А  отрицательно
на  протяжении  50°/0  всего
времени,  на  клемме  В  оно
никогда  не  бывает  отрица¬
тельным.  Напряжение  в  этой  точке  можно
использовать  для  зарядки  конденсатора.
Такая  схема  включения  диода  называется
диодным  выпрямителем  (фиг.  140).  Диодный
выпрямитель  может  превра¬
щать  переменное  напряже¬
ние  в  постоянное.  Во  всех
действующих  радио-  и  теле¬
устройствах  имеются  диод¬
ные  выпрямители,  превра¬
щающие  переменный  ток  в
постоянный.
 В  отличие  от  диода  триод  содержит  еще
один,  третий,  электрод,  позволяющий  усили¬
вать  переменное  напряжение.  Этот  третий
электрод,  называемый  сеткой,  представляет
собой  экран  из  тонкого  провода,  намотанного
вокруг  катода.  Если  потенциал  сетки  оказы¬
вается  отрицательным  относительно  потен¬
циала  катода  на  величину  Vg  в,  то  из  всех
электронов,  вылетающих  с  катода,  достичь
сетки  и  двигаться  дальше  к  аноду  смогут
только  те,  кинетическая  энергия  которых
превышает  eVg.
 Пример.  В  триоде,  изображенном  на  фиг.  141,
максимальная  кинетическая  энергия  электронов,
вылетающих  из  катода,  равна  6,4-10—12  эрг.  Чему
равно  напряжение  запирания  триода  в  вольтах
(т.  е.  то  минимальное  напряжение  на  сетке,  которое
 229
 Триоды

Фиг.  142.  Зависимость  анодного
тока 	1р  триода  (изображенного
 на  фиг.  143)  от  напряжения  на
сетке  Vg.
 Фиг.  143.  Усилитель  на  триоде.
 Входное  напряжение  на  сетке  усиливается
в  25  раз.
 прекращает  прохождение  электронов  от  катода  к
аноду)?
 Кинетическая  энергия  электронов  эмиссии
уменьшается  сеткой  на  величину  eVg:
 Таким  образом,  если  напряжение  на  сетке  ока¬
зывается  более  отрицательным,  чем  —4  в,  то  элект¬
ронный  ток  (называемый  также  анодным  током)  пре¬
кратится.
 На  фиг.  142  показана  типичная  зависи¬
мость  анодного  тока  1р  от  напряжения  на
сетке  Vg  для  триода,  последовательно  сое¬
диненного  с  сопротивлением  R.  Фиг.  142  и
143  соответствуют  одному  и  тому  же  триоду
с  напряжением  запирания—4  в.  Если  потен¬
циал  сетки  оказывается  положительным
относительно  потенциала  катода,  то  сопротив¬
ление  триода  будет  меньше  R.  В  этом  случае
анодное  напряжение  (в  точке  В)  оказывается
близким  к  нулю,  так  как  почти  все  100  в
падают  на  большом  сопротивлении  R.  На¬
пример,  если  сопротивление  триода  равно
1°/0  от  R,  то  анодное  напряжение  равно  1  в.
Если  напряжение  на  сетке  оказывается
более  отрицательным,  чем  напряжение  запи¬
рания  —4  в,  то  сопротивление  триода  будет
бесконечно  велико  по  сравнению  с  R  и  на¬
пряжение  в  точке  В  должно  быть  равно  на¬
пряжению  питания  (100  в  на  фиг.  142).  Таким
образом,  если  заставить  напряжение  на  сетке
периодически  меняться  от  Одо  —4  в,  то  на¬
пряжение  в  точке  В  будет  соответственно
изменяться  между  1  и  100  б.  Поступающий
на  сетку  сигнал  в  виде  переменного  напряже¬
ния  с  амплитудой  4  в  будет  усилен  на  аноде
до  напряжения  с  амплитудой  99  в.  Таким
образом,  входное  напряжение  на  сетке  уси¬
ливается  почти  в  25  раз.  Если  нам  требуется
еще  большее  усиление,  то  анодное  напряжение
можно  было  бы  подать  на  сетку  следующего
триода.  Тогда  полное  усиление  первона¬
чального  сигнала  составит  25x25,  или  625.

Фиг.  144.  Зависимость  высокоча¬
стотного  напряжения  от  времени
(черная  кривая).
 Высокочастотная  электромагнитная  волна
промодулирована  на  фигуре  чисто  синусо¬
идальной  волной  или  музыкальным  тоном
с  частотой  1000  гц  (красная  кривая).  Для
наглядности  частота  несущей  волны  зна¬
чительно  уменьшена.
 Фиг.  145.  Напряжение,  снимаемое
с  диодного  детектора  (сплошная
красная  кривая).
 Это  выходное  напряжение  повторяет  пер¬
воначальный  звуковой  сигнал  с  неболь¬
шими  высокочастотными  пульсациями.
Тонкая  черная  кривая  представляет  собой
высокочастотный  сигнал  с  отсеченными
отрицательными  полупериодами.
 С  усовершенствованием  триодов  стало
возможным  неограниченное  усиление  исклю¬
чительно  слабых  сигналов.  Это  открыло  но¬
вые  перспективы  в  развитии  радиосвязи.
 §  5.  Радио  и  телевидение
 ПОВСЕДНЕВНАЯ  ЭЛЕКТРОНИКА
 Радиостанция  с  амплитудной  модуляцией
передает  электромагнитные  волны  определен¬
ной  частоты,  лежащей  в  радиовещательном
диапазоне.  Радиовещательный  диапазон
включает  частоты  от  0,5  до  1,6  Мгц
(1  Мгц  =  10е  колебаний  в  1  сек).  Амплитуда
электромагнитной  волны  модулируется,  или
изменяется,  передаваемым  звуковым  сигна¬
лом.
 В  качестве  примера  на  фиг.  144  изображе¬
на  электромагнитная  волна,смодулированная
чистым  музыкальным  тоном  с  частотой
1000  гц.  В  радиоприемнике  этот  слабый  сиг¬
нал  улавливается  антенной,  усиливается
высокочастотным  усилителем  (УВЧ),  а  затем
подается  на  диодный  выпрямитель  (часто  на¬
зываемый  диодным  детектором).  Напряжение
на  выходе  диода  повторяет  первоначальный
звуковой  сигнал  с  частотой  1000  гц  (фиг.  145).
Этот  звуковой  сигнал  усиливается  усилите¬
лем  низкой  частоты  (УНЧ)  и  подается  на
динамик.  Блок-схема  радиоприемника  с
амплитудной  модуляцией  показана  на
фиг.  146.
 В  телевидении  видеосигнал  также  моду¬
лирует  амплитуду  передаваемых  радиоволн.
Поэтому  телевизионный  приемник  очень  по¬
хож  на  радиоприемник.  Только  видеосигнал
в  конечном  счете  используется  для  модуля¬
ции  интенсивности  электронного  луча,  ко¬
торый  попадает  на  экран  электронно-лучевой
трубки.  Напряжение  выходного  видеосиг¬
нала  пропорционально  яркости  передавае¬
мого  изображения.  В  интервалы  времени
между  двумя  последовательными  строками
развертки  видеосигнал  содержит  импульсы,
^управляющие  схемой  развертки,  которая
 Динамик
 231
 Фиг.  146.  Блок-схема  радиоприем¬
ника.

генерирует  следующую  строку.  На  фиг.  147,а
показана  развертка  изображения  буквы
«N»,  а  соответствующий  видеосигнал  —  на
фиг.  147,6.  Блок-схема  телевизионного  при¬
емника,  включая  развертки,  показана  на
фиг.  148.  Широковещательное  телевидение  в
США  работает  на  525  строках  при  30  пол¬
ных  кадрах  в  секунду  ,).
 рпп  п_пл  [илл  рллл  fimui  [лил
 Строка  1  Строка  2  СтрокаЗ  Строка  4  Строка  5  Строка  6  Строка  7
 Ж  V 	1Г 	IE 	IT 	Г
 ипп
 СтрокаЗ
 ДЕ
 СтрокаЗ
 Фиг.  147.  Передача  изображения  бук¬
вы  N  с  помощью  9  строк  развертки.
а  —  изображение  на  экране  кинескопа;
б—форма  видеосигнала,  создающего  изо¬
бражение  (этот  сигнал  управляет  интен¬
сивностью  электронного  луча).
 Фиг.  148.  Блок-схема  телевизион
ного  приемника.
 §  6.  Электрон-вольт
 ЕЩЕ  ОДНА  ЕДИНИЦА
 Электрон-вольт  (эв)  —  еще  одна  единица
измерения  энергии  наряду  с  эргом  и  джоулем.
Она  достаточно  мала  по  величине  и  удобна
для  измерения  энергии  отдельных  элемен¬
тарных  частиц:
 1  эв=  1,6-10-12  эрг.
 Эта  единица  выбрана  в  соответствии  с  коли¬
чеством  энергии,  приобретаемым  отдельным
электроном  при  его  ускорении  разностью  по¬
тенциалов  в  1  в.  Это  утверждение  можно  про-
 Х)  В  СССР  принят  иной  стандарт  —  625  строк  и
24  кадра  в  секунду.—  Прим.  ред.
 232

верить,воспользовавшись  выражением  (7.14):
 W=Q-V,
 1  Зб  =  (в)-(1б)  =
 =  4,8-10~10  CGSE(Q)-  (gJyCGSE^))  =
=  1,6-10-12  эрг.
 Пример.  Потенциалы  катода,  сетки  и  анода
триода  равны  соответственно  0,  —  2  и  90  б.  Элект¬
рон  вылетает  с  катода  с  кинетической  энергией  3  эв.
 а) 	Чему  будет  равна  кинетическая  энергия
этого  электрона,  когда  он  достигнет  сетки?
 б) 	Чему  будет  равна  его  кинетическая  энер¬
гия,  когда  он  достигнет  анода?
 в) 	Какое  напряжение  надо  приложить  к
сетке,  чтобы  электроны  с  энергией  3  эв  не  до¬
стигли  анода?
 Разность  потенциалов  между  сеткой  и  катодом
равна  2  в,  причем  электрическое  поле  в  этой  об¬
ласти  тормозит  электроны.  Следовательно,  элект¬
рон,  достигая  сетки,  теряет  2  эв  и  его  кинетическая
энергия  будет  равна  3  эв  —  2  эв  =  1  эв.  Разность
потенциалов  между  сеткой  и  анодом  равна  92  в  и
имеет  противоположный  знак.  Поэтому  электрон,
прошедший  от  сетки  до  анода,  приобретает  энер¬
гию  92  эв,  и  его  кинетическая  энергия  при  достиже¬
нии  анода  будет  равна  1  эв  +  92  эв  =  93  эв.
 Если  бы  сетка  имела  отрицательный  потенциал,
превышающий  3  в,  то  электрон  потерял  бы  всю  свою
кинетическую  энергию  еще  до  сетки,  и  поэтому  ни¬
когда  не  достиг  бы  ни  сетки,  ни  анода.
 Кинетическая  энергия,  которую  элемен¬
тарные  частицы  приобретают  в  ускорителях
высоких  энергий,  обычно  измеряется  в  эв
или  Мэе  (миллион  электрон-вольт).  Гене¬
ратор  Ван  де  Граафа  (см.  фиг.  90,  стр.  163),
который  может  создать  разность  потенциа¬
лов  в  3  млн.  в,  может  ускорять  электроны
или  протоны  до  кинетической  энергии  3  Мэе.
Генератор  Ван  де  Граафа  можно  использо¬
вать  также  для  ускорения  ядер  гелия  с  за¬
рядом  Q=2e.  В  этом  случае  приобретенная
частицами  энергия  будет  в  2  раза  больше,
так  как  энергия  W=  QV  пропорциональна
заряду  частицы.  Ядра  гелия,  ускоряемые
разностью  потенциалов  в  3  млн.  в,  приобре¬
тут  кинетическую  энергию  6  Мэе.
 Интересно  отметить,  что  масса  электрона
с  энергией  3  Мэе  возрастает  в  7  раз.  В  гл.  3
уже  говорилось  о  том,  что  масса  частицы
 233

увеличивается  по  мере  приближения  ско¬
рости  частицы  к  скорости  света.  Энергия
покоя  электрона  равна  [см.  (5.9)1
 1Р.=/п.с*,
 где  т0=9,1  •  10-28  г  —  масса  покоя  электрона.
Тогда
 IF0=  (9,1  •  10_г8)-(3-  Ю10)г  эрг  =
 =  8,2-10-7  эрг  =
 _  8,2-10"’  _
 1,6-10_1г3в
==  5,1  -10*  эв  =  0,51  Мэе.
 Следовательно,  кинетическая  энергия  элект¬
рона,  равная  3  Мэе,  почти  в  б  раз  больше
его  энергии  покоя.  Полная  энергия  электрона
W  равна  сумме  энергии  покоя  и  кинетиче¬
ской  энергии.  Следовательно,  она  равна
 W  =  7mac\
 Согласно  формуле  (5.9),  релятивистская  мас¬
са  электрона  равна
 Если  теперь  вместо  W  подставить  величину
7  т0сг,  то  мы  получим
 тили  т  —  тт^
 §  7.  Циклотрон
 ДВИЖЕНИЕ  ПО  КРУГУ  МОЖЕТ  ОКАЗАТЬСЯ
ВЫГОДНЫМ
 На  стр.  199  мы  говорили,  что  с  помощью
однородного  магнитного  поля  пучок  заряжен¬
ных  частиц  можно  заставить  двигаться  по
окружности.  В  циклотроне  это  однородное
магнитное  поле  создается  большим  электро¬
магнитом.  Кроме  того,  циклотрон  устроен
таким  образом,  что  после  каждой  полуокруж¬
ности  заряженные  частицы  проходят  через
электрическое  поле.  И  если  это  поле  имеет
подходящее  направление,  то  частицы  уско¬
ряются.  На  фиг.  149  показано,  что  электриче¬
ское  поле  создается  между  двумя  полыми
электродами  D-образной  формы.  К  этим
 234

Фиг.  149.  Схема  устройства  циклот¬
рона.
 Магнитные  силовые  линии  обозначены
красными  стрелками;  D-образные  электро¬
ды  изображены  сплошными  черными  ли¬
ниями.  Тонким  черным  пунктиром  пока¬
заны  полюсы  циклотронного  магнита.
Жирный  пунктир  (спиральная  линия)
показывает  путь  протонов,  начинающих
двигаться  из  центра.
 электродам  приложено  переменное  напря¬
жение,  которое  меняет  направление  всякий
раз,  когда  частица  делает  пол-оборота.  Бла¬
годаря  этому  электрическое  поле  всегда  на¬
правлено  так,  что  ускоряет  частицы.  Однако
эту  идею  нельзя  было  бы  осуществить,  если
бы  частицы  с  разными  энергиями  имели  раз¬
ные  периоды  обра¬
 щения.  С  помощью
формулы  (8.11)  мож¬
но  показать,  что  пе¬
риод  обращения  не
зависит  от  энергии
частицы  или  радиуса
ее  круговой  орбиты.
Из  этой  формулы
следует,  что  радиус
орбиты
 (9.5)
 т.  е.  период  не  зависит  от  R  и  v.
Синхроциклотрон
 На  самом  деле  период  Т  [определяемый
формулой  (9.5)]  не  зависит  от  v  только  при
скоростях  частиц,  малых  по  сравнению  со
скоростью  света.  Это  связано  с  тем,  что  по
мере  роста  скорости  увеличивается  масса
частиц:
 По  этой  причине  обычные  циклотроны  могут
ускорять  протоны  только  до  энергий  пример¬
но  20  Мэе.  Но  если  по  мере  возрастания
 235
 Вместо  v  в  это  соот¬
ношение  можно  под¬
ставить  величину
 2nR/T  [см.  (2.15)].  Тогда

Фиг.  150.  Так  шло  развитие  техники
циклотронов.
 Вверху  —  вакуумные  камеры  первого
циклотрона;  внизу  —  один  из  крупнейших
современных  синхроциклотронов  (Беркли,
США).

релятивистской  массы  частиц  увеличивать
и  период  Т  ускоряющего  напряжения,  то  не
будет  предела  (кроме  размеров  магнита)
достижимой  энергии.  Циклотрон,  у  которого
по  мере  ускорения  изменяется  период  7\
называется  синхроциклотроном  (или  фазот¬
роном).
 Пример.  Магнитное  поле  синхроциклотрона  со¬
ставляет  18  ООО  гс.  Какова  будет  частота  колебаний
ускоряющего  напряжения,  если  скорость  протонов
равна:  a)  v  =  0,01  с  или  б)  v  —  0,6  с?
 Подставим  в  (9.5)  значения  Мр  —  1,67-10_24г
и  В  =  1,8*104  гс.  Тогда
 _  2я-1,67-10“24-3«  1010
— 	4,8.10-,M,8-10* 	СвК'
 или
 Если  скорость  равна  0,6  с,  то  массу  протона
надо  вычислить  по  формуле  (3.6):
 Мы  видим,  что  масса  протона  возросла  на  25%.  Сле¬
довательно,  период  Т  также  должен  возрасти  на
25%  [см.  формулу  (9.5)1.  Кинетическая  энергия
такого  протона  составляет  25%  от  его  энергии  по¬
коя,  или  25%  от  938  Мэе,  т.  е.  234  Мэе.
 На  фиг.  150  вверху  показана  вакуумная
камера  первого  циклотрона,  построенного
в  1930  г.  Э.  Лоуренсом  и  М.  Ливингстоном.
Внизу  показан  гигантский  синхроциклотрон
в  Беркли  (США),  также  построенный  Э.  Ло¬
уренсом;  он  вступил  в  строй  сразу  же  после
конца  второй  мировой  войны.  После  некото¬
рых  усовершенствований  он  может  ускорять
протоны  до  энергии  730  Мэе.
 §  8.  Ускорители  частиц
высоких  энергий
 ПРЕДЕЛА  ЕЩЕ  НЕ  ВИДНО
 Благодаря  последним  достижениям  в  об¬
ласти  развития  ускорителей  заряженных
частиц,  удается  достигнуть  еще  больших
энергий  используя  значительно  менее
массивные  магниты,  чем  в  синхроциклотроне
 237

в  Беркли.  Основная  идея  заключается  в  том,
что  магнит  сооружается  только  в  той  области,
где  проходит  внешняя  орбита  циклотрона.
Вместо  циклотронной  вакуумной  камеры
для  частиц  в  них  используется  вакуумная
камера  в  форме  баранки.  В  таком  ускорителе,
так  же  как  и  в  циклотроне,  частицы  ускоря¬
ются,  проходя  через  область,  где  имеется
электрическое  поле.  В  тоже  время  напряжен¬
ность  магнитного  поля  должна  увеличиваться
пропорционально  росту  импульса  частиц;
тогда  в  соответствии  с  (8.11)  радиус  круговой
орбиты  останется  неизменным.  Ускорители
такого  типа  называются  синхротронами.  На
фиг.  151  показан  кольцевой  магнит  элект¬
ронного  синхротрона  в  Корнелле.  Кольцевая
вакуумная  камера  имеет  эллиптическое  по¬
перечное  сечение  размером  1,4x3  дюйм
и  расположена  внутри  магнита.  Величины  R
и  ^макс  У  синхротрона  в  Корнелле  таковы,
что  электроны  могут  ускоряться  в  нем  до
энергий  1,2  Бэв  (миллиард  электрон-вольт).
 Значительная  часть  работ  по  изучению
новых  элементарных  частиц  была  выполнена
на  протонном  синхротроне  (его  называют
Космотроном)  с  энергией  3  Бэв  в  Брукхэй-
венской  национальной  лаборатории,  а  также
на  протонном  синхротроне  с  энергией  6,2  Бэв
в  Беркли  (названном  Беватроном)  1).  Беват-
рон  показан  на  фиг.  239  (стр.  408).  Такого
же  типа  синхротрон  на  энергию  10  Бэв
построен  под  Москвой.  Часть  пульта  управ¬
ления  этой  громадной  машины  показана  на
фиг.  152.
 Наиболее  современный  синхротрон,  рас¬
считанный  на  самую  высокую  энергию,  нахо¬
дится  в  Брукхэйвенской  национальной  ла¬
боратории  (США).  Как  видно  из  фиг.  153
и  154,  он  составляет  в  диаметре  840  фут
и  может  ускорять  протоны  до  энергий  поряд¬
ка  30  Бэв.  Подобный  же  ускоритель  имеется
 х)  В  протонном  синхротроне,  в  отличие  от  элект¬
ронного,  в  процессе  ускорения  изменяется  период
ускоряющего  напряжения.  Поэтому  эти  ускорители
правильнее  называть  синхрофазотронами,  т.  е.
объединяющими  в  себе  особенности  синхротрона  и
фазотрона.—  Поим.  ред.
 239
 Фиг.  151.  Электронный  синхротрон
в  Корнелле  перед  установкой  ваку¬
умной  камеры  (в  форме  баранки).
 Справа  видны  ускоряющие  электроды.
 Фиг.  152.  Пультовая  советского
синхрофазотрона  на  10  Бэв.

Фиг.  153.  Вид  с  воздуха  на  строи¬
тельство  Брукхэйвенского  протон¬
ного  синхротрона  на  30  Бэв.
 Магнит  длиной  в  полмили  находится  в
кольцевом  подземном  туннеле.
 Фиг.  154.  Внутренний  вид  подзем¬
ного  туннеля  Брукхэйвенского
протонного  синхротрона  на  30  Бэв
перед  монтажем  магнита.
 В  отсеке  слева  находится  инжектор  про¬
тонов.

в  международной  лаборатории  ЦЕРН’а  в
Женеве  (Швейцария).  В  настоящее  время
в  Советском  Союзе  и  в  Стенфордском  универ¬
ситете  имеются  проекты  ускорителей,  энергия
которых  будет  примерно  в  2  раза  больше  1).
 Пример.  Каков  должен  быть  диаметр  протон-
ного  синхротрона  на  энергию  30  Бэв,  если
Дмакс=  8000  гс?
 Согласно  формуле  (8.11),
 <9-6>
 Сначала  по  формуле  W  =  Мс2  найдем  релятивист¬
скую  массу  протонов  с  кинетической  энергией
30  Бэв.  Полная  энергия  W  протона  с  кинетической
энергией  30  Бэв  равна  30  Бэв  плюс  энергия  покоя
938  Мэе,  или  всего  30,938  Бэв.  Отсюда
 30,938  Бэв  ,,1Л_23
 М  =—!—^ 	=  5,5-10  23  г.
 с2
 Это  значение  М  надо  теперь  подставить  в  формулу
(9.6).  Кроме  того,  в  качестве  скорости  и  подставим
величину  с  =  3-1010  см/сек,  поскольку  такие  «край¬
не  релятивистские»  протоны  движутся  почти  со
скоростью  света.  Тогда  из  (9.6)  поручится  радиус
орбиты:
 (5,5-10-”)  (3.10“)’ 	29.104  ли_
 (4,8-10“10)  (8-103) 	’
 =  390  фут  =  129  м.
 Ясно,  что  нет  предела  той  энергии,  кото¬
рой  можно  достигнуть  на  синхротроне,  если
не  учитывать,  конечно,  ограниченных  раз¬
меров  Земли.  Читатель  лучше  поймет,  для
чего  нужны  такие  ускорители  частиц  высоких
энергий,  когда  познакомится  с  гл.  15  и  16.
Без  этих  ускорителей  было  бы  невозможно
изучить  основные  свойства  и  законы  взаимо¬
действия  элементарных  частиц  вещества.  В
самом  деле,  некоторые  элементарные  частицы
были  открыты  с  помощью  ускорителей  ча¬
стиц  высоких  энергий.  И  именно  на  этих
фундаментальных  свойствах  элементарных
частиц  в  конечном  счете  основана  вся  физи¬
ческая  наука.
 Х)  В  СССР  уже  идет  сооружение  такого  уско¬
рителя,  а  ученые  разрабатывают  возможные  вари¬
анты  ускорителя  на  энергию  до  1000  Бэв.  В  таком
ускорителе  движением  частиц  должны  будут  управ¬
лять  электронно-вычислительные  машины.  Поэтому
его  создатели  назвали  этот  ускоритель  кибернетиче¬
ским.—  Прим.  ред.
 241

Задачи
 1. 	Электрическая  плитка  выделяет  больше  теп¬
ла,  чем  электрическая  лампочка,  если  их  соединить
параллельно.  У  кого  из  них  большее  сопротивление?
 2. 	Напряженность  электрического  поля  можно
выразить  в  в/см.  Чему  равна  напряженность  поля
Е  —  1  в/см  в  dun/CGSE(Q)?
 3. 	Какая  из  следующих  единиц  потенциала  яв¬
ляется  неправильной: 	aps/CGSE(Q),  CGSE(V^),
 дж/а  сек,  dun-CM/CGSE(Q)  или  CGSE(Q)/cm*?
 4.  Расстояние  между 	двумя  параллельными
пластинами  3  см.  Напряженность  электрического
поля  между  ними  20  dun/CGSE(Q).  Чему  равна
разность  потенциалов  между  пластинами?
 5. 	Какая  частота  горизонтальной  развертки  в
американском  телевидении?
 6. 	Радиоприемник  с  частотной  модуляцией  при¬
нимает  радиосигналы  в  1  мкв  (10“®  в)  и  усиливает
их  до  10  в  трехкаскадным  усилителем  с  идентичными
каскадами.  Чему  равен  коэффициент  усиления  каж¬
дого  каскада?
 7. 	Потенциал  катода  в  диоде  равен  +2  в,  а
потенциал  анода  —4  в.  ’Если  электрон  вылетает
с  катода  с  кинетической  энергией  7  эв,  то  чему  будет
равна  его  кинетическая  энергия,  когда  он  достигнет
анода?
 8. 	Чему  равно  сопротивление  цепи  между  клем¬
мами  А  и  В  на  фиг.  155?
 9. 	Мощность,  отдаваемая  динамику  с  сопротив¬
лением  6  ом  низкочастотным  усилителем,  равна
10  вт.  Какой  ток  течет  в  динамике?
 10. 	Батарея  на  6  в  подключена  к  цепи  с  полным
сопротивлением  12  ом  (фиг.  156).
 а) 	Чему  равен  потенциал  клеммы  А?
 б) 	Если  разомкнуть  цепь  в  точке,  указан¬
ной  стрелкой,  каким  будет  тогда  потенциал
клеммы  А?
 11. 	К  клемме  А  приложено  переменное  напря¬
жение  (фиг.  157).  Начертите  кривую  напряжения  на
клемме  В  как  функцию  времени.
 12. 	Каким  должно  быть  сопротивление  X  (вы¬
раженное  через  Rly  R2  и  R3  на  фиг.  158),  чтобы  че¬
рез  прибор  G  не  тек  ток?
 13. 	В  масс-спектрометре  ионизованный  атом  с
зарядом  е,  массой  М  и  скоростью  v  движется  по  ок¬
ружности  в  однородном  магнитном  поле  В  (фиг.  159).
Как  выражается  масса  иона  М  через  величины  еу  и,
с,  В  и  D  (диаметр  окружности)?
 14. 	Частота  электрического  поля  для  ускоре¬
ния  протонов  в  маленьком  циклотроне  с  постоянным
полем  В  равна  107  гц.
 а) 	Какая  частота  требуется  для  ускорения
дейтронов  (Мо  =  2Мн,  Zd  =  1)?
 б) 	Какая  частота  требуется  для  ускорения
однозарядных  ионов  гелия  Не+  (Мне=  4Мн)?
 в) 	Какая  частота  требуется  для  ускорения
дважды  ионизованных  ионов  гелия  Не+  +  ?  (Они
называются  также  а-частицами.)

ГЛАВА  10
 ВОЛНЫ  И  СВЕТ

ВОЛНЫ  И  СВЕТ  §  I-  Электромагнитные  волны
 КОЛЕБАНИЯ  Е  И  В  В  ПРОСТРАНСТВЕ  И  ВРЕМЕНИ
 Фиг.  160.  Вертикальная  антенна.
Показаны  силовые  линии  излучаемого
магнитного  поля.
 Фиг.  161.  Изменение  во  времени
электрического  поля  в  некоторой
фиксированной  точке  пространства.
 Фиг.  162.  Изменение  электрического
поля  вдоль  направления  распро¬
странения  волны  в  заданный  момент
времени.
 В  этой  главе  мы  продолжим  рассмотрение
вопроса,  который  обсуждался  в  конце  гл.  8.
В  §  9  гл.  8  было  показано,  что  любое  перио¬
дическое  движение  зарядов  приводит  к  из¬
лучению  электромагнитной  волны  той  же
частоты.  Там  же  говорилось,  что  электро¬
магнитная  волна  представляет  собой  взаим¬
но  перпендикулярные  электрическое  и  маг¬
нитное  поля  и  распространяется  в  направле¬
нии,  перпендикулярном  £  и  В,  со  скоростью
с=3-1010  см!  сек.  Кроме  того,  амплитуда
напряженности  электрического  поля  должна
быть  равна  амплитуде  напряженности  маг¬
нитного  поля.
 Пример.  Передающая  антенна  радиостанции
смонтирована  вертикально.  На  расстоянии  10  км
к  северу  от  антенны  амплитуда  напряженности  эле¬
ктрического  поля  равна  10~3в/см.  Каковы  величина
амплитуды  напряженности  (в  гауссах)  и  направле¬
ние  излучаемого  магнитного  поля?
 По  правилу  правой  руки  магнитные  силовые
линии  представляют  собой  замкнутые  концентри¬
ческие  окружности  вокруг  тока  в  антенне.  Из
фиг.  160  видно,  что  на  севере  от  антенны  магнитные
силовые  линии  направлены  с  востока  на  запад.
Величина  В  (в  гс)  равна  величине  Е  (в  эл.-стат.  ед.):
10“3
 £=10“se/c^  =  ^g-CGSE(V)/cM=3,33*  10~взл.-стат.ед.
Следовательно,  В  =3,33-10“®  гс.
 Длина  волны
 Если  начертить  на  графике  зависимость
силы  тока  в  передающей  антенне  от  времени,
то  обычно  она  будет  иметь  вид  синусоидаль¬
ной  волны  (как  на  фиг.  161).  В  произвольной
фиксированной  точке  пространства  зависи¬
мость  от  времени  величины  Е  должна  иметь
такой  же  вид,  как  на  фиг.  161.  Периодом  Т
называется  промежуток  времени  между
двумя  последовательными  колебаниями.  Но
напряженность  электрического  поля  Е  колеб¬
лется  не  только  во  времени,  но  и  в  простран¬
стве,  а  именно,  в  данный  момент  времени
величина  напряженности  электрического  по¬
ля  меняется  вдоль  направления  распростра¬
нения  волны  так,  как  показано  на  фиг.  162.
 244

Кривая  зависимости  £  от  г  (расстояние  до
антенны)  также  представляет  собой  сину¬
соидальную  волну.  Длиной  волны  к  назы¬
вается  расстояние  между  двумя  последова¬
тельными  колебаниями.  Общее  свойство  вол¬
нового  движения,  будь  то  электромагнитные
волны,  волны  на  поверхности  воды  или  зву¬
ковые  волны,  состоит  в  том,  что  расстояние,
на  которое  распространяется  волна  за  1  сек,
равно  длине  волны  (А),  умноженной  на  число
колебаний,  совершаемых  за  1  сек  (частота  /).
Таким  образом,
 Расстояние,  пройденное  волной  за  1  сек—Xf.
 Но  расстояние,  проходимое  за  1  сек,—  это
скорость  распространения  волны  v.  Следова¬
тельно,
 (10.1)
 Для  электромагнитных  волн
 (10.2)
 Пример.  Полоса  частот  радиостанций  США  с
частотной  модуляцией  расположена  в  окрестности
100  Мгц.  Какой  должна  быть  длина  антенны  для
приема  таких  станций,  если  каждое  плечо  антенны
должно  составлять  четверть  длины  волны?
 Из  (10.2)  находим
 Следовательно,  каждое  плечо  антенны  должно  иметь
длину  75  см.
 §  2.  Электромагнитный  спектр
 ВСЕ  ВИДЫ  СВЕТА
 Электромагнитные  волны  в  принципе  мо¬
гут  иметь  любую  частоту  от  нуля  до  беско¬
нечно  большой.  Классификация  электромаг¬
нитных  волн  по  частотам  называется
спектром  электромагнитных  волн.  Такой
электромагнитный  спектр  показан  на
фиг.  163.  Электромагнитные  волны  с  очень

низкими  частотами  (всего  несколько  герц)
не  имеют  практического  значения  и  поэтому
генерируются  сравнительно  редко.  Неиз¬
бежно,  однако,  излучение  электромагнитных
волн  линиями  электропередач  переменного
тока  (обычно  с  частотой  60  гц).  Это  излучение
рассматривается  как  потеря  энергии,  и  его
часто  обнаруживают  приемники  автомобилей,
проезжающих  вблизи  линий  высокого  напря¬
жения.
 Электромагнитные  волны  с  частотой,  пре¬
вышающей  несколько  тысяч  герц,  называют
радиоволнами.  Широковещательная  полоса
частот  лежит  в  окрестности  1  Мгц.  Телеви¬
зионная  полоса  (видеочастоты)  начинается
примерно  при  50  Мгц.  Затем  идут  УВЧ
(ультравысокие  частоты),  за  которыми  сле¬
дуют  СВЧ  (сверхвысокие  частоты).
 Электромагнитные  волны  с  самыми  высо¬
кими  частотами,  излучаемые  электронными
генераторами,  называются  микроволнами.  Их
длина  волны  составляет  всего  несколько  сан¬
тиметров  или  даже  миллиметров.
 Электромагнитные  волны  с  еще  более
высокими  частотами  могут  излучаться  моле¬
кулярными  и  атомными  генераторами.  Напри¬
мер,  если  нагреть  газообразный  водород  до
достаточно  высокой  температуры,  то  оба
атома  в  молекуле  водорода  начинают  по  су¬
ществу  совершать  простые  гармонические
колебания  друг  относительно  друга  и  испу¬
скают  электромагнитное  излучение  той  же
частоты.  Эту  частоту  можно  вычислить  из
данных,  приведенных  в  задаче  23  гл.  3.
Ответ  таков:  /=4,9-1013  гц.  Если  обратиться
к  электромагнитному  спектру  на  фиг.  163,  то
видно,  что  такая  частота  соответствует  ин¬
фракрасному  излучению.  Электромагнитное
излучение  в  диапазоне  частот  от  4,3  1014
до  7-1014  гц  лежит  в  области  чувствитель¬
ности  человеческого  глаза;  это  видимый
свет.  Наиболее  низкие  частоты  этого  диапа¬
зона  соответствуют  красному  свету,  наиболее
высокие  —  фиолетовому.  Электромагнитные
волны  с  еще  более  высокими  частотами  не¬
видимы  человеческим  глазом  и  называются
ультрафиолетовым  излучением.  Диапазон

ул  ьтр  афио  летовых 	ч  астот 	п  р  ост  и  р  аетс  я
 вплоть  до  5•  1017  гц.  Начиная  с  этих  частот
и  кончая  частотами  1019  гц  лежит  область
рентгеновского  излучения.  Электромагнит¬
ное  излучение  с  еще  более  высокими
частотами  называется  гамма-излучением.
Гамма-излучение,  имеющее  самую  высокую
из  наблюдавшихся  когда-либо  энергий,  встре¬
чается  в  космических  *  лучах  (см.  гл.  15).
Образование  рентгеновского  и  гамма-излу¬
чений  будет  обсуждаться  в  гл.  12,  13  и  15.
 (10.3)
 Фиг.  164.  Элемент  струны  с  массой
Ql  (гребень  волны).
 а  —  то,  что  видит  наблюдатель,  движущий¬
ся  вдоль  струны  с  той  же  скоростью,  что
и  волна;  б  —  треугольник  сил,  действую¬
щих  на  элемент  струны.
 §  3.  Интерференция
 ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ  ВСТРЕЧАЕТСЯ  С  ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ
 Мы  изучим  общие  свойства  волнового
движения  на  примере  натянутой  струны,
поскольку  волны  вдоль  такой  струны  значи¬
тельно  нагляднее  невидимых  электромагнит¬
ных  волн.  Скорость  распространения  волны
вдоль  струны  v  зависит  только  от  силы  натя¬
жения  струны  Т  и  массы  единицы  длины
струны  Q.  Скорость  волны  выражается  через
эти  величины  формулой
 В  системе  CGS  величина  Т  измеряется  в
динах,  ад  —  в  г!  см.  Эту  формулу  проще  всего
вывести,  если  использовать  систему  отсчета,
движущуюся  вдоль  струны  вместе  с  волной.
Наблюдателю  в  этой  системе  отсчета  волна
будет  казаться  наподвижной,  а  струна  будет
перемещаться  в  противоположную  сторону
со  скоростью  v.  Гребень  волны  с  точки  зрения
такого  наблюдателя  будет  выглядеть  таким,
как  показано  на  фиг.  164.  Участок  струны
длиной  I  будет  перемещаться  со  скоростью
волны  v  налево  по  кривой  с  радиусом
кривизны  R.  Результирующую  силу  F,  дей¬
ствующую  на  этот  участок  струны,  можно
найти,  складывая  векторы  Тх  и  Г2,  как  пока¬
зано  на  фиг.  164,6.  Согласно  второму  закону
Ньютона,
 247
 Скорость  распространения  волны
вдоль  струны

гдeM—Ql  —  масса  рассматриваемого  участка
струны.  Ускорение  этой  массы  а  представ¬
ляет  собой  центростремительное  ускорение,
т.  е.  a=v2/R.  Таким  образом,
 (Ю.4)
 Заметьте,  что,  если  /  мало,  треугольник
сил  на  фиг.  164,6  подобен  треугольнику  на
фиг.  164,а.  Следовательно,
 что  и  требовалось  доказать.
 Если  струну  быстро  дернуть  за  один  конец
(наподобие  щелчка  хлыстом),  то  вдоль  струны
со  скоростью  v  побежит  одиночный  импульс.
Предположим,  что  в  тот  же  самый  момент
кто-то  создал  импульс  и  на  другом  конце
струны.  Что  будет,  когда  эти  два  импульса
встретятся  посредине  струны?  Оба  импульса
пройдут  «друг  через  друга»  и  будут  продол¬
жать  двигаться  каждый  в  своем  направлении,
как  показано  на  фиг.  165  и  166.  Эта  незави¬
симость  движения  волн  называется  принци¬
пом  суперпозиции.  Согласно  этому  прин¬
ципу,  амплитуда  результирующей  волны
равна  сумме  амплитуд  отдельных  волн.  Этот
принцип  есть  простое  следствие  того,  что  ре¬
зультирующие  смещения,  ускорения  и  силы
равны  суммам  отдельных  смещений,  уско¬
рений  и  сил.  Принцип  суперпозиции  следует
применять  также  и  к  электромагнитным
 248
 Подставив  это  выражение  в  левую  часть
 (10.4),  получим

Фиг.  165.  Два  встречающихся  импульса  одинако¬
вой  полярности,  движущихся  навстречу  друг  другу
по  натянутой  струне.
 а  —  в  области  интерференции  волна,  движущаяся  налево,
показана  штриховой  линией,  а  волна,  движущаяся  на*
право,  —  пунктирной  линией;  б  —  фотография  двух  таких
встречающихся  импульсов.
 Фиг.  166.  Два  импульса  противоположной  поляр¬
ности,  движущихся  навстречу  друг  другу  по  натя¬
нутой  струне.
 а  —  в  области  интерференции  они  компенсируют  друг
друга;  б  —  фотография  двух  таких  встречающихся  им¬
пульсов  противоположной  полярности.

Фиг.  167.  Последовательные  по  вре¬
мени  картины  распространения  двух
синусоидальных  волн  с  противопо¬
ложных  концов  струны.
 Если  бы'по  струне  распространялась  толь¬
ко  одна  синусоидальная  волна  в  левую  сто¬
рону,  то  она  имела  бы  вид,  изображенный
красной  кривой.  После  того,  как  синусо¬
идальные  волны  встретятся,  точки
струны  А  и  С  все  время  остаются  неподвиж¬
ными.  Такие  точки  называются  узлами.
 Фиг.  168.  Четыре  возможные  стоя¬
чие  волны  на  струне  длиной  L,  за¬
крепленной  с  обоих  концов.
 Двойные  линии  показывают  положение
струны  в  момент  ее  максимального  смеще¬
ния.  Область,  в  которой  движется  струна,
заштрихована.
 волнам,  поскольку  результирующие  электри¬
ческие  и  магнитные  поля  равны  суммам
отдельных  полей.  Из  фиг.  166  можно  видеть,
что  если  волны  имеют  противоположные
знаки,  то  при  встрече  они  компенсируют  друг
друга.  Компенсируют  друг  друга  не  только
импульсы,  но  и  непрерывные  синусоидальные
волны.  На  фиг.  167  показаны  в  последователь¬
ные  моменты  времени  две  синусоидальные
волны,  движущиеся  с  противоположных  кон¬
цов  струны  и  встречающиеся  друг  с  Другом.
Надо  заметить,  что  после  того,  как  обе
волны  встретятся  и  наложатся  друг  на
друга,  на  струне  возникнет  стоячая  волна
с  типичными  для  нее  узлами  и  пучностями.
Точки  струны  Л  и  С,  называемые  узлами,
остаются  всегда  неподвижными.  Точка  В,
называемая  пучностью,  колеблется  с  мак¬
симальной  амплитудой.  При  этом  расстояние
между  двумя  соседними  узлами  или  пучно¬
стями  равно  половине  длины  волны.
 Если  заставить  колебаться  натянутую
струну,  закрепленную  на  обоих  концах,  то
возникнут  стоячие  волны  типа  изображенных
на  фиг.  168  и  169.  Волны,  возбуждаемые
в  струне,  будут  отражаться  от  ее  обоих  кон¬
цов.  Отраженные  волны  имеют  противополож¬
ную  полярность,  благодаря  чему  удовлетво¬
ряется  условие  образования  узлов  на  обоих
закрепленных  концах.
 Пример.  Струна  гитары  имеет  длину  30  см  и
массу  100  г.  Каким  должно  быть  натяжение  струны,
чтобы  она  звучала  как  «до»  средней  октавы  (256  гц)?
 Из  формулы  (10.3)  следует,  что  натяжение
Т  =  qv2, 	(10.5)
 где  Q  =  100  г/30  см  =  3,33  г/см.  Чтобы  найти  v,
воспользуемся  соотношением  v  =  X/.  Из  фиг.  168
видно,  что  длина  волны  основного  тона  связана  с
длиной  струны  соотношением  Х/2  =  L,  или  Х=60  см.
Таким  образом,
 v  =  60  см-256  г^  =  1,536-104  см/сек.
 Подставив  это  значение  скорости  в  уравнение  (Ю.5),
найдем  величину  натяжения  струны
 Т  =3,33  (1,536*  104)2  =  7,85*  10е  дин.
 Это  довольно  большая  сила  для  такой  легкой  стру¬
ны.  Поэтому  струны  музыкальных  инструментов
обычно  изготовляют  из  прочных  металлических
сплавов.

Фиг.  169.  Фотографии  стоячих  волн  на  струне.
 По  мере  увеличения  натяжения  струны  число  стоячих
волн  уменьшается.

Фиг.  170.  Интерференция  волн  на
поверхности  воды.
 Волны  возбуждаются  двумя  синхронизо¬
ванными  вибраторами.
 Фиг.  171.  Две  синусоидальные  волны,
сдвинутые  друг  относительно  друга
на  половину  длины  волны.
 При  любом  х  в  области  перекрытия  волн
сумма  их  амплитуд  будет  равна  нулю.
 В  духовых  инструментах  в  качестве
резонатора  используется  закрытый  или  ча¬
стично  закрытый  столб  воздуха.  Стоячие
волны  создаются  в  ограниченном  объеме
воздуха  обычно  благодаря  дутью,  вызываю¬
щему  изменение  плотности.  В  простейшем
случае  замкнутого  ящика  длиной  L  могут
возбуждаться  стоячие  волны  того  же  типа,
что  и  на  фиг.  168.  Только  в  этом  случае
кривые,  изображенные  на  фиг.  168,  будут
описывать  смещение  молекул  воздуха,  а  не
частиц  струны.  Общее  условие  возникнове¬
ния  стоячих  волн  гласит,  что  на  длине  L
должно  умещаться  целое  число  полуволн
 n(j)=L, 	(10.6)
 где  N  —  любое  целое  число  больше  нуля.
Волны  на  поверхности
 Интерференционные  эффекты  могут  воз¬
никать  не  только  в  одномерной  струне,  но  и  в
двухмерной  среде.  Обычный  пример  двух¬
мерного  волнового  движения  —  это  волны
на  поверхности  воды.  На  фиг.  170  показаны
волны  на  поверхности  воды,  возбуждаемые
двумя  синхронизованными  источниками  коле¬
баний.  Волны  от  этих  источников  налагаются
друг  на  друга,  образуя  типичную  интерфе¬
ренционную  картину.  На  фотографии  видно,
что  амплитуда  колебаний  равна  нулю  вдоль
фиксированных  кривых,  называемых  ли¬
ниями  узлов.  Как  и  в  случае  натянутой
струны,  узлы  будут  возникать  в  тех  местах,
где  положительный  гребень  одной  волны
встречается  с  отрицательным  гребнем  другой
волны.  Ясно,  что  это  условие  выполняется
в  тех  точках,  разность  расстояний  которых  до
обоих  источников  колебаний  равна  половине
длины  волны.  Если  две  синусоидальные  вол¬
ны  смещены  друг  относительно  друга  на  пол¬
волны,  то,  как  видно  из  фиг.  171,  их  сумма
будет  равна  нулю.  Если  разность  расстояний”
от  данной  точки  до  обоих  источников  коле¬
баний  (так  называемая  разность  хода)  равна
NX,  где  N  —  любое  целое  число,  то  волны
будут  усиливать  друг  друга  и  в  этой  точке
 253

Фиг.  172.  Линии  узлов  на  фиг.  170.
 Точке  Р  соответствует  разность  хода,  рав¬
ная  (Dj—02)=31гк-
 будет  наблюдаться  максимальная  интенсив¬
ность  колебаний,  или  так  называемая  кон¬
структивная  интерференция.  На  фиг.  172
показаны  линии  узлов  при  интерференции
на  поверхности  воды  (см.  фиг.  170).  Общее
условие  максимума  интенсивностей  имеет
вид
 (10.7)
 а  общее  условие  минимума  интенсивности,
или  линии  узлов,  имеет  вид
 (10.8)
 Пример.  Человек  находится  на  одинаковом  рас¬
стоянии  от  двух  динамиков  стереофонической  системы
высокого  качества  и  слушает  чистый  музыкальный
тон.  Затем'он  начинает  двигаться  в  сторону  до  тех
пор,  пока  тон  не  будет  приглушен  до  минимума.  В
этот  момент  он  находится  на  расстоянии  10  фут  от
левого  динамика  и  8  фут  от  правого  динамика.  Ка¬
кая  частота  соответствует  данному  тону,  если  ско¬
рость  звука  равна  1100  фут1сек  (30  м/сек)?
 Из  формулы  (10.8)  мы  получаем  условие  пер¬
вого  минимума
 D.-D^X,
 причем  (D,—  D2)  —  2  фут.  Таким  образом,
Х=4  фут.  Частота  колебаний  определяется  по  фор¬
муле  (10.1):
 .  v  1100
 /  =  -  =  —=275  гц.
 §  4.  Интерференционная
картина  от  двух  щелей
 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО  ВОЛНОВОЙ  ПРИРОДЫ  СВЕТА
 В  1800  г.  господствовала  корпускулярная
теория  света,  разработанная  Исааком  Нью¬
тоном.  Томас  Юнг  был  одним  из  немногих
ученых  того  времени,  осмелившихся  усом¬
ниться  в  учении  Ньютона.  Он  считал,  что
свет,  так  же  как  и  звук,  должен  представлять
собой  волны.  При  этом  он  рассуждал  следу¬
ющим  образом:  если  это  так,  то  свет  должен
давать  интерференционную  картину,  ана¬
логичную  картине  волн  на  поверхности  воды,
изображенной  на  фиг.  170.  В  качестве  двой¬
ного  источника  Юнг  использовал  две  узкие
 254

щели,  освещенные  одним  источником  света.
В  1803  г.  он  впервые  получил  на  экране  ряд
интерференционных  полос,  хотя  корпуску¬
лярная  теория  света  утверждала,  что  на
экране  должно  быть  видно  только  изображе¬
ние  двух  щелей.  Знаменитый  эксперимент
Юнга  схематически  изображен  на  фиг.  173.
Наблюдавшаяся  на  экране  интерференцион¬
ная  картина  приведена  на  фиг.  174.
 Центры  полос  совпадают  с  максимумами
интенсивности,  которые  соответствуют  раз¬
ности  хода  (Dj—Эта  разность  хода
AD  представляет  собой  одну  из  сторон  ма¬
ленького  прямоугольного  треугольника,
изображенного  на  фиг.  173.  Условие  макси¬
мума  интенсивности  можно  записать  в  виде
 Согласно  определению  синуса,  левая  часть
этого  выражения  представляет  собой  си¬
нус  0  маленького  прямоугольного  треуголь¬
ника  на  фиг.  173.  Таким  образом,  условие,
определяющее  угол  6,  под  которым  распола¬
гается  интерференционный  максимум,  имеет
вид
 (10.9)
 Пример.  Натрий  (или  просто  столовая  соль)  при
нагревании  испускает  желтый  свет  с  длиной  волны
Х=  5,89-10“*  см.  Предположим,  что  это  свечение
натрия  проходит  через  две  узкие  щели,  находящиеся
на  расстоянии  0,1  мм  друг  от  друга.  Если  экран
расположен  в  1  м  от  щели  (фиг.  175),  то  каким  будет
на  экране  расстояние  между  интерференционными
полосами?
 Расстояние  а  между  интерференционными  поло¬
сами  равно  расстоянию  между  центральным  и  пер¬
вым  максимумом,  соответствующим  N  =  1.  Согласно
(10.9),  максимум  с  N  =  1  располагается  под
углом  б,  для  которого
 Из  фиг.  175  видно,  что
 255
 Условие  интерференционных
максимумов

Фиг.  173.  Схема  опыта  Юнга  с  двумя
щелями  в  сильно  увеличенном  мас¬
штабе.
 Расстояние  между  щелями  d  обычно  меньше
1  мм,  а  расстояние  до  экрана  должно
было  бы  во  много  раз  превысить  ширину
этой  страницы.
 Фиг.  174.  Интерференционная  кар¬
тина,  наблюдаемая  в  опыте  Юнга
с  двумя  щелями.
 Такая  картина  получается,  если  на  место
экрана  на  фиг.  173  поместить  фотопленку.
Фотографии  соответствуют  последователь¬
ному  уменьшению  расстояния  между  ще¬
лями  d.
 Фиг.  175.  Распределение  интенсив¬
ности  на  экране,  расположенном  на
расстоянии  1  м  от  двух  щелей.

Следовательно,
 Интенсивность  волны  определяется  как
энергия,  приходящаяся  на  единицу  объема
волны.  Мы  покажем,  что  эта  величина  про¬
порциональна  квадрату  амплитуды  волны.
На  фиг.  176  изображено  распределение
интенсивности  света  в  данный  момент  вре¬
мени  при  интерференции  от  двух  щелей.
При  этом  волны  света  распространяются
слева  направо.  Распределение  в  пространстве
средней  по  времени  интенсивности  света  для
этого  случая  показано  на  фиг.  177.
 Теперь  покажем,  что  интенсивность,  или
энергия,  волны  пропорциональна  квадрату
ее  амплитуды.  Рассмотрим  сначала  волну
с  максимальной  амплитудой  у0,  бегущую  по
струне.  Это  значит,  что  любой  элемент  струны
с  массой  Ат  совершает  простое  гармониче¬
ское  колебание  в  перпендикулярном  направ¬
лении  с  амплитудой  у0.  Если  период  волны
равен  7\  то,  согласно  (3  10),  ускорение
элемента  массы  Ат  будет  равно  а=(4п2/Т2)у.
Тогда  сила,  действующая  на  элемент  массы
Ат,  будет  равна  F  =  (4n2Am/T2)y,  а  энергия
элемента  массы  Am  равна  //2/7макс*г/0  или
(2n2Am/T2)yl  (см.  стр.  109).  Таким  обра¬
зом,  мы  видим,  что  интенсивность  волны
пропорциональна  yl,  т.  е.  квадрату  ее
амплитуды.
 Теперь  покажем,  что  энергия  электро¬
магнитной  волны  пропорциональна  квад¬
рату  амплитуды  напряженности  электриче¬
ского  поля  Е.  Энергия  волны  пропорциональ¬
на  энергии,  теряемой  в  приемной  антенне
длиной  /.  В  свою  очередь  энергия,  теряемая  в
антенне  в  единицу  времени,  равна  мощности
электрического  тока  Vz/R,  где  R  —  сопротив¬
ление  проводника.  Разность  потенциалов  на
концах  проводника  V  равна  произведению
Е  на  /.  Следовательно,  интенсивность  волны
пропорциональна  величине  (El)2/R  или  Е2
 9  Джей  Орир
 257

Фиг.  176.  Распределение  интенсив¬
ности  света  в  данный  момент  вре¬
мени  по  обе  стороны  двух  щелей.
 Волны  и  интерференционная  картина  рас¬
пространяются  слева  направо.
 Фиг.  177.  Усредненное  по  времени
распределение  интенсивности  света
от  двух  щелей.
 Картина  в  точности  такая  же,  что  и  на
фиг.  176,  за  исключением  того,  что  она
наблюдается  на  протяжении  интервала
времени,  большего  по  сравнению  с  перио¬
дом  колебаний.
 §  5.  Диффракционная  решетка
 ТРИ  ИЛИ  БОЛЬШЕ  ЩЕЛЕЙ  ЛУЧЩЕ,  ЧЕМ  ДВЕ
 Диффракционную  решетку  можно  рас¬
сматривать  как  последовательность  двойных
щелей,  расположенных  одна  за  другой.  На
фиг.  178  схематически  представлена  диф¬
фракционная  решетка  с  расстоянием  между
щелями  d  см.  Если  разности  хода  на  фиг.  178
соответственно  равны  ax  =  NXy 	at  =  2NKt
 =  то  волны  от  всех  щелей  будут  уси¬
ливать  друг  друга  и  давать  максимум  ин¬
тенсивности.  Следовательно,  условие  мак¬
симума  интенсивности  имеет  вид
 или
 (10.10)
 В  любом  другом  направлении  каждая  после¬
дующая  волна  не  будет  совпадать  по  фазе
с  предыдущей  волной,  и  в  результате  в  этом
направлении  произойдет  почти  полное  пога¬
шение  волн.
 Таким  образом,  из  формулы  (10.10)  сле¬
дует,  что  каждой  длине  волны  А,  соответствует
определенное  направление  б.  Для  голубого
света  sin  0  будет  почти  вдвое  меньше,  чем
для  красного.  Если  решетку  осветить  пучком
белого  света,  то  на  экране  получится  непре¬
рывный  спектр.  Мы  увидим  в  гл.  13,  что
возбужденные  атомы  (получающиеся  либо  в
электрическом  разряде,  либо  при  нагревании)
излучают  свет  только  определенных  длин
волн.  У  атомов  каждого  сорта  или  элемента
имеется  свой  характерный  набор  длин  волн,
называемый  спектром.
 Пример.  Самой  интенсивной  линией  в  спектре
натрия  является,  безусловно,  линия  D.v  Ей  соответ¬
ствует  длина  волны  А,  =  5890  А  [1  А  (ангстрем)
равен  10—в  сл!].  Какому  углу  соответствует  линия  D
в  спектре  первого  порядка  (N  =  1)  натрия  в  случае
диффракционной  решетки  с  104  линий  на  1  см?
 Если  имеется  104  линий  на  1  см,  то  расстояние
между  щелями  d=  10~*см.  Подставляя  это  значение
 9*
 259

Фиг.  178.  Первые  пять  щелей  диф-
фракционной  решетки.
 в  (10.10),  получаем  угол  б:
 С  помощью  тригонометрических  таблиц  или  счетной
линейки  находим,  что  значению  синуса  0,589  со¬
ответствует  угол  36°.  Следовательно,  линия  D  нат¬
рия  появится  под  углом  36°  по  отношению  нормали
к  решетке.
 Спектрограф  с  диффракционной  решеткой,
несомненно,  представляет  собой  мощное  сред¬
ство  для  изучения  строения  материалов  и
химического  анализа.  Диффракционные  ре¬
шетки  могут  быть  выполнены  путем  нанесения
тонких  линий  на  поверхность  стекла  с  по¬
мощью  растра.
 §  6.  Геометрическая  оптика
 Длины  световых  волн  настолько  малы  по
сравнению  с  размерами  большинства  опти¬
ческих  приборов,  что  интерференционные
эффекты  в  них  обычно  не  проявляются.
Волновой  пакет,  или  цуг  световых  волн,  рас¬
пространяется  вперед  по  прямой.  Любая  такая
прямая,  указывающая  направление  распро¬
странения  световых  волн,  называется  свето¬
вым  лучом.  Как  мы  увидим  далее,  световые
лучи  подчиняются  законам  отражения  (от
зеркальной  поверхности)  и  преломления  (в
прозрачных  средах,  например  линзах).  На
основе  этих  двух  законов,  используя  обычную
евклидову  геометрию,  можно  построить  всю
математическую  теорию,  или  геометрию,  све¬
товых  лучей.  Эта  математическая  теория
лучей  носит  название  геометрической  оптики.
Законы  отражения  и  преломления  света  —
единственные  новые  физические  принципы,
содержащиеся  в  этой  теории.  Поэтому  мы
сконцентрируем  свое  внимание  только  на
двух  этих  законах,  а  остальную  часть  гео¬
метрической  оптики  рассмотрим  весьма  по¬
верхностно.
 Закон  отражения
 Закон  отражения  света  утверждает,  что
если  световой  луч  падает  на  отражающую
поверхность,  то  угол  падения  равен  углу
 МАТЕМАТИКА  ЛУЧЕЙ
 260

Генератор  волн
 Фиг.  179.  Иллюстрация  закона  от¬
ражения  с  помощью  волн  на  поверх¬
ности  воды.
 отражения.  Этот  закон  иллюстрируется  на
фиг.  179  волнами  на  поверхности  воды.
Заметьте,  что  отраженная  волна  должна
покидать  отражающую  поверхность  под  тем
же  углом,  что  и  падающая  волна.  В  качестве
приложения  закона  отражения  света  мы
покажем,  что  вогнутое  зеркало  ведет  себя
подобно  фокусирующей  линзе.  Хорошо  изве¬
стно,  что  простейшая  линза  (или  увеличи¬
тельное  стекло)  собирает  параллельный  пучок
лучей  в  одну  точку,  называемую  фокусом.
Таким  же  свойством  обладает  и  вогнутое
зеркало.  Например,  с  помощью  вогнутого
зеркала  для  бритья  можно  прожечь  дыру  в
кусочке  бумаги,  если  направить  зеркало  на
солнце,  а  бумагу  поместить  в  фокусе.  Как
видно  из  фиг.  180,  фокусное  расстояние
такого  зеркала  равно  половине  его  радиуса
кривизны.  На  этой  фигуре  из  пучка  парал¬
лельных  лучей  выбран  произвольный  луч
АР.  Пусть  б  —  угол  между  этим  лучом  и
нормалью  к  поверхности  зеркала  (СР).  За¬
метьте,  что  СР  —  это  радиус  кривизны  зер¬
кала.  Согласно  закону  отражения,  угол  Л  PC
должен  быть  равен  углу  FPC  и,  следо¬
вательно,  треугольник  FPC  должен  быть
равнобедренным.  Стороны  этого  треугольни¬
ка  CF  и  FP  равны*  между  собой  и  очень
близки  по  величине  к  половине  расстояния
от  С  до  Р,  или  радиуса  кривизны.
 На  фиг.  181  показано,  как  графически
построить  изображение  предмета  (стрелки),
если  известно  положение  фокуса  F.  Луч  1
проведем  от  вершины  стрелки  параллельно
оси  зеркала,  а  луч  2  —  из  вершины  стрелки
к  центру  зеркала.  Точка  пересечения  этих
двух  лучей  и  будет  изображением  вершины
стрелки.  Все  другие  лучи,  выходящие  из
вершины  стрелки,  также  пройдут  (или  почти
пройдут)  через  эту  же  точку.  Вогнутое
зеркало  можно  использовать  для  получения
изображений  отдаленных  предметов.  Полу¬
ченное  изображение  можно  затем  увеличить
с  помощью  увеличительного  стекла,  или  оку¬
ляра.  В  астрономических  телескопах  фото¬
пластинка  помещается  непосредственно  в
фокусе  большого  вогнутого  зеркала.  Этот
 261
 Препятствие
 Угол
 отражения
 Отраженный  пучок
 Падающий  пучок

Фиг.  180.  Параллельный  пучок
света,  падающий  на  вогнутое  зеркало
радиусом  СР.
 распространенный  тип  астрономиче¬
ских  телескопов,  разработанный
Исааком  Ньютоном,  называется  те¬
лескопом-рефлектором.
 Преломление
 Ход  лучей  в  случае  собирающей
линзы  или  увеличительного  стекла
имеет  почти  такой  же  вид,  как  и  у
вогнутого  зеркала.  Собирающая
линза  обладает  способностью  пре¬
ломлять  параллельные  лучи  таким
образом,  чтобы  они  фокусировались
в  одной  точке  —  фокусе  F.
 На  фиг.  182  показано  построение
изображения  стрелки  в  такой  линзе.
Проведем  параллельно  горизонталь¬
ной  оси  луч  1.  Он  преломляется
линзой  таким  образом,  что  проходит
через  ее  фокус  F.  Затем  непосред¬
ственно  через  центр  линзы  проведем
луч  2.  Там,  где  пересекутся  эти  два
луча,  и  будет  находиться  точечное
изображение.  Это  изображение  снова
можно  рассматривать  в  окуляр;  при¬
бор  этот  называется  телескопом-реф¬
рактором.  Если  же  маленький  пред¬
мет  поместить  там,  где  на  фиг.  182
находится  изображение,  то  изобра¬
жение  этого  предмета  окажется  на
месте  первоначальной  стрелки.  Это  увели¬
ченное  изображение  можно  рассматривать
через  окуляр;  такой  прибор  называется
микроскопом.
 Пример.  Проекционный  микроскоп  состоит  из
матового  стеклянного  экрана,  помещенного  на  рас¬
стоянии  1  м  за  объективом  с  фокусным  расстоянием
1  мм.  Во  сколько  раз  увеличивает  такой  микроскоп?
 Коэффициент  увеличения  микроскопа  равен
отношению  ABIDE  на  фиг.  182.  Из  рассмотрения
подобных  треугольников  ABC  и  EDC  следует,  что
это  отношение  равно  отношению  расстояния  ВС  до
изображения  к  расстоянию  DC  до  предмета.  Расстоя¬
ние  DC  до  предмета  очень  близко  к  фокусному  рас¬
стоянию  объектива,  равному  1  мм.  Таким  образом,
коэффициент  увеличения  равен
 262
 Фиг.  181.  Построение  изображения
в  вогнутом  зеркале.
 Лучи  1  и  2  иллюстрируют  графическое
нахождение  положения  изображения.
 Фиг.  182.  Построение  изображения  в
собирающей  линзе.

Законы  преломления
 Фиг.  183.  Два  последовательных
положения  фронта  волны,  пересе¬
кающей  границу  стекло  —  воздух.
 Последнее,  что  нам  осталось  обсудить,  это
вопрос  о  том,  почему  лучи  света  искривляют¬
ся  или  преломляются  при  переходе  из  воздуха
в  стекло  и  наоборот.  Как  мы  увидим,  это
свойство  световых  лучей  является  прямым
следствием  волновой  природы  света,  при
условии,  что  скорость  света  в  стекле  меньше,
чем  в  воздухе.  На  первый  взгляд  может  по¬
казаться,  что  этот  факт  противоречит  следу¬
ющему  доказательству  Максвелла:  электро¬
магнитные  волны  распространяются  со  ско¬
ростью  v=c.  Однако  если  измерить  скорость
электромагнитных  волн  в  стекле,  то  v=0,66  с.
Этот  парадокс  легко  разрешается,  если  при¬
нять  во  внимание,  что  волна,  скорость  кото¬
рой  измеряется,  на  самом  деле  представляет
собой  суперпозицию  огромного  числа  отдель¬
ных  волн,  каждая  из  которых  распростра¬
няется  со  скоростью  как  того  и  требует
теория  Максвелла.  Каждый  атомный  элект¬
рон  в  стекле  представляет  собой  отдельный
источник  электромагнитных  волн,  подобно
каждому  штриху  диффракционной  решетки.
Электрическое  поле  падающей  электромаг¬
нитной  волны  —  это  сила,  носящая  колеба¬
тельный  характер  и  действующая  на  каждый
атомный  электрон.  Вследствие  инерции  элек¬
трона  его  колебания  будут  запаздывать  по
сравнению  с  колебанием  поля  падающей
электромагнитной  волны.  Интегральное
исчисление  позволяет  сложить  электрические
поля,  излучаемые  запаздывающими  электро¬
нами,  с  электрическим  полем  падающей
волны.  Как  и  следовало  ожидать,  резуль¬
тирующие  колебания  электрического  поля
распространяются  со  скоростью  и=0,66  с
(в  стекле).  Отношение  с  к  скорости  распро¬
странения  света  в  стекле  называют  показа¬
телем  преломления  стекла  п:
 Воспользовавшись  фиг.  183,  покажем  теперь,
почему  на  границе  стекло  —  воздух  изме¬
няется  направление  распространения  волны.
 263

Закон  Снеллиуса
 Задачи
 Подставим  теперь  вместо  X  и  А/  их  значения
согласно  (10.11):
 С  помощью  этого  основного  выражения,  ко¬
торое  называется  также  законом  преломле¬
ния,  можно  рассчитать  оптические  свойства
объективов.
 1.  Чему  равно  расстояние  (выраженное  в  дли¬
нах  волн)  между  двумя  соседними  точками,  соот¬
ветствующими  нулевой  амплитуде,  в  любом  перио¬
дическом  волновом  дЕижении?
 2.  Чему  равно  расстояние  между  двумя  после¬
довательными  максимумами  интенсивности  электро¬
магнитной  волны?
 3. 	Единица  измерения  1  А  (один  ангстрем)
равна  10-8  см.  Чему  равны  граничные  длины  волн
видимого  света  в  ангстремах?
 4. 	Всегда  ли  движущийся  заряд  излучает  элект¬
ромагнитные  волны?
 264
 На  фигуре  показан  участок  двух  последова¬
тельных  волн  А  В  и  А'В'.
 Пусть  А/  —  уменьшенная  длина  волны
в  стекле
 Из  прямоугольного  треугольника  АВВ'  сле¬
дует,  что
 Из  прямоугольного  треугольника  Л'ЛВ'
 Поделив  одно  выражение  на  другое,  полу¬
чим

5..  Два  музыкальных  тона  различаются  на  окта¬
ву,  если  их  частоты  относятся  как  2:1.  Если  «до»
средней  октавы  соответствует  частоте  256  гц,  а  верх¬
нее  «до»  находится  на  две  октавы  выше,  то  какая
частота  соответствует  верхнему  «до»?
 6. 	Самые  низкие  и  высокие  частоты,  восприни¬
маемые  человеческим  ухом,  составляют  соответст¬
венно  20  и  15  ООО  гц.  Чему  равны  в  воздухе  соответ¬
ствующие  длины  волн?
 7. 	Если  бы  импульсы  на  фиг.  166  были  точно
одинаковой  величины,  то  на  третьем  рисунке  сверху
(фиг.  166,  а)  они  бы  полностью  скомпенсировали
друг  друга  (струна  имела  бы  вид  прямой).  Сохра¬
нится  ли  в  дальнейшем  эта  взаимная  компенсация
импульсов?  Объясните.
 8. 	Скорость  распространения  волны  вдоль  струны
с  закрепленными  концами  2  м/сек.  На  струне  созданы
стоячие  волны  с  расстоянием  между  узлами  3  см.
 а) 	Чему  равна  частота  колебаний?
 б) 	Сколько  раз  ежесекундно  струна  при¬
нимает  форму  прямой  линии  без  каких-либо
видимых  волн?
 9. 	Спектры  второго  и  третьего  порядков  в  ви¬
димой  области  от  диффракционной  решетки  частично
перекрываются  друг  с  другом.  Какой  длине  волны
в  спектре  N  —  3  соответствует  X  =  7000  А  в  спектре
с  N  =  2?
 10. 	Два  источника  волн  на  поверхности  воды
(см.  фиг.  170)  колеблются  с  разностью  фаз  180°
(когда  один  источник  движется  вверх,  другой  дви¬
жется  вниз).  Какому  условию  удовлетворяют  разно¬
сти  хода  (Dj—  D2)  на  линии  узлов?
 11. 	Каким  условиям  должна  удовлетворять  раз¬
ность  хода  (Dl—D2)  на  фиг.  184,  чтобы  в  точке  Р
возник  интерференционный  максимум,  минимум?
 Источник
 12. 	Предположим,  что  в  предыдущей  задаче
волна  при  отражении  меняет  знак  (фаза  волны  из¬
меняется  на  180°).  Какое  теперь  условие  надо  на¬
ложить  на  разность  хода,  чтобы  в  точке  Р  был
минимум  интенсивности?
 13. 	Точечный  источник  света  помещен  в  центре
кривизны  вогнутого  зеркала.  Где  будет  изображение
этого  источника?  (Соответствующая  ситуация  ил¬
люстрируется  в  начале  главы.)
 14. 	Точечный  источник  света  помещен  в  фоку¬
се.  Где  будет  изображение?
 265
 Фиг.  184.  К  задаче  11.

15. 	Расстояние  от  предмета  до  вогнутого  зер¬
кала  меньше  его  фокусного  расстояния.  Увидите  ли
вы  изображение,  заглянув  в  зеркало?  Если  да,  то
будет  ли  оно  больше  или  меньше  предмета?  Не  будет
ли  оно  перевернутым?
 (У  к  а  з  а  н  и  е.  Где  находится  фокус  вогнутого
зеркала  для  бритья?)
 16. 	Длина  волны  света,  проходящего  щель  ши¬
риной  d,  равна  X.  Пусть  б  —  угол,  для  которого
расстояние  до  середины  щели  на  полдлины  волны
больше,  чем  до  края  щели.  Чему  равен  sin  б?  (Под
этим  углом  наблюдается  минимум  интенсивности.
Этот  эффект  называется  диффракцией  на  одной
щели.)
 17. 	Луч  света  пересекает  границу  двух  сред
масло  —  стекло.  Если  скорость  света  в  масле  рав¬
на  и,,  а  в  стекле—  vt,  то  как  выразится  через  vt  и
vt  отношение  sin  bjsin02?
 18. 	На  диффракционную  решетку  с  частотой
2000  линий  на  1  см  падает  свет  с  длиной  волны
А.  —  5•  10-5  см.  Экран  расположен  на  расстоянии
3  см  от  решетки.  Найдите  расстояние  на  экране
между  изображениями  нулевого  и  первого  порядка?
 19. 	Луч  света  падает  на  плоскую  стеклянную
пластинку  под  углом  60°  к  нормали.  Под  каким
углом  этот  луч  выйдет  с  другой  стороны  пластины,
если  показатель  преломления  п  =  1,5?  Поверхности
пластинки  параллельны

ГЛАВА  II
 ТЕОРИЯ
 ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

ТЕОРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
 Фиг.  185.  Точечный  заряд  Q  на  рас¬
стоянии  R  от  заряженного  проводни¬
ка  с  плотностью  заряда  q  CGSE(Q)jcM.
 Фиг.  186.  Та  же  картина  с  точки
зрения  наблюдателя,  движущегося
вверх  со  скоростью  v.
 §  I.  Принцип  относительности
 СКОРОСТЬ  ОТНОСИТЕЛЬНА
 Теорию  относительности  Эйнштейна  мож¬
но  получить,  распространив  принцип  отно¬
сительности  Галилея  на  уравнения  теории
электричества  —  уравнения  Максвелла.
Галилей  предположил,  что  принцип  общей
симметрии  заключается  в  следующем:  законы
физики  должны  быть  одинаковыми  с  точки
зрения  любого  наблюдателя,  движущегося
с  постоянной  скоростью,  независимо  от  ве¬
личины  и  направления  этой  скорости.  Дру¬
гими  словами,  не  должно  существовать  при¬
вилегированной  системы  отсчета,  или,  что  то
же  самое,  способов  определения  абсолют¬
ной  скорости.  Этот  принцип  общей
симметрии  и  называется  принципом  относи-
тельности.
 Однако  пока  мы  не  внесем  некоторые  суще¬
ственные  изменения,  законы  электричества,
несомненно,  будут  противоречить  принципу
относительности.  «Покоящийся»  и  движущий¬
ся  наблюдатели  будут  получать  два  разных
результата  из  одного  и  того  же  эксперимента.
Для  иллюстрации  рассмотрим  простой  при¬
мер:  точечный  заряд  Q  расположен  на  рас¬
стоянии  R  от  проводника,  заряженного
одноименным  зарядом  с  плотностью
q  CGSE(Q)/ow.  На  заряд  Содействует  элект¬
ростатическая  сила  F=QE,  где  E  =  2q/R
[см.  формулу  (7.10)1.  Таким  образом,  сточки
зрения  покоящегося  наблюдателя
 (ил)
 Теперь  представим  себе  второго  наблюдателя,
движущегося  параллельно  проводнику  со
скоростью  V.  Этот  наблюдатель  обнаружит,
что  на  заряд  Q,  кроме  электростатической
силы,  действует  также  магнитная  сила.  С
точки  зрения  движущегося  наблюдателя
вдоль  проводника  течет  электрический  ток
I  =  Qvy  а  заряд  Q  также  движется  параллельно
проводнику  со  скоростью  v.  Из  формулы
(8.10)  можно  найти  действующую  на  заряд
Q  магнитную  силу  FB=  QBv/c,  причем

напряженность  магнитного  поля  В,  создавае¬
мого  прямолинейным  током,  равна  B=2qv/cR.
Таким  образом,
 есть  магнитная  сила,  действующая  на  заряд.
Эта  магнитная  сила  притяжения  должна
складываться  с  электростатической  силой
отталкивания.  Наблюдатель,  движущийся  со
скоростью  vy  обнаружит,  что  результирую¬
щая  сила,  действующая  на  заряд  Q,  должна
быть  равна
 Количественно  этот  результат  меньше
результата,  полученного  покоящимся  наблю¬
дателем  [см.  (11.1)1,  в  1/[  1—(vz/c*)]  раз.
Итак,  из  рассмотренного  примера  ясно,  что
законы  электричества  приводят  к  различным
результатам  в  разных  системах  отсчета.  Но,
согласно  принципу  относительности  Галилея,
сила,  действующая  на  заряд  Q  и  его
ускорение,  не  должна  зависеть  от  скорости
наблюдателя.
 Ясно,  что  принцип  относительности  Гали¬
лея,  справедливый  в  рамках  классической
механики,  несовместим  с  уравнениями  Мак¬
свелла.  Чтобы  устранить  это  противоречие,
надо  пересмотреть  либо  принцип  относитель¬
ности,  либо  уравнения  Максвелла,  либо  клас¬
сическую  механику.  Рассмотрим  три  воз¬
можных  способа  устранения  противоречия:
 1. 	Принцип  относительности  пригоден
для  механики  и  непригоден  для  электроди¬
намики.  Законы  электричества  справедливы
только  для  одной  привилегированной  системы
отсчета.  Только  в  этой  системе  свет  распро¬
страняется  со  скоростью  v=c.
 2. 	Принцип  относительности  выполняется
как  в  механике,  так  и  в  электродинамике,
но  законы  электричества  сформулированы
 (11.2)
 269

в  гл.  7  и  8  непоследовательно.  Эти  законы
можно  последовательно  видоизменить  с  тем,
чтобы  получить  требуемый  результат,  сог¬
ласно  которому  свет  всегда  распространяется
с  постоянной  скоростью  с  относительно  источ¬
ника.  Это  видоизменение  уравнений  Мак¬
свелла  называется  теорией  излучения.
 3. 	Принцип  относительности  справедлив
и  в  механике  и  в  электродинамике,  а  видоиз¬
менить  следует  законы  и  принципы  механики.
Именно  эту  возможность  и  выбрал  Эйнштейн.
Он  видоизменил  определения  массы,  энергии,
импульса  и  свойства  пространства  и  времени.
Благодаря  этому  законы  механики  наряду
с  законами  электричества  стали  удовлетво¬
рять  принципу  относительности.
 §  2.  Проблема  эфира
 «Здравый  смысл  —  это  те  предрассудки,  кото¬
рые  складываются  в  возрасте  до  восемнадцати
лет»
 А.  Эйнштейн
 Рассмотрим  сначала  первую  возможность
и  покажем,  как  она  была  опровергнута  экспе¬
риментом.  В  привилегированной  системе
отсчета  свет  распространялся  бы  со  скоростью
с.  Для  наблюдателя,  движущегося  со  ско¬
ростью  v  относительно  этой  системы  отсчета,
скорость  света  была  бы  равна  (c+v),  если
наблюдатель  движется  по  направлению  к
источнику  света.  Именно  такой  результат
должен  был  бы  получиться,  если  бы  свет
передавался  некой  «физической»,  но  невесо¬
мой  средой.  Эта  среда  была  названа  эфиром.
Привилегированной  системой  отсчета,  в  ко¬
торой,  по  предположению,  справедливы  урав¬
нения  Максвелла,  явилась  бы  система,  покоя¬
щаяся  относительно  эфира.  Итак,  все  ско¬
рости  можно  было  бы  считать  абсолютными  —
их  можно  было  бы  измерять  относительно  по¬
коящегося  эфира.
 Сейчас  мы  увидим,  как  это  предположение
было  опровергнуто  знаменитыми  эксперимен¬
тами  Майкельсона  и  Морли,  выполненными
в  1880  г.  Поскольку  Земля  движется  вокруг

Фиг.  187.  Путь  света  от  источника
к  зеркалу  и  обратно.
 Фиг.  188.  Путь  света,  когда  источ¬
ник  и  зеркало  движутся  со  скоро¬
стью  v  вправо.
 SM  —  положение  в  начальный  момент
времени;  S'M'  —  положение  в  момент
времени  Г/2;  S"  М."  —  положение  в  мо¬
мент
 Солнца  со  скоростью  v=30  км/сек,  то  сторон¬
ники  теории  эфира  полагали,  что  на  протя¬
жении  года  должен  существовать  такой
период,  когда  Земля  имеет  скорость  по  отно¬
шению  к  эфиру  по  крайней  мере  30  км/сек
(или  скорость  эфира  по  отношению  к  Земле
составляет  30  км/сек).  Тогда  скорость  света,
движущегося  в  ту  же  сторону,  что  и  эфир,
измеренная  по  отношению  к  Земле  наблюда¬
телем,  находящимся  на  Земле,  будет  равна
(c+v)t  а  скорость  света,  движущегося  в
противоположную  сторону,  по  измерениям
того  же  наблюдателя  будет  равна  (с—v)>  где
v  равно  по  крайней  мере  30  км/сек.  Такйм
образом,  промежуток  времени,  за  который
свет  пройдет  расстояние  D  до  зеркала  и  вер¬
нется  обратно,  будет  равен
 Предположим,  что  на  жесткой  подставке
длиной  D  укреплены  источник  света  и  зер¬
кало.  Тогда  время,  за  которое  свет  пройдет
расстояние  до  зеркала  и  вернется  обратно,
определится  из  (11.3),  если  только  подставка
установлена  параллельно  скорости  эфира  v.
Если  подставку  повернуть  на  90°  так,  что  она
станет  перпендикулярно  скорости  эфира  v,
то  с  точки  зрения  наблюдателя,  покояще¬
гося  относительно  эфира,  свет  должен  будет
пройти  расстояние  2D'  (фиг.  188).  В  этом
случае  промежуток  времени,  за  который
свет  дойдет  до  зеркала  и  вернется  обратно,
будет  равен
 (11.4)
 Рассмотрев  прямоугольный  треугольник  на
фиг.  188,  находим
 271

Теперь,  подставляя  сюда  вместо  D'  правую
часть  (11.4),  получаем
 Фиг.  189.  Интерферометр  Майкель-
сона.
 Свет  от  источника  S  расщепляется  с  по¬
мощью  полупрозрачного  серебряного  зер¬
кала 	на  два  луча,  встречающихся  на
 экране.
 Фиг.
 в
 (11.5)
 Следовательно,  отношение  t'/t=V1—v2/cz.
Это  значит,  что  когда  свет  движется  перпен¬
дикулярно  скорости  эфира,  то  он  проходит
замкнутый  путь  за  более  короткое  время.
Разность  времен  хорошо  аппроксимируется
соотношением
 190.  Орбита  Земли.
 ~  положении  А  скорость  относительно
эфира  должна  быть  равна  нулю,  а  в  поло¬
жении  В  эффект  должен  быть  удвоенным.
 Майкельсон  и  Морли  считали,  что  они
смогут  измерить  эту  небольшую  разницу  во
времени,  воспользовавшись  интерферомет¬
рами,  имеющими  два  взаимно  перпендикуляр¬
ных  плеча.  Такой  интерферометр  схематиче¬
ски  показан  на  фиг.  189.  В  интерферометре
свет  от  источника  S  расщепляется  полупроз¬
рачным  серебряным  зеркалом  Мх  на  два
луча,  которые  затем  снова  встречаются  на
экране. 	Если  для  прохождения  света  по
 обоим  путям  требуется  одинаковое  время,
то  на  экране  должна  возникнуть
аддитивная  интерференция.  Экс¬
перимент  состоит  в  подборе  соот¬
ветствующего  положения  зеркала.
Затем  прибор  поворачивается  на
90°,  и  благодаря  вращению  Земли
,ира 	на  экране  будет  наблюдаться
 иная  картина.  Изменение  времени
прохождения  светом  всего  пути,
обусловленное  движением  эфира,
должно  было  бы  проявиться  в
виде  изменения  интерференцион¬
ной  картины  на  экране.  Даже
столь  небольшая  скорость  v

(30  км/сек)  может  дать  весьма  заметный
эффект.
 Несмотря  на  все  старания,  Майкельсону
и  Морли  вообще  не  удалось  наблюдать
никакого  эффекта.  Одно  из  объяснений  отри¬
цательного  результата  заключалось  в  том,
что  в  момент  опыта  эфир  случайно  имел
относительно  солнечной  системы  скорость,
равную  30  км/час.  В  этом  случае  скорость
Земли  в  положении  А  на  фиг.  190  относи¬
тельно  эфира  должна  быть  равна  нулю.
Однако  Майкельсон  и  Морли  повторили
свой  опыт  шесть  месяцев  спустя,  когда
Земля  заняла  положение  В.  В  этом  случае
они  должны  были  бы  наблюдать  удвоенный
по  сравнению  с  ожидаемым  эффект,  но  снова
ничего  не  получили.
 Другое  возможное  объяснение  заключа¬
лось  в  том,  что  Земля  увлекает  за  собой
прилегающий  к  ней  эфир.  А  это  должно
привести  к  тому,  что  видимое  положение
звезд  будет  каждый  год  смещаться  взад  и
вперед,  но  не  так,  как  это  наблюдается  в
действительности.  Поэтому  и  второе  объясне¬
ние  исключалось  астрономическими  наблю¬
дениями.
 Следующую  попытку  объяснить  получен¬
ный  Майкельсоном  и  Морли  нулевой  резуль¬
тат  предприняли  Фитцджеральд  и  Лоренц,
которые  предположили,  что  длины  всех  фи¬
зических  тел,  движущихся  со  скоростью  v
по  отношению  к  эфиру,  сокращаются  в
1/^1—(и2/сг)  раз.  Поэтому,  когда  интерферо¬
метр  поворачивается  на  90°,  то  длина  его
плеча  меняется  как  раз  в  нужное  число
раз,  чтобы  скомпенсировать  ожидаемый
эффект.
 Чтобы  опровергнуть  этот  довод,  был  по¬
строен  интерферометр  с  различными  плечами.
В  таком  интерферометре  лоренцево  сокраще¬
ние  не  должно  было  полностью  компенсиро¬
вать  ожидаемый  эффект.  Однако  и  в  этом
случае  эффект  также  не  наблюдался.
 В  результате  всех  этих  подробных  экспе¬
риментов  мы  приходим  к  выводу,  что  свет
всегда  движется  со  скоростью  с  относительно
интерферометра.
 273

Возможен  еще  один  вариант  объяснения
результатов  Майкельсона  и  Морли  (второй
способ,  стр.  269).  Надо  переформулировать  за¬
коны  электричества,  с  тем  чтобы  свет  всегда
испускался  со  скоростью  с  относительно
источника.  Однако  такое  объяснение  также
было  отвергнуто  на  основании  астрономиче¬
ских  наблюдений.  Если  бы  эта  теория  излу¬
чения  была  справедлива,  то  движение  двой¬
ных  звезд  казалось  бы  нам  возмущенным  и
противоречащим  законам  Кеплера.  Это  про¬
исходило  бы  потому,  что  при  движении
одной  из  звезд  в  направлении  Земли  со  ско¬
ростью  v  ее  свет  проходил  бы  весь  путь  со
скоростью  (относительно  Земли)  с+и  и  попа¬
дал  бы  на  Землю  раньше,  чем  свет,  испускае¬
мый  звездой,  движущейся  от  Земли.  Скорость
последнего  составляла  бы  с—vy  и  он  попадал
бы  на  Землю  позднее.
 Мы  видим,  что  всякие  попытки  объяснить
нулевой  результат  Майкельсона  и  Морли
отвергались  дополнительными  эксперимен¬
тами  и  наблюдениями.
 И,  наконец,  оставшаяся  возможность
(третий  способ,  стр.  270)  была  серьезно  иссле¬
дована  Альбертом  Эйнштейном  в  1905  г.
Эйнштейн  исследовал  вопрос  о  том,  какие
изменения  надо  произвести  в  классической
механике,  чтобы  совместить  уравнения  Макс¬
велла  с  принципом  относительности.  К  сча¬
стью,  эта  задача  математически  оказалась
вполне  определенной,  имеющей  единствен¬
ное  решение.  Но  для  многих  физическая  ин¬
терпретация  математических  результатов
оказалась  затруднительной,  поскольку  ка¬
залось,  что  эти  результаты  противоречат
здравому  смыслу.
 Один  из  основных  математических  резуль¬
татов  теории  Эйнштейна  гласит:  скорость
света  всегда  равна  с=3  1010  см,!сек  неза¬
висимо  от  скорости  наблюдателя  или  источ¬
ника.  Таким  образом,  два  наблюдателя,
один  из  которых  покоится  по  отношению  к
удаленной  звезде,  а  другой  очень  быстро
движется  к  ней,  измеряют  одно  и  то  же  зна¬
чение  скорости  света,  идущего  от  звезды.  Этот
результат,  конечно,  мог  бы  согласоваться

с  измерениями  Майкельсона  и  Морли,  но
он  кажется  противоречащим  здравому  смыс¬
лу.  Для  получения  этого  результата  приш¬
лось  пересмотреть  существующие  представ¬
ления  о  пространстве  и  времени.  Чтобы
лучше  понять  результат  Эйнштейна,  вос¬
пользуемся  таким  приемом:  представим  себе,
что  в  движущейся  системе  координат  длина
и  время  изменяются  как  раз  в  таком  отно¬
шении,  при  котором  скорость  света  всегда
оказывается  равной  с=3-1010  см!сек.  Это
изменение  записывается  с  помощью  соотно¬
шений,  называемых  преобразованиями  Ло¬
ренца.  Преобразования  Лоренца  устанавли¬
вают  связь  между  временем  и  координатами,
измеренными  двумя  наблюдателями,  движу¬
щимися  друг  относительно  друга  со  ско¬
ростью  V.  Они  имеют  следующий  вид:
 Штрихованные  координаты  относятся  к  од¬
ному  наблюдателю,  а  нештрихованные  —  к
другому.  Соответствующие  классические  пре¬
образования  имеют  вид
 Они  означают,  что  если  в  нештрихованной
системе  отсчета  тело  имеет  координату  х=х0,
то  в  штрихованной  системе  отсчета  оно  будет
иметь  координату  x'=x0+vt,  т.  е.  будет  пред¬
ставляться  нам  движущимся  вправо  со  ско¬
ростью  v.  Вместо  того  чтобы  пытаться  понять
физический  смысл  преобразований  Лоренца,
мы  разберем  некоторые  вытекающие  из  них
математические  следствия.
 Преобразование  Лоренца
 275

Фиг.  191.  Лоренцево  сокращение
двух  идентичных  стержней,  движу¬
щихся  друг  относительно  друга  со
скоростью  и=0,6  с.
 а  —  с  точки  зрения  наблюдателя  А;  б  —  с
точки  зрения  наблюдателя  В.
 §  3.  Лоренцево  сокращение
 Фехтовал  умело  Фиск.
 Раз,  презрев  возможный  риск,
 Быстро  сделал  он  движенье,
 Лоренцевым  сокращеньем
Превратив  рапиру  в  диск.
 Все  движущиеся  предметы  будут  казаться
нам  сокращенными  в  У1—(v2/c2)  раз  в  на¬
правлении  движения.  Этот  результат  про¬
стое  следствие  преобразований  Лоренца.  В
частности,  если  вначале  у  двух  наблюдате¬
лей  имелись  идентичные  метровые  стержни
и  если  затем  наблюдатель  В  начинает  дви¬
гаться  со  скоростью  v  по  отношению  к  наб¬
людателю  А,  то  по  измерениям  наблюдателя
А  длина  стержня  наблюдателя  В  составляет
V1  —  (V2/c2)  м  (фиг.  191).  Из  принципа  от¬
носительности  вытекает,  что  должно  быть
справедливо  и  обратное:  наблюдателю  В
метровый  стержень  наблюдателя  А  будет  ка¬
заться  укороченным  в  такой  же  пропорции.
 Пример.  Предположим,  что  мимо  нас  движется
метровый  стержень  со  скоростью  v  =  0,6  с.  Какова
будет  его  длина  по  нашим  измерениям?
 В  предыдущем  параграфе  мы  видели,  что
одного  лоренцева  сокращения  недостаточно,
чтобы  объяснить  экспериментальные  резуль¬
таты,  полученные  на  интерферометре  с  пле¬
чами  разной  длины.  Эту  трудность  можно
преодолеть,  пересмотрев  не  только  наше
представление  о  пространстве,  но  и  о  вре¬
мени.
 §  4.  Замедление  течения
времени
 Сегодня  в  полдень  пущена  ракета,
 Она  летит  куда  быстрее  света,
 И  в  цель  прибудет  ровно  в  семь  утра...
 вчера.
 С.  >7.  Маршак.
 Для  иллюстрации  причин,  которые  при¬
вели  Эйнштейна  к  необходимости  изменить
наши  представления  о  времени,  рассмотрим
 276

«световые  часы».  Конструкция  их  очень
проста:  это  два  параллельных  зеркала,
удаленных  друг  от  друга  на  расстояние  D.
Время,  за  которое  световая  вспышка  пройдет
это  расстояние  туда  и  обратно,  равно
t  =  2D/c.  Пусть  D  =  150  м.  Тогда  отражение
световой  вспышки  булет  происходить  каждую
микросекунду  (/=10~6  сек).
 Пусть  теперь  эти  же  самые  часы  движутся
со  скоростью  v  перпендикулярно  линии  D.
Так  как  световая  вспышка  и  в  этом  случае
должна  распространяться  с  той  же  скоростью
с  по  отношению  к  «покоящемуся»  наблюдате¬
лю,  то  получается  точно  такая  же  ситуация,
что  и  на  фиг.  188.  Таким  образом,  согласно
 (11.5),  интервал  времени  между  двумя  отра¬
жениями  теперь  будет  равен
 Итак,  движущиеся  световые  часы  будут
отмечать  не  каждую  микросекунду,  а  не¬
сколько  более  продолжительные  интервалы
времени  (удлиненную  микросекунду).  В  то
же  время  для  наблюдателя,  движущегося
вместе  со  световыми  часами,  они  будут  отме¬
чать  каждую  микросекунду,  как  было  пока¬
зано  в  предыдущем  параграфе.  Мы  должны
сделать  вывод,  что,  когда  световые  часы
движутся,  их  темп  хода  кажется  нам  замед¬
ленным  в  V1—(v2/c2)  раз.  Эйнштейн  посту¬
лировал,  что  это  есть  свойство  самого  времени
и  что  любые  часы,  а  также  все  физические
процессы  (включая  саму  жизнь)  должны
при  движении  замедляться  в  том  же  отноше¬
нии.  Течение  любого  физического  процесса,
включая  распад  радиоактивных  образцов,
должно  замедляться  в  ]/"  1—(v2/c2)  раз.  Про¬
явление  этого  эффекта  в  увеличении  периода
полураспада  наблюдалось  непосредственно
на  пучке  нестабильных  частиц.  я-Мезон  пред-
 (и.6)
 277

Фиг.  192.  Пучок  я-мезонов,  создан¬
ный  пучком  протонов  на  внутренней
мишени  синхроциклотрона.
 Я-Мезоны  рождаются  в  результате  столкно¬
вений  протонов  с  мишенью,  отклоняются
магнитным  полем  и  направляются  в  лабо¬
раторное  помещение.
 ставляет  собой  нестабильную  частицу  с  пери¬
одом  полураспада  1,8-10"*  сек.  Пучок  я-ме¬
зонов  можно  получить  на  синхроциклотроне.
На  фиг.  192  показан  типичный  пучок  я-ме¬
зонов,  полученный  на  синхроциклотроне.
 Пример.  Скорость  я-мезонов  в  пучке  равна
v  =  0,6  с.  За  какое  время  распадется  половина
я-мезонов?  Какой  путь  они  успеют  пройти  за  это
время?
 Наблюдаемое  значение  периода  полураспада  Т'
будет  равно  1,8*  10-8  сек,  умноженное  на
 Таким  образом,  период  полураспада  увеличится
на  25%,  т.  е.  Г'  будет  равно  2,25-10-8  сек.  За  это
время  я-мезоны  успеют  пройти  расстояние
 D  =  vV  =0,6-3-1010.2,25-  10"а  см  =  4,05м.
 §  5.  Парадокс  близнецов
 СЕКРЕТ  ВЕЧНОЙ  МОЛОДОСТИ
 В  преддверии  исследования  космоса  стало
общеизвестно,  что  космические  путешествен¬
ники  не  будут  стареть  так  быстро,  как  их
братья  на  Земле.  В  самом  деле,  если  бы  путе¬
шественник  в  космосе  мог  двигаться  со  ско¬
ростью  света,  то  он  не  старел  бы  вообще.
 Этот  вывод  о  замедлении  хода  времени
для  космических  путешественников  явля¬
ется  прямым  следствием  выражения  (11.6.)
Для  земного  наблюдателя  часы  и  все  фи¬
зические  процессы  на  космическом  кораб¬
ле,  летящем  со  скоростью  v,  включая  саму
 278

жизнь,  должны  замедлиться  в  У1—(v2/cz)
раз.
 Пример.  Рассмотрим  двух  близнецов  А  и  В  в
возрасте  20  лет.  Один  из  них  (В)  отправляется  в
космическое  путешествие  к  звезде  Арктур  на  ко¬
рабле,  летящем  со  скоростью  v  =  0,99  с.  Для  жите¬
лей  Земли  расстояние  до  звезды  Арктур  составляет
40  световых  лет.  Сколько  лет  будет  близнецам  А  и  В,
когда  В,  закончив  свое  путешествие,  вернется  об¬
ратно  на  Землю?
 С  точки  зрения  близнеца  А  путешествие  зай¬
мет  на  1%  больше  времени,  чем  требуется  свету,
чтобы  долететь  до  звезды  и  обратно  (80  лет),  т.  е.
когда  В  вернется,  возраст  А  будет  равен  20  +  80,8,
или  100,8  лет.
 С  точки  зрения  близнеца  В  часы  на  космиче¬
ском  корабле  будут  идти  медленнее  в  У1—0,992=
=  1^0,02=0,141  раза.  Это  значит,  что  за  время  путе¬
шествия  на  корабле  пройдет  80,8  года,  умноженные
на  0,141,  или  11,4  года.  Итак,  к  концу  путешествия
близнец  В  будет  в  возрасте  20  +  11,4  =  31,4  года.
Следовательно,  он  окажется  моложе  своего  брата,
оставшегося  на  Земле,  на  69,4  года.
 Космический  путешественник  не  чувству¬
ет,  что  его  время  идет  медленнее.  В  приведен¬
ном  выше  примере  расстояние  до  звезды
Арктур  кажется  близнецу  В  укороченным
благодаря  лоренцеву  сокращению.  По  его
измерениям  расстояние  от  Земли  до  звезды
Арктур  составляет  У1—0,99*  Х40  световых
лет,  или  5,64  световых  лет.  Кроме  того,  ему
кажется,  что  Земля  удаляется  с  той  же
относительной  скоростью  и=0,99  с.  Итак,
согласно  расчетам  близнеца,  летящего  в  кос¬
мическом  корабле,  чтобы  достигнуть  звезды
Арктур,  ему  понадобится  на  1°/0  больше
времени,  чем  свету  (5,64  световых  лет),
т.  е.  5,7  лет,  а  чтобы  долететь  до  Арктура
и  вернуться  обратно—  11,4  года.  Этот  ре¬
зультат  согласуется  с  вычислениями  близ¬
неца  Л,  оставшегося  на  Земле.
 Однако  возникает  кажущийся  парадокс,
а  именно,  если  космонавт  взглянет  на  Землю,
то  он  увидит,  что  земные  часы  идут  медлен¬
нее,  чем  его  часы.  Казалось  бы,  близнец  А
в  конце  путешествия  окажется  моложе  Ву
что  противоречит  предыдущим  аргументам.
В  самом  деле,  если  скорость  действительно
относительна,  то  как  вообще  можно  прийти
 279

к  асимметричному  результату?  Разве  из
симметрии  не  следует,  что  оба  брата  должны
остаться  в  одинаковом  возрасте?  На  первый
взгляд  кажется,  что  теория  Эйнштейна  ведет  к
противоречию.  Но  парадокс  устраняется,  если
учесть,  что  задача  несимметрична  по  своей
природе.  Близнец  на  Земле  все  время  остается  в
одной  и  той  же  инерциальной  системе  отсчета,
тогда  как  его  брат  —  космонавт  —  переходит
из  одной  системы  отсчета  в  другую.  Правиль¬
ное  применение  уравнений  Эйнштейна  также
приводит  к  выводу,  что  с  точки  зрения
космонавта  его  брат,  оставшийся  на  Земле,
к  концу  путешествия  окажется  старше.
 Эффекты  замедления  течения  времени
будут  пренебрежимо  малы,  если  не  считать
случая,  когда  скорости  близки  к  скорости
света.  В  §  7  мы  увидим,  что  для  достижения
столь  больших  скоростей  потребуется  кине¬
тическая  энергия,  много  большая  энергии
покоя  космического  корабля.  Даже  если  бы
энергию,  высвобождающуюся  при  делении
ядер,  удалось  использовать  со  100-процент¬
ной  эффективностью,  то  все  равно  ее  оказа¬
лось  бы  в  1000  раз  меньше,  чем  требуется.
 Земля
 §  6.  Релятивистское  сложение
скоростей
 V  -f-  С  =  с
 Лоренцево  сокращение  и  замедление  тече¬
ния  времени  представляют  собой  прямые
следствия  преобразований  Лоренца.  Из  этих
уравнений  преобразования  можно  получить
также  формулу  преобразования  скоростей.
Пусть,  к  примеру,  в  некоторой  системе  отсче¬
та  тело  движется  со  скоростью  и  (реактивный
самолет  на  фиг.  193).  Какую  скорость  и'
самолета  измерит  наблюдатель,  движущийся
со  скоростью  v?  Если  применять  классиче¬
скую  физику,  то  и'  =  и-\-и.  Однако,  согласно
Эйнштейну,
 Релятивистское  сложение  скоростей  U
 (11.7)
 Фиг.  193.  Два  реактивных  самолета,
летящие  соответственно  со  скоро¬
стями  и  и  v  относительно  Земли.
 С  точки  зрения  наблюдателя  на  правом
самолете  левый  самолет  приближается
к  нему  со  скоростью  и',  которая  меньше
суммы  (u-\-v).

Это  выражение  легко  получить  из  преобразо¬
ваний  Лоренца,  разделив  уравнение  для  х'
на  уравнение  для  t':
 Пример  1.  Пусть  скорости  двух  реактивных  са¬
молетов  на  фиг.  193  по  отношению  к  Земле  равны
соответственно  и  =  2000  км!час  и  v  =  1000  км/час.
Чему  равна  скорость  левого  самолета,  измеренная
с  борта  правого  самолета?
 =  2999,999999995  км  I  се  к.
 Пример  2.  Элементарная  частица  под  названием
нейтрино  движется  со  скоростью  света  (и  =  с).
Наблюдатель  движется  со  скоростью  v  по  направле¬
нию  к  нейтрино.  Какова  скорость  нейтрино  с  точки
зпения  движущегося  наблюдателя?
 Из  примера  2  мы  видим,  что  свет  (или
вообще  любая  частица),  движущийся  со  ско¬
ростью  с,  должен  иметь  эту  же  скорость  с
точки  зрения  любого  наблюдателя,  независи¬
мо  от  скорости  его  движения.  Эти  рассужде¬
ния  объясняют  нам  результаты  Майкельсона
и  Морли.  Одно  из  основных  следствий  урав¬
нений  Эйнштейна  заключается  в  том,  что
никакое  тело  не  может  двигаться  со  скоро¬
стью,  превышающей  скорость  света.  Действи¬
тельно,  если  скорость  тела  приближается
к  скорости  света,  то  его  объем  вследствие
лоренцева  сокращения  стремится  к  нулю.
Кроме  того,  из  формулы  (11.7)  следует,  что
какую  бы  скорость  мы  не  сообщали  нашему
телу,  его  скорость  не  может  превысить  ско¬
рости  света  и'  =  с.  С  другой  стороны,  законы
Ньютона  допускают,  чтобы  тела  двигались
со  скоростями,  превышающими  скорость
света.  Посмотрим  теперь,  какие  изменения
необходимы,  чтобы  привести  классическую
механику  в  соответствие  с  преобразованиями
Эйнштейна.
 281

§  7.  Релятивистская  механика
 НЕОГРАНИЧЕННАЯ  ЭНЕРГИЯ  ТАК  БЛИЗКА...
 И  ВСЕ  ЖЕ  НЕДОСТИЖИМА.
 Из  законов  Ньютона  следует,  что  при  вза¬
имодействии  двух  тел  величина  (Mxvx+Mtv^
остается  постоянной.  Это  утверждение
носит  название  закона  сохранения  им¬
пульса.  Однако,  согласно  уравнениям  Эйн¬
штейна,  после  столкновения  двух  частиц
импульс  может  либо  увеличиться,  либо
уменьшиться  [если  в  соответствии  с  класси¬
ческой  точкой  зрения  считать,  что  Мх  и  Мг
остаются  постоянными;  в  дальнейшем  мы
будем  обозначать  классические  массы  как
(Мх)0  и  (М2)0].  Воспользовавшись  преобра¬
зованиями  Лоренцу,  можно  получить  соот¬
ветствующую  величину,  которая  остается
неизменной  в  результате  взаимодействия,  а
именно  сохраняется  величина
 Таким  образом,  если  в  качестве  релятиви¬
стской  массы  выбрать  MjV~\—{v2/c2),  то
импульс  будет  сохраняться  по-прежнему.
В  дальнейшем  мы  будем  обозначать  через
М0  массу  тела,  находящегося  в  покое.  Тогда,
согласно  Эйнштейну,  релятивистская  масса
тела,  движущегося  со  скоростью  v,  будет
равна
 Даже  при  скоростях,  развиваемых  реактив¬
ными  самолетами  и  космическими  ракетами,
отклонения  от  классической  механики  оказы¬
ваются  столь  малыми,  что  их  невозможно
измерить.  Однако  на  современных  ускорите¬
лях  удается  разогнать  частицы  до  скоростей,
близких  к  скорости  света.  Самую  большую
скорость  электронов  к  настоящему  времени
удалось  получить  на  электронном  синхро-
 Релятивистская  масса  М  —
 (11.8)
 282

троне  Корнеллского  университета.  Электроны
там  достигли  скорости  v=0,99999992  с.
 Пример.  Чему  равна  масса  электронов  на  Кор-
неллском  синхротроне?
 Итак,  электроны  в  Корнелле  оказались  в  2500  раз
тяжелее  покоящихся.
 Часто  мы  сталкиваемся  с  обратной  зада¬
чей:  масса  возрастает  в  заданное  число  раз;
требуется  вычислить  скорость.  Для  этого
возведем  в  квадрат  обе  части  (11.8):
 Еще  одно  следствие  преобразований  Ло¬
ренца:  полная  релятивистская  масса,  а  сле¬
довательно,  и  величина  (Мхс*+М2с2)  оста¬
ются  неизменными  при  взаимодействии  двух
частиц.  Эйнштейн  отождествил  это  утвержде¬
ние  с  законом  сохранения  энергии  и  показал,
что  в  пределе  малых  скоростей  написанное
выше  выражение  стремится  к  классической
записи  закона  сохранения  энергии.  Эйнштейн
предположил,  что  величина
 представляет  собой  энергию  частицы.  Энер¬
гию  можно  в  явном  виде  записать  как  функ¬
цию  скорости,  подставив  в  формулу  (11.10)
правую  часть  (11.8).  При  этом  получим
 (11.9)
 Соотношение  Эйнштейна
для  массы  и  энергии
 (11.10)
 (ii.il)
 283

Пока  это  выражение  совсем  не  похоже  на
классическую  формулу  W  =  Mv*/2.  Связь
между  (11.11)  и  классической  формулой
УчМьг  мы  продемонстрируем  на  стр.  285.
Предположим,  что  и=0.  Тогда  из  (11.11)
следует,  что  масса  будет  обладать  энергией
 W0  =  M0c\ 	(11.12)
 Эйнштейн  интерпретировал  эту  величину,  как
собственную  энергию  покоя.  Он  утверждал,
что  если  исчезает  некоторое  количество  массы
покоя  МоУ  то  при  этом  должна  выделяться
энергия,  равная  М0с2.  Мы  имеем  здесь  дело
с  прямым  превращением  части  энергии  покоя,
которое  служит  источником  громадного  ко¬
личества  энергии,  выделяющегося  в  атомных
бомбах.
 В  действительности  количество  энергии,
которое  можно  получить  таким  путем,  строго
ограничено.  Закон  сохранения  тяжелых
частиц  утверждает,  что  при  любом  взаимодей¬
ствии  полное  число  протонов  и  нейтронов
должно  оставаться  постоянным.  По  этой  при¬
чине  мы  никогда  не  сможем  получить  энер¬
гию  в  9-1020  эрг  из  1  г  песка.
 Пример  1.  Какая  энергия  содержится  в  1  г
песка?  Сравните  ее  с  7000  кал,  которые  выделяются
при  сжигании  1  г  угля.
 Энергия  покоя  1  г  вещества  равна
 W  =  \  г  •  (3  •  1010  см/сек)2  =  9-10*°  эрг.
 При  сжигании  1  г  угля  выделяется
 7000  кал*4,18*  107  эрг/кал  =  2,9*  1011  эрг.
 Таким  образом,  энергия  покоя  превышает  химиче¬
скую  энергию  в  3,1  •  109  раз.
 Пример  2.  Если  при  взрыве  1  т  тринитротолуо¬
ла  (ТНТ)  выделяется  10®  кал,  то  какое  количество
массы  должно  превратиться  в  энергию  при  взрыве
бомбы  мощностью  в  1  Мгт?
 Л„  W  10е-4,18*  107  эрг
 М  =7Г  =-оТТ^о  27—^  =  4,6-10  5  г.
 <г  9*  1020  см2/сек2
 Это  дефект  массы,  соответствующий  взрыву
1  т  ТНТ.  При  взрыве  бомбы  мощностью  в  1  Мгт  в
энергию  должна  превратиться  в  миллион  раз  боль¬
шая  масса,  или  46  г.  На  самом  деле  для  такой  бом¬
бы  требуется  в  1000  раз  больше  делящегося  веще¬
ства.  Полное  число  протонов  и  нейтронов  при  ядер-
ном  взрыве  останется  постоянным.  Более  подробно
этот  вопрос  будет  разбираться  в  гл.  15.
 284

Определение  кинетической  энергии  оста¬
ется  прежним:  кинетическая  энергия  —  это
энергия  движения.  Эту  энергию  можно  по¬
лучить,  если  из  полной  энергии  вычесть
энергию  покоя
 E*n  =  W-W0. 	(11.13)
 Эту  величину  можно  непосредственно  выра¬
зить  через  скорость,  воспользовавшись  фор¬
мулами  (11.8)  и  (11.10):
 Покажем  теперь,  что  при  малых  скоростях
полученное  выражение  стремится  к  Уг  M0v*.
В  соответствии  с  формулой  бинома  Нью¬
тона  м  величину  [1—(1;7с*)1~ч*  при  v/c<^1
можно  заменить  величиной  [  1  +  /4(и*/с*)].
Таким  образом  мы  получим  известное
из  классической  механики  выражение:
 Первое  экспериментальное  подтвержде¬
ние  соотношения  Эйнштейна  между  массой
и  энергией  было  получено  в  результате  срав¬
нения  энергии,  выделившейся  при  радиоак¬
тивном  распаде,  и  разности  масс  исходного
ядра  и  конечных  продуктов.  В  качестве
примера  возможной  проверки  соотношения
W=Mcг  в  лабораторных  условиях  рассмот¬
рим  простейший  случай  Р-распада  —  р-рас-
пад  свободного  нейтрона.  Свободный  нейтрон
распадается  на  протон,  электрон  и  антиней¬
трино  (масса  покоя  антинейтрино  v  равна
нулю)
 285
 1}  Формула  для  разложения  бинома  имеет  вид

При  этом  высвобождается  энергия
1,25*  10'*  эрг.  Измеренная  на  опыте  масса
покоя  нейтрона  больше  суммы  масс  протона  и
электрона  на  13,9*  10“*®  г.  Этому  количе¬
ству  массы  соответствует  энергия,  равная
13,9*  10_*вс*=1,25-10эрг.  Этаэнергия,  со¬
ответствующая  изменению  массы,  совпадает
с  измеренной  кинетической  энергией  продук¬
тов  распада,  которая  в  пределах  точности
измерений  также  равна  1,25*  10~*  эрг.
 Пример  1.  Кинетическая  энергия  некоторой
частицы  равна  ее  энергии  покоя.  Чему  равна  ско¬
рость  частицы?
 Подставляя  это  отношение  в  (11.9),  находим
 Пример  2.  Ускоритель  протонов  Беватрон  со¬
общает  протонам  кинетическую  энергию  10“2  эрг.
Во  сколько  раз  возрастает  масса  таких  протонов?
Масса  покоя  протона  равна  1,67*  10~24  г.
 Найдем  сначала  энергию  покоя  протона:
 Мы  видим,  что  протоны  на  Ъеватроне  в  7,Ь8  раза
тяжелее  обычных  протонов.
 В  заключение  отметим,  что  любой  форме
энергии  должна  соответствовать  определен¬
ная  масса  M  —  W/c*.  Например,  световые
волны,  несущие  энергию  W  и  не  имеющие
массы  покоя,  обладают  массой  W/c2.  В  прин¬
ципе  массу  света  можно  измерить,  улавли¬
вая  его  ящиком  с  абсолютно  отражающими
стенками.  Содержащий  свет  ящик  будет  ве¬
сить  больше  ящика,  в  котором  света  нет.
Но  эта  разница  настолько  мала,  что  ее  невоз¬
можно  измерить  даже  самыми  точными  при¬
борами.  Впрочем,  имеется  один  измеренный
эффект,  связанный  с  наличием  у  света  массы.
Если  световые  волны  обладают  массой,  то
 286

Фиг.  194.  Искривление  световых  лу¬
чей  в  поле  тяготения  Солнца.
 благодаря  силе  тяготения  они  должны  при¬
тягиваться  Солнцем.  Это  искривление  свето¬
вых  лучей  в  направлении  Солнца  приводит
к  заметному  смещению  кажущегося  положе¬
ния  звезд,  наблюдаемых  вблизи  Солнца  во
время  затмения  (фиг.  194).
 §  8.  Общая  теория
относительности
 РЕЛЯТИВИСТСКОЕ  ТЯГОТЕНИЕ
 То,  что  мы  до  сих  пор  называли  теорией
относительности  Эйнштейна,  иногда  назы¬
вают  специальной  теорией  относительности
в  отличие  от  общей  теории  относительности,
первая  часть  которой  была  разработана
Эйнштейном  в  1911  г.,  спустя  шесть  лет  после
опубликования  его  специальной  теории  от¬
носительности.  Общая  теория  относитель¬
ности  на  самом  деле  представляет  собой  сов¬
ременную  релятивистскую  теорию  тяготе¬
ния,
 В  теории  тяготения  Ньютона  подразуме¬
вается,  что  сила  F  =  GMxMt/r2  действует
мгновенно.  Это  означает,  что  сигнал  или
энергия  могут  передаваться  мгновенно.  Такое
утверждение  противоречит  одному  из  основ¬
ных  принципов  относительности,  а  именно:
ни  энергия,  ни  сигнал  не  могут  распростра¬
няться  быстрее  скорости  света.  Таким  обра¬
зом,  Эйнштейн  столкнулся  с  проблемой  ре¬
лятивистской  теории  тяготения.  Он  считал,
что  его  новая  теория  должна  удовлетворять
принципу  относительности  и  в  то  же  время
автоматически  содержать  тождество  грави¬
тационной  и  инертной  масс.  Это  условие
привело  Эйнштейна  к  постулированию  так
называемого  принципа  эквивалентности.
Этот  принцип  утверждает,  что  поле  тяготения
эквивалентно  ускоряющейся  системе  отсчета.
Например,  пассажирам  при  старте  ракеты
с  ускорением  вверх  кажется,  что  сила
тяжести  внезапно  увеличилась.  Если  уско¬
рение  ракеты  относительно  Земли  a=2g,
 287

то  вес  пассажиров  и  всего  содержимого  ра¬
кеты  увеличится  в  3  раза  по  сравнению  с  их
нормальным  весом.  Эта  «псевдогравитацион-
ная»  сила  в  точности  пропорциональна  инерт¬
ной  массе.  Ни  один  физический  эксперимент
внутри  ракеты  не  поможет  пассажирам  вы¬
яснить,  внезапно  ли  увеличилось  в  3  раза
земное  притяжение  или  просто  ракета  при¬
обрела  ускорение  относительно  Земли.
 Математические  приемы,  которыми  поль¬
зовался  Эйнштейн  для  формулировки  прин¬
ципа  эквивалентности  в  общей  теории  отно¬
сительности,  выходят  за  рамки  данной  книги.
Смысл  этого  описания  сводится  к  тому,  что
любая  масса  «возмущает»  прилегающее  про¬
странство  так,  что  траектории  всех  свободно
движущихся  тел  оказываются  одинаковым
образом  искривленными.  С  точки  зрения
классической  физики  любое  тело,  движуще¬
еся  по  криволинейной  траектории,  уско¬
ряется  и,  следовательно,  должно  находиться
под  действием  некоторой  силы.  В  общей  тео¬
рии  относительности  именно  это  ускорение
и  является  тем  общим  свойством  простран¬
ства,  которое  лежит  в  основе  тяготения.  По¬
скольку  возмущение  присуще  самому  про¬
странству,  его  эффект  будет  одинаковым  для
любой  инертной  массы  и,  следовательно,
принцип  эквивалентности  автоматически
удовлетвор  яется.
 Одно  из  следствий  общей  теории  отно¬
сительности  состоит  в  том,  что  свет,  обла¬
дая  инертной  массой,  теряет  энергию  на
преодоление  гравитационного  притяжения
испускающего  его  тела.  В  гл.  12  мы  увидим,
что  потеря  светом  энергии  означает  увеличе¬
ние  его  длины  волны.  Этот  эффект  называется
гравитационным  красным  смещением.  Такое
смещение  наблюдается  в  спектральных  ли¬
ниях  Солнца  и  тяжелых  звезд.  Таким  обра¬
зом,  атомные  часы  на  поверхности  Солнца
идут  медленнее  тех  же  самых  часов  у  нас,  на
Земле.  Как  и  следовало  ожидать,  общая  тео¬
рия  относительности  предсказывает,  что  все
часы  в  поле  силы  тяжести  должны  замедлять
свой  ход.  Если  два  совершенно  идентичных
экземпляра  часов  на  Земле  поместить  друг
 288

от  друга  на  расстоянии  1  м  по  высоте,  то
нижние  часы  будут  ежесекундно  отставать
на  10"1в  сек.  Впервые  эталоны  частоты,  обла¬
дающие  такой  точностью,  были  созданы  в
1960  г.  на  основе  явления  испускания  фотонов
радиоактивными  ядрами  в  кристалле  (см.
гл.  15).  Это  явление,  позволяющее  достичь
такой  точности  измерения  частоты,  получило
название  эффекта  Мёссбауэра.
 До  последнего  времени  не  удавалось  про¬
вести  эксперимент  по  проверке  общей  теории
относительности.  Однако  теперь  с  помощью
новых  эталонов  частоты  в  лабораторных  ус¬
ловиях  наконец  было  показано,  что  тяго¬
тение  действительно  замедляет  время.  Впер¬
вые  такие  эксперименты  были  выполнены
в  1960  г.  в  70-футовой  башне  Гарвардского
университета.
 Кроме  того,  имелось  всего  три  экспери¬
ментальных  результата,  подтверждавших,
казалось  бы,  общую  теорию  относительности  и
полученных  несколько  десятилетий  назад.
Это  искривление  звездного  света  около  Солн¬
ца  (см.  фиг.  194),  красное  смещение  в
спектрах  тяжелых  звезд  и  смещение  периге¬
лия  Меркурия.  Точность  этих  результатов
была  столь  низкой,  что  до  последнего  вре¬
мени  общая  теория  относительности  счита¬
лась  недостаточно  обоснованной.  С  другой
стороны,  специальная  теория  относитель¬
ности  была  четко  подтверждена  на  опыте.
 §  9.  Принцип  Маха
 АБСОЛЮТНО  ЛИ  УСКОРЕНИЕ?
 Мы  установили,  что  абсолютной  скорости
не  существует.  С  другой  стороны,  ускорение
абсолютно  даже  с  точки  зрения  самой  совре¬
менной  теории  относительности.  Величину
абсолютного  ускорения  можно  измерить  с
помощью  прибора,  называемого  акселеро¬
метром.  В  качестве  простейшего  акселеромет¬
ра  можно  использовать  пружину  с  грузом  на
конце.  Если  упругость  пружины  неизменна  и
масса  известна,  то  величину  ускорения  можно
определить  по  натяжению  пружины.  Рассмот¬
 10  Джей  Орир
 289

рим  нескольких  наблюдателей,  движущихся
с  ускорением  друг  относительно  друга.  Тогда
среди  бесконечного  числа  возможных  систем
отсчета  найдется  такая  система,  в  которой
измеренное  ускорение  окажется  равным
нулю.  Такая  система  отсчета  называется
инерциальной.  Еще  Ньютон  указывал,  что
его  законы  справедливы  только  в  инерциаль-
ных  системах  отсчета.  Он  называл  инерци¬
альной  систему,  не  имеющую  ускорения  по
отношению  к  «неподвижным»  звездам.
 Эта  концепция  абсолютности  инерциаль¬
ной  системы  оспаривалась  некоторыми  фило¬
софами,  в  том  числе  Эрнстом  Махом.  Мах
предположил,  что  в  общем  случае  ускоре¬
ние  не  абсолютно,  а  определяется  распреде¬
лением  вещества  во  Вселенной.  Согласно
принципу  Маха,  если  бы  распределение  ве¬
щества  во  Вселенной  внезапно  изменилось,
то  изменились  бы  и  величины  ускорений,  и
система  координат,  бывшая  до  того  инерци¬
альной,  с  этого  момента  могла  бы  и  не  ока¬
заться  такой.  Мах  предполагал,  что  величина
инертной  массы  любого  тела  определяется
всем  остальным  веществом  Вселенной.  В  тео¬
рии,  совместимой  с  принципом  Маха,  инерт¬
ная  масса  отдельного  тела,  находящегося
в  лишенной  вещества  Вселенной,  должна
была  бы  обратиться  в  нуль.  При  этом  все
системы  отсчета  были  бы  инерциальными.
 Пока  принцип  Маха  является  спорным  и
абсолютно  не  проверен  на  опыте.
 §  10.  Космология
 ВНЕЗАПНО  ИЛИ  НЕПРЕРЫВНО  СОЗДАВАЛСЯ  МИР?
 Вопросы,  поднимаемые  принципом  эк¬
вивалентности,  общей  теорией  относитель¬
ности  и  принципом  Маха,  тесно  связаны  с
проблемой  происхождения,  размера  и  строе¬
ния  Вселенной.  Бесконечна  или  конечна
Вселенная?  Каков  возраст  нашей  солнечной
системы  и  Галактики?  Как  они  образовались?
Сколько  существует  других  галактик  и  как
они  распределены?  Как  они  произошли?  Что
представляла  собой  Вселенная  до  того,  как
 290

образовались  эти  галактики?  Область  физи¬
ки,  занимающаяся  этими  наиболее  фундамен¬
тальными  проблемами,  называется  космоло¬
гией  и  переживает  в  настоящее  время  бурное
развитие.  Например,  возраст  нашей  Галакти¬
ки  за  последние  пять  лет  «увеличился»  бла¬
годаря  появлению  более  точных  теорий
не  на  пять  лет,  а  примерно  на  десять  мил¬
лиардов  лет.  По  последним  оценкам  Млеч¬
ному  пути  почти  двадцать  миллиардов
лет,  а  возраст  Земли  —  4,5  миллиарда  лет.
 Теории  происхождения 	и  размеров
 Вселенной  в  настоящее  время  непрерывно
изменяются,  причем  конкурирующие  между
собой  теории  не  имеют  под  собой  твердой
экспериментальной  основы.  Однако  ведущие
космологи  считают,  что  в  настоящее  время
наши  знания  в  этой  области  накапливаются
столь  быстро,  что  уже  в  ближайшее  десяти¬
летие  новые  открытия  позволят  нам  принять
одну  из  теорий  и  отвергнуть  все  остальные.
 Конец  этого  параграфа  мы  посвятим
в  основном  обзору  имеющихся  в  этой  области
данных.  С  помощью  200-дюймового  телескопа
на  горе  Паломар  можно  увидеть  около  десяти
миллиардов  галактик,  равномерно  распре¬
деленных  в  пространстве  вплоть  до  расстоя¬
ний  примерно  в  шесть  миллиардов  свето¬
вых  лет.  Свет,  приходящий  с  больших  рас¬
стояний,  настолько  ослаблен,  что  его  нельзя
обнаружить.  Наша  Галактика  диаметром
примерно  60  ООО  световых  лет  содержит  около
100  миллиардов  звезд,  одной  из  которых
является  Солнце.  Ближайшая  к  нам  галак¬
тика,  Туманность  Андромеды,  сходна  по  раз¬
мерам  и  строению  с  нашей  Галактикой.
 Последние  достижения  в  области  термо¬
ядерных  реакций  позволяют  оценить  возраст
некоторых  типов  звезд.  Эти  оценки  свидетель¬
ствуют  о  том,  что  наша  Галактика  образова¬
лась  примерно  двадцать  миллиардов  лет
назад,  хотя  образование  звезд  в  ней  происхо¬
дит  и  по  сей  день  (возраст  некоторых  звезд
составляет  всего  один  миллион  лет).  При¬
чина,  заставляющая  маленькие  частички
вещества  скопляться  в  огромные  звезды,—
это  сила  всемирного  тяготения.
 Ю*
 291

Быть  может,  самым  важным  эксперимен¬
тальным  фактом  является  установление  того
обстоятельства,  что  все  галактики  удаляются
от  нас  со  скоростями,  пропорциональными  их
расстояниям  до  нашей  Галактики.  Коэффици¬
ент  пропорциональности  таков,  что  галакти¬
ки,  находящиеся  на  пределе  видимости,  т.  е.
на  расстоянии  примерно  пяти  миллиардов  све¬
товых  лет,  удаляются  от  нас  со  скоростью,
составляющей  около  половины  скорости
света.  Скорость  удаления  определяется  по
смещению  длины  волны  света,  испускаемого
этими  галактиками.  Если  источник  света
удаляется  от  нас,  то  длина  волны  возрастает
(так  называемое  красное  смещение,  или  эф¬
фект  Допплера).
 Если  провести  вычисления,  то  окажется,
что  около  десяти  миллиардов  лет  назад  все
галактики  Вселенной  группировались  в  на¬
шей  области  пространства.  Действительно,
в  одной  из  ведущих  космологических  теорий
предполагается,  что  десять  миллиардов  лет
назад  все  вещество  Вселенной  находилось
в  одном  месте  и  имело  такую  же  плотность,
что  и  атомные  ядра.  Это  означает,  что  все
находящиеся  в  пределах  .видимости  галак¬
тики  могли  располагаться  внутри  сферы  диа¬
метром,  меньшим  по  своим  размерам,  чем
орбита  Юпитера.  После  «таинственного»  акта
создания  в  мире  стали  действовать  обычные
законы  физики,  которые  и  привели  к  гигант¬
скому  взрыву  первоначального  ядра.  Следо¬
вательно,  удаляющиеся  галактики  похожи
на  осколки  взорвавшейся  «ручной  гра¬
наты».  Это  объяснение  расширяющейся
Вселенной  называется  теорией  «большого
взрыва».
 Основным  конкурентом  этой  теории  яв¬
ляется  теория  стационарного  состояния,  в
основу  которой  положен  обобщенный  прин¬
цип  однородности.  Принцип  однородности
гласит,  что  Вселенная  должна  выглядеть
одинаково  из  любой  точки  пространства.
Этот  принцип  согласуется  с  нашими  наблю¬
дениями.  Но,  кроме  этого,  принцип  одно¬
родности  утверждает,  что  Вселенная  выгля¬
дит  одинаково  в  любой  момент  времени,  т.  е.
 293
 Фиг.  195.  Большая  туманность  в
созвездии  Андромеды.
 Ближайшая  к  нам  большая  галактика,  по¬
хожая  на  Млечный  путь  в  нашей  Галакти¬
ке;  удалена  от  нас  почти  на  два  миллиона
световых  лет.

она  имела  тот  же  вид  в  прошлом  и  всегда
будет  так  же  выглядеть  в  будущем.  В  теории
стационарного  состояния  этот  принцип  одно¬
родности  справедлив  вследствие  допущения,
что  вещество  во  Вселенной  создается  непре¬
рывно  и  равномерно,  при  этом  скорость  обра¬
зования  вещества  совпадает  со  скоростью
уменьшения  средней  плотности  вещества  в
расширяющейся  Вселенной.  Согласно  изме¬
рениям,  скорость  расширения  Вселенной
такова,  что  полная  плотность  вещества  в  ней
останется  постоянной,  если  в  объеме,  равном
1015  см3  (или  1  км3),  будет  самопроизвольно
ежегодно  возникать  один  нейтрон  (или  атом
водорода).  Можно  возразить,  что  самопроиз¬
вольное  проявление  нейтронов  противоречит
законам  сохранения  энергии,  количества
движения  и  тяжелых  частиц.  Но  речь  идет
 о 	ничтожно  слабом  нарушении  этих  «законов
сохранения».
 В  гл.  16  мы  увидим,  что  некоторые  зако¬
ны  сохранения  нарушаются  слабыми  взаимо¬
действиями.
 Теория  стационарного  состояния  позволя¬
ет  сделать  много  «смелых»  предсказаний,  ко¬
торые  поддаются  проверке.  Например,  одно
из  предсказаний  состоит  в  том,  что  распре¬
деление  возраста  галактик  должно  быть
равномерным  не  только  для  ближних  галак¬
тик,  но  и  для  удаленных.  Другое  предсказа¬
ние  этой  теории  состоит  в  том,  что  в  резуль¬
тате  термоядерных  реакций  в  обычных  звездах
из  первоначального  водорода  возникают
тяжелые  элементы,  такие,  как  уран.
 Примечание  редакции.  Основы  теории  расши¬
ряющейся  Вселенной  были  заложены  еще  в  1922  г.
работой  А.  А.  Фридмана.  В  настоящее  время  фрид-
мановская  модель  мира  получила  широкое  призна¬
ние,  ибо  дает,  по-видимому,  найболее  адекватное
описание  современного  состояния  Вселенной.
 294

Задачи
 1. 	Во  сколько  раз  увеличится  плотность  тела,
если  оно  движется  со  скоростью  v?  (Размеры,  пер¬
пендикулярные  направлению  движения,  не  сокра¬
щаются.)
 2. 	В  какую  сторону  смещается  видимое  поло¬
жение  звезд  при  искривлении  световых  лучей  вблизи
Солнца:  по  направлению  к  Солнцу  или  от  Солнца?
 3. 	Медленнее  или  быстрее  будут  идти  часы  на
вершине  горы  по  сравнению  с  такими  же  часами  у
подножия?
 4. 	Сколько  микрограммов  теряет  благодаря  ис¬
пусканию  света  за  год  лампочка  в  100  вт?
 5. 	Скорость  тела  такова,  что  его  масса  возрос¬
ла  на  10%.
 а) 	Как  уменьшится  его  длина  в  направле¬
нии  движения?
 б) 	Если  его  энергия  покоя  равна  Wot  то
чему  равна  его  кинетическая  энергия?
 6. 	Энергия  покоя  протона  равна  938  Мэе.  Рас¬
смотрим  протои,  движущийся  со  скоростью,  вдвое
меньшей  скорости  света.
 а) 	Какова  его  кинетическая  энергия
(в  Мэе)  с  точки  зрения  классической  механики?
 б)  Какова  его  кинетическая  энергия  (в  Мэе)
с  точки  зрения  релятивистской  механики?
 7. 	Поток  солнечной  энергии  на  Землю  состав¬
ляет  2  кал/см*  в  1  мин.  Какое  количество  солнеч¬
ной  массы  в  граммах  достигает  поверхности  Земли
за  год?  Можно  ли  отсюда  сделать  вывод,  что  Земля
становится  тяжелее?
 8. 	Рассмотрим  спутник  Земли,  движущийся  по
орбите  на  расстоянии  160  км  от  поверхности  Земли.
Как  будут  идти  часы  на  спутнике  —  медленнее  или
быстрее  по  сравнению  с  покоящимися  часами  на
той  же  высоте?
 9. 	Сколько  требуется  расщепляющегося  мате¬
риала  для  атомной  20-килотонной  бомбы?
 10. 	Кинетическая  энергия  л-мезона  составляет
35  Мэе.  Во  сколько  раз  увеличится  его  период
полураспада?  Энергия  покоя  л-мезона  равна  140  Мэе.
 11. 	Релятивистская  формула  для  импульса  име¬
ет  вид:  Р  =  Mv.  Используя  формулу  (11.9),  пока¬
жите,  что  с*Рг  =  W*  —  (М0с*)2.
 12. 	В  эксперименте  Майкельсона  —  Морли
смещению  на  одну  интерференционную  полосу  со¬
ответствует  разность  хода  4-10“*  см.  Какое  наблю¬
далось  бы  смещение  при  повороте  аппарата  на  90°,
если  длина  плеча  интерферометра  10  м,  а  скорость
относительно  эфира  29  км/сек?
 295

13. 	Для  частицы  с  массой  покоя  М0  и  скоростью
 v  укажите  наибольшую  из  следующих  величин:
1f1M0vг> 	или  кинетическая  энергия  частицы.
 14. 	Представьте  себе  ракетный  двигатель,  ко¬
торый  сообщал  бы  кораблю  постоянное  ускорение  2g
(по  измерениям  пассажиров)  в  течение  одного  года.
Релятивистская  формула,  соответствующая  класси¬
ческой  v  =  at,  имеет  вид
 Каков  будет  коэффициент  замедления  течения  вре¬
мени  для  пассажиров  этой  ракеты  к  концу  года?
 15, 	Пусть  Вселенная  представляет  собой  сферу
с  конечным  радиусом  R  и  средней  плотностью
10~29  г/см?.  Чему  равна  скорость  разлета  вещества
из  этой  сферы?  (Интересно  отметить,  что  ответ  на
этот  вопрос  оказывается  очень  близким  к  наблюдае¬
мой  скорости  удаления  галактик,  находящихся  на
расстоянии  R.)

ГЛАВА  12
 КВАНТОВАЯ
 ТЕОРИЯ

КВАНТОВАЯ
 ТЕОРИЯ
 §  I.  Основные  результаты
классической  физики
 НОВЕЙШЕЕ  СЕГОДНЯ  СТАНЕТ  КЛАССИЧЕСКИМ
ЗАВТРА
 До  сих  пор  в  нашем  изложении  не  встре¬
чалась  фундаментальная  постоянная
h=6,62-10~27  эрг-сек  (постоянная  Планка),
которая  входит  почти  во  все  физические  за¬
коны.  Единственная  причина,  по  которой
нам  удавалось  столь  искусно  ее  избегать,
заключается  в  том,  что  эта  постоянная  не
была  известна  до  1900  г.,  а  изложение  мате¬
риала  в  книге  до  сих  пор  соответствовало
в  основном  состоянию  физики  до  начала
XX  века.  Физика  этого  раннего  периода
носит  название  классической  физики.
 Прежде  чем  ввести  совершенно  новые
представления  квантовой  теории,  вернемся
назад  и  обратимся  к  достижениям  и  возмож¬
ным  недостаткам  классической  физики.  С  по¬
мощью  законов  Ньютона  нам  удалось  описать
падение  тел,  полет  снарядов  и  спутников
Земли,  солнечную  систему  и  другие  макро¬
скопические  движения.  Кроме  того,  ньюто¬
новская  механика  дала  нам  законы  сохране¬
ния  энергии,  импульса  и  момента  количества
движения.
 Химия  XIX  столетия  провозгласила,  что
вещество  построено  из  молекул  и  атомов.
На  основе  этого  представления  и  законов
Ньютона  была  создана  так  называемая  кине¬
тическая  теория  тепла,  сбросившая  таинст¬
венный  покров  с  этого  явления.
 «Необычные»  явления  электричества  и
магнетизма  нашли  свое  объяснение  в  кон¬
цепции  заряда  и  законах  электричества,
открытых  сто  лет  назад  и  позволивших
описать  «необычные»  взаимодействия  движу¬
щихся  и  покоящихся  зарядов.  Мы  называем
эти  законы  электричества  уравнениями  Макс¬
велла.  Венцом  достижений  классической  фи¬
зики  явилось  создание  в  1870  г.  теории  света,
которая  была  получена  Максвеллом  как
математическое  следствие  его  уравнений.
Это,  конечно,  привело  к  трудностям  в  объяс¬
нении  эфира,  а  также  в  решении  проблемы,
 293

почему  влияние  эфира  не  сказывалось  в  опыте
Майкельсона  —  Морли.  Объяснение  было
получено  в  1905  г.  Эйнштейном,  пересмотрев¬
шим  существовавшие  представления  о  про¬
странстве  и  времени.  При  первом  ознаком¬
лении  теория  относительности  может  пока¬
заться  выходящей  за  рамки  обычного  и  пося¬
гающей  на  «здравый  смысл».  Однако  изучаю¬
щих  физику  ожидает  еще  больший  удар  при
знакомстве  с  корпускулярно-волновым  дуа¬
лизмом  в  квантовой  теории.
 В  1890  г.  был  открыт  электрон,  а  также
фотоэффект,  о  котором  говорится  в  следую¬
щем  параграфе.  В  1910  г.  Резерфорд  обна¬
ружил,  что  весь  положительный  заряд  атома
должен  быть  сконцентрирован  в  небольшом
тяжелом  ядре.  Это  было  убедительно  дока¬
зано  бомбардировкой  тонких  металлических
фольг  а-частицами  (т.  е.  ядрами  гелия).
Оказалось,  что  значительное  число  этих
частиц  отлетает  в  обратном  направлении
с  очень  небольшой  потерей  энергии.  Число
а-частиц,  рассеянных  назад,  указывало  на
то,  что  заряд  рассеивающих  центров  (атомных
ядер)  равен  атомному  номеру  использован¬
ного  элемента,  умноженному  на  заряд
электрона  е.  Энергия  рассеянных  а-частиц
свидетельствовала  о  том,  что  в  ядрах  сосре¬
доточена  почти  вся  масса  атомов  мишени.
 Пример.  Резерфорд  наблюдал,  что  при  лобовом
соударении  с  ядрами  меди  а-частиц  с  энергией  5  Мэе
они  отлетают  назад  с  энергией  3,9  Мэе.  Вычислите
отношение  масс  ядра  меди  и  а-частицы.
 Обозначим  массы  а-частицы  и  ядра  меди  соот¬
ветственно  через  т  и  М.  Пусть  v  будет  начальной,
a  v'—  конечной  скоростью  а-частицы,  а  V  —  конеч¬
ной  скоростью  ядра  (фиг.  196).  Используя  законы
сохранения  энергии  и  импульса,  можно  получить
систему  двух  совместных  уравнений,  содержащих
эти  величины.  В  соответствии  с  законом  сохранения
энергии,  передаваемая  ядру  меди  энергия  равна
 Поскольку  v'  и  V  направлены  в  противоположные
стороны,  конечный  импульс  равен  MV  —  mu'.  Со¬
гласно  закону  сохранения  импульса,  эта  величина
 (12.1)
 299
 Фиг.  196.  Лобовое  соударение  а-ча¬
стицы  с  массой  т  и  атомного  ядра  с
массой  М.

должна  быть  равна  начальному  импульсу  mv:
MV  —mv'  =mv,
 (12.2)
 Возводя  правую  часть  в  квадрат  и  приравнивая  ее
правой  части  уравнения  (12.1),  получаем
 Л*  „  + 	1 	+ 	^у
 Поскольку  отношение  v'lv  равно  корню  квадратному
из  отношения  конечной  и  начальной  кинетических
энергий,  то
 Тогда  т/М  =  (1  —  0,882)/1,882  =  0,0625,  или
Л4=16  т.  Это  означает,  что  масса  ядра  меди  должна
быть  в  16  раз  больше  массы  а-частицы,  или  ядра
гелия.  Полученный  результат  совпадает  с  известным
отношением  атомных  весов,  равных  64  для  меди  и
4  для  гелия.
 Физики  пришли  к  выводу,  что  нельзя
представить  себе  устойчивый  атом,  картина
строения  которого  была  бы  совместима  как
с  уравнениями  Максвелла,  так  и  с  опытами
Резерфорда.  По  их  мнению,  «большие»  раз¬
меры  атома  следовало  бы  приписать  орбитам
электронов,  окружающих  положительно  за¬
ряженное  ядро.  Эти  электроны  обладали  бы
центростремительным  ускорением,  а  согласно
уравнениям  Максвелла,  любой  заряд,  дви¬
жущийся  с  ускорением,  должен  излучать
энергию.  Однако  если  бы  это  было  так,  то
электроны  непрерывно  теряли  бы  энергию
и  вскоре  упали  бы  на  ядро.  Другая  трудность
состояла  в  том,  что,  согласно  классической
теории,  излучение  атомов  должно  было  бы
характеризоваться  непрерывным  спектром.
Между  тем  было  известно,  что  возбужденные
атомы  обычно  излучают  лишь  определенные
дискретные  частоты  (т.  е.  линейчатый
спектр).  Последнее,  что  нуждалось  в  объяс¬
нении,  это  полная  тождественность  атомов
одного  элемента.  Что  заставляет  электроны

во  всех  атомах  углерода  двигаться  в  точности
по  одним  и  тем  же  орбитам?  Подобной  ситуа¬
ции  наверняка  нет  в  нашей  солнечной
системе  и  других  солнечных  системах.
 В  заключение  перечислим  некоторые  яв¬
ления,  не  нашедшие  своего  объяснения  в  рам¬
ках  классической  физики  на  рубеже  на¬
шего  века.
 1. 	Удельные  теплоемкости  газов  и  твер¬
дых  тел,  а  также  зависимость  удельной
теплоемкости  от  температуры  (согласно  дан¬
ным  гл.  6,  §  8,  удельные  теплоемкости  ока¬
зываются  ниже  предсказанных  кинетической
теорией).
 2. 	Фотоэлектрический  эффект.
 3. 	Строение  устойчивого  атома.
 4. 	Излучение  и  поглощение  атомов.  Ли¬
нейчатые  спектры.
 5. 	Тождественность  всех  атомов  одного
и  того  же  элемента.
 6. 	Спектральное  распределение  излуче¬
ния,  испускаемого  нагретым  телом  (так  на¬
зываемое  излучение  абсолютно  черного  тела).
 7. 	Радиоактивность.
 Фиг.  197.  Электроскоп,  соединенный
с  металлической  пластинкой.
 При  попадании  света  на  пластинку  проис¬
ходит  испускание  фотоэлектронов  и  лис¬
точки  электроскопа  приобретают  положи¬
тельный  заряд.
 §  2.  Фотоэлектрический
эффект
 ВСЁ  ИЛИ  НИЧЕГО
 Вскоре  после  открытия  электрона  было
обнаружено,  что  при  освещении  некоторых
металлических  поверхностей  с  них  вылетают
отрицательные  заряды,  или  электроны.  Это
явление  получило  название  фотоэлектриче¬
ского  эффекта.  На  фиг.  197  показано,  каким
образом  впервые  был  обнаружен  этот  эффект.
К  разряженному  электроскопу  прикрепля¬
лась  металлическая  пластинка.  Стекание  от¬
рицательного  заряда  с  пластинки  наблюда¬
лось  только  при  включенном  освещении;
в  этом  случае  электроскоп  приобретал  избы¬
точный  положительный  заряд.  Примерами
современного  применения  этого  эффекта  мо¬
гут  служить  турникеты,  сторожевые  сигналы,
телевизионные  камеры  и  экспонометры.
 301

Энергия  фотона
 Согласно  классической  теории,  свет  пред¬
ставляет  собой  по  существу  переменное  элект¬
рическое  поле,  возбуждающее  колебания
электрона.  Можно  было  бы  ожидать,  что  под
его  воздействием  некоторые  электроны  будут
вылетать  из  металла.  Поскольку  напряжен¬
ность  электрического  поля  увеличивается
с  ростом  интенсивности  света,  можно  пола¬
гать,  что  с  увеличением  интенсивности  будет
расти  максимальная  энергия  испускаемых
электронов.  Если  же  интенсивность  поддер¬
живать  постоянной,  но  увеличивать  частоту,
то  при  достаточно  высоких  частотах  элект¬
роны  должны  вылетать  с  меньшей  энергией,
так  как  благодаря  своей  инерции,  или  массе,
электрон  слабее  реагирует  на  более  высокие
частоты.  Таким  образом,  классическая  фи¬
зика  предсказывала,  что  энергия  электронов
увеличивается  с  увеличением  интенсивности
света  и  уменьшается  с  ростом  его  частоты.
Опыты,  проведенные  в  1900  г.,  обнаружили
отсутствие  изменений  энергии  электрона  с  ин¬
тенсивностью  и  увеличение  энергии  электро¬
нов  с  ростом  частоты!  Единственным  резуль¬
татом  увеличения  интенсивности  света
явилось  увеличение  числа  испускаемых  еже¬
секундно  электронов.
 К  1905  г.  Эйнштейн  дал  правильное  объ¬
яснение  фотоэлектрического  эффекта.  Это
объяснение,  кроме  того,  явилось  дополни¬
тельной  физической  интерпретацией  предло¬
женной  ранее  Максом  Планком  гипотезы.
Чтобы  получить  математическое  описание
формы  спектра  излучения  нагретых  тел  (излу¬
чения  черного  тела),  Планк  постулировал,
что  лучистая  энергия  переносится  определен¬
ными  порциями,  или  «квантами».  Планк
предположил,  что  энергия,  переносимая  све¬
товой  волной,  должна  соответствовать  целому
числу  квантов,  причем  энергия  каждого  из
квантов  равна  некоторой  новой  физической
постоянной  /2,  умноженной  на  частоту  свето¬
вой  волны  /:
 W  =  Л/, 	(12.3)
 где  h—6,62-Ю"27  эрг-сек  —  постоянная
Планка,  a  W  —  энергия  отдельного  светового
 302

кванта.  Эти  световые  «частицы»  были  названы
фотонами.  Планку  удалось  определить  вели¬
чину  постоянной  hy  которая  с  точностью  до
 1 	%  совпадает  с  ее  современным  значением.
 Пример.  Для  дальнейшего  крайне  полезно  иметь
в  своем  распоряжении  формулу,  связывающую  дли¬
ну  волны  фотона  в  ангстремах  с  его  энергией
W  =  hf,  выраженной  в  электрон-вольтах:
 6,62*  10“27‘3«  1010 	19,86* 	10“17
 В  этих  формулах  мы  умышленно  изменили
значащие  цифры.  Последние  две  цифры  в  12  345  не¬
существенны.  Предупреждаем: 	эти 	формулы  не¬
 применимы  для  электронов  и  других  частиц  с  массой
покоя,  отличной  от  нуля.  Одна  из  опасностей,  свя¬
занных  с  попытками  «выучить»  физику  на  память,
заключается  в  том,  что  при  этом  упускается  из  виду,
каким  образом  получено  то  или  иное  уравнение  и
к  какому  классу  явлений  оно  применимо.
 Эйнштейн  предположил,  нто  при  фото¬
электрическом  эффекте  отдельный  электрон
полностью  поглощает  в  элементарном  акте
один  фотон.  Процесс  происходит  мгновенно,
подобно  столкновению  двух  частиц.  Энергия
электрона  в  металле  в  результате  этого  воз¬
растает  на  величину  hf.  Смысл  этого  смелого
предположения  состоит  в  том,  что  свет  в  ко¬
нечном  итоге  оказывается  состоящим  из
частиц.  Эти  частицы  света,  или  фотоны,  могут
поглощаться  только  поодиночке,  и  говорить
о  доле  фотона  не  имеет  смысла.  Развитая
Эйнштейном  теория  правильно  предсказала,
что  энергия  электрона  должна  возрастать
с  увеличением  частоты  света  и  не  зависеть
от  интенсивности  света.  Для  отрыва  элект¬
рона  с  поверхности  металла  требуется  опре¬
деленная  энергия.  Мы  будем  называть  ее
 зоз
 Для  запоминания  наилучшей  является  следующая
запись:

«работой  выхода»  Ж.  Для  чистого  цезия  ра¬
бота  выхода  равна  1,8  эв>  для  меди  она  со¬
ставляет  4,3  эв.  Согласно  закону  сохранения
энергии,  максимальная  кинетическая  энергия
электрона,  покинувшего  поверхность,  может
достигать
 §  3.  Корпускулярно-волновой
дуализм
 ЧАСТИЦЫ  СУТЬ  ВОЛНЫ,  ВОЛНЫ  СУТЬ  ЧАСТИЦЫ
 Явления,  подобные  фотоэлектрическому
эффекту,  показывают,  что  свет  наряду  с  хо¬
рошо  известными  волновыми  качествами
должен  обнаруживать  свойства,  характерные
для  частиц.  В  настоящее  время  мы  знаем,  что
эта  взаимосвязь  частиц-  и  волн,  или  корпу-
скулярно-волновой  дуализм,  существует  у
всех  частиц  и  волн  и  представляет  собой  ос¬
новной  принцип  современной  квантовой  тео¬
рии.  Требование  того,  чтобы  материальные
частицы  имели  такие  же  волновые  свойства,
что  и  фотоны,  поначалу  может  показаться
весьма  неестественным.  Прежде  чем  разъяс¬
нить,  что  мы  понимаем  под  волнами,  сопо¬
ставляемыми  любой  частице,  рассмотрим  мыс¬
ленный  эксперимент  (фиг.  198).
 Пучок  электронов  испускается  электрон¬
ной  пушкой  в  направлении  препятствия
с  двумя  щелями  Л  и  В.  По  другую  сторону
препятствия  находится  счетчик  Гейгера,  ко¬
торый  регистрирует  ежеминутно  100  элект-
 Пример.  Фотоэлектрон  выбивается  из  цезия  с
кинетической  энергией  2  эв.  Какова  максимальная
длина  волны  света,  который  может  выбить  этот
электрон?
 Фиг.  198.  Идеализированный  экспе¬
римент,  иллюстрирующий  волновые
свойства  электронов.

Фиг.  199.  Распределение  электронов
согласно  классической  физике.
 а  —  открыта  только  щель  А;  6  —  открыта
только  щель  В;  в  —  открыты  обе  щели.
 Фиг.  200.  Распределение  электронов
согласно  квантовой  теории.
 Красная  кривая  —  наблюдаемое  распре¬
деление;  пунктирная  кривая  —  классиче¬
ское  распределение.
 ронов,  проходящих  через  щель  А  (щель  В
закрыта).  Скорость  счета  от  щели  В  также
равна  100  отсчетам  в  1  мин.  Если  сначала
открыть  только  щель  Л,  а  затем  постепенно
открывать  щель  В,  то  следует  ожидать,  что
(в  соответствии  со  здравым  смыслом  и  всем,
что  нам  было  до  сих  пор  известно)  скорость
счета  по  мере  открывания  щели  В  будет
постепенно  увеличиваться  от  100  до  200  от-
счетов  в  1  мин.  Однако,  в  зависимости  от
положения  счетчика,  на  опыте  может  полу¬
читься  постепенное  уменьшение  от  100  отсче¬
тов  в  1  мин  до  нуля!  Каким  образом  открыва¬
ние  щели  В  может  повлиять  на  те  электроны,
которые,  казалось  бы,  прошли  через  щель  А?
Здравый  смысл  терпит  поражение  еще  в  од-
ном:  можно  найти  такое  положение  счетчика,
в  котором  скорость  счета  при  открывании
щели  В  увеличивается  от  100  до  400  отсчетов
в  1  мин.  Таким  образом,  электронов  оказы¬
вается  как  бы  в  2  раза  больше,  чем  при
непосредственном  сложении  отдельных  эф¬
фектов  обеих  щелей.
 На  фиг.  199  изображено  ожидаемое  рас¬
пределение  электронов  в  месте  расположе¬
ния  счетчика  в  соответствии  с  классической
механикой,  а  на  фиг.  200  —  истинное  экспе¬
риментальное  распределение.  Отметим,  что
это  экспериментальное  распределение  интен¬
сивности  электронов  носит  тот  же  характер,
что  и  картина  интерференции  световых  волн
от  двух  щелей.  При  D1—D^N'k  распола¬
гается  интерференционный  максимум,  а
D1—D2=(N+1/2Я,)  соответствует  минимуму
интенсивности.  На  фиг.  201,а  изображен
результат,  который  получается,  если  на
месте  экрана  поместить  фотопленку  (см.
фиг.  200).  Каждый  электрон  в  месте  попада¬
ния  на  пленку  создает  черную  точку.  Фото¬
графия  двойной  щели  получена  в  результате

Фиг.  201.  Интерференционная  карти¬
на  от  двух  щелей:  электронов  (а)  и
света  (б).
 Каждое  зерно  на  фотографии  образовано
отдельным  электроном;  на  приведенной
для  сравнения  фиг.  174  (здесь  часть  б)
каждое  зерно  образовано  отдельным  фо¬
тоном.
 попадания  на  пленку  многих  тысяч  электро¬
нов.  Для  сравнения  на  фиг.  201,6  приведена
типичная  картина  интерференции  света  от
двух  щелей.
 Каким  же  образом  электрон,  который  мы
представляем  себе  как  частицу  с  определен¬
ной  массой  и  зарядом,  может  в  то  же  самое
время  быть  волной?  На  эту  возможность
в  действительности  впервые  указал  в  1924  г.
Луи  де-Бройль  в  своей  диссертации  на
соискание  ученой  степени  доктора  филосо¬
фии.  Де-Бройль  предположил,  что  все  ча¬
стицы  должны  обладать  волновыми  свойст¬
вами,  подобными  волновым  свойствам  света.
 Физическая  интерпретация  корпускулярно¬
волнового  дуализма  заключается  в  том,  что
интенсивность  сопоставляемой  частице  волны
в  любой  заданной  точке  оказывается  пропор¬
циональной  вероятности  найти  частицу  в
этой  точке.  Это  и  есть  то,  что  мы  понимаем
под  корпускулярно-волновым  дуализмом.
Термин  дуализм,  по-видимому,  очень  неуда¬
чен.  Смысл  его  заключается  в  том,  что  между
корпускулярными  и  волновыми  характери¬
стиками  любой  частицы  (или  волны)  сущест¬
вует  определенная  связь,  отмеченная  выше
курсивом.  Де-Бройль  ввел  количественное
соотношение  между  длиной  сопоставляемой
частице  волны  и  импульсом  частицы:
 Соотношение  де-Бройля
 (12.6)
 Это  соотношение  справедливо  для  любой
частицы  с  импульсом  Р.
 Пример.  Исходя  из  соотношения  де-Бройля,
получите  формулу  W  —  hf  для  частиц  с  массой  по¬
коя,  равной  нулю  (подчеркнем,  что  эта  формула
справедлива  только  для  частиц  с  нулевой  массой
покоя).
 В  релятивистском  случае  Р  —  Mv  и  М  =  Wfeг.
Поэтому  Р  =  Wv/c*.  Для  частицы  с  массой  покоя,
равной  нулю,  v  =  с  и  поэтому  P—Wjc.  Подстав¬
ляя  в  (12.6),  получаем
 Формула  (12.6)  непосредственно  и  одно¬
значно  связывает  волновую  характеристику

в  левой  части  с  корпускулярной  характери¬
стикой  в  правой  части.  Множитель  пропор¬
циональности  представляет  собой  постоян¬
ную  Планка.  Она  уже  встречалась  ранее
в  таких  явлениях,  как  излучение  черного
тела,  фотоэлектрический  эффект  и  спектр
атома  водорода.
 Корпускулярно-волновой  дуализм  поро¬
дил  ряд  недоуменных  вопросов.  Допустим,
что  электроны  вылетают  из  пушки  пооди¬
ночке.  Тогда,  согласно  волновым  представ¬
лениям,  каждому  электрону  сопоставляется
цуг  волн,  или  волновой  пакет,  распределяю¬
щийся  равным  образом  между  обеими  ще¬
лями.  Однако,  поместив  за  щелью  А  счетчик
Гейгера,  камеру  Вильсона  или  какой-либо
иной  детектор  частиц,  мы  убедимся,  что
в  природе  никогда  не  реализуется  половина
электрона.  Мы  регистрируем  либо  всю  ча¬
стицу  целиком,  либо  не  регистрируем  ее
вообще.  В  этом  сущность  атомизма,  который
совместим  с  гипотезой  о  том,  что  интенсив¬
ность  волны  за  щелью  А  характеризует
вероятность  найти  один  (целый)  электрон
в  этом  месте.  Более  того,  если  детектор  поме¬
стить  за  щелью  Л,  то  интерференционная
картина  сгладится  и  получится  классический
результат.  Чтобы  детектор  зарегистрировал
электрон,  последний  должен  провзаимодей-
ствовать  с  ним.  Согласно  квантовой  теории,
в  этом  случае  мы  будем  иметь  новую  элект¬
ронную  волну,  исходящую  из  точки  взаимо¬
действия  и  создающую  картину,  характерную
как  раз  для  отдельной  щели.  С  другой  сто¬
роны,  если  электрон  появляется  на  экране,
не  будучи  зарегистрирован  детектором  за
щелью  Л,  то  в  этом  случае  мы  знаем,  что
соответствующая  волна  должна  была  пройти
только  через  щель  В.  Таким  образом,  наличие
детектора  изменяет  результат,  превращая
интерференционную  картину  (см.  фиг.  200)
в  классическую  (см.  фиг.  199).  Многие
физики,  в  том  числе  и  Эйнштейн,  пытались
придумать  такой  опыт,  в  котором  открывание
щели  для  отдельных  электронов  не  нару¬
шало  бы  интерференционной  картины.  Од¬
нако  все  попытки  потерпели  неудачу.
 307

§  4.  Диффракция  электронов
 КАК,  НЕ  ЗНАЯ  ЭЛЕКТРОНА,  РАЗДЕЛИТЬ  ЕГО
НА  ЧАСТИ
 Гипотеза  де-Бройля  впервые  была  под¬
тверждена  на  опыте  двумя  американскими
физиками  Девиссоном  и  Джермером,  наблю¬
давшими  в  1927  г.  диффракцию  электронов.
Любопытно,  что  в  этом  опыте,  как  и  в  дру¬
гих,  имевших  исключительно  большое  значе¬
ние  для  физики,  великое  открытие  про¬
изошло  случайно.  Девиссон  и  Джермер  не
интересовались  диффракцией  электронов.  По¬
началу  они  даже  не  имели  представления  об
этом  явлении.  В  1926  г.  Девиссон  повез
в  Англию  (в  Оксфорде  в  это  время  происхо¬
дила  международная  конференция)  некото¬
рые  полученные  им  предварительные  резуль¬
таты.  Европейские  ученые  обратили  его
внимание  на  то,  что  полученные  им  резуль¬
таты  скорее  можно  интерпретировать  как
диффракцию  электронов,  нежели  как  класси¬
ческое  рассеяние,  которое  он  изучал.  Спустя
несколько  месяцев  Девиссон  и  Джермер
получили  результаты,  убедительно  доказав¬
шие  волновую  природу  электронов  и  позво¬
лившие  определить  величину  постоянной
Планка  с  точностью  примерно  до  1%.  Они
исследовали  рассеяние  медленных  электро¬
нов  от  монокристалла  металла,  правильные
ряды  атомов  на  поверхности  которого  дей¬
ствовали  подобно  штрихам  очень  тонкой
диффракционной  решетки.  Длина  волны
электронов  находилась  из  известного  рассто¬
яния  между  атомами.
 Пример.  Пучок  электронов  ускоряется  потен¬
циалом  100  в.  Какова  при  этом  длина  волны  элект¬
ронов?
 Вскоре  после  появления  в  1924  г.  идеи
де-Бройля  английский  физик  Томпсон  при¬
ступил  к  систематическому  исследованию

диффракции  электронов.  Его  метод  исследо¬
вания  заключался  в  следующем:  электроны
с  высокой  энергией  пропускались  через
тонкую  металлическую  фольгу.  Поскольку
рентгеновские  лучи  и  электроны  имеют  почти
одинаковую  длину  волны,  Томпсон  надеялся
получить  картину  диффракции  электронов,
сходную  по  внешнему  виду  с  известной  ранее
диффракционной  картиной  рентгеновских  лу¬
чей.  В  1928  г.  в  распоряжении  Томпсона
имелась  диффракционная  картина  электро¬
нов,  выглядевшая  почти  так  же,  как  картина
диффракции  рентгеновских  лучей.  Любо¬
пытно,  что  «случайные»  обстоятельства  дали
результаты  раньше,  нежели  тщательное  изу¬
чение  и  обдуманный  подход.  Это,  конечно,  не
может  служить  для  читателя  концепцией
научного  метода,  однако  таков  истинный
путь  развития  науки.  Опыт  Девиссона  и
Джермера  являет  собой  хороший  пример
правильного  научного  метода.  Если  экспе¬
риментатор,  пусть  даже  случайно,  обнару¬
жил  непонятный  эффект,  его  долг  тщательно
заняться  этим  эффектом,  пока  не  будет  до¬
стигнута  полная  ясность.
 Нет  необходимости  говорить,  что  к  на¬
стоящему  времени  волновые  свойства  элект¬
ронов,  нейтронов,  протонов,  атомов  и  т.  д.
изучены  очень  подробно.  Волновая  природа
вещества  сейчас  твердо  установлена,  причем
никаких  отклонений  от  теории  обнаружить
не  удалось.
 §  5.  Принцип  неопределенности
 ДАЖЕ  МАТЬ-ПРИРОДА  ЗНАТЬ  ВСЕГО  НЕ  МОЖЕТ
 Квантовая  теория  привела  к  этому  инте¬
ресному  следствию,  которое  заключается
в  том,  что  нельзя  для  одного  и  того  же  мо¬
мента  времени  предсказать  точные  значения
координаты  и  скорости  любой  частицы.  Это
«странное»  следствие  теории  известно  под
названием  принципа  неопределенности.  Сде¬
лаем  крайнее  предположение,  что  известен
точный  импульс  частицы;  это  означает,  что
ч  асти  це  соответствует  одна-ед  и  нствен  н  ая
 309

Принцип  неопределенности
 Фиг.  202.  Пример  волнового  пакета,
представляющего  собой  суперпози¬
цию  двух  чисто  синусоидальных
волн.
 длина  волны  X=h/P  и  бесконечная  плоская
волна.  Поскольку  интенсивность  этой  волны
постоянна  во  всем  пространстве,  то  такую
частицу  с  равной  вероятностью  можно  обна¬
ружить  в  любой  его  точке.  Наоборот,  если  мы
знаем,  что  частица  локализована  в  малой
области  пространства,  то  ее  волновая  функ¬
ция  будет  представлять  собой  волновой  пакет
небольших  размеров,  которому  не  соответ¬
ствует  единственное  значение  А,  (или  Р).
Таким  образом,  невозможно  одновременно
знать  точные  значения  координаты  и  ско¬
рости  любой  частицы.  Гейзенберг  показал,
что  неопределенность  импульса  ДР  и  вели¬
чина  области,  в  которой  локализована  ча¬
стица  Дх,  должны  быть  связаны  соотноше-
 НИРМ
 (12.7)
 Формулу  (12.7)  можно  получить,  заметив,
что  локализованная  частица  или  волновой
пакет  в  действительности  представляют  собой
сумму  большого  числа  чисто  синусоидальных
(бесконечно  длинных)  волн  примерно  с  одной
и  той  же  длиной  волны.  На  фиг.  202  жирной
кривой  изображен  типичный  волновой  пакет
длиной  L.  Отметим,  что  он  составлен  всего
лишь  из  двух  чисто  синусоидальных  волн
с  длиной  волны  А,,  и  А,,.  Число  периодов
волны  1  на  длине  L  превышает  на  единицу
число  периодов  волны  2.  Итак,
 (12.8)
 где  N  —  целое  число.  Если  обе  волны  нахо¬
дятся  в  противофазе  при  х=0,  то  они  будут
в  фазе  при  x—U2  и  снова  окажутся  в  про¬
тивофазе  при  x=L.  Сумма  двух  таких  волн,
изображенных  на  фиг.  202,  представляет
собой  типичный  волновой  пакет  длиной  L.
Вследствие  (12.8)
 310

или
 где  Ax=L  —  размеры  области,  в  которой
можно  обнаружить  частицу.
 Внимательный  читатель  может  возразить,
что  влево  и  вправо  от  картины,  изображенной
на  фиг.  202,  также  наблюдается  усиливающая
волну  интерференция.  Однако  эти  внешние
волновые  пакеты  можно  подавить,  добавив
большее  количество  волн,  причем  значения
длин  этих  волн  будут  близки  к  среднему
между  и  А,2.  Подобные  волны  не  в  состоя¬
нии  оказаться  в  противофазе  с  центральным
пакетом.  Однако  они  будут  в  противофазе
с  более  удаленными  пакетами  и  при  надле¬
жащей  подгонке  могут  их  скомпенсировать.
Подобная  математическая  процедура,  нося¬
щая  наименование  фурье-разложения,  тре¬
бует  бесконечного  числа  чисто  синусоидаль¬
ных  волн  и  включает  вычисление  интегралов.
 Мы  видим,  что  современная  квантовая
теория  обеспечивает  выход  из  созданного
классической  физикой  затруднения  фило¬
софского  характера.  Во  времена  господства
классической  физики  родилось  мнение,  что,
зная  точные  значения  координат  и  скоростей
всех  частиц  во  Вселенной  в  момент  времени
/0,  в  принципе  можно  было  бы  на  основании
точных  физических  законов  предсказать  бу¬
дущее  (и  описать  прошлое).  Вселенная  при
этом  представлялась  единым  гигантским  ме¬
ханизмом.  Основываясь  на  подобных  аргу¬
ментах,  философы  могли  бы  прийти  к  выводу,
что  все  действия  человека  (ведь  в  основе  его
бытия  лежат  протоны,  нейтроны  и  электроны)
могли  бы  быть  полностью  предопределены.
При  этом,  конечно,  люди  отдавали  себе
отчет,  что  подобные  расчеты  будущего  или
прошедшего  никогда  не  смогут  быть  осущест¬
влены  из-за  бесконечно  большого  числа
частиц  во  Вселенной.  И  тем  не  менее,  подоб¬
ные  аргументы  лишали  покоя  тех,  кто  верил
в  свободу  воли.
 Как  показывает  анализ  принципа  неопре¬
деленности,  квантовая  теория  находит  выход
из  этого  затруднения.  Таким  образом,  физики
 зп

Задачи
 выходят  из-под  власти  лишь  классического
детерминизма.  С  другой  стороны,  современ¬
ная  теория  не  может  служить  основой  для
ниспровержения  детерминизма  вообще.
 Нам  встречались  и  другие  примеры,  в  та¬
кой  же  степени  опровергающие  классический
детерминизм.  К  примеру,  согласно  общепри¬
нятой  интерпретации  квантовой  теории,  нет
способа  установить,  каким  из  электронов
был  поглощен  фотон  при  фотоэлектрическом
эффекте.  В  наших  силах  только  вычислить
вероятность  поглощения  фотона  данным
электроном.  Аналогичная  ситуация  харак¬
терна  и  для  места  попадания  отдельного
электрона  на  экран  (см.  фиг.  199).  Интер¬
ференционная  картина  дает  нам  лишь  ве¬
роятность  обнаружить  электрон  в  данной
точке  экрана.  То  же  самое  справедливо  и  для
распада  радиоактивного  ядра,  например  ура¬
на.  Нет  способа  указать  момент,  когда  про¬
изойдет  распад  отдельного  ядра  урана.
Согласно  квантовой  теории,  все,  что  нам
вообще  может  быть  известно,—  это  только
вероятность,  с  которой  в  данный  интервал
времени  может  произойти  распад.
 Итак,  мы  видим,  что  представления  кван¬
товой  теории  о  микромире  коренным  обра¬
зом  отличаются  от  классических  представле¬
ний.  Если,  как  мы  полагаем,  квантовая  тео¬
рия  верна,  то  нет  надежды  изучить  явления
микромира  и  строение  вещества  на  основе
классической  физики.  Поэтому  в  последую¬
щих  главах,  где  речь  будет  идти  о  строении
атома  и  связанных  с  ним  явлениях,  мы  рас¬
станемся  с  классической  физикой  и  исполь¬
зуем  новые  представления,  введенные  в  этой
главе.
 1. 	Какова 	длина  волны  (в  А)  протона  с 	энер¬
 гией  1  Мэе?
 2. 	Какова 	кинетическая  энергия  фотона? 	(Его
 масса  покоя  равна  нулю.)
 3. 	Какова 	инертная,  или  релятивистская, 	масса
 фотона  в  единицах  АД  и  с?
 4. 	Каков 	импульс  электрона  с  энергией 	1  эв?
 Какова  его  длина  волны  (в  А)?
 312

5. 	Фотон  и  электрон  имеют  кинетическую  энер¬
гию,  равную  1  эв.  Кто  из  них  имеет  большую  длину
волны?
 6. 	Каждый  металл  характеризуется  порогом
фотоэлектрического  эффекта  К0.  Излучение  с  длиной
волны  больше  Х0  не  может  вырвать  электрон.  Како¬
ва  Х0  для  меди  =4,3  эв)?
 7. 	Фотон  выбивает  из  металла  с  работой  выхода
2  эв  электрон  с  энергией  2  эв.  Какова  минимальная
энергия  такого  фотона?
 8. 	Пороговая  чувствительность  сетчатки  чело¬
веческого  глаза  к  желтому  свету  (6000  А)  составляет
1,7-10“18  вт.  Сколько  фотонов  падает  ежесекундно
на  сетчатку?
 9. 	Интенсивность  волны  равна  квадрату  ее
амплитуды.  Это  утверждение  справедливо  и  для
волн  де-Бройля  в  квантовой  теории.  Допустим,  что
в  опыте  с  двумя  щелями  в  некоторой  точке  экрана
амплитуды  волн;  прошедших  через  щель  А  и  щель  В,
равны  соответственно  +3  и  +5,  а  скорость  счета,
если  открыта  только  щель  А,  составляет  60  отсче¬
тов  в  1  сек.
 а) 	Какова  скорость  счета,  если  открыта
только  щель  В?
 б) 	Какова  скорость  счета,  если  открыты  обе
щели?
 10. 	Решить  предыдущую  задачу  для  случая,
когда  амплитуды  от  щелей  А  и  В  равны  соответст¬
венно  +  3  и  —5.
 11. 	Тепловые  нейтроны  находятся  в  темпера¬
турном  равновесии  с  предметами  при  комнатной
температуре.  В  этом  случае  кТ  =  1/40  эв.  Масса
нейтрона  составляет  1,67-10-*4  г.  Какова  средняя
кинетическая  энергия  теплового  нейтрона  и  длина
волны  нейтрона  с  такой  энергией?
 12. 	Две  очень  тонкие  щели  раздвинуты  на
0,01  мм.  На  эти  щели  падает  пучок  электронов  с
энергией  1  эв.  Экран  отодвинут  от  щелей  на  10  м.
Каково  расстояние  между  соседними  минимумами
на  экране?
 13. 	В  те  времена,  когда  автор  впервые  узнал  о
нейтроне,  считалось,  что  нейтрон  состоит  из  элект¬
рона  и  протона,  связанных  электростатическим  при¬
тяжением.  Допустим,  что  радиус  нейтрона  равен
10-13  см.
 а) 	Какова  величина  ДР  такого  электрона
согласно  принципу  неопределенности?  Электрон
должен  быть  локализован  внутри  нейтрона.
 б) 	Наименьший  средний  импульс,  который
мог  бы  иметь  электрон,  равен  !/г  &Р-  Чему  рав¬
нялась  бы  энергия  такого  электрона  в  Мэе?
(Используйте  релятивистское  соотношение
 313

в) 	Какая  энергия  (в  эв)  необходима  для
преодоления  электростатического  притяжения
и  удаления  электрона  с  расстояния  10"1*  см  на
бесконечность?
 г) 	Исходя  из  ответов  на  вопросы  «б»  и  «в»,
охарактеризуйте  эту  теорию  нейтрона.
 14. 	Фотон  и  отдельный  свободный  электрон
могут  сталкиваться  подобно  биллиардным  шарам.
Это  явление  впервые  наблюдалось  в  1923  г.  Компто¬
ном  и  носит  название  комптон-эффекта.  Поскольку
электрон  отдачи  уносит  некоторую  энергию  mv*l2,
энергия  фотона  уменьшается  от  величины  hf  до  Л/',
где  /'</.  Допустим,  что  происходит  лобовое  со¬
ударение  (фотон  меняет  направление  движения  на
180°).
 а) 	Напишите  уравнение  для  /,  /'  и  vy  ос¬
нованное  на  законе  сохранения  импульса.
 б) 	Напишите  второе  уравнение  для  /,  /'  и
v,  основанное  на  законе  сохранения  энергии.

ТЕОРИЯ  АТОМА
 ГЛАВА  13

ТЕОРИЯ  АТОМА  §  I.  Электронные  волны  в  ящике
 Фиг.  203.  Три  электронные  стоячие
волны  низшего  порядка  в  «ящике»
размером  L.
 Отметим  сходство  со  стоячими  волнами  в
случае  струны  (см.  фиг.  168).
 СВОБОДНЫЙ  ЭЛЕКТРОН  В  ЗАТОЧЕНИИ
 Очень  грубо  мы  можем  представить  себе
атом  или  молекулу  в  виде  крошечного
ящика,  в  котором  заточены  электроны.  Су¬
щественной  особенностью  всех  атомов  и
молекул  является  их  способность  удержи¬
вать  электроны  в  ограниченной  области
пространства.  Ящик  такого  рода  незави¬
симо  от  его  характера  обладает  ря¬
дом  общих  квантовомеханических  свойств,
которые  дают  объяснение  классическим
парадоксам:  почему  атом  излучает  лишь
дискретные  частоты  и  почему  электроны
в  атоме  не  падают  на  ядро.  Рассмотрим
сначала  простейший  случай,  когда  в  ящике
имеется  один  электрон;  затем  перейдем  к  слу¬
чаю,  когда  отдельный  электрон  удержи¬
вается  электростатическим  притяжением
протона.  Это  не  что  иное,  как  атом  водорода.
 Вследствие  волновой  природы  частиц  сво¬
бодный  электрон,  движение  которого  огра¬
ничено  ящиком  длиной  L,  должен  вести  себя
подобно  звуковой  волне,  распространяю¬
щейся  то  в  одну,  то  в  другую  сторону  в  поме¬
щении  с  абсолютно  отражающими  стенками.
В  гл.  10  мы  познакомились  с  картиной,  воз¬
никающей  при  отражении  бесконечной  волны
от  конца  струны  или  от  стены.  Напомним,
что  при  отражении  чисто  синусоидальной
волны  от  закрепленного  конца  струны  воз¬
никает  стоячая  волна  с  узлом  на  отражающей
границе  (см.  фиг.  168,  стр.  250).  Поскольку
вероятность  обнаружить  электрон  за  преде¬
лами  ящика  равна  нулю,  волновая  функция
электрона  на  стенке  ящика  должна  обра¬
щаться  в  нуль.  Амплитуда  волны  находится
из  условия,  что  полная  вероятность  обнару¬
жить  электрон  в  ящике  равна  единице.
 На  фиг.  203  показано,  как  выглядят  вол¬
новые  функции  электронов,  движущихся
вдоль  оси  х.  Для  обозначения  волновых
функций  частиц  физики  обычно  пользуются
греческой  буквой  гр.  В  соответствии  с  усло¬
вием  обращения  в  нуль  волновой  функции
электрона  на  стенках  ящика  допустимы

лишь  волны,  у  которых  на  отрезке  длиной  L
укладывается  целое  число  полуволн.  Таким
образом,  N(\N/2)~Ly  или  Xn~2L/N,  где
N  —  целое  число  больше  нуля.  Мы  видим,
что  допустимы  лишь  определенные  волновые
функции,  или,  иначе,  определенные  состоя¬
ния  электрона.  Согласно  соотношению
де-Бройля  (12.6),  электрон  может  иметь
только  определенные  значения  импульса
PN=h/XN.  Используя  полученное  выше
выражение  для  XNJ  найдем  набор  значений
PN=Nh/2L.  Соответствующие  этим  импуль-
 ГЯМ  ЧНРПГИИ  пяяны
 (13.1)
 Здесь  N  —  квантовое  число,  которое  может
быть  любым  целым  числом,  кроме  нуля.  Та¬
ким  образом,  наинизшему  энергетическому
состоянию,  которое  может  занимать  элект¬
рон,  соответствует  Wx=hz/SmL2.  Эта  энер¬
гия  называется  нулевой.  Электрон  не  может
иметь  энергию  меньше  нулевой  ввиду  отсут¬
ствия  состояний  с  более  низкими  энергиями.
 В  классической  физике  при  отскоке  элек¬
трона  от  стенок  (т.  е.  при  его  ускорении)
происходило  бы  излучение  электромагнитных
волн,  продолжающееся  до  тех  пор,  пока
кинетическая  энергия  не  обратилась  бы
в  нуль.  Таким  образом,  мы  начинаем  пони¬
мать  особенности  квантовой  механики,  обе¬
спечивающие  устойчивость  низшего  энерге¬
тического  состояния  атома  водорода  (элект¬
рон  не  может  упасть  на  ядро  из-за  отсутствия
состояний  с  более  низкой  энергией).
 При  применении  к  квантовомеханическим
явлениям  законов  электродинамики  было
установлено,  что  заряженная  частица  может
испускать  отдельные  фотоны.  Поскольку,
однако,  в  ящике  энергия  электрона  может
принимать  лишь  определенные  дискретные
значения,  энергии  фотонов,  которые  могут
испускаться  электроном,  также  должны  пред¬
ставлять  собой  набор  дискретных  значений.
 317
 Энергетические  уровни  в  ящике

В  соответствии  с  законом  сохранения  энер¬
гии,  частоты  этого  излучения  даются  форму¬
лой
 (13.2)
 Электрон  с  энергией  Wjvf  может  внезапно
перейти  в  состояние  с  меньшей  энерги¬
ей  WN,  и  при  этом  испустится  фотон
с  энергией  (Wn—WN).  Теперь  мы  ви¬
дим,  почему  атомы  излучают  спектр  только
дискретных  частот,  а  не  непрерывный  спектр.
Это  также  обусловлено  волновой  природой
вещества,  согласно  которой  электронам
можно  сопоставить  только  определенные
стоячие  волны,  ограниченные  либо  ящиком,
либо  областью  пространства  вокруг  атомного
ядра.
 Пример.  Движение  электрона  в  направлении
оси  х  ограничено  размерами  ящика  10“8  см.  Каковы
в  этом  случае
 а) 	нулевая  энергия  в  эв?
 б) 	длина  волны  «света»,  испускаемого  при
переходе  из  состояния  с  Nr=  2  в  состояние  с
N  =  1?
 Согласно  формуле  (13.1),  нулевая  энергия
 Воспользуемся  формулой  (12.4),  которая  связы¬
вает  энергию  фотона  в  эв  с  длиной  волны  в  А:
12  345/112,5  =  110  А.  Это  излучение  лежит  за
пределами  видимого  спектра,  в  ультрафиолетовой
области.
 §  2.  Атом  водорода
 ЯЩИК  С  РЫХЛЫМИ  СТЕНКАМИ
 До  сих  пор  мы  рассматривали  лишь  спе¬
циальный  случай,  когда  кинетическая  энер¬
гия  электрона  остается  постоянной  в  любой
точке  ящика.  Теперь  приступим  к  обсужде¬
нию  более  общего  случая,  когда  кинетиче¬
ская  энергия  частицы  может  изменяться
в  зависимости  от  ее  местоположения  в  ящике.
 318

По  мере  «падения»  электрона  на  протон
его  кинетическая  энергия  возрастает.  Каково
же  поведение  волновой  функции  электрона?
Согласно  де-Бройлю,  с  увеличением
импульса  уменьшается  длина  волны.  В  общем
случае
 Для  системы,  состоящей  из  электрона  и  про¬
тона  W,  сумма  кинетической  и  потенциаль¬
ной  энергий  остается  постоянной.  Таким
образом,  EKnH=W—U  и
 Длина  волны  электрона  в  этом  случае
дается  выражением
 Таким  образом,  в  общем  случае,  когда  на
частицу  действует  сила,  мы  получаем  волно¬
вую  функцию  с  непрерывно  изменяющейся
длиной  волны.  В  1925  г.  Шредингер  предло¬
жил  уравнение,  позволяющее  найти  такую
волну.  В  области  больших  длин  волн  (малые
кинетические  энергии)  решением  уравнения
Шредингера  является  волна,  выгнутая  в  на¬
правлении  оси  х.  При  увеличении  кинети¬
ческой  энергии  изогнутость  волны  возра¬
стает.  При  фиксированном  значении  кинети¬
ческой  энергии  такая  волна  является  чисто
синусоидальной.  Уравнение  Шредингера
включает  также  формальный  случай  отри¬
цательных  значений  кинетической  энергии
W—U  (что  невозможно  в  классической  фи¬
зике).  В  этом  случае  волновая  функция
выгнута  от  оси  х.
 319
 В  случае  атома  водорода

Фиг.  204.  График  потенциальной
энергии,  сходной  с  потенциальной
энергией  электрона  в  атоме  водорода
(а),  и  электронная  волна,  соответ¬
ствующая  низшей  энергии  (б).
 На  фиг.  204,а  изображен  график  £/,  сход¬
ный  с  потенциальной  энергией  электрона  и
протона  или  потенциальной  энергией  элект¬
рона  в  большом  атоме,  содержащем  другие
электроны.  Если  полная  энергия  W  отрица¬
тельна,  то  электрон  будет  связан  с  протоном.
На  графике  отрицательная  энергия  W  изо¬
бражена  красной  горизонтальной  линией.
Расстояние  по  вертикали  от  этой  линии  до
кривой  равно  W—Uу  или  кинетической  энер¬
гии.  Заметим,  что  при  х—х0  кинетическая
энергия  равна  нулю.  При  движении  элект¬
рона  в  направлении  х=0  его  кинетическая
энергия  возрастает.  Согласно  классическим
представлениям,  область  х>х0  является  за¬
прещенной,  ибо  в  этой  области  W—U,  или
кинетическая  энергия,  становится  отрица¬
тельной.  Соответствующая  волновая  функция
изображена  на  фиг.  204,6.  Отметим,  что  при
х=х0  изменяется  знак  кривизны  и  имеется
отличная  от  нуля  вероятность  найти  элект¬
рон  в  запрещенной  (согласно  классической
физике)  области  х>х0.
 Увеличение  W  (красная  горизонтальная
линия  на  фиг.  204,  а)  сопровождается  увели¬
чением  кривизны  соответствующей  волновой
функции.  Набор  дискретных  значений  W
будет  определять  требуемые  стоячие  волны,
которые  должны  спадать  до  нуля  при  боль¬
ших  значениях  х.  На  фиг.  205  изображены
три  стоячие  волны  с  низшей  энергией.  Они
соответствуют  различным  энергиям  Wiy  Wt
и  W3.  Решение  уравнения  Шредингера  для
случая  движения  электрона  в  поле  протона
определяет  допустимые  значения  энергии.
Дальнейшие  вычисления  дают  следующий
результат:
 Энергетические  уровни  водорода
 (13.3)
 где  N  —  любое  целое  число  больше  нуля.
Обычно  принимают,  что  потенциальная  энер¬
гия  обращается  в  нуль  при  бесконечном  уда¬
лении  друг  от  друга  двух  зарядов,  и  в  соот¬
ветствии  с  этим  разрешенные  значения  энер¬
гии  считают  отрицательными.  Волновая
функция  электрона  в  атоме  водорода
 320

Фиг.  205.  Три  волновые  функции  с
низшей  энергией,  отвечающие  потен¬
циальной  энергии,  изображенной  на
фиг.  204,  а.
 несколько  отличается  от  изображенной  на
фиг.  205  по  следующим  причинам.
 В  действительности  эта  функция  должна
быть  трехмерной,  а  вид  U  (г)  должен  не¬
сколько  отличаться  от  изображенного  на
фиг.  204.  Фиг.  206  представляет  собой  по¬
пытку  показать,  каким  «выглядел»  бы  атом
водорода,  если  бы  можно  было  его  увидеть.
Показана  плотность  заряда  электрона  или
квадрат  амплитуды  волны.  Вспомним,  что
вероятность  найти  частицу  равна  квадрату
амплитуды  сопоставляемой  ей  волны.  На
фиг.  206  электроны  изображены  в  виде
облака,  плотность  которого  пропорциональна
интенсивности  волны.  Они  выглядят  подобно
клубам  табачного  дыма.  Как  будет  видно  из
§  6,  фотографии,  отвечающие  N=2  и  N=3,
близки  к  распределениям  внешних  электро¬
нов  в  атомах  от  лития  до  натрия.
 Орбитальный  момент  количества
движения
 В  классической  физике  планетарная
орбита  с  данной  энергией  может  иметь  любой
момент  количества  движения  от  нуля  до  mvr,
где  и—скорость  кругового  движения,  а  г  —
радиус  круговой  орбиты  с  определенной  энер¬
гией  [см.  формулу  (5.1)].  Однако  вследствие
квантовой  природы  вещества  момент  коли¬
чества  движения  микрочастицы,  подобно  ее
энергии,  может  принимать  только  определен¬
ные  дискретные  значения.Строгое  вычисление
квантованных  значений  момента  количества
движения  потребует  использования  уравне¬
ния  Шредингера  и  высшей  математики.  Мы
можем,  однако,  получить  некоторое  представ¬
ление  о  происходящем  с  помощью  следующих
рассуждений.  Фиксируем  некоторое  значение
г  и  проследим  стоячую  электронную  волну
по  мере  того,  как  совершается  полный  оборот
по  окружности  2  л;/*.  На  этом  пути  должно
уложиться  целое  число  длин  волн.
 Обозначим  это  число  /.  Тогда  2лг=1Кг
Но  kl—h/Pl  или  2  nr=l(h/Pl)  и  гР,  =/(/г/2л),
причем  rPt  —  момент  количества  движения.
 И  Джей  Орир
 321

Фиг.  206.  Интенсивности  волн  (плотности  заряда),  отвечаю¬
щие  низшим  состояниям  электрона  в  атоме  водорода.
 Эти  фотографии  представляют  собой  проекции  на  плоскость  интен¬
сивностей  волн,  полученные  при  решении  трехмерного  уравнения
Шредингера.  Дан  вид  сбоку  и  сверху  для  состояний  с  различными
значениями  N,  I  и  ttii  вплоть  до  N  =  3.

Вид  сверху  и  сбоку

Мы  получили  чрезвычайно  общий  резуль¬
тат:  орбитальный  момент  количества  движе¬
ния  может  принимать  лишь  значения  lh/2n,
где  I—любое  положительное  целое  число,  вклю¬
чая  нуль.  Максимально  допустимое  значение
/  определяется  соотношением  l=2nr/Kl  или
минимальной  длиной  волны  Xt\  последняя
в  свою  очередь  определяется  максимальной
кривизной,  которую  может  иметь  волна.
Кривизна  же  зависит  от  того,  насколько
большой  может  оказаться  кинетическая  энер¬
гия  (см.  фиг.  205).  Как  и  следовало  ожидать,
число  колебаний  этих  «круговых  волн»  с  дли¬
ной  волны  Xt  не  может  превышать  числа
колебаний  «радиальных  волн»,  изображен¬
ных  на  фиг.  205.  Таким  образом,  максимально
возможное  значение  /  равно  (N—1).
 До  сих  пор  речь  шла  лишь  о  величине
вектора  момента  количества  движения.  Как
можно  предположить,  квантуется  не  только
величина,  но  и  направление  момента  коли¬
чества  движения.  Направление  задается  дру¬
гим  квантовым  числом,  mt,  которое  может
принимать  любое  целочисленное  значение
в  интервале  от  —/  до  +/.  Физический  смысл
ть  заключается  в  том,  что  mLh/2n  представ¬
ляет  собой  величину  проекции  вектора  мо¬
мента  количества  движения  на  заданное
направление  (обычно  называемое  осью  z).
 На  фиг.  207  в  качестве  такого  направле¬
ния  выбрано  направление  вверх  по  верти¬
кали.  На  фигуре  показано,  как  выглядел
бы  вектор  момента  количества  движения
в  классической  физике  (  6—  угол  между
вектором  момента  и  осью  г).  Квантованные
значения  угла  0  определяются  из  соотноше¬
ния
 Таким  образом,  трехмерная  волновая  функ¬
ция  (или  орбита)  электрона  в  атоме  водорода
полностью  задается  всего  тремя  квантовыми
числами  N,  I  и  mt.  На  фиг.  206  изобра¬
жено  электронное  облако,  соответствующее
 325
 Фиг.  207.  Пространственное  кванто¬
вание  вектора  момента  количества
движения  в  терминах  квантовых
чисел  /  и  т

Фиг.  208.  Линии  спектра  испускания
водорода,  принадлежащие  серии
Лаймана.
 различным  возможным  значениям  N,  I  и  т£
вплоть  до  N=3.
 Пример.  Сколько  различных  волновых  функций
электрона  имеется  для  N  =  2?
 N  —  2  означает  лишь  два  возможных  значения
/  (/  =  0  и  I  =  1).  При  /  =  0  единственно  возможным
является  тс  =  0.  При  /  =  1  имеется  три  возможных
значения  тL\  +1,  0  и  —1.  Таким  образом,  при
N  —  2  имеется  три  (/  =  1)  плюс  одна  (/  =  0)
волновые  функции,  или  всего  четыре  возможные
орбиты.
 §  3.  Спектр  водорода
 «НАУЧНАЯ»  ЦИФРОЛОГИЯ
 Согласно  закону  сохранения  энергии
 (13.2),  все  линии  в  спектре  водорода  должны
удовлетворять  соотношению
 Численный  коэффициент  13,6  эв  получен  из
известных  значений  т,  е  и  /г.
 Пример.  Какова  максимальная  длина  волны
света  для  N  =  1?  Приходится  ли  она  на
видимую  глазом  часть  спектра?  Для  получения
наименьшего  /  или  наибольшей  к  выберем  N'=  2:
 Поскольку  видимая  область  спектра  простирается
от  4000  до  7500  А,  эту  линию  глаз  не  увидит.
 Полная  серия  линий,  отвечающих  jV=1,
образует  спектр,  изображенный  на  фиг.  208.
Она  носит  название  серии  Лаймана  и  была
открыта  в  1906  г.  с  помощью  ультрафиоле¬
товой  спектроскопии.  Заметим,  что  спектр
представляет  собой  бесконечную  последова¬
тельность  линий,  сходящуюся  к  длине  волны

908  А,  которая  соответствует  N'  =  oо.  Сог¬
ласно  формуле  (13.3),  бесконечно  большому
квантовому  числу  соответствует  нулевая
энергия,  т.  е.  ионизованный  атом  водорода
(свободный  электрон  и  протон  на  больших
расстояниях  друг  от  друга).  Следовательно,
если  атому  водорода,  находящемуся  в  основ¬
ном  состоянии,  сообщить  энергию,  равную
 13.6 	эву  то  у  электрона  окажется  достаточно
энергии,  чтобы  покинуть  протон.  Величина
 13.6 	в  называется  ионизационным  потенциа¬
лом  водорода.
 При  N=2  четыре  наименьших  значения
N'  (N'  =  3,  4,  5,  6)  соответствуют  линиям,
лежащим  в  видимой  области  спектра
(фиг.  209).  Лишь  эти  четыре  линии  в  спектре
водорода  и  были  известны  в  1885  г.,  когда
 швейцарский  школьный  учитель  Иоганн
Бальмер,  использовав  «ненаучный»  метод
подбора  чисел  (цифрологию),  обнаружил  сле¬
дующее  численное  соотношение  между  ука¬
занными  линиями:
 где  С  —  постоянная,  равная  3.28-1015гц.
 Бальмер  немедленно  предсказал  сущест¬
вование  о  пятой  линии  с  длиной  волны
3969,65  А,  соответствующей  N'  =  7,  которая
должна  была  находиться  у  фиолетовой  гра¬
ницы  видимого  спектра.  Кроме  этой  линии,
очень  скоро  были  обнаружены  также  другие
линии,  отвечающие  N  '>7.  Бальмер  пред¬
положил,  что  член  1/22  в  его  формуле  можно
заменить  на  1/Рили1/32,  что  позволило  бы
предсказать  дополнительные  линии  соответ¬
ственно  в  ультрафиолетовой  и  инфракрасной
областях.  Обе  эти  серии  линий,  обнаружен¬
ные  в  1906  и  1908  гг.,  были  названы  соответ-
 Фиг.  209.  Все  возможные  линии,  в
спектре  водорода  до  А=7000А).

ственно  сериями  Лаймана  и  Пашена.  Таким
образом,  к  началу  нашего  века  был  установ¬
лен  численный  вид  формулы  (13.4)  и  ожида¬
лось  создание  теории,  на  основе  которой  это
соотношение  удалось  бы  выразить  через
такие  фундаментальные  физические  постоян¬
ные,  как  заряд  и  масса  электрона.  Первым
это  сделал  в  1913  г.  Нильс  Бор.
 Фиг.  210.  Пять  низших  энергетиче¬
ских  уровней  атома  водорода  (изоб¬
ражены  красными  горизонтальными
линиями).
 Частоты  соответствующих  квантовых  пере¬
ходов,  или  спектральных  линий,  пропор¬
циональны  длине  вертикальных  стрелок.
 §  4.  Модель  Бора
 МОСТ  ОТ  КЛАССИКИ  к  СОВРЕМЕННОСТИ
 Переворот  в  физике  произошел  примерно
в  1926  г.  в  связи  с  быстрым  развитием  кван¬
товой  механики.  Однако  еще  за  тринадцать
лет  до  этого  Нильс  Бор  создал  теорию,  кото¬
рая  очень  хорошо  объясняла  весь  спектр
водорода,  а  также  легла  в  основу  физической
модели  строения  устойчивого  атома.  Бор  свя¬
зал  формулу  Бальмера  с  концепцией  фотонов,
принадлежавшей  Эйнштейну  и  Планку.  Он
пришел  к  выводу,  что  у  атома  водорода  долж¬
ны  существовать  определенные  энергетиче¬
ские  уровни,  и  в  соответствии  с  представле¬
нием  о  фотонах  разность  энергий  этих  уров¬
ней  будет  равна  энергии  фотона  Л/.  Если
формулу  Бальмера  умножить  на  постоянную
Планка,  то  получим
 Это  навело  Бора  на  мысль,  что  энергии
уровней  водорода  должны  быть  равны  WN=
=  —13,6  (1  /N2)ae.  Эти  энергетические  уровни
и  соответствующие  квантовые  переходы,  или
спектральные  линии,  изображены  на  фиг.  210.
Затем  Бор  столкнулся  с  проблемой  вычисле¬
ния  энергий  этих  уровней  целиком  в  рамках
теории.  Возможные  орбиты  электронов  Бор
считал  аналогичными  классическим  круго¬
вым  орбитам  планет  и  пытался  найти
правило,  которое  допускало  бы  лишь  опреде¬
ленные  энергии  или  радиусы  орбит.  Приду¬
манное  им  правило  гласило,  что  момент  коли¬
чества  движения  равен
 (13.5)

Отметим,  что  боровский  постулат  отличал¬
ся  от  наших  современных  представлений  об
атоме  водорода  в  двух  отношениях.  Во-пер-
вых,  мы  знаем  теперь,  что  концепция  класси¬
ческих  орбит  несправедлива  и  электрон
следует  описывать,  как  волну.  Во-вторых,
нам  известно,  что  момент  количества  движе¬
ния  равен  не  N(h/2л),  а  /(Л/2я),  т.  е.  всегда
меньше  боровского  значения.  Таким  образом,
то  обстоятельство,  что  теория  Бора  пра¬
вильно  описывала  энергетические  уровни
водорода,  следует  считать  счастливой  слу¬
чайностью.
 Теперь  мы  проследим  вычисления,  произ¬
веденные  Бором  для  нахождения  энергети¬
ческих  уровней  электрона  в  поле  ядра  с  за¬
рядом  Ze.  Согласно  постулату  Бора  (13.5),
радиус  N-й  орбиты  равен
 329
 Поскольку  центробежная  сила  уравновеши¬
вается  электрическим  притяжением,  то
 (U—потенциальная  энергия)  и
 Если  подставить  правую  часть  формулы  (13.6)
в  приведенное  выше  уравнение,  то  получим
 Энергетические  уровни  Wy  находятся  сле¬
дующим  образом:

Согласно  формуле  (13.7),  U  =  —  mvz,  так  что
 (13.9)
 Окончательный  результат  получается  возве¬
дением  в  квадрат  правой  части  (13.8)  и  под¬
становкой  полученной  функции  в  правую
часть  (13.9):
 Энергетические  уровни  отдельного
электрона  в  поле  ядра  с  зарядом  Ze
 Точно  такой  же  результат  получается  и  в  сов¬
ременной  квантовой  теории  [см.  (13.3)1.
Модель  Бора  дает  также  простой  ответ  и  на
зопрос  о  размерах  атомов.  Формула  для
Rn  получается  путем  подстановки  выра¬
жения  (13.8)  в  (13.6).  В  результате
 Радиус  атома  Бора
 (13.11)
 В  случае  основного  состояния  водорода
1,  Z=  1)  Rl=hz/4nzmez=0153A.  Этот  ре¬
зультат  хорошо  согласуется  с  размерами
электронного  облака,  предсказываемыми
квантовой  механикой  (см.  фиг.  206).  Для
состояния  с  N—2  формула  Бора  предсказы¬
вает  в  4  раза  больший  диаметр  орбиты,  что
также  хорошо  согласуется  с  фиг.  206.
 Пример  1.  Какова  скорость  электрона  (в  едини¬
цах  скорости  света)  в  основном  состоянии  атома
Бора?
 Деля  (13.8)  на  с  и  подставляя  N  =  1,  получаем
 330
 Для  атома  водорода  Z  =  1  и  vie  =  2ne-/hc  =  1/137.
 Пример  2.  Какова  же  связь  спектров  Не+  и
водорода?
 Однократно  ионизованный  гелий  (Не+)  состоит
из  ядра  гелия  (Z  =  2)  и  одного  орбитального  элект¬
рона.  Подстановка  Z2  =  4  в  формулу  (13.10)  дает
 Таким  образом,  энергия  фотонов,  испускаемых  Не+,

Фиг.  211.  Масштабный  чертеж  пяти
низших  боровских  орбит  водорода,
иллюстрирующий  возможные  пере¬
ходы  электрона.
 Фиг.  212.  Нильс  Бор  на  лыжной  про¬
гулке  в  Лос  Аламосе.
 будет  точно  в  4  раза  больше,  чем  в  случае
водорода.  Аналогичным  образом,  умножая  все
частоты  спектра  водорода  на  множитель
Z2  =  9,  можно  из  спектра  водорода  получить
спектр  Li  +  +.
 Бор  рассматривал  излучение  атома
как  внезапный  переход  электрона  с
внешней  круговой  орбиты  на  внутрен¬
нюю.  На  фиг.  211  изображены  в  масшта¬
бе  пять  низших  боровских  орбит  водо¬
рода.  Стрелками  обозначены  переходы,
соответствующие  линиям  серий  Лай¬
мана,  Бальмера  и  Пашена  в  спектре
водорода.  Отметим,  что  между  длиной
этих  стрелок  и  энергией  фотонов  нет
соответствия,  как  на  фиг.  210.
 Предложенная  Бором  модель  ока¬
залась  весьма  удачной.  Она  предсказы¬
вает  размеры  атома,  и  эти  предсказа¬
ния  очень  хорошо  совпадают  с  резуль¬
татами  экспериментальных  измерений.
Модель  позволяет  получить  выражение
для  длин  волн  всех  линий  спектра
водорода  (формула  Бальмера),  и  это
выражение  очень  точно  совпадает  с
экспериментом.  С  помощью  модели  уда¬
лось  выразить  численное  значение  по¬
стоянной  в  формуле  Бальмера  через
постоянные  т,  е,  с  и  Л;  кроме  того,
физики  получили  в  свое  распоряжение
наглядную  модель  (которая,  как  теперь
нам,  кстати,  известно,  неправильна).
Модель  Бора  позволяет  установить,  что
атомное  излучение  возникает  при  пере¬
ходе  с  одной  орбиты  на  другую,  как
в  случае  известных  спектральных  ли¬
ний,  так  и  в  случае,  когда  они  лежат
за  пределами  области,  доступной  для
регистрации  существующими  прибора¬
ми.  Кроме  того,  эта  модель  правильно
предсказывает,  что  спектры  Не+,  Li  +  +  ,
Ве+  +  +  и  т.  д.  будут  иметь  характер,  ана¬
логичный  спектру  водорода.  Согласно
формуле  (13.10),  соответствующие  часто¬
ты  в  Z2  раз  превышают  частоты  в  спектре
водорода.  Этот  результат  подтвер¬
ждается  экспериментом  и  современной
 331

теорией.  Однако  серьезным  недостатком  моде¬
ли  Бора  явилось  то,  что  на  ее  основе  не
удалось  объяснить  спектр  неионизованного
гелия,  ядро  которого  (Z=  2)  окружено  двумя
электронами.  Несмотря  на  сложность  проб¬
лемы  трех  взаимодействующих  частиц,  кван¬
товая  механика  позволяет  решить  задачу
атома  гелия.  С  помощью  современной  теории
и  электронных  вычислительных  машин  спектр
гелия  был  вычислен  в  последнее  время  с  боль¬
шой  точностью  и  совпал  с  измеренным  экс¬
периментально.
 §  5.  Строение  атомов
 «Основные  физические  представления,  необхо¬
димые  для  создания  математического  аппара¬
та  значительной  части  физики  и  всей  химии,
[в  настоящее  время]  полностью  известны».
 Я.  Д  и  р  а  к  (1929  г.).
 Бор  постулировал,  что  в  многоэлектрон¬
ном  атоме  на  оболочке  с  N=1  могут  нахо¬
диться  лишь  два  электрона,  на  оболочке
с  N=2  и  на  оболочке  с  N=3  —  восемь
электронов,  а  на  оболочке  с  N=4  —  восем¬
надцать  электронов  и  т.  д.  На  фиг.  214
изображены  схемы  этих  атомов,  построенные
в  соответствии  с  теорией  Бора.  Количество
электронов  на  каждой  оболочке  было  «произ¬
вольно»  установлено  Бором,  чтобы  объяс¬
нить  химические  свойства  и  ионизационные
потенциалы  различных  элементов.  Как  мы
вскоре  увидим,  Бор  неправильно  предсказал
число  электронов  на  оболочках  с  N=3  и
N=4.  Теория,  основанная  на  слишком  боль¬
шом  числе  «произвольных»  постулатов  (на¬
пример,  созданная  Бором  теория  строения
атома),  не  пользуется  доверием  у  физиков.
По  мнению  большинства  физиков  и  филосо¬
фов,  для  природы  характерна  простота,  и  чем
меньше  число  постулатов  или  фундаменталь¬
ных  принципов  теории,  тем  ближе  она  к  дей¬
ствительности.  Наивысшее  достижение  на¬
шей  науки  —  современная  квантовая  теория,
в  основе  которой  лежит  очень  небольшое
число  постулатов,—  дает  объяснение  всем
 332

явлениям,  относящимся  к  строению  атома
и  всей  химии.  Поскольку  в  состав  атома
входит  много  электронов,  мы  должны  перво¬
начально  выяснить,  что  произойдет,  согласно
квантовой  механике,  если  на  одно  и  то  же  ме¬
сто  в  пространстве  в  один  и  тот  же  момент
времени  претендует  несколько  тождественных
частиц.  В  классической  физике  никакие  два
тела  не  могут  занимать  одновременно  одно
и  то  же  пространство.  Однако  эта  классиче¬
ская  концепция  совершенно  чужда  квантовой
механике.  Раз  электромагнитные  волны
могут  проходить  через  тела,  то  это  означает,
что  фотоны  наверняка  могут  занимать  то  же
пространство,  что  и  другие  частицы.  В  дейст¬
вительности,  в  одном  и  том  же  квантовом
состоянии  может  находиться  любое  число
фотонов.  Почему  же  тогда  не  все  электроны
в  атомах  находятся  нормально,  в  состоянии
с  N=1?  Ведь  это,  без  сомнения,—  низшее
энергетическое  состояние  атома.
 Принцип  запрета
 В  1925  г.  В.  Паули  обнаружил,  что  элект¬
ронная  структура  атомов  получает  автомати¬
ческое  объяснение,  если  постулировать,  что
одно  состояние  или  электронная
орбита  могут  быть  заняты  не  более
чем  двумя  электронами.  К  примеру,
в  случае  оболочки  с  N=2  квантовое
число  момента  количества  движения
/  может  принимать  значения  0  или  1.
Однако  числу  /=  1  отвечают  три  воз¬
можных  состояния,  соответствующие
значениям  квантового  числа  /71,=—1,
 О 	и  +1.  Таким  образом,  всего
имеется  четыре  состояния,  которые
при  условии  заполнения  каждого
состояния  двумя  электронами  состав¬
ляют  «оболочку»,  содержащую  всего
8  электронов.  В  1925  г.  принцип
запрета  Паули  явился  еще  одним
«произвольным»  постулатом.
 Фиг.  213.  Вольфганг  Паули.

►
 Фиг.  214.  Масштабный  чертеж  элект¬
ронных  орбит  некоторых  атомов,
выполненный  в  соответствии  с  тео¬
рией  Бора  (1923  г.).
 Радий

Ю~8см
 Водород
 Гелий
 Углерод
 Неон
 Аргон
 Натрий
 Литий

Спин  электрона
 Однако  в  1926  г.  было  установлено,  что
у  каждого  электрона  имеется  врожденный
момент  количества  движения,  равный
1/2(Л/2я).  Его  можно  наглядно  представить
себе,  вообразив  электрон  шарообразной  мас¬
сой,  вращающейся  вокруг  оси  с  постоянным
моментом  количества  движения  х/2  (/г/2я).
Этот  врожденный  спин  не  может  ни  увели¬
чиваться,  ни  уменьшаться.  Он  один  и  тот  же
у  всех  элементарных  частиц  данного  типа.
Вскоре  после  открытия  спина  электрона
Дирак,  Паули  и  другие  обнаружили  воз¬
можность  создать  удовлетворительную  тео¬
рию  частиц  со  спином1/^  Одно  из  требований
такой  теории  состояло  в  том,  что  квантово¬
механические  уравнения  должны  были  пред¬
сказывать  одни  и  те  же  физические  резуль¬
таты  независимо  от  скорости  наблюдателя.
Когда  были  найдены  релятивистские  урав¬
нения,  удовлетворяющие  этим  требованиям,
то  оказалось,  что  они,  кроме  того,  автомати¬
чески  подчиняются  принципу  запрета  Паули.
Таким  образом  обнаружилось,  что  прин¬
цип  запрета  —  не  дополнительный,  взятый
с  потолка  постулат,  а  прямое  следствие
существования  у  электрона  врожденного
спина.  Что  же  касается  объяснения  значений
массы,  спина  и  заряда,  присущих  электрону,
то  эта  проблема  пока  остается  открытой.
 Теперь  мы  совершим  небольшую  экскур¬
сию  по  периодической  системе  и  рассмотрим
элемент  за  элементом.
 §  6.  Периодическая  система
элементов
 ХИМИЧЕСКАЯ  ФИЗИКА
 Цель  данного  параграфа  состоит  в  том,
чтобы  продемонстрировать  читателю,  каким
образом  можно  установить  химические
свойства  всех  элементов,  не  производя
химических  опытов.  В  принципе  всю  химию
можно  получить  в  качестве  следствия  теории
 336

электрона  со  спином  V2.  Однако  в  действи¬
тельности  химические  свойства  элементов
устанавливаются  опытным  путем;  расчеты
оказываются  слишком  сложными.
 Вооружившись  теперь  принципом  зап¬
рета,  мы  в  состоянии  установить  место  каж¬
дого  электрона  в  атоме.  Рассмотрим,  к  при¬
меру,  лишенное  электронов  ядро  неона
(Z—10).  Если  оно  приобретает  один  электрон,
то  последний  сразу  же  переходит  на  орбиту
с  N=  1.  То  же  утверждение  справедливо  и
для  второго  электрона.  Оба  эти  электрона
целиком  заполняют  орбиту  с  N~\.  Если
ядро  неона  с  двумя  электронами  на  орбите
cN=l  приобретет  восемь  недостающих  элек¬
тронов,  то  эти  электроны  целиком  заполнят
четыре  возможные  орбиты  с  N=2%  т.  е.  /  =  0;
1=1  и  mL  =  —  1;  1=  1  и  mL=0  и,  наконец,  /  =  1
и  т,=  +1.  Теперь  мы  последовательно  опи¬
шем  строение  атомов  согласно  квантовой
теории,  начиная  с  водорода.  Мы  увидим,  что,
не  производя  подробных  вычислений,  можно
получить  численные  оценки  валентности  и
ионизационного  потенциала  каждого  из  эле¬
ментов.
 Z  =  1  (водород)
 Мы  завершили  рассмотрение  этого  слу¬
чая.  Единственный  электрон  находится  в  со¬
стоянии  с  N=1,  энергия  которого  равна
—13,6  эв.  Таким  образом,  энергия  связи  в
данном  случае  равна  13,6  эв.  Поскольку  иони¬
зационный  потенциал  представляет  собой
минимальное  напряжение,  необходимое  для
ионизации  атома,  в  случае  водорода  он  со¬
ставляет  также  13,6  эв.
 Z=2  (гелий)
 Мы  уже  отмечали,  что  у  Не+,  имеющего
один  электрон,  должны  быть  в  четырехкрат¬
ном  масштабе  те  же  энергетические  уровни,
что  и  у  водорода.  Это  обусловлено  множи¬
телем  Z2  в  формуле  (13.10).  Ионизационный
потенциал  гелия  составляет  4-13,6=  54,5  в,
что  совпадает  с  данными  эксперимента.
 Если  поместить  вблизи  Не+  второй  элект¬
рон,  то  вначале  ему  «покажется»,  что  заряд
 337

равен  Z—1.  Однако  после  того,  как  этот
электрон  попадет  на  оболочку  с  N=1,  поло¬
вину  времени  он  будет  находиться  к  ядру
ближе,  чем  первый  электрон,  и  при  этом
«ощущать»  заряд  ядра  Z.  Если  прямо  усред¬
нить  по  этим  величинам,  то  мы  получим
Z—V2.  Таким  образом,  для  электрона  эф¬
фективный  заряд  ядра  гелия  будет  равен
£эфф=1,5  е.  На  основании  этого  следует
ожидать,  что  ионизационный  потенциал  ге¬
лия  составит  около  (1,5)2  -13,6,  или  30  в.
В  действительности  следует  ожидать  более
слабой  связи  из-за  вклада  положительной
потенциальной  энергии,  обусловленной  от¬
талкиванием  двух  электронов.  Эксперимен¬
тальное  значение  ионизационного  потенциала
составляет  24,6  в.  Это  наивысший  иони¬
зационный  потенциал  среди  всех  эле¬
ментов.
 Из-за  большого  ионизационного  потенци¬
ала,  а  также  вследствие  отсутствия  места  для
третьего  электрона  на  оболочке  с  N=\
гелий  чрезвычайно  инертен  химически.  Хи¬
мических  сил  недостаточно,  чтобы  обеспечить
компенсацию  энергии  в  24,6  эв.  Следова¬
тельно,  гелий  и  другие  атомы  с  заполненными
оболочками  не  образуют  молекул  ни  с  одним
из  элементов.  Их  называют  благородными
газами.
 Z=  3  (литий)
 Дважды  ионизованный  литий,  Li  +  +  ,  имеет
водородоподобный  спектр,  в  котором  энергии
в  (3)2  =  9  раз  больше,  чем  в  спектре  водорода.
Спектр  однократно  ионизованного  лития  по¬
добен  спектру  гелия  с  Z3(|M|),  примерно  равным
3—V2  вместо  2—V2  в  случае  гелия.  В  нейт¬
ральном  атоме  лития  третий  электрон  вслед¬
ствие  принципа  запрета  должен  находиться
на  оболочке  с  N  =  2.  Для  этого  электрона
гэфф  будет  несколько  больше  единицы.
Таким  образом,  мы  ожидаем,  что  ионизацион¬
ный  потенциал  лития  несколько  превысит
13,6/А^2=  13,6/22  =  3,4  в.  Экспериментальное
значение  составляет  5,4  в,  что  соответствует
г9фф  =1,25.  Второй  ионизационный  потен-

циал  (соответствующий  освобожде¬
нию  второго  электрона)  равен  75,6  в.
Итак,  литий  в  соединениях  всегда
должен  обнаруживать  валентность
+1  (что  соответствует  потере  одного
электрона)  и  никогда  не  будет  обна¬
руживать  валентность  +2  (соответ¬
ствующую  потере  двух  электронов).
На  фиг.  215  изображено,  как  «вы¬
глядело»  бы  электронное  облако
лития,  если  бы  его  можно  было
увидеть.
 Согласно  вышеизложенному,  со¬
стояния  с  N=2,  1=0  и  N=2,  1=1
должны  иметь  одну  и  ту  же  энергию.
Однако,  как  видно  из  фиг.  206,  у
атома  с  заполненной  оболочкой  с
N=  1,  подобного  литию,  состоянию
с  /  =  0  должна  отвечать  более  сильная
связь,  нежели  состоянию  с  1=1.  Это
обусловлено  тем,  что  электронная
волновая  функция  с  меньшим  момен¬
том  количества  движения  (/=0)  в
большей  степени  сосредоточена  вблизи  ядра,
чем  волновая  функция  состояния  с  более  вы¬
соким  моментом  количества  движения.  Для
электронной  волны,  сосредоточенной  вблизи
ядра,  Z3^  достигает  почти  Z,  тогда  как  для
удаленной  от  ядра  части  волны  2эфф  примерно
равно  единице.  Подобное  обстоятельство
может  явиться  причиной  значительного  раз¬
личия  по  энергии  «подоболочек»  с  /=0
и  1=1  или  2.  Действительно,  при  Z—19
(калий)  эффект  оказывается  настолько  силь¬
ным,  что  энергетический  уровень  с  N=4,
1=0  располагается  ниже  уровня  с  N=3,
1  =  2.
 В  табл.  5  приведен  порядок  следования
энергетических  уровней.  Другая  интерпре¬
тация  этого  эффекта  основана  на  том,  что
орбиты  с  более  высокими  моментами  коли¬
чества  движения  оказываются  в  большей
степени  круговыми  и,  следовательно,  более
удаленными  от  ядра,  чем  орбиты  с  мень¬
шими  моментами  количества  движения.  Та¬
ким  образом,  состояния  с  меньшим  /  связаны
более  сильно.
 339
 Фиг.  215.  Современное  изобрг
атома  лития.
 Электронное  облако  с  N=1  изоб
красным  цветом;  внешний  элек
N  =  2  —  светлым.

Таблица  5
 Электронная  структура  атомов
 Главное  квантовое  число  N  ....
Азимутальное  квантовое  число  /  .  .
Обозначение  состояний
 1
 0
 Is
 0
 2s
 2
 1
 2  Р
 0
 3s
 3
 1
 з  р
 2
 3d
 0
 4s
 4
 1
 4  р
 Z
 Элемент
 Vi.  в
 1
 Водород
 13,60
 1
 2
 Гелий
 24,58
 2
 3
 Литий
 5,39
 к
 1
 4
 Бериллий
 9,32
 5
 2
 5
 Бор
 8,30
 U
 2
 1
 6
 Углерод
 11,26
 2
 2
 7
 Азот
 14,54
 S
 2
 3
 8
 Кислород
 13,61
 3"
 о
 2
 4
 9
 Фтор
 17,42
 о
 2
 5
 10
 Неон
 21,56
 VO
 О
 2
 6
 11
 Натрий
 5,14
 т
 1
 12
 Магний
 7,64
 с
 2
 13
 Алюминий
 5,98
 О»
 2
 1
 14
 Кремний
 8,15
 -ц
 2
 2
 15
 Фосфор
 10,55
 *
 2
 3
 16
 Сера
 10,36
 С
 г
 Э
 2
 4
 17
 Хлор
 13,01
 t
 с
 2
 5
 18
 Аргон
 15,76
 VO
 о
 2
 6
 19
 Калий
 4,34
 1
 20
 Кальций
 6,11
 <
 я
 с
 2
 21
 Скандий
 6,56
 <
 с
 э
 1
 2
 22
 Титан
 6,83
 Си
 2
 2
 23
 Ванадий
 6,74
 3
 2
 24
 Хром
 6,76
 2
 5
 1
 25
 Марганец
 7,43
 <
 э
 5
 2
 26
 Железо
 7,90
 (
 6
 6
 2
 27
 Кобальт
 7,86
 VO
 П
 7
 2
 28
 Никель
 7,63
 8
 2
 29
 Медь
 7,72
 10
 1
 30
 Ци  нк
 9,39
 10
 2
 31
 Галлий
 6,00
 10
 2
 1
 32
 Германий
 7,88
 10
 2
 2
 33
 Мы  шьяк
 9,81
 10
 2
 3
 34
 Селен
 9,75
 10
 2
 4
 35
 Бром
 11,84
 10
 2
 5
 36
 Крн  ИТОН
 14,00
 10
 2
 6

Z=4  (бериллий)
 Согласно  принципу  запрета,  в  состоянии
с  ]\i  =  2,  /  =  0  имеются  места  для  двух  элект¬
ронов.  Поскольку  Z3фф  для  близкой  к  ядру
части  электронной  волны  оказывается  в  дан¬
ном  случае  больше,  чем  в  случае  лития,
большим  должен  быть  и  ионизационный  по¬
тенциал.  Экспериментальное  значение  равно
9,32  в  по  сравнению  с  5,39  в  в  случае  лития.
Однако  второй  ионизационный  потенциал
оказывается  в  случае  бериллия  ненамного
больше,  поскольку  этот  электрон  также
находится  в  состоянии  с  N=2.  Таким  обра¬
зом,  в  соединениях  бериллий  имеет  валент¬
ность  +2.
 Z=  5  (бор),  2==  6  (углерод),  Z=  7  (азот),
£==  8  (кислород),  Z=  9  (фтор),  Z=  10
(неон)
 Эти  атомы  образуются  при  заполнении
состояний  с  N  =  2t  1  =  1.  Поскольку  1=\
встречается  в  трех  различных  состояниях
(mL  =—1,0,+1),  то  на  подоболочке  с  N=2y
1=1  могут  разместиться  6  электронов.  У
бора  в  состояниях  с  N  =  2  находится  3  элект¬
рона,  и,  следовательно,  его  валентность  +3.
 У  кислорода  и  фтора  наблюдается  новое
явление,  называемое  сродством  к  электрону.
Отдельный  атом  фтора  может  приобрести
дополнительный  электрон  и  превратиться
в  стабильный  ион  F”.  Соответствующая
этому  дополнительному  электрону  волна  ча¬
стично  «ощущает»  большой  эффективный  за¬
ряд,  и  энергия  связи  электрона  становится
равной  4,2  эв.  Таким  образом,  фтор  имеет  ва¬
лентность  —  1.  Сродство  к  электрону  при  об¬
разовании  О”  соответствует  2,2  в.  Кислород  и
азот  в  химических  соединениях  обычно  имеют
валентности  соответственно  —2  и  —3.  У
неона  все  состояния  с  N=2  заняты*  и  мы
имеем  дело  с  так  называемой  заполненной
оболочкой.  Поскольку  все  электронные
волны,  отвечающие  N  =  2,  сосредоточиваются
вблизи  ядра,  где  2эфф  достигает  10,  иониза¬
ционный  потенциал  оказывается  очень  боль¬
шим  и  составляет  21,6  в.  Таким  образом,
 341

неон,  подобно  гелию,  также  химически  весь¬
ма  инертен.
 От  2=11  (натрий)  до  2=18  (аргон)
 В  этом  ряду  из  восьми  элементов  происхо¬
дит  заполнение  состояний  с  N=3, 	1 	= 	0
 и  с  N=3,  1=1  совершенно  аналогично
предшествующим  восьми  элементам.  По¬
этому  химические  свойства  этих  элементов
оказываются  весьма  сходными  со  свойствами
соответствующих  элементов  предыдущей
восьмерки.  В  этом  и  заключается  объяснение
«периодической  системы»  химических  эле¬
ментов.
 Z=  19  (калий)
 Мы  могли  предполагать,  что  у  следую¬
щего  элемента  внешний  электрон  окажется
в  состоянии  с  N=3,  1  =  2.  Но,  как  указыва¬
лось  при  обсуждении  лития  (Z=3),  Z\^NZ
для  волн,  отвечающих  N=Ay  1=0,  несколько
превышает  эту  величину  для  волн  N  =  3,
 1 	=  2.  С  другой  стороны,  энергия  состояния
с  Л^=3,  1=2  меньше  энергии  состояния
с  N=4, 	1=1, 	благодаря  чему,  начиная
 с  Z=21  (скандий),  происходит  заполнение
состояний  с  1  =  2  в  оболочке  с  N=3.  В  табл.  5
приведено  строение  электронных  оболочек
элементов  до  Z=36.  Квантовая  механика
позволила  установить  электронную  струк¬
туру  всех  элементов  вплоть  до  Z  =102.
В  действительности  теория  настолько  со¬
вершенна,  что  она  позволяет  заранее  пред¬
сказать  химические  свойства  элементов
с  Z  =  103,  104  и  т.  д.  до  того,  как  эти  эле¬
менты  будут  созданы  искусственно.
 Вычисление  точных  значений  ионизаци¬
онных  потенциалов  и  сродства  к  электрону
оказывается  крайне  трудоемким.  Однако
в  нашем  распоряжении  имеется  теория  и
подобные  вычисления  в  принципе  выпол¬
нимы.
 Таким  образом,  вся  химия  может
быть  получена  на  основе  простой  теории  —
квантовой  механики  электронов  со  спи-
 НОМ  1/г
 342

§  7.  Рентгеновское  излучение
 ЗАПОЛНЕНИЕ  ПРОБЕЛА  В  СПЕКТРЕ
 Каждому  атому  присуще  характеристи¬
ческое  излучение,  которое  испускается,  когда
небольшой  образец  элемента  ионизуется
в  электрической  дуге  или  разряде.  Неизвест¬
ные  образцы  на  Земле  или  в  звездах  можно
проанализировать,  воспользовавшись  мето¬
дами  спектроскопии.  Как  и  в  случае  водо¬
рода,  спектральные  линии  соответствуют
квантовым  переходам  одного  или  двух  внеш¬
них  электронов  на  различные  энергетические
уровни.  Поскольку  энергия  этих  уровней  по
порядку  величины  составляет  несколько
электрон-вольт,  то  характеристический
спектр  состоит  из  линий,  приходящихся
на  видимую,  ультрафиолетовую  и  инфра¬
красную  области.
 В  случае  тяжелых  атомов  возможно  также
испускание  гораздо  более  жестких  квантов
с  энергией  в  сотни  и  даже  тысячи  электрон-
вольт.  Такие  фотоны  высокой  энергии  назы¬
ваются  рентгеновским  излучением  (или  Х-лу-
чами).  Рентгеновское  излучение  испускается
в  результате  потери  атомом  внутреннего
электрона.  При  этом  внешний  электрон
быстро  переходит  в  более  низкие  состоя¬
ния  с  тем,  чтобы  заместить  потерянный  внут¬
ренний  электрон.  Атомы  могут  терять  элект¬
роны  при  их  бомбардировке  пучком  элект¬
ронов,  ускоренных  до  нескольких  тысяч
вольт.  Некоторые  из  этих  ускоренных  элект¬
ронов  будут  сталкиваться  с  электронами
на  внутренней  оболочке  и  выбивать  их  из
атомов.
 Энергия  связи  электрона  на  оболочке
с  N=1  (/(-оболочка,  по  терминологии  рент-
генофизиков)  равна  13,6  22эф,эв.  В  данном
случае  2эфф  очень  близко  к  z—lj2.
 Пример.  Какова  максимальная  энергия  рентге¬
новского  излучения,  испускаемого  из  меди  и  урана?
Вычислите  энергии  и  длины  волн.
 Максимальная  энергия  рентгеновского  излу¬
чения  отвечает  переходу  свободного  электрона  (ну¬
левая  энергия)  на  свободное  место  на  /(-оболочке
(N  =  1).
 343

Задачи
 Для  меди  Z—  29  и  hf  —  13,6-  (28,5)2  —  И  ООО  эв
 \^  345 	\  \2  А
 ^ГГооо""1’12  А*
 Для  урана  2  =  92  и  hf  —  13,6*(91,5)2  =  112  ООО  эв
 _12345  _оп  А
 ^"пгооо"  0,11
 Приведенный  пример  иллюстрирует  чрез¬
вычайно  надежный  метод  определения  Z
вновь  открытых  элементов.  Он  заключается
просто  в  измерении  длины  волны  жесткого
рентгеновского  излучения,  испускаемого  не¬
известным  образцом.
 Рентгеновское  излучение  является
также  чрезвычайно  действенным  средством
определения  структуры  твердых  тел  вслед¬
ствие  того,  что  длина  волны  этого  излучения
сравнима  с  межатомными  расстояниями
в  твердых  телах.  Как  указывалось  в  преды¬
дущих  главах,  повторяющиеся  периодически
атомные  плоскости  в  кристаллах  действуют
подобно  штрихам  диффракционной  решетки.
Поэтому,  если  известна  длина  волны  рент¬
геновского  излучения,  то,  измеряя  углы  его
диффракции,  можно  определить  межатомные
расстояния.
 1. 	Каков  боровский  радиус  Не+  в  основном  со¬
стоянии?
 2. 	Изобразите  (в  общих  чертах)  на  графике  по¬
ведение  г(>4  и  г|?5  для  потенциальной  энергии  на
фиг.  204.
 3. 	Найти  линию  в  спектре  Не+  с  той  же  дли¬
ной  волны,  что  и  линия  в  спектре  водорода.  Чему
равна  эта  длина  волны?
 4. 	Чему  равно  число  электронов  на  заполненной
оболочке
 а) 	с  N  =  2;
 б) 	с  N  =  3;
 в) 	с  N  =  4.
 5. 	Чему  равно  максимальное  число  электронов
на  подоболочке  с  N  —  6,  1  —  2?
 6. 	Газообразный  водород  возбуждается  так,  что
его  атомы  переходят  в  состояние  с  N  =  5.  Сколько
линий  может  появиться  в  спектре  испускания  этого
газа?
 344

7. 	Спектр  поглощения  представляет  собой  тем¬
ные  линии  на  фоне  непрерывного  спектра.  Спектр
поглощения  водорода  снимается  путем  пропускания
излучения  с  непрерывным  спектром  через  газ,  атомы
которого  находятся  в  основном  состоянии.  Неко¬
торые  электроны,  поглощая  фотоны  с  определенными
дискретными  значениями  энергии,  будут  перехо¬
дить  на  более  высокие  уровни.  Каковы  энергии
этих  фотонов?  Чему  равны  длины  волн,  соответст¬
вующие  темным  линиям?
 8. 	Максимальная  энергия  рентгеновского  излу¬
чения,  испускаемого  неизвестным  образцом,  соот¬
ветствует  длине  волны  2,16  А.  Что  за  элемент  содер¬
жится  в  образце?
 9. 	^-Мезоатом  состоит  из  ядра  с  зарядом  Z  и
^“-мезона  в  основном  состоянии  (ц-мезон  —  частица
в  207  раз  тяжелее  электрона).
 а) 	Какова  энергия  связи  ^-мезона,  захва¬
ченного  протоном?
 б) 	Каков  радиус  боровскои  орбиты  для
N  =  1  в  п.  «а»?
 в) 	С  какой  энергией  испускается  фотон  при
переходе  |д“-мезона  из  состояния  с  N  =  2  в  ос¬
новное  состояние?
 10. 	Рассмотрим  ^-мезоатом  свинца  (Z  =  88).
Где  расположена  боровская  орбита  ^-мезона  с
N=\,  вне  или  внутри  ядра?  Диаметр  ядра  свинца
равен  1,6-10“12  см.
 11. 	Наиболее  интенсивная  линия  рентгеновско¬
го  излучения  отвечает  переходу  электрона  с  оболочки
с  N  =  2  на  пустое  место  в  оболочке  с  N  —  1.  До¬
пустим,  что  Z3фф  —  Z  —  3  для  состояния  с  N  —  2.
Какова  длина  волны  соответствующей  линии  в  слу¬
чае  меди?
 12. 	В  этой  задаче  боровская  модель  применяется
к  позитронию,  который  представляет  собой  отрица¬
тельный  и  положительный  электроны,  связанные  на
орбите  с  N  =  1  и  радиусом  R.  Электрон  и  позитрон
вращаются  относительно  общего  центра.
 а) 	Выразите  полный  момент  количества
движения  системы  через  m,  v  и  R.
 б) 	Бор  постулировал,  что  полный  момент
количества  движения  должен  быть  равен
N  (hi2л).  Выразите  радиус  орбиты  с  N  —  1
через  m,  v  и  к.
 13. 	Какова  энергия  связи  (в  эв)  основного  со¬
стояния  позитрония?  Решение  оказывается  доволь¬
но  громоздким.  Оно  заключается  в  повторении  рас¬
четов  формулы  (13.10)  с  использованием  решения
задачи  12  в  качестве  результата,  аналогичного  (13.6).
Кроме  того,  не  следует  забывать,  что  расстояние
между  двумя  частицами  равно  2R,  а  не  R  (фиг.  216).

ГЛАВА  14
 СТРОЕНИЕ  ВЕЩЕСТВА

Для  объяснения  строения  и  свойств
вещества  необходимо  знать  законы  взаимо¬
действия  атомов,  электронов  и  молекул  на
малых  расстояниях.  Как  мы  видели,  по¬
добные  взаимодействия  уже  получили  свое
объяснение  в  рамках  квантовой  теории.  Та¬
ким  образом,  мы  вправе  ожидать,  что  при
изучении  строения  вещества  выявятся  спе¬
цифические  аспекты  квантовой  теории.  В  этой
главе  мы  обнаружим,  конечно,  примеры
специфически  квантовых  явлений,  проявляю¬
щихся  как  в  макро-,  так  и  в  микромире.
 §  I.  Теория  строения  молекул
 ОТЧУЖДЕНИЕ  И  ОБОБЩЕСТВЛЕНИЕ  ЭЛЕКТРОНОВ
 Мы  рассмотрим  два  различных  механизма,
обеспечивающих  связь  атомов  в  молекулах:
ионную  и  ковалентную  связи.
 Ионная  связь
 В  основе  ионной  связи  лежит  закон
Кулона.  Так,  между  ионами  с  положитель¬
ным  и  отрицательным  единичными  зарядами
будет  существовать  притяжение.  Если  энер¬
гия  электростатического  притяжения  e2/R
превышает  энергию,  которую  надо  затратить
для  образования  пары  ионов,  то  оказывается
возможным  образование  устойчивой  (стабиль¬
ной)  молекулы.  Рассмотрим  в  качестве  при¬
мера  молекулу  хлористого  калия  КС1.  Энер¬
гия,  необходимая  для  образования  пары
ионов,  К+  и  С1~,  составляет  0,52  эв.  Это
объясняется  тем,  что  ионизационный  потен¬
циал  калия  равен  4,34  в,  а  сродство  хлора  к
электрону  составляет  3,82  эв.  Таким  образом,
суммарная  энергия,  требуемая  для  образо¬
вания  пары  ионов,  в  данном  случае  равна
4,34—3,82=0,52  эв.  Если  удастся  достаточно
сблизить  оба  иона,  так  что  e2/R  превысит
0,52  эв,  то  произойдет  образование  стабиль¬
ной  молекулы.  Электростатическую  энергию
можно  оценить,  подставив  в  приведенное
выше  выражение  величину  R,  равную  сумме
радиусов  ионов.  Радиусы  К+  и  С1“  равны
примерно  1,5  А.  Таким  образом,  e*/R  состав¬
ляет  4,8  эв,  и  мы  ожидаем,  что  энергия  обра-
 34»
 СТРОЕНИЕ
 ВЕЩЕСТВА

Фиг.  217.  Плотность  электронного
заряда  Н2.
 Интенсивность  светлого  оттенка  пропор¬
циональна  квадрату  волновой  функции
электрона,  спроектированной  на  плос¬
кость.
 зования  молекулы  КС1  будет  равна  примерно
4,8—0,52  эв.  Измеренное  на  опыте  значение
4,4  эв  довольно  хорошо  согласуется  с  нашей
грубой  оценкой.  Связь  большинства  неорга¬
нических  соединений  обусловлена  ионной
связью,  которую  можно  представлять  как
результат  отчуждения  электрона.
Ковалентная  связь
 Другой  очень  распространенный  тип  мо¬
лекулярной  связи,  встречающийся  у  боль¬
шинства  органических  соединений,  носит
название  ковалентной  связи.  Ковалентная
связь  представляет  собой  результат  обобщест¬
вления  двумя  атомами  двух  электронов.
Простейшим  примером  ковалентной  связи
служит  молекула  водорода.  Рассмотрим  сна¬
чала  ионизованную  молекулу  водорода  Н2+.
Она  содержит  два  протона,  окруженных  элек¬
тронным  облаком.  Энергия  связи  электрона
при  наличии  двух  протонов  оказывается,  ко¬
нечно,  больше,  чем  при  наличии  только  одно¬
го  протона.  С  другой  стороны,  электростатиче¬
ское  отталкивание  протонов  действует  в  про¬
тивоположном  направлении.  Однако  вслед¬
ствие  тенденции  электронной  волны  к  кон-,
центрации  между  протонами  преобладающим
оказывается  электростатическое  притяжение
электрона  к  обоим  протонам.  Энергия  связи
двух  протонов  и  электрона  в  Н2+  составляет
2,65  эв.
 Согласно  принципу  запрета  Паули,  на
орбите,  где  находится  первый  электрон,
имеется  место  еще  для  одного  электрона.
Такая  система  из  двух  электронов  и  протонов
представляет  собой  нейтральную  молекулу
водорода.  Из-за  электростатического  оттал¬
кивания  двух  электронов  их  волновая  функ¬
ция  оказывается  несколько  более  размытой,
нежели  волновая  функция  единственного
электрона  в  Н2+.  Полная  энергия  связи
нейтральной  молекулы  Н2  составляет  4,48  эв.
Если  бы  мы  могли  видеть  облако,  образован¬
ное  двумя  электронами  в  молекуле  Н2  (опи¬
сываемое  квадратом  волновой  функции),  то
оно  выглядело  бы  подобно  тому,  как  это
изображено  на  фиг.  217.

Атомы  углерода  обычно  образуют  соеди¬
нения  с  ковалентной  связью.  У  атома  угле¬
рода  имеется  тенденция  к  обобществлению
четырех  дополнительных  электронов,  с  тем
чтобы  заполнить  ими  оболочку  с  N  =  2,
1=1.  Простейшим  примером  является  моле¬
кула  метана  СН4,  изображенная  на  фиг.  218.
Органическая  химия  изучает  молекулы,  со¬
держащие  атомы  углерода,  и  ковалентные
связи.  Специфическая  особенность  атомов
углерода  заключается  в  том,  что  они  не
избегают  обобществления  электронов  и  друг
с  другом.  Благодаря  этому  многочисленные
органические  молекулы  содержат  длинные
цепочки  атомов  углерода,  часто  включающие
тысячи  атомов.  На  рисунке,  открывающем
эту  главу,  изображен  небольшой  отрезок
подобной  молекулы.  Многие  из  таких  моле¬
кул  встречаются  в  природе  в  виде  продуктов
жизнедеятельности  различных  организмов.
С  помощью  квантовой  механики  и  усовер¬
шенствованной  физической  и  химической  ме¬
тодик  сейчас  имеется  возможность  устано¬
вить  точное  строение  гигантских  белковых
молекул,  лежащих  в  основе  жизни.  Сейчас
нам  легче  выяснить,  каким  образом  некото¬
рые  из  этих  сложных  молекул  могут  воспро¬
изводить  самих  себя.  Решение  же  более
сложной  «загадки»  жизни,  конечно,  дело
будущего.  Возможно,  что  в  один  прекрасный
день  ученым  удастся  синтезировать  и  новые
формы  жизни  из  неорганических  веществ.
 §  2.  Кристаллические  тела
 СВЕРХМОЛЕКУЛЫ
 Атомы  большинства  веществ,  находя¬
щихся  в  твердом  состоянии,  образуют  перио¬
дическую  решетку,  которую  мы  восприни¬
маем  как  идеальный  кристалл.  Механизм,
связывающий  атомы  в  молекулы,  может
связывать  их  в  неограниченной  периодиче¬
ской  структуре,  или  в  сверхмолекуле.  Многие
из  таких  веществ  внешне  не  выглядят  кри¬
сталлами,  ибо  они  построены  из  множества
мельчайших  кристалликов  (поликристалли-
 350
 Фиг.  218.  Качественный  рисунок,
иллюстрирующий  электронную  стру¬
ктуру  метана.
 Ядра  водорода  расположены  у  вершин
правильного  тетраэдра  или  у  четырех  из
восьми  вершин  куба.  Электроны  концен¬
трируются  вдоль  линий  углерод  —  водо¬
род.

Фиг.  219.  Кристаллическая  струк¬
тура  КС1.
 Кружки  обозначают  положение  центров
атомов  К  и  С1.
 ческая  структура).  Некоторые  твердые  тела
к  жидкости,  особенно  при  низких  температу¬
рах,  обнаруживают  специфические  свойства,
характерные  для  квантовой  теории.  Нау¬
ка,  изучающая  свойства  твердых  тел  и
жидкостей  и  происходящие  в  них  явления,
носит  название  физики  твердого  тела,  и
в  настоящее  время  представляет  собой
одну  из  основных  областей  физических
исследований.
 Подобно  молекулам,  в  кристаллах  также
возможна  ионная  и  ковалентная  связи.  На
фиг.  219  изображена  структура  ионного  кри¬
сталла  КС1.  Отметим,  что  ближайшими  со¬
седями  у  каждого  иона  К+  являются  шесть
ионов  С1“.  Подобному  расположению  в  прост¬
ранстве  ионов  К+  и  С1~  отвечает  наименьшая
из  всех  возможных  конфигураций  энергия.
При  образовании  данной  конфигурации  вы¬
деляется  наибольшее  количество  тепла.  Этим
и  объясняется  тенденция  у  КС1  и  многих
других  веществ  к  образованию  чистых  кри¬
сталлов  при  охлаждении  ниже  точки  плав¬
ления.  При  увеличении  температуры  тепло¬
вая  кинетическая  энергия  в  конце  концов
оказывается  достаточной  для  преодоления
связи  в  правильном  кристалле,  и  кристалл
расплавляется.
 Связь  в  металле
 Существует  еще  один  тип  связи,  носящий
название  металлической  связи  и  встречаю¬
щийся  у  элементов  с  малым  числом  электро¬
нов  во  внешней  оболочке.  Этот  тип  связи
реализуется  в  тех  случаях,  когда  атомы
сближены  до  расстояний,  меньших  размеров
облака,  обусловленного  внешними  электро¬
нами.
 Благодаря  принципу  запрета  осущест¬
вление  подобной  конфигурации  сопряжено
с  увеличением  энергии  внешних  электронов.
Однако  у  веществ,  называемых  металлами,
такой  конфигурации  отвечает  все  же  мень¬
шая  энергия,  чем  конфигурации  с  более  уда¬
ленными  друг  от  друга  атомами.  Рассмотрим
вещества  типа  лития,  калия  или  натрия,
атомы  которых  обладают  только  одним
 351

1 	А
 Фиг.  220.  Облако  внешнего  электрона
свободного  атома  лития.
 Крестиками  помечены  расположения  со¬
седних  ядер  лития  в  металле.
 Фиг.  221.  Приближенный  вид  потен¬
циальной  энергии  электрона  при
переходе  через  поверхность  металла.
 внешним  электроном.  На  фиг.  220  изображено
облако,  обусловленное  внешним  электроном
свободного  атома  лития.  Расположения  сосед¬
них  атомов  в  решетке  лития  помечены  кре¬
стиками.  Если  атомы  сближаются  настолько,
что  их  внутренние  заполненные  оболочки
соприкасаются,  то  соседние  ядра  попадают
в  пределы  области,  занимаемой  внешним
электронным  облаком  в  случае  свободного
атома.  В  результате  внешний  электрон  будет
притягиваться  соседними  ядрами.  Это  при¬
ведет  к  возрастанию  его  энергии  связи  и  еще
больше  увеличит  размеры  соответствующего
облака.  Последнее  обстоятельство  позволяет
электрону  приближаться  к  более  далеким
соседям,  которые  в  свою  очередь  еще  больше
«размазывают»  электронное  облако.  Как
можно  было  ожидать,  волновая  функция
каждого  из  внешних  электронов  в  конечном
итоге  оказывается  равномерно  распределен¬
ной  по  всему  кристаллу!  Таким  образом,
отдельное  электронное  облако  может  дости¬
гать  размеров  огромного  небоскреба  или
же  вытягиваться  на  длину  даже  очень  длин¬
ного  провода.
 В  первом  приближении  притяжение  элект¬
рона  ядрами  можно  усреднить  и  представить
его  в  виде  постоянного  потенциала  притяже¬
ния  величиной  £/0.  График,  изображающий
эту  усредненную  потенциальную  энергию
(ее  принято  называть  потенциальной  ямой),
приведен  на  фиг.  221.  Каждый  электрон
описывается  стоячей  волной,  ограниченной
размерами  этой  потенциальной  ямы.  Мы
видим  теперь,  что  приведенный  в  предыдущей
главе  гипотетический  пример  электрона
в  ящике  после  всего  сказанного  не
выглядит  столь  надуманным.
 Покажем,  что  квантовая  теория
дает  разумный  ответ  на  вопрос,
почему  металлы  проводят  электри¬
чество,  а  другие  вещества  не  про¬
водят  или  почти  не  проводят  его.
Наличие  в  металлах  по  крайней
мере  одного  свободного  электроне
на  каждый  атом  обусловлено  волно¬
вым  характером  электронов.  Эти

свободные  электроны,  или  электроны  про¬
водимости,  не  имеют  связи  с  каким-либо
определенным  атомом  и  могут  свободно  пере¬
мещаться  в  любом  направлении  по  металлу,
как  указывалось  на  стр.  223.  В  ионных
и  ковалентных  кристаллах  внешние  элект¬
роны  связаны  с  определенными  атомами;
поэтому  такие  кристаллы  обычно  не  проводят
электричества.  Их  называют  изоляторами.
Тот  факт,  что  проводимость  чистого  металли¬
ческого  кристалла  в  1024  раз  превышает
проводимость  других  чистых  кристаллов,
следует  рассматривать  как  квантовомехани¬
ческое  явление  в  большом  масштабе.
 §  3.  Электронный  ферми-газ
 НЕОБЫЧНЫЙ  ГАЗ  В  ТВЕРДОМ  ВЕЩЕСТВЕ
 Мы  установили,  что  металл  объемом  V
можно  рассматривать  как  ящик  того  же
объема  V,  содержащий  N  электронов.  Вслед¬
ствие  принципа  запрета  в  каждом  из  состоя¬
ний,  хараетеризуемых  формулой  (13.1),  мо¬
гут  находиться  только  два  электрона.  Все
N  электронов  заполняют  низшие  энергети¬
ческие  состояния,  образуя  так  называемый
ферми-газ.  Такой  газ  обладает  интересными
особенностями,  не  свойственными  классиче¬
ской  физике,  на  которые  впервые  обратил
внимание  Энрико  Ферми.  Все  энергетические
состояния  от  низшего  до  состояния  с  кине¬
тической  энергией  (£'кин)0,  называемой  гра¬
ницей  Ферми,  заполнены  N  электронами.
Для  нахождения  (£‘кин)0  необходимо  знать
величину  N.  Расчет  величины  (£кин)0  по  из¬
вестному  значению  оАГ  приведен  в  приложении
к  данной  главе.  Результат  имеет  вид
 где  сЛГ  —  число  свободных  электронов  в  1  см3.
Как  и  можно  было  ожидать,  результат  не
зависит  ни  от  формы,  ни  от  объема  куска
металла.  Он  зависит  только  от  того,
 Граница  Ферми
 (14.1)
 12  Джей  Орир
 353

насколько  плотно  размещены  свободные
электроны.
 Пример.  Плотность  лития  составляет  0,534  г/см3.
Какова  величина  границы  Ферми  в  эв  для  электро¬
нов  проводимости  лития?
 В  данном  случае  qJ\P  равно  числу  атомов  в  1  см3.
Поскольку  атомный  вес  лития  6,94,  то  в  6,94  г  лития
будет  содержаться  N0  =  6,02-1023  атомов.  Тогда
о)у*  =(0,534/6,94)  -6,02-1023  =4,63-1022  свободных  эле¬
ктронов  в  1  см3  и
<«->-■£
 (£кин)о  =  4,7  эв.
 §  4.  Термоэлектронная  эмиссия
 КАК  УДРАТЬ  ИЗ  ЯЩИКА
 На  фиг.  221  изображен  приближенный
потенциал,  в  котором  находится  электрон
у  поверхности  металла.  В  качестве  нулевой
выбрана  энергия  покоящегося  свободного
электрона  вне  металла.  Энергетические
уровни  электронов  ферми-газа  обозначены
тонкими  горизонтальными  линиями,  начи¬
нающимися  при  —U0  и  заполняющими  ин¬
тервал  энергий  (£кин)0  от  дна  потенциальной
ямы.  Минимальная  энергия,  необходимая
для  удаления  электрона  из  металла,  в  этом
случае  равна  U  —  (ЕКИН)0.  По  определению
эта  величина  представляет  собой  работу
выхода  W7,  введенную  в  параграфе  о  фотоэле¬
ктрическом  эффекте  (стр.  304).  В  действитель¬
ности  строго  определенное  значение  работы
выхода  имеется  только  при  температуре  абсо¬
лютного  нуля.  При  температуре  Т°  К  эле¬
ктроны  будут  находиться  в  тепловом  равнове¬
сии.  По  этой  причине  к  энергии  значительной
части  электронов  прибавится  еще  тепловая
энергия.  Как  было  показано  в  гл.  6,  средняя
тепловая  энергия,  приходящаяся  на  одну
частицу  идеального  газа,  составляет  3j2kT.
В  ферми-газе  тепловую  энергию  могут  иметь
лишь  частицы  с  кинетической  энергией,  близ¬
кой  к  (£кин)0.  Таким  образом,  некоторые
электроны  будут  иметь  кинетическую  энер-

Фиг.  222.  То  же,  что  на  фиг.  221,  при
наличии  внешнего  электрического
поля.
 гию,  достигающую  l(EKKH)0+kT].  При  ком¬
натной  температуре  £7=0,025  эв,  в  то  время
как  (Яки„)0  и  ф*  составляют  по  порядку  вели¬
чины  несколько  электрон-вольт.  Электроны
с  кинетической  энергией  меньше  (£ки„)0  не  мо¬
гут  приобретать  энергию  в  столкновениях,
обусловленных  тепловым  движением,  так  как
поблизости  нет  пустых  энергетических  уров¬
ней,  на  которые  они  могли  бы  перейти.  Вслед¬
ствие  этого  электрон  вынужден  оставаться
в  прежнем  состоянии.
 Если  наложить  электрическое  поле,  стре¬
мящееся  вырвать  электроны  из  металла,  то
появляется  постоянный  ток,  обусловленный
покидающими  металл  электронами.  Потен¬
циальная  энергия,  соответствующая  постоян¬
ному  полю  £,  равна  U=—еЕх.  На  фиг.  222
изображен  комбинированный  потенциал,
в  котором  движется  электрон  проводимости.
Мы  видим,  что  избежать  «заточения»  в  ме¬
талле  могут  лишь  те  немногочисленные
“электроны,  энергия  теплового  движе¬
ния  которых  превышает  W'.  Это  явле¬
ние  носит  название  термоэлектронной  эмис¬
сии.  Можно  ожидать,  что  небольшое  увели¬
чение  температуры  будет  сопровождаться
значительным  увеличением  эмиссии  элек¬
тронов.  Вот  почему  нагреваются  катоды
электронных  ламп.
 §  5.  Проникновение  сквозь
барьер
 КАК  ПРОСОЧИТЬСЯ  СКВОЗЬ  ТВЕРДУЮ  СТЕНКУ
 Установлено,  что  слабый  электронный
ток  продолжает  течь  с  катода  даже  при  очень
низких  температурах,  когда  отсутствуют
электроны  с  тепловыми  энергиями,  достигаю¬
щими  W'.  Это  явление  носит  название
автоэлектронной  эмиссии  и  представляет  со¬
бой  важное  следствие  квантовой  механики,
ниспровергающее  классические  представле¬
ния.  Упомянутое  необычное  явление  есть  не
что  иное,  как  квантовомеханическое  проникг
новение  сквозь  потенциальный  барьер.  В  рас¬
смотренном  примере  мы  имеем  дело  с
 12*
 355

Фиг.  223.  Потенциал  (а)  и  соответ¬
ствующая  волновая  функция  (б)  внут¬
реннего  электрона  с  энергией  Ферми
 (-5Г).
 Фиг.  224.  Потенциальная  энергия
а-частицы  внутри  ядра  радиусом  R.
После  вылета  из  ядра  кинетическая  энер¬
гия  составляет  Wn  .
 потенциальным  барьером  высотой  W'
(фиг.  223).  Согласно  классической  фи¬
зике,  электрон  с  кинетической  энер¬
гией  (£кин)0  внутри  металла  будет  иметь
в  точке  хх  нулевую  кинетическую  энер¬
гию.  Благодаря  тому,  что  он  притяги¬
вается  металлом,  ему  придется  воз¬
вратиться  из  этой  точки  обратно.
Классическая  физика  запрещает  элек¬
тронам  проникать  даже  на  небольшие
расстояния  внутрь  барьера.  В  области
между  хх  и  хг  кинетическая  энергия
электрона  оказалась  бы  отрицательной,
что  недопустимо  с  точки  зрения  клас¬
сики.  Однако  из  уравнения  Шредин-
гера  следует,  что  в  этой  области  могла
бы  находиться  электронная  волна.
 Как  видно  из  фиг.  223,  она  должна
изгибаться  в  направлении  от  оси  х.
Заметим,  что  с  некоторой  вероятностью
электрон  можно  обнаружить  и  вне
металла.  Согласно  квантовой  механике,
вероятность  проникновения  сквозь
барьер  при  каждом  столкновении  дан¬
ного  электрона  с  ним  должна  состав-
лять  гр’внеш'Увнутр-  Классическим  при-
мером  потенциального  барьера  мог  бы
служить  шарик,  катящийся  внутри
чаши.  Если  выпустить  шарик  у  края
чаши,  то  он  будет  кататься  вверх  и
вниз,  никогда  не  перекатываясь  через
край.  Тем  не  менее  квантовая  механика
предсказывает,  что  шарик  может  вы¬
скочить  из  чаши,  правда,  с  крайне  ма¬
лой  вероятностью  [примерно  10“<102в>1.
 Тот  же  механизм  проникновения
сквозь  барьер  лежит  в  основе  объясне¬
ния  естественного  радиоактивного  рас¬
пада  некоторых  тяжелых  элементов  на
а-частицу  (ядро  гелия)  и  конечное
ядро.  Известно,  что  а-частица  прочно
связана  с  ядром.  Потенциал,  харак¬
теризующий  эту  связь,  имеет  характер
глубокой  «ямы»,  изображенной  на
фиг.  224.  На  расстояниях,  превышаю¬
щих  радиус  ядра  /?,  потенциальная
энергия  представляет  собой  электро-

статическую  потенциальную  энергию  QlQi/r,
где  Qj  —  заряд  а-частицы,  a  Q2  —  заряд
конечного  ядра.  Однако,  несмотря  на  вы¬
сокий  барьер,  а-частице  в  конце  концов
удается  проникнуть  наружу.  Например,
вероятность  проникновения  сквозь  барьер,
или  вероятность  радиоактивного  распада,
на  протяжении  4,5  млрд.  лет  в  случае
ядра  U238  составляет  0,5.  Таким  образом,
период  полураспада  составляет  4,5*  10*  лет.
Поскольку  примерно  таким  же  является
возраст  Земли,  то  U2*8  встречается  еще  в  до¬
статочном  количестве.  У  всех  изотопов  с  Z,
превышающим  92,  энергия  а-частиц  оказы¬
вается  больше,  а  барьер  соответственно
меньше,  благодаря  чему  эти  изотопы  имеют
значительно  более  короткие  периоды  полу¬
распада.  Именно  поэтому  ни  один  из  них  не
встречается  в  природе.  Вопросы,  связанные
с  явлением  радиоактивности,  более  подробно
излагаются  в  следующей  главе.
 Пример.  Радиус  ядра  U238  равен  8,6*  10“18  см.
При  его  распаде  испускается  а-частица  с  энергией
4,2  Мэе.  Какова  высота  потенциального  барьера
(в  Мэе)  для  а-частицы,  находящейся  внутри
ядра?
 Как  следует  из  фиг.  224,  высота  барьера  рав¬
на  QXQJR  за  вычетом  энергии  а-частицы.  Таким
образом,
 §  6.  Электропроводность
 КВАНТОВАЯ  МЕХАНИКА  В  БОЛЬШИХ  МАСШТАБАХ
 Мы  видели,  что  в  идеальной  кристалли¬
ческой  решетке  металла  внешние  электроны
ведут  себя  подобно  свободным  электронам
в  ящике.  Поскольку  эти  электроны  являются
носителями  электрического  тока,  следует
ожидать,  что  сопротивление  идеального  ме¬
талла  будет  равно  нулю.  Однако  в  реальных
 357

металлах  присутствуют  примеси  и  имеются
дефекты  решетки.  Условием  того,  что  элект¬
роны  становятся  свободными,  было  отсут¬
ствие  примесей  и  правильность  решетки.
Поэтому  свободные  электроны  начинают  вза¬
имодействовать  с  примесями  и  дефектами  и
терять  на  них  энергию.  Основываясь  на  этой
теории  электрического  сопротивления,  можно
легко  получить  закон  Ома,  подобно  тому,
как  это  было  сделано  в  гл.  9  (стр.  223).  Закон
Ома  утверждает,  что  сопротивление  не  за¬
висит  от  величины  тока  и  зависит  лишь  от
температуры.  На  основе  этой  теории  электро¬
проводности  легко  доказать  увеличение
электрического  сопротивления  с  ростом  тем¬
пературы.  Неустранимые  дефекты  решетки
создаются  колебательным  движением  атомов,
обусловленным  тем,  что  кристалл  находится
не  при  температуре  абсолютного  нуля.  По¬
этому  мы  и  предсказали,  что  сопротивление
чистого  металла  должно  расти  по  мере  уси¬
ления  теплового  движения  атомов.  Теория
утверждает,  что  по  мере  приближения  темпе¬
ратуры  к  абсолютному  нулю  сопротивление
также  должно  стремиться  к  нулю.  Опыт
подтверждает  это  предсказание.
 Сверхпроводимость
 То  обстоятельство,  что  чистый  металл
может  иметь  равное  нулю  сопротивление
или  бесконечно  большую  проводимость  при
температуре  абсолютного  нуля,  не  следует
смешивать  с  иным  квантовомеханическим
явлением,  носящим  название  сверхпроводи¬
мости.  Сверхпроводимость  представляет  со¬
бой  бесконечно  большую  проводимость  при
температурах,  на  несколько  градусов  превы¬
шающих  абсолютный  нуль.  Лишь  очень
немногочисленные  металлы  обладают  этим
удивительным  свойством.  Если  в  сверхпро¬
воднике  возникнет  круговой  ток,  то  он  будет
течь  до  тех  пор,  пока  не  нарушится  охлажде¬
ние  системы.  Известны  случаи,  когда  в  лабо¬
ратории  такие  токи  продолжали  существовать
сами  по  себе  на  протяжении  нескольких  лет.
Квантовомеханическое  объяснение  сверх¬
 358

проводимости  представляет  одну  из  совре¬
менных  задач  физики  твердого  тела.  В  пос¬
леднее  время  в  понимании  этого  чрезвы¬
чайно  своеобразного  явления  были  достиг¬
нуты  некоторые  успехи.
 Фиг.  225.  Поверхность,  действующая
подобно  сифону.
 Стрелками  изображена  поверхностная
пленка  жидкого  гелия,  заполняющего
пустой  сосуд.
 §  7.  Сверхтекучесть
 КАК  ПРОЩЕ  НАПОЛНИТЬ  СТАКАН
 Сверхтекучесть  жидкого  гелия  представ¬
ляет  собой  еще  одно  необычное  квантово¬
механическое  явление,  происходящее  при
температуре,  близкой  к  абсолютному  нулю.
Если  охлаждать  газообразный  гелий,  то  при
температуре  4,2°  К  он  будет  сжижаться.
Если  этот  жидкий  гелий  продолжать  охлаж¬
дать,  то  при  температуре  2,2°  К  его  свойства
внезапно  изменятся.  При  этом  происходят
макроскопические  явления,  совершенно  не
укладывающиеся  в  рамки  обычных  представ¬
лений.  К  примеру,  сосуд,  частично  запол¬
ненный  этой  странной  модификацией  жидкого
гелия  (называемой  гелием-II)  и  оставленный
не  закрытым,  вскоре  опорожнится  сам  собой.
Объясняется  это  тем,  что  жидкий  гелий  под¬
нимается  по  внутренней  стенке  сосуда  (не¬
зависимо  от  ее  высоты)  и  переливается  через
край  наружу.  По  той  же  причине  может
происходить  и  обратное  явление  (фиг.  225).
Если  пустой  стакан  частично  погрузить
в  жидкий  гелий,  то  он  быстро  заполнит  ста¬
кан  до  уровня  жидкости  снаружи.  Еще
одним  странным  свойством  чистого  жидкого
гелия-II  является  то,  что  он  не  передает
усилия  на  другие  тела.  Выходящий  из  бранд¬
спойта  под  большим  давлением  поток  такой
жидкости  не  мог  бы  опрокинуть  даже  постав¬
ленную  на  ребро  монету.  Жидкий  гелий  сво¬
бодно  обтекал  бы  монету,  не  оказывая  на  нее
никакого  усилия.  А  смогла  ли  бы  рыба  пла¬
вать  в  жидком  гелии-II?  Естественно,  нет,
потому  что  она  замерзла  бы.  Но  даже  вообра¬
жаемая  незамерзающая  рыба  не  смогла  бы
плыть,  потому  что  ей  не  от  чего  было  бы
отталкиваться.  Ей  оставалось  бы  полагаться
на  первый  закон  Ньютона.
 359

Формулируя  эти  удивительные  свойства
жидкого  гелия-II  на  языке  математики,  фи¬
зики  говорят,  что  его  вязкость  равна  нулю.
Остается  загадкой,  почему  вязкость  равна
нулю.  Подобно  сверхпроводимости,  удиви¬
тельные  свойства  жидкого  гелия  подверга¬
ются  сейчас  интенсивному  исследованию.
Значительных  успехов  удалось  достичь  в  на¬
правлении  теоретического  объяснения  сверх¬
текучести  жидкого  гелия-11  !).
 §  8.  Полупроводники
 С  РОСТОМ  ТЕМПЕРАТУРЫ  РАСТЕТ  СВОБОДА
 У  некоторых  неметаллических  ковалент¬
ных  кристаллов,  таких,  как  кремний  и  гер¬
маний,  волновые  функции  внешних  электро¬
нов  не  распространяются  на  весь  кристалл,
а  лишь  достигают  ближайших  соседних  ато¬
мов.  Однако  размеры  электронного  облака,
отвечающего  первому  возбужденному  состоя¬
нию  внешнего  электрона  в  атомах  кремния
и  германия,  оказываются  настолько  боль¬
шими,  что  отвечают  условию  распростра¬
нения  на  весь  кристалл.  А  как  мы  уже  видели,
если  размеры  электронного  облака  возра¬
стают  настолько,  что  охватывают  несколько
ядер  кристалла,  то  волновая  функция  ра¬
спространяется  на  весь  кристалл.  Если  все
электроны  кремния  и  германия  находятся
в  низших  энергетических  состояниях,  то  эти
элементы  представляют  собой  ковалентные
кристаллы,  или  изоляторы.  Однако  если  не¬
которые  из  внешних  электронов  переходят
в  первое  возбужденное  состояние  с  более
высокой  энергией  (называемое  полосой  про¬
водимости),  то  эти  электроны  оказываются
свободными  и  у  кристалла  появляется  спо¬
собность  проводить  электричество.  В  случае
германия  для  перевода  внешнего  электрона
в  полосу  проводимости  требуется  0,72  эв.
 п  Необычные  свойства  гелия-11  были  открыты
и  исследованы  П.  JI.  Капицей.  Заслуги  в  разработ¬
ке  теории  этой  квантовой  жидкости  принадлежат
J1.  Д.  Ландау,  удостоенному  за  труды  в  этой  об¬
ласти  Нобелевской  премии.—  Прим.  ред.
 360

При  комнатной  температуре  (kT=0,025  эв)
лишь  ничтожная  доля  электронов  обладает
такой  тепловой  энергией.  Но,  несмотря  на
это,  все  же  имеется  некоторое  количество
электронов  проводимости,  вследствие  чего
проводимость  германия  в  этом  случае
во  много  раз  превышает  проводимость  изо¬
лятора  или  германия  при  температуре  абсо¬
лютного  нуля.  Этим  и  объясняется,  почему
германий  называют  полупроводником.
 Проводимость  полупроводника  может
сильно  возрасти  благодаря  наличию  неболь¬
шого  количества  примесей.  Например,  не¬
сколько  миллионных  долей  мышьяка  могут
привести  к  увеличению  проводимости  герма¬
ния  при  комнатной  температуре  в  1000  раз.
Этот  результат  можно  понять,  сравнивая
строение  электронных  оболочек  мышьяка  и
германия  (см.  табл.  5).  Мышьяк  имеет  на
один  электрон  больше,  чем  германий,  и  вслед¬
ствие  принципа  Паули  этот  электрон  должен
находиться  в  ближайшем  состоянии  с  более
высокой  энергией.  Таким  образом,  внешний
электрон  атома  мышьяка,  вкрапленного  в
кристалл  германия,  должен  по-существу  на¬
ходиться  в  полосе  проводимости.  Германий
специально  изготовляют  с  контролируемой
примесью  мышьяка.  Это  так  называемый
л-германий  (от  negative  —  отрицательный).
Кроме  того,  выращивают  кристаллы  герма¬
ния  с  примесью  галлия.  Атом  галлия  захва¬
тывает  электрон  у  соседнего  атома  германия
оставляя  «дырку»,  или  вакансию,  которая  мо¬
жет  «перемещаться»  от  одного  атома  германия
к  другому.  Эта  дырка  ведет  себя  подобно
положительно  заряженному  носителю  тока.
Германий  с  примесью  галлия  называют  р-гер-
манием  (от  positive  —  положительный).
 Находящиеся  в  контакте  две  области
полупроводника  с  р-  и  л-примесями  пред¬
ставляют  собой  р—я-переход.  В  этом  случае
полупроводник  обладает  необычным  свойст¬
вом  —  его  электрическое  сопротивление  в
одном  направлении  оказывается  в  сотни
раз  больше,  чем  в  противоположном.  Подоб¬
ное  устройство  называется  кристаллическим
диодом,  причем  его  электрические  характе¬
 361

ристики  сходны  с  характеристиками  вакуум¬
ного  диода.
 Теория  полупроводников  была  настоль¬
ко  развита  еще  в  1949  г.,  что  это  позво¬
лило  Бардину,  Бреттэну  и  Шокли  изо¬
брести  кристалл,  действующий  подобно
вакуумному  триоду.  Затем  они  приступили
к  изготовлению  таких  полупроводниковых
кристаллов,  называемых  теперь  транзисто¬
рами.  Это  изобретение,  имевшее  огромное
техническое  значение,  было  бы  невозможно
при  отсутствии  теории  проводников  и  полу¬
проводников.  Транзистор  состоит  из  р—п—р-
или  п—р—/г-переходов  с  тремя  электричес¬
кими  контактами.  Во  многих  электронных
схемах  эти  миниатюрные  транзисторы  вы¬
теснили  триоды.  Их  преимуществом  явля¬
ется  отсутствие  подогревного  катода  и  воз¬
можность  питания  схем  низким  напряжением
от  небольших  батарей.
 Еще  одним  важным  свойством  полупро¬
водников  является  фотопроводимость.  Это
явление  можно  представлять  себе  как  фото¬
эффект,  происходящий  целиком  внутри  твер¬
дого  тела.  Фотоны  в  видимой  области  спект¬
ра  (или  даже  в  инфракрасной  области)  мо¬
гут  поглощаться  внешними  электронами,
находящимися  в  основном  состоянии.  Элект¬
рону  при  этом  сообщается  дополнительная
энергия,  равная  энергии  фотона  и  достаточ¬
ная  для  перевода  его  в  полосу  проводимости.
При  освещении  фотоэлемента  с  внутренним
фотоэффектом  его  электрическое  сопротив¬
ление  резко  уменьшается.
 Среди  многочисленных  применений  полу¬
проводников  мы  встречаем  также  солнечные
батареи.  При  освещении  кристаллического
диода  образуются  как  дырки,  так  и  свобод¬
ные  электроны.  Из-за  огромного  различия
сопротивления  токам,  текущим  через  р—rt-
переход  в  противоположных  направлениях,
дырочный  и  электронный  токи  оказываются
несимметричными.  В  одном  направлении  име¬
ется  избыточный  поток  отрицательного  за¬
ряда,  в  другом  —  положительного  заряда,
в  результате  чего  и  возникает  разность  по¬
тенциалов.
 362

Приложение  Вычисление  энергии  Ферми
 Рассмотрим  пустой  кубический  ящик  раз¬
мером  LxLxLy  находящийся  при  темпера¬
туре  абсолютного  нуля.  Если  в  этот  ящик
поместить  электрон,  то  вскоре  он,  излучая,
перейдет  на  низший  энергетический  уровень.
Второй  электрон  также  перейдет  на  низший
уровень.  Вследствие  принципа  Паули  тре¬
тий  электрон  будет  вынужден  занять  более
высокий,  или  второй,  энергетический  уро¬
вень.  Пятый  электрон  займет  третий  энерге¬
тический  уровень  и  т.  д.  Если  в  ящике  име¬
ется  всего  N  электронов,  то  энергия  Ферми
будет  просто  представлять  собой  энергию
уровня  с  номером  N/2.  Рассмотрим  электрон¬
ные  волны,  соответствующие  каждому  энер¬
гетическому  уровню,  подобно  тому,  как  это
мы  делали  в  случае  одномерного  ящика  на
стр.  316.  В  нашем  трехмерном  случае  данная
электронная  волна  будет  характеризоваться
тремя  квантовыми  числами  Nxt  Ny  и  Nг.
Как  указывалось  на  стр.  317,  квантовое  чис¬
ло  Nх  представляет  собой  число  стоячих  волн
по  оси  х  и  равно
 где  Рх—  проекция  на  ось  х  импульса  элект¬
рона.  Если  (£KHH)0  =  Pj/2m  —  энергия  Ферми,
то  Р0—  максимально  возможное  значение
Рх  любого  из  N  электронов  в  ящике.  Макси¬
мальное  значение  Nx,  соответствующее  запол¬
ненному  состоянию,  в  этом  случае  равно
(Nx)0  =  2LP0/h.  Такие  же  соотношения  имеют
место  и  для  N  и  Nг.  Чтобы  получить  полное
число  занятых  состояний,  нам  надо  сосчитать
все  возможные  комбинации  из  трех  чисел
NХу  Ny  и  Nz  в  пределах  верхней  границы
2LPJh.  Такой  подсчет  будет  крайне  утоми¬
тельным,  если  мы  не  воспользуемся  фиг.  226,
на  которой  для  удобства  вдоль  оси  х  через
каждый  сантиметр  мы  отметили  Nx,  вдоль  оси
у  отметили  Nу,  а  вдоль  оси  z  отметили  Nг.
В  этом  случае  каждое  возможное  состояние
(или  комбинация  трех  целых  чисел)  представ¬
ляется  единственной  точкой  в  пространстве.
 363
 Фиг.  226.  Верхний  квадрант  сферы
радиусом

Задачи
 Эти  точки  образуют  кубики  со  сторо¬
ной  1  см.  Заметим,  что  число  таких  кубиков
равно  числу  точек.  Теперь  воспользуемся
тем,  что  заполненные  состояния  лежат  внут¬
ри  радиуса  R=2LP0/h.  Полное  число  заня¬
тых  состояний  в  этом  случае  численно  равно
числу  кубиков  в  пространстве,  ограничен¬
ном  сферической  поверхностью  на  фиг.  226.
Поскольку  на  фигуре  изображена  */8  всего
объема  сферы,  то  полное  число  состояний
равно
 1. 	Как  меняется  с  температурой  сопротивление
полупроводника  —  увеличивается  или  уменьшается?
 2. 	Что  должно  сильней  зависеть  от  темпера¬
туры  —  сопротивление  чистого  металла  или  сопро¬
тивление  полупроводника?
 3. 	Сколько  электронов  проводимости  прихо¬
дится  на  1  г  натрия?  Сколько  электронов  проводи¬
мости  в  1  г  германия  с  примесью  мышьяка  4»10~в  г?
 4. 	Сосуд  диаметром  1  см  содержит  жидкий  ге-
лий-П,  причем  высота  столба  жидкости  5  см.  Через
сколько  времени  после  удаления  крышки  вся  жид¬
кость  вытечет  из  сосуда?  Скорость  вытекания
50  см!сек,  толщина  пленки  10*5  см.
 364
 Поскольку  в  каждом  состоянии  имеется  два
электрона,  то  полное  число  электронов
 где  1/=L*  —  объем  ящика.  Решая  относи¬
тельно  Р0,  получаем
 Подставляя  этот  результат  в  выражение
(£кин)о  =  P'JZm,  имеем

5. 	Количество  солнечной  энергии,  падающей  в
виде  излучения  на  поверхность  Земли,  составляет
 2 	кал/см2  в  1  мин.  Какую  площадь  должна  иметь
солнечная  батарея  с  эффективностью  20%  мощно¬
стью  100  вт>
 6. 	Потенциал  притяжения  электронов  для  не¬
коего  металла  равен  U0.  Длина  волны  К  электрона
вне  металла  составляет  10  А.  В  металле  длина  волны
электрона  становится  равной  4  А.  Чему  равно  UQ
(в  эв)?
 7. 	Какова  теплота  образования  (в  кал)  1  моля
газообразного  КС1  из  атомов  К  и  С1?
 8. 	Работа  выхода  для  металлического  лития
равна  2,36  эв.  Какова  величина  U0  для  лития?
 9. 	Металл  А  имеет  U0=  4,  а  (£КИн)о  ==  3  эв.  Металл
В  имеет  U0=  3,5,  а  (£кин)о  =  2  эв.  Если  соединить
оба  металла,  то  электроны  будут  переходить  из  од¬
ного  в  другой,  пока  энергии  Ферми  не  станут  одина¬
ковы.  Какой  из  металлов  приобретет  положитель¬
ный  потенциал  относительно  другого?
 10. 	Расстояние  между  двумя  протонами  в  Н*
равно  1,06  А.  Каким  будет  расстояние  между  про¬
тонами,  связанными  ц~-мезоном  (ц~-мезон  в  207  раз
тяжелее  электрона)?
 11. 	В  гипотетическом  тяжелом  ядре  а-частица  испы¬
тывает  1022  столкновений  в  1  сек  с  потенциальным
барьером,  а  фвнеш/\|)внухр  =  10”15.  Какова  вероят¬
ность  того,  что  это  ядро  распадется  на  протяжении
одного  года?
 12. 	Квантовые  числа  электрона  в  кубическом
ящике  со  стороной  L  равны  Nx,  Ny  и  N2.
 а) 	Напишите  уравнения,  выражающие  про¬
екции  импульса  электрона  на  оси  х,  у  и  z  через
L,  m,  Л  и  квантовые  числа.
 б) 	Выразите  энергию  электрона  через  Л,  т,
L,  Nx,  Ny  к  Nz.
 (Указание.  Р2  =  Р\  +  Р\  +  Р\.)
 13. 	Решение  задачи  12,6:  W  =  (h2l8mL2)  (Аг*  +
-WV*  +‘ЛГ*).  Вычислите  пять  низших  энергетических
уровней  (в  эв)  в  ящике  с  L  =  10“*7  см.
 14. 	Повторите  решение  задачи  12  для  прямо¬
угольного  ящика  со  сторонами  Lx,  Ly  и  Lz.

ГЛАВА  15
 ЯДЕРНАЯ  ФИЗИКА

ЯДЕРНАЯ  ФИЗИКА  §  1.  Свойства  ядер
 Радиус  ядра
 АТОМЫ  В  МИНИАТЮРЕ
 Эта  глава  посвящена  в  основном  описанию
свойств  и  строения  атомных  ядер.  Как  мы
увидим,  протоны  и  нейтроны  очень  сходны
между  собой.  Поэтому  для  обозначения  обеих
частиц  используют  один  термин  «нуклон».
Мы  хотели  бы  объяснить  строение  ядра  по
аналогии  со  строением  атома,  а  именно
представить  ядро  как  систему  нуклонов,
движущихся  по  определенным  орбитам,  по¬
добным  электронным  орбитам  в  атоме.
В  идеале  хотелось  бы  иметь  возможность  в
принципе  вычислять  массу  данного  ядра,
его  спин,  магнитный  момент,  энергии  связи
нуклонов,  входящих  в  его  состав,  и  энергии
возбужденных  состояний.  Для  достижения
этой  цели  необходимо  в  точности  знать  силы,
действующие  между  двумя  нуклонами.  К
сожалению,  эти  силы  оказываются  отнюдь
не  столь  простыми,  как  электрические  силы,
и  до  сих  пор  неизвестны  с  достаточно  высокой
точностью.  И  тем  не  менее  в  объяснении  стро¬
ения  ядра  достигнуты  значительные  успехи,
и  многие  из  свойств  ядер  можно  предсказать,
по  крайней  мере  .приближенно.
 Прежде  чем  приступить  к  обсуждению
современного  состояния  данных  о  силах,
действующих  между  нуклонами,  и  строении
ядер,  мы  перечислим  некоторые  свойства
ядер,  известные  из  опыта.  Прежде  всего,
насколько  мало  ядро?  Размеры  ядра  можно
определить  следующим  образом.  Будем  бом¬
бардировать  атом  электронами  высокой  энер¬
гии  и  отмечать,  сколько  из  них  испытывают
прямое  попадание.  Оказывается,  что  в  ядре
с  массовым  числом  А  (т.  е.  суммой  чисел
нейтронов  и  протонов)  почти  все  нуклоны
плотно  упакованы  в  пределах  радиуса
 R  =  192-10-”A'I*cm. 	(15.1)
 Это  соотношение,  как  показывают  опыты,
выполняется  достаточно  точно  для  всех  ядер,
за  исключением  самых  легких.  Отметим,  что
поскольку  объем  пропорционален  R3,  он
 366

(15.2)
 Фиг.  227.  Зависимость  эксперимен¬
тальных  значений  удельной  энергии
связи  от  массового  числа  А.
 Умножая  это  число  на  массу  одного  нуклона,
1,67-10~24  г,  получаем  плотность
 D  =  2,3*  1014  г/см3.
 Таким  образом,  1  см3  ядерного  вещества  весил  бы
230  млн.  т.
 Подобно  электронам  в  атоме,  нуклоны
удерживаются  в  ядре  силами  притяжения.
Эти  силы  должны  быть  достаточно  большими,
чтобы  преодолеть  кулоновское  отталкивание
 369
 пропорционален  числу  нуклонов  А  в  первой
степени.  Таким  образом,  согласно  формуле
(15.1),  все  ядра  независимо  от  их  размера
должны  иметь  одинаковую  плотность.
 Пример.  Какова  плотность  ядерного  вещества,
выраженная  числом  нуклонов  в  1  см3  и  в  г/сл!3?
Число  частиц  в  1  смъ  N  =  А/V;  согласно  (15.1),
объем  ядра
 Таким  образом,

протонов.  Они  называются  ядерными  и  будут
рассмотрены  в  §  2.  Из  опыта  известно,  что
у  легких  ядер  энергия  связи,  приходящаяся
на  один  нуклон,  или  удельная  энергия  связи,
возрастает  с  увеличением  А  (фиг.  227).
Мы  могли  ожидать  подобный  эффект  как
следствие  сложения  сил;  связь  отдельного
нуклона  оказывается  более  сильной,  если
он  притягивается  не  одним  или  двумя,  а
сразу  несколькими  нуклонами.  Однако  в
области  за  А  =80  удельная  энергия  связи
постепенно  уменьшается  с  ростом  А.  Это
обстоятельство  говорит  о  том,  что  силы  ядер-
ного  притяжения  имеют  малый  радиус  дейст¬
вия  (порядка  поперечника  отдельного  нук¬
лона).  За  пределами  этого  радиуса  господ¬
ствуют  силы  электростатического  оттал¬
кивания.  Ядра,  расположенные  в  области
А  =80,  оказываются  наиболее  прочными.
 Следствием  такой  зависимости  удельной
энергии  связи  от  А  являются  процессы  син¬
теза  и  деления  ядер.  Рассмотрим  сначала,
что  происходит  при  соединении  электрона
с  протоном.  В  этом  случае  выделяется  энер¬
гия,  равная  13,6  эв,  а  масса  атома  водорода
оказывается  на  13,6  эв1)  меньше  суммы  масс
свободного  электрона  и  протона.  Аналогично,
масса  или  энергия  покоя  двух  легких  ядер
будет  больше  массы  комбинации  этих  ядер.
Если  эти  ядра  удастся  соединить,  то  они
«сольются»  и  при  этом  выделится  энергия,
соответствующая  разности  масс.  Такой  про¬
цесс  называют  синтезом  ядер.  В  §  5  мы  уви¬
дим,  что  упоминавшаяся  разность  масс  мо¬
жет  превысить  0,5%.  С  другой  стороны,  если
тяжелое  ядро  расщепляется  на  два  более
легких  ядра,  то  масса  двух  осколков  будет
меньше  массы  родительского  ядра  на  0,1%.
Таким  образом,  у  тяжелых  ядер  существует
тенденция  к  делению  на  два  более  легких
ядра  с  выделением  энергии.  Энергия  атом¬
ной  бомбы  и  ядерного  реактора  есть  не  что
иное,  как  энергия,  высвобождающаяся  при
делении  ядер.  Энергия  водородной  бомбы
 г) 	В  физике  принято  использовать  энергию  в  ка¬
честве  единицы  массы.  Величину  массы  можно  всегда
найти  с  помощью  соотношения  M  —  Wjc2.

представляет  собой  энергию,  высвобождаю¬
щуюся  при  синтезе.
 Альфа-распад  (см.  гл.  14,  §  5)  можно  упо¬
добить  крайне  асимметричному  делению,
при  котором  родительское  ядро  М  расщепля¬
ется  на  небольшую  а-частицу  и  большое
конечное  ядро  М'.  Альфа-распад  возможен
лишь  при  условии,  что  в  реакции
 М—►М'  +  а
 масса  М  превышает  сумму  масс  М'  и  а-час-
тицы.  В  этом  случае  ядро  оказывается  радио¬
активным  и  может  претерпевать  а-распад.
Оказывается,  что  М>М'+М(Х  для  всех  ядер
с  Z>82  (свинец).  При  Z^92  (уран)  времена
жизни  относительно  а-распада  становятся
существенно  меньше  возраста  Земли.  Этим
объясняется  отсутствие  подобных  элементов
в  природе.  Но  такие  элементы  могут  быть
искусственно  созданы  человеком.  Например,
плутоний  (Z=94)  можно  получить  из  урана
в  ядерном  реакторе.  Подобная  процедура
сейчас  стала  общепринятой,  и  обходится
она  в  15  долларов  за  1  г.  До  последнего  вре¬
мени  были  получены  элементы  вплоть  до
Z=  103,  однако  обходится  это  очень  до¬
рого  и  получают  их  обычно  в  совершенно
ничтожных  количествах.  Можно  ожидать,
что  радиохимикам  в  конце  концов  удастся
создать  очень  малые  количества  новых  эле¬
ментов  и  с  Z>103.
 Возбуждаясь,  электроны  в  атоме  мо¬
гут  переходить  на  «орбиты»  с  более  высо¬
кой  энергией  или  на  возбужденные  энер¬
гетические  уровни.  Точно  так  же  нукло¬
ны  в  ядре  могут  возбуждаться  и  переходить
на  «орбиты»  с  более  высокой  энергией.  Та¬
ким  образом,  каждое  ядро  характеризуется
набором  энергетических  уровней,  располо¬
женных  над  основным  уровнем.
 На  фиг.  228  изображены  энергетические
уровни  ядрафосфора  (Р81)  и  у-переходы  в  этом
ядре.  Схема  энергетических  уровней  ядра  об¬
наруживает  те  же  особенности,  что  и  схема
энергетических  уровней  атома,  изображенная
на  фиг.  210  (стр.  328).  Возбужденное  ядро  мо¬
жет  переходить  на  более  низкие  энергети-
 371

Фиг.  228.  Энергетические  уровни
ядра  Р*1  и  у-переходы  в  этом  ядре.
 Каждая  горизонтальная  линия  изобра¬
жает  возбужденное  состояние  ядра  Р31.

ческие  уровни,  испуская  при  этом  фотон
(называемый  в  ядерной  физике  у-квантом).
Например,  если  нейтрон  попадает  в  ядро
U238  (индекс  указывает,  что  А  =  238),  то
образуется  ядро  (U239)*,  причем  звездочка
означает  возбужденное  состояние  изотопа
 где  у  —  испускаемый  у-квант.  Каждое  воз¬
бужденное  состояние  ядра,  конечно,  харак¬
теризуется  своей  энергией,  спином  и  маг¬
нитным  моментом.  Измерения  этих,  а  также
других  величин  для  огромного  количества
возбужденных  состояний  более  чем  1000
различных  изотопов  и  составляет  занятие
физиков-экспериментаторов  и  радиохимиков.
Результаты  подобных  измерений  имеют  прак¬
тическое  значение,  а  также  расширяют  наши
представления  о  строении  ядер  и  ядерных
силах.
 §  2.  Радиоактивный  распад
 никто  НЕ  ПОРУЧИТСЯ,  КОГДА  ЭТО  СЛУЧИТСЯ
 Широкий  класс  физических  явлений  об¬
наруживает  свойство,  называемое  экспонен¬
циальным  распадом.  До  сих  пор  мы  останав¬
ливались  на  двух  явлениях  подобного  рода:
а-распаде  тяжелого  ядра  и  испускании
у-кванта  или  фотона  возбужденным  ато¬
мом  (см.  гл.  13)  или  ядром  (§  1  настоящей
главы).  В  каждом  из  этих  случаев  сущест¬
вует  определенная  вероятность  распада  в
единицу  времени.
 Из  §  5  гл.  14  мы  помним,  что  распад
ядра  U238  по  закону  случая  обусловлен
волновой  природой  вещества.  Вероятность
обнаружить  а-частицу  вне  ядра  пропорцио¬
нальна  СФв„еш)2  (см.  фиг.  222).  Природа  ве¬
роятности  такова,  что  если  данное  ядро  благо¬
даря  редкой  случайности  не  испытало  распада
на  протяжении  большого  числа  периодов  по¬
лураспада,  то  эта  предыстория  ни  в  коей  мере
не  скажется  на  вероятности  распада  в  буду¬
щем.  Это  же  справедливо  и  для  бросания
монеты.  Если  у  вас  пять  раз  подряд  выпала
 373

Фиг.  229.  Кривая  радиоактивного
распада.
 По  вертикальной  оси  отложено  число  ра¬
диоактивных  атомов  N,  не  испытавших
распада  за  время  t,  а  по  горизонтальной
оси  —  время  t  в  единицах  среднего  вре¬
мени  жизни  т.
 решетка,  то  вероятность  выпадания  снова
решетки  при  шестом  бросании  останется  рав¬
ной  1/2.  Мы  не  можем  предсказать,  когда
произойдет  распад  данного  ядра.  Вероят¬
ность  распада  для  ядер  одного  сорта  всегда
одна  и  та  же,  независимо  от  их  возраста.
Например,  вероятность  распада  любого  вы¬
бранного  ядра  U238  на  протяжении  одного
года  равна  1/(6,5*109).  Для  промежутка  At
лет  вероятность  распада  составит
 (15.3)
 Воспользовавшись  этой  вероятностью,  мо¬
жно  вычислить  среднюю  продолжительность
жизни  ядра  U238.  Она  дается  величиной,
стоящей  в  знаменателе  (15.3),  т.е.  6,5  •  109  лет.
Это,  по  определению,  и  есть  среднее  время
жизни  т.  Вероятность  распада  за  время
At  выражается  через  среднее  время  жизни
(лет)  следующим  образом:
 (15.4)
 Как  мы  сейчас  увидим,  эта  формула  спра¬
ведлива  только  в  том  случае,  когда  At  много
меньше  т.  Согласно  ей,  если  А^=т/10,  то
распаду  каждого  ядра  отвечает  один  шанс
из  десяти.  Если  первоначально  имелось
1000  атомов  U2*8,  то  примерно  100  из  них
распадутся  за  т/10=650  млн.  лет.  В  следую¬
щие  650  млн.  лет  распадутся  примерно  90
из  оставшихся  900  атомов.  В  третьем  интер¬
вале  длительностью  650  млн.  лет  распадется
примерно  81  атом  из  оставшихся  810  и  т.  д.
Число  атомов,  не  претерпевших  распада  на
протяжении  времени  /,  графически  изобра¬
жается  кривой  на  фиг.  229.  Эта  кривая  мо¬
жет  быть  точно  рассчитана  математически.

Фиг.  230.  Кривая  радиоактивного
распада.
 Изображена  зависимость  числа  не  испы¬
тавших  распада  атомов  от  времени  на
протяжении  четырех  периодов  полурас¬
пада  Т.
 N
 Результат  имеет  вид
 (15.5)
 где  N0—  начальное  число  нестабильных  час¬
тиц  со  средним  временем  жизни  т.  Постоян¬
ная  е  часто  встречается  в  математике  и  опре¬
деляется  следующим  образом:
 К  концу  промежутка  времени,  равного  двум
периодам  полураспада  (t=2T)t  останется
V4  частиц;  к  концу  трех  периодов  полу¬
распада  —  V8,  и  т.  д.  Кривая,  описываемая
(15.7),  изображена  на  фиг.  230.  Кривые  рас¬
пада,  изображенные  на  этом  и  предыдущем
графиках,  носят  название  экспоненциальных
кривых  распада.
 Вероятность  испускания  фотона  ядром,
находящимся  в  возбужденном  состоянии,
^можно  вычислить  с  помощью  квантовой  меха¬
ники.  Таким  образом,  каждому  возбужден¬
ному  состоянию  ядра  фосфора  (см.  фиг.  228)
 375
 Ее  численное  значение  е=2,718...  .
 Какая  величина  t/x  соответствует  распаду
половины  частиц?  Это  значение  t,  названное
нами  ранее  периодом  полураспада,  мы  будем
обозначать  через  Т.  Согласно  (15.5),  имеем
 По  таблице  логарифмов  находим,  e~0,693=V2.
Таким  образом,  7Ут=0,693,  или  период
полураспада  равен
 Отметим,  что  период  полураспада  U238  ра¬
вен  7=0,693  *6,5-109  лет  =  4,5  млрд.  лет.
Если  подставить  величину  т=  770,693  в  фор¬
мулу  (15.5),  то  получим

сопоставляется  определенный  период  полу¬
распада.  Аналогичный  расчет  позволяет  полу¬
чить  период  и  вероятность  «распада»  атома
водорода  в  состоянии  N=2,  1=1.  В  данном
случае  атом  испускает  фотон  и  переходит  в
свое  основное  состояние.
 Оказывается,  что  вероятность  испуска¬
ния  фотона  равна  Д^/1,6*10~9  при  условии,
что  Дt  выражено  в  секундах.  Таким  обра¬
зом,  период  полураспада  газообразного  водо¬
рода,  все  атомы  которого  находятся  в  воз¬
бужденном  состоянии  с  N=2,  /=1,  равен
1,1  •  10~9  сек.
 §  3.  Радиоизотопы
 «РУКОТВОРНЫЕ*  ЯДРА
 Не  встречающиеся  в  природе  новые  изо¬
топы  можно  получить,  бомбардируя  природ¬
ные  изотопы  нейтронами.  В  противополож¬
ность  заряженным  частицам,  нейтроны  при
прохождении  через  вещество  теряют  незна¬
чительную  энергию  и  могут  легко  проникать
в  атомные  ядра.  Довольно  часто  при  соударе¬
нии  с  ядром  нейтрон  поглощается  им.  При
этом  образуется  новый  изотоп,  содержащий
один  лишний  нейтрон  и  находящийся  на
возбужденном  энергетическом  уровне.  Об¬
разовавшееся  возбужденное  ядро  испытывает
затем  обычно  у-распад  и  переходит  в  основ¬
ное  состояние.  Довольно  часто  основное
состояние  также  оказывается  радиоактив¬
ным.  Изотопы,  основные  состояния  которых
радиоактивны,  называются  радиоизотопами.
В  качестве  примера  рассмотрим  бомбарди¬
ровку  нейтронами  U238.  При  поглощении
нейтрона  ядром  U2  38  образуется  радиоизо¬
топ  U239  в  возбужденном  состоянии,  которое
мы  обозначаем  звездочкой  (U239)*:
 ■v  +  u238  —(U239)*.
 Впоследствии  возбужденное  ядро  может  ис¬
пытать  у-распад,  переходя  в  основное  состоя¬
ние
 (U289)*  —Uf,,  +  Y-
 376

Новый  радиоизотоп  U2*9  в  природе  не  встре¬
чается.  Он  испытывает  p-распад  с  периодом
в  24  мин  и  превращается  в  конечное  ядро  с
Z=93  (нептуний):
 U239  —к  Np239 	v.
 Обозначение  e~+v  и  механизм  p-распада  бу¬
дут  обсуждаться  в  гл.  16.  Конечное  ядро
Np239  также  оказывается  неустойчивым  по
отношению  к  Р-распаду.  Оно  превращается
с  периодом  2,3  дня  в  плутоний*  (Z=94):
 Np23i-*Pu239  +  <r+v.
 В  январе  1934  г.  у  Энрико  Ферми  возник¬
ла  мысль,  что  искусственную  радиоактив¬
ность  можно  было  бы  получить,  бомбардируя
различные  вещества  нейтронами.  Вместе  со
своей  римской  группой  Ферми  провел  сис¬
тематическое  облучение  всех  элементов,  ко¬
торые  им  удалось  достать,  в  порядке  воз¬
растания  атомного  номера.  К  маю  1934  г.
они  добрались  до  урана.  Но  обнаружили  они
не  только  период  Р-распада  U239,  но  и  слож¬
ную  смесь  других  периодов  полураспада.  Им
казалось,  что  они,  вероятно,  получили  один
или  несколько  трансурановых  элементов  при
превращении  U239  в  ядро  с  Z=93  за  счет
Р-распада  и  что,  по-видимому,  этот  элемент
также  испытывает  Р-распад,  превращаясь  в
элемент  cZ=94,  и  т.  д.  В  то  же  время  Ферми
говорил,  что  он  не  вполне  понимает  получен¬
ные  результаты.
 Ферми  не  знал,  что  причиной  запутан¬
ности  его  результатов  было  следующее  об¬
стоятельство.  Некоторые  из  возбужден¬
ных  ядер  U239  испытывали  деление,  и  мно¬
гочисленные  продукты  этого  процесса  явля¬
лись  причиной  появления  большого  чис¬
ла  разнообразных  периодов  полураспада.
Если  бы  Ферми  удалось  полностью  объяс¬
нить  свои  результаты,  весь  мир,  включая
и  Гитлера,  уже  тогда,  в  1934  г.,  знал  бы
о  возможности  создания  атомной  бомбы.
 В  декабре  1938  г.  Ферми  была  присужде¬
на  Нобелевская  премия  за  работу,  содер¬
жавшую  открытие  этих  новых  изотопов  и
методов  их  получения.  Поскольку  семья
 377

August  2nd,  1930
 F.D.  Roosevelt,
 President  of  the  Uhlted  States»
 White  House
Washington,  D.C.
 Sirs
 Some  recent  work  Ъу  E.Fermi  and  L.  Szilard,  which  has  been  com¬
municated  to  me  in  manuscript,  leads  me  to  expect  that  the  element  uran¬
ium  may  be  turned  into  a  new  and  important  source  of  energy  in  the  Im¬
mediate  future.  Certain  aspects  of  the  situation  which  has  arisen  seem
to  call  for  watchfulness  and,  If  necessary,  quick  action  on  the  part
of  the  Administration.  I  believe  therefore  that  it  is  my  duty  to  bring
to  your  attention  the  following  facts  and  recommendations:
 In  the  course  of  the  last  four  months  it  has  been  made  probable  -
through  the  work  of  Jollot  in  Prance  as  well  as  Fermi  and  Szilard  in
America  -  that  it  may  become  possible  to  set  up  a  nuclear  chain  reaction
in  a  large  mass  of  uranium,by  which  vast  amounts  of  power  and  large  quant¬
ities  of  new  radium-like  elements  would  be  generated.  How  it  appears
almost  certain  that  this  could  be  achieved  in  the  immediate  future.
 This  new  phenomenon  would  also  lead  to  the  construction  of  bombs»
and  it  is  conceivable  -  though  much  less  certain  -  that  extremely  power¬
ful  bombs  of  a  new  type  may  thus  be  constructed.  A  single  bomb  of  this
type»  carried  by  boat  and  exploded  in  a  port,  might  very  well  destroy
the  whole  port  together  with  some  of  the  surrounding  territory.  However,
 I  understand  that  Germany  hae  actually  stopped  the  sale  of  uranium
from  the  Czechoslovakian  mines  which  she  has  taken  over.  That  she  should
have  taken  such  early  action  might  perhaps  be  understood  on  the  ground
that  the  son  of  the  German  Under-Secretary  of  State,  von  Welzsacker»  is
attached  to  the  Kaiser-Wilhelm-Institut  in  Berlin  where  some  of  the
American  work  on  uranium  is  now  being  repeated.
 Yours  very  truly*
 У
 (Albert  Einstein)
 Фиг.  231.  Письмо  Альберта  Эйнштейна
президенту  Франклину  Рузвельту.
 Из  библиотеки  Франклина  Д.  Рузвельта.

лауреата  обычно  сопровождает  его  в  Швецию,
Ферми  представилась  блестящая  возможность
вывезти  близких  из  фашистской  Италии.  Пос¬
ле  получения  премии  Ферми  направился  в
США.  Вскоре  по  прибытии  в  США  ему  стало
известно  об  открытии  деления,  и  он  выпол¬
нил  одну  из  первых  работ,  приведших  впос¬
ледствии  к  созданию  атомной  бомбы.  Важ¬
ность  работы  Ферми  отмечается  в  знаменитом
письме  Эйнштейна  президенту  Рузвельту
(фиг.  231).
 Использование  радиоизотопов  в  промыш¬
ленности,  медицине,  сельском  хозяйстве  и
исследовательской  работе  получило  широкое
распространение  и  приобрело  большое  эко¬
номическое  значение.  Радиоизотопы  позво¬
ляют  «метить»  небольшие  образцы  биологи¬
ческих  и  искусственных  материалов.  Это
дает  возможность  изучать  биологические  и
промышленные  процессы,  следя  за  мечеными
веществами  с  помощью  детекторов  излучения.
Можно,  к  примеру,  пометить  гены  в  хромо¬
соме.  Получающиеся  в  результате  этого
данные  о  расположении  генов,  расщеплении
и  слиянии  хромосом  имеют  неоценимое  зна¬
чение  для  генетики.
 §  4.  Биологическое  воздействие
излучения
 можно  ПОГИБНУТЬ  ОТ  НЕВИДИМОГО
 Проходя  через  вещество,  заряженные  час¬
тицы  сталкиваются  с  атомными  электронами
и  оставляют  за  собой  цепочку  ионов.  Проис¬
ходит  разрушение  или  повреждение  молекул
живой  ткани.  Характер  и  последствия  этих
явлений  представляют  больший  интерес  для
биологов,  нежели  для  физиков.  Однако  из-за
всеобщего  интереса  и  важности  вопроса  мы
приведем  некоторые  основные  данные.  Во¬
просы,  относящиеся  к  биологическому  воз¬
действию  излучения,  важны  для  всех,  кто
интересуется  проблемами  гражданской  обо¬
роны,  военной  стратегией,  внешней  поли¬
тикой,  ядерной  энергетикой,  испытаниями
 379

ядерного  оружия,  применением  радиоизото¬
пов,  ядерными  исследованиями  и  т.  д.
 На  практике  при  контроле  уровня  излу¬
чения  в  качестве  единицы  дозы  излучения
принят  рад.  Эта  единица  определяется  сле¬
дующим  образом:  если  1  г  биологической
ткани  сообщается  доза  излучения  в  1  рад,
то  при  этом  в  ткани  поглощается  энергия
(в  форме  энергетических  потерь  ионизующих
частиц),  равная  100  эрг:
 1  рад  соответствует  поглощению  100  эрг/г.
 Рад  представляет  собой  видоизменение  ста¬
рой  единицы,  названной  рентгеном  (р)
 1  р  соответствует  поглощению  83  эрг\г.
 Оценим  теперь  дозу  излучения,  создаваемую
космическими  лучами  на  протяжении  года.
Из  опыта  известно,  что  быстрая  заряженная
частица  при  прохождении  1  см  воды  теряет
около  2  Мэе.  Поток  космических  лучей  на
уровне  моря  выделяет  ежегодно  около  4  эрг
на  1  г  воды.  Таким  образом,  естественный
уровень  излучения,  соответствующий  косми¬
ческим  лучам,  составляет  около  0,04  рад
в  год,  или  3  рад  на  протяжении  жизни  чело¬
века  (70  лет).  Сравнимое  количество  излуче¬
ния  создается  естественными  радиоактив¬
ными  изотопами,  которые  содержатся  в  поч¬
ве  и  горных  породах.  Таким  образом,  пол¬
ная  фоновая  доза,  обусловленная  природ¬
ными  источниками,  составляет  около  0,1  рад
в  год,  или  7  рад  на  протяжении  жизни.
 Смертельная  доза
 Если  человек  за  короткий  промежуток
времени  получит  дозу  в  400  рад,  распреде¬
ленную  по  всему  телу,  то  ее  биологическая
опасность  оказывается  столь  высокой,  что
имеется  примерно  50%  шансов  за  то,  что  ин¬
дивидуум  погибнет.  Это  количество  излу¬
чения  называется  смертельной,  или  леталь¬
ной,  дозой:
 Смертельная  доза  =  400  рад.
 Доза,  составляющая  примерно  200  рад,
вызывает  лучевую  болезнь.  Поскольку  неко¬

торые  ткани  способны  восстанавливаться,  ин¬
дивидуум,  получивший  дозу  в  400  рад  на
протяжении  нескольких  лет,  по  всей  веро¬
ятности,  останется  в  живых,  хотя  состояние
его  здоровья  может  значительно  ухудшиться.
 «Допустимая»  доза
 Различные  промышленные  и  исследова¬
тельские  работы  связаны  с  применением
радиоактивных  материалов.  В  1957  г.  Меж¬
дународная  Комиссия  по  радиологической
защите  установила  в  качестве  предельно
допустимой  дозы  для  работающих  с  излуче¬
нием  5  рад  в  год,  или  100  мрад  в  неделю:
 Предельно  допустимая  доза  =  5  д
для  работающих  с  излучением 	^
 Отметим,  что  при  50-летнем  периоде  работы
предельно  допустимая  доза  почти  в  40  раз
превысит  дозу,  получаемую  от  естественного
излучения.
 Предельно  допустимая  доза  для  основ¬
ного  населения  принимается  равной  10%
дозы  для  лиц,  подвергающихся  профессио¬
нальному  облучению1):
 Предельно 	рад  и!  п°ротяже-
 для  населения  нии  всей  жизни
 Эта  величина  почти  в  4  раза  превышает  дозу,
создаваемую  естественным  излучением.  В
США  основным  излучением,  сравнимым  с
естественным  фоновым  излучением,  являет¬
ся  рентгеновское  излучение,  применяемое  в
медицине.  В  1960  г.  средний  уровень  излу¬
чения,  обусловленный  испытаниями  ядерно-
го  оружия,  был  на  порядок  величины
меньше.
 Распространено  ложное  мнение  о  том,
что  уровень  излучения  ниже  предельно  до¬
пустимой  дозы  не  вызывает  поражений.  В
действительности  же,  любой  уровень  излуче¬
ния  сопряжен  с  биологической  опасностью.
 Х)  В  соответствии  с  рекомендациями  Междуна¬
родной  Комиссии  по  радиологической  защите  (Мюн¬
хен,  1959  г.),  в  СССР  санитарными  правилами  уста¬
новлена  предельно  допустимая  доза  облучения  для
основного  населения  —  1%  от  дозы  профессиональ¬
ного  облучения.—  Прим.  ред.
 381

Подвергшиеся  мутациям  под  действием  из¬
лучения  хромосомы  будут  воспроизводиться
в  уже  измененной  форме.  В  генетике  много
неопределенного,  однако  твердо  установле¬
но,  что  скорость  естественных  мутаций  опре¬
деляется  естественной  радиоактивностью,  и
любое  увеличение  интенсивности  излучения,
каким  бы  незначительным  оно  ни  было,  ска¬
жется  в  увеличении  этой  скорости.  Скорость
естественных  мутаций  у  людей  настолько
велика,  что  приводит  к  серьезным  аномалиям
в  3%  случаев  рождений.  Поэтому  следует
опасаться  ядерного  вооружения  не  только
из-за  огромного  ущерба,  который  термоядер¬
ная  война  может  нанести  воюющим  сторонам,
но  и  вследствие  сопутствующего  ей  увеличе¬
ния  уровня  излучения  на  всем  земном
шаре,  которое  отразится  на  всех  народах
мира.
 §  5.  Силы,  действующие  между
двумя  нуклонами
 ЭЛЕМЕНТАРНОЕ  ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ  В  ЯДЕРНОМ
«АТОМЕ*
 Основной  целью  физики  является  объяс¬
нение  всех  физических  явлений  на  основе
небольшого  числа  простейших  основных  зако¬
нов.  Так  как  материальные  тела  построены
из  электронов  и  ядер,  то  до  сих  пор  мы  шли
по  пути  изучения  основных  типов  взаимо¬
действия  электронов,  ядер  и  фотонов.  Мы
видели,  что  такой  подход  позволяет  достиг¬
нуть  значительных  успехов.  Он  дал  полное
(хотя  и  сложное  в  описании)  объяснение
строения  вещества  и  соответствующих  взаи¬
модействий.  На  самом  деле,  современная
квантовая  электродинамика  настолько  со¬
вершенна,  что  в  приложении  к  атомной  фи¬
зике  предсказываемые  ею  результаты  ока¬
зываются  значительно  точнее  эксперимен¬
тальных  данных.  До  последнего  времени  не
удавалось  установить  расхождение  теории  с
опытом,  несмотря  на  то,  что  точность  неко¬
торых  экспериментальных  результатов  пре¬
вышала  одну  десятимиллионную  (10~7).

С  другой  стороны,  квантовой  электроди¬
намике  не  удается  объяснить  строение  атом¬
ного  ядра,  которое,  как  известно,  состоит
из  протонов  и  нейтронов.  Чтобы  объяснить,
что  так  прочно  связывает  протоны  внутри
ядра,  необходимо  ввести  силы  нового  типа.
Для  преодоления  электростатического  оттал¬
кивания  протонов  эти  силы  должны  превос¬
ходить  по  своей  величине  электростатичес¬
кие  силы.  Эти  новые  силы,  называемые  ядер-
ными  силами  (или  сильным  взаимодействием),
грубо  говоря,  в  сотни  раз  превышают  элект¬
ростатические.
 Если  не  учитывать  слабое  электростати¬
ческое  отталкивание,  то  сильное  взаимодей¬
ствие  протона  с  протоном,  протона  с  нейтро¬
ном  и  нейтрона  с  нейтроном  будет  одним  и
тем  же  во  всех  трех  случаях.  Оно  носит  на¬
звание  нуклон-нуклонных  сил.  Потенциаль¬
ную  энергию  взаимодействия  двух  нуклонов
можно  грубо  изобразить  в  виде  графика  на
фиг.  232,  хотя  детальный  вид  этого  взаимо¬
действия  пока  еще  неизвестен.  Для  сравнения
на  фигуре  показана  потенциальная  энергия
электростатического  взаимодействия  двух
протонов  (пунктирная  линия).  Специфичес¬
кой  особенностью  ядерных  сил  является  то
обстоятельство,  что  они  изображаются  гра¬
фиком  на  фиг.  232  только  при  параллельных
спинах  нуклонов.  Если  же  спины  антипарал-
лельны,  то  ядерные  силы  оказываются  зна¬
чительно  более  слабыми.  Как  будет  видно  из
следующего  параграфа,  глубину  потенциа¬
ла,  изображенного  на  фиг.  232,  можно  опре¬
делить  из  величины  энергии  связи  дейтрона.
Более  подробные  сведения  о  форме  этого
потенциала  дают  опыты  по  рассеянию  про¬
тонов  и  нейтронов  на  протонах.  Рассеяние
протонов  на  протонах  показано  на  фиг.  21
(стр.  64).
 Фиг.  232.  График  потенциальной
энергии  в  случае  сил,  действующих
между  двумя  нуклонами.

§  6.  Строение  ядра
 НУКЛОННЫЕ  ОРБИТЫ
 В  атомной  физике  единственным  атомом,
легко  поддающимся  анализу,  является  атом
с  одним  протоном  и  одним  электроном,  т.  е.
атом  водорода.  С  аналогичной  ситуацией  мы
сталкиваемся  и  при  изучении  строения  ядра:
простейшим  является  анализ  ядра,  содер¬
жащего  один  протон  и  один  нейтрон,  т.  е.
дейтрон.  Протон  и  нейтрон  связаны  друг  с
другом  в  дейтроне  с  энергией  2,22  Мэе.
 Пример.  Массы  дейтрона,  протона  и  нейтрона
равны  соответственно  1875,49,  938,21  и  939,50  Мэе.
Какова  энергия  связи  ядра  дейтерия?
 Полная  энергия  связи  равна  сумме  масс  отдель¬
ных  нуклонов  за  вычетом  массы  ядра.  Таким  обра¬
зом,  энергия  связи  равна  М/>+  Мдг  —  MD  =
=  2,22  Мэе.
 Как  и  в  случае  атома  водорода,  можно
было  бы  подсчитать  эту  энергию  связи,  если
бы  были  известны  силы,  действующие  между
двумя  частицами.  Все  сводится  к  нахождению
волновой  функции  низшего  порядка,  соот¬
ветствующей  потенциалу,  изображенному  на
фиг.  232.  В  первом  приближении  потенциаль¬
ную  энергию  можно  представить  в  виде
«прямоугольной  ямы»,  имеющей  радиус
г0=2,5  -10~13  см.  Такая  яма  изображена  на
фиг.  233,  а.  Красной  горизонтальной  чертой
показана  энергия  W,  соответствующая  стоя¬
чей  волне  низшего  порядка  (фиг.  233,  б).  В  об¬
ласти  г<г0  волновая  функция  должна  иметь
характер  синусоидальной  волны  (в  этой  обла¬
сти  импульс  и,  следовательно,  X  постоянны).
В  области  г>г0  волновая  функция  представ¬
ляет  собой  медленно  спадающую  экспонен¬
ту.  В  специальном  случае  потенциала  в  форме
прямоугольной  ямы  энергетический  уровень
W,  соответствующий  этой  волновой  функции
низшего  порядка,  может  быть  легко  найден
с  помощью  квантовой  механики.  Энергия  W
определяется  тем,  что  г0  лишь  немного  превы¬
шает  V4,  или  г0,  и  оказывается  равной
—2,22  Мэе.  Этот  результат  совпадает  с  экспе¬
риментальным.  Однако  последовательность
нашего  изложения  не  соответствует  после-

Фиг.  233.  Приближенное  изображе¬
ние  потенциальной  ямы,  отвечающей
взаимодействию  нейтрона  с  протоном
(а),  низшая  волновая  функция;
энергия,  отвечающая  этому  состоя¬
нию,  W=—2,22  Мэе  (б)  и  распределе¬
ние  ядерного  вещества  в  ядре  дей¬
терия  (в).
 Интенсивность  светлого  оттенка  пропор¬
циональна  квадрату  волновой  функции
нуклонов,  спроектированной  на  плоскость.
 Энергия,  Мэе
 довательности  исторического  развития.  Для
нахождения  сил,  действующих  между  нук¬
лонами  (см.  фиг.  232),  в  действительности
использовались  результаты  многочисленных
экспериментов,  таких,  как  рассеяние  нейтро¬
нов  протонами  и  энергия  связи  дейтрона.
Отметим,  что  волновая  функция  дейтрона
простирается  за  пределы  г=5*  10”11  см.  Таким
образом,  дейтрон  оказывается  рыхлее  более
тяжелых  ядер.
 Тяжелые  ядра
 Большую  плотность  нуклонов  в  тяжелых
ядрах  можно  объяснить  следующим  образом.
Пусть  сначала  имеется  множество  свободных
нуклонов  и  расстояние  между  соседними
частицами  равно  s.  Будем  теперь  постепенно
сближать  частицы  (уменьшать  s).  Как  толь¬
ко  s  станет  меньше  2,5-10”13  см>  нуклоны  вне¬
запно  почувствуют  сильное  притяжение  со
стороны  своих  соседей,  и  их  энергия  связи
соответственно  возрастет.  Однако  мы  видели
в  гл.  14,  что,  когда  свободные  электроны
сближаются  друг  с  другом,  их  средняя  кине¬
тическая  энергия  должна  увеличиваться
вследствие  принципа  Паули  [см.  (14.1)].  Так
как  протоны  и.  нейтроны  являются  частицами
со  спином  /4,  они  тоже  подчиняются  прин¬
ципу  Паули.  Таким  образом,  вследствие
действия  принципа  Паули  с  уменьшением  s
происходит  уменьшение  энергии  связи.  К
счастью,  силы  притяжения  между  нуклона¬
ми  оказываются  как  раз  настолько  сильны¬
ми,  насколько  это  необходимо,  чтобы  обес¬
печить  «золотую  середину»,  отвечающую  мак¬
симуму  энергии  связи.  Если  бы  силы,  дей¬
ствующие  между  нуклонами,  оказались  на
30%  слабее,  то  преобладало  бы  влияние
принципа  Паули  и  ядер  вообще  не  сущест¬
вовало  бы.  Величина  s,  соответствующая
максимуму  энергии  связи,  определяет  размер
ядра.  Из  опыта  получается  s  =  1,9  -10“13  см,
в  согласии  с  (15.2).
 Давайте  рассмотрим  отдельный  нейтрон,
находящийся  внутри  тяжелого  ядра.  Нейт¬
рон  испытывает  усредненное  притяжение  со
стороны  всех  остальных  нуклонов  ядра.
 385

Фиг.  234.  Усредненный  ядерный  по¬
тенциал  для  нейтрона  в  ядре  радиу¬
сом  R.
 Сплошные  красные  линии  соответствуют
занятым  состояниям,  а  пунктирные  —  не
занятым,  или  возбужденным,  состояниям.
 (£кин)о  =  33,7  Мэе.
 Из  этого  примера  следует,  что  наивысший
занятый  нейтронами  энергетический  уровень
располагается  примерно  на  34  Мэе  выше
дна  потенциальной  ямы,  или  около  8  Мэе
ниже  нулевой  энергии.  Таким  образом,  тре¬
буется  по  меньшей  мер.е  8  Мэе,  чтобы  уда¬
лить  отдельный  нейтрон  из  типичного  ядра.
Это  согласуется  с  данными,  приведенными
на  фиг.  227.  Мы  рассматривали  только  нейт¬
роны;  протоны  находятся  почти  в  таком  же
потенциале  и  имеют  почти  те  же  энергети¬
ческие  уровни.
 Модель  оболочек
 Каждому  энергетическому  уровню  нейт¬
ронов  на  фиг.  234  соответствует  определенная
волновая  функция,  или  «орбита»,  с  определен¬
ной  энергией  и  моментом  количества  движе¬
ния.  Это  утверждение  имеет  смысл  как  для
занятых  уровней,  так  и  для  уровней  с  более
высокой  энергией,  т.  е.  возбужденных  состо¬
яний.  Энергии  и  моменты  количества  движе-
 386
 В  гл.  14  аналогичное  положение  имело  местос.
потенциалом,  в  котором  находится  свободный
электрон  внутри  металла.  На  фиг.  234  изоб¬
ражен  усредненный  потенциал,  в  котором
находится  рассматриваемый  нами  нейтрон.
Его  глубина  достигает  около  42  Мэе.  В  дей¬
ствительности  в  этот  потенциал  «набито»
А/2  нейтронов.  По  принципу  Паули  они
занимают  различные  состояния,  или  энерге¬
тические  уровни,  вплоть  до  границы  Ферми.
 Пример.  Какова  величина  границы  Ферми  для
случая  нейтронов  в  потенциале,  изображенном  на
фиг.  234?
 Согласно  формуле  (14.1),  максимальная  кине¬
тическая  энергия  нейтрона  равна
 где^У*  —  число  нейтронов  в  1  см3,  равное  примерно
половине  значения,  полученного  по  формуле  (15.2).
Таким  образом,

ния  уровней  можно  вычислить  теоретически,
и  результат  расчета  достаточно  хорошо  сог¬
ласуется  с  данными  опыта.  На  фиг.  235
приведены  результаты  расчетов  указанных
характеристик  каждого  из  состояний.  Энер¬
гетические  уровни  соответствуют  потенциа¬
льной  яме,  изображенной  на  фиг.  234  и  ви¬
доизмененной  с  учетом  того,  что  действую¬
щие  на  нуклон  силы  оказываются  более  си¬
льными,  если  его  спин  и  орбитальный  мо¬
мент  количества  движения  направлены  в
одну  сторону.  Сумма  спина  и  орбитального
момента  количества  движения  есть  не  что
иное,  как  полный  момент  количества  движе¬
ния  /.  Мы  видим,  что.  ядро  с  полностью  за¬
полненной  оболочкой  //  =  5,  /  =  4,  /-=9/2
содержит  50  нейтронов  (или  50  протонов).
Из  фиг.  235  видно  также,  что  между  этой
оболочкой  и  следующей  в  порядке  возраста¬
ния  энергии  имеется  большой  энергети¬
ческий  интервал.  Поэтому  следует  ожидать,
что  ядра  с  50  нейтронами  (А—Z  —  50)  или  50
протонами  (Z=50)  будут  сильно  связаны  и
особенно  устойчивы.  Опыт  подтверждает  этот
вывод.  Например,  у  олова  (Z~-=  50)  имеется
10  стабильных  изотопов  (больше,  чем  у  ка¬
кого-либо  другого  из  элементов).  Кроме  то¬
го,  ядра  с  50  нейтронами  или  протонами
значительно  шире  распространены  в  при¬
роде,  нежели  ядра  с  51  протоном  или  нейт¬
роном.  В  своем  современном  виде  модель
оболочек  не  дает  объяснения  всем  известным
свойствам  ядер.  Однако  эта  модель  оказа¬
лась  довольно  удачной  и  многообещающей
при  своем  дальнейшем  развитии.
 Фиг.  235.  Относительное  расположение
энергетических  уровней  в  ядрах  с  учетом
спин-орбитального  взаимодействия.
Взаимодействие  оказывается  больше  при  парал¬
лельной  ориентации  спина  и  орбитального  момен¬
та  количества  движения.  Как  и  в  атоме  водорода,
каждый  энергетический  уровень,  или  оболочка
содержит  подоболочки,  отвечающие  различным
квантовым  числам  т.  Справа  указано  полное
число  нуклонов,  требуемое  для  заполнения
этих  подоболочек.
 13*
 387

§  7.  Деление  ядер
 «.По  существу,  деление  не  имеет  иного  значе¬
ния,  кроме  социального*.
 Д.  Уилкинсон.
 В  этой  цитате  утверждается,  что  иссле¬
дование  деления  не  может  принести  каких-
то  важных  новых  данных.  Мы  видели  в  §  1,
что  увеличение  роли  кулоновского  оттал¬
кивания  в  очень  тяжелых  ядрах  делает  эти
ядра  более  слабо  связанными,  нежели  ядра
среднего  веса.  Таким  образом,  если  бы  уда¬
лось  разделить  массивное  ядро  урана  на  две
части,  то  получившиеся  в  результате  этого
две  группы  нуклонов  церестроились  бы  в
ядра  с  более  сильной  связью,  причем  процесс
перестройки  сопровождался  бы  выделением
энергии.  Таким  образом,  закон  сохранения
энергии  допускает  самопроизвольное  (спон¬
танное)  деление.  Однако  у  ядер,  встречающих¬
ся  в  природе,  потенциальный  барьер  (см.  §  5
гл.  14),  настолько  высок,что  вероятность  само¬
произвольного  деления  оказывается  меньше
даже  вероятности  а-распада.  К  примеру,  пе¬
риод  полураспада  U238,  обусловленный  только
самопроизвольным  делением,  равен  8  •  1015  лет.
Это  более  чем  в  миллион  раз  превышает
возраст  Земли.  С  другой  стороны,  если  такое
ядро  испытает  соударение  с  нейтроном,  то
оно  может  возбудиться  и  перейти  на  более
высокий  энергетический  уровень,  располо¬
женный  ближе  к  вершине  электростатичес¬
кого  потенциального  барьера.  При  этом  уве¬
личится  и  вероятность  деления.  Разность
масс  ядра  урана  и  типичных  продуктов  деле¬
ния  такова,  что  при  делении  урана  в  среднем
высвобождается  энергия,  равная  200  Мэе.
 Пример.  Сколько  энергии  (в  эрг)  выделяется
при  делении  1  г  уранового  горючего.  Масса  покоя
ядра  урана  равна  2,2-  10s  Мэе.
 Доля  массы,  превращающейся  в  энергию,  равна
в  этом  случае  отношению  200  Мэе  к  2,2*  105  Мэе,
т.  е.  9-10“4.  Таким  образом,  в  полезную  энергию
превращается  около  0,1%  массы  урана.  Поскольку
1  г  любого  вещества  эквивалентен'  Мс2=  9  -1020  эрг,
то  деление  1  г  урана  соответствует
 W  =  9*  10~4«9«  1020  эрг  =  8,Ы017  эрг. 	(15.8)
 388

Сравнивая  полученный  выше  результат
с  2,9-10"эрг,  которые  выделяются  при  сго¬
рании  1  г  угля,  мы  видим,  что  урановое  го¬
рючее  оказывается  почти  в  3  млн.  раз  более
«эффективным».  С  другой  стороны,  1  г  ура¬
на  значительно  дороже  1  г  угля.  Однако  стои¬
мость  1  эрг,  полученного  с  помощью  угля,
оказывается  в  400  раз  большей,  чем  для  ура¬
нового  горючего.  Этим  объясняется  быстрый
рост  применения  ядерных  реакторов  для
производства  энергии.
 Благодаря  цепной  реакции  процесс  де¬
ления  ядер  может  быть  сделан  самоподдер-
живающимся.  При  каждом  делении  освобож¬
дается  2  или  3  нейтрона.  Если  одному  из
этих  нейтронов  удастся  вызвать  деление
другого  ядра  урана,  то  процесс  будет  само-
поддерживающимся.  Сборка  делящегося  ве¬
щества,  удовлетворяющая  этому  требованию,
называется  критической.  Первая  такая  сбор¬
ка,  названная  ядерным  котлом,  была  пост¬
роена  Энрико  Ферми  на  корте  для  игры  в
сквош  !)  Чикагского  университета.  Бронзовая
доска,  укрепленная  снаружи  корта,  гласит:
«Здесь  2  декабря  1942  года  человек  впер¬
вые  осуществил  самоподдерживающуюся
цепную  реакцию  и  этим  положил  начало
овладению  освобожденной  ядерной  энер¬
гией»  2).
 Массу  U235  или  Ри239  можно  также  сде¬
лать  надкритической.  При  этом  нейтроны,
образующиеся  при  делении,  будут  вызывать
несколько  вторичных  делений.  Поскольку
нейтроны  движутся  со  скоростями  свыше
108  см/сек,  надкритическая  сборка  может
полностью  израсходоваться  (или  разлететь¬
ся)  менее  чем  за  тысячную  долю  секунды.
Такое  устройство  называется  атомной  бом¬
бой.  Обычный  метод  превращения  плуто¬
 Сквош  —  популярная  в  США  игра  в  мяч
с  ракеткой  (сходная  с  теннисом).
 Корт  для  игры  представляет  собой  бетонную  короб¬
ку,  лишенную  потолка  и  одной  из  стен.  —  Прим  ред.
 2)  После  того  как  была  написана  эта  книга,  автор
посетил  Чикагский  университет  и  обнаружил  на
месте,  где  стоял  корт,  пустырь.  Место  рождения
атомного  века  было  уничтожено.
 389

ниевой  сферы  в  надкритическую  систему  ос¬
нован  на  использовании  взрыва.  Подкрити-
ческая  сфера  из  плутония  окружается
химической  взрывчаткой.  При  ее  взрыве
происходит  мгновенное  сжатие  сферы.  По¬
скольку  плотность  сферы  при  этом  сущест¬
венно  увеличивается,  скорость  поглощения
нейтронов  оказывается  больше  скорости  по¬
тери  нейтронов  при  их  вылете  наружу.  Это
и  есть  условие  надкритичности.  Взрыв  атом¬
ной  бомбы,  по-видимому,  может  быть  сделан
достаточно  эффективным  (большая  часть  плу¬
тония  израсходуется  до  того,  как  бомба  раз¬
летится).  Энергии  химических  превращений
таковы,  что  из  1  т  тротила  (тринитротолуо¬
ла)  высвобождается  Ю9  кал,  или  4*1016  эрг.
Из  фиг.  234  видно,  что  в  атомной  бомбе,  в
которой  расходуется  1  кг  Ри  или  U235,  выс¬
вобождается  8-1020  ^рг,  или  в  20  000  раз
больше  энергии.  Такая  атомная  бомба  на¬
зывается  20-килотонной  бомбой.  Таким  об¬
разом,  современные  мегатонные  бомбы,  гру¬
бо  говоря,  в  миллион  раз  мощнее  обычных
тротиловых.  Скверно  не  только  в  миллион
раз  более  мощное  выделение  энергии,  но  и
то,  что  каждый  грамм  израсходованного
плутония  или  U235  превращается  в  грамм
продуктов  деления,  первоначально  радио¬
активных.  Это  исключительно  большое  коли¬
чество  радиоактивности.
 §  8.  Синтез  ядер
 2+2  =  3,975
 По  шкале,  где  масса  дейтерия  равна  2,
измеренное  значение  массы  гелия  равно
3,975.  Таким  образом,  при  соединении  двух
дейтронов  в  гелий  0,6%  их  первоначальной
массы  превращается  в  энергию.  Если  бы
удалось  использовать  этот  процесс  синтеза
для  производства  энергии,  то  он  оказался
бы  в  6  раз  эффективнее  деления  урана.  Бо¬
лее  того,  в  воде  озер  и  океанов  имеются  не¬
ограниченные  запасы  дешевого  дейтерия,
чего  нельзя  сказать  о  других  видах  топлива.
Мировые  запасы  природного  газа  и  нефти

будут  исчерпаны  в  несколько  десятилетий.
Даже  запасов  угля  и  урана  хватит  в  лучшем
случае  на  несколько  веков.  Серьезным  кам¬
нем  преткновения  на  пути  к  получению
энергии  в  неограниченных  масштабах  из
морской  воды  является  закон  Кулона.  Дело
в  том,  что  электростатическое  отталкивание
двух  дейтронов,  находящихся  при  комнат¬
ной  температуре,  не  позволяет  им  сближать¬
ся  друг  с  другом  на  расстояния,  на  которых
сказываются  короткодействующие  силы  ядер-
ного  притяжения.
 Пример  1.  Предположим,  что  для  того,  чтобы
ядерные  силы  преодолели  электростатическое  от¬
талкивание,  два  дейтрона  должны  сблизиться  до
10~12  см.  Какова  при  этом  высота  (в  Мэе)  электро¬
статического  потенциального  барьера?
 Пример  2.  До  какой  температуры  должен  быть
нагрет  дейтерий,  чтобы  средняя  кинетическая  энер¬
гия,  приходящаяся  на  дейтрон,  составила  0,14  Мэе?
 Из  этого  примера  видно,  что  если  бы  дей¬
терий  удалось  нагреть  до  температуры  в  мил¬
лиард  градусов,  то  произошел  бы  синтез
ядер.  Благодаря  возможности  проникнове¬
ния  через  барьер  нет  необходимости  в  столь
высокой  температуре.  Ядерные  реакции,  тре¬
бующие  для  своего  осуществления  темпера¬
туры  порядка  миллионов  градусов,  называ¬
ются  термоядерными  реакциями.  Темпера¬
туры,  возникающие  мгновенно  при  взрыве
атомной  бомбы,  оказываются  достаточно  вы¬
сокими,  чтобы  поджечь  смесь  дейтерия,
трития  и  Li*.  Если  термоядерная  реакция
началась,  то  высвобождающаяся  при  этом
энергия  может  поддерживать  высокую  тем¬
пературу,  пока  не  выгорит  большая  часть
вещества.  Это  то,  что  мы  называем  водород¬
ной  бомбой.  Термоядерное  горючее  для  во¬
дородной  бомбы  крайне  дешево,  а  его  коли¬
чество,  которое  можно  использовать  в  одной
бомбе,  неограниченно.  Созданы,  по-видимому,
 391

водородные  бомбы  мощностью  более  20  ме¬
гатонн  (эквивалентные  2  •  107  т  тротила),  при¬
чем  каждая  обходится  примерно  в  1  млн.
долларов.
 Управляемый  синтез
 Чтобы  извлечь  из  процесса  синтеза  по¬
лезную  энергию,  необходимо  осуществить
контроль  над  термоядерными  реакциями.
Необходимо  найти  способы  создания  и  под¬
держания  температур  во  много  миллионов
градусов.  Одна  из  технических  задач  заклю¬
чается  в  том,  чтобы  удержать  нагретый  до
высокой  температуры  газ  или  плазму  и  при
этом  не  дать  расплавиться  стенкам  сосуда.
На  решение  этой  проблемы  были  затрачены
большие  усилия,  но  с  незначительным  успе¬
хом.  Ионы  плазмы  пытаются  удержать  от
попадания  на  стенки  с  помощью  сильных  маг¬
нитных  полей.  На  современной  стадии  раз¬
вития  трудно  предсказать,  окажется  ли  это
направление  в  будущем  удовлетворительным
с  экономической  точки  зрения.  Возможен  и
иной  подход  к  проблеме  получения  термо¬
ядерной  энергии;  он  заключается  в  поисках
практических  путей  обуздания  энергии,  вы¬
деляющейся  в  водородной  бомбе.
 Энергия  звезд
 Наше  Солнце  по  своим  размерам  не  превос¬
ходит  размера  средней  звезды.  Оно  непрерыв¬
но  излучает  энергию  в  4*  1028  кет  в  окружа¬
ющее  пространство  уже  на  протяжении  мил¬
лиардов  лет.  Столь  огромное  количество  энер¬
гии  может  возникать  только  при  превращении
массы  в  энергию,  подобном  процессу  синтеза.
Считается,  что  основным  источником  энергии
Солнца  служит  превращение  водорода  в  ге¬
лий  в  следующей  последовательности  про¬
цессов  синтеза:
 Н'+Н1  —>H2  +  e++v.
 Символ  Н1  обозначает  водород,  a  v  —  нейт¬
рино,  нейтральную  частицу  с  массой  покоя,
равной  нулю.  Написанная  выше  реакция  с
участием  нейтрино  относится  к  классу  ела-

бых  взаимодействий,  которые  обсуждаются
в  следующей  главе.  За  этой  реакцией  следуют
 В  этих  реакциях  три  атома  водорода  превра¬
щаются  в  Не3.  Затем  два  атома  Не3  в  конце
концов  образуют  Не4  и  два  атома  водорода.
В  итоге  четыре  атома  водорода  превращают¬
ся  в  один  атом  Не4  с  общим  выделением
энергии  28,5  Мэе.
 §  9.  Космические  лучи
 МАЛОМОЩНЫЙ  УСКОРИТЕЛЬ  НА  ВЫСОКИЕ
ЭНЕРГИИ
 На  земную  поверхность  падает  свет  от
звезд,  приносящий  с  собой  ежесекундно
энергию  около  30  эрг/м2.  Кроме  того,  из
космического  пространства  ежесекундно  пос¬
тупают  еще  40  эрг/м2,  несомые  невидимым  из¬
лучением.  Этот  поток  энергии,  несколько
превосходящий  видимый  свет,  представляет
собой  частицы  высокой  энергии,  в  основном
протоны  и  а-частицы.  Упомянутые  первич¬
ные  частицы  и  образованные  ими  в  земной
атмосфере  вторичные  продукты  называют
космическими  лучами.  Число  первичных  час¬
тиц  в  верхних  слоях  атмосферы  с  энергией,
превышающей  5  Бэв,  падающих  на  1  м2,  сос¬
тавляет  примерно  1500  в  1  сек.  В  действите¬
льности,  энергия  большинства  этих  первич¬
ных  частиц  оказывается  меньше  10  Бэв,
хотя  наблюдались  случаи,  когда  энергия
достигала  10е  Бэв.  Космические  лучи  служи¬
ли  и  продолжают  служить  средством  для
изучения  взаимодействий  при  высоких  энер¬
гиях.  Однако  на  современных  ускорителях
частиц  высоких  энергий  удается  проводить
гораздо  более  гибкие  и  точные  измерения,
нежели  в  большинстве  опытов  с  мало  интен¬
сивным  и  не  поддающимся  управлению  кос¬
мическим  излучением.  И  тем  не  менее  мно¬
гие  из  недавно  открытых  элементарных  час¬
тиц  (см.  гл.  16)  впервые  наблюдались  в  кос¬
мических  лучах.  В  настоящее  время  их  уда¬
 393

ется  получать  на  ускорителях  частиц  высо¬
ких  энергий,  и  они  могут  быть  изучены  зна¬
чительно  более  детально.
 Имеются  две  проблемы,  которые  требуют
объяснения.  1)  Откуда  приходят  к  нам
космические  лучи?  2)  Каким  образом  эти
частицы  ускоряются  до  столь  высоких  энер¬
гий?
 В  1949  г.  Ферми  выдвинул  гипотезу,  кото¬
рую  в  настоящее  время  считают  основным
механизмом  ускорения  космических  частиц.
Наблюдения  говорят  о  том,  что  существуют
движущиеся  облака  межзвездного  газа  и
связанные  с  ними  магнитные  поля  (которые
создаются  движущимися  зарядами).  Ферми
предположил,  что  «столкновения»  быстро
движущихся  космических  частиц  с  этими  об¬
ластями  магнитного  поля  в  среднем  будут
приводить  к  ускорению  космических  частиц.
Движущиеся  хаотически  заряженные  час¬
тицы  наталкиваются  на  магнитные  поля,
создаваемые  блуждающими  газовыми  обла¬
ками,  и  «отражаются»  ими  с  возросшей  энер¬
гией,  если  первоначально  облако  двигалось
навстречу  частице,  и  с  меньшей  энергией,
если  облако  двигалось  в  направлении  от
частицы.  Так  как  число  соударений  в  еди¬
ницу  времени  с  облаками,  движущимися
навстречу  частице,  превышает  число  соударе¬
ний  с  облаками,  движущимися  в  противопо¬
ложном  направлении,  то  в  среднем  частица
должна  приобретать  энергию.  Этот  механизм
тождествен  механизму,  приводящему  к  рав¬
номерному  распределению  энергии  и  обсуж¬
давшемуся  на  стр.  138.
 Совсем  недавно  были  получены  сведения
относительно  источников  космических  час¬
тиц,  которые,  хаотически  перемещаясь  в  ми¬
ровом  пространстве,  еще  ускоряются  в  соот¬
ветствии  с  механизмом  Ферми.
 С  помощью  современных  радиотелескопов
было  установлено,  что  Крабовидная  туман¬
ность  (фиг.  236)  характеризуется  высокой
интенсивностью  космических  частиц,  выхо¬
дящих  из  этой  области  в  мировое  простран¬
ство.  Число  таких  частиц,  по  оценкам,  на¬
столько  велико,  что  ими  можно  объяснить

Фиг.  236.  Два  снимка  Крабовидной
туманности,  сделанные  в  различном
свете.
 а  —  в  свете  с  непрерывным  спектром,  ис¬
пускаемым  частицами  высокой  энергии,
которые  ускоряются  в  магнитных  полях;
6  —  в  свете,  соответствующем  спектру
испускания  водорода;  этот  снимок  харак¬
теризует  расположение  не  космических
частиц,  а  газовых  облаков.

третью  часть  интенсивности  космического
излучения.  В  действительности  эти  частицы
все  же  не  попадают  к  нам.  Из-за  повторяю¬
щихся  столкновений  с  областями  магнит¬
ного  поля  в  распоряжении  этих  частиц  не
оказывается  достаточно  времени,  чтобы
покрыть  расстояние  до  Земли  в  3500  световых
лет.  Мы  знаем,  что  большая  часть  из  них
была  испущена  на  протяжении  нескольких
лет,  ибо  Крабовидная  туманность  есть  не
что  иное,  как  видимые  остатки  гигантской
сверхновой,  наблюдавшейся  4  июля  1054  г.
Катастрофа  была  столь  значительной,  что
впервые  была  замечена  днем.  Этот  грандиоз¬
ный  ядерный  взрыв  подробно  описан  китай¬
цами  и  японцами.  Имеются  также  очень
примитивные  описания,  принадлежащие  ин¬
дейцам  в  Каньоне  Аризона.  Странно,  что,
хотя  явление  должно  было  обязательно
наблюдаться  многими  европейцами,  ни  в
одной  из  европейских  хроник  нет  никаких
упоминаний  о  нем.
 По  мере  того  как  расходуется  водород,
изменяется  плотность  звезды,  и  термоядер¬
ный  процесс  может  стать  нестационарным,
подобно  процессу  в  водородной  бомбе.  Вспы¬
шка  сверхновой  представляет  собой  гигант¬
ский  неуправляемый  термоядерный  взрыв
всей  звезды.  В  нашей  Галактике  сверхновые
вспыхивают  каждые  несколько  сотен  лет.
Очень  может  быть,  что  источником  большей
части  современного  космического  излучения
являются  древние  сверхновые  звезды.
 §  10.  Ответственность  ученых
перед  обществом
 МОРАЛЬНЫЙ  ДОЛГ
 Нравится  нам  это  или  нет,  но  результаты
фундаментальных  физических  исследований
существенно  изменяют  наше  представление
о  физическом  мире.  К  примеру,  влияние  де¬
ления  и  синтеза  на  нашу  культуру  оказалось
столь  значительным,  что,  по  мнению  многих
из  нас,  само  сохранение  цивилизации  оказа¬
лось  висящим  на  волоске.
 396

Задачи
 С  момента  создания  атомной  бомбы  в
1945  г.  небольшая,  но  довольно  авторитетная
часть  мировых  ученых  почувствовала  от¬
ветственность  перед  обществом  по  меньшей
мере  в  отношении  информации  широких
слоев  населения  и  политических  кругов  о
том  огромном  риске,  с  которым  сопряжена
политика,  могущая  привести  к  ядерной  вой¬
не.  Это  чувство  ответственности  за  свою  роль
помогает  объяснить  необычную  политичес¬
кую  активность  ряда  ученых.  Можно  было  бы
ожидать,  что  инициаторами  кампании  за
прекращение  испытаний  ядерного  оружия
будут,  скорее,  социологи  или  общественные
деятели,  нежели  сами  ученые-атомники.
 То,  что  ученые  «суют  свой  нос»  в  поли¬
тику,  вызывает  у  некоторых  людей  негодо¬
вание.  Существует  веское  возражение,  что
ученый,  пользующийся  всеобщим  призна¬
нием  за  свои  научные  достижения,  способен
на  опрометчивые  необъективные  высказы¬
вания  по  вопросам,  в  которых  он  не  компетен¬
тен,  тем  самым  путая  и  вводя  в  заблуждение
людей.  Публично  говоря  о  вопросах,  связан¬
ных  с  политикой,  ученый  должен  быть  край¬
не  осторожным,  ибо  его  престиж  и  репутация
зиждятся  на  обоснованности  его  высказыва¬
ний.  Подобно  научным  выводам  ученого,  его
мнение  по  вопросам  политики  должно  бази¬
роваться  на  тщательном  обдумывании  и  изу¬
чении  соответствующих  вопросов.  И  если  это
так,  то  ученый,  углубившийся  в  связь  между
наукой  и  политикой,  занят  важным  общест¬
венным  делом.
 1. 	Что  больше  —  масса  атомного  ядра  или  масса
частиц,  входящих  в  его  состав?
 2. 	Какая  доля  образца  радия  будет  распадаться
спустя  3200  лет,  если  период  полураспада  радия
равен  1600  лет?
 3. 	Что  продолжительнее  —  три  периода  полурас¬
пада  или  два  средних  времени  жизни?
 4. 	Какая  часть  (в  %)  радиоактивного  образца  рас¬
падается  на  протяжении  одного  среднего  времени
жизни?  На  протяжении  двух  средних  времен  жиз¬
ни?
 397

5. 	Рассмотрим  образец,  содержащий  1000  радио¬
активных  ядер  с  периодом  полураспада  Т.  Сколь¬
ко  (приблизительно)  ядер  останется  через  проме¬
жуток  времени  Г/2?
 (Указание.  На  протяжении  первой  полови¬
ны  периода  полураспада  распадается  та  же  доля,
что  и  во  второй  половине  периода  полураспада.)
 6. 	Диаметр  Солнца  1,38  млн.  км,  а  средняя
плотность  1,41.  Каким  был  бы  диаметр  Солнца,
если  при  той  же  массе  его  плотность  равнялась
бы  плотности  ядерного  вещества?
 7. 	В  водородной  бомбе  18  кг  взрывчатого  веще¬
ства  может  обеспечить  выделение  энергии,  экви¬
валентное  взрыву  1  млн.  т  тринитротолуола.  При
взрыве  1  т  тринитротолуола  высвобождается
10  кал.  Сколько  граммов  термоядерной  взрывчатки
превращается  в  энергию?
 8. 	Согласно  данным,  приведенным  на  фиг.  235,
особенно  устойчивым  будет  ядро  с  Z  =  50  (олово).
Найдите  с  помощью  этой  фигуры  другие  элементы,
которые  должны  быть  особенно  устойчивыми.
 9. 	Образец  радиоактивного  вещества  содержит  1012
радиоактивных  атомов.  Сколько  атомов  распада¬
ется  ежесекундно,  если  период  полураспада  ра¬
вен  1  час?
 (Указание.  Каково  соотношение  между  ве¬
роятностью  распада  атома  в  1  сек  и  его  средним  вре¬
менем  жизни?  Каково  соотношение  между  средним
временем  жизни  и  периодом  полураспада?)
 10. 	Один  рад  соответствует  образованию  в  1  см3
воздуха  положительных  и  отрицательных  ионов  с  за¬
 рядом  1,2  CGSE  (Q)  каждый.  Сколько  электрон-вольт
 расходуется  на  образование  одной  пары  ионов,  если
плотность  воздуха  1,3-10~3  г/см3?

ГЛАВА  16
 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
 ЧАСТИЦЫ

Основная  задача  физики  —  объяснение
всех  физических  явлений  на  основе  не¬
большого  числа  простых,  фундаментальных
принципов.  Поскольку  вещество  построено  из
элементарных  частиц  всего  нескольких  типов,
бесчисленные  физические  явления  и  свойства
вещества  можно  в  принципе  объяснить  с  по¬
мощью  немногочисленных  и  простых  свойств
небольшого  числа  элементарных  частиц.
 В  поисках  элементов,  из  которых  построе¬
но  вещество,  человек  сначала  обнаружил,  что
соединения  состоят  из  «элементарных»  мо¬
лекул.  Затем  оказалось,  что  молекулы  пост¬
роены  из  «элементарных»  атомов.  Много  лет
спустя  было  установлено,  что  в  состав  этих
«элементарных»  атомов  входят  «элементар¬
ные»  ядра  и  орбитальные  электроны.  Эти
последовательные  попытки  узнать,  что
же  в  действительности  является  элементар¬
ным,  очень  походят  на  снятие  одного  за  дру¬
гим  слоев  луковичной  шелухи.  Последним
этапом  этого  «шелушения»  обычного  вещест¬
ва  явилось  открытие  того,  что  все  ядра  сос¬
тоят  из  нейтронов  и  протонов.
 Достигли  ли  мы  наконец  сердцевины
луковицы?  Не  окажется  ли,  что  протоны  и
нейтроны  построены  из  еще  меньших  элемен¬
тарных  частиц?  Согласно  современным  пред¬
ставлениям,  протон,  нейтрон,  электрон  и
фотон  —  все  считаются  элементарными  час¬
тицами.  Заключительная  часть  книги,  по-
видимому,  является  наиболее  подходящим
местом  для  того,  чтобы  разобраться,  что  же
является  основным  строительным  материа¬
лом  обычного  вещества  и  как  объясняются
его  строение  и  свойства  на  основе  фунда¬
ментальных  принципов.  Поскольку,  однако,
эта  книга  посвящена  изложению  основ  фи¬
зики,  прежде  чем  завершить  ее,  следует
задать  вопрос:  не  существует  ли  каких-либо
иных  физически  реальных  элементарных  час¬
тиц,  которые  не  встречались  бы  в  окружаю¬
щем  нас  веществе?  На  него  следует  ответить
 00
 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ЧАСТИЦЫ
 §  I.  Введение
 ШЕЛУШЕНИЕ  ЛУКОВИЦЫ

утвердительно!  С  33  по  61г.  открыты  26  но¬
вых  элементарных  частиц.  Насколько  нам
известно,  ни  одну  из  существующих  элемен¬
тарных  частиц  нельзя  разложить  на  более
мелкие  составные  части.  Все  они  считаются
элементарными,  причем  под  этим  понимают
отсутствие  у  них  структуры.  Иными  словами,
эти  частицы  нельзя  представить  как  систему,
состоящую  из  других  элементарных  частиц.
Имеется,  к  примеру,  несколько  причин,  по
которым  нельзя  считать,  что  нейтрон  построен
из  связанных  друг  с  другом  электрона  и
протона.  Одна  из  них  заключается  в  том,что
масса  нейтрона  превышает  сумму  масс  про¬
тона  и  электрона  примерно  на  1,5  электрон¬
ные  массы.  Полная  масса  системы,  состоящей
из  протона  и  электрона,  связанных  друг  с
другом,  как  и  в  случае  атома  водорода,  должна
быть  меньше  суммы  обеих  масс.  Другая  при¬
чина  связана  с  тем,  что  спины  протона,  ней¬
трона  и  электрона  все  равны  1/2.  В  квантовой
механике  для  двух  частиц  со  спином  х/2  нельзя
получить  результирующий  момент  количест¬
ва  движения,  равный  1/2.  Еще  одна  причина,
по  которой  электрон  не  может  входить  в
состав  ни  одной  «элементарной  частицы»,
связана  с  принципом  неопределенности.
В  соответствии  с  этим  принципом  импульс
электрона  должен  быть  не  меньше  постоянной
Планка,  деленной  на  размеры  «элементарной»
частицы.  Поскольку  эти  размеры,  составляют
около  10"13  см,  электрон,  входящий  в  состав
элементарной  частицы,  должен  иметь  импульс
 Кинетическая  энергия  электрона  с  таким
импульсом  составила  бы  около  100  Мэе,  и
он  немедленно  покинул  бы  своего  партнера.
 Многие  из  еще  не  рассмотренных  нами
новых  элементарных  частиц  нестабильны.
Они  испытывают  распад,  т.  е.  превращаются
в  другие  элементарные  частицы  с  меньшей
массой.  Прежде  чем  приступить  к  рассмот¬
рению  этих  новых  частиц,  необходимо  более
подробно  ознакомиться  с  {5-распадом  и  с  так
называемыми  слабыми  взаимодействиями.
 401

§  2.  Бета-распад  и  слабые
взаимодействия
 ПРИРОДА  ПЫТАЕТСЯ  СВЕСТИ  ВСЕ  К  ЭЛЕКТРОНАМ
И  НЕЙТРИНО
 Если  бы  не  существовало  закона  сохране¬
ния  тяжелых  частиц,  то  менее  чем  за  тысяч¬
ную  долю  секунды  все  вещество  Вселенной
распалось  бы  на  электроны  и  нейтрино.  При¬
чиной  этому  явились  бы  так  называемые
слабые  взаимодействия.  Слабые  взаимодей¬
ствия  представляют  собой  нечто  вроде  все¬
общего  заболевания,  поразившего  в  оди¬
наковой  степени  все  элементарные  частицы.
Оно  стремится  превратить  элементарные  час¬
тицы  в  конечном  итоге  в  электроны  и  нейтри¬
но.  Исторически,  эти  электроны  распада  по¬
лучили  наименование  р-лучей.
 Поскольку  в  p-распаде  всегда  участвуют
нейтрино,  их  описание  является  весьма  важ¬
ным.  Нейтрино  представляет  собой  эле¬
ментарную  частицу,  не  имеющую  ни  заряда,
ни  массы.  Более  того,  нейтрино  настолько
слабо  взаимодействует  со  всем  его  окружаю¬
щим,  что  оказывается  почти  ненаблюдаемым.
Если  вообразить,  что  на  Землю  падает  1012
нейтрино,  то  все  они,  за  исключением  одно¬
го,  прошли  бы  через  земной  шар  без  всяких
превращений.  До  сих  пор  эта  частица  кажет¬
ся  плодом  воображения.  Однако  нейтрино
отнюдь  не  придуманная  теоретиками  мисти¬
фикация.  Полученные  за  последние  годы  как
теоретические,  так  и  экспериментальные
доказательства  оказались  настолько  убеди¬
тельными,  что  ни  один  из  компетентных
ученых  не  сомневается  в  существовании  ней¬
трино.
 Как  элементарная  частица  нейтрино  в
некоторых  отношениях  сходно  с  фотоном.
Поскольку  масса  покоя  фотона  равна  нулю,
его  энергия  W=Pc,  где  Р  —  импульс  фото¬
на.  Согласно  теории  относительности,  такое
же  соотношение  должно  быть  справедливо
и  в  случае  нейтрино  (см.  стр.  306).  Более
того,  подобно  электронам,  протонам  и  нейт¬
ронам,  спин  нейтрино  равен  1/2,  т.  е.  его
 Фиг.  237.  Р.  Фейнман  за  «работой».
 Р.  Фейнман  —  один  из  создателей  совре¬
менной  квантовой  электродинамики  и
универсального  взаимодействия  Ферми.

врожденный  момент  количества  движения
равен  1\2(h/2  я).
 1958  г.  ознаменовался  значительным  про¬
грессом  наших  представлений  о  слабых  взаи¬
модействиях.  Было  сделано  предположение
о  существовании  специфического  взаимо¬
действия,  способного  превращать  частицы  в
электроны  и  нейтрино.  Оно  получило  наз¬
вание  универсального  взаимодействия  Фер¬
ми.  Новая  теория,  к  примеру,  точно  пред¬
сказывает  время  жизни  (i-мезона  (новой  час¬
тицы,  обсуждаемой  в  §4).
 Одним  из  примеров  слабого  взаимодейст¬
вия  является  Р-распад  свободного  нейтрона:
 N—>Р  +  е~  +  v,
 происходящий  со  временем  жизни  12  мин
и  сопровождающийся  выделением  энергии
 1,3  Мэе.  Поскольку  масса  покоя  электрона  со¬
ставляет  0,5  Мэе,  то  избыток  в  0,8  Мэе  прев¬
ращается  в  кинетическую  энергию  электрона
и  антинейтрино  (символ  v  используется  для
обозначения  антинейтрино).  Различие  между
нейтрино  и  антинейтрино  мы  объясним  в
следующем  параграфе.  Отметим,  что  кинети¬
ческая  энергия  0,8  Мэе  может  распределяться
между  электроном  и  нейтрино  любым  спосо¬
бом.  Таким  образом,  при  распаде  большого
числа  нейтронов  можно  обнаружить  электро¬
ны  с  любыми  значениями  кинетической  энер¬
гии  от  нуля  до  0,8  Мэе.
 Если  бы  нейтрон  распадался  только  на
протон  и  электрон,  то  последний  всегда  уно¬
сил  бы  всю  кинетическую  энергию  0,8  Мэе.
На  опыте  энергию  электрона  можно  опре¬
делить,  измеряя  радиус  кривизны  его  траек¬
тории  в  магнитном  поле  (см.  фиг.  113).  Как
показывает  эксперимент,  р-частицы  доволь¬
но  редко  имеют  максимально  допустимую
кинетическую  энергию.  Исторически  дело
обстояло  так,  что  именно  «исчезновение»
кинетической  энергии  послужило  поводом
для  «изобретения»  нейтрино.
 Чтобы  избежать  нарушения  закона  сох¬
ранения  энергии,  В.  Паули  предположил  в
1930  г.,  что  недостающая  кинетическая  энер¬
гия  могла  быть  унесена  нерегистрируемой,
 403

легкой  нейтральной  частицей.  Вскоре  после
этого  Э.  Ферми  дал  такой  частице  наимено¬
вание  нейтрино  (маленькая,  нейтральная)  и
создал  теорию  Р-распада,  сходную  с  современ¬
ной,  более  общей  теорией  слабых  взаимо¬
действий,  названной  теорией  универсального
взаимодействия  Ферми.  Другим  подтверж¬
дением  существования  нейтрино  явилось  бы
измерение  его  импульса.  С  помощью  камеры
Вильсона  можно  измерить  энергию  электро¬
на  в  отдельном  акте  Р-рэспада.  Такое  изме¬
рение  характеризует  не  только  энергию  нейт¬
рино,  но,  в  соответствии  с  соотношением
P~W!c,  и  его  импульс.  Импульс  нейтрино
можно,  кроме  того,  определить  независимым
образом,  измеряя  импульсы  электрона  и
конечного  ядра.  Подобные  данные  об  энергии
и  импульсе  нейтрино  всегда  укладываются  в
предсказываемую  теорией  формулу  P=W/c.
Введение  нейтрино  спасло  не  только  закон
сохранения  энергии  и  импульса,  но  и  закон
сохранения  момента  количества  движения.
Как  мы  видели  в  §  1,  в  квантовой  механике
две  частицы  со  спином  х/2  (такие,  как  Р-\-е~)
не  могут  иметь  такой  же  момент  количества
движения,  как  нейтрон,  спин  которого  также
равен  1/2.  Однако  складывая  спины  трех
продуктов  распада  нейтрона,  которые  все
имеют  спин  1/2,  можно  получить  пол¬
ный  момент  количества  движения,  равный
 V,  (Л/2Я).
 Доказательства  участия  нейтрино  в  про¬
цессах  распада  были  вполне  удовлетвори¬
тельными.  Однако  физикам  хотелось  иметь
дополнительные  аргументы,  основанные  на
наблюдении  непосредственного  взаимодей¬
ствия  пучка  нейтрино.  Теория  Ферми  пред¬
сказывает,  что  при  условии,  что  энергия
антинейтрино  достаточна  для  компенсации
разности  масс,  они  должны  вызывать  сле¬
дующую  реакцию:
 v  +  P—►  N  +  е+.
 Здесь  е+—  позитрон  (электрон  с  положите¬
льным  зарядом).  Однако  предсказываемая
вероятность  прямого  взаимодействия  нейт¬
рино  близка  к  нулю.  Единственная  возмож-
 404

Фиг.  238.  Схематический  разрез
нейтринного  детектора  в  защите
ядерного  реактора.
 Баки  /,  II  и  III  содержат  по  370  галлонов
жидкого  сцинтиллятора,  у  каждого  имеется
1  10  фотоэлектронных  умножителей.
Позитроны,  возникающие  при  реакции
P-+N-{-e  +,  создают  в  жидком  сцинтил¬
ляторе  характерные  световые  вспышки.
 ность  наблюдения  этой  реакции  заключалась
в  использовании  исключительно  интенсив¬
ного  пучка  антинейтрино.  Современные  дос¬
тижения  в  области  развития  ядерных  реакто¬
ров  делают  это  реальным.  За  каждым  про¬
цессом  деления,  происходящим  в  ядерном
реакторе,  следует  несколько  p-распадов,  т.  е.
испускается  несколько  антинейтрино.  Для
осуществления  подобного  эксперимента  пот¬
ребовался  бы  мощный  реактор  и  уникальный
детектор  огромных  размеров.  Этот  опыт  был
проведен  группой  физиков  в  Jloc  Аламосе.
Там  использовался  детектор,  изображенный
на  фиг.  238.  И  в  1956  г.  ученым  впервые
удалось  поймать  неуловимое  нейтрино.
 Вследствие  закона  сохранения  тяжелых
частиц  протон  устойчив  по  отношению  к
слабым  взаимодействиям.  Протону  не  во  что
распадаться,  так  как  в  природе  нет  тяжелых
частиц  легче  протона.
 Возникает  вопрос:  каким  образом  нейтро¬
ну  удается  оставаться  стабильным  внутри
ядра,  если  период  полураспада  свободного
нейтрона  составляет  12  мин?  Один  из  спосо¬
бов  разрешения  этого  «парадокса»  основан
на  том,  что  энергия  связи  нейтрона  в  ядре
настолько  уменьшает  его  массу,  что  послед¬
няя  оказывается  меньше  массы  протона  в
соответствующей  ситуации.  Если  масса  атом¬
ного  ядра  благодаря  его  энергии
связи  оказывается  меньше  массы  лю¬
бой  возможной  комбинации  продук¬
тов  распада,  то  такое  ядро  будет
стабильным 	вследствие 	закона
 сохранения  энергии.  В 	этом  и
 кроется  причина  того,  что  лишь
определенные  изотопы  оказываются
стабильными,  а  все  остальные  ра¬
диоактивны.  К  примеру,  водород
и  дейтерий  стабильны,  а  тритий  (со¬
держащий  один  протон  и  два  ней¬
трона)  нестабилен.
 Пример.  Массы  ядер  трития  и  Не3
равны
 405

Следовательно,  электроны,  образующиеся  при  рас¬
паде  трития,  будут  иметь  любые  энергии  от  нуля
до  0,018  Мэе.
 Тритий  можно  получить,  бомбардируя
нейтронами  тяжелую  воду.  Как  показали
измерения,  электроны  распада,  или  Р-лучи
трития,  испускаются  с  кинетическими  энер¬
гиями  вплоть  до  0,018  Мэе,  а  период  полу¬
распада  равен  12  лет.
 Бета-распад  можно  проиллюстрировать
также  на  примере  изотопа  С14,  который  встре¬
чается  в  природе  в  небольших  количествах.
Он  образуется  благодаря  поглощению  в
атмосфере  нейтронов  космического  излуче¬
ния,  а  также  нейтронов,  возникающих  при
взрывах  водородных  бомб.  Масса  ядра  С14
несколько  превышает  массу  ядра  N14  и  элект¬
рона.  Поэтому  благодаря  слабым  взаимо¬
действиям  должен  происходить  следующий
распад:
 В  данном  случае  период  полураспада
7=5000  лет.  С  другой  стороны,  масса  ста¬
бильного  изотопа  С12  оказывается  меньше  мас¬
сы  любой  возможной  комбинации  продуктов,
содержащих  12  нуклонов.  Согласно  закону
сохранения  энергии,  ядру  С12  не  во  что  рас¬
падаться,  и  поэтому  оно  избавлено  от  слабых
взаимодействий.  Большинство  искусствен¬
ных  радиоактивных  изотопов  .претерпевает
Р-распад,  испуская  либо  позитрон  и  нейтри¬
но,  либо  электрон  и  антинейтрино.
 406
 Кинетическая  энергия,  приобретенная  е~  и  v,
определяется  разностью  масс
 Масса  электрона  Ме_  =  0,511  Мэе.  Будет  ли  тритий
испытывать  р-распад?  И  если  это  так,  то  какова
максимально  возможная  энергия  Р-лучец?
 Если  масса  трития  окажется  больше  массы  Не3
и  электрона,  то  в  этом  случае  закон  сохранения
энергии  не  будет  запрещать  реакцию

§  3.  Антивещество
 АНТИМИР
 Из  релятивистской  квантовой  теории  час¬
тиц  со  спином  Уг  следует  не  только  принцип
запрета,  но  и  существование  так  называемых
античастиц.  Античастица  должна  иметь  в
точности  ту  же  массу,  что  и  частица,  но
противоположный  заряд.  Кроме  того,  анти¬
частица  может  аннигилировать  с  соответст¬
вующей  ей  частицей.  При  этом  происходит
непосредственное  превращение  двух  масс  по¬
коя  в  энергию  в  форме  других  частиц,  таких,
как  фотоны.  Первой,  ставшей  известной
человеку  античастицей  оказался  позитрон,
открытый  в  1933  г.  в  камере  Вильсона,  облу¬
чавшейся  космическими  лучами.  Первый  по¬
зитрон  обнаружили  случайно,  несмотря  на
то,  что  его  существование  уже  было  пред¬
сказано  релятивистской  квантовой  теорией.
Позитрон,  или  положительный  электрон,
имеет  ту  же  массу,  что  и  электрон,  но  проти¬
воположный  заряд.  Если  позитрон  останав¬
ливается  в  веществе,  то  он  вскоре  аннигили¬
рует  с  электроном,  превращаясь  обычно  в
два  фотона:
 При  этом  энергия  каждого  фотона  должна
составлять  0,51  Мэву  т.  е.  должна  быть  рав¬
на  массе  покоя  электрона.  Позитрон  легко
создать  с  помощью  процесса,  носящего  наз¬
вание  рождения  пар.  Этот  процесс  заклю¬
чается  в  том,  что  фотон  высокой  энергии
соударяется  с  ядром  и  нацело  превращается
в  пару  частиц  —  электрон  и  позитрон:
 Это  один  из  многочисленных  примеров  пря¬
мого  превращения  энергии  в  массу  покоя.
Как  упоминалось  в  предыдущем  параграфе,
электрон  и  позитрон  могут  возникать  при
Р-распаде.  Но  при  этом  наряду  с  позитроном
всегда  рождается  и  нейтрино.
 Античастица  протона  носит  наименование
антипротона,  или  отрицательного  протона  Р
 407

После  открытия  позитрона  в  1933  г.  мно¬
гие  физики  стали  считать,  что  должен  суще¬
ствовать  и  антипротон.  Теория  указывала,
что  антипротоны  можно  было  бы  создать,
бомбардируя  ядра  протонами  с  кинетической
энергией  6  Бэв.  Одна  из  реакций  рождения
антипротонов  имела  бы  следующий  вид:
 Р  +  Р—+  Р  +  Р  +  Р  +  Р.
 В  данном  случае  энергия  б  Бэв  непосредст¬
венно  превращается  в  массу  покоя  и  кинети¬
ческую  энергию  пары  протон  и  антипротон.
Возможность  открытия  антипротона  явилась
одним  из  главных  аргументов,  заставивших
Комиссию  по  атомной  энергии  США  соору¬
дить  в  Беркли  (штат  Калифорния)  гигантский
ускоритель  протонов  —  Беватрон.  Этот  уско¬
ритель,  изображенный  на  фиг.  239,  сооб¬
щает  протонам  кинетическую  энергию
 Фиг.  239.  Беватрон  Калифорний¬
ского  университета  (Беркли,  США).

6,2  Бэв,  которой  только-только  хватает
для  образования  пары  протон  и  анти¬
протон.
 Антипротон  был  открыт  в  1955  г.  на  вто¬
ром  году  работы  Беватрона.  Год  спустя  был
открыт  антинейтрон  N.  Поскольку  нейтрон  —
это  частица,  лишенная  заряда,  то  антинейт¬
рон  также  должен  быть  нейтральным.  Од¬
нако  антинейтрон  быстро  аннигилирует  ли¬
бо  с  нейтроном,  либо  с  протоном.  Продук¬
тами  аннигиляции  антинуклонов  обычно  яв¬
ляются  л-мёзоны  (см.  §  5).  На  фиг.  240  изоб¬
ражена  следующая  цепочка  событий:  анти¬
протон  попадает  в  пузырьковую  камеру  с
жидким  водородом,  замедляется  до  полной
остановки  и  аннигилирует  с  одним  из  ядер
водорода.  На  этой  фотографии  массы  покоя
протона  и  антипротона  превращаются  в
пять  л-мезонов:
 Р  +  Р—►  л+  +  л+  +  я"  + 	+ 	я°*
 Возникает  вопрос,  почему  все  атомы  во¬
дорода  построены  из  положительных  прото¬
нов  и  отрицательных  электронов,  а  не  из
отрицательных  протонов  (антипротонов)  и
положительных  электронов  (позитронов)?
Подобный  «обращенный»  атом  водорода  но¬
сит  название  антиводорода,  а  вещество,
построенное  из  антинуклонов  и  орбитальных
позитронов,  называют  антивеществом.  Из
общих  соображений,  основанных  на  свойст¬
вах  симметрии,  следует  ожидать,  что  поло¬
вина  всех  атомов  во  Вселенной  будет  пред¬
ставлять  собой  антивещество.  Трудно  по¬
нять,  почему  положительный  заряд  должен
преобладать  над  отрицательным.  С  другой
стороны,  если  бы  на  Земле  или  даже  в  нашей
Галактике  имелось  антивещество,  то  оно  не
смогло  бы  долго  просуществовать.  Доволь¬
но  скоро  оно  проаннигилировало  бы  с  вы¬
делением  энергии,  более  чем  в  1000  раз  эф¬
фективным,  нежели  при  взрыве  водородной
бомбы.  В  настоящее  время  существуют  ги¬
потезы  о  том,  что  некоторые  галактики,  воз¬
можно,  состоят  из  антивещества,  однако
убедительных  доказательств  их  справедли¬
вости  пока  нет.
 409

Как  уже  упоминалось,  античастицей  нейт¬
рино  является  антинейтрино  v.  Согласно
теории,  фотон  должен  совпадать  со  своей
античастицей.  Таким  образом,  наш  список
элементарных  частиц  с  учетом  античастиц
увеличился  до  девяти  наименований  (у,  v,v,
в",  Р,  Р  ,  N,  N).
 Фиг.  240.  Случай  остановки  анти¬
протона  в  пузырьковой  камере  с
жидким  водородом.
 Антипротон  аннигилирует  с  протоном
Продуктами  аннигиляции  являются  пять
я-мезонов:  два  положительных,  два  отри¬
цательных  и  один  нейтральный.  Один  из
положительных  мезонов  также  останавли¬
вается  и  затем  распадается  на  д  +-мезон,
который  в  свою  очередь  останавливается
и  распадается  на  позитрон.
 §  4.  Симметрия  античастиц
 ОКАЖЕТСЯ  ЛИ  АНТИМИР  ИНЫМ?
 Допустим,  что  в  процессе  какого-либо
физического  опыта  все  частицы  внезапно
превратились  в  соответствующие  античас¬
тицы.  Приведет  ли  опыт  в  этом  случае  к
прежним  результатам?
 Вплоть  до  1957  г.  физики  считали,  что
античастицы  должны  подчиняться  в  точно¬
сти  тем  же  законам,  что  и  их  двойники.  В
принципе  не  должно  существовать  спосо¬
бов,  позволяющих  установить,  из  чего  по¬
строена  определенная  физическая  система  —
из  обычного  вещества  или  антивещества.
Этот  фундаментальный  принцип  симметрии
мы  будем  называть  симметрией  античастиц.
Теоретики  обычно  называют  его  инвариант¬
ностью  относительно  зарядового  сопряже¬
ния.
 Зарядовое  сопряжение  представляет  со¬
бой  математическую  операцию,  превращаю¬
щую  все  частицы  в  их  античастицы  и  остав¬
ляющую  все  остальное  неизменным.  Сопря¬
женным  по  заряду  для  атома  водорода  яв¬
ляется  антиводород.  Из  симметрии  антича¬
стиц  следует,  что  спектр,  испускаемый  га¬
зообразным  антиводородом,  должен  в  точ¬
ности  совпадать  со  спектром  обычного  водо¬
рода.  Поскольку  создание  античастиц  пред¬
ставляет  собой  нелегкую  задачу  (еще  не
удалось  создать  антиводород),  то  некото¬
рые  следствия  симметрии  античастиц  труд¬
но  проверить  на  опыте.
 В  1957  г.  физики  были  потрясены,  узнав,
что  слабые  взаимодействия  нарушают  сим¬
метрию  античастиц.  Характер  этого  наруше¬
ния  будет  обсуждаться  в  §  6.
 411

§  5.  Три  десятка  элементарных
частиц
 ЭЛЕМЕНТАРНЫ  ЛИ  ВСЕ  ОНИ?
 В  этом  параграфе  читателю  будут  пред¬
ставлены  одна  за  другой  оставшиеся  частицы.
Несмотря  на  наличие  среди  частиц  ряда  об¬
щих  свойств  и  группировок,  количество  при¬
водимых  здесь  данных  может  показаться  не¬
сметным,  заставляя  заподозрить,  сущест¬
вует  ли  что-либо  более  элементарное  и  про¬
стое,  чем  элементарные  частицы.  Мы  подошли
фактически  к  центральной  проблеме  физики.
В  своем  изложении  мы  достигли  теперь  перед¬
ней  линии  человеческих  знаний  о  физическом
строении  мира.  В  оставшихся  параграфах
книги  мы  попытаемся  дать  читателю  представ¬
ление  о  современных  «пионерских»  исследова¬
ниях  окружающего  нас  мира.
 Существуют  еще  два  класса  элементарных
частиц,  не  упоминавшихся  пока  нами.  Все
частицы,  принадлежащие  этим  двум  клас¬
сам,  нестабильны.  К  одному  из  них  отно¬
сятся  частицы  тяжелее  электрона,  но  легче
протона.  Такие  частицы  называют  мезонами.
К  другому  классу  относятся  частицы  тяжелее
протона.  Их  называют  гиперонами.  При  рас¬
паде  гиперонов  всегда  образуются  нуклоны.
Поэтому  гипероны  следует  приравнять  к
тяжелым  частицам,  и  они  должны  подчинять¬
ся  закону  сохранения  тяжелых  частиц
(т.  е.  полное  число  тяжелых  частиц  должно
оставаться  постоянным).
 Мезоны
 Известны  мезоны  следующих  типов: 	л-
 и  /(-мезоны.  Масса  jm-мезонов  составляет
примерно  г/8,  масса  л-мезона  —  примерно
х/7,  а  масса  А>мезона  —  около  половины  мас¬
сы  протона.
 Подобно  электронам,  |ш-мезоны  имеют
спин,  равный  У2,  и  могут  быть  лишь  отри¬
цательными  и  положительными  (pi",  pi+).
Нейтрального  jm-мезона  не  существует.  Не
считая  массы,  ji-мезон,  по-видимому,  пол¬
 412

ностью  подобен  электрону  и  его  можно  рас¬
сматривать  как  тяжелый  электрон.  Однако
в  природе  других  тяжелых  электронов  не
встречается.  Объяснение  причины,  по  кото¬
рой  природа  снабдила  нас  «электронами»
двух  и  только  двух  типов,  представляет  со¬
бой  одну  из  текущих  задач  теоретической
физики.  Античастицей  по  отношению  к  |х~
является  |х+-мезон.  Вследствие  существова¬
ния  универсального  взаимодействия  Ферми
jm-мезон  должен  распадаться  на  электрон  и
два  нейтрино:
 fi"  —>е~  +  v  +  ^
 с  периодом  полураспада,  равным  1,5  10~*тс.
Благодаря  этому  взаимодействию  все  три
частицы  v,  е  и  jx  со  спином  Уг  имеют  много
общего  и  называются  лептонами.  В  дальней¬
шем  мы  будем  чаще  называть  ^-мезон  лепто-
ном.
 Спин  я-мезонов  равен  нулю,  и  встреча¬
ются  отрицательные,  положительные  и
нейтральные  разновидности  этих  мезонов
(я~,  я+,  я0).  Античастицей  по  отношению  к  я  +
является  я"-мезон.  Подобно  фотону,  я°-мезон
тождествен  со  своей  античастицей.  Теорети¬
чески  легче  обосновать  «причину»  сущест¬
вования  я-мезонов,  нежели  ц,-мезонов.  Дей¬
ствительно,  я-мезон  предсказал  Юкава
в  1936  г.,  за  одиннадцать  лет  до  его  обнару¬
жения.  Юкава  пытался  объяснить  ядерные
силы  по  аналогии  с  квантовоэлектродинами¬
ческим  объяснением  электромагнитного  вза¬
имодействия.  Квантовая  электродинамика
объясняет  появление  электрической  силы
как  следствие  непрерывного  испускания  и
поглощения  электрическим  зарядом  вирту¬
альных  квантов  (фотонов).  Для  объяснения
больших,  короткодействующих  ядерных  сил
Юкава  ввел  виртуальные  кванты  нового
типа.  Квантовая  теория  позволяет  связать
массу  частицы  нового  типа  (кванта)  с  радиу¬
сом  действия  ядерных  сил.  Предсказанное
таким  путем  Юкавой  значение  массы  хорошо
согласуется  с  измеренной  массой  я-мезона.
Помимо  правильного  значения  массы,  Юка¬
ва  предсказал  также,  что  я-мезоны  будут
 413

сильно  взаимодействовать  с  нуклонами.  К
примеру,  л-мезоны  легко  получить  путем  со¬
ударения  нуклонов.  В  этом  случае  происхо¬
дит  прямое  превращение  кинетической  энер¬
гии  нуклонов  в  массу  покоя  л-мезона.  Ниже
перечислены  некоторые  реакции  образова¬
ния  л-мезонов:
 Р  +  Р  —  P  +  N  +  n+,
P  +  N-+  Р  +  Р  +  л-,
у  +  Р—>-N  +  n+,
у  +  Р^Р  +  п\
у  -\-N  —►РЧ-  л".
 Для  образования  л-мезонов  необходимы  про¬
тоны  с  энергией  в  несколько  сотен  Мэе.
Пучки  таких  протонов  можно  получить  с
помощью  синхроциклотронов  (см.  фиг.  150).
 Впервые  л-мезон  был  обнаружен  в  1947  г.
в  космических  лучах  по  следу,  оставляемо¬
му  им  в  ядерной  эмульсии  (фиг.  241).  Год
спустя,  на  синхроциклотроне  в  Беркли  были
зарегистрированы  первые  созданные  челове¬
ком  л-мезоны.  Благодаря  слабым  взаимо¬
действиям  заряженные  л-мезоны  распада¬
ются  по  следующим  схемам:
 с  периодом  полураспада  1,8-  \0~*сек.  л°-Мезон
распадается  гораздо  быстрее  на  два  фотона
за  счет  электромагнитных,  а  не  слабых
взаимодействий.  Период  полураспада  л°-ме-
зона  составляет  около  10~"сек.  Распад  л+-ме-
зона,  подобно  распаду  |ш+-мезона,  можно
наблюдать  на  снимке,  выполненном  в  пузырь¬
ковой  камере  (см.  фиг.  240).  Один  из  двух
я+-мезонов  останавливается  в  жидком  водо¬
роде,  затем  он  распадается,  давая  видимый
след  1А+-мезона  и  невидимое  нейтрино.  После
прохождения  1,1  см  |х+-мезон  также  останав-
 Фиг.  241.  След,  оставленный  в  ядер¬
ной  эмульсии  остановившимся
л-мезоном.
 Видны  распад  я+_>n++v  и  следующий  за
ним  процесс  ц+_►«+-{-v  +  v  (за  исключе¬
нием  нейтрино).  Соударения  с  заряженной
частицей  могут,  подобно  свету,  сделать
зерна  фотографической  эмульсии  способ¬
ными  к  проявлению.

ливается  и  распадается,  создавая  видимый
след  е+  и  два  невидимых  нейтрино.
 /(-мезоны
 Одной  из  новых  частиц,  открытых  в  по¬
следнее  время,  является  /(-мезон.  Его  спин
равен  нулю;  известны  положительные  и  ней¬
тральные  К-мезоны  СК+  и  /(^соответствую¬
щими  античастицами  К~  и  /С°.
 Благодаря  большой  массе  /(-мезон  имеет
больше  различных  возможностей  распада  за
счет  слабых  взаимодействий.  Наблюдались
следующие  типы  распада  /(+-мезона:
 К  +
 Период  полураспада  заряженного  /(-мезона
равен  0,85-10"8  сек.  Аналогичные  типы  рас¬
пада  присущи  нейтральному  /(-мезону,  пе¬
риод  полураспада  которого  равен  7-\0~Х1сек.
Почему  время  жизни/(°-мезона  оказывается
настолько  меньше  времени  жизни  /('‘"-мезо¬
на  и  каково  соотношение  между  распадом
К-мезона  и  универсальным  взаимодействием
Ферми?  Все  эти  вопросы  представляют  со¬
бой  современные  проблемы  теоретической
физики.  Образование  /(-мезонов  обсуждает¬
ся  в  следующем  параграфе.
 Г  ипероны
 Существуют  три  различных  сорта  элемен¬
тарных  частиц  тяжелее  протона.  Они  обо¬
значаются  заглавными  греческими  буквами
А  (ламбда),  2  (сигма)  и  S  (кси).  Все  они  рас¬
падаются  благодаря  слабым  взаимодейст¬
виям  на  нуклоны  и,  таким  образом,  подчиня¬
ются  закону  сохранения  тяжелых  частиц.
 До  сих  пор  мы  встречались  с  двумя  приме¬
рами  того,  что  называется  сильным  взаи¬
модействием: 	1) 	силы, 	действующие  меж¬
 ду  двумя  нуклонами,  и  2)  взаимодействие
 415

я-мезона  с  нуклоном  (например,  рожде¬
ние  я-мезонов).  Точно  так  же  взаимодей¬
ствия  гиперонов  и  /С-мезонов  с  нуклонами
и  мезонами  служат  примерами  сильных  взаи¬
модействий.  Одним  из  многочисленных  при¬
меров  таких  взаимодействий  являются  про¬
цессы  образования  гиперонов  и  /С-мезонов.
Наиболее  изучена  следующая  реакция  об¬
разования  гиперонов:
 На  фиг.  242  показана  фотография  этого
процесса,  полученная  в  пузырьковой  каме¬
ре  с  жидким  водородом.  Необходимые  пучки
я-мезонов  высокой  энергии  легко  получить  на
ускорителях  протонов  на  энергии  в  несколь¬
ко  Бэв.  Отметим,  что  гиперон  рождается  сов¬
местно  с  /f-мезоном.  В  действительности,
так  должно  быть  всегда.  Это  требование  сов¬
местного  (ассоциативного)  рождения  спра¬
ведливо  для  всех  процессов  образования
гиперонов  я-мезонами  и  нуклонами.  По  этой
причине  гипероны  и  /С-мезоны  были  названы
и  называются  сейчас  странными  частицами.
Оказалось,  что  все  сильные  взаимодействия
подчиняются  новому  закону  сохранения,  по¬
лучившему  наименование  сохранения  стран¬
ности  (подробности  мы  опускаем).
 Л-частица  на  37  Мэе  тяжелее  протона  и
я-мезона,  вместе  взятых.  Она  нейтральна,  а
ее  спин  равен  Уг.  Основные  способы  распа¬
да  Л-частицы  таковы:
 2-частица  на  78  Мэе  тяжелее  Л-частицы;
ее  спин  равен  Уг.  2-частица  может  быть
положительной,  нейтральной  или  отрица¬
тельной.  Ее  основные  способы  раСпада  тако¬
вы:
 416

Фиг.  242.  Ассоциативное  рождение
Л-гиперона  и  К°-мезона  в  пузырько¬
вой  камере  с  жидким  водородом.
я~-мезон  с  энергией  1  Бэв  от  Беватрона
попадает  в  камеру  и  образует  при  столкно¬
вении  с  протоном  Л  и  К0.
 Джей  Орир

Фиг.  243.  Образование  антиламбда-
гиперона  в  реакции  Р+Р-*-А+А.
 Л-гиперон  распадается  на  я  +  -мезон  и  ан¬
типротон.  Антипротон  затем  останавли¬
вается  и  аннигилирует  с  протоном  в
жидком  водороде.

Распад  2°-частиц  происходит  значительно
быстрее  распадов  2  +  или  2”  потому,  что  он
обусловлен  электромагнитными  взаимодей¬
ствиями,  которые  примерно  в  1012  раз  интен¬
сивнее  слабого  взаимодействия.
 S-гиперон  на  205  Мэе  тяжелее  Л-частицы
и  имеет  отрицательную  и  нейтральные  раз¬
новидности.  Наблюдались  следующие  типы
распада:
 Фиг.  244.  Таблица  элементарных
частиц.
 Частицы  приведены  в  левой  части  рисунка.
Отражение  справа  представляет  собой
набор  соответствующих  античастиц.
Кружками  обведены  стабильные  частицы.
В  таблице  указана  масса  (заряженных
я-мезонов;  масса  я°-мезонов  составляет
204,2  (в  единицах  массы  электрона).
 У  каждого  гиперона  должна  существовать
античастица  с  противоположным  знаком.
На  фиг.  243  показано  рождение  Л-частицы
 в  реакции  Р+Р-*Л+Л.
 Список  известных  к  1961  г.  элементар¬
ных  частиц  выглядит  следующим  образом
(в  порядке  возрастания  массы): 	фотон  -у;
 лептоны  v,  в  и  [х;  мезоны  к  и  /С;  нуклоны
Р  и  iV;  гипероны  А,  2  и  S.  Если  учесть
 14*
 419

частицы  с  различным  зарядом  и  античасти¬
цы,  то  полное  число  частиц  окажется  рав¬
ным  30.  Все  они  включены  в  таблицу,  изоб¬
раженную  на  фиг.  244.  Частицы  изображены
слева,  а  соответствующие  им  античастицы
«отражаются»  на  противоположной  правой
стороне  фигуры.  Как  явствует  из  §  6,  это  не¬
что  большее,  нежели  просто  удобный  способ
изображения.  Если  взглянуть  на  физику  в
зеркало,  то  все  частицы  превратятся  в  соот¬
ветствующие  античастицы.  Это  таинственное
замечание  получит  свое  объяснение  в  следую¬
щем  параграфе.
 §  6.  Несохранение  четности
 «Л  л  и  с  а:  «Яришлась  бы  тебе  по  вкусу  жизнь
в  зеркале,  Китти?  Интересно,  будут  ли  тебе
там  давать  молоко?  Может  быть,  зеркальное
молоко  невкусное?»  0
 В  этом  параграфе  мы  узнаем,  что  Льюис
Кэррол  был  прав  —  зеркальное  молоко,
если  не  отвратительно,  то  уж  во  всяком  слу¬
чае  не  приятно.  Кроме  того,  мы  увидим,  что
слабые  взаимодействия  приводят  к  наруше¬
нию  не  только  закона  сохранения  четности,
но  и  симметрии  античастиц,  которая  обсуж¬
далась  в  §  4.  Сохранение  четности  представ¬
ляет  собой  математическую  формулировку
свойства  симметрии,  называемого  инвариант¬
ностью  относительно  отражений.  Инвариант¬
ность  относительно  отражений  означает,  что
зеркальное  отображение  любого  физического
явления  само  по  себе  является  реальным  фи¬
зическим  явлением.  Принцип  сохранения
четности  говорит,  что  если  некто  наблюдает
в  зеркале  любой  физический  эксперимент
и  не  знает,  что  он  видит  все  это  в  зеркале,
то  нет  способа,  который  позволил  бы  наблю¬
дателю,  исходя  из  результатов  опыта,  уста¬
новить,  действительно  ли  он  смотрел  в  зер-
 Из  книги  «Алиса  в  Зазеркалье»  Л.  Кэррола
(настоящее  имя  Чарльз  Л.  Доджсон,  1832—1898,—
английский  писатель  и  профессор  математики  Окс¬
фордского  университета,  автор  известной  книги
«Алиса  в  стране  чудес».  Обе  книги  выходили  в
русском  переводе).—  Прим.  ред.
 420

Фиг.  245.  Винт  с  правой  резьбой
 (а) 	и  его  зеркальное  отражение
 (б) 	(известное  как  винт  с  левой
резьбой).
 кало.  Иначе  говоря,  все  основные  законы
физики  должны  одинаково  описываться  мате¬
матически  в  левосторонней  и  в  правосторон¬
ней  системах  координат.  Одно  из  следствий
сохранения  четности  состоит  в  том,  что  опы¬
ты  не  помогут  рассеянному  профессору  опре¬
делить,  какая  из  его  рук  является  правой.
Определение,  основанное  на  том,  с  какой  сто¬
роны  расположено  сердце,  было  бы  сплошным
надувательством.  Оно  эквивалентно  надева¬
нию  перчатки  с  надписью  «левая».
 В  действительности  же  молекулы  его
тела  и  в  этом  смысле  все  живое  на  Земле
эквивалентно  помеченным  перчаткам  (см.
начало  гл.  14).  Создаваемые  организмами
белковые  молекулы  построены  из  амино¬
кислот  —  все  они  целиком  принадлежат  к
веществам  с  левовинтовым  строением.  (Иск¬
лючение  составляют  антибиотики,  такие,  как
пенициллин,  которые  содержат  определен¬
ный  процент  правовинтовых  аминокислот.
Считают,  что  подобная  структура  делает  их
смертоносными  для  бактерий  и  обусловливает
их  использование  как  антибиотиков.)  С  дру¬
гой  стороны,  химики  могут  синтезировать
правовинтовые  белки,  и,  как  следует  ожи¬
дать,  исходя  из  сохранения  четности,  эти
белки  имеют  в  точности  те  же  свойства,  что
и  естественные  разновидности.  Единственное
различие  состоит  в  том,  что  одни  являются
зеркальным  изображением  других  (фиг.  245).
 Тот  факт,  что  на  Земле  в  биологической
среде  молекулы  всегда  воспроизводятся  с
одной  и  той  же  зеркальной  симметрией,  тог¬
да  как  те  же  самые  молекулы,  синтезируемые
химиками,  всегда  образуются  в  виде  смеси
левовинтовых  и  правовинтовых  разновид¬
ностей  в  отношении  1:1,  может  показаться
загадочным.  Объяснение,  возможно,  заклю¬
чается  в  том,  что  первоначальные  формы
жизни  на  Земле  были  как  левовинтовыми,
так  и  правовинтовыми.  При  этом  животные
и  растения  одного  вида  могли  быть  несовмес¬
тимы  и,  возможно,  губительны  по  отношению
к  животным  и  растениям  другого  вида.  В
конце  концов  в  борьбе  за  существование
одна  форма  одержала  победу  над  другой.
 421

Фиг.  246.  Фотография  профессора
Ли,  чье  исследование  в  сотруд¬
ничестве  с  Янгом  привело  к  ниспро¬
вержению  закона  сохранения  чет¬
ности.
 Какое  изображение  вы  видите  на  фотогра¬
фии,  истинное  или  зеркальное?
 Для  проверки  сообразительности  чита¬
теля  мы  на  фиг.  246  приводим  фотографию
профессора  Ли  из  Принстонского  институ¬
та.  Есть  ли  на  ней  какие-либо  призна¬
ки,  позволяющие  уверенно  сказать,  как
получена  эта  фотография  —  непосредст¬
венно  или  по  изображению  в  зеркале?  На
первый  взгляд  может  показаться,  что  это
зеркальное  изображение  Ли.  Обозначения
на  доске  перевернуты,  а  Ли,  по-видимому,
пишет  левой  рукой.  Сообразительный
читатель  может  заподозрить  обман,  а  имен¬
но,  что  Ли  в  качестве  шутки  нарочно
писал  обозначения  наоборот.
 Более  внимательное  рассмотрение  об¬
наруживает,  что  пуговицы  на  его  пиджаке
находятся  на  правой  стороне.  Основы¬
ваясь  на  твердо  распространенном  во  всем
мире  обычае  пришивать  пуговицы  на  муж¬
ской  одежде  справа,  а  на  женской  одежде—
слева,  читатель  может  прийти  к  правиль¬
ному  выводу,  что  фотография  дает  истин¬
ное  изображение.  (Мы  не  пошли  на
такую  крайность,  чтобы  заказывать  у
портного  специальный  пиджак  с  пугови¬
цами  на  левой  поле  и  петлями  на  правой).
 По  причинам,  изложение  которых
выходит  за  рамки  данной  книги,  сохра¬
нение  четности  запрещает  распад  /С-мезо¬
нов  как  на  два,  так  и  на  три  я-мезона.
/С-мезонам  разрешается  распадаться  либо
одним,  либо  другим  способом,  но  не
обоими.  Однако  на  опыте  наблюдались
оба  способа  распада.  Это  заставило
Ли  и  Янга  в  1956  г.  всерьез  усо¬
мниться  в  «самоочевидной  истине»,  что
природа  не  должна  отдавать  предпо¬
чтение  правому  по  сравнению  с  левым
или  наоборот.  Ли  и  Янг  выдвинули  пред¬
положение,  что  слабые  взаимодействия
действительно  нарушают  «священный»
принцип  сохранения  четности.  Кроме
того,  они  предложили  поставить  неко¬
торые  конкретные  опыты  для  проверки
своей  гипотезы.  Мы  сейчас  и  займемся
более  подробным  рассмотрением  одного
из  этих  экспериментов.  Например,  распад
 422

я+-мезона,  возникающим  как  следствие
слабых  взаимодействий:
 Фиг.  247.  Распад  я+-мезона  (а)  него
зеркальное  отражение  (б).
 Ли  и  Янг  считали,  что  спины  возникаю¬
щих  при  распаде  ^-мезона  и  нейтрино,  воз¬
можно,  будут  ориентированы  преимуще¬
ственно  вдоль  направления  их  движения.
 Мы  покажем  теперь,  что  если  это  так,  то
инвариантность  относительно  отражений  бу¬
дет  нарушаться.  Мы  схематически  сопоста¬
вили  спину  движение  в  экваториальной
плоскости  вращающейся  частицы.  Частицы
будут  изображаться  в  виде  вращающихся
сфер.
 Согласно  предположению  этих  ученых  рас¬
пад  я+-мезона  должен  выглядеть  так,  как  это
изображено  на  фиг.  247;  \i+  и  v  должны  вра¬
щаться  в  противоположных  направлениях,
с  тем  чтобы  их  спины  при  сложении  давали
спин  я-мезона,  равный  нулю.  На  фиг.  247,6
изображено  отражение  в  зеркале  частиц,
возникающих  при  распаде.  Отметим,  что
в  зеркале  сферы  будут  казаться  вращаю¬
щимися  в  противоположных  направлениях.
Участок  экватора  ^+-мезона  или  v  на  исход¬
ном  графике  (фиг.  247,  а)  описывал  бы  лево¬
винтовую  линию,  а  на  изображении  в  зеркале
(фиг.  247,6)  —  правовинтовую  линию.  Кар¬
тина,  изображенная  на  фиг.  247,  а,  впервые
наблюдалась  в  1957  г.  группой,  работающей
на  циклотроне  Колумбийского  университета.
Зеркально  отраженный  вариант  (фиг.  247,  6)
никогда  не  встречался  в  природе.  Таким  об¬
разом,  четность  не  сохраняется.  Нейтрино
всегда  обладают  свойством  левого  винта.  Не-
сохранение  четности  впервые  наблюдалось  в
опыте  по  0-распаду,  который  выполнила  By
в  Колумбийском  университете  и  группа
физиков  Национального  бюро  стандартов  в
Вашингтоне.  Теперь  мы  знаем,  что  нейтрино
всегда  вращаются  подобно  левым  винтам,
а  антинейтрино  —  подобно  правым.
 Все  еще  трудно  поверить,  что  структура
пространства  делает  левое  предпочтительным
по  сравнению  с  правым.  Однако  доказатель¬
ство  настолько  просто  и  ясно,  что  каждый
 423

Фиг.  248.  Распад,  сопряженный  по
заряду  распаду  я+-мезона,  т.  е.
с  заменой  частиц  античастицами
(а),  и  результат,  наблюдаемый  на
опыте  —  распад  я~-мезона  (б).
 почти  немедленно  убеждается  в  его  справед¬
ливости.  Таким  образом,  чтобы  найти  свою
левую  руку,  рассеянному  профессору  доста¬
точно  просто  обратиться  к  любому  нейтрино
или  |х+-мезону,  образующимся  при  распаде
я+-мезона,  когда  мы  сталкиваемся  с  отсут¬
ствием  симметрии  в  законе  природы.  Причи¬
ной  всех  волнений  явилось  то,  что  это  был
первый  случай,  когда  обнаружилось  нару¬
шение  основного  принципа  симметрии.
 Нарушение  симметрии  античастиц
 Если  к  фиг.  247,  а  применить  операцию
зарядового  сопряжения,  то  мы  получим  рас¬
пад,  изображенный  на  фиг.  248,  а.  Заметим,что
при  этом  антинейтрино  оказывается  лево¬
винтовым.  Однако  из  опыта  теперь  известно,
что  антинейтрино  всегда  является  право¬
винтовым,  как  показано  на  фиг.  248,6.  На
этой  фигуре  распад  я~-мезона  изображен  та¬
ким,  каким  он  получается  на  опыте.  Итак,
мы  здесь  сталкиваемся  со  случаем,  когда
замена  частиц  соответствующими  античасти¬
цами  приводит  к  ситуации,  которая  не  встре¬
чается  в  природе,  что  является  очевидным
нарушением  симметрии  античастиц.
 Отметим,  что  если  отразить  распад  я+-ме-
зона  в  зеркале  (см.  фиг.  247,  а)  и  заменить
частицы  соответствующими  античастицами,  то
мы  получим  правильный  результат  для  рас¬
пада  я~-мезона  (см.  фиг.  248,  б).  Таким  об¬
разом,  общая  симметрия  сохраняется.  В  рас¬
поряжении  рассеянного  профессора,  попав¬
шего  в  удаленную  галактику,  по-прежнему
не  будет  способа,  который  позволил  бы  ему
определить,  какая  рука  правая,  так  как  мы
не  знаем,  построена  ли  его  галактика  из
вещества  или  из  антивещества,  и  не  можем
предложить  ему  способ,  позволяющий  отли¬
чать  |х+-  от  |х~-мезона.  И  наоборот,  пока  он
не  научится  отличать  правое  от  левого,  он
не  сможет  установить,  построены  ли  его  атомы
из  электронов  или  позитронов.  Эту  общую
симметрию  теоретики  называют  СР-инвари-
антностью.  В  период  написания  этой  книги
считалось,  что  слабые  взаимодействия  не
нарушают  СР-инвариантности.  Возможность
 424

существования  подобной  общей  симметрии
удовлетворительна  с  методологической  точ¬
ки  зрения  и  облегчает  примирение  с  несохра-
нением  четности  и  нарушением  симметрии
античастиц.
 §  7.  Сводка  законов  сохранения
 ЧТО  ЕСТЬ  ИСТИНА?
 Обсуждавшаяся  выше  внезапная  недав¬
няя  утрата  двух  законов  сохранения  слу¬
жит  еще  одним  предостережением  ученым  и
философам  в  отношении  справедливости  дру¬
гих  «неприкосновенных»  законов  физики.
К  примеру,  никогда  не  удавалось  в  общем
виде  доказать  справедливость  закона  сохра¬
нения  энергии.  Однако  если  бы  обнаружи¬
лось  хоть  одно-единственное  нарушение  этого
закона,  то  это  явилось  бы  абсолютным  дока¬
зательством  того,  что  закон  сохранения  энер¬
гии  несправедлив.  Сделав  эти  предостереже¬
ния,  мы  приведем  окончательную  сводку
законов  сохранения.  Для  полноты  приведены
и  те  законы,  которые  не  освещались  в  нашем
изложении.
 1. 	Сохранение  полной  энергии,  включая
массу  покоя.
 2. 	Сохранение  полного  импульса.
 3. 	Сохранение  полного  момента  количест¬
ва  движения.
 4. 	Сохранение  заряда.
 5. 	Сохранение  тяжелых  частиц  (или  барио-
нов).  Нуклонам  и  гиперонам  соответствует
барионный  заряд,  равный  +1.  Их  античас¬
тицам  соответствует  барионный  заряд,  рав¬
ный—  1.  Этот  закон  утверждает,  что  полное
число  барионов  должно  оставаться  посто¬
янным.
 6. 	Сохранение  лептонов.  Этот  закон  мож¬
но  рассматривать  как  аналог  предыдущего
закона  в  случае  легких  частиц.  Лептонный
заряд  v,  е~  и  \i~  равен  +1,  а  лептонный  заряд
их  античастиц  равен  —1.  Согласно  этому
закону,  полное  число  лептонов  до  и  по¬
сле  взаимодействия  должно  быть  одина¬
ковым.
 425

7. 	Зарядовая  независимость  (часто  назы¬
вается  сохранением  изотопического  спина).
Этот  закон  справедлив  лишь  для  сильных
взаимодействий.  Вследствие  существования
электромагнитных  взаимодействий  точность
полученных  на  основе  этого  закона  пред¬
сказаний  лежит  в  пределах  1%.  Зарядовая
независимость  предсказывает  тождествен¬
ность  сил,  действующих  между  двумя  про¬
тонами,  силам,  действующим  между  нейтро¬
ном  и  протоном.
 8. 	Сохранение  странности  (ассоциатив¬
ное  рождение  странных  частиц).  Этот  за¬
кон  справедлив  для  всех  сильных  и  электро¬
магнитных  взаимодействий,  но  нарушается
слабыми  взаимодействиями.
 9. 	Симметрия  античастиц.  Этот  закон
также  справедлив  для  всех  сильных  и  элект¬
ромагнитных  взаимодействий,  но  нарушается
слабыми  взаимодействиями.
 10. 	Сохранение  четности.  Этот  закон  так¬
же  справедлив  для  всех  сильных  и  электро¬
магнитных  взаимодействий,  но  нарушается
слабыми  взаимодействиями.
 11. 	Общая  симметрия  частиц-античас-
тиц  (СР-инвариантность).  Этот  закон  ут¬
верждает,  что  если  любой  эксперимент  отра¬
зить  в  зеркале  и  заменить  все  частицы  соот¬
ветствующими  античастицами,  то  этот  новый
эксперимент  будет  также  «законнорожден¬
ным».
 §  8.  Задачи  на  будущее
 ЭТО  ТОЛЬКО  НАЧАЛО
 Нелепо  пользоваться  терминами  «элемен¬
тарный»,  говоря  о  30  элементарных  частицах.
В  действительности  число  30  несколько  за¬
вышено.  Более  целесообразно  иметь  дело  с
10  различными  типами  частиц: 	фотоном,
 нейтрино,  электроном,  jLi-мезоном,  я-мезоном,
/С-мезоном,  нуклоном,  А-частицей,  S-гиперо¬
ном  и  2-гипероном.  Разумно  надеяться,  что  в
будущем  число  истинно  элементарных  час¬
тиц  сократится.  Возможность  взаимных  пре¬
 426

вращений  (совместных  с  законами  сохране¬
ния)  всех  элементарных  частиц  укрепляет
надежду  на  существование  единого  поля,
для  которого  эти  частицы  будут  различными
«квантовыми  состояниями».  Подобная  единая
теория  должна  была  бы  предсказать  массы
существующих  «элементарных»  частиц.  Кроме
того,  эта  окончательная  теория  должна  обе¬
спечить  вычисление  заряда  электрона  и  всех
прочих  физических  констант.  В  настоящее
время  все  физические  константы  типа  с,  е,  Л,
те,  тР  и  т.  п.  являются  полностью  независи¬
мыми.  Вообще  говоря,  по  мере  нашего  про¬
движения  к  окончательной  истине  у  нас  долж¬
на  появиться  возможность  вычисления  не¬
которых  из  этих  констант  на  основе  других
констант.  Например,  сейчас  мы  можем  выра¬
зить  энергию  связи  атома  водорода  через  е,
h  и  те.  Другой  пример:  современная  теория
универсального  взаимодействия  Ферми  по¬
зволяет  выразить  время  жизни  [х-мезона  через
время  жизни  нейтрона.
 Окончательная  теория  должна  будет  не
только  предоставить  нам  способ  вычисления
заряда  электрона  (или  силы  электромагнит¬
ного  взаимодействия),  но  и  объяснить  силь¬
ное,  слабое  и  гравитационное  взаимодейст¬
вия.  Последнее  оказывается  значительно
меньше  слабого  взаимодействия.  В  действи¬
тельности  же  гравитационное  взаимодейст¬
вие  оказывается  примерно  во  столько  раз
меньше  слабого  взаимодействия,  во  сколько
слабое  меньше  сильного,  что  не  может  быть
простой  случайностью.  Делались  безуспеш¬
ные  попытки  объяснить  тяготение  с  помощью
нейтрино.  Возможно,  что  однажды  тяготение
будет  объяснено  на  основе  иных,  казалось
бы,  не  связанных  с  ним  явлений.  Кроме  того,
в  число  нерешенных  проблем  входят  проис¬
хождение,  размеры  и  эволюция  Вселенной.
Создается  ли  вещество  из  «ничего»?  Не  су¬
ществуют  ли  галактики,  построенные  из  ан¬
тивещества  и  равночисленные  обычным  га¬
лактикам?
 Наши  представления  о  строении  физичес¬
кого  мира  подвергались  длительной  эволю-
 427

ции  со  времен  Аристотеля,  когда  все  объяс¬
нялось  комбинацией  четырех  основных  эле¬
ментов:  огня,  воды,  воздуха  и  земли.  Сейчас
в  нашем  распоряжении  имеется  полное  и
удовлетворительное  объяснение  строения
обычного  вещества,  основанное  на  квантовой
электродинамике.  Однако  в  своих  попытках
понять  что  из  многообразия  элементарных
частиц  и  их  взаимодействий  является  дейст¬
вительно  фундаментальным  —  мы  выглядим
пока  довольно  беспомощными.
 1. 	Что  является  античастицей  антинейтрино?
 2. 	Каков  период  полураспада  антинейтрино  и  ка¬
ковы  продукты  его  распада?
 3. 	В  каждом  из  приведенных  ниже  запрещенных
типов  распада  укажите,  с  нарушением  какого  закон.i
сохранения  он  связан?
 4. 	Каков  заряд  2  +  -гиперона?
 5. 	За  а-распадом  U238  происходят  два  последо¬
вательных  Р  -распада.  Чему  равны  величины  Z  и  А
конечного  продукта?
 6. 	Ядро  Pu239  (Z  =  94)  испытывает  а-распад.  До¬
чернее  ядро  испытывает  два  последовательных
0-распада.  Затем  образовавшееся  ядро  бомбар¬
дируется  нейтронами  и  поглощает  4  нейтрона.  Че¬
му  равны  величины  Z  и  А  конечного  продукта?
 7. 	Антипротон  останавливается  и  аннигилирует  с
протоном.  В  результате  образуются  три  я-ме-
зона  равной  энергии.  Какова  кинетическая  энер¬
гия  каждого  я-мезона  (в  Мэе)?
 8. 	«Атом»,  представляющий  собой  электрон,  свя¬
занный  с  позитроном,  может  просуществовать  не¬
который  промежуток  времени  (—10  6  сек),  по
истечении  которого  он  аннигилирует.  Подобная  си¬
стема  называется  позитронием.  Какая  система
будет  сопряженной  по  заряду  с  позитронием?
 9. 	Допустим,  что  все  продукты  аннигиляции,  изо¬
браженные  на  фиг.  240,  не  испытывают  в  дальней¬
шем  взаимодействия,  а  распадаются.  Допустим  так¬
же,  что  заряженные  я-мезоны  превращаются  в
 428

Фиг.  249.  К  задаче  15
 ц-мезоны,  которые  затем  распадаются.  Единственны¬
ми  конечными  продуктами  будут  е~,  е  +,  v,  v  и
фотоны.  Сколько  образуется  частиц  каждого  сорта?
 10. 	Изображение  правого  винта,  спроектированное  на
матовый  стеклянный  экран,  имеет  вид  правого  же
винта.  Каким  будет  казаться  винт  —  правым  или
левым,  если  посмотреть  на  экран  с  другой  стороны?
 11. 	Правый  винт  ввинчивается  в  отверстие  с  резь¬
бой.  Каким  будет  казаться  винт,  если  смотреть  со
стороны  отверстия,—  правым  или  левым?
 12. 	Допустим,  что  зеркало  на  фиг.  247,  а  располо¬
жено  не  горизонтально  внизу,  а  вертикально  спра¬
ва.  Нарисуйте  изображение  в  этом  зеркале.  Каким
будет  изображение  р,  +  -мезона  —  правовинтовым  или
левовинтовым?
 13. 	При  захвате  р,”-мезона  протоном  эти  части¬
цы  благодаря  универсальному  взаимодействию
Ферми  могут  превратиться  в  нейтрон  и  другую  час¬
тицу.  Что  это  за  частица?  (Она  должна  удовлетворять
закону  сохранения  лептонов.)
 14. 	Изобразите  на  рисунке,  как  выглядела  бы  в
пузырьковой  камере  реакция  К~  +  Р  -+■  2  +я  +  ,
предполагая  при  этом,  что  /(“-мезон  останавливает¬
ся,  а  2"-гиперон  распадается  на  лету.
 15. 	Если  ядра  Со60  ориентированы  так,  что  их  спи¬
ны  «смотрят»  вверх,  то  Р-частицы  будут  испускать¬
ся  преимущественно  вниз.  Нарисуйте  зеркальное
изображение  этого  распада.
 а) 	Как  будет  направлен  спин  отраженного
 в  зеркале  ядра  Со60,  если  зеркало  расположено  .
горизонтально  (воспользуйтесь  тем  же  обозна¬
чением  направления  спина,  как  и  на  фиг.  249)?
 б) 	Как  будет  направлен  спин  отраженного
в  зеркале  ядра  Со60,  если  зеркало  расположено
вертикально?
 в) 	В  каждом  из  полученных  в  результате
зеркального  отражения  состояний  выясните  на¬
правление  вылета  электрона  (параллельно  или
антипараллельно  спину).
 16. 	На  практике  при  остановке  левовинтовых
р,  +  -мезонов  их  позитроны  распада  испускаются  пре¬
имущественно  в  обратном  направлении.  Рассмотрим
случай,  когда  позитрон  вылетает  в  точности  на¬
зад,  a  v  и  v  вылетают  точно  в  направлении  вперед.
Каким  будет  позитрон  —  левовинтовым  или  право¬
винтовым?
 17. 	При  распаде  Л  +  ц+  +  v  энергия  нейтрино  сР
и  кинетическая  энергия  ц-мезона  (Р2/2Л4|ц)  чер¬
паются  из  разности  масс.  Найти  Р  и  кинетическую
энергию  р,-мезона  (в  Мэе).
 18. 	Определите  максимальную  энергию  электрона
при  распаде  -+■  е~  +  v  +  v,  считая  электрон  на¬
столько  релятивистским,  что  его  импульс  Р  =  W/c.
 4  29

За  время,  прошедшее  с  момента  выхода  первого  издания  этой
книги,  наука  не  стояла  на  месте,  многие  ее  рубежи,  особенно
в  физике,  ушли  далеко  вперед.  Так,  синхротрон  Корнеллского
университета,  о  котором  автор  упоминает  на  стр.  282  и  след.,
теперь  уже  не  крупнейший  в  мире.  В  настоящее  время  работа¬
ют  (и  строятся)  электронные  синхротроны  на  энергии  6—7  Г  эв.
 Важные  новые  результаты  получены  в  физике  элементарных
частиц.  В  приведенной  на  стр.  419  таблице  элементарных  час¬
тиц  их  насчитывается  30.  Впоследствии  было  открыто  еще
пять  частиц,  не  испытывающих  сильных  распадов.  К  семейству
стабильных  «долгоживущих»  частиц  добавились: 	^-мезонное
 нейтрино  (со  своим  антинейтрино),  й_-гиперон  (и  его  антича¬
стица)  и  т]°-мезон,  совпадающий  со  своей  античастицей.  Но,
кроме  того,  на  сцене  появилось  многочисленное  (более  100)  се¬
мейство  короткоживущих  частиц-резонансов,  испытывающих  бы¬
стрые  (за  времена  порядка  10-23  сек)  сильные  распады.
 Первые  успехи  недавно  были  достигнуты  в  систематике
элементарных  частиц.  Элементарные  частицы  и  резонансы,  об¬
ладающие  одинаковым  спином  и  четностью  (по  предложению
Гелл-Манна,  Неемана  и  др.),  удалось  объединить  в  группы  из
8  и  10  членов  (октеты  и  декуплет).  Так,  одна  из  двух  октет-
ных  групп  мезонов  состоит  из  те-,  п°,  п+, 	К~,  К°,  K°t
 а  октет  барионов  содержит  следующие  частицы:  р,  л,  Л°,  2  +  ,
 2“,  Е°,  Е".
 При  построении  декуплетной  группы  одно  место  оказалось
вакантным.  И  Гелл-Манн  пришел  к  выводу,  что  это  место  дол¬
жна  занимать  тогда  еще  неизвестная  частица—тяжелый  Q--
гиперон.  Гелл-Манн  предсказал  его  массу,  спин  и  другие  свойства.
После  того  как  это  далеко  не  тривиальное  предсказание  было
подтверждено  экспериментально,  новая  система  оказалась  в
центре  внимания  физиков.
 Для  объединения  октетов  и  декуплета  была  выдвинута  ги¬
потеза  «кварков»  —субэлементарных  частиц  с  дробными  элект¬
рическими  зарядами  +2/3,  V3,  —  V3  (и  соответствующих  ан¬
тикварков).  Согласно  этой  гипотезе,  все  сильно  взаимодейству¬
ющие  частицы  должны  состоять  из  кварков.  Так,  протон  должен
состоять  из  двух  кварков  с  зарядом  +  2/3  и  одного  кварка  с  заря¬
дом  •—  V3;  -мезон  должен  состоять  из  кварка  с  зарядом  -f-  2/3  и
антикварка  с  зарядом  +  */з  и  т-  п-  Однако  все  попытки  экспери¬
ментально  обнаружить  кварки  пока  были  безуспешными.
 Физикам,  по-видимому,  придется  распрощаться  и  с  инвари¬
антностью  слабых  взаимодействий  относительно  обращения  вре¬
мени.  Обнаружение  распадов  долгоживущего  /С°-мезона  не  толь¬
ко  на  три,  но  и  на  два  гс-мезона  подорвало  веру  в  СР-инвари¬
антность  слабых  взаимодействий.  Под  сомнение  поставлены  ин¬
вариантность  относительно  зарядового  сопряжения  и  обращения
времени  электромагнитных  взаимодействий  сильно  взаимодей¬
ствующих  частиц.  —Ред.
 Примечание
ко  второму
изданию

ТАБЛИЦЫ
 |и  Полезные  переводные  множители
 1  дюйм
 2,54  см
 1  миля
 1,61  км,  или  5280  фут
39,37  дюйм
 1  м
 1  миллиме
 44,7  см\сек
 60  миль/час
 88  фут  1  сек
 1  кг
 2,204  фунт
 1  ньютон
 105  дин
 1  дж
 107  эрг
 1  кал
 4,18  дж
 1  кулон
 З-Ю9  CGSE  (Q)
 1  CGSE  (V)
 300  в
 1  эв
 1,6-Ю  12  эрг
 1  Мэе
 1,6-10-®  эрг
 1  А
 10"8  см
 ■  Некоторые  физические  константы
 Скорость  света  с
 3*1010  см  I  се  к
 Заряд  электрона  е
 4,8*  10“10  CGSE(Q)
 Ускорение  силы  тяжести
 на  поверхности  земли  g
 980  см  jce  к2
 Гравитационная  постоян¬
 ная  G
 6,67.10-8  см3/г•сек''
 Постоянная  Планка  h
 6,62*  10-27  эрг»сек
 Постоянная  Больцмана  k
 1,38*  10“16  эрг1град
 Масса  электрона  т
 9,11*10-“  г
 Масса  протона  МР
 1,67*  10-24  г
 М  pjm  =  1837
 Энергия  покоя  электрона
 тс2
 0,51  Мэе
 Энергия  покоя  протона
 Мрс2
 938  Мэе
 Число  Авогадро  N0
 6,02*  1023
 Атмосферное  давление  Р0
 1,01  -  10е  дин\смг
 Абсолютный  нуль  Т  =  0°К
 —273°  С
 Радиус  Земли
 6378  км
 Расстояние  от  Земли  до
 Луны
 384  400  км
 Расстояние  от  Земли  до
 Солнца
 149  500  000  км
 ПРИЛОЖЕНИЕ

Ill
 Элементы  г)
 Элемент
 Символ
 Атомный
 номер
 Средний
 атомный
 вес
 Азот
 N
 7
 14,0067
 Актиний
 Ас
 89
 227
 Алюминий
 А1
 13
 26,9815
 Америций
 Ат
 95
 (243)
 Аргон
 Аг
 18
 39,948
 Барий
 Ва
 56
 137,34
 Бериллий
 Be
 4
 9,0122
 Берклий
 Bk
 97
 (249)
 Бор
 В
 5
 10,811
 Бром
 Вг
 35
 79,909
 Ванадий
 V
 23
 50,942
 Висмут
 Bi
 83
 209,980
 Водород
 Н
 1
 1,0079:
 Вольфрам
 W
 74
 183,85
 Гадолиний
 Gd
 64
 157,25
 Галлий
 Ga
 31
 69,72
 Гафний
 Hf
 72
 178,49
 Гелий
 Не
 2
 4,0026
 Германий
 Ge
 32
 72,59
 Гольмий
 Но
 67
 164,930
 Диспрозий
 ОУ
 66
 162,50
 Европий
 Eu
 63
 151,96
 Железо
 Fe
 26
 55,847
 Золото
 Au
 79
 196,967
 Индий
 In
 49
 114,82
 Иод
 J
 53
 126,9044
 Иридий
 Ir
 77
 192,2
 Иттербий
 Yb
 70
 173,04
 Иттрий
 Y
 39
 88,905
 Кадмий
 Cd
 48
 112,40
 Калий
 К
 19
 39,102
 Калифорний
 Cf
 98
 (249)
 Кальций
 Ca
 20
 40,08
 Кислород
 0
 8
 15,9994
 Кобальт
 Co
 27
 58,9332
 Кремний
 Si
 14
 28,086
 Криптон
 Kr
 36
 83,80
 Ксенон
 Xe
 54
 131,30
 Кюрий
 Cm
 96
 (245)
 Лантан
 La
 57
 138,91
 Лоуренсий
 Lw
 103
 1
 Элемент
 Символ
 Атомный
 номер
 Средний
атомнь  i
вес
 Литий
 Li
 3
 6,639
 Лютеций
 Lu
 71
 174,97
 Магний
 Mg
 12
 24,312
 Марганец
 Mn
 25
 54,9380
 Медь
 Си
 29
 63,54
 Менделевий
 Md
 101
 (256)
 Молибден
 Mo
 42
 95,94
 Мышьяк
 As
 33
 74,9216
 Натрий
 Na
 11
 22,9898
 Неодим
 Nd
 60
 144,24
 Неон
 Ne
 10
 20,183
 Нептуний
 Np
 93
 (237)
 Никель
 Ni
 28
 58,71
 Ниобий
 Nb
 41
 92,906
 102
 (253)
 Олово
 Sn
 50
 118,69
 Осьмий
 Os
 76
 190,2
 Палладий
 Pd
 46
 106,4
 Платина
 Pt
 78
 195,09
 Плутоний
 Pu
 94
 (242)
 Полоний
 Po
 84
 210
 Празеодим
 Pr
 59
 140,907
 Прометий
 Pm
 61
 (145)
 Протактиний
 Pa
 91
 231
 Радий
 Ra
 88
 226
 Радон
 Rn
 86
 222
 Рений
 Re
 75
 186,2
 Родий
 Rh
 45
 102,905
 Ртуть
 Hg
 80
 200,59
 Рубидий
 Rb
 37
 85,47
 Рутений
 Ru
 44
 101,07
 Самарий
 Sm
 62
 150,35
 Свинец
 Pb
 82
 207,19
 Селен
 Se
 34
 78,96
 Сера
 S
 16
 32,064
 Серебро
 Ag
 47
 107,870
 Скандий
 Sc
 21
 44,956
 Стронций
 Sr
 38
 87,62
 Сурьма
 Sb
 51
 121,75
 Таллий
 T1
 81
 204,37
 Тантал
 Та
 73
 180,948
 Теллур
 Те
 52
 127,60
 Тербий
 Tb
 65
 158,924

Продолжение
 Элемент
 Символ
 Атомный
 номер
 Средний
 атомный
 вес
 Технеций
 Тс
 43
 (99)
 Титан
 Ti
 22
 47,90
 Торий
 Th
 90
 232,038
 Тулий
 Tm
 63
 168,934
 Углерод
 С
 6
 12,01115
 Уран
 и
 92
 238,03
 Фермий
 Fm
 100
 (255)
 Фосфор
 Р
 15
 30,9738
 Франций
 Fr
 87
 223
 Фтор
 F
 9
 18,9984
 Элемент
 Символ
 Хлор
 Хром
 Цезий
 Церий
 Цинк
 Цирконий
 Эрбий
 Эйнштейний
 Средний
 атомный
 вес
 С1
 17
 35,453
 Сг
 24
 51,996
 Cs
 55
 132,905
 Се
 58
 140,12
 Zn
 30
 65,37
 Zr
 40
 91,22
 Er
 68
 167,26
 Es
 99
 (255)
 В  таблице  приведены  средние  атомные  веса  на  1  января  1962  г.,
вычисленные  в  соответствии  с  рекомендацией  Международных  союзов  по
чистой  и  прикладной  физике  и  химии  о  принятии  в  качестве  новой  еди¬
ницы  атомного  веса  */12  веса  атома  С12.  —  Прим.  ред.

К  главе  1
 Freeman,  Modern  Introductory  Physics,  гл.  1,  2,
New  York,  1957.
 Physics,  Educational  Services  Inc.,  Vol.  1,  New
York,  1960.
 R  asswei  1  er,  Harris,  Mathematics  and  Me¬
asurements,  Evanston,  111.,  1955.
 К  главе  2
 Holton,  Roller,  Foundations  of  Modern  Phy¬
sical  Science,  гл.  1,  2, 	3,  5,  Reading,  Mass.,
 1958.
 Humphreys,  Beringer,  First  Principles  of
Atomic  Physics,  гл.  2,  3,  New  York,  1950.
 Physics,  Educational  Services  Inc.,  Vol.  1,  New
York,  1960.
 К  главе  3
 Humphreys,  Beringer,  First  Principles
of  Atomic  Physics,  гл.  4,  7,  New  York,  1950.
 P  e  i  e  r  1  s,  The  Laws  of  Nature,  гл.  1,  New  York,
1956  (см.  перевод:  P.  Пайерлс,  Законы  при¬
роды,  М.,  1960).
 Physics,  Educational  Services  Inc.,  Vol.  3,  гл.  1,  2,  4,
New  York,  1960.
 К  главе  4
 Cohen,  The  Birth  of  a  New  Physics,  New  York,
1960.
 Holton,  Roller,  Foundations  of  Modern  Phy¬
sical  Science,  гл.  9,  11,  12,  Reading,  Mass.,  1958.
 Michelwait,  Tompkins,  Park,  “Inter¬
planetary  Navigation”,  Scientific  American,
March,  1960.
 Physics,  Educational  Services  Inc.,  Vol.  3,  гл.  3,
New  York,  1960.
 «Time»,  January  19,  1959,  научный  раздел.
 К  главе  5
 Р  е  i  е  г  1  s,  The  Laws  of  Nature,  гл.  1,  New  York,
1956  (см.  перевод:  P.  П  а  й  e  p  л  с,  Законы  при¬
роды,  М.,  1960).
 Physics,  Educational  Services  Inc.,  Vol.  3,  гл.  5,  6,
New  York,  1960.
 К  главе  6
 G  a  m  о  w,  One,  Two,  Three...  Infinity,  гл.  8,  New
York,  1947.
 G  1  a  s  e  r,  ‘‘The  Bubble  Chamber”,  Scientific  Ameri¬
can,  February  1955.
 Humphreys,  Beringer,  First  Principles
of  Atomic  Physics,  гл.  8,  9,  New  York,  1950.
 P  e  i  e  r  1  s,  The  Laws  of  Nature,  гл.  4,  5,  New  York,
1956  (см.  перевод:  P.  П  а  й  e  p  л  с,  Законы  при¬
роды,  М.,  1960).
 Physics,  Educational  Services,  Inc.,  Vol.  3,  гл.  7,
New  York,  1960.
 434
 Рекомендованная
литература

К  главе  7
 Humphreys,  Beringer,  First  Principles
of  Atomic  Physics,  гл.  11,  12,  New  York,  1950.
 Physics,  Educational  Services  Inc.,  Vol.  4,  гл.  1,  2,  3,
New  York,  1960.
 К  главе  8
 Humphreys,  Beringer,  First  Principles  of
Atomic  Physics,  гл.  13,  14,  15,  New  York,
1950.
 P  e  i  e  r  1  s,  The  Laws  of  Nature,  гл.  3,  New  York,
1956  (см.  перевод:  P.  Пайер  лс,  Законы  при¬
роды,  М.,  1960).
 Physics,  Educational  Services  Inc.,  Vol.  4,  гл.  4,  5,
Nevv  York,  1960.
 Lives  in  Science,  Part  4,  New  York,  1957.
 К  главе  9
 Fink,  Lutyens,  The  Physics  of  Television,
New  York,  1960.
 Humphreys,  Beringer,  First  Principles
of  Atomic  Physics,  гл.  17,  28,  New  York,  1950.
 Wilson,  “Particle  Accelerators”,  Scientific  Ameri¬
can,  March  1958.
 К  главе  10
 Bergerak,  Pierce,  David,  Waves  and
the  Ear,  New  York,  1960.
 G  a  m  о  w,  Matter,  Earth,  and  Sky,  гл.  6,  Englewood
Cliffs,  New  Jersey,  1958.
 Humphreys,  Beringer,  First  Prin¬
ciples  of  Atomic  Physics,  гл.  19,  New  York,
1950.
 Pei  e  r  1  s,  The  Laws  of  Nature,  гл.  3,  New  York,
1956  (см.  перевод:  P.  Пайерлс,  Законы  при¬
роды,  М.,  1960).
 Physics,  Educational  Services  Inc.,  Vol.  2,  New
York,  1960.
 К  главе  11
 De  Benedetti,  "The  Mossbauer  Effect’*,  Scien¬
tific  American,  April  1960.
 Einstein,  “On  the  Generalized  Theory’*,  Scien¬
tific  American,  April  1950.
 G  a  m  о  w,  Matter,  Earth,  and  Sky,  гл.  7,  21,  Engle¬
wood  Cliffs,  New  Jersey,  1958.
 G  a  m  о  w,  One,  Two,  Three...  Infinity,  гл.  3,  4,  5,
New  York,  1947.
 Hoyle,  “The  Steady-State  Universe”,  Scientific
American,  September  1956.
 Humphreys,  Beringer,  First  Principles  of
Atomic  Physics,  гл.  20,  New  York,  1950.
 P  eier  1  s,  The  Laws  of  Nature,  гл.  6,  New  York,
1956  (см.  перевод:  P,  Пай  ерлс,  Законы  при¬
роды,  М.,  1960).
 К  главе  12
 D  а  г  г  о  w,  “The  Quantum  Theory”,  Scientific  Ame¬
rican,  March  1952.
 435

G  a  m  о  w,  Matter,  Earth,  and  Sky,  pp.  288—298,
Englewood  Cliffs,  New  Jersey,  1958.
 G  a  m  о  w,  “The  Principle  of  Uncertainty”,  Scientific
American,  January  1958.
 Humphreys,  Beririger,  First  Principles
of  Atomic  Physics,  гл.  21,  24,  New  York,  1950.
 Morrison,  “Cause,  Chance,  and  Creation’*,  Sa¬
turday  Evening  Post,  April  30,  I960.
 P  e  i  e  г  1  s,  The  Laws  of  Nature,  гл.  7,  New  York,
1956  (см.  перевод:  P.  П  а  й  e  p  л  с,  Законы  при¬
роды,  М.,  1960).
 Physics,  Educational  Services  Inc.,  Vol.  4,  гл.  6,
New  York,  1960.
 Schroedinger,  "What  is  Matter?’*,  Scientific
American,  September  1953.
 К  главе  13
 G  a  m  о  w,  One,  Two,  Three...  Infinity,  гл.  6,  New
York,  1947.
 G  a  m  о  w,  Matter,  Earth,  and  Sky,  pp.  298—313,
Englewood  Cliffs,  New  Jersey,  1958.
 Holton,  Roller,  Foundations  of  Modern  Phy¬
sical  Science,  гл.  34,  35,  Reading,  Mass.,  1958.
 Humphreys,  Beringer,  First  Principles  of
Atomic  Physics,  гл.  22,  23,  24,  New  York,  1950.
 P  e  i  e  r  1  s,  The  Laws  of  Nature,  гл.  7,  8,  New
York,  1956.  (см.  перевод:  P.  Пайерлс,  За¬
коны  природы,  М., 	1960).
 К  главе  14
 В  и  с  h  h  о  1  d,  “Applications  of  Superconductivity”,
Scientific  American,  March  1960.
 Davis,  “Low-Temperature  Physics”,  Scientific
American,  June 	1949.
 G  a  m  о  w, 	Matter, 	Earth, 	and  Sky,  pp.  278—
 287,  Englewood  Cliffs,  New  Jersey,  1958.
 L  i  f  s  h  i  t  z,  “Superfluidity”,  Scientific  American,
June  1958.
 Matthias,  “Superconductivity”,  Scientific  Ame¬
rican,  November  1957.
 P  e  i  e  r  1  s,  The  Laws  of  Nature,  гл.  8,  New  York,
1956  (см.  перевод:  P.  П  а  й  e  p  л  с,  Законы  при¬
роды,  М.,  1960).
 W  a  n  n  i  е 	г,  “The 	Nature 	of 	Solids”, 	Scientific
 American,  December  1952.
 К  главе  15
 В  e  t  h  e,  “What  Holds  the  Nucleus  Together?”,
Scientific  American,  September  1953.
 G  a  m  о  w, 	Matter, 	Earth, 	and 	Sky,  гл. 	14,  Eng¬
 lewood  Cliffs,  New  Jersey,  1958.
 Fowler,  “The  Origin  of  the  Elements”,  Scientific
American,  September  1956.
 Hofstadter,  “The  Atomic  Nucleus”,  Scientific
American,  July  1956.
 Humphreys,  Beringer,  First  Principles
of  Atomic  Physics,  гл.  25,  26,  27,  29,  New  York,
1950.
 436

Hurley,  “Radioactivity  and  Time”,  Scientific
American,  August  1949.
 Marshak,  “The  Nuclear  Force”,  Scientific  Ameri¬
can,  March  1960.
 Morrison,  “The  Neutron”,  Scientific  American,
October  1951.
 P  e  i  e  r  1  s,  The  Laws  of  Nature,  гл.  10,  New  York,
1956  (см.  перевод:  P.  П  а  й  e  p  л  с,  Законы  при¬
роды,  М.,  1960).
 Р  е  i  е  г  1  s,  “Models  of  the  Nucleus”,  Scientific
American,  January  1959.
 Post,  “Fusion  Power”,  Scientific  American,  Decem¬
ber  1957.
 Rossi,  “Where  Do  Cosmic  Rays  Come  From?”,
Scientific  American,  September  1953.
 Seaborg,  Ghiorso,  “The  Synthetic  Elements
II”,  Scientific  American,  December  1956.
 К  главе  16
 Bello,  “Physics:  The  Magnificent  Riddle”,  Fortune,
January  1957.
 Bello,  “Great  American  Scientists:  The  Physicists”,
Fortune,  March  1960.
 Burbidge,  Hoyle,  “Antimatter”,  Scientific
American,  April  1958.
 Gell-Mann,  Rosenbaum,  “Elementary
Particles”,  Scientific  American,  July  1957.  *
 Marshak,  “Pions”,  Scientific  American,  January
1957.*
 Morrison,  “The  Neutrino”,  Scientific  American,
January  1956.  *
 Morrison,  “The  Overthrow  of  Parity”,  Scientific
American,  April  1957.  *
 P  e  i  e  r  1  s,  The  Laws  of  Nature,  гл.  11,  New  York,
1956  (см.  перевод:  P.  Пайерлс,  Законы  при¬
роды,  М.,  1960).
 S  е  g  г  е,  W  i  е  g  а  п  d,  “The  Antiproton”,  Scientific
American,  June  1956.  *
 Treiman,  “The  Weak  Interactions”,  Scientific
American,  March  1959.
 *  См.  перевод  в  сборнике  „Над  чем  думают  фи-
зики“,  вып.  2,  Элементарные  частицы,  М.,  1963.—
Прим.  ред.

Ответы  на  задачи
с  нечетными  номерами
 X  —
 438
 Г  лава  1
 1.  60  миль/час  =  88  фут!сек.
 3.  Плотность  протонов  составляет  3,05-1015  г/см3.
 5-  Р  =  3/5-
 7.  В  (1,5)3  =  3,375  раза  (или  на  237,5%).
 9.  4-105  гц.
 15.  х  =  3,  у  =  —  5.
 17.  Разность  масс  нейтрона  и  протона  составляет
 1,293  единицы  (4  значащих  цифры).
 19.  1,75  м.
 Глава  2
 1. 	Согласно  уравнению  (2.1),  s  должно  линейно
возрастать  с  /,  а  уравнение  (2.4)  не  содержит
такого  ограничения.
 3.  Уравнение  (2.1)  неприменимо  всякий  раз,  ког¬
да  скорость  меняется  со  временем.
 5.  В  точке  наивысшего  подъема.
 7.  v  =  9,8  м/сек  и  s  =  4,9  м.
 9. 	а  =  —2,5  м/сек2  и 	/  =  4  сек.
 И. 	v0  =  3,22  км/сек  и 	t  =  330  сек.
 13.  s  =  179  м.
 15. 	-  ,1480  м.
 17. 	В  момент  падения 	на  плоскость 	v 	= 	19,6 	м/сек,
 в  момент  отскока 	v  =  9,8  м/сек. 	Время 	равно
 5  сек.
 19.  Ракета-перехватчик  за  1  мин  достигнет  высоты
176,5  км.
 21.  v  =  2,15-10®  м/сек  спустя  год  и  2,985-10®  м/сек
(v/c  =  0,995)  спустя  10  лет.
 23.,  На  поверхности  земли  ускорение  g  =  9,8  м/сек2,
т.  е.  в  3700  раз  больше  результата,  полученного
в  задаче  22.
 25.  Среднесуточная  температура  равна  50,5°.
 Глава  3
 1. 	Нет.
 3.  Внешней  силой,  ускоряющей  М,  является  сила,
действующая  со  стороны  дороги  на  заднюю  шину
(это  реакция  дороги  на  отталкивание  шины).
Внешней  силой,  которая  может  остановить  Af,
является  воздействие  дороги  на  шины  и  сопро¬
тивление  воздуха.
 5.  Результирующая  сила,  действующая  на  любое
тело,  движущееся  с  постоянной  скоростью,
равна  нулю.
 7.  Увеличение  импульса  равно  (Ft0).
 9.  F  =  1600  ньютон;  t  =  1,25  сек.

11. 	v  —  2,36-10®  см!сек;  7,5Ы015  оборотов  в  1  сек.
 13.  а  =  333  см!сек2.  Натяжение  нити  между  тележ¬
ками  равно  3,33•  103  дин;  натяжение  веревки,
которую  тянет  ребенок,  равно  1,41*10*  дин.
Сила,  с  которой  пол  действует  на  тележку  с
массой  20  г,  равна  1,96-104  дин.
 15.  v  =  70  см!сек.
 17.  а  —  19,6  м/сек2  =  2  g.
 Глава  4
 1. 	Да.  G  имеет  на  Марсе  то  же  значение,  что  и  на
Земле.
 3.  м3/кг-сек2.
 5.  Центростремительное  ускорение  любого  спут¬
ника  Земли  не  зависит  от  массы  спутника.
 7.  881  ныотон,  588  ньютон,  нуль.
 9.  Кажущийся  вес  и  натяжение  веревки  равны
420  ньютон.
 11. 	Нуль.
 13.  38  100  км  от  Луны.
 15.  Ускорение  силы  тяжести  на  высоте  161  км  со¬
ставляет  0,952  g.
 17.  Путь  т  —  масса  спутника  Юпитера,  М  —  масса
Юпитера.  Тогда
 19.  Радиус  составит  74  старого  радиуса,  а  период
1/8  старого  периода.
 21.  Сила  притяжения  1  кг  массы  Землей  равна
272  дин;  сила  притяжения  Солнцем  599  дин.
 Глава  5
 1. 	Парабола,  как  на  фиг.  15.
 3.  Нет.
 5.  66,7  см._
 7.  v  —  Y2*60  км/час.
 9.  300  эрг;  потенциальная  энергия  возрастет.
 11. 	и0  —  20  см/сек.
 13.  6,23*  105  эрг.  Эта  энергия  идет  на  нагревание
пули  и  бруска.
 439

19.  49  ньютон.
 Глава  6
 1.  10,2  м.
 3.  Нагрузка  не  увеличится.
 5.  6,24.10е  дин!см2.
 7.  а)  912  ньютон.
 б)  1050  ньютон.
 9.  Давление  нужно  изменить  на  0,267  атм.
 11. 	а)  28,8  г.
 б) 	28,8  г.
 в) 	12  см3.
 13.  Объем  вытесненной  жидкости  останется  преж¬
ним.
 15.  3,54*  103  молекул  в  1  см3.
 17.  N  =  PV/kT;  D  =  Pm/kT.
 Глава  7
 1. 	Уменьшится.
 3.  а  =  60  см/сек2.
 5.  а)  Нуль,
б)  Нуль.
 г) 	4  УТдин/CGSE,  направлено  вниз.
 7.  Водород  —  N0  электронов/г;  углерод  —  NJ2
электронов/г\  U238  —  927V0/238  электронов/г.
 9.  Положительный.
 11. 	v  =  3,09-10®  см/сек.
 13.  V  =  40  CGSE.
 15.  1,6*  10”®  эрг.
 17.  а)  Q  =  —  1,29.10е  CGSE.
 б) 	Е  =  2,58.10®  dun/CGSE(Q).
 21.  а)  М0/8.
 б)  */2.
 в) 	g/2.
 23.  С  =  С,  +  С2.
 25.  а)  £  =  2  (q,+  Q2)/r.
б)  Е  =  2q,//\
 27.  V/  =  —— 	.
 г2—(L2/4)
 Глава  8
 1. 	Нет.
 3.  а)  Нуль.
 б)  0,2  гс.
 5.  э.д.с.=  10“®  АУУд/АЛ
7.  0,3  я  CGSE  (V).
 9.  а)  В  сторону  страницы.
 б) 	10  см.
 в) 	9,1  -Ю”13  дин.
 г) 	В  =  0,57  гс.
 440
 15.  Начальная  энергия  £кин  =  284  дж.  Конечна,»
энергия  £кин  =10  220  дж.  Перемещая  гантели,
спортсмен  совершает  работу.  Кинетическая
энергия  системы  возрастает  на  величину  этой
работы.

11. 	а)  В  =  0,4  гс.
 б)  Нулю.
 13.  а)  Правый.
 б) 	Вправо.
 в) 	Не  действует.
 15.  а)  1,07.10"*  CGSE(l').
 б) 	На  западном.
 17.  43,2  м.
 19.  а)  7,95-107  CGSE(/)/c,w.
 б) 	1,67.10”2  гс.
 Глава  9
 1.  У  лампочки.
 3.  CGSE  (Q)/cm2.
 5.  15  750  гц.
 7.  1  эв.
 9.  1,29  а.
 13.  м  =  ‘™
 2  vc
 Глава  10
 1.  Половина  длины  волны.
 3.  4000  А  —  7000  А.
 5.  1024  гц.
 7.  Нет.  Для  сохранения  компенсации  скорость  по¬
всюду  вдоль  струны  должна  также  быть  равна
нулю.
 9.  4660  А.
 11. 	Условие  максимума  D,  —Ог  —  —.
 Условие  минимума  Dx—D2=-^
 13.  В  той  же  точке.
 15.  Изображение  будет  прямым  и  увеличенным.
 17.  vjvx.
 19. 	60°.
 Глава  11
 1. 	На  фактор
 г  1—v2jc2
 3.  Быстрее.
 5.  а)  9,1%.
 W
 б)  £кин  -  Ш°.
 7.  6,32-1010  г  в  год.  Земля  не  становится  тяжелее,
поскольку  она  находится  в  тепловом  равнове¬
сии  (она  излучает  ровно  столько  тепла,  сколько
и  поглощает).
 9.  Около  900  г  (испытывает  деление).
 И.  Умножим  обе  стороны  (11.9)  на  М2с4,  тогда
М2с*  —  (Mv)2c2  =  М20с*
или
 W2  —  Р2с2  =  (М0с2)2
 с2  Р2  =  W2  —  (М0с2)2.
 13.  Кинетическая  энергия  частицы.
 15.  v  =  2,36-10"18  R  см/сек,  ест  и  R  выражено  в  см.
 441

Глава  12
 1.  X  =  0,01234  А.
 3.  h/Xc.
 5.  Фотон.
 7.  4  эв.
 9.  а) 	167 	отсчетов  в 	1 	сек.
 б) 	426 	отсчетов  в 	1 	сек.
 11-  £кин  =  0,0375  эв, 	А, 	=  1,47  А.
 13.  а) 	АР 	=  6,6-10~14  г-см/сек.
 б) 	615  Мэе.
 в) 	1,44  Мэе.
 г) 	Электростатическое  взаимодействие  пример¬
но  в  400  раз  меньше,  чем  это  требуется.
 Глава  13
 1.  0,265*  10“8  см.
 3.  X  =  1216  А.
 5.  10.
 7.  hf  =  13,6  (1  —  ^2  ).  Длины  волн  соответст¬
вуют  серии  Лаймана.
 9.  а)  2,82*  103  эв.
 б) 	2,57*  10-11  см.
 в) 	2,11-103  эв.
 11. 	1,49  А.
 13.  —6,8  эв.
 Глава  14
 1.  Уменьшается.
 3.  2,62-1022  электронов  на  1  г  натрия;  3,3*  1016
электронов  на  1  г  германия.
 5.  3130  см2.
 7.  10,3-104  кал.
 9.  Металл  А.
 11. 	Около  0,3.
 13.  1,13;  2,26;  3,4;  4,15;  4,53  эв.
 Глава  15
 1.  Масса  ядра  меньше  массы  частиц.
 3. 	Три  периода  полураспада.
 5.  707.
 7. 	45,5  г.
 9. 	1,93-10*.
 Глава  16
 1.  Нейтрон.
 3. 	Сохранение  соответственно  тяжелых  частиц,  за¬
ряда,  тяжелых  частиц,  энергии  и  тяжелых  час¬
тиц.
 5. 	U2S4  (Z  =  92,  А  =  234).
 7. 	485  Мэе.  _
 9. 	2е~,  2е  +,  6v,  6v  и  2  фотона.
 И.  Правым.
 13. 	Нейтрино.
 15. 	а)  Вверх.
 б) 	Вниз.
 в) 	Параллельно  спину.
 17. 	Р  =  4,75*  10~5  г-см/сек,  £кин  =  4,1  Мэе.

От  редакции 		5
 Предисловие  автора 	к  русскому  изданию  . 	9
 Предисловие 		11
 Глава  1 	§ 	1. 	Что  такое  физика?  		16
 Введение 	§ 	2. 	Единицы  измерения 		19
 §  3. 	Математический  аппарат  физики 		22
 §  4. 	Наука  и  общество 		29
 Глава  2 	§ 	L 	СкоРость 		34
 шг 	§ 	2. 	Ускорение 		37
 Кинематика  3 	к
 §  3. 	Сложное  движение  		43
 §  4. 	Векторы 		45
 §  5. 	Полет  снаряда  		46
 §  6. 	Центростремительное  ускорение 		50
 §  7. 	Искусственные  спутники  Земли  		52
 §  8. 	Проверка  размерности 		53
 Глава  3 	§ 	1. 	Законы  движения  Ньютона 		60
 Динамика 	§ 	2. 	Закон  сохранения  импульса  		63
 §  3. 	Сила 		68
 §  4. 	Наклонная  плоскость 		71
 §  5. 	Машина  Атвуда 		72
 §  6. 	Простой  гармонический  маятник  .... 	73
 Глава  4 	§ 	1. 	Гравитационная  масса 		80
 Тяготение 	§ 	2. 	Вес  и  невесомость 		81
 §  3. 	Законы  Кеплера 		85
 §  4. 	Закон  всемирного  тяготения  Ньютона  .  . 	87
 §  5. 	Вывод  законов  Кеплера 		90
 Глава  5 	§ 	1. 	Закон  сохранения  момента 	количества  дви-
 Момент  количества 	жения 		100
 движения  и  энергия 	§ 	2. 	Центр  масс 		102
 §  3. 	Статика 		104
 §  4. 	Энергия 		106
 §  5. 	Потенциальная  энергия 		108
 §  6. 	Закон  сохранения  энергии  		 . 	110
 §  7. 	Потенциальная  энергия  силы  тяжести  .  . 	112
 §  8. 	Вторая  космическая  скорость 		114
 §  9. 	Трение  и  тепло 		116
 443
 ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 	10.  Эквивалентность  массы  и  энергии  .... 	119
 § 	11.  Закон  сохранения  тяжелых  частиц  ... 	121
 Глава  6 	§ 	1. 	Плотность 		126
 Кинетическая  теория 	§ 	2. 	Давление 		126
 § 	3.  Гидростатика  			127
 § 	4.  Атомы  и  молекулы 		130
 § 	5.  Уравнение  состояния  идеального  газа  .  . 	132
 § 	6.  Температура 		134
 § 	7.  Закон  Авогадро 		137
 § 	8.  Кинетическая  теория  тепла  			140
 § 	9.  Изменение  состояния 		142
 § 	10.  Пузырьковая  камера  		144
 § 	11.  Статистическая  механика 		146
 Глава  7 	§ 	1. 	Электронное  строение 	вещества  		154
 Электростатика 	§ 	2. 	Понятие  заряда  		156
 § 	3.  Закон  Кулона  		159
 § 	4.  Электростатическая  индукция 		162
 § 	5.  Электрическое  поле 		164
 § 	6.  Силовые  линии 		165
 § 	7.  Распределение  зарядов  		168
 §  8.  Потенциальная  энергия  электрического
 поля 		174
 §  9.  Электрический  потенциал 		179
 Глава  8 	§ 	1. 	Электрический  ток 		188
 Электромагнетизм 	§ 	2. 	Силы,  действующие 	между 	токами  .... 	190
 § 	3.  Магнитное  поле  		192
 §  4.  Сила,  действующая  на  проводник,  по  ко¬
торому  течет  ток 		195
 § 	5.  Закон  Ампера  		199
 § 	6.  Теория  магнетизма 		203
 § 	7.  Закон  индукции  Фарадея  		208
 § 	8.  Уравнения  Максвелла  		211
 § 	9.  Электромагнитное  излучение 		213
 Глава  9 	§ 	1. 	Практическая  система 	единиц  		222
 Приложения  теории 	§ 	2. 	Закон  Ома 		222
 электричества 	§ 	3. 	Теория  электрических 	цепей 		224
 § 	4.  Электронные  вакуумные  лампы 		228
 444

§  5.  Радио  и  телевидение 		231
 §  6.  Электрон-вольт 		232
 §  7.  Циклотрон 		234
 §  8.  Ускорители  частиц  высоких  энергий 	. 	. 	. 	237
 Глава  10 	§  1. 	Электромагнитные  волны 		244
 Волны  и  свет 	§  2. 	Электромагнитный  спектр 		245
 §  3. 	Интерференция 		247
 §  4. 	Интерференционная 	картина 	от  двух  щелей  254
 §  5.  Диффракционная  решетка 		259
 §  6.  Геометрическая  оптика 			260
 Глава  11 	§  1. 	Принцип  относительности 		268
 Теория  относительности 	§  2. 	Проблема  эфира 		270
 §  3.  Лоренцево  сокращение 		276
 §  4.  Замедление  течения  времени  		276
 §  5.  Парадокс  близнецов 		278
 §  6.  Релятивистское  сложение  скоростей 	. 	. 	. 	280
 §  7.  Релятивистская  механика 		282
 §  8. 	Общая  теория  относительности 		287
 §  9. 	Принцип  Маха 		289
 §  10.  Космология 		290
 Глава  12 	§  1. 	Основные  результаты  классической  физики  298
 Квантовая  теория 	§  2. 	Фотоэлектрический  эффект 		301
 §  3.  Корпускулярно-волновой  дуализм 	.... 	304
 §  4.  Диффракция  электронов 		308
 §  5.  Принцип  неопределенности 		309
 Глава  13 	§  1. 	Электронные  волны  в  ящике 		316
 Теория  атома 	§  2. 	Атом  водорода 		318
 §  3.  Спектр  водорода 		326
 §  4.  Модель  Бора 		328
 §  5.  Строение  атомов 		332
 §  6.  Периодическая  система  элементов 		336
 §  7.  Рентгеновское  излучение  .  .  .  :  * 	.  . 	. 	. 	343
 Гйава  14 	§  1. 	Теория  строения  молекул  		348
 Строение  вещества 	§  2. 	Кристаллические  тела  		350
 §  3.  Электронный  ферми-газ 		353
 §  4.  Термоэлектронная  эмиссия 		354
 445

§  5. 	Проникновение  сквозь  барьер  		355
 §  6. 	Электропроводность  		357
 §  7. 	Сверхтекучесть 		359
 §  8. 	Полупроводники 		360
 Глава  15 	§ 	1. 	Свойства  ядер 		368
 Ядерная  физика 	§ 	2. 	Радиоактивный  распад 		373
 §  3. 	Радиоизотопы 		376
 §  4. 	Биологическое  воздействие 	излучения  .  . 	379
 §  5. 	Силы,  действующие  между 	двумя  нукло¬
нами  		382
 §  6. 	Строение  ядра 		384
 §  7. 	Деление  ядер 		388
 §  8. 	Синтез  ядер 		390
 §  9. 	Космические  лучи  		393
 §  10.  Ответственность  ученых  перед  обществом  396
 Глава  16 	§ 	1. 	Введение 		400
 Элементарные  частицы 	§ 	2. 	Бета-распад  и  слабые 	взаимодействия  .  . 	402
 §  3. 	Антивещество 		407
 §  4. 	Симметрия  античастиц 		411
 §  5. 	Три  десятка  элементарных  частиц  .... 	412
 §  6. 	Несохранение  четности  		420
 §  7. 	Сводка  законов  сохранения 			425
 §  8. 	Задачи  на  будущее 		426
 Приложение  Таблицы 		431
 Рекомендованная  литература  		434
 Ответы  на  задачи  с  нечетными  номерами  .  .  . 	438

Дж.  Орир
ПОПУЛЯРНАЯ  ФИЗИКА
 Художник  Г.  И.  Мануйлов
Художественный  редактор
Е.  И.  Подмарькова
 Технический  редактор  М.  П.  Грибова
 Подписано  к  печати  28/IX 	1965  г.
 Бумага  70  X  90Vie.  14  бум.  л.,  32,8  печ.  л
Уч.-изд.  л.  24.  Изд.  № 	2/3581.
 Цена  1  р.  43  к.  Зак.  №  891.  (Темплан
1966  г.  изд-ва  «МИР»,  пор.  №  67.)
 ИЗДАТЕЛЬСТВО  «МИР»
Москва,  1-й  Рижский  пер.,  2
 Набрано  в  Первой  Образцовой
типографии  имени  А.  А.  Жданова
«I  лавполиграфпрома»  Государственного
комитета  Совета  Министров  СССР
по  печати.  Москва,  Ж-54.  Валовая,  28.
 Отпечатано  на  Ярославском  полиграф-
комбинате  Главполиграфпрома  Ко¬
митета  по  печати  при  Совете  Министров
СССР.  Ярославль,  ул  Свободы,  97