Text
А. и. ОСТРОВСКИЙ
75 ЗАДАЧ
ПО
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИНЕ
ПРОСТЫХ, НО...
ИЭДА ТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
МОСКВА 1966
Але1(,сандр Исаа«овuч Островский
75 ЗАДАЧ
ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ ....
ПРОСТЫХ, Но . . .
Редактор Ю. А. racтeB
Художественный редактор В. С. Эрде1tКО
Технический редактор О. Bu1tozpaaOBa
Корректор М. Fолубева
Сдано в набор 24jXI 1965 r. Подписано к печати 7/IV 1966 r. 84 Х 108 1 / S1 .
Леч. л. 4,125 (6,93). Уq. изд. л. 5,66. Тираж 150000 9К3. (Тем. пл. 1966 f. М 155).
А12040. Заказ М 2087.
Издательство «Просвещение Комитета по печати при Совете МИНIIСТрОВ
РСФСР. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41
Ленинrрадская типоrрафия JVg 2 имени Евrении СОКОЛОВОЙ
r лавполиrрафпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект.. 29.
Цена 15 коп.
Scan .. АА W
Djvu Joker2156
ПРЕДИСЛОВИЕ
в этой книrе 75 задач по «элементарной» мате..
матике.
Среди этих задач и совсем простые, решаемые
Б уме, и более сложные, требующие выполнения
вычислений и построений; и традиционные (курьеры,
бассейны), решаемые известными приемами, и так на..
зываемые «задачи на сообразительность», требующие
в OCHOBHO ! отыскания подхода к решению.
Цель решения каждой отдельной задачи, конечно,
не в том, чтобы выяснить: «сколько же быков было
на луrу?» или «Kor да наконец встретились туристы?»,
а в установлении особенностей данной ситуации, в
обнаружении «подводных камнеЙ», в поиске наиболее
изящноrо пути решения и в анализе полученноrо ре..
зультата. Поэтому имеется в виду, что читатель ре..
шит каждую задачу самостоятельно и, если захочет,
затем уже сверится с приведенными в книrе реше..
ниями.
Ко мноrим задачам дано несколько вариантов ре..
тения. Какой же из них следует выбрать? Это зави..
сит от цели, которая ставится при решении задачи:
«получить ответ» или «разобраться при помощи ма..
тематики в происходящих процессах, явлениях, со..
стояниях». В последнем случае часто оказываются по...
лезными rрафикн, хотя решение с их помощью мо}кет
оказаться и сложнее обычноrо аналитическоrо реше
ния.
1:18
3
Если окажется, что решение, наЙденное читателем,
лучше приведенноrо в книrе, он, l\10ЖНО надеяться,
сообщит об этом издательству.
Большинство задач составлено специально для
данной книrи; для тех задач, которые были опубли..
кованы ранее, добавлены новые решения, а иноrда
несколько изменено (усложнено) условие или поста..
влены дополнительные ВОПРОСЫ t
ЗАДАЧИ
1. ОДИНАКОВЫЕ ЦИФРЫ
Пятоrо мая тысяча девятьсот пятьдесят пятоrо ro
да я записал дату так:
5. 5. 55.
В этой записи встречается ТОЛЬКО одна цифра.........
«ПЯ'I'ь».
Ответьте на вопрос: сколько раз в течение столе-
тия запись числа, месяца и последних двух цифр rода
производится при помощи только одной и тоЙ же
цифры?
Не торопитесь с ответом! Подумайте!
2. ПОЕЗД ИДЕТ ТУДА И ОБРАТНО
Поезд идет несколько дней из А в В, а затем воз-
вращается из В в А. Каков должен быть rрафик ДВИ-
жения этой пары поездов, чтобы те участки пути, ко-
торые поезд проходит в одном направлении в светлое
время суток (с 6 ч утра до 6 ч вечера), он ПРОХОДИJI
бы В обратном направлении в темное время (с 6 ч
вечера до 6 ч утра)? Скорость движения поезда оди-
накова в обоих направлениях.
З. СОСНОВЫЕ И ДУБОВЫЕ ШПАЛЫ
Вес сосновой шпалы 27 : !CZ, а дубовой 45 !СЗ.
1
Вес 10 достаВJlенных шпал равен 384 5" KZ. Сколько
среди этих шпал сосновых и сколько дубовых?
Эта задача опубликована в одном журнале. Об-
щий путь решения подобных задач «на смешение» хо..
рошо известен. Однако нельзя ли в данном случае не..
сколько упростить вычисления и, может быть, даже
решить задачу в уме?
5
4. РАЗНОСЧИК ТЕЛЕrРАММ
Разносчик телеrрамм сказал:
Я сеrодня поднимался пять раз На десятый
этаж и десять раз на пятый этаж, Если бы я не сп у"
скаJlСЯ каждый раз после вручения телеrраММЬ1 вниз,
а все время поднимался бы вверх, то я поднялся бы
н а ... э т а )I{ !
На какоЙ )ке этаж?
5. СКОЛЬКО ЖИЛЬЦОВ В ДОМЕ?
Сколько жильцов в нашем доме, состоящем из
трех четырехэтажных корпусов, если известно, что
1) в корпусе А на 39 человек больше, чем в кор..
пусе В, но на 77 человек Ivlеньше, чеl'/I в корпусе с;
2) из каждых 13 детей 7 учатся;
3) к 1 мая домоуправление закупило 1400 ХУДО"
жественных открыток; более половины было передано
друrОlVlУ домоуправлению; оставшиеся открытки были
розданы жильцам нашеrо дома каждому по одной;
4) взрослых на 200/0 больше, чем детей;
5) если в первые этажи приедет 17 новых жиль..
цов, из вторых этажей в третьи переедет 11 жильцов,
а из четвертых этажей уедет 15 жильцов, то во всех
четырех этажах }кильцов будет поровну.
6. ПЯТИЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА
Сколько имеется различных пятизначных чисел,
среди цифр которых имеется хотя бы одна пятерка?
7а. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА, У КОТОРЫХ КАЖДАЯ СЛЕДУЮЩАЯ
"
ЦИФРА БОЛЬШЕ ПРЕДЫДУЩЕИ
В числе 12 578 каждая следующая цифра больше
предыдущей. Сколько Bcero существует таких целых
чисел? Попытайтесь сначала дать приблизительный
ответ, а потом приступите к вычислениям.
76. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА, У КОТОРЫХ КДЖДАЯ СЛЕДУЮЩАЯ
v
ЦИФРА МЕНЬШЕ ПРЕДЫДУЩЕИ
Условие «обратное» предыдущей задаче: иначе
rоворя, теперь цифры не возрастают, а, наоборот,
убывают.
6
8. ЧИСЛО п В СЕМЕРИЧНОЙ СИСТЕМЕ
СЧИСЛЕНИЯ
Напишите приближенное значение числа 1& в ce
меричной системе счисления.
9. СКОЛЬКО МАРШРУТОВ?
Сеrодня воскресенье, мне нужно побывать в ПЯТИ
местах: в аптеке, химчистке, в библиотеке, сберкассе
и на почте. Для Toro чтобы найти самый короткий
маршрут, я решил до выхода из дома сравнить все
возможные варианты.
Сколько мне нужно сопоставить вариантов мар-
шрута, если почта и сберкасса расположены в OДHO I
здании и находятся в значительном удалении от всех
остальных пунктов и от моей квартиры?
10. торrОВЕЦ
Некий торrовец каждый rод увеличи'вает на одну
треть свое состояние, уменьшенное на 100 фунтов, ко..
торые ежеrодно затрачивает на свою семью.. Через
три rода он обнаруживает, что ero состояние удвои...
лось. Спрашива.ется, сколько у Hero было денеr вна-
чале?
(Задача Ньютона из «Всеобщей арифметики» 1707 r.)
11. ТАКСИ
Четыре пассажира, которыl'II нужно было ехать в
одном направлении, Irаняли такси. Коrда первый до-
ехал ДО цели своей поездки, он заплатил al рублей
четверть суммы, показанной счетчиком. Через HeKO
.
торое время вышел второи; он уплатил ту же сумму,
что и первый пассажир (Йl рублей), и еще одну треть
суммы, на которую увеличилось показание счетчика
после выхода первоrо пассажира, Bcero а2 рублей.
Далее вышел третий/ пассажир, уплативший ту же
сумму, что и второй пассажир (Т. е. а2 рублей), и еще
половину суммы, на которую увеличилось показание
счетчика после выхода BToporo пассажира, Bcero
аз рублей; наконец, вышел и четвертый пассажир; он
уплатил ту же CYM Y, что и третиЙ (аз рублей), и,
кроме Toro, всю ту сумму, на которую увеличилось
1
показание счетчика после выхода TpeTbero пассажи
ра, Bcero а4 рублей.
Требуется определить расстояние, пройденное Ta
кси, если за ВКЛlочение счетчика и за каждыЙ кило
метр уплачено (CTporo по счетчику условие обяза..
тельное!) по 10 копеек.
12. ДВА СПЛАВА
vIмееrся два сплава серебра и золота: в одном се-
1
ребра 40%, а в друrом серебра в 12 раза меньше,
чем золота.
Сколько надо взять Toro и друrоrо сплава, чтобы
1
получить 173' 1\,2 сплава, в котором количество золота
относится к количеству серебра как 3 : 2?
1За. НА РЕКЕ
От пристани А вниз по течению реки отправился
катер (ero собственная скорость 12 КМ/Ч). Одновре..
менно от пристани В навстречу ему вверх по течению
реки (скорость течения 2 м/сек) отправилась лад..
ка, собственная скорость которой равна 300 м/мин.
Встреча произошла у пункта С, отстоящеrо от А на
16 КМ, в 16 ч 45 .мин.
I(оrда и rде произошла бы встреча при скорости
течения 3 м/сек?
13б. ДВА КАМНЯ
Камень отпустили свободно падать с высоты h СМ.
Одновременно с уровня земли навстречу el\1Y бросили
с)начальной скоростью Vo см/сек второй камень. УСКО"
рение силы тяжести......... g см/сек 2 . Коrда ОНИ BCTpe
тятся?
14. КРАЖА НА ТЕПЛОХОДЕ
В 12 ч 30 мин к капитану проrулочноrо теплохода t
шедшеrо вверх по реке, влетела миссис СМИТ.
У меня украли из KaIOTbI коробку с драrоцен.
настями!
1
Подробнее?
rорничная принесла мне кофе в 10 ч 30 мин,
после чеrо она пробыла несколько минут ВО второй
комнате каюты, в котороЙ находились мои драrоцен
ности. Затем она была в той же комнате за несколько
минут до 12 часов.
Кто еще был в вашеЙ каюте?
оя подруrа миссис Браун приходила ко мне
иrрать на рояле, но, конечно, она вне всяких подозре
ниЙ. В 12 ч 05 мин ее иrру прервал стюард, который
попросил ее выЙти, пока он не исправит настольную
лампу. В 12 ч 10 мин я внезапно возвратилась в
}(аюту, обнаружила, что стюард рылся в моих вещах,
и начала ero отчитывать. Это продолжалось до 12 ч
25 мин, коrда возвратил ась моя подруrа. Тут я обна
ружила пропажу и побежала к Вам.
Капитан установил, что от 12 ч 10 мин до 12 ч
20 ,Л,lUН, rорничная получала в кладовой белье. Но ни..
кто не Mor сказать, rде она была от 12 tt 00 .мин до
12 ч 10 мин и от 12 ч 20 мин ДО 12 ч 30 JtLUfl.
Так как капитан никак не Mor прийти к какому..
либо определенному выводу, он в 13 ч 30 .мин повер..
нул теПJ10ХОД на обратный курс. Неожиданно в 13 tt
45 мин теплоход поровнялся с каКИl'vI ТО ЯЩИКОМ,
плывшим по Боде. Миссис Смит узнала в нем СВОК)
коробку от драrоценностей. Тоrда капитан сразу уста..
НQВИЛ, что драrоценности были ПОХИll ены . . . кеЛI?
(1-1з журнала «Наука и )КИ3НЬ».)
15. АВТОБУС
Между пунктами А Il В курсирует с постоянноii'
скоростью автобус, останавливающиЙся только в этих
пунктах (на 3 минуты). Известно следующее.
В 9 ч 08 мин автобус прошел IИl\fО ПРО 1ежуточ
Horo пункта С в направлении к В.
В 11 ч 28 мин автобус вышел из пункта А.
В 13 ч 16 м,ин автобус пришел в пункт В.
В 14 ч 04 fttl-lfl. автобус прошел С в направлении
к В.
Сотрудник сберкассы, находящеЙся на дороrе А В,
во время обеденноrо перерыва сидел на KpЫ ТJьиe
9
54 мин; за это время мимо иеrо автобус не прошел
ни разу.
Сотрудник почты, вышедший на улицу Bcero на
20 мин, видел автобус дважды.
Как располо)кены на АВ пункт С, сберкасса и
почта?
16. HYPbEPb
Курьеры из leCT А и В двиrаются, каждый рав-
номерно, но с разными скоростями, друr друrу на..
встречу. После встречи для прибытия к месту назна-
чения одному нужно было еще 16, а друrОМУ........ 9 ча-
сов. Сколько времени требуется тому и друrому для
прохождения Bcero пути между А и В?
(Задача Л. Неррола.)
17. РАЗДЕЛИТЬ число 22 НА ТРИ ЧАСТИ
Разделить ЧИС,ТIо 22 на три части при условии, что
если прибавить к одному из полученных чисел 0,5, от
друrоrо отнять 1,5, а третье умножить на 2,5, то по-
лучатся одинаковые результаты.
(<<Математическое просвеlцение», NQ 6, стр. 32.)
18. СЕМЬ УРАВНЕНИЙ С СЕМЬЮ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Решите приведенную ниже систеI\1У с.еrvlИ линеп-
ных уравнений с семью неизвестными:
x+l1y+21z+31t+41ll+51v+61w== 77
2х + 12у + 22z + 32' + 42и + 52v + 62w === 84
3х+ 13y+23z+33t+4зи+53v+63w== 91
4х + 14у + 24z + 34t + 44u + 54v + 64w == 98
5х+ 15y+25z+35t 45и+55v+ 65w== 105
6х+ 16y+26z+36t+46u+56v +66w == 112
7х+ 17у +27z+ 37t +47и +57v +67w == 119
19. ТРИ БЕrУНА
Три беrуна А, В и С участвуют в беrе на 100 яр-
ДОВ. Коrда А финишировал, В находился в 10 ярдах
позади пеrО t а С был в 10 ярдах позади В, KorAa В
10
финишировал. На каком расстоянии находился С от
А, коrда А финишировал? fIредполаrается, что они
бежали с постоянной скоростью.
(Эта задача приведена в книrе Т. Саати « атемати-
ческие методы исслеД0вания операций».)
20. ТУРИСТ
Турист, ИДУЩИЙ из деревни на железнодорожную
станцию, проЙдя за первый час 3 КМ, рассчитал, что
если он будет двиrаться с той же скоростью, то опоз-
дает к поезду на 40 МИН. ПОЭТОl\,1У ос.тальной путь он
проходит со скоростью 4 км/ч и прибывает На стан-
цию за 45 мин до отхода поезда. Каково расстояние
от деревни до станции?
Эта задача помещена в сборнике задач по матема-
тике повышенноЙ трудности; там же приведено ее ре..
х 2 x 3 3
шеиие при поrvIОЩИ уравнения 3......... 3 === 1 + 4 +4'
rде х искомое расстояние.
Решите эту задачу арифметически..
21. ПЛОТ И МОТОЛОДКА
Из пункта А в ПУНКТ В по течению реки отплыл
плот. Через 2,4 часа вдоrон:ку за плотом направилась
l\10торная лодка (ее собственная скорость 20 км/ч).
Лодка доrнала плот и сразу же поплыла обратно в
пункт А. Через 3,6 часа моторная лодка прибыла в
пункт А, а плот в пункт В. Определить скорость те-
чения реки.
(Конкурсная задача.)
v
22. БАССЕИН
в пустой бассейн начинают равномерно подаваlЬ
БОДУ (а л/сек). Как только та или иная часть воды
попадает в бассейн, начинается ее испарение; оно про-
u
исходит равномерно, и через т секунд от данном ча..
стицы уже ничеrо не остается. Требуется найти w
количество литров воды в бассеЙне через t сек.
Попробуем рассуждать так. С одноЙ стороны, за
t сек в бассейн поступит vt л БОДЫ.
11
с друrоЙ стороны, вода испаряется. Количество
испарившейся воды подсчитываем исходя из следую..
щих соображений. Количество испаряющейся в каж..
дый данный IoMeHT воды прямо пропорционально
количеству БОДЫ, находящеися в этот момент в бас-
сейне. Так как по условию ка)кдую секунду в бас
сеЙн поступает по v л, соответственно увеличивается и
интенсивность испарения, а именно она увеличивает-
v
ся каждую секунду на величину л/сек, т. е. «при-
т
v
рост» испарения составляет л/сек 2 .
пz
ИнтересующиЙ нас процесс оказался аналоrичным
процессу paBHo [epHO переменноrо движения, аписы..
ваемому, как известно, так:
s == vt + at 2
I 2 '
rде s путь,
t время,
v начальная скорость,
а ускорение.
ДJ'IЯ нашеrо случая w ==' (vt : t 2 ) (литров).
Рассмотри!\{ численный пример. Пусть v === 20 л/сек
и ln == 10 сек.
1 20
Тоrда w == 20' 2' 10 { 2 === (20! t 2 ) л.
Вычислим отдельные значения
t == О . .. 2... 6 (сеи)
w === О . . . 36 . . . 84 (л).
I(aK будто бы все в порядке: количество воды в
бассейне увеличивается.
Продолжим таблицу.
t == ... 8... 1 О 11 (се 1 )
W == ... 96 . .. 100 99 (л).
Количество БОДЫ В бассейне стало уменьшаться.
Что же будет дальше?
[==
w=== ...
15 . . . 20 (се и)
75 . .. о (012).
12
Через 20 сек БОДЫ в бассейне не стало вовсе! НО
это }ке нелепо! Ведь в бассейн каждую секунду по-
ступает по 20 литров водыl [де же ошибка?
2Эа. ТРИ МУХИ
Во дворе стоит один шест высотой в два метра; на
ero верхнем конце сидят три мухи; ровно в четыре
часа все три мухи разлетаются в разные стороны"
В котором часу все три мухи окажутся в ОДНОЙ пло...
скости?
(Известная задача.)
236. ЧЕТЫРЕ МУХИ
Во дворе стоит один шест высотой в два метра;
ровно в три часа с ero верхиеrо конца вылетают в
разных направлениях четыре МУХИ; каждая из них ле..
тит прямолинейно с постоянной скоростью, а именно:
первая 50 м/мин, вторая 60 M/AtUH, третья
70 М/МИН, четвертая 80 м/.мин. Через 9 минут все
четыре мухи оказались в ОДНОЙ П..Т}оскости. I(оrда еще
они окажутся в ОДНОЙ плоскости?
24. ЛЕСТНИЧНЫЙ МАРШ
На рисунке показан разрез лестннчноrо 1\1 а рта.
2 3 10 мм
!:,
с::>
J
,,", ',- , '
Требуется вычислить......... высоту одноЙ ступени (<<под..
ступенка») и ширицу ОДНОЙ ступени (<<ПРОСТУПИ» ) .
v
25. РАВНОБЕДРЕННЫИ ТРЕуrольнин
Даны два отрезка; известно, что ОДИН ИЗ Них........
основание, а друrой......... боковая сторона равнобедрен..
Horo треуrольника; однако не известно, какой из этих
13
отрезков основание, а какой боковая сторона.
Можно ли по этим данным построить равнобедренный
треуrольник?
26. В ДЕТСКОМ САДУ
Крышки столиков для детскоrо сада имеют форму
равнобочной трапеции. Блаrодаря этому, поставив их
вплотную друr к друrу, можно
образовать Kpyr (точнее, КОЛЬ-
цо). А если каждыЙ второй
из этих столиков повернуть на
1800, образуется сплошной ряд
(столики стоят в одну линию) ;
в этом случае линия сопри..
!(основения крышек двух сме..
жных столиков направлена То
в одну, то в друrую сторону.
t \ : ; I \' =I( Определите направление ева..
бодной стороны последнеrо
(на рисунке крайнеrо npaBoro) столика: будет ли
она параллельна свободной стороне первоrо (левоrо)
столика?
27. ДВА КУБА
Куб, изrо овленный из первоrо сплава, удельныЙ
2
вес KOToporo равен 2,4, весит 41з z.
Сколько весит куб, изrотовленный из BToporo спла-
ва, удельный вес KOToporo равен 3,6, если известно,
что поверхность описанной BOKpyr BTop0ro куба сферы
в 4 раза больше поверхности сферы, описанной Ба"
Kpyr nepBoro куба.
28а. ДОСТРОИТЬ РАВНОБОЧНУЮ ТРАПЕЦИЮ
Даны три точки: А , В и С верши..
ны равнобочной трапеции. Достроить
трапецию.
8
.
с
.
А ·
14
285. ТРИ ТРАПЕЦИИ
Даны три точки Dt, D 2 И D3......... три вершины
равнобочных трапеций. Известно, что
остальные три вершины у этих трапе-
ций общие (А, В и С). Достроить
трапеции.
трех
О,
.
.D 2
Dэ
29а. ТРИ ДИСНА ·
Три диска раВНО.мерно вращаются BOKpyr трех па...
раллельных осей А, В и С (направления вращений
указаны на рисунке стрелками). До начала вращения
в дисках было просверлено отверстие О.
Дано: АВ==53 мм; BC==q4 мм; СА==40 AtM;
'а==32 мм; rb==25 ММ.
2
ФА ==7,5 об/мин; (ов== 10 об/мин; оос==6 з об/мин.
Через какое время отверстия совпадут вновь?
295. ДВА ДИСКА
Два диска равномерно вращаются BOKpyr двух па..
раллельных осей А и В. Уrловые скорости: ЮА ==
===5 об/МllН; шв== 12 об/мин. До начала вращения в ди..
сках было просверлено сквозное отверстие О. Через
какое время отверстия совпадут вновь?
ЭО. РАВНОООСТАВЛЕННЫЕ ЧЕТЫРЕхуrольнини
Дан четырехуrольник ABCD. Требуется разбить
ero на четыре части и составить из них равновеликиЙ
ему четырехуrольник KLMN, два параметра KOToporo
(например, две стороны, либо два уrла, либо один
уrол и одна сторона) даны..
15
81. ДВА СТОЛБА И ТЕНИ
В одноЙ книrе помещен рисунок, на котором изоб-
ражены два вертикальных столба и их тени на rори..
З0НТЗЛЬНУЮ плоскость; ПО этим данным требуется
найти положение 1) источни"
Ка света (лампочки, фонаря)
и 2) ero «основания» (Т. е.
проекции источника света на
rОРИЗ0нтальную плоскость).
Решите эту задачу и ответьте на дополнительные
!Вопросы:
1) Существенно ли, что столбы вертикальны?
2) Существенно ли, что плоскость, на которую па..
дают тени, rоризонтальна?
3) Все ли приведенные на рисунке данные являют..
ся необходимыми?
32. КОНУС ЛЕЖИТ НА ПЛОСКОСТИ
ПрямоЙ круrовой конус лежит на rОРИЗ0нтальноЙ
плоскости, касаясь ее по образующей SA. Конус "е..
рекатили без скольжения по плоскости BOKpyr ero
вершины S на 3600, и он возвратился в исходное по..
ложение. Каков должен быть этот конус, чтобы и об..
рззующая SA также возвратилась в исходное поло..
жение?
ЭЭ. ДВЕ ОКРУЖНОСТИ
Две окружности произвольных размеров касаются
в точке М. Через М прове..
дена произвольная секу..
щая АМВ (А и В точки
на данных окружностях).
Доказать, что касательные
к ОКРУЖНОСТЯl'vI, проведен.
ные в точках А и В, парал..
лельны.
34. ТРИ КВАДРАТА
Витя провел через вершины квадрата ABCD че..
тыре прямые, параллельные ero диаrоналям, и полу-
чил описанный квадрат. После некоторых измерений
и вычислений он сказал:
16
....... Площадь квадрата ABCD численно равна пе-
риметру о п и с а н н о r о BOKpyr Hero квадрата!
Сережа соединил середины сторон Toro я{е ква-
драта ABCD и получил вписанный квадрат. После не-
которых измерений и вычислений он сказал:
Площадь квадрата ABCD численно равна пе-
риметру в п и с а н н о r о в Hero квадрата!
Как же так? Ведь в обоих случаях квадрат ABCD
один и тот же; следовательно, и площадь одна и та
)ке, а описанный и вписанный квадраты разные, И
периметр описанноrо квадрата в два раза больше пе-
риметра вписанноrо. Не MorYT же две разные вели-
чины быть одновременно равны третьеЙ! В чем тут
может быть дело?
85. КОЛЬЦО НА ТРЕХ НИТЯХ
К крюку S на трех нитях подвешено кольцо pa
.......... ......... .........
диуса R (АВ==ВС==СА). Если все три нити одноЙ
длины (SA==SB==SC==L), то плоскость I{ольца rори..
зонтальна; так, например, подвеши s
вают абажуры. Если же не все
нити имеют одинаковую длину
(например, SA==SB==L=I=SC==l), то
плоскость кольца уже не будет ro-
РИЗ0нтальной.
В каких пределах может ИЗl\Jlе..
няться 1 при данных L и R?
Какой уrол образует П.поскость
кольца с rОРИЗ0нтальной ПЛОСКО А
СТЬЮ при l=l=L?
Можно ли задать R и L произвольно или между
ними существует зависимость? Если да, то какая?
Э6. КОРОБИА И НИТЬ
Длинная прямоуrольная коробка сечением ах Ь
перевязана по середине нитью длиной 2 (а + Ь); звенья
нити перпендикулярны соответствующим ребрам ко-
робки. Обозначим общие точки нити и ребер через Ао,
ВО, СО и Do; зафиксируем одну из точек, скажем, точ-
ку Ао. Возьмем вторую, более длинную нить (дли..
ной 1); ее можно оттянуть по поверхности коробки
2 3ак. 2087
17
так, что звенья ломаН0Й AoBCDAo уже Не будут пер-
пендикулярны соответствующим ребрам коробки.
Требуется: 1) определить, на какое наибольшее
расстояние от точки Во можно удалить точку В? То
же самое для точек С и Со, а также для точек D
и по.
2) Доказать, что получающаяся при этом лома...
ная AoB'CD' Ао плоская.
37. ПАРНЕТАЖ
На рисунке показан пар к е т а ж: заполнение пло
скости (без пропусков и наложениЙ) одинаковыми
плоскими фиrурами. Очевидно, что каждый из эле...
ментов любоrо TaKoro паркетажа может быть совме-
щен с любым друrим элементом Toro же паркетажа
путем поступательноrо движения
(параллельноrо переноса).
В основе всякоrо паркетажа ле...
жит одна из двух схем: 1. Парал.
лелоrраммы (в частных случаях
прямоуrольники, квадраты). 2. Шестиуrольники с па...
раллельными сторонами (в частном случае........ пра-
вильные шестиуrольники).
Если разрешить поворот фиrур на 1800, то парке..
таж может быть образован также и произвольными
треуrольниками.
Итак, из правильных фиrур только Tpex , четырех..
и шестиуrольники образуют паркетаж.
Раздвинем эти треуrольники (четырехуrольники,
шестиуrольники) так, чтобы между фиrурами обра...
завались полосы шириной d.
Какова должна быть ширина полос d, Не занятых
фиrурами, чтобы п р а в и л ь н ы е треуrольники (со..
ответственно четырехуrольники, шестиуrольники) за-
нимали бы l/п всей площади?
18
З8. СТОЛ И СИА ТЕРТЬ
Круrлый стол накрыт квадратной скатертью из
тонкой ткани (центр квадрата совпадает с центром
Kpyra) .
На сколько уrлы скатерти ближе к полу, чем се-
редины ее сторон?
89. СИММЕТРИЧНЫЕ ТОЧКИ
1. На плоскости даны три произвольные точки А,
В и С, не лежащие На одной прямой; берем на той }I{е
плоскости любую точку К и находим точку L, сим..
метричную К относительно А; затем строим точку М,
симметричную L относительно В, далее строим точ
КУ N, симметричную М относительно С, и точку Р,
симметричную N относительно А. Наконец, строим
точку Q, симметричную Ротносительна В.
Требуется доказать, что точки Q и I( симметричны
относительно С. (Задача была предложена на одной
из математических олимпиад.)
2. Докажите, что аналоrичный предыдущему ре..
зультат будет и в том общем случае, коrда при по..
строении каждой нечетной (т. е. первой, третьей и
пятой) симметричной точки (а именно точек L, N
и Q) ШI будем OT
кладывать от центра
симметрии отрезок, к
в ер ((() > 1) раз мень-с
ший расстояния пре...
u ,
дыдущеи точки до
центра симметрии, а
при построении ка)к..
ДаЙ четной (Т. е. BTO
рой, четвертой и ше..
стой) с.имметричных
точек (а именно, М, Р и К) откладывать от центра
симметрии отрезок, в <р раз большиЙ расстояния пре
u
дыдущеи точки ДО центра симметрии:
КА МС РВ LB NA 1
AL == CN == BQ == fP и ВА1 == АР == ер ·
QC 1
В этом случае ДОЛ)I{НО быть СК == q; (СМ. рисунок).
2*
19
'"
40. СКЛАДНО И СТАКАНЧИК
Сколькими (и какими) параметрами определяются
форма и размеры складноrо стаканчика? (Аналоrич...
но устроены складные антенны портативных радио..
приемников.)
41. мноrоrРАННИК
Точки А, В и С находятся на трех ребрах куба,
сходящихея в ero вершине о. ОА==ОВ==ОС==а
(ребро куба 1 > а). Через точки А и В, принадлежа
щие одной из rраней куба, проведена пара плоско
стеЙ, перпендикулярных этой rрани и параллельных
диаrонали 00' куба. Аналоrично проведена пара пло-
скостеЙ через точки В и С и через точки С и А. В pe
зультате три пары параллельных плоскостей отсекают
часть куба . Какова форма этоrо мноrоrранника и ка-
ков ero объем?
42. РАЗВЕРТКИ мноrоrРАННИКОВ
На рис. а показан мноrоуrольник, составленный из
q е т ы р е х равносторонних треуrольников; это раз-
вертка тетраэдра.
.".:.' ". : :-;:.'.'.'
й ..... .....
. ... .. ..
. . .":.. .: 'o'
.. .\.,, . . ... ..: .:: - ."
. .... .., .... ..
. -,-
о .... . ".;:.' .
. ...........
.. ., . . . ..' . .
'. .:: :.. ...... :; . ,:\:;... . ::;
8
На рис. 6 покааан мноrоуrольннк, составленный ИЗ
в о с ь м и равносторонних треуrольников; ЭТО раз-
вертка октаэдра.
На рис. в показан мноrоуrольник, составленный
из Д в а Д ц а т и равносторонних треуrольников; это........
развертка икосаэдра.
На рис. е показан :мноrоуrольник) составленный из
Д в е н а Д Ц а т и равносторонних треуrольников. Это
ТО}l{е развертка мноrоrранникз, правда, не столь из-
20
BeCTHoro, как тетраэдр, октаэдр или икосаэдр. Вычер..
тите фиrуру развертки на листе бумаrи, вырежьте ее
и попытайтесь склеить мноrоrранник.
43. rОДОВЫЕ слои
Распилив бревно (под каким либо уrлом к ero
оси), вы увидите рисунок rодовых слоев древесины.
Что это за кривые (на языке rеометрии)?
44. ТРИ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
1. Общий объем трех параллелепипедов равен v.
Найти объем каждоrо из них, если известно, что
их длины относятся как Аl:А2:Л
»ширины » »J..tl : J.t2 : J.tз,
»высоты » »Vl : V2J : vз.
2. Та же задача, но ДЛИНЫ относятся как а : Ь : С,
ширины » »Ь : с : а,
высоты » »с : а : Ь.
45. МНОЖЕСТВО ЧЕТЫРЕхуrольнинов
Рассмотрим выпуклыЙ четырехуrольник общеrо
вида (Т. е. такой, что все стороны ero имеют разную
д.пину). Пусть ero стороны а, Ь, с и d стержни, а
вершины шарниры. Такой шарнирный четырех-
уrольник, изменяемый при сохранении размеров сто-
рон, может принимать различные формы. Требуется
охарактеризовать (описать) все четырехуrольники,
которые может образовать данный
шарнирный «четырехзвенник».
::t
"
46. УСЕЧЕННЫ И ЦИЛИНДР
Прямой круrовой цилиндр (диа..
метр оснований D) усечен пепа-
раллельно основанию. Через ero с::
ось произвольным образом прове"
дена плоскость; оказалось, что оп-
ределяемые ею образующие ци.. [}
линдра равны Н и h. Требуется нарисовать развертку
боковой поверхности усеченноrо цилиндра и вычис-
лить ее площадь.
21
47. лист Бумдrи
ВО3Ь 1ите лист бумаrи и сложите ero пополам, пе-
реrиув большую сторону, затем еще раз, и т. д. При
каждой такоЙ операции длина меньшей стороны оста-
нется неизменной, а длина друrой стороНы........ боль-
шей уменьшается ровно вдвое.
Какова должна быть форма лцсr8, для Toro чтобы
ero половина, четверть, восьмая, шестнадцатая и т. д
имели одну и ту же форму?
48. ру ЛОН
На круrлыЙ стержень (барабан) диаметра d плот..
НО намотана лента; при n (п.......... число целое) слоях
(витках) наружныЙ диаметр рулона D. Известно,
что, если разрезать рулон по радиусу, проходящему
через начало и конец
ленты, лента распа-
дается на n кусков,
ДЛИНЫ которых обра-
зуют арифметическую
проrрессию. Как нуж-
но разрезать каждый
из n кусков на две
части, чтобы ДЛИНЫ
получившихея 2п кус-
ков образовали новую
арифметическую про..
rрессию?
Для упрощения принимаем, что каждый оборот
(ВИТОК) ленты образует кольцо (Т. е. полыЙ круrовой
цилиндр), длина развертки KOToporo определяется по
ero среднему диаrvrетру (см. рисунок).
49а. РАЗБИЕНИЕ прямоуrольниид
Одна сторона прямоуrольника содержит а целых
единиц, а друrая Ь. Через КОНЦЫ единичных отрез..
ков проведены прямые, параллельные соответствую-
щим сторонам прямоуrольника. Таким образом, дан..
ныи прямоуrольник разбит на аЬ единичных квадрата,
Сколько в с е r о образовано квадратов двумя систе..
мами параллельных отрезков?
22
496. РАЗБИЕНИЕ прямоуrольноrо
ПДРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Аналоrичный вопрос в отношении прямоуrольноrо
параллелепипеда размерами а. Ь · С, разбиваемоrо на
кубы.
49В. РАЗБИЕНИЕ n-МЕРНОrО ПДРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Та же задача для n-мерноrо параллелепипеда,
ребра KOToporo имеют ДЛИНЫ а, Ь, с, .", , k, [, nl.
v
БОа. В РАВНОБЕДРЕННЫИ ТРЕуrольнии
ВПИСАНЫ нруrи
1. В равнобедренный треуrольник вписан Kpyr; за
те:м вписан второЙ Kpyr, который касается первоrо
Kpyra, а также двух боковых сторон треуrольника; да-
u
лее вписан третии Kpyr и Т. Д., И Т. д.
Площадь каждоrо следующеrо вписанноrо Kpyra
1\1еньше площади предыдущеrо. Таким образом, пло..
щади вписанных KpyroB ряд убывающих чисел. Пре..
дел, к которому стремится сумма членов этоrо ряда,
назовем «суммой площадей всех вписанных KpyrOB».
Требуется найти Kpyr, площадь KOToporo равна
сумме площадей всех вписанных KpyrOB.
Решить задачу вычислением и п остроением.
2. В равнобедренныЙ треуrольник вписан Kpyr, за.
тем второй Kpyr и т. д. Пусть основание треуrольника
остается неизмеННЫ 1, а высота будет изменяться. И3
менится ли при ЭТОl\l отношение суммы площадеЙ всех
вписанных KpyroB к площади треуrольника? Если да,
то в каком случае это отношение уменьшается?
Ответьте на эти вопросы, не производя никаких
вычислений и не пользуясь найденными в предыду
щей задаче соотношениями.
БОБ. В КОНУС ВПИСАНЫ ШАРЫ
в прямоЙ круrовоЙ конус (высота Н, диаметр
основания d) вписан шар. Далее вписан шар, Ka
сающийся всех образующих конуса и первоrо шара,
и т, д. Объем каждоrо последующеrо шара меньше
23
объема предыдущеrо. Таким образом, объемы ша
ров ряд убывающих чисел. Предел, к которому
стремится сумма членов этоrо ряда, назовем «суммоЙ
объемов всех вписанных шаров».
Требуется найти радиус шара, объем KOToporo ра..
вен сумме объемов всех вписанных в конус шаров.
51а. ПОЯСА KPyrOB BOKPyr ЯДРА
Возьмем Kpyr, который назовем «ядром». BOKpyr
этоrо «ядра» расположим пояс из KpyroB Toro же
диаметра так, чтобы каждыЙ из этих KpyroB касался
ядра и двух соседних KpyroB пояса. Аналоrично рас-
положим BOKpyr nepBoro пояса второй ПОЯС ИЗ KPY
rOB Toro же диаметра и т. Д.
Сколько KpyroB во всей фиrуре при наличии п поя
сов?
51 б. ЯДРО...... ТРИ ируr А
То же условие, что и в предыдущей задаче, но
ядро состоит из трех одинаковых KpyroB, каждый из
которых касается двух друrих. Какова формула в
этом случае?
u
52. СЕМЬ ДРОБЕИ
Расположить в возрастающем порядке приведен
ные ниже дроби:
4 53 321 360 457 509 601
5"' 67 ' 449 J 491 ' 613 ' 653 и 781 '
u
53. БРОН30ВЫИ ЛЕВ
«Я бронзовый лев, две струи вытекают из моих
rлаз, одна из Moero рта и еще одна из ноrи Мой пра-
выи rлаз наполняет бассейн в два дня; мой левый
rлаз в три дня; а моя Hora в четыре дня; шести
дней достаточно, чтобы наполнить ero из Moero рта.
Если сразу потекут все струи из rлаз, и из ноrи, н
изо рта, ВО сколько часов наполнится бассейн?»
(rреческая задача. СМ. Е. с. Б е р е 3 а н с к а я, Мета..
дика арифметики, 1955 r., стр. 432.)
Решить rрафически.
24
54. СВИДАНИЕ
А и В уславливались по телефону о встрече.
Давай встретимся сеrодня на улице М!
Хорошо! Между переулками Р и Q.
Отлично! На тоЙ стороне, rде кино и ларек.
В восемь ноль"ноль.
......... Ну, не нужно «ноль ноль».
Ладно: я соrласен подождать, но не более
15 МИНУТ.
И я не стану ждать более четверти часа: се..
rодия большой мороз.
доrоворилисы Между 8.00 и 8.15 я буду мар..
шировать от уrла мимо кино и ларька и обратно;
длина квартала мне известна: 260 метров.
И я там буду между 8.00 и 8.15. До свидания!
......... До свидания!
А и В пришли в назначенное время в назначенное
место; оба добросовестно маршировали от уrла мимо
кино и ларька и обратно, но так и не встретились.
Как это моrло случиться?
55.. ТРИ АВТОМАШИНЫ
11з пункта А через равные промежутки времени
отправляются по одной и той же дороrе в пункт С
три автомашин;ы. Через некоторое время все они од-
новременно проезжают пункт В, находящийся между
А и с. в пункт С первая машина прибывает через
час после второЙ. Третья автомашина неl\fедлеННQ по
прибытии в С поворачивает и едет назад и в 40 км
от С встречает первую аВТОl\13ШИНУ. Определить C KO
рость первой автомашины, если расстояние от В ДО С
равно 120 КМ..
Эта задача была предложена на вступительных
экза fенах по математике на механико математиче..
CI(OM факультете MOCKOBcKoro университета (1963 r.).
Попробуйте решить ее как арифметическую задачу.
56. ДВА ВЕЛОСИПЕДИСТА
1. Два велосипедиста выезжают из ПУНКТQВ А И В
одновременно навстречу друr друrу. Каждый из НИХ,
доехав до BToporo пункта, немедленно поворачивает
25
обратно и возвращается в исходный пункт. Первая
встреча произошла в 5 км от А, вторая в 3 км, от
В. НаЙти расстояние АВ.
(Х математическая олимпиада в r. Киеве. «Успехи Ma
тематических наук», т. Х, вып. 4 (66).)
2. Условие задачи то }ке. Но коль скоро велоси
педисты встретились дважды, предположим, что они
продолжают и дальше циркулировать между А и В,
и поставим дополнительные вопросы:
1) Коrда произойдет третья, четвертая и т. д.
встречn?
2) [де будут происходить дальнейшие встречи?
3) Может ли велосипедист (l й или 2 й), едучи из
А в В (или из В в А), встретить друrоrо велосипе
диета дважды?
4) Может ли велосипедист (l..й или 2 й), едучи из
А в В (или из В Б А), не встретить друrоrо велосипе
диста ни разу?
57. ДВА ВКЛАДЧИКА
Два вкладчика положили в сберкассу одинаковые
CyrvlMbI. Первый из них взял вклад по истечении т
месяцев и получил р рублей, а второй, взяв вклад по
истечении n месяцев, получил q рублей. Сколько Ka
ЖДЫЙ из них положил в сберкассу и СКОЛЬКО процен
тов выплачивает сберкасса?
(П. С. м о Д е н о в, Сборник задач по математике,
1954 r., зад. NQ 236.)
Решить rрафически.
58. БЫИИ НА луrу
1
На одном луrу ПJIощадью в 33 акра паслось
12 быков. За 4 недели они съели всю траву, которая
первоначально была на луrу, а также и ту, которая
вырастала в течение этих 4 недель. На друrом луrу
площадью 10 акров пасся 21 бык; эти быки за 9 He
дель съели траву, имевшуюся первоначально, а также
и ту, которая вырастала за эти ДНИ. Сколько быков
нужно пустить на луr, площадью 24 акра, чтобы они
при тех же условиях моrли прокормиться 18 недель?
(Задача Ньютона.)
26
69. ДВЕ ЛОДИИ
Из двух пунктов А И В, расположенных вдоль Te
чения реки, навстречу друr друrу выходят OДHOBpe
менно две моторные лодки, с одинаковой собствен-
ной скоростью. Если бы первая лодка увеличила свою
скорость на х км/ч, а вторая на столько же умень"
шила ее, то первая лодка прибыла бы в В раньше на
столько же часов, на сколько позже прибыла бы вто-
рая в А. Приняв скорость течения за единицу,
найти х.'
60. ОТЕЦ И ТРОЕ СЫНОВЕЙ
Число лет отца на 5 больше CYMlVlbI лет всех троих
ero сыновей. Через десять лет отец будет вдвое стар-
ше старшеrо сына, через двадцать лет он будет вдвое
старше BToporo сына, через тридцать лет вдвое
старше младшеrо сына. Узнать, сколько в настоящее
время лет отцу и каждому из трех ero сыновей.
(11з книrи П. О б е р а и r. Пап е л ь е, Упражнения
по элементарной алrебре, Учпедrиз, 1940, зад. N2 52.)
61. ПОКУПДТЕЛЬ И ТРИ ПОСТАВЩИКА
Покупатель должен закупить 12 тонн продукта,
имеющеrося в трех колхозах, и доставить ero в rород;
в ero распоряжении автомащины только на 40 часов
работы. Известно сл дующее:
Количество Цена про.. Время на
Колхоз продукта дукта доставку
(в тоннах) (в рублях (в часах на
за тонну) тонну)
1 10 4 1
11 8 3 4
III 6 1 3
Как следует распределить закупки между колхо-
зами, чтобы общий расход (денеr) был бы наимень-
шим?
27
62. ЧЕТЫРЕ ПУТЕШЕСТВЕННИИД
Четырем лицам, отправляющимся из пункта А в
пункт В, предстоит путь в 39,6 КМ. ОНИ располаrают
автомобилем, скорость KOToporo равна 36 км/ч, но в
KOTOpO!vI им:еется только два места, кроме места шо..
фера; двое из этих лиц молоды и проходят пеШКОI\1
по 6 К t/Ч, двое друrих, постарше, Moryr прохо..
дить только по четыре километра в час. Уславли.
ваются, что автомобиль доставит двух старших до
пункта А1, расположенноrо на пути АВ, от KOToporo
они закончат путешествие пешком. Автомобиль, воз..
вратившись немедленно за двумя молодыми путеше..
ственниками, отправившимися пешком, встретит их в
пункте Р и доставит их в В. Требуется определить
положение пунктов Р И М на пути АВ, зная, что все
путешественники, одновременно отправившись из А,
одновременно же прибыли в В.
(П. О б е р и r. Пап е л ь е, зад. N'g 125 на составле-
ние уравнений первой степени.)
63. СТО ПЕТУХОВ, КУР И ЦЫПЛЯТ
Один крестьянин ПОlпел на базар продавать кур.
Вдруr повстречался с ним император и спрашивает
крестьянина, сколько стоит ero товар.
Петух пять rрошей, курица три rроша, а
три цыпленка один rрош, ответил крестьянин.
Император подумал, потом приказал:
Принеси мне завтра сто петухов, кур и цыплят,
но столько отбери каждой птицы, чтобы все они вме-
сте стоили сто rрошей. Если не исполнишь Moero при..
казания, я снесу тебе rолову.
Крестьянин уrрюмым возвратился домой.
.......... Не беспокойся отец, я помоrу тебе, сказаtТI
отцу ero восьмилетний сын и быстро решил задачу.
На друrой день крестьянин явился к императору
Император разrневался, что крестьянин решил за...
дачу, и приказал ему:
Завтра снова принеси мне сто петухов, кур и
u
цыплят, но не столько каждом птицы, сколько се..
rодня, и чтобы они все вместе опять стоили сто rpo-
III ей.
СЫН снова помоr отцу.
28
Коrда крестьянин исполнил и это приказание, ИМ-
ператор еще больше рассердился и в третий раз при-
казал крестьянину принести сто петухов, кур и цып-
ЛЯТ, но не столько каждоЙ птицы, как прежде, и
чтобы они все вместе опять стоили сто rрошей.
альчик и на этот раз оказался умнее импера-
тора.
Определите, сколько петухов, кур и цыплят при-
носил крестьянин в каждом случае.
(Старинная задача.)
64а. ТРИ ТЕЛА
Три тела движутся по одному и тому же напра-
влению и начинают СБое движение от одноЙ и тоЙ
же точки со скоростями, равными соответственно 4,
5 и 6 см/сек. Второе тело двинулось с места на два
часа позже первоrо. Через сколько времени после
момента отправления BToporo тела должно двинуться
третье, чтобы одновременно со TOpЫM доrнать пер-
вое? Решить прп помощи rрафика.
645. ДВА ТЕЛА
ИЗ точки А в одном направлении одновременно
начали движение два тела: первое со скоростью
3 м/мин, второе с меньшей скоростью; оба тела
движутся paBHOJ\1epHo ускоренно: ускорение BToporo
3
9 7" м/.м.ип 2 . Через 1 ч 37 .мин 39 сек второе тело
наrнало первое. 1lзвестно, что в тот момент, коrда
скорости тел сравнялись, расстояние между НИ!\1И со..
ставляло 379 М. Коrда второе тело опередит первое
на 1137 м?
65. ПОЕЗД
Поезд ПРОХОДИТ расстояние от rорода А до ro-
рода В за 1 О tt 40 мин. Если бы скорость поезда бы.па
на 10 км/ч I\fеньше, то ОН пришел бы в В на 2 ч 8 М,И/1,
позже. Определить расстояние между rородами и ско-
рость поезда.
(<<Математика в школе», 1954, Ng 1, стр. 70.)
29
6ва. ТРИ СОСУДА
В трех сосудах находится одинаковая жидкость
в неравных количествах. Если половину содержимоrо
(по объему) одноrо сосуда разлить поровну в два
друrие, затем половину содержимоrо, оказавшеrося
в друrом сосуде, разлить поровну. в два друrие, и
после этоrо половину содержимоrо TpeTbero сосуда
разлить поровну в два друrие, то БО всех сосудах
окажется жидкости поровну, а именно по 16 л.
Сколько было литров ЖИДКОСТИ в каждом сосуде вна..
чале?
(К. У. Шах н о, Пособие по математике для посту..
пающих в высшие учебные заведения, 1960, зад.
NQ 181.)
v
66б. ПЯТЬ РАЗБОИНИКОВ
Пять разбойников отняли у прохожеrо кошелек,
наполненный дукатами. Самый сильный из них взял
81 дукат, каждый из четырех остальных неодинако-
вую сумму. Вследствие иеравноrо раздела возник
спор, и пришедший в то время атаман приказал, что..
бы тот, кто взял больше всех, удвоил каждому из
остальных число ero дукатов и чтобы то же самое
сделал затем захвативший второе по величине коли-
чество дукатов, потом захвативший третье, четвертое
и пятое. В результате оказалось, что каждый из пяти
разбойников получил одно и То же число дукатов.
Узнать, сколько дукатов было в кошельке и сколько
ИЗ них каждый захватил вначале.
(Задача Желена [. Н. Поп о В, Сборник историче-
ских задач по элементарноЙ математике, 1938, зад.
NQ 490, стр. 62.)
v
67. С УДВОЕННОИ СКОРОСТЬЮ
Некто отправился из пункта А в пункт В с опре-
деленной скоростью; пройдя ровно половину Bcero
пути, ОН удвоил свою скорость и пр.ибыл в В.
Во второй раз он первую половину Bcero времени
шел с той же начальноЙ скоростью, а вторую поло..
вину Bcero времени с удвоенной скоростью.
Очевидно, что БО второЙ раз он шел с удвоенной
30
скоростью дольше, чем в первый раз, и поэтому за-
тратил на весь путь меньше времени. Насколько
меньше?
68. КАТЕРА НА РЕНЕ
Из пункта А каждый час в в е р х против течения
реки отходит катер; одновременно из пункта В в н и 3
по течению реки также отходит катер. Оба рейса про-
должаются целое число часов. Каждый катер, плы..
вущий вверх против течения реки, встречает по пути
семь катеров, вышедших из В (не считая тех двух ка-
теров, которые он встретит В А и в В). Сколько ка.
lтеров встречает каждый катер, ПЛЫВУЩИЙ в н и 3 по
u
течению реки, если скорость катеров в стоячеи вqде
вдвое больше скорости течения?
69. КА ТЕР И ПЛОТ
Из пункта О одновременно отплыли вниз по те..
чению реки катер и плот. Пройдя 13 ; /см, катер по-
вернул обратно н, пройдя еще 9 /см, встретился
с плотом. Требуется найти собственную скорость ка-
тера, если известно, что скорость течения 4 км/ч.
(Из сборника задач по математике для подrотовки
к приемным испытаНИЯfvl.)
70" HOr ДА НАЧИНАЮТСЯ СЕАНСЫ
Проезжая l\1ИМО кинотеатра, некто успел заметить
ТОЛЬКО часы (но не минуты!) начала четырех сеансов:
1 Й: сеанс 12 ч ... мин.
2 й сеанс 13 ч ... МИН.
......... .
7 й сеанс 23 ч ... мин.
8.. Й сеанс 24 ч ... мин.
Требуется по ЭТИМ данным установить, коrда на..
u
чинается каждым из восьми сеансов.
Предполаrается, что
1) интервалы между началом каждых двух после-
довательных сеансов (Т. е. продолжительность одноrо
сеанса и одноrо перерыва) одинаковы;
2) сеансы MorYT начинаться в n часов и 5т ми-
нут, f,lle п и т числа целые.
31
71. ДВА НОМЕРИА И ТРИ СТУДЕНТА 1
Два студента пришли в столовую пообедать; они
сдали свои пальто и шапки rардеробщику, выдавшему
им два номерка; оба номерка первый студент поло-
}кил В свой карман. В конце обеда к ним подошел
третий студент математик и завязался общий раз..
[овор; однако второй студент ДОЛJкен был уйти на
лекцию, поэтому он попросил у перво,rо свой номе.
рок; так как первый студент не знал, какой из двух
номерков чей, он сказал: «Придется тебе взять оба
номерка, получить свои вещи и возвратить мне мои
номерок». Второй соrласился и взял оба номерка; но
тут математик сказал: «Тебе, может быть, не при
дется возвращаться, если ты...» Как вы думаете, что
посоветовал математик?
72а. ОРЕХИ
В трех мешках n орехов; какова вероятность Toro,
что во всех трех мешках поровну орехов?
725. МУНА
В трех мешках n килоrраммов муки; какова ве-
роятность Toro, что в каждом из трех меШI{ОВ по п/3
килоrраммов муки?
v
73. АВТОБУС И ТРОЛЛЕИБУС
у остановки плакат: «Интервалы движения: авто..
бус 6 l\iИНУТ; троллейбус 8 минут».
К остановке подошли двое. .
1 В этой И следующих «теоретико"вероятностных» задачах
ОТ читателя не предполаrается никаких специальных знаний,
кроме чисто и н т у и т И в н о r о представления о «вероятности»
события, соrласующеrося со следующим определением: вероят
насть события, имеющеrо п «равновероятных» исходов, равна
отношению числа «блаrоприятных» исходов (при которых данное
т
событие наступает) т к n, то есть р== ......... I Вероятность «дасто-
п
п
BepHOrO» события (наступающеrо при любом исходе) равна...... == 1,
п
вероятность «неВОЗМО]l{ноrо» события ...... нулю.
32
......... Сколько в среднем приходится ждать пасса-
жиру?
Если бы был только автобус, то среднее время
ожидания равнялось бы 6: 2==3 мин; если бы был
только троллейбус, то среднее время ожидания
8 : 2==4 мин; но так как пассажир может поехать
либо автобусом, либо троллейбусом, то средняя про..
3+4 1
должительность ожидания 2 == 3 '2 .мин.
........ Нет! Это неверноl Надо считать иначе. Наи..
меньшее общее кратное 6 и 8 ........ 24. За каждые 24 ми-
нуты будет 24 : 6== 4 рейса автобуса и 24 : 8==3 рейса
троллейбуса. Bcero, следовательно, за 24 минуты бу..
дет 4+3==7 рейсов. В таком случае, между каждыми
двумя рейсами в среднем 24 : 7==3 ; минуты, и сред-
3 5
няя продолжительность ожидания 3"7 : 2 == l у МИНУТЫ.
Кто прав? (Конечно, предполаrается точное со..
блюдение интервалов.)
74. сиrНАЛЫ
в любые моменты времени промежутка Т равно..
возможны поступления в приемник двух сиrналов.
Приемник будет «забит», если разность по времени
между этими сиrналами будет меньше t. Определить
вероятность Toro, что приемник будет забит.
Эта задача приведена ВО мноrих книrах по теории
вероятностей (см., например, «Руководство дЛЯ ИН-
женеров по решению задач теории вероятностей», ПОД
редакцией А. А. Свешникова, Судпромrиз, 1962), так
I<aK аналоrично решается широкий Kpyr задач. На-
пример:
«Двое условились встретиться в определенном ме-
сте между 12.00 и 12.00+ Т; пришедшиЙ в условлен..
ное место ждет t минут, после чеrо уходит. Какова
вероятность встречи, если l\.fOMeHT прихода ка)кдоrо
равновозможен в любой момент условленноrо интер-
вала?»
«Два теплохода должны подойти к одному и тому
же причалу. Время прихода обоих теплоходов неза..
висимо и равновозможно в течение данных суток.
3 3ак. 2087
33
Время стоянки каЖдоrо теплохода у причала равно (
Определить вероятность Toro, что теплоход, подошед-
ший вторым, обнаружит, что причал занят».
Эта задача решается так. Обозначим через х и у
моменты поступления сиrналов в приемник (время
отсчитывается от начала интервала Т).
Областью возможных значении х, у
является квадрат со стороной Т, т. е.
площадью Т2.
Приемник будет забит, если Ix
y \ t, т. е. если точка (х, у) принад-
лежит заштрихованному шестиуrольни-
ку (см. рисунок), оrраниченному старо-
т t нами квадрата и прямыми х.........у == t и
x y== t. 1
Площадь шестиуrольника S == Т2........ 2.2' (Т ......... t)2 ==
:= T2 (Т t) 2.
s ( t ) 2
Искомая вероятность р == Т2 == 1 1......... т ·
Решите эту же задачу для случая трех сиrналов
(трех теплоходов и т. п.).
т
\,
"
'l
i-'
-'/\
i-'
75. ВВЕРХ ПО ЗСКАЛА тору
Вечерами я работаю в библиотеке; кончая (в раз..
ное время), выхо}ку, еду в метро, затеl\tl поднимаюсь
при помощи эскалатора вверх и, наконец, еду авто..
бусам, который отходит каждые пять минут. Од-
нажды автобус отошел то что называется «перед са-
мым носом» И Я себя руrал: «Если бы я не просто
стоял на эскалаторе во время подъема, а прошаrаllТI
бы несколько ступенек вверх, я бы вышел на 10 се-
кунд раньше и не потерял бы пяти минут на ожида..
ние». Поэтому я решил впредь не стоять пассивно на
эскалаторе, а идти по нему с тем, чтобы...
Ответьте на следующие вопросы:
Если я буду каждый раз выrадывать на подъеме
по 10 секунд. то буду ли я в среднем меньше ждать
на остановке?
Буду ли я приезжать домоЙ раньше? Если да, ТО
на сколько именно?
РЕШЕНИЯ
1. ОДИНАКОВЫЕ ЦИФРЫ
Первые девять ответов ясны сразу:
1.1.11
2.2.22
3.3.33
4.4.44
5.5.55
6.6.66
7. 7. 77
8.8.88
9.9.99
Кроме Toro, есть еще четыре ответа:
11. 1.11
1.11.11
11.11.11
22. 2.22
Bcero, следовательно, тринадцать раз в течение
каждоrо столетия.
2. ПОЕЗД ИДЕТ ТУДА И ОБРАТНО
. ... шесть часов вечера; поезд, идущий из А в В,
пройдет следующий участок в темное время. Следа..
вательно, поезд, идущий из В в А, должен пройти
этот участок в светлое время. Отс{рда следует, что
поезда должны встречаться в 6 ч утра и в 6 ч ве..
чера.
Поэтому:
На сколько позже (раньше) 6 ч утра (6 ч вечера)
поезд выходит из А (приходит в В), на столько же
часов раньше (позже) 6 ч утра (6 ч вечера) парный
поезд должен возвращаться в А (отправляться из В)
При таком расписании мимо любоrо пункта ме..
жду А и В поезд одноrо направления будет проходить
в светлое время, а поезд друrоrо направления......... в
темное время суток.
3*
35
З. СОСНОВЫЕ И ДУБОВЫЕ ШПАЛЫ
Воспользуеl\1СЯ тем фактом, что вес дубовой Шпа-
лы резко отличается от веса сосновой шпалы (он
примерно в полтора раза больше).
Если бы все шпал])! были СОСНОВЫl\1П, общий вес
всех 10 шпал был бы около 270 к,е.
Если бы все шпалы были дубовыми" общиЙ вес
всех 10 шпал был бы около 450 KZ.
Если бы тех и друrих шпал было бы поровну, то
общий вес 1 О шпал был бы «средним между 270 и
450 ке», Т. е. около 360 ке, что примерно на 24 Кс
меньше, чем в действительности. По видимому, одну
сосновую шпалу надо заменить дубовой; в таком слу..
чае:
сосновых шпал 5 1 ==4 (штук);
дубовых шпал 5 +.1==6 (штук).
Полученный в результате «прикидок» ответ необ
ходимо проверить точным ПDдсчеТО!\f.
Сосновые шпалы: 274/5.4==108+31/5===1111/5 (KZ)
Дубовые шп алы: 451/2' 6 == 270 + 3 === 273 (<<z)
384]/5 (KZ)
Верно!
Конечно, l\;Iоrло случиться, что наше предположе-
ние оказалось бы не совсем точным; тоrда пришлось
бы ero откорректировать в соответствии с получен-
ным результатом.
4. РАЗНОСЧИК ТЕЛЕrРАММ
Расчет ясен без комментариев:
5 · (1 О....... 1) == 45
+10-( 5 1)===40
85
85 + 1 == 86
Bcero, следовательно, разносчик телеrраМ!\f ПОД...
нялся бы на 86..й этаж.
Любопытно, что во Франции, rде наш второй этаж
считается первым (НИЖНИЙ этаж называется «rez..de..
Зfi
chaussee» на уровне мостовой), расче был бы дру.
rим:
5.10==50
+ 10. 5==50
100
Иначе rоворя, парижскому разносчику телеrраМ 1
«пришлось бы» ПОДНЯТЬСЯ на lОО..Й этаж (а по на..
шему, московскому, счету на lОl..й!).
6. СКОЛЬКО ЖИЛЬЦОВ В ДОМЕ?
Взрослых на 200/0 больше, чем детеЙ; следователь..
но, на каждые 5 детей ПРИХОДИТСЯ 1,2. 5==6 взрослых;
общее число жильцов делится на 5+6== 11.
Из ка}кдых 13 детей 7 детеЙ учатся; следователь..
НО, число детей делится на 13. Так как число детеЙ
делится на 13, то и общее число всех жильцов, кота..
рое в 11/5 раз больше числа детей, также делится
на 13 (числа 13 и 5 так же, как 13 и 7, не имеют об-
щих множителей).
Из полученноrо следует, что число жильцов крат-
но 11 · 13 == 143.
Если в первые этажи приедет 17 новых жильцов,
а из четвертых этажей уедет 15 жильцов, то общее
число жильцов в доме увеличится на + 17 15 == + 2
и будет кратно 4; следовательно, действительное чи..
ело }I{ИЛЬЦОВ не кратно 4, но кратно 2 (приведенное
в условии число 11 не имеет никакоrо значения).
ОбознаЧИ!\i количество ЖИЛЬЦОВ в корпусе А через
А; тоrда во втором корпусе А 39 жильцов, а в
третьем А + 77; Bcero ЖИЛЬЦ,ОВ в доме: А + (А 39) +
+ (А + 77) == 3А + 38; следовательно, число жильцов не
делится на 3.
Общее число жильцов меньше, чем 1400: 2==700.
Итак, число жильцов равно 143. 2==286.
(143 · 3 исключается, так как число жильцов не
кратно 3;
143 . 4 исключается, так как число жильцов не
кратно 4;
143 · 5 исключается, так как 143. 5== 715 > 700.)
37
6. ПЯТИЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА
Приступим к решению задачи: станем ПОДСЧИТЫ"
вать количество пятизначных чисел таких, среди
цифр которых имеется хотя бы одна пятерка.
Интересующие нас пятизначные числа содержат
либо одну пятерку, либо две, три, четыре, либо, на..
конец, пять пятерок.
Подсчитаем количество чисел в каждой из этих
пяти rрупп. Разыскиваемые нами числа Moryr начи..
наться либо цифрой 5, либо одной из остальных
восьми значащих цифр; в соответствии с этим разби..
ваем каждую rруппу на две подrруппы.
Обозначим:
а любая из девяти цифр: О, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 или 9,
В любая из восьми цифр: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 или 9.
1 rруппа пятизначные числа, содержащие о Д н у
пятерку.
Подrруппы:
Пер в а я ц и фра 5. Пер в а я Ц и фра н е 5.
ВИД числа Количество Вид числа Ко."ичество
таких чисел таких чисел
5аааа 9. 9 · 9 · 9 == 6561
aa55 1
a5a5
f)a55a
5aa5
f)5a5a
(j55aa
111 rруппа ... Однако этот подсчет становится
скучным. Нельзя ли получить ответ на поставленный
вопрос более простым путем?
11 rруппа пятизначные
пятерки.
Подrруппы:
Пер в а я Ц и фра 5.
ВИД числа Количество
таких чисел
5ааа5 1
5аа5а
5а5аа J
55ааа
4.9.9.9==
== 2916
38
f)aaa5
f)aa5a
a5aa
5aaa
числа, содержащие Д в е
4.8.9.9.9===
== 23 328
Пер в а я Ц и фра н е 5.
Вид числа Количество
таких чисел
6.8.9.9===
== 3888
Искомый ответ мы получим rораздо быстрее, если
сначала решим несколько иную задачу: «Сколько
имеется таких пятизначных чисел, которые н е с о-
Д е р ж а т н и о Д н о й п я т е р к и?» Это числа вида
aaaa. Количество этих чисел равно 8. 94 == 52 488.
Все же остальные пятизначные ЧИС,,1Jа содержат хотя
бы одну пятерку, а так как общее количество всех
пятизначных чисел......... 90 000, то количество пятизнач-
ных чисел, содержащих хотя бы одну пятерку, равно
90 000 52 488 == 37 512.
Заметим, что таково же количество пятизначных
чисел, содержащих хотя бы одну единицу, либо одну
двойку, тройку, . ., девятку.
7а. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА, У КОТОРЫХ КАЖДАЯ
v
СЛЕДУЮЩАЯ ЦИФРА БОЛЬШЕ ПРЕДЫДУЩЕИ
Прежде Bcero заметим, что наибольшее число, удо-
влетворяющее поставленному условию, это число
123456789. Это единственное девятизначное число,
в котором каждая следующая цифра больше преды-
дущей. Все остальные числа TaKoro рода мы получи [
из числа 123456789 вычеркиванием из Hero одной или
двух, ..., или, наконец, семи цифр (ясно, что два .........
это наименьшее число цифр у чисел, для которых
имеет смысл rоворить о выполнении интересующеrо
нас условия).
Итак, для определения количества п значных чисел,
удовлетворяющих поставленному условию, следует
ДЛЯ каждоrо целоrо n (2 n 9) вычеркнуть 9.......... n
C 9 /1. б
цифр из девяти, что можно сделать 9 спосо ами:
9 О
8 1
7...... 2
6........ 3
5 4
4....... 5
3 6
2........ 1
Bcero. . .
c9 п
9
1
9
36
84
126
126
84
36
502
39
п
9 п
выIисленияя t можно несколько' сократить, вспом-
C l1l C n т u
НИВ) ЧТО n === n ,так что искомым результат равен
с8 + C + 2C + 2C + 2C == 502.
715. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА, У КОТОРЫХ КАЖДАЯ
v
СЛЕДУЮЩАЯ ЦИФРА МЕНЬШЕ ПРЕДЫДУЩЕИ
Наибольшее число, удовлетворяющее поставлен-
ному условию'......... 9 876 543 210. Таким образом, теперь
2 п 10:
п
10 n
cl0 fl
10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
о
1
2
3
4
5
6
7
8
1
10
45
144
210
252
210
144
45
Bcero. 1061
с70 + C O + 2CIo + 2СТо + 2с10 + cio == 1061.
v
8. ЧИСЛО п В СЕМЕРИЧНОИ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ
I<зк известно, величина числа 1t в десятичной си-
CTe Ie счисления довольно точно выражается простоЙ
22
дробью 7". Но 22==3.7+1. Поэтому число 1t В ceMe
ричной системе счисления имеет вид: 3,1.
Подумайте, че!\.{ объяснить, что эта запись так
мало отличается от известной записи величины числа
1t в десятичной системе: 3,14?
9. СКОЛЬКО МАРШРУТОВ?
Первоначально будем рассматривать почту и сбер-
кассу как один пункт. В таком случае число маршру-
ТОВ равно числу перестаНОБQК из 5 1 ==4 элементов:,
P==1.2.3.4==24.
40
А так как в каждом из этих вариантов возможны
два подварианта (раньше почта, либо раньше сбер-
касса), то мне нужно сравнить 24. 2==48 вариантов.
10. торrОВЕЦ
ВОТ решение Ньютона. «Чтобы решить вопрос, за...
метьте, что в Hef\.f содержатся в скрытом виде неко-
торые предложения, которые все ДОЛЖНЫ быть вы..
явлены и выражены.
Словесно
АлrебраичеСКII
у торrовца имеется состояние
Из KOToporo он в первый rод
затрачивает 100 фунтов
Остаток он увеличива r на
одну треть
х
х ....... 100
Во второй rод он опять тра-
тит 100 фунтов
И остаток увеличивает на одну
треть
x 100+ Х з100 .
4х 400
3
4x 400 4x 700
100 или
3 ' 3
4x 700 + 4x 700
3 9'
16х 2800
9
16x 2800 1 0 0
9 '
16х 3700
9
16x 3700 + 16x 3700
9 27'
64х ....... 14 800
27
64х 14 800 ry .
27 == .x
или
или
в третий rод он опять тратит
100 фунтов
или
и остаток также увеличивает
на одну треть
ИЛИ
Причем оказывается вдвое 60'"
rаче, чем был вначале
Таким образом, получаем уравнение
64.х ........ 14 800 2
27 == х.
u
решая которое, fvlbI наидем х.
41
Умножьте уравнение на 27, и вы получите
64х 14 800 == 54х,
вычтите из обеих частей 54х, и останется
10х........ .14800==0, или 10х== 14800;
разделив на 10, вы найдете, что х== 1480. Таким об..
разом, состояние торrовца вначале, а также ero по-
следующая прибыль и доход были равны 1480 ф.»
Вот друrое решение.
Если бы торrЬвец ничеrо не тратил и ero состояние
увеличивалось бы каждый rод на одну треть, то в
4
конце каждоrо rода оно равнялось бы 3 Toro, что
было вначале. Пусть первоначально у торrовца было
х фунтов. В таком случае в конце TpeTbero rода
( 4 ) 3 64 10
У Hero должно было оказаться '3 х === 27 Х === 2 27 Х.
ПО условию в конце 3 ro rода состояние лишь
10 10
удвоилось; разница составляет 2 27 Х 2х == 27 х.
С друrой стороны:
в первый rод торrовец
Ба-первых, истратил 100 ф.
во"вторых, недополучил процентов с этой
1
суммы 3". 100 ф.
Bcero потерял
4
3" · 100 ф.
Во второй rод он потерял столько же, да еще одну
треть (недополученные проценты за потери l-ro rода),
4 4
т. е. Bcero 3 · "3 · 100 ф.
444
Наконец, за третий rод он потерял 3."4. з-100 ф,
а Bcero за три rода : . 100+( : У · 100 +
42
+ ( ! ) З .100 .! ( l + i + ) .100 == 4.(9+12+16) .100........
3 3 3 9 27
4 10
== 27 · 37 · 100 == 2fX; откуда
4 · 37 · 100
Х == 10 == 1480 (фунтов).
11. ТАКСИ
Задача решается в уме: Bcero все четыре пасса.
жира уплатили аl +а2+аз+а4 рублей; следовательно,
искомое расстояние равно [10 (аl +а2+аз+а4) ........ 1] КМ.
12. ДВА СПЛАВА
Состав всех трех сплавов одинаков.
13а. НА РЕКЕ
м о м е н т встречи совершенно не зависит от ско-
рости течения; поэтому и при скорости течения 3 м/се/(,
встреча произойдет в 16 ч 45 мин.
М е с т о же встречи переместится на расстоя..
ине, которое пройдет Бода в реке при увеличении
скорости течения на 3 2== 1 м/сек за время движе..
16
ния катера и лодки до встречи, т. е. за 2.3600 ==
12 + 1000
== 16: 19,2==0,833 ... (часа) ==50 (МИН) ==3000 сек, а
именно на 3000. 1 == 3000 м == 3 кJИ.
Итак, встреча произойдет на расстоянии 16+3==
== 19 к,м от А.
130. ДВА КАМНЯ
в данной задаче рассматривается система «ка-
мень камень», и нас интересует только их поведе-
ние друr относительно друrа (а не относительно зеrvl-
ли); поэтому величина ускорения силы тяжести и,
даже вообще ее наличие или отсутствие нам совер..
шеи на безразличны.
Итак, между двумя камнями расстояние h см;
ОДИН ИЗ них движется навстречу друrому со скоро"
43
стью Vo см/сек. Встреча произойдет через t==h: Vo
(сек) .
Если бы нас интересовал не м о м е н т, а м е с т о
встречи камней, то было бы необходимо располаrать
данными о поведении системы в целом; если вся си...
стема движется с ускорением g см/сек 2 , то Mecro
встречи можно опреде.пить по положению свободно
падающеrо ка1\1НЯ через t сек. За это время он про..
gt 2
летит расстояние 2' т. е. будет находиться на вы..
g t 2
соте h 2'
Эта задача в сущности аналоrична задаче на тече..
ине, rде система перемещалась равномерно.
14. КРАЖА НА ТЕПЛОХОДЕ
Авторское решение учитывает влияние течения........
изменение скорости теплохода относительно береrов
в зависимости от Toro, идет ли он по течению или
против.
Но в этой задаче течение не иrрает абсолютно ни..
какой роли. С момента, коrда коробка была Быбро..
шена в БОДУ, теплоход удалялся от нее. С 13 ч 30 .мин
ДО 14 ч 45 мин, т. е. 1 час 15 минут, теплоход шел на
сближение с коробкой. Следовательно, и удалялся он
ОТ нее тоже 1 ч 15 МИН. Поэтому коробка была БЫ"
брошена в 13 ч 30 .мИН минус 1 tl 15 мин == 12 ч
15 мин. В этот момент из трех подозреваемых моrла
выбросить коробку только миссис Браун.
15. АВТОБУС
Обозна ЧИl\1:
продолжительность хода на участке АС через t A (МИН),
» » »СВ» t B (.мин).
Тоrда продолжительность хода в одну сторону
равна t A +t B мин, продолжительность одноrо полу..
рейса t== (t A +t B +3) ,М,ин.
Автобус прошел мимо пункта С в направлении В
в 9 ч 08 мин и в 14 ч 04 мин; следовательно, за 14 ч
04 МиН........ 9 ч 08 мин == 296 мин он сделал целое число
44
рейсов (х), т. е. 2х полурейсов, Т. е. 2xt==296 AtUN, ОТ-
куда t==296 : 2х== 148 : х.
Автобус вышел из пункта А в 11 ч 28 мин; затем
он пришел в пункт В в 13 ч 16 .мин. Следовательно,
за 13 ч 16 МиН........ 11 ч 28 .мин :=t 108 мин плюс 3 ,м,ин
СТОЯНКИ В А (или в В), Т. е. за 108+3:::tl11 мип, ОН
сделал нечетное ЧИ'СЛО полурейсов, Т. е. (2y+l)t==111;
откуда
111
t == 2у + 1
ит ак, t .......... 148 ......... 111
х .......... 2у + 1
Отсюда 3х==8у+4.
Так как х и у целые, то х кратно четырем.
Составим таблицу:
х О 4 8 12 . . .
1 1 2 4 . .. .
у 2 2
t 00 37 18 ..!.. 12 ..!..
2 3
Значения х==о и х==8 ОТПЗДЗIОТ, так как они дают
недопустимые значения у. Значение х== 12 (равно, как
и последующие) отпадает, так как при х== 12 ПрОДОJl
жительность одноrо полуреиса t == 12 мин, а про-
должительность одноrо полноrо рейса 2. 12 ===
2
== 243" мин; между тем, мимо сберкассы за 54 МИ
нуты автобус не прошел ни разу; СJIедовательно,
х==4; у== 1; t==37 .мин; t A + t B ==34 М,ин.
Автобус прошел МИМО пункта С в направлении
к В в 9 ч 08 мин, а затем вышел из пункта А в 11 ч
28 МИН. Следовательно, за 11 ч 28 мин 9 ч
08 мин == 140 мин автобус
прошел участок СВ, затратив на это t B .мин,
стоял в В 3 J,f.llfl,
сделал (2р + 1) полурейсов, затратив 37 (2р + 1) MUlt
Итоrо (t B +2. 37р+40) 1f!UH == 140 мин.
45
Далее. Автобус вышел из пункта А в 11 ч 28 мин
и затем в 14 ч 04 мин прошел пункт С в направле..
нии к В.
Следовательно, за 14 ч 04 мин 11 ч 28 М,ин ==
== 156 MUfl автобус прошел участок АС, затратив на
это tA ман, И сделал 2q полурейсов, затратив на это
37 · 2q .мин; отсюда следует, что
t A +37. 2q+t B +37. 2q+40== 140+ 156==296;
37. 2(p+q) ==256 34==222;
p+q==3.
Составим таблицу:
р I о 1 2 3
q I 3 2 1 О
t А ::=о 156 74ql ....... 66 8 82 156
t в::=О 100 74Pl 140 26 ....... 48 ....... 122
Итак, единственно возможное решение: р== 1, q'==2,
откуда t A ==8 мин и t B ==26 .мин.
Следовательно, АС: СВ==8: 26; АС 0,235 АВ.
Теперь относительно почты. На каком наибольшем
расстоянии от конечноrо пункта автобус пройдет
дважды в продолжении 20 мин? 20 3==17; 17:2==
== 8,5; 8,5 : 34 == 0,25.
Следовательно, почта находится rде то в одной ИЗ
двух крайних четвертей дороrи АВ.
Наконец, о сберкассе. 54 3 == 51; 51: 2 == 25,5;
25,5: 34==0,75. Таким образом, о сберкассе можно
сказать то же, что и почте. Условие задачи не дает
ВОЗl\10ЖНОСТИ установить, находятся ли почта и сбер..
касса в одной и той же краЙней четверти дороrи АВ
или в разных. Возможно даже, что сберкасса и почта
находятся в одном здании; в этом случае сотрудник
почты был на улице не в то время, коrда сотрудник
сберкассы сидел на крыльце.
46
16. ИУРЬЕРЬ1
1. В книrе «Рассказы о решении задач» и. я. ,Деп.
мана (1957 r.) приведено следующее решение.
«Обозначим скорости курьеров через и и v, а вре-
мя от начала движения до встречи курьеров че.
рез t.
Первому курьеру для прохождения Bcero пути
нужно t+ 16 часов, второму t+9. Расстояние между
точками А и В можно выразить тремя различными
способами:
(t+ 16) и, (t+9) v и t(u+v).
Имеем равенства:
16и
(t+16)u==t(u+v) или 16u==tv или t==u,
9v
или 9v == tu или t == ............... .
и
(t+9)v=:t(u+v)
Отсюда
и v и 2 9
16 == 9 ......... f ----т == 16 t
v и fJ
и 3
v ==48
Подставив найденное значение в первое выраже...
ине для t, имеем
16. 3
t== 4 ==12.
Первому курьеру для прохождения Bcero расстоя-
ния необходимо 12+ 16==28 часов, второму 12+9==
==21 час.
2. Аналоrичная задача приведена в «Сборнике
алrебраических задач повышенной трудности»
Е. М. Пржевальскоrо (Учпедrиз, 1941 r.).
«А и В отправляются одновременно навстречу друr
друrу из rородов Москвы и Тулы, и каждый из них
идет все время с одинаковой скоростью. А в х часов
проходит от Москвы до Тулы, а В в у часов от Тулы
ДО Москвы. В пути они встречаются за ln часов пе
ред приходом А в Тулу и за n часов перед приходом
В в Москву. Показать, что х 2 : у2 == т : n».
Там же дано следующее решение.
«Пусть расстояние между Москвой и Тулой а ки'"
а а
ЛQметров; тоrда х и у скорости А и В. I(оrда они
41
встретились, то А прошел х т часов, а В прошел
у п часов; следовательно, х т == у .......... n.
К этому времени А прощел : (х т) километров,
а
а В прошел (у п) километров; поэтому
у
а а
х (x m)+y(y п)===a,
или у(х т)+x(y lt) == ху;
отсюда
(х+у). (x m)==xy,
(х+у). (y п).==.xy,
( 1 )
(2)
так как x т и y n равны.
Из уравнения (1): х 2 ==т(х+у); из (2): у2==п(х-+
+ у); отсюда
х 2 : у2==т : п».
3. 11 так, подтверждено, что
отношение т: n
(отношение продолжительности движения А от МО"
мента встречи до прибытия в свой конечный пункт
к продолжительности движения В от Toro же момента
встречи ДО прибытия в свой конечный пункт)
равна отношению х 2 : у2
(отношению квадрата времени, затраченноrо А на
весь путь, к квадрату времени, затраченноrо В на
весь путь).
Каково физическое происхождение «квадрата вре..
J\1ени» в данном случае? Чтобы понять это, предста..
вим отношение двух квадратов в виде квадрата ОТНО"
шения, а именно:
х 2 : у2 == (х : у) 2.
Отношение (х: у) имеет определенный физическиЙ
С!\1ЫСЛ это отношение скоростей. Почему этот фак-
тор оказывает влияние на отношение т: п дважды?
Пусть, для определенности, х > у.
1) J4 ПРОХОДИТ все расстояние за х часов, а В........
за у часов, Т. е. скорость А меньше скорости В в х : у
48
раз. Поскольку оба вышли одновременно, то А про-
шел до встречи расстояние, в х: у раз меньшее
чем В.
2) После встречи А пройдет столько, сколько В
прошел до встречи) а В пройдет столько, сколько про..
шел А; следовательно, А пройдет в х : у раз больше,
чем В.
3) I-1rак, после встречи А должен пройти в х: у
раз больше, чем В, передвиrаясь в х: у раз медлен..
нее, чем В; следовательно, т: n== (х: у) · (х : у) ==
==х2 : у2.
Теперь значительно упростились вычисления и в
полученном ответе отчетливо видно ero происхожде..
ине.
4. Задачу Керрола можно решить и так.
Обозначим через t время, прошедшее от момента
выхода курьеров ДО момента их встречи. После встре-
чи А З3 т часов пройдет то расстояние, на которое В
затратил t часов, а В за n часов пройдет то расстоя-
ние, на которое А затратил t часов; следовательно:
скорость А t n
скорость В === т == Т '
откуда t == V mп == V 16. 9 == 12 (ч),
Т А == 12 + 16 === 28 (ч), Т в == 12 + 9 == 21 (ч).
5. Во BTOpOl\1 варианте эту задачу интересно фор-
мулировать в общем виде, т. е. требовать доказать,
что
т : п == (х : у)2
и t == V тn .
(Если сначала доказать, что t == V mп , то
х 2 (t+ т)2
........... .........
у2 (t+n)2
(Vmп+m)2 т
(У mn +n)2 7
или, проще,
скорость А == !..... == }"11in ==... / п . )
скорость В х т V т
4 381<. 2087
49
17. РАЗДЕЛИТЬ ЧИСЛО 22 НА ТРИ ЧАСТИ
Итак, сумма трех неизвестных чисел равна 22.
Если прибавить к первому из НИХ 0,5, то сумма
также увеличится на 0,5.
Если отнять от BToporo из них 1,5, то сумма тоже
уменьшится на 1,5.
Е1СЛИ проделать обе эти операции, то cyrvIMa будет
равна не 22, а 22+0,5 1,5==21.
Теперь условие задачи звучит так: «Сумма трех
чисел равна 21, первые два числа ОД,инаковы, а третье
в 2,5 раза меньше каждоrо из них». Отсюда следует,
что третье число в 2. 2,5==5 раз меньше суммы пер
БЫХ двух чисел. Иначе rоворя, если сумма первых
двух чисел пять частей, то третье чи,сло одна
часть всей суммы, т. е. числа 21.
Разделим число 21 на 1 +5==6 равных частей:
21 : 6==3,5. Итак, третье чис ТIО равно 3,5.
Первое и второе измененные числа равны
3,5. 2,5==8,75.
Первое число: 8,75 ........ 0,5 == 8,25;
Второе число: 8,75 + 1,5 == 10,25.
v
18. СЕМЬ УРАВНЕНИИ С СЕМЬЮ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Замечаем, что в каждом уравнении своБОДНЬiЙ
член равен коэффициенту при у, умноженному на 7.
Следовательно, систем:а имеет решение:
x==z==t==u==v==w==O, у==7.
Это же решение будет и при любых друrих зна.
чениях коэффициентов при х, z, t, и, v и w, за исклю-
чением одноrо случая, коrда эти коэффициенты про-
порциональны коэффициентам при у; в этом случае
будет не семь независимых уравнений, а лишь одно
уравнение с семью неизвестными, т. е. неопределен-
Ное уравнение, ИI\1еющее бесчисленное множество ре..
шений.
19. ТРИ БЕrУНА
в тот момент, коrда А финишировал, т. е. пробе..
жал 100 ярдов, В находился в 10 ярдах позади Hero,
Т, е. пробежал 100........10==90 ярдов; следовательно,
50
скорость В равна 0,9 скорости А; аналоrично, ско-
рость С равна 0,9 скорости В; следовательно, ско-
рость С равна 0,9 · 0,9 == 0,81 скорости А; в таком слу-
чае, за то время, что А пробежал 100 ярдов, С про-
бежал лишь 0,81 · 100==81 ярд, т. е. отстал от А на
1 00 81 == 19 ярдов. Таков ответ на поставленный во..
прос.
20. ТУРИСТ
Из условия следует:
1. Если турист повысит свою скорость с 3 до 4 км/ч,
то он выrадает 40+.45==85 (мин).
2. Если турист повысит свою скорость с 3 до 4 км/ч,
то он будет затрачивать на каждые 3 км не 60 мин,
а лишь : · 60==45 (.мин), Т. е. за каждый час хода со
скоростью 3 к.м/ч он будет затрачивать лишних
60 45==15 (мин).
Из 1. и 2. следует, что если бы турист сохранил
свою скорость (3 км/ч), то с Toro момента, как он ре..
шил повысить свою скорость до 4 к. /ч, до момента
2
ero прихода на станцию прошло бы 85 : 15==5з часа;
за это время (при скорости 3 км/ч) он прошел бы
2
5з.3==17 (км).
Bcero, следовательно, от деревни до станции
3+ 17==20 км.
21. ПЛОТ И МОТОЛОДКА
1. Автор задачи дает следующее решение.
Пусть скорость течения реки равна х км/ч, рас..
стояние от пункта А до встречи с плотом у км. Лодка
проплыла это расстояние по течению реки за 20+х ч,
а плот .J...... ч. Составляем первое уравнение: JL
у х х
20+х ==2,4. Плот с места встречи с лодкой до пунк"
та В проплыл еще (3,6x y) КМ, а лодка, возвращаясь
обратно, проплыла ДО пункта А еще у КМ. Принимая
ВО внимание, что эти расстояния они проплывали З3
одно И то :>ке время, имеем второе уравнение: 20 у ==
......... 3,6х у х
........ .
.х
4*
51
Таким образом, мы получаем систему двух уравне-
ний с двумя неизвестными
у у 12
х......... 20 + х == 5
18
у 5X Y
20.........х........... х
или
{ 3х2 + БОх == 25у
9x2 + 180х == 50у
Разделив одно уравнение на второе, получим:
3х+60 1
180 9x =="2'
или 5х==20, откуда х==4.
О т в е т: 4 км/ч.
2. Заметим, что можно было бы уравнивать не
промежутки времени, а расстояния.
По условию,
1) путь, пройденный плотом до встречи,
2) путь, проЙденный мотолодкой до встречи и
3) путь, пройденный МОТОЛОДКОЙ после встречи,
равны друr друrу. Обозначим через z время, прошед"
шее от момента выхода ЛОДКИ до момента встречи.
Тоrда:
(2,4 +z)", ==z (20+х) == (3,6 2,4 ....... z). (20 х).
ОТI{уда:
2,4x+zx== 20z+ zx== 24 1 ,2x- 20z+ zx;
2,4x==20z==24 1,2x 20z;
2,4
Z == 20 х;
1,2x 4 40z==24 4,8х;
6х==24; х==4 (к..«/ч).
Это решение короче nepBoro, в нем нет н:вадрат"
ных уравнений.
3. Теперь попытаемся решить эту задачу, исходя
из «анализа событий» на реке.
По условию, до момента выхода лодки плот плыл
по течению 2,4 часа со скоростью х к.м/ч, Т. е. в мо-
52
мент выхода ЛОД1<И расстоян'ие между нею и плотом
было 2,4 х км,. Лодка и плот находятся во власти
одноrо и Toro же течения; скорость плота относи..
тельно воды нуль, скорость лодки 20 к),f,/ч; сле-
довательно, сближение ЛОДКИ и плота происходит со
скоростью 20 КМ/Ч совершенно независимо от скоро..
сти течения. Поэтому лодка наrонит плот через
z==2,4 х: 20==О,12х (часа).
Итак, несложный анализ картины движения
быстро привел нас к зависимости, для получения ко..
торой традиционным путем потребовалось составить
и решить систему уравнений. Далее,
мотолодка прошла по течению: (20+х) Z к.м;
» » против течения: (20 х) Х
Х (3,6 2,4 z) км" откуда 40z==24........ 1,2х; 4,8х==
==24 1,2х; 6х==24; х==4 (км/ч).
4. Наконец, поищем чисто арифметическое реше-
ние задачи. Плот плыл Bcero 3,6 часа, из них до мо"
мента выхода лодки 2,4 ч. Следовательно, длина пути
.ПОДКИ относительно БОДЫ (от А до плота) равна
2,4 : 3,6==2/ з расстояния АВ.
Если бы течения не было, то такова же была бы
длина пути лодки и в обратном направлении (отно-
сительно воды). Но течение БОДЫ несло и плот, и
лодку в направлении от А к В. Так как течение ВОЗ..
деЙствовало на лодку ровно столько же времени,
сколько и на плот, считая с момента выхода лодки, и
1
перенесло за это время плот на расстояние '3 АВ, то
1
и ЛОДКУ течение снесло также на '3 АВ.
Итак, лодка прошла относительно ВОДЫ
2
туда -зАВ t
2 1
обратно 3" АВ+-з АВ
5
в с е r о · · · 3 АВ
За это время, как мы выше установили, течение
1
прошло расстояние 3 АВ; следовательно, скорость
53
5 1
ЛОДКИ в 3: 3" === 5 раз больше скорости течения.
Искомая скорость течения 20 : 5==4 (КМ/Ч)«
'"
22. БАССЕИН
Ошибка заключается в том, что составленное
нами уравнение справедливо только в определенной
области; Б самом деле, если каждую секунду иепа..
1 u
ряется т поступившеи ранее частицы воды, то че.
рез т секунд эта частица испарится цеЛИКОIvI, и наша
формула перестанет быть справедливой.
Через т секунд после начала опыта количество
испаряющейся воды станет равным количеству посту
пающей БОДЫ и объеrvl воды в бассейне будет оста..
ваться постоянным, а именно, он будет равен (при
t===m) :
1 v 1 v vm
w==vt 2m t2===vm 2 т т 2 ==т (л).
Что касается равномерно замедленноrо движения,
то т а 1\1 природа процесса друrая: при а < О и при
v
t === т ==............ точка удаляется на наибольшее расстоя..
а
ине от исходноrо пункта и затем начинает переме..
2v
щаться в обратном направлении; через t == 2т ==
а
она достиrает исходноrо пункта и далее продолжает
двиrаться равномерно ускоренно за исходную точку
ДО бесконечности.
23а. ТРИ МУХИ
Через любые три точки всеrда можно провести
плоскость, поэтому три мухи будут всеrда находиться
в одной плоскости.
236. ЧЕТЫРЕ МУХИ
По условию через 9 МИНУТ все 4 мухи находились
в одной плоскости, т. е. образовали плоский четырех..
уrольник. Через каждую вершину этоrо плоскоrо че..
тырехуrОЛЬНИl{а ПРОХОДИТ траектория соответствую..
64
" u
щеи мухи луч, исходящим из BepXHero конца шеста..
В таком случае верхний конец шеста можно рассма-
тривать как вершину четырехуrольной пирамиды,
ребра которой....... траектории мух, а основание упо..
мянутый плоский четырехуrольник. По условию все
мухи вылетели одновременно н летели равномерно; в
таком случае через а' 9 минут после вылета (rде
а ....-.. любое положительное число) конфиrурация из
тех же пяти точек образует четырехуrольную пира-
МИДУ, подобную рассмотренной выше (коэффициент
подобия....... а). Следовательно, и через а' 9 минут все
четыре мухи будут находиться в одной плоскости.
Приведенные в условии цифры лишние дaHHыe
Плоскость, в которой в любой данный момент на..
ходятся все четыре мухи, перемещается поступательно
(параллельно самой себе), равномерно удаляясь от
начальной точки (вершины шеста).
Если траектории трех мух лежат в плоскости, про--
u u
ходящеи через вершину шеста, то в это н же плоско..
сти лежит и четвертая траектория, и эта плоскость
u
остается неподви)Кнои.
u
24. ЛЕСТНИЧНЫИ МАРШ
Это....... «задача на внимание»: показанное на чер..
теже расстояние по вертикали охватывает о Д и н н а..
Д Ц а т ь подступенков, а расстояние по rОРИЗ0нтали
Д е с я т ь проступей.
Ответ: 1320:11==120 (.мм);
2310 : 10==231 (мм).
25. РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕуrольнии
Если меньший из двух данных отрезков не больше
половины большеrо отрезка, то меньшиЙ отрезок
основание, а больший........ боковая сторона; в этом слу
чае задача имеет одно единственное решение.
Если меньший из двух данных отрезков больше
половины большеrо отрезка, то любой из данных от..
резков может быть основанием равнобедренноrо тре--
уrольника, а друrой ero боковой стороной. Следо-
вательно, в этом случае задача имеет Д Ba решения.
55
Наконец, если данные отрезки равны, то безраз--
лично, какой из них принять за основание, какой..........
за боковую сторону: в обоих случаях мы получим
ОДИН и тот же равносторонний треуrольник.
26. В ДЕТСКОМ САДУ
Ответ зависит от величины уrла c't между бока..
выми сторонами трапеции. Для Toro чтобы столики
моrли образовать сплошное КОЛЬЦО, должно быть
3600
а == п ' rде n число целое. Если п число чет..
ное, то при установке столиков в один ряд каждые
два смежные столика образуют параллелоrрамм.
В ЭТОМ случае свободная сторона последнеrо столика
параллельна свободной стороне nepBoro столика.
Если же n число нечетное, свободные стороны
краиних столиков непараллельны.
27. ДВА КУБА
Для решения этой задачи «ПРЯl'\'IЫМ» путеrvI следо-
вало бы последовательно найти:
1) объем первоrо куба;
2) длину ребра первоrо куба;
3) диаметр сферы, описанной BOKpyr nepBoro куба;
4) поверхность этой сферы;
5) поверхность второй сферы;
6) диаметр второй сферы;
7) длину ребра куба, вписанноrо во вторую сферу;
8) объеrvl BToporo куба и, наконец,
9) вес BToporo куба.
Но можно решить эту задачу rораздо проще, и е...
ходя из соображениЙ подобия. В самом деле, первый
куб вместе с описанной BOKpyr Hero сферой и второЙ
куб вместе с описанноЙ BOKpyr иеrо сферой подоб-
ные фиrуры.
Отношение подобия определим из заданноrо отно-
шения площадеЙ подобных фиrур (в данном случае
сфер), пользуясь тем, что отношение площадей по.
добных фиrур равно квадрату отношения соответ-
ствующих линейных размеров, Т. е. отношение соот-
ветствующих линейных размеров подобных фиrур
56
равно корню квадратному из отношения их площа-
дей.
По условию, отношение поверхностей сфер равно
82 : Sl ==4,
откуда отношение соответственных линейных эле 1ен"
тов равно
L 2 : L 1 == V S2 : Sl == V 4 == 2.
Следовательно, длина ребра BToporo куба больше
ДЛИНЫ ребра первоrо куба в 2 раза.
В таком случае, объем BToporo куба Болыl(:'А
объема nepBoro куба в 23===8 раз.
Но удельный вес материала BToporo куба болыне
1
удельноrо веса материала nepBoro куба в 3,6 : 2,4== 12
раза. Следовательно, вес BToporo куба равен
2 1
41з · 8 · 1 2" == 500 (z).
28а. ДОСТРОИТЬ РАВНОБОЧНУЮ ТРАПЕЦИЮ
Задача до Toro элементарна, что вы даже Н{\ стали
ее решать. Но интересно: подумали ли вы о ТОМ, что
8 С 8 С
AOA Q
о,
О}
ре
А
задача Иl\1еет т р и решения? (I<.оrда задача имеет два
решения? Одно решение?)
28б. ТРИ ТРАПЕЦИИ
I 3BecTHo, что BOKpyr равнобочной трапеции можно
описать окружность. Следовательно, ка}l{дая из трех
четверок точек
А, В, С, D 1
А, В, С, D 2
А,В, с,D з ........
51
лежит на ОДНОЙ окружности; но так как у этих трех
окружностей три точки общие (А, В и С), то сами
окружности совпадают. Поэтому искомые точки А,
В и С лежат на окружности, проведенной через три
данные точки D 1 , D 2
И D з (рис. а). Но
rде именно?
Пусть задача pe
шена и А., В и С........,
искомые точки (рис.
6), а ABCD 2 и
АВDзС две из трех
искомых трапеций.
Тоrда AD 2 ==BC
как боковые CTOpO
ны равнобочной Tpa
пеции ABCD2" АD з ==
==ВС как диаrона-
ли равнобочной тра-
(; пеции АВDзС. Сле-
довательно, AD 2 ==
==АD з .
Отсюда вытека-
ет, что для построс-
ния точки А следует
из точки Е середины хорды D2D3......... восставить к ней
перпендикуляр и продолжить ero через центр OK
ружности до пересечения с окружностью. Аналоrич-
но находим (рис. 8): с помощью хорды D 1 D 2 точку В
и с помощью хорды D 1 D з точку С. На рис. 2, д и е
даны раздельно все три решения.
ТОЧI\И, получаемые при продолжении перпендику-
ляра в противоположную сторону, не дают правиль-
Horo ответа. Почему?
О,
л
8 О Э
С '
16
а
8 DJ
fJ
в
д
4
l А
с
8 D э
е
в
z
29а. ТРИ ДИСКА
Все линейные размеры, а также направления вра-
щений, данные в условии, излишни. Ответ зависит
только от уrловых скоростей. Совершенно очевидно,
что необходимым и достаточным условием вторичноrо
совпадения всех отверстий является возвращение ка-
ждоrо из трех дисков в СБое исходное положение.
58
Отверстие диска А будет вновь в О через
60: 7,5 === 8 секунд,
Отверстие диска В будет вновь в О через
60 : 10 === 6 секунд,
Отверстие диска С будет вновь в О через
2
60 : 63" == 9 секунд.
Наименьшее общее кратное чисел 8, 6 и 9 paB
но 72.
Следовательно, ка}кдые 72 секунды (== 1,2 мин)
все три отверстия в дисках будут совпадать.
296. ДВА ДИСНА
60: 5 === 12 } Наименьшее общее кратное чисел 12
60 : 12 === 5 и 5 число 60.
Следовательно, каждую минуту система оказы..
вается в исходном ПОЛОlКении и отверстия в двух ди
скак будут совпадать.
Однако, в отличие от случая трех дисков, задача
о Д в у х дисках может иметь еще и друrое решение,
а именно: оба отверстия в данных двух дисках MorYT
совпадать также и в ТОМ случае, если они оба ока..
жут'ся одновременно в точке О', симметричной точ"
ке О относительно оси АВ. ДЛЯ Toro чтобы выяснить,
происходит ЛИ это совпадение в данном конкретном
случае, необходимо (в отличие от задачи о трех ди
сках) знать РClсположение отверстия о; а так Kal<
условие не содерlКИТ необходимых данных, мы ли...
'шены возможности выяснить, имеет ли место вторая
серия совпадении.
30. РАВНОСОСТАВЛЕННЫЕ ЧЕТЫРЕхуrольники
Как известно, четырехуrольник определяется пятыо
параметрами; в данном же случае даны лишь три
параметра четырехуrольника KLMN: площадь и еще
два параметра. Поэтому мы располаrаем, как rORO"
рят в таких случаях, двумя степенями свободы; ЭТО
и позволяет выполнить требование: составить четы
рехуrольник KLMN из тех же четырех кусков, ИЗ ко-
торых составлен четырехуrольник ABCD.
59
Из мноrочисленных возможных вариантов задания
двух параметров четырехуrольника KLMN рассмо-
трим ОДИН: даны сторона MN и уrол К.
rIycTb Е, Р, G и Н середины отрезков сторон
данноrо четырехуrольника ABCD. Из точки Н, как из
z
MN
центра, радиусом, paBHbIl\1 2' опишем дуrу. На
отрезке FG, как на хорде, построим дуrу окружности,
такую, чтобы вписанный в нее уrол, опирающийся
на хорду ра, был равен заданному уrлу К.
Соединим точку О точку пересечения двух по-
строенных дуr последовательно с точками Е, Р. G
и Н. Четыре отрезка ОБ, ОР, 00 и ОН разбивают
60
з-аданный четырехуrольник ABCD На четыре куска,
таких, что из НИХ МОЖНО составить четырехуrольник
KLMN.
В самом деле. Вообразим, что в точках Е, Р, Q
и Н шарниры; пусть четырехуrольник ЕВРО оста-
ется на месте, а остальные малые четырехуrольники
переместятся так, как показано на рисунках б, в и 2.
В результате составится четырехуrольник KLMN,
удовлетворяющий Bce 1 поставленным условиям.
Заметим еще следующее.
1. Два кус!<а переместили'сь поступательно (из них
ОДИН ПО пути перевернулся на 3600); два друrих по-
вернулись на 1800.
2. Данное выше решение не единственное. В са..
MN
1\101\1 деле, !\lbI провели дуrу радиуса 2 с центром
в точке Н; НО В качестве центра можно было бы при.
нять также и любую из точек Е, F или а. Мы по-
СТРОИJIИ уrол, равныЙ К, на хорде Ра; но ero можно
БЫtТIО построить таI{же и на хорде ЕР. Две построен..
ные дуrи пересекаюrся, вообще rоворя, в двух точках.
Следовательно, в общем случае ВО3МО}I{НЫ 4 Х 2 Х 2 ==
== 16 вариантов..
3. Мы не ВОСПОЛЬЗ0вались «шарниром» В Н; НО
MOjKHO было бы воспользоваться им, отказавшись от
I<акоrо..либо друrоrо «шарнира».
31. ДВА СТОЛБА И ТЕНИ
Построения, необходимые для решения основной
задачи, даны На рисунке а.
о
6
Ответы на дополнительные вопросы.
1) Для нахождения положения С а м о r о истоq..
ника света действительное направление столбов не
имеет никакоrо значения; для нахождения же поло..
жения о с н о в а н и я источника света нужно быть уве-
ренным в том, что столбы вертикальны.
61
2) Совершенно аналоrичен ответ на второй во-
прос: для нахождения положения с а м о r о источ-
ника света направление плоскости, на которую па..
дают тени, не имеет никакоrо значения; для нахожде-
ния же положения о с н о в а н и я источника света
существенно, что тени вертикальных столбов отбро.
шены на rоризонтальную плоскость.
3) Если как принято в основном условии...........
столбы вертикальны, а тени падают на rОРИЗ0нталь-
ную поверхность, то для решения задачи достаточно
задать на рисунке о Д и н столб с падающей от Hero
тенью и только н а п р а в л е н и е тени BToporo столба;
по этим данным сначала находим «основание» источ-
ника света, а затем и сам источник (рис. б).
Если на рисунке будут даны один столб с падаю.
щей от Hero тенью и тень BToporo вертикальноrо
столба, то по этим данным можно найти не только
положение источника света и ero «основания», но И
высоту BToporo столба (рис. в).
Если же задать лишь направления двух теней, то
по этим данным леrко найти положение «основания»
источника света, но и только. Положение caMoro
источника мы не сумеем найти даже в том случае,
если нам будут известны обе тени (но ни одноrо
столба) .
32. КОНУС ЛЕЖИТ НА ПЛОСКОСТИ
1. О'бозначим: через r радиус основания конуса
и через а образующую конуса.
В таком случае длина окружности, описанной в ro-
ризонтальноЙ П ТIоскости точками основания конуса,
равна
L == 2ла.
Длина окружности основания конуса равна
1 == 2лr
Образующая SA возвратится после одноrо оборота
конуса BOKpyr точки S в прежнее положение только
в том случае, если
L == lп, rде n число целое.
62
Следовательно, ДОЛЖНО быть
а == ,п.
о т в е т: образующая конуса должна быть в целое
число раз больше радиуса основания.
Какова картина при n== 1? Каков должен быть ко-
нус, чтобы образующая А возвратилась в первона-
чальное положение не после первоrо оборота конуса,
а только после т оборотов конуса (т целое число) ?
33. ДВЕ ОКРУЖНОСТИ
Приведем доказательство, не требующее никаких
вычислений.
Проведем линию центров данных окружностей,
проходящую, конечно, через точку М (рис. а).
а
Займемся сначала касательной А. Обозначим
уrол АА' М, образованный этон касательной с линиеЙ
центров, через а. Величина уrла сх, определяется ве..
личиной уrла АМА' == !-ta, так что
сх, == f а ( a) ,
r де f а ........ некотор ая функция.
Обратимся к касательной В. Обозначим уrол
ВВ' М, образованный этой касательной с линией цент..
ров, через . Величина уrла определяется величи
ной уrла ВМВ' == J.tb, так что
== f ь (f.1b) ·
Ввиду полноrо равноправия обоих этих случаев,
функции f а и fb.......... тождественны, Т. е. величина yr ла сх,
определяется единственным образом величиной уrла
63
l1а точно таким }I{е образом, как величина уrла оп.
ределяется однозначно величиной уrла f.1b:
J-tb : J!a == f ь (JLb) : f а (f.1a) ·
Но f.1a == f.1lJ. Следовательно, f а (fЛа) == 'Ь (J!b) , откуда
а == р, что и требовалось доказать.
Совершенно аналоrично можно построить доказа..
тельство, проведя в качестве вспомоrательной прямоЙ
не линию центров, а общую касательную двух окруж..
настей (рис. 6).
34. ТРИ КВАДРАТА
Все дело в ТОМ, что Витя и Сережа ПРОИ3ВОДИЛiI
измерения разными единицами.
Обозначим сторону квадрата ABCD через а; тоrда
площадь квадрата равна а 2 .
J1 8
D С
бит". CepelКo
Сторона о п и с а н н о r о квадрата равна 11 2а ; пе..
риметр о п и с а н н о r о квадрата равен 4 У 2а (рис. а).
По данным Вити, а 2 ==:. 4 У 2а , откуда а === 4 11 2 ; т. е.
сторона о п и с а н н о r о квадрата равна V2a == У 2 Х
Х 4 У 2" === 8 Витиным единицам длины.
Сторона в п и с а н н о r о квадрата равна 2 а; пе-
риметр в п и с а н н о r о квадрата равен 2 У 2а . По
данным Сережи а 2 === 2 У 2а , откуда а == 2 V r 2 , Т. е.
сторона в п и с а н н о r о квадрата равна v2 а ===
2
l ! 2 1 (.....
== """2 · 2 у 2 == 2 Сережиным единицам длины.
64
в Вптиных единицах ДЛИНЫ длина стороны основ..
Horo квадрата ан == 4 У 2 .
В Сере)l(ИНЫХ еДИНIIuах ДЛИНЫ длина стороны ос-
HOBHoro квадрата ас == 2 У 2 .
Следовательно, ЛIIнеJUIная единица, которой поль..
зовалея ВИТЯ, в 4 / 2 : 21/ 2 === 2 раза меньше той ли-
нейноЙ еДIlНИЦЫ, котороЙ пользовался Сережа.
у ВИТИ площадь OCHOBHoro квадрата ABCD и пе-
риметр о п и с а н н о r о BOKpyr Hero квадрата выра-
жаются одниrvl и Tervl же ЧИСЛО:\1 32 (4 -v 2 · 4 -v 2 == 32 и
4 · 8 === 32).
у СереЖIl площадь OCHOBHoro квадрата ABCD и
периметр в п и с а н н о r о в иеrо квадрата выражают-
ся ОДНИМ И тем же числом 8 (2 У 2 .2 V r 2 ===8 и 4:2===8).
35. КОЛЬЦО НА ТРЕХ НИТЯХ
Вместо кольца радиуса R можно раССl\1атривать
правильный треуrоль ник со ст оронам и а == vз я:
SD === л === у L2 ( ; у === v L2 Я2 .
При изменении дли..
ны l нити se положе..
ине кольца Аве в про..
странстве будет ИЗl'vlе-
няться; при этом (рис.
а) расстояния SA, 51!
и SD будут оставать"
ся неизменными, а точ-
ка О центр кольца
J] треуrольника бу-
дет находиться на од-
ноЙ вертикали с точ"
коЙ s.
Произведем вычис-
ления:
j
J
8
1(
(:j
Е::
-...J
А
а
о
Площадь 6. DSC== V p(p a)(p b)(p c), rде
л+l+fR
р=== 2
5 3ак. 2087
65
Площадь 6 DSC ==
== Y6R2L2+3R2[2+2L2J2 9R4 L4 /4;
л2+ ( R)2 [2
COS L SDC == ЗлЯ
S02== ; L2 R2+ /2;
1 1
Площадь 6 DSO == 3 6 DSC == 2 DF · SO ·
2 6 DSC 1 ... / (L2 [2)2 .
DF == "3 · so '2 V R2 6L2 + 3[2 9R2 J
DF ... /. (L2 [2)2.
cos а == DO == V 1....... (6L2 + 3[2 9RZ) R2 J
. L2 [2
Slna== .
VЗ (2L2 + [2 ЗR2) R
Исследуем полученн е значение sin а:
1. s i n а == О, если L 2 [2 === О, т. е.
а == О, если l == L, что и так очевидно.
2. sin а === 1, если L2 [2:==. уз ( 2L2 + [2........ 3R2) R, или
[2==L2+ R2 + 3 V L2 R2R.
Отсюда следует, что
/ == V L2 R2 + Я.
Этот результат может быть, конечно, получен и
непосредственно из рассмотрения рисунка б: оче..
ВИДНО, что если SA==SB==SC==L, то L> R, а если
SA==SB==L < SC, то L> V; R.
Возьмите кусок проволоки и нитку; изrотов.Ьте МО"
дель; пона6людайте за изменением положения коль..
ца АВС при изменении длины нити SC.
Э6. КОРОБИЛИ НИТЬ
1) Разрежем поверхность данноrо параллелепи..
леда по ребру А и начертим развертку: пять парал..
лельных прямых, отстоящих друr от друrа соответ-
ственно на расстояния а, Ь, а и Ь (длина коробки......
66
параллелепипеда не имеет в данном случае никакоrо
, "
значения). Точки Ао и Ао, находящиеся на OДHO '
перпендикуляре к параллельным прямым, фикси-
рованные концы нити длиной 1 > 2 (а+ Ь). На раз..
вертке положение нити длиной [ изобразится в виде
, 1/
ломаной, концы которой находятся в точках Ао и А о .
а вершины расположены на трех параллельных пря-
l\1bIX трех остальных ребрах коробки.
Расстоян.не от точки Во ДО искомой точки В на
TOlVI )ке ребре коробки будет наибольшим из ВОЗМО}l{-
НЫХ В том случае, если все три звена ломаной от
/}
ТОЧКИ В ДО точки Ао окажутся на развертке на одной
прямоЙ (разумеется,
,
АоВ отрезок пря.
1'лоЙ) .
Расстояние от точ.
кп Do до искомоЙ точ-
ки D на том же ребре
коробки будет наи.
большим, если все три
звена ломаноЙ от точ"
ки D ДО точки A окажутся на развертке на одной
11
прямоЙ (разумеется, AoD отрезок прямоЙ).
Расстояние от точки со ДО ис.комой точки С на
том же ребре будет наибольшим, если два звена ло-
l'vJаной от точки A дО точки С окажутся на раз-
вертке на ОДНОЙ прямоЙ, а два звена ЛОl\Iаной от точ"
11
КВ С ДО точки Аа окажутся на развертке также на
ОДНОЙ прямоЙ.
Заметим, что найденные только что на развертке
ТОЧКИ В, С и D расположатся на Ayre эллипса, фа..
, "
кусы KOToporo точки Ао и Аз, а большая ось рав-
на 1 (эллипс rеО1\lIетрическое !vlecTO точек, сумма
расстояний которых ОТ двух постоянных точек по..
стоянна) .
1 (l
2) Так как треуrольник АоСАо равнобедренныЙ,
, " " , /
а АоВо == CoDo и BoCo === DoA o , то АоВ === CD и В С ==
, "
:== D Ао; следовательно, на параллелепипеде будет:
A B' :# CD' и в/с # D'A , т. е, AoB'CD'...... паралле-
лоrраМl\1r
8
с
СО
д
а
l
5"!;
67
37. ПДРНЕТАЖ
ОбознаЧИlVl:
d ИСКОIvIая ширина ПО.посы,
Ь расстояние от центра заданноЙ фиrуры до ее
стороны, т. е. ДО ближайшей полосы.
A A .T.
T."'."',,
.T.TA A
.....
.....
.....
.....
- - -
_".е"._
--
Очевидно, что оси полос образуют сетку, соста-
влеННУIО ИЗ фиrур (соответственно треуrольников,
четырехуrольников и шестиуrольников) , подобных
данным.
rIycTb в расстояние от центра фиrуры сетки до
ее стороны.
d
Тоrда В==Ь+ Т '
Соrласно условию, должно быть:
S ь : S в == 1 : n.
S ь : S в == Ь 2 : 82,
Но
( d . 2
откуда 1 : п == Ь 2 : В2 Ь 2 : Ь + Т)
d 2
И далее: пЬ 2 == Ь 2 + bd + 4 или
d 2 + 4bd +4 (1 n) Ь 2 == О, откуда
d==2b(V n 1).
Применима ли найденная формула также для
случая паркетажа из ромбов с уrЛО l БОО? 11з любых
ромбов?
38. СТОЛ И СНА ТЕРТЬ
в условии не задан ни один раЗ lер, ПОЭТО fУ обо..
значим: через а сторону квадрата (скатерти) 11 . . .
и больше ничеrо не нужно.
В Cal\10M деле, вообразим, что перед нами круrлыЙ
стол, накрытыЙ квадратной скатертью, что задача
68
уже решена и что днаl\1етр стола начинает увеличи-
ваться. Что при ЭТО1\1 ПРОIIСХОДИТ? Расстояние, на ко-
торое свисают у r л ы скатерти, будет уменьшаться,
но ровно на столько же будет У 1еньшаться и расстоя-
ние, на которое свпсают с е р е Д и н ы с т о р о н ска-
терти. В TaKO 1 случае раз н о с т ь между этими
двумя раССТОЯНИЯJ\fИ не изменится. Итак, искомая
разность вовсе н е 3 а в и с и т от размеров стола.
А теперь вообразим, что !<рышка стола TaKoro раз-
мера, при котором леrче решить задачу, а именно,
что диаl\/Iетр крышки стола равен стороне скатерти.
В этом случае середпны сторон скатерти оказываются
на ОКРУЖНОСТII стола (т. е. они «свисают на нуль»),
а уrлы скатерти свисают на величину, равную раз-
ности rvrежду ПОЛОВIIНОЙ диаrоналл скатерти и радиу-
сом крышки стола, которыЙ в этом случае равен
половине стороны скатертн. 11 так, ИСКОl'vlая величина
равна половине разности I\Iежду диаrональю и сто..
раной квадрата, т. е. равна
; (1/ 2a a)='=CV 2 1) ; O,207a.
Для решения задачи мы предполо}!{им, что диа-
l\leTp стола увеличивается. Можно было преДПО.Т10..
)КIIТЬ и друrое: что диаметр стола остается без изме-
нения, но скатерть уменьшается.
А что произоЙдет, если при данном раЗl\1ере квад-
ратной скатерти круrлыЙ стол уменьшится до раз-
l\1epa точки? Тоrда искомая разность будет равна
разности l\fежду половиноЙ диаrонали и половиной
стороны скатерти, Т. е. мы получили тот }ке ответ.
Полотнище флаrа квадратноЙ фОрl\1Ы в безветренную
поrоду это «четверть скатерти на круrлом столе
диаметром ноль».
3 а д а ч а. То же условие, но центр квадратной
скатерти не совпадает с центр 01\11 крышки круrлоrо
стола. Чему равна разность lVlежду суммой отрезков,
образуемых четырьмя свисаЮЩИlVlИ уrлами, и CY I"
моЙ отрезков, образуемых четырьмя свисающими
серединами сторон?
3 а д а ч а. То же условие, но скатерть прямо-
уrольник аХ Ь.
69
39. СИММЕТРИЧНЫЕ ТОЧКИ
1. Для TOrO чтобы наrJIЯДНО ПQказать, из каких
именно данных условия получаются те или иные
«первые» (непосредственные) выводы, из каких имен
НО «первых» выводов получаются «вторые» выводы
и Т. Д., а также для сокращения записей, бывает
целесообразно изобразить на схеме все данные усло
вня И показать при помощи стрелок, как последо
вательно получаются цепочки следствий, приводя
щих нас к требуемому результату. Такой приеl\I
весьма удобен для нашей задачи, решение котороЙ
сразу усматривается из следующей схемы:
DООЗНQ че.нu. Я
д КМР = 2i18AC
" TpeyzOl1bHLJ.KU
К МРи 8А С -
подобны.
отношение
подобия -2 s
L1LNQ # PKM
., TpeY O/lbHUKu
LNQ и РКМ
ра {JJ-IbI. и.х
cooтfJeтcтtJeH .
ные стороны
взаимно
r:lйpal1/le Hbl"
КС == Са
точки 1(1' С иа /1е-
жа т на ионой прямой
70
40. СКЛАДНОЙ СТАНАНЧИИ
Напомним, что форма и размеры каждой reOMer..
рической фиrуры определяются некоторым опреде-
ленным количеством независимых параметров, из ко..
торых хотя бы один должен быть линейным (или,
вообще, любой ненулевоЙ степенью линейноrо) t Так,
наПрИ 1ер, треуrольник оп-
ределяется тремя парамет-
ра IИ; плоскиЙ четырех-
уrольник пятью парамет-
рами; куб....... ОДНИМ пара-
метром; треуrольная пира-
мида шестью параметра-
ми и т. д. Какие именно
параметры будут выбраны
для данноrо случая, зави-
сит каждый раз от конкрет-
ных обстоятельств; например, куб можно задать либо
реБРО I, либо диаrональю rрани, либо диаметром
описанноrо шара, либо площадью одноЙ rрани, либо
полной площадью, либо объемом, либо объемом ВПII-
саиноrо шара, либо разностью между диаrональю и
ребром, либо произведением диаrонали на объе ", ли-
бо частным от деления объема на произведение дна-
rонали куба на диаrональ стороны и т. Д., И Т. П.
К О Л И Ч е с т в о независимых параметров необхо-
ДИМЫХ для определения данноЙ фиrуры, не зависит
от Toro, каки именно параметры мы выберем в дан..
нО'м случае. Количество необходимых независимых
параNlетров может быть определено различными пу-
тями, в частности, это удобно сделать, если просле..
дить за последовательностью построения заданноЙ
фиrуры.
Складной стаканчик комбинация из нескольких
тел вращения: диска (прямоrо KpyroBoro цилиндра)
и нескольких ПОЛЫХ усеченных конусов. Полые конусы
ИI\1еют общие параметры: высоту, уrол при вершине
и толщину стенки.
Для определения днища нужны два параметра
(например, диаметр и толщина).
Для определения иижнеrо звена нужны четыре
пара!\1етра (например: нижние внутренний и внешниЙ
диаметры, высота и внутренний объем).
ш
71
Для определения последующих звеньев НУ}КНО
знать лишь еще один параметр (например, величину
нахлестки) .
Наконец, неоБХОДПl\iО знать число звеньев (либо
общую высоту, либо полную е:мкость стаканчика, либо
объеl\l lVlатериала стаканчика II т. п.).
Bcero, следовательно, требуется задать 2 + 4 + 1 +
+ 1 ==8 napal\IeTpOB.
41. мноrоrРАННИН
ИсследуемыЙ мноrоrранник двенадцатиrранник.
Шесть (три пары) секущих плоскостей (они все па-
раллельны диаrонали 001 куба) образуют правиль-
ную шестиуrольную
призму. Эта призма
«усечена» шестью rpa-
нями куба. Таким об..
разом, шесть rранеЙ
параллелоrраммы, па..
ра сторон каждоrо НЗ
которых параллельна
диаrонали куба, а
шесть rраней квад..
раты со стороной а.
Определим объем
мноrоrранника, для че..
ro разобьем ero на че
тыре части. OBDC
О' В' D'G' косая приз..
мв с I{вадратным основанием; ее высота равна
l........ а, ее объем: а 2 (l........ а). Наш мноrоrранник соста.
Блен из трех таких косых призм И одноrо куба
O'B'D'C' A'E'OlF'.
Следовательно, ero объем равен
V==3a 2 (l а) +a 3 ==3a 2 l 3а 3 +а 3 ::::
==3a 2 l 2а 3 == (3l 2а)а 2 .
42. РАЗВЕРТКИ мноrоrРАННИКОВ
Изображенный на рис. е (стр. 20) мноrоуrоль-
ник развертка н е в ы п у к л о r о мноrоrранника,
который образуется следующим образом: установим
72
t.la каждую из четырех rранеЙ тетраэдра точно такоil
же тетраэдр; мы получим звездчатый мноrоrраи..
ник; число ero rраней равно 4. 3== 12; число ребер
4.3 3.4
4 · 3 + 2 === 18; число вершин......... 4 + з----- === 8.
3 а м е ч а н и е. Представим себе, что MHoroyrOJlb
ник развертка вычерчен на плотной бvмаrе или на
картоне. Тоrда, для удобства
сrибания и последующеrо
склеивания l\10дели, полезно
слеrка надрезать картон по
всем диаrоналям развертки,
служащим ребрами MHoro..
rранника. Естественно, что
ребра в ы п у к л о r о мноrоrранника придется при
этом надрезать с одноЙ стороны листа картона, а V
н е в ы п у к л о r о (как в нашей задаче)......... с разных
сторон. Это обстоятельство отмечено на рисунке раз
ными обозначениями диаrоналей.
43. rОДОВЫЕ слои
Форма бревна пряl\tl0Й круrовой конус, усечен..
ный параллельно основанию 1; ero Торцы......... верхнее
и нижнее основания усеченноrо конуса; там отчет-
ливо видны rодовые кольца древесины (более плот-
ные......... зимние). Таким образом, бревно можно pac
Сl\1атривать как систему соосных конусов (рис. а
число «конусов» равно числу лет дерева).
Поэтому в сечениях, перпендикулярных ОСИ, мы
видим о к р у ж н о с т и (рис. б).
В поперечных сечениях, не перпендикулярных
оси......... э л л и псы (рис. в).
в продольном сечении (например, на поверхности
доски) rиперболы (рис. е).
Если при распиловке вдоль бревна плоскость pac
пила прошла через ось бревна rодовые слои обра..
1 Конечно 8 действите.ТIЬНОСТИ форма бревна более или ме-
нее отличается от прямоrо KpyroBoro конуса; поэтому в действи"
тельности рисунок rодовых слоев отличается ОТ названных
кривых.
73
эуют В сечении системы п р я м ы Х, пересекаЮЩIlХСЯ
в вершине ствола дерева (рис. а).
3.3
......
/\
I \
2
4 4
, 1
Если плоскость распила параллельна одноЙ из
образующих конуса, [одовые слои образуют пар а ·
б о л ы (рис. д).
44. ТРИ ПДРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
1) V 1 : V2 : VЗ === л'lfl'l'Vl : Л2J.l2 V 2 : ЛЗ ЗV3' откуда
Лl tlVl
V 1 == Лl lVl + л'2}!2 V 2 + л'з tзVз V,
Л 2 J!2 V 2
V2 === Лl tlVl + л'2fl2 V 2 + л'зJ!зVз v,
л'эJ..tзVз
vз == л'l tlVl + Л2J..t2 V 2 + л'зJAз"з v.
2) Vl==V2==VЗ== ' (ПодумаЙте над тем, как полу-
чить это решение н е п о с р е Д с т в е н н о, не ИСПОЛh 4
зу я более общеrо случая 1).)
45. МНОЖЕСТВО ЧЕТЫРЕхуrольнииов
Начертим отрезок ДЛИНОЙ а. Ero КОНЦЫ две вер-
шины всех ИСКОМЫХ четырехуrольииков.
ИЗ КОНЦОВ отреЗКа опишем две дуrи радиуса1\1И
соответственно Ь и d. Искомые третья и четвертая
74
вершины четырехуrольников лежат только на этих
дуrах. Но rде именно?
Для дальнейших построений принимаем: b>c<d..
Кроме дуrи радиуса Ь, из Toro же центра описы-
ваем две дуrи радиусами (Ь+с) и (Ь с); эти дуrи
оrраничивают возможные положения BToporo конца
стороны d.
е
л
t
g
м
т"
п
Аналоrично, кроме дуrи радиуса d, из Toro же
центра опишем две дуrи радиусами (d+c) и (d с);
эти дуrи оrраничивают возможные положения вто-
poro конца отрезка Ь.
По отношению к отрезку d отрезок с может занЙ-
мать два крайних положения, причем в обоих слу..
чаях отрезки d и с лежат на одноЙ прямой; в первом
случае сторона искомоrо четырехуrольника является
ПРОДОЛJкением ero стороны d, а во втором сторо-
на с лежит целиком на стороне d. В пеРВО!\1 случае
четырехуrольник вырождается в треуrольник (рис. е)..
Станем изменять эту исходную фиrуру. Свобод-
ный конец отрезка d может перемещаться либо
75
внутрь треуrольника (верхний ряд на рисунке), либо
наружу (нижний ряд).
Второй (свободный) конец отрезка d nepel'vfe-
щается:
Внутрь треуrОЛЬНика
рис. Ф невыпуклый четырех-
уrольник
рис. ж второй конец отрезка
d занимает крайнее
левое положение; че-
тырехуrольник выро-
дился (три вершины
на одной прямой)
рис. и звездчатый четырех-
уrольник
РИС. л звездчатый четырех-
уrольник, две стороны
KOToporo параллельны
рис. м звездчатый четырех-
уrольник
На РУ}КУ треуrольника
рис. f выпуклый четырех..
уrольник
рис. g выпуклый четырех-
уrольник; ме}кду f и g
была единственная
трапеция
рис. i ....... второй конец отрезка
а занимает крайнее
правое поло}кение; че.
тырехуrольник выро"
дился В треуrольник
рис. 1 ....... невыпуклый четырех-
уrольник
рис. т....... невыпуклый четырех-
уrО.7IЬНИК
рис. n второй конец отрезка Ь пришел в друrое
краЙнее положение; четырехуrольник выродился (три
вершины на одной прямой).
'"
46. УСЕЧЕННЫИ ЦИЛИНДР
Развертка боковоЙ поверхности прямоrо Kpyro-
Boro цилиндра, усеченноrо непараллельно основа-
НИЮ, показана на рис. а. Кривая синусоида. В са-
"10М де.не (рис. б):
OB==R BC==R R cos а== (1 cos a)R;
h==OB. tg ==tg (1 cos a)R.
Площадь развертки боковои поверхности можно
найти двумя путями.
1 в а р и а н т. Дополним данный усеченный ци-
линдр до полноrо цилиндра высотой Н + h (рис. Ь).
Совершенно очевидно, что дополнительная часть.........
также усеченный круrовой цилиндр и притом цен-
тральносимметричный заданному. Поэтому оба усе-
ченных цилиндра равны; следовательно, боковая по-
верхность одноrо усеченноrо цилиндра равна поло-
вине боковой поверхности Bcero цилиндра. Боковая
76
ПQверхность полученноrо KpyroBoro цилиндра равна
So==1tD(H+h), а искомая боковая поверхность за-
данноrо усеченноrо цилиндра равна
1 1
S == 2" So == 2" :лD (Н + h).
2 в а р и а н т. Любое осевое сечение любоrо Kpyro-
Boro цилиндра (даже не прямоrо), усеченноrо парал-
а
r
I
с::
D
д
j
лельио основанию, трапеция (рис. е); следователь-
но, сумма длин двух образующих цилиндра, Т. е.
обоих оснований трапеции, рав-
u u
на удвоеннои среднеи линии тра-
пеции (211); таким образом, «сред-
НЯЯ высота» развертки равна
H + h
f') == 2 · Отсюда: S == :лD'11 ==
,", D H+ 2 h ( Ф
"" эта ормула спра-
ведлива ДЛЯ любых цилиндров, lJ
11
основание которых фпrура, симметричная относи.
теЛЬН0 центра).
3 а м е ч а н и е. УсеченныЙ ЦИЛИНДр очень часто
встречается на практике, например, в коленах трубо-
проводов, изrотовленных из отдельных звеньев
(рис. д)
47. лист Бумдrи
По условию, каждый следующиЙ ЛIIСТ подобен
предыдущему и в два раза меньше ero (по площади)..
Из этоrо следуе-r,
что стороны каждо-
ro следующеrо ли..
ста в 11 2 раза lVlеиь"
ше соответствующпх
сторон предыдуще..
ro лис.та, а так как
одна IIЗ сторон У
ЭТИХ двух листов
одна и та )ке, то не..
комое отношение
r;:'
равно V 2. (Именно
таково отношение длин сторон листов бумаrи; напри..
мер, раЗf\/Iер «форматки» 210X297 мм; 297: 210 I
У 2 . )
48. ру лон
Рассмотрим прежде Bcero проrрессию, получив..
шуюся при разрезании рулона по радиусу (<<основ..
НУЮ» ) :
D d
толщина одноrо слоя (ленты) 6 == 2п ;
торцевая поверхность рулона S == (D2 d 2 );
лентыl L === === (D + d) (D d) 2п === D + d лn'
длина б 4 (D.......d) 2'
длина развертки первоrо слоя 11 == Л (d + D;; d ) ==
(2п 1) d + D .
2п л,
78
длина развертки последнеrо слоя ln == л: (D D;: d )::::
(2п 1) D + d
== 2п Л;
lll ll П Х
разность проrрессии q == п 1 == 2п (n 1)
D] D d
Х [(2n 1) D + d (2n 1) d == n 31.
Возможны два варианта проrрессии из 2п членов.
1 в а р и а н т. Два отрезка каждоrо витка явля"
ются двумя последо-
вательными членами I .
искомой проrрессии ' I
(р НС. а). т or да сумм а ...... ..... ...... ...... -f
двух членов k ro вит.. :===== +-- ====
ка равна I
I
Z k + l k+l ===-l k + Z;k + ' I
+ q' == 2l k +q', а
а сумма двух членов следующеrо, (k+ 1)..ro, витка
равна
l k+2 + l k+3 == (l k + 2q') + (l k + 3q') == 2l k + 5q'.
Следовательно, длина (k+ 1) ro витка превышает
длину k..ro витка на 5q' q'==4q'. Но, с друrоЙ сто-
роны, длина каждоrо следующеrо витка превышает
длину предыдущеrо на q.
Итак,
, 1 D ....... d
q === 4" q == 4п Л,
/ ' l (1 ' ) l [ (2п 1) d + D D d ]
1 2 1 q 2 2п л 4п j'[
===вп [(4п 1) d +DJ.
Теперь нетрудно найти длину каждоrо HOBoro отрезка.
Возникает вопрос: как расположатся в рулоне но..
вые разрезы? Не окажутся ли они тоже на одном ра-
диусе? Нет, и вот почему. ЛюбоЙ радиус (после
nepBoro) разрежет каждыЙ виток на две части, о Т-
Н О Ш е н и е длин которых зависит от положения вто-
poro радиуса, но постоянно для всех витков, между
'IeM, как показано выш е, должна быть постоянной
79
раз н о с т ь длин этих двух частей (она равна q'),
следовательно, их о т н о ш е н и е . не может быть По-
стоянным. Вторые разрезы располо)катся по некото-
рой кривой (<<спиральноrо» типа).
2 в а р и а н т. Первые п членов искомоЙ проrрес..
сии соответственно ДЛИНЫ отрезков первоrо, вто-
J I poro, ..., n..ro витков; и
I I далее: (Il + 1) ..й член не..
I I u
.. комои проrрессии оста..
:=:======::. ток куска ленты первоrо
..... витка; (п+2)..й остаток
BToporo витка и т. д.
(рис. б).
6 В этом случае k Й
член проrрессии (rде
k-<'п) больше (k l)..ro члена на q", rде q".......раз..
насть искомой проrрессии. Аналоrично, (k+п)..й член
проrрессии больше (k+n l) ro члена также на q".
В таком случае
(ah +ak+n) (aп 1 +ak+n l) ==2q";
но ak + ak+l1 ........ длина k-ro витка. ak l +ak+n l длина
(k 1) ..ro витка, откуда следует, что разность искомой
nроrрессии в Д в а раза меньше разности основной
проrрессии, Т. е.
,,1 D d
q == 2" q == 2п л.
Обозначим первый член искомой проrрессии че-
[ " [ " + 1 " l l " + l " + "
рез 1; ПОСКОЛЬКУ'1 n+l == l' Т. е. 1 1 nq ==
(2п....... 1) d + D
== ? N, ТО
..-п
2l; === ;, [(2n........ 1) d + D nD + пd];
1; == [(3п 1) d (п 1) D],
&п
': 1: + (n 1) q" == 4: {(3п 1) d+(п.....l) Dl+
п l D 3t
+ 2п ( d) л == 4il f (п 1) d + ( п 3) D J t
l +1 == '; + пq" === 4: ((n 1) d + (n + 1) D).
80
Это решение, однако, возможно не при всех зна-
чениях d, D и n. В самом деле, УС.повие существова-
ния: q" · n.<:.ll, т. е.
D d (2п 1) d + D
2 лп< 2 Jt или (D d)п.«2п 1)X
п fl
D п l
Xd + , ИЛИ (п 1)D«3п.......l) d, откуда d> 3п 1 D.
При q". п == II ДОЛЖНО быть [ == О, т. е.
:п [(3п 1)d (п 1)Dl==0,
или (3п 1) d == (п 1) D. Это следует и из фор..
мулы
d ; \ D.
п
Частные случаи: при п == 2
1
должно быть d > 5" D
3
4
!...D
4
3
u D
Условие существования может быть записано и так:
D d
п D 3d (п целое число).
Два отрезка, на которые разрезан каждый виток,
отличаются друr от друrа на одну и ту же постоя н-
D d
ную величину nq" === 2 л. Следовательно, как и
в первом варианте, вторые разрезы расположены не
по радиусу, а по некотороЙ кривой.
49а. РАЗБИЕНИЕ прямоуrОЛЬНИКА
Пусть а-<:'Ь. Тоrда наибольшая возможная сто-
рона квадрата а. Следовательно, в результате на-
несения внутри заданноrо прямоуrольника двух си-
стем прямых, параллельных ero сторонам, обра-
зуются квадраты со сторонами, равными 1, 2, 3, . . ., а
6 3ак. 2087
81
единицам. Сколько же образуется квадратов? Соста-
вим таблицу.
Длина стороны
квадрата
Количество квадратов данноrо размера
1
2
3
а ' Ь == аЬ
(а....... 1) · (Ь ....... 1) == аЬ (а + Ь) + 1
(a 2). (Ь 2) == аЬ 2 (а+ Ь) + 22
...... ,...... ".....
[а (а .......1)] . [Ь....... (а .......1)] ==
== аЬ (a 1). (а+Ь) + (a 1)2
. . .
а
,==ab.a [O+1+2+... (a 1)]'(a+b)+
+102+12+22+ о.. (a 1)2]==
==-a2b а;1 а(а+Ь)+ 2a2 :a+l а==
===a[ab а;1 (а+Ь)+ 2a2 a+l ]===
== [6аЬ 3а 2 ........ 3аЬ + За + 3Ь + 2а 2 За + 1] ==
=== а (а 6 + 1) (3Ь а + 1).
Формула, выведенная для случая разбиения пря..
моуrольника на квадраты, справедлива и для случая
разбиения параллелоrрамма на ромбы.
49б.РАЭБИЕНИЕ ПДРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
,., а(а+1)
== 12 {6bc (a 1)[2(b+c) a]}
(а < Ь; а < с).
49в. РАЗБИЕНИЕ n..MEPHOrO ПДРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Пусть а......... наименьшее из чисел а} Ь) С} . . ') k J 1
и т. Составим таблицу.
82
11
Длина
ребра
фиrуры
Количество фиrур данноrо размера
1
2
3
а.Ь.с ... k.f'ln
(a 1). (Ь 1). (с 1) ... (k.......l). (l 1). (т 1)
(а 2) . (Ь 2) . (с 2) .. . (k 2) · (1 2) · (/n 2)
.......................11..
a 2 [a (a......J)]. [Ь....... (a 3)] ... [k (a"""'3)] Х
Х [l (а 3)] · [1п (а 3)]
а ....... 1 [ а (а ....... 2)] . [Ь (а ....... 2)] .. . [k (а ....... 2)] Х
Х и...... (a 2)] · [nz (а 2)]
а [а (а...... 1)] · [Ь....... (а....... 1)] ... [k (а 1)] Х
Х [1...... (а 1)] · [т....... (а 1)]
Обозначим произведение а. Ь. с . . . k · l · т через s и
найдем сумму всех строк:
п ==as [1 +2+ ... +(а 1») х
x[ + +... + + ]+
+ [Р + 22 + ... + (а 1 )2] [ :ь :с + ... + [: 1
....r J3 + 23 + ", +(a 1)3)[ c + a:d + ... + klSm 1+
+ ... + ( 1 )1Z...1 [11l 1 + . о. + (а 1 )п 1] Х
Xra+b+ ... +т]+( l)ll[llZ+ о.. +(a l)пl==
........ a(a l) [ .!. + + + ] + a(a l) Х
as 2 а Ь · · · т S 2
Х 2а 1 [ + I . о . + ] s а (а 11 Х
3 аЬ ас I l17Z 2
Х a(a;l) [ a c + ... + k т ]s+ ... +( 1)" х
х [111+ ... + (а 1)11] == а [1 а; 1 ( + +
+ ... + ;J + а (a2 1) . 2а -; 1 Х
Х ( ;ь + · · · + l ' ) · · · ] S + ( 1 )11 [111 +. . . + (а.... 1 )11].
п СИ1\/Iметрична относительно Ь, с, О") k, l и 111.]
Частный случай: а == Ь == с == . . . == k == 1 == П1.
п == 1 1l + 2 п + . . . + а ll .
6*
83
u
БОа, В РАВНОБЕДРЕННЫИ ТРЕуrольник
ВПИСАНЫ ируrи
1. Радиус (первоrо) вписанноrо в равнобедренный
треуrол ьНИК I{pyra р авен
,. (' (р а) (р Ь)2 ( Ь) ... /' р ....... а а ... (' р....... а
r V р p . v р 2 V р.
Площадь (первоrо) вписанноrо в равнобедренный
треуrольник Kpyra равна
S ?:rт; p......oora 2
О == лr ==........... · · а
4 р
Да.,тlее:
h == н 2r == Н а V Р; а .
Наконец,
h : Н == 1 а у р ....... а а == 1 ......... а 2
у р2 У Р (р....... а) (р Ь)2 Р (р Ь)
1 2а р ....... а .
== 2р === р
Равнобедренные треуrольники, отсекаемые от дан-
Horo равнобедренноrо треуrольника касательными
к вписанному в Hero Kpyry, парал-
лельными основанию треуrольни-
ка, подобны данному треуrольни"
ку.
Линейные элементы каждоrо
последующеrо треуrольника отно-
сятся к соответствующим элемен-
там предыдущеrо, как h: Н, т. r.
соответственные (сходственные) эле..
менты треуrольников образуют убы-
ваЮll(УЮ rеометрическую проrрес..
p a
сию со Знаменателем q == р .
Следовательно, площади треуrоль..
а ников (а также и вписанных в них
KpyrOB) образуют rеометрическую проrрессию со
знаменателем
..с::
84
2 (р ....... а )2
qo == q == р2 ·
Сумма площадей всех вписанных KpyroB сумма
членов бесконечной убывающеЙ проrрессии (первыЙ
S л', p a )
член ее а 1 == о == 4' р а 2 :
== аl == n(p a)a2 ==
1 qo [ (р....... а)2 ]
4р 1
р2
:rt (р а) а 2 р 1t (р а) ар :rt (р а) ра
== 4 [р2 р2 + 2ар а 2 ] == 4 (2р а) === 8Ь
Обозначим радиус искомоrо Kpyra через яо;
S O 2:rt (р а ) Р а
Tor да 0=== 'лЯо == t
8Ь
откуда яо=== -V (p :)pa .
2. Друrой путь решения:
Площадь первоЙ трапеции
.
Sr === [1 ( YJ S 6 === [1 ( р; а YJ S 6 ===
(2р а) а S 2аЬ S
р2 b. y '
Доля площади трапеции, занятая KpyrOM:
80 п(р а)а2р2 n(p a)ap
0== ST == 4p2abSb. == 8b.Sb. ·
Так как все последующие трапеции с вписанным
в каждую из них KpyroM подобны первоЙ трапеции
с вписанным в нее KpyroM, то полученное только что
соотношение справедливо для каждоЙ из всех трапе..
цйЙ, а следовательно, и для их суммы.
Поэтому сумма площадей всех вписанных KpyroB
равна
(J · S 6 == :rt (р --; а) р · -ъ- '
-. / oS6 -v (p a) а
откуда Ro== V n == 8 р. Ь ==
..f (b2 )a !!..-./ а
JI 8Ь 2 V 2Ь'
85
3. ПОСТ Р О е ни е. у!так, заданный равнобедрен-
ный треуrольник разбит системоЙ отрезков, парал..
лельных ero основанию, на равнобочные трапеции,
в каждую из которых вписан Kpyr; площадь каждоrо
из этих KpyroB Составляет опре
деленную часть площади трапе
ЦIIИ, независимо от абсолютных
размеров трапеции. Следова..
тельно, искомая сумма всех впи
санных в трапецию KpyroB равна
площади Kpyra, вписанноrо в
равнобочную трапецию, подоб
ную упомянутым выше, а имен..
но такую, площадь которой рав"
на площади всех трапеций, т. е.
площади заданноrо равнобедрен..
Horo треуrольника.
Площадь первой трапеции ер
равна площади данноrо тре-
уrольника F минус площадь BToporo треуrольника f.
Данный треуrОЛЬНИl{ IТ второй треуrольник подоб..
ные фиrуры, поэтому их площади относятся как ква..
драты сходственных элементов:
F===фL2 }
fP == F f == ф ( [2 [2 ) == фл 2 ,
f === Ч: i 1 2 '
rде л2==L2 l2.
Обозначим через R радиус Kpyra, вписанноrо
в искомую трапецию, через r радиус Kpyra, впи
caHHoro в первую трапеuию. Тоrда F : ер == R 2 : r 2 ; R.2 ==
F L2 L
==(j)r 2 == 'Л,2 f2; R==-л r .
в качестве сходственноrо линеЙноrо элемента
возьмем половины оснований подобных треуrольни
( а а' )
ков 2 и 2 ; тот да
о
R а:2
== r.
V ( )2 ( у
Отсюда вытекает способ построения (рис. б). На
половине основания данноrо треуrольника ( ; ) строим
86
полуокружность. В эту полуокружность вписываем
ПрЯ1\10уrольный треуrольник, один из катетов кота..
а' u а
poro равен 2; второи к.атет........ "2 (половина основа..
ния равнобедренноrо треуrольника, подобноrо дан..
ному и равновеликому первой трапеции). Отложим
tJ а
отрезок, равныи 2 ' от середины основания треуrоль..
ника и соединим полученную точку с центром пер..
Boro вписанноrо Kpyra. Через вершину основания
данноrо треуrольника проводим луч, параллельныи
этон прямой. Получаеl\f центр искомоrо кpyra, ОТ-
куда леrко определяем и радиус, и Cal\1 Kpyr. На
рисунке, кроме Toro, по..
строена и трапеция, рав"
новеликая задаиномутре..
уrольнику.
4. Рассмотрим част..
ный случай, коrда дан..
ныЙ равнобедренный Tpe
уrольник ......... правильныЙ
(равносторонний) .
Проведем через точки
касания каждых двух S
последовательно вписан..
ных KpyroB общие каса..
тельные, параллельные основанпю треуrольника
(рис. в). Тоrда данный правильный треуrольии[{
ОI{ажется разбитым на равнобочные трапеции, в ка.
ждую из которых вписан Kpyr. Так как эти трапеции
вместе с вписанными св iНИХ КруrаМи.......... подобные фи-
rypbI, то отношение площади Kpyra I{ площади опи..
санной BOKpyr иеrо трапеции одинаково для всех фи-
ryp. Следовательно, 'таково же и отношение иекомоЙ
суммы площадей всех KpyroB к сумме площадей всех
трапеций (т. е. к площдди данноrо треуrольника).
С друrой стороны, площадь каждой трапеции равна
удвоенной площади 'правильноrо треуrольника, вы-
сота KOToporo равна высоте трапеции, т. е. диаметру
Бписанноrо Kpyra. (Почему?) Площадь трапеции, опи-
санноЙ BOKpyr и с к о м о т о Kpyra (и подобноЙ все!'.."
остальным трапециям), должна быть равна плаща...
ди данноrо треуrольника; а половина площаД1I не-
А
R
д
87
комоЙ трапеции (форма этой половины правиль
ныЙ: треуrОЛЬНIIК) должна быть равна половине пло-
щади данноrо правильноrо треуrольника. В таком
случае отношение высоты искомой трапеции (она же
высота правильноrо треуrольника, входящеrо в иско-
мую трапеllИЮ) к высоте данноrо правильноrо тре..
уrОЛьника равно 1: 11 2 . Построения ясны из чер..
тежа:
1 : 112 == 11 2 : 2.
На высоте AD как на диаметре строим полуокруж
ность AFD. Из центра Е полуокруя{ности BOCCTaHa
вливаем к AD перпендикуляр ЕР (он пройдет череl
точку 1 касания вписанноrо в треуrольник Kpyra).
На высоте AD отмечаем точку G на расстоянии DF
от D. DG высота трапеции PQRS, площадь KOTO
рой равна площади данноrо правильноrо треуrоль
ника. Следовательно, Kpyr диаметра DG искомыcl
(ero площадь равна сумме площадеЙ бесконечноrо
ряда вписанных в данный правильный треуrольник
KpyrOB) .
Для правильноrо треуrольника:
1 ( 3 3n
ЯО == 41 "2 а; So == лR2 == 32 а 2 ;
S уз 2.
""""т а ,
80 3n4 3л
<J == 86 == 32VЗ 8 уз 0,7.
2. Для ответа на поставленный вопрос достаточно
рассмотреть множество равнобочных трапециЙ, опи..
u
санных BOKpyr HeKoToporo Kpyra: площадь каждои Tpa
пеиии равна произведению ее высоты (Т. е. диаметра
Kpyra) на среднюю линию; так как высоты всех Tpa
u u
леции одинаковы, то отношение площадеи трапеции
равно отношеНИIО их средних линий.
Наименьшая средняя линия """ у трапеции, ВЫРО-
дившейся в квадрат. В этом случае площадь опи-
санной BOKpyr данноrо Kpyra трапеции минимальная;
следовательно, отношение площади .Kpyra к площади
трапеции наибольшее, а именно, оно раВНО п: 4==
==0,785. .. . По мере увеличения уrла при вершине
увеличивается средняя линия трапеции, а следова-
88
'f льно, И П ТIощаДь трапеции; в TaKO 1 случае «насы-
щенность» трапеции KpyroM (Т. е. треуrольника впи-
санными в Hero круrами) уменьшается (и стремится
к нулю).
60б. В КОНУС ВПИСАНЫ ШАРЫ
Задача СВОДИТСЯ К предыдущей.
61а. ПОЯСА KPyrOB воируr ЯДРА
Каждый пояс СОСТОИТ из I(pyroB, центры которых
расположены на сторонах правильноrо шестиуrоль"
ника. Число I<pyroB на каждоЙ стороне следующеrо
шестиуrольника на единицу
больше числа KpyroB на сто.
ране предыдущеrо шестиуrоль..
НИI<З. Следовательно, ЧIIсла
KpyroB в поясах образуют
арифметическую проrреССJIЮ с
разностью d == 6, аl == 6; следо.
вательно,
а'п==6+ (п 1)6==6п.
== а! t an п == 3(п+ 1) п.
Прибавив ОДИН Kpyr....... ядро, получим:
N n == 1 +3п+3п 2 .
51а. ЯДРО ТРИ HPyrA
Ядро........ 3 Х 1 круrз.
1 e КОЛЬЦО 3 Х 3 KpyroB
2..е кольцо 3 Х 5 KpyroB.
3..е КОЛЬЦО 3 Х 7 KpyroB..
II ==3(1 +3+5+...+
+(2n+ 1)] ===
== 3 1 + 2 + 1 (n + 1) ==
=== 3 (n + 1 )2.
89
Какова будет формула в T0l\11 случае, если ядро
составлено из четырех KpyroB, причем ка,кдый Kpyr
касается двух друrих, а их центры вершины квад-
рата?
52. СЕМЬ ДРОБЕЙ
Конечно, нетрудно сравнить две дроби, приведя их
к общему знаменателю, но как лучше поступить:
сравнивать их сначала попарно, затем следующие
пары и т. Д., либо выбрать одну дробь и сравни..
вать ее последовательно с каждой друrоЙ дробью
и Т. Д., либо привести все дроби сразу к одному об..
щему знаменателю? Кстати, в последнем случае
общий знаменатель будет равен 5. 67 · 449 · 491 Х
,Х 613 · 653 · 787 == 23 265 962 743 872 8951
Попробуем воспользоваться rрафико!vr.
б
5
l{
3
2
i
r
а
БО
787
(. ,
2
J
ч
j
б
7
8
ЕСЛII I\1bI наиесеi\1 на КООРДIIнатное поле точку,
абсцисса и ордината KOTOpofi соответственно знаме.
натель и числитель данной дроби, то величина таи-
reHca уrла, образуеr\-Iоrо ЛУЧОlVI, проведенныlH из на..
чала координат через эту точку, равна величине дан-
нои дроби. ЧеNI больше уrол (для правильной дроби
он не более 900), TelVl больше TaHreHC yr ла, тем, еле..
довательно, больше и са.ма дробь. Таков принцип ре..
тения задачи.
Приступим к построеНИЯl'rl. Их проще выполнить
на миллиметровоЙ бумаrе. I(экоrо размера лист ну-
жен нам? Числители (и знаменатели) данных дро..
90
беЙ резко различны по величине: от 4 до 601 (от 5 до
787); поэтому требуется большой лист бумаrи; од-
нако воспользуемся тем, что величина дроби не из-
менится, если мы одновременно уменьшим и числи..
тель, и знам:енатель в 10 или в 100 раз, т. е., напри
53 5,3 509
lYlep, дробь 67 заменим дробью 6,7 ' дробь 653
509
дробью 6:53 и т. п. Блаrодаря этому все точки раз-
lVlестятся на небольшом куске бумаrи.
I,aK обычно в rрафических построениях, Mbr нано-
сим точку лишь приближенно, и если величины двух
дробей будут весьма близкими, rрафик может не дать
четкоrо ответа; в этом случае он поможет «рассор"
тировать» дроби для последующеrо сравнения обыч-
ным способом лишь весьма близких по величине
дробеЙ.
Но в данном случае расположение точек оказа..
лось таКИ1\.f, что по rрафику читаем сразу: наимень'"
б 321 . б 360
шая дро .Ь 449 ' за неи следует дро ь 491 и т. д.
v
63. БРОН30ВЫИ ЛЕВ
Строим rрафик в системе «время объем воды».
Отрезок ОА саатветствует объем.у бассейна. «Пра...
вый rлаз наполняет бассейн за два дия» наклон...
ная А 2. «Левый rлаз наполняеr бассейн за три
дня» наклонная О. з.
А J
б ани
Отметим точку В на пересечении А 2 и О 3.
Отрезок ВС' изображает количество воды, поступив..
шей в бассейн из правоrо rлаза за промежуток вре-
мени АС'; аналоrично, отрезок ВС" изобра}кает КО-
Jlичество ВОДЫ, поступившей в бассейн из левоrо
91
rлаза за то же время. Следовательно, отрезок АС'
(== ОС") изображает про {ежуток времени, за кото-
рый вода из обоих r лаз наполняет весь бассейн. По-
этому ос' rрафик работы «оБОIIХ rлаз».
Аналоrично строим rрафик работы «рта» (O 6)
и «ноrи,) (А......... 4); с ПО1vIОЩЬЮ точки D (точки пере-
сечения этих двух rрафиков) СТРОИl\1 АЕ rрафик
СОВl'лестноЙ работы «рта» и «ноrи».
CYl'vIMa рные rрафики......... ОС' и АЕ......... пересекаются
в точке Р; отрезок 00 (rде О......... проекция точки F
на ось времени) соответствует ИСКОl'лой продолжи-
тельности наполнения бассеЙна при работе всех четы-
рех струй.
По масштабу определяем, что 00 === : (О 1).
Таким образом, бассеЙн заполнится за : суток
(19 ч 12 мин).
54. СВИДАНИЕ
Как это моrло быть, рассказывает rрафик. (Мас-
штаб длины: 1 клеточка 20 М; масштаб времени:
одна клеточка......... 1 минута.)
15
1
I 1
.
;:h
cu
, X L
t::
...........
I Т
У/1ица М
r"""iiiiiOO;;
..... -...
.... ..... ......
......;;; . ....'"
..... L...... ....
-- lOiiI" -- .-..
... .....
......... -.. ........ .....
...... ""- ...... ..... .....
L...... ::Iiii L...... ...
-- ..... ....
-- .... io""'"
i.... .... ....
!'"-о ..... ..... ..... ....
....... ... ....1iiiiOO,; .....
.......
.... .-.. .... ---
......-- -- --
...... -- ........
..... ......
"'- ......
.... .... ........
-....
800
05
10
в пришел со стороны переулка Р за 1,5 мин ДО
8 часов, прошел мимо КИНО и дошел до ларька; так
92
как он шел со СКОРQСТЬЮ 4 км/ц, то расстояние 200 м
200
он прошел за 4000 ' ба == 3 )411Н. Затеl\/I он повернул
обратно и в том )ке теlVIпе на ТО 1\1 }ке отрезке про..
шелся несколько раз.
А пришел со стороны переулка Q в 8 tt 1,5 мин
в тот момент, коrда В, ДОЙДЯ до ларька, повернул
обратно; А прошел мимо лары{а, затем мимо кино,
поt1ернул обратно и т. Д.
Так как А и В прохаживались маЯТНIIкообразно
с одинаковоЙ скоростью на отрезках PL и KQ одина.
КОВОЙ ДЛИНЫ (200 м), то расстояние между ними
оставалось неизменным (оно равнялось 60 .м). Вече..
ром, в мороз, на ЛЮДНОЙ улице на расстоянии 60 At
ОНН моrли и не увидеть друr друrа.
Вот что может случиться, если плохо условиться!
55. ТРИ АВТОМАШИНЫ
11raK, три машины прибыли в В одновременно и
без остановки продолжали свое дви)кение в С. Так
как по условию машины отправлялись из А через
,
А
? АН
в
t
C\...I
С
,,,
А
равные промежу1'КИ времени, то и в любой пункт
(в том числе и в пункт С) они прибудут также че.
рез равные лромежутки времени (но в обратной по-
С,l1едовательности). По условию, первая машина при-
была в С через один час после второй; следователь.
93
но, третья машина прибыла в С на один час р а н ь'"
ш е второЙ, т. е. первая прибыла в С через 1 + 1 ==
==2 часа после третьей. Вторая машина и участок АВ
HaIVl больше не понадобятся, и теперь можно сформу
lировать условие задачи так: «Из В одновременно
вышли две t\1ашины: .N2 1 И M 3; машина Ng 3 прибыла
в пункт С (ВС== 120 км) и немедленно повернула
обратно; в 40 км ОТ С она встретила машину NQ 1,
I\оторая прибыла в С через два часа по ле п'рибытия
Б ЭТОТ пункт 1ашины N2 3».
j\'lашины Ni! 1 И N 3 вышли из В одновременно..
До встречи Iашина N2 1 прошла 120 40==80 (км),
а lYlашина N2 3 прошла 120+40== 160 (км). Следова
тельно, скорость l\ilашины NQ 3 в 160: 80==2 раза
больше скорости машины J\f'2 1.
За 2 часа с момента прибытия Ъ:lашины NQ 3 В С
ДО !\'10l\1eHTa прибытия в этот же пункт маШJIНЫ N2 1
IIРОИЗОШЛО следующее: машина NQ 3 прошла 4-0 KJt
(в направлении от С к В), а затеl\1 IvIашина NQ 1 про..
шла то же расстояние (в направлении от В к С).
Так как с J{ о р о с т ь rашины Ng 3 в 2 раза больше
скорости машины Ng 1, ТО В Р е м я, затраченное ма..
шиноЙ ]\[9 3 на участке ДЛИНОЙ 40 1\,М, В 2 раза м е н ь..
ш е времени, затраченноrо маШIIНОЙ Ng 1 на том }ке
участке. В таком случае, !\lашина N2 1 затратила на
2 4
этот участок 1 +2 2 === 3 (часа).
4
11TaK, lYlашина N2 1 проходит 40 км за 3 часа;
4
следовательно, ее скорость равна 40 : 3" === 30 (им/час).
Как это все ПрОIIСХОДИТ, наrлядно показывает rpa..
фИК. Расстояние АВ не дано и не может быть наЙ..
дено, поэтому положения точки А на rрафике мы не
знаем; может быть, это А', ИЛИ А", или А''', а !\10жет
быть, и какая"нибудь друrая точка.
66. ДВА ВЕЛОСИПЕДИСТА
1. ОбознаЧИr\''1 через v скорость 1-ro велосипедиста,
через w........ скорость 2..ro велосипедиста, через L
расстояние АВ.
94
В таком случае:
до первой до второй
встречи встречи
5 L+3
5 (L +3)
v v
L 3L
1 й проехал (км)
2 й проехал (/СМ)
Оба вместе (!СМ) I
Отсюда получаем два уравнения:
5 · (1 + : ) :::= L, (1 )
(L+3). {1 + : )==3L. (2)
Разделив (2) на (1), получим:
Lt 3 :::=3; L+3== 15; L== 12 (/См).
2. Воссоздать картину движения велосипедистов
лучше Bcero при помощи rрафика.
в
ЗI\"М{
q"
I
5КМ{
rрафик отчетливо показывает, что после первой
встречи велосипедисты проехали до второй встречи
путь, равный удвоенному расстоянию АВ; точно так
же и после второй встречи велосипедисты проехали
ДО третьей встречи путь, раВНБIЙ удвоенному расстоя.
нию АВ. Следовательно, промеЖУТQК вреlVlени между
второй и третьей встречами равен промежутку ме..
жду первой и второй встречами.
Однако было бы ошибкой сделать из этоrо вывод,
будто и впредь интервалы между каждыми двумя
последовательными встречами будут такими же. Как
видно из rрафика, интервалы между третьей и чет..
вер той встречами, а также между четвертой и пятоЙ
95
встречами rораздо l\Iеньше первых двух интервалов;
их величину определить нетрудно: между третьей и
ПЯТОЙ встречами велосипедисты вновь преодолели
двоЙное расстояние АВ; следовательно, промеЖУТQК
времени между третьеЙ и пятоЙ встречами равен
промежутку времени между первоЙ и второй (а так..
же и второй и третьеЙ встречами). ПОЭТОIvIУ интервал
между третьей и четвертоЙ (а TaKJI<e между четвер..
тоЙ и пятоЙ) встречаl\IИ равен половине интервала
ме)кду первоЙ и второЙ (илп второЙ и третьей) встре..
чами.
rде произойдет четвертая встреча? Из rрафика
без всяких дополнительных построений или вычисле..
нии, в силу СИl'vIметрии, видно, что четвертая ветре..
ча произоЙдет в точке, равноудаленноЙ от точек А и
В (заметьте, что на rрафике точка, соответствующая
четвертой встрече велосипедистов, является цeHTpo
СIIмметрии rрафика).
Далее. 2..Й велосипедист (тот, который едет бы.
стрее) встречает друrоrо велосипедиста На одном
переrоне один раз и только один раз. 1 й велосипе..
дист (тот, который едет медленнее) встречает дру"
roro велосипедиста либо один раз, либо (во время
cBoero TpeTbero, а TaK)I{e BocbMoro полурейса) три
раза (в том числе один обrон!).
После пяти полных рейсов 1 ro велосипеднста (и
семи полных рейсов 2..ro) все начинается сначала.
fрафик движения после пяти полурейсов 1 ro (и
сеl\1И полурейсов 2..Уо) фиrура, зеркально СИМ1\1ет"
ричная построенному rрафику.
Еще одно замечание. При решении задачи с ДВУ"
мя велосипедистами мы исходили из тато, что !vIe..
жду первой и второй встречами
каждый из велосипедистов со..
вершит один поворот в противо..
положную сторону; ivlе}кду тем,
условие задачи не содержит та..
Koro прямоrо указаНIIЯ. Поэта..
!vlY данная задача имеет и вто"
рое решение, сущность KOToporo ясна из rрафика.
Найдите расстояние АВ в этом случае, исследуйте
решение.
, 5
J
1
96
57. ДВА ВКЛАДЧИКА
в системе координат «время деньrи», приняв
ОДИН и тот же масштаб для месяцев и для рублей,
построим две точки: В (т, р) и С (п, q) и проведем
через них прям ю, которая встретит ось ординат
в точке А (рис. а).
D ,
с
:{Ljj} q с с
Е
f
О '":7fl О............... G а
. ........... t
п д д
а
Точка 14 показывает, что в момент времени О CYM
ма вклада составляла ОА рублей; с 3Toro момента
начался р а в н о м е р н ы й процесс роста вклада, что
изображается при помощи наклонной прямой; через
т месяцев размер вклада (с процентами) достиr
р руб., а через п месяцев q руб.
Задача решена:
1. Ордината точки А искомая сумма вклада.
2. TaHreHc уrла наклона луча АС к оси ОХ чис
ленно равен величине процентной суммы на вклад ОА
за один месяц. Процентная сумма с Toro же вклада,
но не за один месяц, а за один rод, т. е. за 12 месяцев,
будет в 12 раз больше; процентная сумма с одноrо
рубля будет в ОА раз меньше, чем с суммы ОА; HaKO
нец, искомая величина процентной ставки будет в
1200
100 раз больше, т. е. она равна ОА tga.
Пользуясь построенным rрафиком, можно решить
и друrие задачи, например: «Какая сумма k будет
выплачена вкладчику, внесшему v рублей, через t Me
сяцев?»
Продолжим отрезок СА дО встречи с осью абсцисс
в точке F (рис. б). Отрезок ОР изображает тот срок,
в течение KOToporo данный вклад удваивается (т. е.
срок, за который сумма выплаченных процентов бу-
дет равна сумме вклада). Но коль скоро количество
процентов, выплачиваемых сберкассой, одинаково
7 3ак. 2087
97
для всех вкладов, точка F также постоянна для всех
вкладов. В данном случае вклад равен и; отло)ким
ОН == V и проведеI\1 из точки Р через точку Н полу..
прямую; в таком случае луч HD изобразит рост вкла..
да v со временем. Отложив OO==t и проведя GDIIOH,
находим точку D. OD==k.
Если размер процентноЙ ставки изменится, то
точка F переместится по оси абсцисс; например, если
процентная ставка увеличи'I'СЯ в п раз, то точка f"
перейдет в точку Р' такую, что ОР: ОР'==п. В самом
деле (рис. в), по условию должно быть С' Е : СЕ == n;
из подобия треуrольников СЕА и АОР следует, что
СЕ : ЕА ==АО : ОР, а из п(}добия треуrольников С'БА
и АОР' следует, что С'Е: ЕА ==АО : ОР', откуда
ОР: ОР'==С'Е: СЕ==n.
Мы привели чисто rрафическое решение задачи.
Если требуется найти аналитическое выражение иско..
мых величин, то это можно сделать, пользуясь по..
строенными rрафиками (из подобия фиrур).
При небольшой величине процентной ставки дли..
на отрезка ОР получается значительной и чертеж
rромоздким; в этом случае следует принять по оси
абсцисс меньший масштаб, чем по оси ординат.
Разумеется, выше все время речь шла о простых,
а не о сложных процентах.
58. БЫКИ НА луrу
Предварительно рассмотрим два rрафика; по оси
абсцисс будем откладывать время (в неделях), ведя
счет от Toro момента, коrда быки были выпущены
на луr; по оси ординат количество травы (изме..
ряемое, например, недельной порцией одноrо быка);
rрафики количества травы, съеденной быками,
сплошные линии; rрафики выросшей травы штри"
ховые линии.
Первый rрафик (рис. а) показывает зависимость
количества травы, съеденной быками, от числа не..
дель пребывания их на луrу. Так как каждый бык
съедает каждую неделю одно и то }ке (пока неиз..
вес'Тное нам) количество тр авы, то rрафиК......... луч,
проходящий через начало координат; TaHreHc уrла
наклона луча прямо пропорционален числу быков.
98
Второй rрафик (рис. б) показывает зависимость
количества выросшей на луrу травы от числа недель,
прошедших с момента, коrда начала расти трава
(этот момент помечен на оси времени точкой Т, рас..
с)
20
с)
<::о
C.J
10 ?j
с)
r .......
8
......... С
оо:с;::
ю ..s о 10 15 Недели
(j С'
c:s
зо
t::J
::I::C:
'\{, 20
Fэ
".
./' 10
(\\J /' f,
/ IlЛL)Z z
/' f.
Т /' .......... IЛIjj 1 В С
..........
10 "5 О 10 15 Неае/1и
2
..: :::t'\
.() I\J
::r
с3 "
a
:t
с)
1:(:)
t3 CL
(.) :э
I ,/
:::J Q ,/
"..... ,/
()' /'
.I'" /" ..,.. ...
f /' .,..........-
:t:/
т /] 8/Jемя
6
.:)
с) :::з
Е
::r Q.,
::::s ,.Q
L)
а
О B/Jt?tv19
а
зо
положенной слева от точки О). Так как каждую не-
делю вырастает одно и то же количество травы (ка-
кое именно........... неизвестно), то rp афик луч, прохо..
дящий через точку Т; T8HreHC уrла наклона луча
прямо пропорционален площади луrа. (Количеству
7*
gq
травы, выросшей к то моменту, коrда быки были
выпущены на данный ./ r, соответствует вертикаль
ный отрезок, оrраниченный точкоЙ О и точкой пере
с.ечения rрафика с осью ординат.)
Рассмотрим rрафическое решение задачи сначала
для упрощенноrо случая, а именно, «приведем» все
три луrа к одной и той же площади, например к пло..
щади BToporo луrа. Тоrда условие задачи запишется
так:
Луr
Площадь
Число
быков
х
Число
недель
4
9
18
1
11
111
10
10
10
36
21
Строим rрафик (рис. в). На оси времени OTMe
чаем точки А, В и С, соответствующие 4, 9 и 18 Heдe
лям. Iиз точки С восставим к оси времени перпенди
куляр и на нем в произвольном масштабе будем Ha
носить количество быков: точка А' соответствует
36 быкам (1 луr), точка B' 21 быку (11 луr); сле
довательно, лучи ОА' и ОБ' являются rрафиками KO
личества травы, съедаемой быками соответственно
на 1 и на II луrу. Однако по условию вся трава
съедается на 1 луrу за 4 недели, а на II луrу за
9 недель; следовательно, реальными являются только
участки ОА" и ОВ" этих лучей. Отрезки АА" и ВВ"
изображают (в HeKoTopoIvl масштабе) количество
травы на луrу площадью 10 акров, съеденноЙ двумя
rруппами быков за соотвеl СТВУЮll ие сроки, но так
как rрафик количества травы на луrу данной пло
щади в функции времени прямая линия, то, про
ведя через точки А" и В" прямую, получим rрафик
роста травы на луrу; на этом rрафике отметим две
точки: Т определяющую момент, коrда на луrу Ha
чала расти трава (по масштабу определяем, что
ТО==12 недель), и С' определяющую отрезок СС',
соответствующий тому количеству быков, которое за
18 недель съест всю траву на луrу П.lJощадью 10 aK
ров. По масштабу определяем, что се'=: 15 (быков).
Это и есть искомое число быков х на III луrу для
упрощенноrо случая.
100
Так как площадь 111 луrа в действительности
равна не 10 акрам, как I\IbI приняли в упрощенном
случае, а 24 акрам, то искомое число быков равно
24
10. 15==36 (быков).
Теперь решим эту задачу, не упрощая условия.
Отметим на rОРИ30нтальноЙ оси точки А, В и С,
соответствующие времени пребывания быков на лу-
rax: 4, 9 и 18 неделям (рис. 2). На вертикали, прове..
денноЙ через точку С, отметим точки А' и В', coo:r..
ветствующие числу быков на первом и втором лу-
rax 12 и 21. Проведя лучи ОА' и ОВ', получим rpa..
фИКИ, иллюстрирующие темпы поедания быками тра..
вы соответственно на 1 и 11 луrах. По условию, пло..
1
щади луrов 1 и 11 различны, а именно 33 и 10 ак"
1
ров. Если бы площадь 1 луrа была бы не 33 акра,
а 10 акров (т. е. была бы в 3 раза больше), то ко-
личество травы, выросшей на этом луrу к моменту,
отмеченному очкой А, изображалось бы отрезком
АА"'==3АА". Точки А'" и В" принадлежат rрафикам
луr.ов равной площади (по 10 акров); следовательно,
луч, проведенный через эти точки, является rрафиком
роста травы на луrу площадью 10 акров, а точ...
ка т момент начала роста травы.
Луч Т А'" В" пересекает ось ординат в точке Р 2 ;
отрезок ОР 2 изображает площадь 11 луrа (отрезок
ОР 1 1 луrа).
Для построения rрафика роста травы на 111 луrу
надо найти на оси ординат такую точку F з , чтобы
отрезок ОF з изображал mrощадь 111 луrа; но по уело..
вню площадь 111 луrа равна 24 акрам; поэтому
FзО : Р 2 О==24 : 10. Проводим луч через точки Т и F з .
Ордината точки С' на этом луче и дает ответ на по..
ставленныЙ вопрос: на 111 луr ну)кно выпустить
36 быков.
е помощью rрафика мы не только получили от-
вет на поставленный в задаче вопрос «Сколько бы..
КОВ нужно пустить на луr площадью 24 акра, чтобы
они при тех же условиях моrЛII прокормиться 18 He
дель?», но и подrотовились к быстрому ответу и при
8 з З!{. 2087
101
друrих цифрах. Например, для ответа на вопрос
«Сколько недель можно прокормить быков на луrу
площадь ю сх. акров ?», достаточно провести Bcero два
луча, а именно: 1) из точки Т через точку F а на оси
ординат (ордината этой точки равна а); 2) из точ-
ки О луч, пересекающий шкалу «количество быков'»
В точке, ордината которой равна .
Абсцисса точки пересечения этих двух лучей и
является ответом.
Аналитическое решение задачи таково:
5з Sl b 2 t 2 (t з t 1 ) ....... S2 b l t l (t з t 2 )
х === ............... ·
5152 t з (t 2 ....... t 1 )
rде: s ......... акры, Ь быки, t недели.
59. ДВЕ ЛОДКИ
1. Обозначим расстояние АВ через s, собственную
скорость лодки через v, скорость течения через а.
Тоrда (при направлении течения из А в В):
S 5 S S
V + а v + а + х == v....... а ....... х ......... v....... а ·
откуда найдем:
х
== .......... 2.
а
Или (при направлении течения из В в А)
s s s s
v+a x v+a v.......a v a+x'
ОТК У да
х
=== 2.
а
Следовательно, ответ таков: лодка, плывущая
про т и в течения, должна у в е л и ч и т ь свою СКО"
рость, а лодка, плывущая п о т е ч е н и Ю, должна
у м е н ь ш и т ь свою скорость на х==2а.
2. В решение задачи введены величины s рас-
стояние АВ и v собственная скорость лодки, кото-
рые, однако, не вошли в ответ. Почему? Если отсут-
ствие в ответе s более или менее понятно, то при-
чина исчезновения v остается нераскрытой И каков
физический смысл ответа?
102
Попробуем разобраться в ЭТОМ. В системе коор--
динат «время..... путь» начертим rрафик ОА движе..
ния лодки при отсутствии течения (жирная линия
на рис. а). Отложив ОТ точки F по вертикали в про-.
в' в А С с'
!t
,.
"
,,""
;"
;"
;"
""
/'
/'
а ",'"
х"" ,..
lч о. с
..
Время
а
тивоположные стороны отрезок й, построим rрафики
ОБ ---- движения лодки п о т е ч е н и ю } тонкие
ОС ....... движения ЛОДКИ про т и в течения линии.
(Величины всех взятых наf\1И отрезков....... произволь-
ные; из дальнейшеrо будет ясно, что этот произвол
нисколько не влияет на выводы.)
увеличим скорость лодки, ПЛЫВУ- l
щеи п о течению, на х ---- получим rpao!
фИК 08'; I штриховые
у е н ь ш и м скорость лодки, плы- ЛИНИИ
вущен про т и в течения, на х...... полу-
чим rрафик ОС'.
По условию задачи требуется, чтобы уменьшение
продолжительности рейса первой лодки (изображае-
8 в п А
c fl
с
о
д
мое отрезком 88') равнялось увеличению ПРОДОЛЖИ.
тельности реЙса второй лодки (изображаемое отрез-
KOl\1 СС'). Но из чертежа ЯСНО. что каковы бы ии
8:tc
10З
были (J, а и х, всеrда BB'=I=CC', следовательно, пред-
ложенное нами направление изменения скоростей не
lv10жет дать решения поставленной задачи.
Переменим направление искомой скорости х
(РНС-. б), Т. е.
у в е л и ч и м скорость лодки, плы
tf
Б\'щеи про т и в течения, на х полу
ЧIfl\l rра(рпк ОС";
у 1\1 е н ь ш и м скорость ЛОДКИ, плы
..
пущен п о течению, на х получим
rрафик ОВ" ,
1/1з черте)ка совершенно ясно, ЧТО BB I будет рав-
но ССI/ ТО"Т]ЬКО В том случае, если точка В" совпадает
с точкоЙ С, а точка С" с точкой В. Тоrда ЛОДКИ
«ПОl\Jеняются rрафиками» и условия задачи будут BЫ
полиены: лодка, плывущая про т и в течения, у в е..
л и ч и т СБОЮ СКОрОСТЬ на столько же, на сколько ее
у м е н ь ш и Т лодка, плывущая по течению (а имен
но, на х==2а), а продолжительность реЙса первоЙ
лодки у м е н ь ш и т с я на столько, на сколько у в е..
JI и Ч и т с я продолжительность реЙса второЙ ЛОДКИ
(а именно, на промеЖУТQК времени, изображаемый
отрезком ВС).
rрафик со всей очевидностью объясняет причину
исчезновения из ответа величины собственноЙ ско-
рости ЛОДОК: наши рассуждения совершенно не были
связаны с величиноЙ v, и убеждает, что полученныЙ
ответ единственный.
А вот «чисто лоrическое» решение задачи. По
условию, скорость одной лодки увеличивается на
столько же, на сколько уменьшается скорость друrоЙ
.подки; физически ЭТО мо}кно осуществить, изменив
скорость течения. Следовательно, теперь задачу
fОЖНО сформулировать так: «как должна ИЗl\lениться
скорость течения, ЧТQбы время движения одноЙ из ло
ДOK уменьшилось ровно на столько, на сколько уве..
личится время движения друrой лодки?» Ответ оче-
виден: если направление течения изменится на обрат...
ное, то fIервая лодка будет в пути СТОЛЬКО, сколько
была вторая, и наоборот: вторая лодка будет в пути
СТОЛЬКО, СКОЛЬКО была первая; следовательно, на
сколько увеличилось время в пути ОДНОЙ ЛОДКИ, на
столько же уменьши.ПОСЬ время в пути друrоii лодки.
}
I штриховые
.ПИНИИ
104
А изменение направления течения (при сохранении
абсолютной величины скорости течения) равносильно
тому, что скорость лодки изменяется на удвоенную
величину, т. е. х==2а. Кстати, теперь совершенно
ясна причина исчезновения из ответа как собствен
ной скорости лодки, так и расстояния S.
v
60. ОТЕЦ И ТРОЕ СЫНОВЕИ
1. (По книrе Обера и Папелье.) Пусть u означает
возраст отца, х возраст старшеrо сына, у воз
раст BToporo сына и z младшеrо.
Имеем прежде Bcero уравнение:
u == х + у + z + 5. ( 1 )
Через 10 лет отцу будет (u+ 10) лет, а старшему
сыну (х+ 10) лет.
Соrласно условию, составляем второе уравнение
u + 1 О == 2 (х + 1 О) .
Точно так же
u+20==2(у+20) и u+30==2(z+30).
Из этих последних трех уравнений находим:
и 10 и 20 и 30
х 2 t У 2 t Z === 2 (2)
Подставляя эти значения х, у и z в уравнение (1),
имеем:
3и 60
u === 2 + 5,
откуда получим u == 50.
Подставив это значение и в уравнения (2), полу-
чаем:
х==20; у== 15; z== 10.
2. Через 10 лет возраст старшеrо сына равен п 0-
л о в и н е возраста отца. Еще через 20 10== 10 лет
возраст старшеrо сына увеличится на 10 лет, а п 0-
л о в и н а возраста отца увеличится лишь на 10: 2==
==5 лет. Следовательно, тоrда число лет старшеrо
сына будет на 10 5==5 лет больше половины числа
JleT отца; но в этот момент возраст среднеrо сына
105
станет равен половине возраста отца. Окончательно;
старший сын на 5 лет старше среднеrо. Аналоrично:
средний сын на 5 лет старше младшеrо.
Обозначив через z возраст младшеrо сына (в дан-
ный момент) и через u возраст отца, получим
z+ (z+5) + (z+5+5) +5==и; 3z+20==u }
,(z+5+5+ 10) · 2==и+ 10; 2z+30==u
z== 10, у== 15, х==20, и==50.
Полученные результаты наrлядно иллюстрируются
следующим rрафиком:
80
60
/
L
Е
t.)
1:] ")
;:,. ,............ rz с::::.
';:$ n')
"/ ....... n')
(..)
ct ct
'/
v /
q.. / '/ /
/ /
\:)'/ v
/ off'W / /
/ 9o.9 ;r 1/1/ /
V / 9;, "o. y
(\ое.. . I o \Y V- r
/ [/ .. ф'
р " /м
70
50
lJO
зо
20
10
D
10 20 .30 "О SO 60 70 80
61. ПОИУПАТЕЛЬ и ТРИ ПОСТАВЩИКА
Прежде Bcero заметим, что абсолютная величина
стоимости продукции не имеет никакоrо значения
для отыскания ответа: важно только то, что наимень-
шая стоимость продукта в 111 колхозе, а наиболь-
шая в 1.
Решим задачу rрафически, путем построения ло-
маной, изображающей процеес нарастания времени
работы автотранспорта по мере перевозки с ero по..
мощью продукта из одноrо, друrоrо, TpeTbero кол..
хоза (рис. а).
Искомая ломаная исходит из точки О (О, О). Про..
цесс доставки из 1 колхоза изобразился бы лучом 1,
106
ПРОХОДЯЩИМ через точку К (10, 10) за 10 ч 10 тонн;
аналоrично, для 11 колхоза луч 11, ПРОХОДЯЩИЙ черСJ
точку L (40, 10), и для 111 колхоза........ луч 111, проха..
дящий через точку М (30, 1 О) .
12
Р N
10
l1! /
а
к м 1/
I / " ) [... L
I / " ,,'ТТ
;
/ " \1 "" /' /
I A ., ,; ,... ,/
I ;; ., ,"" j
......, ./ ., ,... 1-//
,,'
" 7 ./
/
I ./ , ,,'"
'"
.' ..... ./
... З9i
10
20
за
40 час
6
.5
:t:
о
а
Искомая ломаная содержит столько звеньев,
сколько имеется поставщиков; длина проекции этоЙ
ломаной на ось ординат должна соответствовать об-
щему весу продукта (12 тонн), а длина проекции
этой же ломаной на ось абсцисс не дол)кна превы.
тать лимита времени рабо-
ты автотранспорта (40 ч).
Так как самый дешевый
т
продукт в 111 колхозе, сна..
чала производим закупку
именно там; но количество
продукта в 111 колхозе :
оrраничено 6 тоннами; по..
этому первый участок ло-
маной......... отрезок ОА. Обра..
щаемся в следующий (по
цене) колхоз: проводим че..
рез точку А луч ANIIOL;
но точка N оказалась вне
установленноrо лимита времени (суммарное время
42 ч вместо 40 ч). Поэтому проводим через точ-
ку Р луч PHIIOK; он пересечет прямую AN в точ-
ке Q. Искомый rрафик OAQP; читаем ответ:
2 1
Xl == '3 Т, Х2 == 53" Т, Ха == 6 т.
12
Р N
11} 1 [......
I ..1 а
.К м
1,,/ V ...-
,
/ ,/'" /
/ "I "
.'
А /
7 ,'" " ,,'
,
v /
..... / /
7/
/
) 28
I
Q!t2)
10{12)
20(З2}
30
б
107
Решение данноЙ задачи MOiKHO несколько упро-
стить, если все задаRные нормы затрат на транспор-
тировку (1, 4 и 3 Ч/Т) уменьшить на единицу, т. е.
принять раВНЫft..lИ О, 3 и 2, соответственно уменьшив
и общий лимит времени (на 12 ч). Соответствующий
rрафик приведен на рис. б.
62. ЧЕТЫРЕ ПУТЕШЕСТВЕННИКА
1. (По книrе Обера и Папелье.) ПОЛОЖИl\f АМ ==Х,
AP y (х>у), причем х и у выражены в километрах..
Старшие путеlпественники затратили на путь из А в
( х 39,6 х )
В 36 + 4 часов; время, затраченное на тот
же путь молодея{ью, составляет
( У 39,6 у )
6" + 36 Часов.
Наконец, время, затраченное автомобилем, равно
х + (х у) + (39,6 у)
36 часов.
Поскольку все эти три выражения равны между
собоЙ, получаем:
3... + 39,6 х JL + 39,6....... у 2х 2у + 39,6
36 4.......... 6 36 36 '
или
х+9 (39'6........ х) ==6у+39,6 у==2х........ 2у+39,6,
или, сперва приравнивая друr к друrу первые два
выражения, а затем два последних, имеем:
8х+.5у==8 · 39,6, 7у ==2х,
откуда находим:
х у ....... 8х + 5у 8. 39,6......... 8 -
Т 2" 8,7 + 5,2 66 4, ,
х == 7 · 4,8 == 33,6 (км); у == 2 · 4,8 == 9,6 (/СИ).
108
2. Решим теперь эту задачу при помощи rрафика.
По условию, из А одновременно отправляются авто..
мобиль и молодежь; изобразим это на rрафике при
помощи двух лучеЙ АМ' и АР', ИСХОДЯЩИХ из одноЙ
ТОЧКИ; так как аВТО lашина
движется быстрее пешеходов
луч АМ' образует с положи..
теЛЬНЫl\1 направленнеt\I оси АХ
большиЙ уrол, чем луч АР'.
Из 1 одновременно отпра..
вляются: автомобиль (обрат...
но) и старички (вперед): rpa..
фИКИ дви)кения сооТВеТ.... А
ственно отрезки М'Р' (L-M'P'P== L:M'AX) И Ivl'B'
(уrол наклона М' В' к оси АХ меньше, чем уrол на..
клона АР' к той же оси).
В Р прибывают одновременно автомобиль и мо-
лодежь: ТОЧl(а Р'.
В В прибывают одновременно автомобиль и ста-
рички:
проводим Р' В'I!АМ' · В' точка пересечения лучеЙ
из М' и ИЗ Р/.
Спроектируем точки Р', м' и В' на вертикальную
ОСЬ; получим точки Р, М и В.
Учитывая данные задачи, наХОДИl\I:
1) АМ .:tpMP == 36 : 6;
(АР + 2.NIP) : АР == 6;
2klP 2МР
таким образом, 1 + АР == 6; АР == 5; АР: МР==2:5.
2) MPM PB ==36: 4;
(МВ + 2МР) : МВ == 9,
2МР 2МР
oTKy a 1+ мв ===9; мв ==8; J\lIP:MB==4: 1.
Следовательно, АР: PiVI : МВ === 8 : 20 : 51 t
8 8
откуда АР== 8+20+5 · 39,6== 33 39,6==9,6 (им)
20
РМ === 33 · 39,6 == 24 (!См).
в
м
В.
р
I Эти отношения моrли быть найдены и чисто rрафическим
путем.
109
При таКО!\1 решении отчетливо ВИДНО, что полу-
ченные решения не зависят от абсолютных величин
скоростей, а зависят только от о т н о ш е н и й CKOpO
стей автомобиля п пешеходов.
63. СТО ПЕТУХОВ. кур И цыплят
Количество петухов (П), кур (К) и цыплят (Ц)
при каждой покупке ЭТО три целые числа, удовле-
творяющие одновре1'lенно ДВУI\'I уравнеIfИЯМ:
r п+ К+ Ц== 100 (ПТИЦ),
t 5П+3К+ ц== 100 (rрошей).
Следовательно, задача СВОДИТСЯ l{ отысканию трех
троек целочисленных корнеЙ систеl\lЫ двух линеЙных
уравнений.
Для решения этоЙ системы воспользуеf\-1СЯ rрафи-
KOl\1 (рис. а), изобра}каЮЩИ 1 нарастание стоимости
100 СО
90
8О
7D
ба
:::::J 50
33
t::)
40
30
2О
10
О
10 20 30 '10 50 ба 70 80 90 100
ПтUЦЬI
а
всей покупки с увеличениеl\1 количества купленных
птиц. Таким образом, требуется построить три ЛОТ\1а..
ные, ка}кдая из которых должна удовлетворять еле..
ДУЮЩИМ условиям: 1) начало ломаной в начале ко-
ординат, конец в точн:е, соответствующеЙ 100 пти-
110
цам 11 100 rрошам; 2) ломаная состоит из трех
звеньев; rоризонтальная проекция. звена изображает
количество купленных птиц, а вертикальная их
стоимость (соответственно: петухов, кур 11 цыплят);
3) абсциссы вершин ломаной числа целые.
Из точки О (О, О) проводим луч ОА, образующий
с положительным направлением оси ОХ уrол, таиrенс
KOToporo равен 5: 1 (пять rрошеЙ за каждоrо пе
туха) .
Из точки О (О, О) ПРQВОДИМ луч ОВ, образующий
с положительным направлением оси ОХ уrол, TaH
reHc KOToporo равен 3 : 1 (три rроша за одну курицу)..
Из точки О (О, О) проводим луч ОС, образующий
с положительным направлением оси ОХ уrол, таи-
reHc KOToporo равен 1 : 3 (на 1 rрош три цыпленка).
Три звена искомых ломаных должны быть парал-
лельны этим трем лучам.
Так как количество птиц может быть только чис..
лом целым, то мы будем иметь дело не с ломаными
линиями,. а с совокупностью отдельных точек на этих
ломаных, а именно, только с теми точками на этих
ломаных, абсциссы которых числа целые. На луче ОА
несколько таких точек обозначено кружками.
Проведем через точку С о (100, 100) прямую О'С о ,
параллельную лучу ос. Она пересечет луч 08 в то1.["
ке Во; абсцисса точки Во 2 5 число целое. Лома..
иая ОВоС о удовлетворяет следующим условиям:
ее начальная точка 0(0, О), конечная Co(lOO,
100) ;
абсциссы всех вершин (о; 25 и 100) целые
числа;
первое звено параллельно лучу ОВ, второе
лучу ОС.
Следовательно, ломаная ОВоС о удовлетворяет
всем условиям, кроме одноrо: в ней нет TpeTbero
звена, соответствующеrо петухам (лоrvIаная ОВоС о
изображает покупку 25 кур и 75 цыплят: 25 + 75 ==
1
==100 птиц за 25. 3+15. 3==75+25==100 rpo-
шей). Для Toro чтобы включить в покупку также
и петухов, надо переместить поступательно звено
«куры» так, чтобы оно пересекло лучи ОА и О'С о
в точках с целочисленными абсциссами.
111
ДлЯ' облеrчения построений увеличим rоризон-
тальный масштаб части rрафика (рис. б).
100
90
80
70
60
50
()
40
ЗО
20
10
О
А
,
,- р,1II BIf 8'
о' .."! ,.- / //:. v; -:.;'
.. Е% v;
A" /:: : ,
./
::::::: у: // //
% ;"
'" / %: :..--
A/ ;:::: ,
/: v;: ;;
</ r'
AI ;:
"- ,
./
#-'"
Во
I 2 J '1 5 10 75 20 25
Птицы
О
Как видно из rрафика, всем требованиям условия
задачи удовлетворяют только три ЛОI\1аные:
.
Ломаная Петухов Кур Цыплят Bcero птиц Bcero
rрошей
ОА'В'С о
ОА" В"С о
ОА'" В'" СО
4
8
12
18
11
4
78
81
84
100
100
100
100
100
100
64а. ТРИ ТЕЛА
Построим rрафики движения трех тел. Так как
тела отправляются из исходноrо пункта (обозначим
в ero А) в разное время, а за-
тем одновременно прибывают
в пункт В, то rрафики движе-
4' ния три наклонные, сходя-
I щиеся в В.
Так как по условию скоро-
сти тел относятся как 4: 5 : 6,
а время движения обратно про-
порционально скорости (дли-
Ао
BpeM
112
на пути одинакова), то
1 1 1 15 12 10
AIAo: А2 А о: А з А О ==="4 : 5": 6 === 60 : 00: 60 ==
== 15 : 12 : 10,
но А 1 А 2 ==2 (часа); следовательно,
12 10 2 1
А 2 А з == 15 12 · А 1 А 2 == 3" · 2 == 1 3' (часа).
Заметим, что для ответа на поставленный в задаче
вопрос вовсе не нужно знать абсолютных значений
скоростей тел: достаточно знать их отношения (ответ
не изменится, если скорости тел будут равны, напри.
мер 4; 5 и 6 см/ч, или 4; 5 и 6 KM/ce и т. д.).
64б. ДВА ТЕЛА
с помощью формул равномерно переl\'lенноrо ДВИ"
жения можно составить систему из трех уравнениЙ
с тремя неизвестными: 1) начальная скорость 8ТО.
poro тела, 2) ускорение первоrо тела и 3) промежу..
ток времени от начала движения до момента, коrда
скорости тел сравнялись; найдя эти неизвестные,
можно приступить К дальнейшим расчетам и апреде.
лить искомый момент. Но при этом вЫЧИСления ока..
зываются довольно rромоздкими.
Проще Bcero будет ответить на поставленный во..
прос, если обратить ВНИl\1ание на следующее.
По условию, в l\'IOMeHT, коrда скорости тел сравня"
лись, расстояние между ними составляло 379 м; тре-
буется определить, коrда второе тело опередит первое
иа 1137 м. Но ведь 1137 : 379==3.
Значит, задаче можно придать такоЙ вид:
«Из точки А в одном направлении одновременно
начали двиrаться два тела; оба движутся равномерно
ускоренно; скорость первоrо больше скорости BToporo.
Через 1 ч 37 м 39 сек второе тело доrнало пер
Бое...».
l1так, общая картина движения такова: оба тела
вышли одновременно из одной ТОЧКИ. Tai< как ско-
рость первоrо больше скорости BToporo, то расстоя..
u
иие между ними начало увеличиваться; но, с друrои
113
стороны, через некоторое время второе тело наrнало
первое; это моrло быть только в том случае, если ero
ускорение больше ускорения первоrо тела; следова-
тельно, до MO IeHTa встречи был момент, коrда их ско-
рости сравнялись.
Впрочем, все это проще и наrляднее изобразить
при помощи rрафика. Поэтому строим rрафик в коор-
динатах «вреrvIЯ скорость»" Так как s==v. t, то на
rрафике путь, пройденный телом, изобразится в виде
". /
U l
е"О
e('f1
в (1"0 jЗО L
ПelJдо е теЛО
.Q
I.J
::S :::J
arctg
с) 1::
(s t}
1::1
tJ
:3
<:) tIJ
З
t:J (..)
q:)
(:)
Q.,
t:)
t:()
с:
Q;
Е: t:)
'"
g.QJ
t:
с{)
I
(.)
'о
(
1,
.
t
Т7
"(
' 'э
-
Врем R
площади прямоуrольной трапеции, а расстояни.е ме-
жду телами в момент Т изобразится в виде разности
U u
площадеи двух трапеции.
Откладываем по оси скоростей два произвольных
отрезка Vl и 02 (Vl > V2). Через КОНЦЫ отрезков про..
водим две наклонньtе (gl < g2). Абсцисса тонки пе-
ресечения наклонных t промежуток времени от на..
чала движения до момента, KorAa скорости тел срав"
пялись. Разность площадеЙ трапеций (L==379 м) .....-.
расстояние l\1ежду телами в 10?\1eHT, коrда скорости
сравнялись.
Далее. Для Toro чтобы оба тела встреТИJ1ИСЬ, не.
обходимо, чтобы площади трапеций......... расстояний
сравнялись. А площади обеих прямоуrольных трапе-
ций будут равны, если у них общие высота и средняя
линия. Отсюда следует, что ТОТ2==2ТОТl'
По условию задачи требуется о.пределить, коrда
второе тело опередит первое на 1137 t. Но 1137 ==
==3 Х 379==3L. Следовательно, требуется найти такую
точку Тз, чтобы разность между площадями двух
114
прямоуrольных трапеций с общеЙ стороноЙ Т 2 Т З ДО"
стиrла 3L. А для этоrо ДОЛЖНО быть Т 2 Т з ==t.
В Т 3 3 1 (t 37 .мин 39 сек
TaI<OM случае, То 3== t === · 2 ==
== 2 tt 11 Mllfl 28,5 сек.
Таков ответ на поставленный вопрос.
Приведенные в условии задачи: скорость первой
точки и ускорение второй точки лишние данные,
так как ответ совершенно не зависит от этих вели...
чин.
65. ПОЕЗД
По rоризонтальной оси будем откладывать ско"
рость, а по вертикальной время (см. рисунок). Так
как расстояние, пройденное поездом, равно произве-
дению скорости на время,
то площадь прямоуrоль-
ника, стороны KOToporo
соответственно изобра-
жают скорость и вре1vIЯ, t
изобразит пройденное по. i.
ездом расстояние. Пусть
отрезок ОК скорость
поезда, а отрезок OL о'"
время хода (10 ч 40 AtUH); х
в таком случае площадь Скорос т:
прямоуrольника OKML
изображает расстояние между rородами А и В.
Если скорость поезда уменьшится на 10 км/ч (на
отрезок KN), то время хода увеличится на 2 ч 8 мип
(на отрезок LP). В этом случае расстояние АВ изо-
бразится площадью ПРЯ lоуrольника ONQP.
Так как расстояние lVlежду rородами в обоих слу-
чаях одно и то же, то площади прямоуrольников
OKML и ONQP ДОЛЖНЫ быть равны; так как пря-
моуrольник ONRL их общая часть, то площадь
прямоуrольника N I(MR должна быть равна площади
прямоуrольника LRQP.
Обозначив неизвестную уменьшенную скорость
поезда (отрезок ON) через х, получим:
р
i
{
(]
f'A
/(
N 10км/ч
115
1 О ч 40 .мин Х 1 О КАt/Ч == 2 tl 8 .мин Х х КМ/Ч, ОТ-
куда
10 ч 40 .мин Х 10 620 . 10 - 50 ( / )
х 2 ч 8 мин 128 км ч ·
Скорость поезда: 50+ 10==60 (км/ч).
40
Расстояние между rородами: 60 Х 10 60 ==640(км).
По условию, три раза повторяется одна и та 1 {e
операция: из одноrо сосуда одна четверть содержа-
щейся в нем жидкости переливается во второй сосуд,
а друrая четверть в третий сосуд. При всех пере..
ливаНIIЯХ о б щ е е количество жидкости, находящейся
во всех трех сосудах, остается
неИ3 iенным. Представим это не..
изменное количество схематиче-
ски в виде окружности (3600) ;
количество жидкости, находи..
щейся в какой-либо момент в
том или ином сосуде, будем изо..
бражать соответствующей дуrой
(рис. а). Переливанию части во..
ды из сосуда Р в сосуд Q (или в
сосуд R) будет соответствовать
перемещение дуrи; при этом точка, rде встречаются
КОНЦЫ дуr, соответствующих сосудам Q и R, OCTa
петея на месте.
Пусть после переливания из сосуда Р одной чет-
верти в сосуд Q и одной четверти в сосуд R........ коли-
чество оставшейся в нем жидкости изображается ду-
1
rой АВ. Отложив А' Е' == В' D' == '2 А' В', получим точ-
ку Е' (а также D'), определяющую rраницу между Р
и Q (соответственно между Р и R) перед перелива-
нием.
На рис. б внутренний Kpyr изображает конечное
состояние системы; во всех трех сосудах по 16 л. Пре-
дыдущее состояние системы, найденное с помощью
описанноrо выше приема, показано на следующем
Kpyre. Аналоrично отображены второе и первое пе-
реливания. Исходное состояние системы показано на
с'
а
116
66а. ТРИ СОСУДА
внешнем Kpyre. Последовательно вычисляем КОLТlиче-
СТБО жидкости в каждом из трех сосудов до очеред-
Horo переливания (цифры приведены у соответствую..
щих дуr).
Сначала После ZlO пepeIJLJ.lJaHi.lJl
После 1 е0 переIJu{jQния После З lО перелu8
CD
Обоз на.ченu R
_ I cocyd L3:.:. ; .':'I П сосуо C=:J Ш СОСУд
О.
о т в е т: в начале было: в 100М сосуде 8 л, во 2 M.........
14 л и в 3.. м 26 л.
66б. ПЯТЬ РАЗБОЙНИКОВ
следнеrо (пятоrо) удвоения у четырех было по
6
У 5-ro то;
1. (По книrе Попова.) По окончании раздела у
1
всех оказалось по 5' суммы; следовательно, ДО П ..
1
10 '
перед предпоследним (четвертым) уд-
1
трех было по 20 ' У четвертоrо
воением у первых
11 6
20 ' У пятоrо 20 ; перед третьим удвоением у пер"
1 21
вых двух было по 40 ' У TpeTbero 40 ' У четвертоrо
9 3ак. 3087
117
11 б
40 ' У пятоrо 40 ; перед вторым удвоением у nepBoro
1 6
было 80 ' У пятоrо 80 ; перед первым удвоением
81 41
У первоrо было 160 ' У BToporo 160 ' У TpeTbero
21 11 6
160 ' У четвертоrо 160 ' У пятоrо 160 . Но при этом у
nepBoro был 81 дукат, следовательно, Bcero было
160 дукатов.
F
в начаl1е 40 ( о
После 1 10 81
уддоенuя А 1 F 1
После 2?О 142
чдfJоенu я f 2
После 3 O Аз
уадоени я FJ
ПОСl1е 41.0 А4
удВоения {
После 5 10 As
ljоОоени 11 .... {,
85 C s Ds Е,
Пер8ыи Второй Третий ЧетВертый Пятыи
2. (rрафическое решение.) Проведем на равных
расстояниях шесть равных параллельных отрезков
АоРо, А 1 Р 1 , А 2 Р 2 , АзF з , А4 Р 4 и А5 Р 5. НижниЙ отрезок
А5Р5 делим точками 85, С 5 , D5 И Е5 на пять равных
отрезков: после пятоrо удвоения у всех пяти разбой-
ников поровну. Соединим лучами точку Аз с точками
В 5 , С 5 , D5 И Е5. Тоrда на отрезке А4 Р 4 получим от-
резки А4 В 4, В 4 С 4 , C 4 D 4 И D4E4, изображающие коли-
чество дукатов, бывших соответственно у первоrо, ВТО"
poro, TpeTbero и четвертоrо разбойников до пятоrо
удвоения. Соединив лучами точку А 2 С точками 84,
С 4 , D4 И точку Р 2 С точкой Е 4 , получим точки Ба, Са,
D3 и Б з , показывающие, как распределялись дукаты
перед четвертым удвоением. Дальнейшие построения
ясны из чертежа. Отре:юк А 1 В 1 получился В резуль-
тате четырехкратноrо деления пополам отрезка АБВБ,
118
изображающеrо одну пятую всей суммы. Следова-
тельно,
AF АР
AIBl == 5.2."2. 2. 2 == 80 11
Итак, у nepBoro разбойника, после Toro как он
1
удвоил каждому число дукатов, осталась 80 всеи
суммы; в таком случае у всех остальных оказалось
79 79
80 ' т. е. до удвоения у них было 160 ; значит, у пер.
79 81
Boro было 1 160 == 160 . а так как по условию пер.
вый взял себе 81 дукат, то Bcero было 160 дукатов.
Если AF==160 J то А5В5==В5С5==СБD5==D5F5 Е5F5==
==32. Для Toro чтобы найти, сколько было у каждоrо
вначале, нет необходимости возиться с дробями: ДО.
статочно на rрафике начиная с нижнеrо отрезка по-
следовательно проставить все числа.
Результат, полученный расчетом, может быть про-
верен по масштабу (с точностью, допускаемой дан..
ным построением) w
v
67. С УДВОЕННОИ СКОРОСТЬЮ
1. Построим rрафики J!вижения в системе «вре..
1vlЯ ПУТЬ».
в
" /
., "
o.,' o.'J j
n.. ' / '
v,' '\...
,
1
D
С
, ,
'-",
'-
,
(J.з а ,-'"
об .. '/
..
А
С 2
D,
82 8,
-
Время
в первый раЗi половина n у т и (AD) с начальноЙ
скоростью, половина п у т и (DB) с удвоенной СКО"
1
ростью, Т, е, D 1 8 1 === '2 AD 1 .
g*
119
Во второй раз: половина в р е ' е н и с начальной
скоростью, вторая половина......... с удвоенной, т. е. СВ ==
==2АС и АС 2 ==С 2 В 2 .
С помощью циркуля устанавливаем, что 8 1 В 2 ===
== АВ, т. е. 80 8ТОрОЙ раз некто был в пути на
меньше, чем в первый.
2. Оба раза пер в а я т р е т ь пути была проЙдена
с начальной скоростью за время t.
Оба раза в т о р а я п о л о в и н а пути была проЙ-
дена с удвоенной скоростью; следовательно, на нее
3t 3
было затрачено == 4 [.
В первый раз на оставшуюся шестую чдсть пути
t
было затрачено '2'
Во второй раз нз эту шестую часть было ззтра"
t
чено "4'
Bcero было затрачено времени:
319
в первый раз: t +"4 t + 2" t === 4 t;
318
во второй раз: t +4 t +4 t ==4 t.
Следовательно, 80 второй раз было затрачено вре-
1
мени на '"9 меньше.
68. ИД ТЕРА НА РЕКЕ
в том случае, если течения/нет, катер, идущиЙ из
В в А, конечно, встретит ровно столько же катеров,
8
А
О 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12
ИДУЩИХ ему навстречу, сколько и катер, ИДУЩИЙ из А
в В, т. е. семь. А если течение будет, то ... число
встреч не изменится, ибо нет причин для изменения
120
числа встреченных катеров. ВОТ и все. Но разве ничто
не изменится? Изменится вот что: так как при нали-
чии течения скорости KaTepo (относительно береrов)
будут различны (их отношение равно (2+1): (2
1) ==3 : 1), то будут различны и продол}кительности
каждоrо рейса (их отношение равно 1 : 3); в соответ-
ствии с этим, для катера, плывущеrо вниз по тече-
нию, промежутки времени между каждыми двумя
встречами будут в три раза короче, чем для катера,
плывущеrо вверх по течению (см. rрафик).
69. НАТЕР И ПЛОТ
1. Обозначим через х (км/ч) искомую собствен-
ную скорость катера. Тоrда: катер шел по течению
1 1
13з-:(х+4) (tl), против течения 9з:(х 4) (ч).
1 1
Плот до встречи с катером проплыл 133"........ 9 3" ==
== 4 (им), затратив на это 4: 4 == 1 (ч). Так !(ак до
встречи катер и плот находились в пути одицаковое
время, то получаем уравнение:
132. 92.
3 3
х + 4 +. х....... 4 === 1.
1 1
Отсюда: 13 3" (х 4)+ 9 3" (х+ 4) === х 2 16,
2
или х 2 22 "3 х == О ·
2
Окончательно: х == 22 '3 (1lМ/Ч).
1
2. Катер проплыл по течению 13з К'м', а против
111
течения 9з !СМ, т. е. на 13з 9з==4(Км)
меньше. Следовательно, за это время плот проплыл
4 к.м; так как скорость течения 4 км/час, то от 1\fO-
мента отплытия из А до момента встречи прошел
1 час. Рассматривая систему катер плот (незави-
симо от береrов), получаем, что катер удалялся от
плота столько же времени, сколько и шел ему на-
встречу, Т. е. 1 : 2==0,5 часа.
121
За полчаса катер переместилея (относительно бе-
1
perOB) на 133' км; С ТIедовательно, ero скорость была
1 2
13 3 : 0,5 == 26"3 (км/ч),
! 1 O\ 0,51.1 I 11.1
"
" I
"
" I
" " /
А{
-
8;;еfv1Я
[рафик показывает,
бытия в обоих случаях.
"1
e"\j
собственная скорость катера
2 2
26"3 4 == 22 3" (км/ч).
3 а м е ч а н и е. В уело..
вии сказано, что катер от..
плыл одновременно с пло-
ТОМ по течению; однако
это обстоятельство несуще..
ственно: если бы катер от..
плыл одновременно с плQ-
TOl\ll, но направился бы не
вниз по течению реки, а
вверх про т и в течения
реки, то ответ был бы тот
же (при сохранении ТО]'О
условия, что катер проплыл
1
по течению 13з КМ, а про..
тив течения 9 ; !См).
как разворачивались бы со-
70. HOrAA НАЧИНАЮТСЯ СЕАНСЫ?
1. Обозначим продолжительность одноrо интер-
вала через х. Пусть l..й сеанс начался через у часов
после 12 часов.
Тоrда: начало l-ro сеанса 12+ у,
2-ro » 12+у+х,
........... .
7-ro » 12+у+6х,
8-ro » 12+у+7х.
Отсюда и из условия следуют неравенства:
12--<12+у<13 ИЛИ О--<у<l,
13< 12+у+х.< 14 или 1 <у+х < 2,
23-.< 12+у+6х<24 ИЛИ 11<у+6х<12,
24<12+у+7х<25 И.ПИ 12<у+7х< 13.
122
Отбрасывая неравенства, вытекающ-ие из друrих,
получим систему:
О<'и<l,
1 < у + х < 2,
11 <у+6х,
у+7х < 13.
Решаем систему rрафически.
у
}уос
На координатном поле ПрОВОДИ 1! шесть ПрЯJ\rIЫХ:
у == О, *
у==l,
х+у==l,*
х+у== 2,
6х + у == 11, *
7х+у== 13.
Ка:tкдая из этих прямых в заВИСИlVlОСТИ от знака
неравенства (> или <) определяет ту или ИНУIО
полуплоскость; на рисунке соответствующие полупло..
скости показаны штриховкой. При ЭТОМ в случае
двойноrо знака ( ) точки прямой ВХОДЯТ в число
точек, определяемых данным неравеНСТБQМ (уравне..
ния этих ПрЯМЫХ ОТfvfечены зиаКОl\l *, а на рисунке
соответствующие прямые толстым отрезком у тТРН"
ховки); если же знак один «) ТОЧКИ прямоЙ не
ВХОДЯТ в число точек, удовлетворяющих неравенству.
Искомые х и у это координаты тех точек, кота..
рые принадлежат одновременно BCel\1 шести полупло
скQстям.. Из чертежа ВИДНО, что это точки четырех..
123
уrольника PQ P IQlt за исключением точек, лежащих
на PQ и QQl.
Дополнительному требованию (х и у ДОЛЖНЫ быть
кратны 5 .мин) удовлетворяют только две точки:
Р 1 (1 ч 50 мин, О ч О .мин) и
р' (1 tl 50 мин, О tl 5 м.ин).
Точка Q (1 ч 50 ман; 10 мин) удовлетворяет ДО"
полнитеЛЬНОl\IУ требованию, но не удовлетворяет тре..
бованию: y+7x<13.
Следовательно, х продолжительность одноrо ин-
тервала 1 ч 50 мин; начало первоrо сеанса 12 ч
00 -"1-ИН или 12 ч 05 мин и т. д.
2. 1 й сеанс начался не раньше 12 часов, а 7..Й
сеанс окончился не позже 1 часа ночи; следовательно',
эти Cel\lb сеансов заняли не более (24 + 1)........ 12 == 14
часов и продол}кительнос.ть одноrо интервала (х) н е
б о л е е че1\1 13 ч: 7==780 мин: 7 1 ч 51 мин.
2 й сеанс начался до 14 часов, а 6..й закончился
не ранее 22 С! 55 мин; следовательно, эти пять сеансов
заняли не менее 22.55 14==8(ч) 55 (мин) и
ПРОДОЛ}I{ительность одноrо сеанса х н е м е н е е чем
8.55:5==535 мин:5== 107 мин==1 ч 47 .ktин.
I1raK,1 ч47 .iИUfl-::;;;х-<.l ч51 J1;tUfl.
Так как продолжительность одноrо интервала
всеrда кратна 5 минутам, то х== 1 ч 50 мин.
Первый сеанс окончился до 14 часов; следова-
тельно, он начался либо в 12 ч 00 А1,иН" либо В 12 ч
05 мин, и т. д.
71. ДВА НОМЕРКА И ТРИ СТУДЕНТА
Третий студент предложил, чтобы второй ВЗЯЛ у
первоrо не оба номерка, а только один ИЗ них. Так
как неизвестно, какой номерок первоrо студента, ка..
КОЙ BToporo, то HOl\IepOI{, взятый вторым студентом
у первоrо, l\10r оказаться либо нужным eI\1Y номерком,
либо ненужным. В первом случае ему не пришлось
бы возвращаться обратно в столовую, для Toro чтобы
отдать первому ero номерок. Во втором случае ему
пришлось бы возвратиться в обеденный зал за своим
НО:\1 ер КО wl.
124
Итак, в половине случаев предложение TpeTber'o
студента избавляет BToporo студента от излишнеЙ бе..
rотни.
72а. ОРЕХИ
Если в каждом из трех 1ешков будет одинаковое
!{оличество орехов (например, по т орехов в ка-
>КДОМ), то общее количество орехов во всех трех меш-
ках будет 3т, Т. е. должно быть: п==3т (rде т
число целое, положительное).
Но n произвольное число; поэтому раВНОБОЗ-
можны три случая:
п == 3т,
п == 3т + 1,
п == 3т+2.
Поэтому только в ОДНО1\1 случае из трех п таково,
что существует возможность Toro, что в каждом из
трех мешков по п : 3 орехов; в двух случаях из трех
это невозможно.
Итак, рассмотрим Си1учаЙ, коrда общее число аре..
хов во всех трех мешках п == 3т.
Эти 3т орехов Moryr распределиться между тремя
мешками по-разному: например в первом мешке
ничеrо, во втором один орех, а в TpeTbel\rJ все
остальные. Сколько же существует различных вариан-
тов размещения 31n орехов в трех MelIIKax?
Рассмотрим сначала более простой случай: Me -
ков Bcero два; пусть общее количество орехов в ЭТОJ\f
случае равно k. Тоrда в первом мешке может быть
либо О орехов, либо 1 орех, либо 2 ореха, ..., либо
k орехов. Итак, в случае двух мешков существует
(k+ 1) вариантов размещения в них k орехов.
Возвратимся к нашей задаче, коrда мешков три,
а общее число орехов n.
Если в первом мешке р орехов (р п), то осталь-
ные (п p) орехов MorYT по-разному разместиться
в двух мешках (во втором и в третьем); но задачу
о двух мешках мы только что решили; в данном слу-
чае k==n........ р; поэтому при р орехах в первом мешке
остальные (п р) орехов Moryr разместиться в ос..
тальных двух мешках в (п........ р) + 1 вариантах.
125
Теперь можно найти общее число вариантов для
всех возможных значениЙ величины р (р == О) 1. 2, . . . ,
. . , п), т. е. найти сумму:
11 n
(n Р+ 1)== (n+ 1) р] ==
р=О р=О
п
==(n+1)(n+1) p==(n+1)2 п(п2 1) ==
р=О
( + 1) 2п+2 1l (п+ 1) (п+2)
п 2 2 ·
Итак, общее количество всех различных случаев
размещения орехов по т р е м мешкам равно
(п + 1) · (п + 2)
2
Из этих (1l+ 1) (1l+2) вариантов только один ОТ-
вечает условию задачи' следовательно, искомая ве..
, 2
роятность (при n==3m) равна (п+l).(п+2) ' а так как
1
вероятность Toro, что п==3т равна '3' то искомая
2
вероятность равна 3 (1l + 1). (п + 2) ·
725. МУНА
Искомая вероятность равна н у л Ю, так как число
возможных вариантов распределения муки по меш.
кам б е с к о н е ч н о. (А что было бы, если бы мука
в мешках была предварительно расфасована по паке-
Tal\lI? Иrрает ли роль количество муки в пакете?)
v
73. АВТОБУС И ТРОЛЛЕИБУС
Оба ответа неверны. Более Toro: имеющихся в ус..
ловии задачи данных недостаточно для получения
точноrо ответа. В самом деле. Рассмотрим более про-
стой случай. Пусть интервалы движения как авто-
буса, так и троллейбуса 8 мин. Если расписание со-
ставлено так, что автобус и троллейбус отправляются
126
ОТ данной остановки одновременно, то наличие двух
видов транспорта нисколько не сокращает продолжи..
тельности ожидания; в данном случае средняя про..
должительность ожидания 8 : 2==4 минуты.
Если же расписание составлено так, что троллей..
бус отправляется через 8 : 2==4 мин после отхода ав-
тобуса, то средняя продолжительность ожидания со..
ставит 4 : 2 == 2 минуты.
Итак, при интервалах 8 и 8 мин средняя ПрОДОЛ 4
жительность ожидания от 2 до 4 мин в зависи..
мости от расписания.
Приступим к решению нашей задачи (интер-
валы 6 и 8 мин).
Происходящие события будем изображать при по-
мощи rрафика. Пассажир может прийти к остановке
в любой момент. Он будет ждать О мин в том слу..
чае, если он подошел как раз в момент отправления
о
б
12
18
2'1
а
автобуса (или троллейбуса). Он будет ждать t .мин
в том случае, если он подойдет на мrновение позже
(t мин интервал).
На рис. а представлена картина ожидания в том
случае, коrда расписание составлено так, что в ка..
кой-то момент автобус и троллейбус отправляются от
остановки одновременно. Подсчитаем площади за..
штрихованных треуrольников:
(62+22+42+42+22+62)==56.
1
Среднее время ожидания 56: 24 == 7 : 3 == 2 3' мин.
А каково будет среднее время ожидания при ином
расписании? Пусть троллейбус отправляется не одно..
127
временно с автобусом, а на х минут позже (рис. б);
в ЭТО1\'I, общем случае для определения среднеrо вре-
,...
мени ожидания неооходимо вычислить площади за-
штрихованных треуrольников и определить, при ка-
ком х эта площадь будет минимальной. (3амеТИl\.1,
что О < х < 2; при х==2 та же картина, что и при
х==О.)
Предварительно рассмотрим следующую задачу.
J{aH отрезок а; на этом отрезке требуется построить
два таких равнобедренных прямоуrольных треуrоль-
ника, чтобы их площадь была бы минимальной. До-
кажем, что для этоrо искомые треуrольники должны
быть равны. Итак, постро-
им на данном отрезке а две
пары равнобедренных пря-
моуrольных треуrольников
(рис. в). Проведя вспомоrа-
тельные прямые, параллель-
ные основаниям, разобьем
треуrольники на части.Сра-
внивая их, убеждаемся, что
СУl'vlмарная площадь двух не-
равных треуrольников пре-
ВОСХОДИТ суrvIмарную площадь двух равных треуrоль-
ников на фиrуру, обозначенную , что и требовалось
доказать.
Из этоrо следует, что наименьшая площадь пары
треуrольников с основаниями (х+2) и (4........ х) будет
при х+2==4 ........ Х, Т. е. при х== 1.
Аналоrично, для пары треуrольников с основа-
ни я 1\1 И (6........ х) и ( х + 4 ) д ол ж н о б ы т ь 6........ х == х + 4
(Т. е. х==l).
Наконец, должно быть х==2 х (т. е. х== 1).
Итак, при х== 1 площадь каждоЙ из трех пар тре-
уrольников достиrает наименьшей величины. Следа-
х
j
6
а
2:
а
"2
(j
128
2 )(
1..
fJ
взте.пьно, при х== 1 мин сумма ожиданий будет наи-
меньшей; а именно, она будет равна:
1
2 lx2.... (6 х)2+ (х +2)2+ (4 х)2 +(х+4)2 +
+ (2 х)2 + 62] == 112 + 52 + 32 + 32 + 52+ 12 + 62] ==
36
== (1 + 9 + 25) + т == 35 + 18 == 53 .
53 5
Среднее время ожидания: 24 == 2 24 мин.
Итак, при самом неудачном расписании среднее
1
время ожидания равно 2"3 мин, а при самом удач-
5
ном 2 24 МИН.
1 5 8 5 3
Разница:3 24 == 24 === 24 мин.
Относительная экономия времени:
373
24 : 3=== 56 ' 5%.
74. сиrндлы
Вероятность Toro, что встретятся l-й и 2-й сиr..
налы, определяется по предыдущему при помощи
квадрата и выделенноrо внутри Hero шестиуrОЛЬНика.
Аналоrично определяет...
ся вероятность ВС'тречи 2 ro
и 3 ro, а также 3-ro и 1 fO
сиrналов (см. рисунок).
Теперь определим вера..
ЯТНОСТf? встречи l-ro, 2-ro и
3-ro сиrналов. Но на РИСУН- fVJ
ке мы получили три квад-
рата ТрИ ортоrональные
проекции к у б а" Следова-
тельно, ИСI{ОМОЙ областью
точек, соответствующих
встрече всех трех сиrналов, является мноrоrранник,
три ортоrональные проекции KOToporo шестиуrоль-
НИКИ. НО мы уже встречались с этим двенадцатиrран.
ником (см. задачу лr2 41). Ero объем равен
v== (3Т....... 2/)t 2 ;
N2
N'
N'
129
следовательно,
......... (3Т....... 2t) t 2 (3 2 !... ) ( .!... ) 2
p ТЗ ТЗ Т · Т ·
Д о п о л н и т е л ь н ы й в о про с:' определите ве-
роятность встречи х о т я б ы д в у х из трех СИfналов.
(Именно этот случай имеет наибольшее практическое
значение.)
75. ВВЕРХ по ЭС КАЛАТОРУ
Если я буду каждый раз, поднимаясь по эскала.
тору, выrадывать по 10 секунд; то я буду подходить
к автобусу на 10 секунд раньше; следовательно, в
среднем я буду уезжать на 10 секунд раньше и на
10 секунд раньше приез}кать домой. Так как я по..
прежнему буду выходить к автобусу в случаЙные !vl0-
менты времени, то среднее время ожидания автобуса
не изменится (в обоих случаях оно равно 5: 2
==2,5 МИН).
ДруrоЙ путь решения. I-Iнтервал между двумя по-
следовательными отправлениями автобуса равен
5 · 60==300 сек. Появляясь на остановке а тобуса На
1 О сек раньше t я в 1 О : 300 == 1 : 30 случаев уеду «пре-
ДЫДУЩИМ» автоБУСОlVI. В оС'тальных же 30....... 1 == 29
случаях из 30 я, ВЫЙДЯ на 10 секунд раньше, уеду rel\.1
же автобусом, которым уехал бы, если бы и не шаrал
по эскалатору. Итак, при 30 поездках (все в сред-
нем) я в одном случае выrадаю 5 минут, ЧТО в пере-
счете на одну поездку дает (5. 60) : 30== 10 се1\, (тот
)ке ответ).
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
........,. .
1. Одинаковые цифры. . . . . .
2. Поезд идет туда и обратно. . .
3. Сосновые и дубовые шпалы. ...
4. Разносчик телеrрамм . . . . . . .
5. Сколько жильцов в доме? . . . . . .
6. Пятизначные числа. . . . . . . . . .
7а. Целые числа, у которых каждая следующая
цифра больше предыдущей. . . . . . .
-76. Целые числа, у которых каждая следующая
цифра меньше предыдущей . . . . . .
8. Число зt в семеричной системе счисления
9. Сколько маршрутов? .. .....
'10. Торrовец ....... ....
11. Такси . . . . . . . . . . . .
12. Два сплава. . . . . . . . .
13а. На реке . . . . . . . . . . . . . .
136. Два камня. . . . . . . . . . . . .
14. Кража на теплоходе. . . . . . . . .
15. Автобус . . . . . . . . . . . .
16. Курьеры ..... . . . .
17. Разделить число 22 на три части. . . .
18. Семь уравнений с семью неизвестными. .
19. Три беrуна. . . . . . . . . . . . .
20. Турист ........ . .
21. Плот и мотолодка. . . . . . . . . .
22. Бассейн . . . . . . . .
23а. Три мухи . . . . . . . . . . . . .
236. Четыре мухи . . . . . . . . . . . .
24. Лестничный марш . . . . . . . . . .
25. Равнобедренный треуrольник. ...
26. В детском саду. . . . .. '"
27. Два куба . . . . . . . . . . . . .
28а. Достроить равноБОЧНУIО трапецию. . . .
28б. Три тр апеции. . . . . . . . . . . .
29а. Три диска . . . . . . . . . . . . .
296. Два ДИСКа . . . . . . . . . . . . .
30. Равносоставленные четырехуrольники. . .
31. Два столба и тени. . . . . . . . . .
. . . . .
За.. Реше-
дача ине
5 35
5 35
5 36
6 36
6 37
6 38
6 39
6 40
7 40
7 40
7 41
7 43
8 43
8 43
8 43
8 44
9 44
10 44
10 5Э
10 50
10 50
11 51
11 51
11 54
13 54
13 54
13 55
13 55
14 56
14 56
14 57
15 57
15 58
15 59
15 59
16 61
131
32. Конус лежит на плоскости. . .
33. Две окружности.. . .
34. Три квадрата. . . . .
35. Кольцо на трех нитях. . .
36. Коробка и нить. ...
37. Паркетзж
38. Стол и скатерть .
39. Симметричные точки
40. Складной стаканчик
41. Мноrоrранник .
42. Развертки мноrоrранников.
43. [одовые слои. .. ........
44. Три параллелепипеда. . . . . . . . .
45. Множество четырехуrольников ...
46. Усеченный цилиндр. . . . . . . . . .
47. Лист бумаrи . . . . . . ., .,
48. Ру л о н ... .
49а. Разбиение прямоуrольника. . .
49б. Разбиение параллелепипеда . . .. .
49в. Разбиение n"мериоrо параллелепипеда . .
50а. В равнобедренный треуrольник вписаны круrи
50б. В конус вписаны шары . . . . .
51а. Пояса KpyroB BOKpyr ядра. . . . . . .
51б. Ядро
три Kpyra. ., ...
52. Семь дробей . . . .' ......
53. Б.ронзовый лев . . .. ....
54. Свидание .. . . . . . .
55. Три аВТОl\Iашины. . . . . .
56. Два велосипедиста. . . . .
57. Два вкладчика .. . . ....
58. Быки на луrу. . ., ....
59. Две лодки ..........
60. Отец и трое сыновей. . . . . . .
61. Покупатель и три поставщика .
62. Четыре путешественника ""
63. Сто петухов, кур и цыплят.
64&. Три тела. . . . . . . . . . . . . .
646. Два тела . . . . . . .. ..,
65. Поезд '. ............
66а. Три сосуда. . . . . . . .
666. Пять разбойников. ......
67. С удво
нной скоростью. .. ...
68. Катера на реке ... .... .
69. Катер и плот.
.. .......
70. Kor да начинаются сеансы? . . . . . .
71. Два номерка и три студента. . . .
72а. Орехи ., ......"..
72б. Мука . . . . . . . . . .
73. Автобус и троллейбус. .. .. . ·
74. Сиrналы . . . . . . . . . . " . . .
75. Вверх по эскалатору. . . . . . . . .
. .
. . .
.. .
. .
16
16
16
17
17
18
19
19
20
20
20
21
21
21
21
22
22
22
23
23
23
23
24
24
24
24
25
25
25
26
26
27
27
27
28
28
29
29
29
30
30
30
31
31
31
32
32
32
52
33
34
62
63
64
65
66
68
68
70
71
72
72
73
74
74
76
78
78
81
82
82
84
89
89
89
90
91
92
93
94
97
98
102
105
106
108
110
112
113
115
116
117
119
120
121
122
124
125
126
126
129
130