Ш. А. АЛИМОВ, А. Р. ХАЛМУХАМЕДОВ,
М. А. МИРЗАХМЕДОВУчебник для 7 классов
общеобразовательных школУтвержден
Министерством народного образования
Республики УзбекистанИздание второеУиздатыьско-полиграфическийТВОРЧЕСКИЙ ДОМ «0‘QITUVCHI»
ВВК 22.14 я 72Дорогие ребята!Вы — будущее независимого Узбекистана, и наше государство надеется,
что вы станете хорошими специалистами. Но для этого нужно приложить
немало усилий.Алгебра — один из самых интересных и увлекательных школьных предме¬
тов, знание которого необходимо во многих областях человеческой деятельности.Пусть этот учебник будет вашим помощником на пути к знаниям.АвторыУсловные обозначения—	основные правила и свойства
Л1
А h — начало и окончание решения задачи
01	_ начало и окончание обоснования математического
• J утверждения или вывода формулы—	занимательные задачи—	тестовые задания
’ — самостоятельная работа для проверки знаний по основному
материалу
S	— исторические задачи
Q — исторические сведенияИздано за счет средств Республиканского целевого книжного
фонда для выдачи в аренду. 29286 экз.© ИПТД ,,0;qituvchi“, пере¬
вод с узбекского, 2005© Ш. А. Алимов, А. Р. Халмухамедов,
4306020502-8	.. .А	 бл.-заказ — 2009	М. А. Мирзахмедов354(04)-2009	© ИПТД ,,Olqituvchi“, 2009,ISBN 978-9943-02-208-9	с изменениями
УПРАЖНЕНИЯ
ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ 5-6 КЛАССОВВ 5—6 классах вы решали примеры и задачи на четыре действия
над натуральными и целыми числами, обыкновенными и десятич¬
ными дробями. Для закрепления пройденного материала вам предла¬
гается решить следующие примеры и задачи.1.	Выполните действия:,> ,0l.,| + 4f(mf + 3ii-6g);2> (6i+7^):1f-,27:3f4;' -,5 _ 1 -1 (с\ .3 -О3)	1 — • 7- + 3-: 6--3- + 3- :' 22 3 2 ^ 4 4 2 J4)	4— : 2— - 2 — — Г3— н-10—1: 2—.8 16 4 ^ 17 17 J 52.	Выполните действия:А)	312-58,4-27,2	3)31,2	+ 58,4-30,2	о тс ,75 + 19-7,75
52) 28,4-40,3-11,9	^ 8,75-19^—10,658,75 + 19—-7,75
528,4	+ 40,3-27,4 		8 7S + 1Q^.р3.	Решите уравнение: )1)	5а- + 48 : 4 = 20 :10 + 2 -10; 3) 4-х + 3^- • 5 = 7— + 18 —;2	Ю	13 132)	1х + 32 : 2 = (72 + 18): 3;	4) 6-х + з! • 3 = 11 — + 5—.2	2	17 171	24. Ахмед проехал на велосипеде 1— часа со скоростью 10- км/ч.Затем еще 2~ часа со скоростью 12^ км/ч. Сколько километ¬ров пути проехал Ахмед?3
5.	Длина прямоугольника 8 см, а ширина на 1,5 см короче. Найдите
плошадь прямоугольника.6.	Площадь прямоугольника 20,25 дм2, ширина 3,24 дм. Найдите
периметр этого прямоугольника.7.	Автомобиль марки „Тико“ расходует на 100 км пути 5 л бензи¬
на. Сколько бензина расходуется на путь: 50 км; 60 км; 70 км;
80 км; 120 км; 250 км; 360 км?28.	Турист прошел у своего маршрута. Подсчитав, он обнаружил, чтодо середины пути ему осталось пройти 9 км. Какова длина пути,
намеченного туристом?9.	Автомобиль марки „Матиз“ расходует на 100 км пути 8 л
бензина. Автомобиль марки "Жигули" на том же пути расходует10	л. На сколько километров пути хватит горючего в баках
автомобилей, если в каждом баке имеется по 32 л бензина?10.	1) Цена товара была снижена сначала на 20 %, а спустя некото¬
рое время новая цена была снижена на 25 %. На сколько про¬
центов была снижена в результате первоначальная цена товара?2)	Цену ткани повысили сначала на 20 %, а затем новую це¬
ну повысили еще на 25 %. На сколько процентов была повы¬
шена в результате первоначальная цена товара?11.	Цена изделий первого и второго сортов в общей сложности
составила 10 800 сумов. Продав изделия первого сорта с нацен¬
кой в 24 %, торговец получил 7 812 сумов. За изделия второго
сорта, которые продавались по номиналу, прибыли получено
не было. Сколько процентов прибыли получил торговец в ре¬
зультате продажи изделий? Какова была его прибыль?12.	Цену фарфоровой посуды снизили на 200 сумов, затем новую
цену снизили еще на 10 % и стали продавать посуду по 900 су¬
мов. Какой была первоначальная цена посуды?13.	Предприниматель получил 5 400 сумов прибыли, продав товары
первого и второго сортов. Цена товара первого сорта — 12 000
сумов. Предприниматель продал его с наценкой 15 %. Наценка
на товар второго сорта составила 20 %. Какова была первоначаль¬
ная цена товара второго сорта? Сколько процентов прибыли
получил предприниматель в результате продажи всего товара?4
14.	На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника,
если длину его основания увеличить на 20 %, а высоту на 25 %?15.	На сколько процентов уменьшится площадь прямоугольника, если
длину его основания уменьшить на 10 %, а высоту на 20 %?16.	Выполните действия:18.	Среднее арифметическое пяти чисел равно 18,4. Среднее ариф¬
метическое этих же чисел и еще одного числа равно 20. Най¬
дите добавленное число.19.	Дедушке Кариму 90 лет. Средний возраст его внуков 20 лет.
Если сложить возраст всех внуков с возрастом дедушки Карима
и найти их среднее арифметическое, то получится 22. Сколько
внуков у дедушки Карима?20.	Автомобиль проехал 3,5 часа со скоростью 72 км/ч и 2,5 часа
со скоростью 60 км/ч. Какой путь прошел автомобиль? Какова
средняя скорость его движения?21^ Найдите неизвестный член пропорции:1)	(-120): ((- 8) - (-3) + 12: (-3)) - (- 48): (-16);2)	(-75) ■ 4 - 204 : (-3) + (-210): (-7);3)	(-20,25): (-3,6) + 90,72 : (-4,5) - 7,5 • 3,2;4)	5— (-0,95) + 2— (-0,34) -8-: 2-.19	17	7 717. Решите уравнение:1) Зх + 2х = 17 + (-27);3)	1,3х-3,5х = 11 (-0,5);4)	4х - 2-х = 3-: (-2).3	32)	х: 2--9,2: 2,3;
з1)	3,5 :х = 2,4:4,8;3)	7,2 : 2,4 = х : 4-;4)	4 - : 2 - = 3,2 : х.7	75
/ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ////■/-£ 7 / ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ)/Термин алгебра происходит от названия сочинения выдающе¬
гося математика и астронома Мухаммеда аль-Хорезми «Китаб аль-
джебр валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопостав¬
лении»), в которой впервые в истории науки последовательно из¬
ложены основы алгебры как научной дисциплины.Основная задача алгебры — изучение свойств математических
действий, производимых над алгебраическими выражениями. Наи¬
более простые алгебраические выражения, а именно, числовые вы¬
ражения, рассматривались в курсе математики 5—6 классов.Напомним, что числовые выражения составлены из чисел, со¬
единенных знаками арифметических действий. Например,Ш Значением числового выражения называется число, получен¬
ное в результате выполнения действий, указанных в этом число¬вом выражении.Например, значением числового выражения 2 3 + 7 является чис-! Числовое выражение может состоять из одного числа. Его значе¬нием является само это число.Иногда в числовом выражении, кроме чисел и знаков действий,
используются скобки, указывающие на порядок выполнения дей¬
ствий. Например, в числовом выражении (2,5 + 3,5) ■ 2,1 следует*
выполнить сложение в скобках и лишь затем умножение.2-3 + 7; 10 : 2-3;4-0,5 +3, J__J_5	’2 3'ло 13, значением числового выражения - _ - является число ~.2	3	66
—	великий математик и астроном. Автор
основополагающих трактатов по арифметике и
алгебре, оказавших большое влияние на
развитие математики.МУХАММЕД ИБН МУСА
АЛЬ-ХОРЕЗМИ (783-850)Вычислив значение этого выражения, получим число 12,6. По¬
этому можно записать (2,5 + 3,5) • 2,1 = 12,6.Слева и справа от знака « = » стоят числовые выражения.Два числовых выражения, соединенные знаком « = », образуютЕсли значения левой и правой частей числового равенства со¬
впадают, то равенство называют верным.левой и правой частей совпадают и равны числу 7.Числовые выражения и числовые равенства используются как
для записи вычислений, так и для записи свойств чисел и операций
над ними.равенство 35 + 21=21 + 35 — переместительный закон сложения.Рассмотрим теперь числовое выражение 6+12-3. Правильный
результат получится только в том случае, если будет соблюдаться
известный порядок действий:Если нарушить указанный порядок вычисления и сложить преж¬
де числа 6 и 12, а затем результат умножить на 3, то получится
неверный результат, а именно, число 54. Этот результат был бы
верным, если бы числовое выражение было записано подобно вы¬
шеприведенному в виде (6 + 12) • 3 = 18 • 3 = 54.числовое равенство.Например, ——1 =8-1 — верное равенство, так как значения егоНапримф, равенство 7 = 7 выражает основное свойство дробей,4	86	+ 12 • 3 — 6+36 — 42.-7
Иными словами, правильность вычисления связана с порядком
выполнения действий, указанных в числовом выражении.Порядок выполнения действий над числами сохраняется также и
при выполнении упражнений, относящихся к нахождению числовых
значений алгебраических выражений.Напомним, что сложение и вычитание называют действиями пер¬
вой ступени, умножение и деление — действиями второй ступени,
возведение в квадрат и куб — действиями третьей ступени.При нахождении числового значения алгебраического выраже¬
ния принят следующий порядок выполнения действий:Ш1). Если выражение не содержит скобок, то сначала выполняются
действия третьей ступени, затем действия второй ступени, и, на¬
конец, действия первой ступени. При этом действия одной и той
же ступени выполняются в том порядке, в котором они записаны.Например, 3-52-4~5-4 + 7 = 3-25-4-5-4 + 7 == 300 - 20 + 7 = 280 + 7 = 287.2). Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются
все действия над числами, заключенными в скобках, а затем все
остальные действия. При этом все действия в скобках и все дей¬
ствия вне их выполняются в порядке, указанном в п. 1.Например: ^23 - 4 - 5j • 6 + (2 + 2 • 4) = (8 • 4 - 5) • 6 ++ (2 + 2 • 4) = (32 - 5) - 6 + (2 + 8) = 27 • 6 + 10 == 162 + 10 = 172.Шц 3). Если вычисляется значение дроби, то сначала выполняются
действия в числителе и знаменателе дроби, а затем первый ре-11	зультат делится на второй.Например,2-33 -35_2-27-35_54-15_39_1 113	+ 52 ~ 3 + 25 28 ~28~ 28'Шц 4) Если выражение содержит скобки, заключенные внутри другихI	скобок, то сначала выполняются действия во внутренних скобках.Например,2	• (8 - (52 - 4)) = 2 ■ (8 - (25 - 4)) = 2 • (8 - 21) = 2 • (-13) = -26.	• •
Упражнения1.	Выполните действия:1)	2,17 + (3,2-0,17);	3) 13^ -[ 2,64 + 2^];2)	9,49-0,5 + 0,99);	4) 6- -Г3,14-2-1-1.2.	Найдите значение числового выражения:'>(ИНН) 3) (м-ЖЬ*); '2) (ННН) 4) (*4Hi+443.	Напишите несколько числовых выражений, значение которых рав¬
но: 1) 8; 2) 0; 3) 1; 4) -14.4.	Верно ли равенство:12 5-4 1	2,13 + 4,33 . 5 1 1[) -^ = 1.7 + 0,4;	3) ^^-^-1- + - + -;2) °-75 - 0-15 = 0,15 + 0,25; 4)2	5,38-1,55 9 2 3Запишите в виде числового равенства (5—6):с 1ч	11	2 25.1)	сумма чисел — и - равна разности чисел н —;2) произведение чисел 40 и 0,03 равно частному отделения чис¬
ла 6 на число 5.6.	1) удвоенная разность чисел 10 и —2 в три раза больше суммыэтих же чисел;2) утроенная сумма чисел 2 и 6 в два раза больше произведения
этих же чисел.7.	Найдите значения числовых выражений, воспользовавшись за¬конами арифметических действий:1)	1,7-32 +|-12-15;	3) 48-0,05-Qj -54 + 1,7;2)	27,7-Q-j -100 + 6,4:0,8;	4) (2,5)2 +15■ |-0,24:0,6.
8.	Найдите значение числового выражения:4) 5---
7 7—+ —4 4 У3 19. Выполните действия:4)	((7,8:0,3 — З3) + 3,1): 0,7.3)	13^(18,1 -(З2 +6,1));/Г АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ/Рассмотрим следующие задачи.Задача 1. Задумайте какое-нибудь число, умножьте его на 3, к
полученному результату прибавьте 6, найденную сумму разделите
на 3 и вычтите задуманное число. Какое число получилось?А Пусть задумано число 8. Выполним все действия в том поряд¬
ке, как это указано в условии:1)8-3 = 24; 2) 24 + 6 = 30; 3)30:3 = 10; 4)10-8 = 2.Получилось число 2. Это решение можно записать в виде числово¬
го выражения (8 ■ 3 + 6): 3 — 8, значение которого равно 2.Если бы было задумано число 5, то получилось бы числовое вы¬
ражение (5 • 3 + 6): 3 — 5, значение которого также равно 2.Возникает догадка: какое бы число мы ни задумали, в результате
получается число 2. Проверим это. Обозначим задуманное число бук¬
вой а и запишем действия в том порядке, как указано в условии:Используя известные свойства арифметических действий, упрос¬
тим это выражение:(а ■ 3 + 6): 3 — а.(я • 3 + 6): 3 — а = а + 2 — а — 2. ▲
При решении задачи было получено выражение (а ■ 3 + 6): 3 — а,
которое состоит из буквы а, обозначающей любое число, чисел 3 и 5,
знаков действий и скобок. Это пример алгебраического выражения.
Приведем еще примеры алгебраических выражений:Алгебраическое выражение — это выражение, составленное
; из чисел и букв, соединенных знаками действий.; Если вместо букв, входящих в алгебраическое выражение, под-1	ставить некоторые числа и выполнить действия, то полученное в
: результате число называют числовым значением данного ал¬
гебраического выражения.Например, значение алгебраического выражения За + 2b —7 при
а = 2, b = 3 равно 5, так как 3 • 2 + 2 • 3 —7 = 5; значение этого же
алгебраического выражения при а = 1, Ь = 0 равно —4, так как
3-1 +2-0-7 = -4.Значение алгебраического выражения {а -3 + 6): 3 — а равно 2 при
любом значении а.Задача 2. Найти значение алгебраического выражения (За + 7)ь
при а =10, b = 5.	а~ь2	■ (т + я); 3 • а + 2 • а ■ b —7; (а + Ь) ■ (а — Ь)\д (3 • 10 + 7) • 5 _ 37 • 5 _ :7 А10-5	5УпражненияНайдите значение алгебраического выражения (10—li):10. 1) За-2Ь при а = j, b - 1; 3) 0,25с - 4с2 при а = 4, с = 3;11- 1) ^х~~У при х = 8, у = —14; 3) а + т)Ь при а - 4, b - 2И
12.	За 1 ч из нефтяной скважины выливается 7 т нефти. Сколько
тонн нефти выльется из скважины за т часов? За одни сутки?13.	Сколько минут: 1) в т часах; 2) в р секундах; 3) в т часах,/ минутах и р секундах?14.	Запишите утроенную разность чисел х и у. Найдите числовое зна¬
чение этого выражения при:1)	х = -0,37, у = -0,42;	3) * = -§, у = -1;2)	х = -2,98, у = -4,48;	4) * = ^ У = “ °>7-15.	Запишите произведение суммы чисел х и у на их разность. Най¬
дите числовое значение полученного алгебраического выражения
при:1)	х = -\,у = \',	3) х = 0,15, у = -0,75;2)	х = ~|’ У-J’	4) х = 1,32, у = -1,28.Найдите значение алгебраического выражения (16—17):16.	1) (”+Л) при /и = * = i л = ±;п - к	3 22) l^±il?£ + I при , = 1 / = 1./? - / 3	317.	1)	при х = 8,31, у = 2,29, /7 = 2,01, q = 2;5(А-+1Я) .2 , 1 1
2) 	-L при b = —,c = 6,q = —,m = —.2д + 4—	3	1 э418.	Воспользовавшись формулой нечетного числа п = 2к+ 1, най¬
дите значение п при к = 0, к = 1, к= 7, 10.19.	Запишите в виде алгебраического выражения:1)	сумму двух последовательных натуральных чисел, из кото¬
рых меньшее равно п\2)	произведение двух последовательных натуральных чисел,
из которых большее равно т;12
3)	сумму трех последовательных четных натуральных чисел, из
которых наименьшее равно 2/с;4)	произведение трех последовательных нечетных натуральных
чисел, из которых наименьшее равно 2р + 1.20.	Запишите в виде алгебраических выражений периметр и площадь
каждой из заштрихованных фигур (рис. 1).21.	Для отопления квартиры было запасено р тонн угля; q тонн из
этого запаса было израсходовано. Сколько тонн угля осталось?1)	Вычислите при р =20, q =15; 2) может ли число q быть боль¬
ше, чем число р, быть равным числу р!22.	В железнодорожной кассе было продано п билетов по 400 сумов и
т билетов по 500 сумов каждый. Сколько денег выручено за все
билеты? Вычислите при: 1) п = 200, т = 150; 2)п — 100, т = 230.23.	Один альбом стоит 200 сумов, одна тетрадь — 40 сумов и одна
ручка — 60 сумов. Запишите в виде формулы общую стоимость
(в сумах) с альбомов, а тетрадей и b ручек, обозначив ее бук¬
вой р. Вычислите по этой формуле числовое значение р, если
с = 9, а = 21, 6 = 4.24.	Через станцию по транспортировке газа за одну минуту пере¬
качивается 26 м3 газа. Сколько кубических метров газа перека¬
чает станция: 1) за 1 сутки; 2) за 5 суток; 3) за т суток?25.	Группа геологов, продвигаясь по своему маршруту, ехала вер¬
хом на лошадях 3 ч 10 мин со скоростью с км/час, затем плыла
на плоту 1 ч 40 мин по реке, скорость течения которой а км/ч,и,	наконец, шла пешком 2 ч 30 мин со скоростью b км/ч.
Напишите формулу пути, который преодолели геологи, обоз¬
начив длину маршрута (в км) буквой s. Вычислите длину
маршрута, если а= 3,3 км/ч, Ь— 5,7 км/ч, с= 10,5 км/ч.13
§3 J АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАВЕНСТВА. ФОРМУЛЫПри решении многих практических задач для обозначения чисел
часто используются буквы.Например, если а и b — длины сторон прямоугольника, то а ■ b —
его площадь, 2 (а + Ь) — его периметр. Буквами а и b обозначены
положительные числа — длины сторон прямоугольника, измеренные
одной и той же единицей длины (например, в сантиметрах).Обозначим площадь прямоугольника буквой S, а периметр —
буквой Р, тогда получим формулы:S=a b; Р=2-(а+Ь).Если длины сторон измерены в сантиметрах, то S — число квад¬
ратных сантиметров, а Р — число сантиметров.Для сокращения записи знак умножения (точка) часто опускает¬
ся. Например, S=ab; Р= 2 (а +Ь).Буквами обозначают также неизвестные числа в уравнениях. На¬
пример, в уравнении х + 12,3 = 95,1 неизвестное число обозначено бук¬
вой х, а в уравнении 2у + 3 = 7 — буквой у.С помощью букв удобно также записывать законы и свойства
арифметических действий. Например,(1)
(2)
(3)В алгебре одна и та же буква может принимать различные число¬
вые значения. Так, в равенствах (1) и (2) а, Ь, с — любые числа; в
равенстве (3) а и b — любые числа, однако с ф 0, так как на нуль
делить нельзя.С помощью букв можно записать формулы четного и нечетного
натуральных чисел.Если а — четное число, то это число делится на 2 и его можно
записать так:14а - (Ь + с) = (а - Ь) - с = а - Ъ - с,
(a + b)-c = a-c + bc,(а + Ь): с = а: с + b: с.
ФРАНСУА ВИЕТ (1540-1603)— известный французский математик XVI века.
Считается основоположником введения в алгебру
буквенной символики.a = 2 п,где п — натуральное число.Если b — нечетное число, то остаток деления его на 2 равен 1 и
поэтому число b можно записать так:b = 2n+ 1,где п — натуральное число или нуль.Иногда формулу нечетного числа записывают так:b = 2k- 1,где к — натуральное число.Использование букв позволяет записать ход решения многих за¬
дач одного и того же типа. Приведем примеры.Задача 1. Садовый участок имел форму прямоугольника,
длина которого равна а км, ширина — b км. После осушения
заболоченного участка площадь участка увеличилась на 0,88 км2.
Какой стала площадь садового участка? Провести вычисления для:1)	а = 2,2 и Ь = 0,8; 2) а= 1,4 и Ь = 4,3.А До осушения заболоченного участка площадь сада была
равна а ■ b км2, после осушения она стала равной (ab + 0,88) км2:1)	при а = 2,2 и b = 0,8 получаем 2,2 • 0,8 + 0,88 = 2,64.2)	при я=1,4и£ = 4,3 получаем 1,4 • 4,3 + 0,88 = 6,9. А
Задача 2. Турист вышел из поселка и направился в город.Пройдя а километров пешком, он сел в автобус и за t часов доехал
до города. Найти:15
1)	расстояние s (в км) между поселком и городом, если автобус
двигался со скоростью 60 км/ч, а = 5 и / = 0,5;2)	/, если s = 70 и а = 10.Д Турист за / часов проехал на автобусе 60 / километров. По¬
этому расстояние между поселком и городом выражается формулой5= а + 60/.1)	Если а = 5 и / = 0,5, то s= 5 + 60 • 0,5 = 35 км.2)	Из формулы 5 = о + 60/ находим Г. t = Если s = 70, а = 10,60то / = (70 - 10): 60 =1 ч. ▲Упражнения26.	Запишите:1)	сумму чисел т и л;2)	разность чисел а1л Ь\	г3)	удвоенную разность чисел ая Ь; • ^ .4)	удвоенное произведение чисел т и л;5)	частное от деления суммы чисел rivt m на их разность;6)	произведение суммы чисел а и b на их разность.27.	Какими числами могут выражаться буквы в следующих выраже¬
ниях:1)	перемена продолжается п минут;2)	в нашем классе у учащихся;3)	в VII классе изучают х учебных дисциплин;4)	в одном месяце А: дней?28.	Искусственный спутник Земли движется со скоростью 9 км/сек.
Заполните следующую таблицу:Пройденное расстояние, км45 0001 350 ОООВремя движения, сек.29.	Автомобиль „Матиз“расходует на преодоление 100 км пути
а л горючего. Заполните следующую таблицу:16
Пройденный путь, км3008001000SРасход горючего, л5 а4 а30.	В первом мешке т кг муки, а во втором мешке муки на п кг
меньше, чем в первом. Решите задачу, если:1)	т = 50 и п = 12; 2) т = 45 и п = 15.31.	Пешеход за 1 ч проходит 5 км. Какой путь он пройдет за 3 часа?
За А: часов?32.	В магазин привезли а мешков муки по 50 кг в каждом. Сколько
килограммов муки привезли в магазин?33.	Бригада трактористов вспахала за 1 день 15 га земли. Сколько
гектаров земли вспашет бригада за а дней?34.	На каждый из х сумов куплено 6 тетрадей и на каждый из у су¬
мов — 3 листа оберточной бумаги. Сколько стоила вся покупка?35.	В магазин привезли 15 ящиков слив, по о кг в каждом, и 20
ящиков яблок, по b кг в каждом. Сколько килограммов фрук¬
тов привезли в магазин?36.	На машину погрузили а мешков пшеницы, по т кг в каждом, и
с мешков овса, по л кг в каждом. Сколько килограммов зерна
погрузили на машину?37.	Пришкольный опытный участок имеет форму прямоугольника,
длина которого равна а м, а ширина на Ъ м короче. Запишите
формулу для площади (5) этого участка.38.	В кинотеатре т рядов, по п мест в каждом, и еще к откидных мест.
Сколько всего мест в кинотеатре? Составьте формулу для реше¬
ния задачи и выполните вычисления при т = 30, п — 25, к = 60.39.	Сколько времени проводит ученик в школе в тот день, когда
у него 5 уроков, две 15-минутных и две 10-минутных переме¬
ны? Составьте формулу для решения этой задачи и выполните
необходимые вычисления.40.	Запишите формулы для вычисления периметров и площадей^/фигур, размеры которых указаны на рисунке 2.А а	172—Алгебра, 7 класс
па)б)в)	г)Рис. 241.	Длина прямоугольника на 8 м длиннее стороны квадрата, а
ширина короче стороны квадрата на 4 м. Обозначив сторону
квадрата какой-нибудь буквой, запишите для прямоугольника:1)	длины сторон; 2) периметр; 3) площадь.42.	Автобус проходит путь s километров за t часов. С какой скорос¬
тью должен ехать автомобиль, чтобы тот же путь пройти на 1 ч
быстрее автобуса?43.	Формула х= 2а + ЗЬ (км) дает решение задачи о движении авто¬
буса. Составьте условие задачи.44.	Площадь пришкольного участка равна а м2. Сад занимает 1500 м2
площади участка, оставшаяся часть участка разделена на 20
одинаковых площадок. Какова площадь каждой из них?45.	В банк положили 50 ООО сумов. Через один год вклад увеличился
на р %. Какой стала сумма вклада через один год?46.	Составьте выражение для вычисления площади прямоугольни¬
ка, основание которого равно а, а периметр 42 дм. Вычислите
числовые значения площади (S) прямоугольника в дм2, вос¬
пользовавшись значениями а, приведенными в таблице:18
а567,5101212,515 |SIСоставьте числовое выражение, значение которого равно
100, с помощью только четырех цифр 9 и знаков арифмети¬
ческих действий.47.	Велосипедист едет со скоростью v км/ч. Ему нужно добраться до
села, расположенного в 5 км от пункта отправления. Сколько
ему еще потребуется времени, чтобы приехать в село, если он
уже проехал 3 км? Успеет ли он доехать до села за 2,5 ч, если он
уже проехал 3 км и s = 36, v =12?48.	Автомобиль марки „Тико“ расходует в среднем 5 л бензина на
100 км пути, а автомобиль марки "Жигули" — 10 л бензина
на 100 км пути. Какой путь пройдет каждый автомобиль, имея
в своем баке а л бензина? Какой из автомобилей доберется
до Самарканда, если оба автомобиля выехали одновременно
из Ташкента в Самарканд, имея в баках а= 20 л бензина?
(Расстояние от Ташкента до Самарканда 300 км).§4 / СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙДля того чтобы успешно изучать алгебру, нужно хорошо знать
свойства арифметических действий. Напомним, что арифметически¬
ми действиями называют действия сложения, вычитания, умноже¬
ния и деления. Словесные формулировки свойств действий над
числами будем коротко записывать в виде формул. Основные свой¬
ства действий обычно называют законами. Используя законы
действий, можно обосновать и другие свойства действий.1.	Сложение и умножение.Напомним законы сложения и умножения.1.	Переместительный:а + b = b + a, ab = Ьа.19
2. Сочетательный:(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc).3. Распределительный'.a(b + c) = ab + ac.В этих равенствах a,b,c — любые числа. Например,1,2	+ 3,5 = 3,5 + 1,2;	=(-8) -(125 + 7) = (-8) • 125 + (-8) • 7.С помощью законов сложения и умножения можно получить
другие свойства этих действий. Например,a + b + c + d = a + (b + c + d), (abc)d = (ab)(cd),(а + b + c)d = ad + bd + cd.Задача 1. Вычислить: 75 + 37 + 25+ 13.А Вычисления можно провести, следуя указанному порядку
действий: сложить 75 и 37, к результату прибавить 25 и к последне¬
му результату прибавить 13. Однако вычисления можно упростить,
если воспользоваться свойствами сложения:75 + 37 + 25 +13 = (75 + 25) + (37 +13) = 100 + 50 = 150. АЭтот пример показывает, что с помощью свойств действий мож¬
но проводить вычисления наиболее простым (рациональным) спосо¬
бом. Свойства действий применяются также для выполнения преоб¬
разований алгебраических выражений с целью их упрощения.
Задача 2. Упростить выражение:3(2a + 4b) + 5(7a + b).А 3(2а + Щ + 5(7а + Ь) = 3 • 2а + 3 • 46 + 5 • 1а + 5 • b = 6я +12b + 35а + 5Ь =
=(6а + 35 а) + (12 Ь + 5 Ь) = (6 + 35)я + (12 + 5)Ь = 41а + \1Ь. ▲В ходе решения этой задачи получилось выражение:6й +126 + 35я + 56.20
В этом выражении слагаемые 6а и 35а подобны, так как они
отличаются друг от друга только коэффициентами. Слагаемые 126
и 5b также подобны. Поэтому и можно было записать вместо вы¬
ражения 6а +12Ь + 35а + 5Ь выражение 41 а+ 17Ь. т. е. привести
подобные слагаемые.Записи преобразований можно делать краткими, выполняя
промежуточные вычисления устно. Например,6(3х + 4) + 2(х +1) = 18х + 24 + 2х + 2 = 20х + 26.2.	Вычитание.Задача 3. Между городами Ташкент и Самарканд расположен
город Джизак. Расстояние между Ташкентом и Самаркандом — 300 км,
а между Ташкентом и Джизаком — 180 км. Найти расстояние между
Джизаком и Самаркандом.А Пусть расстояние между Джизаком и Самаркандом х кило¬
метров. Тогда 180 + х= 300, откудах = 300 —180 = 120.Ответ: 120 км. ▲Из равенства 180 + х= 300 число х находится с помощью дей¬
ствия вычитания, которое называют обратным к действию сложения.ТВычитание можно заменить сложением с противоположным
числом:а - b = а + (-Ь).Поэтому свойства вычитания можно обосновать свойствами сло¬
жения. Например:251 + (49-13) = 251 + 49-13 = 287,	a + (b-c) = a + b-c,123-(23+ 39) = 123-23-39 = 61,	a-(b + c) = a-b-c,123-(83-77) = 123-83 +77 = 117,	а-(Ь-с) = а-Ь + с.Задача 4. Найти значение выражения 4(3х— 5у) + 6(х — у)1	1
при х = — , у = —.2	13А Сначала упростим данное выражение:4(Зх- 5у) + 6(х-у) = \2х-20у + 6х-6у = 18х-26у.При х = y = jj получаем: 18 --26 —= 9-2 = 7. ▲21
?TJ Таким образом, использование свойств действий позволяет пред-
KiLd варительно упростить алгебраическое выражение, а затем вычис¬
лить его значение более рациональным способом.3.	Деление.Задача 5. Площадь прямоугольника равна 380 см2, одна из его
сторон равна 95 см. Найти другую сторону прямоугольника.ОИз формулы S=ab находим Ь = —. Так как S = 380, а = 95, то, 380 ,	аb =		 4.95Ответ: 4см.АИз равенства ab = S число b находится с помощью действия деле¬
ния, которое называют обратным к действию умножения.Деление можно заменить умножением на число, обратное дели¬
телю:Поэтому свойства деления можно вывести из свойств умноже¬
ния.Задача 6. Доказать равенствоа + Ьа b—	*	5сС сгде с ф 0.А Заменяя деление умножением, получаем:а + Ь I и\ 1	= (а + Ь)~.с	сПрименяя распределительный закон, находим:/ АЧ 1	1 г 1(a + b)-- = a-- + b■-
с с сЗаменяя умножение делением, получаем:
Упражнения49.	Найдите значение числового выражения, используя законы и свой¬
ства арифметических действий:1)	29-0,45 + 0,45-11;2)	(51г8^44Д+48^-24),3)--;33)	4,07-5,49 + 8,93-1,51;4)	-11,401 -23,17 + 4,401 -10,83.Приведите подобные слагаемые (50—51):50.1)	Аа + 2Ь + а-Ь;	3) 0,lc-0,3 + rf-c-2,lrf;2) х-2у -Зх + 5у;	4) 8,7-2т + п-^т + ^п.51. 1) 2,3а-0,7а + 3,6а-1;2)	0,486 + 3 + 0,526-3,76;оч 1 1 1 5 о3)	-х + -х--а--а + 2
' 3 2 6 6л\5 1,1 2 , ^4)	-у — 6—у + -6-3;6	3 6 35)	2,1 m + п - 3,2 л + 2 т +1,1 т - л;6)	5,7р-2,7^ + 0,3/> + 0,8^г + 1,9^-/?.П&Упростите выражение:1)	3(2x + l) + 5(l + 3x); ' 3) 10(л + т)-4(2т + 7л);2)	4(2 + х)-3(1 + х);	4) U(5c + d) + 3(d + c).^53^Упростите выражение и найдите его числовое значение:1)	5(Зх-7)+ 2(1-х) при х =2)	7(10-х) + 3(2х-1) при х =-0,048;
3)	i (6jc - 3) + — (5jc -15) при jc = 3,01;, 4) 0,01(2,2x-0, l) + 0, l(x-100) при jc = — 10.54. Используя свойства арифметических действий, вычислите:1)	1(0,14 + 2,1-3,5);	3) (18^ + 21^):3;7	/42)	— (4,8 — 0,24 —1,2);	4). (15-+20—)-1.12	7 16 5/ 			§5 / ПРАВИЛА РАСКРЫТИЯ СКОБОК1.	Алгебраическая сумма.Задача 1. В 20-этажном здании движется лифт. С восьмого
этажа он передвинулся на 6 этажей вниз, затем на 12 этажей вверх,
на 4 этажа вниз, на 7 этажей вверх, на 13 этажей вниз. На каком
этаже находится лифт?А Чтобы найти, на каком этаже находится лифт, нужно вычис¬
лить значение числового выражения 8 — 6+12 — 4 + 7—13. Это зна¬
чение равно 4. Значит, лифт находится на четвертом этаже. ▲Из курса математики 6 класса вы знаете, что выражение8-6 + 12-4 + 7-13 называют алгебраической суммой. Такое назва¬
ние объясняется тем, что это выражение можно записать в видесуммы 8+(-6)+12+(-4)+7+(-13).Приведем еще примеры алгебраических сумм:3-(-7) + (-2), a-b + c-d, a + (-b)-(-c).Напомним, что вычесть число (—с) — это значит прибавить чис¬
ло, противоположное числу (-с), т. е. число с. Поэтому последнюю
алгебраическую сумму можно записать так:а + (-Ь) + с.Алгебраическая сумма — это запись, состоящая из нескольких
алгебраических выражений, соединенных знаками «+» или «—».
Обычно алгебраические суммы вида 3-(-7) + (-2), а + (-Ь)-(с)
записывают короче так:3—(—7)+(—2) = 3+7-2; а+(-Ь)-(-с) = а-Ь+с.В алгебраической сумме 3 + 7 — 2 слагаемыми являются числа3,	7 и —2, так как 3 + 7 — 2 = 3 + 7 + (—2); в алгебраической сум¬
ме а~Ь + с слагаемыми являются а, ~Ь, с, так как а — Ь + с == а + (~Ь) + с.2.Раскрытие скобок и заключение в скобки.Рассмотрим выражение а + (Ь + с). Применяя сочетательный за¬
кон сложения, его можно записать так:а + (Ь + с) = а + b + с.В этом равенстве поменяем с на —d:a + (b-d) = a + b-d.Эти равенства лежат в основе преобразований выражений, содер¬
жащих скобки, перед которыми стоит знак «+», и позволяют сфор¬
мулировать первое правило раскрытия скобок.Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраичес¬
кая сумма, заключенная в скобки, то скобки можно опустить, со¬
хранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы.Например:1)	14 +(7-13 +2) = 14 + 7-13 +2;2)	a+(b+c-d) = a + b + c-d;3)	(a-b) + c = a-b + c.Преобразование выражений, содержащих скобки, перед которы¬
ми стоит знак «—», основывается на следующих свойствах вычита¬
ния:25
-(-а) = а, ~(a + b) = -a-b,
a-(b + c) = a-b-c,
a-(b-c) = a-b + c.Из этих равенств следует второе правило раскрытия скобок.Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая
сумма, заключенная в скобки, то скобки можно опустить, изменив
знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противо¬
положный.Например:1)	14 —(7 —13 + 2) = 14 — 7 + 13 — 2;2)	a-(b + c-d) = a~b-c + d;3)	-(a-b) + c = -а + Ь + с.Задача 2. Раскрыть скобки и упростить:3x + (5-(8x + 3)).
Л Зх + (5 - (8х + 3)) = Зх + 5 - (8х + 3) = Зх + 5 - 8х - 3 = 2 - 5х. АИногда полезно заключить несколько слагаемых в скобки.
Например:1)	108-137+37 = 108-(137-37) = 108-100 = 8;2)a + b-c + d = a + (b-c + d).Здесь перед скобками поставлен знак « + », поэтому знаки всех
слагаемых, заключенных в скобки, сохраняются.3)a-b-c + d = a-(b + c-d),Здесь перед скобками поставлен знак « — », поэтому знаки всех
слагаемых, заключенных в скобки, изменены на противополож¬
ные.
Упражнения
55Запишите алгебраическую сумму без скобок:1)	(- 4) + (-3)-(+7);	3) (-а) + (-7А) + 1С;2)	(-4)+ (-9)-(-11);	4) 2а+ (-36)-4с.56.Назовите слагаемые алгебраической суммы:1)	15-с;	2) т-7; 3) -а+ 47; 4)S	57.3апишите алгебраическую сумму в виде суммы:1)	а-Ь + с; 2) 2 + Ь-с; 3) а-2-b; 4) 3 + а-Ь-с.Раскройте скобки (58—59):58.1)	а + (2Ь-Зс);	3) а-{2Ь + Зс);2)	а-{2Ъ-Зс);	4) -(д-26 + Зс). ,59.1)	a + (b-(c-d));	3) a-((b-c)-d)\2) a-(b-(c-d));	4) а - (b + (с-(J-&))).бО.Раскройте скобки и упростите:1)	За-(а + 2Ь);	3) 3m-(5w-(2m-l));2)	5x-(2^-3x);	4) 4я + (2о-(Зя + 2)).61.Заключите в скобки все слагаемые, начиная с числа т или (—/и),
поставив перед скобками знак «+»:1)	а + 2Ь + т-с;	3) a-m + 3c + 4d;2)	а-2Ь + т + с;	4) а-т + ЗЬ2 -2а3.62.3аключите в скобки все слагаемые, начиная с числа т или (~т),поставив перед скобками знак «—»:1)	2а + ЗЬ+'т\с\	3) с-т\-2а + ЗЬ2\2)	2а + Ь+.т + Зс;	4) а-т + ЗЬ2 t2a3.63.Запишите выражение:1)	a +b — 1 в виде суммы двух слагаемых, первое из которых
равно а;2)	а — b + 1 в виде разности с уменьшаемым а;3)	2а — Ь + 4 в виде разности с уменьшаемым 2а;27
4)	а — 2b + 8 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых рав¬
но 8.64.	В выражении 2х2 + 5x2 v - 4ху2 - У заключите в скобки:1)	три последних слагаемых, поставив перед скобками знак «—»;2)	два последних слагаемых, поставив перед скобками знак «+»;3)	второе и третье слагаемые, поставив перед скобками знак «—»;4)	первое и второе слагаемые, поставив перед скобками знак «—».65.	Поставьте вместо многоточий знаки «+» или «—» так, чтобы в
результате получилось верное равенство:1)	a-(b + c) = a + (...b ...с); 3) т-(п-а) = т + (...п ...а);2)	с-(а-Ь) = с + (...а ...Ь); 4) n~(d-l) = « + (...d .../).$66.67.281гп2'2s•22I2;Проверьте себя!1.	Вычислите:1)	(17,2-4,01+4,01-32,8): l|;-25-0,03-4.2.	Упростите выражение 3(2у -х)- 2{у - Зх) и найдите его
числовое значение при х = - ^, у = 0,25.3.	Для детского дома купили 10 коробок шахмат и 15 мячей
Коробка шахмат стоит а сумов, а один мяч —
b сумов. Написать формулу стоимости всей покупки.Упростите:
1)	{5а-2Ъ)-$Ь-5а)\
2)	(6а-Ь)-(2а + ЗЬ);
Решите уравнения:
1)	(2х + 1) + Зх = 16;2)	(х-4) + (х + 6) = 4;3)	7х + Зу-(-Зх + Зу);4)	8х - (Зх - 2у) - 5у.3)	(х-5)-(5-Зх) = 2;4)	23-(х + 5) = \?ф
68. Найдите числовое значение выражения, предварительно упрос¬
тив его:1)	(2c + Sd)-(c + 4d) при с = 0,4, </ = 0,6;2)	(За -4Ь) -(2а -ЗЬ) при а = 0,12, /> = 1,28;3)	(7х + 8у)-(5х-2у) при х = У ~ 0,025;4)	(5с-6Ь)-(Зс-5Ь) при с = -0,25, Ь = 2^.УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I69.	Вычислите числовое значение алгебраического выражения:1)	а + bc при а = -1, Ь = 3, с = 0;2)	а-bc при <з = 2, Ь = -\, с = -3;3)	(я + 6)с при а = 1, b - -3, с = 2;4)	(а-Ь)с при а = 3, 6 = 1,2, с = 5;5)	(а-6) + (с-с0 при а = 4, Ь- 2, с = 3, d = -l;6)	(д - 6) - (с - d) при а = 0, b = -4, с = -2, d = 3;7)	a-(b-c) при а = 0,5, ^ = с = -1,2;8)	a-(b-c)-d при я = 5,2, 6 = 1,3, с = 2,8, d = 2,8.70.	Вычислите числовое значение алгебраического выражения при
х= 2,5, у = 4,5:1)	5(х-у)2; 2) 3(х + у)2; 3) (5х-у)2; 4) (Зх + у)2.71.	Вычислите числовое значение алгебраического выражения при
д = 5, * = -1:1)	2((а-Ь)2 +1);	3) ((а - Ь)а- 8); 2;2)	4(3-(a-bf)\	4) (5a-(a + b)):3.72.	Вычислите числовое значение алгебраического выражения при
а = 1,2, 6= 1,8:1)	3(а + Ь)-2аЪ\	3) 3(a-b) + 2ab;2)	3a + b-2ab;	4) За- b + 2ab.29
Вычислите числовое значение алгебраического выражения (73-74):73_ 1) -Зс2 при Ь = -2,с = -^;2)	-0,75а2 + \-Ь2 при а = -2, Ь = 3;33)	(а2 -26)2 при а = -5;4)	(а3 + 26)3 при а = -3.374.	1) 7*2 -2ах при х = ~~’ а = 1>5;2 12)	Зах-5х2 при * = -> а = _з’3)	2т3(Зт2 - к)2 при /и = -^, к = 0,75;4)	Зт2(2т2-п)2 при « = ^ = -0,5.75.	Вычислите:(/-2)при t = -2;2а2 - 4а - 12)		ц— при а = -3.' (й + 1)2g Сколько треугольников, квадратов и прямо-
угольников на этом рисунке?76.	Один гектар луга способен очистить воздух от 70 т пыли. От сколь¬
ких тонн пыли очистят воздух 10 га; 100 га; т га? От скольких тонн
пыли очистит воздух луг общей площадью 16 000 га?77.	При увеличении скорости движения автомобиля вдвое его тор¬
мозной путь увеличивается в 4 раза. Воспользовавшись табли¬
цей, найдите тормозной путь автомобиля, если его скорость
увеличилась с 30 км/ч до 60 км/ч:Для легковой машины:v, км/чt м307,25Для грузовой машины:v, км/чt, м309,530
78.	(Старинная задача). Какую прибыль принесут 8 дирхемов за три
месяца, если 10 дирхемов за два месяца приносят прибыль 5 дир¬
хемов?(^Г	ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ IК данным заданиям приведены 5 ответов. Верным является
только один ответ. Вы должны отметить правильный ответ,
выполнив задание.1.	Найдите числовое значение выражения s = -(a + b) при а = 2,4,
Ь = 3,6, h = 1,6.А) 48; В) 3,18; С) 6,36; D) 0,48; (Ер4,8.2.	Найдите числовое значение выражения s=^ ah при а-12,5, h=6,4.
^40; В) 400; С) 4;	D) 36,1; . Е) 37,1.3.	Найдите числовое значение выражения Р = 2(а+Ь) при а = 5,1,i,=4’7' ^А) 196; mwi9,6; С) 1,96; D) 18,16; Е) 18,14.4.	Площадь прямоугольника равна S, его основание а. Составьте
выражение для вычисления периметра прямоугольника.
Е) 54,5.5.	Периметр равнобедренного треугольника равен р, его основа¬
ние а. Составьте выражение для вычисления боковой сторо¬
ны треугольника.А) 2а-р\ В) 2p-а; С) р-а\ /о)Л(р-а); Е) р-2а.I	s' 26.	Найдите числовое значение выражения V = abc при а = 2,5,Ь = 2,4 и с = 3,5.А) 18,3; ^21; С) 2,1; D) 12,1; Е) 121.7.	Найдите числовое значение выражения S = 2(ab + ас + be) прио	= 5, Ь = 6,4, с = 4,5.А) 50,45; В) 83,3; ^С| 166,6; D) 109;8.	Мать купила для своих детей 8 альбомов для рисования по
а сумов, 5 ручек по b сумов и 20 тетрадей по с сумов. Сос¬
тавьте выражения для вычисления стоимости всей покупки.A)	33(a + b + с);	С) ЖаЬс;	(j^Ba + 5b + 20с.B)	8а + 25(Ь + с);	D) 8а + \Ша\9.	Раскройте скобки и преобразуйте 5а + (За - (4а + 3)).А) 8а+ 3; /ffka-З; С) -4а-3; D) 3-4а; Е) 4а+ 3.10.	Преобразуйте выражение 0,5 • (2а - ЪЬ) - (4Ъ + 2,5а) и найдите его
значение при а = 2,4; b = 1,5.А) 17,4; В) -17,4; С) -1,4; ('pf-11,85; Е) 0,6.Найдите числовое значение выражения (11—14):11.	(64,2-7,02 + 17,9 14,04):4-1.^ С?| 169; В) 16,9; С) 159; D) 15,9; Е) 149.
1312.	3—-0,87-2,34-1,8 + 3-i-ll29	^	3 2'A) 67; (B)j3,788; C) -6,2; D) -3,788; E) 9,3.13.	(35,7 12,24-21,4-6,12): l|.A) 578; B) 306; /С/162; D) 16,2;14.	(-1,5) • (2,7: (-0,9) - (-7,2): 3,6) + 2,4 • (-2,5).A)	-6; B) -7,5; C) 7,5; iD^-4,5;E) -16,2.E) 4,5.15.	Периметр прямоугольника равен p, основание а. Составьте
выражение для вычисления высоты прямоугольника.A)	0,5 • (р-а);B)	р-а;С)/Е)4)Р~2аD) р-2а;16.	Длина одной из сторон треугольника, равная а, на 2 см
меньше другой и на 3 см больше третьей. Составьте
выражение для вычисления периметра треугольника.Ш/За-1;	С) За + 5;	Е)За + 2.В)	За - 5;	D) 1 - За;17.	Упростите выражение 3(2а - Ь) - 2{а - 2Ь) и найдите его
V- числовое значение при а = 2,7, b = 42.А) 24,36; В) 27,6;Е) 14.С)	8,7; I D) 15;18.	Длина одной стороны треугольника равная Длина второй
стороны составляет 80 % от длины первой, а длина третьей
равна полусумме длин первой и второй сторон. Найдите
периметр треугольника.1,8а;'В )%7а;фз — Алгебра, 7 классC)	За;D)	За + 0,8;Е) 2о+0,8.33
1—	12Д® SJM* e«3,a Дач иЗадачи аль-Хорезми
(D Если из числа вычесть одну треть его и одну четверть, то оста¬
нется 8. Найдите это число.Ф Если число 10 разбить на две такие части, что частное от деления
одной из них на другую равно четырем, то на какие части нужно
разбить число 10?(2) Задача Герона (I в. н. э.). Бассейн наполняют две трубы. Произво¬
дительность одной трубы 1 м3 в час, другой — 4 м3 в час. Объем
бассейна 12 м3. За сколько времени можно наполнить бассейн,
если будут открыты обе трубы?<3> Задача Ньютона. Из двух деревень, расстояние между которыми 59
миль, вышли навстречу друг другу два человека Ли Б. Б вышел на 1
час позже А. А проходит 7 миль за 2 часа, а £ 8 миль за 3 часа.
Сколько миль пути пройдет А до встречи с Б? (Единицы длины
мили и километры связаны следующим образом: 1 миля ~ 1,852 км.)БЗ Исторические сведенияЯШ ШИЯ ЯИЛ а-ИИ» *• С* -i-'s	•Труды выдающегося математика и астронома Мухаммеда ибн Мусы аль-
Хорезми по арифметике ("Об индийском счете") и алгебре ("Китаб аль-джебр
валь-мукабала” — "Книга о восстановлении и противопоставлении") оказали
существенное влияние на развитие математики. Они были переведены на мно¬
гие языки и в течение многих веков служили основным справочником по
математике.Латинский перевод сочинения "Об индийском счете", сделанный в начале
XII века, хранится в Кембриджском университете в Англии. Благодаря этому
сочинению в Европе была принята десятичная система счисления.Экземпляр рукописи трактата аль-Хорезми по алгебре хранится в Бод-
ленской библиотеке Оксфордского университета. Трактат состоит из трех
частей: 1) алгебраическая часть; 2) геометрическая часть; 3) часть, пос¬
вященная разделу наследства.В трактате тексты задач и решения переданы словами, не используется
никаких обозначений и букв: "... я включил простые и сложные арифмети¬
ческие задачи в свой алгебраический трактат потому, что они необходимы
при разделе наследства и имущества, составлении завещания, в юридических
вопросах, торговле и во всевозможных контрактах, а также при разделе
земельных угодий, прокладывании оросительных каналов, в инженерном
деле и тому подобных вещах." Следовательно, ученый написал свое сочи¬
нение исходя из повседневных потребностей и нужд.34
[yPABHEHH^jO ЩНИМНЕИЗВ^ТНЬМ§ 6 j УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИРешим следующую задачу.Задача. Карандаш и линейка стоят вместе 370 сумов. Карандаш
дешевле линейки на 90 сумов. Сколько стоит линейка?А Пусть линейка стоит х сумов, тогда карандаш стоит (х- 90)
сумов. По условию задачи х + (х-90) = 370, откуда 2х-90 = 370,2х = 460, х = 230.Ответ. Линейка стоит 230 сумов. ▲В равенстве х + (х - 90) = 370 буква х обозначает неизвестное
число, или, короче, неизвестное.'■ Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой,называется уравнением.Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется ле-I	вой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака
! равенства, — правой частью уравнения.| Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется1	членом уравнения.В уравнении 2х - 90 = 370 левая часть 2х~ 90; правая часть 370.
При х = 230 левая часть этого уравнения равна 370, так как2	• 230 - 90 = 370; правая часть также равна 370. Итак, при х = 230
это уравнение обращается в верное равенство 2 • 230 - 90 = 370,
Число 230 называют корнем данного уравнения.Ш\ Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при ко¬
тором это уравнение обращается в верное равенство.Например, число 1 является корнем уравнения 2х + 3 = 5, так
как 2 1 + 3 = 5 — верное равенство.
Уравнение может иметь два, три и более корней. Например,
уравнение (х - 1)(х - 2) = О имеет два корня: 1 и 2, так как при х = 1
и х - 2 уравнение превращается в верное равенство.Уравнение (х - 3) (х + 4) (х - 5) = 0 имеет три корня: 3, —4 и 5.Уравнение может иметь бесконечно много корней. Например, урав¬
нение 2(х - 1) = 2х - 2 имеет бесконечно много корней: любое зна¬
чение х является корнем этого уравнения, так как при любом х левая
часть уравнения равна правой части.Уравнение может и не иметь корней. Например, уравнение
2х + 5 = 2х + 3 не имеет корней, так как при любом значении х левая
часть этого уравнения больше правой.H’f'ilj Решить уравнение — это значит найти все его корни или уста-
ЫжШ новить, что их нет.В простейших случаях легко подобрать значение х, которое яв¬
ляется корнем уравнения. Например, легко увидеть, что корень
уравнения 2х+ 1 = 3 — число 1. Однако это не всегда так. Напри¬
мер, довольно трудно догадаться, что уравнениех — 6 4(х + 3) | - Х~1 | 7х-1~Т~ 2 ”~Т~ 10обращается в верное равенство при х = 7. Поэтому важно научиться
решать уравнения.Решение многих практических задач сводится к решению
уравнений, которое можно преобразовать в уравнениеГОах = Ь,где а и b — заданные числа, х — неизвестное. Такое уравне¬
ние называют линейным уравнением.Например, уравнения 3x=l,-2x=3,|x = -i- являются ли¬
нейными.36
Упражнения79.	Запишите в виде равенства:1)	число 34 на 18 больше числа х;2)	число 56 в храз больше числа 14;3)	удвоенная разность чисел хиЗ равна 4;4)	полусумма чисел х и 5 равна их произведению.80.	Какие из чисел 3; —2; 2 являются корнями уравнения:1)	Зх = -6;	3) 4х-4 = .х + 5;2)	х+3 = 6;	4) 5х-8 = 2х + 4?81.	(Устно.) При каких значениях х уравнение обращается в верное
равенство:1)	х + 5 = -6; 2) 4-х = -1; 3) 2х-1 = 0; 4) Зх + 2 = 0?82.	Есть ли среди чисел -1; i; 1 корень уравнения:1)	4(х-1) = 2х-3;	3) 3(х+2) = 4 + 2х;2)	7(jc + 1)-6jc = 10; 4) 5(х+1)-4х = 4?83.	Составьте уравнение, корнем которого является число:1)	5;	2) 3;	3) -6;	4) -4.84.	Подберите число а так, чтобы уравнение 4x-3 = 2x+o
имело корень:1)	х= 1; 2) х = —1; 3) x = i; 4)х=0,3.§ 7 / РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
/В книге аль-Хорезми «Китаб аль-джебр валь-мукабала» тер¬
мин «аль-джебр» переводится как восполнение, то есть перенос
вычитаемых членов уравнения в другую часть в виде прибавляемых
членов, а термин «валь-мукабала» — как противопоставление, то
есть сокращение равных членов в обеих частях уравнения.Это показывает, что решение уравнений с одним неизвест¬
ным основано на известных вам свойствах верных равенств.37
Напомним эти свойства.Словесная формулировкаЗапись в обшем
видеПример j
|1. Если к обеим частям верного
равенства прибавить одно и то
же число или из обеих частей
верного равенства вычесть одно
и то же число, то получится
верное равенство.Если а =Ь и
/— любое число,
то а + 1 = Ь+ /,
а — I = b ~ 1.7=7,7 + 2 = 7 + 2,7 - 2 = 7 - 2.12. Если обе части верного
равенства умножить или раз¬
делить на одно и то же не рав¬
ное нулю число, то получится
верное равенство.Если а = b и
т * 01 то
а ■ т = b т,
а : т = b : т.27 = 27,27 • 3 = 27 -3,
27 : 3 = 27 : 3.Из первого свойства следует, что слагаемое можно переносить из
одной части равенства в другую, изменив знак этого слагаемого на
противоположный.О Пусть а = b + т. Тогда а + (-т) = Ь +т + (-т); а- т = Ь.9Покажем, как применяются свойства равенств к решению урав¬
нений.Задача 1. Решить уравнение 9х - 23 = 5х -11.А Предположим, что х — корень данного уравнения, т. е. х —
такое число, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Воспользуемся свойствами верных равенств.Перенесем член 5х со знаком «—» в левую часть, а член —23
перенесем в правую часть равенства со знаком «+».В результате также получится верное равенство
9х - 5х = 23 - 11.Приведем подобные члены в обеих частях этого равенства, полу¬
чим: 4х = 12.Разделив обе части последнего равенства на 4, найдем х = 3.Итак, предположив, что уравнение имеет корень х, мы полу¬
чили х = 3.38
Таким образом, если данное уравнение имеет корень, то он мо¬
жет быть равен только числу 3.Проверим, является ли число 3 на самом деле корнем данного
уравнения. Подставим х — 3 в левую и правую части уравнения и про¬
ведем вычисления:9-3-23 = 4, 5-3-11 = 4.При х — 3 уравнение обратилось в верное равенство:9-3-23 = 5-3-11.Следовательно х = 3 — единственный корень данного уравнения. ▲
Подчеркнем, что проверку можно не проводить, так как ис¬
пользуемые свойства равенства дают возможность переходить от
одного верного равенства к другому. При таком способе решения
всегда получается правильный результат (разумеется, при условии
правильности вычислений).аль-джебр:5х^^)=@>+ 11Зх переходит влево как -Зх;(+7Г— 7 переходит вправо как +7.5х - Зх = 11 + 7-Я + 2х + 8 -/Sаль-мукабала:справа и слева зачеркиваются2х= 8одинаковые члены -5 и 4х.При записи решения не обязательно приводить подробные объяс¬
нения подобно тому, как это было сделано при решении первой
задачи.Например, решение уравнения 5х +17 = 2х + 5 можно записать
следующим образом:А 5х-2х = 5-17, Зх = -12, х = -4.Ответ: х = -4. ▲39
Задача 2. Решить уравнение 2(х + 3)-3(х + 2) = 5-4(х + 1).А Упростим левую и правую части уравнения, раскроем скобки
и приведем подобные члены. Получим:2х + 6-3х- 6 = 5-4х-4, -х = -4х+ 1.
Следовательно, Зх = 1, откуда * = -. аЗадача 3. Решить уравнение	^ = 1 + ^.15	Од Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей,
т. е. на 6, получим:5£.6-£zl.6 = l-6+—-6; 15х-2(х-3) = 6 + (х-5).2	3	6Раскроем скобки и приведем подобные члены:15х-2х+6 = 6 + х-5; 13х + 6 = х + 1,откуда 12х = -5, х = ~—. А
12При решении этих задач были использованы следующие основ¬
ные свойства уравнений:*П Свойство 1. Любой член уравнения можно перенести из од¬
ной части в другую, изменив его знак на противоположный.
Свойство 2. Обе части уравнения можно умножить или раз¬
делить на одно и то же число, не равное нулю.Эти свойства дают возможность решить любое уравнение с од¬
ним неизвестным. Для этого:1)	переносят члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а
члены, не содержащие неизвестного, в правую (свойство1);2)	приводят подобные члены;|3) делят обе части уравнения на коэффициент при неизвестном,
!если он не равен нулю (свойство 2).В рассмотренных примерах каждое уравнение имело один
корень. Однако может оказаться, что уравнение с одним неиз¬
вестным не имеет корней или любое значение неизвестного яв¬
ляется корнем уравнения. Приведем примеры таких уравнений.40
Задача 4. Решить уравнение 2 (х +1)- 1 = 3 - (1 -2х).
д Упростим обе части уравнения:2х + 2 - 1 = 3 - 1 + 2х, 2х + 1 = 2 + 2х,
откуда 2х-2х = 2-1, 0 • х = 1.Это уравнение не имеет корней, так как левая часть 0 • х равна
нулю при любом х, а значит, не равна 1.Ответ: корней нет. АЗадача 5. Показать, что любое значение х является корнем
уравнения 3(l-x) + 2 = 5-3x.А Упростим уравнение:3	— Зх + 2 = 5 — Зх, 5 - Зх = 5 - Зх.Последнее равенство является верным при любом значении х.
Следовательно, любое значение х является корнем уравнения. ▲УпражненияРешите уравнение (85—96):85.	1) Их = 50; 2) -9х = 243; 3) 4jc = (1.24; 4) 7х=7,063.86.	1) 9* = |; 2) 3x = 2i; 3)^х = 3; 4)j*=I.87.	1) 0, Зх = 6; 2) 1,3х = -1,69; 3) 0,7х = 49; 4) 10х = 0,5.
88 1) 8х = 8; 2) ^* = 16; 3) 32х = 243; 4) 16х = 16.89.	l)5x = (^J; 2)4x = -^J; 3)-0,1х = 103; 4) -0,3х = 10\90.	1) 25х-1 =9;	3) Зх-5 = 10-х,2)	7х + 8 = 11;	4) 4х + 4 = х + 5.	^
?1-1) 5*+ 3(3*+ 7) = 35;	3) 8y-9-4y + 5 = Uy-4-5y,2)	8х-(7х + 8) = 9;	4) 4 + 8>> + 8 = 2.у-10-7.у + 9.92.1)	1L = 2^; 2)- = — ; 3) — + — = 8; 4) ^ = 14.’ 1 5	5 3	' 3 5	; 3 493.1)	3,у + 5 = 4^9-£);	3) 3^5 + £) = 4 + 2х;2)	8^11-|*j = 16z-44;	4) 2(V£j = 5 + x.б>4. 1)	0,7 Ijc +1,98 = 0,37л: -1,76;2)	0,18j - 7,4 = 0,05у - 5,71;3)	5(5* -1)-2,7.x+0,2* = 6,5-0,5х;4)	0,36х - 0,6 = О,3(0,4х -1,2).1	I 3 3 6х + 7 » 5л:-3
95. 1) 11 — л: — 5— = 3 — + 2 — л:; 3)—-- = 3	—;3	6 4 4	7	82)	12- + -у = — -10 — ;	4) 10- — = —.4	7 2 28	2 11Яб 1) 4х_51 17-Зх_х + 5	9х - 5 3 + 5х 8х - 2 _ ^3	2	3	4’9ч Зх-7 9лс + 11 3-х .	дч 4х-3 5-2х_Зх-44	8 “ 2 ’	2 3 3—	Бабушка, сколько лет вашему внуку?—	Моему внуку столько же месяцев, сколько мне лет.—	А сколько же вам лет?—	Если сложить мой возраст и возраст моего внука, то
получится 65. Сосчитайте, сколько лет моему внуку?ms97.	Покажите, что уравнение не имеет корней:1)	28 - 20х = 2х+ 25 - 16х-12 - 6х;42
3)2)	25.x- 17 = 4х-5- 13х + 14 + 34*;
.. .V-1 5х + 2 5 + Здг
3> ~+~ТГ-“4--4)2х +1 1х + 5 х - 23	15 598.	Покажите, что любое значение х является корнем уравнения:1)	10-4х+3 = 9х-2-6х + 9-7х + 6;2)	9х+4-5х = 8 + 7х-9-Зх + 5;3)	6(1,2х - 0,5) -1, Зх = 5,9х - 3;4)	8(l,3x + 0,25)-6,6x = 3,8x + 2.99.	Решите уравнение:1)	3(х-1)-2(х + 2) = 4х + 8;2)	4(х +1,5) + 3(1 - х) = 10;3)	4(3x + 2)-7(x + l) = 3(x-l);4)	2,5(2х + 3) - 2(х + 2,5) = 3,5 + 2х.100.	Решите уравнение:Применение уравнений позволяет упростить решение многих
задач. При этом решение задачи обычно состоит из двух этапов:1)	составление уравнения по условиям задачи;2)	решение полученного уравнения.Рассмотрим задачу.Задача. Теплоход с туристами отправился от пристани вниз
по течению реки и должен вернуться обратно через 5 ч. Скорость
течения реки 3 км/ч, скорость теплохода в стоячей воде 18 км/ч. На
какое расстояние туристы отплывут от пристани, если перед возвра¬
щением они пробудут на берегу 3 ч?96 _ 4jc + 300
^ 7^2 ~ 21 ’
Зх + 14,7 7,5.
20,4 ” 10 ’3)	4,2: (2х-7) — 10:7^;4)	4-1:10 = 4,5 : (Зх -1).§ ~8 Г РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ43
Д 1) Пусть искомое расстояние х километров. Это расстояние вниз
по течению теплоход проходит со скоростью 18 + 3 = 21 км/ч и затра¬
чивает —- ч. Возвращаться теплоход будет со скоростью 18 — 3= 15 км/ч
и затратит на возвращение ч. На берегу туристы пробудут 3 ч. Сле¬
довательно, вся поездка займет (jfj-+ ^ + ч, что по условию за¬
дачи равно 5 ч. Таким образом, мы получили для определения неизве¬
стного расстояния х следующее уравнение:JL + 2L + 3 = 5.21 152)	Перейдем теперь к решению уравнения fj- + yj = 2-Умножая обе части этого уравнения на 105 (наименьшее общее
кратное чисел 21 и 15), получаем: 5х + 1х = 210, 12jc = 210, откуда
х= 17,5.Ответ: теплоход отплывет от пристани на 17,5 км. ▲На первом этапе решения задачи (т. е. при составлении уравнения)
необходимо было знать, что скорости теплохода и реки при движе¬
нии по течению складываются, а при движении против течения вы¬
читаются и что путь, деленный на скорость, есть время движения.На втором этапе (т. е. при решении полученного уравнения)
потребовалось применить изученные в предыдущем параграфе
свойства уравнений.Чтобы проверить, правильно ли решена задача, можно произвести
следующие вычисления.Туристы проплыли вниз по течению реки 17,5 км, т. е. они плылипо течению реки 17,5 : 21 = ч. На обратный путь они затратили17,5 : 15 = 1-U
6Если принять во внимание, что. они отдыхали на берегу 3 ч, тообщее время, затраченное на путешествие, равно + 3 + 1 -)- = 5 ч,6	6что соответствует условию задачи.44
Упражнения101.	1) Ученик задумал число. Если его умножить на 4. а к
произведению прибавить 8 и полученную сумму разделить на 2.
то получится 10. Какое число задумал ученик?2)	Некто задумал число, прибавил к нему 5, затем разделил
сумму на 3. к полученному частному прибавил 5 и получил
задуманное число. Какое число он задумал?102.	1) В трех классах учатся 119 учащихся. В первом классе учащихся
на 4 больше, чем во втором, а в третьем — на 3 меньше. Сколько
учащихся в каждом классе?2)	Поезд имеет в своем составе цистерны, платформы и товар¬
ные вагоны. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, и на 8 мень¬
ше, чем товарных вагонов. Сколько в составе поезда отдельно
цистерн, платформ и товарных вагонов, если их обшее число
равно 60?103.	1) На заводе в трех иехах работают 624 рабочих. Во втором
пехе рабочих в 5 раз больше, чем в первом, а в третьем
столько рабочих, сколько в первом и втором вместе. Сколько
рабочих в каждом из цехов?2)	Три цеха изготовили 869 деталей. Второй цех изготовил дета¬
лей в 3 раза больше, чем первый, а третий — на 139 меньше,
чем второй. Сколько деталей изготовил каждый цех отдельно?104.	1) Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см.
Найдите длины сторон треугольника, если его боковая сторона
на 5 см больше основания.2)	В равнобедренном треугольнике основание составляет 14боковой стороны. Найдите длины сторон треугольника, если его
периметр равен 22 см.105.	1) Вдоль участка прямоугольной формы, ширина которого
200 м, проложен арык. Его длина 1 км. Найдите длину участка.2)	Участок прямоугольной формы, длина которого в 2 раза
больше его ширины, огорожен забором длиной 120 м. Най¬
дите длину и ширину участка.
106.	Найдите три последовательных нечетных числа, сумма которых
равна 81.107.	Имеются четыре последовательных четных числа. Если из
удвоенной суммы крайних вычесть утроенную положительную
разность средних чисел, то получится 22. Найдите эти числа.108.	1) Бригада хлопкоробов ежедневно перевыполняла норму
на 5 ц, поэтому недельную норму (6 рабочих дней) она
выполнила за 4 дня. Сколько центнеров хлопка собирали
сборщики ежедневно?2)	В цехе поставили автомат, производительность которого
была на 8 деталей в час выше производительности рабочего.
После 2 ч работы автомат выполнил шестичасовую норму
рабочего. Какова производительность автомата?109.	1) Матери 50 лет, дочери 28. Сколько лет тому назад дочь была
в 2 раза моложе матери?2)	Отцу 40 лет, сыну 16. Через сколько лет отец будет в 2 раза
старше сына?110.	1) В первом мешке было 50 кг сахара, а во втором — 80 кг.
Из второго мешка взяли сахара в 3 раза больше, чем из первого,
и тогда в первом мешке сахара осталось вдвое больше, чем во
втором. Сколько килограммов сахара взяли из каждого мешка?2)	В одном элеваторе было зерна в 2 раза больше, чем в
другом. Из первого элеватора вывезли 750 т зерна, на второй
элеватор привезли 350 т, после чего в обоих элеваторах зерна
стало поровну. Сколько зерна было первоначально в каж¬
дом элеваторе?111.	1) Собранный виноград предполагалось уложить в ящики, по9,2	кг в каждый. Вместо этих ящиков взяли другие, вмещающие
по 13,2 кг каждый, и тогда потребовалось на 50 ящиков меньше.
Сколько килограммов винограда было уложено в ящики?2)	Расстояние между станциями А и В пассажирский поезд про¬
ходит на 45 мин быстрее, чем товарный. Определите расстояние
между этими станциями, если известно, что скорость движения
пассажирского поезда равна 48 км/ч, а товарного — 36 км/ч.46
112.	1) На нефтяной базе было 6 340 т бензина. Во второй день база
распределила на 423 т бензина больше, чем в первый, а в третий
день — на 204 т бензина меньше, чем во второй. После этого на
базе осталось 3 196 т бензина. Сколько тонн бензина распределила
база в первый день?2)	В магазине за три дня продали 110 кг масла. Во второй день
было продано -| того, что было продано в первый день, а в
третий день столько, сколько было продано в первый и второй
день вместе. Сколько килограммов масла было продано в мага¬
зине в первый день?113.	1) Бригада должна была выполнить заказ за 10 дней. Ежеднев¬
но перевыполняя норму на 27 деталей, бригада за 7 дней
работы не только выполнила задание, но еще изготовила допол¬
нительно 54 детали. Сколько деталей в день изготовляла бригада?2)	Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за15	дней. Но уже за 2 дня до срока завод не только выполнил
план, но и выпустил сверх плана еще 6 машин, так как
ежедневно выпускал по 2 машины сверх плана. Сколько ма¬
шин должен был выпускать завод по плану?Проверьте себя!1.	Есть ли среди чисел 1; 0; -4 корни уравнения
3(х-7) + 4 = 1х-\12.	Решите уравнение:1)	2х - 3(х -1) = 4 + 2(х -1);3)	1 кг винограда стоит 300 сумов, а 1 кг инжира 400
сумов. За 8 кг винограда и инжира было уплачено 2700
сумов. Сколько килограммов винограда и инжира было
куплено?
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II114.	Решите уравнение:1)	5(х-3)-2(х-7) + 7(2* + 6) = 7;2)	11(у - 4) +10(5 - Зу) - 3(4 - Ъу) = -6;3)	5(8*-1)-7(4г + 1) + 8(7-4г) = 9;4)	10(3x-2)-3(5x + 2) + 5(11-4х) = 25.„ Зх-7 л:+ 17 _ 4х + 7 Зх-2 5х-22)	2	+	= 0; 4) 	+	= 32.’	4 5	' 5 2 2116.	Масса первого и второго искусственных спутников Земли сос¬
тавила 592,4 кг. Первый спутник был легче третьего на1243,4	кг, второй — на 818,2 кг. Найдите массу каждого из
трех первых искусственных спутников Земли.117.	Лодка шла по течению реки 2,4 ч и против течения 3,2 ч. Путь,
пройденный лодкой по течению, оказался на 13,2 км длиннее
пути, пройденного против течения. Найдите скорость лодки
в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3,5 км/ч.118.	На школьных соревнованиях по плаванию один ученик про¬
плыл некоторое расстояние по течению реки за 24 сек. и то же
расстояние против течения за 40 сек. Определите собствен¬
ную скорость пловца, считая ее постоянной от начала и до
конца заплыва, если скорость течения реки равна 0,25 м/сек.Чтобы распилить бревно на 3 часта, требуется 12 минут. Сколь¬
ко минут потребуется, чтобы распилить бревно на 4 части?119.	На одну овощную базу было завезено 145 т 480 кг картофеля,
а на вторую — 89 т 7 ц. С первой базы ежедневно вывозятся4	т 40 кг, а со второй базы — 2т 550 кг картофеля. Через
сколько дней на второй базе картофеля останется в 2 раза
меньше, чем на первой?48
120.	Из городов А и В, расстояние между которыми 230 км,
одновременно выехали навстречу друг другу два мотоциклиста.
Через 3 ч после начала движения расстояние между ними было
20 км. Найдите скорости мотоциклистов, если скорость одного
на 10 км/ч меньше скорости другого.(gP ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 111.	Найдите числовое значение выражения +1, если х0 корень2.	Вычислите значение 18:х0, если х0 корень уравнения3.	Найдите числовое значение выражения 2х0 + 61, если х0 корень
уравнения (х + 3): (х - 2) = 5:3.А)	-80; В) 70; С) 80; D) 81; Е) 90.4.	Найдите числовое значение выражения 4х0 + 11, если х0 корень
уравнения 4: (2х + 5) = 2: (Зх - 2).А)	-18; В) -20; С) 19; D) 20; Е) 21.5.	Найдите числовое значение выражения х02 — 0,5 х0, если х0 корень
уравнения 0,8 • (1,5х — 2) — 0,4х = 0,3 • (6х - 5) - 2,6.А)	-6,25; В) 1,25; С) 6,25; D) -5; Е) 5.6.	На трех полках имеется 385 книг. На первой полке на 8 книг
больше, чем на второй и на 9 меньше, чем на третьей полке.
Сколько книг на каждой полке?5х-3 х _ 11-Зх
уравнения —-— = —+ 3 + —-—А) 50; В) 10; С) 5; D) 37; Е) 26.3	2 3‘А) 6; В) 7; С2х + 1 Зх - 2 х + 1
	+ 2 =	+	С) -7; D) 46^; Е) ±49
7.	Периметр равнобедренного треугольника равен 51 см. Основание
на 6 см длиннее боковой стороны. Найдите отношение боковой
стороны треугольника к его основанию.А) 1,4; В)	С)	D) у; Е) 0,7.8.	Периметр равнобедренною треугольника равен 42 см. Боковая сто-2рона треугольника составляет у от его основания. На сколько
основание этого треугольника длиннее его боковой стороны?А) 7,5 см. В) 6,5 см; С) 6 см; D) 7 см; Е) 5 см.9.	В одном рулоне было 75 м атласа, во втором — 120 м. После того,
как из второго рулона было продано в 3 раза больше атласа, чем из
первого, в первом рулоне осталось в 2 раза больше атласа, чем во
втором. Сколько метров атласа было продано из каждого рулона?A)	24 м; 72 м;	С) 15 м; 45 м;	Е) 22 м; 66 м.B)	30 м; 90 м;	D) 33 м; 99 жУЮ. Мастер должен был выполнить задание за 8 дней. Однако
он изготовлял ежедневно на 6 деталей больше и за 5 дней
перевыполнил задание на 12 деталей. Сколько деталей в
день должен был изготовлять мастер по плану?А) 8; В) 4; С) 5; D) 7; Е) 6.Решите уравнение (11—19):И- 8(х + 2) - 5;с = -2(х + 4,5).A)	-5;	С) 6;	Е) правильного ответа нет.B)	5;	D) -4,5;12.	3(х + 2) -2(х + 3) = 7 -5(х +1).
A) -j; В)	С) -1; D) 2; Е)
13.	2^4+2 = 1,5*-^.2A)	2;	С)	Е) не имеет решений.B)	4;	D)
j4. 8(x + 2)-6 = 7-(5-8jt).A)	-2;	C) 1,6;	£.8B)	0,5;	D) не имеет корня;15.	6 • (2, Зх -1) - 3,5x + 0,7x = 0, 5(jc -14).A) -10,5; B) 10,5; C)	D) 7; E) ■16.	1,5-(2-jc) + 1 = 2^2-2jcJ.A)	имеет бесконечно много решений; С) 2-	Е) -28	3B)	j;	D) i;17.	(l-3x):5 = (2-x):2.А) 8; В) -8;	С) 2;	D) -1; Е) у.18.	3(4,5 + 5,5х) = 4(11,5-4х).А) 3; В) -2;	С) 1;	D) -1; Е)19 7у:10 = 5,4:(4х-1).А) -1; В) -±; С)	D) 2; Е) _2.§ Исторические задачиУравнения из трактата аль-Хорезми "Китаб аль-джебр валь-
мукабсша".
фX51
II(D О 10:6 = x: 4; 2) 10:8 = 4:*; 3) 30:10 = 6:*.® = *.© 1) + 2)3	-*>	2© 2- +20-* = --50.2	3(7) 1 )110-* + -(20 + *)-* = 4*;^	32)	90-x + -(10 + x)-x = 4-x;23)	90 - * + — = 2*.3(D 1) 300-* + - = 2*; 2) 300 - x + -^ • (100 -10 - *) - 20 = 2*.2	^3(9) 300 ~ * + ~ [500 - (300 - *)] + 300 - * = 4*.1)	500-* +100 —= 2(100 + *);2)	500- * +100 - — - - * = 2 • (100 + x + - x).5	4	4(|1) 1) 300-x + 100-| = 2x; 2) 300-x-^ + 100~ = 2x.® 300-х- —+ 100- —-X- — = 4f* + —1.3	з з	3 JЗадачи из сочинения Гийаса ад-Дина аяь-Каши "Ключ арифметики".(б)Украшение, изготовленное из золота и жемчуга, имеет массу 3
мискаля и стоит 24 динара. Сколько мискалей золота и жемчуга
использовано в украшении, если 1 мискаль золота стоит 5
динаров, а 1 мискаль жемчуга 15 динаров?52
(g) Если задуманное число умножить на 2, к результату прибавить
1, сумму умножить на 3, к произведению прибавить 2, затем
сумму умножить на 4 и к произведению прибавить 3, то получится
95. Найдите задуманное число.grj Исторические сведенияПравила "аль-джебр" (восполнение) и "аль-мукабала" (противопоставле¬
ние), которые аль-Хорезми ввел в своем алгебраическом трактате, были рас¬
смотрены в § 7 в качестве основных свойств уравнений.В алгебре, как пишет аль-Хорезми, рассматриваются три рода чисел. Они
являются:—	корнем или вещью (неизвестная величинах в уравнении);—	квадратом (имуществом) (квадрат неизвестного — х2);—	простым числом (под ним понимается натуральное число).Хорезми, рассматривая различные зависимости между тремя величинами,предложил методы решения следующих уравнений:1)	сх2 =Ьх — квадраты равны корням;2)	сх2 = а — квадраты равны числам;3)	Ьх = а — корни равны числу;4)	сх2 + Ьх = а — квадраты и корни равны числу;5)	сх2 + а = Ьх — квадраты и число равны корням;6)	bx + а = сх2 — корни и число равны квадратам.Каждое из линейных или квадратных уравнений приводится к одному из
этих 6 случаев с помощью методов аль-Хорезми.53
/ ГЛАВА III	I-I-	■■ ' / ■	/ / / i	1....L i... i ■■ J	-!■ .i	./ ОДНОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ		_____	§ 9 / СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМСложение равных между собой чисел можно заменить умноже¬
нием:З	+ З + З + З + З = 3-5	д + а + а + а-\-... + а = а-п5	раз	п разПроизведение одинаковых чисел также можно заменить более
краткой записью. Рассмотрим квадрат, длина стороны которого рав¬
на 5 единицам (рис. 3). Он содержит 5 • 5 = 25 единичных квадратов.
Куб, длина ребра которого равна 5 единицам (рис. 4), содержит
5 • 5 • 5 = 125 единичных кубов.Вы знаете, что произведение 5 • 5 обозначают как 52 (читается:
«пять в квадрате»); произведение 5-5-5 обозначают как 53 (читает¬
ся: «пять в кубе»):5	• 5 = 52, 5 • 5 • 5 = 53.Такие же обозначения вводятся для произведения любого числа
одинаковых множителей, например:3	3 3 3-3 = 35, I= , 0,4-(0,4)'.		7 7 7 7J pdj	4 11 ■— v	'9	раз54Рис. 3.Рис. 4.
Вообще, для обозначения произведения п равных между собой
множителей пользуются записью о":а ■ а ■ а ■ а ■■ а = а".п разВыражение d1 читается так: «степень числа а с показателем т или
коротко: «а в степени п».Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1,
называется произведение п множителей, каждый из которых равен а\а =ааа-...аV	„	'п разВ выражении (Г число а (повторяющийся множитель) называют
основанием степени, число п (показывающее, сколько раз по¬
вторяется множитель) — показателем степени.Например,34= 3 ■ 3 * 3 * 3 = 81,здесь 3 — основание степени, 4 — показатель степени, 81 — значение
степени З4.Степенью числа а с показателем 1 называется само число а:а1 = а.Например, 5’ = 5,2s1 = 25,V' JОтметим, что основание степени может быть любым числом, на¬
пример:2	2 2 825 = 2-2-2-2-2 = 32;1,5) 5 5 5 125(-2)5 = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = -32;16
81’0,23 =0,2-0,2-0,2 = 0,008;(_1)6 = (-1) ■ (-1) - (-1) - (-1) • (-1) • (-1) = 1;
О3 =00-0 = 0; 104 =10 10-10 10 = 10000.( 2)" ( 21( А' 2^|Г 2^1		—	•— ■——1 3J1 Зу1 3J1 3/1 3J55
Вычисление значения степени называют возведением в сте¬
пень. Это действие третьей ступени. Напомним, что при вычисле¬
нии значения выражения, не содержащего скобки, сначала выпол¬
няют действия третьей ступени, затем второй (умножение и деле¬
ние) и, наконец, первой (сложение и вычитание).Задача. Вычислить: 7 • 24 -5 • З2.Д 7• 24-5 ■ З2 = 7 • 16 — 5' 9 = 112 — 45 = 67. ▲Запись чисел с помощью степени используется во многих случа¬
ях, например для записи натуральных чисел в виде суммы разрядныхслагаемых: 3245 = 3-1000 + 2-100 + 4-10 + 5 = 3-103 + 2-102 + 4-10 + 5.Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10.
Так, расстояние от Земли до Солнца, примерно равное 150 млн км,
записывают в виде 1,5 • 108 км; радиус земного шара, приближенно
равный 6,37 млн м, — в виде 6,37 • 106 м, а расстояние от Земли до
ближайшей звезды (альфа Центавра) — в виде 4 - 1013 км.31 Каждое число, большее 10, можно записать в виде а -10", где 1 < г? < 10
ил — натуральное число. Такая запись называется стандарт¬
ным видом числаНапример, 4578 - 4,578 • 103, 45,78 = 4,578 ■ 10, 103000 = 1,03 • 105.С записью чисел в стандартном виде вы будете часто встречаться
при изучении физики, химии, при вычислениях на микрокальку¬
ляторе и т. д.УпражненияЗапишите сумму в виде произведения (121—122):121.	1)4 + 4 + 4 + 4 + 4;	3) с + с + с;2)	6 + 6 + 6 + 6;	4) a + a + a + a + a.122.	1) 2/л + 2m + 2m;	4) (3b-a) + (3b-a) + (3b-a);2)	17ab +17ab +17ab;	5) 3 + 3 + ... + 3;21 раз563)	(c-2d) + (c-2d)-,	6) 5 + 5 + ... + 5;17 раз
7) т + т + ... + т:	8> ь + b + ... + b" Раз	'	’Запишите произведение в виде степени (123—125):123.	I) 2-2-2.2.2;	3)2) ИтН:	4> (-2,7) (-2,7) (-2,7)-(-2,7).124.	1) х-х-х-х-х;	3) (2а)■ (2а)■ (2а)-,2) т т т т-т\	4) (-3b)-(-3b)'(3b)(2b).125.	1) (x-j>H*-у)•(*->>); 3), .ч ,> т т т т т
2) (а + Ь) (а + Ь);	4)	•' ' ' v	п п п п пУпростите выражение, используя запись произведения в виде
степени (126—128):126.	1)2-2- 2- 15;	3) 5 • 5 • 8 • 8 • 8 • 2 • 2;2) 4-4-4-4-21;	4) 6 • 6 • 7 • 7 ■ 3 • 3 • 3.127.	1) 1,2-1,2-2-2-5-5;	3) 0,3-0,3-i^y±;2) 0,5 - 0,5-0,5-2-2 •44; 4) ~~~2,3-2,3.128.	1)9-9 9 а а а;	3) - -~-(х-у) (х-у);2)х-х-х-х-3 • 3;	4) ---и ■(&a-b)-(8a-b)-(8a-b).0 0Упростите выражение (129—130):129.	\)p p p-p + q-q\	3)а а + а а + а а;2) а - а+Ь - Ь - Ь - Ь;	4)х-х-х + х-х х.130.	1) С-С + С-С + ... + С-С-	3) a a ... q + b-b-... b;к раз	п раз	т раз2) а-а а + а а а + ... + а а а\ 4)	+п раз	к раз	17 раз57
131. Прочтите выражение, назовите основание степени, показатель
степени:1)	З2;	3)(-fJ';	5) (4«j + «)15;2)	Н); 4) (_1,2)39;Вычислите (132—139):132. 1) 23;	2) З2;, (2а
6> за133. 1) I5;2) И)7;ч 23) 44;
3) О15;4) 53.
4) О5.134.1)	^ j ;135.1)	(2,5)2;
136. 1) (-5)3;(-0,2)4Э) [17J; 4) |^2-
2) (1,7)2; 3) (— 0,2)3; 4) (-0,2)4.137.	1)(0,1)5138.	1) 2(—З)2;139.	1) (-5)2 (jj;2) <-3>’(4)2) -53;СО, З)32)<-0,1Г
2) -5(-2)3;3)4(3,2)2 ,
(1,6)2 ’3)|-2ih 4) Г4
(2,6)22-1 .4)3) -U-4)2; 4) -|(-3)2.(1,3)2233) -(-З)2234) —(—З)2 (—2)3140.	Найдите значение выражения -х2; (-х)2; (-х)3 при х = 1 -; - 5.141.	Вычислите значение выражения х2 для значений х, приведен¬
ных в таблице:X01-12-23-34-45-56-6X258
142. Вычислите значение выражения х3 для значений х, приведенных
в таблице:X01-12-23-3 j 4 Г-45-5.1 6 I -6х>" 1 !
1 !]П143.	Двузначное число можно записать в виде суммы разрядных сла¬
гаемых следующим образом: а ■ 10 + b, где а — число десятков,
b — число единиц; трехзначное число можно записать в виде
а ■ 102 + b • 10 + с, где а — число сотен, b — число десятков, с —
число единиц. Пусть а — число тысяч, b — число сотен, с —
число десятков, d — число единиц четырехзначного числа.
Запишите это число в виде суммы разрядных слагаемых.144.	Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:1) 127359; 2) 5432135; 3) 1027305; 4) 12350107.145.	Запишите число, представленное суммой разрядных слагаемых:1)	2 • 105 + 3 -104 + 5 • 103+ 1 • 102 + 2 10 +1;2)	3 • 106+ 5 • 105+ 3 • 104+ 2 • 103+ 3 -10 + 7;3)	7 -105+ 1 -103 + 5 • 102+ 8;4)	1 • 105+1 • 103+ 1.&	10 / свойствл СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ
" 1V ' ПОКАЗАТЕЛЕМВозведение в степень обладает несколькими важными свойствами.Свойство 1.При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание
остается прежним, а показатели степеней складываются.О По определению степени с натуральным показателем:
по сочетательному закону умножения
= 2-2-2*2*2= !5	раз	(т+я) разпо определению степени с натуральным показателем= 25.	= сГ 4 ".Итак,	;22 • 23 = 22+3.	| а1"- о”= ^+ л. •Свойство 2ат :ап -ат", т> п,офО. !При делении степеней с одинаковыми основаниями основание
остается прежним, а показатели степеней вычитаются.О По условию
5 > 3.По первому свойству степени
25~3- 23= 25.
по определению деления
25_3= 25: 23.Итак,25- 23=25-3т > п, афО.
ат~п-ап=ат,
ат~п^ат:ап.
ат: ап = ат ~ ", т > п, а ф 0. •Подчеркнем, что, по определению, при т = п — = \, оф 0.ашСвойство 3(ат)п=атп.При возведении степени в степень основание остается прежним,
а показатели степеней перемножаются.О	По определению степени с натуральным показателем(23)2 = 23 -23 =60(ат)п = а -а а •...•о =п раз
по первому свойству степени
_ 2 з + з _
по определению умножения
= 2 3 ЛИтак,(2 3)2 = 2 3 2.п раз= аСвойство 4(аЬ)п = а"Ьп.При возведении в степень произведения в эту степень возводит¬
ся каждый множитель.О	По определению степени с натуральным показателем(2 • З)3 = (2 • 3) • (2 • 3) • (2 • 3) =3	раза(аЬ)" ={аЬ)(аЬ)...(аЪ) =п разпо сочетательному и переместительному законам умножения
= (2-2-2)-(3-3-3)=	=(aa-...a)(bb-...b) =3	раза 3 раза	п Раз	п Разпо определению степени с натуральным показателем
= 23- З3.Итак,(2-3)3= 23 • З3.= ап• Ъп.(аЬ)п= cflf. •Свойство 5При возведении в степень дроби в эту степень возводятся чис¬
литель и знаменатель.О	По определению степени с натуральным показателем
по правилу умножения дробей
3 разаТ213 ■ 3 ■ 3 ~3 разапо определению степени с натуральным показателемИтак,3J3 «о-F-' 117 • 73 - З4Задача 1. Вычислить: ||6- - ^I7 ■ 73 • З4= 1 Iм-73"1-1 = 11-49 = 539.1	г - 7-3Задача 2. Скорость света равна з 10х м/с, расстояние от Солн¬
ца до Земли равно 1,5 • ю11 м. За какое время пройдет луч света рас¬
стояние от Солнца до Земли?А По формуле пути при равномерном движении s = vt получаем:1,5- 10"= 3 10« /,откуда t ■■1,5-103-108= 0,5 ■ 103 = 500.Ответ: 500 с = 8 мин 20 с.УпражненияЗапишите произведение в виде степени (146—152):146.	1) З5- З4; 2) 72 • 74; 3) 63- 6;	4) 5-55.147.	1) с3-с2; 2) а3-о4;148.	1) (—2)2, (—2)3;2)	(-3)2- (-3)2;62а \\ 4) (ЗЬ)(ЗЬ)6.3)	( 0,5)4 • ( 0,5)2;4)	(—1,2)3- (—1,2)4.
149. 1*2- 2- 2‘.	5, —5^ —5:.2> 3: 3‘- У,	х350. 1)П,Зг'П.З> (1.3/:	3 yW:'2 '2 ? '2 \j; 1, ' з. '	J151 l)f-2,5e)J-<~2,5аУ:	Ъ {х-а 'кх-и :5х ' ' 5х2)	— ^	-	4 {п~р:;и— т^-.152.	1)4" -4;: 2) 3; • 3я; 3» с24 с"; 4^ога:(л — натуральное число).153.	Запишите степень в виде произведения двух степеней с одина¬
ковыми основаниями:1)	З4; 2)^; 3)3* 4) с!0: 5) (-х)г; 6) (-1Ш*Запишите в виде степени с основанием 2 (154—157):<®Г 1) 32;	2) 4;	3) 2:	4) 128.155.	1) 16;	2) 64;	3) 256;	4) 1024.156.	1) 2 • 26; 2) 24 • 23 • 27;	3) 8 ■ Т\ 4) 16 • 2\ISh 1) 27* 128; 2) 210-32 • 256; 3) 2Л-8; 4) 16 ■ 2я
(п — натуральное число).Запишите в виде степени с основанием 3 (158—161):158.	1) 9;	2) 3;	3) 27;	4) 81.159.	1) 729;	2) 243;	3) 3 • З4; 4) 36-3.№§\Чему равна последняя цифра числа:1)846847; 2) 19S71987; 3)19981"8; 4)20092<Ю9?З5- У- 3; 2) З2- З11 • З5;	3) З5 ■ 27; 4) 81 • З2.161. 1) 3й- З2; 2) 3 • 3”;	3) Зя+1 ■ 81; 4) 27 ■ 3я(п — натуральное число).63
Запишите частное в виде степени (162—164):162. 1) 710: 78;2) 43: 4; 3) (0,2)4: (0,2)3; 4) 1012: 104.2) (2я)5: (2о)3;3)	(а - 6)7: (а -4)	(от + и)10: (т + п)5.Запишите в виде степени с основанием 2 (165—166):'165. 1) 23: 2;	2) 24: 4;	3) 64 : 4; 4) 32 : 23.27 2Ш166.	1) 8 : 22;	2) 256:32; 3) у	4) -уЗапишите в виде степени с основанием 3 (167—168):3)	З4: 9; 4) 27 : З2.167.	1) З5: З2;	2) З4: 3;168.	1) 243 : 27;	2)81:9;
Вычислите (169—171):З153> Vз84)169.	1)170.	1)171.	1)2-3328 -З3
2-32(-5)9572)2)2)2 -3 .
23 -3 ’113 - 42
II2 -4 :
68 .
(-6У ’35-310.36-37	’24 • 26 ■ 23
25 -27б63 • 24)4)4)58 -57
54 • 59 "З6-З335	• 3 - 3 '36	27Решите уравнение (172—174):
172. 1)х:32= 33; 2)х:24= 22;
/173. 1) 55х=57;	2) 46х= 48;02.; 174, 1) -т = 22;V ^64Л -эз.2) Г3.3)	х • 26 = 28;	4) х • З5 — З8.3)	З8: х= З8;	4)2п:х=29.о8	з93)	— = 25;	4) — = З7-
Запишите в виде степени с.основанием а (175-177):175.	1) (о5)6; V 2) (о8)7;	3) (о2)5о8; 4) а\а2)\176.	1) а7 а5 (а2)4; 2) о3 (о3)3 а3; 3) (о3)2 а4 (а4)3; 4) а5 (а3)4 (а2)з.177.	1) (аГ :(а3)4; 2) (а*)4: (а3)*; 3)	4)а	(аУ178.	При каком значении п верно равенство:1)3"= 9; 2)128 = 2"; 3) (22)"= 16; 4) (3я)2 = 81?
Запишите в виде степени с показателем 2 (179-181):179.1)0,01;	2)^;	3) А	4) 0,0004.36	16	. ч 24180.1)54;	2) 76;	3) (-0,7)14; 4) |^J. .181.1)	а4;	2) Ь6;	3) с<°;	4) х20.
Возведите в степень произведение (182—187):182.	1) (3 • 5)4; 2) (7 6)5; 3) (1,3 8)5; 4) (Vlj .183.	1) (2а)3;	2) (Зх)4;	3) (-4х)5;	4) (-Щ2.184.	1) (ах)7;	2) (6у)6;	3) (2,5а/)2;	4) (Злт)3.185.	1) (abc)4;	2) (х«г)7;	3) (3-5-II)8;	4) (2-4-9)9.186.	1) (ху3У;	2) (аЧУ;	3) (2Z>4)5;	4) (0,1с3)2.187.	1) (10л2т3)3;	2) (8а467)3;	3) (-2,3а364)2;	4) (-2я/я3)4.Запишите произведение в виде степени по образцу 32Ь2 = (3Ь)2
(188-190):188.	1)45х5;	2)2V;	3) 5474;	4) 2535.Z 1 ,2.	/т ХЧЛ1А.	тч / 1 ЛЧ1 т	44 \ 1 „2189.1)	J 2) (3,4)4Z>4;	3) (-1,2)У;	4) |-yj *190.	1) 16а2; 2) 81г2;	3) 97л7т7;	4) 15W.
Запишите выражение в виде степени с показателем 2 (191—193):191.	1) c2d 10; 2) а4Ь6;	3)25а4;	4) 81т2.192.	1) а4Ь6с2; 2)x2y4z8;	3)49x8j6;	4)100с8х6.193.	1) 0,25a1»*4; 2) 0,49п!т‘°;	3)5	— Алгебра, 7 класс65t
Запишите выражение в виде степени с показателем 3 (194—197):194.	1) а 6;195.	1) (-0,2)12;196.	1) х3у9;2) Ь9;*В)2) а6Ь>;3)	515;3)	-0,125;3)	b9cl2d3;4) 46.4) -0,001.
4) х12.у9г6.197.1) -27о3;2) -100066;3) -125п6т6;4) -0,008х3у9.Вычислите (198—202):198.1) (0,25)’4’; 2) [|] {|] ;3) (-0,125)П8П;4) (-0,2)555.199.1) (-0,25)>(-4)9;3) ^J.(8,5)>;* BJ•(-3,5)7;4) (iJ-<4,5)>.28 -З845 -З5ю5„ч J£_200.;2) ^3) 25 • 5s ’) 2з.7з-612 -41241° 310154416201.i) 312.8.2’ ^ 210 - б10 ’З4-52-25 ’4) 8108-27328 (72)4162 З529 -(22)5202.1) —;2> 14’ ;3) 124 ’4) (25)3Возведите степень в дробь (203—206):
Запишите дробь в виде степени (207—209):207. 1)*> £3)4)5^а1х6208. 1)2>3) if;4)49100(2 Ь)2
209. 1) Ш'.2>3>4)-и I Г-
1 1 <NВычислите (210—211):212.	1) Масса Земли равна 6-1024 кг; масса Солнца — 2 Ю30 кг. Во
сколько раз масса Земли меньше массы Солнца?2) Расстояние от Земли до звезды Сириус 83 ООО ООО ООО ООО км.
Вычислите приближенно, за сколько лет доходит луч света от
Сириуса до Земли.213.	Найдите значение выражения:2	-Ь2	,	За	„1)		 при Ь = -2;	2) -3— ПРИ « = -3.2Ь	а -3214.	Запишите выражение в виде степени (п— натуральное число):„6и-4„4п+11)	53п+4-52п-1 : 5 ;	3) А—;а п2)	34«+3.33«-2 . 32«-1.	4) b5n~lf_“+2-.215.	При каком значении п верно равенство:1)	(44)" = 412; 2) (5")2= 514; 3)22"=45; 4) 3(32)"= Зп ?216.	Возведите вртепень произведение:1)	(8а2Ь*с3У; 2) (9x4y3z7)2; 3) (-1,2х^уЧ1)1', 4) (-1,2а*Ь2с4)5.
217. Запишите выражение в виде степени с основанием а:п ПЛ.. 2) ££_•U <А*6’ ] eV’218.	Какое из чисел больше:1)	544 или 2112;2)	1020 или 2010;219.	Вычислите:(a3)V)3.а6 а9 ’4)aV)5(а4)2 а93)	10020 или 900010;4)	620 или З40?1)2)2 - 522 - 9 • 52
25'°5• 232 - 4-233)(4 • З22 + 7 - 321) ■ 57(19-274)24)	5(3-715 -19 714)
716 + 3-715220.	Решите уравнение:1)	х: 1,75 = 7,125-3-;2)5 1 17
12 18 123)	18,9 :х = 0,021-100;4)	754,5: (37,1 + х) = 15.221.	Запишите в стандартном виде число:1)	26 000; 2) 8 647 000; 3) расстояние от Земли доСолнца 149 500 000 км./S и /ОДНОЧЛЕН И ЕГО СТАНДАРТНЫЙ ВИДРис. 5При решении различных задач ча¬
сто встречаются алгебраические вы¬
ражения вида ab, ~аЪс, За2Ь. Напри¬
мер, вместимость рефрижератора,
размеры которого указаны на рис. 5,
равна 3 abc.Выражение 3 abc является про¬
изведением четырех множителей, из которых первый множитель
обозначен цифрой; а три следующих — буквами а, Ь, с.Ш Множители, записанные с помощью цифр, называются числовы¬
ми множителями, а множители, обозначенные буквами, — бук¬
венными множителями. Алгебраическое выражение, состоящее
из произведения числовых и буквенных множителей, называют
одночленом.68
Например, одночленами являются выражения:
abc, (-4)а -3ab, ^a(-0,3)bab.Так как произведение равных множителей можно записать в виде
степени с натуральным показателем, то степень числа и произведение
степеней чисел также называют одночленами.Например, одночленами являются выражения£| , {-7),с5,Аа\ [-^Ь-
Так как каждое число можно записать в виде произведения этого'Учисла на единицу, то выражения вида а, 2, - также считают одно¬
членами.Задача. Найти значение одночлена 16ас ■ (0,5) а ■ (0,25) b1	9при а = - , Ь- 34, с =—.3	17А Если подставить данные значения букв в одночлен, то придет-1 9 1ся вычислить произведение 16	0,5 — 0,25 • 34.3 17 3Эти числа можно перемножать одно за другим в том порядке, в
котором они записаны:16	_9__48.48 0 с 24.3 _ 3 ’ 3 ' 17 “ 17’ 17 ’ 17’24 J_ _ Jj_ I = JL- _2_ 34 = 417	' 3 _ 17 ’ 17 ‘ 4 ~ 17’ 17 'Вычисления можно провести короче, если сначала упростить
данный одночлен, используя переместительный и сочетательный
законы умножения:1	вас (0,5) «(0,25) Ь = (16 • 0,5 • 0,25) {а • а) Ьс = 2аЧс._ 1 9Теперь находим значение одночлена 2а2Ьс при а = р b = 34, с - —:
2.fif	= жV3; 17 9 1769
При решении задачи вторым способом данный одночлен был за¬
писан в более простом виде: 2а?Ьс. Это пример одночлена стандарт¬
ного вида.Ш Одночлен, содержащий только один числовой множитель, стоящий
на первом месте, и степени с различными буквенными основани-I	ями, называется одночленом стандартного вида.Любой одночлен можно записать в стандартном виде. Для этого
нужно перемножить все числовые множители и поставить их про¬
изведение на первое место. Затем произведение степеней с одина¬
ковым основанием записать в виде степени. Буквенные множители
чаще всего располагают в алфавитном порядке, хотя это необязательно.Заметим, что в одночлене стандартного вида нет буквенных сте¬
пеней с одинаковыми основаниями.ТТШ Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде,
-iJI называют коэффициентом этого одночлена.Например, коэффициент одночлена 2а равен 2, коэффициент5	2	5одночлена -аЪ равен коэффициент одночлена (- 7) а2Ьъс ра¬
вен (- 7). В последнем случае одночлен можно записать без ско¬
бок: (- 1)а2Ь3с = -1а2Ьъс.Коэффициент, равный 1, обычно не записывают, так как от ум¬
ножения на единицу число не меняется. Например, 1 • abc2 — abc2,
т. е. коэффициент одночлена abc2 равен единице.Если коэффициент равен (-1), то и в этом случае единицу и
скобки можно не писать, а оставить только знак «—». Например,
(—1 )abc = — abc, т. е. коэффициент одночлена —abc равен —1.УпражненияВместо словесной формулировки запишите алгебраическое вы¬
ражение (222—224):222.	1) удвоенное произведение чисел а и Ь;2)	утроенное произведение чисел бис;3)	произведение квадратов чисел х и у,4)	произведение числа а и квадрата числа Ь.70
223.	1) произведение куба числа т и числа р\2) утроенное произведение квадрата числа а и числа Ь.224.	1) число секунд в t часах;2)	число сантиметров в п метрах.225.	Квадрат разбит на четыре прямоугольника (рис. 6). Найдите
площади этих прямоугольников.Рис. 6226.	Найдите числовое значение одночлена:1)	|а3 при а = —2;	2) 0,5Ь2 при Ъ = -4;3)	ЪаЪс при а = 2,Ь = ^,с = ^]4)	4pqr при p = ^,q = 3, г = ^ ;5)	jm2 (~0,2)п при т = 3, п = -35;6)	-ij;(-0,3)x2 приу = -15,х = 6.227.	Запишите одночлен в стандартном виде:1)	Зт т\ 3) аЪ- 0,5;	5) 52 pq2 (-4) pq;2)	z5z5z; 4) (-т)(-т3); 6) 23qp2(-3)2pq.228.	Запишите одночлен в стандартном виде и найдите его числовое
значение:1)	ас12с при « = с = 4;2)	1а8£2 \ba при а = -2, Ь = \.6	4	I71
229.	(Старинная задача.) К бассейну подведены 4 трубы. Через первую
трубу бассейн наполняется за один день, через вторую — за два
дня, через третью — за три дня и через четвертую — за 4 дня. За
какое время бассейн наполнится, если открыть все четыре трубы?/				§ 12 ' УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВРассмотрим следующую задачу.Задача. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется
по формуле V = abc, где а — длина, Ъ — ширина и с — высота этого
параллелепипеда. Каким будет объем нового параллелепипеда, если
длину данного увеличить в 5 раз, ширину — в 2п раз, высоту — в 3п
раз.А Найдем измерения нового параллелепипеда: длина 5а, ширина2nb, высота Зле. Его объем равен V\ = (5а) • (2nb) ■ (Зис). ▲Выражение (5а) ■ (2nb) ■ (Зле) является произведением трех од¬
ночленов: 5а, 2 nb, Ъпс.По свойствам умножения чисел можно написать равенство:(5а) • (2nb) ■ (Ъпс) - 5а2пЬЪпс - (5 • 2 • 3) • (annbe) = 30n2abc.В результате умножения одночленов снова получается одночлен.
Его нужно упростить, записав в стандартном виде. Например,(3а2Рс) ■ (4ab2) = За2Ь3с4аЬ2 = \2аъЪъс.Рассмотрим произведение двух или нескольких одинаковых од¬
ночленов, т. е. степень одночлена, например (5а1 Ь2с} . Так как этот
одночлен является произведением множителей 5, а3, Ь2, с, то по
свойству возведения произведения в степень имеем:(5аъЬ2с)2 = 52{аъ)\ь2)2с2 = 25aW .Точно так же(2 pq2)3 = 2 3p3(q2J = 8 p*q6.В результате возведения одночлена в натуральную степень снова
получается одночлен.22_ ##
Упражнения
Выполните умножение одночленов (230—237)2) (За) (26); 3) Ь2 (-ЪЬЪ)4) (-2а) а2.230.	1) (2а) (3Ь);231.	1) (2р)(-3с2);2) (-5т2) (-7л);232.	1) (0’3*2)(^3)’2) (-8/л3) (0,25л);233.	1) (ЪаЪ) {-2агЬу,2) (-4х2у)(-7ху2);234.	1) (3a2b5cj (6агЬс2у,2)	(1аъЪ2с) (-За64с);235.	1) (-0,4xVV) (-1,2хуг3);2)	(-2,5л4/и5г2) (Зл/wV);236.	1) (~}m2) (~24я) (4и1л);2)	(-18л) m2 j (~5тп);237.	1) (-я) (36) (4д?б) (5а£2);2)	(5а)(а262)(-26)(-3а);3)	(4*2)(ба3);4)	(4*’)(8*!).3)	(0,2р) (-1,3«г);<> Н-В4
3)4)	(6й2б)(1бс2).3)	(I^Jd^to2);4)	^-|a3Vj^|axVj.3)	(-lixVz)4)(2l^V)(-3l.W).3)	[Ia/][ixv)(0,2.3x);4)	(~\Ъа2Ьс) (~5ab2c} (-0,Aabcy).3)	(-1,5а6) (2 ac) (24 ab);4)	(\М)[-\аЬ^(-5Ьс)(2с2),
Возведите одночлен в степень (238—241):238.	1) (2а)3; 2) (5Ь)2; 3) (3ЬУ; 4) (2а3)2.239.	1) (-3ab)4; 2) (-4ab)2\ 3) (-abc)5; 4) (~2xyz)3.240.	1) (-2a2b)3; 2) (-a2bc)5; 3) (-Зх3у)2; 4) (~2x2y3)4.241.	1) Q-nm; 2) [j; З)(~0,1а363)3; 4)(0,4а362)2.Выполните действия (242—243):242.	1) (-2а)3 (-За);	3) (-0,26с2)2 (20сх2);2) (-а)3 (2а);	4) (-0,1а62с)2 (ЮО&у2).(ш^!)	; 3) (-36с2)’(2a*2)2;2)	[I'-Sy] Vj ;	4) (-7a'b)-{-a2bv) .244.	Запишите одночлен в виде квадрата другого одночлена:1)	9а2;	3) 25а264; 5) Збх'У;2)	16х4; 4) 8 lx6/; 6) 1,21а864.245.	Перемножьте одночлены и найдите числовое значение получен¬
ного выражения:1)	-а2 За2Ь при а = -2, 6 = -;3	722)	-яш-Юя2 при т = 0,8, п = 4;3)	4а- — а2Ь2с при а = 4, Ь = -\ с = 3;' 16	44)	0,7т2я-100л/? при т = 0,3, я = -0,2, р = 4.246.	(Старинная задача.) Треть рыбы погружена в ил, четвертьнаходится под водой и три пяди — над водой. Найдите длинурыбы в пядях (пядь — старинная мера длины, равная обыч¬но 17,78 см).74
§13 ! МНОГОЧЛЕНЫ
/В алгебре часто рассматриваются алгебраические выражения, пред¬
ставляющие собой сумму или разность одночленов.Например, площадь заштрихованной части фигуры, изображен¬
ной на рис. 7, а, равна ^ас + b2, а площадь фигуры, изображенной на
^ |рис. 7, б, равна ab — с2. Выражение -ас + Ь2 — сумма двух одночленов
j ^-ас и b2. Выражение ab — с2 — разность двух одночленов ab и с2 илисумма одночленов ab и (—с2). Эти выражения являются алгебраически¬
ми суммами одночленов. Такие выражения называют многочленами.Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких од-
ночленов.Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами
этого многочлена.Например, членами многочлена 5пт2 —Ът2к — Ink2 + Апт явля¬
ются 5пт2, ~Ът2к, —Ink2, Апт.Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом,
многочлен, состоящий из трех членов, — трехчленом и т. д.Примеры двучленов: а2 — Ь2, 5ас + Ас.Примеры трехчленов: а + 2Ь — Ъс, j-bc + ЪаЬ.Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.Если некоторые члены многочлена записаны не в стандартном
виде, то этот многочлен можно упростить, записав все его члены
в стандартном виде.75
Задача. Упростить многочлен 2а4Ь - ЪаЬас + 9Ьс с .А Запишем все члены данного многочлена в стандартном виде:
2а4Ь = 8ab; - ЪаЬас = -5а2Ьс ; 9Ьс^с - 36с2.
Следовательно, 2a4b - ЪаЬас + 9Ьс с = Sab - 5a2be + 36с2. ▲Упражнения247.	Назовите одночлены, входящие в многочлен:1)	-2х2 + Зх -1;	3) 1а2-Х-Ь--^с\2)	4х2-Зх + 6;	4) -За + 0,5х-2х2.248.	Запишите следующие многочлены в виде суммы одночленов:1)	7a4-9fl3-2fl + ll;	3) \,вагЬ-4а2Ь2 + \ЗаЬъ -Ь*;2)	-6х5 + Зх4 - 12х2 + 5;	4)2,5х4-18x3y-16x2j;-3xy2.249.	Составьте многочлен из одночленов:1)	6х2, 7х и 9;	4) а5, -аА и а;2)	2х2, —Их и 3;	5) &а3,4а2Ь, -2ab2 и b3;3)	-х4,х3и-х;	6) 4агЬ, -2a2b2, -5аЬ3.250.	Упростите многочлен, записав каждый его член в стандартном
ввде:1)	\2a23ba-2ab3ab2 +llaba;2)	2ab24ab-3a28aba-2abab2;3)	1,5ху2 (-4) xyz - 4тпк5т2пк;4)	4cc2c^-^-j bc + 5xy2xy2.251.	Упростите многочлен, записав каждый его член в стандартном
виде:1)	3aaa^-l^ab^ + 4xxx3xy;76
2)	l,5yyy(~4xyz)-4mnk ■ 5т2пк2;3)	(2e*) (i®2*2) - f3"1*) (i*]:4)	(3<7) ^<7*2)-(4*2) (|«2*)-252.	Найдите числовое значение многочлена:1)	2а3+ 3ab + b2 при а = 0,5, ^ = |;2)2a*-ab	+ 2b2 прио = -1, b = -0,5;З^-гху + у2 прих = .у = -4,2;4) х2 + 2ху+ / прих = 1,2, у = - 1,2.253.	Упростите многочлен и найдите его числовое значение:1)	-aba + a2b2ab2+ 4 при.а = 2, Ь = ^\2)	b25ab - 5а5а2Ь при й = Ь =-2; *3)	х2.уху - ху 2ху + ху при х = - 3, у = 2;4)	ху2х2у -хуху прих=-2, у=3.		 _/’			§ 14 ! ПРИВЕДЕНИЕ ПОДОБНЫХ ЧЛЕНОВРешим следующие задачи.Задача 1 Имеются две книги с одинаковым числом букв
на каждой странице; на одной странице помещается п строк и в
каждой строке т букв. В первой книге 300 страниц, во второй — 500.
Сколько всего букв в двух книгах?1	-й способ, д Число букв на каждой странице равно тп. В первой
книге 300пт букв, во второй 500пт букв, в двух книгах 300пт + 500пт
букв. ▲2-й способ. Л Число букв на каждой странице равно тп. Чис¬
ло страниц в двух книгах равно 300 + 500 = 800. Поэтому число букв
в них равно 800пт. АРазумеется, оба ответа верные, поэтому 300пт + 500пт = Ш)пт.77
Однако при вычислениях второй ответ оказывается более удоб¬
ным. Например, если п = 40, т = 50, то пт =2000 и для вычисления
выражения 300пт + 500пт нужно сделать еще три действия:300 • 2000 + 500 • 2000 = 600 000 + 1 000 000 = 1600 000,а для вычисления выражения 800пт нужно сделать всего одно дей¬
ствие:800 • 2000 = 1600 000.Именно поэтому важно уметь упрощать алгебраические выраже¬
ния.Двучлен 300пт + 500пт является суммой двух одночленов: 300пт
и 500пт. Эти одночлены отличаются друг от друга только коэффи¬
циентами. Такие одночлены называют подобными.Например, одночлены abc и ЗаЬс подобны, одночлены 2pq2 и
5фр подобны, а одночлены а2Ь и ab2 не подобны.Одинаковые одночлены также считают подобными.Например, одночлены 2а2Ь и 2а2Ь подобны.Задача 2. Упростить многочленЪаЬ - 2Ьс + 4ас - ab + 3be + 4аЬ.А Выделим подобные одночлены. Одночлены ЪаЬ, —ab ,
4ab подобны, подчеркнем их одной чертой. Подобные одночле¬
ны —2Ьс и ЪЪс подчеркнем двумя чертами. Подобных одночлену 4ас
нет, его подчеркивать не будем. Получим:ЪаЬ - 2bg + 4ас -ab + 3Ьс + 4аЪ.Переставим члены многочлена так, чтобы подобные члены сто¬
яли рядом, и заключим подобные члены в скобки. Получим:(ЪаЬ -ab + 4ab) + (- 2Ьс + 3Ьс) + 4ас.Так какЪаЬ -ab + 4ab = (3 - 1 + 4)ab = 6аЬ,-	2Ьс + ЪЬс = (- 2 + Ъ)Ьс = Ьс,то,ЪаЬ - 2 Ьс + 4ас -аЬ + ЪЬс + 4аЬ = ваЬ + Ьс + 4ас. ▲78
Такое упрощение многочлена, при котором алгебраическая
сумма подобных одночленов заменяется одним одночленом, на¬
зывают приведением подобных членов.У многочлена 6ab + Ьс + 4ас каждый член записан в стандарт¬
ном виде, и среди них нет подобных. Такой вид многочлена называ¬
ют стандартным.Любой многочлен можно записать в стандартном виде. ДляI	этого нужно записать каждый член многочлена в стандартном виде
| и привести подобные члены.Задача 3. Привести к стандартному виду многочлен325A 6ab-ac-3aca-Sa2-b + 25a2 -c + aba-a2bc =325= 2а2Ьс - 3а2с - 4а2Ь + 5а2с + a2b - а2Ьс == (2а2Ьс - а2Ьс) + (-За2с + 5а2с) + (- 4а2Ь + а2Ь)
- a2bc + la2c-3a2b. АУпражненияПриведите подобные члены (254—255):
111254.	1) -х+-х + -х;5 1 12)	jy-^Г.4) -a2b--a2b+-a2b-—a2b.'2 8 8 16255.	1) 2m + q + q-4m; 3) х2 + Зу2 + 4х - у2;2)	За + 2Ь-Ь-а;	4) 5а2-4Ь2-За2 + Ь2.Приведите многочлен к стандартному виду (256—261):256.	1) Их2 +4х-х2 -4х;	3) 0,3с2 -0,1с2 -0,5с3;2)	2у2-Зу + 2у-2у2;	4) 1,2а2 + 3,4а2-0,8а2.79
257.	1)	+	у,	г)-а- + -3)	2а6 + 0,762 -5а6 + 1,262 + 8а6;4)	5ху-Ъ,5у2 -2ху + \,Ъу2 -ху.3	2	5 1258.	1) ~-хУ + -х2у + ху--х2у--ху,2)	-ab2 --ab2 +—a2b--a2b--ab2;' 2 8 4 8 23)	-9,387а - 3,896 + 8,197а -1,116 - 0,81а;{ ~\ 4) 8,53х - 4,73.у - 5,12х + 2,21 у + 0,59х./ 259.\l) 2a2b-U2 +5а2Ь + 5с2 - ЪЬ2 +Ас2;!	2) Зху2 +4х3 -5x2j-3x3 +4х2у-9ху2;•	! 1 , 3 2 2 , 3 6 , 3 2 3 ,зj	3) -ab + -a —6 н— ab — и л— 6 ;|	7 8 5 7 8 5i	4) - ab2 - - ab + - а3 + - ab + - ab2 - - а3 + - а3.1	i 5 3-4 3 5 4 2\ 260. 1) 5636-4с36-562с-4с (-2) с;' 2) 686-3с86 + 5с6-3с5с;3)	6а2 2а2 +5Ь22а2 -6а2462 -562462;| 4) 2х2-у--а63а + 1-^-х2+аа6.2	3	4 5261. 1) -9а2-6 + а26 + 24а2-с;L j	3	4\	У 2) 2а6^ас-4аса-а26с;3)	4х2 -^у-^а69а + 4у^х2 +aba;4)	5ai6 + la^62j-56(0,5a)-ia2^a6j.
§15!СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВРассмотрим треугольник, размеры ко¬
торого указаны на рис. 8. Его периметр Р -о
равен сумме длин сторон:Р = (2а + ЗЬ) + (4а + Ь) + (2а + 4Ь). *Это выражение является суммой трех «
многочленов:	а2а + 3 Ь, 4а + Ь, 2а + 4Ь.Раскроем скобки:Рис. 8Р= 2 а + ЗЬ+4а + Ь + 2а + 4 Ь.Приведя подобные члены, получим:Р=8а+ Sb.Точно так же любую алгебраическую сумму многочленов мож¬
но преобразовать в многочлен стандартного вида. Например,(2п2 - /и2)-(и2 -т2 + 3q2)-2n2 -т2 -п2 + m2-3q2 =n2-3q2;(ЗаЬ - 46с) + (Ъс - аЪ) - [ас - 3be) == ЗаЬ - 4be + Ьс-аЬ-ас + ЗЬс = 2ab - ас.В результате сложения и вычитания нескольких многочленов сно¬
ва получается многочлен.Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в
виде многочлена стандартного вида, нужно раскрыть скобки и при¬
вести подобные члены.Иногда сумму или разность многочленов удобно находить «стол¬
биком» (по аналогии со сложением и вычитанием чисел). При этом
подобные члены располагаются друг под другом, например:т5а-4Ьс + Зас
!) + ЗЬс-lac .
5а- Ьс-4ас6	— Алгебра, 7 класс5abc - 2ab + 4ас - Ьс
^ ~ 3abc - ЗаЬ - ас + ЗЬс
2abc + ab + 5 ас - 4Ьс81
УпражненияУпростите алгебраическую сумму многочленов (262—267):2)	(0, За -1,26) + (а - 6) - (1, За - 0,26);3)	11/-2/-(/-/,2) + (-5/-3/);4)	5х2 + 6х3 + (х3 - х2) - (-2х3 + 4х2).267. 1)	(-2х3+ху2) + (х2у-1) + (х2у-ху2 + Зх3);2)	(Зх2 + 5ху + 7х2у) -(5ху + Зх2)-(7х2у - Зх2);3)	(8а2 -10а6-62) +(-6а2 + 2а6-62)-(а2 -8а6 + 462);4)	(4а2 -2 аб - 62) - (-а2 + Ъ2 - 2 ab) + (За2 + b2 - ab).262. 1) 8а+ (-36 +5а);	3) (6а-26)-(5а + 36);2)	5х-(2х-3у);	4) (4х + 2) + (-х-1).263.1) Зх2-(4х2+2 у);	3) 0,6а2-(0,5а2-0,4а);2)	(0,1с-0,4с2)-(0,1с-0,5с2);3)	(13x-llj + 10^)-(-15x + 10>,-15z);4)	(17а+ 126-14с)-(11а-106-14с).265. 1) [7т2 -4тп-п2) - (2т2 -тп + п2};2)	(5а2-11а6 + 862) + (-262-7а2+ 5аб);3)	11ас + 136с + 1762 -(10ас + 106с-362);4)	4lz + l3az + 26az2 -(I6z + I3az~4az2).
268.	Найдите сумму и разность многочленов:1)	0,1х2 +0,02у2 и 0,17.x2 -0,08у2;2)	0,1х2-0,02/ и -0,17х2+0,08у2;3)	а*-0,12Ь3 и 0,39аъ-Ьъ;4)	аъ +0,1263 и -0,39аг+Ь\269.	Найдите сумму многочленов «столбиком»:1)	ЗаЬ + а2 ~2Ь2 и 2а2-ЗаЬ;2)	Зх2 + 2ху - 4у2 и 4у2 - 2ху + Зх2у2 - х3.270.	Найдите разность многочленов «столбиком»:1)	За2 + 8а-4 и 3 + 8а-5а2;2)	Ь3 -ЗЬ2 +4Ь и b + 2b2 + 63.271.	Упростите выражение:1)	P + Q, если Р = 5а2 + b, Q =-4а2 - Ъ;2)	P-Q, если Р = 2р2 -3q\ Q =2р2 -4^3;3)	А + В + С, если /1 = л2 — Ъ2 + ab,В = 2а2+ ЗаЬ - 5Ь2, С = -4а2 + 2аЬ - ЗЬ2;4)	А-В+С, если А = 2а2 -ЗаЬ + 4аЬ2,В = За2 + 4аЬ - Ь2,С - а2 + 2аЬ - ЗЬ2-272.	Докажите, что:1)	сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5;2)	сумма четырех последовательных натуральных чисел не де¬
лится на 4;3)	сумма четырех последовательных нечетных чисел делится на 8.4)	сумма четырех последовательных четных натуральных чисел
делится на 4.273.	В автобусе было п пассажиров. На первых двух остановках из
автобуса вышли по т пассажиров на каждой. На третьей
остановке никто не вышел, но несколько человек сели в
автобус. После этого в автобусе оказалось к пассажиров. Сколько
человек село в автобус на третьей остановке?83
§ 16 I УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕНРассмотрим прямоугольный параллеле¬
пипед, размеры которого указаны на рис. 9.
Его объем равен произведению высоты и
площади основания: (а + 26 + с)• (3ab).Это выражение является произведением
многочлена а + 2Ь + с и одночлена ЗаЬ.Применив распределительное свойство
умножения, можно записать:(а + 2Ъ + с)(ЪаЬ) = a(3ab) + 2b(3ab) +
+c(3ab) = 3 а2Ь + 6 ab2 + Зобе.Точно так же выполняется умножение
любого многочлена на одночлен, например:(2п2т-3пт2) (-4пт) = (2п2т) (-4пт)+(-Зпт2) (-4пт) == -8п}т2 +12п2т3;(За2 - 4ab+5с2) (- 5be) = 3а2 (-5Ьс) - 4ab (- 5Ьс)++ 5с2(- 5Ьс) = -15а2Ьс+20air1 с - 256с3.|Т1 Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член мно-
I- ::'i гочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения
сложить.В результате умножения многочлена на одночлен снова полу¬
чится многочлен. Получившийся многочлен нужно упростить, за¬
писав его в стандартном виде. Промежуточный результат можно не
записывать, а сразу писать ответ, выполняя умножение одночле¬
нов устно, например:(~ЗаЬ + 2а2 -4Ь2)	=^а2Ь2 -аъЬ + 2аЬг.Умножение одночлена на многочлен производится по тому
же правилу, так как при перестановке множителей произведе¬
ние не меняется, например:4pq(3p2 - q + 2) = \2piq - 4pq2 + 8pq .84
УпражненияНайдите произведение многочлена и одночлена (274—278):
274. 1) -5(10 +/я);	5) 2(За2-4а + 8);2)	-^(-2 + х);	6)	+3)	(2>'-5)[^-lj;	7) (За-56 + Ьс) (-3);4)	(-2т + Ъп) (-10); ' ' - 8^5 (-5) (Зх3 + 7х2 - х).275.	1) (а-Ь)п;	3) -6х(5>>-2х);2)	(-5х + 4у)2z',	4) (x2-x + l)x.276.	1) 7а6(2а + 36);	3) 12p2q(q2p-q2)’,2)	5а2Ь(156 + 3);	4) Зху2 (ху-2х3):^277/ 1) 17а(5я + 66-3а6);	3) 3x2j>(5x + 6y + 7z);2)	8tf6(26-3ac + c2);	4) xyz(x2 +2у2 + 3z2) ■278.1) \^а*Ь2-lab4^ 1а'Ь’2)3)	^1 ~ а3х3 - 2 ^ а2х3 -1 1дх4 j |^-2 —ax6j.Упростите выражение (279—281):279. 1) 6 (2/-Зп)-3(3/-2л); 3) -2 (Зх-2у)-5 (2у-3х);2)	5(а-Ь) -4(2в-36); 4) 7 (4/? + 3) - 6 (5 + 7/?) -85
\280.!	1) (x2 -l) Зл: — [x2-2) 2x\2)	(4a2 -36)26-(3a2 -46)36;3)	2 (3a + 4)+ 3 (a-7)-7 (2a-7);4)	3 (2jc-1)-5 (x-3) + 6 (3x-4).281.	1) 5(0,8y-0,l)-0,7(4j> + l)+8(0,7-0,4j/);» ШЧНИ);4)	0,2 (5y + 6) - 4 (0,25y -1,3) + 5 (0,1 у -1,62).282.	Найдите значение алгебраического выражения:1)	7 (4а + 36) - 6 (5а + 1Ь) при а = 2, Ъ = -3;2)	а (26 + 1) - b{2a -1) при а = 10, Ь = -5;3)	ЗаЬ (4а2 - 62) + 4ab (ь2 - За2) при а = 10, b = -5;4)	4а2 (5а - 36) - 5а2 (4а + 6) при а = -2, 6 = -3.£ У 7 / УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕНЗадача. Найти площадь поверхности стены, занятой шкафа¬
ми, размеры которых указаны на рис. 10.А Поверхность стены, занятая шкафами, является прямоуголь¬
ником со сторонами 2а + с + 2а = 4а + с и а + Ь + а =2а + 6. Пло¬
щадь этого прямоугольника равна S = (4а + с) (2а +6). ▲Выражение (4а + с) (2а + 6) является произведением много¬
членов 4а + с и 2а + 6.86
Применяя распределительное свойство умножения чисел, можно
записать:S	= (4 а + с) (2 а + b) = 4а(2а + b) + с(2а + b).Далее, так как 4а (2а + Ь) = 8а2 + 4аЬ и с (2а + Ь) = 2ас + Ьс,то S = 8а2 + 4ab + 2ас + Ьс.Таким образом, для нахождения произведения данных много¬
членов пришлось перемножить каждый член многочлена 4а + с на
каждый член многочлена 2а + Ь и результаты сложить. Точно так же
перемножаются любые два многочлена, например:(1п - 2т) (3п - 5т) = (7п) ■ (3п) + (1п) • (-5т) + {-2т) • (3п) ++ (-2т)-(-5т) = 21 п2 -35пт-6тп + \0т2 = 21и2 -41лт + 10т2.Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каж¬
дый член одного многочлена на каждый член другого многочлена
и полученные произведения сложить.В результате умножения многочлена на многочлен снова по¬
лучается многочлен, который нужно записать в стандартном
виде. При этом промежуточные результаты можно не писать, вы¬
полняя умножение одночленов устно, например:(2а - АЬ + Зс) (5Ь - с) = 10ab - 2ас - 20Ь2 + 4Ьс ++\5Ьс-Ъс2 = \0ab-2ac-20b2 +19Ьс-Зс2.87
Умножение нескольких многочленов нужно делать поочередно,
например:(а + b)(a + 2b)(a-3b) = (a2 + 3а6 + 262)(а-36) == а3 - За2Ь + 3а2Ь- 9ab2 + 2ab2 - 663 = а3 - lab2 - 663.Упражнения
Выполните умножение многочленов (283—291):283.	1)	(а + 2)(а + 3);2)	(*-l)(z + 4);284.	1)	(с-4) (d-3);2)	(а-10)(-а-2);285.	1)	(2х + 1)(х + 4);2)	(2а+ 3) (5а-4);286.	1)	[да + 36^ j^a-36^;2)	(0,3-да) (да+ 0,3);287.	1)	(а2 + £) (а + Ь2);2)	(5х2-6j2) (бх2-5.J/2);288.	1)	(2а -Ь) (4а2 + 2аЬ + Ъ2);2)	(За - 2Ь) (9а2 + 6ab + 4Ь2)289.	1)	(5с - 4у) (-8с - 2х + 6>>);2)	(46 - с) (-5Ь + Зс - 4,у);3)(да	+ 6) (и-1);4)	(6 + 4) (с+ 5).3)	(х + у)(х + \);4)	(~P + q) (-!-«)-3)(3/w-2)	(2да-1);4)	(5/>-3#) (4/>-?).3)	ge-2*)(ie + 24);4)	(0,2а + 0,5х) (0,2а-0,5х).3)(а2	+26) (2а+ 62);4)	(х2 +2х + 1) (х + 3).3)	(5х + Зу) (25х2 -15ху + 9у2);4)	(За + 26) (9а2 - ваЬ + 462).3)(4х-3д;	+ 2г) (Зх-Зу);4)	(За -36 + 4с) (За -56).
290; 1) (0,2х + 0,2j> - z) (х - у); 3)	+ (60m + 12);2) (0,3х-0,3;у + г) [x + y); 4) (О, la2-0,3a +1) (За2-10).. 291, 1) (a -b) [a + b) (a - 3b); 3) (x + 3) (2x -1) (3x + 2);2)	(a + b) (a-b) (a + 3b); 4) (x-2) (3x +1) (4x-3).292.	l) Покажите, что при x = 2y значение выражения
(5х - l)(x + 3) - (х - 2) (5х - 4) равно 49.2)	Покажите, что при а = -3,5 значение выражения
(а + 3)(9а - 8) - (2 + а) (9а - 1) равно -29.293.	Вычислите значение выражения:1)2)п2~-п + — I при п = -2-;п + -1	1 [ 2 1 1 1	7п--\ \ п +-п + -\ при п = -.3	{ 3 9	3294.	1) Рассматривая площадь прямоугольника ABCD (рис. 11),
покажите, что (а + b)(c + d) = ас + be + ad + bd.2)	Рассматривая площадь прямоугольника ABFE (рис. 12), по¬
кажите, что (а + Ь){с - d) = ас + be - ad - bd.мо■сучде SSFАFКАDа Р, ьЕРис11Рис. 12Ы-/89
§ 18 I ДЕЛЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА И МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕНВ предыдущих параграфах было показано, что в результате сло¬
жения, вычитания, умножения и возведения в натуральную сте¬
пень нескольких одночленов и многочленов снова получается мно¬
гочлен. В перечисленных действиях нет действия деления. Выраже¬
ния, содержащие деление одночленов и многочленов, будут подробно
рассмотрены в главе V. Иногда в результате такого деления также
получается многочлен.1.	Деление одночлена на одночлен.Задача. Разделите одночлен 32а3Ь2 на одночлен 4а2.А Воспользуемся свойством деления числа на произведение
чисел: разделим число на первый множитель произведения,
результат — на второй множитель произведения и так далее. Итак,(32а3Ъ2) : (4а2) = ((32а3Ь2) :4) : а2.Теперь, по правилу деления произведения на число, разделим на
число один из множителей произведения. Тогда(32а3Ь2) : 4 = (32 : 4) а3Ъ2 = 8а3Ъ2;(8й362) : а2 = (8а3 : а2) Ь2 = 8а/>2.Таким образом,(32а3Ь2) : (4а2) = ЪаЬ2. ▲Точно так же делятся одночлены и в других случаях, например:
4а2Ь3: (4а2Ь3) = \;(66a4b2c) : (22a2b) = 3a2bc;(9к2п2т2) : (-Зкп2т2) = -Зк.Результат деления можно проверить умножением: делитель дол¬
жен быть равным произведению частного на делимое.90
Например, деление (56а563с) : (7а2Ь2с) = 8а3Ъ выполнено пра¬
вильно, так как 56a5b3c = (la2b2c) %аъЬ.2. Деление многочлена на одночлен.Задача. Разделить многочлен 2а2Ь + 4ab2 + 8abc на одночлен 2ab.
А Воспользуемся следующим правилом: при делении суммы начисло следует разделить на это число каждое слагаемое, то естьТочно так же производится деление многочлена на одночлен и в
других случаях. Например:(9а3Ь2 -За2Ь3 + а2Ь2) : (3а2Ь2) == (9а3Ъ2) : (За2Ь2) + (-За2Ь3) : (3a2b2) + (a2b2) : (3a2b2) = 3a-b + yгочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сло-Результат деления многочлена на одночлен можно проверить
умножением. Например, делениеВ рассмотренных примерах в результате деления одночлена
(многочлена) на одночлен получается одночлен (многочлен). В
этих случаях говорят, что одночлен (многочлен) делится на од¬
ночлен без остатка (нацело). Однако деление одночлена (многочле¬
на) на одночлен нацело не всегда возможно. Например, много¬
член аЪ + ас не делится нацело на одночлен ab.При делении одночлена (многочлена) на одночлен предполага¬
ется, что буквы могут принимать только такие значения, при кото¬
рых делитель не равен нулю.(2а2b + 4аЪ2 + Sabc^j : (2ab) = (2a2b) : (2ab) ++ (4ab2} : (2ab) + (Sabc) : (2ab) = a + 2b + 4c. aЧтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член мно¬жить.(36п4т2 -45п2т4) : (9п2т2} = 4п2 -5т2выполнено правильно, так как36п4т2 - 45п2т4 = (4п2 - 5т2) (9п2т2).91
УпражненияВыполните деление (295-305):295Л)Ь5:Ьг;	2)у11:у1; Ъ)а1:а1;	4) Ь9 : Ь9.296.	1) 12х:4; 2) -15д: 5; 3)-18>;:6; 4)10с:(-2).297.	1) (8с) : (-2); 2) \а : 5; Ъ)-~Ь : 2; 4) Зс:298.	1) )*: (-2); 2)-7/я :(-*]; 3)-1а:Г-Я; 4)5	I 9)	4 v 9J	25 5299.	1) 5д : а; 2) 8х: х;300.	1) (-6х) : (2х)? -2)	15z: (5z); ;302.	1) 8abc: (-4а); ■2)	(-lOpq) : (6q);303.	1) 14g5 : (7a2);* ? ^2)	(-42m1) : (6/и);^04. 1)	•• (-|т2л2р2};2)	: ("7fl36c2923)	5a: (-a); 4)(-7y):{-y).3)	(-6xy) : (-3xy);4)	12 ab: (-4 ab).3)	("5c) :4)	(-1,69л) : (1,3л).3)	-6,4xy: (-4x);4)	(-0,24abc) : (-0,6ab).3)	-0,2a'°: (-a1");4)	(-2lfl'’):(-2a'’). „3)	(28,9/>2<?2}>3) : (~\,7p2y3);4)	-6a3b2c: (-2a2be).
^30^ 1) 20mV : (-5mV);с '2)	-l,3a3xV : (16,9a2xy);306.	Упростите выражение:1)	(4a2b2)3 : (2a2b)2 ;2)	(9*V)3 : (3xj;)2 ;Выполните деление (307—310):307.	1) (12a+ 6) : 3;2)	(106-5) : 5;308.	1) (5mn-6np) : n;2) (4a2 - 3ab) : a;309.	1) (3a2b-4ab3) : (5ab);; 2) (2c5Z>4+3c463) : (-3c463);310.	l) (6a-Sb + 10) : 2;2)	(8x + 12j>-16) : (-4);311.	Упростите выражение:3)	(-1 .w):(-i„v);4)	(-^6’с):(-11«^с).3)	|-a6c2j : |-a26c3j2 ;4)	(-x2y3z|4 : (xyz).3)	(14m-8) : (-2);4)	(-6+3x):(-3).3)	(x-xy) : x;4)	(cd-d) : (-d).3)	(—27A:4/5 +21 A:3/2j :(-10£3/2);4)	(~aW+3a6b2) : (4a*b2).3)	(l0a2-12a/>+8a) :2a;4)	(lab+6a2b2-4b) : (2b).1)	(6a3-3a2) : a2 +(\2a2 +9a) : (3a);2)	(8x3-4x2) : (2x2)-(4x2-3x) :x;3)	(3x3-2x2y) :x2-(2xy2+x2y) :4)	(a2b-3ab2) : (^ab^j + (6b3 -5ab2) : b'
312. Найдите значение алгебраического выражения:1)	(15а3 + 25а2) : (5а)-9о24 :(3а2) при а = 7;2)(18а4-27а3)	: (9а2)-10а3: (5а) при а = -8;3)	(Зх3+4х2>>) : х2-(Юху+ 15>>2) : (5у) при х = 2, у = -5;4)	(2х>>2-5у3) :у2 +(12ху + 6х2) : (Зх) при х = -3,д> = -12.2.	Упростите выражение: (3b + с2 -d)- (с2 - 2d).3.	Выполните действия:(-0,25a3b2c)-(5abc); (7т2 -20тя-10т): Ют.4.	Упростите выражение 2m(m-l) + (m-2)(m + 2) + 2m
и найдите его числовое значение при т = - 0,25:УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III313.	Запишите:1)	квадрат числа т;2)	куб числа а;3)	квадрат суммы чисел с и 3;4)	сумму квадратов чисел с и 3.314.	Запишите:1)	квадрат разности чисел п и от;2)	разность квадратов чисел лит;3)	куб разности чисел пит;1- Представьте выражение в виде степени:
53 • 52; З8: З6; (23)4; З5 ■ 25.4)	разность кубов чисел 2 и Ь.94
315.	Сторона квадрата равна с м. Найдите его периметр и площадь.316.	Ребро куба равно к см. Найдите площадь его поверхности и объем.317.	Одна сторона прямоугольника в 3 раза больше другой его
стороны. Обозначив одну сторону через х, запишите формулу
для его площади.318.	Разобьем куб объемом 1м3на кубы объемом 1см3. Какова вы¬
сота столбика, составленного из этих кубов, положенных друг
на друга?319.	Сердце человека бьется в среднем с частотой 75 ударов в
минуту. Вычислите число ударов сердца за сутки.320.	Поднимет ли ученик куб объемом 1м3, вырезанный из пено¬
пласта (масса 1см3 пенопласта 0,2 г)?321.	Запишите в стандартной форме следующие числа:1)	в 1м3газа при О’С и атмосферном давлении 760 мм ртутно¬
го столба заключено 27 ООО ООО ООО ООО ООО ООО молекул газа.2)	1 парсек (принятая в астрономии единица длины) равен
30 800 000 000 000 км;3)	компьютер может совершать 1 000 000 операций в секунду.322.	Поверхность Земли составляет более 510 млн км2. Объем Земли —
более 1000 млрд км3 Запишите эти числа в стандартной форме.323.	Один литр морской воды содержит около 0,00001 мг золота.
Сколько золота содержится в 1 км3 морской воды?324.	Запишите многочлен в стандартной форме:1)	(2т) (4n)-3a(2b)-(0,2n) (5т) +b(5a)-5nm + $ab;2)	13аЬ - 0,2ху - (2а) (56) + (6х) (0,2у) + а(-Ъ)Ь\2995
325.	Найдите значение многочлена:1)	-0,08х + 73ху2 +Пху2 при х = 4,у = 0,2;2)	-2a2b + 4b + \\a2b при а = --,Ь = 2-;3	43)	Ъръ ~Ър2 + \\р-1 р-вр2 ~1 р2 + р при р = -1;4)	8х2 - 7х3 + 6х - 5х2 + 2х3 + Зх2 - 8х при х = 1.326.	Найдите алгебраическую сумму многочленов:1)	(-2х3 +ху2) + (х2у-1) + (х2у-ху2 +Зх3);2)	(Зх2 +5xj + 7x2j)-(5xy+ 3х2)-(7х2у-3х2);3)	(8а2 -10ab-b2) + (-6а2 +2ab-b2)-(а2 -8ab + 4Ь2);4)	(4а2 - 2ab + Ь2) - (-а2 + Ь2 - 2ab) + (3a2+b2- аЪ)№6Водитель автомобиля марки "Ма-
тиз" меняет колеса (ходовые и
запасное) по схеме, приведенной
на рисунке стрелками. Оказалось,
что через 30 ООО км пробега все
колеса износились одинаково.
Сколько километров пробежало
каждое колесо?Я3) |	+ jp ](20m + 8);Выполните умножение многочленов: (327-328):327.	1) (0, Зх + 0, Зу2)	(0,5х-0,5у + z)(x + у);328.	1) (a-b)(a + b)(2a-3b);962)	(а + Ь)(а-Ь)(2а + ЪЬ)',4) (0,2а2-0,4а + 1)(5а2-10).3)	(х + 2)(Зх + 1)(2х-1);4)	(x-3)(2x + l)(3x-l).
329.	Выполните деление многочленов:1)	(0,01а4-0,2а3 + 0,04а2 + 0,002а): (0,01а);2)	(~0,05х5 -0,08х4 -0,09х3 + 0,01х2) : (-0,01л:2);3)	J^-4msn2 ~^т4п5 +^-т3пьj : |^m3rt2j;3 6V3 .634 9 5V Гз4)	| —а х + ja х ах 1:1-ах |.ц£Г ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ III
33-951. Вычислите:81D) Е) 9.D>?; E>f'1 2 з3.	Найдите числовое значение одночлена -abc при а - -2, b = -1,
с = 10.А)	В) i С) -8; D) 8; Е) -40.4.	Запишите одночлен 24aW--M а2Ъ в стандартной форме.A)	2аа2Ь2Ь;	С) —	(j) -2а3Ь3.B)	D) 4а363;5.	Выполните умножение многочленов: I	](“ °Ьгс7 — Алгебра, 7 класс97
А)	0,3а3Ь4с4;	С) ~^-a4b2c3b2; Е) правильного15	ответа нет.|У-0,3(а&с)4; D) j-5a*c*b3;6.	Упростите выражение ЪЬ2аЪаЬ - 6b24aba + ab4ab2, записав каж¬
дый член многочлена в стандартной форме:A)	43 а3Ь3;	С) -5a3b2;	Е) 5а2Ь3.B)	43а2Ь3\	-5а2Ь3\7.	Найдите алгебраическую сумму многочленов:0,5а +j*j + 2(a + Z>).А) а + ЗЬ;	С) -а-ЪЬ\	Е) 6а+ 2^6.^)-а + 36;	D) а-ЪЬ\8.	Вьшолните умножение многочлена на одночлен: ^4a--xj-(-3x).A)	-12ах-3х2; С) Зх2 + 12ах; Е) -х2+12ах.B)	Зх2 -12ах; (р)"'■ х2 -12ах;9.	Упростите: 5a(0,4a-b)-4a^a-bj.(а|) a{a-b)\	С) а2 +9ab\	Е) 3a2-ab.В) a(a + b);	D) Ъа2+9аЬ\\ Ю. Приведите многочлен 4аЬсЪа -2-b21 — ас-Ъ-ащ -1— \ ас к
' ./	7 19 3 V И'
стандартному виду:
A)	\2a2bc-%ab2c, С) -\2a2bc-3ab2c; Е) \1а2Ьс + ЪаЬ2с.^щУ.1а2Ьс-ЪаЬ2с\ D) \2а2Ьс-ЪаЬ2с\98
11.	Выполните умножение многочленов: (а - Ь){а + Ь)(а2 + Ь2).A)	а3-64; С) а3-Л3;	Е) аА + Ь\B)	a4+b3; ^J)^a4-b4;12.	Выполните деление: (16а3Ь2~4а2Ьъ + а2Ь2): (4 а2Ь2).A)	4а + Ь + -\	С) 4а6-- + 4;	Е) 4а-Ь + -.4	6^/4B)	4a + b + 4;	D) 4а-4Ь + 4;13.	Найдите числовое значение алгебраического выражения(10а4 + 15а3) :5а2-18а3: (-6а) при а = ~\-
А) -15,75; /5^6,75; С) 15,75; D) -12; Е) 18.
ч14. Упростите выражение: (l 8а4 + 21а2): За2 - 5а |^2а + —A)	4а2+2; /Ц -4а2 + 2; Е)-4а2+12.B)	Д6а2+12; Цо) 16а2+2;15. Выполните умножение многочленов : (а + 2Ь)(а-2Ь)(а2 +4Ь2).A)	а3-1663; C)j -8Z?3; f ю) а4-16Ь4.B)	а4 -8Z?3; D) a4 + l664; ^Вычислите: (16-20):(~°’2)5
(-0,1)4 '^-3,2; В) 3,2; С) 0,00032; D)-0,00032; Е) -1.
17. -(-3)3-|-^А) -3; (вГ); С) -2,7; D) ijl	Е) -9.9(U)z	^А) 832; В) 8,32; (^С| 83,2;	D) 5,2; Е) 16.99
19. -{012	• 54 ’А) 1; В) i;	С) 10;	uS Е) 2.20. 1894 • 2419	1 1А)-; В)¥;	с)-; D) ^Е) 18.21* Найдите числовое значение одночлена — • х • (- 0,9)у2 при1 '	18Л = -г» У = 10-2	/ПA)	-45; В) 45;	С) -2,5; [В) 2,5; Е) 5.22. Запишите одночлен • х2у (-18)у2х в стандартном виде.(^)f*V;	С)-18хУ;	Е) 2ху.B)	18хУ;	D) ~х2уу2х;§ Исторические задачиШ Ш IW Ш Я» МИ «№	кая» ««с	'(Г) Задача Ньютона. Один наборщик за 8 дней набирает 15 стра¬
ниц текста. Сколько нужно наборщиков, чтобы набрать 405
страниц за 9 дней?(2)	Корм, который хватает лошади на 14 дней, лошадь вместе с
жеребенком съедают за 10 дней. За сколько дней такое же
количество корма съест жеребенок?(3)	Одна пятая часть некоторого количества пчел села на белые
цветы, одна третья — на красные, а утроенная разность этих
пчел собирает мед с желтых цветов. И только одна пчела
летает и отдыхает. Скажи-ка, сколько пчел в саду?100
Обозначение неизвестных величин буквами впервые встречается в
трудах знаменитого древнегреческого математика Диофанта (III в.). Пер¬
вым коэффициенты и известные величины стал обозначать буквами
Ф. Виет.Исследование алгебраических уравнений стало возможным только
после введения буквенных коэффициентов. Ф. Виет обозначал пропис¬
ными согласными латинскими буквами В, G, D, ... коэффициенты, а
прописными гласными буквами А, Е, /, ... переменные.Известный французский математик и философ Р. Декарт (1596—
1650) для обозначения коэффициентов использовал строчные латин¬
ские буквы а, Ь, с, d, ..., а для обозначения неизвестных — последние
буквы алфавита — х, у, z. Обозначения степени в современном виде а2,
а3, ..., я" также введены Декартом (1637).Аль-Хорезми, Ахмад Фергани, Беруни, аль-Каши не использовали
алгебраическую символику в своих трудах. Мавританский математик аль-
Каласади (XV в.) использовал элементы алгебраической символики. Он
обозначал первую степень неизвестного в уравнениях первой буквой слова
шай (вещь), квадрат — первой буквой слова мол (имущество), куб —
первой буквой слова кааб. Вместо равенства «= » он использовал бук¬
ву а — первую букву слова адала (равенство).Символика изучаемого нами курса алгебры сформировалась в XIV—
XVII вв.2)	(10 + х)(10 + х);3)	(10 — jc)(10 — jc);4)	(10-jc)(10 +jc);6)	(10 + х)(л;-10);7)	(100 + JC2 -20x)-(50 + 10x-2jc2);8)	(100 + x2 -20x) + (50 + 10jc-2x2).
/ ГЛАВА IV i / f Uff-J-;.; -' -' !/ Р43ЛОЖЫШЕ МШОрЬ&ЦЕНОВ
/	НА МНОЖИТЕЛИ					§ 19 J ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ
/Пусть требуется найти значение выражения а2 — Ь1 при а = 573 и
b = 427. Для этого необходимо, подставив эти значения, возвести числа
573 и 427 в квадрат, а затем выполнить вычитание.Если же заменить выражение а2 — Ь2 на равное ему выражение
(iа + Ь)(а — Ь), то вычисления можно провести более простым спосо¬
бом. При а = 573 и b = 427 имеем:а2 - Р= (а + Ь){а -Ь) = (573 + 427)(573 - 427) = 1 ООО • 146 = 146 ООО.Для облегчения подсчетов многочлен а2 — Ь2 был заменен произ¬
ведением (а + Ь)(а — Ь).шПредставление многочлена в виде произведения двух или несколь¬
ких многочленов называется разложением на множители.Подобное представление уже использовалось при разложении
натурального числа на множители. Например, составное число 60
можно представить в виде произведения степеней простых чисел
следующим образом:60 = 2 • 2 • 3 • 5 = 22, 3 • 5.Разложением чисел на множители пользуются при сокращении
дробей, приведении их к общему знаменателю и решении прочих
подобных задач. При выполнении действий над алгебраическими вы¬
ражениями также широко применяется разложение на множители.3	а д ача 1. Найти числовое значение выражения ab+ ас- ad
при а = 43, 6 = 26, с =17, d= 23.А Вычисления проведем следующим образом:43 • 26 + 43 -17-43 • 23 = 43 • (26+ 17- 23)= 43 ■ 20= 860. ▲102
Используем распределительное свойство умножения:
ab+ ас- ad = a(b +c-d).В числовом выражении 43 • 26 + 43 • 17 - 43 • 23 общим множителем
будет число 43, в алгебраическом выражении ab + ас — ad общим
множителем будет а.Если все члены многочлена содержат общий множитель, число¬
вой или буквенный, то этот множитель можно вынести за скобки.В скобках остается многочлен, полученный от деления данного
многочлена на этот общий множитель.Задача 2. Разложить на множители многочлен:6ab+3b-\2bc.А Каждый член данного многочлена содержит общий множитель
3Ь, т. к. 6ab = ЗЬ • 2а, ЗЬ = ЗЬ • 1, -12Ьс = 3Ь ■ (-4с).Следовательно, 6ab + 3Ъ- 12be = 3b(2a + 1 - 4с). ▲При известных обстоятельствах общий множитель можно выно¬
сить за скобки как со знаком «+», так и со знаком «-».Приведем примеры:1)	ab-b = b(a- 1)=-6(1 - а);2)	4а2Ь3 - 6а3Ь2 = 2а2Ь2 (2Ь - За) или4а2Ь3 - 6а3Ь2 =- 2a2b2 (-lb + За) =- 2а2Ь2 (За-2Ь).Итак, чтобы разложить многочлен на множители вынесением об-
цего множителя за скобки, нужно:1)	найти этот общий множитель;2)	вынести его за скобки.-уу-т-шЕсли коэффициенты членов многочлена — натуральные числа,
го для нахождения общего множителя следует найти наибольший об-
дий делитель коэффициентов членов многочлена, а среди степеней
; одинаковым основанием — степень с наименьшим показателем.
Например, разложим на множители многочлен 28х2У - 2\х*у2. В
многочлене 28х2у4 - 21 хгу2 число 7 —наибольший общий делитель
чисел 28 и 21; х2 и у2 — степени с наименьшими показателями.
Поэтому общим множителем членов многочлена является одночлен
7х2у. Вынося этот множитель за скобки, получаем:28jc2у4 - 21 х3у2 = 1х2уг • 4у2 - 1х2у2 ■ Зх = 1х1у2{4у2' - Зх).103
Правильность разложения многочлена на множители можно про¬
верить умножением полученных множителей.Например, выполнив умножение, получим:1хгуг(4у - Зх) = 28х2у3 - 21х3у2.Общий множитель может быть и многочленом, например:1)	5(а + Ь) + х(а + Ь) = (а + Ь)(5 + х);2)	Ъх(а - 2Ь) + 5у(а - 2Ъ) + 2(а - 2Ь) = (а - 2Ь)(Ъх + 5у + 2).В некоторых случаях полезно применить равенство a- b= - (b- а).
Например:1)	(а-3)х- (3- а)у= (а-3)х+(а- 3)у= (а-3)(х+у);2)	15а2Ь{х2 -у) - 20ab2(x2 -у) + 25ab(y -х2) = 15а2Ь(х2-у) --	20 ab2(x2 -у)- 25 ab(x2 -у) = 5 ab(x2 - у){Ъа - АЬ - 5).Упражнения330.	Разложите числа в произведения степеней простых чисел: 70,
121, 240, 168, 225.^	^ 45 18. 75 15. 40 14331.	Сократите дроби:332.	Примените распределительный закон умножения и вычислите:1)	81-17-15 81;	3) 15 17 + 15-67;2)	24-2,78 + 41-2,78;	4) 14|-1 -4|-11.333.	Запишите произведение в виде многочлена:1)	(а + 2) (а + 3);	3) Зс3(2с3-5);2)	2х(х-1);	4) (а2 +b)(a-b2y334.	От пристани А до пристани В отправилась моторная лодка
со скоростью 20 км/ч. Через два часа после этого из А в В
в путь отправилась вторая моторная лодка со скоростью
24 км/ч. Обе лодки прибыли к пристани В в одно и то же
время. Найдите расстояние между А и В.12L	ФФ
335.3)	25-734-25-726;4)	26 -1 — — I — - 23.; 3 3336.337.338.339.340.341.
/"342.Вычислите:1)	13-512 + 13-488;2)	125-375 + 275-375;Вынесите общий множитель за скобки (336—344):1) 2т + 2п; 2) За-Зх; 3) 8-4х; 4) 6а + 12.1)	9a+12Z>+3;	3) -10х + 15.у-5г;2)	8а-46-2;	4) 9x-3j> + 12z.1) ах-ау\- . 2) cd + bc;3) ху + 2х; ' 4) Зх-х>\1) 9тп + 9п; 2)2bd-2ab; 3) П^-ЗЗуг; 4) врк-2р.1)	ab-ac + a2;2)	ху - х2 + xz; '1)	а4 + 2а2;2)	а4-За3;1)\18/ + 12/;2)	W4-24x2;1)	9а2 62 -12а63;
20х3/+4х2.у;6у5 + 12у4 -Зу3;2)	20а4-5а3+15а5;
Вычислите:1)1372	+137-63;2)	1872-187-87;] 3) 6а2 - За + 126а;'. 4) 462+8а6-12а26.3)	а4Ьг+аЬг;4)	х2у3-х3;у2.3)	15х3-5х3;4)	6а5+3а2.3)	7а26с + 14а62с;4)	9xyz2 -I2xy2z-3)	4а262+36а263+6а64;4)	2x2j>4 - 2х4у2 + 6xV3.3)	0,73+0,7-9,51;4)	0,93 -0,81-2,9.Разложите на множители (346—352):346. 1) а(т + п) + Ь(т + п);	3) а(6-5)-(6-5);2)	6(а + 5)-с(а + 5);	4) (у-3) + Ь(у-3).105
347.	1) 2a(a-b) + 3b(a-b);	3) 5a(x + y)-4b(x + y);2) 3n(m-3) + 5m(m-3);	4)7<з(с-£/)-2&(с- d) .348.	I) a2(x-y) + b2(x-y);	3) a(x2 + y2)-b(x2 + y2)',2)	д2(х + .у)-62(х + .у);	4) x[a2 -lb2) + y(a2 -2b2).349.	1) 2£(х-1)-Зд(х-1) + с(х-1);2)	с(/>-^)-й(/>-^)+аГ(/>-9);3)	x(a2 + 62) + .y(a2 +b2)-z(a2 +b2);, 4) m(x2 + 1 )-n(x2 + l)-/(x2 +l).350J 1) c(a-b) + b(b-a);	3) (x-y) + b(y-x)',2)	a(b-c)-c(c-b)\	4) 26(x-y)-(y-x).351. 1) 7(y-3)-a(3-y);	3) b2 (a-l)-c(l-a);2)	6(a-2) + a(2-a);	4) a2 (m-2) + 6(2-w).352.. 1) a(b-c) + b2(b-c)-7 (c-b);2)	х(х-у) + .ф-х)-3(х-.у);3)	x(a-2) + .y(2-tf) + (2-a);4)	a(b-3) + (3-b)-b(3-b).353.	Решите уравнение:^1) 8-(x-3) (x + 3) = 10-(x-l)2; 3) x: 15 = 2-1-: 14,5;2)	(2x +1)2 -(2x-3)2 =4(7x-5); 4) ^ =7354.	Собака гонится за лисицей. Собака бежит со скоростью 8 м/сек.,
а лисица — 6 м/сек. Первоначально расстояние между ними
составляло 360 м, но лисице до ее норы оставалось пробежать
еще 1 км. Успеет ли лисица добежать до норы?106
§ 20 / СПОСОБ ГРУППИРОВКИСпособ группировки применяют к многочленам, которые не
имеют общего множителя для всех членов многочлена. Иногда уда¬
ется определить общий множитель, заключив несколько членов
данного многочлена в скобки. Способ группировки основан на
применении переместительного, сочетательного и распределитель¬
ного законов сложения и умножения.Рассмотрим примеры:1)	a(b + с) +b + с = a(b + c) + (b+ с) = (Ь+ с)(а +1);2)	a(b-c)-b + c = a(b-c)-(b-c) = (b-c) (й-1).В первом примере было достаточно заключить в скобки послед¬
ние два члена, во втором примере — последние два члена много¬
члена, поставив перед скобкой знак <<-».3)	т (Зх - у) + 3пх -пу = т (Зх -у) + (3пх - пу) =
= т(3х-у) + п(3х-у) = (3х-у) (т + п); 1
4)	-тх2 - ту2 + п {х2 + у2) = (-/их2 - ту2) + п(х2 + у2) =
= -m(x2 + j2) + n(x2 +у2) = (х2 + у2) (п-т).В третьем и четвертом примерах, кроме группировки слагае¬
мых по два, из каждой группы были вынесены за скобки общие
множители: в первом случае со знаком «+», во втором — со зна¬
ками «—» и «+».Иногда группировку членов многочлена можно проводить раз¬
личными способами. Например, разложение многочлена2ат + 2ап - ЪЬт - ЪЪп на множители можно выполнить так:I	способ2ат + 2ап - ЗЬт - ЗЬп -
■ (2 ат + 2 ап) - (ЗЬт + ЗЬп) =
= 2 а(т + п)~ 3 Ь(т + п) == (т + п)(2а-ЗЬ).II	способ2ат + 2ап - ЗЬт - ЗЬп == (2ат - ЗЬт) + (2ап - ЗЬп) =
= т(2а - 3 Ь) + п(2а - 3 Ь) == (2а-ЗЬ)(т + п).107
Рассмотрим пример разложения на множители многочлена, со¬
стоящего из шести членов:	(] уах + Ьх - ay - by + az + bz = (ах + bx) - (ay + by) + (az + bz) =
= x(a + b) - y(a + b) + z(a + b) = (a + b) (x - у + z) ■Здесь члены многочлена сгруппированы по два, можно было сгруп¬
пировать их по три:ах + bx - ay - by + az + bz = (ах -ау + az) + (bx -by + bz) =
= a(x -y+ z) + b(x-y +z) = (a + b)(x-у+ z).Итак, чтобы разложить многочлен на множители способом груп¬
пировки, нужно:1)	объединить чв ; /	r-.е ta гз такие группы, которые имеют
общий множитель в ; \е многом*2)	вынести этот общий множитель за скобки.Разложите на множители (355—360):355.	1) a + b + c(a + b);2)	т-п + р(т-п);356.	1) (х + .у) + (х + у)2;2)	(a-bf + а-Ь;357.	1) 2т(т-п) + т-п\2)	4q(p-\) + р-1;358.	1) a(x-c) + bc-bx\^ J 2) a(b + c) + db + dc;fj5^Jl) ас + be-lad-lbd\2)	ac-3bd + ad -3bc;I 36jL 1) xy2 -by2 -ax + ab + y2 -o;12) ax2 - ay-bx2 + cy + by-cx1.1083)	x + 3o(x + .y) + y;4)	x + 2a(x-y)-y.3)	2m(m-n) + (m-rif;4)	4q(p-\) + (p-lf.3)	2m(m-n)-n + m;4)	4q(p-\) + \- p.3)	3a(2b + c) + 8b + 4c',4)	2x(3x-4j/)-6x + 8y.3)	2bx-3ay-6by + ax',4)	5ay -3bx + ax - \5by.
361. Вычислите:1)	139 15 + 18 139 +15 261 +18 261;2)	125 ■ 48 -31 - 82 -31 -43 +125 ■ 83; ’3)	14,7-13-2-14,7 + 13-5,3-2-5,3;4)	3--4—+ 4,2-—+ 3--2—+ 2,8--.3	5	3 3 5	з<362i] Найдите значение выражения:1)	5а2 -5ах- 1а + 1х при х =-3, а = 4;2)	т2 -тп-Зт + Зп при т = 0,5, п = 0,25;3)	a2+ab-5a-5b при а = 6,6, b = 0,4;7-4) a2 -ab-2a + 2b при я = — ,6 = 0,15."У	20Вычислите:W) 2872 - 287-48 + 239-713 ; 2) 73,42 + 73,4-17,2 - 90,6-63,4.
564л Решите уравнение:, 1) х(х-4) + х-4 = 0; 2) /(/ + 7)-4/-28 = 0.1)	В семье шесть дочерей. Каждая из них имеет брата.
Сколько в семье детей?2)	У Мухаммаджана братьев столько же, сколько и сестер.
У старшей сестры число братьев в 2 раза больше числа
сестер. Сколько в семье мальчиков и сколько девочек?	у	§ 21 / КВАДРАТ СУММЫ. КВАДРАТ РАЗНОСТИ
/В математических работах выдающегося математика Абу Али ибн
Сины изучались операции возведения в квадрат и куб.~ Рассмотрим квадрат суммы двух чисел (а + Ь)2. Пользуясь правилом
умножения многочлена на многочлен, получаем:(a + tif =(a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 =а2 + 2ab + b2,, — ....	109
АБУ АЛИ ИБН СИ НА
( 980-1037)—	великий философ-естествоиспытатель,
всемирно известный врач, математик и поэт.т. е.
Т(а + Ь)2 = а2 + 2 ab + Ь2.(1)Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс
удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат
второго числа.Заметим, что формулу (1) можно получить, рассматривая площадь
квадрата, изображенного на рис. 13.Рассмотрим теперь квадрат разности двух чисел:(a-b)2 =(a-b)(a-b) = a2 -ab-ab + b2 = а2 -2ab + b2,т. е.(.a-b) = a2 -2ab + b2.	 (2)Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа ми¬
нус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квад¬
рат второго числа.В равенствах (1) ш{2) aw b — любые числа «
или алгебраические выражения, например:1)	(2т + 3/с)2 =(2mf +2-2m-3k+ (3kf =
= 4 т2 +12тк + 9к2',
2)	(5а2-З)2 =(5а2)2-2-5а2-З + З2 =
= 25а4-30а2+9;110а2ababЬ2аЬРис. 13
'«д*мгхт?	•,уцу.3)	(-а-ЗЬ)2 =((-1) (а + 36))2 =(-1)2 (а + ЗЬ)2 == (a + 3bf = а2 + 2а-ЗЬ + (ЗЬ)2 = а2 +6 ab + 9b2.Промежуточный результат можно не писать, производя необ¬
ходимые вычисления устно. Например, можно сразу написать:(5а2 - 7Ь2 )2 = 25а4 - 70а2Ь1 + 49ЬА.Формулы квадрата суммы (1) и квадрата разности (2) называют
также формулами сокращенного умножения и применяют в некоторых
случаях для упрощения вычислений, например:1)	992 = (100 — I)2 =10000-200 + 1 = 9801;2)	522 =(50 + 2)2 =2500 + 200 + 4 = 2704.Формула (1) применяется также для приближенных вычисле¬
ний значений выражения (1 + а)2. Если модуль числа а мал по срав¬
нению с единицей (например, а = 0,0032 или а = - 0,0021), то число
а2 тем более мало и поэтому равенство (1 + а)1- 1 + 2а + а2 можнозаменить приближенным равенством (1 + а)2 «1 + 2а. Например:1)	(1,002)2= (1 + 0,002)2« 1 + 2 • 0,002= 1,004;2)	(0,997)2= (1 - 0,003)2* 1 - 2 • 0,003= 0,994.Формулы квадрата суммы и квадрата разности иногда приме¬
няются к разложению многочленов на множители, например:1)	х2 + 10х + 25 = х2 +2-5’Х + 52 = (х + 5)2;2)	а4 - 8а2Ь3 + Ш6 = (а2 )2 - 2 • а2 - 4Z>3 + (4b3 f=(a2- 4Ъ3 f .Задача. Доказать формулу:(а + Ь)3 = а3 + 3a2b + ЗаЬ2 + b3.д (а + Ь)3 =(а + Ь) (а + b)2 =(а + Ь) (а2 +2ab + b2)-
= а3 + 2a2b + ab2 + агЬ + lab2 + b3 = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3. А(3)111
Аналогично доказывается формула(а-b) = о3 -За2Ь + ЗаЬг - Ь}(4)шФормулы (3) и (4) называют формулами куба суммы и куба раз¬
ности. Они также считаются формулами сокращенного умножения.Упражнения365.Представьте квадрат двучлена в виде многочлена (365—372):1)	{c + df;2)	(*-у)2;368.369.370.1)	(т-2)2;2)	(х-3)2;
1) (д + 2р)2;3)	(2 + х)2;4)	(х + 1)2;3) (7-т)2;5)	(у + З)2;6)	(7 + т)2.4) (у-6)2;2) (Зх + 2у)2;5) а +6) \b + ^1) (За2 +1)2; 2) (а2 +1)2;1)т--2) |3) (6а-46) ; 4) (5z-tj
3) (2х2 + 3п2 )2; 4) (х2 + у2 )2»(Hl‘ *>(И371.1)	(0,2х + 0,3у)22)	(0,46-0,5с)2
1)3)2 з 3
-X --
V3 4{1 з 2 л2— а л—а44 5V'У, 1 2 1
2) I з* +2*3)	(-8/>3 ч- 5/?2)2;4)	(Юх2 -Зху3)2.
372.	I) (~4аЬ-5аг)г \	3) (0,2x2 + 5ху)2;2) (~3b2 -2ab) ;	4) (4xy+ 0,5>>2)2.Выполните действия, используя формулы сокращенного умно¬
жения (373—375):373.	1) (90-1 )2; 2) (40 +1)2;	3)1012;	4) 982.374.	1) 9992;	2) 10032;	3) 512;	4) 392.375.	1) 722 ;	2) 572 ;	3) 9972 ;	4) 10012.
Упростите выражение (376—377):376.	1) (х- у)2 + (х + >>)2;	3) (2а + Ь)2 - (2а - Z>)2;2) (^ + j)2-(^->;)2;	4) (2а + 6)2+(2а-6)2.377.	1) (За-1)2 +2 (1 + а)2;	3) (х-1)2-(х + 1)2;2) 3 (2-а)2 +4 (а-5)2;	4) -(3 + х)2+5 (1-х)2.
Решите уравнение (378—379):378.1)	16х2-(4х-5)2 = 15;	3) -5х(х-3) + 5(х-1)2 =-20;2) 64х2-(3-8х)2 =87;	4) (2х-3)2-(2х > 3)! =12.379.	I) (3's-TX2 =0;	3) (х + 3) (х+7)-(х + 4)2 = 0;2)(j’-2)(j' + 3)-(^-2)2=5;	4)(у+8)2-(з-+9) (j>-5) = 117.380.	Найдите значение выражения:4vl) 9а3 -а(За + 2)2 +4а(Зд + 7) при а = -\^\2)	(2y-5f -4(у-3)2-4у при у =—99 8 —Алгебра, 7 класс
3) 25m (/w — 1) — (5m — З)2 -6m при m = -0,3;4)	24x2-(7x-2)2+(5x-3)(5x + l) прих = --.381.	Замените x таким одночленом, чтобы в результате получилось
верное равенство:1)	(х-467)2 = 25a4b2 -40a2bs +16614;2)	(х + 7с)2 = 25Ь6 + 70Ь3с + 49с2;3)	(lO/w5 +х)2 = ЮО/и10 +120т1п3 + 36т4иб;4)	(5b1 - xf = 25b4 - 30a2 b3 + 9a4b2.382.	Представьте выражение в виде квадрата двучлена:1)	a2 -\0ab + 25b2\	3) к4 +2к2 +1;2)	25 + 10х + х2;	4) р2-1,6/? + 0,64.Замените х таким одночленом, чтобы в результате получился
квадрат двучлена (383-384):383.	1) а2+4а + х;	3) 36а2-х + 4962;2)	р2-0,5р + х;	4) a2-6ab + x.384.	1) т4-Зт2 +х;	3) 4а2-5я + х;2)	a2+aZ> + x;	4) х + 6о + 9а2.385.	Докажите:1)	(a-bf =(b-a)2;	5) (я + 6)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + Ь3\2)	(-a-bf =(Ь + а)2;	6) (a-bf = a3-3a2b + 3ab2-Ь3.3)	(-a -b) (a + b) = -(a + bf ;4)	(a-bf =-(b-a)K,114
— “/-	—			§ 22 / ФОРМУЛА РАЗНОСТИ КВАДРАТОВт. е.Умножим сумму двух чисел на их разность:(a + b)(a-b) = a2 -ab + ab-b2 = а2 -Ь2,(a + b)(a-b) = а2 -Ь2.(1)илиа2 -b2 =(a-b)(a + b) .(2)(Т)|! Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих
___з! чисел и их суммы.В равенствах (1) и (2) а, b — любые числа или алгебраические
выражения, например:1)	(пт + Ък)(пт-Ък) = п2т2 -9к2;2)4а4Ь2	-25a2b4 ~{la2b + 5ab2}{la2b-5ab2y,3)	(а + bf -16 = (а + b - 4)(а + b + 4).Ш Формулу (1) называют формулой сокращенного умноженияI	Она применяется для упрощения вычислений.Например:1)	63 • 57 = (60 + 3) (60 - 3) = 3 600 - 9 = 3 591;2)	98 102 = (100-2)(100 + 2) = 1002 -22 =10000-4 = 9 996.1)	а2 -9 = (а-3) (я + 3);2)	4Ь4 - 0,64с2 = (2Z>2 )2 - (0,8с)2 = (2Ь2 - 0,8с) (2Ъ2 + 0,8с);
Ъ)(а-Ь)2-\=(а-Ь-\) (а-b + l);4)	(а + ь)2-(а-с)2 = (a + b-a + c)(a + b + a-c) = (b + c)(2a + b-c).Формулу (2) называют формулой разности квадратов. Она при¬
меняется к разложению многочленов на множители.Например:115
УпражненияВыполните умножение, воспользовавшись формулой (1) (386—394):386.	1) (c + d)(c-d);2)	[p + q){p-q)\3)	(а + с)(с-а);387.	1) (х + 5)(х-5);2)	(д + 3)(д-3);3)	(а-4)(4 + а);388.	1) (2Ь + а)(2Ь-а);2)	(c + 3d)(c-3d);389.	1) (4^-£)[j + 4d);390.	1) (c2 + d2)(c2-d2);2)	(а2 + ft3)(а2 -*3);391.	1) (Зя2+463)(За2-463);2)	(2/я4 - 5л2)(5п2 + 2т4);4)	(т-п)(т + п)\5)	(а-Ь)(-о-ft);6)	(2-/я)(-2-/я).4)	(7 + х)(х-7);5)	(1 + а)(1-а);6)	(b-l)(\ + b).3)	(>' + 6х)(6х-у);4)	(3т~2п){2п + 3т).з»(^4хВ"+Ь');4> (}т+Н(зт~Н3)	(х4-/)(/ +х4);4)	(т3 -/г3)(/я3 + л3).3)	(0,2^ +0,5р4)(0,5р4-0,2Г3);4)	(1,2а2 - 0,3Ь2) (1, 2а2 + О, ЗЬ2).
393.1)	(Зх2у-4ху2)(3х2у + 4ху2); 3) (lab + x2y3)(lab-*У);
2) (5ab2 + 2a2b)(5ab2-2a2b)\ 4) (ab3-4ху)(аЬ3+4ху).094.1)	(3 + х)(3-х)(9 + х2);	3) (4хг + у2)(2х + у)(2х-у);
2) (л2 + 1)(jc + 1)(x-1) ; 4) (За-26)(За+ 26)(9а2 + 4Z>2).Вычислите, используя формулы сокращенного умножения
(395-396):395. 1) 48-52; 2)68-72; 3)43-37; 4)47-53.396.1)	47-33; 2) 44-36; 3) 84-76; 4) 201-199.397.	Упростите:1)	(с-3)2-(с + 3)(3-с);2)	(а + 2)2 -(а + 2)(2-я);3)	(2х + 3у)(2х-3у) + (2х + 3у)2;4)	(За - 46) (За + 46) - (За - 46)2;5)	(-6-а)(а + 6) + а2+ 62;6)	(6-а)(-а-6) + 262.398.	Найдите значение выражения:1)	4m-(m + 3)2 +(m-3)(m + 3) при т = -2,4;2)	(Зх + 4)2-10х-(х-4)(4 + х) при х =-0,1;3)	2(к-7)(к + 5)-(к-5)2-(к-7){7 + к) при к=-^;4)	(о + З)2 +(а-3)(3 + а)-2(а + 2)(а-4) при « = “■
399.	Решите уравнение:1)	(2х + 3)2 -4(х-1)(х+ 1) = 49;2)	(Зх + 4)2 -(Зх-1)(1 + 3х) = 49;3)	(Зх + 2)(Зх-2)-(Зх-4)2 =28;4)	(Зх + 1)2 -(Зх-2)(2 + Зх) = 17.400.	Две противоположные стороны квадрата увеличили на 8 см
каждую, а оставшиеся две стороны на столько же уменьши¬
ли. Как изменилась площадь фигуры?лМ „	54-0,128 - 53 0,628-5401.	Вычислите:			-	.125-0,25/	/	6	23 ' ПРИМЕНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ СПОСОБОВ
У I РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИПри разложении многочленов на множители иногда использует¬
ся не один, а несколько способов.Приведем примеры.1)	Разложим на множители многочлен а3-а:А аъ-а = а{а2-\) = а(а-\) (а + \). ▲Здесь были использованы два способа: вынесение общего множи¬
теля за скобки и применение формулы разности квадратов.2)	Разложим на множители многочлен (а2+1) -4а1:A (a2 +\j -4а2 = ((а2 +1)-2д)((я2 +1) + 2д) == (а2 +1-2я)(я2 + 1 + 2д) = (д2 -2я + 1)(а2 +2« + l) == (д-1)2 (a + \f . АЗдесь сначала использовалась формула разности квадратов,
так как слагаемые не имели общих множителей, а затем были
применены формулы квадрата суммы и разности.118
3)	4х1 - у2 + 4х + 2у = (4х2 - у2) + (4х + 2у) == (2х - У) (2х + у) + 2 (2х + у) = (2х + у)(2х - у + 2).Так как одночлены не имеют общих множителей и неясно, какую
формулу можно использовать, вначале был использован способ
группировки, а затем формула разности квадратов.Эти примеры показывают, что при разложении многочленов на
множители полезно соблюдать следующий порядок:; Т;j 1) вынести общий множитель за скобку (если он есть);—_J 2) попробовать разложить многочлен на множители по формулам
j сокращенного умножения;3)	попытаться применить способ группировки (если предыдущие
способы не привели к цели).Задача. Доказать равенство:Правая часть равенства оказалась равной левой части, т. е. равен¬
ство (1) доказано. ▲
Аналогично доказывается равенство(1)А Преобразуем правую часть равенства:(а + b)(a2 - ab + b2) = a3 -a2b + ab2 +a2b-ab2 +Ь3 = а3 + Ь3.(2)1ГП|[ Равенства (1) и (2) называют формулами суммы и разности ку-
? >.11 бов. Иногда эти формулы применяются при разложении много-II	членов на множители.Например:1)	27 + b3=(3 + b) (9-3b+b2);2)	х4-8х/ =х(х3-8У) = х(х-2у) (х2+ 2ху+4у2).119
Упражнения402.	Вычислите:1)	472 -372;	3) 50,72 -50,62;2)	542 -442;	4) 29,42 - 29,32.403.	(Устно.) Разложите на множители:1)	36-х2; 2) с2-25; 3) /-1; 4) 1 -ft2.404.	(Устно.) Представьте выражение в виде квадрата одночлена:100а2; 0,01ft2; — т2п2; 0,25х6; 1 — х2; х4/.16	16Разложите на множители (405—416):405.	1) 25х2-9; 2) 4а2-9; 3) 64у2-36х2; 4) 81а2-16ft2.406.	1) c2d2 -9; 2) a2b2 -16; 3) 4а2 -9ft2; 4) 16х2 -25у2.407.	1) ^У2-~х2>	3) 0,25а2-49ft2;2)	V-lft2;	4) 0,09х2 -1бу2.408.	1) 36х2у2-1; 2) х2у4 —16; 3) 81а6— 49ft4; 4) 25а2—9ft .409.	l)a4-ft4; 2)a4-ft8; 3) л4-16; 4)ft4-81.410.	1) (a + bf-c2;	3) (a + 2ft)2-9a2;2)	(m-nf-k2;	4) (Зх-y) -4y2.411.	1) (a + ft)2 -(a-c)2;	3)	(2a + ft) -(2ft + a) ;2)	(a + ft)2 -(b + cf ;	4)	(a -3ft) -(3a + b) .412.	1) 9a2-6a+ 1;	3)	36ft2 + 12ft+ 1;2)	l + 2c + c2;	4)	81 -18x + x2.120• •
• ■*-	' г■■'**'. ...	<, Д - • *-V' - - -	'413.	1) 9x2 + 24x + l6;	3) 36m2 + \2mn +n2\2) 100-60a + 9a2;	4) a2+ \0ab + 25b2.414.	1) ^ + 2x2y + y2\	3) 4c4 + 12c263 + 966;2) p4-2p2q + q2\	4) 25a6 + 30a36 + 9/>2.415.	1) a4 -8a2 + 16;	3) 25a4-\0a2b + b2\2) 64 -1862 +81;	4) 16-8a2b2+a4b4.■ 416. 1) -a2-2a-1;	3) -2a2+8a6-862;2) _9 + 6b-b2;	4) -12a6-3a2-12fc2.417.	Найдите числовое значение выражения:1)	5т1 —10/77/7 + 5л72 при т = 142, п = 42;2)	6/772 +12/77/7 + 6/?2 при /77 = 56,/7 = 44;3)	-36а3 +4a2b-^ab2 при а = 4, 6 = 48;4)	-64а3 -Sa2b--ab2 при а = -6,6 = 84.4418.	Решите уравнение:1)	х2-36 = 0;	3) 4х2 + 4х + 1 = 0; ,2)	— -х2 = 0;	4) 25-10х + х2 =0.4419.	Вычислите:1)	1012 -202-81+ 812;	3) 482 +2-48 18+_lf_.48 -182)	372 +126-37 + 633 ;	4)420.	Впишите вместо точек такой трехчлен, чтобы выполнялось ра¬
венство:1)	х3 + у3 = (х + _у) (...); 3) х*-у3={х-у) (...);2)	(x + y)3=(x + j;) (...); 4) (х-у)3=(х->-) (...).121
Разложите на множители (421—424):421.	1) х3-у3; 3) х3 + 27; 5) л3-64;	7) 1_рз.2) с3 + d3; 4) а3-27; 6) я3 + 1;	8) 125-Ь3.422.	1) 27т3 -8; 2) 64-125/; 3) 125 + -U3; 4) 64/+ —27423.	1) 8о3 +1; 2) 1 + 2763; 3)^-а3+6466; 4)^о6+12563.27	о424.	1) д9-£3; 2) д6-£6; 3) х6-729; 4) 64-/.Воспользовавшись формулами сокращенного умножения,
запишите выражение в виде двучлена (425-426):425.	\) (z + 5)(z2-5z + 25);	3) (2х + 3у) (4х2-бху+ 9у2);
2) (у + 2)(у2 -2у + 4); 4) (4с ^5d) (16с2 +20cd + 25d7).426.	1) (lOo2 -l) (lOOo4 + 10a2 + l);2)	(a2b2 - 5a) (a464 + 5a3b2 + 25a2);1 V 1 ...2 , 1 „ , „23)	[ —/w — и J | -m+-mn + n(I 1 )(l 2 1 1 2
4>	+6ХУ+9У427.	Разложите на множители:1)	(8a3-27b3)-2a(4a2-9b2);	3) (a3 + b3) + (a + bj2)	(64a3+l25b3) + 5b(l6a2-25b2); 4) (a3-b3) + (a-b)428.	Вычислите:' 14 2583 -1473	^ 17,982 -17,98-32,02 +32,022l) 2582 + 258 • 147 +1472 ’	L)	17,983 + 32,023429.	Найдите значение выражения:1)	(x + 2) (x2-2x + 4)-x(x-3) (x + 3) прих = 2;
2)	(2л: — 1) (4х2 + 2x + l)-4x(2x2-3) прих = 0,5;3)	(4х + 1) (l6x2-4x + l)-16x(4x2-5) при * = -^;4)	х(х + 2) (х-2)-(х-3) (х2+Зх + 9) при x = i.430.	Решите уравнение:1)	(х + 2) (х2 -2х + 4)-х(х-3) (х + 3) = 26;2)	(х-3) (х2 +Зх + 9)-х(х + 4) (х-4) = 21;3)	(2х-1) (4х2 +2х +l)-4x(2x2 -3) = 23;4)	(4х + 1) (16х2-4х + 1)-16х(4х2-5) = 17.Разложите на множители (431—434):431.	1) За3-3; 2) у3-у; 3) т3п-тп3\ 4) 2а3-2аЬ2.432.	1) xV-x2/;	3) 8-72хУ;2) lc2d2 - 63с2Ь2\	4) 32а*Ь-2агЬ.433.	1) 2а2 +4ab + 2b2\	4) 8р2-16/> + 8;2)	2т2 +2п2 -4тп;	5) 21агЪ2-lSab + 3;3)	5х2+10х}>+ 5>>2;	6) 12т5л + 24т4« + 12т3«.434.	1) 2с3 + 2d3\ 3) 2с d -16с ; 5) 1х2-56х2у
2) 54х3-1б; 4)\а2-а5;	Ь)МЪ+ЪЬ?Ъ.435.	Вычислите: 19,72 - 8,32 + 28 • 8,6.Разложите на множители (436—438):436.	1) (х2 + 1)2-4х2;	3) 4у2-(у-с)2;2) (х2+2х)2-1;	4) 81-(^2 +6^)2.123
437.1)	(a2 +2ab + b2)-c2;	3) \~а2-2ab-b2;2) 1-(V -2xy + y2);	4) 4 + (-x2 -2xy - у2)438.1 )a2-b2+a + b; 3) x-y-x2 + y1; 5) m5 - m3 + m2 -1;2) a2-b2-a-b; 4)x3 + x2 -x-l; 6) x4+ x3+x + l.439.	Докажите, что число 272 — 142 делится на 13 без остатка.440.	Докажите, что при любом целом п значение выражения
(7л — 2)2 — (2п — 7)2 делится без остатка на 5; на 9.441.	Решите уравнение:442.	Скорость моторной лодки по течению реки 18 км/ч, а против
течения — 14 км/ч. Найдите скорость течения реки и скорость
моторной лодки в стоячей воде.Проверьте себя!1.	Представьте выражение (а - З)2 + (а - 3)(д + 3) + 6а в виде
многочлена стандартного вида.2.	Разложите на множители:3.	Разложите на множители многочлен a2 -3ab + 3a-9b и •, , 1 !наидите его числовое значение при а = I, b = --.	|1)	(х + 3) (х2 +Зх + 9)-(Зх-17) = х3 -12;2)	5х-(4-2х + х2) (х + 2) + х(х-1) (х + 1) = 0.1)	ху-2у;2)	16а2 -81;3)	Зх2-6л:3;4)	х1 -10х + 25;5)	3(x-l) + j(x-l);6)2д2	-4ab + 2b2.124
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IVРазложите на множители (443—447).	^443.	1) 6(a + b) + (a + b)2;	3) (a-b) + (b-af-,2) 4(x-y) + 3(x-yf;	4) (a-bf-ib-a).444.	1) 3(x + 7)(x-^) + (x + ^2; 3) 5(а-Ь?-{а + Ь)(Ь-а);2)	(x + у)3-x(x + y)2;	4) a(a-b) (b a)445.	1) (y + z)(l2x2+6x) + (j;-z)(m2+6x);2)	(y - z)(12x2 - 6x) + (y-z) (l2x2 + 6x);3)	(6x2 - 3) + 7x (bx2 - 3) - 4y (6x2 - 3);4)	2x(&x-4y)-3y(&x-4y)-(*x-4y) ■446.	1) 18a2-27ab + \4ac-216c; 3) 35ax + 24x>/-20a;y-42x2;2)	10x2 + 10xy + 5x + 5j; 4) 48x£2 + 32xy2-15jz -Юу .447.	1) 16a62-562c-10c3+32дс2;2)	втпк2 +15тгк - I4n3k - Ъ5тпг;3)	-28ac + 35c2-10сх + 8ях;4)	-24fcc -15c2 + 406c + 9cx.448.	Упростите выражение:1)	(2x -1)2 - 2 (2x - 3)2 +17;2)	(3x + 2)2 -2 (x-1)2 -7x2;3)	24y2 ~(7y - 2)2 + (5y - 3) (5y +1);4)	(Зу + l) (2у-Ъ) + (2у-Ъ)2-Wy2.449.	Докажите, что модуль разности квадратов двух последователь¬
ных натуральных чисел — нечетное число.125
450. Сократите дробь:532 -2721) 2 , ;
’ 79 -513)492 - 2•49•29 + 292492 -192382 -172 .
' 472 -192 ’4)472 -З2272 + 2-27-13 + 132451. Докажите, что при любых значениях хи)? верно равенство:
(x + y)(x2-/) = (x-j>)(x + .v)2.ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ IV1.	Вынесите общий множитель за скобки: 24а3 Ь2 ~ЗОа2Ь3.
fS)) 6a2b2(4a-5b);	D) 6Ь2(4а3~5а2);B)	6ab(4a2b-5ab2); Е) За2b(Sab-10b2).C)	6а2(4аЬ2 -5Ь3);2.	Разложите на множители: 5(а-b) + a2(a-b)~ 3(6 - а).А)	(а-Ь)(а2+2);	С) (а-Ь)(8~а2); Е)(Ь-а)(а2-8).■ В) (а-£)(д2-8);	(d|) (а-Ь)(а2 +8);3.	Разложите на множители: 4я(х - 7) + 4й£ + 76(_у - * - .A)	(х-;у + г)(76-4я); D) —(д:—+ z)(4« + 7^>);B)	(у-х-z)(7b + 4а); (^е\ (х-у + z)(4a~lb).C)	(^с—у — г)(4а —4.	Вычислите: 16,92-16,9-3,7-16,9-3,2.(A))l69; В) 1,69; С) 16,9; D) -1,69; Е) -16,9.5.	Вычислите: 4^,8-1,5+ 1,8-52,2+ 52,2-1,5+ 1,8-47,8.А)	300; (В) 330; С) 150; D) 180; Е) 230.'6. Разложите на множители: ах + Ьх- 3ау - 3by.A)	(а.+ Ь)(х + Зу); (Ъ) (а + Ь)(х-Зу);B)	(а-Ь)(х + Зу); Е) правильного ответа нетC)	(а-Ь)(х-Зу);126
7.	Разложите на множители: 7а(5а-36)-10а + 66.A)	(5а + 36)(7а-2);	D) (5а-36)(7а + 2);B)	(36-5а)(7а + 2);	/Е) (5а-36)(7а-2).C)	(36 + 5а)(7а + 2);8.	Найдите числовое значение выражения а3 - а26 - За + 36 при
а = 2,5; Ь = -1,5.А) 3,25; ®)13; С) -13; D) 5; Е) -3,25.9.	Решите уравнение: (Зх + 2)2-(Зх-4)2 = 132.4; В) 3; С) -5; D) т4; Е) корней нет.10.	Решите уравнение: 81х2 -(4-9х)2 =56.А) -1; 0) 1; С) 2; D) -2; Е) 3.11.	Разложите на множители: 8а3 -2763.A)	(2а-36)2(2а + 36);	(Ъ) (2а-36)(4а2+6а6 + 962);B)	(2а + 36)2 (2а-36);	Е) (2а + 36)(4а2+6а6 + 962).C)	(2а)3-(З6)3;12.	Разложите на множители:	(я2 + 25)2 -100а2., А) (а-5)3(а + 5);	D) (а-5)2-(а + 5);B)	(а-5)(а + 5)3;	(а-5)2 (а + 5)2.C)	(а + 5)4-(10а)2;13.	Вычислите:Д533 + 473): (532 -53 • 47 + 472).А)	6; /В)>100; С) 600; D) 532 +472; Е) 110.Ц Исторические задачи^■£2 ШЛ Ш26 iS-Ч''Ч S.--: ->i ■-=•*? v - - ■ ^	МИ М«Ш ПК-'".	-VX-	-й\ч- :Задачи Абу Али ибн Синьг.® 1) Если при делении числа на 9 получается остаток 2 или 7,
то при делении квадрата этого числа на 9 получится остаток 4;2)	Если при делении числа на 9 получается остаток 4 или 5, то
при делении квадрата этого числа на 9 получится остаток 7.3)	Если при делении числа на 9 получается остаток 1 или 8,
то при делении квадрата этого числа на 9 получится остаток 1.4)	Если при делении числа на 9 получается остаток 3 или 6,
то квадрат такого числа делится на 9 без остатка.127
5)	Если при делении числа на 9 получается остаток 1, 4 или 7,
то при делении куба этого числа на 9 получится остаток 1.6)	Если при делении числа на 9 получается остаток 2, 5 или 8,
то при делении куба этого числа на 9 получится остаток 8.7)	Если при делении числа на 9 получается остаток 3 или 6,
то куб такого числа делится на 9 без остатка.8)	Разность куба числа и самого числа кратна 6, т. е. число пъ — п
делится на 6 без остатка, где п — натуральное число.(2)	Задача Диофанта. Убедитесь в правильности следующего ра- ^
венства: (а2 + b2)(c2 + d2) = (ас±bdf + (be + ad)2.(3)	Задача Jl. Эйлера. Убедитесь в правильности следующего равен¬
ства:(а2 +Ь2 + с2 + d2)(m2 + п2 + р2 + q2) = (ап + bm + cq + dp)2 ++(ат -bn + cp- dq)2 + (-ар -bq + cm + dn)2 + (aq -bp-cn + dm)2.рД Исторические сведенияВ трудах древних китайских, греческих, индийских, среднеазиатских ма¬
тематиков при доказательстве различных алгебраических формул и решении
уравнений широко использовались методы так называемой геометрической
алгебры. Они доказывают геометрическим способом соотношения вида
(a + b)2 =а2 +2ab + b2, (a-bf = a2-2ab + b2, а1 - Ь2 = (а -Ь)(а + Ь), или
(а2 -Ь2) = (а-Ь)2 + 2Ь(а-Ь) ■ Например, при доказательстве формулы
а2 -Ь2 =(а- Ь)(а + Ь) используется геометрическая конструкция: если от квад¬
рата со стороной а отрезать квадрат со стороной Ь, то площадь оставшейся
фигуры равна а(а -Ь) + Ь(а -Ь) = (а- Ь)(а + Ь),
с другой стороны, та же площадь равна{a-bj2 +2b(a-b), что очевидно из рис. 14. ^^Следовательно, имеет место равенство:2 2а -Ь ={а- Ь)(а + Ь). При доказательстве су¬
ществования прямоугольных треугольников с
целыми (рациональными) сторонами китайские
математики в I тыс. до н. э. исходили из равен-
( „2 2 \2 (2 2\2
ства	I +(pq)2J^-)^ 2 )	I 2 >	Рис. 14128Рис. 14
ГЛАВА V~гшI§ 24 ' АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ДРОБЬ. СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ
/. 	 /.. /. , :Задача 1.Скорость катера в стоячей воде равна а км/ч, скорость
течения реки равна b км/ч. Во сколько раз скорость движения катера
по течению реки больше скорости движения катера против течения?А Скорость движения катера по течению реки равна (а + Ь) км/ч,
скорость движения против течения равна (а — Ь) км/ч. Поэтому ско-а + b -рость движения по течению в	раз больше скорости движенияа-Ьпротив течения. ▲-	о + ЬЧислитель этой дроби а + Ь, а ее знаменатель а-Ь.Выражение	называют алгебраической дробью.а-ЬПриведем еще несколько примеров алгебраических дробей:а 2 a-b x(b + c)
b x + j с у (а-с)В алгебраической дроби числитель и знаменатель — алгебраичес¬
кие выражения.Если вместо букв, входящих в алгебраическую дробь, подста¬
вить некоторые числа, то после вычислений получится значениеэтой алгебраической дроби. Например, значение алгебраической дробип a. h	|Л I о	10 + 8 18 п-д - при а = 10, Ь — 8 равно ——- = — = У.
а-Ь	1U — в 2В алгебраической дроби вместо а и b можно подставитьлюбые неравные друг другу числа (а * Ь), так как при а = b знаме¬
натель дроби обратится в нуль, но на нуль делить нельзя.9	— Алгебра, 7 класс
Условимся в дальнейшем всегда считать, что буквы, входящие в
алгебраическую дробь, могут принимать лишь допустимые значения,
т. е. такие значения, при которых знаменатель этой дроби не равен
нулю.Например, для дроби —	-v допустимыми являются все значе-а\а- 1)ния а, кроме а = 0 и а — 1.Основное свойство дроби можно записать так:атаЬmb ’где Ьф О, гпфО.Это свойство означает, что при умножении или делении числи¬
теля и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое выраже¬
ние получается равная ей дробь, например:3	3-5 15 а + Ь (а + Ь)-с-	=	= —; 	= -Ь	сф 0.4	4-5 20 Ъ ЬсИспользуя основное свойство дроби, можно сокращать алгеб¬
раическую дробь на общий множитель, входящий одновременно в
числитель и знаменатель дроби, например:a(b + c) Ь + с (a + b)c с
a(b-c) b -с’ (a + b)d dПриведем примеры дробей, д ля упрощения которых нужно сна¬
чала выделить общий множитель числителя и знаменателя.Задача 2. Сократить дробь: 1) -7-77-;	2) ——•4	ab	т + тпА 1) Одночлены 12а2Ь и 4аЬ2 имеют общий множитель 4ab.
Разделив числитель и знаменатель дроби на 4ab, получим:12a2b 4аЬ ■ 3а За
Aab2 4аЬ ■ b b2)	Многочлены т2 - п2 и т2 + тп имеют общий множитель т + п,
так как т2 — п2 = (т+ п) (т — п), т2+ тп = т (т+ п).130
Разделим числитель и знаменатель дроби на т + п\т2 - п _(т + п) (т - п) т - п
т1 + тп т(т + я)	т ^Ш! Итак, для сокращения дроби нужно числитель и знаменатель раз-
I делить на их общий множитель.Подчеркнем, что если поменять знак числителя или знаменателя
дроби на противоположный, получится дробь, противоположная пер¬
воначальной:,,	-ЗЗ-о а аНапример, — = — ;	=	=	.7 7 1-д 1-а а-13а(у - х)Задача 3. Упростить дробь j, -—г:а (х-у)За(у-х) -Зо (х-у) -3 3а2(х-у) а2(х-у)аУпражнения452.	Запишите алгебраическую дробь, числитель которой равен про¬
изведению чисел х и у, а знаменатель — их сумме.453.	Запишите алгебраическую дробь, числитель которой равен раз¬
ности чисел pviq,a знаменатель — их произведению.454.	Запишите алгебраическую дробь, числитель которой равен раз¬
ности квадратов чисел а и Ь, а знаменатель — квадрату разности
этих чисел.455.	Запишите алгебраическую дробь, числитель которой равен сумме
кубов чисел с и d, а знаменатель — удвоенному произведению
этих чисел.
456. Найдите числовое значение алгебраической дроби:1)	- при а = 2-;	4) , при а = 16,6 =а	5	а + 2Ь2)	—у при 6 = 1,5;	5) 5а + Ь при а = 2,Ь = 8;Ь~ 1	а ~5Ьа2 + I	_	, -lab3)		, прия = -3;	6) —5—г При а = 3, b = -4.2а	Ж-аttl457.	Найдите: 1) и из формулы S=vt; 2) V из формулы р = — ;3)	R из формулы Сy^inR ; 4) а из формулы Р=2 (а + Ь).458.	Сколько грузовых машин (;с) понадобится для перевозки п
мешков картофеля по р кг картофеля в каждом, если на
каждую грузовую машину можно погрузить t т картофеля?
Найдите х при п = 90, р =50, t= 1,5.459.	Производительность машины с м линолеума в час. За сколько
дней можно изготовить а м линолеума, если машина работает
ежедневно в течение и часов? Найдите t при с = 47, а = 11280 и
п= 16, если / обозначает число дней работы машины.460.	Проверьте, что две дроби равны:6	18	2 2а	.. /я-я„/я2-«2.1)	— и ;	3) -и —;	5) 	и"	гг>’ 7 21	3 3а	т + п (т + п)ЛЧ -3 и 27 • ^ 2а 2°2Ь . £4 а + ЪЬ (a + 3b)c2)	— И — ,	4) и —j-;	6) 	И V -J-5	-45	lb lab2	с	с2Сократите дробь (461—476):_ 48	П1	28
7 —ЩЩПГ	Г	1	’111 -		 V - • . ' — —.	■ '464. I)2)465.	1)2)466.	1)
2)467. 1)
2)6 ab
~Aa'14 с49c’4 (m -f «)5{m + n) ’la (a - b)
5 (a - b)(,a-bf #a-bm + n
(.m + и)4Зх + 3 у
6c ’
8a
4m — 4 n468.1) ~r~7;a + a62)2 2 ’
p q-pq470. 1)2)a + b
a — b*)-■
ab3 ’4)Зя26V”2 b(m-n)8b (m - n) (m - n) ’4) 3g (д +9a (a + b)(a - b) ’469. 1) ^ 30ху •
30x2 -12xya1 -b22)m-rt
(n-m)2(2x-3 yf
3y-2x2a + 2b ■
4o - 46 ’
12o - 3 .
6o + 9 ’7a + 146,
3a + 6b2 m2 - mn
2 mn-n236 a2 + 24aA
24л2 + 36a/>4c2 - 9x23)4)3)4)3)4)5)6)5)6)5)6)5)6)Ua%\
I8a3b3 ’25a3bc2
\25ac32(a - b)
b- a5(x-y)
I5(y-x)'3m (l -x)2
9w2 (x-lf8a2 b (a-b)
4a3b (b-a)2ac-be
ac + bc ’
a + ab5)6)3)/я3 - 3/и2лa-ab3a-6b .12b-6a ’x2 - 2xf
2y2 -xja3 - 2a2b3m n - 3m4)2аъЬ7 - a4b3)4)2c - 3x25-x2
5-x3a (a-b)
^ 6a2 (b — a)5a(c2 -4)6^ Юа2 (2-c) '133
471. 1)2)472. 1)2)473. 1)2)474. 1)8-3 с
9с2-64 ’
100-4962 .
lb +10 ’d2 -6(/ + 9 .
d-Ъ ’b + 7 .
b2 +146 + 49 ’4/-4j + l .
4/-1 ’16a2-1 .
16a2 -8a + l1-a13)	« *2-c22)(a-lY(m-nfn-m9c2 -164)3)4)3)4)3)4)25	b*n-c*n’5аъЬ + 5аЬ25У-У25)6)25-/’
9-6a + a2
~ 3-a ’
l-2/il-4p + 4p3a2 -6ab + 3b2
6a2-6b2 ’50m2 +100 mn + 50n2
15ли2 -15n2475‘ 1} 16-24c + 9c2 ’4y - 4y +1 .
2-4y ’5-2x
4x2 -20x + 25
4) 36c~c3 —
с3 + 12c2 + 36c2)I6x -24xy + 9y
9y2-\6x2 ’5)25b-49b349b3 - 70b +2563)4x2 - 4xy + y2
y2 - 4x2 ’6)4b2 - 126c + 9c
-2ab + 2>ac2a5-128a23a3 +ab-6a b-2b476’ !) (2a2 + 8a+ 32) (a4-4a3)’ 3> 9a5-a64-18a46 + 265 J2a4 +3a3 +2a + 3
(a2 - a + l) (2a+ 3)4)Ъас2 +ЪЪс2 -ЪаЬ2 - W
бас2 + 6be2 - 6ab2 - 663134
§ 25 f ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ
tНапомним, что при сложении обыкновенных дробей сначала при¬
водят дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем дробей яв¬
ляется наименьшее общее кратное их знаменателей.Так, для дробей	общим знаменателем является число100 — наименьшее общее кратное чисел 4, 25, 10.^Г)| Такое же преобразование приходится выполнять при сложении и
вычитании алгебраических дробей, его также называют приве¬
дением дробей к общему знаменателю.Задача 1. Привести алгебраические дроби -Д_, —% и —За b мЬ 4аск общему знаменателю.А Общий знаменатель данных дробей должен делиться наце¬
ло на знаменатель каждой из дробей. Значит, он должен делиться
на 3, 6 и 4, то есть на 12, на а2 и а, то есть на а2, на Ъ и Ь2, то
есть на Ь2, и, наконец, на с. Таким образом, в качестве общего
знаменателя можно взять произведение 12а2Ь2с.Разделив этот общий знаменатель на знаменатель первой дро¬
би, найдем одночлен, на который надо умножить числитель и
знаменатель первой дроби. Этот одночлен называется дополнитель¬
ным множителем данной дроби. Для первой дроби такой одночлен
равен 4Ьс. Таким же образом найдем дополнительные множители
второй и третьей дробей: 2ас и ЗаЬ2. Умножив числитель и знаме¬
натель каждой дроби на 46с, 2ас и ЪаЬ2 соответственно, приведем
их к общему знаменателю 12а2Ь2с:т _ Ambc п _ 2пас р _ 3pab2
За2Ь 12а2Ь2с 6аЬ2 12а2Ь2с 4 ас 12а2Ь2сЗадача 2. Привести к общему знаменателю дроби:
а .	b	сх2 -у2 2х2-4ху + 2у2 Зх2 + бху + Зу2135
Д Разложим на множители знаменатели дробей:
х2-у2=(х-у) (х + у);2х2 - 4ху + 2у2 = 2 (х2 - 2ху + у2) = 2 (х - у )2;Зх2 + бху + 3у2 = 3 (х2 + 2ху + у2) = 3 (х + у)2.Общий знаменатель должен делиться на знаменатель каждой из
данных дробей.Так как он должен делиться на знаменатель первой дроби, то он
должен содержать произведение (х - у) (х + у). Далее, общий зна¬
менатель должен делиться на знаменатель второй дроби, и поэтому
он должен содержать множитель 2 (х - у)2. Следовательно, к зна¬
менателю первой дроби нужно дописать множитель 2 (х —у), т. е. об¬
щий знаменатель должен содержать произведение 2 (х - у)2(х + у).Для того чтобы общий знаменатель делился на знаменатель тре¬
тьей дроби 3 (х + у)2, нужно к полученному произведению дописать
множитель 3 (х + у). Следовательно, общий знаменатель трех дробейравен б(х - у)2(х + у)2.Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их чис¬
лители и знаменатели умножить на дополнительные множители,
которые находятся делением общего знаменателя на знаменатель
каждой из дробей; для данных дробей они соответственно равныб(х-у)(х + .у); 3(х + yf; 2(х-у)2.Следовательно, данные дроби можно записать так:а _ 6а (х- у) (х + у)	Ь	_ ч3 Ь(х + у)2х2~У2 6 (х-у)2 (х+у)2 ’ 2х2 -4ху + 2у2 6 (х-у)2 (х + у)2 ’с	 2 с (*-у)23х2+6лу + 3у2 6 (х-у)2 (х + у)2
Таким образом, для приведения алгебраических дробей к общему
знаменателю нужно:Т1)	найти общий знаменатель данных дробей;2)	для каждой дроби найти дополнительный множитель;3)	умножить числитель каждой дроби на ее дополнительный мно¬
житель;4)	записать каждую дробь с найденным числителем и общим зна¬
менателем.УпражненияПриведите дроби к общему знаменателю (477—484):477' » I и 7- 3> 7 и Г*’’12	а а478■ « bisи ib’Зх 6 4у ш
4у' ху И Зх ’' Л2479. 1) а и —;а2) 3Ь и —;2	Ь1 1 и-LjJ5)X— иXз?6)8— И
155
12 '3)77й8а3 54)а— И
2хb4х3 '3)а2 ис2аЬ ’4)bЗа ’ТьиаЬ-3)2 а
¥’■ 5 Л И7314*°- 1) i7• 6М и W”	F’T5?* 20.V1 a2 +ft2 3-а .	4ч —1—, -1L и - 4, е 1х 5х3	J		 И	481-1>7^и7’	,3) и-i)2а	Ьа2.4 '6 2 .	4^ —		г и137
482.	I) 	 и	;x-y	х + уla	6 b2)		 и 	3X-y	3x+y3	b	4483.	1) — и2)*-2 />2 - 4
la	ax-9 x + 35jc	33)			 и 	;2x - 2 4x - 4Зх	x4)		 и 	.4x + 4 у 8x + 8y-.1 2a	a2^ ’ 1 И 'i ^
1 - a 1 + a	a6x Ixy	34)		, —- Иx-y X + y X2-y2484. 1)2m + 2n 8m-8n 6m2-6n22)3)2c3a	lbИ5b-5c’ 35b2-35c2 14Z> + 14c
1 1 1Иa2 - 462 ’ 3a2 + 6ab 2ab - a24)4x4x - 4 1-x2 3x2 + 3x'ft/9 Я Гусеница днем взбиралась на дерево на 2 м вверх, а ночью
опускалась на 1 м вниз по стволу. На 9 вечер она оказалась
на верхушке дерева. Сколько метров высота дерева?§26 / СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙСложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковы¬
ми знаменателями выполняются по тем же правилам, что и сложе¬
ние и вычитание обыкновенных дробей:а b_а+Ь
т т та Ь _а-Ь
т т т138
г,	a-b 2а ~ь a-2bЗадача 1. Сложитьдроби	-,	 и 	а + о а + h а + Ьa-b 2а -b a-2b а - b + 2а - b + а -2Ь Аа-АЬ 4 (а-Ь)А 		 н	+			——-—-— 		= ' /а + b а + b а + b	а + b	а + Ь а + Ьа1 Ь2Задача 2. Найти разность дробей	иа+Ь а+Ь.2аb2 а2-Ь2 {а + ь) {а~ь)Л	= —т-= -—	L = a-b. ▲а + Ь а + Ь а+Ь	а + ьДля сложения и вычитания алгебраических дробей с разными зна¬
менателями нужно привести эти дроби к общему знаменателю и
воспользоваться правилом сложения или вычитания дробей с оди¬
наковыми знаменателями.1Задача 3. Сложитьдроби ~jаъ ' 2а2Ь ЪаЬ2 'А Обшим знаменателем данных дробей является произведение
>aW. Следовательно,1 1	1 6 Ь2 ЪаЬ 2 а2 2а1 +ЪаЬ + 6Ь2. +	+	 =	=т- +	__ +		 				. да3 2 а2Ь ЪаЬ2 6а3Ь2 6агЬ2 6 аъЬ2	6 агЬ2асЗадача 4. Найти разность дробей гтг и 7ПТ •ЗЬ с 15аЬа с 5а2 с2 5а2 - с23 Ь2с 15 ab2 15 ab2c 15 ab2c 15 ab2c
1	3Задача 5. Сложить дроби —;— и —;—-X — X X - 1А Разложим многочлены, стоящие в знаменателях дробей, на
гножители: х2 -х = х(х-\),х2 - \ =(х-1) (лг + 1).
Общим знаменателем данных дробей является произведение
с(х - 1)(лг +1). Приведя дроби к общему знаменателю, найдем:139
1 I 3 _ 1 , 	3	 -у +1 _ Зх*2-х дг2 - 1 х(х-\) ' (х-1) (х + 1)“ jc(x2-l)+x{jt2-l)“х +1 + 3.x 4х + 1
= х(х2-]) = х(х2-\)' АТаким образом, для сложения или вычитания алгебраических дро¬
бей с разными знаменателями нужно:Гм '<) найти общий знаменатель дробей;1	* I 2) привести дроби к общему зчзменатегю,3)	сложить или вычесть полученные дроби:4)	упростить результат есл/ = '_з -гЗадача 6. Вычислить значение выражения1	4	4~2 " 7~1 7"з 7^ + ~ 7^" при а = 0,5.
а + 4а н- 4 a + 4а + 4с а +2аА Данное выражение можно преобразовать так:1	4	4 	 1	4 [ 4(а + 2)2 а2 (а2 + 4а+ 4) а2 (а-*-2) (в + 2) а2 (а+ 2) а2 (а+ 2)_ а2-4 + 4 (a + 2) ^ fl2+4д + 4 _ 1а2(а + 2)2 а2 (а+ 2) а21	1100 .Следовательно, искомое значение равно —т =	=— = 4. А0,5 0,25 25УпражненияНайдите сумму (разность) дробей (485—491):а с485. 1) ~ + ~Т;	3) —- +q q	а + b а + b8а За	х у2) -г—4)	b Ь	п+а п+а140
4861)с + d ^2с - d
2а 2 а3)а + Ь
2 са-Ь~27~’5)(1 + 6)2
5 d2)а + 2Ь 5 а-2Ь
3с2 Зс2; 4) -10а-6За- b _
~а*~’6)fiifLa2b487.1)ЬЬ3)з;1- +а5)с d .
15а+Т’2)4 57 28’4» г25b’6)а b
4 Ш '488.1)т 1
2 п ’2) -+
аb .
5 ’3) 5-1 .
а ’489.1)52 33)d-с с252)^С+4-4;с4) —-п-*+л;п~4) 4 + 7.О490.	1) —;	3) •	5ч —+—■ob be	Ьс bd	т2 тп ’2)	4, UJL-,	6) А_2.тп тк	ас cd	’ тп п491.	1) +	3)J	5)А+А + ^.4aJb 6ab1 ’	Зу3 6х2у 12ху2 ’	Ь2 с2 а22) if.	ZfL. 4)—	— + 11	•	6)А+А+А.9А4 6а3Ь ’	7^2>' 4У 14*У ’	с c2d cd2Найдите сумму или разность алгебраических дробей (492—503):2х X	2а2	5а2492' 3 (а-Ь)+~^ь’	V Ц^Г) + 4(а + 1)’1х 5х	4 у	5х2> 2(x-l) Tip	4> 5(у-3)	2 (у-3)
493.	1
2494.	1495.	1
2496.	1
2497.	15	3■ + •2х -2 4х-4
7	356 + 5 106 + 10
3 5 а
■ +-а +а ab + b5 62 аах + ау bx + by
3 5х + у X
6 10а а-1а 1
■ + ■1 -Г 1 + 6■ + ■х - 9 х + 3
2х 5х-2х-4 16-х
12я-5 6
- + ■•2 ’п- 49 7 -п498.	1499.	13	2 а■ + •2 ’а + 2 (я+ 2)2у + 8 7У -4у+ 4 у-2
4-5х	21 + 6х + 9х2 Зх +1
7	5(й-6)2Ь-а1423)4)2 аЗа + ЗЬ Ьа + 6Ь
Зх	х4х + 4 у 8х +3)	У-*4)62 + ba ab + a2
у -6 у-a2 2
a -ab ab- 6113) x (x - З) x (x + З) ’
4	74)3)4)3)4)2)4)5)6)5 (a - б) 8 (д + б)
5 + P2 P .p - 36 6 + /?
2x 5x-2x - 4 x - 16c2 - 8 16c — 2c32c + 3 9 - 4c2 ’21/ + 1
1-9/a4У3y-l
4+ -3a + 1
7(/л-л) Я-/И2o	1025 - 10a + a2 a2 -25x2 - 6x + 9 (x + 3)2 '
500.	1) а +	;а-i2)b-2501.	1) -1— + —	1662)502. 1)а + b a-b a2 -b26x3 4~ 2 ’
x -y x-y x+ya + b a	ba a-b a1 - ab'56-1 b+ 2 b +1l)	3b2 - 3 2b + 2 b-l’6a 3a+ 1 За - 1
' 9a2 -1 3-9a + ~6a + 2 ’1a +1503.	1) —2)a3 - I a2 + a + 1 ’a2 +4	1__.a3 + 8 a + 2’3)	c + 1—L--
c-13>^+5^T-taz -94a2 - 9 2a + 3 3 - 2a '4)	1	4	m-n_'> m m~2n 4n2-m2’v35)-x + y x2-y2’6) a-2 +4a a + b2 +a a2 + 2aa + b1^ a2 - ab + b2 a+b
m2 - 3m + 9 14)m3 - 27 m- 3 '504.	Упростите выражение и найдите его числовое значение:
a +11)2)при о = 2;a-1 a + a +1Зс2 -с + 3 с-12	Л	т	г	 +	 при С = 1 - .с-1 с+с+1 1-с	2ХА@ Q I Сейчас на часах 10.00. Какое время покажут часы через^ ~ I 121036842 часа?143
§27 / УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ
/Умножение и деление алгебраических дробей выполняются по тем
же правилам, что и умножение и деление обыкновенных дробей:1	4x2v3 КЗ/2Задача 1. Найти произведение дробей	, —— и —г .2	ху 5 z Зх1	4х2/ Юг2 _ 1 ■ 4х2у3 Юг2 _ 4у2г
^ 2ху 5z Зх3 2ху • 5г • Зх3 Зх2 ^Задача 2. Умножить дроби-?—1— и - +аЛ~.a +ab (а-Ь)2а-Ь Ь2 +ab _ (а-Ь) Ь(а + Ь) _ Ь
a2+ab (а-Ь)2 а(а + Ь)(а-Ь)2 а (а-Ь)т + п т2-п23	а д а ч а 3. Выполнить деление дробей п , т и ——-.9т п 21 тпт + п _ т2 -п2 (т + п) - 27тп2	(т + п) 3 _ 39/и2п3 27тп2 9/и2и3 (т2 -п2 j тп(т-п)(т + п) тп(т-п)При возведении алгебраической дроби в степень используется
формула°Т _ °пь) ~¥ша с ad
b d beНапример,
УпражненияВыполните умножение дробей (505—506):505.	1)506.	1)85 7224 77а'Ь с12)(ш 15с .
ЪЬ 2d
4т Ш
9 п ' 16 £/3) 6^5 ’ 4> i'39'
2 ак тъпъВыполните деление дробей (507—510):5> Ть Ъс'<
6) 14„> *507. 1)35 ’37’3)а
8 'I3’5)2.6.
а ' 7 ’2)11
12 '25’4)6 .m .Тз ’6)9 . Ь
35 ' 5 ‘508.1)8178 .
' 17 ’3)За7/>а
' />’5)2a t а2
36 ' ^ ’2)а
1 ‘а _
~Ь ’4)с2J5</ ’6)5/7? . Ют3
/72 П509.1)17
12 ‘34 .
39 ’3)413: 5;5).2:1;92)54 .
25 ‘81 .
75 ’4)а~Ь 'с;6)bа: -.
с510.1)аЧса4: Т’53)4а5/;12с .
' 25d ’5)6а ,, чи:(5с);2)тпТт2п2
: А3 ;4)8/779/716 к .
' 27с/ ’6)11 I 4d'5?'Выполните действия (511-517):511.1)(5а17Т)V I4A2 .
J ' 25о3 ’3)2а25/>212а2 .
: 15 Ь1 ’5)2)За'16А3
21а4 ’2/;К) — Алгебра, 7 класс4)За3 , 9
7/; ' 2166)145
512.1)8 агЬ
~9c~ '36c5 .
5a'b ’3)16 x2y
1 z. 20лу3 . _ 18m3n5 , 2■ не • 5) 7* ■ <9" 12)пл .9 c5y356V .18cV ’4)46 d\
15a, 6) 24k1 ■. Um\k'
11 p3n513.1)Зх2у
4 a2b4a2b;3)2)5 a2b
7 xy2\4xy2;4)27b ' ^514.1)7-x
a + ba-b
7-x ’3)c + d
c-dсc 5) a2-ab b.
~d b a2)x-y
2 a4 b*-y’4)a — b
2b 'a —
6 bb c\ ab+b2 b22 • 6> —¥~'Ta-515.1)a +14 b24)5m \5m36a2-1 ’m2 -n2 m-n2)1 -aЬъ5)3 (x + y) x2 + y23 b2\-a2 ’4 y2(x2+y2) x2-y2’3)a2 -b2a + b6)5 (a-b) (a~bf9b23b ’3 (a2+b2) a2 + b2516.1)a2 -b2За24)in2-3m2 6m-6n3a + 3b56-5a ’n2 + np n +p2)5x2-5y2 3x‘)5)a2 + b2 x2 — y2x2 + у2 10 y-10* ’x3 +x2y a4 -b43)a2-25a + 56)a2+b2 . aAb-bba2 -3 a‘ 9-я2 ’a2 -ab a2b-ab2517.1)a -5 (a +3)2.3)a2 -49 a + b _a2 + 6a + 9 a2 -■25 ’a2+2ab + b2 a-72)b2-ib + \6 (b--4f4)a2 - 2a + 1 a -11Л6b + 3 ' b2-92a + 1 4a2 -1146
1§ 28 f совшсгиь1ь:;п:Пстйн1щ/ АПТБРАИЧЕСКНМН июнямиРассмотрим примеры совместного нынашсния действии над ал¬
гебраическими дробями.•j	> \	i </ -И I \ 2а + 2Задача 1. > простить выражение h v ~ \_ 2а' —2) а + 2д Выполним вычитание в скобках:« +1 1 _ а +1	1	[а * 1)' I2а-2 1а2-2 2(а-1) 2 (<г - l) 2 (<г lj(« + I - l) (а + 1 + l) i/^/ + 2)_ 2(<r-i) ~ ’(u + i) :i ) ’Найдем произведение:а (я+ 2) 2й + 2 _ «(rt + 2)2(« + l) _ a
2(o + l)(fl-l) a + 2 2 (u + l) (tf-l) (« + 2) a 1 ^f a + b a-b\ ( a + b _ ,^Задача 2. Выполнить действия: —		г • г 1 •\а- b а + b ) Vа - п )Выполним действие в первой скобке:a + b a-b (a + b)~-{a-b)~ (о + b + a - b) [а + b-а + />) _
a-b a + b (a-b)(a + b)	ч'-Ь'2а-2Ь 4аЬ~ 5 ГГ ~ г IJ '
а~ -Ь а-ЬВыполним действие во второй скобке:а+Ь ^_а+Ь-а+Ь_ 2bа-Ь	а-Ь а-ЬВыполним деление:4ab 2Ь _ 4ab{a - Ь) = 2а
аГГ1?:а-Ь p~^j2b " + * ‘ А147
Задача 3. Первая труба наполняет бассейн за а часов, а вторая
за b часов. За сколько времени наполнят бассейн обе трубы, открытые
одновременно?Д Пусть объем бассейна равен V. За один час первая труба напол-унит часть бассейна, равную — , вторая — часть бассейна, равнуюV	V V-j- , а обе трубы за один час наполнят часть бассейна, равную — + -д .Пусть t — искомое время. За t часов обе трубы должны наполнить
бассейн, то есть	, .{7*тУ,-г-Разделив обе части уравнения на V, получимСумма дробей, стоящих в скобках, равна а +—. Поэто-и	и	аоа + Ь . ,	abму —— t = 1, откуда / =	г • Аab	а + ЬУпражненияВыполните указанные действия (518—523):518-!> (!-!)■ г- 3>Mf4 5)1:К
*>т(ИЗ: «>£(Н): 6)*:К=	з )ГМ-ФП1а)	\ а)'	' \а b ) \Ь а«Н)В>	<>520- » 0-frf)	3>2)	+	4) ^ + Са-Ь)\ а + Ь)’	' ^ с c + clj 18(2 c + d)148
521. 1)
2)2m+ \ 2m-1) 4т
2т -1 2т +1J ' ТОт-5 ’Z + 61г + 23)	2 'У U2+2y у+ 2Зг + 9 Z + 3J' 21z '522.	1)	[“г-
2)523.	1)2)3)4)a +b \a-b a + bJ’ab-b24)3)т-5c + d 2 с
с c-dт -25 т-5j
d-са2 +Ь2{а + Ь( а +1, 6{2а-22а2 -I( ь2~.a2 + ab а + Ьа2-с2а2 -Ь2а + Ьас + с2с2 - аса-Ь4) f— + —С2 + </2c + d
с2 +d2а + 3 "j 4а2 -4а2-Ь2
4 abа + -асс —а + с524.	Масса куска льда объемом Vм3равна р кг. Чему равна масса
куска объемом Vt м3?525.	Автомобиль, двигаясь со скоростью v км/ч, прошел s км. Ка¬
кой путь пройдет за то же время мотоцикл, если его скорость
равна и км/ч?526.	Собственная скорость моторной лодки v км/ч, а скорость тече¬
ния реки v, км/ч. Двигаясь по течению, лодка прошла s км. Ка¬
кое расстояние пройдет за это же время моторная лодка при
движении против течения?527.	(Старинная задана). Десять изделий одного вида стоят один ди¬
нар и пятнадцать изделий другого вида также стоят один динар.
Сколько изделий каждого вида можно купить на один динар,если покупать одинаковое количество тех и других изделий?149
Проверьте себя!1.	Найти допустимые значения букв, входящих в дробь-а.	3 аb' a-V 672'2.	Выполните указанные действия:1) 4o + l=i£l;	3)'	а	} ЪЬ а-2’a + b о-b.	дч а1 -Ь2 а + Ь• a-b a + b’	ь2 ’ b1	+ 2х х2+Ъх 103.	Упростите выражение 	^	—- и найдите егочисловое значение при х = 2 -.гУПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V528.	Приведите дроби к общему знаменателю:5	а	а- 3	1 .	3 х +1	х + 2^ а"-21 а2 +2>а + 9 а-3	^ х + 2 х3+8 х1 -2х + 4Найдите сумму (разность) дробей (529—533):а + 3 7 + 0 0-3 -	тч а~2 0 + 5 а-9.529- —+1Г+“Г’	3)Ь-1 56-2 36-1	b 36 + 1 26-1I) 	+	+	;	V —	. •4 3 8р +2q 5q - 2р ,	За 5 (а - 10)2) Зр-q q — Зр '	^ 4 5-26' 26-5+ •
531. 1)2)а - lab + b . 8я - 86
a2 -ab + b2 о3 + й3a2+lab + b2 аъ-Ьъa2 +ab + b2 la + lb’3)4)n2 + nm + m2n2 -m2 n2 + 2nm + m2 ’am ’+lmn+n2
p3+c3/7 + С
2m+ 2n532. 1)x - 4 x2 - 4 8x +12)3)4)x-6x2 + 4x + 4x3-9xx2 + 6x + 9 (x2+2)(x-2) (x-6) (x + 2) ’am2 - an2 . д/я2 + 2д/яя + дя2
m2 +lmn + n2	Зт + ЪпаЬ-4Ь-2а + % . 2д - 8tr дй + 4Ь
2a + 8-ab-4b ab + 4b-2a-82)1 + д -a2 +3
a +1-a2)',3)4)x+y x-yx-y	x+y(2-a	a+2\2+a	a-2x-y|x+y
x+y x-y2+a a-2\
2-a a+2)o/W 40\ Суммэ цифр числа n равна 2006. Можно ли число пI	представить в виде произведения двух равных множите¬
лей?ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ Vты» MR ■■ •<.?	яр*--	.Ш ОИК ЯЯК' -Дг52	i£S3£ №-■' v*->0 'i..V W-'i N27a2 -36ab + i2b21. Упростите дробь:3(3д - 26) _3a + 2b
За-2b _3a + 2b’9a2 -4b2uB)C)D)39-36ab3a2-36ab + 3b2
a2 -b2E)Зд + 26
За-2b151
7a\ab2-9a)2. Упростите дробь:АЧ 7а(аЬ2-9а)	7{аЬ2-9а). ,*	3(21а-7вА)’ * 3(21-7*)’ I Е) -а(6 + 1)(Г~\ -а(Ь + 3)	а(6-3)\в) - -;	D) ’■3. Упростите дробь:3	38 а3 +12 а2 + 6а + 14	а2 + 4а +1
24а4 -15А) 2а-1;	С)17- 14а4	2а -1	2 а-16 а3 +1В)	D) 		—2а+ 1	-14а +5^Е^2а+ 1.4. Выполните действия:4 5 106- + -а + Ь а-b а2 -Ь2ал JL-	-=?-•	Ъ(а-Ь)А) 5	С/ , ’	Lа-6	.	а + Ь	а + Ь\ j а + Ь	a-bа2+9 15.	Выполните действия: ~ ~ •а +27 а + 31	а	За+ 18А) 7Т*	С) 77?	Е) а3+27'3	.	Заvy, „	9а2 -1662 6а26.	Перемножьте дроби: , ■ — • , -п—.Ьа + бЬ \2Ь~ЭаА)	аН 0-tf; С)	D)Е) правильного ответа нет.1526 ,3a + 4b’••
Aa2 -20а6 + 2562 (2а -5b)2
7 Выполните деление:	——-	: ■ - 2'•	56 + 4 256-16А> 'Вгь' Ф 56"4; Е)В) hzii-	D) 56 + 4.;' 56-4(4a + 5b 4а-56^ (4а + 5Ь А8.	Выполните действия:	~ 4а + 56 J' - 56 J'8а . ~ ■ /CS 8а
А) ,£„2 -><,.2 ’ С) <1.’ '16а2 -25b1’	4а-5б’	4а+ 56В)	D)9.	Выполните действия:4а+ 56
Зх +1 1 ^ 3jc +1Зх-1 9х2 -1J Зх + 2ji	С) ~Х -; Е) правильного ответа нет.„ Зх-1	3i + lВ) 1х~'’	D) ЗГГТ-10.	Выполните действия:2	- За За + 2^1 (2 + За За-2- + -2	+За За-2J {2-За За + 2с) 4~;	е)D)12а12а	За + 2а2 +4Исторические задачи(D Задача Евклида (IIIв. до н. э.)Пусть a, b,c,d— положительные числа и а — наибольшее из них.Докажите, что при 7 = верно неравенство а + d > b + с .Ь U153
(2) Задача Эйлера. Проверьте правильность равенства:Q) а3 + Ь3 +~Ь(2а3 +Ь3)3а(а3 +2 Ь3)[ а3-Ь3а3-Ь3(3)	Задача Эйлера. Разложите на множители выражение 4а4 + 1.
Задача аль Караджи. Проверьте правильность следующих равенств:а1 -Ь2а-Ь+ (а-Ь)а~Ь--(а-Ь)Ь.Исторические сведенияФормулы сокращенного умножения и сведения об алгебраических дробях
встречаются в старинных трактатах по математике. Например, в трактате
"Аль-Фахри" аль-Караджи и трактате "Китаб аль-джебр валь-мукабала" еги¬
петского ученого Абу Камила (850—930) также говорится об алгебраических
дробях. Абу Камил был первым после аль-Хорезми, написавшим сочинение
по алгебре. В сочинении Абу Камила уделено внимание простым соотношениям
типа\Ь;а а~ a b а Ь а2 + Ь2■Ь = а, — = —,	=1,Ь ab Ь аЬ аabАлгебраическим дробям уделил внимание и И. Ньютон в своем сочиненииа"Общая арифметика”. Ньютон писал: "Дробь — есть результат деления а на Ь.аЬ-ЬЬ	b	L LLТочно так же величина	есть результат деления ab - ЬЬ на а + х.а + х154
УПРАЖНЕНИЯ
ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ 7 КЛАССА534.	Найдите значение числового выражения:1) 2—+ 5—+ 7— + — ;	2) 13--- + 1.А' 8 6 8 6’	^ 6 7 6 7*535.	Верно ли равенство:2	-- + 0,7 _	(4 ~ 7 - • 3,51) 	5	= ]_	2 il	1	= _10-7	4	4-	2,261 —1 + 0,45№д]|„д]в 0,0617.} \ 3,2 3,8 Д ’ 1,42/536.	Из двух чисел одно равно а, а второе на 7 больше первого. Запи¬
шите удвоенное произведение этих чисел. Вычислите значение
этого произведения при а = -■.537.	Сумма двух чисел равна 30. Одно из чисел а. Запишите удвоен¬
ное произведение этих чисел. Вычислите значение этого произ¬
ведения при а = —2.538.	Составьте формулу, показывающую, сколько единиц содер¬
жится в натуральном числе, состоящем из а сотен, b десятков
и с единиц. Сколько единиц в числе, написанном теми же
цифрами, но в обратном порядке?539.	Сколько граммов содержат а килограммов и с граммов? Ответ
запишите формулой, обозначив число граммов буквой х.540.	Найдите числовое значение алгебраического выражения:2	a + b 11)		 при я = — ,Ь = -3;' Ь-2а	22)	-a3-27ab2 при а = 2, b = --;
8	3155
3) \c^b-\-ab2 приа = 4,6 = 1;4)3	2abc-4a + 3b	1,3 4	-	 при а = --,Ь = --,с = —-.a+b-c	3 4 3541.	Найдите произведение одночленов:1)	-\la2bc2d •5ac3di' ■ (~3b3cd2};2)	WaV ■[-labj.[±ae3)	Sa2b'(-4ab3)-(-7a3b2)]4)	a*b2c^- — abc3.542.	Возведите одночлен в степень:1)	(-2я£>2)3;	2) (-0,8яс2)2543.	Упростите выражение:1)	2аг +2ab + 3b2 -а2 -2Ь2;3)-abc13)	ia2-b2+~a2--b2;3	3 72)	la2 +2Ь2 -(ва2 +b2)]	4) ^a2b-23m-^a7bm.544.	Найдите числовое значение выражения:. 1
5а -2ab + 6a-7ab-6a -6а при а = 5,Ь =—.9545.	Умножьте многочлен на одночлен:1)	(а2-аЬ + Ь2)ЗаЬ3;	2) (ба2-4ab2 + l)~ab.546.	Найдите произведение многочленов:1)	(a2+3ab + b2) (7а-5Ь);	3) i^a2b-~ab2^j (15а-30Ь)\2) (а + ЗЬ -4с) (а - ЗЬ -4с);4)	I\а2+4а + \ I (Зя-1).156
Решите уравнение ( 547—551):547.	1) 4(2х — 1) + 3(1 — 2х) — 7;2)	4 (х + 2) — 2 (Зх — 2) = 14х - 5 (д: + 3).548.	1)	=4	2 62) ^(^ ~ 0 _ 4 _ * + 25	2 '549. 1) 7-f = 3+^;___	X X X550. 1) - + - + - = 12;2 3 69) 2*~ 1 х + 1 _ 3(l-x)
5 5 " 10551.552.	В трех коробках находится 119 карандашей. В первой коробке на4	карандаша больше, чем во второй, и на 3 карандаша меньше,
чем в третьей. Сколько карандашей в каждой коробке?553.	Отцу 30 лет, а сыну 4 года. Через сколько лет отец будет втрое
старше сына?554.	Сыну 6 лет, а отец старше его в 6 раз. Через сколько лет сын
будет моложе отца в 4 раза?555.	Два велосипедиста выехали одновременно из двух сел навстре¬
чу друг другу. Первый двигался со скоростью 15 км/ч, а вто¬
рой — 12 км/ч. Через какое время они встретятся, если расстоя¬
ние между селами равно 40,5 км?556.	Два велосипедиста выехали одновременно из двух сел в одном
направлении. Первым ехал второй велосипедист, следом за
ним — первый. Скорость первого велосипедиста 15 км/ч, вто¬
рого — 12 км/ч. Через какое время первый велосипедист до¬
гонит второго, если расстояние между селами 4,5 км?157
Упростите выражение: (557—559).557.	1) (а + 1) (я-1) (а2+1);	2)558.	1) (я + 3)2 + (а-3)2;	2)559.	1) (1-о) (1 + о + а2) + а3;	2)
Разложите на множители (560—561).(ИНЬ5-(4a + bf -(4a-b'f .560.	1) я4 +6я3 +9я2;561.	1) (а + 1)2-(4-За)2;2)	(U-\)2 ~(2Ь + Ъ)2;562.	Сократите дробь:о2	-161)-	8а +16Выполните действия (563—570):
i\ Ь + 3 7 + 6 6 — 3
5И- 0 —+—+—;5И- *>а-6 о - с
ab асх2 -у2 \2хгу
бху х + у565.	1)566.	1)567. 1) Ьггг -а + 1 ’568. 1) 1 + За +6	а_9о_ + _1__г	1	+ Зо + За - 1 Т 1 - 9о2(а + Ь а-ЬЛ . (а2 + Ь2 | а -6~2)	I а-Ь + а + Ь) ' I а2 - Ь2 а2+Ь2Ч1^с2 + с<| + с<>25-(2-Зо) .(2а + 6)2 -9 (я + 6)2;4	(a-2bf -25 (Зя-6)22.x+ 3о2+5о-4 2 а16-а2 8а + 2а2
4х2 12jck 9/
	+	+•	2х-3у Зу-2х 2х-3 у14л:3 21х2у 4ху2а2 +4а . 4а + 16
а2 - 16 а2 -4а1 - а2 1-6'1 + 61+-158
569. 1)
2)9	nr - 3п2 т - 4н4	тп 5па + 4Ь 6b , |2b 4Ь-а2т + п Sir - 3/и2ч	3W | ()/?га2 - 2ab + 4/>2 л
а2 - 4Ь2570. о2) 2х-ах+ах-а_1	1_а2 х2571.	Турист выехал на велосипеде из дома отдыха, расположенно¬
го на берегу реки Кок-су, и направился в соседний дом
отдыха, намереваясь доехать туда за некоторое время. Сначала
он за 1 час проехал 10,5 км. Если бы он и дальше ехал с такой
же скоростью, то он прибыл на место назначения на 1 час
позже. Поэтому он оставшийся путь проехал со скоростью
15 км/ч и прибыл на место назначения на полчаса раньше.
Найдите расстояние между домами отдыха.572.	Сейчас 5 часов. Через сколько времени минутная стрелка часов
"догонит" часовую?573.	Цифра десятков двухзначного числа в 4 раза больше цифры еди¬
ниц. Ученик должен был умножить число 507 на это двухзнач¬
ное число, но записал цифры двухзначного числа в обратном
порядке, поэтому полученное произведение оказалось меньше
правильного ответа на 27378. Найдите правильный ответ.574.	Вес сплава из меди и цинка равен 36 Н. При погружении в водуон теряет 4- Н своего веса, при этом медь теряет 11 - %, а цинк2	3 9
14- % своего веса. Определите вес меди и вес цинка в сплаве.575.	Масса сплава, состоящего из серебра и меди, равна 3,5 кг. Масса
серебра составляет 16у % массы меди. Найдите массу серебра в
сплаве.159
576.	Из города в село со скоростью 60 км/ч выехал мотоциклист.
Через полчаса из села в город со скоростью 50 км/ч выехал
второй мотоциклист. Через какое время второй мотоциклист
встретил первого, если расстояние от города до села 162 км?577.	Ахмад из села А в село Б ехал на велосипеде со скоростью 14
км/ч, а на обратном пути — со скоростью 10 км/ч. Найдите
расстояние между селами, если на обратный путь Ахмаду по¬
требовалось времени на 1 час больше?578.	Вертолет пролетел расстояние между двумя поселками при по¬
путном ветре за 1,5 ч, а при встречном ветре — за 2 ч. Каково
расстояние между поселками, если скорость ветра была равна10	км/ч?579.	Заводской цех должен был выполнить план по изготовлению
однотипных деталей за 10 дней. Но уже за день до срока он не
только выполнил задание, но и изготовил сверх плана 3 дета¬
ли, так как ежедневно изготовлял сверх плана по 2 детали.
Сколько деталей должен был изготовить заводской цех по плану?580.	Приведите дроби к общему знаменателю:5х Ъх + у	у-х1)2)3)4)5)6)х2-4’ х2+4х + 4 х2-4х + 43 а 4 а 5 Ь
	, 	 и2а -3 2а+ 3 4а2с-9с
4 Ь	2 а	1Ь2 - 2Ьс + с2JС —— И 	;Ь 4ас + 4аЬ11 14л:2-9 у2’4 х2у+ \2ху2+9уг ” Зу-2хс-Ьс + Ьи 18be +16с2 ’2 ЬсЬ2с + 4Ьс2 + 4с3 ’2х31И -г	=	г.у -х х у-ху х у+ ху +уВыполните указанные действия (581—585):
2)а2 -2а +1 а2 -1 2а-Ь
Ь-2 Ь2 -4 о + 1?з) f<£±»L1Yl_-1уч а +
.3TJ’, X	X4)	^х + у х2+2 ху + у2„2 ЛX + >' х2 - у2582.1)2)3)4)с — d с
c2+dc d2+cd)2 п	4 п2d2c’-cd2 c + dк + 2п к2+4пк + 4п2Ь2	Ь3Ь + х Ъ2 +хг + 2 Ьх2 q	4 q12 п	1- 4w2 2/7 -, 7 \Ь + х Ь1 - х1
г2 q + m 4q2+4mq + m2a-I а -1 3 а2 q +_ 1J V4 q2-m2 m~2q583.1) \ + а-— +а 2а 2^ ч т + п л
3) —	т + 2п;2) -т + 1т~ +т +1 1 - т2 Зт2 +2т + 4
- + ■4) т + п-2т -п т + п
5 2584 1) а + ^ (д + 1)J(<? 1).
а2 -1 а2(а + 2)Решите уравнение (585—586):сое 1\ 4х — 3 5 2х Зх 7	~585.1)	— — 6 - ,586.1)	(2х - 3) (х + 5) - (3 - х) (5 - 2х) = -30;2)	5(х -1)2 - 2(х + З)2 = 3(х + 2)2;11	— Алгебра, 7 класс(,а2 + ab)2 . {а + Ь)2
^ а2 - b2 (ab-b~)~2)161
587.588.589.590.591.162ишшшт3)	(х-3)(3 + х) + (12х-6):3 = (х-2)(х + 2)-7;4)	(х + 1)2-(х + 2)1 = (х + 3)2-(х + 5)2.Автомобиль прошел расстояние от города до села со скоростью
80 км/ч. Возвращаясь, он прошел 75% расстояния с прежней
скоростью, а оставшийся путь —со скоростью 60 км/ч. Поэтому
он затратил на обратный путь на 10 мин больше времени, чем
на путь от города до села. Найдите расстояние между городом и
селом.В соответствии с планом технического переоборудования заво¬
да за первый год себестоимость выпускаемого заводом изделия
уменьшится на 4 %, за второй год — на 25 %, за третий год —
на 2 % и за последующие два года — на 1 %. На сколько
процентов снизится себестоимость изделия, если этот план будет
реализован?За 5 дней работы трактористы засеяли 500 га. Во второй день они
засеяли на 25 % больше, чем в первый, а в третий — на 20 %
больше, чем во второй. Последние два дня они засевали каждый
день столько же, сколько во второй день. Сколько гектаров за¬
сеяли трактористы в первый день?Число х составляет 80 % числа у. Если увеличить у на 500, то
полученное число будет больше х на 25 % от этого числа. Найди¬
те эти числа.Найдите числовое значение выражения:1)	(O,13x2-2x)2-6x20-x2-O,3xj прих = -^;2)	-|(х-1)2 —2^(х-3)(х + 3) прих = 3;3)	+	+	ПРИа = — ,х = 28;164)	(Зх + 2у)(9х2-6ху + 4у2)-8(х3 +у3) при х = 0,1, у = 4.
ОТВЕТЫ1.2)	7; 4) 5,86.2.2) ; 4) 0,5.4.2) неверно; 4) верно. 5.40-0,03 = 6:5.6.2) 3-(2 + 6)=2 • (2 ■ 6).8. 2) ^ ; 4) 4-|; 9. 2) -0,02; 4) 3. 10. 2) 0; 4) 5. 11. 2) -2; 4) 0. 12. (7/я)/; 168/.13. 1) (60/и) мин.; 2) -jrr мин; 3) (60/и +/+ ~ ) мин. 14. 3(х-у); 2) 4,5; 4) 2,5.
OU	ои15. (jc + >')(x-y); 2) -|i;4)0,104. 16. 2) -1 j. 17. 2)4. 18. 1,3, 15,21. 19.2)(т -\)т\
4) (2р + 1)(2р + 3)(2р + 5). 21. (p—q) t; 1) 5t; 2) q не может быть больше р; q можетбыть равно р. 22. 400/? + 500/и; 155000; 155000. 24. 187200 м\ (37440/и) м3.1	2 125. s=3-c+l-а + 2-b, 53 км. 26. 2) а~Ь\ 4) 2тп; 6) (a+b)(a~b). 28.5000; 150000.
sa29. За; 8а; 10а; 500; 400; — . 30. 2) 30 кг. 31. 2) (5*) км. 32. (50а) кг. 33. (15а).
34. (х • 6 + у ■ 3) сумов. 35. (а ■ 15 + b • 20) кг. 36. (кт + си) кг. 37. S = а(а — Ь). 38. тп + к.
810 мест. 39. 4 ч 35 мин. 40. б) р =(т + и)-2; S= тп — ху; г) р = 2(а + т + п + х),
5= тп — ab —ху. 41. 2) 2 (2 а + 4) т; 3) (а + 8 )(а —4 )т2. 42. км/ч. 44. ам2.
45. 500(100 + р) сумов. 47. г = , не успеет. 49. 2)40; 4)-41. 50. 2) 3j>-2x;
4) 8,7-2i/n + l|n . 51. 2) 3 -2,7b\ 4) jy+jb-3; 6) 5p. 52. 2)x+ 5; 4) 58c + \4d.з	,, ^ 3753.2)	67,048; 4)-11,221. 54.2) 0,28; 4)7	. 55. 2)-4-9+11; 4)2a-36-4c.11257. 2) 2 + b + (-c); 4) 3T+ a + (~b) +(-c). 58. 2) а-26+Зс; 4) -a + 2b~ 3c.59. 2 )a~b + с —d\ 4) a — b ~c + d — k. 60.2) 8x — 2y; 4) 3a — 3. 61.2) a—26 + (//) + c);
4) a+(-m+ 3#-2a3). 62. 2) 2a + 6 - (-/и -3c); 4) a-(/n - 3^+ 2a3). 63. 2) a~{b-1);
4) (a—2 й)+8. 64.2) 2x2 + Sx^' +(—■ixy1 —у3); 4) — (— 2x2 — 5х\у) — 4лу2 — уъ. 65.2) с + (—а + Ь)\
4) «+(-</+/)• 66. 2) 4а - 4й; 4) 5х - Ъу. 67. 2) х = 1; 4) * =5. 68. 2) -1,16: 4) -3. 69. 2) -1;
4)9; 6)9; 8) 3,9. 70. 2) 147; 4) 144. 71. 2)-132; 4) 7. 72. 2) 1,08;.4)6,12. 73.2)42;
4)-1.74.2) -|;4)^-.75.2)'7i. 78.6 дирхемов. 80. 2) 3. 85. 2) х=-27; 4) *=1,009.86.2)	х=| ;4)- х = ~-87. 2)х=-1,3; 4) х =0,05. 88. 2) х = 64; 4) * = 1.89.2) == _!М .90.2) х=|; 4) х = -. 91. 2)х = 17; 4) у= — 1. 92.2) х = 7~; 4)у=24.Л 3	'7	3	293. 2) г = 6; 4) х = 0,6. 94. 2) у = 13; 4) х= 1. 95. 2) у= 319; 4) х= 5. 96. 2)х= 37;
4) л = 1,1. 99.2) а= 1;4)л= 1. 100. 2) х = 0,2; 4) х = 4. 101.2) 10. 102.2) 16,20,24.
103. 2)144, 432,293. 104. 2) 8,8,6. 105.2) 20.40. 106. 25,27,29. 107. 4,6, 8 и 10.
108. 2) 12. 109. 2) через 8 лет. 110. 2) 2200 I и 1100/. 111. 2) 108 км. 112. 2) 40 кг.
ИЗ. 2) 150 машин. 114.2).у=0; 4)х=0,8. 115. 2)х = 13; 4) jc= -153. 116.83,6кг,2508, 8 кг, 1327 кг. 117. 8 км/ч. 119. через 32 дня. 120. 30 км/ч, 40 км/ч или 36 — км/ч
461 км/ч. 123. 2) ; 4) (-2,7)". 124. 2) ш5; 4) (-3Ь)\ 125. 2) (a+b)\ 4)^j .126.2)44	• 21; 4) 62 • Т ■ З3.127.2) (0,5)’ ■ 2г • 42;4) j • (2,3)2 .128.2)У • З2; 4) ^j (8а-6)3.129. 2) а2 + й4; 4) 2х\ 130. 2) па3; 4) 5k+ а17. 132. 2) 9; 4) 125. 133. 2) —1; 4) 0. 134. 2) - ;4) 12 — ■ 135. 2) 2,89; 4) 7^7-136.2) -125; 4) -5 — . 137.2) 270; 4)4. 138. 2) 40; 4) -6.
27	625	161 .3139.2)	18; 4) 72. 140. -2-, 2-,-3-; -25,25, 125. 143. а 103+Ь- 102+с- 10 + d.4	4 8145. 2) 3532037; 4) 101001. 146. 2) 76; 4) 56. 147 . 2) а7; 4) (ЪЬ)\ 148. 2) (-3)4; 4) (—1,2)7.149. 2) З10; 4) (-6)12. 150. 2) ; 4) b'\ 151. 2)	; 4) (п+т)2°. 152. 2) 38 + »;4) а" +|3. 154. 2) 22; 4) 27. 155. 2) 26; 4) 210. 156. 2) 214; 4) 29. 157. 2) 223; 4) 24+л. 158. 2) 3‘;
4) З4. 159. 2) З5; 4) З7. 160. 2) З18; 4) З6. 161. 2) Зя+ ■; 4) 33+". 162. 2) 4г; 4) 10*. 163. 2) ;
4) d 164. 2) (2а)2; 4) (т + п)5. 165. 2) 22; 4) 22. 166. 2) 23; 4) 2’. 167. 2) З3; 4) 3.
168. 2) З2; 4) З4.169.2) 6; 4) 25. 170. 2) 44; 4) 9.171. 2)-6; 4)12.172. 2) х = 64; 4) х =27.
173. 2) х = 16; 4) х =4. 174. 2) х = 243; 4) х = 9. 175. 1)а56;2)а21. 176. 2) а15; 4) а23. 177. 2) а’;4) а12.178.2) п =7; 4) п =2. 179.2) jjj ; 4) (0,02)2. 180. 2) (73)2; 4) ((-|)'2) . 181.2) (63)2;
\3„з ( 14) (х'°)2.182. 2) 75-65; 4) 4" • J . 183. 2) 8 Ix4; 4) 64/У. 184. 2) б6/1; 4) 27л3/я3.185. 2) х7/г7;4) 29-4’-99. 186. 2) а6*3; 4) 0,01с6. 187. 2) 512а12/)2'; 4) 16я4/я12. 189. 2) (3,4 Л)4; 4) (~ ■
190. 2) (9 • г)2; 4) (15 • а ■ Ь)\ 191. 2) (a2Z>3)2; 4) (9яг)2. 192. 2) (х^г4)2; 4) (IOrtc3)2.
193. 2) (0,7и/я5)2; 4) (^Л8)2 • 194- 2) (^)3; 4) (42)3. 195. 2) ((~|)5) ! 4) (- 0,1)3.164ттжп’.-лс Ш4М'*.
196. 2) (aW: 4) (J<W)3. 197. 2) (—10Z>J)\ 4)(-0,2лу’)3. 198. 2) I; 4) -1. 199. 2) 1; 4) .200.2)	144; 4) 14. 201.2) I; 4) 4. 202.2) 14; 4) 16.203.2) ^; 4) ^ . 204. 2) -^7: 4) ~^r-
81 A4	49	(a+b)7	. c 7	■x20S-2) 4) •206-2) 4) ^ 207-2) (i} '4) (!) •208-2) (!);4) (-J^-)2. 209- 2) (0)4 ; 4)(-j)3 210. 2) ~4) j. 211. 2) j; 4) j. 212. 1)*3,3-1(Р раз;2)	s9 лет. 213. 2) ^-214. 2) 3S" + 2; 4) If". 215. 2) 7; 4) 5. 216.2) 81хУг14; 4) -2,48832a1 W°.
111. 2) ah 4)o4. 218. 2) 1020 > 2010; 4) 340> 620. 219. 2) 4; 4) у . 220. 2) j; 4) 13,2.
221. 2) 8,647-106. 222. 2) 3be; 4) ab2. 223. 2) 3o'-Ь. 224. 2) 100л (см). 225. 2) 4a2. 4a2, 2a2, 6a2.
226. 2) 8; 4) 1; 6) 18. 227. 2) *n; 4) m\ 6) 72 />У; 228. 2) 2. 229. дня. 230. 2) 6ab;
4) -2a\ 231. 2) 35m2/;; 4) -4b5. 232. 2) -2w3«; 4) ~Ьгс2. 233. 2) 28х~У; 4) 2aW.
234. 2) -21 аьЬьс2; 4) -faVv4 . 235. 2) -7,5mVV; 4) -7,5aW. 236. 2) -15m3«2;
4) -26oW. 237. 2) 30a4 ft3; 4) 4a-,2>2c3. 238. 2) 2562; 4) 4a6. 239. 2) 16a262; 4) -8x3>’3?3.
240. 2) -a'°b5c5; 4) 16xV2. 241. 2) ^-rnV . 242. 2) -2a4; 4) aWy2. 243. 2) x5/;
4) —4ol06". 244. 2) (4jc2)2; 4) (9x3y)2. 245. 2) 204,8; 4) 1,008. 246. 7^ пядей.
250. 2) ба2^ —24a*b; 4) -b?+ 5x2/. 251. 2)-6xfz ~20mW; 4) jo2*2-2a2b\ 252. 2) 2;4) 0. 253. 2) -7,6; 4) -252. 254. 2) {y; 4) -j|a2Z>. 255. 2) 2a+6; 4) 2a2-3^. 256. 2) -v;-> 164) 3,8a2. 257. 2) a2; 4) 2xy -2,2^. 258. 2) ab2 + \a2b; 4) 4x-2,46y. 259. 2) x3-x^-vy2.4) ab2 + 2ab. 260. 2) 862-196c -15c2; 4) 2x2>>. 261. 2) -ja26c-4a2c. 262. 2) Зх + 3y;4) 3x +1. 263. 2) 5a2 -b2; 4) - j b2 + 1 ~. 264. 2) 0,1 c2; 4) ba + 22b. 265. 2) -2а2 - 6a* + W;4)25*+30az2. 266. 2) -26; 4) 9x3. 267. 2) 3x2; 4) 8a2-b2-ab. 268. 2) -0,07x2 + 0,06i-’;0,27л3 - 0,\y2; 4) 0,61 a3 + 1,12h\ 1,39a3 - 0,88л3. 269. 2) Зх2 + ЗхУ - x\ 270. 2) -5b2 + 36.271. 2) 93; 4) -506+862. 273. k+2m-n. 274. 2) 1-jx ; 4)20т-30л; 6) -ут + ул-{/>:8) -15x3-35x2+5x. 275. 2)-10хг + 8>>г; 4) х’-л^+х. 276, 2) 75a26-’ + 15a2b; 4) Зху-бх4)*.277. 2) I6ab2— 24a2bc + 8abc2; 4) x*yz +2xy'z +3хуг5. 278. 2) a'b1 + j a*If. 279. 2) —3a + 7b;4) —14p — 9. 280. 2) —a2b + 6b2; 4) 19x -12. 281. 2) 2x - 3,5; 4) 0,5v - 1,7. 282. 2)5; 4)204.165
283. 2) z2+ 3z - 4; 4) be + 4c + 5b + 20. 284. 2) ~a2+ 8a+20; 4) p - q + pq - q\
285. 2) 10a2+ la —12; 4) 2Qp2 ~\1 pq + 7>q2. 286. 2) 0,09 - m2; 4) 0,04a2 - 0,25x2.
287. 2) 30x4 + 30У — 6 lx2_y2; 4) x3 + 5x2 + Ix + 3. 288. 2) 27a3 - 863; 4) 27a3+863.289.	2) —2062 + \7bc^—Jc2 — \bby + 4cy; 4) 9a2-24a6 + 12ac + 1562-206c.290.	2) 0,3х2 + хг-0,3/+ yz; 4) 0,3a4-0,9a3 + 2a2 + 3a - 10. 291. 2) a3-atil+ Ъа2Ь -363;
4) 12x> - 29** + 7x + 6.293.2) 12 j. 295. 2) У; 4) 1.296. 2) -3a; 4) -5c. 297.2) ^ a ; 4) -9c.298.2)	9m; 4) j b . 299.2) 8; 4) 7. 300.2) 3; 4)-3. 301.2) - j ;4)-1,3.302.2) -|p;4)0,4c.
303. 2) 7m6; 4) | . 304. 2) J a62; 4) 3a6. 305. 2)	2) | a36. 306. 2) 81хУ,
4) хУг3. 307. 2) 26 — 1; 4) 2 — x. 308. 2) 4a -36; 4) -с + 1. 309. 2) сб-1;
4) -\ab+ | a2. 310. 2) —2x - 3y + 4; 4) a + 3a26 -2. 311. 2) 1; 4)-3a. 312.2)24; 4)0.
313. 2) a3; 4) c2 + 32. 314. 2) я2 - да2; 4) ф3 -63. 315. 4c см, с2 м2. 316. 6£2 см 2, к3 см3.
317. Зх2 или ^х2.318.10 км. 319.108000.320. Нет. 321.2) 3,08 • Ю13.322.5,1 ■ 108; 1012.323.10 кг.324.2)	ху; 4) 10тп2к. 325.2) 131.326.2) Зх2; 4) 8а2 + б2 - ab. 327. 2) 0,5х2 + хг - 0,5/ + yZ;
4) a4-2a3+3a2+4a-10. 328. 2) 2a3-2я62+3a26 -363; 4) 6x3-17x2-4x + 3.
329. 2) 5x3+8x2+9x—1; 4) l| a5+2a2x-11 x2. 332. 2) 180,7; 4) 12,5. 333. 2) 2x2-2x;
4) a3 + ab — a262 - 63. 334. 240 km. 335. 2) 150000; 4) 4. 336. 2) 3(a - x); 4) 6(a + 2).
337. 2) 2 (4a -26 -1); 4) 3(3x - у + 4z). 338. 2) c(d + 6); 4) x(3 -y). 339. 2) 36(rf - a);
4) 3/7(2* - 1). 340. 2)x(y-x + z); 4) 46(6 + 2a - 3a2). 341. 2) a3(a - 3); 4) x2f(y -x).
342. 2) 6x2(x2 — 4); 4) 3a2(2a3+ 1). 343. 2) 4x2y(5xy + 1); 4) Ъхуг(Ъг~4у).
344. 2) 5a3(4a -1 + 3a2); 4) 2xlyt(yt-x2 + 3xy). 345. 2) 18700; 4) -1,62. 346. 2) (a+5)(6-c);
4) (y-3)(l +6). 347. 2) (m — 3)(3n + 5m); 4) (c - d)(Ja - 2b). 348. 2) (x + y)(a2 - б2);
4) (a2 -262)(x + y). 349. 2) (p — q)(c — a + d); 4) (x2+ 1 )(m ~ n — I). 350. 2) (b - c)(a + c);
4) (x-y)(2b+ 1). 351. 2) (a — 2)(6 — a); 4) (m -2)(a2 -6). 352. 2) (x-j>)(* “У ~ 3);
4) (3 — 6)(—a+ 1 —6). 353. 2) x = 1; 4) x = 0,49. 354. Успеет. 355. 2) (m - n)(l + p);
4) (x -y)( 1 + 2a). 356. 2) (a -6)(a - b + 1); 4) (p - 1)(4q + p - 1). 357. 2) (p -1)(4q + I);
4) (p - 1)(4<? - 1). 358. 2) (6 + c)(a + d); 4) 2(x - l)(3x -4y). 359. 2) (c + </)(a -36);
4) (a - 36)(x + 5j>). 360. 2) (6 + с - a)(y -x2); 361. 2) 12500; 4) 28. 362. 2) ~0.p25;
4) -0,33. 363. 2)906. 364.2) /= -7, r =4.365. 2)x2-2xy+ /;4)x2+ 2x + 1; 6) 49 + 14/jj + m2.166
366.2)Л3-6л- + 9; 4)у — 12у+ 36; 6) Р+ 6 + j . 367.2) W + 12ху + 4^;4) 25?М0г/+ Л
368. 2) а4 + 2а2 + 1; 4) х4 + 2х*у2 + у\ 369. 2) a2-|a+^; 4) ^- + ^ + ^1 .370. 2) 0,1662-0,46с- + 0,25с2; 4) jr о* - | а-' + £ . 371. 2) J-x4+|х3+-U2 ;1о	5 25	9 3 44) 100**-60хУ + 9x4*. 372. 2) 96* + 12а6’+ 4а’62;4) 16хУ + 4х?+ 0,25/. 373. 2) 1681;
4) 9604. 374. 2) 1006009; 4) 1521. 375. 2) 3249; 4) 1002001. 376. 2) 4лг>>; 4) 8аг+ 2Ь\377. 2) la1 - 52а + 112; 4) 4л.-2 -16х - 4. 378. 2) х =2; 4) х = -0,5. 379. 2) у =3; 4) у = j .380. 2) -И; 4) -17. 382. 2) (5 + х)2; 4) (/? — 0,8)2. 386. 2) p2-q2\ 4) т2-п2\ 6) т2- 4.387. 2) а2-9; 4) х2-49; 6) b2-1. 388. 2) c2~9d2; 4) 9т2~4л2. 389. 2) а2~Ь2\4) |/и2-|гп2. 390. 2) а4-6ь; 4) /и6 - я6. 393. 2) 25а264 - 4а462; 4) а266 - 16хУ
394. 2)x*-l; 4) 81а4 -166*. 395. 2)4896; 4) 2491. 396. 2) 1584; 4) 39999. 397. 2) 2а2+4а;
4) 24а6 -3262. 399. 2) х = |; 4) х =2. 400. Уменьшится на 64 см2.401. -10. 402.2)980;
4) 5,87. 405. 2) (2а -3)(2а + 3); 4) (9а -46)(9а + 46). 406. 2)(аЬ -4)(а6 + 4);
4) (4х — 5у)(4х + 5у). 407. 2) (|а-{б)(|а+ \ 6); 4) (0,3х - 0Ду)(0,Зх+ 0,4у).
408. 2) (ху2 - 4)(jy + 4); 4) (5а - 363)(5а + 363). 409. 2) (а2 - 6*)(а2 + 64); 4) (6-’-9)(62+9).
410. 2) {т — п — к)(т — п + к); 4) 3(х — у)(3х + у). 411. 2) (а + 26 + с)(а — с);
4) 4(2а-6)(-а-26). 412. 2) (1+с)2; 4) (9-х)2. 413. 2) (10-За)2; 4) (а+56)2.414.	2) (p2~q)\ 4) (5а3+ 36)2. 415. 2) (62-9)2; 4) (4-а262)2. 416. 2) -(3-6)2;
4)3(а+26)2. 417. 2) 60 ООО; 4) 216. 418. 2) х = j , х = -j ; 4) х=5. 419. 2) 10000; 4) |.420.	2) х2 + 2ху + у2; 4) х2-2ху + /. 421. (с + d)(c2 -cd + сР); 4) (а-3)(а2+За + 9);
6) (а + 1)(а2-а + 1); 8) (5 - 6)(25 + 56 + 62). 422. 2) (4 - 5у)(16+20у+25у2):4)	(4у + |)( 16у2 - j у+1). 423. 2) (1 + 36)( 1 - 36 + 963); 4) (j а2+ 5 6)< а-’б + 25#).
424. 2) (а + 6)(а — 6) (а4 + а262 + 64); 4) (2 +у)(2->0(16 + 4у2+/). 425. 2) У + 8;4)	64с3 — 125t/3. 426. 2) а666 -1 25а3; 4) {х3 —^ у\ 427. 2) 16о2(4а + 56);4)	(а—6)(а2 + аб + Ь1 + а - 6). 428. 2) 0,02. 429. 2) 5; 4) 26. 430. 2) х = 3; 4) х = 0,2.
441. 2) х = 2. 442. 2 км/ч, 16 км/ч. 443. 2) (х-у)(4 + Зх — Зу); 4) (6 -a)(b -а - 1).167
444. 2) у(х + у)2; 4) (b — а)\а — 1). 445. 2) 24х20’ ~ г); 4) 4(2х - у)(2х - Зу - 1).
446. 2) 5(х+у)(2х+1); 4) (Зг2 + 2у2)(16х - 5у). 447. 2) (Ink + 5т)(3тк - 7/т2);4) (5с-3х)(86-3с). 448. 2) 16х + 2; 4) -19у + 6. 450. 2) f ; 4) у . 454.®	(я-Ь)456. 2) 5; 4) 1,9; 6) 4. 457. 2) v = -^;4) а=|-6.458. х = , х =3. 459. t = ^ ,/ = 15.
461. 2) j , 4) -2. 462. 2) } ; 4) £ . 463. 2) ^ ; 4) 62. 464. 2) 1; 4) £ ; 6) ^ .465- 2> т; 4> ah) ’6) -т 466-2) ^; 4) 3' ~2*; 6) *Ь> •467-2) -;4) ётт; 6) •468-2) -й-; 4) f; 6) “ У •469,2) ’ 4>4) 5+х; 6) -£*1. 471. 2) 10 - 1Ь; 4) ; 6)	. 472.2) т^г ; 4) -L-. 473. 2) ;2а	5 + у я — 6	b + 1 1-2 р	4а-14) ‘-0-— ■ - . 474.2) и - т; 4) —1— . 475. 2)	■ 4) ; 6) . 476.2) а+1;З(т-л)	5-2х	Зу + 4х 6 + с	а2а а	32 25	9х2 72 16>2—	и—; 6) — и—. 478. 2) 	> 	 и	;2	6 2 Ь	60 60	12ху \2ху 12 хуЗа'	и—; 4) 	, 	, 	. 480. 2) —ГТ,26 26	6ab 6аЬ 6аЬ	18а 621у3 З10х3у 80х2	6 а 2(а-1)	ГТ’ 	ГТ и"—ТТ- 481.2)-—-~и^—60х у 60х у 60х у	(а-1)а (в-1)а8а2 15а2 1а(3х + у) 66(3-у) 6х х
4) 	и	. 482. 2)—j	Ги~	Т’ 4)	"162а4) ^. 477.2) —и —i2абab2 ах264) —гиз- •479.4х4х2(а2 +62)а(3-я2).18а2*2и18а''6212(а +1) 12(а +1)	9х -у 9х -у	8х + 8у 8х + 8у7	а	а(х-З)	6х(х + у) 7до,(х-у) 3	28с(6 + с)483.2)	—2 7 ” -Г-Г; 4) “г—I"* -1—5-"-2-Т-484. 2) - - 2- --
х -9 л-9	* -у * - «У х -У	70 (£ -с )6а2	356(6 -с)	15х(х+1)	-48х2	4(х-1)	5fl	5	5- и 	г	5- - 4) 	;	; 	5	 и 	z	. 4«5 2\ — -70(6 -с) 70(6 - с )	12х(х -1) 12х(х -1) 12х(х -1)	6.. х-у	2а 7 8	11 3 3ad-b	15 + аб4) 	.486. 2W; 4) —j; 6) —. 487. 2)—; 4) — ; 6)	.488.2)	п + а	с	a ab	28 56	\2d	5а,,2 + 76	2с + 4с -3 тп - кп2 + т2 „	А:-л	bd + Ьа4)	.489. 2) 	1	; 4)	5	. 490. 2) 	; 4) ———;6	с	п	тпк	acd, 2л2-Зт	4а4-21с63	20.у-21х + 22	b(cd2+d + c)	Зх6)	— .491.2)		Г_4 ; 4)	-2	б)-5—П—-•	492. 2)——тп 18а 6	28х у	c d	2(1-х)168• •
8у - 25л:	j j	<.4,^'4,3-2W°*x*» л	«о-.,-4)	4Q^ ?\ _L~ 1 , ■ л\ 2л2 + Зх + 2	6/7-47	2W-»',-.4”-2> ,г-9’ 4> -7^-- т- г>	4, iv^i.1-9>>498. 2) -а + 4, . 499. 2) -^^г; 4) A~ln+lm ^ 2*2+i8 „	л2(за + 1)2	(з* + ,)2’ 4) ^Г’ 6) ^т-500-2>4)	—7- 501. 2)	4) *?iz£>. 502_ Ь_1Ь2~\А 28«2 - 4/я2 + 9тп4“	‘<^'> ' >~,4,i-.-, ;4а -4а-Ь	2д	5т6> ~ 2 ? ■ 503. 2) -г-; 4) —504. 2) -11. 505. 2) 1. 4) i£
а + 2а	я +»	т-27	19	13	2 '506‘ 2) —; 4) 77; 6)	509- 2> 2; 4> 6) -■ 510. 2) 4) —•тп 4nd	с	Ьс	b	тп 2пк6)	H^fl.sn.	6) ^-.512.2) 4)—; 6)1^. 513.2)10^;</	7	ad1	5с	Зс	’4)	-i-,514. 2) 4) 36; 6) <£!*>£. 515. 2) ——; 4) —=-i	; 6) —L_.4(3 b	a	3b	3(1 + a) 3m (m + n) 3(a-b)■)	23x (.x + v)	-18(я-/я) (л + /я)	1516.2)		i4) 	j	; 6> 1	Г-517. 2)6-3; 4) (a - l)(2a - 1).2(x2+y2)	п(п + рУ	a - b518. 2) 2(° + 1) ■ 4) 1; 6) . 519. 2) ° (A ~1}; 4) 2(—520. 2) -^y;3 ’	b +1	b	n	a ~b4)		!	. 521. 2) —; 4) —. 522. 2) —> 4) -■ 523. :6(c + c/)	£ + 2 m-2	0	cv — v«	.	_ _ _ _. 3(x — 2x + 4)526.		f- ■ 5 km. 527. По 6 штук. 528. 2) 	—v + Vj	x + 8529.	2)	4)	■ 530. 2) 2lz£. 4)24	36	3p - q	2b 544)11 5a-bc(a + />)x + l(x + 2)2x3 + 8иjc3 +8531. 2)2a-V .2 + 44)	- ?m-+”	532. 2)	+	; 4) 1. 533. 2) -2(fl-l)?; 4) £. .2(p - pc + c )	(x-2)(x + 3)(x +2)	4a534. 2) 2. 535. 2) Неверно. 536. 7-. 537. 2a(30-a); -128. 538. a • 100 + b ■ 10 + c,2	169
С-100+&- IO+a: a ta. 539. ,v = 1000a + c. 540. 3) 4-. 541. 2) -a*Fc*. 542. 2) 0.64a-V.3 s	I543,	4) 3a:bm. 546.4) 1,5^4-11.5a-д- 1.547. 2) x = 2 —. 551.4) x = 552.40.36 4311	8a553.	Через 9 лет. 554.Через 4 года. 555.1,5 часа. 556. Через 1.5 часа. 557.2) — 558.2) 1ЪаЬ.
560. 2) 3(1 + а)( 7 -За). 561.2)4<3Z> -2)(5А +1): 4) (17а -	562. 2) (т-\)(п?+ 1);4)	(1 + а — Ь){\ — а + Ь). 570.2) 1. 571. 63км. 572. Через 27— мин. 573. 41574. 575. — кг.11	23ас(2а + 3) 4ас(2я-3)	5 Ь577.35 км. 578. 120 км. 579. 150 деталей. 580.2) =;	*	=;	 и >	.с(4а -9) с(4а‘-9) с(4а -9)nh-l	дгО*_х)	2«(2/i-£)	2tf(m-2ff)	m + ln581.	2) ——4) 	• 582.2) —:	: 4)-^	ч-. 583.4)	а+1	У +х	2/1 + к	m + 2q	1025585. л = 6. 586. 2) л=	: 4) *=-6.5. 587.160 км. 588. 31 %. 589.80 га.34590. 6000 и 7500. 591. 2)-7: 4)0.019.3Ответы к заданиям "Проверьте себя!"Глава I. 1. 1) 120.3:2) -3-1; 2. 3.v + 4v: 3. 10а + 15*.о	3Глава II. 1. Да, л = -4; 2.1) л'= —: 2).v=3. 3. 5 кг; Зкг.3Глава Щ.1. 55; З2: 2‘2; 65. 2.3b+d. 3.-1.25 <tW; 0Jm-2n-\. 4.3w4; -3.8125.
Глава IV. 1. 2a1+12а. 2. 1) >4-v-2); 2) (4a-9)(4a + 9); 3) ЗдГ-(1-2дг):4)(л -5)2; 5)(a -1)(3 + j); 6)2(a-b)2. 3. (a - 3b)(a + 3): 8.Глава V. 1. ь * 0. a * 1. b * -2. 2. l)i; 2) • 3)4: 4) — .3. -Ц:-3.“ Q- -b-	ЬОтветы к занимательным задачам1. 99 + 9 : 9. 2. Треугольников 44, квадратов 10, прямоугольников 8. 3. 5 лет. 4. 18
минут. 5. 1) 6; 2) 3; 3) 4; 4) 9. 6. 24 000 км. 7. 1) 7; 2) 4 м&пьчика. 3 девочки. 8. 10 метров.9.	4.00. 10. Нельзя.
Ответы к тестамГлава I123456789101112131415161718ьАВСDВСЕВDАВСDЕАDВГлава II123456"78910111213141516171819АВсDЕАВСDЕАВсDЕАВСDГлава III12345678910111213141516171819202122АВСЕВDВDАВDЕ*ВСЕАВСDЕDАГлава IV12345678910111213АDЕАВDЕВАВDЕВГлава У12345678910АВЕВDВСЕАВ
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬАлгебра 6Алгебраическое выражение 6, 11Алгебраическая дробь 129Алгебраическая сумма 75Дополнительный множитель дроби 135Деление одночлена на одночлен 90Квадрат числа 54Квадрат суммы 109, 110Квадрат разности 109, 110Корень уравнения 35Коэффициент одночлена 70Куб числа 54Куб суммы 119Куб разности 119Линейное уравнение 36Многочлен 75Одночлен 68Обратное число 22Общий множитель 102Общий знаменатель 135Основание степени 55Показатель степени 55Подобные члены 77Переместительный закон 19Приведение подобных членов 77
Правила раскрытия скобок 24, 25, 26
Противоположное число 2!
Распределительный закон 20
Разложение многочлена на множители
102Сложение и вычитание алгебраических
дробей 138Сокращение дробей 130
Сочетательный закон 20
Способ группировки 107
Сложение и вычитание многочленов 81
Стандартный вид числа 56
Стандартный вид одночлена 68
Степень с натуральным показателем 55
Умножение и деление многочленов 87
Умножение и деление алгебраических
дробей 144Умножение одночленов 72
Уравнение 35Формулы сокращенного умножения 111
Формула разности квадратов 115
Числовое выражение 6
Числовое значение алгебраического
выражения 11ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬАль-Хорезми 6, 7, 34, 37, 51,
53, 101Абу Али ибн Сина 110, 127
Абу Камил 154
Абу Райхан Беруни 101
Аль-Каласади 101
Ахмад Фергани 101
Аль-Каш и 52
Аль-Караджи 154
Декарт 101Диофант 101, 128
Евклид 153
Эйлер 128, 154
Виет 15, 101
Ньютон 34, 1001, 154172
ОГЛАВЛЕНИЕ.КИИ.	- = 'Упражнения для повторения курса математики 5-6-х классов
Глава I. Алгебраические выражения§ 1. Числовые выражения	§ 2. Алгебраические выражения	§ 3. Алгебраические равенства. Формулы	§ 4. Свойства арифметических действий	§ 5. Правила раскрытия скобок		Упражнения к главе I	:	Тестовые задания к главе I	Исторические задачи	,	Исторические сведения	Глава II. Уравнения с одним неизвестным§ 6. Уравнение и его корни	§ 7. Решение уравнений с одним неизвестным	§ 8. Решение задач с помощью уравнений	Упражнения к главе II	Тестовые задания к главе II	Исторические задачи	Исторические сведения	:	Глава III. Одночлены и многочлены§9.Степень с натуральным показателем	■ §10.Свойства степени с натуральным показателем	§11.§12.§13.§14.§15.§16.§17.§18."'ПИТПМППМ’ИГ • 'м
Упражнения к главе III	 94Тестовые задания к главе III	 97Исторические задачи	100Исторические сведения	101Глава IV. Разложение многочленов на множители§ 19. Вынесение общего множителя за скобки	102§ 20. Способ группировки	107§21. Квадрат суммы. Квадрат разности	109§ 22. Формула разности квадратов	115§ 23. Применение нескольких способов разложениямногочлена на множители	118Упражнения к главе IV	125Тестовые задания к главе IV	т.	126Исторические задачи	127Исторические сведения	128Глава У. Алгебраические дроби§ 24. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей	129§ 25. Приведение дробей к общему знаменателю	135§ 26. Сложение и вычитание алгебраических дробей	138§ 27. Умножение и деление алгебраических дробей	144§ 28. Совместные действия над алгебраическими дробями	147Упражнения к главе V		150Тестовые задания к главе V	151Исторические задачи	153Исторические сведения	154Упражнения для повторения курса алгебры 7 класса	155Ответы			163Предметный указатель	172Именной указатель	172
А 50Алимов Ш. А. и др.Алгебра: учебник для 7 классов общеобразовательных
школ /Авт.: Ш. А. Алимов, А. Р. Халмухамедов, М. А.
Мирзахмедов. - Т.: ИПТД «O'qituvchi», 2009 — l’TJTc.I.	1. 2 Соавт.ВВК 22.14я72ШАВКАТ АР И Ф ДЖАН О В И Ч АЛИМОВ.АЛ И МД ЖАН РАХИМОВИЧ ХАЛМУХАМЕДОВ.
МИРФАЗИЛ АБДИЛХАКОВИЧ МИРЗАХМЕДОВАЛГЕБРАУчебник для 7 классов
общеобразовательных школПеревоз с узбекского Г. Э. ЮсуповойИздательско-полиграфический творческий дом*	О ‘qituvchi»Ташкент 2009Издание второеРедакторы Г. Полещикова, Л. Бабаева
Художественный редактор Ш. Ходжаев
Технический редактор Т. Грешникова
Корректор В. Тараненко
Компьютерная верстка М. АвазовойПодписано в печать с оригинала-макета 31.03. 2009. Формат 70 х 90'/|6.
Кегль 12 н/шп. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Уст. п. л. 12.87.
Изд. л. 10.0. Общий тираж 32566. Заказ N«35.Издательско-полиграфический творческий дом «O'qituvchi»
Узбекского агентства по печати и информации. Ташкент. 129.
ул. Навои. 30. //Ташкент, массив Юнусабад. ул. Мхрадова. дом 1.
Договор Na 14-64-09.
Сведения о состоянии учебника, выданного напрокат№Имя, фамилия
ученикаУчеб¬
ный годСостояние
учебника при
полученииПодписьклассногоруководи¬теляСостояние
учебника при
сдачеПодписьклассногоруково¬дителя11/? £&£: 2■л2t£H0 - 43(td'avivcЗс. OQ' О и <j14У5'6«Таблица заполняется классным руководителем при передаче
учебника в пользование и возвращении назад в конце
‘ учебного года. При заполнении таблицы используются
следующие оценочные критерии:НовыйучебникСостояние учебника при первой передачеХорошоОбложка цела, не оторвана от основной части книги.
■Все страницы в наличии, не порваны,
на страницах нет записей и помарок.Удовлет¬ворительноОбложка не смята, слегка испачкана, края стёрты.
Удовлетворительно восстановлен пользователем.
Вырванные страницы восстановлены, но некоторые
страницы исчерчены.Неудовлет¬ворительноОбложка испачкана, порвана, корешок оторван от
основной части книги или совсем отсутствует.Страницы порваны, некоторых вообще не хватает,
имеющиеся исчерчены. Учебник к дальнейшему
пользованию не пригоден, восстановить нельзя.