Г. Г. Сванидзе
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ РЯДОВ
для водноэнергетических и водохозяйственных расчетов
Гидрометеоиздат. Ленинград. 1977
УДК 556.16 : 556.072
На основе анализа наблюденных гидрологических рядов даются приемы установления некоторых статистических характеристик стока, в частности рекомендуется применение распределения Джонсона. Рассмотрены методы моделирования искусственных гидрологических рядов. Подробно излагаются унифицированный метод и метод последовательного определения линейной авторегрессии (ПОЛАР), применимые как для индивидуального, так и для группового моделирования. Для построения модели гидрографа с учетом внутригодового распределения стока рассмотрены композиционные и прямые методы моделирования, а также метод приведения нестационарного процесса стока к стационарной случайной последовательности. Искусственные длинные гидрологические ряды или совокупность коротких рядов предназначаются для водноэнергетических и водохозяйственных расчетов при регулировании речного стока с помощью водохранилищ гидроэлектростанций, систем водоснабжения, оросительных систем и комплексных гидроузлов.
Рассчитана на инженеров — гидрологов, гидротехников, мелиораторов, а также студентов соответствующих специальностей.
Methods for determination of some runoff statistical characteristics, in particular, Jhonson distribution, are presented on the basis of the observed hydrological series. Methods for synthetic hydrological series modelling are considered. The uniform and POLAR step by step determination of linear autoregression methods, used for both individual and group modelling, are given in detail. For the construction of hydrograph model, with the annual runoff distribution being taken into account, composition and direct modelling methods are considered, as well as the method of reduction of non-stationary runoff process to the stationary random sequence. Long synthetic series or combination of short series are designed for different water resources estimations when regulating river runoff with the help of power stations reservoirs, water supply systems, irrigation systems, and complex hydraulic projects.
The book is intended for hydrologists, hydraulic engineers, melio-rators, and for the students of related specialities.
20806-119
069(02)-77
56-76
@ Гидрометеоиздат, 1977 г.
Посвящается трехсотлетию научной гидрологии
ПРЕДИСЛОВИЕ
Математическое (статистическое) моделирование гидрологических рядов для решения различных прикладных задач теории регулирования речного стока, в частности для водноэнергетических и водохозяйственных расчетов, начало широко применяться в 60-е годы, так как реализация его преимуществ и разработка рациональных методов моделирования стали возможны лишь после появления новых методов прикладной математики и современных вычислительных средств. Работы, опубликованные в СССР в первой половине 1961 г., положили начало новым исследованиям в данной области. Некоторое время спустя аналогичные работы появились за рубежом, в первую очередь в США. Вслед за этим быстро нарастала волна публикаций сперва в периодических изданиях, а затем в виде специальных монографий. Проблема оказалась настолько актуальной, что за последние годы проведено несколько международных симпозиумов, посвященных применению методов статистического моделирования в гидрологии (Варшава, 1971 г.; Братислава, 1975 г. и др.).
Результаты первых лет исследований автора в данном направлении были обобщены в 1964 г. в монографии «Основы расчета регулирования речного стока методом Монте-Карло» [292]. Настоящая работа подытоживает результаты, полученные на протяжении последующего периода.
Книга не претендует на полноту изложения затронутых проблем. В ней главным образом нашли отражение собственные исследования автора, а также работы, выполненные под его руководством его учениками, а ныне коллегами Г. Л. Григолия, А. Ш. Квинт-радзе, А. Н. Киласония, А. П. Миндиашвили, И. В. Хомерики, 3. И. Церетели, Г. П. Шенгелия, М. Г. Эдиберидзе и др.
За обсуждение ряда вопросов и ценные советы автор выражает свою признательность Б. Ш. Абрамишвили, К. О. Джапаридзе, С. Н. Крицкому, Ю. Г. Полляку, В. Е. Привальскому, Д. Я. Рат-ковичу, А. Ш. Резниковскому, А. В. Рождественскому, 3. А. Пи-ранашвили, И. О. Сарманову, В. В. Чавчанидзе, Р. Я. Читаш-вили и др. Особо следует отметить помощь, оказанную автору при подготовке текста рукописи, примеров и рисунков, Д. М. Дзадзуа, Д. Г. Кикнадзе, А. Н. Киласония, Н. Г. Сах-вадзе, и И. X. Сирбиладзе.
1*
4	ПРЕДИСЛОВИЕ
Надо полагать, что книга не лишена отдельных недостатков, заслуживающих критических замечаний. По этому поводу вспоминаются слова, сказанные Д’Аламбером два века тому назад: «Если критика справедлива и доброжелательна, она заслуживает и признательности, и уважения; если она справедлива, но лишена доброжелательности, она заслуживает только уважения без признательности; если критика несправедлива и недоброжелательна, обойдем ее молчанием и предадим забвению». В отношении своих будущих оппонентов автор постарается воспользоваться этим мудрым советом.
ВВЕДЕНИЕ
Проблема рационального использования водных ресурсов имеет исключительно важное значение практически для всех стран мира. В перспективе, по мере дальнейшего развития человеческого общества, актуальность этой проблемы будет возрастать и приобретать глобальный характер.
Водные ресурсы всех рек на Земле оцениваются в 468 000 км3 в год. Размеры водопотребления уже в 1970 г. достигли 2600 км3, из них безвозвратные потери составили 1600 км3. По предварительным данным, на уровне 2000 г. будет использоваться до 6000 км3 воды, а безвозвратные ее потери составят примерно половину этой величины [2201.
На территории Советского Союза насчитывается около 2 900 000 рек и других естественных и искусственных водотоков, суммарный среднемноголетний сток которых составляет 4700 км3. Общий объем пресных вод в озерах превышает 26 000 км3, а объем подземных вод оценивается в 1100 км3. За последние два десятилетия водопотребление увеличилось примерно в три раза и в настоящее время составляет около 380 км3 в год. По имеющимся плановым наметкам, эта цифра в ближайшей перспективе возрастет до 430—470, а в отдаленной — до 700—800. Безвозвратные ежегодные потери воды в период 1981—1986 гг. в среднем составят около 98 км3, а в период 1991—2000 гг. 155 км3 в год [73, 79, 1701.
Как следует из сказанного, общее водопотребление и располагаемые водные ресурсы даже в осредненном виде становятся соизмеримыми. Что же касается отдельных регионов, то для них напряженность водного баланса будет несравненно более значительной. В результате возникла необходимость трансформации водных ресурсов во времени и в пространстве путем регулирования речного стока и перераспределения водных ресурсов на основе крупного водохозяйственного строительства.
Весьма важными узлами водохозяйственных систем являются водохранилища, позволяющие регулировать сток с целью максимального приспособления его режима к запросам водопотреби-телей. Такое управление позволяет увеличить используемую долю водных ресурсов. За последние полвека во всех странах мира построено около 10 тысяч водохранилищ общей емкостью порядка 5000 км3. Их полезный объем составляет 3000 км3, а общая площадь зеркала — 400 тыс., км2. Если учесть озера, на
6
ВВЕДЕНИЕ
ходящиеся в подпоре, то эта площадь достигнет 600 тыс. км2. В Советском Союзе свыше 1000 водохранилищ имеют объем более 1 млн. м3 каждое, их суммарный полный объем 848 км3, полезный — 414 км3. Более 98% емкости сосредоточено в 157 водохранилищах объемом свыше 100 млн. м3 каждое. В странах Центральной и Западной Европы насчитывается около 2000 водохранилищ с суммарной емкостью не менее 175 км3. В США имеется 1400 водохранилищ (каждое объемом более 60 млн. м3) с суммарной емкостью 800 км3, полезной — 450 км3 [2, 317, 3821.
Сравнительная ограниченность поверхностных водных ресурсов в густонаселенных районах и быстрый рост потребности в воде вызывают необходимость повышения темпов строительства новых водохранилищ для нужд промышленного и коммунального водоснабжения, орошения, гидроэнергетики, водного транспорта и т. д. Подавляющее большинство этих водохранилищ предназначено комплексно служить интересам различных отраслей народного хозяйства.
Сооружение современных крупных гидроузлов связано с огромными трудовыми и материальными затратами, поэтому разработка эффективных методов установления оптимальных параметров водохранилищ имеет весьма важное практическое значение. Это послужило одной из главных причин быстрого развития инженерной гидрологии и теории регулирования речного стока. Вместе с тем следует отметить, что многие кардинальные вопросы еще не разработаны в должной степени и полное их решение потребует приложения больших усилий.
Разработка перспективных планов рационального использования водных ресурсов основывается на осуществлении комплекса мероприятий, целью которого является наиболее полное удовлетворение запросов различных водопотребителей и водопользователей. К мероприятиям структурного характера относятся сооружение плотин, водохранилищ, гидроэлектростанций, оросительных систем, насосных станций, деривационных сооружений, очистных установок и т. д. К неструктурным мероприятиям следует относить введение нормативных ограничений, тарификацию цен на воду, оценку ущербов от недодачи воды, определение технико-экономической эффективности и др.
В области такого планирования с середины 50-х годов происходят существенные качественные и количественные изменения, основанные на необходимости учета вероятностной природы речного стока, на применении новых математических методов и современной вычислительной техники.
Принципиально новый подход потребовал усовершенствования способов решения возникающих научных проблем и разработки соответствующих прикладных методов расчета. Важные сдвиги наметились в области дальнейшего развития теории ре
ЁЁЕДЁНЙЁ
7
гулирования речногсГстока и методов оперативной гидрологии. Используемые при водохозяйственном планировании календарные методы расчета, базирующиеся на непосредственном применении наблюденных в прошлом гидрологических рядов как однозначного прогноза на будущее явно не соответствовали новым требованиям и самой вероятностной природе речного стока. В связи с этим начались поиски новых путей исследований в области разработки аналитических методов расчета и методов статистического моделирования. За истекший период более значительными оказались достижения второго направления, хотя и аналитические методы получили известное развитие.
Успехи методов математического или, конкретнее, статистического моделирования были обусловлены главным образом широким использованием метода Монте-Карло и быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ). Наряду с этим важное значение имело развитие системного анализа, который постепенно стал составной частью проблемы рационального использования водных ресурсов. Вступление гидрологии в фазу системного анализа означал переход от исследования отдельных гидрологических элементов к анализу совокупности факторов, определяющих гидрологический цикл, который сам является элементом более сложной системы природных и искусственных объектов.
Разработка новых теоретических основ всемерно способствовала повышению эффективности водохозяйственного строительства, что со своей стороны предъявляло возросшие требования к дальнейшему развитию теоретических исследований.
В последние годы при проектировании и эксплуатации водохозяйственных объектов или их систем в качестве гидрологической основы взамен наблюденных стоковых рядов все чаще принимаются смоделированные искусственные гидрологические ряды, или, как еще их называют, синтезированные последовательности. Целесообразность такой замены основана на следующих важных соображениях.
Речной сток является случайным (вероятностным, стохастическим) процессом, поэтому связанные с ним методы расчета должны основываться на применении адекватного математического аппарата, каковым является теория случайных функций (процессов). С позиции этой теории, наблюденный в прошлом многолетний гидрограф является реализацией случайного процесса, который точно в таком же виде больше никогда не повторится, поскольку вероятность его повторного появления равна нулю. Сохранятся лишь некоторые основные статистические закономерности этого процесса, которые и должны быть учтены при моделировании искусственных гидрологических рядов, применяемых в качестве модели входного процесса исследуемой системы.
8
ВВЕДЕНИЕ
Полученные временные ряды, естественно, не увеличивают репрезентативности исходных данных, но, обладая примерно теми же вероятностными свойствами, будут несравненно более разнообразными в отношении чередования периодов различной водности. Это положение имеет существенное значение для анализа работы системы и установления ее выходных вероятностных характеристик. Чем чувствительнее влияние входного процесса на выходные технико-экономические показатели системы, тем тщательнее должна быть отработана модель стока. Таким образом, здесь имеется обратная связь, учету которой должно быть уделено соответствующее внимание.
Особые затруднения возникают при анализе наблюденных стоковых рядов. Из-за ограниченной длины этих рядов (обычно несколько десятков лет) и не вполне удовлетворительной точности проведенных гидрометрических измерений, а также из-за влияния ряда других факторов (хозяйственная деятельность человека и т. п.) не удается с достаточной надежностью оценивать такие статистические характеристики, как, например, коэффициент асимметрии, функция распределения вероятностей, автокорреляционная функция годового стока, корреляционная матрица для среднеинтервальных (месячных, декадных) расходов воды, такая же матрица для группы взаимозависимых водотоков и др., не говоря уже о многомерных функциях распределения, которые вообще даже приближенно не могут быть оценены. Довольно условными и часто малонадежными являются результаты анализа группировок маловодных и многоводных лет, дефицитов и избытков стока, размаха и других параметров. Недостаточность исходной информации лишь частично может быть компенсирована введением различных разумных гипотез, что и обусловливает разнообразие имеющихся математических моделей и методов их воспроизведения. Сама техника статистического моделирования с использованием метода Монте-Карло и ЭВМ является общепринятой, разница заключается лишь в самих моделях стока и соответствующих моделирующих алгоритмах.
Таким образом, математическая модель стока, а затем и метод моделирования являются не чем иным, как средством описания и воспроизведения естественного процесса речного стока, когда необходим анализ будущего режима работы исследуемой водохозяйственной системы. Именно по результатам следует судить о степени пригодности различных моделей, применяемых ныне как к проектируемым, так и к эксплуатируемым водохозяйственным объектам. Здесь уместно вспомнить слова А. Каплана, сказанные им в 1964 г.: «Спора нет, модели прекрасны и человек, соприкасающийся с ними, вправе этим гордиться. Но нет ли у них скрытых недостатков? Ведь в конечном счете для нас важна
ВВЕДЕНИЕ
9
не их внешняя привлекательность, а та помощь, которую могут они нам оказать» [4321.
Сегодня уже с уверенностью можно отметить, что применение математического моделирования в области прикладной гидрологии и теории регулирования речного стока полностью оправдало надежды тех, которые стояли у его истоков. Достигнутые результаты безусловно окупают значительные усилия, затраченные на становление и развитие этого направления. Вместе с тем, подытоживая результаты проведенных работ, следует отметить, что еще многое осталось сделать и впереди непочатый край трудной, но увлекательной работы.
Наряду с моделированием важным направлением теоретических изысканий, имеющим существенное прикладное значение в деле планирования использования водных ресурсов, стала разработка проблем системного анализа*
Осуществление и функционирование сложных технических, экономических, биологических и других систем обусловили необходимость проведения обширных исследований для решения многочисленных проблем математического и технического характера. В связи с этим возникла новая научная дисциплина, называемая общей теорией систем, анализом систем, или системотехникой [54, 356]. Математический арсенал, необходимый для системотехники, наряду с классическими методами прикладной математики, недостаточными для решения многих актуальных задач практики, пополнился новыми методами, разработанными за последние два—три десятилетия. К ним относятся, например, теория массового обслуживания, теория игр и статистических решений, теория автоматов, алгоритмические описания процессов функционирования сложных систем и др.
Посмотрим с позиций системотехники на системы, утилизирующие водные ресурсы обширных районов с множеством различных гидроузлов и водных артерий. Возьмем, к примеру, гидроэлектростанцию. Она сама представляет собой довольно сложную систему, которая является, с одной стороны, элементом энергетической системы, объединяющей множество других электростанций, подстанций и линий передач, а с другой — элементом водохозяйственной системы, объединяющей ряд гидроэлектростанций, объектов водоснабжения, оросительных систем, регулирующих водохранилищ, водопроводящих трактов и т. д. Энергетические системы вместе с теплоснабжающими, газоснабжающими и другими системами являются частью единой системы топливно-энергетического хозяйства [215 ].
Объектом нашего исследования является входной процесс системы водохранилищ, регулирующих водные ресурсы крупного региона. Взаимозависимость элементов этой системы обусловливается наличием стохастических связей между процессами реч
10
ВВЕДЕНИЕ
ного стока в соответствующих расчетных створах водотоков. В случае каскадных схем, помимо стохастических (по режиму стока) и электрических (по линиям электропередачи) связей, имеются еще гидравлические связи по руслам рек. Кроме перечисленных случаев могут иметь место более сложные сочетания различных компонентов системы.
Не вдаваясь более подробно в специфические вопросы анализа систем, отметим лишь тот существенный факт, что решение определенной части системотехники переносится в область теории моделирования. Ряд специалистов рассматривают системотехнику как некоторый уровень теоретического моделирования [404].
Для составления математической модели системы необходима ^некоторая формализация, которая начинается с выбора совокупности характеристик состояний и параметров этой системы. Математическая формализация при изучении систем и процессов, в них происходящих, необходима для того, чтобы отбросить все второстепенное и несущественное, вскрыть и проанализировать главные характерные черты изучаемого объекта. При этом не нужно извиняться за такую формализацию, поскольку, во-первых без этого нельзя строить математическую модель, а во-вторых, нет надобности, как и возможности, отображать все факторы, сравнительно мало отражающиеся на конечных результатах решения задачи как главной цели, к которой мы стремимся.
При расчете регулирования системы водохранилищ различного назначения первым делом необходимо описать входной процесс системы, т. е. процесс речного стока. Последний является сложным векторным процессом, который при прохождении регулирующих водохранилищ претерпевает трансформацию. Часть стока проходит через водохозяйственные установки, а часть сбрасывается вхолостую или теряется на испарение и фильтрацию.
Решение указанной сложной задачи можно получить эмпирическим, аналитическим или экспериментальным путем. Под первым подразумевается все еще широко применяемый в проектной практике календарный метод расчета, который, однако, доживает свой век. Аналитические методы расчета предполагают строить обобщенные вероятностные характеристики выходных процессов (отдач, сбросов, наполнений водохранилища и др.) по вероятностным характеристикам входного процесса (речного стока) и функциям перехода, которые управляют этим процессом и представляют собой условные функции распределения вероятностей. Преимуществом аналитических методов является их общность. Вместе с тем решение в явном виде достигается лишь в простейших случаях регулирования стока, не представляющих практического интереса. Более или менее реальные задачи решаются лишь при условии применения численных методов. Изве
введение
И
стно высказывание Р. Веллмана [35] о том, что разница между тем, что мы называем явным аналитическим или численным решением, есть разница скорее формальная, чем по существу. И то, и другое представляет собой алгоритмы получения некоторых чисел.
Статистические или чисто вероятностные методы предполагают применение прямого пути — непосредственное моделирование реализаций входного процесса, которые далее трансформируются в соответствии с принятыми правилами регулирования. Посредством статистической обработки выходных данных строятся соответствующие функции распределения вероятностей. Иначе говоря, под статистическим моделированием подразумевается математическое моделирование процесса стока на ЭВМ с учетом и имитацией случайных возмущающих факторов. «Метод статистического моделирования позволяет решать весьма сложные задачи и обладает существенными преимуществами перед аналитическими методами и другими видами моделирования», — писал Н. П. Бусленко [54].
Настоящее исследование посвящено проблеме статистического моделирования или синтеза искусственных гидрологических рядов, отображающих основные вероятностные характеристики наблюденных стоковых рядов.
Работа состоит из двух частей.
В первой части (главы 1 и 2) рассмотрены вопросы стохастического анализа наблюденных в прошлом гидрологических рядов. Здесь преследовалась цель количественно выразить закономерности, присущие процессу речного стока, протекающего во времени в данном конкретном створе. Для установления оптимального интервала многолетний непрерывный гидрограф подвергался дискретизации с различными интервалами осреднения. Рассмотрены некоторые аспекты цикличности процесса многолетних колебаний годового стока. При получении оценок статистических характеристик исследовалось влияние на них даты начала года. Для расчета речного стока показана целесообразность применения распределения Джонсона.
Во второй части работы (главы 3—7) рассмотрены вопросы оперативной гидрологии, связанные с моделированием (синтезом) искусственных гидрологических рядов годового стока. Наряду с уже известными методами индивидуального и группового моделирования рекомендованы некоторые новые методы. Систематизированы методы моделирования с учетом внутригодового распределения стока. Из композиционных методов более подробно изложен хорошо зарекомендовавший себя на практике метод фрагментов [291 ]. Подробно изложен новый метод последовательного определения линейной авторегрессии (метод ПОЛАР) и дан анализ степени совпадения исходных и смоделированных гидроло
12
ВВЕДЕНИЕ
гических рядов. Рекомендовано применение неравнодискретной модели, позволяющей приводить нестационарный процесс стока к стационарной случайной последовательности.
В заключительной главе рассмотрены вопросы моделирования гидрологических рядов для расчета паводочного стока.
Искусственные гидрологические ряды могут быть смоделированы в виде безусловных или условных реализаций стока, которые далее используются для расчета регулирования. Таким образом, здесь речь идет о подготовке гидрологических данных как входного процесса системы.
Собственно вопросы регулирования речного стока в данной работе не рассматриваются. Автор имеет намерение посвятить этой проблеме специальное исследование в развитие тех концепций, которые были изложены в его монографии [292]. Лишь в нескольких случаях, например при выборе интервала осреднения или длины гидрологического ряда, в методе фрагментов в качестве вспомогательного инструмента используется простейший вид регулирования при постоянной отдаче воды. И алгоритм регулирования здесь простой: в случае достаточности располагаемых водных ресурсов потребность в воде удовлетворится полностью, а в противном случае — лишь по мере возможности.
Под математическим моделированием процесса речного стока понимается также и способ описания трансформации выпавших в водосборном бассейне реки атмосферных осадков в процесс речного стока. Это особая проблема, ей посвящено множество специальных исследований, поэтому она здесь не рассматривается. Заинтересованному читателю можно порекомендовать, например, монографию Л. С. Кучмента [194], где приведена также обстоятельная библиография.
Касаясь вопроса систематизации моделей, можно напомнить, что обычно различают физические и математические модели. Последние делятся на детерминистические и вероятностные. Все указанные разновидности моделей находят применение в гидрологии.
Детерминистические модели обычно базируются на физических законах и имеют теоретическую структуру, основанную на сохранении массы, энергии и количества движения. При заданных входных граничных условиях они дают единственное значение на выходе. Вероятностные или стохастические модели, которые рассматриваются в данной работе, основаны на применении распределений вероятностей различных характеристик и учитывают вероятностную природу изучаемых процессов. Эти модели с дискретным или непрерывным временем находят применение, например, при решении задач длительного (сезонно-годового и многолетнего) регулирования речного стока, при долгосрочном прогнозировании геофизических процессов и т. д.
ВВЕДЕНИЕ
13
Помимо отмеченных типовых моделей находят применение так называемые параметрические модели, основанные на использовании эмпирических связей между различными параметрами. В гидрологии они начали применяться раньше других моделей и базируются скорее на простых эмпирических зависимостях и корреляции, нежели на вскрытии физических законов.
Указанное деление часто носит условный характер. Например, детерминистические модели нередко носят параметрический характер из-за того, что многие рассматриваемые явления недостаточно обоснованы физически. С другой стороны, для оценки детерминистической модели эксперименты приходится повторять многократно и результаты обрабатывать и анализировать методом математической статистики.
Наиболее известный класс моделей искусственных гидрологических рядов составляют линейные авторегрессионные модели, т. е. марковские модели. Стохастический процесс, описанный этими моделями, принадлежит к броуновой области притяжения. Такие модели подчиняются закону больших чисел и центральной предельной теореме. Они очень удобны для описания временных рядов и позволяют воспроизводить любую корреляционную функцию, начиная от простой одношаговой связи (простая цепь) и до сложной многошаговой связи (сложная цепь).
Введение в область гидрологических расчетов аппарата цепей Маркова является заслугой С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля, которые еще в 1946 г. писали [178], что к числу достоинств этого аппарата «должна быть прежде всего отнесена сравнительная простота количественной оценки анализируемых связей, а также возможность непосредственного практического использования при водохозяйственных построениях. Вместе с тем рассматриваемая концепция не входит, по-видимому, в противоречие с природой исследуемых колебаний. . . В применении к зависимости, отражающей пульсирующие колебания аргумента стока (пульсация солнечной радиации и связанных с нею климатических явлений и т. п.), использование цепей Маркова приводит, как можно полагать, к выводам, удовлетворительно отражающим наблюденный характер колебаний». В гидрологической практике цепь Маркова впервые нашла применение, по-видимому, при исследовании процесса колебаний уровня Каспийского моря [177].
Использование аппарата цепей Маркова сыграло исключительно важную роль в развитии методов инженерной гидрологии и теории регулирования речного стока. Он нашел полезное применение в области как аналитических [55, 146, 150, 310 и др. ], так и статистических методов [263, 292, 418 и др. ]. Для моделирования процесса речного стока методом Монте-Карло с учетом корреляционных связей между смежными членами ряда впервые простая цепь Маркова была использована в ряде работ автора,
14
ВВЕДЕНИЕ
опубликованных в первой половине 1961 г., и в том числе в статье [288], где было дано пять различных способов моделирования . искусственных гидрологических рядов. Несколько позже аналогичные методы моделирования появились в исследованиях М. Б. Фийринга [418], Г. А. Томаса [493] и др. Впоследствии методика была обобщена на случай сложной цепи Маркова [292, 310, 263], а также на случай системы взаимозависимых гидрологических рядов [292, 304 и др. ]. Вместе с тем за последние годы -появилась целая серия других интересных моделей, как, например, модели дробового гауссовского шума, ломаной линии и «АРИМА», модель со случайными скачками и др. Это и понятно. Поскольку сама проблема описания такого естественного процесса, каким является речной сток, весьма сложна, то нельзя -ждать быстрого и исчерпывающего ее решения. В дальнейшем нужно всемерно расширять и углублять исследования в различных направлениях для достижения желанной цели. Помимо имеющихся моделей могут появиться и новые их разновидности, которые должны быть доброжелательно встречены и тщательно изучены независимо от того, какова наша привязанность к той или иной из них.
Вспоминаются слова Ф. Ф. Давитая [97 ] относительно проблемы долгосрочного прогнозирования: «Опыт показал, что в ней легкие победы невозможны. Она требует упорной работы и большого терпения, готовности переносить огорчения и невзгоды. Чем шире фронт научных исследований в различных направлениях, тем более вероятны заметные успехи в этой важной области. Поэтому на современном этапе научных исследований было бы . неправильным отдавать предпочтение какому-либо из упомянутых направлений, а другие научные дисциплины, частично преследующие и прогностические цели, рассматривать как второстепенные для данной проблемы».
На безусловно плодотворном пути математизации гидрологии в ряде случаев имеет место излишнее увлечение схематизацией процесса стока, часто доводящее до полного игнорирования природных закономерностей. Ряд соображений по этому вопросу изложен в работе Д. Л. Соколовского [325], где говорится о рациональных пределах применения математических методов и, в частности, методов математического моделирования паводков при обязательном учете физических закономерностей процесса формирования речного стока.
В связи с отмеченным при проведении анализа процесса стока, а затем при синтезе гидрологических рядов необходимо должное внимание уделять вопросам физического обоснования последних. В отношении, например, границ распределения вероятностей годового стока, физические соображения диктуют, что сток реки не может равняться нулю или бесконечности. Если это река,
ВВЕДЕНИЕ
15
а не сухое русло, то ее годовой сток не может быть равен нулю. Сток реки не может быть также бесконечно большим, если даже через ее русло будут протекать все реки данного континента. Применение в качестве распределения вероятностей нормального закона, дающего в зоне минимумов отрицательные значения стока, никак нельзя физически оправдать, если даже такое распределение статистически хорошо согласуется с данными наблюдений.
Отмечая существенно важные результаты, уже достигнутые в области теории регулирования речного стока на базе применения искусственных гидрологических рядов, вместе с тем необходимо иметь в виду, что не следует переоценивать возможности математического моделирования. Если необходимые исходные данные отсутствуют, нерепрезентативны или имеются в недостаточном объеме, то никакие методы и в том числе методы математического моделирования не могут обеспечить получение надежных результатов.
Дальнейшее улучшение всей системы сбора, обработки и хранения исходной информации послужит надежной основой для повышения точности гидрологических расчетов. Залогом тому является применение новой или значительно усовершенствованной измерительной аппаратуры, методов дистанционного наблюдения, использование спутников и более совершенной вычислительной техники.
I
АНАЛИЗ НАБЛЮДЕННЫХ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ РЯДОВ
Глава 1
ПРОЦЕСС РЕЧНОГО СТОКА И ЕГО АНАЛИЗ
1.1. Общая часть
Речной сток — нестационарный случайный процесс, и адекватным математическим аппаратом для его описания является теория случайных функций (процессов). Для нестационарных случайных процессов эта теория разработана пока сравнительно слабо, поэтому обычно нестационарные процессы стараются тем или иным способом свести к стационарным и применять к ним уже достаточно хорошо разработанную теорию. Таким образом возникает задача приведения естественного процесса речного стока к стационарному процессу (при непрерывном времени) или к стационарной случайной последовательности (в дискретном случае).
Рассмотрим некоторые возможные способы такого приведения [38].
Для решения первой задачи можно использовать метод скользящей средней, который заключается в том, что за расход воды в любой момент времени t принимается его среднее значение в заданном интервале
*• = hl’
с центром в точке /. При непрерывном изменении t интервал г0 скользит вдоль оси времени, при этом происходит сглаживание наблюденной реализации случайного процесса, в нашем случае
ПРОЦЕСС РЕЧНОГО СТОКА
17
наблюденного в течение п лет гидрографа. Тогда оценкой математического ожидания нестационарной функции будет
=	[ x(s)ds,	(1.1)
zo J
а оценкой ковариационной функции
z+l-
Rx (t, t + т) = J- [ [X (s) — mx (s)l x
Z1 J
2
X [x (s + r) 4- m* (s 4- t)] ds, —-j-CT<-y-.	(1.2)
Интервалы z0 и z± должны быть выбраны так, чтобы в их пределах соответствующие функции (т*х и R*x) можно было считать линейными.
Как известно, основной причиной нестационарности процесса стока является сезонная изменчивость стока. Если считать, что сток является периодическим случайным процессом с периодом 1 год, и принять интервал осреднения (г0 = ti) равным одному тропическому году, то в первом приближении можно рассматривать сглаженный процесс стока как стационарный, причем это приближение тем справедливее, чем меньше сезонная составляющая.
Для полученного стационарного процесса оценкой математического ожидания будет
т
mx = ^\x(t)dt,	(1.3)
О
а оценкой ковариационной функции
т—т
= J [x(t)-m*][x(t + x)-m*]dt,	(1.4)
о
где Т — длина наблюденного гидрографа (Т = nh).
Функции х (/) и х (t 4- х) вместе известны лишь в пределах интервала Т—т, поэтому в выражении (1.4) среднее значение взято по этому интервалу. Некоторые авторы рекомендуют применять формулу (1.4) при т < 0,2Т [15 J, поскольку при больших
2 Г. Г. Сванидзе
18
Глава 1
значениях т точность оценки ковариационной функции заметно снижается.
Другой способ приведения процесса стока к стационарному процессу с непрерывным временем заключается в следующем. Наблюденные в прошлом годовые гидрографы (общим числом п) накладываются друг на друга, и их ансамбль рассматривается как множество реализаций. Известно, что этот процесс X (/) в каждый фиксированный момент времени может быть рассмотрен как случайная величина X (/). Для равноотстоящих друг от друга значений аргумента /z (Z == 1, 2, . . ., т) определяются оценки математического ожидания т* (/z) и среднего квадратического отклонения о* (Zz). Затем производится нормирование гидрографа с помощью зависимости
П/ (h) =
X/ (ti) — т* (ti)
i — 1, 2, . . ., tn,
(1.5)
где j = 1, 2, . . ., ti — номер гидрографа.
Полученные значения rjy (/z) аппроксимируются плавными кривыми, в результате чего получается ансамбль реализаций, представляющий собой стационарный приведенный случайный процесс стока с непрерывным временем. Математическое ожидание этого процесса равно нулю, а дисперсия — единице. Нормированная корреляционная функция г (т) строится обычным образом.
Как показывает многолетняя практика решения различных задач теории регулирования, дискретные модели стока имеют ряд преимуществ перед непрерывными моделями. Объясняется это двумя причинами.
Во-первых, мгновенные расходы воды при некотором заданном значении аргумента t характеризуются большим разбросом относительно своего математического ожидания, поэтому целесообразно каждый годовой гидрограф предварительно осреднять в пределах какого-либо конечного интервала (например, декадного или месячного) и соответствующие значения математического ожидания и стандарта относить к середине этого интервала. Во-вторых, специальными исследованиями доказано (см. ниже), что при глубоком сезонном и многолетнем регулировании стока уменьшение интервала ниже декадного, а часто и ниже месячного, нецелесообразно, так как при этом результаты расчета не уточняются, а объем вычислительной работы сильно возрастает. Здесь будут рассмотрены различные возможности использования дискретных моделей стока.
В задачах теории регулирования (расчет одного водохранилища или системы водохранилищ) речной сток является входным процессом, который в ходе регулирования с помощью водохранилищ подвергается некоторым специфическим нелинейным пре
ПРОЦЕСС РЕЧНОГО СТОКА
19
образованиям. Ввиду нелинейности этих преобразований аналитическое определение статистических характеристик выходного процесса представляет собой сложную задачу даже тогда, когда входной процесс имеет простой вид (дискретный процесс с независимыми значениями), а полезная отдача постоянна. Трудности значительно возрастают при более сложной природе входного процесса, скажем, когда он является простой или сложной цепью Маркова.
Указанные чисто математические трудности, возникающие при аналитическом решении рассматриваемого класса задач, могут быть преодолены путем применения метода Монте-Карло 132, 34]. Для этого статистически моделируются реализации входного процесса (искусственные гидрологические ряды), над которыми выполняются указанные операции, и на основании балансовых расчетов строятся выходные реализации процесса. Последние позволяют путем их статистической обработки получать функции распределения искомых статистических характеристик системы на выходе.
1.2. Речной сток как стохастический процесс
Тезис о нестационарности процесса речного стока в настоящее время является общепринятым. Такое утверждение, относящееся к большинству физических процессов, является чисто негативным. Согласно ему, все процессы, не удовлетворяющие основным условиям стационарности, относят к нестационарным. В этот очень широкий класс процессов пытаются ввести некоторую систематизацию, чтобы найти соответствующие специфические способы их анализа и расчета.
Если в основу систематизации положить характер изменения основных и наиболее простых статистических параметров, какими являются математическое ожидание и дисперсия, то можно различить следующие три простейших типа нестационарных процессов [38 J:
I — математическое ожидание во времени является переменным;
II—дисперсия во времени является переменной;
III—математическое ожидание и дисперсия во времени являются переменными.
Графическое изображение этих трех типов дается на рис. 1.1.
Процесс речного стока уместно отнести к типу III, что объясняется периодичностью среднего расхода воды пи (/) с годовым циклом колебания и изменчивостью квадрата расхода воды £2 (/), обусловливающей изменчивость дисперсии.
Ниже мы будем часто упоминать стационарные (как в широком, так и в узком смысле) и марковские случайные процессы
20
Глава 1
с дискретными и непрерывными временными параметрами. Поэтому рассмотрим некоторые определения и формулы, соответствующие этим процессам.
W)
Рис. 1.1. Основные типы нестационарных процессов.
Пусть □ — множество элементарных случайных событий, a t — непрерывный или дискретный (временной) параметр, принимающий значения из произвольного интервала [а, 6]. Тогда
ПРОЦЕСС РЕЧНОГО СТОКА
21
случайной функцией (случайным процессом), как известно, называется функция двух аргументов
(0 = Ф О, °) С t С [а, Ь].	(1.6)
Для каждого фиксированного значения параметра t функция g0 (0 = Ф (^ 0 является функцией элементарного случайного события со и поэтому представляет собой случайную величину. При фиксированном значении аргумента со = соо функция Scoo (/) = ф (о)о, 0 является функцией вещественного параметра t и, следовательно, представляет собой детерминированную функцию от t. Каждая такая функция называется реализацией случайного процесса gw (/). Очевидно, что для полного вероятностного описания случайного процесса § (Z) (в дальнейшем индекс со в обозначении процесса опускается) нужно иметь соответствующее вероятностное распределение. Это распределение будет задано, если мы будем иметь все конечномерные распределения этого процесса, т. е. если для любой конечной совокупности моментов времени /2, • • •> tn (где п — любое конечное число) будем иметь распределение вероятностей совокупности случайных величин g (/J, g (/2), . . ., g (/Л)
F (-^l, ^1> t^f * • • , -^72, tf^ =
=	(1.7)
или плотность распределения
f (-^i, t±) X2, f2, . . ., Xni —
__ dnF (xlf x2, f2; •.*n, tn)	/1 ox
дхъ dx2, . . ,,dxn	k j
(если она существует).
Если при каждом фиксированном значении t = t0 случайная величина g (Zo) непрерывна, то случайный процесс g (/) называется процессом с непрерывным пространством возможных значений; если g (/0) дискретна, то g (/) — случайный процесс с дискретным пространством возможных значений.
Если параметр t непрерывен, то g (/) — случайный процесс с непрерывным временем. При g (/) = {gn}, п = О, 1, 2, . . . имеем случайный процесс с дискретным временем.
Случайный процесс g п = 0, 1, 2 ,. . . называется случайным процессом с независимыми значениями, если для любой конечномерной функции распределения справедливо равенство
F («^1,	-^2,	• • •> tn)
== Fi (%, ^i) F2 (-^2» t2)... Fп (хп, tn),	(1.9)
где Flt F2, . . ., Fn — одномерные функции распределения.
22
Глава 1
Случайный процесс g (/) с непрерывным или дискретным временем называется стационарным в узком смысле случайным процессом, если для любой конечномерной функции распределения F (х±, ti, . . .; xni tn) и любого т справедливо равенство
F (A. 4 + т; х2) /2 + т; ...; хп, =
= F (х^, 4; -^2» 4> •••>	4)*	(410)
Случайный процесс g (t) с непрерывным или дискретным временем называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия постоянны, а корреляционная функция зависит только от разности моментов времени т =
/2 — а не от самих моментов t± и /2. Определения математического ожидания, дисперсии и функции корреляции для процесса £ (f) даются ниже.
Пусть в момент /0 случайный процесс g (/) принимает значение § (/0). Если распределение вероятностей будущих значений процесса 5 (/) не зависит от тех значений, которые принимал £ (/) до момента /0> то 5 (0 называется марковским случайным процессом.
Известно, что для стационарных случайных процессов в очень широких условиях имеет место эргодичность, т. е. при неограниченном увеличении времени наблюдения средние по времени совпадают с математическими ожиданиями. Это означает, что для эргодического процесса средние по времени для всех достаточно длинных реализаций совпадают. Поэтому для вычисления среднего и других характеристик эргодического случайного процесса достаточна довольно длинная реализация этого процесса.
Случайная функция представляет собой совокупность, или ансамбль, реализаций этой функции. Ее сечение в любой момент времени t = tr является случайной величиной I (/х), поэтому часто случайная функция представляется в виде последовательности случайных величин g (/J, g (/2), . .	£ (/„). Тогда при
любом tQ начальные и центральные моменты s-ro порядка будут:
сю
asOo)] =	\ x°f(x, t0)dx-,	(1.11)
ps [В (4)1 = м [(£ (4) -	(4))s] = J (X - тл f (x, 4) dx, (1.12)
— co
где M — знак математического ожидания, a f (x, Zo) — одномерная плотность распределения g (/) в момент /0.
ПРОЦЕСС РЕЧНОГО СТОКА
23
Тогда можем написать соответствующие зависимости: для математического ожидания процесса
(f) = М (/)] = J xf (х, t) dx-,	(1.13)
для математического ожидания квадрата £2(0
со
А4О)]= J t) dx;	(1.14)
—СО
для дисперсии g (/)
(0 = М [(£ (/) -	(0)21 = 1Н (/) - ml (t).	(1.15)
Статистические моменты различных порядков и одномерная функция (или плотность) распределения характеризуют случайный процесс в статике, поскольку они описывают процесс в заданном его сечении при некотором конкретном значении аргумента Л Для характеристики процесса в динамике используются моменты и распределения для двух сечений и более. Если рассмотреть два произвольных момента времени и /2 в пределах интервала наблюдений [О, Т], то наиболее важной для нас статистической характеристикой будет ковариационная функция
со со
Я£(*1, h) = J J l*i - m^tj] х
—со —со
X [х2 — mt,(/3)1 /(хх, х2. t^dx^dx^	(1.16)
или нормированная корреляционная функция
U-17) (q) (ч)
В частном случае, когда t = tr = t2, получим
/) = о| (/) ~ £>g (/),	(1.18)
т> е. если известна ковариационная функция, то известна и дисперсия.
Раздел теории случайных процессов, рассматривающий процессы, заданные математическим ожиданием и корреляционной функцией, называется корреляционной теорией. Дальнейшее изложение различных вопросов моделирования процесса речного стока в основном находится в рамках этой теории.
24
Глава 1
1.3. Модель наблюденного гидрографа и выбор интервала осреднения
ЭВМ является основным средством, с помощью которого производятся экспериментирование, моделирование и расчеты регулирования речного стока. Для этого необходимо квантование естественного непрерывного процесса стока, т. е. представление этого процесса в виде чисел. Собственно, под термином «квантование» понимается квантование по уровню, а квантование по времени называется дискретизацией (рис. 1.2). В теории регулирования речного стока обычно применяется дискретизация, т. е. в пределах шага дискретности отрезок непрерывной реализации заменяется его средним значением. Таким образом, производится схематизация процесса, в результате чего непрерывный гидрограф заменяется ступенчатым (рис. 1.3). Шаг дискретности и, следовательно, модель стока могут быть различными в зависимости от особенностей решаемой задачи и характеристик имеющихся вычислительных средств. Например, таблица среднесуточных наблюденных расходов воды уже является моделью стока, поскольку мгновенные расходы воды Q (/) осреднены в пределах суток и представлены в виде цифрового материала.
В проектной практике водноэнергетические (водохозяйственные) расчеты выполняются с различной степенью схематизации наблюденных гидрографов. Для оросительных систем за интервал осреднения обычно принимается декада или месяц, при водноэнергетических расчетах (длительное регулирование) — месяц. При некоторых способах расчета предлагается определять сезонную составляющую полезной емкости водохранилища при делении года на два сезона (маловодный и многоводный). Бывают случаи деления года на кварталы, пятидневки и т. д.
В связи с отмеченным возникла необходимость исследовать вопрос, как отражается степень схематизации гидрографа на результатах расчетов и в какой мере уточняются эти результаты при уменьшении интервала осреднения (год, сезон года, квартал, месяц, декада, пятидневка и т. д.). Насколько нам известно, в гидрологии этот вопрос раньше не был подробно исследован и выбор применяемых в проектной практике интервалов осреднения основан преимущественно на инженерной интуиции и опыте проектировщиков.
Очевидно, что уточнение модели входного процесса стока путем уменьшения интервалов осреднения увеличивает количество вычислений. Возникает естественное желание найти разумный предел "'уточнения, не приводящий к чрезмерным затратам на моделирование. Мы сталкиваемся, таким образом, с одним из аспектов общей проблемы рационального выбора модели. Ниже опи-
ПРОЦЕСС РЕЧНОГО СТОКА
25
Рис. 1.2. Квантование по уровню (а) и квантование по времени, т. е. дискретизация (б).
Рис. 1.3. Наблюденные гидрографы (а) и их модели при осреднении расходов воды в пределах декады (6) и месяца (в).
I — Р- Терек — пгт Казбеги, 1963 г.; II — р. Кура — г. Тбилиси, 1940 г.
Глава 1
ПРОЦЕСС РЕЧНОГО СТОКА
27
сывается подход к решению этой проблемы, основанный на работе Ю. Г. Полляка [247J (см. также [216]).
В соответствии с терминологией работ [216, 247], отправной точкой при формировании рабочей машинной модели ц служит полная математическая модель pw, фиксирующая все известные исследователю сведения о моделируемой системе. В отдельных случаях модель р(0 можно представить машинным алгоритмом и изучить непосредственно (это имеет место, в частности, если модель ро представлена наиболее подробной таблицей среднесуточных расходов воды). Однако на практике такое изучение оказывается слишком трудоемким и потому нежелательно. Для сложных моделей ц(0 точное машинное представление оказывается технически невозможным и под ц(0 понимается лишь гипотетическая структура, подлежащая упрощениям. В частности, нельзя ввести в цифровую вычислительную машину непрерывный график расхода воды Q (t). Модель ц аппроксимирует с полнотой, зависящей от целей исследования и выделенных для него вычислительных средств. В данном случае речь идет о кусочно-постоянной в пределах интервала осреднения аппроксимации непрерывного гидрографа.
Предметом теоретического обсуждения является вопрос о соответствии р и ставящийся главным образом в конструктивном плане — как проблема выбора модели, обеспечивающей приемлемую точность при ограничениях на структурные характеристики, в частности на сложность модели. В основу рассматриваемого подхода к решению этой задачи положены два общих принципа, определяющих свойства, которыми должна обладать построенная модель.
Согласно принципу соответствия точности и сложности модели, при переходе цо --> ц должен достигаться разумный компромисс между погрешностью аппроксимации и сложностью вычислений с моделью ц. Погрешность аппроксимации приводят обычно к результирующему показателю (характеризующему моделируемую систему в целом), определяя ее как ошибку, внесенную в этот показатель при замене полной модели ее аппроксимацией ц. В рассматриваемой задаче будем предполагать, что модель гидрографа используется при расчетах регулирования речного стока и что аппроксимация, связанная с увеличением интервала осреднения гидрографа, сказывается на точности определения характеристик зарегулированного стока, например обеспеченности отдачи р. Величина р, используемая в дальнейшем в качестве результирующего показателя, определяется как время, в течение которого полезная отдача воды у превышает заданный нижний предел а, отнесенное к периоду регулирования. Если период регулирования составляет N лет, а интервал осреднения
28
Глава 1
гидрографа в годах равен 1/т, то величина р оценивается при моделировании как
₽-т-100”/-	<И9>
где А — число интервалов, при которых у > а.
Сложность вычислений может выражаться различными количественными характеристиками с [2161. Может быть принята, в частности, предложенная в работе [191 ] характеристика
с = ТП,
где Т — время счета одного прогона модели; П — объем памяти, необходимый для хранения промежуточных результатов моделирования.
В рассматриваемой задаче сложность зависит от количества Nm обрабатываемых в течение прогона (N лет) дискретных значений гидрографа. Будем считать в дальнейшем с пропорциональным Nm и (при заданном интервале времени, на котором рассматривается модель) обратно пропорциональным интервалу осреднения гидрографа.
После того как погрешность аппроксимации и сложность вычислений, фигурирующие в формулировке принципа соответствия точности и сложности, определены количественно, построение модели в соответствии с этим принципом можно представить как решение экстремальной задачи: требуется обеспечить наименьшую сложность модели при заданной предельной погрешности моделирования (или наименьшую погрешность при заданной допустимой сложности).
Вторым основным положением теории моделирования является принцип баланса точностей. В соответствии с этим принципом постулируется соразмерность составляющих погрешности моделирования, вызванных:
а)	упрощением (систематическая погрешность, характеризующая различие между и в рассматриваемом случае — погрешность, вызванная увеличением интервала осреднения гидрографа);
б)	неточностями численных параметров модели (внесенная погрешность, обусловленная, в частности, погрешностями измерения расхода Q (/));
в)	разбросом результатов при статистическом эксперименте с моделью (случайная погрешность).
При этом суммарная погрешность моделирования должна соответствовать требуемой точности, например точности последующих расчетов, в которых используются результаты моделирования.
ПРОЦЕСС РЕЧНОГО СТОКА
29
Модель, построенная согласно принципу баланса точностей, называется корректной. Можно считать, что упомянутый выше разумный предел уточнения результатов моделирования реализуется именно этой моделью [216].
Практическое осуществление корректной модели основывается на анализе перечисленных выше составляющих погрешности. Наибольшие трудности связаны с анализом систематической погрешности. Непосредственное определение этой погрешности как разности /7Ц — /?ц результатов моделирования, полученных на упрощенной модели р и полной модели р(0, возможно и целесообразно при разработке многократно используемых моделей р, например моделей типовых элементов исследуемой системы, когда сама система или модель р0) доступна для изучения. Принципиальные затруднения возникают при моделировании уникальной проектируемой системы, когда формируемая модель используется однократно. Сравнение результатов испытания этой модели с результатами, полученными на модели pw, теряет практический смысл, даже если испытание ро осуществимо; все подлежащие изучению показатели системы уже получены при испытании полной модели. Таким образом, необходим косвенный, не связанный с исследованием моделируемого объекта или его полной модели, контроль систематической погрешности — р^.
Ниже рассмотрено решение этой задачи, основанное на анализе сходимости результатов машинного эксперимента с рядом {И/} регулярно усложняемых моделей р;-, j = 1, 2, ... [247]. Предполагается, что систематическая погрешность 8;- =	— рЦ(й
модели р;- из ряда {рД однозначно определяется сложностью^-этой модели. Зависимость & = & (с), записанную в форме
8 = Рц -	= е (с, TI, Ъ, • • •, Ут),
где Vi, . . .,	— параметры, можно восстановить по результа-
там tn + 1 идеальных (безошибочных) машинных экспериментов с моделями р;-, j = 1, 2, . . ., т + 1. В этом случае истинное значение рЦ(о можно было бы определить (экстраполировать) по результатам испытания сравнительно простых моделей из ряда |рД. Неточность предположений о виде функции е (с,	...
. . ., ут) и погрешности машинного эксперимента делают задачу экстраполяции неустойчивой; однако грубая оценка погрешности 8у- практически возможна. В частности, при
8 (с, 71, Та) = 71С~7г	(1.20)1
е/ =(РИ/ - Pn/_1)/[(c//^-i)V2 - 1], / = 2, 3, ...
1 Зависимость (1.20)	имеет место, например, при ступенчатой ап-
проксимации процессов в моделях инерционных систем [216], в том числе в рассматриваемых здесь моделях регулирования стока.
30
Глава 1
Если при усложнении выполняется условие
(1.21) то
I е/1 < IР14 - Р|ХМ |.	(1-22)
Таким образом, удается косвенно оценить систематическую погрешность модели р;, испытывая модели не более сложные, чем ру.
Расчет погрешности, внесенной в ошибками при определении параметров %2, . . ., Х/г модели ро, сводится к трансформации ошибок АХх, . . ., АХ^ методами теории чувствительности. Решение этой задачи для статистической модели подробно описано в работе [2161. В простейшем случае необходимые для трансформации производные др^/дк^ s = 1, 2, . . ., k можно определить конечно-разностным методом с использованием зависимых испытаний [247 J, повторяя моделирование k— 1 раз при различных значениях \ + AXS, близких к номинальным значениям Zs, и вводя во все варианты одни и те же реализации случайных процессов. Важно заметить, что необходимые здесь многократные расчеты осуществляются обычно на более простой модели, в частности с использованием сильно осредненного гидрографа.
Расчет случайной погрешности также не вызывает принципиальных затруднений и может быть выполнен апостериори, для каждой конкретной модели, статистическими методами, описанными, например, в работе [2471. Заметим, что в ряде случаев случайную погрешность удается уменьшить до пренебрежимо малого значения. В рассматриваемой задаче это можно сделать, увеличивая длину моделируемой реализации, воспользовавшись, например, методом фрагментов [292 J (см. главу 4) для моделирования искусственного гидрографа большой длительности по коротким (N = 30н-504-100) наблюденным рядам.
Проанализируем в качестве примера корректность осреднен-ных гидрографов применительно к расчетам регулирования стока, описываемого следующим алгоритмом:
,	yi — (Ху ^у)о,
ui = (Xi 4- Zi — а —
zi+I = (Xi 4- Zi - a)^;	(1.23)
здесь yt — объем полезной отдачи воды (умакс = а), где а — лимитирующая константа; Ху — приток воды в водохранилище в течение /-того интервала; zt — объем воды в водохранилище к началу i-того интервала; щ — холостой сброс воды; р = — —
ПРОЦЕСС РЕЧНОГО СТОКА
31
полезный объем водохранилища в долях среднемноголетнего стока 1F; т — число интервалов в году. Операция «двустороннего усечения» аргумента х подразумевает следующее:
(%)« =
b х^>Ь;
х
а х<^а.
Полученные при расчете по формулам (1.23) значения выходного процесса используются для оценки обеспеченности от-
дачи, определяемой по формуле (1.19).
На рис. 1.4 приводятся результаты экспериментальных расчетов, выполненных 3. И. Церетели [3611 на основании искусственных гидрографов (N = 1000), моделируемых методом фрагментов. В этом случае статистические ошибки малы и для суждения о корректности принятого осреднения гидрографа достаточно оценить систематическую погрешность. Учитывая, что сложность cll2 модели |ы2 с подекадным осреднением (рис. 1.4) в три раза превышает сложность С/Л1 модели Pi с помесячным осреднением и что параметр у2 в формуле (1.20) для рассматриваемой задачи превышает единицу [см. сноску к формуле (1.20)1, можно убедиться в выполнении неравенства (1.21) и, следовательно, в справедливости оценки (1.22). Таким образом, рас-
Рис. 1.4. Функции распределения вероятностей превышения отдачи а для различных относительных объемов регулирующего водохранилища Р по среднемесячным (/) и среднедекадным (2) расходам воды (р. Волга — г. Куйбышев, 1876—1955 гг.).
хождение сплошных и пунк-
тирных кривых на рис. 1.4 допустимо принять в качестве верхней оценки систематической погрешности моделирования х.
1 Заметим, что при Р 0,3 сплошные и пунктирные кривые сливаются, указывая на малость погрешностей. Физический смысл этого очевиден: с ростом Р возрастает инерционность процесса регулирования, показатель р которого реагирует лишь на осредненные значения гидрографа, одинаковые в моделях и р,2.
32
Глава 1
Описанная процедура оценки корректности может быть использована при других режимах регулирования и других методах расчета регулируемого стока. Однако при определенной инерционности регулирования (и заданном |3) осреднение гидрографа влияет на результаты моделирования примерно так же, как в рассмотренном примере.
Основной вывод, который вытекает из результатов проведенных исследований, заключается в том, что в случае водноэнергетических и водохозяйственных расчетов при долгосрочном (сезонно-годовом и многолетнем) регулировании вполне приемлемая точность достигается при месячном интервале осреднения и в обычных условиях нет надобности пользоваться менее продолжительными интервалами. Расчеты следует проводить на основании искусственных гидрологических рядов достаточно большой длины (jV = 1000-г-10 000), а обеспеченность отдачи р определять по числу бесперебойных месяцев.
При недолгосрочном (|3 < 0,1) регулировании нужно пользоваться декадными интервалами, а в случае регулирования половодий и паводков — меньшими интервалами осреднения (см. главу 7).
1.4. Некоторые вопросы цикличности процесса колебаний годового стока
В наблюденных рядах годового стока прослеживается определенная цикличность, выражающаяся в наличии группировок многоводных и маловодных лет. Чередование этих группировок на разных реках протекает различным образом и лишь для отдельных групп рек носит более или менее синхронный характер. Исследованию проблемы цикличности природных явлений посвящена довольно обширная литература, часть которой приводится в списке литературы. Для инженерной гидрологии и теории регулирования речного стока этот вопрос также имеет важное значение.
Цикличность процесса речного стока ряд авторов объясняет, например, тем, что при обильных атмосферных осадках вода аккумулируется в грунте и в последующие годы инфильтруется обратно в ложе реки, поддерживая некоторую половодность. В случае последовательности сухих лет наблюдается обратное явление. Д. Я. Раткович выдвинул гипотезу, согласно которой одной из основных причин цикличности годового стока является коррелированность в рядах годового слоя испарения [260 J.
Часто приводятся интересные примеры о циклическом характере многих природных явлений, а также о геофизических процессах, от которых эти явления так или иначе зависят. Кажущаяся или действительно существующая цикличность процессов,
ПРОЦЕСС РЕЧНОГО СТОКА
33
протекающих в природе, и солнечная активность, явно носящая циклический характер, не схожи, но в отдельных случаях между ними прослеживается определенная положительная корреляция.
Методы расчета теории регулирования стока базируются на построении соответствующей математической модели стока, более или менее адекватно описывающей характерные черты исходного процесса. В случае стационарной модели годового стока допускается, что безусловное распределение вероятностей не меняется в периоды наблюдений, а также в течение расчетного срока работы сооружения. Однако нельзя предсказать, каким будет наудачу выбранный конкретный год — маловодным или многоводным. Вместе с тем гидрологическая практика показывает, что в подавляющем большинстве случаев существуют стохастические связи между значениями стока соседних лет. Для изученных рек Советского Союза коэффициент автокорреляции между значениями стока соседних лет в среднем равен 0,3.
По мере увеличения промежутка между годами связь обычно ослабевает и в конце концов затухает. Таким образом, появляется возможность дать количественную оценку вероятности образования цепи маловодных и многоводных лет через спектральную плотность или корреляционную функцию процесса стока на основе гипотезы об эргодичности последнего.
Первыми интерпретаторами цикличности в изложенном плане были С. Н. Крицкий и М. Ф. Менкель. Они предлагали рассматривать многолетние циклические колебания речного стока как одну из трех форм, для которых представлялось возможным дать математическое описание [178].
Во-первых, можно представить циклы колебаний как сложный нестационарный процесс, исходя из того, что гидрологические параметры меняются во времени. Однако для весьма сложного характера изменения гидрологических рядов этот метод не дал положительных результатов. Во-вторых, можно представить многолетние колебания стока как сложную систему вариаций, составленную из колебаний какого-то среднего статистического уровня и случайных отклонений от него. Но эти условия по-разному проявляются на практике. Трудно проследить периодичность даже для какого-то среднего статистического уровня, в то время как случайные отклонения бывают слишком резкими и затушевывают периодичность. В-третьих, можно рассматривать сток как стохастический процесс, для выражения многолетних колебаний которого могут служить цепи Маркова с корреляционной связью между значениями стока смежных лет.
Проведенные впоследствии исследования подтвердили, что такая интерпретация цикличности стока практически исчерпывает возможные математические формы описания этого явления.
34
Глава 1
И. В. Хомерики [351] были смоделированы длинные гидрологические ряды методом Монте-Карло по схеме простой цепи п
Маркова и построены разностные интегральные кривые 2	— 1),
__ i==l
где ki = QJQ, которыми часто пользуются для иллюстрации циклического характера колебаний процесса. Полученные графики позволили ему сделать заключение, что в случае применения одних и тех же случайных чисел циклы получаются одинаковой протяженности как при наличии корреляции (г > 0), так и в ее отсутствии (г = 0); изменяется лишь размах относительно нормы.
Судя по этим данным, при учете стохастических связей по схеме простой цепи Маркова увеличивается глубина дефицита, что, собственно говоря, и влечет за собой увеличение потребной емкости регулирования (рис. 1.5). В случае применения сложной цепи Маркова длина циклов меняется.
Ряд специалистов считают, что обработка статистических данных с помощью разностных (сокращенных) интегральных кривых искажает результаты исследования. По-видимому, предпочтительно пользоваться непосредственно смоделированными рядами, а не их интегральными кривыми.
В зависимости от выбора даты начала года меняется коэффициент корреляции гг между значениями стока смежных лет (см. главу 2). С другой стороны, между этим коэффициентом и средней длительностью группировок Хср существует определенная корреляционная связь [93]. Таким образом, от даты начала года может меняться и Хср и, следовательно, группировки маловодных и многоводных лет («цикличность») зависят от такого субъективного фактора, каким является дата разрезки многолетнего наблюденного гидрографа на годовые интервалы осреднения. Этот вопрос должен быть исследован специально.
В работе [260] в качестве доказательства наличия корреляции между объемами стока различных лет приводятся результаты анализа большого числа наблюденных рядов, согласно которым длительные маловодные и многоводные группировки наблюдаются на реках чаще, чем это свойственно последовательности независимых случайных величин, поэтому на реках выше средняя длительность группировок. Авторы работ [93, 136] предлагают графики линейной связи и аналитические выражения между средней длительностью группировок и коэффициентом корреляции стока смежных лет. В качестве подходящей функции распределения вероятностей продолжительности группировок маловодных и многоводных лет рекомендуется закон Пуассона [931.
В качестве эффективного аппарата исследования цикличности во временных рядах некоторые исследователи предлагают при-

Рис. 1.5. Разностные интегральные кривые модульных коэффициентов рядов годового стока, смоделированных методом Монте-Карло.
/) С = 0,3,	= 0,6, гл = 0,4; 2) С = 0,3,	= 0,6, г. = 0.
V	о	Л	V	V	Л
ПРОЦЕСС РЕЧНОГО СТОКА
36
Глава 1
менять спектральные характеристики [99, 100, 166, 264, 266, 269 и др.]. В работе [269] указывается, что в пользу использования спектрального преобразования для оценки цикличности стока рек говорят соображения физического характера, а также возможность получения с его помощью более объективных показателей, чем это имеет место в случае применения корреляционной функции. Как известно, однако, спектральная функция представляет собой преобразование Фурье от автокорреляционной функции, поэтому при замене одной характеристики другой можно говорить лишь об удобстве такого подхода.
К решению задачи цикличности в ряде работ [233, 351 J был сформулирован следующий подход.
Могут быть рассмотрены две гипотезы:
—	гипотеза I: вероятностный процесс Q* (/), являющийся осреднением по времени с интервалом осреднения 71, равным одному году, непрерывного процесса Q (/) изменения расхода в некотором створе реки, содержит периодическую или почти периодическую составляющую и (/);
—	гипотеза 11: вероятностный процесс Q* (/) периодической составляющей не содержит.
Гипотеза II, конечно, может рассматриваться как частный случай гипотезы I, однако между ними есть принципиальное различие: гипотеза I объясняет цикличность наличием периодической составляющей, гипотеза II может объяснить ее лишь как свойство, присущее самому вероятностному процессу [233].
Процесс мгновенных расходов Q (f) может быть представлен (такое представление может иметь самые разнообразные формы) в виде аддитивной функции
О) - u(t) +n (0,	(1.24)
где и (/) —детерминированная функция, а т] (/) — случайная часть. Как отмечается в работах [233, 351], функцию и (/) часто удается подобрать так, что процесс р (/) оказывается значительно более простым, чем Q (/), и тогда решение задач, связанных с этим процессом, существенно упрощается.
Периодическая составляющая (тренд) и (/), отражающая процесс цикличности годового стока, может быть установлена различными методами. В работах [465, 476], например, принимается, что тренд имеет вид
k
u(t) = 2 A cos	,
1=1	'	1
где At — амплитуды, Tt — периоды, a — фазы гармоник.
Известен ряд эффективных методов выделения тренда [312, 347 и др.]. Так, И. В. Хомерики [351 ] использовал метод Шу
ПРОЦЕСС РЕЧНОГО СТОКА
37
стера—Стокса, основанный на принципе демодуляции. Некоторая разновидность такого периодограммного анализа применяется в исследованиях по объектам автоматического регулирования, связанным со случайными колебаниями. Проверка указанного метода на 90 рядах показала, что примерно в 60% случаев условия стационарности удовлетворяются (и (/) —0). Учет периодической составляющей является обязательным сравнительно редко (менее 10%). В остальных случаях вопрос следует решать в зависимости от глубины регулирования стока и необходимой точности получаемых результатов [352 J.
В более поздней работе [3541 Хомерики предлагает для поиска скрытой периодичности использовать метод Гренандера— Розенблатта [422 J, основанный на непосредственном оценивании функции спектральной плотности через периодограмму
2
П
(1-25)
где
Л (X) = 1/ S xt cos th; r n t=l
В (X) = I/ — Ti xt sin Л.
Г n t=A
Пусть xt имеет следующий вид в комплексной форме:
2 dvexp[iavl + ^,	(1.26)
v=l
где первый член суммы является трендом, а второй — белым шумом. Из сказанного следует, что
У xt exp [— itk] =
p
1 j _г.-м • гч exp [in (%« — %)] —1 ,
- 7Л 2j dv eXP U (Ч “ Z)1 exPU(Xv-X)]-r +
V—I
+ -L У Czexp[-iaj.	(1.27)
У n v—1
Для первого члена полученной суммы среднее равно нулю и дисперсия равна единице, а второй член стремится к нулю, когда
38
Глава 1
% = %0, a v = 1, 2, . 9 р. В других случаях он имеет значение порядка ]/п.
В случае наличия гармоник периодограмма будет иметь высокие пики на частотах При построении периодограммы предполагается, что большие пики соответствуют действительному периоду скрытой компоненты. На рис. 1.6 приводится периодограмма ряда среднегодовых расходов р. Урал (пос. Кушум) продолжительностью 40 лет [354].
Как следует из анализа графика, по всплескам на периодограмме можно выделить четыре периода: = 3; р2 = 9, р3 = = 14 и /?4 = 19, которые соответствуют четырем разным значениям частот исследуемого ряда годового стока:
о 2л	3	п 2л	9
0)1 =	“ 20ГЯ’ 0)2 ~9	~ 2О'Я;
. л 2л	14	1 п 2л	19
(0=14 — =	(0=19 — = Лф
3 п 20 ’	4 п 20
Периодическая составляющая (тренд) находится с помощью зависимости
т
= 2 (ak cos счк1 + bk sin (S)kt),	(1.28)
где
2 V	-a 2 v
COSCO*/; bk = — 2j Xj sin co*/. n /=i	n /=i
Результаты исследования циклических колебаний стока в случае статистической значимости тренда в дальнейшем могут быть использованы при расчете регулирования речного стока. Для этой цели следует моделировать искусственный гидрологический ряд с добавлением тренда. Затем этот длинный ряд (или ансамбль коротких рядов) кладется в основу водохозяйственных расчетов.
Чтобы убедиться в достоверности метода выделения тренда, автором было рекомендовано испробовать метод на экспериментальных искусственных рядах, в состав которых специально включен тренд. Конечно, при проверке метода выделения тренда не следует пользоваться информацией о структуре рядов или расчеты должны выполняться другим лицом, которому не известна эта структура. Если метод позволит «обнаружить» тот же тренд, который был заложен в ряд, то метод можно считать приемлемым. Этот прием был использован в работах [351—354] и оказался достаточно эффективным.
Известны попытки схематического районирования части территории СССР по продолжительности циклов [166, 353], однако
ПРОЦЕСС РЕЧНОГО СТОКА
39
имеющиеся материалы не позволяют с какой-либо степенью надежности гарантировать приемлемость такого районирования.
Следует, однако, помнить, что аппараты скользящего среднего и разностной интегральной кривой имеют чисто вспомогательное значение и должны применяться с большой осторожностью. По этому вопросу Д. Я. Раткович указывает [261 ], что «выделяемые в результате скользящего осреднения или интегрально-
Рис. 1.6. Периодограмма ряда годового стока р. Урал (пос. Кушум, 1926—1965 гг.).
разностного преобразования низкочастотные колебания могут трактоваться как детерминированные только в том случае, если их повторяемость выходит за доверительные границы, отвечающие случайному процессу. При этом следует учитывать, что для исходной коррелированной (но случайной) последовательности скользящее осреднение и интегрально-разностное преобразование дадут еще большую повторяемость длительных серий, чем в случае исходной некоррелированной последовательности. Неосторожное истолкование результатов может привести к ложным выводам о наличии детерминированных длинных волн, трактуемых иногда как «вековые циклы», «внутривековые циклы» и т. д.» Еще более определенно высказывается В. Евджевич [498], указывая, что «способ скользящего среднего следует применять осторожно при обнаружении и устранении трендов из гидрологи
40
Глава 1
ческого ряда. Огромное количество литературы, существующее по применению схем скользящих средних в обнаружении, описании и устранении трендов, совершенно непропорционально значению этой темы для гидрологии. Источники трудностей этого метода заключаются в искажениях периодических компонентов в различных параметрах или псевдоколебаниях, появляющихся в результате разглаживания стохастического компонента, который устраняется одновременно с удалением тренда. В силу этих искажений схема скользящих средних как метод изучения временных рядов в гидрологии больше вредит, чем помогает».
Ряд специалистов считают, что при практических расчетах следует исходить из стационарности значений годового стока и нет надобности в учете тренда из-за его статистической малозначимости. Например, исследование вопроса цикличности с помощью метода максимума правдоподобия привели Н. А. Картвелишвили и Н. С. Корганову [150] к следующим выводам: «1) методически всегда можно считать, что процесс стока имеет непрерывный спектр, а все водохозяйственные расчеты делать исходя из того, что этот процесс отдельных гармоник не содержит и является эргодическим процессом; 2) попытки построения сверхдолгосрочных прогнозов на основе выделения гармоник в стоковых рядах вряд ли могут рассчитывать на успех».
Резюмируя сказанное, можно отметить следующее.
Последовательность значений годового стока любой реки характеризуется группировками маловодных и многоводных лет. Если под цикличностью процесса стока понимать наличие таких группировок, то распределение их длин может зависеть от внутри-рядных стохастических связей, с одной стороны, и от наличия тренда в норме стока — с другой. Поскольку группировки характерны даже для любой стационарной- случайной последовательности независимых случайных величин, то становится затруднительным для рядов речного стока отличить долевое участие каждого из указанных факторов.
Вопросы генезиса явления цикличности в процессе стока, равно как и в других природных процессах, весьма сложны и пока никак не могут считаться хотя бы частично разрешенными, несмотря на наличие многочисленных, порой интересных исследований. Проблема весьма обширна и требует более углубленного изучения.
Можно, однако, отметить, что для предположения о присутствии гармонических компонент в многолетних изменениях речного стока нет физических оснований, а экспериментальные оценки спектра стока не содержат очень резких статистически значимых пиков, которые можно было бы интерпретировать как гармоники (см. также [261]).
ПРОЦЕСС РЕЧНОГО СТОКА
41
О солнечно-земных связях и их использовании для объяснения явления цикличности и для прогнозирования погоды и речного стока написано много. Например, вопросы прогнозирования стока на основе солнечной активности рассмотрены в работах И. П. Дружинина и его коллег [110, 111, 269]. В них положительно оценивается перспективность такого подхода. Однако ряд специалистов не разделяют мнения о возможности подобного прогнозирования, по крайней мере в настоящее время.
Касаясь возможности прогнозирования погоды в зависимости от солнечной активности, А. С. Монин указывает [225], что «... наличие такой связи было бы для метеорологии почти трагедией, так как оно означало бы, очевидно, что для прогноза погоды необходимо сначала давать прогноз солнечной активности, что чрезвычайно отдалило бы сроки создания научных методов прогноза погоды». «Никаких надежных фундаментальных связей между вспышками на Солнце и погодой на Земле, которые можно было бы использовать для прогнозирования погоды, еще не найдено», — говорится в статье [106].
Ф. Ф. Давитая в своей работе [97] справедливо отмечает, что «любые изменения климата и погоды в конечном итоге являются солнечнообусловленными. Однако воздействие солнечного излучения на атмосферные явления осуществляется не непосредственно, а главным образом через всю крайне многообразную систему природных процессов земного шара, как в целом, так и отдельных его регионов... . Это свидетельствует о сложности рассматриваемых явлений, а механизм солнечно-земных связей никому еще не ясен достаточно определенно. Надо искать этот механизм так же, как разрабатывать любые другие методы прогноза погоды».
Известны даже попытки группировать специалистов по их отношению к указанной проблеме с выделением четырех категорий: 1) отрицатели, 2) пренебрегатели, 3) сторонники неустойчивого равновесия и 4) фанатики [106].
Ограничиваясь сказанным, отметим, что для решения сложных проблем и выработки единого мнения о генезисе цикличности стока следует продолжать изыскания более удобных и надежных путей непосредственного статистического анализа наблюденных гидрологических рядов и разрабатывать модели стока, пригодные для практического применения.
Заключение
Речной сток — это нестационарный случайный процесс, и адекватным математическим аппаратом для его описания является теория случайных функций. На практике возникает необходимость приведения процесса стока к стационарному виду (при непрерывном времени) или стационарной последовательности
42
Глава 1
(в дискретном случае). Рассмотрены некоторые возможные способы такого приведения.
В прикладных задачах дискретные модели имеют ряд преимуществ перед непрерывными. В частности, для ЭВМ как основного средства экспериментирования, моделирования и расчета регулирования необходимо естественный процесс стока подвергнуть квантованию по времени (дискретизации). С этой целью непрерывный гидрограф стока заменяется ступенчатым гидрографом.
При долгосрочном (сезонно-годовом и многолетнем) регулировании вполне приемлемая точность водноэнергетических и водохозяйственных расчетов достигается при месячном интервале осреднения и в обычных случаях нет надобности пользоваться менее продолжительными интервалами. Расчеты следует проверить на основании искусственных гидрологических рядов достаточно большой длины (М = 1000-г-10 000), а обеспеченность отдачи определять как по числу бесперебойных лет, так и по числу бесперебойных месяцев.
При недолгосрочном (Р < 0,1) регулировании нужно пользоваться декадными интервалами, а в случае регулирования половодий и паводков — меньшими интервалами осреднения.
Анализ наблюденных временных рядов годового стока указывает на возможность наличия по некоторым рекам циклических колебаний. Имеется принципиальная возможность выделения периодических составляющих (тренда) и намечен путь их учета при моделировании искусственных гидрологических рядов, предназначенных для расчета регулирования стока.
Глава 2
УСТАНОВЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СТОКА
2.1. Общая часть
В данной главе рассматриваются лишь те вопросы методологии установления статистических характеристик речного стока, которые были специально исследованы и используются в последующих разделах работы. В связи с этим ряд важных сторон методологии вовсе не затрагивается. Необходимые сведения о них подробно даны в общих курсах по математической статистике, монографиях и справочниках [61, 86, 114, 172, 274, 479 и др. J. Ниже в основном следуем изложению работы [3051 с некоторыми добавлениями.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
43
Универсальной характеристикой случайной величины, как известно, является закон распределения, скажем функция распределения. Если не известно распределение g, то ставится следующая статистическая задача: с помощью конечного числа наблюдений х19 х2, . . хп за случайной величиной g, или, как еще говорят, с помощью конечного объема случайной выборки, определить закон распределения g (непараметрическая задача). Очевидно, здесь речь идет не о точном, а лишь о приближенном определении распределения, об его оценке. В некоторых случаях функциональная форма закона распределения известна, неизвестным является лишь конечное число параметров и необходимо определить их оценки на основании какой-нибудь конечной случайной выборки (параметрическая задача).
Рассмотрим случай единственного неизвестного параметра©. Разберем следующие основные способы его оценки:
1) точечная оценка: а) метод моментов, б) метод максимума правдоподобия, в) метод минимума /2, г) метод квантилей;
2) оценка доверительными областями: а) классический метод (Байесовская оценка), б) метод доверительных интервалов.
Точечная оценка параметра 0 является измеримой функцией 0* = @* (хх, х2, ...» хп) выборочной точки (хх, х2, . . хпУ
— случайная величина.
«Хорошими» свойствами оценки 0* параметра 0 считаются:
а)	несмещенность: 7140* = 0. В общем оценка имеет некоторое смещение 60, т. е. 7140* = 0 + Ь&. Часто можно с помощью простой поправки исключить смещение и получить несмещенную оценку;
б)	состоятельность: это означает, что 0* —> 0 по вероятности, когда /г—>ос;
в)	эффективность, или асимптотическая эффективность.
Несколько подробнее следует остановиться на последнем свойстве.
Докажем, что при регулярной оценке непрерывного типа среднее квадратическое отклонение оценки 0* от истинного значения 0 удовлетворяет неравенству [172]
(1+—г
М (0* — 0)2	±------------- (2.1)
—00
в случае незав! симой (повторной) выборки из генеральной совокупности, принадлежащей непрерывному типу распределения с плотностью f (%; 0).
44
Глава 2
При несмещенной оценке неравенство (2.1) принимает вид Г>2(0*)гг—---------------------?---------.	(2.2)
п J 0)Л —00
В случае дискретного распределения в правых частях (2.1) и (2.2) интегралы заменяются суммами.
Если х19 х2, . . хп — величины зависимые и их совместное распределение в пространстве Rn имеет вид f (хп х2, . . хп\ 0), где 0 — неизвестный параметр, который оценивается выборкой 0* = 0* (Х1, х2, . . ., хп), то для дисперсии несмещенной оценки имеет место неравенство
О! (в*) 2,  -----------------------!-------------------------.
j	«>)*,(,,....v. е)Л1......
— оо -ОО
(2.3)
Выражения (2.2) и (2.3) являются неравенствами Рао—Крамера, а величина
j ... J (dlog/U-ь^.., ХП- 6)р(%1> t Хп. e)dXit .. t dXn (24) -co --оо
называется количеством информации Фишера. Эта величина не зависит от способа оценки параметра 0 и представляет собой нижний предел точности любой оценки.
В случае независимой выборки количество информации Фишера есть величина
п J e>dx’ м — оо
для распределения дискретного типа интеграл заменяется суммой.
Когда при независимой выборке регулярная несмещенная оценка 0* такова, что неравенство (2.2) становится равенством, оценка называется эффективной. Возможно, (2.2) будет равенством не для конечного и, а лишь в пределе, при п —> сю; тогда оценка называется асимптотически эффективной.
Аналогично определяется эффективность в случае зависимой выборки, однако знак равенства должен иметь место уже в выражении (2.3). Таким образом, при эффективной оценке вся информация, содержащаяся в выборке х19 х2, ..., хП1 в смысле достижения минимальной дисперсии относительно оцениваемого параметра 0 максимально используется.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
45
При оценке неизвестного параметра задача заключается не в снятии неопределенности вообще, а в снятии лишь той неопределенности, которая вызвана незнанием параметра 0. Неопределенность остается и в случае установления истинного значения 0. Нас интересует неопределенность по отношению к 0, информация, содержащаяся в выборке относительно 0, и полное и эффективное использование этой информации при оценке 0. Эта информация хорошо характеризуется количеством информации Фишера (2.4). Здесь нет надобности более подробно рассматривать указанный вопрос, заметим только, что в различных аспектах вопросы взаимоотношения между теорией информации и статистической обстоятельно рассмотрены в работе [442].
Не будем касаться также вопросов оценки доверительными областями, они подробно изложены в работах [61,114, 172]. Нужно лишь отметить следующее. Когда речь идет об оценке параметра, безразлично, касается это точечной оценки или оценки доверительными областями; при рассмотрении вопроса о снятии неопределенности относительно оцениваемого параметра мы пользуемся не только информацией, содержащейся непосредственно в наблюденных данных, но и той информацией, которая накоплена в ходе теоретической и практической деятельности. Это последнее обстоятельство имеет существенное значение не только при оценке параметров, но и вообще всегда, когда делаются статистические заключения.
Можно привести ряд примеров. В задаче измерения наряду с информацией, содержащейся в наблюденных данных, пользуются дополнительной информацией о нормальности распределения. Это последнее обстоятельство имеет важное значение, так как из всех возможных законов распределения берется один, что сильно облегчает решение задачи. При установлении диагноза врач, помимо данных о температуре, давлении и т. д., использует информацию, содержащуюся во всей медицинской теории и практике.
Аналогично обстоит дело при водноэнергетических (водохозяйственных) расчетах. Когда строится математическая модель речного стока как случайного процесса, помимо информации, полученной на основании изучения стока данной конкретной реки, используется весь опыт, накопленный гидрологией (при изучении других рек) и смежными с ней науками. Кстати сказать, применение так называемого календарного метода расчета, помимо всего прочего, лишает нас возможности пользоваться этой дополнительной и весьма важной информацией.
Вернемся к вопросу оценки параметра. Для полного снятия неопределенности в отношении параметра 0 с вероятностью единица в общем случае необходима бесконечно большая выборка, которой практически никогда не имеется в нашем распоряжении.
46
Глава 2
Поэтому необходимо несколько отступить и искать не точную оценку параметра 0 с вероятностью единица, а приближенное его значение, с вероятностью 1—у, где у — достаточно малое положительное число. Такое отступление дает большой выигрыш относительно объема выборки, что позволяет практически получить решение задачи.
Сказанное можно пояснить на примере.
Пусть проводятся независимые опыты (схема Бернулли). Вероятность некоторого события Е равна р, а противоположного события q = 1 — р. Проводим п опытов, в которых событие Е осуществляется т раз. Необходимо оценить неизвестное р. В качестве оценки возьмем эффективную оценку р* = которая является асимптотически нормальной (р,	Если исхо-
дить из этого асимптотического распределения, то для 100 (1 — у)-процентного доверительного интервала можно получить следующие пределы [172]:
;r+W + у —+	<2-6)
здесь X — ЮОу-процентное значение нормального отклонения. Вероятность того, что неизвестное р находится в пределах (2.6) равняется 1—у. Длина доверительного интервала
s “
п + V г п 4п?	v '
Величина S достигает своего максимального значения, когда р* = и минимального, когда р = 0 или р* = 1.
Если р* = то 6 —	откуда
В табл. 2.1 приведены приближенные значения выборки п, однако они не очень отличаются от тех значений п, которые будут получены в случае применения точного распределения. Точные значения доверительных интервалов даны в работе [61 ]. Таким образом, для достаточно «хорошей» оценки р не требуется очень большой объем выборки.
К аналогичным выводам приводят экспериментальные данные бросания монеты (табл. 2.2) [83].
Как следует из табл. 2.2, несмотря на существенную разницу в числе опытов, частота остается почти одинаковой, что является практическим проявлением закона больших чисел в данном случае.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
47
В отношении рассмотренной схемы Бернулли поставим следующую задачу: пусть р — известная величина, равная . Положим, что это задача подбрасывания идеально симметричной
Таблица 2.2 Экспериментальные данные бросания монеты
Таблица 2.1 Значения объема выборки п при различных 6 и у
б 0,01 0,05 0,05 0,10 0,20	V 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2	п 27 225 1 085 674 167 40	Эксперимент	Число бросаний	Число выпадений герба	Частота
			Бюффона К- Пирсона	4 040 12 000 24 000	2 048 6019 12 012	0,5080 0,5016 0,5005
монеты. Подбрасываем монету п раз и хотим создать возможно более экономный код, который передаст результаты упомянутого выше эксперимента. Очевидно, что в такой постановке задачи необходимо принять во внимание все так называемые высоковероятные реализации, число которых в общем случае, когда п — достаточно большая величина, определяется формулой
= апН
(2-9)
где а — основание логарифма; Н — энтропия процесса.
В нашем случае при а = 2
н = - -у log 4 - 4 log 4 = i,	(2.Ю)
и, следовательно,
N = 2п.
Таким образом, в рассмотренном случае при достаточно большом п общее число высоковероятных реализаций равно 2п. Нужно заметить, что и общее число возможных реализаций также равно 2п. Когда р 4= то число высоковероятных реализаций меньше, чем общее число реализаций.
В случае создания экономного кода, при определении коэффициента сжатия текста, необходимо принимать во внимание все 2п реализации. Коэффициент сжатия текста будет при этом равняться единице. Если же задача заключается в оценке неизвестного р, то, как уже убедились, при достаточно большом п не тре
48
Глава 2
буется 2" реализации, а даже одна реализация дает достаточно точную оценку с достаточно высокой вероятностью.
Следует обратить внимание на тот факт, что с увеличением п увеличивается и число высоковероятных реализаций и, следовательно, увеличение п как будто идет во вред делу, поскольку, с точки зрения некоторых авторов, для оценки неизвестного параметра понадобится обработка большего числа реализаций. В действительности дело обстоит как раз наоборот: с увеличением п увеличивается точность и достоверность оценки р, полученной с помощью одной реализации. Такое положение имеет место из-за существенного различия указанных задач.
В задаче оптимального кодирования необходимо передать текст длиной п, используя по возможности минимальное число символов с тем, чтобы передаваемый текст восстановить на приемнике однозначно и этим полностью снять неопределенность, которая будет в совокупности возможных текстов длины п. Очевидно, что в этой задаче уже необходим учет всех высоковероятных реализаций.
В задаче оценки р необходимо определить его значение с известной точностью и степенью достоверности, тем самым снимается (до определенного уровня) неопределенность, возникающая из-за незнания величины р.
Нужно заметить, что вопросы выбора значения точности или степени достоверности оценки параметра в каждом отдельном случае решаются подходящими методами с учетом конкретных условий задачи.
Таким образом, постановка задач оптимального кодирования и статистической оценки существенно различается. В некоторых работах эти задачи отождествлены и при статистической оценке параметров неправильно использованы известные формулы теории информации. В задаче оптимального кодирования необходим учет всех высоковероятных реализаций, а в задаче оценки такое требование является ошибочным, что наглядно видно из приведенного примера.
Выше была рассмотрена последовательность независимых испытаний. Аналогичное положение имеет место и в отношении случайных процессов. Рассмотрим, например, дискретный стационарный эргодичный процесс в интервале [О, Т]. Число высоковероятных реализаций этого процесса в интервале [О, Т\ будет тем больше, чем больше Т. Однако при достаточно большом Т для достаточно хорошей оценки среднего нет надобности знать все высоковероятные реализации, а вполне достаточно знать одну реализацию. Именно в этом и заключается ценность свойства эргодичности.
То же самое можно сказать и в отношении корреляционной функции и других вероятностных характеристик стока [86,112,347].
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
49
2.2. Оценки статистических характеристик годового стока
В гидрологии и теории регулирования речного стока непрерывный процесс стока, как уже отмечалось выше (см. главу 1), заменяется временными рядами в виде последовательности среднеинтервальных расходов воды или объемов стока IFZ. Эти величины определяются на основании материалов гидрометрических измерений, которые характеризуются известной степенью точности. Погрешности измерения должны быть оценены соответствующим образом и учтены в последующих расчетах.
Вопросам оценки точности измерений расходов воды посвящен ряд исследований [123]. Точность гидрометрических наблюдений зависит от таких факторов, как устойчивость русла в заданном створе, частота и тщательность наблюдений, методы измерения и обработки данных и др.
Как известно, измерение расходов воды носит косвенный характер, поскольку величина Q определяется на основании измерений других величин: уровней, глубин воды и расстояний между вертикалями, скорости воды в различных точках и т. д. Расход воды связан с этими величинами функционально, однако сами результаты измерений являются лишь приближенными и характеризуются погрешностями. Эти последние делятся на две группы: систематические и случайные. Систематические погрешности, обычно связанные с выбором способа измерения, точностью применяемой измерительной аппаратуры и т. д., в принципе могут быть уменьшены или ликвидированы. Случайные погрешности обусловлены большим числом случайных причин. Математическая теория случайных явлений разработана достаточно хорошо и позволяет определить необходимое число измерений, снизить влияние этих погрешностей на окончательный результат измерений и установить разумные пределы погрешностей [152].
Стремление к чрезмерной точности определения тех или иных величин, зависящих от результатов измерений, в ряде случаев не оправдано из-за невысокой точности исходных данных. В ряде работ указывается, что погрешности измерения расхода воды в реке составляют =±:(5—10) % и, следовательно, последующие расчеты статистических характеристик или параметров регулирования речного стока должны производиться с соответствующей точностью.
Теория ошибок основана на вычислениях таких характеристик, как средняя квадратическая ошибка и надежность, т. е. вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в пределы доверительного интервала. Для этого необходимо определить дисперсию, что также производится лишь с известной точностью из-за ограниченности выборки»
50
Глава 2
При определении статистических параметров последовательности годовых объемов стока или среднегодовых расходов воды по малым выборкам допускаются систематические погрешности. Для уменьшения этих погрешностей (смещений) обычно вводятся соответствующие поправки, например поправки к формулам для оценки среднего (Q), стандарта (о), коэффициентов вариации (СД, асимметрии (Cs) и корреляции (г).
Совершенно новые, ранее неизвестные возможности оценки параметров распределения вероятностей появились с применением метода Монте-Карло и ЭВМ для получения этих оценок. Первыми в данном направлении были работы В. В. Чавчанидзе и В. А. Кумсиашвили [365, 367], автора [292], С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля [178]. В этих работах использована одна из наиболее эффективных возможностей метода Монте-Карло, позволяющая моделировать большое число коротких гидрологических рядов и анализировать эмпирические функции распределения вероятностей изучаемых параметров [184].
Ряд интересных результатов получен А. Ш. Резниковским и С. Г. Костиной [72]. Они исследовали различные способы оценки тесноты связи между смежными членами гидрологических рядов, экспериментальными расчетами учли влияние связности рядов на выборочные оценки их статистических параметров, предложили формулы для уменьшения или ликвидации смещений оценок.
Указанные вопросы обстоятельно исследованы в монографии Е. Г. Блохинова [41 ]. В ней даны все основные аспекты метода наибольшего правдоподобия для оценки параметров таких распределений вероятностей, как нормальное, гамма-распределение, лог-нормальное (логарифмически-нормальное), Гумбеля и трехпараметрическое гамма-распределение Крицкого и Менкеля. Для последнего распределения предложен приближенный метод наибольшего правдоподобия, разработаны таблицы и номограммы для их практического применения.
Вопросы однородности и случайности гидрологических рядов изложены в работе А. В. Рождественского и А. И. Чеботарева [274]. Там же рассмотрены применяемые в гидрологии методы определения оценок параметров распределения: 1) метод моментов,, получивший наибольшее распространение; 2) метод квантилей, графоаналитический вариант которого разработан Г. А. Алексеевым [6], и 3) метод наибольшего правдоподобия.
В нашей литературе этот последний метод подробно был исследован для некоррелированных рядов в работе Е. Г. Блохинова [41 ], а для коррелированных рядов — в статьях В. В. Зубарева, завершенных работой [129]. В последней работе указывается, что «оценка коэффициента вариации годового стока рек при его определении методом наибольшего правдоподобия незначительно зависит от связности ряда. Это говорит о том,
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
51
что приемы [41 ] оценивания параметров распределения величины годового стока рек методом наибольшего правдоподобия, разработанные для случая несвязанных рядов, с допустимой для практики точностью справедливы при наличии в рядах коррелятивной связности». Там же приводится доказательство, что метод не позволяет уточнить оценки коэффициентов вариации и асимметрии путем использования информации, содержащейся в других, связанных с ним рядах
Имеющиеся нормы по определению расчетных гидрологических характеристик [340] рекомендуют при определении коэффициента вариации пользоваться методом наибольшего правдоподобия в случае Cv 0,5, а в остальных случаях — методом моментов или графоаналитическим методом (при использовании биномиальной кривой обеспеченности). Коэффициент асимметрии рекомендуется определять путем подбора, исходя из условия наилучшего соответствия аналитической кривой обеспеченности данным наблюдений, с последующей проверкой полученного соотношения CSICV по рекам-аналогам.
Относительную среднюю квадратическую ошибку по тем же нормам следует определять по формулам:
а)	для среднемноголетнего расхода воды при отсутствии корреляции
при наличии корреляции (г > 0,2)
=	о/о;	(2.12)
б)	для коэффициента вариации при определении Cv методом моментов
Г 1 I с*2 ч=]/	<2ЛЗ>
при определении Cv методом наибольшего правдоподобия
ес =1Л—, 3 ,г»100%.	(2.14)
v У 2Л(3 + С2)
Из последних исследований, посвященных вопросам оценки точности выборочных параметров функции распределения вероятностей, следует отметить работы Г. А. Алексеева [8] и В. А. Румянцева [282]. В них предложены более строгие выражения для
1 О коэффициенте корреляции будет сказано в п. 2.4.
52
Глава 2
установления величин смещения, дисперсии и средней квадратической погрешности для таких параметров, как среднее значение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации и квантили заданной вероятности непревышения для нормального закона и гамма-распределения. По полученным выражениям составлены таблицы для случая простой цепи Маркова. В работе [282] указано, что имеющиеся ряды наблюдений позволяют достаточно надежно оценивать лишь средние значения, для которых «случайные ошибки находятся в пределах ниже 10%, в то время как остальные параметры определяются с большими ошибками. В частности, из-за значительного отрицательного смещения выборочные функции дают обычно сильно заниженное представление о тесноте реально существующих стохастических связей.
В. В. Чавчанидзе в своей работе [365] предложил так называемый обратный метод Монте-Карло, который позволяет анализировать степень совпадения эмпирических наблюденных данных с принятым теоретическим законом распределения вероятностей. Для этой цели по исходному ряду оцениваются начальные моменты и строится теоретическая функция распределения. Затем для наблюденных значений xt с помощью кривой обеспеченности Р (х) определяются соответствующие значения обеспеченности pL. Как известно, последовательность pt должна быть распределена равномерно в интервале (0,1). Из-за ограниченности данных эмпирическая функция распределения Fn (р) будет отличаться от ее теоретического предела F (р). А. Н. Колмогоровым доказано [114], что если наибольшее абсолютное значение разности равно
D = max |	(р) — F(p)\,	(2.15)
то при неограниченном возрастании числа независимых наблюдений п вероятность неравенства
Dyn^k	(2.16)
стремится к пределу
Р*(1) = 1 -k(k)= 1 - 2 (— V)ke-2k*y (2.17) k=—сю
для которого дана специальная таблица [70].
Применение этого весьма простого и удобного критерия рекомендуется в тех случаях, когда целиком известно исходное теоретическое распределение со своими параметрами.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
53
Применение критерия Колмогорова в нашем случае оправдано, поскольку теоретическая функция распределения F (р) известна. Она представляет собой диагональ квадрата (F (/?), р) с параметрами:
ро = 0,5; о® = 0,289	0,29 и Cs = 0.	(2.18)
В области гидрологических расчетов для определения подходящей функции распределения годового стока и соответствующих статистических параметров указанная методика впервые использована в работе автора [292]. Решение задачи предлагается в следующей последовательности.
Для наблюденных значений среднегодовых расходов воды обычным путем (например, методом моментов) определяются оценки среднего Q и коэффициента вариации Cv. Задаются законом распределения (например, кривой Пирсона III типа) и устанавливают оптимальное значение коэффициента асимметрии Cs = = aCv путем подбора такого значения коэффициента а, которое при данном распределении удовлетворяет условию k (%) = min (или Р* (%) = шах).
Далее в указанной работе говорится, что «изложенным способом можно уточнить и другие параметры (т. е. Q, о, С^), однако гидрологические материалы обычно достаточны для установления средней величины и стандарта с более или менее приемлемой точностью. Выбор типа кривой обеспеченности производится тем же способом, однако уже после того, как установлены значения параметра а, наилучшим образом соответствующие исходным данным для каждого типа в отдельности». Далее указывается, что после сравнения различных типов кривых предпочтение отдается тому из них, для которого Р* (%) = шах [292, с. 66].
Таким образом, путь решения задачи выбора подходящего закона распределения и его параметров достаточно четко сформулирован. Методика иллюстрирована на примере 25 рек Европы.
Эта же методика под другим названием («метод моментов вероятностей превышения исходных величин») и без ссылок на нее была использована в работах Д. М. Маматканова и М. С. Сулейманова [204, 206]. Новым элементом, внесенным в метод этими авторами, является замена критерия Колмогорова критерием «минимума суммарных абсолютных ошибок по оцениваемым параметрам»
e(2) = lp-0,5| + lffp-0,289| + |Csp| = min, (2.19)
54
Глава 2
где оценки параметров по полученной последовательности распределяются по известным формулам
п
Е (Pi — РУ
ё=1
п— 1
CsP = (га_1)(„_2) Д (Pi ~ РГ
Недостатком указанного критерия является простое суммирование несоизмеримых величин, в результате чего определяющим будет третий член суммы в правой части выражения (2.19). Автором было рекомендовано Маматканову в зависимость (2.19) ввести соответствующие коэффициенты в качестве весов, т. е. представить его в следующем виде:
8 (2) = ai |р — 0,5 | + а21 ор — 0,29 | -ф- а3 \Csp | = min. (2.20)
Постоянные коэффициенты осх >а2 > а3 должны быть соответствующим образом обоснованы. Г. Л. Григолия [90] предлагает определять эти коэффициенты с учетом допустимых погрешностей статистических параметров:
43) = Гр- 0,5\ + -±\<ур-о,29| + |CSP|, (2.21)
т. е. соотношения коэффициентов : а2 : а3 принимать равным 1 : 0,71 : 0,41.
Как следует из сказанного, этот вопрос требует дальнейшего изучения, поскольку в зависимости от выбранного критерия согласия в той или иной степени меняются результаты расчетов.
2.3. Изменение статистических характеристик годового стока при различной дате начала гидрологического года1
Исследование закономерностей процесса колебаний значений годового стока и установление его статистических характеристик для решения различных задач теории регулирования и использования стока непосредственно связаны с выбором даты начала гидрологического года, или с выбором даты разрезки наблюденного гидрографа на годовые интервалы. В исследованиях встречаются различные случаи такой разрезки, например год календарный (начало 1 января), гидрологический (начало 1 сен-нября или 1 октября), водохозяйственный (начало 1 апреля или 1 мая) и т. д.
1 Изложение параграфа в основном дано по работам [301, 307] с некоторыми добавлениями.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
55
Соображения, по которым производится замена календарной даты начала года другой датой, вполне справедливо основаны на рекомендациях генетического характера, учитывающих факторы формирования сезонного стока. Но при этом возникает вопрос о степени влияния этой замены на статистические параметры годового стока.
Этот вопрос не ускользнул с поля зрения исследователей и еще в 1934 г. был поднят С. Н. Крицким и М. Ф. Менкелем в работе [175]. В ней впервые рассматривался вопрос о возможных изменениях статистических характеристик годовых объемов стока при выборе различного месторасположения интервала осреднения на временной оси.
В работе указывается, что «в состав правильно выбранного гидрологического года должны войти генетические элементы стока, наиболее тесно связанные между собой, а граница раздела между смежными гидрологическими годами должна проходить там, где эта связь является наиболее слабой. С точки зрения математической статистики, задача отыскания начала гидрологического года сводится, следовательно, к установлению такого момента начала отсчетов, чтобы коэффициент изменчивости годового стока оказался наибольшим, а коэффициент корреляции между стоком смежных лет — наименьшим».
Авторы приводят ход изменения коэффициентов вариации и корреляции между значениями стока смежных лет при начале года на первое число каждого месяца для р. Днепра у пгт Лоц-мано-Каменки и соответствующие данные для р. Волги у г. Куйбышева. Эти данные свидетельствуют о небольших пределах колебаний указанного коэффициента корреляции при различных датах начала года, что позволило авторам сделать следующий вывод: «Начало отсчетов годового объема речного стока может быть приурочено к любому календарному сроку, представляющему те или иные удобства для решения отдельных задач, при условии, что начало года фиксируется двумя сопряженными между собой показателями Cv и г». Однако, не претендуя на широкое и исчерпывающее исследование вопроса, авторы считали этот вывод первым грубым приближением и указывали, что надлежащее исследование данного вопроса требует привлечения большого фактического материала и производства значительного количества вычислений. Известно, что в 30-х годах исследователи не располагали не только достаточно длинными рядами наблюдений за стоком, но и соответствующими вычислительными средствами для их обработки.
В работе [181 ] были даны определенные рекомендации по выбору начала года. Рекомендуя несколько дат, авторы не советовали начинать год в период прохождения половодий по той причине, что в некоторые годы может частично или полностью
56
Глава 2
войти сток двух половодий, в то время как в другие годы соответственно не войдет ни одно половодье.
Задержка изучения данного вопроса на целых 30 лет в какой-то степени обусловлена высоким авторитетом его первых исследователей. Несмотря на то что Крицкий и Менкель тогда же признали необходимость более глубокого изучения вопроса, полученный ими результат послужил причиной охлаждения интереса к указанной проблеме других исследователей.
В 60-х годах расчеты на ЭВМ стали доступными для широкого круга исследователей. К этому времени накопился богатый и хорошо систематизированный материал длительных наблюдений. Специальные исследования [158, 301, 307] и многочисленные расчеты, проведенные в ГрузНИИ энергетики (А. Н. Киласония и др.), показали настоящую картину колебания статистических параметров при различной разрезке гидрографа на годовые интервалы осреднения. Ниже изложены основные результаты этих исследований.
Изменения среднемноголетнего годового стока. Как и предполагалось, замена даты начала года почти не отражается на среднемноголетнем значении годового стока. Действительно, это не трудно было предвидеть, так как даже минимальная продолжительность ряда п составляла 30 лет (для расчетов были выбраны ряды непрерывных наблюдений продолжительностью более 30 лет). Среднее значение могло измениться всего на 1/360 долю разности расходов одного и того же месяца. Это составляет менее 0,28%, что крайне незначительно. Результаты расчетов подтвердили это предположение — колебания среднемноголетнего значения годового стока не выходили за пределы вероятной случайной ошибки. Последнее утверждение иллюстрируется табл. 2.3, в которой приведены результаты оценки расхождений между 12 значениями среднемноголетних расходов воды, полученными при различной разрезке. Проверка проведена с помощью распределения Стью-дента, в частности использован способ оценки расхождения между средними значениями. В таблицу сведены случаи с наибольшими расхождениями. В ней дается величина расхождения AQ между максимальным (QMaKC) и минимальным (QMHH) значениями среднемноголетнего расхода, выбранная из 12 значений последнего. Значения о определяются по зависимости
а = К	,	(2.22)
F (^1— 1) 4~ (П2 — 1)
где ах и а2 — стандартные отклонения годового стока при двух датах начала года, соответствующих QMaKC и гг1 и п2 — соответствующие количества лет наблюдений.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
57
Таблица 2.3 Оценка расхождения между значениями среднемноголетнего расхода Q при различной разрезке гидрографа
Река — пункт	Среднемног олетн и й расход воды, м3/с			о м3/с	Число лет наблюдений		Число степеней свободы V	/*	Р
	Фмакс	@мин	AQ			п2			
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Онега — д. Надпорож-ский Погост	112	ПО	2,0	30,4	42	42	82	0,302 0,321	0,75 0,75
Кемь —	259	254	5,0	65,5	36	36	70		
с. Подужемье Молога — г. Весьегонск	242	238	4,0	60,7	52	52	102	0,335	0,75
								0,264	0,80
Вяйке — д. Тылисте	8,83	8,67	0,16	2,75	41	40	79		
								0,312	0,75
Пярну —	49,2	48,0	1,2	17,2	40	40	78		
д. Орекюла Западная	228	224	4,0	61,7	63	63	124	0,360	0,75
Двина — г. Витебск								0,015	0,95
Абава —	15,9	15,7	0,2	55,4	36	35	69		
х. Сисени Днестр —	364	358	6,0	109	39	39	76	0,242	0,85
г. Бендеры Северский	112	111	1,0	45,3	46	45	89	0,105	0,95
Донец — г. Лисичанск								0,120	0,90
Сейм —	101	100	1,0	35,0	36	36	70		
с. Мутино Дон —	255	252	3,0	59,1	45	44	87	0,240	0,85
г. Лиски Клязьма —	79,8	78,8	1,0	22,9	43	43	84	0,222	0,85
г. Владимир Сура —	255	251	4,0	90,5	46	46	90	0,222	0,85
г. Ядрин Карадарья — пос. Кампыр-	124	122	2,0	34,2	39	39	76	0,260	0,80
рават Акдарья —	12,9	12,3	0,6	3,07	34	34	66	0,810	0,45
кишл. Хазар-									
нова								0,129	0,90
Ишим —	6,4	6,2	0,2	5,15	30	31	59		
г. Целиноград Тобол —	47,5	46,6	0,9	42,3	37	38	73	0,092	0,90
г. Курган Лебедь —	99,6	98,3	1,3	26,0	31	32	61	0,195	0,85
пос. Усть-									
Лебедь Томь — г. Томск	1102	1088	14	206	44	44	86	0,316	0,75
58
Глава 2
Продолжение табл. 2.3
Река — пункт	С реднемноголетн и й расход воды, м3/с			о м3/с	Число лет наблюдений		Число степеней свободы V		Р
	@макс	Qmhh	AQ		П1	п2			
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Селенга — с. Новоселен-гинск	730	714	16	141	31	30	59	0,440	0,65
Алдан — с. Охотский Перевоз	4182	4130	52	815	35	35	68	0,267	0,75
Май хе — с. Майхе	8,51	8,23	0,28	2,72	32	31	61	0,408	0,65
Вак — с. Ракитное	50,8	49,4	1,4	20,8	35	34	67	0,280	0,75
В графе 9 табл. 2.3 даются значения
AQ 1 / а г пг + п2
(2.23)
По значению и числу степеней свободы v =	+ п2 — 2
(графа 8) в таблице распределения Стьюдента t находятся соответствующие значения вероятности
Из данных табл. 2.3 видно, что вероятность случайных значений /, которые по абсолютной величине не меньше наблюденного значения /*, достаточно велика. Это означает, что расхождение между средними значениями несущественно и даже его максимальная величина является случайной. Следовательно, величина среднемноголетнего расхода воды не зависит от даты разбивки гидрографа на годовые интервалы. Здесь следует отметить, что методика проверки гипотез, основанная на распределении Стьюдента, справедлива, строго говоря, для независимых выборок из нормальной генеральной совокупности. В нашем случае эти условия не выполняются, однако при достаточно больших (более 30) и п2 применение указанной методики в известной степени правомерно.
Колебания коэффициента вариации. Расчеты показали, что коэффициент вариации, как и величина среднемноголетнего расхода воды, изменяется в незначительных пределах и разница между его экстремальными значениями несущественна. Оценка значимости этой разницы, проведенная с помощью критерия Рома-
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
РисЛ2.1. Изменение коэффициента корреляции между смежными значениями годового стока и коэффициентов вариации (С?]) и асимметрии (Cs) при различной разрезке гидрографа.
а — р. Чусовая — с. Чусовские Городки, б — р. Чирчик— с. Ходжикент.
60
Глава 2
новского, показала, что она не выходит за пределы возможной случайной ошибки определения этого параметра. Однако в отличие от среднего расхода в колебаниях коэффициента вариации четко выделяется определенная закономерность, заключающаяся
Рис. 2.2. Изменение коэффицйента корреляции между смежными значениями годового стока при различной разрезке гидрографа для разной продолжительности исследуемого ряда (а) и совмещенные графики хода изменения коэффициента корреляции при различной разрезке гидрографа в различных створах реки (б).
а — р. Нил — г. Асуан: 1 — 91-летний ряд, 2 — 62-летний ряд; б — р. Волга: 1 — г. Куйбышев, 2 — г. Ярославль, 3 — г. Горький, 4 — г. Волгоград.
в наличии во всех случаях характерного всплеска значений Cv. Дело в том, что, сохраняя довольно стабильное положение во всех остальных случаях разрезки, при одной из них значение Cv относительно резко возрастает (рис. 2.1, а), оставаясь при этом в пределах возможной ошибки расчета. Характерно также то, что в подавляющем большинстве случаев (около 80%) максимальное значение Cv совпадает по дате разрезки с минимальным значением коэффициента корреляции. Поэтому, несмотря на незначительность изменения Cv, мы вправе ставить вопрос о наличии
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
61
определенной зависимости коэффициента вариации от начала гидрологического года.
Колебания коэффициента корреляции между значениями стока смежных лет. В отличие от результатов, приведенных в работе [175], выяснилось, что коэффициент корреляции между смежными объемами годового стока гг при различной разрезке гидрографа существенно изменяется. Как правило, для хода гг характерен один минимум (рис. 2.1 а) или один максимум (рис. 2.1 б). Характерность очертания хода гх для каждой реки заключается в том, что при рассмотрении гидрологических рядов разной длины для одного и того же водотока наблюдается почти точное совпадение очертаний ломаной линии в обоих случаях (рис. 2.2 а). Даже при наличии значительного расхождения между значениями гх для двух периодов с различной продолжительностью одного и того же ряда годового стока очертание хода гг при различной разрезке сохраняется довольно точно. В приведенном на рис. 2.2 примере сопоставляются данные расчета при изменении длины ряда более чем на 30%.
Помимо этого, такое же очертание хода коэффициента корреляции сохраняется во всех створах одной реки. Это хорошо видно на примере р. Волги (рис. 2.2 б). Такое же положение наблюдается и на других реках (Белая, Иртыш, Обь, Томь, Енисей, Ангара и др.) (рис. 2.3). При этом на зарегулированных реках, как и следовало ожидать, амплитуда колебания коэффициента корреляции увеличивается по мере удаления створа от источника регулирования.
Диапазон колебаний гх на разных реках различен, и расхождение между его экстремальными значениями изменяется от незначительного до весьма существенного (более 0,5). Для оценки значимости расхождения между экстремальными значениями коэффициента корреляции были выбраны реки с наиболее длинными рядами наблюдений. Оценка производилась с помощью преобразования Фишера, при котором коэффициент корреляции в частичных совокупностях приравнивается гиперболическому тангенсу некоторой величины
г = thz,
откуда
Проверялась гипотеза, взяты ли частичные совокупности среднегодовых расходов двух различных разбивок из одной генеральной совокупности. Если \z—z"\ < 2orZ'—z", то проверяемая гипотеза верна при 5 %-ном уровне значимости. В случае несоб-
62
Глава 2
Рис. 2.3. Изменения коэффициента корреляции между смежными значениями годового стока при различной разрезке гидрографа.
1 — р. Ангара —с. Пашки; 2— р. Нева — д. Новосаратовка; 3—р. Вычегда— г. Сыктывкар; 4 — р. Ишим — г. Целиноград; 5 — р. Унжа — г. Макарьев; 6 — р. Туба—с. Бугуртак; 7—р. Лена — с. Грузновка;
8 — р. Печора—г. Троицко-Печорск.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
63
людения этого неравенства можно считать, что расхождение между гмакс и гмин существенное. Здесь
<2'24’
где г' = 4- In 1 + гмакс и	In / + Гмин-.
1 Гмин	*	1 Гмакс
Приведенные в табл. 2.4 данные свидетельствуют о том, что указанное расхождение не является случайным. Для других рек,
Таблица 2.4 Оценка значимости расхождения между экстремальными значениями коэффициента корреляции
Река — пункт	। ® О Я ® 5 « « 5^	1 = s i со к. J 1	1 z' — z" |	n 1 £
Печора — д. Якша	48	0,39	0,48	0,43
Северная Двина — с. Усть-Пинега	81	0,33	0,35	0,32
Неман — г. Смалининкай	131	0,26	0,26	0,25
Белая — г. Уфа	77	0,30	0,33	0,32
Унжа — г. Макарьев	56	0,38	0,41	0,39
Нил — г. Асуан	91	0,32	0,38	0,30
несмотря на достаточно большую
величину расхождения, оно
оказывается несущественным из-за малого числа лет наблюдений. Однако характерное очертание хода коэффициента корреляции, имеющее место почти во всех случаях, позволяет нам высказать предположение о наличии в общем случае зависимости величины г± от даты разрезки гидрографа на годовые интервалы. Эта зависимость на разных реках проявляется в различной мере.
Наибольшие расхождения между экстремальными значениями при различной разрезке гидрографа наблюдаются на реках увлажненных климатических зон при условии отсутствия факторов, регулирующих речной сток. Внутригодовой режим таких рек характеризуется высокой волной весеннего половодья и большой разбросанностью годовых гидрографов относительно осреднен-ного гидрографа (рис. 2.4).
Незначительное расхождение имеет место на реках, сток которых естественно зарегулирован (озера, леса, болота, значительные запасы почвенных и грунтовых вод, карстовые и другие трещины и пр.). Эти регуляторы влияют на внутригодовое распределение стока, делая его более равномерным, без резко выраженного пика весенного половодья. Так как месячный сток таких
64
Глава 2
Рис. 2.4. Совмещенные годовые гидрографы.
а — р. Унжа — г. Макарьев, гМЯтгР — гми„ — 0,38; б — р. Зараф-шан - мост Дупули, гмакС - гМин = 0,14.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
65
ровска и ход коэффициента корреляции при различной разрезке гидрографа.
значение коэффициента кор-
рек характеризуется значительной инерцией, коэффициент корреляции имеет довольно высокое значение при малых коэффициентах вариации и сохраняет сравнительно стабильное положение при различной разрезке гидрографа на годовые интервалы.
Небольшие расхождения между значениями гг при различной разрезке присущи также рекам, основным источником питания которых являются дожди и паводки, равномерно распределенные на протяжении всего года. Внутригодовой режим таких рек характеризуется пилообразным гидрографом, однако при месячном осреднении получается сравнительно равномерный гидрограф (рис. 2.5).
Помимо указанных случаев, незначительное расхождение имеет место на реках, сток которых совершенно не зарегулирован, а гидрограф характеризуется ярко выраженной волной половодья. В отличие от рек первого типа (зоны достаточного увлажнения) эти реки имеют сравнительно малые коэффициенты вариации средних расходов одноименных месяцев в многолетнем разрезе. К таким относятся реки районов недостаточного увлажнения. Годовые гидрографы таких рек относительно мало разбросаны от своего среднего значения (рис 2.4 а).
Поскольку изменение даты начала года в ряде случаев меняе
реляции между значениями годового стока смежных лет, то можно предположить, что будут меняться также и значения взаимного коэффициента корреляции между значениями годового стока различных рек. Этот вопрос был специально исследован Т. В. Швелидзе [386]. Расчеты производились при разрезке гидрографов различных рек Кавказа на первое число каждого месяца. В табл. 2.5 приведены экстремальные значения этих коэффициентов при различной разрезке года на интервалы осреднения для 35-летнего периода (1931—1965). В нижней части таблицы приведены значения стандарта ошибки вычисления коэффициента корреляции при различной величине последней для случая, когда т = 34.
Как указывается в работе [386 ], экстремальные значения коэффициентов взаимной корреляции для ' разных пар рек имеют
66
Глава 2
Таблица 2.5 Экстремальные значения коэффициента взаимной корреляции между значениями годового стока рек Кавказа при различной дате начала года
Река — пункт
Б зыбь — с. Джирхва
Кодори — с. Лата
Ингури — с. Джвари
Риони — РиониГЭС
Кура — г. Тбилиси Алазани — с. Шакриани
Тертер — с. Мадагиз
Араке — с. Кюбек-тала
Сулак — с. Миатлы
Терек — г. Орджоникидзе Белая — пгт Ка-менно-мостский
0,54 0,20
1
0,50 0,27
0,62 0,47
1
0,48 0,36 0,49 0,37 0,71
0,53 1
0,58 0,40 0,49 0,40 0,51 0,40 0,77 0,66 1
0,19 0 0,31 0,21 0,21 0
0,46 0,36 0,65 0,57 1
0,33 0,19 0,19 0,07 0,16 0
0,34 0,11 0,59 0,45 0,47 0,34 1
0,30 0,16 0,46 0,32 0,56 0,41 0,50 0,28 0,67 0,52 0,55 0,39 0,69 0,55
1
0,47 0,31 0,25 0,11 0,29 0,14 0,38 0,28 0,63 0,57 0,54 0,43 0,58 0,55 0,47 0,41
1
0,49 0,34 0,30 0,23 0,31 0,23 0,62 0,46 0,72 0,60 0,45 0,23 0,31 0,19 0,26
0,07
0,61 0,58
0,82 0,64 0,61 0,33 0,69 0,50 0,60 0,49 0,60 0,49 0,27 0,15 0,36 0,12 0,47 0,34
0,50 0,24 0,45 0,28
1
место в разное время. В большинстве случаев минимальные их значения имеют место при начале года перед половодьем, а максимальные — при начале года после половодья.
Коэффициент вариации суммарного стока всех И рек (приведенных в таблице) при различной дате начала года меняется в пределах 0,12—0,14.
Изменение коэффициента асимметрии. Изучение данных расчета этого параметра при различной разрезке гидрографа показывает, что во многих случаях происходит значительное изменение асимметричности ряда годового стока (рис. 2.6). Это изменение объясняется перемещением отдельных экстремальных значений месячного стока различных лет из одной группы годового осреднения в другую. Эти перемещения в некоторых случаях вызывают
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
67
резкие изменения экстремальных значений годового стока, что в свою очередь влечет за собой изменение асимметричности распределения последнего.
Графические построения (рис. 2.6) показывают также, что при различной разрезке гидрографа значения годового стока в основном изменяются незначительно и изменения асимметричности
Рис. 2.6. Кривые обеспеченности годового стока, построенные по статистическим параметрам, и фактически наблюденные среднегодовые расходы воды р. Северной Двины у с. Усть-Пинеги при двух разрезках гидрографа.
1 - I/VI, CJC == 2,5, С = 0,25, гл = 0,04; 2 — 1/VII, CL/С = 1,0» v	v	J.	о V
Cv = 0,20, r3 = 0,37.
ряда происходят только за счет различия максимальных (р < < 54-10%), а также минимальных (р > 90ч-95%) значений годового стока. Так, например, для р. Северной Двины в створе с. Усть-Пинега (рис. 2.6) при переходе даты разрезки с 1 декабря на 1 июля максимальное значение среднегодового расхода при р = 0,6% увеличивается на 800 м3/с, что составляет около 25 км3 в год. Для р. Неман в створе г. Смалининкай (90-летний ряд) при переходе даты разрезки с 1 марта на 1 ноября минимальный годовой расход уменьшается на 55 м3/с при р = 99,5%, что составляет 10% нормы стока.
В работах [301, 307] было дано теоретическое обоснование зависимости статистических параметров годового стока от даты начала года. Известно, что речной сток в естественном виде пред
68
Глава 2
ставляет собой нестационарный случайный процесс с непрерывным временем (рис. 2.7). Однако его можно считать нестационарным случайным процессом определенного класса; в частности, можно предположить, что речной сток является нестационарным, в широком смысле периодическим процессом с периодом, равным одному году (Л =1). Согласно определению такого процесса, его
Рис. 2.7. Гидрограф речного стока как нестационарного в широком смысле периодического процесса с периодом h = 1 год.
средняя величина т (/) и ковариационная функция R (/, s) удовлетворяют условиям:
1	т (t h ) = т (/);
R (/ + Л, s + h) - R (/, s).
В таком случае докажем, что случайная последовательность £Л4-6
T]fe= J	0 < 8 </г, k= 1, 2,	(2.25)
(/г-1) /i-4-б
где 6 — дата разбивки гидрографа на годовые интервалы,^представляет собой стационарную в широком смысле последовательность со средней, не зависящей от 6, и функцией ковариации, которая в общем случае зависит от 6. Сказанное выше справедливо также для дискретного процесса, только в этом случае интеграл заменяется суммой.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
69
Сначала докажем независимость средней от б. С этой целью рассмотрим математическое ожидание последовательности т]£ kh+6	kh-\-&
J M%(t)dt = J	(2.26)
(k—l)h+d	(k-l)h+6
Произведем подстановку t — (k — 1) h = т, тогда kh+6	ft+б	ft+6
J m(t)dt = J m [t 4- (fe — 1) h] dx = J m (t) dx. (k—i)/i+6	6	б
Разложив полученный определенный интеграл на сумму слагаемых, будем иметь
Л+6	h	Л+6	б
| т (т) dx = J т (т) dx J tn (т) dx — J т (т) dx.
б	о	л	о
Путем замены переменной х — h = s получим
/i+б	h	б
j т (т) dx = J т (s	h) ds = J tn (s) ds.
h	0	0
Следовательно, h+6	h
( tn (t) dx = j tn (t) dx б	о
или h
Mv\k = \m(x)dx.	(2.27)
о
что свидетельствует о независимости среднего значения от б. Далее рассмотрим ковариационную функцию процесса. Она будет иметь следующий вид:
/А	\ 2
Я6 (k, Z) = Л4т)®т]* —	= МлМ — И т(т) dT I .
\о	/
Из этого выражения исследуем только член, зависящий от б:
= м
' kh+6	lh-\-6
[ g(Z)dZ J l(s)ds
(k—l)h+6	(I—l)/i+6
kh 4-6
Z/i4-6	fcft+б /Л4-6
j M	ds = J j R(t,s)dtds.
(k—1) ft+6 (Z-l) h+6	(k—1) ft-Ьб (Z—1) /14-6
70
Глава 2
Произведя подстановки t — (k — 1) h = тх и s — (/ — 1) h = = т2, получим
М-б ft+б
J J	—l)/l,T2+(/-
6	6
h+б h+д
= j j R (Хц x%(I—k)h)dx1dx2.	(2.28)
6 б
Для дисперсии (когда k = I) будем иметь
Л+б Л4-6
D6=R6(k, k) = j j 7?(rx, T2)dTxdr2 б e
’ h	~|2
j m (t) dx
_o
(2.29)
В правой части выражений (2.28) и (2.29) фигурирует величина 6, что указывает на зависимость от нее функции ковариации и дисперсии. Кроме того, тот факт, что ковариационная функция оказалась функцией разности (/ — k), свидетельствует о стационарности -последовательности т|^.
Распространив эти выводы на коэффициенты корреляции и вариации, приходим к заключению, полученному ранее в результате экспериментальных расчетов. Однако для полноты теоретического исследования необходимо выяснить возможность существования таких условий, при которых ковариационная функция R6 (&, /) не будет зависеть от S.
Анализ показывает, что такое положение может иметь место в двух частных случаях: 1) если сам £ (/) процесс стационарен в широком смысле и 2) если почти все реализации процесса представляют собой периодическую функцию с периодом, равным одному году. Разберем эти случаи.
В первом случае, т. е. когда R (тх, т2) = R (т2 — тх), будем иметь
/i+б h+б
= | J д _]_ (/ _
б б
Обозначив тх — S = х и т2 — 6 = у, получим h h
= J \в.(у —x-\-(l — k)h)dxdy. (2.30) о о
Таким образом, величина не зависит от S, следовательно, и Rb (k, I) не зависит от него.
В чистом виде такой случай, когда процесс речного стока с учетом внутригодового распределения представляет собой ста
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
71
ционарный процесс, на практике не встречается. Однако внутригодовой режим некоторых рек относительно близок к характеру стационарного процесса, которому свойственно постоянство средней и дисперсии для разных сечений процесса. Это означает, что при таком режиме среднемноголетний расход и стандартное отклонение от него из месяца в месяц не меняются, точнее, меняются в сравнительно узких пределах. К таким рекам нужно отнести те, которые не имеют ярко выраженного пика весеннего половодья или осеннего паводка. Подобным режимом обладают, как уже было сказано, зарегулированные реки и реки, основным источником питания которых являются дожди и паводки, более или менее равномерно распределенные на протяжении всего года.
В случае когда почти все реализации g (/) процесса представляют собой периодическую функцию с периодом один год, справедлива зависимость R (t 4 Л, t) = R (t, t) при 0 < t < h, а вместе с ней справедливы и следующие зависимости:
R (/ + h, s) = R (/, s + h) = R (t + h, s 4 h) = R (/, t). (2.31)
В этом случае исследуемая величина выразится следующей зависимостью:
/г+6 /г+6
Мтф]? = j J R (Ъ> Ъ) dxi dx2 =
6 б
h h	/г+б /г+б
= J j R (тх, т2) dTi dx2 4- j j R (ть т2) dx1 dx2 -4-
0 0	h h
/г+б h	h /г+б
+ J f R (ть t2) dxr dx2 -j- J j R (ть т2) dxr dx2 —
h 6	6 h
6 6	h 6
— j j R (ть т2) dxr dx2 — j [ R (ть т2) dxr dx2 —
0 0	6 0
6 h
— f 4 (T1>	(2.32)
0 6
Введем обозначения — h = x и т2 — h = y\ тогда для второго члена зависимости	(2.32)	получим
/г+б /г+б	6	б
J J R (Ti>	тг) ^Ti dx2 =	J	j	R (х	4- у h) dxdy =
h h	0	0
6 6
= j j R (x, y) dxdy.	(2.33)
0 0
72
Глава 2
С помощью обозначения т2 — h = у четвертый член зависимости (2.32) можно привести к виду
h h-\-b	h 6
j J R (ть x2)dx1dx2 = j J R(tx, y-]-h)dx1dy =
6 h	6 0
h 5
= J j R (b, y) dx1 dy. '	(2.34)
6 о
И, наконец, третий член с помощью обозначения т — h = х примет следующий вид:
Л+6 h	6 h
j j R (ть т2) dxt dx2 = j* j R (x h, r2) dx dx2 —
h 6	0 6
6 h
= J J R (x, r2) dx dx2.	(2.35)
о 6
Выражения (2.33)—(2.35) соответственно тождественны пятому, шестому и седьмому членам зависимости (2.32), поэтому после преобразования получим
h h
= J J R (ть т2) dx±dx2.	(2.36)
о о
Следовательно, исследуемая величина не зависит от 6. В этом случае с вероятностью единица для любых &, /, и 62 имеем 6i	во	1
П* = V-
Режим стока, близкий к периодическому процессу, характеризуется минимальными отклонениями среднемесячного расхода воды от своего среднемноголетнего значения при возможно больших колебаниях последнего для разных месяцев.
Гидрограф рек, режим стока которых близок к периодическому процессу, трудно отличить от гидрографа незарегулиро-ванных рек. Однако если его разрезать на участки с годовыми интервалами и полученные годовые гидрографы наложить друг на друга, как это сделано на рис. 2.4, то по разбросу кривых легко отличить режим, близкий к периодическому процессу. Он будет иметь более уплотненный вид, создавая относительно узкую полосу около математического ожидания процесса. Как уже было сказано, подобным режимом стока характеризуются реки зон недостаточного увлажнения.
Экспериментальное и теоретическое изучение исследуемого вопроса позволяет сделать заключение, что среднемноголетний расход Q не зависит от даты разрезки гидрографа, а теснота кор
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
73
реляционной связи между значениями стока смежных лет гх и коэффициент вариации годового стока CVi вообще говоря, зависят от указанной даты. В некоторых частных случаях эта зависимость относительно слаба, что является следствием относительной близости режима речного стока к стационарному или периодическому процессу.
2.4. Стохастические связи между расходами воды за отдельные интервалы осреднения
Для моделирования (синтеза) искусственных гидрологических рядов, что является нашей конечной целью, необходим анализ наблюденных гидрологических рядов с целью получения более или менее надежных оценок основных статистических параметров процесса стока. Некоторые аспекты этого вопроса были рассмотрены выше. Здесь основное внимание уделим статистическим зависимостям между среднеинтервальными (среднемесячными, среднегодовыми) расходами воды в одном створе реки или между среднегодовыми расходами воды в нескольких створах, расположенных на различных реках, сток которых является взаимозависимым. Эти причинно-следственные связи, как правило, являются не функциональными, а стохастическими.
Из-за ограниченности наблюденных данных вместо генеральной совокупности приходится пользоваться некоторой ограниченной выборкой, поэтому практически будем иметь дело со статистическими зависимостями вместо стохастических, подобно тому, как эмпирическая частота принимается оценкой вероятности и тем более точной, чем больше число членов ряда. Одновременно предполагаем, что верна гипотеза о стационарности комплекса факторов, обусловливающих эту связь [274].
Конкретным видом статистической связи между случайными величинами, например между х и у, является корреляционная связь, т. е. связь между величинами и у (xz), где последняя является условным средним при фиксированном значении xz. Подобные связи обычно принимаются линейными или приводятся к таковым с помощью нормализации распределений вероятностей рассматриваемых случайных величин.
Вопросы, касающиеся корреляционных связей между различными гидрологическими элементами, обстоятельно рассмотрены в работах Г. А. Алексеева [7, 8 ], А. В. Рождественского и А. И. Чеботарева [274], А. Ш. Резниковского и С. Г. Костиной [265], В. А. Румянцева [281], В. В. Зубарева [129] и др.
Рассмотрим центральные моменты &-того порядка некоторой случайной функции
mk (t) = M[x(t) — т (0 ]\
74
Глава 2
где среднее значение т (f) = х (/) является оценкой математического ожидания, вокруг которой группируется ансамбль реализации процесса, а дисперсия о2 (/) = М [ х (/) — т (/) ]2 указывает на рассеяние этих реализаций. Следует, однако, отметить, что эти моменты являются статическими характеристиками случайного процесса, поскольку относятся к фиксированному мо-
х
Рис. 2.8. Схема для определения автокорреляционной функции.
менту времени. Динамической характеристикой процесса является ковариационная функция [239]
R (^ь ^2) —
оэ со
= J J [Хх — х(^)] [Х2 —	ti, х2, t2)dx1dx2 (2.37)
для нестационарных процессов или
R (t, t + т) =
= J J (xi — х) (х2 — х) f (*1, t + т) dxrdx2 (2.38) — со —со
для стационарных процессов (рис. 2.8).
Ковариационная функция или связанная с ней корреляционная функция
(2-39’
является важнейшей характеристикой случайных процессов. Вместе с математическим ожиданием х (/) она достаточно полно описывает свойства случайного процесса и является основой корреляционной теории случайных процессов.
При рассмотрении нескольких параллельно протекающих случайных процессов, например процессов колебания расходов воды во взаимозависимых створах (рис. 2.9), применяется взаим
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
75
ная ковариационная (или корреляционная) функция, отражающая стохастические связи в различные моменты времени.
Дальнейшее изложение вопросов, связанных с практическими расчетами по учету корреляционных связей, начнем с процесса колебания годового стока Qz. Этот процесс с дискретным време-
Рис. 2.9. Схема для определения взаимной корреляционной функции.
нем в большинстве случаев является стационарным или приводится к нему путем исключения постоянной составляющей (тренда).
Для годового стока определяются коэффициенты корреляции (точнее, автокорреляции) через т лет (т = 1, 2, ...), при исследовании рядов годового стока для группы рек — коэффициенты взаимной (парной или множественной) корреляции.
На совмещенном графике (рис. 2.10) приведены автокорреляционные функции стока некоторых рек на 30 шагов. Эти функции являются, конечно, лишь оценками «истинных» корреляционных функций. Свидетельством тому является хотя бы то обстоятельство, что даже для одних и тех же створов в зависимости от про-
76
Глава 2
должительности периода наблюдений корреляционные функции меняются в	“
положения г 1,0
довольно широких пределах, на
О,В
0,6
I' 91
иллюстрации этого рис. 2.11 приведены автокорреляционные функции стока р. Иртыша при изменении числа используемых лет наблюдений от 67 (1892— 1958) до 57—37, при этом короткие выборки получены путем последовательного отбрасывания 10-летних данных.
Наблюдаемые расхождения между корреляционными функциями могут быть объяснены двумя причинами: а) непродолжительностью периода наблюдений, когда коэффициенты кор-
а)
А
0,4
М
Ри ,2.10. Автокорреляционные функции стока.
а) 1 — Днепр — г. Киев, 2 — Кама — г. Пермь, 3 — Западная Двина — г. Витебск, 4 — Нева — г. Петрокрепость; б) 1 — Тобол — г. Ялуторовск, 2 — Обь — г. Камень-на-Оби, 3 — Амур — г. Хабаровск, 4 — Белая — г. Уфа.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
77
реляции оцениваются грубо и б) нестационарностью процесса колебаний годового стока, т. е. наличием тренда. Как уже говорилось (см. главу 1), в большинстве случаев тренд отсутствует или является малозначительным, поэтому причину расхождения между корреляционными функциями в одном и том же створе реки следует искать в недостаточности статистических данных.
В связи с отмеченным существуют следующие рекомендации: а) вообще не учитывать корреляционные связи [497 ]; б) во всех случаях учитывать связь только между смежными членами ряда, причем коэффициенты корреляции гг определять по группам рек одних и тех же районов [182]; в) коэффициенты корреляции определять по модулю стока [259, 261 ]. Последнее предложение принадлежит Д. Я. Ратковичу, который подробно исследовал данные по многим рекам мира и для оценки коэффициента корреляции рекомендует пользоваться приводимой здесь таблицей (табл. 2.6).
Таблица 2.6 Значения коэффициента корреляции (для неозерных рек) [259]
Модуль стока, л/(с-км2) .	. . >20	20—10	10—4	4—1	<11
Коэффициент корреляции 0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
Указанные рекомендации, таким образом, содержат предложения пользоваться независимыми значениями или рассматривать эту последовательность как простую цепь Маркова. Поскольку оба варианта являются частными случаями сложной цепи Маркова, то для общности изложения представляется более целесообразным пользоваться последним вариантом, а в случае необходимости применять более простые зависимости.
При рассмотрении ряда среднегодовых расходов воды основными статистическими характеристиками, применяемыми на практике, являются одномерная функция распределения F (Qi) с параметрами Q, Су, Cs и автокорреляционная функция г (т). Последняя представляет собой последовательность коэффициентов корреляции, определяемых через 1, 2, ..., т лет.
Оценка коэффициента корреляции находится на основе наблюденных рядов по известной формуле
г = —-------------- - .........-.	(2.40)
У Д — *>2 Е — уу
Для сравнительно коротких рядов она дает отрицательное смещение, поэтому ряд авторов предлагают соответствующие поправки для ликвидации или уменьшения этого смещения [182, 265, 347 и др.].
78
Глава 2
Вопрос применения метода наибольшего правдоподобия для получения оценки был исследован В. В. Зубаревым [129]. Пользуясь методом Монте-Карло, он моделировал 25 и 50-летние ряды и искал средние квадратические отклонения г от «истинного» (исходного) его значения. Он пришел к следующему интересному выводу: «Полученные результаты свидетельствуют, что метод наибольшего правдоподобия дает большее рассеяние коэффициента корреляции относительно истинного значения, чем метод моментов, как в случае соответствия, так и в случае несоответствия закономерностей, принятых при определении оценок и закономерностей исследуемого процесса. Это обстоятельство заставляет при практических расчетах из двух рассмотренных методов отдать предпочтение методу моментов» [129, с. 44].
Как известно, не всякая функция может быть принята в качестве корреляционной функции, поэтому последнюю надо искать в специальном классе функций. В ряде работ приводятся некоторые типы этих функций [38], например:
для белого шума
г (т) = а б (т);
экспонента
г (т) = е~~а 1 Т|;
экспонента, умноженная на косинус, г (т) = е—а ।т 1 cos 2л/от.
Если бы были исследованы автокорреляционные функции годового стока и установлены соответствующие аналитические выражения, то в случае конкретных рек можно было бы определить только параметры функции г (т) и таким образом сложная непараметрическая задача сводилась бы к более простой параметрической. К сожалению, такой работы еще не имеется. Лишь для случая, когда сток рассматривается как простая цепь Маркова, известна аналитическая функция
Г (т) = 4*1,
а в остальных случаях приходится автокорреляционные функции строить чисто эмпирически, путем оценки коэффициентов корреляции гх, г2, ..., гх. Такие функции построены почти для всех рек, по которым имеются более или менее продолжительные наблюдения [72, 111, 269, 292 и др. ]. Некоторые примеры даны на приведенных графиках (рис. 2.10, 2.11). Для р. Влтавы К. Нахазель предложил следующую эмпирическую зависимость:
г (т) =	cos (т — 1).
о	1э
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
79
КО
Перейдем к вопросу о взаимной корреляции между значениями годового стока различных рек. Для установления степени синхронности или асинхронности годового стока рек обычно применяется способ попарного определения коэффициентов корреляции, которые для удобства представляются в виде взаимной корреляционной матрицы. В табл. 2.7 приведена такая матрица для среднегодовых расходов воды некоторых главных рек Грузии. Для сравнения там же приводятся значения основных статистических
0.8
0,6
0,4
0,2
О
0,2
1
2
0,4 -
V4

V
-0,6'----------1-----------1___________I___________I___________I______-____г
о	5	10	15	20	25 Годы
Рис. 2.11. Автокорреляционные функции стока р. Иртыша (г. Тобольск) при различной длине используемого наблюденного ряда. 1 — 67 лет (1892—1958), 2 — 57 лет (1902 —1958),	3 — 47 лет (1912 — 1958),
4—37 лет (1922 — 1958).
параметров соответствующих гидрологических рядов за период 1932—1972 гг. Как следует из приведенных данных, синхронность стока и отражающая ее теснота корреляционных связей довольно значительны, за исключением стока р. Алазани в отношении стока рек Кодори, Ингури и Риони. Из-за симметричности корреляционной матрицы при т = 0 она заполнена лишь в верхней от диагонали части.
80
Глава 2
Таблица 2.7 Статистические параметры наблюденных рядов и взаимная корреляционная матрица рек Грузии для среднегодовых расходов воды (1932—1972 гг.)
Статистические параметры рядов
Взаимная корреляционная матрица
Река — пункт
Б зыбь — с. Джир-хва
Кодо-ри —
с. Лата Ингу-ри —
с. Латали Риони —
с. Сако-чакидзе Кура — г. Тбилиси
Арагви — с. Жин-вали Алаза-ни — с. Чиа-ури
96
87
151
405
203
43
64
0,19
0,13
0,14
0,16
0,22
0,20
0,29
0,96
0,43
0,50
0,26
0,35
0,73
0,70
0,16
—0,02
0,14
—0,11
0,23
0,19
0,20
Естественно, что степень связности значительно выше, когда рассматриваются створы, находящиеся на одной и той же реке. В табл. 2.8 такие данные приведены для четырех створов р. Куры. Хотя в крайних створах (с. Хертвиси и г. Мингечаур) среднегодовой сток различается в 11 раз, коэффициент взаимной корреляции все же остается высоким (0,66).
В табл. 2.9 приводится взаимная корреляционная матрица рек бассейна р. Кубань. Как и следовало ожидать, стохастические связи здесь достаточно тесные и находятся в пределах 0,50—0,97.
Для сравнения в табл. 2.10 сведены значения статистических параметров рядов годового стока и коэффициентов взаимной корреляции для некоторых рек Советского Союза (Волга, Нева, Неман, Северная Двина) и рек других континентов за 60-летний период (1908—1967). Естественно, что здесь наблюдаются как положительные (синхронность), так и отрицательные (асинхронность) стохастические связи. В ряде случаев эта связь вообще отсутствует или очень слаба.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
81
Таблица 2.8 Статистические параметры наблюденных рядов и взаимная корреляционная матрица для среднегодовых расходов воды в различных створах р. Куры (1939—1971 гг.)
Пункт	Статистические параметры рядов				Взаимная корреляционная матрица				
	S |О-	о	со	С	Хертвиси	Минадзе	Ликани	Тбилиси	Мингечаур
Хертвиси	32	0,29	0,51	—0,17	1	0,84	0,89	0,79	0,66
Минадзе	57	0,23	0,51	0,02		1	0,93	0,81	0,44
Ликани	85	0,22	0,47	—0,10			1	0,86	0,54
Тбилиси	201	0,23	0,47	0,20				1	0,68
Мингечаур	352	0,26	—0,07	0,22					1
Таблица 2.9 Статистические параметры наблюденных рядов и взаимная корреляционная матрица рек бассейна р. Кубань для среднегодовых расходов воды (1926—1970 гг., с разрезкой на 1 мая)
Река — пункт	Статистические параметры рядов				Взаимная корреляционная матрица						
	о 2 lO'	о	V) 'О		Кубань — с. им. Коста Хетагурова	Лаба — г. Лабинск	Лаба — х. Догужиев	Белая — х. Долго-гусевский	Кубань — с. Богословское		Кубань — ст-ца Темиж-бекская		Кубань — г. Краснодар
Кубань —	76	0,13	0,10	0,22
с. им. Коста Хетагурова Лаба —	88	0,16	0,30	0,16
г. Лабинск Лаба —	99	0,17	0,29	0,29
х. Догужиев Белая —	105	0,19	0,18	0,32
х. Долгогу-севский Кубань —	146	0,13	0,18	0,04
с. Богословское Кубань —	169	0,13	0,17	—0,01
ст-ца Темиж-бекская Кубань —	430	0,16	—0,19	0,23
г. Краснодар				
0,80	0,76	0,57	0,88	0,82	0,70
1	0,94	0,62	0,78	0,75	0,72
	1	0,76	0,72	0,71	0,84
		1	0,50	0,51	0,87
			1	0,97	0,66
				1	0,66
					1
оо to
Таблица 2.10 Статистические параметры наблюденных рядов и взаимная корреляционная матрица некоторых рек разных континентов для среднегодовых расходов воды (1908—1967 гг.)
Река — пункт	Статистические параметры рядов				Взаимная корреляционная матрица										
	Q м3/с	О	со О		Нигер	Кришна	Волга	Миссури	Лаба	Нева	Неман	Луара	Святого Лаврентия	Дунай 1		к ® л СХ ИН и S Л) я
Нигер — Куликоро	1556	0,21	0,31	0,53	1,0	0,04	0,16	—0,02	—0,18	0,54	0,16	—0,01	0,09	—0,21	0,31
Кришна — Видна	1770	0,27	0,70	0,39		1,0	0,18	—0,12	—0,13	0,18	0,44	—0,12	0,14	—0,01	0,03
Явада															
Волга — г. Волго-	7862	0,19	0,44	0,49			1.0	0,41	0,11	0,26	0,35	0,04	0,23	0,06	0,58
град															
Миссури — г. Терман	2167	0,35	0,59	0,44				1,0	0,06	—0,03	0,02	—0,01	0,32	—0,02	0,26
Лаба — г. Дачин	313	0,33	1,06	0,31					1,0	—0,29	0,17	0,47	—0,23	0,78	—0,02
Нева — д. Новосара-	2447	0,18	0,01	0,58						1,0	0,30	—0,01	0,05	—0,20	0,26
товка															
Неман — г. Смалинин-	547	0,17	0,57	0,11							1,0	0,32	—0,02	0,15	0,18
ка й															
Луара — г. Монжан	879	0,35	0,66	0,17								1,0	—0,19	0,55	0,07
Святого Лаврентия —	6550	0,09	—0,08	0,72									1,0	—0,21	0,15
г. Огденсбург															
Дунай — г. Оршова	5524	0,19	0,50	0,15										1,0	—0,10
Северная Двина —	3329	0,21	0,39	0,33											1,0
с. Усть-Пинега															
Глава 2
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
83
Такие статистические данные используются при групповом моделировании взаимозависимых гидрологических рядов, необходимых для водноэнергетических и водохозяйственных расчетов системы взаимозависимых гидроузлов.
Рассмотрим, наконец, внутрирядные корреляционные связи и соответствующие матрицы для наблюденных среднемесячных расходов воды.
Рис. 2.12. Корреляционные поля связи расходов воды за январь с расходами за декабрь предыдущего года (а) и расходов воды за декабрь с расходами за январь того же года (б).
Для моделирования гидрологических рядов с учетом внутригодового распределения речного стока в ряде случаев необходимо знать матрицу среднемесячных (среднедекадных) расходов воды в данном створе реки. При этом не следует замыкаться в пределах одного года, а нужно рассматривать цепные связи с определенным числом предыдущих месяцев, часть которых находится в предыдущем году. При таком подходе корреляционная связь, например, расходов воды за январь с расходами за декабрь того же года будет отличаться от связи расходов воды за январь с расходами за декабрь предыдущего года. Для иллюстрации сказанного на рис. 2.12 приведены соответствующие корреляционные поля. Разницу между коэффициентами корреляции П-хп и rxii-i можно объяснить тем, что в первом случае имеем дело со смежными месяцами, а во втором — между ними находится 10-месячный интервал.
84
Глава 2
На рис. 2.13 приведены корреляционные функции связи расходов воды за январь с расходами за И месяцев предыдущего года и за 11 месяцев того же года. Разница между ними довольно существенная. К сожалению, на это обстоятельство до последнего времени не обращалось внимания, что приводило к ошибочным результатам при моделировании гидрологических рядов с учетом
Рис. 2.13. Корреляционная функция связи расходов воды за январь с расходами воды за 11 месяцев предыдущего года (а) и расходов воды за январь с расходами воды за 11 месяцев того же года (б).
внутригодового распределения стока по схеме сложной цепи Маркова.
Все вышесказанное относительно несимметричности корреляционных матриц более полно можно иллюстрировать при анализе матриц среднемесячных расходов воды рек Ангары (табл. 2.11), Бзыби (табл. 2.12) и Дуная (табл. 2.13). Здесь явно видна разница между верхней (от диагонали) и нижней частями матриц.
В самой последней строке таблиц приводятся значения коэффициента корреляции между значениями годового стока (гх) при разрезке гидрографа на 1 января, 1 февраля и т. д. Для зарегулированной реки (Ангара) этот коэффициент меняется в сравнительно узких пределах (0,80—0,95), а для незарегулированных рек (Бзыбь, Дунай) — в довольно широких пределах (соответственно 0,33—0,86 и 0,45— 0,65).
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
85
Таблица 2.11 Корреляционная матрица наблюденных среднемесячных расходов воды р. Ангары (с. Пашки, 1899—1956 гг.)
Месяц предыдущего года	Месяц того же года											
	I	II	ш	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
I	1	0,99	0,98	0,97	0,95	0,79	0,72	0,68	0,61	0,58	0,58	0,56
II	0,61	1	0,99	0,97	0,94	0,79	0,72	0,69	0,62	0,60	0,59	0,58
III	0,58	0,60	1	0,98	0,95	0,78	0,68	0,64	0,57	0,55	0,55	0,54
IV	0,56	0,58	0,60	1	0,98	0,80	0,70	0,64	0,55	0,54	0,53	0,52
V	0,55	0,56	0,59	0,58	1	0,86	0,73	0,65	0,56	0,54	0,53	0,52
VI	0,66	0,66	0,70	0,71	0,71	1	0,89	0,79	0,71	0,70	0,69	0,67
VII	0,78	0,78	0,81	0,82	0,82	0,68	1	0,93	0,86	0,83	0,82	0,80
VIII	0,89	0,88	0,89	0,91	0,90	0,78	0,70	1	0,96	0,93	0,91	0,90
IX	0,93	0,92	0,92	0,94	0,92	0,79	0,71	0,64	1	0,99	0,97	0,97
X	0,94	0,93	0,93	0,94	0,93	0,78	0,71	0,64	0,56	1	0,99	0,99
XI	0,94	0,92	0,92	0,94	0,92	0,76	0,70	0,63	0,55	0,52	1	0,99
XII	0,95	0,93	0,93	0,94	0,92	0,77	0,72	0,66	0,58	0,55	0,54	1
Коэффициент корреляции между годовыми расходами г±	0,83	0,84	0,81	0,80	0,80	0,87	0,92	0,95	0,94	0,93	0,92	0,90
Таблица 2.12 Корреляционная матрица наблюденных среднемесячных расходов воды р. Бзыбь (с. Джирхва, 1932—1971 гг.)
Месяц предыдущего года	Месяц того же года					
	I	II	Ш	IV	V	VI
I	1	0,61	0,12	0,22	0,25	0,43
II	0,06	1	0,34	0,36	0,12	0,35
III	0,28	0,02	1	0,39	—0,03	—0,01
IV	0,22	0,06	—0,11	1	0,25	0,31
V	—0,08	—0,27	—0,16	—0,17	1	0,69
VI	—0,08	—0,20	—0,04	—0,26	0,16	1
VII	—0,01	—0,22	—0,12	—G, 21	0,25	0,05
VIII	—0,04	—0,26	—0,17	—0,08	0,23	0,02
IX	—0,01	—0,24	—0,16	0,04	0,12	—0,03
X	0,16	0,06	—0,13	0,11	0,04	0,07
XI	0,25	0,21	0,03	0,03	0,02	0,16
XII	0,54	0,34	0,26	0,34	0,32	0,48
Коэффициент корреляции мевду годовыми расходами Г1	0,39	0,44	0,21	0,53	0,63	0,79
86
Глава 2
Продолжение табл. 2.12
Месяц предыдущего года	Месяц того же года					
	VII	VIII	IX	X	XI	XII
I	0,38	0,14	—0,02	—0,15	—0,04	0,06
II	0,35	0,16	—0,04	0,04	0,09	0,05
III	0,03	0,02	—0,16	0,06	0,18	—0,02
IV	0,26	0,12	—0,06	0,34	0,13	0,11
V	0,57	0,38	0,33	0,14	—0,17	—0,07
VI	0,84	0,57	0,45	0,04	0,02	0,0
VII	1	0,77	0,59	0,24	0,21	0,24
VIII	—0,01	1	0,73	0,34	0,22	0,24
IX	—0,15	—0,13	1	0,55	0,25	0,20 .
X	—0,07	—0,01	—0,21	1	0,56	0,29
XI	0,09	—0,02	—0,12	—0,09	1	0,47
XII	0,31	0,05	—0,14	—0,13	0,02	1
Коэффициент корреляции между годовыми расходами '1	0,86	0,71	0,60	0,53	0,41	0,33
Таблица 2.13 Корреляционная
матрица наблюденных среднемесячных
расходов воды р. Дунай (г. Оршова, 1840—1939 гг.)
Месяц предыдущего года	Месяц того же го а					
	I	II	Ш	IV	У	VI
I	1	0,57	0,15	0,09	0,20	0,14
II	—0,01	1	0,42	0,09	0,23	0,22
III	0,13	0,12	1	0,43	0,36	0,31
IV	—0,04	—0,05	0,02	1	0,66	0,42
V .	0,05	0,06	0,0	—0,26	1	0,66
VI	—0,06	0,05	0,04	—0,11	—0,05	1
VII	0>14	0,14	0,17	—0,08	—0,01	0,02
VIII	0,31	0,20	0,24	0,0	0,04	0,07
IX	0,39	0,25	0,09	0,05	0,15	0,20
X	0,43	0,40	0,21	0,19	0,27	0,20
XI	0,45	0,27	0,21	0,15	0,08	0,14
XII	0,63	0,38	0,19	0,19	0,17	0,26
Коэффициент корреляции между годовыми расходами Г1	0,45	0,49	0,55	0,58	0,64	0,63
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
87
Продолжение табл. 2.13
Месяц предыдущего года	Месяц того же года					
	VII	VIII	IX	X	XI	XII
I	0,25	0,20	0,07	0,02	0,08	0,09
II	0,33	0,17	0,10	0,09	0,02	—0,01
III	0,23	0,03	0,01	0,18	0,17	0,10
IV	0,22	0,11	0,03	0,20	0,09	0,09
V	0,39	0,20	0,04	0,11	0,04	0,02
VI	0,62	0,30	0,14	0,18	0,07	—0,01
VII	1	0,72	0,32	0,18	0,11	0,11
VIII	0,04	1	0,60	0,29	0,22	0,33
IX	0,17	0,13	1	0,61	0,37	0,42
X	0,25	0,22	0,14	1	0,64	0,50
XI	0,23	0,25	0,29	0,20	1	0,69
XII	0,23	0,13	0,21	0,10	0,03	1
Коэффициент корреляции между годовыми расходами ri	0,65	0,58	0,49	0,55	0,50	0,48
2.5. Применение распределения Джонсона для расчета речного стока [300]
В инженерной гидрологии и теории регулирования речного стока важное значение имеет вопрос установления безусловного (одномерного) закона распределения вероятностей процесса многолетних колебаний годового стока реки и его автокорреляционной функции. На эти представления опираются различные математические модели стока, которые при прочих равных условиях различаются принятой гипотезой об условных распределениях вероятностей: двумерном (при простой цепи Маркова) или многомерном (при сложной цепи Маркова).
Рассмотрим вопрос о выборе закона распределения годового стока реки. Этой теме посвящено большое число исследований как в СССР, так и за рубежом. Не останавливаясь на анализе указанных, часто весьма интересных работ, отметим лишь, что наибольшее распространение получили распределения: Пирсона III типа [321 ], С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля [179], лог-нор-мальное (или Фишера—Слейда [472]) и некоторые другие [148, 155, 272, ,431, 498 и др.]. Тем не менее до настоящего времени по данному вопросу не имеется общепринятых рекомендаций.
88
Глава 2
Отсутствуют также обобщающие работы, которые позволили бы инженеру сориентироваться в многочисленных предложениях о законах распределения.
При решении этой задачи некоторые исходные положения или постулаты, на которых основываются дальнейшие построения, принимаются априори, хотя нередко они являются спорными. К ним, в частности, относятся пределы изменения рассматриваемой случайной величины 0 < х < оо.
Возьмем, к примеру, многолетние колебания стока реки. Физическими соображениями или логическими рассуждениями нельзя доказать, что минимальное значение годового стока реки (а не пересыхающего русла) будет равным нулю. Действительно, трудно себе представить, чтобы в естественном состоянии для маловодного года, пусть даже весьма редкой повторяемости, русла таких рек, как Кура, Ока, Сена или Потомак, полностью пересыхали; или что неограниченно велико максимальное значение годового стока даже таких больших рек, как Енисей, Ганг, Конго или Амазонка. В качестве аргумента против выбора указанных границ обычно приводится затруднительность установления минимальных и максимальных значений стока. Задача эта действительно трудная, но тем не менее нужно стремиться к ее решению.
Имеется ряд предложений по выбору экстремальных значений случайной величины, что позволяет в случае необходимости ориентироваться на двоякоограниченные функции распределения. Здесь, в частности, нужно отметить работу Г. П. Калинина [142], которая опирается на достаточно обширные натурные наблюдения. Рассмотрим эти вопросы подробнее.
Для общности изложения будем пользоваться модульными коэффициентами
=	(i= 1, 2.я),
w q 4	7
где WL и Qz — наблюденные значения стока и расхода воды, a W и Q — соответствующие средние значения (оценки математических ожиданий).
Что касается сравнительно более простой задачи о выборе нижней границы изучаемой случайной величины (хмин), очевидно, что она должна находиться в пределах 0 < хмин < л4ин, где Хмин — наименьший по величине член наблюденного ряда. В этих пределах любое произвольно взятое значение Хмин будет, по-видимому, ближе к оптимуму, чем соответствующая исходная граница (0 или х^ин), если от этой границы приближаемся к истинному значению хмин. Сложнее обстоит дело с определением хмакс, находящегося где-то в пределах х^кс <*макс<°°«
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
89
В обоих случаях единственной исходной информацией являются данные натурных гидрометрических наблюдений, поэтому на них и нужно базироваться. Для ориентировочного определения экстремальных наблюденных значений модульных коэффициентов годового стока автором предлагаются простые эмпирические формулы, которые имеют следующий вид (индекс п опускается) [300, 479]:
для минимального стока
*мин = ^4,5С°;	(2.41)
для максимального стока
*макс= И~4,5Са.	(2.42)
Вероятности превышения этих экстремальных значений такие: рх ^99,9% и рх ^0,1% (рис. 2.14).
На рис. 2.15 приводится график Пирсона в координатах рхОр2, где выделены области большинства известных законов распределений [345]. Значения рх— квадрата нормированного показателя асимметрии и р2 — нормированного показателя островершинности — определяются по формулам
2
Р1 = ^ир2 = 4,	(2.43)
Р2	Н2
для которых оценки имеют следующий вид:
/И?	т
6‘=4и!,а=^;	(2Л4)
здесь р2, р3 и р4 — соответственно второй, третий и четвертый центральные моменты; m2, т3 и т4 — их оценки.
График позволяет наглядно представить многообразие и взаимное расположение различных распределений. Например, для нормального распределения, как известно, р1 = 0ир2 = 3, поэтому на графике оно представлено одной точкой, которая является граничной для /-распределения (Стьюдента), если число степеней свободы произвольно увеличивается. Гамма- и лог-нор-мальное распределения расположены близко друг к другу (в особенности при малых рх), этим и объясняется, что часто они одинаково хорошо (или одинаково плохо) описывают данные по одной и той же реке.
Перечисленным распределениям на графике рх0р2 соответствует или одна точка (нормальное, равномерное и экспоненциальное 1 распределения), или кривая (гамма-, лог-нормальное
1 Для экспоненциального распределения рх — 4 и р2 = 9.
90
Глава 2
среднегодовых расходов воды хмакс и коэффициента вариации Cv (б).
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
91
Рис. 2.15. График для выбора аппроксимирующего распределения.
Области: А — критическая; Б — U-образного бета-распределения; В — J-образного бета-распределения; Г — бета-распределения Пирсона I; Д — распределения Пирсона IV; Е — распределения Пирсона VI.
Распределения: линии II, III, V и VII — Пирсона II, III, V и VII соответственно; VIII — равномерное; IX — нормальное; X — Стью-дента; XI лог-нормальное; XII — нижняя граница кривых Пирсона.
92
Глава 2
Рис. 2.16. График для выбора аппроксимирующего распределения Джонсона.
Реки: 1 — СССР, 2 — Северной Америки, 3 — Европы (без СССР), 4 — Африки, Азии и Австралии. Области: А — критическая, Б — распределения Джонсона, В — распределения Sy Джонсона;
5 — линия распределения Джонсона.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
93
и /-распределения), поэтому они по общности и диапазону охвата значений и р2 уступают распределениям, которые на графике занимают целые области (например, различные виды бета-распределения).
Для того чтобы судить, в какой степени наблюденные данные соответствуют тем или иным распределениям, на график (рис. 2.15, 2.16) нанесены точки, полученные на основе обработки рядов среднегодовых расходов воды около 200 рек мира, в том числе 70 рек СССР, 81 — Северной Америки, 22 — Европы (без СССР), 10 — Африки, Азии и Австралии.
Для подавляющего большинства этих рек наблюдения имелись за 40 лет и более. Здесь, конечно, уместны сомнения по поводу надежности оценок пг3 и т4, а также связанных с ними коэффициентов асимметрии и эксцесса. Эти сомнения вполне понятны из-за ограниченности длины наблюденного ряда, однако когда на график наносятся данные по сотням рек, то совокупность этих точек, исходя из принципов пространственно-временного анализа [142], позволяет сравнительно обоснованно судить о подходящем законе распределения.
Чтобы определить, какой именно закон распределения является наиболее подходящим для той или иной реки, необходимы достаточно надежные оценки третьего и четвертого центральных моментов, а этого обычно мы не имеем.
Принимая за основу гамма- или лог-нормальное распределение, мы не снимаем вопроса о третьем или четвертом моментах, для оценки которых данных недостаточно. В действительности мы принимаем волевое (и нужно сказать, совершенно произвольное) решение об их жесткой связи с моментами более низкого порядка.
В связи с этим возникает вопрос, нельзя ли применяемое множество различных распределений заменить каким-нибудь более гибким и обобщенным законом, приемлемым для совокупности подавляющего большинства рек. Автором и Г. Л. Григолия было найдено и впервые рекомендовано в качестве одномерного закона распределения вероятностей годового стока реки так называемое распределение SB Джонсона [88, 300, 479]. Как видно из графика (рис. 2.16), это распределение целиком покрывает области, соответствующие различным видам бета-распределения, а также лог-нормальному и гамма-распределениям и некоторым другим распределениям, представляющим собой их частные случаи (рис. 2.15). Другие типы распределения Джонсона (SL и S^) занимают остальную нижнюю часть графика. Таким образом, три разновидности этого распределения покрывают весь график ниже критической области, и, следовательно, они могут заменить I—VII типы распределений Пирсона, включая различные их модификации.
94
Глава 2
В общем случае преобразование Джонсона имеет вид [345, 429]
6 > 0,	—сю <1 ф <С оо;
т] = у 4- бт (х; г, X),
А, >* 0, —оо<^е<;оо.	(2.45)
Здесь х — случайная величина, для которой подбираем распределение Джонсона; т — некоторая произвольная функция; у, 6, е и А, — параметры распределения, а т] — нормированная случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами (0, 1). Джонсоном были предложены следующие три различных типа (семейства) функций:
I.	(х; 8, А,) = In	> х^ 8;	(2.46)
II.	т2 (х; 8, X) = In	, 8 < х < 8 + А,;	(2.47)
III.	т3 (х; 8, А,) = Arsh	, — оо < х < оо. (2.48)
Соответствующие плотности распределения имеют вид
'•Л w = vs (,- ехр y [^+ln - <}; <2Л9>
И. f2(x)	л - л (X л х
хехр{--|-[т + 61п(тх72 ,)]'}	(2.50)
X exp [-4 (т+61п{(^) +[(^1)4	(2.51)
здесь /д (х) — лог-нормальное распределение с тремя параметрами, называемое также семейством распределения SL Джонсона; /2 (х) — семейство распределений SB Джонсона с четырьмя параметрами распределений, a f3 (х) — семейство распределений Su Джонсона, также с четырьмя параметрами распределений.
Из приведенных формул следует, что распределения SL, SB и Scj применяются соответственно для ограниченных с одной стороны случайных величин (I тип), случайных величин, ограни
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
95
ченных сверху и снизу (II тип), и, наконец, для неограниченных случайных величин (III тип).
С точки зрения гидрологических процессов, наибольший интерес представляет ограниченное с двух сторон распределение SB (II тип), которым охватывается подавляющее большинство привлеченных нами рек (рис. 2.16). Как показывается в работе [88], те реки, которые не попали в область распределения SB, можно привести в эту область, если изменить дату начала гидрологического года.
Плотность распределения SB Джонсона (2.50) можно записать в следующем виде х:
1	Ь —а	(	1 Г1 / х —а \	I2)
f (х) =----т=- -------—г---- exp I---т- In ( -г--] — тх\ I,
7	аг К2л	(Z> — х)	2q2 L \b — x) TJ J
(2.52)
где & = А, + 8Ия = 8 — верхняя и нижняя границы случайной величины х;	•
тх= —	(т. е.	(2.53)
1
ат — 6
(2.54)
— математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной непрерывной величины т (2.47). Если перейти к дискретной случайной величине, каковой и является годовой сток, то последовательность
(2.55)
где Xi = Qz/Q = W[IW — наблюденные значения модульного коэффициента среднегодового расхода воды (QJ или стока (IFJ, будет иметь нормальное распределение. Очевидно, что и последовательность
(2.56)
будет также нормальной с параметрами (0, 1).
Преимущество распределения SB Джонсона заключается в том, что оно хорошо описывает процесс колебаний годового стока (распределение SB охватывает большую область на графике Р 10р 2>
1 Ниже индекс 2 опускается, так как будем пользоваться только II типом распределения Джонсона.
96
Глава 2
чем кривая Пирсона I типа, рис. 2.15 и 2.16); построение соответствующей функции можно произвести относительно легко, оно может принимать более разнообразные формы (рис. 2.17), во многих случаях является более удобным для моделирования и др.
Используя оценки параметров и таблицу значений нормальной нормированной интегральной функции распределения (см., например, [7, 345]), можно найти ожидаемую долю наблюдений,
Рис. 2.17. Распределения Sb Джонсона при а — 0, % = 1 и различные значения параметров 6 и у.
лежащих в определенных интервалах частот, т. е. получитьгэмпи-рическое распределение или кривую обеспеченности и сравнить полученные результаты с фактическими данными.
При определении оценок четырех параметров распределения (а, Ь, тх и от) возможны следующие случаи: а) оба крайних значения (а и 6) известны; б) известно только одно крайнее значение (а или 6); в) ни одно из крайних значений не известно.
Будем пока условно считать, что для речного стока оба крайних значения известны, и рассмотрим методы оценки остальных двух параметров применительно к такому случаю. Оценки математического ожидания тх и среднего квадратического отклонения ог нормальной последовательности можно найти с помощью метода моментов, который, как известно, для xt нормальной последовательности дает такой же результат, как и метод максимального правдоподобия [155]:
—--------п-------- (2-57)
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
97
И
У —------------—------------	<2-“)
Для наглядности рассмотрим конкретный пример.
Для р. Бзыбь у с. Джирхва (данные даются в табл. 2.14) по формулам (2.57) и (2.58) определяем параметры распределения SB: тх — —1,166 и от = 0,417. Нижний и верхний пределы этого распределения а = 0,4 и b = 2,85 выбраны с помощью критерия %2 (этот вопрос рассматривается ниже).
Кривые обеспеченности для заданных параметров распределения можно построить двумя способами: 1) для заданных значений квантилей хр определяются соответствующие им вероятности превышения р; 2) для заданных вероятностей превышения р определяются соответствующие им значения квантилей хр.
В первом случае, подставляя значения параметров в выражение (2.56), получаем
in ( *70,4 ) +1,166 \ 2,85 —х J
11 —	0ДТ7	*'
Используя полученное соотношение, для любого значения х (0,4 < х < 2,85) определяем соответствующие им г] и по таблице значений вероятностей непревышения т] = Ф (q) заданных нормированных квантилей (см., к примеру [7, приложение II]) находим вероятность того, что значения нормированной случайной величины окажутся меньше т)7. Вероятность же того, что ее значения превысят величину т]^, равна р = 1 — q. Напримерг при х = 1,6 ц = 2,6983 и по указанной таблице находим вероятность непревышения q = 0,9965, или 99,65%. Вероятность превышения (т. е. обеспеченность р) равна 100 — 99,65 = 0,35%.
В такой же последовательности определяем вероятность превышения для других значений х. Последовательность расчета ясна из табл. 2.15, по данным которой строим кривую обеспеченности модульных коэффициентов распределения SB Джонсона (рис. 2.18, кривая III).
Для второго способа используется таблица работы [7, приложение III] и формула для определения хр, которую можно записать в следующем виде:
_ bedа ___ Ztf>ed 4- 0,4	(С)
ХР е^4-1
где d = отт] + тх = 0,417т] — 1,166.
Таблица 2.14 Определение параметров гпх и <тт (р. Бзыбь — с. Джирхва)
№ п/п	ч 1 о	О со  S 67	II ч"	o' L	1 ю оо L	еГ 1	х- (в возрастающем порядке)	а.	№ п/п	о	о 2 СУ	(У ||^ II ч"	о 5 1	•х—^ч	к	(М 1	х- (в возрастающем порядке)	О'' Ci.
1	2	3 1	4		5	6	7	8	1	2	3	4		5	6	7	8
1	1932	96,9	1,01	—i,u		0,003	0,63	98,4	21	1952	90,7	0,94	— 1,26		0,009	0,98	48,8
2	1933	88,8	0,92	— 1,30		0,018	0,75	95,8	22	1953	101	1,05	— 1,02		0,021	1,00	46,3
3	1934	81,9	0,85	— 1,49		0,105	0,76	93,3	23	1954	89,3	0,93	— 1,29		0,015	1,00	43,8
4	1935	74,2	0,76	— 1,74		0,329	0,76	90,8	24	1955	72,8	0,75	— 1,77		0,365	1,01	41,3
5	1936	90,7	0,94	— 1,26		0,009	0,79	88,1	25	1956	104	1,08	—0,96		0,042	1,03	38,9
6	1937	102	1,06	—	1,00	0,028	0,83	85,9	26	1957	73,6	0,76	— 1,74		0,329	1,05	36,4
7	1938	102	1,06		]	1,00	0,028	0,85	83,4	27	1958	102	1,06	— 1,00		0,028	1,05	33,9
8	1939	111	1,15	—0,81		0,127	0,86	80,9	28	1959	83,5	0,87	— 1,44		0,075	1,06	31,5
9	1940	124	1,28	—0,56		0,367	0,86	78,5	29	1960	95,9	1,00	— 1	,13	0,001	1,06	29,0
10	1941	136	1,41	—0,35		0,666	0,87	76,0	30	1961	84,3	0,88	— 1,42		0,064	1,06	26,5
11	1942	98,9	1,03		1,07	0,009	0,87	73,5	31	1962	90,6	0,94	— 1,26		0,009	1,07	24,0
12	1943	91,2	0,95		1,24	0,003	0,88	71,0	32	1963	127	1,31	—0,51		0,430	1,08	21,5
13	1944	116	1,20	—0,72		0,199	0,92	68,6	33	1964	79,8	0,83	— 1,55		0,147	1,09	19,1
14	1945	154	1,60	—0,04		1,268	0,93	66,1	34	1965	90,1	0,94	— 1,28		0,013	1,15	16,6
15	1946	105	1,09	—0,94		0,051	0,94	63,6	35	1966	101	1,05	— 1,02		0,021	1,20	14,1
16	1947	94,8	0,98		1,16	0,000	0,94	61,1	36	1967	96,3	1,00	— 1	,12	0,002	1,27	11,6
17	1948	93,1	0,97	—	1,20	0,001	0,94	58,7	37	1968	123	1,27	—0,58		0,343	1,28	9,16
18	1949	82,4	0,86	—	1,48	0,099	0,94	56,2	38	1969	60,6	0,63	—2,27		1,219	1,31	6,70
19	1950	82,6	0,86	—	1,47	0,092	0,95	53,7	39	1970	103	1,07	—0,98		0,034	1,41	4,20
20 40	1951	75,7 40	0,79	40	1,68	0,264	0,97 40	51,2	40	1971	84,1	0,87	— 1,43		0,070	1,60	1,70
t=i	= 38 538; i=l		Xi = 4(	i—	1 т/ = I	: —46,65:	; £ (т/	— mTj2	= 6,808; Q =		96,4 м3/с; х		= 1,0; тх		= —1,166; от =		= 0,417
Глава 2
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
99
Таблица 2.15 Определение вероятности превышения (обеспеченности) р (%) заданных квантилей распределения Sb Джонсона для р. Бзыбь
хр	х — а У= Ь-х	т = In у	II Q 1 Н <-Г	q = F сп)	Р %
1,7	1,1304	0,1221	3,0859	0,9990	0,1
1,6	0,9600	0,0397	2,6983	0,9965	0,3
1,5	0,8148	0,2047	2,3047	0,9895	1,0
1,4	0,6896	0,3712	1,9042	0,9715	2,8
1,3 	0,5806	0,5432	1,4921	0,9323	6,8
1,2	0,4848	0,7233	1,0606	0,8556	14,4
1,1	0,4000	0,9151	0,6011	0,7260	27,4
1,0	0,3243	1,1249	0,0985	0,5391	46,1
0,9	0,2564	1,3595	—0,4634	0,3217	67,8
0,8	0,1951	1,6325	— 1,1175	0,1319	86,8
0,7	0,1395	1,9674	— 1,9199	0,0275	97,2
0,6	0,0888	2,4186	—3,0008	0,0014	99,86
Из табл. 2.16 выписываем значения квантилей нормированного нормального распределения = ф (р) с параметрами (0, 1) при заданных значениях обеспеченности р (см. вторую графу табл. 2.16). Далее определяем значения хр и строим кривую обеспеченности модульных коэффициентов (рис. 2.18, кривая III).
Если нужно построить функцию распределения (непревыше-ния), то в верхней части табл. 2.16 (р < 50%) перед т] ставится
Таблица 2.16 Определение квантилей хр заданных вероятностей превышения распределения Sb Джонсона для р. Бзыбь
Р %	= Ф (Р)	d = атЛ + тх		be^ -f- а Хр~
0,1	3,09	0,1237	1,1327	1,701
1	2,326	—0,1952	0,8227	1,506
5	1,645	—0,4794	0,6192	1,337
10	1,282	—0,6309	0,5321	1,251
20	0,842	—0,8146	0,4429	1,152
30	0,524	—0,9473	0,3877	1,084
40	0,253	— 1,0604	0,3463	1,032
50	0	— 1,1660	0,3115	0,982
60	—0,253	— 1,2716	0,2804	0,936
70	—0,524	— 1,3847	0,2504	0,890
80	—0,842	— 1,5174	0,2193	0,841
90	— 1,282	— 1,7011	0,1825	0,778
95	— 1,645	— 1,8526	0,1568	0,732
99	—2,326	—2,1368	0,1180	0,658
99,9	—3,09	—2,4557	0,0858	0,593
100	Глава 2
знак минус, а в нижней (р >50%) — знак плюс. В остальном расчет ведется в той же последовательности.
Второй способ (табл. 2.16) является более удобным, так как в случае других рек первая и вторая графы табл. 2.16 не меняются и нет надобности повторно пользоваться таблицами нормального нормированного распределения. По табл. 2.16 для параметров данной реки определяются значения квантилей хр.
Рис. 2.18. Кривые обеспеченностей наблюденного ряда и распределения Sb Джонсона при а = 0,4 и b = 2,85 и различных значениях 6 и у.
Для оценки параметров тх и от можно использовать более простой, приближенный прием, который опирается на соотношение (2.53) и использование квантилей.
Оценки для у и б находятся путем приравнивания двух процентилей х, вычисленных на основе наблюденных данных, соответствующим процентилям нормального распределения, определяемым по формуле (2.45), и решением двух полученных уравнений относительно у и б. Соответствующие уравнения для вычисления у и б имеют следующий вид [345]:
6 = --- ,.;	(2.60)
{хХ—а'~а) (р-ха)	’
(2-61)
1 Часто для обозначения квантилей (например, 0,01; 0,02; 0,03; . . .), выраженных в виде процентов (1%, 2%, . . .), используется термин «процентиль».
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
101
где т)а и Tji-а' представляют собой а-100-й и (1 —а')-Ю0-й процентили нормированного нормального распределения, а ха и xi-a' — соответствующие эмпирические процентили. Таким образом, ха является а (п + 1)-м упорядоченным значением в наблюденном ряду. В случае необходимости производится интерполяция.
Выбор конкретных процентилей до некоторой степени произволен. Использование различных процентилей приведет к несколько различным оценкам для параметров, хотя обычно можно ожидать, что различия будут невелики. Если мы заинтересованы в том, *чтобы получить хорошую аппроксимацию в области больших отклонений случайной величины, следует выбирать процентили, лежащие в этой области (например, 5-й и 95-й). Однако использование слишком крайних значений процентилей приведет к потере точности при подборе распределения вследствие изменчивости оценки процентиля [345].
Сказанное проиллюстрируем на примере.
Приравниваем, скажем, 9-й и 91-й эмпирические процентили соответствующим процентилям выбираемого распределения. 9-й эмпирический процентиль для нашего примера п = 40 равен (0,09 X 41) = 3,69, т. е. величине между 3-м и 4-м упорядоченными значениями, а 91-й эмпирический процентиль — (0,91 X X 41) = 37,3, т. е. величине между 37-м и 38-м упорядоченными значениями. По табл. 2.14 (графа 7) получаем х0,09 = 0,76 и *o,9i == 1,289. С помощью приложения II из работы [7J определяем г]0)91 = —г]0109 = 1,34. Подставим эти значения в формулы (2.60) и (2.61), получим 6 = 2,24 и у = 2,596, а по формулам (2.53) и (2.54) тх = —1,156 и от = 0,446. Так же как и в предыдущем случае, используем формулу (2.56) и строим кривую обеспеченности модульного коэффициента х (рис. 2.18, кривая //). Если вместо 9-го и 91-го процентилей возьмем 5-й и 95-й эмпирические процентили из табл. 2.14, то получим 6 = 2,293 и у = 2,458 (тх = —1,07; ах = 0,436). Для этих значений параметров кривая обеспеченностей также дается на рис. 2.18 (кривая /).
Рисунок 2.18 свидетельствует о том, что из кривых обеспеченностей модульных коэффициентов, построенных с помощью соотношений (2.57) и (2.58) или (2.60) и (2.61), как и следовало ожидать, лучшее совпадение с наблюдаемым рядом получается при оценке параметров распределения с помощью формул (2.57) и (2.58). В том случае, если потребуется определение значений х, лежащих в пределах малой (или большой) вероятности, можно пользоваться также и формулами (2.60) и (2.61). При этом следует выбирать процентили, лежащие именно в данной области.
В главе 3 предлагаются различные методы моделирования гидрологических рядов с применением распределения SB Джонсона. При моделировании важное значение приобретает связь
102
Глава 2
последовательностей случайных чисел принятого закона распределения с последовательностью случайных чисел нормального распределения. Для распределения SB Джонсона эта связь имеет довольно простое выражение
e<Wi +	+ 1
(2.62)
Это преобразование с помощью ЭВМ производится одновременно с моделированием ряда щ, для которого имеется стандартная программа.
Таким образом, распределение SB является достаточно удобным для моделирования. Моделирование искусственных гидрологических рядов по указанной схеме для ряда рек Советского Союза с применением распределения SB Джонсона дало вполне удовлетворительные результаты. На рис. 2.18 приводится кривая обеспеченности смоделированного 1000-летнего ряда на примере р. Бзыбь (IV), эта кривая хорошо совпадает с наблюденными данными и сливается с теоретической кривой SB Джонсона (///).
Как уже было отмечено, распределение SB зависит от четырех параметров (тт, ат, а и Ь) и относится к ограниченным с двух сторон законам распределения. Определение экстремальных значений модульного коэффициента (а и Ь) является сложной задачей. Чтобы решить ее, некоторые наиболее широко применяемые функции распределения основаны, как говорилось выше, на априори принятом исходном предположении, что исследуемая случайная величина меняется в пределах 0 < х < сю. Наличие нижней и верхней границ распределения SB Джонсона не исключает, а предполагает, что в частных случаях можно иметь а = 0 и Ь—> оо, т. е. оно является общим и из него в виде частных случаев можно получить другие виды распределения.
Здесь уместно отметить справедливое указание Крицкого и Менкеля [179] на то, что основным критерием при выборе закона распределения вероятностей следует считать не отвлеченное положение о наличии или отсутствии ограничения, а соответствие теоретических соотношений материалу наблюдений.
Как показала предварительная проверка, проведенная на достаточно обширных материалах, для подавляющего большинства рек, находящихся в самых различных физико-географических условиях, распределение SB является подходящим. Тем не менее при ответственных расчетах необходима дополнительная, более строгая статистическая проверка того, в какой степени принятая гипотеза о распределении является достоверной. С этой целью применяются различные критерии и в первую очередь критерий Пирсона хи-квадрат (%2). Однако многие исследователи не учитывают того важного обстоятельства, что этот критерий применим
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
103
только в случае независимости наблюденных данных. В действительности же между значениями годового стока реки существуют стохастические связи и их нельзя игнорировать.
Для установления нижнего и верхнего пределов распределения SB Джонсона (или других распределений, ограниченных с двух сторон) нами предлагается в каждом конкретном случае для простой цепи Маркова (fe = 1) проводить статистическую
от нижнего (а) и верхнего (Ь) пределов распределения SB Джонсона на примере р. Бии (г. Бийск).
проверку соответствия наблюденных данных распределению SB с помощью критерия %2 при разных сочетаниях этих пределов и брать такие их значения, которые обозначают минимум критерия согласия. При этом нижний предел а меняется от минимального наблюденного значения до нуля, а верхний предел b — от максимального наблюденного значения и выше.
Были проведены расчеты для 50 рек СССР при разных сочетаниях а и Ь. Для каждой реки проверялось 40—50 вариантов сочетаний а и Ь, что не составляет особых трудностей при использовании ЭВМ. Полученные результаты показали, что значение критерия %2 меняется в зависимости от нижнего и верхнего пределов распределения SB- На рис. 2.19 дается график изменения
104
Глава 2
критерия %2 при k = 1 в зависимости от а и b для р. Бии (г. Бийск). Из графика следует, что для некоторых сочетаний а и b критерии %2 получаются большими и гипотеза о приемлемости распределения отвергается (например, при а = Хмин и b =2,0 %2 = = 13,1).
При сравнении значений параметров а и Ь, полученных с помощью минимума %2 [88], с графиком минимальных и макси-2 .	мальных наблюденных рас-
ходов воды [142] замечаются некоторые расхождения в результатах. Это указывает на то, что для различных рек при одинаковых значениях Cv нижний и верхний пределы среднегодовых расходов воды бывают разные и что при фиксированных значениях Cv эти графики не во всех случаях дают лучшие сочетания параметров а и Ь.
Критерием для установления числа звеньев цепи Маркова можно так-
Д 2	3	4	5 к же принять минимум эд2.
Рис. 2.20. Изменение критерия %2 в зависи- Для ЭТОГО необходимо мости ог глубины связности k.	проверить соответствие
принятого закона распределения вероятностей наблюденных значений вышеизложенным методом
/ —	р.	Волга — г. Горький (а = 0,4,	b	==	1,5);
2	—	р.	Волга — г. Волгоград (а — 0,6,	b	—	2,0);
3	—	р.	Сож — г. Славгород (а = 0,36,	b	==	2,5);
4	—	р.	Ангара — с. Пашки (а — 0,66,	b	=	1,6);
5	—	р.	Енисей — г. Енисейск {а — 0,6,	b	=	2,0).
при разной длине k цепи Маркова и принять такие k, которые обеспечили бы минимум эд2.
Излагаемая выше методика проверки гипотез и нахождения длины связности цепи Маркова применима к любым одномерным законам распределения. В качестве одномерной функции распределения используем распределение SB Джонсона, поскольку оно
довольно удовлетворительно характеризует процесс речного стока и с помощью отношения (2.55) легко приводится к нормальной последовательности т£-.
На рис. 2.20 для нескольких рек даются графики изменения значений эд2 в зависимости от принятой глубины связности k цепи Маркова, полученной при проверке соответствия наблюденных данных некоторых рек распределению SB Джонсона при заданных значениях верхнего и нижнего пределов. Как следует
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОКА
105
из графиков, вычисленные значения %2 меняются в зависимости от глубины связности цепи. Однако следует отметить, что для многих проверенных рек (40 из 50) минимум критерия %2 получился для простой цепи Маркова, т. е. при k = 1.
Поиски новых видов функций распределения для гидрологических характеристик — среднеинтервальных расходов воды (среднегодовых, среднемесячных, среднедекадных ит. д.), максимальных и минимальных расходов воды и др. — будут продолжаться и впредь. Совершенно справедливо отмечается в работе [167], что «на основании имеющегося опыта можно утверждать, что трехпараметрическое гамма-распределение и распределение (6) (т. е распределение Н. А. Картвелишвили — Г. С.) имеют широкую область применения, однако считать их универсальными нельзя. Не следует также утверждать, что для тех гидрологических величин, для которых эти распределения применяются, нет возможности найти другие аналитические выражения, которые будут удовлетворять выборочным данным и общим требованиям так же хорошо, как эти распределения, или даже лучше и вместе с тем будут в каких-то отношениях (например, для использования в машинных расчетах) более удобны».
Заключение
Универсальной характеристикой случайной величины или случайного процесса, как известно, является соответствующая функция распределения вероятностей. Если распределение не известно, то ставится задача с помощью конечного объема случайной выборки определить закон распределения (непараметрическая задача). В некоторых случаях функциональная форма закона известна, и тогда необходимо на основании случайной выборки определять оценки конечного числа параметров (параметрическая задача). Эти оценки должны быть несмещенными, состоятельными и эффективными или асимптотически эффективными.
При построении математической модели речного стока как случайного процесса помимо информации, получаемой на основании изучения стока данной конкретной реки, используется информация, накопленная при изучении других рек. Это позволяет более обоснованно выбирать подходящие законы распределения вероятностей, определять некоторые параметры стока или их соотношения по группам рек и вообще получать более надежные оценки.
При оценке некоторой вероятностной характеристики регулирования стока ее значение следует определять с известной точностью и степенью достоверности, поэтому нет надобности знать все высоковероятностные реализации процесса, а вполне доста-
Глава 2
точно знать одну длинную реализацию, в чем и заключается ценность эргодичности.
Для решения задач инженерной гидрологии и регулирования речного стока статистические параметры стока с достаточной для практических расчетов точностью могут быть определены методом моментов. При определении коэффициентов асимметрии и корреляции необходимо пользоваться дополнительной информацией о режиме стока других рек данного района. Для получения оценок параметров и установления подходящей функции распределения полезное применение может найти обратный метод Монте-Карло.
При изменении даты разрезки наблюденного гидрографа в ряде случаев существенно меняются коэффициенты асимметрии и корреляции, в несколько меньшей степени коэффициент вариации. Иногда может измениться даже подходящий закон распределения вероятностей годового стока. Эти обстоятельства должны быть учтены при расчетах стока.
Почти для всех рек мира между среднеинтервальными (годовыми, сезонными, месячными, декадными) расходами воды имеются стохастические связи, учет которых следует считать необходимым. В случае годового стока наиболее общей моделью является сложная цепь Маркова. Ее частными случаями могут быть простая цепь Маркова и последовательность независимых случайных величин.
Ограниченное с двух сторон распределение Джонсона является универсальным, удобным и простым распределением, пригодным для описания многолетних колебаний стока подавляющего большинства рек мира (проверено около 200), находящихся в различных физико-географических условиях. Это распределение с успехом может быть применено при моделировании гидрологических рядов с помощью любых методов и в том числе с помощью унифицированного метода, основанного на применении М-гипотезы о двумерном (при простой цепи Маркова) или многомерном (при сложной цепи Маркова) распределениях, а также при групповом моделировании.
В дальнейшем необходима дополнительная проверка применимости распределения SB Джонсона на более обширном материале как в случае годового стока, так и в случае других фазовооднородных величин стока—половодья и межени, максимального и минимального стока, среднемесячных и среднедекадных расходов воды. j j
II
МОДЕЛИРОВАНИЕ (СИНТЕЗ) ИСКУССТВЕННЫХ
ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ РЯДОВ
Глава 3
МОДЕЛИРОВАНИЕ РЯДОВ
ГОДОВОГО СТОКА
3.1. Общая часть
В данной главе рассматриваются вопросы моделирования, т. е. синтеза, рядов годового стока (среднегодовых расходов воды) без учета внутригодового распределения. Последний случай подробно анализируется в главах 4—6.
Задача синтеза состоит в том, чтобы найти такую систему, которая преобразует процесс с заданными характеристиками на входе в процесс с желаемыми характеристиками на выходе [197]. Такой системой в нашем случае будет сам метод (оператор) моделирования искусственных гидрологических рядов, которые впоследствии будут пропускаться через другие системы регулирования.
В гидрологии под математическим моделированием процесса стока, как уже отмечалось выше, понимаются две разновидности моделирования: 1) для долгосрочного (сезонно-годового и многолетнего) регулирования или прогноза в заданном створе реки моделируется искусственный гидрологический ряд по наблюденному в прошлом естественному гидрологическому ряду и 2) по осадкам и другим гидрометеорологическим процессам в бассейне моделируется гидрограф в заданном замыкающем створе реки с целью краткосрочного регулирования или прогноза стока.
Нами рассматривается только первая задача, когда путем анализа наблюденных данных оцениваются статистические характеристики стокового ряда и по определенным правилам моделируется искусственный гидрологический ряд очень большой длины или ансамбль коротких гидрологических рядов. Эти данные затем
108
Глава 3
используются для водноэнергетических и водохозяйственных расчетов или для других целей. В данном случае осуществляется индивидуальное моделирование применительно к одному заданному створу. В более общем случае осуществляется групповое моделирование, т. е. для нескольких заданных створов одновременно производится моделирование соответствующего количества длинных гидрологических рядов или того же количества ансамблей коротких гидрологических рядов. Эта задача возникает при расчете группы взаимозависимых гидроузлов, объединенных в сложной водохозяйственной и» энергетической системе, т. е. для системного анализа.
Для наблюденных гидрологических рядов средний расход воды и коэффициент вариации оцениваются более достоверно, чем другие элементы ряда (например, распределения размаха или дефицитов и др.), от которых зависит искомая регулирующая емкость водохранилища. Используя первые статистические моменты и в простейшем случае гипотезу о двумерном распределении, можно с помощью искусственных гидрологических рядов определить потребную емкость регулирования воднобалансовыми расчетами значительно точнее, чем непосредственно по наблюденному ряду. Именно в этом заключается смысл применения моделированных гидрологических рядов.
Анализ структуры гидрологических рядов (главы 1 и 2) имеет целью установление определенных закономерностей и соответствующих им показателей (функций распределения, их параметров и др.) для того, чтобы использовать их в дальнейшем при моделировании. Методов исследования гидрологических рядов может быть много. Так, рассматривая четыре метода: 1) автокорреляционный, 2) спектральный, 3) средних размахов и 4) средних группировок, В. Евджевич [499] отмечает, что «применение автокорреляционных функций и спектральных плотностей дает превосходные результаты... Первые два метода уже стали классическими для исследования стохастических рядов, а методы размаха и группировок находятся в процессе изучения и разработки».
Автокорреляционная и спектральная функции связаны между собой преобразованием Фурье и содержат одну и ту же информацию. Приводимые в настоящей работе модели основываются на применении корреляционных функций и корреляционных матриц. Размах и группировки здесь специально не рассматриваются, поскольку автор считал своей главной задачей подытожить определенный этап проводимых исследований, где основными являются линейные марковские модели, а также соответствующие векторные процессы. Для этих целей более удобно применение корреляционной теории случайных процессов, которая и положена в основу этой части работы.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
109
Для установления подходящей математической модели стока можно также использовать различные признаки наблюденных гидрологических рядов. К их числу относятся избытки и дефициты стока, группировки маловодных и многоводных лет, продолжительность периодов различной водности, расстояния между последовательными максимумами и минимумами и т. д. Эти признаки и соответствующие им группировки рассмотрены, в частности, в работах [93, 136, 261, 421, 499 и др.]. Принимая тот или иной признак в качестве основного, из данных наблюдений или в простейших случаях теоретическим путем определяют закон распределения выборки и его параметры, которые используются далее при построении модели стока.
Можно выбрать также и другой путь установления подходящей модели стока, например тот, который применяется ниже при выборе глубины связности в цепи Маркова. Здесь модель постепенно усложняется и когда остаточный процесс становится стохастическим процессом с независимыми значениями, модель считается установленной.
Установить повторяемость группировок тех или иных признаков наблюденных гидрологических рядов довольно трудно из-за большой выборочной изменчивости относительных частот, принимаемых затем в качестве оценок вероятностей. Объединение рядов наблюдений по большой группе рек позволяет существенно увеличить объем статистических данных, подвергаемых обработке.
Однако при этом вносится элемент субъективности в главный вопрос — по каким признакам должна быть произведена группировка и насколько она правомерна.
Создаваемые для прикладных целей стохастические модели естественных процессов, в том числе и речного стока, должны по возможности полнее отражать основные природные закономерности, и здесь важная роль принадлежит физическому обоснованию моделей. В настоящей работе при сравнении искусственных и наблюденных гидрологических рядов, помимо различных статистических характеристик, используются также и физические соображения. Например, в методе фрагментов оставляется в естественном состоянии характер внутригодового распределения стока со всеми присущими режиму стока данной реки индивидуальными особенностями (см. главу 4), при использовании Т-модели сравниваются распределения дефицитов стока модели и наблюденного ряда (см. главу 6) и т. д. В дальнейшем физическому обоснованию моделей следует уделять должное внимание. В связи с этим потребуется проведение сравнительного анализа и отбор наиболее существенных характеристик из тех, которые уже находятся на вооружении методов моделирования или могут быть дополнительно выявлены.
но
Глава 3
Многие зарубежные ученые уделяют пристальное внимание так называемому явлению Херста, суть которого заключается в следующем. Г. Херст [425] исследовал многочисленные природные процессы (690 рядов) с помощью разностной интегральной кривой и установил, что размах этой кривой (чему в случае ряда годового стока соответствует многолетняя емкость водохранилища, необходимая при постоянной отдаче, равной норме стока) пропорционален величине где N — длина ряда, Н — постоянный коэффициент, или, как его сейчас называют, коэффициент Херста. Среднее значение этой эмпирической величины Н для исследованных процессов составило 0,72 с дисперсией 0,30. Как показал впоследствии сам автор [426] на основании экспериментальных исследований (подбрасывание монеты), а Феллер [417] —теоретическим путем, для случая независимых величин Н = 0,5. Тогда же было установлено, что поскольку суммы независимых случайных величин с конечной дисперсией распределены асимптотически-нормально, то и распределение размаха не зависит от распределения случайной величины.
Указанное отклонение (Н > 0,5) можно объяснить различными причинами, начиная с того, что рассмотренные последовательности случайных величин не были независимыми (Феллер), что они были нестационарными (Херст) и др. Этот вопрос здесь затронут в связи с тем, что некоторые специалисты используют коэффициент Н в качестве основы для нового класса моделей взамен марковских. Необходимость такой замены аргументируется тем, что для марковских, т. е. авторегрессионных, моделей потребная многолетняя емкость водохранилища пропорциональна величине У N (т. е. Н = 0,5), а это будто бы не характерно для природных процессов. Однако рядом специалистов была доказана несостоятельность такого утверждения. В частности, выяснилось, что марковские модели отражают явление Херста [421, 438, 452]. Кроме того, при несколько иной, чем у Херста, обработке геофизических рядов получается Н' = 0,57, что больше 0,50, но значительно меньше 0,72. Было установлено, что закон квадратного корня справедлив лишь при больших 7V, а при малых N явление Херста представляется как простой переходный эффект [446].
Наконец, удалось показать, что распределение размаха вытекает из теории цепей Маркова, когда пространство состояний таково, что обе его границы являются поглощающими [421]. Удалось также показать, что для сложной цепи Маркова можно получить заданное значение коэффициента Н [419].
На использовании коэффициента Н были основаны модели гауссовского дробового шума, предполагающие, что геофизические процессы имеют «бесконечную память» [448, 449].
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
111
Из других моделей можно отметить следующие: нестационарную или стационарную смешанную авторегрессионную со скользящей средней — модель «АРИМА» [447], модель со случайными скачками [438], модель ломаной линии [454] и др.
Для физического обоснования методов моделирования ряд авторов использует группировки маловодных и многоводных лет. Некоторые результаты в этом отношении получены применительно к авторегрессионным моделям первого порядка (в нормальном случае — простая цепь Маркова) как в Советском Союзе, так и за рубежом [93, 136, 259—261, 341 и др.].
Преимущество марковских моделей заключается не только в ясности и логичности и подробной разработанности схемы, но и в том, что они обобщены на случай группового моделирования, когда одновременно моделируются гидрологические ряды в нескольких створах с учетом их взаимной корреляции. Именно этот случай является наиболее важным для расчета сложных водохозяйственных систем, хотя, конечно, надо широким фронтом вести исследования для совершенствования имеющихся и установления новых эффективных моделей речного стока. В этом направлении имеется непочатый край возможностей.
Как уже отмечалось, имеющиеся наблюденные гидрометрические материалы недостаточны для построения многомерных функций распределения процессов стока. Чтобы сделать возможным решение конкретных практических задач, необходимо введение определенных гипотез.
Одна из разумных гипотез, которая часто используется ниже, такова: многомерное распределение любого конечного числа коррелированных случайных величин, одномерные функции распределения которых нормальны, а корреляционная матрица неотрицательно определена, нормально. Это допущение назовем М-гипотезой.
Для случайного вектора она была введена в гидрологию Н. А. Картвелишвили [147]. Математическое обоснование гипотезы и ее использование для случайных процессов дал 3. А. Пи-ранашвили [243]. Доказано, что введение М-гипотезы допустимо только в том случае, если одномерная функция распределения и корреляционная матрица удовлетворяют определенным условиям. При выполнении этих условий М-гипотеза позволяет выделить определенный класс случайных процессов, которые полностью характеризуются одномерной функцией распределения и корреляционной матрицей. Нормальные процессы входят в этот класс в виде собственного подкласса.
Пусть £ (Z) — случайный процесс с зависящей от времени одномерной функцией распределения F (х, £); М-гипотеза означает, что можно считать нормальным процесс
t] (0 = Ф-1 (F Q (t), t)),
112
Глава 3
где Ф 1 — функция, обратная функции х
Ф (х) = 1_  f exp 1---dz.
V '	/2л J 1 I	2 j
—CO
Из сказанного очевидно, что моделирование процесса g (£) сводится к моделированию нормального процесса т] (/).
М-гипотеза легко обобщается на многомерный случай, к которому относятся методы, связанные с применением схемы сложной цепи Маркова и группового моделирования.
Исходя из указанных отправных положений, в работе изложены различные аспекты проблемы моделирования процесса речного стока. Методы моделирования искусственных гидрологических рядов даются при рассмотрении стока как случайного процесса с дискретным временем, однако рассмотрены также некоторые возможные пути непрерывного моделирования.
Вместе с тем здравый смысл подсказывает, что не следует утешать себя тем, что в конце концов будет найдено идеальное решение проблемы моделирования. Даже если удастся найти идеальную модель, отражающую все характерные черты процесса речного стока, все равно придется получать оценки статистических параметров путем обработки наблюденных данных, которых, как правило, недостаточно для получения надежных результатов. Эти оценки могут не удовлетворять структурным ограничениям модели [453].
По различным аспектам статистического моделирования искусственных гидрологических рядов опубликована весьма обширная, литература, даже краткий перечень которой дать не представляется возможным. Укажем лишь выборочно некоторые исследования, представляющие существенный научный или прикладной интерес и в той или иной мере относящиеся к затронутым в данной книге вопросам. Из имеющихся на русском языке к ним относятся работы [1, 42, 72, 84, 125,	136,	148,	151,	154,	161,	178,
204,	219, 223, 241, 243, 252, 260,	263,	267,	268,	284,	288,	292,
295,	296, 298, 303—306, 308, 310, 322, 359, 360, 363 и др.]. Из зарубежных работ можно отметить	[401,	413,	416,	418,	419,
421, 425, 426, 433, 437, 438, 446,	448,	449,	451,	452,	455,	461,
466, 471, 476, 477, 479, 480, 485, 488, 496, 499, 500 и др.]. Вопросы аналогового или физического моделирования рассмотрены, например, в работах [461, 474 и др.].
Основным средством моделирования дискретных случайных процессов и, в том числе гидрологических рядов, являются цифровые ЭВМ, лучшие из которых производят миллиарды операций в секунду. Однако в некоторых случаях для моделирования как дискретных, так и непрерывных случайных процессов могут найти применение также и аналоговые вычислительные машины (АВМ).
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
113
По инициативе автора в Вычислительном центре АН ГрузССР в 1963 г. была сконструирована специализированная АВМ-МАР («моделирующий агрегат регулирования»), которая генерирует гидрологические ряды с учетом корреляционной связи по схеме простой цепи Маркова и производит расчет регулирования на постоянную отдачу. Конструктивно машина оформлена компактно в виде настольной модели. Она «тихоходная» и на моделирование 1000-летнего ряда и расчета регулирования затрачивает около 30 мин. Описание этой машины и алгоритма дается в работах [292, 461L
3.2 Индивидуальное моделирование гидрологического ряда
Простая цепь Маркова. Различные способы моделирования гидрологических рядов методом случайной выборки в том простейшем случае, когда не учитываются внутрирядные стохастические связи, известны уже давно. Они излагались в работах Ч. Садлера (1927 г.), С. Н. Рыбкина (1946 г.), Ф. Б. Барнеса (1954 г.), Г. А. Томаса (1956 г.), И. Ф. Бурлая (1957 г.), Г. А. Морана и В. Н. Аллана (1959 г.), П. А. Морана (1959 г.) и др. Метод выборки и аппарат простой цепи Маркова С. Н. Крицкий и М. Ф. Менкель (1946 г.) применили для построения реализации возможных колебаний уровня Каспийского моря [178].
Усовершенствованный метод случайной выборки под названием метод Монте-Карло как математический аппарат расчета в современном его виде был сформулирован Н. Метрополисом и С. Улэмом в 1949 г. Впоследствии метод нашел широкое применение в различных областях (физика, математика, биология и др.). Методика моделирования искусственных гидрологических рядов методом Монте-Карло с учетом корреляционных связей между смежными членами ряда по схеме простой цепи Маркова впервые была предложена в начале 1961 г. в ряде работ автора [288—290]. Несколько позже аналогичные способы излагались в работах М. Б. Фийринга [418], В. П. Захарова и В. Я- Кима [125] и ряда других авторов.
В последующие годы дополнительно были опубликованы различные способы индивидуального моделирования гидрологических рядов как в Советском Союзе, так и за рубежом (США, Япония, Польша, Болгария, Чехословакия, Франция и др.). Общее число этих способов к настоящему времени, по-видимому, достигает примерно трех десятков. Основное сходство между ними заключается в том, что все они основаны на применении метода Монте-Карло и аппарата цепей Маркова. Основное различие сводится к выбору гипотезы о двумерном законе распределения вероятностей при схеме простой цепи Маркова и о многомерном
114
Глава 3
законе распределения при схеме сложной цепи Маркова. Различаются они также степенью сложности программы для ЭВМ и необходимым для моделирования машинным временем.
В качестве критерия оценки пригодности того или иного способа обычно принимается степень совпадения оценок статистических характеристик: среднего (Q), коэффициентов вариации (СД асимметрии (Cs) и корреляции (гх) наблюденного и моделированного рядов. Попытка сравнения пяти имеющихся к тому времени способов моделирования значений годового стока при такой постановке задачи была дана в работе [288].
Указанный прием сравнения оценок параметров не является исчерпывающим, поскольку при совершенно одинаковых статистических характеристиках и заданной степени обеспеченности отдачи потребная многолетняя составляющая емкости водохранилища получается различной в зависимости от принятого способа моделирования. Определяющим фактором является вид двумерной плотности распределения и отвечающее ему взаимное расположение лет различной водности. Сопоставление этих характеристик для пяти модификаций простой цепи Маркова с соответствующими характеристиками наблюденных стоковых рядов позволило Д. Я. Ратковичу [260, 261] сформулировать следующие выводы:
1)	простая цепь Маркова может на данном этапе рассматриваться как вполне удовлетворительное приближение для описания многолетних колебаний речного стока;
2)	модификации простой цепи Маркова, дающие различные распределения группировок маловодных и многоводных лет, приводят к соотношениям между емкостью водохранилища и гарантированной отдачей, несвойственным наблюденным стоковым рядам; таковы, в частности, предложения [42] и др.
3)	предложения, обеспечивающие одинаковое распределение группировок [149, 284], удовлетворительно отвечают натуре при нормировании числового параметра — коэффициента корреляции в зависимости от модуля стока как интегрального показателя внутрирядной связанности.
Рассмотрим некоторые теоретические положения, связанные с моделированием гидрологических рядов по схеме простой цепи Маркова.
Для моделирования искусственных гидрологических рядов с учетом стохастических связей между смежными членами ряда используется метод Монте-Карло и схема простой цепи Маркова. Связи между несмежными членами ряда автоматически учитываются корреляционной функцией, имеющей вид степенной зависимости
г (т)=
(3.1)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
115
где гх — коэффициент корреляции между объемами стока за смежные годы; т — длина шага, т. е. число лет, через которое определяются связи (т = 1, 2 ..., п).
Таким образом, для принятой схемы расчета рассмотрение двух смежных сечений случайного процесса многолетних колебаний стока может быть сведено к рассмотрению совместного распределения двух случайных величин Wi и Wi+1, или и Qf+i, или k; =	и ki+1. Здесь Wi, О, и kt- — соответственно
L w Q
годовой сток, среднегодовой расход воды и модульный коэффициент годового стока в f-том году, W и Q — среднемноголетние значения.
Для упрощения записи примем следующие обозначения:
= х и ki+1 = у. Тогда, как известно, совместная функция распределения случайных величин X и Y будет
F (х, у) = Р {X ex, Y <у\.	(3.2)
В случае дифференцируемости этой функции плотность распределения вероятностей имеет вид
<з.з)
а интегральная функция распределения —•
X у
F (х, у) = j j f (х, у) dx dy.	(3.4)
--ОО -00
Система из двух случайных величин X и Y может быть интерпретирована как случайная точка на плоскости.
В случае дискретных величин
F (х, у) = S S Р (X < х, Y < у),	(3.5)
1<Х j<y
где суммирование производится по всем значениям случайных величин, для которых i < х и j < у.
Основными числовыми характеристиками системы двух случайных величин являются:
математические ожидания
ОО ОО х = М [X] = J j х f(x, у) dx dy; —-СО -------------ОО
ОО ОО
y=M[Y][= j j yf(x,y)dxdy;	(3.6)
116
Глава 3
дисперсии
а* = D [X] = j J (% — xf f (%, у) dx dy; —co —<co
= D [У] = j J (y — yf f (x, y) dx dy (3.7) ------------00 -00
и коэффициент корреляции r ___________________ r M\x x) (y y)	/Q
r^-r =---------5^-------•	M
Из совместной функции распределения (3.4) можно получить одномерные функции распределения
Т7! (%) = F (х, оо) = j J f (х, у) dx dy; — ОО —'00
Fi (у) = F (сю, у) = j { f (x, у) dx dy.	(3.9)
--CO -00
Соответствующие плотности вероятности будут:
fl (•*) = J f (x, y) dy; — 00
A(l/) = J f(x, y)dx.	(3.10)
— 00
Если X и Y независимы, то справедливы выражения
F (х, у) = Fr (х) F2 (у);
f (х, у) = /Х(х) f2(y).	(3.11)
В случае когда величины X и Y зависят друг от друга, F (х, у) + Fi (х) F2 (у);
f (х, у) + /х (х) f2(y).	(3.12)
Здесь необходимо использовать понятия условных функций распределения и условных плотностей вероятностей:
Г’(^>--77ЙГ"
>•w?) = ' (3J3)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
117
Для подавляющего большинства рек земного шара значения годового стока за смежные годы являются зависимыми, и именно этот случай рассматривается здесь. Следовательно, как видно из (3.13), для построения функции перехода, управляющей марковским процессом и необходимой для моделирования гидрологического ряда, нужно знать совместную (двумерную) функцию распределения F (х, г/), а также функцию f (х, у), если она существует.
При решении поставленной задачи; особенно в статистическом варианте, возникают весьма серьезные затруднения, заключающиеся в том, что даже для наиболее изученных рек с числом лет наблюдений порядка 100—150 имеющиеся ряды совершенно недостаточны для построения двумерных функций распределения, не говоря уже о функциях распределения более высокого порядка.
Рассматривая корреляционное поле любой реки, легко видеть, что нет никакой возможности аппроксимировать по имеющимся частотам какую-нибудь поверхность плотности вероятности. Единственный выход заключается во введении подходящих гипотез о двумерных функциях распределения. Далее теоретическим путем выводятся необходимые выражения для основных характеристик этого распределения и на основании имеющегося наблюденного материала определяются соответствующие статистики.
Таких гипотез может быть очень много. Ниже рассмотрены некоторые из них, обладающие теми или иными положительными чертами.
Во-первых, плотность распределения вероятностей, соответствующая принятой гипотезе, должна быть достаточно простой, чтобы быть пригодной для определения соответствующей функции перехода, и, во-вторых, должны быть соблюдены условия совместности двумерной и одномерной функций распределений, т. е. плотность распределения должна удовлетворять условиям (3.10) и обладать свойствами
ОО 00
j j f (х, у) dxdy--= 1 --00 —00
/(Х,У)>О.	(3.14)
Для целей моделирования нам необходимо определять значения у по заданным значениям х с учетом корреляционной связи между ними. Ввиду наличия этой связи математическое ожидание у при заданном х определяется с помощью уравнения регрессии, которое во всех построениях, приведенных ниже, принимается линейным. Такое допущение тоже является гипотезой, проверка которой невозможна из-за ограниченности наблюденного статистического материала.
118
Глава 3
На корреляционном поле можно провести бесчисленное множество линий регрессии у по х. Простейшая из возможных гипотез заключается в том, что эта линия принимается прямой и проведена на плоскости (х, у) наиболее рационально ( в смысле минимального среднего квадратического отклонения). Как сказал по этому поводу К. Шеннон, «можно применить линейную теорию просто из-за отсутствия другой теории. Неполное решение лучше, чем отсутствие решения вообще» [391].
Принимаемые гипотезы не могут быть непосредственно проверены на имеющемся статистическом материале. Однако здесь на помощь приходит замечательное свойство метода Монте-Карло — возможность самопроверки. Путем многократного повторения опытов строят функции распределения основных характеристик (параметров) смоделированных рядов и сравнивают их с параметрами ряда наблюдений. Чем ближе выборочные средние этих характеристик к характеристикам наблюденных рядов и чем меньше их рассеяние, тем лучшим (в определенном смысле) нужно считать метод моделирования.
Ниже во всех случаях условное математическое ожидание величины у для заданного х определяется с помощью линейного уравнения регрессии
~у(х)^~у + г^(х-~х),	(3.15)
где ох и в у — безусловные стандарты (средние квадратические отклонения) годового стока; х и у — безусловные математические ожидания.
Поскольку рассматривается корреляция между смежными членами одного стокового ряда, т. е. исследуются связи членов ряда с членами того же ряда, смещенного на один шаг (в данном случае на один год), то очевидно, что
gx = оу и х = у.	(3.16)
Не ограничивая общности, можно положить х = у = 1. Тогда зависимость (3.15) принимает вид
У(х) = l+r(x- 1).	(3.17)
Выражения для определения остальных параметров условных функций распределения будут меняться в зависимости от принятой гипотезы о двумерной функции распределения F (х, у), или плотности вероятности f (х, у), или же, наконец, непосредственно от условной (переходной) функции распределения (у/х) или условной плотности вероятности /4 = (у/х).
На сегодняшний день существует почти три десятка различных способов моделирования по схеме простой цепи Маркова. Обзор
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
119
и систематизация этих способов дается в ряде работ [72, 260, 292, 488 и др. ], поэтому здесь их не будем рассматривать. Для примера несколько подробнее остановимся на способах моделирования с учетом двумерной гамма-корреляции и нормальной корреляции.
Для некоторых рек одномерная функция распределения годовых объемов стока F (х) хорошо аппроксимируется гамма-распределением (биномиальной кривой, или, что то же самое, кривой Пирсона III типа при Cs — 2CV). Плотность вероятностей такого распределения имеет вид
Х^е~^х,	(з.18>
где Г (у) — гамма-функция и принято, что среднее х = 1,0; параметр у связан с коэффициентом вариации соотношением
7 = 4-	(3.19)
Для того чтобы использовать указанное распределение для моделирования многолетних колебаний речного стока с учетом корреляционных связей между объемами стока различных лет, необходимо введение соответствующей гипотезы о двумерном гамма-распределении. Одной из возможных будет следующая гипотеза: многомерное распределение любого конечного числа коррелированных случайных величин, одномерные функции распределения которых являются гамма-распределением, а корреляционная матрица неотрицательно определена, также является многомерным гамма-распределением. Это допущение назовем G-гипотезой. Она была введена С. Н. Крицким и М. Ф. Менкелем [180, 181 1 для более общего случая (при любом законе распределения).
В работах Е. Г. Блохинова и О. В. Сарманова [41, 42] были исследованы возможности применения метода Монте-Карло для моделирования гидрологических рядов и проведения расчетов многолетнего регулирования речного стока на основании гамма-корреляции. Ниже изложены некоторые основные положения указанной работы.
Название такого вида корреляции указывает на то, что одномерная безусловная функция распределения является гамма-распределением, точно так же, как в одномерном нормальном случае имеем дело с нормальной корреляцией.
В работе рассмотрен симметричный случай гамма-корреляции при двумерном распределении, т. е. случай, когда одномерные распределения рассматриваемых двух случайных величин совершенно одинаковы.
120
Глава 3
С учетом указанных ограничений двумерная плотность распределения вероятностей принимает вид
/ (*, У) = Р (х) р (у)
1 + 2 гк1Л 1 (?х) Ll 1 (уу) k=l
(3.20)
а плотность условного распределения у при фиксированном значении х будет
здесь р (х) и р (у) — одномерные плотности .гамма-распределения согласно (3.18); г > 0 — коэффициент корреляции между х и у; ZJ-1 — нормированные обобщенные полиномы Лагерра.
Параметры условного распределения (3.21) имеют следующий вид: условное среднее
у(х) = 1 + г (х - 1);	(3.22)
условная дисперсия
owz = a2[(l-г)2 + 2г(1-г)х];	(3.23)
условный коэффициент вариации
r _ Со [(1 — г)2 + 2г (1 — г) х]1^2 .	,
условный коэффициент асимметрии
с _ 2СР [(1 — г)3 + Зг (1 — г)2х] .	р(.
[(1_r)2 + 2r(1_r)x]3/2 ’
эксцесс
6С2 [(1 — r)4 + 4r (1 — г)3] х  (3-26)
где о и Су — параметры безусловного распределения.
Условное рассеяние, как известно, характеризуется условной дисперсией и условным стандартом. Величина о^/хпри нормальной корреляции постоянна для всех значений х* в то время как при гамма-корреляции дисперсия, как следует из выражения (3.23), увеличивается с ростом х. Вместе с тем в среднем условные дисперсии при нормальной и гамма-корреляции совпадают и равны величине
= о2 (1 - г2).
(3 27)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
121
Максимальные значения условных коэффициентов вариации в обоих случаях достигаются при х = 0 и равны
max CVylx = Cv\	(3.28)
для нормальной корреляции
m^CVy/x=Cvy	(3.29)
т. е. верхний предел во втором случае больше, чем в первом. Например, при г = 0,4 это превышение составит 52%.
Далее авторы работы [42] на основании результатов работ Г. Крамера [172] и 3. Н. Дьяченко [115] получили выражение для стандартной ошибки оценки г при гамма-корреляции:
о(г)=а-!-=Л,	(3.30)
V п
где п — объем выборки;
«='|/1 + 7пр7)Г^>1.	(3.31)
В частном случае, когда Cv —> 0, коэффициент а —> 1 и, следовательно, гамма-корреляция вырождается в нормальную корреляцию.
Для большинства рек СССР коэффициент а близок к своему нижнему пределу (например, при Cv = 0,2 и г — 0,3 а = 1Д5). Для рек с высоким значением Cv (реки казахстанского типа) значение этого коэффициента довольно существенно повышается (например, при Cv = 1,5 и г = 0,3 а = 1,65).
Моделирование искусственных гидрологических рядов методом Монте-Карло производится по выражениям:
а)	для нормальной корреляции [252, 288, 292]
хм = 1 + Г (Xf - 1) 4- Ф/+1С0 V	(3.32)
б)	для гамма-корреляции [42]
X/+i = 1 + г (xt - 1) + ФшС, /(1 -^) + 2г(1-г) Xi; (3.33)
здесь xi+1 — значение модульного коэффициента годового объема стока в (i + 1)-м году, определяемое по предыдущему значению xt с учетом стохастических связей между ними.
Сравнивая выражения (3.32) и (3.33), можно видеть, что они различаются одним слагаемым под радикалом. При высоком значении Cv (0,5—1,5) это слагаемое, как видно из приведенного в работе [42 ] примера,, существенно влияет на величину многолетней составляющей полезной емкости водохранилища. С умень
122
Глава 3
шением Cv (и, следовательно, Cs) это влияние постепенно уменьшается и становится несущественным при обычных значениях Cv (0,2—0,3) и г (0,2—0,4).
Поскольку формула (3.33) не усложняет расчет в сравнении с формулой (3.32), то ее можно принять для моделирования гидрологических рядов, когда одномерная функция распределения аппроксимируется гамма-распределением и принята схема простой цепи Маркова. Важным обстоятельством является и то, что в ряде случаев применения гамма-корреляции потребная емкость водохранилища уменьшается, хотя иногда имеет место обратное положение.
Как справедливо указывают Крицкий и Менкель в примечании к статье [42 ], следует расширять и углублять дальнейшие исследования в этом направлении. Наиболее актуальным нужно признать обобщение теории на многомерный случай, без чего нет возможности индивидуально моделировать гидрологические ряды по схеме сложной цепи Маркова (симметричный случай) или выполнять групповое моделирование взаимозависимых гидрологических рядов для нескольких створов (несимметричный случай).
Для смежных членов гидрологических рядов ограничение г > 0 в подавляющем большинстве случаев выполняется, однако для случая более отдаленных связей это условие подлежит проверке.
Обязательно надо иметь в виду, что снижение или увеличение потребной емкости водохранилища при учете гамма-корреляции и другие выводы, связанные с применением этого аппарата, были обусловлены введением G-гипотезы. Если выяснится, что эта гипотеза необоснованна или предпочтительнее введение других гипотез, то соответственно нужно пересмотреть и сделанные выше выводы. А пока условно можно принять, что при индивидуальном моделировании этих процессов по схеме простой цепи Маркова методом Монте-Карло предпочтение нужно отдавать аппарату гамма-корреляции по выражению (3.33) в сравнении с аппаратом нормальной корреляции по выражению (3.32). Однако, как увидим ниже, к настоящему времени уже имеются более приемлемые методы моделирования.
Сложная цепь Маркова. Корреляционные связи между среднеинтервальными расходами воды нельзя во всех случаях уложить в «прокрустово ложе» простой цепи Маркова. Действительно, как было показано выше (см. главу 2), для среднемесячных (среднедекадных) расходов воды модель с корреляционными связями по схеме простой цепи Маркова вообще неприменима, хотя она и используется в ряде работ [125, 252 и др.]. Что же касается колебаний среднегодовых расходов воды, то здесь для одной части рек простая цепь является подходящей моделью, однако
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
123
для другой и, по-видимому, более многочисленной части рек следует пользоваться сложной цепью Маркова. Помимо прочего, сложная цепь является, как известно, более общим случаем, из которого в качестве частных вытекает простая цепь или последовательность независимых случайных величин.
Как указывается в работе [72, с. 139 1, «принципиальные основы расчета регулирования стока при рассмотрении его как сложного марковского процесса с дискретным временем впервые были даны в работах [148, 292]. Целесообразность использования сложных цепей отмечалась в [322 и др. ]».
В работах автора и А. Ф. Торонджадзе [292, 310] для расчета многолетней емкости регулирующего водохранилища был предложен аналитический метод функциональных уравнений, где сложная цепь Маркова, по-видимому, впервые нашла практическое применение. Расчетное уравнение было получено следующим путем.
Рассмотрим последовательность xz модульных коэффициентов годового стока, представляющую собой m-связную цепь Маркова с m-мерной функцией распределения
F 11%, . . . , Um) = Р {Xi+m-l ^1, ^i+m-2	^2> • • • > ^1	^т]	(3.34)
и переходной функцией
Т (Ui,	, ^m+l) ~ Р {^i+m
., Xz ^т+1\‘	(3.35)
Тогда т + 1-мерная функция будет иметь вид
F (^i,	• • • > ^m+l) ~~	(^2> ^3> • • • > ^m+1) F ^2» • • • > ^m+1)* (3.36)
Рассмотрим далее случайные векторы
(^f+/n-l> ^i+пг-Ъ • • •»
Xi+tn-lf • • •, ^i+1)
с функциями распределения R и L соответственно. Тогда можем написать, что
*$1,	-^2, • • • >	^m+l> ^i+m ^т+2}
L (*$]., *^2> • • • > ^m) Т ($т+2> *$2, • • . , ^m+l)*	(3.37)
Далее получим
L (х1? х2,..., xm+i) = J ... J d... d [AT],	(3.38)
124
Глава 3
где D — область интегрирования, определяемая неравенствами
S3 Х2,	Х3,	. . . , Sm+2 ^т+1,
D = • (Si + s2 — a) [I (Si + s2 — а) — / (Sx + s2 — а — ₽)] +
+ pZ(SiH-s2 —а —pjcXi;
здесь р — объем водохранилища, а — годовое потребление воды в относительных величинах (т. е. в долях среднемноголетнего стока), / (х) — функция Хевисайда
(О, х<0;
1	= {1, х>0.
Из-за независимости условий для s3, s4, ..., sm+2 от s4 и s2 интегрирование по переменным s3, s4, ..., sm+2 производится непосредственно, так что
Утл У\’! • • • > Ут-\)
= J J ddL (ц, v, у±,. . ., Ут+li Т (ут, V, у±,. . ., Ут+1)*	(3.39)
(S)
Здесь s определяется как область, в которой х
s = (u, v) : (и + v — а) [I (и + v — а) — I (и + v — а — р) +
+ р/ (и + v — а — р) < х}.
После введения обозначения q — (у1У у2, ..., утж1) зависимость (3.39) принимает вид
L (х, У\ <7) = f J ddL (ц, v\ q) Т (у, v\ q).	(3.40)
(s)
Соответствующее уравнение для L (х, у\ q) в интервале 0 х < р примет вид
(х, у\ q) = F (у, х + а — Р; q) +
+ v’ ^du + о
х-{-а
+ jj Z-1 (X 4- а - v, V-, q) дТ (у^; q} dv, (3.41) x-J-а—ft
что и является обобщенным решением задачи. Это уравнение решается численными методами, в частности методом Монте-Карло.
1 При переходе от (3.38) к (3.39) изменены буквенные обозначения.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
125
Как во всех так называемых аналитических методах, применяемых в области теории регулирования речного стока, в данном случае окончательное решение задачи не удается получить чисто аналитическим путем. На каком-то этапе приходится переходить к численным методам, так что все указанные методы могут называться аналитическими лишь условно.
Задача более просто может быть решена посредством моделирования искусственных гидрологических рядов с применением аппарата многозвенной цепи Маркова. Такая методика впервые была предложена А. Ш. Резниковским [263 ]. Соответствующая расчетная зависимость имеет вид
т	___
Q, = С, - - S И,.,. -	+ ФЛ У ; (3.42)
здесь Qi_j — значения расходов воды в предыдущие т интервалов времени; D — определитель корреляционной матрицы; Du и Di, i_j — алгебраические дополнения миноров определителя D, соответствующие элементам и rZi матрицы; Ф4- — относительное отклонение ординат асимметричной кривой распределения значений годового стока от среднего значения.
Для стационарного процесса выражение (3.42) упрощается и принимает вид
т	____
Qi = Q-	+	(ЗЛЗ)
i=1
В случае простой цепи Маркова (т. е. при т = 1) получаем выражение
Qi - Q -Г (Qi-i -Q)r + фга Г	(3.44)
предложенное в 1961 г. в работе [289 ] для моделирования процесса колебаний годового стока реки (способ Б).
Рекуррентные уравнения (3.42) и (3.43) часто записываются в более удобном виде
Qi = UqQ + alQi-l 4“	+ • • • 4“ amQi-m 4"	(3.45)
где коэффициенты af — постоянные величины, а параметр aG определяется формулой
Изложенная методика моделирования гидрологических рядов по схеме сложной цепи Маркова в ряде случаев дает удовлетвори
126
Глава 3
тельные результаты в смысле совпадения соответствующих одномерных законов распределения и корреляционных функций наблюденного и смоделированного рядов [72]. Вместе с тем следует отметить, что она лишена общности, поскольку, строго говоря, применима лишь к рядам с низким значением асимметричности, что далеко не всегда имеет место. Дело в том, что в основе указанной методики лежит гипотеза о нормальности корреляционной связи между значениями годового стока, в то время как сами эти величины распределены асимметрично. Кроме того, считается что условные распределения имеют тот же вид, что и безусловные (G-гипотеза Крицкого—Менкеля). Методы оценивания параметров модели вида (3.45) изложены, в частности, в работе [43].
Этих недостатков лишен изложенный ниже (см. п. 3.5) унифицированный метод моделирования гидрологических рядов, основанный на применении ЛЛ-гипотезы, позволяющей нормализировать одномерные функции распределения и пользоваться независимыми нормально распределенными случайными величинами с параметрами (0, 1). В результате получаются нормально распределенные взаимокоррелированные случайные величины с параметрами (0,1), а затем асимметрично распределенная последовательность взаимокоррелированных случайных чисел, т. е. строится искомый теоретический ряд среднегодовых расходов воды Qf (или модульных коэффициентов xz) с заданной одномерной функцией распределения F (Qz) и корреляционной функцией г (т).
Идея применения взаимокоррелированных случайных величин для моделирования гидрологических рядов была высказана еще в 1961 г. [288], когда был предложен метод разрывных функций, основанный на применении следующей гипотезы.
Пусть двумерная /2 (х> У) и одномерная (х) плотности распределения связаны соотношением
Л (х, у) = (1 — г) К (х) ft (у) + гб (х — у) fi (х),
где 6 — дельта-функция Дирака, г — коэффициент корреляции.
Соответствующая условная функция распределения имеет вид
Р .	J(1+ если
F2 (ух) = ]/1 ч г / ч	(3.46)
v ((1 — г) Fr (у), если у<х.	v 7
Далее путем статистического моделирования методом Монте-Карло строится ряд хь хм = yh i = 1, 2, ..., п с коэффициентом корреляции между смежными членами ряда, равным г.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
127
Эта схема упрощается при переходе к применению коррелированной последовательности случайных чисел, получаемых по алгоритму [292]:
, если 0 < yt-+1 < (1 — г)
li+i = It, если (1 - г) < Т(.+1 < (1 — г) + г,
(3-47)
> если О —r) Ъ+r < Tz+i <1 ,
где yt — независимые случайные числа, равномерно распределенные в интервале (0, 1).
Полученная последовательность взаимокоррелированных случайных чисел gz+1 позволяет с помощью любой одномерной функции распределения F (х) моделировать гидрологический ряд Qz (или Xi) по схеме простой цепи Маркова.
Эта методика моделирования была обобщена на многомерный случай [304]. Тогда вместо приведенной выше двумерной плотности распределения получаем многомерную плотность распределения
«4-1
f п+1 (^1, ^2, • • • , ^лг+1) ~ С0п П /1 (Xk)
k=l
n-f-l
+ X Cikd (Х; - Xk) П (хт) т=1,
L	m=hk
(3.48)
некоторого случайного вектора (|ь |2, ..., |п+1), имеющего одинаковые одномерные плотности распределения (х), если cik > > 0, f, k = 1, 2, ..., п + 1; сОп > 0;
С$п = 1	Cik ~	»
1<г</г<п4-1	1 к
где Cik ~ r^k — коэффициент корреляции между величинами и
Соответствующая условная функция распределения имеет вид
F (Xn+1/Xl, *2, • • •, *n) =
F1 (хп+1) +	£ Cit п+11 (Хп+1 - Х(),
со, п-1	‘'О, n-i i=i
если xL — xk =F 0, k = 1, 2,..., n;
F1 (*rt+l), если Xi — xk = 0 хотя бы для одной пары i, k.
(3.49)
128
Глава 3
Выражение (3.49) позволяет моделировать гидрологический ряд по схеме сложной цепи Маркова.
Указанные расчетные зависимости являются частным случаем более общих зависимостей (когда одномерные плотности распределения различны), применяемых для группового моделирования взаимозависимых гидрологических рядов [304]. Таким образом, в работе [304 ] был дан аппарат для моделирования гидрологического ряда по сложной цепи Маркова, однако он был применен для решения другой задачи (группового моделирования).
В работе [72 ] описывается еще один способ моделирования гидрологических рядов по схеме сложной цепи Маркова с применением взаимокоррелированных равномерно распределенных случайных чисел, где последние получаются несколько иным путем. Недостатком этого способа является то, что им не учитываются перекрестные корреляции.
3.3. Итерационный метод построения модели стока
Рассмотрим последовательность наблюденных среднегодовых расходов воды в данном створе реки Q2, • ••, Qn- Следуя очевидным физическим соображениям, предположим, что Q*=Qy— — М (Qj) является стационарным процессом с дискретным временем j = 0, 1, ... [так что его ковариационная функция R(kJ) = = R(k—j)= M(Q*Qk) зависит лишь от разности k — /], и спектральная плотность
/(со)=4г £	(3.50)
/=—ОО
является непрерывной функцией круговой частоты <о.
Перед тем как принять дальнейшие предположения о процессе Q*, заметим, что произвольный стационарный процесс с непрерывной спектральной плотностью практически с любой степенью точности может быть аппроксимирован процессом авторегрессии некоторого конечного порядка. Напомним, что процесс Ху с нулевым математическим ожиданием М (Xf) называется процессом авторегрессии порядка q, если он удовлетворяет следующему стохастическому разностному уравнению:
X,- -	-------(3.51)
где Xj = X/ — М (Xj),	— последовательность независимых и
одинаково распределенных случайных величин с нулевыми мате-
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
129
магическими ожиданиями и положительными дисперсиями а коэффициенты	такие, что корни уравнения
--------aq = 0	(3.52)
все по модулю больше единицы (последнее условие обеспечивает стационарность процесса Ху).
Таким образом, можно полагать, что центрированный процесс колебаний среднегодовых расходов воды Qy* в данном створе реки будет хорошо аппроксимироваться процессом авторегрессии некоторого конечного порядка.
Учитывая подобныё соображения, А. Ш. Квинтрадзе [154] предложил процедуру проверки гипотезы о том, что процесс Q* является процессом авторегрессии некоторого конечного порядка q. Для того чтобы принять наиболее простую из возможных моделей для описания процесса и тем самым избежать излишних осложнений в работе [154] предлагается начать с проверки согласия с наиболее простой моделью при q = 0, т. е. последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин, а в случае когда гипотеза отвергается (что, по-видимому, и следует ожидать в подавляющем большинстве случаев), постепенно усложнять модель, предполагая последовательно, что q = 1,2, ..., пока при некотором q не будет принята рассматриваемая гипотеза. Разумеется, может оказаться, что в некоторых случаях гипотеза о том, что — процесс авторегрессии порядка q, может быть отвергнута даже при сравнительно больших значениях q. В таких случаях в работе [154] предлагается еще более расширить класс предполагаемых моделей, прибегая к смешанным процессам авторегрессии и скользящего среднего [43].
Что касается неслучайного слагаемого М. (Qy), то, как отмечается многими авторами, по-видимому, нет достаточных физических оснований считать его зависящим от временного параметра /. Поэтому в работе [154] предлагается начать с проверки гипотезы о том, что М (Qz) принимает некоторое постоянное значение, скажем Ао. Однако в ряде случаев может оказаться, разумеется, что такая гипотеза не будет принята. Подобная ситуация может возникнуть, например, в случаях, когда спектральная плотность процесса среднегодовых расходов воды Q* не является гладкой функцией частоты со и при некоторых значениях со может содержать даже резкие пики, что указывало бы на наличие циклических составляющих в слагаемом М (Q*). Отсутствие достаточно веских физических обоснований этого явления, конечно, не может служить поводом для категорического отрицания присутствия таких пиков во всех без исключения случаях, тем более что во многих примерах, приведенных в работах [351, 354 и др. ], наличие циклических составляющих трудно отрицать.
130
Глава 3
Как известно (см., например, [105]), в таких, быть может сравнительно редких1 случаях эмпирическая спектральная плотность или периодограмма процесса даваемая формулой
/ (со) -
1
2л/г
п	2
/=1
1
2пп
П	\ 2
2 Qj cos оз])
/ П	\ 2 -
+ Д Qj sin )
(3.53)
должна содержать резкие пики при значениях со, отвечающих периодам циклических составляющих. Наличие резкого пика в периодограмме I (со) при некоторых значениях со, скажем со = соп со2, вполне может быть вызвано присутствием в наблюдениях слагаемых вида Ak cos (сод + 0Д где Ak и Qk— соответственно амплитуда и фаза циклического составляющего с частотой колебания со^. С учетом этого обстоятельства в тех случаях, когда гипотеза о том, что М (Qj) = Ло не может быть принята, в работе [154] предлагается проверить гипотезу о том, что
М (Qj) = Ло + Аг cos (сод + 0Х).	(3.54)
Во многих случаях может оказаться, что и такая гипотеза будет отвергнута, тем более что нет каких-либо разумных физических обоснований наличия циклических составляющих в наблюдениях, а введение гипотезы (3.54) оправдывается лишь статистическими соображениями. Но здесь следует учитывать, что в силу известных статистических свойств периодограммы I (со) (см., например, [105]) она, как правило, является весьма нерегулярной функцией со, так что наличие резких пиков в графике I (со) может быть вызвано чисто случайными причинами. Вообще говоря, не исключена возможность, что случайным является именно пик при со = сох, а на самом деле следует учитывать следующие по величине пики, возникающие при отличном от сох значении со, скажем при со2 или со3. Для того чтобы не исключать заранее и такую возможность, в работе [154] полагается, что
М. (Qj) = Ао + Лх cos (сод + 0J + А 2 cos (сод + 02) +
+ А3 cos (сод + 03),	(3.55)
и вслед за упомянутыми выше гипотезами о том, что А ± = А 2 = = А3 = 0 или Л 2 = А3 0, Л х 0 предлагается последовательно проверять гипотезы о том, что Л3 = 0, Лх 4= 0, Л2 4= 0 или А г = А 2 = 0, Л3 4= 0 и т. д.
Итак, рекомендации, предложенные в работе [154], сводятся к последовательной проверке следующих гипотез относительно
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
131
процесса среднегодовых расходов реки (предполагается, что он может быть представлен в виде
Qy = х, + Ао + Ах cos (шх/ + 0J + А 2 cos (®3/ +
+ 02) + Д3 cos (®3j + 03),
(3.56)
где Xj — процесс авторегрессии порядка q):
— q = 0 (т. е. последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин), А1 = А2 = А3 = 0;
) — q — 0, Ai =/= О, А% = Л3 = 0;
— q — 0, Л2	0, Лх — Лз = о;
Я(О)_9^о,	Л3^0, Л1 = Л2 = 0;
//У — q = 0, Л1 =j= 0, Л2 =/= 0, Лз = 01
Н<$ - q = 0, Аг Ф 0, А3 =)= 0, Л2 = 0;
Л2^0, Л3^0, Л1 = 0;
Н{^ — q = 1, Аг = Л2 - Л3 = 0.	(3.57)
Опишем кратко примененный в работе [154] метод проверки указанных выше гипотез. В первую очередь оцениваются все неизвестные параметры, входящие в предполагаемую модель. Так, например, оценки ап а2, ..., ос7 неизвестных параметров а2, ..., а,у являются корнями линейной системы уравнений
O&i-Ro • • •	— 01
Т?2 —	--- • • • — ^qRq-2 — О’,
7?^	•	^7?q — 0,
(3.58)
где Rk — выборочная ковариационная функция. Оценки параметров Ло, Alf Л2, Л3 и ©j, 02, 03 даются формулами
а - 4-«.-
(3.59)
Ak — ^/~ak	— 1, 2, 3,
(3.60)
132
Глава 3
= arctg (—	,	(3.61)
где
1 п
(3.62)
bk = ~2^Г Qisin ®а/ -		(3.63)
Подставляя в формулу (3.56) вместо значений параметров их оценки и используя данные наблюдений Qx, Q2, Qn, получаем приближенные значения реализации процесса авторегрессии Xf.
xj ~ Qi — Ио Acos (^i/ 4" ®i) +
+ A2 cos (co2/ + 02) + A3 cos (co3/ + ©J.	(3.64)
Если вместо Xj подставлять приближенные значения xf и использовать оценки а19 а2, ...» aq параметров ссп а2, ...» aq. то будем получать приближенные значения реализации белого шума £/
- xj — arxhl — • • • - aqxhq, j = q 4- 1,..., n. (3.65)
Итак, если проверяемая гипотеза верна (и оценки неизвестных параметров достаточно близки к их истинным значениям), то случайные величины ^+1, £7+2, ...» t>n должны быть примерно одинаково распределены. Поэтому для проверки интересующей нас гипотезы мы должны применить какой-либо критерий для проверки гипотезы о том, что j = q + 1, .... п является реализацией белого шума.
Так, например, метод, применяемый в работе [154] и описанный в книге [105, с. 229], использует тот факт, что при справедливости нашей гипотезы и достаточном числе членов ряда наблюдений случайную величину
=	£=1,2................ (3.66)
где п—k
^ = ~7Г 2	(3-67)
4 п j=q+l
можно считать распределенной нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 1/п.
Пример использования этого метода дан в работе [154].
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
133
3.4. Методы группового моделирования взаимозависимых гидрологических рядов (краткий обзор)
За начальную полувековую историю (1914—1963 гг.) применения вероятностных методов в области теории и практики регулирования речного стока с их помощью удавалось рассчитывать только изолированно работающие водохранилища. Известны лишь единичные попытки дать способ расчета двух совместно работающих водохранилищ, и то ценой ряда произвольных допущений. В связи с этим в проектной практике все расчеты по группе взаимозависимых водохозяйственных объектов и в первую очередь по группе совместно работающих гидроэлектростанций, расположенных раздельно на различных водотоках данного района или каскадно на одном и том же водотоке и работающих в одной энергосистеме, производились обычным календарным методом прямо по имеющимся наблюденным гидрометрическим данным. Календарный метод, как известно, отражает частные условия колебания водности рек лишь в период наблюдений. Эти колебания в будущем, конечно, в той же последовательности никогда больше не повторяются, поэтому полученные результаты расчета могут иметь лишь ориентировочное значение.
В связи с этими обстоятельствами возникла необходимость обобщения вероятностных методов расчета на случай системы гидроузлов. Попытки применить методы физического моделирования (модели гидравлические, электрические и т. д.) показали бесперспективность такого направления и потому оставалось идти по линии применения аналитических методов расчета или по линии статистического моделирования.
В ряде интересных исследований, предпринятых с целью разработки прямых аналитических способов расчета, были получены некоторые обнадеживающие результаты [23, 30, 31, 94, 359 и др.], однако ввиду большой сложности задачи (вероятностная природа стока, нелинейность оператора регулирования, разделение входного процесса на ряд выходных процессов, необходимость учета потерь воды на фильтрацию и испарение, каскадные схемы и т. д.) применение прямых аналитических методов пока что не позволило получить удовлетворительные с практической точки зрения результаты.
Более простыми и перспективными для внедрения в проектную практику оказались методы статистического моделирования и, в частности, метод Монте-Карло. Достаточно убедительным тому доказательством является широкое внедрение статистических методов моделирования как в области теории регулирования речного стока и инженерной гидрологии, так и в области проектирования в Советском Союзе [72, 147, 267, 292 и др.] и за рубежом
134
Глава 3
[252, 416 и др.]. Разработке и внедрению метода Монте-Карло с начала 60-х годов способствовало широкое применение ЭВМ. Эти новые условия позволили обобщить вероятностные методы расчета на случай системы водохранилищ.
Методы группового моделирования взаимокоррелированных гидрологических рядов, необходимых для расчета системы водохранилищ, так же как и методы индивидуального моделирования гидрологического ряда с учетом корреляции между членами ряда, опираются, по сути дела, на один и тот же математический аппарат, поскольку в обоих случаях решаются однотипные многомерные задачи. Уже первые приемы моделирования гидрологического ряда по схеме простой цепи Маркова [288] могли быть использованы для моделирования двух взаимозависимых гидрологических рядов. И в том, и в другом случае требуется задаться некоторой гипотезой о двумерном распределении вероятностей, поскольку имеющиеся статистические данные наблюдений совершенно недостаточны для построения даже двумерного распределения.
Тем не менее первыми исследованиями, в которых специально была поставлена задача группового моделирования искусственных взаимокоррелированных гидрологических рядов и дан соответствующий метод ее решения, были работы [292, 304] Метод основывается на применении взаимокоррелированных равномерно распределенных случайных величин, полученных путем обобщения метода разрывных функций, предложенного в работе [288].
Разъясним суть указанного метода группового моделирования на примере трех водохранилищ, расположенных на разных реках или каскадно на одной и той же реке, хотя методика применима к произвольному числу гидроузлов как при положительных (синхронный случай), так и при отрицательных (асинхронный случай) стохастических связях [292]. Для решения задачи необходимо построить векторную стационарную цепь Маркова с дискретным временем с составляющими ki, ki и ki, для которых известны:
1) одномерные функции распределения вероятностей F± (х), F2 (х) и F3 (х) и
1 Изложенный в работе [252] способ построения гидрографа в некотором створе В по гидрографу в створе А можно считать лишь предшествующим методам группового моделирования. Здесь учитывались корреляционные связи лишь между среднемесячными расходами в створах 4 и В, но не учитывалась автокорреляция между среднемесячными расходами в створе В. При добавлении же других створов системы взаимные корреляционные связи воспроизводились лишь косвенно, через связи со стоком в створе А. Полностью игнорировались так называемые перекрестные взаимные корреляционные связи. В работе упоминалась возможность применения многомерного корреляционного анализа, но без реализации такой возможности.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
135
2) значения автокорреляционной функции и взаимной корреляционной функции (корреляционная матрица) при одном значении аргумента i — i' = 1.
Чтобы смоделировать векторный процесс, удовлетворяющий условиям 1 и 2, необходимо построить шестимерную плотность совместного распределения (ki, kt, ki, £q_i, kt+i, feJ+i). Из общих теоретических положений известно, что плотность <р не определяется однозначно, поскольку имеется целый класс функций, удовлетворяющих поставленным условиям. Задача заключается в том, чтобы на основании какой-либо разумной гипотезы найти по возможности простую конкретную функцию, пригодную для решения задачи.
Если распределения F± (х), F2 (х) и F3 (х) одинаковы, что имеет место, например, при моделировании стационарного ряда годового стока по схеме сложной цепи Маркова, то искомая плотность совместного распределения <р0 (х) выражается через одномерные плотности распределения [292] аналогично тому, как это сделано в работе [288]. Если одномерные функции распределения различны, то можно перейти к одинаково распределенным случайным величинам с помощью следующего преобразования:
£1 = /Ш); т]1 = Ы^); Ci = M#);
Ь = Fi	т]2 F2	£2 = F3	(3.68)
Эти величины будут распределены равномерно в интервале (О, 1), и плотность их совместного распределения имеет вид
Ф (£1» Ль Сь ?2> Л2> С2) = со 4~ ci$ (Si — Л1)	(£i — £i) 4~
+ с3б & - U + Q6 (^ - т]2) +	(^ - £2) +	(П1 - ?i) +
+	(Л1 — U + с38 (П1 — Л2) +	(П1 — ?2) + CioS (Si — U +
+ Сцб (£i л2) + ci26 (Si — С2) 4“ с1зб (?2 — л2) 4-
+ С14б а2 -Ч2) + с156 (Т]2 - £2);	(3.69)
Здесь Ci (t = 1, 2, ..., 15) — коэффициенты корреляции между слагаемыми в аргументах соответствующих функций Дирака в равенстве (3.69).
Коэффициенты корреляции между случайными величинами £х, Ль £ь В2, Л2, С2 подбираются так, чтобы коэффициенты корреляции между модульными коэффициентами k'i, ki^i, k'i и т. д. совпали с заданными значениями. Совместная плотность вероятностей любых двух величин, например и т]х, определенная из совместной плотности (3.69), будет иметь вид
ф (Вь П1) = 1 — <5,4, + <5,4,s (Bi — П1).	(3.70)
136
Глава 3
а коэффициент корреляции определяется выражением
Г f	г (У гг
k^k. k. k. ''gi'Hx = ~	;
[ /Г1 [р2(.У)]У^У)-а .a „
J	R • R •
(3-71)
здесь а' и a’’ — математические ожидания, а. - и о." — сред-k i	R t	k-	R,.	1
ние квадратические отклонения.
Остальные коэффициенты корреляции вычисляются с помощью аналогичных формул.
Когда функции распределения одинаковы, то коэффициенты корреляции также получаются равными. Например, для величин и т]2 будем иметь, что в выражении
4^2 kiki
(3.72)
s = 1. Вообще этот коэффициент близок к единице, если даже функции распределения достаточно различаются. Например, при
= 0,2 и CV2 = 0,3 s = 1,013, а при CV1 = 0,2 и CV2 = 0,6 s = 1,033. Таким образом, при практических расчетах с достаточной степенью надежности можно принимать, что s = 1.
После того как плотность совместного распределения ф, (§1г Чь §2, Ч 2, С а) определена методом Монте-Карло, находят соответствующие случайные числа с помощью следующего представления плотности распределения:
ф(£1, Пь Сь ?2, Ц2, &) = ф(?2, Л2> £2)^^ ф (£1, Пь £0-
Сначала строятся случайные числа т1!, £х, а затем числа £2, £2, т]2. С помощью последних определяются модульные коэффициенты годового стока во всех заданных створах. Повторяя эту процедуру многократно, получают искомые гидрологические ряды с заданными статистическими характеристиками. Метод имеет наглядную графическую интерпретацию в виде серии прямых, построенных определенным способом.
Для практического применения метода были разработаны алгоритмы и программы.
В работе [292] указывалось, что коррелированные последовательности случайных чисел позволяют получить решения следующих задач:
1)	моделирование гидрологического ряда с учетом корреляции между значениями стока смежных лет х;
2)	моделирование гидрологического ряда при делении года на фазы половодья и межени с учетом корреляционных связей между ними;
1 То есть метод разрывных функций [288].
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
137
3)	групповое моделирование нескольких взаимозависимых гидрологических рядов с учетом корреляции между рядами и автокорреляции для каждого ряда [292, с. 200].
К этому можно добавить еще одну возможность:
4)	моделирование гидрологического ряда по схеме многозвенной цепи • Маркова («Коррелированные последовательности случайных чисел можно получить также путем применения многозвенной цепи Маркова» [292, с. 225]).
Указанный метод группового моделирования применялся для решения ряда проектных и эксплуатационных задач и в первую очередь в институте Энергосетьпроект под руководством А. Ш. Резниковского (при расчетах Ангаро-Енисейского каскада гидроэлектростанций [72, 267 и др.]).
К недостаткам метода следует отнести громоздкость алгоритма и программы при увеличении размерности задачи. Для их упрощения автором рекомендовалось применение приема «скользящей тройки», который заключался в учете корреляционных связей боковой приточности на данном участке с приточностью на двух вышележащих участках [292, 456].
Идея применения равномерно распределенного вектора с заданной корреляционной матрицей rtj для группового моделирования взаимозависимых гидрологических рядов с произвольными законами распределения [288, 292] была использована в методе моделирования, разработанном в Энергосетьпроекте [72, 455]. Вместе с тем дополнительно был исследован вопрос о трансформации корреляционной матрицы при переходе от нормального распределения к равномерному или лог-нормальному распределению.
Соответствующие методы группового моделирования предполагают решение задачи в следующей последовательности [72].
1. Пусть задан нормальный случайный вектор р = рх, р2, •••, Цп с нормальными одномерными распределениями в виде функции Лапласа и с коэффициентом корреляции Az/ между pz и ру. Тогда можно получить равномерно распределенный вектор g = (^, $2, ..., %п) в интервале (0, 1) с одномерными функциями распределения = Ф (pz), а коэффициент корреляции у между £z и ^у связан с коэффициентом Kz/ зависимостью
Az/= 2 sin ^-rz/.	(3.73)
Нетрудно видеть, что с достаточной для практических расчетов точностью может быть принято
K//^7Zy,
например, при г = 0,30 К = 0,312, при г = 0,60 К = 0,61 и т. д.
138
Глава 3
Таким образом, имея вектор р, можем получить вектор | по формуле
с корреляционной матрицей
Равномерно распределенные случайные величины используются для построения коррелированных гидрологических рядов Qij с заданными законами распределения. Например, в случае гамма-распределения авторы рекомендуют учитывать автокорреляцию в каждом отдельном створе при помощи некоторого условного приема, а коэффициенты взаимной корреляции считать такими же, как и между компонентами равномерного вектора.
Основной недостаток этого метода группового моделирования заключается в недостаточной строгости построений. В частности, не учитываются так называемые перекрестные корреляции, что, конечно, сильно упрощает задачу, но не отражает наблюдающиеся стохастические закономерности или во всяком случае лишает предлагаемый метод общности.
2. В случае второго метода моделирования предлагается из нормально распределенных случайных величин непосредственно получить взаимозависимые гидрологические ряды с лог-нормаль-ными распределениями.
Пусть требуется построить коррелированный вектор т] = — (41, ^2* т]Д с лог-нормальным распределением координат по зависимости
=	(3.74)
где vz — нормальный вектор, а вектор т] имеет параметры aL и и корреляционную матрицу pz/. Необходимо получить новую корреляционную матрицу qtj
In [ 1 4- pzy (e *	1) G 7	1) 	/07^
Далее строится нормальный вектор v = (v1? v2, ...» vrt) с корреляционной матрицей q^ и одномерными функциями распределения
г
х	2
фДх) = -4^[е	2а‘- dt.	(3.76)
V 2л GZ J —-ОО
Искомый вектор т] определяется по зависимости (3.74).
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
139
В частном случае, когда од = о2 = о, выражение (3.75) упрощается и
q = ln [1 + pjf2 .--Ol-.	(3.77)
Соответствующие блок-схемы и программы для ЭВМ приведены в приложении к работе [72].
Лог-нормальное распределение с жестким соотношением между коэффициентами асимметрии и вариации является частным случаем применяемых в гидрологических расчетах законов распределения. Поэтому указанный метод группового моделирования может найти лишь ограниченное применение. Более общими законами являются, как известно, трехпараметрическое распределение С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля, а также распределение Джонсона.
Как перечисленные, так и любые другие распределения могут быть использованы в случае применения унифицированного метода и метода ПОЛАР, которые были разработаны для группового моделирования, а также для решения некоторых других задач построения искусственных гидрологических рядов. Ниже (пп. 3.5 и 3.6) дается описание этих методов.
- В заключение необходимо отметить следующее.
Существующие методы группового моделирования позволяют строить взаимокоррелированные ряды годового стока (среднегодовых расходов воды). Что же касается внутригодового распределения стока, то для этой цели в работе [292] предлагалось применение метода фрагментов. Такой способ нашел достаточно широкое применение на практике. Во всяком случае, нам неизвестны другие эффективные методы, позволяющие моделировать гидрологические ряды для расчета системы (каскада) гидроузлов с учетом взаимной корреляции и автокорреляции при одновременном учете внутригодового распределения стока. Вместе с тем это необходимо для расчета водохранилищ как единого целого и расчета регулирования речного стока как единого процесса.
Фрагменты могут выбираться так, чтобы учитывать связь водности года с конфигурацией гидрографа, а также обеспечить увязку характерных особенностей гидрографа вдоль водотока (границы паводочной волны, вторые паводочные пики и др.). Последнее достигается путем выбора комплекта фрагментов (например, комплекта 1945 или 1950 г. и т. д.) по опорному створу. Такой подход позволяет в скрытом виде учитывать также растекание паводочной волны, время добегания и т. д.
Различные аспекты проблемы группового моделирования взаимозависимых гидрологических рядов рассматриваются также и в ряде других работ как отечественных, так и зарубежных авторов (см., например, [151, 470]).
140
Глава 3
3.5. Унифицированный метод моделирования гидрологических рядов
Процесс колебаний стока, как уже отмечалось, можно условно разделить на две составляющие: а) колебания годового стока и б) внутригодовые колебания стока. Первый из них можно с хорошим приближением считать стационарным процессом1 с дискретным временем (т. е. стационарной последовательностью), а второй — нестационарным (периодическим) процессом. Эти две составляющие можно моделировать раздельно, а затем произвести их композицию, после чего выполняется расчет регулирования стока с помощью водохранилища.
В этом разделе укажем путь решения первой задачи. Вопросы учета внутригодового распределения речного стока будут рассмотрены в следующих главах.
Имеющимися методами моделирования можно определить различные параметры гидроузла, например такую важную характеристику, как вероятность превышения (обеспеченность) полезной отдачи воды из регулирующего водохранилища. Однако в условиях начальной или нормальной эксплуатации определение параметра управления таким способом нельзя считать правильным. Необходимо приток воды в водохранилище рассматривать как некоторый условный случайный процесс (см. определение ниже), построить реализации этого случайного процесса и на их основе определить режимы управления. Построенные условные реализации представляют собой прогноз речного стока определенного вида, который отличается от наилучшего в среднем квадратическом смысле прогноза.
В отношении анализа случайных процессов и задач управления отмеченный выше подход впервые был дан в работе [243], а применительно к задачам регулирования речного стока — в работе [295]. Идея метода была изложена автором в 1967 г. на международном симпозиуме в Болгарии, там отмечалось: «дальнейшее усовершенствование методов моделирования гидрологических рядов можно достигнуть, в частности, путем более полного использования исходной информации и построения не безусловных (как это делалось до настоящего времени), а условных реализаций процесса стока. Здесь подразумевается направленный выбор тех модельных рядов, которые на первом участке совпадают с наблюденной реализацией, а дальше экстраполируются на протяжение расчетного срока работы водохозяйственной установки (30—60 лет). Применение такого метода позволяет уточнять параметры искомых функций распределения и значительно снижает соответствующие дисперсии» [295].
1 Если нет тренда или если тренд исключен из реализации процесса.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
141
Введем определение условного случайного процесса. Пусть £ (t, со), а < t < b — вещественный случайный процесс, возможная реализация которого на сегменте [а, с], где а < с < Ь, есть некоторая вещественная функция х (£), а < t < с. Здесь t — время, со — фазовое пространство.
Случайный процесс £ (/, со), а < t < b при условии, что £ (/, со) = х (£), а < t < с, будет называться условным случайным процессом.
Условные случайные процессы в нашем определении суть процессы, задаваемые соответствующими условными распределениями, и принятие «решений» относительно условных случайных процессов £ (Л <о) в точке t = с будет основываться именно на условных вероятностных мерах.
В случае когда £ (/, со) — марковский процесс с дискретным параметром, условные меры задаются конструктивно посредством переходных вероятностей. Однако уже для немарковских случайных процессов указанные условные вероятностные меры конструктивно не задаются и, следовательно, в таких случаях нет возможности воспользоваться ими практически (даже для марковских процессов с непрерывным временем формулировка задач управления наталкивается на серьезные трудности).
В случае марковости процесса также возникают принципиальные трудности, когда процесс проходит через нелинейную систему, как это имеет место, например, в случае трансформации речного стока в регулирующем водохранилище. Эти трудности легко могут быть преодолены, если соответствующие вероятностные характеристики и параметры управления будут определяться с помощью реализации условного случайного процесса.
Рассмотрим унифицированный метод Сванидзе—Пиранашвили построения условной марковской последовательности для стационарного случайного процесса с дискретным временем [241, 306, 4791.
Пусть Qi, Q2, ..., Qk — наблюденный ряд среднегодовых расходов воды, a ti, |2, ...,	— соответствующие модульные коэф-
фициенты (Qk = ^Q). Будем считать, что последовательность k = 1, 2 ,... является дискретной стационарной цепью Маркова N класса (т. е. подчиняется М-гипотезе). Следовательно, моделирование последовательности можно свести к моделированию нормальной последовательности с параметрами (0, 1), связанной с равенством
=	£-1,2, ...,	(3.78)
где F (^) — одномерная функция распределения; Ф-1 — функция, обратная функции Ф (%).
142
Глава 3
Если, например, F (%k) — лог-нормальное распределение, то
% = ^~т .	(3.79)
В случае распределения SB Джонсона

In /_m \ ^1 — Sfe /
(3.80)
здесь т и о — оценки математического ожидания и стандарта величины In или In (	*1 )! fli и — экстремальные
(предельные) значения
Рассмотрим следующие случаи индивидуального и группового моделирования гидрологических рядов.
а.	Индивидуальное моделирование гидрологического ряда
Простая цепь Маркова. Положим, что последним наблюденным значением последовательности является величина Hf, последующие значения могут быть получены по следующей рекуррентной зависимости:
W1	6=1,2,	(3.81)
где 6=1, 2, ... — последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с параметрами (0, 1), apj — коэффициент корреляции между смежными членами ряда.
Для процесса (3.81) математические ожидания Мл\п будут равны
Мцп = рГЧ, п = 1,2, ...	(3.82)
Дисперсии
Dn„ = 1 -	и =1,2, ...	(3.83)
Очевидно, что если рх - > 1, то ТИт|/7 —* 0, а при п ^D \\n —> 1. Следовательно, в пределе, когда п —* оо, условный процесс переходит в безусловный процесс с тем же средним, равным нулю, и с той же дисперсией, равной единице.
Модульные коэффициенты среднегодовых расходов воды легко определяются по значениям т)/?+1. Так, при лог-нормальном распределении
Ux =	(3.84)
а при распределении SB Джонсона
Sft+1 +!
(3.85)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
143
Абсолютные значения среднегодовых расходов воды будут равны Q.k+i ~ B&+1Q*
Сложная цепь Маркова. Пусть теперь щ, k = 1, 2, ... — нормальная стационарная (п — 1)-связная цепь Маркова со средним, равным нулю. Положим, что т]2, •••> Лл-х — последние значения наблюденного ряда. Последующие значения могут быть получены по следующей рекуррентной зависимости:
____ л—1
Г	m =	«4-1,	(3.86)
nn	nn
где k = L 2, ... — независимая нормальная последовательность с параметрами (0,1); Л = |	| — детерминант ковариацион-
ной матрицы величин ц2, •••, Mk — алгебраическое дополнение элемента %ZA, в детерминанте Л.
В этом случае дисперсия равна:
/)!]„ = А-.	(3.87)
1 тп
Например, при п = 2 получим Л22 =1, Л = 1 — pi, Dt]2 = = 1 — pi; при п = 3 Л33 = 1 — pi
Л=
1 Pl Р2
Pl 1 Pl
Рг Pi 1
= (i _p2)(i+p2-2p?);
(3.88)
1
Pi — 2pfo2 + pi 1 — Pi
Эту зависимость можно переписать и так:
Г)т]з =
(1-р2)(1+р2-2р2)
1 — Pi
(3.89)
Положим, что т]/г является простой цепью Маркова, т. е. р2 = = pi; тогда £)г]з =1 — р|. Если pi = 0,4, р2 = 0, то От]з = = 0,81; если рх = 0,4, р2 = —0,2, то £>т]3	0,69; если рх = 0,6,
р2 = 0, то Dt]3 0,44.
Здесь, как и в случае простой цепи Маркова, в определенных условиях процесс в пределе переходит в безусловный процесс с тем же средним и той же дисперсией.
Если есть сумма стационарного процесса и тренда, то следует выделить тренд, определить наблюденные значения оставшейся стационарной части и на основании этих значений изложенным выше способом построить условные реализации. Путем
144
Глава 3
добавления к ним тренда будут определены условные реализации стационарного процесса с трендом.
Необходимо отметить, что коэффициенты корреляции р для последовательности отличаются от коэффициентов корреляции г для исходной последовательности поэтому оценки риг должны быть получены соответственно по рядам г]/г и
Между этими коэффициентами, вообще говоря, существует однозначная функциональная связь. Например, в случае логнормального распределения имеем [241 ]
р =	In [(вст2— 1)г+ 1].	(3.90)
Что касается функции распределения среднегодовых расходов воды, то здесь успешно может быть применено распределение SB Джонсона [90, 300, 479]. Как было отмечено в главе 2, проверка на примере 200 рек мира показала, что это распределение, зависящее от четырех параметров (т, о, и ЬД, является весьма общим и, кроме того, очень удобно при моделировании.
Моделирование гидрологических рядов унифицированным методом может быть выполнено как для безусловных, так и для условных реализаций. Первые из них должны приниматься в тех случаях (Л), когда процесс регулирования будет стационарным (условия стока и водопотребления в течение расчетного периода не меняются, т. е. имеем режим в статике), а вторые — в тех случаях (Б), когда процесс регулирования будет нестационарным (указанные условия меняются — режим в динамике) [306]. Разница в процессе моделирования заключается в том, что в случае А генерируется одна длинная (1000-летняя и более) реализация, а в случае Б на предстоящий ограниченный срок (5, 10, 20 лет) приток воды рассматривается как условный случайный процесс и генерируется ансамбль коротких условных реализаций. Путем статистической обработки (с помощью ЭВМ) полученных данных строятся функции распределения вероятностей искомых выходных характеристик, что и является конечной целью при решении прикладных задач теории регулирования речного стока.
б.	Групповое моделирование взаимозависимых гидрологических рядов
Рассмотрим случай группового моделирования гидрологических рядов для каскада водохранилищ, расположенных на одной и той же реке, или системы водохранилищ, расположенных на разных реках, когда их общее число равняется q. Пусть = (r]V\ л12), •••> Ла/О, k = 1, 2, ... является ^-мерной нормальной стационарной и стационарно связанной простой цепью Маркова со средним, равным нулю. Положим, что вектор tn = (т]!^, t](i2), ...» т)!^) является последним наблюденным вектором многомерного
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
145
процесса т]&- Тогда последующие векторы могут быть получены так:
Пт =	+	ГП = 2, 3,	(3.91)
где т]т — последовательность независимых нормальных векторов со средним, равным нулю, и матрицей ковариации
В = R22 — R21R11 R129	(3.92)
#12 =	#11 = #22 = Л4т]1'П1 = МП2Ц2,
a KTi1 — матрица, обратная матрице #ц.
По наблюденным данным за годовым стоком за один и тот же период во всех q створах строим матрицу, состоящую из коэффициентов взаимной корреляции [2961:
	1 Р12 Р13 • • • Р1<7	
#11 —	Р21 1	Р22 • • • р2(?	,	(3.93)
	Р<?1 Р<72 Р<?3 • • • 1	
и матрицу взаимной корреляции		
	1 р12 Р13 • • • Ph?	
#12 —	Р21	^2	р23 • • • р2д	(3.94)
	Р^1 Р<?2 Р^З • • • I'q	
Затем формулы	преобразуем эти матрицы в новые матрицы с	помощью
Далее	In [К(е°1’ - 1) (// - 1) pz/ - 1]. матрицу /Ch транспонируем выражением hi =	— 1; h = ^12^* = 2, 3, .. ., q	(3.95)
и получаем матрицу
T =	hi hi hz	(3.96)
	^<71 h2 h3 • • • hq	
После этого определяем матрицу В = R22 — #2i#n1#i2, где #П1 — матрица, обратная матрице #ц.
146
Глава 3
Путем транспонирования матрицы В получаем
	Р11	
р =	Р'21 Pz2	(3.97)
	Pql Pq2 Pq3 • • • Pqq	
Далее, с помощью выражения (3.96) составляем векторы
П2 = П2 + RziRii
Пз = Пз +
Ш =	(3.98)
где
Л i “ (Р11£л»	P21S/1 ~Ь #22^2, • • •» Pqltil 4~
+ Pq2^i2 + • • • + PqqZiqb = 1, 2, . . . , 1\	(3.99)
здесь ptj—элементы матрицы Р, а I—длина смоделированного ряда. Поскольку между и/г и существует функциональная зависимость, то нетрудно от перейти к последовательности, т. е. Таблица 3.1 Статистические параметры и взаимная корреляционная матрица исходных (1-я строка) и смоделированных (2-я строка) гидрологических рядов
	Статистические параметры			Взаимна		1Я корреляционная матрица			
Река — пункт				к	сз				
	ео Е			5 <л и и	ф	сз о. о S*	сз я	>>	н ф
	1^		к.		Л CQ	С		ё	5
Северная	1962	0,18	0,30	1	0,81	0,63	—0,26	0,08	0,04
Двина — д. Абрам-	1962	0,17	0,25		0,76	0,61	—0,29	0,0	0,07
ково									
Вычегда —	590	0,20	0,58		1	0,77	—0,28	—0,01	0,05
г. Сыктыв-	584	0,19	0,50			0,77	—0,31	—0,03	0,04
кар									
Печора —	493	0,15	0,38			1	—0,29	0,07	0,06
с. Троицко-	493	0,15	0,29				—0,26	0,06	0,0
Печорск Дунай —	6234	0,20	0,24				1	0,56	0,35
вершина	6359	0,21	0,33					0,52	0,33
дельты Прут —	57	0,45	0,06					1	0,46
г. Чернов-	61	0,51	0,04						0,38
цы									
Днестр —	298	0,41	0,19						1
г. Бендеры	325	0,50	0,18						
Примечание.
Длина исходных рядов 40 лет, смоделированных 5000 лет..
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
147
к модульным коэффициентам среднегодовых расходов воды (Qk = = ^Q) во всех расчетных створах системы.
Например, при лог-нормальном распределении модульные коэффициенты определяются так:
fei = е	1	, ..., gi = е	1	;
,п (тОМЬд-тО)
$,1) = е	2	+	,...,^9)=е	П2	+	.	(3.100)
Аналогичным путем можно получить значения модульных коэффициентов при распределении Джонсона.
По унифицированному методу была составлена программа для ЭВМ и выполнена серия расчетов (А. П. Миндиашвили) по ряду рек. В качестве примера группового моделирования в табл. 3.1 приводим результаты расчетов по шести рекам Европейской территории СССР (1925—1964 гг.).
Как следует из данных таблицы, степень совпадения характеристик исходных и смоделированных рядов можно считать удовлетворительной.
3.6. Групповое моделирование гидрологических рядов методом ПОЛАР
Существующие методы группового моделирования взаимозависимых гидрологических рядов достаточно сложны и громоздки. В работе [219] предложен новый метод группового моделирования, который представляет собой обобщение метода «последовательного определения линейной авторегрессии», сокращенно названного методом ПОЛАР, подробное изложение которого дается ниже, в главе 5.
Пусть Xt есть М-мерный стационарный нормальный марковский процесс с глубиной связности k. Тогда Xt можно представить в виде рекуррентного соотношения
(3.101) где k N
Xti S S Xt-j, + °i?A>
j=i
k N
Xf2 ~ doi Xfi T“ S	, i O2b/2,
A-l	k N
XtN — Xl Хц Xl	) “h
1=1	j=l i=l
здесь ..., ZtN — последовательность независимых нормальных случайных величин. Необходимо методом наименьших квад-
148
Глава 3
ратов найти оценки коэффициентов а$ (/=1, 2, ...» k; 1=1, 2, TV; s = 1, 2, ..., N), a£\s = 2, 3, ..., M; i = 1,2, N — 1) Gi (i = 1, 2,	N), используя значения ковариаций R
для всех i = 1, 2, N\ I ~ 1, 2, N\ j = 0, 1, k.
Задача сводится к применению метода рекуррентной оценки коэффициентов регрессии для одномерного периодического марковского нормального процесса [223, 363].
Чтобы применить указанный метод к нашей задаче, надо одномерный процесс Yt = Хпт при t = (п — 1) X + т представить как периодический процесс (с периодом N)
[Хц, Х12, . . ., X1N; X2i, Х22, . . ., Х2м, ...}.
Для удобства записи введем обозначение для коэффициента N-m-\ при (/ — 1) N + т < i < jN + т — 1. При 1 < i С т — 1 обозначение означает a^h-i . Следовательно, представляет собой коэффициент регрессии m-ной компоненты процесса Хпт с компонентой, отстоящей от нее на I шагов назад; индекс / означает глубину связности. Тогда соотношение (3.101) примет вид
Xntn — afnlXn, ni—l 4" dm2Xn> tn—2 —]—•••—[— Um] m—lXnl - j-
ttmtrXn—1, N
&m, kN-\-tn— lXti—k, 1 “4“ ^rn^tm* (3.102)
Таким образом, задача формально сводится к оценке коэффициентов регрессии для периодического случая, однако теперь глубина связности I в цепи Маркова оказывается переменной: I = kN +т — 1.
Введя вспомогательные коэффициенты bml и используя схему расчетов [223], будем иметь:
тдо _ ~u-i)	•	1 9 z 1.
&mi — G'tni CLmlDmi >	— 1,	. . ., 4	1,
=	-b(m№~l;,i = 2,3,	(3.103)
Для определения коэффициентов a(mi и bmi будем иметь:
Z—1
R-ml	Rm— i, l—iami *
"(0 _	i=l
^m, I —	i j	>
0 4"	^rn—i, I—
i=l
I—!
__ Rm—I, I	Rm —	i
b(ml =---------;	(3.104)
Rm—1, 0	Rm — l,iam—1, i
t=l
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
149
здесь Rmi = R	N-mj) при (j — 1) N + m <
i < jN + m — 1; Rmi = R (X/mXz>m_f) при 1 < i < tn — 1. Формулы (3.103) и (3.104) можно применить, если априорное допущение о характере зависимости для процесса Xt видоизменить так, чтобы значения I оказались постоянными, т. е. принять, что Хпт связано со значениями процесса Xt в предыдущие k лет и еще дополнительно — с компонентами Xn_k_^ т + 1 < < j < X, п — k — 1-го года. Последнее допущение не слишком обременительно, так как если величина^ связности процесса Xt оказалась статистически достаточной, то добавление еще некоторого количества связностей не должно существенно изменить картину.
Если же придерживаться априорных допущений, то потребуется вести расчет по формулам (3.103) и (3.104) до значения I = = (k + 1) X, а затем в качестве оценок выбрать
Однако из соотношений (3.103) и (3.104) видно, что не придется вести излишние расчеты, если алгоритм видоизменить так, что при достижении I = kN + т — 1 обрывать расчеты коэффициентов bml и продолжать расчет только коэффициентов bmt/) t, / > 1. Рекуррентные формулы для расчета оценок оста-ТОЧНЫХ дисперсии ) имеют вид
(3.105)
После того как оценки коэффициентов найдены с помощью (3.130), можно шаг за шагом определить смоделированные величины Xzz, i = 1, 2, ...., X, t = 1, 2, ...., а затем найти среднегодовые расходы воды с помощью зависимости
Qit ~ k'itQi’»
где
kit = e°‘xi‘+k‘ + at
при лог-нормальном распределении, или с помощью зависимости k —	+ aj
при распределении SB Джонсона. Здесь i — индекс моделируемой реки (/ = 1,2,..., X); Qz — среднемноголетний расход воды для f-того створа; at и bt — экстремальные значения kt.
Гидрологические ряды, смоделированные таким образом, имеют статистические параметры, близкие к параметрам наблюденных рядов, и сохраняют взаимную корреляцию и автокорреляцию, наблюдаемые в исходных рядах. Полученные гидрологические ряды можно использовать для водноэнергетических и водохозяйственных расчетов.
150
Глава 3
В табл. 3.2—3.4 приведены результаты расчетов для рек Грузии, бассейна р. Кубани и ряда других рек. Как следует из дан-
Таблица 3.2 Сравнение статистических параметров и корреляционной матрицы наблюденных (1-я строка, п = 41, 1932—1972 гг.) и смоделированных (2-я строка, п = 1000) рядов для некоторых рек Грузии
Река	Параметр			Корреляционная матрица						
	Q м3/с	Cv	г	Б зыбь	Кодори	Ингури	Риони	Кура	Арагви	Алазани
Б зыбь	96	0,19	0,16	1,00	0,49	0,39	0,49	0,48	0,43	0,26
	96	0,19	0,04	1,00	0,54	0,42	0,53	0,49	0,44	0,28
Кодори '	87	0,13	—0,02		1,00	0,58	0,61	0,33	0,29	—0,08
	86	0,13	—0,04		1,00	0,62	0,63	0,36	0,34	—0,03
Ингури	151	0,14	0,14		1,0	1,00	0,64	0,51	0,39	0,09
	150	0,14	0,06			1,00	0,63	0,51	0,40	0,08
Риони	405	0,16	—0,11				1,00	0,57	0,59	0,09
	403	0,17	—0,18				1,00	0,59	0,62	0,09
Кура	203	0,22	0,23					1,00	0,77	0,59
	. 200	0,23	0,12					1,00	0,74	0,55
Арагви	43	0,20	0,19						1,00	0,50
	43	0,21	0,14						1,00	0,47
Ала.зани	64	0,29	0,20							1,00
	64	0,30	0,19							1,00
Таблица 3.3 Сравнение статистических параметров и корреляционной матрицы наблюденных (1-я строка, п = 45, 1926—1970 гг.) и смоделированных (2-я строка, п = 1000) рядов рек бассейна р. Кубани
Параметр	Корреляционная матрица
Дар
Кубань — с. им. Коста	Хетагу-	76 77	0,13 0,13	0,22 0,20	1,00 1,00	0,80 0,78	0,76 0,73	0,57 0,61	0,88 0,88	0,82 0,84	0,70 0,71
рова Лаба — г. Лабинск	88	0,16	0,16		1,00	0,94	0,62	0,78	0,75	0,72
	88	0,16	0,15		1,00	0,94	0,69	0,75	0,73	0,76
Лаба — х. Догу-	99	0,17	0,29			1,00	0,76	0,72	0,71	0,84
жиев	99	0,17	0,26			1,00	0,81	0,70	0,70	0,86
Белая — х. Дол-	105	0,19	0,32				1,00	0,50	0,51	0,87
гогусевский	105	0,20	0,28				1,00	0,53	0,55	0,89
Кубань — с. Бого-	146	0,13	0,04					1,00	0,97	0,66
словское	146	0,13	0,02					1,00	0,97	0,65
Кубань—ст-ца Те-	169	0,13	—0,01						1,00	0,67
мижбекская	169	0,14	—0,03						1,00	0,66
Кубань — г. Крас-	430	0,16	0,23							1,00
нодар	431	0,17	0,24							1,00
Таблица 3.4 Сравнение статистических параметров и корреляционной матрицы
наблюденных (1-я строка, п = 60, 1908—1967 гг.) и смоделированных (2-я строка, п = 1000) рядов для различных рек мира
	Параметр			Корреляционная матрица										
Река — пункт					G3		S					к S о Н		к ОЗ
				ф	в	сз	>>	св		и ОЗ	о)	о Ф	»s <я	
	з				S		о	ХО	и	S	ОЗ	к и		
		о			а	о		ОЗ	ф	ф	>>		>>	ф И
	|О>	U	к.	X		CQ			X	X			п:	
Нигер — г. Куликоро	1556	0,21	0,53	1,00	0,04	0,16	—0,02	—0,18	0,54	0,16	—0,01	0,09	—0,21	0,31
	1540	0,22	0,54	1,00	0,08	0,11	—0,05	—0,14	0,48	0,16	0,01	0,10	—0,20	0,27
Кришна — г. Виджаява-	1770	0,27	0,39		1,00	0,18	—0,12	—0,13	0,18	0,44	—0,12	0,14	—0,01	0,03
да	1771	0,27	0,36		1,00	0,18	—0,12	—0,04	0,15	0,36	—0,14	0,12	—0,00	0,01
Волга — г. Волгоград	7862	0,19	0,49			1,00	0,41	0,11	0,26	0,35	0,04	0,28	0,06	0,58
	7767	0,20	0,49			1,00	0,42	0,10	0,24	0,36	0,12	0,28	0,02	0,58
Миссури — г. Херман	2167	0,35	0,44				1,00	0,06	—0,13	0,02	—0,02	0,32	—0,02	0,26
	2161	0,39	0,48				1,00	0,12	—0,07	0,03	0,01	0,28	—0,04	0,25
Лаба — г. Дачин	312	0,33	0,31					1,00	—0,29	0,17	0,47	—0,23	0,78	—0,02
	311	0,34	0,32					1,00	—0,27	0,18	0,46	—0,17	0,76	—0,06
Нева — д. Новосаратов-	2447	0,18	0,58						1,00	0,30	—0,01	0,05	—0,20	0,26
ка	2425	0,18	0,60						1,00	0,24	0,04	0,11	—0,18	0,23
Неман — г. Смалинин-	547	0,17	0,11							1,00	0,32	—0,02	0,15	0,28
кай	547	0,17	0,09							1,00	0,33	0,08	0,18	0,21
Луара — г. Монжан	879	0,35	0,17								1,00	—0,19	0,55	0,07
	874	0,39	0,26								1,00	—0,14	0,58	0,08
Святого Лаврентия —	6550	0,09	0,72									1,00	—0,21	0,15
г. Огденсберг	6550	0,09	0,72									1,00	—0,18	0,15
Дунай — г. Оршова	5524	0,19	0,15										1,00	—0,10
•	5472	0,19	0,08										1,00	—0,18
Северная Двина —	3329	0,21	0,33											1,00
с. Усть-Пинега	3295	0,20	0,37											1,00
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
152
Глава 3
ных этих таблиц, степень совпадения указанных статистических характеристик вполне удовлетворительная, что свидетельствует о пригодности метода ПОЛАР.
3.7. О необходимой длине гидрологического ряда
При моделировании гидрологических рядов методом Монте-Карло для водноэнергетических или водохозяйственных расчетов, естественно, возникает вопрос о необходимой длине этих рядов. Был проведен специальный анализ, суть которого заключается в следующем [305 ].
Рассмотрим задачу оценки обеспеченности отдачи методом Монте-Карло. Пусть речной сток хп — входной дискретный процесс с независимыми значениями или дискретный стационарный марковский процесс, а уп — выходной процесс. Параметр а = = const— максимальное годовое потребление воды в долях среднемноголетнего стока.
Обозначим вероятность Р {уп = а} через рп, В достаточно широких условиях можно доказать, что
lim рп = р. . П-> со
Предел р последовательности рп является обеспеченностью отдачи.
Число появлений события \уп = а} в п испытаниях обозначим через |х и в качестве оценки р возьмем р* = —. Оценка р* является асимптотически несмещенной, состоятельной и асимптотически нормальной.
Если событие уп = а обозначим через Е, то будем иметь последовательность зависимых испытаний, связанных в однородную простую цепь Маркова, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие Е. Вероятность появления события Е в (k 4- 1)-м испытании, когда в fe-том испытании произошло событие £, обозначим через у, а вероятность появления события Е в (k + 1)-м испытании, когда в предыдущем испытании наступило событие Е, обозначим через 6. Предположим, что как у, так и б отличны от нуля и единицы.
Обозначим через рг вероятность появления события Е в первом испытании и через q± = 1 — р± вероятность появления события Е в первом испытании. Обозначим через pk вероятность появления события Е в fe-том испытании. Легко показать, что [448]
' Pk = (л -	) (V - S)"-1 н- 1-/+6- •
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
153
Поскольку | у — 6 | < 1, будем иметь
Hm Pk = i-T-fg = Р-	(3-106)
Предел р последовательности pk как раз и является обеспеченностью отдачи.
Можно написать [448]
D JL = _W_’+|-+	(3.107)
п n 1 — о 1 n2	v 7
где ап — некоторая величина, остающаяся ограниченной при возрастании n; Ж и D — соответственно математическое ожидание и дисперсия;
<7=1 —
lim р П —---р | < s) = 1
П-УОР II « I 1 и
р;
для любого 8 > 0;
> ? -
1/ Pq 1 — У-~б < г п 1 — у 6
(3.108) где соп —* 0, когда п —> сю равномерно относительно и z2.
Таким образом, р* = — является асимптотически несмещенной, состоятельной и нормальной оценкой р. Заметим, что перечисленные оптимальные свойства данной оценки имеют место не только в вышеуказанных, но и в более широких условиях.
Для больших п можно положить, что величина р* = распределена нормально со средним р и неизвестной дисперсией. Методом Монте-Карло получаем т значений величины р*, т. е. рГ, р2, Pm и с помощью этой выборки определяем статистическую среднюю и дисперсию:
т
<3-109> i=l т
б-~а2-±У. К-рГ-	(3.1Ю)
154
Глава 3
Для экспериментальных расчетов были взяты значения т = 100 и 300 при Са = 0,3, 0,5 для разных а, 0, г и п. С помощью ЭВМ определены значения рГ, pj, , рт с соответствующими характеристиками р* и о. Для примера результаты расчетов при Со = = 0,3 и т — 100 приведены в таблицах 3.5 и 3.6.
Таблица 3.5 Средние арифметические значения обеспеченности отдачи р * при Су = 0,3 и пг ~ 100
3	п	г = 0			г = 0,3		
		а — 0,6	а = 0,7	а = 0,8	а = 0,6	а = 0,7	а = 0,8
0,1	500	0,9735	0,9130	0,8189	0,9552	0,8958	0,8190
	1000	0,9733	0,9191	0,8197	0,9551	0,8957	0,8017
	2000	0,9735	0,9129	0,8195	0,9564	0,8970	0,8024
0,3	500	0,9994	0,9844	0,9390	0,9909	0,9640	0,9090
	1000	0,9992	0,9853	0,9387	0,9907	0,9642	0,9011
	2000	0,9993	0,9842	0,9384	0,9926	0,9687	0,9060
0,5	500	1,0000	0,9993	0,9813	0,9987	0,9855	0,9513
	1000	1,0000	0,9988	0,9812	0,9986	0,9853	0,9508
	2000	1,0000	0,9993	0,9811	0,9991	0,9889	0,9566
Таблица 3.6 Средние квадратические отклонения обеспеченности отдачи о при Су = 0,3 и т = 100
3	п	г = 0			г = 0,3		
		а = 0,6	а = 0,7	а = 0,8	а = 0,6	а = 0,7	а = 0,8
0,1	500	0,0056	0,0123	0,0174	0,0081	0,0113	0,0168
	1000	0,0033	0,0062	0,0086	0,0043	0,0059	0,0075
	2000	0,0021	0,0048	0,0065	0,0030	0,0035	0,0060
0,3	500	0,0010	0,0060	0,0108	0,0045	0,0074	0,0107
	1000	0,0007	0,0025	0,0051	0,0027	0,0043	0,0059
	2000	0,0005	0,0016	0,0023	0,0015	0,0024	0,0040
0,5	500	0,0000	0,0013	0,0057	0,0019	0,0050	0,0061
	1000	0,0002	0,0010	0,0037	0,0013	0,0031	0,0041
	2000	0,0000	0,0005	0,0021	0,0007	0,0011	0,0025
Положим, что известно значение дисперсии а2; тогда среднее
квадратическое отклонение для р* Нужно найти такое чтобы
о
К т
от среднего р будет
Р [|’р* — р| <	= е;
I	V т )
(3.111)
здесь 8 — доверительная вероятность.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
155
Значение te определяется по таблице нормального распределения, после чего в качестве доверительного интервала принимается случайный интервал
=	? +	(З.П2)
Вероятность того, что интервал /8 накроет неизвестную pt равна 8.
Принятый способ определения доверительного интервала является приближенным, поскольку он опирается на статистическую оценку дисперсии взамен ее точного значения. Для более точного определения доверительного интервала рассмотрим величину
i	= ]/m — 1 —,
а
которая распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы (т — 1).
Ищется такое /8, чтобы
р (V^[p*-p\ < 11 = 61	(3 113)
[a	J
где t8 определяется по таблице распределения Стьюдента. Соответствующий доверительный интервал имеет вид
(3J14)
Указанные доверительные интервалы определены на основании среднего арифметического/?*, полученного в результатет опытов. Построим теперь доверительные интервалы для индивидуального значения р*, полученного при единичном опыте. Для достаточно больших п величина р* распределена нормально со средним р и неизвестной дисперсией. Если в качестве дисперсии примем ее оценку о2, то доверительный интервал будет
/8-(р*±/8о),	(3.115)
где 8 — доверительная вероятность, a t8 определяется по таблице распределения Стьюдента.
В табл. 3.7 для примера приведены значения доверительных интервалов при различных доверительных вероятностях (8 = 0,95 и 0,99) в случае единичного опыта.
При водноэнергетических расчетах вполне приемлемой можно считать доверительную вероятность 8 = 0,95. Тогда, например, в случае единичного опыта при Cv = 0,3, г = 0 и а = 0,8 и длине
156
Глава 3
Таблица 3.7 Значения Др = tQo при Cv = 0,3 [в случае единичного опыта (т = 1)
е	3	п	г = 0			г = 0,3		
			а — 0,6	а = 0,7	а = 0,8	а = 0,6	а =0,7	а = 0,8
0,95	0,1	500	0,0111	0,0244	0,0346	0,0161	0,0224	0,0334
		1000	0,0066	0,0123	0,0171	0,0085	0,0114	0,0149
		2000	0,0042	0,0095	0,0129	0,0060	0,0070	0,0119
	0,3	500	0,0020	0,0119	0,0214	0,0089	0,0147	0,0213
		1000	0,0014	0,0050	0,0101	0,0054	0,0085	0,0117
		2000	0,0010	0,0032	0,0046	0,0030	0,0048	0,0079
	0,5	500	0,0000	0,0026	0,0113	0,0038	0,0099	0,0121
		1000	0,0004	0,0020	0,0074	0,0026	0,0062	0,0081
		2000	0,0000	0,0010	0,0042	0,0014	0,0022	0,0050
0,99	0,1	500	0,0147	0,0324	0,0458	0,0213	0,0297	0,0442
		1000	0,0087	0,0164	0,0226	0,0113	0,0155	0,0197
		2000	0,0055	0,0126	0,0171	0,0079	0,0092	0,0158
	0,3	500	0,0026	0,0158	0,0284	0,0118	0,0195	0,0282
		1000	0,0018	0,0066	0,0134	0,0071	0,0113	0,0155
		2000	0,0013	0,0042	0,0060	0,0039	0,0063	0,0105
	0,5	500	0,0000	0,0034	0,0150	0,0050	0,0132	0,0163
		1000	0,0005	0,0026	0,0097	0,0034	0,0082	0,0108
		2000	0,0000	0,0013	0,0055	0,0018	0,0029	0,0066
ряда п = 1000 лет возможные отклонения обеспеченности отдачи = =t(0,007-т-0,017). Такая точность вполне приемлема с практической точки зрения, поскольку она не ниже точности исходных данных.
При увеличении числа опытов до т возможные отклонения, приведенные в табл. 3.7, уменьшаются в ]/т раз.
На основании многочисленных экспериментальных расчетов были построены статистические функции распределения вероятностей F (р*). Одна группа таких функций при т = 100 приводится на рис. 3.1.
Расчеты в основном подтверждают теоретическое положение о нормальности распределения F (р*) при г = 0. В случае г = 0,3 отклонение от нормального распределения несколько более значительно. На рис. 3.2 приводятся результаты расчетов при т = = 300. Более подробные данные приведены в работе [3031.
При статистическом исследовании коротких (20, 50, 100-летних) гидрологических рядов для построения эмпирических распределений статистических параметров, маловодных и многоводных группировок, размаха, емкости водохранилища и других характеристик обычно применяется следующий прием. Моделируется длинный ряд, который затем разрезается на короткие ряды необходимой длины. По этим рядам, далее, определяются значения изучаемого признака и строятся статистические функции рас
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОДОВОГО СТОКА
157
пределения. Этот прием нельзя считать правомерным, так как короткие реализации получаются условными. Этот вопрос был исследован Г. Л. Григолия [87]. Сравнивались распределения
Рис. 3.1. Статистические функции распределения вероятностей F (р*) при различных значениях отдачи а и емкости водохранилища (3 (т = 100).
Рис. 3.2. Статистические функции распределения вероятностей F (р*) при различных значениях коэффициента корреляции.
признака для независимых коротких рядов и для рядов, полученных путем разрезки одного длинного ряда на короткие ряды. Как и следовало ожидать, результаты в первом случае получились
158
Глава 3
более благоприятными, как, например, это следует из графика (рис. 3.3), построенного для оценок модульного коэффициента /	п _____\
среднего \ k = Qz/Q . Аналогичные результаты получены и для \	i=i	/
других статистических характеристик [87].
Рис. 3.3. Статистические функции распределения (обеспеченности) оценок модульного коэффициента среднего расхода воды.
/ — в случае независимых рядов, 2 — в случае разрезки длинного ряда на короткие ряды.
Заключение
Стохастический характер процесса речного стока, с одной стороны, и сложность режима работы водохозяйственной системы — с другой, обусловливают целесообразность и эффективность применения методов статистического моделирования теоретических
гидрологических рядов. Оптимальные режимы проектируемой или эксплуатируемой системы могут быть установлены с помощью очень длинной реализации или ансамбля коротких реализаций стока для выявления различных возможных ситуаций.
Важной задачей является выбор подходящей модели стока. Достаточно общей моделью процесса колебания годового стока является сложная цепь Маркова, частным случаем которой является простая цепь. Для построения этих моделей к настоящему времени предложено большое число разнообразных способов статистического моделирования, основанных на применении метода Монте-Карло. При наличии в наблюденном временном ряде регулярной составляющей в виде тренда последний должен быть выделен одним из известных способом и после моделирования стационарной составляющей вновь добавлен к ней.
Из существующих методов может быть в первую очередь рекомендован унифицированный метод моделирования гидрологи-
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
159
ческих рядов, который основан на применении способа нормализации. Достоинство метода заключается в том, что он применим как при индивидуальном моделировании рядов по схеме простой или сложной цепи Маркова, так и при групповом моделировании взаимозависимых гидрологических рядов с заданной корреляционной матрицей.
Эффективным методом индивидуального моделирования является также метод итерации, позволяющий найти подходящую модель стока по схеме сложной цепи Маркова путем постепенного перебора конкурирующих вариантов начиная от более простых и переходя к более сложным, вплоть до получения приемлемого результата.
Для группового моделирования гидрологических рядов успешно может быть применен метод ПОЛАР, который характеризуется достаточной простотой и позволяет получать вполне удовлетворительные результаты.
Имеющимися методами моделирования длинных безусловных гидрологических рядов можно определить различные параметры гидроузла, например обеспеченность полезной отдачи воды из водохранилища.
Однако в нестационарных (динамических) условиях работы объекта необходимо моделировать ансамбль условных гидрологических рядов ограниченной длины и на этой основе определять возможные режимы управления. Таким образом, производится направленный выбор тех смоделированных рядов, которые на первом участке совпадают с наблюденной реализацией, а дальше экстраполируются на протяжение расчетного срока эксплуатации водохозяйственной системы.
Смоделированные указанными приемами ряды годового стока (среднегодовых расходов воды) должны быть дополнены с учетом внутригодового распределения стока. Для этой цели рекомендуется применение метода фрагментов (глава 4).
Глава 4
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ РЯДОВ КОМПОЗИЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ С УЧЕТОМ ВНУТРИГОДОВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТОКА
4.1. Общая часть
В предыдущей главе была изложена методика моделирования годового стока или, что то же самое, среднегодовых расходов воды. Вопросы внутригодового распределения стока там не рассматри
160
Глава 4
вались. Предполагалось, что применяется равнодискретная модель стока и наблюденные гидрографы осреднены с интервалом один год. Соответствующим образом смоделированные ряды, построенные с помощью как индивидуального, так и группового моделирования, также имеют постоянные расходы в пределах годовых интервалов, независимо от того, какая дата принята за начало года. Очевидно, что такие ряды являются, если можно так сказать, промежуточным материалом (полуфабрикатом), непосредственное применение которого в области теории регулирования речного стока возможно только при расчете так называемой многолетней составляющей емкости водохранилища Км, т. е. только одной части полезного объема Уп. Другая часть — сезонная составляющая Vc — должна быть определена каким-нибудь иным способом. Далее, путем статистической композиции обеих частей можно найти полную полезную емкость водохранилища (Vn = VM*VC). Эта схема расчета, предложенная в 1914 г. А. Хазеном [424], в течение длительного времени находила полезное применение и во многом содействовала успешному развитию теории регулирования речного стока. Тем не менее за последний период отношение к этой схеме изменилось.
Как часто бывает в науке, интересная идея, игравшая в течение определенного периода времени прогрессивную роль, постепенно теряет свое значение и, отживая свой век, в конце концов превращается в тормоз. В интересах дальнейшего развития науки эта идея должна быть усовершенствована или заменена новой.
Именно это и произошло со схемой Хазена. Переломный период наступил, когда начали применяться новые математические методы (теория случайных функций, методы статистического моделирования и др.) и внедряться быстродействующие электронные вычислительные машины.
Помимо того, по схеме Хазена можно решать лишь простейшие задачи, например, рассчитать одно изолированно работающее водохранилище при постоянной отдаче (а = const). Такой уровень решений сейчас, конечно, не может удовлетворить повышенных требований, предъявляемых к водноэнергетическим и водохозяйственным расчетам, когда вопросам оптимизации режимов регулирования, системному подходу и т. д. уделяется большое внимание.
На новом этапе развития теории регулирования требуется строить модели стока с наибольшим приближением к натурным данным путем сохранения основных статистических закономерностей. С этих позиций регулирующий объем водохранилища должен быть рассмотрен как единое целое без его искусственного деления на составные части, ибо сам процесс регулирования является единым.
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
161
Все существующие методы моделирования гидрологических рядов с учетом внутригодового распределения стока можно разделить на следующие группы:
I.	Композиционные методы с двукратной или многократной выборкой;
II.	Прямые методы, т. е. методы непосредственного моделирования месячных (декадных и т. д.) расходов воды по схеме простой или сложной цепи Маркова;
III.	Метод приведения нестационарного процесса стока к стационарной случайной последовательности.
В особую, пока что разработанную лишь в теоретическом отношении группу (IV) можно выделить методы моделирования гидрологических рядов с непрерывным временем.
Перечисленные группы методов будут рассмотрены ниже.
Под общим названием «композиционные методы» моделирования гидрологических рядов следует понимать такие методы, которые позволяют сконструировать ряды любой протяженности с учетом внутригодового распределения стока. Шаг дискретности может быть произвольным, но, как было показано в главе 1, для водноэнергетических и водохозяйственных расчетов вполне достаточно ограничиться месячными или декадными интервалами осреднения. Ниже, говоря условно о месячных объемах стока или среднемесячных расходах воды, не будем повторять, что в случае необходимости подразумеваются соответствующие показатели для декадных интервалов, разве кроме только тех случаев, когда потребуется это оговорить специально, например при расчете половодий и паводков.
К композиционным методам моделирования гидрологических рядов можно отнести: метод перемешивания гидрографов, композиционный метод СЭИ (Г. А. Гриневич) и метод фрагментов. Начнем с простейшего из них.
Положим, что необходимо определить полезную емкость водохранилища многолетнего регулирования при наличии некоторого m-летнего ряда натурных гидрометрических наблюдений. С помощью балансовых (табличных) расчетов или путем сопоставления интегральных кривых стока и потребления нетрудно найти такой объем. Однако мы должны помнить, что это будет некоторое грубо приближенное значение объема водохранилища, а главное, мы не будем знать, какой обеспеченности оно соответствует. Если бы мы могли удлинить исходный ряд до п лет (п = 1000 ч-Ю ООО), то путем тех же балансовых расчетов можно было бы построить эмпирическую функцию распределения емкостей и найти решение задачи, т. е. установить полезный объем водохранилища заданной обеспеченности.
Для решения поставленной задачи воспользуемся следующим приемом. Разрежем наблюденный ряд на отдельные годовые гидро
162
Глава 4
графы (со среднемесячными расходами воды) и придадим им соответствующие номера 1, 2, ..., т. С помощью таблицы случайных чисел (по схеме урны с возвратом шара) произведем выборку и построим искусственный гидрологический ряд большой протяженности п\ в случае необходимости можно получить ансамбль реализации для более короткого (расчетного) периода. На рис. 4.1
Рис. 4.1. Схема построения длинного ряда способом перемешивания гидрографов.
а — наблюденный /n-летний ряд, б — построенный n-летний ряд.
дается схема построения длинного ряда способом перемешивания гидрографов.
Если п будет достаточно большим, то при многократном повторении расчета результаты будут вполне стабильными, с любой заранее заданной точностью, что указывает на отсутствие субъективных моментов в самом способе моделирования.
Положительные стороны описанной схемы расчета заключаются в следующем. Способ весьма прост, не требует введения каких-либо гипотез об одномерных или многомерных законах распределения среднегодовых или среднемесячных расходов воды, с достаточной полнотой использует информацию о внутригодовом распределении стока. При этом получается большое разнообразие сочетаний лет различной водности, интервалы осреднения могут быть любыми,
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
163
вплоть до среднесуточных или даже мгновенных расходов воды и т. д.
Недостатки способа сводятся к следующему. Совершенно не используется информация по другим рекам (в виде подходящих законов распределения вероятностей и т. д.); не учитываются имеющиеся корреляционные связи между годовыми объемами стока, что, безусловно, снижает потребную емкость водохранилища; группировки маловодных и многоводных лет не поддаются регулированию и получаются произвольными; формы гидрографа ограничены только наблюденными вариантами (т значений), при расчете паводочного, минимального или сезонного стока способ дает те же малодостоверные результаты, что и исходный календарный ряд без его трансформации; на стыках гидрографов наблюдаются разрывы, не присущие исходному ряду, и др. ,
Существенный недостаток — отсутствие учета корреляционных связей между годовыми объемами стока — может быть устранен следующим образом. Указанным в главе 2 способом при различных датах начала гидрографа определяется коэффициент корреляции rt между смежными членами ряда, и разрезка наблюденного многолетнего гидрографа на годовые гидрографы производится там, где стохастическая связь наиболее слаба (r1 = min). Для некоторых рек это сечение приходится на период межени, и это хорошо, однако в тех случаях, когда место разрезки попадает в пределы паводка, стыковка гидрографов после перемешивания будет иметь значительные разрывы. Кое-где могут совпасть два паводка, а в других местах, наоборот, не будет ни одного паводка. Тем не менее при достаточно большой длине ряда искомая многолетняя емкость водохранилища может быть получена с заранее заданной точностью.
Корреляция между смежными гидрографами по схеме простой цепи Маркова может быть учтена следующим способом. После разрезки наблюденного многолетнего ряда на годовые гидрографы с коэффициентом корреляции гх, соответствующим дате разрезки, гидрографы ранжируются по водности в убывающем (или возрастающем) порядке и нумеруются. Далее, выборка по схеме с возвратом шара производится с помощью взаимокоррелированных случайных чисел:
У1 = C/J
Tz+i = Wi + Cz+i, i = l,	(4.1)
где — независимые равномерно распределенные случайные числа.
Полученный п-летний ряд будет характеризоваться корреляцией между смежными членами ряда, близкой к гР Этим способом устраняется один из недостатков способа перемешивания гидро
164
Глава 4
графов, но другие недостатки остаются, что побуждает искать иные пути решения задачи, более совершенные композиционные методы моделирования гидрологических рядов.
Здесь можно было бы изложить результаты интересных исследований по анализу и синтезу гидрологических рядов, ведущихся Г. А. Гриневичем и его коллегами в течение более десяти лет вначале в Научно-исследовательском институте энергетики и автоматики АН УзССР, а затем в Сибирском энергетическом институте (СЭИ) АН СССР. Однако, как пишут сами авторы в монографии [93], подытоживающей ранее выполненные ими исследования, намеченный композиционный метод построения многолетних гидрографов, охватывающих как многолетние, так и сезонно-годовые составляющие процессы колебаний стока, разработан пока лишь частично. «Приведенные данные по структурному анализу стохастических элементов гидрографов стока и результаты обработки некоторых фактических реализаций следует рассматривать лишь как первый шаг в исследовании объективных вероятностных оценок вариации формы гидрографа стока. После вероятностного аналитического разложения сложного процесса вариации на компоненты с различной природой и масштабами изменчивости во времени следующим этапом исследований является композиционный синтез этих элементов структурных формирований гидрографов непосредственно в процессе водохозяйственных или прогностических расчетов, что и составляет предмет наших дальнейших исследований» [93, с. 95].
В работе Н. Д. Кодуа [163] предлагается пользоваться схожим с рассматриваемым в работе [93] методом моделирования, однако стохастические связи учитываются Кодуа на 12 шагов, т. е. рассматривается 13-мерный процесс, что позволяет хотя бы частично учитывать корреляционные связи между годовыми гидрографами.
Попытка применения метода канонических разложений в области моделирования гидрологических рядов впервые была предпринята в работе [294 ]. В последние годы вновь появился интерес к этому методу. В частности, на нем основан композиционный метод И. В. Бусалаева, С. К. Давлетгалиева и И. Г. Купермана [53], предназначенный для моделирования ансамбля искусственных гидрографов. Метод заслуживает внимания, поскольку имеет некоторое теоретическое обоснование, не требует построения коррелированных случайных чисел, располагает, хотя и громоздким, но несложным алгоритмом и, как следует из приведенных примеров, дает возможность генерировать гидрографы с заданными статистическими характеристиками.
Вместе с тем метод характеризуется некоторыми особенностями, которые ограничивают его применение в предлагаемом авторами виде. Дело в том, что метод позволяет моделировать не гидрологи
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
165
ческие ряды, а отдельные годовые гидрографы (или гидрографы половодья), пригодные лишь для сезонного регулирования. Для многолетнего регулирования эти гидрографы не могут быть использованы, поскольку при их построении не учитываются корреляционные связи между значениями годового стока и каждый гидрограф моделируется самостоятельно, вне связи с гидрографами других лет. Для всех месяцев принимается один и тот же закон распределения — Пирсона III типа и негласно вводится маловероятная гипотеза о том, что и многомерное распределение будет подчинено этому закону. Для каждого месяца принимается одно и то же соотношение CJCV = 2, что не подтверждается анализом данных наблюдений. Метод пока не обобщен на случай группового моделирования взаимокоррелированных гидрографов в нескольких створах. Надо полагать, что дальнейшее усовершенствование метода позволит обойти если не все, то хотя бы некоторые из указанных ограничений.
4.2. Метод фрагментов
Одним из композиционных методов моделирования гидрологических рядов с учетом внутригодового распределения стока является метод фрагментов, предложенный автором в 1961 г. [291, 294]. Подробное описание метода дано в указанных публикациях, а также в работах ряда других специалистов как у нас [5, 72, 91, 157, 159 и др. ], так и за рубежом [416, 441, 488, 495 и др. ], поэтому здесь не будем говорить о нем в деталях. Отметим лишь те результаты, которые были получены по этому методу. Метод получил широкое распространение и, по-видимому, остается пока наиболее рациональным из существующих методов моделирования.
Попытаемся дать некоторое теоретическое обоснование метода и привести новые примеры расчета.
Суть метода заключается в проведении двойной выборки: среднегодового расхода воды Qz (первая выборка) и фрагмента qt (/) (вторая выборка), т. е. модели или формы наблюденного в прошлом внутригодового распределения стока. Путем умножения среднегодового расхода воды Qz на месячные (декадные и т. д.) ординаты фрагмента получаем новый гидрограф с месячными интервалами осреднения. Последовательность таких годовых гидрографов, связанных между собой, с заданными стохастическими связями дает длинный (п = 1000, 10 000, ...) искусственный гидрологический ряд или в случае необходимости ансамбль коротких рядов для некоторого расчетного периода (5—50 лет).
На рис. 4.2 дается последовательность (схема) моделирования гидрологического ряда методом фрагментов. Метод обеспечивает получение большого разнообразия гидрографов, несмотря на то,
166
Глава 4
что при моделировании мы не выходим за пределы наблюдавшихся в прошлом закономерностей. Хотя способом перемешивания гидрографов при их числе т мы строили ряды длиной п, но все же эти
Рис. 4.2. Схема последовательности моделирования гидрологического ряда методом фрагментов (р. Дунай — г. Хофкирхен).
а — первая выборка (среднегодовые расходы воды), б — вторая выборка (фрагменты наблюденных гидрографов), в — смоделированный гидрологический ряд.
длинные ряды содержали в среднем — одинаковых гидрографов. В случае применения метода фрагментов мы получаем п различных гидрографов и вероятность повторения одинаковых гидрографов чрезвычайно мала и составляет ——. Например, в 1000-летнем ряду при наличии 50 фрагментов вероятность повторения оди-
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
167
, 1
наковых гидрографов равна	а в способе перемешивания
гидрографов она составляет всего .
Стационарную последовательность среднегодовых расходов воды Qj, Q2, ..., Qn можно получить любым из методов моделирования, подробно изложенных в главе 3, — по схеме простой или сложной цепи Маркова, индивидуальным или групповым методом моделирования.
Несколько подробнее надо рассмотреть вопросы, связанные с фрагментами, которые представляют собой модели наблюденных (натурных) гидрографов. Они получаются путем деления всех ординат гидрографа на соответствующий данному году среднегодовой расход воды. На рис. 4.3 представлены фрагменты с непрерывным и дискретным временем. В последнем случае за шаг дискретности взяты декада и месяц. Деление на постоянную величину не нарушает форму гидрографа и сохраняет все внутригодовые стохастические связи между расходами воды за различные интервалы осреднения в том виде, в каком они имеются в наблюденных рядах. Эти связи весьма сложны, и пока их характер не удалось вскрыть, поэтому с известной долей условности их обычно принимают линейными. В методе фрагментов нет надобности вводить какие-либо гипотезы по этому вопросу, а также относительно одномерных или многомерных функций распределения вероятностей в пределах года, что, безусловно, является положительной чертой метода. Последнее обстоятельство надо признать тем более существенным, что для получения хотя бы приблизительной оценки многомерного распределения потребовалась бы информация, которая по объему во много раз превысила бы имеющиеся в нашем распоряжении данные по любой, даже наиболее изученной реке мира.
Метод фрагментов позволяет сравнительно легко учитывать также возможную связь между водностью года и формой гидрографа, т. е. характерной особенностью внутригодового распределения стока. Водность года обычно оценивается ее вероятностью превышения (обеспеченностью) р (Q). Что же касается формы гидрографа, то здесь с самого начала было рекомендовано [291, 294] в качестве ее параметра пользоваться коэффициентом естественной зарегулированности стока ср, предложенным Д. Л. Соколовским [323], или коэффициентом1 внутригодовой неравномерности d, предложенным В. Г. Андреяновым [16]. Как известно, эти параметры функционально связаны зависимостью ср + d = 1. Интересно отметить, что эта сумма как раз является площадью фрагмента.
1 Аналогичными параметрами для различных целей пользовался С. И. Рыбкин [283].
Глава 4
a, a' — мгновенные расходы воды, б, б' — среднедекадные расходы, в, в' — среднемесячные расходы воды; вверху — р. Терек — с. Казбеги, внизу — р. Кура — г. Тбилиси.
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
169
Действительно,
1	^макс
Ф = f Р (q) dq- d = J р (q) dq;	(4.2)
О	1
^макс
J p(q)dq=\.
0
(4-3)
Как следует из анализа графика (рис. 4.4), q = -£- является Q
модульным коэффициентом со средним <7 = 1,0; ср — базисная часть фрагмента (до q = 1,0); d — дефицит до среднего расхода
Рис. 4.4. График для анализа различных элементов фрагмента.
<р — коэффициент естественной зарегулированности; d — коэффициент внутригодовой неравномерности (дефицит до среднегодового расхода воды); w (q) — интегральная кривая площади фрагмента.
q = 1 или, что то же самое, паводочная часть фрагмента. Площадь фрагмента является единичной и равной для любых фрагментов каждой реки. Численно она равна числу секунд в году (31,54-106). Фрагменты различаются конфигурацией, т. е. значением ср (или d). Очевидно, что значения ф меняются из года в год и в качестве параметра, характеризующего внутригодовую неравномерность распределения стока, обычно применяются в ос-редненном за период наблюдений виде.
В табл. 4.1 даются значения коэффициента ф для реки с разными типами режима питания [323 ]. Как следует из данных таб
170
Глава 4
лицы, этот коэффициент в зависимости от физико-географических и других природных условий меняется в широких пределах: от 0,1 (реки полупустыни) до 0,85 (реки с высокой степенью озер-
Таблица 4.1 Значения коэффициента естественной зарегулированности стока рек ф
Тип кривой продолжительности	Зона или район	Ф
I—II	Лесная, озерность 10—20%	0,82—0,85
III—IV	Лесная, озерность 3—10%	0,60—0,70
V—VI	Лесная, озерность до 3%	0,40—0,60
VII	Лесостепная	0,4—0,5
VIII	Степная	0,3—0,4
IX	Полупустыни	0,1—0,2
X	Горные реки Алтая и Восточной Си-	0,50—0,60
	бири	
XI	Горные реки Кавказа и Средней Азии	0,60—0,70
XII	Дальний Восток	0,60—0,70
XIII	Черноморское побережье Кавказа	0,70
ности). Более подробные данные о коэффициенте естественной зарегулированности стока здесь не приводим, так как они имеются во многих исследованиях по отдельным районам Советского Союза [16, 51, 141, 294, 313, 337, 396 и др.].
Принимая коэффициент (р (или d) в качестве параметра формы, можно для данной реки определить его численные значения для отдельных лет и построить зависимость между ними и водностью р (Q) года. Характер этой стохастической зависимости бывает различным. Для ряда рек эта зависимость прямая, иногда обратная, а в ряде случаев вообще отсутствует. Графики по некоторым рекам приведены в работе [294 ]. Обширные данные по этому вопросу имеются в монографии [16 ]. Были попытки также определить соответствующие коэффициенты корреляции между ср и р (Q). Например, для рек Средней Азии он равен 0,33—0,57 (по данным Л. Д. Лаврентьевой).
На протяжении последних лет наиболее тщательное исследование коэффициента ср проведено В. И. Бабкиным [25]. Путем анализа данных наблюдений по 1280 пунктам Европейской территории СССР выделено 56 районов с относительно однородными условиями формирования внутригодового режима стока. С применением метода множественной корреляции изучено влияние таких факторов, как площадь водосбора, уклон реки, озерность, лесистость, заболоченность, закарстованность, распаханность и т. д. Предложена карта изолиний параметра <рприв, приведенного к единому значению площади водосбора (F = 2000 км2), с учетом средних районных значений факторов подстилающей поверхности.
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
171
Имеется ряд других предложений по параметрам, позволяющим с тем или иным приближением оценивать форму гидрографа. Например, Л. Вотруба для рек Чехословакии применяет коэффициент формы
Омаке — Омин ,	(4.4)
где Фмакс и Qmhh — соответственно максимальное и минимальное значения среднемесячного расхода воды, a Q — среднегодовой расход воды для данного года.
200 г
Рис. 4.5. Разностная интегральная кривая среднемесячных расходов воды.
3. Дик и М. Шрамм для рек ГДР предлагают пользоваться кумулятивным коэффициентом внутригодовой неравномерности [416]
где Q — среднегодовой расход воды для данного года, a Bs — величина, полученная по разностной интегральной кривой среднемесячных расходов воды (рис. 4.5). По содержанию этот коэффициент схож с коэффициентом d, но не равен ему по двум причинам: Ps определяется для дефицита между паводками, ad— ддя. дефицита данного календарного года (по обе стороны паводочной волны); кроме того, (3S определяется для среднемесячных интервалов времени, ad — для среднесуточных.
172
Глава 4
Для 17 створов бассейна р. Эльбы с периодом наблюдений от 40 до 60 лет указанные коэффициенты меняются в следующих пределах: 0,15 < (3S <0,28 при (3S = 0,23 и 0,21 < d < 0,41 при d = 0,31. Коэффициенты вариации соответственно равны СУ|3 = = 0,34 и CVd = 0,21, т. е. |3S характеризуется большей изменчивостью, чем d.
Рис. 4.6. Зависимость коэффициента ф от водности года (k = 5).
Интересно отметить, что для проверенных рек ГДР коэффициент корреляции между водностью года и (3S меняется в пределах 0,21—0,84, в среднем составляя 0,56. В результате анализа данных по 17 створам оказалось, что в 16 случаях связь является значимой, и при моделировании гидрологических рядов методом фрагментов зависимость между формой и водностью гидрографа должна соответствующим образом учитываться.
Коэффициенты, применяемые в последних двух указанных работах, по своей точности уступают коэффициенту ср (или d), однако их значительно проще определять, поэтому в случае предварительных расчетов они могут найти применение.
В работах [291,294] предлагались три различных способа учета формы гидрографа в зависимости от водности года. Из накопленного за прошедший период опыта можно рекомендовать один из
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
173
них, который заключается в следующем. Все т наблюденных лет делятся по водности на различные группы с равновероятными интервалами. Таких интервалов k может быть, скажем, от 3 до 10 в зависимости от Т. На рис. 4.6 кривая обеспеченности водности года р (Q) делится на пять интервалов, содержащих очень многоводные (р <0,2), многоводные (р = 0,24-0,4), средние по водности (/? = 0,44-0,6), маловодные (р = 0,64-0,8) и очень маловодные (р > 0,8) годы. Соответственно наблюденные гидрографы делятся на пять групп в зависимости от водности года. Заготовляются соответствующие фрагменты, номера которых помещаются в пять различных «урн». «Урну» здесь, конечно, следует понимать условно, так как обычно при выборке надо пользоваться случайными числами. При моделировании ряда годового стока одним из известных способов после первой выборки при известной водности очередного года обращаемся к урне с нужным интервалом обеспеченности. Например, если имеет обеспеченность в пределах Р (Q)	0,44-0,6, то обращаемся к третьей урне и наугад выби-
раем фрагмент по схеме с возвратом шара. Подобным путем производится выборка для всех последующих лет с индексами i (i = 1, 2, ..., n).
Поскольку предлагаемый прием учета связи формы гидрографа и водности года отличается простотой, не вызывает сколько-нибудь ощутимого осложнения алгоритм и программа для ЭВМ, то его следует вводить в стандартную программу независимо от того, по какой реке будем вести в дальнейшем расчеты и будет ли в данном случае иметь место связь водности года и формы или нет. Если такая связь имеется, то она будет учитываться, а если нет связи или она слаба, то от ее учета результаты не изменятся. При подобном подходе к решению задачи нас, по существу, не должна интересовать не только количественная оценка коэффициентов ср или d, но даже необходимость расчета по установлению связи, поскольку наша программа автоматически решает задачу без этих промежуточных этапов.
Количество групп (урн) k может быть различным, от 3 до 10, а в пределе можно даже предположить, что k = tn, т. е. каждому фрагменту как бы соответствует своя урна. Это следует понимать следующим образом: если при первой выборке выбирается некоторый Q. с обеспеченностью р (Qf), то при второй выборке берется фрагмент того наблюденного года, который по водности находился ближе всего к Q:.
Как показали результаты специальных расчетов, для практических целей вполне достаточно принимать k = 34-5; дальнейшая детализация не влечет за собой сколько-нибудь ощутимого уточнения результатов, а потому оказывается излишней.
Помимо «натурных» фрагментов, получаемых непосредственно по наблюденным в данном створе гидрографам путем простого де
174
Глава 4
ления всех ординат на величину соответствующего среднегодового расхода воды, могут быть получены также и «модельные» («искусственные») фрагменты.
Представим себе такую последовательность расчета: по схеме простой или сложной цепи Маркова описанным ниже (см. главу 5) способом моделируются искусственные годовые гидрографы, путем деления которых на собственные среднегодовые расходы воды получают любое число разнообразных искусственных фрагментов, которые далее используются по обычной схеме метода фрагментов. То же самое можно проделать несколько иным путем [72], а именно: по имеющимся гидрографам заготовляются натурные фрагменты с месячными интервалами осреднения. По полученной совокупности (ансамблю) фрагментов определяется корреляционная матрица для среднемесячных модулей стока. Далее, в зависимости от принятых двумерных (при простой цепи Маркова) или многомерных (при сложной цепи Маркова) законов распределения вероятностей моделируются искусственные фрагменты, которые затем используются по обычной схеме метода фрагментов.
Описанный прием позволяет получить большое разнообразие фрагментов, хотя особой необходимости в них нет, если число лет наблюдений т превышает 20—30. Он не обладает также каким-либо преимуществом вычислительного характера, так как в запоминающее устройство ЭВМ для получения корреляционной матрицы необходимо вводить все наблюденные фрагменты. Недостатков у этого приема много, основные из которых заключаются в следующем: необходимость принимать гипотезы о законах распределения месячных расходов воды и считать линейными еще неизвестные нам стохастические связи между месячными расходами воды; сложность расчета при переходе от месячных к более коротким интервалам осреднения (декадным, пятидневным); неприменимость приема при групповом моделировании (фрагменты не будут увязаны между собой по длине реки при каскадном расположении створов) и т. д.
Помимо того, необходимо отметить, что утрачивается основное преимущество натурных фрагментов: возможность обойтись без введения гипотез о подходящих законах распределения месячных расходов воды, сохранить в первоначальном виде весьма сложные и пока что неизвестные нам внутригодовые стохастические связи. Как указывают сами авторы [72 ], «специальные эксперименты, проведенные в Энергосетьпроекте, показали, что для месячных расходов большинства рек ни обычный лог-нормальный закон распределения вероятностей, ни гамма-распределение непригодны. Причиной этого, видимо [148], является фазовая неоднородность стока рек в различные месяцы. Несоответствие месячных расходов рассмотренных нами рек ни одному из использующихся в практических приложениях закону требует более тщательного и широ
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
1751
кого исследования этого вопроса» [72, с. 156]. Далее дается изложение предлагаемого нами метода фрагментов с указанием его достоинств, которые иллюстрируются на примерах. В частности говорится, что «не требуется введения какого-либо теоретического закона распределения вероятностей для месячных расходов рек... и что несомненным достоинством метода фрагментов является простота использования и возможность при необходимости проведения расчета по небольшим интервалам времени (пятидневки, недели, декады). С точки зрения использования ЭВМ для решения водохозяйственных задач по методу фрагментов можно отметить исключительную простоту программ» (с. 159).
В заключение отметим, что в случае отсутствия наблюденных гидрографов по данной малоизученной реке «натурные» гидрографы могут быть с соответствующей оговоркой взяты по реке-аналогу. Степень погрешности в данном случае будет всецело зависеть от степени сходства (или расхождения) природных условий, оказывающих влияние на характер внутригодовой неравномерности распределения стока.
Некоторые другие приемы построения фрагментов приводятся ниже, в разделе, касающемся паводочного стока, поскольку они более применимы именно для соответствующих расчетов.
4.3.	К обоснованию метода фрагментов
В работах [291, 294] была предпринята попытка дать теоретическое обоснование метода путем проведения аналогии между ним и некоторыми аспектами метода канонических разложений случайных процессов. В последнем методе, разработанном В. С. Пугачевым [255], заложена идея, согласно которой любая случайная функция, стационарная и нестационарная, может быть представлена как линейная комбинация элементарных случайных функций, под которыми подразумевается функция вида
х (0 = 0/(0,	(4.5)
где 0 — обычная случайная величина, a f (/) — обычная (неслучайная) функция.
Из всех известных случайных функций или процессов функция (4.5) является наиболее простым типом, поскольку лишь множитель 0 является случайным, а сама функция f (t) — детерминистическая функция. Любое количество реализаций случайной функции X (/) может быть получено путем простого изменения масштаба графика х = f (/) по оси ординат. Здесь важно подчеркнуть то обстоятельство, что в функции (4.5) вся случайность сосредоточена в коэффициенте 0, а зависимость от времени — в функ
176
Глава 4
ции х = f (/). Такой подход позволяет при решении сложных практических задач случайные функции представлять в виде линейной комбинации случайных величин, что и послужило основой широкого применения метода канонических разложений на практике. Например, частным случаем интегрального канонического разложения можно рассматривать известный метод спектрального разложения стационарной случайной функции, однако с более важными приложениями метода встречаемся в случае рассмотрения нестационарных случайных функций [341 ].
Из сказанного очевидны те преимущества, которые достигаются при использовании аппарата элементарных случайных функций. Метод фрагментов также основан на применении элементарных функций
Qz (0 =	(О,	(4.6)
где случайность сосредоточена в среднеинтервальном (среднегодовом) расходе воды Qz, а неслучайная функция qt (/) является фрагментом наблюденной реализации стока.
Если воспользоваться терминологией теории канонических разложений случайных функций, то фрагменты q± (/), q2 (/), ... ..., Qm (0 являются координатными функциями, a Qi, Q2, ..., Qm— случайными коэффициентами разложения.
Элементарная случайная функция, помимо отмеченного, обладает рядом других положительных свойств. Например, если функция подлежит трансформации с помощью линейного оператора, то не зависящий от времени случайный множитель выходит за знак оператора, а неслучайная функция преобразуется тем же оператором. Скажем, необходимо определить значение стока в интервале от начала года (t = 0) до некоторого момента времени /. Тогда
t	t
W) = f Q (т) dr = Q j 4 (T)'dr =	(4.7)
0	0
где
t = \q (t) di 0
является площадью фрагмента в пределах интервала (0, /). Если интервал равен одному году, то, как уже отмечалось, единичная площадь фрагмента численно равна числу секунд в году и для получения годового стока при некотором опыте i необходимо просто определить Qz. Этот простейший пример приводим лишь как иллюстрацию более сложных преобразований в динамических линейных системах, когда коэффициенты разложения также остаются
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
177
неизменными, а трансформируются только элементарные функции на основе свойства суперпозиции [293].
При подробном анализе можно, конечно, найти ряд различий между методом фрагментов и методом канонических разложений случайных функций, однако следует признать идентичность принципа использования элементарных случайных функций, являющихся отправными в обоих методах.
Действительно, строго говоря, qt (/) не является единственной детерминированной функцией, на которую падает выбор, так как при ином опыте из урны можно извлечь другой фрагмент, поскольку число урн ограничено (1, 3, 5) и в каждой из них имеется определенный набор фрагментов. Исходя из этого, нужно полагать, что метод фрагментов дает возможность генерировать более разнообразный набор гидрографов. Лишь в предельном случае, когда число урн будет равно числу гидрографов т и каждому значению Qz в узком интервале вероятности будет соответствовать единственный фрагмент, будем иметь граничный случай, адекватный методу канонических разложений.
В последние годы вновь предпринимаются попытки использовать метод канонических разложений для моделирования гидрографов [53 ], о чем подробнее будет сказано в следующей главе.
При использовании метода фрагментов необходимо учитывать следующее весьма важное обстоятельство, связанное с выбором даты начала года. Как было показано в главе 2, в зависимости от выбора даты начала года, или, что то же самое, от выбора границ при разрезке многолетнего гидрографа на годовые гидрографы, меняются статистические параметры стока, а иногда даже закон распределения значений годового стока. Естественно, что и фрагменты должны соответствовать этому интервалу осреднения. Нельзя допустить, чтобы, например, при определении среднегодовых расходов воды за начало года было принято 1 марта, а фрагменты заготовлялись для календарных лет с началом 1 января. Согласованность во времени при выборе границ года и фрагмента является одним из основных принципов, на которых основывается метод фрагментов.
Некоторые оппоненты метода фрагментов усматривают наличие в нем элемента субъективности в части выбора начала года. Однако здесь никакой субъективности нет, поскольку обязательным требованием является соблюдение указанного принципа согласованности во времени.
В качестве примера рассмотрим случай такой согласованности при месячном интервале осреднения. На рис. 4.7 представлена схема расположения границ годовых интервалов hi и ft* на небольшом участке исходного ряда.
178
Глава 4
При среднегодовых расходах воды Qz за начало года принято, скажем, 1 января, а при расходах Q* — 1 апреля (т. е. 6 = 3 месяца). Соответствующие функции распределения
р (Q < и) = F (и) и Р (Q* < v) = F* (у)
в общем случае будут различаться, т. е.
Р (и) р* (у).
Рис. 4.7. Схема расположения границ годовых интервалов Ziz и h* со сдвигом на величину д.
При заготовлении фрагментов их границы должны, в силу принципа согласованности во времени, соответствовать принятой в каждом отдельном случае дате начала года (например, 1 января или 1 апреля и т. д.). Заметим при этом, что независимо от даты начала года функции распределения среднемесячных расходов воды исходного ряда остаются без изменения, поскольку соответствующие границы осреднения (начало и конец месяца) не меняются и, следовательно, имеет место условие
Р (Qu < w4) = (Wj) = const (/ = 1,2...............12).	(4.8)
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
179
При заготовлении фрагментов в первом случае среднемесячные расходы некоторого /-того месяца (рис. 4.7) делятся на Qz, а во втором случае — на Q*, т. е. фрагменты вообще будут различаться, поскольку Qi 4= Q*. Например, для /-того месяца получим отношения
Qz/ z * Qi/ q4 = 'О? Яч = ’of
(4-9)
Приступим к моделированию. В первом случае для моделирования среднегодовых расходов воды воспользуемся функцией F (и) (первая выборка) и фрагменты также будем выбирать из соответствующей первой группы (gz/). Для простоты будем считать, что связь между водностью года и внутригодовым распределением стока отсутствует, т. е. Qz/ не зависит от Qi или Q*, и значит справедливо условие (4.8) для любого месяца в первом и втором случаях.
Тогда функция распределения среднемесячного расхода воды в /-том месяце при первой разрезке будет иметь вид

(4.Ю)
а при второй разрезке
(4.И)
глО ~*0
где Qi и Qi — соответственно смоделированные значения среднегодовых расходов воды с функциями распределения F (и) и Л* (у).
Однако поскольку при достаточной длине (п > 1000-Н0 000) смоделированного ряда функция ее распределения сходится по вероятности к функции распределения исходного ряда, то справедливы выражения:
8? = 1;
/г->оо
8} = 1,
/2-» со
и, следовательно,
4>/ (х,) = 1])’°	= 4>;. (да7) для каждого /.
(4-12)
180
Глава 4
Таким образом, функция распределения среднемесячных расходов воды смоделированного ряда не зависит от даты разрезки гидрографа (т. е. от величины б), что и требовалось доказать.
Рис. 4.8. Изменение статистических характеристик годового стока при различной разрезке гидрографа на годовые интервалы осреднения (р. Дунай — г. Оршова, 1879—1968 гг.).
Справедливость отмеченного положения об объективности метода фрагментов независимо от выбранной даты начала года при обязательном соблюдении принципа согласованности во времени подтверждается экспериментальными расчетами.
В качестве одного из примеров рассмотрим результаты моделирования гидрологических рядов методом фрагментов для р. Дуная (г. Оршова). Общее число лет наблюдений п = 90 (1879—
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
181
1968 гг.). Как следует из графика изменений статистических характеристик годового стока при различной разрезке гидрографа (рис. 4.8), статистические характеристики максимально различаются при разрезке гидрографа 1 мая и 1 сентября.
Для этих сечений (6=4 месяца) методом фрагментов были смоделированы два искусственных гидрологических ряда по 1000 членов в каждом ряду и с месячными интервалами осреднения. На рис. 4.9 приведены статистические кривые обеспеченности среднемесячных расходов воды при указанных двух разрезках и там же точками нанесены наблюденные значения расходов воды. Совпадение кривых как между собой, так и с наблюденными данными следует признать вполне удовлетворительным. Степень совпадения еще больше увеличивается при длине ряда п > 1000. Аналогичные результаты были получены по ряду других рек.
Таблица 4.2 Статистические характеристики рек (при различной дате начала года), для которых была определена полезная емкость водохранилища
Река — пункт	Число лет наблюдений	Дата начала года	Q m3/c	Cv	cs	ri
Северная Двина — с. Усть-Пи-	81	1/1	3399	0,20	0,31	0,35
нега		1/VI	3395	0,24	0,71	0,04
Вяйке — д. Тыл листе	41	1/П	8,7	0,29	—	0,52
		1/VII	8,7	0,34	—	0,10
Унжа — г. Макарьев	56	1/V	157	0,35	—	0,04
		1/IX	157	0,27	0,65	0,43
Белая — г. Уфа	77	1/1	757	0,29	0,58	0,43
		1/V	757	0,35	0,85	0,12
Мургаб — пгт Тахта-Базар	36	l/II	52,0	0,25	0,41	0,18
		1/VI	52,1	0,20	—	0,49
Чирчик — с. Ходжикент	62	l/II	227	0,23	0,56	0,20
		1/VII	227	0,20	—	0,43
Чу — с. Кочкора	31	1/VII	28,2	0,13	—	0,02
		1/X	28,2	0,12	0,24	0,35
Лена — с. Грузновка	41	1/VI	190	0,32	0,82	0,07
		1/IX	190	0,28	0,58	0,38
Нил — г. Асуан	91	1/VII	2869	0,19	0,28	0,20
		1/X	2865	0,16	—	0,52
Указанный критерий — степень совпадения статистических параметров или функций распределения среднемесячных расходов воды является убедительным, но все же не вполне достаточным инструментом, поскольку задача решается на уровне одномерной функции распределения. Более надежным, можно сказать уни
182
Глава 4
версальным, критерием представляется такой интегральный показатель, как потребная емкость водохранилища. А. Н. Киласо-ния [158, 159, 301 ] специально занимался этим вопросом на примере ряда рек, находящихся в различных физико-географических
Рис. 4.9. Статистические кривые обеспеченности среднемесячных расходов воды, на 1 мая (/) и 1 сентября (2)
условиях. Из 120 рассмотренных им рек были выбраны 9, для которых при различной разрезке гидрографа коэффициент корреляции между смежными значениями годового стока и коэффициент вариации Cv наиболее резко различались. Экстремальные значения этих параметров для разных рек приведены в табл. 4.2.
Для сравнения определялись многолетняя составляющая емкости водохранилища |3МН и его полная полезная емкость (30.
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
183
На рис. 4.10 в качестве примера даются такие графики для р. Лены (с. Грузновка) при различных значениях отдачи (а = 0,7; 0,8 и 0,9) и обеспеченности отдачи р (рмн) и р (р0). Как известно, при прочих равных условиях, потребная емкость водохранилища уве-
смоделированных методом фрагментов (п — 1000) при разрезке гидрографа (р. Дунай—г. Оршова, 1879—1968 гг.).
личивается с увеличением коэффициентов вариации и корреляции. Поскольку при различной дате разрезки с увеличением уменьшается Cv (см. главу 2), то имеет место некоторая взаимная компенсация. В точках пересечения кривых компенсация является полной, а в остальных случаях имеет место расхождение, которое, постепенно увеличиваясь, достигает довольно значительных размеров. Например, для р. Лены (с. Грузновка) при р = 85% и
184
Глава 4
а = 0,8 (рис. 4.10я) многолетняя емкость меняется от 0,08 до 0,16, т. е. в два раза, при р = 75% и а = 0,9 потребная емкость возрастает от 0,13 до 0,22, т. е. порядка 70% и т. д. В то же время если посмотреть на правый график (рис. 4.106), разница между полезными объемами стока сравнительно мала, от 0 до 10%.
Аналогичные графики для р. Белой (г. Уфа), приведенные в работе [301 ], свидетельствуют о том же. Например, для р = 90%
Рис. 4.10. Кривые обеспеченности многолетней составляющей емкости водохранилища Рмн (а) и его полной полезной емкости |30 (б) при различной разрезке гидрографа (р. Лена — с. Грузновка).
и а = 0,9 многолетняя составляющая емкости водохранилища при двух различных разрезках соответственно равна 0,7 и 1,0, т. е. во втором случае больше на 43%. В то же время наибольшая разница в полном объеме нигде не превышает 10%. Графики для р. Унжи (г. Макарьев), приведенные в работе [2951, подтверждают эти выводы. Очевидно, что приведенные случаи являются наихудшими как для рассмотренных рек (при иных сечений гидрографа разница уменьшается), так и для других рек, когда перепад в значениях параметров менее существен.
На рис. 4.11 дается график Р (а, [3, р ) = 0 для р. Арагви (с. Жлнвали), где кривые для определения полной полезной емкости водохранилища при разрезке гидрографа на 1 апреля и 1 июля почти совпадают между собой. Небольшое расхождение в полученных данных можно объяснить, например, недостаточной длиной смоделированных рядов (п = 1000).
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
185
Из сказанного явствует, что при использовании метода фрагментов и соблюдении принципа согласованности во времени результаты моделирования гидрологических рядов получаются вполне стабильными и лишены отпечатков субъективности.
В заключение представляется целесообразным указать на следующее важное обстоятельство, вытекающее из приведенных выше
Рис. 4.11. Кривые обеспеченности полной полезной емкости водохранилища при разрезке гидрографа на 1 апреля (7) и 1 июля (2) (р. Арагви — с. Жинвали).
соображений и результатов работ [159, 301 ]. При использовании других композиционных методов (С. Н. Крицкого и М. Ф. Мен-келя и др.), когда сезонная (рс) и многолетняя (рмн) составляющие полезной емкости водохранилища определяются раздельно, необходимо также соблюдать принцип согласованности во времени, чтобы не допустить серьезной ошибки в расчетах. Значения рс и рмн должны быть определены при одной и той же дате разрезки. На это обстоятельство до последнего времени не обращалось внимания. В частности, при использовании номограмм Р (а, рм, Cv, Cs, rlf р) = 0 [72, 95, 245, 294 и др.] следует иметь в виду, что рс необходимо определять при той же дате начала года, применительно к которой были определены статистические параметры
186
Глава 4
многолетних колебаний стока и, следовательно, была установлена многолетняя составляющая емкости водохранилища.
Рассмотрим кратко вопрос стыковки годовых гидрографов, смоделированных методом фрагментов. Он возникает в связи с тем,
Рис. 4.12. Статистические кривые обеспеченности величины скачка AQ на стыке гидрографов, смоделированных методом фрагментов (/), и наблюденных рядов (2) при разрезке гидрографа на 1 января и 1 мая (р. Бия — г. Бийск).
что скачок между среднегодовыми расходами воды, получившийся при первой выборке, иногда еще больше увеличивается при умножении на фрагмент при второй выборке. Не отразится ли это на результатах расчета регулирования? Вопрос стал предметом специального исследования, соответствующие данные приведены в работах [158, 159]. Способ анализа заключался в сравнении эмпири
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
187
ческих функций распределения случайной величины AQZ = Q,;- — — Qz+i, /-11, где Qij — средний расход воды в /-том месяце г-того года, a Qf+i,/_ц — средний расход воды в (/ — 11)-том месяце (I + 1)-го года. Вопрос не поддается теоретическому анализу и решается экспериментальным путем при массовых расчетах с помощью ЭВМ.
Разрезка гидрографа проводилась на 1 января и другую дату в пределах года, где корреляционная связь между смежными членами ряда была наиболее слабой = min). Для р. Бии (г. Бийск) при разрезках на 1 января и 1 мая (рис. 4.12) в относительных величинах в первом случае расхождение больше, чем во втором, хотя по абсолютным значениям имеет место обратная картина.
Аналогичные расчеты были выполнены для 25 рек Советского Союза, находящихся в различных физико-географических условиях (табл. 4.3). Эксперименты привели к выводу, что лучшая сты-
Таблица 4.3 Сопоставление суммы квадратов отклонения разности расходов воды на стыках гидрографов (AQ) для двух разрезок
Река — пункт	Значения 2 (т— пр)2 при дате разрезки		Река — пункт	Значения 2 (т — пр)2 при дате разрезки	
	на I/I	там, где rl min		на 1/1	там, г«е rl min
Северная Двина —	662	114	Обь г. Новоси-	919	71
с. Усть-Пинега			бирск		
Нева — д. Ново-	808	341	Иртыш — г. То-	145	58
саратовка			больск		
Тихвинка — с. Го-	84	60	Тура — г. Тю-	369	125
релуха			мень		
Вента — г. Кул-	48	65	Енисей — г. Ба-	196	18
дига			заиха		
Десна — г. Чер-	104	24	Енисей — г. Ени-	110	41
нигов			сейск		
Сож — г. Славго-	28	39	Томь — г. Ново-	367	89
род			кузнецк		
Днепр — г. Киев	287	71	Арагви — с. Жин-	580	50
Волга — г. Яро-	236	48	вали		
славль			Риони — с. Сако-	38	36
Волга — г. Горь-	213	59	чакидзе		
кий			Кодор и — с. Ла-	57	37
Волга — г. Куй-	294	131	та		
бышев			Ингури — Ингу-	86	34
Унжа — г. Макарь-	124	56	риГЭС		
ев			Чирчик — с. Ход-	87	51
Бия — г. Бийск	182	22	жикент		
Чусовая — с. Чу-	358	72	Белая — г. Уфа	714	31
совские Городки					
188
Глава 4
ковка гидрографов получается в тех сечениях, где стохастические связи между значениями годового стока наиболее слабые. Лишь в 3 случаях из 25 (реки Вента, Сож и Риони) имеет место отклонение от этого правила.
При переходе от непрерывных гидрографов к дискретным на стыках смежных периодов осреднения (месяц, декада) также образуются разрывы (скачки), однако они не отражаются на результатах расчета при достаточном числе таких интервалов. Разрывы на стыках между смежными годами по величине, как правило, меньше таковых при переходе от межени к половодью и обратно, от половодья к межени. Из всего сказанного следует, что вопрос стыковки, конечно, не является чем-нибудь определяющим. Значительно более важным показателем, как было показано выше, является потребная емкость водохранилища, позволяющая делать свободный выбор относительно даты начала годового гидрографа. Решение по этому поводу должно быть принято с учетом особенностей внутригодового распределения стока и главное в зависимости от характера самой задачи.
Если, например, решается задача расчета регулирования половодий, разрезку следует производить в период межени; для задачи длительного (многолетнего) прогноза разрезку лучше делать там, где коэффициент корреляции является наибольшим; при сезонном или многолетнем регулировании предпочтение должно быть отдано разрезке в предпаводочный период и т. д. Вместе с тем для получения наиболее полной информации разрезку гидрографа и выполнение расчета регулирования целесообразно проводить в нескольких вариантах (6—12), что при наличии ЭВМ и стандартной программы не представляет какой-либо трудности [301 ]. Полученное поле решений, естественно, позволит сделать более обоснованные выводы.
4.4.	Анализ степени совпадения исходных и смоделированных гидрологических рядов
Метод фрагментов в процессе своего становления и практического применения проверялся многочисленными экспериментальными расчетами на ЭВМ, которые с достаточной надежностью подтвердили правомерность расчетной схемы и принципов, положенных в основу метода. В настоящее время можно подытожить полученные результаты для оценки достоинств и недостатков метода в целом и для выдачи рекомендации на предмет его более ши-рого внедрения в проектную практику.
Смоделированный гидрологический ряд является схематическим, приближенным воспроизведением наблюденного ряда, а не его точной копией, поэтому не следует искать полного сходства между ними. Важно, однако, чтобы модель отражала основные,
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
189
наиболее важные черты оригинала с точки зрения решаемой практической задачи. Если, к примеру, определяется емкость водохранилища длительного (многолетнего) регулирования, то нет надобности иметь модельные ряды мгновенных или среднесуточных расходов воды, поскольку при переходе от месячных или декадных интервалов осреднения к более коротким интервалам (недельные, суточные и т. д.) сколько-либо ощутимого уточнения результатов не достигается. Естественно, что в данном случае модель гидрографа со среднемесячными (среднедекадными) расходами воды должна вполне нас удовлетворять. Таким образом, ставится задача о степени совпадения исходного и смоделированного рядов при месячном (декадном) интервале осреднения.
Какие критерии сравнения были бы в данном случае достаточно убедительными?
Очевидно, что наиболее надежным критерием могли бы служить размеры потребного объема водохранилища при различной отдаче и степени обеспеченности. Такая возможность отпадает по той простой причине, что исходные ряды слишком коротки для этого, иначе не возникала бы необходимость моделирования длинных искусственных рядов, поскольку задача могла быть полностью решена путем непосредственного использования наблюденных гидрографов, как, например, это можно сделать при сезонном регулировании. Таким образом, приходится искать другие возможные пути сравнения.
Начнем с простейшего из них.
Сравним статистические параметры исходного и смоделированного рядов. Недостаточность длины наблюденного ряда и здесь ставит свои пределы, поэтому приходится ограничиваться сравнением средних расходов воды и коэффициентов вариации, так как моменты более высокого порядка не поддаются определению. В табл. 4.4 дается пример для р. Арагви [157]. Совпадение полученных данных по расходам воды можно считать хорошим, а по коэффициентам вариации — удовлетворительным, если учитывать, что длина наблюденного ряда 42 года.
Следующим, более высоким уровнем сравнения является сопоставление функций распределения среднемесячных расходов воды с применением какого-либо критерия согласия. На рис. 4.13 приведены статистические кривые обеспеченности среднемесячных расходов воды смоделированного 1000-летнего ряда, там же нанесены данные гидрометрических наблюдений. Справедливость гипотезы о подчинении обеих выборок одному и тому же закону распределения проверяется с помощью критерия %2. Мерой расхождения является величина
k
н Zj npi „•_______1
190
Глава 4
где k — число разрядов, т — число значений наблюденных расходов воды в f-том разряде, п — общее число наблюденных значений, pi — относительное число попадания смоделированных величин в f-тый разряд.
Таблица 4.4 Среднемесячные расходы воды Q и коэффициенты вариации Cv для р. Арагви (с. Жинвали)
Месяц	Q м3/с		cv	
	наблюденный ряд	смоделированный ряд	наблюденный ряд	смоделированный ряд
Январь	16,9	16,9	0,37	0,38
Февраль	17,6	17,5	0,36	0,37
Март	26,7	26,8	0,38	0,42
Апрель	63,3	63,8	0,32	0,30
Май	96,5	97,5	0,23	0,28
Июнь	87,7	87,1	0,29	0,29
Июль	60,3	60,3	0,30	0,29
Август	39,2	38,5	0,38	0,32
Сентябрь	32,2	32,1	0,27	0,34
Октябрь	31,1	30,7	0,46	0,39
Ноябрь	25,4	25,5	0,46	0,39
Декабрь	19,6	19,6	0,44	0,39
Результаты расчета по р. Арагви, а также по р. Куре сведены в табл. 4.5. Данные таблицы свидетельствуют о том, что в обоих случаях принятая гипотеза не опровергается. Аналогичные ре-
Таблица 4.5 Данные для проверки гипотезы о значимости наблюденных и смоделированных методом фрагментов среднемесячных расходов воды
Месяц	Вероятность / 2 . 2\		Месяц	Вероятность	
				р (х2	<Хн)
	Р ^Х	^н/			
	р. Кура — г. Тбилиси	р. Арагви — с. Жинвали		р. Кура — г. Тбилиси	р. Арагви — с. Жинвали
Январь	0,90	0,90	Июль	0,99	0,95
Февраль	0,80	0,95	Август	0,95	0,80
Март	0,99	0,90	Сентябрь	0,98	0,90
Апрель	0,90	0,95	Октябрь	0,80	0,90
Май	0,80	0,80	Ноябрь	0,90	0,98
Июнь	0,99	0,80	Декабрь	0,99	0,90
зультаты получены по многим другим рекам. В частности, по р. Дунаю (рис. 4.14) имеем более высокую степень совпадения вследствие того, что исходный и смоделированный ряды имеют большую протяженность (соответственно 90 и 2000 лет).
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
191
Недостаток изложенных способов проверки соответствия натурных и смоделированных рядов заключается главным образом в их ограничении в рамках одномерного закона распределения вероятностей. Кроме того, критерием эд2 пользовались не совсем строго, так как среднемесячные расходы воды за разные годы не являются независимыми и следовало бы их ортонормализовать.
Рис. 4.13. Статистические кривые обеспеченности среднемесячных расходов воды гидрологического ряда, смоделированного методом фрагментов (п = 1000) (/), и наблюденного ряда (2) (р. Арагви — с. Жинвали).
Следующий шаг вперед можно сделать путем учета корреляционных связей между расходами воды за различные месяцы. Для этого следует сравнивать корреляционные матрицы rz/ исходного и смоделированного рядов. В табл. 4.6 приведены соответствуйте данные по р. Северной Двине (с. Усть-Пинега) при учете формы гидрографа в зависимости от водности года путем распределения гидрографов на пять групп: I — очень многоводные (р (Q) < 0,2), II — многоводные (р (Q) = 0,2 ч-0,4), ]Ш — средние (р (Q) = = 0,4 4-0,6), IV — маловодные (р (Q) = 0,6ч-0,8) и очень мало-
Рис. 4.14. Статистические кривые обеспеченности среднемесячных расходов воды гидрологического ряда, смоделированного методом фрагментов (п =
= 2000) (/), и наблюденного ряда (2) (р. Дунай — г. Оршова, 1879—1968 гг.).
0
20
40
80 РХ
Глава 4
Таблица 4.6 Статистические параметры и корреляционная матрица среднемесячных расходов воды
для наблюденных (1-я строка) и смоделированных методом фрагментов (2-я строка) гидрологических рядов для р. Северней Двины (с. Усть-Пинега)
Месяц	Параметры			Корреляционная матрица											
	Q м3/с	Cv	ri	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
Январь	1 042	0,36	0,09	1,00	0,90	0,88	0,10	0,35	—0,10	0,01	0,07	—0,02	0,06	0,06	0,03
	1 036	0,35	0,06	1,00	0,90	0,87	0,14	0,40	—0,16	0,00	0,03	0,00	0,07	0,06	0,03
Февраль	838	0,36	0,22		1,00	0,82	0,07	0,32	—0,14	—0,02	0,08	—0,01	0,11	0,12	0,10
	830	0,36	0,04		1,00	0,83	0,11	0,38	—0,17	0,01	0,05	0,02	0,13	0,13	0,11
Март	737	0,29	0,16			1,00	0,11	0,38	—0,12	0,08	0,18	0,12	0,09	0,11	0,07
	728	0,29	0,07			1,00	0,15	0,41	—0,14	0,11	0,17	0,17	0,13	0,14	0,08
Апрель	2 264	0,88	0,12				1,00	—0,09	—0,49	—0,29	—0,08	—0,13	—0,12	—0,23	—0,14
	2 310	0,89	0,01				1,00	—0,09	—0,47	—0,29	—0,09	—0,12	—0,14	—0,26	—0,16
Май	13 767	0,23	0,10					1,00	0,01	0,20	0,27	0,16	0,25	0,19	0,31
	13 713	0,24	0,13					1,00	0,05	0,25	0,25	0,16	0,24	0,19	0,30
Июнь	7 372	0,42	0,10						1,00	0,43	0,35	0,37	0,18	0,28	0,34
	7 428	0,44	0,12						1,00	0,55	0,37	0,44	0,21	0,23	0,31
Июль	3 098	0,36	0,08							1,00	0,60	0,31	0,14	0,34	0,40
	3 096	0,37	0,16							1,00	0,58	0,35	0,24	0,36	0,42
Август	2 363	0,52	0,22								1,00	0,59	0,43	0,60	0,70
	2 305	0,60	0,23								1,00	0,60	0,46	0,60	0,70
Сентябрь	2 558	0,52	0,23									1,00	0,69	0,45	0,45
	2 490	0,51	0,18									1,00	0,68	0,49	0,47
Октябрь	3 058	0,51	0,25										1,00	0,70	0,52
	3 049	0,50	0,20										1,00	0,75	0,55
Ноябрь	2 508	0,66	0,12											1,00	0,84
	2 567	0,66	0,17											1,00	0,82
Декабрь	1 443	0,47	0,13												1,00
	1 457	0,44	0,20												1 ОО
Год	3 421	0,21	0,40												1 )VV
	3 434	0,22	0,41												
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
194
Глава 4
водные (р (Q) > 0,8). Данные таблицы свидетельствуют об удовлетворительном совпадении как основных параметров исходного и смоделированного рядов среднемесячных расходов воды (Q, CVi гД так и элементов корреляционной матрицы, т. е. коэффициентов корреляции между среднемесячными расходами воды.
Для некоторых рек были проанализированы корреляционные матрицы при различном числе интервалов (1, 3 и 5). Результаты этих расчетов сведены в табл. 4.7. Из общего числа коэффициен-
Таблица 4.7 Результаты сравнения корреляционных матриц наблюденных и смоделированных методом фрагментов рядов среднемесячных расходов воды при различном числе интервалов
Река — створ	Число лет в ряду	Общее число коэффициентов	Число интервалов		
			I	3	5
Унжа — г. Макарьев	57	66	15	20	31
	1000	(100%)	(23%)	(30%)	(47%)
Северная Двина — с. Усть-Пинега	60	66	2	12	52
	1000	(100%)	(3%)	(18%)	(79%)
Волга — г. Ярославль	60	66	12	25	29
	100	(100%)	(18%)	(38%)	(44%)
Примечание. В числителе — число случаев наибольшего коэффициентов корреляции, в знаменателе — то же в процентах.
приближения
тов корреляции в матрице (66) наибольшее приближение к исходным значениям этих коэффициентов достигалось при пяти интервалах (от 44 до 79% случаев), хотя для р. Волги (г. Ярославль), по-видимому, можно было бы ограничиться тремя интервалами (р (Q) < 0,33; р (Q) = 0,34-0,66 и р (Q) > 0,67). Нужно полагать, что в большинстве случаев оптимальное число интервалов находится в пределах трех-пяти и нет надобности в их увеличении сверх этого.
Наконец, для количественного сравнения рядов можно применять линейную множественную корреляцию R. Здесь, однако, следует отметить, что объем вычислительной работы будет очень большим (как известно, он растет приблизительно пропорционально квадрату числа предикторов); кроме того, при большом числе переменных (в нашем случае 12 месяцев, или 36 декад) коэффициент множественной корреляции обладает малой устойчивостью. Таким образом, целесообразность применения последнего критерия должна быть обоснована специальными экспериментальными расчетами.
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
195
Резюмируя сказанное, можно видеть, что перечисленные способы оценки степени соответствия наблюденных и смоделированных гидрологических рядов находятся в рамках корреляционной теории. На этом уровне метод фрагментов вполне удовлетворительно отвечает запросам теории регулирования речного стока. На большее рассчитывать не приходится из-за недостаточности исходных статистических материалов.
4.5.	Метод фрагментов при учете динамики системы и при групповом моделировании
Как об этом говорилось выше, в подавляющем большинстве случаев мы имеем дело с развивающейся водохозяйственной системой, когда в перспективе намечаются постепенные или резкие изменения условий ее работы в результате роста водопотребления, переброски стока из одного бассейна в другой, сооружения новых ступеней каскада с регулирующими водохранилищами и т. д. Водохозяйственные расчеты такой динамической системы должны основываться на использовании ансамбля условных коротких (3, 5, 10, 20, 50-летних), а недлинных (1000—10 000-летних) реализаций стока [295, 306]. Условия применения метода фрагментов в данном случае выглядят так. Унифицированным методом (см. главу 3) с применением сложной цепи Маркова моделируются условные реализации годового стока (первая выборка). Внутригодовое распределение стока выполняется методом фрагментов (вторая выборка). Далее расчет регулирования ведется по календарной последовательности с учетом динамики водохозяйственной системы. Полученные данные по ансамблю реализаций обрабатываются методами математической статистики применительно к определенным отрезкам (декада, месяц, год) перспективного периода.
Остановимся на групповом моделировании. Существующие композиционные методы расчета позволяют с той или иной достоверностью производить расчеты только изолированно работающих водохранилищ, что является их весьма важным недостатком. Уже в настоящее время достаточно редко встречаются подобные ограниченные условия расчета. Что же касается будущего, то такие случаи станут редким исключением, и по требованию практики необходимо заниматься системами (каскадами) гидроузлов. Подобные сложные задачи пока что в большинстве случаев решаются калейдарным методом расчета, поскольку к ним еще не применимы существующие обобщенные композиционные методы расчета. Единственным вероятностным методом, который уже находит применение в проектной практике и имеет большие перспективы повсеместного применения, является метод Монте-Карло с моделированием внутригодового распределения стока методом фрагментов.
196
Глава 4
Последовательность расчета здесь такова. Изложенным в главе 3 путем, например унифицированным методом моделирования системы взаимозависимых гидрологических рядов, строятся ряды годового стока с учетом как взаимной корреляции (между рядами), так и автокорреляции (между членами одного и того же ряда). Внутригодовое распределение стока производится по второй выборке методом фрагментов с учетом следующей особенности. При каскадной схеме использования годовые гидрографы по длине реки должны быть в главных чертах взаимно увязаны, например в отношении сроков начала и конца паводочной волны, наличия вторых пиков паводка и т. д. В естественных условиях такая календарная согласованность осуществляется автоматически и гидрографы одних и тех же лет по всем створам увязаны между собой. При групповом моделировании искусственных гидрологических рядов такую увязку можно достигнуть путем применения комплектов фрагментов [309]. Для этой цели заготовляются фрагменты по всем створам в виде комплектов за отдельные годы, например, комплект 1940, 1941 гг. и т. д. Далее обычным путем выбираются фрагменты по одному, наиболее важному (базовому) створу, а по остальным створам берутся фрагменты из комплекта того же года. Подобный прием обеспечивает взаимную согласованность смоделированных гидрографов; кроме того, в скрытом виде учитывается и время добегания воды, растекание волны паводка и т. д.
Внедрение метода фрагментов в практику Энергосетьпроекта (Москва) позволило выполнить расчеты по весьма сложному Ангаро-Енисейскому каскаду гидроэлектростанций [72, 294, 309], составить планы эксплуатации Братской гидроэлектростанции, Мингечаурского и Бухтарминского каскадов гидроузлов [72] и др. В ГрузНИИ Энергетики были выполнены расчеты по Ингур-скому каскаду гидроэлектростанций, Жинвальскому гидроузлу [91 ], системе 10 водохранилищ в бассейне р. Куры, 6 водохранилищам Европейской территории СССР [296], Асуанскому комплексному гидроузлу [88 ] и ряду других. Метод фрагментов находит применение и за рубежом, в частности в Чехословакии [441, 495], Германской Демократической Республике [416], Болгарии [228].
Применение метода Монте-Карло и, в частности, метода фрагментов в проектной практике дает существенный экономический эффект, заключающийся в усовершенствовании и машинизации водноэнергетических (водохозяйственных) расчетов, в углублении проектных проработок, недоступном при других методах расчета. Например, энергетический эффект совместной работы гидроэлектростанций в компенсированном режиме позволяет в ряде энергосистем Советского Союза снизить общие капиталовложения. По данным Энергосетьпроекта [72], суммарная гарантированная
КОМПОЗИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
197
мощность гидроэлектростанций Кавказа при их работе в единой системе повышается с 1,39 до 1,73 млн. кВт, т. е. на 25%. В случае Ангаро-Енисейского каскада гидроэлектростанций этот эффект составляет 625 тыс. кВт (14%) для среднесуточной гарантированной мощности (при трех гидроэлектростанциях) и 1,56 млн. кВт (12% при восьми гидроэлектростанциях). Надежное обоснование этого положения для системы с водохранилищами многолетнего регулирования стока может быть выполнено только с искусственным гидрологическим рядом, смоделированным методом Монте-Карло. Другие методы (например, календарный) могут дать лишь случайный ответ, касающийся только периода прошлых наблюдений. Они не позволят построить функции распределения искомых величин (суммарной гарантированной мощности и отдачи, продолжительности и глубины перебоев, дефицитов отдачи за пределами гарантии и т. д.).
Можно привести еще такой пример. Расчет методом фрагментов водохранилища Асуанского гидроузла показывает, что водохранилище до нормальной подпорной отметки будет наполняться очень редко (вероятность наполнения 1 %, т. е. один раз в 100 лет). Если бы была построена плотина высотой не 111 м, а на 12 м ниже, то капиталовложения могли бы быть уменьшены примерно на 15—20%; при этом полезная отдача на орошение и выработка энергии гидроэлектростанцией остались бы почти на том же уровне.
Интересно отметить, что, несмотря на довольно большую амплитуду колебания параметров годового стока при различной разрезке гидрографа (гх = 0,08 4-0,38, Cv = 0,16 4-0,13), средняя выработка электроэнергии Асуанской ГЭС отстается почти постоянной с наибольшими отклонениями от среднего всего на ±0,6%, в то время как многолетняя составляющая полезной емкости водохранилища будет меняться примерно на 25—30% (при Р = 97%).
Заключение
Метод фрагментов позволяет моделировать гидрологические ряды любой длины с учетом внутригодового распределенуя стока и стохастических связей как между значениями стока различных лет по простой или сложной цепи Маркова, так и между значениями стока за отдельные интервалы осреднения (месячные, декадные, пятидневные, суточные). От уменьшения интервала способ моделирования не меняется, а требуется лишь больше места в запоминающем устройстве ЭВМ.
Преимущество применения фрагментов заключается в том, что, являясь моделями наблюденных в естественных условиях гидрографов, они автоматически учитывают имеющиеся внутри
198
Глава 4
годовые стохастические связи. Хотя характер этих связей еще не раскрыт, тем не менее нет надобности принимать их линейными, как это имеет место при других методах моделирования. Фрагменты лишены тех субъективных вольностей, которые обычно вводятся при конструировании гидрографов по так называемым структурным элементам.
Ввиду простоты и объективности метод фрагментов позволяет при одинаковых исходных данных получать одинаковые и стабильные результаты независимо от наклонностей расчетчика.
Существенным преимуществом метода является возможность совместного проведения расчета многолетнего и сезонного регулирования стока без условного деления единого процесса регулирования на составные части, как это имеет место, например, в случае применения обобщенных методов расчета. Важно также отметить, что балансовый расчет регулирования ведется по предельно ясной «календарной» последовательности (ход процесса наполнения и опорожнения водохранилища, изменение разности уровней верхнего и нижнего бьефов гидроэлектростанции, изменение располагаемой мощности, управление по диспетчерским правилам регулирования, появление холостых сбросов и т. д.). Попутно дифференцированно учитываются потери стока на испарение и фильтрацию, потери напора в водопроводящих сооружениях, внутригодовые колебания полезной отдачи.
До минимума сокращаются потери информации, неминуемо связанные с переходом от наблюденных к обобщенным показателям и вообще возникающие при переходе от естественных процессов к их моделям. В частности, нет надобности во введении гипотез об одномерных и многомерных функциях распределения вероятностей среднемесячных (среднедекадных и т. д.) расходов воды, не требуется определения глубины связности в цепи Маркова для внутригодового распределения стока, без труда учитывается связь между водностью года и конфигурацией гидрографа. Кроме того, можно учитывать также наличие цикличности в процессе колебания годовых объемов стока. При прочих равных условиях меньше объем вычислительной работы в сравнении с другими методами моделирования.
Метод позволяет путем композиции отдельных компонентов, раздельно наблюдавшихся в прошлом (водность года и очертания гидрографа), получить любое количество их новых сочетаний, несравненно более богатых по разнообразию, хотя и полностью находящихся в пределах имеющихся закономерностей. При длине смоделированного ряда, равной п, и числе наблюденных лет (следовательно, фрагментов), равном т, вероятность повторения оди-наковых гидрографов весьма мала и составляет -----.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ ЦЕПИ МАРКОВА
199
При групповом моделировании гидрологических рядов для расчета системы (каскада) водохранилищ метод фрагментов пока что является единственным методом, позволяющим учитывать внутригодовое распределение стока. Взаимная согласованность характерных особенностей гидрографов во времени и в различных створах обеспечивается путем проведения выборки «комплектов» фрагментов по базовому (главному) створу.
Метод может применяться при установлении необходимой противопаводочной емкости водохранилища или решать ту же задачу не отдельно, а совместно, с учетом интересов других компонентов водохозяйственного комплекса при многоплановом регулировании стока (см. главу 7).
Наконец, следует отметить то важное обстоятельство, что метод фрагментов уже нашел применение в научных исследованиях и внедрен в проектную практику как в Советском Союзе, так и за рубежом.
Глава 5
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ РЯДОВ С УЧЕТОМ ВНУТРИГОДОВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТОКА ПО СХЕМЕ ЦЕПИ МАРКОВА
5.1. Общая часть
В отличие от композиционных методов моделирования гидрологических рядов с учетом внутригодового распределения стока, так называемые прямые методы моделирования позволяют непосредственно генерировать среднеинтервальные (сезонные, месячные, декадные) расходы воды по схеме простой или сложной цепи Маркова в зависимости от их состояния в предшествующие интервалы времени. Первой работой этого направления, по всей вероятности, явилась статья автора [289]. В ней, в частности, говорится, что «учет корреляционных связей между величинами стока смежных фаз можно осуществить на основе рассмотрения стока как процесса Маркова с дискретным временем. В качестве первого приближения целесообразно ограничиться стохастической связью между водностью смежных лет, т. е. колебания стока рассматривать как простую цепь Маркова». Далее, при описании одного из способов моделирования годовых величин стока отмечается, что «изложенный метод моделирования расчетных гидрологических рядов можно использовать также и в случае разделения года на отдельные фазы. На рис. 5.1 * приведен
* Номер рисунка дан по настоящей работе.
200
Глава 5
пример, когда год делится на период половодья и межени... Поскольку переходная функция F (QM/Qn) отличается от переходной функции Ф (Qn/QM), то при учете корреляционных связей между величинами стока смежных фаз (простая цепь Маркова) необходимо раздельно построить семейство кривых для перехода от половодья к межени и семейство кривых для перехода от межени к половодью. В остальном метод расчета остается неизменным для любого интервала времени (год, половодье—межень, сезоны
1 — без учета корреляции, 2 — с учетом корреляции по схеме простой цепи Маркова.
года, месяц). Не следует, однако, забывать, что переход от года к более коротким интервалам времени сопровождается увеличением погрешности из-за неучета корреляции между величинами стока несмежных фаз».
В другой работе автора того же периода [288 ] отмечается, что «предлагаемая методика определения многолетней составляющей емкости регулирующего водохранилища может быть применена также и для одновременного определения как многолетней, так и сезонной составляющих емкости водохранилища. В последнем случае год делится на периоды половодья и межени и моделируется соответствующий теоретический гидрологический ряд». Там же предлагаются пять различных методов моделирования гидрологических рядов и среди них так называемый метод Б, основанный на применении уравнения регрессии. Приведенные зависимости в конечном счете сводятся к рекуррентной формуле
ki+i = 1 + Г (ki — 1) + Ф/+1ср ]/1 — г2
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ ЦЕПИ МАРКОВА
201
для модульных коэффициентов стока
или к рекуррентной формуле
Qi+1 = Q + r (Q(-+i - Q) + Ф1+1<> V
для абсолютных значений среднеинтервальных расходов воды.
После указанных работ были опубликованы различные вариации метода, основанные на применении аппарата простой или •сложной цепи Маркова [5, 124, 252 и др. ]. Различие между ними заключается в том, что в них учитываются различные глубины связности цепи Маркова и применяются различные типы функций распределения вероятностей (нормальный, лог-нормальный, Пирсона III типа, трехпараметрическое гамма-распределение и др.).
В особую подгруппу прямых методов следует выделить методы, которые предусматривают проведение нормальной трансформации среднеинтервальных расходов воды, затем моделирование трансформированных величин и последующее возвращение к среднеинтервальным расходам воды [204, 292, 331,363 и др. ]. Из-за применения промежуточного приема нормализации эти методы могут называться прямыми лишь условно. Один из методов этой подгруппы излагается ниже (пп. 5.2, 5.3) по работе [300 ].
5.2. Метод последовательного определения линейной авторегрессии (метод ПОЛАР) [300]
В работах [300, 331 ] показано, что метод моделирования среднемесячных (среднедекадных) расходов воды по схеме периодической нормальной сложной цепи Маркова при подборе подходящей гипотезы позволяет строить соответствующую многомерную функцию распределения. В качестве нормализующей принимается М-гипотеза [149 ], суть которой, как отмечалось выше (см. главу 3), заключается в том, что для всякого процесса у (/) со строго монотонной функцией распределения F (у, i) преобразованный процесс
Х(0 =O-i(F(r/(0, /))
обладает нормальным одномерным распределением. Отсюда, вообще говоря, не следует, что совокупность X (/) будет образовывать гауссовский процесс, т. е. что и многомерные распределения будут нормальными. М-гипотеза состоит именно в таком допущении. Так как случайный процесс полностью определен заданием конечномерных распределений, а конечномерные рас
202
Глава 5
пределения гауссовского процесса определяются ковариационной матрицей соответствующих случайных величин, то принятие N-гипотезы приводит к рассмотрению моделей, выражаемых в терминах одномерного распределения и ковариации.
Если считать, что M-гипотеза верна и среднегодовые и среднемесячные значения расходов приведены к нормальному виду (о подборе одномерного распределения и проверке справедливости ТУ-гипотезы будет сказано ниже), то марковскую модель стока можно представить в следующем виде:
ХПт ~ т—1 4~ Хп> т—2 4~ ’ " * 4~
4“	m—k “h СтО*Хп 4“ crnl ^Xn^l 4~ • • • 4~
4- Cml ^Xn—l + \nni, (5. 1)
Xn = di ^Xn—1 4~ ^2	4_ ' ’  T Xn—x 4-
где Xn, Xnm — преобразованные значения среднегодового расхода в n-ном году и среднемесячного расхода в m-ном месяце n-ного года, т. е. ((/г— 1) Т 4~ т)-ного месяца при естественной их нумерации. Подразумевается, что если т — i <0, то Хп> m-i будет представлять собой значение процесса в (Т + т — z)“T0M месяце (п— 1)-го года (7 = 12). Величины	предпола-
гаются независимыми и нормальными с параметрами (0; 1). Величины (1 < i < k), СтР (0 < i < /) и (1 < i < т) представляют собой коэффициенты регрессии. При этом значения dzT) выражают связи Хп с предыдущими значениями Xn_z. Значения атР оценивают связь Хпт со значениями Хп, т_,, а СтР — связь месячных расходов Хпт с годовыми расходами текущего года и предыдущих лет; (о^Z))2 и (о(т))2 — условные дисперсии Хпт и Хп при заданных предыдущих значениях Хл, w_z, и Xn_z или средние квадратические ошибки прогнозов Хпт и Хп:
k	lx
S О-тРХп,	ст^ХП— i И	d^Xn— i-
i=l	i=Q	1=1
Индексы k, l, т при коэффициента	d™ указывают
на выбранные глубины связностей в цепи Маркова. Отметим, что изменение k, I и т меняет все оценки a{mi\ СтР, dzT) и значения OmZ), п(т). То обстоятельство, что коэффициенты регрессии не зависят от п, говорит о том, что Хп считается стационарным процессом, а Хпт — периодическим и стационарно связанным с Хп.
В модели (5.1) не обязательно и (а следовательно, и Х^, ХПт) считать нормально распределенными. Все приводимые
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ ЦЕПИ МАРКОВА
203
ниже алгоритмы оценок параметров справедливы и в общем случае. Более того, иногда модели типа (5.1) предлагаются непосредственно для исходного процесса стока. В таком случае приходится, помимо подбора распределений и проверять правомерность ограничения только линейными связями и, кроме того, оценки коэффициентов по методу наименьших квадратов перестают быть оптимальными.
Обозначим через Rmi (здесь i = 0, . . k) ковариацию между ^пт И Хп, m-i-
N
Rmi ~	, ХпгпХп> т_[.
п—1
Например, для месячных значений стока R32 означает ковариацию между средними расходами марта и января (т. е. на два шага назад) одного и того же года, а /?35 — ковариацию между средними расходами марта и октября (т. е. на пять шагов назад) предыдущего года. Введем также обозначения: Vmi (i = 0, . . . . . ., Z) — ковариация между Хпт, Xn_i\
N
Vmi = jyLTf
Ui (4 = 0, . . ., t) — ковариация между Xn и Хп_с.
“ 7^7 S n=i+l
Система линейных уравнений для оценок параметров а{тР (i = 1, . . ., k), СтР (Z = 0, . . ., Z) и dP} (Z = 1, . . ., т) ^получается из условия минимизации сумм квадратов отклонений Хпт и Хп от своих прогнозов:
Nik	I	\2
( Хпт — а^РХп, m—t — Xn—i ) = ПИЩ
п=1 \	Z=1	i—0	/
N /'	т	\ 2
У (Хп — 2 df'Xn-i I = min.
и=т-{-1 \	i—1	/
Это приводит к следующей системе уравнении для нахожде-(ki) (ki)
ния a{mi И
Rml = О-тРКт-* 1, 0 “h Я-тР Rm--lf 1 -j- • • • ~F
+PmkRm- 1, k—1 “h	0 4~
Vm—1, j -j- • • •
204
Глава 5
Rm2 ~ ^ml ^Rm—1, 1 4“ am2^Rm— 2, 0 4“ ’ * * 4“
+ a\nk Rm—k, k—2 4” CmO ^Уm—2, 0 4~
+ cml}Vm—2, I + • • • + стРУт-2, Г,
Rmk —	^Rm—1, k—I 4~ ^m2^Rm—2, k—2 -]-••• 4“
+ OmikRm—k, 0 4“Cm^Vin^k, 0 4"
+ Cml ^Ут-k, 14“ * * * 4" cmll*Vm—k, l\
УmO — &т1Уm—1, 0 4~ am2 ^Уm—2, 0 4~ ’ * * 4~ ат^Уm— k, 0 4“
4" cmi^Q 4~ CmPUi 4- ... 4- CmPUf,
У ml — ^ml ^Vm—l, I 4“ &т2 ^У m—2, I 4“ * * ’ 4"
4“ O^nl ^Уm—k, I 4- CmQ*U I 4“ cml l—l 4~ * ’ ’ 4“ cmZ^O« (5-2)
Система уравнений для нахождения имеет вид:
t/i — di^Uo 4- d^U\ 4- ... 4- d!^Ux—i\
U2 —	4- d^U^ 4- ... 4“ d^Ux—2,
Ux = d^U^ 4- 4x)^t-2 4-------b d{xX)UQ.	(5.3)
Итак, для оценки коэффициентов и требуется решить (k 4- I 4~ 1)-мерную систему уравнений (5.2) при т = 1, 2, . . . . .	12. Однако учитывая, что глубины связностей k и / также
являются неизвестными и подлежат определению, необходимо решить 12Х&Х (/ 4- 1) уравнений довольно большой размерности.
Предлагаемые ниже рекуррентные формулы расчета коэффициентов регрессии ^Z), Ст}\ dT} и остаточных дисперсий (dmZ))2, (сЛг))2 значительно упрощают и сокращают вычислительную работу. Эти формулы являются обобщением известных рекуррентных формул Дарбина [415], полученных для стационарных про-
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ ЦЕПИ МАРКОВА
205
цессов. Применительно к оценке коэффициентов d’x) они имеют вид:
= df-" - d^d£? (i = 1, ..., т - 1);
d™ = ----tL--------- ;
u0- L MT-1)
i=l
(а(х))2 = (о(х-1>)2(1 -m2)-	(5.4)
Эти формулы дают возможность, зная оценки коэффициентов ^т~1) (Z = 1, . . т— 1), найти сначала значение по второй формуле, а затем и все остальные значения dix) по первой формуле. Параллельно по третьей формуле находятся оценки остаточных дисперсий (сг<г>)2.
Обобщение формул (5.4) на случай периодического случайного процесса было дано в работе [331 ]. В этой работе рассматривалась модель среднемесячных расходов воды без учета стационарной составляющей среднегодовых расходов воды, т. е. для преобразованных величин
%пт =	т—1 4" апг2^п, т—2 4- • •• +
+ amkXn, т—k 4“ К>п*
Обобщение потребовало введения некоторых вспомогатель-—(ky ных параметров ami.
Соответствующие рекуррентные формулы имеют вид: оЙ^-ЖГ1’ (i = 1,	1);
(I’ = 2, . .., k).	(5.5)
^mk S ^m-i, k—iami -----------4^----------------—.
^m-k, 0	2 Rm—i, k—iami
i=l
k—\	_
Rm-A,k~ 2 ^m — l,iam—l?i
’ (5‘6)
^tn—1, 0“ 2	1,
206
Глава 5
Начальные значения коэффициентов и (при k = 0) равны нулю. Рекуррентные выражения для расчета оценок о^) имеют вид
(5.7)
Зная оценки а{тГ1} (t = 1, . . k — 1) и значения вспомогательных параметров атГ1) (i = 1, . . k — 1), сначала по формуле (5.6) рассчитывают значения ami, ami, а затем по формуле (5.5) — все остальные значения: a^i (f = 1, . . k — 1) и а{тI (i = 2, . . ., k). Параллельно по формуле (5.7) вычисляются (k) значения от .
В случае стационарного процесса не зависит от т и, как нетрудно обнаружить, a{mi и также не зависит от т. Более того, при этом	= a(mi и формулы (5.5)—(5.7) сводятся
к£формулам Дарбина (5.4).
В общем случае при учете стационарной составляющей по модели (5.1) и при постепенном увеличении глубины связи Хпт с m_i и Xn_i необходимо иметь возможность рекуррентного пересчета оценок коэффициентов регрессии по параметрам k и /, так как априори трудно предположить степень важности учета связей между отдельными среднемесячными расходами по сравнению с учетом связей между среднемесячными и среднегодовыми расходами.
Мы приведем две системы рекуррентных формул, позволяющих пересчитывать значения коэффициентов регрессии аУРР (i — 1, . . . . . ., k) и СтР (i = 0, . . ., /) при увеличении как k, так и /.
Первая система рекуррентных (по k) формул имеет вид:
а'"' = о!,*.-1’ " -"	(/ = 1. ..,1-1);
ж/’-жж'’-акт-'’ (( = о................о;
а," - Sfcfr /1. - Ж/'Ж-,1;/!.	- 2....4);
С mi — Ст—1, i ат1 ^т—1, i (/ — U, . . . , /), (До) k-1	I
р __ V n(k~l> ^Р	_ V	От/
^mk Zj umi	k—i Zd ^rni	v tn—k, i
(kl) _	i=l	i—Q
umk —	i	>
Rm-k, o- s	k-i- X	;
i=l	i=Q
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ ЦЕПИ МАРКОВА
207
^т—1, k S ат—1’	i	cm—1,’ i^tn—1, i
g; (5.9)
0~ S	i~~ 2 Cm— I,’ PVm-l, i
i=I	i=0
мг,)2 = м-,',,)г(1-о!.“’а+>.,.)-	<5.ю>
Вторая система рекуррентных (по Z) формул:
йт/1 -	- 4,%!.*; (I _ 1, .... »);
с<*.'—К	.(j-П /—IV
bmi — btni	bml hm	v — u> . . . , t ij,
(1 = 2,
г^-гп^-ячм».0 «-о...................о-, «ми
n(kl)  	i== 1	i=0
cml —	-	—-	- ,
[/л-У a(^W)V . У c(*>	•
u0 Zd amt v m—t, I Zj C mi	u l—i
i=l	i=0
i+i-% ^‘-’74,-1. <- Ё	<
-----------g--------------------------------; (5.12)
Rm-l, О - X	i~ S cm-l; i
1=1	i=o
(„•‘У _ (»!7 (i - rf.J/7!#,1:Г1’).	(5.13
Таким образом, создается возможность увеличить на каждом шаге либо значение k, либо значение /. При этом в первом случае надо пользоваться системой формул (5.8)—(5.10), а во втором случае — системой формул (5.11)—(5.13). Заметим также, что при пользовании этими формулами сначала вычисляются параметры a^k и по выражениям (5.9) (аналогично параметры СтР и a{mi} по (5.12), а затем применяются формулы (5.8) (аналогично (5.11) для пересчета параметров а{тР и (атР и В обоих случаях эффект от учета дополнительной информации измеряется величиной (а^)2, для получения которой используются выражения (5.10) и (5.13).
Вывод формул (5.8)—(5.10) опирается на следующее рассуждение. Если исключить Л-тое (сверху) уравнение в системе (5.2)
208
Глава 5
и перенести в левую часть системы слагаемые, содержащие amk > то оставшаяся правая часть системы формально совпадает с правой частью системы (5.2) при k — 1. Левая часть при этом будет представлять собой разности (/?mi — amkRm-i, k-i, . . Rm, k-i—
( / ) т-j	Ф T r	(kl) т г	T T	(kl) r r	\
(lmk i\m—fc-f-l,	V mS) ttrnk V m—k, 0, • • •, V ml Clmk Vm—k, l) •
Из условия, что решение системы линейных уравнений, у которых левая часть представлена суммой двух векторов, есть сумма решений, соответствующих этим векторам, следуют первые два выражения (5.8). В этих выражениях а(тР и представляют собой решение системы уравнений, у которых в отличие от (5.2) в левой части вместо вектора (Rml, . . ., Rmk\ Vm0, . . ., Vmi) стоит вектор (Rm-i,k, • • •> Rm-k,i,	Vw^_llZ).
Аналогичное рассуждение (с исключением первого уравнения) для последней системы уравнений приводит ко вторым двум выражениям из (5.8). Формулы (5.9) следуют из исключенных уравнений с учетом формул (5.8). Формула (5.10) получается, если в выражении для k	i
= Rm0 - 2 Rmla%? - S Vmi<№ i=l	i=0
использовать (5.8) и (5.9).
Формулы (5.11)—(5.13) выводятся аналогично. Критерием выбора глубины связностей k и I можно считать минимум дисперсии прогноза (<JmZ))2 и ограничиться теми значениями k и /, при которых последовательные отношения (cr^Z)Z))2 или (a^Z)/crm’ z~1))2 близки к единице. Этот прием основан на том, что отношение	Z))2(	j ) имеет распределе-
ние Фишера с (N — k — I + 1) и (N— k — I) степенями свободы, если верна гипотеза, что истинными глубинами связности являются k — 1 и /.
Отметим, что даже в сравнительно простом случае стационарного процесса Хп применение формулы (5.4) значительно эффективнее непосредственного расчета коэффициентов dzT) по формуле
ШД) _ Uk, k-i
1 “ Ukk ’
где Uij — алгебраическое дополнение элемента Uij = U\ i_j । ковариационной матрицы Uij = U\i_j\. В случае периодического процесса (5.1)' использование формул (5.5), (5.6) заменяет обращение 12 разных матриц. В общем случае (5.1) эти формулы дают еще больший эффект.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ ЦЕПИ МАРКОВА
209
Приведенные формулы пригодны для любых значений периода Т периодического процесса Хпт.
Остановимся подробнее на частном случае периодической марковской модели среднемесячных расходов воды (5.1)' без учета среднегодовой стационарной составляющей Хп. Соответ-1	j j	(k)
ствующие формулы расчета оценок коэффициентов регрессии ami и дисперсии прогнозов определяются, как было сказано выше, выражениями (5.5)—(5.7). Формулы (5.5) и (5.6) представляют собой в этом случае рекуррентные соотношения (по k) для решений систем уравнений относительно a{ml (Z = I, . . ., k): k
Rmi = S	(i = I, . . k', Ш = I, . . 12). (5.14)
/=1
Таким образом, для оценки всех ami (i — 1, . . ., k\ tn = = 1, . . ., 12) достаточно использовать одну матрицу Rmi (i = = 1, . . ., k\ tn — 1, . . ., 12). Заметим, что матрица Rmi несимметрична и для нахождения оценок ami (i = 1, . . ., k) при каждом ш — 1, 2, . . ., 12 из матрицы Rmi необходимо образовать симметричную матрицу, стоящую в правой части уравнения (5.14) при данном т, т. е. матрицу вида
. .	Rm-1, k-1
. . ., Rm-2, k-2
Rm-min(i, /), |i—/| —
Rm-1, О»
Rm-1, 1,
Rm-1, 1,
Rm-2, 0»
(5.15)
m-1, k-V> ^m-2, k-2> • • •>	^m-k, 0
Иными словами, оценка коэффициентов ami (i — 1, . . ., k) опирается на ковариации расходов m-ного месяца с расходами месяцев, отстоящих от m-ного месяца не более чем на k шагов назад [левая часть уравнений (5.14)], и на ковариации между расходами этой группы месяцев [матрица в правой части уравнения (5.14)].
В работах [5, 204 ] при вычислении оценок коэффициентов обращением матриц использовались уравнения
12
Rmi ~ amjRijt i=l j^m
где Rq — ковариация расходов Z-того месяца с расходами /-того месяца одного и того же года х. Ясно, что такой метод не даст верных оценок коэффициентов, поскольку, например, ковариа
1 В указанных работах используются коэффициенты корреляции, однако суть вопроса от этого не меняется.
210
Глава 5
ции между расходами воды за январь и декабрь данного года не равняются ковариации между расходами за январь данного года и расходами за декабрь предыдущего года.
На самом деле такие оценки представляют собой коэффициенты регрессии между месяцами данного года и их использование при моделировании Хпт (по 5.1)' может привести к ошибочным ре-
Рис. 5.2. Корреляционная связь среднемесячных расходов воды р. Нарын.
а — расходов за январь с расходами за декабрь предшествующего года; б — расходов за декабрь с расходами за январь того же года.
На рис. 5.2 представлены связи расходов воды р. Нарын за январь и декабрь в двух вариантах: а) между расходами воды за январь с расходами воды за декабрь предыдущего года (т. е. связь через k = 1 шаг) и б) между расходами за эти месяцы в один и тот же год (т. е. связь через k = 11 шагов). Эти графики наглядно показывают, что в первом случае связь тесная (гь-хп = 0,8), а во втором — слабая (rxii-i =0,29). Приведенные выше рассуждения показывают, что корреляционная (или ковариационная) матрица расходов воды несимметрична. Использование при моделировании симметричной матрицы приведет к искажению конечных результатов, о чем более подробно будет сказано ниже.
Как уже было отмечено, при моделировании месячного стока по схеме (5.1)' критерием для выбора глубины связности k можно считать минимум дисперсии прогноза и ограничиться тем значением &, при котором последовательные отношения /о^-1> станут близки к единице.
Таким образом, для каждого месяца могут быть установлены значения учитываемых звеньев, однако надо полагать, что в по
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ ЦЕПИ МАРКОВА
211
давляющем большинстве случаев глубина связности должна соответствовать количеству месяцев в году. Увеличение количества учитываемых предшествующих состояний процесса, если корреляционные связи существенны, должно улучшить результаты моделирования или же не должно повлиять на них, если связи слабы или вообще отсутствуют.
р. Нарын за январь с расходами за предшествующие месяцы.
1 — наблюденный ряд; 2 — 5 — смоделированные ряды при различной длине связности (k = 1, 3, 8, и 11 соответственно).
Для иллюстрации сказанного на рис. 5.3 представлена корреляционная функция наблюденного ряда расходов воды р. Нарын за январь при k = 11 и корреляционные функции смоделированных рядов (того же месяца) при глубине связности k = 1, 3, 8 и 11. Как видно из графика, по мере увеличения длины учитываемой связности совпадение корреляционной функции моделируемой величины с наблюденной увеличивается и при k = 11 соответствие становится вполне удовлетворительным.
Аналогичные результаты получены и по другим рекам. Поэтому с достаточной для практических целей точностью в большинстве случаев можно рекомендовать для всех месяцев года учитывать связи с 11 предыдущими месяцами. Такая рекомендация освобождает от необходимости для каждой реки и каждого месяца устанавливать значения k и без уменьшения точности
212
Глава 5
получаемых результатов позволяет упростить соответствующую вычислительную работу. В особых случаях для определения значения k можно воспользоваться указанным выше способом.
Одним из основных вопросов для принятой схемы моделирования является выбор подходящего закона распределения вероятностей колебаний месячного стока. Использование для всех месяцев одного и того же простого закона распределения вероятностей (например, лог-нормального или гамма-распределения) сталкивается с рядом трудностей. Так, для любой реки соотношение коэффициентов асимметрии и вариации CJCV месячных величин стока меняется в широких пределах. Например, для р. Нарын (см. далее) для февраля CJCV = —0,25, а для августа Cs/Cy = 7,0. Такой широкий диапазон наблюденных соотношений CJCVi надо полагать, затруднит применение в качестве единого закона указанных распределений, в которых эти коэффициенты связаны жесткими соотношениями. Более гибким в этом отношении, как известно, является трехпараметрическое гамма-распределение С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля [179].
В некоторых работах месячные значения стока принимаются распределенными нормально. Существенным недостатком таких методов моделирования является возможность появления в искусственном ряду отрицательных значений стока, что противоречит сути рассматриваемого физического процесса. В работе [252 ] получаемые отрицательные значения расходов заменяются нулевыми. В работе [5], кроме, того, асимметричность остатков учитывается введением специальной поправки к случайным числам.
Для описания колебаний процесса месячного стока по предложенной схеме моделирования нами используется ограниченное с двух сторон распределение SB Джонсона. Это распределение применительно к колебаниям годовых расходов рек было предложено в работе [300].
Специальное исследование, проведенное по рядам месячных расходов воды 40 рек с различным характером питания, свыше чем в 90% случаях подтвердило возможность применения распределения SB Джонсона [362 ] к месячным величинам стока (рис. 5.4). Это позволяет принять его в качестве единого закона распределения вероятностей расходов для всех месяцев и использовать при моделировании гидрологических рядов по схеме сложной цепи Маркова [367 ].
Плотность распределения SB Джонсона имеет следующий вид [300]:
г/ \	1	Ь — а	( 1 Ti ( х— а \	/г-
’w (* -»)<>-W “Р ЙI V’ ( * где а и b — нижняя и верхняя границы распределений; \mz и о2 — соответственно математическое ожидание и среднее квад
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ ЦЕПИ МАРКОВА
213
ратическое отклонение нормально распределенной непрерывной величины Zm. Преимущество распределения SB заключается в том, что оно может принимать более разнообразные формы,
Области: А — критическая, Б — распределения Джонсона, Г — распределения Sy Джонсона; В — линия распределения Джонсона.
чем другие распределения. Взаимосвязь его с нормальным распределением выражается простым соотношением. Установлено, что изменение пределов распределения в основном влияет на асимметричность процесса, которая пропорциональна величине варьируемых пределов [89]. В зависимости от нижнего и верхнего пределов распределения можно получить любые значения соотношения CJCV.
214
Глава 5
Нижние (ат) и верхние (Ьт) пределы распределения SB выбираются с помощью критерия %2 или каким-нибудь другим способом (см. главу 2). Для предварительной ориентировочной оценки экстремальных значений модульных коэффициентов
г/МИн = -^- и г/макс =	т=1, 2, ..12
Чт	Чт
автором предлагаются следующие простые эмпирические формулы:
фициента среднемесячных расходов воды //мин и коэффициента вариации Cv.
для минимального месячного стока
//мин = е-4’5^;	(5.17)
для максимального месячного стока
1/макс= 1+7С0.	(5.18)
Как следует из приведенных графиков (рис. 5.5 и 5.6), эти формулы вообще хорошо согласуются с данными по 30 большим рекам СССР.
Вероятности превышения экстремальных значений по формулам (5.17) и (5.18) примерно такие: ру *=& 99,9% и ру ^0,1%.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ ЦЕПИ МАРКОВА
215
Моделирование месячного стока производится в следующей последовательности. По среднемесячным расходам воды опреде-ляются_модульные коэффициенты отдельных месяцев Упт = = QnrrJQ.m- Производится трансформация полученной последо-
Рис. 5.6. Связь наибольшего наблюденного модульного коэффициента среднемесячных расходов воды г/макС и коэффициента вариации Cv.
вательности в нормальную последовательность
7	— In ( Y^ — a.m \
Lnm 111 \ А V /
\ ° т 1 пт /
с параметрами Zm и о'т. Далее ряд Znm центрируется
Хат ~ пт
в результате чего получается нормальный ряд с параметрами (О, Gm). По формуле (5.2) определяются ковариации Rmt между величинами Хпгп и Хп, т-t- Вычисляются параметры ami, (£1, dm! и ami (формулы (5.5), (5.6), и (5.8)) для принятой глубины связности k.
216
Глава 5
Моделируется независимая нормальная последовательность tnm с параметрами (0, 1) и с помощью рекуррентного соотношения (5.1)' определяются значения Хпт. Для получения моделируемых значений первого года в формулу (5.1)' подставляются наблюденные значения т_х, Хп, т_2, . . Хп, m_k. В дальнейшем в качестве предыстории используются уже смоделированные значения.
Получение искомых модульных коэффициентов среднемесячных расходов осуществляется по формуле
лл   Ьте	т ~Н ат
х I ~7	}
где j = 1, 2, . . п — длина смоделированного ряда. Переход от модульных коэффициентов к значениям среднемесячных расходов воды производится с помощью формулы Qnm = YnmQm.
Предлагаемый метод может быть применен для построения условных гидрологических рядов и в том числе для прогноза среднеинтервальных (месячных, декадных) расходов воды. Это можно сделать путем подстановки в предыдущие k — 1 месяцы наблюденных Q^_x, Q^_2, • • Qi значений расходов воды для определения Q^-того расхода. Аналогичным путем можно шаг за шагом делать точечные прогнозы на последующие месяцы.
При прогнозировании формула (5.1)' позволяет учитывать также и другие стокообразующие факторы (осадки, температуру, атмосферную циркуляцию и т. п.).
5.3. Анализ степени совпадения исходных и смоделированных гидрологических рядов [300]
Для решения вопроса о пригодности предлагаемого метода моделирования для практических расчетов, как и всякого иного метода моделирования, необходимо проверить степень соответствия параметров смоделированных и исходных гидрологических рядов: а) по рядам среднемесячных расходов воды; б) по рядам среднегодовых расходов воды; в) по корреляционным матрицам месячных расходов воды; г) по корреляционной связи месячных и годовых расходов воды.
Кроме того, важным показателем моделирования является соответствие одномерных законов распределения вероятностей искусственных и наблюденных рядов.
Степень выполнения перечисленных условий проверки качества смоделированного ряда даст возможность судить о пригодности метода моделирования в целом.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ ЦЕПИ МАРКОВА
217
Предложенным методом были смоделированы гидрологические ряды нескольких рек, в том числе Невы, Ангары, Унжи, Амура, Бзыби, Нарына и др. В качестве примера рассмотрим (табл. 5.1 — 5.4) результаты моделирования для р. Нарын (с. Уч-Курган, п = 40 лёт), так как для этой реки имеются данные, полученные другими методами [5, 204], что позволяет провести сравнения.
Основные статистические параметры р. Нарын даются в табл. 5.1, 5.4—5.6. По данным табл. 5.1 видно, что корреляционная матрица месячных расходов воды несимметрична. В нижней части этой таблицы (влево от диагонали) даются корреляционные зависимости месячных расходов воды данного года от месячных расходов воды предыдущего года, а в верхней части (вправо от диагонали) — корреляционные зависимости месячных расходов воды одного и того же года. Заметим, что при моделировании месячного стока обычно принимается неверное допущение, что корреляционная матрица месячных расходов симметрична.
Рассмотрим этот вопрос подробнее. Как уже отмечалось, при моделировании расхода m-ного месяца в выражении (5.1)' корреляционная связь с предшествующими месяцами учитывается коэффициентами регрессии Следовательно, при моделировании расхода воды за декабрь учитывается его связь с расходами воды за ноябрь, октябрь и т. д. до января (при k = 11) одного и того же года. Соответствующая корреляционная функция дается на рис. 5.7 а (кривая XII). Она показывает, что с увеличением глубины связности k значение коэффициента корреляции уменьшается и при k = 11 гхп-i =0,27. При моделировании следующего расхода воды за январь его связь с расходом за декабрь также рассматривается как связь с предшествующим месяцем, но в данном случае — это связь расхода за январь данного года с расходом за декабрь предыдущего года (т. е. k = 1) и она довольно тесная (ri_хн=0,8) (рис. 5.7 а, кривая I), что соответствует физической сущности процесса стока. На рис. 5.7, а, б даюгся корреляционные функции также для всех остальных месяцев в зависимости от глубины связности k.
Результаты моделирования при глубине связности цепи Маркова k = 11 (вариант 1) представлены в табл. 5.1, 5.2, 5.4—5.6. Сопоставление элементов матрицы при k = 11 с исходной несимметричной матрицей (табл. 5.1) дает хорошее их соответствие. То же самое наблюдается и при сопоставлении параметров отдельных месяцев наблюденного и смоделированного рядов, представленных в табл. 5.4. Значения параметров годового стока для наблюденного и смоделированного рядов приводятся в табл. 5.5, а значения коэффициентов корреляции отдельных месячных расходов с годовым расходом — в табл. 5.6.
218
Глава 5
На клетчатке вероятностей (рис. 5.8) нанесены одномерные функции распределения (точнее, функции превышения) наблюденных и смоделированных месячных расходов воды. Достаточно хорошее совпадение указанных кривых, а также результаты рас-
Рис. 5.7. Корреляционные функции связи наблюденных среднемесячных расходов воды р. Нарын с расходами за предшествующие 11 месяцев.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ ЦЕПИ МАРКОВА
219
смотренных выше приемов проверки дают основание считать предлагаемый метод моделирования месячных величин стока вполне приемлемым для практики.
Как уже отмечалось, принятая регрессионная схема моделирования удобна для установления влияния отдельных звеньев цепи Маркова на результаты моделирования. Поэтому естественно стремление получить при меньшем количестве учета предшествующего состояния процесса приемлемые конечные результаты моделирования. По мнению авторов работ [5, 149], увеличение глубины связности сверх трех не улучшает, а даже ухудшает совпадение параметров исходного и искусственного рядов. Для проверки указанного предложения были смоделированы месячные расходы р. Нарын при разной глубине связности до k = 11. В табл. 5.2, 5.4—5.6 для сравнения приводятся результаты расчетов при k = 11 (вариант 1) и k — 3 (вариант 2). Представлены также результаты моделирования при допущении симметричности корреляционной (ковариационной) матрицы в (5.14) для k ~ 11 (вариант 3) и k ~ 3 (вариант 4). Корреляционная матрица рассматриваемого примера представлена в табл. 5.3. Значения остальных параметров сведены в табл. 5.4—5.6.
В табл. 5.2 представлена корреляционная несимметричная матрица для вариантов 1 и 2. Сравнение значений коэффициентов корреляции между собой и с наблюденными данными (табл. 5.1) указывает на их хорошее соответствие для варианта 1. При глубине связности k = 3, т. е. когда учитывается корреляционная связь только с тремя предшествующими месяцами моделируемой величины, хорошее совпадение имеет место лишь до трех шагов, а дальние связи занижены. Как показала проведенная проверка, указанное положение в значительной степени влияет на автокорреляцию месячных расходов воды (табл. 5.4) и, что особенно важно, занижает автокорреляцию ряда среднегодовых расходов воды (табл. 5.5). Уменьшение же автокорреляции среднегодовых расходов воды, как известно, приводит к занижению необходимой емкости водохранилища [72, 292].
Сравнение коэффициентов корреляции, полученных по наблюденному ряду среднемесячных расходов воды (табл. 5.1), со значениями коэффициентов корреляции смоделированного ряда при допущении симметричности корреляционной матрицы (табл. 3.3) дает хорошее соответствие верхних частей матриц при глубине учитываемой связности k = 11 для всех месяцев и при k = 3 для трех месяцев. Значительные расхождения наблюдаются в нижней части матриц, где представлены значения коэффициентов корреляции расхода месяца данного года с расходом месяца предыдущего года. Например, для наблюденного ряда П-п = 0,22, для смоделированного при k=li П—п — 0,85; fi—хп — 0,80, a ri_xn — 0,28.
220
Глава 5
Симметричность корреляционной матрицы моделируемых величин, как показала проверка соответствия параметров наблюденных и смоделированных рядов, не влияет на значения коэффициента корреляции месячных расходов воды с годовыми (см. табл. 5.6). Не влияет также на среднее значение и коэффициент вариации ряда одноименных значений месячного и годового стока.
Симметричность корреляционной матрицы, как видно из табл. 5.4 и 5.5, в значительной степени искажает значения коэффициентов асимметрии и автокорреляции.
[Рис. 5.8. Функции вероятностей превышения (обеспеченности) Точки — наблюденные ряды, сплошные
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ ЦЕПИ МАРКОВА
221
Увеличение коэффициента асимметрии влечет за собой уменьшение необходимого объема водохранилища, а увеличение автокорреляции— наоборот [72]. Следует отметить, что при моделировании месячных величин стока по схеме сложной цепи Маркова симметричность корреляционной матрицы искажает статисти-
среднемесячных расходов воды р. Нарын. линии — смоделированные ряды.
Таблица 5.1 Корреляционная матрица среднемесячных расходов воды р. Нарын
Предыдущий месяц	Последующий месяц											
	I	II	ш	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
I	1	0,84	0,68	0,27	0,14	—0,07	0,17	0,29	0,26	0,29	0,35	0,29
		0,84	0,66	0,30	0,14	—0,05	0,13	0,21	0,22	0,25	0,35	0,29
II	0,22	1	0,73	0,18	0,21	0,00	0,15	0,31	0,29	0,30	0,35	0,29
	0,25		0,75	0,22	0,20	0,04	0,14	0,24	0,27	0,27	0,33	0,28
III	0,18	0,31	1	0,27	0,30	0,10	0,20	0,38	0,32	0,31	0,26	0,24
	0,18	0,27		0,29	0,29	0,13	0,20	0,35	0,33	0,28	0,23	0,20
IV	0,45	0,52	0,46	1	0,40	0,41	0,52	0,49	0,50	0,50	0,48	0,49
	0,39	0,46	0,44		0,48	0,38	0,45	0,43	0,45	0,46	0,44	0,46
V	0,29	0,46	0,41	—0,03	1	0,40	0,23	0,20	0,28	0,32	0,34	0,38
	0,28	0,47	0,43	—0,07		0,37	0,25	0,35	0,44	0,45	0,42	0,42
VI	0,53	0,53	0,62	0,28	0,26	1	0,66	0,52	0,52	0,53	0,48	0,53
VII	0,47	0,48	0,58	0,35	0,22		0,69	0,54	0,49	0,50	0,44	0,52
	0,66	0,60	0,62	0,20	0,03	—0,01	1	0,79	0,76	0,74	0,59	0,61
VIII	0,62	0,58	0,63	0,26	0,04	—0,03		0,81	0,72	0,68	0,52	0,61
	0,53	0,61	0,66	0,12	0,22	0,11	—0,02	1	0,91	0,84	0,62	0,65
	0,49	0,61	0,65	0,20	0,20	0,06	0,02		0,88	0,79	0,54	0,66
IX	0,46	0,59	0,60	0,03	0,13	—0,03	—0,05	0,10	1	0,89	0,60	0,61
	0,36	0,57	0,57	0,03	0,09	—0,08	—0,05	0,12		0,87	0,58	0,60
X	0,62	0,72	0,74	0,20	0,26	0,04	0,06	0,24	0,26	1	0,84	0,77
	0,53	0,72	0,75	0,17	0,25	—0,01	0,01	0,20	0,29		0,84	0,77
XI	0,73	0,81	0,75	0,27	0,22	0,01	0,07	0,30	0,26	0,25	1	0,91
	0,66	0,80	0,76	0,20	0,20	—0,04	—0,04	0,16	0,23	0,20		0,87
XII	0,80	0,87	0,75	0,37	0,25	0,05	0,18	0,37	0,36	0,34	0,37	1
	0,79	0,88	0,75	0,36	0,25	0,00	0,10	0,23	0,31	0,29	0,32	
ьо
Примечание. Верхние цифры — для наблюденного ряда, нижние — для смоделированного (и = 1000 лет).
Глава 5
Таблица 5.2 Корреляционная матрица среднемесячных расходов воды смоделированного 1000-летнего ряда р. Нарын при различной глубине связности
Предыдущий месяц	Последующий месяц											
	I	п	ill	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
I	1	0,84 0,84	0,66 0,67	0,30 0,27	0,14 0,19	—0,05 0,08	0,13 0,11	0,21 0,12	0,22 0,13	0,25 0,12	0,35 0,11	0,29 0,11
II	0,25 0,04	1	0,75 0,75	0,22 0,19	0,20 0,16	0,04 0,05	0,14 0,08	0,24 0,08	0,27 0,09	0,27 0,09	0,33 0,08	0,28 0,07
III	0,18 0,07	0,27 0,07	1	0,29 0,27	0,29 0,27	0,13 0,09	0,20 0,12	0,35 0,15	0,33 0,15	0,28 0,13	0,23 0,10	0,20 0,11
IV	0,39 0,14	0,46 0,20	0,44 0,17	1	0,48 0,47	0,38 0,42	0,45 0,45	0,43 0,45	0,45 0,40	0,46 0,36	0,44 0,23	0,46 0,25
V	0,28 0,12	0,47 0,16	0,43 0,12	—0,07 —0,01	1	0,37 0,39	0,25 0,24	0,35 0,35	0,44 0,34	0,45 0,29	0,42 0,17	0,42 0,20
VI	0,47 0,21	0,48 0,26	0,58 0,23	0,35 0,03	0,22 0,02	1	0,69 0,66	0,54 0,53	0,49 0,48	0,50 0,43	0,44 0,30	0,52 0,30
VII	0,62 0,32	0,58 0,43	0,63 0,40	0,26 0,09	0,04 0,09	—0,03 0	1	0,81 0,81	0,72 0,71	0,68 0,67	0,52 0,50	0,61 0,49
VIII	0,49 0,37	0,61 0,49	0,65 0,44	0,20 0,07	0,20 0,09	0,06 —0,02	0,02 —0,02	1	0,88 0,88	0,79 0,79	0,54 0,54	0,66 0,57
IX	0,36 0,40	0,57 0,54	0,57 0,48	0,03 0,09	0,09 0,09	—0,08 —0,02	—0,05 0,01	0,12 0,01	1	0,87 0,87	0,58 0,59	0,60 0,61
X	0,53 0,54	0,72 0,71	0,75 0,61	0,17 0,11	0,25 0,13	* —0,01 0,01	0,01 0,03	0,20 0,03	0,29 0,05	1	0,84 0,85	0,77 0,78
XI	0,66 0,68	0,80 0,82	0,76 0,69	0,20 0,14	0,20 0,14	—0,04 0,03	—0,04 0,05	0,16 0,06	0,23 0,08	0,20 0,07	1	0,87 0,88
XII	0,79 0,79	0,88 0,88	0,75 0,76	0,36 0,21	0,25-0,18	0 0,03	0,10 0,06	0,23 0,08	0,31 0,09	0,29 0,09	0,32 0,08	1
Примечание. Верхние цифры соответствуют k = 11, нижние — k = 3.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ ЦЕПИ МАРКОВА
Таблица 5.3
Корреляционная матрица среднемесячных расходов при симметричной корреляционной матрице
воды смоделированного 1000-летнего ряда р. Нарын
Предыдущий	Последующий месяц											
месяц	I	Н	ш	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
I	1	0,85	0,65	0,21	0,11	’—0,06	0,16	0,25	0,23	0,25	0,33	0,29
	0,85	0,84	0,65	0,27	0,20	0,11	0,12	0,12	0,15	0,14	0,12	0,12
II		1	0,75	0,16	0,16	0,04	0,19	0,31	0,28	0,28	0,32	0,29
	0,02	0,75	0,74	0,19	0,16	0,09	0,10	0,10	0,12	0,11	0,10	0,08
III	0,67		1	0,23	0,26	0,14	0,26	0,41	0,35	0,30	0,23	0*23
	0,03	0,03	0,24	0,27	0,27	0,13	0,15	0,16	0,17	0,15	0,12	0,12 0,52
IV	0,20	0,15		1	0,50	0,46	0,48	0,48	0,52	0,52	0,50	
	0,02	0,03	0,01	0,47	0,47	0,42	0,45	0,45	0,40	0,36	0,27	0*25
V	0,08	0,17	0,26		1	0,43	0,35	0,45	0,52	0,52	0,48	0,49
VI	0,03 —0,06	0,04 0,01	0,00 0,12	—0,05 0,45	0,40	0,40 1	0,25 0,70	0,36 0,56	0,35 0,54	0,29 0,55	0,18 0,50	0^20 0,57 0,31 0,70
VII	0,08 0,15	0,07 0,19	0,05 0,25	—0,01 0,52	—0,02 0,37	0,07	0,66 1	0,53 0,83	0,48 0,77	0,44 0,76	0,30 0,65	
VIII	0,11 0,26	0,13 0,32	0,11 0,42	0,03 0,47	0,02 0,45	—0,02 0,56	0,83	0,81 1	0,71 0,90	0,67 0,83	0,50 0,64	0,49 0,72
	0,13	0,17	0,13	0,00	0,01	—0,04	—0,04		0,88	0,79	0,54	0,56 0,67 0,61
IX	0,23 0,12	0,28 0,17	0,35 0,11	0,52 0,00	0,51 0,01	0,54 —0,04	0,78 —0,02	0,91 —0,03	1	0,90 0,87	0,68 0,59	
X	0,25	0,28	0,30	0,54	0,54	0,56	0,77	0,84	0,91	1	0,88	0,82
	0,22	0,25	0,17	0,02	0,03	—0,02	0,00	—0,02	0,01		0,85	0,78
XI	0,32	0,30	0,22	0,53	0,49	0,52	0,65	0,64	0,69	0,89	1	0,91
XII	0,30	0,31	0,20	0,04	0,03	0,00	0,01	0,01	0,03	0,03		0,88
	0,28	0,28	0,22	0,54	0,49	0,57	0,70	0,71	0,67	0,82	0,91	1
	0,25	0,27	0,17	0,06	0,03	—0,01	0,01	0,01	0,02	0,02	0,03	
Примечание. Верхние цифры соответствуют k — 11, нижние — k — 3.
224	Глава 5
Таблица 5.4 Основные статистические параметры месячных расходов р. Нарын. Наблюденные и смоделированные
ряды при k = 11 и 3 с использованием асимметричной (варианты 1 и 2) и симметричной (варианты 3 и 4) матриц
Параметр	Вариант	k	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	ХП
Qm	Наблюденный ряд	—	160	159	186	318	673	969	817	530	304	234	209	177
	1	11	159	158	185	315	675	953	803	526	302	323	208	176
	2	3	160	158	186	316	678	953	800	527	303	232	209	177
	3	11	159	158	185	313	675	941	797	531	303	233	209	176
	4	3	159	158	185	316	677	953	800	527	303	232	209	177
Cv	Наблюденный ряд	—	0,14	0,13	0,15	0,30	0,26	0,30	0,29	0,26	0,23	0,20	0,15	0,14
	1	11	0,15	0,14	0,15	0,32	0,27	0,32	0,29	0,26	0,24	0,20	0,15	0,14
	2	3	0,15	0,14	0,15	0,32	0,27	0,32	0,29	0,26	0,24	0,20	0,16	0,14
	3	11	0,14	0,13	0,16	0,32	0,28	0,32	0,31	0,31	0,28	0,25	0,19	0,17
	4	3	0,14	0,13	0,15	0,32	0,28	0,32	0,29	0,26	0,24	0,20	0,16	0,14
Cs	Наблюденный ряд	—	—0,31	—0,31	0,50	0,82	0,04	0,23	0,56	1,77	0,78	0,80	0,53	0,59
	1	11	—0,31	—0,27	0,48	0,84	0,14	0,37	0,73	1,81	0,90	0,76	0,63	0,68
	2	3	—0,36	—0,33	0,39	0,93	0,15	0,38	0,87	1,77	0,90	0,84	0,62	0,60
	3	11	—0,22	—0,18	0,84	0,94	0,20	0,44	0,76	1,91	1,24	1,21	1,11	1,0
	4	3	—0,37	—0,35	0,39	0,91	0,13	0,37	0,86	1,74	0,91	0,84	0,63	0,60
г	Наблюденный ряд	—	0,31	0,31	0,32	0,04	0,11	0,12	0,02	0,09	0,15	0,24	0,30	0,27
	1	11	0,27	0,32	0,29	0,04	0,06	0,07	—0,01	0,16	0,18	0,23	0,22	0,25
	2	3	0,07	0,04	0,10	—0,01	—0,06	—0,03	—0,03	—0,02	0,03	0,05	0,07	0,08
	3	11	0,76	0,80	0,71	0,42	0,41	0,58	0,81	0,93	0,94	0,96	0,94	0,90
	4	3	0,01	0,02	0,05	—0,04	—0,08	—0,04	—0,05	—0,05	—0,01	0,01	0,04	0,03
сл
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ ЦЕПИ МАРКОВА
226
Глава 5
Таблица 5.5 Статистические параметры годового стока р. Нарын для наблюденного и смоделированного рядов при разных началах гидрологического года
Параметр	Наблюденный ряд	Смоделированный ряд				Начало года I/VI		Начало года 1/VIII	
		/г=Н (вариант 1)	/е=3 (вариант 2)	&=11 (вариант 3)	k=3 (вариант 4)	ноблю ден-ный ряд	смоделированный ряд при k=ll (вариант 1)	наблюденный ряд	смоделированный ряд при /г—11 (вариант 1)
Q	395	391	392	390	391	395	397	395	397
С-и	0,19	0,19	0,19	0,21	0,19	0,18	0,18	0,16	0,17
Cs	0,27	0,56	0,60	0,79	0,57	0,32	0,36	0,23	0,4
г	0,25	0,20	0,03	0,89	—0,05	0,24	0,29	0,43	0,47
ческие параметры (Cv, rj смоделированного ряда. Указанное в значительной мере влияет и на выбор глубины связности k при учете внутригодового распределения тока. Увеличение глубины связности ухудшает значения статистических параметров. Однако, как показывают проверка, проведенная по некоторым рекам, а также результаты расчетов для моделирования месячных значений стока по схеме сложной цепи Маркова, глубину связности целесообразно выбирать так, чтобы охватить весь диапазон внутригодовой неравномерности, т. е. должна быть рассмотрена 11-связная цепь Маркова. Предложения некоторых авторов об ограничении глубины связности не выше k = 3, 4 в рассматриваемых примерах представляются, по крайней мере, необоснованными.
Коснемся еще одного вопроса, требующего уточнения. Исследования последних лет показали, что с изменением начала даты разрезки гидрографа меняются некоторые его статистические параметры [301]. В рассмотренных примерах расчетов моделирование начинается с 1 января, т. е. в качестве гидрологического года принят календарный год. Для изучения влияния разрезки года на результаты моделирования была изменена дата начала года для р. Нарына на 1 июня и проведено моделирование по схеме (5.1)' при k = 11. Полученные результаты представлены в табл. 5.5 и 5.6. Как и следовало ожидать, изменились значения коэффициентов корреляции месячных расходов воды с годовым расходом, однако соответствие новых значений этих коэффициентов наблюденного и смоделированного рядов полное (табл. 5.6). Хорошее соответствие наблюдается также при рассмотрении статистических параметров годовых расходов воды наблюденного и искусственного рядов (см. табл. 5.5).
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО СХЕМЕ ЦЕПИ МАРКОВА
227
Полученные результаты позволяют заключить, что моделирование месячных расходов воды по предлагаемой схеме позволяет учитывать изменения, связанные с началом гидрологического года, и результаты расчета не зависят от этой даты.
Заключение
Статистическое моделирование гидрологического ряда с учетом внутригодового распределения стока по схеме периодической нормальной сложной цепи Маркова предлагаемым методом ПОЛАР является удобным и достаточно надежным. Указанный метод может быть рекомендован для решения проектных и эксплуатационных задач регулирования речного стока при водноэнергетических и водохозяйственных расчетах.
Метод основан на обобщении рекуррентных уравнений Дарбина для нестационарного случая, что исключает трудоемкие операции обращения матриц и решения многочисленных систем уравнений и соответственно сокращает объем вычислений. В этом отношении он имеет преимущества перед существующими методами моделирования среднеинтервальных расходов воды по схеме простой или сложной цепи Маркова.
Метод позволяет для каждого интервала осреднения (месяц, декада) устанавливать оптимальную глубину связности цепи Маркова k по критерию минимума дисперсии остаточного члена авторегрессионно нормального процесса.
Увеличение учитываемой глубины связности в пределах до одного года в подавляющем большинстве случаев улучшает степень соответствия параметров исходного
СО
1О
aS ST s
cd
XII	Tf< CD О CO c© OQ ЬЬЮООЮЬЬ o o' o' o' о o' o'
X	CM 00 Ю CO LO CM О b СО Ю^ЮЬЬ-o о o' o' о o' o'
X	CO	CO Tf co 00 00 r- 00 b- 00 о о o~ о о о о
X	см •—< о о o> ь- co ООООГ^ООЬ-Ь-Ь-о о о о о о о
VIII	CM Tf Г— СМ  00 00 00 00 00 00 00 о о о о о о о
VII i	Ь- СО СО 00 со Ю СО 00 00 Ь- 00 00 оо 00 о о о о о о о
>	CM CM CM CM CM co 00 00 00 00 00 oo 00 о o' o' о o' o' о
>	to о to о co cm ID CD CO CD CD o' o' o' o' o" o' o'
>	CO CO CO CD	1 b- CO CD CO CD CO o' o' o' o' o' o' О
	CO CO b- b- О b- 00 CO CO CN CO CM b- b-o' o' o' o' o' o' o'
	co ОО О 00 CM CO o' о о" о о о" о
—	ID СО CM to оо оо CM CM CN СМ СМ^ СО со ООООООО
	| ZZ00 00 I
Вариант	Наблюденный ряд 1	i 3 4 Наблюденный ряд 1
я л UO4 rt Ч О	1/1 1/IV
228
Глава б
и смоделированного гидрологических рядов. Это освобождает от необходимости искать оптимальную глубину связности для каждой реки и каждого интервала в отдельности. В связи с этим рекомендуется при моделировании месячных расходов воды учитывать связь с предыдущими 11 месяцами, что упрощает и в конечном счете сокращает вычислительную работу.
При моделировании среднеинтервальных расходов воды необходимо пользоваться несимметричной корреляционной (ковариационной) матрицей.
Использование распределения SB Джонсона при моделировании месячного (декадного) стока дает вполне удовлетворительные результаты и может быть рекомендовано для практического применения.
Изменение даты начала гидрологического года меняет статистические параметры годового стока, а также тесноту корреляционной связи расхода каждого месяца с годовым расходом. Все эти изменения автоматически учитываются предлагаемым методом моделирования.
Метод может быть успешно применен для построения условных гидрологических рядов и, в частности, для прогноза среднеинтервальных (месячных, декадных) расходов воды по заданным значениям стока и стокообразующих факторов в предыдущие интервалы времени.
Глава 6
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ РЯДОВ НА ОСНОВЕ ПРИВЕДЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА СТОКА К СТАЦИОНАРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
6.1. Общая часть
При классификации методов моделирования гидрологических рядов с учетом внутригодового распределения стока (см. главу 4) особо был выделен метод, который позволяет нестационарный и непрерывный процесс стока приводить к стационарной случайной последовательности [214, 295, 394, 395, 477, 483, 484]. Соответствующую неравнодискретную модель для краткости назовем условно 7-моделью, а сам процесс приведения — Т-преобразо-ванием Ч
1 Эта модель стока как средство приведения к стационарной случайной последовательности была предложена в 1967 г. группой специалистов (Г. Г. Сванидзе, А. Ф. Торонджадзе, М. Г. Эдиберидзе, Р. Я. Читашвили и 3. А. Пирана-швили), работающих в различных учреждениях Тбилиси (ГрузНИИ энергетики, Тбилисский государственный университет и Институт кибернетики АН ГрузССР) [214], поэтому она условно названа Т-моделью (от слова «Тбилиси»).
ПРИВЕДЕНИЕ К СТАЦИОНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
229
Рассматриваемый в естественном временном масштабе процесс стока оказывается сильно подчиненным сезонным колебаниям и обычно принимается за периодический. При квантовании временной оси регулирования, как правило, применяемые временные деления (декада, месяц) могут не оказаться «естественными» в качестве временных интервалов регулирования. Такое положение имеет место, например, в задачах управления режимом работы водохранилища гидроэлектростанции. В самом деле, квантование временной оси в такого рода задачах равносильно ограничению кусочно-постоянным во времени режимом регулирования, в связи с чем целесообразно вести поиск средств уменьшения ущерба от замены процесса непрерывного регулирования стока дискретным регулированием таким образом, чтобы подбор интервалов регулирования был согласован с принятым критерием оптимальности.
Положим, что Ц является оптимальным значением некоторой целевой функции при непрерывном регулировании в f-том интервале деления оси времени, а Ц — оптимальным значением целевой функции при дискретном регулировании в том же интервале. Тогда разность 6Z (/z) — Ц — I't представляет собой ущерб, вызванный переходом от непрерывного регулирования к кусочнопостоянному регулированию. Анализ показывает, что функция 6Z (//) является выпуклой, и, следовательно, в задачах с однородными во времени критериями [т. е. когда 6Z (/z) = S (/z) ] в случае заданного числа деления периода регулирования минимум ущерба достигается при выборе интервалов с равными Ц. Исходя из сказанного, становится очевидным целесообразность выбора границ интервалов на временной оси таким образом, чтобы входящие в эти интервалы объемы воды образовали стационарную случайную последовательность.
В результате такого выбора в период половодья осуществляется более оперативное регулирование, чем в периоды межени, что вполне согласуется с инженерными правилами регулирования.
Вообще говоря, такие интервалы осреднения Дь Д2, • ••> Да , при которых последовательность^- = J £z dt обра
зует собой стационарную случайную последовательность, в некоторых случаях могут и не существовать, однако как будет показано ниже, применительно к процессу речного стока в качестве таких интервалов вполне приемлемо выступают интервалы с равными средними значениями стока. Подобный подход, очевидно, при явно нестационарном характере процесса стока приводит нас к установлению соответствующих неравновеликих интервалов осреднения. Из общих теоретических соображений,
/ А
2az = T0
\ i=l
230
Глава 6
а также экспериментальными расчетами доказывается, что при любом ином делении оси времени на такое же число интервалов замена непрерывного во времени процесса стока дискретным менее целесообразна. Доказательство этого положения с применением аппарата динамического программирования Р. Веллмана дано в работе М. Г. Эдиберидзе [395].
Таким образом, в Т-модели речного стока используются неравноотстающие во времени, или, как их еще называют, неравнодискретные выборки [246]. Такие модели встречаются при решении различных прикладных задач. Например, можно указать на модели систем обработки нерегулярно поступающей измерительной информации, модели систем массового обслуживания по событийному принципу, модели некоторых динамических систем, в том числе систем автоматического управления. Численное интегрирование некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с переменным шагом, часто используемых в разрывных функциях, также основывается на определении значений процесса в неравноотстающие моменты времени [201].
Вопросу моделирования последовательности неравноотстающих во времени выборок из гауссовского случайного процесса посвящено исследование Ю. Г. Полляка [246].
Как следует из сказанного, неравнодискретные выборки находят применение в других областях, поэтому в области инженерной гидрологии и теории регулирования речного стока применение Т-модели, нам кажется, не должно встретить принципиальных возражений, если оно будет должным образом обосновано. Во всяком случае требуется всесторонняя тщательная проверка этой модели, поскольку она имеет ряд положительных свойств, заслуживающих внимания.
6.2. Неравнодискретная Т-модель стока
Суть Т-преобразования, позволяющего нестационарный случайный процесс стока заменить неравнодискретной, но стационарной моделью, заключается в следующем.
Если принять процесс речного стока за периодический случайный процесс с периодом один год, то можно по всем наблюденным годовым гидрографам построить осредненный (так называемый фиктивный) гидрограф, представляющий собой оценку математического ожидания данного процесса (рис. 6.1.). Площадь, ограниченная этой кривой и осями координат, по величине равна среднемноголетнему стоку (норме) W. Осредненный гидрограф делится на заданное число (N = 10ч-20) интервалов Ду- (/ = 1,
ПРИВЕДЕНИЕ К СТАЦИОНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
231
2, . . ., N), в пределах которых объемы среднего стока будут равными, т. е.
w
si — n
s.
Далее берется весь наблюденный за L лет ряд и определяются соответствующие интервалам времени Д;- значения фактически наблюденных объемов стока s/z (/ = 1,2,.. ., L).
Рис. 6.1. Деление осредненного гидрографа на N интервалов, в пределах которых объемы среднего стока s равны.
Примем пока условно, что полученная последовательность (/ = 1, 2, . . ., NL = ri) является в широком смысле S
стационарной. Это, как известно, означает, что математическое ожидание последовательности остается постоянным, а корреляционная функция зависит только от промежутка между двумя аргументами.
Примем гипотезу о принадлежности одномерного закона распределения к некоторому параметрическому семейству распределений и марковости с некоторой неизвестной глубиной связности. В качестве дополнительного условия, позволяющего получить удобную переходную функцию распределения, будем считать, что наша последовательность относится к процессам N класса [241].
232
Глава 6
Методика, которая изложена ниже по работам [214, 395], применима для любых одномерных законов распределения, однако в качестве примера проверим лог-нормальную функцию распределения как наиболее простую из ныне применяемых.
Вначале рассмотрим случай простой цепи Маркова.
Согласно принятому условию,
F(x) = P&<x} =
rT. / In (х — а) — т \	.
Ф ----------1------ при х > а\
\	'	(6.1)
О при х < а,
где Ф (х) — нормальная нормированная функция распределения с параметрами (0, 1), т. е.
X	у2
а — параметр, характеризующий минимальный сток т и а — параметры последовательности = In (gz — а).
Как известно, параметры а, т и о связаны с первыми тремя моментами F (х) распределения следующим образом:
а* .
пь =	= а-\-е 2 т;
= М & - т5]2 = е2т+а2 (е°' - 1);
= М & - т.]3 = е т ~ (е3°2 - Зе°* + 2).	(6.2)
Двумерная функция распределения
F(x, у) = Р{%(<х, h-i<y}
имеет следующий вид:
F(x, У) =
'	( In (х — а) -— т	In (у — а) — т \	.
ф/  1™—_2---------------\ ПрИ x>6Z,
О при х < tz или у < а\
У>а\
(6.3)
ПРИВЕДЕНИЕ К СТАЦИОНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
233
здесь Ф (х, у) — двумерное нормальное нормированное распределение со средними, равными нулю, дисперсиями, равными единице, и корреляцией рх; следовательно, можем написать
х у _ х2--2ргхг/+^2
Ф(х, у)= ----- 1  f С е	2(i—р?)	dxdy.
2л V 1 — pl J J ------------со —со
Корреляция рх связана с корреляцией входного процесса таким образом [2411:
(6.4)
Замена переменных и несложные преобразования позволяют получить переходную функцию распределения
A	jj2
F^ix^=tW J e~^dz^	(6.5)
—co
где
л _ In (j/ — a) —piln(x —a) —m(l — pj	„
Оценки параметров a, m и о могут быть получены из зависимостей (6.2), если вместо m^, Og и подставить их эмпирические оценки по исходному ряду gz.
Проверка принятых гипотез, т. е. что имеет лог-нормальное распределение, является простой цепью Маркова и относится к процессам N класса, производится следующим образом. Последовательность
Ч, =	(6.7)
должна образовать простую цепь Маркова нормально распределенных случайных величин с параметрами (0, 1) и коэффициентом корреляции между смежными членами ряда рх.
Если последовательность T]z, полученная путем преобразования (6.7), действительно является простой цепью Маркова, то условное распределение r|z+1 при данном r|z будет нормальным со средним РхЛ/ и дисперсией 1 —р? [172]. Следовательно, новая последовательность
Y ___ Hf+l PlH/	/с о\
U1 Тт=?Г	( ’
будет распределена нормально с параметрами (0, 1), причем в результате ортонормализации значения Ц должны быть независи
234
Глава 6
мыми. Таким образом, в конечном счете задача сводится к тому, чтобы по критерию эд2 проверить нормальность ортонормирован-ной последовательности £z. Отсюда как раз и вытекает правило моделирования унифицированным методом (см. главу 3).
Рассмотрим случай сложной цепи Маркова [214].
По предположению о лог-нормальности закона одномерной функции распределения, переходная функция будет иметь вид
Л £2
“ %п-1’ • • Чп-k ” %n-k\ = ~2^~ J е 2	(6*9)
где
А
In (хп — а) — т —
/г—1
здесь а — как и прежде, параметр, характеризующий минимальный сток, или, что то же самое, параметр сдвига одномерной функции распределения |z; тио — параметры последовательности tz = In (gz — a); k — глубина связности в цепи Маркова; Ak — детерминант; Ak, k_j — алгебраическое дополнение элементов последней строки корреляционной матрицы процесса tz, связанной с корреляционной матрицей |z соотношениями
Лй=
1	Pl	Р2	•	•	•	Р/г
Р1	1	Р1	•	•	•	Рй-1
Р/г	• • •	Р1	•	•	•	1 >
рг = 4- 1п[(^2 - 1)л + И;
где rz — корреляция между %п и S„+z, а параметры тио связаны с моментами и о| зависимостями:
/ 4	\
о2 = In	+ 1 ;
\ (т? — а)2 1 у р
— а \
а|	j
(т^ — а)2 ~ /
т = In
ПРИВЕДЕНИЕ К СТАЦИОНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
235
Для оценки этих параметров и корреляционных матриц А& находятся оценки:
1 NL а = min I = S
1 NL
= Tit L (?<-№
r‘ “ ‘ a <Ei*' “E)-
(NL — t) a| /=i
Для установления числа звеньев k в цепи Маркова, а также для проверки гипотезы о лог-нормальности одномерного закона распределения новая последовательность
k~ 1
должна представлять некоррелированную последовательность нормированных случайных величин.
Нетрудно убедиться также в том, что корреляция между и выражается через корреляции pz (г = 1» . . k) следующим путем:
1 k~^
^k== NkAkk	(6-И)
П- KFC £—-/г 1=]-1—1
При этом p£ можно вычислять по этой формуле или оценивать по смоделированной реализации
Таким образом, последовательная процедура определения k прерывается, когда величина
, _ К NL — k — 2 р&
оказывается ниже /?0-процентной точки /-распределения с параллельным определением последовательности и по ходу с вычислением величин %2 по формуле
м
л ,4j kl„,
q^=l
236
Глава 6
здесь Vgk} — количество величин t^k\ попавших в интервал на числовой оси (<7=1,2, . .	М); pq и pt — интегралы от стан-
дартной нормальной плотности в соответствующих интервалах.
Если вместо рассмотренного лог-нормального закона будем проверять другие, виды распределения, то изменится лишь переход к соответствующим нормальным величинам. Например, в случае распределения SB Джонсона вместо выражения (6.7) будем иметь
In (	—т
.	(6.12)
Из всего сказанного следует, что, в сущности говоря, с помощью А/'-гипотезы непараметрическая задача проверки марковости с соответствующей глубиной связности сводится к параметрической задаче проверки некоррелированности нормальной последовательности.
6.3.	Установление границ интервалов стационарности и построение Т-модели стока
Календарные границы интервалов осреднения А,- могут быть установлены различными способами. Рассмотрим два возможных варианта.
Первый способ основан на применении аппроксимирующей кривой [3, 12].
Пусть (/=1,2, . . ., yvo; I = 1, 2, . . ., L) представляет собой наблюденные значения среднесуточных, среднедекадных или среднемесячных расходов воды в течение L-летнего периода наблюдений. Для определения интервалов стационарности строится осредненный за многолетие гидрограф (фиктивный гидрограф) в относительных величинах
- _ J_ V £ xi ~ L
Здесь ступенчатая функция xt = х1 при /А < t < (j + 1) А, где А — исходные интервалы (суточные, декадные или месячные), является оценкой неизвестного математического ожидания (Ж) а случайной функции по интервалам (/А, (/4~ 1) А) х;= J xt dt /д от непрерывного периодического тренда xt. Оценка этой функции может быть аппроксимирована различными кривыми. Для примера возьмем конечные представления Эджворта [214, 394]. Она часто применяется для описания ненормированных асиммет
ПРИВЕДЕНИЕ К СТАЦИОНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
237
ричных плотностей распределения, с которыми внешнее сходство имеет рассматриваемая здесь функция
Если ограничиться тремя членами разложения Эджворта, то можно написать
где
' т	т
цо = Г xtdt\ pi —- — I tlxt dt\
о	о
_______________________	i
o' = УЪ — Ць	2 •	(6.13)
В качестве оценок центральных моментов, как обычно, положим
Nq —	Nq __
ио = S х,-; nz = — 2 ilx' (A = 1).
Ho /=1
Зададимся числом интервалов стационарности N и найдем такие отрезки на временной оси (О, G), (/х, ^), • •	(£v-i» Т),
(Т, Т t), в пределах которых соблюдается равенство
ti	ti	т	т
j xtdt = j xtdt = • • • = j xt dt = -Г j xt dt = s. (6.14
° '* . . 0
Для этого необходимо обращение функции
(6.15)
где
* —Hi . ь _ Из — ЗР1Н2 + 2р? .
щ — Зц| — 4p1fi3+ 12р^2 — 6[1| .
У	о4
/y2(/1) = /f-l; Яз(/1) = ^-3/1;
Ф Gi) — интеграл от стандартной нормальной плотности.
238
Глава 6
Для того чтобы получить единый ряд соответствующий суммарным расходам в интервалах (0,	(^, £2), . .	Т),
(Т,	достаточно заключить точки деления tj в пер-
воначальные интервалы и найти пропорции деления «пограничных» данных, для чего последовательно вычисляются значения xt в точках О, Д, 2Д, ... до первого осуществления неравенства
Xlx—I, А <С s < Xl^.
Определяется первый коэффициент пропорции
XLtA XL1—l, А
Вычисление xt продолжается до первого осуществления неравенства
Xl2-i,a < 2s<xL2a
и определяется коэффициент Ь2 и т. д.
Далее переход от ряда к ряду можно осуществить по следующим зависимостям:
= £11 + &21 + ‘ ‘	1, 1 + ^l^Ltb
?2 = (1 — bi) £L1i +	+1, А + * * * + ^L2b
Ггт” '
In = (1 — bjV-l) ^L^l + ^L^+l, 1 +   \-bN%T, b
£;v+l = (1 — bx) Bn + £12 + B22 + • • • +	1, 2 + bil.1^2-
....................................................(6.16)
Изложенный выше способ определения границ интервалов стационарности и построения стационарной случайной последовательности имеет тот существенный недостаток, что соответствующая программа для ЭВМ получается громоздкой и затраченный на нее труд не оправдывается полученным эффектом. Это обстоятельство связано главным образом с тем, что приходится вводить в память ЭВМ статистические данные весьма большого объема в виде среднесуточных расходов воды. Например, для 50-летнего наблюденного гидрологического ряда нужно выписать из гидрологических ежегодников, напечатать на перфокартах и ввести в машину свыше 18 тысяч значений расхода воды. Естественно, возникает вопрос о нахождении иного, более простого способа. В частности, можно обратиться к обычным инженерным приемам, которые часто незаслуженно постепенно предаются забвению.
ПРИВЕДЕНИЕ К СТАЦИОНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
239
Используем для нашей задачи — получение из наблюденного ряда стационарной случайной последовательности — следующий графоаналитический способ.
Выписывается таблица среднемесячных расходов воды за весь период наблюдений и определяются средние расходы воды Qu, . • Qxn за каждый из 12 месяцев года, т. е. строится сту-
Рис. 6.2. Графоаналитический способ установления календарных границ интервалов осреднения Ду с помощью интегральной кривой стока W (/) (р. Кура — г. Тбилиси, 1923—1964 гг.).
пенчатый фиктивный гидрограф (рис. 6.2). Далее подсчитываются соответствующие среднемесячные объемы стока воды W19 lFn, . . .
• • • » U^xii и по 12 точкам строится интегральная кривая стока W (t) с помощью описанного выше аналитического приближения либо графически.
Задается число интервалов стационарности в году N и определяются средние значения стока в течение каждого интервала
W	х
s = -гг- = const, N	’
где W — среднемноголетний сток. Эти значения откладываются на оси W и с помощью интегральной кривой W (/) по оси времени
240
Глава 6
определяются границы интервалов стационарности Ду, которые дальше остаются неизменными.
Аналогичные интегральные кривые строятся по среднемесячным расходам воды за все годы наблюдения, и для заданных
Рис. 6.3. Определение наблюденных значений стока в пределах различных интервалов с помощью годовых интегральных кривых стока (р. Кура — г. Тбилиси).
интервалов Ду уже обратным ходом определяются значения стока sz (i = 1, 2, . . ., NL) (рис. 6.3) или их модульные коэффициенты
L- =
S
Как показали поверочные расчеты, при определении границ интервалов Ду (см. рис. 6.2) переход от месячных интервалов,
ПРИВЕДЕНИЕ К СТАЦИОНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
241
осреднения к меньшим (например, декадным или пятидневным) нецелесообразен, поскольку этим практически не достигается какое-либо уточнение интегральной кривой W (/), следовательно, и границ интервалов осреднения Ду.	,
6.4. Примеры построения Т-модели
Предлагаемый выше графоаналитический способ построения Т-модели более подробно поясним на примере р. Куры, а по остальным характерным рекам (Нева, Лаба, Нил, Ингури) приведем лишь основные результаты расчетов.
В табл. 6.1 выписаны среднемесячные расходы воды р. Куры у г. Тбилиси за 42 года (1923—1964). В течение этого периода среднемноголетний объем стока реки W составил 6,62 млрд, м3, а соответствующий среднемноголетний расход воды Q == 210 м3/с.
По данным таблицы строим осредненный за многолетие (фиктивный) гидрограф Q (/) и соответствующую интегральную кривую стока W (/) (рис. 6.2). По оси 0U7 откладываем, например, 10 равных (можно 15, 20) среднеинтервальных значений стока s = = 662 млн. м3 и с помощью интегральной кривой W (t) по оси t определяем искомые календарные границы интервалов стационарности Ду (/=1,2, . . ., 10). Интегральная кривая, построенная по декадным объемам стока, полностью совпадает с приведенной на рисунке кривой W (£), поэтому на практике нет надобности в дальнейшей детализации и вполне достаточно ограничиться месячными объемами стока.
Далее аналогичные интегральные кривые строятся по среднемесячным расходам воды за каждый год наблюдений (1923, 1924, . . ., 1964), и по ним, в соответствии с жестко заданными для всех лет календарными границами интервалов Ду-, определяются соответствующие объемы стока sz или модули стока .
S
На графике (рис. 6.3) показан пример построения интегральных кривых за некоторые годы (1930, 1937, 1940, 1947, 1964) и определения соответствующих значений стока в отдельные интервалы времени, например в Д3 и Д8в 1940 г., Д9 в 1964 г. и др.
В результате получаем приведенный ряд, т. е. Т-модель стока р. Куры с числом членов п = 10-42 = 420 (табл. 6.2) \ Для этого нового ряда с помощью ЭВМ по стандартной программе определяем оценку статистических характеристик ряда: средний сток Q, коэффициенты вариации (Су) и асимметрии (Cs) и корреляционную функцию г (т).
1 Строки из табл. 6.2 должны хронологически следовать друг за другом.
Таблица 6.1 Среднемесячные расходы воды (м3/с) р. Куры (г. Тбилиси) за 1923—1964 гг.
Год	I	II	Ш	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII	Среднегодовой	W млрд. м3
1923	112	118	144	293	693	364	198	232	136	128	101	104	218	6,88
1924	87	81	157	298	456	316	173	100	96	127	129	92	176	5,55
1925	70	84	371	395	489	305	188	95	93	83	80	104	197	6,21
1926	84	85	147	337	658	415	203	134	112	100	95	87	205	6,47
1927	84	84	191	409	709	357	232	168	140	107	100	109	225	7,10
1928	98	90	112	886	609	419	159	100	105	148	100	105	244	7,70
1929	83	70	93	566	692	358	249	121	98	118	87	76	217	6,84
1930	70	65	121	309	323	426	208	102	90	86	85	72	163	5,14
1931	75	69	249	481	745	620	480	159	98	74	58	63	265	8,36
1932	64	69	318	667	808	374	158	98	134	95	75	78	245	7,73
1933	60	66	97	262	532	310	151	98	136	126	177	160	182	5,74
1934	116	98	172	261	402	258	191	142	88	102	90	70	167	5,27
1935	64	92	132	439	444	222	114	77	54	68	71	64	153	4,83
1936	59	70	98	391	623	516	282	157	177	263	240	174	254	8,01
1937	105	166	219	552	654	472	267	241	142	130	112	109	264	8,33
1938	89	89	152	764	686	358	137	96	90	91	91	83	227	7,16
1939	79	79	130	435	565	327	244	292	224	316	260	179	261	8,23
1940	163	169	193	1080	773	487	346	112	96	173	170	140	325	10,25
1941	139	190	270	669	645	291	162	105	89	121	216	101	250	7,88
1942	80	98	154	490	918	386	165	115	126	137	166	133	247	7,79
1943	109	98	114	378	493	277	147	102	95	ПО	128	108	180	5,68
1944	84	98	247	362	713	361	229	128	137	147	170	99	231	7,29
1945	90	75	94	339	560	384	143	86	72	95	92	87	176	5,55
1946	86	93	138	512	700	481	203	115	82	ПО	116	78	226	7,13
1947	77	91	178	241	191	195	119	90	101	116	166	102	139	4,38
1948	102	92	104	448	614	424	103	72	86	101	88	70	192	6,06
1949	59	63	116	262	576	252	77	107	116	112	79	60	157	4,95
1950	50	62	172	527	505	284	148	61	51	120	94	69	179	5,65
Глава 6

Продолжение табл. 6.1
Год	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII	Среднегодовой	W млрд. м3
1951	63	70	189	246	272	293	171	69	122	241	260	134	178	5,61
1952	101	117	140	688	599	463	223	84	77	75	79	75	229	7,22
1953	71	84	104	537	580	371	177	121	85	78	83	72	197	6,21
1954	70	79	148	500	707	410	218	92	85	64	71	74	216	6,81
1955	70	75	113	293	388	170	201	97	135	118	109	108	148	4,67
1956	97	91	127	560	573	449	178	85	101	111	139	135	220	6,94
1957	90	122	223	475	429	278	124	65	61	75	75	88	175	5,52
1958	73	94	162	479	621	397	118	64	95	96	82	87	197	6,21
1959	64	59	106	618	718	571	166	172	146	156	136	117	252	7,95
1960	111	176	138	716	694	310	186	94	85	103	83	77	231	7,27
1961	66	78	134	407	485	190	149	77	73	79	91	135	164	5,17
1962	72	62	^199	332	518	177	86	49	59	71	74	76	148	4,67
1963	84	100	122	538	709	562	390	225	77	99	122	116	262	8,26
1964	92	101	209	417	680	491	219	114	146	118	113	116	235	7,41
м3/с	85	93	162	47	589	366	190	117	105	119	118	100	210	—
млрд, м3	0,23	0,23	0,43	1,22	1,58	0,95	0,51	0,31	0,27	0,32	0,31	0,27	—	6,62
Сумма в нарастающем порядке, млрд, м3	0,23	0,46	0,89	2,11	3,69	4,64	5,15	5,46	5,73	6,05	6,36	6,62		
ПРИВЕДЕНИЕ к СТАЦИОНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

244
Глава 6
Таблица 6.2 Среднеинтервальные значения стока S[ (млн. м3) р. Куры (г. Тбилиси), полученные путем Т-преобразования
Год	№ интервала Ду									
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1923	770	410	440	730	1080	650	450	870	890	625
1924	620	530	420	400	500	690	490	600	610	701
1925	850	930	540	460	540	730	450	900	900	615
1926	600	480	550	640	780	820	650	705	695	556
1927	750	530	620	600	880	880	560	870	760	643
1928	600	580	1630	980	660	700	590	630	630	693
1929	500	600	880	780	740	780	620	800	640	538
1930	490	510	380	320	370	610	740	700	570	455
1931	700	880	640	610	820	1160	1140	1450	580	384
1932	630	1370	830	540	960	1200	550	540	640	480
1933	420	410	420	480	570	690	430	600	720	988
1934	750	500	380	370	420	580	500	650	600	508
1935	500	690	560	475	505	570	350	420	350	415
1936	460	420	620	550	680	1040	860	930	1160	1315
1937	930	770	860	690	700	850	830	1170	850	682
1938	610	640	1255	1145	750	670	530	500	550	513
1939	550	610	640	580	600	650	620	1000	1570	1431
1940	1050	950	1750	1420	730	980	560	1060	900	846
1941	1150	1050	950	850	700	610	490	520	610	940
1942	620	630	650	950	1230	920	600	580	740	899
1943	620	480	420	540	640	730	440	530	555	724
1944	725	675	600	650	850	800	610	780	760	866
1945	530	420	550	500	650	750	650	500	470	551
1946	650	550	700	950	1010	640	750	730	610	554
1947	670	480	330	200	220	330	290	450	630	780
1948	600	600	650	450	700	1000	610	440	500	501
1949	410	440	450	420	630	730	370	370	660	474
1950	500	800	700	620	530	550	470	500	460	508
1951	570	580	300	280	330	470	450	580	830	1248
1952	740	680	600	730	1050	900	800	700	440	497
1953	500	700	700	750	620	730	600	600	550	463
1954	550	650	700	800	900	770	660	700	470	429
1955	500	500	400	400	450	350	250	450	730	649
1956	650	700	700	800	970	900	780	700	440	497
1957	750	750	750	550	500	500	420	430	350	503
1958	600	750	540	610	650	1000	650	420	470	537
1959	450	550	850	1000	800	850	750	730	610	554
1960	850	750	1000	1150	670	650	530	620	540	517
1961	550	550	500	670	530	520	280	440	460	670
1962	500	630	470	680	540	510	270	290	310	480
1963	600	620	690	840	770	1040	990	1360	690	677
1964	750	680	520	550	750	1200	750	800	800	664
ПРИВЕДЕНИЕ К СТАЦИОНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
245
В табл. 6.3 даны значения указанных параметров для всего ряда (первая строка, N = 420 — вариант I) и для тех случаев, когда этот ряд делится на 2, 3, 4 и 5 участков (соответственно варианты II—V). Корреляционные функции варианта III приведены на рис. 6.4. Там же указаны пределы значимости коэффициента корреляции при коэффициенте доверия р = 0,95.
Таблица 6.3 Статистические параметры Г-модели стока р. Куры (г. Тбилиси)
Вариант	Число членов ряда N	S млн. м3	о	С0	ri
I	420	662	228	0,34	0,58
II	210	705	253	0,36	0,54
	210	620	191	0,31	0,62
III	140	662	229	0,35	0,45
	140	689	250	0,36	0,65
	140	637	201	0,32	0,63
IV	105	677	226	0,33	0,35
	105	732	275	0,38	0,66
	105	606	181	0,30	0,60
	105	634	201	0,32	0,62
V	84	661	188	0,28	0,29
	84	689	260	0,38	0,57
	84	717	276	0,38	0,68
	84	600	184	0,31	0,62
	84	645	203	0,32	0,58
Полученные результаты позволяют ориентировочно проверить степень выполнения условий стационарности модели. Как известно, случайный процесс можно считать в широком смысле стационарным, если его математическое ожидание .постоянно, а автокорреляционная функция зависит только от величины сдвига вдоль оси времени. Практически эти условия проверяются с помощью соответствующих доверительных интервалов для некоторого уровня значимости.
Если учитывать, что исходная информация довольно ограничена (данные только за 42 года) и что в вариантах III—V статистические параметры по отдельным рядам определялись по данным всего за 8—14 лет, то можно с практически приемлемой точностью считать полученную Т-модель стационарной последовательностью, близкой к простой цепи Маркова. В последнем положении можно убедиться при сравнении корреляционных функций на рис. 6.4, где линией 2 дается функция г (т) = 0,58х для
246
Глава 6
простой цепи Маркова, а линией 1 — корреляционная функция Т-модели.
Необходимо обратить внимание еще на одно обстоятельство. Полученная Т-модель внешне совершенно непохожа на наблюденный гидрограф, хотя она и предназначена для моделирования более длинных рядов, которые в конечном счете нужны для вы-
полнения расчетов регулирования речного стока и определения
потребной емкости проектируемого водохранилища при некоторых исходных положениях (заданная обеспеченность и т. д.). Для того чтобы сравнить степень адекватности этих двух последовательностей с указанной утилитарной точки зрения представляется целесообразным сравнить дефициты при различных отдачах (а = 0,7 н-1,0). С этой целью были определены значения di для исходного наблюденного гидрографа среднемесячных расходов воды
г 1,0
0,8
0,6
0£
0,2
О
-0,2
0,95
_1_ 5
10
15
20~
Рис. 6.4. Корреляционные функции Т-модели при делении года на три участка (по п = 140) (р. Кура — г. Тбилиси).
1 — корреляционная функция для всего ряда (п = 420), 2 — то же для простой цепи Маркова, 3 — пределы критической области при доверительной вероятности р — 0,95.
и значения di для Т-модели. На графике (рис. 6.5) приведены соответствующие данные, свидетельствующие о достаточно высокой степени совпадения эмпирических функций распределений di и di, что подтверждает правомерность предлагаемого способа ^-преобразования и применимость неравнодискретной 7-модели стока.
Действительно, на наиболее важном участке с обеспеченностью дефицитов 5—30%, чему примерно соответствует обеспеченность отдачи порядка 70—95% (по числу бесперебойных интервалов осреднения), степень совпадения данных можно считать вполне удовлетворительной. Незначительное расхождение можно объяснить не вполне одинаковым числом интервалов (10 интервалов модели против 12 месяцев исходного ряда), а также вероятностным характером исследуемых процессов. В случае Т-модели отдача
ПРИВЕДЕНИЕ К СТАЦИОНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
247
(водопотребление) по интервалам будет переменной из-за различной продолжительности последних. Коэффициенты пропорциональности можно определить так:
\jN	bjN
~тГ = 31,54-106" •
В табл. 6.4 для р. Куры приведены значения fez- и размеры водопотребления по интервалам при годовой отдаче: 4632 млн. м3 (а = 0,7), 5962 млн. м3 (а = 0,9), 6624 млн. м3 (а = 1,0).
Рис. 6.5. Дефициты стока до заданного уровня отдачи.
1 — наблюденный ряд (d), 2 — Т-модель (df).
Таблица 6.4 Значения водопотребления (отдачи) по интервалам при разных значениях общей годовой отдачи для р. Куры (г. Тбилиси)
№ интервала А/	Продолжительность интервала		Коэффициент пропорциональности	Водопотребление (отдача), млн. м3		
	сут	млн. с		а = 0,7	а = 0,9	а = 1,0
1	74	6,40	2,03	941	1210	1344
2	27	2,33	0,74	342	440	489
3	16	1,38	0,44	203	261	290
4	13,5	1,17	0,37	172	221	246
5	13	1,12	0,35	165	212	235
6	16,5	1,43	0,45	210	270	300
7	21	1,81	0,57	266	342	380
8	46	3,97	1,26	584	750	834
9	68	5,87	1,86	863	1110	1233
10	70	6,06	1,93	891	1146	1273
За весь год	365	31,54	1,0	4637	5962	6624
248
Глава 6
Аналогичные расчеты по построению Т-модели стока были выполнены для других рек, находящихся в самых различных физико-географических условиях. В частности, были исследованы реки Нева (д. Новосаратовка), Лаба (г. Дачин), Нил (г. Асуан), Дунай (г. Хофкирхен) и Ингури (с. Джвари). На рис. 6.6 и 6.7 приведены корреляционные функции стока этих рек для Т-модели при полной длине, соответствующей всему периоду наблюдений, и при разрезке этого ряда на 3—4 равные части. В табл. 6.5 даются статистические параметры рядов при их разрезке на 2, 3, 4 и 5 частей. Анализ приведенных результатов, в частности в отношении устойчивости корреляционных функций, позволяет делать вывод, что в практически приемлемых пределах условия стационарности соблюдаются и применение Т-модели стока можно считать допустимым.
Действительно, как следует из рис. 6.6 и 6.7, корреляционные функции укладываются внутри области, ограниченной пунктирными линиями, соответствующими доверительной вероятности р = 0,95.
Изложенная методика ^-преобразования и получения стационарной случайной последовательности £г- = — позволяет про-S
верять также гипотезы: о принятом одномерном законе распределения вероятностей, о глубине связности в цепи Маркова и о принадлежности рядов к процессам N класса, как об этом говорилось выше.
Сравнивая корреляционные функции полученных Т-моделей и моделей по простой цепи Маркова, можно даже визуально заметить, что, например, в случае рек Куры и Лабы применима однозвенная цепь, а в случае р. Невы — многозвенная цепь Маркова.
После того как получены основные параметры Т-модели, дальнейший расчет регулирования, например определение обеспеченности отдачи при некотором заданном полезном объеме водохранилища, производится обычным путем. Моделируется достаточно длинный ряд (например при 10 интервалах в году 10 000 членов и более), и путем сопоставления значений стока и потребления воды в интервалах балансовыми расчетами (табличный способ календарного метода) с учетом потерь воды на испарение и фильтрацию, а также любых других факторов (колебания уровня воды в водохранилище, забор воды для нужд других компонентов комплекса и т. д.) определяется полезная отдача, например выработка электроэнергии на гидроэлектростанции, подача воды на орошение и т. д.
Если по каким-нибудь соображениям неравные интервалы будут мало удобны, то можно перейти к модели с одинаковыми интервалами осреднения. Например, можно получить обычные гидрографы со среднемесячными (среднедекадными) расходами
ПРИВЕДЕНИЕ К СТАЦИОНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
249
г 0,8
воды. Для этого необходимо проделать процедуру, обратную той, которая описана в п. 6.3 и схематично изображена на рис. 6.3.
То есть моделируется ряд для каждой группы, соответствующей одному году, затем по интегральной кривой определяются месячные объемы стока, а затем—среднемесячные расходы воды. Иначе говоря, производится обратное Т-преобразование.
0,4
0,2
О
0,6
0,4
0,2
О
-0,2^ 0,8
0,95
JL
5
I
Ю
j___________|__________I__________|
15	20	25	30Z

-sL
Рис. 6.6. Корреляционные функции Т-модели при полной длине ряда (/) и при разрезке рядов на четыре равные части.
а — р. Нева —д. Новосаратовка, 1859—1964 гг.; б— р. Лаба — г. Дачин, 1851 — 1968 гг.; линией 2 указаны пределы критической области при доверительной вероятности р = 0,95.
250
Глава 6
Таблица 6.5 Статистические параметры для всего ряда Т-модели (вариант I) и для отдельных его участков (варианты II—V) по наблюденным данным
Река — пункт (период наблюдений)	Параметр	Вариант				
		I	II	III	IV	V
Нева — д. Ново-саратовка (1859— 1962 гг.)		1040 7980 0,23 0,54	520	520 8141 7786 0,23 0,24 0,53 0,56	346	346	346 7936 8293 7698 0,21 0,22 0,25 0,46 0,62 0,53	260	260	260	260 8163 8185 8186 7385 0,21 0,22 0,20 0,27 0,40 0,60 0,68 0,44	208	208	208	208	208 8121	7904	8161	7869	7754 0,22	0,21	0,22	0,26	0,24 0,30	0,62	0,61	0,83	0,24
Лаба — г. Дачин (1851—1968 гг.)	А S Cv Г1	1180 959 0,65 0,36	590	590 913 1007 0,58 0,70 0,38 0,34	393	393	393 880 1010 989 0,58 0,59 0,74 0,42 0,37 0,31	295	295	295	295 859	969	972	1041 0,57	0,56	0,61	0,77 0,41	0,34	0,43	0,29	236	236	236	236	236 854	968	974	1033	971 0,58	0,61	0,58	0,60	0,82 0,39	0,35	0,41	0,54	0,19
Нил — г. Асуан (1900—1960 гг.)	N S Су Г1	610 8533 0,25 0,49	305 305 8371 8696 0,27 0,22 0,52 0,43	203	203	203 8406 8475 8696 0,30 0,21 0,23 0,58 0,24 0,51	152	152	152	152 8204 8547 8299 9104 0,29 0,26 0,22 0,21 0,54 0,49 0,33 0,48	122	122	122	122	122 8562	8217	8452	8443	9033 0,25	0,32	0,19	0,24	0,21 0,48	0,58	0,38	0,42	0,49
Дунай — г. Хофкирхен (1901 — 1968 гг.)	N S Cv ri	680 200 0,34 0,48	340	340 196	205 0,34 0,35 0,42 0,52	226	226	226 201	209	191 0,34 0,36 0,33 0,34 0,53 0,55	170	170	170	170 206	187	209	201 0,31	0,37	0,37	0,32 0,20	0,58	0,52	0,53	136	136	136	136	136 205	200	206	188	204 0,32	0,34	0,36	0,38	0,31 0,20	0,55	0,58	0,45	0,56
Ингури — с. Джвари (1932—1963 гг.)	। о*	320 487 0,26 0,44	160	160 490	484 0,27 0,24 0,35 0,54	106	106	106 508	456	497 0,25	0,25	0,25 0,26	0,49	0,51	80	80	80	80 487	493	484	484 0,24	0,30	0,25	0,24 0,13	0.48	0,69	0,38	64	64	64	64	64 484	527	431	516	467 0,23	0,27	0.25	0,27	0,24 0,16	0,36	0,36	0,55	0,38
ю
СП
ПРИВЕДЕНИЕ К СТАЦИОНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
252
Глава 6
Заключение
Для окончательной оценки Т-модели проведенные нами экспериментальные расчеты, конечно, еще недостаточны, но на их основе, а также по общим теоретическим соображениям могут быть сделаны некоторые предварительные выводы.
Модель позволяет достаточно просто нестационарный процесс стока привести к стационарной случайной последовательности со всеми вытекающими отсюда преимуществами, включая то весьма важное обстоятельство, что теория стационарных случайных процессов и в том числе стационарных последовательностей, разработана несравненно лучше, чем теория нестационарных случайных процессов.
^-преобразование не нуждается в определении оценок статистических характеристик ограниченного, как правило, наблюденного ряда, как это имеет место в случае всех других моделей стока. Для приведенного ряда, насчитывающего несколько сотен членов, эти оценки (Cv, Cs, г (т)) определяются значительно более надежно.
При моделировании искусственных гидрологических рядов с применением Т-модели достигается однородность переходной функции. В данном случае достаточно иметь одну матрицу переходных вероятностей, тогда как в других моделях приходится строить множество матриц. В случае, например, простой цепи Маркова требуется знать лишь один коэффициент корреляции между смежными членами ряда.
Т-модель имеет меньшие интервалы осреднения в паводочный период и большие — в период межени, что естественно, так как паводочный период требует более подробного описания, чем меженный. Колебания расходов воды в первом случае более значительны, чем во втором, и, следовательно, принятие решений по управлению системой должно производиться оперативнее в более короткие промежутки времени.
В Т-модели стохастические связи часто более тесные, чем, например, в исходном ряду среднемесячных или среднегодовых расходов воды, что открывает новые возможности для прогноза стока.
В случае необходимости путем обратного Т-преобразования можно от Т-модели перейти к модели стока с одинаковыми интервалами осреднения, т. е. к обычным гидрографам со среднемесячными расходами воды.
Вместе с тем Т-модель имеет ряд негативных сторон. Например, наличие неравных интервалов на временной оси создает определенные неудобства (например, при отдаче а = const вместо прямолинейного графика потребления воды получается ступенчатый график а = var); при групповом моделировании гидро
РАСЧЕТ ПАВОДОЧНОГО СТОКА
253
логических рядов (для расчета системы водохранилищ) интервалы стационарности в различных створах могут оказаться различными и др. Тем не менее неравнодискретная модель представляет несомненный интерес и заслуживает дальнейшего тщательного изучения.
Глава 7
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ РЯДОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ПАВОДОЧНОГО СТОКА
7.1.	Методика моделирования непрерывных реализаций процесса стока [294, 476]
Как уже отмечалось в естественном состоянии речной сток является нестационарным случайным процессом с непрерывным временем, поэтому без введения каких-либо гипотез нельзя решать ни одной задачи регулирования, особенно в статистическом варианте, когда на основании наблюденного материала нужно построить математическую модель стока. В отношении многомерной функции распределения необходимо введение гипотезы, которая будет удобной применительно к процессу речного стока.
Теоретически представляется возможным рассмотреть следующую модель: речной сток с непрерывным временем является 1) периодическим процессом с периодом один год или 2) суммой периодического процесса и некоторой детерминированной функции. В дискретном варианте этому соответствует стационарный процесс или стационарный процесс с трендом [233, 241, 294, 476]. Вопросы аналитического описания скалярных и векторных случайных непрерывных процессов рассмотрены в работах [22, 148 и др.].
В случае статистического моделирования методом Монте-Карло указанная выше схема позволяет использовать исходные данные наблюдений для оценки некоторых вероятностных характеристик, а затем, после введения подходящей гипотезы, сконструировать соответствующую многомерную функцию распределения.
Одной из возможных гипотез будет М-гипотеза, которой неоднократно пользовались выше как при индивидуальном, так и при групповом моделировании речного стока.
В случае некоторого непрерывного процесса 2 (/), одномерная функция распределения которого зависит от времени F (х, Z),
254
Глава 7
введение Л/’-гипотезы означает допущение того, что можно считать нормальным следующий процесс:
(7.1)
где Ф-1 — функция, обратная функции
х z2 ф(х)^^ j e~~dz	(7.2)
Исходя из сказанного, очевидно, что моделирование процесса £ (/) сводится к моделированию нормального процесса ц (/).
Для моделирования гидрологических рядов представляется целесообразным применение метода, основанного на ортогональном разложении нормального процесса [86]
т1(0=	ac/cfe,	(7.3)
k=l
где zk — последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с параметрами (0, 1), <р^ (£) и \k — собственные значения и ортонормированные собственные функции интегрального уравнения
ь
<р (t) = A. j р (t, s)tp(s)ds;	(7.4)
а
здесь р (/, s) определяется из следующего уравнения [241]:
со со
г (t, s) <j (t) a (s) = —д  1	. Г j F?1 (Ф (Ti)) х
2л V 1 — [р (t, s)]2
X F?1 (Ф(t2)) exp {—T"7{2F^’[p(/T,1?)p}T"}dT1 dx'2 —	(s)’ (7-5)
где m (r), oa (/) и r (t, s) — соответственно среднее, дисперсия и корреляционная функция процесса £ (£).
Реализация построенного процесса т| (t) однозначно определяет реализацию процесса £ (Z). Действительно,
g(0 = FF1(O(n(0))>	(7-6)
где F^1 — функция, обратная функции F (х, i), относительно х.
Заметим, что в статистическом варианте моделирование процесса (£) представляется более простым, так как нет надобности решать уравнение (7.5) относительно р (/, s), поскольку оценка последнего может быть получена непосредственно с помощью реализации г] (/).
РАСЧЕТ ПАВОДОЧНОГО СТОКА
255
Моделирование гидрологических рядов с помощью ортогонального разложения позволяет без квантования прямо получать непрерывные реализации. Кроме того, не требуется введения гипотезы о марковости процесса стока. Метод применим также в случае, когда процесс является дискретным [476]. Здесь необходимо лишь продолжить дискретный процесс до непрерывного в среднем процесса.
Для нахождения собственных функций и собственных значений можно пользоваться методами, которые для определенного ' класса корреляционных функцией даны в работах [254, 473].
Методика моделирования значительно упрощается, когда одномерная функция распределения не зависит от времени, т. е. F (х. t) = F (х).
Для простоты рассмотрим лог-нормальное распределение, хотя изложенная методика применима для любой функции распределения:
F(x) =
1пх — т \	м
------\ ПрИ х>0;
О при х < 0.
(7.7)
Тогда можем написать, что
T)(0 =	.	(7.8)
р(Л s) =-^-1п[(ехр {ст2) — 1)г(Л s)+ 1].	(7.9)
По наблюденной реализации процесса | (t) находим оценки среднего " (mi) и дисперсии (oi), а затем определяем параметры:
т = In -у===-;
(7.Ю)
Р2 = in +	(7.11)
С помощью выражения (7.8) получаем соответствующую реализацию в том же интервале и оцениваем функцию р (£, s).
Пусть I (/) является стационарным процессом, тогда т] (t) тоже является стационарным. Если положим, что
р (/, s) = е~~ а 1 s 1 при а > 0,
256
Глава 7
т. е. г) (t) является процессом Маркова, то в интервале собственные функции и собственные значения имеют следующий вид [254]:
Фа(0 = ]/—Ц-sinpo* — -у )+-у-] ;	(7.12)
а2 + о?
=2,	(	(7.13)
здесь со — coj, со2,. • . представляет собой возрастающую последовательность решений уравнения
=	(7-14)
Если корреляционная функция такова, что определить ср^ (/) и Х& чисто аналитическим способом не удается, то следует пользоваться численными методами.
Изложенную методику моделирования гидрологических рядов можно обобщить на случай взаимозависимой системы, составленной из нескольких водотоков (групповое моделирование). Для этой цели следует основываться на теореме об ортогональном разложении многомерных случайных процессов [241], которая заключается в следующем.
Пусть £ (0 =	(01^=177	< Ь) есть /г-мерный слу-
чайный процесс с одномерной функцией распределения F (х, t) = = \Fk(x,	(или в частном случае F (х) = {Fk (х)[А=Г7)
и функцией корреляции
r(t, s) = \rkm(t, s)]£=g.
Можно построить новый n-мерный случайный процесс
Л(0= (Ф^М)- t))}k=—n, a<zt<b. (7.15)
Ортогональное разложение построенного процесса будет иметь вид
= 2 4^Ф/ (0, k= 1, 2, ..., п, (7.16) где
= \Cipq при 1 ~ т;
I 0 при i 4= т\
Cipq = 1 при р == q-ь ________
f Ф? (0 ф!(0 dt = 61т,	(7.17)
РАСЧЕТ ПАВОДОЧНОГО СТОКА
257
когда |Х; |2 и ф? (/) являются собственными значениями и собственными функциями интегральных уравнений с ядрами р{&s) и выполняются условия
ОО	Ь Ь
S |%?|2|V|2C,W|2 = Jf |pw|(/, s)\2dtds, l’~1	a a
p, 7=1, 2, n,	(7.18)
где
ь ь ___________
cipq = ЧТ??- f J Pm w dt ds- <7-19> ^7 a a
Функции pktn t, s определяются из следующего уравнения [51J rkm{t, S)ok(t)am(s) =
co co
=	... 1	f f Fkt (Ф (TO) (Ф (т2)) X
2л V 1 — [film (t, s) 8 J J t	—co —co
•	/9	9 \
x exn - T1~2pfe"»(/’ s) T1T2+ dr dr _	(7 201
X P( 2{1 -[PAm(t s)l2} |dTldT2	(Л2Ф
—	k, m== 1, 2, ..n,
где ak (/),	(0 и rkm G, s) — соответственно среднее, диспер-
сия и функция корреляции процесса % (t).
Если для процесса % (t) верна М-гипотеза, причем метричная функция \pkm (t, s)}k==Y-^ неотрицательно определена, т. е. построенный нами процесс 13 (t) является многомерным вещественным нормальным процессом, то zt — нормальные случайные величины с параметрами (0, 1), zp и zqm независимы, когда i 4= т и ряды в (7.16) сходятся с вероятностью единица.
Заметим, что в статистическом варианте метод моделирования и в многомерном случае в определенном смысле упрощается.
Изложенная методика группового моделирования гидрологических рядов позволяет строить непрерывные реализации в различных взаимозависимых створах с помощью соответствующих одномерных функций распределения при учете всех корреляционных связей (автокорреляции и взаимной корреляции).
После того как получены непрерывные реализации процесса речного стока g (Z) = Q (Z) изложенным выше способом, необходимо произвести расчеты регулирования с помощью водохранилищ. Условия работы водохранилища с непрерывным временем
258
Глава 7
исследованы рядом авторов [148, 338, 436, 456 и др.]. Н.С. Кингман [4361 рассмотрел водохранилище неограниченной емкости и для этого случая получил следующее нелинейное интегральное уравнение для наполнения водохранилища:
г z(t) = zQ + F(t) + J	-х (7.21)
о
где t
F (t) = | Q (s) ds — at; о
zQ — начальный запас воды в водохранилище; а — максимальный потребляемый расход воды; f_(s) — отрицательная вариация функции F (s).
А. Ф. Торонджадзе [338] обобщил уравнение (7.21) на случай водохранилища с конечным объемом р и получил следующее уравнение:
t	t
z (t) = z0 + F (t) + j g (s) df_ (S) — J 1] (s) df+ (s),	(7.22)
0	0	•
где f+ (s) — положительная вариация функции F (s). Он доказал, что уравнение (7.22) имеет единственное решение, и дал графическую интерпретацию метода. Пример расчета приводится в статье [91]. Если по каким-либо соображениям понадобится произвести квантование непрерывных реализаций, то это легко выполнить путем определения значений расходов воды в дискретных точках.
7.2.	Применение метода фрагментов для определения противопаводочной емкости регулирования
Для решения различных задач теории регулирования речного стока и в том числе указанной задачи расчета регулирования паводочного стока автором был предложен метод [292, 478 и др.], основанный на применении искусственных гидрологических рядов, смоделированных с учетом внутригодового распределения стока методом фрагментов. Применительно к расчету противопаводочной емкости водохранилища метод фрагментов был конкретизирован и развит в работах А. Ш. Резниковского [72], Г. П. Шенгелия [389, 390] и др. Гидрологические ряды, смоделированные по схеме простой цепи Маркова, были использованы в работе Б. Л. Бабурина [27].
РАСЧЕТ ПАВОДОЧНОГО СТОКА
259
Таким образом, предлагаемый метод решения задачи регулирования паводочного стока предусматривает моделирование искусственного гидрологического ряда (входного процесса) методом фрагментов и получение реализации трансформированного стока (выходного процесса) балансовым способом расчета. Далее путем обработки полученных данных строятся статистические функции распределения вероятностей таких важных параметров, как ежегодный максимальный расход воды Qz, наполнение во-
Рис. 7.1. Схема срезки пика паводка при регулировании паводочного стока.
/ — естественный приток, 2 — зарегулированный сток.
дохранилища Vi9 ежегодный максимальный расход сбрасываемой в нижний бьеф воды qh срезка водохранилищем ежегодного максимального расхода воды q't и др.
На рис. 7.1 приводится схема трансформации годового гидрографа с помощью водохранилища.
Моделирование гидрологических рядов методом фрагментов при расчете регулирования паводочного стока производится так же, как это было изложено в главе 4, с той лишь разницей, что внутригодовая детализация фрагментов в периоды подъема стока (половодье, паводок) принимается более подробной. Необходимо брать такие интервалы времени, в пределах которых расходы воды существенно не изменяются и осреднение не отражается на результатах расчета регулирования. Интервалы могут быть самыми различными: от декады до суток, в особых случаях даже меньше.
260
Глава 7
Здесь может быть использован также прием третьей выборки — наложение на месячные интервалы осреднения фрагмента внутримесячного распределения стока. Например, в работе [252] были использованы шестичасовые интервалы осреднения. Если же У млнмз	использовать метод орто-
Л	тонального разложения,
то можно моделировать даже непрерывные гидрографы (см. п. 7.1).
Подготовленный таким образом гидрологический материал используется далее для расчета регулирования, при этом могут встретиться следующие два случая:
1) определение объема противопаводочной емкости водохранилища Уп при заданном максимальном расходе сбрасываемой в нижний бьеф воды;
2) определение максимального сбросного расхода воды в нижний бьеф q* при заданной противопаводочной емкости водохранилища. Подробное описание способов решения задачи в указанных о 20	40	60 РХ двух случаях дано в ра-
Рис. 7.2. График условных кривых превыше- ботах [389, 390]. Там же ния вероятностей объемов паводочного заре- приводится конкретный гулирования стока водохранилища Минадзе- пример расчета по Минад-ГЭС на р. Куре при разных значениях сброс-	r rz п
ного расхода.	sei на р. 1\уре. резуль-
таты этих расчетов в виде графиков представлены на рис. 7.2—7.4. Эти графики построены исходя из предположения, что водопропускные сооружения и турбины гидроэлектростанции обеспечивают сброс в нижний бьеф постоянного максимального расхода воды q* независимо от уровня воды в водохранилище. При учете переменного характера q (/) графики могут быть уточнены.
Как следует из результирующего графика (рис. 7.4), полученное поле решений позволяет определять значения любого из параметров Уп, и р в зависимости от двух остальных. Например, если ограничить максимальный расход воды в нижний бьеф
РАСЧЕТ ПАВОДОЧНОГО СТОКА
261
величиной q* = 450 м3/с, то с вероятностью превышения р == = 0,1% (т. е. 1 раз в 1000 лет) потребная резервная противо-паводочная емкость водохранилища Уп составит 250 млн. м3.
Рис. 7.3. График условных кривых превышения вероятностей максимальных сбросных расходов водохранилища Ми-надзеГЭС на р. Куре при разных значениях противопаводоч-ной емкости водохранилища.
Кривые, представленные на рис. 7.2 и 7.3, имеют свои естественные пределы. При уменьшении q кривая рх (Vn) стремится к такой же кривой для годовых объемов стока. При q* = 0 эти две кривые сливаются. В другом случае, когда Vn —» 0, кривая р2 (<?*) сходится по вероятности с кривой годовых максимальных расходов воды р3 (Q). Эти обстоятельства могут быть использованы для проверки правильности расчетов [390].
262
Глава 7
С помощью смоделированных методом фрагментов гидрографов паводков можно произвести расчеты и других характеристик регулирующей установки: продолжительности и уровней наполнения водохранилища, времени работы водосбросов и др.
Рис. 7.4. Зависимости между противопаводочной емкостью водохранилища и максимальными сбросными расходами воды в нижний бьеф МинадзеГЭС при разных значениях вероятности превышения.
Необходимо ответить на вопросы, которые естественно могут возникнуть в связи с изложенным методом. Возможно ли получить аналогичные графики характеристик регулирования, столь удобных для проектирования без моделирования, путем проведения расчетов по наблюденным в прошлом гидрологическим данным календарным способом и как быть в случае отсутствия наблюдений за стоком реки?
Расчеты непосредственно по наблюденному гидрологическому ряду такую возможность не предоставляют, так как в этом случае происходит потеря значительной части информации, заложен
РАСЧЕТ ПАВОДОЧНОГО СТОКА
263
ной в данных гидрометрических наблюдений. После проведения расчетов получаем сильно обедненные результаты, не позволяющие строить надежные графики искомых параметров. В то же время метод фрагментов позволяет максимально использовать исходную информацию, не говоря уже о том, что с его помощью происходит значительное обогащение наблюденного гидрологического ряда в смысле получения новых сочетаний внутригодовых колебаний стока. Последнее обусловлено неизбежной при этом экстраполяцией кривой вероятности превышения годовых величин стока (при первой выборке) в сторону максимальных экстремумов.
Что касается применения методики для расчетов максимального стока неизученных рек, то здесь необходимо привлечь известные методы гидрологической аналогии с целью установления необходимых параметров годового стока и очертаний фрагментов. В этом случае преимущество метода фрагментов становится еще более ощутимым.
Применение метода фрагментов к расчетам максимального стока, кроме уже перечисленных, имеет следующие преимущества.
Ряд ежегодных максимальных расходов воды в большинстве случаев является неоднородным из-за генетического различия членов этого ряда, поэтому, строго говоря, его статистическая обработка носит условный характер. Является спорным также и вопрос отбора Qz. При наличии в течение года нескольких соразмерных пиковых расходов воды отбирается только наибольший из них, другие пиковые расходы в расчет не принимаются, хотя по величине они иногда превосходят максимальные расходы других лет.
Законы распределения вероятностей экстремальных значений еще слабо изучены, несмотря на наличие ряда специальных исследований [96]. Точность измерения максимальных расходов воды является невысокой из-за особых условий их прохождения (высокие скорости воды, разлив воды по всему руслу и пойме, краткосрочность прохождения пика, колебание уровня воды в процессе измерения расхода воды и др.).
В случае применения метода фрагментов используется ряд •среднегодовых расходов воды, который более однороден по своему составу и по точности измерения более надежен, чем ряд ежегодных максимальных расходов воды. Несравненно лучше изучены законы распределения вероятностей среднегодовых расходов воды. Этот параметр лучше поддается районированию для группового изучения рек и т. д. Использование фрагментов позволяет иметь суждение не только о пиках паводка, которых может быть любое количество в течение года, но также о продолжительности половодий и паводков, о конфигурации гидрографов, что необходимо для расчета регулирования паводочного стока.
264
Глава 7
Таким образом, имеются веские основания для всестороннего и тщательного изучения условий применимости метода фрагментов для расчета максимального стока.
Рассмотрим еще один случай получения гидрографов в расчетном базисном створе реки путем синтеза гидрографов частных («дочерних») бассейнов. Для этой цели следует выполнить групповое моделирование методом фрагментов. Суть способа заключается в следующем: отбираются основные притоки Ду, устанавливается боковая приточность между ними Bk и с учетом корреляционной матрицы между средними за половодье расходами воды для Ду, Bk моделируются искусственные последовательности средних расходов воды по всем створам. Полученные значения умножаются на соответствующие фрагменты из одного и того же комплекта (например, комплект 1935 или 1946 г. и т. д.). Все эти частные гидрографы суммируются с учетом времени добе-гания [392] (путем сдвижки гидрографов по оси времени), в результате такого синтеза получается гидрограф в расчетном (базисном) створе. Определение превышения вероятностей этих гидрографов по стоку и максимальным расходам производится по соответствующим кривым обеспеченности стока половодий (паводков) и максимальных расходов воды, построенным на основании наблюденных данных непосредственно по базисному створу.
На рис. 7.5 приводятся результаты каскадного регулирования стока в створе Усть-Тессевской плотины и сбросов воды через соединительную прорезь Тессева-Енисей [72]. Расчеты были выполнены в Энергосетьпроекте при проектировании Ангаро-Енисейского каскада ГЭС. Было смоделировано 600 реализаций возможных сочетаний объемов паводочной приточности на отдельных участках, однако подробные расчеты регулирования выполнены для 10 наиболее неблагоприятных сочетаний. Максимальные сбросные расходы воды по всем створам оказались на 10—15% больше, чем для отдельных наблюденных многоводных лет, как рекомендуют принимать некоторые авторы. С другой стороны, максимальные расходы на 15—20% меньше, чем это было принято в проекте, исходя из предположения, что половодье обеспеченностью 0,01% проходит во всех створах каскада одновременно. Как видно из графика (рис.7.5), в результате трансформации стока в водохранилище Усть-Тессевской гидроэлектростанции максимальный сбросной расход воды ниже максимального расхода притока.
В ряде случаев полезная емкость водохранилища длительного регулирования делится на составляющие части: для многолетнего и сезонного регулирования, резервная емкость для аккумуляции половодий и паводков и т. д. Например, Асуанское водохранилище на р. Ниле при полной емкости 147 млрд, м3 проектом делится на следующие части: мертвый объем 32 млрд, м3
РАСЧЕТ ПАВОДОЧНОГО СТОКА
265
(21,8%), объем для многолетнего 89 млрд, м3 (60,5%) и сезонного регулирования 26 млрд, м3 (17,7%). Кроме того, имеется специальный резервный объем для борьбы с паводками
Рис. 7.5. Гидрографы притока к створу Усть-Тес-севского водохранилища и сбросов воды из него.
1 — гидрограф притока, 2 — гидрограф сбросов.
в И млрд. м3. В водохранилище Боулдер на р. Колорадо выделен верхний 11-метровый слой, который предназначен для борьбы с паводками. В обоих приведенных примерах по плану эксплуатации водохранилищ в обычных эксплуатационных условиях запрещено заполнение резервных объемов.
Наличие некоторого резервного объема между нормальным подпорным и форсированным уровнями следует признать безусловно целесообразным. Ставится лишь вопрос, насколько обое-
266
Глава 7
нованно выбран этот объем. Ответ на этот вопрос можно дать лишь в том случае, если известен будущий приток воды к водохранилищу в течение всего расчетного периода (25, 50, 100 лет). Однако такой прогноз в принципе никогда не может быть дан. Здесь, как и в других случаях, следует рекомендовать моделирование искусственных гидрологических рядов методом Монте-Карло с учетом внутригодового распределения стока (метод фрагментов) и проведение расчетов балансовым способом с учетом потребности всех водопользователей и водопотребителей.
В результате расчета будут получены функции распределения вероятностей таких параметров, как наполнение водохранилища, сбрасываемые расходы воды, отдача для орошения, выработка электроэнергии, гарантированные мощности гидроэлектростанции и т. д. Расчеты могут быть выполнены при любом составе комплекса и любой сложности плана регулирования.
Дальнейшее широкое внедрение математических методов моделирования процесса стока в практику проектирования является важнейшей задачей теории регулирования речного стока.
Заключение
Методика моделирования непрерывных реализаций процесса речного стока может быть применена при расчете половодий и паводков, когда модели с дискретным временем не позволяют достигать необходимой точности результатов.
Для расчета максимального стока можно с успехом использовать гидрологические ряды, смоделированные методом Монте-Карло.
В случае расчета регулирования паводочного стока безусловно перспективным представляется применение метода фрагментов, позволяющего устанавливать такие основные характеристики паводочного стока, как максимальный расход воды заданной вероятности превышения, объем паводочного стока и распределение стока во времени (форма гидрографа). Эти три характеристики могут быть установлены одновременно и с максимальным извлечением информации из наблюденных данных. В качестве главного аргумента используется ряд среднегодовых расходов воды, который является существенно более надежной выборкой, чем ряд максимальных расходов воды, как в отношении генетической однородности и репрезентативности, так и в отношении точности измерения расходов воды. Среднегодовые расходы воды более надежны также для разного ряда классификаций (группирование рек, гидрологическое районирование и др.). Полностью используются данные по внутригодовому распределению стока, поскольку в процесс моделирования включаются все наблюденные в прошлом гидрографы.
РАСЧЕТ ПАВОДОЧНОГО СТОКА	267
При рассмотрении бассейновых схем рекомендуется применение метода композиции гидрографов по искусственным гидрографам отдельных притоков, смоделированных методом фрагментов. Таким путем можно получить несравненно более разнообразные вариации внутригодового распределения стока, чем это встречается в наблюденных гидрологических рядах. Подобный подход позволит учитывать всевозможные ситуации, которые могут встретиться при эксплуатации сооружения.
Гидрологические ряды, смоделированные методом фрагментов, позволяют производить расчеты регулирования половодий и паводков не только в пределах одного года, но и в многолетнем разрезе одновременно с водноэнергетическими и водохозяйственными расчетами при комплексном использовании водных ресурсов.
ПОСЛЕСЛОВИЕ
Имеющаяся в нашем распоряжении информация о речном стоке представляет собой краткие выборочные сведения о чрезвычайно сложном естественном стохастическом процессе. Никакими математическими ухищрениями не удастся нам проникнуть в сущность этого процесса так глубоко, чтобы узнать о нем все в настоящем и предугадать точно его будущее. Тем не менее всеми доступными средствами надо стремиться извлекать максимальную информацию из наблюденных данных и разрабатывать по возможности более эффективные модели стока.
На сложном пути исследования и описания гидрологических процессов, равно как и других естественных процессов, очень важно отбрасывать некоторые, возможно когда-то. прогрессивные, но сейчас уже устаревшие положения и концепции, освобождаться от предубеждений и стараться объективно оценивать предлагаемые новые идеи, схемы, гипотезы, модели. Вместе с тем какой бы совершенной ни казалась разработанная теория сегодня, нужно полагать, что она завтра может быть улучшена или заменена еще более совершенной теорией.
Построение конструктивной теории регулирования речного стока на основании более рациональных моделей, по-видимому, относится к разряду «вечных» задач. Однако жизнь не ждет, и для решения сегодняшних проблем надо смелее использовать имеющиеся в нашем распоряжении наиболее эффективные методы расчета, в частности достаточно тщательно разработанные методы статистического моделирования гидрологических рядов.
Пусть более изящные аналитические или какие-либо иные методы решения стоящих перед нами задач будут разработаны, скажем, через 5, 10, 20 лет. Следует ли ждать этого и продолжать проектирование и эксплуатацию гидроузлов старыми календарными методами, которые, к сожалению, все еще находят весьма обширное применение на практике? Можно ли дожидаться полного выяснения солнечно-земных отношений через посредство атмосферных явлений и процессов? Продолжая широким фронтом научные исследования в различных перспективных направлениях, вместе с тем надо максимально использовать уже имеющиеся методы, на ходу совершенствуя их.
Какие же перспективы намечаются на будущее?
За последние годы система наук об окружающей среде выдвинулась на передовые позиции. Одним из важнейших компонентов этой среды является вода, играющая исключительную роль в жизни человеческого общества. В связи с глобальными
ПОСЛЕСЛОВИЕ
269
масштабами многих крупных мероприятий по использованию и охране водных ресурсов и быстрым ростом водопотребления, соизмеримым в ряде районов мира с наличными запасами пресной воды, а также по ряду других объективных причин возникла острая необходимость в тесном сотрудничестве гидрологов различных стран мира. Это нашло свое отражение в успешном проведении Международного гидрологического десятилетия (1965— 1974 гг.).
По инициативе Всемирной Метеорологической Организации (ВМО) и Международной ассоциации по гидрологическим наукам (МАГН) 18-я сессия Генеральной конференции ЮНЕСКО в развитие МГД приняла новую Международную гидрологическую программу (МГП). План работы на 1975—1980 гг. (первая фаза) предусматривает дальнейшее расширение и углубление международного сотрудничества в области научных исследований, инженерно-гидрологических расчетов и оперативной гидрологии.
Национальная программа СССР по МГП составлена с учетом перспектив развития народного хозяйства на ближайшие 10— 15 лет. Программа предусматривает, в частности, развитие экспериментальных исследований гидрологических явлений и процессов, их физического и математического моделирования, повышения точности гидрологических расчетов. Дальнейшее развитие получат работы по созданию основ сверхдолгосрочного прогноза стока посредством изучения закономерностей наблюденных рядов. Предусматривается принять активное участие в мероприятиях по подготовке международных публикаций, в том числе по обобщению опыта эксплуатации гидроузлов различных стран и в подготовке международного руководства по методам гидрологических расчетов для водохозяйственного проектирования. Будет продолжена работа по изданию и переизданию фундаментальных работ по всем гидрологическим дисциплинам, особенно по гидрологическим прогнозам и моделированию гидрологических процессов.
Таким образом, тематика настоящей книги вполне созвучна с новыми перспективными направлениями в области гидрологии. В работе рассмотрены некоторые актуальные вопросы математического (статистического) моделирования гидрологических рядов применительно к задачам теории регулирования речного стока, объединяющей вопросы инженерной гидрологии, водноэнергетических и водохозяйственных расчетов. Усовершенствованы ранее известные методы и предложены новые. Дальнейшая их проверка при всесторонней апробации и массовых расчетах покажет их жизнеспособность и степень пригодности. Автор надеется, что книга принесет пользу специалистам, занимающимся проблемами рационального использования водных ресурсов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Абрамишвили Б. IIL, Пиранашвили 3. А. Некоторые вопросы математического моделирования и его применение в гидроэнергетических задачах. —В кн.: Докл. V Межвуз. конф, по физ. и мат. моделированию. М., «Энергия», 1969, с. 113—121.
2.	А в а к я н А. Б. Создание и комплексное использование водохранилищ СССР. —«Водные ресурсы», 1972, № 1, с. 119—137.
3.	АвдеевВ. Т. Вероятностная оценка влияния случайных ошибок измерения на точность вычисления расходов воды в реке статистическим методом. —• «Метеорология и гидрология», 1972, № 6, с. 74—82.
4.	Александер Ж- Применение теории вероятности для определения расчетных максимальных паводков. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн.1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 580—588.
5.	Александровский А. Ю., РезниковскийА. Ш. О статистическом моделировании речного стока (с учетом внутригодового распределения). — «Водные ресурсы», 1972, № 3, с. 161 —172.
6.	А л е к с е е в Г. А. Графоаналитические способы определения и приведения к длительному периоду наблюдений параметров кривых распределения. — «Тр. ГГИ», 1960, вып. 73, с. 90—140.
7.	А л е к с е е в Г. А. Объективные методы выравнивания и нормализации корреляционных связей. Л., Гидрометеоиздат, 1971. 364 с.
8.	А л е к с е е в Г. А. Методы оценки случайных погрешностей гидрометеорологической информации. Л., Гидрометеоиздат, 1975. 94 с.
9.	Алексеев Г. А. О методах решения четырех главных вопросов в расчетах максимального дождевого стока на неизученных реках. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 453—458.
10.	Алексеев Г. А., Браславский А. П. Схема расчета вероятностных уровней и объемов наполнения бессточных озер методом композиции, расчет притока воды в озера и возможного водозабора по наблюдениям экстремальных уровней. —В кн.: Тр. III Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 6. Л., Гидрометеоиздат, 1959—с. 203—213.
ИТр А лехин Ю. М. Множественное линейное экстраполирование макро-процессов (динамико-статистический метод прогнозирования). — «Тр. ЛГМИ», 1968^-дып. 28, с. 41—59.
г12Ла лехин Ю. М., Гвоздева В. Г. Усовершенствованный способ модетитрования рядов годового стока с учетом их спектрального состава. — «Тр. ЛГМИ», 1969, вып. 35, с. 105—ПО.
13.	Алисов Б. И., Полтараусь Б. В. Климатология. М., Изд-во МГУ, 1962. 244 с.
14.	А н д е р с о н Т. Введение в многомерный статистический анализ. Пер. с англ. Под ред. Б. В. Гнеденко. М., Физматгиз, 1963. 500 с.
15.	АндреяновВ. Г. Циклические колебания годового стока и их учет при гидрологических расчетах. — «Тр. ГГИ», 1959, вып. 68, с. 3—49.
16.	Андреянов В. Г. Внутригодовое распределение речного стока. Л., Гидрометеоиздат, 1960. 327 с.
17.	АндреяновВ. Г., Воскресенский К. П. Исследование повторяемости и продолжительности периодов различной водности на реках
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
271
СССР. — В кн.: Многолетние колебания стока и вероятностные методы его расчета. Под ред. В. Д. Б ы к о в а и Г. П. К а л и н и н а. М., Изд-во МГУ, 1967, с. 44—59.
18.	АполловБ. А.,Калинин Г. П., Комаров В. Д. Курс гидрологических прогнозов. Л., Гидрометеоиздат, 1974. 420 с.
19.	А р а к а в а X. Изменения климата. Пер. с англ. Под ред. А. X. X р г и а н а. Л., Гидрометеоиздат, 1975. 104 с.
20.	А с а р и н А. Е. Водный баланс и ожидаемые уровни Аральского моря.— В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 4. Л., Гидрометеоиздат, 1976, с. 199— 207.
21.	АсаринА. Е. Водный баланс и ожидаемые уровни Аральского моря. Автореф. дисс. на соиск. учен, степени канд. геогр. наук. Л., Изд. ГГИ, 1975.
22.	Атурин В. В. Аналитическое описание колебаний речного стока непрерывным случайным процессом. — «Водные ресурсы», 1973, № 5, с. 114—119.
23.	А т у р и н В. В. Основы метода стохастического управления. — В кн.: А. Ш. РезниковскогоиМ. И. Рубинштейна. Управление режимами водохранилищ гидроэлектростанций. М., «Энергия», 1974, с. 159—166.
24.	А т у р и н В. В., 3 у б а р е в В. В., К о с т и н а С. Г. Приемы уточнения выборочных оценок параметров гидрологических рядов. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 192—200.
25.	Б а б к и н В. И. Внутригодовая зарегулированность стока рек равнинной территории Европейской части СССР и факторы, ее определяющие. — «Тр. ГГИ», 1969, вып. 174, с. 74—82.
26.	Б а б к и н В. И., С е р к о в Н. К. Моделирование гидрологических характеристик с использованием цепей Маркова. — «Метеорология и гидрология», 1974, № 7, с. 55—59.
27.	Бабурин Б. Л. Общий случай расчета противопаводочной емкости в водохранилище гидроэлектростанций. — «Тр. Гидропроекта», 1964, т. 12, с. 200—210.
28.	Б а г р о в Н. А. Статистическая энтропия как показатель сходства или различия метеорологических полей. — «Метеорология и гидрология», 1963, № 1, с. 9—16.
29.	Б а г р о в Н. А. О колебаниях уровня бессточных озер. — «Метеорология и гидрология», 1963, № 6, с. 41—46.
30.	Б а и ш е в Б. Б., К и к т е н к о В. А. Расчет многолетней емкости водохранилища в каскаде. — «Проблемы гидроэнергетики и водного хозяйства», 1972, вып. 9, с. 96—106. (Алма-Ата).
31.	БаишевБ. Б., КиктенкоВ. А. Обобщенная водохозяйственная характеристика водохранилища в каскаде. — «Проблемы гидроэнергетики и водного хозяйства», 1973, вып. 10, с. 112—117. (Алма-Ата.)
32.	БарлоуР.,ПрошонФ. Математическая теория надежности. Пер. с англ. Под ред. Б. В. Г н е д е н к о. М., «Советское радио», 1969. 488 с.
33.	Б а т ы р е в а О. В. Расчет значимости коэффициента множественной корреляции и выбор оптимального числа предсказателей. — «Метеорология и гидрология», 1969, № 3, с. 49—57.
34.	Безрукова А. Я. Влияние солнечной активности и характера атмосферной циркуляции на колебания уровня озер и на засухи. — «Тр. Лаборатории озероведения АН СССР», 1954, т. 3, с. 23—46.
35.	Беллман Р., Драйфус С. Прикладные задачи динамического Программирования. М., «Наука», 1965. 458 с.
36.	Б е л я е в Л. С., М а к а р о в А. А. Общий путь решения задач в условиях неопределенности. — В кн.: Вопросы построения АСУ управления развитием электроэнергетических систем. Вып. 1. Учет неопределенности исходной информации. Иркутск, Изд-во СО АН СССР, 1973, с. 25—35.
37.	Б е л я е в Л. С., X а р ч е н к о Н. П. Способы учета частичных сведений о законах распределения случайных величин. — В кн.: Учет неопределенности исходной информации. Иркутск, «Ангара», 1973, с. 46—51.
272
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
38.	БендатДж., ПирсолА. Измерение и анализ случайных процессов. М., «Мир», 1971. 408 с.
39.	Бефани А. И. Теория формирования дождевых паводков и методы их расчета. — В кн.: Между нар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 278—292.
40.	Бисвас А. К- Человек и вода. Л., Гидрометеоиздат, 1975. 327 с.
41.	БлохиновЕ. Г. Распределение вероятностей величин речного стока. М., «Наука», 1974. 169 с.
42.	БлохиновЕ. Г., С а р м а н о в О. В. Гамма-корреляция и ее использование при расчетах многолетнего регулирования речного стока. — «Тр. ГГИ», 1968, вып. 143, с. 52—75.
43.	Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление. Вып. 1. М., «Мир», 1974. 406 с.
44.	Болдаков Е. В. Повышение точности определения максимальных расходов и вероятности их превышения. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 254—261.
45.	БостанджянВ. А. Определение плотности вероятности. Необходимый объем выборки. М., «Наука», 1971. 160 с.
46.	Б у д ы к о М. И. Изменения климата. Л., Гидрометеоиздат, 1974. 280 с.
47.	Б у д ы к о М. И., Ю д и н М. М. О колебаниях уровня непроточных озер. — «Метеорология и гидрология», 1960, № 8, с. 15—19.
48.	Буковский Д.,Жуффа И. Исследование соотношения между осадками и паводочным стоком при помощи тройного преобразования, основанного на методе единичного гидрографа. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 442—454.
49.	Б у л а в к о А. Г. Водный баланс речных водосборов. Л., Гидрометеоиздат, 1971. 304 с.
50.	БурнейкисЮ. П., ГайлюшисБ. В. Влияние водности года на коэффициент внутригодовой неравномерности стока рек Литовской ССР. — «Тр. АН Лит. ССР». Сер. Б., 1964, № 3 (38), с. 195—204.
51.	БурнейкисЮ. П.,ГайлюшисБ. В. Показатели внутригодовой неравномерности стока рек Литовской ССР и зависимость их от местных физико-географических факторов. — «Тр. АН Лит. ССР. Сер. Б», 1965, № 2 (41), с. 263— 287.
52.	БусалаевИ. В., ДавлетгалиевС. К- О применении принципа максимума энтропии в задачах гидрологии и прогнозирования стока. — «Метеорология и гидрология», 1972, № 4, с. 61—65.
53.	БусалаевИ. В., ДавлетгалиевС. К«, КуперманИ. Г. Моделирование гидрографа речного стока методом канонического разложения. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 146— 155.
54.	Б у с л е н к о Н. П. Математическое моделирование в производственных процессах на цифровых вычислительных машинах. М., «Наука», 1964. 362 с.
55.	Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. М., «Наука», 1968. 355 с.
56.	Быков В. Д., Бусаров В. Н. Обусловленность внутригодового распределения стока колебаниями водности года. — «Водные ресурсы», 1974, № 2, с. 191—194.
57.	Б ы к о в В. Д., В а ж н о в А. Н., Ф е д о р о в а И. С. Некоторые результаты исследования внутригодового распределения стока горных рек. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 224—231.
58.	В а ж н о в А. Н., Ф е д о р о в а И. С. Параметры внутригодового распределения стока основных типов горных рек. — «Водные ресурсы», 1976, № 3, с. 73—76.
59.	В а л е с я н В. П. Выбор типа кривой распределения вероятностей, принятых в области изучения колебания годового стока. — «Сб. науч, трудов Ереван, пед. ин-та», 1968, т. 24, вып. 2, с. 119—124.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
273
60.	В а л е с я н В. П. К вопросу об определении выборочных параметров кривой обеспеченности. — «Сб. науч, трудов Ереван, пед. ин-та», 1975, т. 26, с. 67—71.
61.	Ван-дер-Варден Б. Л. Математическая статистика. М., Изд-во иностр, лит-ры. 1960. 434 с.
62.	В а р д а з а р я н К. А. Методика определения возможных колебаний уровня оз. Севан методом Монте-Карло. — «Сб. науч, трудов Ереван, политехи, ин-та», т. 23, Сер. эконом, и энергет., 1967. с. 105 —107.
63.	Введение в теорию порядковых статистик. Пер. с англ. Под ред. А. Я. Бояр с к о г о. М., «Статистика», 1970. 414 с.
64.	В е л и к а н о в М. А. Ошибки измерения и эмпирические зависимости. Л., Гидрометеоиздат, 1962. 302 с.
65.	Великанов М. А. Гидрология суши. Л., Гидрометеоиздат, 1964. 403 с.
66.	Великанов А. Л., Резниковский А. Ш. .Зубарев В. В. Некоторые вопросы оптимизации параметров и режимов работы водохозяйственной системы с учетом динамики ее развития. — В кн.: Сб. докладов по экономике водного хозяйства. М., 1967.
67.	В е н д р о в С. Л. Проблемы преобразования речных систем. Л., Гидрометеоиздат, 1970. 236 с.
68.	В е н и к о в В. А. Теория подобия и моделирование применительно к задачам электроэнергетики. М., «Высшая школа», 1966. 487 с.
69.	В ен тцел ь А. Д. Курс теории случайных процессов. М., «Наука», 1975. 319 с.
70.	Вентц ель Е. С. Теория вероятностей. М., «Наука», 1969. 576 с.
71.	Владимиров Л. А. Питание рек и внутригодовое распределение речного стока на территории Грузии. Тбилиси, «Мецниереба», 1964. 249 с.
72.	Водноэнергетические расчеты методом Монте-Карло. Под ред. А. Ш. Р е з-никовского. М., «Энергия», 1969. 304 с.
73.	Вознесенский А. Н., Г ангарт Г. Г., Герарди И. А. Перспективы использования водных ресурсов СССР. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 48—61.
74.	В о л к о в а 3. Ф. О случайных погрешностях в оценках ординат кривой распределения вероятностей характеристик стока.—«Тр. ГГИ», 1970, вып. 180, с. 124—137.
75.	В о р о н ч у к М. М. Оценка и учет искажений цикличности, возникающих при анализе колебаний стока методами скользящих средних и интегральноразностных кривых. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 289—298.
76.	В о р о п а е в Г. В. Задачи и организации научных исследований в связи с проблемой перераспределения водных ресурсов. — «Водные ресурсы», 1976, № 3, с. 4—127.
77.	Воскресенский К. П. Норма и изменчивость годового стока рек Советского Союза. Л., Гидрометеоиздат, 1962. 246 с.
78.	Воскресенский К-П. Принципы расчета гидрографа паводков. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 227—223.
79.	Воскресенский К- П., Харченко С. И., Шиклома-н о в И. А. Влияние деятельности человека на водные ресурсы и гидрологические процессы. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 62—83.
80.	Г а н д и н Л. С., К а г а н Р. Л. Статистические методы интерпретации метеорологических данных. Л., Гидрометеоиздат, 1976. 360 с.
81.	Г в о з д е в а В. Г. Функция спектральной плотности рядов наблюдений и опыт применения их для анализа цикличности годового стока рек ЕТС. — «Тр. ЛГМИ», 1969, вып. 34, с. 97—104.
274
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
82.	Гидроэлектрические станции. Под ред. Ф. Ф. Г у б и н а. М., «Энергия», 1972. 504 с.
83.	Г н е д е н к о Б. В. Курс теории вероятностей. М., «Наука», 1969. 400 с.
84.	Г о л е н к о Д. И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на ЭВМ. М., Физматгиз, 1965. 228 с.
85.	Г о р о ш к о в И. Ф. Построение гидрографов генетическим методом при переменных значениях водоотдачи, скоростей и площадей одновременного стекания.— В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 386—397.
86.	Г р е н а н д е р У. Случайные процессы и статистические выводы. М., Изд-во иностр, лит-ры, 1961. 167 с.
87.	Г р и г о л и я Г. Л. О влиянии случайных чисел на результаты моделирования гидрологических рядов методом Монте-Карло. — «Сообщ. АН ГрузССР», 1970, т. 60, № 1, с. 169—172.
88.	Г р и г о л и я Г. Л. Вопросы статистического моделирования гидрологических рядов методом Монте-Карло для водохозяйственных расчетов. Автореф. дисс. на соиск. учен, степени канд. техн. наук. Тбилиси, Изд. ГрузНИИГЭС, 1972, 34 с.
89.	Г р и г о л и я Г. Л. Некоторые вопросы применения законов распределения вероятностей, ограниченных с двух сторон, для описания годовых величин стока. — В кн.: Материалы конф, молодых специалистов по гидроэнергетическому строительству. Тбилиси, «Мецниереба», 1972, с. 6—7.
90.	Г р и г о л и я Г. Л. Выбор пределов Sq распределения Джонсона обратным методом Монте-Карло. — «Тр. Тбил. гос. ун-та», 1977, № 5.
91.	Григолия Г. Л., Церетели 3. И. О методах определения полезной емкости водохранилища без ее'деления на составляющие части. — «Тр. ГрузНИИ энергетики», 1968, т. 18, с. 195—202.
92.	Г р и н е в и ч Г. А. Опыт композиционного анализа закономерностохастической структуры гидрографов стока. — В кн.: Исследования характеристик режима возобновляющихся источников энергии. Ташкент, Изд-во АН УзбССР, 1963, с. 23—58.
93.	Гриневич Г. А.,Петелина Н. А.,Гриневич А. Г. Композиционное моделирование гидрографов. М., «Наука», 1972. 181 с.
94.	Г р у з и н о в В. М. Многолетнее регулирование речного стока в случае двух гидростанций, работающих в каскаде. — «Изв. высших учебных заведений. Энергетика», 1958, № 3, с. 117—125.
95.	Г у г л и й И. В. К расчету многолетнего регулирования речного стока с учетом коррелятивных связей между величинами стока смежных лет. — «Проблемы регулирования речного стока», 1959, вып. 8. с. 37—54.
96.	Гумбель Е. Д. Статистика экстремальных значений. М., «Мир». 1965. 350 с.
97.	Д а в и т а я Ф. Ф. Прогноз обеспеченности теплом и некоторые проблемы сезонного развития природы. М.. Гидрометеоиздат, 1964., 132 с.
98.	Д а в и т а я Ф. Ф. О некоторых проблемах в развитии гидрометеорологической науки. — «Метеорология и гидрология», 1973, № 7, с. 87—96.
99.	Д а в ы д о в а А. И. Исследование крупных аномалий стока рек северного полушария. Автореф. дисс. на соиск. учен, степени канд. геогр. наук. М., Изд-во МГУ, 1969. 24 с.
100.	Д а в ы д о в а А. И. О спектральных методах исследования гидрологических рядов. —«Метеорология и гидрология», 1971, № 3, с. 72—79.
101.	Дементьев И. Ф. К анализу связности многолетних рядов годового стока.—«Метеорология и гидрология», 1969, № 12, с. 54—61.
102.	Д е н и с о в Ю. М. Математическое моделирование процесса стока горных рек. — «Тр. САРНИГМИ», 1968, вып. 39, с. 3—20.
103.	Денисов Ю. М. Численное моделирование процесса стока горных рек. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 61—67.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
275
104.	Джапаридзе К. О. О статистической задаче прогнозирования стационарного процесса с трендом. — В кн.: Вопросы исследования операции. Тбилиси, «Меиниереба», 1966, с. 92—106.
105.	Дженкинс Г.,Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. Вып. 1, М., «Мир», 1971. 316 с.
106.	Джорджио В. А., Романов Н. Н. Реально ли использование солнечной активности в прогнозировании погоды в настоящее время? — «Метеорология и гидрология», 1973, № 8, с. 99—103.
107.	Д и м а к с я н А. М. Связь между точностью учета стока и частотой определения расхода воды. —«Метеорология и гидрология», 1971, № 10, с. 76— 82.
108.	Дмитриевский П. М. Качественный показатель для характеристики рек как объектов энергетического использования. — «Гидротехническое строительство», 1940, № 9, с. 9—13.
109.	Дроздов О. А.,Покровская Т. В. Об оценке роли случайных вариаций водного баланса в колебаниях уровня непроточных озер. — «Метеорология и гидрология», 1961, № 8, с. 43—48.
110.	Дружинин И. П., ХамьяноваН. В. Солнечная активность и переломы хода природных процессов на Земле. Статистический анализ. М., «Наука», 1969. 224 с.
111.	Дружинин И. П., Сазонов Б. И., Ягодинский В. Н. Космос—Земля. Прогнозы. М., «Мысль», 1974. 288 с.
112.	Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. М., Изд-во иностр, лит-ры, 1956. 605 с.
113.	Дунин-Барковский Л. В., Моисеев Н. Н. Система моделей перераспределения речного стока СССР. — «Водные ресурсы», 1976, № 3, с. 13—20.
114.	Дунин-Б арковскийИ. В., Смирнов Н. В. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Гостехтеориздат, 1955. 556 с.
115.	Д ь я ч е н к о 3. Н. Поверхности гамма-распределения. Автореф. дисс. на соиск. учен, степени канд. техн. наук. Л., Изд/ЛТА, 1961. 25 с.
116.	Езекиэль М., Фокс К- А. Методы анализа корреляции и регрессии линейных и нелинейных. М., «Статистика», 1966. 558 с.
117.	Е ф и м о в и ч П. П. Вопросы водохозяйственных расчетов в гидрологии. М.—Л., изд. ОНТИ НКТП, 1936. 320 с.
118.	Жаке Ж-, Б е р н ь е Ж- Определение максимального расхода воды и вероятности его превышения при недостаточности данных. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 454—466.
119.	Жданова И. С., Р а т к о в и ч Д. Я. Автокорреляционные функции рядов годового стока и годового слоя осадков. — В кн.: Проблемы регулирования и использования водных ресурсов. М., «Наука», 1973, с. 104—118.
120.	Ж е л е з н я к И. А. Регулирование паводочного стока. Л., Гидрометеоиздат, 1965. 326 с.
121.	ЖелезнякИ. А., Бышовец Л. Б. Метод расчета стока весенних половодий. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 2. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 101—110.
122.	ЖелезнякИ. А., Молодых В. П. Математическое моделирование процесса формирования и расчет ординат гидрографа весеннего стока заданной вероятности превышения. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 136—145.
123.	Железняков Г. В., Данилевич Б. Б. Точность гидрометрических измерений и расчетов. Л., Гидрометеоиздат, 1966. 240 с.
124.	Железняков Г. В. Теория гидрометрии. Л. Гидрометеоиздат, 1976. 344 с.
125.	Захаров В. П., Ким В. Я. Непрерывная периодичность гидрологического процесса как методическая основа водохозяйственных расчетов. —
276
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
«Проблемы гидроэнергетики и водного хозяйства», 1963, вып. 1, с. 73—100. (Алма-Ата.)
126.	Захаров В. П., ЧокинШ. Ч. Обобщенный прием практических расчетов многолетнего регулирования стока. — «Гидротехническое строительство», 1960, № 3, с. 16—20.
127.	Зубарев В. В. Оценка параметров гидрологических рядов методом наибольшего правдоподобия с использованием итерационных методов оптимизации функций. — «Водные ресурсы», 1972, № 2, с. 154—160.
128.	Зубарев В. В. Модификация модели колебаний годового стока рек с гамма-корреляцией. —«Водные ресурсы», 1973, № 5, с. 109—ИЗ.
129.	3 у б а р е в В. В. Об оценке параметров коррелированных колебаний годового стока рек методом наибольшего правдоподобия. — «Водные ресурсы», 1975, № 3, с. 34—45.
130.	Зубарев В. В. К вопросу определения автокорреляционных функций рядов годового стока рек. —«Водные ресурсы», 1976, № 1, с. 74—78.
131.	Иванова Л. В. Исследование обобщенного метода расчета многолетнего регулирования речного стока. — «Водные ресурсы», 1976, № 2, с. 9—23.
132.	Иванова Л. В., РатковичД. Я. Применение моделированных стоковых рядов в исследованиях многолетнего регулирования. — «Водные ресурсы», 1972, № 3, с. 138—153.
133.	ИвахненкоА. Г. О возможности долгосрочного прогноза годового стока рек. — «Водные ресурсы», 1973, № 5, с. 102—108.
134.	Израэль Ю. А. Глобальная система наблюдений. Прогноз и оценка изменений состояния окружающей природной среды. Основы мониторинга. — «Метеорология и гидрология», 1974, № 7, с. 3—9.
135.	Использование водной энергии. Под ред. Д. С. Щавелева. Л., «Энергия», 1972. 392 с. Авт.: Д. С. Щавелев, Ю. С. Васильев, И. И. Г о л о в а ч е в с к и й, Г. В. К л и ш е в и ч ,Г. А. П р е т р о, А. Ш. Р е з-н и к о в с к и й, А. В. Т а н а н а е в, И. А. Ч е р н я т и н.
136.	Исследование повторяемости и продолжительности периодов различной водности на реках СССР.—«Тр. ГГИ», 1965, вып. 127, с. 227—276. Авт.: В. Г. Андреянов, К- П. Воскресенский, Н. Я- Глушенко, Н. Ф. Павлова.
137.	ИшханянИ. С. К вопросу о выборе формулы для определения эмпирической обеспеченности. — «Тр. Ин-та энергетики Минэнерго СССР», Тбилиси, «Мецниереба», 1969, т. 18, с. 190—194.
138.	К а в ад и а с Г. С. Речной сток как стохастический процесс. — В кн.': Статистические методы в гидрологии. Л., Гидрометеоиздат, 1970, с. 214—238.
139.	К а з а к е в и ч Д. И. Основы теории случайных функций и ее применение в гидрометеорологии. Л., Гидрометеоиздат, 1971. 267 с.
140.	К а й с л Ч. Анализ временных рядов гидрологических данных. Пер. с англ. Под ред. Г. А. Алексеева, Л., Гидрометеоиздат, 1972. 138 с.
141.	К а л а ч е в И. С. Система характеристик внутригодовой неравномерности стока рек. — «Проблемы гидроэнергетики и водного хозяйства», 1968, вып. 1, с. 120—137. (Алма-Ата.)
142.	Калинин Г. П. Проблемы глобальной гидрологии. Л., Гидрометеоиздат, 1968. 378 с.
143.	Калинин Г. П., Кучмент Л. С., Корень В. И. Принципы построения математических моделей формирования стока. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 55—6.
144.	Калинин Г. П., Никольская Н. В. Пространственно-временной анализ максимального стока. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 179—190.
145.	К а р л и н С. Основы теории случайных процессов. Пер. с англ. Под ред. И. Н. Коваленко. М., «Мир», 1971. 536 с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
277
146.	КартвелишвилиН. А. О математическом описании и методике расчетов регулирования речного стока. — «Изв. АН СССР. Отдел, техн, наук», 1956, № 1, с. 126—136.
147.	Картвелишвили Н. А. Энергетическое многолетнее регулирование речного стока в некоторых сложных случаях. — «Изв. АН СССР. Отдел, техн, наук», 1957, № 6, с. 102—109.
148.	Картвелишвили Н. А. Теория вероятностных процессов в гидрологии и регулировании речного стока. Л., Гидрометеоиздат, 1967. 292 с.
149.	Картвелишвили Н. А. Регулирование речного стока. Л., Гидрометеоиздат, 1970. 218 с.
150.	КартвелишвилиН. А. Стохастическая гидрология. Л., Гидрометеоиздат, 1975. 164 с.
151.	Картвелишвили Н. А. Стохастическая гидрология в СССР. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 111 — 118.
152.	Каса н дрова О. Н., Лебедев В. В. Обработка результатов наблюдений. М., «Наука», 1970.
153.	Качмарек 3. Модели гидрологических прогнозов. — «Водные ресурсы», 1973, № 3, с. 23—42.
154.	КвинтрадзеА. Ш. Построение стохастической модели процесса многолетних колебаний годового стока реки методом итерации. — «Сообщ. АН ГрузССР», 1976, т. 81, № 2, с. 441—444.
155.	КендаллД. Р. Виды распределений одной переменной. — В кн.: Статистические методы в гидрологии. Л., Гидрометеоиздат, 1970, с. 4—17.
156.	Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. М., «Наука», 1966. 587 с.
157.	К и л а с о н и я А. Н. Выбор метода моделирования гидрологических рядов с учетом внутригодового распределения стока. — «Сообщ. АН ГрузСССР», 1966, т. 44, № 2, с. 387—394.
158.	К и л а с о н и я А. Н. К вопросу выбора начала гидрологического года при водохозяйственных и водноэнергетических расчетах. — «Тр. ГрузНИИ энергетики», 1969, т. 18, с. 154—164.
159.	К и л а с о н и я А. Н. К расчету водохранилища многолетнего регулирования методом Монте-Карло. Автореф. дисс. на соиск. учен, степени канд. техн. наук. Тбилиси, 1970. 23 с.
160.	КисаровО. П. Стохастические модели в ирригации. — «Проблемы кибернетики», 1974, вып. 28, с. 211—222.
161.	Клемеш В. Простое ненормальное преобразование случайной составляющей в цепи Маркова. — В кн.: Статистические методы в гидрологии. Л., Гидрометеоиздат, 1970, с. 267—270.
162.	Клибашев К- П., Горошков И. Ф. Гидрологические расчеты. Л., Гидрометеоиздат, 1970. 460 с.
163.	К о д у а Н. Д. Математическая модель стока реки для гидроэнергетических расчетов. —«Сообщ. АН ГрузССР, 1975, т. 80, № 2, с. 417—420.
164.	К о к с Д., С м и т У. Теория очередей. М., «Мир», 1966. 218 с.
165.	КолобаевА. Н. К обоснованию потребностей в информации об использовании водных ресурсов. — «Водные ресурсы», 1975, № 5, с. 43—47.
166.	К о н о в а л е н к о 3. П. Внутривековая цикличность стока рек СССР. Автореф. дисс. на соиск. учен, степени канд. геогр. наук. М., Изд-во МГУ, 1966, 22 с.
167.	Корганова Н. С. Об аналитических выражениях распределений вероятностей гидрологических величин. — «Проблемы гидроэнергетики и водного хозяйства», 1973, вып. 10, с. 153—160. (Алма-Ата.)
168.	Корзун В. И. Международное сотрудничество в области гидрологии.— «Водные ресурсы», 1972, № 1, с. 181—188.
169.	Корзун В. И. Научные основы водного законодательства. — «Водные ресурсы», 1972, № 3, с. 33—43.
278
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
170.	Корзун В. И.,Соколов А. А. Состояние и перспективы развития гидрологических исследований в СССР. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 24—47.
171.	Кочукова Т. В. Колебания годового стока рек СССР.—«Тр. ГГИ», 1955, вып. 50, с. 56—116.
172.	Крамер Г. Математические методы статистики. М., Изд-во иностр, лит-ры, 1948. 631 с.
173.	Крицкий С. Н. Методика анализа и расчета колебаний уровня замкнутых водотоков. — «Водные ресурсы», 1973, № 6, с. 9—26.
174.	Крицкий С. Н., КоренистовД. В., РатковичД. Я-Колебания уровней Каспийского моря. М., «Наука», 1975. 158 с.
175.	Крицкий С. Н.,МенкельМ. Ф. Расчеты речного стока. М.—Л., Госстройиздат, 1934. 260 с.
176.	Крицкий С. Н.,МенкельМ. Ф. Математические методы расчета регулирования стока. — В кн.: Тр. первого совещания по регулированию стока. М.—Л., Изд-во, АН СССР, 1946, с. 52—67.
177.	Крицкий С. Н., МенкельМ. Ф. Некоторые положения статистической теории колебаний уровней естественных водоемов и их применение к исследованию режима Каспийского моря. — В кн.: Тр. первого совещания по регулированию речного стока. М., Изд-во АН СССР, 1946, с. 76—97.
178.	Крицкий С. Н.,МенкельМ. Ф. О приемах исследования случайных колебаний речного стока. — «Тр. НИУ ГУГМС», 1946, сер. 4, вып. 29, с. 3—32.
179.	Крицкий С. Н.,МенкельМ. Ф. Выбор типа кривых распределения вероятностей для расчетов речного стока. — «Изв. АН СССР. Отдел, техн, наук», 1948, № 6, с. 907—917.
180.	Крицкий С. Н.,МенкельМ. Ф. О применении метода наибольшего правдоподобия и выборочной оценке статистических параметров речного стока. — «Изв. АН СССР. Отдел, техн, наук», 1949, № 4, с. 579—585.
181.	К р и ц к и й С. Н., М е н к е л ь М. Ф. Гидрологические основы речной гидротехники. М.—Л., Изд-во, АН СССР, 1950. 391 с.
182.	Крицкий С. Н.,МенкельМ. Ф. Расчет многолетнего регулирования речного стока с учетом корреляционной связи между стоком смежных лет. — В кн.: Тр. III Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 6. Л., Гидрометеоиздат, 1959, с. 6—18.
183.	Крицкий С. Н.,МенкельМ. Ф. Колебания уровня замкнутых водоемов.—«Тр. Гидропроекта», 1964, сб. 12, с. 29—61.
184.	Крицкий С. Н., МенкельМ. Ф. О применении статистических испытаний к исследованию колебаний речного стока и к расчетам режима использующих его установок. — «Проблемы гидроэнергетики и водного хозяйства», 1964, вып. 2, с. 82—98. (Алма-Ата.)
185.	Крицкий С. Н., МенкельМ. Ф. Об основах методики расчета максимального стока. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1967, с. 18—32.
186.	Крицкий С. Н., МенкельМ. Ф.,РатковичД. Я. Многолетние колебания речного стока. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 181—196.
187.	К р ю к о в В. Ф. Оценка разных способов конструирования генеральных совокупностей путем численных экспериментов. — «Тр. ГГИ», 1973, вып. 196, с. 42—59.
188.	Крюков В. Ф. Территориальные сверхдолгосрочные прогнозы речного стока (на примере максимальных расходов половодья в бассейне р. Дона). — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 269—277.
189.	Кузин П. С. Циклические колебания стока рек северного полушария. Л., Гидрометеоиздат, 1970. 179 с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
279
190.	Кукушкина В. П. Опыт прогнозов годового стока рек с использованием многих источников информации. — «Тр. САРНИГМИ», 1972, вып. 1 (82), с. 190—196.
191.	К у л и к В. Т. Принципы алгоритмизации и построения управляющих машин. Киев, Гостехиздат УССР, 1963. 311 с.
192.	Кумсиашвили В. А., Глонти О. А. О моделировании некоторых случайных процессов. — В кн.: Докл. V межвуз. конф, по физ. и мат. моделированию. Секция «Математич. вопросы вероятностного и кибернетического моделирования», М., изд. МЭИ, 1968, с. 74—80.
193.	Куприянов В. В., СкакальскийБ. Г. Гидрологические аспекты урбанизации. — В кн.: Человек и среда обитания. Л., изд. Геогр. общества СССР, 1974, с. 100—ПО.
194.	К у ч м е н т Л. С. Математическое моделирование речного стока. Л., Гидрометеоиздат, 1972. 190 с.
195.	Лаврентьева Л. Д. Показатели внутригодовой незарегулирован-ности водноэнергетических ресурсов. — «Изв. АН КазССР. Сер. энерг.», 1959, вып. 2 (14), с. 30—46.
196.	ЛасинскасМ., БурнейкисИ. Сток реки Нямунас. Каунас, изд. Ин-та энергетики АН Лит ССР, 1961. 197 с.
197.	Л е в и н А. Г. Метод расчета прогноза дождевых паводков по данным о расходах воды малых рек. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 421—428.
198.	Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Т. 2. М., «Советское радио», 1968. 504 с.
199.	Львович М. И. Опыт классификации рек СССР. — «Тр. ГГИ», 1938, вып. 6 (60), с. 58—108.
200.	Львович М. И. Теоретические основы и методы изучения влияния человека на гидросферу — В кн.: Человек и среда обитания. Л., изд. Геогр. общества СССР, 1974, с. 89—99.
201.	Любимов Ю. К. Получение на ЦВМ дискретных значений стационарного случайного процесса в неравноотстоящих точках. — «Автоматика и телемеханика», 1965, 26, № 12, с. 2239—2248.
202.	Майерс В. Определение экстремальных величин осадков — основа для расчета паводков. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 81—102.
203.	Макаров А. И., Бахтиаров В. А., ФинаровД. П. Фонд водохранилищ СССР и основные направления их использования. — В кн. Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 5. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 7—16.
204.	Маматканов Д. М. Моделирование и предсказание колебаний речного стока. Фрунзе. «Кыргызстан», 1973. 239 с.
205.	Маматканов Д. М. Вероятностные методы моделирования и предвидения закономерностей колебаний речного стока и характеристик многолетнего регулирования. Автореф. дисс. на соиск. учен, степени д-ра техн. наук. Л., изд. ГГИ, 1975. 50 с.
206.	Маматканов Д. М., Сулейманов М. С. Об оценке статистических параметров стока методом вероятностей превышения исходных величин. — В кн.: Вопросы энергетики и использование энергетических ресурсов Киргизии. Фрунзе. «Ылым», 1970, с. 203—221.
207.	МанджавидзеН. Ф., Мамр адзеГ. П. Каталог высоких плотин (высотой более 75). Тбилиси, «Мецниереба», 1963, 187 с.
208.	Марчук Г. И.,Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и методы вычислительной математики. — В кн.: Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучений. М., Атомиздат, 1967, с. 6—24.
209.	Маталас Н. Анализ временных рядов в гидрологических исследованиях. — В кн.: Статистические методы в гидрологии. Л., Гидрометеоиздат, 1970, с. 177—213.
280
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
210.	М а х а л ди ан и В. В. Обработка экспериментального материала. Тбилиси, «Мецниереба», 1965, 107 с.
211.	Мелентьев Л. А. Некоторые вопросы развития методов математического моделирования для оптимизации сложных систем в энергетике. — В кн.: Методы математического моделирования в энергетике. Иркутск, Вост.-Сиб кн. изд-во, 1966, с. 9—20.
212.	Мелентьевич М. Оценка паводочного стока на основе математической статистики.— В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 170—179.
213.	Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). М., Физматгиз, 1962, 332 с. Авт.: Н. П. Бусленко, Д. И. Голенко, И. М. Соболь, В. Г. С р а г о в и ч, Ю. А. Шрейдер.
214.	Методика построения математической модели, описывающей процесс речного стока с анализом принятых статистических гипотез. — «Сообщ. АН ГрузССР», 1969, т. 53, № 1, с. 161 —164. Авт.: Г. Г. С в а н и д з е, А. Ф. Т о -ронджадзе, М. Г. Эдиберидзе, Р. Я. Читашвили, 3. А. П и -ранашвили.
215.	Методы математического моделирования в энергетике. Под ред. Л. Л. М е" лентьеваи Л. С. Беляева. Иркутск, Вост.-Сиб. кн. изд-во, 1966. 432 с.
216.	Методы моделирования сложных систем на ЭВМ. — «Тр. Радиотехн. ин-та АН СССР», 1973, № 12, с. 5—244. Авт.: В. И. В а ж е н и н, Ю. В. Воронцов, В. А. Герман, Ю. Г. П о л л я к, Н. Л. С о с е н с к и й, В. С. Сушков, Е. Д. Харламова, В. П. Яковенко.
217.	Мечитов И. И., Гершкович М. И. Выбор водопотребителей при оптимизации водохозяйственного баланса. — «Сообщ. АН ГрузССР», 1970, т. 57, № 3, с. 649—652.
218.	Микульский 3. Водный баланс Балтийского моря (сотрудничество Балтийских стран). — «Водные ресурсы», 1974, № 5, с. 3—14.
219.	МиндиашвилиА. П., Сванидзе Г. Г., Читашвили Р. Я. Групповое моделирование взаимозависимых гидрологических рядов методом ПОЛАР для расчета системы регулирующих гидроэлектростанций. — «Сообщ. АН ГрузССР», 1976 т. 83, № 1, с. 129—132.
220.	Мировой водный баланс и водные ресурсы Земли. Л.,Гидрометеоиздат, 1974. 639 с.
221.	Мирцхулава Ц. Е. Надежность гидромелиоративных сооружений. М., «Колос», 1974. 279 с.
222.	Митропольский А. К. Техника статистических вычислений. М., «Наука», 1971, 576 с.
223.	Моделирование гидрологического ряда с учетом внутригодового распределения стока .—«Водные ресурсы», 1976, № 4, с. 5—24. Авт.; Г. Г. Сванидзе, Г. Л. Григолия, Р. Я- Читашвили, 3. И. Церетели.
224.	Мониава А. Я.О прогнозе речного стока. — «Тр. Ин-та энергетики Минэнерго СССР», 1969, Т. 18, с. 165—167.
225.	М о н и н А. С. Прогноз погоды как задача физики. М., «Наука», 1969. 183 с.
226.	М о с т к о в М. А. За синтетический метод изучения речного стока. — «Изв. АН СССР. Отдел, техн, наук», 1952, № 2, с. 252—261.
227.	Нежиховский Р. А. Гидрологические расчеты и прогнозы при эксплуатации водохранилищ. Л., Гидрометеоиздат, 1976, 192 с.
228.	Николова Н. Математическое моделирование процесса речного стока методом Монте-Карло с применением нормализации асимметричных функций распределения. — «Водные ресурсы», 1976, № 3, с. 58—72.
229.	Никольская Н. В. К вопросу о систематических погрешностях в оценках выборочных параметров речного стока, вычисленных методом моментов. — «Метеорология и гидрология», 1966, № 4, с. 38—40.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
281
230.	НовикИ. Б. О моделировании сложных систем. М., «Мысль», 1965. 335 с.
231.	Об исследовании многолетних колебаний речного стока. В кн.: Многолетние колебания стока и вероятностные методы его расчета. М., Изд-во МГУ, 1967, с. 9—24. Авт.: С. Н. Кр ицки й, М. Ф. Мен к е л ь, Г. П. Калинин, В. Д. Б ы к о в.
232.	Обрезков В. И., Александровский А. Ю. Учет ошибок определения годового стока при его вероятностном описании. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 186—191.
233.	О вероятностной модели речного стока. — «Проблемы гидроэнергетики и водного хозяйства», 1967, вып. 5, с. 188—199. Авт.: Н. А. Картвели-швили, Г. Г. Сванидзе, И. В. Хомерики, Е. В. Цветков. (Алма-Ата. «Наука».)
234.	ОгиевскийА. В. Основные закономерности в процессах стока на речных бассейнах. — «Тр. НИУ ГУГМС», 1945, сер. 4, вып. 29. 192 с.
235.	ОгиевскийА. В. Гидрология суши. М., Сельхозгиз, 1951. 515 с.
236.	О р л о в В. А. Применение методов математической статистики в водоэнергетических расчетах.—В кн.: Гидроэнергетические станции. Под ред. Ф. Ф. Губина. М., «Энергия», 1972, с. 121—125.
237.	О с т р е м К- Ю. Введение в стохастическую теорию управления; М., «Мир», 1973. 321 с.
238.	Панчанг Г. Метод более точной оценки будущих высоких паводков. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Т. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 43—54.
239.	П а н ч е в С. Случайные функции и турбулентность. Л., Гидрометеоиздат, 1967. 446 с.
240.	Перспективы развития комплексного использования и охраны водных ресурсов СССР. — В кн.: Докл. VII Мировой энерг. конф. Секция С2, докл. 21. М., 1968, 20. с. Авт.: П. С. Непорожный, А. Н. Аскоченский, Н. В. Р а з и н, Г. Г. Г а н г а р д т.
241.	Пиранашвили 3. А. Некоторые вопросы статистико-вероятностного моделирования непрерывных случайных процессов. — В кн.: Вопросы исследования операций. Тбилиси, «Мецниереба», 1966, с. 53—90.
242.	Пиранашвили 3. А. К вопросу моделирования случайных процессов в условиях наличия статистической информации. — «Тр. Ин-та прикладной математики ТГУ», 1969, т. 1, с. 63—68.
243.	Пиранашвили 3. А. О представлении условных случайных процессов. — «Тр. Ин-та прикладной математики ТГУ», 1969, т. 1, с. 39—47.
244.	ПлешковЯ. Ф. Регулирование речного стока. Л., Гидрометеоиздат, 1975. 560 с.
245.	Победимский А. Д. Об оценке рентабельности проектов и схем комплексного использования водных ресурсов США и Канады. — «Гидротехническое строительство», 1968, №8, с. 52—55.
246.	П о л л я к Ю. Г. Моделирование последовательности неравноотстающих по времени выборок из гауссовского случайного процесса. — «Изв. АН СССР. Техн, кибернетика», 1969, № 1, с. 50—56.
247.	П о л л я к Ю. Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. М., «Советское радио», 1971. 400 с.
248.	П о л л я к Ю. Г. Вопросы теории машинного моделирования при исследовании надежности систем. — «Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт», 1976, № 2, с. 3—14.
249.	Попов Е. Г. Основы гидрологических прогнозов. Л., Гидрометеоиздат, 1968. 294 с.
250.	ПоповЕ. Г., КомаровВ. Д. Состояние и перспективы развития гидрологических прогнозов и их использование в народном хозяйстве. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1975. с. 93—105.
251.	ПривальскийВ. Е. Оптимальная линейная экстраполяция коле
282
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
баний уровня замкнутых водоемов. — «Водные ресурсы», 1974, № 5, с. 17—28.
252.	Проектирование схем комплексного использования водных ресурсов. Пер. с англ. Под ред. Т. Л. Золотарева и В. И. Обрезков а. М.—Л., «Энергия», 1966. 334 с. Авт.: А. М а а с, М. М. X а ф м ш и д т, Р. Д о р ф м а н, С. А. Марлин, Г. М. Ф а и р, Г. Томас.
253.	Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. Основы понятия, предельные теоремы, случайные процессы. М., «Наука», 1973. 494 с.
254.	Пугачев В. С. Метод определения собственных значений и собственных функций для одного класса линейных интегральных уравнений. — «Жури. ПММ», 1959, т. 23, вып. 3, с. 527—533.
255.	Пугачев В. С. Теория случайных функций. М., Физматгиз, 1962. 884 с.
256.	Пугачев В. С. Введение в теорию вероятностей. М., «Мир», 1968. 368 с.
257.	Р а о Г. Новый метод вычисления вероятностных максимальных паводочных расходов при отсутствии наблюдений. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 508—575.
258.	Разин Н. В. Гидроэнергетика и водное хозяйство СССР.—«Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт», 1974, № 3, с. 42—56.
259.	РатковичД. Я. Закономерности чередования маловодных и многоводных лет как основа расчета регулирования речного стока. — «Тр. ГГИ», 1968, вып. 143, с. 76—105.
260.	РатковичД. Я. Стохастическая модель колебаний годового стока рек. — «Водные ресурсы», 1972, № 1, с. 52—94.
261.	РатковичД. Я. Многолетние колебания речного стока. Л., Гидрометеоиздат, 1976. 256 с.
262.	Раткович Д. Я., Жданова И. С., Привельский В. Е. К проблеме уровенного режима Каспийского моря. — «Водные ресурсы», 1973, № 3, с. 43—69.
263.	Резниковский А. Ш. Моделирование гидрологических рядов и расчет многолетнего регулирования стока каскадом ГЭС. — «Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт», 1964, № 2, с. 255—265.
264.	Резниковский А. Ш. Статистическое моделирование речного стока в гидрологических, водохозяйственных и водноэнергетических расчетах. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 128—135.
265.	Резниковский А. Ш., Костина С. Г. О связности гидрологических рядов. — «Проблемы гидроэнергетики и водного хозяйства», 1967, вып. 5, с. 200—213. (Алма-Ата.)
266.	Резниковский А. Ш., Костина С. Г.,Соловьева И. Ю. О влиянии учета цикличности стока рек на результаты расчетов его многолетнего регулирования. — В кн.: Многолетние колебания стока и вероятностные методы его расчета. М., Изд-во МГУ, 1967, с. 108—117.
267.	Резниковский А. Ш., Рубинштейн М. И. Управление режимами водохранилищ гидроэлектростанций. М., «Энергия», 1974, 176 с.
268.	Резниковский А. Ш., Сванидзе Г. Г. Водноэнергетические расчеты каскадов ГЭС при комплексном использовании водных ресурсов с применением метода Монте-Карло и ЭЦВМ. — В кн.: Докл. VII Мировой энерг. конф. Секция С2, докл. 61. М., 1968, с. 1—13.
269.	Речной сток и геофизические процессы. М., «Наука», 1966. 295 с. Авт.: И. П. Дружинин, 3. П. Коноваленко, В. П. Кукушкина, Н. В. X а м ь я н о в а.
270.	Рождественский А. В. Внутривековые циклические колебания годового стока рек СССР. — «Тр. ЛГМИ», 1968, вып. 28, с. 130—148.
271.	Рождественский А. В. О новых принципах построения нормативов расчетной обеспеченности с использованием метода статистических ис
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
283
пытаний. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975 с. 156—163.
272.	Рождественский А. В., Зорин М. В. О возможности применения ВФИ распределения в гидрологических расчетах. — «Метеорология и гидрология», 1973, № 12, с. 65—69.
273.	Рождественский А. В., Лобанова А. Г. Приведение рядов речного стока к длительному периоду методом множественной линейной корреляции. — «Тр. ГГИ», 1968, вып. 163, с. 9—18.
274.	Рождественский А. В., Чеботарев А. И. Статистические методы в гидрологии. Л., Гидрометеоиздат, 1974. 424 с.
275.	Розанов Ю. А. Случайные процессы. М., «Наука», 1971. 286 с.
276.	Романютина Д. Солнечнообусловленные колебаний геофизических рядов. — «Реф. журнал. Геофизика», № 3, 1974, с. 19.
277.	Ростомов Г. Д. Математические основы и методы определения экстремальных значений кривых распределения паводков в условиях горных рек. — В кн.: Докл. науч. конф. Ин-та географии им. Вахушти. Тбилиси, 1973, с. 25—26.
278.	Р о ш М. Гидрология суши. Л., Гидрометеоиздат, 1971. 183 с.
279.	Рош М., Сливицкий М. Математическая модель снегового паводка. В кн.: Междунар симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн.2. Л., Гидрометеоиздат, 1969. с. ПО—122.
280.	Румянцев В. А. Исследование однородности статистических характеристик гидрометеорологических элементов с учетом временной и пространственной корреляции. — «Тр. ГГИ», 1973, вып. 196, с. 77—96.
281.	Румянцев В. А. Определение меры случайных погрешностей исходных данных на основе учета смещенности коэффициента межрядной корреляции.— «Тр. ГГИ», 1974, вып. 218, с. 77—90.
282.	Румянцев В. А. Оценка точности выборочных параметров функции распределения вероятностей и пространственной интерполяциия годового и весеннего стока. Автореф. дисс. на соиск. учен, степени канд. техн. наук. Л., изд. ГГИ, 1975. 22 с.
283.	РыбкинС. Н. Новые универсальные характеристики речного стока, их применения к решению водохозяйственных задач. — «Метеорология и гидрология», 1935, № 3—4, с. 121—151.
284.	СармановИ. О. Построение корреляции между равномерно распределенными случайными величинами. — «Тр. ГГИ», 1968, вып. 160, с. 81—88.
285.	Саруханян Э. И., Смирнов Н. П. Многолетние колебания стока Волги. Л., Гидрометеоиздат, 1971. 166 с.
286.	Сафаров Е. Д. Кривые распределения и обеспеченности и их применение к гидрологическим расчетам. Ереван, Изд-во АН АрмССР, 1947, 133 с.
287.	Сафаров Е. Д. Основы водохозяйственных и энерго-экономических расчетов гидроэлектростанций. Ереван, «Айастан», 1965. 383 с.
288.	Сванидзе Г. Г. Методика стохастического моделирования гидрологических рядов и некоторые вопросы многолетнего регулирования речного стока. — «Тр. Ин-та энергетики АН ГрузССР», 1961, т. 14, с. 189—216.
289.	Сванидзе Г. Г. Моделирование теоретического гидрологического ряда методом Монте-Карло. — «Сообщ. АН ГрузССР», 1961, т. 26, № 5, с. 565— 572.
290.	Сванидзе Г. Г. Применение метода Монте-Карло к задачам регулирования речного стока. — «Докл. АН СССР», 1961, т. 140, № 6, с. 1394—1395.
291.	Сванидзе Г. Г. Моделирование гидрологических рядов с учетом внутригодового распределения стока (метод фрагментов). — В кн.: Докл. гидрол. конф. ЧССР. Братислава, 1962, с. 411—418 (см. также «Тр. Ин-та энергетики АН ГССР», 1963, т. 17, с. 273—282 и «Vodohospodarsky casopis», 1963, № 6, с. 138—149.)
*292. Сванидзе Г. Г. Основы расчета регулирования речного стока методом Монте-Карло. Тбилиси, «Мецниереба», 1964. 272 с.
284
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
293.	С в а н и д з е Г. Г. Методика расчета длительного регулирования при комплексном использовании водных ресурсов. — В кн.: Докл. Междунар. симпозиума по проблеме комплексного использования рек. В—13. Мадрид, 1969, с. 1—11.
294.	Сванидзе Г. Г. Моделирование непрерывных реализаций процесса речного стока для расчета регулирования. — «Тр. Ин-та энергетики», 1969, т. 18, с. 124—129.
295.	Сванидзе Г. Г. Некоторые вопросы математического моделирования гидрологических рядов. — В кн.: Докл. Междунар. симпозиума по регулированию стока. София, 1967. София, Изд. АН Болгарии, 1969, с. 53—61.
296.	Сванидзе Г. Г. К методике расчета регулирования системы взаимозависимых водохранилищ на основе математического моделирования. — В кн.: Докл. Междунар. конф, по водохозяйственным системам. Карловы Вары, 1972, с. 365—375.
297.	С в а н и д з е Г. Г. К проблеме математического моделирования в географии.— «География в Грузинской ССР», 1975, вып. 2, с. 22—31.
298.	Сванидзе Г. Г. Методика статистического моделирования процесса речного стока. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 119—127.
299.	Сванидзе Г. Г. Прогноз условий работы проектируемых гидроузлов в бассейне р. Дунай. — В кн.: Докл. VIII конф, придунайских стран. Т. 1. ФРГ, Регенсбург, 1975, с. 151—159.
300.	Сванидзе Г. Г., Григолия Г. Л. Применение распределения Джонсона для расчета речного стока. — «Водные ресурсы», 1974, № 6, с. 45—59.
301.	Сванидзе Г. Г., КиласонияА. Н. О влиянии начала гидрологического года на значения статистических параметров стока и потребной емкости регулирующего водохранилища. — «Метеорология и гидрология», 1969, № 1, с. 66—73.
302.	Сванидзе Г. Г., Кил асония А. И., Григолия Г. Л. Изменение оценок статистических характеристик процесса речного стока в зависимости от начала гидрологического года. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 215—223.
303.	Сванидзе Г. Г., Миндиашвили А. П. О выборе длины гидрологических рядов, смоделированных методом статистических испытаний. — «Тр. ГрузНИИ энергетики», 1969, т. 18, с. 114—123.
304.	Сванидзе Г. Г., Пиранашвили 3. А. К методу расчета регулирования речного стока с помощью системы водохранилищ. — «Сообщ. АН ГрузССР», 1963, т. 30, № 6, с. 765—772.
305.	Сванидзе Г. Г.,Пиранашвили 3. А. К вопросу о применении метода Монте-Карло в теории регулирования речного стока. — «Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт», 1967, № 5, с. 151—157.
306.	Сванидзе Г. Г.,Пиранашвили 3. А. О математических моделях речного стока и их использовании для гидрологических расчетов и прогнозов. — «Тр. САРНИГМИ», 1972, вып. 1 (82), с. 134—140.
307.	Сванидзе Г. Г., Пиранашвили 3. А., КиласонияА. Н. К вопросу об изменении статистических параметров речного стока при различной разрезке гидрографа на участки с годовыми интервалами осреднения. — «Метеорология и гидрология», 1970, № 6, с. 69—77.
308.	Сванидзе Г. Г., Резниковский А. Ш. Регулирование речного стока в каскаде ГЭС на основе применения метода статистических испытаний (метода Монте-Карло). — В кн.: Докл. Всесоюз. совещ. по применению вероятностных и статистических методов при проектировании и эксплуатации энергосистем. Киев, 1963, с. 199—208.
309.	Сванидзе Г. Г., Резниковский А. Ш. Опыт применения метода Монте-Карло к расчетам многолетнего регулирования стока в каскадах ГЭС.—«Гидротехническое строительство», 1964, № 1, с. 34—36.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
2S5
310.	Сванидзе Г. Г., Торонджадзе А. Ф. Расчет многолетней емкости регулирующего водохранилища методом функциональных уравнений. — «Тр. Ин-та энергетики АН ГрузССР», 1963, т. 17, с. 39—50.
311.	Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. М., «Наука», 1968. 463 с.
312.	Серебрянников М. Г., ПервозванскийА. А. Выявление скрытых периодичностей. М., «Наука», 1965. 244 с.
313.	Синявский Г. К. Математическая модель руслового процесса. — «Проблемы гидроэнергетики и водного хозяйства», 1965, вып. 3, с. 215—228. (Алма-Ата.)
314.	Слуцкий Е. Е. Сложение случайных причин как источник циклических процессов. Избранные труды. М., Изд-во АН СССР, 1960, с. 99—132.
315.	Смирнов Н. П. Пространственные закономерности многолетних колебаний стока рек ЕТС. — «Водные ресурсы», 1973, № 2, с. 21—32.
316.	Соболь И. М. Метод Монте-Карло. М., «Наука», 1972. 62 с.
317.	Современные проблемы гидрологии озер и водохранилищ. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 123—138. Авт.: А. В. Ш н и т н и к о в, А. Б. Авакян, С. Л. В е н д р о в, В. А. Знаменский.
318.	Соколова. А. Итоги работы симпозиума по паводкам и их расчетам.— В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 2. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 415—430.
319.	Соколов А. А. Роль гидрологии в экономическом и социальном развитии. — В кн.: Три века научной гидрологии. ЮНЕСКО — ВМО—МАНГ, Париж, 1974, с. 110—123.
320.	Соколова. А., Чеботарев А. И. Очерки развития гидрологии в СССР. Л., Гидрометеоиздат, 1970. 312 с.
321.	Соколовский Д. Л. Применение кривых распределения к установлению вероятностных колебаний годового стока рек в Европейской части СССР. М., Гостехиздат, 1930. 78 с.
322.	Соколовский Д. Л. Некоторые вопросы гидрологии и водного хозяйства засушливых районов. — «Проблемы гидроэнергетики и водного хозяйства», 1963, вып. 1, с. 5—9. (Алма-Ата.)
323.	Соколовский Д. Л. Речной сток. Л., Гидрометеоиздат, 1968. 539 с.
324.	Соколовский Д. Л.О методе единичного гидрографа и моделировании дождевых паводков на электронных аналоговых машинах. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 217—227.
325.	Соколовский Д. Л.О математизации гидрологии и методах математического моделирования и расчета паводков. — «Метеорология и гидрология», 1971, № 5, с. 60—68.
326.	Соколовский Д. Л. О принципах математического моделирования паводочного стока. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда, 1975, т. 3, с. 7—10.
327.	Соломон С. Статистические связи между гидрологическими переменными. — В кн.: Статистические методы в гидрологии. Л., Гидрометеоиздат, 1970, с. 18—73.
328.	СоломонияО. Г., Э д и б е р и д з е М. Г., Гершкович М. И, Математическая модель управления комплексной водохозяйственной системой и поиски оптимальной политики. — «Водные ресурсы», 1973, № 5, с. 143—147.
329.	Сомов Н. В. Асинхронность колебаний стока крупных рек СССР. — «Метеорология и гидрология», 1963, № 5, с. 14—21.
330.	С о ч а в а В. Б. Прогнозирование — важнейшее направление современной географии. — «Докл. Ин-та географии Сибири и Дальнего Востока», 1974, вып. 43, с. 3—15.
286
список литературы
331.	Статистическое моделирование гидрологического ряда с учетом внутригодового распределения стока. — «Водные ресурсы», 1976, № 4, с. 5—24. Авт.: Г. Г. С в а н и д з е, Г. Л. Г р и г о л и я, Р. Я. Ч и т а ш в и л и, 3. И.Ц е -р е т е л и.
332.	Струпчевский В. Определение распределения вероятности максимальных расходов на основе всех наблюденных паводков. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 32— 42.
333.	СугавараМ. Прогноз паводков посредством модели с рядом аккумулирующих емкостей. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 600—606.
334.	Сулаквелидзе Г. К., Петросянц М. А. Активное воздействие на атмосферные процессы. — «Метеорология и гидрология», 1970, № 3, с. 18—33.
335.	ТарасюкИ. И. Применение метода статистических испытаний при планировании вододеления в ирригации. Автореф. дисс. на соиск. учен, степени канд. техн. наук. Новочеркасск, изд. Новочеркасск, инж-мелиорат. ин-та, 1975, 28 с.
336.	ТикнюсА. И. К вопросу построения вероятностной модели гидрографа. — «Тр. ЛитНИИГиМ», 1972, т. 8, с. 149—157.
337.	Торгомян М. С. Характеристика водных ресурсов горных рек с точки зрения их энергетического использования. — «Изв. АН АрмССР», 1955, т. 8, с. 75—84.
338.	ТоронджадзеА. Ф. Об одной задаче с непрерывным временем в теории запасов. — «Тр. ин-та прикладной математики ТГУ», 1969, т. 1, с. 137— 147.
339.	Труды первого совещания по регулированию речного стока. М.—Л. Изд-во АН СССР, 1946. 246 с.
340.	Указания по определению расчетных гидрологических характеристик. СН 435-72. Л., Гидрометеоиздат, 1972. 19 с.
341.	У Сан Лин. Основы комплексного использования водных ресурсов Бирмы. Автореф. дисс. на соиск. учен, степени канд. техн. наук. М., изд. ун-та дружбы народов им. П. Лумумбы. 1969. 19 с.
342.	Федоров Е. К. Взаимодействие общества и природы. Л., Гидрометеоиздат, 1972. 88 с.
343.	X аггетП.,ЧорлиР. Д. Модели, парадигмы и новая география. — В кн.; Модели в географии. М., «Прогресс», 1971, с. 7—28.
344.	X а л ь д А. Математическая статистика с техническими приложениями. М., Изд-во иностр, лит-ры, 1956. 664 с.
345.	Хан Г.,Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. М., «Мир», 1969. 395 с.
346.	Харвей Д. Научное обоснование в географии. М., «Прогресс», 1974. 502 с.
347.	Хен ан Э. Анализ временных рядов. М., Изд-во иностр, лит-ры, 1964. 216 с.
348.	ХзмалянА. М. О подготовке кадров в области использования вод-'Ных ресурсов.—«Метеорология и гидрология», 1974, №5, с. 3—10.
349.	ХмаладзеГ. Н. К методике измерения и подсчета расхода воды на горных реках. — «Тр. ТбилНИГМИ», 1959, вып. 4, с. 153—162.
350.	Хмаладзе Г. Н. Закономерности изменения сроков прохождения весенне-летнего половодья на горных реках Закавказья и методика их расчета. — «Тр. ТбилНИГМИ», 1960, вып. 7, с. 101—106.
351.	ХомерикиИ. В. О цикличности колебаний речного стока в связи с вопросами многолетнего регулирования.— «Тр. Ин-та энергетики АН ГрузССР», 1963, т. 17, с. 153—159.
352.	ХомерикиИ. В. К вопросу исследования циклических вариаций речного стока. — «Сообщ. АН ГрузССР», 1964, т. 36, № 3, с. 611—616.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
287
353.	ХомерикиИ. В. Уточнение обеспеченности отдачи при многолетнем регулировании речного стока с помощью водохранилищ. — «Сообщ. АН ГрузССР», 1965, т. 37, № 2 с. 395—402.
354.	ХомерикиИ. В. Нахождение спектральных характеристик гидрологических рядов по модификации Гренандера—Розенблатта. — «Сообщ. АН ГрузССР», 1969, т. 53, № 3, с. 661—664.
355.	Хомерики И. В. Проверка условий стационарности на примере многолетних колебаний стока р. Нил. — В кн.: Регулирование речного стока. София, изд. АН. Болгарии, 1969, с. 77—86.
356.	ХорафасД. Н. Системы и моделирование. М., «Мир», 1967. 419 с.
357.	Хортон Р. Е. Эрозионное развитие рек и водосборных бассейнов. М., Изд-во иностр, лит-ры, 1948. 158 с.
358.	X р о м о в С. П. Солнечные циклы и климат. — «Метеорология и гидрология», 1973, № 9, с. 93—ПО.
359.	Цветков Е. В. Вероятностная методика назначения оптимальных режимов энергосистем с гидростанциями длительного регулирования. — «Тр. ВНИИЭ», 1961, вып. 13, с. 91 — 111.
360.	Цветков Е. В. Расчет оптимального регулирования стока водохранилищами гидроэлектростанций на ЦВМ. М., «Энергия», 1967. 186 с.
361.	Церетели 3. И. Результаты статистического моделирования гидрологических рядов с учетом внутригодового распределения стока по регрессионной схеме. — «Гидротехническое строительство в горных условиях», 1976, вып. 3 (58), с. 31—38.
362.	Церетели 3. И., Григолия Г. Л. Статистическое моделирование гидрологических рядов с учетом внутригодового распределения стока для водноэнергетических расчетов. — «Энергетика», 1974, № 1. (Тбилиси.)
363.	Церетели 3. И., ЧиташвилиР. Я. Об одной модели речного стока при водноэнергетических расчетах. — «Сообщ. АН ГрузССР», 1973, т. 71, № 3, с. 677—680.
364.	Чавчанидзе В. В. Метод случайных испытаний (метод Монте-Карло). — «Тр. Ин-та физики АН ГрузССР», 1955, т. 3, с. 105—121.
365.	Чавчанидзе В. В. Об обратном методе Монте-Карло. — «Тр. Ин-та физики АН ГрузССР», 1962, т. 8, с. 287—293.
366.	Чавчанидзе В. В. К вероятностно-концептуальным принципам организации памяти. — «Докл. АН СССР», 1974, т. 219, № 4, с. 1022—1024.
367.	Чавчанидзе В. В., Кумсиашвили В. А. Об определении законов распределения на основе малого числа наблюдений. — В кн.: Применение вычислительной техники для автоматизированного производства. М., Машгиз, 1961, с. 129—139.
368.	Чеботарев А. И. Развитие экспериментальных исследований в области гидрологии. — В кн.: Развитие гидрологических исследований в СССР. Л., Гидрометеоиздат, 1971. с. 28—38.
369.	Чеботарев А. И.,Залесский Ф. В. Состояние и перспективы развития методов гидрологических расчетов и их применение в строительном проектировании. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда Т. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1975. с. 84—92.
370.	Чеботарев А. И.,Рождественский А. В. О статистических методах сверхдолгосрочного прогнозирования гидрометеорологических характеристик. — «Метеорология и гидрология», 1976, № 6, с. 92—99.
371.	Чеботарев А. И.,Серпик Б. Й. Расчет дождевого стока неизученных рек СССР. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 22—30.
372.	Черкавский С. К. Государственный учет вод и их использование и гидрологические расчеты и прогнозы. — «Метеорология и гидрология», 1973, № 10, с. 18—26.
373.	Читашвили Р. Я. Об установлении оптимального стационарного режима в оптимально запланированных системах теории запасов (марковские
288
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
модели). — «Тр. Ин-та прикладной математики ТГУ», 1969, т. 1, с. 212—193.
374.	Читашвили Р. Я. Об оценке «кривых обеспеченности» в задачах планирования систем теории запасов. — «Тр. Ин-та прикладной математики ТГУ», 1969, т. 1, с. 217—225.
375.	Чого вадзе Г. И. Гидроэлектростанции Грузии. М., «Энергия», 1971. 269 с.
376.	Ч о к и н Ш. Ч. Теоретические основы обобщенной методики расчета регулирования речного стока при комплексном его использовании. — «Водные ресурсы», 1973, № 5, с. 120—124.
377.	Ч о к и н Ш. Ч., Григорьев В. А., Редькин В. К. Двухмодальные кривые распределения и применение их в расчетах регулирования речного стока. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975. с. 201—209.
378.	ЧокинШ. Ч., Гр игор ьевВ. А., Ред ьк инВ. К- Номограммы для определения полезной емкости водохранилища многолетнего регулирования при переменной внутригодовой отдаче. — «Проблемы гидроэнергетики и водного хозяйства», 1975, вып. 12, с. 82—88. (Алма-Ата.)
379.	ЧокинШ. Ч., Григорьев В. А., Редькин В. К. Обобщенный прием расчета многолетнего регулирования стока на полезную отдачу водохранилища. — «Проблемы гидроэнергетики и водного хозяйства», 1975, вып, 12, с. 74—81. (Алма-Ата.)
380.	Ч о м а И. Определение расходов воды различной обеспеченности. — В кн.: Междунар. симпозиум по паводкам и их расчетам. Кн. 1. Л., Гидрометеоиздат, 1969, с. 67—80.
381.	Ч у е в Ю. В., М и х а й л о в Ю. Б., Кузьмин В. И. Прогнозирование количественных характеристик процессов. М., «Советское радио», 1975. 400 с.
382.	Шарапов В. А. Водохранилища зарубежной Европы и некоторые вопросы их создания и комплексного использования. — «Водные ресурсы». 1973, № 3, с. 175—186.
383.	Шарашкина Н. С. Исследование цикличности годовых величин стока применительно к задачам гидроэнергетики. — В кн.: Проблемы гидроэнергетики и регулирования речного стока. М., Изд-во АН СССР, 1960. с. 152— 164.
384.	ШахбазянШ. А. О методике использования стохастического моделирования гидрологических рядов в исследовании многолетних колебаний стока.— «Изв. АН АрмССР», 1962, т. 15, № 5, с. 59—66.
385.	Швелидзе Т. В. Корреляционная связь годового стока крупных рек Кавказа с годовым стоком других крупных рек СССР. — «Тр. Ин-та энергетики Минэнерго СССР», 1969, т. 18, с. 59—65.
386.	Швелидзе Т. В. О влиянии начала гидрологического года на тесноту связи и асинхронность годового стока некоторых крупных рек Кавказа. — «Сообщ. АН ГрузССР», 1969, т. 55, № 3, с. 649—652.
387.	Шелутко В. А. Две математические модели стока и практические методы их использования в гидрологических расчетах. — «Тр. САРНИГМИ», 1972, вып. 1 (82), с. 107—120.
388.	Шелутко В. А. Опыт учета цикличности в расчетах стока. — В кн.: Тр. IV Всесоюз. гидрол. съезда. Т. 3. Л., Гидрометеоиздат, 1975, с. 232—240.
389.	Шенгелия Г. П. К вопросу о моделировании паводочных гидрографов методом фрагментов. — «Сообщ. АН ГрузССР», 1972, т. 68, № 2, с. 365—368.
390.	Шенгелия Г. П. Расчет регулирования паводочного стока в водохранилищах методом Монте-Карло. Автореф. дисс. на соиск. учен, степени канд. техн. наук. Тбилиси, изд. ГрузНИИЭГС, 1973. 23 с.
391.	Ш е н н о н К. Работы по теории информации и кибернетике. М., Изд-во иностр, лит-ры, 1963. 829 с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
289
392.	Шикломанов И. А. Расчет гидрографов паводков с учетом переменного времени добегания. — «Тр. ЛГМИ», 1968, вып. 28, с. 27—40.
393.	Шульц В. Л. Реки Средней Азии. Л., Гидрометеоиздат, 1965. 691 с.
394.	ЭдиберидзеМ. Г. Исследование некоторых вопросов оптимального регулирования стока водохранилищами гидростанций на основе теории управляемых марковских процессов. Автореф. дисс. на соиск. учен, степени канд. техн, наук. Тбилиси, изд. ГрузНИИ энергетики, 1968. 26 с.
395.	ЭдиберидзеМ. Г. К выбору оптимальной стратегии регулирования водохранилища гидростанции на основе теории управления марковских процессов. — «Сообщ. АН ГрузССР», 1968, т. 4, № 1, с. 167—172.
396.	ЭдиберидзеМ. Г. К вопросу внутригодового распределения стока рек Грузии. — «Тр. Ин-та энергетики АН ГрузССР», 1968, т. 18, с. 178—184.
397.	Я гл ом А. М., Я гл о м И. М. Вероятность и информация. М., «Наука», 1973. 511 с.
398.	Alexander G. М. Discussion of hydrology of spillway design. Large structures — adequate data. — «Proc. ASCE», 1965, vol. 9, N HY 1, p. 1, p. 210—219.
399.	Amorocho J. Distributed parameter catchment models and input fields. — In: Proceedings of the International Symposium on Mathematical Models in Hydrology. General report. Warsaw, 1971. 9 p.
400.	Amorocho J. Linear and non-linear analysis of hydrological systems. — In: Proceedings of the International Symposium on Application of Mathematical Models in Hydrology. Bratislava, 1975, p. 1—12.
401.	Beard L. R. Stochastic generation of monthly quantities. Computer program description. — In: Proceedings of the International Symposium on Application of Mathematical Models in Hydrology. Bratislava, 1975. 14 p.
402.	Bernier J. Les methods bayesiennes au hydrologie statistique. — In: Proceedings of the International Hydrology Symposium. Vol. 1. Fort Collins, Colo., USA, 1967, p. 459—470.
403.	Biernacki T., Pivecku T. Optimization model of a system of two open channel hydroplants. — In: Proceedings of the International Symposium on Mathematical Models in Hydrology. Papers 8/3. Warsaw, 1971. 12 p.
404.	В о u 1 d i n g K. General system theory — the skeleton of science. Management Science, 1956.
405.	Bugliarello G., Gunther F. Computer systems and water resources. Developments in water science. Vol. 1. Amsterdam and N. Y.Elsevier Scientific Publishing Company. 1974. 202 p.
406.	В u r a s N. A. A review of some applications of mathematical programming in water resources engineering. Progress rept, Haifa, 1968. 131 p.
407.	C h о w V. T. Hydrology and its developments. Sect. 1. Handbook of applied hydrology. N. Y., McGrow Hill, 1964.
408.	C h о w V. T. Role of WES in the development of hydrodynamic watershed model. — In: Proceedings of the International Symposium on Mathematical Models in Hydrology. Warsaw, 1971, p. 514—528.
409.	Chow V. T., Kareliotis S. J. Analysis of stochastic hydrologic systems. — «Water Resources Res.», 1970, vol. 6, p. 1569—1582.
410.	С 1 a r k e R .T. Mathematical models in hydrology. Paper N 19. Rome, FAO Irrigation and draniage, 1973. 282 p.
411.	Dawdy D. R., Matalas N. C. Handbook of applied hydrology: Analysis of variance, covariance and time series. N. Y., McGrow Hill, 1964, p. 8—68.
412.	Dawdy D. R., O'D о n n e 1 T. Mathematical models of catchment behaviour. — «J. Hydraulics Div. ASCE», 1965, № 6, p. 15—20.
413.	Dooge J. С. I. Mathematical models of hydrologic systems. — In: Proceedings of the International Symposium on Modelling Technique in Water Resources Systems. N 1. 1971, p. 171—189. (Warsaw).
290
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
414.	DumitrescuS., Nemec J. Hydrology — A look back and a look forward. — In: Three Centuries of Scientific Hydrology. Paris, UNESCO — WMO, AISH, 1971, p. 16—22.
415.	Durbin J. Estimation of parameters in time series regression models. — «J. Roy. statistical society», I960. Ser. B, 233—244.
416.	DyckS., Schramm M. Application of Monte Carlo method to reservoir design. — In: Proceedings of the International Hydrology Symposium. Vol. 1. Fort Collins, Colo, USA, 1967, p. 406—413.
417.	Feller W. The asymptotic distribution of the range of sums of independent random variables. — «Annual Mathematical Statistics», 1951, vol. 22, p. 427—432.
418.	F i e r i n g M. B. Queuing theory and simulation in reservoir design. — «J. Hydraulics Div. ASCE», 1961, 87, N HY 6, p. 39—69.
419.	F i e r i n g M. B. Streamflow synthesis. Cambridge, Mass., USA, Harvard University Press, 1967. 139 p.
420.	Franklin J. N. Numerical simulation of stationary and non-sta-tionary Gaussian random process. — «SIAM Review», 1965, vol. 7, N 1, p. 68—80.
421.	G о m i d e P. L. S. Range and deficit analysis using Markov chains. — «Hydrology papers, Colorado State University», 1975, N 79, Fort Collins, Colo., USA. 76 p.
422.	Grenander U., RossenblattM. Statistical Analysis of Stationary time series. N. Y., 1956.
423.	G r i g о 1 i a G. L., К i lasonia A. N. On the statistical characteristics of streamflow for water management calculations. — In: Proceedings of the Second World Congress, IWRA. Vol. 5. New Delhi. 1975, p. 7—16.
424.	H a z e n A. Storage to be provided in impounding reservoirs for municipal water supply. — «Proc. ASCE», 1914, vol. 77, p. 1539—1560.
425.	Hurst H. E. Long-term storage capacity of reservoirs. — «Trans. ASCE», 1951, vol. 116, p. 770—779.
426.	H u r s t H. E. Methods of using long-term storage in reservoirs. — «Proceedings of Institution of Civil Engs.», 1956, p. 1, vol. 5. 519 p. (London).
427.	H u r s t H. E. The problem of long-term storage in reservoirs. — «International Union of Geophysics and Geodesy Information Bulletin», 1956, N 15, p. 463 (London).
428.	International Commission on large dams. World register of dams. Paris, 1964.
429.	J о h n s о n N. L. Systems of frequency curves generated by methods of translation. — «Biometrika», 1949, vol. 36, p. 349.
430.	Kaczmarek L. Przeszial ufnosci, jako miara dokladnosci oszaco-wania prawdopodobnych przeplywow powodziowych. — «Wiad. shiz. hydrol.», 1960, t. 7, N 4.
431.	Kaczmarek Z. Metody statystyczne w hydrologii i meteorologii. Warsawa, 1971. 312 p.
432.	К a p 1 a n A. The conduct of inquiry. San Francisco, 1964. 438 p.
433.	KardosM. A. A new method for modelling monthly discharge series. — In: Proceedings of the International Symposium on Application of Mathematical Models in Hydrology. Bratislava, 1975. 9 p.
434.	Khomeriki I. B. Concerning the calculation of level variation of cut-off water balance. — In: Proceedings of the International Symposium on Uncertainties in Hydrology and Water Resources Systems. Tucson, Ariz., USA, 1972.
435.	Kind 1 er J. The Monte Carlo approach to optimization of the operation rules for a system of storage reservoirs. — In: Proceedings of the International Symposium on Application of Mathematical Models in Hydrology. Bratislava, 1975. 21 p.
436.	К i n g m a n J. F. C. On continuous time models in the theory of dams. — «J. Austrian Mathem. Soc.», 1963, vol. 6, p. 4.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
291
437.	К 1 е m е s V. Application of hydrology to water resources management. WMO, Geneva, Switzerland, 1973, N 356. 104 p.
438.	К 1 ernes V. The Hurst phenomenon: a puzzle? — «Water Resources Res.», 1974, vol. 10, N 4, p. 675—688.
439.	KI ernes V., Boruvka. Output from a cascade of discrete linear reservoirs with stochastic input. — «J. Hydrology», 1975, vol. 27, p. 1—13.
440.	К о h 1 e r M. A. Trends in hydrological analysis. — In: Three Centuries of Scientific Hydrology. Paris, UNESCO— WMO, AISH, 1974, p. 98—101.
441.	Konrad K- Modelovani hydrologickych rad. — «Vodni hospodarstvi» 1964, N 3, p. 87—90.
442.	К u 1 1 b a c k S. Information theory and statistics. N. Y.— London, 1959.
443.	L a n g b e i n W. B. Queuing theory and water storage. — «Proc. ASCE», 1958, vol. 84, N HY 5.
444.	Langbein W. B. Water data today and in prospect. — «Hydrolog. Sci. Bull.», 1972, vol. 17, p. 369—385.
445.	L i t 11 e J. D. The use of storage water in hydroelectric systems. — «J. Operations Res. Soc. America», 1955, vol. 3, N 2.
446.	L i t w i n Y. J., J о c r e s E. F. AR IMA modelling — a new technique applied to hydrology and water quality control studies. — «Proceedings of the International Association for Hydraulic Research», vol. 4, 1975, Sao Paulo, p. 109— 119.
447.	Lloyd E. H. Stochastic reservoir theory. — «Adv. Hydrosci», 1967, vol. 4, p. 281—339.
448.	M a n d e 1 b г о t В. B., W a 1 1 i s J. R. Computer experiments with fractional Gaussian noises averages and variances. — «Water Resources Res.», 1969, vol. 5, N 1, p. 228—267.
449.	Mandelbrot В. B., Wallis J. R. Some long range properties of geophysical records. — «Water Resources Res.», 1969, vol. 5, N 2, p. 321—340.
450.	M a n i a k V. Flood frequency studies of rivers in the Federal Republic of Germany. — In: Proceedings of the International Symposium on Mathematical Models in Hydrology. Warsaw, 1971. 10 p.
451.	M a t a 1 a s N. C. Mathematical assessment of synthetic hydrology. — «Water Resources Res.», 1967, vol. 3, N 4, p. 937—945.
452.	Matalas N. C., HuzzenC. S. A property of the range of partial sums. — In: Proceedings of the International Hydrology Symposium. Vol. 1. Fort Collins, Colo., USA, 1967, p. 252—257.
453.	Matalas N. C.,Moody D. W. Results of recent research in operational hydrology. — In: Proceedings of the International Symposium on Water Resources, vol. 2. Prague, 1973, p. 118.
454.	Mejia J., Rodrigue z-Iturbe L, Dawdy R. D. Streamflow simulation. The broken line process as a potential model for hydrologic simulation. — «Water Resources Res.», 1972, vol. 8, N 8, p. 931—941.
455.	Mel en t j e vi c h M. J. The analysis of range with output linearly dependent upon storage. — «Hydrology papers. Colorado State University», 1965, vol. 1, N 11. (Fort Collins, Colo., USA.) 72 p.
456.	Moran P. A. P. The theory of storage. London — N. Y,, 1959. 251 p.
457.	Nass R. General evolution of the concept of the hydrological cycle. — In. Three Centuries of Scientific Hydrology. Paris, UNESCO — WMO, AISH, 1971. 31 p.
458.	О' С о n n e 1 1 P. E. A simple stochastic modelling of Hurst’s law. — In: Proceedings of the International Symposium on Mathematical Models in Hydrology- Vol. 1. Warsaw, 1971.
459.	O' D о n n e 1 T. The fitting of conceptual catchment models. — In: Proceedings of the International Symposium on Mathematical Models in Hydrology. General report, Warsaw, 1971. 7 p.
460.	O’ D о n n e 1 T., M a n d e v i 1 1 e A. N. Conceptual catchment modelling of isolated storm events. — In: Proceedings of the International Symposium on Mathematical Models in Hydrology. Bratislava, 1975. 19 p.
292
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
461.	Okroashvili G. G., Svanidze G. G. The MAR analog computer for modelling hydrological series by the Monte Carlo method. — In: Proceedings of the International Symposium on the Use of Analog and Digital Computers in Hydrology. Vol. 1. Tucson, Ariz., USA, 1969, p. 81—86.
462.	Optimization of hydropower plant cascade operation with water storage in power systems. — In: Proceedings of the VIII World Energy Conference. Budapest, 1971, p. 428—447. Auth.: A. Ch. R e z n i kovski, M. T. R u b i n st e i n, G. G. Svanidze, E. V. Tsvetkov.
463.	Ozga-Zielinska M., Krajewski K- The simplified Integral mathematical model on the small low-land catchment. — In: Proceedings of the International Symposium on Mathematical Models in Hydrology. Bratislava, 1975. 12 p.
464.	Pegram G. S., James W. Multlilag multivariate autoregressive model for the generation of operational hydrology. — «Water Resources Res.», 1972, vol. 8, N 4, p. 1074—1076.
465.	Priestly H. B. Estimation of the spectral density function in the presence of harmonic components. — «J. Royal statistic society», 1964, vol. 26, N 1.
466.	Q u i m p о R. G. Stochastic identification of non-linear hydrologic systems. — In: Proceedings of the International Symposium on Mathematical Models in Hydrology. Bratislava, 1975. 8 p.
467.	Quimpo R. G., Yevjevich V. Stochastic description of daily river flows. — In: Proceedings of the International Hydrology Symposium. Vol. 1. Fort Collins, Colo., USA, 1967, p. 290—297.
468.	Rodda J. Data Collection systems and their impact on the future development of hydrology. — In: Three Centuries of Scientific Hydrology. Paris, UNESCO — WMO, AISH, 1974, p. 80—92.
469.	S a d 1 e г С. E. Storage required for the regulation of streamflow. — «Trans. ASCE», 1927, vol. 91, p. 622—645.
470.	Schramm M. Zur mathematischen Darstellung und Simulation des naturlichen Durchussprozesses. — «Acta Hydrophysica», 1975, Bd. 19, H. 2—3, S. 77—191. (Berlin).
471.	Schramm M., Erippendorf H. Analyse intermonatlicher Durchflussschwankungen. — «Wasserwirtschaft — Wassertechnik», 20, Jg. 1970, H. 11.
472.	S 1 a d e I. An asymmetric probability function. — «Proc. ASCE», 1934, N 8.
473.	S 1 e p i a n D. Estimation of signal parameters in the presence of noice. — «Trans. IRE PGIT-3», 1954.
474.	Sugawara M., Ozaki E., KatsuyamaY., Watanabe I. Tank model. — In: Proceedings of the International Symposium on Application of Mathematical Models in Hydrology. Bratislava, 1975. 23 p.
475.	Svanidze G. G. Methods of choosing reservoir capacities for power systems with long-term regulation of runoff. — In: Proceedings of the VI World Conference. Sub-division HI. Paper 171. Melbourn, 1962. 11 p.
476.	Svanidze G. G. River runoff as a stochastic process and its mathematical modelling. — In: Proceedings of the International Hydrology Symposium. Vol. 1. Fort Collins, Colo., USA, 1967, p. 431—438.
477.	Svanidze G. G. Use of digital computers for mathematical modelling of hydrologic processes. — In: Proceedings of the International Symposium on the Analog and Digital Computers in Hydrology. Vol. 1. Tucson, Ariz., USA, 1968, p. 249—257.
478.	S v a n i d z e G. G. Mathematical simulation of river runoff for determination of flood control storage capacity of regulating reservoir. — In: Proceedings of the International Seminar of Flood Control. Tbilisi, USSR, 1969. 16 p.
479.	Svanidze G. G. Mathematical models of runoff in calculating storage reservoirs. — In: Proceedings of the International Symposium on Mathematical Models in Hydrology. Vol. 1. Warsaw, 1971, p. 408—413.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
293
480.	Svanidze G. G. Some problems of the optimal use of a basin water resources on the basis of mathematical modelling. — In: Proceedings of the XVI Congress IAHR. Vol. 5. Paris, 1971, p. 229—232.
481.	Svanidze G. G. Stochastic analysis of water storage problems. General report. — In: Proceedings of the International Symposium on Mathematical Models in Hydrology. Vol. 3. Ses. 6. Warsaw, 1971, p. 1185—1191.
482.	Svanidze G. G. Mathematische Modellierung in der Speichewirt-schaft. — «Wasserwirtschaft — Wassertechnik», 1974, N 3, S. 76—79.
483.	Svanidze G. G. Mathematical models of streamflow for water power (water management) calculations. — In: Proceedings of the Second World Congress, IWRA. Vol. 5. New Delhi, 1975, p. 17—24.
484.	Svanidze G. G. Preparation of hydrologic data for optimization of water resources systems. — In: Proceedings of the XVI Congress, IAHR. Vol. 4. Sao Paulo, Brazil, 1975, p. 43—50.
485.	Svanidze G. G. Some rational hydrograph models for the water resources calculations. — In: Proceedings of the International Symposium on Application of Mathematical Models in Hydrology. Bratislava, 1975, p. 1—14.
486.	Svanidze G. G. The use of the method of Monte Carlo in the longterm hydrologic probability forecast. — In: Proceedings of the 23rd International Geographical Congress. Sect. 2. Moscow, 1976 p. 221—224.
487.	Svanidze G. G., К homer i k i I. V. General scheme for calculating the water balance of closed inland seas and lakes by the method of statistical modelling. — In: Proceedings of the International Symposium on World Water Balance. Gol. 2. Reding, Britain, 1970, p. 289—294.
488.	Svanidze G. G., Reznikovski A. Sh. Stochastic methods of modelling for designing water economy systems. — In: Proceedings of the XV Congress, IAHR. Vol. 4. Istanbul, Turkey, 1973.
489.	Svoboda A. Simplification of the flood routing procedures. — «Vo-dohospodarsky casopis», 1967, vol. 15.
490.	Svoboda A. Nelinearita hydrologickych systemov zo vztamu k pres-nosti hydrologickych udajov. — «Vodohospodarsky casopis», 1973, Rocnic C. 3-4, p. 305—322.
491.	Svoboda A. Effects of storage on distribution parameters of peak discharges. — «J. Hydrolog. sci.», 1974, vol. 1, N 1—2, p. 35—54.
492.	Szesztay K. Review — Monograph by G. G. Svanidze «Bases of streamflow regulation design by the Monte Carlo method», — «Bull. Intern. Assoc. Sci.» Hydrology», 1971, March, vol. 16, N 1, p. 121 —122. (Budapest.)
493.	T h о m a s H. A., F i e r i n g M. B. Mathematical synthesis of streamflow sequences for the analysis of over basins simulation in design of water resources systems. Mass., USA, Harvard University Press, 1962, p. 256—276.
494.	Volker A. Hydrology and water resources development. — In: Three Centuries of Scientific Hydrology. Paris, UNESCO — WMO, AISH, 1974, p. 102— 109.
495.	Votruba L., Broza V. Hospodareni s vodou v nadrzich. SNTL, Praha, 1966.
496.	W a 1 1 i s J. R. Multivariate statistical methods in hydrology — a comparison using data of known functional relationship. — «Water Resources Res.», 1965, N 4, p. 447—461.
497.	Y e v j e v i c h V. Fluctuations of wet and dry years. Colorado State University, Fort Collins, Colo., USA, 1963. 55 p.
498.	Y e v j e v i c h V. Probability and statictics in hydrology. Water Resources Publications. Fort Collins, Colo., USA, 1972. 302 p.
499.	Y e v j e v i c h V. Stochastic processes in hydrology. Water Resources Publications. Fort Collins, Colo., USA, 1972. 276 p.
500.	Yevjevich V. Mathematical model for generating new samples from information on available hydrologic time series. — In: Proceedings of the International Symposium on Application of Mathematical Models in Hydrology. Bratislava, 1975.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автокорреляционная функция см. Корреляционная функция
Белый шум 132
Водные ресурсы 5, 6
Годовой сток
— —, коэффициент асимметрии 66, 67
— —,— вариации 58 — 61, 108
— —,— корреляции смежных лет 61—66 ----, пределы изменения 14, 15, 88, 89, 102 ----среднемноголетний 56 — 58, 108 ----, цикличность колебаний 32 — 41
Дискретизация процесса стока 24, 42 Дисперсия случайного процесса 22
Каноническое разложение случайного процесса 175—177, 254
Ковариационная функция см. Корреляционная функция
Количество информации Фишера 44, 45 Корреляционная функция 23, 36, 74 — 77, 108
----, типы 78
Коэффициент внутригодовой неравномерности стока 167 ---------кумулятивный 171, 172
— естественной зарегулированности стока 167—170
—	Херста см. Явление Херста
Критерий Колмогорова 52
—	Романовского 58
— Фишера 61 — 63
— хи-квадрат 102—105, 189—191, 235
Математическое ожидание случайного процесса 22
Метод Гренандера — Розенблатта 37, 38 — календарный 7, 45, 133
— максимального (наибольшего) правдоподобия 40, 43, 50, 51, 96, 97
— моментов 43, 48, 96, 97
— Монте-Карло 11, 113, 118, 124, 133
----обратный 52, 106
— скользящего среднего 16, 39 — 40
— статистического моделирования см.
Метод Монте-Карло
— фрагментов 30, 109, 164—199, 258 — 267
— Шустера —Стокса 36, 37
Модель математическая
— — вероятностная 12, 13
----детерминистическая 12, 13
-— — корректная 29
— — параметрическая 13
---- полная 27
’«--речного стока 8, 16—19, 33, 45, 105,
109
--------- неравнодискретная 229
Модульный коэффициент 88, 215
Моменты случайного процесса 22, 73
Неравенство Рао—Крамера 44
A-гипотеза 111, 112, 126, 201, 253, 254
Оценка доверительными областями 43,
45, 46, 155
Оценка точечная 43 — 45
----ковариационной функции 17
----коэффициента корреляции 77
—	— математического ожидания 17
----несмещенная 43, 44
—	— состоятельная 43
—	— центральных моментов 237
— — эффективная 43, 44
Погрешность моделирования 28 — 30
Принцип баланса точностей 28, 29
Процентиль 100
Разностная интегральная кривая 34, 35
Распределение вероятностей
----, бета-93
— —, гамма-89, 105, 119
— — Джонсона 93 — 95, 102, 106, 149, 212 — 214, 228, 236
— — Н. А. Картвелишвили 105
----С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля 139 212
— — лог-нормальное 138, 139, 149, 232, 255
— — нормальное (гауссовское) 15, 89, 99
—	— Пуассона 34
—	— равномерное 89
—	— Стьюдента 58, 89, 93, 155
Расчет паводочного стока 258 — 267
— полезной емкости водохранилища 160, 161
Реализация случайного процесса 21, 22 -------высоковероятная 47, 48, 105
Ряд Эджворта 236, 237
Системотехника 9, 10
Сложность вычислений 28
Случайный (вероятностный, стохастический) процесс, определение 20, 21 — авторегрессионный 128, 129
— — марковский см. Цепь Маркова ---- с дискретным временем (случайная последовательность) 21 — — с независимыми значениями 21 — — с непрерывным временем 21 — — стационарный 22 — — условный 141
— — эргодический 22, 48, 106
Спектральная функция 36, 108, 129
Схема Бернулли 46, 47
Тренд 36 — 40, 75, 77, 140
Цепь Маркова 13, 19, 33, 78, 141 ----, глубина (длина) связности 104—105, 223-225
----простая 106, 114, 121, 122, 125, 142 232__234
----сложная 106, 122—128, 143, 234
Энтропия 47
Явление^Херста ПО
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ......................................................... 3
ВВЕДЕНИЕ...........................................................  5
I.	АНАЛИЗ НАБЛЮДЕННЫХ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ РЯДОВ
Глава 1. Процесс речного стока и его анализ . . ................... 16
1.1.	Общая часть ........................................... —
1.2.	Речной сток как стохастический процесс................ 19
1.3.	Модель наблюденного гидрографа и выбор интервала осреднения ............................................... 24
1.4.	Некоторые вопросы цикличности процесса колебаний годового стока ......................................... 32
Заключение................................................. 41
Глава 2. Установление статистических	характеристик	стока........... 42
2.1.	Общая часть ........................................... —
2.2.	Оценки статистических	характеристик	годового стока . .	49
2.3.	Изменение статистических характеристик годового стока при различной дате начала гидрологического года ....	54
2.4.	Стохастические связи между расходами воды за отдельные интервалы осреднения.................................... 73
2.5.	Применение распределения Джонсона для расчета речного стока ............................................. 87
Заключение................................................ 105
II. МОДЕЛИРОВАНИЕ (СИНТЕЗ) ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ РЯДОВ
Глава 3. Моделирование рядов годового стока....................... 107
3.1.	Общая часть ........................................... —
3.2.	Индивидуальное моделирование гидрологического ряда. .	113
3.3.	Итерационный метод построения модели процесса стока . .	128
3.4.	Методы группового моделирования взаимозависимых гидрологических рядов ................................... 133
3.5.	Унифицированный метод моделирования гидрологических рядов ................................................. 140
3.6.	Групповое моделирование гидрологических рядов методом ПО Л АР ........................................... 147
3.7.	О необходимой длине	гидрологического	ряда........... 152
Заключение................................................ 158
Глава 4. Моделирование гидрологических рядов композиционными методами с учетом внутригодового	распределения	стока........... 159
4.1.	Общая часть ........................................... —
4.2.	Метод фрагментов..................................... 165
4.3.	К обоснованию метода	фрагментов.................... 175
4.4.	Анализ степени совпадения исходных и смоделированных гидрологических рядов	............................. 188
4.5.	Метод фрагментов при учете динамики системы и при групповом моделировании................................ 195
Заключение................................................ 197
296
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5. Моделирование гидрологических рядов с учетом внутригодового
распределения стока по схеме цепи Маркова.................. 199
5.1.	Общая часть ........................................... —
5.2.	Метод последовательного определения линейной авторегрессии (метод ПОЛАР)..................................... 201
5.3.	Анализ степени совпадения исходных и смоделированных гидрологических рядов .................................... 216
Заключение................................................ 225
Глава 6. Моделирование гидрологических рядов на основе приведения нестационарного процесса стока к стационарной случайной последовательности .................................................. 228
6.1.	Общая часть ........................................... —
I	6.2. Неравнодискретная	Т-модель стока .................... 229
6.3.	Установление границ интервалов стационарности и построение	7-модели	стока ............................. 236
6.4.	Примеры	построения	Т-модели.......................... 241
Заключение................................................ 252
Глава 7. Моделирование гидрологических рядов для расчета паводочного стока ........................................................ 253
7.1.	Методика моделирования непрерывных реализаций процесса стока................................................. —
7.2.	Применение метода фрагментов для определения противопа-водочной емкости регулирования..........................   258
Заключение................................................ 266
Послесловие........................................................ 268
Список литературы................................................   270
Предметный указатель................................................294
Гиви Гедеонович Сванидзе
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
гидрологических
РЯДОВ
Редактор Т. С. Шмидт
Художник В. В. Бабанов
Художественный редактор Б. А. Денисовский
Технический редактор Г. В. Ивкова
Корректор В. И. Гинцбург
ИБ № 67
Сдано в набор 8/ХП 1976 г. Подписано к печати 20/V 1977 г. М-20178. Формат 60Х901/1в- Бум. тип. № 1. Печ. л. 18,5 Уч.-изд. л. 20,1. Тираж 2500 экз. Индекс ГЛ-144. Заказ № 1428. Цена 2 руб. 60 коп.
Гидрометеоиздат, 199053, Ленинград, 2-я линия, д. 23
Ленинградская типография № 6
Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
193144, Ленинград, С-144, ул. Моисеенко, 10