Text
ЛА КУЗНЕЦОВ
СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
• .; Москва «Высшая школа» 1994
ЛА КУЗНЕЦОВ
СБОРНИК
ЗАДАНИЙ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
ТИПОВЫЕ
РАСЧЕТЫ
Рекомендовано Государственным комитетом Российской Федерации но высшему образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных здьеденнй, обучающихся по направлению «Математика»
Москва
«Высшая школа» 1994
ББК 22.11 К89
УДК 517
Федеральная программа книгоиздания России
Рецензент — кафедра высшей математики Московского института электронной техники
1602010000 — 101
К—-----------------без объявл.
001(01) —94
ISBN 5-06-002666-3
© Л. А. Кузнецов, 1994
ПРЕДИСЛОВИЕ
Важным фактором усвоения математики и овладения ее методами является самостоятельная работа учащегося. Система типовых расчетов (ГР), как показал опыт ряда вузов нашей страны, активизирует самостоятельную работу студентов и способствует более глубокому изучению курса высшей математики. Применение системы ТР рекомендовано программой по высшей математике для втузов.
Каждый ТР содержит теоретические вопросы, теоретические упражнения и расчетную часть — задачи. Теоретические вопросы и теоретические упражнения являются общими для всех студентов, задачи для каждого студента группы индивидуальные (каждая задача составлена в 31 варианте).
Выполнение студентами ТР контролируется преподавателем. Предварительно проверяется правильность решения теоретических упражнений и задач, Завершающим этапом является защита ТР. Студент должен уметь правильно отвечать на теоретические вопросы, пояснять решения теоретических упражнений и задач, решать задачи аналогичного типа.
Настоящий сборник отражает опыт работы Московского энергетического института, в котором система типовых расчетов по высшей математике успешно используется начиная с 1971/72 учебного года. Наряду с традиционными текущими заданиями по математике студенты МЭИ в течение каждого семестра выполняют ТР по разделам, изучаемым в семестре. Задачи сдаются студентами на проверку частями по мере изучения курса. Защита ТР осуществляется в письменной форме во время занятий по расписанию (как правило, защита занимает один учебный час). Повторная защита проводится вне сетки расписания в письменной форме или в виде собеседования (по усмотрению преподавателя).
Работой по созданию типовых расчетов руководил автор сборника доц. Л. А. Кузнецов. Большую помощь в этой работе ему оказали доц. В. П. Никулин, старшие преподаватели А. Ф. Леферова, А. С. Калинин. В составлении задач принимали участие многие преподаватели кафедры высшей математики МЭИ
з
В. В. Жаринов, В. А. Илюшкин, Н. К. Козлова, Р. Ф. Салихд-жанов, Г. А. Соколов и др. Созданию и внедрению системы типовых расчетов во многом способствовал чл.-кор. АН СССР проф. С. И. Похожаев.
При подготовке второго издания учтен опыт использования сборника в МЭИ и в раде других вузов, внесены исправления, переработаны задачи в разделе «Ряды». Сборник дополнен разделом «Уравнения математической физики», в который включены простейшие задачи, рассчитанные на применение метода разделения переменных.
Автор благодарен проф. А. В. Ефимову, доцентам В. М. Терпигоревой, В. Г. Долголаптеву и И. Б. Кожухову за рецензирование рукописи и полезные замечания. Автор весьма признателен также проф. И. М. Петрушко и доц. А. Л. Павлову за участие в подготовке материалов для составления задач по уравнениям математической физики, доц. В. П. Пикулину, любезно предоставившему готовые материалы по аналитической геометрии и линейной алгебре, доц. П. А. Шмелеву за сделанные замечания и предложения по пересмотру рада теоретических упражнений, доц. Минского радиотехнического института А. А. Карлуку, сообщившему замечания, накопленные при работе со сборником, и всем, кто проявил внимание и высказал добрые пожелания по совершенствованию сборника.
Автор
I. ПРЕДЕЛЫ
Теоретические вопросы
1. Понятия числовой последовательности и ее предела. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
2. Понятие предела функции в точке. Понятие функции, ограниченной в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.
3. Теорема о переходе к пределу в неравенствах.
4. Теорема о пределе промежуточной функции.
5. Понятие непрерывности функции. Доказать непрерывность функции cosx.
б. Первый замечательный предел lim । ' — 1, х-*0 х
7. Понятие бесконечно малой функции. Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой.
8. Теорема о сумме бесконечно малых функций.
9. Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.
10. Теорема об отношении бесконечно малой функции к функции, имеющей предел, отличный от нуля.
11. Теорема о пределе суммы.
12. Теорема о пределе произведения.
13. Теорема о пределе частного.
14. Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.
15. Непрерывность суммы, произведения и частного.
16. Непрерывность сложной функции.
17. Понятие бесконечно большой функции. Теоремы о связи бесконечно больших функций с бесконечно малыми.
18. Сравнение бесконечно малых функций.
19. Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о замене бесконечно малых функций эквивалентными.
20. Условие эквивалентности бесконечно малых функций.
5
Теоретические упражнения
1. Доказать, что если lim ап « а, то lim (ая |=| а |. Вытекает ли л-»оо л-»оо
из существования lim |ал| существование lim а„? Л-»ОО л-»оо
Указание. Доказать и использовать неравенство
2. Доказать, что последовательность {л2} расходится.
3. Сформулировать на языке «8—5» утверждение: «Число А не является пределом в точке х0 функции f(x), определенной в окрестности точки х0».
4. Доказать, что если f(x) непрерывная функция, то F(x> = \f(x) | есть также непрерывная функция. Верно ли обратное утверждение?
5. Сформулировать на языке «8—5» утверждение: «Функция f(x), определенная в окрестности точки х0, не является непрерывной в этой точке».
6. Пусть lim /(xj#0, a lim q>(x) не существует. Доказать, х-»хв х-»х0
что lim f(x) <р(х) де существует.
х-»хв
Указание. Допустить противное и использовать теорему о пределе частного.
7. Пусть функция f(x) имеет предел в точке х0, а функция q>(x) не имеет предела. Будут ли существовать пределы:
1) lim \f(x) + q>(x)\, 2) lim f(x) <р(х)?
x-*xt Х-*Хф
Рассмотреть пример: lim х sin х—0 X
8. Пусть lim f(x)^Q, а функция <р(х) бесконечно большая х-»х0
при х-*х0. Доказать, что произведение f(x)q>(x) является бесконечно большой функцией при х-*х0.
9. Является ли бесконечно большой при х-»0 функция - cos -?
10. Пусть а?(х)~а(х) и fl'(x)~fl(x) при х->х0. Доказать, что если lim-----не существует, то lim-----тоже не существует.
x-*Xo/Ffx) х-*хо0(х)
Расчетные задания
Задача 1. Доказать, что lim а^а (указать N(b)).
«-♦СО
6
Зл-2 3
1.1. Ад"-----, А—-.
2л—1 2
7л4-4 7
13, Ад"------, А"-.
2л 4-1 2
7л-1
1-5- Дя----л-7.
Я 4-1
9-я2 1
1,7. д<|». . в.
14-2я’ 2
1Л
13.
1.9.
«я—
2
1.11
«я
fl——.
2
1.17.
1.19.
131
Дд—, А" -2 л2 4-3 ' Л 1
Дя—"--9 Л"*~.
Зя-1 3
2 в»—.
3 1
3 Ад"---• в«~.
5я+1 5
«я-
“я"
4л—1 >я
2л 4-1
2л-5 2
Ад"----» Д—“•
Зл+1 3
1.10.
1ЛХ
Ад"— ---, А"~.
Зя24-2 3
4я-3 fl„"--fl-2
2я4-1 5я ----7, «-
Я4-1 2я4-1 2
«я-"—ъ «-;• Зя—5 3
1.14.
а——3.
1.16. в«"“—, а*"3. я2-1
5л 4-15
1.18. ая»..., а— —5.
6—л
2л-1 2
130. вд«——, а* —.
2—Зя 3
4л—3
---, д-2 2л 4-1
5л+1 1
'111 , fl«-.
10н—3 2
13Х
135.
1.27.
139.
131.
О" . 134.
2 4-4л2 2 2-2л 1 д,* , а*"—. 136.
34-4я 2 14-Зя «л—, ,аш—3. 138.
6—я Зя2 4-2 3 Дд— - , fl—-. 130.
. 4л2-1 4 2л2 яг—2
«л—.....
2-я
2л 4-3 «я“---Т,«
3
?
стей
пределы числовых последовательно-
XI. Нт 2------2—2-----2_.
я-»со (3—я)2 —(34-л)2
23. lim .............
я-оо (1-л)’-(14-л)э
лл, нт
л—*оо (64-я)2—(1—я)2.
(3—я)*—(2—я)* нт ........ и । и
Я-»СО (1 —я)*—(1 +я)*
мт ............9
я-*ао (14"Я)2—(1 —я)2 .. (дч-^-Ся-И)2
lim -------------.
л-»со (я—I)2—(яЧ-1)2
7
(1+2л)’—8л3
17. lim ----------.
я-»оо (1+2»)3 +4ла ж ~ .. 0“")’
1». Нт ---------------
л-.оо(и+!)’-(»+If
«_ Х"+0‘-("-2)’ Lil. hm --------------
я-*со я*+2я—3
("+3f+("+<? 2Д1 lim -------------.
я-® (»+3)*—(л+4)* 8л’-2л
(3—4л)3
11 Нт -------;------..
И-® (л-З^-Ся+З)1 г (»+1),+(л-1)’-0»+2) 111 lim -----г..............
я—® (4—л)1
(л+1)’+(л+2)а 111 Нт -------г-2---
Щ lim --------------.
я-®(л+1)\(*-1)\
, Cto-3)M»»+5)>
»-.«> (Зя-1)’+(2*+3)*
«_ &+l)*+P»+tf
2.19. шп ...
я-® (2л+3),-(я-7)>
114. lim 2---4—-----
я-® (л+О’+О’-!)3 _ „ .. (я+6)3-(л-Ы)5
111 Нт Л—00
111 lim я-»®
*11ft lim -----------.
я-® (Зя+г^+^+П3
121. lim я—®
121 lim я—®
121 lim я—®
2J7. lim я—®
12». Цт я—®
131. Нт л-»»
(Зл+п’-Сгя+зу*
лэ+1 (2л+1)а-(я+1)а
|Н+л+1
121 Нт л—®
124. Нт я—®
121 Нт я—®
Х21 Нт я—со
131 Нт я—®
л*—Зя (л+г^-Ся-г)3 (л+З)3
Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.
яУз^+У^-и
11. Нт я—®
11 Нт я—®
^/зл-1-\/125яа+я \/л—л
•ч/л+2-4/^+2
17. Нт Л--— г= я—®
11
14
11
11
111 Нт я—®
8
3.11.
3.13.
3.15.
3.17.
3.19.
3.21.
333.
335.
337.
п \/Зя+1 +^81я4—я*+1 lim —=====— л-*оо
(л +Vя)
я Vn"+V25«*-81 lim -----p---. 11
•-*® (л—7^/л) y$»a—я+1
Urn л-»оо
urn —^=8»—-*==.
*-*« V"+2-V"s+2
i^-V^+i 339. Km ....—
"-*«» Ун*+2-п__
л V"+V32"1O+1
131. lim ——r r—
л-*оо («+V«)V«>-1
3.11
3.14
3.16.
3.14
lim л-» co
V«—9я* Зя-убя**! л У81ла~1 (л+4Уя)
lim «-•co
lim «-♦oo
3 JO. lim «-♦co
3J4. lim «-♦00
32S. lim «-♦oo
3J0. lim «-♦co
я ^/Лл—Уб4л*+9 (я—\/я)^П+я1 ^я’+б—^я—6 ^яа+6+-^я—6 ^л+1--Уя* + 1 \/«+l-V*’+1
Задач» 4. Вычислять пределы числовых последовательно* стой.
4.1. Кт яГТ^+П+^/рД х л-»оо
43. lim (л^^-5)пу/л. «-♦со
47. lim Ift+X/t—i?}. я-*ао-
4Х Нт я(^я<я—2;-Уя»-Я «-•со
44 Нт К?*2+1Я*,-4> «-•со
44 Нт и/л3-Зл+2-4
«-•со
44 Нт К^я+^-Уя^-Зл+Я «-♦оо
9
49. &п [л/(л+2)^+1)-л/(«-0(я+3)]. 410. fan л2 л-»® я-*®
411. fan я(^5+8я*—2^.
л-»®
413. fan
л-»®
415. fan (^/»а+Зл-2-л/»а-3).
я-»®
„„ «_ V^+v-Vc^-iJC^+s)
417. ЛШ —.-...------------,
Л-»® Я
411 Бт л2 (^5+ла—^3+л’Х
л-»®
... «_ У»+»у-Уф-«х»-зд
414 ШП j.
я-*® Jn
416. Km Jn (^н+2—3). я-*®
418. fan (^*fn+5}— л-»®
419. fan я-»®
420. fan я-»®
421. fan
л-»® д/^+п^-о-жУя^+о
421 fan -------------------.
л-»® и
^(**+ 1)(л*- /-----
423. fan —-------—------. 424 fan [a-V"f"-UL
Л-»® R Я-*®
425. fan я* Ml-
я-*®
427. fan
Яг»®
429. fan я^^+З—У^-З). я-»®
Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.
/1 2 3 я-1\ (2я+1)!+(2я+2)1
5.1. fan (—4-— +—+...+—— L 5Л. fan ------------.
я-»®^*2 Ня2 и*/ я-»® (2я+3)!
10
53. Нт л-»оо
1 +3+5+7+...+(2л— 1) 2л+1
л+1
2
я-»оо
5.4. Нт -----—-—.
я-» со 2Я+3Я
1+3+5+...+(2л—1)
5.6. lim ------------------
я-»ао l+2+З + ...+л
5.7.
Нт я-*ао
1 +3+5+...+(2л— 1) -----------------л
я+3
1+4+7+...+(Зя-2)
52. Нт -----=====-----.
л-»со ^/5я* 4-М 4-1
5.9.
(л+4)!-(л+2)! Нт я-» со
(л 4-3)!
« (Зл—1)!+(Зл+1)!
5.10. Нт ------------•-----.
я-оо (Зя)! (л— 1) 1 1 1
5.11.
Кт
3 за
5.12. Пт ------------
я-»оо 1 1
3"
1
5.13.
1—3+5—7+9—11+ ...+(4л—3)—(4я—1)
Нт -------------------- -г-------------.
я-»ао ^/н24-1 4-*/я3 4-И 4-1
1—2+3—4+...+(2л—1)—2л
5.15.
5.14. Нт я-*ао Л
3"—2я
5.17.
я—♦оо 1 + 3+5 4-...'+ (2л—1)
Г Л+2 21
5.16. Нт —,—-. я-оо з^Чг"
5.19.
Нт I---------------I
я—»оо [_1 +2+3 +...+я 3J
2—5+4—7+...+2л—(2л+3) hm .. 'in , и. ... i !,
я-»ао Л + З
5.18.
520.
5 13
52L
я-*ао л—Л2+3
522.
я-»ао \б 36 6я (2л+1)!+(2л+2)!
я-»ао (2л+3)!—(2л+2)! я-1
523.
3 5 9
л-а>\4 16 64
524.
Пт —---------------—.
я-»ао 2+7 + 12+...+(5л—3)
2+4+6+...+2л lim ------------—.
я-»оо 1 +3+5+...+(2л— 1)
527.
[1 + 5+9+13+...+(4я-3) 4я + 1 —
л+1 2
526.
1-2+3-4+...-2л Нт у:-" ass-вг "-00 1/лэ+2я+2
я-*ао 2я—7я 1
528.
л!+(л+2){ Кт --------------
я-ао(л-1)!+(я+2)!
З+б+9+...+Зл 529. Нт --------------.
я-*оо я,+4
530.
7 29
Пт I—4----
я-аб\10 100
2"+5‘ 10я
11
531.
lim я-»оо
Задача 6. Вычислить стей.
пределы числовых последовательно-
/ла-Зя+6\"/2
6.7. Gm (—-------Л .
я-»® \ла+5л+1/
'бл-7\3"+2
63. lim (
я-»® \ к6л+4/
/ji’+w+IX-"*
6.11. lim
я-»®
6.13. Нт 1 1
я-»® \л+1/
/3л+1\2я+3
6.15. Нт
Я-»® \3л—1/
(„+3\я+4 и+5/
(2ла+21л-7\Ь»+1
2п +18л+9/
631. Нт | я-»® 633. Нт I п—ао ( Зла-5л > кЛ+1
(Зяа-5л+7; pt*—6я+5\" 1 • №4-2
-
« /Л*+ИВ-И>+2
635. Hm I —=—--I
Я-»ОО V^+Ub+IS/
'гН+ь+зу**-? 12ла+2л+1/
639. lim я-»®
63. Нт I 2л+зу+1 ,2л+1/ л-1\"+2 кя+3/
1 6.4. । ч-»оо \ Нт | ч-»оо \
’Зла-6л+7\-»»+1
6.6. Нт 1
я-»со \ ьЗла+20л-1/
'и-10\Зл+1
6Л Нт I
Я-»оо у Л+1/
/Зла+4л- 1\2л+5
6.10. Нт
я-*оо \Зла+2л+7/
/гяЧзл+ту
6.12. lim
я-»оо \2яа + 5л+3/
/5ла+3л—1\я*
6.14. lim
Л-»00 ^З^+Зл+З/
/2ла+7л-1\-"а
6.16. lim
Л-ФСО \2ла+3л—1/
/п’ + 1\2я-я*
6.1S. lim 1 * « 1 •
Л-ФСО ул1—1/
/10я-3\*»
630. Нт 1
Я-»00 V0fl-l/
/л+ЗЧ-я1
631 Нт
л-»со V»+l^
/л+4\"
634. Нт |
Л-ФОО \я+2/
/2л-1\"+1
636. Нт 1
Л-МО ^2л+1^
638. lim | Лзл+зу-3
л-»со ЦЗя-10/
6»+5\я/в+1
630. Нт
я-»® ' 1л-7/
631. lim я-»®
'4н*+4я—1М~> 4ла+2л+3/
12
Задача 7. Доказать (найти 6(e)), что:
2х3+5х-3
«•^3 х+3 —7- Зх*+5х—2 73. hm ?—--7. х——2 х+2 6ха+х— 1 73. hm --5. х—1/2 х+1/2 9Х3—1 7.7. hm —77?"-6. х——1/3 х+1/3 Зх3-!*-! 7.9. hm ——--4. х——1/3 х+1/3
7.11. х3—4х+3 „ lim -——2. х-3 х-3
7.13. бх3-5х+1 hm —— --1. х-1/3 х—1/3 1
7.15. 2х3+13х+21 1 11Ш ——. Х--7/2 2х+7 2
7.17. „ бх3+х— 1 _ hm —— -5. х-1/3 х-1/3
7.19. 2*3—21х—11 „„ hm «23. х—11 х-11
731. в ч 2х3 + 15х+7 hm - — — 13. х—7 х+7
7.23. бх^-х-! 5 lim —. х—1/3 Зх+1 3
7.25. Зх3—40х+128 о hm - —8. х—8 х—8
737. u 2х3-5х+2 , Кт — —3. х-»1Д х-1Д
7.29. „ Зх3 + 17х-б 1л hm —г—-19. х-*1/3 Х-1/3
731. .. 15х3-2х-1 „ hm ——-8. х-1/3 х-1/3
.. 2х3+Зх-2 _ 7.12. hm ——«5.
х—1/2 х—1/2
7.14. „ 10х3+9х-7 lim —19. х--7/5 х+7/5
7Л6. .. 2х3-9х+10 1 Нт —— . х-5/2 2х-5 2
7.18. .. бх3—75х—39 lim ————81. х—1/2 х+1/2
730. к 5х3-24х-5 _ пт ——2о. х-s х-5
732. 2х3 + бх-8 lim --Ю. х—4 х+4
734. 1Ф ха+2х—15 о lim —--8. х— 5 х+5
736. „ 5х3-51х+Ю лл hm — — -49. х—10 х—10
738. Зх3+17х—6 lim --19. Х-.-6 х+б
730. „ 15х3-2х-1 hm —— ——8. х—1/5 х+1/5
Задача 8. Доказать, что функция f(x) непрерывна в точке х0 (найти 6(e)).
8.1./<х)-5х3-1,х0-б.
83./(Гх)-Зх3-3,х0-4.
83./fxj — — 2Х3—5, Xq—2.
8.7./fxJ--4x3-7, Xq-1.
8JL/fxJ-4x2-2, Хо-5.
8Л. /fxj-lx2—4, х0—3.
8Л. f(x) - —Зх3—6, х0-1.
8A.//xJ--5x3-8, х0-2.
13
M. f(x) - -5х*-9, Хо-3.
Ml. f(x)- —3№+8, х0-5.
8.13. /(x;-2xa+6, хь-7.
8.15. /fx>-4x2+4, xe-9.
8.17. /fxj-5x2 + l, Xo-7.
8.19./fx^Sx3—2, x0—5.
8Jl./(xJ--2xa-4,x0-3.
833. f(x)- -4X3-6, xb-1.
835. f(x)- —4x^—8, x0-2.
837. f(x) - —2x*+9, x0 -4.
839. /fxJ-3x3+7, x0-6.
831. f(x)-5x*+5, Xo-8.
8.10. f(x) - -4xa+9, x0-4.
8.12. /fx;--2xa+7, x0-6.
8.14. /fx;-3x2+5, xb-8.
8.16. /fx;-5x2+3, Xo-8.
8.18. /fxj^x’-l, xb-6.
8J0./fx)-2xa-3,xo-4.
8^2. /fx;--3x3-5, x0-2.
8.24. /fx;--5xa-7, x0-l.
8.26. f(x) - -3xi-9, x0»3.
8.28. /fxJ-2x3+8, Xo-5.
830. f(x) -4x*+6, x6 -7.
1
9.11.
9.13.
9.15.
9.17.
9.19.
Xs—3x—2 lim —------,
931.
933.
934.
„ xa+3x+2
ша —;---=----.
x-*-l i^+lx’-x-Z
« х’+гх-з 936. lim —;. x-»-3 X*+4x*+3x
14
9.29. lim
930. lim -=---s-------.
x—3 х’+вх3+2U+18
931. lim
Задача 10. Вычислить пределы функций.
10.1. lim
ЮЗ. lim j . x-iy?7! _ .. V*~6+2 103. hm . ,—. x_-2 №+8
10.7.
10.9.
к 0+Зх+х*-2 fim------—---,
x-»0 *+JT
10Л Bm jr-»0 X
10.10. lim jr-0
10.11. lim
10.15. lim
10.17. lim
10.19.
1031.
1033.
10.13. lim x-2
х/10-lM
10.10.
10.18.
103<k
1032.
1034.
x-*0
IMS. lim x-0
1037. lim
10.12.
10.14.
lim jr--2
x!j?/3 ^/З+х-^Дс'
„ 0+Зх-х‘-2 gm _z-- .
x-»0 V^+x*
1030. lim
1038. lim —г-— x—-2 V^+e
15
1031. lim x-3
1039. lim
1030. lim x— 8
10—x—6^/1—x 2+{/x
Задача 11. Вычислить пределы функций.
пл. lim х-0 Л»4(х-я) Зх3—5х 113. lim ———. х-»0 ®пЗх 4х ИЗ. lim —; . x-*0t««2+x)) 1—coe*x 11.7. lim -. х-0 4jt 2*+1-2 113. lim x-oln(l+4x) 11« Ml-?*) x-0 ®n(x(x+7)) 11и Ml-Зх) x-0 ^8x+4—2 n7x 11.15. lim ii t и- l-<**10(*+*) mt. nm —? x-H) e^-1 r l-cotix 11.4. lim — —. x-»0 co»7x—совЗх 2x ИЛ Й»ад*»+1/ЗГ 11Л lim «-*0 y2+x-V2 П.10. Bm . ™0M(2<x+10)) ii ii « co«(x+5x/2)tgx х-Д) arcsmZjr 11.14. lim х_ц}см[я(х+1)/2) lhM. to 1^=1. x-0 3aictgx
11.17. 1» x—0 fa(l+2x) - Vl+x—1 11.19. fam ?---—тд. x-0 mWx+2)| 1131. fan . X-*9 ХИПХ e4*-! *1133. lim . х-оЛвМх/2-ЫМ <ma r—tr’x 113SL firn ««« «*2x-coex 1138. fam — . x-4) 1— coex nje. to X-H) едх 1 arena 2x 1132. fan — . ЛХ*+«) 11Л. tol±£^. x-0 (e3*-!)2 aratm2x 1135. fan —. x-01n(e-x)-l
tfx-nnx 1137. fam — . x-ox(l-c«2x) ~ U(«0+x/2)) «*•£3% AHli X-0 fa(x+l) xan2x 1131. fan ——. x-»0 l+coe(x—3x) 1п(Н+1) 11.38. ШП - . a4"-! 1130. fan —==—. х-О0+24х-2
16
Задача 12. Вычислить пределы функций
111. lim x-*l x3-! Inx * 12Л hm — r- x-»i lax
l+co«3x — .. 1—on2x
111 lim х-»я »taa7x ' 1X4. hm -—--j. х-»я/4 (я-Дх)3
1+cosnx . , tf3x
1X5. lim 12Ж lim
X-»l tf’xx х-я/2 tgX
117. hm sinax—tf’x 1XX lim — .
X-*9 (x WJ* X-.1 tgxx
cosSx—совЗх hm------n------.
х-ж snrx
п7ях
1X11. Hm — x-»2 в» 8ях
1X9.
1X10.
1X11
.. яп7х—sin Зх hm —3—j-j-. r-2s e^-e4^ u- ln(5—2x)
1113. firn —----;---
x-1 smstx
1X14.
lim
1X15. lim
tfXX 1п2х—hi я
1117. -----.
х-»ж/2 rfn(5x/2)cosx
1114. Hm ЙПЯХ*
1118. Um Intgx
1119. lim —-----—
х-»я ви»5х—ивЗх
1X20.
х-»4*см2х
Ъ>(?-2х>) пт (——. х-»2 юп2ях
1X21. lim
Hm
1-ИП(х/2)
1123.
1124.
1125.
1—2coex
х-»«/3 я—Зх
1X20.
1127.
Нт------.
х—»1 sin их
1Х2Х
arctg(x*^2x) x-2 втЗях .. .. cos(«x/2) ПШ
1129.
1131.
япЗях с<жЗх—сосх
1X30.
afa5x Hm ——. x-мг Ig3x
v lim ——.
Задача 13. Вычислить пределы функций.
Ill Г г00’1’-! .. (2х-1)2
и.1. lim ---------. ид. нт 4-----------£----.
х-я/2 hismx x^,1/2 iin« -ifai3«x
17
ln(x-V2*-3)
111 lim-----------------------.
xZi мп(ях/2)-8т[(х-1)я]
etl2jc-.e“'lln2x
115. lim — -------------.
х-,ж/2 sinx-l
134.
134.
117. lim ~— У x-3 in(x-l)-ln(x+l)+ta2
is.,. fa .
Х-И/2 */] —COSXX— 1
13Л
13.10.
1X11
13.13.
1X15.
1X17.
1X19.
lim------------.
x-»3 ln(xi-6x-8)
... tgln(3x-5)
„ Vl+h>’x-l lim —---------.
x-»i l+cosxx
b(2x-5)
e«in2x_eti2x lim ----------.
х-»ж/2 1п(2х/я)
13.12.
1X14.
13.16.
13.18.
13.20.
1X21
lim
13.22.
1X21
(х’~ хЪйпЗх lim -—^-ж---.
»-« е-0 *-1
1124
112S.
.. IncosZx lim ------.
x-xlncoe4x
1126.
tgx—tg2 lim —z----z—.
x-»2 sin In (x— 1)
tasin3x lim -------=.
x-x/6 (6x—я)а
f. (x-2x)a x-»2< tg(co8x—1) агсып(х+2)/2 1нП —....jr . 1
x-»~2 ^2+x+*a-9
. Incoe2x lim ------z.
x-я (1- */x)a
In cos x амп2х г x-»2«3 — 1
cos(x/2) ““ -MX '-«in»-X-»IC® — •
^nM6x_.«in,3x to ——-----------.
х-»ж/3 logacoe6x lim tef®**2-®*1*"4) I HU ..............
x-»-2 tg*+t«2
„ 1п(2+смх) to —3=-= r.
.. 4(x+l)
ЦЩ ч IHM x—1 .Vx*-*»»
In sin x to --------s.
х-я/2 (2Х-Я)3
—е
1127.
lim
1129.
x-м tfta(x/e)'
ln(cos(x/a)+2)
Hm
' —ev arctg(x+3) tg(3^*-3)
1130. to
1128- lim
mi.
-2
-J
Задача 14. Вычислить пределы функций.
?2х «Эх *3х
141. to -----Ц-. ~ "
х-»0 2х—arctg3x б2х_7-2х 141 to----------.
хТо йпЗх-2х
2
-в-2*
141 to ---;----—.
x-»0 2arcsmx—smx
e5x_e3x 144 to —-----—.
x—о em2x—smx
18
1 х-*0 arctgx+x3’
35ж_ 2х
14.7. lim ---—-.
Х-.ОХ- sm9x
е2х_е3ж
14.6. lim --------:
ж-»о arctgx—x
е4ж_ й-2ж
143. lim ------7—.
ж-»0 2 arctgx-smx
12х-5’3л
14.9. Inn --------.
x_0 Zarcsmx—x
14.11.
»Sx л!х lim --------------.
x-»0 arcsin 2x—x
14.10.
14.11
е7ж—e
Hm —----z—.
ж-»о ипх—2x
e5x—еж
Hm —;------=
x-»o arcsmx+x9
. 4х—27ж
14.13. hm —-----.
x-»otg3x—X
14.14.
ex_ e-x lim — --7—•
ж-Н) tg2x—smx
io2*-?-*
14.15. hm —-----——.
x-»O 2tgx-arctgx
j3x_32x
14.17. hm ---—r.
x-0 tgx+x*
32x_7x
14.19. Hm ----—-----.
x-»o arcsm3x-5x
14.16.
е2х_вж
Hm----------.
ж-»0 ипЗх— sin5x
14.18. е4ж_е2х lim . х-»0 2tgx— sinx
1430. е2*-®"5* hm — -—. ж-»о 2мпх—tgx
1432. _3х _2х Нт . ж-»0 мпЗх—tg2x
14.25.
14.27.
14.29.
1431.
9x_23x
x-»O arctg2x—7x’ 35x_2~ 7x lim —-------.
ж-O 2x—tgx . e^-e» lim------=.
x-0 x+tgx3
23х_35ж
1434. еж—е3ж Нт — . х-»0 sin3x—tg2x
1436. еж—е~2* Нт т—~2 • Ж-»О х+ипх2
1438. е2х_.ж Нт . ж-»0 sinlx—sinx
1430. г3*-!2* Нт s—;—=. ж-*о х+агсяпхэ
ж-»О йп7х—2x‘
Задача 15. Вычислить пределы функций.
ex+e-x_2 15.1. lim ж-»о ап х « ж’ + 1 153. Нт . ж-»-1 ап(х+1) НЛ lim ж-0 х» .. 1+хмпх—со»2х 153. hm г-s . ж-»0 anfx 15Л ж-»а тх—та е«-е^ж 153. Нт -7 —. х—о an ах-unfix
1*7 .. -v/1+xrinx—1 15.7. hm ——3 • ж-»о е*^— 1 153. Кт Л ж-»0 едГ+1-е
19
1—2coix
15.9. lim -3-7—=-;• x-x/3 sin(x—3x) sin x—cos x hm —-----------------------.
x-»x/4 Intfx
15.11
15.10. lim x-*l яп их аж—tfi
15.12 Km
15.13.
lim
15.15.
15.17.
15.19.
хмпЗх
1п(х+Л)+1п(х—A)+21nx Hm —*-------=---------,
*-*0 A3
eAi2x_eiinx «8* sin (x+A)—sin (x—Л)
15.14.
х>й 15.16
.. ып2х—2»nx Hm ----------.
x-»0 xlncoeSx lim----.
lim
15.18.
Л-М)
h
1520.
« 2*—2 Hm
Hm x-*0 япЗх
1521.
Km —
Ла
1522
Hm *-*0 1—cos
coax
1523.
1525.
X-»3 ЮПХХ
lim —T- -
x-10Vx-9-l
1524. Hm --------.
x-»x/6 2 sina x— 3 яп x +1
1525. lim
1527.
1529.
„ vcosx-1 lim ——= . x-»0 sin32x
l-sin’x rim ---;.
япЛх—sin ax
1528. Hm------- .
x_01n(tg(x/4+ax))
1520. Hm
x_»3 tgxx
1521.
e -e Inn-------—.
x-»l sinfx3-!)
Задача 16. Вычислить пределы функций.
Ш. lim (l-ta(l+xs))3/<xl"c-nx). х-»0
152. lim (cos y/x] x-»0
152. Hm х—0
165. lim х-0
(l+^axcotaxy^* 1+ашхсовДх/
15A Hm (2-x-»0
/ 4 \l/4na3x
15Ж lim 15—— ] х-л \ cosx/
1^7. Hm [l-ln(l+V*)]*/'ln4^*' x-»0
152. lim [2-ежгс*пХ<xp/x. x-*0
169. Hm (cosxx)1^*-®*^. x-»0
C/я W®^1*
Ц--x)l
\4 //
1610. lim (l+sina3x)1/11,co<* x-»0
1612 Hm (1- xsinax)1^1+w^. x-*0
20
16.13. lim (2—5arc,*n*’)(ooeecM/* x-0
16.14. Hm (2—cos3x)1/ta0+*1). x-0
16.15. Km x—0
1616. Km (cosx)1/h,(1+,io1*). x-0
16.17. Km (2-ex*)1/to(1+ti3(’of/3». x-0
16.18. hm (З-гсовх)-00**1* x-0
16.19.
x-0
1620. lim ^2—cosx. x-0
16.21.
lim I 6 x-0
16.23.
coex/
1 + sin x cos 2x\ l/btax*
1622.
hm x-0
16.25.
lim , x-0 \1+®nxcoe3jr.
1624. lim ж—0
lim x—0
1/ж»
1626.
hm x-o
1+1ixcos2xy/** l+tgxcosSx/
1 Ч-х-ЗЛ1^*
16.27. lim x-o
1629. lim (l-lncosx)1^* x-0
i+xa2*\1/>inl*
1628. hm (l+tgJx)1/ta<1+3xl). x-0
1620. hm fl-sin2
x-0 \
x\l/ln(l+tj|’3x) 2/
1621. lim x-0
Задача 17. Вычислить пределы функций.
17.1. lim
172.
hm
яп4х\2/(*+2)
172.
17.7.
hm
x/(x+2)
17.9.
x’-lXCBx+lJKI+x)
17.10. hm x—0
17.11. hm x-0
en6x\2+*
17.12. hm x-0
яп2х\**
17.13. Mm . , . .
x—0 \sin3x/
№+8 V+2
17.15. hm i ------
x-OVJt’ + lO
17.14. hm
17.16. lim [sin(x+2)]^+»). x—0
21
17.17.
17.19.
1721. rm
lim x-»0
„ /llx+8\«*** lim I —:-I
х-»0\12*+1/
/M+xWKx+IO Inn ! —. — I
x-*0 \ * J
агсийх\24*+5)
1725.
x-0
1727.
lim x-»0
(**—1)/*
1729. lim . *-M)V2+llx
1+вхЛ1Л**+1)
17-31. lim
17.18. lim x—0
1720. lim x-»0
'x*+5\4/(*+2) kx+10/
lx>+8/
1722.
1724.
1726.
(x\l +* COS — 1
«/ Zarctg3x\*+2 lim f—-— I x-»0 \ x /
/яп Sx*\ V(x+6) lim I----1
x-.O \ siax J
1728. lim (6-5/cosx)^* x-»0
1730.
x-»0 uurcsmMx.
Задача 18. Вычислить пределы
182. lim х-м
18Л lim x-*2
183. lim (eoex)c*2x^,4 x-*2x
1821.
’6_x\tf(xx/6)
Ш lim (З-гх^*^. x-*l
1&1&
lim x-3
/9-2x\*l(«/0
V 3 /
(rinx\l/(x~e) snaj
«вху/(»’2> cos2/
18Л lim (tgx)1/00*^4-») Х-+Я/4
183. lim (2-х/а)4^. Х-*Л
18.17.
18.19.
lim
x-*l
lim (Зе*”1 -lY^. x-»l
18.10. lim (coex)1'"*’2*. x-2«
18.12. lim (совх)*«х/"п4х. х-Ив
д
18.14. lim (cosx)*****2*. х-*4ж
18.16. lim (8inx)6t*x t*3x. x-»x/2
1828. lim fig *-*8/2 \
1820. Hm (Ц-совЗх)*®*. х-я/2
Al/(x-iM2)
22
зх+а
18.21. Hm (2ех~2—I) *-1. ж-»2
18.23. Hm ж-»1
’2-x\l/ln(2-x)
мд(жх/2) ...
18.25. Hm (2-х) ln(2-*)_ ж—»1
/х-Ц\Ь<*+2)
18.27. Km (-2_4ta(2-x).
ж-*1 \ 2х J /.у 1д(х+1)
18.29. Hm I- |Ь(2-л).
х-1 \xj
fix 1\*!!2±^
18.31. Вт I------ )Н2-*).
ж-И к х J
(. . ..ч жа(х-1) ,
Sin (х—1)\---
--------- Jx-l-«h(x-l).
Х-1 / (х\1/соаж ctg-J 2/ Сип ж\ 1/^—3) -----1 япЗ/ Паях
1838. Нт (ипх) <*«ж.
ж-»я/2
1830.
.. / хМ/«»(ж/2)
Вт I ctg- 1 ж-»я \ 4/
Задача 19. Вычислить пределы функций.
/ Intgx \1/(ж+я/4) \l-ctgx/
19JL Нт (tgx)®***. х-*я/4
19.4. Нт (rinx)3^+x). ж-»2
194. Нт (sinx)6^*. х-^к/б
19.7. Нт (2-J) ж-»3 \ 3/
19Л. Нт ж-»1
l+xyi-xb/q-x) 2+х)
19.1. Нт ।----:
ж-*е.\ х—е
193. Пт
ж-»я/4
(ипЗядАмЧж-З) —---------I
8ШЯХ /
ЙПЯЖ
йпкх
19.9. Нт (1+е*)ь^. х—»1
».п. шп
ж-»3 \ япЗях /
1ОП 11 ( х-3/4\»+1
19.13. hm [arctg-—-И ж-1 \ (*“1Г/
1а„ .. /апх—ыпв\*а/«а
1».15. Нт (--------I
ж-*в \ х—а J
1.- Ztg9xxVtf(*+l)
19.10. hm I -----I
х-*1 \яп4ях/
х*—х*Д4
19.12. Нт (яп2х) *-*Я . ж-»1^4
19.14. Нт х-»я
х\4п(х-я)
19.14 Нт ж-»2
19.17. Нт (rinx+cotx)1^*. х-«^4
19.19. Вт (агсяпх)****. ж-»1
19.18. lim (tg2xYia^+xX x-^x/t
1930. Нт (х+вЬх)-пж+ж. Х-ФК
19.21. Нт (h>aex)l/(*>+l),
1943. Нт ж-*1 \Х— 1 /
1944. Нт
23
1935.1im (СО8ЯХ)^Х-2^. х-»2
1936. fim (arasinx+arccoex)1/*. х-»1/2
1937. lim (coex+l)"®*. х-*я/2
1938. Km (V*+x-l)A1(’tx/4). x-*l
1939. lim х-»1
/лЧ2х-ЗМЛ2-^ \х1+4х—5/
1930.
1931. lim ((e2x-ea)/(x-l))x+1. х-»1
Задача 20. Вычислить предел функции или числовой последовательности.
20Л. lim -y/4coe3x+xarctg(l/x). х-*0
2л—tin л
203. lim
*-<® V»-Vita-7
/ X
203. lim /3sinx+(2x-x)ein----------.
х-*я/2 у 2х—Я
11m U*«»(l/*)+lg(2+*) шп —----j ------.
х-»0 ч(4+х)
e^’+iin-a—-аил
—»г + 1 203. пт -----------------.
л-»оо 1+со«(1/л)
20.7. lim -------------------——-,
х-х/4 Jg(2+tfx)
Ml* Пт ^"3+СО»"+'У3^ + 2
MUUu ЛШ ------------------в
л-*со Vя*+1
20.14. fen 1
"'*«о умг— 3+япя
^/tfxarct|-+3
20.16. lim —, Д—-
х-»0 2—lg(l+mx)
20117. lim /antcx вта-+5cotx. х-*0 V х
20.19. lim /2с<ж2х+(ех—l)em-. x-»oV X
20.18. lim /4cMx+an~-lii(i+x). x-*0 v X
( A С+ХЯП- 1
HIU -------.-
x-*0 GMx+smx
2031. lim InUe**—cmx)cM(l/x)+tt(x+*/3)). x-*0
24
.. coex+ln(l +x)VZ+<»e(Vx) ZvJUL ШП * ж-»0
2+е*
20.23. Hm
сов2ях
x 1 —l)arctg^^
2034. lim /(eMn*—l)cos-+4cosx. ж-O v *
1
x
„„ „ cos(l+x)
20.25. Hm у------.
(2+sin-)ta(l +x)+2
2046. lim *1\1(х+2)+ал^4-х*ссл—
e 2
2+cosxsm^-
20.27. Hm —r-=—;-----
ж-ж/2 3+2xsmx
2038. lim tglcosx+sin—-cos
20.29. lim
+4cosx.
sinx+sinxxarctg 2030. lim
l+cosx
2031. lim Я-«00
л+2 sin я
П. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Теоретические вопросы
1. Понятие производной. Производная функции х".
2. Геометрический смысл производной. Уравнения касатель* ной и нормали к графику функции.
3. Понятие дифференцируемости функции и дифференциала. Условие дифференцируемости. Связь дифференциала с произвол* ной.
4. Геометрический смысл дифференциала.
5. Непрерывность дифференцируемой функции.
6. Дифференцирование постоянной и суммы, произведения и частного.
7. Производная сложной функции.
8. Инвариантность формы дифференциала.
9. Производная обратной функции.
10. Производные обратных тригонометрических функций.
11. Гиперболические функции, их производные.
12. Производные высших порядков. Формула Лейбница.
.25
13. Дифференциалы высших порядков. Неинвариантиоста дифференциалов порядка выше первого.
14. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Теоретические упражнения
1. Исходя из определения производной, доказать, что:
а) производная периодической дифференцируемой функции есть функция периодическая;
б) производная четной дифференцируемой функции есть фун-s кция нечетная;
в) производная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная.
2. Доказать, что если функция f(x) дифференцируема в точке х-О ДО) = 0, то Г(0)=lim —.
х-*0 х
3. Доказать, что производная/(0) не существует, если
л '“(0, х=0.
4. Доказать, что производная от функции /ZvJ = f^2sb(l/x), х#0, J’х) [°, х=0
раапыння в точке х«0.
5. Доказать приближенную формулу ^<г*+хжв+х/(2п), а>0, |х|«а.
6. Что можно сказать о дифференцируемости суммы f(x) М в точке х«хр, если в этой точке:
а) функция f(x) дифференцируема, а функция g(x) недиф-ферощируема;
б) обе функции f(x) и g(x) недифференцируемы.
7. Пусть фушщмя f(x) дифференцируема в точке хв и /(xoj#0, а функция g(x) недифференцируема в этой точке Доказать, что произведение f(x)g(x) является недифференцируемым в точке х0.
8. Что можно сказать о дифференцируемости произведений f(x) g(x) в предположениях задачи б?
Рассмотреть примеры:
a) f(x)=*х, gfx) «|х|, хо=0;
f(x)~x.g(x)-{ 0 x=.0> Xe_0;
6) f(x) « |x I, g(x) «| x |, x0«0;
f(x)~\x\t gfxj»|x|+l, xo-0.
9. Найти/'(0), если f(x) ==xfx+ l)...(x+1 234 567).
10. Выразить дифференциал d*y от сложной функции у =ylu(x) ] через производные от функции у(и) и дифференциалы от функции и(х).
П. Пусть у(х) и х(у) дважды дифференцируемые взаимно обратные функции. Выразить х* через у' и у".
Расчетные задания
Задача 1. Исходя из определения производной, найти f(0).
{arcsinl x’cos—)+-х, х?0;
\ 9xJ 3
0, х-0.
1А/Гх)
х#0;
1.7. f(x)
Гйпхсов-, х#0, 1.1®.Лх)-й< X (0, х-0.
Ы1. Лх)
2ха+хасо<-^-, х^О, 9х
0, х-0.
26
27
1.15. f(x)
‘ .11 rear—, х,40,
О, x—О.
1.17./W
совх
----, х*0»
г 1
2х3+хасов-, х+% 1.16./W— *
О, х—0. бх+хйп-, xj*O> х
О, х—О.
1.1*./М
1.W./W
--------, х»*0, х
О, х-0.
Г x»dn5
1Л1.Лх;-<3 — 1+2х, х#0;
IO, Jfa.0. ,-----------------
1ГМ « . Wl*to(l+3x1<»iR/x))-l, xj*Oi
0.
1лз.Лх;-
exrin0/5x)_lt x#0.
0, x—0.
2®nx
J--- ---/x^0;
1.24.-<
(0, x-0.
* j
x*el*lam-^, xi*O;
1.2M*; -< 0, x-0.
fcoex—совЗх -----------, x^O,
130./х) -< X
0, x—0.
Задача 2. Составить уравнение воровали (в вариантах 2.1 —? 2.12) или уравнение касательной (в вариантах 2.13 — 2.31) к данной кривой в точке с абсциссой >0*
XI. >-(4х-ха)/4, хв-Х 2J. у» Ix’+ax-l, Хо--2.
ХЗ. >-х—Xs, х0- -1. 24. х0—4.
28
23. у-х+л/?, Хф-1.
14->/х л
17. У-----7=. х0—4.
1—ух
19. у-Зх2—3x4-1, х0—1.
111. У^у/х— З-Vx. Хв«64.
Ill у-ЗхЧЗ, х0--1.
115. у-2х4-1/х, Хо-1.
Xs 4-1
117. y--^-j-pX0-l.
119. y—3$Jx-2y/xh х0"1.
121. y«»x/fx34-U, х0——2.
123. y-2x/(x*4-U,xe-l.
ХИ. г-1+3х3 Х.-1
л.лэ. у— 34-х8 *
127. y—Зу/х—у/х, Хе—1.
129. у«*х3/104-3, хв-2.
131. y^hy/x— 16y/x/3t х0—1.
Z6. у —^/х3—20, Xq—— 8.
2Л. у-8^/х—70; х0—16.
110. у—(х?~Зх-Ьб^/х3, х0—3.
111 y-6x*4-2J/<xs-2J, Хо-2.
х3*4-б
244 ^“х-ЧГ’**"1’
Ив. у—— 2(хв4-2)/(3(хА4-1)), л«-1.
_ „ х*в4-9 ,
118. у—-—Хф—1.
120. у-1/(Зх4-2Х x0-Z
121 у-(х*-3х+3)/3, хв-3.
124. y«-2(Vx4-3-vQ, х0-1.
126. у 14у£-15|/*+2» х0-1.
128.у-(Зх-2х>)/3,хв-1.
130. у-бха-2х-3>1/4, Хф-4.
Задача 3. Найти дифференциал dy.
у"Хшгсип(1/х)4-ЬпIХ4--^Х3—ТI, х>0.
ЗХ >-tg(2arccof-v/fl-2x3)» х>0.
17. y»arctg(&hx)4-(shx)lnchx.
19. у—Ьп(сош3х4--^14-со1*хХ .. tolXl
31 у-агосо«((х3-1)Дха^/2)).
3.11 ^-InCe’-hV®2*—14-«гсипв“"ж.
111 у *х^4—х3 4-4 шгсат (х/2).
115. y»2x4-ln|«nx4-2cosx|.
114. y-lntg(x/2)—х/тх.
117. у«Ьп
316. >—-Ус*<х—у/ц^х/З.
118. у-
120. у-In lx3-11--
119. у »«arctg
29
341. y-aictg ^tg^+lj.
343. у—Ьп|соа^/х|+-у/х tg-y/x.
345. y-x(sinlnx-co«lnx).
X
347. у—coexlntgx—bntg-.
349. y-^^+x)w&iy/x.
331. y-x^/x2-! +ln | x+^/x2-! |.
3.22. >-ln|2x+2v/xa+x+l1-
344. j—e*(coe2x+2rin2x).
ЗЛ.
348. у-^/ГГР-х1п|х+Уз+хЧ
334 xarctgx—ln^/l+x2.
Задача 4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.
41. у-1/х, х—7,76.
43. ^-(х+^/з-х2)/!* х-0,98.
43. у—arcainx, х—0,08.
47. у*^/х, х-26,46.
49. у—х11, х—1,021.
411. у-х21, х—0,998.
4.13. у-х*. х-2,01.
415. у-х’, х-1.996.
417. y-Jix^A, х—236.
419. у—-^/х, хч*8,3б.
421. у-х’, х-2,002.
423. у-*/?. х-0,98.
425. у-*/*. х-1,03.
447. p-^l+x+nnx, х—0,01.
449. х—1,02.
431. у-1/ч/2х+1, х—1,58.
44. у-Ух*+7х, х-1,012.
44 у^/х, х-2734.
44 j-</xa+2x+5, х-0,97.
4Л, у—^д^+х+З,х-137.
410. уч^/х, х—141.
412. у—l/j?, х—1,03.
414 >-</х. х-8,24.
414 у-^/х. х-7,64.
418. y-l/V^+x+ l, х-1,016.
424 у—1/^х, х—4,14
442. y-V*x-3, х-1,78.
444 у-х®,х-2397.
424 у-х*. х-3,998.
444 V^x+coex, х—0,01.
434 У-л/х’+З, х-1,97.
Задача 5. Найти производную.
41. у
_2(Зх»4-4х2-х-2)
" 11У1+Х
(2x3-\'hji-i-xi Эх’
S3, у
54. у~
зо
12х1а
5.13. у-
5.15. y-
5.17. у-
5.19. у
531. у-(Зхв+4х4-ха-2)/(15ч/1+]?Х
и-’--------ЙЕГ
4+Зха
5.11. у-
5.6. у»—у....
2v/b3?
5А
Xi+***)* хт
5.10. у-а
5.14. у
5.16. у
5.18. у~(1-х2)
536. y-(*+7)/(6V?+2x+7).
538. у- (х1 +2)1(2у/1^?).
530. у-(Зх+^Ук/?+2).
Задача 6. Найти производную.
6Л. y-x-ha (2+е*+2^?*+е*+1).
63. y-e^Cl-BinZx—cos2x)/8.
1 «Х“3 * 1 .J+2X
м.,_—ta—
М. +к> и. >3 ^/(«ctgex)>.
6.7. у-|taCe^+O-Zarctge*. 6Я. у„1л(ех+1)+^^^^^.
* це* 4-1 Г
6.9. у-2(^/2ж- l-aicti^2*-lMnZ
31
6.10. у-2(х-2>%/1+е*-21n((Vl+e*~ D/(a/1+«*+ 1>.
6.11. ^-eex(otsin#x-^co8/lx)/(a2+/J2).
6.12. у-ввж(ДяпДх+асовДх)/(«2+Да).
[1 асм2Ьх+2Ьйл2Ъх~\
S+-----2(?Мр)------1
6.14. >-x+1/(1 +ex)-ta(H-ex).
6.15. >-x-3ta[(l +ex/6)VlTc*^-3arctee^6.
6.16. y~x+
8
17ё^-
6.17. у—In в2*— J)+arcaine~x.
6.19. y-x—ta(l+«*)—2e ^arctge’tf2—(arctge*/2)3.
^“T+P* <Л1. уч—^axctffe'"*
623. j-b
1 cotx
<25. у-— [(х2-1)сошх+(х-1)2йпх].
626. y“arctg(c*—e-x).
627. y-3e^(^-5i/P+2flx-6oV?+120<Zx-120].
628. ^--•’«/(ЗЛ’хХ
629. у-агсвпе»-^-^- WG. уч -1 е-я’(х*+2ха+2>
631. ^•сх1Д1 +x*)t
Задача 7. Найти производную.
7.7. y-in*(x+cMx).
73. У“1в т~э.
7Л у»1в*(1 +смх).
7.10. у
7.11. y-hi4
32
7.13. y-lnsin—tv x+1
7.15. y-k^logjtgx.
2x+3
7.17. у-In cos-— 2x+l
7.19. ytogq-^-
7.21. y—lnarcsin-^1—?*.
7.23. y—In (bx+-v/a2+fc3x3).
7.14. y-lQgielogstgx.
7.16. y—x(costox+smtox>/2.
7.18. —Igtoctgx.
730. y—7= ln(^tgx+-v/T+2tg2x). V2
732. у In&rccos^l -e**.
735. y—ln^arccos-^c^.
7 И y_»n 7®л7« v®®m jl. •
V5-tf(x/2)
739. y-tatasin(l+l/x).
731. y—to In2 In3 x.
736. ^-InCe’+Vl+e2*)-
738. у-In
lux »n(l/x)‘
730. y-toto’to2x.
Задача 8. Найти производную.
1 яп’Зх
8.1. у «sin -v u -г--—.
3 cos6x
, 1 1 sto24x
83. y-tglg-+----—.
3 4 cm8x
cossin5sin32x
83. y—-------------.
z 2cm4x
CMto7-sto27x
8.7. у ...........
' 7coel4x
„ 1 tin3 6x
8Э. y~ctgcoe2+----—.
6cosl2x
1 1 IsinMOx
8.11. y-zcostg-+—----
3 2 10coe20x
e 1 an25x
8.13. y«8amctg3+-----—
5 coslOx
costf(l/3)-8m315x
. M 1 см3Зх
83. y«co«ln2———. 3 sm6x
e lcoa34x
8A y-ctgv 3—о . "о "• v 8 ед8х
sin см3-сое* 2x
83. у------------.
4sm4x
„ 1 см38х
83. y-coectg2-—
16 sm!6x
. »/—« 1 co*210x
8.101 y»Vctg2—— .
20 sm20x
1 см212х
8.15.
8.17.
8.19.
15cos30x ctg sin (1/3)-sin317x
17cos34x ’
tgln2sina19x 19cos38x
8.12. ylnsin-—— . .
2 24 sm24x
CMCtg3-CM* 14x 8.14. y—--_a . ---.
28ш28х
eintgO/D-co*2!6* 32sm32x ’
8.16.
8.18.
830.
' 36sin36x
, 1 см320х y-ctgcoe5-—...
40 sin 40 x
2-207
33
/—; an321x 8-21. JP-Vtg4+—-—.
v 21см42х ___ . 1 ипа23х
8ДЗ. у-In сое- +—-—
3 23см46х ' 1 яп325х ’U5'>-Bnta2+23^x' М7. >-</цс<ж2+^— 27со«54х мп* 29х “* '"СО* й,3+»^я;-
Ml.
8.28. у»йп
1 сос322х
8.22. у-со>1п 13--£- ЧЦУ.
44 ш44х .11 см*24х 8Л4. у-ctgem------------.
13 48 яп48х
1 сое32бх
52 нп52х * cos328x 56sin56x*
-1 « сое3ЗОх
8J0. у»вт3сое2----------.
бОйпбОх
Задача 9. Найти производную.
9Л. у-(х-4)^8х~х3-7Д-9агссо»ч/(^-0/6-
Ml X
1—хагамп
921. y^»Ktgx+-ln
*“2
9ДХ у—агсяп ———
34
9.23. j - Vl ~ ~ x arcsin-^-х2. 934. y->/x+|arctg^/x-|arctg-^-.
935. yarctg5^1 Д. 930. y-(2x2+6x+5)arctg^T-x.
1 — Гх x+2
arcsin 2x +| In (1 —4л2). О
/ , 1\ x*-l X3 л/з
' ’“• >"(2^-x+V*Kt*^“^"vx
9.29. y-(x+2>/x+2)arctg((5/x)/(^/x4-2))-v/x.
930. y-^l+2x—x2arcsinp“\/2,nC1 +*)-931,y^^±l.
Задача 10. Найти производную.
10.1. y-—Fln
shx 3shx 3 .. .
1M- *“4^+8^+»“С‘*(Ах)-
юз. jw-ь— 2 1-
<л, 1. 1 . 1+V2thx
103. yw-thx+—=h>——p--.
2 4V2 1-V2thx
1 a+^/T+?thj
10.7. >--7--In — 7 —
thx
10A у
103. у
х chx \ 2~2sh2x/
thx
103. y-—
v/sh2x
10.9. y-arctg . --.
ch x-shx
1. 1-shZx
10.10. уш- In -———.
6 2+sh2x
1+thx
10.11. y«* .
у 1—thx
ch r
10.13. y- .______
l+8ch3x Inchx
10.15. y—
10.17. y-
2ch2x shx 3 .
i^+2*K“(‘hx)-
1олг J5A-.
1+chx sh3x
10.14. 7=.
Vcb6x
»» ПЛ’х+1
,вЛ4-y----злъГ-
1 • 3+л*
10.10. v-—arcsm -———.
Л 1+ЗЛх
10.19. y^—p In-----------------
1030. у-П In I 4
1 e 3+chx
_ in—---
4 shx
35
1 . 5+3chx 1—8ch2x
mi.y—J ««an
10ЛЗ. y-~т4г-+^- arctgsbx?0-24- y-*cth2x-3 1 ?
shx 3sh3x 2ch2x 2 3 jcnx-sn x
lOJS.y-larctgfAx)-^-. shx 1 3
1037. y** — —— ------ arc tg shx.
2ch3x shx 2
1039.
<я.г x chx
1036. у- In th-+chx-——у-.
2 2 2sh2x
’“*• '"Ж+2
.л„л Сих 1 , х
1030. у=---=—-Inth-.
2sh2x 2 2
+arctg(shx) .
2 , chx lasL^cthx-^.
Задача 11. Найти производную.
IM. y-CMctgx/Wtae®*» 113. y(sm^x)lnin^'.
113. ^«(sinx)5®’. 11.4. .y-(arcsin x)®*.
113. —(tax)3*. 114. ^-xsrc“x.
11.7. ^-(ctgSx)2®'. 113. ^-x®1*'.
113. J'-Ctgx)4®*. 11.10. y«(coe5x)®*.
11.1L ^-(xrinx)81n(»«*). 1132. j>-(x-5)ch*
11.1X j-(x’+4)t8x. 11.14. у-х“<
IMS. Hx2-!)**. 11.16. y-(x*+5)ct«*
1M7. ^-(sinx)5^2. ила. j-(x2+i)0M*.
11.19. /-М2*’?* 1130. ^-x3* 2x.
1131. ^-(sm^)e,,M- 1132. y-x****-
1133. y-^*. 1134. .y—x2*^*.
IMS. 1136. ^-ftgxj
1137. j-x®^ . 1138. -у-(х®+иЛж.
1139. j>-x29’-29*. 1130. y-fcoelxj^00*2*^.
1131. ^-х**х*
Задача 12. Найти производную.
1 i—— x* 2
12.1. У-— fjr+ek/x2—4+—arcsin-, x>0. 24 16 x
123. у
123. y-2x-ln(l+Vr^)-e-2«aicsm(e2jE).
4x+l 1 4x+l 16X2+8x4-3 +^“Ctg Ji
12-4. j-V^-llx+Sarctg(3x-2)-lnQx-l+J^- 12x+5).
36
1X5. >-^->/2x-xa+ln .
x—1 x—1
3 1 ' t
1X6. y—— arcsin-4-— (x^ + lSl-^x2—9, x>0.
1X7,
Зх—1 1 Зх—1
1X8. у= 3x—In (1+^/1 —ebx)—e 3xarcsin(e3jt).
1X9. у-In(4x— 1 + y/l6x2-Sx+2)-y/l6x2-tx+2 arctg(4x-1).
1X10. y=ln
<1
1X11. y—(2x+3)*arcsin ^+~+-(4x3+12x4-ll) Vx3+3x+2, 2x+3>0.
x+2 1 x+2
1X13. y—5x-In (1 +5/1 —ei<bc)—e-5xarcaan (e5*).
1X14. y—8x+l7arctg(x~4)~ln(x-“4+^/x^—-8X+I7).
. 1+^—3+4x—x1 2 f—-— -5
1X15. y—In-—----------+-—J—3+4x—x2.
2—x 2—x
12.1*. 3x-2>0.
' “V2 Tx*-2x+S’
1X18. ^-InCe^+^e10*— l)+arcsin(e_Sx).
1X19. >-In(2x-3+V4*1 - 12x+10)-V4*’ ~ 12x+10 aretf (2x-3).
. l+V-3-4*-^ 2 /—-—
1X20. y-b-------—---------У/-3-4Х-Х2.
-x-2 x+2/*
1X21. j>-|(4xa—4х+3)л/?—x+(2x-l)4arcsin^-^, 2x—1>0.
2x-l 1 2x-l
1X23. >—arcsin e"4*+In (6**+5/e8x— 1).
1X24. >-b(5x+х/25х2 + 1)-л/25ха-И arctg5x.
2 r-,—^—JC3 tl+yf-l+nx-M
1X25. y-—- V- 3 + 12X-9X2 +ln—— ---------.
3x-2* 3x-2
1X26. (Зх4Л)*arcsinj^“+(3xa+2x4U)5/9p4-6x, 3x+l>0.
37
__ 1 2x4-1 , 2x4-1
11».
1X2& J—tote3*4-л/е^—1)4-arcsine-^.
1X29. >»ч^49ха4-1 arctg7x—fa (7x4- ^49xa4-l).
1X30. >>»-ТьД?4-1п —V1"4** x' 2x
1X31. у-мсвте“2*ч-1п(е2х4-^е4*—1).
Задача 13. Найти производную.
ш. ,-^+Ь1М_ < _^.
V1-*1 14->/Г^4р X3
1ХХ у*х(2х3Ч-5)-Уха4-14-ЗЬ(хЧ-л/ха4-1Х 1аА J-x’arcafax+^^^/T^x3. 3 г—,_____
133. y-3arcrin---4-2V4X2Ч-2х-2» Чхч-1 >0.
4x4-1
1X4. y-Vl+xaaretgx-ta(x4-Vl+xa).
1X7. y-2arain—Ч-л/9хд4-24х4-12, Зх4-4>0. 3x4-4
1ХХ у«х(2ха4-1)л/?41-Ь(х+л/РТТ).
1X9. у-la (x+yf14-х3)
1X10. у—^1—Зх—2ха4—^=arerin^^^. 2у/2 yJYi
1X11. у * V(4+xXl+х) +3 ta (V4+*+^l +х)-
«««« «_ л/х’-хЧ-! /- 2х-1
1Х1Х у—fa—------4-v3 arctg—г.
х yJ3
1^х4-хач-1 1 д/з
1X14. >-4arcem^-^4->/4x34-12x-7, 2х4-3>0.
1X15. y-2aacrin--^—4->/9xa4-6x-3, 3x4-1 >0. «За "г* 1
1X14. у—(2Ч-Зх)^х—14-^arctg^x—1.
1X17. y-^(x-2)7^4-to(7^14-l).
38
13.19. у-Ь
jarctgx
1340. у-
1341. ^-arctgyx1—1— ^==.
1342. у-Злкягп-^—+у/хл+4х-5. x+2 v
1343. y-7(3-xX2+x)+5«rcrinV(*+2)/5.
1344. у-хСахсапх^+г^/ь^ахсвтх-Зх.
1345. v——----+arcsmx.
x
1344 y»?»roco<x---—Vl~x*.
1347. у
1348. ^-(хМХЮ-х^Т^^+бвгсаЬСхДХ
1349. j-arcein—+25/*‘+3x+2, 2x+3>& 2x4-3 v
1341. у
1340. >"«xaicsm
arcrinx 1.1— x
7^? 2 1+x
Задача 14. Найти производную.
141. —ln(tgx+ctga).
ana
144. y-xcosa+analnen(x-в).
144. у
144 j»-arctg (совх$сов2х).
145. y«»3—5— 4-2—j-
cos3x сов*л
146. y-i^+P) tri arcein
I. b>0.
147. у
7Ж (3 мп Зх+сов Эх In 7) (?+lna7)
шх
148. ------j=
149. y-(l/(a(l+a2)))^Ktg(acoex)+atatg(x^X>
39
1410. y--—L---J-4.1inL+sin.x.
Зап’х rinx 2 1—einx
1411. y-a+x3)^*»*.
2xsn— 1 2
14.13. у-—H-----arete-----£
2nn(oc/2)^* 1-x3 6x(«in4xin6—4coe4x)
14.15. у---
1414. y—arctf
-------, x>0. X
16+h?6
.. . 2йпх
14,17. y-arctf-y
14.14. y-arctg—--.
1—tgx
14.18. >5*(2Й|2ж+с<*2* ,»5)
4 4-in2 5
1419. у-in
! , ^(4Ыа«х+ЬЗс«4х)
l«+to*3
1431. у-4*^4^4*"400*4*)
164-lna4
5x(ain3xin5-ЗсоаЗх) У
1432. y*^^-2coejf-31ntf£ шгх 2
9+ta35 2x(smx+coaxki2)
,4Ji »-----i+o»^
14». >-2^“’ * ““
1431. у
1434. y-x-ln (!+•*)-2e 2arc|ge2.
ЬЦсЦх+Щ.) r me
coax
1431. у
iax*
3x((ta3)rin2x-2co»2x)
1439. y—
L l+coax 1430. ------
2tf(x/2)+l
atetg--^-nc:——
V3
1 1
Задача 15. Найти производную у*
15.1.
ЗГ» ' -en(ts/3+r).
153.
153.
153.
i/VcTij5.
taO+V^+lX
x«iarc«fa(gmrX -y-arccoa(coei).
15.7.
х-а^Сге1), yaalntge*.
15.6. .
(У"агсмп(/— 1).
15Л
V-l/cot1/.
40
arctge*/2, Ve'+l.
t-lnQ/Vi3^ warcun (1—r*)/(l +I3)-|x «arcsin g/1—?), (arccosO3.
fx-(l +cos3O’.
(j—©OSt/Mn3t.
arccoe(l/0, yjp—l +arcsin (1/f).
15.23.
15.27.
15Л5.
lnV(l-«“O/(l+«inO. (1/2) U’r+ln cost
t-lntf t, «l/sin3r.
15Л9.
tgflncoer+tf t—t.
x—arctaft 4- 1)/G— Dk
41
Задача 16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра <==<0.
1Ы. [у—асов3Г, <0-я/3. 163. [у-а(\— cost), Го—я/3. 163 f*~(2t+t*)l(l+?), ’ ty-f^-^/fl+^A <o-l- (y— sinf, <o—я/3. (y-3<— r, <0—1. Jx-arcsmG/^/l+^X (y—arccos(l/>/l+/2), r0—— 1.
|x«/(tcoe/—2sinr), * 1ув<0®п,+2сов0> <0"«/4- |x-21nctg/+l, CxaMOfCOSf. laif iy-a/smc (о-я/2. 16.13. Jy-arccoefl/^/l-K2), <0-l. <2i< fa-a+we, 'о"2- 16J7 (x-a(<rin<4-coe<), ’ (y-a(sinf-rcos<), <0-я/4> fx— 1—<*, Ш19. i S* (y-<-<3, <0"*2. 1ML (у—«ЮвГ. <0—0. fx-3coe< 1633 < (y—4einc <0—я/4. IMS. , ly-^+f+l, <0-1. «-и» Гх“2|в*. [y-2em2<+sin2l. <o""<i/4. 16Л9. I*"?'* n [y-tr, io-0. fx—2e^. i63i. { ; b"®- • *0-0- 14. Р“3о'Л1+<1). *0“2-is-ie fjt-o/2)'I-a/*)<*. ’ V-0/3<*+(»/3)A »»-« fx—sin2/. 16.12. {. / (y—cos’t r0—x/6. 16Л4. Pf"<l+In/>/r2« V"(3+2b0/<. r0*l. 16Лб4Х“вЯП> (у—асов’J, t0"4t/6. 1«<U , I6^n р-ЬС+'Ъ loju. < (y—t—aretgt <0—1. «.-x 1Ы4. V-i*-»3. ».-» iti*. ?-2c“G „ ly-f2. <o--X fx—sin <. 1630. 4 (у-сов2/, t0—я/б.
Задача 17. Найти производную n-го порядка.
17.1. у-хе" 173. у—sin 2x4-сое (х+1).
17.3. y-V®7*1- 17А у-(4х4-7)/(2х4-3).
42
173. y-lg(5x4-2).
17.7. y-x/(2(3x4-2)).
17.9. y—y/x.
17.11. y»23*+5.
17.13. у«Ц/е2*+1. '
17.15. y=lg(3x+l).
17.17. y-x/(9(4x4-9)).
17.19. y**4lx.
17.21. у-о2**3.
17.23. y-V®3**1-
17.25. y-lg(2x4-7).
17.27. y-x/(x4-1).
1739. y—(l 4-x)/(l — x).
1731. у-З2*4-5.
17.6. у «о3*.
173. y-lg(x4-4).
17.10. y-(2x4-5)/(lX3*4-l)).
17.12. y=sin(x4-l)4-cos2x.
17.14. y«(44-15x)/(5x4-l).
17.16. y-75<
17,18. y-lg(14-x).
1730. y-(5x4-l)/(13(2x4-3)).
1732. у sin (3x4-1)4-cos 5x.
1734. y=(ll + 12x)/(6x4-5).
1736. y-24
1738. y«log3(x4-5).
1730. у«(7x4-1)7(17(4x4-3)).
Задача 18. Найти производную указанного порядка.
18.1. у-(2х2-7)ln(x—1),yv«?
183. У—ХСО8Х2, у”“?
183. у«(3—х2)1п2х. У"»?
5/х—1
МЛу-^.У"-/
18.7. y-x2sin(5x-3),y®-?
18.9. у - (2x4-3) In2 х, у®-?
18.11. у-(1пх)7х3, У*-?
18.13. у-е1’2* sin(24-Зх), у"-?
18.15. y«(2x34-l)cosx,yv-?
18.17. у-(1-х-х2)е<*~,>/2,УУ-?
18.19. y-(x4-7)ln(x4-4),yv-?
1833. у-(1пх)7х’( у®-?
1835. у-(х24-Зх4-1)е3*+2, yv-7
18.6. y«(4x34-5)e2x+1, yr«=?
183. y«0nx)/x2, y^-?
18.10. y«=(14-x2)arctgx, y®«?
18.12. y«(4x4-3)2“* yv«?
ln(34-x) _
18.14. y«—-----, y®“?
34-x
18.16. y«(x24-3)ln(x-3), y^-?
18.18. y-(l/x)sm2x,y®-?
1830. y«(3x-'7)3“* y1*-?
1832. у=ex^2 sin2x, y1*»?
1834. y-xln(l-3x),
1836. y«(5x-8) 2“*, f-?
1838. y«e_*(cos2x-3sin2x), У*—?
18.29. y-(5x- l)ln2x, У”-?
1831. у»(х34-2)е4х+3, у"'-?
ism ,o8sx jv , 1830. у , У «г
43
Задача 19. Найти производную второго порядка уЬ от футы ции, заданной параметрически.
19.1. I x-co«2/, y-liec2t. V-i/t
193. | x«e'ooef, y»efsmr. [y-l/ch2L
fjf/4-wn t 193. { * [у-2-coer. 19Л P"1^' 1у-1/(1+^
19.7. J . 19Л
y»l/y 1—r. H">aect.
19.9. | x—tgf, y«l/sin2z. 19.10. J rx-^r—1, \y-t/y/t-l.
19.11. < (X—yft, 19.12. J [x-coer/(l+2cos0,
b-V'-i- [y»8inr/(l+2co8t).
19.11 i i 1 «• 19.14. ] "x««8h/,
19.15. J fx-y/t—i, [y-l/Vr. 19.16. J [x-coe2/, >-tf4
19.17. J [х-^/г-З. ty-taO-2). 19.18. 1 х-»мп/, 7 «In сое/.
19.19. J fx—Г+МПГ, x«/—мп/.
[у-2+cost. 1930. J /«2—сое/.
1931. J [x-cosr. 1931 1 х«сов/-Няп/, ^у—вт/—/cost
1931 1 [x«e*, ly»arcant 1934. ] x«coer, ^-rin*(r/2).
1935. J x-cht. 1936. ] x«arctg t.
1937. J >->2(t-sb0, >">4(2+cm0. 1930. | x—sin t'-tcoet, y«cost4-tdnt.
1939. <! х-1/Л /-1Д?+1). fx-coe/4-rinc 1930. < , . (у»ат2«. 1M1. [y-arctgr.
Задача 20. Показать, что функция у удовлетворяет уравнению (1).
х/-(1-х*)у. (1) ху+у-сслх. (1)
44
203. у-5е“2х+ёх/3, у+2у-е*. (1)
20.5 y^xy/l—x2.
У/-Х-2Х3. (1)
20.7. >--1/(Зх+с),
У "3/. (1)
20.9. y^-Jx^-cx, (*,+/)<bt-2xydy-0. (1)
20.11. y«et«(*/2), y«inx">taj. (1)
20.4. у—2+’с^1^дЛ (1-х*)У+*у“2х. (1)
У-tgx* j-0. (1)
20.8. y-lnCc+e*), y-e»->. (1)
20.10. j-x(c-lnx), (x->)dx+xd>—0. (1)
20.12. jr«(l+x)/(l-x),
20.13 >-(Ь+х)Д1+Лх), у-лУ-Ьд+хУМП
Ю.И.
(14-е*)>У-е*. (1) /2 ’ 20.17. j-- /^-1,
1+/+х>У-0. (1) 20.19. jr-0+7x/(ex+l),
^-лУ-а(1 фх^У). (1) 20.21. y-tj y/x+yfa+l, ЯхУ-у—
20.14. y-</2+3x-3xi, jy-(l-2x)/j.(l)
20.16. j-tgln3x,
(1 ^-j^dx-xd^. (1)
20.18. y-tfx-kix-1, Inx+j^—Зху*У—0. (1)
20.20. y»0tg /-—1» у X___________________
в2 ч-^2 4-2х>/^ex-x1 У "0. (1)
20Л2. ^—(x^Oe**,
y-Zxy-lxe*1. (1)
x(x*+ 1)У4-(2x2- 1)у-^Я (1).
20.25. j«»—xcoex+3x, хУ-у+х2 rinx. (1)
20J7. j-x/Cx-O+x2, x(x— 1)У+у"Х*(2х— 1). О)
20.29. >-(x+l)"(e*-l),
/—(1) x+1
2024. j-e’+*a+2ex.
У-?-2хе»+дс1. (1)
20.26. j-l/^/rinx+x, 2(sinx)y+ycofx--j>’(xcosx-«inx). (1)
20J8. y-x/cdx, У-ytgx-iecx. (1)
_rinx 20J0. j-2----4-cosx,
x
х(мп х)У+(sin x-xcoex)^-
-sinxcoex—x. (1)
45
Ш. ГРАФИКИ
Теоретические вопросы
1. Условия возрастания функции на отрезке.
2. Условия убывания функции на отрезке.
3. Точки экстремума. Необходимое условие экстремума.
4. Достаточные признаки максимума и минимума функции (изменение знака первой производной).
5. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке.
6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости.
7. Точки перегиба графика функции. Необходимое условие перегиба. Достаточные условия перегиба.
8. Исследование функций на экстремум с помощью высших производных.
9. Асимптоты графика функции.
Теоретические упражнения
1. Доказать, что функция f(x)=x—sinx монотонно возрастает на отрезке: а) ГО, 2л]; б) (0,4я]. Следует ли из монотонности дифференцируемой функции монотонность ее производной?
2. Доказать теорему: если функции <р(х) и ф(х) диффренциру-емы на отрезке [а, о] и <р,(х)>ф,(х) Ухе (а, Ь), &ф(а)=ф(а), то <р(х)>+(х)Ухе(а.Ъ].
Дать геометрическую интерпретацию теоремы.
Указание. При доказательстве теоремы установить и использовать монотонность функции f(x)-<p(x) —+(х).
3. Доказать неравенство 2х/л<»пх для трех случаев:
a) VxefО, arccos- ; б) Vxe| arccos-, в) VxefО, £1 V Я I It 2/ \ 2/
Дать геометрическую интерпретацию неравенства.
4. Исходя из определений минимума и максимума, доказать, что функция
f(x)~
х#0,
О, х=0
имеет в точке х=0 минимум, а функция
{хе“1,жЖ х*0 хе , xpv,
О, х=0
не имеет в точке х=0 экстремума.
5. Исследовать на экстремум в точке х0 функцию f(x) —
46
= (x—x0)nq>(x), считая, что производная <р’(х) не существует, но функция <р(х) непрерывна в точке xQ и <p(x0)^Q, п — натуральное число.
6. Исследовать знаки максимума и минимума функции х3—Зх+q и выяснить условия, при которых уравнение х3—3x4-0=0 имеет: а) три различных действительных корня; б) один действительный корень.
7; Определить; «отклонение от нудя» многочлена р(х) =&г—27Х2 4-36х—14 на отрезке ГО, 3], т. е. найти на этом отрезке наибольшее значение функции ]p wk
8. Установить условия существования асимптот у графика рациональной функции.
Расчетные задания
Задача 1. Построить графики функций с помощью производ-
ной первого порядка.
1.1. у-2х3-9х2+12х-9.
13. у-ха(х-2)а.
1.5. у-2-Зх2-х*.
1.7. y-2x,~3x2-4.
1.9. у»(х—1р(х—3)*.
1.11. у-бх-вх*.
1.13. y«2x®+3xi—5.
1.15. y-Gx+lpCZx-l)2.
1.17. у*»12х2—Ях*—X
1.19. у—27(х*—х2)/*—4.
1X1. у-х2(х-4)1/16.
1ХХ у-Об-б^-х5)/».
1X5. у-1бх,-36х2+24х-9.
1X7. у»-(х-2У\х-6^рб.
1X9. у"»(11+9х—Зх*—х*)/8.
131. y-Mx’+llx’-S.
IX у-Зх—х*.
1А у«(хэ-9х2)/4+6х-9.
IX y-Cx+lpCx-l)3.
IX у-Зх2—2—х*.
1.10. у-(хэ4-Зх3)/4-5.
1ЛХ у-1бк*(х-1)а.
1.14. у«-2—llx2—вх2.
1.16. у«-2х*+»х3+12х.
1.18. у««(2х—1р(2х—З)2.
1X0. у-х(12-х2)/8.
1ХХ y-27(x,+x^4r-5.
1.24. у--(*а~4)71б.
1Л6. у-Г&с’-х1-!^.
1Л. у-1бхэ-12х*-4.
130. у—(х-ИрСх-ЗрДб.
Задача 2. Построить графики функц- л с помощью произвол
ной первого порядка.
2.1. у-1-\/х^2х.
23. у-12 Лха+8).
23. у-1—’-Ух^+гх.
Х7. у -б ^/бСх- Зр /(Xя -2х+9).
23. у-3\/(х-3?-2х+6.
2Х у-гх-З^/х5.
2Л. у-~12\/б(х^1?/(ха+2х+9).
2Л. у-гх+б-з^С^+зЛ
2Л у-1-\/ха+4х+3.
2.10. у--б\/бх3/(х2+4х+1^.
47
2.11. у-4х4-8-бХ/(х4-2)4
Ill у~Х/*(*+2). ,
115. у- - 3 \fyx+I)4 Дх44-6х4-17).
117. у-ЗХ/бСх-^Дх4-6x4-17).
1». v-6x-6-9\f(x-iy.
121. y-sV<x(x^ij.
121 у-ХМ*-2).
121 у-9\/(х+1)*~бх-6.
127. у~Лх- 16-12 Х/(*-2)4.
129. у- 12Х/(х+2)*—8х—16.
131. у - 3 \/(х+4? - 2х—8.
111 у-3 Х/б(«-4? /(ха-4х+12).
114. у—1\/х14-4х+3.
116. у—6 Х/(х—2)1 -4x4- 8.
Ill y-2+VMx+2).
120. у-Х/ха4-6х4-8.
121 У--3,7б(^+2)4/(х4+8х4-24). .
124. y-l—^x4—4x4-3.
126. у-бХ/б(х+3)4/(х4 4-10x4-33).
121 у- -бХ/б(х-6)4 /(х4—8x4-24).
130. у-3 Х/<Чх-1/ /Wx4 4-2х 4-9)).
Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках.
, 16 ’ 4
11 у-Х/2(х-2)4(8-х)-1, f0, 6].
1-3.3).
19. y-X/fyx+lftS-x)-^ [-3, 3).
Иу-10хД1+х4ХР,3|.
110. у-2ха+—-59, Р, 4J.
111 у-Х/^х-З), [-1, б].
М3. у-2(-х1+7х-Ч/(*1-2х+2Х ПА М4. у-х-
3.1S. y-Vjfr-W-A П. Я
М7. у-~ +?+»,
Ml. № Я
М«. у-4хК*+>^), [-4, 4 м». >-’7м*-чл-г я
х4+2х+5 ’ J
121 y«x4-2x+16/(x-l)-13, (2, Я 124. у-Х/2(х+2Л1-хХ [-3,4].
ЗИ у-хаД-|.2х+8/(х-2)4-5, (-Х 1]. 126. у-вх-М/х4-15, [1/2, 2).
127. у- Х/2(х+2^(х-4)+3, [-4, 4 ЗЛ у-х4 +4х+ 16/(х+2)-9, [-1, 2].
129. у4/ха-8х-15, [-2, -1/4 130. у-\/2(х+ 1)а(х-2), [-2, 5J.
10х+10 , . ,
311. у-j[~ 1,4
х4 4-2x4-2 1 J
48
Задач* 4. Варианты 1 — 10
Рыбаку нужно переправиться с острова А на остров В (рис. 1). Чтобы пополнить свои запасы, он должен попасть на участок берега MN. Найти наикратчайший путь рыбака s=+s2.
4.1. а»»200, £-300, Я-400, Л-300, £-700.
4.2. а-400, Л-600, Я-800, А-600, £-1400.
43. а-600, £-900, Я-1200, Л—900, £-2100.
4.4. в—800, £-1200, Я-1600, Л-1200,
£-2800.
4.5. а-1000, £-1500, Я-2000, Л» 1500,
£-3500.
4.6, a=400, £-500, Я-300, h=400, £-700.
4.7. а=800, £-1000, Я-600, Л=800,
£-1400.
4.8. о=1200, £-1500, Я-900, £=1200, £=2100.
4.9. о= 1600, £=2000, Я-1200, Л-1600, £=2800.
4.10. a=2000, £-2500, Я-1500, Л = 2000, £-3500.
Варианты 11 —20
При подготовке к экзамену студент за t дней изучает —-^-ю
часть курса, а забывает а/-ю часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса?
4.11. £-1/2, а-2/49. 4.12. Л» 1/2, а-2/81.
4.13. £-1/2, а-2/121. 4.14. £=1/2, а=2/169.
4.15. £-1, а—1/25. 4.16. £-1, а= 1/16.
4.17. £— 1, а-1/36. 4.18. £-1, а= 1/49.
4.19. £-2, а-1/18. 430. £=2, а=2/49.
Варианты 21 — 31
Тело массой т0=3000 кг падает с высоты Ям и теряет массу (сгорает) пропорционально времени падения. Коэффициент пропорциональности k =100 кг/с. Считая, что Начальная скорость vo=0, ускорение g=10 м/с2, и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти наибольшую кинетическую энергию тела.
4.21. Я-500. 432. Я=605. 4.23. Я=720.
434. Я-845. 4.25. Я-980. 4.26. Я-1125.
437. Я-1280. 438. Я-1445. 439. Я=1620.
430. Я-1805. 431. Я-2000.
Задача 5. Исследовать поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных высших порядков.
5.1. у«ха-4х-(х-2)1й(х-1),х0=2.
49
51/-4х— х2—2см(х--2),х<— 2. •••<
53. у««6сх~2—х’+Зх3— Ох, Хф—X
5Л. у-«21п(х+1)—2x4-х3+1, хв-0.
53. y-lx-r-x3—2со»(х^ IX хв— 1.
53. у-сов3(х+1)+х3+2х, хв—— 1.
5.7. у—21ПХ+Х3—4х+3,х0—1.
53. у-1—2х—х3—2сов(х+1Х x>-—1.
53. у-х3+5х+8-2ех+2 xe- -X
525. у-4х+х3-2еж+1, х0--1.
5.11. у"(х+1)яп(х+1)—2х—х3, Xq--1.
5.12. у-бе^-Зх-х3 х.-1.
5.13. у-2х+х3-(х+1)1п(2+х), Хф--1.
534. у-йп3(х+1)—2х—х3, х0*—1.
5.15. у-х3+4х 4-сое3 (х+2), х0~—Х
5.15. j-x3+21n(x+2X *e--1.
5.17. у—4х-х3+(х—2)кп(х— 2), хв-Х
5.1». у-бс*—х3—Зх3—6х—5, хо-0.
5.1». у—х3—2х-2е*”2, х0—2.
520. у-»ип3(х+2)-л3-4х-4, Хф--2.
521. у-сов3(х—1)+х3-2х, Хф-1.
52Х у-х3—2х—(х—l)lnx»Xo— 1-
523. у»(х—1)йп(х—ll+Zx—x3, хв-1.
524. у-х3—4х+сова(х—2), Хф—2.
S25 у-х*+4х,+12х3+24(х+1-ехХхо-0.
525. у-ип2(х-2)-х3+4х-4, х^-2.
527. у-6е’с+1-х3-6л3~15х-1б»Хе--1.
52». у-йпх+Ах—2х, Хф»0.
52». у-впа(х— 1)—х3+2х, х0»1.
530. у—совх+Лх, хв»0.
531. у-ха-2ех-,1 хь-1.
Задача 6. Найта асимптоты и построить графики функций
5.1. y-tn-x’J/Ctx-S).
53. у-(х3-4х)ДЗл3-4Х
53. у-(4х3+Зх3-8х-2)/(2-Зх3).
5.7. у-сгх’-одх-гх
53. у«(х3-5х)Д5-Зх3).
5.11. y-fZ-x3)/^*2-*.
5.13. у-СЗх3-?)/^^!)-
52. у-Сх3^!)/^/^?1!.
5А у(4х34-9)/(4х4-8).
5.5 у-^-зу^/зх^-г.
5Л у«(2хэ+2х3-Зх-1)/(2-4х3).
5.10. у-(х3-6х+4)/(Зх-2Х
5.12. у-(4х3-Зх)/(4х3-1\
5.14. y-C^+lQ^x3-».
50
€15. >-(х43х2-2х-2)/(2-зха).
6.17. у-с^-паД1-*.
6.19. ^-(х2- 11)/(4х—3).
€21. у-(ха-2ха-Зх+2)/(1-ха).
633. у-(х,+ха-Зх-1)/(2ха-2).
€25. y-Qxa-10)/V4xa-l.
€27. у-(2х3+2х2-9х-3)/(2х2-3).
€25. j-(-xa-4x+13)/(4x+3).
€31. y-p-lOx1)/^/**1-!.
€1€ y-(21~x2)/(lx+9).
€11 (2х,—3ха—2х+1 )/(1—Зх1).
€20. >-(2ха-9)/л/х2-1.
€22. j-(xa+2x-l)/(2x+l).
€24. >-(ха+бх+9)/(х+4).
€2€ j-(xa-2x+2)/(x+3).
€21 >-(3xa-10)/Q-2x).
€30. /-(-в-х^АД2-*
Задача 7. Провести полное исследование функций и построить их графики.
7.1. >-(ха+4)/ха.
13. y-2/(x*+2x).
13. у-Пх/ф+х2).
1.1. у-(4-ха)/ха.
7.9. у-(2x41)/ха.
7.11. у-х^х-!)3.
7.11 >-(12-Зха)/(х2+12).
7.15. j-~8x/(x44).
7.17. j-(3x*+l)/xa.
7.19. y-eCx-lMx+l)2.
711. у-4ДхаЧ-2х-3).
103. >'-(х24-2х-7)Дх2+2х-3).
135. у- —(х/<х+2))а.
133. ^-4(хЧ-1)аДха+2х+4).
719. jr-(xa-6x+9)Ax-l)3‘
731. >-(x’-4)/xa.
13. j-(xa-x+l)Ax-l).
7A j»-4x2/(3+x>).
7j€ y-(xa-3x+3)/(x-l).
13. j«(x2-4x+l)/(x-4).
7.10. y-fx-l^/x3.
711 y-Cl + l/x)2.
7.1€ ^-(О+бх-Зх^^-гх+В).
7.1€ ^-((Х-1)Дх+1))а.
7.11 >-4хДх+1)а.
710. у-О-гхЪ/х3.
132. >-4/(3+2x-x*).
714. y-l/(x*-l).
71€ y-(xa-32)/xa.
718. y-(3x-2)/x*.
13Л. >-(xa-27x+54)/xa.
Задача 8. Провести полное исследование функций и построить их графим.
11. ^-(2х+з>-2<ж+1). IX
13. у-31п—^-1. 14. у-р-х)е*~2.
е2”* х
15. . 1€ у-in—- + 1.
J 2-х х+2
17. у-(х-2)^ * 11
19. у-З-ЗЬ—. Ill y--(2x+l)c2<-t+1).
51
e*+JO 111. у- , 2(х4-2)
Ill у-In—-х-2
8.13. у-(2х4-5)е“2<х+2).
115.y«2ta-^--l. х+1
111 у*»(4—xje*-3.
8.17. у-
е~2(х+2)
2(х+2) ’
115. ^-(гх-Пе2*1*-*).
821. у»21п——3. х—4
8.18. у-21п------:
х
е-(*+2)
120. у---------—.
3.
825. у--(2x4-3) е2^4"2).
827. у-In—-+2. х
824. y-b—--1. х+5 е“2(*-1)
826. у»---------.
У 2(х—1)
828. у-(х4-4)е“(х+3>.
830. y—ta----
х
831. у-21п—+1. х
Задача 9. Провести полное исследование функций и построить их графики.
5.1. у-VG-xj(xa-4x+1).
53. у *|Дх+2Хха+4х+1).
53. у-^-^^гх-г).
5.7. у-^х^ ^х+З)1.
53. у-^/Лх-гЛ
5.11. y-V^^A
5.1Х у-.|/(х+3)х^.
5.15L y-VCx-l^-V?-А17. y-VS3^*^-515. y-VS+lX^3.
521. у-</(х-2)*-</(ж~3А
521 y-Vc*-^:
525. y-tfx(x-3?.
52. y-~V(*+3Xxa+6x+6).
9Л у-цДхчлххЧгх-г).
5Ж y-V(x-3X^-6x4-6).
5Л у"|/х^(х4-2А
5.10. у-^(х1-2х-3)а.
5.11 y-VAx“4)a-
5.14. у-</(*1Хх+2Л
5.M. у-^х+б^.
5.11 у-^/(х-1)*-|/(х~2Л
520. y-|/(x-3)?.
521 y-</(x+2Xx-4)3.
524. y-</x5-V(jr l)a-
526. у-Ъ/Щх+ЗУ.
52
9.27. у-1/(х+2У-1/(х+ЗУ.
939. у-^/х(х+6)2.
931. y-Vx(x-l)J.
938. у»</х(х-6)2.
930. у«^/(х+1)2-</(х+2)<
Задача 10. Провести полное исследование функций и постро-
ить их графики. 10.1. >»ee,iDX-|-co‘x. 103. y»ln(coex-|-smx). ЮЛ у-еГ'***. 10.7. y-fa(^sinx). 10.9. y-e*inx~coex 10.11. y-ln(smx—cosx). 10.13. у.е"^«* 10.15. y-ta(-^coex). 10.17. y»e-“nx~co,x. 10.19. y—in(—йпх—coex). 103. y-arctg[(sinx+cosx)/^). 10.4. y-l/(sinx+cosx). 103. y—arctg sinx. 103. y-l/(smx—coax). 10.10. y—arctg[(sinx—coex)/-^]. 10.12. у-1/(атх+соах)2. 10.14. y»—arctgcoax. 10.16. y—l/(sinx-coax)2. 10.18. y-^/rinx. 1030. y—^(smx-co*x)/^2.
1031. ум’^»*». 1033. y-lnC-Tzsinx). 1035. 1032. y—tycosx. 1034. y—y/cosx. 1036. у>ц/(атх+соах)/^2.
1037. y-ln(co8x— rinx). 1039.y«e>/iooex 1031. y»ln(^coex). 1038. y-B^rinx. 1030. у«в^(втх4-со»х)/^2.
ит. ИНТЕГРАЛЫ
Теоретические вопросы
1. Понятие первообразной функции. Теоремы о первообразных.
2. Неопределенный интеграл, его свойства.
3. Таблица неопределенных интегралов.
4. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
5. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.
б. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных функций.
7. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
53
8. Интегрирование иррациональных выражений.
9. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.
10. Основные свойства определенного интеграла.
11. Теорема о среднем.
12. Производная определенного интеграла по верхнему пределу.Формула Ньютона' — Лейбница.
13. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
14. Интегрирование биномиальных дифференциалов.
15. Вычисление Площадей плоских фигур.
16. Определение и вычисление длины кривой, дифференциал длины дуги кривой.
Теоретические упражнения
1. Считая, что функция —равна 1 при доказать, что она интегрируема на отрезке [0, 1].
2. Какой из интегралов больше:
1 1
Г/йахУ , ГмПХ , л
11-^-1 dx или 1-^-cLx?
3. Пусть f(t) — непрерывная функция, а функции <р(х) и ф(х) дифференцируемые. Доказать, что
1 | f(t)dt^(x)W(x)-A<p(x)W(x).
Найти
е** d/.
5. Найти точки экстремума функции
fw-la-wt-ije-'dt.
6. Пусть f(x) — непрерывная периодическая функция с периодом Т.,Доказать, что
| f(x) dx= lf(x) dx Vo. а о
54
7. Доказан*, что если f(x) -
четная функция, то
JW&x.
8. Доказать, что для нечетной функции f(x) справедливы
f(x)dx**Q.
»!
9. При каком условии, связывающем коэффициенты a, Ъ, с, гсграл I Дх является рациональной функцией?
Расчетные задания
Задача 1. Найти неопределенные интегралы.
1.1. 1 (4—3x)e-3xdx. LX j arctg^4x—Idx.
(3x+4)e*»dx. 1A 1 (4x— 2)co«2xdx.
1Л. 1 (4—16x)ain4xdx. 1Ж I (5x-2)e3jcdx.
L7. I (l-6x)e2xdx. 1Л. I Hx’+djdx
и. I ta(4xa+l)dx. 1.10. J(2-4x)on2xdx.
1.11. Jarctgi/бх—Idx. 1Л1 (•“^(dx—3)dx.
1.1Х |e-342-9x)dx. 1.14. Jarctf ^/2x—Idx.
1.15. Jarctf-Узх—Idx. 1ЛС Jaretg^/jx—Idx.
$5
1.17. f(5x+6)coe2xdx. 1.М. (3x-2)coe5xdx.
". |*(x-^2—3) cm 2xdx. 1Л. *(4x+7)coe3xdx.
IM. (2x-5)CM4xdx. ' 1ЛХ |’(8~3з)см$с4л. .
fl
IM. (x+5)sin3xdx. 134. (2—3x)sin2xdx.
us. (4x+3)sin5xdx. 136. |*(7x—10)tin4xdx.
137. ^(>/2—8x)sin3xdx. 13X P xdx |смах’
1J>. Г xdx lan2x‘ |*XCMXdx 130. pr sin2 xdx.
131.
| en’x
Задача X Вычислить определенные интегралы.
< ► Ь f < )
XI. 1 (x2+Sx+6) CM 2xdx. XX 1 J (x2— 4)cos3xdx.
1 r a
< < >
XX I (x2+4x+3)cMxdx. x< j (x+Z^cosSxdx.
«V 1 ' a
XX (x2+7x+12)cMxdx. XX I (lx2 +4x+7)cm 2xdx.
— * 1 *
X7r | (4xa+9x+ll)cM3xdx.. . ш I (8x2+16x+ 17)cM4xdx.
* 1*
XX I (Зх3+5)см2хёх. XIX j*(2x1—15)cm 3xdx.
« Ze a 2«
XU. I (3—7x*)cM2Lxdx. XIX ^(1—8x2)co<4xdx.
0 0 a
XIX 1 (xa+2x+l)sin3xdx. XIX ^(x2—3x)sin2xdx.
-1 1
56
115. I (x2—3x+2)sinxdx.
111
<2
I (x2—5x+6)an3xdx.
117.
0
f (x2+6x+9^tm2xdx.
-3
118.
«/<
Г (x2+17,5)en2xdx.
119.
(1 — 5x2)sinxdx.
120.
(3x—x2)sin2xdx.
t
In’xdx
i
124. |(x+l)ln2(x+l)dx.
121 (x-O’ta’Cx-lJdx
о
1 I
-i
3
121
i
131.
о
j (x^+l^dx.
Задача 3. Найти неопределенные интегралы.
3.12. j Г xcoex+sinx, 1 (xiinx)1 Г , xdx
3.14. j 3.16. J Г>+1п(х-1) 1 “x-1
3.18. j r4arctgx—x. 1 1+Л* *•
340. Г x+coex . —s OX. | xa4-28inx
342. j
344. j L-i*1-
346. j
348. Г X- (aictgx)* | dx
340. ^(arcrinx^+l « —uX. 1 Vl-X1
1
о
*/4
4*2Х j* tgxlncotxdx.
«S.
*/4 f sinx-coex 4*27. -------;—^dx.
J (со»х+мпх)э
f **dx
J (J^+l)3’ о
59
Задача 5. Найти неопределенные интегралы.
5.1. x’+l
-5—а*-
а X*—X
х2—17
53. —=—~—- dx.
х2-4х+3
2хэ—1
53. dx.
хЧх-б
5.7. х’+гх’+з
(х-осх-гхх-з)**-
53. Xs
-——Z dx.
а (х-1Хх+1Х*+2)
5.11. f х2—Зх2—12
1 ГТ dx.
) (х-4Хх-3)х
5.13. ‘Зх3—2
-г—-dx.
X*—X
ЧГ® 1
5.15. —з—— dx.
X2—X
5.17. ,2ха-8х2+3 „
, dx. х2-2х
5.19. -х2+9х2+4 .
—-5— -dx. х’+Зх
х’-5х2+5х+23 л
Sa2je । dx.
(х-1Хх+1Хх-5)
‘2х*—Зх2—8х—8
533. —: dx.
х(х-2Хх+2)
535. *3х*+3х>-5х2+2л
х(х-1Хх+2)
537. ’х9-х*-6х2+13х+6-
Хх-ЗХх+2)
539. ,2х*+2х2-Зх2+2х-9 ,
х(х-1Хх+3)
531. ’ 2х3-40х-8 .
х(х+4Хх-2) *
5.2. а Зх>+1 л X»-1
5.4. -V +Д-dx.
х2-х-2
Зх3+25 '
5.6. dx.
х2+Зх+2
Зх3+2х2+1 л
5А г dx.
(х+гхх-гхх-!)0*
* Xs—Зх2—12
5.10. dx.
(х—4Хх- ЗХх-2)
’ 4хэ+х2+2 ;
5.1Х dx.
х(х—1Хх—2)
* Xs—Зх2—12
5.14. з г: г- dx.
(х—4Хх—2)х
‘х’+Зх’-l
5.16. —х2+х—
‘Зх’—12х2—7
5.18. = dx.
х2+2х
- х’+25хэ+1 ж
530. -= dx. х2+5х‘
*х9+2х*-2х3+5х2-7х+9
(х+ЗХх—1)х
,4х*+2х2-х-3 ,
534. dx.
х(х-1Хх+1)
,2х4+2х3-41х2+20 ,
536. dx.
х(х-4Хх+5)
‘Зх’-х2-12х-2 .
538. dx.
х(х+1Хх-2)
‘2xs—х2—7х—12
530. dx.
х(х—ЗХх+1)
Задача 6. Найти неопределенные интегралы.
Г х’+6х2+13х+9^
J (х+1Х*+2)э *
Гх’-6х2+13х-6
J (x+2Xx-2p fx2-6x2+llx-10 л
—7---S3--ZT5—dx.
(х+2Хх—2)э
6.6.
х2+6х2+13х+8 х(х+2)э х2+6х2+14х+10 (х+1Х*+2)э x2+6x2+llx+7^ (х+1Хх+2)э
60
,2х3+6ха+7х+1 л
(к/. (x-IXx+l)’
Г2х1+бха+7х+2
6.9. - -= dx.
х(х+1)3
,х’-6ха + 13х-7 л
Г 11 Л у
. (х+1Хх-2)э
‘х3—бха + 10х—10
613. — =— dx.
. (х+1)(х—2)3
Зх’+9ха + 10(х+2 ,
< к Я у
. (х-1)(х+1)3
Z 1*7 ,2х3+6х3+7х+4 .
ОиХЛ . (х+2Х*+1)э
,2х*+6х3+7х а
619. г dx.
. (х-2Хх+1)3
х3+6х3+4х+24 л
621. ———J— dx.
(х-2Х-К+2)3
‘х’+6х3 + 18х—4 л
623. —г? cr-dx-
. (х-2Хх+2)э
’Xs-бха + 14х—4
625.
. (x+2Xx-2)s
‘2Х3—6ха+7х—4 .
627. ' л».
. (x-2Xx-l)s
f xs+6xa—10х+52 .
629. — — dx.
. (x-2)(x+2)‘
‘x3+6xa+13x+6
631.
(x—2Xx+2)s
х3+6ха + 10х+10 (х-1)(х+2)3
"x3-6x2+13x-8 л
6.10. ;—-a dx.
x(x—2)3
l’xs—6x2 + 14x—6 ,
612. 7v-dx.
(x+IXx-2)s
‘xs+x+2 ,
6.14. • -——5- dx. (x+^x3 Г2х3+х+1 л
616 -J- dx.
• (x+l)xs Ггх’+бх^зх л
6.18. rdx.
• (x+2Xx+l)3 Г2х3+6ха+5х+4 л
620. —-—— гг-dx.
(x—2Xx+l)s ’x3+6x2+14x+4 .
622. =— dx.
(x—2Xx+2)3 fx3+6x3 + 10x+12
624. (X-2XX+2)1 fx>+«x’+15x+2 .
626 — -5— dx.
• (x-2Xx+2)s *2x3—6x3+7x
628. 7- -r dX.
(x+2Xx-1)3 fx3—6x2+13x—6 л
630. rr-dx.
(x+2Xx-2)>
Задача 7. Найти неопределенные интегралы.
7.1. 73. « 73. 7.7. 73. • 7.11. ‘ x3+4x3+4x+2
(x+lj^+x+l) , ’ 2x3+7x3+7x—1 (x+2)3(x3+x+l) x3+6x2+9x+6 (х+п^+гх+г) ‘Зх3+6хд + 5х-1 (x+l)2(x3+2) X* *x3+6x3+8x+8 (x+2)V+4) f2x3-4x3-16x-12 (x—l)3(xa+4x+5) X
7.13. ’ xs+2x3+10x J (x+l)3(x3-x+l)
72. 7J4. x3+4x3+3x+2 (x+l)3(x3+l) 2x3+4x3+2x-l
• (x+l)3(x3+2x+2) 2x3+llx3+16x+10<u
7л. a (x+2)3(x3+2x+3) xs+9x3+21x+21
/«О» (x+3)2(x2+3) ’x3+5x2+12x+4
7.10. 7.U 7.16 • a a (x+2)3(x*+4) * —3x3 + 13xa—13x+l (x—2)2(x3—x+1) X ‘ 3x3+x+46 (x-l)2(xa+9)
61
7.15. Г4ха+24ха+20х-28 . Г 2х3+Зх3+Зх+2
1 (х+з^+гх+г) г x’+x+i 7.16. (х2+х+1Хха+1) Г х’+х+З
7.17. 7.19. а (x^+x+lXx’+l) ’ ‘ 2x3+4j^4-2x+2 (х* +х + IX*1+х+2) * 4ха+Зх+4 7.18. 730. ‘ 2хаЧ-7ха+7х+9 (ха+х+1Хха+х+2) d Г Зх,+4ха+6х
731. • (х34-1Хха+х+1) Г гх3-*!-! 732. (ха+2Хха+2х+2) ха+ха + 1
731 (х3-х4-1Хха+1) х*4-х+1 734. « (xa-x+lXxa+l)dX‘ Г 2хэ+2х+1
731 (х3—x+lX*2’*-!) Г х’+2х1+х+1 736. « (x3-x+lXxa+l)dX’
737. 739. | 731. (x^+x+lXx3-»-!) ‘ 2ха+2х24-2х+1 738. « (x2+x+2Xxa+2)dX‘ ‘ Зх3+7ха+12x4-6
(xa4-x4-lXxa+l)<U‘ ’ 2х,+Зх3+Зх+2 (x3+x+lXx,+l)dX' 1 «Лк • (ха4-х4-ЗХха4-2х+3)
Задача 8. Вычислить определенные интегралы, 2агсЦ2
8.1
tin’jcfl-coex)'
2aretf2
я/2
Jcocxdx
2 4-coax’ о
я/2
f cocxdx
sin3 х( 14-coax)’ я/2
Я/2
f coax—ипх _
8Ж
2arcti(l/2)
2arctf(l/2)
J cotx(l — coex)
2ак1|2
я/2
8.7.
83.
J мпх(1-мпх) 2«Ц(1/3) я/2 Г coaxdx
J 5+4смх*
J (14-мп x—coax)3’
2«rctf(l/2)
Г 14-snx
J 1+смх+шпх о
я/2
Г coaxdx
J 14-ainx—coax’ яР
я/2
f (14-ooax)dx
J 1+совх+жтх' о
62
2arctg(l/2) JH-mx (1-ипх)3
еле.
8.18.
ело.
2«rct*(l/3) ' .
{ , COtXdx,
(1+ooexXl-•»*)’ О '
о f C<»xdx - ... J (l+co«x—йпх)3* -*/2 2«<ct«(l/2)
J CO*x(l +CO8x)'
О •! • '•
2я/3 fct»2xdx (1+соы+йх)г
ЯД f dx
J (l+einx+coex)2* 0
coex(l+coex)‘
831.
я/2
Jsinxdx
S+3anx*
О
Задача 9. Вычислить oi an;tg3
f_____±.
J (3tgx+5>m2x
f 3+2tgx
J 2emax+3coeax—1
еделенные интегралы.
ж/4
12ctgx+l
(Znnx+coex)2 /V»)
агеЦЗ
f 4tfx—5 ,
9j^ I 1-ип2х+4со«ах
о
63
9Л.
vctg(l/3)
f
J 18sin*x+2coe*
•«"•Та/з
«/4
6tgxdx 3sin2x+5cos*x‘
0 я/4
мп1 х+2сов* х—3
О
0
arct(3
J 2sin2x—Scot2x+1
-исщ(1/3) мсояО/^/з)
9.10.
*/4
9.11.
tgx
9.13.
9.15.
9.17.
9.19.
9.21.
9.23.
9.25.
9.27.
(8ШХ+2СО1Х)*
6sin*x
«/4
МСЦ 3
sin* х—Scot* х+4
J 2ain2x+18cos*x о
мсЦ(2/3)
J 3cot2x—4 о
aretg2
f 12+tgx
J 3sin*x+12cot2x
J 9sin*x+4cos*x о
«/4
о
f 3tg*x—50
J 2tgx+7
-MCCCM 0A/«)
9.20.
«М
o
4tgx—S 4coa*x—sin2x+l
| 11—3tgx
J tgx+3
-МС00» OAA) arccM(l/^M)
36 dx
(6—tgx)sin2x*
-MCI
«/4
(sinx+3cosx)*
9.16.
3 sin* x+4cot* x—7’
«oOzyio)
2tgx+5
(5—tgx)sin2x (2/VT)
arc вл
«/4 f 3t**+2
J 2sin2x+5 о
6sh*xdx
4+3 cos 2x’
»ce«(3/7w> 9JJ4.
о
^4 f 4~7t5* J 2+3tgx
2tgx—5 (4 cos x-sin x)*
мсап^^з
f 8tgxdx
3cos*x+8sin*x— T
64
12 dx
9.19.
«С ««(1/^26)
(6+5tgx)sin2x
931.
3tg*x—1 tg2x+5
Задача 10. Вычислить определенные интегралы.
X
10.1. 28sin8xdx.
*П-
103.
2*ib6xcos2xdx.
2x
103. Jsin*xcos*xdx. о
x
103. |24cose(x/2)dx. 0
«
10.7. 28sinexco82xdx.
fa 2x
10.9. J sin2xcosexdx.
10.11. j*2*siiJe(x/2)dx. 0
10.13. 28 sin* xcos*xdx.
2x
10.15. jcoe’xdx.
0
«
10.17. J2*sin6(x/2)coe2(x/2)dx. 0
10.19. I 28sin2xcoeexdx.
«4
2x
10.4. J sin2(x/4)cos6(x/4)dx. о
0
10.6. | 2*sinBxdx.
-x/2
«
103. J2*sin*xcoe*xdx.
о
2x
10.10. J cos8(x/4)dx. о
о
10.12. J 2*sinexcoe2xdx.
10.14. J2*sin2xcasexdx.
о
2x
10.16. | sm8(x/4)dx.
о
0
10.18. I 28sin*xco8*xdx.
-W2
«
1030. |2*cosexdx.
0
3-207-
65
2я
1031. J sin’xdx. о
к
1033. 124sm4(x/2)cos4(x/2)dx. о
10125. 2“co8“xdx.
» 2 2я
1037. J sinexcoe2xdx. о
я
1039. |2**ia(x/2)coee(x/2)dx. о
2я
1031. J sin43xcoe43xdx.
0
V 2*
1032. J sine(x/4)cos2(x/4)dx. о
о
1034. I 2gsinaxa>8exdx.
-i/2
1036. J2*sm“xdx. о
2я
1038. J sin*(x/4)coe*(x/4)dx. о
0
1030. Г 2gcotexdx.
-x/2
Задача 11. Вычислить определенные интегралы.
? /9-2х
J 2x-2i
10/3
5/3
Г*+л/з*-2-Ю .
11.10. --T:—~-----dx.
J V3X-2+7
n 11. f
J (5/z*+2++(AZxX2x+2)2’
66
Г (4^7х-7зх+2)<1х
J (^Зх+2+4^^xX3x+2)1'
f (4У1^х-^/2х4-1)<Ь
J (х/2л+1 +4>/iZjcX2x+l)a
(б+Х^Дб-Х3
f(4xZT^-VxTi)dx
о (Vx^I+S/T^Xjc+I)2’
1131.
[ (^^Tx-Vx+ijdx
J (Тх+г+^У^Хх+г)2’
Задача 12. Вычислить определенные интегралы.
67
чГэ
12.17.
1119.
1121.
1110.
1111
1114.
1118.
1124. dx.
з
1125.
1127.
68
1230.
ilfi
12.29. f --------**.
J
Задача 13. Найти неопределенные интегралы.
69
Задача 14. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.
141. y-fx-2)3,y-4x-8. 14.2. у~ху]э—х2, у—0. (0<х<3).
143. у-4-х2, у-?-2х. 144 y—sinxcos2x. у—0 (0<х<я/2).
143. у "“Ji—х2, у—0, х—0, х—1. 144 у-х*у1л—х2, у—0 (0<х<2).
147. у—сое х мп2 х, у—0 (0<х<я/2). 148. у—Уе*-!, у-0, х—1п2.
149. у-—7- , 1410. у«arccosх, у—0, х-0.
x-^/l+lnx у—0, х—1, х—е3.
1411. у-(х+1)2, /-Х+1. 141Х у-2х-х2+3, у-х2-4х+3.
1413. у-хд/зб-х2, у-0 (0<х<б). 1414 х-агссову, х-0, у-0.
1415. у—xarctgx, у—0, х-^/з. 1414 у-х^Д-х2. J-0 (0<х<2^).
1417. x-Je’-b х-0, у-In 2. 1418. y-xJ4-x2,y-0 (0<х<2).
1419. у-х/(1+л/х),у-0, х—1. 1420. y-l/(l+cosx\ v-0, х—я/2, Х-—я/2.
1421. х—(у—2)3, х—4у—8. 14JE2. у—сое3 xsin2x, у—0 (0<х<я/2).
х 1424 х-4-у2, х-у’-гу.
70
1435. x-—j , x—0, y-1, y-e3. y^Jl+lny
1437. y-x^/lfi—x3, у—0
(0<x<4).
14.29. y-(x-l)3, y’-x-l.
1431. x—4—(у—I)3, x-y2-4y+3.
ei/»
1436. y-—r. y-0, x-2, x—1.
1438. x-V*-/. x-0, y-0, y-1.
1430. y—xacosx,y—0, (0<x<x/2).
Задача 15. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями.
15.1. Jx—4^200*’/, (у—2>^sin3/, x-2 (х>2).
153. Jx—4(/—sin/), ]y-4(l-cos/), у—4 (0<х<8я, у>4).
153.
X— sjlcozt, у-2 (у>2).
15Л Jx—16 со*3/, |у—2 sin3/, х—2 (х>2).
153. Jx—2 со* С (у—6 sin I.
У-3 (у>3).
15.6. Jx-2(/-sin/),
(у—2(1— сое г), у—3 (0<х<4я, у>3).
15.7. Jx—16со*3 Г, (у—sin3/, х-бТз (х>б7з).
15.9. Jx—3(/—sin/), (у—3(1—cos/), у—3 (0<х<6я, у>3).
153. Jx-6cosr, (у—2 sin/, у-хЛ (y>yfy.
15.10. Jx-85/2cos3/, ly—y/2m3t, x-4 (x>4).
15.11. Jx-2V2cos/, ly-З5/2ЯП/, y-3 (y>3).
15.13. Jy—32cos3/, (y—sin3/, x-4 (x>4).
15.15. Jx—6(/—sin/), (y-6(1 —cos/), y—6 (0<х<12я,у>6).
15.17. Jx—бсов/, (у—4 tin/, у-ъ/з <y>bjl).
15.12. Jx—6(/—sin/), (у—6(1—cos/X у—9 (0<х<12я, у>9).
15.14. Jx—Зсов/, (у—8 sin/, у-4 (у>4).
15.16. Jx—8cos3/, (у—4 sin3/, x-Зх/з (х>з7з).
15.18. Jx—10 (/—sin 0, |у-10(1 -cos/), у-15 (0<х<20я, у>15).
71
15.19. fx-2V2 COS31, ly—5/2 sin3/, x-1 (x>l).
1531. Jx—/—sin/, |y—1—cos/, У-1 (0<х<2я, y>l).
1533. Jx—9cos/, [y-4sinr, y-2 (y>2).
1535. Jx-24cos3r, 1у-2яп3<У x—9^/з (x>9y/l).
1537. Jx-2(/—sin/), ly"2(l-co8f),
У-2 (0<х<4я, у >2). 1539. (x-bfi cosr, ly—Syjl sine y—5 (y>5).
1531. x—32 cos3/, y—3sin3/, x-12^ (x> 125/3).
1530. Jx—-^2cos/, ly—4^2 sin/, У-4 (y>4).
1532. Jx—8cos3r, ly—8sin3/, x-1 (x>l).
1534. Jx—8(/—sin/) |y-8(1—cos/) y-12 (Q<x< 16л, у >12).
1534. Jx—Зсов/, (у—8 sin/, у-4л/з (y>4V3).
1538. fx-45/2cos3/, ly—^2sin3C x-2 (x>2)?
1530. |x*4(r—sinr), (y-4(l-coe/), y—6 (0<х<8я,y>6).
Задача 16. Вычислить площади фигур, ограниченных лини ими, заданными уравнениями в полярных координатах.
14.1. г—4сс«3ф, г-»2 (г>2).
143. гоч/Зеовф, r—sinp, (0<ф<я/2).
143. г»2со«ф, г»"2\/зип9 (0<$><я/2).
14.7. г-4 sin Зф, г-3 (г>3).
14,9. г—созф, г—у/1 сое (ф—я/4) (-я/4<ф<я/2).
14.11. г—4созЗф, г—3 (г>3).
14.1Х г—совф,
Г—8Шф
(0<ф<я/2).
14.15. г—совф, г-2cosp.
14.17. г— 1+>/2совф.
143. г—со82ф.
144. г—4 sin 3<р, г—2 (г >2).
144. г-втЗф.
143. г—совЗф.
14.10. г—8Шф, г—5/2 сое (ф—я/4) (0<ф<Зя/4).
14.12. г-1/2+втф.
14.14. г—^2сов(ф—я/4), г — у/1 sin (ф - я/4) (я/4<ф<Зя/4).
14.14. г—sin ф, г—2 sin ф.
14.18. г— 1/2+совф.
72
16.19. г—1+5/2sin р.
1631. г—(3/2)со8ф, г—(5/2)совф.
1633. г—ввабф.
1635. г—совф+япф.
1637. г«2совбф.
1639. г—38Щф, г-5 sin ф.
1631. г-6 sin ф, г-4 sin ф.
1630. г—(5/2) sin ф, г—(3/2) Шф.
1632. г—4сов4ф.
1634. F—2сО8ф, Г-ЗС08ф.
1636. г-2вап4ф.
1638. г—сов ф—sin ф.
1630. г-2 sin ф, г—4 sin ф.
Задача 17. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.
17.1. y-lnx, 173. 1<х<2.
4 2
173. у-^1—x2+arcsinх, 0 <х< 7/9. 173. у—In у/з <х<^/8.
17Л у- -Incosx, 0<х<я/6. 173. у-е*+6, hu/*<х<Иц/15.
17.7. у-г+агсхт^/х+^/х^х5,1/4<х< 1.
173. у-^(х2-1), 2<х<3.
17.9. y-y/l-x*+uccotx, 0<х<8/9. 17.10. у-In(1 -х2), 0<х<1/4.
17.11. у-2+chx, 0<х<1. 17.12. у-1-lncosx, 0<х<я/6.
17.13. >-«*+13, Ьц/Й^хСИц/з*.
17.14. у-—агссов^х+-Удё^х2,0<х<1/4.
17.15. у-2-е*, /------------------- 15
17.16. y—arcsinx-х2, 0<х<—.
17.17. j-1-In sin х, я/3<х<Я/2. 17.18. j-l-h(x2-lX 3<х<4.
17.19. у—^х-х2—arccos^x+5,1/9<х<1.
1730. —апссовх+-У1—х2 + 1,0<х<9/16.
1731. у-In sin х, я/ЗСх<я/2. рц j-ln7-lnx, yfi^x^yfi.
1733. у»chx4-3, 0<х<1.
1734. 7—14-arcsinx—-^1—х2,0<х<3/4.
1735. y-tocosx+2, 0<Х<я/6. пдй. ^««*+26, Inyfi^x^iny/lA.
17.27. у^^-+3,0<х<2.
1738. у—arccos^/x—5/х—х2+4,0<х<1/2.
1739. j-(eb+e"b+3)/4, 0<х<2. пзо. у-е»+е, кц/з <х<кц/^-
1731. у-(1-ех-е-я)/2, 0<х<3.
73
Задача 18* Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.
5 (/—sin /), 7—5(1- cos/), 0</<я.
х—4 (cos/4-/sin/),
7—4 (sin/—/cos/), 0</<2.
x—10 cot1/, 7-lOsin1/, 0</<я/2^ • \
18.1.
M.7.
(y—3(/—cos/), я</<2я.
x-3 (2 cos /—cos 2/),
7—3(2 sin/—sin 2/), 0</<2я
x—(/’—2) sin t+2/ cos t, у «(2— Z2)cos /4-2/sin I,
IM.
(7“^(<»«»-sin/X 0</<я.
( 1 1 Л
I X—— COS/—— CO! 2/, ’ 2 4
18Х
18Л.
7--sin/—-sin 2/, b X
x-3(cos/4-/sin/), v-3(tin/—/cos/), 0</<н/3.
{X—6СЛ1/,
у—6 sin3/, 0«£/<я/3.
fx—2,5 (/—sin/),
e-6 (cos t+/ЙП/Х
—6 ten/—/COS/X 0</<я.
{x—8 cos1 /.
о cos r,
у-8мп3/, 0«£Z<x/6.
7-4(1-cos 0, я/2</<2я/3.
x-8 (cos/4-/sin/),
7-8 (sin/-/cos/X 0</<я/4.
x—4 cos1/,
я/2</<2я/3.
x-(/a-2)sin /4*2/cos /, 7»(2— H) cos /4-2/ sin /, 0</<я/3.
x-e'fcotz-hsin/),
7-e* (cot/—sin/), я/2</<я.
x - 3,5 (2 cos /—cos 2/)
7—3,5 (2 sin/—sin 2/X 0<г<я/Х
fx—(z1 -2) sin/4-2/cos /, [7—(2—t3) cos /4-2/ sin t, 0</<я/2.
х-е*(сов/4-51п/),
7-er(cos/—sin/), 0</<2я.
x-2(2cos /—cos 2/),
7—2(2 sin/— sin 2/), 0</<я/3.
18J2. Jx"(ra~2)“nr+2looer’ (7—(2—t3) cos/4-2/ sin t, 0</<2я.
18.1X
я/б</<я/4. x-2(/-sinZ), 7-2(1-cos/), 0</<я/2.
18Д4. { f
ly-r (cos/—am/), 0</<Зя/2.
18J8. fx"4<2coM-cos2/)’ (7—4 (2 sin/—sin 2/X 0</<я.
74
1831.
x—2(cosr+rsinr),
^—2 (sin r—r cos г), 0<Г<я/2.
х-2совэГ, -j-2 sin3 г, 0<г<я/4.
ix—(ra—2) sin t+2t cos t, (2—^cos r+2rsin t, O^t^K.
1830.
e—(r2—2)sinr+2rcosr,
—(2-ta) cos r+2rsin t, 0<г<Зя.
e—e* (cos Г+sin r),
—e* (cos r—si nr), я/6<г<я/4.
Задача 19. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравне нмями в полярных координатах.
19.1. 0—Зе3*'4, —я/2<?<я/2.
193. 0—5/2®*, —я/2<?<я/2.
193. р-бе12*'9, -я/24?<я/2.
19.7. 0—4е**/а, 0<ф<я/3.
19.9. 0-5е’*/1а, 0<?<я/3.
19.11. 0-1—sin?, —я/2<?<-я/б.
19.13. 0-3(1 +sin?), — я/6<?<0.
19.15. 0-5(1— сое?), —я/3<?<0.
19.17. 0-7(1— sin?), — я/6<?<я/б.
19.19. 0-2?,О<?<3/4.
19.21. 0-2?,О<?<5/12.
1933.- 0—4?, 0<?<3/4.
1935. 0-5?, 0<?< 12/5.
19.27. 0—8 сов?, 0<?<я/4.
19.29. 0—2sin?, 0<?<я/6.
1931. 0-6smp, 0<?<я/3.
193. 0—2®4*'3, -я/2<?<я/2.
193. 0-5®9*'12, -я/2<?<я/2.
1945. 0-Зе3*'4, 0<?<я/3.
193. 0—^2е*, 0<ф<я/3.
19.10. 0- 12е12*'3,0<?<я/3.
19.12. 0—2(l—cos?), —я<?<—я/2.
19.14. 0-4(1—sin?), 0<?<я/6.
19.16. 0—6(1+sin?), —я/2<?<0.
19.18. 0-8(1—cos?), —2я/3<?<0.
1930. 0—2?, 0<?<4/3.
1932. 0-2?, 0<?< 12/5.
1934. 0—3?, 0^?<4/3.
1936. 0—2cos?, 0<?<я/б.
1938. 0—бсов?, 0<?<я/3.
1930. 0—8sin?, 0<?<я/4.
Задача 20. Вычислить объемы тел, ограниченных поверх ностями.
20.1. —+/-1, х^у, z-0 (у>0).
203. ^+^-z2-l,r-0,z-3.
20Л’ ^+^+Jwl’z"1’z"°‘ 20.7. z-x’+Oy2, z-3.
20.9.
х2 / _z2e 9+16 64~
l,z-16.
203. z—x2+4y2, z-2.
2045. x2+y2—9, z—y, z—0, (y>0).
203. ^+3^—z2—1, z—0, z—3. “>«-г6+?+Гб-1’1-2’’-0-
75
MIL ^+^--1, z-y^, z-0, (y>0).
MIX n+xj-i’-b г-0. x-1 cl XD x3 y3 z3
M15. -+£+_.!, z-3,z-0.
10 5r M
20.17. z-x’+Sy3, z-5.
20.19. -*-+£-—— --1, z—20.
9 25 100
20.12. z-2x3+8y3, z-4.
204 r4-s—,’1-12
20.16. ^+£-1, «-У>/3, z-0 (y>0). 3 16
20.18. ~+—Z3-!, z-0, z-4.
MM. £+£+£-1, x-4, x-0.
10 7 04
MIL Jf+£-L »-Л. г-0, 0>0).
M21 хЧ j-z3-!, z-0, x—3.
x3 y3 z3
20J5. —+—+—-1. z-5, z-0. ii 9 !00 *
20.22. z-4x49/, z-6.
2014.
25 9 100
MM. ^+/-1. »--fe г-0 (У>в).
20Л7. x-2x3+18y3, z-6.
aoLs4+^-,-i-7’*-°-
20.28.
W+»+M4",’,"6’I"a
Задача 21. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. В вариантах 1 — 16 ось вращения Ох, в вариантах 17 — 31 ось вращения Оу.
21.1. у— — хЧ5х—6, у—0.
21Л. у—Зйпх, у—atax, 0<х<я.
21.5. у—sta3x, х—я/2, у—0.
21.7. у—хе*, у—0, х—1.
21.9. у—2х—х3, у—— х+2.
21.11. у-х3,у3-х-0.
21.13. у—1—х3, х-О^х—^у—2, х—1.
21.15. у—Xs, у—у[х.
21.17. у-агссм(х/3), у-жгссовх, у-0.
21.19. у—х3, х—2, у-0.
21.21. у—^/х— 1, у—0, у— 1, х—0,5.
21Л1у-(х-1Лу-1.
21.25. у—Xs, у—х3.
21JL 2х—х3— у—0, lx3—4х+у—0.
21.4. у—5совх, у—со8х, х—0, х>0.
21Л. х—^у—2, х—1, у—1.
21JB. у-2х—х2, у— —х+2, х-0.
21.10. у-е1-*,у-О, х—0, х-1.
2U2. х3+(у—2)3 —1.
21.14. (у-*3. >-1. х-2.
21.16. у—вт(ях/2Х у-х3.
21.18. у-агат(х/5),у—агсвп>х,у—я/2.
21.20. у—х3+1,у—х, х—0, х—1.
21JX y-lnx, х-2, у—0.
21.24. у3-х-2,у-0,у-х3,у-1. X X
21.26. у-агссоа-, у—arccos-, у—0. J J
76
21.27. y=arcsin x, y=arccosx, у=0.
21.29. у=х3, у=х.
2131. у=(х-1)2, x=0, x=2, y=0.
21.28. y=x2 — 2x+1, x = 2, у = 0.
2130. у=arccosx, у=arcsin x, x±0:
Задача 22
Варианты 1 — 10
Вычислить силу, с Которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочной трапеции (рис. 2). Плотность воды р=1000 кг/м3, ускорение свободного падения g положить равным 10 м/с2.
Указание. Давление на глубине х равно pgx.
Рис. 2
22.1. а=4,5 м, Ь=6,6 м, Л=3,0 м.
223. а=5,1 м, />=7,8 м, Л=3,0 м.
22.5. о=5,7 м, />=9,0 м, Л=4,0 м.
22.7. а=6,3 м, А = 10,2 м, Л»4,0м .
22.9. а = 6,9 м,Л = 11,4 м, А = 5,0 м.
22.2. о=4,8 м, А=7,2 м, А=3,0 м.
22.4. о = 5,4 м, А=8,4 м, А=3,0 м.
22.6. а=6,0 м, А=9,6 м, А=4,0 м
22.8. а=6,6 м, А=10,8 м, А=4,0 м.
22.10. о=7,2 м, Ь—12,0 м, А=5,0 м.
Варианты 11 — 20
Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли на высоту Н км. Масса спутника равна т т, радиус Земли А3=6380 км. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли положить равным 10 м/с2.
22.11. т=7,0 т, Я=200 км.
22.13. т=6,0 т, Я=300 км.
22.15. т=5,0 т, Я=400 км.
22.17. w=4,0 т, Я=500 км.
22.19. т=3,0 х, Я = 600 км.
22.12. /и=7,0 т, Я=250 км.
22.14. т=6,0х, Я=350км.
22.16. т=5,0 х, Я=450 км.
22.18. т=4,0 х, Я=550 км.
22.20. /я = 3,0 х, Я=650 км.
Варианты 21 — 31
Рис. 3
Цилиндр наполнен газом под атмосферным давлением 103, 3 кПа. Считая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимся внутрь цилиндра на Л м (рис. 3).
Указание. Уравнение состояния газа pV= const, где р— давление, V — объем.
77
2X21. Я—0,4 м, Л-0,35 м, Л-0,1 м.
2233. Я-0,4 м, Л-0,2 м, Л-0,1 м.
22.25. Я—0,8 м, Л—0,6 м, Л—0,2 м.
22.27. Я—1,6 м, Л—1,4 м, Л—0,3 м.
2239. Я—1,6 м, Л—0,8 м, А—0,3 м.
2231. Я-2,0 м, Л-1,0 м, Л-0,4 м.
2232. Я—0,4 м, Л—0,3 м, Л—0,1 м.
2234. Я-0,8 м, Л-0,7 м, Л-0,2 м.
2236. Я—0,8 м, Л—0,4 м, Лч«0,2 м.
2238. Я-1,6 м, А-1,2 м, Л-0,3 м.
2230. Я—2,0 м, Л-1,5 м, Л-0,4 м.
V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Теоретические вопросы
1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным.
3. Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли.
4. Уравнения в полных дифференциалах.
5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом изоклин.
6. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения. Общий и частный интегралы.
7. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
8. Линейный дифференциальный оператор, его свойства. Линейное однородное дифференциальное уравнение, свойства его решений.
9. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Необходимое условие линейной зависимости системы функ-
10. Условие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения.
11. Линейное однородное дифференциальное уравнение. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.
12. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Структура общего решения.
13. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
14. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (случай простых корней характеристического уравнения).
15. Линейные однородные дифференциальные уравнения с по-
78
стоявными коэффициентами (случай кратных корней характеристического уравнения).
16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора.
Теоретические упражнения
1. Пусть Ji —решение дифференциального уравнения £[у]=0. Показать, что введение новой искомой функции и=у/У1 приводит к дифференциальному уравнению, допускающему понижение порядка.
2. Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки Перегиба графиков решений уравнения у'=/(х, у).
3. Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки графиков решений уравнения y'—f(x, у), соответствующие максимумам и минимумам.
Как отличить максимум от минимума?
4. Линейное дифференциальное уравнение останется линейным при замене независимой переменной x=<p(t), где функция q>(t) произвольная, но дифференцируемая достаточное число раз. Доказать это утверждение для линейного дифференциального уравнения второго порядка.
5. Доказать, что линейное дифференциальное уравнение остается линейным при преобразовании искомой функции
y**a(x)z+p(x).
Здесь z — новая искомая функция, а(х) и р(х) — произвольные, но достаточное число раз дифференцируемые функции.
6. Составить общее решение уравнения у +р(х)у=0, если известно ненулевое частное решение yt этого уравнения.
7. Показать, что произвольные дважды дифференцируемые функции У1(х) и у2(х) являются решениями линейного дифференциального уравнения
У У1 Ул
У Ул Ул =0.
У Ул Ул
8. Составить однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее решения yt =х, Уг—х1-
Показать, что функции х и х2 линейно независимы в интервале (— оо, 4- оо).
Убедиться в том, что определитель Вронского для этих функций равен нулю в точке х=0. Почему это ие противоречит необходимому условию линейной независимости системы решений линейного однородного дифференциального уравнения?
79
9. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка, если известны три линейно-независимые частные его решения у2 и у3.
10. Доказать, что для того чтобы любое решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяло условию lim у(х)=0, необходи-мо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части.
Расчетные задания
Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравне ния. (Ответ представить в виде ф(х, у)= С.)
1.1. 4xdx— Zxj^dx.
13. ^44-у3 dx—ydy"*x*ydy.
13. 6xdx— 6ydy**2x*ydy— 3xy*dx.
1.7. (e2*+5)dy+ye2*dx-0.
13. 6xdx— 6ydy—3x?ydy—Zrj^dx.
1.11. X4+e”)dy-e’dx-O.
1.13. 2xdx-2ydy—x1ydy—2xy2dx.
1.15. (eM+8)dy-ye’dx-0.
1.17. 6xdx—ydy-yx*dy—3xy*dx
1.19. (1+ИУ-У8’-
131. 6xdx—2ydy—2yx2dy-Sxy’dx.
133. (3+ея)у/-е’.
135. xdx—ydy—yxPdy-xy*dx.
137. (1+е^У-е*.
139. 2xdx—ydy~yx*dy—xy*dx.
131. 20xdx—3ydy-3x2ydy—Sxy’dx.
13. x^l+ya+y/-^l+xt—0.
1.4. y/3+y*dx—ydy—x*ydy.
1.6. x<y3+yadx+^-^2+x2dy—0.
/1 — x2
13./у /-— +1-0.
1.10. xy/s+y^dx+yy/t+x1 dy—0.
1.13 >/4^j?/+x/+x-0.
1.14. x-^+y’dx+y^/l+x^dy—O.
1.16. -75+/ +//71-*1-0-
1.18. ,ylny+x/—0.
130.
132. Я1+Ьу)+хУ-0.
134. 5/3+/ +у[Г^з?уУ-0.
1.26. yj54-yadx+4(x2j4-j)d_y—0.
138. 3(j?y+y)d^+5/2+/dx-0.
130. тх+гл^+^/г-^у-о.
Задача X Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
X6. х/
3y3+4yx®
" 2у3+2х3'
23. 2У»^Ч-6^4-3.
Х8. x/^ly/x^+^+y.
ХЮ. х/
Зу’ч-бух2 ~ 2у*+3х*‘
XIX ху-^2х2ч-у*Ч-у.
Х14. хУ
ЗулЧ-8ух2 " 2/+4Х2 '
Х16. ху - З^/х2 Ч- у® +у.
XIX хУ
ЗуЧЮух2 г/ч-Зх2 ‘
Х20. хУ-35/2х2+у2+у.
Х2Х ху
Зу’+Пух2
- г/ч-бх2 ’
2Л4. ху-2^3х2Ч-у2Ч-у.
Х2б. хУ
ЗуэЧ-14ух2
" 2/Ч-7Х2 ’
Х2Х ху-Д^/х^+у2Ч-у.
230. хУ-4^х2+у2Ч-у.
Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
2х-2 '
Зу—х—4 ЗхЧ-З
2х-2 '
2у—2
Зх-у-2’
9х—у—8’
Зх—6
81
Зу+3
3.11. /,-T2j>+3_ —2х—2
3.13. у»—^~Д.
z 5х—5
3.1S. у,х+3у~~4 5х—у—4
х+2у— 3
"4х-у-3‘
х4-8у-9
10х—у—9’ 4у—8
у-2х+3
бх—у—5’
4х—4
7х—у—6’
2х—2 ’
Задача 4. Найти решение задачи Коши.
4.1. У~у1х-х*, Х1)-0.
43. У+усо8х-|яп2х, Х0)-0.
4Л У-^-х’+2х.Я-1)-3/2.
4.7. у-^-хяпх.
4.11. уГ-^~уш 5, Я2)-4.
.. У Ьх
4ЛЗ. У----2—,XD-1-х х
43. y~jctgx-2xsinx, Х«/2)-0.
4.4. /+^tgx-cosax(X*/4)-l/2. ^~xTiy“^x+ ^0)" L
4Л У+-—йпх, X*)—-. х я
/ 2х 2Х2 4М-/+т^3,-т^-^-
4.1Х ХО“®.
X X у 12
4-14.у~—^.ХО-4.
<ч । т
82
2
415. У+-^-ха, ИО“-“5/6-
4.17. y-^-i+x’.XD-s.
4.1». у+^-1 Я1)-1. ху х _л. 2 4М-у+^Ь)-2’><0,-з-
2
421 У-—>-е“(х+1АЯ0)-1. х+1
425. У-2у/(х+1)-(х+1)3,И0)-1/2.
417. У-4ху- -4х3, ИО)- —|.
429. у-Зхау-х3(1+х’)/3,Я0)-0.
431. У-j/x- —2/х2» ИО-1-
416. У+-«Зх, ИО—1-
418. y+l^?z-l,XD-l.
410. y+2xj--2x3, ИО-®'1-
412. y+xj--x’,H0)-3.
414 y+2x>-xe-*1sinx, И0)“1-
426. У—ycoex-—sin2jr, И°)“3-
4Л/-'— —.XD-l-X X
430. у—ycoex-sinlx, ИО)—~1.
Задача 5. Решить задачу Коши.
5.1. /dx+Cx+e^dy-O, Уж-е-2.
51. (yV+2x)y-j, ух-о-1.
53. /dx+(xy-l)dy-0, yx-i-e.
5.4 2(4/+4у-х)/-1, Ух-о-0.
53. (со»2усовау—х)У-вт_усоа.у,Ух-1/4"»я/3.
5.6. (хажа^-/)У-усо8а^,ух.я-ж/4
5.7. e^(dx-2xpdy)-.ydj\yx-o-O.
5Л (104/-х)У-4у, У,-8-1.
5.9. dx+(xy-/)dy-0, yx__i-0.
5.10. (3ycoe2y— 2/sin2>-2x)y ^у, Уж-м-я/4.
5.1L 8(4/+ху-у)У-1, Уж-о-0. %
5.12. (21n>—taay)d>-^dx—xdy, Уж-4-е1.
5.13. 2(х+/)У-у.Уж--2--1-
5.14 /(у— l)dx+3jt/(y— l)d_y-(y+2)dy,yx-i/4-2-
5.15. 2?dx+(x+e1/9d^-0,yx-e-l.
5.16. (зсу+у/уУЛу+у1 dx-0, ух--1/2-4.
5.17. sm2ydx-(sina 2y-2rinay+2x)d>, yx- _j/2—я/4.
5.18. (/+2у-х)У-1, Уж-2-0.
5.19. 2yVrdx-(6x^+7)d^-0,yx—4-1-
510. dx-(siny+3coey4-3x)dy, Уж-г^-я/2.
51V 2(cos2y coe2y-x)y-sin2y, Ух-зд-5я/4.
511 chydx-(l+xdiy)dy, ух-1-1п2.
511 (13/—х)У—4^, Уж-s—l-
83
534. /(/+4)dx+2xy(/+4)dy-2dy. ухшя/в-2.
5i5. (х+1пау-1пу)У-у/2,Их.2-1.
626 ^y+^/yjdy+2/dx-0, y|x—1/2-l.
537. ydx+(2x— 2rin2y—ysin2y)dy-0, Ух-3/2-я/4.
538. 2(/-y+xy)dy-dx,y|xe_2-0.
629. (?y+xtgy-/tgy)dy-dx, у|х-о-я.
536 4/dx+(e1«a’»+x)dy-0,y|xee-l/2.
531. dx4-(2x+«n2y—2co«1y)dy—0, y|x__i-0.
Задача 6. Найти решение задачи Коши.
61. у+ху-(1 +х)е~х/, у(0)-1.
63. xy+y-Z/lnx.X^-Va-
63. 2(хУ+у)-хуа.И1)-2.
64 У+4хэу—4{хэ4-1)е_*х/, у(0)—L
63. хУ~у-—/(1пх+2)1пх, у(1)-1.
66 2(/+ху)-(1+х)е--у»,Я0)-2.
67. X*/ +У) -/ Ь х, у(1) - 3.
63. 2У+усо»х—у-1совх(14-нпх), Х0)-1.
63. у+4x’y-4yae*M(l -Xs), у(0) - -1.
6.10. ЗУ+2ху-‘2лу-ае-1л,‘, УО)- —1.
611. 2хУ-Зу--(5ха+3)уэ,Х1)-1/>/1
61Х ЗхУ+5у-(4х-5)/,И1)*1.
613. гу+Зусовх-е^+ЗсовхЦу-^уСР)-!.
614 х*/+з)-*/.Х1)-з.
616 y-y-lxy’.XO)-!/!
616 2хУ-Зу- -(20ха+12)/, XI)—1/2>/2.
617. У4-2ху-2х3у®, у(0)-^.
616 хУ+у—/1пх, у(1)-1.
619. 2У+Зус<жх-(8+12совх)еажу-1, у(0)—2.
636 4/+х1у-(^+8)е’аУ»Х0)-1.
631. 8х/-12у--(5х2+3)у>.у(1)->^.
62Х Х/+у)-х/, у(0)-2.
633. У+ху-(х-!>*/, у(0)-1.
624 2y-3ycoex»-e-ta(2+3cosx)y-4,y(0)-l.
625._У-у-х/,у(0)-1.
636 2(х/+у)-/1»х,Х1)-2.
637. У+у-^.Я0)-1-
634 у+гусШх-ИсЬх, у(1)»>1/аЬ1.
639. 2(У+ху) -(х- IX/, ИО) -2.
84
630. y-^tgx- -(2/3)/an х,
<31. xy'+.y-xy3,
Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
7.1. 3x2e,dx+(xse7— l)dy-0.
(2 2х\ 2х 2х
Зх2+-сов— Idx—5 сое—dy-0.
У У/ У У
73. px2+4/)dx+(8xj>4-e,)d>—0.
7.4. (2х-1-4 Jdx-|2j-- )d>-0.
\ X3/ \ X/
73. 0^+y8ecax)dx+(2xy+tgx)dy—O.
7.6. pxay+2>+3)dx+(x3+2x+3/)d>-0.
7.8. [sin2x—2coe(x+y)]dx—2coe(x+/dy—0.
7.9. (xya+x/j^)dx+(xay-x2/y’)d^-0.
7.17. flOxy—^-^dx+px2^-^^—y’einy’jd^-O.
7.19. e^dx+Ccoey+xeOdy-O.
730. (y,+coex)dx+(3jfya+e,)dj»—0.
731. xe**dx+(^e^+tg2^)dj-O.
731 (5jg^—x3)dx+(5x2^—j*)dy»O.
733. [coe(x4-y*)+ainx]dx+2^coe(x4-ya)d^—0.
734. (x2-4xy—2y2)dx+(y2—4xy—2xa)dy»0.
735. |8my+^8mx+-jdx+fxcosy—coex+-)dy—0.
736. | l+-e’,*Jdx+fl-4e’,4dy-0.
\ У ) \ Г J
727 (x-^)dx+(x+y)dj>^p
xi+y2
85
83. у/——2х, 1/(0, 5).
8.4. у-^,1/(1,1).
8.6. уУ+х-0,1/(-2, -3).
83. лУ-2у,1/(2,3).
8.10. х2-уа+2хуУ-0,1/(2,1).
83Х/-х*-у,1/(1, 1/2).
8.14. У-ху,1/ (0,1).
8.16. 2(у+У)-хЧ-3,1/(1, 1/2).
8.18. х/-2^, М (1, 3).
830. У-у-х2, М (-3,4).
832. У-х*-ь1/(2, 3/2).
834. ^У--х, 1/(2, 3).
836. 3>У-х, 1/(1,1).
838. У-Зу2/3, М (1, 3).
830. у-х(у-1),1/(1,1/2).
738. 2(3jgF>+2x^<U+3(2*b'+/)<b'-0-
739. (3x3+6r2j+3xya)dx+(2x3+3x2y)dj-0.
730. xyadjr+X**+>a)d>“0-
731. xdx+ydy+(xdy—jdx)/(x24-y2)”0.
Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку М. >
8.1. у-^-х*,1/(1,2). 83.У-2+/, Л/(1,2).
83./-(у~1)х,1/ (1,3/2).
8.7. У-3+/,1/(1,2).
83. У(х2+2)-.у,1/(2,2).
8.11. У-у-х, М (9/2,1). влз. у-ху, 1/(о, -д). 8.15. у/--^,1/(4, 2).
817. У-х+2у, М (3, 0).
8.19. ЗуУ-х, 1/ (-3, -2).
831. х2-/+2хуУ-0, М(-2,1).
833. У->-х, 1/(2,1).
835. У-у-х, 1/(4, 2).
837. У-х2-^, 1/(0, 1).
839. ха-/+2хуУ-0,М(-2, -1).
831. У-х+2у, 1/(1, 2).
Задача 9. Найти линию, проходящую через точку Мо и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М нормальный вектор MN с концом на оси Оу имеет длину, равную а, и образует острый угол с положительным направлением оси Оу.
9.1. 1/е (15,1), а-25. 93. 1/0 (12, 2), л-20.
93. 1/е (9, 3), д-15. 9Л. Мо (6,4), а-10.
93. 1/0 (3, 5), д-5.
Найти линию, проходящую через точку Л/о, если отрезок любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится точкой линия в отношении а :Ь (считая от оси Оу).
93. 1/е (1,1), д:1-1:2. 9.7. 1/0 (-2, 3\ л:Ь-1:3.
93. 1/0 (0,1), д:1—2:3. 93. Мо (1,0), л:1-3:2.
9.10. 1/0(2, -Ц л:Л-3:1.
Найти линию, проходящую через точку Л/о, если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью Оу делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении а:Ъ (считая от оси Оу).
931. 1/в(2, -1), л:1-1:1.
9.12. 1/0 (1,2), л: 1-2:1.
86
9.13. Мо (-1, 1), л:б-3:1. 9.14. Мо (2, IX л:б-1 -.2.
9.15. Л/о (1, — IX а:6—1:3.
Найти линию, проходящую через точку Мо, если отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания в отношении а: b (считая от оси Оу).
9.16. Мо (1,2), а:й-1 : 1. 9.17. Мо (2, IX в:*-1:2.
9.18. Мо (1, 3), а:б—2:1. 9.19. Мо (2, -3), а:*-3:1.
930. Мо (3, -IX а.Ь-3:2.
Найти линию, проходящую через точку Af0 и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М касательный вектор МЙ с концом на оси Ох имеет проекцию на ось Ох, обратно пропорциональную абсциссе точки М. Коэффициент пропорциональности равен а.
931. Мо (1, ех fl- -1/2. 922. Мо (2, еХ fl- -2.
9.23. Мо (-1, ТеХ а- -1. 934. Мо (2, 1/е), а-2.
9.25. Мо(1 jAfl-1/4.
\ ** J
Найти линию, проходящую через точку Мо и обладающую тем свойством, что в любой ее точке М касательный вектор MN с концом на оси Оу имеет проекцию на ось Оу, равную а.
936, Мо (1,2Х А- -1. 9.27. Мо (1,4Х fl-2.
9.28. Мо (1, 5), а- -2. 929. Мо (1, ЗХ fl- -4.
930. Мо (1, 6Х fl-3. 931. Мо (1, IX fl-1.
Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.
10.1. У*х1пх—у".
103. 2хУ*-/’.
103. tgx /’-y+A—о. япх
10.7. y*ctg2x+2y*—0.
10.9. tgx-У*—2у*.
10.11. yy+xV-i.
10.13. (1+ха)/+2хУ-хэ.
10.15. хУ-/+--0. х
10.17. ЛхУ*-у.
10.19./•tgx-y’+l.
1031. y*th7x-7y'.
10.23. cthx y*—У+-Д--О. chx
10.25. (l+sinx)y*-cosx./’.
103. xy+/-l.
ЮЛ. jgr+y’-x+l/
10.6. хУ+ху-1.
103. хУ+х2/-!.
10.10. У'сШ2х-2/.
10.12. х/*+2У’—0.
10.14. х’У+хУ-1.
10.16. jg/'+У’+х-О.
10.18.
1030. У tg5x-5y
1032. х^У+х2/-^.
1034. (х+1)У+/-(x+iy
1036. jg^'4-/
87
1037. -х/'+2У-р.
102». x*y+*V-4.
1031. (1+х3)У+2хУ- 12г3.
10.28. cthiy+y—chx.
1030 У+^-уУ-2х.
Задача 11. Найти решение задачи Коши.
11.1 . 4/у-/-1,Х0)->Л,У(0)-1/(2^).
113. У—128/, Яр)-1, У(0)-8.
113. У/+64-0, Я0)-4, /(0)-2.
11.4 . У+2sm^cos3y—0,Х°)-°» У(0)- 1-
113. У—32sin3^coey, /1)—я/2, У(1)—4.
11.0 У-98/, ИП-1. У-(1)-7.
11.7. //+49-0, ХЗ)- -7, /(3)- -1.
пл 4//-16/-1, яо)-72/г,/(о)-1лА
11.9. /+8 sinjcoe3 j-О, /0)-0, У(0)-2.
11.10. /-72/, Х2)-1, У(2)-б.
11.11. //+36-0, Х0)-3, У(0)«2.
11.11 /-18 мп’усовь XI)-я/2, У(1)-3.
11.11 4//-/-16, Х0)-1Д /(0)-1/<Д
11.14. /-50/, ХЗ)-1» У(3)-5.
11.15. // +25—О, Х2)- -5, У(2)- -1.
11.10 /+18мпусов3у-О, Х0)-0,У(0)-3.
11.17. у-8 ип3 у сое у, ХП-я/2, У(1)-2.
11.10 /«32/, Х4)-1, У(4)—4.
11.19. // + 16—0, Х1)-2,У(1)-2.
ИЗО У+32rin>co83^-0, Х0)-0, У(0)-4.
1131. У-50мп’^сов/,Х1)-»/ХУ(1)—5.
1131 у-18/, XD-1, У(1)-з.
1131 У/+9-О, XD- 1.У0)-3.
1134 /У-4С/-1),Х0)-72»У(0)->Л-
1135. У+50 sin у сое3 >>—О, X®)—0»/(0)“ 5.
ИЗО У-8/, ХС)-1, У(0)-2.
1137. У/+4-0, ХО)- -1, У(0)--2.
ИЗО у—2яп3jcoey, ХО-я/2, У(1)-1.
1139. /У«/-16, ХО)-А/1У(О)«5/1
изо у-2/.х-1)-1»У(-1)«1.
1131. У/ + 1-0, XI)- -1, /(О- -1.
Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения.
111. У+ЗУ+2У-1-Х3.
123. У'-У-^+х.
115. Уг-У*«5(х+2)3.
117. Уг+2у*+У«х2+х-1.
119. ЗУ+У’«6х-1.
111 У-у-бх’+Зх.
114. У-ЗУ'+ЗУ-У-2л.
110 У-2У+У-2л(1-х).
118. /-У-2Х+3.
1110. У+2У+У-4Х1.
88
1X11. У+У-5х*-1.
1X13. 7У~У-12х.
1115. У'-У-Зх2-2х+1.
12.17. У^-ЗУ+ЗУ-У-Х-З.
12.19. У-4/-32-384Х1.
1X21. У+/-49-24Х2.
1223. У-13/+12У-Х-1.
1225. У-/-бх+5.
1227. У*—Зу+бу-(х—I)2.
1229. У-13/+12У-18хх~39.
1X31. У-5У+6У-6х2+2х-5.
12.12. У+4У Ч-4У «х—х2,
12.14. у+зу+гу-зх^+гх.
12.16. у_у-4х*-Зх+Х
1X18. У+гу'+У-^-бх.
1X20. У+2У+У-2-ЗХ2.
1222. У-2У-Зх2+х-4.
1X24. У+У-х.
1226. У+ЗУ+2У-х2+2х+3.
1228. У-6У+9У-ЗХ-1.
1230. У+у-12х+6.
Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения.
1X1. У-4У+5У-2л-(1б-12х>-м.
133. y-y-y+J«px+7)e2’.
1ХХ у-3у+4^«(18х-21)е"ж.
1X7. У-4У+4у«(х-1)е».
13.9. у+У-у->-(8х+4)е*.
13.11. У-ЗУ+2у-(4х+9)еаж.
13.13. у-у-2у«(6х-11)е-*.
1X15. У'+4У+4У-(9х+15)е’.
1X17. У-У-4У+4>-(7-6х)еж.
1X19. У-5У+7у-Зу-(20-16х>-*.
1321. у-зу+зу+яу-е'чзгх-зг).
132Х У-7у+15у-9^-(8х-12)ех.
1325. y+5y+7y+3^-(16x+20)e’.
1327. У"+2У—Зу—(8х+6)ел.
1329. У-У-9У+9>-(12-16хУ.
1хз1. у+у-бу-фх+ых2*.
132. у-зу+гу-о-гху.
13.4. у'-2у+У-(2х+5)е2Л
13.6. У-5У+8у-4у«(2х-5)е*.
1зл учгу+у-авх+г^ч
1X10. У-ЗУ-2^--4хЛ
13.1Х У+4У+5У+2^-(12х+16>’.
13.14. у'+у-гу^Сбх+зу.
13.16. У-ЗУ-У+Зу-.(4-8х)е’.
13.18. У+ЗУ+2У-(1-2х>-’.
1320. у-4У+Зу--4хе“.
132Х у"-бу+9у-4хе“.
1324. У-У-5У-3^--(8х+4)еж.
1326. у-2у-3у-(8х-14)е-я.
1328. У+6У+9У-(1бх+24)У.
1330. y+4y+3y-4(l-x>-«.
Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения.
14.1. У+2У-4е*(втх+совх).
143. У+2У-—2е*(ипх+соах).
14Л. У+2У+5у-—жт2х.
14.7. У+2У-ех(мах4-совх).
14.9. у+бу+13у-е-’*со#4х.
14.11. У+2У+5у--2втх.
14.1Х у+2У-10е*(мпх4-совх).
14.15. y+y-2coe5x+3em5x.
14.17. у+бу+В^-е’^совх.
14.19. У+2У—6е*(япх+со8х).
1421. у+бУ+Ву-е'^совЗх.
1423. У+2У+5?"—совх.
1425. y+2y-3e*(smx+coix).
1427. У+бУ+Ву-е-^соввх.
142. y-4y+4^--e1*sm6x.
144. У +^-2сов7х+Звт7х.
14.6. у—4У+8у—ех(5япх—Зсотх).
142. У—4у+4у«е2* явЗх.
14.10. у+^“2совЗх—ЗяпЗх.
14.1Х У—4У+8у"е*(— 3smx+4cosx).
14.14. У-4У+4у-еа*мп5х.
14.16. У+2У+5Л-- 17sm2x.
14.18. У-4y+8y-e“(3sinx+5coex).
1420. у—4У+4у--е2хяп4х.
142Х У+^-2сов7х—Зяп7х.
1424. у—4У+8^-е*(2япх—схжх).
1426. У—4y+4j-e2x»in4x.
1428. y+2y+5y-10cosx.
89
1439. У+у—2сов4х+3яп4х. 1430. У—4У+8у—ех(—sinx+2coex).
1431. У— 4/+4у—е1ятп6х.
Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения.
111. /-2/-2Л2Х. 153. У+.у—2япх—6совх+2е*.
153. У'-/-2е’+совх. 15.4. У-Зу-2сЬЗх.
153. У+4у-—8мп2х+32сов2х+4еа*. 15.6. У'—У—10япх+6совх+4«ж.
15.7 У—4У-16ch4х. 153. у+9^--18япЗх-18еЧ .
15.9. У'—4У—24е2ж—4сов2х+8яп2х. 15.10. у-5у-50сЬ5х.
1111. У+16^-16сов4х-16е4ж.
1111 y'-9y--9e*‘+18sm3x-9cos3x.
1111 y-y-2chx.
1114. у+25у—20с«5х—10ип5х+50е5*
15.11 у*—16У—48е*ж+64ссв4х—64яп4х.
1116. у+2у-2Л2х.
1117. У 4-Збу—24яп6х—12ссв6х+36евх.
1111 У*—25у—25(sin5x+coe5x)—50е5х.
1119. у+Зу-2ЛЗх.
1531 У+49>-14яп7х+7сов7х—98е7*.
1531. У'-Збу-36е6ж-72(сов6х+яп6х).
1531 У+4У- 16sh4x.
1531 У+64у—16яп8х—16сов8х—64евж.
1534. у * -49/ - 14е7ж-49(сов 7х+яп 7х).
1531 У+5/-50Л5х.
1531 У+81у—9мп9х+3сов9х+162е’ж.
1537. У'-64У-128сов8х-64еа*.
1531 У+У-2ЛХ.
1129. y+10Qx-20ml0x-30cosl0x-200e1<te.
1531 У-81У-162 е’х+81яп9х.
1531. У'-100у-20е1Ож+100сов10х.
Задача 16. Найти решение задачи Коши.
111. у+яау-я2/со8ях.Х0)-3,У(0)-0.
111 у+3у-9е’7(14-е1*), Я0)-1п4, У(0)-3(1 -Ь 2).
111 У +4j-8ctg2x. jQ-5, уф ”4.
114. у-6/+8у—4/(1 +е"^, Х0)-14-2Ы У(0)-6Ы
111 У-9/ +18^-9еаж/(1 Х0)-0. Х(0)-0.
111 У+я2у-яа/япкх, Х1/2)-1» У(1/2)-яа/2.
1Ы. /-3/-^^,><0)-41п4,/(0)-3(ЗЬ4-1).
119. У +>—4ctf х, Х«/2)-4, У(я/2)-4.
1111 У-6/+8^-4/(2+е-а«), ХО)-1 +31пЗ, У(0)- 101пЗ.
90
16.11. X+бУ+8^-4e-2«/(2+ea-), j(0)-0, У(0)-0.
16.12. /+9у-9/ипЗх, Х«/б)-4, У(я/6)-Зя/2.
16.13. /+9у-9/со83х, /0)-1,/(0)-0.
16.14. У'-У-е-’/(2+е-х), Х0)-1п27, У(0)-1п9-1.
16.15. /+4y-4ctg2x. X«/4)-3, У(я/4)-2.
16.16. Х-ЗУ+2у-Я0)-1 +81П2, У(0)-141п2.
16.17. Х-бУ+8у-4еа’/(1 +е-2*), Х0)-0, У(0)-0.
16.18. Х+ 1бу- 16/юп4х. Х«/8)-3, У(я/8)»2я.
16.19. Х+ 1бу- 16/сов4х, Х»)-3, У(0)-0.
1630. Х~2У “4е~2ж/(1+е-а*)> Х0)-Ь4. У(0)-1п4-2.
1631. Х4~Ц<*в(х/2),Х")-2,У(я)-1/2.
16.22. Х-ЗУ+2^«1/(2+е-’),Х0)-1+31пЗ,У(0)-51пЗ.
16.23. Х+ЗУ+2j-e-’/(2+e7, Х»)-0. У(0)-0-
16.24. Х+4у—4/яп2х, Хя/4)-2, У(я/4)-я.
16.25. Х+4у-4/со82х. Х0)-2, У(0)-0.
1636. Х+У-ех/(2+еж), X0)-’ta27, У(0)-1 -1п9.
16.27. X+>-2ctgx, Х*/2)-1, У(я/2)-2.
16.28. Х-ЗУ+2у-1/(1 +«'7, ХО)-1+21П2, Х(0)-31пХ
16.29. Х“ЗУ4-2^—еж/(1+«"")»Х°)-О. У(О)-О.
16J0. Х+У-1/smx. У(я/2)-я/2.
1631. X+J'-l/cotx. ХФ-1. У(0)-0.
VL РЯДЫ
Теоретически вопросы
1. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости рада.
2. Теоремы сравнения.
3. Признаки Даламбера и Коши.
4. Интегральный признак сходимости ряда.
5. Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.
6. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
7. Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса.
8. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
9. Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.
10. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
91
11. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы ряда.
12. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
13. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.
14. Разложение по степеням х бинома (14-х)т.
15. Условия разложимости функции в ряд Тейлора.
16. Разложение по степеням х функций еж, cosx, sinx, In (14-х).
Теоретические упражнения
00 ОО 00
1. Ряды и У Ья сходятся. Доказать, что ряд У ся сходится, если ая^ся^Ья.
Указание. Рассмотреть неравенства 0ся—ая^Ья— ая. СО 00
2. Ряд ая (ая>0) сходится. Доказать, что ряд У^ а? тоже сходится. Показать, что обратное утверждение неверно.
3. Ряды al и bl сходятся. Доказать, что ряд |вя| N тоже сходится.
Указание. Доказать и использовать неравенство . \ab\^a2+b2.
4. Ряды al и У^ bl сходятся. Доказать, что ряд (а„+6я)2 тоже сходится.
оо
5. Пусть ряд У ая сходится и lim 1. Можно ли утверж-Я-»ОО Оя 00 дать, что сходится ряд У Ья?
v (-1)" v П-1)" И
Рассмотреть пример д и °°
6. Пусть ряд У If^xJI сходится равномерно на отрезке [а, />].
00
Доказать, что ряд У /я(х) также сходится равномерно на этом отрезке.
7. Может ли функциональный ряд на отрезке:
а) сходиться равномерно и не сходиться абсолютно,
б) сходиться абсолютно и не сходиться равномерно?
Рассмотреть примеры:
а) У з» отрезок [а, Ь] произвольный;
Я-1 и + лг
92
б) отрезок [0, 1].
8. Показать, что функция f(x . яплх )~\ “цуг ВСЮДУ непрерывна.
9. Доказать, что ряд У -°” х п* сходится равномерно в интерва-
ле ( — со, 4- оо). Можно ли его почленно дифференцировать в этом
интервале?
10. Доказать, что если ряд с„е ЯЛ сходится в точке х0, то
он сходится абсолютно Vx>x0.
Расчетные задания
Задача 1. Найти сумму ряда.
«о о 1Д. у — z, я«9 л2 —14л+48 12 у 18
я^9 л2—13л+40
°’ Д л2-12л+35’ 00 £ и. у я«7 л2—10л+24* ” 36 1.4. У — я*8 л2—Пл+28’ 16 у
я^ Л2-9л+18’
<0 о 1.7. У _ . яч*б л2—8л+15 «о 72 1 я У * я-« ла-7л+1о'
” 10 1.9. V _ и. я-5 «2—6л + 8 <в дл
” 12 1.11. У . я-4 л2—4л+3 1.12. f я*4 Ла-Л-2
1.13. £ . я-о ла+4л+3 Д 36 1.14. У . я»о л +7л + Ю
. £ 30 54
115 У М6, Е _а ци . 2Я‘ я—9 ” —*1Л + Ха
я~1о л2—14л+48* “ 36 1.17. У ... . »«9 Л2-12л+35 “ 12 1.19. У -—— . я-вл2—10л+24
• 72 1.18. У . я»8Л2—9л+18 1.20 ? 18
°’я^7Л2-7л+10*
” 60 1Л ’ я?7Л2-8л+15* “ 36 1.22. У . я-6 л2-5л+4
1.И. f . я-6 л2—6л+8
Ulf-...6 я-5 Л2—4л+3 00 1Я я-3 Л2-л-2
00 24 1.27. у . я-1 л2+4л+3 £ 36 128. У -г— . я-2Ла+л-2
93
72
1X9. E —«•
я—о ла 4-6л 4-8
<b <72
131. E Li -7 > я-1 л2 4-5л 4-4
•° 54
i-зо. E i 7 > я-о ла 4-5л 4-4
Задача 2. Исследовать на сходимость ряд.
“ вта1к/л 2.1. £ у . Л-1 Пу/л и. у "ct«»3 . я-1 л(л4-1Х"4-2) 13. я-1 л-in л “ л(2+совля) **-> X». у -Д£"- 3 сое л Х17. f Л-1 >Г 2Л. i^. л-1 Я х< ш л-1 5/Л 1К у 1-СО,Л Л^1 лэ+2 а • 34-апл Я?2 ^Ла-л' “ 1п^ла4-3л Х10. У л-2 yjn— Л Mt £ Zs" х«-Е-ЛЦ- Я«1 ла4*Л4-1 ИГ1 л* 4-3
и,. У »-1 ^/л’4-5 ” юпа2" «1- Е, -Z5--Л—1 " • 1 п9Ьк+^/1п3>| хи. у л(л+1) “ 1+етл .1 К«+2)’ 1». у “g«2_. "•* у/гф + Я1) „I. i 4^-ж-1 ла(2+81Пл) • 1—апл ХМ. у . A(n4-lX« + 2) v to" Е, /-=— л-1 Vя 4-л ДЖ -дж-— совла 2J0. £ Л л’4-л
94
Задача 3. Исследовать на сходимость ряд.
ЗЛО. f л—1
3.11 f л-2
ю 1
3.14. У arctg л-1
3.1ft.
3.18.
зло.
Е л-2
J.b im"’+2
322. £ л—1
324.
32ft.
328.
зло.
sin ,____
V"’+2
2л+1 sm~v;—пт?
л-1 И1 • 3+7л
л-1
L
5"+л*
/ 1
I " л I е — 1
Л ЯП----=
ла1Л
Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.
*° я 4-1 “4"
95
W+1) Л^1 (л+1)! " (2л+2)! * n-i 2"(Зл+5)’ «° 1 5 4.7. £ — arctg-. м-1 л! л * л! 1 • ,?1 (2»х18 У » 4»и2 « ч2я .5. р»-!»- - 13.5-..(2л-1) Л1 3>+l)l 4.17. У ("У . .£1 (3-+ 1)(2л)! «о а» 423. У . м£1 (л+2)!4" « 1-4.7.....(Зл-2) ' £,1-9-11 _.(2»+5)‘ 4J7. У м-1 10*л2 ” п\1/л 4JSL у —V_ £, У+2 - 1-47.-О-Д & 2"+1л! * .?iW " я+5 . 2 4.6. X . ап -• Я-1 л! 3" « мН 48. У -—. wt-1 3-л! .s «о и] ft 4.18. У л! sin —. М-1 2" • У^л5 (41V «1 м£1 (2л)! я.я £ 3 5 7 ....(2л+1) Л 2 5 8— Р»-!)’ 4^ У rii 2-4-3 “ «—7^4-5 ,5г (я-1)! ’ .„a »K2»+i)i 4J0. 2^ /а м * (Зл)!
Задача 5. Исследовать на сходимость ряд.
” 1 / л Ч-"1 5Л. у . и-13"\л+1/ SA.?1L»+J • 53. £ А \Зл-2/ ю /4л—3\"* 5.7. У (- ) . н-1 \5л+1/ и 5А У л arcsin" —. л-1 4л £ 4/ 2л У L я 11 « ) • W-1 \3" + 5/ • / 1\** 1 2 (1+-) i-ДГ1 \ л/ 4" • /2л+2\» * Е () "3-м£?1 \Зл+1/ « / я \л* SA(wj ««• Ё (гЦ J-м—1 \3л 1у
96
5.11. £ и-1
л—1у» я
~лГ) 5"’
Л /2л+3\«*
5.11 У (—Ч-) .
5.13. £ я2
Зл+2\*
>4-1
2я-3/ 2я-л;
я
-1 \Зя+1
5.17.
• я2
м<-1 \^ij 5.11 У я2 ап* к-1 2я
SM. f
Я-1
у Л1 (2л+1)**
ML i*Metz’,.
531. У я* arctg2" ийГ1 4л
524.
526.
V „t'l" \4л+2/
•О
.51 С2я2Ч- ЦТ'2*
Задача 6. Исследовать на сходимость ряд.
*** »5х л In2 (Зл+1)’
• 1
°* ,51 (2л+3) In2 (2л+1)*
• 1
63. У ---------------
,£*1 (Зл+4) In2 (5л+2)*
• 1
--1 о^Л+1)ь2 (л7з+1)‘
•° 1 о. у--------------.
,£1(2я-1)1п(2л)
« «
6.11. У
Л(3я-1)1пл • 1 &11 У----------------.
А(2л-3)Ь1(Зл+1) “ 1 6,15. У ----------
,~2(л+3)1п2(2л)’ • 1 г 617. У ,£Ъя1п(л-1)
,51 л In2 (2л+1)’ • 1 ,5 (Зя-5)1п2 (4л-7)‘
• 1
64. У ------------с---.
»-1 (2л+1)1п2 (bV5+2)
• 1
61 у -------------.
ЛНл-2)1п(л-3)
611 У ------------
Я-1 (» 4-1) In (2л)
• 1
611 У ---------------
А (2л— 1) In (л+1) • 1 .5, (л+2) ta2 л*
• 1
*М’ ,51 (2л+3) ta2 (л+1)* • 1
вЛ*’ «512л71п(Зл-1)’
4-207
97
09. £ --------7=.
w-s (л—2)^1п(л—3)
• 1
(л+5) 1п3(л+1)’
«о цЗ
03. У —=--------.
ж^(л’+1)1п л
" 1
05, V .-------------.
.£*4 (л-3) Ьа (л/2) •° Зя
* ж^(2ла+3)1пл' • 2л+1
ж5з(Зл3+2)1п(лД)‘
oi. £ wtft (мг-2) in (2л)
« । оо. у--------, • . ...
"-4 (Зл-1ьДп(^2)
• 1
02. У ---------------.
w-Ъ (л+3)1па (л+7)
“*• JL (ж*-3) In* »'
А (ж*+5)In.'
Где у» ______Л4*1____
«-4 (5л3 — 9) In (л—2)’
ОО. У -~±- ”—.
«^(л’-ПЬл
Задача 7. Исследовать на сходимость рад.
* 2л+1
7Х Е ж-1 л(л+1)
" (— 1У*1 7Л У -—-—.
.£Ып(л+1) • 2л3
XX у (zg_.
А»ь(л+1)
«-1 уЗя+1 2ул • sin л
7J1. £
JS1 1Л
гм. Ё (-1ГЧ;.
W-1 Л
715. У • Л12^+1)’
7Д7, у _S—L---.
А(3/2)-(л+1)
7.19. £ (-1/^—.
7Л. £
-1 ч/Злйй
(-1У
7ЛЗ. £ (- 1у
98
MS. в£(-!>»»£• " sin 3"
7Л7. E (-1/—-“1 3’
739. J (-iyem- U-. »"l л м
гм. £ w-1 2м
739. Е (-1У1п(1Д\ -1 к
730. £ (- 1У (1-ом-^у
Задача 8. Вычислить сумму рада с точностно а.
" Г— 1У*1
М-£Ч?--
• (— 1У+1 U.?,4r-OM
4х Д (-1Урв-о,ооо1.
• (— 1У 45. Е «-°.<ЮЬ
»tTi (2л)! “ (-1У 47. E^a-°’{X)00L я-1 (2л)!2л
• (—1У 49. ЕЧгТ’®*0»001-
И 2Гл!
•° (— 1У
41. У 1—L «-0,00001.
Л (2лМ " /— 1У
^ЛчЫп’’-0-001' "bx(-,r^-weL
• (_ 1У
• (—1У
• (— 1У*1
4. Е ^-т-.«-0,01. м-1 л!
• (— 1У
*-4- Е «-0,001.
я«ол!(2л4-1)
•° (— 1У
4. У Д-2-, «-0.0001. ЛЬ (2л 4-1)1
«Л^(-ЦГ^,«-0Ц. • (—1У
40. Е 7^—^ГН а-0,0001.
.th (2л-И)!!* ых£(-1У-«и-«*Л(4-ад-
• (—1У
ЕЧ-А®-°.01-
я—0 Зл!
• 2л+1
• (— 1У
" (— 1У 4Х У А-2_, «-0,001.
я?ЬЗ"(«+1)
" (— 1У
44 Е^Ча-0,01.
" (— 1У
•^л^"0-001-
• (—1У
99
Задача 9. Найти область сходимости ряда.
»ж Е
я-1
9Л. У л arcsm 3"“.
я-1
9.10. У л2 arctg 2**.
• / l\w *
9.12. У I2+-) 4*. я-1 \ л/
9.14. У
я-1 • _> • *_±1
9.1а, у
я-1
• Г-1У*1
»» £ JW+PJ-
9.20. У л arcsm 3е.
9.22. У H3arctg2-“
»Л4. j fl+-Ye’re?“JS-я-1 \ V
9J6. £ (з+-1 4“Х.
я-1 \ л/
у <-;Г‘ .S ‘7=w"’
Mt. Ё
Задача 10. Найти область сходимости ряда.
,М- Д ьД • (— 1У
1М. Ё (Х~5Л" & Зл+8
100
10.9. f
A (2.-1)*'
МП V <»-У
.51 (3.+ D2"’
” (— 1Y
,0-25-,?1(^(x+4)1’“-
10J9. i J^L.
»£1 (2л+1)3-
1031. f
m£i 2я+1
10JL У & ^*.
-1 (л+2)3*
10.10. у ^РГ1
io jo. у —1^гУ___
.£1(я+4)1п(«+4)‘
,ам-Х^<х+,^‘-
<*-«*•
10J8. У (x+iy.
„е, (я+2)М"+2Г' Г iaMX^(x-3r-
Задача 11. Найти область сходимости ряда.
,u- 5 <? Lim, UA 2 5 "n"x' »"i 14* ~ox+13/ jr
И-3- f, (1 +;)" 3 A Hx !!±1 (ж*-«х+«г.
ПЛ Ув-и’вт’-х 1U £ -7^—2 A
»-> e w-l M* + l)
“•’• 5 iLiny ,,x i -?= •*»“₽*>•
Я7Ц ЯрГ-Зх+Ю)" .tTj
ПА У *fr+e> п ж £ ^-,£-ИУ
»+e * A 4>41) ’
11.11. f - tg^x. ЦДХ У яе ‘A
«•1 я ДГ1
“ “-.tWW n.U ^^(ЗЖК
101
11.11 У ^4^.
,U7-X>^
11.19. У——?---------.
л л&г’-гх+зг
1LM. £«—“*
1121 f Itr*.
tri IT • 2"
1145. £ ------.
-1 л2(ха-4х+5)"
1137. У tl я-е «о м/2
1139. tg"(2x).
"> м
1131. У -—2--------.
»-i л*(х1-4х+7)"
Hl* V k .5» 5"(ла+5) •
1138» f
изо. .51 ?tr(2x)-
1142. £
А 2"(я+1)
1138. У .|1 2^+2) ‘
ИЗО. У - e"“*.
-1 я
Задача IX Найти сумму ряда.
111. у Л------.
».1л(я-1)
«а -л
117. У —±_.
Я.1 я(я+1)
1111. £ ^—v .t*i ях" 1
пи у
Л яСя+1)
1115.
ЛЬ я+1
ИЖ у _±—.
.£1я(я+1)
1231 У .zb я+1
" X?
114. У ____
Л) (я+1Хя+2)‘ их Ё и«1 я
« « 12Х -S) (я+ljx’"’ in®. £ —£2—
>£Ь(я+1Хя+2) 1111 £ \ .•1 я
«о ] Ш4. £ -----1—.
(я+1)ха" ш<* ХоСя+^я+г)* 1118. f
-1 Я
.«о (я+1рг" «> *и+* 1111 у ----------
.£о(я+1Х*+2)
102
.5. 1124. £ я-о л+1
qo Xя** •° 2*
.5. *+»•
ПИ. 1128. У ———.
м^О Л + 1 «-о (л+1Хл+2)
«о 4*”1 «л». Е тзп- 1230. f *.
я-1 ЛХ" я1Г| л
" ЯП"-1Х
1231. у •
я-1 л
Задача 13. Найти сумму рада.
<0 00
13.1. у (л+ЗХ"1. 13Л У (л+5)х*".
Я—1 я-0
«0 00
133. У (л+4)»"-1. 1X4. У (л+4)х”.
Я**л 1 я-0
«0 00
133. у (л+3>--‘. 134. У (л+З)*4*.
я—1 я-0
00 00
1X7. У (л+2>--*. 1X8. У (л+2)х9-.
Я—1 я-0
00 00
13.9. У (л+1>"-‘. 1X10. у (л+1)х*
Я—1 я-0
00 00
1X11. у лх*’2. 1Х1Х У ЯХ*-.
я-2 »*!
00 00
1X13. 2^(л+4>х--а. 1X14. У лх”. я-1
Об 00
13.15. У (л+З^х--2. 1X14. У лх4*.
я-2 Лав1
00 00
1X17. £ (л+2>-а. 1X11. У (л+Пх**1.
я-2 я-0
00 00
1X19. У (л+1)х--а. 1X20. У (л+Пх2-4*
я-2 я-0
00 00
1X21. У (л+ljx2". 1X21 У (л+1>х-э.
я-0 я-Э
00 00
1333. У (л+2)х3-. 1X24. У (л+г^х-1.
я—0 Я—3
00 00
1X25. У (л+3)х4". BJ4. У (л+З^-1.
я-0 я-Э
00 00
1337. У (л+4)х5". я-0 1328. У^ (л+4)х"~>.
103
1X29. ^(л+5)х^.
1331. ^(л+6)х7-.
1330. У (h+SJjc--*. »“з
Задача 14. Разложить функцию в рад Тейлора по степеням х.
14.1. 9/(20-х-№). 143. Hl-*-**3) 143. (ih2x)/x-2. 14.7. х/^27-2х. 143. (х— 1)йпЗх. 1411. 6/(8+2х—х3). 14ДХ Hl-x-lix3). 14.1Х (агсйпх)/х—1. 14.17. x*<J*~3x. 14.19. 2хжп3(х/2)-х. 1431. ЗДб+х-х3). 1433. Hl+x-lZx2). 143Х (ajrctgx)/x. 1437. tfl6-5x. 143. х2/у/л-5х. 143. 2хсо&(х/2)-х. 14Ж 7Я12+Х-Х3). 143. Н1 +*-**3)- 14.10. (сЬЗх-^х3. 14.1Х 1/(/16-Зх. 14.14. (3+«-*)». 14.14 11^2-х-х1). 14.14 Н1+2Х-8Х2). 1430. (x-l)«hx. 1432. х^27-2х. 1434. (йпЗх)/х—оовЗх. 1434 5/(6—х—х3). 1438. ьа-*-^).
1439. (2-е^3. 1431. 3 2—х—г 1430. (x-l)chx.
Задача 15. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
1X1.
153. icoex’dx.
1ХХ
1X7.
1X9.
М
ВД25х*)<1х. о
10*
15.11.
15.12
<u
Г 1 —е”
15.12
ол
Г 1п(1+х/2)
15.14.
0,3
15.15.
15.16.
•л
| ап(5х/2)* dx.
0,2
1Л
15.17.
15.12
15.19.
15.21.
1522
1522
о 0,4
о 2,5
0,5
о
256+х*
2,5
Г dx 1527.
1529.
0,5
f e-^dx.
1522
1522
1524.
1526.
1522
о ’ 0.1 f 1п(1+2х)
ол
J e^^^dx. о
ОЛ
0,5
0,1
1531. J co^lOOx3) dx. о
о
УП. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1. Определения двойного и тройного интегралов.
Их геомет-
105
2. Основные свойства двойных и тройных интегралов.
3. Теорема о среднем для двойного и тройного интегралов.
4. Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (случай прямоугольной области).
5. Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (общий случай).
6. Замена переменных в двойном интеграле.
7. Якобиан, его геометрический смысл.
8. Двойной интеграл в полярных координатах. .
9. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.
10. Тройной интеграл в сферических координатах.
Теоретические упражнения
1. Пользуясь определением двойного интеграла, доказать, что JJ х*"у* dx dy=0, если т и п — натуральные числа и, по меньшей мере, одно из них нечетно.
2. С помощью теоремы о среднем найти
«Ч/Ч*
где f(x, у) — непрерывная функция.
3. Оценить интеграл
т. е. указать, между какими значениями заключена его величина.
4. Вычислить двойной интеграл JJ f(x, у) dx dy, если область о
D — прямоугольник {а<х<6, с<у<<0» a f(x, y)=FZy(x, у). » л
5. Доказать равенство ^/(x)g(y) dxdy=^ffx) dx^g(y) dy, D • e
если область D — прямоугольник {a<x<6,
б. Доказать формулу Дирихле
jdx |/(x, y) dy=Jdy |/fx, y) dx, a>0. 0 0 о у
106
7. Пользуясь формулой Дирихле, доказать равенство
dy \f(x) dx= (a-x)f(x) dx.
8. Какой из интегралов больше
если/fx, у, z)>W
Расчетные задания
Задача 1. Изменить порядок интегрирования.
107
108
Задача 2. Вычислить.
XX || (12хУ+16х3/) dxdy; D
D:x»l, Л’—х2, у» — у[х.
ХЗ. ||(З6ха/-96х3у’) dxdy; о
2):х>"1, y~tfx, у— —х*.
XX jj (9хУ+48хУ)Лф7 о
Р:х» 1, у*ч/х, >•* —Xs.
Х4. JJ (18№/ +З2х3/) dxdy;
D
2):х"1, j—x*. у-— ^/х.
109
о
ЗА j J у cos 2xy dx dy; о
3.11. JJ 12y sin 2xy dx dy;
о
Л:у-^,у-^,х-2,х-3.
3.13. JJye^dxdy;
о
D:y-ta2, y-ln3, x»4, x-8.
3.15. JJ 2y cos 2xy dx dy;
D я я
3.17. JJy sm xy dx dy; о
D'.y—x, у—2я, x—*"'•
3.15. JJ***dxdy;
о
D:y-ta3, y—h»4, х-Л x-~.
3.10. JJ /e-”'8 dxdy; о
Z>:x-0, У-2,
3.12. JJy2 cos xy dxdy; о
D'.X—Q, У^у/x, y—x.
3.14. j j dy* sin 2xy dx dy; »
2):x»0t y»^2x, y—2x.
3.16. JJ/e-^’dxdy;
P:x-0,y-^,y-x.
3.18.
3.20. i I Зу3 sin у dx dy;
D
P:x»0, у
2):y—я, у—Зя, x—1/2, x»l.
J J у sm 2xy dx dy;
о
D:y—K/2, y~3nJ2, x—1/2, x—3.
322. jj/f^dxdy;
D:x-0, y-l,y-^.
324. JJ y3 cos xy dx dy; о
2): x-0, y->/*» >"2x.
112
125. J j 6yew/3 dx dy;
0
D:y—In 2, y—ln3, x—3, x—6.
127. JJ у сое 2xy dx dy;
о
Z):y-x/2, у-Зя/2, x-1/2, x-2.
129. JJ 3y sin xy dx dy;
D
D'.y—*I2, у—Зя, x-1, x—3.
131. JJlZye^dxdy;
о
D:y—1пЗ, у—In 4, x—1/6, x—1/3.
126. JJ у3 яп у dx dy;
D
D:x«^0, у—л/я, у—x.
121 JJ/e"*^ dxdy;
D
P:x-0,y-4,y-2s.
330. JJ y3 cos у dx dy;
D
Z):x—0, y—yfHt, y—2x.
Задача 4. Вычислить.
JJJ ly3*” dx dy ds;
s—0, s—1.
41 JJJ x3z sin(xys) dx dy ds; v
У (jf-2, y-я, z-1, (x-0, y-0, s—0.
41 j j j y3 ch(2xy) dx dy ds; (x-0, y——2, y-4x, (s—0, s—2.
dx dy ds;
x— 1» y—2, s—1, x—0, y—0, s—0.
41 JJJ x3 A(3xy) dx dy ds; (x-1, y-2x, y-0, jz-O, s—36.
41
y*x cob xyz dx dy ds;
{x—1, у—я, s—2, x—0, y—0, s-0.
47.
dx dy ds;
41
xyz
sin dx dy ds;
x-0, y-~l, y-x/2, s—0, s——я3.
x—1, У“2я, s—4, x—0, y—0, s—0.
113
4.10.
вгг
ly’xe*’* dx dy
v
x-1, y-1, x-1, x—0, y—0, x—0.
4.11. j j J у1 ch(2xy) dx dy dx; V
v (x-0, y-1, y-x, lx—0, x-8.
412. jjj x2! sh(xyz) dx dy dx;
V
{x-2, y-1, x-1, x-0, y-0, x-0.
4.15.
x-0, x—— 1.
4.14. JJJ y’x cos — dx dy dx;
V
fx—3, y-1, х-2я, [x—0, y—0, x—0.
4.16. JJJ Ix’x sh(xyx) dx dy dx; v
fx-1, У--1, x-1, lx—0, y—0, x—0.
4.17. j j j у2 сов(яху) dx dy dx;
У >-l. >-2x, lx—0, x—я2.
4.18. JJJ 2X2! sh(2jtyx) dx dy c v (x-2, y-1/2, x-1/2, lx—0, у—О, X—0.
4.15. j j j x2 Л(2лу) dx dy dx; v
Jx—— 1, y-x, y-0, [x—0, x—8.
sin dx dy dx;
x-1, y«4, х-я, x—0, y—0, x—0.
421. j j j y2 ch(xy) dx dy dx;
V
Y fx-O, У--1, y-x, [x-0, x—2.
x-0, y-0, x-0.
424. y’xcoe dxdydx;
114
x-2, y-x. y-0, z—0, z—к.
x-9, y-1, z—2x, x-0, y-0, z—0.
425. 111 x3 йп(яху) dx dy dz;
F:x—1, y—2x»y—0, z—0, z—4x.
427. JJJ y2 ch(3xy) dx dy dz; v
F:x—0, y-2, y—6x,
x—0, y—0, z—0.
428. JJJ 2/z ch(2xyz) dx dy dz; Y
F:x-i y-2,z--l,
z—0, z——3.
x-0, y-0, z-0.
429.
x3 sm(4xxy) dx dy dz;
434 dx dy dz;
F:x-l,y-x/2,y-0, z-0, z—8я.
F:x—2,y——1, z—2, x-0, y-0, z-0.
431. JJJ x3 sh(xy) dx dy dz;
Y
V:x—2,y—x/2, y—0, z—0, z—1.
Задача 5. Вычислить.
x dx dy dz;
5X
F:y-lOx, y-0, x-1,
z—xy, z—0.
^dx dy dz Л . * > . A4’
v V 3 4 8/
3+4+8 ’ x—0,y—0, z—0.
JJJ 15(/ +Z3) dx dy dz;
Y
V:z-x+y, x+y~l, x—0, y—0, z—0.
(3x+4y) dx dy dz;
z«5(x3+y3), z—0.
5Л. JJJ (1+2x3)dxdydz; Y
F:y-9x,y-0, x-1, Z—yfxy, z-0.
5Ж JJJ (27+54/) dx dy dz;
115
5.7.
Р:у-15х, у-0, x-1,
fff dxdydx
x—0, y—0, x—0.
i"*xy, x—0.
5.9. 111 (3x2+y2) dx dy dx;
F:x—lOy, x+y—1, x—0, y—0, r-0.
5.10. Jjj (15x+30x) dx dy dx; v
F:x—xa+3y1, x—0, y«x, y—0, x—1.
5.11. Jjj (4+8X3) dxdydx; у
F:y—x, у—0, x—1, x—sfxy, x—0.
5.12. jjj (1+2X3) dx dy dx; У
F:y—36x,y—0, x-1, z^tyfxy, x—0.
5.13. J j J 21xz dx dy dx; у
Vty-x, y—0, x-2, x—xy, x—0.
F:x/10+y/8+x/3-l, x«0, y—0, x—0.
5.15.
(x3 +ЗУ3) dx dy dx;
5.16. (60y+90z) dx dy dx;
F:x—lOx, x+y—1, x—0, y—0, z—0.
V:y-x,y-0, x-1, x-x’+y3, x-0.
dx dy dx;
у F:y-9x,y-0, x-1, x—yfxy, z—0.
5.1». jjj (9+18x)dxdydx; у
F:y-4x, y-0, x-1, x^»\/xy, X—0.
5.19.
>. JJJ Зу3 dx dy dx;
F:y—2x, y—0, x—2, z-xy, x»0.
®dxdy dx
/ x у x\*’
I I 4.-+-И_I
y \ +2+4 6/ ^:x/2+y/4+x/6-l, x—0, y—0, x—0.
5J1.
5.22.
(8y+12z) dxdydx;
116
F:z-10(x+3y), x+y-1, x-0, y-0, z—0.
F:y-x, y-0, x-1, z-3x2+2y2, z-0.
533. jjj 63(1 +2TJ) dx dy dz; r
F:y-x, y-0, x-1, z-sfxy. z-0.
(x+y) dx dy dz;
z-30x2+60y2, z-0.
ЧЯл^у v V+6+4+16/
F:x/6+y/4+z/16—1, x-0, y-0,2-0.
J j xyz dx dy dz; v
F:y-x, y-0, x-2, z—xy, z—0.
5.27. jjj y2dxdydx;
F:x- 10(3x+y), x+y-1, x-0, y-0, z-0.
v
F:y-x, y-0, x-1,
5.29.
Др+4Л
dx dy dz;
z—xa + 15y3, z—0.
F:x/8+y/3+z/5—1, x-0, y-0, z-0.
F:z-20(2x+y), x+y-1, x-0, y-0, z-0.
531. 111 x2z dx dy dz;
F:y—3x,y—0, x—2, z—xy, z-0.
Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченвой данными линиями.
6.1. у-3/х, у-4в*, у-3, у—4.
<3. х,+у3—72, бу——х^ (у<0).
3
^“х >’"’8е’’у"3, х"8*
6и7. х—5—у2, х——4у.
М, yyfn^,y^2y/3-y/i2^?.
6.10. у—</х, у-^-, х—9.
2 v 2х
6Х х—^36—у2, х—6—^36—у*.
6Л х—8—у2, х——2у.
6Лу-^,у-А х«1б>
6Л. х2+у2—12, -л/бу-х2 (у<0). х-0 (х>0).
6,11. у-5/24-х2, гДу-х2, х-0 (х>0).
117
4.12. у—sin х, у—соях, х—О (х>0).
4.13. у—20—х2. у— —8х.
«.м. у-у/и-Лу-ъ/г-у/н-х*.
4.15. у-32-х2, у- — 4х. 4.14. у-2/х, у-5е*, у-2, у«5.
4.17. х2 4-у2—36, Зу/ly-x2 (у>0). 4.18. у-3yfx, у-3/х, х-4.
4.19. уб-у/зб-х2, уу/зв-х1, х—0 (х>0).
420. у-25/4-х2, у-х-5/2.
421. у у/*, у 1/х» х-14. 422. у-2/х, у-7с*, у-2, у-7.
423. X—27—у*, х--6у.
424. X-V72-Z «**У*. У-0 (у>0).
«35. у-у/б^?, у-V«-у_3 у^3_ ж_4
427. у-мпх, .у-совх, х-0 (х<0).
429. уЗу[х,у^З!х, х-9.
431. х2+/-12, х^-/ (х>0).
428. у-1,>-6.
438. >-11-Лу--10х.
Задача 7. Найти площадь фигуры, ограничешой данными линиями.
73. /-2у+ха-0, у’-4у+х*-0, jr-x/5/3, у—у/зх
73. /-бу+х1-©, /-«у+Х1-©, у-хД/з, у—Узх
73. /-Sy+x2-©, /-lOy+x3-©,
7.7. у»-4у+х*-0, у2-6у+х2-0, у—х, х—0.
73. /-бу+х2-©, у2—1 Оу 4-х2—О, у—х, х—0.
7.11. /-гу+х2-©, у2—«у+х2—©, У^у/Зх, X"»©.
7.13. у2—«у+х2—О, у2—бу+х2-©, у—у/Зх, х—0.
72. х2--4х+у2*»0, х2-8х+у2-0, у-0, у-х/^/з.
7.4. х2-2х+у2-0, х2—4Х+У2—О, у-0, у-х.
7.4. х2—«х+у2—О, х^вх+у2-©, у—0, у—х.
1Л. х2-2х+у2-0, х2— Юх+у2—О, у-0, у-^Зх.
7.18. х2-2х+у2-0, х2—4х+у2-0, y-x/V3, у^у/Зх.
7.12. х2-2х4-у2«0, х2—бх+у2—О, у-хД/з, уу/Зх.
7.14. х2-2х+у2-0, х2-8х+у2-0, у-х/^/з, у-у/Зх.
118
7.15. у3-2у+х3-0, у’-бу+х3—О, y-xlyfa, х-0.
7.17. /-ly+x’-O, у3—Юу+х3—О, y-xlyfi, у-у/1х.
7.19. у3—4у+х3—0, у3—Юу+х3 — О, у-хДД У—Узх.
731. у3-2у+х3-0, у3-4у+х3-0, у—х, х—0.
7.23. у3-бу+х3-0, у3-8у+х3-0, у—х, х—0.
7.25. у3-4у+х3-0, у3—8у+х3—О, у—х, х««0. ..
737. у3-4у+х3—О, у3-8у+х3-0, у—>/Зх, х—0.
739. у3-2у+х3-0, у3—Юу+х3-©, У-хД/з, х-0.
731. у3~4у+х3—О, у3—ву+х3—О, у-хД/з, х-0.
7.15. х3-2х+у3-0, х3—4Х+У3—О, У—0, у—х/^3.
7.18. х3-2х+у3-0, х3—бх+у3—О, у-О,у-х/,Д
730. х3-2х+у3-0, х3—бх+у3—О, у—0, у—х.
732. х3-2х+у3-0, х3-4х+у3-0, у-0, у—у/Зх.
734. х3-4х+у3-0, х3-8х+у3-0, У-0, y-yfix.
735. х3-4х+у3-0, х3-8х+у3—О, у-хД/з.уч-Узх.
738. х3-4х+у3-0, х3—бх+у3-О, У-хД/з.у-^/зх.
730. х3-бх+у3-О, х3—Юх+у3—О, у-хД/з,у->/Зх.
Задача 8. Пластинка D задана ограничивающими ее кривы* ми, д — поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
8.1. 2):х-1, у-0, у3-4х (у>0); у—7х3+у.
83. 2>:х-1, у—0,у3-4х(у>0^ Я-7х3/2+5у.
83. 2>:х—2, у-0, у*-2х (у>0); у—7х3/8+2у.
8.7. 2):х-2, у-0, /-х/2 (у>0); Я-7х3/2+бу.
8.9. D:x-1, у—0,у3—4х (у>0); у-х+Зу3.
83.1):х3+у3-1,х3+у3-4, х-0, у-0 (х>0, yXfc ^-(х+у^+у3).
8Л Pzx’+y3—9, х3+у3—16, х—0, у—0(х>0,у>0);
у-Сгх+Зу^+у3).
84. Л:х3+у3-1,х3+у3-16, х-0, у-0 (х>0, у>0);
Я-Сх+у^+уЬ.
83. D:x3+y3-4, х3+у3-25, х-0, у-0(х>0,у<0);
^-(гх-Зу^+у3).
8.10. D^+y3-!, х3+у3-9, х-0,у-0(х>0,у<0);
Д-(х-у)Дх3+у|).
119
8.11. Z>:x—1, y-0, /-x (y>0); д-Зх+бу3.
8.13. 2>:x—2,y«0, у3—x/2(y>0); д—2x+3y*.
•.15, У-0, /-8x (y>0),
д—Тх+Зу3.
8.17, D:x-1, y-0, y2-4x (y>0); д-7х3+2у.
8.19. Л:х-2» /-2Х, y-0 (y>0); д—7x3/4+y/2.
821. Z):x-2, y-0, y3—2x (y>0); д-7х3/4+у.
•33. 2>:x-2, y-0, /-х/г (y>0); д—7x3/2+8y.
•35. Z>:x—1, у—0,у3—4x(у>0); д-б^+Зу3.
•37. Л:х—2,у—0, у3—х/2 (у>0); д—4x4-бу3.
•39. Л: х—1/2, у—0, у3—2х (у >0);
Д-4Х+9У3.
•31. ^x-lM.y-O.y3-^ (у>0); д-ЮхЧ^у’/г.
8.12. Л:х34-у3-9,х34-у3-25, х-0,у-0(х<0,у>ОХ Д-(2у-^Дх34-А
«.14. 2):х34-у3—4, Х34-у3—16, х-0, у-0 (х<0, у>ОХ д—(2у—Зх)/(х34-у3)-
•.16. D:x3+y3-9, х34-у3-1б,
х—О, у-0 (х<0, у>ОХ
д-Сгу-зхусх’+А
8.18. Р^+у3 —1, х3-»-^—16, х-0, у-0 (х>0, у>ОХ д-Сх+Зу^+А
8.20. D:x34-y3-l,x3+y3-4, х-0,у-0(х>0,у>0);
д-Сх+Зу^+А
8.22. D^+y3-!, х-0,у-0(х>0,у<0);
д-СЗх-уИх’+А-
834. 2):х3+у3-1,х3+у3-25, х-0, у-0 (х>0, у<ОХ
д-(х-4у)/(х3+А
836. Z):x3+y3-4, х3^/-!^ х-0, у-0 (х>0, у<0);
д-рх-уМх^А-
838. 2):х3+у3-4,х3+у3-9, х-0,у-0(х<0,у>0Х Я-(У“4х)/(х3+А-
830. JOrx’+Z-^x3-»-/-^ х-0, у-0 (х<0, у>ОХ
д-(у-2х)/(х3+А
Задача 9. Пластинка D задана неравенствами, д — поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
9.1. D : х3 +//«1; д-у3.
93. 2):х3/9+у3/25<1,
У>0: д-х3у.
93. D:l<A4+/<4. у>0,у<х/2; д-8у/х3
9.7. D.J/t+y1*!;
1^4/.
93. 2):1<ха/1б+у3/4<4, х>0, у>х/2, ц-х!у.
93. О‘Л<^/9^//4^2. У>0, у<(2/3) х; д-у/х.
9.4. D:х31.
9.6, ZJ^/O+Zcl.x^; д—7ху*.
9Л Я-Л&?/4+у*/9<4, х>0, у>Зх/2; V~xly.
9.10. D^M+y3^^!, x>0.y>0; д-х*у.
120
9.11. Dcx’M+y’Cl, x>0, v>0;
9.13. Djjc2^+//«!; Я-*1/-
9.11 Л:х»/4ц-/<1, x>0, y>0;
9.12. 1):1<л74+уЧ23, х>0, у>х/2; д-х/Г.
9.14. 1>:х>Дб+у*<1, *>0, У>0; Я—5ху7.
д—ЗОх’у7-
9.17. Л:ха+у2/25<1,у>0;
Я—7x*y.
9.19. Pix’M+y’^^l;
Я—х*.
9.21 . М>+/<1, *>0; Я-Илу*.
9.21 1>:1<л*/9+/М<5, х>0» у>2х/3;
я-*/у.
9.21 Л:ж»/^-//25<1;
927. 2>:1<х1/4+//9<Зб,
*>0, у>- х; 2
ц—9х/у*.
929. 2>:х»Дб+у*<1, х>0, у>0;
Я— 105х*у*.
93L Д:1<х2Дб+уа<3, х>0, У>х/4;
Я-*/Г-
Я-У/*-
9.18. Д:ха+уа/9<1, у>0; д-35х*/.
920.
>>0, Х<4х; ц-у1г.
922. D: 1<х2/4+/Д6<5, ж>0, у>2х;
д-х/у.
924. 2):xa/4+>J/9<l, х>0.у>0;
Я-х>
921
*>о» />р; Я"15хУ.
928. D^/lOO+Z^l,
х>0, у>0, д—бху*.
930. 2):1<х,/9уаДб<2, у>0, ><- х;
H^Tly/x5.
Задача 10. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
10.1. у-\ь41х,у\[ъс. г-0, х+х»2.
102. х3+/а-2, У"“^х. У-0, г—Q.Z—ISx.
103. х-2(ц/2у» х-5>/5. г-0, г+у—1/2.
10.7. хЧу3—2, х—y/у, х—О, г-0, г-ЗОу.
102. у—5у/х. у—5х/3, г—0, г—5+5^х/3.
ЮЛ х+у—2, у—у[х, г—12у, г—0.
ЮЛ х—5^/у/2, х—5у/б, г-0, г-? (З+л/у). О
ЮЛ х+у—2, х—yJyK г—12х/5, г—0.
121
109. y-17>/2x, y-ljlx. z—0,x+z—1/2.
ЮН. Xх+^-8, y-^/lx, у-0, х-0,х-15х/11.
Ю1Х x-2 y/у. х--^ У. 0 1о
*-0,*-Л(3+>/Д
1©
1015. Xх+/-8, x-yfiy, х-0, х-30уД1, х—0.
1017. у-6>/зх, у->/Зх,
/г—0, x+z-3.
1019. хх+ух—18, у-^/Зх, у-0, х—0, х—5хД1.
1021. х-1у[зу, x-bjby, х-0, х+у-З.
1023. х*+/-18, x-VS, х-0, х-0, х-10у/11.
1025. у-^Юг.у-Тйх, х—0, х—^15 (1 +у/х\
10127. х+у—8, у—yfix, z-Зу, х-0.
1029. x-lsVh х-15у, х—0, х—15 (1+>/у).
1031. x-nV^, x-Z^/ly, х—0, x+y—1/2.
10.10. у—5^/х/З, у—5х/9, z-0, x-5p+Vx)/9.
10.12. x+y-4, y-^/lx, z—3y, x—0.
10.14. x-19>/2y,x-4>/2y.
x—0, x+y—Z
10.16. x+y—4,x-fy, z-3x/5, x-0.
»0Лв.У-?5Д.>-^х.
r“°>p+V*>
Io
10.20. x+y—6, у—у/Зх, z—4y, x—0.
10.22. x-5^y/3, x-5y/9, x-0,z-5(3+V^)/9.
1024. x+y—6, x—у/Зу, z—4x/5, z—0.
1026. x2+ya—50, y—-^5x, y-0, x—0, z—3x/ll.
1028. x-16>/2y, x-72y» z+y-2, z-0.
1030 xa+y,-50, x^yjiy. x—0, x—0, z—6y/ll.
Задача 11. Найти объем тела, заданного ограничивающими
его поверхностями. 112. ха+у»-2у,
х—5/4—Xх, х—0.
113. Xх+/-85/2*. z-xx+yx-64, х—0(х>01
ИХ хх+ух—у, хх+ух—4у, z-V*3+.X*» Je°-11.4. хх+ух+4х-0, 2.8-/, х-0.
122
11Л. х’+у’-бх, х’+у’—9х, z—Ух^у3, z—О, у-0 (у <0).
11.7. х3+у3-2у, 9 .
z—-—х3» z—0.
НА х3+у3+2>/2у-0, z-x3+y3-4, z-0 (z>0).
11.11. х3+у3—7х, х3+у3—10х, z—Ух3+у3, z—О, у-0 (у <0).
11.13, х3+у3—2у, 13 -Z-—-х3, z-0.
11.15. х3+у3—6^2х, z—х3+у3—36, z—0 (z>0).
11.17. х3+у3-4х, z-12-у3, z-0.
11.19. х3+у3-4л^х, Z—х3+у3 —16, z-0 (z>0).
1141. х3+у3—4у, х3+у3—7у, z-0.
1143. х3+у3+2х-0,
2-17/4-у3, z-0,
1145. х3+у3+2^2х—О, z—х3+у3—4, z-0 (z>0).
1147. хЧу’-Юх, х3+у3-13х, z—^х4+у3, z—О, У-0 (у>0).
ПЛ х3+у3-6л/2у.
z—х3+у3—36, z-0 (z>0).
ПА х3+у3—2у, х3+у3—5у,
z-^/j^+y3, z-0.
11.10. х3+у3в4х.
z-lO-y’.z-O.
11.1Х х3+у3-8<^у, z-x3+y3-64, z—0(z>0).
11.14. х^у3—Зу, х3+у3—бу, z—Vx3+y3. z"0.
11.16. x*+?-bJiy, z—х3+у3—4, z-0 (z>0).
1148. х3+у3-8х, х3+у3-11х, z—^х3+у3, z-0, у-0 (у<0).
1140. х3+у3-4у, z—4-л?, z—0.
1142. х3+у3-45Ду, z-x3+y3-16, z-0(z>0X
1144. х3+у3-9х, х3+у3-12х, z—-^х3+у3, z—О, У-0 (у>0).
1146. j^+^My, z—6—х3, z-0.
1148. х3+у3-2>/2х. z-x3+y3-4, z-0 (z>0).
123
11.29. ха+/-2х, ИЗО. X^+Z-Sy,
z—21/4—у1, ж«0, ж«7х3+/, z—O.
1131. x34-/4-2x«0, Ж-23/4-/, ж-О.
Задача 12. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
1X1. у-з/4-2,у-7, Ж-3/-7Х2-! Z-3/-7/-5.
123. х- -5/4-2, х--3, ж-Зх34-/4-1, ж»Зх34-/-5.
115. у-~б/4-8,у-2, ж-х-х3—/—1, z-x—х3—/—5.
117. Х-3/-9, х«-4, ж-х34-4х—/-4, ж—х3+4х—/4-1
119. Х-3/-1, Х--3/4-1, ж«2-^х34-б/, t--l~Vx3+6A
1111. у- -5/4-3, у- -1 у-2/~Зу—6/—1, ж»2/—Зу—6/ 4-2.
1111 х-Зу’-З.х--! z-2-^x3+16yi, z«8-^x4+16ys.
1115.у-2х3-1,у-1» z-x3—Зу3—3, z-х3—Зу3—6.
1117. Х--4/ + 1, х--3, х-х3-7у3-1, ж-/-7у3+1
1119. y-l-lx3^--!, z-x3+2y+y3-2, *"х3+2у+у3+1.
118. у-6х3-1,у-5, z-2x3+x-y3, *—2х3+х-у34-4.
1110. х-—3/4-7, х—4,
1111 у*х3-5,у-— Х34-3, ,-44-75^+8/. ж— 14--^5/4-8/.
1114. Х-/-1Х--4/4-3, ж«У16-х3-/4-1 ж-^16—/—/—1.
1116. у-х3-1у«-4/4-3, z—2+ylxt+y*,
1118. Х-7/-6, х--2/4-3, ж-34-Sx2-8/. ж«-24-Зх3-8/.
1120. у-х3-7,у«-8х34-1 ж-З-12/4-Зх3, ж-—2—12/4-Зх3.
124
1221. Х-2/+3, х-5,
122Х х—Зу2—2, Х--4/+7, х "4—у/зл^+Зу1, х— — 1 —л/2х3+Зу3.
12-25. у.-Зх^З, у-2, Х"3+^5х3+у2, х« — 1 +\/5х2+у2>
П.П. Х-4/+2, х-б, х»х34-4у3+у+1, х-х3+4у3+у+4.
1229. у-Ъ?-3,у--3,
х-1-2х2+3/, х-4-2х2+Зу3.
1222. у-Зх3+4,у-7, г-З-^Д^+Зу2, х-1—Д^+Зу2.
1224. х--2/+5,х-3, х-з-ДЧгзу2, х-2-л/х2+25у2.
1226. у-Зх3-5,у--6х3+4, х-2+юх3-у3, Х"-2+10х2-у3.
1228. Х-3/-2, Х--4/+5, Х-4-7Х2-»/, х-1-7ха-9/.
1230. у-2ха-3,у--7ха+6, х—1— Зх3—бу3, х» — 3—Зх3—бу3.
Задача 13. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
13.1.
9х/2"х3+у3, 1X3.
z-V(^ +/У235.
гх-х3^-/.
1X7. х—Угз-х3-/, «-лДх2+/)/»-
1X9. х-21>/х3+у3/2, х-гзд-х3-/.
1X11. x-V’-x3-/-x-Vc^+yW
1ХХ x-lsV^+Z/X х-ПД-х3-/.
1X4. х-^/бЧ-х3-/,!-!, x3+y3-60 (внутря цилиидра).
1X6. х-зТ^+у5.
(внутри цвлнцдра). 1X10. x-Jie-x3-/,
х3 Ч-у3 "45 (внутри цилиндра).
125
13.13. z—^/i-x2-/, ЗхД-х2-»-/.
13.15. х-^Зб-х2-^2, х-л/(х24-у2)/М.
1X17. х-^/ж-х2-^, 18z—х2Ч-у2.
1X1». х-.^/9*2/» х-У(х*+/У35.
1X21. х—^/зб—х2—у2, 9z-x24-y2.
1Х2Х x-Vlfi-x»-/,
1Х2Х х-лД^-х2-/, х-х2Ч-у2.
1X27. х-Дх2-/, x-V(x,+/)/S.
IX». х-^/бЧ-х2-/, 12х—х2Ч->2.
1X31. х-^/зб-х2-/.
х—
13.14. х-6>/^+/.
X —16 —х2—у2.
1X16. х-^/бб-х2-/, х-4.
х2 4-у2 — 39 (внутри цилиндра).
1X18.
z—5/2—х2— у*.
1X20. x-V*9”*2-/. х“3, х24-у2 —33 (внутри цилиндра).
1Х2Х х-97*2+/.
z-22-х2-/.
1X24 z-^/зб-х2-/, х-2, х2 Ч-^2 —27 (внутри цилиндра).
1X26. х-ЕцД’Ч-/, х-28-х2-/.
1X28. x-V^ x2 /. x-1.
х2^-^2— 21 (внутри цилиндра).
1X30. x-^^+Z/Z, х-11/2-х2-/.
Задача 14. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
14.1: x-2-12(x24-/X 14Х z-lORx-l)2-»-/)-»-!.
х-24х+Х z—21—20х.
143. х-В^+^+З, 14А z-2-20[(x4-1)24->2L
х—16x4-3. х*. -40х-38.
143. х-4-14(х2+/), 14Ж х-гвЦх+^+УНЗ,
х-4~28х. х—56x4-59.
14.7. х-32(х2+/)ч-3. 143. х^-бКх-!)2-»-/),
Х-3-64Х. х-12х-8.
143. х-2-4(х24-Л 14.». х-ггкх-^ч-^ч-з.
х—8x4-2. х-47-44х.
14.11. х-24(х14-/)4-1. 14.1Х х-г-^кх-ы^ч-Л
х—48x4-1. z--36x-34.
141Х z.-^x2-»-/)-!. 1414. X-30[(x+l)J+/]+l,
z--32x-l. Х-60Х4-61.
126
14.15. x-26(xa4-y2)-2, x--52x-2.
14.17. x-—2(xa4-y2)—1, x«-4y—1.
14.19. х-ЗОСхЧ/Ю, x—60y4-l.
14.21. x—2—18(xa4-y2), x«2—36y.
14.23. z-22(x24-/)4-3, z«3-44y.
14.25. x«4-6(x24-/), x«12y+4.
1437. х-гв^+^+з, z—56y4-3.
14.29. x-2-200c2+/), x-2—40y.
1431. x—10(x24-<y2)4-l, x««l—20y.
14.16. x—— 2[(x—l)a4-j2]—1, x-4x—5.
14.18. x-26[(x-l)24-/]-2, x-50-52x.
1430. x--16[(x4-l)a4-/]--l, x«-32x-33.
1432. x-24[(x+l)a+/J+l, x—48x4-49.
1434. x-2-4[(x-l)a-l->aL X"8x—6.
1435. x-32[(x-l)a+/J+3, z-67—64x.
1438. x-4-14[(x+l)3+/], x- -28x-24.
1430. x-8[(x+l)a+/J+3, x—16x4-19.
Задача 15. Найти объем тела, заданного неравенствами.
-х<у<0.
153. 4<ха4-]И24-ха<64,
153. 4<х* +У24-х2<64,
153. 1<х* 4-/ 4-х2 <36,
15.4. 4<х24-/4-ха<36,
15.6. 25<х»4-/4-х2 <100,
*<-5/^+/)/"• \/зх<у< 15.7. Кх2 4-/4-х2<49, 0<x<V(xa4-/)/24, >< -х/^/з, ><-yfix.
15.9. 4<х24->24-ха<64, l^+y* /х^+у2
- ——<Х< /---------.
V 35 \ 3
х<у<0.
153. 25<х» 4-/4-х2 <121, +/)/24<х<0, -х>/з, >> -^/Зх.
15.10. 16<ха4-/4-х2<100,
127
1111. 16«xa+/+za<100,
1111 16<л*+/+1’<К
1111 4<хя+/+хя<49,
1114. 36 0я+/+^<121,
15.11 36<хя+/+ха<144,
1111 4<хя+/+ха<64,
1117. 9<хя+/+*я<81, -V(jf2+/)/3<x<V(*a+/)/33. 0<jr<-x.
1118. 36 ^x2*/+*4144,
-y/tf+?№**< 0<y<—y/3x.
1111 36<хя+/+*я<144,
1121 36<хя+/+хя<100,
1121. 9<хя+уя+хя<64,
*>V(*a +/)/"»><*/л/з. У < “*/>Л-
1121 49<хя4-уя+хя<144, I< - V(x»+/)/», у> -
1121 9<хя+/+ха<81, 1514. 49<хя4-/+хя<169,
У<0, У<хА/3- 7><V>xA/3-
128
15.25. le^+Z+z^lOO,
0<y<x.
15.26. 64 <x3+/+za < 196,
-Vc^+zm О^у^^/з x.
1537. 64<xa+/+za<196,
*а/з<У<0.
15.28. 64<x2+yt+z2<144, «>-\/(*3+/)/63, 0<у<хД/з.
15.29. 16<х»+/+хЧ81, z>5/(xa+yJ)/99, у <0, у < -^/з х.
1530. 64 <х»+/+**< 169,
*<—У>0,у> -5/3х.
1531. IS^+yWOOQ, О <z < Vf^+^^Z24» у <о, у<-х!у[з.
Задача 16. Тело V задано ограничивающими его поверх ностями, ц — плотность. Найти массу тела.
16.1. 64(х2+у2)—z3, ха+уа—4, у-0, z-0 (у>0, z>0), Я’-5(ха+у2)/4.
163. ха+у2—1, х3+у3—2z,
х-0, у-0, z-О (х>0, у>0); Я*"10х.
16Л. x’+y’+z* —1, ха+уа—4Z2, х-0, у-0 (х>0, у>0, z>0); у—20z.
16.7. x2+y2+za-16, ха4-у2»4, (х2+уа<4);
Я-2|г|.
16.9. х14-у2——z3, х?+у*—-z, 25 5
х-0, у—0 (х>0, у>0); д—28хг.
163. xa+yi-hza-4, х3+уа —1, (ха+у3<1), х-0 (х>0); /i-4|z|.
16 4
16.4. ха+у3—— z3, х2+у*— - z, 49 7
х-0, у-0 (х>0, у>0); Я""80уг.
16Л. 36(x,+y2)-za,x2+yJ-l, х—0, z—0 (х>0, z>0);
Я*7<ха+/).
6
16.8. х2+у3—4, xa+y2-8z, х-0, у-0, z-О (х>0, у>0); Я»5х.
16.10. x2+ya+za—4, х2+уя<"‘z2
X—0, у—0 (х>0, у>0, z>0); д-6г.
5-207
129
16.11. 25(х2+у2)-Л ха+/-4, х—О у—О, х—О, (х>0,у>0, х>0);
д-2(х3+у3).
16.13. х3^^— 1, ха4-уа—6х. х-О, у-О, х-0 (х>0, у>0); д—90у.
16.15. х34-у3+х3—4, х^у3— 9Х3, х-О, у-0 (х>0, у>0, х>0); д— 10х.
16.17. х3Ч-у3+х3-4, х3+у3-1,(х3+/<!); д-6 И.
14.19. х3+у3-х3/49, х3+у3-х/7, х-О, у-0 (х>0, у>0);
д-Юхх.
1601. 16(х3+у3)-х3,х3+у3-1, х-0, у-0, х-0 (х>0, у>0, х>0); д-5(х3+у3).
1403. х3+у3-4,х3+у3-4х, х-О, у-О, х-0 (х>0, у>0); д-5у.
1405. х3+у3+ха-1, х3+у3-х3, х-0, у-0 (х>0, у>0, х>0); д-32х.
1407. х3+у3+х3-9,х3+у3-4, (х3+у3<4Х х-0 (х>0); д—2х.
1409. х3+у3-4ха/49, х3+у3-2х/7, х-О,у-О(х>О,у>ОХ д—20хх.
16.12. х3+у3+х3-9, х3+у3-4, (х3+у3<4),у-0(у>0); д-|х|.
14.14. х3+/-х3/25, х3+у3-х/5, х-0, у-0 (х>0, у>ОХ д-14ух.
16.16. 9(х3+у3)-х3,ха+у3-4, х-0, у-0, х—О, (х>0, у>0, х>0);
д-ЗСх3^/)^.
16.18. х3+у3«1, х-0, у-0, х-0, (х>0, у>0); д-10у.
1600. х’+у’+х3—4, х3+у3-4х3, х-0, у-0 (х>0, у>0, х>ОХ д—10х.
1602. х3+у3+х3-16, х3 4-у3 -4 (х3 4-у3 <4); д-И.
1604. х34-у3-х3, х-0, у-0 (х>0, у>0); д-35ух.
1606. х3+у3-х3, х3^^—4, х—0, у—0, х—О fx>O,y>O,x>OX д-5(х3+у3)/2.
1608. х2+у3-1, х3+у3—Зх, х—0, у—0, х—О, (х>0, у>0), д—15х.
1600. х3+у3+х3-16, х3+у3-9х3, х-0, у-0, (х>0, у>0, х>0);
д—5х.
1631. 4(х3+у3)-х3, х3*/-!, у-0, х-0 (у>0, х>0); д—10(х3+у3).
УШ. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Теоретические вопросы
1. Скалярное поле. Производная по направлению.
2. Градиент, его свойства. Инвариантное определение градиента.
3. Векторное поле. Поток векторного поля через поверхность, его физически й смысл.
4. Формула Остроградского.
5. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Инвариантное определение дивергенции. Свойства дивергенции.
6. Соленоидальное поле, его основные свойства.
7. Линейный интеграл в векторном поле, его свойства и физический смысл.
8. Циркуляция векторного поля, ее гидродинамический смысл.
9. формула Стокса.
10. Ротор векторного поля, его свойства. Инвариантное определение ротора.
11. Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования.
12. Потенциальное поле. Условия потенциальности.
Теоретические упражнения
1. Найти производную скалярного поля и=м (х, у z) по направлению градиента скалярного поля v—v(x, у, z).
2. Найти градиент скалярного поля u==Cr, где С — постоянный вектор, а г — радиус-вектор. Каковы поверхности уровня этого поля и как они расположены по отношению к вектору С?
3. Доказать, что если 5 — замкнутая кусочно-гладкая поверхность и С — ненулевой постоянный вектор, то
ff cos (щС) dS=0, s
где в — вектор, нормальный к поверхности S.
4. Доказать формулу
фав° d5=J J J (q> div я-|-а grad g>) dK s v
где <p=(p (x, y. z); S — поверхность, ограничивающая объем V; n° — орт внешней нормали к поверхности 5. Установить условия применимости формулы.
131
5. Доказать, что если функция и (х, у, z) удовлетворяет уравнению Лапласа
д2и д2и д2и л .. ди , _ л
—=0, то $-dS=0, дх2 ду2 dz2 g дп
ди
где-----производная по направлению нормали к кусочно-глад-
дп
кой замкнутой поверхности S.
6. Доказать, что если функция и (х, у, z) является многочленом второй степени и S — кусочно-гладкая замкнутая поверх-
. г —I
ность, то интеграл — do пропорционален объему, ограничен-s
ному поверхностью S.
7. Пусть a=Pi+6j+Ak, где Р, Q, R — линейные функции от х, у, z, и пусть Г — замкнутая кусочно-гладкая кривая, расположенная в некоторой плоскости. Доказать, что если циркуляция f adr отлична от нуля, то она процорциональна площади фигуры, ограниченной контуром Г.
8. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси, проходящей через начало координат. Вектор угловой скорости ш=wxi+toJ+wzk. Определить ротор и дивергенцию поля линейных скоростей v=[юг] точек тела (здесь г — радиус-вектор).
Расчетные задания
Задача 1. Найти производную скалярного поля и (х, у, z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности 5, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.
1.1. u»41n(3+x2)-Kxyz, S: x2-ly2+2z2^l, M (\, 1, 1).
12. u-x<J~y+y<Jz; S: 4z+2x2~y1^, M (2, 4,4).
13. u»-21n(x2—5)-4xyz, S: x2+2y2-2z2«‘l, M(1, 1, 1).
1.4. u=- x2y—Jx1+5z2, S: z2=x2-t-4y2—4, 1).
4 V \ 2 )
13. u~xP-Jx*y, S: x2-/-3z+12=0, M (2, 2,4).
1.6. u—x\fy—yz2, S: x3+y2=4z+9, M (2, 1,— 1).
1.7. M=71n(l/13+x2)-4xyz, 5: 7x2-4/+4z2~7, M (1, 1, 1).
13. u== arctg (y/x)+xz, 3. x2+/-2z=10, M (2, 2, -1).
1Л u~\n(\+x*)-xyjz, S: 4x2-y2+z2 = 16, M (1, -2, 4).
1.10. ux=7x2+/-z, 3: x2+y2=24z+l, M (3, 4, 1).
132
1.11. u=x\fy—(z+y)\jx, S: x2—y2+z2=4, M (1, 1, —2).
1.12. и-\fxy—>/4—z2. Sr z=x2—у2, M (1, 1, 0).
1.13. u=(x2+y2+z2)3/2, Sr 2x2-y2+z2-7=0, M(0, 4).
1.14. u=ln(l +x2 + y2) — \Jx2 + z1, S: x2—6x+9y2+z2=4z + 23, M (3,0, —4).
Найти производную скалярного поля и (х, у, z) в точке М по направлению вектора I.
1.15. u=(x2+y2 + z2)3/2, I=i-j+k, М (1, 1, 1).
1.17. u=x2y-\]xy-k-zl, I=2j-2k, Л/(1,5, -2).
1.19. u=xQn у—arctgz), I=8i+4j+8k, M (—2, 1,-1).
1.21. u»sin(x+2j)4-->/xyz, I=4i + 3j, M (я/2, Зя/2, 3).
1.23. u=x3+7y2+^.
1.16. u — x + ini^+y2), I=-2i+j-k, M (2, 1 ]).
1.18. u=yln(l+x2)-arctg z, 1=21—3j—2k, A/(0, 1, 1).
1.20. t*=ln(3—x2)+xy2z, I=—i + 2j—2k, M (1, 3, 2),
1.22. u—x2y2z—In (z—1), 1-51-61+27», M(l, 1,2).
I=2i+k,
M(4, 1, -2).
I=j-k, Af (1, -3, 4)._
1.25. u^yfxy+yjv—z2, I=—2i+2j—k, Af (1, 1,0).
1.27. u=z2+2arctg(x—y), I=i+2j-2k, АГ (1, 2, -1).
x
1.29. u—xy—, z
I=5i+j-k, M (-4, 3, -1).
1.31. u^x2— arctg (y+z), I=3j—4k, A/(2, 1, 1).
1.26. u—2^/x+y+yarctgz, 1=41—3k, M (3, -2, 1).
1.28. w=ln(x2+y2)+xyz, I=i-j+5k, M (1, -1, 2).
130. u=ln(x+7J2 +z2),
1= -2i—j+k,
M (1, -3,4).
Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей и (х, у, z) и v (х, у, z) в точке Л/.
» Г » у3^ ( Г 1 1 \
2.1. v=-F6y3+3x/6z3, u=—, А/I 4/2, —f, “F )•
2 V V2 7з/
133
134
Задача 3. Найти векторные линии в векторном поле а.
XI. а-4Я-ЭД XX а-2х1+4Я. XX *-rf+4rf.
Х7. a-4zi-9xk.
XX a—2yi+3*j.
Х4. a-jd+3jj.
XX a-3xi+6zk.
ЗЛ a-2ri+3xk.
135
33. a—4yj+8zk-3.11. a-2jd+8zk.
3.13. a-4zj-9jk.
3.15. a-5jd+10jj.
327. a-H+4xk.
3.19. a-9yi-4xj.
321. a-6xi+12zk.
32X a«4jd+yj.
325. a-jd+rii.
327. a-7yj+14xk.
329. a->4xi+xk.
331. a-94-4jk.
3.10. a-jj+3zk. XIX a-jd+3zk.
3.14. a-2zj+3>k.
3.16. a-2ri+6yj.
XIX a—xi+jj.
320. a—5yi+7jtj.
321 a-2yj+6zk.
324. a-9rf-4A.
326. a-5zi+7xk.
328. a-2xi+6zk.
130. a-52j+7>4.
Задача 4. Найти поток векторного поля а через часть поверхности S, вырезаемую плоскостями Pt, Р2 (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).
42. a-xi+jj+Л, S.J+y*-!,
:х—О, Р2 :x»Z
43. Л"чЛ+у1+2Л,
^2:х—3.
43. a-xl+yj+xyzk, 3:Р+/-1, Pjtx—O, Р2:х—5.
4.7. a-(x+y)i-(x-y)j+xyA, 3:Р+р—1,
?2:х-0, Р2:х-4.
43. a—xl+jj+rinzk,
S.P+p-l,
42. a—jd+yj-zk,
З.Р+р-1, fyx-0, Pa:x-4.
4.4. a-jd+jj+Pk,
3:P+/-.l, P2:x—0, P2:x—1.
4.6. a-(x—j>)i+(x+y)j+Pk, SiP+p-l, ^ix-O, ?2:x-2.
4Л. a(x,+xy2)i+(y3+x1y)j+x2k,
S:P+/-1,
l>1:x-0,P2:x-3.
4.10. a—jd+jj+k, S:xa+yi«l,
^jtx—O, P2:x—5. jPjiz—0, P2:x— 1.
Найти поток векторного поля а через часть поверхности S, вырезаемую плоскостью Р (нормаль внешняя к замкнутой поверхности/образуемой данными поверхностями).
4.11. a-(x4-xp)i+(y-jx2)j+(z-3)k,S:p4-ya-P (х>0), Р:х-1.
4.11 a—yi—Jtj+k, (х>0\ Р:х—4.
4.1Х a-xyi-jpj+Зк, StP+p-x2 (х>0\ Р:х«1.
4.14. a-xzi+y4+(P--l)k, 3:Р+^-Р (х>0),/:х-4.
4.11 a-pxl—yPj+k, S:P+p-P (х>0), Р:х-5.
4.1Х a-(xx+y)i+(yx-Jt)j+(P--2)k, <S:P+p-P (х>0Х Р:х«3.
4.17. a-xyxl-Pxj+Зк, 3:Р+р-Р (х>0), /»:x-Z
4.18. a-(x+x7)l+(y-P)j+(x-l)k, S:P+/-P (х>0), Р:х-3.
4.19. a-(x+y)i+(y-x)j+(x-2)k, S:P+P-P (x>0), P:x-Z
420. a«-jd+yj+(z-2)k, S:P+p-P (*>0)> P:x-1.
421. a—(x+xx)i+>j+(x—P)k, S:P+p+P—4 (x>0), P:x—0.
421 a—xt4-(y+yp)j+(x—xp)k, Srx’+p+x2— 4, P:x—0 (x>0).
136
433. a-(x+z)i+(y+z)j+(z—x-y)k, <S:x3+y2+z3~4, P:z—O (z>0).
434. a-(x+xy)i+(y-j?)j+zk, 5:xa+ya+z3-l, P:z-0 (*>0).
435. a-(x+z)i+yj+(z-x)k, S:xa+y2+z3-l, P:z-0 (z>0).
436. a-xi+(y+yz)j+(*-/)k, Srx^+j^+z3-!, P:z-0 (z>0).
437. a-(x-y)i+(x+y)j+zk, Six2+/4^-1, P:z-0 (z>0).
438. a-(x+xr2)i+yj+(z-zx2)k,S:x2+y2+z2-9, P:z-0 (z>0).
439. a-(x+y)i+(y-x)j+zk, Six^j^+z2-^ P:z-0 (z>0).
430. a-(x+xj^)l+(y— yx*)j+zk, S:x3+ya+za—9, P:z»0(z>0).
431. a-xi+(y+z)j+(z—y)k, S:x2+y2+z2—9, P:z-0 (z>0).
Задача 5. Найти поток векторного поля а через часть плоскости Р, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).
5.1. a—xi+yj+zk, P:x+y+z-l.
53. a»2xi+yj+zk, P:x+y+z-l.
53. a-2xi+3yj, P:x+y+z-l.
5.7. a-xi+2yj+zk, P:x/2+y+z-l.
5.9. a-xi+yj+zk, P:x+y/2+z/3-l.
5.11. a-3jd+2zk, P:x+y/2+z/3-l.
5.13. a-xi+3yj-zk, Р-.хГЗ+у+Z/2-1.
5.15. a-xt-^xi+fizk.
P:x/2+y/3+z—l.
5.17. a-xi+yj+zk, P:2x+y/2+z-l.
5.19. a-xi+jj+2zk, P:2x+y/2+z-l.
531. a-xi+3)<j+8zk, P:x+2y+z/2—l.
533. a-xi+2yj+5rk, z P:x+2y+--1.
535. a—xi+yj+zk, P:2x+3y+z-l.
537. a-2xi+3yj+zk, P:2x-F3y+Z"»l.
539. a-xi+9yj+8zk, P:x+2y+3z-l.
531. a--xi+2H+zk, P:x+2y+3z-l.
53. a—yj+zk, P:x+y+z—l.
5A a«xi+3yj+2zk, P:x+y+z—l.
5Л. a—xi+yj+zk, РгхД+y+z-l.
53. a-jj+3zk, P:x/2+y+z-l.
5.10. a»2xi+^+zk> P:x+y/2+z/3-l.
5.12. a-2xi+3yj+zk, P:x/3+y+z/2—l.
5.14. a--2xi+yi+4zk, P:x/3+y+z/2-l.
5.16. a-2xi+5yj+5zk, P:x/2+y/3+z-l.
5.18. a-2xi+yj~2zk, P:2x+y/2+z-l.
530. a--xi+yj+12zk, P:2x+y/2+z-l.
53X a-xi-yj+6zk, P:x+2y+z/2-l.
534. a-xi+4>j+5zk,
536. a-2xi+jj+zk, P:2x+3y+z-l.
538. a-2xi+3yj+4zk, P:2x+3y+z-l.
530. a-8xi+llyj+17zk, P:x+2y+3z«l.
137 .
Задача 6. Найти поток векторного поля а через часть плос-1 октанте (нормаль образует острый
62. a-2jui+(7y+2)j+7xzk, Р:х+у/2+х/3»1.
кости Д расположенную в угол с осью Ох).
€1. a-7xt+(Sxy+2)j+4xA, /»:х+у/2+4х-1.
63. a-9xxi+j-3A, />:х/3+>+х«-1.
6Л. a-7jd+9xyj+k, Р:х+у/3+х-1.
6.7. a~xi+(xz—l)k, Р:2х+у/2+х/3-1.
Зя О. a-a-yj+yA, ?:л/3+у+я/4-1.
6.11. а-7ях!+2яу|+(7г+2)к, ?:х+у+х/2—1.
6.13. a-(3x-l)jd+(9»cy+l)j+6xzk,
6.4. а-(2х+1)1-Я+ЗяА, Р:х/3+>+2х-1.
6.6. аМ+З^+Пяхк, Р:х+у+х/3-1.
64k a«5xxi4-(9y+l) +4яЛ, р!х/2+у/3+х/2-1.
6.10. а«9ял!+(5у+1)1+2яА,
Р:Зх+у+х/9-1.
6.11 a-Kyj+(4-2j)k, 1»:2х+у/3+х/4-1.
6.14. а-ях!+^ jJ+(4-2x)k,
6.15. а-(5у+3)]+11кА, Р:х+у/3+4х-1.
6.17. a-™j+(l-2r)k, Р-.х/4+yfi +х-1.
6.16. a-(27x-l)jd+(34xy+3)j+20xrk,
Р:Зх+-+*«"1.
9
6.19. а«ях!+3+2я2к, Р:х/2+у/3+х-1.
620. а-4ях(+7^+(2г+1)к, Р:2х+у/3+2х—1.
621. a-3xjd+6xrf+10k, Р:2х+у+х/3-1.
623. a-(21a-l)jd4-62a>j+(l-2ju)k, Р:вх+у/2+х/3-1.
624. a-xxi+2x>j+2k, Р:х/2+у/4+ж/3-1.
626. a-7«xi+(4y+l)j+2xzk, Р:х/Э+2у+х—1.
627. а«6ях(+Э^+1(Ж, /»:2х+уД+х/3-1.
620. а-(я—l)xl+2xjj+(l—ях)к,
6.16. а-9яу]+(7г+1)к, Р:х+>+х—1.
621 а-»ях1—2И+к, Р:2х+у/6+я—1.
625. а-9ях!+2яу|+8к, Р:2х+8у+х/3—1.
138
639. a—-xi+njj+(4—2z)k,
J z P:x+-+--1.
3 4
630. a—7iud+4wyj+2(z+l)k, P:x/3+j/4+z—1.
631. а-5лх1+(1-2y)j+4ndc, P:x/2+4y+z/3 —1.
Задача 7. Найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).
7.1. a—(«*+2x)i+«’j+e,k, S:x+y+z—1, х—0,/-0, z—0.
7.1 a-(3za+x)l+(ex-2/)j+(2z-x>)k, S^+Z-z2, z-l,z-4.
73. a«(ta/+7x)i+(8inz—2>)j+(ex-2z)k, $:x2+y2+z2-2x+2.y+2z-2.
7.4. a«(coBZ+3x)i+(x-2^)j+(3z+/)k, S:z2-36 (x2*/), z-6.
73. a»(e’*—x)i4-(xz4-'3y)j4>(z+x2)k, sTlx+y+t—2, x—0, у0, z»0.
7.6. a-(6x—cosy)!—(e*+z)j—(2y+3z)k, S^+Z-z2, z-1, z-2.
7.7. a-(4x-2^)i+(lnz-4y)j+(x+3z/4)k, S:x2+/+z2-2x+3.
7Л. a-(l+^z)i+(4y—>/x)j+xyk, 5:z2-4 (x2+j>2), z—3.
7.9. a—(^/z—x)i+(x—ylj+Cy2—z)k, iS:3x—2p+z—6, x-0, y**0, z—0.
7.1®. a—(yz+x)i+(x2+y)j+(xj2+z)k, S:x2+y2+z2—2z.
7.11. a—(ea’>+x)f+(x~2>)j+(y2+3z)K S:x—y+z»l, x—0, y—0, z—0.
7.11 a-(5^-2x)i+(e*+3>)j+5/y+xk, S^+Z-z2, z-2, z-5.
7.13. a-(e*+x/4)i+0nx+j»/4)j+^k, 5:x2+ya+z2-2x+2>-2z-2.
7.14. a«0x-2z)i+(z-2y)j+(l+2z)k,S:z2-4 (x2*/), z-2.
7.15. a—(e,+2x)i+(x—y)j+(2z—l)k, S:x+2>+z—2, x—0, y—0, z—0.
7.16. a-(x+.y2)i+(xz+>')j+(5/Jc2 + * <S':x2+j>2— z2, z-2, z—3.
7.17. a-(e’+2x)i+(xz-y)i+(l/4)(«*»-z)k, S:x2+y2+z2-2y+3.
7.18. a-(7x+j)i+3xj+(3z+5x)k, S:z2-8 (x2+y2), z-2.
7.19. a«(8yz-x)i+(x2-l)j+(jgz-2z)k,S:2x+3y-z-6, x-0,^-0,z-0.
7.2®. a—(y+z2)i+(x2 + 3y)j+xyk, S:x2+>2+z2-2x.
731. a—(2yx—x)i+(xz+2y)j+(x2+z)k, S:y—x+z—1, x—0, y—0, z—0.
731 a—(smz+2x)i+(smx—3y)j+(siny+2z)k, <S:x2+j>2—t2, z-3, z—6.
731 a-(coez+x/4)i+(e*+j/4) +(--1 )k, S:x2+/+z2-2z+3.
736 a—(^/z+l+x)i+(2x+j)j+(smx+z)k, fz2—x2+y2,
(z—1.
735. a-(5x-6j)i+(llx2+2y)j+(x2-4z)k, {x+y+2z-2,
x—0, >—0, z—0.
7.26. a—(y2+z2+6x)l-F(e*—2y+x)j+(x+j»—z)k,
139
fxa+y2-xa,
(z—1, z—3. 1 1
737. a--(x+x)i+~(xz-y)j+(xy-2)k, 2 4
Six^+y^+z2—4x—2y+4x—8.
738. a-(3yr—xJi+Cx3—y)j+(6z—l)k, fx*-9 (x3+A
lz—3.
739. a-(yx-2x)i+(sinx+y)j+(x-2z)k,
{x+2y—3x—6,
xeO, >«O, z««(k
730. a—(8x+l)i+(zx—4y)j+(z*—z)k, 3:x2+ya+za-2y.
731. a—(2y—5x)i+(x—1)]+(2<Уху+2х)к, {2x+2y—z—4,
x-0, y-0, x-0.
Задача 8. Найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность S' (нормаль внешняя).
8.1. а-(х+х)1+(х+у)к, |ха+/-9, 1.x—х, X—0 (z>0).
83. a—2xl+2yj+zk,
{у-х2, У-4Х3, y-1 (х>0), ..
Х-у, Х-0.
83. a-(x+y)i+yj—хк,
8.7. а-2(х—у)1+(х—х)к, {х—ха+Зу*+1, х—О,
х2+у2—1.
83. a—zi—4yj+2xk, fx-x’+y2,
X—1.
8.11. a-8xi-2y|+xk,
fx+y-1, x-0, y-0,
•S: ( _
lx—xa+ya, x—0.
8.13. a«6;d-2yj-zk, fx-3~2(xa+ya), (x2-xa+ya (x>0).
8.15. a-(y+2z)i~yj+3xk,
83. a—2xl+xk, fx-3xa+2ya+l, l^+y2—4, x—0.
8.4. a—3x1—xj, fx—6—x3—y2, St<
lxa-xa+ya (x>0).
83. a—xl—(x+2y)j+yk, (xa+y2—1, x—0,
S. Л (x+2y+3x—6.
83. a—xi+xj—yk, (x-4-2(xa+y2X
S:\ (x-2(x2+y2).
8.10. a-4xi_2yi~zk,
{3x+2y—12, 3x+y—6, y«“0, x+y+x—6, x—0.
8Л2. a—d+xj—zk, (4x— xa+ya, (x—4.
8.14. a-(x+y)i+(x—x)i+&, fx2+4y2—4, (3x+4y+x—12, x—1.
8.16. a-(y+6x)i+5(x+x)j+4yk,
140
(3z-27-2(x2+y2), (z2««X2 + y2 (z>0).
8.17. »~yi+5yj+zk,
s
(z—x, z«0 (z>0).
8.19. a~j4+(x+2>)j+J&, {x2+y2-2x,
Z-X2*/,
:«0.
{y«x, y««2x, j—2, z«x2+/1 z—0.
8,18. a-zi+(3j~x)j-zk, {z»»x2+>^4*2, z—O.
8.20. a—(x+y+z)i+(2y—x)j+(3z+.y)k, rj«x, y»2x, x»l,
S.-Jz-x2^-/, lz-0.
8.21. a-7^+zj+(x-j'+5z)k, {z-x2*/,
z»?+2/,
J“X, >*2x, x»l.
8.22. a-17jd+7yJ+llzk, ri^xt+^,
S;Jz-2(x2+/),
^«x2, y—x.
833. a-jd-2jj+3zk, fx2+j2-z,
S:<
(zi-2x.
834. a-(2z+y)j+(y+2z)k, (S.Jz^2-4^x2+^’ tz—^x2^-^2).
8Л5. a-(2>-3z)i+(3x+2z)j+(x+>+z)k,8J6. а--2Я+^+(*+У)Ъ
£. fx2+j^—2j,
—x—y, z»«0. (z«*x2+.y2, z«0.
8.27. a-(2>- 15x)i+(z—y)j-(x-3y)k, 8J8. a-(y+z)i+(x-2y+z)j+zk.
рг=«3х2+у2+1, z»0, 1
^x2^-^2*»-.
.z—x2^-^2, z—0.
8.29. a-(3x->—z)i+3yj+2zk, Szz—x2^/2, z»2y.
8Л0. a«(x+y)i+O’+z)j+(z+x)k, {y«2x, >«»4x, x—1,
z—y2, z—0.
831. a-(*+*)i+A fz-8—x2— y2,
M u x
(z-x’+y2.
Задача 9. Найтц поток векторного поля а через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).
9.1. a-x2i+xj+xzk,
rz-x2^-^, z—1,
1.x—0, (первый октант>.
9.2. a-(x2+y2)i+(y2+x2)j+(y2+z2)k,
fx2^-/-!,
<z«0, z«l.
141
93. a—A+y’j+z2^ (x^y’+z2-4, l-^+Z-z2 (z>0).
93. a—xzi+zj+yk, fx2+y2—1 — z, <S:{
(z-0.
9.7. a-x’i+y’j+zb Jj^+Z+x2-2» lz—0 (z>0).
93. a-(zx+y)i+(zy-x)j-(x2+y2)k, fx2+y2+z2«l, [z-0 (z>0).
9.10. a—y2xi+z2yj+x2zk, S:x2+y2+z2 —1.
Ml. a-x’i+y’j+z2^ {x2+y2+z2-l, x-0, y-0, z-0 (первый октант).
Ml a-fzx+yH+fxy-zM+^+yz)^
SJxa+?-2» (z—0, z-1.
9.14. a—zyH+x’yj+zk, {x2+y2-l, Z-0, z-1, x-0, y-0 (первый октант).
MS. a—jgl+yzj+zxk, (x2+y2+z2-16, St \ (x2+y2—z2 (z>0).
M7. a-x’i+y’j+Zzk,
9.4. a—x’i+yj+zk, |xa+y2+za—1, (.z-0 (z>0).
9.6. a—3xzi—2xj+yk, fx+y+z-2, x-1, lx—0, y-0, z-0.
9.8. a—x’i+y’j+z’k, S:x2+ya+za —1.
9.12. a-x2i+xjj+3zk,
lz-0, z-Z
M9. a-jQl+y^+z^, {xa+/+z2-l, x-0, y—0, z-0 (первый октант).
9Л1. a-(zx+y)i-(2y-x)j-(xa+y2)k, (x2+y2+za — 1, (z-0 (z>0).
932. a-(xa+xy)i+(y3+yz)j+(z2+xz)k,
9.16. a-3x3i-2x3jj+(2x-l)zk, (xa+y2-l, (z—0, z—1.
9.18. a—jg4+yjj+xzk,
(x’+y2- 4, (z-0, z-1.
930. a-zi+yzj-xyk,
(x’+y2-4, lz-0, z-1.
142
Jx2+y2+z2»l, p^+y2—z2 (z>0).
9.23. a-3x2l-2x2yj+(l-2x)k, (X^y2 —1, S:{
(z—0, z—1.
935. a-(y2+xx)i+(yx-z)j+(yz+x)kJ
sJx’+/-1.
lz—О, z—y2.
934. a—yi+yj+yzk, {z-x’+y2, z-1,
x-0, y-0
(первый октант).
937. •-Я+ад+Зх’к, (х^+у2-! — х, S:< lz-0.
9.29. а-у2Я+х2у|+хэк/3, fx2+y2+z2-l,
Si ( [z—0 (z>0).
931. •-(y2+z2)i+(xy+y2)j+(xz4-z)k,
5:(x’+y’"1' lz—0, z—1.
934. a-x4
{z-l-x-y, x-0, y—0, z—0.
938. а-гхЯ+гхИ+Рк, {X2 4-y2 +z*—Ji, z—0 (z>0).
930. a-— xi+2yj+yzk,
Задача 10. Найта работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N.
10.1. г-^-гу^+Су’-гхН Lt отрезок MN, М (-4,0), Л (0,2).
103. F-(х2+2у)1+(у2+2х)Х
Lt2---—у.
8
Л/(-4,0),^(0,2).
103. F-x>i-/j, £:ха+уа-4 (х>0, у>0), М (2,0), N (0,2).
10.7. 1-хЪ4~Л Lt отрезок MN, M(-l,0),N(0.1).
10.9. F-(x+y)i+(x-y)l
М(!,0)^(0,3).
10.11. F-(xa+ya)i+(xa-у2)!
loi г-^+гуЯ+о^+гх)), Lt отрезок MN, М (-4,0)^(0, 2).
104. F—(x+y)i+2$j,
L:xa+y2-4 (у>0),
М (2, OX N (—2,0).
104. F-(x+y)i+(x-y)j, Liy-x2, M(-l, 1)^(1, IX ЮЛ F-(2лу-у)1+(х2+х)К Lix’+y2—9 (у>0), М(3,0),Х(-3,0).
10.10. F-yi-zj,
Lix^y2—1 (у>0),
М (1,0), N (-1,0Х
10.12. F->4-*X
143
{х, 0<х<1;
2-х, 1<х<2;
Л/(2,0), N (О, 0).
10.13. К-ХЯ+2Я, Lex’+y3*! (x>0,y>0), М(1,0), У (О,1),
L:x3+y3-2(y>0),
10.14. F->4-xj, L-^+v3-! fv>01
10.15. F-(xa+y3)(l+2i), L.*+?~R* 0>0), М(Л,0),*(-Л0).
10.16. F-(x+y>/xi+7)|+(F-*7^+/)i»
L:x3+ya—l (y>0), M(l,0),N(-l,0).
10.17. F-x3y/-x/j, L:xa+ya-4 (x>0> j»>OX M (2,0), N (0, 2Y_ _____
1M8. F-(x4jV^+/)|+0'->/xa+ya)i» L:xa+ya-16(x>0,y>0X A/(4,0,)N(0,4).
10.10. F-/i-x4 Lex3+/-9 (x>0, y>0), M(3,0), N(0, 3).
1021 F-(xa+/)i+/j, L: отрезок MN, М(2»0),Я(0,2).
1023. F-Cy’-^l+flxF+xH Lex3+^-9 (y>OX M(3,0XAT(-3,0).
' 10Л5. F-(xy-/)l+j4,
L:y-2x*, M(0,0),N(l,2X
10J7. F-(xy-x)I+—j, 2
L.y-bjx.
10.20. F-(x+y)3i-(x3+y3)j, LeorpeaoKMN, M(l,0),X(0,1).
in ?,?, F-x3^
Lex3+/-9 (x>0, y>OX A/(3,0,), N(0,3).
1024. F-хД L:>» sin x, M(x,0XN(0,0).
1026. F-xi+Л
L e отрезок M(l,0XX(0.3).
1020. F--xi+jt
Ьех’ч-—-1 (x>0,»0\
9
Af (0,0), Я (1,2).
1029. F-->i+xj,
M(0,0), N(2,8X
M(l,0),N(0,3).
1020. F-(xa-/)«+(**+/)i>
L:—+—«l (y>OX 9 4
M(3,0),tf(-3,0).
1021. F-(x-j)i+j, L:xa+y3-4 (y>0\ M (2,0), N (—2,0).
144
Задача 11. Найти циркуляцию векторного поля а вдоль контура Г (в направлении, соответствующем возрастанию параметра Г).
11.1. a-yi-xj+z2k,
.z—sin/.
113. a-(y-z)i+(z-x)j+(x-y)k, {х—cos/, у—sin/,
z—2 (1— cos/).
113. a-(y-z)i+(z-x)j+(x-y)k, {x—4coe/, y»4sin/,
z—1—сое/.
11.7. a-2rf~jg+yk, {x—2coe/, у—2 sin/,
z«l.
11.9. a—xi+z^+yk, {х-cos/, x-2sin/,
z-2cos/—2 sin/—1.
11.11. a-—xaysi+2j+xzk, fx—^/zcoel,
z—1.
11.13. a-zi+y^j-xk,
{x—>/2 сое/, y—2sin/, z—5/2 cos/.
11.15. a-jd-i^j+yk,
(x-(cos 0/2, y-(sin 0/3,
|z-co8 /— (sin 0/3—1/4.
11.17. *--zi-xj+xzk, {x»5coe/, у—5 sin/,
z»4.
11.19. a-(y-z)i+(z—x)j+(x—y)k, {х-Зсое/, y—3sin/,
z«2 (1—cos/).
1131. a—xzi+xj+z2k, {x—cos/, y—sin/,
z— sin/.
11.23. а-74-xj+yA,
113. a—— xay3i+j+zk,
{x—^4cos/, y—^/4sin/, z—3.
11Л a-x^+yj—zk, {x—coer, y»«(^sin0/2, z—(-^2 cos 0/2.
11.6. a-2yi-3xj+xk, {x*2coer, y»2sinc
z-2—2 cos/—2 sin/.
ИЛ. a—yi—xj+zk, {x-сое/, у»шг,
z»3.
11.10. a-3yi-3xj+xk, {x—3coe/, y»3sin/,
z—3—3cos/—3sin/.
11.12. a*6zi—xj+xyk, {x-Зсов/, y—3sin/, z«“3.
11.14. a-xi+2z3j+yk, {х—coe/, y—3sin/, z-2cos/-3sin/—2.
11.16.Aa-4yi-3xj+xk,
)х—4сов/, у—4sin/, z-4—4 cos/—4 sin I.
11.18. a—zl+xj+yk, fx*2cos/, y«2sinf,
z—0.
ИЗО. a-2yi-zj+xk, {х«сов/, у—sin/,
z—4—cos/—sin/.
1132. a--x2y’i+3j+yk, {х-cos/, y—sin/,
z-5.
1134. a-xji+jd+Zk,
6—20'7
145
{х—6 cos r, у—6 sin t, z-1/3.
1131 a-xi-z^+yk, {x—2cost, у—3 tint, z—4cosf—3sint—3.
1131 a—(у—z)l+(z—x)j+(x—y)k, e—2oosr, y—2sint,
—3 (1—cost)-1137.
(x-(cos 0/3, y-(mn0/3, [z—8.
1131 a-jd-3x3j+yk, {x—cost, у—4 sin t, z-2cost—4sin/+3.
1131 a—xi-2z2j+yk, {x—3cost. y—4smt, x—6 cost—4smt+l.
1131. —уЦЗ-Зх}+&, {x—2 cost, y—2mt, x-l-2cost—2 star.
x—cost, у—tint, Z at tint.
ИЗО. а--х2уЧ+4/+Л, {x-2 cost, y—2tiar, z—4.
Задача IX Найти модуль циркуляции векторного поля а вдоль контура Г.
111. a-^-yJi+xj+k, г J*2*?-1.
(,Х«"1.
Ill a~yd+2x4+xjk, г |ха+/+х’-25, 1лса+/“9 (*>0).
125. a-(x-y)i+xj-A,
г Г-*я+/-1» lz—5.
117. a->jd+2x4+/k, fxa+/+z,-25, lx2 +^-16 (x>0).
125. a-ji+(l-x)j-A, p f*2+ya+H-»4t lxa+y4-l fr>0).
1111. a-4jd+2j-xyk, r (x-2 (x2+/)+l, U-7.
Ill a—xxi—j+yk, r (z-S (xa+/)-l, (z—4.
114. a—xi+yzj—xk, r Jjc’+Z-1.
(x+y+z-1.
Ill a— ji—xj4-z*k, Jz-3 (xa+/)+l, (z—4.
Ill a—xyi+>^j+xA, r.Pf,+>2“9’ lx+/+z—1.
1110. a-ji-xj+z2^
Г:|Ха+У’“1, (z—4.
1111 a-2yi-3^+z2k, p p^+y2—z, (z—1.
146
1X13. а« — 3zi+y2j+2yk, р^+у2—4, ’ (x-3y-2z-l.
1X15. a-2yi+j-2yzk,
f^+y2—Z2"©, z«X
1X17. a-xzi-j+yK {x2+y2+z2«4,
z«l.
1X19. a—4xi-yzj+xk,
r fx2+>2-1, (x+y+Z—1.
1X21. а-Л+З^+Л, Cz-x2+y2—1, lz-3.
1X23. a-(2-xy)i-y^j-xzk,
r. fx2+/"4» (X+y+Z—1.
1X25. a-ji—xj+2zk,
{x2-hy2----0,
4
z«X
1X27. a-yi—Txj+z2!^
r fz-4 (x2+y2)+2, (z«6.
1X29. a-(x+y)i-xj+6k, fx^+y2—!,
rJ
lz«X
1X31. a—yzi-xzj+xyk, fx2+y2+z2«9,
Г (х2+у2-9.
1X14. a-2yi+5zj+3xk, f2x2+2y2-l, (x+y+z«3.
1X16. a-(x—y)i+zj+z2k, p^+y2—4z2—0,
Г:< 1
lz«-.
2
1X18. a-^yzi+xq-x2!, Jx2+y2+z2««25, lx2+y2-9 (z>0).
1X20. a--ji+2j+k, Jx2+y2—z2—0* lz«l.
1X2X a«*2yzi+x2j+y2k, J’x24-y2+z2-25, 1-^+У2-16 (t>0).
1X24. am-ji+xj+Sz’k, Jx2+y2+z2«9, (V+y2-! (z>0).
1X26. a-x2i+yzi+2zk,
Г fx2+ya+z2-25, IZ“4.
1X28. a-3zi-2>j+2yk, {x2+y2—4,
2x—3y—2z—l.
1X30. a-4i+3xj+3xzk,
Jx2^-^2—z2«0, (z»3.
IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Теоретические вопросы
1. Векторы. Линейные операции над векторами.
2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
3. Определители, их свойства.
147
4. Векторное произведение. Свойства. Геометрический смысл.
5. Смешанное произведение, его свойства. Геометрический смысл. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.
6. Плоскость. Уравнение плоскости.
7. Расстояние от точки до плоскости.
8. Уравнения прямой в пространстве. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.
Теоретические упражнения
1. Пусть векторы а и Ъ не коллинеарны и ЛВ=аа/2, ВС=4(/?а—Ъ), CD=—4/Л), ЛЛ=я4-аЪ. Найти а и /7 и доказать коллинеарность векторов ВС и DA
2. Разложить вектор s=a4-b4-c по трем некомпланарным векторам m=a4-b—2с, п=а—b, р=2Ь4-Зс.
3. Найти угол между единичными векторами е£ и е2, если известно, что векторы а=е14-2е2 и Ь=5е1—4е2 взаимно перпендикулярны.
4. Доказать компланарность векторов я, b и с, зная, что
1аЧ+М4 Ы=0.
5. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки (х2, у., z.) и (х2, у2, z2) перпендикулярно плоскости Ax+By+Cz+D=Q, можно записать в виде
X-Xj f-Л Z-Zj
Xi-xt yt-yi x2~xt -О
АВС
6. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей, через пересекающиеся прямые
можно записать в виде
Х-Х1 У~“У1
h lx
х-х%
=0.
7. Доказать, что уравнения прямой, проходящей через точку (xi> У1» zi) параллельно плоскостям Л1х4-В£у4-С1х4-1>1я0 и Л2х+Б2у4-С2х4-1>2=0, можно записать в виде
x-xj y-у, X-Xt
148
8. Доказать, что необходимым и достаточным условием принадлежности двух прямых
y_yt Х-Х1 у-уг X-Z2
---------в--------- ц-»-—---- /t----------------------------лг l2 m2 я2
одной плоскости является выполнение равенства
Xj-X, у2-у2 h т1
Za-Zi
"1
=0.
12 т2 я2
9. Доказать, что расстояние от точки А до прямой, проходящей через точку В и имеющей направляющий вектор S, определяется формулой d=|[S, ЛД]|/|8|.
10. Даны две скрещивающиеся прямые, проходящие соответственно через точки A (xlt ylt zt) и В (х2, У2, z2). Их направляющие векторы Sx и S2 известны. Доказать, что расстояние между ними определяется формулой d==IS^^JJI/jfSiSJ |.
Расчетные задания
Задача 1. Написать разложение вектора х по векторам р, q, г.
1.1. х-{-2»4, 7), р-{0,1, 2}, q-{l, 0, 1}, г-{ -1, 2,4}.
1Л. х-{6,12, -1}, р-{1, 3, 0}, <-{2, -1,1}, r-{0, -1, 2}.
1Л. х«{1, -4, 4}, р-{2,1, -1}, <-{0, 3, 2}, г-{1, -1, 1}.
1.4. х«{-9, 5, 5}, р-{4,1, 1}, q-{2, 0, -3}, г-{-1, 2, 1}.
1Л. х-{-5, -5, 5], р~{-2,0,1}, ,-{1, 3, -1}, г-{0,4,1}.
1.4. х-{13, 2, 7}, р-{5,1, 0}, <-{2, -13}, г-{1,0, -1}.
1.7. х-{-19, -1, 7}, р-{0,1, 1}, {—2,0,1}, г—{3, 1, 0}.
1Л. х-{3, -3,4}, р-{1,0, 2}, <-{0,1, 1}, r-{2, -1,4}.
1.9. х-{3, 3, -1}, р-{3,1, 0}, q-{~l, 2,1}, г-{-1, 0, 2}.
1.101 х-{-1, 7, -4}, р-{-1, 2,1}, <-{2,0, 3}, г-{1,1, -1}.
1.11. х-{6, 5, -14}, р-{1,1,4}, <-{0, -3, 2}, г-{2»1, -1}.
1.1Х х-{6, -1, 7}, р-{1, —2, 0}, <-{-1,1, 3}, г—{1, 0,4}.
1.13. х-{5,15, 0}, р-{1,0, 5}, q-{-1, 3, 2}, r-{0, -1, 1}.
1.14. х-{2» -1, И}, р-{1,1, 0}, <-{0,1, —2}, г-{1,0, 3}.
1.15. х-{11, 5, -3}, р-{1,0, 2}, q-[-l, 0, 1}, г-{2, 5, -3}.
1.14. х-{8,0, 5}, р-{2,0,1}, q«{l, 1, 0}, r-{4, 1, 2}.
1.17. х-{3,1, 8}, р-{0,1, 3}, q-{l, 2, -1}, г-{2» О, -1}.
1.Ш х-{8,1, 12}, р-{1, 2, -1), q-{3,0, 2}, г-{-1,1,1}.
1Л9. х-{-9, -8, -3}, р-{1,4,1}, q-{-3, 2,0}, г-{1, -1, 2}.
1.2 Д х-{-5, 9, -13}, р-{0,1, -2}, q-{3, -1, 1}, r-{4,1, 0}.
L2L х-{-15, 5, 6}, р-г{0, 5,1}, q-{3,2, -1},г-{-1,1,0).
1.21 х-{8,9,4}, р-{1,0, 1}, q-{0, -2,1}, г-{1, 3, 0}.
1.23 . х-{23, -14, -30}, р-{2» 1,0}, <-{1, -1, 0}, г-{-3, 2, 5}.
1.24 х-{3,1, 3}, р-{2,1, 0}, Ч-{1,0,1}, г-{4, 2, 1}.
149
135. х-{-1, 7, 0}, р-{0, 3, 1}, q-{l, -1, 2}, r-{2, -1, 0}.
136. х-{11, -1, 4}, р-{1, -1, 2), q=»{3, 2, 0}, г-{-1, 1, 1}.
137. х-{—13, 2, 18}, р-{1, 1, 4}, q-{-3, 0, 2}, г-{1, 2, -1}.
138. х-{0, -8, 9}, р-{0, — 2, 1}, q»{3,1, -1}, г-{4, О, 1}.
139. х-{8, -7, -13}, р-{0, 1, 5}, q-{3, -1, 2}, г-{-1, 0,1}.
130. х-{2, 7, 5}, р-{1, 0, 1}, q-{l, -2, 0}, г-{0, 3, 1}.
131. х-{15, -20, -1}, р-{0, 2, 1}, q-{0,1, -1}, г-{5, -3, 2}.
Задача 2. Коллинеарны ли векторы ct и с2, построенные по векторам а и Ь?
2.1. а-{1, -2, 3}, Ь-{3, 0, -1}, ct-2a+4b, c2-3b-а.
23. а-{1,0, 1}, Ь-{-2, 3, 5}, q-a+Zb, c2-3a-b.
23. а-{-2,4, 1},Ь-{1, -2,7},с1-5а+ЗЬ,с2-2а-Ь.
2А а-{1,2, -3}, Ь-{2, -1, -1}, с^а+ЗЬ, са-8а-Ь.
23. а-{3, 5, 4}, Ь-{5, 9, 7}, ct--2a+b, Са-За-2Ь.
23. а—{1,4, -2}, Ь-{1,1, -1}, Ci-a+b,e2«4a+2b.
2.7. а-{1, —2, 5},b-{3, -1,0}, с1-4л-2Ь, Са-Ь-2*.
23. а-{3,4, -1}, b-{2, -1,1}, е^ба-ЗЬ, c2-b-2a.
23. а-{-2, -3, -2},b-{l,0,5},c1-3a+9b»ca--a-3b.
2.1 0. а-{-1,4, 2}, Ь-{3, -2,6}, q-га-Ь, с2-ЗЬ-6а.
211. а-{5, 0, -1}, Ь-{7, 2, 3}, Ci»2a-b, Cj-ЗЬ-ба.
2.12 . а-{0, 3, —2}, Ь-{1, -2,1}, q-5a-2b, ^-За+ЗЬ.
2.13 . а-{-2» 7, -1}, Ь-{-3, 5, 2}, c2-2a+3b, са-За+2Ь.
2.14 . а-{3, 7, 0}, Ь-{1, -3,4}, С1-4а-2Ь, е^-Ь-га.
2.15 . а-{-1, 2, -1}, Ь-{2, -7,1}, ct-6a-2b, ca-b-3a.
2.16 . а-{7, 9, -2}, Ь-{5,4, 3}, ct-4a-b, са-4Ь-а.
2.17 . а-{5, 0, —2}, Ь-{6,4, 3}, ^-ба-ЗЬ, Cj-бЬ-Юа.
2.18 . а-{8, 3, - 1},Ь-{4,1, 3}, С1-2а-Ь, са-2Ь-4а.
2.19 . а-{3, -1, 6}, Ь-{5, 7,10}, ct-4a-2b, Са-Ь-га.
230. а-{1, -2, 4}, Ь-{7, 3, 5}, q-ба-ЗЬ, Са-Ь-2а.
231. а-{3, 7,0}, Ь-{4, б, -1}, C1-3a+2b, Cj-Sa-Tb.
232. а-{2, -1, 4}, Ь-{3, -7, -6}, c2-2a-3b, са-За-2Ь.
233. а-{5, -1, -2},b-{6,0,7},e1-3a-2b,ca«4b-6a.
234. а-{-9, 5, 3},Ь-{7,1, -2}, <ч»2а-Ь, ^-За+Л.
235. а-{4, 2,9}, Ь-{©, -1, 3}, ct-4b-3a, Са-4а-ЗЬ.
236. а-{2, -1, 6},Ь«{-1, 3, 8},Ci-5a-2b, с2-2а-5Ь.
237. а-{5, 0, 8}, b-{-3,1, 7}, Cj-3a-4b, Ca-12b-9a.
238. а-{-1, 3,4},b-{2, -1, 0}, C1-6a-2b, Ca-b-За.
239. а-{4,2, -7},b-{5,0, -3}, q-a-ЗЬ, ^-бЬ-га.
230. а-{2,0, — 5}, b—{1, -3,4}, С1-2а-5Ь, Са-За-гЬ.
231. а-{-1, 2, 8}, Ь-{3, 7, -1}, С1-4а-ЗЬ, с^Ь- 12а. _ ,
Задача 3. Найти косинус угла между векторами АВи АС
3.1. Л (1, -2, 3), В (0, -1, 2), С (3, -4, 5).
33. А (0, -3, 6), В (—12, -3, -3), С (-9, -3, -6).
33. А (3, 3, -1), В (5, 5, -2), С (4, 1,1).
ЗА А (-1, 2, -3), Л (3,4, -6), С(1,1, -1).
150
Х5. А (-4, —2, 0), В (-1, —2, 4), С (3, -2, 1).
3.6. А (5, 3, -IX В (5, 2, ОХ С (6,4, -1).
3.7. А (-3, -7, —5Х В (О, -1, —2Х С (2, 3, 0).
3.8. А (2, -4, 6), В (0, —2, 4Х С (6, -8, 10).
3.9. А (О, 1, -2Х В (3, 1, 2Х С (4, 1, IX
ЗЛО. А (3, 3, -IX в (1, 5, -2), с (4, 1, IX
3.11. А (2,1, -IX в (6, -1, -4Х с (4, 2, IX
3.12. А (-1, —2, IX В (-4, —2, 5), С (-8, -2, 2Х
3.13. А (6,2, -ЗХ в (6, 3, -2), с (7, 3, -ЗХ
3.14. А (О,0,4), В (-3, -6, IX С (-5, -10, -IX
3.15. А (2, -8, -IX В (4, -6, ОХ С (-2, -5, -IX
3.16. А (3, -6, 9), В (О, -3, 6), С (9, — 12,15Х
3.17. А (0, 2, - 4), В (8, 2, 2), С (6, 2,4).
3.18. А (3 3, -IX В (5, 1, -2Х С (4,1, 1).
3.19. А (-4, 3, ОХ В (0,1, ЗХ С (—2, 4, -2).
3.20. А (1, -1, ОХ В (—2, -1,4Х С (8, -1, - IX
3.21. А (7, О, 2), В (7,1, ЗХ С (8, -1, 2).
3J2. А (2, 3, 2), В (-1, - 3, - IX С (-3, -7, -ЗХ
3.23. А (2, 2, 7), В (О, 0, 6), С(—2, 5, 7).
3.24. А (-1, 2, -ЗХ ДО, 1, -2), С (-3,4, -5Х
3.25. А (О, 3, -6), В (9, 3, 6), С (12, 3, ЗХ
3J6. А (3, 3, -IX В (5, 1, -2), С (4, 1, -ЗХ
3.27. А (-2,1, IX В (2, 3, -2), С (О, О, ЗХ
ЗД8. А (1,4, -IX В (—2, 4, -5Х С (8,4, ОХ
3.29. А (0,1, ОХ В (0, 2, IX С (1, 2, ОХ
3-30. А (-4, 0,4), В (-1, 6, 7), С (1,10, 9).
331. А (-2,4, -6), В (0, 2, -4), С (-6, 8, -10).
Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ъ.
4.1. а-р+2<,Ь->Зр-ф |р|-1, !ч|«2, (рф-я/б.
4Л a-3p+q,b-p-2q;|p|-4, |q|-1, (Д)-я/4.
43. а-р-3% b-p+2q; |р|-1/5, |q|-1, (Д)-я/2.
4А a-3p-2q, Ь-р+5« |р|-4, |q|-l/2> (Д)«5я/6.
43. а-р-2$, Ь-2р+« М-2, W-3, (Д)-Зя/4.
4.6. a«p+3q, b-p~2q; |р|-2, W-3, (Д)-я/3.
4.7. a-2p-q,b-p+3<; |р|-3, Ю|-2» (Д)-я/2.
4Л. а-4р+ч, b-p-q; |р|-7, |<|-2, (Д)-я/4.
4.9. а-p-4ч, Ь-Зр+q; |р|-1, |q|-2, (Д)-я/6.
4.10. а-р+4<, Ь-2р-ч; |р|-7, jql-2, (м)-а/3.
4.11. а-Зр+2% Ь-р-в |р|-10, Ш-1, (Д)-я/2.
151
4.12. a-4p-q, b-p+2q; |p|-5, |q|-4, (Д)-я/4.
4.13. a-2p+3q,b-p-2q; |p|-6, |q|-7, (pq)-«/3.
4.14. a-3p-q, b-p+2q; |p|-3, |q|-4, (pq)-x/3.
4.15. a-2p+3q,b-p~2q;|p|-2, |q|-3, (Д)-я/4.
4.16. a-2p-3q,b-3p+q; |p|-4, |q|-l, (pq)-a/6.
4.17. a-5p+q, b-p-3q; |p|-1, |q|—2» (pq)-«/3.
4.18. a-7p-2q,b-p+3« W-1/2, |q|-2, (м)-я/2.
4.19. a-6p-q, b-p+ф 1Й-3, |q|-4, (м)-я/4.
420. a-10p+q, b-3p-2q; |p|-4, |q|-l, (pq)-n/6.
421. a«6p-q, b-p+2q; |p|-8, |q|-1/2, (Д)-я/3.
422. a-3p+4q, b-q-p; |p|-2,5, |q|-2, (м)-я/2.
423. a-7p+q, b-p-3q; |p|-3, |q|-1, (м)-Зя/4.
424. a-p+3q, b-3p-q; |p|-3, |q|-5, (Д)-2я/3.
425. а-Зр+q, b-p-3q; |p|-7, |q|-2, (зд)-я/4.
426. a-5p-q, b-p+q; |p|-5, |q|-3, (pq)-5x/6.
427. a-3p-4q, b-p+3q; |p|-2, |q|-3, (Д)-я/4.
428. a»6p-q, b«5q+p; |p|-l/2, |q|-4, (м)-5я/б.
429. a-2p+3q, b-p-2q; |p|-2, |q|-l,
420. a-2p-3q, b~5p+« |p|-2, |q|-3, (Д)-я/2.
421. a-3p+2q,b-2p-« |p|-4, |q|-3, (м)-Зя/4.
Задача 5. Компланарны ли векторы а, Ьи с?
5.1. а-{2, 3, 1}, Ь-{-1, О, -1}, е-{2, 2, 2).
52. а-{3, 2, 1}, Ь-(2, 3,4}, с-{3, 1, -1}.
52. а-{1,5,2},Ь-{-1,1, 1, 1).
5А а-{1, -1, —3}, Ь»{3, 2, 1}, с-{2» 3,4}.
52. а-(3» 3, !},>-{!, -2,1}, с-{1, 1,1).
5Л а-{3,1, -1},Ь-{-2, -1,0}, с-{5,2, -1}.
5.7. а-{4, 3, 1}, Ь-{1, -2, 1}, с-{2, 2, 2}.
5.8. а-{4, 3,1), Ь-{6, 7,4}, с-{2» О, -1}.
5Л а-{3, 2, 1}, Ь-{1, -3, —7}, с-{1, 2, 3}.
5.10. а-{3, 7,2}, Ь-{-2,0, -1}, с-{2, 2, 1}.
5.11. а-{1, -2, 6}, Ь-{1,0, 1}, е-{2, -6,17}.
5.12. а-{6, 3,4}, Ь-{-1, —2, -1}, с-{2> 1, 2}.
5.13. а-{7, 3,4}, b-{-1, -2, -1}, с-{4, 2, 4}.
5.14. а-{2, 3, 2}, Ь-{4, 7, 5}, с-{2, О, -1}.
152
5.15. а-{5, 3,4), b-{-1,0, -1}, с-{4, 2,4}.
5.16. а-{3, 10, 5), Ь-{-2, -2, -3}, с-{2» 4, 3).
5.17. а—{—2, —4, -3}, Ь-{4, 3, 1), с-{6,7,4}.
5.1Л а—{3, 1, -1}, b—{1,0, -1}, с—{8, 3, -2}.
5.1Э. а-{4, 2,2}, Ь-{-3, -3, -3}, с-{2, 1, 2}.
520. а-{4, 1, 2), Ь-{9, 2, 5}, с-{1,1, -1).
5Д1. а-{5, 3,4}, Ь-{4, 3, 3), с-{9, 5, 8}.
5Л1 а-{3, 4,2}, Ь-{1, 1,0}, с-{8,11, 6}.
523. а-{4, -1, -б}, Ь-{1, -3, -7}, с-{2, -1, -4}.
524. а-{3, 1,0}, Ь-{-5, -4, -5}, с-{4, 2, 4).
5.25. а-{3, О, 3}, Ь-{8, 1, 6}, с-{1, 1, -1}.
526. а-{1, -1,4},Ь-{1,0,3},с-{1, —3,8}.
5.27. а-{6, 3,4}, Ь-{-1, -2, -1}, с-{2, 1, 2}.
5.28. а-{4, 1,1}, Ь-{-9, -4, -9}, с-{6, 2, 6}.
5.29. а—{—3, 3, 3}, Ь-{-4, 7, 6}, с-0, О, -1}.
530. а—{—7,10, —5}, Ь—{О, -2, -1},с-{-2»4, -1}.
531. а—{7,4, б}, Ъ-{2, 1,1}, с-{19,11,17}.
Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках Ах, Л2, А3, А4 и его высоту, опущенную из вершины на грань
6Л. Ах (1, 3, б), А2 (2, 2, 1), А3 (-1, 0,Ц Л4 (-4, б, -3).
6.2. Ах (-4, 2, б), А2 (2, -3,01 А3 (—10, 5, 8), Л4 (-5, 2, -4).
63. Ах (7, 2, 4), Ал Ch ~ 1, -2), А3 (3, 3, 1), Л4 (-4, 2,1).
6.4. Ах (2, 1,4Х Ал (-1, 5, -2), А3 (-7, -3, 2), Л4 (-6, -3, б).
63. Ах (-1, -5, 21 А2 (—6, 0, -3), А3 (3, б, -31 Л4 (-10, б, 7).
6.6. Ах (0, -1, -1), А2 (—2, 3, 5), А3 (1, -5, -91 Л4 (-1, -б, 3).
6.7. Ах (5, 2, 0), А3 (2, 5, 0), А3 (1, 2,4), Л4 (-1,1,1).
6Л. Ах (2, -1, -21 А2 (1, 2, 1), А3 (5, 0, -61 Л4 (-10, 9, -7).
63. Ах (—2, 0, -41 Ал (-1, 7, 11 А3 (4, -8, -41 Л4 (1, -4, б).
6.10. Ах (14, 4, 5), А2 (-5, -3, 2), А3 (-2, -б, -3), Л4 (-2, 2, -1).
6.11. Ах (1, 2,0), А2 (3, 0, -3), А3 (5, 2, б), Л4 (8, 4, -9).
6.12. Ах (2, -1, 2), А2 (1, 2, -Ц А3 (3, 2,1), Л4 (-4, 2, 5).
6ЛЗ. Ах (1, 1, 2), А2 (-1, 1, 3), А3 (2, —2, 4), А4 (-1,0, -2).
6.14. Ах (2, 3, 1), А2 (4, 1, -2), А3 (6, 3, 7), Л4 (7, 5, -3).
6.15. Ах (1, 1, -1), А2 (2, 3, 1), А3 (3, 2, 1), А4 (5, 9, -8).
6.16. Ах (1, 5, -7), А2 (-3, б, 3), А3 (-2, 7, 31 Л4 (-4, 8, -12).
6.17. Аг (-3, 4, -71 Ал (1, 5, -4), А3 (-5, -2, 0), А4 (2, 5, 4).
6.18. А, (-1, 2, -31 А2 (4, -1, 0), А3 (2,1, -2), Л4 (3,4, 5).
6.19. А, (4, -1, 3), А2 (-2, 1, 01 А3 (0, -5, Ц Л4 (3, 2, -б).
6Л0. Ах (1, -1, 1), А2 (-2, 0, 31 А3 (2,1, - Ц А4 (2, -2, -41
621. Ах (1, 2, 0»), А2 (1, -1, 2), А3 (0,1, -1), А4 (-3, О, Ц
622. Ах (1, 0, 2), А2 (1, 2, -1), А3 (2, -2, 1), А4 (2, 1, 0).
6.23. Ах (1, 2, -3), А2 (1, О, 1), А3 (-2, -1, 61 Л4 (0, -5, -4).
624. Ах (3, 10, -11 А2 (-2, 3, —5), А3 (-6, О, -3), Л4 (1, -1, 2).
625. Ах (-1, 2,4), А2 (-1, —2, -41 А3 (3, О, -Ц А4 (7, -3, 1).
626. Ах (0, -3,1), А2 (-4, 1, 21 А3 (2, -1, 51 Л4 (3, 1, -4).
153
«27. (1, 3,0»), А2 (4, -1, 2), Л3 (3, 0, IX Л (-4, 3, 5).
6М. Ах (-2, -1, -1), Аг (0, 3,2), Л3 (3,1, -4), Л4 (—4, 7, 3).
«29. At (-3, —5, 6), А2 (2,1, -4), Л, (0, -3, -Ц А (-5, 2, -8).
«20. (2, -4, —ЗХ Л2 (5, -6, ОХ А3 (-1, 3, -ЗХ Л (-10, -8,7)
«21. Л2 (1, -1,2Х А2 (2,1, 2Х А3 (1, 1,4Х Л (б, -3, 8Х
Задача 7. Найти расстояние от точки Мо до плоскости, проходящей через точки Mlt М2, М3.
7.1. Мх (-3,4, -7Х М2 (1, 5, -4), М3 (-5, -2,0Х Мо (-12, 7, -IX
72. М2 (-1, 2, -ЗХ М2 (4, -1,0Х М3 (2,1, -2), Мо (1, -6, -5).
72. Мх (-3, -1, IX М2 (-9,1, -2Х М3 (3, -5,4Х Мо (-7,0, -IX
7А М, (1, -1, IX М2 (-2,0, ЗХ М3 (2, 1, -IX Мо (-2,4, 2)
72. М, (1, 2, ОХ М2 (1, -1, 2), М3 (0,1, -IX Мо (2, -1,4).
7Ж Мх (1, О, 2Х М2 (1,2, -IX М3 (2, —2, IX Мо (-5, -9,1)
7.7. (1, 2, -ЗХ М2 (1, О, IX М3 (-2, -1, 6Х А/о (3, -2, -9).
7Л Мх (3,10, -IX М2 (-2, 3, -5Х М3 (-6,0, -ЗХ Мо (-6, 7, —10).
72. М, (-1, 2,4), М2 (-1, —2, -4Х М3 (3, О, -IX Мо (-2, 3, 5). ’
7.10. Mt (О, -3, IX М2 (-4,1, 2), М3 (2, -1, 5Х Мо (-3,4, -5).
7.11. Mt (1,3, ОХ М2 (4, -1, 2Х М3 (3,0, IX Мо (4, 3, 0)
721 (—2, -1, -IX М2 (0, 3, 2Х М3 (3,1, -4Х Мо (-21,20, —16).
7.11 М, (-3, -5, 6Х М2 (2,1, —4), М3 (0, -3, -IX Мо (3, 6, 68)
7.14. Mt (1 -4, -ЗХ М2 (5, -6, ОХ М3 (-1, 3, -ЗХ Мо (2, -10, 8)
7.15. М2 (1, -1, 2), М2 (2, 1, 2Х М3 (1, 1,4Х Мо (-3, 2, 7).
7.16. Мг (1, 3, 6Х М, (2,2, IX М3 (-1, О, IX Мо (5, -4, 5).
7.17. М2 (-4,2, 6Х М2 (2, -3, О,) М3 (-10, 5, 8Х Мо (-12, 1, 8)
7.11 Mt (7,1 4Х М2 (7, -1, -2Х М, (-5, -1 -IX Мо (10,1, 8Х
7.19. М, (2,1, 4Х М2 (3, 5, -2Х М3 (-7, -3, 2Х Мо (-3,1, 8)
721 (-1, —5, 2Х М2 (-6, Q, -ЗХ М3 (3, б, -ЗХ Мо (10, -8, -7)
721. М2 (О, -1, -IX М2 (-11 5Х М3 (1, -5, -9Х Мо (-4, -13, б)
721 М» (5,1 ОХ Ма (1 5, ОХ М3 (1,14Х Мо (-3, -б, -8Х
721 Mi (2, -1, -2Х М2 (1,1 IX М3 (5,0, -6Х Мо (14, -3, 7).
724. Mj (-1 0, -4Х М2 (-1, 7, IX М, (4, -8, -4Х Мо (-6,5, 5).
721 М, (14,4, 5Х М2 (-5, -3,2), М3 (-2, -б, -ЗХ Мо (-1, -8, 7)
721 М, (1, 2, ОХ М2 (3,0, -ЗХ М3 (5, 2, 6Х Мо (-13, -8,16).
727. М, (2, -1, 2Х М2 (1, 2, -IX М3 (3, 2,1), Мо (-5, 3, 7)
721 Mi (1,1, 2Х М2 (-1, 1, ЗХ М3 (2, —2,4Х Мо (2, 3, 8>
729. Mj (1 3, IX М2 (4,1, -2Х М3 (6, 3, 7Х Мо (-5, -4, 8)
7Л Mi (1,1, -IX М2 (2,1IX М3 (3,1IX Мо (-3, -7, 6).
721. Mj (1, 5, -7Х М2 (-3, б, ЗХ М3 (-2, 7, ЗХ Мо (1, -1, 2).
Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Л перпендикулярно вектору ВС.
11. А (1,0, -2Х в (2, -1, ЗХ С (О, -3, 2).
11 Л (-1,3,4Х В (-1,5, 0), С (2, б, 1).
11 А (4, -1 ОХ Л(1, -1, -5), С (-2, 1, -ЗХ
14. А (-8, О, 7Х В (-3, 2,4), С (-1,4, 5).
15. А (7, -5, IX В (5, -1, -3), С (3, 0, -4).
154
8.6. A (-3, 5, -2), В (-4, 0, 3), С (-3, 2, 5).
8.7. А (1, -1, 8), В (-4, -3, 10), С (-1, -1, 7).
8.8. А (-2, 0, —5), В (2, 7, -3), С (1, 10, -1).
8.9. А (1, 9, —4), В (5, 7, 1), С (3, 5, 0).
8.10. А (-7, 0, 3), 3(1, -S, -4), С (2, -3, 0).
8.11. А (О, -3, 5), В (-7, 2, 6), С (-3, 2,4).
ШЯ(5, -1,2),3(2, — 4, 3), С (4, -1,3).
8.13. А (-3, 7,2), В (3, 5, 1), С (4, 5, 3).
8.14. А (0, —2, 8), В (4, 3, 2), С (1, 4, 3).
8.15. А (1, -1, 5), В (0, 7, 8), С (-1, 3, 8).
8Л6. А (-10, 0, 9), 3(12, 4, 1Ц С (8 5, 15).
8.17. А (3, -3, -6), В (1, 9, — 5), С (6, 6, -4).
8.18. А (2,1, 7), В (9, 0,2), С (9, 2, 3).
8.19. А (-7, 1, -4),3(8, 11, -3), С(9,9, -1).
8.20. А (1, 0, -6), В (-7, 2, 1), С (-9, 6, 1).
821. А (-3, 1, 0), В (6, 3, 3), С (9, 4, -2).
821 А (-4, -2, 5), В (3, -3, -7), С (9, 3, -7).
823. А (0, -8, 10), В (-5, 5, 7), С (-8, 0, 4).
824. А (1, -5, -2), В (б, —2, 1), С (1 -1 -2).
825. А (0, 7, -9), В (-1, 8, -11), С (-4, 3, -12).
8.26. А (-3, -1, 7), В (0, 2, -6), С (2, 3, -5).
827. А (5, 3, -1), В (0,0, -3), С (5, -1,0).
828. А (-1, 2, -2), В (13, 14, 1), С (14, 15, 2).
829. А (7, -5, 0), В (8, 3, -1), С (8, 5, 1).
830. А (-3, б, 4), В (8, -3, 5), С (О, -3, 7).
831. А (2, 5, -3), В (7, 8, -1), С (9, 7,4).
Задача 9. Найти угол между плоскостями.
9.1. х—3/+5—О, 2x-j»+5z-16-0. 92. х—3>+z—1-0, x+z—1-0.
93. 4х—5j»+3z—1 -0, х—4у—z+9— 0.
9.4 . Зх—,y+2z+15—0, 5x+9j—3z—1—0.
93. 6x+2j>—4z+17—0, 9x+3^—6z—4—0.
9.6. x-y^+z-l-O, x+y^2—z+3—0.
9.7. 3>— z-0, 2>+z-0.
93. 6x+3>—2z—0, x+2y+6z—12—0.
9.9. x+2y+2z—3—0,16x+12y— 15z— 1 — 0.
9.10. 2x—j»+5z+16—0, x+2y+3z+8—0.
9.11. 2x+2y+z— 1— 0, x+z— 1— 0.
9.11 3x+y+z—4—0,y+z+5—0.
9.13. 3x—2>—2z—16—0, x+>—3z—7—0.
9.14. 2x+2y+z+9—0, x—y+3z— 1— 0.
9.15. x+2y+2z—3— 0, 2x—y+2z+5—0.
9.16. 3x+2y—3z—1 —0, x+>+z—7—0.
9.17. x—3y—2z—8—0, x+y—z+3—0.
9.18. 3x—2y+3z+23—0, j*+z+5»0.
9.19. x+y+3z—7-0, y+z— 1— 0.
155
930. x-2y+2z+17-0, x-2y-1-0.
931. x+2y-l-0, x+y+6-0.
932. 2x—x+5—0, 2x+3y—7—0.
933. 5x+3y+x—18—0, 2y+x—9—0.
934. 4x+3x—2—0, x+2y+2x+5—0.
935. x+4y—x+1—0,2x+y+4x—3-0.
936. 2y+x—9-0, x—y+2z—1—0.
937. 2x—6y+14x—1—0, 5x—15y+35x—3—0.
938. x—y+7x—1—0, 2x—2y—5—0.
939. 3x-y-5-0,2x+y-3-0.
938. x+y+z^-3-0,x-y+x^-l-0.
931. x+2y—2r—7—0, x+y—35—0.
Задача 10. Найти координаты точки Л, равноудаленной от
точек В и С.
18.1. Л (0,0, хХ 3(5,1,0), с (0,2,3).
103. А (0,0, z), 3(3, 3,1), С (4,1,2).
103. А (0,0,г), 3(3, 1,3), С (1,4, 2).
184. Л (0, 0, хХ 3 (—1, -1, -6), 0(2, 3,5).
103. А (0,0.x), В (—13,4, 6), С (10, —9,5).
10.6. Л (0,0.x), В (-5, —5,6), С (-7, 6, 2).
1017. А (0,0, х), 3 (—18,1,0), С (15, -10,2).
103. А (0,0, х), В (10, 0, -2), 0(9, -2, 1).
10.9. А (0,0, хХ В (-6, 7, 5), 0(8, -4,3).
10.10. л (0,0, z), 3 (6, -7,1), С (—1,2,5).
18.11. Л (0,0, хХ 3(7,0,-15Х С (2, 10, -12).
10.1Х А (0»у, 0), 3(3, 0,3), С(0, 2,4).
1(113. А (0, у, 0Х в (1, 6,4), С (5, 7,1).
10.14. Л (0, у, 0), 3 (-2, 8,10Х С (6,11, -2).
10.15. Л(0,у,0),3(-2, —4,6), 0(7, 2,5).
10.16. А (0, у, 0Х В (2, 2,4), С (0,4, 2).
10.17. Л (0, у, 0), 3 (0, —4,1), 0(1, -3, 5).
10.18. А (0, у, 0Х в (0,5, -9), С (-1,0, 5).
18.19. Л (0, у, 0),3(—2,4, -6), С (8, 5,1).
1030. Л (0,у. 0X3(7, 3, -4Х С (1,5, 7).
1031. А (0, у, ОХ 3(0, —2,4Х С (-4,0,4).
1032. А (х, 0,0), 3(0,1, ЗХ 0(2, 0,4).
1033. Л (х, 0,0X3(4, 0,5Х С (5,4, 2).
1034. Л (х, 0,0X3 (8,1,-7Х С (10, -2,1).
1035. Л (х, 0,0), 3(3, 5,6), С (1,2,3).
1036. Л(х,0,0X3(4,5,-2Х 0(2, 3,4).
1037. А (х,0,0X3(-2,0,6), С(0, —2, -4).
1038. Л (х, 0,0), 3(1, 5, 9Х 0(3, 7, ИХ
1039. А (х, 0,0), 3(4,6, 8Х 0(2, 4, 6).
1030. А (х, 0,0), 3(1,2, ЗХ О(2,6,10Х
1031. Л (х, 0, 0), 3 (—2, -4, -6), С(-1, -2,-3).
156
Задача 11. Пусть к — коэффициент гомотетии с центром в начале координат. Верно ли, что точка А принадлежит образу плоскости а?
11.1. Л (1,2, -1), а
ИД. А (2,1,2), а
113. А (-1,1,1), а
11.4. А (—2,4,1), а
ПЛ. А (1,1/3, —2), а
11.6. А (1/2,1/3,1), а
11.7. А (2,0, -1), а
ПЛ. А (1, —2,1), а
ПЛ А (2, -5,4), а
11.10. А (2, -3,1), а 11.11. А (—2, 3, -ЗХ а П.1Х А (1/4,1/3,1), а 11.13. А (0,1, -1), а 11.14. А (2, 3, -2), а 11.15. А (—2, -1, IX а 11.16. А (5, 0, -1), а 11.17. А (1,1,1), «
11.18. А (1/3,1, IX а 11.19. А (2, 5,1), а ИЗО. Л (-1,2,3), а 1131. А (4, 3, IX а 1132. А (3, 5,2Х а 1133. А (4, 0, -3), а 1134. А (-1,1, -2), а 1135. А (2, -5, -1), « 1136. А (-3, -2,4Х а 1137. А (5,0, -6), а 1138. А (1, 2,2Х а 1139. А (3, 2,4Х а ИЗО. А (7, 0, -1), а 1131. Л (0,3,-IX в
2x+3y+z— 1 —0, *—2. х—2y+z+l—О, *-—2. Зх— y+2z+4—О, *—1/2. 3x+y+2z+2—О, *—3. х—3j+z+6—О, *—1/3. 2x—3j+3z—2—0, *-l, 5. x—3^+5z—1—0, *—— 1. 5x+y—z+6—0, *—2/3. 5x+2y—z+3—0, *—4/3. x+y—2z+2—0, *—5/2. 3x+2y—z—2—О, *—3/2. 4x—3y+5z-10-0, *-1/2. 6x—5y+3z—4—0, *— — 3/4. 3x—2j+4z—6—0, *--4/3. x-2y+6z-10-0, *-3/5. 2x—y+3z—1 — 0, *—3. 7x—6^+z—5—0, *—— 2. 3x—_y+5z—6—0, *-5/6. 5x—2y+z—3—0, *—1/3. x—3y+z+2—0, *—2,5. 3x—4y+5z—6—0, *-5/6. 5x—3y+z—4—0, *—1/2. 7x—>+3z—1 —0, *»3. 4x—y+3z—6—0, *-—5/3. 5x+2y—3z—9—0, *—1/3. 2x-3j+z-5-0, *--4/5. 6x—z+7—0, *-2/7. 3x—z+5—0, *— — 1/5. 2x—3>+z—6—0, *—2/3. jr-y-z-1-0, *-4. 2x—y+3z—1 —0, *—2.
Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.
12.1, 2x+y+z—2—0, 2х—у—3z+6—0. .
123. х—3j>+2z+2—0, x+3j»+z+14—0.
123. x-2y+z-4-0,2x+2>-z-8-0.
12A x+y+z— 2— 0, x—у—2z+2—0.
123. 2x+3y+z+6—0, x— 3y— 2z+3— 0.
123. 3x+y—z—6—0, 3x—y+2z"*0.
12.7. x+5y+2z+ll— 0, x—y—z— 1— 0.
12A 3x+4j-2z+l-0,2x-4y+3z+4-0.
12.9. 5x+y—3z+4-0, x—>+2z+2-0.
12.10. x—y—z— 2—0, x—2y+z+4—0.
157
1X11. 4x+y—3z+2—О, 2х—y+z—8—0.
12.12. 3x+3y-2z-l-0, 2x-3y+z+6-0.
12.13. 6x—7y—4z—2—0, x+7y—z—5—0.
1X14. 8x—y—3z— 1—0, x+y+z+10—0., 1X15. 6x—5y—4z+8—0, 6x+5y+3z+4—0. 1X16. x+5y—z—5—0,2x— 5y+2z+5—0. 1X17. 2x—3y+z+6—0, x—3y—2z+3—0. 1X18. 5x+y+2z+4—0, x-y-3z+2»0. 1X19. 4x+y+z+2—0, 2x—y—3z—8—0. 1X20. 2x+y—3z—2—0, 2x—y+z+6—0. 1X21. x+y—2z—2—0, x—y+z+2—0. 1X2X x+5y—z+11 — 0, x—y+2z— 1— 0. 1XXX x—y+z—2—0, x—2y—z+4—0. 1X24. 6x—7y—z—2—0, x+7y—4z—5—0. 1X25. x+5y+2z—5— 0, 2x— Sy—z+5—0. 1X26. x—3y+z+2—0, x+3y+2z+14—0. 1X27. 2x+3y—2z+6—0, x—3y+z+3—0. 1X28. 3x+4y+3z+l —0, 2x—4y—2z+4—0. 1X29. 3x+3y+z—1—0, 2x—3y—2z+6—0. 1X30. 6x—5y+3z+8—0, 6x+5y—4z+4—0. 1X31. 2x—3y—2z+6— 0, x— 3y+z+3** — 0.
Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
х—2 у—3 z+1 1X1.---—---—---, x+2y+3z—14—0.
-1-14 х+1 у—3 z+1 1ХХ------——----, х+2у—5z+20—0.
3 —4 5
х—1 у+5 z—1 1X3.-----— ----, х-Зу+7г-24-0.
-14 2
х—1 у z+3 1X4.---------, 2x-y+4z-0.
10 2
х—5 у—3 z—2 1X5.-----------, 3x+y-5z-12-0.
1-10 х+1 у+2 z—3 1X6.-----------, x+3y-5z+9-0.
-3 2 -2
х—1 у—2 z+1 1X7.-----------, х—2y+5z+17—0.
-2 1 -Г
1X8. x-2y+4z-19-0.
2 0 1
х+2 у—1 z+4 1X9.-----------, 2x-y+3z+23-0.
-11-1 х+2 у-2 z+3 1X10.----—------, 2x-3y-5z-7-0.
1 0 0
х—1 у—1 х+2
13.11.-, 4x+2y-z-ll-0.
2-13
х—1 у+1 х—1
13.12.---— ---, Зх—2у—4х—8«0.
1 О -Г
х+3 у-2 х+2 1X14.---, 5х—у+4х+3«0.
1 5 3
х-2 у-2 х—4 13.15.------«--, х+3у+5х—42«0.
2-13 х—3 у—4 х—4 1X16.-----— ----, 7х+у+4х-47-0.
-15 2
х+3 у-1 х-1
13.17.--—— -----, 2х+3у+7х—52—0.
2 3 5
х—3 у+1 х+3 1X18.-----------, Зх+4у+7х—16—0.
2 3 2
х—5 у—2 х+4 1X19.-----— ----, 2х—5у+4х+24—О.
-2 0-1
х—1 у—8 х+5 1X20.---—---—---, х—2у—Зх+18—0.
8 -5 12
х—3 у—1 х+5 1X21. х+7у+Зх+11—0.
х—5 у+3 х—1 1X22.-----— ----t Зх+7у—5х—11—0.
-15 2
х—1 у—2 х—6 1X23.---—-------, 4х+у—6х—5—0.
7 1 -Г
х—3 у+2 х—8 1X24.-----— ----, 5х+9у+4х—25—0.
1-10 х+1 у х+1 1X25.---------, х+4у+13х—23—0.
-2 0 3
х—1 у—3 х+5 1X26.---, Зх—2у+5х—3—0.
6 13
х—2 у—1 х+3 1X27.---—---—---, Зх—у+4х—0.
4 -3 —2
х-1 у+2 х-3 1X28.-------—, х+2у-5х+16-0.
2 -5 -2
х—1 у—3 х+2 1X29.-----------, Зх-7у-2х+7«0.
10-2
159
1330.-----------, 5x+7j+9z-32-0.
0 -3 11
x—7 у—3 z+1 1331.-----------, 2x+y+7z-3~0.
3 1—2
Задача 14. Найти точку ЛГ, симметричную точке Л/ относительно прямой (для вариантов 1 —15) или плоскости (для вариантов 16 — 31).
14.1. М (0, -3, -2), —
1
143. А/(2, — 1, 1),----------—
1 -0,5 1
143. М(1,1,1),--------
1 —2
14.4. М (1, 2, 3),-----
0
143. М(1, 0,-1),—
2 О
143. М (2,1,0),—
1
о
1
14.7. А/(-2, -3,0),—
143. А/(-1,0,-1),-^ о ! х—1,5 у z—2
14.9. М (0, 2,1),---—--------.
2 -1 1
х—6 у— 3,5 z+0,5
14.10. М(3, -3, -1),
0
5
14.11. М (3, 3, 3),--------------.
-1 0 1
х+0,5 jz+0,7 z-2
14.12. А/(-1,2, 0),
-0,2 2
14.13. М (2, —2, -3), —----
-10 о
х+0,5 у— 1 z-4
14.14. М (-1, 0, 1),
0 0 2
х-0,5 у+1,5 z—1,5
14.15. А/(О, -3, -2\ ——- ———у.
14.16. М (1, 0, 1), 4х+6у+4х—25—0.
14.17. М (-1, 0, -1), 2х+6у-2Z+11-0.14.18. М (0, 2, 1), 2х+4>-3-0.
160
14.19. И (2, 1, 0), ^+z+2-0. 14.20. М (-1, 2, 0), 4x-5y-z-7-0.
14.21. М(2, -1, 1), x-7 + 2z-2»0. 14.22. М (1, 1, 1), x+4y+3z+5-0.
14.23. М{1, 2, 3), 2x+10y + 10z —1 «0.
14.24. M(Q, -3, — 2), 2jc+10y+10z —1 — 0.
14.25. M(l,0, -1), 2y+4z —1-0.
1426. A/(3, -3,-1), 2x—4y—4z—13—0.
1427. A/(-2, -3, OX x+5y+4-0. 14.28. M (2, -2, -3), j+z+2-0.
14.29. M(-l, 0, 1), 2x+4y—3—0. 1430. M (3, 3, 3), 8x+6y+8z-25-0.
1431. M (—2, 0, 3), 2x—2y+10z+1 —0.
X. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Теоретические вопросы
1. Линейное пространство. Базис. Координаты.
2. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
3. Линейный оператор. Матрица оператора.
4. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.
5. Действия над линейными операторами.
6. Собственные векторы и собственные значения.
7. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковс-кого.
8. Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы.
9. Ортогональное преобразование; свойства; матрица.
10. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.
Теореткческие упражнения
1. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L пространства Я3, если L задано уравнением jq—2х2+х3=0.
2. Доказать, что все симметрические матрицы третьего порядка образуют линейное подпространство всех квадратных матриц третьего порядка. Найти базис и размерность этого подпространства.
3. Найти координаты многочлена P3fxJ = a0+a1x-ba2x2 + +а3х3 в базисе 1, (х— 1), (х— I)2, (х~ I)3.
4. Линейный оператор А в базисе (е1} е2, е3) имеет матрицу
г-1 0 ь
1 2 1 ”2Г
I 1 1 2J
161
Найти матрицу этого же оператора в базисе (ех, е4+е2, ех+е2+е3).
5. Найти ядро и образ оператора дифференцирования в пространстве многочленов, степени которых меньше или равны трем.
6. Пусть х и у — собственные векторы линейного оператора А, относящиеся к различным собственным значениям. Доказать, что вектор z=ax+/?y, a#0, /МО не является собственным вектором оператора А.
7. Пусть x=fxx> х2, х3), Ax=(alx1, а2х2. азхз)- Будет ли оператор А самосопряжеян ым?
8. Доказать, что если матрица оператора А — симметрическая в некотором базисе, то она является симметрической в любом базисе (базисы — ортонормированные).
Расчетные задания
Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов а и Ъ и произведение любого элемента а на любое действительное число а?
1.1. Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых — целые числа;
сумма: e+ЭД произведение: а-а.
1.2. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;
сумма: а+b, произведение: a*а.
13. Множество всех векторов на плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей;
сумма: а+b, произведение: а-а.
1.4. Множество всех векторов трехмерного пространства; сумма: [а * ЭД, произведение: а • а.
13. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;
сумма: a+ЭД произведение: а*|а|.
1.6. Множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов х, у, z;
сумма: п+ЭД произведение: а-а.
1.7. Множество всех функций a=f(t), b=g(t), принимающих положительные значения;
сумма: f(t) g(t), произведение:/У
13. Множество всех непрерывных функций a=f(t), b=g(t), заданных на отрезке [0,1];
сумма: f(t)+g(t), произведение: af(t).
1А Множество всех четных функций a=f(t), b=g(t), заданных на отрезке [— 1, +1];
сумма: f(t) g(t), произведение: a f(t).
162
1.10. Множество всех нечетных функций b=g(t), за-
данных на отрезке [—1, 4-1];
сумма: f(t)+g(t), произведение: a
1.11. Множество всех линейных функций a=f(x., х2), b=g(xv х2);
суммы f(xt, х2) +g(xit х2), произведение: af(xt, х2).
1.12. Множество всех многочленов третьей степени от переменной х;
сумма: а 4- Ь, произведение: а а.
1.13. Множество всех многочленов степени меньшей или равной трем от переменных х, у;
сумма: а+b, произведение: а а.
1.14. Множество всех упорядоченных наборов из п чисел а={х,, х2. xj, Z>={у,, уг..... ь};
сумма: (ХдЧ-Ур х24-у2, .... хя4-уи}, произведение: {охр ах2,.... ах,}.
1.15. Множество всех упорядоченных наборов из л чисел х2, .... хя}. Ь={ур у2,.... у,};
сумма: {xtyp х^, .... Хдуя}, произведение: {охр ах2, ...» ах„}.
1.16. Множество всех сходящихся последовательностей а={ип}, 6={*„};
сумма: {ц,4-уя}, произведение: {ац,}.
1.17. Множество всех многочленов от одной переменной степени меньшей или равной л;
сумма: а+b, произведение: а а.
1.18. Множество всех многочленов от одной переменной степени л;
сумма: а+b, произведение: а а.
1.19. Множество всех диагональных матриц
вНМ.*«||ММ.*=1, 2,.., л;
сумма: ||a»4-bft||. произведение: ||ад*||.
1.20. Множество всех невырожденных матриц
e=IIMI.£=IIMI.*=1, 2, ...» л;
сумма: Ца^Ц • ЦМ1. произведение: [|аа*||.
1.21. Множество всех квадратных матриц
ц=||ал||.Ь=||Ы,1,А:=1,2,...,л;
сумма: || а* 4- Ml, произведение: || аал ||.
1.22. Множество всех диагональных матриц
«MMI.*=IIMI.i’.*=l, 2, ...» л;
сумма: ||a«|| * ||£*||, произведение: ||аа*||.
1.23. Множество всех прямоугольных матриц
а= ||aft||, 6= ||М. i= 1, 2.т; к= 1, 2, ..., л;
сумма: ||ал4-Ml. произведение: ||оМ-
163
1.24. Множество всех симметрических матриц
«= Цвл11 ь= ||М (Ьи=Ьл), i, 2, ..., п;
сумма: || ал+Ьл||, произведение: ЦоалЦ.
1J25. Множество всех целых чисел;
сумма: а+Ь, произведение: аа.
1. 26. Множество всех действительных чисел;
сумма: а+&, произведение: аа.
1. 27. Множество всех положительных чисел;
сумма: а • Ь, произведение: я*.
128. Множество всех отрицательных чисел;
сумма: произведение: — 1СГ-
129. Множество всех действительных чисел;
сумма: а Ь, прозведение: а а.
130. Множество всех дифференцируемых функций e=/W.J>==g(Z>;
сумма: f(t)+g(t)» произведение: a f(t).
131. Множество всех дифференцируемых функций b—g(t);
суммы f(t) g(t), произведение: a f(t).
Задача 2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов.
11 . «-{1,4, б}, Ъ—{!„ - I. 1). е-{1. 1. 3}.
11 япх, cosx, tgx на (-я/2, х/2).
11 а-{1 -3, !}, Ь—{3, -1, 5}, е-{1, -4, 3).
14. 2, йпх, sin’x, cos’x на (—со, + оо).
11 а—{5,4, 3}, Ь-{3, 3, 2}, е-{8» 1, 3}.
11 1, х, sinx на (—ос, + оо).
17. а-{1, 1, 1}, Ь-{0, 1, 1}, с-{0, 0, 1}.
2Л. е*, е**, ем на (— со, + со).
19. а—{1, -1, 2), Ь—{—1,1, -1), с-{2, -1, 1}.
110. х, х1, (1+Х)2, на (-со, +оо).
111. а-{1, 2, 3), Ь-{4, 5, б), с-{7, 8,9}.
Ill 1, х, х2, (1+Х)2 на (— оо, + со).
111 а-{1, 1,1), Ь-{1, 2> 3), е-{1, 3, б).
114. coax, их, еш2х, на (-х/2, х/2).
111 а—{3,4, -5), Ь«{8, 7, -2},с-{2, -1,8}.
Ill е*, е“я, е2’ на (-оо, +оо).
117. а-{3, 2, -4}, Ь-{4,1, -2}, с-{5, 2, -3}.
118. 1+х+х2,1+2х+х2, 1+Зх+х2 на (-со, too).
119. а-{0,1,1}, Ь-{1, 0, 1}, с-{1, 1,0}.
120. 1, е*, shx на (—со, +оо).
121. а-{5, -б, 1}, Ь-{3, -5, -2}, е-{2, -1, 3}.
121 1/х, х, 1 на (0,1).
121 а—{7,1, -3}, Ь-{2,1 -4}г с«{3, -3, 5}.
164
124. 1, tgx, ctgx на (О, х/2).
125. {!, 2, 3}, b-{6, 5, 9}, с«{7, 8, 9).
2М. х, 14-х, (1+х)а на (—со, 4-со).
127. »-{2, 1, 0), Ь-{“5, 0, 3}, е-{3,4, 3}.
128. е*, хе*, х’е* на (-со, +оо).
129. а-{2, 0, 2}, Ь-{1, -1, 0}, с-{0, - 1, -2}.
130. е*, shx, chx на (—со, +оо).
131. а—{—2, 1, 5}, Ь-{4, -3,0}, с-{0, -1, 10}.
Задача 3. Найти общее решение для каждой из данных систем и проанализировать его структуру (указать базис пространства решении однородной системы, установить размерность пространства, выделить частное решение неоднородной системы).
Зх,+х2 —4х3+2х4+х5 -о, 2х,—2х3 — Зх3—7х44-2х9 -• О, . х,4-11ха 4-34х4-5х9«0.
• х, 4-2х3—2х3—Зх4“4, 2х, 4- 5х3—xs—4х4—9, х,4-Зх34-х3—х4—5.
7х i + 2х3 - хэ - 2х4+2х9 - О, х, — Зх3 fXj-x4-Xj «О, 2х,4-Зх34-2х34-х44-х9~0.
' х, — 4ха4-2х34-Зх9-«5,
•< 2х,—7х34-4х34-х4“9,
• х,—Зх34-2х34-х4—Зх9—4.
33. г Xj4-x3 + 10xs4-x4—Xj-0, < 5х, — ха 4-8хэ — 2х4 4-2х9 «О, V3x,—Зх3—12х,—4х4 4-4х5—0.
3.4. г 6х,— 9х34-21х3-Зх4—12х9-0, < — 4х,4-6х3 — 14xs4-2Lx44-8x3—0, t 2х,—Зх34-7х3—х4—4xs«0.
2х, - х3 4-2хэ -х4 4-х9 » О, х, 4- Юх3—Зх3—2х4—х9 » О, 4х, 4- 19х3—4х3—5х4—х9 «=0.
3.6. г5х, — 2ха4-9х3 — 4х4—х9-0, < х,4-4ха4-2х34-21х4—5х9«0, Сбх, 4-2ха 4-11х3—2х4—6х9 « 0.
х,4-2ха—Зх3—4х4—1, Зх, 4- 7х3—2х3—х4 «4, 2х, 4- 5ха 4- х3 4- Зх4 « 3.
х, — 5х3 4-Зх3 4-4х4—4, 2х1-9х34-2х14-х3-7, х,—4х3 — х3—4х4 4- х3 « 3.
х 14- Зха—х3 — 2х4 — 1, 2х, 4- 7х3—4 х3—Зх4—3, х, 4-4х3—Зх3—х4 Z
х, 4-х3 4-4х3 4- 2х9 «О,
Зх, 4-4ха 4- х3 4- Зх4 »1, 2х, 4- Зха—Зх3 4- Зх4— 2х9 — 1.
165
3.7. rl2xj—х24-7х34-11х4—х3—0, < 24х,—2х24- 14х34-22х4—2xs —О, I Xj+Xj+х,—x4+2xs«0.
Xj—2x2 4-2x34-3x4 »O, 2x1 — 3xa 4-x3 +4x4— 1, •3xj — 5xa + 3xs4-7x4 »1.
3.15. r Xj+x2+x3—x4—Xj—O, < 2xj +x2—2x3—x4—2xs «0, I Xj+2x2+5xa—2x4—x5"-0.
Xj—x2+3x3+4x4—0, 2xj—x2 +2xa+x4—1, 4xj—3x2+8x3 +9x4« 1.
xt—xa +4хэ+3x4»0, 3xj—2x24-x34-2xs«»l, 2xt—xa—3x3—3x4+2xs w 1.
ZUj +2x3—2xa+x4—3xs — 0, < 3xj—x2+2x3—x4+2x5-0, v Xj—3xa+4xa—2x4+5x3-0.
’ x2+x2—3xs-4x4—1, 4x,+5x2—2x3—х3—3, 3xj +4xa+x3 4-4x4—x5 - Z
ЗЭ. г1х14-Зх24-Зх3 —3x4—xs»O, < x24-6x2— x3+x4+2xs—0, I Xj + 16x2—6x3+6x4+7x3—0.
л Xj — 2x2+2x3+3x4“0, 5 3*i — 5x2+x3+4x4«1,
2xt—3x2—x34-x4"1.
{Xj 4-2x2—3xa + 10x4—xs—0, —Xj — 2x2 4-3xa+10x4+x5 « 0,
Xj +6x2—9xs+30x4—3xs —0.
Xj—4x24-2x34-3x4—5, 2x>—7xa 4-4x3+x4—9,
Xj—3x24-2xa—2x4—4.
ЗЛО. /• хх4-2х2—x34-x4—x3—O, < Xj+x2+2x3—x4+xs««O, l2xj+3x2+x3-0.
xt — 3x2+4x3+3xs «*2, 3x2—8x2+x3 +2x4—5, .2xj — 5x2—3x3+2x4—3xs » 3.
3.1Л /•2x14-x2—x34-7x4+5x3—0, < Xj—2x24-3xa—5x4—7xs«0, Gxj — x2 4-2x3 4-2x4-2xs —0.
Xj4-2x2—2x3—3xs«4, 2xj +5xa—x3—4x4—9, Xj 4-3xa4-xa—4x4+3xs-j.
3.11. Лх1+х2+х3—x4+2x5»0, s 3xj—3x2—2x3+x4—3xs»0, Lsxj +4x2+3x3—2x4+5xs —0.
' Xj—3x2+x3+2x4-4, < 2х,—5x2+4x3+3x4»7, . Xj—2x2+3xs+x4»3.
3.19. /’2x1~2x2—3xa-7x44*2xs«0, < Xj4-11x24-34x4—5xs—0, l X,—5xa—2x3—16x4+3xs»0.
Xj—5xa4-3xa4-4x4«4, 2x j—9x2 4- 2x3+x4—7, Xj —4x2—x,—3x4—3.
3.12.
Xi+3x2—x3 + 12x4—xs»0, 2x j—lx24-x3—1 Ox44-x3 - 0, 3x14-x2+2x4«0.
Xj—x2 4- 3x3 +4x4 «0, 4Xj - 3x2 +x3+2хя 1, .3xj — 2x2—2x3—4x4+2xs »1.
310. r3xj4-xa—8x34-2x4+x9"0, < Xj4-11x2—12xa—5x3"0,
I Xj—5xa+2x3+x44-3xj—0.
г Xj+2xa—3xa—4x4—1, < 3xj4-7x2—2xa+xs»»4, <2х, 4- 5x2+x3 4-4x4 4-x3 -• 3.
3.13. Z7xj —14xa+3x3—x4+xs»0, < Xj—2x24-x3—3x44-7xs-0, Lsxj—10x24- xa 4-5x4 — 13xs « 0.
Xi+4x2—2x3—3x4>«2, 2Xi+9x2—xa—4x4»5, . x2+5x2+xa—x4"3.
ЗЛ1. r Xj4-3x2—5x34*9x4—xs—0, < 2xj4-7x2—3xa—7x44-2x3—0, V Xj4-4x24-2x3—16x44-3xs«0.
' Xj4-x24-4xs4-2x4-0, 3x2 4"4x24-xa4-3x4—l, 2xj 4-3x2—3xa 4-x4—1.
3.14. xx+2x2+3xa+x4-Xj-O,
< 2xt—2xa—6x3-4x4+xs-0, .3x1-2x2+3xj+3x4-xs-0.
x2—2x2+3x3+4xs «1, 4xj — 7x2+2x3+x4—3, 3xj—5x2—xa +x4—4xs «2.
312. /5xj4-2x2—xs4-3x44-4xs—0, < 3xj4-xa—Зх34-Зх44-5х3—0, 1бХ14-3xa—2x34-4x44-5x3—0.
• Xj4-3x2—xs—2xs—l, 2x j+7xa—4x3 - 3x4 « 3, Xj 4-4x2—3x3—3x4 4- 2x3 - 2.
167
166
3.23. /•3x1+2x2-2x3-x4+4xs-0,
< 7Xi+5x2-3xj-2x4+xs-0, t Xj 4-х2+хэ—7xs—0.
( xt—x2+4x3+3x4—0, < 3xt—2xa+x3 +2x4—1, (.2X1—x2—3xa—x4 —1.
331. rxj—x2+xs—2x4 + xs»0, xi+xa — 2xs—x4 + 2x5—0, -Xi—3x2 +4x3—3x4—0.
’ Xj+x2—3xs—4x4—1, 4xj+5xa—2x3—x4—3, 3xj + 4x2+xs+3x4—2.
334. r6xj+3x2—2x3+4x4+7xs — 0, « 7xj +4x2 - 3xs +2x4+4xs -0, . Xi+Xj—X,—2x4—3xs—0.
Xj ~ 2xa+ 2x3+3x4—0, 2Xi ~ 3xa+x2 +4xs — 1, .3X1 — 5x2+3x3+3x4+4xs — 1.
Задача 4. Найти координаты вектора х в базисе (е[, ез), если он задан в базисе (еп е2, е3).
335. f3Xi—5x2+2x3+5x4«0,
< 7xj—4x2 +x3+3x4 «0, Gx! +7x2-4x3-9x4-0.
Xi—3xa + 4x3+3x4—2, 3x, — 8x2 +x3 +2x4—5, 2xj “ 3x2 ~ 3*э—x4—3.
4.1. х-{6, -1,3}. p;-ei+еа+2е3, <e;-2et-e2, le;--ti+e2+e3.
43. х-{1, 3, 6}.
4Л х-{6, 3, 1}.
43. х-{1, 2, 4}.
Г*1—®i+*a+3es, л ®а “ (3/2X1 ~ ®а» 1®;--®1+®2+®э. 44. х-{2,4, 1}.
•e'-ei+e2+(3/2Xs»
< ®2—3®i—е2 ‘®3— —®i +е2+е3
Xj +x2 +3x3 — 2x4+3xs «0, 2xj +2xa + 5x3—x4+3xs —0, x,+x2+4x3—5x4+6xs —0.
Xj—2x2+2x3 4- 3xs — 0, 3xi—5x2+x3 +4x*"1, 2«i — 3xa—x3 + 4x4—3xs
337. rxj+2x2 4-3x3—2x4+x3—0, < x1+2xa+7x3—4x4+xs—0, lxi+2x2+llx3-6x4+x3-0.
Xj—x2+3xs+4x4—0, 4xj—3x2+x3+2x4—1, .3X1 — 2x2 - 2x3—2x4 « 1.
6xi+3x2+2x3+3x4+4xs—0, 4x, +2x2+x3 +2x4+3xs—0, 2xi +x2+Xj+x4+x,«0.
Xi — 3x2+x3+2x4 «4» 2xi — 5xa + 4хз+3jcs " 2. . xt—2x2+3x3—2x4+3xs—3.
"*1 +®а+(4/3)е3, < e2“4ej—е2, lea--ei+e2+e3.
4.7. х-{8, 4, 1). rej -ei+e2+(5/4)e3, < е'-5«i-e2, te;--«i +еа+е3.
4.9. х-{10, 5,1}. re;-ei+e2+(6/5)e3,
1е'~- в1+еа+е3.
4.11. х-{-12,6, 1}.
4Ж х-{1,4, 8}.
С®1 “ *14-®а+Зе3, \ *2 “ (5/4X1—*а» le2- -«i+ej+e,. 43. х—{2, 5,10}.
/'®J—*i +«2+6*5, <«;- (6/5X1 ~®а» V.«3--«i+е2+е3. 4.10. х-{1, 6,12}.
339. r3xi+2x2+4xs+x4+2xs«0, < 3xj +2x2—2x3 +x4 «0, Gxi + 2x2 +16x3+x4+6xs -0,
• xt—2х2+Зх3+4х4—1, 4xj—7x2+2x3+x4—3, •3xi—5x2—x3—3x4 > 2.
330. /- Xi+x2+x3+2x4+xs«"0, s Xi~2x2—3x3+x4—x5—0, (.2X1—x2 -2x3+3x4 -0.
Xi + 4x2 - 2x3 - 3xs - 2, 2xi+9x2—x3—4x4«5,
Xi + 5x2+x3—4x4+3x5—3.
р;-е1+е24-(7/6>3, <®;-7ei-e2, L;--ei+ea+e3.
4.13. х«{-3,2,4}.
”®i —®i+®а ®3,
< е;-(1/2X1 -«а» -e3— — ej+e2+e3. 4.15. х—{2, 6, -3}.
("®i e®i "^®а — 2®3» л ®3 “(2/3X1—®а, 1е,--е1+е2+е3.
re'i-«i+ea+7e3, л *2 “(2/^X1 —®а» le'--«i + ea+e3. 4.11 х-{-1, 7, 14}.
Г«'1“®1 +®2+8®з»
^-(в/ТХх-®» lej--«i+ea+e3. 4.14. х—{2, 4, 3}.
ге'1-®1 +®2+(1/2Хэ»
S«i“-«i-®a,
U;--«i+®2+®3. 4.16. х-{12, 3, -1}.
-e'i-«i+e2+(2/3Xs, < «'--гец-е^
•®3 — —«1 +®2 +®3.
168
169
4.17. х-{1, —4, 8}.
лС| —®> +®а Зеэ,
-je;-(3/4X1-®а» t®J—-®1+®2+®э« 4.19. х-{7, -5,10}.
Г*1 “®i +*2 ~ 4®1»
\ ®2 “(4/5X1 ~ *2»
'•®з"“ —®1 +®2+®з» 401. х-{1, -6, 6).
{®J “®i +*2—5®а,
*2“(5/6Xi—®а»
®J“~®i+®2+ei* 403. х-{1, 7, -7}.
ej — ®j+®2—6е3,
< ®;-(6/7Xi-ea,
*®j — — ®i +®2+®а. 405. х-{3, -8, 8}.
"®J —®i +®2 7®3,
< «;-G/8>t-®a,
•®a——*i +®2+®a. 407. x-{9,9, 2}.
Г®1 “®i +®a +(8/^Xi» ~ 8®i“ *a»
v®^®® +®j4*® >»
409. x—{10,10, 7}.
®J — et+®a+(9/10Хэ» 9®t-ea,
.®3 — — ®j +®a + ® j. 431. x-{l, 10,10}.
•ej—®14-®а+11®э» < •i-cn/iox,-®»
.®J ——®a 4*®a+®a*
4.18. x—{1,4, -8}.
’®j —®1 "b®2 3®Э»
< eX3/4X!-ea,
.e3— —®a+®a+®a.
400. x-{5, -5,4}.
{®i “®i +®2+(4/5X1» ®a— —4®i~®a» e,« — e1+e2+ea. 402. x-{6, 6, 2}.
®J—®i +*a+(5/6Xi» ea——5®!—®a,
404. x-{7, 7,2}.
Г®1 "®i +®i+(6/7Xi» < «2» — 6®J — ®a.
406. x—{1, -9,9}.
Г®1 — ®1 + *2 ~ 8®Э»
< ®a—(8/9X1—®i, L;--®i+®a+®s. 408. x-{3, -10,10}.
r®l —®1 +®2~"9®s, L;-(9/10Xi-®2. le;--®1+®a+«>. 430. x—{1, 9, 18}.
e'— ®! 4-®a4-10ea, ®;-(10/9X1-«a» .®j— — ®i+®a+®3.
Задача 5. Пусть x2, x3). Являются ли линейными
следующие преобразования:
5.1. Лх-(6х1-5х2-4х„ -Зх1-2х2-ха,ха+2х1),
Ях-(6-5х2-4хэ, 3xi-2x2-xa, ха+2),
Сх-(х£, Зх^гха-хэ, х2+2ха).
50. Лх-(5х1-4х2-Зх>. 2XJ-XJ, ха+2), Ax-(5xj -4х2-Зхэ, 0, х*+2хД Cx-(5xi-4xa-3x„ 2Xi-xa, х2+2ха).
170
53. Ах—(4Х1~ Зх2 — 2х3, Хр х1 + 2х^Ч-Зх3), Bx—(4Xi-Зх2 —2х3, xv х14-2х2 + Зх3), Сх — (4х3 — Зх2 — 2х3, Xj, х, + 2х2 + 3).
5.4 . Лх»(Зх1 + 2х2+х3, х3, 2xj —Зх2 —4х3), Bx—Oxj+2х2+х3, 1, 2х,—Зх2—4), Сх-»(3х!+2х2+х3, х3, 2xj—Зх2—4х3).
53. Лх-(хр х,—2х2—3, 4х,—5х,—6), Вх"*(хг, Хц—2х2—Зх3, 4xj- 5х2—6х3), Сх»(хр xi—2x3—3xi, 4Xj —5х2—6х3).
5.6. Лх«(2х1+х2, х2—2х3, 3xj- 4xj —5x0, Вх—(2х3 +х2. х2—2х3, 3Xj—4х2—5xj), Cx—(2xi+x2, х2—2» 3xt — 4х2—5).
5.7. Ax—(xv Xj + 2x2 + 3x,, 4х1 + 5х2+6х3), Вх—(х„ х2+2х2 + 3, 4х.+5х, + 6)> Сх - (хр х2 + 2х2+Зх3, 4xj+5х2 4- 6х3).
5.8. Ах^(3х1 — 2х2—х3, 1, х.+2ха+3), Bx"*(3xt— 2х2—х3, 0, х{+2х2+Зх3), Cx-pxj—2х2—х3, х3, Х1+2ха+Зх3).
5.9. Лх»(2х3 —х2, х3, х,+2х2+3х1), 3x-(2xj-x2, х3, Xi + Zxj + ЗхД Сх-(2х1 —х2, 1, xi+2x2+3).
5.10. Лха>(х3, 2х1+Зх2+4х3, 5xj+6х2+7х3), Лх»(х3, 2х.+Зх2 + 4, 5x1 +6х2+7), Сх"(х3, 0, 5х^ + 6х2 4- 7х3).
5.11. Ax—(6xl—5х2— 4ха. 3xj —2х2—х}, 0), Bx—(6xj-5х2—4, Зх. —2х«—х3, 0), Сх»(6Х1—5х2—4х3, 3Xj—2х2—х^, 0).
5.12. Ах"*(5х1~4х2—3, 2х. — х2, х^), Лх»(5Х1—4х2—Зх3, 2Xj —х2, 1), Cx—(5xj —4х2—Зх3, 2xt—х2, х3).
5.1Х Ax—(4xi-Зх2—2хэ, xj, х2+2хЛ Bx"*(4xi~Зх2— 2х3. Хр x2+2xj), Cx—(4xj-Зх2—2, Хр х2+2).
5.14. Лх—(Зх1+2х2+х3, 0, х3 —2х2—ЗхД ^х«СЗх1+2х2 + 1, 0, Xj—2х2—3), Cx»(3xj +2х2+хэ, 0, xj—2х2—Зх3).
5.15. Ах»(Хр х2 —2х3, 3xt—4х2—5), Bx»ixit xf— 2хэ. 3xj—4х2—5), , Сх—(Хр х2—2х3, 3xj— 4х2—5х3).
5.16. Ax"‘(2xi+x3, xj, 2xt — Зх2— 4хЛ Лг—(2Х1 +х2, х3, 2xj — Зх2 —4XJ, Cx-(2Xi+x2, хэ, 2xj —Зх2—4).
5.17. Лх»(хр х2+2х3, 3xi+4x2+5xj), Лх—fxp x«+2xj, 3xj +4х2+5), Сх—(хр xj+2xj, ЗХ1+4х2 + 5хз).
5.11 Лх—(3х.-2х2 —1, 0, Х!+2х2+Зх3), Вхш(Зх{-2х3-х3, О, 0), Cx-(3xi~2х2—х3, 0, Х1+2х2+Зх3).
5.19. Лх»(2х^—х2, х3, 2х2+Зх3), Bx-(2xi-x2, Xj, 2х2+Зх3), Cx-(2xj-x2, х3, 2х2+3).
5^(К Ах^^09 Xi я4,2х2 4"Зх3, 4xj “Ь5х2“F"6х3),
171
Ar—(0, x.+2xa+3xa, 4x1+5x2+6X Сх—(О, х|+2х2 +3ха, 4Xi +5х24-6хэ).
521. Ах—f6xj — 5х2—4х,, 3xj—2х2—хэ, х2), Ас—(бх2—5х2—4, 3x.-2xa-xs, х2), Сх—(бх, —5х2—4xJ, Зх2—2х2—ха, 0).
522. Ах~(5х2—4х2—3, 2х.—х2, Xj+lXj+SxA Ac—(5xj — 4х2—Зх*, 2xt—х2, Х1+хх2Ч-Зх3), Сх—(5Xj — 4х2—Зхэ, 2х,—х2, Xj 4-2х2+Зх3).
523. Ах—(4х2- Зх’—2ха, Xj+хз, ОХ
Ас—(4х,—Зх2—2ха, Xj+x., 2х1+Зх2+4х3), Ск—(4х2—Зх2—2, Xj+x3, 2х1+Зх2+4х3).
524. Ах—(Зх1+4х2+5х3, 6xt ч-7х24~8х3, 9х.+Xj), Ac—(3xi+4х2+5, бх.4-7х,+8, Эх^хД Сх—(3xj +4х2 + 5х*» 6хх +?х2+8хэ, 0).
525. Лх—Г2х14-Зх2+4, 5х.+6x^+7, 8xj+x3), Ас-ГТх, +3х2 +4x*j, 5х, +6х2+7х3, ОХ Сх-(2х1 + Зх2+4х3» 5х14-6х2+7х3, Sxj+x,).
526. Ах-бх’+х,, 2х1-ЬЗх2+4х3> ОХ Ac—(xj+Xj, 2х1+Зх3+4х3, 5х. 4-6х,4-7хэ), Сх—(xj +1, 2х3 +3х2 +4, 5хх +6х2 + *х3Х
527. Ах—(Зх2—2х2—ха, х24-2хэ, 3x.+4xj+5x3X Ar-(3x2—2ха —1, х2+2» Зх2+4х2+эха), Сх—(3xj — 2х2—х", х24-2х3, 0).
528. Ax~(2xi—Xj, Xi+2x2+3, 4xj4-5x2+6x3X Bx—flxj-xf, xt + 2x2+3x3, ф, Ск-(2х2—x2, x, +2x2+3xj, 4Xj +5x2+6x3X
525. j1x-(x’+2k2+3x„4x14-5x2+6x3, Txj+SxJ, Ar—fxj+Zxa+Sx», 4x14-5x24-6x>, 7x1+8xJ, Cx—(Xj+Txa+S.Jxj+SXa+e, 7xj+8x2X
52®. Ак-(х2+2х«, Зх1+4х2+5х3, бк^Тха+вхД Ar—(*1+2, 3x.+4x2+5, 6xj+7x2+8x3X Cx—(xl+lxj, JXj+^Xa+Sxj, 6x1+7x2+8x3X
531. Ax—(x|, xl—xi, x2+XjX
Ar-tl, xt-x„ x2 +xaX
CX—(Xj, xl—x2, X2+XjX
Задач* 6. Пусть x={x1( x2> x3}, Zx={x2-x3, x1( x1+x3}, Bx-{x2, 2x3, Xj}. Найти:
&1. АВх. 62. А2х. 63. (А2-В)х.
6Л. Я*х. 63. В2х. 6J6. (2А+3&)х.
6,7. (А2+В3)х. 6£. (&+А)х. 63. В Ах.
<2®. В(2А-В)х. 6.11. А(2В-А)х. 6Л2. 2(АВ+2А)х.
6.13. (Л-В)2х. 6.14. (В-2А2)х. 6.15. ВА2х.
6Л6. (ЗА*+В)х. 6Л7. (А2+В)х. 6.18. (А2-&)х.
6.19. (2В-А2)х. 620. Я’х. 621. (&-2А)х.
<22. (А(В+А))х. 621 (А#)х. 624. (А(В-А))х.
625. 2(B+2Ai^Btl)x. 626. (В(А-В))х. 627. (В~ A+Jr)x.
<281 (В(А+В))х. 629. (А+ВА-В)х. 63®. (ЗЯч-2Л2;х.
<31. (B(2A+B))x.
Задача 7. Найти матрицу линейного оператора в базисе (ej, el, el), где е^е^е^Ч-ез, е2--ei+e2-2e3, el= -et+2e2+ +е3, если она задана в оазисе (els е2, е-,).
172
7*20. /1 1 (X
173
738. /2 I 0\
( 1 ° 1 )
\1 -1 1/.
7.29.
2
0
-1
1
1
1
730.
731. /0 IK
( -1 0 1
X 1 -1 1/.
Задача 8. Доказать линейность, (i, j, k)), образ и ядро оператора:
найти матрицу (в базисе
8.1. Проектирования на ось Ох.
83. Проектирования на плоскость z=0.
83. Проектирования на ось Oz.
8.4. Зеркального отражения относительно плоскости Oyz.
83. Проектирования на ось Оу.
8Л. Проектирования на плоскость у—0.
8.7. Зеркального отражения относительно плоскости х—у—0.
83. Зеркального отражения относительно плоскости y+z—0.
8.9. Проектирования на плоскость y-z—Q,
8.10. Проектирования на плоскость у—^/Зх.
8.11. Проектирования на плоскость Oyz.
8.12. Зеркального отражения относительно плоскости х—z«0.
8.13. Зеркального отражения относительно плоскости Оху.
8.14. Поворота относительно оси Ох на угол я/2 в положительном направлении.
8.15. Проектирования на плоскость х—у—0.
8.16. Проектирования на плоскость y+z—0.
8.17. Зеркального отражения относительно плоскости х+у—0.
8.18. Зарм-льного отражения относительно плоскости у—z—0.
8.19. Проектирования на плоскость х+у—0.
830. Проектирования на плоскость x-z»0.
831. Зеркального отражения относительно плоскости x+z—0.
>11 Поворота относительно оси Oz влоложительном направлении на угол я/2.
833. Проектирования на плоскость >/3y+z—0.
834. Зеркального отражения относительно плоскости Oxz.
925. Поворота в положительном направлении относительно оси Оу на угол я/2.
836. Проектирования на плоскость x+z—0.
837. Проектирования на плоскость y±.yj3z~0.
838. Проектирования на плоскость vJx+z—0.
839. Проектирования на плоскость -^Зх+у—0.
830. Поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол я/4.
831. Проектирования на плоскость х—->/3z—0.
Задача 9. Найти собственные значения и собственные век* торы оператора, заданного матрицей
174
9.2Ъ AS О (К 12 13 -4 1 X 2 —2 11/.
175
Задача 10. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.
10.1. х^4-4х1х24-4х1х34-4х2х34-4х^.
103. 4XJ+4XJX2 + 8XJXJ —Зх^+4х^.
103. 4xj + 8x1x2+4xix3 + x3.
10.4. 4х^4-8х1х24-4х1х34-Зх^ — 2х^.
103. х^+4х1х2+4х1х3 + Зх24-4х2х3 + х^.
10.6. х^4-4х3х24-4х2х34-х^.
10.7. x] + 2xjX2+2xjX3—Зх? —6х2х3 —2х3.
103. х] +4х,х2+2xjX3 + Зх2 4- 2х2х3 + х3.
10.9. х^+4х,х3—х% — 2х2х34-4х*.
10.10. x’4-2XjX24-2x1x34-x^.
10.11. х, +4х,х2+4х,х3 + 8х2 + 12х2х3 4-4х3.
10.12. 4xJ +4ххх2 + 8х,х3 4- 5х? 4-8х2л3 -1-4х^.
10.13. 4x^ + 8xjx2+4xix3-i-8x|4-8x2x3 + x^.
10.14 4х}+8х3х2 +4xjX3 4- 5х2 4- 8х2х3 4-4
10.15. xj4-4XjX24-4xiX34-5x24- 12л2х3 + 7х^.
10.14. х^ 4-4XjX2 4-4XjX3 4-8х* 4-16х2х3 4- 7х3.
10.17. х\ 4-2xjX2 + 2xiX3 4-5х2 4- ’0х2х3 4-4х^.
10.18. xj 4-4xjX2 4- 2xtx3 4- 5х^ 4- 6х2х3 4- г3.
10.19. х’4-4х1х34-х^4-2х2х34-4х3.
1030. xj4-2xix24-2xix34-2x^4-4x2x34-x3.
1031. х^4-4х1х24-4х1х34-4х2х34-2х^.
1032. 4х^4-4х1х24-4х1х3 — Зх*4-2х^.
1033. 4х^4-8х1х24-4х1х34-х^.
1034 4х^4-8х1х24-4Х1Х34-Зх^—4х3.
1035. xj4-4xjx24-4xix34-3x^4-4x2x3—х3.
1036. x^4-4x1x24-4xtx3—х3.
1037. xJ+lXjX^TxvVj — Зх^-6х2х3-4х3.
1038. х^4-4Х1Х24-2х1х34-Зх^4-2х2х3-х^.
1039. x^4-4XjX3—х%—2х2х34-2х|.
1030i xJ-fZxjX^TxjXj—х^.
1031. х|4-2х1х24-2х1х34-2х^4-4х2х34-Зх^
Задача 11. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.
11.1. 4х] — Зх^—4x^2—4х,х3 4-8х2х3.
113. 4х?4-4х^4-х^—2х3х2 4-2д/зх2х3.
113. 2х|4-2х24-2х^4-8х1х24-8х1х3- 8х2х3.
11.4. 2х]4-9х^4-2х^—4XjX24-4x2x3.
113. — 4xJ —4х^ 4- 2xj—4xjX2 4- 8xiX3 — 8x2x3.
176
11.6. x^+xj+4xj+2x1xa —Z^/sxjXj.
11.7. 4xj+4x^+x^+2x1xa—4x1xs+4xaxs.
HA 3x|+x^—- xJ+Z^SXiXj—XjXj+^ixjXj.
HA — x* —x^—3x^—2xjX2—604X3+6X3X3.
11.10. xf—7Xj+xJ—4x!Xa—2xjXs—4x3X3.
5^2 4 5^2 3^2 , 5/2
11.11. — x]+— x2+-^- xj+— xa+x^+x*.
11.11 Зх2 —7x^+3xJ+8xax2—8xjXs— 8xax3.
3
3
11.15. — 2x]+2x^—2xJ—4x1x2+5^2x1x1+^2x2xs.
11.16. — (1 /2)х*+Sx2 —(l/2)xj—4XjX2 + 3xjX s +4x2xs.
11.17. xf+x^—x*—4xiXj+4x2Xj.
11.18. — 2x]+2x^—Хх^+бх^—6xjXs+AxjX,.
11.19. 2x] +3xJ +2X2—8xaxa —4^/zxjXj+2^/2xaxa.
11 JO. — 4x]+x^— 4xJ+4xaxa— 4xiX,+4xaxs.
11.21. 10x*+14x^+7x£ — 10XiXa—^IxiXj—5^2x2xs.
11.21 (3/2JX2-5x^+(3/2)x^+4xxxa-x1Xj-4xax1.
11.23. xf+x^+2xj+4x1xa+2y2x]lxa—2^2хахэ.
11.24 2x^—3xJ—2^3хаха—4xjlxs+4^3xaxJ. ,,,4 8^2
11.25. jq+xJ+x5+- Xjxa4--x2x2.
3 3
11 JO. ^+^+bxiXt+4yJtelxi—2-Jlxtx3.
11.27. 5x]+13xJ +5xJ +4xtxa +8X3X3. 2 4J2
11.28. 2x]+2x2+2x,+- xtx24--x^Kj.
3 3
11.29. 5x^ +4x^ + 2xJ—4xax2—l^/lx^ +4у]2х2хъ.
11.30. — 2х?+5х|—2xj+4xixa+4xaxs.
1131. — 3jq+9x|+3x|+2xjXa+8хахэ+4xaxs.
Задача 12. Исследовать кривую второго порядка и построить ее.
12.1. -ха-у2+4х>’+2х-4>+1-0.
12Л 2ха+2/-2х^-2х-2>+1*0.
123. 4ху+4х—4у"0.
12.4. —2Х3—2уа+2л>’—6х+6у+3»0.
123. -Зх2—3/+4ху-6х+4у+2-0.
116. -2ху-2х-2^+1«0.
117. -х2-/-4х/-4х-2у+2«0.
118. -4х2-4у2+2лу+10х-10>+1«0.
7 —2П7
177
119. 4ху+4х-4у-2-0.
ИЖ x2+y1 + 2xy-3x-3y+l»Q.
1111. xa+/+4xy-8x-4y + l-0.
1111 xa+/-2xy-2x+2j-7-0.
1111 2xy+2x+2y—3—0.
1114. 4xa+4ya+2xy+12x+12.y+l-0.
1115. 3xa4-3.ya4-4xj+8x4-12j’4-l—0.
1116. xa+ya-8xy-20x+20y+l-0.
1117. 3xa+3/-2xy—6x+2y+l-0.
1118. 4xj^+4x+4y+l "0.
1119. Зх’+Зу2—4xy+6x—4y—7-0.
1231 — 4xy—4x+4y+6—0.
1121. 5xi+5y1-2xy+\Qx-2y+\-Q.
1121 2xa+2/4-4jQr+8x4-8j+l- 0.
1121 -xa-/4-2xy+2x-2^4-l«0.
1124. 2xa+2/-4xy—8x+8^+l-0.
1121 3xa+3/+2xy- 12x—4^+1 - 0.
1126. -4xy+8x+8y+l - 0.
1127. 2xi+2y2-2xy+6x-6y-6-0.
1128. x2+f+4xy+4x+2y-5-0.
1129. 4xy+4x—4y+4—0.
1131 Зх’ + Зу3 — 4xy-h4x-h4j+l— 0.
1231. x^+y1—4xy+4x—2y+l — 0.
XI. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Теоретические вопросы
1. Основные уравнения. Постановка краевых задач.
2. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности и волнового уравнения с однородными граничными условиями методом Фурье.
3. Сведение смешанной задачи с неоднородными граничными условиями к задаче с однородными граничными условиями.
4. Решение смешанной задачи для неоднородного уравнения.
5. Уравнение Лапласа. Решение краевых задач для уравнения Лапласа в круге и в круговом секторе методом Фурье.
Теоретические упражнения
1. Показать, что функция
<р(х)++(у) и(*.у) =-------.
х-у
178
где <р(х), ф(у) —произвольные непрерывно дифференцируемые функции, является решением уравнения
х-у
2. Дан тонкий однородный стержень с теплоизолированной боковой поверхностью. На его конце х—0 поддерживается температура, равная нулю, а на конце х—1 температура изменяется по закону u(l, t)=Ae~{ (А — постоянная). Начальная температу
ра и(х, 0) «А Найти распределение температуры в стержне при
1>0.
3. Решить задачу об остывании тонкого однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура и(х, 0)=<р(х), один конец теплоизолирован, а другой поддерживается при постоянной температуре.
4. Найти стационарное распределение температуры в кольце, ограниченном двумя концентрическими окружностями, если иа каждой из окружностей поддерживается постоянная температура.
5. Найти стационарное распределение температуры в сферическом слое, ограниченном сферами, которые имеют общий центр, если на каждой из сфер поддерживается постоянная температура.
6. Подобрать решение задачи Дирихле
«и + «даа0 (0<Х<1, 0<_У< 1),
= У
и
(0<^<1),
= 0, и
7. Найти гармоническую функцию внутри кругового сектора удовлетворяющую граничным условиям
u(r, 0) = u(r, а)=0, u(R, (p)=Aq> (А —постоянная).
8. Найти решения волнового уравнения типа плоской волны и —f(t—Ах—By—Cz)
и сферической волны
9. Доказать, что если функции ut(x, t) и и2(х, t) являются решениями смешанных задач для одного и того же волнового
179
уравнения с одними и теми же нулевыми граничными условиями и начальными условиями вида соответственно
=х0, /-0
3t
=Ф(х)
г-о
то сумма Ul(x, t)+u2(x, t)=u(x, t) является решением смешанной задачи для этого волнового уравнения с теми же нулевыми граничными условиями и с начальными условиями вида
/«о
= <р(х)
Tt Ч'М-
Расчетные задания
Задача 1. Решить смешанную задачу.
1.1. и(х, 0)«sm3ax; ufO, 0.
IX и(х, 0J«2sm2xx4-3«in3xx; ufO. О "О-
IX и^3и„; *(*• 3rin2xx; u(0, l)">u(7, 0—0.
1Л и^Зм**; u(x, 0)—4iin3iu+5nn4xx,' ufO, 0—0.
13. **(*• 07—ЗвтЗях; u(0, t)~u(6,
13. мгч7мхх; u(x, 0>-6мп2лх+7йпЗях; u(0, t)—u(3, t)—0.
1.7. mx—Sife» u(x, OJ—7ud2kx; u(0, t)—u(5, 0—0.
IX uf "‘6uxx: **(*> 0) —8iin3xx+9sm4«x; ufO. t) —«(4, t) -0.
1Л Ui^Guxx; u(x, 0>*"9ппЗях; wfO, f>»uf4, />—0.
1.10. iqoSmxx,- i(x, 0>»10ат2ях+3«пЗкх; u(0, tJ«O.
1.11. ^>7uX№* u(x, 0> — ll ап2ях; й(Ь, l)"4t(3,
1.11 мг«4мхх; u(x, 0>-12ein3»u+5iin4juf; u(0, t)-u(6,
1.11 «/"“вИхх/ u(x, 0)^13юаЗхх; u(0, rJ»O.
1.14. Ut^Uxci u(x, 0J —14в!п2ях+7ппЗях; wfO, t)~u(7, !)•*0.
1.15. Иг«9ихх; u(x, 0Ja>15sn2xx; wfO, d-0.
1.16. ura>2uxx; u(x, 0J-16sm3ftx+9sn4itx; ufO.
1.17. u(a«2uxx; u(x, 0^">17нп2ях; u(0, tj^u(2, t)*0.
1.18. м/«3мхх; u(x, О^ш18вп3ях+3»п4ях; m<0, 0—«f7, rJ-O.
180
1.19. u,-3«w; u(x, 0;-19sn3«x; ufO. t)-u(3, tJ-O.
1.20. mjm&w ufjr. 0>»20ш2ях+7нпЗях; ufO. t)»u(6, 0—0.
121. 14—4wxxi* u(x, 0>—21 sin2xx; ufO. Ij«s(4, O""O.
12X W/“4mxx; u(x, OJ—22»n3xx+5sm4xx; m(0, t)—u(5, 0*0.
12X ui^Sujcj,; u(x, 0)—23sin3icx; «fO, tj—ufi, O*O.
124. ut"*6uxx; u(x, OJ—24ап2хх+9«пЗкх,' ufO, t)—u(4, О "О.
12X м/"6мхх>* Mfx, 0>«-25йп2ях; w(O, 0**66» t) -0.
125. w/oSmxx,* u(x, 0>-26жтЗхх+Зяп4хх; ufO. t)—u(3, 0*0.
127. и,—7mxx; u(x, OJ—27sin3xx,* ufO, 0*0.
128. w<—4wxx>- u(x, 0>—28ш2ях+5апЗях; ufO, t)—u(2, 0"0.
129. Ut—toigx; u(x, 0;—29sm2xx.* wfO, 0*uf8> t) —0.
130. ty—Зи»; u(x, 0)—30sin3itx+78in4iix; u(0, 0*0.
131. t^»9wxx; u(x, OJ —31 sinSitx; ufO, t)—u(9, t)—0.
Задача 2. Решить смешанную задачу.
XI. м,о2мхх; и(х, 0J-coe3icx+2cos4ftx; uxfO, 0*4rf8» О “°-
XX ы,">2ихх; й(х. 0)-2сов2ях,- их(0, О*мх<2, 0“0.
23. м(-Зидо и(х, 0>'>3сов3ях+4сов4ях; uxfO, t)»ux(l, tJ—O.
Х4. wf—Зохх/ u(x, 0) »4coeЗях; vxfO. t)"*ия(3, t) *0.
X5. Ut—bUjuf; u(x, 0>«5сов2ях+бсмЗях; MxfO, f)~Mxf6. l>»0.
X6. «г—4mxx; u(x, 0J«6coe2xx; uxfO, t)"»ux(4, 0«0.
X7. m(»4vxx; u(x, 0)*>7совЗях+8сов4ях; wxfO, ^»Mxf5, />—0.
X8. и/^Зи^ ы(х,0)"»8солЗях; ux(0, t)^ux(5, X9. Ui^Guju; u(x, 0>»9сов2ях+10со*3ях; uxfO. tj">ux(4, O—O. X10. Мгобнхх,* и(х, 0> «10сов2ях; мх(0, t) "»ия(6, t) »0.
Xll. М/мЗм^р* u(x, 0>-11совЗях+12сов4ял; ия(0, t)">ux(3t i>0.
XIX ut^lugg; u(xt 0>»12совЗях; wxfO. t)">ux(7, tJ-O.
XIX w/x>4vxx; u(x, 0)»13сол2кх+14сол3ях; ия(0, t)">ux(2,1)^0.
X14, uz<»8mxjc; u(x, 0>»14сов2ях; uxfO, t)"»ux(8, (>«0.
XIX ^"“Зухх; u(x; OJ*>15cos3xx+16co«4itx; wxfO, i)»Mxfl. 0»0.
XIX «/>9wxx; u(x, 0J*»16cos3itx; «xf0, t) "*ux(9, t) ««О.
X17. ti(x, 0;>>17совЗлх+18со*4ях; ux(0, lj"*ux(2, 0-«0.
XIX ы/""4ыхх; u(x, 0) >18cos3nx; uxfO, t) »Mxf6. t) »0.
X19. Мг-7мхх,’ u(x, 0)«19сов2ях+20совЗях; ux(Q, t)">vx(3, 0-0.
220. Mf—Smxx,* v(x, 0) —20cos2xx; ux(0, t) — ux(5, t) —0.
221. wz—6«xx; u(x, 0>—21соаЗяж+22сш4ях; Nxf0. 0—Mxf4, t)—0. 22X Ui-Owxx; u(x, 0) -22cos3xx; uxfO, t) -мя(4, t) -0.
22X Sujuc,' u(x, 0)— 23сог2ях+24см3ях; мх(0,1)~ия(5, t)"0.
181
224. u(x> OJ—24соа2ях; «xfO. l)—vx(3, t)—Q.
22S. Ut—Auxx; u(x, 0)—2Scoa3xx+26coa4xx; Ux(0, t)—ux(6, 0—0.
221 Ut^Ugg; u(x, 0) -26cos3xx; ux(0, i)—tix(2, t) —0.
227. iq—3м**; u(x, 0) «27 соа2ях+28соаЗях,* мх(0, t)—ux(7, 0-0.
221 u(x, 0;-28соа2ях; u/0, 0-“хЛ, 0-0.
129. 14,—9uXX(* u(x, 07—29co*2itx4-30cos3itx; ux(0, t)—ux(\, 0—0.
130. и,—Змхх/ u(x, 0>— 30cos2xx; i4xf0, t)—tix(7, t)">0.
131. iq-2mxx; ufx, 0J-31 соаЗхх+соа4ях,-wx(0, t)—ux(6, 0-0.
Задача 3. Решить смешанную задачу.
11. и,—гиде,- u(x, 0) -19 am Зкх; u(0, t) —0, uxf0,5; t) —9.
31 и,—5u„; u(x,0) —8соаях; ия(0, 0—0, мЛД. 0—0.
33. вмхх/ u(x, 0) — 17amЗкх; u(Q, t) —0, mx(2>5;, 0*0.
ЗА м,—Mxx,* u(x, 0J-6coa9xx,- «xf0, t) —0, u(3,5; t) —0.
15. м,-4мхж; u(x,0J-15am3iu,' ufO, 0-0, «xf4,5; 0-0.
31 iq*b2uxx; u(x, 0J—4coa5fcx; MxfO, 0—0, кПД' 0“ 0.
17. м,—Змдх,* u(x, 0> —13 ain Зкх; u(0, 0 —0» ux(2,5; 0—0.
11 Mxx,* ti(x, 0>-2соа7ях; ux(0, 0—0, «ЛД 0 —0.
19. ut">Su„; u(x, 07 — 19am3nx; ufO, 0—0, Mxf0,5; 0—0.
Ill 14,—«хж/ ч(х, 0>—8coa5itx; ux(0,1)^0, и(1Д 0—0.
111. 14,-бмхх/ u(x, 0) -17am3xx; wfO, 0 -0, w«f2,5; 0 — 0-
111 14,—2uxx,* u(x, 0JaA6coe7xx; Mxf0. 0—0, и(3£; t) -0.
Ill Uf—и„; u(x, 0J — 15ain9xx,* ufO, 0—0. 0—0-
114. 14,—3«xx.* u(x> 0J—4coaS>ur; nxfO, 0—0, «f3,5; 0 —0.
115. iq—7«xx." О>ч>13ат3ях; wfO. 0—0, Mxf2,S; 0—0.
Ill w,»9uxxi- u(x, 0J — 12coa3xx; iix(0, I) — 0, мЛД* 0 —0.
117. 14,—lujuc,’ u(x, 0>—9am7itx,' wfO, 0—0, Uxf2,5;, 0—0.
Ill w,—Smxx,* u(x, 0)—18coe«; uxfO, 0—0, Mf3,5; 0—0.
119. к,—8«xx,' u(x,0J—7атЗях; u(0, 0—0, **xf4,5; 0—0.
121 iq—ti„; u(x, 0J-16coa9icx; i4xf0, 0—0, м<ЗД* t) -0.
121. к,—4KXX,* **(x, 0>— SainЗкх; ufO, О—О, йжбХ5; 0—0.
321 iq—214XX,’ ufx, OJ —14coa5xx; ux(0, 0—0, иЛД* 0—0.
321 м,—Змхж>* **(x. 07— ЗатЗях; ufO, 0—0, ux(0,5; 0—0.
324. iq—Их,,• u(x, OJ — 12соа7ях; nxfO, О—О, «ЛД 0—0.
325. м,—Suxx,* u(x, 0>— 9атЗях;i<(0, 0— 0,14xf2,5; 0—0.
321 m,-^; «fx, 0;-18соа5ях; i4xf0, 0-0, u(3^5; t)-0.
327. и,—6uxx; u(x. 0)— 7атЗях,- u(0, 0—0,14xf4,5,* 0—0.
321 iq-2i4xx.* ufx, 0> —16coa7itx; i4xf0, 0— 0, uf3,5; 0-0.
182
129. Uf^u^; u(x, 0) «5sin9xx; m(0, t) —0, Mxf2,5; t)—0.
330. u,—3uxx; ti(x, 0) — 14cosЗях; ux(0, t) —0, Mfl,5; t) —0.
331. V/—VW»,* u(x, 0) — 3sin 3xx; u(0, t) —0, ux(0,5; 0—0-
Задача 4. Решить смешанную задачу.
4.1. м,—9м*,; и(х, 0>-5мп2ях—1+Зх; ufO, О —— 1» и(2, t)—5.
43. мг-8мхх; и(х, 0)-6мпЗлх+2—Зх; ufO, 0-2, и(3,0 - —?•
43. м,—luxxi и(х, 0) —7sm2xx—3+4х; и(0,1) — —3, м(1, О — 1-
4.4. м(-бцде* и(х, 0) -8 яп4ях+4—5х; м(0, t) -4, и(2, t) — —6.
43. м(-5нхх; и(х, 0) -9 sin Зкх-5+2х; м(0, t) - - 5, и(3, 0—1.
4.6. м(-9кхх; и(х, 0J— 8sinЗкх+6—2х; м(0,1) -6, и(4, t) — -2.
4.7. iQ-Su^; и(х, 0)-7яп2ях-7+Зх; wfO, О--7, ЦЗ, 0-2.
4Л. ut-luxjt,' и(х, 0J— бжтЗлх+8—Зх; wfO, 0—8, “3, 0 ——4.
4.9. м,—4ИЦ,; и(х, <0—5яп4ях-9+5х; м(0, О —— 9, и(2, t) — l.
4.10. Mt—Зихх; и(х, 0J—4ап5ях+9-4х; м(0, 0—9, и(3, О —-3.
4.11. и/">2ыхх; и(х, 0J-3sin6xx-8+5x; м(0, О"1—8, и(2, t)—2.
4.11 К/—Змхх; и(х, 0>—2ап4ях+7—5х; ufO, 0—7, «П. О—2.
4.11 М/—Змх»; м(х, OJ—3sin3itx-6+4x; wfO, О —-6, и(3,0—6-
4.14. и,—бм*,; и(х, 0J —4ап4ях+5—4х; м(0, О“5, и(2, t)^ — 3.
4.15. М/—ем*,; и(х, 0J— 5ап2ях—4+Зх;м(0, О"— 4, и(\, О"—1-
4.16. М/—7мхх;м<х, 0J-6sin3itx+3+2x;u(0, 0"3; и(2,
4.17. t^-бм»;и(х, 0J—7ап4ях-2+х; ufO, 0“-2> и(3, 0 — 1.
4.18. М/—lUjai и(х, 0) —8 sin 7ях+1 —х; м<0, О “1» и(2, О • — 1-
4.19. м/-4мхх; и(х, 0) -9 ап Зях-1 —2х; м(0, 0 - -1, «П. О -3.
430. и^бихх,’ и(х, 0) -8 sin4xx+3-4x; и(0, t) -3, и(2, О “—5-
431. м,-7м*,; и(х, 0) —7 sin Зях—5+бх; ufO, О " — 5, м<1, 0 “ 1-
431 М/-8мде; и(х, 0) «6sin 2ях+ 7-5х; м<0, О '7, О “ — 3.
431 М/-9М*,; и(х, 0) -5 sin Зях-9+4х; ufO, О " -9, м<3, О "3.
434. ty—вМде,* и(х, 0J—4sin3nx+8-3x; м(0, О-8, и(2, О“2.
435. М/—7МХХ,*и(х, 0>— Зап2ях—6+2х; м<0, 0“—6, и(3,1)^0.
436. Ui-бмде; и(х, 0>-2ап4ях+4+х; м(0, 0 “4, и(4, 0-8.
437. М/—5«хх; и(х, 0) —3sinЗях—2—х; и(0, tJ">-2, и(3, 0 — —5.
438. м,—Эм**; и(х, 0>— 4ап5ях+3—2x;uf0, 0—3, и(2. О —— 1.
439. м/—гм**; и(х, Q) —5sin7ях— 1 —Зх; м(0, 0 — — 1, «П, О — ~4.
430. S4/-4WXX; ы(х, 0J-6sin4nx+2-4x; ufO, 0-2, и(2. О ——6.
431. М/—Зихх,- и(х, 0) —7sin Зях—4—Зх; м(0.1) — —4, и(\, t) — —9.
Задача 5. Решить смешанную задачу для данного неоднородного уравнения теплопроводности с нулевыми начальным и граничными условиями
и(х, Q)">О; и(0,1) —0, ц(я, t) —0.
183
5.1. м,—- Mxs+5sin2fain3x.
53. iq—— Mxx+e~ai8m4x.
16
53. ut— MXK+10coi3tsm2x.
5.4. Mj—2мжх+7е“1а,мпЗх.
53. Mj——иде+ЮвтЗ/кнМх.
5Д. iq—- мях+2е~*ш2х.
1
5.7. мг—- Mxx4-2coersin3x.
1
53. м,--iixx+5fin2r*in2x.
53. tQ-3Mxx4-8e~*Msin4x.
5.10. iif-- «xx+3e-4<sm3x.
1
5.11. iq—— м^+ЮсошЗ/ш^х.
1
5.13. «/«- Uja+lmtmrtx.
5.15. iq-- Mxx+lOcotSlsmdx.
1
5.17. mj—— Мде+Зяп/ял^х.
16
1
5.19. м{»-ыдх4-5со|2/вп>Зх.
531. и,"»-- Uju+lOamSfsinZx.
5.12. iQ—Змде+бе'^'апЗх.
5.14. iQ—— uxx+4e-5*am4x.
16
5.16. ut—4мхх+5е-<4,яп4х.
53*. и,—7wxx+4e"eMein3x.
532. iq—- Mxx4-2e-s,iin3x.
533. iq*-~ мхж+5сов2/яп4х.
1
535. «/«- Мдж+ЮатЗгапЗх.
537. iq—- u^+Scoel/sinlx.
533. iq-— мхх+5ш2/>й14х.
16 1
531. tif**— uxx+2cosisin4x.
16
534. иг-5мхх4-3е-ао‘яп2х.
536. Mj—— MXJt+3e~*,ain4x.
16
538. мг-6мхх+2е-34‘яп2х.
530. и,—- M*x+4e-s‘sm2x.
Задача 6. Решить смешанную задачу.
1
6.1. u„+5cot2tm2x; и(х, 0^— яп4х; м(0,»)— и(я, rj—0.
1
63. Mj—- Мде+Зяпг/вшЗх; и(х, 0>—2яп9х; м(0, »>— и(я, 0.
184
63. «/»— Mxx+10co<3rrin4x; и(х, OJ—3rinl6x; ufO, t)"*u(n, 16
1
64 iq-— Мхг+ЮипЗ/вшЗх; ы(х, OJ—4rin 10x; u(0, tJ—O.
25
6J. ut">— Mxt+ncotAtmex; u(x, OJ—5sinl8x; u(0, t)^u(n, 0—0. 36
1
66 iq—- Uju+ 17 rin 4/rin 2x; u(x, OJ—6rin8x; u(0, t)—u(n, 0-0.
67. iq—- itar+26cosSirin3x; u(x, OJ—7rin6x; u(0, t)—Q.
9
1
6Л. iq-— Mxx+26sm5frin4x; tt(x, OJ—8rin 12x; wfO, t)"*u(n, 0—0. 16
1
69. iq—— Mxx+37cos6rrin5x; u(x, OJ—9rin20x; nfO, t)~u(n, 0—0. 25
1
610. iq—— uxx+37rin6rrin6x; u(x, 0J —lOrin 12x; m(0, O—xfx, tJ"*O.
611. iq—- «xx+lficoeS/rinlx; u(x, OJ—11 rin6x; ufO, 0*"Mfxt O^O.
1
61Z iq—- Mxx+26rinSrrin3x; u(x, OJ — 12rin 12x; ufO, t)—u(ii, 0"*0. 9
1
616 iq—— uxx+17coe4/8in4x; u(x, 0J-13rin8x; ufO. t)"*u(n, t)—0.
16
1
614 iq—— uxx+17rin4/8in5x; u(x, OJ—14rinl5x; iifO, 0"*ufx* 0—0.
616 iq— «хг+ЮсовЗгяпбх,- u(x, OJ—ISrin 18x; wfO, i)—u(it, 0*"0.
1
616 iq— - 10»+ lOrin3rrin2x; u(x, OJ —16rin4x; ufO, 0—0.
1
617. iq—- Mxx+Scos^rinSx; u(x, OJ — 17rin9x; u(Q, t)»u(n, t)^0.
9
1
616 iq—— uJKX+Srin2rsin4x; u(x, OJ—18rin 16x; u(0,0—0.
16
1
619. iq—— MjKx+lOcoeSlrinSx; u(x, OJ —19 rial Ox; u(0,0—0.
^--И„+Юй>31ап6х. иГх. u(0. t)-u(n. »>«.
1
621. iq-- uxx+17coe4lrin2x; u(x, OJ—21 rin8x; ufO. t)~u(n, 0—0.
185
6Л2. ч-- M„+178in4<rfn3x; ufx, 0)-22sin6x; wfO, i)-ufx, O-O.
6-23- **“— «„+26cosStsin4x; ufx, 0)-23sin 12x; nfO, t)-ufx, 0-0.
ej4‘ «xx+26rin5isin5x; ufx, 0J-24sin20x; «fO. 0-«(X 0-0.
62S' “‘“16 M**+37coe6/einfix«’ “(*» 0;-25rinl2x; «(0, O-«fa 0-0.
«/-“ “»+37sin6r8m2x; ufx, 0J-26sin6x; ufO, O-«fx, 0-0.
O-27- “»m~ +26 sin St sin 3x; ufx, 0;-27rin 12x; ufO. t)-u(x, 0-0.
ej8- «r-£ «xx+26cos5/sin4x; ufx, 0J-28sm8x; u<0, t)-ufx, 0-0.
fc». wJW+17sm4rsin6x; ufx, 0;-29яп18х,- ufO. 0-«f*. 0-0.
1
°°* и,Шы M«+17coe4'ein3x; ufx, 0J-30sin20x; nfO, t)-ufx, 0-0.
631. u,-- wxx+10sm3tsm4x; ufx, 0/-31 sin8x; ufO, 0-«<я, 0-0.
Задача 7. Решить смешанную аадачу,
7.1. «»-— u„+5m2t sin6x; ufx, 0)-sm 12x+x+3x; «fO, t)-я, ufx, t)«4л JO
7.2. ifr-i «„+5co«2/sin2x; ufx, 0;-2вт6х-я+2х; ufO, 0--Я, ufx, t)-x. 1
73. u„+ 10 sin3lsin3x; ufx, 0J-3sinl2x+2n-x; ufO. 0-2я, ufx, 0-я.
7A «*rx+10cos3/sin4x; ufx, 0;«4ви8х-2я+х; u(0. t)--2x, ufx, t)--K.
10 1
7A «»+17sm4rsin5x; ufx, 0>-5мп15х+Зя-2х; nfO, O-Зх, ufx, t)-x.
7Л. цг-i «XM+17cos4<8fa6x; ufx, 0;-6яп24х-4я+2х; ufO, 0- -4л ufx, t)--2л JO 1
7.7. ut--u„+26tia5tm2x; ufx, 0)-7sin8x+4x-3x; ufO, 0-4я, ufx, t)^K.
1
7Л uf--vxx+26cM5rsin3x; ufx, 0J«8sin9x-3x+3x; nfO, О- -Зя, ufx, 0-0.
7.9. ttt-~Mxx+37sin6rBin4x; ufx, 0J-9sin8x+Sx-4x; iifO, О-Зл vfx, t)—x.
7.10. и,—^Mxx4-37coe6/sin5x; ufx, 0>—lO^nlOx—5я+4х; <0, 0— -Зя, ufx, t)"»—x.
7.11. и»-— Ихх+гбмпЗ/апбх,- ufx, 0)«11ип18х+я-2х; ufO, 0-«. 0--«-
36
7.11 tQ--vKX+26cos5rsin2x; ufx, 0)«12sin4x+2x—3x; ufO, t)^2x, ufx, tj^—x. 4
1 ,
7.11 iQ--uM+17sin4t8in3x,- ufx, 0)-Выпбх+Зя—4x; u(0, О-Зя, ufx, t)^-x.
7.14. MJtx4-17coe4/sin4x; ufx, 0>«14sin8x+4x-5x; nfO, t)^4x, ufx, t)»-x.
7.15. Mt-—Uu+lOsinSfsinSx, ufx, 0)-15sinl5x4-5x-6x; nfO, О-Зя, ufx, t) - -л
7.16. и*-— «хх+Юсов3tsin3x; ufx, 0) «16sin6x-5n+6x; wfO, 0 - -Зя, ufx, t) ^x. 36
7.17. w/«-uJCX+5sin2zsm2x(- ufx, 0>^17sin6x—4я+5х; «fO, 0* -4я, ufx, t)^x.
7.18. at-|«xx+5cos2/sin3x; ufx, 0)-18яп9х-Зя+4х; «fO, 0--ЗЛ ufx, 0-*-
7.19. it—— uxx+10sin3<sin4x; ufx, 0)—19яп12х—2я+3х; ufQ, t)">—2x, ufx, t)^x. 16
730. ut—— uxx+10cos3r6in5x; ufx, 0>-20вн110х-я+2х; м(0, 0--«» 25
731. и/"» — uxx+17sin4lsin6x; ufx, OJ—21вт12х+5я—Зх; м(0, 0—5я, ufx, 0-2я. 36
732. Mf«-MxX+17coe4hin2x; ufx, 0}«22sin8x—5я+4х; м<0, 0 ——Зя, ufx, t)»—x.
731 «г»~«Xx+26sin5*sin3x; Mfx, 0>— 23sinl2x+4x—4x; ufO, t)~4x, ufx, 0—0. 9
734. и,—^uEt4-26coe5rsin4x; ufx, 0)—24sinl6x—4я+5х; u(0, t)"»—4x, ufx, 0—<
735. «/-— «юг4-37яп6Г8т5х; ufx, OJ— 25яп15х4-3я—Sx; u(Q, 0—Зя, ufx, t)^—2x. 25
736. ыг«—ц0+37сов6<еш6л* ufx, OJ—26sinl8x—Зя+6х; «fO, 0——Зя, ufx, t)">3x. 36
737. Mr--«40r+26sin5tsin2x; ufx, 0)— 27sinl0x+2x—6x; ufO, t)*>2x, ufx, t)^ -4л
187
186
IM..,--«„+26co.5r»n3..- u(x. 0) -МЛ15х-2ж+2х; «fO.-X O-O. 1
729. ut"*—ихх+17яп4гвт4х; u(x, OJ—29пп20х+я-х; MfO, <J—я, u(n, rj—0.
730. м,——Mxx+17co84rsm5x; ы(х, 0J-30rin20x—я+х; MfO, rj—— я, и(я, 0—0.
1
731. м,——м^+ЮяпЗгвтбх; и(х, GJ—31sm24x+ff+x,* MfO, и(к, t)—2n.
Задача 8. Найти решение уравнения Лапласа Ан=0 в круто* вом секторе 0<г<1, 0<<р<а (г, д>— полярные координаты, а<2п), на границе которого искомая функция и(г, <р) удовлетворяет следующим условиям:
8.1. м(1, ф)—япбф;
82. ufl, ф>-2со«2ф;
83. Mfl, Ф>-»Зсо<15ф;
84. Mfl, ф>—4яп14ф;
83. Mfl, ф^««58тЗф;
84. ufl, ф</— бсовбф;
8.7. Mfl, <p;-7coelO<p;
83. Mfl, ф>"»8ып7ф;
83. Mfl, ф)",9ып4ф;
8.10. Mfl, ф)—10соа4ф;
8.11. и( 1, ф>—11 соа 5ф;
8.12. Mfl, ф>-12мпЗф;
8.13. Mfl, ф)-13яп6ф;
8.14. Mfl, ф7 —14соаЗф;
8.15. Mfl, ф>—15соаф;
8.16. Mfl, ф>-16яп21ф;
8.17. Mfl, ф>-17яп9ф;
8.18. Mfl, ^J —18сов4ф;
8.19. Mfl, ф;-19со«21ф;
83O. ufl, ф)-20яп15ф;
821. и(\,<р)-21 япбф;
822. «П, ф;-22со812ф;
823. мр, ф)«23со814ф;
824. “24яп 10ф;
825. «fl, ф)— 25япЗф;
826. м(1, tpj—26совЗф;
827. м<1, ф)« 27сов7ф;
828. м<1, ф)-28яп5<р;
829. ufl, ?;-29sm3?;
830. ufl, pj—30cos4p;
831. ufl, ф)—31cos3<p;
u(r, 0)—u(r, я/3>-0. ttfr, OJ-ц/г, я>-0. и^(г, 0) —0, и(г, я/6) —0. u(r, 0J«0, n*(r, я/4>-0. мбг,0;-мбг,2я/3;-0. t^(r, 0)-u*(r, 7n/6)-0. u^(r, 0) — 0, u(r, я/4) —0. <r,0;-0ti^fr,R/2)-a it(r, 0)ши(г, Зя/4^—0. “<fr« 0^ — Si^/4^ ««О.
“<<». о) •0» п/2)-0.
ufr. OJ-O,M,fr, Зя/2>-0, u(r, 0)"*u(r, 5я/6>»0. я/г,о;-я/г,4я/з;-о.
мф(г, о) —0, и(г, Зх/2) —0.
0^ —0, u9(rt 1^/6> »0. и(г, О;-яГг. я/з;-о. м/г, я>-0.
м/г. О; -0, и(г, я/6,1-0.
и<г, 0>—и(г, 2я/3>*0. и*(г, 0>—i^fr, ц/3^—0. Яг<г,0;-0,м<г,я/4;-0. wfr, (V —0, и^(г, я/4) —0. ufr, O)-wfr, я)-0.
“гfr О) "M^fr, 5*/3) -а u^(r, 0>—wfr, я/2>»0.
ufr, 0J —0, Nrfr, я/2> — 0. ufr, OJ-wfr, 5я/3;-0. M^fr, о; -i^fr, 7я/4; «о. м/г, 0J —0, Mfr, 3*12) »0.
188
Задача & Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа Дн=О в круге 0<г< 1, 0<р<2я (г, у — полярные координаты), на границе которого искомая функция и(г, у) имеет следующие значения:
9.1. Mfl,
93. ufl, ф)~3сов7ф.
93. ufl, ф)«3сов5ф.
9.7. ufl, ф)»7совЗф.
9.9. ufl,^J—9сов2ф.
9.11. ufl, ф)-11сов4ф.
9.13. ufl, ф)-13 cos 6^.
9.15. ufl, ?J-lScos8?.
9.17. ufl, ф)-17cot9?.
9.19. ufl, ф/—19со>7ф.
9.21. Mfl, у)-21 dos 5<р.
933. ufl,4»J-23cos34>.
9.25. Mfl, ф)-25сов2ф.
937. ufl, ф)—27cos4?.
939. ufl, ф)—29сов6ф.
931. ufl, ф>—31 со18ф+32вт9ф.
93. ufl, ф)— 2йп8ф.
9Л. ufl, ф)— 4втбф.
9.6. ufl, ф)—бвт4ф.
93. ufl, ф)—8ип2ф.
9.10. ufl, ф)-108тЗф.
9.12. ufl, ф) — 12вт5ф.
9.14. ufl, ф)-14в!п7ф.
9.16. ufl, ф) — 16sin9<p.
9.18. ufl, ф) —18вт8ф.
930. ufl, ф)— 20втбф.
932. ufl, ф)-228т4ф.
934. ufl, ф)-24вт2ф.
936. ufl, ф>—26sin3<p.
938. ufl, ?J-28sin5<p.
930. ufl, ф)-30вт7ф.
Задача 10. Решить смешанную задачу.
10.1. un—siuxx,*
ufx, 0J—ятях; ut(x, OJ—0; ufO, rj—uf5, rj—0.
10.X ua—64 Hxx,-
ufxi OJ— 0, ut(x, OJ—8яппях; MfO, /J — и (6, /J—0.
103. мм>*>49ихх;
ufx, OJ— 3sm2itx. ut(x, OJ— 0; ufO, /J—uf4, /J—0.
10.4. tyf-ЗбМде*
ufx, OJ—0,u(fx, OJ — 12xsin2xx; ufO, fj—ufS, /J—0.
103. urf—25uj„;
ufx, OJ— 5sin3xx; ut(x, OJ— 0; ufO, rj—uf3, /J—0.
10.6. HM—16MXX,*
ufx, OJ—0, H/fx, OJ — 12xsin3itx; ufO, <J—u(4, rj—0.
10.7. utt-9uxx;
ufx, OJ—7sfo4nx,‘ u(fx, OJ—0{ ufO, rj—uf2, t) —0.
103. utt—4UXX,*
ufx, OJ—0, u(fx, OJ— 8xsm4xx; ufO, tj—uf3, /J—0. Ю.9. u^-u»;
ufx, OJ— 9smSxx, uffx, OJ—Os ufO, fj— ufl, rj— 0.
10.10. Uff-Uju,*
ufx, OJ—0, tit(x, OJ— SxsinSftx,* ufO, fj—uf3, rj— 0.
10.11. ип-Лихх;
ufx, OJ—11 япбях; ut(x, OJ— 0; ufO, fj—uf2, rj—0.
189
10.12.
ufx, 0)—0, ut(x, 0J —18яяп6ях; ufO, t)—ufl, 0—0.
10.13. Utf^lOuju,*
ufx, 0>~13ап5ях; utfx, OJ—0; ufO, t)**u(3, 0—0.
10.14. utt^2Suxx>‘
ufx, 0)—0, uf(x, 0^ — 25яяп5ях; ufO, t)—u(2, 0—0.
10.15. ип^36илх;
ufx, OJ—15ап4ях; utfx, 0; u(0, t)—uf4, 0—0.
10.16. mm«49uxx;
ufx, OJ—0, ut(x, 0> — 28яяп4ях; ufO, 0 — u(3, О—0.
10.17. мп—64ихх;
ufx, 0>—17япЗях, Ut(x, 0)—0; ufO, t)—u(5, 0—0.
10.18. u(r—Sluxx,*
ufx, 0^—0, utfx, 0^«27явтЗях; ufO, 0— uf4, 0—0. Ill*
ufx, 0> —19яп7ях, u,fx, 0)-0; ufO, O-O.
10.20. Иц—
ufx, 0)—0, tit(x, OJ —14ftsin7icx,* u(0, 0— «fl, 0—0-11К21» к,,—9nyr.‘
u(x, 0^—21 sin6kx, Ut(x, 0^—0; u(0, tj"*u(3, 0—0.
10l2X Uff — 16Wyr.'
ufx, 0)—0, utfx, OJ—24irsin6itx; ufO, t)"*ufl, 0—0.
10i33. U/f—25wyr>
ufx, 0)—23&п5ях, U/fx, OJ—0; ufO, 0— uf4, 10.24. ии^36илх;
ufx, 0)—0, utfx, OJ—30icsin5ftx; ufO, tj"*uf3, 0—0.
10Л& ul[">49uxx;
ufx, OJ—2San4ftx. Utfx, 0)»0; ufO. t)">uf5, 0—0.
10^6. u„—64uxx;
ufx, 07—0, utfx, 0)—32яш>4ях; ufO, t)—uf4, 0—0.
10Л17» —81«yya*
ufx, OJ—27anЗях, utfx, 0^— 0; ufO, t)~uf6, 0**0.
10J& «к—tfxx,*
ufx, 0Jw0, u^x, 0^— Зя an Зях; ufO, 0—ufS, 0—0.
10Д9. utt"‘4uxx;
ufx, 0)-29ап2ях, Utfx, OJ-O; ufO, t)-uf1, 0-0.
1030. Mr(>9uxx;
ufx, 0^—0, Utfx, 0) — 6яап2ях; ufO, t)~uf6, 0—0.
1031. Uff— 16илх;
ufx, OJ—31sfoxx, Utfx, 0)—0; ufO, 0—uf8, 0—0.
190
Задача 11. Решить смешанную задачу.
11.1. мм—SIn^; ufO. t)—uf5, t)»0;
ы(х, 07—rinnx, utfx, 07 —18язт2ях.
11.2. u(0, 0—uf6* 0—0.‘
ufx, 07—2rinxx, ut(x, 07—8я8|пях.
113. u((»49mxx; ufO, 0—wf4. tj—O;
ufx, 07—3rin2ftx, utfx, 07 —21яяпЗях.
11.4. ин^Збихх,’ ufO, tj—uf5, 0—0;
ufx, 07—4rin2nx, utfx, 07 —12явт2ях.
11Л Uu-lSu^ufO, t)-uf3, 0-0;
ufx, 0) —SonЗях, utfx, 0) —20яап4ях.
11.6. м«—Юнхх,* ufO, 0—uf4, 0—0;
ufx, О7—бмпЗях, utfx, 07 —12явтЗях.
11.7. u„-9wxx>- ufO, t)-uf2, 0-0;
ufx, 07—7rin4*x, utfx, 07 —ИявтЗях.
11Л Ma—4uxxi* ufO, 0—0— 0;
ufx, 07 — 8мп4ях, utfx, 07—8яап4ях.
НА Мд-Мхж,- ufO, t)—u(l, O-0;
ufx, 07— 9мп5ях, Utfx, 07— бяапбях.
11.10. ии—**x» ufO, t)—uf3, tJ—O;
ufx, 07 — 10йп5ях, Utfx, 07— 5ямп5ях.
11.11. utt-4u„; ufO, i)-uf2, 0-0;
ufx, 07—Пппбях, Utfx, 07 —12яш6ях.
11.12. utt-9u„; ufO, t)-ufl, 0-0;
ufx, 07 —12яп6ях, Utfx, 07—18яяпбях.
11.13. Mff-ieu^- ufO, t)-uf3, 0-0;
ufx, 07 —BrinЗях, utfx, 07—20яят5ях.
11.14. и„-25и„.; ufO, t)-uf2, 0-0;
ufx, 07 — 14йп5ях, utfx, 07 — 23яшп5ях.
11.15. ии-Зби^ ufO, t)-u(4. 0-0;
ufx, 07 — 15rin4nx, utfx, 07 —24явт4ях.
11.16. и„-49и„; ufO, t)-uf3, 0-0;
ufx, 07—1бйп4ях, utfx, 07—28явт4ях.
11.17. utt~64u„; ufO, t)-uf5, 0-0;
ufx, 07—ПятЗях, utfx, 07 —24явтЗях.
11.18. 81м»; ufO, t)— uf4, 0—0;
ufx, 07 — 18втЗях, utfx, 07—27xrin3nx.
11.19. Utt-Uxx; ufO, i)-uf2, 0-0;
ufx, 07 — 19вт7яХ, utfx, 07— 7ямп7ях.
ИЗО. ии-4и„; ufO, t)-ufl, 0-0;
ufx, 07—20вт7ях, utfx, 07 —14явт7ях.
191
11Л. MirxShixx,* ufO, t) —uf3, t) —0;
ufx, 0) >21 япбях, Uffx, 0) — 18xsin6xx.
1UX ки—ufO, t)**uf2, O—O;
ufx, 0)-22sinбях, Uffx, 0) -24xsin6xx.
1U1 m„-25m„; wfO, 0-uf4, 0-0;
ufx, 0J-23sm5itx, ut(x, 0>-25x smSxx 1134. u„-36u„; u(0, t)-u(3, 0-0;
ufx, OJ—24 sin 5xx, Utfx, OJ—ЗЬялп5ях.
11.25. M„-49w„; Wf0. 0-«(5. 0-0;
ufx, 0)—25sm4xx, Utfx, 0)—28xsin4xx.
1X24 wM-64u3tx; MfO, t)-uf4, 0-0;
ufx, 0>-26sin4xx. utfx, 0J-32xsm4xx.
1X27. мп-81м„; ufO. t)-u(6, 0-0;
ufx, 0)-27sm3xx. Utfx, 0J-27xsin3xx.-1X28. Utt^Ujuc’ u(0, t)"*u(5, 0-0;
ufx, 0)—28sm3xx. utfx, 0> — ЗхвшЗхх.
1X29. Un»4uxx; u(0, l) "‘ufl, t) —0;
ufx, 0>—29sn>2nx, Utfx, 0>—4xna2xx.
ИЗО. м„-9м„; ufO, t)-uf6,
ufx, OJ—30sm2xx. Utfx, 0>-6янп2ях.
1131. мв-16й„; ufO. 0»Mf8. 0-0;
ufx, 0)—31 smxx, ut(x, 0) — 4x sinxx.
Задача IX Решить смешанную задачу.
1X1. иа»64и„; UxfO, t)^uxf6, 0-0;
ufx, 0) —0, utfx, 0) — Sxcosxx.
1XX мн-Sliw uxfO, l)-uxf5, 0-0;
ufx, 0)— 2coexx, utfx, 0>—0.
123. m„-36u„; MjrfO, t)-ux(5, 0-0;
ufx, 0) —0, utfx, 0) — 12ясо«2ях 1X4. urt«49u„; u/0, t)-uxf4, 0-0;
ufx, 07— 4coe2xx. Utfx, 0^—0.
1X5. ми—Мидо MxfO, 0— ux(4, 0—0;
ufx, 0) —0. utfx, 0) — 12xcos3xx.
1X4, МД-25М»; uxfO, t)»uxf3, 0-0;
ufx, 0^—бсмЭхх. Utfx, OJ—0.
1X7. ^-4^; w,fO. t)-uxf3, O-O;
ufx, 0) —0, Utfx, 0) — 8xcos4xx.
12Л. Мд—Owxx,’ uxfO, t)^uxf2, 0—0;
ufx, 0) —8см4ях, utfx, 0) —0.
1X9. utt*~Ugg; ux(0, t)»ux(3, 0—0;
ufx, 0) —0, utfx, OJ — 5x cos 5xx.
192
1X10. u(r—Идо uxfO, 0—*xfi< 0—0; ufx, OJ — 10cbs5nx. ut(x, 0>—0.
1X11. «к-9и«; ч/0\О-«хП» 0-0;
ufx, OJ—0, utfxi 0) — 18xcoe6xx.
1X1X «и-Дижх,- ux(0, t)-ux{2, 0-0;
ufx, 0) — 12 cos 6nx, utfx, Q) —0.
1X13. u„-25uxx; uxfO, tj-ux(2, 0-0;
ufx, 0>—0, U/fx, OJ—25ясов5ях
1X14. Мп-Юм^; ц/0, 0-«<xf3. 0-0;
ufx, 0)—14см5кх, utfx, 0)—0.
1X15. ип-49и„; uxfO, t)-uxf3, 0-0;
ufx, 0>—0, k/x, OJ—28ясов4ях
1X14. un-36u„; ux(0, t)-ux(4, 0-0;
ufx, 0> — 16cos4xx, utfx, OJ — 0.
1X17. wxfO, t)-uxf4, 0-0;
ufx, 0>—0, utfx, 0) —27ясоаЗях.
1X18. «и-44м„; «xfO, 0-«*f5, 0-0;
wfx, 0> —18cos3xr, utfx, 0)—0.
1X19. un-‘4uxx; uxfO, t)-uxfl, O-0;
ufx, 0) —0» Ut — fx, 0) —14*cos 7ях
1X20. «н-Мх» MxfO, 0-млГ2, 0-0;
ufx, 0)—20cos 7ftx, utfx, 0) —0.
1X21. mm—Ifax*; *xfO, 0—uxf2, 0—0;
ufx, 0J-0, Utfx, 0;-24ясовбях.
1X2X «м-Омхж.* uxfO, 0-«хП, 0-0;
ufx, 0>—22cos6xx, utfx, 0>—0.
1X23. u„-36Mxx; Mxf0. 0-«xf3, o-O;
ufx, 0) —0, Utfx, О) — ЗОясов 5itx.
1X24. Utt-Hux* ux(0, 0 -«x64, 0 -0;
ufx, OJ—24cos5xx, utfx, 0) -0.
1X25. un-64uxx; uxfO, t) ">и^4, 0-0;
ufx, 0)—0, i^fx, 0) —32ясов4ях.
1X26. «Н-49МХЖ; м/0,1) ">ux(5, 0-0;
ufx, 0)">26cos4iur. utfx, 0)—0.
1X27. Un-Мхх,- ux(0, t)-uxf5, 0-0;
ufx. OJ-O, utfx, 0)"‘ЗпсслЗхх.
1X28. «„-вЬхж/ MxfO, 0-«xf4. 0-0;
ufx, OJ—28cos3xx, utfx, OJ—0.
1X29. u((-9vxx; uxfO, /)^uxf6, 0-0;
ufx, 0)—0, Utfx, 0) — 6ясов2ях
193
1130. ми-4м„; uxf0, t)-uxf7, t)_* ufx, 0J-30coe2xx, utfx, OJ—0.
1131. м^-Юм^- mx(0, 0-«xf7. 0-0;
ufx, OJ—0, ttffx, OJ—4ясомх.
Задача 13. Решить смешанную задачу.
111. Un-Au^; и(*> 0J—вп9ях, utfx, OJ—0;
MfO,O-0,i»xf0A0-0.
111 ufx, 0J—2см7ях, ut(x, OJ—0;
MxfO, 0—0, “ГОД 0—0.
111 МкоДмхж.* ufx, 0J—0, ut(x, 0>—18яап9ях;
м(0, 0-0,мхЛД fJ-O.
134. мп*4«(хх; ufx, 0J—О, ut(x, 0J—14ясов7ях,-«жГО, 0-0, и(1Д 0-0.
133. «гг—Оцхж; ufx, 0J—5ап5ях, Utfx, 0J—0;
ufO, t) —0, uxf2^; t) -0.
114. м„—9мхл; ufx, OJ — бсовЗях, ut(x, OJ —0;
MxfO.O-0,Mf2AO-0.
117. Utt^9uxx>' ы(х> OJ-0, ut(x‘ OJ-lSwonSxx;
wfO,O-O,«xf3AO-O.
118. Mfr-9>to; ufx, OJ—0, Utfx, OJ— 9ясовЗях; UxfO, 0-0, М<ЗД 0-0.
133. ufx, OJ—9ш>9кх, ut(x, OJ—0;
мГО.О-0,ИжГ4ДО-0.
1110. un">IGugg; ufx, OJ —10сов7ях, u,fx, OJ— 0;
Mxf®» 0 —о» M3»l* 0 — 0-
1111. 16MX,; ufx, OJ -0, Utfx, OJ -36яйп9ях;
ufO. 0-0,ux('0,5;O-0.
1111 «n-16МХЖ,* ufx, OJ—0, utfx, OJ—28жом7ях; MwfO, 0 —0» u(0,5; 0 — ••
1111 Мп-гЗмхж/ ufx, OJ-13rin5itx, utfx, OJ—0;
MfO, 0-0. «хЛД* 0-0.
1114. Mtt—25МХЖ,* ufx, OJ — 14cm3kx, Utfx, OJ— 0;
MxfO, 0—0, Mfl,5; 0—0.
1111 Mff—25МХЖ,- ufx, OJ—0, utfx, OJ—25яяп5хх; MfO, 0-0, Mxf23; 0-0.
1114. Мп-гЗмхж,* ufx, OJ—0, utfx, OJ- 15явтЗях;
Mxf0,O-0,Mf2,5,O-O.
1117. мп—Збихж,* ufx, OJ — 17ria9nx, utfx, OJ—0; MfO, 0-0. M,f3,5; 0-0.
194
1318. мм—Збы**; ufx, OJ —18сов7ях, utfx, OJ—0; Mxf0,0-0,wf3,5;0-0.
1319. и^Зви^; ufx, OJ—0, Utfx, OJ—54ямп9ях;
u(Q, 0-0, Mxf4A 0-0.
13.20 . ип—Зби^; ufx, OJ—0, utfx, OJ—42ясов7ях;
“xf0.0-0,Mf4,5;O-O.
1321. и»—49wxx; ufx, OJ—21 ап9ях, utfx, OJ—0;
ufO, 0-0, uxfl,5; O-0.
1322. ип-49мХх; ufx, OJ—22coe7xx, ut(x, OJ—0;
“*f0, 0—0, afl,5; 0—0.
1323. мп-49МХХ,- ufx, OJ—0, ut(x, OJ—63я*т9ях;
MfO, 0 -0, Mxf2^; 0-0.
1324. Ми—49vxx; ufx, OJ —0, utfx, OJ — 49ясов 7ях;
“xfO. 0-0, uf2,5; 0-0.
1325. 64*^,* ufx, OJ—25ап5ях, utfx, OJ— 0;
Mf0,O-0,w*f3,5;O-O.
1324. u((—64МХЖ,* ufx, OJ—26со«3ях, utfx, OJ—0;
MxfO, O-O,Mf3,5;O-O.
1327. «я—WMxx/ ufx, OJ—0, utfx, OJ—40яшп5ях;
ufO, 0-0, Mxf4,5; 0-0.
1328. Mt(—64м»; ufx, OJ—0, utfx, OJ— 24ясовЗях;
MxfO, 0-0, uf4,5; 0-0.
1329. мп—OlMjcx,* ufx, OJ—29йп7ях, utfx, OJ — 0;
ufO, 0*0, Mxf0,5; 0-0.
1330. uff—SlUxx,' ufx, OJ— 30со»5ях, Utfx, OJ—0;
uxfO, 0-0, ofl,5; 0-0.
1331. и»-Siu»,- ufx, OJ —0, utfx, OJ -9я tinux;
u(0, 0*0, uxf2,5; t)^0.
Задача 14. Решить смешанную задачу.
14.1. МИ-9МХХ,- «ГО, О --8. Of2, 0 -2;
ufx, 0J— япбях—8+5x, utfx, OJ—0.
М2. МЙ-9М*,; MfO, 0-7. «ft 0-2;
ufx, OJ—7—Sx, Utfx, OJ — 12ямп4ях.
143. мв—Эм*»; MfO, 0 ——vf3, 0—8;
ufx, OJ—ЗвшЗях—6+4x, Utfx, OJ—0.
14.4. мп-9мжх,- MfO, tj—5f, uf2, t)^—3t;
ufx, OJ—0, utfx, OJ—12я8т4ях+5—4x.
143. un-16u„; ufC, 0-“<. “П. 0--I;
ufx, OJ— 5ая2ях—4+3x, utfx, OJ—0.
14.4. Мй-Юм^; MfO, 0-3, ufl, 0-7;
ufx, OJ «3+2x, utfx, OJ -12яапЗях.
195
14.7. Un — «60. *) * — 2, uf3, У — 1;
ufx; 0>-7rin4xx-2+x, utfx, 0>-0.
143. ««- If***,- «f0, t) ~t, ufl, У - -t;
ufx, 0J—0, utfx, 0J—28ftata7xx+l —x.
143. Un-lSun; «60, У--1. «61. У —3;
ufx, 0> —9 ял Зях— 1—2x, utfx, 0) —0.
14.10. ««-25«„; «60. y-3, u(2, У--5;
ufx, 0>—3—4x, utfx, 0>—20яяп4ях.
14.11. «tt-25«„; «60, у- -5, ufl, У-1;
ufx, 0> —11 tinЗях—5+4x, Utfx, 0>—0.
14.11 ии-25ы„; ufO, u(2, t)-~3t;
ufx, 0>—0, Utfx, 0> —10яип2ях+7—5x.
14.13. ии-36«„; ufO, I) - -9, uf3, t) «3;
ufx, 0) — 13 tinЗях—9 +4x, Utfx, 0>-0.
14.14. ип^Збик,; u(Q, 1)"*^» uf2, t)»2;
ufx, O7*8-3x, utfx, 0)-18хаЬЗях.
14.15. «я-Збя^ «fO, r>« -6, «63. t) -0;
ufx, 0;-15яп2ях-6+2х. Utfx, 0>-0.
14.14. u„^36u„; ufQ, t)-4t, uf4. 0-8C ufx, 0j«»0, utfx, 0>-24яш4ях+4+х.
1417. «Й-49»»; «60, t) - -2, «63, t) - -5;
ufx, 0>-17япЗях—2—x, utfx, 0>-0.
14.18. «я-^^ «60. »;-3, «62. t)- -1;
ufx, 0>«>3—2x, utfx, 0;>35яМп5ях.
14.19. un->49u„; ufO, 0 - -1, «61. 0r~4;
ufx, OJ*» 19яп7ях— 1 — Зх, utfx, 0) —О.
14Л0. un^49uJOt; ufQ, t)»2l, ufl, ufx, 0>««0, utfx, 0) а>28яЫп4ях+2—4x.
1431. Utt-Mun; ufO, t)»-4, ufl, t)^-9;
ufx, 0)-21 яп Зях-4-Sx, u,fx, 0) -0.
1431 ип-64и„; ufO, ^-2, uf3, ufx, 0>—2^-3x, utfx, 0>—24яап>3ях.
1433. Wb-64«x6 wfO, 0--3, «61.0-i;
ufx, 0>—23йп2ях—3+4x, щ(х, 0>—0.
1434. «я—Hun,* «60, 0— 4t, uf2r —6t; ufx, 0^—0, utfx, (У — 32ямп4ях+4—5x.
14.23. ««-Slw^.- ufO, 1)^-5, uf3, y-1;
ufx, 0>-25йпЗях-5+2х, u,fx, 0>-0.
1434. «я-SIm^ «60, У-6, uf4, У- -2;
ufx, 0>—6—2x, utfx, 0>-27яяпЗях.
1437. «и-81«„; «60. У - -7, «63. У -2;
ufx, 0>—27яп2ях—74-Зх, Utfx, 0>—0.
196
14.28. я«-81мда- wfO. 0-8/. и(4, t)--4t;
ufx, 0), utfx, OJ—27xsin3itx+8—3x.
14k». Uft-4u„; ufO, 0- -9, Uf2, t) -1;
ufx, 0)-29sin4icx—9+5x, Utfx, 0>-0.
1430. «fta>4uxx; ufO, t)-9, uf3, t)-—3;
ufx, OJ—9—4x, utfx, OJ —10nsin5itx.
1431. ufO, 0 - -1, M<2, 0-5;
ufx, OJ-31 im2xx-1 +3x, utfx, 0>-0.
Задача 15. Решить смешанную задачу для данного неоднородного волнового уравнения с нулевыми начальными Н граничными условиями
и(х, Q)=Ut(x, 0J==0; и(0, t)=ufn, /J«0.
15.1. u„-««+65e“*sinx.
1 153.
“и’“ихх+16со»8/8т8х.
15.4. Un—Uxx+8an3fsm3x. 9
15Л мй-~мхх+50е~’,яп4х.
15Ж мй-—«„+ЗСО12/ЯП5Х.
15.7. Ma—4*1»+28 cos 144 sin 7x.
1
15Л. Un——«xr+8cos3fsm6x. 36
15.9. Uft——«яж+37е“в*мп7х.
49 1
15.10. Uft- — uxx+15sin4rsin8x.
15.11. utl—9wjCT+36coel8»sin6x.
1
15.12. utt—— и«+15сов4/яп9х. 81
15.13. uM<«uJW+26e-s’8inx.
15.14. un—- «xx+24 nn 5/ sin 2x.
15.15. utt—16uxx+40coe20rsin5x.
1
15.16. Uft--Uxx+24cos5rsin3x.
197
15.17. ии—— Ujcx + 17е“** ип4х.
16
1
15.18. ии——u„-¥35an6tm5x.
25
15.19. ий«»25мхх-+-40сов20/ип4х.
1
15Ю. mu——4-35 сое 6/sin 5х.
36
1511. ww—~«xx+10e“3lsin7x.
49
1
15.22. ип»—Mxx+48sin7rsin8x.
64
15123. ^«Збмхх+ЗбсоНвгапЗх.
1
1514. ыи—~кХж+48сов7гвт9х.
1515. м^+Зе'^йпх.
1
1516. Uff^-Uu+ejnnSfsinlx.
1517. u(r’*49uJEX+28coe 14rsin2x.
1
1518. ktt«--uxt4-63c»e8rrin3x.
1519. mu«-—wxx4-2e-,sin4x.
1530. ииш~ w»+80ein9/8in5x.
1531. utt«64uxx+16coc8rsnx.
Справочный материал
1. Задача Штурма — Лиувилля:
дифференциальное уравнение X"+ХгХ* 0;
граничные условия X(0)**X(l)**Q.
Разыскиваются значения параметра (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения диффоэснци-ального уравнения, удовлетворяющие граничным условиям, а также разыскиваются и сами ненулевые решения (собственные функции). \
Рассматриваются и задачи Штурма — Лиувилля с граничными условиями вида rfO;«Tf/)=O, ХГ0;х=Г(7)=0, X(Q)»X(l)^Q.
198
2. Смешанная задача для волнового уравнения на отрезке [О, /) с однородными граничными условиями:
дифференциальное уравнение Un-aPu^;
начальные условия и(х, 0)=(p(x), ut(x, 0)=ф(х);
граничные условия и(0, t)=u(l, t)=0.
Рассматриваются также однородные граничные условия следующих видов:
U/0, о=о, UfO, t)^ux(i, />о, «/о, t)~u(i, г}-о.
Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде и(х. t) = f T.(t)X.(x), я—1
где Хя(х) —собственные функции задачи Штурма —Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;
Т„( t) =А^<яаХ4+Вя w&aXj;
А* — собственные числа задачи Штурма — Лиувилля;
Ая, В„ — коэффициенты, определяемые по начальным условиям.
3. Смешанная задача для неоднородного волнового уравнения
H«=A«+/fx, t).
Ее решение можно получить в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля
и(х, t)= £ U”(t)X„(x), л—I
где u„(t) — решения задач Коши
1), un(Q) = <ря, 1^(0) =
<ря, фя — коэффициенты разложений
f(x, t) = f f.(t)X„(x), <p(x)~ f q>Mx), ф(х)= f ФМх).
1 »! •»!
4. Смешанная задача для уравнения теплопроводности на отрезке [0, /) с однородными граничными условиями:
дифференциальное уравнение и^сРи^;
начальное условие и(х, Q)=<p(x);
граничные условия ufO, t)=u(l, t)^Q или одно из
ц/0, t)^ux(l, t)=^0t и(0, t)=ux(l, t)=0, ux(Q, t)-u(l, t)^0.
199
Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде u(x.t) = t T,(t)X.(x).
где Х„(х) — собственные функции задачи Штурма — Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;
Л, — собственные числа задачи Штурма — Лиувилля; С„— ко-, эффициенты, определяемые по начальным условиям.
5. Смешанная задача для неоднородного уравнения теплопроводности
u^a^+ffx, t).
Ее решение можно получить в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля
и(х, и„(1)Хя(х),
где u„(t) — решения задач Коши
4+ДЧ=// 0. ц/ о;«фя;
<рп — коэффициенты разложений
Лх I) = Ё f.(Wx). <р(х) - Ё vMx).
6. Смешанные задачи для волнового уравнения и уравнения теплопроводности с неоднородными граничными условиями
и(0, t)^A(t), u(l, t)~B(t).
Каждая из этих задач сводится к задаче с однородными граничными условиями для функции
v(x, t) = u(x, t)-w(x, t),
где
w(х, t) —А(t) +-----х.
Решение получается в виде
и(х, t)-v(x, t)+w(x, t).
200
7. Краевая задача для уравнения Лапласа в круговом секторе
(г, ср — полярные координаты, а<2я):
XX X 1 1
дифференциальное уравнение Aw=u^+- u,+— и«=0;
г г1 граничные условия и(R, ф)**Дф), (1)
и(г, 0)=и(г, а)=0. (2)
Вместо (2) рассматриваются и условия щ(г, Q)»u^(r, а>=0, u(r, OJ=t^fr, а>=0, и^(г, 0)=и(г, а)=0. (3)
Решение задачи по методу Фурье получается в виде
и(г» ф)^Х Ъ(г)Ф*(ф)>
Я—1
где Ф9(ф) —собственные функции задачи Штурма —Лиувилля для дифференциального уравнения
Ф*+А2Ф=0 с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям вида (2) или (3);
R.(r)~CS;
Ся — коэффициенты, определяемые по граничным условиям (1). 8. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге 0<ф<2л
(г, ф — полярные координаты):
дифференциальное уравнение Ah=u„.+- мг+— wrr=0;
граничное условие u(R, ф)—Дф). Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде
«о
и(г, ф)—Л0+^ (ЛяСОЪПф + ВнЪШПф)?,
И«1
где Ая, Вя — коэффициенты, определяемые по граничным условиям.
ХП. ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Таблица эквивалентных беосоагчво малых функций асмшготеосвх разложений
При а-»0 sin а ~ а, tga ~ а, arcsm а ~ а, arctga~a,
ав-1~п1па, е* — 1 ~ а,
а
ta(l+ot)~ а,
(1 +а)"-1 ~пл,
sina~a+o(a); tga==ot+o(ot); arcsina=a+o(a); arctgac-at+o(ac);
at2 cosa»l-----+o(a );
2 aa—14-alna+o(a); ee— l+ot+o(ot);
a loge(l+a)~ -—+o(a);
Ina ln(l +a)-at+o(a); (1+a)"—1+ла+о(а); ff (X
vi+«" l+“ +°(®)» n a
1 + - +o(e); 2
z Я\»
(х )'—их
(Z)’»axtaa, 1
(log.*)'" ~Г~ > xtaa
(rinx)'-cosx, (coax)'— — sinx,
(tgx)'-— corx
1 (Ctgx)'- —— , ЯП’х
1
1 (tax)'- -;
x (shx)'-chx; (chx)'—shx;
1
(лху-^-
(arccosx)'-
1 (arcctgx)'---—
202
3. Прияла даффероаироваям
(Q'-O, (uivV-u'iv', (mv)'« h'v+kv',
d C—0 (C — постоянная); d(u±v)—du±dv;
d(uv)—vda4-udv;
0 vdw—udv --------—.(v#0);
d [у (m (x)) j -y' M^dx—у' du(x).
4. Таблица интегралов
dx
— -ln|x|+C;
, * a
Ja dx-—+C, Ina
Jsinxdx——coax+C, fcosxdx-мпх+С, Jtgxdx— — In |coex| 4- C, J ctgxdx-ln|&nx|4-C,
fe* dx—e*+C;
fshxdx—chx4-C;
Jchxdx—shx+C;
f th xdx-ln |ch x|+C;
J cthxdx-ln |sh x|+C;
dx
—-thx4-C; chax
——ctgx+C,
dx
--cthx+C; sh3x
(a>0),
—arcsinx4-Q
1 x
--’arctg-4-С, a a
-arctgx4-C;
-In |jc4* 4- C.
S. Прияла замены переменной мггарнршани
Iflx)dx-( j/(? (r))d? (t)) b p
J/(x)dx-f/(v>(O)dg>((), a-v>-1(a)> P-4>~lQ>Y V a
6. Формулы ннпгрнровашя ио частям b ib b
fudv-wv-fvdu; Judv- (uv)| - fvdu; a e a
203
7. Формула Тейлора
/(*)-/(*о)+~7^(x--xb)+^-7“(х-*о)а+ — + —^(х-х0)"+Ли+1(х); 1! 2! л!
Л«+1 (*)"о[(х-хо)"] при x-*xq;
, х « 2Л-1
X2 Л X6 *-1 X
СО8Х-1-— +----------+ —+(-1) ------+ Rlk+1 (*);
2! 4! 6! (2Jt—1)!
X X3 Xs X7 ВШХ*—---+----—
1! 3! 5! 7!
ZJfc—2
4- ... + (-I)*”1 —---------+/?2*(х);
(2Jt—2)!
Ж* X Х^ ц । х
in(l+x)«x— — +•—----— +••• + (—1) 1-Яи+1(х);
2 3 4 л
« m т(т- 1)...[/«-(л-1)] „
(1+х) -1 + -Х+-------------х* + — +---------------------х +Яя+1(х);
1! 21 л!
8. Переход в двойном ивтеграле tfj\x,y)dxdy D
к полярным координатам р, 0 (0<р< +оо, О<0<2я): х—рсолд, у»рЛаО, dxdy—pdpdQV;
к обобщенным полярным координатам р, 6 (0<р < + оо, О<0<2я): х^арылО, y—bpdaO, dxdy^abpdpdO (a>0,b>0).
9. Переход в тройном внтеграле fff/(x, у, z)dxdydz V
к TjjuaojipvwcGDA координатам г, <р, г (0<г< +оо, 0<ф<2я, — co<z< +оо):
Х*ГС08ф, dxdydz~rdrd<pdz;
к сферическим координатам г, д>, ф (0<г< 4-оо, 0<?<2я, 0<^<я): х^гАя^сажр, у**гйлфймр, г>»гсоа^, dxdj'dz=«raab>^drd$>d^.
204
10. Основные формулы векторного анализа
Если м=“м(х, у, к), а»Р(х, у, z)i4-Q(x, у, z)j+R(x, у, z)k, то
ди ди ди
grad и- —14-—j4-—к, дх ду dz
дР dQ дЛ diva—— 4-----4--,
дх ду dz
i j к
д д д го,*“ £
Р Q R
д2и д2и д2и
dhgradu»—- 4----- 4--- ,
Зх2 ду2 dz2
rot grad u—0, div rot a—0;
формула Остроградского
gaB'dS-fffdivadF, S v
S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, n° — орт внешней нормали к поверхности S;
формула Стокса
fadr«ff rot ап ° dS, г з
Г—замкнутая линия, являющаяся краем поверхности S, п°—орт нормали к поверхности S (согласуется с направлением интегрирования по Г).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................. 3
I. ПРЕДЕЛЫ.....................................5
II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ........................ 25
III. ГРАФИКИ................................ 46
IV. ИНТЕГРАЛЫ.............................. 53
V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ .............. 78
VI. РЯДЫ.................................... 91
VII. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ...........'...........105
VIII. ВЕКТОРНОЙ АНАЛИЗ.......................131
IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . . .............147
X ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА........................ 161
XI. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.........178
XII. ПРИЛОЖЕНИЯ............................ 202
Учебное издание
Кузнецов Леонид Антонович
СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ)
Редактор Ж. И. Яковлева. Художественный редактор Т. А. Коленкова. Технический редактор Л. Д. Овчинникова. Корректор Г. Н. Буханова.
Оператор В. Н. Новоселова
ИБ№9685
ЛР № 010146 от 25.12.91. Изд. № ФМ-96. Сдано в набор 20.01.93. Подл, в печать 27.06.94. Формат 60 х 88*/^. Бум. тип. № 2. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Объем 12,74 усл. печ. л. 12,99 усл. кр.-отт., 11,37 уч.-изд. л. . Тираж 10000 экз.
Заказ № 207.
v Набрано на персональных компьютерах издательства.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.
Отпечатано в Московской типографии № 8 Комитета РФ по печати, 101898, Москва, Центр, Хохловский пер., 7.
Кузнецов Л. А.
К89 Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учеб, пособие для втузов.— 2-е изд., доп.— М.: Высш, шк., 1994.— 206 с.: ил.
ISBN 5-06-002666-3
Пособие содержит индивидуальные задания (по 31 варианту в каждой задаче) для студентов по курсу высшей математики и предназначено для обеспечения самостоятельной работы по освоению курса. Каждое задание содержит теоретические вопросы, теоретические упражнения и расчетную часть.
Второе издание (1-е — 1983 г.) дополнено разделом, посвящвиопВИ уравнениям математической физики.
1602010000—101
К----------------
001 (01) — 94
без объел.