/
Author: Берже М. Берри Ж.-П. Пансю П. Сен-Реймон К.
Tags: геометрия топология математика задачи по геометрии
ISBN: 5-03-001059
Year: 1989
Text
IM. БЕРЖЕ, Ж.-П. БЕРРИ, П. ПАНСЮ
К.СЕН-РЕЙМОН
ЗАДАЧИ
ПО ГЕОМЕТРИИ
С КОММЕНТАРИЯМИ
И РЕШЕНИЯМИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Problemes de geometrie
commentes et rediges
Marcel Berger, Jean-Pic Berry
Pierre Pansu, Xavier Saint-Raymond
CEDIC/FERNAND NATHAN
publie avec le concours du
Centre National de la Recherche Scientifique
М. БЕРЖЕ, Ж.-П. БЕРРИ, П.ПАНСЮ,
К.СЕН-РЕЙМОН
ЗАДАЧИ
ПО ГЕОМЕТРИИ
С КОММЕНТАРИЯМИ
И РЕШЕНИЯМИ
Перевод с французского
П. О. МИХЕЕВА, Л. В. СБИТНЕВОЙ и В. В. ТРОФИМОВА
под редакцией Л. В. САБИНИНА
МОСКВА «МИР» 1989
ББК 22.151
315
УДК 514
Авторы: Берже М., Берри Ж.-П., Пансю П., Сен-Рей-
мон К.
815 Задачи по геометрии с комментариями и решениями!
Пер. с франц. —М.: Мир, 1989. —304 с, ил.
ISBN 5-03-001059
Сборник задач по геометрии, составленный известным французским
математиком М. Берже с соавторами, дополняющий знакомый совет-
советским читателям двухтомный курс М. Берже «Геометрия> (М.: Мир,
1984). В начале каждой главы даны основные определения и теоремы,
необходимые для решения задач. Приведены указания к решению, а
в конце книги даиы полные решения задач. Книга иллюстрирована
прекрасно выполненными диаграммами и чертежами.
Для математиков различных специальностей, студентов, школьни-
школьников старших классов, учителей средней школы,
~ 1602050000-235 1089
041@1)—89
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-001059 (русск.) © Marcel Berger, Edition CEDIC, Parfs,
ISBN 2-7124-0720-2 (франц.) 1982
© перевод на русский язык, «Мир», 1989
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая вниманию читателя книга представляет собой
сборник задач по геометрии, базирующийся на переведенной у
нас ранее и широко известной книге «Геометрия> (в двух томах)
известного французского геометра, в настоящее время директора
Института высших научных исследований, профессора М. Берже.
В итоге советский читатель получает учебно-методический ком-
комплекс, состоящий из учебника и задачника для университетов
и институтов. Французская математическая школа традиционно
уделяла большое внимание проблемам преподавания геометрии,
и далеко не все ее представители недавнего прошлого разделяли
новомодную точку зрения о необходимости потеснить геометрию
в учебных планах университетов и других институтов. Такие
действия были осуществлены в ряде университетов мира и, к со-
сожалению, те же тенденции просматриваются и в СССР. Между
тем геометрия была, остается и будет оставаться краеугольным
камнем полнокровного математического образования как в шко-
школах, так и в университетах и институтах. Конечно, при этом
изложение ее нуждается в модернизации, отвечающей запросам
сегодняшнего дня, без потери, однако, геометрического содер-
. жания.
Книга и задачник профессора Берже демонстрируют совре-
современный подход к геометрии, наполняя ее изложение «новым син-
синтетизмом». Достаточно, например, отметить возврат автора к
многочисленным иллюстрациям, почти исчезнувшим в трактатах
новейшего времени по геометрии. Книга и задачник возникли
в результате многолетней преподавательской деятельности авто-
автора в Парижском университете в процессе подготовки студентов
к специальной учительской степени. Не останавливаясь на ана-
анализе текста учебника «Геометрия:», что сделано в предисловии
к его русскому переводу, отметим некоторые методические осо-
особенности данного задачника.
Условия задач собраны в первой части, разделенной на двад-
двадцать глав, как и в учебнике, и с такими же заглавиями. Вторая
часть содержит краткие указания (подсказки) к решению задач,
в третьей части приводятся подробные решения.
в Предисловие редактора перевода
Приводимые в начале каждой главы задачника основные
определения и результаты делают его относительно независи-
независимым от соответствующего курса «Геометрия» и предоставляют
некоторую свободу в его использовании. Читатель, знакомый
с основными понятиями геометрии, может сначала подумать над
решениями задач, а потом расширить свои познания с помощью
учебника.
Важным достоинством задачника является наличие в нем
двух уровней помощи: кратких подсказок к решению и подроб-
подробных решений. Указанное обстоятельство чрезвычайно важно
в плане самостоятельной работы над материалом. Традиционный
по содержанию материал дается в новом оформлении, при этом
упор делается на его геометрическое содержание. Задачник
насыщен прекрасно выполненными диаграммами и чертежами
B24 иллюстрации), что способствует лучшему восприятию ма-
материала.
Многочисленные ссылки на текст курса геометрии профессо-
профессора Берже и специальную научную литературу помогут более
углубленно рассмотреть изучаемые вопросы.
Курс геометрии профессора Берже и сборник задач образуют
единый учебно-методический комплекс, представляющий собой
ценное пособие для студентов, аспирантов и преподавателей
высшей школы, да и для всех истинных ценителей геометрии.
Ознакомление советской математической общественности с пере-
передовым зарубежным опытом преподавания математики особенно
полезно в связи с происходящей сейчас перестройкой нашей вьк>
шей и средней школы.
Распределение работы по переводу книги было таким: гл. 1,
3 и 9—13 переведены П. О. Мнхеевым, гл. 2, 4—8 — Л. В. Сбит-
невой, гл. 14—20 — В. В. Трофимовым.
Л. В. Сабинин
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга «Геометрия», опубликованная no-фраицузски в пяти
томах издательством CEDIC/Fernand Nathan1*, была встречена
благожелательно. В то же время некоторые читатели нашли
текст слишком сжатым, а упражнения в конце каждой главы
слишком трудными, и сожалели об отсутствии каких-либо ука-
указаний к их решению.
Данная книга предназначена для того, чтобы по крайней
мере частично удовлетворить наших критиков. Что касается пер-
первого упрека, то объем «Геометрии» (ссылки на нее в дальнейшем
мы будем отмечать символом [В]) и широта охваченного в ней
материала не позволяли и думать об издании какого-то более
подробного изложения. Напротив, подробное решение некоторых
упражнений из [В] будет, как нам кажется, полезным и прият-
приятным нашим читателям.
Данная книга устроена следующим образом. Мы хотели сде-
сделать ее в какой-то мере независимой от [В], и потому для каж-
каждой из двадцати глав [В] собрали на нескольких страницах и
под теми же заголовками наиболее важные понятия и резуль-
результаты, используемые при решении задач. Формулировки задач
приведены в конце каждой главы. Задачи занумерованы по по-
порядку, но со ссылками на то место в [В], откуда они взяты (та-
(таким образом, эти ссылки не являются указанием к решению).
В тексте тоже мы часто ссылаемся на [В].
Далее идет специальный раздел «Указания» к решению за-
задач; они могут служить промежуточным звеном между вашим
собственным и нашим решением.
Самую содержательную последнюю часть этой книги состав-
составляют подробные решения всех задач. Так же как ив [В], мы
старались привести как можно больше иллюстраций. В разделе
«Решения» ссылки делались как на [В], так и на другие раз-
разделы данной книги.
Марсель Берже
') Ее русский перевод выпущен в двух томах издательством «Мир» в
Д984 т. —Прим. ред.
Глава I
ГРУППЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА МНОЖЕСТВЕ:
ТЕРМИНОЛОГИЯ, ПРИМЕРЫ, ПРИЛОЖЕНИЯ
1.А. Действие группы на множестве ([В, 1.1])
Пусть X— произвольное множество; мы обозначаем через ®*
множество всех биекций (перестановок) f. Х^>~ X из X в X н счи-
считаем, что на @х правилом (/, g)>—*f°g определен закон компо-
композиции. Тогда @* — группа; она называется группой перестано-
перестановок или симметрической группой множества X.
Далее, пусть G— группа и X — множество; мы говорим, что
G действует на X посредством ф, если ф — гомоморфизм группы
G в @л, т. е. если ф удовлетворяет следующим аксиомам:
Ф(g) e©х для всех geG,
— ф(g) оф(Л) для всех g, Лей
(закон композиции в G записывается мультипликативно). Мы
будем, как правило, использовать сокращенную запись g{x),
вместо q>(g) (х).
1.В. Транзитивность ([В, 1.4])
Действие ф группы G на X называется транзитивным, если
для каждой пары (х, у) точек из X существует такой элемент
geG, что g(x) = y. Если G транзитивно действует на X, то
множество X называется однородным пространством {относи-
{относительно действия группы G).
1.С. Эрлангенская программа. Геометрии
Примеры транзитивного действия группы на множестве очень
часто встречаются в геометрии. Именно в силу этого обстоятель-
обстоятельства Феликс Клейн в своей знаменитой «Эрлангенской про-
программе» A872) определил геометрию как исследование свойств
множества, инвариантных под действием соответствующей груп-
группы преобразований (подразумевается, что группа транзитивно
действует на множестве).
Заметим, что на одном и том же множестве могут действо-
действовать различные группы и, следовательно, могут возникать раз-
различные геометрии. Так, на аффинном пространстве X мы
Группы, действующие иа множестве 9
жем рассматривать транзитивные действия следующих групп:
группы параллельных переносов, группы подобий (соответствует
геометрии, сохраняющей параллельность прямых), группы всех
аффинных преобразований (соответствует геометрии барицен-
барицентров), группы унимодулярных аффинных преобразований. См.
2.А, 2.С и задачу 2.4.
Если X — евклидово пространство, то вдобавок можно рас-
рассматривать группу собственных движений (сохраняет метриче-
метрические свойства объектов с учетом ориентации) и группу изо-
метрий (сохраняет метрические свойства), см. 9.А, 9.D.
Сформулированное выше понятие геометрии довольно огра-
ограничительно; см., например, гл. 11 и 12 о выпуклых множествах.
Не так давно математики начали рассматривать и нетранзитив-
нетранзитивные действия групп, но с «достаточно большими» орбитами.
I.D. Стабилизаторы ([В, 1.5])
Пусть группа G действует на множестве X. Стабилизатором
или подгруппой изотропии Gx точки х^ X называется подгруппа
группы G:
{G () )
Если действие группы G транзитивно, то стабилизаторы раз-
различных точек X, по существу, одинаковы, поскольку все они со-
сопряжены в G.
Если G транзитивно действует на X, то для любого iel
множество X изоморфно (как множество) множеству левых
классов смежности G/Gx, т. е. факторгруппе группы G по отно-
отношению эквивалентности «g ~ h тогда и только тогда, когда
g = hk для некоторого k e Gx».
На основании этого факта можно, по крайней мере теоре-
теоретически, изучать множество X алгебраическими методами. На-
Например, если G конечна и транзитивно действует на X, то
где Ф(-) обозначает мощность множества.
Действие G на X называется просто транзитивным, если оно
транзитивно и для некоторого (а значит, и для всех) х^Х ста-
стабилизатор Gx тривиален (т. е. состоит только из единичного
элемента).
I.E. Орбиты. Формула числа классов ([В, 1.6])
Если действие G на X не транзитивно, удобно ввести в рас-
рассмотрение подмножества в X, на которых G действует транзи-
транзитивно, именно орбиты группы G: орбитой точки х^Х (под
10
Глава 1
Рис I.F.I.
Рис. I.F.2.
Рис, I.F.3.
Рис. I.F.4.
Рис. IF.5.
действием группы G) называется множество 0(х)= {g(x):
g e G} всех образов этой точки под действием элементов G.
Для конкретной группы, действующей на множестве, струк-
структура орбит, вообще говоря, может изменяться от точки к точке;
см. задачу 1.3.
Если множество X и действующая на нем группа G конечны
и подмножество А с X пересекается с каждой орбитой в X отно-
относительно действия G в одной и только одной точке, то имеет
место следующее соотношение, называемое формулой числа
классов:
#*= Z (#<?/# G,).
А
I.F. Правильные полиэдры ([В, 1.8])
Можно показать, что существует только пять типов правиль-
правильных полиэдров (которые связаны всего лишь с тремя группами
симметрии): тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. До-
Доказательство проводится с использованием формулы числа клас-
классов и того факта, что отличное от тождественного вращение
трехмерного евклидова пространства имеет на единичной сфере
в точности две неподвижные точки (см. также 12.-С).
Группы, действующие на множестве
Рис. I.G.I.
Рис. l.G.2.
Ж
\
?
Рис. t.G.3.
Рис. I.G.4.
Рис. I.G.5.
Рисунки l.G.l—1.G.5 взяты из книги Y. Bossard: Rosaces, frlses et pavages
(CEDIC, 1977).
l.G. Замощения плоскости и кристаллографические
группы ([В, 1.7])
Рассмотренные выше общие понятия мы хотим применить
к изучению замощений плоскости; более подробные объяснения
см. в 1.Н ниже.
Определение. Группа G называется кристаллографической
группой (или группой замощения) евклидовой плоскости Е, если
она допускает следующее описание: G — подгруппа группы
Is+(?) собственных движений (т. е. сохраняющих ориентацию
изометрий) плоскости Е, и существует такое связное компактное
о
подмножество Р на Е с непустой внутренностью Р, что
U
*=E и
Заметим, что существуют замощения плоскости, для которых
ни одна группа не действует транзитивно на элементах замоще*
12 Глава 1
ния; см. 1.Н и задачу 1.4. Отметим также, что типов замощений
существует гораздо больше, чем групп G: см. 1.Н и [В, 1.7.7,
1.9.13].
Укажем, что решающий шаг к классификации замощений со-
состоит в нахождении всех возможных групп G с точностью до
сопряжений аффинными преобразованиями плоскости. Можно
показать [В, 1.7], что таких групп всего пять: они соответствуют
пяти рисункам 1.G.1 — I.G.5.
Если искать группы G среди подгрупп группы Is(?), а не
ls+(?) (т. е. если допустить в замощениях перевернутые плит-
плитки), то мы найдем двенадцать дополнительных групп (см. ри-
рисунки в [В, 1.7.6]).
Для доказательства классификационной теоремы прежде
всего необходимо показать, что множество параллельных пере-
переносов в G образует решетку, т. е. все параллельные переносы
задаются семейством векторов аи + bv, где {и, v} — фиксиро-
фиксированный базис на плоскости и а, Ъ пробегают множество целых
чисел. Затем следует рассмотреть элементы в G, которые не
являются параллельными переносами, т. е. вращения; струк-
структура их описана в 9.С.
В заключение отметим, что сформулированное выше опреде-
определение относится только к тем замощениям, которые получаются
повторением одной и той же плитки,. но замощения можно
строить и на основе некоторого конечного набора плиток (см.,
например, задачу 1.4).
1.Н. Снова о замощениях. Упражнения
Следующие ниже замечания и наглядные упражнения долж-
должны прояснить понятие замощения, которое намного сложнее,
чем может показаться на первый взгляд.
I.H.I. Замощение не обязано соответствовать действию ка-
какой-то группы, т. е. можно представить себе замощение плоско-
плоскости плитками g(P), где Р — некоторое связное множество, a g
пробегает некоторое подмножество в группе изометрии пло-
плоскости, не являющееся подгруппой. Другими словами, подгруп-
подгруппа изометрии, оставляющих инвариантным замощение в целом
(так называемая подгруппа инвариантности), не обязана тран-
зитивно действовать на множестве плиток. Тривиальным при-
примером служат непериодические замощения (см. задачу 1.4);
подгруппа инвариантности в этом случае конечна, и транзитив-
транзитивное действие невозможно в принципе. Существуют более «регу-
«регулярные» примеры: так, подгруппа инвариантности периодиче-
периодического замощения, изображенного ниже, далеко не тривиальна,
Группы, действующие иа множестве
13
Рис. 1.Н.1.
L
L
L
L
L
L
L
L
L
_)
_i
_i
Г"
_i
_i
_i
Рнс. 1.Н.2.1.
Рис. 1.Н.2.2.
но тем не менее действует нетранзитивно, поскольку Р нельзя
перевести в Р'.
1.Н.2. Впредь мы будем использовать термин замощение
только в тех случаях, когда подгруппа инвариантности дейст-
действует транзитивно. Это означает, что произвольные две плитки
эамощения не только одинаковы сами по себе, но еще и одина-
одинаковым образом граничат с соседними плитками.
Необходимо ясно понимать, что в 1.G мы ввели понятие кри-
14
Глава 1
сталлографической группы, а не просто замощения плоскости
в визуальном смысле. Замощения, которым соответствует одна
и та же группа, могут выглядеть совершенно по-разному. Два
рисунка 1.Н.2.1 соответствуют группе, представленной на
рис. 1.G.1, а рисунки 1.Н.2.2 — группе, представленной на
рис. I.G.2.
1.Н.З. Если мы хотим изучать замощения по картинкам,
имеет смысл связать с ними следующие структуры:
группу инвариантности С, т. е. группу всех изометрий, сохра-
сохраняющих замощение в целом (это будет одна из кристалло-
кристаллографических групп);
подгруппу изотропии S(P) в С, оставляющую инвариантной
некоторую заданную плитку Р. (Заметим, что (с точностью
до сопряжения) такая подгруппа одинакова для каждой
плитки, поэтому можно говорить о подгруппе S(P), не уточ-
уточняя выбор Р. С другой стороны, S(P) — подгруппа в С, что
сильно ограничивает число возможных вариантов.);
степень каждой вершины (степенью или валентностью вер-
вершины называется число плиток, которым она принадлежит).
Перечисление 11 возможностей для степени см. в [В, 1.9.13].
Степени и группа С позволяют провести две не связанные
друг с другом классификации замощений. Мы уже рассмотрели
два примера замощений с одинаковыми группами С, но с раз-
различными степенями. Возможна и обратная ситуация; пример
Рис. I.H.3.
двух замощений с одинаковыми степенями вершин, но различ-
различными группами инвариантности показан на рис. 1.Н.З. Итак,
любая классификация замощений должна учитывать независи-
независимым образом эти два критерия.
Более тонкое рассуждение показывает, что замощения мо-
могут иметь различные конфигурации даже в том случае, когда
С, S(P) и степени вершин одинаковы. Так мы приходим к необ-
необходимости рассматривать отношения примыкания между ориен-
Группы, действующие на множестве
15
тированными границами соседних плиток. Такая классификация
достаточно естественна, особенно если учесть тот факт, что она
тоньше, чем любая классификация, основанная на С, S(P) или
степенях, или какой-то комбинации этих трех критериев: она
разбивает все замощения на 93 типа (см. [В, 1.7.7.8]).
1.Н.4. О маркировке плиток. Здесь и в других местах книги
мы используем маркировку — рисунки на плитках — для того,
чтобы показать их ориентацию. Возникает вопрос, нельзя ли
обойтись без маркировки, рассматривая только форму плиток?
Достаточно часто удается придать плиткам неправильные очер-
очертания и тем самым запретить часть симметрии. Действительно,
из упомянутых выше 93 типов замощений только 12 не могут
быть представлены непомеченными плитками. Поэтому, если
интересоваться только формой плиток, остается всего лишь 81
конфигурация.
Упражнение 1. Для пяти кристаллографических групп, содер-
содержащихся в Is+(?) (см. 1.G), найдите соответствующие замоще-
замощения немаркированными плитками.
1.Н.5. В заключение заметим, что связь между понятиями
кристаллографической группы и замощения не является кано-
канонической. Мы определили группу посредством замощения пло-
плоскости, которое она порождает,
действуя на заранее выбранную
плитку; при этом вершины замо-
замощения не обязаны быть изомет-
ричными и даже не обязаны
иметь одинаковую структуру.
(Мы говорим, что две вершины
изометричны, если существует
изометрия, переводящая окрест-
окрестность одной из них в окрестность
другой. На приведенном рисунке
Sj и S2 не нзометричны.)
С равным успехом мы мо-
можем подействовать элементами
группы на заранее выбранную
вершину и таким образом полу-
получить замощение плоскости, в общем случае содержащее различ-
различные плитки. Такого рода замощения называются изогональны-
изогональными, в то время как рассмотренные выше замощения называются
изоэдральными. Используя основанную на отношении примы-
примыкания классификацию, дуальную классификации изоэдральных
замощений, мы получим опять-таки 93 типа изогональных за-
замощений, два из которых невозможно представить немаркиро-
Рис. 1.Н.5.
16 Глава I
ванными замощениями (ввести маркировку вершин несколько
труднее, чем в случае плиток, но и это возможно). Итак, су-
существует 91 тип (немаркированных) изогональных замощений.
Замечание. Только плитки и вершины могут составить основу
классификации замощений; что же касается ребер, то они рас-
располагаются на стыке обязательно одного и того же количества
плиток (а именно, двух) и ограничены одним и тем же коли-
количеством вершин (опять-таки двух).
Упражнение 2. Для пяти кристаллографических групп, содер-
содержащихся в Is+(?), найдите соответствующие немаркированные
изогональные замощения.
ЗАДАЧИ
1.1. ТРЕУГОЛЬНИКИ И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ([В, 1.9.14]).
Можно ли замостить плоскость произвольным треугольником?
Произвольным выпуклым четырехугольником? Произвольным
четырехугольником?
1.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ ЗАМОЩЕНИЯ ([В, 1.9.12]).
Пусть Gc:Is(?) — такая подгруппа группы изометрий аффин-
аффинной евклидовой плоскости, что все ее орбиты — дискретные под-
подмножества в Е. Покажите, что для фиксированного ае? груп-
группа G и подмножество Р, определенное условием
Р={хе=Е: d(x, a)^d(x', g{a)) Vg e= С},
удовлетворяют аксиомам кристаллографической группы.
1.3. ПЯТЬ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ГРУПП, СОХРАНЯЮЩИХ
ОРИЕНТАЦИЮ ([В, 1.9.4]). Для каждой из пяти кристаллогра-
кристаллографических групп, содержащих только собственные движения,
определите порядок группы изотропии, структуру группы, типы
орбит; рассмотрите представление группы определяющими со-
соотношениями (см. [В, 1.8.7]).
1.4. НЕПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗАМОЩЕНИЕ РОБИНСОНА ([В, 1.9.16]).
Покажите, что шестью плитками, изображенными на рисунке,
можно замостить плоскость. Докажите, что любое замощение
плоскости этими шестью плитками непериодично, т. е. соответ-
соответствующая группа изометрий не содержит нетривиальных парал-*
лельных переносов,
Задачи
17
III
Рис. 1.4.
Глава 2
АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
2,А. Аффинные пространства; аффинная группа
([В, 2.1, 2.3])
Аффинное пространство X— это не что иное, как векторное
пространство, на котором действует группа, порожденная линей-
линейными автоморфизмами и параллельными переносами; эта груп-
группа называется аффинной группой пространства X и обозна-
обозначается GA(X). Ее элементы суть (аффинные) автоморфизмы
пространства X, или, что то же самое, аффинные отображения
X на себя. Элементы аффинного пространства X называются
точками.
Это приводит к устранению привилегированной роли, кото-
которую прежде играло начало (т. е. точка 0) векторного простран-
пространства X, и устанавливает равноправие всех точек аффинного про-
пространства X. Конечно, имеются и более изощренные определения
понятия аффинного пространства; см. [В, 2.1.1, 2.1.6].
Другая сторона медали — теперь элементы пространства
не векторы, а просто точки, так что их уже нельзя складывать
и умножать на скаляры! Вычисления, которые по-прежнему воз-
возможно производить в аффинном пространстве X (мы будем от-
отличать аффинное пространство X от векторного пространства X,
которое его порождает), следующие: для х, у е X можно опре-
определить их середину (f + i/)/2eX (если характеристика поля^=
ф2) и вектор у — х = ху в X. Кроме того, если х, у, г лежат
на одной прямой и хфу, то можно вычислить отношение
xz/xy, являющееся скаляром.
В результате мы можем также производить вычисления типа
х = а-\-'Ки, где а и х — точки аффинного пространства X, и —
вектор векторного пространства X, а К — скаляр.
Последнее, но немаловажное, мы можем фиксировать неко-
некоторую точку a е X и рассматривать X как векторное простран-
пространство с началом в точке а; такую векторизацию аффинного про-
пространства X в точке а будем обозначать Ха. Обобщением поня-
понятия середины (которое не зависит от векторизации) является
понятие барицентра, которое мы изучим в гл. 3.
Аффинные пространства 19
2.В. Аффинные отображения ([В, 2.3])
Пусть заданы аффинные пространства X и У (над одним и
тем же полем скаляров); определим аффинное отображение про-
-* ->
странства X в У при помощи их векторных пространств X и У.
Множество таких отображений обозначается А(Х; У). Напри-
Например, если У =» К — поле скаляров, то элементы из А (X; К) будут
называться аффинными формами (это, по существу, линейные
формы с точностью до прибавления константы).
Для каждого аффинного отображения f корректно опреде-
определено соответствующее линейное отображение f векторного про-
пространства X в векторное пространство У.
(Аффинный) автоморфизм пространства X есть биективное
аффинное отображение; обратное к нему отображение также
является аффинным. Специальная (или унимодулярная) аффин-
аффинная группа SA(A) состоит из всех аффинных автоморфизмов /
пространства X, таких, что определитель f равен 1. См. за-
задачу 2.4, дающую дифференциально-геометрическое описание
этой ситуации.
Параллельные переносы аффинного пространства X — это
отображения ян->* + 1, где?еХ; параллельный перенос на
вектор I обозначается t->.
2.С. Гомотетии и дилатации ([В, 2.3.3])
Кроме параллельных переносов простейшими аффинными
автоморфизмами являются гомотетии. Гомотетия с центром в
точке а е X и коэффициентом % е К обозначается На, \ и опре-
определяется так:
х \—*¦ а + Ках.
Параллельные переносы и гомотетии образуют группу, называе-
называемую группой дилатации. Следующий раздел содержит их гео-
геометрическую характеристику.
2.D. Подпространства; параллелизм ([В, 2.4])
Подпространства (или, точнее, аффинные подпространства)
аффинного пространства X — это образы векторных подпро-
подпространств при действии параллельных переносов некоторой век-
векторизации пространства X. Направление Y подпространства У —
это векторное подпространство, порождающее Y. Подпростран-
Подпространства Y и Z называются параллельными, если Y ~Z. Одномерные
20
Глава 2
(соотв. двумерные) подпространства называются прямыми
|соотв. плоскостями); мы называем У гиперплоскостью аффин-
аффинного пространства X, если У — гиперплоскость (т. е. подпро-
подпространство коразмерности 1) в X.
Дилатации можно охарактеризовать следующим образом:
некоторая биекция / есть дилатация тогда и только тогда, когда
образ f(D) любой прямой D есть прямая, параллельная D.
Вычисления в подпространствах становятся возможными
благодаря тому, что гиперплоскость может быть определена
Рис. 2.D.
как ядро аффинной формы, не являющейся константой. Подпро-
Подпространства более высоких коразмерностей можно описать ана-
аналогичным образом при помощи нескольких аффинных форм; но
кроме этого мы можем также, особенно в случае прямых, ис-
использовать параметрическое представление вида {а+ Ы: К^К}
(для прямой, проходящей через точку а и имеющей направление
К-и).
Наименьшее (аффинное) подпространство в X, содержащее
некоторое подмножество А а X, называется подпространством,
порожденным подмножеством А, и обозначается <Л>. В част-
частности, если х и у — различные точки, то <х, t/> обозначает про-
проходящую через них прямую.
Что представляют собой инволютивные автоморфизмы аф-
аффинного пространства? (Инволютивный означает, что компози-
композиция его с самим собой дает тождественный автоморфизм). Сна-
Сначала заметим, что если f принадлежит GA(X) и f2 = ldx, то f
имеет по крайней мере одну неподвижную точку а; достаточно
взять а =(х + f(x))/2 для произвольной точки х (всюду пред-
предполагая, что характеристика поля отлична от 2).
Рассмотрим теперь векторизацию аффинного пространства X
в точке а. Мы знаем, что Ха есть прямая сумма Ха = t/Ф V, при-
Аффинные пространства 21
чем f — тождественный автоморфизм на U и тождественный-со
знаком минус на V: / = Idu — Idy. Следовательно, наша инво-
инволюция будет аффинным отражением относительно Y параллель-
параллельно Z, где Y и Z — два взаимно дополнительных подпространства
(т. е. Y®Z = X). Отметим еще, что f(x) единственным обра-
образом определяется двумя условиями: xf (x) e Z и (х + f(x))/2 еУ.
2.Е. Независимость; аффинные реперы ([В, 2.2, 2.4])
Пусть х, у, z — три точки в аффинном пространстве X; бу-
будет ли подпространство (х, у, г) точкой, прямой или плоскостью?
Говорят, что точки {xi)l=0 , k аффинного пространства X
((аффинно) независимы, если размерность подпространства
<*o, xi, .... Xk>, которое они порождают, равна k. {Размерность
аффинного подпространства X равна, конечно же, размерности
соответствующего векторного пространства X.) Если X — аффин-
аффинное пространство размерности п, то симплекс в X — это множе-
множество из (п+ 1) независимых точек в X. Мы сопоставляем каж-
каждому симплексу {*,-};=0 , „ аффинный репер, выбирая точку
-»¦ *•
х0 за начало в X, а векторы (xqXiI=1 .„„в качестве базиса в
X. Координаты точки х^Х — это скаляры A,,- (t = 1, ..., га),
такие, что
х = х0 + 1] Я,, (дгодг,-), или хох = S Я,, (%*().
1 I
Аффинное отображение определяется его значениями на неко-
некотором симплексе; в частности, для любых двух симплексов в ко-
конечномерном аффинном пространстве X существует автомор-
автоморфизм, отображающий один симплекс в другой.
2.F. Основная теорема аффинной геометрии ([В, 2.6])
Это единственный «тонкий» результат, вытекающий из пред-
предшествующих понятий. Он касается теоретико-множественных
22 Глава 2
биективных отображений аффинных пространств X и X' (при-
(причем заранее не предполагается, что X и X' рассматриваются над
одним и тем же полем), переводящих прямые в прямые. Отметим
сначала, что в размерности 1 это условие излишне, а в комплекс-
комплексном случае оно выполняется и для отображений, не являющихся
аффинными (к примеру, (z,, z2) •—^>(г,, z2)). Наш результат
утверждает, что лишь эти два случая типичны для единственно
возможных исключений.
Точнее, пусть аффинные пространства X и X' определены
над полями К и К'; тогда отображение /: Х-*-Хг называется
полуаффинным, если его векторизация /: Ха-*-Х';{а) есть полу-
полулинейное отображение, т. е. если имеется изоморфизм полей
а: К-+К', такой, что
f(Xx + м) = <* №O(х) + о (ix)f(y)
для любых х, у е Ха и любых я,, це/(.
Основная теорема аффинной геометрии утверждает, что если
f: X-*-X' — биекция, переводящая прямые в прямые, и если,
кроме того, X и X' имеют одну и ту же конечную размерность
п ^ 2, то / — полуаффинное отображение.
2.G. Конечномерные вещественные аффинные пространства
([В, 2.7])
В дальнейшем предполагается, что X — конечномерное аф-
аффинное пространство над полем вещественных чисел. Такие про-
пространства (особенно размерностей 1, 2 и 3) и изучаются в клас-
классической геометрии. Они особенно интересны и богаты содер-
содержанием, поскольку имеют отношение к нашему физическому
миру.
Начнем с того, что аффинное пространство X имеет канони-
каноническую топологию, поэтому можно говорить об открытых, замк-
замкнутых, компактных множествах и т. д. (см., например, за-
задачу 2.2). К этим пространствам применимы также методы
дифференциального исчисления (см. задачу 2.4).
Одно из важных понятий — понятие полупространства; если
У — гиперплоскость в X, то ее дополнение X\Y имеет в точности
две связные компоненты, которые называются открытыми полу-
полупространствами, определяемыми гиперплоскостью Y. Их замы-
замыканиями являются соответствующие замкнутые полупростран'
ства. Это понятие является основным при изучении выпуклости:
см. 11.В, 12.А.
Конечномерное вещественное аффинное.пространство обла-
обладает, с точностью до положительного скалярного множителя,
канонической мерой, называемой мерой Лебега. Например, если
Аффяяяые пространства 23
р. —такая мера, порожденная мерой ц векторного пространства
X, то мы имеем следующее определение центра (тяжести) ком-
о
пакта К в X с непустой внутренностью К: если %к обозначает
характеристическую функцию на К и ц(/С)=\Хк^~- мера /С
относительно ц, то можно показать, что векторный интеграл
таков, что точка
не зависит от оеХ Эта точка называется центром компакта
К; см. задачу 2.3.
Конечномерное векторное пространство, а следовательно, и
конечномерное аффинное пространство может быть ориентиро-
ориентировано; это, по существу, сводится к выбору базиса, который
объявляется положительным. Любой другой базис, полученный
из первоначально выбранного линейными автоморфизмами с по-
положительным определителем, также положителен. Имеются в
точности две возможные ориентации, но ни одна из них не яв-
является «канонической»; выбор положительной ориентации про-
произволен.
Независимо от того, ориентировано или нет вещественное
аффинное пространство X, мы всегда можем рассматривать ото-
отображения / е GL(X) с положительным определителем: det/ > 0.
Мы говорим, что они сохраняют ориентацию (какую бы мы ни
выбрали заранее), и обозначаем через GA+(X) подгруппу в
GA(J), состоящую из таких отображений. Дополнение к этой
группе обозначается GA~(X) и содержит все отображения f,
такие, что det f < 0.
8АДАЧИ
2.1. ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ ([В, 2.8.1, 2.8.2]). Пусть
{а, Ь, с)—треугольник иа аффинной плоскости, и пусть а'е
е <6, с>, Ы i= <с, а>, с' е <а, 6> — три точки на его сторонах.
Докажите, что три прямые <а, а'>, <6, &'>, <с, с'> пересекаются
в одной точке (или параллельны) тогда и только тогда, когда
а'Ъ Ь'с с'а , , тт \
-=?¦ • ¦=>- • —г = —1 (теорема Чевы).
а'с Ь'а с'Ь
При тех же исходных данных покажите, что три точки а', Ь', с?
лежат на одной прямой (т. е. коллинеарны) тогда и только
24
Глава 2
тогда, когда
а'Ь Ь'с с'а . , ,. .
-=+¦ •-=>- • -==»- = 1 (теорема Менелая).
а'с й'а е'6
2.2. СВЯЗНОСТЬ ДОПОЛНЕНИЙ К ПОДПРОСТРАНСТВАМ
([В, 2.8.8]). Покажите, что если X — конечномерное веществен-
вещественное аффинное пространство и У — его подпространство, то до-
дополнение X\Y связно, когда dim У^ dimX —2. Будет ли X\Y
односвязным (см. 18.А)?
2.3. АССОЦИАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕНТРОВ ([В, 2.8.11]). Пусть
К—компактное подмножество конечномерного вещественного
аффинного пространства, такого, что К=?0, и пусть Н — ги-
гиперплоскость в X, а X' и X" —
два порожденных ею замкну-
замкнутых полупространства. Мы
предполагаем также, что для Н
К' =^= 0 и К" Ф®,
где К = /СПX', а К." = К(\Х".
Покажите (см. З.А), что
cent (К) есть центр тяжести си-
системы точек cent(ZC') и cent(/C")
с массами ц(К') и \х.{К") соот-
соответственно, или, в терминоло-
терминологии З.А, барицентр семейства
{(cent(Д"), ii{K')), (cent(К"),
м(^"))}- Выведите отсюда,
что если еще К выпукло, то
о
К.
Рис. 2.3.
cent{К)
2.4. ЭКВИАФФИННЫЕ ДЛИНА И КРИВИЗНА ([В, 2.8.12]). Пусть
X — вещественная аффинная плоскость и в X фиксирован неко-
некоторый базис. Тогда для любых двух векторов из X мы можем
определить det(«, v) относительно выбранного базиса как опре-
определитель 2Х2-матрицы, столбцы которой суть координаты
и и v в этом базисе. Пусть с: [а, Ь]-*-Х — гладкая кривая
класса С3 в X. Эквиаффинная длина с (в X относительно вы*
бранного базиса) выражается вещественным числом
J(det(?(O, P'{t)))mdt.
Задачи *о
Покажите, что с и f ° с имеют одинаковую эквиаффинную длину
для любого fe=SA(X); здесь SA(X)= {f<=GA(X): |detff =1}
(см. 2.В).
Покажите, что кривую с можно параметризовать ее эквиаф-
эквиаффинной длиной, если для каждого t мы имеем det(c'(/)>
с"Ц))ф0. Если кривая с параметризована ее эквиаффииной
длиной, то число /C = det(c", с'") называется эквиаффинной
кривизной. Покажите, что эквиаффинная кривизна также инва-
инвариантна относительно действия группы SA(X). Найдите эквиаф-
эквиаффинную длину и кривизну для эллипса, параболы и гиперболы
в X (всегда фиксируя базис). Подобно тому как кривая на
евклидовой плоскости определяется с точностью до изометрии
заданием кривизны как функции длины дуги (см., например,
Berger M., Gostiaux В. Geometrie differentielle. — Armand Colin,
p. 323), покажите, что кривая в аффинном пространстве опре-
определяется с точностью до преобразования из SA(X) заданием
эквиаффинной кривизны как функции ее эквиаффинной длины.
Глава 3
БАРИЦЕНТРЫ.
УНИВЕРСАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
8,А. Барицентры ([В, 3.4])
Мы уже имели возможность заметить, что в аффинном про-
пространстве X не имеют смысла операции сложения точек и умно-
умножения их на скаляры. Тем не менее на точках аффинного про-
пространства можно ввести операцию, обобщающую понятие сере-
середины (х-\-у)/2 (см. 2.А): взятие барицентра.
Если {(xt, li)}1_l „ — семейство точек xt из X, каждая
в паре с коэффициентом (или «массой») Ki из поля скаляров К,
и X ^i= 1» то в X корректно определена точка
х =
Ее координаты по отношению к произвольному базису являются
линейными комбинациями Yi ^ixu координат точек Xi. Мы на-
называем х барицентром точек лг, с массами К;. Так, {(х, 1/2),
(у, 1/2)} совпадает с серединой отрезка с концами хну.
Рис. З.А.1.
Если точки х и у различны, то барицентр g = kx-\-\l—k)'y
расположен на прямой <лг, у} и корректно определен соотноше-
соотношением K = gy/xy. В более общем случае, когда все hi равны \/п
Jb частности, пфО в К), точка (х\ + ... -\-хп)/п называется
эквибарицентром точек х(. Это понятие очевидным образом свя-
связано с понятием центра масс из физики (см. 2.G, задачи 2.3, 3.2
и 12.3, а также [В, 2.7.5.6]).
Барицентры. Универсальное пространство 27
Барицентрическое подразделение симплекса (см. 2.Е или
[В, 2.4.7]) получается добавлением к симплексу его барицентра
и барицентров всех его подсимплексов; см. задачу 3.3.
Отображение аффинно в том и только том случае, если оно
сохраняет барицентры; подпространство, порожденное точками
Рис. з.А.2.
{xi)i=i k> — это в точности множество всех барицентров этих
точек, когда массы принимают все возможные значения
.([В, 3.5]).
В более общем случае, если X^i^l» н0 и X ^i *? ®»
i i
можно определить барицентр семейства {(*,, A-/)}i_1 „ как
В этом случае естественно считать общую массу х равной 2 ^j»
З.В. Ассоциативность барицентров ([В, 3.4.8])
Обсуждаемый ниже результат прост, но имеет разнообразные
следствия. Рассмотрим семейство {(*,, X,)} U {(г/;, щ)}, объеди-
объединение двух семейств, и предположим, что
Обозначим через g (соотв. А) барицентр семейства {(*;, М)
(соотв. {(yi, M/)}); тогда барицентр объединения совпадает с
барицентром двух точек | (g, 2 ХЛ, (h, 2^/)}. (С точки
зрения физики это утверждение интуитивно очевидно.)
28 Глава 3
В качестве следствий можно получить следующие классиче-
классические результаты: во-первых, три медианы треугольника пересе-
пересекаются в одной точке, и при этом расстояние от вершины до
точки пересечения равно 2/3 длины медианы. Во-вторых, сере-
середины сторон произвольного четырехугольника образуют парал-
параллелограмм ([В, 3.4.10]).
З.С. Барицентрические координаты ([В, 3.6])
Пусть {Х{}1ж=0 !,..„„ — симплекс (см. 2.Е) в л-мерном аффин-
аффинном пространстве X. Тогда любая точка х е X допускает един-
единственное представление в виде х = ? XjXi с ^Л, = 1. Одно-
i i
i i
значно определяемый при этом набор из (л-f-l) скаляров на-
называется барицентрическими координатами точки х (по отно-
отношению к рассматриваемому симплексу).
В случае когда К— R, множество {/U + (l — %)у. О ^ А, ^ 1}
барицентров пары (х, у) называется отрезком с концами х и у
и обозначается [х, у]. Мы встретимся с этим понятием еще раз,
а также с более общим случаем нескольких неотрицательных
масс при изучении выпуклых множеств A1.А).
3.D. Универсальное пространство ([В, 3.1, 3.2])
С целью формализовать введенные выше понятия рассмотрим
присоединенное к аффинному пространству X векторное про-
пространство Я: мы определяем его как объединение множества
точек с заданными ненулевыми массами (т. е. произведения
ХУСК*) и множества векторов X (см. 2.А). В этом пространстве
имеют смысл операции сложения и умножения на скаляры; при
этом элементам из X соответствуют нулевые массы. Важно, что
X допускает каноническое вложение в Я в виде аффинной гипер-
гиперплоскости, состоящей из точек с единичными массами (см. 2.D).
Направление X этой гиперплоскости (в смысле 2.D) действи-
действительно является векторным пространством, присоединенным к X.
З.Е. Полиномы ([В, 3.3])
Исходя из классического понятия однородного полинома сте-
степени k над векторным пространством, в случае аффинного про-
пространства определим при помощи векторного пространства Я
полином степени меньшей либо равной k над X. Обратно, произ-
произвольный полином степени k над X можно преобразовать в поли-
полином степени k над Я, используя переменную однородности (ко^
Задачи
29
торая, конечно, является массой). Более того, полином f над X
имеет символ /, который является однородным полиномом над X
и соответствует старшим членам в /. Не так педантично можно
сказать, что полином степени ^ k есть нечто такое, что в про-
произвольной векторизации пространства X представимо в виде
суммы однородных полиномов степеней k, k—1 1,0.
ЗАДАЧИ
3.1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ЦЕНТРЫ МАСС ([В, 3.7.16]). Пусть
в вещественном аффинном пространстве даны р точек jci.i, ...
.... xi,p (р ^ 2). Для i= 1, 2 р обозначим через x3,t центр
масс точек (*i,/)y Ф { Далее, определим по индукции центр масс
(эквибарицентр) xk+\,t точек (хк, 1Iф1 для всех k^>\. Дока-
Докажите, что каждая последовательность (xki/)k3N сходится. Что
можно сказать о пределах этих последовательностей при разных
значениях г?
3.2. ЦЕНТРЫ МАСС ГРАНИЦЫ ТРЕУГОЛЬНИКА И ЧЕТЫРЕХ-
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ ([В, 3.7.13 и 3.7.14]). Найдите центр масс
физического объекта в виде треугольника, образованного тремя
однородными стержнями оди-
одинаковой плотности.. Постройте
эту точку геометрически.
Постройте геометрически
центр масс однородной пласти-
пластины четырехугольной формы.
Сравните положения центра
масс и зквибарицентра четы-
четырех вершин. Ряс. 3.2.1.
3.3. ДИАМЕТРЫ БАРИЦЕНТРИЧЕСКИХ ПОДРАЗДЕЛЕНИИ СИМ-
СИМПЛЕКСОВ ([В, 3.7.8]). Пусть 2 — симплекс в евклидовом аффин-
аффинном пространстве размерности п; его диаметром d называется
наибольшее расстояние между любыми двумя его точками. По-
Покажите, что диаметр каждого симплекса из барицентрического
подразделения S не превосходит nd/(n-\- 1). Выведите отсюда,
что диаметры симплексов, получаемых последовательными ба-
барицентрическими подразделениями, стремятся к нулю.
3.4. ПРЯМОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕ-
ОТОБРАЖЕНИИ ([В, 3.7.11]). Пусть X— аффинное пространство nW — век-
векторное пространство. Предложите прямое (т. е. не использующее
Конструкцию универсального пространства) определение про-
пространства ^к{Х; W) полиномиальных отображений степени ^А
из X в W. Докажите, что ваше определение корректно.
80 Глава 3
3.5. ЯВНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛЯРНОЙ ФОРМЫ ПОЛИНОМА
([В, 3.7.15]). Полярной формой полиномиального отображения
/ степени к из векторного пространства V в другое векторное
пространство W называется та единственная ^-линейная сим-
симметричная форма ф со значениями в W, для которой f(v) =
= ф(у, ..., v) (& аргументов). Покажите, что она определяется
формулой
к
/К+.•• + «>/,).
3.6. ТОЖДЕСТВО ЭЙЛЕРА ({В, 3.7.12]). Напомним, что ве-
щественнозначная функция принадлежит классу Сп, если она
п раз дифференцируема и ее л-я производная непрерывна. Пусть
X — вещественное векторное пространство и f: Х-*- R — такое
С'-отображение, что f(Xx) = №f(x) для всех jteX и ^е R. По-
Покажите, что его производная f удовлетворяет тождеству Эйлера
f'(x){x) =
Напишите и докажите аналогичное тождество для р-й произ-
производной функции /, когда f принадлежит классу С" и однородна
степени k. Выведите отсюда, что если f принадлежит классу С*
и однородна степени к, то она с необходимостью является по-
полиномом.
Глава 4
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Аффинные пространства обладают серьезным недостатком в
том смысле, что в некоторых теоремах встречаются исключи-
исключительные случаи, например когда прямые оказываются парал-
параллельными. Проективные пространства были построены Дезаргом
в 1639 г. с целью устранить такое неудобство. Аффинное про-
пространство пополняется бесконечно удаленными точками, кото-
которые соответствуют направлениям прямых линий. Но в таком.
случае нужно уметь возвращаться обратно к первоначальному
аффинному пространству. Эта программа осуществляется здесь
в два этапа — главы 4 и 5.
4.А. Определения ([В, 4.1])
Проективное пространство — это пространство, элементы ко-
которого суть прямые (т. е. одномерные векторные подпростран-
подпространства) векторного пространства. Пусть Е— векторное простран-
пространство; будем обозначать Р(Е) проективное пространство, порож-
порожденное векторным пространством Е, т. е. образованное прямыми
из Е. Алгебраически Р(Е) является фактормножеством дополне-
дополнения Е\0 к началу в ? по отношению эквивалентности «* ~ у в
том и только том случае, когда существует ненулевой скаляр k,
такой, что y = kx». Размерность Р(Е) на единицу меньше раз-
размерности Е.
Примеры. Мы полагаем Рп(К)= P(Kn+i) и называем это
пространство /г-мерным проективным пространством над полем
К. См., например, случай конечных полей в задачах 4.1 и 4.5.
Наибольший интерес в геометрии представляют случаи, когда
К = R или С; см. 4.G. Наконец, если Е* обозначает дуальное
к Е векторное пространство, то проективное пространство Р(Е*)
находится во взаимно однозначном соответствии с множеством
гиперплоскостей векторного пространства Е. Действительно, ги-
гиперплоскость можно задать как ядро ненулевой линейной фор*
мы, определяемой с точностью до умножения на скаляр.
32 Глава 4
4.В. Подпространства, пересечения, дуальность
([В, 4.6J)
Элементы проективного пространства Р(Е) называются точ-
точками. Подпространства (проективные) в Р(Е)— это образы
(векторных) подпространств векторного пространства Е. Они
сами являются проективными пространствами; размерность та-
такого подпространства — это его проективная размерность. При
этом точки — нульмерные подпространства, прямые — одномер-
одномерные подпространства (образы плоскостей в Е), плоскости — дву-
двумерные подпространства. Гиперплоскости в проективном про-
пространстве Р{Е) — это образы гиперплоскостей в векторном про-
пространстве Е; следовательно, множество гиперплоскостей тоже
находится во взаимно однозначном соответствии с простран-
пространством Р(Е*).
В отличие от аффинной геометрии в проективной геометрии
уже нет исключительных случаев, связанных с пересечением под-
подпространств. Для любых двух подпространств V и W проектив-
проективного пространства Р(Е) всегда
dim {(V U W)) + dim (V Л W) = dim V + dim W.
В этой формуле мы воспользовались обозначением <Л> для наи-
наименьшего подпространства, содержащего множество А (назы-
(называемого подпространством, порожденным множеством А), где
А—любое подмножество проективного пространства. Две раз-
различные точки х, у всегда порождают прямую (х, у}. Мы гово-
говорим, что точки {mt}i=Oi , _ fe проективно независимы, если под-
подпространство <т0, т\, ..., tnk} имеет размерность k.
Что представляет собой прямая проективного пространства
Р(Е*) с точки зрения проективного пространства Р(Е)"> Она
состоит из гиперплоскостей пространства Р(Е), содержащих
фиксированное подпространство из Р{Е) коразмерности 2 (т. е.
пересечение двух различных гиперплоскостей, или, иначе, в слу-
случае когда Р(Е) конечномерно, подпространство, размерность ко-
которого на две единицы меньше размерности Р(Е)). Мы назы-
называем такую прямую в Р(Е*) пучком гиперплоскостей. Пусть, к
примеру, Р(Е)—проективная плоскость; тогда пучок прямых в
Р(Е) (связка прямых) есть множество прямых, проходящих
через фиксированную точку а в Р{Е); как прямая в Р(Е*) оно
обозначается а*.
4.С. Однородные координаты; карты ([В, 4.2])
Переход к проективным пространствам, с одной стороны,
дает определенные удобства: в утверждениях нет исключитель-
исключительных случаев, однако, с другой стороны, вычисления становятся
Проективные пространства 33
более трудоемкими. Предположим сначала, что мы рассматри-
рассматриваем конечномерный случай. Первый способ проведения вычис-
вычислений состоит в покрытии Р(Е) (частичными) картами. Пусть,
например, {ег}(.=0 ,_ п — базис в Е и р: Е-+Р(Е)—канониче-
Е-+Р(Е)—каноническая проекция (определяемая отношением эквивалентности, ука-
указанным в определении). Тогда точки в Р(Е) вида р(A, Х\, ...
..., хп)) образуют дополнение к гиперплоскости Р(Но), где
//о = лс~1(О). Таким образом, собирая вместе л + 1 дополнений
к гиперплоскостям P(Hi), где Ht = x~l @), мы можем вернуться
к Р(Е). Но для проведения вычислений нам еще нужно знать
связь между различными картами. На пересечении двух допол-
дополнений, ассоциированных с Hi и Hj, имеем
t± L i?±! HL=L 1 fl+L
,' ' */ V *t xi ' ' xl
(см. задачу 4.2). Другой способ проводить вычисления состоит
в том, чтобы каким-то образом оставаться внутри Е. Запишем
m = р{{хо, хь ..., хп)); Xi называются однородными координа-
координатами точки т^Р(Е) (относительно базиса в Е). Отметим, од-
однако, что они определены с точностью до произвольного посто-
постоянного множителя:
p{{kXQ, k.Xu .... kxn)) = p{{x0, Xy, .... Xn))
для любого k ф 0.
4.D. Проективные реперы ([В, 4.4])
Это понятие основано на следующем замечании. Пусть
{еЛ, {е'Л (t = l, ..., п+1) — два базиса в Е, такие, что
P(et) = p{e't) V/=l n+1,
p(et+ ... +en+x) = p{e[+ ... + <+I).
Тогда элементы этих базисов пропорциональны, т. е. существует
такое k, что e'i = kei при любом i.
Для произвольного n-мерного проективного пространства
Р(Е) мы определим проективный репер как множество
{^Л;=о> , .., „+11 состоящее из п + 2 точек в Р(Е), таких, что
при любом 1 = 0, 1, .... л+1 система из п + 1 точек {/П/}/чЬ?
проективно независима. Из вышеприведенного замечания тогда
следует, что в Е существует единственный с точностью до про-
произвольного скаляра базис {е<}<=0 , ... n+i (a следовательно, и
2 М. Берже в др.
34 Глава 4
система однородных координат для Р(?)), такой, что
(i = 1, ..., п + 1) и р (ei + ... + еп+1) = т0.
Например, если dim(P(E)) = 2, то проективный репер обра-
образуют четыре точки х, у, z, U Для которых четыре тройки {х, у, г),
{х, у, t), {х, г, t} и {у, г, t} проективно независимы. Однород-
Однородными координатами этих четырех точек будут A, 1, 1), A, 0, 0),
@, 1, 0) и @, 0, 1).
4.Е. Морфизмы, томографии, проективная группа
([В, 4-5])
По определению, морфизм из проективного пространства
Р(Е) в Р(Е')—это отображение [_ полученное факторизацией
линейного отображения / векторного пространства Е в Е'. Важ-
Важно отметить, что отображение f определено не на всем Р(Е), а
только на дополнении P(?)\P(f-'@)) проективного простран-
пространства P(f~l(Q)), определяемого ядром f~'@) отображения f.
Гомография проективного пространства Р{Е) в Р{Е') — это
морфизм, который получается из изоморфизма векторных про-
пространств Е-+Е'. Томографии проективного пространства Р(Е)
на себя образуют группу, называемую проективной группой про-
пространства Р{Е), которая обозначается GP(?). Это есть просто
факторгруппа GL (?)//(*-Id? линейной группы GL(?) вектор-
векторного пространства Е по (нормальной) подгруппе подобий
Простой, но очень полезной теоремой является «первая
основная теорема проективной геометрии». Пусть Р{Е) и
Р(Е') — проективные пространства одинаковой конечной размер-
размерности и {mj, {m't} — проективные реперы соответственно в ? и
Е'. Тогда существует только одна гомография g: P(E)-*~ Р(Е'),
переводящая tnl в т\ при каждом i. «Вторая основная теорема
проективной геометрии» есть просто проективная версия утверж-
утверждения из 2.F (ср. [В, 5.4.8]).
В частности, GP(?) транзитивно действует (на самом деле
просто транзитивно; см. 1.D) на множестве проективных репе-
реперов. Сравнивая это с аффинным случаем, заключаем, что проек-
проективные группы «больше» аффинных; для аффинной группы в
размерности п мы можем задать образы только для п+1 то-
точек, в то время как для проективной группы — для я + 2 точек.
Например, пусть D и D'—проективные прямые (сами по себе
или как подпространства более широких проективных про-
пространств); тогда существует точно одна гомография f: D-*-D',
переводящая любые три различные точки х, у, z из D соответ-
соответственно в х', у', г' — любые три различные точки из D'.
По поводу четырех точек на прямой см. гл. 6, а относительно
пяти точек на плоскости — задачу 6.4.
Задачи
35
4.F. Перспективы ([В, 4.7])
Перспективы определяются рисунком 4.F.I. Мы отправляемся
от двух гиперплоскостей Я и Я' в Р(Е) и некоторой точки т, не
принадлежащей ни одной из них. Согласно 4.В, для любой точки
Рис. 4.F.I.
*еЯ существует единственная прямая <т, х} и эта прямая пе-
пересекает Н' в единственной точке g(x). Перспектива из Н на Н'
с центром в точке т определяется соответствием х\—>g{x); это
томография.
Когда мы вернемся к аффинным пространствам (см. гл. 5),
перспективы тоже будут существовать, но они определены не на
всей гиперплоскости Я; одну из
ее гиперплоскостей нам придется
исключить (рис. 4.F.2). / /н'
4.G. Топология ([В, 4.3])
Если Р(Е)—конечномерное
проективное пространство над
полем R или .С, то оно обладает
канонической топологией (фак-
тортопологией исходного вектор-
векторного пространства). Такие проек-
проективные пространства всегда ком-
компактны. Помимо отсутствия
исключительных случаев, связан-
связанных с пересечениями, компакт-
компактность является еще одним преимуществом проективных про-
пространств по сравнению с аффинными.
ЗАДАЧИ
4.1. МОДЕЛЬ ДЛЯ Р3^) ([В, 4.9.9]). В обычном трехмерном
пространстве найдите модель конфигурации, образованной точ-
точками, прямыми и плоскостями из P3[Z2), Сделайте рисунки.
Рис. 4.F.2.
36 Глава 4
4.2. ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПРОЕКТИВНЫХ ПРО-
ПРОСТРАНСТВ (первый метод) ([В, 4.9.4]). Для вещественного
проективного пространства конечной размерности п найдите
знак якобиана для функций перехода
Л/ОЗХГ1: (vi »„)>"*
( l °f-l ' vl
(определенных на R" \ arj( @)).
4.3. ОРИЕНТИРУЕМОСТЬ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПРОЕКТИВНЫХ
ПРОСТРАНСТВ (второй метод) ([В, 4.9.5]). Путем изучения связ-
связности проективной группы GP(P"(R)) выясните, ориентируемо
или нет пространство P"(R).
4.4. ГИПЕРПЛОСКОСТИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ ([В, 4.9.10]).
Пусть {//,} — семейство гиперплоскостей проективного про-
пространства Р(Е) конечной размерности п; найдите соотношение
между dimтнЛ в Р{Е) и dim(/U #Л) в Р{Е').
4.5. ЧИСЛО ТОЧЕК И ПОДПРОСТРАНСТВ В ПРОЕКТИВНОМ ПРО-
ПРОСТРАНСТВЕ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ ([В, 4.9.11]). Пусть К — поле
из k элементов и Р(Е)—проективное пространство размерности
п над полем К. Покажите, что мощность множества р-мерных
подпространств проективного пространства Р(Е) равна
Покажите, что порядок проективной группы GP (E) равен
l-k) ... {kn+x-kn~x)kn.
4.6. ТЕТРАЭДРЫ МЁБИУСА ([В, 4.9.12 и 5.5.3]). Постройте
в трехмерном проективном пространстве два тетраэдра
{а, Ь, с, d) и {а', Ьг, с', d'} так, чтобы каждая вершина первого
принадлежала плоскости некоторой грани второго, и наоборот,
каждая вершина второго принадлежала плоскости некоторой
грани первого (т. е. as{i', с', й'У, ... и а'е<&, с, d}, ...).
Постройте такие тетраэдры очень простым приемом: методом
отправки в бесконечность как можно большего количества то-
точек (ср. 5.D).
Задачи
37
Глава 5
АФФИННО-ПРОЕКТИВНЫЕ СВЯЗИ; ПРИЛОЖЕНИЯ
5.А. Проективное пополнение аффинного пространства
([В, 5.1])
В начале гл 4, мы уже показали, почему необходимо выйти
за рамки аффинных пространств, присоединив к ним беско-
бесконечно удаленные точки. Это возможно осуществить следующим
образом. Вместе с аффинным пространством X мы рассматри-
рассматриваем соответствующее универсальное пространство Я (ср. 3.D);
оно является векторным пространством, а X вложено в него как
аффинная гиперплоскость, направление которой есть гиперпло-
гиперплоскость векторного пространства из X. Рассматривая теперь про-
ективизацию X — Р (X), мы видим, что X является объединением
двух непересекающихся множеств: множества, которое канони-
канонически отождествлено с X, и множества Р{Х), которое, будучи
пространством прямых в X, в то же время является простран-
пространством направлений прямых в X. Мы обозначим последнее мно-
-> ~
жество оо^ = Р (X). Таким образом, мы пишем X = X (J °ох и на-
называем оод гиперплоскостью бесконечно удаленных точек или
бесконечно удаленной гиперплоскостью. Наиболее важен случай
X = К; тогда оол = оо состоит из единственной бесконечно уда-
удаленной точки в К и # = К(]оо. Это применимо и к случаю
K=R: вещественная прямая имеет два «конца», однако R
имеет только одну бесконечно удаленную точку. Аналогично,
если X = D — аффинная прямая, то оод — единственная беско-
бесконечно удаленная точка прямой D,
б.В. От проективных пространств к аффинным
Рассмотрим обратную ситуацию. Пусть Р{Н)—гиперпло-
Р{Н)—гиперплоскость в проективном пространстве Р(Е); тогда дополнение
Р(Е)\Р(Н) обладает естественной аффинной структурой, и
проективным пополнением полученного так аффинного простран-
пространства будет, конечно же, само Р(Е).
Более удобный, хотя и менее «естественный» подход для про-
проведения вычислений обеспечивается использованием координат.
Возьмем точку х, описываемую набором чисел (х\, ..., Хп) от-
относительно аффинного репера в n-мерном аффинном простран-
Аффинно-проективные связи; приложения
39
стве X, и вложим X в проективное пространство Рп(К) при по-
помощи отображения
хи ..., хп)).
Для осуществления обратного перехода определим отображение
S->- Rn-*-X, где 5 — подмножество пространства Рп(К), для
которого х0 не обращается в нуль:
Р{(ХО, XU .... *«))-
5.С. Соответствие между подпространствами
([В, 5.3])
Пусть Y— аффинное подпространство в X; тогда пополнение
? подпространства Y естественным образом вложено в X, и мы
имеем ? = Y\j ооу, где в действительности ooY = <x>xf\?—про-
<x>xf\?—проективное подпространство пространства оо* (именно, оок =
= P(Y)), Два подпространства Y и Z параллельны тогда и
только тогда, когда оок = ooz.
5.D. Метод отправки точек в бесконечность и
обратный переход ([В, 5.4])
Используя рассмотренное в 5.А и 5.В, можно применить к
аффинным пространствам следующую, часто весьма удобную,
Рис. 5.D.I.
процедуру. Рассмотрим в качестве примера произвольную пря-
прямую D на аффинной плоскости X; начнем с построения пополне-
пополнения Я плоскости X. Тогда дополнение X' = X\D есть аффин-
аффинное пространство, содержащее все точки множества X\D, но
теперь точки прямой D оказываются бесконечно удаленными по
отношению к этому подпространству. Например, если Е, F — две
40
Глава 5
Рис. 5.D.2.
прямые на X, пересекающиеся в точке, лежащей на прямой D,
то их образы Е' и F' в пространстве X' параллельны.
Используя такой прием, мы для начала можем доказать вто-
вторую основную теорему проективной геометрии (см. 4.Е,
[В, 5.4.8]). Затем мы можем доказать теоремы Паппа и Де-
зарга, рассматривая аффинные случаи, содержащие наибольшее
число параллельных (см. [В, 5.4]). Здесь мы приведем аффин-
аффинные варианты этих теорем (проективные варианты — проще).
Теорема Паппа. Пусть X — аффинная плоскость, D и D' —
две различные прямые на X и а, Ь, с, а', Ь', с' — шесть различ-
различных точек, таких, что a, b, c^D\(D[]Dr) и а', Ь', c'^D'\l
\(D(]D'). Тогда если все три точки <а, 6'>Л<а', Ь}, (Ь, с'> П
П (,ЬГ, с>, <с, а'У П <с', а> существуют, то они лежат на одной
прямой.
Теорема Дезарга. Пусть s, а, Ь, с, а', Ь', с' — точки в аффин-
аффинном пространстве, такие, что s, а, а' {соотв. s, Ь, Ь' и s, с, с%
Задачи
41
лежат на одной прямой. Тогда если три точки (а, ЬУ(]{а', Ь'У,
(Ь, с> П <Ь', с'У, <с, а) Л (.С, а'у существуют, то они лежат на
одной прямой.
ЗАДАЧИ
5.1. ТЕОРЕМА ПАППА ДЛЯ СЛУЧАЯ, КОГДА НЕКОТОРЫЕ ПРЯ«
МЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ([В, 5.5.2]). Сделайте соответствующий
чертеж, иллюстрирующий теорему Паппа (см. 5.D) для случая,
когда среди рассматриваемых точек есть бесконечно удаленные.
5.2. ТОЧКИ, ЛЕЖАЩИЕ ЗА ПРЕДЕЛАМИ ВАШЕГО ЧЕРТЕЖНОГО
ЛИСТА; НЕДОСТАТОЧНО ДЛИННАЯ ЛИНЕЙКА ([В, 5.5.4 и 5.5.5]).
Предположим, что вам дан листок бумаги с одной отмеченной
точкой и двумя отрезками прямых, пересекающихся за преде-
пределами вашего листа. Используя только линейку, проведите пря-
прямую, соединяющую данную точку с точкой пересечения данных
прямых.
Рис. 5.2.1.
Рис. 5.2.2.
Теперь предположим, что даны две точки, но ваша линейка
слишком коротка, чтобы провести через них прямую. Постройте
прямую, проходящую через эти две точки.
5.3. ГЕКСАГОНАЛЬНЫЕ ТКАНИ ([В, 5.5.8 и 5.5.9]). Мы опре-
определим ткань на вещественной аффинной плоскости Р как сово-
совокупность следующих данных: открытое множество А в Р и для
каждой точки а е А три различные прямые di(a) (t=l, 2, 3)
в Р, проходящие через точку а и непрерывно зависящие от а.
Покажите, что для достаточно близкой к а точки b на прямой
d\(a) можно определить шесть точек {Ь[Iш1 6 следующим об-
образом:
bA = d3(b3)(]d2(a), b5 = dl(bi)f)d3(a), b6 = d2(b5)fldl(a).
Говорят, что ткань гексагональна (или шестиугольна), если
Ь6 = Ь для всех достаточно близких точек а и Ь. Пусть
42
Глава S
Рис. 5.3.1.
(P/)<-i 23-три точки на плоскости Р, не лежащие на одной
прямой,' и пусть Л —дополнение к объединению трех прямых,
соединяющих каждую пару точек ph Определим ткань, полагая
di(a)=*(a, Pi) для каждой точки аеаА. Покажите, что так по-
построенная ткань гексагональна.
Более общо, рассмотрим некоторую кривую второго порядка
(конику) С и некоторую не лежащую на ней точку р. Для лю-
любой точки х из дополнения к множеству С U р построим две ка-
касательные из точки х к кривой С и прямую хр. Покажите, что
так построенная ткань гексагональна.
Глава 6
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЯМЫЕ, ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ,
ТОМОГРАФИИ
6.А. Двойное отношение ([В, 6.1—6.3])
Рассмотрим проективную прямую (саму по себе либо внутри
некоторого проективного пространства); тогда для любых раз-
различных четырех точек (а<)(=1 2 3 4на этои ПРЯМОИ можно ввести
скалярную величину, которую мы обозначим [а<] = \а\, а2,а3,а^\
и будем называть двойным отношением этих четырех точек.
Двойное отношение для точек на аффинной прямой должно, по
определению, совпадать с их двойным отношением на пополне-
пополнении D = D\j ooo (см. 5.А).
Двойное отношение является проективным инвариантом
в том смысле, что если (a/)i_1 2> 3> 4 (соотв. (а\){_ х< 2<3i4) — четыре
точки на прямой D (соотв. на прямой D'), то существование
томографии /: D*-*-D', переводящей точки а{ в а\, i= 1, 2, 3, 4,
эквивалентно равенству [aj = \а'Л. В частности, двойное отно-
отношение инвариантно относительно томографии.
Существует несколько эквивалентных способов определения
двойного отношения. При первом полагают [а, Ь, с, d] = f(d),
где f(d)—элемент поля К, единственным образом определяемый
томографией /: D-+K = К[) оо (см. 5.А и 4.Е), которая удовле-
удовлетворяет условиям f(a) = оо, f(b) = Q и /(с)=1.
При втором способе для D = D' [] оод> где D' — аффинная
прямая, полагаем
-> -> _
[а, Ь, с, d] = f? 1» ; в частности, [а, Ь, с, ooD] = ca/cb.
da/db
Следующие три соотношения описывают поведение двойного от-
отношения при перестановках выбранных четырех точек:
[а, Ь, с, d] = [b, а, с, d]~l = [a, b, d, с}'1,
[а, Ь, с, d] + [a, с, b, d] = l.
6.В. Гармоническое отношение ([В, 6.4])
(Мы предполагаем, что характеристика поля =5*= 2.) Особый
и очень важный случай возникает, когда [а, Ь, с, d] = —1. От-
Отметим, что тогда и [Ь, а, с, d] = [a, b, d, с] —[с, d, a, &] = —!;
44
Глава б
в таком случае мы говорим, что две пары точек {а, Ь) и {с,- d)
находятся в гармоническом отношении и что а и Ь гармонически
сопряжены по отношению к с и d.
Например, [а, Ь, с, ооо| = —1 эквивалентно тому, что с =
= (a-J-fr)/2, т. е. точка с — середина отрезка с концами а и Ь.
Используя этот факт, можно получить свойство полного четы-
четырехугольника: для любых четырех точек а, Ь, с, d на плоскости
(аффинной или проективной) имеем [а, с, у, б] =—1 для точек,
изображенных на приведенном рисунке.
Рис. 6.В.
Для доказательства отправляем точки а и б в бесконечность
(см. 5.D). Мы получаем параллелограмм, диагонали которого,
как известно, делятся в точке пересечения пополам.
6.С. Двойственность ([В, 6.5])
Используя идеи из 4.В, рассмотрим в проективном простран-
пространстве Р{Е) четыре гиперплоскости Hi (/=1, 2, 3, 4), принадле-
принадлежащие одному пучку, и пусть прямая D в Р(Е) не пересекает
подпространство коразмерности 2, определяемое этим пучком.
Тогда двойное отношение [#,¦] четырех точек на проективной
прямой в Р(Е*), порождающей этот пучок, удовлетворяет соот-
соотношению
Выведем теперь следующий полезный результат. Пусть т,
т' — две точки на проективной плоскости, m*, m'* — порожден-
порожденные ими пучки прямых (см. 4.В). Пусть f: m*-=>-m'* — томогра-
томография, переводящая прямую <т, т'> в <т', т>. Тогда для всех
прямых D из пучка т* соответствующие точки пересечения
Dflf(D) описывают прямую линию. В случае когда f((m, т"))ф'
ф (т', ту, точки D Л f.(D) описывают некоторое коническое се-
сечение; см. 16.С.
Двойственное утверждение состоит в следующем. Пусть две
точки т, т' пробегают соответственно прямые D и D' на проек-
Проективные пр* «we, двойное отношение, томографии
45
«?*)
Рис. 6.С.1.
Рис. 6.С.2.
тивной плоскости, причем так, что отображение пи-^т' есть
томография, сохраняющая точку DflD'. Тогда каждая прямая
<т, т'> проходит через некоторую неподвижную точку.
6.0. Гомографии проективной прямой
([В, 6.6,6.7])
Мы хотим изучить элементы проективной группы (гомогра-
(гомографии) произвольной проективной прямой, которая, по существу,
есть ^ = ^1)°°. Выбрав некоторую карту, такую томографию
можно представить в виде
Y?ft' ГДе °' P- Y- SS/C,
если принять соглашение
= a/y н
н[где у Ф 0; для y = 0 полагаем /:(<х>)== оо).
Если поле К алгебраически замкнуто, то можно изучать то-
томографию / при помощи ее неподвижных точек. Когда такая
46 Глава б
точка только одна, мы отправляем ее в бесконечность; тогда
томография f есть параллельный перенос аффинной прямой, ко-
которая получается из нашей прямой отбрасыванием бесконечно
удаленной точки. В противном сЛучае пусть а, Ь — две различ-
различные неподвижные точки; тогда для f имеем [a, b, m, f(m)] —
= const при любом выборе точки т.
Это постоянное значение равно K/\i, где X и ц — два собствен-
собственных значения матрицы отображения f, имеющей вид
б
Инволюция проективной прямой — это, по определению, гомв-
графия, квадрат которой есть тождественное отображение, но
сама она отлична от тождественного отображения. Аналитиче-
Аналитическое условие такой томографии имеет вид
Любая инволюция определяется своими значениями в двух точ-
точках. Всякая томография является произведением не более чем
трех инволюций. Если К алгебраически замкнуто и a, b — две
неподвижные точки некоторой инволюции, то [a, b, m, f(m)] —
= —1 для любой точки m (см. З.В).
ЗАДАЧИ
6.1. СВЯЗЬ МЕЖДУ ДВОЙНЫМИ ОТНОШЕНИЯМИ ДЛЯ ПЯТИ
ТОЧЕК ([В, 6.8.1]). Пусть х, у, г, и, v — пять точек на одной
проективной прямой. Покажите, что всегда
[*, у, и, v][y, z, и, v][z, x,u,v] = l.
6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РИККАТИ ([В, 6.8.12]).
Пусть а, Ь, с: [а, ($] -*¦ R — непрерывные функции. Рассмотрим
дифференциальное уравнение (называемое уравнением Риккати)
y'(t)=a(t)y2+b(t)y+c(t). Покажите, что если г/, (г=1, 2, 3, 4) —
четыре решения этого уравнения, то двойное отношение [*/;(<) ]]
не зависит от /.
6.3. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ТЕТРАЭДРЕ ([В, 6.8.21]). Пусть
Т — тетраэдр в трехмерном проективном пространстве и D — не-
некоторая прямая. Покажите, что двойное отношение четырех то-
точек пересечения прямой D с гранями тетраэдра Т равно двой-
двойному отношению четырех плоскостей, проходящих через D и
вершины тетраэдра Т.
6.4. ПЯТИТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛО-
ПЛОСКОСТИ ([В, 6.8.17]). Пусть (ty)<=, 5 —точки на проективной
плоскости, и первые четыре из них образуют проективный репер.
Задачи 47
Обозначим йц прямую <я/, а/>. Покажите, что всегда
Покажите, что для того, чтобы существовала томография,
переводящая точки (а{)м Б в другие точки {а\)м 5, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы
Кг> di3> dw rfi6] = [di2> d'\v d'u> d'\b]
и
[dffl, dn, dw d^\ = \d'^ d'n, d'2i, d'25],
где мы обозначили d'ii = (di, a'^. Дайте обобщение на случай
произвольного конечномерного проективного пространства.
6.5. СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА ТОМОГРАФИИ ([В, 6.8.7]). Пусть
/—томография, обладающая двумя различными неподвижными
точками а, Ь\ покажите, что пара {k, l/k}, где k=[a, b, m, f(m)]
при любом m, зависит только от выбора томографии f и не за-
зависит от порядка точек а и Ь. Пусть отображению / соответ-
/а р\
ствует матрицам =1 I. Покажите, что числа {k, l/k) яв-
являются корнями уравнения
(аб - pY) k2 - (а2 + 2ру + S2) k + (аб - pY) = 0.
6.6. КЛАССИФИКАЦИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ТОМОГРАФИИ ([В, 6.8.8]).
Пусть исходные данные те же, что и в задаче 6.5, но, кроме
того, К = .Cj. Томографию / называют эллиптической, если комп-
комплексное число k или (l/k) равно по модулю 1, гиперболической,
если k — положительное вещественное число, и локсодромиче-
локсодромической в остальных случаях. Покажите, что если M(f) нормиро-
нормировать условием аб — Pv == 1> т0 эти ТРИ случая можно охаракте-
охарактеризовать при помощи «следа» / отображения /, определяемого
выражением t = a-\-8:
f эллиптическая <=>t вещественно и |/|<2;
/ гиперболическая <=*-t вещественно и |^|>2;
f локсодромическая <=>7 не вещественно.
Изучите природу итераций /" (пе Z) для каждого из трех ука-
указанных случаев.
Глава 7
КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ
Здесь мы рассматриваем только явные (не внутренние)
комплексификации различных объектов; о внутренних комплек-
сификациях см. [В, гл. 7]. Объектами, подлежащими комплекси-
комплексификации, будут векторные, аффинные и проективные простран-
пространства; при этом будут сохраняться операции векторизации и про-
ективизации аффинных пространств.
Необходимо также уметь возвращаться обратно от комплекс-
комплексного к вещественному случаю; это можно сделать корректно
лишь тогда, когда вместе с комплексификацией рассматривается
сопряжение, как для обычных комплексных чисел. Подмноже-
Подмножество коадплексифицированного пространства только тогда мож-
можно перенести в вещественный случай, когда оно инвариантно
при сопряжении.
В этой главе мы не будем касаться морфизмов менаду рас-
рассматриваемыми объектами, но и они могут быть без труда ком-
плексифицированы. Можно комплексифицировать и многочлены.
7.А. Комплексификация векторного пространства
([В, 7Л-7.4])
Пусть Е — вещественное векторное пространство. Комплекси-
Комплексификация векторного пространства Е, обозначаемая Ес, это
комплексное векторное пространство, содержащее Е и такое,
что Ес = ЕФ iE (где * = V—О- Каждое ге?с записывается
в виде х + iy, где х, у е Е. Например, для заданного базиса в ?
можно рассмотреть вложение (х\, ..., хп)*~>(*ь ..., хп) век-
векторного пространства Е в С, где дс,- в правой части — комплекс-
комплексные числа.
Очень важно ввести в Ес сопряжение а (а не является комп-
комплексным автоморфизмом, так как оно только полулинейно),
определяемое как o(x+iy) = x—iy. Всякое подпространство F
векторного пространства Е имеет комплексификацию Fc в Ес,
которая является комплексным векторным подпространством.
С другой стороны, комплексное векторное подпространство Z в
Ес является комплексификацией Fc для некоторого F тогда и
только тогда, когда a(Z) = Z, и в этом случае Z = Fc для F —
= E(\Z.
Комплексификация 49
Используя перечисленные замечания, легко показать, что
всякий эндоморфизм конечномерного вещественного векторного
пространства оставляет инвариантной прямую или плоскость.
7.В. Комплексификация проективного пространства
([В, 7.5])
Это теперь легко сделать: мы определяем комплексификацию
проективного пространства Р(Е) как Р(ЕС) и обозначаем ее
(Р(Е))С. Это комплексное проективное пространство, содержа-
содержащее Р(Е). Сопряжение, по-прежнему обозначаемое а, получа-
получается при помощи сопряжения в Ес с последующей факториза-
факторизацией. Проективное подпространство SC пространства Р(ЕС) есть
комплексификация некоторого проективного подпространства из
Р(Е) тогда и только тогда, когда oCj) — S?, и тогда 3L =
{%РЕс
7.С. Комплексификация аффинного пространства
([В, 7.6])
Это более тонкая операция. Пусть X — аффинное простран-
пространство; один из способов его комплексификации заключается в
том, чтобы векторизовать X (см. 2.А), а затем применить 7.А,
получив в результате комплексное векторное пространство Xе,
которое порождает комплексное аффинное пространство (см.
2.А). При этом мы получим и сопряжение а, которое характе-
характеризует комплексные аффинные подпространства в Xе, являю-
являющиеся комплексификацией аффинных подпространств из X, точ-
точно так же как в 7.А и 7.В. Отметим также, что1Х)с =(ХС).
7.D. Резюме ([В, 7.6])
Суммируя вышеизложенное, мы получаем способ комплек-
комплексификации проективного пополнения вещественного аффинного
пространства X, при котором Х = Х[) оох — X\J P(X) (см. 5.А).
Мы находим пространство (Х)С — {ХС)~, которое можно пред-
представить в виде Хс = Хс[)оо%, ^где оо? = (Р(Х))с = Р((Х)С).
Отображение сопряжения а на Xе совпадает с объединением
сопряжений на X* и на оо?.
Аналитически мы исходим из л-мерного вещественного аф-
аффинного пространства X, затем выбираем аффинный репер, в ко-
котором имеем х = (хи ..., хп) для х^Х, и вкладываем X в
n-мерное комплексное проективное пространство Р"(С) при по-
помощи отображения
(Хи ..., Хп)ь-*р{{1, Хи ..., Хп)),
50
Глава 7
где 1, лг|, ..., х„ рассматриваются как комплексные числа. Со-
Сопряжение в Рп(С) задается равенством
о(р((г0, г,, .... гп))) = р(B0, г, г„)).
Точки из оо? при этом имеют вид р(@, г,, ..., ?„)).
Пример возвращения к вещественному случаю. Предполо-
Предположим, что мы получили после комплексификации четыре точки
а, Ь, с, d в оо? (другими словами, направления комплексных
прямых в Xе), которые переставляются при сопряжении а (но
ни одна из них не остается неподвижной). Тогда мы утверж-
утверждаем, что среди шести прямых, соединяющих эти точки попарно,
только две принадлежат к прямым из оо*. Действительно, мы
можем представить наши четыре точки как a, a (a), b, a(b), и
тогда этими двумя прямыми будут <а, сг(а)>, 0, о(&)
\
Рис, 7.D.
Типичными примерами применения развитой выше техники
комплексификации являются построение круговых точек в евкли-
евклидовом пространстве и приложения этой конструкции. См., к при-
примеру, 8.Н, 9.D, 17.С и задачу 16.3.
ЗАДАЧИ
7.1. ЕСТЕСТВЕННАЯ КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ ([В, 7.7.5]). Пока-
Покажите, что множество Homj?(C; Е) всех R- линейных отображе-
отображений из _С1 в вещественное векторное пространство Е, является
естественной комплексификацией векторного пространства ?,
Глава 8
ЕЩЕ ОБ ЕВКЛИДОВЫХ ВЕКТОРНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
8.А. Определения ([В, 8.1])
Евклидово векторное пространство Е — это вещественное ко-
конечномерное векторное пространство (размерность которого
всегда будем обозначать п), наделенное положительно опреде-
определенной симметричной билинейной формой <р (т. е. <р{х, х) > О
при всех хфО). Мы записываем cp(x, у) в виде [х\у) и назы-
называем это число скалярным произведением (или внутренним про-
произведением) векторов х а у. Число
называется нормой вектора х. Два вектора х и у называютея
ортогональными, если (х\у) = 0.
Всегда выполняется неравенство | (х\у) | ^ IUIII|t/ll, и введе-
введение функции расстояния d(x, у)=\\х — у\\ превращает Е в ме-
метрическое пространство, которое будет изучено в гл. 9. Подмно-
Подмножество {ej(=1 называется ортонормированным, если ||е*||=1
для каждого i и (е*|е/) = 0 для любых 1ф].
Линейные автоморфизмы / евклидова пространства Е, сохра-
сохраняющие евклидову структуру, т. е. такие, для которых
(f(x) I/({/)) = (х{У) Для всех х и у, называются (векторными)
изометриями. Они образуют ортогональную группу, действую-
действующую на ? и обозначаемую 0{Е). Элементы из О+(Е)= О(Е)(]
r\GL+(E)={f(=O(E): det/>0} (см. 2.G) называются враще-
вращениями. Для того чтобы / принадлежало О(Е), необходимо и до-
достаточно, чтобы относительно некоторого ортонормированного
базиса его матрица А удовлетворяла условию 'АА=1, где
'А — транспонированная матрица к А.
Стандартным примером евклидова пространства является
R", наделенное скалярным произведением ( (jci, ..., х„) \
{tfi уп)) = Y, xiUt- Любое евклидово пространство размер-
размерности п изоморфно R".
8.В. Двойственность н ортогональность ([В, 8.1])
Мы говорим, что подмножества А, В в Е ортогональны, если
la\b) = 0 для любых а <= А и b e В. Для изучения такого отно-
отношения ортогональности удобно ввести канонический изомор-
52 Глава 8
физм лл—*¦{«/>—* (х\ у)} между Е и Двойственным к нему Е\
В самом деле, тогда евклидова ортогональность идентична орто-
ортогональности между подмножествами из Е и ?* при естествен-
естественном спаривании.
К примеру, мы обозначим через AL ортогональное дополнв'
ние к подмножеству А и определим его как А±—{х^А: (х\а) =
= 0 У/а^А}. Это множество будет векторным подпростран-
подпространством в Е, и для векторных подпространств Л и В из ? всегда
выполняются следующие соотношения:
Говорят, что прямая сумма ?=Л8В ортогональна, если
ВА\
8.С. Отражения ([В, 8.2])
Все инволюции из О(Е) имеют вид / = Ids — Idr. где ? =
= S®7 — ортогональная прямая сумма (см. 2.D и 8.В). По-
Поскольку Т однозначно определяется по S, мы говорим, что f —
(ортогональное) отражение, или (зеркальная) симметрия, отно-
относительно S.
Любой элемент f^O(E) представляется в виде композиции
не более чем п отражений относительно гиперплоскостей, и при
п ^ 3 каждое f^O+(E) является произведением не более п
отражений коразмерности 2.
8.D. Строение группы О(Е) в случае п = 2
([В, 8.3])
В этом случае каждый элемент из О~(Е)= {f е О(Е):
det/<0} является отражением относительно некоторой прямой.
Более того, О+(Е) коммутативна и состоит из отображений /,
матрица которых (в некотором ортонормированном базисе)
имеет вид
(cos 9 — sin0\
sin 9 cos 9 А
где 0 — вещественное число («угол» отображения f), определен-
определенное с точностью до элемента из 2jtZ, при условии, что на Е
выбрана некоторая ориентация.
8.Е. Строение элемента из О(Е) ([В, 8.4])
Для каждого элемента / е О(Е) имеется разложение в орто-
ортогональную прямую сумму Е = /+ Ф /_ Ф Ri Ф ... Ф Rr, удовле-
удовлетворяющее следующим условиям:
Еше об евклидовых векторных пространствах 63
(i) / оставляет инвариантным каждое слагаемое в разло:
жении;
(И) f == Id на /+ и f = —Id на /_;
(iii) каждое Rt двумерно, и матрица отображения f на каж-
каждом Ri имеет вид
/cos 9* — sinQA
\ sin 9, cos Qt)'
Этот результат можно доказать с использованием 8.D и того
факта, что каждый элемент feO(?) оставляет инвариантной
некоторую прямую или плоскость в Е (см. 7.А или задачу 8.2).
Пример. В размерности 3 любое вращение есть вращение
вокруг (неподвижной) прямой в Е, т. е. задается матрицей вида
/cos9 —sinG О'
I sin 9 cos 9 О
\ 0 0 1
С другой стороны, в размерности 4 матрица вида
cos0 —sin 9 0 0
sin 9 cos 9 0 0
0 0 cost] — sin
0 0 sin ц cos г)
определяет вращение, не имеющее неподвижных точек (кроме
начала координат), если cos 9 ф 1, соът\ф Г.
8.F. Углы и ориентированные углы
([В, 8.6,8.7])
Пусть Д, Д' — две ориентированные прямые (или полупря-
полупрямые, т. е. лучи); тогда угол между ними, обозначаемый ДД',
есть вещественное число из интервала [0, л], определяемое фор-
формулой
для любых х е Д, х' е Д', отличных от нуля.
Если D и D'— две прямые, то угол DD' между ними — это
число из интервала [0, л/2], определяемое формулой
для любых xeD, x' e D', отличных от нуля.
Для прямых и ориентированных прямых на плоскости можно
Дать более тонкое определение. Это возможно благодаря тому,
54
Глава 8
что в этом случае группа О+(Е) коммутативна (см. 8.D). Ори-
Ориентированный угол между двумя ориентированными прямыми
Д, Д', обозначаемый ДД', — это элемент из О+(Е) (который пе-
переводит Д в Д'). Группу ориентированных углов будем обозна-
обозначать U(f), а групповую операцию — знаком «+». Поскольку на
Е тоже есть ориентация, мы можем отождествить О+(Е), а сле-
следовательно, и U(Е) с мультипликативной группой U комплекс-
комплексных чисел с модулем 1; последняя в свою очередь может быть
отождествлена с R/2jtZ посредством комплексного экспонен-
экспоненциального отображения.
Ориентированные углы обладают следующими свойствами:
/ (Д) f (Л') = ДД', когда f — вращение;
ДД
Д'Д'^ДД"
f (Д) f (Д') = — ДД , когда / — отражение;
для любых Д, Л', Д";
ДД' = Д,Д{
эквивалентно ДД, = Д'Д'.
Биссектрисы двух прямых Д, Д' — это ориентированные пря-
прямые 2, такие, чтоД2 = 2Д'; их ровно две: 2 и —2.
Для неориентированных прямых тоже можно определить по-
понятие ориентированного угла DD', удовлетворяющего четырем
приведенным выше условиям. Соответствующая группа обозна-
обозначается VL(E). В этом случае
прямые 5, такие, что DS — SD',
тоже называются биссектриса-
биссектрисами прямых D и D'\ их снова
две, но они ортогональны. Это
, более тонкое понятие угла бу-
будет играть существенную роль
в гл. 10; см. 10.D, задачи 10.3
и 10.7.
8.G. Подобия ([В, 8.8])
Подобия — это элементы
группы GL(?), являющиеся
произведением изометрии и
векторной гомотетии; группа
подобий обозначается GO(?). Мы положим GO+(?) = GO(?')n
f|GL+(?); это группа подобий, сохраняющих ориентацию.
Имеется много эквивалентных определений подобия. Сущест-
Существенно, что подобия — линейные отображения, сохраняющие от*
Рис. 8.F.
Еше об евклидовых векторных пространствах 55
ношения длин, т. е. такие отображения f, что существует вещест-
вещественное (х со свойством ||Д*) II = (i|U|| для любого х. Верно также,
что / — подобие тогда и только тогда, когда оно переводит лю-
любые две ортогональные прямые в ортогональные. И конечно же,
подобие сохраняет углы между прямыми или ориентированными
прямыми.
8.Н. Изотропный конус, изотропные прямые,
формула Лагерра ([В, 8.8])
Понятие комплексификации (гл. 7) позволяет нам получить
некоторые приятные и полезные результаты, касающиеся подо-
подобий. Пусть N: х ¦—*¦ || х |р = <р (х, х)I — квадратичная форма, опре-
определяющая евклидову структуру на Е. Пусть Ес и Nc: Ec-*-D:—
комплексификации для Е a N\ рассмотрим ядро .(Nc)~'@) (от-
(отметим, что оно инвариантно относительно сопряжения а; см.
гл. 7). Это ядро представляет собой конус, называемый изо-
изотропным конусом пространства Е (хотя он находится в Ес, а
не в Е).
Если, в частности, Е — плоскость, то изотропный конус со-,
стоит из двух прямых /, /, называемых изотропными прямыми
плоскости Е (и снова эти прямые находятся в Ёс); для них
a{l) = J. Отметим, что /, / образуют пару, ни один элемент ко-
которой априори не выделен. С другой стороны, если Е ориенти-
ориентировано, то мы можем взять в качестве / прямую, угловой коэф-
коэффициент которой в ортонормированном базисе равен t«V-l,
Подобия в евклидовом пространстве Е можно охарактери-
охарактеризовать как линейные автоморфизмы, которые оставляют инва-
инвариантным изотропный конус. В случае плоскости /gGO+(?)
тогда и только тогда, когда /с(/)=/ (что автоматически влечет
fc (/) = /), и /gGO~(?) тогда и только тогда, когда /(/) = /.
Для двух заданных прямых D и D' на евклидовой плоскости
Е мы можем рассмотреть двойное отношение четырех прямых
?>с, D'c, I, J в Е^ (см. 6.А). Формула Лагерра устанавливает
связь между этим двойным отношением и углом DD':
К примеру, ортогональность прямых D, D' эквивалентна гармо-
гармоническому сопряжению [Dc, D'c, /, /]==— 1; см. 17.С.
Для ориентированного угла DD' между D и D' имеется бо-
более тонкая формула Лагерра. Согласно ей, [Dc, D'c, I, J] = eiil,
где t — некоторая мера угла DD'. Вместе с 6.D это показывает,
что условие «угол DL/ постоянный» может быть интерпретиро-
интерпретировано как высказывание: «Z)' может быть получена из D при по-
помощи некоторой томографии».
56 Глава 8
8.1. Кватернионы и вращения
Учитывая ограниченный объем книги, мы лишь упомянем
здесь для полноты изложения, что хороший путь изучения О+C)
и О+-D) обеспечивают кватернионы (см. [В, 8.9]).
8.J. Ориентация, векторные произведения,
определитель Грама ([В, 8.11])
В этом разделе мы рассмотрим ориентированное п-мерное
евклидово векторное пространство. Такое пространство обладает
канонической формой объема %Е, определяемой следующими
условиями: это внешняя n-форма (т. е. знакопеременная мульти-
-пинейная n-форма), и ее значение ta(ei en) на любом по-
положительном ортонормированном базисе е\, ..., еп равно 1.
В случае п = 3 эту форму называют также смешанным произ-
произведением и обозначают просто Хе(х, у, z) — (x, у, г).
Векторное произведение п —1 векторов хъ ..., хп_\ в Е — это
вектор х{л ... лVi B ?> определяемый соотношением
(х{А ... Лх„_1 \у) = ХЕ(хи .... хп_и у) VyeE.
Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда
векторы xi линейно зависимы; оно ортогонально всем xi, и если
ДГ1, ..., xn-.i линейно независимы, то векторы х\, ..., хп-и
Xj Л ... Ахп_1 образуют положительный базис. И наконец,
где Gram^i, .... хр) обозначает определитель Грама набора
векторов {xi}:
(Х2\Х1) \\Х2\\2 ... (Х2\ХР)
epU) (xp\x2) ... !Up|
В заключение отметим соотношение, очень полезное при вычис-
вычислении объемов: Gram(xi, ..., jcn) = (^?(^i хп)J.
ЗАДАЧИ
8.1. НЕПРИВОДИМАЯ ГРУППА МОЖЕТ СОХРАНЯТЬ НЕ БОЛЕЕ
ОДНОЙ ЕВКЛИДОВОЙ СТРУКТУРЫ ([В, 8.12.1]). Пусть Е — ко-
конечномерное вещественное векторное пространство, ср и ф — две
евклидовы структуры на ? и GczGL(E) — подгруппа линейной
группы преобразований векторного пространства Е. Покажите,
Задачи 57
что если группа G неприводима (см. [В, 8.12.2]) и 6сО(?,ф)П
[\О(Е, $) (т. е. все элементы группы G оставляют ф и t|> инва-
инвариантными, см. 13.Е), тоф и ф пропорциональны.
8.2. ВЕКТОРНАЯ ИЗОМЕТРИЯ ВСЕГДА ОБЛАДАЕТ ИНВАРИАНТ-
ИНВАРИАНТНОЙ ПРЯМОЙ ИЛИ ПЛОСКОСТЬЮ ([В, 8.12.2]). Чтобы доказать,
что любое отображение /еО(?) всегда оставляет некоторую
прямую или плоскость инвариантной, рассмотрим какой-нибудь
элемент xeS(?), для которого li/(jc) — лсЦ минимальна. Пока-
Покажите, что х, f(x), Р(х) лежат в одной плоскости.
8.3. ДЕЛЕНИЕ УГЛА НА П РАВНЫХ ЧАСТЕЙ ([В, 8.12.7]).
Покажите, что для всех ле№ я каждого a<=U(?) уравнение
пх = а имеет ровно п решений в U(?). Изобразите эти решения
на окружности для некоторых значений а и /г = 2, 3, 4, 5.
8.4. ПОСТРОЕНИЕ ТРЕХ ПРЯМЫХ ПО ЗАДАННЫМ БИССЕКТРИ-
БИССЕКТРИСАМ ([В, 8.12.10]). Мы называем биссектрисой двух прямых
А и В в евклидовом пространстве любую биссектрису прямых
Л и В на плоскости, порожденной этими двумя прямыми (см.
8.F).
Пусть S, Т, U — три прямые в трехмерном евклидовом век-
векторном пространстве. Найдите три прямые А, В, С, такие, что
S — биссектриса прямых А а В, прямая Т — биссектриса прямых
В и С, a U — биссектриса прямых С и Л. Исследуйте возмож-
возможность обобщения этой задачи: заменяя прямую лучом, рас-
рассматривая более чем три прямые или рассматривая пространства
более высокой размерности.
8.5. АВТОМОРФИЗМЫ ТЕЛА Н ([В, 8.12.11]). Покажите, что
все автоморфизмы Н имеют вид а ь-*-31 (а) + р (^ (а)), где
О+C
8.6. ВЕКТОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ В R3 ([В, 8.12.9]). Пусть
а, Ь, с — любые три вектора в R3. Докажите следующие фор-
формулы:
ал(ЬАс) = (а\с)Ь-(а\Ь)с, A)
(а л Ь, а А с, Ьас) = (а, Ь, сJ, B)
(аАЬ)А(аАс) = (а, Ь, с)а. C)
Покажите, что R3, наделенное операциями сложения и вектор-
векторного умножения, есть антикоммутативная алгебра, которая, не
будучи ассоциативной, удовлетворяет тождеству Якоби
а А (Ь А с) + Ь А (с А а) + с А (а А Ь) = 0.
2"акая алгебра называется алгеброй Ли.
58
Глава 3
Пусть р, q, r обозначают проекции на координатные плоско-
плоскости в R3. Покажите, что
0aA6||2 = Gram(p(a), p(b)) + Gram (q (a), q(b)) + Gram (г (а), г (Ь)).
Дайте геометрическую интерпретацию этого результата (см.
определение определителя Грама в 8.J).
Исследуйте уравнение хАа = Ь (при заданных а и Ь)\ выяс-
выясните, существует ли решение и единственно ли оно.
/г
Рис 8.6.
Глава 9
ЕВКЛИДОВЫ АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
9.А. Определения ([В, 9.1])
Рассмотрим вещественное аффинное пространство X конеч-
конечной размерности (которую мы всегда обозначаем п), такое, что
порождающее его векторное пространство X (см. 2.А) снаб-
снабжено евклидовой структурой; в этом случае мы говорим, что
X — евклидово аффинное пространство. Стандартным примером
является R", рассматриваемое как аффинное пространство.
На X можно ввести структуру метрического пространства,
взяв в качестве функции расстояния d(x, у) =!(ху ||, или сокра-
сокращенно d(x, y) = xy. Неравенство треугольника является стро-
строгим, т. е. если xz — ху -\- yz, то у принадлежит отрезку [х, г\
(см. З.С). Евклидово аффинное пространство имеет канониче-
каноническую топологическую структуру (см. 2.G), в которой компакт-
компактными множествами являются замкнутые множества, ограничен-
ограниченные в метрике d.
Группа изометрий пространства X, т. е. таких биекций X иа
себя, что f(x)f(y)—xy для любых х,у из X, обозначается Is(A").
Имеет место следующее важное обстоятельство: любая изо-
метрия с необходимостью является аффинным отображением,
или, точнее,
= {fe=GA(J) и Т<=О(Х)} (см. 2.В).
Далее, можно определить (см. 2.G) Is±(X) fJfl^);
элементы нэ Is+(^) называются (собственными) движениями, а
элементы из Is-(JT)—несобственными движениями (или анти-
антидвижениями).
9.В. Подпространства ([В, 9.2])
Согласно 2.D и 8.С инволютивные изометрий евклидова аф-
аффинного пространства суть в точности (ортогональные) отра-
отражения (зеркальные симметрии) относительно (аффинных) под-
подпространств из X. При этом, в противоположность случаю век-
векторных пространств, подпространство S не имеет однозначно
определенного ортогонального дополнения. Действительно, для
любой точки х^Х существует в точности одно проходящее че-
60
Глава 9
рез нее подпространство, ортогональное S. Обозначим его через
Т; тогда точка пересечения y = Sf]T представляет собой ту
единственную точку в S, для ко-
которой расстояние до х минималь-
минимально (по сравнению с другими точ-
Ьх ками из S):
d (х, у) = inf {d (x, z): z<^S} =
Расстояние от х до произволь-
ной гиперплоскости Я легко вы«
числить, если известна такая аф-
аффинная форма f, что H = f-1(O)
(см. 2.В). Действительно, в этом
случае
Рис. 9.В.
9.С. Строение элемента группы
([В, 9.3])
Произвольный элемент в Is(X) есть композиция параллель-
параллельного переноса в X и изометрии некоторой векторизации для X
(см. 8.А). Существует более тонкое разложение. Именно, пусть
/I(X) тогда существует единственная пара, состоящая из
X t
() уу
изометрии g пространства X и параллельного переноса t-*- и
удовлетворяющая следующим условиям: множество G непо-
* >
движных точек отображения g не пусто и S
лее того,
f
>
G, f — t->°g.
и Ug gU.
Рассмотрим некоторые частные случаи этой теоремы.
Если /eIs+(Z) и / не является параллельным переносом в
евклидовой аффинной плоскости X, то / имеет неподвижную
точку а, так что f — вращение векторизации Ха, снабженной
евклидовой структурой; этому вращению соответствует одно-
однозначно определенный угол из VL(X) (см. 8.F).
Каждая изменяющая ориентацию изометрия евклидовой аф-
аффинной плоскости может быть однозначно представлена в виде
f = t-*°g, где g — oo-—отражение (зеркальная симметрия)
относительно прямой D, такой, что ^gD.
Каждая сохраняющая ориентацию изометрия трехмерного
евклидова аффинного пространства, за исключением параллель^
Евклидовы аффинные пространства 61
ных переносов, является винтовым движением, т. е. композицией
параллельного переноса /-> и вращения, оставляющего непо-
->
движными точки некоторой прямой, параллельной ? (см. 8.Е).
9.D. Подобия ([В, 9.5])
Подобиями евклидова аффинного пространства X называются
такие его аффинные отображения f, что f e GO (X) — группе по-
подобий пространства X (см. 8.G). Группа подобий обозначается
Sim(X), Подобие / называется прямым (соотв. непрямым), если
/ е GO+ (X) (соотв. / е GO" (X)); соответствующие множества
обозначаются Sim+(X) и Sinx-(X). Каждое подобие, не являю-
являющееся изометрией, имеет единственную неподвижную точку, ко-
которая называется его центром. Подобия обладают рядом заме-
замечательных свойств: прежде всего они сохраняют отношения
между расстояниями:
f(x')f(y') _ х'у' „Юбых х v х' и'
f (х) f (у) ~~ ху для люоых х, у, х , у .
Они характеризуются также тем, что переводят сферы в сферы
и сохраняют углы между прямыми и углы между ориентирован-
ориентированными прямыми (см. 8.F).
Процесс комплексификации (8.Н) и пополнения G.D) может
быть использован здесь следующим образом. Рассмотрим комп-
лексифицированное проективное пополнение Xе = Xе (J <»?, где
о°'х = Р(Хс). Используя терминологию из 14.А, определим в
Р(ХС) омбилику пространства X как квадрику Q=p((Nc)~i@)),
которая является образом в проективном пространстве оо? изо-
изотропного конуса в X. (Заметим, что омбилика пространства X
не лежит в X, но такая терминология тем не менее удобна.) При
п = 3 омбилика представляет собой конику на проективной пло-
плоскости оо?; при п = 2 она состоит из двух точек р{1), рA)
проективной прямой оо?, образов изотропных прямых в X. Мы
также будем обозначать эти точки / = р(/) и J = p(J) и назы-
называть их круговыми точками X (по поводу названия см. 17.С).
Выбор одной из двух круговых точек эквивалентен выбору
ориентации в X (см. 8.Н).
Для того чтобы f^GA(X) было подобием, необходимо и
достаточно, чтобы его проективное пополнение fc удовлетворяло
соотношению fc(Q) = Q. Если X — плоскость, то f принадлежит
Sim+(X) (соотв. Sim-(X)), когда /с оставляет каждую круговую
62 Глава 9
точку неподвижной (соотв. переводит одну круговую точку в
другую).
Условие ортогональности двух прямых D, D' в X формули-
формулируется здесь следующим образом (см. 8.Н):
[«>S. «>g-././J = -l;
при этом гармоническое отношение берется на бесконечно уда-
удаленной проективной прямой в оо?. Формулы Лагерра также
имеют место.
9.Е. Подобия на плоскости ([В, 9.6])
Подобия на плоскости могут быть описаны явно, если отож-
отождествить евклидову аффинную плоскость X с .С при помощи не-
некоторого ортонормированного базиса: точке х = (а, Ь) ставится
в соответствие комплексное число а + ib. Тогда каждое прямое
(соотв. непрямое) подобие может быть записано в виде
z\—>az (соотв. 2 н-э-ог + Р).
Углом peU(X) (см. 8.Н) прямого подобия на плоскости на-
называется аргумент комплексного числа а из этого представле-
представления. Для любой прямой А (ориентированной или нет) имеем
г
) Ф
Группа Sim+(X) содержит интересные однопараметрические
подгруппы, в которых сочетаются гомотетии и вращения. В тер-
терминах векторизации Ха они представляют собой множества по-
подобий векторного пространства Ха, которым соответствуют (от-
(относительно некоторого ортонормированного базиса) матрицы
вида
геы cos Ы — ем sin Ы \
sin fit ekt cos hi)'
где k, h — фиксированные действительные числа и t — параметр
группы. Орбиты такой группы называются логарифмическими
спиралями; они обладают тем свойством, что касательные к ним
в произвольных точках х образуют постоянный угол с прямой
<а, х}.
9.F. Метрические свойства ([В, 9.7])
Группа ls(X) транзитивиа настолько, насколько это воз-
возможно. Пусть k — произвольное натуральное число, \хД i=I к,
{yi)i~\ k~ два таких набора по k точек из X в каждом, что
d(xt, x,) = d(yit yt)
для всех i, /=1, ..., k. Тогда существует такая изометрия f в
X, что f(xi) = yt при всех i = 1 k.
Евклидовы аффинные пространства
63
Но расстояния dij = d{Xi, х/) не произвольны; в случае k =
==« + 2 кроме неравенства треугольника и его обобщений имеет
место следующее универсальное соотношение:
0 1 1 ... 1
1 0
dn+2, 1
dn+2,2
,2
. . . , л+2
i.. d% n+2
0
= 0.
Формула Аполлония использует барицентр g пар {(xi,
[(см. З.А) и утверждает, что для любого z
Эта формула позволяет решить большое количество задач о гео-
геометрических местах точек. Например, множество точек г, таких,
что ^ lkizx\ = const, в общем случае есть сфера и, в частности,
геометрическое место точек, у которых отношение расстояний
до двух фиксированных точек постоянно!
9.G. Длина кривых ([В, 9.9, 9.10])
f
Е
Пусть М — метрическое пространство с метрикой d. Кривой
в М называется отображение /: [a, fe] —>-М отрезка [а, Ь\ в М.
е длина есть точная верхняя грань сумм
Длина может быть и бесконечной. Отрезком в М называется
такая кривая [а, Ь]->М, что d{f(t), f(tf)) = t' — t для всех
а ^* t ^s t' ^ b. В частности, для отрезка
длина (f) = d(f(a)J(b)).
Далеко не все метрические пространства содержат отрезки.
Метрическое пространство называется превосходным, если для
любой пары его точек (х, у) существует соединяющий их отре-
отрезок. Евклидовы аффинные пространства превосходны (см. также
18.В, 19.А, 19.В).
В евклидовом аффинном пространстве X метрика d: X~X_X-*-
r^-R дифференцируема в любой точке (х, у)^ XXX, такой, что
у. Ее производная определяется формулой
•> ¦> ~* =>¦ ¦> ~ =+"
— и) = II v || cos (v, xy) —1| и || cos (и, ху).
d*{x, y){u, v) = -=z-
64 Глава 9
Эта формула называется формулой первой вариации; при этом
в последнем выражении имеются в виду углы между ориентиро-
ориентированными прямыми.
9.Н. Каноническая мера, объемы ([В, 9.12])
Каноническая мера в конечномерном вещественном аффин-
аффинном пространстве определяется с точностью до скалярного мно-
множителя (см. 2.G), но в случае евклидова пространства канони-
каноническая мера определяется однозначно. Она получается пере-
перенесением меры Лебега из R" ъ-Х посредством произвольной
изометрии X-+R" и обозначается ц.
Имеет смысл понятие объема Й(/С) произвольного компакта
К в X; оно определяется следующим образом:
где %к — характеристическая функция множества К.
Существенные сведения об объемах читатель может найти в
[В, 9.12, 9.13], среди них: симметризация по Штейнеру и изо-
диаметрическое неравенство.
ЗАДАЧИ
9.1. ТЕОРЕМА СИЛЬВЕСТРА ([В, 9.14.25]). Докажите, что
если множество из п точек {xt)l=i „обладает тем свойством,
что каждая прямая, содержащая две из точек Xi, содержит и
третью, то все точки xt расположены на одной прямой.
9.2. БИССЕКТРИСЫ ([В, 9.14.3]). Пусть D, D' — две непа-
непараллельные прямые на евклидовой плоскости X. Покажите, что
множество {х^Х: d(x, D) = d{x, D')} состоит из объединения
двух биссектрис для D, D'. Что представляет собой это множест-
множество в случае, когда X имеет более высокую размерность?
9.3. ОПТИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ ([В, 9.14.33]). Пусть
С—замкнутая строго выпуклая кривая класса С1 (см. 3.6)
на евклидовой плоскости. Покажите, что для любого
п ^ 3 существует по крайней мере один оптический многоуголь-
многоугольник с п сторонами, вписанный в С. Речь идет о многоугольнике,
для каждой вершины которого внешняя биссектриса двух сто-
сторон, сходящихся в этой вершине, совпадает с касательной к С
в этой точке.
9.4. НАХОЖДЕНИЕ ЦЕНТРА ПОДОБИЯ ([В, 9.14.40]). Для
четырех заданных точек а, Ь, а', Ь' в R2 постройте центры по-
подобий, переводящих а в а' и Ь в Ь'.
Задачи Go
9.5. КВАДРАТ, ВПИСАННЫЙ
В ТРЕУГОЛЬНИК ([В, 9.14.16]).
В заданный треугольник впи-
впишите квадрат, как показано
на рисунке.
9.6. ВЫПУКЛОСТЬ УЛИТОК
ПАСКАЛЯ ([В, 9.14.18]). Улит-
Улиткой Паскаля для заданной ок-
окружности и заданной точки Рис. 9.5.1.
мы называем кривую, полу-
полученную проектированием этой точки на касательные к окруж-
окружности (в общем случае кривая, полученная с помощью такой
процедуры из другой кривой, называется ее подэрой). Выясните,
как зависит выпуклость улиток Паскаля от положения точки по
отношению к окружности.
Рис. 9.6.1.
3 М. Берже и др..
Глава 10
ТРЕУГОЛЬНИКИ, СФЕРЫ И ОКРУЖНОСТИ
10.А. Треугольники ([В, 10.1—10.3])
Треугольник представляет собой симплекс (см. 2.Е) на
евклидовой аффинной плоскости, или, другими словами, тройку
неколлинеарных точек х, у, г; мы используем обозначение 3~ =
= {•*. «/> z}. Эти три точки являются вершинами &~\ сторонами
треугольника мы называем отрезки [у, г], [г, х], [х, у], а также
их длины, которые принято обозначать а = уг, Ь = гх, с = ху.
Углы 3" суть элементы множества ]0, я[; они определяются для
ориентированных прямых (см. 8.F) и обозначаются А — ху, xz,
B = yz, ух, С = гх, гу. Мы используем также полупериметр
р=(а + Ь + с)/2.
Для треугольников имеет место длинная сводка формул
([В, 10.3, 10.13.2]), но все они являются следствиями несколь-
нескольких основных:
А + В + С = л,
аг = Ь2 + с2 — 2Ьс cos А,
sin А sin 5 sin С 1
~~а~ Ъ~~ с ~~W*
5 = л/р (р — а) (р - Ь) (р — с),
где R — радиус окружности, описанной около ЗГ, a S — площадь
Т (см. 9.Н). Заметим, что sin Л, в противоположность cos Л,
не определяет угол А однозначно.
Два треугольника 3" и Т' называются подобными, если су-
существует подобие (см. 9.D), переводящее вершины 3~ в вер-
вершины 3"'. Каждое из двух приведенных ниже условий характе-
характеризует подобные треугольники (штрихами помечены величины,
относящиеся к Т')\
W a — b 7'
(ii) Л = Л/, В=В', С = С.
10.В. Сферы ([В, 10.7])
Сферой радиуса г с центром в точке а (в я-мерном евкли-
евклидовом аффинном пространстве) называется множество S(a, r) =
Треугольники, сферы и окружности
67
Рис. 10.В.1.
s={^eif: ax = r}\ в случае п = 2 сферы обычно называют
окружностями. Если У—подпространство в X, то пересечение
УП^(а, г) может быть трех типов: оно пусто при d(a, У)> г;
состоит из одной точки при d(a, Y) = r (в этом случае мы гово-
говорим, что Y касается S{a, г) в этой точке), а при d(a, Y)<. r оно
представляет собой сферу в Y радиуса Vr2 — я#2 с центром х,
где х — такая точка в Y, что d(a, К)== ах (см. 9.В).
Пересечение двух сфер S(a, r) и S(a', r') также может быть
пустым множеством, состоять из одной точки или быть сферой в
гиперплоскости. Углом между двумя сферами называется такое
число ф, что
cosqp:
тг + г'
¦ аа
2гг'
Если <р = 0 или я, то сферы называются касательными, а если
Ф = я/2, — ортогональными. Можно также определить угол
между сферой и гиперплоскостью, между двумя гиперпло-
гиперплоскостями.
Степенью точки х относительно сферы S(a, r) называется
действительное число хаг — г2; важность этого понятия опреде-
определяется тем, что ха3 — г2 = ±xt• xf, если прямая, проходящая
68
Глава 10
через х, пересекает сферу в точках t и ?. (Степень положитель*
на, если х находится вне сферы, и отрицательна, если внутри.)
Геометрическое место точек, имеющих одинаковые степени от- ,
носительно двух неконцентрнческнх сфер, представляет собой ;
гиперплоскость, называемую радикальной.
Полярность относительно S(a, r) есть геометрическое пре- -
образование, которое каждой точке хфа из X ставит в соответ-
соответствие гиперплоскость Н(х), пересекающую <а, #> ортогонально^
и такую, что d(a, #(#))= г2/ах.
S(a,r)
н
Рис. 10.В.2.
Это очень полезное преобразование со свойством дуальности;
мы встретимся с ним еще раз в 11.В и в задаче 12.4. Образ
подмножества из X есть огибающая семейства гиперплоскостей,
полярных его точкам. Заметим, что если x^S(a, г), то Н(х) —
гиперплоскость, касательная к S(a, r) в точке х. В заключение
отметим, что полярность относительно сферы является частным
случаем полярности относительно квадрики (см. 14.Е).
10.С. Инверсия ([В, 10.8])
Пусть с — точка в X и ае R*; инверсией с полюсом с и сте-
степенью а называется отображение
t = h,a- Х\с-*Х\с,
определенное относительно векторизации Хс правилом i(x) =
= (a/lkll2) -x. Это отображение инволютивно.
Инверсии переводят сферы и гиперплоскости в сферы и ги-
гиперплоскости. Они сохраняют также углы между двумя сферами
Треугольники, сферы я окружности
69
(между сферой и гиперплоскостью, между двумя гиперплоско-
гиперплоскостями).
Инверсии могут быть весьма полезны при доказательстве
утверждений, в формулировке которых участвуют только углы:
если выбрать в качестве полюса общую точку нескольких сфер,
то одиовременио можно каждую из иих перевести в гиперпло-
гиперплоскость. См., например, 10.D или задачу 18.7.
10.D. Окружности иа плоскости и ориентированные углы
между прямыми ([В, 10.9])
Самое важное свойство окружностей на плоскости состоит
в том, что «центральный угол в два раза больше вписанного»,
Рнс. 1 O.D.I.
или, другими словами, если С — окружность с центром © и
а, Ь — две ее точки, то для любых *е С имеем
= 2xa, xb,
где углы ориентированные, а прямые ориентированные в левой
части уравнения и неориентированные в правой. Несмотря на
это, равенство выше справедливо благодаря множителю 2, см.
'[В, 8.7.7.7].
Важным следствием сформулированного результата является
условие, необходимое и достаточное для того, чтобы четыре
точки лежали на общей окружности или общей прямой: четыре
различные точки а, Ь, с, d коллинеарны или коцикличны в том
и только том случае, если
са, cb = da, db.
Это соотношение имеет два классических следствия.
70
Глава 10
С,
Рис. 10.D.2.
Прямая Симпсона. Рассмотрим треугольник {а, Ь, с). Точка
х принадлежит описанной около треугольника окружности в том
и только том случае, если три проекции х на стороны тре-
треугольника коллинеарны.
Теорема Мигеля о шести окружностях. Пусть С, — четыре
окружиости, и пусть их пересечениями являются С, (]С2 —
= {я, а'}, С2ПС3 = {Ь, Ь'}, С3ПС4 = {с, с'}, Ci(]Cl = {d, d'};
тогда а, Ь, с, d коцикличны в том и только том случае, если ко-
цикличны а', Ь', с', d'.
В заключение заметим, что на плоскости пару окружностей
С, С всегда можно преобразовать с помощью инверсии в очень
простую фигуру: если они пересекаются, то это будет пара пря-
прямых (см. 10.С), а если нет, то пара концентрических окруж-
окружностей. В последнем случае имеются два возможных полюса
инверсии; они называются предельными точками пары С, С.
Их можно определить через пучки окружностей ([В, 10.10]):
предельными являются две точки, через которые проходят все
окружности, ортогональные одновременно С и С.
ЗАДАЧИ
10.1. ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ОДНОЙ
ТОЧКЕ ([В, 10.13.1J). (i) Пусть 0" — треугольник. Постройте
треугольник 2Г', образованный прямыми, проходящими череа
вершины треугольника 3~ параллельно его сторонам. Используя;
эту конструкцию, докажите, что все три высоты треугольника
пересекаются в одной точке.
Задачи
71
(ii) Получите то же утверждение, используя следующее
свойство (его также нужно доказать): для любых четырех то-
точек {а, Ь, с, d} евклидовой плоскости справедливо соотношение
(ab \cd) + (ac\db) + (ad \bc) = 0.
'(Hi) Выведите то же утверждение из теоремы Чевы (за-
(задача 2.!).
(iv) Получите его, рассматривая круговые точки (9.D) и
применяя теорему Дезарга о пучках коник A4.D).
10.2. ТРЕУГОЛЬНИКИ, ВПИСАННЫЕ В ОКРУЖНОСТЬ И ОПИСАН-
ОПИСАННЫЕ ОКОЛО ДРУГОЙ ОКРУЖНОСТИ AВ, 10.13.3]). Покажите, что
для данного треугольника 3" радиус R описанной окружности
С, радиус г вписанной окружности Г и расстояние d между их
центрами удовлетворяют соотношению R2— 2Rr = d2. Пока-
Покажите, что если центры двух
окружностей С, Г радиусов R и г
соответственно удалены друг от
друга на расстояние d и R* —
— 2Rr = d2, то для любой точки
хеС существует треугольник
Зг, который вписан в С, описан
около Г и имеет х своей верши-
вершиной. Выведите из этого утверж-
утверждения теорему Понселе для слу-
случая треугольников A6.Н).
10.3. ПРЯМАЯ ОБРАЗОВ
([В, 10.13.16]). Пусть ^" — тре-
треугольник и D — прямая. Покажи-
Покажите, что прямые, симметричные D Рис. 10.2.
относительно сторон треуголь-
треугольника Т, пересекаются в одной точке в том и только том случае,
если D проходит через точку пересечения высот треугольника
9~. Что происходит, если при этом D вращается вокруг точки
пересечения высот?
10.4. МИНИМУМ СУММЫ РАССТОЯНИИ ДО ЧЕТЫРЕХ ФИКСИРО-
ФИКСИРОВАННЫХ ТОЧЕК ([В, 10.13.8]). Для данного выпуклого четырех-
четырехугольника найдите минимум функции «сумма расстояний от пе-
переменной точки до вершин четырехугольника». Рассмотрите ана-
аналогичную задачу для случая выпуклого шестиугольника, опи-
описанного около эллипса.
72 Глава 10
10.5. ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТА, СТОРОНЫ КОТОРОГО ПРОХОДЯТ
ЧЕРЕЗ ЧЕТЫРЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ ([В, 10.13.28]). На евклидовой
плоскости даны четыре точки а, Ь, с, d. Постройте такой квадрат
ABCD, что а е= ЛВ, 6 <= ВС, с е= CD, de^DA.
10.6. ЗАДАЧА НАПОЛЕОНА - МАСКЕРОНИ ([В, 10.11.2]). По-
Постройте центр заданной окружности, пользуясь только циркулем
(но не линейкой). Докажите следующую, более общую, теорему
Мора — Маскерони: все построения, выполнимые при помощи
циркуля и линейки, можно осуществить также при помощи од-
одного циркуля.
10.7. ЦЕПОЧКА ТЕОРЕМ ([В, 10.13.19]). В этой задаче пред-
предполагается, что все объекты находятся «в общем положении».
Пусть ф;)*-!, 2,3,4 — четыре прямые на евклидовой плоскости, и
пусть С, — окружность, описанная около треугольника, образо-
образованного тремя прямыми Dt Цфг). Покажите, что четыре
окружности Ct имеют общую точку. (См. также [В, 17.4.3.5].)
Сделайте чертеж.
Пусть (Z)i)l_I s—пять прямых на евклидовой плоскости, и
пусть Pi — точка пересечения окружностей, соответствующих
(см. выше) четверке прямых Df (}=Ф0. Покажите, что пять то-
точек pi лежат на одной окружности. Сделайте чертеж.
Сформулируйте и докажите цепочку теорем, двумя первыми
элементами которой являются утверждения, приведенные выше.
10.8. ОКРУЖНОСТИ ФОРДА ([В, 10.13.29]). Рассмотрим три
попарно касающиеся окружности, которые касаются также и
прямой D, как показано на рис. 10.8.1. Пусть г и s — радиусы
окружностей у и б, а р — радиус малой окружности. Выразите
р, ах, Ьх через ab, r, s, где а, Ь, х — точки касания у, б и малой
окружности с прямой D.
Далее, рассмотрим две окружности, заданные относительно
некоторого ортонормированного репера уравнениями х2 + у2—
— у = 0 и х2 + у2 — 2х — «/+1=0. Используя индукцию, по-
постройте последовательность окружностей, как показано на
рис. 10.8.2. Докажите, что абсциссы точек касания этих окруж-
окружностей с осью х рациональны. Все ли рациональные числа из
[0, 1] могут быть получены таким образом?
Задачи
73
Рис. 10.8.2.
Глава 11
ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
Мы будем работать в вещественном аффинном пространстве
X размерности d.
Н.А. Определения. Элементарные свойства
([В, 1I.I, 11.2])
Подмножество S cz X называется выпуклым, если для любых
j;, jeS отрезок [х, у] (см. З.С) также содержится в S. Не-
Несколько более слабое условие определяет звездные множества:
S называется звездным относительно центра а е X, если
[a, jc]c:S для всех *eS. Выпуклыми множествами в R явля-
являются всевозможные интервалы.
Пересечение любого числа выпуклых множеств выпукло;
в частности, для произвольного подмножества А в X можно ука-
указать наименьшее содержащее его выпуклое множество; мы бу-
будем называть его выпуклой оболочкой А и обозначать &"(А)<
Выпуклую оболочку <S{A) множества А можно охарактеризо-
охарактеризовать как множество барицентров семейств {(xi, Xi)}, где все xt
принадлежат А и все h ^ 0. Теорема Каратеодори утверждает,
что при этом можно рассматривать барицентры только тех се-
семейств, которые содержат не более d-\-1 точек.
Если 5 — выпуклое множество, то его замыкание 5 и его
О
внутренность S также выпуклы. Размерностью выпуклого мно-
множества называется размерность наименьшего содержащего его
аффинного подпространства <5>. Утверждение dimS = d, d > 0,
означает, что S имеет непустую внутренность.
11.В. Теорема Хана—Банаха.
Опорные гиперплоскости ([В, 11.4, 11.5])
В теореме Хана — Банаха утверждается, что если А — не-
непустое открытое выпуклое множество в X и L — такое аффинное
подпространство в X, что А Л L = 0, то в X существует гипер-
гиперплоскость, которая содержит L и не пересекается с А.
На основании сформулированной теоремы можно сделать
вывод о том, что через каждую граничную ^точку замкнутого
выпуклого множества S проходит по крайней мере одна опор-
опорная к S гиперплоскость, т. е. такая пересекающая границу S
гиперплоскость Н, что S целиком содержится в одном из двух
определяемых ею полупространств (см. 2.G).
Далее, применительно к выпуклым множествам можно вве-
ввести в рассмотрение операцию полярности к(ср. с 10.В и 14.Е)^
Задачи 75
Пусть X—евклидово векторное пространство с началом О.
Каждому подмножеству AczX поставим в соответствие поляр-
полярное к нему множество Л*;
А* = {у^ X: (х \у) < 1 для всех х е А}.
Соответствие А н—> Л* для компактных выпуклых множеств, со-
содержащих О в своей внутренности, обладает свойством дуаль-
дуальности: (А*)* = А; при этом гиперплоскости, опорные к А, яв-
являются полярными к точкам из Л* относительно единичной сфе-
сферы S@, 1).
И наконец, из теоремы Хана — Банаха следует теорема
Хелли: пусть X — аффинное пространство (размерности d) и
ЗГ — такое семейство его выпуклых компактных подмножеств,
что пересечение любых d + 1 элементов из 2F непусто; тогда
пересечение всех элементов семейства g" непусто.
11.С. Граничные точки выпуклых множеств
([В, 11.6])
Существуют различные способы классификации граничных
точек; одним из наиболее полезных является следующий: гра-
граничная точка х выпуклого множества А называется крайней,
если из х = (у + г)/2, где у, z^A, следует, что у = г. В тео-
теореме Крейна и Мильмана утверждается, что компактное выпук-
выпуклое множество является выпуклой оболочкой своих крайних
точек.
ЗАДАЧИ
11.1. РАЗБИЕНИЕ ПЛОСКОСТИ НА ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
'([В. 11.9.22]). Найдите все разбиения плоскости на два выпук-
выпуклых множества.
11.2. КРАЙНИЕ ТОЧКИ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ ([В, 11.9.8]).
Докажите, что крайние точки замкнутого выпуклого множества
на плоскости образуют замкнутое множество.
11.3. ГИЛЬБЕРТОВА ГЕОМЕТРИЯ ([В, 11.9.4]). Пусть А — ком-
компактное выпуклое подмножество в X с непустой внутренностью.
Для двух различных точек х, у из А положим d(x, y) =
= |log[jc, у, и, v]\, где и, v — две точки, в которых прямая
<дг, у} пересекает границу А, и [ ,.] обозначает двойное
отношение (см. 6.А или [В, гл. 6]). Покажите, что функция
d 4X^R, опре
( [ ]) фу
d: 4X^-*"R, определяемая этим равенством и условием
d(x, дг) = 0 Удгел, есть метрика. Покажите, что эта метрика
превосходна (9.G). Изучите связь между строгим неравенством
треугольника (9.А) и свойствами граничных точек А.
76 Глава II
11.4. ТЕОРЕМА ЛЮКА ([В, 11.9.21]). Пусть Р — полином
с комплексными коэффициентами и Р'—его производная. По-
Покажите, что в аффинном пространстве .С все корни Р' принад-
принадлежат выпуклой оболочке корней Р. В случае когда Р—много-
Р—многочлен степени 3, имеющий различные корни а, Ь, с, покажите,
что существует вписанный в треугольник {а, Ь, с) эллипс, фо-
фокусами которого являются корни и, v многочлена Р'.
11.5. ЗВЕЗДНЫЕ МНОЖЕСТВА ([В, 11.9.20]). Для данного
подмножества A cz X рассмотрим множество N(A) таких точек
а, что А звездно с центром а. Покажите, что N(A) выпукло.
Нарисуйте N(A) для некоторых подмножеств А.
Глава 12
МНОГОГРАННИКИ, ВЫПУКЛЫЕ КОМПАКТЫ
12.А. Многогранники ([В, 12.1, 12.2, 12.3])
Мы будем работать в вещественном аффинном пространстве
X конечной размерности d. Многогранником называется такое
выпуклое компактное множество с непустой внутренностью, ко-
которое может быть представлено в виде пересечения конечного
числа замкнутых в X полупространств (см. 2.G). Мы будем
предполагать, что лишних полупространств в таком пересечении
нет. В случае d = 2 мы пользуемся термином многоугольник.
Грани многогранника Р представляют собой пересечения его
границы с определяющими его гиперплоскостями. Грани сами
являются многогранниками (размерности d — 1) в содержащих
их гиперплоскостях. По индукции мы определяем /г-грани много-
многогранника Р как грани всех его (/: + 1)-граней; 1-грани назы-
называются ребрами, а 0-грани — вершинами.
Начиная с этого места X — евклидово аффинное
пространство.
Для данного многогранника Р можно определить его объем
8(Р) и его площадь поверхности U(P); площадью поверхности
называется сумма объемов всех граней многогранника Р (рас-
(рассматриваемых как (d—1)-многогранники).
12.В. Выпуклые компакты ([В, 12.9, 12.10, 12.11])
Выпуклый компакт с непустой внутренностью можно (в луч-
лучшем смысле этого термина) аппроксимировать многогранника-
многогранниками. Это дает нам возможность определить, переходя к пределу,
объем 8(С) и площадь поверхности U(C) выпуклого компакта
С. Эти два понятия обладают вполне приятными свойствами.
Например, положим для любого % > 0
В (С, А) = {х е= X: d (х, С) < К}',
тогда
х-ю
78 Глава 12
Далее, для всякого выпуклого компакта с непустой внутрен-
внутренностью справедливо изоггериметричеекое неравенство
Ж (С) ^ ( 2 (С)
a(d) ^K^(d)
где a(d) (соотв. P(of)) обозначает площадь поверхности (соотв.*
объем) сферы единичного радиуса в R*. Более того, равенство
имеет место только в том случае, когда С — сфера.
Отметим, что последние два результата допускают обобще-
обобщение на некоторые достаточно «хорошие» подмножества в X, не
являющиеся выпуклыми, например на дифференцируемые мно-
многообразия (см. задачу 12.3).
12.С. Правильные многогранники ([В, 12.4, 12.5, 12.6])
Многоугольник называется правильным, если у него все сто-
стороны равной длины и все углы равны. Для любого п ^ 3 су-
существует правильный многоугольник с я сторонами и все пра-
правильные многоугольники с п сторонами подобны. Всякий пра-
правильный n-угольник можно вписать в окружность. Его группа
симметрии состоит из 2/г элементов и называется диэдральной
группой порядка 2л; она действует просто транзитивно (см. 1.D)
на множестве пар, которые состоят из вершины и какого-нибудь
выходящего из нее ребра. См. задачу 12.1.
Самый простой путь обобщить это понятие на случай d ^ 3
состоит в следующем: рассмотрим наборы из d элементов
(Fo, F\, ..., Fa-i), где каждый Fi представляет собой t-грань и
F,_i с: Ft, I ^ i ^ d— 1. Многогранник Р правильный, если его
группа изометрий G(P) транзитивно действует на множестве
всех таких d-наборов, и в этом случае действие будет просто
транзитивным (см. 1.D). Произвольный правильный многогран-
многогранник можно вписать в сферу.
Примеры правильных многогранников: кокуб Coca, верши-
вершинами которого являются ±в( (? = 1, ..., d) из ортояормирован-
ного репера в X; он имеет Ы вершин и 2d граней. Куб Cubd
имеет своими вершинами V точек с координатами (±1,...,±1)
(относительно ортонормированного репера); он имеет Id граней.
Стандартный симплекс Simd; рассматриваемый в гиперплоскости
V х, = 1 он имеет своими вершинами d-{-\ точек ei из ортонор-
ортонормированного репера; у него также d-\-\ граней.
Можно показать, что при d ^ 5 все правильные многогран-
многогранники исчерпываются приведенными выше примерами (конечно
же, с точностью до подобия). С другой стороны, при d = 3
имеются два особенных правильных многогранника: додекаэдр
Задачи
79
Рис. 12.1.1.
Pat 12.I.2.
Рис 12.1Л.
и икосаэдр (рис. 1.F); при d = 4 имеются три особых случая.
Существование этих особенных многогранников неочевидно, со-
соответствующая задача может быть сведена к изучению случая
d = 3. В задаче 19.1 приводится способ построения правильного
икосаэдра; другое построение можно получить, подходящим об-
образом располагая правильные пятиугольники на кубе ([В, 12.5.5]).
Наконец, оставив в стороне тонкости, можно непосредственно
указать координаты вершин @, ±т, ±1), (±1, 0, ±т), (±т, ±1,
0),где т = (У)/
ЗАДАЧИ
12.1. ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК ([В, 12.12.4]). Дайте
обоснование двум способам построения правильного пятиуголь*
ника, показанным на рисунках.
80
Глава 12
12.2. ПОРЯДОК ГРУППЫ ИЗОМЕТРИЙ ПРАВИЛЬНОГО МНОГО-
МНОГОГРАННИКА ([В, 12.12.10]). Покажите, что для правильного мно-
многогранника в трехмерном пространстве порядок его группы изо-
метрий равен учетверенному числу его ребер.
12.3. ТЕОРЕМЫ ГУ ЛЬ ДИНА ([В, 12.12.20.9]). Рассмотрим ком-
компакт К на плоскости Р в трехмерном евклидовом пространстве
Е. Покажите, что объем компакта CczE, образованного враще-
вращением К вокруг некоторой прямой
D, лежащей в Р и не пересекаю-
пересекающей К, задается формулой
где ?= сеп*(^0 обозначает центр
компакта К (см. 2.G).
Будем рассматривать границу
компакта К как однородную нить
и обозначим через h центр масс
(в обычном смысле этого слова)
нити. Покажите, что площадь по-
поверхности С задается форму-
формулой
Рис. 12.3.I.
"(обе площади следует понимать как площади дифференцируе-
дифференцируемых многообразий).
Найдите применения этой формулы, а также проверьте с ее
помощью, правильно ли были вычислены уже известные объемы
и площади.
12.4. ОБЪЕМЫ МНОЖЕСТВ, ПОЛЯРНЫХ К ЭЛЛИПСОИДАМ
([В, 12.12.2]). Покажите, что если Е — эллипсоид в евклидовом
векторном пространстве X, содержащий точку О в качестве
внутренней, то полярное к нему множество Е* (см. 11.В) яв-
является эллипсоидом с тем же свойством. Их объемы удовлетво-
удовлетворяют неравенству 8(?)8(?*)^ (Р(с()J, причем равенство дости-
достигается в том и только том случае, если О является центром Е
t(no поводу определения p(d) см. 12.В или [В, 9.12.4]).
12.5. ТЕОРЕМЫ БЛЯШКЕ О КАЧЕНИИ ([В, 12.12.14]). Пусть
С — выпуклый компакт на плоскости, граница которого является
бирегулярной кривой класса С2 (см. Berger M., Gostiaux В. Geo-
metrie differentielle. — Armand Colin, 1972, p. 309). Пусть А
(соотв. а)—точка на границе компакта С, в которой кривизна
максимальна (соотв. минимальна). Покажите, что соприкасаю-
соприкасающаяся окружность у в точке а может прокатиться по границе,
не выходя из С, и что граница может прокатиться по соприка-
Задачи
81
сающейся окружности Г в точке А, не выходя из Г. Останется
ли справедливым этот результат, если мы заменим у на окруж-
окружность наибольшего радиуса, содержащуюся в С, или Г — на
окружность наименьшего радиуса, содержащую С?
Рис. 12.5.1.
Глава 13
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
В этой главе Е— векторное пространство конечной раз-
размерности п над полем характеристики ф2.
13.А. Определения ([В, 13.1])
Квадратичной формой q на Е называется отображение вида
х ь-> q (х) = Р (х, х),
где Р — билинейная симметричная форма на Е; она определя-
определяется формой q однозначно:
Р(х, y) =
и называется формой, полярной к q. Ограничение q на подпро-
подпространство F аЕ также является квадратичной формой и обозна-
обозначается q\F.
Относительно базиса {е<} в Е форма q задается матрицей
= (аИ) = {Р{е1, е,)).
Если f — автоморфизм Е, которому соответствуют в базисе
{е,} матрица S, то матрицей q относительно базиса {f(ei)) бу-
будет 'SAS (где *S обозначает транспонированную к 5 матрицу).
Пусть Е, Е' — два векторных пространства (над одним и тем
же полем), и пусть \\ Е->Е' — линейное отображение. Если q1 —
квадратичная форма на Е', то обратным образом формы qf прн
отображении / называется квадратичная форма q (обозначае-
(обозначаемая f*q'), определяемая соотношением
q(x) = {fW)(x) = q'(f(x))
для всех хе Е.
13.В. Эквивалентность, классификация
([В, 13.1, 13.4, 13.5])
Две квадратияные формы q и q' соответственно на Е и Е'
называются эквивалентными, если существует такой изомор-
изоморфизм /: ?->?', что q = f*q'. Классификация квадратичных форм
(в случае размерности п над полем К) подразумевает опреде-
определение классов эквивалентности квадратичных форм на К". Со-
Соответствующая задача решена только для некоторых специаль-
ttt_?V ПЛПОЙ К
Квадратичные формы 83
В случае размерности 1 эта задача решается просто, по-
поскольку из закона преобразования А ь-> '5Л5 следует, что образ
определителя det/4 при факторизации К/(К*J (он называется
дискриминантом) является инвариантом рассмотренного выше
отношения эквивалентности. Это утверждение верно и в общем
случае, но для размерности 1 верно и обратное, так что классы
эквивалентности взаимно однозначно соответствуют элементам
из К/(К*J. См. задачи 13.2 и 13.3.
На С (или, более общо, на любом векторном пространстве
над алгебраически замкнутым полем) существует в точности
/г+1 классов квадратичных форм, представителями которых
являются формы 2 2^, k = 0, 1, ..., п (соответствующий инва-
1—1
риант k называется рангом формы).
На R" существует [(п + 1) (п + 2)]/2 классов квадратичных
форм, представителями которых являются формы
р *
Это утверждение называется «законом инерции Сильвестра».
Квадратичная форма называется нейтральной, если она экви-
эквивалентна форме q = 2 ? xlyl на пространстве К2р; пространство,
оснащенное нейтральной формой, называется пространством
Артина и обозначается Art2p. Примерами являются форма ? z]
Р 2р
на С2' и форма JH *2,- - Е 4 на R2p.
Отметим, что любая квадратичная форма над произвольным
полем может быть приведена к диагональному виду, т. е. для
нее можно указать базис, в котором соответствующая ей мат-
матрица А будет диагональной; в этом базисе q будет иметь вид
^ atx\ с некоторыми а*е/(. Если к тому же Е — евклидово
пространство, то такой базис можно выбрать ортонормиро-
ванным.
13.С. Ранг, вырожденность, изотропия ([В, 13.2])
Для данной квадратичной формы q обозначим через ф ли-
линейное отображение из ? в дуальное векторное пространство Е*,
определяемое правилом <р(#)= {Р{х, у)}, где Р — полярная
форма. Ранг q определяется как ранг <р, радикал rad(</) как
ядро ф, т. е. подпространство в Е, состоящее из всех таких эле-
84 Глааа 13
ментов у, что Р(х,у) = 0 для любых *s?, Таким образом,
rank(<7)+ dim(rad(<7)) = dim?. Форму q называют невырож-
невырожденной, если ее ранг равен п, в противном случае она назы-
называется вырожденной.
Существенное различие между общим и евклидовым слу-
случаями в том, что ограничение невырожденной формы q на под-
подпространство в общем случае может быть вырожденным. Под-
Подпространство F с Е называется сингулярным (соотв. несингу-
несингулярным), если q\p вырожденна (соотв. невырожденна); оно на-
называется вполне сингулярным, если q\p = 0, т. е. если q тож-
тождественно равна нулю на F.
Изотропный конус q — это подмножество q~l @) в Е; его
элементы называются изотропными векторами. Форма назы-
называется анизотропной, если ее изотропный конус состоит только
из нулевого вектора.
Начиная с этого места q предполагается невырожденной.
13.D. Ортогональность ([В, 13.3])
Пусть Е— векторное пространство, оснащенное квадратичной
формой, и F — его подпространство. Ортогональным дополне-
дополнением к F, обозначается Fx, называется подпространство в Е,
определяемое как F1 = {у. Р(х, у) = 0 для всех tef}. В об-
общем случае, в отличие от евклидова, сумма F+F1 не всегда
является прямой, но для любых подпространств F, F' выпол-
выполнены следующие соотношения:
rad F = Fxf\F; F вполне сингулярно <=>F cz Fx,
= F(BFX (прямая сумма) <*¦ F несингулярно
x несингулярно <=>¦ F f| Fx = 0.
13.E. Группа квадратичной формы ([В, 13.6, 13.7])
Ортогональная группа для (Е, q) обозначается О(Е) или
О(</) и определяется как
В фиксированном базисе, в котором матрицей q является А,
матрицы 5, соответствующие элементам f из О(Е), опреде-
Квадратичные формы 85
ляются соотношением 'SAS = A. В частности, det/ = ±l, так
что, как обычно, полагаем
0*(?) = {/е=0(?): det/ = ±l>.
Инволюциями в О(Е) являются отображения вида f = Ids — Idr,
где Е = S (В Т — ортогональная прямая сумма, и только они;
согласно 13.D, они однозначно соответствуют несингулярным
подпространствам S. Инволюции называются также отраже-
отражениями или зеркальными симметриями (относительно S), если
S
Как и в евклидовом случае, можно показать, что любой эле-
элемент из О(Е) представим в виде произведения не более чем п
отражений относительно гиперплоскостей, но доказательство в
общем случае гораздо сложнее (Картан — Дьедонне); см. за-
задачу 13.5. Одним из существенных результатов является тео-
теорема Витта: пусть F, F'— два подпространства в Е и / — такое
линейное отображение из F в F', что q \f~F (q\f')> тогда /
можно продолжить до отображения из О(Е).
При доказательстве сформулированных выше утверждений
полезным оказывается следующий прием. Пусть F — подпро-
подпространство в Е, и пусть его радикал rad (F) имеет размерность
s. Пусть G — такое подпространство, что G Ф rad(F) = F, и пусть
{*>h_i s—базис в rad F. Тогда существует s таких плоско-
плоскостей Р, в Е, что каждая плоскость Pi содержит xi и представ-
представляет собой пространство Артина относительно q\pt (см. 13.В),
Pt и С попарно ортогональны, и ортогональная прямая сумма
F = С © Р{ © ... © Ps несингулярна (говорят, что F — несингу-
несингулярное пополнение F). Из этой леммы непосредственно следует,
что размерность вполне сингулярных подпространств из Е не
превышает п/2; более того, если Е содержит вполне сингуляр-
сингулярное подпространство размерности s = л/2, то Е является про-
пространством Артина Art2s. См. также задачу 13.1.
Из теоремы Витта следует также, что все максимальные
вполне сингулярные подпространства в (Е, q) сопряжены по-
посредством элементов из 0{Е) и, в частности, имеют одинаковую
размерность.
13.F. Двумерный случай ([В, 13.8])
В случае размерности 2 подгруппа О+(Е) всегда коммута-
коммутативна, а О~(Е) состоит из отражений относительно прямых; см.
задачу 13.4.
В Е либо имеется две различные изотропные прямые, либо
изотропных прямых нет; в первом случае с необходимостью
? —Art2 и 0{F.) может быть исследована аналогично тому, как
это было сделано в евклидовом случае (см. [В, 13.8J).
86 Глава 13
ЗАДАЧИ
13.1. АНИЗОТРОПНЫЕ ФОРМЫ ([В, 13.9.4]). Сведите класси-
классификацию квадратичных форм к классификации анизотропных
квадратичных форм.
13.2. ФОРМЫ В СЛУЧАЕ РАЗМЕРНОСТИ I НАД КОНЕЧНЫМ ПО-
ПОЛЕМ ([В, 13.9.10]). Покажите, что если п=\ и К конечно, то
существует в точности три класса квадратичных форм.
13.3. ФОРМЫ В СЛУЧАЕ РАЗМЕРНОСТИ 1 НАД ПОЛЕМ РАЦИО-
РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ([В, 13.9.9]). Покажите, что если K = Q и
n=dim?=l, то существует бесконечно много неизометрич-
ных [Е, q).
13.4. ИСКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ ([В, 13.9.16]). Покажите,
что О(Е) всегда некоммутативна, за единственным исключением
Е = Art2 над полем из трех элементов.
13.5. исключительные ИЗОМОРФИЗМЫ ([В, 13.9.15]). Пока-
Покажите, что существует такое векторное пространство Е, оснащен-
оснащенное квадратичной формой q, что (Е, q) допускает изоморфизмы
/ (т. е. f^O(q)), удовлетворяющие следующему условию: для
любого неизотропного вектора х вектор f(x) — х — ненулевой
изотропный.
Глава 14
ПРОЕКТИВНЫЕ КВАДРИКИ
В этой главе через Е обозначено векторное пространство
размерности п + 1 над полем К характеристики ф2, через
Р[Е)—проективное пространство, порожденное Е, а через
р: Е\0-*-Р(Е) — каноническая проекция. Векторное про-
пространство квадратичных форм на Е обозначим через Q(E),
а соответствующее проективное пространство P(Q(E)) через
PQ(?). Если q^Q(E)—квадратичная форма на Е, то соот-
соответствующая полярная форма обозначается Р. Всегда будем
предполагать, что п ^ 1.
14.А. Определения ([В, 14.1])
Ненулевой элемент aePQ(?), т. е. квадратичная форма q
на Е, рассматриваемая с точностью до ненулевого множителя,
называется {проективной) квадрикой в Р(Е). Форма q, пред-
представляющая класс а, называется уравнением квадрики а.
Образ квадрики а, обозначаемый im(a), определяется как
р(<7-'@)\0); im@) является образом в пространстве Р(Е) ко-
конуса пространства Е и может быть пустым. Рангом квадрики a
называется ранг одного из ее уравнений. Квадрика называется
вырожденной, если вырожденна форма q, и собственной в про-
противном случае. При я = 2 вместо термина «квадрика» исполь-
используется термин «коника».
14.В. Обозначения, примеры ([В, 14.1])
Пусть a — квадрика в пространстве Р(Е) и S — P(F) — про-
проективное подпространство в Р(Е). Квадрика, которая задается
уравнением q\F (q—уравнение квадрики а), называется пере-
пересечением квадрики а и подпространства S. Обозначая это пере-
пересечение a(\S, получим, вполне естественно, что im{afl5) =
= im(a)nS.
Случай п = 1. Если квадрика а имеет ранг 1 (вырожденный
случаи), то im(a) всегда состоит из одной точки, тогда как если
a — собственная квадрика, то ее образ может быть либо пустым,
либо состоять из двух различных точек. Из предыдущего сле-
следует, что проективная прямая пространства Р(Е) либо не пере-
пересекает образа квадрики, либо пересекает его в одной или двух
точках (если только эта прямая целиком не лежит в im(a), что
возможно в том случае, когда плоскость, определяющая эту
прямую, является вполне сингулярным подпространством, см.
88 Глава 14
13.С). Если пересечение состоит из одной точки либо эта прямая
содержится в im(a), то она называется касательной к квад-
квадрике а.
Пусть а — некоторая квадрика, f — томография простран-
пространства Р(Е) в Р(Е'). Тогда можно определить образ Да) квад-
квадрики а в пространстве Р(Е'). В частности,- в пространстве
PQ(?) действует проективная группа. Классификация квадрик
пространства Р(Е) означает нахождение орбит этого действия.
Примером квадрики может служить омбилика в евклидовом
пространстве (9.D).
В пространстве Р(Е) возьмем однородные координаты (см.
4.С). Пусть уравнение q квадрики а задается матрицей A = (а;/).
Тогда образ а определяется уравнением
2J «</*<*/= 0.
Например, коника имеет уравнение
ах2 + а V + a"z2 + 2byz + Ib'zx + 2Ь"ху = 0.
Заметим, что если К= R или С, то собственная квадрика яв-
является «хорошим» подмногообразием пространства Р(Е): глад-
гладким класса С00 и даже вещественно или комплексно аналитиче-
аналитическим. В каждой точке m образа квадрики имеется касательная
(проективная) гиперплоскость, которая совпадает с проекцией
в Р{Е) гиперплоскости, ортогональной к такому вектору х, что
р(х)= m (см. 13.D; в 14.Е приведено уравнение этой гипер-
гиперплоскости).
14.С. Классификация ([В, 14.1, 14.3, 14.4])
Из 13.В следует, что все собственные квадрики пространства
Р"(С) изоморфны. Поэтому мы можем говорить о комплексной
квадрике в размерности п, определяемой уравнением ?zf = O.
Отметим, что в случае поля К=С образ im(a) определяет
квадрику а независимо от того, собственная она или вырож-
вырожденная.
В пространстве Pn(R) имеется [(л + 1)/2] + 1 типов соб-
собственных квадрик (где [s] — наибольшее целое число, не пре-
превосходящее s). Следующие квадрики имеют непустой образ:
две точки при п = \, «эллипс» при п = 2, «эллипсоид» и «гипер-
«гиперболоид» при п = 3. Интересны квадрики с нейтральной формой
(при я = 4), см. 13.В. В этом случае irn(a) содержит два раз-
различных семейства прямых (детали см. в [В, 14.4]). Примерами
квадрик с нейтральной формой служат г\-\- г\ + г\-\-г\ над
С и х2 + у2-г2 — ? над R,
Проективные квадрики 89
Образ вырожденной коники, вообще говоря, состоит из двух
различных прямых. При п = 3 образом квадрики, вообще го-
говоря, является конус, направляющей которого служит коника.
14.D. Пучки квадрик ([В, 14.2])
Изучим теперь проективное пространство квадрик PQ(?)
само по себе. Прежде всего его размерность равна л(/г + 3)/2.
Для данной точки т^Р{Е) множество W(m)={aePQ(?):
} является гиперплоскостью. Поэтому (см. 4.В) для
данных п(п + 3)/2 точек пространства Р(Е) всегда существует
по крайней мере одна проходящая через них квадрика. Для
коники на плоскости это число равно 5.
Следуя терминологии 4.В, назовем прямую в пространстве
PQ(?) пучком квадрик. Пучок определяется двумя различными
квадриками или, например, (п2-}-Зп — 2)/2 точками простран-
пространства Р(Е) (для коник на плоскости достаточно четырех точек).
Пучок коник содержит, вообще говоря, п +1 вырожденных
квадрик, 'отвечающих тем значениям {%, ?/), для которых
(let (ХА 4-Х А') —0, где А, А'—матрицы уравнений двух квад-
квадрик, определяющих пучок.
Теорема Дезарга утверждает, что если фиксировать прямую
D, то ее пересечение с квадрикой из пучка есть пара точек
{т, /(т)}, которые соответствуют друг другу при некоторой ин-
инволюции прямой D (см. 6.D).
Начиная с этого места a — собст"венная квадрика.
90 Глава 14
14.Е. Полярность ([В, 14.5])
Проективизация отношения ортогональности в пространстве
Е относительно q (см. 13.D) дает отношение полярности отно-
относительно собственной квадрики а с уравнением q. Известно, что
q с помощью полярной формы Р определяет линейный изомор-
изоморфизм пространства Е на дуальное пространство Е*; обозначим
его ф (см. 13.С). Так как пространство Р{Е*) отождествляется
с множеством Ш{Е) (проективных) гиперплоскостей в Е (см.
4.А), то квадрика а определяет биекцию между точками m про-
пространства Р(Е) и гиперплоскостями в нем. Обозначим через mh
гиперплоскость, отвечающую точке т, и назовем ее гиперпло-
гиперплоскостью, полярной точке т. Точка т, такая, что т1 = Н, назы-
называется полюсом гиперплоскости Н.
Если 2j auxixi= 0 — уравнение квадрики а и т = (|г), то
полярная гиперплоскость т1 задается уравнением
То есть мы должны заменить х2{ на l(xit a xlxi на '/г (?,-*/ +
-hljXi) (обратите внимание на множитель '/г), чтобы написать
уравнение полярной плоскости. Таким способом мы можем, на-
например, найти уравнение касательной гиперплоскости в произ-
произвольной точке образа квадрики, так как касательная в этом слу-
случае совпадает с полярной гиперплоскостью.
Более общо, две точки т—р(х) и п=р(у) пространства Р(Е)
будем называть сопряженными относительно а, если Р(х, у) = 0,
т. е. х и у ортогональны относительно q. Взяв точки, сопряжен-
сопряженные со всеми точками подпространства S пространства Р(Е),
получим подпространство S1, которое называется сопряженным
к S. Соотношения из 13.D имеют различные геометрические
следствия, например, такого типа. Если m, n — две точки проек-
проективной плоскости, то полюс прямой <т, п> является пересече-
пересечением т1 П л1 полярных прямых (поляр) для тип. Или еще:
чтобы получить касательные к квадрике из данной точки т,
надо рассмотреть пересечение образа im(a) с полярной гипер-
гиперплоскостью т1 точки пи
Если образ im(a) непуст, то мы имеем следующую геометри-
геометрическую конструкцию для сопряженных точек и, следовательно,
вообще для гиперплоскости, полярной точке. Если прямая (т, «)
пересекает im(o) в точках а, Ь, то т, п сопряжены относительно
а тогда и только тогда, когда они гармонически сопряжены от-
относительно а и Ъ, т. е.
[т, п, а, 6] = —1 <«m. 6.B).
Свойство полного четырехугольника Кем. 6.В) позволяет завер-
завершить конструкцию.
Прмхтяеяые квадрики
Рис. 14.Е.
Симплекс {/и,} в пространстве Р(Е)—это я+I линейно не-
независимых точек (см. 4.В); он называется автополярным отно-
относительно квадрики а, если для любого i полярная гиперпло-
гиперплоскость к mi есть в точности гиперплоскость, порожденная
точками гп/ {'}Ф1). Заметим, что в соответствующем базисе
форма q будет диагональной (см. 13.В).
Пусть а, а' —две собственные квадрики с уравнениями q, q*
соответственно^ и пусть <р, <р' — ассоциированные изоморфизмы.
Тогда условие trfqj о <р') = 0 допускает следующую интерпрета-
интерпретацию. След равен нулю, если im(o') содержит симплекс, автопо-
автополярный относительно а. Обратно, если, например, К—алгебраи-
К—алгебраически замкнутое поле, то можно построить бесконечно много
симплексов, вписанных в а' и автополярных относительно а,
причем вершину яц в im(oc') можно выбрать произвольно. Бу-
Будем говорить, что квадрика а' гармонически описана около а.
В терминах пространства PQ(?) это условие линейно.
14.F. Двойственность. Тангенциальное уравнение
([В, 14.6])
Множество гиперплоскостей гп1, когда m пробегает im(o),
является подмножеством в Ж{Е)=Р(Е*). Что это за множе-
множество? Оно является собственной квадрикой; это в сущности
квадрика а, рассматриваемая как огибающая своих касатель-
касательных гиперплоскостей. Обозначим эту квадрику ос*. Пусть А —
92
Глава 14
матрица уравнения квадрики а относительно некоторого базиса
пространства Е. Тогда А-1— матрица уравнения квадрики а*
в двойственном базисе. Это уравнение называется тангенциаль-
тангенциальным. См., например, задачу 16.6.
В общем случае мы будем называть произвольную квадрику
в Р(Е*) касательной квадрикой. Касательный пучок квадрик —
это прямая в пространстве PQ (Е*). Один способ построения ка-
касательных квадрик таков: нужно взять две собственные квад-
квадрики а, р и рассмотреть множество полярных гиперплоскостей
точек из im(P) относительно квадрики ос. Мы получим каса-
касательную квадрику, обозначаемую через Ра» которая называется
полярной квадрикой р относительно ос. Если а — единичная сфе-
сфера в евклидовом векторном пространстве, то мы возвращаемся
к ситуации, описанной в 10.В, 11.В. Если взять базисы, как опи-
описано выше, то матрицей для Ра будет ЛВ~1А, где А (соотв. В) —
матрица для а (соотв. для Р).
14.С Группа квадрики ([В, 14.7])
Пусть <7 — уравнение квадрики а; группой квадрики а назы-
называется образ в Р(Е) группы O(q), Группа квадрики обозна-
обозначается через РО(а). Элементы группы РО(а), конечно, остав-
оставляют im(ct) инвариантным. Теорема Картана — Дьедонне (см.
тп
771
Рис. 14.G.
10.Е) показывает, что группа РО(ос) порождается гомографиями
/ пространства Р{Е), которые определяются следующим обра-
образом. Для точки m из дополнения к im(a) сопоставим точке
ieP(?) такую точку f(t), что f(t) лежит на прямой <т, О и
[m, <m, О П '"х. i, f@1 — — 1- В случае квадрики с нейтральной
Вадачи 93
формой (п = 4), рассмотренном в 14.С, группа РО(а), транзи-
тивно действует на прямые из двух семейств, порождающих об-
образ квадрики.
ЗАДАЧИ
14.1. КОМПЛЕКСНАЯ КВАДРИКА И МНОГООБРАЗИЕ ГРАССМАНА
|'([В, 14.8.4]). Пусть С(п)—комплексная квадрика в размер-
размерности п (см. 14.С), т. е. единственная невырожденная квадрика
комплексного проективного пространства Р"(С), задаваемая в
п
однородных координатах уравнением ? %\ = 0.
Покажите, что квадрика С(п) гомеоморфна грассманову мно-
многообразию ориентированных прямых в пространстве Р"(к), ко-
которое совпадает с множеством ориентированных двумерных век-
векторных подпространств пространства IRn+1.
14.2. ШЕСТЬ ТОЧЕК НА ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ КОНИКЕ ([В, 14.8.11]).
Пусть а — собственная коника, {о, Ъ, с) и {a', bf, с'}—два авто-
автополярных треугольника относительно а. Покажите, что шесть
точек а, Ь, с, а', Ь', с' принадлежат одной конике.
14.3. ГАРМОНИЧЕСКИ ВПИСАННАЯ КВАДРИКА ([В, 14.8.10]).
Говорят, что собственная квадрика а' гармонически вписана в а,
если tr (<p'~* °q>) = 0. Дайте геометрическую интерпретацию этого
условия.
Выведите отсюда, что два треугольника, автополярные отно-
относительно одной и той же коники, описаны около одной коники.
Докажите также, что если существует треугольник, вписанный
в конику С и описанный около коники Г, то каждая точка ко-
коники С, из которой можно провести касательные к Г, является
вершиной треугольника, вписанного в С и описанного около Г
(см. 16.Н и задачу 10.2).
Наконец, покажите, что окружность, описанная около треу-
треугольника, который описан около параболы, проходит через фо-
фокус параболы.
Глава 15
АФФИННЫЕ КВАДРИКИ
Всюду в этой главе X обозначает аффинное простран-
пространство конечной размерности п^\ над полем характеристики
Ф 2. Будем использовать (см. гл. 5) проективное пополнение
X — XI) оох пространства X, где оох = Р (X) — бесконечно
удаленная гиперплоскость.
15.А. Определения ([В, 15.1])
Полином на X степени ^ 2 (см. З.Е) называется аффинной
квадратичной формой на X. Векторное пространство таких поли«
номов обозначим Q{X). Символ q аффинной квадратичной фор-
формы q^Q(X) есть полином степени 2 на X. В произвольной век-
векторизации пространства X можно написать <7 = <7г + <7i + <7о» где
qo^K, q\—линейная форма и q<i = q.
Аффинной квадрикой в X называется такой элемент ос проек-
проективного пространства QA(X)= P(Q(X)), что если a = p(q), то
qФ0. Если a = p(q), то говорят, что q — уравнение квадрики а.
При п = 2 вместо термина квадрика используется термин ко-
коника. Образ а — это im(ct) = <r'1@).
Переходя от X к X, мы видим, что имеется биекция • между
аффинными квадриками в X и такими проективными квадри-
квадриками р = яв I, что im{j}) не содержит оо*. При этом соответ-
соответствии если a = p{q), где q — уравнение квадрики а, то im(a) =
= tin (а) П X и а П °°х = а.
Говорят, что а — собственная квадрика, если этим свойством
обладает а; ранг квадрики a — это ранг а, а индекс а — это ин-
индекс ос.
Уравнение q квадрики а в аффинном репере имеет вид
; У, ai,XiX, + 2 Z btXi + c, A)
где q=Yi o.iixixi- Уравнение квадрики а получается введением
[(n-f-l)-H переменной t, которая превращает форму A) в одно*
родную:
?
a^XiX, -f- 2 ? btxtt + cfl.
Аффшвые квадрики
ж(о,г)
Рис 15.В.1.
? квадрикой а свяжем матрицы
ш Л =
A
bx ...
b,
bt
•
b\
, 15.В. Приведение аффинных квадратичных форм
([В, 15.2, 15.3])
После соответствующего выбора базиса каждая квадратич-
квадратичная форма может быть приведена к одному из следующих видов;
q = Y. ^х) (все at Ф 0) тип I,
г
q = 2 atx\ + 1 (все at Ф 0) тип II,
г
q = E atx\ + 2хп (все а, Ф 0) тип III.
Этот факт позволяет классифицировать аффинные квадратич-
квадратичные формы для K = D, или R. В частности, если /C = R и п^=2,
мы получим три типа собственных коник с непустым образом.
Эти коники называются эллипсом, гиперболой и параболой.
Рис. 15.В.2.
Rouche et de Comberousse. Traite de Geometrie. — Gautier-Villars. Paris.
Аффинные квадрики 97
Если K = R и п=3, то мы получим пять типов собственных
квадрик с непустым образом. Эти квадрики называются эллип-
эллипсоидом, однополостным гиперболоидом, двуполостным гипербо-
гиперболоидом, эллиптическим параболоидом и гиперболическим пара-
параболоидом.
15.С. Полярность ([В, 15.5])
Полярность относительно собственной аффинной квадрики
а определяется как полярность относительно а; это есть отно-
отношение в X или, если угодно, в XU°°* (см. 14.Е и гл. 5).
Легко видеть, что следующие три условия эквивалентны:
квадрика а типа II, гиперплоскость оох не касается X, полюс
С = оо? бесконечно удаленной гиперплоскости ие находится в
бесконечности. В этой ситуации будем говорить, что а — цен-
центральная квадрика, ибо в действительности С=оо? — центр
симметрии образа im(a).
Если (?i, ..., 1л)—точка пространства X, то ее полярная
гиперплоскость относительно квадрики с уравнением A) из 15.А
задается уравнением (см. 14.Е)
? aul,xi + ? ft, {It + xt) + с = 0.
Тогда уравнение центра (*i xn) имеет вид
? аах, + bt = 0, /= 1 п.
i
Интересный случай полярности имеет место, когда а е оо*. Если
a — центральная квадрика, то полярная гиперплоскость ах
точки а является аффинной гиперплоскостью, проходящей через
центр с, и образ квадрики а инвариантен под действием аффин-
аффинного отражения относительно аффинной гиперплоскости а1 па-
параллельно направлению а (см. 2.D). Гиперплоскость а1 назы-
называется диаметральной гиперплоскостью квадрики а, а при
п = 2 — диаметром. Возьмем п таких точек а\, .... а„ в оох,
что симплекс {с, а\ ап) автополярен относительно квад-
квадрики ос (см. 14.Е). Это означает, что точки а< попарно сопряжены
относительно квадрики а. Говорят, что прямые, проходящие
через точку с в направлениях ait образуют множество сопря-
сопряженных диаметров квадрики а.
Распространим понятие диаметра на квадрики типа III (ти-
(типичный представитель — парабола) следующим образом: вместо
того чтобы проходить через центр, все диаметры параллельны
в направлении бесконечно удаленной точки квадрики а.
4 М. Берже и др.
Глава 15
15.D. Евклидовы аффинные квадрнки ([В, 15.6])
Согласно 13.В, каждая собственная аффинная квадрика в
евклидовом аффинном пространстве в подходящем ортонорми-
рованном базисе задается одним из следующих уравнений:
п-\
где все а,- строго положительны. Эта квадрика называется эл-
эллипсоидом, если образ im(a) = S> может быть записан в виде
где q— положительно опреде-
определенная квадратичная форма
на векторизации Ха и о —
центр образа 8.
В теореме Аполлония
утверждается следующее.
Пусть <8—эллипсоид с центром
в точке а, а {ш1}Ы1 „ — мно-
множество таких точек Ш', что на-
направления ami, i = l, ..., п,
сопряжены (т. е. прямые
<a, m,> являются сопряженны-
сопряженными диаметрами эллипсоида &
в смысле 15.С). Тогда для лю-
любого k сумма
Gram (tnh ш,к)
определителей Грама (см. 8.J)
всех подмножеств из k точек
mi есть постоянная, зависящая только от q, но не от выбора то-
точек пц. Особенно интересны случаи k = l и k = n; см. задачи
15.3 и 15.4 и замечание 17.D.2.
ЗАДАЧИ
15.1. МЕТОД АРХИМЕДА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ПАРАБОЛЫ
([В, 15.7.6]). Пусть C = im(а)— непустой образ собственной
коники на плоскости, т—'точка на плоскости и <т, а>, (.т, 6> —
две различные касательные к С в точках а и Ь, проходящие
через т. Покажите, что прямая D = <m, (a + 6)/2> является
диаметром квадрики а и что касательные к а в точках C(]D
параллельны {а, 6>. Покажите, что если а — парабола, то D
всегда пересекает С, причем в середине отрезка, соединяющего
т и (а+ 6)/2. Придумайте геометрический метод построения
Задача
последовательности точек на дуге па-
параболы, если известны две ее точки и
касательные к ней в этих точках.
Заметив, что площадь треугольника
{т, а', Ь'} на рис. 15.1 равна 1/4 пло-
площади {т, а, Ь), докажите, что пло-
площадь заштрихованной части состав-
составляет 2/3 площади {т, а, Ь) (этот пре-
предельный процесс восходит к Архи-
Архимеду).
Рис. 15.1.1.
15.2. ЭЛЛИПСЫ И ПАРАЛЛЕЛОГРАМ-
МЫ. Покажите, что существуют такие
эллипсы, вписанные в данный параллелограмм, что точки каса-
касания лежат в середине его сторон. В обозначениях рис. 15.2.1
докажите, что для такого эллипса всегда са= V2 с$.
Рис. 15.1.2.
15.3. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
UB, 15.7.9]). Пусть Q —образ
эллипсоида в трехмерном ев-
евклидовом аффинном простран-
пространстве, а х — фиксированная точ-
точка внутри Q (см. 15.D). Возь-
Возьмем три ортогональные пря-
прямые D, E, F, проходящие через
точку х. Точка пересечения Q
с D обозначим через а, Ь, с
Е — через с, d, a с F — через
С, f. Покажите, что сумма
В ЭЛЛИПСОИДАХ, I
7
7
Рис. 15.2.1.
4*
100 Глава 15
постоянна. Приведите примеры и обобщения.
Рассмотрим теперь три прямые D, E, F, проходящие через
точку х и имеющие попарно сопряженные направления относи-
относительно Q. Точки пересечения Q с прямой D обозначим через
а, Ь, с Е — через с, d, a с F — через е, }. Покажите, что сумма
ха • xb -f хс • xd -+- хе • xf
постоянна.
15.4. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЭЛЛИПСОИДАХ, II
([В, 15.7.20]). Пусть 8 — эллипсоид с центром в точке О в
л-мерном евклидовом аффинном пространстве (см. 15.D). Рас-
Рассмотрим множество {а,},=1 „ таких точек, принадлежащих 8,
что векторы Ощ ортогональны. Покажите, что
п
2-,j0a^f
постоянна.
Воспользуйтесь этим фактом для нахождения огибающей
гиперплоскостей, содержащих точки щ.
Используя полярность относительно сферы с центром в точке
О (см. 10.В), покажите, что из предыдущего результата выте-
вытекает следующее утверждение. Геометрическим местом точек, в
которых пересекаются п ортогональных гиперплоскостей, каса-
касательных к эллипсоиду, является сфера, называемая ортооптиче-
ской сферой этого эллипсоида.
15.5. НОРМАЛИ К КВАДРИКЕ ИЗ ДАННОЙ ТОЧКИ ([В, 15.7.15]).
Пусть Q — квадрика в трехмерном евклидовом аффинном про-
пространстве и m — некоторая точка. Покажите, что число норма-
нормалей к Q, проходящих через пг, в общем случае равно шести. До-
Докажите, что основания всех нормалей к Q, проведенных из пг,
лежат на конусе второго порядка с вершиной в пг, которому
принадлежат центр квадрики Q и прямые, проходящие через пг
параллельно осям Q.
15.6. СОФОКУСНЫЕ КВАДРИКИ ([В, 15.7.17]). Рассмотрим
в R3 семейство квадрик Q(X) с уравнениями
г* 1<2 »2
где а > b > с. Выясните, сколько квадрик Q(A,) проходит через
заданную точку (дг0, уо, Zo). Покажите, что в случае, когда через
некоторую точку проходят три квадрики Q(k), их касательные
плоскости в этой точке попарно о тогональны (см. 1 .В. 17.D)*
Задача
101
Рис. 15.6.
Глава 16
ПРОЕКТИВНЫЕ КОНИКИ
Во всей этой главе Р = Р(Е) — проективная плоскость над
полем К характеристики Ф2; положим Р* = Р(Е'). Точку
шеР мы часто будем отождествлять с ее однородными коор-
координатами (х, у, z).
Обычно будет фиксирована некоторая коника aePQ(?)
и ее образ C = im(a) (в большинстве случаев а будет соб-
собственной с непустым образом); фиксируется также одно урав-
уравнение q для а. Пусть а — точка образа С. Касательная к С
в точке а иногда обозначается (а, а).
16.А. Обозначения ([В, 16.1])
Общее уравнение коники будем записывать в виде
q = ах2 + а'у2 + a"z2 + 2byz + 2Ь'гх + 2b" xy.
В зависимости от того, является ли треугольник р(\, 0, 0),
<7@, 1, 0), г@, 0, 1) вписанным в С, автополярным относительно
С (см. 14.Е) или «бикасательным к С», мы имеем для коники
три упрощенных уравнения, указанных на рисунке.
Напомним (см. 14.D), что пять точек определяют в общем
случае в точности одну конику. Напомним также, что касатель-
касательная к а в точке (*о, г/о, «о) или, более общо, поляра точки
(*о, г/о, «о) (см. 14.Е) имеет следующее уравнение:
ахох + а'уоу+а"гог + Ъ {у& + zoy) + b'(zox + Xqz) + b" (xoy + y^x)=0.
Наконец, напомним, что вырожденная коника является либо
парой различных прямых, либо «двойной» прямой (прямой
«в квадрате»).
16.В. Хорошие параметризации ([В, 16.2])
Идея состоит в том, чтобы использовать нижеприведенную
картинку для построения параметризации собственной коники
С. Мы получим биекцию между элементами из тп* (где те С,
см. 4.В) и точками С, связывая с прямой Dem* точку в Df\C,
отличную от т. Затем мы отождествим т* с К = К U °° (см. 5.А)
для того, чтобы получить биекцию R-+-C. Такая биекция назы-
называется хорошей параметризацией (для собственной коники). Су-
Существенный результат здесь состоит в том, что две хорошие
параметризации отличаются только на томографию попол-
пополнения R.
Проективные коиики
103
q т @,1,0}
@,0,1)
Ъуг +Ь' zx + V ху
ахг + а'у1 + a" zi
A,1,1)
Рис. 16.А.
Рис. 16.В.
Эквивалентное определение хороших параметризаций таково:
они являются отображениями второй степени с образом С, т. е.
имеют вид
(А,, ц)е-
+ w'Xp + w" n2).
Эту формулу можно упростить, положив Я,/ц = /, при условии
Что допускается значение t = оо = оок. Например, хорошей па-
параметризацией коники х2 — «/2 = 0 является (Я,ц, Я,2, ц2) или,
по-другому, (/, t2, 1).
16.С. Двойное отношение ([В, 16.2])
Поскольку понятие двойного отношения четырех различных
точек имеет смысл в К (см. 6.А) и инвариантно относительно
104
Глава 16
томографии, хорошие параметризации позволяют нам перенести
это понятие на С и определить двойное отношение четырех то-
точек tm (i = l, 2, 3, 4), которое будет обозначаться по-преж-
по-прежнему символом
[ml] = [mu пц, щ, т4]
(или, если это необходимо, [tnt]c)- Это число равно двойному
отношению четырех прямых <m, m,-> и, следовательно, не за-
зависит от т.
Из этого свойства вытекает ряд результатов: теорема Паска-
Паскаля (см. также 16.2 и [В, 16.2.11]) и, по двойственности, теорема
Брианшона, в силу которой три диагонали шестиугольника, опи-
описанного около коники, пересекаются в одной точке. Эти две
Рис. 16.С.1.
Рис. 16.С.2.
теоремы имеют много вырожденных случаев, см. рисунки. На-
Наконец, мы видим, что если m и тп'—две точки в Р, а /: tn*->~m'*—•
такая томография, что /(<т, т'))ф(т', т), то точка D[)f(D),
где D пробегает т*, описывает конику, проходящую через т и
т' (см. 6.С).
Проективные коники
16.D. Томографии коиик ([В, 16.3])
105
Используя хорошие параметризации, мы можем также пере-
перенести гомографии с Я на С; они будут биекциями С-+С, сохра-
сохраняющими двойное отношение. Они образуют группу, обозначае-
обозначаемую GP(C). Используя 6.D и 14.G, можно показать, что группа
Рис. 16.D.
GP(C) совпадает с ограничением на C = irn(a) проективной
группы РО(а).
Важный результат о гомографиях /eGP(C) состоит в том,
что, когда точки т, п пробегают С, точки <m, f(n)}f\(n, f(tn)}
остаются на прямой, которая зависит только от f и называется
осью гомографии. Очень хорош случай, когда / — инволюция:
прямая <m, f{tn)} проходит через неподвижную точку, назы-
называемую точкой Фрежье инволюции /; она является полюсом оси
/ (см. построение полярной гиперплоскости в 14.Е).
Для того чтобы узнать, что такое <т, Дт)>, когда / не яв-
является инволюцией, см. задачу 16.5.
106
Глава 16
Рис. 16.Е.
I6.E. Пересечение двух коник;
теорема Безу ([В, 16.4])
Пусть а — собственная коннка с непустым образом im(a)T=C,
а а' — вторая, необязательно собственная, коника с образом С.
Используя, например, хорошие параметризации, можно опреде-
определить порядок а(т) точки те С[\С, который принимает цело-
целочисленные значения 1, 2, 3 или 4. Пусть ф — уравнение касатель-
касательной к С в точке т. Если С касается С в точке ш, т. е. уравнение
q' коники а' может быть записано в виде q' = kq + q»J>, где
k е К*, а ф — прямая, то <а(т)^2. Если С соприкасается с С
в точке т, т. е. q''=» kq + ф^. где tf> — проходящая через т
прямая, то ©(т)^3. Наконец, если q' = kq-{-q>2, то (о(т) = 4;
в этом случае говорят, что С сверхсоприкасается с С в точке т.
Проективные коники 107
В теореме Безу утверждается, что если поле К алгебраиче-
алгебраически замкнуто и {(rtii, и,)} — множество точек пересечения СП С
с учетом их порядков, то
? * = 4.
Возможны только пять случаев: A, 1, 1, 1), B, 1, 1), B, 2),
C, 1), D), и они нумеруются I, II, III, IV, V соответственно.
В случае III говорят, что коники С и С бикасаюциеся (см. за-
задачу 16.5).
16.F. Пучки коник ([В, 16.5])
Напомним (см. 14.D), что пучок коник — это прямая в
PQ(E) или (аналитически) множество коник с уравнениями
Kq-\-X'q't где q, q' — два уравнения коник (предполагается, что
по крайней мере одна из них собственная), а (Я,, А/) пробегает
R. В случае алгебраически замкнутого поля пучок коник — это
множество коник, пересекающих данную собственную конику С
в фиксированном множестве {{tnt, ©<)} ее точек, причем
Х[=4. Итак, имеется пять типов I, II, III, IV, V пучков (см.
рисунки в [В, 16.5]).
Вырожденные коники в этих пучках таковы: три пары пря-
прямых в случае I, две пары прямых в случае II, одиа пара прямых
и двойная прямая в случае III, одна пара в случае IV и двойная
прямая в случае V; см. рис. 16.Е.
Напомним, наконец, важную теорему Дезарга A4.D); при-
приложения см. в 17.С и [В, 16.5.5].
16.0. Касательные коники
Вспомним 14.F. Имеем пять типов I*, II*, III*, IV*, V* каса-
касательных пучков коник. Геометрически III = 111* и V = V* (би-
Касающиеся и сверхсоприкасающиеся коники; в случае I* см.
задачу 16.6). Напомним, что матрица тангенциального уравне-
уравнения обратна к матрице точечного уравнения.
16.Н. Большая теорема Понселе ([В, 16.6])
Это тонкая теорема, и ее доказательство достаточно сложно.
Она применяется в случае алгебраически замкнутого поля.
В ней утверждается, что если С и Г — такие две коники, что су-
существует л-угольник, вписанный в С и одновременно описанный
около Г, то найдется бесконечно много таких многоугольников и
одну из вершин каждого из них можно выбрать на С произ-
произвольно. Простые частные случаи см. в задачах 10.2, 14.3 и 16.5.
108
Глава IS
16.1. Аффинные коники ([В, 16.7])
Уравнение аффинной коники имеет вид
ах2 + Мху + су2 +
Коника собственная, если
а Ъ d
bee
d e f
?=0.
Ее бесконечно удаленными точками являются прямые с угловым
коэффициентом 0, удовлетворяющим уравнению
а + 268 + с82 = 0.
ЗАДАЧИ
16.1. ТРЕУГОЛЬНИК, ОПИСАННЫЙ ОКОЛО КОНИКИ ([В, 16.8.2]).
Покажите, что если а, Ь, с — треугольник, описанный около С,
и а, Р. 7~~соответсТ13УюЩие точки касания, то прямые аа, 6р, су
пересекаются в одной точке. Используйте в своем доказательстве
только аналитическую геометрию.
Рис. 16.2.1.
16.2. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ ([В, 16.8.5]). Пусть С — произволь-
произвольная коника и а, Ь, с, d, e, f — любые ее шесть точек. Тогда точки
<а, Ь) П <d, е>, <Ь, с) П <е, f> и <с, d) (I if, а) коллинеарны. До-
Докажите этот результат аналитически, взяв проективный базис,
образованный четырьмя из шести рассматриваемых точек.
Задачи 109
Рис. 16.3.1.
16.3. ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ ДЛЯ КОНИКИ ([В, 16.8.6]). Пусть
С — непустой образ собственной коники, а точки р, q, r таковы,
что С касается pq в q и рг в г. Покажите, что для любых
tn, п^С выполняется следующее равенство (см. 16.С):
[q, r, m, n]2c = [pq, рг, рт, рп].
16.4. КОММУТИРУЮЩИЕ ИНВОЛЮЦИИ ([В, 16.8.7]). Покажите,
что две инволюции собственной коники с непустым образом
коммутируют тогда и только тогда, когда и их точки Фрежье
сопряжены (см. 16.D).
16.5. БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА ПОНСЕЛЕ ДЛЯ БИКАСАЮЩИХСЯ
КОНИК ([В, 16.8.8]). Две коники С, С" мы называем бикасаю-
щимися, если найдется такая прямая D не касательная к С, что
q' — q + kd2 для некоторого скаляра k, где q, q', d — уравнения
С, С и D соответственно (см. 16.Е). Отметим, что если поле К
алгебраически замкнуто, то С и С действительно касаются друг
друга в двух различных точках.
Предположим, что поле К есть либо R, либо С (если это
не так, то мы должны использовать алгебраическое замыкание
К). Пусть / — неинволютивная томография (отличная от тож-
тождественной) собственной коники С. Покажите, что множество
прямых <m, f{m)y, где щ пробегает С, является множеством
касательных к некоторой собственной конике, которая бика-
сается С в вышеприведенном смысле. Докажите обратное
утверждение. Для двух таких бикасающихся коник докажите
большую теорему Понселе A6.Н).
110
Глава 16
Рис. 16.6.1.
16.6. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПУЧКИ КОНИК ([В, 16.8.10]). На приве-
приведенном рисунке показано несколько коник, принадлежащих од-
одному и тому же пучку. Докажите строго, что имеются области
на плоскости, в которые не попадают никакие коники из этого
пучка.
16.7. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ КОНИК НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ
([ 16.8.16]). Изучите пересечение хг — j/! = 0 и ху — z* = 0
над полем К, состоящим из трех элементов.
Глава 17
ЕВКЛИДОВЫ КОНИКИ
В этой главе X обозначает евклидову аффинную плоскость,
X — ее проективное пополнение, Xе — комплексификацию X
(см. 9.D) и {/, /} ~ круговые точки X. В общем случае С будет
обозначать непустой образ собственной коники а из X.
17.А. Напоминания и обозначения ([В, 17.1])
Из 15.D известно, что имеются три возможных класса евкли-
евклидовых аффинных коник: эллипс, гипербола и парабола. Только
у параболы нет центра; она имеет единственную ось (ортого-
(ортогональной) симметрии и вершину. Эллипс и гипербола имеют
центр и две оси ортогональной симметрии. Эллипс имеет четыре
вершины (за исключением случая окружности), а гипербола
две. В подходящем ортонормированном базисе уравнения ко-
коники имеют вид
р- + -р- — 1 = 0 (эллипс),
х3 и2
¦jjj- —р- — 1=0 (гипербола),
у2 — 2рх = 0 (парабола).
В случае а = Ъ эллипс является окружностью. Гипербола при
а = Ь называется равнобочной; ее асимптотические направления
взаимно перпендикулярны.
Эллипс получается из окружности с помощью аффинного
преобразования (х, у)*-^>(х, {Ь/а)х); этот факт полезен при ре-
решении многих задач; см., например, 17.2. Это аффинное пре-
преобразование дает для эллипса параметрическое представление
/¦—>{acost, bsint), которое превращается в хорошую параме-
параметризацию (см. 16.В) при подстановке 9 = tg(t/2).
17.В. Фокусы и директрисы ([В, 17.2])
Имеется соответствие между евклидовыми кониками (за
исключением окружностей) и подмножествами плоскости вида
{т: fm = e ¦ d(m, D)},
где / — некоторая точка, a D — не содержащая ее прямая. Бу-
Будем говорить, что f — фокус коники С, a D — соответствующая
директриса Iкоторая фактически является полярой точки /).
112
Глава 17
Константа е называется эксцентриситетом коиики С; для пара-
парабол он равен 1, для гипербол больше 1 и для эллипсов меньше 1.
Эксцентриситет зависит только от отношения а/Ь в уравнениях
из 17.А или, эквивалентно,
от отношения собственных
->
значений матрицы А из
15. А.
Для параболы пара
(f, D) определена однознач-
однозначно; для эллипса и для гипер-
гиперболы имеются две пары
(/, D) и (/', D')- В этом
случае, когда m пробегает
конику С, сумма mf-\-mf
(соотв. | mf — mf \) постоян-
постоянна для эллипса (соотв. для
гиперболы) С. Справедливо
также обратное утвержде-
утверждение. Точки /, /' называются
фокусами коники.
Из формулы первой ва-
вариации (см. 9.G) вытекает,
что касательная к эллипсу
(соотв. к гиперболе) в точ-
точке m является внешней (со-
(соотв. внутренней) биссектри-
биссектрисой для ориентированных
—> —>
прямых ml, mf. Во «второй
малой теореме Понселе»
утверждается, что на пло-
плоскости для каждой точки т, через которую проходят две каса-
касательные к эллипсу или гиперболе С, две касательные и прямые
<w,l/>, (т, /'> имеют одни и те же биссектрисы.
17.С. Использование круговых точек ([В, 17.4, 17.5])
Обозначим через а проективную конику в Xе, полученную
комплексификацией проективного пополнения а коники а (см.
15.А). На бесконечно удаленной прямой оо? бесконечно удален-
удаленные точки коники а относительно круговых точек {/, /} (см.
9.D) могут занимать положения, представляющие особый ин-
интерес:
а —равнобочная гипербола тогда и только тогда, когда ее
бесконечно удаленные точки сопряжены относительно {/, /};
а — окружность тогда и только тогда, когда ее бесконечно
удаленные точки — это сами {/, /}.
Рис. 17.В.
Задачи 113
Легко видеть, что из формулы Лагерра (ем. 8.Н) и постоян-
постоянства двойного отношения A6.С) следует найденное нами в 10.D
условие принадлежности четырех точек одной окружности. См.
также задачу 16.3.
Комбинируя сказанное с теоремой Дезарга для пучков коник
(см. 14.D) и взяв D в качестве бесконечно удаленной прямой
в X, мы получим ряд результатов о пучках евклидовых коник:
направления осей симметрии коники С —это такие точки,
принадлежащие с»с, которые гармонически сопряжены относи-
относительно {/, /}, а также относительно бесконечно удаленных точек
коники С;
всякий пучок коник содержит единственную равнобочную
гиперболу, если он не состоит только из таких кривых;
пучок коник содержит окружность тогда и только тогда,
.когда направления осей фиксированы; в частности, общие хорды
имеют один и тот же наклон по отношению к осям и оси двух
парабол пучка перпендикулярны;
барицентр четырех коцикличных точек параболы лежит на
ее оси.
Фокусы С—это такие точки, касательные из которых к С
¦содержат круговые точки, см. [В, 17.4.3].
17.D. Замечания
1. Множество плоских коник (эллипсы и гиперболы), кото-
которые имеют два общих фокуса /, /', обладает некоторыми специ-
специальными свойствами. Оно образует касательный пучок (см.
14.F). Детали можно найти в [В, 17.6.3]; см. также задачу 15.6.
2. Из теоремы Аполлония (см. 15.D), примененной к част-
частному случаю коник, вытекает, что площадь и сумма квадратов
сторон параллелограмма, две стороны которого —сопряженные
полудиаметры, для данного эллипса есть величина постоянная.
Геометрическое построение эллипса по данным двум его сопря-
сопряженным диаметрам см. в [В, 17.9.22].
ЗАДАЧИ
17.1. ХОРДЫ КОНИКИ ([В, 17.9.20]). Для данной фиксирован-
фиксированной точки на конике рассмотрим все хорды, которые видны из
этой точки под постоянным углом. Найдите огибающую этих
хорд. Проанализируйте специальный случай прямого угла.
17.2. КОЦИКЛИЧНЫЕ ТОЧКИ И НОРМАЛИ К ЭЛЛИПСУ
([В, 17.7.3, 17.9.15, 17.9.10]). Рассмотрим эллипс в параметриза-
параметризации (acost, bsint), где параметр t определен по модулю 2л, и
положим 0 = tg t/2.
,J[i) Покажите, что четыре точки, отвечающие значениям па-
114 Глава 17
раметра U, i = I, 2, 3, 4, лежат на одной окружности (коцик-
личны) тогда и только тогда, когда
'i 4- h 4- 'з 4- tA зз 0 (mod 2л).
(ii) Пусть mi, i= 1, 2, 3, 4,— четыре точки на эллипсе; рас-
рассмотрим точки fit, в которых соприкасающиеся окружности в
точках пц пересекают эллипс (мы выбираем тфпц, за исклю-
исключением случая сверхсоприкосновения). Покажите, что если точки
mi коцикличны, то этим же свойством обладают точки щ.
(iii) Покажите, что нормали к эллипсу, проходящие через
точки, отвечающие значениям параметра /,, i = 1, 2, 3, 4, пере-
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда соответ-
соответствующие в/ удовлетворяют следующим двум условиям:
0102 4- 010з 4- 0104 4- 020з 4- 0204 4- 0304 = О,
е1е20304=— 1.
В этом случае ti -f- t2 -f- 'з 4- U — я (mod 2л).
(iv) Если четыре точки эллипса являются основаниями пе-
пересекающихся в одной точке нормалей, то окружность, проходя-
проходящая через три из них, пройдет также через точку, диаметрально
противоположную четвертой (теорема Иоахимсталя).
17.3. КАСАТЕЛЬНЫЕ ОКРУЖНОСТИ К ДВУМ СОПРЯЖЕННЫМ
ДИАМЕТРАМ ([В, 17.9.21]). Покажите, что окружности, которые
касаются двух переменных сопряженных диаметров эллипса и
центры которых лежат на этом эллипсе, имеют постоянный
радиус.
17.4. КАСАТЕЛЬНЫЕ ЭЛЛИПСЫ К ОКРУЖНОСТИ ([В, 17.9.23]).
Для данной окружности С в X и двух точек а, Ь на С рассмот*
рим эллипсы Е, которые касаются С, проходят через а и Ь и
центры которых совпадают с серединой отрезка аЬ. Покажите,
что все эти эллипсы имеют один и тот же эксцентриситет.
17.5. НОРМАЛИ ИЗ ТОЧКИ К ПАРАБОЛЕ ([В, 17.9.18.2]). Пусть
т, т\ т" — основания нормалей. Покажите, что нормали к па-
параболе Р с основаниями в точках т, т', т" пересекаются в
одной точке тогда и только тогда, когда барицентр
(т + т' 4- т") /3 лежит на оси параболы Р, а также тогда и
только тогда, когда окружность, проходящая через т, т', т",
содержит вершину параболы Р.
Глава 18
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ СФЕРЫ
Всюду в этой главе S — Sd обозначает единичную сферу
в евклидовом пространстве Rd+l
18.А. Предварительные замечания ([В, 18.1—18.3])
Сфера является компактным связным топологическим про-
пространством. При d ^ 2 она также односвязана, т. е. каждая
замкнутая кривая на 5 может быть продеформирована в точку
(этим свойством не обладают ни окружность S1, ни проектив-
проективное пространство Pn(R)).
Пересечение сферы S с двумерным векторным подпростран-
подпространством в R^1 есть, большая окружность сферы S.
себерныи. полюс
южный, полюс
Рис. 18.А.
Для сферы S имеется много возможных представлений, из
которых мы упомянем несколько. Во-первых, имеется стереогра-
стереографическая проекция сферы Sd без северного полюса @, 0, ...
.... О, 1) на гиперплоскость Rdcz Rd+1. Эта проекция биективна
и конформна, т. е. сохраняет углы. Ее определение ясно из при-
приведенного рисунка.
Второе представление параметризует сферу 52 с помощью
долготы и широты, т. е. углов ф и 0, таких, что
х — cos ф cos 0, # =
г = sin 8.
116 Глава 18
На сфере Sd имеется каноническая мера. Объем сферы относи-
относительно этой меры равен 2л в случае S1, 4л в случае S2, 2я2 в
случае S3 и т. д. (общую формулу см. в [В, 9.12.4.8]). Площадь
сферического треугольника с углами а, р, у равна a + P + Y — я
.(см. 18.С).
18.В. Внутренняя метрика на S ([В, 18.4, 18.5])
Метрика d(x, у)—\\х— у\\, индуцированная на Sd метрикой
пространства Rd+\ плохая, так как по отношению к ней рас-
расстояние от х до у нельзя реализовать как длину кривой с кон-
концами х, у (см. 9.G). С другой стороны, используя скалярное
произведение, можно определить ху для jijeS формулой
cos (xy) = (х\у).
Мы видим, что • • является метрикой на S; она называется
внутренней метрикой сферы 5. Такая метрика обладает всеми
желательными свойствами и, в частности, является превосход-
превосходной (см. 9.G): отрезок, соединяющий точки х, у, есть кратчай-
кратчайшая дуга большой окружности, проходящей через х и у (см.
18.А), Этот отрезок определен однозначно, за исключением слу-
случая у = —х, когда точки х и у являются антиподальными и
отрезком служит любая из больших полуокружностей, соеди-
соединяющих х к у.
^Справедливо строгое неравенство треугольника, т. е. хг =
^xy + yz тогда и только тогда, когда точка у принадлежит
отрезку с концами х, г; см. также задачу 18.3.
Группа изометрий сферы 5 (относительно внутренней мет-
метрики) совпадает с ограничением на 5 ортогональной группы
O(d+l)=O(Rd+l); см. 8.А.
18.С. Сферические треугольники ([В, 18.6])
Тройка <*, у, 2>, состоящая из трех линейно независимых
векторов в R3 с концами на S2, называется сферическим тре-
треугольником на S2. Угол в точке х, обычно обозначаемый а,—
это угол (со значениями в интервале ]0, л[, см. 8.F) между
векторами в точке х, касательными к дугам больших окружно-
окружностей, соединяющим х с у и х с г. Он вычисляется по формуле
coza
Пусть (х, у, г> — сферический треугольник; обозначим через р
{соотв v) vr л ои веош не и (соотв. z). Стооо ми то v ль-
Внутренняя геометрия сферы
117
ника (х, у, 2> называются как отрезки, соединяющие х с у, у с г
и 2 с х, так и их длины, т. е. расстояния менаду каждой парой
вершин. Стандартные обозначения
таковы:
а =¦- yz, b = zx, с~ ху.
Имеет место основная формула сфе-
сферической тригонометрии:
cos a — cos b cos с +
+ sin Ь sin с cos a. A)
Отсюда мы можем вывести строгое
неравенство треугольника, а также
формулы
sin у
sin a
sin
sin а sin b sin с
cos а = — cos p cos y
+ sin р sin ycosa.
B)
C)
Рис. 18.С.1.
Отметим, что синус, в противопо-
противоположность косинусу, не однозначно
определяет угол между 0 и л; см.
10.А. Заметим также, что площадь
сферического треугольника равна Рис. 18.С.2,
a + P + Y —л (формула Жирара).
Для того чтобы два сферических треугольника, стороны и
углы которых равны {а, Ь, с, а, р, у) и {а', Ь', с', а', р', у'}, были
эквивалентны относительно изометрии сферы S2, достаточно,
чтобы у этих треугольников были равны некоторые три элемен-
элемента, например
а = а', b — b', c = c', нли
a = a', p = p', y = y'» или
Ь= Ь', с —с', a = а' и т. д.
|i(Cp. со случаем подобия треугольников на плоскости R2 A0.A).)'
18.D. Параллелизм Клиффорда ([В, 10.12, 18.8, 18.9])
Это явление свойственно сфере S3. Будем говорить, что две
большие окружности С, С сферы S3 параллельны, если рас-
расстояние относительно внутренней метрики сферы S3 от точки
шеСдо С, т. е. d (m, С) = inf \mm'\ т'еС'},не зависит от
т. Легко видеть, что такие параллели существуют; примером
118
Глава 18
служат орбиты однопараметрической группы вращений, дейст-
действующей в R4 с помощью матриц из 8.Е (для переменной 0 =г\).
Важный результат состоит в том, что для данной большой
окружности С сферы S3 и точки т' (неортогональной к С в R4)
существуют в точности две параллели С, С" к С в S3, проходя-
проходящих через точку т'. Окружности С, С" в точке т' пересекаются
под углом, равным 2а, где a = d(mf, С). В частности, отсюда
вытекает, что подмножество
Д(а, C) = {m'e=S3: d{m', С) = а}
для аб]0, я/2[, являющееся топологическим тором, содержит
два однопараметрических семейства больших окружностей, па-
параллельных С. Параллели одного семейства пересекаются с па-
параллелями другого под постоянным углом, равным 2а. Две па-
параллели одного и того же семейства не пересекаются; они за-
зацеплены и параллельны одна другой.
Применяя стереографическую проекцию A8.А), чтобы пере-
перенести эту картинку в R3, мы получим следующий результат: на
торах вращения в пространстве R3 имеется четыре семейства
окружностей, а именно меридианы, параллели и два других се-
семейства (называемых окружностями Вилларсо), которые обра-
образуют параллели в смысле Клиффорда на сфере S3. Через каж-
каждую точку тора проходит по одному представителю из каждого
С
X
X
X
X
X
X
Рис .18iD.
семейства, которые образуют между собой постоянные углы,
равные (л/2, а, я/2, —а). Две окружности Вилларсо либо пе-
пересекаются, либо зацеплены.
Окружности Вилларсо можно построить элементарным спо-
способом, разрезая тор косыми бикасательными плоскостями. Мож-
Можно применить также теорию циклид: см. задачу 18.7 и 20.С, а
также [В, 20.7.2].
18.Е. Группа Мёбиуса ([В, 18.10])
Сфера Sd есть однородное пространство по отношению к
119
Внутренняя геометрия сферы
торая является группой Ли размерности d(d+l)/2. Эта „боль-
„большая группа, называемая конформной группой или ^№«o«^-
биуса сферы Sd и обозначаемая Mob(d), имеет размерность
ld+ l)(d + 2)/2. Ее можно определить несколькими эквива-
эквивалентными способами. „-,..„.
Во-первых, она является группой конформных преобразова-
преобразований сферы S" Она также является группой преобразовании,
действующей на сфере S* и порожденной O(d+ 1) и обратными
образами при стереографической проекции вект0Рныу™°*е™й
пространства R*. Кроме того, это есть группа преобразований
сферы Sd, переводящих каждую подсферу в подсферу. Эта груп-
группа также образована ограничениями на S" всех^ инверсии (см.
10 С) и отражений относительно гиперплоскостей пространства
Rd+i, которые сохраняют Sd. Наконец, ее можно отождествлять
с проективной группой квадрики а с уравнением — 2] х2{ + х1+2
;(см. 14.G) в P.(Rd+2); это представление получается переходом
к однородным координатам в аффинном уравнении ? х\=\.
сферы Sd {см. также гл. 15).
ЗАДАЧИ
18.1. СФЕРОМЕТР ([В, 18.11.1]). Пусть А обозначает три
вершины равностороннего треугольника со стороной а, о —не-
—некоторая точка на перпендикуляре к плоскости треугольника,
А
В
Рис. 18.1.1.
проведенном через его центр, а е — расстояние от точки В до
плоскости треугольника. Покажите, что радиус сферы, прохо-
проходящей через В и три точки А, равен R=(a2 + 3e2)/6e.
Можно построить прибор для измерения радиуса сфериче--
ской поверхности на основе приведенной выше формулы. В слу-
120
Глава 18;
Рис. 18.1.2.
Из книги: Bouasse H. Appareils de mesure (Delagrave, 1917).
чае устройства, изображенного на рис. 18.1.2, объясните дейст-
действие системы рычагов в верхней части сферометра.
18.2. ЛОКСОДРОМЫ ([В. 18.11.3]). Напомним, что локсодрома,
или линия постоянного курса, на земной поверхности — это кри-
кривая, которая пересекает меридианы под постоянным углом.
В проекции Меркатора локсодромы изображаются прямыми
линиями; они представляют траектории корабля, идущего по-
постоянным курсом (см. [В, 18.1.8.2]). Покажите, что при стерео-
стереографической проекции с центром в северном полюсе A8.А) лок-
локсодромы переходят в логарифмические спирали (см. 9.Е); см.
также задачу 6.6.
18.3. НА СФЕРЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ СТРОГОЕ НЕРАВЕНСТВО ТРЕУ-
ТРЕУГОЛЬНИКА ([В, 18.11.13]). Докажите, используя определители
Грама (см. 8.J), что расстояния а, Ь, с между тремя точками
х, у, г на сфере удовлетворяют неравенствам
Задача 121
и равенство возможно только тогда, когда эти три точки лежат
в одной плоскости (т. е. расположены на большой окружности,
см. 18.А). '
18.4. УНИВЕРСАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ РАССТОЯНИИ
МЕЖДУ ТОЧКАМИ НА СФЕРЕ Sd ([В, 18.11. 4]). Покажите, что
если (*/)/_! d+2 — любые d-\-2 точек на сфере S^, то расстоя-
расстояния xtxt между ними всегда удовлетворяют соотношению
det (cos (xtXj)) = 0.
18.5. ПЛОСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ КАК ПРЕДЕЛ СФЕРИЧЕСКОЙ
ТРИГОНОМЕТРИИ ([В, 18.11.9]). Обобщите формулы A), B) и
C) из 18.С для случая внутренней метрики на сфере радиуса
R. Затем выясните, что происходит с формулами, когда R стре-
стремится к бесконечности.
18.6. КАРДАННЫЕ СОЕДИНЕНИЯ, «ГОМОКИНЕТИЧЕСКИЕ» СОЕ-
СОЕДИНЕНИЯ ([В, 18.11.16]). Рассмотрим карданное соединение
(рис. 18.6.2), у которого угол между осями равен 0. Отноше-
Отношение мгновенных угловых скоростей двух валов является функ-
функцией угла между плоскостью одной из вилок и плоскостью, со-
содержащей оси валов. Найдите самое плохое значение для этого
отношения. Чтобы это сделать, возьмите две большие окруж-
Рис. 18.6.1.
ности С, D на сфере S2, проходящие под углом 6, и на них две
подвижные точки m(t), n(t), такие, что т (t) n (t) = л/2. Вычис-
Вычислите самое плохое отношение для 8 = л/3, я/4, я/6.
Докажите, что если два вала А, А' связаны карданными
соединениями с промежуточным валом В, вилки которого рас-
расположены в одной плоскости, таким образом что А, В, А' лежат
в одной плоскости и угол между В, А равен углу между В, А'
(гомокинетическое соединение), то А и А' имеют одинаковые
угловые скорости.
122
Глава It
Ряс. 18.6.2,
18.7. ЦИКЛИДЫ ДЮПЕНА ([В, 18.11.19]). Пусть 2, 2', 2"-
три сферы в пространстве R3. Докажите, что при некотором их
расположении множество сфер, касающихся 2, 2', 2 , имеет
в качестве огибающей поверхность, которая получается из тора
вращения инверсией относительно некоторой подходящей точки.
Выведите различные свойства этих поверхностей. Они назы-
называются циклидами Дюпена, и мы снова с ними встретимся в
20.С.
Глава 19
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИИ
19.А. Эллиптическая геометрия ([В, 19.1])
Рассмотрим евклидово векторное пространство Е размер-
размерности d + 1 и ассоциированное с ним проективное пространство
Р = Р{Е) с канонической проекцией р: Е\0-*-Р. Напомним,
что Р — это множество (векторных) прямых в ? и, следова-
следовательно, факторпространство единичной сферы S(E)= {х&Е:
\\x\\ — 1} по отношению эквивалентности х ~ —х (склеиваются
антиподальные точки).
Эллиптическое пространство, ассоциированное^ Е, — это про-
странство Р, снабженное метрикой d(D, D') — DD', где DD' —
угол между неориентированными прямыми, который изменяется
в пределах от 0 до я/2 (см. 8.F). Другими словами, если
ш, я_е^Р и т — р(х), п = р(у), то тп определяется равенством
cos {mn) = \ (х \у)\. Как функция расстояния ху на сфере S (см.
18.В) она удовлетворяет равенству
Ш=М{ху, х (— у)}.
Расстояние я/2 соответствует ортогональным прямым.
Так построенная метрика является превосходной и ее крат-
кратчайшие пути получаются проекцией дуг больших окружностей
сферы S, длина которых не больше я/2; две точки можно соеди-
соединить единственным кратчайшим путем, если расстояние между
ними меньше я/2, и двумя в случае равенства. Группой изо-
метрий пространства Р является проективная ортогональная
группа РО(?) (см. 14.G).
Что касается треугольников, то между эллиптической гер-
Метрией, с одной стороны, и евклидовой, сферической A8.С) и
гиперболической A9.В) геометриями, с другой, имеется фунда-
фундаментальное различие: в эллиптической геометрии два треуголь-
треугольника могут иметь одни и те же стороны, но не быть эквива-
эквивалентными относительно изометрий пространства Р. Основная
причина этого в том, что пространство Р неодносвязно (см. 18.А).
Имеется два типа треугольников. Треугольники первого рода
являются проекциями треугольников на сфере S, все стороны ко-
которых не больше я/2. Треугольники второго рода — это проекции
множеств, образованных тремя кратчайшими путями длины не
124
Глава 19
A Вт
м
I"
M
¦ Первый род
Второй, род
Рис. 19.А.
М
Третий род
более л/2, соединяющими некоторую точку с ее антиподом на
сфере 5. Например, с точностью до изометрии в пространстве Р
имеется два треугольника, все три стороны которых равны я/3.
Один из них является проекцией сферического треугольника со
сторонами а = 6 = с = я/3 (и соответственно а = р = у, где
cosct=l/3), a другой имеет в качестве вершин прямые, лежа-
лежащие в одной плоскости с тремя прямыми, пересекающимися в
одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен
я/3! См. задачу 19.1.
19.В. Гиперболическое пространство ([В, 19.2, 19.3])
! Проективной моделью, или моделью Клейна, гиперболиче-
гиперболического пространства размерности п называется метрическое про-
пространство, заданное на множестве
Расстояние d(z, z') в 93 определяется следующим образом. Про-
Пространство R"+' отождествим с произведением R"XR и его эле-
элементы обозначим (z, /)eR"X R = R"+1. Снабдим пространство
Rn+l квадратичной формой q:
а (г. /) = -Hzll2-ff2;
Эллиптическая и гиперболическая геометрии 125
ее полярная форма равнаP{{z, t), (z/, О) — —{2]*0+#'. По-.
ложим
ch(d(z, z')) = .P(l>62=,
где | = B, 1), |' = B/, 1) и ch — гиперболический косинус.
Если и, v — точки пересечения прямой <z, г'} с единичной
сферой Sn~x .(границей 93), то й(г, г')= V2 [ In [г, г', «, v] | (ср.
с задачей 11.3); здесь двойное отношение берется на прямой
<2, *'> (СМ. 6А).
Эта метрика является превосходной (см. 9.G): существует
единственный кратчайший путь, соединяющий г и г', и он сов-
совпадает с евклидовым отрезком [г, г'] (относительно гипербо-
гиперболической метрики, конечно). Группа изометрий модели 93 обо-
обозначается G(n). Она совпадает с проективной группой РО(сс)
проективной квадрики а в Pn(R)= P(Rn+l), определенной с по-
помощью квадратичной формы q (см. 14.G), и порождается пре-
преобразованиями, которые индуцируются в S8 ассоциированными
с q отражениями относительно гиперплоскостей (см. 13.Е и
14.G). Эти отражения — инволютивные изометрий, неподвижные
точки которых лежат в H[\S8, где Я — любая плоскость про-
пространства R", пересекающая 93. Если г, г' — различные точки
в 93, то множество {г"е^: d(z", z)=d(z", z')} всегда имеет
вид Н(]<%; оно является гиперплоскостью, равноудаленной от
г и г'. Делаем вывод (см. 9.F), что если (z^)^, k и
{z't)i=l к — два таких набора k точек в S3, что при всех t, /
то найдется такая изометрия /eG(/!), что f(z^ = z't при всех/.
В частности, два треугольника «равны» тогда и только тогда,
когда их стороны имеют одну и ту же длину (в противополож-
противоположность 19.А; см. 18.С).
19.С. Углы и тригонометрия ([В, 19.2, 19.3])
Труднее определить углы в 93. (Обычные евклидовы углы в
^сК"не годятся для нашей гиперболической метрики, так как
они не инвариантны относительно группы G(n)\) Пусть геК;
рассмотрим два вектора u, oe R", которые «касаются 93 в точ-
точке 2». Мы хотим работать в пространстве Rn+1, так что возьмем
| = B, 1) и заменим и (соотв. v) на вектор п (соотв. v), ортого-
ортогональный | относительно q (ср. с 18.С), который является линей-
линейной комбинацией | и (и, 0) (соотв. (v, 0)). Имеем
« = («, 0) +7
126
Глава 19
Угол между и, и в точке z определим как такой угол ое|0, я]:,'
что
Р(п, о)
cos а = ¦.
УЧ (u)q(v)
Для данного треугольника Т = {х, у, г) в $ мы можем теперь
говорить о его сторонах a = d(y, z), b = d(z, x), c = d(x, у) и
его углах а, р, у в точках х, у, z, где а — угол в точке х между'
векторами и = ху и v — xzb соответствии с приведенным выше
определением. Имеют место следующие формулы:
cha = ch6chc — sh b she cos a, A)
sin a sin p sin y in\
sh a sh b sh с ' '
cos a = sin p sin yen a — cos P cos y. C)
Гиперболическое пространство 3$ имеет каноническую меру.
Для этой меры площадь треугольника д~ с углами а, р, у равна
я —а —р —у (ср. с 18.С и 10.А).
19.D. Конформные модели f и Ж ([В, 19.6, 19.7])
В проективной модели углы имели сложное определение; мы
хотели бы в некотором смысле связать их с евклидовыми уг-
углами. Для этого определим биекцию S: 38-+-3B как композицию
Рис. 19.D.1.
S«=f °g отображения g: z>—*-{z л/l — ||г||2) из <% в R"+l и сте-
стереографической проекции f сферы S" с R"+1 из северного по-
полюса на R" (см. 18.А). Затем, используя обратный образ мет-
оики пои отображении 2, получим новую гиперболическую мет-
Задачи
127
рику в шаре <%; с этой новой метрикой шар будет называться
конформной моделью или моделью Пуанкаре и обозначаться
<ё'. В модели 9? углы совпадают с евклидовыми углами. С другой
стороны, кратчайшие пути не являются больше евклидовыми от-
отрезками прямых; теперь это дуги окружностей, которые пересе-
пересекают границу 5"-1 шара 9? под прямым углом.
Рис. 19.D.2.
Другая модель 5^, называемая полупространством Пуанкаре,
получается из ЧР применением инверсии относительно точки,
расположенной на границе полупространства Ж Она все еще
является конформной, а ее кратчайшие пути — окружности.
ЗАДАЧИ
19.1. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ РАВНОСТОРОННИЕ МНОЖЕСТВА ([В,
19.8.24]) Равносторонним множеством в метрическом простран-
пространстве называется любое такое множество {тг}гс<1 „, что все
расстояния d(tn(, mt) (i <. j) равны между собой. Покажите,
что эллиптическая плоскость Р содержит равносторонние под-
подмножества из трех точек, попарные расстояния между которыми
могут принимать любые значения от 0 до л/2. Классифицируйте
их относительно действия группы Is(P). Докажите, что Р со-
содержит равносторонние подмножества из четырех точек с по-
попарными расстояниями, равными arc cos (l/д/з) илиагссовО/д/б).
Изучите их поведение относительно действия группы Is(P). По-
Покажите, что с точностью до изометрии плоскость Р содержит
в точности одно равностороннее подмножество из пяти точек и
одно из шести точек, причем_ попарные расстояния в обоих мно-
множествах равны arccos(l/V5).
128 Глава 19
19.2. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ С ТРЕМЯ ПРЯ-
ПРЯМЫМИ УГЛАМИ ([В, 19.8.7]). Вычислите на гиперболической
плоскости четвертый угол четырехугольника, у которого три
угла прямые, а длины сторон, соединяющих два прямых угла,
равны а и Ь.
19.3. УНИВЕРСАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ РАССТОЯНИЯ В
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ ([В, 19.8.16]). Докажите,
что в я-мерном гиперболическом пространстве для любых я + 2
!гочек Zi (i = l, ..., л+ 2) выполняется соотношение
det(ch[dB,, 2У)]) = О.
19.4. ПРАВИЛЬНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
([В, 19.8.20]). Пусть п^3 — целое число. Мы хотим изучить
на гиперболической плоскости такие я-угольники, что все их сто-
стороны равны между собой, а все углы имеют величину 2п/п. Для
всякого ли п существуют такие многоугольники? Определены ли
они однозначно с точностью до изометрии?
Глава 20
ПРОСТРАНСТВО СФЕР
20.А. Пространство сфер ([В, 20.1])
Фиксируем га-мерное евклидово пространство Е и через Q(E)
обозначим пространство аффинных квадратичных форм q на Е\
q как элемент Q{E) будет символом формы q. Сфера задается
формой q, записанной в виде
где ае? и k, /igR, Это действительно сфера, если S^O и
||а||2 > 4hk. Если 1гФ0 и ||а||2 = 4ЛА;, то образом является одна ч
точка (сфера нулевого радиуса). Если ||а||2 < 4hk, то образ пуст
и мы говорим, что q представляет сферу «мнимого радиуса».
При k = 0, Ь,фО получим гиперплоскость (если афО), а при
А> = 0 и а = 0, Л=т^0— бесконечно удаленную точку простран-
пространства Е.
Рассмотрим теперь в Q(E) векторное подпространство таких
форм q, что q = k\\-\\2; обозначим его §(Е). Взяв проективи-
зацию, получим 5(Е) = Р (S(Е)). Каноническую проекцию обо-
обозначим р: S(Е)\0-*¦ S(Е). Таким образом, мы можем отож-
отождествить истинные сферы пространства Е с подмножеством 2
в S(E), аффинные гиперплоскости с подмножеством в, а сферы
нулевого радиуса с самим пространством Е. Дополнение к
2U®U? B S(E) состоит из сфер мнимого радиуса и еще одной
точки, отвечающей уравнению q= 1. Обозначим эту точку оо и
назовем ее бесконечно удаленной точкой пространства Е. В от-
отличие от построений гл. 5, достаточных для нужд линейной гео-
геометрии, в которой имеется целая гиперплоскость бесконечно
удаленных точек, наша конструкция дает в бесконечности толь-
только одну точку, одну и ту же по всем направлениям. Это новое
пополнение пространства Е будем обозначать Е = Е[} оо.
20.В. Каноническая квадратичная форма ([В,20.2])
Вышеизложенную конструкцию делает полезной введение
канонической невырожденной квадратичной формы в S(E), от-
откуда следует существование собственной квадрики в S[E) =
6 М. Берже и др,
130
Глава 20
= P(S(E)) (см. 14.А). Эта квадратичная форма, обозначаемая
р, представляет квадрат радиуса:
Ее полярная форма R имеет вид
= \{a\a!)-2{k'h
С формой р связана проективная квадрика, также обозначае-
обозначаемая р. Ее образ есть в точности В. Ассоциированная с ней про-
проективная группа РО(р) фактически является группой Мёбиуса
ЩЬ(/г) (см. 18.Е), если выбрать подходящее отождествление Е
и 5".
Естественно рассмотреть отношение полярности относительно
р. (см. 14.Е). Касательная гиперплоскость к В в оо есть в точ-
точности в (с присоединенной бесконечностью). Точки сферы
seS(E) представляются как точки пересечения полярной ги-
гиперплоскости сферы s с В (см. рисунок). Центр сферы s есть
точка пересечения (отличная от оо) прямой <s, oo> с В. Две
сферы (включая гиперплоскости) ортогональны (см. 10.В) в
точности тогда, когда они изображаются сопряженными отно-
относительно р точками. Более общо, угол между двумя сферами
(включая гиперплоскости) — это вещественное число [s, s'\ в
Пространство сфер
131
Рис. 20.3.1.
Из книги: Koenigs Gabriel. Le?ons de cinematique (A. Hermann, 1897).
интервале [О, я/2], которое определяется из следующего соот-
соотношения:
,,я])=-ШШк
Vp (?) р (q)
где q (соотв. q')—уравнение сферы s (соотв. «').
Заметим, что истинные сферы — это точки пространства
S{E), которые лежат «вне» ?. Внутренние точки представляют
собой мнимые сферы (они, как оказывается, являются моде-
моделями гиперболической геометрии, см. 19.В).
Пучки сфер — это (проективные) прямые в S(E). Они раз-
различаются в зависимости от того, пересекает или нет данная пря-
прямая пополнение Е; см. [В, 20.5.6].
Приведенная выше конструкция позволяет продолжить ин-
инверсию на пополнение Ё: полюс с отображается в оо, а оо — в с.
Инверсии — это фактически такие элементы группы РО(р), ко-
которые являются отражениями относительно гиперплоскостей;
это означает, что они порождают конформную группу Mob(n)
сферы Sn.
20.С. Полисферические координаты ([В, 20.7])
Поскольку пространство Е вложено в S(E), мы можем опи-
описывать его точки, используя однородные координаты в проек-
ТИВНОМ ПРОСТОЯН Т S(E\ /таким й
132 Глава 20
странстве Е заданы п + 2 координат); при выборе базиса пред-
предпочтение отдается такому, в котором р диагональна. Такие ко-
координаты называются полисферическими. Циклиды — это такие
гиперповерхности в Е, которые являются квадриками в поли-
полисферических координатах; они представляют собой алгебраиче-
алгебраические гиперповерхности четвертой степени. Циклиды Дюпена —
это те из них, которые имеют два равных коэффициента. Тор
вращения является частным случаем циклиды Дюпена; см. за-
задачи 18.7 и 20.2. Некоторые циклиды содержат шесть семейств
окружностей; [В, 20.7.2].
ЗАДАЧИ
20.1. КАСАТЕЛЬНАЯ ГИПЕРПЛОСКОСТЬ К im (s) В ПРОСТРАН-
ПРОСТРАНСТВЕ СФЕР ([В, 20.8.1]). Постройте геометрически касательную
гиперплоскость к im(s) в S(E).
20.2. ТОР КАК ЦИКЛИДА ДЮПЕНА ([В, 20.8.5]) Покажите,
что тор является циклидой Дюпена (см. 20.С).
20.3. ТЕОРЕМА ДАРБУ ([В, 20.8.7]). Если три точки на пря-
прямой описывают три сферы, центры которых коллинеарны, то
любая точка данной прямой также описывает сферу с тем же
свойством или, возможно, плоскость для одной исключительной
точки. Найдите связь между четырьмя точками на прямой и
четырьмя центрами сфер, которые они описывают.
УКАЗАНИЯ
Глава 1
1.1. Используйте отражения относительно середин сторон.
1.3. Каждую из пяти указанных групп движений можно рас-
рассматривать как расширение посредством вращения ее подгруп-
подгруппы трансляций, которая является свободной абелевой группой.
Таким способом мы получаем полупрямое произведение свобод-
свободной абелевой группы и циклической группы; теперь можно найти
представление для каждой из пяти групп.
1.4. Отметим, что плитки подходят друг к другу только в том
случае, если они образуют рисунок «в клеточку». Сначала нужно
посмотреть, что происходит в углах квадратов, затем дополнить
анализ изучением асимметричных вырезов. Можно также сде-
сделать некоторое количество фотокопий плиток и попробовать за-
заполнить ими плоскость.
Глава 2
2.1. Для доказательства теоремы Менелая рассмотрите ком-
композицию гомотетии с центром в точке с', переводящей точку b
в точку а, и гомотетии с центром в точке Ь', переводящей а в с.
Найдите центр такой гомотетии.
Для доказательства теоремы Чевы выберите подходящий аф-
аффинный репер и проведите вычисления в полученных коорди-
координатах.
Для развлечения докажите каждую теорему, исходя из дру-
другой и пользуясь свойством полного четырехугольника F.В).
2.2. Сведите задачу к случаю, когда У нульмерно (т. е. точ-
точка). Можно также свести эту задачу к случаю сферы ([В, 18.2]).
2.4. Примените цепное правило к композиции foe. Чтобы
найти кривизну коник, выберите параметрические представле-
представления (acost, b sin t) для эллипса, (t, t2) для параболы и (acht,
b sh t) для гиперболы.
Чтобы доказать существование и единственность кривой с
кривизной, заданной как функция длины дуги, рассмотрите
дифференциальное уравнение.
с'" (а) + К (а) с' (а) = 0.
134 Указания
Глава 3
3.1. Будьте аккуратны в случае р = 2!
3.2. Отметим, что барицентрические координаты точки тре-
треугольника пропорциональны площадям трех малых треугольни-
треугольников с обшей вершиной в этой точке.
В случае четырехугольника двумя различными способами
разделите его на два треугольника.
3.3. Рассмотрите различные типы точек, которые могут воз-
возникать при подразделении, и во всех возможных случаях оце-
оцените расстояния между ними.
3.4. Рассмотрите векторизацию в точке, затем поменяйте
точку.
3.6. Заметим, что все частные производные порядка р функ-
функции f являются однородными функциями степени k—р.
Глава 4
4.2. Заметим, что точка с проективными координатами
\\, 1, .... 1) принадлежит всем картам.
4.3. Заметим, что определитель автоморфизма —Id простран-
пространства R"+' равен (—l)n+1.
4.4. Примените соотношения двойственности в векторных
пространствах, позволяющие найти ортогональные дополнения
к пересечению и сумме подпространств.
4.5. Пересчитайте упорядоченные р-иаборы свободных век-
векторов.
4.6. Выберите проективный репер, содержащий четыре вер-
вершины первого тетраэдра {а, Ь, с, d). Рассмотрите матрицу то-
томографии, переводящей а в а', Ь в Ь', с в с' и d в d'.
Глава 5
5.2. Воспользуйтесь теоремой Дсзарга |см. 5.D или [В, 5.4.3])
для первой части; для второй части примените первую.
5.3. Для случая трех точек примените теорему Паппа (см.
5.D или [В, 5.4.2]), для случая коники и точки — теорему Бри-
аншона (см. 16.С). В последнем случае можно также проектив-
проективным преобразованием перевести рассматриваемую фигуру в аф-
аффинную конику с центром в рассматриваемой точке и восполь-
воспользоваться существованием аффинных отражений относительно
диаметров {см. 15.С),
Указания 135
Глава 6
6.1. Отправьте в бесконечность точку и или v.
6.2. Продифференцируйте двойное отношение четырех ре-
решений.
6.3. Используйте перспективу (см. 4.F).
6.4. Для установления первого соотношения выберите под-
подходящие проективные координаты. Затем воспользуйтесь су-
существованием томографии, переводящей один проективный ре-
репер в другой.
Глава 7
7.1. Вложите Е в HoniR(C; Е), сопоставляя каждому х&Е
отображение s: .<?-»¦?, такое, что s{l) = x и s(i) = 0.
Глава 8
8.1. Воспользуйтесь общим ортогональным базисом для форм
Ф и 1|з (см. 13.В).
8.2. Воспользуйтесь внутренней метрикой на сфере S(E) (см.
18.В) и рассмотрите расстояние между серединами больших
окружностей, соединяющих х с f(x) и f(x) с f(f(x)).
8.3. Задача сводится к нахождению корней п-й степени из
комплексного числа.
8.4. Рассмотрите композицию ou°Ot°Os отражений as, <Xr, Ои
относительно прямых S, T, U соответственно (см. 8.С).
8.5. Используйте тот факт, что единственный автоморфизм
пространства R есть тождественный автоморфизм.
8.6. Выберите подходящий базис. Интерпретируйте опреде-
определители Грама как площади (см. 8.J).
Глава 9
9.1. Рассмотрите такую тройку неколлинеарных точек, что
расстояние от одной из них до прямой, проходящей через две
другие, минимально среди всех таких расстояний.
9.2. В случае если X не плоскость, просчитайте и опреде-
определите тип получающейся квадрики.
9.3. Рассмотрите максимум функции периметра на топологи-
топологическом произведении С" кривой С, взятой п раз. Нужно ограни-
ограничиться подходящим замкнутым подпрост анством компакта С".
136 Указания
9.4. Для прямых подобий используйте точку <а, й> П <а', Ь'\
а для непрямых — геометрическое место точек, для которых от«
ношение расстояний до двух фиксированных точек постоянно.
9.5. Начните с построения квадрата, две вершины которого
лежат на двух сторонах треугольника и одна сторона парал-
параллельна третьей стороне треугольника.
9.6. Используйте величину р2 + 2р/2 — рр", посредством кото-
которой определяется выпуклость кривой рF) в полярных коорди-
координатах.
Глава 10
10.1. Применительно к части (iv) напомним, что объедине-
объединение двух прямых есть коника и что две прямые М, N ортого-
ортогональны в том и только в том случае, если их бесконечно удален-
удаленные точки оом, °O/v удовлетворяют соотношению [оом, <x>n,
I, ]\ = —1, где {/, /} — круговые точки (8.Н).
10.2. Определите расстояние между центрами, рассматривая
треугольник, который они образуют вместе с какой-нибудь вер-
вершиной; воспользуйтесь формулами из 10.А. Не отступайте! Для
доказательства обратного утверждения нужно воспользоваться
тем, что уже доказано, и достаточно тонким рассуждением о
единственности.
10.3. Используйте свойство отражения относительно прямой
переводить ориентированный угол между прямыми в противопо-
противоположный ему (см. 8.F).
Рассмотрите две прямые с заданным свойством и, применяя
10.D, найдите коцикличные точки.
10.4. На роль минимума имеется очевидный кандидат!
10.5. Покажите, что диагональ АС проходит через однознач-
однозначно определенную точку окружности с диаметром [a, d\.
10.6. Для начала докажите, что с помощью одного только
циркуля можно построить образ данной точки при действии ин-
инверсии, для которой заданы центр и инвариантная окружность.
Затем, соответствующим образом подбирая инверсии, исполь-
используйте эту конструкцию для решения задачи.
10.7. Докажите цепочку теорем по индукции, взяв за основу
теорему Мигеля о шести окружностях; см. 10.D.
10.8. Для того чтобы убедиться, что таким образом можно
получить все рациональные числа из [0, 1], следует показать
Указания 137
индукцией по /, что любая точка из [0, 1] вида i/l, где i и /
-взаимно просты, есть точка касания оси х. и окружности Форда
радиуса 1/2/2.
Глава 11
11.1. Рассмотрите общую границу областей и индуцирован-
индуцированное на ней разбиение.
11.2. Введите в рассмотрение опорную прямую в точке из
замыкания множества крайних точек.
11.3. Сначала используйте задачу 6.1 для доказательства
того, что метрика на открытом интервале ]и, v[ изоморфна
метрике на R. Затем примените отображения перспективы
D.F; напомним, что они сохраняют двойное отношение!).
11.4. Вычислите логарифмическую производную для Р, запи-
записанного в виде произведения мономов; еы получите, что корни
Р' являются линейными комбинациями корней многочлена Р
с положительными коэффициентами. Для исследования эллипса
примените малую теорему Понселе A7.В); углы при этом сле-
следует рассматривать как аргументы комплексных чисел.
Глава 12
12.1. При первом построении свободно пользуйтесь свойства-
свойствами вписанных и центральных углов A0.D), что же касается
второго построения — исследуйте результат складывания листа
бумаги.
12.2. Напомним, что G(P), группа изометрий полиэдра, дей-
действует просто транзитивно на n-наборах из 12.С.
12.3. Вычислите объем как интеграл от площади поверх-
поверхности сечений, параллельных плоскости, перпендикулярной D.
Для вычисления площади поверхности можно использовать
первую формулу из 12.В и рассмотреть члены первой степени
по Я в ее разложении в ряд.
12.4.- Используйте теорему Аполлония A5.D) и 10.В.
12.5. Представьте выпуклое множество через его опорную
Функцию Л, т. е. как огибающую семейства прямых х cos t +
+ у sin t = h(t) («уравнение Эйлера», |В, 11.8.12.5]); восполь-
воспользуйтесь также утверждением о том, что в случае опорной функ-
функции h радиус кривизны равен h{t)-\-h"(t).
138 Указания
Глава 13
13.1. Используйте несингулярное пополнение jA3.E).
13.2. Воспользуйтесь классификацией для случая размер-
размерности 1 в терминах К/(К*J (см. 13.В).
13.3. Подумайте о простых числах.
13.4. Примените 13.F.
13.5. В пространстве Артина Art2s, отнесенном к подходя-
подходящему базису, рассмотрите отображения / с матрицами вида
Ко и
Установите, каким ограничениям должна удовлетворять мат-
матрица S.
Глава 14
14.1. Ортонормированной паре (х, у) векторов пространства
*1, которая порождает ориентированную плоскость, поставьте
в соответствие вектор х + iy пространства .C.n+1.
14.2. Примените теорему, приведенную в 14.Е, о гармони-
гармонически описанных квадриках.
14.3. Примените 14.Е, 14.F и предыдущую задачу.
Глава 15
15.1. Используйте полярность относительно С и свойства
бесконечно удаленных точек. Площадь параболы может быть
получена применением бесконечной геометрической прогрессии.
15.2. Считайте параллелограмм квадратом!
15.3. Вычислите произведение корней уравнения q{x-\-"Ku)=
=» 1, где и — единичный вектор. Затем примените теорему Апол-
Аполлония A5.D).
15.4. Начните как в предыдущей задаче, затем воспользуй-
воспользуйтесь тем фактом, что след матрицы инвариантен относительно
сопряжения. Наконец, примените полярность относительно сфе-
сферы A0.В).
15.5. Вычислите коэффициенты уравнения такого конуса в
подходящей системе координат.
Указаняя 139
15.6. Вычисляйте с конца; найдите формулы, которые дают
координаты точек пересечения Q(u)', Q(v), Q(w), где и, v, w
таковы, что Q(u) (соотв. Q(v), Q(w)) является эллипсоидом
(соотв. однополостиым или двуполостным гиперболоидом), см.
15.В.
Глава 16
16.1. Рассмотрите уравнение х2— yz = 0, когда а = A,0,0),
р = @, 1, 0), v=@, О, 1).
16.3. Возьмите подходящее параметрическое представление
[A6.А).
, 16.4. Рассмотрите полный четырехугольник F.В).
16.5. Используйте такую параметризацию (st, s2, t2), что две
различные фиксированные точки (если понадобится, в комплек-
сификации) находятся в @, 1, 0) и @, 0, 1). Для доказательства
теоремы Понселе об л-угольниках рассмотрите л-кратную ком-
композицию /" отображения / с самим собой.
16.6. Обратитесь сначала к случаю коник, касающихся четы-
четырех прямых, чьи уравнения в аффинном репере особенно просты.
16.7. Не забудьте рассмотреть касательные к полученным
точкам пересечения.
Глава 17
17.1. Используйте задачу 16.5 или аналитические вычисления.
17.2. Часть (i). При геометрическом доказательстве сначала
показывают, что две хорды, определенные четырьмя коциклич-
ными точками, имеют один и тот же наклон к осям эллипса
(используйте 17.С). Затем переходят к параметру i на окруж-
окружности (acost, as'mt). Аналитически можно написать уравнение
четвертой степени, дающее точки пересечения эллипса с окруж-
окружностью х2 + у2 + 2а* + 2р# + у = 0. Затем используется связь
между коэффициентами этого уравнения и его корнями.
Часть (ii). Используйте тот факт, что соприкасающаяся
окружность пересекает эллипс в точке касания с кратностью 3.
Часть (iii). Для данной точки найдите угол 6, отвечающий
основанию каждой нормали к эллипсу, проходящей через дан-
данную точку.
17.3. Используйте задачу 15.4 в случае п = 2.
ПА. Тщательно выбирайте вашу систему координат. Полу-
Получив уравнение эллипса с центром в начале координат, заметьте,
140 Указания
что эксцентриситет определяется отношением квадрата следа к
определителю уравнения.
17.5. Рассмотрите параметризацию с помощью хорошо вы-
выбранной координаты и используйте соотношения между корнями
и коэффициентами уравнения третьей степени, которое дает
основания нормалей.
Глава 18
18.1. Вопрос о функции рычагов относится к физике!
18.2. Воспользуйтесь тем, что стереографическая проекция
сохраняет углы.
18.4. Используйте определитель Грама данных d + 2 точек
пространства Rd+l.
18.5. Используйте первый член разложения функций sin н
cos по степеням \/R в окрестности нуля.
18.6. Примените основную формулу сферической тригономет-
тригонометрии к треугольнику, образованному tn(t), n(t) и пересечением
окружностей С, D. Продифференцируйте полученную формулу
по параметру t, для того чтобы найти соотношение между ско-
скоростями осей.
18.7. Рассмотрите плоскость, содержащую центры сфер 2,
2', 2", и предположите, что сечение каждой из трех сфер этой
плоскостью касается двух непересекающихся окружностей. Ис-
Используйте инверсию, для того чтобы преобразовать эти две
окружности в концентрические окружности A0.D). Затем най-
найдите два однопараметрических семейства сфер, огибающими ко-
которых является тор. Примените также свойства окружностей
Вилларсо A8.D), для того чтобы найти четыре семейства
окружностей на циклидах Дюпена. Изучите углы между ними.
Глава 19
19.1. Рассмотрите подъем равностороннего множества в про-
проективном пространстве на сферу (остерегайтесь двух различных
возможных типов треугольников, 19.А). Учтите, что, по всей ве-
вероятности, некоторое отношение к решению этой задачи имеют
правильные полиэдры.
19.2. Разделите четырехугольник на два и примените фор-
формулы из 19.С.
Указания 141
19.3. Воспользуйтесь аналогом метода определителей Грама
(8.J), приспособленным к квадратичной форме, которая опре-
определяет гиперболическое пространство A9.В).
19.4. Предположите, что решение известно, и начните с цен-
центра многоугольника.
Глава 20
20.2. Напишите декартово уравнение тора. Подумайте, как
перейти от декартова уравнения к уравнению в пространстве
сфер.
20.3. Работайте в векторном пространстве R3. Придумайте
томографию, которая переводит три точки на прямой в центры
описываемых ими сфер.
РЕШЕНИЯ
Глава 1
Первое упражнение в 1.Н: см, рис. 1.1.1—1.1.5.
Второе упражнение в 1.Н: см. рис. 1. II. 6—1. II. 10.
Рис. 1.1.1.
Рис. 1,1.2.
Рнс. 1,1.3.
Рис. 1.1:4.
Рис. 1.1. б.
Рис 1. И. 6.
Рис. 1. II. 7.
143
Рис. 1.11.8.
Рис. 1.II.9.
Рис. 1. II. 10.
1.1. Из приведенных рисунков яйю, что ответ во всех трех
случаях положителен. Основную роль во всех рассматриваемых
случаях играют отражения относительно середин сторон. В слу-
случае четырехугольника они являются образующими (группы ин-
индекса 2) решетки, состоящей из параллельных переносов, по-
144
Глава I
Рис. l.i.i.
Рис. 1.1.2.
Рис. 1.1.3.
Рис. 1.2.1.
скольку середины сторон четырехугольника всегда образуют
параллелограмм; см. З.В или [В, 3.4.10).
Существует более простой способ решения этой задачи-
прежде всего заметим, что фигура, образованная треугольником
и его отражением относительно середины одной из сторон яв-
является параллелограммом. Очевидно, что параллелограммами
плоскость замостить можно. В случае четырехугольника доста-
достаточно разрезать его на два треугольника и использовать сделан-
сделанное выше замечание.
1.2. Необходимо проверить две аксиомы:
a) U g{P) = E.
Затруднения могут быть связаны лишь с доказательством
включения EcgUQg(P). Пусть х — фиксированная точка в Е
и В —круг с центром в точке х и радиусом d(x, a)+l По-
Поскольку {g(a): g<= G} —дискретное множество, его пересечение
с 0 конечно. Значит, существует такой элемент ?eG, что
"(*> g(a))^ct{x, h(a)) для любого /igG. Поскольку g — изо-
метрия, применение #-• ко всем этим точкам не изменяет отно-
отношения между расстояниями:
V/t e= G d(g~l (x), a)^d(g~l (x), g~l о h (a));
Решения
поскольку G — группа, это означает также, что
Vk<=G d (?"' (*), а) < d (g~l (x), k (а)).
(Таким образом, g~l {x) e P или
b) g(P)(\h(P)?>0=>g(P) =
Поскольку g — изометрия, можно написать
g (Р) = {g (x): d (x, a) <d (x, k {a)) Vfe e G \ Щ
= {У- d {у, g (a)) <d(y, k (а)) V* е G\g).
Опедовательно,
145
h(a))<d(y, k(a)) Wk^
= h (a).
Поскольку g{P) = {y. d{y, g{a))^d(y, k{a)) V^eG}, из пре-
предыдущего результата следует, что g(P) = h(P).
Пример. В случае группы параллельных переносов получаем
фигуру, изображенную на рис. 1.2.1.
Замечание. Форма и размеры фундаментальной области су-
существенным образом зависят от выбора а. Приводимый рисунок
Рис. 1.2.2.
иллюстрирует это обстоятельство: штриховкой выделены фунда-
фундаментальные области, соответствующие трем различным выборам
а и группе, порожденной вращениями на угол 2я/3 вокруг точки
т и отражениями относительно прямой D, не содержащей
точки т.
146 Глава I
1.3.
1.3.1. Группы собственных движений: стабилизаторы и
орбиты
В общем случае группа G содержит нормальную подгруппу
Г, которая состоит из всех параллельных переносов из G, и при
этом соответствующая факторгруппа конечна. Пусть выбраны
представители g\, ..., gp классов смежности GmodF. Если
а — точка на плоскости, то ее орбита Ga есть объединение орбит
точек gia относительно действия группы параллельных перено-
переносов Г, так что все орбиты должны выглядеть более или менее
одинаково: как объединения конечного числа изометричных ре-
решеток. Существенные различия могут быть связаны только о
Рис. 1.3.1.
числом таких решеток: оно уменьшается, если стабилизатор а
нетривиален.
< Действительно, факторгруппа G/T действует на множестве
X решеток; это действие транзитивно, и стабилизатор решетки,
содержащей точку а (в G/Г), представляет собой образ в G/Г
стабилизатора точки а в G. Поэтому число различных решеток
равно* (G/Г) /#Ga.
Перейдем к рассмотрению примеров.
Группа 1. G = F, так что все стабилизаторы тривиальны, а
все орбиты являются решетками.
Группа 2. Ф(О/Г) = 2. Только вершинам и серединам малых
сторон фундаментальной плитки соответствуют нетривиальные
стабилизаторы, которые содержат вращения на 180°. Орбиты
состоят, вообще говоря, из двух решеток, но имеются две спе-
специальные орбиты, каждая из которых содержит только одну
решетку.
Группа 3. ф@/Г) = 3. Только вершинам плитки соответ-
соответствуют нетривиальные стабилизаторы, которые порождаются
вращениями третьего порядка. Имеется четыре особенные
орбиты.
Группа 4. Ф(О/Г) = 4. Только вершинам плитки соответ-
соответствуют нетривиальные стабилизаторы, которые порождаются
вращениями четвертого порядка. Имеются четыре особенные
орбиты.
Решения 147
Группа 5. #@/Г) = 6. Стабилизатор вершины при тупом
угле имеет порядок 3, а стабилизаторы двух других вершин —
порядок 6. Таким образом, в общем случае орбиты состоят из
шести решеток, и имеются три особенные орбиты с двумя, од-
одной и тремя решетками соответственно.
Рис. 1.3.2.
1.3.2. Группа собственных движений: структура и представ-
представления
Группа 1. Покажем, что О имеет следующее представление:
две образующие,- параллельные переносы tu и U, и единствен-
единственное соотношение tjo = totu. Действительно, поскольку tu и tv
коммутируют, любое другое соотношение приводится к виду
ф™ = 1, из которого следует, что пи + mv=a О, так что п = т =
¦*¦ ->
= 0, поскольку и и и линейно независимы.
Другие группы порождаются параллельными переносами tu
и tv и вращениями порядка 2, 3, 4 или 6 соответственно. В каж-
каждом из этих случаев сопряжение посредством такого вращения
является автоморфизмом группы параллельных переносов: если
t — параллельный перенос на вектор, nu + mv, «,meZ, то t, ==
= rtr~l — параллельный перенос на вектор г (пи + mv), где г —
линейное отображение, касательное к г. Таким образом, G изо-
изоморфна полупрямому произведению циклической группы, по-
порожденной г, и свободной абелевой группы, состоящей из па-
параллельных переносов, т. е. существует биекция из G на произ-
произведение <г> X (tu, tv), с использованием которой закон компози-
композиции в G можно записать следующим образом:
где си + dv = r (mu + nv) + (pu + Qv). Покажем, что определяю-
определяющие соотношения группы О имеют вид tutv = UU, ra= I (а =
*=2, 3, 4, 6), rtur-*=*tr(U), rtvr~l — trw. Чтобы сделать изложе-
иие более ясным, мы рассмотрим случай а = 2; поскольку
148 Глава 1
г —вращение плоскости на 180°, имеем г2=1 и г(и) = —и,
r(v) — —v. Предположим, что в группе G справедливо соотно-
соотношение
где bi, с, —целые числа (может быть, равные нулю) и а,- равны
0 или 1. Поскольку отображение, касательное к произведению,
есть гв'+ш"+а*, число ненулевых а,- четно. Используя соотноше-
соотношение tutr,=tvtu, можно сделать так, чтобы все щ были равны 1.
Далее: используя rtur = t_u и rUr — t-v, получаем
ai,6|,c, a2 t-b,,-c,
и исходное соотношение сводится к соотношению между парал-
параллельными переносами. Выше мы уже показали, что любое со-
ЗЕ
1 /i-M
Рис. 1.3.3.
отношение в группе параллельных переносов сводится к tut0 =
= trjtu.
Группа 3. Поскольку г—вращение третьей степени, имеем
г(«) = — u+v, r(v) = —u, так что G задается образующими
/„, /„, г и соотношениями tutB — tv(a, г3 = 1, l x
1 1
r1 t;
v(a, г3 = 1, rturl = tx и
1.4. Примечание. При решении этой задачи разрешается ис-
использовать параллельные переносы, вращения и отражения.
Если бы мы захотели ограничиться только собственными дви-
движениями, то нужно было бы добавить зеркальные изображения
плиток IV и V.
Шаг 1. Сначала посмотрим, что происходит в углах того ри-
рисунка «в клеточку», который образуется при произвольном замо-
замощении плоскости (предполагается, что оно существует) плит-
Решения 149
ками указанного вида. Каждый угол должен быть заполнен.
С точки зрения углов имеется всего два типа плиток: III, кото-
которые мы обозначим X, и все другие, обозначаемые символом 0.
Покажем, что (может быть, после вращения на 90°) плитки
типа X расположены в чередующихся столбцах, причем в своих
столбцах они занимают каждую вторую клетку.
Только клетки X могут заполнять углы, и при этом все при-
прилежащие клетки должны быть типа 0:
0 0 0
0X0
0 0 0
В следующем столбце должен присутствовать X, который за*
полняет углы, оставшиеся свободными от плиток 0; с точностью
до отражения он располагается либо на месте а, либо на ме-
месте Ь:
0 0 0 6
0X0
0 0 0
!ji) Пусть X занимает место b:
0
0 0 0
0X0
0 0 0
с
0
X
0
с
1
0
0
0
Верхний левый угол клетки с должен быть заполнен, так что в с
имеется еще один X:
0
0 0 0
0X0
0 0 0
d 0
0
X
0
X
0
0
0
0
0
0
По тем же причинам X должен располагаться и в клетке d.
Путем итераций можно показать, что X занимают чередующиеся
положения в двух столбцах, между которыми расположен стол-
столбец из нулей.
(и) Пусть X занимает место а. Посмотрим, где распола-
располагается следующий X справа от него. Будем пропускать столбец
каждый раз, когда на месте а находится X. Возможны два
случая: .
ISO
Глава f
нам встречаются плитки типа X только на месте а; выше мы
показали, что в этом случае X занимает каждую вторую клетку
этих строк; это и есть то, что мы хотели доказать, с точностью
до вращения на 90°;
нам встретится X, расположенный на месте Ь. Проведенное
выше рассуждение показывает, что в этом случае имеются два
столбца с X, расположенными поочередно. Нетрудно видеть, что
все оставшиеся X должны быть располо-
расположены следующим образом:
0
X
0
0
0
0
0
X
0
X
X
X
0
0
0
0
X
0
X
X
X
0
0
0
0
0
0
0
0
0
X
0
X
0
X
0
X
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
X
0
X
0
X
0
X
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Рис. 1.4.2.
Этим наше утверждение доказано.
Шаг 2. Рассмотрим теперь столбец, в котором имеются X,
т. е. плитки типа III. Вверху или внизу плитки X должен распо-
х у
л VI
х X
а
) Ь
X
X
Ч
VI
М
X
X
"V-
X
Рис. 1.4.3. Справа — конфигурация X,.
лагаться асимметричный выступ, в этом направлении мы и нач-
начнем движение. Мы встретим плитку 0, потом другую плитку
типа III. При этом плитка 0 может быть только типа I или IV:
см. рис. 1.4.2 (где полукруглые выступы (вырезы) могут быть
любого вида— симметричными или асимметричными).
Решения
151
Плитка т может быть только типов I, IV или V; во всех этих
случаях она имеет сверху вырез, как показано на рисунке. Плит-
Плитка п имеет два выступа и не может быть типа III (так как она
соседствует с плиткой типа III), поэтому она должна иметь
тип VI.
Рассуждение, проведенное на шаге
1, показывает, что плитка типа III за-
занимает либо место а, либо место Ь,
но наличие выреза исключает возмож-
возможность Ь, так что мы получаем конфи-
конфигурацию, которую будем называть Х3.
Шаг 3. Заметим, что каждая
плитка .X принадлежит единственной
конфигурации Х$, вид которой опре-
определяется расположением ее асиммет-
асимметричных выступов. В частности, это
относится и к плитке X, расположен-
расположенной справа внизу на рис. 1.4.3.
Рассуждением, аналогичным тому, которое было проведено
на шаге 1, можно показать, что конфигурации Х3 располагаются
столбцами, разделенными одним слоем плиток типа I, II, IV
или V.
Рассмотрим подробнее одну из конфигураций Х3. Она может
выглядеть, например, как на рис. 1.4.4, где только выступы в
Рнс. 1.4.4.
Рис. 1.4.5.
серединах сторон могут быть асимметричными. Типы этих цен-
центральных выступов (впредь нас будут интересовать только они)
в точности совпадают с типами выступов плитки VI, располо-
расположенной в центре Х3. Переместимся вверх или вниз в направле-
направлении одного из асимметричных выступов. На рис. 1.4.5 централь-
центральная плитка конфигурации Х3, расположенной справа, должна
быть типа VI, потому что она имеет два выступа и не может
быть типа III.
152
Глава 1
Аналогично тому, как это было сделано на шаге 2, можно
показать, что четыре конфигурации Х3 образуют более крупную
конфигурацию, изображенную на рис. 1.4.6, которую мы назо-
назовем Х7. Все внешние выступы в конфигурации Х7 симметричны,
за исключением, быть может, выступов в серединах сторон. Эти
выступы такие же, как у центральной плитки типа VI.
Шаг 4. Аналогичным образом, группируя конфигурации типа
Х7 вокруг плитки типа VI, можно получить конфигурацию Xi5\
Рис. 1.4.6. Конфигурация Х7
ее структура однозиачно определяется центральной плиткой. По
индукции можно образовать конфигурации Х2п_г — квадраты
со стороной 2"—1, все внешние выступы которых симметричны,
за исключением, может быть, расположенных в серединах
сторон.
Расширяющаяся последовательность X, должна покрывать
либо всю плоскость, либо полуплоскость, либо квадрант. В двух
последних случаях можно построить новую последовательность,
отправляясь от плитки типа III, которая не принадлежит рас-
рассмотренной последовательности, и так до тех пор, пока не бу-
будет замощена вся плоскость. В результате мы получим либо
одну последовательность Xi, либо две последовательности, каж-
каждая из которых покрывает полуплоскость, либо три последова-
последовательности, покрывающие полуплоскость и два квадранта, либо
четыре, каждая из которых покрывает квадрант.
Решения 153
Шаг 5. Периодичность
Каждый параллельный перенос, который сохраняет струк-
iypy замощения, должен отображать любую плитку типа III
на другую плитку такого же типа и такой же ориентации. Рас-
Рассмотрим конфигурации Х3, которым эти две плитки принадле-
принадлежат. Параллельный перенос должен их совмещать, так как ис-
исходные плитки типа III одинаково ориентированы и каждая из
них однозначно определяет соответствующую конфигурацию Х3;
орентированы эти две конфигурации должны быть одинаково,
госкольку параллельный перенос не изменяет структуру замо-
замощения в целом. Другими словами, расположение исходной плит-
плитки типа III внутри соответствующей конфигурации Х3, Х7 и т. д.
сохраняется при параллельном переносе. Это означает, что каж-
каждый параллельный перенос переводит одну конфигурацию ^2"_,
ъ другую, причем передвигает ее на расстояние, как минимум
в 2" раз превышающее длину сторон плитки (если только он не
является тождественным), что не может выполняться сразу для
всех п. Таким образом, мы показали, что любое замощение
ллоскости шестью плитками указанного вида непериодично.
Замечание. При решении задачи мы предположили, что за-
замощение существует, и, отправляясь от этого факта, определили
его структуру, показали, что оно действительно существует и
непериодично. Можно было начать и с другого конца — с по-
построения замощений. При построении конфигурации Х2п_1 мож-
можно четырьмя различными способами расположить плитку типа
VI в ее центре, так что через п шагов мы будем иметь 2" ва-
вариантов. Таким образом, имеется бесчисленное множество спо-
способов замостить плоскость указанными шестью плитками.
Глава 2
2.1. Для доказательства теоремы Менелая предлагается идея
использовать группу дилатации или, точнее, композицию гомоте-
гомотетий: Сначала докажем следующее
Утверждение. Пусть f=zHx,K (соотв. g = НУъ и)— гомотетия
с центром в точке х и коэффициентом К (соотв. с центром в
точке у и коэффициентом (д); тогда если Хцф 1, то композиция
g°f есть гомотетия с коэффициентом Кц и с центром в точке г,
лежащей на прямой <д:, у).
Рис. 2.1.1. Рис. 2.1.2.
То, что композиция gof — гомотетия, уже известно B.С или
'[В, 2.3.3.12]). Три точки г, х, g(f{x)) коллинеарны по Определе-
Определению; но то же самое верно и для х, g(x), у. Далее, g(f(x)) =
= g(x), так что х, g(x), у и г — все лежат на одной прямой.
Теперь доказанное утверждение применим к нашей задаче,
беря f = HC'.k' и g = Hb\v, где Х' = — с'а/с'Ь и ц' = — Ъ'ф'а-
По построению f(b) = a и g{a) = с, так что (gof) (b) = c. Таким
образом, по доказанному выше утверждению центр г данной
гомотетии лежит и на прямой (Ь, с>, и на прямой (b't с'}. От-
Отсюда получаем z = (b, c> f] (Jbr, c'>. С другой стороны, поскольку
[(80П(Ь)—с, имеем Х'~1ц'~1 = — zb/zc. Подводя итог, заклю-
заключаем, что точки а', Ъ', с' коллинеариы тогда и только тогда,
когда
7b Уа а*с
Легко видеть, что случай Я/ц' = 1 не может возникнуть, по-
потому что не может выполняться ab/arc=l.
Теорему Чевы докажем аналитически. Возьмем {a, ab, ас)
в качестве аффинного репера, в нем координаты точек а, Ь, с
по определению имеют вид @, 0), A, 0) и @, 1) соответственно.
Решения
155
Положим c' = (y. 0), b' = (Q, р), a' = (u, 1-й); последнее обо-
обозначение обусловлено тем, что уравнение прямой <6, с> имеет
вид х-\-у—1=0. Уравнение прямой <6, Ь'У есть х + у/$ = 1,
а уравнение прямой <с, с'> есть х/а + У = 1- Таким образом,
координаты точки х = (Jb, b"> Л <с> с'> имеют вид
аA-Р) р A - а) \
ар - 1 ' ар-1 Г
Точки а, а', х коллинеарны тогда и только тогда, когда
1аA — Р)/РA—а)] = и/A—и).
С другой стороны,
1-а
Ь'а
с'а
Р
I-P
«I
1-У
V
Имеется много различных доказательств этих знаменитых и
просто формулируемых теорем. Самое короткое можно получить,
применяя теорему о барицентрах (гл. 3).
(и, 1 - и)
Рис. 2.1.3.
Теорема Менелая. Представим Ь' = рс-ЬA—($)а и с' =
= Ya + (l—t)b. Точка пересечения a' — (b', c'}(](b, с) явля-
является барицентром точек Ь' и с7; он не зависит от выбора точки а,
Руе-A-Р)A-уN
а ~ pY-(i_p)(i-v) '
Но тогда ctblaTc = Py/[A — Р)A — Y)], откуда
с'а 1 — y
-V
Ь'с = 1 - Р
Уа -Р '
156 Глава 2
Доказательство теоремы Чевы с использованием барицентров
мы оставляем читателю; в заключение покажем, как одну тео-
теорему получить из другой. Лучше всего это сделать, используя
свойства полного четырехугольника или поляру точки относи-
относительно двух прямых, о чем упомянуто в 6.В или [В, 6.5.7],
Рис. 2.1.4 иллюстрирует свойство, когда четыре точки а', а", Ь, с
находятся в гармоническом отношении, т. е. a'b/а'с = — а"Ь1а"с.
Это показывает, что каждая из теорем может быть выведена из
другой.
¦ 2.2. Сначала введем обозначения, которыми будем пользо-
пользоваться в этом упражнении. Выберем векторизацию аффинного
пространства X в точке 0 подпространства Y и дополнительное
подпространство Z; проекцию на Z параллельно Y обозначим р.
a) X\Y не связно, если Y — гиперплоскость. В этом случае
dimZ = 1. Поэтому ZX0 состоит из двух лучей Z+ и Z~. Доста-
Достаточно убедиться, что X\Y = р-1 (Z+)\j p-1 (Z~) и что эти два
множества открыты и не пересекаются.
b) X~SY (линейно) связно, если codim Y = dimZ > 1. Пусть
Х\, х2 — две точки из XS.Y, и пусть 2; = р(дг*)—их проекции на
Z. Поскольку отрезки xxz\ и гъх2 содержатся в X\Y, достаточно
показать, что можно соединить z\ с z2 отрезком, принадлежа-
принадлежащим ZN^O. Когда z\ и г^, линейно независимы, отрезок z\Zz не
Решения - 157
проходит через точку 0, и все доказано. Если же z\ и г2 линейно
зависимы, то из предположения dimZ> [ следует, что мы мо«
жем взять точку z%> не лежащую на прямой, проходящей через
гх и z2; тогда мы соединяем zx и zi отрезками zxz% и zzz2, ни один
из которых не содержит точку 0.
с) Каждая компонента подпространства Х\ Y односвязна,
когда Y— гиперплоскость. Пусть x(t)— пе?ля (т. е. х@) — х(\)),
лежащая в X\Y. Обозначая z{t) = p{x(t)) проекцию этой петли
на Z, можно продеформировать x{t) в z{i) при помощи гомото-
пии A—s)x(t)-\-sz(t), которая не выводит за пределы X\Y.
Теперь z(t) можно, минуя нуль, стянуть в точку гомотопией
( +
()() + y{)
d) X\Y не односвязно, когда codimK = dimZ = 2. Отож-
Отождествим Z с комплексной плоскостью С. и покажем, что петля
e2iat He гомотопна точке. Действительно, если бы существовала
гомотопия x(s, t) со свойством х@, t) = e2ilit и x(l, t) = a^
е!\У, то должна была бы существовать и гомотопия на
окружности с таким же свойством (достаточно взять z(s, t) =
— p(x(s, t))/\p(x(s, t))\). Но, как хорошо известно, такой го-
мотопии не существует. (Один из способов доказать это — опре-
определить аргумент точки z(s, t) по непрерывности, начиная с
argz@, 0) = 0; функция argz(s, 1)—argz(s, 0) непрерывна по
s, ее областью значений служит 2nZ и она принимает значение
2я в 0 и значение 0 в 1, что приводит к противоречию.)
e) X\Y односвязно, когда codim Y= dim Z> 2. Пусть x(t) —
петля в X\Y. Гомотопия A—s)x(t) + sz(t) деформирует эту
петлю в ее проекцию z(t) = p(x(t)). Наделим Z евклидовой
структурой и продеформируем z(t) в петлю y(t) =z(t)/\\z(t)\\,
лежащую на сфере Sd, d = dimZ—1 (используя гомотопию
A —s)z{t) + sy(t)). Теперь результат следует из классического
факта об односвязности Sd.
Чтобы доказать это, мы начнем с покрытия Sd двумя мно-
множествами Sd\y@) и Sd\—J/@), которые являются открытыми.
Из этого вытекает, что для любого t найдется некоторая окрест-
окрестность Vt, такая, что y(Vt) полностью содержится в одном из этих
двух множеств. Используя компактность отрезка [0, 1], по-
построим его разбиение 0 < t\ < U < ... <.tm<.\, такое, что
У([U, ti+\\) содержится либо в одном, либо в другом из рас-
рассматриваемых открытых множеств. Если образ некоторого
подынтервала содержит точку —у@), то мы продеформируем
петлю в этот подынтервал, минуя эту точку. Делается это при
помощи стереографической проекции л относительно полюса
</@) (см. 18.А); мы выберем точку w так, чтобы лучи wn(y(ti))
и wn(y(ti+i)) не проходили через л(—у{0)), а затем возьмем
векторную гиперплоскость, трансверсальную к этим двум пря-
прямым. Лялрр чямрним пыбпянный nvTK ргп гтппркпирй ня
»58 Глава 2
луча, параллельные выбранной гиперплоскости, и, наконец, вер-
вернемся на сферу при помощи обратной стереографической про-
проекции я-1
Итак, можно считать, что у ([0, 1]) не содержит точки —у@).
[Теперь воспользуемся стереографической проекцией из точки
*(>№»
Рис. 2.2.
~-у@), для того чтобы вернуться в Rd, которое, конечно же,
односвязно. Это завершает доказательство.
2.3. Поскольку ц (Я) = О, то \ = \ + \ , так что ц (К) =
a cent (К) = fa (К))'1 ( J x^(x)«d|i+ \ v-W^
\хтХ хе=Х
Множество внутренних точек компактного выпуклого множества
о
есть пересечение всех открытых полупространств X, таких,
что X' гэ /С, поэтому достаточно показать, что если К.аХ' и
о о о
К?*0, то cent(/C)e.y. Пусть а&Н и m e/С. Для каждого
ж QE А^ обозначим /(х) такое действительное число, что f(x)am
есть проекция точки х на прямую am параллельно Я. Если
о >
х ® /С, то f (х) > 0, а если л: е К, то / (ж) > 0. Проекция a cent (/С)
на прямую am равна \ %к (х) f (x) d\i > am. Поскольку f всюду
неотрицательна и строго положительна на множестве ненуле-
ненулевой меры, то интеграл строго положителен, откуда и следует,
что cent (/С) принадлежит X.
Решения 159
2.4. Рассмотрим по очереди каждую из трех задач.
а) Инвариантность эквиаффиниой длины и кривизны
Во-первых, заметим, что выражение для длины не зависит
от выбора параметризации; если /: [а, р]-»-[а, Ь\ — монотонная
функция класса С2, то
Р v v
J [det ((с о /)' (т), (сТ))" (т))]1'3 dx =
а
г3
= \ [det (/' @ с' о / (т), /" (т) с' о / (т) + (/' (т)J с" о у (т))Р dx =
а
3
= J [det (с' о / (т), Р о / (т))]1/з у' (Т) dT ='
а
Ъ
[det {с (t), с" @)]/3 Л (мы положили / (т) «= t).
а
Теперь пусть f таково, что detf=l. Тогда
* ь
[det ((с о /)' (/), (с о /))" (t))]w dt = \ [det (Г« с' (t), f о с" @)]1/3 dh
Произвольной паре векторов (х, у) мы сопоставим линейное
->¦ ->
отображение, задаваемое матрицей со столбцами х, у. Тогда
можно написать (f (x), f(y)) — f°(x, у). Отсюда
b
/]'/з [d ? "
[det (f о c)f (t), (f о с)" (О)] dt = J [det/]'/з [det (? @, с"
1
а это влечет свойство инвариантности, если учесть, что det /= 1.
-> ->
Если det (с' (t), с" (/)) =^ 0, то этот определитель сохраняет
S-> ->
[det (с (т), с" (т))]1/3 dx мо-
a
нотонна и всюду имеет ненулевую производную; это доказы-
доказывает, что кривая может быть параметризована ее эквиаффинной
длиной.
160 Глава 2
Для доказательства инвариантности эквиаффинной кривизны
поступим так же, как выше:
/C = det((/7?)", (/7T)"') = det(foc, /<>>') = det/ . det (c^, с'"),
откуда и следует инвариантность относительно отображений /
с определителем 1.
Замечание. Знак эквиаффинной длины дуги зависит от ори-
ориентации кривой, знак же кривизны от нее не зависит.
Ь) Эквиаффииная длина и кривизна конических сечеиий
Любой эллипс в подходящем аффинном репере может быть
параметризован так: x = acost, y = bsint (см. 17.А). В этом
репере
t
таким образом, вся длина равна 2я(аЬI/3. В новой параметри-
параметризации имеем x = acos(a(ab)~l/3) и y = bs'm(a(ab)l/3)', исполь-
используя методы математического анализа, получаем K = (ab)-'2'3
(эквиаффинная кривизна эллипса постоянна).
Для параболы выберем аффинный репер, в котором ее урав-
уравнение записывается в виде у = х2/2р (см. 17.А); длина равна
X
o(x)=\dt/p = х/р. Это приводит к новой параметризации
о
х = ра и у = ро2/2. В итоге кривизна К = 0, поскольку третьи
производные равны нулю (эквиаффинная кривизна параболы
равна нулю).
Уравнение гиперболы в подходящем аффинном репере имеет
вид x = acht, y = bsht. После определения длины a(t) =
t
= \ — (abI/3dx = — (ab)l/3t мы получаем новую параметризацию
о
дг = осЬ(—a(ab)~l/3) и y = bsh(—о(аЬ)-1'3). Это показывает,
что кривизна имеет значение К = —[аЬ)~2/3 (эквиаффинная
„кривизна гиперболы тоже постоянна).
с) Внутреннее уравнение
В а) мы установили, что произвольная кривая класса С3,
удовлетворяющая условию det (с' @, с" (t)) Ф 0 при любом t, мо-
может быть параметризована ее эквиаффинной длиной и удовле-
удовлетворяет уравнению К = К{а), где К — непрерывная функция
эквиаффинной длины. Все эти рассмотрения сохраняются при
преобразованиях из SA(X). Это означает, что если feSA(X)
Решения 161
то образ кривой при действии / на иее удовлетворяет тому же
внутреннему уравнению /С = /С(<т). Теперь мы рассмотрим сле-
следующее обращение этого утверждения: если дана некоторая
функция К класса С0, то существует кривая класса С3, экви-
аффинная кривизна которой как функция эквиаффиннои длины
удовлетворяет уравнению К = К(о); более того, эта кривая
единственна с точностью до преобразований из SA(^).
-» •> •> ->
Пусть (т, и, v) — репер на плоскости, где (и, v) — базис;
теорема Коши — Липшица гарантирует существование и един-
единственность решения задачи Коши
с'" (а) +/С (<т) ?(*)=• О, A)
с'@) = т, с'@) = м, t"(O) = u.
Любое решение с задачи Коши A) удовлетворяет поставлен-
поставленным требованиям:
а есть эквиаффинная длина дуги, поскольку det(c'(Q),
-> -> ->
с" @)) = 1 и производная от функции det (с' (а), с" (а)) равна
нулю (из уравнений A));
К(ст) действительно является эквиаффиннои кривизной для
кривой с, потому что, снова согласно A), мы имеем
det (с* (а), с'" (а)) = - К (a) det (> (а), с' (сг)) = К (а).
Для доказательства единственности (с точностью до преоб-
преобразований из SA (X)) предположим, что k {a) — кривая, удов-
удовлетворяющая внутреннему уравнению; тогда существует неко-
некоторое отображение f e SA (X), такое, что / о k @) = т, f°k' @) =
= м, f ok" @) = v. Это выполняется потому, что а — эквиаффин-
эквиаффинная длина, т. е. det(&'@), /г"@))=1, и SA(Z) транзитивна
на аффинных реперах с определителем 1. Поскольку det (f ° k' (a),
/°/г"(а))=1, дифференцированием получаем det (Jo k' (a),
T°k'"(o)) = 0, откуда следует, что J °Р (о) и f°k"r (а) колли-
неарны; коэффициент пропорциональности может быть найден
из самого внутреннего уравнения, поскольку оно может быть
записано в виде
e. f°k удовлетворяет уравнению
t о P" (а) 4- К (nUo P (n) — 0.
162 Глава 2
Сопоставив это с определением /, мы видим, что функция fck
должна быть решением уравнения A). Теперь единственность,
гарантированная теоремой Коши — Липшица, показывает, что
f°k = c, и этим завершается наше доказательство.
Замечание. Этот результат позволяет нам сформулировать
обращение утверждения Ь). Единственными кривыми с постоян-
постоянной эквиаффинной кривизной являются конические сечения
(эллипсы, если кривизна положительна, параболы, если кри-
кривизна равна нулю, и гиперболы, если кривизна отрицательна).
В частности, отметим, что любая парабола может быть полу-
получена из любой другой некоторым эквиаффинным преобразова-
преобразованием.
Глава 3
р ». +,
3.1. Пусть т — эквибарицентр точек лг1>г, т. е. ? тх\, i = 0.
В этом случае mxit, = (\jp— 1) 2 тхи1 = ~ (l/p— l)mxl{. За-
Заметим далее, что т является также эквибарицентром точек
так что ес-
х2 { ( поскольку ?, тх2 , = — A/р — 1) У. тх, , = О ),
1 Л i-i ' t=i ' J
тественно воспользоваться индукцией: mxki — (l/p — 1) X
X H,rnxk_h / = —(l/p — \)mxk_iU и по предположению индук-
индукции получаем тхк<1 = — (— 1/р— 1)*тх1г. Затем проверим,
что m также является эквибарицентром точек хк t:
^
= — (— 1/р — \)к ? т*!, г = 0. Мы различаем два случая:
если р = 2, то последовательность не сходится (если только
точки различны), так как она поочередно принимает положение
то одной из исходных точек, то другой;
если р>2, то lim тхкъ t = 0, так что для каждого i после-
довательность хк>{ стремится к т.
3.2. Выберем на евклидовой плоскости положительно ориен-
ориентированный ортонормированный базис и рассмотрим вершины
треугольника ABC в заданном ориентацией порядке. Через det
будем обозначать определитель координат пары векторов отно-
относительно фиксированного базиса.
Центр масс G описанного в условии задачи объекта пред-
представляет собой барицентр точек с массами (А', а), (В', Ь) и
(С'( с), где А' — середина стороны ВС и а — ее длина и т. д.
В частности, A?G = {bA'B' -f cA'C')/(a + Ь + с), так что
det (Л^О, АУЁ)= ,с. , det(^Cr, АЪ').
Далее, | det(аЪ, A?&)\ = d{Aft B')d(O, A'B') = cd(O, А'В'), от-
откуда —>- —>-
, б.НА'С'А'В'Ц
*¦ ' ' а + b + с
где | det (А'С, А'В') | — площадь треугольника А'В'С. Расстоя-
Расстояния от О до сторон треугольника А'В'С равны; это означает,
что Q — центр окружности, вписанной в А'В'С.
Для построения точки G нужно нарисовать стороны тре-
треугольника А'В'С и провести две его внутренние биссектрисы.
164
Глава 3
Рассмотрим теперь однородную пластину в форме четырех-
четырехугольника с вершинами А, В, С, D. Ее центр масс G совпадает
с барицентром центров масс Gu G2 треугольников ABC и ADC,
взятых с их массами; в част-
частности, G, Gi и G2 коллинеар-
ны. Аналогичным образом,
коллинеарны точка G и цент-
центры масс G3, Ga треугольни-
треугольников ABD и DBC.
Далее центр масс треуголь-
треугольной пластины с вершинами и,
v, w совпадает с барицентром
Рис. 3.2.2.
его вершин
Для доказательства этого
факта выберем на плоскости
репер (О, /, /) и вычислим
у *v \ " т -1 II — _
центр масс однородной треугольной пластины с вершинами U,
1 = 0 + *', / — О + /. Его координатами являются
1 1-
\
о
1-х
±.
Итак, для данного треугольника наше утверждение верно. Но
треугольник uvw можно рассматривать как образ треугольника
Рис. 3.2.3.
OU при некотором аффинном отображении, а аффинные отобра-
отображения сохраняют центры масс пластин и эквибарицентры трех
Решения 163
¦точек, так что центр масс пластины uvw действительно совпа-
совпадает с (u + v + w)/3.
Для построения точки G достаточно провести диагонали че-
четырехугольника АС и BD, затем найти их середины, а также
середины сторон четырехугольника, и наконец, провести восемь
медиан для определения четырех барицентров Gi, G2, G3, G4.
Тогда G совпадает с пересечением прямых G1G2 и G3G4.
Заметим, что в описанном построении используются только
аффинные понятия средней точки и прямой, проходящей через
две точки; в отличие от случая треугольника из стержней метри-
метрические понятия здесь не используются. Это объясняется тем, что
аффинные отображения сохраняют центр масс пластины, но не
сохраняют центр масс системы стержней.
3.3. Пусть С —симплекс из барицентрического подразделе-
подразделения (для Е). Он содержит три типа точек: 1) точки Xi симплекса
2; 2) точки, полученные при подразделении (п—1)-мерных
симплексов из 2; 3) барицентр точек из 2. Рассмотрим расстоя-
расстояние между двумя точками из С с учетом предложенной класси*
фикации:
две старые точки. Это невозможно, так как каждый под-
симплекс содержит только одну старую точку. Действительно,
если бы их было две, они составляли бы простой одномерный
симплекс из 2, а все такие симплексы должны быть подраз-
подразделены.
одна точка типа 2) и одна типа 1) или 2). Обе они должны
входить в один (я— 1)-мерный симплекс, который получается
при подразделении (я—1)-мерного симплекса из 2. Так как
диаметр любого (я—1)-мерного симплекса из 2 не превышает
d, то по предположению индукции диаметр подразделения
<;(/!—\)d/n. Для завершения шага индукции заметим, что
.(л —1)/л<я/(я+1).
точка типа 1) и точка типа 3). Нужно определить расстоя-
расстояние от xi до (*о+ •¦• -\-Хп)/{п-\- 1). Это расстояние равно
-| л
^ « + I
но WxiXjW ^ d, так как Xi, */е2, откуда следует, что расстоя-
расстояние ^ nd/(n-\-1).
166 Глава 3
точка типа 2) и точка типа 3). Точка у типа 2) есть бари*
центр точек типа 1) с массами ^ 0, т. е.
где ?а.< = 1,
так что ||0г/|| = ||02>л11, где О = (х0+ ... + *„)/(« + 1) —
эквибарицентр точек из 2. Поэтому || Ог/|| = || 2^*0**1 ^
^ Л A, i\\ 0%i ||. Но по предыдущему i(gI! влечет ||Охг||^с?'
для d' = nd/(n'-\- 1), так что \\Oy\\^z_lh{d' = d'.
Итак, рассмотрены все возможные варианты. Шаг индукции
доказан, так что диаметр действительно ^ nd/(n-\- 1).
Для доказательства того, что диаметр симплексов, получае-
получаемых последовательными подразделениями, стремится к нулю,
необходимо лишь разобраться в том, что означает это утверж-
утверждение. Обозначим через Ср симплекс, полученный р барицентри-
барицентрическими подразделениями (их очень много!). Диаметр Ср огра-
ограничен сверху числом (п/(п + l))"d, которое стремится к нулю
при p-voo. Это означает, что достаточным числом подразделе-
подразделений мы можем сделать симплекс сколь угодно малым.
3.4. Понятно, что полиномиальную функцию на X следует
определить как полиномиальную функцию на Ха — векториза-
векторизации X в точке а. Единственная трудность в том, чтобы показать,
что такое определение не зависит от выбора а. Обозначим через
&k(E\ W) пространство полиномов на Е степени ^ k со значе-
значениями в W, и пусть ]'^0ik(Xa\ W). По определению существует
такое отображение <р: X*-*W, что / = <роДй, где Л* — диаго-
диагональное отображение.
Далее, для любой точки 6еА существует естественная би-
екция Ха-*-Хь, переводящая и в и + Ьа и сохраняющая исход-
исходную структуру пространства X. Поэтому мы можем сопоставить
отображению f отображение g: Xb-*-W, задаваемое правилом
#(м) = ((и + ab); для этого отображения
—>¦ —> —»¦ —>¦
g (и) = / (м + ab) = ф (и + ab, u + ab, .... и + ab) =
==ф(", и u) + k<p(ab, и м)+ ...
, ab, ..., ab, и и) + ... -f <р(аЬ, ab, .... ab).
р раа
—у —> —>
Но функция (ab, ab, ..., ab, •, •, .... •) Л-линейна, по-
—>¦ —> _>. ft раз
этому (ab, ab, ... , ab, и, ... , и) — однородный полином сте-
степени h и сумма является полиномом степени ^ k. Таким обра-
Решения 167
зом, g^&kiXb] W), и мы будем отождествлять f с g. Опреде-
Определим полином на X как описанный выше класс эквивалентности
полиномов на Ха, йе!
Замечание. Вычисления показывают, что проведенное рас-
рассуждение в случае однородных полиномов неприменимо, по-
поскольку однородный полином на Ха не преобразуется в однород-
однородный полином на Хь, так что определить однородные полиномы
на аффинном пространстве невозможно.
3.5. Поскольку ф симметрична, выражение вида f{vtx-\- ...
¦...-+- vt.) можно разложить с использованием полиномиальной
формулы; при этом мы получим
1,1 °«, ••• viy
-J_y у у с
~ ш L L L i.
/-1 l<li<...<tl*Zk Zl+... + Zy=ft '
где использовано сокращенное обозначение uj1 ... pj/ =
Ui, ... , Uy, и/), каждый вектор f г входит в правую часть [{
раз.
Чтобы доказать, что (*) равно ф(«1 vk), нужно уста-
установить, сколько раз входит в сумму (*) каждый одночлен
о™1 ... v1k («! -f ... -f /nft = k) и с каким коэффициентом.
Из равенства а|1 ... v[l = v™x ... а™* следует, что
i) число N ненулевых членов последовательности /щ,.-..,/л*
равно числу ненулевых членов последовательности U, .... /у,
откуда
И) />ЛГ;
iii) ненулевые члены последовательности U // опреде-
определены однозначно и представляют собой ненулевые тг,
iv) задание последовательности i\ < ... < t, определяет по-
последовательность /i, ..., //;
v) последовательность й, ..., t/ определяется заданием ин-
индексов Л, таких, что mih = 0.
Из сказанного выше следует, что при фиксированных
*, / существует не более одного одночлена вида v™1.. .v™k
в сумме Yi '• ПРИ фиксированном / существует столько
последовательностей tu .... /у, определяющих одночлен v™1 ...
• • • °*Ч сколько существует способов выбрать / — N членов
168 Глава 3
среди k — N нулевых членов последовательности ть а таких
способов ровно C'f-N = (k — N)l/((j — N)l (k — /)!). Таким обра-
образом, в двойной сумме ? ? коэффициент при
v\l...Vkk равен (—l)k~lCktNNk\/(tn]l...tnk\) и коэффициент
™1 ... v™
при v™1 ... v™k в сумме (*) равен
к , k-N
О, если
4*-yv ^
если Л/ = i
но в последнем случае условие mi + ... + m* == /г влечет
mi = ... =tfi* = l. Поэтому существует единственный ненуле-
ненулевой член, равный vx...vk в сокращенной записи или ф(иь.,.,и*)
в исходных обозначениях.
3.6. Продифференцируем по X соотношение f(Kx) = ^"f(x).
По правилу дифференцирования сложной функции имеем
f'(Kx) (x) = kkk-lf(x). Полагая Я,= 1, получаем тождество Эй-
Эйлера.
Еще раз дифференцируя по Я,, получаем
и т. д. до р-й производной включительно (если оиа существует):
Г (Ялт) (х х)р pas = k (k - 1) ... {k - p + 1) Xh-'f {x).
Полагая Я,= 1, получаем
f\x){x
для любого х е X.
Далее, продифференцируем соотношение f(kx) = kkf(x) по х.
Для любого вектора Л имеем f (Я,лг) (ЯЛ) = №f (x)h, или
f'(kx)h = №-lf'(x)h, т. е. производная в направлении Л одно-
однородна степени k — 1. Дифференцируя р раз (если это возможно),
получим, что для любых Ль ..,, ftpeX н l,eR справедливо
соотношение p>(M(/*i> •••. К) = M*-*>f»»(x) (hi, .... hp).
Заметим, что если f принадлежит классу С0 и однородна сте-
степени 0, то f(x) = f(Q) для всех хтХ, так что f — константа. Это
утверждение составит первый шаг индуктивного рассуждения.
Решении . 169
Допустим, мы доказали, что все функции класса С*-1, однород-
однородные степени k— 1, являются однородными полиномами степени
А—1. Пусть /-. Х-*- R — функция класса С*, однородная сте-
степени k. Тогда для любого h^X функция x\-^-f'(x)h принад-
принадлежит классу С* и однородна степени k— 1. Можно написать
}'(x)h = фЛ(х, ..., лг)/к_1ра3, где фл — симметричная (k—1)-ли-
(k—1)-линейная форма на X, однозначно определенная значением ft.
В силу единственности отображение h о щ линейно. Отсюда сле-
следует, что отображение ф: Х^Х*-1 -*- R, задаваемое правилом
Ф(А, х\, ..., дг/к-1) = ф/|(*ь .... -*:*-i), /г-линейно. Далее, запи-
запишем f(x) следующим образом:
i 1
Ytzl = J ж </ «^ dt==\f ('*>х dl =
о о
1
(х, ... , tx)dt=\tk-\{x x)dl = j(v(x, ... , х).
о
Обозначим через Sq> симметризацию ф (она определяется пра-
правилом S<f)(xb ..., Xk)=(l/k\) 2 ф(*аA), ..., Xa.ft))); ТОГДа
для любого jgA имеем /(х) = A/ЛMф(л:1, .... л:*). Поскольку
Sq> есть симметричная fe-линейная форма на X, мы получаем,
что f — однородный полином степени k.
Глава 4
4.1. Вспомните (обратившись, если понадобится, к [В, 4.6.16]),
что P2(Z2) может быть представлено в виде треугольника
(рис. 4.1.1). Точки изображены тремя вершинами, тремя сере-
серединами сторон и барицентром треугольника. Прямые представ-
представлены линиями, соединяющими три точки, принадлежащие этим
прямым; это три стороны, три медианы и окружность, вписан-
вписанная в равносторонний треугольник.
Чтобы представить P3(Z2), поступим сходным образом: роль
точек предпишем вершинам тетраэдра, роль прямых — линиям,
соединяющим три точки, принадлежащие этим прямым, роль
Рис. 4.1.1.
плоскостей отведем поверхностям, содержащим не только семь
точек, но также и семь линий, которые изображают семь пря-
прямых на плоскости. Нам представляется затруднительным объ-
объединить все эти элементы в одну фигуру, поэтому мы сначала
перенумеруем элементы такой конфигурации, а затем перейдем
к описанию самой фигуры.
Пятнадцатью точками будут: четыре вершины, шесть сере-
середин ребер, четыре барицентра граней и барицентр тетраэдра.
В качестве прямых возьмем следующие линии: ребра тетраэдра
(шесть), медианы граней (четыре раза по три) и вписанные в
грани окружности (четыре), четыре отрезка, соединяющих вер-
вершину с барицентром противоположной грани, и три отрезка,
соединяющих середины двух противоположных ребер (эти семь
прямых проходят через барицентр тетраэдра), и, наконец, шесть
эллипсов, проходящих через барицентры двух граней и середину
противоположного ребра. Все это дает представление тридцати
пяти прямых в P3(Z2). Пятнадцать плоскостей подразделяются
на четыре типа: грани (четыре), биссекториальные плоскости
каждой пары граней (шесть), конусы с вершиной в вершинах
тетраэдра и направляющей — окружностью, вписанной в про-
Решения
171
Рис. 4.1.2.
Рис. 4.1.3.
тиволежащую грань (четыре), и, наконец, поверхность, образо-
образованную совокупностью четырех конусов, вершиной каждого из
которых служит центр тетраэдра, а направляющими — снова
окружности, вписанные в грани.
Чтобы показать, как взаимосвязаны друг с другом эти эле-
элементы, мы сначала изобразим для каждого типа плоскости со-
172
Глава 4
Рис. 4.1.4.
держащиеся в ней прямые (рис. 4.1.2). Затем мы рассматриваем
этот рисунок с «дуальной» точки зрения; на рис. 4.1.3 показан
для каждого типа точки пучок проходящих через нее прямых.
Наконец, мы изображаем несколько «самодуальных» картинок,
показывающих для каждого типа прямых связку плоскостей,
содержащих эти прямые (рис. 4.1.4).
4.2. Как показывают несложные выкладки, якобиан функ-
функций перехода
n^njh (о, »
"hV.
Решения 173
задается формулой
=det
_, О О
О
. l/t,,., _
Этот определитель легко вычислить, поскольку имеется только
одна возможность выбрать ненулевые элементы нз каждой стро-
строки и каждого столбца; в результате
vi-i
Х
1-iJ \vi-iJ
Попытаемся ориентировать ^"(R). Заметим, что точка
рA, 1, .... 1) принадлежит всем картам P(Rn+l)\P(Ht). Что-
Чтобы ориентировать P"(R), достаточно выбрать ориентацию в
каждой точке и потребовать, чтобы при переходе от одной карты
к другой эта ориентация изменялась в соответствии со знаком
якобиана. Выберем некоторую ориентацию в точке / = A,..., 1),
например положительную (+1) в карте Яо. Тогда в карте ж
ориентация в точке / будет (—1)'. Если Pn(R) ориентируемо, то
в карте т ориентация в произвольной точке будет (—1)', по-
поскольку она должна быть согласована с ориентацией в R", а
174 Глава 4
т есть гомеоморфизм проективного пространства Pn(R)\P(tf,)
на R". Поэтому P"(R) ориентируемо тогда и только тогда, когда
в одной и той же точке только что описанные ориентации не
противоречат друг другу. Возьмем произвольную точку с одно-
однородными координатами (v0, v\, ..., vn). Согласно карте щ в ней
будет ориентация (—1)', а согласно карте я/ — ориентация
((—1)/. Для перехода от одной карты к другой воспользуемся
отображением с якобианом (—l);'~'(l/°/-i)n+1- Выбранная ори-
ориентация будет согласованной тогда и только тогда, когда
(l/t»/_i)B+1 > 0 для любой точки, а это выполняется в том и
только в том случае, когда п + 1 четно, т. е. п нечетно.
4.3. GP(P"(R)) = GP(Rn+1) = GL(Rn+1)/R*Id. Но группа
GL(R"+') имеет две связные компоненты: одна содержит ото-
отображения с определителем 1, другая с определителем —1. Фак-
Факторизация по R*Id с определителем (—1)п+1 сохраняет обе ком-
компоненты, если п нечетно, и склеивает их, если п четно.
Чтобы ориентировать проективное пространство, мы можем
действовать следующим образом: выбрать какой-либо проектив-
проективный репер и приписать ему ориентацию ее. Любой другой репер
может быть получен из первоначально выбранного преобразо-
преобразованием из группы GP(P"(R)), и ему будет приписана ориен-
ориентация а, если определяемая им томография принадлежит компо-
компоненте единицы в GP(P"(R)). Этот способ приписывания репс-
рам ориентации обладает свойством непрерывности, так как два
близких друг другу репера соответствуют близким элементам
группы GP(P"(R)) относительно топологии этой группы.
Если GP(R"+1) имеет две компоненты, то имеется два класса
ориентации, и P"(R) ориентируемо. Если п четно, то GP(R"+1)
связна и имеет только один класс ориентации (т. е. все реперы
имеют одинаковую ориентацию); это означает, что P"(R) не-
ориентируемо.
4.4. Мы действуем в векторном пространстве Е. Пусть Ki
для каждого i обозначает гиперплоскость векторного простран-
пространства Е, соответствующую Я,. Каждая гиперплоскость Ki— это
ортогональное пространство некоторой ненулевой линейной фор-
формы ki относительно естественного спаривания, и пересечение ги-
гиперплоскостей Ki есть ортогональное дополнение подпростран-
подпространства из Е*, порожденного этими линейными формами. Отсюда
dim(П Kt) = п + 1 - dim (<U k()E,y
Переходя к соответствующим проективным пространствам, мы
можем написать
dim(n Я/) + 1 = л + 1 - dim((U
- 1,
Решения 175
или еще
4.5. Поскольку выбор базиса в Е устанавливает изоморфизм
между Kn+l и Е, то определение числа р-мерных подпространств
проективного пространства Р(Е) эквивалентно определению
числа (р+ 1)-мерных векторных подпространств в пространстве
Е или в пространстве Kn+l. Мы начнем с определения количества
(упорядоченных) (р+ 1)-наборов линейно независимых векто-
векторов в Kn+i. Единственное условие, налагаемое на первый век-
вектор,— отличие от нуля, так что имеется kn+x — 1 возможностей
выбора первого элемента; второй вектор не должен принадле-
принадлежать прямой, порожденной первым вектором, отсюда получаем
kn+l — к возможностей; (<7+1)-й вектор не должен принадле-
принадлежать векторному пространству, порожденному первыми q век-
векторами,— это пространство изоморфно К4, откуда получаем
kn+} — № возможностей. Искомое число тогда равно
Каждое пространство обладает базисом, так что число (р+ 1)-
мерных подпространств пространства Kn+l равно общему числу
всех упорядоченных (р+ 1)-наборов линейно независимых век-
векторов в /("+', деленному на число (р+ 1)-наборов, порождаю-
порождающих одно и то же подпространство; последнее равно числу (упо-
(упорядоченных) базисов пространства размерности (р+1), т. е.
числу (упорядоченных) (р+ 1)-наборов линейно независимых
векторов в Kp+l. Но мы только что нашли это число для про-
пространства Kn+i, поэтому та же формула верна и для простран-
пространства Кр+} после замены п на р. Итак, число р-мерных подпро-
подпространств проективного пространства Р(Е) равно
-k)...(*"+1 -k") '
Для подсчета числа элементов в группе GL(?) или, что то же
самое, числа базисов в ? мы воспользуемся изоморфизмом
GP(?)^GL(Е)/К*Ые, но оно также задается формулой для
количества (р-\- 1)-иаборов после замены р на п. Теперь, разде-
разделив это число на кардинальное число пространства К*, получим
следующую формулу:
{kn+i - 1)(kn+l -k) ... (*n+1 -kn~l)
176 Глава 4
4.6. Рассмотрим четырехмерное векторное пространство Е
над .полем К и тетраэдр, т. е. четыре некомпланарные точки
Oi, a-2, аз, 04 в проективном пространстве Р(Е). Для проведе-
проведения вычислений достроим этот тетраэдр до проективного репера,
выделив точку а0, не принадлежащую ни одной из граней тетра-
тетраэдра. Мы покажем, что если некоторый тетраэдр Ьи &2, Ь3, Ь%
является «тетраэдром Мёбиуса» по отношению к тетраэдру {а,},
то одна из томографии, переводящих at в bit может быть выра-
выражена кососимметричной матрицей в репере а0, ..., а\.
1) Необходимое условие
Имеется бесконечно много томографии, переводящих каж-
каждую точку а, в bi\ мы выберем такую, которая переводит проек-
проективный репер а0, ..., at в репер ао, Ь\, .... Ъц. (В ходе вычисле-
вычислений мы предполагаем, что ао не лежит ни на одной грани тетра-
тетраэдра {&,} и что никакая точка 6, не лежит на ребре тетраэдра
{а,}.) Все матрицы, описывающие такие томографии, пропорцио-
пропорциональны друг другу; мы выбираем одну из них и обозначаем ее
X. Теперь мы можем выразить условия быть «тетраэдром Мё-
Мёбиуса»: точка bi лежит на поверхности грани ajaka.i тогда и
только тогда, когда хц = О, и, следовательно, тетраэдр {bi} бу-
будет «тетраэдром Мёбиуса» по отношению к {а,} тогда и только
тогда, когда у матриц X и Х~1 на диагонали стоят одни нули.
Дополнительное требование, состоящее в том, что 6,- не лежит
на ребре тетраэдра {а;}, означает, что внедиагональные элемен-
элементы матрицы X ненулевые; /-й диагональный элемент матрицы
Х~1 пропорционален минору
О Хц xik
хц 0 х1к
xki Xk/ О
который равен х^х^х^ + xnxikxki> из «условия Мёбиуса» сле-
следует, ЧТО Хц = О ИЛИ
xHxfkxkl .
XHXklXih
Для удобства положим yit = —Хц/Хц, так что
Двенадцать чисел yit, 1ф /, удовлетворяют вышенаписанным
соотношениям (*) тогда и только тогда, когда существуют че-
четыре отличных от нуля числа zt, для которых ytf=Zj/zr, действи-
действительно, как легко видеть, для заданных zi числа Zj/zi удовле-
удовлетворяют (*). и наоборот, для чисе tin. v овлетворяюших (*).
Решения 177
мы можем положить 2i = l, Zi=yu для 1<ф\, и тогда можно
убедиться в том, что уп =Уп1 = zx/zt и (для 1ф\ф\) J/i/ =
= УпУи = zt/zt (семейство чисел Zi определяется числами уц
с точностью до общего множителя). Пусть Z — диагональная
матрица с элементами г\, .... z*; мы полагаем X' = XZ, и такая
матрица определяет томографию проективного пространства
Р(Е), переводящую каждую точку щ в bi. К тому же эта матри-
матрица кососимметрична, поскольку х'ц = ztxif, xrit = 2ixii, откуда
следует, что
Х\\Х'ЙХ = (zilzi) Ыхп)= ~ УцУп = -1'
2) Достаточное условие
Обратно, предположим, что нам задана обратимая кососим*
метричная матрица X'. В проективном репере ао а4 она
определяет томографию f, которая переводит а\, ..., а4 в неко-
некоторый тетраэдр Ь\ Ь4, причем bi e <a/, a*, ai). Томография
f~l обладает такими же свойствами, поскольку её диагональные
элементы равны нулю; это показывает, что {а,} и {Ы} — тетра-
тетраэдры Мёбиуса. Таким образом, тетраэдры Мёбиуса, связанные с
некоторым заданным тетраэдром, зависят от пяти параметров,
принадлежащих полю К: от шести, определяющих кососимме-
тричную матрицу, нужно вычесть один, поскольку две пропор-
пропорциональные матрицы порождают одну и ту же томографию.
Ниже приведена матрица, дающая решение для случая, когда
!/(—произвольное тело (некоммутативное):
0 1-11
3) Другое решение
Фиксируем в проективном пространстве Р(Е) некоторый
тетраэдр я,, ..., а4 и в качестве бесконечно удаленной пло-
плоскости выберем грань 0%, а$, а4 (см. 5.D). Искомый тетраэдр
Ьи ..., Ь4 имеет одну вершину Ь^ в бесконечно удаленной
точке. Эта вершина может быть задана вектором br (с точ-
точностью до постоянного множителя); то же относится и к бес-
конечно удаленным точкам а2, а3, а4. Поскольку Oj лежит на
плоскости Ь>, b3, bit то с точностью до постоянного множителя
-> -> —»• •> -*¦
^2= &i + ub3b4, и^К. Сходным образом, условия на aj и а4
178 Глава 4
-> -»¦ -—*¦ -> ¦> —*¦
позволяют нам записать а^^ + гЦ и a^ = bx-\- wb2b3. Усло-
Условие того, что Й1 принадлежит грани Ъъ Ьъ, 64> выражается
в виде а, = xb2 + Фг + z^i> гДе х, у, г^К*их-\-у~)-г~1.
Все что теперь осталось сделать, это записать условия на Ь2,
bj и bt. Первая точка лежит на бесконечно удаленной пло-
-> ¦> —»•
скости, определяемой а,, а3, а^, так что а{Ь2 есть линейная
-> -*
комбинация а3 и а,, а именно
axb2 = SO3 + /a4 = (s +t)bi + svb2bA + (wb2b3;
но bl не параллелен плоскости b2, Ьз, bit так что s + ( = 0 и
а,62 = s (у&2^4 — wb2b3).
Далее,
а, 62 = (дс — 1) Ь2 + уЬ3 + zfc4 = yb2b3 + zb2bit
откуда получаем соотношение wz = vy. Аналогично, условия
на Ьз и bi приводят к соотношениям ш/ = ил; и ux — wz. Обрат-
Обратно, для заданных шести чисел х, у, г, и, v, w, удовлетворяющих
соотношениям ux = vy = wz, и заданного тетраэдра Ь\, .... bit
такого, что bi представляет бесконечно удаленную точку, выше-
вышеприведенные формулы определяют четыре точки аи ..., а4, ко-
которые образуют тетраэдр Мёбиуса по отношению к тетраэдру
{b)
Глава 5
5.1. Поскольку доказательство было получено методом от-
отправки в бесконечность точек а, р, мы изобразим здесь чертеж,
Рис, 5.1.1.
Рис. 5.1.2;
который получается, когда мы отправляем в бесконечность
точку с, а затем — чертеж для случая, когда в бесконечность
отправлены обе точки сне*.
5.2. Для заданных двух прямых D и D' и точки а проведем
две прямые, выходящие из а и пересекающие D и D' в точках
-^с
г/
г
—
ч
Рис. 5.2.
180 Глава 5
b и с соответственно. Затем на прямой D выберем точку Ь', от-
отличную от Ь, и проведем из Ь' две прямые Т и Т параллельно
прямым <а, by и 0, с>; отметим точку </ == D' (] Т. Проведем
через точку с' прямую Т", параллельную <а, с>. Точка пересече-
пересечения а' прямых 7" и Т" позволяет нам провести прямую <а, а'>,
проходящую через точку пересечения прямых D и D'.
Вторая задача служит приложением первой: для заданных
двух точек ей!) мы мало-помалу проводим две прямые, прохо-
проходящие через точку Ь и недалеко от точки а, скажем на расстоя-
расстоянии меньше четверти линейки. Тогда рассмотренное выше по-
построение позволяет нам отметить третью точку на прямой <а, Ь},
которая расположена близко к а. Теперь остается только начер-
начертить искомый отрезок.
5.3. Мы разобьем это упражнение на три части:
а) Существование точек bi
Нам нужно доказать некоторое топологическое свойство, сле-
следовательно, мы должны каким-то образом ввести в R2 тополо-
топологию. Так как все нормы в R2 эквивалентны, мы введем евкли-
евклидову, это позволит нам рассматривать углы.
При построении точек bi имеются только Две трудности: пер-
первая— когда одна из точек &,- лежит вне множества А, и мы не
можем определить dj(bi); вторая — когда две прямые, опреде-
определяющие bi, параллельны, в этом случае точек bi не существует,
поскольку мы находимся в аффинной плоскости. Нам нужно по-
Рнс. 5.3.1.
казать, что если точка b расположена достаточно близко к а, то
указанные два случая не могут иметь места.
Рассмотрим три прямые, определяемые точкой а. Они обра-
образуют три угла (т. е. неориентированные углы между неориенти-
неориентированными прямыми); обозначим через а наименьший из этих
т ех углов. Тепе ь выбе ем е так, чтобы из Ь^В(а, е) еле о*-
Решения
181
вало, что бе А и di(a)dt(b) > а/2 при всех i (такая возмож-
возможность обеспечивается непрерывностью di). Если ^еВ(а, е),
то, поскольку 6 > а/2, выполняется oft*+i = o/i/sin G <Г
< o6*/sin(a/2). Таким образом, если мы возьмем точку b вну-
внутри шара В (о, е sin6 (a/2)), то, конечно, сможем определить
точки bi по индукции, потому что по приведенной выше формуле
каждая из этих точек будет лежать внутри шара В (а, е), а это
и обеспечивает их принадлежность множеству А и тот факт, что
две прямые, определяющие bi+u не параллельны, поскольку они
образуют угол не меньше а/2.
Ь) Дополнение множества из трех прямых
По заданным точкам а и b построим точки bi, b2, 63, &4 и bs.
Рассмотрим прямую <&i, Ьг>> содержащую точку ри и прямую
<Ь3, bi), содержащую точку р3, и заметим, что b = <pi, Ьз> П
П<Рз, & < &< & <& >П<&; &>
Рис. 5.3.2.
По теореме Паппа (см. 5.D или [В, 5.4.2]) эти три точки
коллинеарны, а отсюда следует, что прямая <рг, &5> пересекает
прямую <рь а> в точке &6 = &.
с) Ткань, определяемая коникой и точкой
Для данных двух точек а и b мы построим точки Ъ\, b2, b3, bt
и 65. Рассмотрим шестиугольник &&1&2&&^4&з(&) J[b таком поряд-
182
Глава 5
Рис. 5.3.3.
ке!) и отметим, что он описан около коники С. По теореме
Брианшона A6.С) три диагонали такого шестиугольника пере-
пересекаются в одной точке; поскольку (Ь\, Ь{) и <63, &г> пересе-
пересекаются в точке р, то третья диагональ <65, рУ должна также
пройти через точку р. Это и показывает, что прямая <&4, />> пе-
пересекает прямую <а, 6> в точке Ь, т. е. Ь = Ь6.
Замечание. Две рассмотренные выше конфигурации явля-
являются вырожденными случаями следующей ситуации: дана пло-
плоская алгебраическая кривая С третьего класса (т. е. такая, что
через каждую точку на плоскости можно провести не более трех
касательных к кривой С; такие кривые двойственны кубическим
кривым, т. е. алгебраическим кривым 3-го порядка). Тогда соот-
соответствующая ткань гексагональна (в действительности верно и
обратное: каждая гексагональная ткань может быть получена
таким путем). Пример такой ткани приведен на рисунке.
Глава 6
6.1. Идея состоит в том, чтобы отправить точку v в бесконеч-
бесконечность и применить формулу A) из 6.А. Действительно, для бес-
бесконечно удаленной точки рассматриваемой прямой, т. е. v = ooD,
мы получаем тогда
[X, у, U, оод] = ^г, [у, г, U, оОд] = -Ё5-,
уи _^ ги
[г, X, U, оод]=^5",
хи
отсюда и следует нужный результат:
хи уи zu j
уи ги хи
6.2. Напомним, что двойное отношение для yi может быть
записано в виде
и__ (Уз — »|)(У4 — Vi)
(Уз — Уг) (У* — У\)
при следующем соглашении: k = оо, если знаменатель равен
нулю, а числитель не равен нулю, и k = —1, если оба они равны
нулю (мы предполагаем, что не все рассматриваемые четыре
точки yi совпадают).
Сначала позаботимся о частных случаях: если для некото-
некоторого t0 имеем г/з('о) = гл>(М, т0 по теореме Коши — Липшица
для всех / из интервала определения функций мы имеем г/з(О —
= г/г(О- Это показывает, что двойное отношение [yi(t)] не за-
зависит от ; в тех случаях, когда [уз — г/г) (у* — У\) обращается
в нуль.
Теперь предположим, что знаменатель не обращается в нуль;
тогда мы можем продифференцировать k по аргументу t и по-
получить
*'=[К+ьУг+с - пу\ - ЬУ1 -с) (у* - у2) +
+ (#з - У\) (аУ\ + byt + c- ay* - by2 - с)]/[(у3 - у2) {yi - у^] -
- {Уз ~ Уг) (У* - У») [(аУз + ЬУг ~ аУ\ ~ ЬУ2) {Уа ~ Ух) +
+ {Уг ~ У,) {< + Ьук ~ ау\ - Ьух)]1\{уг - y2f (у, - у,J],
к' = [(ау3 + ауу + Ь) (у3 — уЦ (у4 — у2) + (аг/4 + ау2 + Ь) (у3 - ух) X
X (У* — уЖ(Уз — й) (г/4 — Уд] - (Уз — Уд (У* ~ Уъ) X
+ аУ2 + Ь) (г/3 — Уд (У* — Уд + (ау* + аУ\ + ь) (Уг — У*> X
(ay3-\-ayi + b-}-аг/4 + ау2 + Ъ — ау3 — ауг — Ь — ау^ — аух —
184
Глава -6
Из последнего равенства следует, что двойное отношение k(t) =
— [yi{t)\ не зависит от U
Рис. 6.3.
Фигура расположена в плоскости Ht
6.3. Обозначим через (^),_, <t 4 вершины тетраэдра Т,
через (Ht)iiml 4 —его грани, а через (а,),_,4—точки пе-
пересечения прямой D с гранями тетраэдра. Пусть Н — произволь-
произвольная плоскость, содержащая прямую D, но не содержащая точку
s4; перспектива из Н на #4 с центром в точке s4 переводит пря-
прямую D в прямую D4 = #4["|<Д $4>, в то время как точки аи аг
и а3 переводятся в точки Ьи Ьг, Ьз, расположение которых обо-
обозначено на рисунке. Далее, запишем D< = Hif\(D, s<> для
i = l, 2, 3 (как это уже было сделано для t' = 4) и изобразим
эти точки, заметив, что D< — <й4, s<>. Теперь в Я4 рассмотрим
перспективу с центром в точке Si из D4 на <s2, 5з>. Это приводит
к следующим соотношениям:
[Dt, D3, D2, D,] =
= [Du D2, D3, Dt].
откуда [ai] = [(D, s<>]:.
6.4. Поскольку (aj)^,,., 4 образуют проективный репер, мы
можем записать в соответствующей системе однородных коорди-
координат ai=ll, 0, 0), а2=10, 1, 0), а3=.@, 0, 1), a4=il, 1, 1) и
= [bi, s3, s2,
Решения
185
Рис 6.4.
о5="(а, р, у). Затем вычислим двойные отношения, помня, что
сфу ^= 0, так как аь не принадлежит ни одной из прямых <а(> а2),
<а2, аз>, <аз, ai>. Имеем
2, dI3, dI4, dl5]>
, d2I, ^24, djs]'
[d
3u
= [(i, 0), @, i), (l, i), Ф, y)] =
[@, 1), A, 0), A, 1), (a, Y)] =
= [A, 0), @, 1), A, 1), («, P)] =
Беря произведение этих трех двойных отношений, убеждаемся,
что оно равно 1.
Это показывает, что если мы хотим определить точку as от-
относительно проективного репера (at)ta.u 4» т0 заДание тРех
двойных отношений избыточно, и это соответствует здравому
смыслу, так как в двумерном пространстве вполне достаточно
двух «координат». Следующее рассмотрение имеет целью прояс-
прояснить ситуацию, для чего мы отказываемся от условия
Если существует томография, переводящая точки (а*){_, #>ф 5
в точки (а'Л , то ясно, что любая проективная величина,
вычисленная для (а,), сохранит свое значение и для (aQ. Нас
интересует обратная ситуация: предполагая, что [dijt dik,
««.«»]-К/. <*» <«. Я и что
[dJt, dJk, djv dy5] = K,, d)k, d\v rf;5],
186 Глава б
мы попытаемся доказать, что существует томография, переводя-
переводящая точки (а,) в точки (а^).
Поскольку оба набора точек являются проективными репе-
реперами, то существует единственная томография /, переводящая
точки (аЛ в точки (а',). ; значит, нужно, показать,
что из нашего предположения следует, что ^ = /@5). Обозна-
Обозначим через d" прямые (a'lt f (а5)) и через d" — прямые (a'jt f (a5))
Тогда, поскольку f — томография, можно записать
[dU> dik< du> <*в] = К/« d'w d'w d"\
[dH> djk. dw dl5] = ldw d'ik> d'tv dl)-
Но отсюда следует, что d" = (d.t cQ и d" = (a'r a'5). Так как
ap а,) и аь не коллинеарны, то d" Ф dj (снова потому, что
/—изоморфизм); это означает, что рассматриваемые две пря-
прямые пересекаются в единственной точке ag = /(a5).
Обобщения. Пусть (а*)(=, .,§>р+3 — точки /9-мерного проектив-
проективного пространства, причем первые р + 2 точек образуют про-
проективный репер. Для {i, /}с{1, ..., /7+1} обозначим через /(/
множество {1 р + 1}, не содержащее элементов i и j. Че-
Четыре гиперплоскости Н( =((aft)fte/(/, at), H, = ({ak)k e /(/, at),
^/==<(aft)fte/(/, aP+2> и ?(/ = {(Яй)йе/(/, ар+3> принадлежат од-
одному пучку, н их двойное отношение обозначим Ь{1 = [Н/, Н(,
Налагая на ар+3 такие же условия, как и на as в случае пло-
плоскости (предоставляем читателю сформулировать их явно), мы
покажем, что двойные отношения Ьц удовлетворяют определен-
определенным соотношениям. Для этого будем проводить рассмотрения
в проективной плоскости, определяемой точками at, а/ и а*, где
», /, к — три различных индекса из множества {1, ..., р+1}-
К точкам at, а/, ак добавим точки аць. и $цк, у которых i-я, /-я и
k-я однородные координаты равны соответствующим координа-
координатам точек ар+2 и ap+i, а остальные равны нулю. Применяя ре-
результат, полученный нами для размерности 2, мы выведем со-
соотношения btjbjkbki = 1. Чтобы найти необходимые и достаточ-
достаточные условия существования томографии, переводящей точки
(аЛ в точки (а') , мы поступим в точности так
v (/<=i,.... р+з v lh=-\ р+з '
же, как в случае р = 2.
Начнем со следующего замечания: если р+1 точек порож-
порождают р-мерное проективное пространство, то пересечение р + 1
гиперплоскостей, порожденных каждыми р из этих точек, пусто
Решения 187
¦'(это можно доказать, перейдя к проективизации следующего
результата: если р + 1 векторов порождают некоторое (р + 1)-
мерное векторное пространство, то эти векторы линейно неза-
независимы). Прежде всего применим это замечание к гиперплоско-
стям Нг. мы имеем f] Н{ф 0,так что должно существовать не-
некоторое /е {1, ..., р + 1}, такое, что aP+3^#/. Для этого зна-
значения /, как легко видеть ар+3 и Н/ порождают все пространство,
так что можно снова применить то же замечание к Li/ и #,-. По-
Поскольку ( П ?<ЛП#/ = 0» мы получаем, что f| _L{/ — {ар+3}.
Других точек в этом пересечении нет, так как иначе ему при-
принадлежала бы целая прямая, и пересечение этой прямой с Я/
не могло бы быть пустым.
Собирая все эти результаты и действуя тем же методом, что
и в случае р = 2, можно показать, что необходимыми и доста-
достаточными условиями существования томографии, переводящей
точки (а,) в точки (а'{) , являются р равенств
Ь{(~Ь'и,где / такое же, как и выше, a i= 1,...,/— 1, /+ 1, ...
..., р-j-l. Провести это доказательство мы предоставляем чи-
читателю.
Замечание. Это упражнение показывает, что в проективной
геометрии можно ввести систему «координат», обладающую
большим геометрическим содержанием, нежели однородные ко-
координаты, подобно тому, как мы ввели барицентрические коор-
координаты в аффинной геометрии.
6.5. Перестановка неподвижных точек а и Ь переводит двой-
двойное отношение [a, b, m, f(rn)] в обратное к нему; это показы-
показывает, что пара {k, l/k) зависит только от f.
В соответствии с 6.D имеем k = "kf\x., где X и ц — собственные
значения отображения f, т. е. решения уравнения
o^2(« + 6) + & + P o 0)
Но k н \/k являются корнями уравнения
(Х- k)(X- i-) =0<=>Х2- (k +-L) Х+ 1 =0,
так что достаточно найти
причем нам известно, что \ и \i—решения уравнения A).
Это выражение симметрично относительно Яиц, так что
188 Глава S
можно представить его в виде функции от элементарных сим-
симметрических многочленов, вид которых нам известен из уравне-
уравнения A). Другими словами, решать уравнение A)—это значит
напрасно терять время. Достаточно воспользоваться его коэф-
коэффициентами:
Л | И ^ V + И2 _ (Я. + цJ - 2Я,ц _
и а, Х\х Х\х
__ (а + бJ - 2 (аи - V0) _ а2 + 2Ру + б2
аи — уР аб — Ру '
так что k и l/k — корни уравнения
<=M<*fi - pY)Z2 - (а2 + 2pY + 62)Х + (аб - &у) = 0.
6,6. Заметим, что даже после нормировки аб — Ру=1 Для
каждой томографии по-прежнему имеется две матрицы (отли-
(отличающиеся знаком). Следовательно, число t = trf определено
только с точностью до знака. Поэтому в качестве инварианта
предпочтительнее рассматривать /2 = (а + 6J. Это число не за-
зависит от проективного репера на комплексной проективной пря-
прямой, в котором мы выражаем отображение /.
а) Поскольку рассматриваемые томографии обладают двумя
различными неподвижными точками, уравнение
не имеет корня, равного 1; это означает, что РФ4. Числа k и t2
связаны соотношением t2 = 2 + k -f l/k.
Если томография / эллиптическая, т. е. \k\= I, то k -\- l/k —
вещественное число, которое лежит в интервале [—2, 2 [, так что
/2е[0,4[.
Обратно, если t2 e [0, 4[, то существует вещественное число
G, такое, что t2 — 2 = 2cos0; тогда комплексное число k = ei9
по модулю равно 1 и является корнем уравнения A), что и до-
доказывает, что томография / эллиптическая.
Если томография f гиперболическая, т. е. k — положительное
вещественное число, то k-\-\/k — вещественное число, большее
2, так что t2 — вещественное число, большее 4.
Обратно, если t2 е] 4, оо [, то существует вещественное число
G, такое, что t2 — 2 = ch0; тогда положительное вещественное
число k = ев является корнем уравнения A), и томография /
гиперболическая.
Осталась единственная возможность, когда t2 не есть поло-
положительное вещественное число; она эквивалентна тому, что го-
мография / локсодромическая. Это имеет место в том случае,
когда t = а + б не есть вещественное число.
Решения 189
b) Поведение при итерациях
Если томография f обладает двумя неподвижными точками
а и Ь, то эти точки будут неподвижными и при любой итерации
fn. Следовательно, томография fn попадает в один из рассмот-
рассмотренных выше классов (эллиптический, гиперболический или
локсодромический), в том и только в том случае, если /" не тож-
тождественное отображение. Следовательно, мы должны исключить
из рассмотрения множество 1)„ «корней из единицы» в GP (т. е.
множество томографии f, для которых f» = id).
В проективном репере {а, Ь, т}, где т произвольно, матрица
/А 0 \
отображения f может быть записана в виде! _ I, а матрица
/А" О Л
для f —виде I _ , I. Таким образом, мы имеем А,ц = 1 и
Л + Ц и tn = t{!") = %" + »".
Если f^Un, то &(/)" = 1, так что \k\ — 1 и все элементы из Un
эллиптические. Ясно, что |&"|=1 тогда и только тогда, когда
|&| = 1; следовательно, томография f эллиптическая тогда и
только тогда, когда f эллиптическая, но не принадлежит мно-
множеству Un.
Если томография / гиперболическая, то k — положительное
вещественное число; то же самое верно для kn, значит, и f" —
тоже гиперболическая. Обратно, если томография f гиперболи-
гиперболическая, то kn = X2ne R+; положим % = ги, где г > 0 и |«| = 1.
С необходимостью получаем и2п = 1, так что томография и, мат-
(и 0\
рица которой в базисе {а, Ь, т) имеет вид I _ I, принадле-
принадлежит множеству Un, в то время как томография г, матрица ко-
(г О \
торой 1^ -| ). гиперболическая и имеет те же неподвижные
точки, что и томография и.
Мы приходим к заключению, что если томография /" гипер-
гиперболическая, то f либо гиперболическая, либо локсодромическая,
и в последнем случае f можно представить в виде произведения
гиперболической томографии г и томографии и из Un> причем
г и и имеют одни и те же неподвижные точки.
Окончательно, если томография / локсодромическая, то и /"
локсодромическая, за исключением случая, когда / является про-
произведением f = r°u, где г — гиперболическая томография, а
и е Un и г и и имеют одни и те же неподвижные точки.
190 Глав» в
с) Локсодромы
Локсодромы, или траектории движения судна или самолета
постоянным курсом (в навигации), определены в 18.2; они могут
быть охарактеризованы следующим свойством: каждая локсо-
локсодрома, выраженная в подходящем проективном репере, есть
логарифмическая спираль.
Если f — томография с неподвижными точками а и Ь, то ее
матрица в репере {а, Ь, т) диагональна; это означает, что с
точностью до томографических преобразований координат f мо-
может быть задана как z*-*-f{z) — kz, где k?=0, 1. Записав
k = ee, мы видим, что итерации /"(г) располагаются на лога-
логарифмической спирали t н->е<9г. Если f — эллиптическая томогра-
томография, то соответствующая кривая — окружность (курс иа запад);
если f — гиперболическая томография, то соответствующая кри-
кривая— прямая линия (курс на север).
Глава 7
7.1. Исследуем пространство Ес = {s-. C-*-E, s есть R-ли-
нейное отображение}. Сначала вложим Е в Ес при помощи
отображения x^—^¦{l^—^¦x,i^-^¦0}. Это вложение определено
корректно, так как линейное отображение однозначно опреде-
определяется значениями на базисных элементах; здесь мы берем
(R-базисО, / = У^П} для С.
Определим операцию сопряжения а на Ес правилом
а E) = в EA), «(/))=¦ EA), -s(i)).
Легко распространить R-линейное отображение /: ?->?' на
комплексификации Ес, Е'с; комплексификация fc просто опре-
определяется правилом
fc(s) = fos.
Функториальное соотношение (g ° f)c = gc ° fc тривиально. Соот-
Соотношение о °fc = fcs о тоже легко установить:
a(fcE)) = а(/оs) = о(/(s(\)), f (s(i)}) =
Глава 8
8.1. Геометрическая идея здесь состоит в том, что оси эллип-
эллипсоида {х: \|j<jc) = 1} в евклидовом пространстве (Е, <р) должны
оставаться инвариантными при действии G, откуда в случае,
когда длины осей различны, следует приводимость О; если же
длины всех осей равны, то ф = kq>.
Мы знаем (см. 13.В или [В, 13.5]), что в Е существует общий
ортогональный базис {е,} для форм <р и if>. Доказательство этого
основополагающего результата состоит в том, что вводится
эндоморфизм / евклидова пространства Е, определяемый так:
P(f(x), y) — Q(x, у) для любых х, у<=Е,
где Р (соотв. Q) обозначает полярную форму для ф (соотв. для
t|j). Это соотношение определяет / однозначно, поскольку <р ие-
вырожденна (см. 13.С или [В, 13.2]). Можно показать, что все
собственные значения отображения f вещественны; обозначим
их (Я,,). Нам нужно доказать, что в случае, когда G неприво-
дима, все они равны между собой. Но GczO(E, <р)Г|О(?, Ф),
откуда следует, что G оставляют инвариантным оба отображе-
отображения ф и ур, и, следовательно, то же верно для Р и Q. Отсюда вы-
вытекает, что отображение f коммутирует с любым элементом из
С; это, конечно, интуитивно очевидно, но тем не менее может
быть проверено:
Р(f (g (*)). y) = Q(g (x), y) = Q (x, g~l (y)) =
для любого у, откуда f(g{x))= g{f(x)) для любого g^G,
Пусть теперь V — собственное подпространство отображения
/, отвечающее собственному значению к; поскольку g°f = f°g,
мы имеем g(V)= V для любого ge G, откуда V = Е, так как
G неприводимо.
8.2. Удобнее всего пользоваться внутренней метрикой на еди-
единичной сфере S(E) (см. 18.В или [В, 18.4]). Пусть f<=O{E);
функция 21—* zf {г) определена и непрерывна на компактном
множестве S(E), так что она достигает своего минимума по
крайней мере в одной точке х. Если {(х) = х или /(л:) = —х, то
все доказано, поскольку прямая Ох инвариантна при действии /.
В противном случае расстояние xf{x) не равно нулю и мень«
ше я; в частности, (х, f{x)) соединены единственной дугой (ду-
(дугой большой окружности). Пусть у — середина этой дуги. По-
Поскольку f индуцирует изометрию S(E) на себя, то образ f(y)
есть середина единственной дуги, соединяющей f(x) с f(f{x)) =
Мы утверждаем теперь, что х, f{x), f2(x) принадлежат одной
и той же плоскости (проходящей через начало координат)*
Решения
193
В противном случае у, f'(x) и f (у) тоже не лежали бы в одной
плоскости и потому образовывали бы сферический треугольник,
откуда (см. 18.В)
уШ < уШ+ТШШ) - т (Ш) + т
в мы пришли к противоречию.
Рис. 8.2.
8.3. Решить уравнение пх = ав U(?) — это то же самое, что
решить уравнение f = g в О+(Е), где g — поворот на угол а.
Введем следующие обозначения:
где62 + с2
= 1; затем рассмотрим матрицу
-1
I
и обратную к ней Р =yl ,
Уравнения
fb — ci О
V 0 b + ci.
, I.
f . . 1
= V—1. Имеем
d — el 0
О d + ei
Это означает, что если fn=g, то (d—ei)a =-{b—ci) и (d-\-ei)n=
= b ее, в чем можно убедиться, возведя P~lfP в л-ю степень.
194
Глава 8
Обратно, если (d — ei)n — b — ci и (d + ei)n = b + ci (доста-
(достаточно рассмотреть одно из уравнений, поскольку они сопряже-
сопряжены), то мы получаем fn = g, так как
Ь -ci 0 \ fd-el О
)р 'Ч
и '~
,
о ь + ы)р и '~Ч о
Итак, мы показали, что f==g эквивалентно (zf)n = zg, где
Zf = d + ее и zg = Ь + el.
(Заметим, что из условия 62 + c2 = d2 + ?2 = 1 следует, что Z/
и 2g по модулю равны 1.) Искомый результат теперь очень про-
просто вытекает нз того факта, что каждое комплексное число с
в=2
ЧУ "'
л
" п а
модулем 1 имеет ровно п различных корней n-й степени и все
они по модулю равны 1.
Примеры даны на рис. 8.3.
8.4. Идея состоит в том, чтобы рассмотреть отражения as,
От, оу относительно осей S, T, U соответственно (см. 8.С или
[В, 8.2.9]). Они являются элементами группы О+(Е) и, по пред-
предположению, удовлетворяют условиям as(A) = B, aT(B)=C и
аи(С)== А. Рассмотрим /= au°aT°os; тогда f(A) = A. По-
Поскольку feO+(?), оно должно быть или тождественным ото-
отображением, или вращением вокруг подходящей оси (см. 8.Е или
[В, 8.4.7.1]).
Если f не тождественное отображение, то задача имеет точно
одно решение: А является осью для /, и B = Os[A), C = aT(B).
Решения
195
Если же отображение f тождественное, то мы можем взять про-
произвольную прямую в качестве А и положить B = as(A), C =
= вт(В), как и раньше. Каковы же
условия на S, Т, U, для того что-
чтобы композиция {=ви°ат-°а$ была
тождественным отображением?
Рис. 8.4.1.
Рис. 8.4.2.
Композиция двух вращений
Легко видеть, что произведение вт°аи двух отражений отно-
относительно прямых есть вращение вокруг прямой, перпендикуляр-
перпендикулярной как к S, так и к Т, на угол,
вдвое больший угла между S и Г. s
Если / — тождественное отображе-
отображение, то должно выполняться
0Г о as = оу,
откуда следует, что прямая U дол-
должна быть перпендикулярна к S и
Т, а также что угол между S и Г
равен я/2, так что угол для аи дол-
должен быть равен я. Отсюда видно,
что S, Т и U должны быть попарно
ортогональны, а это условие явля-
является также и достаточным для того,
чтобы f было тождественным.
Рассматривая теперь лучи вме-
вместо прямых, мы начинаем рассуж-
рассуждать как прежде. Найдем отобра-
отображение f и его ось Д; луч А с необ-
необходимостью должен быть лучом,
определяемым Д, и составлять с лу-
лучом S угол, меньший или равный я/2. Но тогда может случить-
случиться, что B = os(i4) — луч, который образует с лучом Т угол,
больший чем я/2, и в таком случае задача не имеет решения.
Рис. 8.4.3.
7*
196 Глава 8
Обобщения. Мы можем обобщить предыдущий результат,
рассматривая п заданных прямых (S/),=I „ и отыскивая п пря-
прямых (Л^_, „ таких, что прямая S\ служит биссектрисой
прямых Ai и А2, прямая 5г — биссектрисой А2 и А3 и т. д. до
Sn — биссектрисы Ап и Аи Здесь может быть применена та же
техника, что и раньше, без всяких изменений; мы найдем, что
решение существует и что оно единственно, когда композиция
as ° ... о as не есть тождественное отображение.
П 1
Если же попытаться сделать обобщение на случай евклидо-
евклидовых векторных пространств размерности k > 3, то может слу-
случиться так, что композиция ay ° aT° as не оставляет инвариант-
инвариантной ни одну прямую (так будет «в большинстве случаев», см.
8.Е или [В, 8.4.7.3]), и тогда задача не имеет решения.
Замечание. Идея введения композиции оц ° о> ° os весьма
плодотворна в геометрии и может быть использована во многих
аналогичных задачах. Для начала можно применить ее к сле-
следующей задаче: в аффинном пространстве найти многоугольник,
середины сторон которого заданы. Далее можно попытаться осу-
осуществить такие два приложения этой идеи: задача Кастильона—•
нахождение многоугольника, вписанного в данную окружность,
стороны которого проходят через заданные точки (см.{В, 10.11.4,
16.3.10.3]), и большая теорема Понселе о многоугольнике, впи-
вписанном в некоторую конику и одновременно описанном около
другой, для случая двух бикасающихся коник (см. задачу 16.5).
8.5. Сначала вспомним, что R обладает единственным авто-
автоморфизмом— тождественным. Действительно, если <р — авто-
автоморфизм в R, то <рA)= 1 и <p{p/q) = p/q для любой пары целых
чисел (р, q), q^O. Утверждение следует из плотности Q в R и
того факта, что <р возрастает (ибо если а ^ 0, то <р(а) =
= (q>(Va)J^0). Пусть теперь <р обозначает автоморфизм Н;
поскольку R есть центр в Н. мы имеем <p(R)c: R и qH(R)c:iH,
откуда следует, что <p(R) = R, и значит, Ф |R = IdR. Заметим, что
квадратные корни из —1 —это чистые кватернионы с нормой 1;
обозначим множество таких кватернионов S2. Образы i, /, k бу-
будут принадлежать S2 и должны образовывать положительно
ориентированный ортонормированный базис в R3, поскольку
ф@ф(/') = ф(*)- Записав а = b + ci' + dj + ek, приходим к за-
заключению, что
Так как (ф@, ф(/). ф(&))—положительно определенный орто-
иормированный базис, то отображение ci + dj-}-ek >—>¦ сер (i)-{-
Решения
197
+ <*Ф (/) + «Р (Л) есть вращение в R3. Итак, мы показали, что
<р(а) = Я(а)-\-р'C'(а)), где реО+C) зависит только от <р.
8.6. Формула A)
Если бис коллинеарны, то формула с очевидностью выпол-
выполнена: обе части ее обращаются в нуль.
Если бис линейно независимы, то три вектора Ъ, 6лс и
йл(йлс) образуют ортогональный базис в R3, который можно
превратить в ортонормированный. Допустим, что вектор Ь имеет
координаты (Ь, 0, 0), с =(сь с2, 0) и а = (а\, а2, аз). Вычислим
координаты обеих частей векторного равенства A) в таком
базисе.
Поскольку базис ортонормированный, можно применить яв-
явные формулы для координат векторного произведения:
0
а Л (Ь л с) =
Ьлс-
.С другой стороны,
0 .
Ъс2
— п\Ъс2.
0
(а | с) Ь — (а | Ь) с= (а,с, + а2с2)
0 — аф
0
0
a2bc2
— ахЬс2,
0
что и завершает доказательство формулы A).
Примечание. Это решение не является верхом изящества: вы-
выписывание координат и вычисления с ними травмирует наше
математическое чувство прекрасного. Однако в данном случае
этого вряд ли удалось бы избежать. Используя определение
векторного произведения через смешанное и свойство линей-
линейности последнего, довольно легко проверить выполнение фор-
формулы A) с точностью до множителя; однако следует помнить,
что смешанное произведение определяется своими естествен-
естественными свойствами тоже с точностью до множителя, и чтобы
определить смешанное произведение полностью, мы должны по-
постулировать, что смешанное произведение ортонормированных
базисных векторов равно 1. Отсюда и возникает необходимость
во введении базиса. Поскольку мы вынуждены пользоваться
базисом, можно записать векторы и в координатах; изобретать
способ, при котором координаты не входили бы явно, было бы
некоторым лицемерием.
Используя A), получаем
(алЬ)л(аЛс) = (алЬ\с)а — 0 = {а, Ъ, с)а,
(а л Ь, а Л с, Ь л с) = ((а л Ь) л (а л с) | Ь л с) =
= (а, Ь, с)(а|6лс) = (а, Ь, сJ.
198
Глава 8
То что R3 есть алгебра Ли — довольно простой факт; очевидно,
что R3 — алгебра, поскольку умножение л дистрибутивно по
отношению к сложению (вследствие линейности), поэтому нуж-
нужно лишь убедиться в выполнении тождества Якоби. Используя
A), имеем
о л (Ь л с) + b л (с л а) + с л (а л Ь) =
Что касается формулы B), то мы можем воспользоваться коор-
координатами без сожалений. Выберем ортонормированный базис
и запишем
а,
О = U2, Ь =
в этом базисе. Далее,
откуда
II
С другой стороны,
ahb =
— Мз
— Mi.
1 + (a3bt — MiJ + (Л1&2 —i
р(а) =
P(b) =
b2.
Gram (p (a), p(b)) =
= a\b\ -f
- (a2b2 + a3b3f
a\b\ - a^ -
- a\
a\b\
= (a2b3 — аф2K.
Остальные два выражения получаются аналогично.
Интерпретация. Квадрат длины вектора а л b (который также
равен объему параллелепипеда, построенного на векторах
{О, а, Ь, ал Ь), поскольку | о Л Ь, а Л b | = {а, Ь, а л Ь)) равен сумме
площадей трех параллелограммов, являющихся проекциями па-
параллелограмма {0, a, b, a + 6} на три координатные плоскости.
Решения 199
Подходящим образом выбирая базис, можно расположить этот
параллелограмм в одной из координатных плоскостей, что и
иллюстрирует соотношение
f| а Л 6 [|2 = vol @, а, Ь, алй).
Примечание. Тот факт, что мы приравниваем длины, пло-
площади и объемы, показывает, что эти понятия не являются внут-
внутренними, а предполагают некоторый выбор единицы длины.
Окружающий нас мир является евклидовым только с точностью
до некоторого множителя. Это означает, что мы не могли бы
иметь подобных равенств в физике, где все формулы должны
быть инвариантными относительно умножения метрических еди-
единиц на постоянную величину; этим объясняется хорошо извест-
известная однородность физических формул, чего в нашем случае быть
не должно.
Уравнение хла = Ь
Единственность: х л а = х' Л а <=> (х — х/) л а=0 -4=>- х'=х-}-Ха.-
Существование: очевидно, должно быть (а\Ь) = 0, иначе ре-
решения не существует. Поэтому допустим, что это условие вы-
выполнено, и положим х — а(а л Ь)\ тогда по A)
хла = а(алЬ)ла = — сю л (а л 6) = — a[(a\b)a — a2b],
но (а|6) = 0 по предположению, так что х ла = аа?Ь, и выбирая
а — 1/а2, получаем искомое решение. Подведем итог:
если а не перпендикулярно Ь, то решения не существует;
если а перпендикулярно Ь, то множеством решений будет
аффинная прямая в направлении вектора а, проходящая через
точку A/ог) а Л Ъ.
Глава 9
9.1. Введем на плоскости структуру евклидова пространства
и докажем теорему методом «от противного». Предположим, что
существует такая тройка (t, /, k), что х,<?<лг/( xky. Для всех
троек (k, h, I), таких, что хкф(хц, xi}, рассмотрим расстояния
d{xk, <jch, xi}) и выберем точки а = х<, Ь = х/ и с = xk так, чтобы
это расстояние было минимальным среди всех таких троек.
По предположению прямая <6, е> содержит третью точку d
из (xi). Значит, по крайней мере две из трех точек Ъ, с, d рас-
расположены по одну сторону от перпендикуляра D к прямой <6, с>,
Рис. 9.1.
проходящего через точку а. Обозначим через О пересечение D
и (Ь, с>; можно считать, что точки расположены так, как ука-
указано на чертеже. Но расстояние от с до <а, d} строго меньше,
чем расстояние от О до <а, d>, которое в свою очередь меньше
расстояния аО от а до <6, d}, что противоречит предположению
минимальности.
Примечание. Формулировку теоремы можно уточнить: если
п точек (*/),_, „ в совокупности неколлинеарны, то число пря-
прямых, каждая из которых проходит только через две из данных
п точек, не меньше Зя/7.
9.2. Уравнение d(x, D) = d(x, D') эквивалентно уравнению
так что исследуемое множество есть квадрика.
Случай 1: X — плоскость.
Напомним, что биссектрисами прямых D и D' являются две
прямые Т и 7", удовлетворяющие условию DT = TD/, в которое
входят ориентированные углы между неориентированными пря-
Решения , 201
мыми (т. е. элементы VL(E), см. 8.F). Напомним также, что если
мы предварительно выбрали ориентацию пространства, то такой
угол однозначно определяется своим синусом, т. е. числом
sin ЫУ = Ь е [— 1, 1], где число Ъ таково, что одному из двух
Ъ
вращений, переводящих D в ?>', соответствует матрица
у у
(а —Ъ\
! . 1
с положительным а.
Обозначим через р пересечение данных прямых, а через т
и т' — ортогональные проекции точки х на D и ?>'. Синус угла
(р, т)(р, х) может быть вычислен из прямоугольного треуголь-
треугольника ртх:
| sin (р, т)(р, х) | = тх/рх.
Итак, интересующая иас точка р удовлетворяет условию
| sin <p, m){p, *>| = |sin<p,
откуда
Поскольку D Ф ?>', прямая <р, х} является одной из биссектрис
для D, D', так что искомое множество есть коника, состоящая
из двух биссектрис для ?>?>'.
Случай 2: X не является плоскостью.
Пусть Н — подпространство коразмерности 2, ортогональное
D и D' одновременно. Если D и D' пересекаются, то множество
точек, равноудаленных от D и D', есть объединение двух гипер-
гиперплоскостей (Т, Ну и (J1, НУ, содержащих биссектрисы Т, V для
D, D'.
Предположим теперь, что D[\D'=0. Мы хотим опреде-
определить тип (в аффинной классификации; по существу, этого до-
достаточно) квадрики d (x, D)=d (x, D'). Пусть р=Н Л D, р'=Н Г) ?>';
выберем единичные векторы е{ в направлении D и е2 в ef-,
->¦ -> ->
такие, что направление D' есть ае{ + 6е2; вз — такой, что
рр =уе3, и, наконец, е4, ..., еп — такие, что (р, е3. •••» в») есть
ортонормированный репер для Н. В ортонормированном ре-
пере (р, а, ..., е„) исследуемая квадрика описывается уравне-
. нием
202
Глава 9
полагая х\ = рлг, — ах2 и х'ъ = yxz — у2/2 (указанная замена пе-
переменных допустима, поскольку р^О, так как D и D' не па-
параллельны, иу^О, так как ?> и D' некомпланарны), получаем
новое уравнение х\ -f х\2 -\- 2х'3 = 0.
В обозначениях из [В, 15.3.2] эта квадрика имеет тип III
A, 1); в случае размерности 3 она представляет собой гипер-
гиперболический параболоид, см. 15.В.
9.3. Основная идея доказательства состоит в том, чтобы рас-
рассмотреть многоугольник с максимальным периметром и затем
показать, используя формулу первой вариации (см. 9.G), что он
является оптическим. Мы должны оставить вне рассмотрения
Рис. 9.3.1.
Рис. 9.3.3.
многоугольники с самопересечениями, хотя именно такие много-
многоугольники (при четном п) имеют наибольшее значение пери-
периметра: достаточно взять п раз диаметр множества. Для фикси-
фиксированного натурального числа п обозначим через А с: С" под-
подмножество в СХ ... ХС (п раз), образованное такими набо-
наборами (хи ..., хп) из л точек xit что каждая xi находится на
замкнутой дуге кривой от Xt-.x до xi+\ (mod n). Поскольку Д есть
замкнутое подмножество компактного множества С", функция
периметра р: A-*-R, определяемая формулой р((хх хп)) =
п
с= 2 xtx,+\, достигает максимума по крайней мере на одном на-
боре из п точек (at). Покажем, что эти п точек определяют опти-
оптический многоугольник.
Функция лги-*-a(_|jt + ха1 + и определенная на дуге кривой
от a,_i до ai+u принимает максимальное значение при х = щ,
так что ее производная в этой точке равна нулю. Из формулы
первой вариации и строгой выпуклости С получаем, что углы
между касательной к С в а* и каждой из прямых <a(-i, a(> и
<а<, a;+i> равны.
См. также [В, 17.6.5].
Решения
203
9.4. а) Построение, использующее инвариантность углов
Нам нужно определить центр со+ такого элемента fs
е= Sim+(R2), что Да)= а! и f(b)= Ь'.
Сначала рассмотрим два частных случая: если а = а', то
центром является точка а =а'\ если же <а, ЬУ//(а\ Ь'У, то f —
гомотетия или параллельный перенос, и в первом случае цен-
центром является точка (a, a'} f) (b, Ь'>.
Далее, положим е = <а, Ь>П<а', Ъ"}\ точка е корректно опре-
определена, поскольку мы исключили из рассмотрения случай, когда
указанные прямые параллельны. ,,
Справедливо соотношение ~
{а, ю+)(а, Ь) = (а, ш+)<а, е) и, по-
поскольку f сохраняет углы,
'(мы работаем сейчас с ориенти-
ориентированными углами между неори-
неориентированными прямыми, т. е. с
элементами U(?)). Таким обра-
образом, можно записать
Рис. 9.4.1.
откуда, учитывая свойство углов,
вписанных в окружность (см.
10.D или [В, 10.9.3]), получаем, что а, а', щ+ и е лежат на одной
окружности; аналогичное рассуждение применимо к b, b', ш+ и е.
Следующее построение обосновано проведенными выше рас-
рассуждениями: после нахождения точки е построим окружность
Си проходящую через точки а, а' и е (если а = е, то Ci—окруж-
Ci—окружность, проходящая через а и а' и касательная к <а, Ь} в а). За-
Затем проведем через точки Ь, Ъ' и е окружность С2; тогда точ-
точками пересечения двух окружностей будут е и ©+.
Замечание. Описанный метод не годится для определения
центра ю- такого подобия geSim-(R2), что g(a)=a' и
g(b)= b', поскольку множество точек х, удовлетворяющих усло-
условию (а, х)(а, е) = — (а', х)(а', е), представляет собой кривую,
которую невозможно построить с помощью только циркуля и
линейки.
Ь) Построение, использующее инвариантность отношения
расстояний
Ниже мы будем предполагать, что исследуемые подобия не
являются изометриями, т. е. что аЪ ф а'Ь'; это условие не яв-
204
Глава 9
Рис. 9.4.2.
ляется ограничительным, поскольку в случае изометрий иссле-
исследование намного проще. Для заданных точек а, Ь, а' и Ь' мно-
множество С\ = {х е R2: xa'/xa = a'b'/ab} представляет собой
окружность, проходящую через точки
c, = (ab/(ab — a'b')) a' — (a'b'/(ab - a'b')) a
d, = (aty{ab + a'b')) a' + (a'b'ftab + a'b')) a
(cm. 9.F или [В, 9.7.6.5]). Множество C2={*<=R2: xb'/xb =
— a'b'/ab} также является окружностью. Точки пересечения
окружностей С! и С2 являются центрами ы+ и ю- подобий f<=
е Sim+ и g e Sim-, переводящих (а, Ь) в (й', Ь'). Задача бу-
будет решена, если мы научимся строить окружности С! и С2.
Построение С\ проводится следующим образом: найдем такую
точку Ь", что
(а', Ь")Ц(а, Ь) и ctb"=*a't/\
Решения
205
точка С\ = <а, а'> П <J>, b'") находится на d. Далее, найдем
точку Ь'", такую, что Ь'" находится на <а, Ь> и <&", Ь'")//(,а', &>;
точка d\, такая, что d\ e <а, а'} и <&, d{)//(b'", а'>, также на-
находится на С\. Построение С2 проводится аналогичным образом.
с) Построение с использованием комплексных чисел
Аналитическое описание подобий в терминах комплексных
чисел настолько просто, что естественно попытаться использо-
использовать его для нахождения центров подобий, переводящих (а, Ь\
Рис. 9.4.3.
в (а', Ь'). Однако получаемые таким путем построения намного
сложнее предыдущих и менее геометричны.
Положим а = 0, й=1, /(z) = az-|-p, g (z) = az + Р; тогда
мы получаем а' = р и &' = а-|-р. Центр ю+ определяется урав-
уравнением ю+= аю+-|-Р, откуда ю+=р/A—а), в то время как
ш~ определяется из уравнения ю~ = аю~ + Р, откуда со" = аю~ +
+ р и со" =а(аю~ + Р) + Р» что дает окончательное выражение
со" = (ap + P)/(l —act). Итак, задача сводится к следующей: для
данных точек 0, 1, р и a + Р найти точки Р/A — а) и
(ар + Р)/0 — аа)- Мы проиллюстрируем решение на чертежах,
опуская подробные пояснения.
206
Глава 9
Рис 9.4.4.
Рис. 9.5.2.
9.5. Имеется стандартный подход к решению такого рода
задач. Построим произвольный квадрат {а, Ь, с, d), такой, что
а находится на {х, у], Ь — на {х, г} и <а, Ь} параллельна <у, z>.
Обозначим чеоез '. ' точки пересечения поямой (и. "> с <х. db
Решения 207
и <х, с> соответственно. Гомотетия с центром х и коэффициен-
коэффициентом xd'/xd = хс'/хс переводит квадрат {а, Ь, с, d) в квадрат
{а1, Ъ\ &, d'}, удовлетворяющий условиям задачи.
Сравните это с [В, 9.6.6].
9.6. Обозначим через а — хО расстояние от точки х до цен-
центра О окружности С радиуса г. Уравнение соответствующей кри-
'вой в полярных координатах с центром в х и осью хО имеет
вид р = a cos 9 + г.
Классическим выражением для определения типа выпуклости
кривой р = /(в) относительно полюса служит
В нашем случае получаем функцию 2а2 + Заг cos Э + г2. Итак,
исследуемая подэра всегда будет вогнутой по отношению к точ-
точке х, за исключением тех значений Э, при которых выполняется
Рис. 9.6.2.
неравенство 2о* + Заг cos в + г2 < 0. Это возможно лишь в том
случае, когда
«в—
Но
+ r» . г /2а Л/.
поэтому такой случай имеет место лишь тогда, когда г/2 <
< а О, а 0 находится в интервале ]—я — 0О, —я + 8о[.
Полученный результат интуитивно очевиден. Для а = г кри-
кривая представляет собой кардиоиду, которая имеет точку воз-
возврата, а для очень малых значений а исследуемая подэра близ-
близка к окружности, и в этом случае тип выпуклости не меняется.
Глава 10
10.1. (i) Обозначим через а, Ь и с вершины треугольника 9~\
а через а', Ь' и с'— треугольника &~'\ поскольку а'Ьас — парал-
параллелограмм, имеем а'Ь = са и а'с = Ьа. Повторяя это рассужде-
рассуждение для других точек, получаем, что с — середина а'Ь', Ь — сере-
середина а! с' и а—середина Ь'с'. Каждая высота треугольника #"]
состоит из точек, равноудаленных от двух соответствующих вер-
вершин Т', поэтому утверждение о том, что все три высоты пере-
пересекаются в одной точке, следует из существования точки, равно-
равноудаленной от всех трех вершин треугольника &~J.
V
Рис. 10.1.1
(И) Представим ab = ac + cb; тогда, используя билинейность
—> —> —> —»
скалярного произведения, можно получить (ab\ cd) = (ас\ cd) -+¦
+ (cb | cd) = (ас | cd) -f (dc \ be), откуда
(ab| cd) + (ac\ db) + (ad\ be) = {ac\cb) + (qc\bc) = 0.
Далее, пусть a, ft и с — вершины треугольника Tt и пусть
d — точка пересечения высот, опущенных из а и ft. Имеем
—>¦ —>¦ —>¦ —> —>¦ —>
(ad\bc) — (bd\ac) = 0, откуда (ab\cd)=*0; это означает, что
прямая <с, dy есть высота, опущенная из вершины с, так что
все три высоты пересекаются в одной точке.
(ш) Обозначим через а, Ь и с вершины треугольника Т, а
через a', b' и с' — основания высот, опущенных соответственно
из а, Ь и с. Справедливо соотношение
а Ь tg aa'ab
а'с tg aa'ac
Решения 209
откуда
а'Ь Ь'с с'а tg aa'ab • tg bb'bc tg cc'ca
а'с Ь'а c'b tg аа'ас • tg bb'ba tg cc'cb
Треугольники а'ас и Ь'Ьс подобны, поскольку они имеют об-
общий угол при вершине с, и прямоугольны, так что аа'ас —
= ЪсЪЪ' = —bb'bc. Поскольку тангенс — нечетная функция, по-
получаем a'bja'c • b'c/b'a • c'ajc'b = (—IK = — 1. Теорема Чевы (см.
задачу 2.1) завершает доказательство.
(iv) Пусть a, b и с — вершины треугольника &~ и d — точка
пересечения высот, опущенных из а и Ь. Тогда и {a, dy U {b, c>
и <&, d} U <а, с> суть коники, которые порождают пучок 9е" всех
коник, проходящих через {а, Ь, с, d). Прямая на бесконечности
оо является собственной по отношению к ЗГ, так что можно ис-
использовать теорему Дезарга (см. 16.F): существует такая инво-
инволюция / прямой оо, что для всех а из ST пересечение а с оо со-
состоит из точки т и ее образа f{m). Так как <а, d>_L<6, с>, то
две бесконечно удаленные точки коники <а, d}[)<,b, с> (мы
будем обозначать их через т и f(m)) удовлетворяют соотноше-
соотношению [т, f(m), I, /] = —1 (где / и / — круговые точки). Анало-
Аналогичный результат справедлив и для бесконечных точек коники
0, dy U <fli с>. Инволюция определяется своим действием на
две точки, так что / можно задать формулой [т, f(m), I, /]=«
= — 1 (см. 6.D или [В, 6.7.2, 6.7.4]). Коника <с, rf>U<a, Ь) при-
принадлежит 9Г, так как она проходит через а, Ь, с, d; это и дока-
доказывает, что третья высота также проходит через d. См. также
решение задачи 10.3.
10.2. Первая часть. Доказательство соотношения R2 — 2Rr =
— d2 требует несколько большей работы, чем это может пока-
показаться, хотя в нем и нет ничего сверхсложного. Предположим,
что углы А, В, С треугольника 9~ — {х, у, z) таковы, что В ^ С.
Сначала вспомним, как определяются точки касания окружно-
окружности, вписанной в ^": длины и, v, w на рис. 10.2.1 удовлетворяют
соотношениям u-\-w — b, w -\- v = a, v -\- и = с, где а, Ь, с —
стороны У. Используя обозначение р — {а + b + с)/2, получаем
и=(р — а)/2, о = (р — Ь)/2 и w=(p — с)/2.
Обозначим через ы (соотв. через О) центр окружности, впи-
вписанной в 9~ (соотв. описанной около &~)\ имеем
Угол треугольника {х, ю, 0} при вершине х равен (В — С)/2,
как это видно из чертежа (воспользуйтесь соотношением A -f».
210
Глава 10
'+ В -\- С = п, а также тем, что центральный угол равен удвоен-
удвоенному вписанному; см. 10.D или [В, 10.9.3]). Применим основное
Рис 10.2.1.
соотношение из 10.А (или [В, 10.3.1]) для нахождения
d2 — (шОJ = (хшJ + (хОJ - 2 (хш) (хО) cos ^~- —
7J 1_ 'Р "™" "' __ О ^ "™""' г«г\с ~~"
""^ "+" cos* (Л/2) ^ cos (Л/2) C0S 2 *
Отсюда следует, что соотношение, которое мы хотим доказать,
эквивалентно следующему:
2/? {р ~ а) со= В ~ С {р~ аJ - 2/?г 27? (р я
ИЛИ
2/? cos
cos-4 (/>-a)-2/?sin-fcos-f = 0.
Последнее соотношение эквивалентно, с учетом формул из 10.А
^(или [В, 10.3.2]) и значения р, равенству
2Rcos B~^C cos-y — (sin В + sinC — sin A)R — R sin A = 0,
В —С А
или 2 cos —?— cos -^ sin В — sin С = 0,
которое следует непосредственно из А =я — (S + С).
Вторая часть. Пусть С, С—две окружности, радиусы кото-
которых R, г удовлетворяют соотношению R2 — 2Rr — <P, где d —
Решения
211
расстояние между их центрами. Выберем произвольную точку х
на С. Требуется показать, что можно найти две другие точки
у, г, такие, что треугольник {х, у, z) будет вписанным в С и опи-
описанным около С. Проведем из х две касательные к С; они су-
существуют, потому что соотношение R2 — 2Rr = d2 влечет d <.
[<iR — г, так что С расположена внутри С. Пусть у н z — точки,
в которых эти две касательные пересекают С. Остается пока-
показать, что (у, z> является касательной к С.
Рис. 10.2.2.
¦ Мы собираемся применить стандартный метод решения: вос-
воспользоваться доказанным выше необходимым условием и сооб-
соображениями единственности. Правда, рассуждение здесь оказы-
оказывается чуть более тонким. Окружность С", вписанная в {x,y,z},
имеет радиус г', и расстояние d' = и>'0 от ее центра до центра О
окружности С удовлетворяет соотношению R2 — 2Rr' = d'2.
Центры ю, w' должны располагаться на биссектрисе D угла
при вершине х. Для произвольной точки / на D обозначим через
k(t) ее расстояние до <х, z> (равное расстоянию до <x, #>). Это
отображение является аффинным на D, так что, в частности,
отображение t ь-> R2 — 2^ (t) — (tOf второй степени и должно
иметь не более двух нулей. Очевидным образом оно обращается
в нуль в о) и ю', но также и в /=jc, так что w' = w.
10.3. Пусть Т = {а, Ь, с) — рассматриваемый треугольник.
Для заданной на плоскости прямой D обозначим через D' (соотв.
D", D'") прямую, симметричную ей относительно стороны (Ь, с>
(соотв. <с, а>, <а, &>) треугольника 2Г. Будем говорить, что пря-
прямая D хорошая, если эти три прямые пересекаются в одной
212
Глава 10
точке. Название «прямая образов» оправдано тем, что если
х — D' П D" П D'", то отражения х', х", х'" точки х относительно
сторон Т суть коллинеарные точки (расположенные, конечно
же, на D). Если рассматривать три стороны Т как зеркала, то
три образа точки х должны располагаться на «прямой образов».
Идея доказательства состоит в том, что для произвольных
прямых D, Е на плоскости три ориентированных угла (см. 8.F)
Рис. 10.3.1.
D'E', D"E" и D'"E'" совпадают, поскольку все они равны —DE
в силу 8.F или [В, 8.7.7.3]. Затем нужно воспользоваться усло-
условием на ориентированные углы, необходимым и достаточным
для коцикличности четырех точек A0.D или [В, 10.9.5]). Далее,
предположим, что обе прямые D и Е хорошие и что их отраже-
отражения пересекаются в точках хну соответственно; тогда прове-
проведенное выше рассуждение показывает, что пять точек х, у,
D'[\E', D"f[E" и D'"(]E'" лежат на одной окружности. Мы
получаем следующую лемму:
Лемма. Если обе прямые D и Е хорошие, то и любая прямая,
проходящая через D(]E, также хорошая.
Это следует из приведенных выше соображений, поскольку
для произвольной прямой F, проходящей через D[\E, ее отра-
отражения F, F", F"' проходят через точку г на окружности, зада-
Решения
213
ваемой теми пятью точками, о которых мы уже говорили. Эта
точка z однозначно определяется, например, углом D'F'.
Остается лишь заметить, что не все прямые на плоскости
хорошие и что мы знаем по крайней мере три хорошие пря-
прямые— высоты треугольника. Это означает, что хорошими явля-
являются те и только те прямые, которые проходят через точку пере-
пересечения высот (в частности, мы еще раз получили утверждение
о том, что три высоты пересекаются в одной точке).
Рис. 10.3.2.
Из упомянутого выше условия коцикличности следует, что
для всех хороших прямых D точки D'(]D" flD"' лежат на одной
окружности. Эта окружность должна быть описанной около на-
нашего треугольника, так как если D—высота треугольника, опу-
опущенная, например, из а, то точкой пересечения трех ее отраже-
отражений будет опять-таки точка а. Обратно, каждая точка этой
окружности есть точка пересечения отражений некоторой хоро-
хорошей прямой.
Бесплатное приложение. В качестве следствий мы получаем
три результата. Первый — о прямой Симпсона (см. 10.D или
[В, 10.9.7.1]). Действительно, для того чтобы проекции точки х
на стороны треугольника были коллинеарны, необходимо и до-
достаточно, чтобы были коллинеарны их образы при гомотетии с
центром х и коэффициентом 2. При этом мы приходим к прямой
образов.
Второй результат состоит в том, что точки, полученные отра*
жениями ортоцентра относительно сторон треугольника, лежат
на окружности, описанной около этого треугольника.
214
Глава 10
Третий результат: гомотетия с центром х и коэффициентом 2
переводит прямую Симпсона в прямую, проходящую через орто-
ортоцентр.
10.4. Идея построения и в том и в другом случае состоит в
том, что для достижения абсолютного минимума имеется оче-
очевидный кандидат, а именно — точка пересечения диагоналей.
Рис 10.4.1.
Рис. 10.4.2.
В случае выпуклого четырехугольника эта точка, очевидно, су-
существует; обозначим ее х. Для любой точки z на плоскости
имеем
za + zb + zc + zd = (za + zc) + izb -f zd) ~^ac -\-bd.
В силу строгого неравенства треугольника равенство может быть
только в том случае, когда z принадлежит одновременно отрезку
[а, с] и отрезку [b, d], т. е. z—x. Значит, эта точка реализует
единственный абсолютный минимум функции
z н-> za-\-zb-\-zc-\- zd,
Решения
215
т. е. суммы расстояний до четырех вершин выпуклого четырех-
четырехугольника.
В случае шестиугольника, описанного около эллипса, доста-
достаточно применить теорему Брианшона, в которой утверждается,
что все три диагонали такого шестиугольника пересекаются в
одной точке (см. 16.С или [В, 16.2.13]). Пусть х — точка их пе-
пересечения, a z — произвольная точка плоскости; тогда
za + zb + zc + zd + ze + zf^ad + be-\- cf,
причем равенство имеет место лишь в том случае, если z — x.
Замечание. В каждом из двух рассмотренных случаев не-
нетрудно проверить, что «первая вариация» (см. 9.G или [В, 9.10])
равна нулю в точке минимума, поскольку в точке х единичные
векторы ха/\\ха\\, xb/\\xb§, дсс/||*с||, xd/\\xd\\, например, группи-
группируются в пары взаимно противоположных векторов.
10.5. Первая идея состоит в том, что, поскольку угол Ad, Аа
равен я/2, неизвестная точка А принадлежит окружности Г, диа-
диаметром которой является [a,d].
Аналогичное замечание отно-
относится и к другим вершинам; к
сожалению, этого недостаточно.
Рассмотрим далее диагональ А=
= <Л, С} квадрата. Известно,
что угол А, Л а равен л/4, поэто-
поэтому А пересекает Г в однозначно
определенной точке — середине
дуги (о, d) окружности Г, не со-
содержащей А (см. свойства впи-
вписанных углов, 10.D или
[В, 10.9]).
В результате мы приходим к
следующему построению в слу-
случае выпуклого четырехугольника
(а, Ь, с, d): провести окруж-
окружности Г и Г' с диаметрами [a, d] и [Ь, с] и определить середины;
х и у дуг (а, d) и (Ь, с), обращенных внутрь четырехугольника.
Искомой диагональю А является прямая <х, у}. Вершиной А
служит вторая точка пересечения Д с окружностью Г и т. д.
Это построение не всегда осуществимо: например, углы че-
четырехугольника (а, Ь, с, d) не должны быть слишком малыми.
Иногда решение не единственно, например, если сам четырех-
четырехугольник (а, Ь, с, d) есть квадрат.
Рис. 10.5.1.
216
Глава 10
Рис. 10.5.2.
10.6. а) Построение образа точки при инверсии, для которой
заданы центр i и инвариантная окружность /
Мы приведем построение образа такой точки т, что im>r/2,
где г — радиус окружности /; в дальнейшем нам понадобится
именно этот случай. Пусть сх и с2 — точки пересечения / и
окружности с центром т, проходящей через i, и пусть т' — точ-
точка пересечения двух окружностей с центрами сх и с2, которые
проходят через i (точки i, т и т' коллинеарны из соображений
симметрии). Для того чтобы убедиться, что т' есть образ т,
можно вычислить площадь треугольника ic\m'\
А = (с,* • схт' • sin di, cxm')l2 = (г2 sin cxi, c,/n')/2.
С другой стороны,
А = (imf • тсх • sin mi, mcx)l2 = (im ¦ im' • sin ml, mcx)l2,
но два рассматриваемых угла равны, поскольку треугольники
imcx и icitn' подобны (они равнобедренны и имеют общий угол
при вершине i), поэтому im-im' = r2.
b) Построение центра заданной окружности
Пусть С — заданная окружность с центром с (неизвестным!).
Выберем на ней некоторую точку I, и пусть / — окружность с
Решения
217
центром /, пересекающая С в точках с, и с%. Согласно построе-
построению а), образ с" точки с при инверсии с центром i и инвариант-
инвариантной окружностью / есть пересечение окружностей с центрами
с\ и с% проходящих через /. Для нахождения с остается опреде-
определить образ с' (используя тот же самый метод).
с) Теорема Мора—Маскерони
При геометрических построениях с помощью циркуля и ли-
линейки мы имеем дело с двумя типами фигур: окружностями
(понятно, что их можно рисовать с помощью одного циркуля)
и прямыми, которые строятся по двум заданным точкам. Нужно
Рис. 10.6.1.
Рис. 10.6.2.
показать, что точки пересечения таких фигур можно находить
с помощью одного только циркуля. Сначала докажем следую-
следующую лемму:
Лемма. Окружность, проходящую через три заданные точки,
можно построить с помощью одного только циркуля.
Доказательство. Пусть i, }, k— три заданные точки. Проведем
окружность / с центром I и радиусом ]k, окружность / с центром
} и радиусом ik и окружность К с центром k и радиусом //.
Тогда точки с\ и сч, изображенные на чертеже, находятся на
окружности, которая проходит через /, / и k. Далее, рассмотрим
инверсию с центром i и инвариантной окружностью /: образ с'
искомого центра лежит в Сх П С2, где С„ — окружность с цен-
центром с„, проходящая через /. Теперь можно построить центр с
(см. а)).
Основываясь на утверждении леммы, доказательство теоре-
теоремы .можно провести следующим образом. Пусть fi и F2 — две
218 Глава 10
фигуры (окружности или прямые), I — точка на плоскости, / —
окружность с центром f и <р — инверсия с центром i и январи-
антной окружностью /. Тогда <p(Fi) и ф(/?г) можно построить
с помощью одного только циркуля: если Fn— прямая <а, &>,
найдем образы ф(а) и ф(&) точек а и ft, a q>(Fn) будет окруж-
окружностью, проходящей через ф(а), ф(&) и /; если Fn — окружность,
найдем образы трех ее точек, а ф (/•"„) будет окружностью, про-
проходящей через эти три образа. Таким способом мы можем полу-
получить точки ф(Л)Л ф(^2)( которые соответствуют точкам Fif]Fi
при действии ф. Для нахождения Fif[F2 остается применить <р
еще раз.
Рис. 10.6.3.
10.7. Прежде всего сформулируем цепочку теорем, которые
требуется доказать.
Т2я: Пусть (D,)*_i in — семейство In прямых на евклидовой
плоскости, Ci — окружность, соответствующая семейству (D/)/^<
по теореме T2n-i; тогда 2« окружностей Ct имеют общую точку р.
Т2Я+1: Пусть A)г)<=1 2я+1 — семейство 2п+1 прямых на
евклидовой плоскости, a pi — точка, соответствующая семейству
(Dj)i^t по теореме Т2л; тогда 2п+1 точек pi расположены на
общей окружности С.
Начнем с теоремы Т2, в формулировке которой заменим пред-
предположение «.Ci — окружность, по теореме Ti соответствующая се-
семейству Dj (j?=i)» предположением «С,- — обобщенная окруж-
окружность Dj (j?=i)» (см. 20.А или [В, 20.1.5]). Тогда теоремы Та
и Т3 тривиальны: в первой утверждается, что две прямые, нахо-
находящиеся в общем положении, т. е. .пересекающиеся, имеют об-
обид ю точку, а во второй — что три ве шины треугольника рас-
Решения
219
Рис. 10.7.1. Т,,
Положены иа общей окружности (описанной окружности). Тео-
Теоремы Т4 и Т8 сформулированы в основном тексте. Докажем все
теоремы по индукции.
а) Доказательство теоремы T2,i
Обозначим через С; окружность, соответствующую прямым
{Dj)i^i по теореме Т2п_ь через ри\— точку, соответствующую
прямым (Dk)k& a, i) по теореме Т2я_2, через С{, />ft — окружность,
соответствующую прямым (?);)(* <4. /, *> по теореме T2/t_3, и т. д.
Мы знаем, что Cj и С2 проходят через точку рь 2, значит, эти
две окружности пересекаются и в некоторой другой точке р.
Покажем, что все окружности Ct тоже проходят через эту точку,
220
Глава 10
Начнем с четырех прямых Dlt D2, Dt и ?>/; тогда для четырех
окружностей Си С2, Сг,<,/ и См,/ имеем
С2, г, / Л Clt lt i = {ри 2, i, /, Рг,/} и C^^/QCi^lpi,/, Pi.j}-
Но точки р{, 2, р2, /, pi, 2,t,i и pi, / коцикличны, поскольку все онн
лежат на С\,2,/, так что по теореме о шести окружностях A0.D
или [В, 10.9.7.2]) точки р, р2,,-, р,,/ и phi также коцикличны.
Отсюда следует, что р е С», поскольку С* — единственная
окружность, проходящая через р2> i, pi, / и рь,-.
Ь) Доказательство теоремы Т2п+\
Мы используем те же обозначения, что н в a): pi, Ct,/ и т. д.
Точки рх, р2 и рз определяют окружность С. Покажем, что все
Рис. 10.7.2. Т4.
точки pi расположены на этой окружности. Предположим, что
имеется по крайней мере четыре прямые Du D2, D3 и Di. Тогда
для четырех окружностей d<2, Cll3, C3,i и d,i получаем
Ci,2nCiC = {pi,2,3. Pi). Сиъп^ъ, г = {Р1,з, к РзЬ
= {p2,3,t, Pi) и С2
Решения 221
Но pi,2,з.' Риг, и Р2,з,1 и pi,2, i коцикличны, поскольку они лежат
на С\, 2, з, t, так что по теореме о шести окружностях ри р3, pt и
р2 коцикличны. Отсюда следует, что р,- е С.
с) Начало индукции \
Отметим сначала, что во всех проведенных выше рассмотре-
рассмотрениях (включая теорему о шести окружностях) термин «ко-
«коцикличны» следует трактовать как «коцикличны или коллинеар-
ны» (так что доказательство в случае 2я+ 1 =5, где Ct, 2, з, i —
прямая, корректно). В силу этого замечания для начала индук-
индукции достаточно доказать теоремы Т2, Т3 и Т4. Как показано
выше, теоремы Т2 и Т3 тривиальны. Что касается теоремы Т4, то
ее можно доказать тем же способом, что и другие теоремы Т2л;
при этом вместо теоремы о шести окружностях нужно восполь-
воспользоваться следующим ее вариантом, который получается приме-
применением инверсии с полюсом с (см. формулировку теоремы в
10.D):
Пусть окружности С\, С2 и прямые D3, DA удовлетворяют
условиям
тогда если a, b, d коллинеарны, то а', Ь', с', d' коцикличны.
Замечание. Внимательный читатель обнаружит, что наше до-
доказательство не совсем корректно: это видно*«з нашего замеча-
замечания в с) о термине «коцикличны». Более аккуратное доказа-
доказательство потребовало бы замены всех окружностей обобщен-
обобщенными окружностями (см. 20.А или [В, 20]) и использования
теоремы о шести обобщенных окружностях.
10.8. а) Выражение р, ах и Ьх через ab,r as
Рассмотрим заштрихованный треугольник на рис. 10.8.1.
Условие о том, что две окружности, касающиеся D в точках
а и х, касаются одна другой, можно переформулировать с ис-
использованием теоремы Пифагора в следующем виде: (г + рJ =
= ах2 + (г — рJ, откуда адс2 = 4рг. Аналогично получаем, что
xb2 = 4ps и ab2 = 4rs. С другой стороны, возводя в квадрат ле-
левую и правую части соотношения ах + xb = ab, получаем ах2 -f-
+ 2ax-xbjj- bx2 = ab2, откуда_4рг + 2 VDpr) Dps) + 4ps = 4rs или
p (r + -y/^rs + s) = rs, но -\/4rs = ab, так что окончательно полу-
получаем
р =- rs/(r + ab + s).
Далее, запишем ax2 = 4pr = 4r2s/(r + ob -f- s), умножим числи-
числитель и знаменатель на 4г и вместо 4rs всюду подставим ab2;
222
Глава 10
мы получим ax2 = 4r2-ab2/(Ar2 + 4ab-r + 4rs), или
ах2 = 4г2 • аЬ2/Dг2 + 4ab ¦ г + ab2) = Br • abjBr + об)J,
или окончательно
ах = 2г • a&/Br + a*).
Аналогично находим, что
Ьх = 2s • ab/Bs + ab).
b) Точки касания окружностей Форда с осью х рациональны
В соответствии с формулами из а) отображение R3 в себя,
заданное правилом (ab, г, s) н-> (р, ах, Ьх), отображает Q3 в Q3.
Поскольку точки касания с прямой D двух исходных окружно-
окружностей имеют рациональные координаты (а именно, 0 и 1), анало-
аналогичное утверждение справедливо и для всех других окруж-
окружностей.
с) Все рациональные числа из [0, 1] могут быть получены
таким способом
В соответствии со сделанными выше указаниями к решению,
покажем индукцией по /, что любая точка t//e[0, 1] (j и I
взаимно просты) может быть представлена как точка касания
окружности Форда радиуса 1/2Р. Для / = 1 точки t/Je[0, 1| —
это 0/1 и 1/1; они являются точками касания двух исходных
окружностей, каждая из которых имеет радиус 1/2. Для 1^2
из условий i//e[0, 1] н t, / взаимно просты получаем, что
0 < i < / и, следовательно, существуют такие целые числа k и
п, что 0 < k ^ t, 0 < п <. I и Ы — ш = 1. Далее, положив / =
= i — k и m==t — n, получаем
0<A/тХ(Ш<(Ш<1
Решения 223
'(первое неравенство следует из неравенств на k и п, второе и
третье —из mi — jl = kl — ni= 1 > 0 и последнее следует из
k = A + ш)// < (п + га")// = п (A + 0/0 < л,
поскольку i <. I влечет A-f t)//^ 1). Заметим также, что / и
m взаимно просты, а следовательно, взаимно просты k и п, по-
поскольку /ш — jl = kl — ш = 1. Далее, так как 0 < я < / и
О < т < /, можно применить предположение индукции к точке
а с абсциссой //т н к точке Ь с абсциссой k/n; тогда мы полу-
получим окружность Форда у радиуса г==\/2т2, касательную к D
в точке а, и окружность Форда б радиуса $ = 1/2п2, касатель-
касательную к D в точке 6. Проверим, следуя а), что у и б касаются
друг друга:
ab2 = ((ft/n) - (//m)J = (km - ntflrfm2 =» l/n2m2 = 4rs,
поскольку
Am — nj = kl — ni = I.
Еще раз используя а), вычислим радиус и точку касания
малой окружности, расположенной между у и б:
р = DmV ((Щт2) + A/тп) - A/п2))) —
= l/Bn2 + 4mn + 2m2) = 1/2 (m + «J •= 1/2/*
и
ах = (тгп
так что абсцисса jc равна (j/m)-{-(l/ml) = (jt-{- \)/ml=mi/ml=
= i//. Таким образом, мы показали, что точка х с абсциссой i/l
может быть представлена как точка касания окружности Форда
радиуса \/2Р, завершив тем самым шаг индукции.
Глава 11
11.1. Мы предполагаем, что составляющие разбиение мно«
жества А и В непусты. Поскольку их только два, они имеют об<
щую границу
F = Fr (А) = А\А = Fr (В) = В \ В
[(граница множества есть дополнение внутренности до замыка-
замыкания). Более того, F = Af\B, так что граница выпукла, поскольку
замыкание выпуклого множества и пересечение двух выпуклых
множеств выпуклы (см. 11.А или [В, 11.2.1]).
н
н'
" г- D^
' и' Л "
Рис. 11.1.1. Рис. 11.1.2.
Граница множества имеет пустую внутренность, так что F —
выпуклое множество без внутренности. Согласно 11.А (или
[В, 11.2]), это означает, что размерность F (см. 11.А) равна О
или 1, поэтому F есть либо точка, либо выпуклое подмножество
прямой D на плоскости, т. е. интервал в D.
Сначала рассмотрим случай, когда F—точка. Согласно вы-
вышесказанному, внутренность А непуста. Рассмотрим точку аеЛ
и интервал [ft, ft'], содержащийся в В (он существует, так как В
не может состоять из одной точки). Для каждого *e[ft, ft']l
отрезок [а, х] содержит граничную точку подмножества
\а, х]С\А в [а, х], но эта граничная точка попадает также и
в F; в частности, F содержит более чем одну точку.
Итак, мы знаем, что граница F подмножеств А к В пред-
представляет собой невырожденный интервал некоторой прямой D
на плоскости. Но AftD н Bf\D также выпуклы и образуют раз-
разбиение для D, откуда получаем (переменив обозначения А и В,
если понадобится), что либо А П D = D, либо A f| D есть замкну-
замкнутый луч с началом в точке х прямой D. И в том и в другом слу-
случае F = D.
Далее, пусть Н, Н' — две открытые полуплоскости, опреде-
определяемые прямой D. Переобозначив, если понадобится, Н и И',
можно считать, что На А и H'czB. Действительно, из прове-
проведенного выше рассуждения следует, что если аеД Ь^В, то
отрезок [a, ft] обязательно содержит точку границы
Решении 225
Fr(a, х\ (Л П [а, х]) с F = D. Поэтому а и Ъ принадлежат двум
различным полуплоскостям, так что точки из Л и б не могут
оказаться в одной полуплоскости.
Мы приходим к следующему заключению: существуют два
типа разбиений плоскости на два непустых выпуклых множе-
множества. В первом случае А —замкнутая полуплоскость, определяе-
определяемая прямой D (а В — дополнительная к ней открытая полупло-
полуплоскость), а во втором случае А —открытая полуплоскость, попол-
пополненная замкнутым лучом.
Рис. 11.2.1. Рис. 11.2.2.
11.2. С целью подать обсуждаемый результат в надлежащем
свете напомним, что множество крайних точек выпуклого мно-
множества даже в компактном случае не всегда замкнуто; соответ-
соответствующие контрпримеры известны уже для размерности 3 (см.
|В, 11.6.5.3]).
Пусть С — замкнутое выпуклое множество и (xt)—последо-
(xt)—последовательность его крайних точек, сходящаяся к некоторой точке х
на плоскости; эта точка х принадлежит границе множества С,
поскольку граница есть замкнутое множество. Найдем прямую
D, опорную к С в точке х, и предположим, что х — не крайняя
точка. Тогда по определению A1.С или [В, 11.6.4]) существуют
такие точки у к г в С, что x = (y-\-z)/2 и уф г. Отметим сна-
сначала, что у и г с необходимостью принадлежат D, в противном
случае они должны располагаться по разные стороны от D и D
не может быть опорной прямой A1.В или [В, 11.5]). Поэтому
отрезок [у, г] расположен на прямой D и на границе множества
С. Более того, граница множества С в некоторой окрестности
точки х должна совпадать с [у, г], поскольку внутренность гра-
границы пуста.
Последовательность (xt) сходится к х, поэтому для больших
значений i точки xt будут находиться в открытом интервале
]у, г[ в противоречие с тем, что они крайние.
11.3. Для начала заметим, что если точки v, x, у, и распо-
расположены так, как на рис. 11.3.1, то двойное отношение [х, у, и, t»]l
больше 1. Действительно, отправляя v в бесконечную точку дан-
данной прямой (см. 6.А или [В, 6.2.5]), получаем [х, у, и, v] =
= хи/уи> 1. В частности, d(x, y)=\og[x, у, и, v], и нет необ-
необходимости прибегать к абсолютным значениям.
8 М. Берже и др.
226
Глава It
Рис. 11.3.1.
Итак, если / принадлежит отрезку [х, у]\ то из замечания
выше и задачи 6.1 следует, что
d(x, t) + d(t, y) = \og[x, t, u, t>] + log[/, у, и, »]=¦
= log (Гаг, /, и, v][t, у, и, v]) = log[x, у, и, v] — d(x, у).
Это, по-существу, означает, что на открытом интервале
]v, и [ рассматриваемая метрика совпадает с обычной евклидо-
евклидовой метрикой на R. Далее, пусть г—произвольная точка из А,
не принадлежащая прямой <х, уУ. Достроим чертеж так, как
Рис. 11.3.2.
Решения
227
показано на рис. 11.3.2: прямая <х, z> пересекает границу А в
точках а и b, a <i/, z> пересекает ее в точках cud. Положим
р = <а, d>fl<b, с}, 1>' = <х, «/>П<Ь, с>, «' = <х, t/>fl<Q, d> и
t = <р, 2> П <*. «/>•
Рассмотрим перспективу с центром р, отображающую <а, 6>
в <дс, (/> (см. 4.F или [В, 4.7]). Будучи томографией, она сохра-
сохраняет двойное отношение, так что [х, z, a, b] = [к, t, и', v'\ ^
^[х, t, и, о]; последнее неравенство следует из того, что, как
мы установили выше, метрика на ]и, v[ изометрична метрике R.
Рис. 11.3.3.
у
Рассматривая аналогичным образом перспективу с центром р,
отображающую (с, rf> в <дс, уУ, можно показать, что
[г, у, d, c] = [t, у, и', v']>[t, у, и, v].
Перемножая полученные неравенства, еще раз применяя ре-
результат задачи 6.1 и логарифмируя (все величины больше 1),
получаем
[х, г, а, Ь][г, у, d, с]>[*, /, и, v][t, у, и, v] = [x, у, и, v],
d(x, z) + d(z, y)>d(x, у).
Эта метрика превосходна, поскольку открытые интервалы ]v, u[
изометричны К.
Исследование строгого неравенства треугольника приводит
к интересным результатам. Очевидно, что если г не принадле-
принадлежит отрезку [х, у] и d(x, z) + d(z, y) = d(x, у), то мы с необхо-
необходимостью имеем [t, у, и', v'\ = [/, у, и, v], откуда и = и' и v — v'.
Это может иметь место только в том случае, если весь отрезок
[Ь, с), так же как и отрезок [a, d], расположен на границе А.
Обратно, если имеются две некрайние точки х, у, каждая из
которых лежит иа прямолинейном участке границы, то d{x, г)+,
8"
228 Глава 11
•+• d(z, y) = d(x, у) для бесконечного множества точек г, распо-
расположенных вне отрезка [х, у]. С другой стороны, мы можем быть
уверены, что наша метрика удовлетворяет строгому неравенству
треугольника, если Ft (А) состоит только из крайних точек.
11.4. Идея решения состоит в том, чтобы использовать ло-
логарифмическую производную полинома Р для нахождения его
производной Р'. Полином Р можно представить в виде произве-
произведения мономов П (г — г,), где Zi — кории полинома Р. Тогда
i
его логарифмическая производная равна
Р' у* 1
Р ~2-l Z-Zi'
i
Таким образом, если и — корень Р', то
откуда
Но последнее соотношение означает, что и есть барицентр точек
г, с массами |« —2,|-2, которые либо все положительны, либо
равны нулю (см. З.А или [В, 3.4.6]). Очевидным образом от-
отсюда следует, что и принадлежит
выпуклой оболочке точек Zi
(см. 11.А или [В, 11.1.8.4]).
Далее, пусть Р имеет степень
3; обозначим его корни через
а, Ь, с, а корни его производной
Р' — через и, v. Для доказатель-
доказательства сформулированного утвер-
утверждения используем вторую ма-
р ... лую теорему Понселе (см. 17.В
с> 4< или [В, 17.6.3.6]). Действи-
Действительно, для решения задачи достаточно доказать, что ориенти-
ориентированные углы между прямыми abau и avac равны и что ана-
аналогичное равенство имеет место для двух других вершин; в слу-
случае если все это выполнено, эллипс с фокусом в точке и, касаю-
касающийся прямых <а, Ь}, <Jb, c>, <c, а), обязательно должен иметь
вторым своим фокусом точку v. '
На комплексной плоскости эти два угла равны в том и
только том случае, если комплексные числа (Ь — а)/(и — а) и
(у — а)/(с — а) имеют одинаковые аргументы, или, другими
словами, их отношение Д(а) = [F — а){с — а)]/[(и—a) (v—а)]
Решения
229
есть действительное число (аналогично для Л (ft) и А (с)). Мы
вычислим это отношение в явном виде, используя связи между
корнями и коэффициентами Р. Объем вычислений можно сокра-
сократить надлежащим выбором Р, поскольку доказываемое свойство
инвариантно относительно изометрий плоскости. Возьмем Р =
~ 23 4- рг 4- q; тогда Р' = Зг2 + р, откуда а 4- ft 4- с = 0, аЬс =
= —q, u-\-v — Q и «а = р/3. Итак, для вершины а, используя
°3 :h Ра + Я — Ot имеем
л („\ _ —<? — 2ра — 2qr „
3
¦pa — q
11.5. Пусть х, у — две точки множества N(A) и г — произ-
произвольная точка в А. Отрезок [х, г] целиком содержится в А, по-
поскольку Л—звездное множество относительно х. Но А звездно
Рис, 11.5.
и относительно точки у, так что весь треугольник {х, у, г) со-
содержится в А. Отсюда следует, что [t, г] содержится в А для
любой точки t из [х, у) и, поскольку это справедливо для любой
точки геД, множество А звездно относительно t. Тем самым,
доказана выпуклость N(A).
На рисунке изображено множество N(A) для области в
форме бабочки — это одна точка, а также для звезды — это бо-
более темный пятиугольник в середине.
Глава 12
12.1. Способ построения, представленный на рис. 12.1.1, не-
несколько длинноват, но мы надеемся, что он понравится чита-
читателю своей естественностью и наглядностью. Предположим, что
мы достроили чертеж до правильного десятиугольника и что R —
радиус описанной около него окружности (см. 12.С или
[В, 12.4.3]). Мы также полагаем (в обозначениях рис. 12.1.4)
аЪ = L и ас = М.
Шаг 1. Мы утверждаем, что LM = R2 и М — L = R. Действи-
Действительно, учитывая свойства вписанных и центральных углов (см.
Рис 12.1.4.
10.D или [В, 10.9]), а также тот факт, что сумма углов треуголь-
треугольника равна л, получаем
Оа, Ob = aO, ac = cO, ca — -j-,
Ьа, bd =
da, db = dO, dc — n — dO, da = n — (n — Oa, Ob — aO, ас) —
эх _, _эт 2я
Отсюда следует, что треугольники {a, b, d) и {с, d, 0} — равно-
равнобедренные, поскольку в каждом из них два угла равны (см. 10.А
(осторожно!) и [В, 10.2.2]). В частности, ab = ad = L и М =
= ad + dc = ab -f1 Ос = L + R- С другой стороны, треугольники
{а, О, d) и {а, с, 0} подобны, так что (см. 10.А или [В, 10.2.7])
ad/aO = аО/ас, откуда следует, что
LM = ab- ас = ad~ ас = R3.
Решетя
231
Рис. I2.I.5.
Шаг 2. Соотношения LM = R2aM — L = R однозначно опре-
определяют L и М как корни квадратного уравнения
Их значения равны L = [(V5 - l)/2]tf и М = [(Уб + l)/2] /?.
Геометрическое построение на рис. 12.1.4 можно обосновать сле-
следующим образом: очевидно, что ас'— ad'= R, поэтому
в силу свойства степени точки относительно окружности (см.
10.В или [В, 10.7.10]).
Завершение первого построения. Достаточно воспользоваться
Свойством единственности правильных многоугольников A2.С
232
Глава 12
или [В, 12.4.2] J. Поскольку аЬ с необходимостью равно
[(Уб — l)/2]/?, построение действительно приводит к правиль-
правильному десятиугольнику, из которого можно получить правильный
пятиугольник.
Второй способ: построение с полоской бумаги. Речь идет о
построении, которое не является собственно математическим и
даже не имеет практического значения. Тем не менее мы пока-
покажем, что полученная фигура содержит в себе правильный пяти-
пятиугольник. Прежде всего заметим, что сгибание полоски бумаги
приводит к равным углам (рис. 12.1.5).
Нам нужно показать, что между собой равны пять углов
й, Ъ, с, Й, ё (и, следовательно, все имеют значение Зя/5) и пять
сторон ab, be, cd, de, ea. Перегибания относительно сторон cd,
ае, be приводят к следующим равенствам:
й — ё, В —6, ё — d, eb = ec.
Из параллельности ad и be и равенства еЬ = ее следует, что фи-
фигура симметрична относительно прямой, проходящей через е,
при этом соответствующая симметрия должна переводить b в с
Hand. Отсюда ае = ed и й = Й, так что все пять углов действи-
действительно равны. Что же касается сторон, то три перегибания дают
be = de, ab = cd и be = ea, так что с учетом полученного выше
равенства ae—ed мы приходим к тому, что все стороны также
равны.
12.2. Напомним, что группа G(P) правильного полиэдра
действует просто транзитивно на множестве троек, каждая из
которых состоит из вершины, ребра, выходящего из данной вер-
вершины, и грани, содержащей данное ребро (см. 1.D и 12.С или
[В, 12.5.2.5]). Остается определить, сколько таких троек содер-
содержат данное ребро а. Поскольку каждому ребру соответствуют
в точности две вершины s, s' и две грани /, /', мы получаем че-
четыре тройки (s, a, /), (s, a, p), (s', a, /) и (s', a, f).
лйй|
Ш
/ «
в /'
•r'Z -i
Рис. 12.2.
Решения 233
12.3. Вычисление объема. Пусть координата г откладывается
вдоль оси вращения D, а х так откладывается в Р, что (*, г) —
ортонормированные координаты и оси D соответствует х = 0.
Обозначим через Л (г) площадь сечения компакта С горизон-
горизонтальной плоскостью высоты г и предположим, что К описы-
описывается двумя функциями f, h: [a, b\-*-R (т. е. Fr(/C) есть объ-
объединение графиков f и А). Тогда мы имеем
б
8Я (С)=\А {г) dz (по теореме Фубини),
к
Формула
\xdxdz
определяет ^-координату центра Maccg компакта К (см. 2.G). Но
h(z)
b/h(z) \
=U J xdx\dz = -^
К о \(г)
так что действительно %E\C) — 2nd{g, D)8P(/C).
Примеры. 1. Пусть К — круг радиуса г, центр которого от-
отстоит от D на расстояние R. Тело С представляет собой тор; по-
поскольку центр масс компакта К совпадает с его геометрическим
центром, мы получаем следующее выражение для объема то-
тороидального тела С:
8Я (С) = 2nR (яг2) = 2n2Rr2.
2. Пусть К — полукруг радиуса R, диаметр которого лежит
на D. Тело, полученное вращением К вокруг D, представляет
собой обычный шар радиуса R. Нам известен его объем:
[ так что формула Гульдина позволяет нам вычислить расстоя-
! ние d от центра масс g компакта К до прямой D ( силу сущест-
[ вующей симметрии оно определяет g однозначно):
или d==-wR-
Вычисление площади поверхности. Можно было бы приме-
применить тот же метод, что и выше, но более поучительно восполь-
284
ГЛжм 12
Рис. 12.3.1.
зоваться «техникой покраски» (см. 12.В или [В, 12.10.7]'). При
доказательстве мы будем обозначать тремя точками (...) члены
по К, которыми можно пренебречь. Идея состоит в том, чтобы,
используя шары радиуса X, раздуть К и С до поверхности /С
и тела С (к) соответственно. Тогда, как мы знаем,
2, (К (Я,))-2Р (К) + ЛИ, (*)+....
В силу ассоциативности барицентров получим следующее соот*
ношение между центрами масс g(ty, g и h(X) компактов К (Я),
К и К(Ь)\К соответственно:
Zp{K
g ( ' ~
ИР (/С
При Х-+0 точка h(X) стремится к центру масс h однородной
нити на границе К. Таким образом, мы имеем
«я(К(M)rffc(A). D) = 2P(K)d(g, D) + MLP(K)d(h,
Применим теперь формулу Гульдина для объемов: при лю-
•) См. также [В, 9.12.7. 12.3.8]. — Прим. перев.
Решения
235
бом А, имеем iElC{X))=*2nd(g'(k)\ D)8P'(K(M)- Сравнивая чле-
члены, содержащие К, в левой и правой частях, получаем
Примеры. 1. Каки выше, площадь поверхности тора С, полу-
полученного вращением окружности радиуса г, центр которой ог-
Рис. 12.3.2.
Рис. 12.3.3,
стоит на расстояние /? от оси вращения D, определяется фор-
формулой
2л/? Bлл) = 4л2#г.
1 2. Для однородной нити в форме полукруга радиуса R полу-
получаем, что расстояние d от ее центра масс до диаметра опреде-
определяется формулой
~" ~ " R), или d=^R.
236
Глава 12
12.4. Шаг I. Для начала применим к решению задачи тео-
теорему Аполлония (см. 15.D или (В, 15.6.4]), в которой утверж-
утверждается, что для эллипсоида F с центром а объем параллелепи-
педа, построенного на множестве {oa,}f_i „ сопряженных по*
лудиаметров, есть константа A(F). В частности, этот объем сов-
совпадает с тем, который получается в случае, если все aat явля-
являются полуосями F. Поэтому C(F)= Р(л)Л(F). Отсюда следует
Лемма. Пусть {aat}t-i п — множество попарно ортогональ-
ных радиусов эллипсоида F; тогда
Доказательство проводится индукцией по п. При п = Г
утверждение леммы очевидно. Пусть Н — гиперплоскость, про-
проходящая через центр а и содер-
содержащая иг, .... ап, и пусть аа\ —
полудиаметр, сопряженный к Н. За-
н метим, что расстояние d ота{ до Н
удовлетворяет неравенству d ^ аа\.
Обозначим через F' эллипсоид, по-
полученный пересечением F и гипер-
гиперплоскости Н, и заметим, что добав-
добавление аа\ к системе сопряженных
полудиаметров для F' приводит к си-
системе сопряженных полудиаметров
для F. Наконец, заметим, что объ-
объем параллелепипеда, построенного
и п—1 векторах из Н, определяется произведением d
Рис. 12.4.1.
на аа
и объема параллелепипеда в Н, построенного на тех же п—1
векторах. Применяя предположение индукции к F', получаем
A (F) > dА (/=") > d
(-2
п ^^
ai > aai П (Щ > П
<ю,
Шаг 2. Пусть S — единичная сфера в^с центром в точке 0.
Рассмотрим одну из осей ptp\ данного эллипсоида Е, и пусть
2o.l=-plp'i— длина этой оси. Обозначим через со центр Е и через
\t — расстояние от со до гиперплоскости, проходящей через 0
ортогонально р{р\.
Полярное тело Е* содержит полюсы b{, bi касательных
гиперплоскостей Kt, К\ к Е в ри р\. Точки bt, bt лежат на пря-
прямой, проходящей через 0 па_раллельно Pip\, и их расстояния
до 0 суть Щ= 1/(а, -1) н 6&Т= 1/(а, + I).
Решения
237
Pi
Ki
t
0
A
Рис. 12.4.3.
В частности, длина хорды ЬгЪ\ в Е* равна
^^ ' | ' = Jni , ^ 2 .
Рассмотрим хорду а{п{, проходящую через центр а парал-
|лельно (bi, b'i). Используя полученное выше неравенство, оче-
зВидным образом имеем
— а.а, _ 6,6. . 1
238 Глава 12
Проводя описанную выше процедуру для всех осей ptp\
эллипсоида Е, в итоге мы получим ортогональное множество
{aa{}t-i п радиусов Е*. Таким образом, в силу леммы
и приведенного выше неравенства, записанного отдельно для
каждого i, имеем
2 (Г) = И"М (Я*) > р (/г) П «я> Р (") П i'
Но поскольку {pip't) — ортогональные оси Е, имеем также
Г
Отсюда следует доказываемый результат: ()()ХР())
Если имеет место равенство, то для каждого I должно быть
b[bi ==2/а{, следовательно, 1^ = 0 означает, что ю = 0, где 0 —
центр сферы S. Обратно, если это так, то хорды а{а'( явля-
являются ортогональными осями Е', откуда 2(?*) = Р(я)П A/а,) и
12.5. Идея доказательства состоит в том, чтобы использовать
уравнение Эйлера или, что эквивалентно, опорную функцию
выпуклого множества (см. [В, 11.8, 12.3]), для того чтобы с ее
помощью определить кривизну. Точнее, пусть h: R-+-R+ — пе-
периодическая функция класса С2 с периодом 2я; тогда семейство
прямых, описываемых (относительно ортонормированного ре-
репера) уравнениями х cost + // sin t = h(t), /eR, является оги-
огибающим для замкнутой плоской кривой с параметрическим пред-
представлением /1—> (Л cos / — Л' sin /, h sin t + h cos /).
Обратно, любое строго выпуклое множество С с (^-глад-
(^-гладкой границей можно получить описанным выше способом, если
только начало 0 системы координат лежит в С. Действительно,
h(t) определяется как расстояние от 0 до такой опорной к С
прямой с направляющим вектором (—sin t, cost), что вектор
(cos /, sin t) направлен от начала координат к этой прямой.
В таком контексте две теоремы Бляшке о качении, которые
мы хотим доказать, суть следствия более общего утверждения:
Лемма. Пусть D и Е — два выпуклых множества, определен-
определенные такими функциями h(t) и k(t) (см. выше), что h@) =
= fc@) = 0 и /i'@) = &'@) = 0. Тогда если для всех t кривизна
Е в точке касания с опорной прямой с углом наклона t всегда
меньше либо равна кривизне D в точке касания с опорной пря-
прямой с тем же углом наклона, то выпуклое множество Е содер-
содержится в D.
Радиус кривизны D (соотв. Е) в точке, отвечающей значению
параметра /, авен hit -\-h"(t соотв. k[t *\~k" t ; чтобы убе-
Решения
239
диться в этом, достаточно записать центр кривизны как точку
касания нормали к кривой с ее огибающей. Нормаль к D в дан-
данном случае имеет уравнение —х sin t + у cos / = ft' (t) (уравне-
(уравнение Эйлера), и центр кривизны представляет собой пересечение
этой нормали с —дсcos/ — t/sin/ = Л"(/) (см. выше). Таким об-
образом, мы получаем искомое значение радиуса кривизны (см.
рис. 12.5.1).
Рис. 12.5.1,
Известно, что для любого /
Р (/) - k (/) + k" (t) < А @ + А" @ = о (/).
По условию А@) = ?@) =0 и А'(О)=Л'(О) = О, так что реше-
решениями Л, k дифференциальных уравнений k + k" = p, h + ft" = а
являются
t
ft (/) = J 0 E) sin (/ - s) ds, k @ = J p (s) sin {t — s) ds.
о о
Поскольку р <: о при всех t, имеем h(t)^k(t) при всех
/е[0, я], так как sin(tf — s) обязательно положителен. Более
того, подстановкой —/ вместо t можно показать, что неравен-
неравенство справедливо при всех /.
Далее, методом от противного можно показать, что Е содер-
содержится в D. Если бы некоторая граничная точка лежала внутри
Е, то мы могли бы рассмотреть опорную прямую Д к D в этой
точке и опорную прямую в к Е, параллельную Д, и для этих
двух прямых Л(/)< k(t).
240
Глава 12
Рис. 12.5.2.
Рис. 12.5.3.
Доказательство теорем о качении. Для соприкасающегося
круга максимального радиуса применим утверждение леммы,
взяв в качестве Е этот круг и D = С. В случае круга минималь-
минимального радиуса возьмем С — Е и этот круг в качестве D.
Как показывает рис. 12.5.3, этот результат неверен, если за-
заменить круг максимального (соотв. минимального) радиуса кри-
кривизны кругом максимального (соотв. минимального) радиуса,
содержащимся в (соотв. содержащим) С,
Глава 13
13.1. Речь идет о непосредственном следствии из существова-
существования несингулярного пополнения (см. 13.Е или [В, 13.3.4]) и
теоремы Витта A3.Е или (В, 13.7.1]). Действительно, пусть 0 —
вполне сингулярное подпространство максимальной размерности
s, содержащееся в Е. Согласно 13.Е, существует такое несингу-
несингулярное пополнение F для U, что F представляет собой простран-
пространство Артина Art2s. Пусть Fx — ортогональное ему подпростран-
подпространство; поскольку F несингулярно, Е может быть представлено в
виде ортогональной прямой суммы
E = F®F±
f'A3.D или [В, 13.3.2]). Мы утверждаем, что F1 не содержит не-
ненулевых изотропных векторов. Если бы х был таким вектором,
он был бы ортогонален U и вместе с U порождал бы вполне
сингулярное подпространство размерности, большей s, что про-
противоречит максимальности s.
Таким образом, если мы умеем классифицировать анизотроп-
анизотропные пространства, такие, как FL, то задачу можно считать ре-
х
шенной, ибо по теореме Витта два разложения вида F © F
всегда изоморфны, a F = Art2s хорошо изучено.
13.2. Мы уже убедились (см. 13.В или [В, 13.1.4.7]), что число
классов квадратичных форм в случае размерности 1 над полем
К совпадает с числом элементов в К/(К*J. Для определения
этого числа рассмотрим гомоморфизм k *—* k2 мультипликатив-
мультипликативной группы К* в себя. Поскольку характеристика К предпола-
предполагается отличной от 2, ядро этого гомоморфизма (изоморфное
К*/(К*J) есть dhl, так что оно состоит из двух элементов, а
К/{К*J из трех.
Соответствующие три квадратичные формы суть вырожден-
вырожденная форма 0, форма х2 и третья форма, которая в случае, когда
— 1 не является квадратом в К, равна —х2. Если —1 есть квад-
квадрат, то третья форма будет другой; например, для /C = Z/5Zj
можно взять форму 2х2.
13.3. Нам нужно найти бесконечнее множество элементов из
факторпространства Q/(Q*J. Для этого заметим, что два раз-
различных простых числа р и q с необходимостью имеют в этом
факторпространстве разные образы. Доказательство этого
утверждения (т. е. того, что p/q не является квадратом в Q)
классическое, оно аналогично доказательству иррациональности
числа л/2.
13.4. Пусть Е — двумерное пространство, снабженное невы-
невырожденной квадратичной формой q. Прежде всего напомним, ч\9
если /s«M?) и ge=0-.(?), то glg~l = f~l (см. 13.F или
242 Глава 13
(В, 13.8.1]). Мы повторим здесь красивое доказательство этого
результата. Поскольку g' = gf e О~(Е), отображение g', так же
как и g, есть отражение относительно неизотропной прямой (это
следует из общего утверждения о том, что любой элемент груп-
группы О(Е) представим в виде композиции не более чем п = dim E
отражений относительно гиперплоскостей; если п = 2 и отобра-
отображение изменяет ориентацию, то в композиции участвует только
одно отражение). В частности, g, g' — инволюции:
g2 = g'2 = Idfi.
Но тогда
- g (ggf) g-1 - g'g~x - g'-'g-1 = (ggT1=Г»,
что и завершает доказательство.
Далее, предположим, что О(Е) коммутативна; тогда gfg
= / = /-», так что /2 = Id?. Но по классификации инволюций
(см. 13.Е или [В, 13.6.6]) f может быть только либо тождествен-
тождественным отображением, либо отражением относительно начала,
—Ids. В частности, О+(Е) содержит только два элемента dhldfi
(которые различны, поскольку характеристика не равна 2). Но
О+(Е) имеет индекс 2 в О(Е), так что порядок О-(Е) также ра-
равен 2. Поскольку О~(Е) содержит все отражения относительно
неизотропных прямых, то в ? имеется ровно две такие прямые.
Но и изотропных прямых там может быть не более двух (в дей-
действительности их либо нет совсем, либо две; в последнем случае
?1 = Art2), так что Е содержит либо только две, либо только
четыре прямые. Таким образом, К конечно и число прямых в Е
равно порядку К плюс 1. Исключая случай #{К)=\, мы при-
приходим к полю из трех элементов, при этом Е с необходимостью
есть Art2.
Остается проверить, что О(Айг) над трехэлементным полем
действительно коммутативна. Это можно сделать непосредствен-
непосредственно, либо заметить, что существуют только две группы порядка 4,
а именно Z/4Z и группа Клейна (см. [В, 0.2]). Только группа
Клейна состоит из элементов с единичными квадратами, так что
0(Art2) над трехэлементным полем изоморфна ей и, в част-
частности, коммутативна.
13.Б. Прежде всего поясним, чем интересен этот результат.
Естественный способ доказательства того факта, что ортогональ-
ортогональная группа порождается отражениями относительно гиперпло-
гиперплоскостей (он хорошо работает в случае, когда нет изотропных
векторов, например в евклидовом случае, см.8.С или [В,8.2.12]),
состоит в том, чтобы для неизотропного вектора х и данного
feO(?) найти такое отражение относительно гиперплоскости,
которое переводит х и f(x) друг в друга. С этой целью следует
рассмотреть гиперплоскость, ортогональную х— f(x), при этом
Решения
243
вектор х — f(x)~ должен быть анизотропным. Утверждение, ко-
которое мы докажем, состоит в том, что существуют такие [Е, q),
для которых этот метод не работает.
С целью составить гипотезу о строении f напомним
[В, 13.6.7], что из условия, которое мы хотим наложить на /
'(т. е. что для любого неизотропного х вектор х — f(x)—ненуле-
f(x)—ненулевой изотропный), следует, что и ядро ?/ = Кег(/ — Ые) и образ
V = lm(f—Ids) линейного отображения-/—ЫЕ являются впол-
вполне несингулярными пространствами и что ?= U -{- V. Этим до-
доказано, что Е — пространство Артина Art2s, где s = diml/=a
= dim V. Этим доказано также, что матрица / в базисе, согла-
согласованном с прямой суммой U + V, имеет вид
КО 1)'
поскольку U и V — соответственно ядро и образ для f—g
Таким образом обеспечивается изотропность х — f(x) '(вне за«
висимости от того, изотропен х или нет), так как для х—(а, Ь)
имеем х — f(x) — {a — S(a), 0)e[/,
Л*)
Рис. 13.5.
Имеется также условие fsO(E). Матрица формы q в ба-
базисе, согласованном с U -\- V, может быть записана в виде
\i о)-
поскольку ? = Art2s г(см. 13.А, 13.В или [В, 13.1.3.8]). Условие
/sO(?) равносильно соотношению
l S\(° 1\A S\/O 1\
о /Д/ оДо ij\i о)'
Отсюда следует единственное ограничение '5 + 5 = 0, т. е. S
должна быть кососимметричной.
244 Глава 13
Наконец, для любого неизотропного х вектор х— f(x)' дол-
должен быть ненулевым, откуда следует, что S(a)^=0 для любого
ненулевого вектора а из U. Поскольку S кососимметрична, это
возможно лишь в том случае, когда размерность Е четна (опре-
(определитель кососимметричной лХ^-матрицы при нечетном h всег-
всегда равен нулю). Мы заключаем, что s четно, т. е. s —2s' и
E = ArUs'. Для построения f достаточно взять любую кососим»
метричную матрицу 5 ранга s=»2s'.
Глава 14
14.1. Пусть G— множество ориентированных прямых в
«-мерном вещественном проективном пространстве P"(R). Они
находятся во взаимно однозначном соответствии с ориентиро-
ориентированными двумерными векторными подпространствами Р в Rn+*
(см. 4.В или [В, 4.6]). Рассмотрим в пространстве Rn+I его ка-
каноническую евклидову структуру; каждая плоскость Р можег,
Рис. 14.1.
быть определена с помощью пары векторов \х, у), таких, что
||дс||2==||^||2= 1 и (х\у) = 0. (Q)
Двум таким парам (х, у) и \х*, у1) отвечает один и тот же
элемент множества G тогда и только тогда, когда найдется та-
такое вещественное число t, что
*' = jccos/ + у sin/,
у' = — х sin t + у cos t.
С другой стороны, С(п) является образом множества точек
в Р"(С), однородные координаты (z0 zn) которых удовлетво-
удовлетворяют равенству zl + z]-\- ... -\-zl-0, где Zi — комплексные
числа. Требуемая биекция G-^-C(n) есть просто факторотобра-
жение множества пар (х, у), описанных выше, в пространство
.С,п+1, которое задается формулой
Кх — V.-*0» • • • I ¦* л/» У — \ио» • • •» У nil \*0 I 1Уо» • • •» *jT 1Уп)'
Образ множества G, очевидно, содержится в С(л), так как для
пары [х, у), удовлетворяющей (Q),
Отображение инъективно: если (х, у) и (xf, у*) имеют один
и тот же образ, то их проективные координаты пропорцио-
пропорциональны в С. Полагая zk = Xk-\-ty*, z* = ** + '{/*» получим
246
Глава 14
равенства г* = А
ном X. Тогда |Zft|
справедливые для всех k при фиксирован-
фиксированA,||Zfc|. Имеем | А.|=1, т. е. Х = е", так как
и аналогичное равенство верно для z'k. Итак, х? = х cos i -p
+ ysin/, у' ==»—a; sin / + у cos /, откуда следует, что определен-
определенные двумя заданными парами элементы из G совпадают.
Отображение сюръективно: если (г* = Xk + it/k) — произволь-
произвольный набор из (rt + 1) комплексных чисел, удовлетворяющих
условию ? 4 = 0, то || х f = || у|f и (х\у) = 0. Разделив х и у
на ||х|| (с проективной точкой зрения ничего не изменится), по-
получим пару, удовлетворяющую
(Q).
Наконец, ясно, что отображе-
отображение непрерывно и должно быть
гомеоморфизмом, так как это
биекция на компакт Р"(С) (см.
4.G или [В, 4.3.3]).
14.2. Воспользуемся результа-
результатом о гармонически описанных
квадриках: 14.Е или [В, 14.5.4].
Пусть {а, Ь, с} и {а', Ь\ с'} —
два автополярных треугольника
относительно коники а. Рас-
Рис. 14.2.1. смотрим конику а', проходящую
через точки а, Ь, с, а', Ъ'. По
построению коника а' гармонически описана около а, поэтому
поляра а' относительно а пересекает а! в двух точках Ь', с".
Итак, эта поляра по определению есть <&', с'), так что Ъ\ с' и с"
лежат на одной и той же прямой и обе пары (Ь', с7) и (&', с")
сопряжены относительно а, следовательно, с' = с".
Приложение. Пусть X — евклидова плоскость, Н —г равнобоч-
равнобочная гипербола (см. 17.А) в X и {а, Ь, с) —треугольник, автопо-
автополярный относительно Н. Мы утверждаем, что окружность, опи-
описанная около {а, Ь, с}, проходит через центр О гиперболы Н.
Мы работаем в проективном пополнении комплексификации
X. Через Й обозначим пополнение Н (см. 15.А, 17.С или
[В, 17.5]). Треугольник, образованный О и двумя круговыми
точками (см. 9.D или [В, 9.5.5]), автополярен относительно Я,
так как Н равнобочная, а по определению это означает, что ее
бесконечно удаленные точки соответствуют ортогональным на-
направлениям (см. 17.А или [В, 17.1.3]). Итак, четыре точки а,
Решешя
247
Рис. 14.2.2.
b, с, О и две круговые точки лежат на одной и той же конике,
которая должна быть окружностью A7.С или [В, 17.4.2]).
14.3. Геометрическая интерпретация этого условия состоит
в том, что существует автополярный симплекс {а(} относительно
квадрики а, у которого все грани коразмерности 1 (т. е. <а2. • ••
.... апу, <аь а3, .... о„> и т. д.) касаются а' (такой симплекс
будет описанным около а'). Фактически, поскольку тангенциаль-
тангенциальные уравнения задаются матрицами, обратными к матрицам
исходных уравнений (см. 14.F или [6, 14.6.1]), условие
tr (q/-1 о ф) = 0 можно переписать в виде tr(q/ оф-') = 0, но это
и есть условие того, что а'* гармонически описана около а*.
Свойство автополярности симплекса сохраняется относительно
двойственности, в то время как понятие вписанного и описан-
ного симплексов меняются одно на другое.
Второе свойство двойственно к описанному в предыдущей
задаче A4.2). Рассмотрим два треугольника {а,Ь,с} и {а',Ь',с'},
248
Глава 14
Рис, 14.3.1.
Рис. 14.3.2.
вписанных в одну и ту же конику. Покажем сначала, что су-
существует коника, относительно которой оба треугольника авто-
полярны. Условие того, что две фиксированные точки сопряжены
относительно некоторой коники, линейно по коэффициентам ко-
Решения 249
ники в проективном пространстве коник PQ(fT), которое имеет
размерность 5 (см. 14.D или [В, 14.2]). Итак, мы можем найти
конику с пятью парами сопряженных точек {a, b), {b, с}, {с, а},
{a', b'}, {af, <?}. Но отсюда следует, что точки Ь', с' также со-
сопряжены (ввиду задачи 14.2).
В силу вышесказанного два треугольника, вписанных в ко-
конику и сопряженных относительно второй коники, должны быть
описаны около третьей коники. Отсюда легко получить много
треугольников, вписанных в одну конику и описанных около
другой, начиная с одного такого треугольника. Мы уже дока-
доказали большую теорему Понселе для п = 3 (см. 16.Н, задачу 10.2
или [В, 16.7]).
Для треугольника (а, Ь, с}, описанного около параболы Р,
мы применим к пополнению Р комплексификации Р (см. 15.А,
17.С или [В, 17.4.1]) полученный выше результат и заметим, что
мы уже знаем треугольник, описанный около Р, который обра-
образован фокусом параболы Р и двумя круговыми точками. Отсюда
следует, что окружность, проходящая через а, Ь, с, проходит
также через фокус в силу 17.С или [В, 17.4.3].
Глава 15
15.1. Первая часть. Пусть р = (а + &)/2. Мы собираемся рас*
смотреть полярность относительно С (см. 15.С или [В, 15.5] )<
Полярой точки т служит <а, 6>, поэтому полюсом прямой /)=»
=* (м, Р> служит точка х прямой <а, 6>, гармонически сопря-
сопряженная с р относительно пары точек (а, Ь). Поскольку р — се-
середина отрезка [а, Ь], это означает, что дс = оо0 есть беско*
нечно удаленная точка прямой D.
Полюсом D является бесконечно удаленная точка, поэтому
D должна содержать полюс бесконечно удаленной прямой оол.
аффинной плоскости (см. 14,Е или [В, 14.5.1]). По определению,
Рис. 15.1.3.
этим полюсом является центр С. По построению поляры точки
при помощи точек касания касательных к конике, проведенных
из этой точки (см. 14.Е или [В, 14.5.2.6]), мы видим, что каса-
касательные к С в точках ее пересечения с D (если они есть) долж-
должны проходить через полюс прямой D, т. е. через оо0. Это в точ-
точности означает, что эти касательные параллельны <а, &>.
Вторая часть. Если теперь С — парабола, то полюс беско-
бесконечно удаленной прямой оо* есть точка оос, где С касается этой
прямой, так что D параллельна оси параболы (см. 15.С или
|[В, 15.5]). Тем не менее D обязательно пересекает С, так как
они имеют общую точку оо0. Поскольку [т, р, s, ooD] = —1, мы
должны иметь s =(/n-j- р)/2 (см. 6.В).
Третья часть. Пусть для параболы даны {т, а, Ь); построим
последовательно p=(a + b)/2, s = (m + p)/2, а' —(т + а)/2,
b'— (m -f Ъ) 12. Парабола будет касаться <а', Ь'У в точке s. To
же построение можно выполнить с тройками {a',a,s} и {b',b,s}
Jcm. рис. 15.1.5). Получим, что площадь {т, а', Ь'} равна 1/4
площади {т, а, Ь). Далее,
area ({a', s, a}) = area ({а', s, m}) = ^- area ({/и, а', &'})=»
= -ft-area({m, a, b}) и т. Д.
Решения
251
Рис. 15.1.5.
Таким образом, искомая заштрихованная площадь равна
area({m, a,b})(l-i--
= агеа({т, a, b)){l - ±—±--L _...)
= агеа({т, a, b}) B— { J1/4 ) =-|- агеа({т, a, b}).
252
Глава 15
15.2. Идея состоит в том, чтобы преобразовать данный па-
параллелограмм в квадрат, для которого результат очевиден. Мы
воспользуемся подходящим аффинным преобразованием, так
\l
Рис. 15.2.2.
как отношение са/ср" инвариантно относительно таких преобра-
преобразований. Значение этого отношения для окружности, вписанной
в квадрат, равно л/2; таким образом, оно то же самое и для
эллипса, полученного обратным преобразованием из окруж-
окружности.
Примечание. Эта величина У2 позволяет построить восемь
точек на эллипсе, для которого известны два сопряженных полу-
полудиаметра (см. 15.С или [В,
15.5.10]). Используя эти восемь
точек для проведения всей ос-
остальной кривой, мы избежим не-
необходимости построения осей
(см. [В, 17.9.22]).
15.3. Пусть q = 1 —уравнение
для Q, где ? —квадратичная
форма; докажем второе свойство.
Пусть и, v, ад —три единичных
вектора, их направления сопря-
Рис. 15.3. жены относительно Q и а, Ь —
точки пересечения с Q прямой,
параллельной и_ и _проходящей через х. Тогда (с точностью до
знака) длины ха, хЬ являются корнями уравнения q(x-\-Xu)== -
= 1 относительно X. Если Р-*- полярная форма для q (см. 13.А
или [В, 13.1.11), то
Решения
253
Произведение ха • хЬ, таким образом, есть абсолютная величина
произведения корней, т. е.
Применим это соотношение к случаю, когда х=О — центр
Q. Получим q(u) = (Oa'J, где [О, а']—полудиаметр в направ-
направлении и. Проделав то же самое для v а ш, мы получим
ха• ~хЪ+
=(\ ~q(x))((Oa'f + {Ob'f + (Oc'f),
где Oa\ Ob', Qc' — полудиаметры, параллельные и, v, w соот-
соответственно. По теореме Аполлония сумма (Оа'J -{-(Ob'J-f-
-}-(Ос'J постоянна (см. 15.D или [В, 15.6.4J). Если в ортонор-
ортонормированием репере уравнение Q имеет вид х2/а2 -f- У2/$2 +
r\-z2/y2 = 1, то значение этой постоянной равно a2 -j- fj2 -\- у2.
Для того чтобы доказать первое свойство, поступаем в точ-
точности так же, как и выше, за исключением того, что теперь три
вектора и, v, да образуют ортонормированный репер, и вместо
теоремы Аполлония мы используем приведенную ниже за-
задачу 15.4.
15.4. Пусть q — квадратичная форма, определяющая эллип-
эллипсоид & в п-мерном аффинном евклидовом пространстве X, так
что <g={x^X: q{x)=l}. Основное наблюдение здесь состоит
н
Рис. 15.4.1.
в том, что матрицы, представляющие q в различных ортонорми-
рованных базисах, подобны (см. [В, 15.6.7J). Действительно,
если q в одном ортонормированном базисе представляется мат-
матрицей А, то в другом базисе матрица В, представляющая q,
будет иметь вид 'SAS. Однако матрица S ортогональна, так как
мы переходим от одного ортонормированного базиса к другому,
254
Главе 15
и потому *S==S-1 (см. 8.А или [В, 8.2.1]), а, следовательно,
В ¦= S~M5 действительно подобна А. Итак, след матрицы А
можно обозначить tr(q) и назвать его следом q, так как это по-
понятие не зависит от базиса, в котором записана А.
Пусть теперь {щ} — произвольный ортонормированный базис,
a {at} — точки, в которых полупрямые {О, ы^) пересекают 8.
Рис. 15.4.2.
Если а, = *,«,, то мы должны иметь q (at) = xfq (ut) =* l, так
что (Ouif = x\ = l/[q (uj] а, следовательно,
Если ?=Z№) в базисе, в котором q диагонализуется,
то, в частности,
Из 9.В или [В, 9.2.6.4] вытекает, что расстояние h от центра
О до аффинной гиперплоскости, определенной п точками щ,
должно быть постоянным и равным
Следовательно, эта гиперплоскость всегда касается сферы S ра«
диуса h с центром в точке О.
Решения 254
Наконец, мы хотим показать, что огибающей этого семей-
семейства гиперплоскостей служит S, т. е. каждая касательная гипер-
гиперплоскость к S получается при подходящем выборе множества
(а,). Пусть Н — произвольная гиперплоскость, касательная к S.
Поскольку Л меньше, чем все а„ то гиперплоскость Я обяза-
обязательно пересекается с эллипсоидом &. Итак, по индукции мы
можем найти такие точки a, (t = l, ..., п — 1), принадлежащие
& и Н, что векторы Оа{ попарно ортогональны. Наконец, пусть
прямая, проходящая через начало и ортогональная п—1 век-
векторам Oalt пересекает эллипсоид & в двух точках а„, Ьп. Со-
Согласно предыдущему результату, расстояние от О до гиперпло-
гиперплоскости, определенной точками а( (t = l, .... п — 1) и а„, равно
Л и, таким образом, равно расстоянию от О до Н. Это доказы-
доказывает, что Н проходит через а„ или Ь„.
Посмотрим теперь, что происходит с этим свойством при по-
ляриом преобразовании относительно сферы с центром в точке
О. Проще всего воспользоваться самой сферой S (о полярности
относительно квадрик см. в 10.В, 14.Е, 15.С или [В, 10.7.11, 14.5,
15.5]). Для п точек а* и натянутой на иих гиперплоскости Н по-
полярность дает нам п гиперплоскостей Ht и точку Л*. Из приве-
приведенных выше свойств следует, что каждая гиперплоскость #i
касается эллипсоида &*, полярного к & относительно S, что Hi
попарно ортогональны и их точка пересечения h* принадлежит S.
Если теперь мы начнем с эллипсоида &*, который можно
считать произвольным, то получим следующий результат: гео-
геометрическим местом точек, через которые проходят п попарно
ортогональных гиперплоскостей, касательных к эллипсоиду, яв-
является сфера, концентрическая с эллипсоидом и называемая его
ортооптической сферой.
15.5. Задача о нормалях к плоской конике изучалась гео-
геометрически, поэтому решим эту задачу аналитически (см.
[В, 17.5.5.6)). Рассмотрим, например, случай квадрики с урав-
уравнением ах2 + by2 + cz2 -f d = 0. Ее касательная плоскость в
точке (л:0, j/oi zoj имеет уравнение
ахх0 + Ьуу0 + czZq -f d = 0
(см. 15.С или [В, J 5.5.5]).
Направление нормали задается вектором (ах0, Ьу0, его), так
что прямая, соединяющая (х0, у0, г0) с точкой m — (u, v, да), бу-
будет нормалью к Q тогда и только тогда, когда
х0 — и __ |/0 — v __ z0— w
ах0 by0 cz0
Пусть это отношение равно к. Конус с вершиной в точке т =
= («, v, w), содержащий прямые, проходящие через m и парал-
256 Глава 15
дельные координатным осям, будет иметь уравнение вида
Поскольку
получаем
Подставляя эти выражения в требуемое уравнение конуса, по-
получим условие
\bcvm | у\сати . jabuv »
A - kb) (I - кс) + A - кс) A - ка) "•" A - ко) A - кЬ) """ U»
ИЛИ
Xabc [%vw + 4\wu + ?ыо) = %bcvw + r\wuca + tjuvab.
Это соотношение выполняется при любом значении X, если
%vw + r\wu + ?ыо = О,
%vwbc -f- т)шиса 4* tyivab = 0.
Таким образом, получим
Уравнение конуса будет иметь вид
а (Ь — с) ы (у — v) (z — ш) 4- b (с — а) v (г — а>) (* — и) +
+ c(a — b)w (х — и) (y—v)-= 0.
Легко убедиться, что это в самом деле требуемый конус и что
он содержит центр @, 0, 0) квадрики Q.
15.6. Для данных значений х, у, г уравнение
является уравнением третьей степени по X и потому имеет не
более трех корней. Мы хотим показать, что оно имеет в точности
три корня при любых трех ненулевых значениях х, у, г и что
касательные плоскости к соответствующим квадрикам попарно
ортогональны. Однако прямая попытка решить задачу приво*
дит к очень запутанным вычислениям.
Идея состоит в том, чтобы двигаться от конца. Пусть и, v,
w — произвольные вещественные числа, подчиненные единствен-
единственным условиям
ве]-с!, +оо[, ое]-62, -с2[, а»е=]-а2, -Ь2[.
Тогда (см. 15.В или [В, 15.3.3]) квадрика Q{u) (соотв. Q(v)\
Q[w)) является эллипсоидом (соотв. одиополостным или дву«
Решения
257
полостным гиперболоидом). Квадрики Q(u), Q(v), Q(w) пере-
пересекаются в единственной точке (х(и, v, да), у (и, v, w), z{u, v, w))
с х > 0, у > 0, г > 0. Для того чтобы доказать это, мы должны
решить систему линейных уравнений отиосительио х2, у2, г2, ко-
которая задается тремя уравнениями Q(u)=0, Q(v)=O и Q(w)=0.
Например, для и и v найдем
хЦи, v, w) = (a2+u)(ai +
+ v) (a2 + w)/(a2 - Ь2) (а2 - с2),
у2 (и, v, W) = (b2 + u){b2 +
+ v)(b2 + w)/(b2-c2)(b2-a2),
г2 (и, v, w) = (с2 + и) {с2 +
+ v)(c2+w)l(c2~b2)(c2-a2).
Итак, отображение (и, v,
а>)|—».(дс(ы, v, w), у {и, v, w),
z(u, v, w)), сюръективно в первом
октанте х > 0, у > 0, z > 0. Но
так как при фиксированной трой-
тройке (а-, у, г) для Я имеется не бо-
более трех возможных значений,
ТО ОНИ ДОЛЖНЫ бЫТЬ В ТОЧНОСТИ рис J5.6.
равны и, v, w и отображение
биективно. Следовательно, через каждую точку первого октанта
проходит точно три квадрики Q(X.): эллипсоид, однополостный
гиперболоид и двуполостныи гиперболоид.
Ортогональность касательных плоскостей в этих точках легко
доказать с помощью приведенных выше формул. Касательная
плоскость к Q(X,) в точке (х, у, г) имеет нормальный вектор
(х/(а2 -\-к), у/(Ь2-\-Х), г/(с2-\- А,)). Согласно приведенным
выше формулам для хг, у2, г2, получаем
¦))¦
(Ь* + и) (Ь* + v)
Ь1 + w
(a2 + и) (a2 + v)
a2 + w
(a2 - Ьг) (a2 - с2) T (b* - г2) (Ьг - а2) ^ (с2 - б2) (с2 - а*У
(с* + и) (с* + v)
сг + w
= 0.
Замечание. Замена координат (х, у, z)>-^>-(u, v, w), задан-
заданная (неявным) обращением вышеприведенных формул, иногда
существенна для изучения некоторых свойств эллипсоида
Случай коник значительно проще; он изучен геометрически в
17.В, 17.D.1 или [В, 17.6.3].
9 М. Берже н др.
Глава 16
16.1. Напомним, что геометрическое доказательство дано в
16.С (и [В, 16.2.12]). Здесь мы будем работать аналитически с
параметрическим представлением />—»-(/, t2, 1) коники С, задан-
заданной уравнением х2— уг = 0 в таких проективных координатах,
что а=A, 0, 0), Р = @, 1, 0), v=@, 0, 1). Касательная к С в
точке a = (u, v, w) определяется уравнением
— '
/г (vz + wy) — 0
(см. 14.Е или [В, 14.5.3]), которое в нашем случае принимает
вид tx—]/2(t2z -}- у). Значит, эта касательная пересекает (а, р>
в точке с =A/2, /, 0), а <а, v> — в точке b=(t/2, 0, 1). Тогда
прямые <а, а), (Ь, р> и <с, у} имеют соответственно следующие
уравнения: y — t2z = 0, x—^litz — O, tx—1/2y = 0. Итак, точка
(t/2, t2, 1) принадлежит всем трем прямым.
а = A,0,0)
/=(«.',/)',/>
Ь = A,1,1)
« •= @, 0,1)
Рис. 16.].
с = @,1,0)
16.2. Рассмотрим шесть точек а, Ь, с, d, e, f с проективными
координатами а=A, 0, 0), Ь=A, 1, 1), с = @, 1, 0), d =
= (а, р, y). e=@, 0, 1), f = (a', p', y')- Шесть прямых <а, &>,
<6, с), <с, d), <d, е>, <е, />, </, а> имеют уравнения г/= 2, лс = 2,
Y* = аг, Рх = ау, $'х — а'у, у'у = а'г соответственно. Их точки
пересечения <а, fc> П <rf, S, (Ь, с) П <е. f>. <f. ^) П ({, "У имеют
координаты (а, р, р), (а', р', а') и (czy', o'y, yy) соответственно.
Эти три точки коллинеарны тогда и только тогда, когда опре-
определитель
a a' ay'
& Р' a'Y
р a' YY'
равен нулю.
Для того чтобы определить, лежат ли исходные шесть точек
на одной и той же конике, заметим сначала, что эта коника
Решения 259
принадлежит пучку, определенному четырьмя точками A, 0, 0),
(О, 1,0), @, 0, 1) и A, 1, 1), которые образуют проективный ба-
базис. В этом пучке имеются две вырожденные коники с простыми
уравнениями у(х— z) и х(у— г), поэтому любая коника лучка
должна иметь вид у(х— z) = kx(y — г), где * — произвольный
скаляр основного поля (см. 16.F или [В, 16.4.10]). Обе точки
(а, р, у) и (а', р', у') принадлежат такой конике тогда и Уолько
тогда, когда
р(а-у)
о (р - v) а' (Р' - V') "
Наконец, проверим, что это условие совпадает с данным выше
условием на определитель.
16.3. Можно считать, что в проективной системе координат,
в которой р = A, 0, 0), q =@, 1, 0) н г = @, 0, 1), рассматривае-
рассматриваемая коника имеет уравнение х2 — уг — 0. Пусть m=(s, s2, 1),
n = (t, t2, 1). Четыре прямые <р, q), <p, r>, <p, m>, <р, л> имеют
уравнения г = 0, у = 0, s2y — z = 0, t2y —
— z = 0 соответственно. Двойное отноше-
отношение этих четырех прямых равно двойному
отношению пар @, 1), A, 0), (s2, —1) и
(t2, —1) или точек О, оо, —s2, —t2 (см. 16.С
или [В, 16.2]); его значение равно t2/s2.
С другой стороны, двойное отношение че-
четырех точек q, r, m, n иа С равно двойному
отношению их параметров (для любой хо-
хорошей параметризации; см. 16.С или
[В, 16.2.5]), значения которых здесь О, оо,
s, t. Итак, двойное отношение равно l/s.
Напомним (см. 17.С или [В, 17.4.2]), что Рис. 16.3.
очень красивое приложение этого резуль-
результата получается, если взять в качестве С окружность на евкли-
евклидовой плоскости, комплексифицировать и пополнить ее до С,
а в качестве q, г — две круговые точки (см. 9.D или [В, 9.5.5]).
Если применить формулу Лагерра, а затем вернуться к С (см.
8.Н или [В, 8.8]), то доказанный только что результат превра-
превратится в утверждение, что центральный угол равен удвоенному
вписанному (см. 10.D или [В, 10.9.3]).
16.4. Пусть f, g — две инволюции коники С, a q>, у — их соот-
соответствующие точки Фрежье. Согласно определяющему свойству
точек Фрежье, для всякой точки т^ С tt образ f(m) представ-
представляет собой вторую точку пересечения коники С с прямой <ф, т>.
Аналогично, g(m)—точка пересечения С(\(у, m>, f(g(tn))—
9*
Глава 16
точка пересечения СЛ<ф, g(m)>
и, наконец, g{f{m))—точка пе-
пересечения СП<т,/(т)>. Если /
и g коммутируют, то f(g(m)) =
~ g(f(m))> а ф и у сопряжены
относительно С в силу кон-
конструкции, упомянутой в 14.Е
или [В, 14.5.2.6].
Обратно, если ф и у сопря-
сопряжены относительно С, то та же
геометрическая конструкция
показывает, что точка у' =
))f))
Рис. 16.4. =
сопряжена с ф относительно С.
Если y = y'. то все доказано: f(g(m)) = g(f(m)). Если же это
не так, то прямая <у, у") является полярой ф, но тогда m=f(m),
g(m) = f(g(m)) н, следовательно, f(g(m)) = g(m) = g(f(m)).
16.5. В случае поля R начнем с комплексификацнн С коннки
С (см. 17.С нлн [В, 17.4.1]) и комплексификацнн f томографии
/. Продолжение / томографии f на С по предположению имеет
точно две неподвижные точки. Можно считать, что это точки
(О, 1, 0) и @, 0, 1), а С задается уравнением х2 — уг = 0 (см.
16.А нлн [В, 16.1]). Хорошей параметризацией служит (s, /)>—*-
h->(s/, s2, f) (см. 16.В илн [В, 16.2)).
Произвольная томография коннки С в этой параметризации
задается формулой (s, t)>—>(as-\-bt, cs-\-dt), но в действитель-
действительности она должна иметь вид (s, /) ¦—»¦ (as, dt), так как ее не-
неподвижные точки —это @, 1,0) и @, 0, 1).
Прямая, проходящая через точки m = (st, s2, t2) и f(m) =
= (adst, a2s2, d2t2), имеет уравнение
(a2 - d2) s2t2x + {ad- d2) sihj + (a2 - ad) s*tz = 0,
или, после упрощений, (а + d)stx + dt2y + us2z =0. Степень ко-
коэффициентов прн дг, у, z no (s, t) равна двум, следовательно
(см. 14.F или [В, 14.6]), семейство таких прямых при перемен-
переменных and является огибающей некоторой коники Г. Точнее, в ко-
координатах (u, v, да), двойственных к (дг, yf z), коника Г пара-
параметризована с помощью (и=(а-\- d)st, v = dt2, w = as2). Тан-
Тангенциальное уравнение коники Г найдем, исключая s и i\ оно
имеет внд adu3 — (a-f- d)vw =0. Обычное уравнение получим,
переходя к обратной матрице, которая задает тангенциальное
Решения
261
уравнение (см. 14.F или [В, 14.6.1]), а именно
ad
О
О -
О
О
(а + df
¦ dp
О
О
О
О
О
а
О
(а + <*)*
{а + d)*
О
что дает уравнение a-ld-lx2 — [i/(a + dJ]yz_==0. Поскольку
это уравнение имеет вид х2 — yz+>kx2 — 0, то Г и С —действи-
—действительно бикасающиеся коники, а точки касания являются не-
неподвижными точками отображения f.
fim)
Рис. 16.5.1.
Рис 16.5.2.
Если мы начали с поля Р, то теперь нужно вернуться обрат-
обратно к С. Поскольку Си/ получены из вещественной коникн и ве-
вещественной томографии, то прямая неподвижных точек отобра-
отображения { (ее уравнение есть_х = 0) является комплексификацией
вещественной прямой, а Г — комплексификация вещественной
коники Г, которая в самом деле касается коники С в двух
точках.
Заметим, что в комплексном случае бикасание можно было
бы получить эвристически. В самом деле, если т — неподвижная
точка /, то прямая (f(m),my более или менее представляет ка-
касательную к С в точке т (см. рамку в начале гл. 16).
Обратно, если С и Г бикасаются, они всегда могут быть
записаны в приведенном выше виде (если понадобится, после
262 Глава 16
комплексификации). Найдем коэффициенты and, которые опре-
определяют томографию f. Затем используем тот факт, что если ка-
касательная к Г пересекает С в двух различных точках т и п, то
либо п = f(m), либо т = f(n). Более того, если man различны,
то два случая n=f(m) и m = f(n) являются взаимно исклю-
исключающими, так как гомография, не являющаяся инволюцией, ие-
инволютивна ни в одной точке (см. 6.D или [В, 6.7.3]); это
можно доказать здесь и прямыми доводами.
Предположим теперь, что (а,),-^ „—многоугольник, впи-
вписанный в С и описанный около Г, причем Г бикасается С.
С точностью до перестановки индексов можно предположить,
что для томографии f, определяющей Г, выполняются равенства
f(a,) = a2, /"(a2) = a3, ..., f(an-i)= an, f(an) = ai. Идея состоит
в том, чтобы ввести л-ю итерацию f:
Гомография fn оставляет неподвижной каждую точку а,. По-
Поскольку любая гомография, имеющая три неподвижные точки
на конике С, является тождественной, то fn = Idc.
Тогда для любой точки т на С многоугольник (т, f(m).
/2(т), ..,, f"~l(m)) вписан в С и описан около Г.
Примечание. Если число сторон четно, скажем п = 2k, то
f*of* = idc, так что fk — инволюция коникн С. Согласно 16.D
(или [В, 16.3.6]), прямые <а,, а*+<> пересекаются в одной точке,
которая не зависит от многоугольника. Более общо, для каж-
каждого h между 2 и и — 2 прямые <а,, ал+!>, соединяющие каж-
каждую Л-ю вершину а„ являются касательными к конике, бикасаю-
шейся С.
16.6. Для данного касательного пучка вещественных коник
мы хотим узнать, есть ли в нем коники, проходящие через фик-
фиксированную точку на плоскости. Мы рассмотрим только самый
сложный случай, а именно пучок коник, касающихся четырех
прямых общего положения. Используя проективное преобразо-
преобразование, можно всегда свести задачу к случаю, когда эти четыре
прямые имеют уравнения х = ±1, у = ±1.
Поучительно воспользоваться для нахождения уравнений
коник пучка двумя различными методами. Сначала рассуждаем
непосредственно. Прямые х = ±1 являются касательными к
конике
ах2 + 2Ьху + су2
тогда и только тогда, когда каждое из уравнений
а ± 2Ьу + су2 ± 2d + 2еу + f = О
Решения
263
имеет двойной корень, откуда следует равенство (е±ЬJ =
= c(f ± 2d 4- а). Аналогично, прямые у = ±1 являются каса-
касательными тогда и только тогда, когда (d± bJ = a(f ± 2е + с).
Эти четыре условия эквивалентны системе
= ae, е2 + b2 =
a), d
2 + b2 =
= a(f + с).
Отсюда заключаем, что (ас — b2)d = (ac— й2)е=0. В слу-
случае когда ас — Ь2ф0, получаем равенство d = e = O; тогда
A,0.1),
17= 0
A,0, -
/@,1.1)
\и= 0
u+u+w=0 j
40.1, -1)
Рис. 16.6.1.
а = с и Ь2 = а2 + af, откуда вытекает следующее общее урав-
уравнение:
a2(x2 + y2) + 2abxy + b2 — а2 = 0. (С)
Заметим, что из геометрического исследования диаметров (см.
15.С или [В, 15.5.8J) следует совпадение центра коники (если
он существует) с началом координат.
В случае ас — й2 = 0 уравнения имеют вид (их + v'y -\- wJ,
что соответствует пучку вырожденных касательных коник, т. е.
двум пучкам прямых (см. [В, 14.6.3J).
Коника вида (С) проходит через точку (х, у) тогда и только
тогда, когда коэффициенты (а, Ь) удовлетворяют уравнению
(х2 + у2 - 1) а2 + ЧхуаЬ + Ь2 = 0,
а это уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда
(х2 — 1) (у2—г 1)^ 0. Множество решений данного неравен-
неравенства— это дополнение к заштрихованной области на приведен-
приведенном рисунке. В самой заштрихованной области не существует
коник, касающихся четырех прямых.
При втором методе используются тангенциальные уравне-
уравнения. В однородных координатах (и, v, w), ассоциированных с
декартовыми координатами (х, у, 1 =г), прямые х = ±1, у =
= ±1 представляют соответственно точки с координатами
A, 0, ±1), @, !, ±1). Это дает нам две пары противоположных
264
Глава 16
\
-1
i ^
X
\
Рис. 16.6.2.
прямых, соединяющих эти точки: 0 = 0, u = 0, u-f-u-f-a>=0 и
и-\- v — w = 0.
Тангенциальное уравнение соответствующего пучка (см. 16.F
или [В, 16.4.10]) имеет вид
(и + v + w) (и + v — w) + Kuv = 0,
или
и ему соответствует матрица
А
/1 Я 0 N
= Я 1 О I
Vo о — 1 /
(после замены Я + 2 на X). Тогда в переменных (х, у, г=\)
обычное уравнение задается обратной матрицей А~\ которая
равна
""¦"¦* 1 Л
V- 1 Лг-
Я, 1
А •"" 1 А ¦"•
л л 1
о
о
Решения 265
Это дает нам уравнение —х? + 2Кху — у2 + I — А.2 = О, совпа-
совпадающее с (С).
16.7. При у = 0 должно быть г = 0 и, следовательно, полу-
получается точка A, 0, 0). При г = 0 имеем у = 0 и получается та
же самая точка. В противном случае
х = -J- = -J-, откуда
Но только 1 есть кубический корень из единицы в поле из трех
элементов, так что мы получаем точку A, I, 1).
Исследуем касательные к двум коникам в точках их пересе-
пересечения. В точке A, 0, 0) обе касательные задаются уравнениями
г = 0 (см. 14.Е или [В, 14.5.3]), а в точке A,1,1) они задаются
уравнениями '/2(* + г) = у и у1г(х-{-у) = г, которые имеют
один и тот же вид х -+- у -\- г = 0 в поле характеристики 3. От-
Отсюда следует, что две коиики касаются в обеих точках их пере-
пересечения.
Глава 17
17.1. Пусть С — коника и а — произвольная точка на ней.
В силу формулы Лагерра (8.Н или [В, 8.7J) и двойственности
пучков прямых D.8 или [В, 6.5.11) утверждение о постоянстве
ориентированного угла между прямыми D, D' эквивалентно
тому, что D, рассматриваемая как точка двойственной проек-
проективной прямой а», получается из D' с помощью некоторой томо-
томографии f (применим формулу из 6.D или [В, 6.6.1]). В силу 16.D
(или [В, 16.3]) это означает, что существует такая томография
Рис. 17.1.
f коники С, что т' = f(m), где т (соотв. т')~ вторая точка пе-
пересечения С и D (соотв. С и D'). Теперь применим задачу 16.5.
Коника Г, комплексификация которой бикасается комплексифи-
кации С, является огибающей семейства прямых <т, /(т)>.
В вещественном случае коника Г не может быть бикасательной
к С, так как D и D' всегда различны.
Если две прямые образуют прямой угол, то f — инволюция, а
<m, f(m)) проходит через фиксированную точку —точку Фрежье
инволюции f (см. 16.D или [В, 16.3.6]). Эту точку можно найти,
используя нормаль к С в точке а и прямые, параллельные осям.
Заметим, что если С —окружность, то коника Г является окруж-
окружностью, концентрической с С. Это утверждение можно доказать
либо с помощью замечания, что Г бикасается С в двух круговых
точках A7.С или [В, 17.4.2]), либо непосредственно, принимая
во внимание факт равенства центрального угла удвоенному впи-
вписанному углу A0.D или [В, 10.9.3]).
17.2. Коцикличные точки на эллипсе. Дадим сначала геомет-
геометрическое доказательство. Из 17.С (или [В, 17.5.5]) известно, что
т. т. т„ т. ifnuuvпмииыр muvu тпгла и тппки-n тпгпя ипгпя
Решения
267
хорды (mi, m2) и (m3, tnt) имеют один и тот же наклон по от-
отношению к осям. Рассматривая эллипс как образ окружности
при аффинном отображении (см. 17.А или [В, 17.7.1]) и обозна-
обозначая через (т[, т'^ и (т'3, т'% хорды этой окружности, образа-
образами которых являются (ти т2) и (т3, т4), мы увидим, что две
хорды эллипса имеют один и тот же наклон тогда и только то-
тогда, когда этим же свойством обладают соответствующие хорды
окружности. Но для окружности угол между хордой (т\, тЪ и
Рис. 17.2.
осью равен (/, + t2)/2 по модулю л, так как параметр на окруж-
окружности (который соответствует параметру на эллипсе) есть как
раз угол с осью. В результате мы получаем требуемое условие:
/, + /2 ?3 + t4 .
или
>1 + /2 + /з + /4 = 0(тос12л).
Интересно аналитическое доказательство. Отметим сначала,
что достаточно доказать необходимость приведенного соотноше-
соотношения. В самом деле, если оно необходимо, то /4 однозначно опре-
определяется им как функция от tu t2, t3. С другой стороны, эти три
точки задают окружность, которая должна пересечь эллипс в
некоторой вполне определенной четвертой точке (см 16.F или
[В, 16.4.8)). Пусть х2 ¦+- у2 + 2cw -f- 2р# + у = 0 — общее урав-
уравнение окружности на плоскости. Положив 8 = tg(//2), получим
и y^
Искомое значение параметра 8 является корнем уравнения
а2 A г- Э2J + 4Ь'Ф + 2аа A - в*)A + в2) +
268 Глава 17
четвертой степени по 9. Его важное свойство состоит в том, что
коэффициенты при 9 и 93 противоположны. Таким образом, обо-
обозначая симметрические многочлены от 9* (t=l, 2, 3, 4) через
а*.(А = 1, 2, 3, 4), т. е.
ст1 = в1 + 92 + 93 + 94, ст2 = 9192+...-f 9394,
а3 = 6,в29з + 6,0264 + 6,6364 -f- 626364,
СТ4== 6 [626364,
получим, что для произвольной окружности параметры 0, удов-
удовлетворяют соотношению <п + <*з = 0.
Нетрудно проверить, что
! ^2 ^ 2 ^2
Отсюда
\ 2 * о ' 9
или
A4. A_l A +A
Приложение. Если окружность соприкасается с эллипсом
в точке, отвечающей значению параметра t, то это значение t
является тройным корнем A6.Е или [В, 16.4.3]). Оставшаяся
точка пересечения будет отвечать такому значению t', что 3t +
-f- t' ss 0 (mod 2л), например С =—3f.
Итак, если /, + h + h +U ^ 0(mod2n), то мы также имеем
t'\ + t'i + h + U = — 3(/, -f t2 +73 + /4)s0(mod 2л).
Нормали к эллипсу. Пусть (и, v) — точка, нз которой мы
хотим провести нормали к эллипсу. Такая нормаль пересечет
кривую в точке
(a cos t, b sin t) = la { ^г-, b { _$
тогда и только тогда, когда вектор (и — a cos t, v — b sin t) пер-
перпендикулярен касательному вектору (—a sin t, b cos t) в этой
точке. Это дает условие
—a sin t(u — a cos t)-\-b cos t (v — b sin t) = 0,
из которого получим следующее уравнение для 9:
bvQ4 + 2 (аи + а2 — й^в3 + 2й (аи + b2-a2)Q — bv = 0.
Симметрические многочлены о, должны тогда удовлетворять
следующим условиям:
ст2 = 0 и (т4 = — 1.
В частности, получаем, что выражение
\а (A. _i_ h. 4- li. 4- АЛ — ?L±?l
Решения
269
бесконечно. Отсюда вытекает, что
¦;¦ (mod*).
или tl + t2-\- /3 + U — я(mod 2л).
Обратно, если о2 =0 н о* = — 1, то ясно, как найти точку (и, v),
удовлетворяющую вышеприведенному уравнению, начиная со
значений oi и аз-
Приложение. Как следствие получаем теорему Иоахимсталя,
поскольку значения параметров для диаметрально противопо-
противоположных точек отличаются на л н если
'i + t2 -Ь tz + tk = л (mod 2n),
то для точки, отвечающей f< + л, выполняется соотношение
U -f U + h + (U + п) = 0(mod 2л).
17.3. Идея здесь в том, чтобы воспользоваться задачей 15.4.
Пусть (а, 0, а'> и (Ь, 0, Ь'у — два сопряженных диаметра эл-
эллипса Е. Центры искомых окружностей лежат на биссектрисах
Рис. 17.3.1.
Рис. 17.3.2.
D, D' этих двух диаметров. Возьмем по одной точке пересечения
каждой биссектрисы с эллипсом и обозначим нх через man,
как на рис. 17.3.1. Сразу возникает сомнение в равенстве рас-
расстояний от точек m и « до прямой (а, а').
Мы разрешим это сомнение, показав, что прямая <т, п) па-
параллельна (Ь, Ь'у. В самом деле, прямые <0, а> и <0, &> гармо-
гармонически сопряжены относительно D и D'. Но тогда, обозначая
через х точку пересечения прямой <ш, я> с <а, а'>, получим, что
гармонически сопряженная точка к х относительно т, п на пря-
270
Глава 17
мой <m, я> должна лежать одновременно на <&, &'> н на беско-
бесконечно удаленной прямой. Это показывает, что х — середина от-
отрезка [т, п].
Теперь нз элементарных свойств прямоугольного треуголь-
треугольника {0, т, п) следует, что расстояние от каждой из.двух точек
т и п до прямой (а, а'у равно расстоянию от 0 до <т, п). Та-
Таким образом, радиус рассматриваемых окружностей равен вы-
высоте треугольника {0, т, п}, которая в силу задачи 15.4 равна
а2р2/(а2 + Р2). где а н р — полуоси эллипса Е.
17.4. Проведем аналитическое рассуждение. Выберем коор-
координатные осн так, чтобы окружность С имела уравнение х2 -f-
+ у2 — 2ах — &2 = 0, а рассматриваемые точки — координаты
их + vy + w = 0
Рис. 17.4.
@, ±6). Пусть ux+vy + w=0 — уравнение касательной к С
в точке, в которой происходит касание с некоторым данным эл-
эллипсом. Рассмотрев вырожденную конику, образованную двумя
прямыми ик-\- vy -{- w = 0 и х = 0, и взяв пучок, проходящий
через эту конику и окружность С, мы убедились, что искомое
уравнение для эллипса имеет вид
х2 + у2 — 2ах — b2 + kx {их + vy + w) = 0
(см. 16.F илн [В, 16.4.10]).
Пусть теперь г — л/а2 + Ь2— радиус окружности С, а (а +
4-^cos^, rsin<) — ее точка касания с их -\- vy -\- w = 0. Урав-
Уравнение этой касательной можно записать в виде
их -\- vy + w — (х — a) cos / + у sin ( — г = 0.
Тогда уравнение эллипса можно записать в виде
х2 + у2 - 2ах --b2 + kx{{х — a) cost + у sin t — r) = O,
и центр эллипса совпадет с началом только тогда, когда исчез-
исчезнет слагаемое с х, т. е. прн fe=— 2а (г acos? . Подставляя
Решения 271
это значение в уравнение, получим
где
. г — a cos t д _ a sin f „ 1
Ь2(г + a cost) ' б2 С + а cos/) ' ~~ "б5" "
Из 17.В или [В, 17.2.1] следует, что эксцентриситет эллипса
будет известен, если мы знаем отношение между (А-\-СJ и
АС — В2, так как он равен отношению квадрата следа к опре-
определителю матрицы, отвечающей такой квадратичной форме q,
что эллипс имеет уравнение <7=1. Выполняя вычисления, по-
получим константу
г — a cos t a2 sin2 /
AC — В2 ___ г + a cos t ~ (г + a costJ г2 — а2 Ь2
(А + СJ ( г — a cos / ~\2 4т5 ~~ 4 (а2 + Ь2) '
/r-acos/ ^ Л'
V г + a cos t ' }
17.5. Дадим аналитическое доказательство. Пусть ^2=2рдг —
уравнение параболы Р, а (а, Ь) — точка, из которой мы прово-
проводим нормали к Р. Уравнение касательной к Р в точке (х0, у0)
есть уу0 = р(х + jc0) (см. 15.С или (В, 15.5.5]), так что нормаль
в этой точке пройдет через (а, Ь) тогда и только тогда, когда
р/(х0 — а)=—Уо/(Уо — Ь). Подставляя это значение в уравне-
уравнение у2 = 2рх, получим уравнение
у% + 2р(р- а) у0 - 2р2Ь = О
третьей степени для у-коордннаты у0 искомой точки. Сумма
трех его корней у, у', у" равна нулю, а это эквивалентно тому,
что барицентр трех точек (у2/2р, у), (у'2/2р, у'), (у/2р, у")
лежит на оси Ох параболы.
Обратное утверждение следует из только что доказанного,
так как соотношение
У + У' + У" = О
однозначно определяет третью точку как функцию двух первых.
Эквивалентное свойство для окружности, проходящей через
точки т, т', т", выводится из 17.С (или [В, 17.5.5.3]) и соот-
соответствующего свойства барицентров (З.В или [В, 3.4.8]). Вос-
Воспользуемся случаем для того, чтобы дать аналитическое дока-
доказательство утверждений из 17.С ([В, 17.5.5.3]). Если х2 + у2 +
+ 2ocjc + 2$у -\- у = 0 — уравнение произвольной окружности, то
ее пересечения с параболой у2 — 2рх вычисляются с помощью
разрешения относительно «/-координаты. Получаем уравнение
четвертой степени
у которого слагаемое с у3 равно нулю, и потому сумма его че-
четырех корней у, у', у", у'" есть нуль. Таким образом, если
у + у' 4- У" = 0, то, конечно, у"' = О!
Глава 18
18.1. В обозначениях рис. 18.1.1 (см. задачу 18.1) имеем
г = а/л/3, и тогда /?2 = (/? — еJ + г2, откуда /? = (а2 + Зе2) /бе.
Система рычагов используется для того, чтобы контролиро-
контролировать давление иглы в точке В на поверхность сферы при изме-
измерении. Аккуратные измерения требуют учета деформации, вы-
вызванной этим давлением, а также давлением в точках А. Напри-
Например, выполняя последовательность измерений, нужно быть уве-
уверенным, что давление меняется очень мало, и это достигается
тем, что игла q всегда указывает одну и ту же отметку на
шкале.
18.2. Линии постоянного курса пересекают меридианы под
постоянным углом (см. [В, 18.1.8.2]). Стереографическая проек-
проекция сохраняет углы (см. 18.А или |В, 18.1.8.6]) и отображает
меридианы в прямые, проходящие через начало координат на
плоскости. Следовательно, образы линий постоянного курса при
стереографической проекции пересекают прямые, проходящие
через начало, под постоянным углом и, значит, должны быть
логарифмическими спиралями (см. 9.Е или |В, 9.6.9]). Строгое
доказательство последнего вывода использует единственность
траекторий гладкого векторного поля и тот факт, что логариф-
логарифмические спирали действительно пересекают прямые, проходя-
проходящие через начало, под постоянным углом (так как они инва-
инвариантны относительно группы подобий с центром в начале).
Можно также непосредственно решать дифференцнальное урав-
уравнение, соответствующее условию пересечения под постоянным
углом.
18.3. Требуется показать, что для каждого сферического «тре-
«треугольника» со сторонами а, Ь, с выполняются неравенства
и равенство имеет место тогда и только тогда, когда три вер-
вершины х, у, z треугольника лежат в плоскости, проходящей через
начало. Два приведенных выше неравенства эквивалентны не-
неравенствам
cos (b + с) <; cos a ^ cos (b — с),
нли, иначе,
I cos а — cos b cos с I ^. .
I sin 6 sin с I ^
Определитель Грама трех вершин х, у, z равен
(х\х) (х\у) (х\г)
(У\х) (у\у) (у\г)
(г\х) (г\у) (г\г)
Решения
273
Из 8.J (или [В, 8.11.6]) мы знаем, что определитель Д равен
квадрату объема параллелепипеда, построенного на векторах
Ох, Оу, Oz (где О —центр сферы). Поскольку (х|х) = (у|у) =
= B|2)=1 н cosa = (*/|z), cos b =(z]jc), cos с = (xIy), то
1 cos с cos b
cose
1
cos a
cos 6 cos a 1
= 1+2 cos a cos 6 cos с — cos2 a — cos2 b — cos2 c,
что можно записать в виде A=sin26 sin2 с — (cos a—cos 6 cos сJ,
но Д ^ 0, и равенство имеет место тогда н только тогда, когда
х, у, z линейно зависимы.
18.4. Как и в предыдущей задаче, достаточно заметить, что
определитель Грама точек (xi) равен
det (ros ^
Но поскольку d + 2 точек лежат в Rd+1, то объем параллелепи-
параллелепипеда, порожденного ими в Rd+2, равен нулю. Отсюда следует,
что определитель Грама равен нулю.
18.5. На сфере S1 радиуса R длина
дуги yz, которая стягивает центральный
угол величины а, равна Ra.
Итак, для треугольника {х, у, z) на
сфере 51 углы а, р, у при вершинах вы-
вычисляются по формулам, аналогичным
18.С (или [В, 18.6.13]), которые полу-
получаются заменой а, Ь, с на a/R, b/R, c/R
соответственно. Положим е = 1//?; тогда
при R, стремящемся к бесконечности, е
стремится к нулю. Мы можем, таким образом, рассмотреть пер-
первый член разложения в ряд соотношений
cos га = cos eb cos ее + sin eft sin ее cos a,
sin a rsin ft __ sin у
sin ea sin eft sin ec *
Переходя к пределу, получим две формулы
а2 = Ь2 + с2 — 2ftc cos a,
sin a sin p sin у
(см. 10.А или [В, 10.3]).
18.6. Идея состоит в том, чтобы применить основную
мулу сферической тригонометрии A8.С). Определим угловое по-
фор-
Ю М. Верже в др.
274 Глава 18
ложение первого (соответственно второго) вала функцией
b: t ь-> Ь (/) (соответственно с: /¦—* с (/)); тогда b(t) и с(/)—сто-
с(/)—стороны сферического треугольника {a, m(t), n(t)}, где atn(t) —
= b(t), an(t) = c{t) и угол при вершине а равен углу в между
осями двух валов. Таким образом,
cos b cos с + sin ft sin с cos 9 = cos -y = 0»
откуда
Из предыдущего уравнения, взяв производную no t, получим
угловые скорости валов, которые задаются производными функ-
функций b и с по t:
Искомое отношение угловых скоростей равно
tgft l+tg2c
tgc 1 + tg2
i cos8 e tg* ь +
cos 9 tg2 6 + 1
Функция jc>—»(l/cos6)[(jc2cos26-f- l)/(*2 + 1)] достигает макси-
максимума l/cos0 при jc = O, а минимума cos0 при лс = оо. Таким
образом, наихудшее возможное значение отношения двух скоро-
скоростей равно cos 0, и оно реализуется, когда m(t) или n(t) совпа-
совпадают с точкой а или с ее антиподом. При 6 = я/6, л/4, я/3 по-
получаем значения 0,866, 0,707 и 0,5 соответственно. Ясно, что
отношение быстро портится, когда угол увеличивается. Однако
при соединении двух карданных передач «гомокинетически», как
требует симметрия, два крайних вала имеют одинаковые угло-
угловые скорости. Скорость среднего вала переменна, но это ни-
нисколько не беспокоит пассажиров.
18.7. Идея состоит в том, чтобы преобразовать три данные
сферы в сферы, лежащие внутри и касающиеся тора вращения.
Будем пользоваться основными свойствами инверсий A0.С или
[В, 10.8]), не упоминая их явно.
Пусть Я —плоскость, содержащая центры 2, 2', 2", а о, о',
о" —большие окружности а = ЯП2, a'==Pf|2' и а" = Р(]!.".
Предположим, что а, о', о" расположены так, что найдутся две
непересекающиеся окружности у, у', касающиеся всех трех
окружностей а, а', ст". Тогда, согласно 10.D (или [В, 10.10.2]),
найдется инверсия с центром на Р, которая преобразует v> v'
в концентрические окружности. Плоскость Р инвариантна отно-
относительно этой инверсии. Пусть ?i v' ПРИ инверсии перешли в б,
6', а а, а', а" — в 8, 8', 0".
Рассмотрим тор вращения Т в R3, для которого Р является
экватор на льном плоскостью, и пусть он пересекает Р по в, б'.
Решения
275
Тор Т однозначно определяется этими условиями. Аналогично,
пусть в, в', в" — такие сферы в R8, что Р является их эквато-
экваториальной плоскостью и QftP — 8, в' {\Р = &\ e"(]P = Q"<
Рис 18.7.1.
Рис. 18.7.2.
Предположим, что S — сфера, касающаяся в, в', в" и лежащая
вне этих сфер. Поскольку в, в' и в" имеют равные радиусы,
центр $ сферы S расположен на одинаковом расстоянии от трех
Рис. 18.7.3.
центров р, р', р" этих малых сфер. Таким образом, s принадле-
принадлежит оси Д тора Т.
Итак, любая сфера S с центром в точке «еД, касающаяся
в, касается тора Т вдоль целой параллели, проходящей через
точку касания Т и 9. Мы можем, конечно, сказать, что тор Ъ
276
Глава 18
Рис. 18.7.4.
Рис. 18.7.5.
Риа 18.7.6.
У
Рис. 18.7.7.
Решения
Рис. 18.7.8.
этого однопараметрического семейства
,- • ••" имеется второе однопараметрическое ое-
сФеР с тем же свойством, а именно, образы в при вра-
вращении вокруг оси А; каждая из этих сфер лежит внутри ~
касается его вдоль меридиана. Сверх того, каждая сфера
семейства касается каждой сферы второго семейства.
278 Г лам 1«
Теперь вернемся к нашим нсходвым сферам 2, 2', 2", при-
применяя снова инверсию, рассмотренную выше. Образ тора Т при
этой инверсии есть искомая циклида Дюпена. Эта поверхность
является однопараметрической огибающей каждого из двух
однопараметрических семейств сфер, причем она касается каж-
каждой сферы из этих семейств вдоль целой окружности.
До сих пор нам было известно два семейства окружностей
на циклиде, вдоль которых каждая из сфер (обоих семейств)
касается циклиды (им соответствуют меридианы и параллели
Т). Эти два семейства пересекаются под прямым углом. Но на
Т имеется два других семейства окружностей — окружности
Вилларсо (см. 8.D или [В, 18.9]), которые обладают тем свой-
свойством, что пересекают меридианы (и, следовательно, параллели)
под постоянным углом а, одним и тем же для обоих семейств.
С помощью инверсии получаем, что циклида Дюпена также со?
держит четыре семейства окружностей; углы в каждой точке
их пересечения показаны на рис. 18.7.5, причем через каждую
точку проходит в точности одна окружность из каждого се-
семейства.
Наконец, из [В, 10.12.3, 18.9.3] вытекает, что две окружности
с, с' из семейства окружностей Вилларсо на циклиде ограничи-
ограничивают паратактическое кольцо. Это означает, что каждая сфера,
содержащая с, пересекает cf под постоянным углом (J, а каж-
каждая сфера, содержащая с', пересекает с под тем же углом р.
Примечание. Если 2, 2', 2" расположены ие так, как мы
потребовали в начале решения, то получатся аналогичные ре-
результаты, но циклиды будут другого типа. Например, если у и
у' пересекаются, то их можно преобразовать с помощью инвер-
инверсии в две пересекающиеся прямые (см. tO.D). Top T в этом слу-
случае заменяется на конус вращения. Если -у и Y касаются, то Т
заменяется на цилиндр вращения. Применяя снова инверсию,
получвм циклиды Дюпена различных типов, но содержащие
только два семейства окружностей.
Глава 19
19.1. Предварительное замечание. В n-мерном евклидовом
или гиперболическом пространстве всякое равностороннее мно-
множество содержит не более п +1 точек и для каждой длины
а > 0 имеется с точностью до изометрии ровно одно такое мно-
множество. Это вытекает из 9.F или [В, 9.7.1], Как мы увидим
ниже, в случае сферической или эллиптической геометрии дело
обстоит иначе. Расстояние между двумя произвольными точ-
точками равностороннего множества всегда обозначаем симво-
символом а.
Трехточечные множества (треугольники). Пусть {mi, m2,
т3)—равносторонний треугольник в Р, а Зг={*, у, г)—тре-
г)—треугольник на S, вершины которого проектируются в точки ти т2,
/л», ио сам ои не обязательно проектируется на треугольник в Р
(не всегда возможно найти треугольник на S, который проекти-
проектируется иа треугольник в Р; см. 19.А или JB, 19.1.3]). Длины
сторон треугольника Т могут равняться только а или п — а.
Всегда можно заменить вершину треугольника Т иа ее антипод,
и тем самым изменить длины двух сторон на их дополнение до
я, а длину третьей оставить без изменения. Таким образом,
можно считать, что перед нами один из следующих двух слу-
случаев:
(i) длины всех трех сторон треугольника 0" равны а;
(П) длины всех трех сторон треугольника У равны я —а.
280 Глава 1в
Заметим сначала, что в любом случае величина а полностью
определяет треугольник 0~ с точностью до изометрии (о равен-
равенстве сферических треугольников см. 19.А или [В, 18.6.13.10]).
В частности, все три угла треугольника i7~ равны, и в любом
случае обозначим их а. Рассмотрим теперь середину t отрезка
[у, г). Из признаков равенства треугольников вытекает, что
углы при вершине t в треугольниках {jc, у, t) и {*, 2, i) одина-.
ковы и равны я/2. По тем же причинам угол при вершине х в
треугольнике {х, у, t} равен а/2. Применяя формулы сфериче-
сферической тригонометрии A8.С или [В, 18.6.13]), мы заключаем, что
в случае (i) __
sin (я/2) sin (a/2)
sin a sin (a/2)
Отсюда получаем соотношение
f-=l, (i)
которое однозначно определяет а как функцию угла а, и на-
наоборот.
Случай (и) рассматривается с помощью замены а на я— а.
Получаем
2 sin \ sin -J = 1. (И)
Если а меняется от л/3 до л/2, то в случае (i) длина а сто-
стороны треугольника заключена в пределах от 0 до л/2. В случае
(ii) а меняется от я/2 до я/3, когда а меняется от л/2 до п.
Подведем итоги: для каждого ае]0, л/3[ с точностью до
изометрии имеется один равносторонний треугольник, а для
каждого йе[я/3, я/2| имеется два (неизометричных) таких
треугольника. Заметим, что случай (i) отвечает треугольникам
типа I, а случай (ii) — треугольникам типа II (см. 19.А).
Четырехточечные множества: случай (ii). Если {т\, тг, т3,
т*} — равностороннее множество, то таким же является и любое
трехэлементное его подмножество. Предположим, что все такие
подмножества удовлетворяют приведенному выше условию (ii).
В частности, пусть Т= {х, у, г)—треугольник на S, который
проектируется на {mi, m2, тъ} и длины всех его сторон равны
я — а. Пусть t — точка на S, которая проектируется в т\. Все
расстояния от / до х, у, г равны либо а, либо л — а. В действи-
действительности первая возможность исключена, так как, взяв анти-
антиподы точек х, у, 2, мы получили бы треугольник типа (i), что
противоречит нашему предположению.
Из признаков равенства сферических треугольников (см. 19.А
или [В, 18.6.13.10]) вытекает, что точка / симметрична х относи-
Решения
281
тельно прямой (у, г>, так как гфх. Кроме того, если р— се-
середина отрезка [у, г], то мы знаем, что углы в треугольниках
{*» У, р) и {*> Р> г/ равны я/2 (в точке р) и а/2 (в точке jc). Мы
заключаем также, что t лежит на большой окружности, прохо-
проходящей через х и р._Однако расстояние от х до / не равно удвоен-
удвоенному расстоянию хр.
Я —
- а
к —
п- а
В самом деле, обозначая Ь = хр, получим (см. 18.С или
[В, 19.1.Ц)
cos Ъ = cos (я — a) cos я"^а- + sin (я — а) sin ~^
cos а.
Используя формулу 2sin(a/2)sin(a/2)= 1, полученную выше
(случай (ii)), найдем соотношение
cos b = — ¦
cos a
sin (a/2) '
откуда Ь > я/2 н xt = 2л — 2хр = 2п — 2Ь. Но xt = я — а; отсюда
Ь = (я + а)/2 и, следовательно, sin (а/2) = cos a/sin (a/2), поэтому
1 . а Уз" 2я
3 '
а
sinT:
Уз
так как a >¦ я/2. Окончательный вывод состоит в том, что че-
четыре точки х, у, г, t являются вершинами правильного тетра-
тетраэдра в S. В самом деле, правильный тетраэдр_ удовлетворяет
требуемым условиям, включая sin (a/2) = l/V^, и определен
однозначно с точностью до изометрии. В Р мы можем сказать,
например, что равностороннее четырехточечное множество обра-
образовано четырьмя диагоналями куба.
Более того, при п ^ 5 не существует равностороннего «-то-
«-точечного множества, содержащего подмножества указанного
282
г....
выше типа, потому что три точки х, у, z однозначно определяют
четвертую точку t. В самом деле, / симметрична либо х относи-
относительно [у, г], либо у относительно [г, х], либо г относительно
[х, у].
Четырехточечные множества: случай (i). Пусть теперь {mi,
m2, m3, m4} —равностороннее множество, а Т = {х, у, г} —тре-
—треугольник, проектирующийся на {т\, т2, т3}, длины сторон кото-
которого равны а. Если t проектируется
в т4, то расстояние от t до точек х,
у, z равно либо а, либо л—а. Взяв,
если понадобится, антиподальные
точки, можно считать, что эти три
расстояния равны либо (а, а, а),
либо (о^ а,_п — о). Предположим,
что ty = tz = а. Треугольники
{х, у, z) и {у, z, t} изометричны,
так что точка / симметрична х от-
относительно [у, z], поскольку равен-
равенство t = х невозможно! К тому же
\х, t] пересекается с [у, г] под
прямым углом в своей середине р.
Итак, из приведенных выше рассмотрений вытекает равен-
равенство 2 sin (a/2) cos (а/2) = 1, и, полагая b = xt = 2xp, получим
1 sin a
sin a ~ sin (b/2) '
Случай Ъ = о приводит к соотношению sin a = sin (а/2), т. е.
а = 0 или 2я/3, ио ни то, ни другое невозможно для треуголь-
треугольников, рассмотренных в случае (i). Остается возможиость,_когда
Ь=п — а, т. е. sin ос sin а = cos (а/2), откуда cosa=l/V5, так
как
2 sin-|-f
Рис. 19.1.3.
Утомительное вычисление, включающее cos 5a, приводит к
а = 2л/5. Для того чтобы закончить классификацию, лучше на-
начать с правильного икосаэдра (l.F, 12.C или [В, 12.5.5]), даже
если мы не знаем еще о его существовании. Одни из путей для
его введения следующий. Начнем с нашего множества {х, у, z, t),
все стороны которого равны а, за исключением xt — n — а, а
углы треугольника {х, у, г) равны 2я/5. Существенное наблю-
наблюдение состоит в том, что большая полуокружиость, определенная
точками х a t, проходит через к и —х (антипод точки х), при-
причем /(—«) = с, так как xf = я — а. Применяя вращения вокруг
оси <*, —х) на углы, кратные 2п/5, получим двенадцать точек
Решения
283
на S (рис. 19.1.4). Они образуют правильный многогранник с
двенадцатью вершинами в силу свойств множества {х, у, z, t}
и замечания выше.
Таким образом, мы показали существование (и единствен-
единственность) правильного икосаэдра. Вернемся теперь к п-точечным
равносторонним множествам в Р (содержащим тройки типа
(i)). Они обязательно должны "содержаться в шеститочечном
множестве проекций вершин икосаэдра в S. Таким образом,
-х
Рис 19.J.4.
единственно возможные значения — это п = 4, 5, 6. Простые
соображения, связанные с рассмотрением аитиподальных точек,
показывают, что в каждом случае п = 4, 5, 6 имеется только
одно с точностью до изометрии п-точечное равностороннее мно-
множество.
19.2. Построим отрезок [и, v] как на рис. 19.2.1; углы при
вершинах а, ив треугольнике {u, v, w} обозначим соответствен-
соответственно а, р и положим
d(v, »)=*т.
Используя формулы из 19.С (или [В, 19.3.1, 19.3.5]), получим
sh a sh дс
cos y= sin (y — a) sin (-y- — p j chx —
— cos [~ a J cos ?-j — p^ = cos a cos p ch x — sin a slit p.
284
Однако
Глава 19
ch2x — ch2a ch2ash26
sh2x
так что cos a = ch a sh ft/sh *, и аналогично cos p = ch b sh a/sh jc.
Итак,
ch2 a ch2 6 sh a sh 6 sh a sh 6
COS V =
sh2*
sh a sh b (ch2 a ch2 b —
sh2*
sh2* ~
¦ = shashb.
К этой формуле можно добавить следующий комментарий:
если числа а и b очень малы, то угол у близок к я/2, что неуди-
неудивительно, так как гиперболическая метрика локально похожа на
евклидову, и наш четырехугольник близок к прямоугольнику.
Рис. 19.2.1.
Рис. 19.2.2.
С другой стороны, а и b должны быть такими, что shashb < 1,
а это очевидно в конформной модели (см. 19.D или [В, 19.6]).
В случае когда sh ash b = l, четвертая вершина находится в
бесконечности; геодезические (в конформной модели это окруж-
окружности) касаются друг друга в их общей бесконечно удаленной
точке.
19.3. Будем использовать проективную модель. Для каждой
точки zi возьмем такой представитель ?; класса zt в Rn+1, что
q(%t)=l. Таким образом, по определению имеем для всех /, j
равенство ohd(zi, 2/) = P(^(-, \j). Теперь мы используем трюк с
определителем Грама (см. 8.J, [В, 8.11]) с подходящей модифи-
Решения
285
кацией. Обозначим матрицу формы q в пространстве R"+2 вы-
сокой размерности через Л, т. е.
-1 О
О
1
н рассмотрим (« + 2)Х(я+ 2)-матрицу S = \\\ 1п+2), об-
образованную вектор-столбцами |,- в Rn+1, у которых добавлена
нулевая (п + 2)-я координата. Рассмотрим также матрицу '5,
транспонированную к 5 и образованную соответствующими век-
вектор-строками. Итак, имеем
, Si) ... Р(Е„ in+2)
<SAS=\
2, h)
Определитель матрицы S равен нулю, так как она содержит
нулевую строку, поэтому det('S/4S) = 0.
Примечание. Это доказывает, что в гиперболическом про-
пространстве, так же как в евклидовом (см. 9.F или [В, 9.7.3]) и
на сфере (задача 18.4), в размерности п расстояния между
произвольными п + 2 точками удовлетворяют универсальному
соотношению.
19.4. Имеет место единственность. В самом деле, по форму-
формулам из 19.С или [В, 19.3.1, 19.3.5] получаем, что если фиксиро-
фиксирована сторона d(x, y) = 2a (рис. 19.4.1), то расстояние d(x, z)
также однозначно определено. По индукции определим расстоя-
расстояние от х до остальных вершин. Единственность вытекает из 19.В
(или [В, 19.4.4]).
Существование. Во-первых, заметим, что случаи л=3, 4 не-
невозможны. Прямой метод, изложенный ниже, позволит доказать
этот факт, однако можно воспользоваться основным свойством,
что сумма углов в треугольнике всегда меньше я (см. 19.С или
[В, 19.5.4]). Равенство ЗХBя/3) = 2я очевидным образом
исключает я = 3, а если бы мы имели четырехугольник, то
могли бы разрезать его на два треугольника и получить соотно-
соотношение 4ХBя/4) = 2я, противоречащее тому, что сумма углов
обоих треугольников меньше 2я.
Покажем, что при п ^ 5 искомые многоугольники всегда
существуют. Идея состоит в том, чтобы найти формулы, кото-
которым удовлетворяли бы элементы такого многоугольника, если
286
Глава 19
бы он существовал. Рассмотрим центр О будущего многоуголь-
многоугольника и середину р стороны [х, у]; в треугольнике {х, О, р) угол
при вершине р должен быть равен я/2, а оба угла при вершинах
Рис. 19.4.1.
О н х должны быть равны A/2)ХBя/л) = я/«. Поскольку
d(x, p) = a, то в силу симметрии расстояние d(O, p) также рав-
равно о. Положим d(O,x) = b и при-
применим формулы
, , ... sin (п/п) I
sh*o
получим
sin2 (n/n)
1
sin2 (n/n)
— 2.
Поскольку \/5'тг(л/п)> 2 для всех
n > 4, то всегда найдутся равно-
равнобедренные треугольники с углами
2п/п при основании. Возьмем такой
Рис. 19.4.2. треугольник {х. О, р} и используем
отражения относительно его сторон
(сначала относительно (,О,р), затем <О, у) и т. д.) для по-
построения остальной части искомого многоугольника. Это дока-
доказывает существование для п ^ 5.
Замечание. Пусть Р — такой многоугольник, как выше. Отра-
Отражение относительно стороны <*, уу преобразует его в изометрич-
Решения
287
Рис. 19.4.3.
Программа написана Ф. Жеиии
ный многоугольник Р', смежный с Р по стороне <*, </>. Можно
пюказать (хотя строгое доказательство — довольно тонкое дело),
что образы всех отражений относительно сторон многоугольни-
многоугольников Р, Р' и т. д. дают замощение гиперболической плоскости.
Таким образом, при каждом л ^ 5 имеется замощение плоско-
плоскости изометричными правильными л-угольниками. Это контрасти-
контрастирует с ситуацией евклидовой плоскости, где наибольшее воз-
возможное число сторон такого многоугольника — шесть (см.
{В, 1.9.13)).
Глава 20
20.1. Пусть р— точка образа im(s), a Tps — касательная ги-
гиперплоскость к s в точке р (в пространстве Е). Точки q про-
странства Tps можно охарактеризовать условием, что проходя*
щая через р сфера s' с центром в q ортогональна к s. Таким
образом, точки s, s' пространства S(E), соответствующие двум
сферам, должны быть сопряжены относительно р (или относи-
относительно Ё).
Аналогично, то, что s' содержит р, равносильно тому, что s'
и точечная сфера р сопряжены относительно Ё. Таким образом,
искомые точки q — это
центры сфер s', которые
сопряжены как относи-
относительно р (произвольная
точка образа im(s)), так
и относительно s. Множе-
Множество таких сфер s' есть в
точности пересечение К
полярных гиперплоско-
гиперплоскостей сфер s и р, т. е. пе-
Рис. 20.1.1.
Рис. 20.1.2.
ресечение гиперплоскости Я образа im(s) с р-Ч Итак, К—ка-
К—касательная гиперплоскость к квадрике im(s) в точке р в проек-
проективном подпространстве Я.
Что касается представления для Tps, то это пространство
будет состоять из центров этих сфер s', т. е. (см. 20.В или
[В, 20.3.4]) точечных сфер, образованных точками пересечения
Е с прямыми <оо, s'>. Наконец, это множество есть пересечение
Ё с гиперплоскостью, порожденной К и бесконечно удаленной
точкой.
20.2. Мы должны сделать две вещи: во-первых, найти урав-
уравнение тора, например в ортонормированной системе координат
(*, у, z) в R3. Затем проверить, что этот тор в самом деле по-
порожден точечными сферами, которые все принадлежат проек-
проективной квадрике пространства S(E) сфер в К3. Таким образом,
мы должны быть в состоянии перейти от обычных координат в
Решения
289
R' к однородным координатам (см. 4.С) в проективном про-
пространстве S(E). Точка (а, Ь, с) отвечает точечной сфере
которой соответствует форма &||-||2+\(а1 •)-}- А = 0, например
при значениях /г = 1, а = — 2(а, Ь, с), h = a2 + b2 + c2. Числа
k, h вместе с координатами вектора а образуют систему одно-
однородных координат сферы /г|| '||2 + (а1 •) + h==0 в пространстве
Рис. 20.2,1.
Рис. 20.2.2.
5(Е). Таким образом, точке (jc, у, г) пространства R3 ставится
в соответствие точка из ^4(R) с однородными координатами
(х0,
х2, х3, xt) = (l, —2х, —2у, —2г, х2 + у2 + г2).
Найдем теперь уравнение тора, полученного вращением во-
вокруг оси z окружности радиуса г, центр которой лежит в
х, у-плоскости на расстоянии R от оси. Расстояние от точки до
оси z обозначим через р, так что р2=х2-\-у2. Координаты то*
чек тора удовлетворяют уравнению (р — RJ-\-z2 = r2. Таким
образом,
2р/? = р2 + z2 + R2 - г* = х* + у2 + z2+ /?2 - г\
и окончательно 4R2(х* + у2) = (х2-{-у2-\-z2-{-R2 — г2J. Это при-
приводит благодаря предыдущим вычислениям к следующему урав«
нению в пространстве ^(R)
которое, очевидно, задает квадрику.
20.3. Решим задачу аналитически. Пусть и — единичный век-
вектор прямой D, содержащей центры х, х', х" данных сфер S, S',
S", v — единичный вектор переменной прямой Е, содержащей
точки и, i/, и" сфер S, S', S", a w—единичный векто п ямой,
290
Глава Ж
уу' и уу" также фиксированы.
Ключом к решению служит то, что точка у'" прямой Е
всегда принадлежит (переменной) сфере с центром на прямой
D в точке х'", такой, что у'" является образом х"' при томогра-
томографии D-+E, отображающей х в у, х' в у', а х" в у". Остается
/
лъ
Рис. 20.3.
только показать, что для двух таких точек х"' и у"' расстояние
х'"у'" постоянно для любых трех единичных векторов и, v, да,
удовлетворяющих приведенным выше условиям.
В координатах t и f(t) на D и Е, таких, что
наша томография имеет вид fU) = (at-\-b)/(ct-\- d) (см. 6.D
или [В, 5.2.3]). Поскольку f(x) = y при f = 0, то 6=0 (так что
можно использовать нормировку а = 1), а также уу' =
= f/(ct' + d),gy" = t"/(ct" + d). Поскольку уу' и уу" фикси-
фиксированы, величины cud фиксированы и однозначно определены.
Теперь мы можем вычислить расстояние d(x(t), y(t)). Имеем
x{t)=x + tu,
Таким образом,
¦!* + <• +
(с/ + dI "*" rt + d
[r(B-rfp)-/(rcp + Y)I.
Решения 291
где а = (w|v)\ $=(v\u), y={u\v). Величины а — d{$ и rep4 + у
известны, так как даны d(x(f), y(t/)) = r/ и d(x(t"), y{t")) —
= г". Таким образом, для произвольной фиксированной точки
V" расстояние
фиксировано.
Случай, когда точка у'" принадлежит плоскости, возникает
для бесконечно удаленной точки х"\ т. е. когда равны двойные
отношения [х, х', х", ооо] и [у, у', у", у"'\ (см. 6.А или [В, 6.1.4,
6.2.5J), где у"' однозначно определяется из соотношения
[у, /. у", у"']=Шг.
х'х
Заметим, что в действительности наше доказательство не
имеет силы в этом случае, так как точка х'" находится в беско-
бесконечности. Для того чтобы провести строгое доказательство, мы
можем либо перейти к пределу, либо воспользоваться следую-
следующим прямым и более простым рассуждением. Мы должны до-
доказать, что ортогональная проекция точки у"' на D есть фикси-
фиксированная точка, т. е. что скалярное произведение (u\rw ^
-\-(l/c)v) (которое выражает ?" в бесконечности) постоянно.
Но это скалярное произведение равно величине
которая, как мы только что доказали, постоянна.
Примечание. Вообще говоря, точка у'" описывает только под«
множество на сфере S"'. Это очевидно, так как S, S', 5" — огра-
ограниченные множества, а уу'" — константа (например, расстояние
ху'" ограничено величиной г-\-уу"'). Однако если ooD и оов не
сохраняются томографией, то, когда V" стремится к бесконеч-
бесконечности, радиус сферы S"' также стремится к бесконечности (см.
плоский случай, рассмотренный выше).
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Цифра, за которой следует буква, соответствует разделу за-
задачника, а цифра, за которой следует цифра,— задаче.
Алгебра Ли (algebre de Lie) 8.6
Антндвнженне (antideplacement) 9.A
Аффинная группа (groupe affine) 2.A
специальная (унимодулярная)
(special (unjmodulaire)) 2.A
— квадратичная форма (forme quad-
ratique affine) 15.A
— форма (forme affine) 2.B
Аффинное отображение (application
affine) 2.B
— отражение относительно У парал-
параллельно Z (symetrie affine autour
de Y parallelement a Z) 2.D
— пространство (espace affine) 2.A
Аффинные коники (coniques affines)
16.1
Аффинный автоморфизм (automorphis-
rae affine) 2.B
ннволютнвный (involutif) 2.D
— репер (герёге affine) 2.E
Барицентр (barycentre) 3.A
Барицентрические координаты (coor-
donnees barycentriques) 3.C
Барицентрическое подразделение
(subdivision baricentrique) 3.A
Бесконечно удаленная гиперплоскость
(hyperplan a l'infini) 5.A
Бесконечно удаленная точка (point a
l'infini) 5.A
Биссектрисы (bissectrices) 8.F
Большая окружность (grand cercle)
18. А
— теорема Понселе (le grand theo-
гёгае de Poncelet) 16.H, 16.5
Валентность (valence) l.H
Векторизация (espace vectorialise) 2.A
Векторное произведение (produit vec-
toriel) 8.J, 8.6
Векторное пространство, присоединен-
присоединенное к аффинному пространству (es-
(espace vectoriel attache a un espace
affine) 3.D
Вершины многогранника (somraets
d'un polytope) 12.A
— треугольняка (sommets d'un trian-
triangle) 10.A
Винтовое движение (vissage) 9.C
Внутренняя метрика сферы (metrique
intrinseque d'une sphere) 18.B
Вращение (rotation) 8.A, 8.E
Выпуклая оболочка (enveloppe con- ¦
vexe) 11.A
Выпуклое множество (ensemble con-
vexe) ll.A
Вырожденность (degenerescence) 13.C
Гармонически впнсаииая квадрика
(quadrique harmoniquement enscri-
te) 14.3
— описанная квадрика (quadrique
harmoniquement circonscrite) 14.E
Указатель терминов
293
•— сопряженные точки (points harmo-
niquement conjugues) 6.B
Гармоническое отношение (division
harmonique) 6.B
Гексагональные ткани (tissus hexago-
naux) 5.3
Геометрия (geometrie) l.C
Гильбертова геометрия (geometrie de
Hilbert) 11.3
Гипербола (hyperbole) 15.B
— равнобочная (equilatere) 17.A
Гиперболическое пространство (espa-
се hyperbolique) 19.В
Гиперболоид двуполостный (hyperbo-
ioid a deux nappes) 15.B
— одиополостиый (hyperbolold a une
nappe) 15.B
Гиперплоскость бесконечно удален-
удаленных точек (hyperplan a l'infini)
5.А
Томографии ось (axe d'homographie)
16.D
•— собственные числа (valeurs prop-
res d'une homographje) 16.D
Томография (homographie) 4.D, 4.E
— гиперболическая (hyperbolique)
6.6
— коиикн (homographie d'une coni-
que) 16.D
— локсодромическая (loxodromique)
6.6
— эллиптическая (elliptique) 6.6
Гомокннетическне соединения (joints
homocinetiques) 18.6
Гомотетия (homothetie) 2.C
Грани многогранника (faces d'un po-
poly tope) 12. A
Граничные точки выпуклого множе-
множества (points frontieres d'un con-
vexe) ll.C
Группа нзометрнй модели (groupe
d'isometrie d'un modele) 15.B
¦— •— правильного многогранника
(groupe d'isometries d'un polytope
regulier) 12.C. 12.2
— квадратичной формы (groupe d'une
forme quadratique) 13.E
— квадрики (groupe d'une quadnque)
14.G
— Мёбиуса (groupe de Mobius) 18.E
— перестановок (groupe de permu-
permutations) l.A
Движение несобственное (deplace-
ment) 9.A
— собственное (antideplacement) 9.A
Двойное отношение (birapport) 6.A,
16.C, 16.3
Двойственность (dualite) 6.C
Действие группы на множестве (ope-
(operation d'un groupe dans un ensem-
ensemble) l.A
— просто транзитивное (simplement
transitive) l.D, 12.C
— транзитивное (transitive) l.B
Диаметр квадрики (diametre d'une
quadrique) 15.C
— симплекса (diametre d'un simple-
xe) 3.3
Диаметральная гиперплоскость (hy-
(hyperplan diametral) 15.C
Диаметры сопряженные (diametree
conjugues) 15.С
Днлатацня (dilatation) 2.C
Дискриминант (discriminant) 13.В
Днэдральная группа (groupe diedral)
12.C
Длина кривой (longueur d'une cour«
be) 9.G
Додекаэдр (dodecaedre) l.F, 12.C
Долгота (longitude) 18.A
Евклидово аффинное пространство
(espace affine euclidien) 9.A
— векторное пространство (espace
vectoriel euclidien) 8.A
Задача Наполеона—Маскероии (рго-
bleme de Napoleon—Mascheroni)
10.6
294
Указатель терминов
Закон инерции Сильвестра (loi d'iner-
tie de Sylvester) 13.B
Замощение плоскости (pavage d'ttn
plan) l.G
Замощения изогональные (pavages
isogonaux) l.H
— изоэдральные (pavages isohed-
raux) l.H
Звездное множество (ensemble etoi-
le) 11 .A
Зеркальна» симметрия (symetrie ort-
orthogonal) 8.C, 13.E
Изодиа метрическое неравенство (ine-
galite isodiametrique) 9.H
Изометрия (векторная) (isometrie
(vectorielle)) 8.A
Изотропные векторы (vecteurs isot-
ropes) 13.C
Изотропные прямые (droites isotro-
pes) 8.H
Изотропный конус (cone isotrope)
8.H, 13. С
Икосаэдр (icosaedre) l.F, 12.C
Инверсия (inversion) 10.С
Инволюция (involution) 6.D, 13.E
Индекс аффинной квадрики (indice
d'une quadrique affine) 15.A
Каноническая мера (на сфере) (me-
sure canonique (sur une sphere))
18.A
— топология (проективного простран-
пространства) (topologie canonique (<Fun es-
paee projectif)) 4.G
— форма объема (forme volume ca-
canonique) 8.J
Касательная квадрика (quadrique
' tangentiefle) 14.F
Касательный пучок квадрик (faisceau
tangentiel de qttadriques) 14.F
Квадратичная форма (forme quadra-
tique) 13.A
— — авиэотрошиа (snisobope) 13.C,
13.1
вырожденная (degeneree) 13.C
невырожденная (поп degerie-
гёе) 13.С
нейтральная (neutre) 13.B
приведенная к диагональному
виду (diagonalisee) 13.B
Квадрика (аффинная) (quadrique
(affine)) 15.A
— собственная (propre) 15.A
— центральная (a centre) 15.C
— (проективная) (quadrique (projec-
tive)) 14. А
— вырожденная (degeneree) 14.A
— собственная (propre) 14.A
Кватернионы (quaternions) 8.1, 8.5
Классификация квадратичных форм
(classification des formes quadrati-
ques) 13.B
— квадрик (classification des quad-
riques) 14.B, 14.C
Кокуб (cocube) 12.C
Комплексификацня (complexifieation)
7.A, 7.B, 7.C
Комплексные томографии (homograp-
hies complexea) 6.6
Конечное поле (corps fini) 4.5, 13.2,
13.4, 16.7
Коника (conique) 14.A, 15.A
Коникн сверхсопрнкасающиеся (eoni-
ques surosculatrices) 16.E
— соприкасающиеся (coniques oscu-
latrices) 16.E
Конформная группа (groupe confor-
me) 18.E
Крайняя точка (point extremal)
П.С
Кратчайшие пути (segments) 19.A
Кристаллографическая группа (groupe
cristallegrapbique) l.G
Круговые точки (points cycliques)
7.D, 9.D, 17.C
Куб (cube) l.F, 12.C
Лкнейка в циркуль (построения цир-
циркулем н линейкой) (regie et com-
Указатель терминов
29$
' pas (constructions avec la regie et
le compas)) 5.2, 10.6
Логарифмическая спираль (spirale lo-
garjthmique) 9.E
Локсодромы (loxodromies) 18.2
Маркировка плиток (marquage des
paves) 1.H.4
Мера (в аффинном пространстве)
(mesure (sur un espace affine))
2.G
— Лебега (mesure de Lebesgue) 2.G,
9.H
Метод Архимеда (methode d'Archime-
de) 15.1
Многогранник (polytope) 12.A
Многообразие Грассмана (ориентиро-
(ориентированных примых) (grassmannienne
(des droites orientees)) 14.1
Многоугольник (polygone) i2.A
Модель Клейиа (modele de Klein)
19.B
Морфизм проективных пространств
(morphisme d'espaces projectifs)
4.E
Направление аффинного подпростран-
подпространства (direction d'un sous-espace af-
affine) 2.D
Непериодическое замощение Робии-
соиа Aе pavage necessairetnent поп
periodique de Robinson) 1.4
Неприводимые группы (groupes irre-
ductibles) 8.1
Несиягулярное пополнение (comple-
(completion поп singuliere) 13.E
Норма вектора (norme d'un vecteur)
8.A
Образ квадрики (image d'une quad*
rique) i4.A
Обратный образ (квадратичной фор-
формы) (image inverse (d'une forme
quadratique)) 13.A
Объем выпуклого компакта (volume
d'un convexe compact) 12.В
— многогранника (volume d'un poly-
polytope) 12.A
— сферы (volume d'une sphere) 18.A
Огибающая (enveloppe) Ю.В
Однородное пространство (espace ho-
mogene) l.B
Однородные координаты (coordonnees
homogenes) 4.C
Односвязное топологическое простран-
пространство (espace topologique simplement
connexe) 18.A
Окружности Вилларсо (cercles de Vil-
larceau) i8.D
— Форда (cecrles de Ford) 10.8
Омбилика ((quadrique)ombi)lcale) 9.D
Опорная гиперплоскость (hyperplan
d'appui) 1 l.B -
Определитель Грама (determinant
de Gram) 8.J
Оптический многоугольник (polygone
de lumiere) 9.3
Орбиты (под действием группы) (ог-
bites (sous action d'un groupe)) l.E
Ориентация аффинного пространства
(orientation d'un espace affine) 2.G
— евклидова векторного простран-
пространства (orientation d'un espace vecto-
riel euclidien) 8.J
Ориентированный угол между двумя
ориентированными прямыми (ang-
(angle oriente de deux droites orientees)
8.F
Ориентируемость вещественны» про-
проективных пространств (orlentabill-
te des projectifs reels) 4.2, 1.3
Ортогональная группа (groupe ortho-
orthogonal) 8.A, i3.E
Ортогональность (orthogonaiite)
13.D
Ортогональные векторы (vecteurs ort-
hogonaux) 8.A
—- множества (sous-ensembles ort*
' hogonaux) 8.B
296
Ортонормнроваииое подмножество
(sous-ensemble orthonorme) 8.A
Основная теорема аффинной геомет-
рнн (theoreme fondamental de la
geometrie affine) 2.F
— формула сферической тригономет-
тригонометрии (formule fondamentale de la
trigonometrie spherique) 18.C
Основные теоремы проективной гео-
геометрии (theoremes fondamentaux
de la geometrie projectif) 4.E
Отражение (ортогональное) (symetrie
orthogonale) 8.C, 13.E
Отрезок (segment) 3.C, 9.G
Парабола (parabole) 15.B
Параболоид гиперболический (parabo-
lolde hyperbolique) 15.B
— эллиптический (paraboloide ellipti-
que) 15.B
Параллелизм Клиффорда (parallelis-
me de Clifford) 18.D
Параллельный перенос (translation)
2.B
Перспектива (perspective) 4.F, 11.3
(реш)
Плитка замощения (pave) l.G
Плоскость (plan) 2,D, 4.B
Площадь поверхности выпуклого ком-
компакта (aire d'un convexe compact)
12.B
многогранника (aire d'un poly-
tope) 12. A
Подгруппа изотропии (groupe d'isot-
ropie) l.D
— инвариантности замощения (sous-
groupe d'unvariance d'un pavage)
l.H
Подобие (similitude) 8.G
— сохраняющее ориентацию (directe)
8.G
Подобные треугольники (triangles
semblables) 10.A
Подпространства взаимно дополни-
Указатель терли нов
тельные (sous-espaces complement
taires) 2.D
— параллельные (sous-espace paraN
leles) 2.D
Подпространство вполне сингулярное
(sous-espace totalement singulier)
13.C
— несингулярное (sous-espace поп
singulier) 13.C
— сингулярное (sous-espace singu-
singulier) 13.C
— порожденное множеством (sous-
espace engendre par un sous-en-
sous-ensemble) 2. D, 4.B
Полиномы (в аффинном простран-
пространстве) (polynomes sur un espace
affine) 3.E, 3.4, 3.5
Полнсферическне координаты (соог«
donees polyspheriques) 20.C
Полный четырехугольник (quadrila*
tere complet) 6.B, 16.4 (реш)
Полуаффинное отображение (applica-
(application semi-affine) 2.F
Полулинейное отображение (applica-
(application semi-lineaire) 2.F
Полупространство замкнутое (demi-
espace ferme) 2.G
— открытое (demi-espace ouvert) 2.G
— Пуанкаре (demi-espace de Poinca-
re) 19.D
Полюс гиперплоскости (р61е d'un hy«
perplan) 14.E
— инверсии (р61е d'une inversion)
10.C
Полярная гиперплоскость (hyperplan
polaire) 14.E
— форма (квадратичной формы)
(forme polaire (d'une forme quad-
ratique)) 13.A
Полярное множество (ensemble pola«
ire) ll.B
Полярность относительно собственной
квадрики (polarite par rapport a
une quadrique propre) 14.E, 15.C
Указатель терминов
297
— — сферы (polarite par rapport a
une sphere) tO.B
Правильные полиэдры (polyedres ri-
guliers) 1.F
Правильный многогранник (polytope
regulier) 12.C
— многоугольник (polygone regulier)
12.1
— пятиугольник (pentagon regulier)
12.1
Превосходное метрическое простран-
пространство (espace metrique excellent) 9.G.
19.A
Предельные точки пары окружностей
(points limites d'une paire de cer-
cles) 10.D
Проективная группа (groupe projec«
tif) 4.E
Проективная модель гиперболическо-
гиперболического пространства (modele projectif
d'un espace hyperbolique) 19.B
— независимость (independence proj-
ectiye) 4.B
Проективное пространство (espace
projectif) 4.A
Проективный репер (герёге projectif)
4.D
Пространство Артнна (espace d'Artin)
13.B
— сфер (espace des spheres) 20.A
Прямая (droite) 2.D, 4.B
— образов (droite des images) 10.3
Пучок гиперплоскостей (faisceau d'hy-
perplans) 4.В
— квадрик (faisceau de quadriques)
14.D
— коник (faisceau de coniques) 16.F
— окружностей (faisceau de cercles)
10.D
Равностороннее множество (ensemble
equilatere) 19.1
Радикал (radical) 13.C
Радикальная гиперплоскость (hyper*
plan radical) 10.B
Размерность выпуклого множества
(dimension d'un convexe) 11.A
— проективного пространства (dimen-
(dimension d'un espace projectif) 4.A
Ранг квадратичной формы (rang
d'une forme quadratique) 13.C
— квадрики (rang d'une quadrique)
14.A, 15.A
Ребра многогранника (aretes d'un po-
polytope) 12. A
Решетка (reseau) l.G
Середина (milieu) 2.A
Симметризация по Штейнеру (symet-
risation de Steiner) 9.H
Симметрическая группа (groupe sy«
metrique) l.A
Симметрия относительно У параллель»
но Z (symetrie autour de У parallel
lenient a Z)
Симплекс (simplexe) 2.E
— автополярный (autopolaire) 14..B
— стандартный (regulier) 12.C
Скалярное произведение (produit sca-
laire) 8.A
Смешанное произведение (produit
mixte) 8.J
Сопряжение (в комплексном вектор-
векторном пространстве) (conjugaison (sur
un espace vectoriel complexe) 7.A
Софокусные квадрики (quadriques
homofocales) 15.G
Стабилизатор (stabilisateur) l.D
Степень вершины (filet) 1.H.3
— точки относительно сферы (puis-
(puissance d'un point par repport a une
sphere) 10.B
Стереографическая проекция (projec-
(projection stereographique) 18.A
Стороны треугольника (c6tes d'un
triangle) 10.A, 19.C
Строгое неравенство треугольника
(inegalite slricte du triangle) 9.A,
18.3
Сфера (sphere) 10.B
298
Указатель терминов
•—' ортооптнческая {orthooptique) 15.4
Сферические треугольники (triangles
spheriques) 18.C
Сферометр (spherometre) 18.I
Тангенциальное уравнение квадрнкн
(equation tangentielle d'une quadri-
que) 14.F
Теорема Аполлония (theoreme d'Ap-
polonius) 12.4 (реш), 15.D. 17.D
— Безу (theoreme de Bezout) 16.E
— Брианшона (theoreme de Brian-
chon) 5.3 (реш). 16.С
— Внтта (theoreme de Witt) 13^E
— Дарбу (theoreme de Darboux)
20.3
— Дезарга (theoreme de Desargues)
14.D
— Картана—Дьедонне (theoreme de
Cartan—Dieudonne) 13.E
— Крейна—Мильмана (theoreme de
Krein et Milman) 11.С
— Люка (theoreme de Lucas) 11.4
— Меиелая (theoreme de Menelaus)
2.1
— Мигеля о тести окружностях
(theoreme des six cercles de Miguel)
10.D, 10.6 (реш)
— Мора—Маскеронн (theoreme de
Mohr—Mascheroni) 10.6
— Паппа (theoreme de Pappus) 5.D,
5.3 (реш)
— Паскаля (theoreme de Pascal)
16.2
— Сильвестра {theoreme de Sylves-
Sylvester) 9.1
— Хана—Ванаха (theoreme deHahn—
Banach) П.В
— Хелли (theoreme de Helly) ll.B
— Чевы (theoreme de Ceva) 2.1
Теоремы Бляшке о качении (theore-
mes de roulement de Blaschke)
12.5
— Гульдина (theoremes de Guidin)
12.3
Тетраэдры М4биуса (tetrae"dres de
Mobius) 4.6
Ткань (tissu) 5.3
Тождество Эйлера (identite d'EuIer)
3.6
Точка Фрежье (point de Fregier)
16.D
Точки аффинно независимые (points
affinement independents) 2.E
— гармонически сопряженные (points
conjugues harmonique) 6.B
— проективно независимые (points
projectivement independents) 4.B
— проективного пространства (points
d'un espace projectif) 4.B
— сопряженные относительно квад-
квадрики (points conjugues par rapport
a une quadrique) 14.E
Треугольник (triangle) 10.A
Углы треугольника (angles d'un trl«
angle) 10.A, 19.C
Угол вращения на плоскости (angle
d'une rotation plan) 9.C
— между двумя ориентированными
прямыми (angle de deux droites
orientees) 8.F
сферами (angle de deux sphe-
spheres) 10.B, 20.B
— прямого подобия на плоскости
(angle d'une similitude plan direct)
9.E i
Улитка Паскаля (lima?on de Pascal)
9.6
Универсальное пространство (espace
universel) 3.D
Уравнение Рнккати (equation de Ri«
catti) 6.2
— квадрики (equation d'une quadri-
quadrique) 14. A, 15. A
Фокусы коники (foyers d'une coni-
que) 17.B
Формула Аполлония (formule d'Ap-
polonius) 9.F.
Указатель терминов
299
— Жирара (formule de Girard) 18.C
— Лагерра (formule de Laguerre)
8.H, 17.C
— первой вариации (formule de la
variation premiere) 9.Q
— числа классов (formule des clas-
classes) l.E
Фундаментальная область замощения
(domaine fondamental d'un pavage)
1.2, 19.4 (реш)
Функция расстояния (distance) 9.A
Хорошая параметризация (bonne pa-
rametrisation) 16.B
Центр (масс) компакта (centre (de
gravite) d'un compact) 2.Q
— подобия (centre d'une similitude)
9.D
Центральный* угол (angle au centre)
10.D
Циклиды Дюпеиа (cyclides de Dn-
pin) 18.7 20.2
Циркуль (построения циркулем)
(compas (constructions avec com»
pas)) 10.6
Широта (latitude) 18.A
Эквиаффинная длина (longueur equi»
affine) 2.4
— кривизна (courbure equiaffine) 2.4
Эквибарнцентр (centre de gravite)
3.A
Эквивалентность квадратичных форм
(equivalence de formes quadratic
ques) 13.B
Эксцентриситет (excentricite) 17.B
Эллипс (ellipse) 15.B
Эллипсоид (ellipsoid) 15.B
Эллиптическая геометрия (geome'trie
elliptique) 19.A
Эллиптическое пространство (espace
elliptique) 19.A
Эрлангеиская программа (le program*
me d'Erlangen) l.C
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие , 7
Глава 1. Группы, действующие на множестве: терминология, примеры,
приложения , 8
Задачи 16"
Глава 2. Аффинные пространства 18
Задачи . . 23
Глава 3. Барицентры. Универсальное пространство 26
Задачи 29
Глава 4. Проективные пространства •.... 31
Задачи 35
Глава 5. Аффннио-проективиые связи; приложения ......... 38
¦ Задачи ' 41
Глава 6. Проективные прямые, двойное отношение, томографии ... 43
Задачи 46
Глава 7. Комплексифнкация 48
Задачи 50
Глава 8. Еще об евклидовых векторных пространствах 51
Задачи Sft
Глава 9. Евклидовы аффинные пространства 59
Задачи 64
Глава 10. Треугольники, сферы и окружности 66
Задачи 70
Глава 11. Выпуклые множества .... > 74
Задачи 75
Глава 12. Многогранники, выпуклые компакты 77
Задачи 79
Глава 13. Квадратичные формы 82
Задачи . 86
Глава 14. Проективные квадрики 87
Задачи 93
Глава 15. Аффнииые квадрики 94
Задачи 98
Глава 16. Проективные коники 102
Задачи - 108
Оглавление 301
Глава 17. Евклидовы коники 111
Задачи 113
Глава 18. Внутренняи геометрия сферы US
Задачи 119
Глава 19. Эллиптическая и гиперболическая геометрии 123
Задачи 127
Глава 20. Пространство сфер , . , . - 129
Задачи 132
Указания 133
Решения 142
Глава 1 142
Глава 2 154
Глава 3 163
Глава 4 170
Глава 5 179
Глава б 183
Глава 7 191
Глава 8 192
Глава 9 200
Глава 10 208
Глава 11 224
Глава 12 230
Глава 13 241
Глава 14 245
Глава 15 250
Глава 16 258
Глава 17 266
Глава 18 , 272
Глава 19 * 279
Глава 20 .' 288
Указатель терминов 292
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформ-
оформлении, качестве перевода и другие просим при-
присылать по адресу: 129820, Москва И-ПО, ГСП,
1-Рижский пер., д. 2, издательство сМир>.
Учебное издание
Марсель Берже, Жан-Пик Берри,
Пьер Пансю, Ксавье Сен-Ре им он
ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ С КОММЕНТАРИЯМИ И РЕШЕНИЯМИ
Заведующий редакцией чл.-корр. АН СССР В. И. Арнольд
Заи. зав. редакцией А. С. Попов
Ст. научи, редактор Н. И. Плужкихова
Мл. научи, редактор Т. Ю. Дехтярева
Художник В. А. Медников
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Е. В. Алехина
Корректор Т. М. Подгорная
ИБ № 6615
Сдано а набор 08.08.88. Подписано к печати 18.0t.8ft. Формат «ХЭО1/»- Бумага кн. жури. сыкт.
Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 9,50 буи. л. Усл. печ. л. 19. Усл. кр.-
отт. 19. Уч.-азд. л. 16,37. Изд. № 1/6135. Тираж 35 000. экз. Зак.' 706, Цена 1 р. 80 к.
Издательство «Мир» В/О «Совэиспортинвга» Государстминого комитета СССР по делан
издательств, полиграфии и книжной торговли. 129820, ГСП, Москва, И-ПО, 1-й Риж-
Рижский пер., 2.
Отпечатано в Ленинградской типографии J* 6 ордена Трудового Красного Знамени Ле-
Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзоолиграф-
ороиа при Государственном комитете СССР по делан издательств, полиграфии я
книжной торговли. 193144, г. Ленинград, ул. Моисеснко, 10. С матриц Ленинградской
типографии № 2 головного предприятия ордена Трудового Красного Знамени Ленин-
Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграф-
прома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли, 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.