б'гтз
С.И.БАСНАНОВ
PA Д И О ТЕХНИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ

С. И. БАСКАКОВ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов радиотехнических
специальностей вузов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА», 1980
ББК 32.84
Б27
УДК 621.396
нического института
Рецензенты.
Кафедра схемотехники Москов-
ского института электронного ма-
шиностроения
Читальный зал
учеб1-” и литературы
Баскаков С. И.
527 Радиотехнические
Учеб, пособие для вузов.
прпи с распределенными параметрами:
_____М/. Высш, школа, 1980,—152 с.,
ИЛ.
30 К.	^„„а пягппелелениых радиотехнических цепей; на примере
В книге излагается	^"тси основные методы теории волновых процес-
ssssa. —л™—»	• ™“е "ао,№
wss'SkS’cbm"
быть полезна инженерам, работающим в области техники с
факультетов; может
30401 ,»8£_91_80	2402020000
001(01)—80

V39i?>0
—  - —----Свптввлрв Иванович Баскаков
БИБЛИОТЕКА 1
тульского ЕогитЕ^ии-!ЕскоГе!иот^™ЧЕСКИЕ
-------^LL- ]А С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
“* "Параметрами
6Ф2
ББК 32.84
АеДИКТШаваппГ'те™яояа’ ХуАожественный редактор Т. М. Скворцова. кХ^у?кИ«а'
и. шавард. Технический редактор А. К. Нестерова. Корректор В. В. Ко»?
ИБ № 2062	о6073
Формат 60XWV,',. <ffri!K>T„r,H^0P 1510.79. Подп. в печать 19-^®°'ть
Объем 9.5 усл. печ л Уд 47 v"’ № 2’ Гарнитура литературная. пА?еЧцена 30 к°
Издать™ п УЧ-'НЗД- Л’ ТиРаж 15 «Ю экз. Зак. № 2910. Не«а
Московская	’Высшая школа», Москва, К-51, Неглииная ул., Д-29/ -сСр
оо делам издательств 8полш-пПЯ"вгра<Ьг,Р°ма при Государственном ко7.
тв, полигРафни и книжной торговли, Хохловский пер
1980
© Издательство «Нысшая школя*»
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящем учебном пособии систематически излагается тео-
рия распределенных радиотехнических цепей. Материал книги тес-
но связан со специфическими задачами современной радиотехники
и радиоэлектроники. Содержание пособия соответствует разделам
курсов «Основы теории цепей» и «Техника сверхвысоких частот»
действующих программ МВ и ССО СССР для радиотехнических
специальностей.
В первых пяти главах книги изложен тот минимум сведений
о распределенных цепях, который необходим студенту для усвое-
ния последующих инженерных курсов. В остальных главах демон-
стрируется применение математических методов, в частности тео-
рии дифференциальных уравнений, к решению прикладных задач
в области техники СВЧ.
Материал пособия ориентирует читателя на использование
средств современной вычислительной техники в учебном процессе.
В приложении к книге имеются образцы программ для ЭВМ, по-
зволяющих выполнять трудоемкие расчетные операции.
Каждая глава содержит задачи и ответы к ним. Одни задачи
приведены для того, чтобы студент мог самостоятельно контроли-
ровать качество усвоения учебного материала, другие содержат
информацию, которая позволяет связать теоретические положения
с практическими проблемами современной радиотехники. Это дол-
жно способствовать выработке у студентов навыков самостоятель-
ной творческой работы, что на сегодняшнем этапе развития совет-
ской высшей школы приобретает особое значение в свете решений
XXV съезда КПСС о развитии научной работы в вузах.
Автор выражает искреннюю признательность рецензентам —
коллективам преподавателей кафедры схемотехники Московского
института электронной техники (зав. кафедрой проф. Г. И. Весе-
лов) и кафедры теоретических основ радиотехники Киевского по-
литехнического института (зав. кафедрой проф. Я. К. Трохимен-
ко). Их замечания и советы оказали автору неоценимую помощь.
Отзывы о книге просьба направлять по адресу: Москва К-51,
Неглинная ул., 29/14, изд-во «Высшая школа».
Автор
ВВЕДЕНИЕ
и основой разнообразных процессов, происходящИх
Физическом 0СН°в°“ХтваХ, является существование специф?
радиотехнических ус Р называемой электромагнитным полем
ческой формы матер >аксвелл (.формулировал основные ура ”•
В конце XIX в. дц	ые подытожили всю совокупность эм
ИИЯ ЭЛеХсведений об электромагнитных явлениях и установили'
лирических сведен	агнИтного поля. Оказалось, что йсе
®°ЛН0В^чения электромагнитные поля, изменяющиеся во вреМе.
оез исключения э распространяются в пространстве, причем ско-
в вакууме Д99793-10» м/с) является предельно
5SS скоростью перемещения в пространстве любых мате-
РИастоото0говор™Вавалвз любых электромагнитных систем должен
сводится к расчету векторов электромагнитного поля, например
напряженностей электрического поля Е и магнитного поля Н
В каждой точке пространства и в любой момент времени. Такой
расчет является исчерпывающим с точки зрения классической фи-
зики и проводится с помощью методов электродинамики. Несмотря
на полноту и всеобъемлющий характер этого подхода, ему свойст-
венен один недостаток, заключающийся в том, что при современном
уровне развития математики и вычислительных средств довести
до конца решение уравнений Максвелла удается лишь для ограни-
ченного класса физических систем с достаточно простой геометри-
ческой конфигурацией. При расчете электромагнитных полей вну-
три такого сложного радиоаппарата, как, например, телевизион-
ный приемник, возникли бы непреодолимые трудности ввиду ги-
гантского объема вычислений. Если даже допустить наличие вы-
числительной машины, способной справиться с такой задачей, то
все равно проблема не была бы решена, поскольку все существен-
ные связи между процессами в системе были бы погребены в море
числовой информации.	31
Однако в ряде случаев все необходимые для практики сведения
о свойствах и поведении электромагнитных систем и устройств
можно получить, не привлекая методов электродинамики, а с пС'
некотоРЫх интегральных характеристик, таких, как ток
лельнымДмНИКаХ И напРяжения (разности потенциалов) между
мым к Фи/и°иЧКаМ“ системы- Основным требованием, предъяви
ством ent” системе> которая может быть описана поср Д
рических оа^мрпл И Т0К0В и напряжений, является малость т.
НЫХ^колебаннй^пясп1!? Сравнению с длиной волны электрома^
Щена система ’ Р Р0СТРаняюЩихся в той среде, в которую П
4
Это условие можно сформулировать иначе, а именно как тре-
бование, чтобы запаздывание колебаний в одних точках системы
по отношению к другим составляло пренебрежимо малую долю
характерного временного интервала, в качестве которого выбира-
ют период гармонических колебаний, соответствующих определя-
ющей части спектра процесса.
Сформулированные требования относительной малости геомет-
рических размеров дают основание выделить в составе системы
те области пространства, в которых сконцентрирован преимущест-
венно один из видов энергии. Так, элемент, в котором наблюдается
концентрация энергии электрического поля, принято называть кон-
денсатором. Если же элемент системы служит накопителем энер-
гии магнитного поля, то его называют индуктивной катушкой.
Другой важнейший элемент электрических цепей, в котором проис-
ходит необратимый процесс преобразования энергии электромаг-
нитного поля в тепловую энергию, называют резистором или ак-
тивным сопротивлением. Наконец, существуют генераторы (источ-
ники)— области пространства, характеризующиеся тем, что в них
энергия неэлектромагнитного происхождения трансформируется в
энергию электромагнитного поля.
Благодаря пространственной локализации перечисленных эле-
ментов электромагнитная система может быть представлена мыс-
ленно как совокупность некоторых генераторов, конденсаторов,
индуктивных катушек, резисторов, соединенных друг с другом си-
стемой идеальных проводников, единственным назначением кото-
рых является обеспечение условий для протекания токов проводи-
мости. В этом случае принято говорить о существовании квазиста-
ционарной электрической цепи.
Рассматривая свойства таких цепей, следует подчеркнуть две
их принципиальные особенности.
Во-первых, при описании работы цепей можно полностью
абстрагироваться от геометрической конфигурации элементов и
соединительных проводников. Это дает возможность рассмотрения
абстрактных моделей реальных цепей, называемых принципиаль-
ными схемами. Физические линейные размеры также не играют
роли при 'изучении квазистационарных цепей. Поэтому теоретиче-
ски все конденсаторы, имеющие емкость 1 мкФ, полностью иден-
тичны.
Вторая особенность, существенно связанная с первой, состоит
в том, что для квазистационарных цепей напряжения между от-
дельными точками схемы допускают однозначное определение. Как
известно, под напряжением между точками 1 и 2, произвольно
расположенными в пространстве, понимают криволинейный инте-
грал
2
(В-1)
вычисленный вдоль некоторой кривой, соединяющей точки 1 и 2.
Если ДаНН“„“....
а опреде—
то говорят,
потенциальности,
с формул011
ду точками 1 и
с.-
интеграла вида
того контура.
п91 не зависит от выоора пути ннтегрир0Ва
,..-й интеграл «е 3 1СМ начальной и конечной ToJ
уляется татько поле в с11СТеме обладает свойств
-Т, что электричес , определяемое в соответст^
ьности " «вают разностью потенциалов
>' (,В Ч’ Устовие потенциальности электрического По*
- — ” 1 имеет место обращение в нуль криволинейно*
Йблюдается.^вычисленного вдоль произвольного замкну
=0.
(В.2)
R г. же время из элементарной теории электромагнетизма Нз.
£) ТО DH
вестеч закон Фарадея
(1Ф
dt ’
где ф-магнитный поток, пронизывающий контур.
Поэтому в переменных полях напряжение и разность потенцна-
лов не могут быть отождествлены. Исключение составляют ЛИШь
поля изменяющиеся медленно в том смысле, как это было указано
ранее. Здесь можно приближенно считать, что правая часть (В.З)
равна нулю.
Все прочие электромагнитные системы, относительно которых
нельзя принять условий квазпстационарности, называют волно-
выми системами.
Для них характерны следующие особенности:
а)	отсутствуют пространственные области с преимущественной
локализацией либо электрического, либо магнитного Поля. Поэто-
му волновые системы часто называют системами с распре-
деленными параметрами, подчеркивая тем самым их от-
личие от сосредоточенных квазистационарных систем;
б)	поскольку пространственная протяженность волновых си-
стем сравнима с длиной волны электромагнитных колебаний, а час-
то и превосходит ее, существенными становятся эффекты запазды-
вания, такие, как конечное время распространения сигналов вдоль
системы;
в)	ввиду быстропеременного характера колебаний оказывается
невозможным отождествление понятий напряжения и разности по-
тенциалов. Напряжение лишается свойства геометрической инва-
риантности, и вся структура описания явлений посредством законов
Кирхгофа оказывается несправедливой.
ршр 1'Т^С К РаЕ9Р$деленным электромагнитным системам возник
времени тмии*е Х В' П0Д ВЛНЯннем Ряда актуальных для того
графных а чятаСКИХ задач> связанных с передачей вначале теле-
стояния ’ Первый и телеФ0Ш1ЫХ сообщений на значительные рас-
тромапштных систем^™ Изучения среди .распределенных эле -
мер, двумя паоаллел^ а ЛШия пеРедачи> образованная, напри
6 умя параллельными проводниками при условии, что протЯ-
(В.З)
женность системы вдоль осн сравнима с длиной волны передавае-
мых колебаний. Подобные линии передачи в то время назвали
«длинными линиями». Интересно отметить, что первые работы
Кирхгофа и Томсона (Кельвина) в этом направлении были прове-
дены до того, как Максвелл установил общие законы электромаг-
нетизма. Суть рассуждений создателей первых теорий линий пере-
дачи состояла в следующем. Достаточно малый по сравнению
с длиной волны отрезок линии рассматривался как некоторый ква-
зистационарный четырехполюсник. Внутренняя структура этого
четырехполюсника выбиралась таким образом, чтобы можно было
учесть следующие явления: 1) накопление энергии магнитного по-
ля за счет протекания тока по проводникам линии; 2) запасание
энергии электрического поля ввиду наличия некоторой емкости
между проводниками линии; 3) превращение части электромагнит-
ной энергии в тепло, вызываемое как сопротивлением проводников,
так и несовершенством изоляции. Количественными характеристи-
ками линии при таком подходе являются первичные параметры —
индуктивность отрезка линии длиной 1 м или погонная индуктив-
ность Li, Гн/м, погонная емкость Сь Ф/м, погонное сопротивление
потерь в проводниках Ri, Ом/м, и погонная проводимость изоляции
Gb См/м (индекс означает, что эти величины характеризуют отре-
зок линии единичной длины).
Динамическими переменными, необходимыми для описания со-
стояний элементарных четырехполюсников, служат обычные токи
и напряжения. Устремляя к нулю длины элементарных отрезков,
можно свести задачу к некоторым дифференциальным уравнениям,
решения которых соответствуют волновому процессу, наблюдаемо-
му в линии.
Развитие методов электродинамики, основанных на уравнениях
Максвелла, дало возможность еще раз вернуться к классической
задаче о волнах в линии передачи. Строгий анализ показал, что
решения, полученные по методу Кирхгофа и Томсона, имеют при-
ближенный характер. Для их применения необходимо, во-первых,
чтобы поперечные размеры линии были малы по сравнению с дли-
ной волны передаваемых колебаний. Во-вторых, конфигурация про-
водников, из которых образована линия, должна быть такова,
чтобы по одному из них ток от генератора поступал к нагрузке,
а по другому возвращался в генератор. Именно при этих условиях
электромагнитные поля в системе приобретают характерный вид,
называемый поперечной или Т-волной (от англ, transverse
electromagnetic wave). Основной чертой Т-волны является отсут-
ствие в ней продольных составляющих векторов электромагнитно-
го поля Е и Н.
Наряду с этим было показано, что эффекты направленной пе-
редачи волн возможны в линиях принципиально иной структуры —-
так называемых полых волноводах, представляющих собой
металлические трубы, обычно прямоугольного или круглого сече-
ния. Эти линии передачи, широко применяемые в радиотехнике
для передачи колебаний с частотами выше 1000 МГц, уже не мо-
писаны простой квазнстационарной
S“p^:	"олей "° срав"ен',ю с Т'вм-
сложной струкпро	тео я ЛИННЙ передачи не по- -
наМт\. не менее квазистационарн	ам< Во-первых, линии
La своей актуальности п* Пользуются (см. гл. II). Во-
тер ™чи с Т-волнами повеемт вОЗМОжность построить
Хх линии передачи этого;	модели, пригодные для изу-
и «^“““'еГХовых процессов в передающих сИте_
чення закономерностей
мах любой природы.
Глава I
ТЕОРИЯ РЕГУЛЯРНОЙ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ
§ 1.1. Вывод уравнения состояния
регулярной линии передачи
Линии передачи, геометрическая конфигурация которых, а так-
же свойства заполняющего их материала остаются неизменными
вдоль продольной координаты, называют регулярными. Пред-
положим, что в неограниченно протяженной вдоль оси г линии
передачи с помощью каких-либо внешних источников (генерато-
ров) возбуждены гармонические колебания с частотой <о. Так как
изучаемые линии принадлежат к классу линейных систем, для ко-
торых справедлив принцип суперпозиции, то, зная реакцию на воз-
действие гармоническими колебаниями с различными частотами,
всегда можно найти результат произвольных воздействий, приме-
нив известные методы рядов или интегралов Фурье.
Выведем уравнения состояния регулярной линии передачи, по-
нимая под ними математические соотношения, устанавливающие
законы изменения комплексных амплитуд C(z) и /(z) вдоль про-
дольной координаты. При этом будем иметь в виду следующее.
Как упоминалось во введении, линия передачи является рас-
пределенной системой и поэтому к ней, строго говоря, непримени-
мы обычные законы электрических цепей, например законы Кирх-
гофа. Однако если представить себе линию в виде последователь-
ного соединения элементарных отрезков длиной Az каждый, то
в пределе при Az->0 такие четырехполюсники могут быть описаны
методами, принятыми в теории цепей. При этом уравнения состоя-
ния линии должны приобрести вид уже не алгебраических, а диф-
ференциальных уравнений.
Пусть исходные данные в виде первичных параметров линии
передачи L\, С\, R\ и G\ известны. Тогда можно ввести погонное
комплексное сопротивление
и погонную комплексную проводимость
играющие первостепенную роль во всей излагаемой далее теории.
Смысл этих величин состоит в том, что они позволяют охаракте-
ризовать физические свойства отдельных элементарных четырех-
полюсников. Например, можно изобразить математическую модель
элементарного четырехполюсника в виде Г-образной структуры
ной модели С
величиной ' .
Учитывая, что
малые отрезки .
Рис. 1.1. К выводу телеграфных
уравнений
, i n включающей в себя последовательное сопротивление
№ ; ,™™пуюшую проводимость У,Лг (использова 1е П-образ!
Z^z и ш>нтирУ^У симметрично включенными проводимостям^
„ой модели с двумяжс™	r а„алогич„ым р	а™и»
’о элементарные четырехполюсники, отображающие
линии передачи, включены каскадно, попытаемся
исходя из законов Кирхгофа, соста’
вить общее уравнение состояния та"
кой дискретной модели. Обозначим
посредством символов t7(z) и ^(гн-
+ Дг) комплексные амплитуды на-
пряжений соответственно на вхоце
и на выходе элементарного четырех-
полюсника, который отвечает теку-
щему значению продольной коорди-
наты z (см. рис. 1.1). Аналогичную
символику примем для комплексной
амплитуды тока в линии. На осно-
вании второго закона Кирхгофа, об-
ходя внутренний контур в направ-
лении, указанном на рисунке, имеем тождес гво
U(z-{-Lz) —	(z) Az = 0.	(1-1)
Далее, из первого закона Кирхгофа с учетом направлений токов
принятых за положительные, следует, что
I (z)=! {z-\-Lz)-\-YlH (z-j-Az) Lz,
или с точностью до малых величин порядка (Az)2
/ (z)=j (z-|-Az) + K/7(z)Az.	(1.3)
Равенства (1.1) и (1.3) могут быть эквивалентно представлены
следующей системой разностных уравнений:
U(Z + &Z)-U(Z)	7 •
Дг
j(z + hz)~ j (z)
(1-2)
(1.4)
в Результ^те\егоераЬвенс?ваЦ^Г4)ПРеДе”ЛЬНОГ° Перехода при Az->0’
венных диФЛеприпия П1_СТВа ' пеРеидут в систему двух обыкно-
ентами: Фференциальны* Уравнений с постоянными коэффици-
ент
dz
di
dz
(1.5)
10
Подобные уравнения впервые были изучены при исследовании
явлений в линиях дальней телеграфной связи. Поэтому их назы-
вают телеграфными уравнениями. Они играют фунда-
ментальную роль в теории волновых процессов и, в частности, при
изучении процессов в линиях передачи самой разнообразной при-
роды.
Если продифференцировать по z обе части уравнений системы
(1.5), то последнюю можно свести к одному дифференциальному
уравнению второго порядка как относительно напряжения, так и
относительно тока:
—-ZXYXU=§,	(1.6)
—-Z^/^O.	(1.7)
В теории волновых процессов уравнения вида (1.6) и (1.7) но-
сят название уравнений Гельмгольца*. Ясно, что решать
следует только одно из этих уравнений, поскольку вторая неизвест-
ная величина найдется из системы (1.5) простым дифференцирова-
нием. По структуре уравнения (1.6) и (1.7) аналогичны тем, кото-
рые имеют место в теории гармонического осциллятора, подобного
маятнику или колебательному контуру. Принципиальное отличие
состоит в том, что уравнения Гельмгольца определяют не времен-
ные, а пространственные характеристики процесса.
Уравнения Гельмгольца можно вывести не из телеграфных уравнений, а не-
посредственно, записав условие электрического равновесия одной из элементар-
ных ячеек, изображенных на рис. 1.1, по методу контурных токов:
/	2 \ •	1 .	1	.
I ZjAz + ——) / (г) — —— I (z — Дг) — —— I(z + Дг) = О,
V УхДг) Yxbz	Yxbz
откуда
ZU+^)4-j(z-to)-2/W  у
(Дг)2
В первом члене последнего уравнения легко усмотреть конечно-разностный
аналог второй производной. Переходя к пределу при Да->0, получаем уравне-
ние (1.7).
§ 1.2.	Общее решение уравнения Гельмгольца
для бесконечно протяженной регулярной линии передачи.
Монохроматические бегущие волны
В одном из уравнений Гельмгольца, например в уравнении от-
носительно комплексной амплитуды напряжения, выразим коэф-
фициент ZXYX через новый параметр у, определяемый следующим
образом:
•v=/za	(1.8)
* Герман Гельмгольц (1821—1894)—крупный немецкий ученый, известный
своими исследованиями в области колебаний и волн.
11
(1.9)
1 велч.
Р_с л а б-
-10в
личина в общем случае комплексная, наЗЫВаръ
Данная велич ’аСПространения рассматрцПяаеТся
коэффициентом Pfl частоте. в развернутой форМе еМ
линии передачи на зад у=о+У?.
Как «• - " иальные
ХЫиГГ-"°“фФ|,циеНТ фаЗЫ- СМЬ,СЛ ПОДОбнь,х <«»,
будет °^ъяс,Х"п^теории линейных дифференциальных Vdpd
ний^обшее решение Синения Гельмгольца
сывается следующим образом.
Комплексные числа А и В служат произвольными пост
и не зависят друг от друга.	Ояннымц
Изучим вначале частный случай линии, в которой
омические потери, т. е. когда Z] = Yx	^^ytot
Из формулы (1.8) следует, что здесь величина
мнимой:	' 0Ка>кется
yz=y’P = /<!)]/ L1Cl.
Рассмотрим первое слагаемое в правой части (1.10), положив
для определенности амплитудный коэффициент равным веществен-
ному числу Um. При этом
U(z)=Ume-n*,	(1.П)
или, переходя от комплексной амплитуды к мгновенному значению
напряжения,
и (z, t)=Re (U (z) е7’ш/)=Um cos (wf—ftz).	(1.12)
Выражения вида (1.11) или (1.12) описывают монохроматиче-
J(Z,t)\
Ф~0 Ф-~2тг
ские волны, распространяющиеся
вдоль линии передачи в сторону
возрастания координаты z. Изобра-
зим графически распределение на-
пряжения вдоль линии, существую-
щее в момент времени /=0 (рис.
1-2). Эта «мгновенная фотография»
представляет собой косинусоиду
u(z, 0) = Umcos fiz, пространствен-
ный период которой
Х=2л/₽	(1.13)
называют д л ин о й волны. ТакДО
играет роль пространственной частоты
Рис. 1.2. Бегущая волна в ли-
нии передачи без потерь
во=го °п1±ИеНТ фаЗЫ • - — ир^.рансгвен-нон
верь на этом жр™ П0аналогии с временной частотой со. Если т I
Ртеже изобразить кривую u(z, t), отвечаюшУ
некоторому моменту времени <>0, то можно заметить, что она
сместится вправо по отношению к исходной кривой. Назовем пол-
ной фазой волнового процесса аргумент гармонических функций
вида (1.12):
ф=а)/-₽г.	(1.14)
Если нужно проследить за перемещением вдоль оси z какой-
либо фиксированной точки на кривой распределения напряжения,
то следует потребовать неизменности полной фазы при всех z и t.
Условие вида
ш/ — ₽z = const	(1-15)
является уравнением, определяющим положение точек равных фаз.
Скорость перемещения точки равной фазы называют фазовой
скоростью и обозначают Уф. Для того чтобы найти ее, следует
выразить z из (1.15) в явном виде:
tot — const
и затем определить фазовую скорость следующим образом:
‘Vq = dzldt=^l$.	(1.16)
Например, для рассматриваемого случая линии без потерь
поэтому	г’ф = 1/ ]/ LXCX.	(1-17)
Аналогично исследуются монохроматические волны, соответст-
вующие второму слагаемому в формуле (1.10), для которых комп-
лексная амплитуда имеет вид
O(z)=Ume^	(1.18)
(здесь также предполагается отсутствие потерь). Мгновенная кар-
тина распределения напряжения в линии описывается формулой
u{z, t}=Umcos(arf-f-₽z).	(1.19)
Положение точек равных фаз во времени и в пространстве оп-
ределяется здесь уравнением cat + fiz=const, из которого видно, что
с ростом t координата z должна уменьшаться, а не увеличиваться,
как в предыдущем случае. Поэтому формулы (1.18) и (1.19) соот-
ветствуют волнам, распространяющимся или, как часто говорят,
бегущим в отрицательном направлении оси z с той же скоростью
Цф. Будем придерживаться определенной терминологии, называя
волны вида ехр (—/р-z) прямыми, а вида exp (jpz)—обратными
волнами. Прямая и обратная волны соответствуют двум линейно
независимым решениям уравнения Гельмгольца и никак не свя-
заны друг с другом. В бесконечно протяженной линии оба направ-
ления распространения равноправны, и поэтому в название волн
не следует вкладывать абсолютного смысла.
13
Подводя итог сказанному, сформулируем фундаме
свойства монохроматических волн в линии передачи женталЫц(е
1.	В общем случае волновой процесс в линии являет63 ПотеК
прямой и обратной волн.	СясУмм
2.	Процесс, наблюдаемый в фиксированной точке
простое гармоническое колебание.	си г> есга
3.	Как в прямой, так и в обратной волне фазовый сдв
колебаниями в различных точках линейно связан с
Коэффициент фазы р характеризует скорость измене^ Г°ЯНИе<
вдоль оси.	ения Фаз*
4.	Точки фиксированной фазы перемещаются в пространстве
с фазовой скоростью; ее величина не зависит от частоты колебаний.
Следует обратить внимание на одно существенное обстоятельство:
фазовая скорость определена нами как скорость перемещения
в пространстве воображаемой точки. Поэтому на величину фазовой
скорости не должны распространяться известные ограничения, свя-
занные с предельным характером скорости света.
Обратимся к исследованию монохроматических волн в линиях
передачи с потерями. Комплексная амплитуда напряжения прямой
волны в такой линии передачи
6r(z)=Lfme-T'={/me-«e--/₽*,	(t20)
откуда	u(z, /)=£7me-«cos(a>/ —₽г).	С1-21)
Принципиальное отличие формулы (1.21) от ранее найденной
зависимости (1.12) состоит в том, что амплитуда гармонич^^Н
14
колебаний в линиях с потерями экспоненциально уменьшается по
мере распространения волны, т е
Соответствующие графики, дающие представление о распреде-
лении напряжения в различные моменты времени, приведены н.з
рис 1.3
Из формулы (1.22) следует способ измерения коэффициента
ослабления а Если посретсгвом |Г(| н Сз| обозначить амплиту-
ды колебаний в точках / и 2. расстояние между которыми I м, и
претположить, что волна распространяется от точки / к точке 2. то
(1231
Величина а характеризует ослабление волн п линии, выражен-
ное в особых логарифмических единицах непера* на четр
(Нп/м) В радиотехнике чаще нсйолыуются логарифмические еди-
ницы не с натуральным, а с десятичным основанием децибелы
(дБ). При этом вводят погонное затухание \ в линии, определяя
его несколько иной формулой
А 20 Ir —дБ'.м	(124)
Cj
Величины а и Л связаны соотношением
A 20а 2,718^ 8.686а.
Для обратных волн В линии с потерями имеет место следую-
щее выражение комплексной амплитуды
tf(z)-t/„e’'c"'.	(1.25)
и соответствующая формула для мгновенных значений напря-
жения:
U(Z, /)a-st/-|ee,CO4(u>/4-?Z).	(1.26)
В этом выражении по сравнению с формулой (I 21) изменились
знаки, что указывает на противоположное направление распростра-
нения волны.
§ 1.3. Понятие волнового сопротивления линии передачи
Проведенный анализ процессов в неограниченной регулярной
линии является неполным, поскольку нам удалось исследовать
лишь вопрос о распределении напряжения вдоль линии. Знание
распределения тока важно не в меньшей мере, поскольку энерге-
тические характеристики, такие, как переносимая мощность, опре-
деляются через соответствующим образом вычисленные произведе-
ния напряжения и тока.
15
Рассмотрим вначале прямую волну. Комплексные
напряжения и тока прямой волны удовлетворяют
Гельмгольца
^np/^-y2i/np=0,
tPI^dz2— у2/пр=0.
Решения этих уравнений одинаковы:
амПЛИту
Уравнен^
(1.2?
(1-28.
U^{z)=Umer^,
inp{z}=Im е~Тг,
и отличаются лишь амплитудными коэффициентами. Найдем
между величинами Um и /т- Для этого в одно из телеграфий
уравнений, например dOldz=Z\t, подставим соотношения (1
и (1.30). После сокращения на общий множитель ехр (—/уг)
лучим
(1.30)
связь

откуда

Последний результат можно преобразовать, имея в виду Чт
комплексный коэффициент распространения связан с погонными
параметрами линии формулой У=к ДА, поэтому
т
(1.31)
Отношение комплексных амплитуд напряжения и
щей волне носит название волнового сопротив
тока в бегу-
-Ленин ли-
нии передачи. Из (1.31) следует, что волновое сопротивление
7	AZi
Zb="a^T=J/ п ’ Ом- и
Запишем формулу волнового сопротивления, выраженного че-
рез первичные параметры линии:
z. = 1 / —+>£1 =[z I
|/ G1 + >C!	1 в|е •
ное^слоВч°ябВи^и^УЧае волновое сопротивление-это комплекс-
чи так и от пягт^кг рЯК °Т пеРВИчных параметров линии переда-
вав иногда хапякт₽ литературе волновое сопротивление назы-
ОбпаХя трРпапJ Р И С Т И 4 е С К И м сопротивлением.
Р к случаю обратной волны, для которой
^овР=^теТг, /обр=адет*.
Аналогичным образом находим, что
Абр(г)_____
А>бр(г) в’
(1.33)
(1-34)
(1.35)
Различие в знаках между формулами (1.32) и (1.35) связано
с тем, что ток обратной волны направлен противоположно току
прямой волны. Далее будет показано, что это обстоятельство очень
важно, так как оно говорит о противоположном направлении по-
токов мощности, переносимой прямой и обратной волнами.
§ 1.4. Вторичные параметры линий передачи
различных типов
Комплексный коэффициент распространения и волновое сопро-
тивление служат важнейшими вторичными параметрами линии пе-
редачи. Знание их позволяет полностью описать свойства линии
в рамках первоначально принятой математической модели.
Общий случай. Коэффициенты фазы р и ослабления а являются
соответственно мнимой и вещественной частями комплексного ко-
эффициента распространения
Y = а+J' ₽=V (/?i4->£i)(Gi4“>Ci).	(1.36)
Найдем их явные выражения через первичные параметры линии
и значение круговой частоты и. Для этого возведем обе части фор-
мулы (1.36) в квадрат:
а2+2уа₽ - ₽2=(/?! 4-	(Gx+JvCd,
затем выделим отсюда вещественную часть
a2 — ₽2=/?1G1 — ш2ад.	(1.37)
Кроме того, запишем выражение для квадрата модуля у:
а24-₽2=]/(/??4-а>2/4) (С?4-ад).	(1.38)
Совместное рассмотрение двух последних формул приводит
к окончательному результату:
a=j /4 (ЯА-“>2ДС1)4-4-	(О?4-^С1). (1- 39)
₽=1/4(«2ад-ад)4-4К(^4-ш2лС1)(о?4-ш2сб.	(i.40)
Элементарные вычисления приводят к формулам [см. выраже-
ние (1.33)]:
/?2 -|-
(1-41)

_G1__ А
,	1	 (*>С1	ш/,]
— arctg —1	—
Т 2	GiRi
БИБЛИОТЕКА “2£1<?
ТУЛЬСКОГО ПОЛИЯ:лН<|Ч2£аОГО I
ИНСТИТУТА
1б
Формула (1 42) свидетельствует о том. что в общем сЛуЧа#
4 е'то некоторый фазовый сдвиг между комплексны*0Т частоты’ определяясь исключительно геометрией поперечного
имеет мес напряжения и тока в бегущей волне. Знак фазОв ^сечения и свойствами заполняющего диэлектрика.
амплпт>да” jiT‘o^KOHKpCTHbIX параметров системы. Расчеты по°Г° Лин,1я пеРеДачи с малыми потерями. Этот случай характеризу-
сдвига зав с бтьшинства практически используемых лМиКа'егся тем’ чт0 в Рабочем диапазоне частот выполняются неравен-
Зл™ справедливо неравенство R./L^G./C,, поэтому фазов“*тва
угол Ц’ оказывается отрицательным и ток опережает напряжение	G1«(»C1.	(1.46:
Од на ко этот эффект, как правило, весьма невелик.	
Линия без потерь. Так называют идеализированную линию п По-видимому линии передачи с такими свойствами должны на-
дая которой имеет место равенство нулю первичных п помипать линнн без П0ТеРь- Докажем это. Преобразуем формулу
пэмртпов Я. и 6,. определяющих омические (тепловые) потепы(L36) ’ дающую общий вид комплексного
Подобных линий в природе нс существует. Однако такая идеа£?СТране,ШЯ:
зация часто оказывается полезной хотя бы потому, что при этом
упрощаются все расчетные формулы. К тому же учет потерь в ли-
ниях передачи, применяемых в радиотехнике, дает поправки, ко-
торыми можно пренебречь при решении ряда конкретных задач
Сказанное не относится к тому случаю, когда линия передачи
даже совершенная по своим свойствам, обладает значительной дли-
ной и \чет омических потерь становится неизбежным.	.
Затухание в линии без потерь равно нулю, так что коэффиии ОГСУТСТВИЯ потерь. Подкоренное выражение в формуле
ент распространения имеет чисто мнимый характер:	*»уг.пИиЯ₽-г™
¥=/?=>“ 1
Как было показано, фазовая скорость в такой линии
коэффициента распро-
А [ j (	<’>С 1
Gi \  RiGi
g>C । /
Здесь Ро — коэффициент фазы той же линии в предположении
: (1.47) мало
отличается от единицы, поэтому целесообразно разложить радикал
в степенной ряд вида
(1.47)
X	х^
2	Г

1
^=<2=1/1^
не зависит от частоты колебаний. При этом оказывается (и это
можно подтвердить строгим электродинамическим анализом), что
величина l/(L]Ci) в точности равна квадрату скорости света в той
среде, которая заполняет поперечное сечение линии передачи, т. е.
l/(Z1C1) = c2/(e|i).	(1.431
Здесь с скорость света в вакууме; е, ц — относительные ди-
риала)ИЧеСКаЯ И магнитная проницаемости заполняющего мате-
Поэтому в линии передачи без потерь
(1.44!
не ппивплытЛо°пВаМИ’ наличие идеальных токонесущих поверхносте'
магнитных возмущенийМеНеНИЮ скорости Распространения электро-
^^^ни^лини^передачн’б^псп-ерь-Р3^3116 "" ВОЛНОВОГО
^.=-/ZTcb Ом.	(1.<
потерь вещественнлЩяеГ0 случая волновое сопротивление линии б*3
Кроме того, волновор гпп ЧИТ’ напРяжение и ток всегда синфазнИ-
ig	ротивление линии без потерь не завися
Условимся проводить вычисления, оставляя в формулах вели-
чины порядка квадратов малых отношений /?i/(wL[) или G^UoCj)
и пренебрегая величинами более высокого порядка малости. Тогда
формула (1.47) дает следующие приближенные выражения для
р и а:
п п 1 I 1 / /? 1	G1 \21
₽ = ₽о * + „- 7—у- - рад м,
8со2 \ G1 /
Z
Нп.'м,
(1.48)
U-49)
rp<&ZBB=y LJCi — волновое сопротивление аналогичной линии без
потерь.
Смысл понятия линии передачи с малыми потерями становится
[более ясным, если рассмотреть отношение
а 1	।_1_. О^во
₽	2 ' ₽0ZB0 + 2 ' ₽0 ’
Г являющееся малым Числом, которое к тому же уменьшается с рос-
том частоты. Кроме ioro,
а/р=—— аХ, Нп,
2л
т. е. это число с точностью до постоянного коэффициента характе-
ризует ослабление бегущей волны, выраженное в неперах, которое
19
(1.51)
2
2ш
(1-52)
Рис. 1.4. Распределенная RC-
структура:
1 — металлическая пластина. 2 —
слой диэлектрика; 3 — резистивная
полоска
„а участок линки протяженностью в одну дл„
передачи с малыми потерями целует называть И 71 Итак, в распределенной /гС-структуре коэффициенты фазы н
„« которой^выполняется неравенство «/₽«! Поясним ска Ослабления численно равны
fa /- 1"<Ю0 МГн (1=3 см) и обладающий коэфф,
ослабления п-1 Нп/м. Полное затухание s
оСДл 7_ялял лБ Если предположить, например, что
п.^г, на входе системы Umm= 1 кВ, то амплитуд! Важное свойство распределенной ЯС-структуры заключается
напряжения на * найдена из соотношения У том. что здесь коэффициент фазы уже не прямо пропорционален
ного сигнала дил/пп	(астоте, а изменяется по закону квадратного корня из частоты.
201g -tZ”,l,x-=86,86 дБ,	Лоэтому фазовая скорость
^Лпвых
откуда £/твых=0,045 В. Таким образом, на выход линии пепРг	Тф=7
поступает лишь ничтожная доля входного сигнала. Кажется
правдоподобным, что такая система может называться линией Ф11 возрастании частоты увеличивается. В физике принято гово-
редачи с малыми потерями. Однако отметим, что рассматрив-|4,,ить’ 41,0 волновая система, в которой скорость распространения
линия весьма велика в масштабе длины волны: //А=333 (СЛ/колебаний не постоянна, а зависит
ется, что линия имеет воздушное заполнение). Вычислив коэф*!37 частоты, обладает частотной дис-	Выгод
цнент фазы р=2л/Л=209,44 рад/м, получаем, что безразмео^1	Данное свойство распре-
отношение а/p составит всего 0,00477.	деленной /?С-структуры позволяет
Следует иметь в виду, что с ростом рабочей частоты коэЛлсоздавать на ее ^азе весьма совер-
циент фазы линейно нарастает, в то время как коэффициент ослгиенные преобразователи формы
ления либо в первом приближении остается неизменным, либо•^лектРических кодебаний [9]. Такие
это будет показано в гл. II, растет пропорционально квадпятнК^УстР01'1ства дегко создаются метода-
корню из частоты. Поэтому с увеличением рабочей частоты современной электронной техно-
шение а/p уменьшается и, несмотря на абсолютный рост погоннВ°логии’ ^скиз распределенной RC-
затухания, на высоких частотах все с большим основанием можГрукТуРЫ пРедставлсн на Рис- 1-4-
принимать математическую модель линии с малыми потерями Погонное затухание сигналов
Линия передачи типа распределенной 7?С-структуры Р Лоиол здесь Достаточно велико. Посколь-
специфическими свойствами обладает линия передачи ’ у котоЙ^ а = Р’ потеРи на 0ТРезкс линии
последовательное реактивное сопротивление пренебрежимо «Ж<оставят аХ=2л> Нп, или
по сравнению с последовательным омическим сопротивление?4’58 дБ> ПрИ ЭТОМ ВХОДНОЙ си™ал
Исследуем такую передающую систему nneX,"S"CHbU,aeTC?.,"° амплитУДе "Риб',и-
лля простоты, что активная проводимость G, равна нулю (это ^ВТпЬН° ° 540 ра3'	- or
ловие не является принципиальным)	1 р у ^это ус Волновое сопротивление распределенной /?С-структуры, вычис-
Линии передачи v iwnnt.rv т — г л	пенное по общей формуле, оказывается комплексным:
распределенным и Рг А - А = 0, в радиотехнике называю:
самым что в чти* пи ^-структурами, подчеркивая тек
запасание эн >ргии в НИЯХ одновРеменно происходят два процесса
сЧетХ"^^ЭЛеКТ,,И,,“,а’м и диссипация эн^и э.
Вычисляя для такой линии
странения, имеем
Rx
2a>Cj
С ростом частоты волновое сопротивление уменьшается по мо-
комплексный коэффициент распродулю, однако его фазовый угол при любой частоте сохраняет по-
стоянное значение ф =—45° (отрицательный знак указывает на то,
A
(1.53)

Поскольку
то
20
K7=eW=I/^2+y7jZ2,
у=«+/₽=/ф()+л
1То ток здесь опережает напряжение).
 В технике встречается довольно много линий передачи, по свой-
ствам близких к распределенным 7?С-структурам. К ним относятся,
<апример, обычные линии телефонной и телеграфной связи, рабо-
тающие в диапазоне звуковых частот.
Резистивная линия передачи. Этот случай является в известном
:мысле предельным, поскольку здесь оба первичных параметра,
2>
(1.57)
& 6pi~ Л.бр (^1
5Р(*о)-----^/,>6p(z0)RcZn.
(1.58)
определяющих процесс накопленезисти * НИТН°Г° *
ля. равны нулю. L\ — Ci 0’ а g/.=/?. ^У, = С?ВНаЯ Л: Пусть вдоль линии распространяется прямая волна в сторону
передачи характеризуется равенствами, м аь , о,. _____ взрастания координаты Z. При этом
Коэффициент распространения в такой линии у__	.
ляется вещественным числом, а поэтом}	I	^rnp(^) = /lip(^)ZB,
а = | ROX, 3-0.	поэтому	ЛФ(г01 —	/;.P(z0)RcZ
Последние Формулы свидетельствуют о том, что в резистин
ЛИИв.«I’осйразкый процесс распространения ко,е>в "ряп,’и "аст”.ад.ссь присутствует квадрат модуля комплексной
отсутствуй(коэффициент фазы равен нулю и колебания	Ж° 1,:,ссмот1’ст" "«Ра™ую волну, для ко-
сечениях линии имеют одну и ту же начальную фазу). Кроме то*
наблюдается экспоненциальное уменьшение амплитуды с рост
продольной координаты, направленной в сторону от генератп»
Так, для прямой волны в резистивной линии имеем	по
47(г)с 6/ое K/?,o,z	ц & для изучаемых линий передачи всегда ReZB>0. поэтому актив-
т,	. -	гая мощность, соответствующая прямой волне, положительна, а
Волновое сопротивлен г д	Р Д иного типа Активная мощность обратной волны отрицательна. Различие зна-
то вещественно.	___ сов мо1Цц0СТИ связано с противоположным направлением токов
=	Ом.	/j J прямой и обратной волнах. Если рассматривать прямую волну,
'‘‘то здесь увеличение тока в каком-нибудь сечении приводит к воз-
Рсзистивные липни являются удобной и достаточно точной ^астанию напряжения, которое мы условились считать за положи-
тематической моделью различных устройств, включаемых на цГельное. Поэтому полубесконечный отрезок линии правее сечения
ходе обычных линий передачи с целью поглощения энергии элег=2° всдет себя подобно резистивной нагрузке. При обратной вол-
тромагнитных колебаний и превращения ее в тепло. Дискретнк1е ситуация диаметрально противоположна — здесь увеличение
аналогом резистивных линии являются ступенчатые аттенюаторы-г°ка (в алгебраическом смысле) ведет к уменьшению напряжения
устройства, позволяющие в диапазоне умеренно высоких чаек* поэтому правая часть линии траст роль генератора, а левая —
скачкообразно изменять уровень сигнала, поступающего от гев,агРУзкн- Итак, в регулярной линии передачи направления потока
ратора.	энергии и фазовой скорости совпадают.
Особенно простой вид приобретают формулы для средней пере-
§ 1.5.	Мощность, переносимая бегущими волнами	тосимой мощности в линии без потерь:
вдоль линии передачи	z „ z „	,	.
р__	"	__ 1	/г2	1	,г2
и .	„		—	9 У"Р ”7“ уобр — —— С/пр——- С/обр.
Найденная система решении телеграфных уравнений дает во	2	2	zz"
пе^гиммуПЛргл?тпТи Tt ° ,етить иа вопрос о потоках мощности, в Рассмотрим два сечения линии с координатами z=Z\ и z — z2
? n nprvnanu - волнами. Зафиксируем некоторое сечеа(г2>г1). Свяжем между собой величины мощностей волнового про-
Р °И линии передачи и предположим, что известцесса в этих двух сечениях при самых общих условиях. Для этого
делить полни ПЛИТУДЫ (М и 7(Zo), которые позволяют ощобразуем систему из первого телеграфного уравнения, входящего
t 1 1.. ь jhj. ощность о.	3 (1.5), и комплексно-сопряженного второго телеграфного урав-
. г .	•	тения:
S(*o)=— <W(4	(1.5
Здесь символом обозначено комплексно-сопряженно
вАпыиыо^еЕ^СЛ^Чае полная мощность S=P+jQ есть комплексна Умножим первое уравнение на 7/2, второе на 17/2 и сложим их.
ней я «Jo вещественную часть Р называют активной или cpeQ результате получим
электп	часть ® реактивной мощностью гармоническог	d [ \ • »\
электромагнитного процесса.	— I — UI] =
22	'	dz \ 2 J
(1.59)
dU!dz=—Rj
(1.60)
/?1/2 GXU2
С^2	£i/2\
,2	2 )
2	2
23
Левая часть этого уравнения представляет собой
от полной мощности 5. Разделив вещеевенную и г
имеем два дифференциальных выражения.
dp______gi£2 Glt/2
2	:
dz \ 2	2
являющихся уравнениями локального баланса активной и peg
ной мощности соответственно. Интегрируя (1.61) в пределах
выбранных сечений, находим
dz
dQ
—— =ш
2
[Pdz
2 J
г,
..........1.. ,	в правую часть последней форму,
положительны, поэтому всегда P(z2) <P(zi) (следует помнить
активная мощность, переносимая обратной волной, имеет отрк
тельный знак). Физический смысл формулы (1.63) прост — акт.
ная мощность, отбираемая от генератора, равна сумме мощн0с,
отдаваемой нагрузке, и мощности омических потерь в линии (
отношение (1.63) является частной формулировкой известной три»
мы Умова *..?ткуда
Связь между реактивными мощностями в сечениях Z\ и z2t
лучаем на основании выражения (1.62):
P(z2)~P{zl)=
LPdz.
2 J
z.
пР°Извод обходимое Для распространения электромагнитных возмущений от одного кон-
МНИмую ид t линии до другого. Однако реализация более или менее значительных задержек
а^ложияется высокой скоростью распространения волн в линиях. Так, при Оф»
3-108 м/с для получения задержки в 1 мкс потребуется отрезок линии длиной
Ю м. Это неизбежно связано с конструктивными трудностями, преодолеть кото-
(l.fje можно путем использования цепочечных эквивалентов линий передачи, соб-
анных из сосредоточенных схемных элемен-
)в (рис. 1.5).
(1,( Проанализируем эту систему и пока-
:ем, что явления в ней моделируют те
к_роцессы, которые наблюдаются в регуляр-
кЧой линии передачи с распределенными па-
ДВаметрами.
На основании первого и второго зэконое
.ирхгофа запишем:
Ij йп-\ — poLI п + (7Л,
7 л—1 = ]ыСй п—1 + 1п.
67-f
z
'n
\Un
Pntt
Оба интеграла, входящие
(1.65)
(1.66)
В соответствии с (1.65) ток в n-й ячейке
/л = ((/я-1-£/«)/(>£)•
Подставив это выражение в уравнение (1.65), имеем
п—1	, ~.-г	. &п-1 — &п
. , ----= J“CUn~i +--------—-----
juiL	j^L
йп-2-U.
Рис. 1.5. Схема цепочечного экви-
валента
Q(z2)-Q(z,)=^ с	/2дгг=а»(э„-Э„„).
Zi	Z1
О п-2 - (2 - W2£C) йп_х + ип = 0.
I
Анализ свелся, таким образом, к нахождению решения линейного
го уравнения второго порядка. Будем искать его решение в виде
йп = А^п
(1. 67)
разност-
(1.68)
произвольным амплитудным множителем А. Подстановка (1.68) в (1.67) при-
__	__ одит к следующему уравнению:
Здесь .Ээл и »ЭМаг — усредненные за период энергии электрщ	е2т — (2 — ^LCje1 + 1 = 0.
ского и магнитного полей соответственно, накапливаемые в отре
ке ЛИНИИ.	у Если обозначить е7 = <7, то (1.69) становится эквивалентным
В бегущей волне реактивная мощность вдоль продольной коо'Равнению
динаты неизменна. Действительно,
___________	;орни которого
эая=_ г1)/4; эмаг=Ltu2m (z2 - ^)/(4Z;),
поэтому из (1.64) следует, что Q(z2) = Q(zl).
Но синфазность тока и напряжения позволяет сделать здесь Если	то «/1.2 — комплексное чпиИ, muwj.,D	Ес**«-
оолее сильный ВЫВОД — реактивная МОЩНОСТЬ В рассматриваем”1116- Поэтому их можно записать в виде ехр (±/р). Величина Р является фазо-
случае тождественно равна нулю.	н г	„г.плиг.ипшп	r cogt-
q2—(2 — <£LC)q + 1=0,
(1.69)
квадратному
/ <JLC \2
I Если w2<2/(LC), то <71,2 — комплексные числа, модуль которых равен еди-
»ым сдвигом, приходящимся на одну ячейку цепочечного эквивалента. В соот-
»етствии с (1.70)
<*2LC
«1.2='------~
(1.70)
§ 1.6. Цепочечный эквивалент
регулярной линии передачи	)Ткуда
дание^тройств лля1чяп₽п»еНеНИЯ ЛиНий пеРелачи в радиотехнике является со
что отрезокС ХиТдлинТ1Кп^МПУЛЬСНЫХ СИгналов‘ Работа их основана Haf
_________ г * обеспечивает задержку сигнала на время Частоту
н. А. Умов (1846—1915) — известный русский физик.
24
w2£C
cos p = 1 —-—
/	<»2£С
Р = arccos 11 — —-—
<ос = /2/(£С)
(1.71)
25

ой среза цепочечного эквивалента. В И||т
Глава II
Х;Хо™ТоВв»“ми;’лриЧемУо6Ший фзэовий сдвиг	Г"’” "
SU- ж,татт здесь К08фф„иие„ту фазы > НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧИ
ПРН711 зависи: от частоты нелинейно и поэтому Цепочечный’Л С°°Ч
Xie от идеальной распределенной линии обладает частотной ^*4
вызывает	ИМпУ-ов.
НХ СВ облаасСтРи цепочечный эквивалент ведет себя подобно фи.. 4
них частот. При этом наблюдается экспоненциальное уменьшение '	* Рассмотрим некоторые широко применяемые в радиотехнике
сигнала от ™йк"	элемен^арны^^чеек^ no*pSH»HH передачи, которые могут анализироваться методами, нзло-
возникновением р	ек"^четц^«сннымн в гл. I. Для этих систем общим является то, что они
люсииков 1 J.	Образованы совокупностью двух проводников, по которым проте-
амм и упражнения к гл. I	<ают токи и между которыми в любом сечении можно определить
адачи “	.	напряжение (разность потенциалов). Приводимые далее формулы
"ДРаир^меют важ,,ое 343'1^™ для инженерных расчетов разнообразных
шейся в линии псред	ц, а фазов^устроиств, в которых используются линии передачи.
Ответ. 14,784 рад/м.	_
1.2.	Линия передачи имеет длину 20 м и на рабочей частоте	§ 2.1* Требования, предъявляемые
зуется коэффициентом ослабления а=0,8 Нп/м. Для компенсации пот^^	к радиотехническим ЛИНИЯМ передачи
нии предусмотрена	„„ УС^игналов ^ня°Вп д°ЛЖно быть'» Линия передачи, рассматриваемая как элемент радиотехнической конструк-
ление, введенно	>	УР	входе и Иа должна удовлетворять ряду требований. Перечислим важнейшие из них.
совпадали.	Функциональные требования. 1. Линия передачи должна обеспечивать мак-
Р„т в.е т- у™ дь’ „	. г .дг„ _____________	симальную эффективность передачи энергии высокочастотных колебаний от
1.3.	Колебания с ча	Р пягЛотпз™- в распределеино* «генератора к нагрузке. В простейшем виде это требование сводится к миними-
СТлллТУ5о	У1 nnnuw и кппнпйлр глп МИ	кОм/м гзации уровня тепловых (омических) потерь.
«400 пФ/м. Опред^тить длину волш> I во овое сопротивление.	’С 2. В некоторых областях радиоэлектроники (телевидение, радиолокация.
Ответ. А = 0,о2 м, Zb —/Уо (I J) им.	вычислительная техника) линии передачи должны с малыми искажениями пере-
1.4.	При сочленении двух линии передачи с волновым соппотив>._панать сигналы, спектр которых простирается от нулевой частоты до частот
2в = 150 Ом использован высокочастотный разъем, трущиеся контакты котт^порядка нескольких десятков, сотен и даже тысяч мегагерц.
допускают протекание тока не более 22 А. Какую предельную мощность 3. Каждая линия передачи способна пропускать колебания, уровень мощио-
передать по такой линии?	°*сти которых ограничен пределом, зависящим от ее конструктивных особенностей.
О т в е т. 72,6 кВт."	u	Если ставится задача	связи мощного генератора с нагрузкой,	то	линия должна
1.5.	Электрический пробои	в	линии	передачи	наступает	при	напоив» обладать достаточной	электрической и тепловой прочностью.
между проводниками 14 кВ. Волновое сопротивление ZB=35 Ом. Какова »	4. Работа современных радиотехнических комплексов требует минимизиро-
чниа предельно допустимой	мощности,	передаваемой	по	данной	линии?	вать паразитные взаимные влияния отдельных составных частей.	Поэтому необ-
Ответ. 2,8 МВт.	ходимо, чтобы линии	передачи были электрогерметичны, т. е.	имели минималь-
’ ял ПОгеЧНЫ” эквивалент линии передачи собран из катушек с ннл\тшнУю УтечкУ передаваемой электромагнитной энергии.
ностью 30 мкГи и конденсаторов емкостью 180 пФ. Определить фа;зовый сп Эксплуатационные требования. 1. Конкретное радиоэлектронное устройство
приходящийся на одну ячейку, если частота сигнала f=l,5 МГц. Какому отггвместе с входящими в него линиями передачи работает в некотором предпола-
распределенной линии с фазовой скоростью Цф=3-108 м/с эквивалентно шгаемом заРаиее комплексе условий окружающей среды. Инженер-разработчик
звено-	^обязан выбрать тип линии передачи, способный работать в заданном диапазоне
температур, при ожидаемом уровне влажности, механических вибраций и т. п.
2. Часто возникает потребность в гибких линиях передачи. Однако любые
допустимые изгибы не должны существенно сказываться на функционировании
линии.
3. Линии передачи, используемые в такой аппаратуре, как авиационная или
космическая, должны обладать минимальными габаритами и массой.
Технолого-экономические требования. 1. В радиоэлектронных устройствах
линии передачи стали одним из распространенных компонентов. Поэтому зна-
чительным преимуществом обладают те конструкции линий, которые удовлет-
воряют обширному комплексу требований, объединяемых понятием технологич-
ности. Следует отметить, что достигнуты большие успехи на пути полной авто-
матизации производства многих видов линий передачи.
2. С технологичностью производства неразрывно связаны экономические
критерии. В условиях крупносерийного или массового производства линии пере-
дачи сравнивают между собой не только по функциональным и эксплуатацион-
ным, но и по экономическим показателям.
Ответ. 0,707 рад; 22,5 м.
27
, Гн/м,
(2.2)

02а
02b
Рис. 2.1. Коаксиальная линия пере-
дачи:
/ — внутренний проводник; 2 — диэлектрик;
3 — наружный проводник (оплетка); 4 —
защитное покрытие
§ 2.2. Коаксиальная линия передачи
Данный вид линий передачи благодаря удачной констру.
широко применяется в радиотехнике. Регулярная коаксиад^де р0 = 4л-10~7= 12,556-10 7 Гн/м — магнитная постоянная
линия передачи (рис. 2.1)—это система из двух хорошо про^в а к у у м а. Относительную магнитную проницаемость ц, как
ших металлических цилиндров, пространство между которые .правило, следует полагать равной единице, поскольку большинство
полнено твердым диэлектриком. Наиболее распространены гнб^ДиэлектРиков в диапазоне радиочастот не проявляют собственных
коаксиальные кабели, у кОТо магнитных свойств.
внутренний проводник предст Погонное сопротивление потерь. Задача нахождения омическо-
ляет собой одно- или многож^го сопротивления проводника, по которому проходит переменный
ный провод, а внешний про^ток, не может быть решена элементарными ме-
ник имеет вид оплетки, выпододтоДами и требует привлечения теории электро-
ной из тонкой проволоки. Диэд{ магнитного поля [1]. Сущность наблюдаемых яв-
триком для коаксиальных ка{лсния заключается в следующем. Плотность тока
лей обычно служит полиэта|максимальна на п°веРхиости проводника и экс-
(диэлектрическая проницаемоепоненциально Уменьшается ПРИ удалении от по-
8 = 2,25); используется такжевеРхности (поверхностный эффект). Под глуби-
ропласт (е=2,08). Эти полимр оя проникновения тока понимают расстояние
ные диэлектрики отличаю от поверхности, на котором плотность тока пада-
очень хорошими электрически!в е = 2’718 Раз- Ее вычисляют по формуле
свойствами. Значительно ре
в основном при передаче бо?
ших мощностей, используются
аксиальные линии жесткой ка
й
Рис. 2.2. Век-
торная диа-
грамма конден-
сатора с поте-
рями
<*=1/
Здесь о — частота; ц — относительная магнит-
струкции, в которых внутренний проводник поддерживается ; ная проницаемость металла; о — его удельная
электрическими шайбами.	объемная проводимость, имеющая размерность См/м (см. Прило-
Полная симметрия коаксиальной конструкции дает возможное жение). На частотах СВЧ-диапазона величина d очень мала (доли
анализировать многие электромагнитные процессы в ней си микрометра). Таким образом, «вытеснение» тока из проводника на
мощью элементарных методов, известных из курса физики. его поверхность ведет к существенному сокращению сечения токо-
Погонная емкость. Задача вычисления погонной емкости коа проводящей области и, как следствие, к значительному увеличению
сиальной линии сводится к нахождению емкости метрового отрез! сопротивления по сравнению с тем, которое наблюдается при по-
цилиндричсского конденсатора. Считаются известными относите; стоянном токе.
Ом/м .
ку
ная диэлектрическая проницаемость заполняющего диэлектрика Расчетное выражение для погонного сопротивления потерь в
а также а и b — радиусы внутреннего и внешнего проводников с коаксиальной линии передачи имеет вид
ответственно. Решение основано на известной из электростати
теореме Гаусса. Окончательная расчетная формула имеет вид
С‘=Т^7Т’ ф/м-	<2'
In (Ь/а)
где 8о= 10 9/(36л) =8,842-10~12 Ф/м — фундаментальная констант
называемая электрической постоянной вакуума.
огонная индУктивность. По определению она равна частно»
от деления полного магнитного потока, существующего на прол
ении ,1етРов°го отрезка линии, к протекающему в линии то»
гпопп Магнитный поток Ф можно связать с током / ®
чтп cJnnu- lJbvCTHOro закона полного тока, приняв во внимав»
ческих окпиЛ1ИНИИ“МсГНИТН0Г0 поля Должны иметь вид концентр
ру остей. В результате приходим к следующей формул
(2.3)
Данная формула не претендует на высокую точность, посколь-
параметр о сильно зависит от микроструктуры поверхности.
Погонная проводимость потерь. Несовершенство изоляции в ли-
ниях передачи принято учитывать следующим образом. Если по-
строить векторную диаграмму для конденсатора с неидеальным ди-
электриком (рис. 2.2), то угол между током и напряжением будет
отличаться от прямого на угол потерь б. Отсюда приходим к схеме
Замещения конденсатора с потерями, в которую входит активная
проводимость g, вычисляемая по формуле g=a>Ctg6. Эта прово-
димость включена параллельно емкости С.
i
28
29
В справочниках приводится величина tg б для различны»
электриков, оказывающаяся, как правило, достаточно малой * Центрами проводников равно D. Эту линию чаще всего выполняют
Приложение). На основании сказанного погонная проводи воздушным диэлектриком; для сохранения межцентровых рас-
потерь любой линии передачи весьма просто связана с пог стояний применяют изолирующие распорки из высококачественно-
емкостью:	го диэлектрического материала.
О1=шС1 tg8, См/м.	Расчеты погонной емкости и индуктивности осуществляются по
(Я тому же принципу, что и для коаксиальной линии, однако ввиду
Волновое сопротивление. Коаксиальные линии передачи, ИСп более сложной конфигурации проводников элементарные методы
зуемые в радиотехнике, обладают малыми потерями и поэтом °*здесь Уже непригодны. Запишем приближенные расчетные формулы
волновое сопротивление с достаточной точностью можно вычисл для Данного типа линии передачи (предполагаем, что D^a):
по формуле, соответствующей линии без потерь:	а) погонная емкость
, Ом.
Коаксиальные кабели, выпускаемые промышленностью нм
волновые сопротивления 50, 75, 100, 150, 200 Ом.
Погонные потери в коаксиальных линиях. Для расчета хапак-
ристик, описывающих омические потери, можно использов
приближенные формулы, отвечающие случаю линии с малыми г
терями (см. гл. I). Приведем выражение для погонного затухаю
коаксиальной линии передачи:
Сх = —— =--------—®, ф/м ;
1п(£)/а)	361п(О/а)
б) погонная индуктивность
^) = 41nf—Y 10-7, Гн/м;
л \ а )	\ а /
в) погонное сопротивление потерь
_1_ Ом/м.
ла ' 2а
(2.7)
(2.8)
(2.9)
4=0,0115l/^(M)+l,44S.10-^retg8, дБ/м, (1|
где ц — относительная магнитная проницаемость металла.
Первое слагаемое правой части учитывает потери, возникают
за счет неидеальной проводимости токонесущих поверхностей в-:
рое слагаемое — потери из-за неидеальности диэлектрика.
§ 2.3. Симметричная двухпроводная линия передачи
Погонную шунтирующую проводимость двухпроводной линии
можно, как правило, не принимать во внимание, поскольку воздуш-
ный диэлектрик обладает исключительно малыми потерями.
На основании формул (2.7) и (2.8) находим расчетное соотно-
шение для волнового сопротивления двухпроводной линии (ди-
электрик — воздух):
Z„= 120 In (D/a), Ом;	(2.10}
г) погонное затухание двухпроводной линии:
Конструкция данной линии передачи и электромагнитное пол
меж
!п™ереЧН°М Ра3ре3е показаны на Рис. 2.3. Линия образовав
двумя круглыми проводниками диаметра 2а, расстояние
а)
Рис. 2.3. Симметричная
б)
а~кпигт„ Двухпроводная линия передачи:
трукцня; б — поле в поперечном сеченнн
«wo
а
В современной радиотехнике симметричная двухпроводная ли-
ния применяется ограниченно ввиду того, что часть передаваемой
энергии неизбежно излучается в окружающее пространство.
Д=8,13-IO"3
а
, дБ, м.
(2.И)
§ 2.4. Полосковые линии передачи
В технике СВЧ все более широкое применение находят полоско-
вые линии передачи. В них токонесущими проводниками являются
«полоски металла, отделенные друг от друга подложкой — слоем
диэлектрика с малыми потерями. Различают симметричные и не-
симметричные полосковые линии; поперечные сечения их изобра-
жены на рис. 2.4. По ряду технологических соображений чаще
используются несимметричные линии (в литературе они часто
называются микрополосковыми линиями).
Строгий анализ полей в полосковой линии является весьма
сложной задачей. Приводимые далее формулы носят приближенный
31
30
характер. Обшим условием их применимости является малое,.
ХТГлш™РХ^ш“?вов™ B₽>i!^распространяться*Йnp„%T<l°e'S TeT^f" 1,^С“ОЙ	полоски „
“"”«я*	°оВтс°утвием ирода,пользоваться иной
векторов электромагнитного поля.	Я,Ч
Если не учитывать затухания, то основные характеристик
лосковой линии могут быть найдены, когда известна погоцНдв^
кость С| Действительно, фазовая скорость Т-волны Оф^с/уГ
делена свойствами за пол!»
диэлектрика. На основании001*
188,5
Л Ом.
+ (-Lr-4fi’451-i 1п (~
\ 2л« Д ‘	\2Л
В Приложении приводится программа на алгоритмическом язике ФОРТРАН
для вычисления волновых сопротивлений по формулам (2.14) и (2.15).
находим погонную инДуктивН(^ Обычно применяемые полосковые линии имеют волновые со-
£ _ 1 /(-yic )	противления 25—100 Ом. При этом удастся добиться известного
1	\ Ф 1 »	компромисса между требованиями к затуханию линии, се пробив*
и в конечном счете волне. ной ПРОЧНОСТН’ а также удобству сочленения линии с другими узла-
противление	°«*<|ми и приборами.
г	В первом приближении можно считать, что электрический ток
ZB= l/(Cj^). распределяется по ширине полоски равномерно. Тогда для погон*
кого сопротивления потерь, мнкрополосковой линии будет иметь
Приближенно погонную цместо следующая формула:
кость мнкрополосковой Ju-,
можно определить по фора	=
плоского конденсатора, изве
пис ТЛЛеМеНТаРН°Й ФИЗИКИ Если воспользуемся приближенной формулой для волнового
Р ‘ ' '*	сопротивления (2.13), то получим выражение для ориентировочно*
Cx = e.^bjht Ф/м.	(2 1}г0 Расчета погонного затухания мнкрополосковой линии (без учета
' ’“-потерь в диэлектрике):
Для симметричной линии последний результат должен был
удвоен, так как центральная полоска образует по отношению к ofc	д=-Ь6?9:10
им заземленным плоскостям как бы два конденсатора, включении!	л
параллельно.	г
Формула (2.12) весьма приближенна и пригодна лишь »т.В(1Л‘на
предварительных оценок, поскольку здесь не учитываются эффег
ты искажения поля на краях полоски.
С учетом сказанного имеем следующую формулу для расчел
волнового сопротивления мнкрополосковой линии:
120л
Рис. 2.4. Полосковые линии пере-
дачи:
а — симметричная; б — несимметричная
м
(2. 15)
(2. 16)
^5-, — .	(2.17)
о м
Строгий электродинамический анализ показывает, что квази
___________1 в мнкрополосковой линии передачи имеет фазовую ско-
рость, зависящую от частоты, т. е. в ней наблюдается частотная
дисперсия фазовой скорости. Дисперсионные эффекты выражены
тем резче, чем выше диэлектрическая проницаемость материала
подложки. Все это следует учитывать при машинном проектирова-
нии СВЧ-устройств, когда точность расчетов на ЭВМ должна быть
(2.13настолько высокой, чтобы обеспечить изготовление приборов, не
требующих экспериментальной отработки и настройки.
По ряду конструктивных и электрических особенностей микро-
Ббльшую точность дает формула, учитывающая краевые явле-полосковые линии передачи наиболее перспективны с точки зрения
гог	применения в миниатюрных и интегральных устройствах СВЧ, ко-
торым в настоящее время уделяется большое внимание.
ния (2]:
84,85
R)
h
X
0,242
Задачи и упражнения к гл. II
(2.14)	2.1. Расстояние между проводниками двухпроводной линии увеличено в
3 раза. Как при этом изменится волновое сопротивление линии?
Ответ. ZB возрастет на 131,7 Ом.
2—2910
32
33
к схеме отрезком 75-омного
г ипнбор подключе» ,	9 25). Длина кабеля 1 ч „
1Й*;опХнГь^-Xю	иСТОчником потерь в коаксиальной
У Ответ. Go. 1 единственным «с |х провОдииков. определить enjj
2Л Полагая, что |ие металли погонно.о затухания. Каково^
^СПеЧИВХотиМв”ёнияУ при е = 2.25?	>
ков—медь '®’'°9А86.|0'’ дБ/м- в П.„1НЯ выполнена на подложке из п<
Ответ. А-	досковая линия	Ь = 0.75 мм н
рОе сопротивление	, , Ом, Z,
Ответ, z. "Р«бя

Глава 111
ЯВЛЕНИЯ В ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ,
НАГРУЖЕННЫХ НА ОДНОМ КОНЦЕ
Рис. 3.1 Нагруженная линия
передачи
Изучив общие закономерности волновых процессов и познако-
мившись с некоторыми видами линии передачи, можно перейти
к анализу одной из наиболее \ факторных ситуации. Предположим,
что отрезок регулярной линии передачи, обладающий известным
волновым сопротивлением Ze, подключен к некоторому нагрузоч-
ному сопротивлению Zn, в общем
случае комплексному. Соответству-
ющая принципиальная схема при-
ведена на рис. 3.1. Здесь продоль-
ная координата / измеряется в на-
правлении от нагрузки к генератору;
начало отсчета совпадает с зажима-
ми нагрузки. Система возбуждена
внешним гармоническим источни-
ком с заданной частотой <•>. Коорди-
ната размещения источника может
быть любой. Однако для наблюде-
ния характерных эффектов необходимо, чтобы расстояние между
генератором и нагрузкой было сравнимо с длиной волны переда-
ваемых колебаний.
Далее исследованы специфические явления в системе, обязан-
ные своим возникновением распределенному характеру линии пе-
редачи.
§ 3.1. Коэффициент отражения
Обратившись к системе, изображенной на рис. 3.1, предполо-
жим, что в ней имеет место волновой процесс наиболее общего ви-
да, представляемый суммой двух бегущих волн, перемещающихся
одинаковой фазовой скоростью в противоположных направлени-
ях. Волну, движущуюся по направлению от генератора к нагрузке,
называют падающей в отличие от волны отраженной, движущейся
ст нагрузки к генератору. Комплексные амплитуды напряжения для
этих волн запишем следующим образом:
Т	(3.1)
(3.2)
где Сопад и Соотр — некоторые комплексные числа, отображающие
напряжения обеих волн при 1—Q, т. е. на нагрузке. Знаки показа-
2*
35
(3.1
(3.j
,JV сомножителей в формулах (3,1)
«лей экспон^^ С принятым направлением раепр^
выбраны в с	тоКОВ падающей и отра>Кен
"" КонплексныД,амплитудами напряжении
* над v / Zxi
 ^lLe-v.
/otp(/)=='zT	(3.<
п линии описывается выражениями вИда
Волновой
/(/)=7Пад(/) + ^’Р^’
включения нагрузки напряжение и ток жестко ,
В то‘"<е по^ловием
заны гранича	= _
„полней формуле показывает, что увеличу
Знак минус в послед	ение которого принято за поло»
тока отраженной волнь п^отенциала верхнего зажима нагруэд
тельное, ведет к снпжеи „ /(0) соответствии с формула
Е“"Ж последнее условие приобретает вид
(3.1)-(0.0.	^„, + ЛьтР	п,
Z«—Z" CZonu-^OoTP ’
,q7\ входят две неизвестные величины 0^
В формулу V-') ь лить по отдельности. Однако эта^
trm. которые: нельзяio Р отиоситеЛьную амплитуду огра
мула дает возмомост	физический параметр —коэффи
ной волны. Введем ва ’узкир, определив его какали,
ент отраженияi от £ ения отраЖенной и лада»
ние комплексных ампЛс1\1ЯГПУ„ки.
волн в точке подключения нагрузки.
0 = ЦОотр/^Опад-
покажем, кто коэффициент Х^^на^руакТГ^!
ределяется свойствами двух о этогО разделим числитель
противлением линии переда -Д	/3 7) на величину#»
знаменатель в правой части формулы (6J)
тогда
£н___1+е
zB 1-Q
откуда
H---
' Z + z
•^Н I "в
Входное сопротивление двухполюсника нагрузки Zu^R„+jXa
обычно удовлетворяет условию пассивности: /?н^0 (пассивный
двухполюсник в среднем должен потреблять, а не отдавать энер-
гию). Положим для простоты, что волновое сопротивление ZB
также чисто активно, и запишем формулу (3.9) в развернутом
виде
О = |п| е7’» = -7?и~ z») + /
(/?„ 4- Z„) 4- jX*
откуда следует неравенство для модуля коэффициента отражения:
(₽и - Z„)2 4- х*
(/?„ + ZB)2 + х2н
Оно означает, что для рассматриваемых случаев амплитуда от-
раженной волны нс может превосходить амплитуду волны, падаю-
щей на нагрузку.
Подведем итог. Пам удалось показать, что подключение нагруз-
ки к выходу линии действительно обусловливает существование
в ней системы двух противоположно направленных бегущих волн.
Отношение комплексных амплитуд этих волн зависит от сопротив-
ления нагрузки и волнового сопротивления линии. Разберем неко-
торые частные случаи.
Режим согласования. Из формулы (3.9) видно, что единственный
способ избежать отражения — это выбрать сопротивление нагруз-
ки равным волновому сопротивлению линии передачи. Режим ра-
боты, соответствующий условию R„=ZB, называют режимом согла-
сования нагрузки с линией. Отметим, что при отсутствии потерь
в линии согласование возможно лишь при резистивной нагрузке.
В большинстве случаев режим согласования линии с нагрузкой
является предпочтительным. Чтобы понять это, достаточно вспом-
нить, как выглядят энергетические соотношения в линии передачи
(гл. I). Отсутствие отраженной волны указывает на то, что поток
энергии от генератора к нагрузке носит однонаправленный харак-
тер. Именно в этих условиях процесс передачи энергии обладает
наибольшей эффективностью.
Режим короткого замыкания. Если ZH=0, то, как следует из фор-
мулы (3.9), коэффициент отражения от нагрузки р при любом ZB
является вещественным числом, равным—1. Здесь важны две
особенности. Во-первых, при данном режиме амплитуда отражен-
ной волны равна амплитуде падающей волны:
|t?oW(4l=P».(OI-
Физическое толкование этого факта очень просто: нагрузка с
нулевым сопротивлением не может потреблять средней (активной)
мощности ни при каком значении тока. Именно поэтому потоки
энергии падающей и отраженной волн компенсируют друг друга.
37
36
Во-вторых, величина результирующего напряж
должна быть равна нулю. Это требование опрел,,Ия 11 а ь
ный знак коэффициента отражения р.	1
Отметим, наконец, что амплитуда тока в коп	РазличныМн фа
грузке будет в два раза превышать соответстпл .ТКозаМк„ъ	сдвигами „
тока падающей волны. Действительно,	Вую1Дую аАУт°йь.	^РИводИт к tomv
1^)1=^-0=2,/^	«	—
К»
1тЦ рующее колебание изменяет свою амплитуду и начальную фазу от
точки к точке, т. е. имеет место интерференция падающей и отра-
женной волн.
Изучим законы интерференции этих волн на примере линии
передачи без потерь. Считая известным коэффициент отражения
от нагрузки р, имеем следующее выражение, описывающее закон
изменения комплексной амплитуды результирующего колебания:
Если линия разомкнута на конце (7
Режим	имеет место равенство амплитуд »
иоо). то Р= + 1’-Т^л, Однако положительный знак коэфф„™
шСй । отраженной полж Д ° том_ чг0 здссь амплитуда вд'
“отражения евпди^* > |ватьс>1 „а нагрузке по сравни,”
жеиия, а не тока будо У падающен волны. Это свойстве р
соотиетствуюмнм парам 1овлено тем, „то ток в конце ЛВДщ>р
жима холостого то пявсц нулю.
жен быть гождестоеико Р У1ив„ого двухполюсника. Здесь.
Нагрузка в в“д® , v Обратившись к формуле (3.10),В1
предположению *«=и’аМплитуды падающей и отраженной во,
дим, что iPl-1’ т- ‘ рассмотренных ранее. Тем не менее зДй1
равны, как и в 'случая	яжеНИЯ, ни комплексная амплиш
. жашпяепт отражения определяется с помощью комплексам
Введенный коэффициент о i	женной ВОЛн и поэтому может ба
амплитуд напряжении падающе напряжению. Однако этот способ не в
назван коэффициентом страж моЖ11О было оы ввести коэффициент отд
SS Х'^Р^нв его формулой
Qj= /0отрМ0чад<
„„„„присные амплитуды токов падающей /опад и отражена;
?,в =е ра=ия нагруа™ Т« « ыен«=
= .ТЛХЛХ^змерекне ’напряжений »сущ«
проще н надежнее,'чем ““^"“р^еТистикой изучаемой системы, особенно if
Отметим, что рр — вещественное число, не превосходящее единицы. Нс
статком такого способа описания явлений в нагруженной линии является то, я
здесь не учтены фазовые соотношения между падающей и отраженной волнак
§ 3.2. Интерференция падающей и отраженной волн
в нагруженной линии передачи
Явления, о которых пойдет речь, характерны для всех распух
деленных волновых систем и, в частности, для линий передач!
Одновременное существование в линии передачи двух волн—пад
ющей и отраженной, которые в разных точках линии обладаю'
38
и (l)=Om (О +	eW + O0we-«-=
=C70me»'(l+ee-W').	(3-13)
Коэффициент отражения от нагрузки в общем случае — ком-
плексное число
q==|q] еУ<₽«.
Учитывая это, после несложных преобразований выражения
(3.13) получим формулу, описывающую закон относительного
изменения амплитуды напряжения вдоль линии передачи, нагру-
женной на произвольный пассивный двухполюсник:
И-=к 1+2 lei cos (2fi -т„)+|ер.	(3.14)
\U пад1
Чтобы проследить за поведением амплитуды результирующего
тока в линии, по аналогии с (3.13) запишем
/W=4«(Z)+/„„(0=^v5!!-eif>+—?«-е-«'=
= -^°пад e^(l-(?e-2/Pf).	(3.15)
Вводя комплексную амплитуду тока падающей волны на на-
грузке /опад=—#опад/£в, получаем выражение для относительного
изменения амплитуды тока
-|гТ=У 1—2 lei COS (2'fiZ-pJ+lQl'.	(3.16)
И пал I
Рассмотрим совместно формулы (3.14) и (3.16) и отметим пре-
жде всего, что амплитуды напряжения и тока в анализируемой ли-
нии являются периодическими функциями продольной координаты.
Легко видеть, что токи и напряжения будут повторяться через
отрезки S, удовлетворяющие соотношению 2р2’ = 2л, откуда
S=X/2.
Далее, относительные амплитуды напряжений и токов колеб-
лются между 1 + |р| и 1—|р|. И наконец, если в каком-либо сече-
нии линии наблюдается максимум напряжения, то здесь же будет
минимум тбка, и наоборот.
39
/энные на рис. 3.2, соответствуют u
Кпивые, пРедСТ^ л^0 и описывают явление стОяЛ®к>
Лмтному 'й толпе обычно называют луч„0 « «о,}
S’ Жуми ° " степень неравномерности графика „«“• «,
W „и--^лоии- Стен только от величины моду., Р'3УЛкк
Х^“"л",:„У“ЫфаТОВЫЙ угол ^ХРГо™”С°бой лиЩьэК
y3W° " П₽вен?о™Г™ак^^
на|и 	шШРГКИХ И.ЧМРПат,...- РЭЛил.
'W
11)1
IlM/wi

L
pUr 3 2 Картина стоячей волны
Ри 3' ' напряжения
нических измерений __Ра^0г
амплитуды вблизи узл{^Мн’Ч
более резко, чем максиму»?Ыр1
пучности.	Вб
Для количественного
степени выраженности сто^"1’^
ны вводят коэффициент стЛ"
ны (КСВ), равный ОТНО№»?*
литуды напряжения или тока
ности стоячей волны к ам
соответствующей величины
На основании сказанного
Линия, короткозамкнутая на конце. Здесь р==—1, т. е. |р| = 1
и фц=180°. Подставим эти значения в формулу (3.14):
^^2|sinM.	’ (3.20)
В рассматриваемом случае концу линии соответствует узел
напряжения, последующие узлы располагаются через равные ин-
тервалы длиной Х/2 (рис. 3.3, а).
101
Юпе)!
7,0
m
0 jr/7 *	3*17 2*	5П/2 fll
al
ко
ксв следующим образом связан с модулем коэффициента
2.0
ния от нагрузки.
ксв=
или
Иглах _ 1 + /Ql
tflmin i - 1еГ
I I ксв—1
Iе'- KCB+ 1 ’
(З.Г
(3.J
Отметим, что КСВ - вещественное число, которое немо*
быть меньшим единицы.
Иногда для характеристики эффекта отражения от нагрг
вводят коэффициент бегущей волны (КБВ), определяя его как-
личину, обратную КСВ, т. е.
КБВ=1/КСВ.	(31]
Для исчерпывающего описания волновой системы достаток
изучить закон распределения амплитуды напряжения, носком
картина распределения амплитуды тока повторяет картину р;
пределения амплитуды напряжения, будучи смещенной вдоль’г
на половину пространственного периода стоячей волны, т. е.
величину Х/4.
Режим согласования. Если RB=ZB, то отражение от нагрузкис
сутствует, т. е. р=0. Поэтому в соответствии с формулой (3.11
амплитуда напряжения во всех точках линии без потерь одинак.
и равна амплитуде падающей волны.
Чисто стоячие волны возникают при условии |р| = 1 (потоки мощна
падающей и отраженной волн равны и противоположно направлены). Слр..
когда |р| =£1 и в то же время |р|¥=0, иногда называют режимом смешат
40
!У\А
1,0
0	*/2	* Лг42 2* Srt/2 fll
6)
Рис. 3.3. Распределение напряжения
вдоль линии передачи:
а — в режиме короткого замыкания; б — в
режиме холостого хода
Рис. 3.4. Картина стоячей вол-
ны в линии, нагруженной иа
реактивное сопротивление:
а — индуктивная нагрузка; б — ем-
костная нагрузка
Линия режиме холостого хода. Если Z„=oo (холостой ход),
то |р| = 1 и фн=0. Поэтому
l^L=2|cos₽/|.	(3.21)
Отличие от предыдущего случая состоит в том, что на конце
линии наблюдается не узел, а пучность стоячей волны напряже-
ния (рис. 3.3, б).
Линия, нагруженная на чисто реактивный двухполюсник. Пусть
Za=jXnj причем возможен как случай Хп>0 (индуктивная нагруз-
ка), так и Хн<0 (емкостная нагрузка). Коэффициент отражения
.. zn-jx„
^В 4*
откуда следует, что |р| = 1, а фазовый угол коэффициента отраже-
ния
<Рн=л —2arctg-^-.	(3.22)
^й
41
-,имсем
копие линии наблюдается либо пучность стоячей волны напряже-
ния (при /?«>Z.), либо узел (при ₽e<Z,).
пинии чисто индуктивная, то arctgfy /7
Если нагрузка ли прИОбретает форму, изображу*
и график ст^я;'С"Л обратить внимание на то, что наПря^|
рис 3.4. а. Следует нулЮ> поскольку амплитуд * 4
{•злах ^оячс,’й°^ отраженной, одинаковы из-за отсуТст«Ч
волн, падаюшеи и о р ЧОСких потерь в нагруЗКе
§ 3.3. Распределение фазы колебаний
в стоячей волне
В некоторых радиотехнических задачах, связанных с практикой
измерений на СВЧ, оказывается существенным вопрос
функции, описывающей закон изменения фазы колебаний
линии передачи. Обратимся к формуле (3.13) н представим
t7 (/)	11 4- |q| сое (23Z — ?Н1 — 7 |el Sin (23/ —
ческнх потерь в нагруЗКс‘*пЯ
линии наблюдается не зкет
ное, а некоторое промеж?^
значение амплитуды напр'я*^
при этом ближайшим к нагр^'
стремумом будет пучность
волны.	„
Линяя, нагруженная на
ведет себя сходно с предцД ............. _________________________
однако здесь картина стоячей i- волной (величина фазового ствига
ны смещена в пространстве так н воложительна, поскольку в точки,
ближайшей к нагрузке экстрен»» более удаленные от нагрузки, коле-
нои точкой является не пучносп. бання падающей волны приходят
узел (рис. 3.4, б).	“ы -......
Линия нагружения на активное сопротивление, не равное -
новому. Этот случай представляет особый интерес в прикладщ
задачах (режим неточного согласования). Если /?H>ZB, то из Am
мулы (3.9) следует, что коэффициент отражения будет веществ
ным положительным числом, в то время как при /?Н<2ГВ этот ।
эффициент отрицателен. В первой из упомянутых ситуаций по*
жительность коэффициента отражения означает, что
напряжений падающей и отраженной волн на нагрузке совпадаю
вследствие чего токи этих волн в нагрузке оказываются против,
фазными. Как следствие, при интерференции волн происходит г>
вышепне напряжения на нагрузке и уменьшение тока в ней. И*и
но этот эффект позволяет удовлетворить условию (3.6). Явтеа
возникающие при полностью противоположны тем, которш
только что описаны.
В соответствии с формулой (3.14) закон изменения напряже
ния вдоль линии
при /?н>2в
z’’
/J
t,?5
1Л
0,75
0.50
Wtf 0.75}
0

$12	П	Зя/. fit
Рис. 3.5. Стоячие волн» в линии с
резистивной нагрузкой
M-=l/i+2|e|cos2₽z+|el2,
(З.Й
при /?H<ZB
^=/i-2fo/cos2fz+|ep.
(3.25
Графики, отвечающие одному и тому же значению |р|, при-
ставлены на рис. 3.5. Их особенностью является то, что здесь»
42
о виде
вдоль
се так:
(3.26)
Анализируя это выражение, отметим наличие фазового множи-
теля ехр(/0/), который характеризует линейно изменяющийся
с координатой I фазовый сдвиг на
угол 0/. обусловленный падающей

Кроме того, некоторый фазовый
угол в общем случае присущ и сом-
ножителю, стоящему в квадратных
скобках. Проделав несложные пре-
образования, получим выражение
для полного фазового сдвига в ли-
нии:
О
Wk
.т/z
*/<
i-p-ii
2-Г-075
3 Р- 0.5
[ТУ
142
jH/k Я
ftL
Рис. 3.G. Изменение фазы колеба-
ний вдоль линии с резистивной
нагрузкой
? (/) = р/ - arctg —lg12in.<?3(-yH)
>	1 Ч-|q| cos (20/— <рн)
(3.27)
По формуле (3.27) применитель-
но к резистивной нагрузке ((рп=0) рассчитан рят графиков, пред-
ставленных на рис. 3.6. Следует отметить, что с ростом модуля ко-
эффициента отражения кривые становятся все более нелинейными.
В пределе при |р|->1 графики фазовых зависимостей приобретают
«ступенчатую» форму. Это означает, что на протяжении одного пе-
риода стоячей волны колебания во всех точках происходят синфаз-
но. Однако при переходе через узел фаза колебаний скачком изме-
няется на 180°.
Эти закономерности нужно иметь в виду при создании уст-
ройств, в которых отрезки линий передачи играют роль фазовра-
щателей с калиброванной величиной фазового сдвига. Если регу-
лировка фазовращателя проводится за счет изменения его длины,
то для получения высокой точности необходимо максимально сни-
жать величину отражений в линии передачи.
43
Рис. 3.7. Конструкция измери-
тельной линии
§ 3.4.	Измерительная линия
пяртся специальный прибор, служащий дЛя
Так называет	карти?ы СТОячеи волны в ЛИ1Л
ментального ^Измерительной линии применительно к !Л
дачи. Конс;РУкнЦ”ЯсхематиЧески показана на рис. 3.7. Основ>
альному варианту линиЯ передачи, вдоль которой >
бора является ре у г резке в неСколько длин .волн п-рЛ
на узкая продольная щель. Qn‘
ция этой щели совпадает с най
нием линии тока на внешнем по
нике, так что наличие ее практвд
не сказывается на характере волн**
го процесса в линии. Через Г
внутрь линии вводится зонд /,
ставляющий собой миниатюрную ь-
ревую антенну, сигнал с которой S
порционален напряжению, регистр;
емому в выбранном сечении
Этот сигнал детектируется СВЧ-д
дом 2 и поступает на какое-вибц
устройство индикации. Зонд вместе
относящимися к нему узлами укр*
лен на специальной каретке <?, котор
перемещается вдоль линии.
Простейшим и наиболее важна
видом измерений, осуществляемым с помощью описываемого пр>
бора, является нахождение КСВ нагрузки. Для этого, плавно пере-
мещая каретку измерительной линии, отмечают макоималы»
Стах и минимальное amin показания индикатора. Если детекторвт
характеристика линейна, то КСВ —amax/amin. Подобные измерит
всегда носят относительный характер, т. е. здесь несуществен!
абсолютная величина амплитуды падающей волны.
Информацию о свойствах нагрузки получают также при изк
рении расстояния, отделяющего нагрузку от ближайшего экстр
мума стоячей волны напряжения. Поэтому измерительные ли
снабжены точной шкалой, по которой можно находить линейна
перемещения каретки. Способ определения параметров нагрузо
с помощью измерительной линии описан в гл. V.
О различных применениях измерительной линии в радиотехя § *
§ 3.5. Стоячие волны в линиях передачи с потерями
nn₽nfnC,M0TPHM’ как влияет затухание в линии передачи на р‘-
аналогии116 яапряжеяия стоячей волны. Для линии с потерям»
с формулой (3.13) имеем следующее выражение
44
плексной амплитуды результирующего колебания:
U (П=Ми-д е"+LrOnwQ е-^=йОпаж № [ 1 + |q! е^'е"' <2₽/~’")].
(3.28)
При этом относительное изменение модуля напряжения имеет
вид
ЙД=е»') 1 + 2 !С| еcos (23/ - ?н) + 1е* е-^'.	(3.29)
|О,0пад|
Сравнивая это общее соотношение с формулой (3.14), которая
относится к случаю идеализированной линии передачи без потерь,
отмечаем наличие растущего экспо-
ненциального множителя перед зна-
ком корня, что говорит о возраста-
нии амплитуды падающей волны в
направлении от нагрузки к генера-
тору. Кроме того, следует учесть,
что на достаточно больших расстоя-
ниях от нагрузки, т. е. при а/»1,
подкоренное выражение в (3.29)
стремится к единице и поэтому ос-
цилляции результирующей ампли-
туды будут затухать. Причина этого
явления заключается в том, что вол-
на, отраженная от нагрузки, экспо-
ненциально уменьшает свою ампли-
туду, двигаясь к генератору, так что
в конце концов эффект интерферен-
ции волн исчезнет.
На рис. 3.8 изображены пример-
ные графики стоячих волн в линии
с малыми и достаточно большими
потерями. Отметим, что неодинако-
вость напряжений в соседних узлах
Рис. 3.8. Стоячие волны в линии
передачи с малыми (а) и больши-
ми (б) потерями
и пучностях, вызванную зату-
ханием в линии, иногда приходится учитывать как источник допол-
нительной погрешности при проведении высокоточных эксперимен-
тов с измерительной линией.
Задачи и упражнения к гл, III
3.1.	Линия передачи с волновым сопротивлением ZB = 75 Ом нагружена на
сопротивление ZH=30+/45 Ом. Определить модуль и фазу коэффициента отра-
жения от нагрузки р. Какой КСВ установится в линии?
Ответ: |р| =0,557, <рн=—1,19 рад, КСВ=3,51.
3.2.	Линия передачи, имеющая ZB = 50 Ом, нагружена иа конденсатор С=
=25 пФ. Частота колебаний /=300 МГц. Какое расстояние отделяет нагрузку от
ближайшего узла стоячей волны?
Ответ: 6,39 см.
3.3.	Линия передачи с малыми потерями идеально закорочена на одном
конце. На расстоянии I от короткого замыкания проводится измерение КСВ.
45
§ 3.4. Измерительная линия
Так называется специальный прибор, служащий для эксперц.
ментального исследования картины стоячей волны в линии пере-
дачи. Конструкция измерительной линии применительно к коакси-
альному варианту схематически показана на рис. 3.7. Основой при-
бора является регулярная
Рис. 3.7. Конструкция измери-
тельной линии
линия передачи, вдоль которой на от-
резке в несколько длин волн прореза-
на узкая продольная щель. Ориента-
ция этой щели совпадает с направле-
нием линии тока на внешнем провод,
нике, так что наличие ее практически
не сказывается на характере волново-
го процесса в линии. Через щель
внутрь линии вводится зонд /, пред-
ставляющий собой миниатюрную шты-
ревую антенну, сигнал с которой про-
порционален напряжению, регистриру-
емому в выбранном сечении линии.
Этот сигнал детектируется СВЧ-дио-
дом 2 и поступает на какое-нибудь
устройство индикации. Зонд вместе с
относящимися к нему узлами укреп-
лен на специальной каретке 3, которая
перемещается вдоль линии.
Простейшим и наиболее важным
видом измерений, осуществляемым с помощью описываемого при-
бора, является нахождение К.СВ нагрузки. Для этого, плавно пере-
мещая каретку измерительной линии, отмечают максимальное
Отах и минимальное amin показания индикатора. Если детекторная
характеристика линейна, то KCB = amax/amtn. Подобные измерения
всегда носят относительный характер, т. е. здесь несущественна
абсолютная величина амплитуды падающей волны.
Информацию о свойствах нагрузки получают также при изме-
рении расстояния, отделяющего нагрузку от ближайшего экстре-
мума стоячей волны напряжения. Поэтому измерительные линии
снабжены точной шкалой, по которой можно находить линейные
перемещения каретки. Способ определения параметров нагрузки
с помощью измерительной линии описан в гл. V.
О различных применениях измерительной линии в радиотехни-
ке см. [6].
§ 3.5.	Стоячие волны в линиях передачи с потерями
Рассмотрим, как влияет затухание в линии передачи на рас_
пределение напряжения стоячей волны. Для линии с потерями по
аналогии с формулой (3.13) имеем следующее выражение Ком,
плексной амплитуды результирующего колебания:
и (/) = ^оп»я еи + t?OnMQ е~п = О0пад е*'е«' (14. |q| е-’*ге-/
(3.28)
При этом относительное изменрни₽
вид 1	вменение модуля напряжения имеет
1 + 2 *с7е—‘ cos (23/ - ?м) -J. |qj» е-v/.	(3.29)
сравнивая это общее соотношение с формулой (3.14) которая
относится к случаю идеализированной линии передачи без потерь
отмечаем наличие растущего экспо-	р ’
ненциального множителя перед зна-
ком корня, что говорит о возраста-
нии амплитуды падающей волны в
направлении от нагрузки к генера-
тору. Кроме того, следует учесть,
что на достаточно больших расстоя-
ниях от нагрузки, т. е. при а/»1,
подкоренное выражение в (3.29)
стремится к единице и поэтому ос-
цилляции результирующей ампли-
туды будут затухать. Причина этого
явления заключается в том, что вол-
на, отраженная от нагрузки, экспо-
ненциально уменьшает свою ампли-
туду, двигаясь к генератору, так что
в конце концов эффект интерферен-
ции волн исчезнет.
На рис. 3.8 изображены пример-
ные графики стоячих волн в линии
с малыми и достаточно большими
1й!
^oneil
Рис. 3.8. Стоячие волны в линии
передачи с малыми (а) и больши-
ми (б) потерями
потерями. Отметим, что неодинако-
вость напряжений в соседних узлах и пучностях, вызванную зату-
ханием в линии, иногда приходится учитывать как источник допол-
нительной погрешности при проведении высокоточных эксперимен-
тов с измерительной линией.
Задачи и упражнения к гл. Ill
3.1.	Линия передачи с волновым сопротивлением Z.=75 Ом нагружена на
сопротивление Zn = 30+/45 Ом. Определить модуль и фазу коэффициента отра-
жения от нагрузки р. Какой КСВ установится в линии?
Ответ: 1р| =0,557, <рн=—1,19 рад, КСВ=3,51.
3.2.	Линия передачи, имеющая ZB=50 Ом, нагружена на конденсатор С’
= 25 пФ. Частота колебаний f=300 МГц. Какое расстояние отделяет нагрузку от
ближайшего узла стоячей волны?
Ответ: 6,39 см.	„„
3.3.	Линия передачи с малыми потерями идеально закорочена на одном
конце. На расстоянии I от короткого замыкания проводится измерение К •
Вывести формулу, связывающую КСВ
данной линии.
Л 1 .
Ответ:	а ==	- In
21
с величиной
КСВ + 1
КСВ—1 '
коэффициента ослабления
3.4.	Каков коэффициент отражения по мощности от стыка двух коаксиал
ных линий передачи с волновыми сопротивлениями 50 Ом и 75 Ом? Bbi цнЬ'
понятие к. п. д. системы н определите его численное значение для даны
случая.	Го
Ответ: рР^0,04, к. п. д.=96%.
Глава IV
ТРАНСФОРМИРУЮЩИЕ СВОЙСТВА ОТРЕЗКОВ
ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
§ Отрезок линии передачи как распределенный
четырехполюсник
и входного тока /ь Для
h ,
Рис. 4.1. Схема распределен-
ного четырехполюсника
Рассмотрим некоторый отрезок регулярной линии передачи
произвольной длины I (рис. 4.1). Начало отсчета координаты z
совместим с зажимами линии, на которых определены комплекс-
ные амплитуды входного напряжения их
правых зажимов считаем заданными
выходное напряжение Г2 и выходной
ток /2-
Данная система представляет со-
бой линейный стационарный четерых-
полюсник, описываемый, как известно
из общей теории электрических цепей
[8], той или иной матрицей.
Задачи, рассматриваемые в данной
главе, удобно решать, характеризуя
изучаемый распределенный четырехпо-
люсник его матрицей передачи (ДВСО-матрицей). При этом неза-
висимыми переменными являются выходные параметры t?2 и /г»
причем связь между ними и выходными переменными устанавли-
вается двумя равенствами:
UX=AU^BI^
ix=cu2-\-bi2.
Знание матрицы передачи
(4.1)

А В'
С D
позволяет ответить на вопросы, касающиеся любых внешних ха-
рактеристик четырехполюсника. Например, если к выходным за-
жимам подключен двухполюсник нагрузки с сопротивлением ZH>
так что С?2//2=:2н, то из (4.1) следует формула для входного со-
противления системы со стороны левых зажимов:
у __й\ __azk + в
h ~CZU + D
(4.2)
комплексный коэффициент перед^
Аналогично находим
тырехполюсника по напряжению
К = С^-=—
и й\ azk + b ’
(4 «I
Поставим задачу определить элементы ABCD-m	' 'а
регулярной линии передачи. Воспользуемся тем ЧтаТ^йЧЫ от
щее решение уравнения Гельмгольца имеет вид’сум Наиб°лр Ч
бегущих в противоположных направлениях- У^Мы дВу oj
- - > Г’ о Тг ,	/	6°^
-f	-Г Со е1г.	1
тырехполюсника
zH
Здесь С, и Сг-пока неизвестные амплитудные коэффИц
относящиеся соответственно к падающей и отраженной вЛЧ
Выразим эти коэффициенты через выходные комплексны»
плитуды 02 и /2, полученные из предыдущих формул подстав а*
z=Z. При этом получаем систему алгебраических Уравнений- 06
C1e^l^C2el=U2, )	' I
C1e-lZ-C2eT/=/2ZB, /
решение которой элементарно:
Сравнивая полученный результат с равенствами (4.1), видим,
что матрица передачи отрезка линии с потерями имеет вид:
'ch yZ ZBshyZ*|
sh у/ ch yZ
Если линия передачи не имеет потерь, то у=/’р. Принимая во
внимание формулы связи между гиперболическими и тригономет-
рическими функциями, для линии без потерь имеем
| cos ₽Z jZB sin PZ']
sin pZ cos ₽Z
И] =
И =
§ 4.2. Входное сопротивление нагруженного отрезка
линии передачи
Используем полученные результаты для
сопротивления отрезка линии, нагруженного
случае комплексное, сопротивление ZH. На
(4.2)
(4.6)
(4.7)
нахождения входного
на известное, в общем
основании формулы
172 +	ц
2
Г2 /2z„ е_т/
2
7 __ ZH ch yZ + ZB sh yl
BX zH
—— shyZ 4- chyZ
Принято вводить безразмерные нормированные сопротивления
Z’^ZJZ, и ZK=ZJZB,	(4.9)
при этом равенство (4.8) примет вид
(4.8)
Таким образом, комплексные амплитуды в произвольном се.
чении выражаются через величины 02 и /2:
и{z)= 1/2 +2~z"~еТ (lz)4—~ ^2Zb е~т
/'(z)=-^2 + ^Zb ет — —2-~^2Z" е-т (i-z)
2ZB	2ZB
Входные напряжение и ток, соответствующие значению z=ft
(j — ^'2 +	(Л1 I ~ е—TZ
1	2	'	2
/, =	pH _ _^2-/2Zb	t
1ZB	2ZB
ИЛИ
Z/i=Z/2ch yZ-f-/2ZB sh yZ,
Л = shyZ-J-/2ch yZ.
, _ z; + thyz
BX------—Г ,--- •
1 +ZHthyZ
(4. 10)
Данная формула утверждает, что в общем случае входное со-
противление не совпадает с сопротивлением нагрузки. Поэтому ко-
нечный отрезок линии передачи выполняет функцию трансформа-
тора сопротивлений. Это служит основой для многочисленных тех-
нических применений таких устройств.
Проанализируем формулу (4.10) для частного случая линии
без потерь, когда th y/=th(j|3Z) = jtg £/. Из формулы видим, что
свойства рассматриваемой системы определяются не самой абсо-
лютной длиной Z, а безразмерным аргументом
& = ₽Z = 2nZ/X,	(4.11)
называемым электрической длиной отрезка. Выражение для нор-
мированного входного сопротивления отрезка линии передачи без
потерь запишем так:
_ z' + ;tg&
Zbx—ГТ г •
1 + ^Htg»
(4.12)
48
49
В режиме согласования (при 2Я=1) входное сопротивлен^
любого отрезка независимо от его электрической длины в tohhocJ
равно волновому сопротивлению.
Входное сопротивление разомкнутых и короткозамкнутых R
конце отрезков. Если отрезок линии на выходе закорочен, так ч^
Z'H=0, то
Z„x = /tg&.
(4- Ц
Рис. 4.2. Графики входных со-
противлений разомкнутых н
короткозамкнутых отрезков ли-
нии передачи
При холостом ходе на выходе Z'H—00 и поэтому
Z'x=-/ctg&.	(4.1J
Из графиков, представленных на рис. 4.2, видно, что входнцД
сопротивления подобных устройств всегда чисто реактивны и явля.
ются периодическими функциями I
электрической длины. Например, от.
резок короткозамкнутой линии длц.
ной ZCA/4 имеет электрическую длщ.
ну -&<л/2 и индуктивное входное
сопротивление, которое неограни-
ченно возрастает с приближением
длины отрезка к значению л/4. В
интервале л/2<-0,<л входное сопро-
тивление отрезка носит емкостный
характер; при дальнейшем увеличе-
нии электрической длины наблюда-
ется периодическое повторение опи-
санных свойств. Представляют (ин-
терес точки с координатами 0=
= (2/г—1)л/2, (п=1, 2, 3, ...), когда
входное сопротивление короткозамк-
нутой линии передачи без потерь
неограниченно велико по модулю. Это явление напоминает резо-
нансные свойства обычного параллельного колебательного контура.
В гл. VIII показано, что действительно в таком отрезке линии пе-
редачи имеет место резонанс.
Наличие хотя бы малых, но конечных потерь в линии ограничи-
вает величину резонансного сопротивления. Действительно, на ос-
новании формулы (4.10) нормированное входное сопротивление
отрезка короткозамкнутой линии с потерями выражается следу-
ющим образом:	3
Zbx=th у I = th (al 4- уЗ/) = _.thaZ + /tg3Z _.
1 + J th al tg J3Z
Разделяя вещественную и мнимую части, имеем:
_ thaZ(l + tg2pZ)
1 + tg2 pz th2 al ’
Y' _ tg^(l —th2aZ)
•A bx —-----------------.
1 + tg2 0/ th2 al
(4.15)
(4. 16)
(4. 17)
рис. 4-3 II 4.4 представлены
•СЯ г
При резонансе, когда tg О—>-оо, реактивная часть входного со-
„потивления обращается в нуль, в то время как активная состав-
ляющая остается конечной и стремится к величине l/(th at). На
л q т< л л ппапг-г» , соответствующие графики, относящие-
К случаю линии с достаточно малыми потерями (a/pcl).
Рис. 4.3. Активная часть вход-
ного сопротивления коротко-
замкнутой линии
Рис. 4.4. Реактивная часть вход-
ного сопротивления короткозамк-
нутой липни
Короткозамкнутый отрезок —
_в и™е™я. е_го.
линии передачи широко применяет-
-------------- передвижного
Микрометрический •
бинт
Рис. 4.5. Эскиз конструкции ко-
аксиального подстроечного эле-
мента


Поршень
1ся
короткозамыкателя, так называемо-
го поршня короткого замыкания,
1 можно создавать простые и удоб-
I ные элементы для настройки и ре-
гулировки, выполняющие роль пе-
ременных реактивных сопротивле-
ний (рис. 4.5).
Резонансные свойства разомкну-.
того на конце отрезка линии переда-
чи могут быть проанализированы
читателем самостоятельно.
Отрезок линии передачи без по-
терь с произвольной нагрузкой. На
основании (4.12), отделив вещественную и мнимую части, имеем:
_r^[(i-^tgs) + tg&(x;+tg&)]
“	(l-^tg»)2 + ^2tg2&
„	(< + tg^)(l-<tg^)-^2tg&
вх	(i-x;tg&)2 + ^2tg2 8
Формулы эти довольно громоздки и анализ их в общем виде
лишен наглядности. Для практической работы по расчету СВЧ-
51
«гпользовать ЭВМ. В Приложении „
. ие1есообразно исп фОртРАНе, выполняющей р J
eoHCTpvK«,,ft ипДпрогРаММ“Лка линии с произвольной нагрузХ
ется о<5Разе; "тивления ^формирующие свойства отр^Д0 •
входного соПР®зИрУютсЯ тРаН Дативное сопротивление
•НГжХг» (4.20) получаем более про^
* ;'.%»этоМ "3
Л я—
отношения.
(4.20)
п'
l + R„2tgW ’
1•	(4.2|)
входного сопротивления здесь всегл
- "»^Рлах от /?'н при tg &-+0 до iS0^.
в При
Активная часть
тельна и изменяется в пределах
'5
Рис. 4.7. Реактивная часть
входного сопротивления линии
с резистивной нагрузкой
вх есть пе>
Здесь tg ^->оо и поэтому
Z;X=1/Z^=K.	(4.22)
Подобная конструкция получила в радиотехнике название чет-
вертьволнового трансформатора и широко применяется для целей
согласования линий передачи с разными волновыми сопротивле-
ниями. Рассмотрим схему, изображенную на рис. 4.8, где для со-
гласования двух линий, обладающих волновыми сопротивлениями
Zbi и Zb2, между ними включен четвертьволновый трансформатор.
Определим волновое сопротивление трансформатора ZBTp. Заме-
тим вначале, что трансформатор в сечении а — а' нагружен на ак-
тивное сопротивление ZB2, так что R'aa’ =Z1>2IZ'btp (нормировка
проводится на неизвестное пока волновое сопротивление ZBTp). Из
формулы (4.22) следует, что R'ьь-	или в ненормированном
виде Rbbr= Z2B tp/Zb2. Условие согласования в точках Ь — Ь' прини-
мает вид: Z2B Tp/-ZB2=ZB1, откуда
(4.23)
т. е. волновое сопротивление трансформатора равно среднегеомет-
рическому от волновых сопротивлений согласуемых линий.
Л/4
а'
?&тр
Рис. 4.8. Четвертьволновой
трансформатор
Рис. 4.9. Частотные характери-
стики согласования двух ли-
ний с различными волновыми
сопротивлениями

Интересным н несколько необычным
использованием принципа четвертьвол-
I нового трансформатора являются «просветляющие» покрытия, наносимые на
рабочие поверхности оптических линз с целью уменьшения потерь света на отра-
жение от стекла. Эти покрытия представляют собой прозрачные пленки из фто-
fистых соединений толщиной в четверть длины волны оптических колебаний,
кжазат^ль преломления пленки выбирают . равным среднегеометрическому от
К—_- — -_м---
» Существенным недостатком четвертьволнового трансформатора является его
Рис 4 6 Активная часть вход-
нсго сопротивления линии пе^-
дачи с резистивнои нагрузкой
4 я Реактивная часть входного сопротивления Х\_
tg fr-тос. ^активная ч	свой знак. Некоторые гра-
риодическая функция •	(4 20) и (4 21), показаны на
фики, иллюстрирующие формулы (4.2U) и (Ч.х J,
рис. 4.6 и 4 7.
§ 4.3. Полуволновые и четвертьволновые трансформаторы
Отрезки регулярных линий, длина которых составляет целое
число полуволн на некоторой рабочей частоте, обладают
свойством. Здесь б=пл (л=1, 2, 3, ...) и поэтому в * )ОТВе
с (4.12) имеет место равенство Z'BX«=Z'B. Подобный полувал	iwivnnn пмопрапл . равным срсднслеимс мчсикиму UT
трансформатор осуществляет тождественное преобразование со-	трансфорииора яадяется его
про...влеиия нагрузки.	^«относительная узкополосноеть, поскольку для функционирования такого устрой-
Иначе ведет себя система, У которой длина I равна нечет J (спа требуется, чтобы электрическая длина трансформатора равнялась 90°. При
числу четвертей длины ВОЛНЫ Т е	отходе от номинальной частоты будет наблюдаться рассогласование, тем в боль-
’	’	ией степени, чем резче перепад между волновыми сопротивлениями согласуемых
I (2л—1)	.	19 4	линий. В качестве примера на рис. 4.9 представлены результаты расчета КСВ,
4	А (Л	1,	о,...),	^Возникающего в первичной линии с волновым сопротивлением Zu—50 Ом, кото-
53
52
эпичными линиями при помощи четв₽п
с г»’-7«ыг;рй.^^’ы">п ““
согласующего трп^Л
Н*	“Si"» “""Уздаиеге» созлаяне цепочки трамД-
ют в " Способом >’ов““ на Г'1С- ^вменяющимся волновым сопротивлен^’"
Простым п „з гМ» MOHOTOiiHO изм годящийся на одну «ступень^- '
ра. витсь‘, кОг,ой Д-1П" п.,ч сопротин-10-"* ’ £ шает частотные свойства^1
торов ^ "'-cKr%ai вол"° м что з*!ачите^с?мотрен в гл. IX.	СТВа М
При ЭТОМ пор- бо,ц,ншм. ч вопрос расимотр
“°*н0 сп истом. Подро611* э‘ отМетим важное обстоятельство. Ег I
P0T кяючение "^Х^чена через отрезок линии длиной |
® Хр”» "2S*® п,стемы будет ть от ,ап«: ‘
'Т0 входное сопро •	И7 I
ты, причем	—(4.24)
,поть входного сопротивления выражена Тем
т с частотная ^^"„нии / В радиотехнике это явление На.
ярче чем больше длвнэ	ПоэтоМу при конструировании
зывают эффе^ом ^‘теМ СВЧ нужно по возможности уМень.
Хь\“Ек^“л',шйпе|,еда,и'
нимии передачи как трансформатор
£44 Отрезок линии пер^н
уровня напряжения
.пормые устройства можно применять в качестве
Рассматриваемые кн11й	действительно, в соответст-1
трансформаторов на р ициент передачи отрезка линии без по-
вии с (4J) и (t-u 'г-*-	нагруженного на сопротивле-
терь, нагруженного на сопротивль
нпе Zu,
К и	sin 8 ‘
cos 8 + J
ко-
на-
пе-
*-у 2	2пад “Г
j __ ^2пад
2 ZB2  zb2 )
Если теперь подставим выражения для комплексных амплитуд
напряжений и токов из (4.28) в систему (4.27), то получаем
два линейных алгебраических урав-
,	нения, связывающих четыре пере-
о	МеННЫХ ГДпад» 1отр, {^2пад,	6/20 тр-
Для линии, нагруженной на ре- Любые две из этих переменных при-
зистор Яи, модуль коэффициента пе- нимают в качестве независимых, а
редачи	Две оставшиеся определяют с помо-
Вход
Линейный
четырех-
полюсник
1_____
„„	sin2 8
cos2 8 4- --,2-
Графики на рис. 4.10 показыва-
ют, что при О~л/2 и 7? ;2 можм
добиться значительного возрастали
уровня выходного напряжения по
------------------------—  •«жл'ГТ. П Rff-
Рис. 4.10. Графики модуля
эффнигента передачи по
пряжению отре’коз линии
редачи с различными нагрузоч-
ными сопротивлениями
лу, чтГо™езГк\|^Т°РЫЙ с-ществУет На входе. Следует иметь в ви-
на нагрузке/во стопперелачн’ повышая амплитуду напряжения
так что усиления мошпг Же ра3 Уменьшает амплитуду тока в ней,
не может. 7 ‘ хти в ЭТой пассивной системе происходить
§ 4.5. Понятие о волновых матрицах
и матрицах рассеяния
В теории и практике расчетов устройств СВЧ-диапазона поми-
мо рассмотренной ранее матрицы передачи широко используют и
другие матрицы, характерные для цепей с распределенными па-
раметрами. Пусть ко входу и выходу некоторого линейного четы-
рехполюсника подключены две регулярные линии передачи с вол-
новыми сопротивлениями ZB1 и ZB2 (рис. 4.11). Если ввести ком-
плексные амплитуды напряжений и токов на входных и выходных
зажимах этого четырехполюсника, то полное описание его внешних
характеристик дается двумя уравнениями
(4.27)
Комплексные величины (7Ь Л, 1г связаны с комплексными
амплитудами напряжения падающих и отраженных волн, сущест-
вующих в обеих линиях:
г __С1пад С1отр
i-----------------
(4.28)
^в!
'2отР»
б72отр
Отраженные Волны
I

^В1
i Н Чг
-------
I х Выход
щью уравнений связи. Нетрудно
(4.J) подсчитать, что число возможных
комбинаций здесь равно шести, од-
нако применяются лишь две сле-
дующих. ,
1. За независимые переменные
принимают комплексные амплитуды
двух волн, падающей и отраженной,
на выходе четырехполюсника. Соответствующая система уравне-
ний, эквивалентная (4.28), приобретает вид:
U 1пад~ ^'11^2иад“Ь^'12^2отр»
^Аотр
Падающие Волны
Рис. 4.11. Включение четырехпо-
люсника между двумя линиями
передачи
2отр-
(4.29)
54
55-
Матрица КОЭФФ'™»'"™
ЭТОЙ системы
, ГЛ1 Ты]
й матрицы четырехполюсника.
(4.27) получим выражения для КОэф
получила название волновой л
При подстановке (4.28) в (
фициентов волновой матрицы:
9 1 ^Zn2
z^r
1
Ztf. ’
ZB2	z"7’
7 r.	^b2 '
(4.30)
Тм-~(А+
?22 —у —
2. Пусть независимыми переменными являются амп
l___ . "	—'••^пгихся с обеих сторон по направлени ЛИТуды
тырехполюсннку:	10 к че.
волн, распространяющихся
^1отр = 5п471пад -f- Sl2lJ2отр,
^2пад—S2iUlnan 4- S22l)2orp.
(4.31)
Матрицу
Pl=
5ц 5j2
52i 5гг.
называют матрицей рассеяния четырехполюсника
Элементы матриц [7] и [5] взаимно связаны. Из сравнения си-
стем (4.29) и (4.31) видно, что
5ц =7’21/7'ц,’ 512=(7'ц7'22 —7'127’21)/7'п;
52i = 1/7'п; 522=—7'12/7'п.	(4.32
Широкое использование Т- и 5-матриц в теории цепей СВЧ
обусловлено наглядностью коэффициентов этих матриц и просто-
той их экспериментального определения. Так, из (4.29) следует,
что коэффициент Тп является отношением комплексных амплиту.1
напряжения на входе и выходе четырехполюсника в режиме согла-
сования по выходу (при #2отр=0). Аналогично, 5ц — комплексный
коэффициент отражения на входе при согласовании на выходе.
Важно и то, что в системы уравнений (4.29) и (4.31) не входят
амплитуды токов, которые на высоких частотах не только трудно
измерить, но иногда, например в случае полых волноводов, даже
нельзя однозначно определить.
Дальнейшее усовершенствование методов матричного описания
распределенных систем связано с принципом нормировки tokoi
56
(4- 33)
и напряжений. В СВЧ-диапазоне проще всего измерять мощность,
переносимую волной вдоль линии передачи. Существуют волновые
системы (например, современные линии с акустическими поверх-
ностными волнами), в которых токи и напряжения приобретают
формальный смысл, в то время как переносимая мощность имеет
четкий физический смысл. Стремление построить аппарат описа-
ния волновых процессов любой природы, протекающих в самых
разнообразных линиях передачи, привело к понятию волновых ам-
плитуд или нормированных напряжений падающих и отраженных
волн, которые здесь вводятся следующим образом:
//	__ ^71 над . г >	7/1 отр
я1пал~7^Г’ ^"1ОТР==7ЖГ;
(j _	-  ^2о»р
Волновые амплитуды имеют размерность квадратного корня
из мощности, для вычисления переносимых мощностей достаточ-
но наити квадраты модулей соответствующих волновых амплитуд:
Т^пад ^ЛцпадЦцпад; А*1отр= ^н1отр^/н1отр;
А’гнад = ^н211ал7/н2пад;	= йн2отрЛн2отр.
Волновые амплитуды падающих и отраженных волн связаны
*^^рассеямия	Э ^рмированной™-
цеи рассеяния. Например, записав систему линейных уравнений
б/,
н12<-/ н2отр»
н22^Айотр»
можно, используя (4.33), убедиться в том, что нормированная вол-
новая матрица выражается следующим образом:
Г^х
Аналогично получаем нормированную матрицу рассеяния
[$н]=
в2
^В1
522
Задачи и упражнения к гл. IV
4.1. Докажите, что результирующая матрица передачи каскадного соедине-
ния двух отрезков линии передачи является произведением соответствующих
матриц указанных отрезков.
амПЛН.
„подачи длиной 0,17 Л нагружен на компЛекс1
4.2. Отрезок линиинормированное входное сопротивление.0® сОПро
7 'яс<4 5—/
тнвлсиие Д п265 —/0.470.	£=70 В подключен к короткое.
43 Источник гаРм°НсИ валовым сопротивлением £я = 150 Ом (диэЛе^Уто,«у
отрез7у линии перелои J » МГц< дли„а лнН|1И /_0.8 м. Опреде КтРИк^
Т^Ответ; 0.47 А. конце отрезок двухпроводной линии передачи с п
4 4. Разомкнутый надои в итг£тся от псточника гармонической ?°л«о-
вым сопротивлением 4-’°	60 МГц. Длина отрезка 3,2 м. 0 э; Д. с.
с амплитудой 1S0 В <  е лИННИ и амплитуду тока, протекающего^’'^
амплитуду напряжения	ю 4epej
КгеОгве..-2»В.0,«А-
Глава V
КРУГОВАЯ ДИАГРАММА ПОЛНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
Все многообразие режимов, реализуемых в нагруженной линии
передачи без потерь, можно отобразить на круговой диаграмме
полных сопротивлений * (далее для краткости будем называть её
просто круговой диаграммой), которую можно рассматривать как
метод наглядной интерпретации решений уравнений Гельмгольца.
В настоящей главе описан принцип построения круговой диаграм-
мы и рассмотрены основные способы ее применения.
§ 5.1. Понятие текущего коэффициента отражения
Рассмотрим некоторую нагруженную линию передачи без по-
терь. Применяя те же обозначения, которые использовались в
гл. Ш, можно записать выражение для комплексной амплитуды
колебания в произвольной точке с координатой I:
(5.1)
Отношение комплексных амплитуд отраженной и падающей
волн в произвольном сечении линии называют текущим коэффици-
ентом отражения и обозначают р;. Из (5.1) видно, что
QJ=Qe~>2₽z.	(5.2)
Текущий коэффициент отражения позволяет выразить напря-
жение и ток в линии следующим образом:
Z(Z)=-^ffl-(l-e,),	(5.3)
^в
откуда следует формула, связывающая pz с нормированным вход-
ным сопротивлением линии, имеющей длину I
7' _ 1 +е* _	#(0
ВХ ------— —
i-er А/ и
Соотношение (5.4) можно интерпретировать с помощью вектор-
ной диаграммы. Для этого достаточно заметить, что комплексное
число pi геометрически отображается вектором длиной |р|, кото-
рый с ростом координаты I вращается в направлении по часовой
стрелке (фазовый угол pi должен уменьшаться).
(5.4)
* В литературе ее называют также диаграммой Смита или диаграммой
Вольдерта.
59
nlJ Г5.4) В некотором относительном MaCUlTaf.
Числитель ФорМ^шей'амплитуде напряжения, а знаменатель6*
пропорционален текушеи м образом, чтобы построить Вект^
Xvnicfi амплитуде тока. тока в лИНИИ> нужно, отложив
„ую диаграмму ,,а"р^ый вектор единичной длины (он соотВет£
плоскости гоР»зо»та;Хей волны), геометрически сложить еГо 2
"скторами ₽‘"
Последовательность векторных диаграмм, соответствующих раз-
личным длинам /, представлена на рис. 5.1. Пусть при /=0 фаза
коэффициента отражения от нагрузки р взята такой, что векторная
диаграмма приобретает вид, изображенный на рис. 5.1, а. Здесь
фаза напряжения на нагрузке опережает фазу тока в ней, что
свидетельствует об индуктивном характере нагрузки. Перемещаясь
вдоль линии по направлению к генератору, будем вращать вектор
pi по часовой стрелке на угол 2|3/. При этом неизбежно возникнет
такая ситуация, когда вектор рг расположится горизонтально (рис.
5.1, б). В сечении линии с такой координатой I напряжения пада-
ющей и отраженной волн сложатся синфазно, а токи этих волн бу-
дут противофазны. Как следствие, здесь наблюдается пучность на-
пряжения и узел тока; входное сопротивление отрезка линии такой
60
длины чисто вещественно, причем нормированное значение вход-
ного сопротивления в соответствии с формулой (5.4) численно рав-
но КСВ.
С дальнейшим увеличением длины линии происходит изменение
порядка следования векторов напряжения и тока — входное сопро-
тивление линии приобретает емкостный характер (рис. 5.1, в). Про-
должая вращение вектора р(, приходим к противофазному сложе-
нию напряжении и синфазному сложению токов (рис. 5.1, г), ког-
да возникает узел напряжения и пучность тока. Нормированное
входное сопротивление при этом вещественно и равно 1/КСВ. Пе-
риодичность функции в правой части формулы (5.2) свидетельству-
ет о том, что полный оборот на векторной диаграмме будет совер-
шен при перемещении вдоль линии на расстояние Х/2.
На векторной диаграмме принято обозначать характерные точ-
ки и линии. Так, точку О называют точкой согласования,
поскольку ей соответствует нулевой коэффициент отражения. Если
точка, изображающая режим работы линии, совмещается с точкой
А на векторной диаграмме, то входное сопротивление линии ока-
зывается равным нулю, поэтому точку /1 называют точкой ко-
роткого замыкания. Рассуждая аналогично, приходим к вы-
воду, что точку В следует называть точкой холостого хода.
Диаметр АВ есть геометрическое место точек, отображающих та-
кие режимы линии, когда напряжение и ток синфазны. Поэтому
этот отрезок называют линией активных входных со-
противлений.
Окружность единичного радиуса с центром в точке О представ-
ляет собой геометрическое место точек чисто реактивных входных
сопротивлений, так как для каждой точки этой окружности сдвиг
фаз между напряжением и током равен 90° в соответствии с из-
вестной теоремой об угле при вершине вписанного треугольника,
опирающегося на диаметр.
Наконец, любую окружность с центром в точке О и произволь-
ным радиусом, меньшим единицы, называют окружностью
постоянного КСВ. Радиус этой окружности численно равен
модулю коэффициента отражения от нагрузки. При увеличении
длины линии I изображающая точка перемещается по этой окруж-
ности в направлении по часовой стрелке.
§ 5.2. Построение круговой диаграммы
В предыдущем параграфе показано, что изменения текущего
коэффициента отражения отображаются поворотом соответствую-
щего вектора. С помощью формулы (5.4) свяжем текущий коэффи-
циент отражения непосредственно с нормированным входным со-
противлением отрезка линии передачи заданной длины, нагружен-
ного на известное комплексное сопротивление.
В теории функций комплексного переменного формулы вида (5.4)
называют дробно-линейными преобразованиями [5]. Для рассмат-
61
„ место закон преобразования „
гп случая «ме^„*(Ьи11иента отражения Р1=аМ
"•’"ч
В	ВХ ^пяния обладают замечателЬ1(к
пНейные пРеобртаь лежащая в плоскости Pl, перево*
Пробно-линеи уЖИость, ле одящуюся в плоскости ?
свойством: любая окружность, н х Д бесК0НеЧНая прямая) к.Ч
“	обладает "Otaw-Z
(частнымДио-лвпе»»01I"’’„личины углов между любыми^!
ме того, ДР н0 сохрани	I
формностп и „	z, состоит из двух орт0г.
сетка в r«K«LCMlst и X'„=const. Нао^
Координат атв прямЫХ вида « 1>ать> что на ПЛОСкости текущ.!
“"•'"’"“с-азатюго	'/" на векторной диаграмме, оп№"ч
вании слазав жениЯ, т. е. н семейств окружностей, орм
коэффидяс‘4та каР примет ^^Уаммой полных сопротивлещ
в § 5- Ь эта другу. КРУгов°“	На плоскости комплексного
^динатноа ст°й *4
этой сетки' Ф°рмулу <W) “Н
вв„Ид3еУ’”“"РМ	(5.1
/?..х + Авх'(1-£)-Л	(
Выведено уравнение семейства с-~- ..г^1ОО,1П1ищиА
собой геометрические места постоянных активных частей входного
сопротивления отрезка линии. Центр любой окружности семейства
находится в точке с координатами ft=/?'BX/(l-|-fl'BX), п = 0}; при
этом радиус окружности будет определяться величиной i/H-l./?' \
На рис. 5.2 показаны некоторые из Тг
вующие положительным значениям R‘
ства.
— -«—•.лм а вх соответствуют окружности,
целиком лежащие внутри круга с единичным радиусом. Иными
словами. дробно-лии^--, преобразование (5.4) позволяет отобра-
окружностей, представляющих
окружности семейства
величиной 1/(1-Ь/?'Вх).
таких окружностей, соответст-
D'BX. Отметим два обстоятель-
1. Положительным значениям
целиком ЛР-игаапчл ----
словами, дробно-линейное
ства:
Разделяя здесь вещественную и мнимую части, получим рав
7?вх —
1-£2-1)2
(1-£)2 + 1)2 ’
21)
(1 —02-1-1) ’
(Ц
которые являются уравнениями координатных линий нормирован-
ного входного сопротивления в плоскости текущего коэффициента
отражения.
Представим уравнение (5.6) в эквивалентной форме
^х(1-5)2+/?в'хт12+$24-П2-1=0,
или
^-т‘Ч2—2—-вх t —1 ^ах
1+7?вх	1+С*
зить правую полуплоскость комплексной переменной Z'BX на внут-
реннюю область единичного круга, лежащего в плоскости перемен-
ной рь Остальная часть плоскости рг нас в данном случае не инте-
ресует, поскольку она соответствует случаю нагрузки линии не на
пассивный двухполюсник, а на источник колебаний (генератор).
2. Все окружности, соответствующие различным значениям
/?'вх, касаются друг друга в точке холостого хода с координатами
(|=1, т]=0). При /?'вх»1 наблюдается резкое сжатие масштаба
круговой диаграммы вблизи точки холостого хода, что служит ес-
тественным ограничением точности графических построений.
Аналогичным способом уравнение (5.7) приводится к виду
(5.8) уравнения окружностей:
Дополнив левую часть (5.8) до полного
(t----~
\	1+^вх
2
квадрата, получим
1
1 1
(5.10)
Окружности этого семейства имеют радиусы 1/|Х'вх|; центры их
расположены в точках с координатами {£ = 1, т) = 1/Х'вх}.
62
63
„Амии <пис. 5.3) показывают, что oKnv^
Соответствующие граф 4a^,Tc(i входного сопротивлений Л0*
сти постоянных реакт в’завИСИМОСТИ от знака
величины Л'₽ас'
полагаются по-pa3"™у роТИ1}Лениям отвечает верхняя Полуплг7
индуктивным вводным с P Здесь же пунктиром нанесена
радиуса^, которая ограни,каает „„Iepecy«;
ющую нас область на плоек используемой на практике Ппу
Чертеж КРУГ4О1 По Периферии диаграммы нанесен фазовый у?0
Р4««’	» АОЛЯХУ^
Рис. 5.4. Круговая диаграмма полных сопротивлений
бочей длины волны; поворот изображающего вектора на 180° соот-
ветствует движению вдоль линии на расстояние Х/4 в направлении,
указанном стрелкой.
Если круговая диаграмма используется часто, то удобно допол-
нить ее прозрачным вращающимся движком с центром в точке О,
на котором нанесены шкалы КСВ или модуля коэффициента от-
ражения.
64
§ 5.3. Примеры использования
круговой диаграммы
Опред?ление К 4 В по заданному сопротивлению нагрузки
Пусть сопротивление нагрузки, нормированное по отношению к
волновому сопротивлению линии, отображается точкой /на пне
5.5. 1тобы узнать величину КСВ в линии, достаточно снести точку
/ на горизонтальную ось с помощью окружности, показанной пунк-
тиром, а затем прочесть результат по шкале, нанесенной вдоль от-
ре ...а ОВ. Если шкала КСВ (или КБВ) имеется на движке диа-
граммы. то отсчет интересующей величины
средственно.
осуществляется непо-
Рис. 5.5. Нахождение вели-
чины КСВ в линии передачи
Рис. 5.6. Определение входного
сопротивления нагруженного
отрезка линии
Определение входного сопротивления отрезка нагруженной ли-
нии заданной длины. Предположим, что нормированное сопротив-
ление двухполюсника нагрузки соответствует точке 1 на рис. 5.6.
Движению от нагрузки к генератору будет соответствовать пере-
мещение изображающей точки вдоль окружности постоянного КСВ,
показанной пунктиром. Если длина отрезка линии / задана, то век-
тор текущего коэффициента отражения должен быть повернут на
угол 4л//Л в направлении, указанном стрелкой. Входное сопротив-
ление рассчитываемой системы определяют нахождением коорди-
нат точки 2, лежащей на пересечении окружности постоянного
КСВ и прямой, вдоль которой расположен вектор текущего коэф-
фициента отражения.
Определение расстояния от нагрузки до ближайшего экстремума
стоячей волны напряжения. Если точка /, изображающая входное
сопротивление нагрузки, расположена так, как это показано иа
рис. 5.7, то при движении вдоль окружности постоянного КСВ в на-
правлении от нагрузки к генератору линия активных входных со-
противлений первый раз пересекается в точке 2, которая соответ-
ствует узлу стоячей волны напряжения. Расстояние 1[ от нагрузки
до узла находим, исходя из величины угла поворота изображающей
3—2910	65
.. /> Таким же образом находим расстояние
точки, равного 4n/iA- 1 н наПряжения, равное /,+Х/4. До
ближайшей к нагрузке пу о	ной проводимости. Если иен
Определение	* Z*. относительно центра диа*^
торая ТОЧ*%СИ“ОМХ отображает нормированную входную пр^
мы (рис 5.вЬ то она ^м это утверждение. Если
ДИМОСТЬ У вх— 1/Z вх- /А ,	1 + 6 + JT)
^8Х“1 — ё—7^ ’
ГО, переходя от точки (5. ч) к симметричной точке (-Е,	„0.
лучим
i/z8'x=k;x.
Определение сопротивления нагрузки с помощью измеритель-
ной линии. Предположим, что экспериментально найденная с По.
Рис. 5.7. Определение расстояния от
нагрузки до узла стоячей волны
Рис. 5.8. Определение вход-
ной проводимости отрезка
линии
мощью измерительной линии картина стоячей волны изображена
на рис. 5.9, а. Вычислив KCB=amax/-amin> утверждаем, что точка,
изображающая нагрузку, может лежать только на окружности
постоянного КСВ. Для окончательного установления точки нагруз-
ки следует воспользоваться величиной отрезка /], отделяющего на-
грузку от ближайшего минимума стоячей волны. Геометрическим
местом точек минимумов является отрезок АО, поэтому, двигаясь
от него по окружности постоянного КСВ в сторону нагрузки и осу-
ществляя поворот радиуса на угол 4n/j/X, получаем искомую вели-
чину нормированного сопротивления нагрузки (рис. 5.9, б).
Расчет реактивных согласующих устройств. Пусть линия переда-
чи с известным волновым сопротивлением нагружена на некоторое
комплексное сопротивление ZE. Ставится задача осуществить со-
гласование линии с нагрузкой за счет включения сосредоточенной
реактивности ]ХС0ТЛ способом, показанным на рис. 5.10, а. При
66
этом должны быть определены как величина согласующего реак-
тивного сопротивления, так и координата его подключения /согл.
В соответствии с рис. 5.10, б, если двигаться от точки, изобра-
жающей нагрузку, по линии постоянного КСВ в сторону генерато-
ра, то в двух сечениях линии с координатами /согл1 и /Согл2 актив-
ная часть нормированного входного сопротивления нагрузки будет
равна единице. Если теперь последовательно включить реактивные
Рис. 5.9. Определение сопротивле-
ния нагрузки по измеренным ха-
рактеристикам стоячей волны
сопротивления /ХСОгл1 или /ХСОгл2, удовлетворяющие равенствам
А^согл! “j“	0 ИЛИ А^согл2~|~ А”вх2-=0,
то суммарная реактивность будет компенсирована и в линии насту-
пит режим согласования. Согласование при этом будет иметь мес-
то лишь на строго расчетной длине волны. Аналогичным образом,
используя при расчете уже не входные сопротивления, а входные
проводимости, можно добиться согласования за счет включения
параллельной шунтирующей реактивности.
На практике согласующие реактивности обычно выполняют в
виде короткозамкнутых на конце отрезков линии передачи, назы-
ваемых согласующими шлейфами, длину которых с целью настрой-
ки и регулировки можно изменять.
Задачи и упражнения к гл. V
Выполняя данные задания, следует пользоваться только графическими мето-
дами, обращая внимание на точность расчетов с помощью круговой диаграммы.
5.1. Линия с волновым сопротивлением 75 Ом нагружена иа резистор 25 Ом.
Определить КСВ в линии.
3*	Ь7
пины волны, отделяющее нагру30Ч1
"умкт” Во*
°- о не Z«='5U'rj
сопРо5”^влсние линз- ‘ ’	жена на сопротивление Z
“° °”' НаГ1’" *"*’*
=20 — / 60 Ом-	П1,нип имеющий волновое соипп
ЛеН№^
ТИВ-ОНтв3^чГс'волновымПР^^^Р^ “^TbSh^cS
520 О'ГопреДе-’111™; ^‘^я^аксимальна.
СТ°Р 2ая входного сопротив.	ггЛ7жеииой линии, показали, что КСВ=3)
ЛйЮОтвет 0Л8 ‘проведенные в нагрУ^q волны является пучность напря.
56 Измерения пров 1кстреМумо« стоя^ оД2 х Вычислить нормированное
л .пжайшнм к HarP>u.,r0V3Kii на расе™
\ния отстоящая от н-нр.	гпПпотивлений нагрузки с помощью щ.
сопротчвленпе нагрузку	измерения сопр	чаЮТСя на практике), когда
С° Р5.7- Предложите с;оотнях (именно они	быть не может.
«еРитеЛ^ю!^н°СТЬ ^Тт^зис^вной нагрузки следует размещать реак.
»«№“ £5 UT°R’
Глава VI
ВОЗБУЖДЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧИ
ВНЕШНИМИ ИСТОЧНИКАМИ
§ 6.1. Физическая постановка задачи о возбуждении
линии передачи
Механизм возбуждения линии передачи, как и любой другой
электромагнитной системы, основан на том, что в некоторой обла-
сти пространства электромагнитное поле внешних источников вза-
имодействует с полем линии передачи. Характер взаимодействия
внешней системы и линии определяется пространственно-временны-
ми соотношениями, существующими между указанными электро-
магнитными полями. В одном случае внешние источники за период
колебаний совершают работу над электрическими зарядами, кото-
рые располагаются на проводниках линии. При этом линия играет
роль потребителя энергии. В другом случае электромагнитное поле
линии в среднем за период совершает положительную работу над
зарядами, протекающими во внешних цепях. Здесь линия являет-
ся источником, а внешние цепи — потребителями энергии. Несмот-
ря на различие этих двух ситуаций, отдельное изучение их не тре-
буется, поскольку в любой взаимной динамической системе источ-
ник и нагрузка могут меняться местами.
Полное рассмотрение проблемы возбуждения линии передачи
требует определения векторов электромагнитного поля во всем
пространстве и может быть проведено только методами электро-
динамики. Решение подобной задачи довольно сложно. Однако,
чтобы понять основные физические закономерности процесса воз-
буждения линии, можно применить упрощенный подход, основан-
ный на решении системы телеграфных уравнений.
Возбуждение линии внешним магнитным полем. Представим,
что на некотором участке линии за счет действия внешних источни-
ков создан однородный в пространстве и переменный во времени
магнитный поток Ф, ориентированный так, как это показано на
рис. 6.1, а. Рассматривая воображаемый контур 1 — 2 — 3 — 4, на
основании закона электромагнитной индукции Фарадея запишем
j,Ed\=-d<S>idt.	(6.1)
Интегралы по сторонам контура 2 — 3 и 4 — 1 равны нулю, по-
скольку силовые линии электрического поля всегда перпендику-
лярны металлическим проводникам (в противном случае по про-
водникам протекали бы сколь угодно большие токи). По опреде-
лению,
69
Ed I,
£; такая модель правильно описывает
------------- .,ЛГТГ> ЛП т-I ппи Г»	_	*
через область источника претерпи?
поэтому из (6.1) следует
UM-U^-E,
гле£ —эдс электромагнитной индукции, равная - dO/dt.
Последите соотношение позволяет отобразить рассматриваемы,
процесс1 эквивалентной схемой (рис. 6.1, б), включив в нее пос“"
довательный источник э.д.с. £; такая модель правильно описывает
следующий важный факт: ток вдоль лив™	время
как напряжение при переходе
вает скачок на величину Е.
Рис. 6.2. Возбуждение ли-
нии передачи переменным
во времени электрическим
полем;
а — картина поля; б — эквива-
лентная схема
Рис. 6.1. Возбуждена? ли-
нии передачи переменным
во времени магнитным по-
лем:
а — картина поля; б — эквива-
лентная схема
Если магнитный поток неоднороден по z, то следует говорить
о линейной плотности э.д.с. #(z), определив ее следующим обра-
зом:
$<£(zidz.	(6.2)
Когда возбуждающее внешнее магнитное поле локализовано
на участке, значительно меньшем, чем длина волны колебаний, то
плотность э.д.с. имеет вид 6-функции, сосредоточенной в некоторой
точке 2о'.
<£(г) = ЕЦг-г0).	(6.3)
Физическая размерность величины $ (В/м) совпадает с раз-
мерностью напряженности электрического поля.
Возбуждение линии внешним электрическим полем. Пусть за
счет действия внешних источников на некотором конечном участ-
ке линии (рис. 6.2, а) создано переменное во времени электриче-
70
ское поле ЕСТор, которое называют сторонним полем в отличие от
собственного поля линии. Теория Максвелла утверждает, что при
этом в пространстве будет существовать ток особого рода, называ-
емый током смещения. Плотность тока смещения определяется
формулой
JcM = eod Е/d/, А/м2.
Если внешние источники создали между проводниками линии
токи смещения, то это означает, что в данной области пространст-
ва существуют некоторые источники тока в обычном электротех-
ническом понимании. Абстрагируясь от пространственного распре-
деления полей, можно констатировать наличие распределенных ис-
точников тока с некоторой линейной плотностью Sf(z), так что
/ = J 3(z)dz.
Соответствующая схема изображена на рис. 6.2, б.
Если внешние источники распределены вдоль участка линии,
малого по сравнению с длиной волны, то плотность стороннего то-
ка выражается в виде результирующего тока источника /0, умно-
женного на 6-функцию, сосредоточенную в точке источника z0:
Z7(z) = /08(z-z0).	(6.4)
§ 6.2. Дифференциальные уравнения линии,
возбуждаемой внешними источниками
Рассматриваемая здесь задача поставлена не с целью описать
какой-либо конкретный случай возбуждения линии передачи, а для
того, чтобы путем разумной идеализации добиться возможно боль-
шей общности. Предположим, что неограниченная с обоих концов
регулярная линия передачи возбуждается как внешними электри-
ческими, так и внешними магнитными полями, гармонически изме-
няющимися во времени. Распределение в пространстве возбужда-
ющих источников может быть описано двумя .плотностями й5 (z)
и 34z).
Если ранее при рассмотрении свободного процесса в линии па-
дение напряжения на элементе длиной dz обусловливалось лишь
прохождением тока I и представлялось в виде
dU= —Zjdz,
то теперь следует учесть наличие в каждом бесконечно малом
элементе источника внешней э.д.с. и записать последнее соотноше-
ние следующим образом:
dU=—Zxldz-\-$(z)dz.	(6.5)
Аналогичные по характеру рассуждения приводят к выраже-
нию для приращения тока в бесконечно малом отрезке линии:
di— — YxUdz-\- Sf (z)dz.	(6.6)
71
ним воздействием:
dU/dz
(6.7)
Дифференцируя оба уравнения системы (6.7) „0
z и объединяя вх, получаем
объединяя вх, получаем
iPU/dz2—	(z)-\-d'6ldzt	(6> 8)
WJIdz2-^'! = -Y$(z)-\-dj /dz,	(6.9)
.,2_7 у___квадрат комплексного коэффициента распростране-
гармопического волнового процесса, вычисленный на частоте
где
ния
возбуждающих источников.
§ 6.3. Решение неоднородных уравнений Гельмгольца.
Понятие функции Грина для стационарного
волнового процесса в линии передачи
Свойство линейности л вытекающий отсюда принцип суперпо-
зиции оказывают чрезвычайно большую пользу при решении задач
о возбуждении линий передачи. Вместо рассмотрения практически
неограниченного множества всевозможных конфигураций возбуж-
дающих источников оказывается достаточным изучить небольшое
число случаев, когда возбуждение производится источниками не-
которого специального вида. Дальнейший этап связан с объедине-
нием элементарных источников таким образом, чтобы их результи-
рующий вклад был равен эффекту от заданного реального источ-
ника. Подобный прием широко используется при математическом
рассмотрении процессов в линейных системах. Примером может
служить метод интеграла Дюамеля, применяемый для вычисления
переходных процессов в линейных цепях.
Выбор конкретного вида элементарных источников достаточно
произволен. Однако целесообразно полагать, что такие источники,
имея конечную амплитуду, строго локализованы в некоторых опре-
деленных сечениях линии. Пусть, например, единственным возбуж-
дающим источником в линии является источник синусоидальной
э.д.с Ео, размещенный в сечении z = z0 и включенный так, как это
показано на рис. 6.1, б. При этом плотность сторонней э.д.с на еди-
ницу длины линии
$ (г)=--2Г08 (z — z0).
Воспользовавшись уравнением (6.9), для тока в линии будем
иметь дифференциальное уравнение:
d2j'dz2-у2/ - Yx (z - z0).	(6.10)
72
Из закона сохранения заряда следует, что стационарное рас-
пределение тока в линии должно быть непрерывно всюду, в том
числе и в точке источника. Во всех точках, свободных от источни-
ков, комплексная амплитуда тока удовлетворяет уравнению сво-
бодных колебаний
d2Ildz2—y2I 0.
Напряжение О в точке источника должно претерпевать скачок
на величину э.д.с., т. е.
lirnZ7(z0-r]) limt7(zo+T])-^o-	(6.11)
Ч И)	ч-*0
Условие (6.11) указывает на то, что первая производная по z
от решения уравнения (6.10) должна быть разрывной при z=Zo,
поскольку всюду, за исключением самой точки источника, напря-
жение и первая производная от тока пропорциональны:
(6.12)
1	1 az
Очевидно, что включение в бесконечно протяженную линию рассмотренного
точечного источника приведет к возбуждению в ней системы двух бегущих волн,
распространяющихся в обе стороны от источника, причем оба эти направления
равноправны. При более тщательном рассмотрении эта мысль требует поясне-
ний. Дело в том, что идеализированное представление о линии передачи без
потерь допускает существование волн, отразившихся в бесконечно-удаленной
точке и не уходящих от источника, а приходящих к нему. Требуются некоторые
основания для того, чтобы объявить волны, приходящие из бесконечности,
«нефизичными» и в дальнейшем исключить их из рассмотрения Обычно прини-
мают во внимание то, что любая реальная линия все же обладает некоторым
затуханием, наличие которого приводит к поглощению любых колебаний, про-
шедших достаточно большой путь от источника. В физике данный принцип изве-
стен как условие Зоммерфельда, или принцип предельного поглощения.
Основываясь на (6.12), можно проверить, что условие (6.11)
имеет место, если
Игл —	; цт^_|	==-2^0..	(6.13)
ч->0 dz Uo—ч 2	dz |г0+ч	2
Пусть в формуле (6.10) Eq— 1. Введем новую неизвестную
функцию О, определив ее следующим образом:
6 = //^.	(6.14)
Тогда неоднородное уравнение Гельмгольца для рассматрива-
емой задачи примет особенно простой вид:
dPG/dz2 - y2G = - В (z - z0).	(6.15)
Функция G, называемая функцией Грина, имеет важное
значение в теории волновых процессов: она описывает возбуждение
линии локальным источником гармонических колебаний с единич-
ной амплитудой.
73
Фгнкния Грина, будучи всюду непрерывной, имеет разрыв пер.
вой производной в точке причем, как это следует из (6.13),
цга —I	==—: ИттЧ =—Г'	(6-16)
rfz 1,0-Ч	2 ч-о dz Lc+4 2	)
Другими словами, полный скачок производной функции G При
2=2л должен равняться единице.
Зная физическую постановку задачи, можно написать явное
выражение для функции Грива. Нетрудно проверить, что если ОП,
ределить G системой равенств
(е-т(*-^)/(2у) при 2>z0,
G (z, Zo) | ет (г-^о)Д2у) при z^zOl
то одновременно удовлетворяются Уравнение (6.15), условие не-
прерывности в точке z=z0 и условие (6.16), накладываемое На
производную. В соответствии с (6.14) ток в линии
| Д0е-т<г-го)/(2^в) при z>z0,
/ (z, zn)- j £° еТ (^zo)/(2Zb) при z Zo.
Отсюда следует закон изменения напряжения вдоль
j£0e~T(z~Zo)/2 при z>z0,
(z, z0)-( _£oeT(z-z0y2 при z<z0.
(6. 18)
линии
(6.19)
Все сказанное относится и к случаю, когда возбуждение линии
осуществляется источником тока Iq, локализованным в точке г=г0
. (см. рис. 6.2). Отличие состоит в том, что здесь напряжение при
z=z0 непрерывно, а ток имеет скачок в точке источника:
lim/(z0 —T])=lim7(z04-T]) —4-	(6.20)
т)-м0	Ч-О	'
Рассмотрев уравнение (6.8) и связав функцию Грина с напря-
жением в линии формулой
G^UiZ.,
для напряжения имеем соотношения, аналогичные (6.18):
\ ( /0Ае~т (г-го,/2 при z>z0,
|/0ZBeH—о)/2 при z<z0.	'
U(
Ток в линии при данном способе возбуждения определится сле-
дующим образом:
/ое-т <*-*•>
—--------- при Z z0,
2	(6.22)
/оет(г о)
------------ при z<z0.
Зная функцию Грина, можно найти решение любого неоднород-
ного уравнения Гельмгольца посредством прямого интегрирования.
74
Пусть следует отыскать решение уравнения cPC/dz* — yW——F(z)
на всей оси г. Произвольная функция F(z) описывает плотность
распределения источников вдоль линии. Если G(z, £) является
функцией Грина, которая соответствует возмущению, вызванному
точечным источником единичной интенсивности, размещенным в
сечении z=£, то искомое решение имеет вид
t7(z)= jF(C)6(z, OdC
— те
Действительно, подставляя это выражение в предыдущее урав
нение, в силу известных свойств 6-функции получим тождество:
dKJ
dzi
•о
— те
= - j F(C)B(2-C)rfC=-F(z).
— те
§ 6.4. Строгий вывод выражения для функции Грина
Исходя из основного дифференциального уравнения
d2G]dzi — y2G^~l(z — z0),	(6. 23)
будем искать функцию Грина G в форме спектрального разложения
G (z, z0) = ~ \ F (х, z0) ejxzdx
J
— те
с неизвестной пока плотностью F (х, z0). Для нахождения F преобразуем по
Фурье обе части уравнения (6.23) и воспользуемся тем, что

е/»(г
В результате имеем
4“00
J (-х2-у2)Г(х, z0)e'xzdx
+ •»
- ( e;x(z-Zo)dx,
— те
откуда
F(x,zo) =
е ^хг°
х2 -р у2
и окончательно
1 i е/*(г-г0)
G (z, Zo) = — J X?+V2”
(6. 24)
75
Rex
Рис. 6.3. Расположение особых
точек на комплексной плоско-
сти
Далее, используя формулу Коши, получим
пповсдем методом теории вычетов. Заметим
Вычисление этого интеграла гц	пр0Стых полюса с координатами
что ПОДЫНТС1 ральпое выражение и облад.1Да потерями, то имело бы место
хь2- ±/¥ Если бы линия переда нств0 у = /р „ поэтому полюсы располага-
Z/дл-	',шсь бы на вещественной оси. Но, как указы-
валось некоторое, хотя бы очень малое зату-
ханис всегда присутствует, поэтому Xi=/a_£
х,=—/а+₽. Особые точки подынтегральной
функции располагаются при этом так, как это
изображено на рис. 6.3.
Вычислим интеграл (6—4) для случая
когта z>z0. Контур интегрирования должен
состоять из всей вещественной оси в плоскости
•г. и полуокружности С, бесконечно большого
радиуса, проведенной в верхней полуплоскости.
Такой выбор контура позволяет на основании
леммы Жордана пренебречь интегралом по ду.
re С, так как при 1m х>0 экспоненциальный
множитель погасит подынтегральную функцию
на достаточно большом удалении от 1Начала
координат.
G(z, Zq) z>zb
e;x(i-Zo)
/x,(z-z0)	Й-Т(г—z0)
• (6.25)
2*1
2y
Если же -<<<>, то no указанной ранее причине следует выбирать контур С2,
лежащий в нижней полуплоскости и обходимый по часовой стрелке, т. е. в от-
рицательном направлении В результате
.	/еА(г-г0)
*2 + у'-’
e;x,(Z—Z0>	eT(z—Z0)
~^ = —<6-ж>
= — j res
Как н следовало ожидать, полученное выражение целиком совпадают с фор-
мулой (6.17), найденной ранее.
Представление различных функции, не обладающих свойством аналитичности
(так, функция Грина имеет разрыв первой производной) с помощью интегралов,
вычисляемых методами теории функций комплексного переменного, является
распространенным математическим приемом, используемым в теории волновых
процессов.
§ 6.5.	Элемент Гюйгенса
В физике так называют идеальный точечный источник, обеспе-
чивающий возбуждение волны, распространяющейся только в од-
ном направлении. Ясно, что точечные возбуждающие элементы,
рассмотренные ранее, этому условию не удовлетворяют. Однако
путем соответствующей суперпозиции источников можно добиться
идеальной однонаправленной характеристики возбуждения.
Рассмотрим систему двух точечных источников обоих типов,
схематически изображенную па рис. 6.4. Здесь оба источника рас-
положены при одном и том же значении координаты z=z0. Пред-
положим, что амплитуда источника э. д. с. равна Ео, а источник
тока имеет амплитуду /o=£o/ZB. Используя формулы (6.19)
76
и (6.21) и проводя алгебраическое суммирование напряжений, воз-
буждаемых каждым источником, получаем формулу для напряже-
ния в липни:
<7(2’2»'=1^е”'г“’>"Р"г>г,“	(6-27)
При z<z0.
Если изменить на 180° начальную фа :у одного из источников,
то получим волну, распространяющуюся в другую сторону:
4/(z, zo)=JO	при z>z0,	(6 28)
I £ОСТ	при z<^z0.
Итак, рассмотренная система двух элементарных источников
действительно обладает основным
свойством, характерным для эле-
мента Гюйгенса.
Терминологически элемент
Гюйгенса связан с известным из
оптики принципом Гюйгенса, со-
гласно которому каждая элемен-
тарная площадка волнового
фронта может быть представле-
на как эквивалентный источник
новой сферической волны. Дан-
ный принцип обеспечивает по-
строение математической 'модели волнового процесса, распростра-
няющегося от источника на бесконечность (здесь речь идет о вол-
новых явлениях в трехмерном пространстве).
z
-о
Рис. 6.4. Эквивалентная схема эле-
мента I юнгенса
§ 6.6.	Возбуждение линии передачи системой
дискретных источников.
Принцип действия направленного ответвителя
Предположим, что в регулярной линии передачи без потерь
в точках с координатами zb z2, ...,zn размещены точечные источ-
ники синусоидального тока одинаковой частоты о, обладающие
известными комплексными амплитудами /оь /02, • • - Jon- Нужно
найти токи и напряжения результирующего волнового процесса
в любом сечении линии.
Для этого воспользуемся принципом суперпозиции. Действи-
тельно, напряжение в линии
^(2) = V(7t-|-Vi7r,	(6.39)
к	I
где первая сумма учитывает волны от источников, расположенных
левее точки наблюдения, а вторая — лишь волны от источников,
находящихся правее этой точки. Каждое слагаемое в суммах опи-
сывает индивидуальную бегущую волну. На основании (6.21) по-
следнее равенство представим так:
77
U[z)^ V)+v У 4е'’<'-'-).
2 -Н	>
Соответственно, ток в линии
/(*)--X- V 4е-'"<'-»>-4- У /ме'р
2	2. лшл
I
(6. 30)
(6.31)
A’
„ rnvunii когда линия возбуждается двумя ис-
Проанализируем сл> ‘	„ на х/4, попчсм во времени один
точникамп, разпеееннымi Д •	имЬет фазовый сдвиг на
из источников ио отношению к Д| у у
л/2, т. е.
/'(H — /()• Л)2 — ^0 C	J^O'
Тогда правее обоих источников
')= е~/Рг?А)^н g—jf (г—Х/Ч) —./р^в
2
левее —
С/Р?C—J? (г~М)- 0.
Таким образом, специально подобранная совокупность двух ис-
точников осуществляет идеальное однонаправленное возбуждение
линии передачи подобно элементу Гюйгенса. Все рассуждения ос-
------------------------------- П пИПЬИХЫ ППИ ОПА/ПТТ/Л
Рис. 6.5. Направленный ответ-
витель
таются справедливыми при замене ис-
точников тока источниками э. д. с.
Отмстим, что рассмотренная систе-
ма является частотно-зависимой в том
смысле, что на другой рабочей часто-
те, когда расстояние между возбуди-
телями уже не будет в точности равно
Л/4. часть энергии проникнет в область
левее источников.
На описанном принципе часто стро-
ят направленные ответвители — одни
из важнейших устройств в технике
СВЧ, которые могут обеспечить однонаправленную передачу коле-
баний из одной линии передачи в другую. Конструкция простейше-
го ‘направленного ответвителя показана на рис. 6.5. Здесь между
двумя линиями, первичной и вторичной, имеются устройства связи,
в данном случае магнитные, разнесенные на Л/4. Такой выбор ин-
тервала между возбудителями обеспечивает необходимое запазды-
вание сигнала на четверть периода. Легко проверить, что волна,
бегущая в основной линии от плеча / к плечу 2, возбуждает во вто-
ричной линии лишь волну, направленную в плечо 4. При выполне-
нии условий, о которых сказано ранее, сигнал в плече 3 будет от-
сутствовать.
78
§ 6.7.	Усилитель с распределенным усилением
В качестве примера использования теории возбуждения линий
передачи системой сосредоточенных источников рассмотрим так
называемый усилитель с распределенным усилением (УРУ), кото-
рый широко применяется в радиотехнике как устройство, способ-
ное обеспечить равномерное усиление сигналов в широкой полосе
частот, составляющей десятки, а
иногда сотни мегагерц.
Принцип построения УРУ пред-
ставлен на рис. 6.6. Основу подобно-
го усилителя составляют два отрез-
ка линий передачи, причем один от-
резок играет роль входного, а дру-
гой-выходного устройства. Для
работы на частотах в несколько де-
сятков мегагерц эти линии, как пра-
вило, выполняют в виде цепочечных
Рис. 6 6. Принцип построения
усилителя с распределенным
усилением
эквивалентов из сосредоточенных
элементов L и С. При более высоких
рабочих частотах можно применять отрезки линий с распределен-
ными параметрами.
В обеих линиях за счет включения соответствующих нагрузок
обеспечивается режим бегущих волн, причем выходная линия обя-
зательно согласовывается с обоих концов. Эти меры имеют важное
значение для обеспечения широкополосности устройства в целом.
Через равные промежутки / в выходную линию включены N ак-
тивных элементов (например, транзисторов), представляющих со-
бой зависимые источники тока, которые управляются напряжения-
ми, снимаемыми со входной линии также через равные интервалы /
(предполагается равенство фазовых скоростей волн в обеих ли-
ниях).
Комплексные амплитуды токов отдельных источников запишем
следующим образом:
/0n=S4/„e-«'(n=l,2,.., ЛП,	(6.32)
где S — крутизна характеристики электронного прибора в рабочей
точке.
В выходной линии каждый источник тока создает две бегущие
волны с амплитудами St7BX/2, движущиеся в противоположных на-
правлениях. При этом волны, достигающие согласованной нагруз-
ки на левом конце линии, окажутся поглощенными. Комплексная
амплитуда напряжения на выходе УРУ, представляющая собой
сумму вкладов от всех источников:
(j  Sr^Zu2	. _|_e-7№q =
2
— Sl)MZniN e-jNpi	(6. 33)
о
79
Заметим, что сложение колебаний происхо^	именно
6™l°3^^	выражение для модуля коэффи.
ииента усиления УРУ:
SZ^N	(R 9 л
-----2---•	(6.34)
Итак усиление УРУ возрастает пропорционально числу актив-
ных Дементов в отличие от обычных многокаскадных усилителей,
для которых эта зависимость носит показательный характер. Поэто-
му в схеме УРУ можно получить усиление, большее единицы, даже
в том случае, когда коэффициент усиления одиночного каскада
/Co = SZb2—меньше единицы.
Усилитель с распределенным усилением является примером так
называемых активных распределенных систем —но,
вого перспективного класса радиоэлектронных устройств.
Задачи и упражнения к гл. VI
6.1. Источники гармонической э.'Д. с. размещены с равномерной
стью А (В/м) в пределах участка O^zsZ.l регулярной линии передачи,
лить комплексную амплитуду тока, возбужденного в линии при г>1.
Ответ. / (г) =	[ 1 — е/р/] е~19г.
6 2. При какой длине I участка, занятого источниками в условиях
дущей задачи, волны в лилии при г>/ будут отсутствовать?
Ответ. При l=nk, n= 1, 2, 3 ... .
6.3. В регулярную линию передачи включены два источника э. д. с. £| и
с координатами Z\ и z2 соответственно (z2>zi). Найти соотношение между
комплексными амплитудами Ё1 и Ё2, которое обеспечивало бы отсутствие коле-
баний во всех точках линии правее источников, т. е. при z>z2.
Ответ, /'i + ^exp [/0(2г—z,)] =0.
плотно-
Опреде-
преды-
Глава VII
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ
Материал, излагавшийся в предыдущих главах, относился
к случаю, когда линия передачи находится под действием внешних
источников, гармонически изменяющихся во времени. Однако одно-
частотпыи режим работы для большинства радиотехнических уст-
ройств является скорее нс правилом, а исключением. Обычно пере-
даваемые сигналы являются колебаниями со сложным спектраль-
ным составом. Далее приведена теория распределенных систем при
негармонических входных воздействиях.
§ 7.1. Влияние характеристик линии передачи
на искажение передаваемого импульса.
Групповая скорость
Важной проблемой, представляющей интерес для техники связи,
является оценка величины искажений импульсных сигналов, возни-
кающих при распространении их вдоль линии передачи. Еще во вто-
рой половине XIX в. опыты по передаче телеграфных сигналов
вдоль протяженных кабельных линий показали, что скорость пе-
редачи информации ограничена недопустимо большими искаже-
ниями сигналов, которые наблюдались всякий раз, когда длитель-
ность передаваемого импульса становилась меньше некоторого оп-
ределенного уровня.
Искажение импульса в реальной линии передачи значительной
длины изображено на рис. 7.1. Если длительность передаваемого
импульса была достаточно велика, то на выходе получался им-
пульс, хотя и менее резко очерченный, чем на входе, но в техниче-
ском отношении достаточно точно отображающий форму исходного
колебания (случай а). Попытка последовательной передачи двух
коротких посылок, разделенных малым интервалом времени (слу-
чай б), неизбежно приводила к их «расплыванию», так что появ-
лялась вероятность принять последовательность коротких сигналов
как один сигнал большей длительности. Было отмечено также, что
эффекты расплывания усугубляются при возрастании длины ли-
нии передачи.
Нужно было объяснить наблюдавшиеся явления, а затем либо
указать способы преодоления указанных трудностей, либо выявить
предельные возможности линий передачи с точки зрения скорости
передачи информации. Полученный ответ может быть кратко сфор-
мулирован следующим образом: природа искажений заключена
в том, что при определенных условиях начинает существенно ска-
зываться неодинаковость фазовых скоростей отдельных спектраль-
ных составляющих, из которых складывается передаваемый сигнал.
4—2910
81
ай которая изображена на рис. 7 i
Линия передачи, подобная*тоЬ комплексиым коэффициент
oacnpocTpS’»’ V(“) ““‘“{.Йтрм'гппотетический двухполюсвщ
₽ ВРкачестве нагрузк" Расс“^рЯ,ошпй условяю согласовав
7„ на всех частотах у
7 =7	до пазумным, поскольку учет отраЖе.
Такое требование являетсяР У жвеивю анализа и затру,,
ннй от нагрузки привел, ба.. »ш	У извческпх сторон явления.
НИЛ бы выявление принц
Рис. 7.1. Характер искажений импульсных сигналов в линии
передачи:
а — при большой длительности; б — при малой длительности сигнала
Будем считать, что напряжение на входе линии i/BX(Q =u(0, f)
известно. Задача заключается в нахождении сигнала uBUx(t) =u(l, t)
фиксируемого на нагрузке, которая отстоит от начала линии на рас-
стояние I. Решим поставленную задачу спектральным методом,
вводя в рассмотрение преобразования Фурье сигналов на входе
и выходе:
Л.,М=) к„(/)е-У“'Л, |
4-00
Лых Н = J «вых (/)	.
Целесообразность применения спектрального метода здесь оп-
равдана тем, что свойства рассматриваемой линии передачи дли-
ной I на любой частоте <о можно описать так же, как это принято
в теории линейных четырехполюсников с сосредоточенными пара-
метрами. Для этого достаточно ввести частотный коэффициент пе-
редачи /((w, /), очевидным образом связывающий спектральные
плотности:
Лшх (<°) — К (to, /) Fn (to).
82
Знание спектральных плотностей позволяет восстанавливать
налы, используя обратное преобразование Фурье:
+ оо
«вых (О —	К (<п, I) FM (ш) oJ^'dw,	(7. 2)
в развернутой форме
1г	•
«вых (t) — d^K (to, /)	\ ивх (/')
(7.3)
Условие отсутствия отражений на всех частотах обеспечивает
в линии режим бегущих волн, поэтому частотный коэффициент
передачи отрезка линии
/С(<й,/)=ехр(-у («>)/).	(7.4)
По поводу этого выражения необходимо сделать два замечания. Во-первых,
коэффициент передачи вида (7.4) не принадлежит к классу коэффициентов пере-
дачи, которые могут быть реализованы посредством сосредоточенных RCL-четы-
рехполюсннков. Известно, что последние обладают коэффициентами передачи,
представляемыми как отношение двух многочленов по степеням частоты [5], в
то время как функция (7.4) имеет экспоненциальный характер. Во-вторых, изу-
чаемый распределенный четырехполюсник относится к числу физически реализуе-
мых систем, обладающих следующим свойством: при подаче на их вход веще-
ственного колебания отклик на выходе также должен быть вещественной функ-
цией времени *. В силу этого должно выполняться тождество
А((—о, /) =	/),
г. е.
ехр [—а (—ы) I — /р (—Ш) /] = ехр [—а (ы) I +	(ы) I],
откуда
а (—ы) = а (ы), 3 (—и) = — р (ы),
т. е. коэффициент ослабления является четной, а коэффициент фазы — нечетной
функцией частоты. В дальнейшем это свойство будет играть важную роль.
Итак, получено формальное решение задачи о форме импульса
па выходе согласованного отрезка линии передачи, найдено выра-
жение для частотного коэффициента передачи и выяснены некото-
рые его характерные свойства. Однако прямое вычисление интегра-
лов вида (7.2) или (7.3) затруднительно, поэтому для формирова-
ния представлений о происходящих физических процессах нужно
проанализировать ряд частных случаев, когда удается найти либо
точное, либо приближенное решение.
Линия без потерь и без частотной дисперсии фазовой скорости.
Здесь а = 0, р = <о/Цф, причем фазовая скорость Уф одинакова на всех
частотах. Можно ввести величину т=(/«ф— время, необходимое
* Сформулированное условие необходимо, но недостаточно для физической
реализуемости, поскольку требуется наложить ряд ограничений на поведение
коэффициента передачи в зависимости от частоты, понимаемой как комплексная
переменная [3].
4* 83
лл„ того. .m,6U	«“ХЖ” "остоя""оп фаз“ "*
мостилась от начала к копну ли.
к (<•>,/) ехр(-/">т),
н соответственно

пг>гп НЧ ВПСМЯ T, T с. ДцЫх(О W'lX (	т/-
Линн» с потерями, не обладающая частотной дисперсно». Зяесь
а = const О, 0 = (ч/Уф. поэтому
К((о, /) =. охр (—Ct/ —	)
п, как следствие,

оказывается уменьшенным по
/F(ai)/
Рис. 7.2. Спектральная плотность
узкополосного сиги 1ла
идущего состоит в том, что выходной сигнал
амплитуде при неизменной форме
На основании двух рассмотрен-
пых случаев можно сделать вывоз
о том, что линии передачи, в кото,
рых отсутствует частотная диспеп-
сия, являются идеальными канала-
ми передачи информации, обеспе-
чивающими на выходе совершенно
точное копирование входных сигна-
лов. Возникает предположение, что
искажения связаны с нелинейным
характером зависимости коэффццп
опта фазы от частоты, имеющим
место при определенных условиях и приводящим к частотной дис-
персии фазовой скорости в линии.
Линия передачи без затухания и с произвольным характером
частотной дисперсии фазовой скорости. Чтобы понять нестацио-
нарные процессы в линиях с дисперсией, изучим наиболее простой
случай, когда колебания на входе представляют собой узкополос-
ный (квазпгармонпчсскпй) процесс. Такое предположение даст
возможность использовать для анализа метод медленно меня-
ющихся амплитуд *.
Методом медленно меняющихся амплитуд изучают колебания,
спектральная плотность которых сосредоточена в узкой полосе
частот шириной П (рис. 7.2), причем 11/(л0<С1, где <dq— некоторая
♦ Этот метод успешно применяется в различных областях физики. Возник-
новение его связывают с именем известного английского физика Рэлея (1842—
1919); дальнейшее развитие метод получил в трудах Ван дер Поля, Н. Н. Бого
любова, С. И. Евтянова и других ученых.
84
центральная частота спектра, выбираемая достаточно произвольно.
С уменьшением ширины полосы II такие колебания по форме при-
ближаются к гармоническим.
Запишем формулу сигнала на входе линии, являющуюся обоб-
щением традиционною метода комплексных амплитуд-.
(7.5)
где Г (I) функция, называемая комплексной огибающей, которая
изменяется во времени гораздо медленнее, чем гармоническое коле-
бание частоты «по. В оощем случае функция /7 (/) принимает ком-
плексные значения и поэтому не является обычным физическим
сигналом. Но это свойство не мешает рассматривать ее спектраль-
ным методом. Положим, что Gllx(u>)—спектральная плотность ком-
плексной огибающей. Установим связь между функциями Gux(o))
и Fnx (<»). С учетом (7.5)
+ °-	4. Л
Re[t/lixc^»'|e -1Л t/lix(/)e .................»>'<// ф
|’Т\ i('"VwoVdl	I —"’(P- I7-6)
Этот результат означает, что спектральная плотность узкополос-
ного сигнала концентрируется в пределах двух интервалов около
частот (оо и —гос,.
Теперь обратимся к аналитическим свойствам дисперсионной
характеристики р(о>). Поскольку нас интересуют только узкие час-
тотные интервалы вблизи точек ±(о0, используем следующее раз-
ложение в ряд Тейлора:
Р(«>) — ?('"о) + 1У ("*») — ‘"(3 -ф	~	+ • • ’’
~ .	(7.7)
[•J (—(.>) =. р ( —W()) ф [У ( —«>0) (<•> ф-(Оу) ф — >" ( —(Оу) (W Ф (Оу)2 ф . . . ,
причем из нечетности функции р(ь>) следует, что
I* (‘"о) = — И (—“’о)’ У ("‘о) — (— °’о)’
(%) — — (-------------0,(3
и т. д. Величину р(о)у) обозначим Ро, величину pz (<»о) обозначим
Ро' и т. п.
При учете трех членов тейлоровского разложения частотный ко-
эффициент передачи отрезка линии длиной I в области положитель-
ных частот
/С+ (w, /) ехр |—7 Г?о Ч & (“ — 10о) -ф ~ % (ш ~ шо)21 •	(7. 8)
85
Соответственно в окрестности частоты о>о коэффициент пере-
дачи
К- (<*>, /) ехр р0 - Ро (°’ + шо) + Y Ро (‘° + шо)2] ZJ •	(7.9)
При необходимости формулы (7.8) и (7.9) можно упростить,
пренебрегая слагаемыми со вторыми производными от дисперсион-
ной характеристики. Такое упрощение не приведет к заметной
ошибке при условии
РоИ-7 «1.	(7.10)
т. е. необходимо, чтобы фазовая ошибка, доставляемая третьим
слагаемым в показателе экспоненты, была пренебрежимо мала.
Если данное условие выполнено, то в системе имеет место режим
со слабой дисперсией.
Чтобы восстановить сигнал па выходе системы, следует выраже-
ния (7.8) и (7.9) подставить в интеграл Фурье (7.2), учтя связь
между спектром входного сигнала и спектром его комплексной оги-
бающей, выраженную в формуле (7.6). Выполнив эту процедуру,
имеем
о
zzBb,x (/) = _L J Gnx (-<»- w0) exp {/ [р0/- ри (<•> + <°о)z 4-0,Ф 4"
— оо
4- —\ GBX (ю — (о0) ехр {/ [ — р(/ — Ро (“> — (,)0)z 4" ]} £Ztu-
4л J
о
Переходя к новым переменным: Е,, =—со—соо в первом интеграле
и g2=со—<оо во втором, преобразуем последнее равенство:
(О = 7“ \ <5„ (ь) ехр I/ (V I- feZ - S,z - »</)] dEi +
4л .1
—О) о
Так как рассматриваемое колебание узкополосно, то спектраль-
ная плотность комплексной огибающей па входе линии концентри-
руется в узкой полосе частот вблизи нуля. Поэтому можно прибли-
женно распространить интегрирование в (7.11) на весь бесконечный
интервал частот. Далее, оба интеграла в (7.11) по отношению друг
к другу являются комплексно-сопряженными, так что
мвых (t) = Re e7(“"z-₽oO
+ "О	,
— QO
(7.12)
86
В последней формуле интеграл
^ных(^)——	0нХ](£)е
— со
является комплексной огибающей пыхлЛ„агЛ
лнвости сделанных ограничений функция Г С'п т^3’ Прн спРапед’
комплексную огибающую на входе Г П точности повторяет
пл племени в cTononv	‘ 6удУчи однако смещенной
во времени в сторону запаздывания на величину
т=&.	(7.13)
Данный временной сдвиг, пропорциональный длине линии, сви-
детельствует о том, что в системе происходит волнообразный про-
цесс перемещения 01 ибающеи вдоль осн распространения с неко-
торой скоростью игр, которую называют групповой скоро-
стью. Из (7.13) получаем	1
^rP= 1/?о = <А»Ж	(7.14)
Как указывалось, производные нужно вычислять в точке шо,
соответствующей центральной частоте спектра. Тергиин «групповая
скорость» означает, что эта физическая характеристика относится
к узкополосному колебанию, т. е. тому объекту, который в общей
теории волновых процессов называют квазигармонической группой
или волновым пакетом.
Несмотря на то что понятие групповой скорости стало классическим, до сих
пор в литературе можно встретить неточные толкования. Например, иногда без
специальных оговорок утверждается тождественность таких характеристик, как
групповая скорость, скорость передачи энергии, скорость сигнала, скорость пере-
дачи информации и т. д. Подобное расширение термина в общем случае недопу-
стимо и может привести к ошибкам. Групповая скорость — это всего лишь
скорость перемещения в пространстве огибающей узкополосного колебания, ко-
торое в силу самого своего определения обладает неограниченной протяженно-
стью во времени. Любое колебание конечной длительности, например ограничен-
ный во времени импульс, имеет неограниченный спектр и поэтому групповая
скорость, строго говоря, не равна скорости перемещения импульса.
В некоторых волновых системах, например, в кристаллах на волнах оптиче-
ского диапазона, имеет место явление, называемое аномальной дисперсией. Оно
проявляется в том, что для некоторого частотного интервала коэффициент
фазы р уменьшается с ростом частоты. При этом групповая скорость, вычислен-
ная для узкополосного колебания с центральной частотой ыо, будет отрицатель-
на, хотя фазовые скорости каждой из спектральных составляющих положи-
тельны.
Противоречивость самого факта отрицательности групповой скорости при
аномальной дисперсии не должна вызывать недоумений, так как огибающая —
это воображаемая кривая, получающаяся за счет интерференции бегущих гар-
монических воли с близкими частотами. Поэтому движение с групповой скоро-
стью— это кажущееся движение, ие связанное непосредственно с перемещением
в пространстве материальных объектов.
§ 7.2. Оценка искажений импульсных сигналов
Понятие групповой скорости позволяет приближенно ответить иа вопрос о
том, как велики искажения импульсных колебании, распространяющихся вдоль
линии передачи с дисперсией. Рассмотрим случай, когда передаваемое колебание
87
Является прямоугольным радиоимпульсом
монического заполнения о»0. Выражение
колебания
с длительностью
для спектральной
(<о — ftp) Ти
2
Т« и частотой rah
плотности Так*Р;
sin
2
„ иястоты). График частотной зависимости
™-1ько положительные ча на 7.3. Для ориентировочного
(здесь УчтСНтыпаТХй плотности из^Ра£еширнну спектра данного импульса СОв.
модуля спектрально	эффективн^ спектральной диаграммы, ограничен-
подсчета можно под»	ов1|Ого лепестка	9
падаюшей с ш"Рн и	+2л/Тв. огня*	“дТ суперпозиции отдельных узко-
него частотами о).егх<оостав1яет собой резу^ьт^	свою групп^
Ли^х0Игрупп лая каждой из которьт.	скорости на верхней и нижней
"°"' Пусть frp верх и ""Vj абсолютная величина разности времен
S Ха	«егемы составит
прихода двух крайних групп
А/ ==/
1 1
С’гр.верх С’гр.ниж
(7. 15)
искажения сигнала существенно велики, если	Если
искаже н цажениямн в линии можно пренебречь. За-
п°и ппочТ"равныхусловиях степень искажений нарастает с увели-
«р линии и может стать ощутимой даже при очень малой дисперсии,
- диспепсии при передаче импульсных сообщении являются
„..nviM-hi которые накладываются друг на друга. В технике
расплывающиеся имп^^^к п(Р о названнс межсимвольной интерференции.
„_э в обычных радиочастотных линиях, таких как
Гд?ина которых в аппаратуре редко превышает десяток
эв дисперсионными искажениями можно с полным основанием пренебречь,
деятельность передаваемых импульсов не менее 10~« с. Тем ие менее с этим
эффектом приходится считаться при передаче сигналов по обычным линиям
телефонной связи достаточно большой длины. Двухпроводная линия со стальны-
ми проводниками (этот матепнал наиболее дешев) на частотах в несколько
китогерп характерных для телефонии, имеет погонное сопротивление практиче-
ски активного характера, т е. fl.XoL,. Воздушный диэлектрик линии весьма
совершенен, поэтому б,<СыС|. Таким образом, в диапазоне звуковых частот
линия телефонной связи ведет себя подобно распределенной RC-структуре, речь
о которой шла в гл. I. Здесь
Очевидно, что
же Л/^Гв, то дисперсионными
метим, что 1	'
чением длины линии и
Результатом влияния .
1
связи это неприятное
Расчет показывает, что в обычных радиочастотных линиях, таких как
коаксиальные кабели,	.......— ---------
метров, дисперсионными
если
3 (<>) =
откуда
f (<о) —
2
(7- 16)
Для рассматриваемой линии имеет место соотношение иГр“2оф. График ча-
стотной зависимости групповой скорости в некоторой конкретной линии изобра-
жен иа рис. 7.4.
Предположим, что по линии длиной 200 км передается радиоимпульс дли_
дельностью 0,5 мс, имеющий частоту заполнения /о”5,1 кГц. В соответствий с
сказанным верхняя и нижняя частоты спектра
/верх — /о + 1 /Т ц == 7,1 кГц,
/ииж =/о—1/7,ис=3,1 кГц.
88
Групповые скорости крайних спектральных участков составят при этом
игр.верх = 0,944-108 м/с,
^гр-ниж = 0,624-108 м/с.
Расчет по формуле (7 15) показывает, что разность времен прихода крайних
групп Ы составит около 1 мс, т е в пня пЯЧ/п™Д.. р пРих°Да крайних
Г₽У .«пл «мп^пкгя Пттпт „ ’ ' е В Два раза пРевь|шает длительность переда-
ваемого импульса. Поэтому имеет место значительная степень искажений и опас-
ность возникновения межсимвольной интерференции при высокой частоте следо-
вания импульсов.	”
Йя Зб™Т™ "е Т0ЛЬК0 объяснение наблюдаемых фактов, но и
выработка способов улучшения технических характеристик систем. Проследим
за тем, как решается важная прикладная задача — уменьшение искажения сиг-
налов в линиях передачи. Выпишем еше раз формулу для комплексного коэф-
фициента распространения
у = а + /р = /(/?! + j^Lt) (Gi + /шС1).
(7- 17)
Линия передачи, в должной мере удовлетворяющая условиям распростране-
ния сигналов с малыми потерями и без ощутимых искажений, должна удовлет-
ворять следующим требованиям; 1) коэффициент ослабления а должен быть
Рис. 7.3. Спектр прямоугольного
радиоимпульса
Рис. 7.4. Частотная зависимость
групповой скорости в линии пере-
дачи с параметрами /?1 = 0,2 Ом/м,
С=200 пФ/м
минимальным; 2) коэффициент фазы Р должен линейно зависеть от частоты по
крайней мере в пределах рабочего диапазона. Функционирование линии улуч-
шится, если из четырех параметров Gt, Ct и А1 первые два уменьшить. Од-
нако достичь здесь ощутимых результатов невозможно как по техническим, так
и по экономическим причинам. Анализ формулы (7.17) показывает, что суще-
ствует принципиально иное решение проблемы; нужно существенно повысить
погонную индуктивность L], чтобы на рабочих частотах выполнялось условие
<1)£1^>К1. Тогда с учетом неравенства toCi^Gi для коэффициента фазы имеем
приближенное выражение
^1С1.
Дисперсионные искажения практически отсутствуют, поскольку
иф = vrp= 1/V L\C\.
Один из способов повышения погонной индуктивности, применявшийся на
практике, состоял в том, что проводники линий дальней телефонной связи обма-
тывались специальной лентой, выполненной из сплава типа пермаллоя с высокой
магнитной проницаемостью. Но при этом затраты на сооружение линии значи-
5—2910	89
тельио возрастали Оказалось, что есть гораздо более дешевый слое
через ранние интервалы порядка нескольких километров включаютс°б 8
иые катушки. Этот способ оправдал себя на практике и лишь в пос *
начал терять свою актуальность в связи с широким применением л И₽е
шейных линий Передачи, в частности коаксиальных кабельных
ней связи.	и,,й Для
§ 7.3. Волновые уравнения для напряжений и токов
при произвольном характере изменения
процессов во времени
В двух предыдущих параграфах нестационарные проц
редачи были нсслсдопаны с помощью методики, сформулиЛ0014 Пе-
..............: монохроматическим волнам. Теперь от т°ВанМ
граф.
применительно к
пых ураниений
dU
dz
(7.
</z
(7.
„иям бочсс общего вида, описывающим прост-
перейдем к уравнениям ’ тикн мгновенных значении напря-
рапственно-времснныг < п’ жде всего отмстим, что комплекс-
женин и(2. П п тока И , )	» моЖПО рассматривать как спек-
пые амплитуды t-( ,	и 1(2 /)'.
тральные плотности процессов и(2, I) и И*. I).
/)
(7.
2.1
Рассмотрим первое уравнение из системы (7.18).
Умножив обе части уравнения (7.18а)
и проинтегрировав по всем частотам, имеем
на множитель
e;u,QAo = —
dz	2л
А ( juiei^du. . (7.20’
2.1 .1
В левой части последнего равенства порядок следования опера
цин интегрирования по частоте <о и дифференцирования по коорди
нате z может быть изменен. Кроме того, второе слагаемое в правой
части на основании известного свойства преобразования Фурье про
порцнонально производной по времени от мгновенного значения
тока. Таким образом, в соответствии с (7.20) получаем
90
о Г 1 г	1
Т“ I ~Г~ \	I =
dz I 2л J	I
L 2Л 1 I dr I 2л j I
Выполнив аналогичные операции над уравнением (7.186),
имеем
/е'-'л|=-0,^-1-^
„ д Г 1 г	1
— Q — I —\ йе^‘с1и> I .
dr I 2л j	I
Здесь в квадратные скобки заключены мгновенные значения на-
пряжения и тока в линии , записанные через обратные преобразо-
вания Фурье. Таким образом, на основании двух последних фор-
мул приходим к системе телеграфных уравнений
,	(7.21а)
dz	1	dr	4	'
=	U-Cx —,	(7.216)
dz	at
которые отображают динамику электромагнитных процессов в ли-
нии передачи при произвольном характере пространственно-вре-
менных зависимостей. Данные телеграфные уравнения в отличие
от уравнений системы (7.18) представляют собой систему диффе-
ренциальных уравнений уже не в обыкновенных, а в частных
производных.
Система (7.21) может быть легко приведена к одному диффе-
ренциальному уравнению второго порядка относительно напряже-
ния или тока. Для этого достаточно, например, продифференциро-
вать (7.21а) по z, (7.216) по t, а затем исключить члены, содержа-
щие ток. В результате будет получено одно уравнение относительно
напряжения, эквивалентное системе (7 21):
= i,C, +(Л?1С,+А1О.)	+	(7.22)
Аналогично выглядит и уравнение относительно тока
^ = Л,С, +(/?lC1 + LlG,)^-+/?lOl>.	(7.23)
02*	Ot2	Ot
Эти уравнения описывают процесс волнообразного распростра-
нения возмущений вдоль регулярной одномерной направляющей
структуры и поэтому названы волновыми уравнениями.
5*
91
Особенно простой и запоминающийся вид приобретают вот
уравнения для линии без потерь	* ”ОвЬ|е
()2и

0z2	с)С2
д2{ г сШ
---— L\ С*»	.
()Z2	№
Далее будет рассмотрен именно этот случай, поскольку
омических потерь хотя и вносит некоторые дополнительные э ^"Ст
ты в общую картину явления, однако значительно усложни*1СМс”'
лиз и делает результаты менее наглядными.
§ 7.4. Решение волновых уравнений для линии
без потерь по методу Даламбера
Впервые волновые уравнения вида (7.24) и (7.25) были изучены
в XVIII в Л Эйлером и Д. Бернулли, которые независимо друг От
друга показали, что именно так выглядят дифференциальные урав.
нения, описывающие колебательные процессы в натянутой упругой
струне. Примерно в это же время замечательный французский уче-
ный ж. Даламбер предложил метод решения волновых уравнений,
ставший классическим и носящий с тех пор его имя.
Рассмотрим метод Даламбера на примере решения уравнения
(7.24). которое перепишем в виде
—	•	(7.26)
Oz-
Здесь о=1/ |ЛА1С| — фазовая скорость гармонических волн.
В гл. I фазовая скорость была определена как скорость перемеще-
ния в пространстве волновых фронтов при гармоническом харак-
тере колебании. Там же было показано, что в линии без потерь ча-
стотная дисперсия фазовой скорости отсутствует. Поэтому все
компоненты Фурье, обусловливающие сложное немонохроматиче-
ское колебание, распространяются с одинаковой скоростью. Таким
образом, есть основание считать, что фигурирующая здесь скорость
действительно является скоростью, с которой происходит переме-
щение вдоль линии импульсного волнового процесса самого общего
вида.
Предположим, что исследуемые процессы происходят в регуляр-
ной линии передачи без потерь, свободной от внешних источников
и неограниченно протяженной вдоль оси z. Эффекты, связанные
с конечной длиной линии, будут рассмотрены позднее.
Переменные /иг входят в уравнение (7.26) весьма симметрич-
но. Для того чтобы подчеркнуть это, введем новую независимую пе-
ременную т, определив ее следующим образом: т=и/, при этом
d-ujdt2— ъ2д-и[дх-,
92
п тогда вместо (7.26) имеем
д'и.	д-и
«it-*	0г2
(7. 27)
,Н РЭСТ Р°ЛЬ ВРСМС1Ч1. ОДНЯКО ЭТО «ВрСМЯ»
„мест физическую размерность ДЛН11Ы цМСН110 такнмн бы*„ 6ы
показания воображаемых часов с неограниченно протяженным ли-
нейным циферблатом, вдоль которого со скоростью ВОЛНЫ в линии
переметается стрелка.	’
Для нахождения общего решения уравнения (7.27) следует про-
изнести еще одну замену переменных, введя два новых аргумента
:	п = г —т.	(7.28)
Вычислив частные производные с учетом (7.28), имеем
diu __ &U _ 9 <)2ц	( 02ц
ЙТ2 С^2	3 Д)т2 ’
d~u _ д2и | о
t)*2	(;J2
<>2ц	. <)2ц
dv]2
Подставив этот результат в (7.27). получаем
вид волнового уравнения в новых переменных:
-^-^0.
окончательный
(7. 29)
Общее решение этого уравнения очевидно:
“(;, п) Л (5) 4 /д(тр.
где F\ и Г2—полностью произвольные функции, первая из которых
зависит только от переменной с. а вторая — только от перемен-
ной 1]. Возвращаясь к исходным аргументам, получим
и (z, /)=F1 (г -у/) -|- F2 {z — vt).	(7.30)
Характерный вид аргументов функций и F2, однородных от-
носительно z и t, указывает на то, что здесь имеются две волны
произвольного вида. Возмущение, описываемое функцией F2, пред-
ставляет собой прямую волну, перемещающуюся со скоростью v
без изменения формы в сторону возрастания г. Соответственно
функция F\ описывает обратную волну, существующую в линии
совершенно независимо.
Закон изменения тока при нестационарном процессе в линии
следует искать в форме, подобной (7.30):
i (z, fl—AtFt (z-j-^+A/^z — vFl	(7.31)
с двумя неизвестными коэффициентами Д1 и А2. Далее воспользу-
емся первым уравнением из системы (7.21), положив в нем R\ — G.
Подставив сюда выражения (7.30) и (7.31), имеем
<?£ СП]	У?
dF2
93
Для тождественного
чтобы
выполнения этого равенства необходИМо>
1_____л =_1_=J_,
7,1 — Ltv Z* ' L'v Z“
F2(z — vt)
так что
I (Z,t)=
(7.32)
ZB
 п ПИНИИ без потерь всегда (а не только
Итак, напряжение и ток в- связанЫ коэффициентом пропор.
ПРИ гармонических	' пряМой и обратной волнах разли-
шюнальности Zb, причем ток^волРложного направленИя потоков
чаются знаками ввиду Р
энергии.	определяются начальными условиями и (г, 0)
^"0)и'"о™рые задаюЛоетояние системы при t=0. На основа-
НИИ (7 30) и (7.32)
Fi (z, 0)-фЛ(^> 0) = «(z’
-Л(^0)+^^0)=Л/(2,0)’
откуда
p (z Q)_	®)~ZBi(z, 0)
11 ’ 7	2
F2(z, 0)=-u(z’	°) e
(7.33)
метода Даламбера, рассмотрим сле-
бесконечной линии имеются два
коммутатора Ki и К2 (рис. 7.5),
отделяющие некоторый внутрен-
ний участок системы длиной I.
Вначале коммутаторы разомкну-
ты, а внутренний отрезок линии
заряжен до напряжения Uo.
Пусть теперь в момент / = 0 оба
коммутатора синхронно срабаты-
вают. Из формул (7.33) видно,
что исходная форма напряжения
Как пример использования
дующую задачу. В регулярной
Рис. 7.5. Включение заряженного
отрезка линии	в линии представляет собой сум-
му двух противоположно направ-
ленных бегущих волн с амплитудами Ио/2. Поскольку при t^O обе
волны совмещены в пространстве, то их токи взаимно компенсиру-
ются и поэтому вся система находится в покое. С момента срабаты-
вания коммутаторов в обе стороны начинают распространяться две
волны тока величиной U0/(2ZB), которые называют волнами заряд-
ного тока, поскольку их распространение сопровождается зарядом
элементарных конденсаторов, образующих линию. По прошествии
времени //(2о) обе волны напряжения перестают накладываться
94
друг на дру и в этом смысле разряд начального участка линии
заканчивается в дальнейшем обе волны расходятся в бесконеч-
ность (рис. 7.6).
Следует заметить, что полученное решение является разрывным
н поэтому в классическом смысле не может удовлетворять системе
дифференциальных уравнений (7.21). Однако современная теория
дифференциальных уравнений в частных производных утверждает,
что подобные обобщенные решения волновых уравнений служат
Рис. 7.6. Напряжение и ток в схеме, изображенной на рис. 7.5:
а — при (=0; б — при 0<t<Z/(2n); в — при t>ll(2v)
пределами последовательности обычных гладких решений при не-
ограниченном сокращении длительности фронтов.
Применение метода Даламбера к анализу нестационарных яв-
лений в распределенных радиотехнических устройствах затруднено
тем, что здесь, как правило, приходится рассматривать системы ог-
раниченной длины, для которых неизбежным становится учет мно-
гократно отраженных волн. Гораздо удобнее решать подобные за-
дачи операционным методом, что дает возможность в рамках еди-
ного подхода учесть влияние неоднородностей и начальных
условий.
95
§ 7.5. Исследование нестационарных процессов
в линиях передачи операционным методом
Изложение материала настоящего параграфа рассчитано
что читателю известны основные положения операционного На т°.
ления и применение его для Анализа переходных процессов ИсчИс*
трически.х цепях [8].	в эЛек.
Сущность метода применительно к распределенным во
системам состоит в следующем. Запишем телеграфные и^ЛИ°Вь<М
для лпшш без потерь	Ура01'ени,
du ___£ di |
dz 1 di ’ •
di	£ du
dz 1 dt
н найдем их преобразования Лапласа по временной коо
введя в рассмотрение изображения напряжения и тока РД"НаЧ
U (г, р) = [ и (г, /) е-р‘сИ,
о
/ (z, р) = J i (z, t) e~Pldt.
о
В соответствии с правилами вычисления преобразовали
ласа от производных получим систему дифференциальных ур J ап‘
~ =	[р/-Цг,0)],
-f^-QlpU-^z, 0)],
ВХ0ДЯТ начальные значения напряжения и (г 0) и
i(z, 0). Отметим, что здесь фигурируют не частные а обм^ И Т0Ка
производные, поскольку по переменной р дифференциповТВеННЬ1е
производят. Особенно просто выглядят уравнения для₽ Не
НИИ в случае нулевых начальных условий объелимЛ % браЖе‘
ния из (7.35), получим	Уровни, объединяя оба уравне-
d4J гт
~и=о,
V2
(7.34)
(7.35)
(7.36а)
dz*
dzi &
(7.366)
Сложная задача решения уравнений в частных производных
свелась к более простой — интегрированию линейных дифферен-
циальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициен-
тами. Общий интеграл уравнения (7.36а) хорошо известен:
Z	Z
U(z, р)=А(р)е Pv-}-В(р)е	(7.37)
96
где А(р) и Я(р)~ некоторые произвочьпк^
частоты.	Р '1ьные функции комплексной
На основании теоремы запаздывямиа =
но усмотреть изображение ппоизяппки^-В Первом слагаемом мож-
шлющейся в сторону положнтадьных л св ПРЯ"°Й волны’ пеРеме'
НИЯ формы. Второе слагаемое соответств^т°Р°СТЬЮ V без.измене*
„ой волне.	соответствует произвольной обрат-
„ымДм^олом'являюТтся“" ₽СШе,,НЯ К™КР'™'« задач онерацион-
Л“::"х лфнун“1,3 г₽а~
* 2. Учет в случае необходимое™СЯ HCT04HIIK« » нагрузки,
для напряжения и тока.	ффекта начальных условий
3. Восстановление оригиналов ™ <..&
(последнее может оказаться надболте eZZZcrьХ^Г"
Нестационарные процессы в нагруженном отрезке адннн непеда-
чн при нулевых начальных условиях. Для ряда областей ^времен-
но,, радиотехники, имеющих дело с импульсными колебаниями на-
косскунднои длительност,,, характерна такая постановка задачи.
Отрезок л1нии передачи без потерь имеет длину I и волновое со-
противление ZB. На одном конце при z=0 включен источник э п с
e(t), создающий импульс произвольной формы. Другой конец Дди-
нии нагружен на некоторое сопротивление Z,,. К началу действия
импульсз, те. при /-0, система находится в покое, так что
i/(z, 0) — i(z, 0) — U. Полагаем, что все реактивные элементы, отно-
сящиеся к нагрузке, свободны вначале от запаса электромагнит-
ной энергии. 1ребуется вычислить форму импульсного колебания,
существующего на нагрузке.
Решая задачу операционным методом, введем изображение
входного сигнала
Е (,Р) = j е(/) ехр(—pt) dt,
о
(7.38)
а также операторный коэффициент отражения от нагрузки
Zh(p) +zb
равный отношению изображений падающей и отраженной волн на
нагрузке.
Используя общее решение (7.37), на основании граничных усло-
вии при z = 0 и 2=1 получим два уравнения относительно А(р)
и В(р):
А(р) + В(р)=Е(р),
8(F) ^рЦу — п(р\
А(Р)
97
откуда
(7.39)
—lpl]V
• £(/>)
1 +(?(Д)е
Общее выражение для изображения импульса наппяж
иропзвольиой точке линии выглядит так:	Р енИя в
£(/')
U (г, /;) = ---------------
1 + Q (/') е
2Z-z
1

Р-40)
или для точки включения нагрузки.
ч ~Pv
У(/,;>)=—(7.41)
1 +е(д)*’ v
Если теперь удастся найти соответствующие оригиналы, то за-
дача будет решена. Изучим некоторые частные случаи.
\ Отрезок линии, согласованный на конце
Здесь /?„=ZU, так что ,о(р)=0 и в соответствии с (7.41)
-р1
1/(1, р) -= Е (Р)е V 	(7.42)
Сигнал на нагрузке полностью повторяет форму входного на-
пряжения, запаздывая па время t=1/v, необходимое для однократ-
ного прохождения электромагнитного возмущения вдоль линии.
Именно в таком режиме работают разнообразные^ линии задерж-
ки, служащие неотъемлемым компонентом устройств для опти-
мальной обработки импульсных сигналов и выделения их на фоне
помех.
Б. Отрезок линии в режиме холостого хода на выходе
Для данного случая р(р) — 1 (ср. гл. III) и поэтому
гт./ .л_2ЕДр)£ р
(7.43)
Чтобы понять физический смысл процесса, описываемого выра-
жением (7.43), следует преобразовать эту формулу. Заметим, что
в правой полуплоскости комплексной частоты р, которая соответ-
ствует значениям />0, модуль величины ехр (—2рт) не превосхо-
дит единицы, так что по аналогии со степенным рядом
-1-^ 1 _х+л-2--л-3+.. ,(|х] < 1)
можно записать
U (1, р) = 2Е (р) fe~^T — е—-|- е~5^т	(7.44)
98
или, переходя к оригиналам,
u(l, t) = 2е(/-т)-2е(<-3т) + 2е(/-5т)-...	(7.45)
Последняя формула описывает явления многократных отраже-
ний от обоих концов линии. Данный результат проще всего интер-
претировать, положив, что вход линии при / = 0 подан сигнал типа
импульса включения
I 6/0, t 0.
Тогда при <<т выходное напряжение равно нулю, поскольку
возмущение еще не достигло конца линии. При напряжение
на выходе составит величину 217О в силу того, что коэффициент от-
u(i,
Рис. 7.7. Импульсы напряжения на
выходе разомкнутой линии пере-
дачи
Рис. 7.8. Система с ненулевыми
начальными условиями
ражения от разомкнутого конца равен единице. Отраженная волна
при t=2x достигнет генератора и вновь отразится от него, изменив
полярность, так как здесь р(р)= — 1 в силу нулевого внутреннего
сопротивления источника э. д. с. В момент времени i=3x волна,
дважды претерпевшая отражения, достигнет разомкнутого конца
линии. Здесь она вновь отразится с коэффициентом отражения +1
и, имея отрицательную полярность, обратит в нуль напряжение на
выходе. Дальнейшие этапы переходного процесса будут протекать
периодически, как это показано на рис. 7.7. Описываемая система
способна с высокой точностью формировать прямоугольные им-
пульсы малой длительности.
Учет начальных условий. Нестационарные процессы при разря-
де заряженной линии передачи. Как упоминалось, операционный
метод дает возможность учитывать начальные условия. В качестве
примера рассмотрим задачу о нестационарном процессе, возника-
ющем в отрезке регулярной линии передачи длиной I, первоначаль-
но заряженном до напряжения Uq и при />0 замкнутом на одном
конце на известное сопротивление нагрузки Ra (рис. 7.8).
Полагая в системе (7.35) i(z, 0)=0, u(z, О) = (7о, получаем не-
однородное дифференциальное уравнение для искомого изображе-
ния напряжения:
-£-U= Uo.	(7.46)
dz* v-	v2
99
„бывает, что частным решением этот
Прямая подстановка по	вь1ражение 67О/Р- Поэтому об.
уравнения я^ (7'46) ИМееТБВД
щий интеграл для j р	_
„)==^ + Л(р)е W'e’.	(7.47)
С/ у! р
... „ В(п) должны быть выбраны так, чтобы выполнить
причем Д(Р.) и D'r) *
ГХ;" ™ ~
LMU’P;	(7.48)
стого хода,	__ пмпедансное условие на нагрузке. (7.49)
2- К(/’AZ8 следует" что А(р)=В(р). Далее, проводя элементар.
„ые^ы^^.ГкТосвовавии (7.49) находим. что
< О____________ _
А(р) =—
Р
I
P~i
e
\ e P1)
/?H
Итак оешение задачи о нахождении операторной формы напри-
жен. я поичено. Наибольший практический интерес представляет
^..пгаланного разряда линии, когда /?„=/». При этом вы-
режпат.я несколько упрощаются, и для изображения напряжения
ТечеЦЛИН,™ получаем формулу
(i+z)	(f~z)
'	- I _

е-р •
В частности, при а=/, т. е. на нагрузке
1-е "”)•
(7.50)
Переход от изображений к оригиналам дает форму напряже-
ния на нагрузке
(7.51)
v 2	2 V v }
где о(/) — функция единичного скачка.
Принципиальной особенностью режима согласованного разря-
да является конечность нестационарного процесса во времени. Из
(7.51) видно, что при />2//о напряжение на нагрузке будет в точ-
ности равно нулю (рис. 7.9, а). Это означает, что вся энергия, пер-
воначально накопленная в линии, будет рассеяна в резистивной
нагрузке. Читателю рекомендуется самостоятельно проанализиро-
вать физическую картину согласованного разряда, приняв во вни-
мание, что начиная с момента срабатывания коммутатора от на-
грузки начнет распространяться разрядная волна напряжения ве-
личиной L'o/2-
100
Явление согласованного разряда отрезка линии передачи ши-
роко используется для создания импульсных модуляторов радио-
локационных передатчиков. Здесь нагрузкой линии служит генера-
тор СВЧ-колебаний (магнетрон); линию выполняют, как правило,
в виде цепочечного СС-эквивалента. Будучи заряженной от внеш-
него высоковольтного источника до напряжения в несколько еди-
ниц или десятков киловольт, линия
разряжается на магнетрон через
быстродействующий коммутатор, в
качестве которого обычно использует-
ся тиратрон с водородным наполнени-
ем- Описанная система формирует им-
пульсы микросекундной длительности
с мощностью в десятки и сотни кило-
ватт.
u0IZ
О 2l/v	t
и а’
---------1---------,
Задачи и упражнения к гл. VII
7.1.	Линия передачи имеет следующие
первичные параметры: С! = 80 пФ/м, L,=
= 1,8 мкГн/м, /?,^=60 Ом/м, б|=^0. Найти от-
ношение групповой и фазовой скоростей на ча-
стоте 100 МГц.
Ответ: orp/e<j> = 1,0007.
7.2.	Отрезок линии длиной /, обладающий
волновым сопротивлением ZB, предварительно
заряжен до напряжения Со. При /=0 один из
концов линии замыкается на резистор /?в =
=3ZB.
Найти закон изменения напряжения на
резисторе. Сравнить полученный результат с
графиком на рис. 7.9, б.
Ответ.
0 2L/V bl/v 6L/v t
о)
и
i
We
0	21/v\ W/u 61/V t
8)
Рис. 7.9. Импульсы напряже-
ния на нагрузке при согласо-
ванном (а) и несогласованном
(б, в) режимах разряда
zz(/)=4-Z7o’(4-4'Z7O<’ (t-—	(t-—
4	»	\v/16	\v/
7.3.	Решить аналогичную задачу, полагая, что сопротивление резистора
/?п=1/3 ZB. Проанализировать график на рис. 7.9, в. Объяснить, почему в дан-
ном случае напряжение на нагрузке может принимать отрицательные значения,
7.4.	Источник постоянной э. д. с. £ в момент времени t=0 подключается к
одному из концов отрезка регулярной линии передачи; противоположный конец
линии разомкнут. Не прибегая к вычислениям, построить временную зависимость
напряжения, наблюдаемого в центральном сечении отрезка.
Указание: использовать концепцию падающих и отраженных волн.
7.5.	Полубесконечная регулярная линия с волновым сопротивлением Z,
заряжена до напряжения Й0- При t=0 конец линии, расположенный в точке с
координатой z=0, замыкается на конденсатор Сж, начальное напряжение на
котором равно нулю. Найти выражения для напряжения вдоль линии, а также
для напряжения на конденсаторе.
Ответ.
/ t—z/v	\
e(M»b'0U-e г"С“ a(t-2/v)/,
«с(0 = {/о(1-е_//(гвСн))а(0.
101
7.0. В момент пргмсин t О ил иход
ГОИрОГИНЛСИИСМ /и пнли>4.4-ц Я IrllCp.llop,
СЛИИСИИСМ III 10*11111X3 HOC 1ОИИНОЙ I A. I-
При iiyjienux nii'i.iji.ui.fx условииx Hurtin
иолуАесконсчной линии с ИОЛ1К>Ь
Обри ioti.iiiiii.ili |1<>елсдопятг.1Ы|Мм J*4
/, pc uicrop.i /< II иидуктнпностн /
икон и imciiciiiiii iiiilipii/Кения ВД() '
ЛИНКИ
О I
II с Т.

I (t — z/v).
( )|рС ЮК
и ИСХОДНОМ
U (г. !}
><т Т
линии ллипой h<l м с полипным <'о|1ро111|1Л1-|пн-м |Б0 ом
.... H.iHpii/iieiHiH ?2 кВ, 11од|<лю>|цстеи
<л1|ю1иил<'иисм |.»() Ом Онрсдслии, ||мМ
jlolll III I и	О1Д.Н1.НМу1О II 1111 рушу III Пргми м.?УЛЬС
линии рлннп 2,3 10" м/с.	’’Улк-
) 0.12Д/К
/г,. 4- f
7.7.
жсииый > ... .......
ПОМ к ши ру шчпому р< НН Юру I < ОН
Цую Мош 110(11. У< 1)111111 tllll И >И1'р11ИО.
сп, если ci<ii)iurii, и.....  ;
О I и <• I. /‘ -НПО,/ kBi.
( О( loilliHH Л"
Глава VIII
колебательные СИСТЕМЫ, ОБРАЗОВАННЫЕ
ОТРЕЗКАМИ ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧИ
Изучая шстационарные иi»«»и<««-<чj < .
„ниц.. чн> в подобных (iicieM-iv ' л,||,,,их "‘‘рсдачн. можно за-
„>14. « ня (анные не с наличием шцшшйх'^Гп7’6c ,ne"",qe кпл‘‘ба-
ciiiohhiiik m некоторого i.iiiaca шещии "К'”’’ 11 ЛИ|111, с сущс-
«нстеме Представим себе они " v iсообщенной
„а концах которого »Meioir„ naipvii» in> l|l<> ' Л”lll,,, 6е:| |,(,,<‘РЬ,
..   1 '       -
 ион аиипн, >ак что с течением нпемени
xapiini.i юкон и напряжении не ...	иртмсни
Т м .. менее о I ev i<-.....	УД Повторять НсрноПачаЛ l.liyiO.
|ем н< м< щ < окуни не омических потерь обеспечивает сохране-
ние ПОЛНОЙ l.lll.'H (4111011 »11с|)ГН11 И ii.rn,,.,,,  л	I lO.xp.ou
1	11 полому колебательный процесс
будет длина я сколь угодно долго II	n с
' .	 м д»лк>. и t in к мее потерями свободные
колебания со временем (.пухнут, однако общая картина явления,
не^ммгпной М",,"Ж|’;1'1"|,|Х “Ч’ажениях, останется качественно
,	"* И Tr :,"‘1Л”1ИЯ - ^^'иепными колебаниями п
,(‘ конурах. Подробный анализ показывает, что действительно
отреюк линии передачи, обладающий малыми потерями, во мио-
гом сходен с колебательным контуром, маятником пт и. Это сход-
спю может быть отмечено как в свободном, так и и вынужденном
режимах Однако имеют место и принципиальные различия обу-
словленные распределенным характером изучаемой системы’
Распределенные колобательные системы, называемые резо-
на 1 о р а м и, широко используются в тех радиотехнических уст-
ройсгвах, где применение кон гуров нежелательно или невоз-
можно, например в диана юне СВЧ.
§ 8.1. Собственные колебания короткозамкнутого
отрезка линии передачи
Рассмотрим отрезок регулярной линии длиной I. короткозамк-
нутый с обоих концов. Поставим задачу изучить всю совокупность
колебаний, которые могут иметь место в такой системе. Нет осно-
вании считать, что электромагнитный процесс здесь будет изме-
няться во времени по гармоническому закону, поэтому следует
paccMoiperb волновое уравнение общего вида, дополнив его нуле-
вым граничным условием для напряжения при г»0 и г—/. Пробле-
ма сводится к так называемой краевой задаче для волнового урав-
103
нения:
д*и	(8.1а)
„ такой постановке физическая задача
Hi гл. VII следует, что в'	отсутствуют сведения 0 На.
определена не полностью, иск У 0) Однако в данном Ыу.
напряжении	и	интересуют всевозмоН;нь1е
«е это несущественно 'юск^ «сто при разнообразных начале,
колебания, которые У
:ЫХ условиях.	(отсутствие начальных Условии) делает
Специфика задачи <°^СоЛне приемлемым. Познакомимся с
здесь метод Даламбер^пГемом решения волновых уравнении, на-
другим классическим "Ри®деЛения переменных или ме-
таемым методом разде
тодом Фурье.	следующем. Решение краевой задачи
Принцип его закЛ1^“еДСНия двух функции:
(8..)Р.11иетсяВвнденронзведенн^д^^	(8,2)
„т лишь от одного аргумента. Подставим
каждая из «°™рых зависим обе части полученного равен-
(8.2) в уравнение (8.1а) и Р "агая, что ХУ не есть тождествен-
ства на произведение А гпред было бы тривИальное нулевое
ный нУл\(/пПрРе°д^ интереса). Дифференцируя и сокра-
щая, получим
-у2
(8.3)
Равенство (8.3) является не уравнением, а тождеством, справед-
ливым при любых z и /. Поскольку здесь левая часть зависит
только от г, а правая только от t, то единственный способ добить-
ся тождественности — это положить обе части равными некоторой
постоянной величине k, называемой постоянной разделения. Итак,
метод Фурье позволяет свести задачу интегрирования уравнения в
частных производных (8.1а) к решению дифференциальных урав-
нений второго порядка, называемых разделенными уравнениями:
т>2	= Л,	(8.4а)
Y"IY=k.	(8.46)
Запишем уравнение (8.46) в более привычном виде
-^-kY=0.
dt2
• Возникновение его связано с именами Д. Бернулли (XVIII в.), изучившим
свободные колебания закрепленной струны, и Ж. Б. Фурье, применившего этот
метод для анализа процесса распространения тепла.
104
Решения этого уравнения различны в зависимости от знака по-
стоянной разделения:
при fe>0
H*)=ach(l W)-|-i>sli(V kt),	(8.5)
где а и b — произвольные величины;
при k<0
У {t)=-acos(\. j*|/)q-fcsin(l |ф).	(8.6)
Решение вида (8.5) вследствие своей неограниченности при
должно быть отброшено.
Поэтому, обозначая ft = —о»2, имеем нужное решение
^(/)-	sinw/,	(8.7)
в котором неизвестным остается значение частоты ш.
Перейдем к уравнению (8.4а), считая, что fe = —<о2. Введем обо-
значение р = ю/и (это оправдано, так как по размерности и вели-
чине Р является коэффициентом фазы бегущей волны на частоте
w). Тогда (8.4а) примет вид
(8.8)
Получено уравнение Гельмгольца, которое должно быть допол-
нено граничными условиями
Х(0) = Х(/)=_0,	(8.9)
вытекающими из (8.1а).
Совокупность уравнения (8.8) и граничных условий (8.9) ши-
роко известны в математической физике под названием однородной
задачи Штурма — Лиувилля.
Следует заметить, что данная задача при любом значении р
имеет тривиальное решение Х = 0. Физически оно означает нулевую
амплитуду колебаний в каждой точке линии и соответствует состоя-
нию покоя при нулевом начальном запасе энергии.
Выясним следующее:
а) существуют ли такие значения р (это единственный пара-
метр задачи, который может быть изменен), при которых задача
Штурма — Лиувилля допускает ненулевые решения? б) каков кон-
кретный вид этих ненулевых решений?
Для ответа на эти вопросы запишем общее решение уравнения
(8.8)
X (г)=Дсо8?г-рВ sin '?z.	(8.10)
Очевидно, что произвольная постоянная А должна быть равна
нулю в силу условия (8.9) при z=0. Теперь остается выполнить гра-
ничное условие при z=l, имеющее вид: sinp(=O, что имеет место
при
=	(л=1,2,3,...).	(8.11)
105
Итак, существует бесконечная последовательность
пл
‘п Т ’	(8.12)
обеспечивающая отличные от нуля решения задачи
увилля.	УРМа~~ Ли-
Числа {fi„} называют
породной задачи Штурма
функции
передачи,
концов
Рис. 8.1. Собственные
(моды) отрезка линии
закороченного с обоих
„бственными значениями од.
Пих вилля. Каждому собственному
" значению рп соответствует функция
= K sin '}nz,	(8.13)
называемая	собственной
а Акцией. Наконец, с собствен-
ном значением р„ однозначно свя-
зана со б ст ве н н а я частота
U) „
п । п
i
(8.14)
Важно, что в отличие от обычно-
го LC-контура распределенная коле-
бательная система обладает беско-
нечным множеством частот собст-
венных колебаний.
физический процесс в резонато-
ре, соответствующий некоторому
значению л, носит название п-го
типа колебаний или n-й м о-
ды (от англ, mode — образ). Гра-
фическое представление нескольких
мод в закороченном отрезке линии
дано на рис. 8.1. В технических при-
ложениях наибольший интерес пред-
ставляет так называемая основная
пли низшая мода, которой соответ-
ствует значение п=1. Собственные
колебания при этом происходят с
самой низшей частотой
%кз = лг’7-
(8.15)
Пространственно-временные соотношения между напряжением
и током при свободных колебаниях резонатора. На основании пре-
дыдущего пространственно-временной закон изменения напряже-
ния для л-й моды имеет вид
i т • / л.тг \	/ л ли ,	_ \
ZZ ;2,/) = Z70 Sin I ——icosl — t—Ф01,	(8.16)
причем амплитуда и начальная фаза Фо произвольны. Чтобы
найти ток в резонаторе, воспользуемся телеграфным уравнением
dudz=—Lxdi’dtt
106
из которого следует, что
Ч*.0 =
Таким образом,
i (z, / |= —~ cos
(8.17)
Строго говоря, сюда можно добавить любой постоянный ток /0
««ж"» - прини-
Из сравнения выражений (8.16) и (8.17) следует- а) пасппепе-
« том в пространстве описывается ДиХм»
функция ли (у ел напряжения соответствует пучности тока и на-
оборот); б) как напряжение, так и ток колеблются во времени по
гармоническому закону, причем ток опережает напряжение в каж-
дой точке на четверть периода; в) амплитуды напряжения и тока
связаны множителем пропорциональное!и ZB.
Динамика изменения напряжения и тока во времени представ-
лена на рис. 8.2 применительно к основной моде короткозамкнуто-
го на концах резонатора. Явления здесь аналогичны процессам в
обычном колебательном контуре — наблюдается взаимный обмен
энергией между электрическим и магнитным полями.
Представление мод резонатора в виде суммы двух бегущих
волн. В формулах (8.16) и (8.17) можно узнать выражения для
идеальных стоячих волн в линии. Проанализируем нашу систему
несколько иным образом, допустив, что в ней существует гармони-
ческая прямая волна, распространяющаяся в сторону положитель-
ных z с неизвестным пока коэффициентом фазы
Uaf—Uoexp(—j'?z),
а также обратная волна
6\>в₽=Л(7сехр()М
Задача состоит в том, чтобы подобрать свободные параметры
А и р с целью удовлетворить нулевым граничным условиям при
z = 0 и z = l.
Нулевые напряжения на концах отрезка получаются только в
том случае, если
Д = -1,	v8.18)
3/ = пл (л=1,2, 3,...).
Итак, волновой процесс в рассматриваемом резонаторе можно
представить в виде суммы двух противоположно направленных бе-
гущих волн одинаковой амплитуды, причем коэффициенты фазы
образуют бесконечную последовательность вида рп=лл//.
Если длину волны, соответствующую n-й моде, обозначить
то последнюю формулу можно записать так;
/=лля/2.	(8.19)
107
Таким образом,.
Змм XX-aZ“a™	™Я'
«тп ппсдставлсниый простой анализ делает из»И1и
Может показаться что предст^ Штурма-Лиувилля. Однако Л"**
кропотливую процедуру Р гармонической зависимости во времени гЛ?0,
псссе ее решения Доказан факт м|-мо pan|<w|araTb ,тим результатом
с &гуш"я” 6«п ««5;
логической основы.
Рис. 8.2. Динамика электромагнитного процесса в
распределенной колебательной системе
§ 8.2. Свойство ортогональности системы
собственных функций резонатора без потерь
Представление свободных колебаний в резонаторе в виде сум-
мы отдельных мод гораздо большее, чем просто математический
прием для решения волнового уравнения с заданными условиями
на концах. Дело в том, что каждая мода является простейшим, эле-
м, нтарным видом волнового движения в рассматриваемой систе-
ме, не сводимым ни к какой комбинации других мод. Зная характе-
ре
рйстнки мод резонатора, можно любое сложное колебание пред-
ъявить в виде суммы мод. Тогда задача сведется к нахождению
соответствующих коэффициентов разложения.
1 Математическое доказательство этого факта основано на том,
что система собственных функций уравнения Гельмгольца при од-
нороД‘,ых красвых Условиях обладает фундаментальным свойством
ортогональности:
0 при //у.
(i7h / 0 при ismj.
Применительно к системе функций
(8 13). справедливость этого принципа’
становкой.
определяемых формулой
может быть проверена под-
Числовая величина
пф,и=

|/э
номеров бы;,,, равны единице. Йри эт™ Chc«„“v Ж* МОД л.ВСМ
Ц„й называют о р т о н о р м и р о в а н н о й. ПоскХ ”е"НЫХ ФуИК'
о
то система функций
<ФЛ>
(8.20)
будет ортонормированной на отрезке [0 Z]
Ортонормированные системы являются системами линейно не-
зависимых функций. Это понимают в том смысле, что равенство
«1Ф1 Ч-ОгФг + • • •	+... =0
может стать тождеством в том и только в том случае, если
ах =а2=... =ак —... =0.
Доказательство основано на том, что для последовательности
ортонормированных функций фь фг, —, фл определитель Грама, об-
разованный всевозможными скалярными произведениями,
Л —
всегда отличен от нуля.
(Ф1Ф0; (Ф1Ф2); ••• (ФА)
(Ф2Ф1); (Ф2Ф2); ••• (ФгФ*)
(Ф*Ф1); (ФЛ); ••• (ФЛ)
109

Известно, что каждая функция /(z), Удовлетворяют
резке {0, // некоторым условиям (обычно требуют суц/аЯ иа о»
интеграла от квадрата этой функции), может быть Пре_еств°Ваца
виде разложения ио системе функций {фп}:	АСТав’1Сца *
=	(г).
_	(8.2?
Данный ряд является разложением Фурье функции f
базисных функций {ф„}. Величину ап называют п-м J П° С,,СтелР
том ряда Фурье и вычисляют по формуле	К°Э<*)Ф,*ц11.5
*п«
/
“п
(8. 22,
<>
„опмированные системы функций, встречав
К;,к правило. '’I’10" 1 ’ J обладают важным свойством П0ЛН(,
шпсся в фи.....сских «Д-> •. н представления вида (8.21) Мо.
"Гэто означает, что <фМ« мал()й за счет увеличения числа
жег быть сделана сколь J
членов ряда
i
dz =0.
II 'dl
и 1
.„.„лнносги системы собственных функций
„рюнорм? I	тсор„„ резонаторов. Например,
решении ' ‘	колебаниях в резонаторе без по-
.,;1Д;1,1у о ^^11,11Ы2=/ 11Меются короткие замыкания
терь, полагая, чго при -„	, jy напряжения HIIa4(z) и тока
Считаем известными н< «	в гд VII подобная задача реше-
(ж...(г), которые заданы и>и11ТСЛЬПО к линии неограниченной
1U1 методом 1М1‘К > ‘ п. Г1пимеиим и здесь, однако неизбежный
длины. Метод Д* ;1,1, l^clllni весьма трудоемок. Гораздо лучше
учет многократных о |1 этой задаЧИ метод Бернулли, позво-
результат в замкнутой форме.
Запишем начальные условия:
i(z, 0) = („ач(^)-
Условие (8.236) можно
Хо7реХГа₽гаФть что нрн ( = 0 в каждой точке резонатора за-
дана производная
dt 11	} с{ dz
(знак обыкновенной, а не частной производной использован пото-
му, что начальный ток iua4 есть функция только от г).
('нош iво
полезно при
pact mo грим
ПО
<>
(8.23aj
(8.236)
Будем искать решение волнового уравнения в виде суммы все-
ВОЗМО*«ЫХ мод;	суммы все-
"	M/jCOSw,,/ Яя	2)
Ft —• I
неизвестными
пока коэффициентами Лп и Вп. При Г-О имеем
«(г. О)
(г. О)
01
v 8.24а)
(8.246)
умножим обе части равенства (8.21а) на функцию ф,. с произ-
вольным номером /г и проинтегрируем ио г от нуля до / Вследст-
вие ортонормированности системы (ф,,) получаем'
t
= ( «иач(-г'^(г)г/г.
6
Аналогично находим
дальним слагаемом:
t
о______1_ Г <>и(г,О)
Ь	«»* J Ot
о
амплитудный коэффициент при синусои-
% (z) dz .=--L_ С 6ft (z1 б/г.
। J dz
О
Недостатком метода Бернулли является медленная сходимость
рядов по системе соответственных функций. Его можно в значи-
тельной мере преодолеть с помощью быстродействующих ЭВМ.
§ 8.3. Более простой подход к задаче вычисления
собственных частот. Резонансные условия
Случай короткозамкнутого на концах резонатора безусловно не
исчерпывает всего разнообразия распределенных систем, в кото-
рых могут существовать собственные колебания. Наиболее общая
принципиальная схема резонатора (рис. 8.3) включает в себя от-
резок регулярной линии без потерь длиной I. на концах которой
расположены нагрузочные двухполюсники, обладающие чисто ре-
активными сопротивлениями Zn\=jXH\ и Z1I2=/Xil2.
Подобная система описывается краевой задачей Штурма — Ли-
уви.тля, причем отличие ее от аналогичной задачи из § 8.1 состоит
только в ином характере краевых условий, но не в самом уравне-
нии. Поэтому можно ожидать, что введенные здесь усложнения не
скажутся на характере свободных колебаний. Так, наша система,
оставаясь линейной, будет обладать бесконечной последовательно-
стью (спектром) собственных функций; развитие процессов во
времени по-прежнему описывается гармоническими функциями. Од-
111
нако будут наблюдаться и существенные различия
ся в ином характере распределения собственных час ЯВЛя,0Щи
т<>Р‘‘	От РезоЛ’
При решенпп прикладных задач обычно нет необхо
бегать к строгой формулировке проблемы собственны*ИМ°СТи Пп
в резонаторе. Здесь, как правило, нужна простейшая ицК°Леба,1Нй
ИИф°РмаЦИя
о процессе, а именно, точное знание
резонансных частот для некоторых
мод. Эту задачу можно решить сле-
дующим образом.
Выделим в /)ассматрнваемом ре-
зонаторе произвольное сечение / —2,
характсризукинесся координатой /0
(см. рис. 8.3). При этом мы как бы
расчленим резонатор на две подси-
стемы: одну, расположенную левее,
и другую — правее выбранного се-
чения. Пусти ) nv*') и —вход-
ные проводимости этих подсистем
соответственно, определенные отно-
сительно зажимов /—2. В нашем
резонаторе собственные колебания
характеризуются взаимным
обме-
n~n
/ut
/Uf
o.j. гезоиатор с на-
грузками на копнах
Рис. 8.4. Резонатор, разомкнутый
на одном конце:
а — принципиальная схема; б — про-
дольное распределение напряжения
для некоторых простейших мод

I Пример 1. Рассмотрим резонатор, в котором опин
я „ругой находится в режиме холостого ходаР (рис 8 4 К°не11пД0роткозамкнУт-
а методике, находим	'р с' °-4, а) Действуя по опи-
сани0*1
= lg ЗЛ1.
= 7 ctg ₽ (I — Zo).
^R
Отсюда на основании формулы (8.25) получаем резонансное условие
tg 3 Zo — Ctg ₽ (Z — /0) ------------------cosjz__________
cos₽Z0 sin P(Z —Zo)
Чтобы условие (8.27) тождественно выполнялось независимо от /„
Д11М(). „тооы электрическая длина резонатора (>,/ подчинялась условию
PZ = (л + 1/2) л («=0,1,2,...),
т. с. чтобы резонансная длина волны находилась из соотношения.
2Z
n + 1/2 (n = °. 1. 2,...).
Таким образом, данная система обладает бесконечным числом 1
распределения напряжения для некоторых из них показаны иа рис. 8.4, б. Прин-
цип построения прост стоячая волна, описывающая моду, должна
напряжения на короткозамкнутом конце резонатора и пучность на	юм
конце. Вдоль оси системы должно укладываться нечетное число четвертой резо-
нансной длины волны. Особый практический интерес представляет низшая мода
данного резонатора, существующая при л=0.
Пример 2. Во многих устройствах СВЧ применяются коаксиальные резона-
торы, нагруженные на одном конце сосредоточенной емкостью (рнс. 8.5). Пре-
имуществом таких резонаторов является простота перестройки, осуществляемой
изменением ширины емкостного зазора. Найдем спектр собственных частот по-
добного «гибридного» резонатора. В точках 1—2 имеем параллельное включение
двух проводимостей
^рез ~
(8.27)
необхо-
(8. 28)
(8. 29)
мод. Эпюры
иметь узел
на разомкнутом
ном энергией между электрическим и магнитным полями. На
ке теории цепей это сведется к выполнению —
ногэ условия;
— ЯЗЫ-
следующего резонанс-
— Ju>Ch и YдИИ = —— — etg pz.
Резонансное условие, таким образом, примет вид:
„ 1
шСн = — etg pZ.
^R
Связав электрическую длину резонатора &=(}/ с частотой со и фазовой ско-
ростью иф формулой
(8. 30)
(8.25)
омические потери, то
вид:
Заметим, что если бы в системе имелись
резонансные условия приняли бы следующий
ПпГ^ + ЬпГ^^О.
Из (8 25) или (8.26) получаем уравнения для нахождения соб-
ственных частот различных мод.
112
„	§ = ю//еф,
после элементарных преобразований из (8.30) получаем следующее трансцен-
дентное уравнение
(8.26)
^-» = ctg&,
где Са =С\1—эквивалентная емкость отрезка линии.
Пример графического решения такого уравнения показан иа рис. 8.6. Видно,
что уравнение (8.31) имеет бесчисленное количество вещественных корней, каж-
дый из которых отвечает определенной моде. Отметим, что частоты собственных
(S. 31)
113
ланий здесь уже не кратн,л ЛЖ располагается параллельно Yr ТВет<Г.
ГуюшГя^евой --и ^^/Та^рРаннь.й в предыдущем примХ.^Л
автоматически получаем у
Рис. 8.5. Резонатор с емкостной на-
грузкой на конце:
а — эскиз конструкции; б — принципиаль-
ная схема
§ 8.4. Возбуждение одномерного резонатора
сосредоточенными источниками.
Функции Грина резонатора без потерь
Используемые в радиотехнических устройствах резонаторы, как
правило, связаны с внешними цепями с помощью некоторых уст-
ройств, например небольшой петли (рис. 8.7, а) или штыревой ан-
тенны, введенной внутрь резонатора (рис. 8.7, б). Чтобы понять
особенности процесса возбуждения резонаторов, обратимся к изу-
чению упрощенной математической модели системы, как это было
сделано в гл. VI применительно к задачам возбуждения линий пе-
редачи неограниченной длины.
Далее для определенности будет рассмотрен конкретный слу-
чай резонатора без потерь, короткозамкнутого с обоих концов и
возбуждаемого сосредоточенным источником тока /0, который раз-
мещается в произвольно выбранном внутреннем сечении г=г0
(рис. 8.8).
Полученные результаты могут быть распространены на другие
конструкции резонаторов и типы возбуждаемых источников.
Для описанной системы комплексная амплитуда напряжения
должна удовлетворять дифференциальному уравнению
ZjjUz-z,').	(8.32)
(IZ*
При этом входящий сюда коэффициент фазы р==(о/Гф отвечает
некоторой произвольной частоте генератора.
114

Необходимо также выполнение
тОчках короткого замыкания:	у ВЫх граничных условий в
^(0)=6Г(/)=0.
Чтобы придать последующим пезулкт^	(8’33)
wy, будем считать амплитуду возбуждав... Универсальную фор-
f/oHl А при нулевом значении нХьной°ж°Ка ТНИЧНойе-
как это делалось в гл. VI, введем в оасгипт Фазы- Затем так же,
резонатора G(z, z0), определив ее свя е « РеНИе *ункцию грина
{образом:	с напряжением следующим
Б)
Рнс. 8.7. Возбуждение коакси-
ального резонатора с помощью
петли (а) и штыря (б)
(8.34)
Тогда для нахождения функции
Грина имеем следующую краевую за-
дачу:
(8.35)
О (0, z0) =0(1, z0) =0.
Поскольку функция Грина пропор-
циональна напряжению, а возбуждаю-
Рис. 8.8. К постановке задачи
о возбуждении резонатора
щий источник является источником тока, решение краевой задачи
(8.35) должно быть непрерывным в точке z—z0, т. е.
limt/(z0—е, z0) = limG(z0-|-e, z0),
•-►0	t-Ч)
а первая производная функции Грина в точке помещения источни-
ка должна претерпевать единичный скачок:
и dG .. dG .
11m—	— lim—	=1.
t-»O dz z0—*	*-*0 dz x0+t
Метод решения поставленной задачи основан на том, что зара-
нее известна полная ортонормированная система собственных фун-
115
кций для изучаемого резонатора. В § 8.2
стема функций имеет вид
л ' плг \)
показано, что данная Cli
(n=l,2,...).
Свойство полноты этой системы дает основание иск
цию Грина в виде функционального ряда	ать
со
G(z,z0) = V a„(z0)<l>„(z).
П- I
Функ.
(8.36;
^ение тождественно удовлетворяет Урав.
Представленное выра»ени (8.35) БО всех внутренних точКах
Гельмгольца из спстемь	при любом выборе
петонатора. за «“"’’“/Xs мере удовлетворяются граНтвЫе
Р1 Хьфициентов а.. В рав" Поэтому единственное, к ,w.
на концах Р^ Ттак подобрать коэффициента
Йду"т	ПОВеДе"ИЯ ИСК0М0Г° ₽еШеН”Я “ ™“
мсполо«нияСпсточвика	уравнение из системы (8.35).
₽ Попставим ряд (8.36) внцирование ряда допустимо в силу
двуК;^	в ряды фурье-Поэтом"
имеет место тождество.
= V а„ (г0) ^7 = - V	(Zo) (Z) ’
dz-’	aZ
" Утаенных значений данного резонатора.
гдет?к^ УРаВНеНИЯ За-
дачи (8.35) вытекает равенство.
V (Й2_р2)ая(го)Фя(2)-=-8(2:-2:о).
л-1
(8.37)
Чтобы получить явные выражения для коэффициентов ап, сле-
дует воспользоваться свойством ортогональности системы собст-
венных функций. Умножим обе части формулы (8.37) на собствен-
ную функцию фт с произвольнным номером пг, а затем проинтег-
рируем их по z в интервале от 0 до I. Воспользовавшись фундамен-
тальным свойством 6-функции, сразу находим формулу, определя-
ющую искомые коэффициенты:
-	MfoL	(8 38]

Отсюда следует окончательный вид функции Грина
П I-V	(г') Фп (^о)
О(г,г„)= V
n i
(8.39
116
и выражение для комплексной амплитчт.,
точке резонатора:	плитуды
напряжения в любой
° (V Мм*..)
Зл-32 *	(8.40)
выво-
любом
вдоль
диализ формул (8.39) „ (8.40)
дам:	о	дит к следующим
1.	При любой частоте возбуждают^
ег0 местоположении характер распоелАп° ИСТ0ЧНИка и при
ос11 резонатора определяется всей сояп^Г™ напРяжения
2.	Если источник располагается в *упностьюего мод.
ее амплитудный коэффициент становит™^6 какой‘либо моды, то
3.	Наибольший вклад в процесс дамравным нУ-пю. ’
ственное значение ₽п близко к коэфф^/ДЛ0*8’ Для кот°Рой соб-
частоте возбуждения. Если такое усло»и₽ 7^ фазы ₽ на заданной
сТО> то принято говорить о резонансно*т,вительно имеет ме-
наторе без потерь все рп — вещественные ^уждении МОДИ- В резо-
ном соблюдении резонансного условия я ла’ П0ЭТ0МУ при точ-
становится неограниченно большой Это амплитУда напряжения
гичпо резонансу в обычном колебательна ”е полностью анало-
Выражение (8.39) для функпии IГп "	контУРе без потерь,
имеет вид бесконечного ряда и поэтом^ н₽ °дномерного резонатора
недостаток этой формулы— отсутствие	Уд°бно. Основной
чить иное выражение для функции Глин* ЛЯдности- Можно полу-
похожее на (8.39), но тем не Se"	"е
шее.	тождественно с ним совпадаю-
Рассмотрим еще раз диффепенпия	„
задачи (8.35). Его решения, справедливые ПлР Внение из краевой
ках резонатора, в которых отсутствуют	внУтРенних т°ч-
юшие краевым условиям на концах имеют вид ИКИ’ И удовлетвоРя-
при z<z0	А‘
G = <Asin£z,	(8.41)
при z>z0
G = B sin 6(Z — z).	(8.42)
Входящие сюда коэффициенты Л и В должны быть определены
исходя из условий, накладываемых на функцию Грина в точке раз-
мещения источника. Для этого необходимо и достаточно выпол-
нения соотношений
A sin pz0=В sin р (Z - z0),
М cos р z0-f-^B cos p(Z — z0)=1.
Систему (8.43) следует рассматривать как два линейных алгеб-
раических уравнения относительно неизвестных Я и В. Запишем оп-
ределитель этой системы
sin pz0 — sinp(Z — z0)
pcospz0 $ cos 3 (Z — z0)
(8. 44)
Ш
Легко проверить, что	г
D^psin?/.
(8- 45)
ПриаэтомЧ?нстема (8.43) имеет единственное рещ
*
__ sin ? (I — *o)
g sin ?/
л_ sin 3*о
3 sin з/
После подстановки
для функции Грина
G(z, г0)
в (8.41) и (8-42) имеем явное
(0<z<z0),
3 sin
(z0<Z</).
3 sin 3/

выРаженце
(8.46)
Рис. 8.9. Примеры функций
Грина резонатора, короткозамк-
нутого с обоих концов:
1.2 — частота возбуждающего ис-
точника значительно меньше собст-
венной частоты первой моды; 3. 4 —
то же. для случая, когда »ти ча-
стоты близки между собой
/о 46) можно сделать вывод, что функ-
Анализируя выражение IA м двумЯ отрезками синусоиды.
([НЯ Грш а на графике изобра*	свОЙСТвО. исходя из пред.
цня * Р	давления в виде бесконечного ряда По
собственным функциям, довольно труд.
НО. Некоторые характерные случаи
поедставлены на рис. 8.9.
2 £> = о. Из формулы (8.45) следу-
йте это возможно для бесконечной
последовательности значений ₽п, удо-
влетворяюших соотношению
Рп/=пл (п = 1,2,3,...),	(8.47)
е в случае резонансного возбужде-
ния какой-либо из мод резонатора. Ре-
зонансные условия выполняются для
бесконечного числа собственных час-
I
j
I
тот
10
(8.48)
пли
Ю„ =----
Я I
Режим резонансного возбуждения
в идеализированной системе без по-
терь характеризуется бесконечно боль-
шом амплитудой колебаний, как это можно видеть из выражения
(8.46). Ясно, что наличие омических потерь в системе приводит к
конечным амплитудам даже на резонансных частотах.
1 118
§ 8.5. Влияние омических пото
собственных колебаний в везв^."® ХаРактеР
Понятие комплексных со6?твенных₽^Стот
Предположим, что распределен.,^
счет действия каких-либо внешних иЛ КОлебательная система ,я
рый начальный запас энергии Э ”СТочник°в приобрела некото-
сама себе. В этом случае в резонТторе^ож^т"^1116” пРед°ставлена
конечная совокупность его мод Ими и быть возбУЖдена бес-
нальности, не ограничивая общности б™!”ДУ свойство их ортого-
деннои оказалась лишь некоторая моля^ П0Лагать, что возбуж-
В1Ш потерь в системе полная энергия НОМеРом « При отсутст-
лексная амплитуда напряжения в КА„/Д неизмвнной, а комп-
отвечать монохроматическому колебатЛ^ Т°Чке Рез<>натора будет
чей волны, происходящему на собстХ^Н-°Му пРОЦессУ типа стоя-
мгиовенное значение напряжения ннои частоте Wn. При этом
:Re(Z7(2)e/V)_
Допустим теперь наличие в резонатор и	( 49)
потерь. Источником их могут быть n-nntP некоторых омических
ная проводимость токонесущих узлов ЧНЫе Факторы: неидеаль-
ка. сопротивление контактов, влияние’ "есовершенство диэлектри-
ченны.х к резонатору и т. п. Резонттпп гешних устройств, подклю-
ляется линейной колебательной системой °тУе₽ЯМИ по‘пРежнему яв-
полностыо справедлив фундаментальный ОТНОШению к которой
энергии приводит к экспоненциальноми . пРИнрвп ~ диссипация
колебаний во времени. Таким образомУ УМеН‘дШениЮ ™"литуды
резонатора с потерями имеем Р ’ еСТ° ФормУлы (8.49) для
“<"•')= Кеф(г)е-"’.е’"»'),	>8.50)
где Тп — постоянная времени п-й мп™ „
т*	'	И МОДЫ В ДЗННОМ Г) О Чои я
То, что круговая частота п-й малы п „ резонаторе.
знамена как ш„', указывает на некоторое откммше’Трнода сов
ственных колебании от того, который вмел место в системе ёз по-
терь. Подобное явление известно из соответствующего раздела
курса теории цепей.	раздела
Выражение (8.50) можно формально привести к виду (8 49) с
помощью широко распространенного приема. Полагаем собствен
ную частоту н-и моды уже не вещественным, а комплексным чис-
лом, записываемым следующим образом:
$.51)
Если .еперь подставить вщ на место (On в формулу (8 49) то
получим
tt(z,/)==Re((7(z)e-“’r
Отсюда следует соотношение
wn =
(8.52)
119
лннм.дяюшес связь между мнимо» частью комплексной соГ>сТВе„.
' X » постоянной времени рассматриваемой моды.
Из рнс™ Ю изображена ось вещественных частот ш, на Котору
отмечего несколько точек и,. ...отвечающих собственным ,а‘
стотам мод я резонаторе без потерь. Для описания резонатора с
Потерями «обходимо ввести в рассмотрение плоскость комплексны,
Частот Важно отметить, что собственные частоты резонатора с по.
«рями изображаются точками, лежащими лишь в верхней полу.
*	1 * * * * * * В	плоскости Im ш>0. „Действительно
-   — ✓А X Т Г Т Т ИГ I Х-Ч	W-T О
JU“\
4
4
s
i
к
____к.
ы, U2 (‘>j
о
Рис. 8.10. К понятию комплекс-
ных собственных частот
отрицательность ып привела бы к
отрицательному значению постоян-
ной времени тп и, следовательно, к
экспоненциальному нарастанию ам-
плитуды колебаний во времени. По-
добная ситуация имеет место лишь
в активных системах, получающих
энергию от какого-либо внешнего
источника. Активные системы здесь
не рассматриваются, однако следу-
ет иметь в виду, что резонатор с
пасппслсчспнымп отрицательными потерями является удобной ма-
тематической моделью для описания явлении в распределенных
автоколебательных системах, например лазерах.
На рис. 8.10 изображены пути изображающих точек при увели-
чении затухания в резонаторе.
Обычно изучают колебательные системы с малым затуханием,
когда величина энергии, рассеянной за период собственных коле-
баний. составляет лишь малую часть от полной запасенной энер-
гии. С точки зрения метода комплексных частот утверждение о ма-
лости затухания эквивалентно выполнению неравенства

В первом приближении наличие малых потерь
вается на периоде собственных колебаний, т. е.
никак не сказы-
«)„—wn.	(8.53)
Чтобы определить мнимую часть комплексной собственной ча-
стоты или, что то же самое, постоянную времени л-й моды, вос-
пользуемся следующими соображениями. Поскольку любые энер-
гетические величины квадратично связаны с напряжениями и тока-
ми, можно записать закон изменения во времени полной электро-
магнитной энергии, присутствующей в резонаторе:
_2£
(8.54)
где Зпо — первоначальная энергия л-й моды, отнесенная к моменту
времени /=0.
120
Предположим, ЧТО МОЖНО ВЫЧИСПИтк
терь РппоИО В любой момент времени />0ИВедичииаМОЩИОСТЬ °°’
Р — 1
^Лпот— ~~ Рпвот (/)<//
п о
будет представлять собой в этом случае мппш^ п
ную за период колебаний Тп. В cunv ”°щность ПотеРь, усредиен-
должно выполняться соотношение У °"а сохРанеиия энергии
d^nCit ^лпот	(8.55)
тя=2Эл'Р„1ЮТ.	(8 56)
В последней формуле усреднение следует производить по перио-
ду колебании, включающему в себя зафиксированное значение t,
при котором был определен запас энергии Эп.
В физике и радиотехнике колебательные системы часто харак-
теризуют добротностью Q, которая в нашем случае связана с по-
стоянной времени следующим соотношением:
<2„=лтл7„.	(8.57)
В качестве примера рассмотрим задачу нахождения добротности
л-й моды в резонаторе длиной I, короткозамкнутом с обоих концов.
Для учета потерь полагаем отличными от нуля погонное сопротив-
ление и погонную проводимость 6'ь Считая, что потери малы,
закон изменения напряжения вдоль координаты z выберем таким
же, как и в невозмущенной системе без потерь:
t7(z)=l/osin(^j,
откуда на основании одного из телеграфных уравнений находим
комплексную амплитуду
тока
можно несколько упростить, зная, что
Последнюю формулу
собственное значение рп=лл// связано с частотой собственных ко-
лебаний о)п соотношением $n = tonlv. Тогда
;, \ JUo I пяг \
/ («)=~r2-cos (—7“ Г
Для вычисления запасенной энергии примем во внимание, что
напряжение и ток в резонаторе сдвинуты во времени на фазовый
угол 90°. Поэтому если напряжение достигло максимума, то ток
6-2910	121
обращается в нуль и вся энергия, запасенная в резонатоп
иметь чисто электростатический характер:	₽е» буце
о
т
(8.58)

где Сх — полная емкость отрезка линии, образующего резона
Итак, энергия, запасенная в резонаторе, не зависит от номепаТ°^
ды и в два раза меньше, чем энергия, запасенная в поле конде
тора, заряженного до напряжения Uq при той же общей емко*^
Через четверть периода энергия в системе приобретаетСТИ
энергии магнитного поля:

вид
о
Результаты расчетов по формулам (8.58) и (8.59) совпадают
Чтобы определить мгновенную мощность потерь, запишем вы
ражения для мгновенных значений напряжения и тока:
un{z,t)=u() sin /—— I COS
. z	Un / nnz \ .
I-(z, t)— —cos /------- Sin w.t.
zH { I ]	"
(8.60)
Отсюда получаем
^ЛПот« =
4 О	9	UnlGi	U^IR,
= f [un (z, /) G, -I-/; (z, /) /?,] dz = —-— cos2a>„/4-—~ sin2u)nt
v	°
Интегрирование по периоду собственных колебаний Тп~2ц/а
и усреднение дает следующее выражение для средней мощности
потерь:
- U20GJ UlRd U2 .	,ч
^лпот — ~ И 72	7“	»	(8. 61)
4	4Zr 4	4	*
где /?£ и С£ — полные активные сопротивление и проводимость по-
терь.
На основании (8.56) получаем выражение для постоянной вре-
мени п-й моды:
2CZ
Gz+Rz!Z2 *
(8.62)
Отметим, что постоянные времени одинаковы для мод с любы-
ми номерами. Этого можно было ожидать, поскольку в рассматри-
ваемой одномерной колебательной системе можно говорить о за-
122
пасенной энергии и мощности потепь пп
длины.	Потерь’ приходящихся на единицу
В формуле (8.62) числитель и зиям™,
одинаковый множитель I и тогда "именатель сокращаются иа
Тя==-------2_____
откуда вытекает простая формула для добротности:
__ ля
" г
+ R\Ci
(8.63)
В гл. I была выведена формула лля
линии с малыми потерями	ффициента ослабления
a=-^L_|____Lq 7
2ZB + 2
С учетом этого, проделав в уравнении (8.63) несложные преоб-
КГв";СЛеДУЮЩ“ вь,раже1№ лобротностиПр«о-
(8.64)
Пример. Предположим, что резонатор, работающий на основной моде
(п=1), выполнен на основе линии передачи с погонным затуханием Д=0,15 дБ/м
н настроен на длину волны АРез=20 см (fpea=l,5 ГГц). Длина резонатора при
этом составит 10 см (считается, что заполнение линии воздушное). Ослабление
в линии на участке, равном длине резонатора,
10,15-0,1
=0.0017 Нп,
0,000
откуда по формуле (8.64) находим добротность Q=910.
Следует отметить, что добротность распределенных колебатель-
ных систем в СВЧ-диапазоне существенно превосходит добротность
обычных колебательных контуров, образованных сосредоточенны-
ми элементами.
Из формулы (8.64) следует, что добротность резонатора линей-
но нарастает с увеличением номера моды. Однако фактически этот
рост происходит гораздо медленнее из-за неизбежного увеличения
коэффициента ослабления а на больших частотах (при фиксиро-
ванной длине I резонансная частота тем выше, чем больше номер
моды).
§ 8.6. Входная проводимость резонатора
вблизи резонансной частоты
В различных радиотехнических устройствах резонаторы, так же
как и колебательные контуры, часто включаются по схеме двухпо-
люсника. Рассмотрим распределенную колебательную систему,
изображенную на рис. 8.11. Здесь входные зажимы удалены на
расстояние 10 от левого короткозамкнутого конца резонатора. Вы-
6*	123
числим входную проводимость устройства, предположив, что линия
передачи, образующая резонатор, обладает некоторыми потерями.
Данная входная проводимость представляет собой сумму проводи-
мостей двух короткозамкнутых на концах отрезков:
Гвх=у(1)4-т	(8.65)
где
K(i) = — cth \l0,
ZB
Г(2) =— Cth Y (/рез — /0)-
ZB
(8.66)
Для упрощения расчетов предположим, что погонные потери в ли-
нии малы, так что волновое сопротивление ZB приближенно можно
считать вещественным числом.
Известно, что
с«.(х+7У)=	(8-67)
причем для малых х приближенно cthx~l/x.
Таким образом, при любой длине короткозамкнутого отрезка /,
удовлетворяющей условию а/^1, имеет место формула
clh(a/+yW~	•	‘8-68>
Это выражение можно несколько упростить, полагая, что мни-
мая часть знаменателя мала по сравнению с единицей. Тогда, от-
брасывая члены порядка (а/)2 и выше, получим
cth (а/ ф-ypZ) (а/—j ctg ?Z) (1 ф-yaZ • ctg ?Z)	al (1 -J- ctg2 ?/) —
- j ctg pZ ~	- j ctg 3/.	(8.69)
Теперь, обратившись к формулам (8.65) и (8.66), запишем
~ gex 7^вх>
где активная gBX и реактивная 6ВХ составляющие входной проводи-
мости выражаются через параметры системы следующим образом:
g« = — [ —ф--------------------------/|,e3~Z°--1	(8. /о)
“ ZB [sin2 3/0 Sin2 3 (/рез- Zo) J	'
b^ = -~ [ctg % Ф-ctg ? (ZPe3 - Z0)J.	(8.71)
^B
На резонансной частоте реактивная часть входной проводимо-
сти будет равна нулю, поскольку
ctg%-bctg3(Zp;3-Z0) =
sin ?Zpe3
sin P/o-sin 3 (Zpe3 — Zo)
= 0.
124
Величина вещественной части вхолм •
ильной мере зависит от положения точекп™„В°ДИМОСТИ в значи-
к внешним цепям. Так, если точки подклю«^ЛЮЧеНИЯ Рез°натора
ности стоячей волны, т. е.	одключения находятся в пуч-
sinp/o=sinp(Zpe3_Zo)==b
-ТО ^Вх=а^рез/^в И поэтому резонансное сопротивленио
дет весьма велико:	рот явление системы бу-
/?Рез= —=-£»_
^ВХ ^рсз
Таким образом, в окрестности резонансной частоты
ближенно отождествить распределенную колебател ™ую сн“еи
известным из теории цепей параллельным колебательны™ У
ром.
(8.72)
можно при-
J с
конту-
Рис. 8.11. Схема резона-
тора, включенного как
двухполюсник
^внешним цепям
Рис. 8.12. Пример конструкции
коаксиального резонатора:
1 — поршень; 2 — скользящий кон-
такт; 3 — петля связи; 1 — конст-
рукция настройки
Важно отметить, что в соответствии с формулой (8.70) переме-
щение точек подключения резонатора позволяет, не перестраивая
его, изменять величину резонансного входного сопротивления.
В этом смысле такая система эквивалентна широко применяемому
в радиотехнике колебательному контуру с неполным включе-
нием.
На рис. 8.12 представлен эскиз конструкции коаксиального ре-
зонатора, используемого в радиотехнике СВЧ на волнах децимет-
рового диапазона.
Задачи и упражнения к гл. VIII
8.1.	Оптический лазер, работающий на длине волны Х=0,6328 мкм, содержит
резонатор, образованный двумя плоскопараллельными зеркалами с расстоянием
между ними 600 мм. Найти порядок величины номера моды, существующей в
таком резонаторе.
Ответ: п~ 1,896-10*.
125
8.2.	Каков частотный интервал между’Двумя	«°Дами £ е. Мо.
дамп, номера которых отличаются на ед.ШУ) в резон ре лазера, описанНО14
в задаче 8.1?
si "Г	'„Г." STSXbST.
регулярной линии мрелачя »ш°" 'у “с£в«т формулы.’ опршеляющге’0™1'»
концы линии соединены между собой, вь v н i	щне рез0.
НаН<8.4.е KoporeValX^^	линии передачи включ_с» па₽^лельно Кон.
денсатору емкостью 15 пФ. Волновое сопротивление линии 75 Ом. Какова д0Л)к
на бГтьРд™ отрезка, чтобы обеспечить условие резонанса на частоте 600 М?ц
(диэлектрик — воздух)?
8	5 Резонатор представляет собой соединение двух короткозамкнутых
резкоес длинами /, и Z2;
определяющее всю совокупность резонансных частот в такой системе.
Ответ: коэффициент фазы fi на резонансной частоте
рять уравнению
От-
_ „______ ....	-	„	... "мппаковы
волновые сопротивления равны Zbi и Zt>2 соответственно. Вывести уравнение’
волновые coiipouiDJic и „ропнансных частот в такой системе.	•
ределяющее всю совокупность резонансных	птжеи
должен удовлетво-
7
tgpzi_
tg ₽Z2	Z»1
8.6.	Отрезок линии передачи длиной 45 см закорочен с
нем возбуждены колебания на второй моде. т. е. при п=2.	. _
нне добротности Q=3700. Найти коэффициент ослабления в линии.
Ответ: а=0,00189 Нп/м.
8.7.	Закороченный с обоих концов отрезок линии передачи имеет дЛИн
30 см. Волновое сопротивление 200 Ом, коэффициент ослабления 0,025 Нп/
Найти резонансное значение входного сопротивления системы при подключен^
внешних цепей к центральному сечению резонатора.	ии
Ответ: ^рез=26,7 кОм.
8.8.	Как изменится резонансное сопротивление в условиях предыдущей
дачи, если входные зажимы будут располагаться на расстоянии 5 см от
Ответ; /?реэ=6,7 кОм.	Ца'
обоих концов и В
Измеренное знаЧе
Глава IX
НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
§9.1. Общие сведения
Рис. 9.1. Ступенчатый (а) и
плавный (б) переходы меж-
ду линиями передачи с раз-
ными волновыми сопротив-
лениями
До сих пор рассматривались регуляпм^ „
рактерные тем, что их параметры, так^е как™™ Передачи’ ха'
ность и погонная емкость, считал™». ’ КаК погонная индуктив-
S линии. Введение в	сече-
нарушает ее регулярность. Нерегулярные SL^oS'’’’0™0""
каскадным включением отрезков perv темы’ образованные
лярных линий, обладают полезными в
практическом отношении свойствами Од
пой из таких конструкций является со
гласующий четвертьволновый трансфор-
матор, который был рассмотрен ранее
Чтобы повысить качество согласова-
ния, т. е. добиться минимального коэф-
фициента отражения в более широкой
полосе рабочих частот, целесообразно
увеличивать число последовательно вклю-
чаемых согласующих секций при одно-
временном сокращении перепадов волно-
вого сопротивления между соседними
секциями. Получающаяся при этом кон-
струкция согласующего устройства пред-
ставляет собой нерегулярную линию
со скачкообразным изменением погонных
параметров. Это широко распространен-
j.--------------....
ступенчатый переход между двумя линиями передачи (рис 9 1 al
Качество работы перехода будет повышаться с ростом чмла crat
(рис.
согла-
ныи в радиотехнике сверхвысоких частот
пек. В пределе получаем плавный согласующий переход
9.1, б), которой должен обеспечивать наилучшее качество
сования.
§ 9.2. Дифференциальные уравнения линии передачи
с плавным изменением погонных параметров
Чтобы иметь возможность вычислять и анализировать любые
внешние характеристики нерегулярных линий передачи, нужно в
рамках принятой формальной схемы описания найти общее реше-
ние системы однородных телеграфных уравнений с переменными
коэффициентами
127
AL^-zdzyL
dz
^L^-Y^zyU.
dz
(9.
nn отношению к заданным функциям 2|(г\
Предположим, что по непрерывности и дифференцируемо,
и KUz) выполнены требов	необ£одимым, требования медленно-
сти, а также, когда эт У	изучен в § 9.4).
сти изменения (этот с У сведена к единственному уравнению
Система (9.1) может	либо относительно тока. Для это-
либо относительно "а"Ря*'н ° ат. уравнения (9.1а):
го продифференцируем вначале обе части уя
dW'
dz?
dZx i-zy —
dz	dz
и учтем, что
1 dU
Zx dz
Принимая во
внимание тождество
(dZJdzyZ,
d In Zt
dz
получим окончательное уравнение, которому должна удовлетво-
рять комплексная амплитуда напряжения в нерегулярной линии
передачи
ALL___rflnZU ,-^-Z^L^O.	(9 2)
dz2	dz	dz	7
Аналогично	из (9.1)	может	быть выведено дифференциальное
уравнение, описывающее пространственную зависимость	комплекс-
ной амплитуды тока:
—-----LLLl	.AL.-z\Yj=Q.	(9.3)
dzt dzdz	'	'
Линейные дифференциальные уравнения (9.2) и (9.3) по физи-
ческому смыслу аналогичны уравнениям Гельмгольца в теории ре-
гулярных линий. В предельном случае неизменных погонных пара-
метров коэффициенты при первых производных в (9.2) и (9.3) об-
ращаются в нуль, так что эти уравнения превращаются в обычные
уравнения Гельмгольца. Можно сказать, что волновые процессы
в нерегулярных линиях передачи описываются обобщенными урав-
нениями Гельмгольца.
Безусловно, нет необходимости решать оба уравнения (9.2) и
(9.3). Если найдена, например, комплексная амплитуда i7(z),
служащая решением (9.2), то комплексная амплитуда /(z) может
быть получена дифференцированием в соответствии с телеграфным
уравнением (9.1а).
128
Следует иметь в виду, что с переходом
ний нерегулярной линии к обобщенным Упя7иеЛеГраФНЫх УРавне-
заДача HIJ в коеиЛеРе не Упрощается TnvT ениям Гельмгольца
чт0 линейные дифференциальные упав, f? заключена в том
(9.2) и (9.3) имеют коэффициенты,завнсяши₽Т°Р°ГО ПОрядка вида
ременной г. Математические приемы к 77	независимой пе-
днть замкнутые выражения для решениеЖ П03В0ЛЯли бы нахо-
неизвестны и, по-видимому, их не cvuierrSтаких уравнений,
получены лишь в некоторых частных слдХ; JfTPor«e Решения
пользовать достаточно мощные приближ₽..7 Однако можно нс-
всегда имеются практически неограничени7е Методы н’ наконец,
решений численными методами с помош1,о |рмРТ1еКТИВы поиска
путь особую роль тех частных случаев Тп» v М' НУЖио подчерк-
ни известны, поскольку они выступают ?Л°ТОрЫх стР°тие реше-
точности разнообразных приближенных и эталоны при оценке
На классическом примере проана тзпп7 ,СЛениых методов,
передачи, допускающую строгое решени£Уг7НереГуЛЯрНую линню
решающие предположения-	‘ ^делаем некоторые уп-
Омические потеря в лнн„и „тсутствуют. , е Rl=Gi=()
Z, (z)=ywi1(z); Г,	(г).
2. Произведение Z,Y,=const и не зависит от координаты г Это
условие обеспечивает и каждом сечении лини» неизменную вели
чину локальной фазовой скорости	сиоменную вели-
V —	1
фЛОК-- - г-, , ' _	.
) ^1(г)С1(г)
(9.4)
Обратившись к примерам отдельных линий передачи, изученных
в гл. II, убедимся, что при изменении геометрических характерис-
тик поперечного сечения условие (9.4) будет выполнено.
Для более общего случая нерегулярной линии, в которой пере-
менными вдоль z являются параметры г и ц, второе из поставлен-
ных условий, как правило, не будет справедливо.
§ 9.3. Нерегулярная линия передачи экспоненциального типа
Нерегулярная линия передачи является линией экспоненциаль-
ного типа (или просто экспоненциальной линией), если ее первич-
ные погонные параметры зависят от продольной координаты сле-
дующим образом:
Z1(z)=Z.10e-«2; C1(z)=C10e’2,	(9.5)
где Lio и Сю — значения соответствующих параметров при z=0.
Условие (9.4) здесь безусловно выполняется.
Коэффициент q, который может быть как положительным, так
и отрицательным, показывает в логарифмическом масштабе ско-
129
рость изменения параметров линии вдоль продольной координаты.
Поскольку здесь
^=/<йЛоехр(—
то
d \Y\Zi<dz=—
и обобщенное уравнение Гельмгольца для экспоненциальной линии
приобретает вид
0.6)
dz? dz
где ₽О=«УЛ1ОС1О—коэффициент фазы в линии на заданной часто-
те (напомним, что по предположению фазовая скорость, а следо-
вательно, и коэффициент фазы вдоль линии неизменны).
Линия экспоненциального типа в известном смысле уникальна,
так как описывающее ее уравнение (9.6) очень просто по своей
структуре,— оно содержит лишь постоянные коэффициенты. Общий
интеграл такого уравнения имеет вид
U(z)=A^-]-A2e'*z,	(9.7)
куда входят две произвольные 'комплексные постоянные.^! и Л2, а
также числа и Х2, являющиеся корнями характеристического
уравнения
т. е.
±>/f«-(f)2.	М
Характерный вид формулы (9.7) позволяет отождествить каж-
дое из двух слагаемых в правой части с волной, распространя-
ющейся либо в прямом, либо в обратном направлении. При этом
корни xi,2 играют роль коэффициентов распространения для этих
волн.
Отметим, что хотя омические потери в экспоненциальной линии
отсутствуют по предположению, коэффициенты распространения
(9.8) комплексны, что свидетельствует об экспоненциальном изме-
нении амплитуды колебаний вдоль оси г. Например, волна вида
U (z)=Uve 2 ехр / j/"₽о — -у
распространяется в сторону возрастания г, и если <7>0, то ампли-
туда колебаний уменьшается по мере движения волны. Чтобы по-
нять это явление, найдем соответствующий закон изменения ком-
плексной амплитуды тока
130
1 dU
-1 dz
'У*-?
Uo
е2ехр(_;>/,
откуда следует, что для экспоненциал!и^г	4 '
пряжения в бегущей волне ведет к Л? линии Уменьшение на-
прячем такому, что величина средней ™eTCTByKWMy росту тока
гущей волной вдоль линии, постоянна* ЩНости’ переносимой бе’
PcpeA=YRe(67/)=Const
Таким образом, экспоненциальная линия
ройство, осуществляющее трансфопмав™ Р ДСТавляет соб°й уст-
жений. В отличие от обычного транс*Х”УР0ВНеЙ Т°К°В И напРя‘
тротехиики, этот процесс носит посетил J.T’ ИЗВестно™ из элек-
характер. В зависимости от знака паоамртпо ННо’распРеДеленный
матор может быть как повышающим tZ I S волновой трансфор-
Обратим внимание на следующее об™ ПониЖающим.
фазы для линии экспоненциального типа Ятельство- Коэффициент
(99)
.чается от величины „ поэтому истинная
Г«21иС’10-,!/4	(9- 10)
несколько отличается от локальной фазовой скорости, введенной в
соответствии с формулой (9.4). Более того, из (9.10) вытекает, что
фазовая скорость зависит от частоты, что свидетельствует о нали-
чии частотной дисперсии, несвойственной регулярным линиям без
потерь.
На достаточно низких частотах, когда р0<|<7|/2, коэффициент
фазы в экспоненциальной линии становится мнимым, а это, как
известно, означает, что колебательный процесс в такой линии пере-
стает носить волновой характер. Такая нерегулярная линия выпол-
няет роль фильтра, пропускающего высокочастотную и задержи-
вающего низкочастотную составляющую спектра передаваемого
сигнала.
Однако для радиотехнических приложений гораздо более важен
другой частный случай, характеризущийся обратным неравенством
₽о» | <71/2 или, что то же самое, |q\Х<С4л. Линия передачи с таки-
ми свойствами имеет малое относительное изменение погонных па-
раметров на участке порядка длины волны. Для этого случая
*1,2 ~----------- ± А-
131
Как упоминалось, любой волновой процесс в экспоненциальной
линии передачи может быть представлен суммой двух волн, рас.
линии пер Д в противоположных направлениях; назовем Па.
которая распространяется в сторону увеличения
пространяющихся
дающей ту волну,
z. Таким образом,
(9.11)
(9.12)
(9.13)
г/оТр=^ооТре-Техр(/Ы-
Способом, указанным ранее, находим соответствующие ком-
плексные амплитуды токов
/пад^-^5- е? ехр(-/М>
ZrO
^Оотр Ц Z-R >
/отр=----— е - exp(/₽oz).
^вО
Здесь Zb0=4 T-io^io- локальное значение волнового сопро-
тивления, соответствующее точке z=0.
Предположим теперь, что в некотором произвольном сечении с
координатой z=t, включен нагрузочный резистор 7?н. При этом дол-
жно выполняться следующее условие:
п	е 2 [^опаде-уроС+^Оотре/₽»С]
н-/ю *
“7“ [^01.аДе-7РоС — t7ooTpe7₽oC]
zb0
В общем случае нагруженной экспоненциальной линии нужно
учитывать как падающую, так и отраженную волны. Однако из
формулы (9.13) следует, что имеется один частный случай, когда
/?„=ZBOe-^.	(9.14)
При таком выборе сопротивления нагрузки возможно удовлет-
ворить равенству (9.13) тождественно при любых £, полагая
оотр=0.
Итак, отрезок плавной экспоненциальной линии передачи мо-
жет служить согласующим устройством, которое позволяет прак-
тически избежать отражений при чисто активном характере на-
грузочного сопротивления. Для этого достаточно выбрать параметр
ZbO”равным волновому сопротивлению основной питающей линии.
Действительно, входное сопротивление отрезка экспоненциальной
линии, нагруженной на резистор, сопротивление которого опреде-
ляется формулой (9.14), чисто активно и равно ZB0.
Ход решения задачи синтеза экспоненциального согласующего
устройства (перехода), предназначенного для согласования рези-
стора ан и регулярной линии с волновым сопротивлением ZB лот»
следующий:
132
Hof?LXaXlX43eHyHcХЛяНОВОГО -Р-в-ния экспоненциал
Z„0=Z	•
ВЛцН’
2) считая заданной длину / экспоненциального участка в соот
ветствии с (9.14) определяем параметп а пппипХ,С ’
Ющий конструкцию данной нерегулярноЛинии:	хаРактеризу-
q = ~ In^L •
1 Ъ
(9.15)
3) проверяем выполнение условия <7<р0; если оно оказывается
несправедливым, то длину перехода увеличиваем. 0казывает<;я
на h=0,5 мм, волновое сопротивление Z = 40 Ом п е ее толщи‘
экспоненциального перехода, обеспечивающего на рабочей0™.? воТыТ-
= 7,5 см согласование с нагрузкой /?н = 30 Ом	* длине волны л=
.„Kpo“SZ’a„S^r^	™	-роти™
120 л
^R -- _ Г-
(9.16)
Подставляя сюда исходные данные, находим ширину полоски
нии передачи
основной ли-
= 1,192 мм.
t 120-3,1416-0,5
Ъ — -------------
50/10
Коэффициент фазы в линии (с учетом влияния диэлектрика)
„ 2л /ё	1
₽ = —/— = 0,2649 — .
А	ММ
Зададимся длиной экспоненциального участка /=100 мм и в соответствии
с (9.15) найдем
1
а = — In
4	100
= 0,0051 —
мм
откуда видно, что данная линия действительно может считаться плавной, по-
скольку <7<С|3.
Поместив начало координат в том сечении, где основная линия подключается
к экспоненциальному переходу, имеем следующую формулу, представляющую
собой закон изменения локального волнового сопротивления:
Ив(г) = 50ехр(—дг), Ом.
(9.17)
Переменного по длине волнового сопротивления проще всего добиться, изме-
няя ширину полоски. Для нахождения функции Ь(г) воспользуемся формулами
(9.16) и (9.17):
120л	h
—- - —— = 50 ехр(-?г),
У е	b(г)
откуда
6(г) =
12лЛ
——ezp(qz),
5у«
133
или после подстановки численных значений
6(z)« 1,192 ехр (0,0051*),
Рис. 9 2 Чертеж экспонен-
циального согласующего пе-
рехода между двумя полос-
ковыми линиями передачи
(все размеры даны в мм)
гле крага	-и»----»
Условие плавности перехода приводит к достаточно большой длине коиструКЦя
иоже,
согласующей секции должна расти прямо про!
поринонально рабочей длине волны.
Если отказаться от требования
плавности изменения погонных пара-
метров, то возникает ряд дополнитель-
ных эффектов. Прежде всего волновое
сопротивление такой линии передачи
есть комплексная величина (в качест-
ве упражнения предлагается вывести
формулу ДЛЯ ВОЛНОВОГО сопротивле-
ния). Поэтому идеальное согласование
при чисто активном характере нагру3.
ки становится невозможным.
§ 9.4. Волны в нерегулярных линиях передачи
с медленным изменением погонных параметров
Часто возникает необходимость приближенного интегрирования
системы телеграфных уравнений (9.1) или обобщенного уравнения
Гельмгольца (9.2). Оказывается, что приближенное решение дей-
ствительно можно найти в случае, когда погонные параметры ли-
нии являются медленными функциями координаты z. Точный смысл
условия медленности заключен в том, что относительное изменение
параметров Zt(z) и Yt(z) на отрезке длиной Л должно быть вели-
чиной, гораздо меньшей единицы. Легко проверить, что это условие
эквивалентно следующим неравенствам:
(9.18)
dz	dz	'	'
Процессы в такой нерегулярной линии должны быть сходны с
аналогичными процессами в регулярной линии. Исходя из этого,
будем искать решения системы телеграфных уравнений (9.1) в ви-
де произведений медленно меняющихся амплитудных множителей
на экспоненты с мнимым показателем:
£/(z) = t/0(z)eM*),
/ (z) = /0(z)e'?<4
(9.19)
Если подставить (9.19) в (9.1) и сократить на общие множите-
ли, то
-L (70 = —Zj/0,
7? V о + А) = — Г^о-
(9.20)
134
(a)
(6)
1'0»
l^0.
(9.21)
С учетом Уровня медленности отбросим в левых частях (9.201
производные Г о и /0, положив их малыми. При этом получаем
систему двух укороченных телеграфных уравнений
/?70=-Г1с
В эти уравнения входят три неизвестные функции, поэтому они
должны быть связаны одним Дополнительным соотношением.'Раз-
делив уравнение (а) на (б), исключаем величину <р' и находим, что
) /'t У ~ ±Ze(z),	(9.22)
т. с. в рассматриваемой линии наблюдается непрерывная трансфор-
мация уровней тока и напряжения в соответствии с локальным за-
коном изменения волнового сопротивления. Поэтому в рамках рас-
сматриваемого приближения какие-либо отражения в линии от-
сутствуют.
Теперь найдем фазовую функцию ц(г). Умножив (9.21а) на
(9.216) и сократив на общин множитель, получим
'/=±>1
откуда
?=±/
Смысл полученной формулы состоит в том, что результирующий
фазовый сдвиг получается суммированием всех элементарных фа-
зовых сдвигов. Столь простой характер решения — следствие пре-
небрежения локальными отражениями.
Закон изменения амплитуд Uo и /о может быть найден из энер-
гетических соображении. Действительно, поскольку переносимая
мощность в линии без потерь и без отражений постоянна в любом
сечении, то U0I0— const.
Отсюда с учетом (9.22) получаем
Ц>(г) —const v^Zj/K,,
4—	(9.23)
/0(z)=const I YX!ZX.
Изложенный метод приближенного решения дифференциальных
уравнений с медленно меняющимися коэффициентами широко при-
меняется в разных областях физики. Например, в квантовой меха-
нике его называют методом Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна
(сокращенно метод ВКБ).
В ряде радиотехнических задач встает проблема создания плав-
ных переходов, обеспечивающих малый уровень отражения в до-
статочно широком диапазоне рабочих частот. Метод, рассмотрен-
ный ранее, не учитывает явления, связанные с отражениями. По-
этому необходимо сформулировать концепцию, которая позволяет
учесть отражения хотя бы приближенно. Сущность ее заключается
в следующем: отрезок нерегулярной линии рассматривается как
предельный случай ступенчатого перехода при неограниченном со-
135
кращении длины отдельных ступенек. Хотя возникающие ЗДесь
локальные отражения бесконечно малы, но, будучи просуммирова.
ны по всей длине согласующего устройства, они приводят к конеч-
ной величине коэффициента отражения от перехода.
Пусть нерегулярная линия передачи описывается заданной функ-
цией ZB(z). Выберем некоторое сечение г=2о» которое будет слу-
жить входом для малого отрезка линии длиной Дг. С точностью д0
величин порядка (Az)2 волновое сопротивление на выходе
ZB (^0 + Д2:) ~ (Zo) 4	^Z‘
Если теперь заменить рассматриваемый отрезок плавной линии
сочленением двух регулярных линий с	“паження ‘"’ЯМИ
ZB(z0) и ZB(z0+Az), то локальный коэффициент отражения
.	, Zr(zq + Az)-Zb(2-q)	___1----^_дг~
Олок(^о) zu(Zo+Az)+ZH(zo) 2ZB(ZO) dz
____1_ d lnZ„
~ 2 dz
(все производные вычисляют в точке z=Zo).
Пусть параметры линии меняются по координате z столь плав-
но, что амплитуда падающей волны вдоль перехода практически
постоянна. Предположим, кроме того, что волны, возникшие вслед-
ствие локальных отражений, достигают входного сечения перехода
и складываются там, не испытывая на всей длине перехода явле-
ний типа многократных отражений.
Оба допущения выполняются тем точнее, чем более плавным
является переход. Устремляя к нулю величину Az и учитывая фазу
отраженных волн, возникающих в каждом сечении линии, получим
следующую формулу для расчета коэффициента отражения на вхо-
де плавного перехода длиной /Пер, идеально согласованного на вы-
ходном конце:
а = -L	er&*dz.	(9.24)
2 J dz
О
Показатель экспоненты под знаком интеграла указывает на то,
что волне в линии нужно пройти путь длиной 2г, прежде чем она,
испытав локальное отражение, вновь попадет на вход.
Проведем расчет коэффициента отражения на примере экспо-
ненциального перехода, у которого волновые сопротивления на
входе и на выходе равны соответственно ZBBX и ZBBbiX. По формуле
вида (9.15) находим
ZB (z) — вх ехР ( ——	-в в—) ;
\ »пер Zp вх /
таким образом,
d In ^в 1	ZB2
dz	Л|ер	ZBj
136
Воспользовавшись (9.24), получим
1	1 ^«2 С"ер ,
Л = п 7	1	еХР (—j^z} dz= —1  In инх и	— /201 .
€в‘	2/-Р Zb1 J	23/„ер 1п(1 -е w "*р).
В технических задачах обычно интриг™-™
циента отражения. Поскольку	Р У ся модулем коэффи-
|1-е 71 "cpl = I(l — cos2SZiiep)2_J_si4n22?z^ppZ2=2
то
|Qbx| —
1П ^*R "NX
вх
sin ЗЛ1ер
(9.25)
Рис. 9.3. Коэффициент отражения
от плавного экспоненциального пе-
рехода как функция его электри-
ческой длины
График, соответствующий формуле (9.25), изображен на
рис. 9.3. Участок, отмеченный пунктиром, не отвечает изложенной
теории, поскольку при слишком ма-
лой электрической длине перехода
не выполняются условия его плавно-
сти. Характерно, что модуль коэф-
фициента отражения от плавного
экспоненциального перехода зави-
сит от его электрической длины не-
монотонно и обращается в нуль
при ₽/пер=пл (п — целое число),
т. е. при /пер=иХ/2.
Это связано с тем, что здесь на-
блюдается взаимная компенсация
всех волн, возникающих при локаль-
ных отражениях и приходящих ко
входу устройства с различными фа-
зовыми сдвигами.
Учет многократных отражений, имеющих место в нерегулярных
линиях, для которых не выполняются требования плавности, явля-
ется гораздо более сложной задачей и в данной книге не рассмат-
ривается.
Задачи и упражнения к гл. IX
9.1. Вывести дифференциальное уравнение для комплексной амплитуды на-
пряжения в нерегулярной линии передачи, в которой реактивные первичные
параметры меняются по закону:
Zi = J^Liq (ajz), Yi = >C10 (г/а),
где а — некоторая константа с размерностью длины.
Ответ.
dW 1
d& + е
dU
d\
+ 6’ = 0,
где 5 = рог = w У L10Ci0z .
137
9.2. Записать общий интеграл полученного УРа«"™ия’ а„™™е *™>'птоти.
ческий вил решения в области, значительно удаленной от начала коорДИНа^
при Ро^3>1.
Ответ.
U (z) = Л (Зп^) + Л^о2)
е
где Н'о и Hl —функции Ханксля нулевого индекса; при больших значениях
аргумента асимптотически
ч /	2~ .
V ^7е
9.3. Показать, что метод ВКБ, примененный для решения задачи 9.1, дает
такую же зависимость модуля комплексной амплитуды напряжения от прОДоль.
ной координаты, которую можно получить нз асимптотической формулы.
9.4. Показать, что текущий импеданс Z(z) в нерегулярной линии передачи
определяемый соотношением Z(z) =f7(z)// (z), должен удовлетворять нелинейному
дифференциальному уравнению первого порядка
называемому уравнением Риккати.
Глава X
СВЯЗАННЫЕ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
§ 10.1. Понятие распределенной связи
между линиями передачи.
Математическая формулировка задачи
о связанных линиях
Предположим, что две регулярные линии
в пространстве таким образом, что области,
электромагнитные поля, переносимые этими
иной мере взаимно пересекаются.
передачи размещены
где сосредоточены
линиями, в той или
В этом случае рассматриваемые
связанные линии должны влиять
друг на друга и поэтому их свой-
ства будут отличаться от соответ-
ствующих свойств одиночных ли-
ний в отсутствие связи. Взаимная
связь линий носит пространствен-
но-распределенный характер и
поэтому для ее анализа применя-
ются методы волновой теории.
Математическое описание яв-
лений в связанных линиях пере-
дачи в общем случае может ока-
заться чрезвычайно громоздким.
Поэтому будем изучать простей-
ший вид связи, называемый регу-
лярным. Он характеризуется тем,
что две линии передачи размеще-
Рис. 10.1. Связанные линии передачи:
а — коаксиальные; б — симметричные двух-
проводные; в — несимметричные полоско-
вые
ны в пространстве параллельно
друг другу. Эскизы поперечных
сечений некоторых регулярно
связанных линий представлены
на рис. 10.1.
Дадим математическое описа-
ние такой системы, опираясь на
формализм телеграфных уравнений. Пусть
(Ж Г!1’!, (zP. гР)
— совокупность погонных параметров, относящихся соответствен-
но к первой и второй линиям в отсутствие связи. Эффект электро-
магнитной связи между линиями характеризуют двумя погонными
параметрами связи Z1CB и У1СВ. Тогда, снабжая напряжения и токи
139
индексами, указывающими номер линии, можно формально запц.
сать следующую систему телеграфных уравнений, описывающую
всю совокупность волновых явлений в двух связанных линиях, на.
ходящихся под гармоническим внешним воздействием:
dz
dz
dLTi 7<-Уг	7 i
dz
(10.1)
А=_у<2’(72-г1сД. I
dz
В системе (10.1) погонные параметры Zjcb и У1св носят чисто
реактивный характер. Это обусловлено тем, что изучаемые эффек-
ты вызываются двумя причинами: а) наличием взаимной индуктив-
ности между линиями, т. е. связью по току; б) существованием
электростатической индукции между обеими линиями, т. е. связью
по напряжению. В соответствии с общефизическими представлени-
ями связь между линиями должна быть взаимной (известный прин-
цип взаимности в теории электрических цепей), поэтому в системе
(10.1) достаточно ввести два, а не четыре погонных параметра
связи.
Полученная система четырех линейных дифференциальных
уравнений первого порядка для однозначности решения должна
быть дополнена некоторыми начальными условиями, определяющи-
ми состояние обеих линий при z=0:
£7, (О)=£710; tf2(O)=£/20;
Л((1)=Ло’ A(dl=Ao-
§ 10.2. Нормальные волны в системе
двух связанных линий передачи
Будем считать обе линии идентичными друг другу. При этом,
очевидно,
zP=zp=zi;
Обратимся к системе (10.1). Если связь между линиями пол-
ностью отсутствует, т. е. 21Св=У1гв=0, то система уравнений рас-
падается на две независимые системы относительно переменных
(£7i, /J и (47г, Л). Возникает вопрос, нельзя ли добиться такого
же расщепления системы (10.1) и при наличии связи, если от ис-
ходных переменных ({7Ь	t/2, Л) перейти к некоторым новым за-
висимым переменным, связанным с исходными с помощью линей-
ного преобразования. Если это возможно, то эти новые переменные
140
в физике называют нормальными координатами. Переход к нор-
мальным координатам является широко распространенным анали-
тическим приемом во всех областях теории колебаний и волн [41.
Получающиеся при этом нормальные уравнения гораздо проще ис-
ходных и, как правило, допускают наглядную физическую интер-
претацию..
Общий метод поиска нормальных координат связан с нахожде-
нием линейного преобразования, приводящего матрицу исходной
системы дифференциальных уравнений к диагональной форме [7].
Однако в нашем частном случае симметричный вид правых частей
системы уравнений (Ю.1) позволяет найти нормальные координа-
ты гораздо проще. Действительно, образуем четыре новых пере-
менных по формулам:
(10.2)
;1 = O1 + (J2; \2=UX-U2\
Л:=A+А» Th—A — A-
Тогда, складывая и вычитая соответствующие уравнения, вхо-
дящие в (10.1), получим две системы дифференциальных урав-
нений:
Д51 =
dz
dz
rfr)2
dz
(10.3)
(Ю.4)
1св '•2е

Итак, задача о двух связанных линиях передачи сводится к ре-
шению хорошо изученных систем телеграфных уравнений. Важно,
что системы (10.3) и (104) являют-
ся независимыми. Поэтому новые
переменные, введенные по форму-
лам (10.2), действительно являются
нормальными координатами для
системы двух связанных линий.
Решения систем (10.3) и (10.4)
называют нормальными вол-
нами. Полная независимость нор-
мальных волн друг от друга позво-
ляет утверждать, что две связанные
линии передачи обладают двумя
модами (ср. моды резонаторов, изу-
чавшиеся в гл. VIII).
Физическую сущность нормаль-
ных волн поясним, обратившись
Рис. 10.2. Структура электриче-
ского поля в связанных полоско-
вых линиях:
а — четная волна; б — нечетная волна
14)
«новь к формулам (102). Если линии в^буждигы таким образом
что токи к напряжения синфазны (О Ub_h 2h о в системе
существует только первая из нормальных волн, поскольку
=0 Рассматриваемую моду называют четном (симметричной)
нормальной волной Наоборот, противофазное™ напряжений „
токов в линиях (СГ,=-Рг. Л—W приводит к возникновению в
системе второй моды, называемой нечетной (антисимметричной)
нормальной волной. На рис. 10.2 изображена примерная структу.
ра электромагнитных полей для обеих нормальных волн примени,
тельно к связанным несимметричным полосковым линиям пере.
ДЭ 'всегда возможен обратный переход от нормальных координат
к истинным напряжениям и токам:
2	. \	(Ю-5)
/2=v(T11—Т]2)-
2
Итак, любой волновой процесс в связанной системе есть супер
позиция нормальных волн.
Рассмотрим теперь телеграфные уравнения (10.3) и (10.4)
Введем погонные сопротивления и проводимости для четной и не
четной волн:
(Ю.6)
Отсюда в соответствии с принципами, изложенными в гл. I,
находим комплексные коэффициенты распространения:
Тчт V
Тич г ^Ыч^Хич ’
и волновые сопротивления
.	А>Чт="И^1чт/К 1чт’
В линиях передачи, представляющих интерес для радиотехники,
часто можно пренебречь омическими потерями. При этом коэффи-
циенты фазы обеих нормальных волн выражаются формулами:
?чт —	+	I-Qcb1»	^10 9)
Ннч — ш V(^1 Асв> (Q — С1св),
142
а волновые сопротивления, будучи вещественные, имеют вид:
^ВЧТ
(10.10)
lew
lew
^•l— Йсп
Q-ckB-
Pp^Rvp^n коэффициентов фазы четной и нечетной волн свиде-
^ХУо^стТяе:,Т° НОРМаЛЬ"Ые юл™	Ф»зо-
г’фчт—VlTZ-i+Z-icHCj-; с1св\
Последний факт особенно важен, поскольку он лежит в основе
работы разнообразных устройств, построенных на базе связанных
линий передачи.
§ 10.3. Эффекты, возникающие
при сложении нормальных волн
Рассмотрим полубесконечную систему двух связанных идентич-
ных линий, изображенную на рис. 10.3. Здесь на входе линии /
включен источник гармонической э.д.с. с амплитудой Ё, вход ли-
нии 2 закорочен. Поэтому имеем следующие начальные условия:
<A(0)=Vfe<O)+M0))=£.
(10.12)
^(0)=ф(=,(0)--а(0))=0.
Рассматривая (10.12) как уравнения относительно начальных
амплитуд нормальных волн, получим
«(0) = а(0)=£.
Итак, в изучаемой системе при данной конфигурации возбуж-
даемых источников существуют обе нормальные волны с одинако-
выми амплитудами. Если теперь учесть, что здесь не существует
волн, распространяющихся справа налево ввиду согласованности
линий на бесконечности, то можно написать следующие равенства,
представляющие собой закон изменения напряжений вдоль линий:
С71(г)=— (е-у?^г4-е~;^г),
2	(10.13)
/72(2)=у(е-уз-г-е-7?«-г).
Исследуем зависимости модулей комплексных амплитуд и
02 от продольной координты z. Представляя экспоненциальные
функции по формуле Эйлера и проводя очевидные преобразования,
143
получим
i+cos(M-M)=Iz:'I|cosz|• 00-14)
|4/,(z)|=A /1-COS(M-M)“I^I Isin	*|. (10. |5)
Графики, представленные на рнс. 10.4, свидетельствуют о том
что неравенство друг другу фазовых скоростей двух нормальных
волн приводит к эффекту периодического «перекачивания» энергии
из. одной линии в другую. Принято говорить о том, что в связан-
Рис. 10.4. Возникновение прост-
ранственных биений
Рис. 10.3. К задаче о связанных
линиях
ных линиях передачи наблюдаются явления пространственных бие-
ний. Период этих биений, определяемый из формул (10.14) и
(10.15), должен удовлетворять соотношению
*^биен И,
откуда
2л
биен а	3
Рчт   Рнч
(10.16)
Описанные явления находят широкое применение при констру-
ировании разнообразных устройств, работающих в СВЧ-диапазоне.
Например, обеспечивая между двумя линиями распределенную
связь на некотором отрезке, получаем делитель мощности. По-
скольку мощность, ответвляемая во вторичную линию, зависит от
электрической длины участка связи и в конечном счете, от частоты
колебаний, то можно создать частотный разделитель, схематиче-
ское изображение которого приведено на рис. 10.5.
Чтобы произвести расчет параметров связанных линий, необхо-
димо располагать сведениями о погонных параметрах связи. На-
хождение их сопряжено со сложными электродинамическими рас-
четами, проводимыми, как правило, на ЭВМ. В литературе обычно
даются графики, позволяющие определять волновые сопротивления
ZB чт и ZB нч по известной геометрии линии. '
144
Имеется формула
ВО вторую линию, и мощность pTno',cTvnnlUH0CTb ?2’ ответвляемук>
НИИ [2]:	Иь "Окупающую на вход первой лн-
р ___ Р\№ sin2&
'2--------------
Л	I +*2со«ай *	(10.17)
где Ф —электрическая длина участка Арам- ъ *
раметр, называемый коэффициент 3”>Д~безРазмеРный на-
следующим образом:	связи и определяемый
k "ч — ZK чт
Z* мч + Z„ чт
В конструкциях, применяемых
на практике, разница между вол-
новыми сопротивлениями четной
и нечетной волн обычно невелика,
так что /г<1. Для иллюстрации
на рис. 10.6 изображены графики,
Рис. 10.6 Волновые сопротивления
четной и нечетной волн в системе
двух связанных несимметричных
полосковых линий
Рис. 10.5. Частотный раздели-
тель на связанных линиях
по которым можно найти ZB4t и Zbh4 для некоторого конкретного
варианта микрополосковой линии.
В заключение отметим, что вопросы взаимной связи линий пе-
редачи, особенно микрополосковых, играют большую роль при по-
исках наилучших конструкций печатных плат, на которых распо-
лагаются логические интегральные схемы, работающие с высокими
тактовыми частотами. Изучение этих вопросов важно для создания
сверхбыстродействующих вычислительных машин и устройств дис-
кретной обработки сигналов.
Задачи и упражнения к гл. X
10.1.	Каждая из двух связанных линий передачи имеет погонную емкость
С, = 50 пФ/м; фазовая скорость при отсутствии связи равна 1.2-10’ м/с. Вели-
чина взаимной связи характеризуется следующими параметрами: Ctc,-3 пФ/м,
£1св=0,05 мкГн/м. Определить численные значения фазовых скоростей обеих
нормальных волн.	,
Ответ: олчт = 1,14-10е м/с, Пфнч —1,26-10 м/с.
10.2.	По данным предыдущей задачи определить длину волны пространст-
венных биений при частоте сигнала 4500 МГц.
10.3.	Найти волновые сопротивления четной и нечетной Д°'лн’ а ^^ач’^И
чину коэффициента связи двух линии рассмотренных в предыдущих задачах.
О т в е т: ZB чт= 165 Ом, ZB ич= 169 Ом, Л=0,012.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение /
Свойства некоторых материалов, используемых в технике СВЧ
Таблица П.1.1
Параметры высокочастотных диэлектриков
Материал	Относительная диэлект- рическая проницаемость	Тангенс угла потерь иа частоте 1000 МГц
Полиэтилен	2,25	2-10-4
Полистирол	2,56	2-10-4 ,
Фторопласт	2,08	2,5-10—4
Плавленый кварц	3,8.э	3-10—5
Окись алюминия (поликор)	9,6	4-10—5
Плексиглас (полимстилакрнлат)	3,4	2-10-3
Таблица П.1.2
Электропроводность металлов
Металл	Удельная объемная проводимость, См/м	Глубина проникновения тока на частоте 1000 МГц, мкм
Серебро	6,17-107	2,01
Медь	5,81-107	2,07
Золото	4,13-107	2,46
Цинк	1,69-107	3,85
Латунь	1,55-107	4,02
Олово	0,88-107	5,33
Приложение 11
Некоторые программы для ЭВМ
На современном этапе развития радиотехники чрезвычайно возросла роль
ЭВМ, эффективно выполняющих сложные и трудоемкие вычислительные опера-
ции. Здесь в качестве примеров приводятся две реальные подпрограммы на алго-
ритмическом языке ФОРТРАН, иллюстрирующие применение ЭВМ для расчета
характеристик радиотехнических цепей с распределенными параметрами. Все при-
водимые подпрограммы оформлены как программные единицы типа
SUBROUTINE; связь между ними и основным программным модулем осуществ-
ляется посредством формальных параметров, что обеспечивает максимальную
универсальность использования.
1.	Программа вычисления входного сопротивления
нагруженного отрезка линии передачи
Данная подпрограмма с именем ZINPT вычисляет нормированное входное
сопротивление по формуле
z,	z; + ylgpf
“	i+X'gi*'
Входными аргументами подпрограммы является комплексная переменная
ZL, равная нормированному сопротивлению нагрузки ZH', а также вещественная
146
переменная BL, с помощью которой опнсыв»атгИ .
Выходным параметром подпрограммы служит^! *-ч«трическая длина липни В/
„не которой равно результату расчета U п™МПЛекснм п«Р«менн*я Z. значе-
расчета по приближенной формуле подпрограмме предусмотрен вариант
справедливой в окрестности точки гае т-iur»»/. «>
пядка 10* или более. Тем самым лнквнлнпг.т о ^ектрнчсской длины липни по-
рядной сетки ЭВМ. Вызов данной подпрограм^ “ ущ^^5е!сГТ,еИИЯ Р*”
программного модуля с помощью оператора^ «ТОСТмяется из основного
CALL Z1NPT(A, В. С).
где А, В, С — имена фактических переменных.
Текст программы
SUBROUTINE ZINPT (ZL BL Z)
COMPLEX ZL, Z	’
A-COS (BL)
IF (ABS(A). LE. IE —8) GO TO 1
B-S1N (BL)
T-B/A
De-iiZ,otCMPLX (0- T))/(, +(0.. 1 )*ZL*T)
Kt IUKN
1 Z = 1./ZL
RETURN
END
2.	Программа вычисления волнового сопротивле-
ния несимметричной полосковой линии
Приведенная здесь программа с именем WSTRP осуществляет расчет
волнового сопротивления указанной линии передачи по формулам (2 14) или
(2.15) в зависимости от величины отношения b/h. Содержательный смысл приме-
ненных идентификаторов следующий : В— ширина полоски, Н — толщина ди-
электрической подложки, Е — относительная диэлектрическая проницаемость,
W — найденное значение волнового сопротивления.
Текст программы
SUBROUTINE WSTRP (Е, Н, В, W)
А=В/Н
IF (А—1.) 1, 1, 2
1	W=84.85* (ALOG (8./А) +А*А/32.—0.5*
*	(Е— 1.) / (Е +1.) * (0.452+0.242/Е)) /SQRT (Е+1.)
GOTO3
2	W=188.5/(SQRT(E)*(0.5*A+0.441 +
*	0.082* (Е-1.) / (Е*Е) + (Е +1.) /(6.2832*
*	Е)* (1.451+ALOG(0.5*A+0.94))))
3 RETURN
END
3.	Программа расчета частотной характеристики сту-
пенчатого перехода.
Здесь в качестве примера, иллюстрирующего практическое использование
двух приведенных программ, дана более сложная программа, которая реа-
лизует численный анализ частотной характеристики ступенчатого согласующего
перехода, выполненного на базе микрополосковых линий передачи. Чертеж кон-
струкции верхнего полоска изображен на рис. П.1. Предполагается, что со сто-
роны выхода устройство идеально согласовано. Ставится задача расчета частот-
147
с
с
с
ЦИКЛ ПО ЧАСТОТЕ ОКОНЧЕН
10
11
12
FORMAT (I3/(3E15.3))
FORMAT (52Х, 24НЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
*///8Х, 7НЧАСТОТА, 9Х, 6НМОДУЛБ, 1IX, 4НФАЗА, 12Х, ЗНКсп
FORMAT (4Е15.3)	’	В/>
RETURN
END
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Баскаков С. И. Основы электродинамики. М.» 1973.
2.	Г а н с т о н М. А. Р. Справочник по волновым сопротивлениям фидерных
линии СВЧ/Пср. с англ. М., £97^ пассивных цепей/Пер. с англ. М„ 1970.
4.	Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебании. М 1972.
5.	С м и р и о в В. И. Курс высшей математики. Т 3, ч. 2 М 1970.
6.	Стариков В. Д. Методы измерения на СВЧ с применением измери-
тельных линий. М., 1972.	„а м 1ПГ_
7.	С т е п а н о в В. В. Курс дифференциальных уравнении. М., 1953.
8.	Шим они К. Теоретическая электротехника/Пер. с нем. М., 1964.
9.	Хью л см а в Л. П. Активные фильтры/Пер. с англ. М., 1972.
ОГЛАВЛЕНИЕ
внешнем
3
4
Глава
Глава
§
§
9
9
§
§
§
§
11
15
17
22
24
26
27
Предисловие ............................. ................
Введение . -............•„................................
Глава I. Теория регулярной линии передачи при гармоническом
воздействии ............................................
1.1.	Вывод уравнения состояния регулярной линии передачи
1.2.	Общее решение уравнения Гельмгольца для бесконечно
протяженной регулярной линии передачи. Монохроматиче-
ские бегущие волны.....................................
1.3.	Понятие волнового сопротивления линии передачи ....
1.4.	Вторичные параметры линий передачи различных типов .
1.5.	Мощность, переносимая бегущими волнами вдоль линии
передачи ..............................................
1.6.	Цепочечный эквивалент регулярной линии передачи ....
Задачи и упражнения к гл. 1............................
II. Некоторые типы линий передачи.........................
§	2.1. Требования, предъявляемые к радиотехническим линиям
передачи ................................................
2.2.	Коаксиальная линия передачи .......................
2.3.	Симметричная двухпроводная линия передачи .........
2.4.	Полосковые линии передачи..........................
Задачи и упражнения к гл. И.........................
III.	Явления в линиях передачи, нагруженных на одном конце .
“ 3.1. Коэффициент отражения.............................
3.2.	Интерференция падающей и отраженной волн в нагружен-
ной линии передачи .....................................
Распределение фазы колебаний в стоячей волне .......
Измерительная линия ................................
Стоячие волны в линиях передачи с потерями .........
Задачи и упражнения к гл. Ill........................
IV.	Трансформирующие свойства отрезков линии передачи . . .
4.1.	Отрезок линии передачи как распределенный четырехпо-
люсник .................................................
§
§
§
§
§
§
§
§
3.3.
3.4.
3.5.
Глава
§
27
28
30
31
33
35
38
43
44
44
45
47
47
. § 4.2. Входное сопротивление нагруженного отрезка линии пере-
дачи ..........................................................49
§ 4.3. Полуволновые и четвертьволновые трансформаторы .... 52
§ 4.4. Отрезок линии передачи как трансформатор уровня напря-
жения .......................................................54
§ 4.5.	Понятие о волновых матрицах и матрицах рассеяния . . 55
Задачи и упражнения к гл. IV.........................57
Глава V. Круговая диаграмма полных сопротивлений...................59
§ 5.1.	Понятие текущего коэффициента отражения.............59
§ 5.2.	Построение круговой диаграммы.......................61
§ 5.3.	Примеры использования круговой диаграммы............65
Задачи и упражнения к гл. V..........................67
Глава VI. Возбуждение регулярных линий передачи внешними источни-
ками ...........................................................62
§ 6.1.	Физическая постановка задачи о возбуждении линии пе-
редачи ...................................................61
§ 6.2.	Дифференциальные уравнения линии, возбуждаемой внеш-
ними источниками..........................................<
§ 6.3.	Решение неоднородных уравнений Гельмгольца. Понятие
функции Грина для стационарного волнового процесса в
линии передачи.............................................?
§ 6.4.	Строгий вывод выражения для функции Грина............7
151
§ 6.5.	Элемент Гюйгенса.................................  .	7„
§ 6	6. Возбуждение линии передачи системой дискретных нстоц. 5
ников. Принцип действия направленного ответвителя • . . 77
§ 6.7.	Усилитель с распределенным усилением...............*	‘
Задачи и упражнения к гл. VI..........................&
Глава VII. Нестационарные процессы в линиях передачи............... _
§ 7.1.	Влияние характеристик линии передачи на искажение пе-
редаваемого импульса. Групповая скорость...................g,
§ 7.2.	Оценка искажений импульсных сигналов...................
§ 7.3.	Волновые уравнения для напряжений и токов при произ-
вольном характере изменения процессов во времени • . . дл
§ 7.4.	Решение волновых уравнений для лннни без потерь по ме-
тоду Даламбера.........................................
§ 7.5.	Исследование нестационарных процессов в линиях пере-
дачи операционным методом.................................gg
Задачи и упражнения к гл. VII........................цц
Глава VIII. Колебательные системы, образованные отрезками линий
передачи......................................................103
§ 8.1.	Собственные колебания короткозамкнутого отрезка линии
передачи..................................................Юз
§ 8.2.	Свойство ортогональности системы собственных функций
резонатора без потерь ................................... Ю8
§ 8.3.	Более простой подход к задаче вычисления собственных
частот. Резонансные условия............................... щ
§ 8.4.	Возбуждение одномерного резонатора сосредоточенными
источниками. Функция Грина резонатора без потерь . . . . щ
§ 8.5.	Влияние омических потерь на характер собственных коле-
баний в резонаторе. Понятие комплексных собственных
частот....................................................И9
§ 8.6.	Входная проводимость резонатора вблизи резонансной
частоты...................................................123
Задачи и упражнения	к гл. VIII.....................125
Глава IX.	Нерегулярные линии передачи..............................127
§ 9.1.	Общие сведения......................................127
§ 9.2.	Дифференциальные уравнения линии передачи с плавным
изменением погонных	параметров.....................127
§ 9.3.	Нерегулярная линия передачи экспоненциального типа . . 129
§ 9.4.	Волны в нерегулярных линиях передачи с медленным из-
менением погонных параметров..............................134
Задачи н упражнения к гл. IX.........................137
Глава X. Связанные линии передачи...................................139
§ 10.1.	Понятие распределенной связи между линиями передачи.
Математическая формулировка задачи о связанных ли-
ниях ......................................................139
§ 10.2.	Нормальные волны в системе двух связанных линий пере-
дачи ......................................................140
§ 10.3.	Эффекты, возникающие	при сложении нормальных волн 143
Задачи и упражнения	к гл. X..........................145
Приложения......................................................... 14g
Список	рекомендуемой литературы.....................................150