/
Author: Шутилов В.А.
Tags: применение акустики физика акустические системы ультразвук акустика учебное пособие учебник по физике
Year: 1980
Text
ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА
И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А. А \ДАНОВА
В. А. ШУТИЛОВ
ОСНОВЫ
ФИЗИКИ
УЛЬТРАЗВУКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ЛЕНИНГРАД
1980
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета :
Ленинградского университета
УДК 534.8
Шутилов В. А. Основы физики ультразвука: Учеб. пособие. — Л.: Изд-во
Ленингр. ун-та, 1S80 — Ил. — 78, табл.— 22, библиогр. — 109 назв. с. 1—280.
Предлагаемая книга посвящена распространению ультразвуковых волн
в жидкостях, газах н твердых телах, рассматриваемых как сплошные среды
с разными характеристиками упругости. В ней систематизированы вопросы,
имеющие непосредственное отношение к специфике ультразвука: возможности
генерирования направленных пучков плоских волн, высокой интенсивности
ультразвукового излучения и т. д. В связи с этим основное внимание в книге
уделено различным аспектам распространения плоских волн: их общим харак-
характеристикам, затуханию, рассеянию на неоднородностях, отражению, прелом-
преломлению, прохождению через слои, интерференции, дифракции, анализу нели-
нелинейных явлений, пондеромоторных сил, краевых и других эффектов в огра-
ограниченных пучках. Рассматриваются также сферические волны, которые фор-
формируются при пульсационных колебаниях сферических тел, в дальней зоне
излучателей малых размеров, в ультразвуковых фокусирующих системах.
Большинство из этих вопросов обсуждается применительно к продольным
волнам для сред, обладающих объемной упругостью, а для других типов
волн, в частности для сдвиговых воли в жидкостях и твердых телах, дополни-
дополнительно рассматриваются те вопросы, которые составляют их специфику. К ним
относятся граничные и нелинейные эффекты в твердых телах, трансформация
волн, их дисперсия, поверхностные волны, соотношения между скоростями
звука и модулями упругости в кристаллах, в том числе в пьезоэлектриках.
Настоящее учебное пособие предназначено студентам старших курсов и
аспирантам физических факультетов университетов и институтов, а также бу-
будет полезно научным и научно-техническим работникам, специализирующимся
в различных областях ультраакустики.
Рецензенты, доктор физ.-мат. наук Л. К. Зарембо (Московский госу-
государственный университет им. М. В. Ломоносова); доктор физ.-мат. наук
И. Н. Каневский (Государственный институт редких металлов)
20404 158 97—79 1704030000 © Издательстве Ленинградского
76@2)80 '
*~ 076@2)-80 ' " ' " университета, ^SOfi
ИБ № 542
Шутилов Владимир Александрович
Основы физики ультразвука
Редактор Т. В. Мызникова
Техн. редактор А. В. Борщева
Корректоры К- Я. Евнина, Н. А. Гагарина
Сдано в набор 15.02.79. Подписано к печати 12.10.79. Формат бОХЭО'/ш- Бум. тип. № 1.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Печ. л. 17,5. Уч.-изд. л. 17,4!. Тираж 3264 экз.
Заказ Л1» 519. Цена ?5коп.
Издательство ЛГУ им. А. А. Жданова 199164, В 164, Ленинград, Университетская наб., 7/9
Отпечатано в типографии Издательства ЛГУ, 199164, Ленинград, В-164, Университетская
наб., 7/9 с матриц ордена Октябрьской Революции, ордена. Трудового Красного Знамени
Ленинградское производственно-техническою объединения «Печатный Двор» имени
А. М. Горького «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15
Зак. 148
ПРЕДИСЛОВИЕ
Под ультразвуком вообще понимаются различные упр\ гне волны
с частотой, лежащей выше порога слышимости человеческого уха,.
т. е. выше 15 -f- 16 кГц. Современная ультразвуковая техника поз-
позволяет генерировать и детектировать ультразвуковые колебания
с частотами до 1010—1011 Гц и более, т. е. до частот, приближаю-
приближающихся к диапазону частот инфракрасного света. При столь высоких
частотах длины ультразвуковых волн (называемых в диапазоне
выше ~109 Гц гиперзвуковыми) становятся сравнимыми с межмо-
межмолекулярными расстояниями; но уже и при более низких ультразву-
ультразвуковых частотах распространение ультразвуковых волн в различных
средах становится чувствительным к особенностям строения веще-
вещества на молекулярном, атомном, электронном и даже ядерном уров-
уровнях. В связи с этим ультразвуковые методы оказались весьма
информативным средством для изучения структуры веществ и раз-
различных происходящих в них физических процессов
С другой стороны, особенности ультразвукового излучения
привели к широкому использованию ультразвука в самих разно-
разнообразных областях народного хозяйства: в гидролокации, в дефек-
дефектоскопии различных материалов и конструкций, в медицине — как
в целях диагностики, так и воздействия на разные органы челове-
человеческого тела, для ускорения или стимулирования различных тех-
технологических процессов, в электронных и оптических устройствах
и многих других. Все эти применения основаны на исследованиях
физических процессов, происходящих в ультразвуковых полях в тех
или иных средах. Результаты таких исследований, относящихся
как к чисто научным проблемам, так и к задачам прикладного ха-
рактера, образуют обширную область знаний, которую обобщенно
называют «физической акустикой» или «физической ультраакусти-
ультраакустикой». При этом тематика, относящаяся к данной области, столь раз-
разнообразна, что внутри самой физической ультраакустики к насто-
настоящему времени сформировались довольно крупные самостоятель-
самостоятельные разделы, такие, как молекулярная акустика, квантовая аку-
акустика, акустоэлектроника, акустооптика, нелинейная акустика и др.
Таким специальным вопросам физической акустики посвящено уже
немало книг или обзорных статей. Как правило, они начинаются
с изложения отдельных необходимых вопросов, относящихся к ос-
основам физики ультразвука и базирующихся на общих законах
акустики сплошных сред. В свою очередь, по общей акустике также
имеется немало хороших книг, таких, как классическая «Теория
звука» Рэлея [1], «Колебания и звук» Ф. Морза [2], отечественные
монографии С. Н. Ржевкина «Курс лекций по теории звука» [3],
М. А. Исаковича «Общая акустика» [4], двухтомник Е. Скучика
«Основы акустики» [5]. Однако общая акустика включает в себя
широкий круг вопросов, относящихся главным образом к слыши-
слышимому, т. е. низкочастотному, звуку и отражающих ряд более или
менее узких тем, имеющих свою определенную специфику. Сюда
можно отнести, например, такие разделы акустики, как музыкаль-
музыкальная и архитектурная, биоакустика, акустика ш\мов и вибраций,
геоакустика, и т. д. Таким образом, многие из вопросов, охваты-
охватываемых общей акустикой, не имеют отношения к тому, что связано
со спецификой ультразвука, другие же, важные для физики ультра-
ультразвука, напротив, освещаюгся в ней недостаточно подробно или
опускаются вообще.
Настоящая же книга, написанная по материалам лекций, читав-
читавшихся автором в течение ряда лет студентам специализации «фи-
«физика ультразвука» на физическом факультете Ленинградского госу-
государственного университета, может рассматриваться как учебное
пособие по общей ультраакустике, предваряющее изучение специ-
специальных вопросов физики ультразвука. В ней сделана попытка
выделить и систематизировать возможно более полный круг тем,
непосредственно относящихся к распространению ультразвуковых
волн в средах, обладающих различным характером упругости, и
в условиях, близких к использованию ультразвука в научных и
прикладных целях.
Употребляемый иногда термин «ультраакустика» не очень уда-
удачен из-за приставки «ультра», которая (как и приставка «гипер»)
относится, вообще говоря, к частотам, а не к самому процессу рас-
распространения упругих волн. Впрочем, термины «ультразвук» и «ги-
«гиперзвук» прочно вошли в научно-технический лексикон, так что
данную книгу с таким же успехом можно было бы назвать «Осно-
«Основами ультраакустики». Так или иначе, она посвящена вопросам рас-
распространения ультразвуковых волн в различных средах, рассма-
рассматриваемых как сплошные. Распространение же ультразвука в сплош-
сплошной среде, как уже отмечалось, происходит в соответствии с общими
закономерностями классической акустики. Однако, как всегда,
количество (в данном случае — частота) переходит в качество, и
высокая частота, особые методы генерирования, позволяющие полу-
получать направленные пучки, большие интенсивности излучения и дру-
другие особенности ультразвука придают вопросам его распростране-
распространения определенную специфику.
Эта специфика прежде всего выражается в реальной и широко
используемой возможности генерирования плоских или квазипло-
квазиплоских волн, в особом значении импульсного режима излучения,
в воздействии мощного ультразвука на среду и ее реакции на это
воздействие, в сильном поглощении ультразвуковых волн в газах
и возможности распространения сдвиговых волн в жидкостях, в от-
отчетливом проявлении нелинейных акустических эффектов в жидко-
жидкостях и твердых телах, постоянных сил в ультразвуковом поле и т. д.
Соответственно на первое место в ультраакустике выходят вопросы
распространения плоских волн, их поглощения, отражения, пре-
преломления, прохождения через слои, фокусирования, рассеяния,
анализ нелинейных эффектов, пондеромоторных сил в поле плоских
волн, дифракционных и интерференционных эффектов в поле реаль-
реальных излучателей ультразвуковых пучков вместе с анализом откло-
отклонений характеристик ультразвукового поля в ограниченных пучках
по сравнению с полем идеальных плоских волн, распространения
различных типов ультразвуковых волн в «безграничных» и ограни-
ограниченных твердых телах, в том числе — в кристаллах и пр. R насто-
настоящей книге сделана попытка дать всем этим вопросам достаточно
полное освещение в сочетании с другими аспектами распростране-
распространения ультразвуковых волн. В книге приводятся также эксперимен-
экспериментальные данные по скорости и поглощению ультразвука в жидко-
жидкостях и газах, а также по скорости звука в изотропных твердых телах
и кристаллах. Наряду с классическим материалом в ней исполь-
использованы данные из оригинальных источников, на которые сделаны
соответствующие ссылки.
Книга рассчитана, кроме студентов, и на широкий круг читате-
читателей, знакомых с основами высшей математики и общей физики в объ-
объеме технического вуза. Автор надеется, что она будет полезной
также аспирантам и научно-техническим работникам, специализиру-
специализирующимся в области ультраакустики или желающим изучить эту
область.
Автор выражает глубокую благодарность Л. К. Зарембо,
И. Ы. Каневскому за ценные замечания к рукописи, И. Г. Михай-
Михайлову за общую помощь в написании книги, Н. Н. Хромовой за под-
подборку экспериментального материала по твердым телам, а также
Л. Л. Ш\тилсвой и Б. Ф. Борисов) за помощь в оформлении ру-
рукописи.
ОСНОВНЫЕ О ВОЗИ УЧЕНИЯ
Л — рсбота
амглнтудз колебаний
а — ускорение
В — нелинейны^ модуль объемной уп-
упругости
С — емкость конденсатора
с — скорость звука
ciftii = спт — модул» упругости
Ср — удельная теплоемкость при по-
постоянном давлении
су—удельная теплоемкость при по-
< юянном o6tev.e
D — мощность
D — электрическая индукция
D — показатель кавитации
d — коэффициент прохождения
толщина
Е — электродвижущая сила
модуль Юнга
Е — нагояжен юсть электрического
ноля
$ — эффективный модуль упругости
F — сила
f — фокусное расстояние
tll;! — льезокоэффнциепты
G — модуль едэига
/ — интенсивкоеть ультразвука
сила тока
i — мнимая единица
J — функция Бг:селя
инвариант
/\' — линейный модуль объемной упру-
упругости
жесткость пружины
к — ролновой вектор
k — волновое число
коэффициент гибкости
L — расстояние
коэффициент самоиндукции
/ — отношение волновых сопротивле-
сопротивлении
Ма — число Маха
т — масса
Л' — количество
п — вектор единичной нормали
п — показатель политропы
коэффициент преломления
нелинейный параметр
«о— концентрация (объемная)
Р — давление (статическое, полное)
Рт — полином Лежандра
р—давление зв>ковое (переменное)
Q — добротность
q — заряд
параметр газосодержапия
R — радиус
Ro—универсальная гаюв^я постоян-
постоянная
/?9 — омическое сопротивление
Re— число Рейнольдса
г — радиус-вектор
г — коэффициент трения
полярная координата
S — площадь
s — относительное сжатие
Т — температура
t — время
U — внутренняя энергия
электрическое напряжение
u (?> Ц< Q — вектор смещения
V — объем
v — скорость
W — энергия
w — плотность энергии
х, у, z — коордиыаш прямоугольной
системы
Z — полное волновое сопротивление.
Z — полный импеданс
t — удельное волновое сопротивление
2 — удельный импеданс
а — коэффициент поглощения
ат — коэффициент теплового расшире-
расширения
р — фаза
разность фаз
у — отношение теплоемкостей
А — оператор Лапласа
б0 — временной коэффициент затуха-
затухания
е0 — нелинейный коэффициент
?,/, — деформации
диэлектрические проницаемости
?, т] — компоненты смещения по осям
г, у
ц — коэффициент вязкости
в — объемное расширение
в — угол
сферическая координата
О— декремент затухания
ае — сжимаемость
Л — длина звуковой волны
Ко — коэффициент теплопроводности
"к, \i — константы Ламэ
v — циклическая частота
v0— коэффициент Пуассона
| — смещение по оси х
р — плотность
коэффициент отражения
а — коэффициент поверхностного на-
натяжения
°ik — механические напряжения
°эф — эффективное сечение рассея-
рассеяния
т„ — постоянная времени затуха-
затухания
Ф — потенциал
угол поворота
г|? — азимутальный угол
потенциал
to — круговая
Глава 1
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Описание равновесного и деформированного
состояний тела
Распространение ультразвуковых волн в различных средах, ко-
которые мы будем рассматривать как сплошные, сопровождается пери-
периодическим смещением частиц среды из положения равновесия под
действием упругих сил При этом под «частицей» следует понимать
сколь угодно малый элемент объема, в котором, однако, содержится
достаточное количество молекул, чтобы среду внутри этого объема
можно было считать сплошной. В нормальном, иевозм\щенном со-
состоянии среды все ее частицы находятся в некоторых равновесных
положениях, определяемых равновесием межмолек\лярных сил.
Равновесное положение частицы будем характеризовать радиус-
вектором г (вектором положения), отсчитываемым от центра неко-
некоторой неподвижной относительно данной среды (лабораторной)
системы координат. В качестве таковой чаще всего будем выбирать
декартову прямоугольную систему координат л:, у, г; в ряде случаев
удобнее использовать сферическую систему координат г, Ь, tj),
которая связана с прямоугольной системой координат соотноше-
соотношениями х = г sin Ф cos \р, у — г sin Ф sin \p, z — г cos О1, или ци-
цилиндрическую систему г, Ф, z, в которой х = г cos О1, у — г sin О,.
г — z. Перемещение частицы из положения равновесия будем опи-
описывать с помощью вектора и, называемого вектором смещения.
Таким образом, новое положение частицы после ее перемещения
будет определяться вектором г + и Составляющие вектора сме-
смещения и по осям координат обозначим соответственно символами
|, ?] и ?. Величина смещения зависит от положения частицы, а в об-
общем динамическом случае может изменяться и во времени; таким
образом, компоненты смещения ?, г| и ? в общем случае являются
функциями координат и времени | = | (х, у, г, /), ц = п (х, у, г, О*
?=?(*, у, г, О-
Смещение частиц из равновесных положений соответствует де-
деформации среды Для полного описания деформированного состоя-
состояния тела в данный момент времени нужно, очевидно, представить
9»
вектор смещения и как функцию координат х, tj, z К этой задаче
можно подойти, рассмотрев последовательно случаи одномерной,
двумерной и трехмерной деформаций. При этом, учитывая малость
деформации в ак\ стической волне, ограничимся сначала рассмотре-
рассмотрением бесконечно малых деформаций.
Одномерная деформация. Выделим в недеформированном теле
отрезок Ал на оси х между точками М и Л' (рис. 1) и проследим за
его изменением при дефор-
, «г Ах ш ^_ мации тела. Точка Л/ с
О м , n х координатой х после де-
j формации сместится на ве-
I личину g и перейдет в по-
т ' ^ дх+дё, ложение М' с координатой
д ' t=±=A? /v' х* х + I, а дтина выделенно-
выделенного отрезка MN \величится
р»с 1- на Д| Под деформацией
отрезка MN понимается
отношение приращения его длины к первоначальной длине, г. е.
величина А\ Ад:. Деформация в точке М определяется выраже-
выражением
е = lim AHAx = dlldx,
Дк — О
т. е. деформация бесконечно малого отрезка есть пооизводная от
смещения по координате и является безразмерной величиной.
Если I — линейная функция х, т. е f = const, то такая деформа-
деформация называется однородной В этом случае c'1/dx — А^/Ах (однород-
(однородное растяжение стержня) В общем случае е =t= const, т. е. деформа-
деформация является функцией координаты. В динамическом сл\чае е ~
-е(х, О-
Двумерная деформация. Рассмотрим теперь плоскою картину
деформация. Для этого выделим в плоскости ху (рис. 2) отрезок
длиной Дг и проследим за его изменением при деформации тела.
Пусть точка М, положение которой до деформации характеризова-
характеризовалось ради\с-вектором г с проекциями на оси координат х и у, по-
после деформации сместилась в положение М', определяемое векто-
вектором г^4- и Следовательно, и есть вектор смещения с компонен-
компонентами ? и rj Точка N после деформации перейдет в положение А/',
и выделенный отрезок, который до деформации характеризовался
вектором Аг с компонентами Ах и Ау, после деформации будет ха-
р-Эктернзосаться вектором Аг + Аи с составляющими по осям коор-
координат Ах -t- Д| и Ау 4- Ат]. Отношения Д?/Дд: и Аг\'Ау определяют
растяжения проекций выделенного отрезка по осям координат
Однако полностью эти отношения не характеризуют деформирован-
деформированное состояние, так как, как видно из рис. 2, кроме растяжения,
вектор Аг испытывает еще поворот в плоскости ху.
Для описания этого поворота рассмотрим искажение прямоуголь-
прямоугольника, построенного на проекциях недеформироваиного отрезка ММ
с длинами MQX = Ах и MQ2 - Ау (рис. 3). После деформации эти
10
проекции испытывают растяжение и сдвиг, поскольку появляются
отличные от нуля компоненты Ас, и A*j. Как видно из рис. 3, тангенс
х
Рис. 2.
угла поворота отрезка M'Q[ определяется отношением tg ф =
= Ац (Ах -f- А|), а тангенс угла поворота отрезка M'Q't — отно-
отношением tg ф = А?/(Аг/ -Ь Аг\). Поскольку мы ограничиваемся рас-
рассмотрением только малых деформации, го А? п At] малы по сравне-
Рис, 3,
нпю с Ал; и Ау. Устремляя Ах и Ау к нулю, в качестве меры сдвига
отрезков MQX и MQZ в плоскости ху имеем
_ д\__ , _^L _ .'
в то время как растяжение отрезков MQX и MQ2 характеризуется
производными д^/дх — гхх и дц/ду = еуу.
С другой стороны, поскольку компоненты смещения являются
функциями координат, мы можем написать:
Таким образом, величины ejft связывают компоненты вектора Ди
с компонентами вектора Дг, т. е. образуют тензор второго ранга,
который, заменив координаты х, у, z индексами 1, 2, 3, можно пред-
представить в виде
Геп ей"
e22_
Нетрудно видеть, что недиагональные компоненты этого тензора
?i2 — Уху и е^ = уух, помимо деформации сдвига, описывают еще
и вращение прямоугольника MQiNQ2 как целого. Это иллюстри-
иллюстрируется рис. 4, на котором показано изменение положения этогс пря-
прямоугольника при повороте
тела на угол ф относительно
начала координат. При этом
как отрезок MQU так и отре-
отрезок MQ2 поворачиваются про-
против часовой стрелки на угол
Ф, и в соответствии с уста-
установленным выше геометриче-
геометрическим смыслом f'k для эгого
случая можно написать:
A.1)
Рис. 4.
Форма прямоугольника при
этом не искажается, но тен-
тензор ?[k не обращается в нуль. Следовательно, чтобы найти часть
тензора ь'1/г, которая описывает чистую деформацию, мы должны
вычесть из него ту часть, которая соответствует вращению тела
как целого.
Любой тензор второго ранга может быть представлен как сумма
симметричного и антисимметричного тензоров, т о. гензор F'lk
можно записать в виде a[k ~ г1к + еГ*, где elk = (v[k -f г'к1I2 и
z\k ~ (elk — eJfei)/2. Легко видеть, что тензор е^, заданный таким
способом, является симметричным, поскольку е^ — (?'lk + e^)/2 —
— (e^t + г[кI2 - Ekl. Тензор же 8^ антисимметричен, ибо г"(ц ~
= (a'ik — «4i)/2 = —(t'ki — *-"Г/г)/2 eli. Согласно выражению A.1)
вращение тела описывается антисимметричным тензором Следо-
Следовательно, чистый сдвиг описывается симметричным тензором Elkr
который полечим, вычитая из г\к антисимметричную часть, т. е.
12
6f* = ь[к — z'ik- Это дает симметричный тензор второго ранга, назы-
называемый тензором деформаций:
1 , , , ,
L 2
диагональные компоненты которого выражают деформацию растя-
растяжения по осям координат, а недиагональные — половину полного
угла сдвига ф12 в плоскости ху:
= 821 = "о"
2 \ду
дх
Трехмерная деформация. В трехмерном случае, рассматривая
аналогичным образом деформацию элемента объема в виде прямо-
прямоугольного параллелепипеда, построенного на проекциях выделен-
выделенного отрезка Ах, Ау и Аг, мы пол\чим еще компоненту деформации
о\1дг — гш, характеризующую растяжение по оси г, и сдвиговые
компоненты, выражающие сдвиг в плоскости xz и ху. Тензор дефор-
деформаций в этом случае будет иметь вид
ер р
11 12 I
ГДе 8ц =
по осям х,
дг\/ду, г33 = д^/дг — деформации растяжения
г;
'21 — 2
Ф12.
«23-«32- 2\дг ^ ду)~ 2
— половины полных углов сдвига в плоскостях ху, yz и xz соот-
соответственно.
Таким образом, при малых деформациях деформированное со-
состояние тела в окрестности точки М с координатами х, у, z полностью
описывается шестью независимыми компонентами тензора деформа-
деформаций г1/г, которые можно представить в общем виде:
1 /
A.2)
где щ, uk — компоненты вектора смещения; i, k = 1,2, 3.
Симметрия тензора zik (как и других тензоров, выражающих
физические свойства) позволяет перейти к более простой «матрич-
«матричной» форме его записи с одним индексом: г1к -*¦ еп, где п = 1, 2,
13
3, 4, 5, 6, причем отсчет компонент производится так, как пока-
показано на схеме:
? =
\
(U)
Эту форму в дальнейшем мы будем часто использовать.
Благодаря симметрии тензора деформаций его можно привести
к главным осям. Сдвиговые компоненты при этом исчезают, и мы
получаем
"еи О О
е«о О
сзз_
где 6^ — единичный тензор (символ Кронекера): 8lb = 1 при i-- k
и 8^ = 0 при i Ф- k.
Определяющим свойством главных осей служит то, что они
являются тремя взаимно перпендикулярными направлениями, ко-
которые при деформации тела остаются взаимно перпендикулярными
(но могут поворачиваться при вращении тела). При деформации еди-
единичного куба с ребрами, параллельными главным осям, прямые углы
между ребрами сохраняются, а длины ребер становятся равными
1 + еи, \ -\- г22 и 1 -f- e33. Изменение объема этого единичного
куба вследствие его деформации равно
в =
еп) A + е22)
е33)
и
3з
ввиду малости деформаций. Таким образом, инвариант тензора ма-
малых деформаций — сумма его диагональных элементов представ-
представляет собой объемное расширение:
дх
A.4а)
Соотношение A.4а) справедливо при отсутствии разрыва сплошно-
сплошности среды, и поэтому оно может рассматриваться как математиче-
математическое выражение сплошности, т. е. является линеаризованным
уравнением неразрывности.
В общем случае неоднородной переменной деформации объем-
объемное расширение в является функцией координат и времени: в =
= в (х, у, г, t) Уравнение неразрывности при переменной деформа-
деформации может быть записано также в виде
где v = du/dt — вектор скорости смещения.
14
Точные выражения для конечных деформаций. Точные выра-
выражения для компонент тензора деформаций получим сразу для
трехмерного случая, вычислив без приближений изменение рассто-
расстояния dL между двумя близкими точками тела вследствие его де-
формашш. Квадрат расстояния между этими точками до деформации
равняется {dLJ — (dXjJ; после деформации он изменится до вели-
величины (dL'Y = (dXi + dutJ. Поскольку dut -=- (дм, дхк) dxk, то это
выражение можно записать в виде:
p-dxk dXi + -p-p-dxk dxt.
xk K l ' dxh dxi R l
Отсюда для приращения квадрата расстояний между двумя близ-
близкими точками имеем: (dL'J — (dLJ — 2elkdXidxk, где
•» = ¦№ + ¦& + &&). '.М = 1,2,3. (..5)
Формула A.5) и представляет собой точное выражение для компо-
компонент тензора деформаций; она переходит в линеаризованное выра-
выражение A.2) в случае достаточно малых деформаций, когда послед-
последним слагаемым можно пренебречь как величиной второго порядка
малости.
§ 2. Тензор напряжений
В педеформированном теле все его части находятся в механиче-
механическом равновесии друг с другом. Это значит, что если выделить вну-
внутри тела какой-нибудь объем, то равнодействующая всех сил, дейст-
действующих на этот объем со стороны других частей тела, равна нулю.
При деформировании же тело выводится из состояния равновесия,
в результате чего в нем возникают упругие силы, обусловленные
межмолекулярным взаимодействием. Радиус действия молекуляр-
молекулярных сил имеет величину порядка расстояния между молекулами,
поэтому в теории упругости сплошной среды он должен считаться
равным нулю. Таким образом, возникающие при деформации вну-
внутренние силы действуют на выделенный объем тела со стороны окру-
окружающих его частей только непосредственно через поверхность
этого объема, т. е. являются поверхностными силами, которые мы
в дальнейшем и будем рассматривать, отвлекаясь от объемных сил
типа силы тяжести. Поверхностные силы пропорциональны площади
поверхности, на которой они действуют. Сила, отнесенная к еди-
единице площади, называется механическим напряжением.
Выделим на поверхности произвольного объема AV деформи-
деформированного тела элемент поверхности dS (рис. 5) достаточно малый,
чтобы действующее через него механическое напряжение * можно
было считать однородным. Проведем внешнюю нормаль п к этой
* Далее везде будем употреблять вместо 1ермина механическое напряжение
термин «напряжение»,
15
поверхности. Напряжение, действующее на поверхность dS, есть
вектор, направление которого в общем случае может не совпадать
с нормалью к поверхности. Знак напряжения выбирается условно.
Принято считать положительным напряжение, составляющее ост-
острый угол с нормалью п, т. е.
растягивающее напряжение На-
Напряжение зависит от положения
и ориентации элемента поверх-
поверхности dS, поэтому вектор на-
напряжения, относящегося к дан-
данной площадке с внешней нор-
нормалью п, обозначают соответ-
соответствующим индексом площадки
оа. Вектор ап может быть раз-
разложен на составляющие по осям
координат апх, опу, onz. В об-
общем случае напряжение ап и его
составляющие являются функ-
функцией координат и времени.
Рис. 5. Чтобы полностью охаракте-
охарактеризовать напряженное состояние
тела в окрестности некоторой точки О, построим вокруг нее прямо-
прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными осям коор-
координат, длиной dx, dy, dz, достаточно малой, чтобы действующие на
грани напряжения были однородными. Выбранный таким образом
элемент объема ограничен гранями лишь трех ориентации, для ко-
которых внешними нормалями являются оси координат х, у, z Дей-
Действующие на эти грани напряжения обозначим соответственно ах,
gu, az (рис 6) Каждое из этих напряжений имеет три составляющие
по осям координат: ах: охх, оку, oxz; ay: oyx> oytl, oyz; az: ozxt ozy, oZ2.
Здесь первый индекс (строки) обозначает грань, второй (столбца) —
ориентацию проекции. Полученные таким образом девять скаляр-
скалярных величин oik полностью характеризуют напряженное состоя-
состояние тела в окрестности данной точки и образуют тензор второго
ранга, называемый тензором напряжений. Этот тензор также яв-
является симметричным, т. е. otk — akit так что он содержит только
шесть независимых компонент, и последовательность индексов
не имеет значения. Заменив индексы х, у, z на 1, 2, 3, тензор напря-
напряжений можно представить в виде
an ai2 ai3
сг21 сг22 сг23
или в матричной форме записи:
сгя =
A.66)
16
где п — 1, 2, 3, 4, 5, 6, а направление отсчета соответствует схеме
A.3).
Симметрия тензора напряжений позволяет привести его к глав-
главным осям, в которых сдвиговые напряжения исчезают и остаются
только диагональные компоненты:
о о
(*22 °
О а<
A.7)
На элемент объема в виде прямоугольного параллелепипеда с реб-
ребрами, параллельными главным осям, действуют только растягиваю*
Рис. 6.
щие (сжимающие) напряжения. Тензор напряжений A.6) описы-
описывает напряженное состояние в окрестностях данной точки тела.
Если он не меняется от точки к точке и не зависит от времени, то
это соответствует однородному постоянному (статическому) напря-
напряжению В общем случае неоднородного динамического напряжения
компоненты тензора otk являются функциями координат и времени:
о,* = alk (я-, у, г, t).
§ 3. Уравнение движения
В случае неоднородного напряжения на частицы среды буд\т
действовать нескомпенсированные поверхностные силы, сообщаю-
сообщающие каждой частице ускорение, обратно пропорциональное ее массе.
Чтобы выразить результирующие силы через компоненты тензора
напряжений otkt рассмотрим движение элемента объема в виде пря-
2 В. А. Ш>1илов
17
<5xx(x+cLx)
моугольного параллелепипеда g ребрами dx, dy, dz, параллельными
осям координат (рис. 7). Объем этого параллелепипеда UV —¦
= dxdydz, масса — т, плотность р = m/(dV). Координаты вер-
вершины М обозначим через х, у, г. Вычислим *-компоненту результи-
результирующей силы, действу-
У ющей на этот элемент
объема вследствие раз-
различия напряжений на
его гранях. Для этого
выделим сначала л;-ком-
л;-компоненты напряжений,
действующих на грани,
перпендикулярные оси
х. На грань с координа-
координатой х действует напря-
напряжение а_х (х) (индекс на-
напряжения по условию
является символом нор-
нормали; положительной
же нормалью к грани с
координатой х является
ось —х). Его составляющая вдоль оси х о~хХ (х) есть скалярная ве-
величина, обозначенная на рис. 7 стрелкой для указания знака напря-
напряжения. В силу равенства действия и противодействия I 0-хх (х) | =
= \оХх (х) !• Нормальное напряжение на грани с координатой
х -f dx есть охх (х + dx). Результирующая сила, действующая на
грани, перпендикулярные оси х:
Fxx = [ахх (х + dx) - охх (х)] dy dz.
При достаточно малых размерах параллелепипеда изменение напря-
напряжения вдоль его ребер можно считать линейным. Тогда
до
xx
Рис. 7.
дх
Г к к —
да,
дх
-dx
dV.
Аналогично для ^-составляющей сил, действующих на грани, пер-
перпендикулярные осям у и г, получим:
„ ООцх „ дО г у
ду
dz
Полная л'-составляющая силы, действующей на весь элемент объ-
объема, есть
дх
+
до
ху
до
дг
Она сообщает элементу объема ускорение вдоль оси х:
где I — смещение рассматриваемой частицы вдоль оси х
Таким
18
образом, уравнение движения частицы (второй закон Ньютона)
вдоль оси х есть
дахх даху долг d%
i.. . i . | '' i . | - ¦'-- ... f\ ——— I I Q2 I
Аналогично для двух других осей:
do,,v до,,,, до и г d2r)
догх t догу t do2Z d% .
Р ~Ш~' A.ОВ)
дх ^ ду п дг г dV '
Заменив индексы х, у, г на 1, 2, 3 и координаты х, у, z на хъ хъ х3,
уравнения A.8) можно объединить в одно выражение:
doik/dxk^pdvi/dt, i, &=1, 2, 3, A.9)
в котором предполагается суммирование по повторяющемуся ин-
индексу. Это выражение представляет собой полное уравнение движе-
движения, которое является одним из основных уравнений динамики
сплошных сред. Смещение и н скорость смещения v — функции коор-
координат и времени. Поэтому полную производную по времени в урав-
уравнении A.9) можно представить в виде
dt ~ dt f dxk
где первая (локальная) производная описывает изменение скорости
частицы во времени в данной точке пространства вследствие дейст-
действия сил, а второй член (сумма субстанциальных производных) —
изменение скорости вследствие перемещения частицы в соседние
точки среды с другой скоростью движения. При малых смещениях
и скоростях смещений субстанциальными производными, пред-
представляющими собой величины второго порядка малости по сравне-
сравнению с локальной производной, можно пренебречь, полагая dvildt =»
= dvjdt.
Аналогично мгновенную плотность р возмущенной среды можно
представить в виде суммы: р = р0 + Ар, где р0 — равновесная
плотность иевозмущенной среды; Др — изменение плотности вслед-
вследствие деформации. При малых деформациях Ар <^ р0 и мгновенную
плотность р можно положить равной р0. Тогда выражение A.9)
приобретает более простой вид:
или doikldxk — Ро d2Ui/dt2. A.11)
В этой линеаризованной форме уравнение движения является точ-
точным только для бесконечно малых смещений. В такой форме оно
и используется в акустике бесконечно малых амплитуд. К чему
приводит учет нелинейных членов, мы рассмотрим ниже на при-
примере распространения ультразвуковых волн конечной амплитуды
в жидкостях.
2* 19
§ 4. Связь между деформацией и напряжением.
Обобщенный закон Гука
До сих пор мы рассматривали деформации и напряжения неза-
независимо друг от друга. Фактически же деформация упругого тела
влечет за собой появление в нем внутренних напряжений, стремя-
стремящихся уничтожить эти деформации, т. е. восстановить равновесное
состояние. Таким образом, между напряжением и деформацией
существует определенная зависимость, т. е.
Опыт показывает, что при малых деформациях напряжение пропор-
пропорционально деформации. Этот факт, установленный Гуком для про-
простейших деформаций, составляет формулировку известного закона
Гука, справедливого только для достаточно малых деформаций и
напряжений. Применительно к акустике бесконечно малых ампли-
амплитуд мы можем ограничиться рассмотрением идеально упругих сред,
для которых связь между напряжением и деформацией линейна.
Поскольку в общем случае напряжение и деформация определяются
тензорами второго ранга, имеющими по шесть независимых компо-
компонент, то естественным обобщением закона Гука будет линейная
зависимость между ними. Тогда обобщенный закон Гука можно сфор-
сформулировать так: компоненты напряжения в данной точке тела яв-
являются линейными и однородными функциями всех компонент
деформации, т. е.
о, = сг1ег -f c22e2 -f с23е3 -f ci4e4 -f c25e5 -f сгвев;
с43е3 -f сиех -f с45 f
а5 = спег -Ь с5ае2 + с53е3 + с54е4
fe = Ce^j + с«.ге2 4- с63е3 4- ?б4е4 4- ^e
или в обобщенном виде (в матричной форме записи):
Оп = СптЪт, «, Ш=\, 2, 3, 4, 5, 6 A.136)
с суммированием по повторяющемуся (немому) индексу (индексу
строки). В тензорной форме, когда для компонент напряжений и
деформаций должны быть сохранены два индекса (как, например,
в уравнении движения A.11)), обобщенный закон Гука будет иметь
вид:
Gik — ClkljSlj- A.13в)
Коэффициенты пропорциональности спт называются линейными
модулями упругости или константами жесткости. Их размер-
размерность совпадает с размерностью напряжения; 36 величин спт обра-
образуют тензор четвертого ранга, называемый тензором модулей упру-
20
гости, в теории упругости показывается f6, 7], что этот тензор
является симметричным, т. е. спт — стп (cikJl -^ cjUk), так что он
содержит 21 независимую константу и имеет вид
^12 ^22 ^23 ^24 ^25
С18 С32 С38 С34 С35
С14 С42 С43 С44 С45
С15 С52 Сб3 С54 С55
^16 ^62 ^68 ^64 ^65
В таком виде тензор спт характеризует упругость среды, не име-
имеющей элементов симметрии. Наличие таковых уменьшает общее ко-
количество отличных от нуля модулей упругости и количество незави-
независимых модулей. В табл. 1 приведены матрицы модулей упругости
для различных кристаллографических систем. Как видно из этой
таблицы, упругие свойства кристаллов, например гексагональной
системы, характеризуются уже только пятью независимыми мод\-
--лями упругости, для кристаллов же кубической симметрии число
{независимых модулей уменьшается до трех. При этом следует иметь
iB виду, что приведенные таблицы констант упругости относятся
Ik вполне определенному положению осей координат относительно
^кристаллографических осей. В изотропном теле модули упругости,
^естественно, не могут зависеть от направления координатных осей,
,что приводит к условиям [81:
С\а Счц С
'12
13
с44 — са5 — с66 — (си с12)/2, сп — с.22 —
а все остальные модули равны нулю. Это означает, что упругость
изотропных твердых тел определяется двумя независимыми моду-
модулями, в качестве которых принято использовать константы Ламэ
К и (и, вводимые по определению: X — с12 = с13 = с23; ц = с44 =
— с55 — свв. Тогда, согласно A.14), сп — с22 = с33 — "к -\- 2ц. Если
компоненты напряжений и деформаций представить с двумя индек-
индексами, то закон Гука A.13в) для изотропного твердого тела можно
записать в виде
k=lt 2, 3,
A.15)
где 0 = ец 4- е22 -f jj33 — объемное расширение.
Следует также отметить, что величины модулей упругости спт
зависят от того, определяются ли они при адиабатическом или
изотермическом процессах деформации. В связи с этим различают
адиабатические и изотермические значения модулей упругости.
Так как процесс распространения ультразвука близок к адиабати-
адиабатическому, то в дальнейшем мы будем иметь в виду адиабатические
значения модулей.
21
Таблица
Матрицы Модулей упругости
для различных групп кристаллов
Группа
1
I
II
III
IV
V
VI
VII
r ктема
2
Триклин-
ная
Моно-
клин-
клинная
Ромбичес-
Ромбическая
Тетраго-
наль-
нальная
»
Триго-
на^ь-
ная
»
Класс
а
Сх, 5,
С2, C2/j,
с6
С4, Cih,
^4xi
54, D2d,
Di,Dih
Сзу C3l
?>з. D3V,
п
У3</
Кол-во не-
независимых
модулей
4
21
13
9
7
6
7
6
Матрица
5
СП С\2 Clg C14
^22 С23 Сд
с3з сы
Си
С\\ Сп Cl3 0
с22 ci9 0
с8з 0
С44
Сц Ci2 C13 0
Сп С23 0
Сзэ 0
с44
С11 ^12 С13 0
Сц С13 0
сзз 0
С44
Си с12 с13 0
сп с13 0
г 0
С33 и
С44
Сц С12 С1Ч С14
Сц Cj>5 —C14
С33 0
С44
1
1
?
Сц Сп С1з С14
с\\ С13 —С14
г П
С33 и
с44
1
С15
С25
С35
С45
С55
0
0
0
С45
С55
0
0
0
0
С45
0
0
0
0
С44
0
0
п
0
С44
—с
с
(
с
Cie
С26
C3S
С46
с5в
св6
Cie
Сгв
Сзв
0
0
Сев
0
0
0
0
0
свв
сХв
—с1в
0
0
0
св„
DO
0
0
0
0
0
Cqq
\r, 0
'25 0
) 0
-с25
С44 С] 4
(сп
0
0
о
и
0
с44
(Сп
—Ci2)
0
0
п
0
С14
-^Х2)
Пример
6
Медный
купорос
Гипс
Сегнетова
соль
Шеелит
Дигидрофос-
фат аммония
Доломит
ot-кварц,
турмалин
22
Продолжение таблицы I
1
VIII
IX
2
Гексаго-
наль-
нальная
Кубиче-
Кубическая
3
T,O,Th,
*d> °h
4
5
3
5
С\ 1 С j 2 ^13 ^ " ^
сХ1 си 0 0 0
с33 0 0 0
с440 0
с„0
cu cl2 cl2 0 0 0
сп сц 0 0 0
сп 0 0 0
си 0 0
* си
6
Р-кварц,
сульфид
кадмия
Щелочно-га-
лоидные
кристаллы
Поскольку уравнения A.13) являются линейными однородными
уравнениями, их можно решить относительно компонент деформаций
ет. Это дает систему уравнений ?т — kmnon, связывающих дефор-
деформации с напряжениями. Коэффициенты пропорциональности kmn
можно назвать упругими восприимчивостями или коэффициентами
гибкости. Они также образуют тензор четвертого ранга, относи-
относительно которого можно сказать то же, что и о тензоре модулей упру-
упругости. Размерность коэффициентов гибкости обратна размерности
механического напряжения.
§ 5. Энергия упругой деформации
Вычислим энергию упругодеформированного тела. Пусть век-
вектор смещения и вследствие деформации тела изменился на малую
величину йщ. Элементарная работа, производимая при этом си-
силами внутренних напряжений, есть произведение силы F{ =
==- дв1ь!дхк на перемещение dui, проинтегрированное по всему объ-
объему тела V: dA -- § v (doik/dxk)(dut)dV. Интегрируя по частям, по-
получаем
dA=§ otk {dui) dS~^valk-~ (dut) dV.
Для неограниченной среды, не деформированной на бесконечности,
первый, поверхностный, интеграл исчезает, поскольку на поверх-
поверхности Oik — 0. Второй интеграл, в силу того, что (dldxk)(dui) =
-- d {duildXk), можно записать в виде \oikd {du,ldxk)dV. Подынте-
Подынтегральное выражение здесь представляет собой работ} сил внутрен-
внутренних напряжений в единице объема тела:
dA'= — oikd
! дщ
A.16)
23
В случае линейно-упругой деформации, учитывая симметричность
тензора напряжений otk, имеем
где Eik — тензор деформаций. Таким образом, для работы сил внут-
внутренних напряжений получаем
Для обратимого адиабатического процесса эта работа равна изме-
изменению внутренней энергии тела (на единицу его объема), взятому
с обратным знаком, т. е.
Отсюда, в частности, следует определение тензора напряженки из
внутренней энергии:
dUd A.19)
или в более общем виде, с учетом A.16):
дЛ 1 (I 20)
д{дщ1дхк) |„- [1'^>
Подставляя в формулу A.18) напряжения oik из закона Гука A.13в),
имеем d(J =- Cikjfi]idzik, что после интегрирования дает U ~
— Cikjfiikbjil?- Эта формула выражает потенциальную энергию
упругодеформированного тела в линейном приближении. Она
содержит деформации во второй степени, и поэтому входящие в нее
линейные модули упругости cihjl (или спт в двухиндексном обозна-
обозначении) называют еще модулями упругости второго порядка. Для
изотропного твердого тела, упругость которого характеризуется
двумя линейными модулями, выражение для внутренней энергии
можно получить, раскладывая ее в ряд по степеням малых деформа-
деформаций Bik. При этом необходимо учесть, что в недеформированном со-
состоянии, т. е. при eik —- О, напряжения должны отсутствовать, т. е.
oik = о. Поскольку же aik =- д1Лдгц{, то из этого следует, что в раз-
разложении U по степеням eik должны выпасть линейные члены. Да-
Далее нас будет интересовать только избыточная энергия, поэтому
постоянный член разложения можно также положить равным нулю.
Что же касается квадратичных членов (и членов более высокого по-
порядка), то их можно записать на основании того соображения,
что поскольку внутренняя энергия является величиной скалярной,
то и каждый член в разложении V тоже должен быть скаляром.
Из компонент симметричного линеаризованного тензора eik можно
составить два независимых скаляра второй степени: квадрат суммы
диагональных компонент (&цJ — в2 и сумму квадратов всех ком-
компонент e'ik f6]. Таким образом, разложив внутреннюю энергию
в ряд по степеням е/Л, мы получим с точностью до квадратичных
членов
24
где "к и |л — введенные выше константы Ламэ. Дифференцируя это
выражение по sik, согласно определению A.19) можно найти связь
между напряжениями и деформациями, что приводит к закону Гука
для изотропного твердого тела в форме A.15).
В общем случае связь между напряжениями и деформациями не
является линейной. Для учета этой нелинейности нужно использо-
использовать точное выражение для тензора деформаций A.5) и в соотноше-
соотношениях типа A.13) сохранить члены с более высокими степенями де-
деформаций. К чему приводит учет нелинейности упругости в теории
распространения ультразвуковых волн, мы рассмотрим более по-
подробно далее (в гл. IV—V) по отношению к продольным волнам
в среде, характеризующейся одним модулем упругости, а затем,
в гл. X, коротко остановимся на нелинейности твердых тел.
§ 6. Простейшие деформации и связь
между различными модулями упругости
В соответствии с формулой A.15) уравнения упругости для
изотропной среды запишутся в виде:
а22 = Хв + 2|ле22; а33 = А,в + 2це33; A.22)
Эти уравнения можно решить относительно компонент деформаций,,
что дает:
2(Я + Ц)вц— Яа22 — Яа33 .
11
_ — Яаи—;
33 " 2и
Анализ уравнений A.22), A.23) позволяет выделить несколько
наиболее простых случаев деформации, которые в динамическом
режиме могут распространяться в изотропном теле в виде соответ-
соответствующих упругих волн.
Одномерное напряжение (растяжение стержня). Пусть из всех
компонент тензора напряжений отличным от нуля является лишь
компонента аи — охх — а, остальные oik — 0. Из уравнений A.23)
для этого случая имеем:
Таким образом, положительное нормальное напряжение, дей-
действующее вдоль осн х, вызывает растяжение в этом направлении и
изотропное сжатие в поперечных направлениях (все модули упруго-
упругости, в том числе и константы Ламэ, — величины положительные).
Поскольку деформации по осям у и г в сплошной среде должны
26
сопровождаться соответствующими напряжениями, то исходное
>словие одномерного напряжения может быть выполнено лишь при
наличии свободных боковых поверхностей. Следовательно, рассма-
рассматриваемый случай реализуется при растяжении стержня, ориенти-
ориентированного вдоль оси х.
Коэффициент перед напряжением в первой формуле A.24) по
смыслу представляет собой коэффициент гибкости растягиваемого
стержня, а обратная ему величина — эффективный модуль упруго-
упругости, который в этом случае называется модулем Юнга:
E = ¦
A,-Hi
A.25)
С учетом A.25) первая формула A.24) принимает вид еи = а/Е.
Таким образом, модуль Юнга характеризует жесткость стержня по
отношению к его продольному растяжению (сжатию) и определяет
механическое напряжение, при котором величина деформации долж-
должна стать равной единице, т. е. длина стержня изменится в два
раза (разумеется, при сохранении справедливости закона Гука).
Значения модуля Юнга Е для некоторых изотропных тел приведены
в табл. 2.
Таблица 2
Значения модуля Юнга, коэффициента Пуассона и модуля сдвига
для некоторых изотропных твердых тел
Материал
Вольфрам
Сталь 3
Железо
Медь
Латунь
Золото
Алюминий
Олово
Свинец
Кварц плавленый
Стекло крон
флинт
Фарфор
Лед
Плексиглас
?•10-",
Н/м*
36,0
22 4-24
21
12,0
94-10
8,0
7,0
5,4
1.6
7,4
7,2
5,5
6,0
1,0
0,5
Ve
0,27
0,30
0,28
035
0,35
0,41
0,34
0,33
0,44
0,18
0,25
0,23
0,23
0,33
0,35
G-iO-w,
Н/м*
13,3
8,5 ч-8,8
8,2
4,6
3,0^-3,7
2,9
2,6
2,0
0,6
3,2
2,9
2,4
2,4
0,4
0,15
Абсолютное отношение поперечной деформации стержня к про-
продольной, т. е. относительного поперечного сжатия к относитель-
относительному удлинению, вызванному продольным напряжением, называ-
называется коэффициентом Пуассона (v0):
vn =
I?2
(L26)
Таким образом, е23 = е33 — —voa/?, т. е. поперечное сокращение
стержня при его продольном растяжении характеризуется жест-
костью Eh0. Значения v0 для разных сред лежат в пределах 0,2 -ь
-f- 0,5. Модель Юнга Е и коэффициент Пуассона v0 являются еще
двумя независимыми величинами, полностью характеризующими
упругие свойства изотропного твердого тела; их значения приве-
приведены в табл. 2.
Решая уравнения A.25) и A.26) относительно констант Ламэ к
и }а, найдем их выражения через Е и v0:
vo)]-i. A.28)
Одномерное растяжение. Пусть, наоборот, возможна лишь де-
деформация продольного растяжения, например вдоль оси х, т. е.
еи = гХК Ф 0, остальные компоненты тензора деформаций effe
равны нулю. Такая ситуация реализуется, в частности, в плоской
продольной ультразвуковой волне, распространяющейся в толще
изотропного твердого тела, которое можно считать безграничным
по осям у и г. При этом в соответствии с законом Гука A.22)
«Гц = (^ + 2|Л) «11, <*22 = <*33 = ^11- A-29)
Таким образом, в этом случае на границе деформируемой части
среды возникают поперечные напряжения; жесткость же среды по
отношению к ее продольному растяжению характеризуется модулем
си = Л + 2ц. A.30)
Выражая константы Ламэ через Е и v0 с помощью уравнений A.27)
и A.28), получаем: сп = Е [2 A + vo)(l —v,,)], откуда следует,
что при любом реальном значении v0 модуль Е < сп. Физически
это означает, что отсутствие поперечного сокращения «затруд-
«затрудняет» растяжение среды, чему соответствует большее значение ее
эффективной жесткости при одномерном растяжении.
Чистый сдвиг. Пусть, например, в плоскости ху действует сдви-
сдвиговое (тангенциальное) усилие а12 — ат; остальные компоненты
тензора напряжений равны нулю. Из уравнений A.23) в этом слу-
случае имеем: е12 - е2] = ат/Bп). Согласно определению A.2), компо-
компонента тензора деформаций е12 означает половину угла сдвига в пло-
плоскости ху. 8ia = qW2. Следовательно, полный угол сдвига в этой
плоскости ф = ог/ц = ax/G.
Таким образом, константа Ламэ ц представляет собой модуль
сдвига G, определяющий величину угла сдвига ср при данном каса-
касательном напряжении ат. Связь этого модуля с модулем Юнга Е
и коэффициентом Пуассона v0 дается соотношением A.28), из ко-
которого следует, что модуль сдвига в 2,5—3 раза меньше модуля
Юнга. Численные значения модуля сдвига для различных изотроп-
изотропных твердых тел также приведены в табл. 2.
Всестороннее сжатие. Пусть на элемент объема в виде куба,
ребра которого ориентированы параллельно осям координат х, у,
г, действуют одинаковые сжимающие напряжения — ап — —а22 =
= —^зз — Р> касательные же напряжения отсутствуют. В этом
27
случае уравнения A.22) принимают следующий вид:
— Р = Х& + 2\хеи, — Р = %в
— р = Хв + 2\хе33, е12 = е2з =
Складывая эти уравнения, получаем
Выражение A.31) представляет собой закон Гука для всестороннего
сжатия. Величина
/( = *, +B/3) у, A.32)
носит название модуля всестороннего сжатия или модуля объемной
упругости. Подставив в A.32) выражения для Я и |i (I.27) и A.28),
получим связь модуля объемной упругости /( с модулем Юнга Е
и коэффициентом Пуассона v0: К. ~ Е [3 A — 2т,,)], откуда, в част-
частности, следует, что предельное значение v0 для несжимаемой среды
(/( = оо) составляет 0,5. Сопоставляя выражения A.32) и A.30),
находим еще связь между модулями си и /<:
си = /С + D/3)и.. A.33)
Сжимающее (отрицательное) напряжение Р называется положи-
положительным давлением. Таким образом, для знака давления принимается
обратное определение: положительным считается давление, направ-
направленное внутрь рассматриваемого объема. Положительному давле-
давлению, согласно A.31), соответствует отрицательное объемное расши-
расширение в (/( > 0). Если плотность среды внутри рассматриваемого
элемента с объемом Vo была р0 = miV0, а после деформации увели-
увеличилась до значения р ~ р 0 ¦ Ь Ар, то относительное изменение плот-
плотности Ар /р0 =¦ — А К/%, где А К - V — Vo и V — объем деформи-
деформированного элемента. Величину Ар/р0 — s называют относитель-
относительным сжатием. Закон Гука для относительного сжатия можно пред-
представить в виде
s^P/K. (I.34)
Среда, не обладающая сдвиговой упругостью. Если среда обла-
обладает идеальной текучестью (идеальная жидкость, газ), то это соот-
соответствует отсутствию сдвиговой упругости («упругости формы»),
т. е. для такой среды модуль сдвига G = 0. Следовательно, упру-
упругость идеально текучей изотропной среды характеризуется только
одной константой упругости Я, которая в этом случае, согласно вы-
выражению A.32), равна модулю всестороннего сжатия К. Благодаря
отсутствию сдвиговых напряжений на любой элемент поверхности,
выделенный внутри текучей среды, действует только нормальное
напряжение (давление), которое является скалярной величиной.
Соответственно любой элемент объема такой среды подвергается
только всестороннему сжатию. В последующих главах мы рассмо-
рассмотрим распространение ультразвуковых волн именно в таких средах,
перейдя затем к средам, характеризующимся большим количеством
линейных модулей упругости.
Глава II
РАСПРОСТРАНЕНИЕ УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ВОЛН
В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
§ 1. Акустические характеристики идеальной жидкости
В последующих главах мы будем рассматривать распростране-
распространение ультразвуковых волн в безграничной среде, которая обладает
только объемной упругостью, но не имеет упругости формы и вяз-
вязкости, т. е. является идеально текучей. В соответствии со сказанным
в § 6 гл. I, в такой среде, которой мы приписываем свойства идеаль-
идеальной сжимаемой жидкости, возможны лишь упругие деформации
всестороннего сжатия, и, следовательно, в ней могут распростра-
распространяться упругие волны только одного типа — волны сжатия (разре-
(разрежения). Это существенно упрощает анализ возмущений и в то же
время позволяет получить основные акустические соотношения для
наиболее общего типа волн, которые могут существовать как в жид-
жидкостях (и газах), так и в твердых телах. В последних, как мы ви-
видели, возможны и другие упругие деформации, которым соответ-
соответствуют иные типы волн, рассматриваемые ниже. Однако те соотно-
соотношения, которые мы получим для волн сжатия в идеальной жидко-
жидкости, будут справедливы и для других волн, поэтому в основных
чертах они имеют общее значение для разных типов волн в различ-
различных средах. Реальные жидкости обладают некоторой упругостью
формы. Такая упругость заметно проявляется лишь при очень боль-
больших скоростях деформации, значительно превышающих скорости,
соответствующие ультразвуковым колебаниям самой высокой ча-
частоты, при которой они могут распространяться в жидкости без
существенного затухания. Это дает основание считать скорости де-
деформаций в ультразвуковой волне достаточно медленными, чтобы
сдвиговой упругостью реальных жидкостей можно было полностью
пренебречь.
В вязкой жидкости возможно также образование вязких сдвиго-
сдвиговых волн. Однако, как будет показано ниже, такие волны затухают
на ничтожно малом расстоянии от источника, и их можно не учиты-
учитывать. Наличие вязкости в реальной жидкости, а также других ме-
механизмов потерь энергии упругих колебаний приводит и к затуха-
29
нию ультразвуковых волн сжатия в процессе их распространения
в такой диссипативной среде Однако ^то затухание не столь велико,
как затухание вязких волн, и на первом этапе им также можно
пренебречь, учитывая его затем дополнительно в тех результатах,
которые будут получены для идеальной жидкости.
Благодаря отсутствию сдвиговых напряжений в идеальной жид-
жидкости, существующие в ней напряжения (давления) всегда действуют
перпендикулярно любой выделенной в ней площадке, и сила давле-
давления, приложенная к элементу объема, проходит через его центр
инерции, вызывая только поступательное движение частиц. Та-
Таким образом, движение частиц в идеальной жидкости должно быть
безвихревым, что математически выражается условием
rotv = 0, (II.1)
где v — скорость смещения частиц.
В качестве основных акустических параметров жидкости мы
будем рассматривать ее плотность р, давление Р и смещение частиц
из положения равновесия и или скорость смещения v = duldt.
При этом каждую из названных величии будем считать состоящей
из постоянной составляющей- и конечной добавки, изменяющейся
в акустической волне, т. е. зависящей от координат и времени:
P=PQ + p{x, у, г, t)y
р-Ро + Ар(х, у, г, /)>
V = Vo + v(*, у, г, /),
где Ро — статическое давление (например, атмосферное давление
в газе или внутреннее давление жидкости); р0 — плотность невоз-
невозмущенной среды, соответствующая давлению Ро: v0 — скорость по-
постоянного течения, которую мы в дальнейшем будем считать равной
нулю, полагая V = v. Поскольку далее Ро — const и ро = const,
то dP -- dp, dp = d (Ар), так что при дифференцировании вели-
величин Р, р и v различия между их полными и переменными значе-
значениями можно не делать. При распространении волн сжатия в среде
происходят также колебания температуры, поэтому в качестве чет-
четвертого переменного акустического параметра следовало бы ввести
еще температуру среды Т. Однако, считая процесс распростране-
распространения ультразвуковых волн адиабатическим, используя соответственно
адиабатические значения модулей упругости и пренебрегая поте-
потерями из-за конечной теплопроводности среды, этот параметр можно
не рассматривать. Приращения же температуры в акустической
волне AT можно найти с помощью известного термодинамического
соотношения для адиабатического процесса сжатия:
т0+лт _(Pf=1
(
тп ~\Р0
где То — равновесная температура; у = Ср/су — отношение удель-
удельных теплоемкостей.
30
Таким образом, любая задача акустики идеальной жидкости сво-
сводится к отысканию параметров р, р и v как функций координат
и времени. Связь между этими параметрами дается уравнениями
движения, неразрывности и упругости, приведенными в гл. I для
общего случая анизотропных сред, обладающих упругостью формы.
В частном виде, применительно к текучим средам, эти уравнения
образуют систему уравнений гидродинамики (в форме записи
Эйлера), являющуюся основной системой акустических уравнений
для жидкостей и газов.
§ 2. Уравнения гидродинамики
Уравнение движения. Подставляя значение тензора напряже-
напряжений Oik = —рЬш в уравнение A.9), получаем уравнение движения
для идеальной жидкости (газа) в виде
dp c dvi fdvi . dv;
k
fdvi . dv; \ /TI .,
ТГ ~ Р -аГ + IT1- vk) ( И . 4)
dt У\ dt ' dxk 1
или в векторной форме:
dv dv
где р — полная (мгновенная) плотность: р = р0 + Ар; знак минус
соответствует выбранному определению положительного давления.
Эти уравнения можно «линеаризовать», пренебрегая субстанци-
субстанциальными производными и полагая р ж р0 (Ар /р0 ^ 1); в этом слу-
случае имеем, аналогично A.10):
dv /тт _>
V (IL5)
В такой линеаризованной форме уравнение движения можно счи-
считать точным лишь для гипотетических бесконечно малых возму-
возмущений.
Потенциал скоростей. Безвихревой характер движения в иде-
идеальной жидкости позволяет ввести более удобный скалярный пара-
параметр вместо векторной величины скорости v. Условие отсутствия вра-
вращения частиц (II. 1) в проекциях по осям координат имеет вид
dvK dvu dv,, dvz dv, dvK
i — = 0 - -=0 - — = 0 СП 6)
dy dx ' dz dy ' dx dz ' \ ' >
Это условие позволяет ввести некую скалярную функцию <р (х, у,
z, t) по определению
v = — Vcp, A1.7)
при котором левые части уравнений (II.6) действительно обраща-
обращаются в нуль. По аналогии с потенциальной энергией, дифференци-
дифференцирование которой по координатам определяет величину действую-
действующей силы, функцию ф (х, у, z, t) называют потенциалом скоростей.
31
Согласно определению (II.7) компоненты вектора скорости v свя-
связаны с этой функцией соотношениями:
vx = — д(р/дх, Vy = — ду/ду, vz = — дф/dz. (II .8)
Заменяя в уравнении движения (II.5) скорость смещения v ее вы-
выражением через потенциал скоростей (II.7), получаем
откуда вытекает другая форма уравнения движения с потенциалом
скоростей:
Уравнение (II.9) в то же время определяет переменное давление
через потенциал скоростей <р. Точное уравнение движения с потен-
потенциалом скоростей имеет вид: р — pdy/dt.
Уравнение неразрывности в виде A.4а) или A.46), являю-
являющееся математическим выражением сплошности среды, имеет оди-
одинаковую форму для любых сред. Заменив в A.46) объемное расши-
расширение сжатием s = —6, получим уравнение неразрывности в виде
-If = divv. A1.10)
Поскольку р = р (л'ь t), то полная производная dp Idt = dp Idt -f
-J- vtdp /dxif поэтому точное уравнение неразрывности можно за-
записать еще в такой форме:
до до . dvi д
или — dp/dt — \/ (pv).
При условии Ар «^ ро в первом приближении можно положить
р с^ р0 и dp Idio^ dp Idt. Тогда получаем «линеаризованное» урав-
уравнение неразрывности —dp Idt — р 0 div v, справедливое для бес-
бесконечно малых возмущений.
Заменив в последнем выражении вектор скорости v потенциа-
потенциалом скоростей (р по определению (II.7), получим еще одну форму
линеаризованного уравнения неразрывности:
dt
= podiv(v<p)=poA<P,
где Д — оператор Лапласа — сумма вторых производных по коор-
координатам.
Уравнение сохранения импульса. Уравнение движения и урав-
уравнение неразрывности можно объединить в одно, которое часто
используется в гидродинамических и акустических расчетах. Ум-
Умножая A1.11) на Vi и складывая с t-й компонентой уравнения (II.4),
получаем
32
где 6,fr— единичный тензор. Уравнение A1.13) выражает закон
сохранения импульса (количества движения) единицы объема идеаль-
идеальной среды в дифференциальной форме. Смысл этого уравнения ста-
становится наглядным при интегрировании по некоторой фиксирован-
фиксированной в неподвижном пространстве области с объемом V и площадью
поверхности S. Интегрирование дает
__
dt
pvtdV = — <j)s (pvtvk + рб/fc) nkdS, (H. 14)
где n — единичный вектор внешней нормали к поверхности S.
Левая часть этого уравнения выражает изменение количества дви-
движения в фиксированном объеме неподвижного пространства, пра-
правая — поток импульса через поверхность, ограничивающий этот
объем. Поскольку изменение импульса определяет силу, действую-
действующую на поверхность выделенного объема, то поверхностный инте-
интеграл в правой части уравнения A1.14) определяет компоненты этой
силы: Ft = —fs^ihnkdS, где тензор
по смыслу может быть назван тензором натяжения. Уравнения
A1.13) — A1.15) в такой форме понадобятся нам в дальнейшем для
расчета давления ультразвуковой радиации.
В линеаризованной же форме уравнение сохранения импульса
A1.13) принимает вид: д (p0Vj)/dt =—dpldxt.
§ 3. Уравнение состояния для жидкостей и газов
Уравнение упругости для идеальной сжимаемой жидкости (газа)
было получено нами в § 6 гл. I в виде закона Гука для всесторон-
всестороннего сжатия A.34):
p = Ks, A1.16)
где К — линейный модуль объемной упругости; s= Др/р0, р =
= Р — Ро — избыточное давление. Линеаризованное уравнение
A1.16) справедливо лишь для достаточно малых деформаций, при
которых связь между давлением и плотностью жидкости (газа)
можно полагать линейной. В общем же случае зависимость между
давлением и плотностью является нелинейной; тогда точное урав-
уравнение упр\гости может быть записано в виде функции
Р = Р(Р), (И-17)
где р = р0 -L Др. Поскольку во всех практических случаях,
с которыми приходится иметь дело в акустике, выполняется нера-
неравенство Др <^ р0, функцию A1.17) можно разложить в ряд Тей-
Тейлора по степеням приращения плотности Др вблизи значения
3 В. А Путилов 33
p = p0 (Ар = 0):
• (ПЛ8>
-- <"Л9>
где Ро — постоянное давление, которому соответствует плотность р0.
Коэффициент при первой степени сжатия представляет собой вве-
введенный выше линейный модуль объемной упругости К, точное зна-
значение которого определяется как производная:
«-*&).-*•
Соответственно коэффициент при s
A1.20)
A1.21)
также имеющий размерность давления, может быть назван нелиней-
нелинейным модулем объемной упругости (модулем «третьего» порядка).
При малых сжатиях квадратичными членами в уравнениях
A1.18) и A1.19) можно пренебречь, полагая
A1.22)
Такая «линеаризация» уравнения A1.17) эквивалентна замене про-
производной dp /dp отношением ко-
'/ нечных приращений давления и
плотности:
р-р„
где а — угол наклона касатель-
касательной к кривой р (р) вточкер=р0
(рис. 8), и может быть допущена
при достаточно малых отклоне-
отклонениях плотности Ар . Таким обра-
образом, линейное уравнение (II. 16)
является точным формально
только для «бесконечно малых»
возмущений.
Уравнение A1.17) представ-
представляет собой реологическое урав-
уравнение состояния. Его явная форма зависит от характера процесса
сжатия и свойств реальной среды. При изотермическом сжатии
идеального газа зависимость между давлением и плотностью да-
дается законом Бойля — Мариотта-
Р;Ро = Р/Ро, A1.23)
Рис. 8.
т. е. является линейной. Модуль объемного сжатия (изотермический)
в этом случае равен /С„3 = р0 (dp/dp)T = c<ms\ = Ро, где Ро — ста-
статическое давление.
Как уже отмечалось, процесс распространения звука (ультра-
(ультразвука) является процессом, близким к адиабатическому. Поэтому
в качестве реологического уравнения состояния газа следует ис-
использовать уравнение Пуассона:
\ (П.24)
где у — Cplcy — отношение удельных теплоемкостей при постоян-
постоянном давлении и постоянном объеме. Это уравнение является нели-
нелинейным. Величину линейного модуля объемной упругости (в дан-
данном случае адиабатического) найдем на основании соотношения
A1.20):
к»=*[%1-,г*р» (IL25)
Следовательно, «жесткость» газа при его адиабатическом сжатии
в у раз больше жесткости при изотермическом сжатии. Таким обра-
образом, линеаризованное адиабатическое уравнение состояния газа
принимает следующий вид:
p = yP,fi. (H.26)
Для жидкостей уравнение состояния в явной форме предста-
представить не удается. По аналогии с газами его можно записать в виде
Р/Ро = (Р/Ро)я, (П.27)
называемого уравнением Тэта, где п — эмпирический параметр,
характеризующий нелинейность упругости данной жидкости.
В линеаризованной форме адиабатическое уравнение состояния
жидкости можно представить в виде
Р = Кал8, A1.28)
где /Сад = ро (dp/dp)l*LPo — адиабатический линейный модуль объ-
объемной упругости, который связан с изотермическим модулем /Сиз
известным термодинамическим соотношением:
a-TTK
где Т — абсолютная температура; ат — коэффициент теплового
расширения.
В дальнейшем мы будем использовать адиабатические уравне-
уравнения состояния, принимая в расчет адиабатическое значение модуля
объемной упругости /Сад и обратной ему величины
хад = ^ад = р о1 (dp /dp)p\<>,
называемой коэффициентом сжатия или адиабатической сжимаемо-
сжимаемостью среды (опуская индекс «ад»). Адиабатический модуль
3* 35
(или сжимаемость) характериз\ет упругость среды при ди-
динамическом ее сжатии, а изотермический — при статическом
(бесконечно медленном). Поэтому адиабатический модуль (сжимае-
(сжимаемость) называют иногда динамическим модулем (сжимаемостью),
а изотермический — статическим. Адиабатическое значение ли-
линейного модуля объемной упр)гости или сжимаемости среды опре-
определяется непосредственно из данных измерений скорости распростра-
распространения в ней ультразвуковых волн. В табл. 3 приведены значения
адиабатического модуля /Сад, адиабатической сжимаемости к1д,
внутреннего давления Ро и параметра п для некоторых чистых жид-
жидкостей. Нелинейность упр\ гости жидкостей выражена гораздо
сильнее (благодаря их плотной упаковке), чем нелинейность упру-
упругости газов, для которых значение параметра п — у — cP/cv имеет
величину примерно 1,3—1,5. Тем не менее мы будем пока этой нели-
нелинейностью пренебрегать, ограничиваясь по-прежнему рассмотре;
нием малых (в пределе — бесконечно малых) деформаций, для ко-
которых справедливо линейное уравнение A1.28).
Таблица 3
Характеристики упругости
жидкостей
при температуре 20° С
Жидкость
Вода дистилл.
Спирт этиловый
Четыреххлористьш углерод
Бензол
Дихлорэтан
Глицерин
Ртуть
°Н/мг
3,2
1,0
1,3
1,9
2,3
4,8
24,5
"ад"
м2/Н
4.5
9,1
7,1
6,3
7,5
2,0
0,33
Н'мг
0,22
0,11
1,4
0,16
0,13
0,5
3,0
а
7,6
10,6
11,8
9,4
8,7
10,4
12,0
§ 4. Волновое уравнение
Полученные уравнения движения: р — podq>/dt, неразрывности:
Aq; =- (dp/d^/po и состояния: р — Ks образуют замкнутую систему
линейных уравнений для трех переменных акустических вели-
величин р, р и ф. Поскольку плотность р есть функция давления /?,
производную dp/dt в уравнении неразрывности можно представить
в виде
dp/dt - (др/дрH др/dt, A1.30)
Производную др/dt найдем, дифференцируя уравнение движения:
др/dt =pod\/dt\ (Ц.31)
36
Подставляя выражение A1.30) с учетом A1.31) в уравнение нераз-
неразрывности A1.12), получаем
, A1.32)
где величина
A1.33)
имеет размерность квадрата скорости, так что с0 есть скорость
распространения бесконечно малой деформации (Ар —»- 0), или ско-
скорость звука в нулевом приближении. Значение с0 найдем, дифферен-
дифференцируя уравнение состояния A1.22):
(П.34)
где К и к — модуль объемной упругости и сжимаемость при адиаба-
адиабатическом процессе.
Уравнение A1.32) носит название волнового уравнения. Оно имеет
вбщую форму для разных типов возмущений и является фундамен-
фундаментальным уравнением акустики. Физический смысл волнового урав-
уравнения вытекает из его вывода: Аф есть скорость объемного сжатия
среды; изменение же плотности во времени согласно A1.30) обус-
обусловлено изменением давления, которое подчиняется уравнении)
движения, т. е. второму закону Ньютона (II.9); наконец, связь
между давлением и плотностью дается законом Гука, т е. уравне-
уравнением состояния A1.22), определяющим скорость распространения
сжатия в упругой среде.
Лапласиан потенциала скоростей в общем трехмерном случае
имеет следующий вид:
в координатах прямоугольной (декартовой) системы —
в координатах сферической системы (г, 0, ф)—
и в координатах цилиндрической системы (г, 0, г)
д (г
ф ~ г дг У дг
Если потенциал скоростей (а с ним и остальные акустические
параметры) зависит только от одной координаты, то это соответ-
соответствует одномерному случаю; если такой координатой является одна
из декартовых координат, то мы имеем дело с одномерными пло-
плоскими волнами возмущений. Плоские акустические волны практи-
практически реализуются только в ультразвуковом диапазоне частот и
в этом плане составляют известную специфику ультразвука, поэ-
поэтому ниже мы будем, в основном, рассматривать задачи, относя-
относящиеся к распространению идеальных плоских волн, учитывая
в дальнейшем границы применимости полученных результатов
в поле реального плоского излучателя ультразвука.
37
§ 5. Плоские волны
В одномерном плоском случае, которому соответствует зависи-
зависимость потенциала только от одной декартовой координаты и вре-
времени ф — ф (л% /), волновое уравнение A1.32) принимает вид
Уравнение A1.37) является линейным дифференциальным урав-
уравнением второго порядка. Его решение может быть получено путем
замены переменных х и / переменными g и г) (метод Д'Аламбера):
с которыми прежние переменные х и t связаны соотношениями
х = (? -f т])/2, / — (т] — ?)/2.
Считая, что потенциал ф зависит от х и t через посредство новых
переменных ? и г|, т. е. ф = ф (|, т]), где ? — ?(*,/) и т] = tj (х, О
заданы в виде A1.38), найдем производные, входящие в уравнение
A1.37), по правилу дифференцирования сложных функций:
д2ф д I <9ф \ <5 / Eф с)^, дф дг) \ д
дх2 дк \дх ] дх \ д| дх d»i с
аналогично
а?" \ а?"У C(i \ д& ag ат) ^ ат)а
Подставляя эти результаты в A1.37), получаем 4д2ц>/д?,дц = 0, т. е.
0. A1.39)
Отсюда следует, что производная дф/д? не зависит от ц и является
функцией лишь переменной ?, т. е. <3ф/<3^ — f (I). Интегрирование
этого выражения по ? дает
<? + /'(Л). (П.40)
Первое слагаемое в решении A1.40) есть функция только от ?,
второе — только от ij; обозначив эти слагаемые соответственно
через /] (I) и /2 (ц), имеем ф == fx Q) + /2 (т]), или, возвращаясь
к прежним переменным х и /:
Полученное таким образом решение описывает две плоские волны
возмущения: прямую волну, т. е. волну, распространяющуюся вдоль
положительного направления оси х со скоростью с0, и обратную
волну, распространяющуюся в обратном направлении с той же ско-
скоростью. В самом деле, если в начальный момент времени / - 0,
функция /, в точке х = х0 имела значение Д (х0), то к моменту
времени / возмущение, описываемое этой функцией, достигнет коор-
38
динаты х = Xq 4- cQt. Поскольку x — cot = jc0, то ft (jc — cot) =>
— /x (x0), т. е. начальное значение возмущения ft (x0) распростра-
распространяется в направлении положительной оси к со скоростью с0. То же
самое можно сказать и об обратной волне, которую в дальнейшем
мы пока учитывать не будем, поскольку ее отличие от прямой волны
связано только с условным выбором положительного направле-
направления оси х.
Таким образом, решение волнового уравнения в виде A1.41)
или в виде одной функции, описывающей прямую волну
Ф = /(*-со0, (H.42)
характерно не видом функции, а видом аргумента, соответств} ю-
щего плоской одномерной акустической волне. Форма же волны
может быть произвольной в соответствии с произвольным видом
функции /, которая, однако, должна удовлетворять условию Ди-
Дирихле. При этом сложная функция f (х — cot) может быть разло-
разложена в ряд Фурье, т. е. представлена в виде суммы гармонических
составляющих. В силу же принципа суперпозиции, справедливого
для линейных дифференциальных уравнений, каковым является
волновое \равнение A1.32) ити A1.37), каждая из этих составляю-
составляющих будет являться его частным решением, равно как и любая
сумма частных решений, в том числе сумма прямой и обратной
воли. Итак, любое сложное возмущение можно представить как
суперпозицию гармонических колебаний и анализ сложного воз-
м\щення свести к анализу распространения синусоидальных (моно-
(монохроматических) волн, которые мы и будем рассматривать в после-
последующих главах.
§ 6. Скорость звука
Величина с0, фигурирующая в волновом уравнении A1.37) и
его решении A1.41) или A1.42), представляет собой скорость рас-
распространения волн упругой деформации, в данном случае волн
сжатия (разрежения). Процесс распространения таких волн и со-
составляет собственно понятие звук (или ультразвук), поэтому с0
есть скорость звука (ультразвука). Ее величина определяется по
формуле A1.34): с0 =- j/(/Gp0), являющейся точной только для бес-
бесконечно малых возмущений (звуковых волн бесконечно малой ампли-
амплитуды). Учет нелинейности упругости для реальных волн конечной
амплитуды приводит к поправке на величину скорости, однако,
как мы увидим ниже, эта поправка невелика, так что скорость звука
практически сохраняет постоянное значение в довольно большом
диапазоне амплитуд, что подтверждается и прямыми эксперимен-
экспериментами [9, 10].
Далее, поскольку скорость звука с0 определяется адиабатиче-
адиабатическим модулем /(, то в идеальной среде она не зависит от частоты,
т. е. ее дисперсия отсутствует. В реальной среде вследствие различ-
различных релаксационных процессов дисперсия звука существует. Од-
39
нако она занимает сравнительно небольшой диапазон частот, обра-
образуя дисперсионную ступеньку на кривой зависимости скорое: п от
частоты, и величина этой ступеньки не превышает нескольких
процентов Поэтому и в реальных средах величину с0 можно считать
практически не зависящей от частоты (по крайней мере, в большом
диапазоне частот) и не делать различия между «скоростью звука»
и «скоростью ультразвука».
Скорость звука в газах можно рассчитать, польз) ясь выраже-
выражением для адиабатического модуля объемной упругости газа (П.25),
т. е. по формуле
Co = VyPJPo- (П.43)
Для атмосферного воздуха при 0° С (Ро = 1 атм = 1,016-10° дин/см2,
р0 -= 1,29-К) г/см3, у = 1,41) расчет дает с0 == 3,33-10* смс.
Изотермическому процессу (у = 1) при тех же условиях соответ-
соответствует значение с0 — 1,8-104 см/с. Опыт же дает величину с0 —-
— 3,32-104 см с, что свидетельствует об адиабатическом характере
распространения звука. Для других газов экспериментальные зна-
значения скорости звука также хорошо согласуются с ее расчетом на
основе молекулярно-кинетической теории. Используя уравнение
Клапейрона Р0/р0 -- #о?\ где Ro — универсальная газовая госто-
янная на 1 г газа и Г — абсолютная температура, согласно A1.43)
получаем: с0 — y(yR0T), т. е. скорость звука в идеальном газе ра-
растет с температурой как 7" * (примерно на 60 см/(с-град) вблизи
комнатных температур) п не зависит от статического давления.
Последнее объясняется тем, что скорость звука определяется отно-
отношением статического давления к плотности, которое при статиче-
статическом сжатии, в силу закона Бойля—Мариотта, остается постоянным.
Возрастание же с() с температурой связано с тем, что упругость газа,
обусловленная переносом импульса, увеличивается с ростом тем-
температуры
Рассчитать с такой же точностью скорость звука в жидкости не
>дается, поскольку для жидкости не существует удовлетворительной
модели, позволившей бы теоретически вычислить величину модуля
объемной упругости. Поэтом\ расчет с0 для жидкостей может быть
произведен на основе экспериментальных данных или изотермиче-
изотермического модуля /Сиэ (измеряемого статическими методами), который
связан с адиабатическим модулем /<" соотношением A1.29), или не-
непосредственно на основе адиабатического модуля, который, в свою
очередь, определяется из данных акустических измерений по фор-
формуле К = рпс?,. Значение с0 для дистиллированной воды при тем-
температуре 20 °С составляет 1,49-103 м/с. В других жидкостях при
этой температуре скорость варьирует от -~0,9-103 М/с до ~2,0 X
X 103 м/с. В некоторых жидких металлах она достигает 3-103 м/с.
Значения скорости звука для ряда жидкостей и газов приведены
в табл. 4, где указаны также их плотности р0 и произведения плот-
плотности на скорость poQ)> называемые удельными волновыми сопротив-
сопротивлениями (см. ниже).
40
Таблица 4
Акустические характеристики
некоторых жидкостей и газов при нормальном давлении
Вещество
1
Азот
Анилин
Аргон
Ацетон
Бензол
Бромоформ
Бромбеызол
Вода
Водород
Воздух
Гелий
Гексан
Глицерин
Диацегил
Диокеаи
Дихлорэтан
Диэтилфталат
Изолентам
Индий
Калий
Керосии
Ксилол
Кислород
Кислота серная
муравьи-
муравьиная
уксусная
Масло веретенное
льняное
оливковое
трансформа-
трансформаторное
Нитробензол
Октан
Олово
Паральдегид
Пентан
Пиридин
Ртуть
Сероуглерод
Спирт амиловый
бензиловый
бутиловый
метиловый
пропиловый
этиловый
Химическая
формула
2
с3н4о
Аг
СН3СНСН3
СеН6 ¦
СНВг8
С6Н5Вг
Н2О
н2
Не
QH8o3
С4Н6О2
С4Н8О2
С2Н4С!2
С6Н4 (САН5J
QH12
In
к
CflHjo
о2
H2SO4
нсоон
сн3соон
с6н5хо2
СвН18
Sn
ceHiA
QHi2
QH16N
Hg
cs2
C5HUOH
C7H7OH
C4H,OH
CH3OH
QH7OH
C,H6OH
т, с
3
— 197
20
20
— 189
20
20
20
50
20
—252,7
20
20
—269,1
0
20
20
25
20
20
25
0
156
75
34
20
— 183,0
20
15
20
20
25
31
32
25
20
20
230
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
Ро'Ю-'
КГ/М1
4
0,815
1,17
1,022
1,424
0,792
0,878
2,890
1,454
0,998
0,355
0,10
1,29
0,125
0,18
0,654
1,260
0,990
1,033
1,250
1,121
0,641
7,033
0,824
0,825
0,860
1,143
1,33
1,84
1,216
1,050
0,866
0,922
0,904
0,865
1,207
0,703
6,96
0,994
1,263
0,982
13,59
1,263
0,816
1,045
0,810
0,792
0,804
0,789
Co, М/С
5
869
351
1656
863
1192
1326
928
1074
1490
1127
1284
343
180
965
1083
1923
1236
1389
1240
1470
950
2215
1882
1295
1330
911
328
1440
1287
1150
1431
1772
1381
1415
1473
1197
2462
1204
1158
1445
1451
1158
1294
1540
1268
1123
1223
1180
PoCo-10-*,
КГ/(М2-С)
6
71
0,04
170
123
94
116
268
156
150
40
0,013
0,045
2,3
0,017
71
242
122
143
156
165
61
1558
155
107
114
104
0,044
257
156
121
124
163
125
122
178
84
1720
120
146
142
1972
146
106
161
103
89
98
93
41
Продолжение таблицы 4
I
Толуол
Углекислый газ
Уксусный ангидрид
Формамид
Хлорбензол
Хлороформ
Циклогексан
Цинк
Четы реххлористый
}1ЛсрОД
Этилацетат
Этил бромистый
2
с7н8
СОа
(СН3СОJО
HCONH2
QH5C1
CHCI3
С6Н12
Zn
CCI4
сн3соос2н5
С2Н5Вг
3
20
20
24
20
20
20
20
450
20
20
25
4
0,866
1,85
1,075
1,139
1,107
1,489
0,779
6,54
1,595 .
0,900
1,430
5
1328
268
1384
1550
1291
1005
1284
2700
938
1176
890
6
115
0,052
149
177
143
149
100
1750
150
106
127
В отличие от газов скорость звука почти во всех жидкостях
монотонно и довольно существенно (на 2 + 6 м/(с-град)) убывает
-с температурой [10]. Исключение составляет лишь вода и некото-
некоторые жидкие металлы (сурьма, теллур). Скорость звука в воде при
низких температурах возрастает с температурным коэффициентом
1500 -
1300-
Со, м/с
1930 -
19'0
т;г
600
800
Рис. 10.
1000 Т'С
AcyJ&T ~ 2,5 м/(с-град), достигая максимального значения 1550 м;с
при 67° С, и затем убывает, как в нормальных жидкостях (рис. 9).
В таком поведении скорости проявляются известные аномальные
свойства воды, связанные с особенностями ее структуры, приводя-
приводящими к том\, что плотность упаковки ее молекул увеличивается
с ростом температуры. Подобными структурными аномалиями об-
обладают, по-видимому, и жидкие сурьма и теллур, которые обнару-
обнаруживают анало1ичную температурную зависимость скорости звука.
42
В некоторых жидких металлах перестройка структуры ведет к до-
довольно сложной температурной зависимости, показанной в виде
примера на рис. 10 для жидкого висмута [11].
С увеличением статического давления скорость звука во всех
жидкостях увеличивается по закону, близкому к линейному, вплоть
CCL4
до д?втеннй в несколько тысяч атмосфер. В качестве примера на
рис. 11 приведены зависимости скорости звука от давления для воды
и четыреххлористого углерода при 20° С. Из этих данных следует,
что скорость зв>ка в воде возрастает примерно на 0,1 м/(с-атм),
для четыреххлористого углерода и других органических жидкостей
коэффициент di^'dp составляет величину порядка 0,3 -*- 0,4 м^с-агм)
[12].
Глава 111
ПЛОСКИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ БЕСКОНЕЧНО
МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
§ 1. Уравнения плоской монохроматической ев!ны
В соответствии со сказанным в § 5 гл. II перейдем теперь i оас-
смотреиию наиболее интересного случая, когда источник \ль оа-
звуковых воли колеблется по гармоническому закону с частотой и>.
В этом ел\чае потенциал скоростей ф (х, t) может быть представлен
в виде
где р — произвольная начальная фаза колебаний. Часто исполь-
используется эквивалентная комплексная форма записи уравнения (II 1.1)
в виде
Ф(л-, Ц = Це[Ч?(х)е^ш РЧ = Re[?(x)e'w] (III.2)
или ф(х, {) = \т\Чг(х)еш}, (III.3)
где модуль Ф (х) в общем случае понимается комплексным для учета
начальной фазы ^: Чг (х) = V (х) е^\ Формы записи (III. 1) — (III.3)
полностью эквивалентны, так как вещественная и мнимая части
функции exp (id) (sin а и cos и) отличаются только постоянной на-
начальной фазой, которая учитывается в модуле lF (r) и не сущест-
существенна при рассмотрении одного колебания. Комплексная же запись
значительно упрощает вычисления, поэтому мы ею будем часто поль-
пользоваться, опуская, как это принято делать, знак Re (или lm).
Подставляя (III.2) или (Ш.1) в волновое уравнение A1.37),
получаем
±^1 + ОТ(а-) = 0, (III 4)
где k — о 'с0 — волновое число. В общем случае произвольно ори-
ориентированной волны волновое число умножается на вектор единич-
единичной нормали п к фронту волны Тогда волновой вектор k = kn опре-
определяет также направление распространения волны. В рассмагри-
44
ваемом сл>чае к = kx = k. Полученное однородное дифференци-
алььое уравнение (II 1.4) носит название уравнения Гельмгольца *.
Оби,ее решение этого уравнения имеет вид ?(х) = Ae~ikx -\-Ве^кх\
произвольные постоянные (комплексные амплитуды) А и В должны
находиться из граничных условий.
Таким образом, окончательно пол\чаем:
Ф (х, /) = Ае1 {Ш~кх) -f Be1 (»'+*•«). (Ill.5)
Это решение описывает две монохроматические волны — прямую и
обратную. Рассматривая только прямую волну и полагая началь-
начальную фазу равной нулю, имеем
ф(*. 0=фтахе'(<й'**) (И 1.6)
ИЛИ ф (X, t) =фтах Sin ((utf — kx), A11.7)
где ф^ах — амплитуда волны (в данном случае потенциала ско-
скоростей), х — расстояние, пройденное волной от начала координат.
Учитывая, что круговая частота (о = 2лл>, где v — непосредственно
измеряемая циклическая частота колебаний, запишем уравнение
(III.7) в виде
ф (х, t) =(TmaxSin 2
Из этой записи видно, что при х = const фаза колебания изменяется
на 2л за время Т — v, называемое периодом полного колебания,
а в пространстве (/ — const) изменение фазы на 2я происходит на
расстоянии х — 60/v = Л, называемом длиной волны.
§ 2. Основные линейные соотношения
между физическими величинами, изменяющимися
в ультразвуковой волне. Волновое сопротивление
и акустический импеданс
Найдем теперь соотношения между величинами, меняющимися
в поле ультразвуковых воли бесконечно малой амплитуды, т. е.
соотношения линейного приближения.
Пусть задан потенциал скоростей для прямой волны в виде (II 1.7).
Переменное (звуковое) давление в волне найдем согласно (II.9),
дифференцируя выражение (III.7) по времени и умножая его на р,,:
р=ро~ = р003фтах COS (Ш — kx) = pmax COS (Ш — k\), A11.8)
где ртах = рос°Фтах — амплитуда давления. Скорость 'смещения
частиц («колебательная скорость») согласно (II.8) определяется
* В общем трехмерном случае уравнение Гельмгольца имеет следующий
вид: AW + #>f = о,
45
дифференцированием ф по координате:
V* = V = — fa= %max COS (<s)t — kx) = Vmax COS (to/ — kx), A11.9)
где Umax = ?фтах — амплитуда скорости. Сопоставляя формулы
(III.8) и (III.9), видим, что давление и колебательная скорость
в прямой волне совпадают по фазе и связаны между собой соотно-
соотношением
/7 = poCof = f mdxpoCo COS ((О/— kx). (ШЛО)
Для обратной волны ф = фтах sin (cot + kx) аналогичным образом
получим
Р = — РоСО^ = — Ростах COS (d)t — kx) =
= Ростах COS (Ы — kx -j- Jl), (III. 11)
т. е. давление и скорость в обратной волне колеблются в противо-
фазе. Таким образом, в прямой волне фазе сжатия (р >» 0) соответ-
соответствует положительное значение колебательной скорости, знак кото-
которой, конечно, определяется соответствующим выбором положитель-
положительного направления координатной оси; в фазе разрежения (о < 0)
скорость смещения отрицательна. В обратной волне соотношение
между знаком давления и знаком колебательной скорости будет
противоположным.
Нетрудно показать, что соотношение (II 1.10) выполняется при
любой форме профиля волны (бесконечно малой амплитуды). Дейст-
Действительно, пусть прямая волна задана в общем виде A1.42). Введя
обозначение аргумента х — cot = ?, по правилу дифференцирования
сложных функций находим:
дт (g) да> (I) дР да> (Е)
- Ро ы - Ро dt ft ~ аѰ д? '
и~ дх dl дх ~~ д\ '
т. е. р = pocov, что совпадает с результатом (ШЛО), полученным
для прямой синусоидальной волны. В соотношениях (ШЛО) и
(ШЛ1) р и v есть любые локальные значения звукового давления
и колебательной скорости. Для амплитудных значений в прямой
волне соответственно имеем
x. (HI Л 2)
Величина р,,с0 = z0 называется удельным волновым (акустическим)
сопротивлением среды. Такое название связано с тем, что коэффи-
коэффициент 0(/о р уравнениях (ШЛО) и (III.11) определяет величину
колебательной скорости при заданном акустическом давлении. Сила
давления, действующая на площади S, равна Fp = pocoSv. Соот-
Соответственно величина pocQS может быть названа полным акустическим
сопротивлением среды на площалн S
Значения удельных волновых сопротивлений для различных
жидкостей и газов приведены в последнем столбце табл. 4. Как
видно из этой таблицы, волновое сопротивление жидкостей на 3—
4 порядка больше волнового сопротивления газов. Это означает,
что при одной и той же амплитуде давления колебательная скорость
частиц жидкости будет иметь амплитуду в 103—104 раз меньшую,
чем в газе. Наоборот, при заданной амплитуде колебательной ско-
скорости давление в жидкости превосходит давление в газе на 3—4 по-
порядка. Поскольку же колебательная скорость частиц среды задается
колебаниями поверхности источника (при условии неразрывности),
то это означает, что один и тот же источник, излучающий ультразвук
в жидкость и газ и колеблющийся при этом с одинаковой амплиту-
амплитудой скорости, создает переменное давление в жидкости в 103—104 раз^
большее, чем в газе. В твердых телах (р0 — Ю4 кгм3) для волн
сжатия (с0 ~ 5-103 м/с) г„ =- росо ~ 5-107 кг^м^с), т. е. примерно
в 10 раз больше, чем у жидкостей. Следовательно, давление (нор-
(нормальное напряжение), создаваемое тем же источником, излучаю-
излучающим ультразвук в твердое тело, во столько же раз больше давления
в жидкости. При этом, конечно, среды с разным волновым сопро-
сопротивлением будут создавать различную реакцию на источник, демп-
демпфируя его колебания, однако рассмотрение этого вопроса не входит
в задачу данной главы, посвященной только распространению
ультразвука.
Итак, давление и колебательная скорость в прямой плоской
волне совпадают по фазе, и их отношение характеризуется вещест-
вещественной величиной — удельным волновым сопротивлением росо.
В общем случае давление и скорость могут отличаться по фазе^
как это имеет место, например, в обратной плоской волне. Поэтому
в общем случае отношение давления к колебательной скорости ха-
характеризуют комплексным числом, называемым удельным акусти-
акустическим импедансом- plv -- г -- z{, -f- iy, мнимая часть которого
определяет величину фазового сдвига между р и и. Умножение
удельного импеданса на площадь S, на которой действует давле-
давление /?, соответственно дает величину полного импеданса: Z — zS.
С определением и расчетом импедансов мы еще неоднократно
встретимся в дальнейшем. Здесь же в качестве примера найдем еще-
отношение давления к колебательной скорости в поле наложенных
прямых и обратных плоских волн с равной амплитудой. Полное
давление в этом поле согласно (II 1.5) есть
Р (*, t) = pmax [el «*-**> + ё «*+**>];
для полной же колебательной скорости, учитывая (III.5) совместно»
с выражениями (III. 10) и (II 1.11), имеем
v (х, t) = [jw/(p<A)] W (Ш~кх) ~ е1
Удельный акустический импеданс в этом случае равен:
р (х A gl t(Hi~kX
— ~Т 7, — Ро6о
v (х л уо ° ei mt-kx) ei
AT
Возвращаясь к плоской прямой монохроматической волне и
учитывая полученное для нее соотношение между давлением и ско-
скоростью в виде (ШЛО) или (III. 12), найдем связь этих параметров
с другими переменными акустическими величинами.
Частицы среды, колеблющиеся в ультразвуковой волне со ско-
скоростью *
v = vmdX sin (со/ —kx), (III. 13)
будут испытывать ускорение
a = dv/dt = avTnaxcos (tot — kx) = coi/iTiax sin (со/ — foe-f я/2),
опережающее скорость по фазе на я/2, с амплитудой
Яшах = ©Углах. (III. 14)
Смещение частиц из положения равновесия ? найдем, интегрируя
выражение (III. 13), что дает
Следовательно, смещение отстает по фазе на 90° от скорости и на
180° от ускорения. Амплитуда смещения |тах == А — будем ее
называть в дальнейшем амплитудой колебаний в ультразвуковой
волне — связана с амплитудой колебательной скорости соотноше-
соотношением: ?тах = А = Утах/ю. Подставляя утах = соЛ в выражение
(III. 14), получаем атах = wM. Таким образом, ускорение, кото-
которое испытывают колеблющиеся частицы при А — const, пропор-
пропорционально квадрату частоты колебаний. На ультразвуковых ча-
частотах оно может превышать ускорение земного тяготения в не-
несколько сотен тысяч раз.
Приведем еще выражения для относительной деформации (сжа-
(сжатия) и переменной плотности в ультразвуковой волне. В волне
бесконечно малой амплитуды сжатие s связано с акустическим
давлением р линейным уравнением состояния A1.22), согласно
которому
S = Др/р0 = р/К = (/?max//C) Sin (СО/ — kx),
где К — модуль объемной упругости. Следовательно,
Ap = (p0/?max//Ostn(co/ — kx), (III. 15)
т. е. плотность колеблется синфазно с давлением и имеет амплитуду
Ртах=роРггих//С = /?тах/С?|. (III. 16)
При изменении плотности среды изменяется ее оптический пока-
показатель преломления п. Связь между плотностью и показателем пре-
* Для одиночной волны запись в виде sin или cos равноправна,
Таблица 5
Линейные соотношения между амплитудными величинами параметров ультразвукового поля плоских волн
A
"max
a
"max
Pmax
Pmax
max
"max
A
A
сороЛ
с„
а>Л
Co
c0
"max
Vma\
Co
"max
wyrnax
P°f°ymax
Poymax
Co
ymax
Co
" Г'
c0 max
amax
flmax
OJ
flmax
max
P^^max
P°^max
(i>C0
amax
toC0
Ртах
Ртах
шросо
^тах
РоСо
РоСо
^тах
Ртах
С2
'-и
Ртах
К
^oPraax
к
Ртах
Ртах С0
Шро
Ртахс0
Ро
Ре
Ci>Pmax
Ртах
Ртах
pi
ьтах
Cq
ш
^тах
tuCOsraax
Ростах
Р^гаах
е
"smax
"max
с0
(oN0
No "raax
Рос?
Л'о тах
рв п
No шах
птах
No
дтах
ломления можно найти на основании известного соотношения Ло-
Лоренц — Лоренца, согласно которому
где я0 — показатель преломления невозмущенной среды. Полагая
в (III. 17) п = п0 -\- Дя, р = р0 -f- Др и пренебрегая членами,
квадратичными по Дя, путем несложных вычислений получаем
. (л* — 1)(л» + 2> А Ло ¦ / v
АЯ = 6поРо ДР = Уо Р^ах Sin («В/ - kx),
т. е. показатель преломления колеблется в фазе с плотностью (и дав-
давлением) С аМПЛИТуДОЙ Ищах ¦= (ртах/ро) Wo, ГДв Л'о = (rt* — 1)(«о +
+ 2)/F/г0).
В табл. 5 приведена сводка формул, связывающих все перечис-
перечисленные характеристики ультразвуковой волны. Эти формулы по-
позволяют рассчитать амплитудное значение любого параметра
ультразвукового поля, если известна одна из величин: A, vmax,
«max, Ртах, ртах, Smax ИЛИ Ятах, Э ТЭКЖе ИЗВеСТНЫ ЗНаЧвНИЯ 0>, р 0
и с0, легко определяемые опытным путем.
§ 3. Энергетические характеристики ультразвукового поля.
Интенсивность ультразвука
При распространении ультразвуковой волны каждая частица
среды совершает колебательное движение около положения рав-
равновесия со скоростью и, что сопровождается периодическим измене-
изменением плотности и давления в окрестности частицы. При этом, как
мы видели, в плоской волне давление и скорость совпадают по фазе;
это значит, что силы давления совершают положительн}Ю работу.
В отсутствие поглощения эта работа не может перейти в тепло,
а должна оставаться в форме энергии колебательного движения
частиц упругой среды, т. е. «звуковой» энергии. Таким образом,
в процессе излучения ультразвука колеблющимся источником его
энергия передается прилегающей среде в форме звуковой энергии,
которая распространяется в среде со скоростью звука, заполняя
все большее пространство, называемое ультразвуковым полем. Энер-
Энергия каждого элемента объема в этом поле представляет собой сумму
кинетической энергии колеблющихся частиц и потенциальной
энергии упругой деформации. Кинетическая энергия частицы с объ-
объемом Vo и плотностью р0 равна:
^кии = у PoV>2 = I PoV>2max Sl'll2 (to/ - kx). (III. 18)
Потенциальная энергия этой частицы DFllor равна той работе, кото-
которую нужно совершить, чтобы изменить объем от Vo до V. Относи-
Относительное изменение объема, обусловленное бесконечно малым изме-
изменением сжатия от значения s до s -f ds, равно d6 = —ds. Абсолют-
50
ное изменение объема, соответствующее этому изменению сжатия,
составляет величину dV — —Vods. Совершенная при этом работа
—pdV = pVods, согласно A1.28), равна dA = pVods =- KsVods. Пол-
н>ю же работу, произведенную при изменении объема от Vo до V,
найдем путем интегрирования этой бесконечно малой работы dA
в пределах сжатий от нуля до значения s:
Подставляя сюда значение К = рос1 и s — v>/co> получаем
^noT = (po^o/2)^axSin2M-^). (Ш. 19)
Заметим, что потенциальная и кинетическая энергии равны
между собой и изменяются с одинаковой фазой, т. е. перекачки
энергии из потенциальной в кинетическую не происходит.
Складывая выражения (III. 18) и (III. 19), получаем полную
энергию в объеме Vo:
W = №hlllI + ^„от =P(,V>max sin2 (iot-kx). A11.20)
Поделив это выражение на Vo, получим мгновенную плотность энер-
энергии, т.е. энергию в единице объема среды w = W/Vo = povumax x
X sin2 (со/ — kx). Средняя плотность энергии w = p0Vmax/2 —
= pmax/Bpocl) = ртах/BК) и является одной из основных энерге-
тических характеристик ультразвукового поля.
Следует отметить, что полученный результат справедлив для
рассматриваемого случая безграничного ультразвукового поля,
а также для других частных случаев, в которых количество веще-
вещества в ультразвуковом поле не изменяется, т. е. средняя плотность
элемента объема среды остается неизменной. Если это условие не
выполняется, то, как будет показано в гл. IV, средняя плотность
кинетической энергии не равняется средней плотности потенциаль-
потенциальной энергии.
Вместо амплитудных значений давления и скорости можно
ввести их эффективные значения по определению /?вф = pmdLJV%
иэф — итах/уг2; тогда выражения для средней плотности энергии
принимают вид w — рои% — ^ф/(рого)-
Как уже отмечалось, в ультразвуковой волне типа (II 1.7) про-
происходит перенос энергии от источника в направлении распростране-
распространения волны. В качестве энергетической характеристики излучения
вводится понятие плотности потока энергии или интенсивности
ультразвука. Под интенсивностью ультразвука понимается коли-
количество энергии, переносимое в единицу времени через единичную
площадку, перпендикулярную направлению распространения уль-
ультразвуковой волны. Поскольку звуковая энергия распространяется
со скоростью звука с0, то интенсивность определяется умножением
плотности энергии w на с0, что дает
4* 51
или через эффективные значения: / — и;фроео = pW(fxfo) =¦ иэфРэф-
Интенсивность, в отличие or плотности энергии, есть векторная
величина, характеризующая направленный поток энергии. Таким
образом, если при наложении прямой и обратной волн их плотности
энергии складываются, то интенсивности вычитаются, так что,
[и пример, суммарная интенсивность в поле двух встречных волн
с одинаково:"» амплитудой равняется и\лю. Наряд) с интенсивно-
интенсивностью можно ввести понятие полного потока звуковой энергии или
мощности зчушого излучения через площадь S, по определению
DIbpfb
Г/га формула предполагает однородность интенсивности по пло-
площади 5. В общем случае звуковая мощность может быть определена
п\тем интегрирования по площади:
D = Js[I(S)-n]dS. (II 1.226)
Таким образом, интенсивность излучения представляет собой
удельную мощность, т. е. мощность, отнесенную к единице площади.
Если мощность измерять в ваттах, а за единицу площади принять
1 см2, то для измерения интенсивности получим единицу 1 Вт/см2,
которая является наиболее распространенной.
Заметим, что формулы для интенсивности ультразвука A11.21)
или акустической мощности (II 1.22а) аналогичны формулам для
мощности переменного тока, рассеиваемой в виде джоулева тепла
на активном (омическом) сопротивлении /?э:
/2 U- I U
т-ч max /р ^ max max max j n
и ¦ 2 э " ~2R 2 " э* э*'
Аналогом тока является колебательная скорость V, аналогом элект-
электрического напряжения U — сила звукового давления Fp — pS,
а аналогом омического сопротивления R9 — акустическое волновое
сопротивление ро?<>5. При этом, подобно тому, как величина У?э
r электрической цепи определяет необратимые потери источника
тока на джоулево тепло, выделяющееся в активном элементе, ве-
величина акустического волнового сопротивления характеризует не-
необратимые же «потери» мощности акустического источника в виде
излучения в прилегающую среду. Поэтому акустическое волновое
сопротивление называют еще сопротивлением излучению.
ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ШКАЛА ИНТЕНСИВНОСТЕЙ И АМПЛИТУД
Приведем численные оценки для характерных интенсивностей звука и ультра*
звука.
Чувствительности человеческого уха на частоте v = 1000 Гц (область макси*
мальной чувствительности) соответствует амплитуда звукового давления PmdX =**
=si 10~4 Н/м2 сь=; 10"" атм. При распространении такого -тука в воздухе ампли-
амплитуда колебательной скорости сос!авляетвеличину vmdK — pmax/(poco):^3- Ю^см/с,
52
амплитуда сжатия smax = t'max/r0~ Ю 9. амплитуда колебаний А — fmax/« ==±
с^ 5-10"8 см = 0,5 А и интенсивность / = 0,5 Ростах — 20' 10в Вт/см2.
Болевому порогу уха человека на той же частоте (звуковые колебания вос-
воспринимаются уже как болевое ощущение) соответствует амплитуда давления
Ртах — ^2 ^'м2 = ^3 аТМ> ^Ри этом амплнтУДы колебательной скорости сжа-
сжатия, смещения и интенсивность в воздухе следующие: уmav ск 30 см/с; s^, =
111 а л ГП а. л
ж= Ю-3; А ^5- Ю-3 см =50 мкм; / с^ 2-10~3 Вт/см2.
Ультразвуковые колебания в воде с частотой v = 1 МГц = 10е Гц и легко
осуществляемой интенсивностью 1 Вт/см2. Соответствующую амплитуду давле-
давления найдем по формуле ртах = YV9асо)- Д-™ воды (рого = 1,5-105 г/(см2-с))
это дает ртах =^ V3 атм с^ 1,7 атм ^ 17-104 Па. При этом амплитуды колебатель-
колебательной скорости, смещения и сжатия соответственно имеют следующие значения:
10 см/с; 2- 10-в см = 200 А и 10~4.
Современная ультразвуковая техника позволяет реализовать в поле плоских
волн в жидкости интенсивность порядка нескольких сотен ватт на квадратный
сантиметр, а в сфокусированном поле — до нескольких тысяч и десятков тысяч
ватт на квадратный сантиметр при частоте в несколько мегагерц. Примем в ка-
качестве предельной интенсивности плоского излучателя величину / = 1000 Вт/см2.
Этой интенсивности в воде соответствуют амплитуда давления ртах ^ 55 атм,
амплитуда колебательной скорости vmax ^^ 4 м/с, амплитуда деформации smax ~-
^ 3-10~3 и амплитуда колебаний на частоте 1 МГц А —^ 1 мкм. Заметим, что даже
при таких колоссальных интенсивпостях величина относительного сжатия не
превышает 10~3, так что принятое ниже условие малости деформаций в акустиче-
акустической волне для жидкостей сохраняется вплоть до интенсивностей в несколько
десятков ватт на квадратный сантиметр.
Сопоставление приведенных численных примеров показывает, что диапазон
акустических интенсивностей чрезвычайно широк: он охватывает около 20 поряд-
порядков. Поэтому в акустике и ультраакустике часто используется логарифмическая
шкала, в которой отношение двух интенсивностей 1г и /2 определяется как раз-
разность уровней по формуле Др = 10 log (Ixl72) и отсчитывается в децибелах. Так,
если интенсивности /j и /2 отличаются в 10 раз, то это соответствует разности
уровней 10 дБ; если /г//3 = 100, то Ар = 20 дБ; если /,//2 = 1000, то Ар — 30 дБ,
и т. д. Весь диапазон акустических интенсивностей: от 10~16 до 104 Вт/см2 — в ло-
логарифмической шкале укладывается в разность \ ровней --^200 дБ. При задан-
заданной разности уровней в децибелах отношение интенсивностей может быть най-
найдено по формуле V/2 = 10л^/10. Следовательно, разности Ар = 1 дБ соотвег-
ствует отношение иптенсивностей ijl^ = 100>I =^ 1,26, т. е. различие интен-
интенсивностей составляет примерно 25%.
Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то для от-
отношения амплитуд двух акустических волн, например для амплитуд давлений,
имеем:
А§
P P =1020, A11,23)
^ma\ 2
так что разности уровней, например 40 дБ, соответствует отношение амплитуд
Ртах /Ртах -2 = 100; 60 дБ - 1000; 80 дБ ~ 1О'; Ю0 дБ ~ Ш5; И Т- Д'
§ 4. Поглощение монохроматических
ультразвуковых волн
До сих пор мы рассматривали распространение ультразвуковых
волн в идеальной среде без потерь энергии. В реальной же среде
вследствие различных диссипативных процессов часть энергии
ультразвуковой волны переходит в тепло. При этом интенсивность
53
и амплитуда ультразв\ ковой волны непрерывно убывают в процессе
ее распространения, и волна затухает. Такое затухание волны,
связанное с переходом части энергии в тепло, называется поглоще-
поглощением *. Основной причиной поглощения ультразвука в большин-
большинстве реальных сред является внутреннее трение (вязкость). Кроме
того, диссипация акустической энергии может быть обусловлена
теплопроводностью среды и различными молекулярными процес-
процессами, рассмотрение которых выходит за рамки классической (т. е.
сплошносредной) акустики и составляет основу так называемой
молекулярной акустики [131.
Поглощение ультразвука вследствие внутреннего трения можно
легко рассчитать, вводя коэффициент вязкости среды г| и учитывая,
что вязкие напряжения являются функциями градиента скорости
смещения ее частиц. При этом в первом приближении вязкие на-
напряжения можно считать пропорциональными первой степени ско-
скорости деформации (закон Ньютона для сил внутреннего трения).
Мы ограничимся по-прежнему рассмотрением плоских волн, рас-
распространяющихся вдоль оси х. Прибавляя к упругому напряже-
напряжению о для одномерной деформации дс,/дх (с учетом сдвиговой упру-
упругости) вязкое напряжение, пропорциональное скорости этой дефор-
деформации: r\d%/dxdt — r\dv/dx, получим одномерное реологическое
уравнение состояния в виде
° = сп% + 4%, (Ш.24)
где эффективный модуль сп для одномерной деформации определен
соотношением A.33): си -- К + D/3) G. По аналогии с ним коэф-
коэффициент вязкости т] можно представить в виде суммы:
с. (Ш.25)
В выражении A.33) модуль К характеризует упругость среды по
отношению к ее объемному сжатию, а модуль G — по отношению
к сдвигу. Сдвиговой упругостью в жидкостях и газах можно пре-
пренебречь по сравнению с объемной упругостью, положив в (Ш.24)
(и — /\. Аналогично в (Ш.25) член г|0 характеризует вязкость среды
по отношению к объемному сжатию, и он может быть назван объем-
объемной вязкостью, а г|с есть обычный коэффициент сдвиговой вязкости,
характеризующий вязкие потери при сдвиговой деформации.
В большинстве простых жидкостей эти потери значительно выше,
чем потери при объемной деформации, поэтому объемной вязкостью
в них можно пренебречь **, положив
т| = D/3)т|с. A11.26)
* Причиной затухания ультразвуковой волны могут быть и недиссипатив-
пые процессы, такие, как дифракция, рассеяние на неоднородностях среды и т. д.
Мы будем понимать поглощение как затухание волны, обусловленное только дис-
сипативными потерями.
* * О роли объемной вязкости в поглощении ультразвука см. цитированную
литературу по молекулярной акустике.
54
Подставив выражение (II 1.24) в линеаризованное уравнение
движения A.11) для одномерного случая, получим волновое урав-
уравнение для смещения ?:
или для скорости смещения v = d\ldt вдоль оси х:
d3v d*v
d*v /ттт п-.
Ро*5- <IIL27)
Для синусоидального возмущения v (x, t) = v (x) exp /со/ получим
д^ -и(х)=0. (II 1.28)
Сопоставление этого уравнения с уравнением Гельмгольца для по-
потенциала скоростей * в невязкой среде (II 1.4) подсказывает наиболее
простой, хотя и формальный, путь его решения. Для этого введем
комплексный модуль:
<? = /<• +ton, (III.29)
комплексную скорость звука: со = 1 &1\\ и соответствующее ком-
комплексное волновое число-
k - со/со = со K(f/р0. A11.30)
Тогда } равнение (II 1.28) примет следующий вид:
т. е. по форме оно совпадает с уравнением (III.4). Следовательно,
решением уравнения (III.31) является функция v(х) = Ае~ lkx-\~
+ Belkx, описывающая две плоские волны, начальные фазы кото-
рыл \чтены комплексными коэффициентами А и В. Рассматривая
по-прежнему только прямую волну и полагая ее начальную фазу
равной нулю, т. е. Ь (х) — v (х) и А — vmax0 = vmax (x — 0), по-
получим решение (II 1.27) в виде
v(x, t) = vmaxel(*e-l%x. (II 1.32)
Чтобы выяснить физический смысл этого решения, разделим ком-
комплексное волновое число k на вещественную и мнимую части. Со-
Согласно выражениям (II 1.30) и (II 1.29), имеем
* Как\же отмечалось, вместо потенциала скоростей в уравнении (III.4)
может фигурировать любая акустическая переменная, в том числе и колебатель-
колебательная скорость V.'
55
где k— о (pjKI/2 — со/с0 — вещественное волновое число, рав-
равное отношению частоты к скорости звука.
Как видно из уравнения (III.28), коэффициент щ характеризует
величину вязкого напряжения при частоте со, модуль же К харак-
характеризует упругие напряжения. В большинстве практических сл\-
чаев вязкие силы много меньше >пругих сил, поэтому можно поло-
положить сот]//С <^ 1. Тогда согласно (II 1.33) имеем
Вводя обозначение Im (k) — а0 и подставляя полученный результат
k = k + ia0 A11.34)
в уравнение (III.32), окончательно получаем:
v(x, t)^vmax^^-^ = vmAX,e-a°V{<i)t~kx). (III.35)
Соотношение (II 1.35) описывает плоскую прямую волну (распрост-
(распространяющуюся в направлении +*), амплитуда которой убывает по
^экспоненциальному закону:
vmax = vmzx[ie-a<>x (II 1.36)
от итах = fmaxo ПРП * = 0 до значения vmax ехр (—а^х) на расстоя-
расстоянии х от начала координат. Следовательно, коэффициент
а0 = со2г]/Bрос@ = 2л v2ri/(p0^) A11.37)
представляет собой коэффициент поглощения ультразвука в ре-
результате вязких потерь. Он показывает, на каком расстоянии
х — а0-1 амплитуда волны убывает в е = 3,14 раз, и имеет раз-
размерность обратной длины, т. е. измеряется в см или м~1. Нулевой
индекс означает, что этот коэффициент поглощения вычислен на
основе линейных соотношений гидродинамики, так что полученная
величина ап характеризует поглощение синусоидальных волн бес-
бесконечно малой амплитуды. Строго говоря, волна, описываемая
выражением (III.35), уже не является монохроматической. Однако
в реальных случаях, при не слишком больших а0, отклонением от
монохроматичности на протяжении нескольких длин волн можно
пренебречь, считая волну (II 1.35) синусоидальной, с последующим
учетом слабого экспоненциального спада ее амплитуды по за-
закону (III.36).
Как видно из выражения (III.37), коэффициент поглощения
ультразвука в данной среде возрастает с частотой пропорцио-
пропорционально v2. Поэтому параметром, характеризующим поглощающие
способности данной среды, следует считать не коэффициент погло-
поглощения а0, а его отношение к квадрату частоты ультразвука:
ао/^ = 2я*т|/(Рв^). (III. 38)
Рели в выражении для л, (II 1.25) пренебречь объемной вязко-
вязкостью т|0, считая, что потери энергии ультразвуковой волны обу-
56
словлены только сдвиговой вязкостью, то согласно (II 1.26) для
коэффициента поглощения получим выражение
ао/у2 = 8л21]с/Cро^), A11.39)
которое позволяет рассчитать величину ao/v2 для данной среды по-
известному значению г|с, определяемому впскозиметрическими ме-
методами. Формула (II 1.39) была впервые получена Стоксом, и вычи-
вычисленные по ней значения ao/v2 принято называть стоксовскплш.
Опыт показывает, что экспериментальное значение aoh2 всегда
больше стоксовского. Это связано с пренебрежением объемной вяз-
вязкостью (которая в некоторых органических жидкостях дает вклад,
превышающийвклад сдвиговой вязкости на 2—3 порядка), а также
другими механизмами потерь, в частности потерями, обусловлен-
обусловленными теплопроводностью среды.
Благодаря конечной теплопроводности реальных сред между
участками сжатия и разряжения в ультразвуковой волне происхо-
происходит теплообмен, нарушающий адиабатичность процесса, что ведет
к добавочным потерям энергии. С учетом теплопроводности выра-
выражение для ao/v2, полученное Кирхгофом и называемое формулой
Стокса — Кирхгофа, имеет вид
где ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении, у =
=- Cp!cv — отношение теплоемкостей и Яо — коэффициент тепло-
теплопроводности среды. Величина поправочного члена в (II 1.40) опре-
определяется, в основном, коэффициентом теплопроводности Яо. Потери
вследствие теплопроводности оказываются существенными в газах
и в жидких металлах; в остальных жидкостях они не превышают
нескольких процентов от вязких потерь и ими можно пренебречь,
отнеся разницу между стоксовскими и экспериментальными вели-
чинами ao/v2 за счет объемной вязкости.
Что касается частотной зависимости коэффициента поглощение
ультразвука, то опыт показывает, что, по крайней мере, в большой
области частот отношение ao/v2 действительно сохраняет постоянное
значение. При этом в результате релаксации (запаздывания) раз-
различных молекулярных процессов в некоторой сравнительно узкой
области частот, характерной для данной среды, на кривой зависи-
зависимости ao/v2 от частоты, как и на кривых дисперсии, наблюдаются
релаксационные ступеньки, после которых величина ao/v2 падает
до нового постоянного значения, приближающегося к стоксовскому.
В качестве примера, иллюстрирующего величин) поглощения ульт-
ультразвука в различных средах, в табл. 6 приведены эксперименталь-
экспериментальные значения ao/v2 на частотах мегагерцевого диапазона для неко-
некоторых жидкостей и газов при нормальном давлении и комнатной
температуре, а также значения ao/v2, вычисленные для тех же сред
57
Таблица в
Поглощение ультразвуковых волн
в некоторых жидкостях и газах
Среда
Вода
Спирт метиловый
этиловый
Ацетон
Толуол
Бензол
Ксилол
Диклогексан
Нитробензол
Четыреххлористый углерод
Сероуглерод
Уксусная кислота
Этила цетат
Глицерин
Масло оливковое
касторовое
Раствор желатины в
воде A,5%)
Полистирол в бензоле D%)
Спирт поливиниловый в
воде A0%)
Ртуть
Цинк
Висмут
Гелий
Аргон
Водород
Кислород
Воздух
Углекислый газ
-г °/-
т, с
20
20
20
20
20
20
25
21
25
20
20
18
25
20^-25
21-ь25
21
20
20
20
20
420
300
—269
+ 18
— 188
+ 20
—256
+ 20
— 186
+ 20
20
16,6
ть. . 10*,
'С *
г/(см • с)
100
60
120
35
60
64
70
66
200
96
37
т
45
14- 10*
0,8 • 10*
10- 104
10в
1660
17- Юз
155
130
170
2,0
2.2
0,9
1,9
Ь8
1,4
«0/v2 . 10
по (III, 40)
8,5
15
22
7
7,8
8,7
8,4
10
14
20
5
17
8,3
250
1100
8400
8- 105
200
1400
5,4
3,3
6,2
204
5200
10,1
19- 102
5,6
1700
7,3
1800
12400
13- Юз
17, С2/СМ
экспер.
25
34
54
30
80
900
. 78
77
80
500
6000
90000
500
2500
1200
7800
48
890
83
6
3,7
9,3
231
3-10*
10,5
19-103
5,6
35800
8,6
19000
B-J-3)- 10*
3 • 104
Диапазон
частот.
МГц
7 ч- 250
и
5ч
1 ч
1ч
1-S
14
-250
-220
-70
-70
-170
-15
15
- 15
-100
-10
0,5
1,0
0,1
1
1
4-10*
« 4
4-4
5
5
5
20-f-50
20-f-SO
20 4-50
15
0,6
44
0,4
44
0,6
44
0,6
0,2 ч- 0,1
0,3
ло формуле (III.40) *. Как видно из этой таблицы, теоретические и
экспериментальные данные почти совпадают для одноатомных жид-
жидкостей и газов, для веществ же со сложными молекулами (ао^2)эксп
на мегагерцевых частотах могут на несколько порядков превышать
значения, рассчитанные по формуле Стокса — Кирхгофа, прибли-
приближаясь к ним лишь в гигагерцевом диапазоне (см. данные для бен-
ьола, толуола и ацетона). Для растворов полимеров, обладающих
огромной «макроскопической» сдвиговой вязкостью, стоксовские
значения ao/v2, вычисленные с учетом этой вязкости, оказываются
* Более подробные сведения о скорости и поглощении ультразвука в жид-
жидких и газообразных средах можно найти в обзорной литературе по молекуляр-
молекулярной акустике (см. например, работу [12]).
58
на несколько порядков выше экспериментальных. Это объясняется
тем, что поглощение ультразвука в таких растворах определяется,
в основном, их «микровязкостью», близкой к вязкости раствори-
растворителя, в то время как «макровязкость» этих растворов об\словлена
взаимодействием полимерных цепей, практически не участвую-
участвующих в поглощении ультразвука. С увеличением температуры по-
поглощение ультразвука в простых жидкостях вне области релакса-
релаксации, как правило, уменьшается в силу убывания сдвиговой вяз-
вязкости. С ростом давления поглощение увеличивается. В газах эта
зависимость имеет, в основном, обратный характер: поглощение
ультразвука в газах растет с увеличением температуры и умень-
уменьшается с повышением давления.
Как уже отмечалось, убывание амплитуды ультразвуковой
волны может быть обусловлено не только диссипативными процес-
процессами. Поэтому оно может быть охарактеризовано «коэффициентом
затухания», который в общем случае мЪжно представить в виде
суммы: а0 — Z<a0,-, где а0/ — коэффициенты затухания, обуслов-
обусловленные, например, поглощением вследствие сдвиговой или объем-
объемной вязкости, теплопроводности и других механизмов поглощения,
а также в результате рассеяния на неоднородностях среды, дифрак-
дифракции волны и т. д. Вообще же, если задана зависимость убывания
амплитуды волны от расстояния vmax = vmax (х), то коэффициент
ее затухания а0, который по смыслу определяет относительное убы-
убывание амплитуды волны на единицу расстояния, может быть иы-
числен по следующей формуле:
(II 1.41)
Таким образом, величина а0 характеризует затухание волны с рас-
расстоянием, т. е. в пространстве, и поэтому может быть названа про-
пространственным ¦ коэффициентом затухания. Волна, распростра-
распространяющаяся со скоростью сп, проходит расстояние х за время t -=
- х/с0. Подставив значение х = cot в формулу (III.36), получим
закон убывания амплитуды волны во времени:
где введено обозначение
тв = (аосо)-1. (III.42)
Коэффициент т0, имеющий разномерность времени, носит название
постоянной времени затухания; он характеризует затухание волны
во времени: согласно (III.42) за время t = т0 амплитуда волны убы-
убывает в е раз. Величина, обратная т0, т. е.
бо^То'^аоСо (III.43)
может быть названа временным коэффициентом затухания. Если
затухание обусловлено стоксовским поглощением, то согласно
определению б0 формулу Стокса (II 1.39) можно написать в виде
6 (/)[V/(^)]
59
В качестве характеристики затухания ультразвуковой волны
можно ввести также логарифмический декремент затухания, опре-
определяемый как натуральный логарифм отношения амплитуд двух
последовательных колебаний, т. е. двух соседних волн (рис. 12):
Ф = In (tW iIVmax 2)¦ ПУСТЬ Vmux , - Vmax 0e~6»(, ТОГДЗ Vmax-i =
= vmaxtie'6^nT), где Т — период одного колебания. Следовательно,
® = \n(e*<>T) = bJ~bo/v = aoco/v = aoA, (ШЛА)
где Л = co/v — длина ультразвуковой волны. Таким образом, без-
безразмерный параметр а0Л («декремент») характеризует убывание
амплитуды ультразвуковой
волны на протяжении одного
периода колебаний. Очевидно,
отклонением от монохрома-
монохроматичности волны вследствие ее
затухания можно пренебречь,
если выполняется условие
а0Л < 1.
Введенный здесь коэффи-
коэффициент затухания а0 в с му
его определения, вытекаю-
вытекающего из формул (II 1.36) и
(II 1.41), характеризует зату-
затухание амплитуды ультразву-
ультразвуковой волны и может быть
назван поэтому амплитудным
коэффии центом затухания.
Поскольку амплитудные характеристики связаны между собою
линейными соотношениями (см. табл. 5), то экспоненциальный
закон затухания (III.36) с коэффициентом а„ справедлив для любого
акустического параметра, т. е., например, для амплитуды давле-
давления
/?п.,ях = /?тах,е-ао\ A11.45)
для амплитуды смещения Л — A^e~a<iK и т. д.
Энергия же ультразвуковой волны пропорциональна квадрату
ее амплитуды. Поэтому закон убывания, например интенсивности
ультразвука, с увеличением расстояния от его источника можно
записать в виде
I=sI^-^=Iifi-K\ (III.46)
где а; = 2а0 (II 1.47)
— коэффициент затухания по энергии, показывающий, на каком
расстоянии от источника х — 1 а.' энергия ультразвуковой волны
бесконечно малой амплитуды убывает в е раз.
Коэффициенту ао можно дать также и другое определение. Для
плотности энергии аналогично (II 1.46) имеем
©^куГ0^, - (II 1.48)
Рис 12.
60
где гг\> — плотность энергии при к — 0. Подставляя сюда значение
х ==' cnt, получаем w = щ exp (~a'ocj). За единицу времени плот-
плотность энергии волны, т. е. энергия в единице объема, уменьшится
до величины w — w0 exp (—а^). Если затухание невелико, т. е.
а„Со -О» то это выражение можно приближенно записать в виде
разложения в ряд, ограничиваясь линейным членом разложения:
W^wo(\— a't,c0) = Щ — даос<Сп. A11.49)
Величину w0 — w = Ашпогл можно рассматривать как среднее коли-
количество энергии, поглощаемой в единице объема среды за единицу
времени. Из A11.49) имеем: Аоупогл су. Щсоа'и. Но Woco, согласно
(III.21), есть интенсивность ультразвука /0 при х — 0 (т. е. t -= 0).
Следовательно, для коэффициента а'о получаем
а^А©11О1Л//0, • (II 1.50)
т. е. энергетический коэффициент поглощения ультразвука а'п может
быть определен как отношение средней энергии, поглощаемой в еди-
единице объема среды за единицу времени, к интенсивности ультра-
ультразвука, т. е. к общей энергии, поступающей в этот объем за единицу
времени. Для амплитудного коэффициента а0 согласно (II 1.47)
соответственно имеем: а0 --- Аоупогл/B/0). Такое определение аб и а0
в ряде случаев оказывается более удобным, так как оно позволяет
вычислить коэффициент поглощения ультразвука без расчета ком-
комплексного волнового числа.
Если известен закон убывания энергии волны с расстоянием, то
энергетический коэффициент затухания находится по формуле
Аналогичным образом вычисляются временные коэффициенты зату-
затухания по известной зависимости амплитуды волны или ее энергии
от времени, т. е., например:
' dl{x)
где нулевой индекс относится к моменту t = 0.
Отметим, что при экспоненциальном законе затухания, выражае-
выражаемом как (III.45) или как (III.48), характерном для поглощения пло-
плоских волн бесконечно малой амплитуды, формулы (II 1.51), (II 1.52)
и (III.41) дают постоянную величину коэффициентов затухания.
В общем случае эш коэффициенты могут оказаться зависящими от
расстояния (времени).
Затухание ультразвука часто характеризуют в логарифмической
шкале (в децибелах). Чтобы связать коэффициент поглощения, изме-
измеряемый в этой шкале, с коэффициентом а0, измеряемым в обратных
сантиметрах, используем соотношения для амплитуд давлений
A11.45) и (II 1.23). Подставив в них х — 1 см, получим pmaKf)/pmax =
= 1ОдР/2о> отсюда Ар = 20 а0 log е = 8,68 а0 - 4,34 а;, где а'о —
61
коэффициент поглощения по интенсивности, измеряемый в обрат-
обратных сантиметрах. Изменение уровня ультразвука со временем
можно измерять в децибелах в секунду. Если известен временной
коэффициент затухания амплитуды \ или интенсивности б'о (в се-
секундах в минус первой степени), то для пересчета затухания в де-
децибелах в секунду имеем формулу: Ар' == 8,68 б0 — 4,34 6(,.
Рассмотрим некоторые численные примеры, используя экспериментальные
данные, приведенные в табл. 6.
Для воздуха при нормальных условиях на частоте v = 1 МГц имеем а0 =
= C- КГ13)-1012 см = 0,3 см = 2,6 дБ/см. Это значит, что амплитуда звуко-
звукового давления в воздухе при частоте 1 МГц убывает в е раз на расстоянии ^0,3 см.
Длина ультразвуковой волны в воздухе на этой частоте составляет Л = co/v^
^ 0,03 см. При этом декремент Ф = а0Л = 0,01. Следовательно, отношение ам-
амплитуд двух соседних волн составляет ехр (а0Л) = 1,01, т.е. на расстоянии,
равном длине волны, амплитуда убывает на ~1%, так что отклонением от моно-
кроматичности волны даже в результате такого большого поглощения можно
пренебречь.
При той же частоте 106 Гц коэффициент поглощения ультразвука в воде со-
составляет ао=25-1О~5 см B,2-10 дБ/см), т.е. амплитуда ультразвуковой
волны убывает в воде в е раз на расстоянии примерно 40 м. Величина декремента
при этом равна Ф = aoco/v ^ 4- КГ5, т. е. убывание амплитуды на длине волны
составляет ничтожно малую величину.
Возьмем теперь сильнопоглощающую жидкость, например глицерин. Для
него при той же частоте (ao/v2 = 25-10~15 см х) имеем а0 = 0,025 см @,22 дБ/см),
аа„Л = 5-10~3. С увеличением частоты декремент затухания возрастает (пропор-
(пропорционально частоте). Однако из приведенных оценок следует, что по крайней
мере в небольших объемах маловязкой среды распространение ультразвука можно
рассматривать применительно к монохроматическим волнам без учета погло-
поглощения, учитывая его дополнительно в тех случаях, когда влияние поглощения
может играть существенную роль в изучаемом явлении.
§ 5. Сдвиговые волны в жидкостях.
Вязкие потери на границах ультразвуковых пучков
Идеальной среде мы приписывали отсутствие сдвиговых напря-
напряжений, полагая, что она обладает только объемной упругостью,
характеризуемой модулем всестороннего сжатия К. В реальных
же жидкостях, в которых также можно пренебречь сдвиговой
упругостью, по крайней мере в мегагерцевом диапазоне частот,
могут возникать сдвиговые напряжения, обусловленные отличной
от нуля сдвиговой вязкостью цс («вязкие напряжения»). Следова-
Следовательно, в реальной жидкости могут распространяться и сдвиговые
(поперечные) волны, возбуждаемые тангенциально колеблющейся
плоскостью. Эти волны обязательно должны затухать, так как рас-
рассмотренное выше поглощение продольной волны обусловлено именно
наличием в ней сдвиговой компоненты напряжения.
Уравнение движения для плоской сдвиговой волны, распростра-
распространяющейся вдоль оси Л" со смещением ? вдоль оси г, можно записать
в виде
Я ро
Где Q* — эффективный модуль сдвига. По общему определению
равен отношению тангенциального напряжения ozx к соответствую-
соответствующей деформации ггх = д?/дх:
Вязкое напряжение огх в ньютоновской жидкости (для которой
т]с — const) пропорционально первой степени скорости деформации
ogx = r\z(dzzxldt)=^x\c(dvzldx). Для синусоидального процесса с ча-
частотой (о didt — ш, таким образом, ozx ~ шт]с8гдг, откуда, со-
согласно (II 1.54), G* = шцс. Так как при этом dt/dt — v — ко?, то
уравнение (II 1.53) принимает форму известного «уравнения диф-
диффузии»:
ddt = D\jpo)(d2v/dx2). (III.55)
Чтобы найти поглощение и скорость сдвиговой волны, обусловлен-
обусловленной вязкостью, будем искать решение этого уравнения в виде пря-
прямой плоской затухающей волны типа (II 1.35), т. е.
v = vmax<iexpi((x)t— Ъх) (II 1.56)
с комплексным волновым числом k, определенным соотношением
(III.34):
k = k* + iac, (U1.57)
где k* = (а 1с* — вещественное волновое число, равное отношению
частоты к скорости распространения искомой волны; ас — коэффи-
коэффициент ее поглощения. Подставляя выражение (II 1.56) в формулу
(III.55), получаем — ко — »1с^2/Ро» откуда, поскольку У(—/) =
A0К(Ь2) '
где v = «/Bл) — циклическая частота. Таким образом, уравне-
уравнение искомой еолны (II 1.56) принимает вид-
}c (\—i)x]. A11.59).
Амплитуда этой волны убывает по экспоненциальному закону:
Umax = Углах О еХр(— lAlVpo/T]c • х) (II 1.60),
с коэффициентом затухания
ас= Im k = y луро/Лс* (II 1.61)
Скорость распространения этой волны с* найдем из соотношения
с* =. (oik*, где k* — вещественная часть комплексного волнового
числа (III.57), т. е. согласно (III.58) k* = ас = (Ул\ро/г\с). Таким
образом,
/"^/"^ /"^р~0, (II 1.62)
т. е. скорость распространения вязкой сдвиговой волны сущест-
венно зависит от частоты ультразвука. Например при частоте
v = 1 МГц в воде при комнатной температуре (цс = 0,01 П, р0 =»
=» 1 г/см3) она составляет 400 см/с, в глицерине (г|с — 14 П, р0 =*
- 1,26 г'см3) с* = 10* см/с.
Константой, характеризующей поглощение сдвиговых волн,
согласно (II 1.61), является величина ajyv = ^(лро/ч1с)- Для
воды при комнатной температуре она составляет примерно 18 у"с/см,
для глицерина — примерно 0,5 |/с/ем. Таким образом, при самой
низкой частоте ультразвука v = 20 кГц = 2-Ю4 с коэффициент
поглощения сдвиговой готны в воде ас — 2-КK см, в глицерине
ас = 50 см, в воздухе (р0 ~ 10 г/см3, i]c = 10~1 П) ас ~ 400 см,
т. е. меньше, чем в воде. Для продольных волн той же частоты коэф-
коэффициент поглощения составляет (см. табл. 6) в воде 10~7 см, а в гли-
глицерине 10~5 см. На частоте v — 2 МГц коэффициент поглощения
сдвиговой волны увеличивается на порядок; поглощение же про-
продольных волн возрастает на четыре порядка (поскольку а0 ~ v2).
В силу такого различия частотных зависимостей, значения ас и а0
могут оказаться равными при некоторой частоте. Для воды, напри-
например, это соответствует частоте порядка 1012 Гц, для глицерина
~1010 Гц. Однако при таких высоких частотах уже нельзя пренебре-
пренебрегать сдвиговой упругостью жидкостей, которая возрастает с уве-
увеличением скорости сдвиговой деформации, т. е. частоты ПЗ, 1-Л.
В мегагерцевом же диапазоне частот в не слишком вязких жидко-
жидкостях коэффициент поглощения для сдвиговых волн на много по-
порядков превышает коэффициент поглощения для продольных волн.
Как видно из приведенных оценок, сдвиговая волна затухает на
весьма малом расстоянии от источника: ее амплитуда убывает в е раз
на расстоянии Д =- аё1 — V[f\c/{nvpn)], называемом глубиной про-
проникновения. Для приведенных выше примеров эта величина соста-
составляет всего 2-Ю см для глицерина и 2-10~3 см для воды.
Найдем еще декремент затухания сдвиговой волны по опреде-
определению (II 1.44), что дает ft — асс*/v = 2л. Таким образом, декре-
декремент затухания вязкой сдвиговой волны (определяющий логарифм
отношения соседних амплитуд) не зависит от частоты и равен по-
постоянном), весьма большому числу, показывающему, что сдвиго-
сдвиговая волна в жидкости практически затухает на расстоянии, равном
длине одной волны. Поэтому можно говорить лишь о вязких напря-
напряжениях, существующих вблизи поверхности тангенциально колеб-
колеблющегося источник! и рассасывающихся в тонком пограничном
слое жидкости. Эти напряжения могут проявляться в реакции на
источник, в передаче сдвиговой волны упругими телами через тон-
тонкий слой жидкости, в образовании вихревых потоков в пристеноч-
пристеночном слое жидкости, в дополнительных потерях на отражение про-
продольной волны в вязкой среде при наклонном падении волны на
твердую границу 115] и в других подобных эффектах, когда возник-
возникновение вязких напряжений должно быть принято в расчет.
Вязкие потери, в частности, могут возникать на границах реаль-
реального ультразвукового пучка, окруженного невозмущенной жндко-
64
стью, поскольку при условии сохранения сплошности на границе
колеблющиеся частицы жидкости в пограничном слое пучка будут
вызывать вязкие напряжения в невозмущенной среде 116]. При
этом часть энергии пучка будет трансформироваться в вязкие
волны, затухающие на глубине А от границы пучка, т. е. в ограни-
ограниченном пучке будут иметь место дополнительные потери энергии.
Приближенный расчет коэффициента этих потерь в виде отношения
среднего потока энергии, рассеиваемой через границу пучка, к его
интенсивности дает величину [16]
• у* = с*/(8с0) =[1/Dс0)] l4nv/p0 > (И 1.63)
определяемую скоростью вязкой волны с* (II 1.62) и скоростью
звука с0 в данной среде. Поскольку скорость с* растет с частотой
ультразвука, аб„~ const, то с увеличением частоты возрастает и
доля вязких потерь на границах пучка. Однако с увеличением
частоты усиливается и поглощение объемных волн, определяемое
коэффициентом поглощения а0 (II 1.38). Интересно поэтому сопо-
сопоставить вязкие потери энергии на границе пучка А/1р с потерями
в его объеме А/об. Для пучка квадратного сечения со стороной а
с использованием соотношений (II 1.63) и (II 1.39) в пренебрежении
объемной вязкостью (г\ = г\с) это дает:
Д/г0 2v* cf} _ / 777Г~ ас
Д/Об аа0 4n*aY T]cv3 k*a ' ^и.ич;
где k = 2л/Л — волновое число для объемных волн.
Итак, вязкие потери на границах пучка убывают с ростом ча-
частоты ультразвука, с возрастанием поперечных размеров пучка,
а также с увеличением коэффициента вязкости. Они становятся
соизмеримыми (А/,р = А/об) при k2a = oc. Для воды, например,
при ka -- 10, согласно (II 1.64), это равенство имеет место на ча-
частоте v* ~ 108 Гц. При более низких частотах потери на границах
даже превышают потери в объеме пучка. Однако условие ka - 10
(а л? 1,5 А) не совместимо с условием направленности пучка ka ^> 1
(а ^> А). С увеличением же параметра ka частота v* быстро \ бывает.
Так, при ka — 100 она для воды составляет уже всего около 1 МГц.
На более высоких частотах потери на границах пучка становятся
меньше потерь в объеме; при этом на высоких частотах усиливается
и условие Ьа*р> 1. Следует еще учесть, что в реальных пучках гра-
градиенты скорости на его границах сглажены из-за дифракционно! о
раямытия границ.
Таким образом, при высоких ультразвуковых частотах ролью
вязких потерь .на границах пучков можно пренебречь, сохраняя
результаты, получаемые для плоских продольных волн и для реаль-
реальных ультразвуковых пучков с достаточно большими (по сравнению
с длиной волны) поперечными размерами в достаточно большом
объеме реальной жидкости.
В. А. Ш>тилов - 65
Г шва IV
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
§ 1. Оценка нелинейных членов уравнений гидродинамики
Как уже неоднократно отмечалось, линеаризованные уравнения
гидродинамики (II.5), A1.12) и A1.16) можно считать точными только
для бесконечно малых возмущений, и поэтому решение линейного
волнового уравнения типа
f = Umax Sin <0 (tf — Х/Со), (IV. 1)
строго говоря, описывает гипотетическую волну «бесконечно малой
амплигхды». Всякая же реальная ультразвуковая волна имеет
конечную амплитуду, и для ее строгого описания следует исходить
из точных (нелинейных) уравнений гидродинамики. В одномерном
случае для среды без потерь эги уравнения в переменных Эйлера,
согласно формулам (П.4) и A1.11), имеют вид:
(уравнение движения);
(уравнение неразрывности), где р — р0 -*- Др (х, О — полная ло-
локальная плотность сре^ы, связанная с давлением р адиабатическим
уравнением состояния:
Р = Р(Р), (IV.4)
которое в общем случае также является нелинейным и может быть
представлено в виде бесконечного ряда Тейлора по степеням Др:
\рур рв 21 \р/р р. р/
или по степеням относительных сжатий Др/р„ =- s:
66
Выполним оценку нелинейных членов в уравнериях (IV.2) —
(IV.4), пользуясь полученными соотношениями линейной акустики.
Полагая возмущение синусоидальным, заданным в форме (IV. 1)^
имеем:
с
и
Ч>
дх
dv
дх
та>
max
L
W
и WUmax
wymaxPmax
Со
dv
dt
'
dp
dt
W^maxi
b
a
b'
a'
Lmax
V
max
Co
Таким образом, отношение нелинейного члена к линейному в обоих
уравнениях Эйлера составляет одну и т} же величину, максимальное
значение которой равно отношению амплитуды колебательной ско-
скорости vmax к скорости звука с0. Заимствуя терминологию гидроди-
гидродинамики, в которой отношение скорости потока к скорости звука
называют числом Маха, величину vmax/C() можно назвать акусп,иче-
ским числом Маха. Согласно соотношениям, приведенным в табл 5,
акустическое число Маха
Ma = ^=w = %^ = ^ = ^~^!i. (IV.6V
Следовательно, такой же порядок величины имеет и отношение
квадратичного члена к линсйном\ в уравнении состояния (IV.5).
Интенсивность ультразвука, используемого в лабораторной
практике для физических измерений, обычно не превышает 0,01 -f
-t- 0,1 Вт/см2. Таким интенсивностям соответствуют числа Маха
порядка 10"й - 10~(). При этом условие малости амплитуд акусти-
акустических параметров по сравнению с их средними значениями, т. е.
условие
Ma = smax<l (IV. 7)
хорошо выполняется. Это позволяет пренебречь нелинейными чле-
членами в уравнениях (IV.2) — (IV.5) для описания реальных волн
малой амплитуды, которые действительно достаточно точно подчи-
подчиняются законам линейной акустики.
Согласно опенкам, выполненным в § 4 гл. III, сравнительно вы
со кой интенсивности ультразвука / -- 1 Вт/см2 в воде (i>mdX су
с? 0,1 м/с, с0 ~ 1500 м/с) соответствует Ma ~ 6-10. При очень
большой интенсивности (-100 Вт/см2) акустическое число Маха
достигает значения 10г"8, которое можно считать предельным для
плоских ультразвуковых волн в жидкостях и твердых телах. В га-
газах, благодаря их разреженности, такие числа Маха достигаются
при значительно меньших амплитудах, однако слабая эффектив-
эффективность излучения ультразвука в газы не позволяет реялиговать в них
больших чисел Маха на ультразвуковых частотах. Таким образом,
неравенство (IV.7) сохраняет силу практически для любых ультра-
ультразвуковых волн. Тем не менее, при достаточно высокой интенсив-
интенсивности ультразвука эффекты конечной амплитуды («нелинейные
эффекты?) начинают в них отчетливо проявляться, и для анализа
5* 67
распространения таких волн нужно в уравнениях (IV.2) — (IV 5)
учесть нелинейные членьт, несмотря на их малость.
В этой связи следует отметить, что встречающийся в литературе
термин «волна конечной амплитуды» в экспериментальном аспекте
не совсем удачен, ибо любая реальная волна имеет конечную ампли-
амплитуду. Нелинейные же эффекты проявляются не во всякой реальной
волне, а лишь при достаточно большой ее амплитуде; какой именно—
это зависит от чувствительности аппаратуры и метода регистрации
данного конкретного нелинейного эффекта. В теоретическом плане
этот термин имеет вполне определенный смысл: он указывает на
учет нелинейных членов в уравнениях гидродинамики и вытекаю-
вытекающих из этого следствий. В таком именно смысле этот термин будет
сохранен и в данном изложении. Реальную же ультразвуковую
волну, в которой фактически проявляются нелинейные эффекты,
мы будем называть просто «волной большой амплитуды», условив-
условившись при этом исключать из рассмотрения сильные ударные волны
(возникающие, например, при взрывах и разрядах), которым соот-
соответствуют числа Маха, близкие к единице, и которые подчиняются
другим законам распространения (см., например, работы [17, 18]).
Посмотрим теперь, к чему ведет учет нелинейных членов в урав-
уравнениях гидродинамики, пренебрегая пока диссипативными процес-
процессами, роль которых выясним в дальнейшем.
§ 2. Точное решение системы нелинейных уравнений
гидродинамики для недиссипативной среды
Система нелинейных дифференциальных уравнений (IV.2), (IV.3)
была решена рядом авторов разными методами еще в середине
XIX века. Наиболее полным из них является мегод Римана, осно-
основанный на предположении общей зависимости между давлением и
плотностью в виде (IV.4). Введя прежнее обозначение
с2 = dpi dp, (IV.8)
перепишем уравнения (IV.2) и (IV.3) в форме
0V 1 У0" 1 C2a(lnp)
dt ' дх '
1 У 1 C
dt ' дх ' дх
Умножим второе из этих уравнений на -\-с и —с и последовательно
сложим с первым. После приведения подобных членов получим:
щ {v - с In р) 4- (v - с) g-x (v - с In p) = 0.
63
Введем новые переменные:
s2h; (IV. 10)
-c). (IV.ll)
Выполнив операции дифференцирования в (IV.9) с >четом того, что
величины g и h зависят от х и t через посредство переменных I и т],
придем к простой системе уравнений: cdg'dr\ -- 0; cdhid\ — 0. Так
как г ^ 0» т0 dgdti = d/z/d| — 0, откуда следует, что g не зависит
от т], а /г — от ?, т. е. g = /\ (|), h = f2 (г\). Так как, согласно (IV. 10),
g -f- h — v, то и -- fx (?) -f- f2 (ц). Подставляя сюда значения ? и ц
из тождеств (IV. 11), получаем точное решение: v (x, t) -- /] [х — t (с -f
-1- и)] -j- /2 fx + t (с — v)]t представляющее собой совокупность двух
плоских волн, распространяющихся во взаимно противоположных
направлениях вдоль оси х. При гармоническом колебании источ-
источника v (х — 0) — i>max sin a)t имеем частное решение:
v(x, 0 = twsinco^-^), (IV. 12)
которое отличается от уравнения волны бесконечно малой ампли-
амплитуды (IV. 1) только скоростью распространения.
§ 3. Скорость распространения волны конечной лмшштуды.
Нелинейные характеристики среды
Точное решение Римана (IV. 12) описывает плоскую волну, рас-
распространяющуюся в недиссипативной среде вдоль положительного
направления оси х с фазовой скоростью
с' = с + и(х, t), (WAS)
которая зависит теперь от и, т. е. от х и t, и которую поэтому можно
назвать локальной скоростью. Таким образом, локальная скорость
есть скорость распространения данной фазы волны, характеризую-
характеризующейся определенным значением колебательной скорости v. Вели-
Величина с в выражении (IV. 13), называемая иногда «местной» скоро-
скоростью звука, определяется соотношением (IV.8) и может быть
найдена дифференцированием по плотности адиабатического уравне-
уравнения состояния, представленного в форме ряда (IV.5). Малость
акустических чисел Маха, т. е. относительных сжатий s — Ap/p0
в ультразвуковой волне, позволяет с достаточной точностью огра-
ограничиться квадратичным членом этого ряда, записав его в виде при-
приближенного равенства:
pc^Ks + (B/2)s\ (IV. 14)
где коэффициенты К (адиабатический модуль объемной упругости)
и В (""нелинейный» модуль) определены соотношениями A1.20) и
A1.21).
69
Дифференцируя выражение (IV. 14) по плотности, на основании
формулы (IV.8) получаем
>\1/2 (К . BsV/2 I, . В
здесь с0 — {К'роI1'1 согласно A1.34) есть скорость распростране-
распространения волны бесконечно малой амплитуды, а множитель в скобках
дает небольшую поправку к этой скорости, связанную с учетом
квадратичного члена в уравнении состояния (IV. 14). Используя
линейное соотношение между относительным сжатием и колеба-
колебательной скоростью s — хIс0 и подставляя его в (IV. 15), получаем
c = co + (B/2K)v. (IV. 16)
Таким образом, учет квадратичного члена в уравнении состояния
приводит к зависимости местной скорости с от переменной вели-
величины v. Эта зависимость обусловлена только упругой нелинейно-
нелинейностью среды, которая, согласно (IV. 16), определяется отношением
коэффициентов при квадратичном и линейном членах адиабатиче-
адиабатического уравнения состояния (IV. 14). В силу этого отношение В/К
принято называть нелинейным параметром среды.
Подставляя теперь формулу (IV. 16) в уравнение (IV. 13), полу-
получаем выражение для локальной скорости:
с'^со + (В/2К) v + v = с0 + eov (х, t), (IV. 17)
•где е0 = (В/К + 2)/2.
Таким образом, локальная скорость с', с которой распростра-
распространяются различные фазы волны конечной амплитуды (IV. 12), больше
местной скорости на величину и. Эта добавка обусловлена только
учетом субстанциальных производных в уравнениях Эйлера, т. е.
нелинейностью уравнений гидродинамики (IV.2) и (IV.3). Упругая
же нелинейность среды усиливает эту добавку в е0 раз. Следова-
Следовательно, коэффициент яп в (IV. 17) также является определенной
характеристикой нелинейности упругих свойств среды и может
быть поэтому назван нелинейным коэффициентом.
Нелинейный параметр В/К или коэффициент е0 могут быть вы-
вычислены, если уравнение состояния среды задано в явном виде.
Для изотермического процесса в идеальном газе уравнение со-
состояния дается законом Бойля — Мариотта:
В этом случае с - (dP/dpI?* - (/VpoI/2 = с0, В - рь (tfP'dp2)^. О,
В/К = 0, е0 = 1, с' — с0 + и. Таким образом, даже при линейном
уравнении состояния локальная скорость отличается от с0 из-за
нелинейности уравнений гидродинамики (IV.2) и (IV.3).
Для адиабатического процесса в газе в качестве уравнения со-
состояния может служить уравнение Пуассона A1.24):
^-^o(P/Po)Y. (IV. 18)
Дифференцируя его дважды по плотности в точке р = р0 и умножая
-70
на pi, согласно (И.21) имеем:
В =-- р5 (d2P/<VW = у (V - 1) Ро.
В этом случае адиабатический линейный модуль объемной упругости
К = Ро (dPldp)p^p, = уР0; отсюда
В/К = у-\ (IV. 19)
и 8в = (у-Н)/2. (IV.20)
Согласно (IV. 16), (IV. 17), (IV. 19) и (IV.20) получаем:
Здесь следует подчеркнуть, что выражения (IV.20) и (IV.21), полу-
полученные на основании приближенных равенств, на самом деле оказы-
оказываются точными для рассматриваемого случая адиабатического про-
процесса, при котором связь между давлением и плотностью дается
степенной функцией вида (IV. 18). Это получилось потому, что мы
дважды использовали приближенные соотношения: уравнение со-
состояния в виде (IV. 14) и линейное соотношение между сжатием и
колебательной скоростью, которое во втором приближении имеет
более сложный вид (см. следующий параграф).
Распространение ультразвука в жидкостях также является адиа-
адиабатическим процессом, для которого теоретически обоснованного
уравнения состояния в явном виде пока не существует. Однако
опыты по сжимаемости простых жидкостей и твердых изотропных
тел показывают, что адиабатическое уравнение состояния для этих
сред может быть приближенно представлено уравнением, аналогич-
аналогичным (IV. 18), называемым эмпирическим уравнением Тэта:
Р/Ро = (р/Ро)\ (IV.22)
в котором показатель изоэнтропы п эквивалентен параметру у
в уравнении Пуассона. Этот эмпирический параметр, согласно фор-
формулам (IV. 19) и (IV.20), связан с введенным параметром нелиней-
нелинейности В/К и нелинейным коэффициентом е0 соотношениями: п =
- (В/К) -Ь 1 = 2е0- 1.
Нелинейный параметр В/К для жидкостей может быть измерен
различными методами, основанными на изучении распространения
ультразвуковых волн большой амплитуды [19, 20J. В табл. 7 при-
приведены экспериментальные значения В/К для ряда жидкостей,
полученные в работах [21, 22], а также величины этих параметров
для некоторых газов, соответствующие их эмпирическим соотно-
соотношениям теплоемкостей у. Как видно из табл. 7, нелинейность
жидкостей значительно превышает нелинейность газов. Поэтому не-
нелинейные эффекты, возникающие при распространении в жидкостях
ультразвуковых волн большой амплитуды, проявляются более от-
отчетливо, хотя высокое «внутреннее» давление и не позволяет реа-
реализовать в них больших чисел Маха.
71
Таблица
Значения нелинейного параметра В/К
для жидкостей и газов
Среда
Азот жидкий
Амилацетат
Ацетон
Бензин А-70
Бензол
Вода
Глицерин
Дихлорэтан
Ксилол
Масло трансформаторное
Ртуть
Скипидар
Спирт этиловый
метиловый
пропиловый
бутиловый
гексиловый
Сероуглерод
Толуол
Четырсххлористый углерод
Хлороформ
Этилацетат
Эфир этиловый
Азот газообразный
Аммиак
Аргон
Водород
Воздух
Водяной пар
Гелий
Кислород
Углекислый газ
т, «с
— 195
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
-195
20 4- 40
0
0ч- П
0-J- 100
100
18
13-5-200
44- И
В/К (экспер )
3,1
5,1
8,6
10,2
8,4
6,6
9,4
7,6
8,7
6,5
—
9,5
9,6
8,0
8,9
8,6
9,7
—
9,4
10,8
10,6
5,0
3,1
—
.—
—
—
—
.—
В/К* (теор )
6,8
5,2
8,8
—
—
—
10,5
—
8,0
7,6
8,0
8,4
5,4
9,2
—
—
—
0,40
0,40
0,67
0,40
0,40
0,33
0,63
0,40
0,36
* Значение В/К для жидкостей вычислено по формуле (IV.24); для газов —
по определению: В/К — у—1. где 7 —эмпирическое отношение теплоемкое!ей.
Нелинейный параметр жидкостей В/К или коэффициент е0 можно
также приближенно вычислить на основе термодинамических соот-
соотношений по зависимости скорости звука от температуры и давления.
В самом деле, различие местных скоростей разных точек профиля
волны можно отнести за счет зависимости скорости звука от давле-
давления и температуры, которые в этих точках имеют различные значе-
значения, однозначно связанные с колебательной скоростью v и термо-
термодинамическими характеристиками данной среды. Таким образом,
приращение местной скорости (В/2К) v в выражении (IV. 17) можно
представить в виде
)
Ас= '%
\dTJp
Д7\
(IV.23)
72
где ЛР и ЛГ — приращение давления и температуры в точках с ко-
колебательной скоростью v. Зависимость температуры от давления
при адиабатическом процессе дается известным термодинамическим
соотношением: AT = ТпаТтоб/(р0сР), гдеаГизоб = A/VO) (dV,'dT)P—
изобарический коэффициент теплового расширения; То — равновес-
равновесная температура среды; сР — теплоемкость при постоянном давле-
давлении. Давление в звуковой волне связано с колебательной скоростью
соотношением (в первом приближении) АР = р = pocoi>. Подстав-
Подставляя эти значения АР и ЛГ в равенство (IV.23), получаем
К
° \дР
|
изоб
(дс\
\dTJp
(IV.24)
Вычисленные таким образом значения В/К для ряда жидкостей при
комнатной температуре также приведены в табл. 7. Хотя эти значе-
значения несколько ниже измерен-
измеренных, различие между ними не
превышает разброса между
данными измерений В/К. разны-
разными методами.
Поскольку все величины,
входящие в формулу (IV.24),
измеряются с большой точно-
точностью, то она позволяет просле-
проследить такие детали, как измене-
изменение нелинейного параметра В/К
с температурой, давлением, кон-
концентрацией растворенного ве-
вещества и т. д. Правда, для это-
этого, кроме данных акустических
измерений величин с0, (дс/дР)т
и (дс1дТ)Р, должны быть известны соответствующие значения рОг.
ат и сР. Для тех жидкостей, л?я которых эти данные имеются,
расчет по формуле (IV.24) позволяет построить графики темпера-
температурной зависимости В/К; например для воды рис. 13 иллюстрирует
общий характер поведения нелинейного параметра с изменением
температуры. Аналогичным образом можно проследить, что пара-
параметр В/К несколько возрастает с увеличением гидростатического
давления, а также с концентрацией растворов ионных солей
в воде [231.
Оценка величины слагаемых в формуле (IV.24) показывает, что
второе слагаемое составляет всего несколько процентов от первого.
Поэтому при неизвестных значениях ат и сР величину нелинейного'
параметра В/К можно грубо рассчитать по данным измерений изо-
изотермической зависимости скорости звука от давления, пользуясь
приближенной формулой В/К — 2росо (дс/дР)т.
73
§ 4. Соотношения между акустическими параметрами
во втором приближении
Учет нелинейных членов в уравнениях гидродинамики приводит
к более сложным зависимостям между параметрами ультразвукового
поля по сравнению с простыми формулами, приведенными в табл. 5.
Нелинейные поправки к этим формулам легко рассчитать на основе
соотношений (IV. 13) и (IV. 17):
c'=c + v = co-\-eov, (IV.25)
rpt с = \f{dPldp). Принимая адиабатическую зависимость между Р
и р в виде (IV.22), т. е.
Р/Ро = (Р/Ро)я = (Р/Ро)**-1, (IV.26)
где Р = Ро + р, р = ро + Ар, имеем
с = с0(р/р0)ео-1=с0(Р/Р0)^-»)/^о-1), (IV.27)
а из уравнения (IV.25)
c = co±(eo-\)v, (IV.28)
где с0 — (dp/dp)p'LPo. Приравнивая правые части соотношений
(IV.27) и (IV.28), получаем
(IV.29)
Решив эти уравнения с точностью до квадратичных членов, найдем
связь колебательной скорости v в прямой волне с переменной плот-
плотностью Др и давлением р во втором приближении:
^of, (IV-30)
U-poco 2B8o~l) PoPoCo '
В обратной волне все знаки меняются на противоположные. Решая
эти уравнения относительно р и Ар, во втором приближении имеем
для прямой волны:
22; (IV.32)
Таким образом, линейное соотношение между давлением и коле-
колебательной скоростью plv = росо во втором приближении оказы-
оказывается несправедливым. Для обратной волны в выражениях (IV.32)
и (IV.33) перед первыми слагаемыми должны быть изменены знаки.
Связь между давлением и плотностью во втором приближении
мы получали раньше, например в виде уравнения (IV. 14), которое,
учитывая, что s = Ар/р0, К = PoCjj и В/К = 2е0 — 2, можно запи-
74
сать в идентичной форме:
р = с\ Ар + (е0 - 1) (сЦ/ро) (Др)а, (IV.34)
и наоборот:
Дп — п/гз (о 1 \ п2//п гз\ /глл ocv
* »| I ¦ I/ / L/ii Art ^ / г* I А ^ft^O J * \ * » • ^J^J I
Следует подчеркнуть, что акустические параметры р, Ар и v,
входящие в уравнения (IV.30) — (IV.35) в первой степени, должны
быть взяты во втором приближении; в квадратичных же членах
замену переменных друг на друга можно производить по формулам
линейной ак\стики, т. е. по табл. 5, поскольку учет квадратичных
членов в этих переменных приведет к величинам третьего и четвер-
четвертого порядков малости, которыми во втором приближении можно
пренебречь.
§ 5. Искажение формы волны конечной амплитуды
в процессе распространения
С учетом выражения (IV. 17) уравнение прямой плоской волны
конечной амплитуды (IV. 12) приобретает вид:
v(x, t) = vmaxsinm[t — x/(co + eov)]. (IV.36)
На рис. 14 изображен «профиль-» волны, описываемой выражением
(IV.36), т. е. мгновенное распределение колебательной скорости и
(или любого другого переменного акустического параметра: р, р,
—с0 >~оитах
Рис. 14.
s и т. д.) вдоль оси х. Согласно уравнению (IV.36), каждая точка
этого профиля, характеризующаяся колебательной скоростью v,
движется вдоль оси х с различной локальной фазовой скоростью
с' = с0 -\- eoi\ зависящей от v. Например, точка 1, соответствую-
соответствующая максимальной положительной колебательной скорости vmaK,
т. е. максимальному сжатию («гребень» волны) — со скоростью
с'тг% = Cq ~f~ eo^max> точка 3, т. е. фаза максимального разрежения,
(«впадина» вотны) — с минимальной локальной скоростью c'min =
— с0 — eovmax, точка 2, которой соответствует фаза нулевого сжа-
сжатия — со скоростью с' = с0, т. е. со скоростью зв^ка бесконечно
О 75
малой амплитчды. Остальные «точки» в полуволне сжатия (и >0,
р ;>0, Ар >0) распространяются со скоростью с' >f0, а в полу-
полуволне разрежения (v <с 0, р <с О, А р <; 0) — со скоростью с' <; с0.
Таким образом, в системе координат, движущейся вдоль оси х
со скоростью г0, все точки профиля волны будут смещаться со ско-
скоростью teou относительно «нулевых» точек, которые в этой системе
остаются неподвижными. Вследствие этого синусоидальная у источ-
источника (х = 0, / = 0) волна * в процессе распространения будет
искажаться так, как показано на рис. 15, приобретая на некотором
расстоянии форму, близкую к пилообразной (ударной), а затем —
форму «опрокидывающейся» волны. Однако такая форма профиля
t=0
77л
A/2
\\
w
\
i
I
i
i ^
/ I
/ i
У J
i /
I /
1
1
1
1
\
\
V
^7/
'тазо
Рис. 15.
волны, изображенная на рис. 15 пунктиром, физически нереальна,
так как ей соответствуют три значения колебательной скорости и
в одной и той же точке х. Следовательно, решение Римана, которое
приводит к такому результату, может иметь физический смысл
только до тех пор, пока функция (IV.36) сохраняет однозначность.
Многозначность же этой функции появляется с некоторого расстоя-
расстояния от источника хрззр, которое можно определить из следующего
условия: на этом расстоянии крутизна переднего фронта становится
бесконечно большой, т. е. (dvfdx)x Л — оо. Кроме того, точка
х = хразр является точкой перегиба функции v (x, t), следовательнэ
(д2и/дх2)х„х = 0. Из этих условий, дифференцируя (IV.36) по а;,
найдем:
Wnax). (IV.37)
* Строго говоря, при конечной амплитуде гармонических колебаний источ-
источника формируемая им волна уже будет отличаться от синусоидальной. Однако
этим отличием можно пренебречь по сравнению с последующим искажением фор-
формы волны в процессе ее распространения.
76
Итак, исходные уравнения гидродинамики могут давать адекват-
адекватное описание волны конечной амплитуды только до значения коор-
координаты х< *разр> а ПРИ х >x,iaip перестают быть справедливыми.
Причина этого заключается в том, что в уравнении движения (IV.2)
опущен член, учитывающий вн>треннее трение r\ (d/dt) {dvidx) (см.
§ 4, гл. III), которым в реальной маловязкой среде действительно
можно пренебречь при анализе распространения синусоидальных
возмущений. Однако при искажении формы волны вследствие не-
нелинейных эффектов градиент скорости dv/dx на переднем фронте
волны возрастает, а вместе с ним увеличиваются и силы трения.
Вблизи х = хр,13р градиент dv/dx-^ oo, и резко возрастающие вяз-
вязкие потери препятствуют дальнейшему искажению формы волны,
которая начинает усиленно поглощаться даже в очень маловязкой
среде.
Если по-прежнему оставаться в рамках представлений о гипоте-
гипотетической идеальной среде, в которой полностью отсутствует внут-
внутреннее трение, то многозначность решения Римана при х >хрязр
для такой среды означает образование в пей плоского разрыва,
приводящего к отражению волны. Хотя в реальной среде при ре-
реальных амплитудах ультразвуковых волн дело до разрыва, как пра-
правило, не доходит *, термин «расстояние до разрыва» иногда исполь-
используется в нелинейной акустике для обозначения расстояния, на
котором назревают условия разрыва.
Если представить себе, что диссипативные процессы становятся
существенными лишь при dv/dx -> оо, препятствуя разрыву, то
искажение формы волны будет накапливаться и за точкой Л' = л'ра3р,
приводя к образованию пилообразной волны ударного типа .
Расстояние х1ф, на котором формируется пилообразная волна,
можно найти из условия, что на этом расстоянии гребень волны
догоняет соседнюю впадину. При этом гребень волны, смещаясь по
отношению к впадине с относительной скоростью 2eot'max, проходит
дополнительный путь, равный половине длины волны (Л/2), за
время /кр = Л/Dео1»тах). За это же время вся волна в целом, рас-
распространяясь со средней скоростью с0, удаляется от источника па
расстояние
*кР = cot = соЛ/Dеоитах), (I V.38)
на котором и формируется пилообразная волна при i>max = const и
которое мы назовем критическим. Величина хкр, как и полученное
ранее значение хразр, зависит от длины волны, т. е. от частоты
ультразвука. Поэтому можно ввести безразмерное критическое рас-
* Такие разрывы в виде отслоений наблюдаются иногда в пластичных
металлах с небольшим поглощением, например в монокристаллах алюминия,
подвергаемых воздействию мощного ультразвука.
** По отношению к пилообразным ультразвуковым волнам можно говорить
о слабых периодических ударных волнах, отличая их от апериодических сильных
ударных волн, возникающих, например, при сильных взрывах.
77
s ?
II 111
re О © © © ©
4^~ «fcT
Ю ч# CO US т* ч#
©©© © © ©
lf^ 00 ГС ) О 00 ГО © ©
с? гс г^ © cc t^ о о"
ю
© С-1 •
ГС )О
© С-1 ¦
©*©"¦
X
X
ф
о.
25
Вода
стояние (в длинах волн или
в количестве периодов колеба-
колебаний):
кр
дг ЛР "F
КР ~Т~ ' " ~iT~
(IV.39)
Воз
Если принять предельное
искажение в идеальной пилооб-
пилообразной волне за единицу, то
величина, обратная NKp, "будет
характеризовать степень иска-
искажения на протяжении дтны
волны или за один период:
Л = l//VKp = 4еогтгх/го - 4f,, Ala.
(IV. 40)
Эта величина, естественно, за-
зависит от акустического числа
Маха и от нелинейных свойств
среды. В табл. 8 приведены зна-
значения Л для нескольких интен-
сивностей ультразвука в двух
жидкостях, имеющих одинако-
одинаковые волновые сопротивления,
но существенно различающихся
нелинейными свойствами, и в
воздухе при нормальных усло-
условиях. Там же указаны ампли-
амплитуды скорости смещений t'max,
соответствующие им числа Ма-
Маха, скорость звука с0 и плот-
плотность среды р0; в последнем
столбце таблицы приведены
критические расстояния для
двух частот v (xhp = co/(vA)).
Согласно этой таблице, нелиней-
нелинейные искажения в газах при
указанных ннтенсивностях мо-
могут достигать значительной ве-
величины непосредственно \ ис-
источника. Однако, помимо отме-
отмеченной уже низкой эффективно-
эффективности излучения ультразвука в
газы, в них очень велико погло-
поглощение ультразвуковых волн.
В жидкостях же, лаже при
самых больших числах Маха
78
2см
10 см
20 см
f-'lO""8, нелинейные искажения па длину волны не превышают
1%. При средних же ннтенсивностях порядка 1 Вт/см2 искаже-
искажение, приходящееся на длину волны, составляет ничтожно малую
величину, которой всегда можно пренебречь, считая форму вотмы
у источника идеально синусоидальной и мало изменяющейся на
протяжении нескольких длин волн.
Однако относительно слабое погло- <х
щение ультразвука во многих мало-
маловязких жидкостях допускает факти-
фактическое «накапливание» этого иска-
искажения в процессе распространения,
что приводит к формированию волн,
близких к пилообразным, на срав-
сравнительно небольшом расстоянии от
источника ультразвука, и это непо-
непосредственно подтверждается опытом. $
b качестве примера на рис. 16 при-
приведены осциллограммы давления в
плоской волне, полученные в воде
на разных расстояниях от источника
на частоте 1 МГц при интенсивности
ультразвука / ~ 50 Вт/см2 [24]. Из
рнс\нка видно, что на расстоянии
х = дг,р форма волны действительно $
становится близкой к пилообразной
(рис. 16, в) без существенного убыва-
убывания амплитуды. При этом поглоще-
поглощение волны резко возрастает и даль-
дальнейшее искажение замедляется из-за
уменьшения амплитуды. В дальней-
дальнейшем дисснпативные процессы сгла-
сглаживают градиент давления и умень- 2
шагат искажение.
Искажение формы волны в про-
процессе распространения в жидкости
четко проявляется также при на-
наблюдении дифракции света на уль-
ультразвуковых волнах большой ам-
амплитуды. С\ть этого явления со-
состоит в том, что изменение опти-
оптического показателя преломления
среды, сопровождающее изменение ее плотности в ультраззу-
ковой волне (см. § 2 гл. III), эквивалентно образованию фазовой
дифракционной решетки, на выходе из которой первоначально
плоский фронт светового пучка приобретает «гофрированную»
форму, повторяющею форму профиля ультразвуковой волны. Бла-
Благодаря фазовой модуляции светового п\чка хльтразвхком в фокусе
обычного спектрографа наблюдается дифракционная ьаръша, в ко-
48 см
Рус. 36.
79
a:-8,1 &paif.
i
A
\
Ч7
V4-/
v
торой распределение интенсивности света по дифракционным по-
порядкам однозначно связано с крутизной фронтов ультразвуковой
волны. Если ультразвуковые волны имеют син>соидальн>ю форму,
то создаваемая ими дифракционная картина симметрична, при иска-
искажении же формы волны в распределении интенсивности света по
дифракционным порядкам появляется характерная асимметрия,
позволяющая воспроизвести форму профиля ультразвуковой вол-
волны [25]. На рис. 17 приведены две дифракционные картины (а, в) и
соответствующие им формы профиля ультразвуковой волны (б, г)
в воде на дв^х расстояниях от источника E см и 30 см), полечен*
ные при начальной интенсивности ультразвука 15 Вт/см2 на ча-
частоте <—'570 кГц [26]. При этих >словиях максимальное искажение
формы волны — около 90% — наблюдалось на расстоянии ~1,5 хкр
от источника.
Таким образом, вследствие диссипативных процессов, усиливаю-
усиливающихся в маловязкой среде при искажении формы волны, фактиче-
фактическое расстояние от источника, на котором искажение достигает
80
Чльтоазбцковая
Рис. 17.
предельной величины, больше значения ,vK0, определяемого форму-
формулой (IV.38), и глубина переднего фронта при максимальном иска-
искажении всегда остается конечной. Тем не менее величины лкр и хрйзр,
вычисленные для идеальной среды, сохраняют значение \добных
пространственных параметров при расчетах различных нелш-ейных
эффектов. К числу таких эффектов, явтяющихся следствием искаже-
искажения формы волны, относится изменение спектрального состава волны
конечной амплитуды в процессе ее распространения, особенности
поглощения таких волн, нелинейное взаимодействие >льтрозвуко-
вых пучков и т д.
§ 6. Спектральный анализ волны конечной амплитуды
Искажение формы волны в процессе распространения эквива-
эквивалентно возникновению в ней высших гармоник по отношению
к частоте основного тона со, задаваемой источником. Нетрудно по-
6 В А. [Путилов
81
казать, что уравнение волны (IV.36), помимо основной частоты <о,
содержит гармонические составляющие кратных частот. Для этого
запишем уравнение (IV.36) в виде
_ ± ( 1 _!_ 1°'
V (X, t) = Umd\ Sill @
Разложим выражение в круглых скобках в ряд по степеням e9v/c0 и
ограничимся первыми двумя членами этого разложения, исходя из
малости чисел Маха vmax/c0, что дает
v(x, t) ~- Umax sin [(oit — kx)-\-to (eou/cf() Л'], (IV.41)
где k — со/со — волновое число. Учитывая выражение (IV.37), по-
последний член в квадратных скобках можно представить в виде
(<оеои/с?) х ss рй = (и/итач) (х/хразр). (IV.42)
Этот член увеличивается с расстоянием, пройденным волной от
источника, и на расстояниях, близких к л:разр, его амплитудное
значение становится сравнимым с единицей при сколь угодно малом
числе Маха. Если же ограничиться малыми расстояниями (х <^
«С л:рачр), то для них можно положить: ро <^ 1, sin po ~ po, cos po ~ 1,
и разложение синуса суммы двух аргументов в (IV.41) в этом случае
даст
v(x, /) Se iw sin (ю/-?*) + (—, ~^xsin2(at-kx). (IV. 43)
Таким образом, в первом приближении по ро мы получаем,
помимо волны основного тона, вторую гармонику (первый обертон)
с амплитудой vmaX2 =¦¦ (v2тах/с$)(т0/2) х. Амплитуда второй гармо-
гармоники, пропорциональная квадрату числа Маха и частоте основного
тона, в этом приближении линейно возрастает с расстоянием от
источника. В след\ющем приближении по J50 мы получили бы тре-
третью гармонику, четвертую и т. д., в соответствии с накапливаю-
накапливающимся искажением волны в процессе ее распространения. Когда
волна становится пилообразной, ее спектр определяется рядом
Фурье для пилообразной функции, т. е.
v(x, t)-= — v'mab У^—sinn (at —kx), (IV 44)
n = 1
где под u^ax нужно понимать амплитуду пилообразной волны, т. е.
пиковое значение колебательной скорости, которое в идеальной
картине, изображенной на рис. 15, соответствует значению ампли-
амплитуды синусоидальной волны vmax у источника. Согласно формуле
(IV.44), между амплитудой пилообразной волны v'mdX и амплитудой
ее первой гармоники (п — 1) имеет место соотношение vm^Kl =¦
= B/л) v'max, из которого следует, что даже при неизменной ампли-
амплитуде волны в процессе ее искажения амплитуда первой гармоники
должна убывать для сохранения энергетического баланса, чего
приближенная формула (IV.43) не отражает.
82
Чтобы получить более детальную картину изменения спектраль-
спектрального состава волны, не ограничиваясь малыми значениями x/xpd3?,
представим уравнение волны (IV.41) в виде ряда Фурье:
со
и (х, t) = vmax ^ Bn sin n (со/ — to), x<ixpsap, (IV.45)
с коэффициентами
Вп=— \ Я sin ib sin/г (со/ — to)d(co/ — to), (IV.46)
ft J о
Где k = co/co — волновое число;
i|)=co/ — to + Po- (IV.47)
Из формул (IV.47) и (IV.42) имеем:
со/ — to = i|)— Р0 = |ф = |ф—: sm\|).
рачр гпах разр
Подставляя этот результат в выражение (IV.46), получаем:
Вп= - \ sini|)sin(m|) — п sm\|) 1— ее
ft J 0 \ -^разр / \ -""paip
Интегрирование этого выражения дает
пх
—'. (IV. 48)
^разр
где п = 1, 2, 3.., а Уп — функция Бесселя первого рода n-го по-
порядка. Подставляя выражение (IV.47) в формулу (IV.45), оконча-
окончательно имеем:
' Р Р sin n (о/ - to). (IV.49)
лш* ПХ Хоялп
п— 1
разр
Полученный результат, называемый решением Бесселя — Фубини,
является иной формой общего решения системы нелинейных урав-
уравнений гидродинамики (IV.2), (IV.3). Выражение (IV.49) предста-
представляет спектральный состав волны конечной амплит\ды как функ-
функцию пройденного ею расстояния от источника в пределах 0< х<
< л:р;Пр. Решение Бесселя — Фубини, как и приближенное реше-
решение (IV.43), показывает, что волна конечной амплитуды в процессе
распространения становится все более немонохроматической.
В спектре волны появляются все более высокие гармоники, которые
усиливаются с расстоянием. При этом, в отличие от приближенного
результата (IV.43), более точное решение (IV.49) учитывает убы-
убывание амплитуды волны основного тона за счет передачи ее энергии
высшим гармоникам.
Количественная картина изменения спектрального состава волны
в недиссипативной среде, соответствующая решению (IV.49), пока-
показана на рис. 18 в виде зависимости относительной величины ампли-
6* 83
туд первых четырех гармоник 1>тах/,/утахот безразмерного расстоя-
расстояния
х/х
рззр'
где хрг,зр
a итах1 - амплитуда первой
рр у р
гармоники при х = 0, равная амплитуде волны основного тона у ис-
источника. Как известно из теории бесселевых функций, при значе-
значении х = хразр ряд (IV.49) сходится, а при х/хр ,0 > 1 — расходится.
Подставляя 'значение х = xps3p в формулу (IV.49), шеем
у (v, t) = umax [0,88 sin (со/ - /ev) + 0,35 sin 2 (со/ - /ex) +
+ 0,2 sin 3 (со/ - kx) -f 0,14 sin 4 (со/ - /b) +.. ].
Таким образом, спектр волны на расстоянии х = хр„зр еще отли-
отличается от спектра пилообразной волны, в которой соотношение между
амплитудами гармоник, со-
vn ixn,/vmu.x(v о) гласно (IV.44), имеет вид
П'1
vmdxn'via^i = l/n (IV.50)
и которая, по определению,
формируется на расстоянии
от источника
О'/ -
0.2
Рьс. 18
Продолжив кривые на рис. 18
до значений амплитуд гармо-
гармоник, соответствующих (IV.50)
при х = А',ф, получим пунк-
пунктирные кривые, иллюстриру-
иллюстрирующие изменение спектраль-
спектрального состава вотны конечной амплитуды на участие xpiip -с х ^.
s^ (л/2) xpw, т.е. вплоть до формирования шиообразной волны.
Возникновение и рост гармоник в процессе распространения
ультразвуковой волны большой амплитуды в жидьосгп можно от-
четс/1иво наблюдать, например, по дифракции свега, помещая па
пути ультразвукового пучка фильтр в вит,е плоскопараллелыюй
пластинки (см. ниже), «прозрачной» для выбранной гармоники и
отражающей волны с другими частотами [27] При этом, поскольку
длина волны (играющая роль периода «ультразвуковой решетки-))
выделенной фильтром я-и гармоники в п раз меньше длины волны
основного тона, то расстояние между дифракционными линиями
(«порядками)/) в дифракциончои картиче от гармоники будет в п раз
больше, чем в картине дифракции света от основной волны; коли-
количество же наблюдаемых порядков зависит от амплитуды гармоники.
Таким образом, перемещая фильтр, настроенный на данн>ю гар-
гармонику, вдоль ультразвукового пучка, можно проследить развитие
гармоник в волне большой амплитуды в процессе ее распространения
от источника до фильтра. На рис. 19 приведены картины дифракции
света на ультразвуковой волне с интенсивностью 15 Вт/см2 и часто-
частотой 573 кГц, распространяющейся в дистиллированной воде, и на
ее гармониках, выделенных с помощью стеклянных фильтров на
четырех расстояниях х от источника [27]. На рису, нке хорошо видно,
Рис, 19,
как по мере искажения формы волны, проявляющегося в асиммет-
асимметрии основной дифракционной картины, происходит обогащение ее
спектра. («Фон» в виде дифракционных полос от основной волны
обусловлен ее отражением от недостаточно заглушённых стенок
ванны). Что же касается количественных результатов, то они хорошо
согласуются с кривыми, приведенными на рис. 18, только при не-
невысоких частотах для гармоник малых номеров и сравнительно
небольших расстояний от источника [28]. В общем же диссипатив-
ные процессы в реальных средах на ультразвуковых частотах суще-
существенно искажают картину поведения гармоник на больших рас-
расстояниях от источника.
§ 7. Интенсивность искаженных
ультразвуковых волн конечной амплитуды
Формулы для интенсивности ультразвука, полученные в § 3
гл. III для монохроматических волн и связывающие интенсивность
синусоидальной волны с ее амплитудой, например:
/ = i&a*P<A/2, (IV.52)
где vmax — амплитуда колебательной скорости, при искажении
формы волны в процессе ее распространения перестают быть спра-
справедливыми и нуждаются в уточнении. Интенсивность немонохрома-
немонохроматической волны может быть представлена в виде суммы интенсивно-
о г V~1 CO о ,г\
стеи ее гармоник: / = 2j«= i v™* «Р<А/2, где vmaxn — амплитуды ко-
колебательной скорости в гармониках, определяемые как коэффи-
коэффициенты разложения в ряд Фурье уравнения плоской волны конеч-
конечной амплитуды (IV.45). В частности, при образовании пилообраз-
пилообразной волны с шириной переднего фронта 6, ее спектр Фурье для коле-
колебательной скорости в фиксированной точке выражается как
2Утяу ХЧ 1 Sln ПЛ&
,,та*г У- ?— sinmo/,
Я A — б) Лшш1 П ШХб '
п=\
где Umax — амплитуда скорости в пилообразной волне; со — ее ос-
основная частота, п = 1, 2, 3... Соответственно для интенсивности
пилообразной волны имеем:
оо
тах V
—бJ —
л2
я=1
Это соотношение принимает наиболее простой вид при описании
пилообразной волны с бесконечно малой глубиной фронта. Полагая
в выражении (IV.53) 6 = 0, получаем:
2t)max
i2 3p0c0 "
86
Сравнивая этот результат с формулой (IV.52), видим, что интенсив-
интенсивность предельно искаженной пилообразной волны в 3/2 раза меньше
интенсивности синусоидальной волны той же амплитуды. А это
в свою очередь означает, что даже в недиссипативной среде условие
сохранения потока энергии приводит к убыванию амплитуды пеп-
воначально синусоидальной волны в 1,5 раза при формирова! ии
пилообразной волны.
§ 8. Поглощение плоских волн конечной амплитуды
Качественное рассмотрение и оценка роли диссипативных эф-
эффектов. При распространении волны конечной амплитуды в реаль-
реальной среде увеличение градиента колебательной скорости на перед-
переднем фронте волны при ее нелинейном искажении должно сопро-
сопровождаться усилением диссипативных потерь, обусловленных вяз-
вязкостью и теплопроводностью среды. Вследствие этого амплитуда
волны будет прогрессивно убывать и, следовательно, процесс ее
искажения будет затормаживаться. На некотором расстоянии от
источника влияние диссипативных процессов должно полностью
скомпенсировать влияние нелинейных эффектов, — при этом даль-
дальнейшее искажение формы волны прекращается, что принято назы-
называть стабилизацией формы волны. На самом деле стабилизации
в полном смысле слова не происходит, так как при дальнейшем
распространении амплитуда волны продолжает затухать, нелиней-
нелинейные эффекты при этом ослабевают и профиль волны на больших
расстояниях начинает сглаживаться вплоть до восстановления сину-
синусоидальной формы. Поэтому под стабилизацией формы волны сле-
следует понимать ее максимальное искажение, а под расстоянием ста-
стабилизации (х,ллб) — расстояние, на котором достигается это иска-
искажение, от источника. Правда, термин «стабильная форма волны»
в известной мере оправдывается тем, что профиль такой волны изме-
изменяется медленнее, чем профиль любой другой волны с теми же ам-
амплитудой и частотой.
В силу этих обстоятельств коэффициент поглощения волны ко-
конечной амплитуды (а) не является постоянной величиной: он воз-
возрастает по мере удаления волны от источника и с искажением ее
формы, достигая максимальной величины в области стабилизации,
а затем убывает. Поэтому по отношению к волне конечной ампли-
амплитуды следует говорить о дифференциальном коэффициенте поглоще-
поглощения, который в области стабилизации может намного превышать
коэффициент поглощения волны бесконечно малой амплитуды а0,
определенный соотношениями (III.37) или (III.40). При фиксиро-
фиксированных расстояниях от источника дифференциальный коэффициент
поглощения зависит также от амплитуды волны у источника.
С точки зрения спектрального состава волны конечной амплитуды
ее искажение в процессе распространения эквивалентно возникнове-
возникновению и усилению гармоник. При этом амплитуда волны основного
тона будет прогрессивно убывать не только вследствие непосред-
87
ственного поглощения, но и за счет передачи ее энергии высшим гар-
гармоникам, которые поглощаются более интенсивно, поскольку по-
поглощение гармоник, согласно формуле (III.37), возрастает пропор-
пропорционально квадрату их частоты, т. е. квадрату номера гармоники.
Поэтому на некотором расстоянии от источника рост гармоник пре-
прекратится, и после относительной стабилизации их амплитуда начнет
убывать, т. е. спектр волны будет обедняться.
В этой связи нужно отметить, что диссипация полной энергии
волны конечной амплитуды отличается от затухания ее основной
гармоники, т. е. соотношение (III.47) межд> коэффициентами зату-
затухания по амплитуде и по интенсивности для волн конечной ампли-
амплитуды теряет силу. Это хорошо видно на примере идеальной среды
без диссипации: потери энергии в ней отсутствуют (т. е. коэффи-
коэффициент поглощения для интенсивности равен нулю), а амплитуда
волны основного тона затухает (см. рис. 18) по закоьч, вытекаю-
вытекающему из решения Бесселя — Фубини (IV.49), т. е.
Vmaxi (А") = 2ymdxo (Xj)a3?/x) Jx (x/Xpi3p), (IV.54)
где t'maxo — амплитуда волны у источника; Jx — функция Бесселя
первого рода. Этому затуханию можно приписать отличный от нуля
коэффициент поглощения аг, который нетрудно рассчитать из (IV.54),
пользуясь общим определением (III.41). Для высших же гармоник
«дифференциальный» коэффициент поглощения до области стаби-
стабилизации вообще отрицателен.
Предельное искажение, которого может достичь профиль волны
конечной амплитуды на расстоянии стабилизации, очевидно, будет
зависеть от соотношения между не пшенными и дпсснпативиымп
эффектами. Нелинейные эффекты, в свою очередь, зависят от нели-
нелинейного параметра среды и амплитуды волны, а днссипативныс эф-
эффекты — от вязкости среды (сдвиговой и объемной), ее теплопро-
теплопроводности и от частоты ультразвука. Таким образом, чем больше
амплитуда волны у источника и чем меньше ее поглощение, тем
большим будет предельное искажение, которого может достичь
профиль данной волны в дайной среде. В частности, в рассмотрен-
рассмотренном случае идеальной среды без диссипативных потерь предельно
искаженной (стабильной) формой волны при сколь \годно малой
ее амплитуде и при любой частоте будет пилообразная волна с бес-
бесконечно малой глубиной переднего фронта, формирующаяся на рас-
расстоянии хкр, определенном в §5. Во всякой реальной среде, как отме-
отмечалось там же, глубина фронта остается конечной, однако при очень
большой амплитуде и малом поглощении предельно искаженная фор-
форма волны и в реальной среде может быть близкой к пилообразной,
а расстояние, на котором это искажение достигается, — близким
к хкг>. В другом предельном случае, когда амплитуда р.элны мала,
а поглощение ультразвука в данной среде на данной частоте велико,
стабильная форма волкы будет мело отличаться от синусоидальной.
Поскольк> дифференциальный коэффициент поглощения волны
конечной амилитх ды а достигает максимальной величины в области
стабилизации формы волны, т. е. при ее предельном искажении,
а само предельное искажение при данной амплитуде волны у источ-
источника тем больше, чем ниже малоамплитудный коэффициент погло-
поглощения а0, то отсюда вытекает важный качественный вывод: чем
меньше вязкость среды и чем ниже частота ультразвука, тем больше
поглощение волны данной конечной амплитуды в области ее пре-
предельного искажения будет превышать поглощение монохроматиче-
монохроматической волны с той же частотой в той же среде. В предельном сл\чае
среды без потерь, когда а0 -*¦ О, отношение а /а0 -> с», что и является
критерием образования почти пилообразной волны без разрыва.
Опыт показывает, что в реальных маловязких средах на мегагерце-
мегагерцевых частотах превышение коэффициента поглощения волн большой
амплитуды над значением а0 может достигать нескольких порядков.
Такова качественная картина распространения волн конечной
амплитуды в днссипативной среде. Для количественного анализа
необходимо в нелинейное уравнение движения (IV.2) добавить членг
учитывающий диссипативные потерн, и решить его совместно с не-
нелинейным уравнением неразрывности (IV.3) и адиабатическим
уравнением состояния (IV.4) Вообще говоря, при искажении формы
волны адиабатичность процесса в ней нарушается, и поэтому для
строгого описания распространения волн конечной амплитуды
к указанным уравнениям следовало бы добавить еще нелинейное
уравнение переноса тепла. Однако, как показывает теория хдараых
волн, отклонение от аднабатичности остается малым даже при пере-
переходе через фронт ударной волны, в которой изменение энтропии
происходит, главным образом, за счет теплопроводности. Это по-
позволяет линеаризовать уравнение переноса тепла, сохранив для
анализа распространения волн конечной амплитуды линейное
уравнение Навье — Стокса, к которому должен быть добавлен-
нелинейный гидродинамический член. При этом одномерное нели-
нелинейное уравнение Навье — Стокса принимает следующий вид:
dv . dv dp . <d2v
? + <>v= + b
di dxdx d# <IV-o5>
где (см. формулы (III.40) и (III.25)) коэффициент
включает в себя коэффициенты сдвиговой вязкости i]c, объемной
вязкости т]0 и теплопроводности Роль теплопроводности для боль-
большинства сред по-прежнему остается незначительной, поэтому под
величиной Ь можно понимать коэффициент общей вязкости г).
Уравнение (IV.55) отличается от уравнения движения (IV.2)
только добавкой «диссппативного» члена b (d2v/dx2). Тем не менее
строгое решение системы нелинейных уравнений (IV.55), (IV.3) и
(IV.4) для диссипагивной среды встречает большие трудности, и
поэтому оно производилось различными приближенными мето-
методами [29]. Среди них наиболее хорошие результаты дзет метод по-
последовательных приближений, который основан на предваритель-
№
ной оценке соотношения между величиной диссипативного члена
b (d2v/dx2) и нелинейного члена pv (dv/дх) в уравнении (IV.55).
Произведя эту оценку для синусоидальных возмущений, как это
было сделано в § 1 данной главы, получим, что максимальное отно-
отношение дпссипативного члена к нелинейному равно величине
Pbcovmax (Ьы), известной в гидродинамике под названием числа
Рейнольдса — Re. Учитывая линейное соотношение между ампли-
амплитудой колебательной скорости утах и амплитудой давления pmdK
в плоской волне (ШЛО), имеем: Re = ртах1(Ьы).
Таким образом, число Рейнольдса — это как раз та самая вели-
величина, которая в проведенном выше качественном рассмотрении опре-
определяла степень предельного искажения формы волны на расстоянии
ее стабилизации в данной среде. В математическом же плане она
определяет относительную величину нелинейного и диссипатив-
диссипативного членов в уравнении (IV.55). Если число Рейнольдса велико,
то в первом приближении можно пренебречь диссинативным чле-
членом, решая в этом приближении систему уравнений (IV.2) — (IV.4)
для среды без потерь и учитывая дисснпагнвные эффекты в следую-
следующем приближении. В случае же малой величины числа Рейнольдса
в первом приближении можно пренебречь нелинейным членом в урав-
уравнении (IV.55); тогда получим линейное уравнение Навье — Стокса
A11.27), а нелинейные эффекты необходимо учесть во втором при-
приближении.
Рассмотрим основные результаты, которые дают эти приближен-
приближенные приемы по отдельности.
Большие числа Рейнольдса. Случай Re ^> 1 относится к боль-
большой интенсивности ультразвука у источника при малой вязкости
среды и сравнительно низкой частоте ультразвука. Заметим, чго
условие Re ^> 1 не противоречит малости чисел Маха в ультразву-
ультразвуковой волне большой интенсивности и реализуется в ультразвуко-
ультразвуковом диапазоне частот. В самом деле, при интенсивности ультра-
ультразвука, например, 100 Вт/см2 в воде (с0 — 1,5-103 м/с, ао\>'2 =
= 25-Ю7 с2/см, pmaK ~ 20 атм, vmdK ca 1,5 м ;с) число Маха со-
составляет всего -^10~а, а число Рейнольдса при частоте 1 МГц —
= 106 с примерно равно 100, а при частоте 500 кГц Re c^ 200.
Анализ уравнений гидродинамики при больших числах Рей-
Рейнольдса непосредственно примыкает к рассмотренному в предыду-
предыдущем параграфе случаю недиссипативной среды, для которой Re -*-
-*- со. Приближение, которое допускает реализуемое условие Re^> 1,
по существу означает, что при этом условии поглощением можно
пренебречь вплоть до расстояния от источника хр,зр = Ac(>/Bnthovmax),
после чего проявляются дпссипативные процессы, которые препят-
препятствуют разрыву. Искажение формы волны при этом продолжает
нарастать до расстояния хкр — лхррзр/2, пока не сформируется ста-
стабильная пилообразная волна, амплитуда которой при дальнейшем
распространении будет убывать вследствие интенсивной диссипа-
диссипации энергии на ее переднем фронте. Закон затухания стабилизи-
стабилизированной пилообразной волны можно определить довольно простым
90
путем, считая достаточно малым }часток, на котором происходит
конечный скачок колебательной скорости в плоскости «разрыва»,
что оправдывается малостью чисел Маха.
Используя уравнение волны конечной амплитуды в виде (IV.41)
с учетом равенства (IV.42), т. е.
v = vmaxsin(<ot-kx + -?--±-)t (IV.56)
разр
проследим за каким-нибудь фиксированным значением колебатель-
колебательной скорости v до момента «выхода» ее на плоскость разрыва, где
Рис. 20.
происходит скачок колебательной скорости (рис. 20). Плоскость
разрыва движется в пространстве со скоростью нулевой фазы сп
и к моменту времени t проходит расстояние от источника х -- cot.
Следовательно, положение плоскости разрыва определяется равен-
равенством (at — kx -- 0 и условием того, что скачок колебательной ско-
скорое 1 и на плоскости разрыва равен и, согласно (IV.56), н будет
V = Ушах Sill [(f/f max) (*/*разр)]. (IV.57)
где х ^г -vp13p, причем координата х — хрязр соответствует выходу
ин плоскость разрыва точки профиля волны с колебательной ско-
скоростью v — 0, что совпадает с прежним определением расстояния
д'рдзр до начала «разрыва». С дальнейшим увеличением расстояния
на плоскость разрыва попадают все большие значения колебатель-
колебательной скорости v, т. е. скачок скорости на переднем фронте возрастает
вплоть до расстояния от источника х — хкр = (л 12) хразр; на этом
расстоянии v = vmax — v'm.dX, что соответствует формированию пило-
9-1
образной волнь1, амплитуда которой v'max будет в дальнейшем убы-
убывать (см. рис. 20) по тому же закону (IV.57), где под значением v
НуЖНО ПОНИМаТЬ I'max, Т. е.
f max = fmax sin [(fmax/^max) (х/Хразр)]. (IV.58)
Этот закон особенно просто выражается при больших значениях
xtxp^3p, когда величину sin \vfmaxx /(vmaxxpa3p)} можно разложить
в окрестности точки \v'maxX!(vmaxxpS3p)] — п. Действительно, пола-
полагая [v'maxx,(vmaxxvgiAp)] =- я — 6, где 6 < л, имеем
smsin(n6) sin6«6 n .
X t) X) X
разр max max разр
Подставляя этот результат в (IV.58), получаем формулу, описываю-
описывающую хбывание амплитуды пилообразной волны (на расстояниях,
превышающих хкр не менее, чем в два-три раза):
t'max = Ута\Я/A + */Хразр), (IV. 59)
где, по определению, vmaK есть амплитуда волны у источника;
х — рассюяние, отсчитываемое от источника. При выводе этой
формулы, основанном па соотношении (IV.58), в котором vm,, =
=- const, не учтено убывание амплитуды па участке формирования
пилообразной волны — от xpi3p до хкр. Однако термодинамические
расчеты приводят к такому же выражению для v'max с несуществен-
несущественным ожидаемым различием в численном коэффициенте, которое
можно отнести за счет указанной погрешности, понимая под vma%
в уравнениях (IV.58) и (IV.59) фактическую начальную амплитуду
пилообразной волны.
Из соотношения (IV.59) сразу же вытекает одна важная особен-
особенность распространения мощного ультразвука на больших расстоя-
расстояниях от источника. При х ;> лгра,р оно дает
Vmix = УтахЛЛ', ^/Х = C0A/Be0.Y), (IV 60)
т. е. амплитуда пилообразной волны на большом расстоянии от ее
источника не зависит от амплитуды его колебаний. При этом,
однако, амплитуда у источника должна достигать такой величины,
чтобы пилообразная волна сформировалась на расстоянии — хр11р,
меньшем данного фиксированного расстояния х. При дальнейшем
повышении интенсивности ультразвука амплитуда пилообразной
волны на этом расстоянии х бугет асимптотически приближаться
к величине v'max, определяемой формулой (IV.60). последующее уве-
увеличение амплитуды волны у источника будет полностью компен-
компенсироваться ее затуханием в области формирования и распростра-
распространения пилообразной волны. Следовательно, формула (IV.60) опре-
определяет предельную величину амплитуды колебательной скорое iи
в пилообразной волне (umax)max, достигаемую на фиксированном
расстоянии от источника в данной среде. Поскольку же пилообраз-
пилообразные волны формируются при больших числах Рейнольдса, то эта
формула дает критерий передачи мощного ультразвука в маловяз-
92
кой среде на сравнительно большие расстояния от источника.
Этот критерий оказывается довольно жестким. Так, для воды
(to =- 1,5-103 м/с, р(, — 4) при частоте 0,5 МГц он определяет пре-
предельную величину интенсивности, которая может быть передана на
раСеТОЯНИе 1 М ОТ ПСТОЧНИКа (х — 330 Л) как /тах — р,,6, (v'max)'^ax/2c^
~ 30 Вт/см2, а при частоте 1,5 А\Гц (х - 1000 А) — всего —3 Вт/см2.
Эти выводы, по крайней мере качественно, согласуются с экспе-
экспериментом (рис. 21) [19| Некоторое количественное различие может
быть обусловлено такими i е\чтенными факторами, как поглощение и
рассеяние ультразвука до форми-
формирования \дарной волны, размы-
вапг- ее фронта вследствие погло-
поглощения за областью формирования,
дифракционные эффекты р реаль-
реальном ультразвуковом п\чке и т. д.,
котсрые вед\т в целом к уменьше-
уменьшению вычисленных максимальных
значений интенсивности, так что
фортла (IV.60) дает верхний тео-
ретичеекчй предел.
Псхочя из соотношения (IV.59),
найдем амплитудный коэффициент
поглощения пилообразной волны:
1 do' 1
dx
х-\-х
рчнр
(IV.61) 50-
Рис. 21.
Таким образом, на больших
расстояниях за областью формиро-
формирования пилообразной волны (х ;>
Р» л'рг,р) коэффициент ее поглоще-
поглощения убывает обратно пропорционально расстоянию. Поделив теперь
формулу (IV.61) на выражение для коэффициента поглощения
волны бесконечно малой амплитуды а0 — few2 Bрог(;), получим
а
«о
(IV.62)
где Re = o0c()ymax/(feo)) — число Реинольдса у источника ультра-
ультразвука. Учитывая соотношение (IV.59), можно также ввести более
удобное для измерений «текущее» число Реинольдса в пилообразной
волче*
Rex=ptfc0V(M=nRe/(l+jr/xp.8p), (IV.63)
тогда выражение (IV.62) принимает следующий вид:
а/а0 - B/я) е0 Rev.
(IV.64)
93
Обычно в ультразвуковой технике измеряется амплитчда первой
гармоники (волны основного тона). Учитывая, что, согласно разло-
разложению (IV.44), амплитуда колебательной скорости в первой гар-
гармонике итах1 пилообразной волны связана с ее пиковым значением
Dmax соотношением L'maxi — B'л) L'max и вводя тек) щее число Рей-
нольдса для первой гармоники: ReJV =- poVmaxi'(bo)) — pma\i/(bo)),
где ртах1 — амплитуда давления в первой гармонике, получаем
a/ao = eoRe14, (IV.65)
где р0 — нелинейный коэффициент. В области формирования пило-
пилообразной волны, где текущее число Рейнольдса имеет наибольшее
значение, превышение коэффициентов поглощения пилообразной
волны или ее первой гармоники ьад коэффициентом поглощения а0
волны малой амплитуды максимально, причем оно определяется
не только числом Рейнольдса (которое в маловязких жидкостях
на не слишком больших частотах может достигать нескольких сотен
и даже тысяч единиц), но и нелинейным коэффициентом е0, вели-
величина которого для жидкостей колеблется в пределах 4 -f- 6. Затем
коэффициенты поглощения a'a0 и гх.1/а0 убывают с расстоянием по
закону (IV.61). При этом соотношения (IV.62), (IV.64) и AУ.65)
имеют силу, пока сохраняется пилообразная форма волны. При
размывании переднего фронта волны коэффициент ее поглощения
убывает. Следовательно, формула (IV.64) определяет максималь-
максимальный избыточный коэффициент поглощения a/a0, который может
иметь место при данном значении числа Рейнольдса в среде с не-
нелинейным коэффициентом е0, и эта максимальная величина а*а.о
реализуется в пилообразной волне. Интересно отметить, что в вы-
выражения для коэффициента поглощения а пилообразной волны
(IV.61) — (IV.64) не входят диссипативные характеристики сре-
среды, — он зависит только от скачка колебательной скорости (дав-
(давления, плотности и т. д.) на переднем фронте волны. На самом деле
диссипативные процессы неявным образом учитывались при вы-
выводе формулы (IV.65) использованием соотношений, определяющих
величину этого скачка.
Более детальный анализ структуры переднего фронта ударной
волны при данном значении числа Рейнольдса приводит к выраже-
выражению его безразмерной глубины [191:
6 = (l+x/xpa3p)/(tte0Re), ' (IV.66)
где Re — число Рейнольдса при х — О, а под глубиной фронта 6
понимается отношение его толщины к длине волны Л, так что вели-
величина 6 связана со степенью искажения волны А (см. (IV.40)) соот-
соотношением 6 = A — А)/2.
Согласно выражению (IV.66), глубина фронта ударной волны
минимальна в области начала разрыва (х ~ хразр), а затем растет
пропорционально х. Но при этом, как мы уже отмечали, убывает
и избыточный коэффициент поглощения волны. Далее, при Re->- оо
глубина фронта 6 ->- 0; однако фактическое значение числа Рейнольд-
94
са в дайной среде ограничивается ее диссипативными свойствами.
Следовательно, дпссипативные процессы ограничивают и глубин*,
фронта ударной волны, а тем самым — ее поглощение, которое,
таким образом, действительно зависит только от скачка давления
(скорости), также определяющего величину Re. Количественную'
связь между избыточным поглощением пилообразной волны и глу-
глубиной ее фронта 6 мы получим, сопоставляя выражения (IV.66)
и (IV. 62), что дает
а/ао=2/(я6), (IV.67)-
а для измеряемой на опыте первой гармоники согласно (IV.65)'
имеем ах а0 — 1/6, причем эти соотношения справедливы для силь-
сильных искажений, т. е. при
6 << 1/2. ТаКИМ обраЗОМ, ИЗ-
меряя избыточный коэффи-
коэффициент поглощения основной
гармоники, можно опреде-
определить глубину фронта иска-
искаженной волны б или степень
ее искажения Д.
Приближенное выражение
для спектрального состава
волны конечной амплитуды
при больших числах Рей-
нольдса можно получить, объ-
объединяя решение Бесселя —
Фубинн (IV.49) для 0 *=:
Рис. 22.
44)
paip
(IV.44) для х ^
что дает
разложение в ряд Фурье пилообразной волны
> х яз с учетом ее затухания по закону (IV.59),
V(X, 0 = °т
(IV.68)
где vmax — амплитуда волны у источника; k — ее волновое число, а
Вп =
О
"разр>
разр
1разр>
где Jп — функция Бесселя первого рода /г-го порядка. Сшивая этк
решения в точке х = хкр (точка х/хр!пр — л/2 на рис. 18), получаем
картину изменения спектрального состава волны при больших
числах Рейнольдса, изображенную на рис. 22, где пунктирные участ-
участки для амплитуд гармоник соответствуют области изменения ампли-
амплитуды волны по закону (IV.58).
Таким образом, амплитуды высших гармоник достигают макси-
максимальной величины в области формирования пилообразной волны, где
основная (первая) гармоника, согласно (IV.65), испытывает наиболь-
95
шее поглощение. На расстояниях, несколько больших хкр, спад
амплитуд всех гармоник (включая основную) происходит по оди-
одинаковому закону: vmdK „ = 2vmax/[n (I -|- xi\p,,p)], с одинаковым
коэффициентом поглощения: ап — \1(х -!- xwp) = а, что характерно
для пилообразной волны и соответствует сохранению (стабилизации)
ее формы, т. е. сохранению больших текущих чисел Рейиольдса
Rev, при которых можно пренебречь глубиной ударного фронта
по сравнению с длиной волны А. Однако по мере убывания ампли-
амплитуды ударный фронт волны размывается, т. е. его глубина воз-
возрастает. Если принять в расчет конечную глубину фронта б, опре-
определяемую соотношением (IV.66), и ее связь с затуханием в соответ-
соответствии с (IV. 67), то разложение в ряд Фурье будет иметь вид:
оо
Утах V Sin П (bit—kx) /wrcrw
e0Re jL sh[n(l+x/A;Kp)/B80Re)] ' \ * • *)
где Re — начальное число Реннольдса; х ~>xhp. При больших зна-
значениях Re выражение (IV.69) совпадает с (IV.63) для х = хкр.
При сильном размывании фронта волны на больших расстояниях
от источника, где форма волны опять приближается к синусоидаль-
синусоидальной, соотношение (IV. 69) приближенно дает
v =~-^[е-а°х sin (со/ - kx) + e 2a°< sin 2 (со/ - kx) + ...]. (IV.70)
Таким образом, на большом расстоянии за областью формирова-
формирования ударной волны коэффициенты поглощения гармоник разли-
различаются: высшие гармоники поглощаются сильнее низших. Однако
это различие все же слабее, чем то, которого можно было бы ожидать,
исходя из квадратичной зависимости коэффициента поглощения от
частоты: в уравнении (IV.70) коэффициент поглощения второй
гармоники лишь в два, а не в четыре раза больше коэффициента
поглощения первой гармоники. Это обусловлено непрерывной
перекачкой энергии от низших гармоник к высшим на всем пути
распространения волны вплоть до восстановления ее первоначаль-
первоначальной синусоидальной формы па расстояниях, удовлетворяющих
условию 1{)х ^> 1, при котором соотношение (IV.70) дает
ехр [(— аох) sin (со/ — kx)\.
Если же учесть, что при аоя ;> 1 ехр (— а()х) ~ ^(а^), где а0 =
= 6(o2/Bpoq), a Re = pocoi>max/Fco), то на основании (IV. 70) мы
опять придем к выводу о том, что на больших расстояниях за обла-
областью разрыва амплитуда волны не зависит от интенсивности излу-
излучения источника, и для предельной амплитуды на фиксированном
расстоянии х >> хкр получим выражение итач ~~- соА/{леох), совпа-
совпадающее с прежним результатом (IV.60) с точностью до я/2.
Малые числа Рейнольдса (Re <^ 1). Малая степень искажения
формы волны на расстоянии ее стабилизации представляет наиболь-
наибольший интерес с точки зрения анализа условий, при которых можно
96
считать, что распространение реальных волн конечной, но малой
амплитуды хорошо подчиняется законам линейной акустики. Этот
ел\чай практически всегда реализуется, например, при измерениях
скорости и поглощения ультразвука: используемые при этом интен-
интенсивности соразмеряются с потерями на поглощение, и числа Рей-
нольдса Re = PmaJ{bu>), как правило, остаются малыми.
При малых числах Рейнольдса задача о распространении волн
конечной (но малой) амплитуды в вязкой среде может быть решена
методом последовательных приближений, в котором решение для
акустических параметров и,Др и т. д. отыскивается в виде рядов:
v(x, t) = vL-\-vi-\-...1 Лр = р — р0 = рх + р2 +..., (IV.71)
где v2 <^ иъ р2 <; Рх- Подстановка этих рядов в точные уравнения
гидродинамики (IV. 3) и (IV. 55) позволяет выделить линейные
уравнения первого приближения с учетом вязких потерь и уравне-
уравнения второго приближения, куда войдут нелинейные члены второго
порядка малости. Решая эти уравнения и складывая полученные
результаты, мы найдем, согласно (IV. 71), полное решение во втором
приближении с учетом слабых нелинейных эффектов, при которых
членами третьего порядка малости можно пренебречь.
Решение системы линейных уравнений гидродинамики с учетом
вязких потерь было получено в § 4 гл. III. При гармоническом коле-
колебании плоского источника и при малом поглощении на длине волны
(а0Л ^ 1) в пренебрежении теплопроводностью среды это решение
(т. е. решение первою приближения) описывает затухающую плос-
к\ю волну с частотой со:
vt(x, /) = umaxi exp [(— аох) sin ((o^ — kx)], (IV.72)
где а0 = 6(o2/Bp0cti) и b = ц = D/3) r\c -f тH.
Система нелинейных уравнений второго приближения с учетом
уравнения состояния во втором же приближении (IV. 14) принимает
следующий вид:
~Ж + р0 ~д7 + 17 ^lVi) = 0;
01*2 , dvv , ду, 9 др9 , дЧ> . D д I р1 \2 л ,.., _о.
+p+p^ +tw-b-dF+Bwyjit) =0' (IVi73)
где В — коэффициент при квадратичном члене в уравнении состоя-
состояния, В = Ро (дс2/др)р=Ро; с2 = др/др. Решение уравнений второго
приближения (IV. 73) дает [29, 30] *
Vi(Xt t) = аѰе20^ах1 (е-2а°х ~ е-4^) sin 2 (Ш - kx) (IV.74;
и, кроме того, /?2 = Росои2' ^ Рг — V2 Ро/Сс т- е- выявляет связь
между акустическими параметрами во втором приближении, ана-
* К аналогичному результату приводит также учет затухания волны вслед-
вследствие дифракции ограниченного пучка квазнплоских волн конечной амплитуды
[31].
7 В. А. Шутал^ь 97
логичную соотношениям первого приближения. Уравнение (IV. 74)
описывает затухающею плоскою волну с частотой 2со, т. е. вторую
гармонику основной волны (IV. 72). В следующем приближении
мы получили бы третью гармонику, и т. д. Однако \словие примени-
применимости использованного приближения v2lvt <^ 1 дает
= _? R y
>l max 2
При этом третьей гармоникой можно пренебречь и представить пол-
полное решение для v (х, t) в виде
v (х, t) = v1-{-v2 = vmaxle а°х sin {(at — kx) +
+ vmaxi (е-**** - е-*а°х) sin 2 (<at - kx), (IV.76)
где согласно уравнению (IV. 74)
Недостатком полученного таким образом решения является то,
что оно учитывает затухание основной волны только в результате
диссипативных процессов, но, как н приближенное решение для
недиссипативной среды, не отражает факта передачи ее энергии
второй гармонике. Его можно учесть дополнительно, вычитая извест-
известную энергию второй гармоники из энергии волны основного тона.
Однако это дает незначительную поправку, поскольку, в соответ-
соответствии с условием (IV. 75), амплитчда второй гармоники невелика.
Для второй же гармоники факт ее корреляции с ролной основного
топа оказывается учтенным наряду с непосредственным поглощением
средой. В соответствии с уравнением (IV. 74) амплитуда второй
гармоники равна нулю в начале координат п при малых к растет
с расстоянием ириблизшельно по линейному закону: при а,,\ 1
ехр (—2аох) — ехр (—4аox) ~ 2art.v; подставив это выражение в фор-
формулу (IV. 74), получим vm<iX , — t-yoz'fnax tx,{2q), что точно совпадает
с прежним результатом (IV. 43) для недиссипатнвпоь среды. О чшко
при дальнейшем распространении рост второй гармоники замед-
замедляется; на расстоянии \\мб г — 1п2/Bа0) ее амплитуда достигает
максимальной величины и затем ч бывает. При этом затухание второй
гармоники при x~>xcut61 происходит быстрее, чем затухание
волны основного юна, но медленнее, чем просто поглощение волны
с удвоенной частотой. Относительная же величина амплитуды второй
гармоники по сравнению с амплитудой основной волны
°maxi _ РоГого1'тах 1 /е~ааХ __ g-3ccox\ ( jу 77)
имеет максимальное значение в точке
А'паб = 1п3/Bао), (IV.78)
т е. на несколько большем расстоянии от источника Ча этом рас-
расстоянии форма волны претерпевает наибольшее искажение. При
98
x = л:стаб выражение (IV 77) дает
1 V,
Re
rnaxl max
ЗУ'ЗЬ® 3 \f3 has 3\ 3
(IV.79)
В предельном случае пилообразной волны (степень искажения
А = 1) это отношение, как мы знаем, равно 1/2. Поскольку наше
решение получено для Re-<^1, то, согласно формуле (IV. 79),
) /
fa
^ фру
г)тах <! 1/2, Т. в. СТепеНЬ МаКСИМЭЛЬИОГО ИСКажвНИЯ
волны в данном случае далека от единицы; следовательно, стабиль-
стабильная форма волны далека от пилообразной и ее профиль представляет
собой лишь слегка искаженную син\сойду.
Зная распределение колебательных скоростей в волне (IV. 76),
можно найти количество энергии, теряемой ею вследствие диссипа-
диссипации, и вычислить дифференциальный коэффициент поглощения.
Для амплитудного коэффициента поглощения всей волны при эгом
получается следующее выражение [301:
a = i
4-
i
ov\2
^ ехр
(IV.80)
aox) —
Поделив его на а0 и введя обозначение Ф (аот)
— ехр (—Заох), получим
а/а0 = 1 + Cej Re2/4) Ф (aox).
Следовательно, относительный коэффициент поглощения волны
конечной амплитуды при малых числах Re изменяется с расстоя-
расстоянием от источника как функция Ф (аох), график которой приведен
на рис. 23. При х — О
и х = оо Ф (аох) = 0 и
а — а0. Избыточное погло-
поглощение достигает наиболь-
наибольшей величины в точке хтах,
где мачсимальио и иска-
искажение формы волны. Под-
Подставляя в (IV. 81) значение
получаем
(IV.82)
Таким образом, как и Рис 23.
в случае Re ~p> 1, избыточ-
избыточное поглощение волны конечной амплитуды в области ее наиболь-
наибольшего искажения определяется только нелинейным коэффициентом
среды ?0 и числом Решюльдса, однако при малых числах Рей-
нольдса относительный коэффициент поглощения возрастает про-
7*
99
100
80
Рис, 24.
порционально Re2 в отличие от линейной зависимости, получен-
полученной ранее (см. соотношение (IV. 62)).
Полученные теоретические результаты для относительного коэф-
коэффициента поглощения при Re<: 1 и Re ^> 1 находятся в хорошем
согласии с экспериментальными данными. В качестве иллюстрации
этого на рис. 24 [19] приведены сводные данные измерений коэффи-
коэффициента поглощения ультразвуковых волн с разной амплитудой
в воде на расстояниях стабилизации формы волны, т. е. в области
максимального поглощения. По оси абсцисс отложены локальные
числа Рейнольдса, определяемые амплитудой давления в точке
измерения. Сплошная кривая — теоретическая, построенная для
?0 = 4. Точки относятся к измерениям, выполненным различными
методами при разных частотах ультразвука в диапазоне 1 ч- 10 МГц.
В заключение отметим, что формула (IV. 82) дает критерий, опре-
определяющий максимальное число Рейнольдса, при котором можно
пренебречь вкладом нелинейных эффектов в измеряемое поглощение
ультразвука. В самом деле, если погрешность измерений поглоще-
поглощения данным прибором составляет величину Аа/а0, то согласно
(IV. 82) влияние нелинейных эффектов будет проявляться за пре-
пределами случайных ошибок эксперимента при условии
ТИИ -=0 12gnRe2 fTV 83}
а0
Так, при точности измерений поглощения ~10% на основании
условия (IV. 83) получим: для газов (е0 си 1,2) Remax <^ 0,7; для
жидкостей (б0 си 5) Remax <^ 0,2. Учитывая, что число Рейнольдса
связано с амплитудой давления и интенсивностью ультразвука
соотношениями pmaK = 2а0р0Со Re/co, / = 2aj;p0^ Re/oj2, нетрудно
рассчитать предельные величины акустических давлений и интен-
сивностей, при которых вкладом нелинейных эффектов в измеряемое
поглощение ультразвука можно пренебречь даже при измерениях
в области стабилизации формы волны, где этот вклад максимален.
Результаты такого расчета для нескольких сред с квадратичной
зависимостью коэффициента поглощения волны малой амплитуды
от частоты приведены в табл. 9, где указаны также расстояния
стабилизации формы волны #стаб си 0,5/а0 и числа Маха Ма, опре-
определяющие абсолютную величину нелинейных эффектсв. Данные
приведенные в табл. 9, относятся к комнатной температуре.
С увеличением температуры вязкость жидкостей убывает и число
Рейнольдса растет. Если коэффициент поглощения монохроматичес-
монохроматической волны а0 зависит от температуры слабее, чем вязкость, то погло-
поглощение волны конечной амплитуды может возрастать с температурой
вследствие усиления нелинейных эффектов. Иллюстрацией к этому
служит приведенная на рис. 25 экспериментальная кривая аномаль-
аномальной температурной зависимости поглощения ультразвука в транс-
трансформаторном масле при частоте 1,5 МГц и интенсивности у источ-
источника 9 Вт/см2 [32].
10L
z
=4
!t/c
-¦"
S
I
«."
о
о rJ
— s
• и
cr
a
о
— s
В
a
и
о о
см о
-p
О го
¦ О*
ю
3 \О
о о
Я. о
о
—'
о
см
то
с
аа
о
1
о о
О ^1
С4)
О ~1
о о
с. о
00
о
-f
СО
2
о
* S
с
и
¦ ' .—(
1
о о
ю ю
— о
• о*
— fo
С "—I
°. о
о
со'
л
н
н
сх
со
о о*
со
'| 1
о о
со со
-+_©
о
о 9,
°. о
со
оо
00
о
900
с;
о
т
и
С4)
ri a"
m с?
1 1
оо
со со
1О О
см о
—< ip
—t
Я о
см_^
' '
>500
S
о.
<и
я
а
rj
of
т
о
п
о
1
о
см
ее
о"
«
о
см
X
Г)
о
аа
Как видно из табл. 9,
в сильно поглощающих
жидкостях нелинейные эф-
эффекты мог\т проявляться
только при очень больших
чнтенсивностях ультразву-
ультразвука. В маловязких жид-
жидкостях, таких, как вода,
спирты и т. д., нелиней-
нелинейные эффекты при частоте
1 МГц заметно проявляют-
проявляются в поглощении ультра-
ультразвука уже при интенсив-
ностях порядка 10~4 Вт/см,
которым соответствуют
акустические числа Маха
~10~6. При этом нелиней-
нелинейные члены уравнений гид-
гидродинамики, пропорцио-
пропорциональные Ма2, составляют
всего ~10~12. Таким обра-
образом, поглощение ультра-
ультразвука весьма ^чувствитель-
^чувствительно» к нелинейным эффек-
эффектам, и оно обусловливает
наибоаее жесткий крите-
критерий малости амплитуды
реальной волны в конкрет-
конкретной среде. Этот критерий,
как видим, зависит от ча-
частоты ультразвука, от точ-
точности измерений коэффи-
коэффициента поглощения, а так-
также от участка, на котором
он измеряется.
Условие (IV. 83) и со-
соответствующие ему пре-
предельные значения ампли-
амплитуд, приведенные в табл. 9,
относится к области ста-
стабилизации формы волны,
где вклад нелинейных эф-
эффектов в поглощение мак-
максимален. Расстояние же
стабилизации хсгаб, соглас-
согласно его определению (IV.78),
в свою очередь зависит
от степени диссипации
Ю2
волны (т. е. от значения коэффициента поглощения а0 волны малой
амплитуды) и при малых а0, как видно из табл. 9, оно может сущест-
существенно превышать те расстояния от источника, на которых обычно
производятся ультразвуковые измерения. В этом случае условие
(IV. 83) смягчается в соответствии с видом функции Ф (aox), изобра-
изображенной на рис. 23. Следует, однако, иметь в виду, что соотношения
(IV. 801 и (IV. 83) определяют коэффициент поглощения всей волны,
в то Бремя как па практике измеряется амплитуда ее первой гармо-
гармоники. В области стабилизации формы . , , .17,,
(ос/у )xfO с /см
волны, где вторая гармоника остается ' '
почти неизменной, коэффициент погло-
поглощения всей волны а должен практиче-
практически совпадать с коэффициентом погло- ?
щения ее первой гармоники ах, по-
поэтому соотношения (IV. 82) и (IV. 83),
определяющие максимальное поглоще-
поглощение волны конечной амплитуды в точке /t
A'LTi)fl, в равной мере относятся и к коэф- ии 20 40 60 т,Х
фпциенту поглощения первой гармоники Рис. 25.
ал в этой точке. На расстояниях же от
источника, меньших расстояния стабилизации, коэффициент погло-
поглощения первой гармоники сс1 может значительно превышать коэффи-
коэффициент поглощения всей волны, поскольку часть энергии первой
гармоники передается нарастающей второй гармонике (а также более
высоким обертонам, которые в данном случае мы не учитывали).
При всем том величина ах не может превышать значения атах,
определяемого формулой (IV. 82), которая, таким образом, дает
верхний теоретический предел избыточного поглощения волны конеч-
конечной амплитуды при малых числах Рейнольдса. Практическим же
критерием достаточной «малости» амплитуды волны в смысле влия-
влияния нелинейных эффектов на ее поглощение может служить отсут-
отсутствие зависимсчти измеряемого данным методом коэффициента
попощення ог расстояния до источника и от интенсивности ульт-
ультразвука.
Глава V
ПОСТОЯННЫЕ СИЛЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ
В УЛЬТРАЗВУКОВОМ ПОЛЕ
§ 1. Давление излучения
К нелинейным эффектам в известном смысле можно причислить
и так называемое радиационное давление или давление ультразву-
ультразвукового излучения, которое, в частности, проявляется в виде постоян-
постоянных пондеромоторных сил, действующих на препятствия, располо-
расположенные на пути распространения ультразвуковой волны. Давление
ультразвуковою излучения существует и в свободном ультразвуко-
ультразвуковом поле в виде постоянной составляющей давления. Радиационное
давление присуще любому волновому процессу независимо от его
природы: оно связано с изменением у препятствия величины пере-
переносимого волной импульса. Возникающие при этом пондеромотор-
ные силы малы: известно, что для регистрации, например, давления
света требуются весьма чувствительные приспособления. Давление
ультразвукового излучения также является малой величиной по
сравнению с амплитудой переменного давления в ультразвуковой
волне. Тем не менее радиационный эффект следует непосредственно
из линейных уравнений электродинамики и линеаризованных урав-
уравнений гидродинамики. Нелинейность же точных уравнений гидро-
гидродинамики приводит при расчете давления ультразвукового излуче-
излучения к ('поправкам», соизмеримым с величиной эффекта, вычисленной
в первом приближении, в отличие от нелинейных поправок к другим
акустическим параметрам, таким, например, как скорость звука,
плотность энергии * и т. д., в которые они входят в качестве величин
второго и более высоких порядков малости. Эти сравнительно боль-
большие «поправки» к давлению ультразвукового излучения и представ-
представляют собой собственно нелинейный эффект. Отличие акустических
* Нелинейные поправки к плотности энергии и интенсивности ультразвука
при самых больших амплитудах ультразвуковых волн остаются значительно
ниже существующей точности абсолютных измерений энергетических величин,
поэтому подробного их расчета во втором приближении мы здесь не приводим,
отсылая интересующеюся читателя к специальной литературе по нелинейной
акустике [19, 20].
104
радиационных сил от электромагнитных связано еще и с тем, что
под действием ультразвуковой волны поверхность препятствия
совершает колебания, изменяя ультразвуковое поле. Все это в
целом приводит к тому, что результат расчета давления ультра-
ультразвукового излучения получается разным для различных условий:
для бесконечно протяженного фронта волны, для ограниченного
ультразвукового пучка, для неограниченной невозмущенной среды,
для замкнутого ультразвукового поля, когда масса среды, в которой
происходят колебания, остается неизменной, для случая «свобод-
«свободного» ультразвукового поля или для случая, когда производится
расчет радиационных сил, действующих на препятствие.
Поскольку препятствие искажает ультразвуковое поле, то радиа-
радиационные силы при этом определяются не только изменением потока
импульса волны, падающей на препятствие, но и потоком импульса
рассеянной волны. Поэтому в задачу о расчете радиационных сил,,
действующих на препятствие, входит задача о дифракции акусти-
акустической волны на препятствии. Кроме того, радиационные силы
зависят от отражательных свойств препятствия. Поэтому конкрет-
конкретный расчет радиационных сил будет приведен при описании кон-
конкретных радиометрических систем, используемых, в частности, дли
измерения интенсивности ультразвука. В данном же параграфе мы
получим общие формулы для этих расчетов и рассмотрим случаи
свободного ультразвукового поля.
Итак, радиационная сила, действующая на некоторую фикси-
фиксированную поверхность выделенного в среде объема, определяется
потоком импульса через эту поверхность. Выражение для компонент
этой силы было приведено в § 2 гл. II; оно имеет вид
где nk — компоненты единичного вектора внешней нормали к по-
поверхности S. Нас интересует постоянная составляющая этой силы,
которая может быть найдена усреднением выражения (V. 1) по
времени, т. е.
Следовательно, радиационное давление опредечяется средним во
времени значением введенного в том же параграфе «тензора натяже-
натяжения» П1к (II. 15): Uik = pbik -f pvtvk.
Таким образом, в отличие от скалярного гидростатического или
переменного звукового давления, радиационное давление согласно
формуле (V. 2) есть векторная величина; она зависит от ориентации
площадки dS относительно направления распространения ультра-
ультразвуковой волны. Поскольку же термин «радиационное давление»
широко распространен в литературе, мы сохраним его, хотя во
избежание недоразумений лучше было бы говорить о радиационном
напряжении или натяжении.
[05
Рассмотрим, как и прежде, случай плоских волн, распростра-
распространяющихся вдоль оси х. Средний во временя тензор плотности потока
импульса в этом случае будет иметь следующий вид:
-p
0
0
vi 0
P
0
0
0
p
В первом приближении среднее за период звуковое давление разно
нулю: p = pmax^l cos ((at — kx)dt — 0, р = р0 и отличной от нуля
будет лишь одна компонента радиационного давления, действую-
действующего на площадку, перпендикулярную оси х:
П« = П = Ро»* = Ро*>* = 2®KBH, (V.3)
гДе я\1Ш = р0у2/2 — средняя плотность кинетической энергии в уль-
ультразвуковой волне. Как было показано в § 7 гл. II, в безграничном
ультразвуковом поле средняя плотность кинетической энергии
wKI&]i равна средней плотности потенциальной энергии й>пот- В этом
случае, для которого существенным является постоянство коли-
количества жидкости в ультразвуковом поле,
2ffi'Km, = ®ri,h + Й"'пог = ™, (V 4)
где..те? — средняя плотность полной энергии в ультразву ковой волне.
Тфгда выражение (V. 3) принимает следующий вид: И — w. Если
условия распространения ультразвука таковы, что количество
жидкости в ультразвуковом поле может изменяться, то равенство
wm]v — й'пог, по крайней мере, не является очевидным, и для давле-
давления излучения остается бесспорной лишь формула (V. 3).
Рассчитаем теперь среднее значение тензсра П^ во втором при-
приближении, т. е. с точностью до квадратичныл членов. Выражения
для переменного звукового давления во втором приближении были
пел>чены нами в предыдущей ктаве. Для прямой плоской волны
оии имеют вид выражений (IV. 32) и (IV.34). В переменных v и
Арх~ р — р0, входящих в эти выражения в первой степени, также
должны быть учтены квадратичные члены. Во втором приближении
эти переменные имеют вид (IV. 30) и (IV. 33). Соотношения (IV. 30),
(IV. 32)—(IV. 34) показывают, ито для расчета среднего давления
р Fa ультразвуковое поле должны быть наложены дополнительные
условия. Оставаясь в рамках прежнего условия постоянства коли-
количества жидкости, т. е. полагая Ар = 0, из выражений (IV. 32)
и .,(IV. 33) получаем:
--|-Роб2 = -^-Ро^ + -^Ро^ = (ео-1)роб2. (V.5)
Замечаем, что средняя скорость v во втором приближении при этом
не равна нулю; в звуковом поле появляется отличная от нуля по-
106
стоянная составляющая скорости:
V = Vo = ц —
со
где vmaK — амплитуда колебательной скорости в ультразвуковой
волне.
Выражение для среднего во времени тензора плотности потока
импульса приобретает теперь вид:
П„
о о
О (ео-1)Ро^2 О
О 0 (80-1)р002
Величина p0v2 при Д f> = 0 равна средней плотности полной энергии
w. Таким образом, в ультразвуковом поле возникает добавочное
к гидростатическому скалярное давченпе р = (е0 — 1) W, обуслов-
обусловленное нелинейностью гидродинамических уравнений. Поскольку
для жидкостей е0 — 4-^6 (см. табл. 7), то эта нелинейная добавка
даже превышает величину радиационного давления, вычисленного
в первом прибтиженни *. Согласно выражению (V. 6), давление
излучения на плоскость, перпендикулярную оси х, в случае безгра-
безграничного (по у, г) ультразвукового поля или ультразвукового пучка,
ограниченного жесткими стенками, исключающими приток жидкости
в пучок (так называемое рмеевское радиационное давление), равно
П — Пгл = е0р0?/2 = е0б5. Если же, как чаще бывает на практике,
пучок ультразвуковых волн имеет конечные размеры и граничит
с невозм^щенной жидкостью, то наличие в нем положительного
скалярного давления (V. 5) должно приводить к «поджатию» пучка,
в результате которого статическое давление в нем сравняется с гид-
гидростатическим давлением в невозм>щенной среде. Направленное же
радиационное давление, действующее на площадку, параллельную
фронту ультразвуковой волны, б>дет в этом случае равно:
П = ^2 = р0ь'тач'2 = 2a»hIIH. (V.7)
Это радиационное давление, намеряемое в ограниченном пучке,
окруженное невозмущенной жидкостью, иногда называют ланже-
веновским давлением.
Как уже отмечалось, радиационное дав пение — весьма малая
величина оно на много порядков меньше амплитуды переменного
давления в \ тьтразвуковоп волне. Действительно, выражая ампли-
амплитуду колеблетьной скорости vmds в соотношении (V. 7) через ам-
амплитуду давления ртах = росоитах получаем: f[ = /4ах/Bро4) =
= (Ртах''-) ^а, где Мя — акустг!ческое число Маха. Таким образом,
отношение радиационного давления к амплитуде переменного давле-
* Отметим, «по это добавочное давление otcj тстсовало бы в среде с е0 = 1,
т. е. с п = I.
107
пия равно половине числа Маха Последнее же, как видно из табл. 9,
при самых высоких ннтепспвностях ультразвука в жидкостях не
превышает величины 10~3-ь 10~4. Например при амплитуде давления
в плоской ультразвуковой волне ртах = 1 атм интенсивность уль-
ультразвука составляет / ~ 0,3 Вт/См2, Ма = 4-Ю, а радиационное
давление при нормальном падении волны на плоское препятствие
П ~ 20-10~6атм. Точные измерения таких давлений, действующих
на фоне различных помех в виде, например, «акустических потоков»
в вязкой среде, влияния отраженных волн и т. д., сопряжено с боль-
большими экспериментальными трудностями. С другой стороны, эти
измерения дают сравнительно простой способ непосредственного
нахождения абсолютных энергетических характеристик ультразву-
ультразвукового поля. При этом ланжевеновское давление (V. 7) часто свя-
связывают с интенсивностью ультразвука (плотностью потока энергии),
используя линейное соотношение (III. 21) между интенсивностью
и средней плотностью энергии в плоской волне ж
I = wc{) (V.8)
и соотношение (V. 4), т. е. полагая, что величина ри2 в (V. 6) рвна
w. Строгий же анализ с учетом нелинейных эффектов [33] приводит
к более сложным соотношениям между интенсивностью и плотностью
энергии, зависящим к тому же от начальных и граничных условий
задачи. Кроме того, как уже отмечалось, равенство (V. 4) также
справедливо лишь при определенных начальных и граничных усло-
условиях: в некоторых частных случаях плотности потенциальной
и кинетической энергий могут существенно различаться даже в ли-
линейном приближении [33, 34]. Поэтому основанием для универсаль-
универсального использования выражений (V. 8) и (V. 4) в формулах для
радиационного давления может служить лишь то обстоятельство,
что малая точность его абсолютных измерений и отсутствие более
точных методов независимых измерений плотности акустической
энергии не позволяют в настоящее время сопоставить результаты
таких измерений в различных условиях эксперимента. Что же
касается нелинейных поправок к формуле (V. 8), то при измерениях
радиационного давления в реальной вязкой среде при небольших
числах Рейнольдса ими тем более можно пренебречь, поскольку
нелинейные эффекты в этом случае проявляются слабо.
Принимая с такими оговорками соотношения (V. 8) и (V. 4),
получим выражение для радиационного давления (V. 7), действую-
действующего на плоскую площадку, ориентированную перпендикулярно
направлению распространения ультразвука, в виде
U = w = !/c0. (V.9)
Расчет радиационного давления производился нами для случая
неискаженного поля плоских волн, т. е. для «свободного» поля.
Ланжевеновское же давление проявляется в виде радиационных сил,
действующих на некоторую площадку. Чтобы эта площадка пе
108
создавала искажении поля, она должна полностью поглощать энер-
энергию звуковой волны. Таким образом, пол\ченный результат в виде
(V. 7) и (V. 9) относится к случаю полностью поглощающего пре-
препятствия.
§ 2. Силы радиационного давления,
действующие на препятствия
Если площадь сечения ультразвукового пучка, нормально
падающего на плоское препятствие, равна 5, то на идеально погло-
поглощающее препятствие в направлении распространения ультразвуко-
ультразвуковой волны будет действовать радиационная сила
F = Sw = S//cQ, (V.lOa)
которая и может служить непосредственной мерой интенсивности
ультразвука. При использовании формулы (V. 10а) предполагается,
что размеры препятствия значительно превышают поперечные раз-
размеры пучка, а последние много больше длины ультразвуковой волны,
так что дифракционными эффектами можно пренебречь. Если пучок
плоских волн падает на плоское идеально поглощающее препятствие
под углом 0 к его нормали, то в силу векторного характера радиа-
радиационного давления, выражаемого соотношением (V. 2), на препят-
препятствие будут действовать нормальная и тангенциальная составляю-
составляющие радиационной силы: Fn = S^cos q, Fx = Sw sin б. Резуль-
Результирующая сила в направлении распространения ультразвуковой
волны в этом случае равна: Fx = у"(Fa + Fx) — Sz?\ т. е. не зависит
от ориентации поверхности препятствия. Если плоское препятствие
полностью отражает нормально падающую на него плоскую волну,
то плотность потока импульса у такого препятствия изменится
вдвое и на него будет действовать радиационное давление:
U = 2w = 2f/c0. (V.106)
При наклонном падении на полностью отражающее препятствие
нормальная и тангенциальная составляющие радиационной силы
соответственно равны: Fn — 2Sw cos 6, Fx = 0, а в направлении
распространения ультразвука будет действовать сила
Пользуясь законами геометрического отражения без поправок нл
дифракцию, нетрудно далее найти радиационные силы для простых
геометрических фигур, используемых на практике для абсолютных
измерений интенсивности ультразвука. Такими фигурами являются
сфера и конус, не создающие обратных отраженных волн. Поскольку
речь идет о геометрическом отражении, предполагается, что размеры
этих фигур значительно больше длины ультразвуковой волны.
Для конуса, направленного острием навстречу ультразвуковому
пучку, при полном отражении ультразвука от его поверхностей
сила радиационного давления будет, очевидно, определяться по
той же формуле (V. 11), как и при наклонном плоском препятствии,
109
поскольку в обоих случаях угол б одинаков для всех точек поверх-
поверхности. Таким образом, для конуса
Fx = 2Sw cos2 б = 2Sw sin2 ф = BS//c0) sin2 ф, (V. 12)
где х — направление распространения ультразвуковых волн, совпа-
совпадающее с осью конуса; ф — половина угла его раскрытия; S —
площадь основания (если она меньше площади сечения ультразву-
ультразвукового пучка).
Для отражающей сферы выражение (V. 12) нужно проинтегри-
проинтегрировать по углу ф в пределах от ф = л/2 (для нормального луча)
до ф = 0 (для касательного луча). Это дает
о/ Си
С0 J л,
С0
Рассмотрим далее случай, когда плоская ультразвуковая волна,
падая нормально на плоскую же границу раздела двух сред, час-
частично проникает во вторую среду, а частично отражается от границы
раздела. Пусть относительная доля отраженной энергии есть р/,
а прошедшей — d/, так что р/ -f dt = 1. Радиационное давление
на границу раздела будет определяться плотностью энергии как
в падающей и отраженной волнах, так и в прошедшей волне:
где индексы 1, 2 и 3 соответственно относятся к плотности энергии
в падающей, отраженной и прошедшей волнах. Если интенсивность
падающей волны есть /, то в силу соотношения w — 1/с0 на основа-
основании (V. 13) имеем
I / 1
где с1П и с<J — скорость звука в первой и второй средах. Поскольку
/ -= пс01 и d[ — 1 — pi, то из выражения (V. 14) получаем
При pi = 1 (полное отражение) формула (V. 15)переходит в (V. 106),
а при р, = 0иГ|I == с02 Л =•- 0.
В случаях двух жидких сред оказывается возможным реализо-
реализовать такую ситуацию, пр» которой коэффициент отражения ультра-
ультразвука от границы раздела жидкостей равен нулю, а скорости звука
в них различаются. Для этого случая формула (V. 15) дает:
Поскольку плотность энергии — величина скалярная, то из равен-
равенства (V. 16) следует, что радиационное давление будет направлено
в сторону той жидкости, в которой скорость звука имеет большее
значение независимо от направления распространения ультразву-
ультразвуковых волн. Этот эффект хорошо иллюстрируется рис. 26, где
ПО
показано радиационное воздействие ультразвуковых пучков на
поверхность раздела двух несмешивающихся жидкостей: вода
(верхний слой) и анилин (нижний слой) [121. Первичный ультра-
ультразвуковой пучок падает сверху вниз, а затем, отразившись от плос-
Рис. 26.
кого рефлектора, — снизу вверх. Видно, чго независимо от направ-
направления распространения ультразвука (показанного на рие\ш<е
стрелками) прогиб поверхности раздела под действием радиацион-
радиационного давления происходит в сторону анилина, в котором скорость
звука больше, чем в воде.
Если ультразвуковой п\чок падает на свободною поверхность
жидкости, то радиационные силы, действукуцне на поверхность,
приводят к ее стационарному «вспучиванию», коюрое переходит
111
в характерный «ультразвуковой фонтан», если давление излучения
превышает поверхностное натяжение жидкости. При малых ампли-
амплитудах ультразвуковых волн радиационное вспучивание поверхности
жидкости дает картину распределения амплитуд по площади сече-
сечения ультразвукового пучка. Это обстоятельство иногда используется
для визуализации объектов, расположенных в оптически непро-
непрозрачной жидкости на пути распространения ультразвуковых волн.
Общий случай. Полученные ранее формулы для радиационного
давления относятся к отдельным частным случаям, допускающим
простой расчет. В общем случае радиационные силы могут быть
вычислены на основании соотношения (V. 2), в котором нужно учесть
изменение импульса волны, связанное с ее рассеянием на препят-
препятствии. Тогда для /-й компоненты радиационной силы получим
выражение
где Yl'ik и U'ik — компоненты тензора плотности потока импульса
соответственно в падающей и рассеянной волнах; п — внешняя еди-
единичная нормаль к поверхности 5. Расчет радиационных сил, дей-
действующих на препятствие сложной формы, существенно облегчается
тем, что радиационная сила не зависит от выбора поверхности 5.
Для доказательства этого рассмотрим некоторый объем \\ с поверх-
поверхностью 5Ь в котором происходит изменение импульса. Проведем
вспомогательную поверхность 52, охватывающую больший объем
V.2, включающий в себя объем \\. Если в объеме V = V2 — V\
дополнительного изменения импульса не происходит, то радиацион-
радиационная сила, действующая на поверхность Sx вследствие изменения
импульса в объеме \\ равна радиационной силе, действующей на
поверхность S2. Действительно, сила, действующая на объем V:
F^~- <k FL n><dS+§Sl FL л*dS=F** - piv
В объеме V импульс не изменяется, так что Ft = 0 и Fi2 — Ftl.
Рассмотрим теперь пучок плоских ультразвуковых волн с пло-
площадью поперечного сечения 5 и рассчитаем радиационную силу,
действующую вдоль пучка на препятствие произвольной формы,
которое частично поглощает и частично рассеивает энергию падаю-
падающей волны. Эта радиационная сила будет складываться из двух
составляющих. Первая из них обусловлена различием плотности
потока энергии до препятствия и после него. Следовательно,
FL = S(Iv'c0-I2/c0), (V.I 7)
где /t — интенсивность падающей волны; /2 — интенсивность про-
прошедшей волны; с0 — скорость звука в рассматриваемой среде.
В свою очередь, изменение плотности потока энергии (интенсивности)
в пучке обусловлено поглощением и рассеянием энергии на препят-
препятствии. Поэтому закон сохранения потока энергии (мощности) можно
записать в виде SI^ — SLZ = D -f- ^pac» гДе D — мощность, погло-
поглощаемая препятствием; ?>pdC — мощность, рассеиваемая на препят-
112
ствии. Последняя на основании общего определения мощности
(III. 226) может быть представлена в виде:
Dpac=4S,/(9, t)^, (V.I 8)
где / (б, \|)) — интенсивность рассеянных волн в направлении поляр-
полярных углов б и 1|э; S1 — площадь любой замкнутой поверхности,
охватывающей препятствие, например сферы с центром на препят-
препятствии.
Кроме Fx на препятствие действует радиационная сила, связан-
связанная с потоком импульса в рассеянной волне. Согласно общему опре-
определению (V. 2) и с учетом (V. 18) компонента этой силы вдоль направ-
направления распространения падающей волны есть
cos US, (V.19)
Co
где д — угол между волновыми векторами падающей и рассеянной
волн. Как будет показано в гл. VII, рассеянная волна принимает
простой («асимптотический») вид на больших, по сравнению с длиной
волны и размерами рассеивающего объекта, расстояниях. Поскольку
же расчет радиационной силы, действующей на этот объект вслед-
вследствие изменения на нем потока импульса, не зависит от формы и
размеров охватывающей его поверхности S{, то в качестве таковой
можно выбрать сферу достаточно большого радиуса /?. При этом
поглощением ультразвука в среде на расстоянии /? мы пренебрегаем.
Складывая теперь выражения (V. 17) и (V. 19), получаем общую
формулу для радиационной силы, действующей на препятствие
в пучке плоских ультразвуковых волн в направлении их распро-
распространения:
Л-^ + ^я- ^-(D + Dpec-? /(9, tycosBdS^,
где Dpac определяется соотношением (V^ 18). В перпендикулярном
к пучку направлении составляющая Fx исчезает (она действует
только вдоль пучка), и на препятствие в этом направлении действует
радиационная сила
Fl = Л± = - т $ I (9. t) sin 9 dS. (V.20)
Таким образом, задача о вычислении радиационных сил, дей-
действующих на произвольное препятствие, в общем случае почти
целиком сводится к задаче о дифракции и рассеянию на ней падаю-
падающей ультразв\ новой волны. К этой задаче мы обратимся в специаль-
специальной главе, а теперь приведем без вывода результаты расчета радиа-
радиационных сил, действующих на мелкие взвешенные сферические
частицы, а также рассмотрим другие виды постоянных сил, дей-
действующие на них в ультразвуковом поле.
8 В. А. Шутилов 113
§ 3. Постоянные силы, действующие
в ультразвуковом поле на взвешенные частицы
Силы радиационного давления. Расчет радиационных сил, дейст-
в\ющих на сферическую частицу, радиус которой R много меньше
длины ультразвуковой волны Л, выполнен в работах C5—37].
В случае абсолютно несжимаемой сферы в поле бегущей плоской
волны при kR <^ 1 этот расчет дает в направлении волнового век-
вектора к [35]:
где а — ро/рч — отношение плотности среды к плотности частицы.
В стоячей ультразвуковой волне
F= I nW^sink, (V.22)
где х — расстояние от центра сферы до узла колебательной ско-
скорости. С учетом сжимаемости сферы те же формулы принимают иной
вид [36]: для бегущей волны
для стоячей волны
F = AnR*wkR [i±-2^=^ - —^ sin 2kx, (V.24)
где b ~ сч/сп — отношение скоростей звука в материале частицы
и в окружающей ее среде. В обоих случаях сила радиационного
давления в стоячей волне при прочих равных условиях значительно
больше, чем в бегущей волне, поскольку в последней Р ~ (kR)\
в то время, как для стоячей волны /; — kR (kR << 1).
В случае стоячей ультразвуковой волны в соответствующие фор-
м>лах (V. 22) и (V. 24) фиг>рир>ег множитель sin kx или sir( 2kxt
указывающий на пространственную периодичность сил радиацион-
радиационного давления. Эта периодичность (с изменением знака силы) при-
приводит к тому, что в поле стоячей ультразвуковой волны мелкие
частицы б>д\т перемещаться к некоторым равновесным положе-
положениям, в качестве каковых могут быть как узлы, так и пучности
стоячей волны в зависимости от соотношения между плотностями
частицы и среды.
При очень малой плотности взвешенной частицы, когда а ~
~ (kR)~2, выражения для радиационных сил с >четом сжимаемости
преобразуются к виду [361
F = 4*#* W w + I3J/a_W).p (V.25)
для бегущей волны и к виду
» t~ kR U (kR)b+[Cb*,a{kRW (УгЬ>
114
для стоячей волны. Формулы (V 25) и (V. 26) соответствуют слу-
случаю, реализуемому для газовых пузырьков в жидкости. Из этих
формул видно, что если выполняется равенство
(kRJ = 3b°-/a, (V.27)
то радиационная сила, действующая на пузырек в бегущей волне
F — AnR2}wl(kRJ — Л2Ш/л, становится весьма большой по сравне-
сравнению с силой, действующей на несжимаемую сферу или сферу, сжи-
сжимаемость которой мало отличается от сжимаемости окружающей
среды. При этом сила, действующая на пузырек в стоячей волне,
обращается в нуль.
Нетрудно видеть, что условие (V.27) соответствует условию резо-
резонанса газового пузырька и определяет частоту его собственных
радиальных колебаний:
/^7^ (V.28)
где v — Ср'су—отношение удельных теплоемкостей газа, запол-
заполняющего пузырек; Р — давление газа в пузырьке. Последнее обычно
складывается из гидростатического давления и давления, обуслов-
обусловленного поверхностным натяжением: Р = Р0-|-2а/2. Из (V. 26)
следует, что если kR >> bC/a)l/i, т. е. размеры пузырька больше
резонансного для данной частоты v, то действующая на него
радиационная сила будет направлена так, что пузырек перемещается
к узлу стоячей волны. При обратном неравенстве, когда размеры
пузырька меньше резонансного, радиационная сила будет смещать
его к пучности. Пузырьки же с размером, соответствующим их
резонансу на данной частоте, не будут испытывать действия сил
радиационного давления. Все это подтверждается соответствующими
экспериментами [36].
Помимо радиационного давления на взвешенные частицы в
ультразвуковом поле могут действовать еще силы другого проис-
происхождения [34, 38].
Силы Бьеркнесса. Из гидродинамики известно, что при колеба-
колебательном движении тела в жидкости вблизи поверхности неподвиж-
неподвижного препятствия колебательная скорость частиц жидкости будет
больше с той стороны препятствия, которая обращена к колеблю
щемуся телу [391. В результате давление в жидкости между препят-
препятствием и телом будет меньше, чем с противоположной стороны,
и на препятствие будет действовать сила давления, направленная
в сторону колеблющегося тела. Такого рода силы носят название
сил Бьеркнесса Они возникают и в ультразвуковом поле при колеба-
колебании в нем взвешенных частиц и пузырьков с разными скоростями
и фазами относительно др\г друга. Анализ сил Бьеркнесса показы-
показывает, что если две сферические частицы радиусом /?„ и /?2, центры
ьоторых расположены на расстоянии L, совершают пульсирующие
колебания с одинаковой частотой, но разными скоростями vx и у2,
то между ними возникает постоянная сила 139]:
F = AnpRiRi (vlu.JL2) cos p\ (V.29)
8* Ш
где Р — разность фаз между колебательными скоростями поверх-
поверхностей сфер, зависящая от соотношения расстояния между сферами
и длины акустической волны Л. Формула (V. 29) справедлива при
Л ;> L, т. е. для того случая, когда частицы расположены доста-
достаточно близко по сравнению с длиной волны. В противном случав
сила Бьеркнесса (V. 29) будет очень малой, так как она убывает
обратно пропорционально L2. Согласно формуле (V. 29) сила
Бьеркнесса между пульсирующими сферами может быть как притя-
притягивающей, так и отталкивающей в зависимости от разности фаз ($.
Однако при условии kt <^ 1 разность фаз вынужденных колебаний
частиц в ультразвуковой волне меньше л/2 и действующая на них
сила будет положительной, т. е. отталкивающей.
Кроме пульсационных колебаний, взвешенные частицы в ультра-
ультразвуковом поле могут совершать и поступательное колебательное
движение в направлении, зависящем от их расположения относи-
относительно фронта ультразвуковой волны. Если две сферические час-
частицы колеблются вдоль линии, соединяющей их центры, то дейст-
действующая на них сила Бьеркнесса определяется формулой [40]:
р — QnpR'lRi \(vx — u.2)/L1] cos fi при условии, что L ^> /?, + R%.
Если направление колебания сферических частиц перпендику-
перпендикулярно соединяющей их линии, например частицы расположены
вдоль фронта ультразвуковой волны и колеблются в ней синфазно
с одинаковыми скоростями и, то сила Бьеркнесса есть [40]
F ---- ~3np(RlRl/L2)v2.
Экспериментально установлено, что силы Бьеркнесса являются
основной причиной коагуляции газовых пузырьков в процессе
дегазации жидкости в ультразвуковом поле низкой частоты при
возникновении кавитации, которая будет рассматриваться далее.
Силы Бернулли. Аналогичные постоянные силы возникают между
твердыми частицами, если они вследствие своей инерционности не
успевают следовать за движением жидкости и обтекаются ею. Из
гидродинамики известно, что если две неподвижные сферы находятся
в потоке жидкости, которая протекает со скоростью v перпендику-
перпендикулярно линии, соединяющей их центры, то вследствие пониженного
давления между сферами на них действует «притягивающая» сила
F-C/2)^p(/?f/?:i/L4)u2, (V.30)
называемая силой Бернулли. Как видно из формулы (V. 30), сила
Бернулли определяется квадратом скорости потока, т. е. не зависит
от знака скорости и, следовательно, возникает при колебательном
движении жидкости в акустической волне. Силами Бернулли объяс-
объясняется коагуляция твердых частиц в ультразвуковом поле еысокой
частоты [41].
Силы Стокса. На сферическое тело радиусом /?, движущееся со
скоростью v в вязкой среде, действует сила трения, определяемая
известной формулой Стокса: F — 6n\]cRv, где т]с — коэффициент
сдвиговой «вязкости. Если считать его постоянным, то при колеба-
колебательном гармоническом движении частицы в акустическом поле
lift
средняя во времени сила Стокса должна равняться нулю. Однако
вязкость зависит от температуры, а последняя колеблется в акусти-
акустической волне. Ее изменение связано с колебательной скоростью
частиц среды v соотношением (см. § 3 гл. IV)
AT = (coaTTolcP)v, (V.31)
где То — средняя температура среды; ат — коэффициент ее тепло-
теплового расширения; сР — удельная теплоемкость при постоянном дав-
давлении; с0 — скорость звука. Учитывая температурную зависимость
коэффициента вязкости x\z (Г), его можно представить в виде разло-
разложения в ряд с сохранением линейного члена:
Лс (Т) = Лео + (dr\JdT) AT. (V.32)
Усредняя теперь формулу Стокса во времени: F = 6л/?Г|с (Т) v
и подставляя сюда iic (T) в виде формулы (V. 32) с учетом соотноше-
соотношения (V. 31), а также значение колебательной скорости в ультразву-
ультразвуковой волне с учетом величин второго порядка малости (см. § 4
гл. IV), получаем отличную от нуля постоянную силу Стокса:
Под действием этой силы частица будет совершать однонаправленное
движение с постоянной скоростью
max / « . *-. I.
т, 149
U° - 2с0 \ 1 +Z dT
Расчет показывает, что заметное движение частиц под действием сил
Стокса может происходить только в газах.
§ 4. Ультразвуковой ветер
В акустическом поле, помимо периодического смещения частиц,
возникают различного рода постоянные течения, имеющие разный
характер и происхождение. В реальной вязкой среде такие течения
возникают как в свободном поле, так и вблизи препятствий. Послед-
Последние обусловлены взаимодействием вязкой жидкости (или газа)
с твердыми стенками препятствий, вследствие которого скорость
тангенциального смещения частиц среды, прилегающей к стенке,
должна обращаться в нуль. Толщина слоя, в котором проявляется
это взаимодействие, имеет величину порядка глубины проникнове-
проникновения сдвиговой волны в среде. Как было показано в § 5 гл. III,
коэффициент поглощения сдвиговой волны в жидкости ас --
-- Io)p0/Br|v,)]1/a; глубина проникновения этой волны (т. е. расстоя-
расстояние, на котором она затухает в е раз) А ~ [2i]c/(o)p0)]1/2. В слое
такой толщины и возникают вихревые токи, которые практически
наблюдаются лишь на низких звуковых частотах. В ультразвуковом
диапазоне частот толщина «акустического пограничного» слоя А
117
становится ничтожно малой: например, при частоте v = 1 МГц
в воде она составляет всего 10~4 см.
Характерными же для ультразвукового поля являются течения,
возникающие в свободном ультразвуковом п>чке: они заметно
проявляются лишь при высоких интенсирностях, которые реали-
реализуются в ультразвуковом диапазоне частот [42]. Первоначально
такие течения получили название «кварцевого ветра» в связи с тем,
что интенсивные ультразвуковые пучки пол>чались с помощью
пьезокварцевых пластинок. Поскольку же в настоящее время су-
существует много разных других способов возбчждеиия мощного
ультразвука, естественнее этот эффект назвать улыпразсукоши
ветром. Эти течения обусловлены денств\ющим вдоль ультразву-
ультразвукового пучка радиационным давлением, которое в реальной диссн-
пативной среде связано с поглощением в ней энергии ультразву-
ультразвуковой волны. Так как средняя плотность энергии волны у бывает
вследствие ее поглощения, то на единицу объема поглощающей среды
вдоль направления распространения ультразвуковых волн х будет
действовать радиационная сила
F = dw/dx = *w, (V.33)
которая и вызывает стационарное течение. Скорость этого течения и„
приближенно можно рассчитать на основании гидродинамического
уравнения движения для идеальной жидкости (II. 4), полагая в нем
градиент давления др/дх = dw/dx и v = v0, что дает
Поскольку радиационная сила dw/дх невелика, то по отношению
к ней жидкость можно считать несжимаемой, считая, что р — р0 =
-- const. Тогда для установившегося течения (di\Jdt - 0) на основа-
основании (V. 34) имеем —dw/dx =- роио dvjdx. Интегрируя это уравнение
от точки х =--- 0, где расположен излучатель, до точки наблюдения х
и учитывая, что при х — 0 скорость ультразвукового ветра равна
нулю, пол} чаем
!>ovl(x)/2 = w@)-W(x). (V.35)
В этой формлле слева записана кинетическая энергия единицы
объема среды в точке х, а справа — разность средних акустических
энергий у излучателя и на расстоянии х от него. Таким образом,
уравнение (V. 35) выражает закон сохранения энергии: убыль
акустической энергии вследствие ее поглощения в среде компен-
компенсируется кинетической энергией направленного потока среды. Если
же учесть, что средняя плотность энергии в ультразг\ ковом пучке
определяет величину ланжевеновского радиационного дав пения
в данном сечении пучка, то формулу (V. 38) можно понимать как
выражение известной теоремы Бернулли, утверждающей постоян-
постоянство динамического давления потока (р0и2/2) и гидростатического
(в данном случае радиационного) давления. Согласно (V. 35), убыль
U8
радиационного давления вдоль пучка вследствие поглощения энер-
энергии ультразвуковой волны компенсируется динамическим давлением
потока, вызванного этим поглощением, так что сумма радиационного
и динамического давлений на плоское препятствие, помещенное
в любой точке сечений пучка, должна оставаться постоянной. При
этом, однако, мы не учли вязкого сопротивления среды, приводя-
приводящего к тому, что часть кинетической энергии потока переходит
в тепло. Тем не менее, полученный наглядный рез)льтат хорошо
подтверждается при измерениях радиационного даВгПення и ско-
скорости ультразвукового ветра в маловязких жидкостях на сравни-
сравните ль ю небольших расстояниях от источника ультразвука.
Фактически же вязкие силы будут затормаживать нарастание
скорости, так что в пучке должно установиться стационарное тече-
течение с постоянной скоростью, зависящей от сдвиговой вязкости
среды i|c. Таким образом, для расчета стационарного \льтразвуко-
виго ветра в уравнении движения (V.34) необходимо \честьсилы
сопротивления вязкой среды и, кроме того, реальное распределение
скоростей по площади сечения пучка, определяемое, в частности,
условиями на его границах.
Приближенный расчет скорости стационарного течения можно
легко произвести для несколько идеализированного случая четко
коллимировашюго однородного по сечению ультразвукового пучка,
на границах которого скорость потока обращается в нуль. Такие
условия в известной мере реализуются, например, если пучок огра-
ограничен стенками жесткой трубки, которая, однако, должна иметь
отверстия для гидродинамического контакта жидкости, находя-
находящейся в ультразвуковом поле, т. е. внутри трубки, с невозмущенной
наружной жидкостью. Без такого контакта радиационное давление
в пучке будет вызывать лишь некоторое разрежение среды, — ника-
никакого течения в ней, естественно, не возникнет (если пучок, конечно,
однороден по площади сечения). Скорость стационарного акусти-
акустического потока на оси пучка в этом случае можно найти на основа-
основании известной формулы Пуазейля:
), (V.36)
где R — радиус трубки (пучка); rjc — сдвиговая вязкость среды;
АР — разность статических давлений в двух сечениях, отстоящих
друг от др\га на расстоянии х. Поскольку течение в данном случае
обусловлено градиентом радиационного давления, то, принимая
его равным разности плотности акустических энергий вдоль пучка
и учитывая экспоненциальный закон затухания плоских волн
(III. 48), пол\чаем
АР = w @) - w (х) = й> @) [ 1 - да @) е-а**], (V.37)
где а0 — амплитудный коэффициент поглощения ультразвука. При
условии апх <; 1, которое выполняется для большинства жидкостей
на мегагерцевых частотах при разумных расстояниях от источника
(порядка нескольких сантиметров), выражение (V. 37) дает АР ^
119
^ 2w @) a(ix Подставляя это значение АР в формулу (V 36)
и учитывая связь плотности энергии с интенсивностью ультра-
ультразвука, находим
уо = /оЯЧ/Bг1ссо), (V38)
где /0 — интенсивность ультразвукового пучка в начальном сечении
тр\бки (от которого и отсчитывается координата а) или — в слз чае
срооодного пучка — интенсивность у источника ультразвука
TahHM образом, скорость стационарного акустического течечия
в вязкой среде пропорциональна интенсивности ультразвука и может
слхжить ее приближенной мерой Что касается зависимости vQ от
а0 и г)с, то сразу же можно заметить, что если поглощение ультра-
ультразвука определяется только сдвиговой вязкостью, так что коэффи-
коэффициент поглощения может быть рассчитан по формуле Стоьса (III 39)
_ 8-1^ cv2
то выражение (V. 38) можно записать как
4 » !***
т е скорость акустического течения не зависит от вязкости жидкости
и пропорциональна квадрату частоты ультразвука Этот результат
не является неожиданным, поскольку коэффициент сдвиговой вяз-
вязкости, с одной стороны, определяет вязкие силы, тормозящие поток,
а с другой — ускоряющий его градиент радиационного давления.
Если же в коэффициент поглощения ультразвука вносит вклад объем-
объемная вязкость, как это имеет место для большинства жидкостей, то
в силу соотношений (III 38) и (III 25) форму па (V 38) примет вид
(V40)
Таким образом, при известной интенсивности ультразвука ско-
скорость акустического течения в условиях, для которых получена
формула (V 40), может ел\ жить непосредственной мерой объемной
вязкости среды Фактически же, как отмечалось в § 4 гл III, зату-
затухание ультразвуковых волн можег быть еще обусловлено дифрак-
дифракционными эффектами, рассеянием ультразвука на неоднородностях
среды, влиянием ее теплопроводности и г д Все эти факторы даюг
вклад в радиационное давчение в пучке, определяющее скорость
акустического течения при данной кинематической вязкости среды
Кроме того, в реальном пучке интенсивность ультразвука распре-
распределена неравномерно по площади сечения пучка Блаюдаря этому
акустические потоки возникают даже в пучке, ограниченном замкну-
замкнутой трубкой Если же пучок ультразвуковых волн граничит с ие-
возмущенной жидкостью, то условия на его границах становятся
более сложными, чем это было принято при выводе формул (V. 38)—
120
(V 4C), которые в эгом случае могут служить лишь для приближен-
приближенной оценки скорости акустического потока
Для интенсивности ультразвука /0 = 1 Вт см2 в воде (а0 =
=- 25-Ю7 см, с0 = 1,5-КЗ5 см с, цс - 0,01 г/(см-с)) при частот
1 МГц и диаметре пучка 2 см оценка
по формуле (V 38) дает о0 ~ 1 смс
В этих условиях течение в свободном
пучке имеет ламинарный характер При
этом отток жидкости от излучателя ульт-
ультразвука сопровождается ее притоком
из невозмущенной области, при встрече
же с твердым препятствием жидкость
вытекает из пучка в невозмущенные
участки среды Поэтому в замкнутом
сосуде, поперечные размеры которого
больше диаметра ультразвукового пуч-
пучка, хсганавливаются стационарные цир-
циркулярные токи, которые можно наблю-
наблюдать с помощью взвешенных в жидкости частиц На рис. 27 [431
приведена картина циркулярных течений в плоскости раздела
двух несмешнвающнхся жндьостеи (глицерина и вазелинового мас-
Рис 27
Рис. 28.
ла), между которыми для визуализации течения помещена пленка
окрашенной воды, имеющей промежуточную плотность. Граница
раздела с этой тенкой проходит по оси ультразвукового пучка,
источник которого расположен справа от рисунка На рис. 28
121
показана картина ультразвукового ветра в сосуде с бензолом,
л котором взьешена алюминиевая пыль !44!.
При высоких интенсивностях ультразвуковых волн акустичес-
акустические течения приобретают турбулентный характер; при этом мощный
ультразвуковой пучок вызывает интенсивное перемешивание жид-
жидкости, которое может играть немаловажную роль в ряде процессов,
происходящих под действием ультразвука. Кроме того, как было
показано в предыдущей главе, при больших числах Рейнольдса
форма ультразвуковой волны в процессе распространения в жид-
жидкости может существенно отклоняться от синусоидальной, а ее
поглощение — резко возрастать. Это в свою очередь б\ дет приводить
к усилению потока, который таким образом может переходить
в турбулентный на некотором расстоянии от источника ультразвука.
До сих пор мы говорили об акустических течениях под действием
ланжевеновского радиационного давления, обусловленного погло-
поглощением ультразвуковых волн и изменением их импульса в вязкой
среде. Однако из анализа, приведенного в предыдущем параграфе,
вытекает, что акустические течения при определенных условиях
мог^т возникать н в недиссипативной среде. В частности, средняя
по времени скорость смещения частиц среды в поле плоских волн
конечной амплитуды может быть отличной от нуля. Правда, это
не всегда означает наличие направленного стационарного потока
среды. Например, в поле волн с бесконечно протяженными фронтами
такой поток невозможен в силу закона сохранения массы: постоян-
постоянная составляющая скорости смещения при этом компенсируется
отличной от нуля постоянной составляющей акустического давления
или плотности. В случае же ограниченного ультразвукового пучка,
контактирующего с невозмущенной жидкостью, рэлеевское радиа-
радиационное давление в пучке может вьнывать циркулярные токи нели-
нелинейного происхождения. Существование таких с\губо «нелинейных»
акустических течений было, в частности, подтверждено экспери-
экспериментально [42].
Глава VI
УЛЬТРАЗВУКОВАЯ КАВИТАЦИЯ
§ 1. Прочность жидкости ка разрыв
Под явлением кавитации, относящимся к жидкости, понимается
образование в ней полостей (разрывов) с последующим их захло-
захлопыванием. Кавитация вообще может возникать при любом локаль-
локальном разрежении в жидкостях: в гидродинамическом потоке, при об-
теканин твердых тел, в кильватерной струе и т. д В акустической
волче, создающей периодические разрежения, казитация наблюдает-
наблюдается при достаточной интенсивности волны, реализуемой в ультра-
ультразвуковом диапазоне частот. Поэтому она относится к специфике
ультразвука и называется ультразвуковой кавитацией. Поскольку
при кавитации нарушается сплошность среды, то это явление также
следует отнести к нелинейным эффектам
В общих чертах элементарный акт ультразвуковой кавитации
можно представить себе следующим образом. В фазе разрежения
ульгразвуловой волны в жидкости образуется разрыв в виде по-
полости, которая заполняется насыщенным паром данной жидкости.
В фазе сжатия пар конденсируется и полость под действием повы-
повышенного давления, которому «помогает» поверхностное натяжение
стенок, захлопывается так, как если бы она была пустой. Однако
через стенки полости в нее диффундирует некоторое количество
растворенного в жидкости газа, который при быстром захлопыва-
захлопывании подвергается сильному адиабатическому сжатию. В момент
захлопывания давление и температура газа достигают значительных
величин, что приводит к порождению в окружающей жидкости
вторичной ударной сферической волны, быстро затухающей в прост-
пространстве.
Кавитационные процессы играют большую роль в практическом
использовании ультразвука, поэтому изучению ультразвуковой
кавитации уделяется большое внимание. Хотя ряд проблем кавита-
кавитации остается пока не решенным до конца, ее физическая природа
в целом к настоящему времени исследована довольно хорошо, и мы
здесь кратко остановимся на основных результатах этих исследо-
123
ваний, отсылая интересующегося читателя за более подробными
сведениями к соответствующей литературе A9, 45—49J.
Одна из основных проблем в изучении ультразвуковой кавитации
связана с вопросом о том, каким образом разрыв жидьости в ультра-
ультразвуковой волне осуществляется при акустических давлениях, зна-
значительно меньших теоретической прочности жидкости на разрыв.
Действительно, для образования в идеальной жидкости полости
радиусом R, к ней необходимо приложить растягивающее напря-
напряжение Р', равное давлению Лапласа, обусловленному поверхност-
поверхностным натяжением а данной жидкости, т. е.
/>'~2сг'/?. (VI. 1)
Чтобы разорвать идеальную жидкость, нужно раздвинуть ее части-
частицы на расстояние, равное примерно удвоенному межмолекулярному
расстоянию. Для воды, например, оно составляет около 2 А. Под-
Подставив эту величину R в формулу (VI. 1), для воды (а ~ 80 дин/см)
получим Р' ~ 10 000 атм. Правда, в реальной чистой жидкости
может произойти локальное понижение прочности вследствие спон-
спонтанного образования парового пузырька из-за тепловых флуктуа-
флуктуации. Соответствующий расчет вероятности образования паровой
фазы приводит в этом случае к снижению разрывного давления для
воды до величины Р' ~ 1000 атм Г501, которая все еще остается
значительно выше экспериментальной [47].
Зародыши кавитации. Фактически всякая реальная жидкость,
в частности вода, содержит различные растворенные вещества,
в том числе растворенный газ, благодаря чему в жидкостях сущест-
существуют парогазовые пузырьки, которые ослабляют ее локальную
прочность и являются зародышами каеитации. Возникает, однако,
вопрос, каким образом такие пузырьки могут существовать длитель-
длительное время, т. е. быть стабильными. Ведь крупные пузырьки должны
всплывать под действием выталкивающей силы, которая убывает
с уменьшением радиуса пузырька, а мелкие пузырьки должны
растворяться из-за большого давления, создаваемого силами по-
поверхностного натяжения, возрастающего с уменьшением радиуса.
По этому поводу существует две гипотезы, каждая из которых под-
подтверждается косвенными экспериментами. Согласно первой из них,
в жидкостях среди различных растворенных веществ содержатся
и поверхностно-активные вещества, которые, адсорбнруясь на повер-
поверхности пузырька, создают мономолекулярный слой, уменьшающий
поверхностное натяжение. Вторая гипотеза объясняет стабилиза-
стабилизацию мелких газовых пузырьков адсорбцией на их поверхности
однозарядных ионов растворенных солей. Взаимодействуя с ионами
другого знака, находящимися в окрестности пузырька, они будут
препятствовать смыканию пузырька, стабилизируя его размеры.
Такой механизм стабилизации формально также эквивалентен
снижению эффективных сил поверхностного натяжения. Поэтому,
отвлекаясь от конкретной причины стабилизации газовых пузырь-
пузырьков, существование которых является достоверным эксперимен-
«24
тальным фактом, можно написать условие равновесия пузырька
с радиусом Ro в следующем виде:
P = PH + Pr-2o,R0l (VI. 2)
где Р — внешнее (статическое) давление; Рп — давление насыщен-
насыщенных паров жидкости; Рт — давление газа, продиффундировавшего
в пузырек из жидкости; а — эффективный коэффициент поверх-
поверхностного натяжения. Если внешнее давление Р будет понижаться,
то размеры пузырька увеличатся. Рассмотрим теперь условие раз-
разрыва жидкости с учетом уравнения состояния стабильного зароды-
зародыша кавитации (VI.2).
§ 2. Кавитационная прочность жидкости
Пусть гидростатическое давление Р стало меньше некоторого
равновесного значения Ро, которому соответствует начальный ра-
радиус парогазового пузырька Ro. Как при этом будут изменяться
размеры пузырька? Для расчета зависимости Р (R) в первом при-
приближении можно пренебречь диффузией газа из жидкости, а также
изменением давления насыщенного пара Рн, которое лишь незначи-
незначительно зависит от кривизны поверхности. Поскольку масса газа в
пузырьке невелика, а теплоемкость окружающей его жидкости
достаточно большая, то процесс изменения давления газа Рх в пу-
пузырьке можно в данном случае считать изотермическим, т. е.
РГ = (РО — PH-\-2a/R0) Rq/R3. Подставив это выражение в формулу
(VI.2), полечим
Р = ?. + [?*-Р.+%)%-%¦ (VI.3)
На рис. 29 приведены кривые зависимости Р (R) для воды при
комнатной температуре, вычисленные на ЭВМ по формуле (VI.3)
для четырех значений начального радиуса Ro при исходном гидро-
гидростатическом давлении Ро — 1 атм. Давление насыщенного пара
в пузырьке Ри принято равным 2 • 10~2 атм (пунктирная линия).
Из рисунка видно, что при достаточно больших давлениях, превы-
превышающих давление насыщенного пара данной жидкости Рн, равно-
равновесный радиус пузырька R незначительно меняется с ростом давле-
давления. В этой области основную роль играет изотермический закон
зависимости Р (R), согласно которому давление в пузырьке при
небольших изменениях его радиуса меняется обратно пропорцио-
пропорционально кубу радиуса, тогда как давление, обусловленное силами по-
поверхностного натяжения, изменяется обратно пропорционально
только первой степени радиуса.
Иная картина будет при малых давлениях, близких к давлению
насыщенного пара Рн или меньших Рн. Из рис. 29 видно, что для
малых /?0 при отрицательных давлениях существуют два равно-
равновесных значения радиуса. При этом для правой части кривых
Р (R), соответствующей большим значениям R, давление газа в пу-
125
зырьке слабо изменяется с увеличением ради\са п^зырькя (членом
с множителем Л „/Я4 можно пренебречь), а давление, об>словленное
поверхностным натяжением, уменьшается. В этом сл)чае давление
насыщающих паров расширяет пузырек до бесконечности — г\зы-
рек становится неустойчивым. При снятии растягивающего давления
силы поверхностного натяжения буд>т приводить к сокращению
Р, атм
10
Я* 70 f см
-0,5 -
Рис. 29.
размеров пузырька до устойчивого состояния, соответствующего
левым точкам кривых Р (R) на рис. 29.
Из рис. 29, кроме того, видно, что при отрицательных давлениях,
больших некоторого критического Ркр, соответствующею миниму-
минимумам кривых Р (Я), равновесного размера пузырь?а вообще не может
быть.Таким образом, при уменьшении внешнего давления относи-
относительно исходного значения Ро пузырек будет оставаться устойчивым
вплоть до растягивающего напряжения Ркр, после чего он начнет
беспредельно расширяться. При снятии же растягивающего усилия
и замене его сжатием пузырек будет самопроизвольно захлопываться
126
пот лсйавгем сил поверхностного натяжения и внешнего положи-
положительного давления Следовательно, отрицательная величина РК!>
определяет кавиптционную прочность жидкости при данном зна-
значении радиуса Ro зародыша кавитации Эту величину, очевидно,
можно найти, приравняв к нулю производную по R от уравнения
(VI 3):
JD / 2а/?1 2а А
\ До / /\Кр Акр
dR ~~ " у °
Отсюда /?hn =
Подставив значение RKp в уравнение (VI.3), получим величину
отрицательного критического давления:
11 r\ t / <Ъ Ш r\ r\ i г% 1 гъ * ^ * /
р
кр
На рис. 30 показана зависимость Ркр от радиуса зародыша кавита-
кавитации Ro в воде, вычисленная по формуле (VI.4). Из рисунка видно,
Р,р гтм
10'
I
Рис. 30.
Рис. 31.
что отрицательным давлениям от 1 до 10 атм, при которых обычно
возникает развитая ультразвуковая кавитация на умеренных час-
частотах в необработанной воде, соответствуют радиусы стабильных
зародышей кавитации порядка 10~4 ч- 10~5 см. При значениях же
Ro cz. ICr7 см критическое давление возрастает до тысяч атмосфер,
что соответствует теоретической прочности на разрыв жидкости,
не содержащей газовых пузырьков.
Фактически в реальных жидкостях имеет место распределение
зародышей по начальному радиусу /?0. В качестве примера на рис. 31
приведена экспериментальная кривая распределения зародышей
127
в отстоявшейся дистиллированной воде, заимствованная из работа
148]. На этом рисунке приведена концентрация зародышей nOf
которая возрастает с уменьшением Ro, и при значениях ROt соот-
соответствующих межмолекулярным расстояниям (Ro ~ 10 7 н- 10~8 см),
экстраполированная часть кривой no(Rn) (пунктир) стремится к тео-
ретичесюй концентрации „зародышей", порождаемых тепловыми
флуктуацнонными процессами [30]. Таким образом, верхний порог
кавитации практически отсутствует, а нижний порог размыт вблизи
давлений, соответствующих критическому для пузырьков с радиусом
~~ 10~3 см, т. е составляет величину | Ркр | ~ 1 атм (см. рис. 30).
При расчете ьавиационной прочности жидкости мы не учитывали
диффузию газа, которая при медленных изменениях давления,
конечно, происходит. Это приближе-
приближение оправдывается тем, что при быст-
быстрых изменениях давления, соответ-
соответствующих ультразвуковым частотам,
процессы диффузии, действительно,
не оказывают существенного влияния
на кавитационную прочность. С дру-
другой стороны, при быстрых измене-
изменениях давления могут сказываться
инерционные свойства жидкости,
окружающей пузырек, и резонансные
свойства пузырьков. Однако б.мее
детальный расчет Ркр, учитывающий
инерцию жидкости, приводит к за-
заметным поправкам к кривой, приве-
приведенной па рис. 30, только в области
самых больших размеров зародышей,
содержание которых в жидкости,
как это видно из рис. 31, не велико.
Эта поправка изображена на рис. 30
пунктиром. Что же касается резонансных явлений, то они могут
существенно повлиять на процесс кавитации, если частота ультра-
ультразвука совпадает с частотой собственных колебаний газовых пузы-
пузырьков vpe3. Последняя при малых колебаниях определяется при-
приведенным выше выражением (V.28), т. е.
Рис. 32.
f 2а//?„)/р, (VI.5)
где у — Ср'су — отношение теплоемкостей заполняющего пузырек
газа; р — плотность жидкости. Резонансные частоты воздушных
пузырьков с разным радиусом, вычисленные по формуле (VI.5),
для воды приведены на рис. 32. Из этого рисунка видно, что радиусу
пузырька Ro = 10~3 см соответствует собственная частота радиаль-
радиальных колебаний vpe3 с* 500 кГц. Следовательно, вся расчетная кривая
критических давлений на рис. 31 относится к частотам изменения
давлений ниже нескольких сотен килогерц. Если частота ультра-
128
звука превосходит резонансную частоту пузырька vpe3, то размеры
последнего не будут успевать изменяться вслед за быстрыми изме-
изменениями давления и такие пузырьки б) дут исключаться из кавита-
ционного процесса. Таким образом, по мере повышения частоты
ультразвука порог кавитации должен повышаться до критических
давлений, соответствующих все меньшим и меньшим размерам ка-
витационных зародышей, т. е. кавитация будет начинаться при все
больших амплитудах ультразвуковых волн.
Все эти выводы подтверждаются соответствующими эксперимен-
экспериментами. Хорошо известно, что с увеличением частоты ультразвука
порог кавитации резко повышается, и при частотах выше ~ 10 МГц
кавитацию удается возбудить только в фокальном пятне концентри-
концентрирующих излучателей, где амплитуда давлений может достигать
сотен и тысяч атмосфер [51]. Порог кавитации возрастает с увели-
увеличением статического давления в жидкости Ро. Это объясняется
уменьшением размеров содержащихся в ней зародышей и увели-
увеличением плотности газа в них. Напротив, уменьшение статического
давления приводит к понижению порога кавитации, так же как
и повышение температуры жидкости. Дегазация жидкости тоже
спссобствует увеличению ее кавитациоиной прочности. Имеются
опытные данные по изменению кавитационной прочности в электри-
электрическом поле, влияющем на условия адсорбции «гидрофобных»
ионов на поверхности пузырька, и по уменьшению кавитациоиного
порога в воде при растворении в ней солей, вызывающих отрица-
отрицательную гидратацию [52].
Во всех этих экспериментах используются различные критерии
начала кавитации. Одним из них может служить расширение ка-
внтирующей жидкости вследствие образования в ней больших паро-
парогазовых пузырьков [53]. В ряде экспериментов в качестве критерия
начала кавитации использовался «кавитационный шум», возникаю-
возникающий при захлопывании кавитационных полостей [54]. Критерием
начала кавитации могут служить также сонолюминесценция (све-
(свечение жидкости при акустической кавитации), кавитационная эро-
эрозия твердых тел и другие явления, сопровождающие ультразву-
ультразвуковую кавитацию [48]. Однако эти явления возникают или дости-
достигают заметного развития при разных стадиях кавитационного про-
процесса, и поэтому количественные данные о кавитационных порогах,
определяемые различными методами, существенно отличаются
друг от друга, чему способствуют еще и разные ссстояиия исследуе-
исследуемых жидкостей. Тем не менее, основные выводы о кавитационной
прочности и влияющих на нее факторах, а также те основые за-
закономерности, которые вытекают из приведенного рассмотрения, ка-
качественно подтверждаются экспериментом.
Эти выводы, однако, получены без учета динамики изменения
давления. Для более детального анализа ультразвуковой кавита-
кавитации необходимо исследовать поведение кавитационного зародыша в
ультразвуковой волне. К этому вопросу мы еще вернемся, рассмотрев
сначала подробнее процесс захлопывания кавитационной полости.
9 В А. Шчтилов 129
§ 3. Захлопывание кавитационной полости
Для нахождения кинематических характеристик захлопывающе-
захлопывающегося кавитационного пузырька рассмотрим неиболее простую задачу
о смыкании стенок сферической полости в несжимаемой жидкости
под действием постоянного давления Р, считая сначала, что полость
заполнена только насыщен-
"~ ным паром, который успевает
сконденсироваться за время
захлопывания, так что его
давлением Рн можно прене-
пренебречь.
Пусть R — мгновенный
радиус захлопывающейся сфе-
сферы, U — скорость движения
ее стенок. Выделим сфериче-
сферический слой толщиной dr на рас-
расстоянии г от центра полости
(рис. 33). Скорость движения
жидкости v (г) в этом слое
определяется условием нераз-
неразрывности, согласно которому
отношение скоростей в двух
Рис- 33- сечениях „трубки тока" об-
обратно отношению площадей
этих сечений, в данном случае —отношению площадей двух сфе-
сферических поверхностей с радиусами г и R, т. е. v (r)/U — R2/r2t
откуда
v(r)~UR2/r2. (VI.6)
Кинетическая энергия слоя объемом АпгЫг равна dWKVm = (р !2)v\r) x
X 4nr2dr, где р — плотность жидкости. Полная кинетическая эгэргия
массы смыкающейся жидкости есть WK!1H = 2лр \^ v2 (r) r2 dr. Под-
Подставляя сюда значение v (r) из выражения (VI.6) и производя ин-
интегрирование, находим:
>3. (VI. 7)
Эта кинетическая энергия равна работе, совершаемой силой дав-
давления Р, по уменьшению объема полости от первоначального зна-
значения D/3) л/?о Д° конечного D/3) tlR3, т. е.
A = D/3)nP(Rl-R3). (VI.8)
Приравнивая формулы (VI.7) и (VI.8), получаем выражение для
скорости движения стенок захлопывающейся полости:
U = j/"B/3) {Pip) {RHR*-\). (VI.9)
130
Это выражение было получено Рэлеем еще в 1917 г. Из него легко
вычисляется полное время At захлопывания пустой полости с на-
начальным радиусом Ro. Учитывая, что U — dRIdt и вводя замену
переменных R — Roxb:i, из формулы (VI.9) имеем: dx/dt —
- [6/V(p/?JS)l х1/3 A — х), откуда
Таким образом, полное время захлопывания пустой полости
в жидкости с плотностью р находится в простой функциональной
зависимости от давления Р и начального радиуса Ro.
Рассмотренная модель, однако, не учитывает ряда факторов,
имеющих место в реальной ситуации. К ним нужно отнести поверх-
поверхностное натяжение, создающее добавочное сжимающее давление,
переменный характер давления в акустической волне, сжимаемость
реальной жидкости и, наконец, наличие в зародыше некоторого
количества газа, который будет демпфировать процесс захлопыва-
захлопывания. Что касается сил поверхностного натяжения, то простой рас-
расчет показывает, что они сказываются в „действующем давлении"
Р только на последней стадии захлопывания, когда радиус полости
становится очень маленьким. Под действующим давлением при ульт-
ультразвуковой кавитации следует понимать гидростатическое давление
Ро плюс давление в акустической волне. В качестве последнего
естественно принять амплитудное значение ртах. Правда, более
детальный анализ динамики кавитационнои полости в акустическом
поле показывает, что процесс захлопывания иногда начинается
на промежуточной стадии фазы сжатия, а сравнение результатов
теоретического анализа с обычными данными дает наилучшее
согласие при учете среднего за полупериод давления B/я) ртлх.
Таким образом, в формулах (VI.8)—(VI. 10) можно положить Р —
= Ро + B/я) ртах.
В действительности кавитационныи пузырек заполнен некоторым
количеством газа, масса которого при быстром захлопывании прак-
практически не изменяется. Кроме того, нужно учесть, что при быстром
захлопывании насыщенный пар, заполняющий кавитационную
полость, не будет успевать конденсироваться на ее поверхности.
Поэтому захлопывающуюся кавитационную полость можно считать
заполненной парогазовой смесью, давление которой при быстром
сжатии подчиняется адиабатическому закону:
PJ Р ro = (Ro/RK\ (VI. 11)
где Рг0 — начальное давление газа в зародыше радиусом Ro; у —
отношение теплоемкостей смеси. Благодаря наличию парогазовой
смеси, подвергающейся адиабатическому сжатию, скорость движе-
движения стенок смыкающейся полости не будет стремиться к бесконеч-
? * 131
ности, как это предсказывает формула (VI.9), и радиус полости
сократится ке до нуля, а до некоторого конечного минимального
значения /?min, величина которого определяется исходным давлением
парогазсвой смеси Р10. Этот минимальный радиус можно легко
найти, вычислив работу по адиабатическому сжатию парогазовой
смеси, которая при произвольном радиусе R равна:
A' = $. ProiRo/W^RzdR. (VI. 12)
Для паровоздушной смеси показатель адиабаты у можно принять
равным 4'3; при этом вычисление интеграла (VI. 12) дает
Лг = _ 4nPr0Rl (Ro/R - 1), (VI. 13)
где минус об^слсвтен направлением даиствующих сил. При полном
сжатии полости до минимального радиуса вся энергия смыкающейся
жидкости, определяемая формулой (VI.8), идет на работу сжатия
парогазовой смеси (VI. 13), следовательно, в этом случае можно
записать следующее равенство: D/3) ziP (R\ — Rmw) = 4rPt0RI X
X (Ro/Rmm— 1)- Предполагая, что R0/Rmin^ U получаем
Rmin^3R0Pl0/P. (VI. 14)
Отношение P,,/P0 = g (его принято назьвкть параметром газо-
газосодержания) в реальных кавт анионных пузырьках составляет
величину 0,02 ¦+¦ 0,03 [55]. Следовательно, радиус пузырька при
его захлопызании уменьшается в десятки раз, что оправдывает
сделанное ранее предположение. При этом в парогазовой смеси
в момент захлопывания пузырька развивается весьма высокое дав-
давление. Действительно, на основании формулы (VI. 11), положив
в ней у = 4/3 и R — Rmm, с учетом выражения (V. 14) получим:
Рггаах = (Р/34) q~3. При значениях Р = Ро - 1 атм и q — 0,02 это
дает Prmax ~ 40 000 атм. Вероятно, такой результат несколько за-
завышен, так как мы не учли, например, сжимаемость и вязкость
реальной жидкости, несомненно, снижающие давление, возникающее
при ее смыкании Далее, при высоких давлениях становятся неточ-
неточными и использованные уравнения термодинамики. Кроме того,
опыт показывает, что предполагавшаяся сферичность пузырьков
при их резком захлопывании нарушается: они становятся бесфор-
бесформенными и даже дробятся на мелкие ссколки. Тем не менее, захло-
г.ывание кавиташюшъц пузырьков р реальной жидкости действи-
действительно сопровождается сильным вег.леском давления, порождаю-
порождающего сферические быстро затухающие в пространстве ударные
волны, которые являются характерным следствием кавитации.
Рассчитаем теперь температуру парогазовой смеси, развивающу-
развивающуюся при ее адиабатическом сжатии в захлопывающемся пузырьке.
Для адиабатического процесса Т1Т0 — {R0/RK{y~1}, где Т — мгно-
мгновенная температура газа в процессе сжатия; То — начальная тем-
температура. В момент наибольшего сжатия с учетом (VI. 14) при
у = 4/3 имеем Ттах — (То/3) (Р/Р[0). Принимая опять минималь-
132
ные значения Р = Ро = 1 атм и Р10/Рп = q =- 0,02, при Го = 300К
получаем: Ттах сы. 6000 К. Такая температура, возможно, является
причиной (или одной из причин) характерного свечения, наблюдае-
наблюдаемого при ультразвуковой кавитации (сонолюминесцендии).
Чтобы вычислить скорость и время захлопывания газонапол-
газонаполненного пузырька, воспользуемся прежним приемом, учитывая
работу сжатия газа, определяемую выражением (VI. 13). Комбинируя
формулы (VI.7), (VI.8), (VI. 12) и (VI. 13), теперь получим:
(VI.15)
V w V L »> ж\ v *v /Л)
При q = РгО/Ро — 0 эта формула переходит в формулу Рэлея
(VI.9), а при реальном газосодержании q ~ 0,02 и Р = Ро = 1 атм
она дает максимальную скорость для воды примерно 500 м/с. Учи-
Учитывая опять, что U = dR/dt, и производя замену переменных в фор-
формуле (VI. 15) R/Ro — У, на основании этой формулы находим пол-
полное время захлопывания:
1
ifdy
(VI. 16)
Согласно работе [55], интеграл, стоящий в правой части выражения
(VI. 16), при значениях q = 0,02 -f- 0,03 близок к единице. Следо-
втгельно, наличие газа в кави-
тационном пузырьке практически
не изменяет времени захлопыва-
захлопывания, даваемого формулой Рэлея
(VI. 10) для пустой полости. Таким
образом, полное время захлопы-
захлопывания в любом случае зависит
только от начального радиуса
пузырька и действующего давле-
давления. Эта зависимость показана на
рис. 34 для воды линиями / и 2,
относящимися к разным давле-
давлениям. Там же пунктиром изобра-
изображены значения периодов Трез ~
= Грёз собственных колебаний сфе-
сферических пузырьков радиусом Ro,
вычисленные по формуле (VI.5).
Если вспомнить, что кавитация
может происходить на частотах
ультразвука, лежащих ниже ре-
резонансной частоты зародышей, то
на основании данного рисунка можно сказать, что для боль-
большинства случаев время захлопывания пузырьков At короче
периода ультразвуковой волны, способной вызвать кавитацию.
Однако это различие не столь велико, чтобы для всех пузырьков
Рис. 34.
133
действующее на них давление Р можно было считать квазистати-
квазистатическим, и поведение пузырьков в быстропеременном ультразвуко-
ультразвуковом поле оказывается более сложньш. Прямые наблюдения пока-
показывают, например, что кавитирующий пузырек перед захлопыва-
захлопыванием может совершить несколько колебаний: мелкие пузырьки
медленно растут, достигая некоторого критического радиуса, после
чего или захлопываются, или продолжают расти, выпадая из кави-
кавитации, когда их размер становится больше резонансного для данной
частоты ультразвука. Последнее обстоятельство, кстати, объясняет
тот аномальный результат, который вытекает из проведенного ранее
рассмотрения: согласно формуле (VI. 14), например, давление внутри
захлопывающегося пузырька Ргтах будет тем выше, чем больше его
начальный радиус Ro. Однако ясно, что это возрастание не может
быть безграничным. На самом деле, при больших значениях Ro
время захлопывания пузырька становится столь длительным, что
при данной частоте ультразвука оно превзойдет период ультразвук
ковых колебаний, и еще до полного захлопывания пузырька аку-
акустическое давление изменит знак — станет отрицательным. Крити-
Критические размеры пузырьков, в свою очередь, зависят от амплитуды
давления в ультразвуковой волне, и длительные пульсации пузырь-
пузырьков перед их захлопыванием происходят лишь при достаточно боль-
больших амплитудах [56]. При слишком больших амплитудах эффек-
эффективность кавитации может даже несколько снизиться.
Естественно, что использованный упрощенный подход не поз-
позволяет получить количественной характеристики всех особенностей
ультразвуковой кавитации, поскольку не учитывался переменный
характер действующего давления. Поэтому для более детального
анализа кавитационного процесса необходимо рассмотреть динами-
динамическое поведение кавптационного пузырька в ультразвуковом
поле, т. е/ решить уравнение движения кавитационной полости
под действием переменного давления.
§ 4. Динамика кавитационной полости
в ультразвуковой волне
Рассмотрим сферическую полость с мгновенным значением ра-
радиуса R (/) и запишем уравнение движения для скорости частиц
жидкости и (г) при г :> R в полярных координатах, начало которых
совмещено с центром полости. Благодаря сферической симметрии
задачи уравнение лвижения (II.4) будет одномерным, с сдной по-
полярной координатой г:
|!.+ 0? = _!.*?.. (VI.17)
dt ' дг р дг х '
В этом уравнении мы сохраняем нелинейный член v (dv!dr), по-
поскольку скорости движения частиц жидкости в данном случае могут
быть значительными. Жидкость отять будем считать несжимаемой,
с постоянной плотностью р ¦= р0. Уравнение неразрывности несжн-
131
маемой жидкости можно записать в удобной форме (VI.6), связыва-
связывающей скорость движения стенок полости U и ее радиус R со ско-
скоростью сферического слоя, имеющего полярную координату г
(см. рис. 33). В движении принимает участие вся масса жидкости,
поэтому уравнение (VI. 17) нужно проинтегрировать от г до оо.
Это проще сделать, введя потенциал скоростей по определению
(II.7) (движение считаем безвихревым):
(VI. 18)
Тогда интегрирование дает
^ ^^bO, (VI. 19)
поскольку при r->oo v — 0 и ф = 0, а р (г) = Р (оо). Согласно
выражениям (VI.6) и (VI. 18), ср = UR2/'r. Дифференцируя это вы-
выражение по / и подставляя в уравнение (VI. 19), имеем
Нас интересует движение стенки полости. Полагая г — R и учи-
учитывая, что U = dJR/dt, получаем:
0. (VI-20)
Это уравнение описывает пульсации сферической кавитационной
полости при давлении на ее стенки Р (R) и давлении вдали от полос-
полости Р (оо). Кавитационную полость мы будем считать заполненной
газом с парциальным давлением Рг и паром, давление которого
будем по-прежнему считать неизменным, полагая, что конденсация
и испарение успевают следовать за изменением объема полости.
Давление газа в общем случае будем считать изменяющимся по
политропическому законv: Pv = Рт0 (R0/Rfn со значением 1 ^ п ^
^ Cplcv. Начальное равновесное давление газа Рг0 в стабильном
пузырьке радиусом Ro есть Рг0 = Ро — Ра + 2a/R0i где Ро —
гидростатическое давление. Таким образом,
Учитывая зависящие от кривизны поверхности силы поверхностного
натяжения, находим
^(«*п-^. (VI.22)
Давление Р (ос) складывается из гидростатического давления Ро
и акустического давления р, изменяющегося во времени по синусо-
синусоидальному закону с частотой со:
P(oo) = P0-pmaxbin(ot. (VI.23)
135
Подставляя выражения (VI.22) и (VI.23) в формулу (VI.20), окон-
окончательно имеем:
D &R . 3 /dR\* ,1 I n n ¦ n 2o
°- <VL24)
Это нелинейное дифференциальное уравнение известно в теории
кавитации под названием уравнения Нолтинга — Непайреса [571.
Оно достаточно хорошо описывает изменение радиуса кавитацион-
ной полости в поле ультразвуковой волны с любой частотой. Лишь
в последней стадии захлопывания кавитационного пузырька, когда
скорость движения его стенок становится соизмеримой со скоростью
звука в жидкости и требуется учет ее сжимаемости, уравнение
(VI.24) становится недостаточно корректным.
Уравнение пульсаций сферической кавитационной полости с учетом сжимае-
сжимаемости жидкости было получено Херрингом и Флинном [49]. Не останавливаясь
на выводе этого уравнения, выпишем его в окончательном виде:
где Ti — коэффициент вязкости; с0 — скорость звука в жидкости в линейном приб-
приближении. Нетрудно видеть, что при U'cn <; 1 уравнение Херринга — Флинна
переходит в уравнение Нолтинга — Непайреса (VI. 24). В свою очередь, уравне-
уравнение (VI. 25) справедливо лишь до значений U, не превышающих с0. Более стро-
строгое решение, описывающее пульсации с произвольными скоростями U, было по-
получено Кирквудом и Бете [58] в виде
H*b2\l 3c)\dt) \+с)" с\[ с }К dR~Ut
(VI .26)
где Ц — ^р^ dp/р; р — vrnoRemioe значение плотности жидкости; с — локаль-
локальная спорое 1ь яв\ка, определяемая соотношением (IV.27).
К сожалению, уравнение Нолтинга — Непайреса (VI.24) и тем
более уравнения (VI.25) и (VI.26) не решаются в общем виде, а до-
допускают только численные решения для конкретных значений час-
частот, амплитуд ультразвуковых колебаний, начальных радиусов
зародышей и т. д. Анализ этих решений, выполненных с помощью
ЭВМ, показывает прежде всего [47], что размеры каоптирующих
пузырьков резко возрастают в первый же полупериод разрежения,
а затем пузырьки мог>т совершав несколько пульсаций перед
захлопыванием. Максимальный радн\с пузырька RmdX, количество
пульсаций, а также время захлопывания возрастают с увеличением
амплитлды ультразвуковой волны. При малых амплитудах ртак,
меньших некоторого порогового значения р'так, пузырьки нелинейно
пульсируют, ие захлопываясь. При этом пузырьки, размер которых
ниже резонансного или равен ему, пульсируют примерно с частотой
ультразвука, а пузырьки с размерами больше резонансного пуль-
136
сиру ют с периодом, близким к периоду собственных колебаний,
определяемому формулой (VI.5). При ртах >р'тах для пульсаций
крупных пузырьков характерно то, что время их существования до
захлопывания должно быть больше периода собственных колебаний.
Поэтому крупные пузырьки пульсируют при всех значениях ртах
^захлопываясь при ртах >ртах)> з мелкие пузырьки совершают
л\льсации перед захлопыванием только при достаточно больших
амплитудах, а если амплитуда ультразвукового давления невелика
(но больше р^ах), то такие пузырьки, расширяясь в полупериод
растяжения, захлопываются в первом же полупериоде сжатия, при-
wt
Рис. 35.
чем их захлопывание начинается почти строго при амплитудном
значении положительного давления, как это и предполагалось
в предыдущем параграфе.
Все эти выводы хорошо иллюстрируются серией приведенных на
рис. 35, а кривых, вычисленных на ЭВМ по уравнению (VI.24) для
конкретного начального радиуса пузырька R{) — 10 см [47]. Рас-
Расчеты выполнены с учетом адиабатических пульсаций (п = у = 4/3)
для воды при гидростатическом давлении Ро = 1 атм для частоты
ультразвука v = 500 кГц и различных амплитуд давлений ртак,
указанных на кривых в атмосферах. На рис. 35, б показано измене-
изменение во времени давления р в ультразвуковой волне. Заштрихован-
Заштрихованные области на рис. 35, а соответствуют «структурной неустойчи-
неустойчивости» уравнения (VI.24). Видно, что в этих областях небольшие
вариации ртах приводят к качественному изменению зависимости
R/Ro от со/.
Таким образом, более детальное изучение динамики кавитациои-
ной полости позволяет получить существенные сведения о ее пове-
137
дении перед захлопыванием и объяснить ряд экспериментальных
зависимостей, в том числе от амплитуды ультразвуковой волны.
Что же касается основных аспектов кавитации — существования
стабильных зародышей и процесса захлопывания кавитациоиной
полости, то их описание остается на уровне предыдущих параграфов.
В частности, время захлопывания, вытекающее из уравнения Нол-
тинга — Непайреса (VI.24), при достаточно развитой кавитации
хорошо согласуется с формулой Рэлея (VI.9), если принять в ней
Яо = Ятах И Р = Ро + Ртах: М = 0,915/?тах]/"Гро/(Ро ^ Ртах)!-
Именно это давление определяет потенциальную энергию пузырька,
расширившегося до значения радиуса Rmax, а потенциальная энер-
энергия, в свою очередь, определяет не только время, но и скорость за-
захлопывания. Поэтому выражение для скорости U также остается
прежним со значениями Ro — RmaK и Р — Ро + ртах:
U = У B/3) (Ро + pmax) (RmdjR3 - 1 )/р0,
справедливым до скоростей U ^ с0, пока можно пренебрегать сжи-
сжимаемостью. С учетом же сжимаемости на основании уравнения (VI.25)
получается уточненная формула:
Все эти результаты хорошо согласуются с экспериментом, при-
причем при давлениях ртах, незначительно превышающих пороговое
Ртах» лучшее согласие, как уже отмечалось, получается при замене
Ртах средним давлением за период.
§ 5. Акустические свойства кавитирующей жидкости
При возникновении в жидкости ультразвуковой кавитации ее
акустические свойства существенно изменяются. Прежде всего,
наличие кавитацнонных пузырьков приводит к рассеянию ультра-
ультразвука, которое будет рассмотрено далее. Вследствие этого энергия
ультразвуковой волны будет быстро убывать в пространстве. Однако
рассеяние — не единственная причина убывания энергии при кави-
кавитации: значительная ее часть идет на развитие кавитационных пу-
пузырьков, т е. на работу по их расширению до максимального
радиуса Rmax После захлопывания кавитационной полости эта
энергия частично переходит в энергию кавитационных ударных
волн, но она полностью теряется из первичной ультразвуковой
волны.
Работу, совершаемую при расширении N кавитационных пу-
пузырьков до радиуса Rmax от начального радиуса Ro, можно вычис-
вычислить, использ\я выражение (VI.8):
А<ав = ! nP(R~maK~R,)N, (VI.28)
где Р — сумма гидростатического и акустического давлений. Имея
в виду, что Ro ^ Rmax, выражение (VI.28) можно записать в виде
138
Лкав ~ D/3) nPNRlnax "ли Лкав ~ РАК, где ДК—суммарный
объем А/ кавитационных пузырьков при их максимальном расшире-
расширении или максимальное приращение объема жидкости при кавитации.
Поскольку фактически пузырьки имеют разный начальный радиус
(см. рис. 31) и максимальные размеры, то суммарное приращение
их объема вычислить трудно. Однако его легко можно измерить,
используя упомянутый ранее простой дилатометрический метод
[48, 53], при котором исследуемая жидкость заливается в гермети-
герметический сосуд, снабженный звукопрозрачными окошками и капилля-
капилляром для определения величины \V. Интересно, что хотя измеряемое
таким способом приращение объема AV является грубой мерой
энергии кавитации, оно хорошо коррелирует с относительной
эффективностью ее различных проявлений: с яркостью сонолюми-
несцентного свечения, с величиной кавитационной эрозии твердых
тел, находящихся в зоне кавитации и подвергаемых кавитационному
разрушению, с интенсивностью кавитациоиных ударных воли и
т. д. [48].
Измерения и оценки показывают, что на возбуждение кавитации
затрачивается значительная энергия. Вместе с рассеянием на кави-
кавитационных пузырьках это приводит к быстрому затуханию ультра-
ультразвуковой волны, амплитуда которой в области кавитации убывает
по обычному экспоненциальному закону (для плоской волны):
ртах =ртахоехр(—акяв х), но с коэффициентом затухания акав,
который значительно превышает коэффициент поглощения а0
некавитирующей жидкости. Вследствие этого затухания амплитуда
давления в ультразвуковой волне на некотором расстоянии хкав от
источника падает до значения ниже порогового рпор, необходимого
для возникновения кавитации, и кавитация прекращается. Таким
образом, в поле плоских или расходящихся ультразвуковых волн
зона кавитации имеет довольно отчетливую границу (в сфокусиро-
сфокусированном пучке она располагается в области фокального пятна).
Следует еще отметить, что вследствие резкого затухания ультра-
ультразвука в зоне кавитации развиваются сильные акустические течения
(см. § 4 гл. V). Кроме того, на кавитационные пузырьки действуют
направленные силы радиационного давления. Вследствие этого
в зоде кавитации в ограниченном пучке происходит интенсивное
движение жидкости.
Помимо дополнительного затухания ультразвука кавитация
приводит еще к «разрыхлению» жидкости, в результате чего изме-
изменяются ее плотность, сжимаемость и, следовательно, волновое со-
сопротивление. Чтобы количественно описать эти изменения, выберем
в кавитационной области такой объем Vo, линейные размеры кото-
которого малы по сравнению с длиной ультразвуковой волны, так что
акустическое давление в нем можно считать постоянным и синфаз-
синфазным, и в то же время достаточно велики по сравнению с размером
кавитационных пузырьков. Иначе говоря, размеры последних
должны быть много меньше длины ультразвуковой волны, что обыч-
обычно выполняется на тех сравнительно низких частотах, при которых
139
наблюдается кавитация. Тогда мерой плотности ркав и сжимаемости
хкаи кавитирующей жидкости может служить изменение данного
объема ЛУ0 вследствие кавитации. Введя относительное измерение
объема — показатель кавитации—D = ДУ0/У0. Для средних за
период новых значений плотности и сжимаемости можно записать:
Ркав = Рж A —Ъ) Л- QrD, хкав = хж A — D) ^ zrD, где рж и
иж — плотность и сжимаемость сплошной жидкости; рг и кс —
плотность и сжимаемость парогазовой смеси в кавиташюнных пу-
пузырьках; D — средний показатель кавитации, соответствующий
тому среднему радиусу кавитациошюго пузырька, около которого
происходят его колебания. В качестве этого среднего радиуса ес-
естественно выбрать половину максимального радиуса Rmax; тогда
D ~ 0,1 D. Среднее во времени волновое сопротивление кавити-
кавитирующей среды теперь можно записать в виде
(VI.29)
где сж и скав — скорости звука в среде без кавитации и с кавчта-
6 цией. Учитывая, что обычно
-iw» рг/рж < 1, хг > иж, a D < 1,
выражение (VI.29) можно упро-
упростить:
t^Kclb K3B КйВ |"^Ж Ж Ж' V Г/
(VI. 30)
Однако при очень малых D
нельзя пренебрегать единицей в
знаменателе формулы (VI.29) и
при D -> 0 нужно пользоваться
соотношением
¦(VI .31)
На рис. 36 приведена вычис-
вычисленная по формулам (VI.30) и
(VI.31) зависимость относитель-
Рис. 36. кого изменения волнового сопро-
сопротивления 2кав/г0 от показателя
кавитации D (который может быть измерен на опыте дилатомет-
дилатометрическим методом) для воды при хг/хж = 10* [59]. Начало этой
зависимости, соответствующее очень малым значениям D, пред-
представлено в увеличенном масштабе на рис. 36, б. Видно, что вол-
волновое сопротивление кавитирующей среды меняется весьма за-
заметно даже при малых D: например, при D = 10~3 оно убывает
на 30%, а при D = 0,003 уже падает в два раза. Ясно, что этим
явлением нельзя пренебрегать при соответствующих расчетах.
140
Глава VII
ОТРАЖЕНИЕ, ПРЕЛОМЛЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ
УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ВОЛН
§ 1. Прохождение и отражение плоских волн при нормальном
падении на границу раздела двух сред
До сих пор мы рассматривали распространение ультразвуковых
волн в среде без границ. На границах раздела сред волна частично
отражается, интерферируя с падающей волной, частично проникает
во вторую среду. В этой главе мы выявим критерии отражения и
прохождения плоских волн при различных условиях косого и
нормального их падения на границы раздела сред, а также рассмот-
рассмотрим структуру интерференционного поля, образующегося при сло-
сложении отраженной волны с падающей. При этом ограничимся пока
рассмотрением сред, в которых могут распространяться только
продольные волны, т. е. жидкостей и газов, имея в виду отмеченную
ранее общность полученных результатов для разных типов волн.
На границах раздела твердых сред наряду с отражением и прелом-
преломлением происходит еще и трансформация волн из одного вида в дру-
другой (см. далее), однако общий энергетический баланс и законы
отражения и преломления для каждой волны остаются теми же.
Далее мы ограничимся рассмотрением монохроматических плоских
волн бесконечно малой амплитуды, учтя роль немонохроматнч-
ности, нелинейных эффектов, а также затухания волны в грани-
граничащих средах дополнительно. Результаты, которые мы получим
для этих воли, в общих чертах сохраняют свое значение и для волн
других конфигураций (сферических, цилиндрических и т. д.) по
отношению к их лучам, т. е. нормалям к фронту волны. Поэтому
специально прохождение сферических, цилиндрических и воли
других конфигураций через границы раздела мы рассматривать не
будем, учтя те возможные поправки, которые могут быть связаны
с различием в углах падения. Анализ прохождения плоских волн
через границы раздела сред начнем с наиболее простых случаев,
обобщая их затем на более сложные ситуации.
Пусть плоская монохроматическая волна, распространяющаяся
вдоль оси х, падает нормально на границу раздела двух сред 1 и 2,
характеризующихся плотностями р01 и р02 и значениями скорости
141
звука с01 и с02 (рис. 37). Условившись анализировать волны беско-
бесконечно малой амплитуды, мы для упрощения записи опустим впредь
нулевые индексы, относящиеся к линейному приближению, ого-
оговорив специально те случаи, когда под величинами р, с и т. д. будут
пониматься их полные значения Под действием падающей волны
граница раздела будет совершать гармонические колебания, созда-
создавая в прилегающих средах прямою и обратную волны, распростра-
распространяющиеся соответственно в положительном и отрицательном на-
направлениях оси х. Таким образом, возникают две волны: проходя-
проходящая через границу раздела и отраженная, которая будет склады-
складываться с падающей. При условии сплошности сред, сохраняющейся
1 /
УиРиЧ' //
i' У
2
Рис. 37.
и на границе раздела, результирующая колебательная скорость
(или смещение частиц) в падающей и отраженной волнах должна
равняться колебательной скорости (смещению) в проходящей волне,
иначе на границе раздела возник бы разрыв. Кроме того, на границе
раздела, как и в любом другом сечении сплошной среды, в силу
равенства действия и противодействия должно выполняться ра-
равенство напряжений, в данном случае — их нормальных состав-
составляющих, т. е. давлений. Это приводит к граничным условиям, кото-
которые и определяют количественные значения акустических пара-
параметров в проходящей и отраженных волнах.
Обозначим потенциал, давление и колебательную скорость
в падающей волне через срх, рг и ьг, в отраженной — через ц>[, р{, v[,
а в проходящей во вторую среду — соответственно через ф2, ръ и v2.
Уравнения потенциалов скоростей соответственно для падающей,
отраженной и проходящей волн в комплексной форме будут иметь
142
следующий вид:
фх = фхтах СХр [i ((и/ — &i#)],
ф2 = Фгтах exp [i ((at — kiX)],
где фгтах — амплитуды потенциалов; kx = co/Cj, k2 = (о/с2 — вол-
волновые числа для первой и второй среды соответственно. В силу
указанных выше соображений, на границе раздела, которой при-
припишем координату х = 0, выполняются условия:
f 1 + Щ = v2
Т '_ • (VII.2)
Рг\Р\ — Рг х-о
Все величины здесь переменные: граничные условия (VII 2).должны
выполняться в любой момент времени. Учитывая связь между
давлением и скоростью в плоской волне с потенциалом ф:
p = pdq>/dt, v = — д(р/дх, (VI 1.3)
производя соответствующие дифференцирования уравнений (VII. 1)
и подставляя их результат в граничные условия (VI 1.2), получаем:
ф1 ф1 ф2
Ъ ~Ъ~ с2 f (VllA)
Pi<Pi + Р1Ф1 = Р2Ф2 х-о
где все значения переменных потенциалов относятся к фиксирован-
фиксированной координате границы раздела, в данном случае — к координате
х = 0. Два уравнения (VI 1.4) позволяют найти потенциалы ф! и ц2 и
через них с помощью соотношений (VII.3) вычислить давление и
колебательную скорость в отраженной и проходящей волнах при
заданных параметрах падающей волны. Однако в данном случае
можно, минуя расчет потенциалов, определить эти величины не-
непосредственно из граничных условий (VII.2), воспользовавшись
уже полученными ранее соотношениями (III. 10) и (III. 11) между
давлением и скоростью в прямой и обратной волнах. На основании
этих соотношений имеем соответственно для падающей (прямой),
проходящей (прямой) и для отраженной (обратной), распростра-
распространяющейся в отрицательном направлении оси х*, волн:
Pl=PlCiyi> Р2~Р2С2У2» Pl= PlCiyl- (Vll.5)
Подставив эти значения давлений во второе уравнение (VI 1.2), по-
получим:
* Выбор положительного направления оси х ^десь, конечно, не играет роли,
сущесшенно лишь то, что отраженная волна распространяется в направлении,
про!ивоположном падающей волне,
на
где zx — р1с1 и г2 — р2с2 — удельные волновые сопротивления
граничащих сред. Выражая колебательные скорости в соотноше-
соотношениях (VI 1.5) через соответствующие давления и подставляя их
значения в первое из уравнений (VII.2), аналогично находим
(VII.7)
Введем понятие коэффициентов отражения рр< v и прохождения
dPtV no давлению и скорости, определив их как отношение давления
и скорости соответственно в отраженной и проходящей волнах
к давлению и скорости в падающей волне. Решая относительно этих
отношений уравнения (VII.6) и (VII.7), получаем
Р[ _ z2-zt .
А — Р* — 2Zi ¦
Р Pi
v,
(VII.8)
(VII.9)
Таким образом, величины параметров отраженной и проходящей
волн существенным образом зависят от соотношения между удель-
удельными волновыми сопротивлениями граничащих сред, причем для
коэффициентов отражения и прохождения эта зависимость имеет
различный характер. Прежде всего замечаем, что коэффициенты
отражения рр и pv при любом соотношении между гх и z2 имеют
разный знак. Это означает, что давление или скорость при отражении
меняют знак на обратный. Поскольку в формулы (VII.8) и (VII.9)
входят переменные (во времени) значения р и v, то изменение их
знака при отражении соответствует изменению фазы на 180°. В про-
проходящей же волне согласно соотношениям (VI 1.9) давление и ско-
скорость всегда совпадают по фазе с давлением и скоростью в падающей
волне, т. е. и друг с другом. Отвлекаясь пока от фазовых соотноше-
соотношений и учитывая, что формулы (VI 1.8) справедливы для любых мгно-
мгновенных значений давления и скорости, в том числе и для их ампли-
амплитуд, можно ввести обобщенный «амплитудный» коэффициент отра-
отражения:
(VII.10)
«Pjmax
Фцпах
^lmax
^lmaK
-
V
Jmax
Шах
1
г1 + *8
который будет определять абсолютные значения параметров отра-
отраженной волны по сравнению с падающей волной. Амплитудные
коэффициенты прохождения по давлению и скорости при этом
сохраняют свой вид (VI 1.9). Как видим, амплитудный коэффициент
отражения рФ становится близким к единице, т. е. амплитуда
отраженной волны становится почти равной амплитуде падающей
волны, при условии гг <; z2 или zx ]> z2, т. е. на границе раздела
двух сред с сильно различающимися волновыми сопротивлениями,
независимо от направления распространения.
144
Коэффициенты же прохождения по давлению и скорости, опре-
определяющие их амплитуды в проходящей волне, как следует из урав-
уравнений (VI 1.9), существенно зависят от того, из какой среды в какую
проходит волна. Если падающая волна распространяется в акусти-
акустически «жесткой» среде и проникает через границу раздела в акусти-
акустически «мягкую» среду, т. е. если zx ^> z2, то амплитуда давления
в проходящей волне будет незначительной, а амплитуда колебатель-
колебательной скорости почти удваивается по сравнению с падающей волной.
Наоборот, при zl <^ z2, т. е. при распространении волны в «мяг-
«мягкой» среде и падении на границу раздела с более жесткой средой,
например из газа в жидкость, в проходящей волне удваивается
амплитуда давления и соответственно убывает амплит\ да скорости.
Последнее обстоятельство необходимо особо подчерки}ть, так как
приемники ультразвука обычно фиксир)ют давление (например,
пьезоэлектрический кристалл), и поэтому такой приемник, будучи,
например, погруженным в жидкость, зарегистрирует почти уд-
удвоенную амплитуду (давления) ультразвуковой волны, падающей
на эту жидкость из пограничной с ней газообразной среды.
При всем этом на границе раздела сред, разумеется, должен со-
сохраняться энергетический баланс, т. е. абсолютные значения интен-
сивностей проходящей и отраженной волн в сумме должны равнять-
равняться интенсивности падающей волны, т. е.
/i=/;+/a, (vii.и)
что легко проверить, выразив все интенсивности с помощью формул
A1Г.21) через соответствующие амплитуды давлений или колебатель-
колебательных скоростей с учетом коэффициентов отражения и прохождения.
Поделив обе части уравнения (VII.11) на интенсивность падающей
волны и введя коэффициенты отражения и прохождения по энергии
Р/=/,7Л, d/ = /a//lf (VI 1.12)
получаем уравнение сохранения энергии в виде
l. (VII.13)
Поскольку энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды
и поскольку отраженная и падающая волны распространяются
в одной и той же среде, то коэффициент отражения по энергии вы-
выражается как
Вычитая эту величину из единицы, согласно уравнению (VII. 13), по-
получаем выражение коэффициента прохождения по энергии:
d/=l-p/ = 42^/B,+ *,)*, (VII.15)
куда, как и следовало ожидать, удельные волновые сопротивления
обеих пограничных сред входят уже симметрично.
Ю В. Л Ш\тплов 145
Итак, отражательные свойства границы раздела двух сред
полностью определяются различием их удельных волновых сопро-
сопротивлений. Если zx — г2, то коэффициент отражения равен нулю,
отраженная волна отсутствует, граница раздела является акусти-
акустически «прозрачной». Если при этом плотности сред различаются,
то равенству удельных волновых сопротивлений соответствует
условие для скоростей звука: сх1с2 = р2/ рх. Такое условие хорошо
выполняется для некоторых пар несмешивающихся жидкостей,
таких, как вода — четыреххлористый углерод, вода — уксусный
ангидрид и др. (см. табл. 4).
Среди твердых тел волновым сопротивлением, близким к волно-
волновому сопротивлению воды, обладают некоторые твердые полимеры,
в частности каучук, полистирол, тефлон, поливинилацетат и ряд
других, в которые ультразвук проникает из воды почти полностью,
без существенного отражения. Например, на границе вода (г =
= 15-Ю4 г/(см2-с)) — каучук (z = 14-104 г/(см2-с)) амплитудный
коэффициент отражения составляет всего 3%, а энергетический —
лишь около 0,1%. От полистирола (z = 23• 104 г/(см2-с)) в воде
отражается примерно 4% энергии, от тефлона — около 3%.
Поскольку эти материалы сильно поглощают ультразвуковые
волны, то они могут рассматриваться как почти идеальные
поглотители ультразвука и использоваться, например, для за-
заглушения стенок ванны с жидкостью в тех случаях, когда в из-
измерительных или иных целях необходимо устранить отраженные
волцы.
Удельные волновые сопротивления металлов и других твердых
тел, по крайней мере, на порядок выше удельных волновых сопро-
сопротивлений жидкостей (за исключением жидких металлов). Среди
металлов наименьшей акустической жесткостью обладает алюми-
алюминий (г = 170-104 г/(см2-с)), в который из воды (или наоборот) про-
проникает около 30% энергии, т. е. коэффициент отражения на гра-
границе вода — алюминий по интенсивности составляет 0,7, а по
амплитуде 0,83. На границе же вода — железо (г — 46-105 г/(сма«с))
амплитудный коэффициент отражения равен 0,94, а энергетичес-
энергетический — 0,87, т. е. через границу раздела этих сред проникает всего
около 13% акустической энергии.
Удельные волновые сопротивления газов меньше, чем у жидко-
жидкостей н твердых тел на три-четыре порядка (см. табл. 4). Поэтому на
границе газ — жидкость и газ — твердое тело акустические волны
испытывают почти полное отражение. Действительно, на границе
между воздухом при нормальных условиях (г = 45 г/(см2-е)) и
водой (z = 15-101 г/(см2-с)) амплитудный коэффициент отражения,
согласно формуле (VII. 10), составляет ~ 0,999, а энергетический —
~ 0,998, т. е. из жидкости в воздух (и наоборот) проникает всего
примерно 0,2% энергии. Коэффициент прохождения ультразвука
через границу между газом и твердым телом составляет еще меныщ ю
величину, так что практически эти границы можно считать почти
идеально отражающими.
146
Заметим, что в соответствии с формулами (VII.8)—(VII. 15)
коэффициенты отражения и прохождения практически не зависят
от частоты, если не считать возможной зависимости из-за диспер-
дисперсии скорости звука в релаксирующих средах. Однако эта дисперсия
обычно столь мала, что она не может заметно повлиять на разность
волновых сопротивлений, определяющую величину коэффициента
отражения на границе с данной средой. Поэтому полученные ре-
результаты справедливы также и для немонохроматических волн со
сложным спектром, в частности для ультразвуковых импульсов.
В силу сказанного, относительный спектральный состав, т. е. форма
огибающей импульса, не должен изменяться при отражении и
прохождении: изменяются лишь абсолютные значения амплитуд
гармоник и высота импульса в соответствии с величиной коэффи-
коэффициентов отражения и прохождения. Коэффициент отражения от
границы раздела сред при нормальном падении волны, очевидно,
не должен зависеть и от поглощения ультразвука в этих средах.
§ 2. Стоячие плоские волны
Рассмотрим теперь результат интерференции падающей и отра-
отраженной волн в среде / с удельным волновым сопротивлением гл =
= ргсг при отсутствии поглощения, влияние которого выясним
далее. Для этого сложим потенциал скоростей в падающей волне ф2
с потенциалом отраженной волны <pj и найдем потенциал скоростей
результирующего поля:
1 @)/+ *!*)]. (VII. 16)
Вычислим переменное давление и колебательную скорость в этом
поле по общему определению, дифференцируя (VII. 16) по времени
и координате и опуская единичный индекс, поскольку речь идет об
одной среде:
р {X, t) — p Ф(^' = IWp {фтахвХр [i ((и/ — kx)] + фтах 6Хр [* ((и/ + kx)]}[
(VII.17)
/ ,ч дф (х, t)
v (x, t) = -Ц—- =
v ' ; дх
= 1 f {фтахехр[1(«/ — kx)] — фтах вХр [l* (w/+ fo)]}. (VI 1.18)
Прежде всего замечаем, что удельный акустический импеданс
среды при наличии отраженной волны наряду с падающей прямой
волной становится комплексным. Действительно, поделив выраже-
выражение (VII. 17) на (VII. 18), получим отношение давления к скорости:
Р - Фтах ехР (- Н
v ФтахехР^ lRX' Фтахe)i
которое при фтах ^ 0 является комплексным и становится вещест-
вещественным (равным удельному волновому сопротивлению среды рс)
10* 147
лишь при полном отсутствии отраженной волны. Комплексность
же импеданса, как было указано в гл. III, означает наличие сдвига
фаз между давлением и скоростью, т. е. возвращение части энергии
волны обратно к источнику в виде энергии отраженной волны.
Рассмотрим отдельно волну давления и волну колебательной
скорости, записав уравнения (VII. 17) и (VII. 18) в вещественной
форме, например сохраняя в них мнимую часть:
Р = Ртах COS (tot — kx) + Ртах COS (tot-\-kx), (VI1.19)
t' = t'maxCOS (tot — kx) — С'max COS (tot + kx) , (VI 1.20)
где ртах = Рифтах— амплитуда давления в падающей волне и т. д.
Добавляя и вычитая в уравнении (VII.19) величину pmaxcos(co/ —
—kx) и комбинируя подобные члены, получаем:
Р = 2pmax COS kx COS tot + (Ртах — Ртах) COS (bit — kx). (VI1.2 1)
В этом выражении второе слагаемое соответствует бегущей прямой
волне с амплитудой ртях — p'mdx, зависящей от амплит\ды отражен-
отраженной волны, а первый член — стоячей волне с амплитудой 2pmdX,
равной удвоенной амплитуде отраженной волны. Если отраженная
волна отсутствует (ртах = 0), то выражение (VII.21) переходит
в уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся в поло-
положительном направлении оси х: р = ртах cos (tot — kx). В случае
ПОЛНОГО Отражения ОТ ПЛОСКОЙ ГраНИЦЫ, КОГДа Рр = 1 И ртах = Ртах,
\ равнение (VII.21) описывает чисто стоячую волну давления
° p = 2pmaxcos?xcos(o/. (VI 1.22)
Стоячая волна представляет собой сумму двух бегущих волн равной
амплитуды, распространяющихся во взаимно противоположных
направлениях. Амплитуда стоячей волны равна удвоенной ампли-
амплитуде падающей волны pmdX\ средняя плотность энергии в ней соот-
соответственно в четыре раза больше плотности энергии в падающей
волне (поскольку энергия пропорциональна квадрату амплитуды);
интенсивность в поле стоячей волны равна нулю, так как поток
энергии в падающей волне компенсируется обратным потоком
в отраженной волне.
Согласно уравнению (VI 1.22) в плоскостях, координаты которых
удовлетворяют условию kx = пи, где п = 0, 1, 2, ..., т. е. при х —
= п Л/2 (Л — длина бегущей волны), давление колеблется с мак-
максимальной амплитудой. Этим координатам соответствуют пучности
давления. Расстояние между соседними пучностями Дл: = Л/2 —
= Ло принято называть длиной стоячей волны Координатам х =
= (п + 1/2) Л/2 соответствуют узловые плоскости, в которых
давление равно нулю. Как видно из уравнения стоячей волны (VII.22)
давление во всех точках между узловыми плоскостями изменяется
в одинаковой фазе. Колебания в соседних стоячих волнах проис-
происходят в противофазе. В случае неполного отражения, т. е. при
Ртах < Ртах» на стояч у ю волн у накладывается бегущая, вследствие
148
чего узлы давления переходят в минимумы, глубина которых убы-
убывает по мере уменьшения амплитуды отраженной волны и кото-
которые полностью исчезают при рр = 0 и р'тах = 0, когда волна ста-
становится чисто бег>щей.
Произведя аналогичные операции с уравнением (VI 1.20), полу-
получим выражение для результирующей колебательной скорости:
v = 2v'max sin kx cos Ш -f (i'max — Umax) cos (cot — kx), (VII .23)
которая, таким образом, также может быть представлена в виде
суммы чисто бегущей и чисто стоячей волн, амплитуды которых
определяются амплитудой отраженной волны. При этом, как видно
из сравнения уравнений (VII.23) и (VII.21), фазы таких параметров
бегущей волны, как скорость и давление, совпадают, а в стоячей
волне сдвинуты на л/2. Следовательно, в бегущей волне происходит
перенос энергии к границе раздела, в то время как в стоячей волне
направленный поток энергии равен нулю.
Таким образом, при неполном отражении от границы среды на
стоячую волну, образованную интерференцией отраженной вол-
волны с падающей, накладывается бегущая волна, интенсивность кото-
которой при отсутствии диссипативных потерь в среде, очевидно, равна
интенсивности волны, проходящей через границу раздела в сосед-
соседнюю среду, как бы «поглощающей» эту волну. В этом смысле гово-
говорят о «потерях на отражение», величина которых определяется по
энергии коэффициентом отражения р7, а по амплитуде — амплитуд-
амплитудными коэффициентами отражения рр или р^.
Из сопоставления уравнений (VI 1.21) и (VI 1.23) следует, что
узлы или пучности давления и скорости в стоячей волне смещены
по оси х на величину | Дх | — Л,/2. Что при этом происходит
на отражающей границе? Как \же отмечалось в предыдущем па-
параграфе, давление или скорость в отраженной волне изменяют знак
у границы, что соответствует скачку фазы на 180°. Если волна
падает из акустически более жесткой среды на границу раздела
с менее жесткой средой, т. е. г1 ~>гъ, то, как следует из формул
(VI 1.8), скачок фазы па границе испытывает волна давления, кото-
которая, таким образом, отражается с «потерей полуволны». Следова-
Следовательно, на границе раздела сред в этом случае будет располагаться
узел давления стоячей волны или минимум полного давления,
которое в силу равенства действия и противодействия целиком
передается второй среде в виде проходящей волны. При тех же
условиях знак скорости при отражении не изменяется, отражение
происходит «без потери полуволны». Следовательно, фаза отражен-
отраженной волны не изменяется у границы, где таким образом возникает
пучность стоячей волны скорости или максимум полной волны ско-
скорости. В силу условия неразрывности, эта скорость передается
частицам пограничной среды, где формируется бегущая (проходя-
(проходящая) волна, в которой, согласно уравнениям (VI 1.9), фазы скорости
и давления совпадают. В предельном случае гх ^> г2 или г2 ~ 0,
который осуществляется, например, при отражении волны, распро-
149
страняющейся в твердом теле или даже в жидкости от границы с
газом, давление на границе практически равно нулю, и граница
раздела совершает свободные колебания с амплитудой, равной
удвоенной амплитуде падающей волны. Иначе говоря, на границе
в этом случае будет узел давления (сжатия) и пучность колебатель-
колебательной скорости (а также пучность смещения).
х=0
Если же волна падает из менее жесткой среды на границу раздела
с более жесткой средой {z1<c г»), например из газа на границу
с твердым телом или с жидкостью, то картина меняется на проти-
противоположную: на границе раздела этих сред изменяется фаза коле-
колебательной скорости, давление же не испытывает скачка фазы и
отражается без потери полуволны. Таким образом, при zx <^ z2
на отражающей границе образуются пучность давления и узел
колебательной скорости (смещения). Физически это соответствует
тому, что граница жесткой среды должна оставаться неподвижной,
следовательно и частицы прилегающей к ней среды не могут испы-
испытывать смещения, при этом смещение соседних частиц будет при-
150
водить к сжатию среды у границы, где таким образом развивается
максимальное давление, которое целиком передается второй среде
в виде проходящей волны. Давление и скорость в этой волне, со-
согласно уравнениям (VI 1.9), у границы совпадают по фазе с давле-
давлением и скоростью в падающей волне, т. е. и друг с другом, как и
должно быть в бегущей волне.
На рис. 38 приведена схематическая картина образования стоя-
стоячей и проходящей волн при нормальном падении и почти полном
отражении (р/ ~ 1, dj ~ 0) для двух предельных случаев zx ^> z2
(а) и zx <^г2 (б), когда доля бегущей волны в первой среде ничтожно
мала и на отражающей границе формируются почти чистые узлы
и пучности: при zx ^> z2 пучность волны колебательной скорости
(пунктир), при zx <f z2 — пучность волны давления (сплошные
кривые). Соответственно в первом ел\ чае во вторую («мягкую»)
среду передается удвоенная (по сравнению с падающей волной)
колебательная скорость, а во втором — при падении на жесткую
границу — удвоенное давление. Интенсивность проходящей во
вторую среду волны /2 (т. е. и интенсивность бегущей волны в пер-
первой среде) в обоих случаях равна алгебраической разности интен-
интенсивности падающей волны 1Х и отраженной волны 1[, т. е.их геометри-
геометрической сумме.
§ 3. Интерференция встречных волн при нормальном
отражении в поглощающей среде
Выясним теперь влияние поглощения ультразвука на структуру
интерференционного поля, образующегося при сложении падающей
и отраженной волн. Поместим идеально отражающую плоскую гра-
границу на расстоянии х — -\-хо(п начала координат, где будем считать
заданными параметры падающей волны, например амплитуду дав-
давления Ртахо- При х ;> 0 амплитуда падающей волны в поглощающей
среде убывает по экспоненциальному закону:
Ртах=РтахОехр(— О?0Х) (VI 1.24)
с амплитудным коэффициентом поглощения а0. Амплитуду отражен-
отраженной волны при р^ = 1 можно записать в виде
ртах = Ртах (Хо) ехр [«0 (Х — Хо)] = ртах0 ехр [«0 (Х — 2х0)]. (VI1.25)
Полное давление в интерференционном поле будет представлять
сумму переменных давлений в падающей и отраженной волнах,
которую по-прежнему можно записать в форме
р (X, t) = 2pmax (Х) COS kx COS CO? -f- [pmax (x) — pmax (x)] COS (CO^ — kx),
(VI 1.26)
т. е. в виде суммы бегущей и стоячей волн. Однако амплитуды этих
волн и соотношение между ними будут в данном случае функциями
координаты х. Тогда с учетом выражений (VI 1.24) и (VI 1.25) для
151
амплитуд стоячей и бегущей волн соответственно имеем:
(VII.27)
Если поглощение не слишком велико, т. е. <хох <^ 1, то второе вы-
выражение (VII.27) можно с достаточной точностью представить в виде
Ртах — ртах=2ртах(Ро(Хо — Х)=ртах<р[.'о(Хо — Х), ГДв &'о = 2а0 —
коэффициент поглощения по энергии. При х = х„ (непосредствен-
(непосредственно у отражающей границы) бегущая волна исчезает, остается чисго
стоячая, с амплитудой 2р'тах (х = х0) = 2pmdX0 ехр ( — осоко),
х-0
ОС— X д
Рис. 39.
которая равна, как и прежде, удвоенной амплитуде падающей
на границу раздела прямой волны, ослабленной поглощением
в среде. В случае сложения падающей и отраженной волн при
нормальном падении плоской волны, распространяющейся в аку-
акустически жесткой среде с поглощением, на границу с вакуумом
(рис. 39), на отражающей границе образуется чистый узел давления
(отражение давления происходит с изменением знака, т. е. с поте-
потерей полуволны: первый член в уравнении (VI 1.26) в этом случае
отрицателен; фаза отраженной волны давления сдвинута на л
относительно па чающей волны).
При удалении от отражающей границы доля стоячей волны убы-
пает, а доля бегущей возрастает. Узлы давления при этом размы-
размываются и переходят во все менее глубокие минимумы. При х ~ О
амплитуда бегущей волны имеет максимальное значение: (ртак~
Ртах)х~о — РтахоаоЛ'о- Энергия бегущей компоненты при полном
152
отражении волны от границы, очевидно, соответствует той энергии^
которая поглощается средой в слое толщиной л0, т. е. необратимо
переходит в тепло. Эту энергию на единиц) площади волнового
фронта, поглощаемую средой в единицу времени, можно определить
как разность пнтенсивностей падающей волны в плоскости х — О (/О)
и обратной волны, отразившейся от границы и прошедшей общий
п\ть 2х0:
w nor л— ]0 * 0е — ¦'OV1 е )— z^0y0cx0'
Поделив эту энергию на пройденный волной путь 2х0, найдем
среднее по толщине слоя значение плотности энергии, поглощаемой
средой, т. е. среднюю энергию, поглощаемою в единице объема за
единицу времени: Afe"nor;i = Ioce,'(t, что, естественно, совпадает с фор-
формулой (II 1.50), полученной при расчете энергетического коэффи-
коэффициента поглощения.
При этом мы рассматриваем случай нормального отражения от
одной плоской границы без ограничения поля со стороны падающей
волны. Практически же это поле ограничено с другой стороны по-
поверхностью источника плоских воли, или второй границей слоя,
через которую волна проникает от источника В этом случае много-
многократное отражение плоской волны от двух границ слоя будет приво-
приводить к образованию стоячей волны, амплитуда, энергия и другие
характеристики которой будут зависеть от толщины слоя и условий
на обеих его границах К такой ситуации мы обратимся при анализе
прохождения плоской волны через плоскопараллельный слой
среды Теперь же перейдем к рассмотрению более общего случая
наклонного падения плоской волны на плоскою границу раздела
двух сред.
§ 4. Отражение и преломление плоской волны
при наклонном падении на плоскую границу раздела
двух сред
Пусть плоская волна падает на плоскую границу раздела сред.
1 ц 2 под углом 6j к ее нормали (рис. 40). При произвольной ориен-
ориентации волнового вектора к относительно прямоугольных осей
координат уравнение плоской волны, удовлетворяющее трехмерному
волновому уравнению (II 1.32), должно быть записано в виде
Ф = Фтах exp {i [со/ - к • г]|, (VI1.28)
где г = г(х, у, z) — радиус-вектор то^ки, в которой определяется
значение потенциала скоростей ф. Трехмерное уравнение (VI 1.28)
можно получить из одномерного уравнения (II 1.6) для волны,
распространяющейся вдоль оси х, путем соответствующего поворота
осей координат. При этом вместо координаты х нужно подставить
в это уравнение величину n-r = nxx + nvy + tuz. Принимая во
внимание определение волнового вектора (см. гл. III), получаем
. 15а
уравнение для произвольно ориентированной плоской волны в
виде (VI 1.28), где kr = knxx т knyy + knzz = kxx + kyy 4- /г-2.
Пусть граница раздела совмещена с плоскостью yz так, что
нормалью к ней является ось х. Если волновой вектор падающей
волны лежит в плоскости ху и составляет с осью х угол 6i, как это
изображено на рис. 40, то его компоненты по осям координат при-
принимают значения kx = k cos 61, ky — k sin 61, kz — 0. Следователь-
Следовательно, уравнение для потенциала скоростей
1 z< z Zz в падающей волне фх будет иметь следу-
следующий вид:
— k1(xcosQ1+ysmQ1)]}, (VII.29)
где, как и прежде кх — co/cj — волновое
число для среды /. На границе раздела
в силу общих соображений, изложен-
изложенных в начале этой главы, должна воз-
возникать отраженная волна и волна, про-
проходящая во вторую среду. Припишем
волновому вектору отраженной волны
угол б! по отношению к оси х, а волно-
волновому вектору проходящей волны —
угол 6.2- Сохранив прежние обозначения для потенциалов и вол-
волновых чисел, получим, аналогично выражению (VI 1.29) соответ-
соответственно для отраженной и проходящей воли:
Ф1 = Ч>[ max exp {i [cat - kx (— х cos a; + у sin д[)]\, (VI 1.30)
Рис. 40.
= Ф-2max exp
2 (atcos 6,-f-1/ sin 62)]}, (VI 1.31)
где #2 = ю/с2.
На границе раздела (х = 0), как и прежде, должны выполняться
условия равенства давлений (в общем случае — нормальных на-
напряжений) справа и слева от границы и равенства нормальных
составляющих колебательных скоростей. Это дает следующие гра-
граничные условия:
vlx + v\x = v2x х =
которые для потенциалов скоростей принимают вид
5ф_1 , ду[ __ Зфз
дх ' дх дх
(VI 1.32)
х~0
Дифференцирование потенциалов скоростей (VII.29) — (VII.31)
по времени и подстановка результатов в первое уравнение (VII. 32)
со значением х = 0 дает
exp [i (at — kxу sin 6X)] + p^J max exp [t (со/
max exp [i (Ш — k2y sin 62)].
]
(VII.33)
154
Граничные условия (VI 1.32) должны выполняться в любой момент
времени и во всех точках границы раздела, т. е. для любого зна-
значения координаты у. Следовательно, в уравнении (VI 1.33) все коэф-
коэффициенты при у в слагаемых, определяющих фазы волн на границе
раздела сред, должны равняться друг другу, т. е.
/г, sin 6j = kx sin Q[ = k2 sin 62. (VII.34)
Разумеется, такой же результат получится и из второго уравнения
(VI 1.32). Действительно, дифференцируя потенциалы скоростей
(VI 1.29) — (VI 1.31) по л; и подставляя соответствующие производ-
производные со значением х = О в уравнение (VI 1.32), находим для них
второе граничное условие:
/г, cos a^, max exp [i (со/ - kxy sin Щ -
— kx cos 6^;max exp [i (at — kxy sin Q[)] =
= &2cos62(p2maxexp[/ (cot — у sin 62)], (VII.35)
откуда равенство коэффициентов при у также приводит к соотно-
соотношениям (VI 1.34). Из этих соотношений вытекают законы отражения
и преломления акустических волн:
sin6j =sine;, а; = аг, (Vii.36)
т. е. угол «падения» 6i равен углу «отражения» б[ (поэтому в даль-
дальнейшем мы его штрихом выделять не будем);
= k1/ku = ci/cl==na, (VII.37)
т. е. отношение синуса угла «преломления» к синусу угла шадения»
равно отношению скоростей звука соответственно во второй и
в первой средах (большей скорости соответствует больший угол).
По аналогии с оптикой это отношение можно назвать акустическим
показателем преломления двух сред п,А. Однако закон преломления
акустических волн противоположен закону преломления в оптике,
где отношение синусов углов падения и отражения обратно про-
пропорционально отношению скоростей света (на рис. 40 изображен
случай, соответствующий большей скорости звука в среде 2).
В этой связи следует отметить, что, как и в оптике, на основе закона пре-
преломления можно произБОДить фокусирование ультразвуковых лучей * с помощью
линз. Но при этом, если линза изготавливается из твердого материала, в котором
скорость звука больше, чем в окружающей среде, то собирательной линзой бу-
будет линза с вогнутыми поверхностями (рис. 41), а не с выпуклыми, как в оптике.
Зная величину скорости звука в материале собирательной линзы (г2) и в ок-
окружающей среде (Ci), нетрудно, пользуясь соотношением (VII.36), найти связь
между кривизной поверхностей линзы и ее фокусным расстоянием / для парак-
параксиальных пучков. В приближении, которое обычно применяется в оптике, полу*
чаем:
гVII
* Напомним, что под «лучом» в изотропной среде понимается нормаль
к фронту волны. Параллельный пучок лучей соответствует плоской волне, ко-
которая практически реализуется в ультразвуковом диапазоне частот.
155
где Rt и R2 — радиусы кривизны поверхностей линзы, d — ее толщина по глав-
главной оси; знак минус соответствует мнимому фокусу выпуклой линзы, для кото-
которой радиусы кривизны должны быть при-
приняты отрицательными. Для плоско-ьогну-
той линзы {R] = оо) с радиусом кри-
кривизны вогнутой поверхности R2 = R фор-
формула (VI 1.38) дает f= —R/(cv'cn—l) =
= - RnJ(nA - 1).
Для расчета усиления ультразвука
в фокусе собирательной линзы необхо-
необходимо учитывать, кроме волновых сопро-
сопротивлений, такие факторы, как зависи-
зависимость коэффициента прохождения волны
через линзу от угла падения, от погло-
поглощения ультразвука в материале линзы,
влияние нелинейных эффектов на фоку-
фокусирование ультразвука. С детальным ра-
расчетом ультразвуковых фокусирующих
устройств можно познакомиться по не-
недавно изданной книге И. Н. Каневского
[60]. \\а рис. 42 приведена теневая фото-
фотография ультразвукового пучка, сфокуси-
сфокусированного акустическом линзой. A пне-
пневой метод визуализации ультразвуковых
полей сводится к просветлению участков
среды с измененным оптическим показа-
показателем преломления [12]. Поскольку по-
последний меняется в фазе с плотностью,
т. е. с давлением, то теневая фотогра-
фотография, экспонируемая в течение времени,
значительно превышающего период уль-
ультразвуковых колебаний, регистрирует общее просветление области среды, «заня-
«занятой» ультразвуковым пучком, позволяя изучить его структуру и геометрию).
Перейдем теперь к расчету коэффициентов отражения и про-
прохождения плоской волны при наклонном падении. Расчет произ-
произведем сразу для относительных интенсивностей волн, имея в виду
вычисление коэффициентов отражения и прохождения отдельно
Рис. 41.
Рис. 42.
для волн давления и колебательной скорости, Расчет же энергети-
энергетических коэффициентов упрощается тем, что на основании граничных
условий достаточно вычислить только коэффициент отражения
Р/ — /J//], а коэффициент прохождения полечить вычитанием ве-
величины р/ из единицы на основании уравнения энергетического
баланса (VII. 13). Далее, коэффициент отражения по интенсивности
можно определить как отношение квадратов амплитуд потенциалов
в отраженной и падающей волнах, поскольку эти волны распро-
156
страняются в одной среде, т. е. в среде с одним и тем же удельным
волновым сопротивлением гг (что неверно по отношению к прохо-
проходящей и падающей волнам).
Вводя обозначения ф, (@) = ф1тах exp U (со* — fc,*/sin8i)l и т.д.,
запишем граничные условия для потенциалов (VI 1.33) и (VI 1.35)
в виде
kx cos 9j • фл @) — kx cos 6j • q>[ @) = k.2 cos 6, • ф., (О).
Умножая первое уравнение на (&2cos62)/2 и вычитая из него второе,
находим
ф! @) (** cos 6., + -1- cos a,N,= ф, @) l^- cos Qx - -2 cos 6.1
Yi v ; Pi - ' Pi 1 Y*v ; \pi 1 p2 4
Отсюда, учитывая, что kx = <о/с1 и k2 = со/с2, для отношения квад-
квадратов амплитуд потенциалов, равного коэффициенту отражения,
получаем
/ш ..\2 / г, cos б, — г, cos б, 2
4Wx = _j aai, (VII.39)
1Ф,тах/ \ ZlCOS6., + Z.,COS6l / ^
Вычктая эту величину из единицы, согласно уравнению энергети-
энергетического баланса имеем:
_ 4?l?^osAlco1e^>
Таким образом, коэффициенты отражения и прохождения за-
зависят от угла падения луча на границу раздела сред. При 61 = 0
формулы (VII.39) и (VII.40) переходят в'формулы (VII. 14)и (VII. 15),
полученные для нормального падения. В общем же случае они отли-
отличаются множителями в виде косинусов угла падения и преломле-
преломления. Поэтому условие прозрачности границы (р/ = 0, d{ = 1)
при произвольном угле падения будет следующим:
z,cos82 = z2 cos б,. (VI 1.41)
Однако углы 6i и 62 не независимы: они связаны между собой зако-
законом преломления (VII. 37). Учитывая его, после несложных преоб-
преобразований получаем выражение для угла 6i, при котором ультра-
ультразвуковая волна будет проникать во вторую среду без отражения:
\а2 fl _ г--'/г' ~ 1 _ Pa/Pf cli'cl /л/11 4О\
te l 1—d/cf c\]c\ — 1 v ;
Из этого выражения следует, что условие прозрачности (VII.41) мо <
жет выполняться только для таких сред, плотности которых и ско-
скорости звука в которых удовлетворяют одному из неравенств^ р2/ pi)$s
^ (cilc2) ^ 1 нли (Рг/Pi) ^ (С2^сг) < 1- При этих условиях правая
часть соотношения (VI 1.42) будет положительной и, следовательно,
в пределах от 0 до л/2 может быть найден угол падения, при ко-
котором граница будет полностью прозрачной (включая угол нор-
нормального падения d — 0и угол 9Х = 90°, соответствующий распро-
157
странению плоской волны вдоль границы раздела). В качестве
примера пар сред, для которых выполняются указанные неравен-
неравенства, можно привести такие жидкости, как вода — диэтилфталат,
этиловый спирт — хлороформ и др. (см. табл. 4). В частности для
воды (при 25° С) с, = 149,7 • 103 см/с, рг = 0,997 г/см3; для ди-
этилфталата с2 = 147 • 103 см/с, р2 = 1,121 г/см3; подставляя эти
значения в формулу (VI 1.42), получаем величину угла бц при ко-
которой плоская волна проникает через границу раздела этих жид-
жидкостей со стороны воды без отражения: вг ~ 35°.
Рассмотрим теперь условия полного отражения плоской волны
от границы раздела сред. Помимо общих случаев г2 -> 0 и г2 ;> zlt
соответствующих отражению от границы с вакуумом или от беско-
бесконечно твердой стенки, коэффициент прохождения d{ обращается
в нуль (а коэффициент отражения р7 = 1) при равенстве нулю ко-
косинуса одного из углов 6i и б 2- Поскольку условие cos6i — 0
означает распространение падающей волны вдоль границы раздела,
интерес представляет лишь случай cos62 — 0, т. е. 62 = я/2. В силу
соотношения (VI 1.37) этому углу преломления соответствует не-
некоторый «критический» угол падения бкр, удовлетворяющий условию
51пбкр = сг/с2. (VII.43)
При таком угле падения преломленный луч исчезает и вся энергия,
приходившаяся при углах 6i<C бкр на долю проходящей волны,
переходит в отраженную волну. Это явление, известное под наз-
названием полного внутреннего отражения, согласно формуле (VI 1.43),
возможно лишь при условии сг <с2, т. е. когда скорость звука во
второй среде больше, чем в первой, например при падении ультра-
ультразвуковой волны из жидкости на границу с твердым телом. Величина
критического угла может при этом быть весьма небольшой, например
для границы вода — алюминий (сг ~ 1,5-105 см/с, с2 ~ 6-105 см/с)
угол бкр ^ 14°. Для границы же газ — твердое тело можно принять
условие сг <^с2» ПРИ котором, согласно (VII.43), критический угол
близок к я/2. Это означает, что из газа в твердое тело проникают
лишь волны, падающие на границу раздела почти под прямым уг-
углом, а остальные волны испытывают полное внутреннее отражение.
Интересно отметить, что в обратном случае (сг р> с2), согласно
выражению (VI 1.37), угол преломления б2 близок к я/2 при любых
углах падения, так что волны, падающие, например, из твердого
тела на границу с газом, распространяются в нем почти перпенди-
перпендикулярно к границе раздела независимо от угла падения.
§ 5. Интерференция плоских волн при наклонном
падении. Квазистоячие волны
Рассмотрим теперь структуру поля в зоне перекрывания падаю-
падающих и отраженных плоских волн. При этом мы отвлечемся сначала
от поглощения ультразвука (считая, что оно достаточно мало, чтобы
волны не испытывали заметного затухания, по крайней мере вблизи
158
отражающей границы), от нелинейных эффектов, рассматривая
волны достаточно малой амплитуды, и от «потерь на отражение»,
полагая коэффициент отражения равным единице. После подроб-
подробного анализа, выполненного в § 2 отдельно для давления и коле-
колебательной скорости, мы можем впредь ограничиться рассмотре-
рассмотрением лишь поля потенциалов скоростей, имея в виду, что давление
и колебательная скорость находятся из потенциала ф дифферен-
дифференцированием его по времени и координатам и что это приводит к
соответствующему сдвигу фаз в отраженной волне, который су-
существует и на отражающей границе.
Итак, основываясь на принципе суперпозиции и складывая
потенциал падающей (VII.29) и отраженной (VII.30) волн,получаем
полный потенциал в зоне перекрывания этих волн, имеющих по
предположению равную амплитуду:
Ф(х, у, 0=<Pi(*. У> 0 + ф1(*. У. 0 =
= фтах exp [i ((at — ky sin 9)] [exp (— ikx cos 9) -f- exp (ikx cos 9)] =
= 2 фтах cos (kx cos 9) exp [i ((at — ky sin 9)] =
= Фтах exp [i (at-yky)], (VII.44)
где 8 — угол падения (равный углу отражения); k — (а/с — вол-
волновое число для рассматриваемой среды; ky — ksm 9 — проекция вол-
волнового вектора на ось у. Таким образом, сложение потенциалов,
падающей и отраженной волн приводит к уравнению для бегущей
волны, распространяющейся вдоль оси у со скоростью cv = (a/ky —
— io/(k s'wb) = с/sin 6- По существу, это скорость, с которой рас-
распространяется вдоль границы раздела фаза падающей волны или
её «след». При 9 = я/2 скорость «следа» волны на границе среды-
совпадает со скоростью звука в ее объеме, а при нормальном
падении су-*-оо: все точки равной фазы, образующие фронт
волны, одновременно достигают отражающей границы. В общем
же случае произвольного угла падения скорость «следа» колеб-
колеблется в пределах с ^z су ^ <х>.
Как видно из уравнения (VI 1.44), описываемая этим уравнением
бегущая волна промодулирована по амплитуде вдоль оси х с про-
пространственным периодом, также зависящим от угла падения 8.
В плоскостях, координаты которых удовлетворяют условию
^ <"=0' '•2-3- •••>• <VIU5>'
амплитуда результирующей волны (VI 1.44) обращается в нуль,
а в плоскостях, для которых х = nn/(kcosb), она принимает мак-
максимальное значение, равное удвоенной амплитуде падающей волны
Фтах- Эти плоскости, параллельные отражающей поверхности,,
образуют как бы систему узлов и пучностей стоячей волны, в кото-
которой, однако, происходит перемещение фазы колебаний вдоль оси у
со скоростью су. Такую волну можно назвать квазистоячей, ее
амплитуда промодулирована в направлении нормали к отражающей.
159-
поверхности. Период этой модуляции, соответствующий «длине
квазистоячей волны» Л„, определяется расстоянием между сосед-
соседними «узловыми» плоскостями (VI 1.45) и равен Д# = Л,' =
= A/Bcos9) = A0/cos9, где Л —длина бегущей волны в данной
среде при данной частоте ультразвука.
Таким образом, длина квазистоячей волны Л,' зависит от угла
падения 9, как и скорость «следа» падающей волны. При нормаль-
нормальном падении F=0) Л,', = Л/2 =- Ло, и она становится равной
длине нормальной стоячей волны. С отклонением падающего пучка
лучей от нормали расстояние мужду узловыми плоскостями возра-
возрастает, а вдоль границы раздела в направлении проекции*волнового
вектора падающей волны появляется поток энергии, соответствую-
соответствующий бегущей волне. Вектор плотности этого потока, т. е. интен-
интенсивности результирующего поля, при любых углах 6 направлен
вдоль отражающей границы — как векторная сумма равных по
абсолютной величине интенсивностей падающей и отраженной волн
(рис. 43).
Заметим, что, как видно из рис. 43, полученный результат можно
рассматривать как интерференцию двух пучков плоских воли:
от действительного источника и симметричного ему относительно
отражающей плоскости мнимого. Очевидно, такая же картина
интерференции с образованием квазистоячих волн будет иметь место
при наложении пучков от двух действительных, симметрично рас-
160
положенных, когерентных источников*. В обоих случаях вектор
плотности потока энергии в зоне перекрывания пучков направлен
по биссектрисе угла между ними, а абсолютная величина интен-
интенсивности определяется как геометрическая сумма интенсивности
обоих пучков. Разумеется, речь идет об условиях, при которых
выполняется принцип суперпозиции
§ 6. Рассеяние ультразвуковых волн
в неоднородной среде
Рассмотрим кратко рассеяние ультразвуковых волн вследствие
диффузного отражения их от частиц, имеющих другие физические
свойства (по сравнению с окружающей их средой) и четкие границы.
Среды, содержащие такие частицы, называются гетерогенными.
Примерами гетерогенных сред могут служить суспензии (жид-
(жидкости со взвешенными в них твердыми частицами), аэрозоли (газы
со взвешенными твердыми частицами), эмульсии (жидкие капли
в нерастворяющей жидкости), жидкости, содержащие газовые пу-
пузырьки, в частности кавитационного происхождения, а также такие
среды, как стекла, сталлы, минералы, некристаллические металлы
и т. д. При распространении в такой среде первичной ультразвуковой
волны она будет отражаться от содержащихся в ней частиц, воз-
возбуждая их вынужденные колебания, что и приведет к излучению
частицами вторичных, т. е. рассеянных волн. Эти однократно
рассеянные волны, вообще говоря, в свою очередь будут много-
многократно отражаться другими частицами. Однако коль скоро однократ-
однократно рассеянное поле невелико по сравнению с первичным, то повтор-
повторно рассеянными волнами можно пренебречь, если число рессеиваю-
щих центров не слишком велико. Пренебрежение повторным рас-
рассеянием эквивалентно предположению об отсутствии «акустиче-
«акустического» взаимодействия частиц, т. е. предположению, что коле-
колебания одной частицы не влияют на колебания другой. Тогда
суммарное поле, рассеянное па совокупности частиц, можно найти
как суперпозицию полей, однократно рассеянных каждой частицей,
и задача о рассеянии ультразвука в гетерогенной среде сводится
к задаче о рассеянии па одной частице с последующим суммиро-
суммированием результата по всем частицам, расположенным в рассеиваю-
рассеивающем объеме. При этом форму частицы в достаточном приближении
можно принять сферической, тем более, что при малых размерах
частиц по сравнению с длиной волны и на достаточно больших
расстояниях от них отклонение формы реальных частиц от сфери-
сферической не играет существенной роли.
Акустическое поле, рассеянное частицей, естественно, зависит
от вида первичной волны. Будем по-прежнему рассматривать плоские
волны, имея в виду рассеяние направленных ультразвуковых пучков.
* Когерентность источников ультразвука достигается при возбуждении их
от одного и того же генератора.
11 В, А, Шутилов 161
Далее, рассеяние ультразвука частицей зависит от ее сжимаемости
и плотности. Понятно, что если они совпадают с плотностью и сжимае-
сжимаемостью окружающей среды, это эквивалентно акустически однород-
однородной среде, в которой никакого рассеяния не будет. Если частица
отличается от окружающей среды только плотностью, но не сжи-
сжимаемостью, то в первичном акустическом поле она будет отставать
или опережать колебательное движение среды, т. е. будет совершать
относительно нее пост>пательно-колебательное движение и рассеян-
рассеянное частицей поле будет эквивалентно полю излучения «акусти-
«акустического диполя». Если же частица отличается от среды только сжи-
сжимаемостью, то такая частица будет совершать поступательные
колебания спнфазно с акустическими колебаниями среды, но под
действием переменного акустического давления она 6}дет пульси-
пульсировать относительно среды, и рассеиваемое ею поле будет эквива-
эквивалентно полю излучения пульсирующей сферы. В общем случае
рассеивающие частицы мог^т отличаться от окружающей среаы
как плотностью, так и сжимаемостью, и рассеиваемое ими поле
будет носить более сложный характер. Расчет этого поля, таким
образом, тесно связан с задачей об излучении звука сферой, со-
совершающей различные колебания.
Рассеяние ультразвука на данной частице существенным образом
зависит от соотношения между ее размерами и длиной ультра-
ультразвуковой волны Л. Мерой этого соотношения служит так называемый
параметр рассеяния: величина kR, где R — радиус частицы; к ±=
= 2я/Л — волновое число. Когда kR ^> 1, т. е. длина волны весьма
мала по сравнению с размерами рассеивающего тела, то явлениями
дифракции можно пренебречь и рассматривать рассеяние по законам
геометрической акустики. Поэтому область значений kR ^> 1 назы-
называют областью геометрического рассеяния. Геометрическое рассея-
рассеяние определяется обычными законами отражения, рассмотренными
ранее для плоских поверхностей. В случае неплоской, но плавной
поверхности се можно разбить на отдельные локально-плоские
участки и находить отражение от них по правилу равенства углов
падения и отражения лучей. Позади рассеивающего тела образуется
акустическая гень, по площади сечения равная площади сечения
тела. Рассеянное поле перед телом будет определяться всеми отра-
отраженными лучами, и поток рассеиваемой мощности будет равен
потоку падающей мощности. Поток мощности позади рассеивающего
тела равен и\лю (здесь рассеянное поле как бы гасит первичное
поле).
Таким образом, специфика задачи о рассеянии относится к таким
частицам, размеры которых сравнимы или много меньше длины
волны. Случаи kR ~ 1 наиболее труден для расчетов. В оптике
теория рассеяния света при kR >г 1 была разработана Ми, и поэтому
область значений kR ~ 1 для любых волновых процессов получила
название области рассеяния Ми.
Задача о рассеянии звука и света на сферических частицах
малого радикса впервые была решена Рэлеем и вошла в основы
162
классической теории рассеяния волн в неоднородных средах. Поэтому
рассеяние в условиях kR <; I называют рэлеевским. Метод Рэлея
состоит в разложении падающей волны и рассеянной на частице
в ряды по сферическим функциям с последующим учетом граничных
условий на поверхности частицы и суммированием результирую-
результирующих полей.
Поместим сферическую частицу радиусом R в центр сферичес-
сферической системы координат, а за направление распространения падаю-
падающей плоской волны примем отрицатель-
отрицательную ось х (рис. 44), чтобы ее аргумент
ikx был положительным. В точке на-
наблюдения А х = г cos 0. Следова-
Следовательно, потенциал падающей плоской
волны с частотой со будет иметь вид:
Ц> (Г, 0 , t) = фтах ехр Ц (vbt -f kx)] =
= Фтах ехр (ioit) exp (ikr cos0).
Опуская несущественный комплексный
множитель ехр (ш/), этот потенциал мож- кис. 44.
но представить разложением ехр (ikrcos 0)
в ряд по сферическим функциям [61]: ф = 2ш = о(~~*)Я1 &т + *) X
X Рт (cos 9) Jm (kr), где Рт (cos 0) — полином Лежандра; Jт —
функция Бесселя m-го порядка.
Рассеянную волну также можно записать в форме суперпозиции
сферических волн, исходящих из начала координат, представив
потенциал рассеянной волны г)) (г, 0, /) в виде разложения в ряд
по сферическим функциям [61]:
m = 0
amPm(cosQ)fm(ikr)eTe'<*,
(VII.46)
где
= 1 i
(m
1 2-4
1-2-3.....2m
•" ' 2-4 -6.... -2m (ikr)m' (VI 1.47)
Поскольку рассеянное поле является результатом излучения вто-
вторичных волн частицей, совершающей вынужденные колебания под
действием падающей волны, то частота рассеянных волн остается
той же. Неизвестные коэффициенты ат в разложении (VII.46) на-
находятся из граничных условий, зависящих от физических свойств
рассеивающей частицы. При этом, поскольку рассеянное поле
обычно наблюдается на расстояниях г, значительно превышающих
длину волны, т. е. при kr ^> I, то функцию /„, (ikr), как видно из
выражения (VII. 47), можно положить равной единице.
Наиболее простым для расчета является случай абсолютно
жесткой неподвижной сферической частицы. Такая модель подходит
для взвесей твердых частиц в газах и жидкостях при малых смеще-
смещениях в ультразвуковой волне (источником звука в эюьл случае
11*
163
является обтекающая среда, в которой предполагается отсутствие
вихревых движений). Граничным условием для данной модели
будет равенство нулю радиальных составляющих колебательных
скоростей в падающей и рассеянной волнах, т. е.
д<р дг|: _ п
дг ' дг r = R
где R — радиус рассеивающей сферы. Использование этого условия
дает для каждого коэффициента
где Fm (ikR) == 1 • 3 • 5 •... • Bт - 1) (т + 1) (ikR)~m x
Выражая комплексную функцию Fm (ikR) в виде Fm ~ a -f-
-f ф = (а2 + Р2)/(а — ф) = ^(а2+ Р2)/ехр (iY), где у= arctg (—р/а),
и подставляя выражение (VI 1.48) в (VI 1.46), получим следующее
выражение для потенциала рассеянной волны при кг ;> 1:
-•л х
Г . - . .
т = 0
d sin kR p
(Щ ~~kR~
Отсюда нетрудно получить выражения для первых сферических
гармоник (т = 0,1, 2, ...), имея в виду, что [61] Ро (cos 8) = О,
Рк (cose) = cosQ, P2 (cose) = 3(cos26— 1/3)/2 Для первых
трех гармоник это дает
(VII.49a)
X sin (ю/-/гг+ /?/?+Yl); (VII.496)
__45^/та2_ _9_ , _81_\V,
1\
7 x
. x cos(oj/-/?r4-/?i? + Y2). (VII.49b)
164
До этой стадии задача о рассеянии плоских волн для данной
модели решается вполне строго в общем виде, если не считать пред-
предположения kr^>\. Возможность и характер дальнейшего решения
зависят от соотношения между длиной волны и радиусом частицы,
т. е. от величины параметра kR. Рэлею принадлежит окончательное
решение для случая малого параметра: kR <^ 1.
При условии kR <^ 1 выражения (VI 1.49) можно разложить в
ряды по восходящим степеням kR, что дает
|^2 +
х cos (ю/ — kr + kR + Yo);
10 —28 '27
X cos (go/ — kr + kR -f Yi);
u, =-WL(\-^k*R*4-^kW4- Ax
'2 9r \ 126 567 '''/
X (cos2 0 - 4-1 cos (to/ - /гг + /г# + y2) ;
Из этих выражений видно, что нулевая и первая сферические
гармоники имеют одинаковый порядок относительно малого пара-
параметра kR, в то время как величина ijJ на два порядка выше. Следо-
Следовательно, при условии kR <^ 1 ряд для потенциала рассеянных
волн можно ограничить суммой первых двух сферических гармоник.
Их сложение должно производиться с учетом фазовых множителей.
Однако, согласно формулам (VI 1.49а) и (VI 1.496), при kR <^ 1
у0 ~ 0, a Yi — я/2, так что фазовые множители в \J)O и ij), прибли-
приблизительно совпадают, и в результате для потенциала рассеянных
волн'ф си \р0 -\- г|)х получается простое приближенное выражение:
г|) @, г, t) ~г — [/г2#3/(ЗгI [1 Н- C/2) cos 0] cos (со* — /гг).
Для интенсивности же рассеянных волн, пропорциональной квад-
квадрату амплитуды, имеем:
(VI 1.50а)
или /pac = /o^(l+|cos0J, (VII.506)
где с — скорость звука в среде.
Таким образом, интенсивность рассеянных волн оказывается
пропорциональной четвертой степени частоты падающей волны,
т. е. обратно пропорциональной четвертой степени длины волны Л
(закон Рэлея); она пропорциональна также шестой степени размера
рассеивающей частицы, т. е. квадрату ее объема. Напомним, однако,
что речь идет о таких длинах волн и размерах частиц, при которых
выполняется условие kR<^ 1. Эта область применимости формул
(VII.50) и называется областью рэлеевского рассеяния.
165
Согласно формулам (VI 1.50), величина (/рас//0) Iя может служить
не зависящей от расстояния мерой углового распределения рас-
рассеиваемой энергии (разумеется, для расстояний г, удовлетворяю-
удовлетворяющих исходному \словию кг ;> 1). Соответствующая кривая (угло-
(угловая диаграмма) называется индикатрисой рассеяния. Индикатриса
рэлеевского рассеяния изображена на рис. 45. Характерным для
нее является преобладание обратного рассеяния, т. е. рассеяния
навстречу падающей волне. В соот-
эо" ветствин с формулами (VI 1.50), в па-
правлениях, для которых cos 6 —
= —2/3 F с* 132° и 0 ~ 228°), ин-
интенсивность рассеяния равна нулю.
Отношение ннтенспвностей рассеяния
при 9 = 0° и 8 = 180°, согласно фор-
—о° мулам Рэлея (VII.50), составляет
E/2 : 1/2) = 25, т. е. обратное рассея-
рассеяние в 25 раз больше рассеяния в на-
направлении падающей волны. Легко
подсчитать, что на обратное направ-
направление в пределах углов от 0 до 90°
приходится около 9О°о всей рассеи-
рассеиваемой энергии.
В качестве интегральной меры
рассеяния часто используется харак-
характеристика, называемая эффективным сечением рассеяния. Под
сечением рассеяния аэф понимается отношение полной рассеи-
рассеиваемой мощности Dpac к интенсивности падающей ультразвуковой
волны /в:
Рис. 45.
имеющее размерность площади. В случае геометрического рассея-
рассеяния на сфере эффективное сечение рассеяния, очевидно, равно уд-
удвоенной площади диаметрального сечения сферы:
Для рэлеевского рассеяния полную рассеиваемую мощность найдем,
интегрируя выражение (VI 1.50а) по телесным углам:
л _
'-'рас
/pac2jir2sin8d8
Поделив это выражение на интенсивность падающей волны /0,
получим:
оэф = G/9) nR2 {kR)\ (VI1.53)
Следовательно, при kR ^ 1 эффективное сечение рассеяния состав-
составляет лишь малую долю площади сечения сферы iiR2. Таким образом,
величина оъ{) характеризует эффективность рассеяния данным
препятствием.
Задача о рассеянии плоских волн сжимаемой сферической
частицей таюче впервые была решена Рэлеем в приближении
kR <[ 1. В этом случае рассеянное поле будет определяться излу-
излучением частицы, совершающей вынужденные осцилляционные и
пульсашюнные колебания. Схема решения остается прежней, т. е.
рассеянная волна представляется в виде ряда (VII.46)по сферичес-
сферическим функциям, но граничные условия, из которых определяются
неизвестные коэффициенты в этом ряду, будут иметь следующий
вид:
дф , д1
Ъ7 + а
Здесь по-прежнему ср и г)) — потенциалы падающей и рассеянной
волн соответственно; ц>х — потенциал волны, распространяющейся
в частице; рх — плотность частицы; р — плотность окружающей
среды. Первое граничное условие означает равенство нормальных
составляющих скоростей смещений по обе стороны от граничной
поссрхности, второе — равенство давлений.
В случае kr^-l (большие расстояния до точки наблюдения)
для интенсивности рассеянных волн также получается простое
выражение
где Ki и /B — модули упругости частицы и окружающей ее среды.
При Кх -> оо и рх j> p это выражение переходит в формулу рассея-
рассеяния на несжимаемой неподвижной сфере (VII.506). Модель сжи-
сжимаемой сферической частицы ближе подходит для эмульсий, взве-
взвесей капель жидкости в атмосфере, а также для газовых пузырькоа
в жидкости. Из выражения (VII.54), однако, следует, что и в слу-
случае сжимаемой сферы при kR << 1 сохраняются все основные законо-
закономерности рэлеевского рассеяния, полученные для жесткой частицы:
зависимость от частоты в четвертой степени и от радиуса частицы
в шестой степени. Различие состоит лишь в деталях индикатрисы:
в частности, угол 0, при котором интенсивность рассеяния равна
нулю, зависит от соотношения между плотностью и сжимаемостью
частицы и окружающей ее среды.
Случай кк^Х, соответствующий рассеянию Ми, сопряжен
с весьма трудоемкими расчетами (приходится складывать боль-
большое количество сферических гармоник) и приводит к громоздким
результатам. Наиболее простое выражение получается для интен-
интенсивности рассеянных волн на несжимаемой сфере при kR ^> 1
<и kr > 1) [2J:
где Jj — функция Бесселя первого порядка. Хотя это выражение
относится к случаю kR ^> I, оно содержит основные особенности,
характерные для рассеяния Ми. В отличие от рэлеевского рассея-
167
ния частотная зависимость представлена здесь сложным образом
через функцию Бесселя во втором слагаемом; зависимость от раз-
размеров частиц также имеет другой характер. Индикатрисы рас-
рассеяния Ми имеют различный вид для разных значений параметра
рассеяния kR. На рис. 46 приведены три индикатрисы рассеяния
на жесткой сфере, рассчитанные для разных параметров kR. При "ма-
"малых kR индикатриса близка к картине рэлеевского рассеяния.
С увеличением kR индикатриса начинает вытягиваться в направ-
направлении падающей волны и на ней появляется ряд особенностей.
При значениях kR >20-f-30 вид индикатрисы в основном стабили-
стабилизируется за исключением „дифракционного носа'г, где рассеянное
поле, складываясь с падающей вол-
волной, формирует область тени.
Анализ рассеяния на сжимаемой
сфере при kR ;> 1 показывает, что и
в этом случае сохраняются основные
закономерности рассеяния Ми, koto-
koto180'-
18 О1
О KR-1
О KR=W
1 h
Рис. 46.
рые были рассмотрены ранее, только вид диаграмм при фиксиро-
фиксированных значениях kR зависит еще от соотношения плотностей
и сжимаемостей рассеивающей частицы и среды.
Наиболее же существенным из того, что отличает случай сжимае-
сжимаемых частиц от несжимаемых, является возможность резонансного
возбуждения различных собственных колебаний упругих рассеива-
телей. В этом случае в частотной зависимости рассеяния могуг
наблюдаться резонансные пики, соответствующие возбуждению
тех или иных мод собственных колебаний рассеивающих частиц.
В качестве примера на рис. 47 [62] приведены рассчитанные кривые
зависимости приведенной рассеянной мощности Dpac от параметра
kR для жесткой сферы (/) и для сжимаемой сферической частицы,
в которой скорость звука сх и плотность pt в два раза меньше ско-
скорости с и плотности р в окружающей среде B). Разумеется, такие
пики рассеяния для частицы с заданными физическими свойствами
168
появляются в определенной („критической") области частот (зна-
(значений kR), соответствующих ее собственным резонансным колеба-
колебаниям. По положению пиков рассеяния, в свою очередь, можно опре-
определить резонансные частоты и характер этих колебаний. • ¦ ¦
Усиление рассеяния при резонансе объясняется тем, что, как
уже говорилось, рассеянное поле образуется излучением ультра-
ультразвука частицами, совершающими вынужденные колебания в поле
первичной волны; амплитуда же вынужденных колебаний в резо-
резонансе резко возрастает: в число раз, равное величине добротности
колебательной системы (см. гл. VIII), соответственно возрастает
и интенсивность рассеяния. Для пульсационных колебаний воздуш-
воздушного пузырька в воде, например, это приводит к увеличению эффек-
эффективного сечения рассеяния примерно на 12 порядков. Отсюда и
сильное рассеяние ультразвука при возникновении в жидкости
кавитации, когда, как мы видели, всегда находятся или образуются
пузырьки резонансных размеров. Резонансное рассеяние успешно
используется в гидроакустической эхо-локации рыбных косяков:
роль резонансных пузырьков в этом случае играют плавательные
пузыри рыб. Резкое увеличение рассеяния при резонансе (в том
числе и обратное рассеяние, которое регистирируется эхо-лока-
эхо-локатором) позволяет уверенно определять и размеры рыб, и мощность
косяка.
Затухание ультразвуковых волн вследствие рассеяния. Поскольку
рассеянная энергия исключается из энергии первичной ультразву-
ультразвуковой волны, то вследствие рассеяния на скоплении частиц и других
неоднородностях среды происходит дополнительное затухание (по-
(помимо поглощения и других причин) ультразвуковых волн в процессе
их распространения в такой среде. Мерой этого затухания, вноси-
вносимого одной частицей, может служить эффективное сечение («попе-
(«поперечник») рассеяния оэф, которое, согласно его определению (VII.51),
как раз и выражает ту долю ультразвуковой мощности, которая
теряегся вследствие рассеяния из удельной мощности (т. е. интен-
интенсивности) падающей ультразвуковой волны. В случае скопления
частиц при отсутствии акустического взаимодействия между ними
общее рассеяние будет равно суммарному эффекту рассеяния от
одной частицы. Если речь идет о микронеоднородных средах с тесно-
расположенными препятствиями, малыми по сравнению с длиной
ультразвуковой волны, то такую совокупность неоднородностей
можно представить в виде регулярного (равномерного) расположе-
расположения, на которое накладываются флуктуации их концентрации.
Равномерное расположение неоднородностей эквивалентно трех-
трехмерной дифракционной решетке и к диффузному рассеянию оно
приводить не будет. В оптике аналогичная ситуация имеет место
при распространении света в правильном кристалле: световые
волны, рассеиваемые каждой молекулой, гасят друг друга во всех
направлениях, кроме направления распространения первичной
волны. Значит, некогерентное рассеяние будет происходить на
флуктуациях концентрации, и если эти флуктуации независимы
169-
в разных объемах, то рассеиваемые ими мощности также просто
складываются.
В любом случае в пренебрежении вторичным рассеянием неод-
неоднородную среду можно характеризовать удельным сечением рас-
рассеяния, определяемым как произведение эффективного поперечника
рассеяния каждого рассеивателя на количество независимых рас-
сеивателей в единице объема л0. Тогда, согласно определению
о9A, первичная плоская бегущая ультразвуковая волна с интен-
интенсивностью / потеряет в виде рассеянных волн на единице длины
пробега мощность поаэ$1, т. е. dl/dx — —n0o^J, откуда, интег-
интегрируя, находим: / = /оехр (—п0о^х) — /оехр ((%?„<.*).
Таким образом, рассеяние, как и поглощение, приводит к экспо-
экспоненциальному затуханию плоских ультразвуковых воли с коэф-
коэффициентом рассеяния (по энергии) а'рас — «оаэф, определяемым
эффективным сечением рассеяния аэф. Учитывая его общее опреде-
определение (VII.51), можно записать: a'pac = (no/Io) § /pacdS. Так, велу-
чае рэлеевского рассеяния, согласно (VI 1.53), получим
а'рас = G/9) nQnkxR« = 7я3п0УЧ'^/с4,
т. «. коэффициент затухания вследствие рэлеевского рассеяния
пропорционален четвертой степени частоты и квадрату объема
рассеивающей частицы Vo. В случае геометрического рассеяния,
согласно (VII.52), a'p&c = 2nR2n0, apac= nR2n0, т. е. коэффициент
рассеяния не зависит от частоты. Во всех случаях он пропорциона-
пропорционален концентрации рассеивающих центров п0. Последнее обстоятель-
обстоятельство является следствием пренебрежения взаимодействием частиц.
Более строгая теория должна учитывать вторичное рассеяние,
а также такие факторы, как поглощение ультразвука в мате-
материале частицы и силы трения на ее поверхности.
Глава VIII
ПРОХОЖДЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН ЧЕРЕЗ СЛОИ.
ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ.
ИЗЛУЧЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН
§ 1. Прохождение плоских ультразвуковых волн
через плоскопараллельный слой
Рассмотрим прохождение плоских ультразвуковых волн через
слой с плоскопараллельными границами. Обозначим волновое
сопротивление слоя через z = рс, а волновое сопротивление среды
вне слоя по обе его стороны — через ?, = р^. Проведем ось х
перпендикулярно границам слоя, которым припишем координаты
х = 0 и х = d (d — толщина слоя), и учтем сразу общий случай
наклонного падения ультразвуковых волн под произвольным углом
8г к оси х (рис. 48). На каждой границе раздела будут возникать
отраженные и преломленные волны, причем в силу симметрии кар-
картины, прошедшая через слой волна выйдет из него под углом падения
8v Для потенциалов этих волн по прямой аналогии с уравнениями
(VII.29) — (VII.31) имеем для падающей волны:
ф] = (Pimax exp {i [tot — kx (x cos 6, + у sin Gt)]};
для волны, отраженной от плоскости х — 0:
Ф1 = ф| max exp {i [(ut-\-kx (xcosQl—y sin Gx)]|;
для волны, прошедшей через первую границу:
Ф2 = ф.,тахехр \i [(?>t — k(xcos б -f-у sin 6)]};
для волны, отраженной от второй границы (по аналогии с волной,
отраженной от первой границы):
Ф-2 = ф-2тахехр \i [tot + k (x cos б — г/sin 6)]};
для прошедшей волны:
Ъ = Фзтах exp \i [tot — kx (x cos 6j -f у sin Gx)]l.
Таким образом, мы имеем четыре неизвестные величины: ср{, ф^,
ф.2, ф3, которые связываются четырьмя уравнениями, вытекающими
из граничных условий непрерывности давлений и нормальных состав-
m
ляющих скоростей на обеих границах раздела. Для потенциалов
это дает при х = 0:
(VIII.1)
iv (<Pi — Ф1) = kx (ф2 — фа)
где klx = kx cosa, kx = k cos6. Условие (VIII. 1) справедливо только
для х = 0, так что фх = фх ;*_0 = фх @) = фх max exp [t (cot —
Рис. 48.
] и т. д. При х — rf потенциалы будут отличаться от
прежних множителями exp (dzikxd) и ехр (—ikxxd)'.
р[ (Ф8 @) в
kx [Ф2 @) е
+ Ф-2 @)
- щ @)
= р1фа @) е~
= ^1лфз @) е
(VIII.2)
Исключив теперь из уравнений (VIII. 1) и (VIII.2) промежуточ-
промежуточные волны ф2 и ф.^, получим для коэффициента отражения по давле-
давлению
= <Pl =
Ф1
где
= ^ cos б •
cos
4ctg2 (d • kx)
p) = zx cos e/(z cos 6X).
(VIII 3>
Помимо тривиального случая d = 0 или pj = p и ^ = с (от-
(отсутствие слоя) коэффициент отражения обращается в нуль при
ZiCosa =zcos6i, что соответствует условию (VII.41) для проз-
прозрачности границы раздела двух сред при наклонном падении.
Кроме того, как видно из выражения (VIII.3), коэффициент отра-
172
жения от слоя становится равным нулю, если ctg (d*kx) = 00, т. е.
d-kx = nn, где /7 = 0, 1, 2 Поскольку d kx = d ¦ k cos6 =
= Bnd/A) cos6, то условие прозрачности слоя (рр = 0) принимает
следующий вид:
d = (nA/2)/cos В, я=0, 1,2,3 (VIII.4)
т. е. слой при любом волновом сопротивлении становится акусти-
акустически прозрачным, когда проекция толщины слоя на преломленный
в нем луч равняется целому числу полуволн, относящихся к ма-
материалу слоя, т. е. определяемых скоростью звука в нем с — Av.
Условие (VII 1.4) может выполняться тогда, когда скорость звука
в слое больше, чем в окружающей среде (Л ^Л^, например в случае
плоскопараллельной пластинки из твердого материала в жидкости
или в газе. Поворачивая такую пластинку относительно фронта
падающей ультразвуковой волны, всегда можно достичь ее акусти-
акустической прозрачности. Такой прием, например, использовался в ра-
работе [63] для фильтрации гармоник волны конечной амплитуды.
Следует, однако, иметь в виду, что при наклонном падении волны
на пластину из твердого материала в ней кроме продольных волн
возникают еще и сдвиговые, которые, трансформируясь на второй
границе, также будут излучать продольные волны в жидкость (см.
далее), так что картина прохождения ультразвука через твердую
пластинку оказывается довольно сложной.
В случае нормального падения волны 8i = б = 0, klx = ku
kx = k и формула для амплитудного коэффициента отражения
(VIII.3) принимает вид
fep/(/?p)feP/(feP) 5)
причем этот результат полностью подходит и для твердой пластинки,
поскольку трансформации волн при нормальном падении не проис-
происходит. Коэффициент отражения для интенсивности соответственно
равняется р/ = рр, а коэффициент пропускания dj — 1 — р/ =
= 1 — Pp. Согласно формуле (VIII.5) рр = р7 = 0, a d{ = 1 при
d-k = пп, т. е. при условии
• • d^nA/2, /i=l, 2, 3, ... , (VIII.6)
когда на толщине слоя (пластинки) укладывается целое число
полуволн (целое число стоячих волн). Нетрудно понять физический
смысл такого результата. В пластинке вследствие многократных
отражений устанавливается стоячая волна. Если г< zlt это со-
соответствует пучностям давления на ее гранях, если z ~>zx — пучно-
пучностям скоростей. В любом случае пластинка колеблется в резонансе
и становится сама источником плоских волн той же амплитуды
(ф? = Фи если, конечно, не учитывать затухания в материале
слоя), распространяющихся далее в положительном направлении
оси х.
173
' Таким образом, при выполнении условия (VIII.6) р/п, , = О
и d/тач = 1 при любом волновом сопротивлении слоя. Максима л ь-
ного же значения коэффициент отражения достигает при условии
ctg2(d-&) = 0, т. е.
d = B/г-}-1) Л/4,
когда на толщине слоя укладывается нечетное число четвертей оолн
(d — Л/4, ЗЛ/4, 5Л/4, и т. д.). Согласно формуле (VIII.5),
р/max —
(VIII.8)
где / ss гх/г. При этом коэффициент пропускания имеет минимальное
значение
При zx = z р/тах = 0 и d/min = 1, т. е. слой прозрачен при любых
отношениях d/A. Если же /-^0 или /-> оо, то p/max -> 1 и d/mm->-0.
г 1
02 - 0Я
-0,6
06
0.8
Л с
Рис. 49.
Иными словами, если волновые сопротивления слоя и среды огли-
чаются очень сильно, то при условии (VIII.7) слой будет полностью
отражать ультразвуковую волну.
Промежуточные значения р7 и d{ при заданных гг, z, d и А
могут быть рассчитаны с помощью формулы (VIII.5). Результаты
такого расчета приведены на рис. 49 для трех конкретных значений
параметра I: I — 0,094 (алюминиевая пластинка в воде), / = 0,454
(пластинка из плексигласа в воде) и / = 1 (слой с волновым сопро-
сопротивлением г, равным волновому сопротивлению среды zx). По оси
абсцисс отложены отношения d/A или vd/c, где v — частота ультра-
ультразвука; с — скорость звука в материале слоя. При изменении ча-
частоты v и фиксированной толщине d плоскопараллельная пластинка
174
будет давать пиковые величины коэффициента пропускания на
кратных резонансных частотах, удовлетворяющих условию \п —
— nc/Bd), эквивалентного условию (VIII.6). Острота пиков будет
тем сильнее, чем больше будут отличаться от единицы отноше-
отношения волновых сопротивлений /; при / — 1 пики сглаживаются
вообще.
Зависимость прозрачности слоя от его толщины при фиксирован-
фиксированной частоте ультразвука хорошо видна из рис. 50, иллюстрирующего
прохождение ультразвуковых пучков через клиновидные слои
с разными углами [12]. В тех
участках, где толщина клина удо-
удовлетворяет условию (VIII.6), на-
наблюдается максимальное пропу-
пропускание. Интересно, что проходя-
проходящие через клин узкие пучки
имеют очень хорошую направлен-
направленность, что, по-видимому, связано с
характером колебаний поверхно-
поверхности клина.
Как следует из формулы (VI11.5),
слой (пластинка) становится про-
прозрачным также при d «^ Л. Сле-
Следует, однако, иметь в виду, что
это верно при соблюдении гра-
граничных условий (VIII. 1), (VIII.2),
предполагающих непрерывность колебательной скорости на обеих
границах пластинки. В этом случае звукопрозрачность тонкой
пластинки обусловлена тем, что обе ее грани колеблются почти
в одинаковой фазе (d €^Л), излучая ультразвуков}, ю волну в положи-
положительном направлении оси х, как и пластинка резонансной толщины.
Если же пластинка жестко закреплена в оправе, то для нее исполь-
использованные граничные условия не выполняются: например, идеально
жесткая, неподвижно закрепленная пластинка сколь угодно малой
толщины будет давать 100%-ное отражение. Однако и незажатая
тонкая пластинка может давать существенное отражение, если
скорость звука в ее материале и плотность последнего существенно
отличаются от соответствующих характеристик окружающей среды.
Действительно, пусть с/с1 *> 1 (стальная пластинка в воздухе),
тогда формула (VIII.5) принимает вид
Рис. 50.
[лр
Р/
откуда видно, что при малых d/A коэффициент отражения опреде-
определяется отношением плотностей (р/рг|, т. е. инерционными свой-
свойствами слоя, которые могут и в этом случае обеспечить почти пол-
полное отражение. С такими оговорками интерполяцию кривых иа рис.
49 можно доводить до нулевых значений.
175
, • ¦ § 2. «Просветляющие» (согласующие) слои
Для различных целей прикладной ультраакустики весьма
важна возможность «акустического согласования» двух сред с раз-
разными волновыми сопротивлениями, в том смысле, чтобы коэффи-
коэффициент отражения от границ этих сред был близок к н}лю при разных
частотах ультразвука. Проанализируем в этом плане промежуточ-
промежуточный слой толщиной d с волновым сопротивлением г, помещенный
между средами с волновыми сопротивлениями гх и г2- Иначе говоря,
рассмотрим прохождение плоских ультразвуковых волн через
две границы раздела трех сред с различными волновыми сопротив-
сопротивлениями, ограничиваясь сличаем нормального падения (бг = 0),
пригодным и для твердых тел. Схема решения задачи здесь пол-
полностью повторяется, поэтому мы приведем лишь окончательный
результат для коэффициента пропускания, который имеет следую-
следующий вид [64]:
j 4Z2/Zi /VTTT 1ГИ
U/~Ba/Zn-l)*-B$/22-l)BVz?-l)sin2ftd" I* 111. ш;
Если kd <^ 1, т. е. d «^ Л, а также при kd = ял, когда sin kd — 0,
эта формула принимает вид d{ ca Dzjz1)/(z2/zl -f IJ = AzxzJ(zx -f-
¦^ z2J, что совпадает с выражением (VII. 15), полученным для слу-
случая прохождения плоских волн через границу раздела двух сред,
так что коэффициент пропускания в этих условиях не зависит
от свойств промежуточного слоя, и этот слой ничего не дает. Если
sin kd — 1, т. е. d = Bп + 1) Л/4, то из формулы (VIII. 10) следует
d[ = 4z1z2/[z2 (I + Z]Z2/z2J]. Отсюда видно, что при значении
г = Уггг2 (VIII. 11)
коэффициент пропускания становится равным единице.
Аналогичный принцип применяется в оптике для расчета и созда-
создания просветляющих слоев. В ультраакустике использование про-
промежуточного четвертьволнового слоя из материала, удовлетво-
удовлетворяющего условию (VIII. 11), позволяет существенно улучшить пе-
переход ультразвуковой энергии из одной среды в другую, в частности
значительно увеличить эффективность излучения ультразвука твер-
твердым преобразователем в жидкость. Лучшие практические резуль-
результаты дают комбинации четвертьволновых слоев [65, 66].
К сожалению, такого рода слои являются частотно-настроенны-
частотно-настроенными, а для создания широкополосных согласующих слоев, которые
давали бы коэффициент пропускания, близкий к единице в более
или менее широкой полосе частот, нужно искать другие п^ти.
Одним из таких путей может быть создание и использование пере-
переходных слоев с градиентом акустических свойств по толщине.
Теоретически задача об отыскании соответствующих условий сво-
сводится к выяснению вопросов, как и какие акустические характери-
характеристики должны изменяться вдоль толщины слоя, чтобы коэффициент
отражения от него равнялся нулю в заданном диапазоне частот.
176
На основании результатов, полученных в предыдущих параграфах,
можно было бы представить себе, что коэффициент отражения от
слоя с градиентом волнового сопротивления, которое монотонно
изменяется по толщине, а на границах слоя совпадает с волновыми
сопротивлениями прилегающих сред, должен равняться нулю.
Однако эти результаты вытекают из волнового уравнения (II 1.4),
которое получено для сред с постоянными акустическими характе-
характеристиками, а для неоднородного слоя прежняя схема уже не го-
годится, В данном случае необходимо использовать уравнение для
распространения акустических волн в неоднородной среде и решить
его при соответствующих граничных условиях. Задача эта непро-
непростая, но она имеет важное практическое значение в современной
ультраакустике, и ей поэтому стоит уделить некоторое внимание.
Чтобы получить искомое уравнение для непрерывно-неоднород-
непрерывно-неоднородной среды, используем уравнение неразрывности в общем виде
A1.10): dpldt -г pdiv v = 0. Для полной производной dpldt можно
записать:
fl_pp_p__^_
dt ~ dp~dt ~~ ~d* ~di ~ 'd* \di
приведя, таким образом, уравнение неразрывности к виду
др/dt + v grad p -\-рс2 div v =0. (VIII. 12)
Положим, как и прежде, р = р0 + Др, причем равновесную плот-
плотность р0 б>дем считать функцией координат. Произведя теперь
линеаризацию уравнения (VIII. 12), т. е. пренебрегая величинами
второго порядка малости, получим:
ap/a/-f-pocf,divv=O. (VIII. 13)
Уравнение движения можно прямо использовать в линеаризован-
линеаризованной форме (II.5), т. е.
— grad р = р0 dv/dt, (VIII.14)
поскольку ни звуковое давление р, ни колебательная скорость v
от неоднородности среды не зависят. Исключая из уравнений
(VIII. 13) и (VIII. 14) скорость v и опуская опять нулевые индексы,
имеем div (gradp/p) — \/(pc2)-d2p/dt2 — 0. Для монохроматической
волны d/dt =—ш, так что div [A/p) grad p] -\- k2pl p — 0 или
Лр+ &2р - (Wp) grad p-grad р = 0, (VIII. 15)
где Тг = со/с — волновое число. Уравнение (VIII. 15) можно преобра-
преобразовать в уравнение типа волнового. Для этого введем новую функ-
функцию Ч* по определению: W = р \р. Тогда после несложных пре-
преобразований, ограничиваясь одномерной задачей, на основании
(VIII. 15) получим уравнение, совпадающее по форме с волновым
уравнением (III.4):
? (x)=0, (VIII. 16)
12 В А. Шути лов 177
Здесь все акустические величины: плотность р, волновое число k,
скорость звука с, т. е. и модуль ^ пру гости рс2, и волновое сопротив-
сопротивление среды рс — предполагаю!ся функциями координаты х.
Если они постоянны, то k'2(x) — к2 = const и уравнение (VHI.16)
переходит в обычное волновое уравнение (III.4).
В общем виде уравнение (VIII. 16) решить трудно. Однако из-
известно несколько его решений для наиболее простых видов зависи-
зависимости /г'2 (х) [64]. В частности, задача об отражении от неоднород-
неоднородного слоя была решена еще Рэлеем [1] для случая, когда скорость
звука монотонно меняется по толщине слоя от значения сх, равного
скорости звука в одной прилегающей к слою среде, до значения с2,
совпадающего со скоростью во второй прилегающей среде. Если
слой имеет толщину d и координаты его границ есть хх = —d/2 и
х2 = J-d/2, то для функции к'2 (х) это соответствует условиям:
к'2 (х)
kx = <д/сх = const при х «с — d/2,
k'(i2(x) при — d/2 < x < d/2,
k% = (o/c2 = const при x^d/2,
где kx и k% — волновые числа для однородных сред. Введем относи-
относительный коэффнцент преломления по определению*: п& (х) —
— k'u {x)!kx. Тогда для первой границы пя (—d/2) = пх = 1, для
второй границы пл (d/2) = пг = kjkx = cx/c2, а внутри слоя вели-
величина nd (х) будет меняться по закону: пя (х) = М [М -f (xld-\- 1/2) I,
где М = п% A — п^~х. Следовательно, функция к{? (х) для слоя
будет иметь следующий вид: /г(',2 (х) = п\ (х) k\ = k\M2[M -\- (x/d -f-
+ 1/2)]~2. Данная задача решалась Рзлеем для сред с постоянным
модулем упругости, для которых рс2 = const, т. е. с**- (рс)'1.
Если под пя понимать не отношение скоростей, а отношение удельных
волновых сопротивлений, то результаты, полученные Рэлеем, об-
обобщаются на случай любых сред [64]. Энергетический коэффициент
отражения при этом оказывается равным [1]
при|М.А!|>./,
где \i0 ?==V (/г, d-MJ —1/4. Поскольку параметр kxd-M пропорцио-
пропорционален толщине слоя d, то условие \kxd>M\ >> 1/2 может быть вы-
выполнено при любых кх и к%. Если при этом \kxd-M\ У> 1/2, то фор-
формула для коэффициента отражения принимает более простой вид:
sin2 (i kt d ¦ М 1 In n2)
Р/== 4(kl(l-M)* *
* В гкчетике, согласно условию (VII.37), коэффициент прелоуления па гра-
границе дв\х сред определяется отношением скоростей в этих средах, т.е. обрат-
ьым отношением волновых чи^ел.
178
Таким образом, и в случае неоднородного слоя мы опять полу-
получаем осцилляции коэффициента отражения с изменением толщины
слоя d или частоты звука со = k^: при |fc,d-A!| In пг = тя, где
т = О, 1,2,... , коэффициент отражения обращается в нуль, а в
промежуточных точках возрастает. Однако в отличие от однород-
однородного слоя присутствие того же параметра kxd ¦ At в знаменателе фор-
формулы (VIII. 18) приводит к затуханию амплитуды этих осцилляции
с увеличением толщины слоя d, благодаря чему коэффициент отра-
отражения от такого слоя всегда можно сделать меньше некоторой за-
заданной величины в определенном диапазоне частот.
Рассмотрим численный пример. Пусть плоская ультразвуковая
волна с частотой <о проходит из твердого тела через неоднородный
слой толщиной d в жидкость. Положим, что удельные волновые
сопротивления внешних по отношению к слою сред различаются
в два раза, т. е. п2 = 2, и скорость звука в твердой среде с\ — 5- 103м/с.
Тогда М = —2; In п2 = In 2 ~ 0,7;
sin* @,7щ)
sin2
(VIII. 19)
График функции (VIII. 19) при данном значении |ЛО и п2 = 2 приве-
приведен на рис. 51. Из этого графика видно, что ограничение по частоте
ультразвука <о = kxclt при заданном р/тах существует только со
Л
0.3
0,2
0.1
1/2
U
Рис. 51.
стороны низких частот (значений fcj). При (kxdJ ^> 1/4 можно по-
положить ц0 си 2kxd, что дает р/ с* Isin2 (l,5^1d)]/D^1dJ. Пусть ма-
максимальная величина коэф^зицнепта отражения в заданной полосе
частот не должна превышать, скажем, 1%, т. е. р; <с 0,01, что дает
dkx J> 25. При частоте ультразвука в 1 МГц это соответствует тол-
12*
179
2,0
1,5
О
10 20 50 40
Рис. 52.
50 60
0, мол %
щине слоя d >* 0,4 Л1} где Лх — длина падающей ультразвуковой
волны, т. е. при скорости звука сх — 5-Ю3 м/с d ;>2 мм, а при
большей толщине коэффициент отражения будет еще меньше. Сле-
Следовательно, такой слой на всех ча-
частотах выше 1 МГц будет практи-
практически «прозрачным».
Таким образом, в теоретическом
аспекте задача оказывается впол-
вполне разрешимой. Что же касается
ее практической реализации, то
одна из возможностей состоит в
создании специальных стекол с
переменной по толщине концен-
концентрацией примесей. Основой такой
возможности служит то, что для не-
некоторых стекол наблюдается силь-
сильная зависимость скорости звука
и удельных волновых сопротив-
сопротивлений от концентрации примесей
[67]. В качестве примера на рис.
52 приведены концентрационные
зависимости удельных волновых
сопротивлений для продольных ультразвуковых волн в стекло-
стеклообразном борном ангидриде и силикатных стеклах с примесью
окиси свинца [68]. Создав градиент концентрации подобных при-
примесей по толщине стеклянной пластинки, можно значительно по-
повысить ее звукопрозрачность в широком диапазоне частот. Другой
способ широкополосного просветления может быть основан на том
же принципе с использованием композиционных материалов с пере-
переменным по толщине средним волновым сопротивлением.
§ 3. Собственные акустические колебания пластин
Рассмотрим теперь условия распространения ультразвуковых
волн в однородных слоях с точки зрения возможных частот и струк-
структуры поля. Для этого необходимо решить волновое уравнение
(III.4) с соответствующими граничными условиями. Для большей
наглядности и удобства дальнейших рассуждений напишем волно-
волновое уравнение для гармонических смещений с вдоль оси х, перпенди-
перпендикулярной границам плоского слоя толщиной d. В этом случае
для амплитуд смещений имеем
(X) =0,
(VI11.20)
где k = со/с — волновое число; с — скорость звука в материале
слоя. Имея в виду наличие как прямых, так и обратных волн, реше-
решение уравнения (VIII.20) запишем в общем виде (см. § 1 гл. III);
lmw=*Abmkx + Bcoskx. (VIII.21)
180
Полным же решением задачи будет переменное во времени смещение,
которое получим домножая амплитуду смещения 1тая на временной
множитель sincot: ? (х, t) = (A sin кх + Bcoskx) sin tot. Коэффици-
Коэффициенты А и В в этих решениях находятся из граничных условий.
Рассмотрим сначала два предельных условия: свободные гра-
границы и жестко зажатая пластина, промежуточные же случаи учтем,
введя метод электроакустических аналогий.
Слой с неподвижными гранями. Такая модель соответств>ет,
например, слою газа между двумя параллельными твердыми стен-
стенками. Граничными условиями в этом случае будет отсутствие сме-
смещений на границах слоя, т. е. |тах = 0 при х = 0 и х ~ d. Первое
граничное условие дает A sin к • 0 + В sin к • 0 = 0, т. е. В = О, а из
второго получаем A sin kd — О, что означает: Ы — пп, п =0, 1,
2, 3, ..., откуда
kn^nn/d. (VIII.22)
С математической точки зрения условие (VIII.22) определяет набор
собственных значений задачи. Подставляя условие (VIII.22) в ре-
решение (VI 11.21), получаем набор собственных функций вида
Ел max = An sin knx = An sin (ппх/d), (VIII.23)
являющихся частными решениями уравнения (VIII.20) и описы-
описывающих собственные колебания слоя. Общее решение с учетом
временного множителя будет иметь следующий вид: ? (x,t) ~
= EmaxSin о)/ = ^]л Ап sin (ппх/d) s\n(unt. Это решение представ-
представляет собой суперпозицию стоячих волн, т. е. гармоник с крат-
кратными частотами
(о„ = knc = nnc/d. (VI11.24)
Значению п = 0 соответствует отсутствие колебаний. Частота
основного тона (первая гармоника)
(ui — nc/d или v1 = a>/2n = c/Bd), (VIII. 25)
а длина волны Лх = ch1 — 2d (толщина слоя равна половине длины
бегущей волны), т. е. образуется стоячая волна смещений с узлами
на границах и пучностью посередине.
Частота второго тона (первый обертон или вторая гармоника)
ю2 == 2nc/d; v2 = eld = 2V!; Л2 = c/v2 ~ d ~ Лх/2 и т. д.
В общем случае в слое может возбуждаться весь набор собствен-
собственных колебаний слоя (VIII.23), определяемых условием (VIII.22),
которое, естественно, совпадает с полученным ранее условием про-
прозрачности слоя для внешних плоских волн (VIII.6).
Слой со свободными гранями. Такая модель соответствует,
например, колебаниям твердой пластинки в газе. Граничным усло-
условием в эюм случае будет отсутствие напряжения на гранях, т. е.
дтах л ^Smax л
181
Задача в таком варианте по сути дела сводится к предыдущей.
Действительно, дифференцируя уравнение (VI 11.20) по к
(д'г/дх2) (д$тяк/дх) 4- k% (d?max/dx) = 0 и вводя новую переменную
у = д?тах/дх, имеем для нее прежние граничные условия и преж*
нее решение: у ~ дстах/дх = А'п sin knx или решение для |тах:
= Ап cos kn x,
(VIII.26)
которое отличзется от предыдущего только фазой, а набор волновых
чисел kn и собственных частот со„ и vn остается прежним, определя-
определяемым формулами (VIII.22) и (VIII.24) соответственно. Найдем по->
ложение узлов смещений в этом случае, полагая для них в выра-
выражении (VIII.26) ?„ так = 0. Для первой гармоники |tmaN —
= Аг cos (лк/d); это дает положение узла при х ~ d/2, т. е. посере-
Рис. 53.
дине слоя, го краям которого расположены пучности колебаний.
Для второй гармоники |2тах = Л3 cos Bnx/d) = 0, откуда для
координат узлов имеем: х1 = d/4; x2 = 3d/4. Для третьей гармоники
аналогично находим хх — d/б; х2 — 3cf/6; хн = 5d/6, и т. д. На рис. 53
показано распределение амплитуд смещений Ап для первых трех
гармоник собственных колебаний свободной пластинки (для закреп-
закрепленных граней вся картина смещается на d/2). Из рисунка видно,
что закрепление пластинки в плоскости х = d/2 не влияет на ее
собственные колебания на нечетных гармониках, так как для них
в этой плоскости расположен узел смещений. Следовательно, если
представить с^бе пластинку толщиной 6! = d/2 с одной закреплен-
закрепленной гранью, то она сможет колебаться с частотой
соо - пс,'d = nc/Bd') (VIII.27)
182
и на всех нечетных обертонах. Частота соо вдвое меньше основной
частоты, с которой могла бы колебаться пластинка толщиной d'
с обеими свободными гранями. Следовательно, при любой толщине d
формула (VIII.27) определяет частоту «субгармоники» о>о, с которой
эта лластинка может еще совершать собственные колебания при
закрепления одной ее грани. Остальные собственные частоты такой
пластинки будут относиться как последовательные нечетные числа.
Это соответствует условию, что на толщине пластинки «укладыва-
«укладывается» нечетное число четвертей бегущих волн.
§ 4. Метод электроакустических аналогий
Метод Э1ектроакустических аналогий основан на том, что ха-
характеристики акустической колебательной системы можно сопоста-
сопоставить с определенными «эквивалентными» параметрами электри-
электрической колебательной цепи и для решения задач \льтраакустпки
использовать затем известные уравнения и результаты электро-
электродинамики [69, 70]. Такой метод значительно упрощает, например,
анализ собственных и вынужденных акустических колебаний
слоя (пластины) при условии излучения им ультразвука в приле-
прилегающую среду с конечным волновым сопротивлением. Поскольку
же для излучения и приема ультразвука преимущественно исполь-
используются электроакустические преобразователи, в которых электри-
электрическая энергия непосредственно преобразуется в акустическую
п наоборот (например, на основе прямого и обратного пьезоэлектри-
пьезоэлектрического эффекта), то метод электроакустических аналогий вообще
широко и плодотворно используется в ультраакустике для расчета
таких преобразователей, и с ним поэтому стоит познакомиться.
С электроакустическими аналогиями мы уже встречались в гл. III
при интерпретации понятия волнового сопротивления среды.
Термин «.сопротивление» в самом общем физическом смысле озна-
означает отношение причины некоторого явления к следствию. В электро-
электродинамике причиной движения зарядов по проводнику является
разность потенциалов (напряжение), следствием — ток. Отношение
напряжения V к силе тока / есть сопротивление соответствующего
участка цепи R3 — VII. В акустике причиной колебательного дви-
движения частиц среды является переменное давление /?, следствием —
колебательная скорость v. Отношение между ними в плоской волне
называется удельным волновым сопротивлением среды z = рс,
а полное волновое сопротивление есть Z — pcS — Fp'v, где Fp—
сила давления, действующего на площади S. Таким образом, ана-
аналогом электрического напряжения в акустике является сила дав-
давления, а аналогом тока — колебательная скорость. Такое же от-
отношение в механике в виде отношения силы трения к скорости дви-
движения тела в вязкой среде определяет коэффициент трения, или
сопротивление движению г = Fxp/\v\. Заметим, что как электри-
электрическое сопротивление, так и волновое акустическое сопротивление
в общем случае могут быть комплексными. При этом в любом случае
183
вещественное (активное, «омическое») сопротивление R9 определяет
потерю мощности тока, переходящей в джоулево тепло: D9= Il$R9,
а активное волновое сопротивление среды (сопротивление излу-
излучению)— потерю акустической мощности, излучаемой в эту среду:
Dj — vl$pcS. Во всех случаях, как уже отмечалось в гл. III, актив-
активное сопротивление определяет ту мощность, которая необратимо
теряется источником.
Таким образом, уже эти обстоятельства позволяют усмотреть
аналогии между электрическими и акустическими системами и
продолжить их для колебательных систем. Более того, их можно
распространить на случай любой колебательной системы, включая
механическую, и говорить об электро-механико-ак>стнческих ана-
аналогиях. Мы будем употреблять выражения электроакустические
или электромеханические аналогии, имея в виду пока все три коле-
колебательные системы: акустическою, механическую и электрическую.
При этом под акустической системой будем понимать колеблющуюся
пластину (хотя в общем случае это может быть любая система,
характеризующаяся собственными колебаниями), под механиче-
механической — массу на пружине, под электрической — колебательный
контур. Последние две системы в идеале можно представлять как
системы с сосредоточенными постоянными, т. е. каждая характери-
характеристика системы сосредоточена в своем элементе, например жесткость
(упругость) — в пружине, масса — в материальной точке, емкость —
в конденсаторе, и т. д. Акустическая же колебательная система
является системой с распределенными постоянными: в ней нельзя
одному элементу приписать, скажем, массу, а другому — упругость,
все эти характеристики распределены по объему системы Однако
любая колебательная система характеризуется набором нормальных
колебаний. В системе из N материальных точек число нормальных
колебаний равно 3N, например в кристалле Л равно полному
числу атомов (узлов) решетки. Одной материальной точке соответ-
соответствует одно нормальное колебание. Это нормальное колебание мы
будем сопоставлять с одним из нормальных колебаний пластинки
на одной из ее собственных частот, скажем, на основной частоте.
Перейдем теперь к непосредственному рассмотрению анало-
аналогий между этими системами от простых случаев до более сложных.
§ 5. Колебательные системы без затухания
Рассмотрим механическую колебательную систему в виде ма-
материальной точки с массой т0, подвешенной на пружине с жест-
жесткостью К к неподвижной стенке, и сопоставим ее колебания с коле-
колебаниями свободной грани пластинки на ее основной частоте. Для
наглядности аналогии мы можем рассматривать четвертьволновую
пластинку толщиной &', прикрепленную одной гранью к той же не-
неподвижной стенке (рис. 54). Колебания свободной грани пластинки
будут происходить по синусоидальному во времени закону с неко-
некоторой амплитудой, которую мы обозначим буквой Л: ? (/) =
*= Л sin (*)ot, где (о0 — основная частота собственных колебаний
такой пластинки, определяемая формулой (VIII.27), т. е. <»0 =
= nc/Bd'). Здесь с — скорость звука в материале пластинки.
Колебания механической системы (рис. 54, а) определяются за-
законом Ньютона:
или
dt*-j-(К/т0)
(VIII.28)
m0d%/dt2 = —
Решение этого уравнения есть | (/) = Л sin a)ot, т. е. гармоническое
колебание с частотой
(VIII.29)
Таким образом, колебания
грани пластинки и механической
системы буд^т полностью иден-
идентичными, если массе т0 и жест-
жесткости К приписать определенные
эквивалентные значения. Массы,
естественно, просто приравнять,
выразив массу пластинки т' че-
через ее плотность р: т0 — т' =
— Sd' p. Тогда найдем эквива-
эквивалентную жесткость /С, прирав-
приравняв частоты (VIII.27) и (VIII.29):
К = m'jcWDd'2).
Нас в основном будут инте-
интересовать симметричные колеба-
колебания пластин, а этот случай пол-
полностью эквивалентен предыдуще-
предыдущему, только в нем нужно заменить
d' на d/2 и т' на т/2, где d и
т — толщина и масса симмет-
симметричной пластинки. Тогда часто-
частота остается той же самой, но мы
сохраним нулевой индекс для
обозначения любой частоты соб-
собственных колебаний. Итак,
оH = лс/й, (VIII.30)
а для эквивалентных массы и
жесткости будем иметь:
= mn2c2/Bd2)
или K =
1 ММЛМ '
L
Рис. 54.
где ё — рс2 — эффективный модуль упругости для ультразЕуко-
вых волн данного типа. Мы будем для определенности иметь в виду
продольные волны независимо от материала пластины.
Таким образом, колебания механической системы с массой и
жесткостью, определяемыми формулами (VIII.31) — (VIII.33), будут
полностью идентичны колебаниям акустической системы (рис. 54, б)
на основной ее частоте (VIII.30). Для гармоник же, оставляя экви-
эквивалентную массу неизменной, получим эквивалентную жесткость
К — n2Sx2?/Bd), т. е. эквивалентная жесткость для гармоничес-
гармонических частот возрастает пропорционально квадрату номера гармоники.
Рассмотрим теперь электрическую колебательную систему
(рис. 54, в) в виде контура с последовательно соединенными кон-
конденсатором с емкостью С и катушкой с коэффициентом самоиндукции
L. Закон Ома для такой цепи (сумма падений напряжения равна
нулю — внешняя э. д. с. отсутствует)
LdI/dt + q/C = O (VIII.34)
дает дифференциальное уравнение для заряда q (t): Ldrqldfi -f
-f qlC — 0 или для тока / = dq/dt: Ld^I/dt1 + 11С = 0. Решением
этих уравнений также являются синусоидальные функции времени
q — <7пык sinco0/, / — /max slnco0/, описывающие гармонические ко-
колебания с частотой
(o0 = (LC)-1«. (VI П.35)
Поскольку в силу изложенных соображений эквивалентом
тока является колебательная скорость v = dl/dt, то эквивалентом
смещения ? будет переменный заряд q. Колебания электрического
контура будут эквивалентны колебаниям механической или аку-
акустической системы, если приписать индуктивности и емкости под-
подходящие эквивалентные значения. В консервативной механической
колебательной системе с сосредоточенными постоянными масса
является «носителем» кинетической энергии, а пружина — «нако-
«накопителем» потенциальной энергии. Аналогичные функции в коле-
колебательном контуре выполняют соответственно индуктивность L и
емкость С. Поэтому, сравнивая формулы (VIII.29), (VIII.30) и
(VIII.35), для эквивалентных индуктивности и емкости находим:
L-*mo->pdS/2, (VIII.36)
т. е. емкость С эквивалентна «гибкости» k0 механической системы.
Итак, с помощью колебательного контура можно описывать ко-
колебания механической или акустической системы, если приписать
параметрам контура эквивалентные величины, определяемые фор-
формулами (VIII.36) и (VI 11.37).
§ 6. Собственные колебания электрической, механической
и акустической колебательных систем с затуханием
Рассмотрим теперь колебания реальных систем при наличии
потерь. Эквивалентные механическая, электрическая и акустиче-
акустическая системы для этого случая изображены на рис. 55. В качестве
элемента, в котором сосредоточена диссипация энергии в механиче-
186
ской системе (рис. 55, а), служит поршень в вязкой среде с механи-
механическим сопротивлением г. Сила трения
У,'///////////,
мни* с означает, что направление силы противоположно направле-
направлению скорости. В электрической цепи та-
такую же роль играет омическое сопротив- Л
ление R9. Падение напряжения на нем
по закот Ома равно UR — //?э =
= R3dq,dt.'
В акустической системе роль активно-
активного сопротивления играет сопротивление
излучению, которое при симметричных
колебаниях пластинки в окружающей сре-
среде с удельным волновым сопротивлением
2\ ~ РА определяется общей площадью
контакта с этой средой, т. е. удвоенной
площадью сечения пластинки: Z = p1c12S,
что соответствует симметричному двухсто-
двухстороннему излучению ультразвука в эту
среду. При одностороннем излучении (с
одной стороны вакуум) Z = Pi^S; при
излучении в разные среды с удельными
волновыми сопротивлениями
и г2 Z =
zrS -f- z2S и т. д. Будем пока рассмат-
рассматривать случай симметричных колебаний.
К сопротивлению излучения в акустиче-
акустической системе должно быть добавлено ее
«внутреннее трение» г0, определяемое по-
поглощением ультразвука в материале пла-
пластинки. Таким образом, в качестве ко-
коэффициента сопротивления в формуле
(VI 11.38) для акустической системы долж-
должна быть принята величина
—M/V
Ptct &
Рис. 55.
К уравнению (VIII.28) теперь добавится сила трения (VIII.38),
и ofo будет иметь вид
= 0 (VIII.40)
нли для скоростей v = d\ldt:
m°Iv
dt
= 0. (VIII.41)
В выражении закона Ома (VIII.34) добавится падение напряжения
на сопротивлении Rd, и мы получим для заряда
,^ + 1 = 0
(VIIL42)
187
или для тока:
Введем общую переменную х, которая может означать смеще-
смещение, скорость, заряд или ток (ускорение а = dv/dt и т. д.). Тогда
уравнения (VIII.40)—(VIII.43) можно представить в едином виде:
S* + 26°f + * = 0' (VIH.44)
где 60 = /-/Bm0) (VIIL45)
в случае механической или акустической системы и
6O = RJBL) (VIU.46)
в случае электрической системы, а величина со0 соответственно
определяется выражениями (VIII.29), (VIII.30) или (VII 1.35). Хо-
Хорошо известное решение однородного дифференциального урав-
уравнения (VI 11.44) х — хтахо ехр (—80t) sin со7, где со' = У@)о—^о)»
описывает затухающие колебания, амплитуда которых убывает во
времени по экспоненциальному закону:
Яшах = Яшах о ехр (—V) (VII 1.47)
с коэффициентом затухания 60. Такой процесс, строго говоря,
уже нельзя назвать гармоническим: он характеризуется спектром
частот, однако при малых б0 по отношению к нему можно сохранить
прежнюю терминологию, говоря о «затухающем гармоническом»
колебании с периодом 7" = 2л/со'.
Временной коэффициент затухания мы уже вводили (см. § 5
гл. III) в качестве одной из характеристик затухания волнового
процесса в безграничной среде по определению (III.43):
60==а0с, (VI П. 48)
где а0 — малоамплитудный коэффициент поглощения ультразвука
в среде; с — скорость звука в ней. Пользуясь определением (VIII.48),
мы можем связать «внутреннее трение» в материале пластинки
с прежними характеристиками затухания в ней ультразвука. Для
этого положим сопротивление излучению во внешнюю среду в фор-
формуле (VIII.39) равным нулю и сопоставим выражения (VIII.45)
и (VIII.48). Это даст
(VI 11.49)
где V — объем пластинки; рс — волновое сопротивление ее мате-
материала.
Обычно сопротивление излучению во внешнюю среду велико по
сравнению с внутренними потерями, т. е. 2р1с15 ^> г0. Тогда в фор-
формуле (VIII.39) можно положить (при двухстороннем излучении)
r = 2p1c1S, а для коэффициента затухания акустической системы
188
будем иметь:
60 = 2p,cl/(pd). (VIII.50)
В гл. III также вводилась и обратная характеристика — посто-
постоянная времени затухания т0 = 1/60, которая, согласно выраже-
выражению (VII 1.47), определяет промежуток времени t — т0, за который
амплитуда колебаний уменьшится в е раз.
Следующей характеристикой затухания колебательной системы
является логарифмический декремент Ф, определяемый как лога-
логарифм отношения амплитуд двух «соседних» колебаний, разделен-
разделенных промежутком времени Т': $ = In (xmaxl/xmax2) = bQT'. Сле-
Следовательно, логарифмический декремент затухания
со', (VIII. 51)
где «' =|/~(to§ — 6;i). Отсюда, кстати, видно, что колебательный
характер процесса сохраняется до значений 60<; соо (при б0 = со0
декремент Ф—>-оо и A'mdX —>-0), т.е. при условии соото > 1 или
т0 > Г0/Bл). В противном случае амплитуда колебаний затухает
за время, меньшее одного периода: система, выведенная из поло-
положения равновесия, стремится возвратиться к нему или проходит
через него только один раз.
Логарифмический декремент, связанный с собственным погло-
поглощением ультразвука в материале, был уже введен ранее (см. гл. III):
по определению Фо = а0Л, где Л — длина бегущей волны. Выра-
Выражение (VIII.49) для внутреннего трения г0 через декремент этого
собственного затухания будет иметь следующий вид: r0 = pcS$0/2.
В случае же двухстороннего излучения ультразвука пластинкой
Bp1c1S ^> г0) и обычного для более или менее длительного колеба-
колебательного процесса условия б0 <^ ш0, согласно выражениям (VIII.51)
и (VIII.50), получим Ф = 4л piCx/( pco0cf), или, учитывая (VIII.30):
О = 4р1с1/(рс). (VII 1.52)
Таким образом, декремент затухания «нагруженной» пластинки
целиком определяется отношением удельных волновых сопротив-
сопротивлений внешней среды и материала пластинки. Не будем, однако,
забывать, что наша упрощенная схема относится с самого начала
к такому случаю, когда на гранях пластинки располагается пуч-
пучность смещений и скоростей, а это, согласно анализу, приведен-
приведенному в § 2 гл. VII, относится к условию рс > р1с1, что соответствует,
например, колебаниям твердой пластинки в жидкой или газообраз-
газообразной среде. В противном случае эквивалентные параметры системы
будут другими, поскольку сама система будет иной.
Одной из наиболее важных характеристик колебательных си-
систем является их добротность. Существуют различные определения
добротности; опираясь на аналогии с электрическими цепями,
определим добротность Q как отношение реактивного сопротивле-
сопротивления колебательного контура к активному, т. е.
189
где со0 = {LC)~x!i — резонансная частота контура. Поскольку,
согласно условию (VIII.46), 60 = RJBL), то для любой колеба-
колебательной системы
т. е. добротность — величина, обратная декременту затухания.
Приближенное равенство означает, что мы полагаем, как обычно,
60 <^ оз0 и ш0 » со'. Так как б0 = 1/т0, то из формулы (VIII.53)
получаем еще Q = со0т0/2, т. е. добротность пропорциональна
постоянной времени затухания. Минимальное значение добротно-
добротности, соответствующее минимальному значению со0т0 = 1 (б0 = ш0)
есть Qmm — 1/2. Согласно выражению (VIII.53), добротность при-
приблизительно определяет число возможных свободных колебаний
системы до затухания их амплитуды в е раз. Чем меньше потери
энергии колебаний в системе, тем выше ее добротность. Например,
электрические контуры имеют добротность около 50 ¦*- 100; для
камертона характерна добротность около 3000, а добротность квар-
кварцевой пластинки, колеблющейся в вакууме (т. е. без внешней на-
нагрузки plc1S), достигает величины порядка 105 -f 10е, т. е. квар-
кварцевая пластинка может совершать столько свободных колебаний
до уменьшения их амплитуды примерно в три раза.
Свяжем добротность акустической системы с характеристиками
ее внутренних потерь, т. е. при отсутствии излучения ультразвука
во внешнюю среду (p^S) = 0. Согласно (VIII.53) и (VI 11.43),
Qa = со0/Bб0) = co0/Btt0c) = я/(а0Л).
Поскольку коэффициент поглощения ультразвука а0 обычно
возрастает с частотой как tog, то собственная акустическая доброт-
добротность пластинки, как правило, убывает с частотой, т. е. на гар-
гармониках она меньше, чем иа основной частоте. Заметим, что в ли-
литературе иногда в качестве характеристики затухания ультразвука
в материале пластинки используется величина, обратная доброт-
добротности: Qa1 — 2a,/7to0, называемая коэффициентом внутреннего тре-
трения. Этот термин расходится с нашим определением внутреннего
трения г0, выражаемого формулой (VII 1.49).
Если же потери на излучение преобладают над внутренними по-
потерями, т. е. когда p^S j> ro *» т0 Для акустической добротности
«нагруженной» пластинки, учитывая формулы (V.53) и (VIII.50)
или (VIII.52), получаем при двухстороннем излучении
Qa = 4^-reL^-??- = /. (VIII.54)
где I ^ zjz — обозначение, введенное к формуле (VIII.8) в § 1
этой главы.
Таким образом, добротность нагруженной акустической системы
определяется просто отношением удельных волновых сопротивле-
* Для пластинок из таких «добротных» материалов, как кварц, корунд и т. д.,
потери на излучение преобладают над внутренними уже при колебаниях в воз-
воздухе,
190
ний этой системы и внешней среды, куда происходит излучение-
ультразвука. Например, добротность кварцевой пластинки (рс =
= 1,5* 10вг/(см2-с))при колебаниях ее в воде (р^ — 1,5-10^/(см2-с))
составляет величину Qa ~ 10, а при колебаниях в воздухе (р^ =
= 4,5 г/(см2-с)) Qa~3-105. Относительно акустической доброт-
добротности реальных систем следует, однако, сделать два замечания.
Во-первых, реальная пластинка находится в какой-то оправе,
в «держателе», куда также происходит излучение, так что доброт-
добротность закрепленной пластинки может сильно упасть. Поэтому
в устройствах, в которых требуется поддержать высокую доброт-
добротность, пластинку закрепляют по узловой (средней) плоскости (как
это условно показано на рис. 55, в). Во-вторых, в формуле (VIII.54)
подразумевается идеальный акустический контакт между пластин-
пластинкой и внешней средой, который осуществляется, например, между
твердым телом и хорошо смачивающей его жидкостью. Практика
же показывает, что когда пластинка из твердого материала нахо-
находится в двухстороннем контакте даже с таким же материалом, то-
ее добротность все же составляет несколько единиц. Дело в том,
что этот контакт осуществляется через какие-то переходные слои,
а они повышают добротность. Поэтому получение низкой доброт-
добротности — другая техническая проблема ультраакустики, связанная-
с расширением полосы пропускания (см. далее).
§ 7. Вынужденные колебания. Резонанс
Пусть на механическую систему действует внешняя сила F*
изменяющаяся во времени по синусоидальному закону с частотой со:
F = Fmax sin tot. Тогда уравнение движения материальной точки,
на пружине будет иметь вид:
ГЦ* ~Л 4- г -} 4- /С| = /\nax sin tot
u dt2 at s
или -г
где б0 = r/Bm0), to\ = /C/m0, a F' = F/m0 — сила на единицу
массы. Такое же уравнение с эквивалентными параметрами г, К
и т0 можно написать и для акустической системы, выражая силу F
через механическое напряжение (давление) и площадь, на которой
оно действует: F — pS. Дифференцируя (VIII.55) по t, получаем
аналогичное уравнение для скоростей смещений v — d? dt. Но по-
поскольку производная от sin cot равна со cos cot, то величина F'mdX
в этом случае будет равна coFmax/mo. Что же касается начальной
фазы ^вынуждающей силы», то мы ее всегда можем полагать рав-
равной нулю, не делая различия между функциями sin cot и cos cot.
Роль силы в электрической цепи играет электродвижущая сила
(э. д. с.) Е (i) = Emax sin ad. Эквивалентная электрическая схема
для случая вынужденных колебаний изображена на рис. 56. Закон
191
Ома для нее дает уравнение
г d2q , D dq
ИЛИ
dq
q — ?max Sin (Of
fr = EmaxSin(O/,
(VIII.56)
где 60 = RJBL), co0 = (LC)~l/* и Е'тах = EmaJL. Аналогичным
будет угравнение для токов /, только со значениемЕ'тах = co?max/L.
Таким образом, уравнения (VI 11.55) и (VI 11.56) снова можно объе-
объединить в одно с произвольной переменной х:
I"Л
С1X |
= Fmax sin
(VIII.57)
Рис. 56.
имея, однако, в виду, что величина F'maK будет принимать разные
значения в зависимости от смысла переменной х: если х ~ q, то
Fmax ^ FmaK/L; если х~1, то F'max = (?>Fmax/L; если х = I, то
Fmax^FmaJm0, если # =и, то Fmax = <uFmaJtn0, если х ^ а (ускоре-
(ускорение), то Fmax = b>2Fmax/m0, и т. д.
Конечно, если, например, из урав-
уравнения для | найдена амплитуда сме-
смещений ?тах = Л, то амплитуда ско-
скорости будет равна t>ma4 — со.4, т. е.
результат будет тем же.
Решение неоднородного дифферен-
дифференциального уравнения (VIII.57) есть
сумма общего решения соответ-
соответствующего однородного уравнения
(^max sin to/ = 0) и частного реше-
ния неоднородного уравнения хх (t):
х (t) = хх (t) 4- Ло ехр (—60/)-sin со'/. Первое из них описывает
вынужденные колебания, второе — свободные колебания, опре-
определяемые только начальным воздействием, а затем — парамет-
параметрами системы. Свободные колебания рано или поздно (в зависи-
зависимости от величины б0) затухают.
Теперь проанализируем только вынужденные стационарные ко-
колебания, которые устанавливаются в системе через промежуток
времени / >т0 = б о1, когда собственные колебания исчезнут. Ре-
Решение для хх (t) будем искать в виде гармонической функции
Xl(/)=xmaxsin(co/ + p0), (VIII. 58)
а неизвестные величины хтак и pV т. е. амплитуду и начальную
фазу вынужденных колебаний, найдем путем подстановки формулы
(VIII.58) в уравнение (VIII.57), что даст
- СО2J,
(VI 11.59)
(VIII.60)
192
Таким образом, решение для вынужденных колебаний будет
выглядеть так:
F'maxsi
х (t)=
Из этого общего решения следует, что при совпадении частоты вы-
вынуждающей силы (со) с частотой собственных колебаний системы
((о0) амплитуда вынужденных колебаний достигнет максимального
значения (xmax)pe3 = ^max/Btf>080), что соответствует условию резо-
резонанса. Резонансная амплитуда зависит от коэффициента затуха-
затухания 80, и при 80 —>• 0 (хгпах)рез~> °°- Этого, конечно, быть не может,
так как если даже внутреннее трение (сопротивление) очень мало,
то при больших скоростях смещений (или токах) оно будет возра-
возрастать вследствие нелинейных эффектов. Что касается начальной
фазы вынужденных колебаний, то о ней имеет смысл говорить, срав-
сравнивая эти колебания с другими, например с колебаниями смещения.
При резонансе (со = со0) разность
фаз между вынуждающей силой
и смещением (или э. д. с. и ко-
колебаниями заряда на конденса-
конденсаторе) равна точно 90° незави-
независимо от величины 80, а при из-
изменении частоты со от нуля до
бесконечности разность фаз из-
изменяется на 180°. График зави-
зависимости р*0 от to приведен на
рис. 57 для идеализированного
(80 = 0) и для реального (80 Ф 0)
случаев. В случае 80 = 0, сог-
согласно формуле (VIII.60) при
со = (о0 происходит скачок фазы от нуля до я. В реальном случае
фаза изменяется в тех же пределах в более или менее широком
(в зависимости от 80) интервале частот, хотя основное изменение
происходит вблизи частоты резонанса. Разность фаз между вы-
вынуждающей силой и скоростью смещения (или э. д. с. и током)
в резонансе равна нулю, между силой и ускорением — опять л/2
и т. д., но в любом случае в достаточно широком диапазоне частот
она претерпевает изменение на я. Все это следует иметь в виду,
сравнивая фазы ультразвуковых колебаний с фазой электрического
напряжения, возбуждающего ультразвуковой преобразователь на
разных частотах вблизи частоты его резонанса. В других слу-
случаях начальная фаза вынужденных колебаний р*0 роли не играет
и ее можно полагать равной нулю.
Проанализируем теперь частотную зависимость амплитуды вы-
вынужденных колебаний при разных значениях переменной х.
1. Пусть x = q. Тогда F'max = Fmax/L и формула (VIII.59)
дает
13 В. А. [Путилов
193
При со -> оо qmax -> 0; при со -> 0 <7тах -> ЕтахС, что соответствует
статическом) заряду qLTjl на конденсаторе. При со = w0 (qm<tK)^A =
= ?щах/( <•><»#»). а ОТНОШеНИе (^тах)рез^стат = 1/(«(>/?9С) = Q»» Т- е-
равняется добротности контура.
2. П>сть х = ?. Тогда F'max = Fmax/m0. Результат для ампли-
амплитуды смещения А можно получить, заменив в формуле (VIII.61)
все величины эквивалентными:
Л = Fmax/{o) \Лгг + (/С/со- сот0J]}.
При со-> оо А -> 0; при со -> 0 Л -> Лстат = Fmax,K (закон Гука).
При со = со0 Лрез = Fmax/((dor) и отношение ЛрезМсгат = К1{щг) =
= QM, т. е. для двухсторонне нагруженной пластинки
ApJAn67 = Qa » рс/(р1с1).
Таким образом, амплитуду колебаний пластинки, излучающей
ультразвук в резонансных условиях, можно легко рассчитать, *ная
ее добротность и статическую деформацию, например вследствие
обратного пьезоэлектрического эффекта Акустическая же доброт-
добротность излучающей пластинки
определяется просто отношением
удельных волновых сопрогивле-
ний ее материала и внешней
среды. Общий вид частотных
зависимостей величин q и А
приведен на рис. 58 для разных
добротностей (при малых доб-
ротностях максимум хтак сме-
смещается несколько влево от ре-
резонансной частоты со0).
3. Пусть х~ I. Тогда FpmilK =
= Fmax(d/L и Imax= EmaJ]/{Ri +
-4- [ 1 /(соС) — coL]2 j. Выражение в знаменателе есть электрический им-
импеданс контура, определяющий силу тока в нем при заданной э. д. с.
В резонансе (со = со0) (/mdX)pe3 = Emax'R3 сила тока определлется
только омическим сопротивлением. При со -> 0 и со-^ оо /т„ -> 0.
4. Аналогично, если х = v (Fmax ^ Ртахы/т0), то
L'max = СО Л = F.nax/^r2 + (/С/СУ - СОШ0J . (VI II 62)
Величина Z4 = \ [г2 -^ (/С/to — com,,J], определяющая амппиг^ду
' рлебательной скорости при заданной амплитуде выпхждающей
силы, может быть названа механическим импедансом С помощью
эквивалентных параметров г, К и т0 ее можно привести к акусти-
акустическому импедансу пластинки (слоя) Zd, с которым мы имели дело
раньше На резонансной частоте пластинки
амплитуда колебательной скорости при г - 2р1с15 определяется
активным удельным волновым сопротивлением среды — результат,
194
который мы получали и раньше другим путем из анализа решений
волнового уравнения
Вдали от резонансной частоты (со-»- 0 и со-> оо) vmax -*- О, и
для колебательной скорости (как и для токов в электрическом кон-
т\ре) получаются графики частотной зависимости, качественный
вид которых изображен на рис. 59.
Из формулы (VIII.62) ясно, что увеличение активного сопротив-
сопротивления приводит не только к убыванию резонансной амплитуды,
но и к расширению резонансной кривой на графике. Пользуясь
выражением (VIII 62), можно, однако, найти и количественное со-
соотношение между параметрами этой кривой и характеристиками
Рис. 59.
затухания. Наиболее простое, но весьма важное и удобное для прак-
практического использования соотношение получается между доброт-
добротностью системы и шириной энергетической кривой частотной зави-
зависимости, т. е. резонансной кривой для квадрата амплитуды колеба-
колебательной скорости fmav Построим приведенную кривхю для отноше-
отношения f?nax/(l'2rnax)pe3 (рИС. 60). ПОСКОЛЬКУ (fmax)pe3 =" ^max/Л ТО
v- г-
C -<**)*' (VIH.63)
Используя определение добротности Q = to0m0/A = /(/(оу), фор-
формулу (VIII .63) можно преобразовать к виду
(ш/шо)«
(VIII.64)
Выберем на резонансной кривой частоту оIэ при которой
у1^ 1
——¦ =-т>-. Для этои частоты из формулы (VIII.64) имеем
'рез
со? — (of,
(VIII.65)
13*
(берется абсолютное значение, потому что Q !>0). Из выражения
(VIII-64) видно, что если его правая часть равна 1/2 (или другой
постоянной величине) при частоте о)х, то она равна этой величине
и при другой частоте оз2, такой, что со2/(о0 = (и>1/(й0)~1 = (дц/щ,
откуда со^а = cog. Подставляя это значение <?>1 в формулу (VIII.65),
получаем
Q = г-^-т = -тгт = тгт (VIII.66)
^ | со, — со21 j Лео | | Д v ( v '
Интервал частот Дсо (или для циклических частот Av), в котором
по определению энергия колебаний составляет половину энер-
энергии на резонансной частоте (т. е. на частоте щ), называют шириной
резонансной кривой. Таким образом, добротность колебательной
системы равна отношению ее собственной частоты к ширине энерге-
энергетической резонансной кривой, откуда добротность (а вместе с нею
и другие характеристики затухания) легко определяется экспери-
экспериментально из частотной зависимости какой-нибудь акустической
величины. Если измеряется интенсивность ультразвука (плотность
энергии, мощность и т. д.), то добротность находится непосред-
непосредственно из полученной кривой частотной зависимости. Если же
измеряемой величиной является, например, амплитуда давления
(колебательной скорости, смещения и т. д.), то для использования
формулы (VI 11.66) полеченную частотную зависимость данной ве-
величины нужно предварительно пересчитать на частотную зависи-
зависимость квадрата этой величины. В свою очередь, добротность си-
системы определяет ее избирательность по частоте, или полосу пропу-
пропускания, т. е тот интервал частот, в котором энергия вынужденных
колебаний составляет не менее 50% от энергии на резонансной ча-
частоте. Это означает, например, что пластинка с добротностью Qa,
используемая в качестве преобразователя, может излучать ультра-
ультразвук с интенсивностью более 50% от максимальной в полосе ча-
частот Av = vo/Qa. Это означает также, что плоскопараллельный
слой, на который падают плоские ультразвуковые волны, обладает
коэффициентом пропускания dt более 0,5 от максимального в ин-
интервале частот vn/Qa. Поскольку добротность нагруженного слоя на
основной частоте его колебании определяется отношением волно-
волновых сопротивлений слоя и внешней среды рс/(р1с1), то для полосы
пропускания слоя вблизи основной частоты это дает Av; =
= VoPjCj/fpc) = Vo/.
Такой же результат мы получили бы, разумеется, и для кривых,
изображенных на рис. 49, анализируя формулу (VIII.5) для разных
частот, но более трудоемким путем.
§ 8. Излучение плоских волн. Поле реального
плоского излучателя ультразвука
До сих пор мы рассматривали идеально плоские волны, возбуж-
возбуждаемые при гармонических колебаниях безграничной плоской по*
верхности. Реальные излучатели плоских ультразвуковых волн
196
имеют конечные размеры, и это приводит к интерференционной
структуре поля в ближней зоне таких излучателей и к дифракции
ультразвукового пучка.
Пусть круглый поршневой излучатель радиусом R, помещен-
помещенный в бесконечный экран, излучает в положительном направлении
оси х, совмещенной с центром излучателя (рис. 61). Потенциал ско-
скоростей фл в произвольной точке наблюдения А (х,у, z), отстоящей на
расстояние г от элемента поверхности dS любого источника пло-
площадью S, можно вычислить с помощью известной формулы Рэлея
[1]: фЛ = — ехр (Ш)/Bп) §s (d(p/dn)s [exp (—ikr/r)] dS, где п —
единичная нормаль к поверхности излучателя; ду/дп — распреде-
распределение амплитуд колебательных скоростей на поверхности S. При-
Принимая это распределение равномерным, что соответствует гранич-
граничным условиям
— (d(p/dn)x_o = vmaxo = const при у, *</?,
_ _ . > (VIII. о 7)
д(р/дп=0 при у, 2>/?
получаем, опуская временной множитель,
ехр (—ikr)
Ъ L r tVHI.68)
Величина dtp = vmdX(>/Bn) [ехр (—ikr)!r]dS представляет собой по-
потенциал точечного источника, излучающего в телесный угол 2я.
Таким образом, формула (VIII.68)
означает суммирование потенциа-
потенциалов скр в точке А от отдельных то-
точечных источников, распределен-
распределенных по площади 5 с учетом запазды-
запаздывания фаз (множитель ехр (—ikr)),
т. е. выражает принцип Гюйген-
Гюйгенса — Френеля. Согласно этому
принципу при S -> оо на любом
расстоянии х от источника форми-
формируется идеально плоская волна с Рис. 61.
равномерным распределением ам-
амплитуд. В случае ограниченной площади S, к которому относится
интеграл (VIII.68), распределение амплитуд и фаз колебаний
в плоскости уг на различных расстояниях х будет неоднородным,
хотя из общих соображений ясно, что чем больше размеры ис-
источника по сравнению с длиной излучаемой им волны, тем фронт
волны будет ближе к идеально плоскому.
Формула (VIII.68) с граничными условиями (VIII.67) относится
к идеальным «поршневым» колебаниям плоского источника, окру-
окруженного бесконечно протяженным неподвижным плоским экра-
экраном. Реальные источники ультразвука могут излучать без экрана;
распределение же амплитуд реального источника, как правило, не
бывает строго однородным в силу различных причин, включая та-
197
кие, как неоднородность прикладываемого к пьезопреобразова-
телю электрического напряжения, влияние неоднородности меха-
механических свойств материала преобразователя, его крепления,
резонансов паразитных поперечных
или изгибных колебаний,
и т. д. Кроме того, фор-
формула (VI 11.68) не учиты-
учитывает затухания амплитуды
колебаний на расстоянии г
до точки наблюдения, т. е.
относится к идеальной сре-
среде. Однако даже при тех
идеализированных услови-
условиях, к которым относится
эта формула, расчет с ее
помощью характеристик
поля в ближней зоне пор-
поршневого излучателя встре-
встречает большие математиче-
математические трудности. Исключе-
Исключение составляет задача па-
хождения поля па оси круг-
круглого излучателя, которая
позволяет выкзпть основные особенности стр>кт>ры поля реального
плоского изл>чагепя. Введя текущую координату у и выбирая за
элемент поверхности излучателя dS кольцо радиусом у и шириной
dy (рис. 62), на основании формулы (VIII.68) для давления на оси х
сразу же полхчаем
R exp(— ik\rх1
Рис П2.
dtp . I' vn C
' dt ' 2л J
у1)
= v
2л
ос|ехр (— ikx)
\
2л*/ dy =
ехр (— ik }rx*4-tj*)], (VI 11.69)
где рис — соответственно плотность и скорость зв>ка в среде.
Введем обозначение
(при *>#).
(VIII. 70)
Тогда, согласно выражению (VII 1.69), для амплитуды давления при
х ;> R будем иметь:
Ртах (а) = Rep (х) = ~ота%осс (I — cos&a-f-t sm&a) ехр (ikx) =
= 2paw0 sin (^сб/2) . (VIII.71)
В центре излучателя на его поверхности (х = 0) a = R и ртахп =
= 2рсигпах0 | sin (kR>2) |, т. е. амплитуда давления в центре излу-
излучателя в зависимости от значения kR = 2kR/A может изменяться
от нуля до величины 2ра%ач0, соответствующей двойной величине
давления в плоской волне с амплитудой скорости 1'тач0 Если kR =
198
= 2nn, т.е. R = nA (n = О, 1, 2, 3, ...), то pmax0 = 0; если fc# ==»
j= Bn -f 1)л, т. e. Я == Bn + 1)Л/2, то /?max0 = 2po;max0.
' Амплитуда давления pmax (x) вдоль оси x, как следует из фор-
формулы (VI 11.71), тоже будет достигать ряда максимальных значе-
значений, равных 2ро%ах0 при условии
(VI 11.72)
(VIII.73)
ka = (zn -f- 1) я или а =
и минимальных, равных нулю при
ka — 2пл или а = пА.
Во всех случаях минимальные величины давления, очевидно, соот-
соответствуют тому, что на поверхности излучателя укладывается чет-
четное число кольцевых зон Френеля и их действие в точке наблюде-
наблюдения взаимно уничтожается, а максимальным величинам давления
соответствует нечетное число зон Френеля.
Из соотношений (VIII.72), (VIII.73) и (VIII.70) найдем положе-
положения максимумов и минимумов относительно центра излучателя:
xm = R[R/(mA)-(m/4)(A/R)\, (VIII.74)
где m = 2/г + 1 для максимумов и пг = 2/г для минимумов, а п =
= 0, 1, 2, 3,.... Самый далекий максимум получится при пг — I,
т. е. п = 0, тогда хх = ^2/Л — Л/4.
В \/Льтразв\ковом диапазоне частот практически всегда выпол-
выполняется условие R ^ Л. При этом положение последнего интерфе-
интерференционного максимума в поле
круглого поршневого излучате- [A
ля определяется простым соот-
соотношением
Xl = R*/A. (VIII.75)
п 0
15
30
Рис. 63.
\Рт
Перед этим последним максиму-
максимумом располагается еще некоторое
количество максимумов и мини-
минимумов. Из формулы (VIII.74) вид-
видно, что положительные значения
хт для минимумов получаются
при условии R2/BnA) — 2т\/4 >0, т. е. п < R/A, из чего следует,
что число минимумов в интерференционной зоне равно ближай-
ближайшему целому числу, меньшему R/A. Расстояние между ними (и
максимумами) постепенно увеличивается по мере удаления от излу-
излучателя, как это видно из рис. 63, где приведено распределение ам-
амплитуд давлений по оси круглого поршневого излучателя при зна-
значении R/A ¦=¦ 30 в зависимости от относительного расстояния х/А.
Соотношение (VIII.75) определяет протяженность интерферег-
ционной, ближней зоны плоского излучателя, называемой еще
зоной Френеля. В этой зоне ультразвуковой пучок имеет форму,
близкую к цилиндрической, т. е. фронт волны остается близким
к плоскому. Область пучка при х >хг носит название дальней
199
зоны, или зоны Фраунгофера. Расчет акустического давления в этой
зоне также не составляет особых трудностей, так как для нее можно
положить в знаменателе формулы (VIII.68) г — const для любой
точки наблюдения под углом О. Тогда простые вычисления приво-
приводят к следующему выражению для амплитуды давления, как функ-
функции угла Ф [3J:
где Ух — функция Бесселя первого рода. Выражение в квадратных
скобках формулы (VIII.76) имеет максимум, равный единице при
"$ = 0, т. е. в осевом направлении, и обращается в нуль первый
раз при значении аргумента kR sin 00 = 3,83, т. е. при
sin О0 = 3,83/F/?) = 0,61Л/#. (VIII.77)
При kR sin О = 5,33 величина ртах (О) имеет первый побочный
максимум, амплитуда которого составляет всего ~13% от глав-
главного, а интенсивность примерно в 60 раз меньше осевой. Далее бу-
будут появляться следующие побочные максимумы с еще меньшей
амплитудой, и в целом картина распределения амплитуд по углам
будет полностью повторять из-
известную картину фраунгоферовой
дифракции света от круглого от-
i верстия. Вся энергия волны в зоне
| Фраунгофера концентрируется в
L_^ конусе с углом раскрытия, опре-
i Г^^^— деляемым формулой (VIII. 77).
Фронт волны в этой зоне стано-
Рис. 64. вится близким к сферическому и
амплитуда ее будет убывать вдоль
оси х в соответствии с законом распространения сферических волн,
рассматриваемых в следующей главе. В целом картину поля круг-
круглого поршневого излучателя ультразвука можно схематически
изобразить так, как показано на рис. 64. Протяженность ближней
зоны х1 определяется формулой (VIII.75), а угол расхождения
пучка в дальней зоне — формулой (VIII.77). Аналогичные формулы
получаются и для излучателя прямоугольной формы Так, для ква-
квадратного излучателя с длиной стороны 2R угол расхождения опреде-
определяется соотношением sin О0 = 0,5A/R. В любом случае протяжен-
протяженность зоны Френеля будет тем больше, а угол расхождения тем
меньше, чем больше отношение поперечных размеров излучателя
к длине волны. В ультразвуковом диапазоне частот это отношение
обычно составляет не менее нескольких десятков или сотен единиц.
При этом, например, на частоте 10 МГц при излучении ультразвука
пьезопластинкой диаметром 2 см в воду (R/A ~ 100) протяжен-
протяженность ближней зоны, согласно формуле (VIII.75), составляет хх ~
~ 1000 см, что значительно превосходит те масштабы, с которыми
приходится иметь дело в физической ультраакустике.
200
В ближней зоне, как мы видели, структура ультразвукового
тюля характеризуется сильной интерференционной неоднород-
неоднородностью, которая, конечно, имеет место не только по оси ультра-
ультразвукового пучка, но и в любом его сечении. Вычисление интеграла
(VI 11.68) для произвольных точек сечений ближнего поля представ-
представляет наиболее трудную задачу, решаемую при помощи сложных
рядов, допускающих численный расчет для конкретных значений
kR. Такой расчет показывает, что в любом сечении пучка в ближнем
поле амплитуда давления (и интенсивность) также проходит через
ряд максимальных и минимальных значений, хотя волновые фронты,
т. е. поверхность равных фаз, имеют форму, близкую к плоской.
При этом среднее давление по разным сечениям пучка остается
довольно стабильным. Реальные же приемники ультразвука обычно
регистрируют именно среднее давление, определяемое математиче-
математически как р = {MS') lS'pAdS', где S' — эффективная площадь при-
приемника; рА — локальное давление в точке наблюдения Л, лежащей
в плоскости S'. Расчет показывает, что при S' = 5 среднее давле-
давление в ближнем поле отличается от давления в идеальной однород-
однородной плоской волне не более чем на 10 ч- 15%. С уменьшением S*
эффекты интерференции, естественно, будут сказываться в большей
мере, но при использовании приемников с достаточно большой-
площадью практически не будут проявляться. Это подтвержда-
подтверждается на опыте и оправдывает тот анализ, который проводится в уль-
ультраакустике для идеально плоских волн применительно к реаль-
реальным ультразвуковым пучкам. Однако при измерениях поглощения
и даже скорости звука эффекты интерференции и дифракции ультра-
ультразвукового пучка могут приводить к существенным ошибкам, и их
необходимо учитывать, вводя соответствующие поправки [71].
Глава IX
СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
§ 1. Волновое уравнение для сферических волн
Наряду с плоскими волнами в ультраакустике часто прихо-
приходится иметь дело и со сферическими волнами. Мы встречались с ними
уже при рассмотрении рассеяния ультразвука на сферических
частицах, при анализе кавитационных процессов и давления излу-
излучения; сферические волны формируются в дальнем поле реальных
плоских излучателей ультразвука, а также в ближнем поле сфери-
сферических излучателей. Поэтому в данной главе рассмотрим отдельно
характеристики и особенности распространения сферически-сим-
сферически-симметричных волн, т. е. таких волн, акустические параметры кото-
которых зависят от расстояния до некоторого центра.
Волновое уравнение для сферических волн получим из общего
волнового уравнения A1.32), записав в нем оператор Лапласа для
потенциала скоростей Дф в сферических координатах. Поскольку ф
в данном случае есть функция только одной полярной коорди-
координаты г, то в выражении A1.36) для лапласиана ф в сферических
координатах отличным от нуля будет лишь первый член, и линеари-
линеаризованное уравнение A1.32) для этого случая будет иметь следя-
следящий вид:
г2 дг \ дг j с% дР
(нулевой индекс соответствует линейному приближению). Выполнив
преобразование
дг\г дг) ~ г \г д
уравнение (IX. 1) можно записать следующим образом:
дЧгу) .._ 1 д* (гФ)
дг* ~ с% дп "
В таком виде уравнение (IX.2) совпадает с волновым уравнением
A1.37) для одномерных плоских волн за исключением того, что коор-
502
дннатз х заменена здесь координатой г, а потенциал скоростей ср —
произведением гф. Поэтому решение уравнения (IX.2) будет иметь
вид, аналогичный A1.41), т. е.
или Ф(г, 0-A/г)/1(с0<-
Первый член этого решения описывает расходящуюся волну, рас-
распространяющуюся со скоростью с0 во все стороны из некоторого
центра при г = О, а второй член — сходящуюся к этому центру
волну. Мы будем рассматривать одну из этих волн — расходящуюся,
в которой потенциал скоростей есть
§ 2. Монохроматические сферические волны
Форма возмущения, описываемого функцией / в (IX.3), про-
произвольна. В случае синусоидального возмущения с частотой (о
выражение для потенциала скоростей в расходящейся сферической
волле будет иметь вид
ф = фта\о sin (о (/ — г/с0) = тахо bin (со/—кг) (IX.4)
или в комплексной форме
Ф=фтахпехр[/(СО*— fcr)], (IX.5)
где к = м'с0 = 2л/Л — волновое число, а фтах0 — исходная ампли-
амплитуда потенциала скоростей, задаваемая граничными условиями. Дав-
Давление и колебательную скорость в сферической волне найдем, ис-
используя их связь с потенциалом скоростей, на основании соотноше-
соотношений (II.7) п (II.9), справедливых для любого трехмерного случая,
т. е. р = родф/д/, v — —grad ф = —дц)/дг. Продифференцировав
уравнение (IX.4) по времени и по координате, получим
os (m — kr)= cos (со/ — kr), (IX.6)
Сравнивая соотношения (IX.6) и (IX.7), находим
= —,-°sin (со/-?г)+^^cos (Ы -kr). (IX.8)
г~" Росо
В плоской волне связь между давлением и колебательной ско-
скоростью имеет вид (см. гл. II): v = pmax/(poco) cos (со/ — kx) —
~ Р /(Росо). Ч1° совпадает со вторым слагаемым в выражении (IX.7)
с той лишь разницей, что амплитуда давления в сферической волне
203
Ртах уменьшается с расстоянием как 1/г. Теперь же появилось но-
новое слагаемое, которое обращается в нуль при больших г (поскольку
оно убывает с расстоянием как 1/г2), когда форма фронта сфериче-
сферической волны приближается к плоской. Наличие этого слагаемого
означает различие в фазах между колебательной скоростью и дав:
лением в сферической волне. Если бы коэффициенты в обоих сла-
слагаемых уравнения (IX.7) были одинаковыми, то эти слагаемые
отличались бы друг от друга по фазе на я/2 как синус и косинус
одинакового аргумента. Поскольку же коэффициенты различны,
то разность фаз будет лежать между зт/2 и нулем, изменяясь с рас-
расстоянием, так как они по-разному зависят от г.
Учитывая, что фтах = Ртах/(Ро@)» выражение (IX.8) можно пред-
представить следующим образом:
V =¦
Tft COS((ut-kr-$)=VmaxCOS((i}t-kr-$), (IX.9)
p
PqC(! COS
где cos$=)
fraax = /?max/(p<A) COS 0). (IX. 10)
Если kr < 1, т. e. r < Л, то tg P -> oo, P -> зт/2, cos p -> kr
и выражение (IX.9) принимает вид
Отсюда следует, что при малых г волна колебательной скорости
отстает по фазе на зт/2 от волны давления, а амплитуда скорости
убывает с расстоянием как 1/г2, в то время как амплитуда давления
убывает как 1/г.
Если же kr ^> 1, т. е. г>>Л, то tg 0->O, cos ji—>- 1, и мы имеем
v = Pmax/(P(A) cos (cot — kr), /?max - fmaxp<A. i- e. соотношения,
характерные для плоской волны, с тем лишь существенным отли-
отличием, что амплитудные значения всех акустических величин убы-
убывают обратно пропорционально расстоянию: /?mdX = рт^Хо^г^ итах =
= ^тахо/', А = Ао/Г И Т. Д.
§ 3. Интенсивность сферической волны
Наличие разности фаз между давлением и скоростью в сфериче-
сферической волне приводит к особенностям в выражениях для ее интен-
интенсивности. Интенсивность волны можно вычислить как среднюю
работу, совершаемую силами акустического давления на единичной
поверхности за единицу времени, т. е. I = А — pv. Мы имеем
v — РтахО/(ф(А) cos P) cos (cot — kr — Р);
p = (pmaxo/r)cos((ot — kr).
Таким образом,
A=PV= /p^Z^os (со/ - kr) cos (со/ - kr - P).
204
Введя обозначение у == cot — kr и С ^Ртах(/(Росог2)> это выраже-
выражение можно преобразовать следующим образом:
А=С ^| (cos у cos Р + sin у sin 0) = С (cos2 у + sin у cos у tg 0).
Использовав соотношения 2 cos2 7=1+ cos2 2у; 2 sin у cos у =
= sin 2у, получим
Л = -§- + у cos 2 (oof - &r) + ~ sin 2 (со* - kr) tg p. (I X. 11)
При усреднении по периоду второе и третье слагаемые в этом ра-
равенстве обращаются в нуль, так что
/ = Л = /7^хо/Bг2росо) (IX. 12)
ИЛИ, ПОСКОЛЬКУ ртахо/г = Ртах,
/=/>тах/BРоСо). (IX. 13)
Сравнивая этот результат с формулой (II 1.21), мы видим, что интен-
интенсивность сферической волны выражается через амплитуду давле-
давления в ней так же, как и в плоской волне, только амплитуда давле-
давления в сферической волне уменьшается с расстоянием как 1/г и,
следовательно, интенсивность сферической волны убывает обратно
пропорционально квадрату расстояния. Так и должно быть в силу
того, что общая мощность остается неизменной, а площадь фронта
сферической волны, по которой эта мощность распределена, возра-
возрастает как 4зхг2.
Амплитуда давления в сферической волне связана с амплитудой
колебательной скорости соотношением (IX. 10), т. е. ртгх =
= vmaxPoCo-kr (I + fe2r2)~i/a. Подставив это в выражение (IX.13),
получим
fe2
где fmax = umaxo^r- Таким образом, выражение для интенсивности
сферической волны через колебательную скорость отличается от
такового для плоской волны, поскольку между давлением и ско-
скоростью в сферической волне существует разность фаз. Учитывая
ее, выражение (IX. 14) можно переписать в виде
/ = (/?maxlWCOSP)/2, (IX. 15)
что совпадает с формулой для мощности переменного тока в цепи
с реактивным сопротивлением. В сферической волне, однако, этот
сдвиг фаз является функцией расстояния, т. е. cos |3 == / (г), и он
исчезает при kr ^> 1. При этом cos Р = 1, и формулы (IX. 15) и
(IX. 14) переходят в выражения для интенсивности плоской волны
с убывающей амплитудой.
Оценим те расстояния от центра сферической волны, при кото-
которых сдвиг фаз между давлением и колебательной скоростью в ней
может быть существенным. Для оценки примем г — Л. Тогда kr =
= 2я; р = arc tg Bл)'1 ^9° и cos 0 ~ 0,988. Таким образом,
205
«угол» р очень быстро убывает с расстоянием, и существенное раз-
различие между сферической и плоской волнами относится только
к ближнему полю излучателя (г< Л), размеры которого к тому же
не превышают длины излучаемой им волны. В мегагерцевом диапа-
диапазоне частот длины ультразвуковых волн составляют миллиметры
или доли миллиметра при значительно больших размерах реаль-
реальных излучателей. В связи с этим вопрос об особенностях ближнего
поля реального излучателя сферических ультразвуковых волн вы-
высокой частоты не является важным. Однако при низких частотах
ультразвукового диапазона условие кг <; 1 может быть реализо-
реализовано; оно осуществляется также при переизлучении ультразвука
мелкими взвешенными частицами и кавитационными пузырьками.
Поэтому в следующем параграфе мы остановимся коротко на излу-
излучении ультразвука пульсирующими сферами.
§ 4. Излучение сферических волн
пульсирующей сферой
Рассмотрим сферу радиусом R, поверхность которой совершает
малые радиальные (пульсационные) колебания, синфазные и оди-
одинаковые по амплитуде. Очевидно, акустическим полем этой пульси-
пульсирующей сферы и будет поле симметричных однородных сферических
волн без узловых интерференционных точек. Такие излучатели
называют излучателями нулевого порядка.
Пусть на поверхности сферы, т. е. при г = R задана скорость
радиальных смещений, которую запишем в комплексной форме:
У(#) = УтахоеХр(ш0. (IX. 16)
Найдем потенциал скоростей, записав его в общем комплексном виде
(IX.5) с некоторой начальной фазой |30: ф = (ц>тах0/г) exp [i (со/ —
— kr + ро)] и учтя, что v (R) = —(dqldr)r_R. Произведя диф-
дифференцирование этою потенциала и положив г = R, получим
Ро = kR и
Ф (R) = (l/tf)ltf2iw0/(l + ikR)\ exp (Ш). (IX. 17)
Вычислим теперь звуковое давление на поверхности сферы,
которое возникает вследствие реакции среды на движение сферы.
Это и дает нам исходную амплитуду давления ртах0, которая затем
убывает с расстоянием. Давление найдем по общему определению:
где р0 — плотность окружающей среды. Продифференцировав вы-
выражение (IX. 17) по времени, найдем
ikR
exp(t<of) = pc + .kR twoexp(tfi>f). (IX. 18)
Сила давления, действующая на сферу, т. е. сила реакции среды,
равна произведению давления р (R) на площадь сферы So = 4nR2.
Очевидно, с такой же силой действует и сфера на среду, вызывая
в ней колебательный процесс со скоростью смещений v (R). Неза-
206
висимо от того, как связано давление со скоростью, отношение силь?
давления к скорости определяет полное акустическое сопротивле-
сопротивление среды (в отличие от удельного сопротивления, относимого к еди-
единице площади), или акустический импеданс среды Z. Поделив выра-
выражение (IX. 18) на (IX. 16) и умножив на площадь сферы, получим
(IX. 19)
Разумеется, таким же будет выражение для импеданса в поле сфе-
сферических волн на любом расстоянии от центра источника г >>/? :
Z = pocoSikr/(\ -f- ikr), где S = 4яг2 — площадь фронта сфери-
сферической волны радиусом г. Однако для большей наглядности мы про-
проанализируем полученный результат применительно к поверхности
источника излучения ультразвука, радиус которого R составляет
минимальное из возможных значений г. Выделим в выражении
(IX. 19) вещественную и мнимую части:
ikR _ PR* | kR
\+ikR ~ 1+/г2Я2 ' l l-f/e2;
тогда формулу (IX. 19) можно записать в виде Z = pocoSo (X + iY).
Величина Re Z = pocoSoX представляет собой активную часть
волнового сопротивления, a Im Z = pocoSoy — реактивное сопро-
сопротивление. Обе они зависят от kR,
но ведут себя по-разному при из-
изменении kR, т. е. при измене-
изменении соотношения между размера-
размерами сферы и частотой звука. При
kR > 1, т. е. при R > А, X = 1,
Y = О, Z = Zo = р0с050, и оста-
остается только активная часть импе-
импеданса, представляющая собой пол-
полное сопротивление излучению.
При kR < 1 X = 0 и Y = 0. При
kR <; 1 величина Y растет бы-
быстрее с увеличением kR, чем X.
При kR — 1 X = Y, а затем при
kR >• 1 начинает преобладать пер-
первый член, который растет до еди-
единицы, в то время как Y убывает до нуля. Общая зависимость вещест-
вещественной и мнимой частей импеданса пульсирующей сферы от пара-
параметра kR представлена графически па рис. 65.
Чтобы выяснить значение полученного результата, вычислим
мощность излучения пульсирующей сферы. Для этого умножим
на площадь сферы AnR2 полученное ранее выражение для интен-
интенсивности сферической волны (IX. 14):
к ' Lmax )
Рис. 65.
207
НО Утах | r-R = ^rnaxo, ТЭК ЧТО
vsmaxo/2. (IX.20)
Эта мощность затем остается неизменной при любом г (конечно, за
вычетом потерь из-за поглощения в среде), поскольку 5 (г) ~ г2,
a vm&% (r) ~ г2. Величина этой мощности, согласно выражению
(IX.20), пропорциональна активному сопротивлению среды
pocoSoX, которое зависит от kR. Следовательно, эффективность из-
излучения пульсирующей сферы зависит от соотношения между ра-
радиусом сферы и длиной излучаемой волны, т. е. частотой ультра-
ультразвука. При малых kR эффективность излучения невелика незави-
независимо от амплитуды колебаний источника. В этом случае большую
роль играет реактивная часть импеданса, которая, как всегда, опре-
определяет долю энергии источника, возвращаемую средой в течение
полупериода колебаний. Это можно легко увидеть, интегрируя
выражение (IX. 11) не по всему периоду, а по долям периода. Тогда
второй и третий члены в этом выражении будут отличны от нуля и
дадут для мощности излучения за четверть периода дополнительное
слагаемое (\/2)Mv^ax0, где М — некоторая константа с размер-
размерностью массы, имеющая смысл массы среды, вытесняемой пульси-
пульсирующей сферой и называемая присоединенной массой. За следую-
следующею четверть периода величина дополнительной мощности ока-
окажется такой же, но с противоположным знаком. Это означает, что
кинетическая энергия, запасенная присоединенной массой за чет-
четверть периода, отдается затем обратно излучателю.
Таким образом, мощность, связанная с реактивной частью импе-
импеданса, аналогична мощности, потребляемой индуктивностью в цепи
переменного тока, а сама реактивная часть Im Z — индуктивному
сопротивлению катушки. Активная же часть Re Z = pocoSoR опре-
определяет мощность, необратимо теряемую источником на излучение
в среду, и она эквивалентна активному сопротивлению электриче-
электрической цепи. Поэтому эквивалентная схема акустического импеданса
пульсирующей сферы может быть представлена параллельно сое-
соединенными катушкой и омическим сопротивлением.
С увеличением kR реактивная часть импеданса быстро убывает,
а активная возрастает, и с нею возрастает эффективность излуче-
излучения пульсирующей сферы. Как видно из рис. 65, уже при значении
kR = 1 активная доля Z достигает реактивной, а при kR — 3 -г- 4
реактивная часть исчезает почти полиостью. Значение же kR = 1
на частоте I МГц, например при излучении ультразвука в воду
(Л = co/v = 1,5 мм), достигается при R — \lk = Л/2зт ~ 0,25 мм.
Поэтому, как уже отмечалось, присоединенная масса и реактивное
сопротивление пульсирующей сферы на ультразвуковых частотах
обычно не играют существенной роли, в связи с чем мы этот вопрос
подробно и не рассматриваем, адресуя интересующегося читателя
к специальной литературе [72J.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ УЛЬТРАЗВУКА В ИЗОТРОПНОМ
ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
§ 1. Волновое уравнение для безграничного твердого
тела
В отличие от жидкостей и газов, которые практически обладают
только объемной >пругос!ью, твердым телам присуща еще и сдвиго-
сдвиговая \пругость («упругость формы>/). Наличие этой сдвиговой упру-
упругости, котор>ю мы вначале, как всегда, будем считать идеальной,
приводит к тому, что в твердом теле наряду с рассмотренными выше
продольными упругими волнами могут распространяться еще и
сдвиговые деформации в виде так называемых поперечных (сдвиго-
(сдвиговых) волн. Законы распространения волн обоих типов в безгранич-
безграничном изотропном твердом теле ничем не отличаются от рассмотрен-
рассмотренных в предыдущих главах, относящихся к идеальным средам с иде-
идеальной упруiостью, так что большая часть полученных ранее
результатов в равной мере относится и к поперечным волнам. Осо-
Особенности же распространения \пругих волн в изотропном твердом
теле Проявляются главным образом на его границах в виде возник-
возникновения различного рода поверхностных волн, смешанных дефор-
деформаций, трансформации волн при отражении от границ и т. д.
Поэтому в данной главе после вывода и анализа волнового уравне-
уравнения для изотропного твердого тела мы рассмотрим только основные
вопросы, которые связаны с распространением ультразвуковых
волн в ограниченных твердых телах, а также некоторые особен-
особенности распространения в них ультразвуковых волн конечной ампли-
амплитуды.
Законы распространения упругих волн в твердых телах выте-
вытекают из общих уравнений движения, полеченных в гл. I. В линеа-
линеаризованной форме, справедливой дня волн бесконечно малой ампли-
амплитуды, эти } равнения имеют вид выражения A.11), т. е.
где aik — компоненты тензора напряжений A.6); ut — компоненты
смещений по осям координат xk = х, у, z (/, k —¦ 1, 2, 3). Нулевой
индекс у плотности, соответствующий линейному приближению,
14 В. А. Шутилоа 209
опущен; здесь и далее, как и в предыдущих главах, под р будем по-
понимать равновесную плотность. Чтобы свести уравнения (Х.1)
к одной переменной, напряжения oik можно выразить через соответ-
соответствующие деформации tik, воспользовавшись законом Гука для изо-
изотропного твердого тела A.15):
а» = Хв6,* + 2|ге«, (Х.2)
где в — объемное расширение, равное сумме продольных растяже-
растяжений; 81к — символ Кронекера; Яиц — константы Ламэ. Последние
представляют собой два независимых модуля упругости, которые
полностью характеризуют упругие свойства изотропного твердого
тела.
Объемное расширение в по определению есть
+ e» = a^ + ft?+a^ = divu. (X.3)
Напомним, что соотношение (Х.З) является математическим выра-
выражением факта сплошности среды и представляет собой линеаризо-
линеаризованное уравнение неразрывности. Учитывая это соотношение,
а также определение компонент малой деформации гш — (ди{/дхк +
+ duk/dxt)/2 и дифференцируя уравнение (Х.2) по xk, после приве-
приведения подобных членов получим doikldxk = (Я + \i)(dQ/dxt) +
-г ц.Дм;, где Д — оператор Лапласа (сумма вторых производных
по координатам). Подставляя этот результат в уравнение движения
(Х.1), получаем три уравнения для трех компонент смещения ut\
Ск + \i)(d@/dXi) J- \у?Ш{ = р (d2ui/dt2), которые можно объединить
в одно векторное уравнение для вектора смещения и:
(Я + ji)grad div и -f-ц Ди = р d2u/dt2. (X.4)
При произвольной ориентации вектора и относительно осей
координат его можно представить в виде суммы двух векторов:
u = U/ + uT, (X.5)
один из которых (iij) соответствует продольной деформации, а дру-
другой (ит) — чисто сдвиговой. Продольная деформация характери-
характеризуется отсутствием тангенциальных компонент и поэтому для нее
rotu^O. (X.6)
Для сдвиговой же деформации rot uT Ф 0, но
divut = 0. (X.7)
Учитывая выражения (Х.5) — (Х.7) и применяя последовательно
операции rot и div к уравнению (Х.4), соответственно находим
для продольных смещений:
/±ul(K + 2\i)/p = d2ul/dt* (X.8)
и Aux\i/p = d*ux/dt2 (X.9)
для сдвиговых (тангенциальных) смещений.
Таким образом, уравнение (Х.4) распадается на два идентичных
уравнения (Х.8) и (Х.9), которые имеют знакомую нам форму вол-
волновых уравнений. Первое из них описывает распространение чисто
продольных волн со скоростью
а второе — распространение чисто поперечных волн со скоростью
Различие скоростей распространения этих волн, как видим, свя-
связано только с различием упругих характеристик, которые как бы
определяют «жесткость» среды по отношению к данному типу дина-
динамических деформаций. Можно поэтому ввести обобщенное понятие
эффективной жесткости &, связанной со скоростью распростране-
распространения соответствующей волны соотношением
Для поперечной волны, распространяющейся со скоростью сх
величина Ш равна модулю сдвига:
для продольной же волны
где сп и с12 — модули упругости (см. табл. 1). Наряду с этими
модулями и константами Ламэ в гл. I (§ 6) мы вводили другие
характеристики упругости: модуль Юнга Е, коэффициент Пуассона
\>0 и модуль всестороннего сжатия /(. Используя приведенные
там соотношения, а также формулы (Х.14) и (Х.15), можно выра-
выразить эффективные жесткости U = рс2 для продольных и сдвиговых
волн через различные пары независимых модулей. Сводка соответ-
соответствующих выражений приведена в табл. 10, из которой, в част-
частности, следует:
cTl'Ci = y"(I-2vo)/B-2vo). (X. 16)
Таким образом, мерой отношения скоростей поперечных и про-
продольных волн в данной среде может служить коэффициент Пуас-
Пуассона v0. Его максимальное значение v0 — 0,5 соответствует жидко-
жидкости, для которой б'т = 0, а эффективной жесткостью является модуль
объемной упругости /С, определяющий скорость продольной волны.
Значению v0 = 0 отвечает максимальное отношение скоростей
(сТ/с1)тах = 2 1/2. Следовательно, в любой среде скорость распро-
распространения продольных волн превышает скорость распространения
сдвиговых волн не менее чем в |/2~ 1,4 раза. Обычно величина v0
для твердых материалов лежит в пределах 0,3 -4- 0,25; при этом
различие скоростей с{ и сг составляет 50 -4- 70%. Значения с,
и сх для некоторых безграничных изотропных твердых сред при-
14* 211
Таблица 10
Представление эффективных жесткостей для продольных и сдвиговых волн
Эффективная
жесткость
(продольные
волны)
(сдвиговые
волны)
через
Си, С,2
Си
сп-сп
2
К
различные
2|А
к+ 3
упругие
И
НА, ^
-
постоянные
?
A +
2
A-
vo)(l
С
A +
-v0)
-voJ
vo)
ЗА
З/ч
2
Vo, A'
A-Vo)
1+л0
(l-2v0)
11+Vo)
Таблица И
Акустические характеристики некоторых изотропных твердых тел
Вещества
Алюминий
Висмут
Вольфрам
Железо
Золото
Кадмий
Константам
Латунь
Манганин
Медь
Никель
Олово
Платина
Свинец
Серебро
Цинк
Стекло си тикатное (плав-
(плавленный кварц, SiO2)
боратное (В2Оз)
германатное (GeO2)
халькогенидное As2S3
As2Se3
стеклообразный се-
селен
фтористый бериллий
кронглас
флинтглас
тяжелый флинтглас
Плексиглас
Гипс
Лед
Полистирол
Фарфор
Эбонит
т, °с
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
17
17
17
17
17
17
17
20
20
20
20
20
0
20
20
20
р-10-з,
кг/м8
2,7
9,8
19,1
7,8
19,3
8,6
8,8
8,1
8,4
8,9
8,8
7,3
21,4
11,4
10,3
7,1
2,21
1,8
3,63
3,27
4,62
4,28
4,70
2,5
3,6
4,6
1,18
2,26
1,0
1,06
2,41
1,2
Л 0
0,34
0,33
0,35
0,28
0/2
0,30
0,33
0,35
0,33
0,35
0,31
0,33
0,39
0,44
0,38
0,23
0,17
—
—
—
—
—
0,22
0,22
0,24
0,35
0,34
0,33
0,32
0,23
~~
С1 10~3>
м/с
6,26
2,18
5,46
5,85
3,24
2,78
5,24
4,43
4,66
4,70
5,63
3,32
3,93
2,16
3,60
4,17
6,02
3,17
3,61
2.38
2.23
1,84
4,70
5,66
4,26
3,76
2,67
4,79
3,98
2,35
5,34
2,40
ст-10-\
м/с
3,08
1,10
2,62
3,23
1,20
1,50
2,64
2,12
2,35
2,26
2,96
1,67
1,67
0,70
1,59
2,41
3,78
1,25
2,21
1,49
1,29
0,96
3,90
3,42
2,56
2,22
1,12
2,37
1,99
1,12
3,12
~~
рс^-Ю 6,
кг/(м2 с)
169
214
1042
456
626
240
460
361
393
418
495
242
846
246
380
296
133
62
130
83
103
79
221
141
154
173
32
ПО
32
23
129
29
р ст • 10 »,
кг/(м2 с)
83,2
108
500
252
232
129
232
172
197
201
260
122
357
80
167
171
83
23
80
50
100
41
183
86
92
102
13
58
20
12
75
212
ведены в табл. 11 для комнатных температур. Там л.е указаны коэф-
коэффициенты П>ассона v0 для этих сред, их плотности и волновые со-
сопротивления рС[ и рст.
Возвращаясь к анализу волнового уравнения, заметим, что
с учетом соотношений (Х.10) — (Х.13) уравнения (Х.8), (Х.9)
можно представить в единой форме:
Следовательно, законы распространения сдвиговых волн в неогоа-
ниченном изотропном теле ничем не отличаются от рассмотренных
в предыдущих разделах общих законов распространения продоль-
продольных волн. При этом волновое уравнение в форме (Х.17) описывает
распространение или чисто продольной волны со скоростью ch
или чисто сдвиговой волны со скоростью сх. Уравнение же (Х.4)
относится к произвольной ориентации вектора смещения и, в кото-
котором в общем случае можно выделить как продольные, так и сдвиго-
сдвиговые компоненты, причем эти компоненты ut ~ их, и„, аг являются
взаимно перпендикулярными. Решением уравнения (Х.4), отнесен-
отнесенного к прямоугольной системе координат х{ — л\ у, z, является,
таким образом, плоская волна с произвольной ориентацией вектора
смещения и относительно этих координат:
где umax — ее векторная амплитуда, не зависящая от координат и
времени; со — круговая частота, задаваемая источником; г (,г() —
радиус-вектор и к — волновой вектор; знак минус относится к пря-
прямой волне, знак плюс — к обратной. По определению (гл. III, § 1)
к — kn = псо/с, где п — вектор единичной нормали к фронту волны,
определяющий направление ее распространения, и кг — kn-r =
= k (xnx -f ytiy + znz), где tii — fiv, Ну, th — проекции единичной
нормали на оси координат, т. е. направляющие косинусы. В соот-
соответствии со сказанным волну с произвольным смещением (Х.18)
можно представить как сумму двух волн: продольной волны со
смещением вдоль волновой нормали п (и/ || п, т. е. u;xn = 0),
распространяющейся со скоростью си и поперечной — со смеще-
смещением в плоскости, перпендикулярной n (uT J_ n, т. е. uT-n =- 0),
т. е. в плоскости фронта волны. Скорость распространения этой
волны есть сх, и она в изотропном теле не зависит от направления
смещения частиц в плоскости фронта. Иначе можно сказать, что
в изотропном твердом теле в любом направлении могут распростра-
распространяться две волны: одна продольная со скоростью ct и одна попереч-
поперечная со скоростью сх, не зависящей от поляризации.
В одномерных задачах для безграничного изотропного тела ось х
декартовой системы координат всегда можно направить вдоль вол-
волнового вектора к. Тогда п,, = пг == 0, | пх \ = 1 и продольным
смещением б) дет смещение вдоль оси х, т. е. их = |, а вектор попе-
поперечного смещения ит будет лежать в плоскости yz и иметь состав-
составляющие пу = г) и иг — CQ. В этом случае волновое уравнение (Х.4)
213
распадается на два одномерных уравнения: для продольной волны-—
дЗ — ±-.дЗ
а?2 ~ с[ аГз
и для компонент вектора смещения в сдвиговой волне их (ц, ?) -—
a^ri 1 а^п д% _ 1 д%
Решением этих уравнении является плоская одномерная волна вида
Hi ~ U[ так ехР U (@^ — kx)], ГДе k = k[ ~ (о/С/ — ДЛЯ ПрОДОЛЬНОЙ
волны и k — kx = co/cT — для сдвиговой волны
Аналогичные решения можно получить в координатах сфериче-
сферической и цилиндрической систем, однако это не дает ничего нового 1731.
§ 2. Отражение, преломление и трансформация
ультразвуковых волн на границах твердых тел
В отличие от рассмотренной в гл. VII картины отражения и пре^-
ломления ультразвука в жидкостях и газах, в коюрых могут сущест-
существовать только продольные волны, па границе твердых тел происхо-
происходит изменение характера волны Падающая на границу раздела
двух твердых тел чисто продольная или чисто сдвиговая волна в об-
общем случае создает на границе как продольные, так и касательные
смещения Вследствие этого в обеих средах возникают как продоль-
продольные, так и сдвиговые волны, которые имеют разные скорости рас-
npociранения и поэтому отражаются и преломляются под разными
углами. Таким образом, на границе раздела твердых тел происхо-
происходит трансформация волн одного типа в волны другого типа, благо-
благодаря чему на границе в общем случае возникают две отраженные
и 1Вр преломленные волны, распространяющиеся в разных направ-
направлениях Исключение составляют лишь два случая: случай нормаль-
нормальною падения плоской волны любого типа на плоскую же границу
раз ;ела и ст\чай произвольного падения поперечной волны, поля-
поляризованной перпендикулярно плоскости падения, т е со смеще-
смещением, параллельным границе раздела.
Пусть граница раздела двух твердых сред 1 \\ 2 расположена
в плоскости yz перпендикулярно оси х при х -- 0. В плоской волне,
распространяющейся вдоль оси х, характер смещения сохраняется
па границе, изменяется лишь скорость ее распространения с,
т е волновое число kK - (о/с. В силу этого коэффициент отражения
любой волны при нормальном падении определяется прежним
соотношением (VII 14)- р/ — [(р2с2 — piCi)/(p2<~2 + р АI2, кото-
рос, как \же отмечалось в гл VII, остается справедливым как для
продольных, так и для сдвиговых волн В последнем случае вели-
величина рсх - zx представляет собой удельное волновое сопротивле-
сопротивление среды по отношению к сдвиговой волне. Если эта среда является
жидкостью, то для нее модуль сдвига 6 = \\ = 0, сх — 0, т. е
2Т ~ 0 и р/ = 1: сдвиговая волна полностью отражается от гра-
214
ницы с жидкостью (газом) При этом коэффициент отражения про-
продольной волны на границе с той же жидкостью может быть неболь-
небольшим.
Пусть на эту же границу раздела (v — 0) в плоскости \у под
углом 8i к оси х падает сдвиговая волна со смещением вадль оси z
Такая волна также не созчает других компонент смещений па гра-
границе, следовательно, она отражается и преломляется в внт,е двух
чисто сдвиговых волн с таким же смещением, и для энергетического
коэффициента отражения такой волны сохраняет силу соотношение
(VII. 39)-
fzxl cos 9> — гхг cos 9t
zXi cos б2 -j- zx% cos вх
(Х.19)
где Ьг — угол падения (равный углу отражения $[), 92 — угол
преломления (см рис. 40); zn, zx% — волновые сопротивтения по
отношению к сдвиговым
волнам соответственно в
первой и второй средах
Если второй средой явля-
ется жидкость, го для нее
гт2 -- 0, и сдвиговая волна
полностью отражается от
границы при любом угле
падения \ ели вторая сре-
среда твердая, то в ней воз-
возникает преломленная сдви-
сдвиговая волна, которая рас-
распространяется под умом
преломления 92, опре-
определяемым соотношением
(VII.37)- чпОЛт 6i -
=.- сХ2/сг1 = пх
Рассмотрим теперь бо-
более общие случаи на-
наклонного падения продоль-
продольной волны или произвольно поляризованной сдвиговой волны.
Для простоты будем рассматривать плоскую задачу, считая,
что волна падает на границу раздела при г- 0 в плоскости ху
под углом б, к оси х (рис. 66), т е имеет отличные от н>ля компо-
компоненты волнового вектора kx~ knK — k cos 9г и k, — kti,, - k sin 9,,
a kg 0 Смещение U/ в продольной волне в этом ел\ чае имеет две
компоненты ик — ? и uLj — ?,, а смещение ит в произвольно поля-
поляризованной сдвиговой волне в общем случае — все три ьомпоненты:
их - с, м, - rj и и, ~ t,. Впрочем, не теряя общности рассуждений,
мы можем рассматривать поперечную волну со смещением ит в пло-
плоскости падения ху с компонентами смещения ? и п, поскольку ком-
компонента С относится к рассмотренному ранее частному случаю сдви-
сдвиговой волны, поляризованной перпендикулярно плоскости паде-
1
а
у
I
\
X
'л
'/
/
/
' 0
У
/
у/
'/
1
/
/ *
if Y
Рис. G6.
215
ния. Поэтому величина компоненты ? в отраженной и преломлен-
преломленной волнах может быть найдена по формуле (Х.19) и добавлена
к величинам смещения в соответствующих сдвиговых волнах.
Компоненты ? и ij создают на границе раздела твердых сред
соответственно нормальные и тангенциальные напряжения. Вслед-
Вследствие этого по обе стороны от границы возникают продольные и
поперечные волны, которые распространяются в обеих средах с раз-
разными скоростями, т. е. под разными углами отражения и претсм-
ления. Общим условием для нахождения этих углов является ус-
условие постоянства проекции волнового вектора к на плоскость
раздела yz (в данном случае — на ось у), т. е. компонента kx, для
волн, распространяющихся с обеих сторон от Гранины раздела, —
условие равенства «следа» этих воли на границе. Это условие, по-
подробно рассмотренное и использованное уже в гл. VII для опреде-
определения углов отражения и преломления и представляющее собой
условие равенства следов волн по обе стороны от границы, является
очевидным требованием отсутствия разрывов среды. В другом плане
это условие вытекает из того соображения, что граница раздела
ориентирована (в данном случае) перпендикулярно оси х и имеет
бесконечную протяженность по осям у и г; следовательно, в пада-
падающей на нее волне с волновым вектором к она влияет только на
компоненту волнового вектора kx, а компоненты ky и kz остаются
неизменными. Но kz = 0, а ку — (соIc) sin 8 для любой волны. Ча-
Частота со задается источником ультразвука, т. е. от границ не зави-
зависит. Поэтому из условия ky = const сразу же получается общее
соотношение, определяющее углы отражения и преломления 6*
для любой из четырех отраженных и преломленных волн, имеющих
скорость распространения с*:
sin6*/sin61 = c*/c1> (X.20)
где bi и сх — угол падения и скорость распространения падающей
волны.
Пусть, например, падающая в плоскости yz волна — продольная
и имеет скорость сп. Тогда для отраженной продольной волны
sin Q[i = (сп/Сц) мп 61( 61* = 6lf (X,21)
т. е. угол отражения продольной волны el/ равен углу падения 0Х.
Для отраженной поперечной волны, имеющей скорость распро-
распространения ст1, на основании общего соотношения (X.20) получаем:
Sin °tt cxi ¦ г,' __Cxi ¦ fl /у 9о\
-__=—-, Sin On =— Sin 0ц. (А.И)
sin оц сп сA
Поскольку для одной и той же среды сх <; сь то 81Т <С 9п — по-
поперечная волна отражается под меньшим углом к нормали (к оси х).
Этот случай и изображен на р ис. 66.
Для преломленной продольной волны
sin 62//sin Bu = cl2/cn. (X.23)
216
(На рис. 66 изображен случай, соответствующий бг'льшей скорости
продольной волны во второй среде: сп > сп).
Наконец, для поперечной части преломленной волны имеем
sin G2T/sin e|T =- cx2.'cT1. (X.24)
Пусть, наоборот, падающая вг<лна поперечна. Независимо от
ее поляризации (которая сохраняется в отраженной и преломленной
поперечной волне вследствие изотропности рассматриваемых сред)
углы отражения б и и преломления б 2т определяются следующими
соотношениями:
е;х = 61Т, sin 62T/sin 6n = cx,/cxl. (X.25>
Если поперечная падающая волна трансформируется в продольные
волны, то на основании соотношения (Х.20) для углов отражения ь'м
и преломления 82/ этих продольных волн имеем
T = %/cxl> 1 (Х.26>
¦— для отраженной волны и
sin Vsin6iT=Wcn (X.27)
— для преломленной волны, причем угол преломления б2; может
быть и больше и меньше угла падения б и в зависимости от соотно-
соотношения между скоростями с/2 и Сц.
Полученные выражения (Х.21) — (Х.27) допускают больше ва-
вариантов для полного внутреннего отражения по сравнению с рас-
рассмотренным в гл. VII случаем отражения чисто продольных волн.
Явление полного внутреннего отражения может иметь место тогда,,
когда угол преломления превышает угол падения, т. е. скорость пре-
преломленной волны больше скорости падающей. Если скорость па-
падающей волны меньше скорости распространения обеих преломлен-
преломленных волн во второй среде — продольной и сдвиговой — то в этом
случае эффект полного внутреннего отражения возникает при двух
углах падения бь удовлетворяющих условиям:
sin Fikp)i = ^i/^2. 51пF1крJ=-сг/сТ2, (Х.28>
где сг — скорость падающей волны. Например, такая ситуация,
как правило, осуществляется при падении продольной волны из
жидкости на границу с твердым телом. В этом случае, поворачивая
отражающую грань твердого образца относительно падающего
ультразвукового пучка, можно наблюдать два последовательных,
возрастания интенсивности в отраженном пучке при углах, удовлет-
удовлетворяющих условиям (Х.28), т. е. при таких углах падения, при
которых исчезает сначала продольная, а затем поперечная прелом-
ленные волны в исследуемом образце. Таким способом можно изме-
измерить скорости распространения продольных и сдвиговых волн в изо-
изотропных твердых телах. Правда, этот способ не может обеспечить
высокой точности измерений из-за погрешностей в определении
217
углов, но зато он пригоден для измерений в сильно поглощающих
материалах (например, в твердых полимерах) и не требует приме-
применения преобразователей для возбуждения сдвиговых волн.
§ 3. Коэффициент отражения на границе твердого тела
при наклонном падении волны
Чтобы вычислить коэффициент отражения на границе твердого
тела, т. е. отношение энергии отраженной волны к энергии падаю-
падающей волны, необходимо, как мы это уже делали в гл. VII, составить
уравнения для всех волн с учетом направлений их распростране-
распространения и использовать граничные условия, которые состоят в том,
что на границе раздела должно выполняться равенство смещений
(условие отсутствия разрывов) и равенство напряжений, в данном
сл\чае — как нормальных, так и тангенциальных (условие равен-
равенства действия и противодействия). При этом, вообще говоря, наи-
наиболее важным с точки зрения практической реализации является
случай падения ультразвуковой волны на границ) твердого тела
с жидкостью или газом. Непосредственный полный акустический
контакт между двумя твердыми телами в ультразвуковом диапазоне
частот осуществляется очень редко; обычно он достигается с помощью
тех или иных переходных слоев, главным образом жидких. На
границе же с жидкостью сдвиговая ультразвуковая волна претерпе-
претерпевает практически полное отражение при всех углах падения; на
границе с газом (вакуумом) полностью отражается как сдвиговая,
так и продольная волны. В этом отношении случай полного отраже-'
ни я упругой волны в твердом теле от свободной его границы явля-1
-ется наиболее общим. Его мы и рассмотрим в первую очередь, а за-
затем учтем возможность «выхода» продольной компоненты в кон-
контактную жидкость в виде преломленной продольной волны.
В свою очередь, сдвиговую волну, поляризованную произволь-
произвольным образом относительно плоскости падения *, всегда можно
представить в виде суммы двух сдвиговых волн с взаимно перпен-
перпендикулярными смещениями, одно из которых лежит в плоскости па-
паления, а другое — перпендикулярно ей, т. е. параллельно отража-
отражающей поверхности. Последняя часть сдвиговой волны, как отме-
отмечалось в предыдущем параграфе, не создает продольных смещений
на границе и отражается от нее без особенностей. Поэтому нам оста-
остается рассмотреть только отражение сдвиговой волны, поляризован-
поляризованной в плоскости падения.
Итак, пусть на свободную границу изотропного твердого тела **,
расположенную при х = 0, под углом б к оси х падает сдвиговая
* Напомним, что под плоскостью падения волны на некоторую поверхность
понимается плоскость, образованная волновым вектором и нормалью к этой по-
поверхности. Под плоскостью поляризации поперечной полны в акустике понимается
плоскость, в которой лежит вектор смещения.
** По отношению к сдвиговым волнам под «свободной» границей можно по-
понимать границу как с вакуумом (газом), так и с жидкостью.
218
плоская ультразвуковая волна, поляризованная в плоскости паде-
падения, т. е. в плоскости ху (рис. 67, а). Поскольку рассматривается
одна среда, индекс 1 для падающих и отраженных волн опустим,
а смысл остальных обозначений сохраним: величины, относящиеся
к продольным волнам, будем отмечать индексом /, а относящиеся
к сдвиговым волнам — индексом т; характеристики отраженных
волн по-прежнему обозначим штрихом. Тогда волновые векторы
падающей и отраженных волн примут следующий вид: кт —
= птш/ст — для падающей сдвиговой волны, кх = п'ссо/ст — для
отраженной сдвиговой волны и к/ = п/со/с/ — для отраженной
продольной волны. Соответствующие единичные векторы можно
записать (см. рис. 67, о и анализ в гл. VII) как пт - cos б + sin б;
п'х -- --cos 8т + sin бт = —cos б -f- sin б; п\ - —cos б/ 4- sin б/,
где б — угол падения (равный углу отражения сдвиговой части
волны Вх), а 8/ — угол отражения продольной части волны, свя-
связанный с углом падения б соотношением (Х.26). Смещения в па-
падающей и отраженных волнах также обозначим соответственно
ит, и'х и U/, а их амплитуды как Лт, А'х и А]. Тогда уравнения трех
рассматриваемых волн можно записать для падающей поперечной
волны как
ит = [— п0 х nt] Ах e\p \i [со/ - kt ¦ г]} =
= Ах (cos 8 — sin 8) ехр {/со [t — (х cos б -j-у sin б)/ст]}, (Х.29)
где п0 — единичный вектор отражающей поверхности; для отра-
отраженной поперечной волны, которая, естественно, остается поляри-
поляризованной в той же плоскости падения, как
цт=/4T(cos>8 + sin б)ехр {/со [t— (—xcosQ-\-ysinQ)/cT]} (X.30)
и для отраженной продольной волны как
щ = A'i (— cos б/ -f- sin б/') ехр {/со [t — (— х cos б/ + у sin bi)fc,]}.
(Х.31)
Сложив все три волны, получим суммарное поле смещений во всех
точках тела:
u = ut-fu;+u;. (X.32)
Нас интересуют коэффициенты отражения от границы, т. е.
отношения рАх -- А'Х1АХ и рД[ = А\1АХ. Для их нахождения
необходимо использовать граничные условия, которые в данном
случае состоят в том, что на границе, т. е. при х — 0, должны рав-
равняться нулю обе компоненты тензора напряжений — нормальная и
тангенциальная:
tfv.v|x = 0~0. <5.xy х = 0 = О- (Х.ЗЗ;
Напряжения в изотропном теле связаны с деформациями t\>e
соотношением (Х.2), в котором константы Ламэ А, и f^i удобно выра-
выразить через плотности среды и скорости сдвиговых и продольных
219
Рис. 67,
волн, что с учетом соотношений (Х.10) и (Х.11) дает
он, = Р (с! - 2с\) 66» + 2р^8,,. (X.34)
Применяя к этому уравнению граничные условия (Х.ЗЗ), имеем
(лри х = 0)
, дб У я v Х » (Х.35)
/ Ос. их\ \
Р х \ду *~ дх )~~ х = о
где I и т] — проекции переменных смещений и на оси координат:
| -- | и \х и 1] - ! и \у. Произведя теперь в уравнении (Х.32)
с учетом выражений (Х.29) — (Х.31) необходимые дифференциро-
дифференцирования для нахождения деформаций, полагая в них затем х-0и
опуская временной множитель exp (iiot), с помощью граничных
условий (Х.35) получим два уравнения, из которых по схеме,
использовавшейся уже в гл. VII, найдем искомые отношения Ах/Ах
и AilAXf т. е. амплитудные коэффициенты отражения:
Ах Сх sin 26 sin 26/ — cj cos2 20 /у q~v
Ax cx sin 20 sin 20/ -j- c\ cos2 20'
Ai 2cicx sin 20 cos 20 /v o_v
Рд/ = = - — -, :, ^—, (X.37)
Ax ci sin 20 sin 29/ -f c/ cos2 26
причем углы 9 и 0/связаны между собой соотношением sin б/'/sin 6 =
= cticx.
Чтобы получить коэффициенты отражения по энергии, можно
представить вектор плотности потока энергии (интенсивности ульт-
ультразвука) в виде двух составляющих: параллельной и перпендику-
перпендикулярной границе раздела. Параллельная компонента не изменяется
при отражении, а нормальная ьомпонепта распадается на интен-
интенсивности продольной и поперечной волн. Поперечная волна отра-
жгется под углом, равным углу падения. Поэтому отношение нор-
нормальной компоненты интенсивности отраженной поперечной волны
к нормальной компоненте интенсивности падающей волны, т. е.
коэффициент отражения поперечной волны для интенсивности p/t
есть
р/т = (Л;МтJ. (Х.38)
Аналогичное же отношение для продольной отраженной волны,
которая отражается под другим углом 6/ у^ 0, принимает вид
Ai
Разумеется, при этом сохраняется баланс энергии, т. е. р/т +
4- р //= 1, в чем нетрудно убедиться подстановкой формул (Х.36)
и (Х.37).
221
Анализ этих формул показывает, что' при неквтором угле паде-
падения 6, удовлетворяющем условию
сх sin 26 sin 28J - cf cos2 26 = О, (Х.40)
поперечная отраженная волна исчезнет, т. е. падающая поперечная
волна полностью трансформируется в продольную. Нетрудно, од-
однако, убедиться, что это условие выполняется только для таких
сред, в которых отношение скоростей ctlcx >г у^З. Поскольку же,
согласно (Х.16), ctlcx = fB — 2vo)/(l — 2vo)l]/*, то условие (Х.40)
может выполняться только в средах, для которых коэффициент
Пуассона не превышает значения v0 <; 0,25.
Далее, из формул (Х.36) и (Х.37) видно, что падающая сдвиговая
волна не трансформируется (т. е. рА[ — 0 и р Ах — 0) при нормаль-
нормальном падении F — 0), а также при угле падения е = 45°. Однако
угол 6 — 45° превышает величину критического угла падения,
при котором угол отражения продольной волны становится рав-
равным л/2. Этот критический угол определяется соотношением
sin 9^ = ^. (Х.41)
Из формулы же (Х.16) следует, что отношение скоростей сх'с, не
может превышать величины 1/]/2. Таким образом, для любой
среды екр — arc sin (сх/с{) ^ 45° и становится равным 45° только
в случае жидкостей, для которых v0 — 0,5. В жидкостях же не мо-
может распространяться сдвиговая волна, поэтому фактически всегда
6кр<45°. Таким образом, значения критических углов для раз-
разных сред в соответствии с соотношениями (Х.41) п (Х.16) опреде-
определяются величиной коэффициента Пуассона. При обычном лгя про-
простых твердых тел значении v0 ^ 0,3 критический угол составляет
—30 -f- 35°. При углах падения б > 0кр уже имеет место полное
внутреннее отражение поперечной волны: отраженная продольная
волна отсутствует. При 6 - 6кр угол 6/ = 90°, т. е. продольная
волна распространяется параллельно отражающей границе. При
этом, согласно соотношениям (Х.36) и (Х.37), р Ах 1, а р А1 —
= B sin 6 sin 2б)'cos 26- Коэффициент отражения этой волны по
интенсивности, конечно, равен нулю, что вытекает и из выраже-
выражения (Х.39); знак минус при амплитудном коэффициенте отражения
поперечной волны означает (см. гл. VII), что она отражаете! с из-
изменением фазы на 180°, т. е. с потерей полуволны При углах
падения 6 > 6кр мы будем иметь картину, аналогичную той, кото-
которая уже рассматривалась в гл. VII по отношению к преломленным
продольным волнам в жидкостях при том же условии. Именно,
при 6 >- 6кр sin б/ становится больше единицы, т. е. угол %\ ста-
становится мнимым и та часть поля смещений, которая соответствует
продольной деформации, вырождается в неоднородную поверх-
поверхностную продольную волну, амплитуда которой убывает при уда-
удалении от отражающей поверхности (т. е. в направлении —х) по
экспоненциальному закону с показателем степени, пропорциональ-
пропорциональным cos 6/. При этом коэффициент отражения поперечной волны рАх
222
будет комплексной величиной, модуль которой равен единице,,
а фаза зависит от cos б/, т. е. от угла падения б. Таким образом,
трансформация падающей поперечной волны в продольную воз-
возможна только в ограниченном диапазоне углов падения, лежащих
в пределах 0° < Q < arc sin 1A — 2vo)'B — 2v,y)l1/2, т. е. практи-
практически до значений б = 30 ~ 35°.
Пусть теперь на свободную плоскую границу твердого тела под
углом б к оси х падает чисто продольная волна со смещением U/
и волновым вектором к/ — к/П/ = П/Со/с/ (см. рис. 67, б). Уравне-
Уравнение падающей волны с амплитудой смещений Л/ есть
U/ = Л/П, exp {/ [со/ — k,t\[ • г]} =
= Л, (cos б + sin б) ехр {/со [/ — (х cos б + у sin б)/С/]}. (Х.42).
Уравнения отраженной продольной волны с амплитудой сме-
смещения A'i и поперечной волны с амплитудой Л'х будут иметь преж-
прежний вид (Х.31) и (Х.ЗО), только нужно поменять обозначение
углов отражения: б —>- бт, a b't—*- б, поскольку теперь продоль-
продольная волна отражается под углом падения. Отраженная сдвиговая
волна будет, естественно, поляризована в плоскости падения, так
как падающая на границу продольная волна не создает смещения
по оси z. Таким образом, уравнения продольной и сдвиговой отра-
отраженных волн имеют вид
u^ = Л? (cos 6^ +sin б^) ехр {/со [t — (— xcos6t + #sin Q'T)/cx]\, (X.43)
u; = At (— cos б + sin б) ехр {/со [t — (—x cos б + у sin б)/с7]}. (Х.44)
Суммарное поле смещений в среде есть
Граничные условия также остаются прежними в виде уравнений
(Х.35). Произведя в них соответствующие дифференцирования и
решая полученные уравнения при х — 0 относительно A'ilA{ и
А'Х1АХ, находим амплитудные коэффициенты отражения для про-
продольных и сдвиговых волн:
A'i с'х sin 26 sin 26т— cj cos2 26T
Р'4/ ~ Ai ~ сх sin 26 sin 26т + cf cos2 2бт' /v . „ч
, (Л.4о)
_ 2cicx sin 26 cos 26т
~ cTsin 26 sin 26т + cf cos2 26т '
причем sin бх/sin б = cxlci. Для коэффициентов отражения по>
интенсивности соответственно получим p/z =¦ (Л/'/Л/J и р/т —
= ст cos B'x/(Ci cos б) (Лт/Л,J. Эти выражения также показывают,
что при некотором угле падения б, соответствующем условию
с; sin 26 sin 26; - cf cos2 26; = 0, (X .47)
падающая продольная волна полностью трансформируется в попе-
поперечную. При этом \словие (Х.47), так же как и условие (Х.40),.
223
выполняется лишь для ограниченного числа сред, для которых
Ci'cx^ K, т. е. v0 <; 0,25. Согласно формуле (Х.46), трансформа-
трансформация падающей продольной волны отсутствует при б = 0 (нормаль-
(нормальное падение), а также при некотором угле падения б, которому
соответствует отражение сдвиговой волны под \1лом бт = 45J.
Однако такой случай не может быть реализован, так как в соответ-
соответствии с изложенными ранее соображениями ему соответствует угол
падения б > 90°. Поскольку же сх <с ch то в рассматриваемом слу-
случае невозможно и полное внутреннее отражение падающей волны.
Рассмотрим теперь случай контакта твердого тела с жидкостью.
Пусть на плоскую границу с жидкостью из твердого тела под \г-
лом б к оси х (см. рис. 67, в) падает сдвиговая волна, поляризо-
поляризованная в плоскости падения (для волны, поляризованной в пер-
перпендикулярном направлении, всегда р Ах -= 1). Для волн, рас-
распространяющихся в твердом теле, мы сохраним все прежние обо-
обозначения. Суммарное поле смещений в твердом теле б\дет иметь
такой же вид (Х.32), как и в случае свободной поверхности, т. е.
u = uT + Ut + U/, где uT, Ut и \х\ — векторные смещения в падаю-
падающей поперечной, отраженной поперечной и отраженной продоль-
продольной волнах, соответственно описываемых уравнениями (Х.29) —
(Х.31). В жидкости может существовать только продольная волна,
характеристики которой снабдим индексом ж. Уравнение прелом-
преломленной продольной волны в случае, соответствующем рис. 67, в,
можно записать в виде *
4M — AiK(cosQ.2-\-sinQ2)exp {ко [/ — (xcos б2 -+-г/ sin 62)'c J}, (X.48)
где б2 — угол преломления, удовлетворяющий общему условию
(Х.20), т. е. sin 62/sin б =- cjcx.
При условии полного акустического контакта на границе между
твердым телом и жидкостью должна соблюдаться непрерывность
изменения нормальных составляющих напряжения и смещения.
Что касается тангенциальной составляющей тензора напряжений,
то она тоже должна быть непрерывной, но поскольку в жидкости
сдвиговые напряжения отсутствуют, то для тангенциальной соста-
составляющей напряжения условие на границе остается прежним, т. е.
она равна н\лю при х -= 0. Компоненты напряжений представлены
через деформации и скорости звука уравнениями (Х.34). Для
жидкостей сх ~- 0 и нормальная составляющая напряжения («отри-
(«отрицательное давление») охх = (—р) -- р й,Сж д^/дх. Таким образом,
равенство компонент напряжений на границе твердого тела с жид-
* Ранее, в гл. VII, мы записывали уравнение продольной волны в жидкости
через скалярный потенциал ср, который связан с вектором скорости смещения
(или самим вектором смещения, из которого колебательная скорость определя-
определяется дифференцированием по времени) соотношением и =" —grad rp. Аналогич-
Аналогичным образом для сдвиговых волн можно ввести векторный потенциал, однако
для большей наглядности мы непосредственно рассматриваем поле смещений.
224
костью приводит к граничным условиям в плоскости х = 0:
(л
Кроме того, на границе должно выполняться равенство нормальных
составляющих смещений, что дает
где ?т, 1'х и ?/ — х-компоненты векторов смещений в падающей и
отраженной поперечных волнах в твердом теле, описываемых урав-
уравнениями (Х.29) — (Х.31), а ?ж -- нормальная составляющая волны
продольного смещения в жидкости (Х.48).
Граничные условия (Х.49), (Х.50) дают три уравнения для на-
нахождения неизвестных амплитуд отраженных волн (А'х и А'{) и пре-
преломленной волны (Лж). Решив эти уравнения относительно А'Х1АХ,
A\iAx и Аж/Аг, получим формулы для коэффициентов отражения
(рлт и р ai) и прохождения (dA) сдвиговой волны, падающей на
границу твердого тела с жидкостью [64]:
— (рст sin2 20)/cos 9 /Y n
о » (А.О 1)
f (pc sin 20)/cos9
5;о
P>kc5k/cos ^2 + (Pc/ c°s 29)/cos 9/ -f (pcT sin 20)/cos9
A'l C[ cos 29 ,, , ч .„ __.
pA/=—= L——-A+pAt), (X.52)
Ax cx sin 29/
A +РЛт), (Х.ОЗ)
причем углы 6, б/, б, связаны друг с другом соотношениями
sin б//sin е — q/ct; sin 62/sin б = сж1сх. Величины рс — z в вы-
выражении (Х.51) представляют собой удельные волновые сопротивле-
сопротивления рассматриваемых сред по отношению к продольной или сдви-
сдвиговой волне, а величины рг'cos б — их отношения к направляю-
направляющим косинусам соответствующих волн. Если ввести «нормальные»
волновые сопротивления с обозначениями p^/cos e2 = ^L,
pt/'cos б/= г", pcT/cos б — г", то Ф°РмУлУ (Х.51) можно запи-
записать в более компактном виде:
К гж + г? cos2 26 - 2т sin2 26
Р
Пусть теперь из твердого тела на границу с жидкостью под
углом б падает продольная ультразвуковая волна. Поле смещений
в твердом теле будет описываться выражением (Х.45) в сочетании
с уравнениями для падающей и отраженных волн (Х.42) — (Х.44).
Уравнение преломленной волны в жидкости имеет прежний вид
15 В. А. Ш> гнлов 225
(X.48). Граничные условия также остаются прежними, и мы полу-
получим
А\ z^ + z"Tsm22Q'x-z?cos22Qx
9 (AD4j
жК K + i 29; ' (A<D4j
Ах сх sin ^9 ,. . /v rr,
Рлт=—= ~—^0-рл/), (Х.55
Л/ с/ cos 29т
(Х.56)
cos 92 cos 29T
причем sin бт/sin б = cx/cf, sin 62/sin б = сж/С[.
Учитывая соотношения между углами, можно видеть, что при
гж — 0 эти формулы переходят в полученные ранее для случая сво-
свободной границы изотропного твердого тела При 6=0 (нормаль-
(нормальное падение) в случае падающей сдвиговой волны формулы (Х.51) —
(Х.53) дают рАт = — 1, а р Al— d = 0; если же на границу раз-
раздела твердого тела с жидкостью нормально падает продольная
волна, то, согласно соотношениям (Х.54) — (Х.56), р А1 = (гж —
— zi)I(zm + zd> рлт = 0, dA ~ 2z, (гж -!- Z/), что совпадает с ре-
результатом, полученным в гл. VII для случая нормального падения
плоской продольной волны на границу раздела двух сред.
В заключение рассмотрим обратную задачу: о преломлении про-
продольной волны, падающей из жидкости на плоскую границу с твер-
твердым телом. Ранее, в гл. VII, мы решали такую задачу применительно
к двум жидкостям. Результат, который при этом получается для
коэффициента отражения и коэффициента преломления в виде
соотношении (VII 39) и (VI 1.40), вытекает непосредственно из фор-
формул (Х.54) - (Х.56), если положить в них сг - 0 (и гх — 0) Если
же продольная волна падает из жидкости на поверхность твердою
тела под некоторым углом б к этой поверхности, то она возбуждает
в нем и продольные, и сдвиговые смещения, в результате чего
в твердом теле возникают две преломленные волны, распростра-
распространяющиеся со скоростями Ci и сх под \глами 9/ и бт (рис 67, г).
Найдем коэффициенты отражения и прохождения эпгх волн.
Поле смещений в жидкости есть и — иж -f u^f поле смещений
в твердом геле — итв , = u; -f uT. Условие непрерывности нор-
нормальных компонент смещений в данном случае есть
««v + *4v = «/jc + «t*L-o- (X.57)
Условие же непрерывности нормальной и тангенциальной компо-
компонент напряжений на границе сохраняется в прежнем виде, т. е.
в виде уравнений (Х.49), справедливых при х — 0 Три граничных
условия (X 49) и (Х.50) дают три уравнения, из которых находятся
коэффициент отражения рА и коэффициенты прохождения аА1
и dAx падающей из жидкости продольной волны. Произведя соот-
226
ветствующие расчеты, получим
. _ Л ^ К«*26Т cose
Л/ Л 2?cos228T + 2'bm2eT-i-2'!< cose/ V
, =il = 2г>п28т cose
Ат Л г? cos2 26T + z" sin 26T + z* cos 8Y ' l '
причем sin 6/ 'sin e = С//сж; sin eT/sin 6 — ст/сж.
Таким образом, продольная ультразвуковая волна, падающая
под произвольным углом из жидкости на границ) с твердым телом,
распадается в нем на продольную и сдвиговую волны Вследствие
этого коэффициент отражения падающей волны от поверхности
твердого тела оказывается меньше, чем коэффициент отражения от
границы с жидкостью, которая имела бы значение рлсж — zh т е.
имела бы эквивалентное волновое сопротивление, равное волно-
волновом) сопротивлению данного твердого юла по отношению к чисто
продольным волнам. Действительно, для жидкостей сх — О, zx — О,
и формула чля коэффициента отражения (Х.58) с точностью до
фазового множителя (—1) переходит в выражение для коэффициента
отражения (VI 1.39) от среды, обладающей только объемной упру-
упругостью. Нетрудно убедиться, что удельное волновое сопротивление
границы твердого тела zlB т — z'l cos2 2eT + z" sin2 2eT, обуслов-
обусловленное возникновением в нем продольных и сдвиговых волн и
определяющее коэффициент отражения по формуле (X 58), меньше
удельного сопротивления гж = z'l — z, 'cos 6/, которым обладала
бы жидкость с таьой же величиной zh как и твердое тело, и которое
определяет коэффициент отражения в жидкости. В самом деле,
г г" / с. cos8,
-i^ = cos226T+ ^ sin229T = 1 —/1 Ь- L Sin226t.
2ж zi \ ci cos6t/
Так как, однако, всегда ct > сх и бг> бт. т- е. cos 6/<cos oT,
то 21В т/гж < 1, т. е. коэффициент отражения от поверхности твер-
твердого тела меньше коэффициента отражения от жидкости. Следо-
Следовательно, сдвиговая упругость отражающей среды приводит как бы
к уменьшению акустической жесткости ее границы. То же самое
можно сказать и о продольных волнах, падающих из твердого тела
на границу с жидкостью и распадающихся на отраженную про-
продольную и сдвиговую волны Это можно видеть, в частности, из
\равнения (Х.54): если положить в нем zT — 0, то при той же ве-
величине 2/ коэффициент отражения продольной волны увеличивается.
Впрочем, такой результат вытекает и из энергетическ! \ соображе-
соображений* если среда, в которой распространяется падающая продольная
15* 22?
волна, обладает сдвиговой упругостью, то часть энергии в отра-
отраженной волне приходится на сдвиговую волну.
Таким образом, трансформация волн в твердом теле при наклон-
наклонном падении продольной волны па границу между жидкостью и
твердым телом приводит к существенному различию результатов
по сравнению с теми, которые были полечены в гл. VII для гра-
границы раздела двух сред, обладающих только объемной упругостью.
При некотором угле падения Q продольной волны из жидкости на
границу твердого тела эта трансформация может достигать 100%.
Как видно из формул (Х.59) и (Х.60), такая ситуация имеет место
тогда, когда угол преломления сдвиговой волны 8Т — 45°. При этом
формулы (Х.58) — (X.G0) принимают следующий вид:
_2tcos9 —
2гжсов9
Ах гх cos 9 -}- 2Ж cos 9t'
Углу преломления сдвиговой волны вх — 45° соответствует угол
падения
8 = arcsin[(c/K/ct)]/'T72]. (X.62)
Поскольку почти всегда сж/сх <; у 2, то в отличие от рассмотрен-
рассмотренной ранее полной трансформации волны, падающей из твердого
тела, условие (Х.62) реализуется для подавляющего большинства
сочетаний жидкостей и твердых тел. Например на границе вода —
лед полная трансформация продольной волны в сдвпговую при тем-
температуре 0° С осуществляется при угле падения б — 30°; на гра-
границе вода — алюминий при 20° С б = 20,5°, и т. д. Это обстоятель-
обстоятельство может быть использовано для возбуждения в твердом теле
чисто сдвиговых волн с помощью преобразователя, излучающего
в жидкость продольные волны. При этом, правда, коэффициент
отражения продольной волны всегда составляет значительную ве-
величину, поскольку в первой из формул (Х.61) почти всегда бт > 8
и 2Т >¦ 2Ж, так что рд > 0 (обычно 0,4 — 0,6).
Потная трансформация продольных волн в сдвиговые в твердом
теле осуществляется также при углах падения из жидкости б -^
^ 0кр = arc sin (сж/с/), т. е. в случае полного внутреннего отра-
отражения продольной волны, а этот случай также реализуется почти
для всех сочетаний жидкостей и твердых тел, поскольку почти
всегда ct ~> сж и 8/ > 8 (см. рис. 67, г). При 9 — (8hp)i преломлен-
преломленная продольная волна распространяется в твердом теле параллельно
его границе, а при углах падения 8 > (81ф)! угол 8/ становится
комплексным, чему, как известно, соответствует неоднородная про-
продольная волна (в твердом теле), экспоненциально затухающая при
удалении от его границы. Наконец, при 8 ^= (8крJ = arctg (сл/сх)
то же самое произойдет и со сдвиговой волной, после чего коэффи-
коэффициент отражения падающей на твердое тело продольной волны при
всех углах падения становится по абсолютной величине равным
228
единице, и специфика отражения ультразвуковой ролиы от твер-
твердого тела по сравнению с отражением от границы раздела двух
жидкостей исчезает.
Все результаты, полученные в гл. VII, сохраняют силу также
и в случае нормального падения плоской ультразвуковой волны
из жидкости на границу с твердым телом. В этом случае (б = 8; =
= 0t --= 0) формулы (Х.58) — (Х.60) дают
zi гж л 2гж
РА г,+ гж' А~г,+ гж'
что совпадает с соответствующими выражениями (VII.8) и (VII.9),
полученными для случая нормального падения плоской волны из
менее жесткой среды на границу с более жесткой средой.
Очевидно, ничего нового не будет и в случае нормального паде-
падения плоской ультразвуковой волны из жидкости на плоскопарал-
плоскопараллельный твердый слой: все формулы, полученные в § 1 гл. VII,
будут справедливы и для этого случая.
§ 4. Поверхностные волны Рэлея
В предыдущем параграфе, как и в гл. VII, мы, по существу,
рассматривали влияние границ на распространение объемных волн
в толще среды. Выясним теперь характер возмущений и распростра-
распространения этих возмущении в непосредственной близости от свободной
границы изотропного твердого тела. Ведь заранее ясно, что по-
поскольку при любых деформациях напряжение на свободной гра-
границе равно нулю, а при удалении от границы оно возрастает до
некоторой величины, определяемой законом Гука (X 34), то эффек-
эффективная жесткость пограничного слоя будет отличаться от таковой
в объеме упругой среды, и, следовательно, будут отличаться харак-
характер упругих возмущений в этом слое и скорость распространения
возмущений вблизи свободной границы. Количественную картину
распространения таких поверхностных возмещений можно, оче-
очевидно, получить, исходя из общего волнового уравнения, справед-
справедливого во всем объеме упругой среды, найдя его решение для точек,
прилегающих к се свободной границе.
Пусть граница однородного изотропного твердого тела лежит по-
прежнему в плоскости уг, а ось х является ее внешней нормалью,
т. е. рассматриваемая среда занимает полупространство со значе-
значениями х < 0. Общее волновое уравнение для этой среды можно
представить в виде (Х.17), т. е.
понимая под и любые смещения U/ или ит, а под с — соответствую-
соответствующие скорости распространения сг или сх. Предусматривая особен-
особенность в направлении оси х, связанную с наличием свободной гра-
границы, запишем решение уравнения (Х.бЗ) в таком виде: и =
229
= / (л;) ехр U ((о/ — lu/)l, выделив в нем часть, зависящею от л%
и рассматргйая по-прежнему плоскую картину смещений. Под-
Подставив эго решение в уравнение (Х.63), получим уравнение для
функции / (v):
^-^ /(л-) = 0, (Х.64)
где с — кат условлено, скорость распространения продольной или
сдвиговой обьемной волны; к — волновой вектор рассматриваемой
волны. Если с»2/б2 >* /г2, то решением уравнения (Х.64) б)дет сину-
синусоидальная функция от х, и, следовательно, уравнение (Х.64)
дает обыкновенную плоскую волну (продольную или сдвиговую),
существующую при всех значениях х. Значит, интересным является
решение уравнения (Х.64) для случая, когда о>2/б2<;?2. Тогда
это решение будет представлять собой экспоненциальную функцию
с показателем степени .±л:|/~(/г2 — со2'с2). Далее, решение со знаком
минус означает неограниченное возрастание и по направлению
внутрь тела (л* <_ 0), т. е. не имеет физического смысла. Следова-
Следовательно, реальной является функция f (х) - /п ехр [хУ (k2 — co2/V;2)l,
и мы приходим к следующему решению волнового уравнения (Х.63):
и =/0 ехр (х*) ехр [/(<»>* — ty)], (X.65)
где f0 — некоторая константа, не зависящая от координат и вре-
времени, а х — \ {Щ> — <»2<^). Это решение соответствует волне,
распространяющейся вдоль оси у и экспоненциально затухающей
в направлении — х (внутрь тела), т. е. волне, с\ществую!цеп в тон-
тонком слое поверхности твердого тела. Такие волны называются
поверхностными или рэнеевскими, поскольку первые расчеты для
них были выпотнены Рэлеем [11.
Напомним, что по смыслу полученного решения (Х.65) входя-
входящая в него через параметр х скорость с различна для разных ком-
компонент смещгнья: компоненте И/ соответствует скорость ch а сдви-
сдвиговой компоненте ит — скорость ст. В объеме твердого тела эти
компоненты могут распространяться независимо друг ст друга
с соответствующими скоростями, т. е. объемные волны могут быть
и чисто продольными, и чисто сдвиговыми. В поверхностной же
волне, благодаря наличию свободной границы, смещение и всегда
смешанное: в нем присутствуют различные компоненты, которые,
вообще говоря, теряют смысл «продольных» и «поперечных». Соот-
Соответствующий расчет с использованием граничных условий показы-
показывает, что траектория смещения частиц в поверхностной волне пред-
представляет собой эллипс, большая ось которого перпендикулярна
поверхности, а малая — параллельна поверхности и ориентирована
в направлении распространения поверхностной волны, т. е. в дан-
данном случае — вдоль оси //. Соотношение между осями зависит от
отношения между скоростями с{/сг, т. е. от коэффициента Пуас-
Пуассона, и при значении v0 -- 0,3 оно составляет для частиц на поверх-
поверхности (# = 0) величину —-1,5. Скорость распространения поверх-
1
VF
V
Рис. 68.
\7
о
носткой волны Рэлея гр -= oifku также зависит от cjcx, т е от v^
и не зависит от частоты о>.
Интересно отметить, что (формально к этим результатам можно
прийти и на основании соотношений, полученных в предыдущем
параграфе, рассматривая волны Рэлея как вырожденный случай
отражения плоских волн, при котором коэффициент отражения"
падающей волны от свободной границы обращается в бесконеч-
бесконечность. Поскольку отражение и преломление волн на границах сред
физически обусловлено излучением колеблющейся границы, то
\ казанному условию (р а ~ °°) соответствует волновой процесс,
распространяющийся вдоль границы
без падающей волны, т. е. свободная
поверхностная волна. Скорость ее
распространения ср можно найти как
скорость следа отраженной волны
при коэффициенте отражения, рав-
равном бесконечности. Например, для
отраженной сдвиговой волны ср —
— 6\j/sin Ь°х при Pax ~ °°. Полагая
в формуле (Х.5П для коэффициента
отражения сдвиговой волны гж = 0 и
приравнивая нулю ее знаменатель, по-
получаем уравнение (c//cos 9/) cos2 6t +
- (rt/cos 8т) sin2 29T = 0, из которо-
которого с учетом соотношения между углами
diu Ъх (sin бт'мп Qi — Cx/ci) нетрудно
рассчитать значения sin бт°, определяющие скорость рэлеевской
волны как функцию отношения cxlct для данной среды, т. е. функ-
функцию коэффициента Пуассона, поскольку, согласно (Х.16), сх,С/^-
-- {{I —2v0) [2 A —v,,)]}1/2. Результаты такого расчета приве-
приведены на рис. 68, из которого видно, что при изменении v0 между
двумя предельными значениями 0 и 1/2 скорость рэлеевской волны
для различных сред колеблется от 0,874 сх до 0,955 сх, т. е. незна-
незначительно отличается от скорости объемных сдвиговых волн.
Поверхностные ультразвуковые волны различного типа, в том
числе рэлеевскче волны, играют важную роль в современной тех-
технической и физической >льтраакустике. Им посвящен ряд специаль-
специальных обзоров и монографий, с помощью которых можно ознакомиться
с этим вопросом более детально (см., например, работы [74—76]).
§ 5. Волны Лява
Рассмотренные ранее волны Рэлея могут распространяться по
свободной поверхности твердого тела. Для физической ультра-
ультраакустики интересен еще случай, когда на поверхности твердого
тела имеется тонкий слой другого твердого материала с иными
акустическими характеристиками. В таком слое при определенных
условиях могут распространяться упругие волны особого типа,
231
среди которых наибольший интерес представляют так называемые
волны Лява — сдвиговые волны со смещением, параллельным гра-
границе раздела. Для аналога этого случая рассмотрим плоскопарал-
лельный слой толщиной d, лежащий на поверхности твердого полу-
полупространства, характеристики которого снабдим индексом 1, в то
время как характеристики слоя оставим без индексов. Проведем
ось х перпендикулярно слою вглубь полупространства, а ссь у —
вдоль границы раздела и будем искать решение волнового уравне-
уравнения (Х.4) для обеих сред с отличными от нуля компонентами сме-
смещения иг = ?, не зависящими от z, полагая, что при х -> оо смеще-
смещения исчезают. Для таких смещений из уравнения (Х.4) получаем
соответственно для слоя и полупространства:
* *СЛ^ ^ ^LiS, (X.66)
+ Л, + ,
дя? ду* с'х № дх* ду* с\х дР
где с% и с1т — скорости распространения сдвиговых волн в слое и
полупространстве. В качестве граничных условий примем отсутст-
отсутствие напряжений на свободной границе слоя, т. е. при х = —d, и
равенство смещений и напряжений на границе слоя с полупростран-
полупространством, т. е. при х — 0. 3>ги условия дают:
д&дх — 0 при х = — d,
t = tlt рсх-± = рхс\т-^ при х = 0, (Х.67)
где р и рх — плотности материала слоя и полупространства соот-
соответственно. Будем по-прежнему искать решения уравнений (Х.66)
в виде синусоидальных плоских волн с частотой со, выделив в них
множители, зависящие от х:
(X.68)
где k = о»/сл — волновое число искомой волны; сл — скорость ее
распространения. Подставив (Х.68) в уравнения (Х.67), получим
Ц^ + k*af (х) = 0, ЦР - Л»р*Л (х) = 0, (X.69)
где а === У{сУс\— 1), р = |АA — с*л/с1х). Нетрудно видеть, что
вещественные корни уравнений (Х.69) существуют при выполнении
неравенства сх <; сл <; с1х, которое включает в себя условие сх <; с1х,
т. е. скорость сдвиговых волн в материале слоя должна быть меньше,
чем в материале «подложки». Из уравнений (Х.69) имеем для функ-
функций / (х) и Д (х):
f{x) = A sin (akx) -j- B cos (akx), „
Д (*) = С exp (— pb')+Dexp(P^x) ( " '
Для ограниченности решения fx (x) необходимо принять D — 0,
так что /х (х) = С ехр (—$kx). Из граничных же условий (Х.67)
следует:
232
Подставляя эти результаты в общие решения волнового уравне-
уравнения (Х.68), окончательно получаем:
иг = I = С Г cos (akx) - ^1 sin (afot)lexp [i (со/ - ky)];
L pet a J
Ci = Cexp[—jJAyc + i (со/ — %)].
Это решение и описывает волну Лява, распространяющуюся в на-
направлении оси у со скоростью сл и со смещением, параллельным
границе слоя и перпендикулярным направлению распространения.
Скорость этой волны легко найти из уравнений (Х.70) с учетом пер-
первого граничного условия (Х.67) и соотношений (Х.71), которые дают:
—С PiCi|/(pCt) (P/a) cos (akd) + С sin (akd) = 0, откуда
tg(aW) = p1cJtp/(pc?a). (X.72)
Так как & = со/сл, то это выражение и определяет скорость волн
Лява как функцию толщины слоя и соотношения между плотно-
плотностями и скоростями распространения обычных сдвиговых волн
в материале слоя и «подложки». Поскольку энергия волн Лява
концентрируется вблизи поверхности «подложки», то эти волны,
как и волны Рэлея, являются слабозатухающими и могут распро-
распространяться на большие расстояния. Однако скорость их распрост-
распространения согласно соотношению (Х.72) зависит от частоты, т. е.
волны Лява в отличие от волн Рэлея являются дисперсионными.
Другое отличие состоит в том, что волны Лява — чисто попереч-
поперечные, в них отсутствуют продольные смещения. Поэтому при нали-
наличии жидкости на свободной границе слоя она (в отличие от рэлеев-
ских волн) не должна влиять на распространение волн Лява (если,
эту жидкость считать идеальной). Однако в реальной жидкости,
как мы знаем, при сдвиговых смещениях возникают вязкие напря-
напряжения в пограничном слое, что должно привести к изменению гра-
граничных условий на свободной границе. Поскольку же волны Лява.
весьма чувствительны к условиям на границах, то наличие кон-
контакта с жидкостью должно привести к изменению скорости их рас-
распространения. Поэтому волны Лява могут быть использованы для
исследования сдвиговых характеристик жидкостей, что является
важной задачей молекулярной акустики.
Волны Лява могут распространяться также и в свободном слое
(пластинке) [64]. В слоях и пластинках мог>т существовать еще
другие типы волн с разной поляризацией, используемые в техни-
технической ультраакустике для различных частных целей. С анализом
этих волн, обобщенно называемых волнами Лэмба, можно позна-
познакомиться в работах [64, 74, 76, 77].
§ 6. Геометрическая дисперсия звука в стержнях
Рассмотрим теперь распространение объемных ультразвуковых
волн в изотропном твердом теле, ограниченном вдоль ультразву-
ультразвукового пучка, т. е. в однородном стержне. Строгий анализ про-
233.
дольных колебаний стержней в теории упругости производится на
основе принципа Гамильтона [731 и сопряжен с довольно громозд:
кими расчетами. Однако в низкочастотном приближении, когда
длина звуковой волны значительно превышает поперечные размеры
стержня, его упругость на растяжение и сжатие можно характери-
характеризовать модулем Юнга Е и решить задачу о распространении одно-
одномерных продольных волн в тонком (по сравнению с длиной волны)
стержне простым п\тем.
Проведем ось х вдоль стержня с площадью сечения S и выделим
в нем элемент объема толщиной dx. Деформация в точке х есть
д\1дх\ по закону Гука д^/дх = FX/(ES), где Fx — сила, приложен-1
ная к сечению с координатой х: F х — ESd^/dx. На противополож-
противоположную грань с координатой х -f dx действует сила Fx dx, которую
в линейном приближении можно представить в виде /\ dK = Fx +
-f (dFxldx) dx. Таким образом, результирующая сила, действую-
действующая на выделенный элемент объема вследствие деформации стержня,
есть
F = F,, „ - F, = ¦§- dx = ±- {ES §) dx. (X .73)
Эта сила сообщает элементу с массой т ускорение md2l/dt2. Прирав-
Приравнивая это ускорение правой части выражения (Х.73) и полагая
5 = const, получаем волновое уравнение для бесконечно длинного
тонкого стержня с плотностью р = ml{Sdx) (нулевой индекс по-
прежнему опускаем): Ed2l/dxi = pd2r?/dt2 или
д*Цдх* = с?д*1/дР, (Х.74)
. (X.75)
Уравнение (Х.74) описывает распространение одномерной волны
растяжения вдоль стержня со скоростью сст, определяемой форму-
формулой (Х.75), в которой роль эффективной жесткости в данном случае
играет модуль Юнга Е (динамический, конечно). Заметим, кстати,
что поскольку мы рассматриваем одномерную задачу, то формула
(Х.75) в равной мере относится и к стержню, вырезанному из ани-
анизотропного материата в некотором направлении, в котором его
упф\тость характеризуется данным знс«ением модуля Юнга Е.
Сравним полученный результат (Х.75) для скорости звука в
стержне со скоростью распространения продольных волн в неогра-
неограниченном твердом теле, выраженной через модуль Юнга. Согласно
табл. 11, эта скорость равна
—Л/ Е A~vo) /v 7RV
-У jji+wT=2Zy (X-76)
где v0 — коэффициент Пуассона. Так как v0 <; 1/2, то эффектив-
эффективная жесткость в этом случае оказывается больше на величину,
определяемую множителем A — vo)/[(l + vo)(l — 2v0)] > 1, так
что скорость звука в неограниченной среде превышает скорость
в тонком стержне. Поскольку обычно v0 = 0,25 ч- 0,30, то это пре*
234
вышение имеет значительною величину: ~10%. Для реальных тел
условие безграничности означает, что длина волны ультразвука Л1
много меньше поперечных размеров данного тела. Следовательно,
величина скорости звука с(, определяемая выражением (Х.76),
относится к высокочастотному пределу (со -*¦ оо), в то время как
величина сст по формуле (Х.75) — к низкочастотному (со ->¦ 0),
когда длина волны становится много больше поперечных размеров
стержня. Таким образом, в стержнях существует дисперсия ско-
ростл звука, которая в данном случае называется геометрической
дисперсией, поскольку она связана с размерами тела.
Физическую причину различия предельных значений сст и с(
легко понять, учитывая, что это различие связано с коэффициентом
Пуассона, который определяет сокращение поперечных размеров
стержня при его удлинении. В случае тонкого стержня изменение
его поперечных размеров при продольных деформациях не встре-
встречает сопротивления со стороны внешней среды, что эквивалентно
меньшей эффективной жесткости по сравнению с безграничным те-
телом при v0 Ф 0. В свою очередь, наличие поперечных пульсаций
при распространении продольных волн в тонком стержне означает
зависимость его поперечных размеров, т. е. площади 5, от коорди-
координаты х, что не учитывалось при выводе уравнения (Х.74). Учет
этого обстоятельства, выполненный Рэлеем [II для круглого стер-
стержня радиусом R, приводит к убыванию скорости сст с увеличением
частоты при R <; А. Физическая причина этого явления состоит
в том, что возбуждение радиальных колебаний при продольных
деформациях стержня приводит к большей кинетической энергии
колеблющихся частиц по сравнению с чисто продольными колеба-
колебаниями, что эквивалентно большей колеблющейся массе, т. е. мень-
меньшей эффективной жесткости для продольных волн. Когда длина
волны А становится соизмеримой с диаметром стержня, попереч-
поперечный эффект вызывает резонансные радиальные колебания. В резо-
резонансной области наблюдается аномальная дисперсия: скорость про-
продольных волн падает до нуля, а затем при дальнейшем увеличении
частоты быстро возвращается из бесконечности, устремляясь к но-
новому, высокочастотному предельному значению с (оо) = ch опре-
определяемому формулой (Х.76). Общая картина геометрической дис-
дисперсии качественно изображена на рис. 69, который хорошо со-
согласуется с экспериментальными данными [12]. Вся область суще-
существенной дисперсии на этой картине располагается в небольшом
диапазоне частот, соответствующем изменению длины волны Л
на ±C0 -f- 40)% относительно радиуса стержня. Однако, как пока-
показывает опыт, при точных измерениях скорости распространения
ультразвуковых волн в стержневидных образцах геометрическая
дисперсия ощущается даже тогда, когда поперечные размеры стер-
стержня превышают длину ультразвуковой волны в десятки и сотни
раз [78].
Так или иначе, вдали от области дисперсии скорость продоль-
продольных волн в стержнях определяется формулой (Х.76) при Л <^ R
235
или формулой (Х.75) при Л ;> R. На ультразвуковых частотах
практически всегда измеряются с большей или меньшей точностью
значения с, соответствующие в предельном случае неограниченной
среде; эти значения и приведены в данной книге во всех таблицах,
относящихся к твердым телам. Значения ссг из них мог\т быть легко
рассчитаны на основании форму-
формулы (Х.76) при известном коэффи-
коэффициенте Пуассона.
В заключение заметим, что соб-
собственные частоты колебаний пло-
плоскопараллельного слоя из твердо-
твердого материала, связанные с ограни-
ограничением его толщины d, будут,
очевидно, определяться прежней
формулой (VIII.24), полученной
для поперечно-безграничной среды,
т. е. сая = nncld или \п = nc/Bd),
где п = 1, 2, 3, .... Однако для
Рис 69. продольных волн в случае огра-
ограничения поперечных размеров слоя
величина скорости звука, входящая в эти формулы, вследствие
геометрической дисперсии будет зависеть от длины волны, соответ-
соответствующей данной частоте vn. Для основной частоты (п = 1) длина
бегущей волны равна удвоенной толщине слоя 2d\ дисперсионный
же скачок скорости звука в цилиндрическом образце радиусом R
лежит в области Л ~ R. Следовательно, цилиндрический слой, про-
продольные размеры которого больше поперечных, будет вести себя
по отношению к основной собственной частоте продольных колеба-
колебаний как «стержень», а слой, толщина которого меньше поперечных
размеров, — как «пластинка» в акусто-геометрическом смысле этих
слов, т. е. в первом случае частота основного тона будет опреде-
определяться значением скорости ссг, а во втором — высокочастотным
значением с (оо) = с,. Разумеется, при возбуждении на обертонах
это соотношение будет изменяться в пользу последнего.
§ 7. Нелинейная упругость и начала
нелинейной акустики твердых тел
Если в задачах о распространении ультразвука в твердых телах
не ограничиваться бесконечно малыми деформациями, то тензор
деформаций eik нужно записать в полной форме A.5), т. е.
1 / дщ дик дщ дщ \
lk ~ 2 \ dxk ~^ dXi ~т~ dxt дхк)'
Тензор напряжений oik, как было показано в гл. I, при адиабати-
адиабатических процессах может быть выражен через внутреннюю энергию U
общим соотношением A.20): oik = dU/д (dujdxk). Внутренняя энер-
энергия изотропного тела инвариантна относительно преобразования
236
координат. С другой стороны, она является функцией только дефор-
деформации тела (дисснпативные процессы не учитываем, считая деформа-
деформацию идеально упругой). Следовательно, внутренняя энергия должна
зависеть только от инвариантов тензора деформации. Этими инва-
инвариантами в данном случае будут величины [6, 19, 79]: Jx — в == е„,
У2 = (гЬ - е?а)/2, J3 = 1с/йе„е„ - C/2) *&„ + (V2) efJ/3. По-
Поскольку деформации всегда малы, внутреннюю энергию U можно
по-прежнему разложить в ряд вблизи энергии недеформированного
состояния. Считая его равновесным и сохраняя члены третьего
порядка малости, теперь получаем:
ггкгпгы + Befken
е|/.
(X.77)
По сравнению с прежним выражением A.21), полученным для
случая линейной упругости, характеризуемой двумя модулями X
и ц, здесь появились еще три константы А, В и С. Поскольку эти
константы входят в разложение энергии при кубических членах,
их называют модулями упругости третьего порядка или нелиней-
нелинейными модулями. Таким образом, упругость изотропного твердого
тела в первом приближении характеризуется в целом пятью кон-
константами, и поэтому нелинейную теорию упругости, основанную
на таком приближении, называют «пятиконстантной». Следующие
приближения потребовали бы введения еще четырех модулей чет-
четвертого порядка, пяти модулей пятого порядка, и т. д. В дальней-
дальнейшем мы ограничимся основами только пятиконстантной теории.
Подставляя в уравнение (Х.77) компоненты тензора деформаций
A.5) н вводя вместо констант Ламэ модуль объемной упругости
К = А, --г B 3) j-i и модуль сдвига G =- \i, получаем с точностью до
величин третьего порядка малости:
du,
dxk
+ (
B + K
2
\2 .
G
3
1 2
/ К
\ 2
\ d<
у ах
з / V
11 1 dut
I [ dxk
dx, dxi
' diit
dxi
\* 1
) '
л
12
3 (
- f G
diij
dxk
dx, )
A
4 ,
duk
•
^ dui diii
j dXk dx{
du,
dxk 1
diii
dxk
Пользуясь этим выражением, записываем для компонент тензора
напряжений согласно их определению A.19):
3
У \dx,
dxt
дщ
+
(X.79)
237
где 6t7, — символ Кронекера. Нетрудно видеть, что в пренебреже-
пренебрежении квадратичными членами выражение (Х.79) переходит в линей-
линейный закон Гука для изотропного твердого тела (Х.2). В первом
нелинейном приближении связь между напряжениями и деформа-
деформациями становится значительно более сложной даже для изотроп-
изотропных тел.
Подставив теперь выражения для напряжений (Х.79) в уравне-
уравнение движения для изотропного твердого тела (Х.1), получим его
в виде
~(g+4u^:p-+
3 / dxt dxt
4 / \ dxk oxi oxk oxi oxk oxk i
dxk ' dxi дх^ dxi J
д-щ dui
dx'k dxt \ 4 j\dxl dxk dx{
^~- (X.80)
Уравнение (Х.80) вместе с граничными и начальными услоЕ -.мп
является основным уравнением нелинейной (пятпконстантной, teo-
рин упругости. Его нелинейность обусловлена дв} мя причинами.
Это, во-первых, чисто геометрическая нелинейность, связанная
с нелинейностью тензора деформации A.5). Во-вторых, это нели-
нелинейность, связанная с отклонением упругости данного тела от
линейного закона Г>ка, т. е. «физическая» нелинейность. Физиче-
Физическая нелинейность характеризуется модулями третьего порядка Л,
В и С, которые могут быть определены аз результатов измерений
зависимости скорости распространения ультразвуковых волн с раз-
разной поляризацией от тех или иных статических напряжений [19,
80]. Такие измерения модулей третьего порядка важны в современ-
современной физике твердого тела, поскольку физическая нелннегность
твердых тел связана с их структурными особенностями. К настоя-
настоящему времени, однако, подобные измерения проведены лишь для
весьма ограниченного количества изотропных твердых тел п неко-
некоторых высокосимметричных кристаллов [80].
В заключение отметим, что поскольку пятиконстантная теория
упругости учитывает только величины второго порядка малости,
то для решения уравнения движения (Х.80) естественно воспользо-
воспользоваться методом малого параметра (см. § 8, гл. IV), представив век-
вектор смещения и в виде и — и' + и" -t- ..., где и' — вектор смеще-
смещения в первом (линейном) приближении, а и" — вектор смещения
во втором приближении, малый по сравнению с и'. Тогда из урав-
уравнения (Х.80) получим уравнения первого приближения:
р dt2 dxk \ 3; dxt dxt
238
и уравнения второго приближения:
)гт-=^ <х-82>
xdx
где /• = /,' (и') — вся правая часть уравнения (Х.80) как функция
линейной части вектора смещения и'. Из вида уравнения (Х.82)
следует, что величины второго порядка малости, как это было и
в случае жидкостей, возникают под действием сил, вызванных сме-
смещениями первого (линейного) приближения.
Дифференцируя уравнение (Х.82) по хх при i = 1, по л\2 при
i — 2 и по х3 при i — 3 и складывая, получаем
Аналогично
В этих уравнениях продольная компонента второго приближения,
для которой V-u"=t^0, отделена от поперечной компоненты, для
которой V хи" Ф 0. Таким образом, мы приходим к двум нелиней-
нелинейным волновым уравнениям, описывающим во втором приближении
распространение ультразвуковых волн конечной амплитуды в изо-
изотропном твердом теле и относящимся соответственно к продольной
и поперечной компонентам смещения второго приближения. В этом,
собственно, состоит основное отличие нелинейной акустики твер-
твердого тела от подробно рассмотренной нами в гл. IV картины рас-
распространения волн конечной амплитуды в жидкостях и газах, где
возможны лишь продольные волны.
Глава XI
РАСПРОСТРАНЕНИЕ УЛЬТРАЗВУКА В КРИСТАЛЛАХ
§ 1. Общие акустические уравнения для кристаллов
Кристалл является анизотропной средой, поэтому >равнение
движения для него в линейном приближении должно быть сохранено
в общем виде A.11). Напряжения oik можно выразить в этом же
приближении через деформации с помощью соотношения A.13в):
<*ik=cikljzlJt (XI. 1)
в котором модули упругости сШ} должны быть записаны с четырьмя
индексами (i, k, I, j — 1, 2, 3). Учитывая, что, согласно определе-
определению A.2), для малых деформаций е/у = A/2) (duj/dx/ -+- ди,1дх}), и
подставляя соотношение (XI. 1) в уравнения движения A.11), при-
приведем его к одной неизвестной в виде вектора смещения:
Если в выражении cUllld2u,/dxkdxJ изменить обозначения немых
индексов / на /, а / на /, то получится ciknd'liijldxkdxi. Тензор же ciU]l
симметричен по второй паре индексов; следовательно, оба слагае-
слагаемых в скобках в уравнении (XI.2) равны между собой, и уравне-
уравнения движения в компонентах вектора смещения и принимают сле-
следующий вид:
д2и,
Это выражение по-прежнему содержит три \ равнения для компонент
смещения и{ — иъ иг, щ (т. е. ?, х\ и ?), и в каждом уравнении про-
производится суммирование по индексам k, I и у.
Для плоских монохроматических волн вектор смещения может
быть записан в виде
u = umaX ехр {/[со/— к-г]}, (XI.4)
240
где umax — векторная амплитуда смещения (не зависящая ни от
координат, ни от времени), г (х1У х2, х3) — вектор положения; к —
волновой вектор. Согласно определению, к = кп = по)/сО) где п —
единичный вектор нормали к волновому фронту с составляющими
по осям прямоугольных координат («направляющими косинусами»)
ni = пху пг = пу и пз = пг- Следовательно, волновой вектор к
имеет компоненты k{ — klt /г2, k3 = knlt kn2, kn3 = /г;(о/с0. Учи-
Учитывая это, произведем двойное дифференцирование в уравнении
(XI.3). Имея в виду, что kr = 2yfe/r/- и что поэтому дифференциро-
дифференцирование уравнения (XI.4) по х} эквивалентно умножению его на
—ikj = —m;(o/c0, а дифференцирование по времени эквивалентно
умножению на гсо, получим для каждой г-й компоненты смещения
(XI.5>
Используя символ Кронекера
= 1 при * = /,
= 0 при i Ф j
и записав ut в виде ut = б^ы,, уравнению (XI.5) можно придать
еще такой вид, опустив опять нулевые индексы, соответствующие
линейному приближению:
Это наиболее общее соотношение известно в теории упругости
под названием уравнения Кристоффеля. Его удобнее представить-
через некий тензор Г,, в форме
= О, (XI. 7}
где Гц ss сШ)Пкщ. (X1.8)
Уравнения (XI.5) — (XI.7) представляют собой систему трех
однородных уравнений первой степени относительно неизвестных
величин ut = их, иу, uz. Такая система имеет отличные от нуля
совместные решения, если определитель, составленный из коэффи-
коэффициентов при Uj, равен нулю, т. е.
Это есть уравнение третьей степени относительно с2, которое,
вообще говоря, имеет три корня, зависящих от направления рас-
распространения плоской волны. Величина с2 в уравнениях (XI.5) —
(XI.9) по ее определению является квадратом скорости звука,
т. е. скорости распространения данного смещения и{. Следова-
Следовательно, в плоской волне, распространяющейся в кристалле в произ-
произвольном направлении, результирующее смещение может быть пред-
представлено в виде суммы трех компонент ut (являющихся по опреде-
i/216 В, А. Шутилов 241
лению взаимно перпендикулярными), каждая из которых характе-
характеризуется разной скоростью распространения. Иначе можно ска-
сказать, что для каждого направления в кристалле существует «три
независимые волны» с разными фазовыми скоростями и взаимно
перпендикулярными смещениями. При этом в общем случае, как
следует из уравнений (XI.5) — (XI.9), компоненты смещения ut
не обязаны располагаться вдоль нормали к фронту волны или па-
параллельно фронту, как в изотропном твердом теле. Это означает,
что в упругоаннзотропной среде направление волнового вектора
в общем сл>чае не совпадает с нормалью к фронту волны, т. е.
плоская волна в ней распространяется под некоторым углом к на-
направлению л\ча. При этом такая волна не является в общем случае
ни чисто продольной (в которой смещение совпадает с волновой
нормалью), ни чисто поперечной. Во многих случаях, правда,
в этой волне можно выделить одну из компонент ut, которая обра-
образует небольшой угол с нормалью к волновому фронту п; тогда две
другие компоненты образуют небольшой угол с плоскостью фронта
волны. Соответствующие таким смещениям волны называют квази-
квазипродольной и квазипоперечными.
Однако, как показывает анализ уравнений (XI.5) — (XI.9),
в кристаллах можно выделить и такие направления п, вдоль кото-
которых одна из компонент вектора смещения полностью совпадает
с волновым вектором, т. е. соответствует чисто продольной волне.
Поскольку три компоненты смещения перпендикулярны друг другу,
то в этом случае две другие компоненты будут лежать в плоскости
волнового фронта, соответствуя сдвиговым волнам. Таким образом,
в кристаллах можно выделить направления, вдоль которых могут
распространяться чисто продольная и чисто поперечная волны (со
скоростью, зависящей от поляризации). Эти направления называют
«изонормальными»; таких направлений в данном кристалле может
быть несколько. Обычно они связаны с осями высокой симметрии.
Существуют еще такие направления, вдоль которых может в чистом
виде распространяться только одна сдвиговая волна определенной
поляризации. Вообще любое направление, вдоль которого может
распространяться хотя бы одна чистая ультразвуковая волна,
принято называть особенным [81—87]. Очевидно, законы распро-
распространения данной волны в данном особенном направлении кри-
кристалла не будут отличаться от законов распространения волны той
же поляризации в изотропном теле, и соответствующие уравнения
для нее можно записывать в скалярной форме. В литературе по
аналогии с оптикой иногда еще употребляется понятие акустиче-
акустических осей, как таких направлений, вдоль которых совпадают фазо-
фазовые скорости двух поперечных волн [83, 84]. В отличие от оптиче-
оптических осей, однако, таких направлений в кристаллах может быть
несколько.
Скорости распространения продольных и сдвиговых волн в раз-
разных направлениях связаны с различными динамическими модулями
упругости сШг Последние, в свою очередь, могут быть определены
242
путем измерении скорости ультразвука в тех или иных «срезах»
кристалла, т. е. в таких его образцах, грани которых вырезаны
перпендикулярно выбранному направлению [88, 89]. Подобные
измерения составляют одну из важных задач ультраакустики.
В связи с этим в следующих параграфах мы рассмотрим связь
между скоростями звука и модулями упругости в наиболее удобных
срезах для различных кристаллографических групп, приведенных
в табл. 1.
§ 2. Связь между модулями упругости и скоростями
распространения ультразвука в кристаллах
Для более удобного обозрения запишем уравнения (XI.5) —
(XI.8) в развернутом виде, заменив индексы i, k, I, j на x, у, zy
четырехзначные тензорные индексы у модулей — на двухзначные
матричные индексы п — 1, 2, ..., 6, т = 1, 2, ..., 6, использованные
в гл. I и табл. 1, а для компонент смещения их, иу, и~ примем преж-
прежние обозначения ?, ц, ?. Заметим при этом, что уравнения (XI.5) —
(XI.7) в равной мере относятся как к переменным смещениям, так
и к их амплитудам, поскольку переменные значения отличаются
от амплитудных только фазовым множителем exp [i [Ы — k-r]j^
который в уравнениях (XI.5) — (XI.7) можно опустить. В резуль-
результате система уравнений в компактной форме б>дет иметь следую-
следующий вид:
Р^ femax == fcma.xl ц ~Т~ ^max-l 12 1 smax-l 13,
Р^ Лтах = femaxl 21 1 ЛтахА 22 ~Г femaxl 23> (XI. lOaf
Р^%тах == femax-1 31 Г Лтах-1 32 г ьтахА 33,
ГДе|тах ( = W.vmax). "Птах ( = «i/ max) И ?тах ( = 11гтах) — ЭМПЛИТуДЫ
смещений uh а компоненты симметричного тензора Гу согласна
его определению (XI.8) в развернутом виде можно записать как
Ги = ntfivx + nycw + п\съь + 2nytizcm + 2пхпгсгъ +
Г22 = nlcM + п1сгг + «^44 + 2пупгс.н + 2/г^/г^
33 + 2nynec3i + 2пхпгсзь + 2пх
= Г31 = п\сл 6 + ПуСм + п|с35 + пупг
хпг (с13 + съъ) + пхпу (сьв + си), (X1.1 Об)
Г23 = Г32 = ПхСьв + HyC2i + П2гС34 + ПуПг (с23
+ nxnz (с^ + сзв) + пхпу
Г12 = Г21 = ПхС1в + П]ры + /7|<745
хп- (сьв + си) + пхпу (сх, + с,в).
Уравнения (XI. 10а) позволяют найти относительные величины
трех взаимно перпендикулярных смещений в плоской волне, рас-
распространяющейся в направлении нормали п к волновому фронту.
Чтобы одно из этих направлений соответствовало чисто продольной
волне, полное векторное смещение и должно быть параллельным п.
Остальные две волны в этом случае должны быть поперечными.
Математически условие коллинеарности векторов и и п есть u x n =
= 0, что дает
femax^f/ Т]тах^лт =х= *Л
ЛтахЯ* — tmaxtly = 0; (XI. 11)
Ьтах^л ьтах^г ~ "•
Отсюда получается, что составляющие вектора смещения по осям
координат (в частности, их амплитуды ?тач, г\так и ?тах) будут от-
относиться друг к другу так же, как и составляющие вектора нор-
нормали п, т. е. условие коллинеарности векторов и и п приводит
к соотношению
tlx '. Пу '. tlz = §max •' "Птах • Ьтак» (Л 1. IZJ
Это соотношение позволяет заменить в уравнениях (XI. 10) компо-
компоненты смещений ut на пропорциональные им соответствующие
компоненты вектора нормали nt, сведя тем самым эти уравнения
к уравнениям относительно щ для изонормальных направлений.
Дополнительным условием для распространения чисто поперечных
волн, очевидно, является условие
un = 0, (XI.13)
Т. в. imax«* + Tlmax«l/ + Smax«?=O. (XI. 14)
Соотношения (XI.11) — (XI.14), таким образом, позволяют
выбрать среди разных решений системы (XI. 10а) такие решения,
которые удовлетворяют этим условиям. Последние же в свою оче-
очередь определяют те направления в данном кристалле, вдоль кото-
которых могут распространяться чисто продольные и чисто поперечные
ультразвуковые волны При этом наличие элементов симметрии
сокращает число независимых и отличных от нуля модулей упру-
упругости стп, упрощая уравнения (XI. 10а), т. е. их решение и нахожде-
нахождение особенных направлений. Наиболее простой таблицей модулей
упругости обладают кристаллы кубической симметрии. Для этих
кристаллов мы и выполним подробные расчеты, а для кристаллов
более низкой симметрии приведем соотношения, связывающие
скорости звука с модулями упругости в оптимальных срезах.
§ 3. Кубические кристаллы
Согласно табл. 1 для кубических кристаллов (IX группа) имеем
^11 = ^22 = ^33» ^12 == ^21 = ^13 =г ^31 = ^23 = ^32» ^44 = ^55 = ^вв> Т. в.
число независимых модулей равно трем, отличных от нуля — две-
двенадцати. Уравнения (XI. 10а) после приведения подобных членов
244
в данном случае принимают вид
ф? ?44' «max == (^ц ^44/ ЪтахПх I (^12 I ^44' Цтах^к^у ~Г"
I (^12 I ^44/ bmax ^x^zt
(р? ?44) I^max = (?12 ~Ь^44/ Smax^v^y ~Г (?ц ^44/ "Птах^г/ г /лгт i к\
^44)bmax^nr,
tmaxnxtlz + (f + ) f
Решая эту систему уравнений относительно ?тах> "Птах и и
получаем:
-,тах — > » "Птах —
Лlfi
2» Ьтах — .>
А-\-Впу А-\-Впг
где Л ^ (р?2 — ^44)/б'44» ^ ^ (ci2 — ^п -t" 2^44)/^44. Применяя теперь
к найденным амплитудам смещений условие изонормальности (XI. 12),
находим соотношения для компонент вектора единичной нормали
п, пу пг
Пх\Пи.Пг — ;'. -: '- ;. (XI. 16)
у A^-Bni A-^Bnu A + Bnz V '
Эти соотношения и определяют все возможные направления в кри-
кристалле, вдоль которых мог^т распространяться чисто продольные
(и чисто поперечные) волны.
Нетрудно видеть, что соотношение (XI. 16) прежде всего выпол-
выполняется для любых // при В — 0, т. е. при условии cAi = (сп — сп)/2,
которое является условием изотропности. В силу этого величина
Ь^2си (си-с12) (XI. 17)
является мерой анизотропии кубического кристалла и может быть
названа фактором анизотропии. Тогда В = 2 A — \1Ь)\ для изот-
изотропного тела, в соответствии с выражением A.14), Ь — 1 и В — 0.
Таким образом, в изотропной среде все направления являются
«изонормальными»: в любом из них может распространяться про-
продольная волна, а при наличии сдвиговой упругости — и поперечная
волна, скорость которой не зависит от поляризации.
Если В -{=¦ 0, то соотношение (XI. 16) выполняется при следую-
следующих условиях:
пх=1, п^=Пг = 0; пу=\, пх = пг = 0; пг= I, пк = пу = 0;
(XI.18»
Чтобы «привязать» эти направления к кристаллографическим осям, необ-
необходимо договориться об их выборе. Основные кристаллографические оси а, Ь, с
принято проводить вдоль ребер элементарной ячейки кристалла, откладывая
на них единичной отрезки а„, Ьо, с0, определяемые периодом кристаллической
решетки [90—93! Углы между этимч осями ос, ft и у могут отличаться от 90°.
Креме того, употребляется прямо) гольная система координат X, У, Z (оси, свя-
16 В. А. Ш>тилов 245
Гексагочапьчая
тоигональная
ш -ось С4 ~-осьСс а
! У , J J
@ - и нвереионная есь С г} s -инверсионная ось
ль-ось лежит 8плоскости симметрииf
TiLrn-нормаль к плоскости, симметрии.
Рис, 70.
занные с кристаллом, мы будем обозначать прописными символами), выбираемых
таким образом, чтобы ось Z (,| с) совпадала при возможноеiи с осью симметрии
наиболее высокою порядка, а две другие — с двумя или по крайней мере с од-
одной из осей а и Ь. Общепринятый выбор ориентации осей а Ь, с и прямоугольных
«кристаллографических» осей X, V, Z для разных кристаллографических систем
приведен на рис. 70 (а—е), где указаны также элементы симметрии соответ-
соответствующие этим осям, и характеристики параметров элементарных ячеек. В пунк-
пунктирных кружках на рисунке указаны символы элементов симметрии кристалла,
относительно которых ориентирована соответствующая ось. Произвольные на-
направления в кристалле относительно кристаллографических осей лр/водятся
в обоз;|Я'.ениях Миллера в относительных величинах проекций элементарных
отрезков в квадратных скобках.
Для кристаллов кубической симметрии кристаллографические
оси совпадают с ребрами куба, т. е. с осями симметрии четвертого
порядка С4, и длины единичных отрезков а0, Ьо, с0 равны друг другу
(см. рис. 70, а). На рис. 71 показаны те кристаллографические
Рис. 71.
направления, которые соответствуют условиям (XI. 18). Первому
из этих условий соответствуют три эквивалентных напргвления
вдоль ребер куба: [100], [010] или [001], второму условию — экви-
эквивалентные направления по диагоналям граней кубической ячейхи,
т.е. кристаллографические направления [ПО], [101] пли [0111:
наконец, третье условие (XI. 18) соответствует трем эквивалентным
направлениям вдоль диагоналей куба ([111] и т. д.). Все указан-
указанные направления совпадают с осями симметрии кубических кри-
кристаллов и являются изонормальными. Нетрудно убедиться, что
18*
247
эти направления допускают распространение и чисто сдвиговых
волн. Действительно, условием существования чисто поперечной
волны является ортогональность векторов п и и, т. е. условие
(XI. 14). Применив его к найденным решениям для амплитуд
смещений (XI. 15), получим те же самые направления, определяемые
соотношениями (XI. 18).
Для вычисления скоростей распространения звука в изонор-
мальных направлениях через соответствующие модули упругости
нужно подставить полученные комбинации компонент nt в уравне-
уравнения (XI. 15) и решить их относительно рс2. Полученные соотноше-
соотношения дадут величины скорости для каждого конкретного направле-
направления. Условимся поэтому нижним индексом при с обозначать напра-
направление распространения данной волны, а верхним индексом —
ее поляризацию. Например, комбинация символов с[1°щ будет
означать скорость распространения поперечной волны вдоль оси
[010] = Y со смещением по оси [100] = X, что эквивалентно обо-
обозначению Су. Чтобы продольные волны легче было отличить от
поперечных волн, верхний символ для продольных воли (повторяю-
(повторяющий в этом случае нижний символ) заменим индексом /. Итак,
используя первое условие (XI. 18) в общем уравнении (XI. 15) и
учитывая, что вектор п есть вектор единичной нормали, т. е. п% — 1,
получаем: сп — с44 = рс2 — с44, откуда
.19)
Разумеется, этот результат относится и к любой другой из кубиче-
кубических осей: [010] и [001].
Второе условие (XI. 18), соответствующее распространению про-
продольной волны вдоль осей [ПО], [101J или [011], есть: пх = пу\
пг = 0. Поскольку компоненты вектора единичной нормали яв-
являются направляющими косинусами для данного направления рас-
распространения, т. е. пх = cos ij>, а пу = sin -ф, где г|? — угол между
вектором п (лежащим в плоскости XY) и осью X, то пх -f п\ = 1,
так что второе условие дает пх — пу — 1/|/; пг — 0. Подставляя
эти значения nt в уравнения (XI. 15), получаем
~2 \СП С44/ ётах Т" ~2 (С12 ~\~ CW Лтах = фС" Си) gmax,
~2 (С12 Т" CW Smax Т" ~уГ (CU CW Цтях ~~ (рС С44) Ч^тах-
Приравняв нулю определитель, составленный из коэффициентов
при |тах и rjmax в этих уравнениях:
У - PC2 ^ (С12 "Г" С44)
у (ci2 + с44) у (cu + си) -
= 0, (XI.20)
248
найдем искомое решение для рс2:
. (XI.21)
Существует, конечно, и второе решение квадратного уравнения
(XI.20), но оно относится к поперечной волне.
Третье условие (XI. 18) соответствует направлению [111]. По-
Поскольку п% + п'у + til = 1, то из равенства компонент п} следует:
(XI.22)
Подставив эти значения п{ в уравнения (XI. 15) и решив их отно-
относительно рс2, аналогичным образом получим
р(с[ш]J = (Сц + 2с18 + 4с44)/3. (XI.23)
Для чисто сдвиговых волн, условия распространения которых
определяются теми же соотношениями (XI. 18), нужно учесть еще
различные направления смещения (поляризации), которые должны
быть перпендикулярны выбранному направлению распространения,
т. е. вектору п. Так, в первом условии (XI. 18), соответствующем
распространению вдоль одной из осей четвертого порядка при пх— 1,
пу = п, = 0, компонента смещения ?тах == 0, а отличной от нуля
может быть компонента цтах или ?тах и т. д. В любом случае эти
условия обращают в нуль все слагаемые в правой части уравнений
(XI. 15), а слева остается член с отличным от нуля смещением.
Это дает для сдвиговой волны, распространяющейся вдоль одной
из кубических осей,
(X) (XI.24)
при любом направлении смещения. Таким образом, скорость рас-
распространения сдвиговой ультразвуковой волны вдоль осей четвер-
четвертого порядка в кубическом кристалле не зависит от поляризации,
т. е. условия распространения поперечных волн в этих направле-
направлениях не отличаются от условий распространения в изотропном
твердом теле. Эти направления относятся к упомянутому выше
понятию «акустических». Однако последнее включает в себя и
такие направления, вдоль которых совпадают также фазовые ско-
скорости распространения квазипоперечных волн [84]. Поэтому мы
будем называть найденные направления поперечно-изотропными,
а скорость распространения сдвиговых волн в этих направлениях
(указываемых нижним индексом) обозначать верхним индексом т,
как для изотропной среды. Поперечно-изотропным направлением
в кубических кристаллах оказывается также направление [111],
в чем нетрудно убедиться, учитывая равенства (XI.22) и условие
поперечности смещений (XI. 14). Использовав эти соотношения
в уравнениях (XI. 15), получим для сдвиговой волны, распростра-
распространяющейся вдоль направления [111] с произвольной поляризацией
(J fc + ) (XI.25)
249
Наконец, рассмотрим распространение чисто поперечных волн '
в направлении [ПО], характеризуемом направляющими косину-
косинусами nt = пц = М\^2, пг = 0. Вектор смещения и для этих волн
лежит в плоскости (ПО) и может быть ориентирован в разных
направлениях. Для направления смещения, например вдоль
1001] |i Z, имеем Етах^Лтах = 0» ?тах Ф 0- Уравнения (XI. 15) в этом
случае дают (рс2 — си) ?тах = 0, т. е.
р(сЙ!]J = см, (XI.25)
как и при распространении поперечной волны вдоль направления
[001]. Для сличая же смещения в плоскости ху (т. е. вдоль направле-
1ия 1П0])Стах=-0, цтах = ?mdX, что дает *
D|Г=2-^-сь>)- (XI.27)
Как видим, наибольшее различие скоростей распространения
поперечных волн в данном направлении кубического кристалла
определяется введенным ранее фактором анизотропии b (XI. 17).
Для наиболее анизотропных кристаллов кубической системы фак-
фактор анизотропии может иметь значение b = |2 ч- 3 |, чему соответ-
соответствует различие указанных скоростей до 100%. Например, для
монокристалла КВг с[\\°0\ = 2300 м'с, а с[??о] (= qooi]) =" 1360 м'с.
Анизотропия скоростей, связанная с различием направлений рас-
распространения, также может быть довольно большой. Так, в кри-
кристалле КВг с[т] = 3550 м'с; f{,,oi = 3020 м/с, с[,,и = 2840 м/с.
Выражения (XI.19), (XI.21), (XI.23) - (XI.27) содеожат раз-
различные комбинации модулей \пругости Упругие свойства кубиче-
кубического кристалла полностью характеризуются тремя независимыми
модулями: сп, с12 и си. Для их определения необходимо и доста-
достаточно прочзвестп измерения скорости распространения трех типов
ультразвуковых волн, распространяющихся в каких-нибудь из
найденных направлений, для чего выблраются определенные срезы
кристалла. Эти срезы мы условимся обозначать символами тех
осей или направлений, перпендикулярно которым они вырезаются:
например Х-срез есть срез перпендикулярно оси X и т. д. Выбор
оптимальных срезов дтя измерении модулей \ пру гости может
диктоваться разными соображениями: простотой соотношений, свя-
связывающих скорость звука с соответствующими модулями, возмож-
возможной точностью ориентации среза относительно тех или иных кри-
кристаллографических осей, наличием естественных граней или удоб-
удобных плоскостей скола, количеством независимых измерений, кото-
которые можно выполнить на одном и том же образце, и т. д. Наиболее
общие из этих соображений учтены в выборе оптимальных срезов
для рассмотренных далее кристаллов разной симметрии.
* Этот результат пол>часи.я также, как второй корень квадратного уравне-
уравнения (XI.20).
250
Как следует из полученных соотношений, модели упругости с1г
и с44 для кубического кристалла непосредственно определяются из
дапных измерений скорости распространения продольной и произ-
произвольно поляризованной поперечной волн вдоль оси четвертого по-
порядка С1. Связь межд\ этими скоростями и модулями си и г44 дается
соответственно уравнениями (XI. 19) и (XI.24). Чтобы найти третий
независимый модуль упругости
с]2, можно использовать 45°-ный
С[ез (под углом 45° к оси X),
измеряя в нем, например, ско-
скорость распространения продоль-
продольно* волны в направлении [ПО]
{рис. 72). Зта скорость, соглас-
согласно формуле (XI.21), связана с
эффективной жесткостью, опре-
определяемой комбинацисГ всех трех
модулей, два из которых уже
известны. Можно, однако, все
незабисимые модули упругости
кубического кристалла опреде-
определить- с помощью одного только
4.У-Н0Ю среза, измеряя в нем
скорость распространения про-
продольной волны в направлении
1110] и скорости двух поперечных
волн со смещениями во взаимно перпендикулярных направлениях:
1001] и 1110]. Согласно соотношениям (XI.21), (XI.26) и (XI.27),
эти скорости равны:
Рис. 72.
Л
J0011
2р
Дно]
cn-c12\i ч
)
Из этих соотношений находятся все три модуля: сп, сп и с44. Для
уменьшения ошибок, связанных с неточностью ориентации граней
1110] и поляризации сдвиговых волн, в этом же образце можно
провести еще два контрольных измерения скорости продольной и
произвольно поляризованной поперечной волн в направлении [ООП.
Для этих скоростей согласно формулам (XI. 19) и (XI.24) имеем
б(го1] ~ (сп'PI/2i c[ooi] = (ciJ РIЛ2- Все выбранные направления
в 45э-ном срезе кубического кристалла показаны на рис. 72. Полу-
Полученные выше формулы сведены в табл. 12. В табл. 13 приведены
результаты измерений динамических модулей упругости ультра-
ультразвуковыми методами в кубических кристаллах наряду с соответст-
соответствующими значениями скорости звука. Подробные данные по мо-
модулям упругости кубических (и других) кристаллов, исследован-
исследованных до 1960 г., можно найти еще в обзорной статье [89].
251
Таблица 12
Связь между скоростями распространения ультразвуковых волн
и модулями упругости для кристаллов кубической системы
Обозначение
среза
Х\ A00)
(ПО)
X; A00)
(ПО)
Направление
распростра-
распространения
X; [100]
[ПО]
[100]
[ПО]
Тип волны и
г:оляриз«шия
Продольная, [100]
Продольная, [ПО]
Поперечная, [110]
Поперечная,
произвольная
Поперечная, [001]
Символ ско-
скорости звука
С[100]
Д
ДШ]
с[по]
сГюо]
Доо1]
с[по]
рс*
С\\
С\\ "~р С\%
1
С44
С44
§ 4. Кристаллы более низкой симметрии
Для кристаллов других видов симметрии мы не будем повторять
детального анализа всех направлений, в которых мог^т распростра-
распространяться чистые волны, а ограничимся сводкой полезных соотноше-
соотношений, позволяющих определить независимые модули упругости
с указанием соответствующих направлений относительно кристал-
кристаллографических осей. С более детальным выводом этих соотношений
можно познакомиться в оригинальной литературе [94—104].
Гексагональная и тригональная системы. Для кристаллов гекса-
гексагональной и тригональной симметрии обычно выбираются четыре
кристаллографические оси: ось с Z, совмещаемая с осью наиболь-
наибольшей симметрии С3, С6 или С6', и осп а] {ах, аг и а3) в трех симметрич-
симметричных направлениях, лежащих в плоскости, перпендикулярной глав-
главной оси (рис. 70, б). Этими направлениями мог>т быть либо осп
второго порядка, либо нормали к трем плоскостям симметрии, либо
прямые, параллельные возможным ребрам кристалла. Ось X пря-
прямоугольной системы координат совмещается с осью аъ а ось У
выбирается таким образом, чтобы она была перпендикулярна X
и Z и образовывала правостороннюю систему.
В кристаллах тригональной системы элементарной ячейкой
является ромбоэдр. Однако во многих случаях описание тригональ-
тригональной решетки производится в гексагональных осях. В этом варианте
ромбоэдр заменяется гексагональной ячейкой утроенного объема;
тогда выбор координатных осей соответствует случаю гексагональ-
гексагонального кристалла.
Соответствующая такому выбору координатных осей таблица
модулей упругости кристаллов гекса! опальной и тригональной
систем приведена в гл. I (группы VIII и VI табл. 1). Используя
эту таблицу в уравнениях (XI. 10а) и повторяя предыдущую про-
процедуру, нетрудно найти все направления, в которых могут распро-
распространяться чисто продольные или поперечные ультразвуковые
252
Табища 13
Модули упру гости и скорости распространения ультразвуковых волн в кристаллах кубической системы
Кристалл
1
Алмаз
Алюминий
Л. ити\лпмип
г\ Г1 1 И VHJ 11IX Д
галлия
индия
Арсенид
галлия
индия
Бромат натрия
Бромид
аммония
калия
натрия
серебра
таллия
цезия
Ванадий
Вольфрам
Германий
а-Железо
Золото
[ InTTU ТТ
1 ШДИД
калия
натрия
цезия
Кялий
Химическая
формула
2
С
А1
GaSb
InSb
GaAs
InAs
NaBrO3
NH4Br
KBr
NaBr
AgBr
TIBr
CsBr
V
V/
Ge
Fe
Au
KJ
NaJ
CsJ
К
p • I0~3,
КГ/М3
3
3,51
2,70
5.619
5,789
5,31
5,655
3,339
2,436
2,75
3,20
6,47
7,57
4,45
6,022
19,3
5,32
7,86
19,32
3,13
3,6714
4,52
0,91
T C/~"
T, С
4
20
20
20
20
20
20
25
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
—S3
c
flTTi
Си
5
107,6
10,69
8,887
6,72
11,88
8,34
5,57
3,38
3,46
3,87
5,63
3,78
3,10
22,79
51,26
12,92
24,2
18,6
2,67
2,931
2,45
0,477
. ]Q — JO H/M3
С it
6
12,5
6,26
4,033
3,67
5,38
4,54
1,70
0,91
0,58
0,97
3,30
1,48
0,84
11,87
20,58
4,79
14,65
15,7
0,43
0,782
0,71
0,374
a
7
57,6
2,85
4,324
3,02
5,94
3,95
1,51
0,685
0,505
0,97
0,72
0,756
0,75
4,25
15,27
6,70
11,2
4,20
0,421
0,737
0,62
0,263
cl
[100]
8
17,5
6,29
3,96
3,39
4,71
3,84
4,08
3,72
3,55
3,48
2,95
2,23
2,64
6,15.
6,15
4,92
5,55
3,10
2,92
2,83
2,33
2,24
c%
[100]
9
12,8
3,26
2,77
2,29
3,34
2,64
2,13
1,68
1,36
1,74
1,05
0,999
1,30
2,66
2,81
3,55
3,77
1,47
1,16
1,42
1,17
1,70
c-\0~s. м/с
cl
[110]
10
18,3
6,27
4,381
3,80
5,24
4,29
3,93
3,41
3,02
3,26
2,83
2,12
2,47
5,99
5,15
5,41
6,24
3,33
2,51
2,66
2,21
2,73
rfllOj
[no]
11
11,6
2,86
2,078
1,61
2,47
1,83
2,41
2,25
2,29
2,13
1,34
1,23
1,59
3,011
2,82
2,75
2,46
0,87
1,89
1,73
1,39
0,68
cl
liu]
12
18,6
6,53
4,51
3,88
5,40
4,42
3,87
3,30
2,84
3,18
2,79
2,07
2,41
5,93
5,15
5,56
6,46
3,39
2,33
2,60
2,16
2.88
c%
[in]
13
12,0
3,00
2,33
1,84
2,79
2,H
2,32
2,08
2,19
2,01
1,25
1,16
1,50
2,90
2,82
3,04
2,97
1,10
1,68
1,62
1,32
1,13
Продолжение таблицы 13
1
Кремний
Литий
Литий-индий
Медь
Молибден
Натрий
Никель
Оксид
бария
магния
Палладий
Свинец
Селенид цинка
Серебро
Силикатное железо
Стронций азотнокис-
азотнокислый
Сульфид цинка
2
Si
Li
Liln
Си
Mo
Na
Ni
BaO
MgO
Pd
Pb
ZnSe
Ag
Fe3Si
Sr (NO.,),
ZnS
3
2,33
0,55
5,1Г>8
8,91
10,1!)
1,01
8,90
Г>,72
3,38
12,132
11,31
5,264
10/9
7,191
2.98»;
4,088
4
20
—98
20
•:o
•jo
-63
20
20
20
20
20
27
20
20
20
27
5
1 6,57
1,342
5,589
16,84
46,0
0,615
2 1,65
12,57
28,6
22,213
1,66
8,95
12,20
23,2
4,73
0,81
6
6,39
1,123
4,169
12,14
17,6
0, №j
14,73
4,81
8,70
17,71
3,92
5,39
9,15
15,6
2,18
6,27
7
7,96
0,960
2,666
7,54
11,0
0,592
12,47
3,55
14,8
7,137
1,44
3,984
4,48
13,5
1,46
4,483
s
8,43
5,19
3,29
4,34
6,72
2,44
5,26
4,6921
8,91
4,28
2,03
4,12
3,41
5,68
3,98
4,90
9
5,85
4,43
2,27
2,90
3,29
2,41
3,74
2,4422
6,43
2,43
1,13
2,75
2,07
4,33
2,21
3,31
10
9,13
6,67
3,82
4,9*)
6,18
3,31
6,01
4,5326
9,66
4,73
2,25
4,61
3,79
6,76
4,05
5,54
ll
4,67
1,45
1,17
1,62
3,73
0,84
2,36
2,60
5,27
1,42
0,57
1,84
1,20
2,30
2,07
2,09
12
9,35
7,09
3,76
5,16
8,19
3,58
6,24
4,61
9,89
5,06
2,32
4,75
3,92
7,09
3,79
5,74
n
5,09
2,82
1,62
2,14
2,39
1,55
2,90
2,57
5,68
1,86
0,80
2,19
1,55
3,13
2,12
2,56
Продолжение таблицы 13
1
Телл}рид
рт> ги
кадмия
Титанат стронция
Феррит кобалыоцин-
ковый
Флюорит
Фторид
лития
магния
Хлорат нагрия
Хлор и i
калия
натрия
серебра
цезия
Хромит
Шпинель
о
HgTe
CdTe
SrTiO,
Co032Zrl0.-F2 2O4
CaF2
I.iF
MgF2
NaCIO,
KC1
NaCl
AgCl
CsCl
FeO • CraO3
MgO • 3,5 (A12O3)
-i
8,08!
j,8.1 \
5,116
5,43
3,18
2,60
3,98
2,49
1,984
2,168
5,56
3,99
4,32—
4,57
3,63
4
17
20
20
27
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
5
5,386
5,33
31,81
26,6
16,44
11,44
17,54
4,99
3,98
4,87
6,01
3,64
32,25
30,05
6
3,676
3,65
10,25
15,3
5,02
4,26
—
1,41
0,62
1,24
3,62
0,92
14,37
15,37
•' 7
2,116
2,044
12,36
7,8
3,47
6,28
5,52
1,17
0,625
1,26
0,625
0,80
11,67
15,86
8
2,58
3,02
7,876
7,00
7,19
6r63
6,64
4,47
4,48
4,71
3,29
3,02
8,51
9,09
9
1,62
1,87
4,910
3,80
3,30
4,91
3,72
2,17
1,78
2,41
1,06
1,42
5,12
6,61
10"
2,87
3,34
8,098
7,28
6,68
7,37
—
4,18
3,85
4,72
3,13
2,78
8,87
10,30
11
1,03
1,20
4,918
3,23
4,21
3,71
—
2,68
2,91
2,90
1, '?
1,85
4,48
4,50
' 12
2,96
3,-14
8,1 И
7,37
G,50
7,60
—
1,09
3,61
4,73
3,07
2,69
8,98
10,68
13
1,26
1,16
1,703
.$,12
ЗД5
4,16
_
2,52
2,59
2,45
1,35
1,71
4,70
5,30
волны, и затем по прежней схеме рассчитать соответствующие эф-
эффективные жесткости, т. е. величины рс2, выраженные через те
или иные комбинации модулей упругости.
Как видно из табл. 1, упругие свойства гексагональных кри-
кристаллов характеризуются пятью независимыми модхлями: с1г =
= с22, сп = с23, с12, с33 и с44 = сьъ\ при этом ст = (сп — с12)/2.
Для их определения необходимо и достаточно произвести пять
измерений скорости звука в наиболее
удобных срезах, которые показаны на
рис. 73 и приведены в табл. 14. В этой
таблице указаны соответствующие срезы
относительно осей, изображенных па
рис. 70, б, направления распростране-
распространения волны в индексах Миллера, а так-
также тип волны и направления смещений
для поперечных волн (их «поляриза-
«поляризации»).
В табл. 15 приведены данные измере-
измерений модулей упругости гексагональных
кристаллов ультразвуковыми методами,
а также скорости распространения про-
продольных и сдвиговых волн в направле-
нии [ООН (т. е. вдоль оси Z \\ с).
У Таблица модулей упругости для
кристаллов тригональной системы, от-
относящихся к классам D3, C3l), DS(i
(см. табл. 1, группу VII) содержит 18
отличных от нуля модулей, из которых
независимыми являются шесть: сп = cL,
Их связь со скоростями распространения ультразвуковых волн
в оптимальных направлениях показана в табл. 16.
В таблице модулей упругости для кристаллов тригональной
системы, относящихся к классам С3 и Сз1, при той же ориентации
осей добавляется еще один, седьмой независимый модуль с25 (см.
табл. 1, группу VI). Для его нахождения можно использовать более
сложные соотношения, приведенные в работах [95, 96, 99, 1041.
В табл. 17 представлены модули упругости ряда тригональных
кристаллов, измеренные при комнатной температуре ультразвуко-
ультразвуковыми методами.
Тетрагональная система. Во всех кристаллах тетрагональной
системы, относящихся к классам D4, D2d, C4V, D4h, имеется простая
ось четвертого порядка С4, или инверсионная ось С4'. Эти оси при-
принимаются за кристаллографическую ось с, с которой совмещается
ось Z. Оси а и Ъ располагаются в плоскости, перпендикулярной
оси с, образуя между собой прямой угол. Эти оси совмещаются
либо с осями симметрии второго порядка, либо с нормалями к пло-
плоскостям симметрии, либо проводятся параллельно возможным реб-
Рис. 73.
256
рам кристалла. Ось X может быть направлена параллельно оси а
или Ь. Таким образом, в тетрагональных кристаллах можно вы-
выбрать два направления для осей X и Y (рис. 70, в). Таблица модулей
упругости, отнесенных к таким осям (см. табл. 1, группу V), для
указанных классов содержит шесть независимых модулей; сп =
— сг-г, ci2' ci3 — С2.з. сзя> си = съь и с&&- Для их определения мог\т
быть использованы направления и соотношения, приведенные
в табл. 18. Для классов С4, S4 и Cih тетрагональных кристаллов
в таблице модулей упругости, отнесенной к тем же координатным
осям, добавляется еще один недиагональный модуль си (см. табл. 1,
группу IV). Выводы соответствующих соотношений для этого более
сложного случая можно найти в работах [95, 104]. В табл. 19 при-
приведены измеренные при комнатных температурах модули упругости
некоторых тетрагональных кристаллов.
Таблица 14
Связь между скоростями распространения ультразвуковых волн
и модулями упругости гексагональных кристаллов
в оптимальных направлениях относительно кристаллографических осей
Обозначе-
Обозначение среза
Z
@0-1)
X
A2-0)
X'
Направление
распростра-
распространения
[00-1]
[10.0]
45* относи-
относительно огей
X и Z в
плоскости
XZ
Тип волны
и поляризация
Продольная,
[00-1]
Поперечная,
произвольная
в плоскости
@0-1)
Продольная,
[10-0]
Поперечная
[12-0]
(ось Y)
Квазипродольная
Символ
скорости
звука
c|00-lJ
с100-1]
J
с[10-0]
J12-0]
с110 0 |
ОС*
сзз
с44
Си
~2 (си — сп)
-j (сц + Сзз + 2с44)-Ь
+ {[" (сп-сззI +
+ (СХЗ + С44)°- }%
Ромбическая (орторомбическая система) (классы D,, (f2v, D2h).
Элементами симметрии кристаллов этой системы являются три
взаимно перпендикулярные оси второго порядка (класс D2), через
которые могут проходить три взаимно перпендикулярные плоскости
симметрии (класс D2h), или одна ось второго порядка и пересекаю-
пересекающиеся на ней две перпендикулярные друг к другу плоскости сим-
257
Таблица 15
Модули упругости и скорости распространения ультразвуковых волн в гексагональных кристаллах
(Т = 20 °С)
Кристалл
Бериллий
Ванадаг-германат
свинца
Ванадат-силикат
свинца
Подат лития
Иттрий
Кадмий
Каикринит
Р-Кварц E80 °С)
Кобальт
Лед (—5°С)
Магний
Ренин
Рутений
Селенид цинка
Сульфид
кадмия
цинка
Титанат бария
Цинк
Цинкит
Химическая форм>ла
Be
Pb5 (GeO4; (\'ОЛK
Pb6 (SiO4; (VO4),
a-LiJOg
Y
Cd
(NaaGaL (AlSiO4)bCO3 (H2OH_3
SiO2
Co
H2O
Mg
Re
Ru
ZnSe
CdS
ZnS
BaTio3
Zn
ZnO
о ¦ '0--*
КГ 'M8
1.87
7,15
7,02
4,5
4,477
8,64
2,42—2,48
2,533
8,836
0,91
1,79
20,53
12,1
5,558
4,83
4,091
5,3
7.18
5,7036
29,23
7,1
V
8..'?
7,79
12,1
5,2
11,66
30,7
1,38
5,97
04,15
57,63
11,81
7,78
13,12
16,6
16,1
20,70
C33
33.64
8,4
9,2
5,7
7,69
5,13
8,26
J 1,04
35,8!
1,50
6,17
71,70
64,05
3,82
8,81
14,08
16,2
6,10
22,1
16,25
1,7
2,1
1,8
2,531
1,85
2,38
3,606
7,55
0,319
1,64
16,85
18,92
1,17
1,47
2,86
4,29
3,83
4,61
2,67
2,1
2,5
3.9
2,83
4,81
0,86
1.67
16,50
0,707
2,62
27,70
18,74
4,75
4,47
6,63
7,66
3,42
11,17
Си
1.4
3,3
3,6
—
2,1
4,42
1.24
3,28
10,30
0,581
2,17
19,59
16,74
3,2
4,79
5,09
7,75
5,01
10,13
с ¦ 10~8 м/с
6|00lj
13,41
3,427
3,62
4,01
4,14
3,74
5,8!
6,61
5,91
3,83
5.84
5,92
7,28
2,62
4,270
5.818
5,50
4,75
6,30
Cf001J
П.32
1,54
1,73
1.99
2,33
1,46
3,12
3,78
2,93
1,81
3,06
2,87
3,95
1,45
1,7.3
2,627
2,79
2,31
2,84
метрин (класс C.2v), т. е. элементы симметрии в этих кристаллах
всегда образуют три взаимно перпендикулярных направления,
вдоль которых и проводятся координатные оси а, Ь, с и, соответ-
соответственно, X, Y, Z (рис. 70, г). Все эти кристаллы имеют одинаковую
таблицу модулей упругости (см. табл. 1, группу III), отнесенную
к данным осям координат. Она содержит девять независимых мо-
модулей: си, с12, с13, с22, с23, с33, си, с55 и г66. Для их определения аку-
акустическими методами необходимо произвести серию измерений ско-
скорости распространения ультразвуковых волн в направлениях, ука-
указанных в табл. 20. Данные таких измерений для некоторых ромби-
ромбических кристаллов приведены в табл. 21.
Таблица 16
Соотношения между скоростями распространения ультразвуковых волн
и модулями упругости тригональных кристаллов
(классы Da, C3u, D3/)
Обозначение
среза
X; A2-0)
Z; @0- 1)
Y; @1 • 0)
Y'
Направление
распростра-
распространения
X; [10-0]
Z; [00 • I ]
Y; [12-0]
45° к осям
Y и Z в
плоскости
YZ
Тип волны и
поляризация
Продольная,
[10-0]
Продольная,
[00-I]
Поперечная,
произв.
поляризации
Поперечная,
[10-0]
Продольная
Поперечная,
[10-0]
Скорость
звука
6ll0-0J
с[00-1]
с[00-1]
,110-0]
1[12-0]
С1у,
Су/
1
1
i
4
9 с*
си
С,
Сц
Сц+1
)
hc44 —
\l — ^12)
Моноклинная система. Моноклинные кристаллы имеют единст-
единственною ось симметрии второго порядка (класс С2) или одну пло-
плоскость симметрии (класс Cs) или то и другое вместе (класс С2Л).
Для всех моноклинных кристаллов в качестве стандартной выби-
выбирается система прямоугольных координат X, Y, Z, приведенная
на рис. 70, д. Ось симметрии С2, или нормаль к плоскости симмет-
симметрии, совпадающая с осью симметрии второго порядка, принимается
за ось Ь, вдоль которой направляется ось Y, ось X выбирается таким
образом, чтобы она совпадала с кристаллографической осью а.
Оси а и с выбираются в тоскости, перпепдпкулярпг и оси Ь. Таб-
Таблица модулей упругости, отнесенная к таким осям, для всех трех
259
Модули упругости кристаллов тригональнои системы
(Т 20°С)
Таблица 17
Кристалл
Висмут
Кварц
Корунд
Ниобат лития
Окись ванадия
Прустит
Сапфир
искусственный
природный
Сурьма
Танталат лития
Теллур
Турмалин
Фосфат алюминия
Химическая формула
Bi
a-SiO2
А12О3
LiNbO3
v2o3
Ag3AsS3
A12O3
Sb
LiTaO3
Те
A1PO4
p • ю-3.
кг/м3
9,80
2,6487
3,97
4,644
4,87
5,6
4,00
3,4-b3,6
6,684
7,451
2,90^-3,25
2,566
Си
6,35
8,680
49,7
20,16
21,6
5,70
49,68
46,5
7,92
23,78
3,59
27,2
10,5
Сзз
3,81
10,575
49,8
25,17
33,2
3,64
49,81
56,3
4,27
28,27
7,64
16,5
13,4
с • 10"
nm
с„
1,13
5,818
14,7
6,01
8,0
0,90
14,74
23,3
2,85
9,43
3,41
6,5
2,31
2,47
0,709
16,4
5,68
7,1
3,18
16,36
12,1
2,61
5,23
0,90
4,0
2,93
2,45
1,20
11,1
7,50
14,8
—
11,09
11,7
1,05
8,0
2,75
3,5
6,93
Си
0,72
— 1,805
—2,4
— 1,38
1,5
—
—2,35
10,1
—
—2,23
1,37
—0,68
-1,27
Таблица li
Соотношения между скоростями распространения ультразвуковых волн
и модулями упругости кристаллов тетрагональной системы
(классы Dv D2d, Civ, Dih)
Обозначе-
Обозначение среза
Направление
распростране-
распространения
Тип волны и
поляризация
Символ
скорости
звука
Z; @01)
[001]
X; A00)
[100]
(ПО)
[ПО]
А"
45° между
осями [100]
(X) и [001]
45° между
осями [100]
(X) и [001]
Z)
Продольная, [001]
Поперечная, любое
направление в пло-
плоскости @01)
Продольная, [100]
Поперечная, [010]
Поперечная, [001]
Продольная, [ПО]
Поперечная, [ПО]
Квазипродольная
Квазипоперечная,
[101]
4001]
[ЮО]
4
010J
100]
jooi]
с|100]
ess
fee
СП
26
Таблица 19
Модули упругости кристаллов тетрагональной симметрии
(Г = 20°С)
Кристалл
Вольфрамат кальция
Дигерманид железа
Дигидроарсенат калия
Дигидрофосфат аммония (АДР)
дейтерированный
Дигидрофосфат калия
дейтерированный
Индий
Каломель
Молибда г
кальция
свинца
Ниобат бария-натрия «банан»
Ниобат стронция-калия-лития
Окись ниобия
Олово
Парателлурид
Рутил
Титанат бария A50 °Q
Цирконий
Цирконид никеля
Химическая
формула
CaWO4
FeGe2
KH2As04
(NHL H2PO4
(NDLD,PO4
KH2PO4
KD2PO4
In
HgQ2
CaMoO4
PbMoO4
Ba2NaNb5015
Sr4KLiNb10O30
NbO2
Sn
TeO2
TiOa
BaTiO3
2r
NiZrg
p • 10-3,
кг/м3
6,120
—.
2,867
1,803
—
2,340
_
7,31
7,19
4,5
6,92
5,3
—
5,99
7,30
6,0
4,264
5,5
6,49
7,234
Си
N,3
24,44
5,31
6,89
6,2
7,1 I
7,04
4,45
1,89
14,4
10,8
23,9
24,4
43,3
7,35
5,6
27,3
27,5
7 35
15,477
c3i
12,8
24,94
3,7
3,35
3,0
5,62
—
4,44
8,04
12,6
9,52
13,5
19,4
38,8
8,7
10,51
48,4
17,81
4,60
14,480
cnm
c4i
3,40
5,70
1,2
0,856
0,91
1,27
—
0,655
0,846
3,69
2,64
6,5
6,2
9,4
2,2
2,70
12,5
5,43
1,38
2,399
10-»» H/m2
Сев
4,49
8,8*7
0,7
0,595
0,61
0,68
0,607
1,22
1,23
4,61
3,54
7,6
6,7
5,7
227
6,68
19,4
11,3
1,60
0,966
с»
5,54
6,70
—0,6
0,40
—0,5
—0,49
0,46
3,95
1,72
6,48
6,32
10,4
11,0
9,3
2,34
5,16
17,6
18,65
0,90
12,82
Си
5,04
ip 9 9 ] \
\У* 16 — *->w l)
—0,2
1,89
1,4
1,29
—
4,05
1,56
4,48
5,07
5,0
7,5
17,1
2,8
2,72
14,9
14,16
-0,54
8,57
Таблица 20
i
Обозначение
среза
X;
У;
Z;
У;
Z;
X;
Z;
X;
У;
A00)
(ОЮ)
@01)
@10)
@01)
A00)
@03)
A00)
(ОЮ)
X'
У
Z'
Соотношени*
Направление
распростра-
распространения
45°
Y
45°
Z
45е
Z
X; [100]
Y; [010]
Z; [001]
Y; [010]
Z; [001]
X; [100]
Z; [001]
X; [100]
Г; [010]
к осям X и
в пл. (XY)
к осям Y и
в пл. XZ)
к осям Y и
в пл. (YZ)
i между модулями упругости и
для кристаллов
Тип волны
и ее поляри-
поляризация
Продольная, [100]
Продольная, @10]
Продольная, [001]
Поперечная, [001]
Поперечная, [010]
Поперечная, [001J
Поперечная, [100]
Поперечная, [010]
Поперечная, [100]
Квазипродольная,
в пл. @01)
Квазипродольная,
в пл. A00)
скоростями распространения ультразвуковых волн
ромбической системы
Символ ско-
скорости звука
С[100]
С[0Ю]
С[001]
ДооЛ
Дою]
6 [001]
ДооП
с[юо]
ДЮО]
cfooi]
Дою]
cLioo]
Дюо]
с[ою]
4-
4.
4.
Связь между (рс2) и модулями упругости
о Л / Г сбв Л~ С22 „ (,
cia -^ ¦/ 1 2 P v
О 1 / 1 Сб5 + с\\ (
С13 - 1/ О Р \
f \_ Z л
Ci. Ol/ [C44 + C22 /
<*—\ [ 2 "*1
С22
Сзз
С44
с44
С55
Сев
X') 2 ^ \CAV 1 "Свв
/ \2]Г С55 + С33 / / \il o
су.; j[ 2 p\cf) J -Соа
8
Модули упругости кристаллов ромбической системы
Г 20°С)
Таблица 21
Кристалл
Химическая
формула
р • 10-' кг/м1
спт • 10-ю Н/м2
Бензофенон
Германат лития
Йодноватая кислота
Калий-пентаборат
Литий-аммоний-тартрат
Магний-сульфит-гептагид-
рат
Натрий-аммоний-тартрат
Натрий-тартрат
Натрий-аммоний-селенат-
дигидрат
Резорцин
Сера
Стронций-формиат
Терпин моногидрат
Топаз
а-Уран
Целестин
Цинк-сульфат-гептагид-
рат
Сегнетова соль
Оливин
(СвНй) СО
Li2Ge03
HJO3
КВ5Н8-4Н2О
LiNH4C4H4O6
MgSO4-7H2O
Na2C4H4O6.H2O
NaNH4Se04
CeH4 (OH)8
S
С„,Н1в (ОН)а • Н2О
Al2Si03
U
ZnSO4 • 7Н2О
NaKC4H4O6 • 4Н2О
1,219
3,5
4,63
1,71
1,687
1,587
1,818
2,025
1,272-М, 289
2,07
2,25
1,11
28,2
19,0
3,955
1,974
1,775
3,324
10,70
13
3,03
5,82
3,86
6,98
3,68
4,61
2,863
1,03
2,40
4,39
1,25
34,9
21,5
10,44
4,00
2,55
32,4
10,00
12
5,45
3,59
5,39
5,29
5,09
5,47
3,379
1,44
2,05
3,48
0,99
29,5
19,9
10,61
3,22
3,81
19,8
7,10
15
4,36
2,55
3,63
8,22
5,54
6,65
2,074
1,29
4,83
3,74
1,53
10,8
26,7
12,86
5,45
3,71
24,9
2,03
5,9
1,84
1,64
1,19
1,07
1,06
1,24
0,536
0,33
0,43
1,54
0,243
13,3
12,4
1,35
0,50
1,34
6.67
1,55
5
2,19
0,463
0,67
2,33
0,303
0,31
0,506
0,44
0,87
1,07
0,223
13,10
7,3
2,79
1,70
0,321
8.Ю
3,58
3,6
1,74
0,57
2,33
2,22
0,87
0,98
0,523
0,40
0,76
1,72
0,346
12,6
7,4
2,66
1,8!
0,979
7,93
5,5
3,6
1,19
2,29
1,65
3,90
2,72
2,86
0,826
0,62
1,33
1,04
0,38
12,6
4,6
7,73
1,32
1,41
5,9
4,2
1,17
1,74
0,87
2,82
3,08
3,20
1,11
0,74
1,71
—1,49
0,62
8,5
2,2
6,05
1,08
1,16
7,9
классов моноклинных кристаллов содержит 14 независимых моду-
модулей (см. табл. 1, группу II): сп, с12, с22, с13, с23, 633, си, си, си, с25,
сзь> соз» сбб- Для их определения необходимо сделать измерения
скоростей распространения ультразвуковых волн в шести неэкви-
неэквивалентных кристаллографических направлениях: [ 100], [010], [001],
[ПО], [101], [011] (см. работу [101]). В направлении [010] моно-
моноклинного кристалла все три упругие волны, распространяющиеся
вдоль него, являются чистыми. Кроме того, вдоль направлений
[ООП, [101], [100] из трех волн одна, с поляризацией вдоль оси
[010], является чисто сдвиговой. Эффективная жесткость для этих
трех типов волн непосредственно определяет модули с22, cfi6 и с44.
Расчет соотношений для нахождения всех модулей упругости моно-
моноклинных кристаллов можно найти в работах [102, 103]. В табл. 22
приведены измеренные ультразвуковыми методами модули упру-
упругости некоторых кристаллов моноклинной системы.
Триклинная система. В триклинных кристаллах полностью от-
отсутствуют оси или плоскости симметрии. Прямоугольные сси X,
Y, Z ч их положительные направления для каждого класса триклин-
ион системы единственным образом выбираются относительно ребер
триклинной элементарной ячейки (см. рис. 70, ё). Положительное
направление Z параллельно положительной с-оси и, следовательно,
параллельно плоскостям A00) и @10); ось X перпендикулярна
оси с и лежит в плоскости ас; ось Y перпендикулярна плоскости
@10) и образует правостороннюю систему координат с осями Z и X.
Оба класса симметрии триклинной сингоиии имеют полный набор
независимых модулей упругости, т. е. 21 модуль спт Ф- 0. Соотно-
Соотношения между скоростями распространения акустических волн и
модулями триклинных кристаллов можно найти в работе [96].
В заключение отметим, что выше рассматривалась только линей-
линейная упругость кристаллов и речь шла, соответственно, о моделях
упругости второго порядка, т. е. о линейных модулях. Для описа-
описания нелинейной упругости даже кристаллов кубической симметрии
требуется 14 модулей упругости третьего порядка, а для триклин-
триклинных кристаллов их число достигает 56 180]. Поэтому уравнения
нелинейной акустики кристаллов обычно строятся для особенных
кристаллографических направлений, для которых они приобретают
форму рассмотренных выше нелинейных уравнений упругости
изотропного твердого тела с соответствующим набором нелинейных
параметров. Эти параметры, т. е. модули упругости третьего по-
порядка, также определяются из ультразвуковых измерений [80].
Таких измерений проведено мало, а между тем нелинейные акусти-
акустические эффекты играют важную роль в квантовой акустике для
описания таких процессов, как фонон-фононные взаимодействия,
а также спин-фононные, фотон-фононные и другие виды взаимодейст
вий [87]. Эти интересные вопросы, однако, выходят за рамки дан-
данной книги.
Не менее сложной становится также задача об отражении и пре-
преломлении ультразвуковых волн на границах анизотропных сред.
17 В. А. Шуталов 2G5
Модули упругости кристаллов моноклинной системы
Г20°С)
Таблица 22
Кристалл
Винная кислота
Дибензил
Калий-тартрат
(ДКТ)
Лигий-сульфат-
моногичрат
Натрий-тио-
Натрий-тиосульфат
Нафталин
/-Раадноза-мо-
ногидрат
Стильбен
Толан
Триглицинеуль-
фат (ТГС)
Этилсндиамии-
тартрат
(ЕДТ)
Химическая
формула
с4н6о6
свнвсна=сн8с6н5
1
Li3SO4 • Н2О
i\a2S3O3
с1Он,
СвНБСН = СНСвН5
С6Н6С-ССвН5
(NHaCHaCOOHKX
XH2SO4
СНН14\2Ов
р- ю-3,
кг-м»
1,760
0,995
1,988
2,06
1,667
1,168
1,471
1,164
0,996
1,68
№4
с»,
9,3
0,945
3,11
5,25
3,31
0,78
3,82
0,930
0,785
4,55
5,7
1,93
0,680
3,90
5,06
3,02
0,99
2,19
0,920
0,855
3,21
3,29
4,65
0,720
5,54
5,4
4,57
1,19
1,98
0,790
0,645
2,ЬЗ
2.01
0,81
0,310
0,87
1,4
0,57
0,33
0,537
0,325
0,290
0,95
0,52
0,82
0,255
1,010
1,565
1,11
0,21
0,502
0,640
0,545
],П
1,185
'««
1,06
0,260
0,826
2,77
0,Г>0
0,415
0,911
0,215
0,185
0,62
0,523
СПП1
Си
2,03
0,395
1,72
1,715
1,83
0,230
1,60
0,570
0,350
1,72
1,07
ю-1о,
3,67
0,415
1,69
1,73
1,84
0,340
1,66
0,570
0,115
1,98
2,25
Н/м2
'л
1,4
0,335
1,33
0,368
1,68
0,445
0,888
0,485
0,350
2,08
0,901
С) 5
— 1,2
—0,24
0,287
—0,196
0,25
—0,06
—0,03
—0,03
0,03
—0,30
1,2
-0,398
2,08
0,182
0,571
1,04
—0,27
0,122
— 0,05
0,25
—0,036
- 0,064
с"
—0,0388
0,07
0,71
—0,234
— 0,09
0,29
—0,118
—0,05
0,09
—0,5
0,668
Га,
0,138
0,08
0,072
—0,054
-0,27
—0,03
0,022
0,05
0,01
—0,026
—0,01
Поскольку в кристаллах в произвольном направлении могут рас-
распространяться три волны, то общие формулы для коэффициентов
отражения и преломления даже по отношению к конкретному кри-
кристаллу приобретают весьма громоздкий вид. Поэтому задачи такого
рода решались только для наиболее простых частных случаев,
с которыми заинтересованный читатель может познакомиться в об-
обзорной работе [83].
Наконец, в приведенном выше рассмотрении не учитывалось
влияние пьезоэлектрических свойств кристаллов, которое выра-
выражается в том, что волна упругой деформации в них может сопровож-
сопровождаться волной электрическою поля, а последнее, в свою очередь,
вызывает дополнительные механические напряжения, что может
повлиять на эффективную жесткость для соответствующей «пьезо-
активноЛ» волны, т. е. на скорость ее распространения. Пьезоэлект-
Пьезоэлектрическим эффектом обладают кристаллы, tie имеющие центра сим-
симметрии, т. е. подавляющее большинство кристаллов [105, 10G].
Поскольку же пьезоэффект влияет на результаты измерений моду-
модулей упр\гости кристаллов ультразвуковыми методами, то на этом
вопросе стоит коротко остановиться в отдельном заключительном
параграфе, который можно рассматривать как приложение к по-
последней главе данной книги.
§ 5. Влияние пьезоэлектрического эффекта
на упругие свойства кристаллов
Влияние пьезоэлектрического эффекта на скорость распростра-
распространения ультразвуковых волн в кристаллах можно выявить, учтя то
добавочное механическое напряжение, которое возникает под дей-
действием индуцированного звуком электрического поля Е. Для этого
воспользуемся уравнением обратного пьезоэффекта [106]:
oik = cfki,e,f - fUkEu (X 1.28)
в котором коэффициенты /т, называемые пьезокоэффициентами и
образующие тензор третьего раша, как раз и определяют искомую
величину добавочного механического напряжения. Выраженне
(XI.28) можно назвать уравнениями механического состояния пье-
зоэлектрика. Нетрудно видеть, что при отсутствии пьезоэффекта,
т. е. при flik = 0, уравнение (Х1.28) переходит в выражение обоб-
обобщенного закона Гука (XI. 1). В свою очередь компоненты Е( век-
вектора напряженности электрического поля связаны с компонентами
вектора электрической индукции D известными уравнениями элект-
электрического состояния для пьезоэлектрического кристалла, учиты-
учитывающими прямой пьезоэффект:
Di = e?iEl+f,UElJ, ¦ (XI.29)
где е« — тензор диэлектрических проницаемостей, а ву — тен-
17* '267
зор деформации * В пьезоэлектрике диэлектрические и упругоет-
ные константы зависят от условии, в которых они измеряются.
Поэтому величины (Uill в уравнении (XI.28) и е,7 в уравнении (XI.29)
снабжены верхними индексами, означающими, что в первом урав-
уравнении имеются в виду модули упругости, измеренные при постоян-
постоянной напряжеяности электрического поля (Е = const), а во втором —
диэлектрические проницаемости, измеренные при постоянной дефор-
деформации (u — const).
Решая теперь уравнения движения для анизотропных сред A.11),
т. е. дом/дхь — рд2щШ2, совместно с уравнениями (XI.28),
(XI.29) и уравнениями Максвелла для непроводящего кристалла
div D = 0, rot E = 0, получаем
d2ui ? де/j дЕ[
р -ж=Сш>- ~д^ - f«* -%?• (Х 1 -30)
(XI.31)
где фэ — потенциал электрического поля. Решение этих уравнений
по-прежнему будем искать в виде плоской монохроматической
волны с частотой со : и{ — и1тлх ехр {/ [со/ — к - г]}. Подставив это
решение в уравнения (XI.30), (XI.31) и исключив из них потен-
потенциал фэ, находим систему уравнений для компонент вектора упру-
упругого смещения и:
=0.
Приравнивая определитель этой системы нулю и учитывая, что
волновое число k ~ со 1с, где с — фазовая скорость звука, получаем
|рс*6у-ГГ/|=0, (XI.32)
где ГГ, = cikllkkki -\ —~ . (X1.33)
*akikt
Сравнивая этот результат с уравнением Кристоффеля (XI.7), видим,
что он отличается только добавкой к тензору Г^, пропорциональной
квадрату пьезокоэффштиента. В кристаллах со слабым иьезокоэф-
иьезокоэффициентом эта добавка обычно мала и ею можно пренебречь. Однако
для сильных пьезоэлектриков, таких, как сегнетова соль, ниобат и
иодат лития и других, дополнительное слагаемое в выражении
(XI.33) можег достигать значительной величины. Поскольку же
уравнение (XI.32), как мы знаем, определяет скорости распростра-
распространения ультразвуковых волн в кристаллах, то это означает, что
* К сожалению, m-ia требований ГОСТа (см. А. Г. Чертов & Единицы физи-
физических величин*. М., «Высшая школа», 1977) в ^гой формуле совпали обозначе-
обозначения двух разных физических величин Диэлектрическая проницаемость отлича-
отличается от деформации лишь верхним иьдексом и (е"),
268
наличие пьезоэффекта может оказать существенное влияние на
эффективную жесткость для тех упругих волн, которые сопровож-
сопровождаются продольной волной электрического поля, вызванного пье-
зоэффектом [85, 97, 107].
Такие ультразвуковые волны называют пьезоактивными. Ско-
Скорость их распространения, согласно соотношению (XI.33), будет
определяться эффективным модулем упругости, соответствующим
условию его измерения D — const и включающим добавку, про-
пропорциональную /2, т. е. модулем с^ Если же пьезоэлектрическое
поле, вызываемое волной, направлено перпендикулярно ее волно-
волновому вектору, то действующей константой упругости для такой
волны будет модуль cfkij, соответствующий его измерению при усло-
условии Е = const, т. е. как и в отсутствие пьезоэффекта.
В качестве примера рассмотрим гексагональный кристалл иодата
лития (a-LiJOj), обладающий сильным пьезоэффектом [108].
В этом кристалле две поперечные ультразвуковые волны: одна —
распространяющаяся вдоль оси 7, со смещением по оси X, а дру-
другая — распространяющаяся вдоль оси X со смещением по оси Z,
создающие одинаковую деформацию гхг, согласно табл. 1 (груп-
(группа VIII) характеризуются одной и той же константой упругости г44.
Однако измеренные скорости распространения этих волн составляют
соответственно 2,0-Ю3 и 2,5-10" м/с, т. е. различаются на десятки
процентов. Это различие обусловлено влиянием пьезоэффекта:
первая из еолн непьезоактивна, а вторая — пьезоактивна. Соответ-
Соответственно скорость распространения первой волны дает величину
модуля упругости cfv как е отсутствие пьезоэффекта, а скорость
второй — с[]. Различие межцу этими модулями определяет величину
так называемого коэффициента электромеханической свят. Заме-
Заметим, что эта важная характеристика пьезоэлектрического кристалла,
а вместе с нею и его пьезоэлектрические коэффициенты могут быть
определены путем чисто ультразвуковых измерений. В пьезокристал-
лах, конечно, среди различных направлений, включая «особенные»,
имеются и такие, вдоль которых отсутствует какая-либо связь
пьезоэлектрических полей с ультразвуковой волной. Например,
в том же кристалле a-LiJO3 поперечная волна, распространяю-
распространяющаяся вдоль оси X со смещением по оси Y, не создает пьезоэлектри-
пьезоэлектрического поля, так как согласно симметрии пьезоэлектрических
свойств соответствующий пьезокеэффициеит для этой волны равен
нулю [1051.
Наличие пьезоэффекта существенно влияет и на условия рас-
распространения поверхностных волн на свободной границе пьезо-
электрика [74, 75]. При этом оказывается, что на поверхности
пьезоэлектрического кристалла в определенных направлениях
могут распространяться особые, чисто сдвиговые поверхностные
волны, называемые волнами Гуляева — Блюстейнп [109!, играю-
играющие важную роль в акустоэлектронике. Этот вопрос, однако, также
выходит за рамки данной книги.
269
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
1*. Рэлей. Теория звука. М., 1955. Т. 1, 503 с: т. 2, 475 с.
2. М о р з Ф. Колебания и звук. М.; Л., 1949. 496 с.
3*. С к у ч и к Е. Основы акустики. М., 1976. Т. 1, 520 с; т. 2, 542 с.
4*. Р ж е в к и н С. Н. Курс лекций по теории звука. М., 1960. 336 с.
5*. И е а к о в и ч М. А. Общая акустика. М., 1973. 595 с.
6*. Л а н д а у Л. Д., Л и фш и и Е. М. Теория упругости. М., 1965,
203 с.
7. Амензаде IO. А. Теория упругости. М., 1976. 272 с.
8*. Най Д ж. Физические свойства кристаллов. М.. 1960. 385 с.
9. М и х а й л о в И. Г., Ш у т и л о в В. А. Дифракция света на ультра-
ультразвуковых волнах большой амплитуды. — Акуст. журн., 1957, т. 3, вып. 2, с. 203—
204.
10. 3 а р е м б о Л. К., Шкловская-Корд и В.В. К вопросу о ско-
скорости распространения ультразвуковых волн конечной амплитуды в жидкостях.—
Акуст. журн., I960, т. 5, вып. 1, с. 47—51.
11. Г и т и с М. Б., Михайлов И. Г. Распространение звука в жид-
жидких металлах.—Акуст. журн., 1966, т. 12, вып. 2, с. 145—159.
12*. Бергман Л. Ультразвук и его применение в науке и технике. М.,
1956. 726 с.
13*. Михайлов И. Г., С о л о в ь е в В. А., Сырников Ю. П.
Основы молекулярной акустики. М., 1964. 514 с.
14. Корнфельд М. И. Упругость и прочность жидкостей. М., 1951.
212 с.
15. Константинов Б. П. О поглощении звуковых волн при отраже-
отражении от твердой границы. —Журн. техн. физ., 1939, т. 9, вып. 3, с. 226—231.
16. 3 а р е м б о Л. К-, Ч у н ч у з о в И. П. Об особенностях звукового
поля в вязкой среде вблизи границы пучка. — Акуст. журн., 1977, т. 23, вып. 3,
с. 466-468.
17. 3 е л ь д о в и ч Я- Б., Р а й з е р Ю. П. Физика ударных волн и высо-
высокотемпературных гидродинамических явлений. М., 1966. 686 с.
18. О с т р о у м о в Г. А. Основы нелинейной акустики. Л., 1967. 132 с.
19*. Зарембо Л. К-, Красильни ков В. А. Введение в нелиней-
нелинейную акустику. М., 1966. 519 с.
20. Б е й е р Р. Нелинейная акустика. — В кн.: Физическая акустика
/Под редакцией У. Мэзона. М., 1966, т, 2Б, с. 266—301.
21. Михайлов И. Г., Ш у т и л о в В. А. Об искажении формы ультра-
ультразвуковой волны конечной амплитуды в различных жидкостях. — Акуст. журн.,
1956, т. 6, вьп. 3, с. 340—346."
22. Ш к л о в с к а я - К о р д и В. В. Акустический метод определения вну-
внутреннего давления в жидкостях. — Акуст. журн., 1963, т. 9, вып. 1, с. 107—111.
23. М и х а й л о в И. Г., Ш у т и л о в В. А. Нелинейные акустические
свойства водных растворов электролитов. —Акуст. журн., 1964, т. 10, вып. 4,
с. 450—455.
24. Б у р о в В. А.. К р а с и л ь н и к о в В. А. Непосредственное наб-
наблюдение искажения формы интенсивных ультразвуковых волн в жидкости. —
Докл. АН СССР, 1958, т. 118, вып. 5, с. 920—923.
25. М и х а й л о в И. Г., Ш у т и л о в В. А. Дифракция света на ультра-
ультразвуковых волнах большой амплитуды. — Акуст. журн., 1958, т. 4, вып. 2, с. 174—
183.
26. Ш у т и л о в В. А. Оптические исследования формы ультразвуковой
волны большой амплитуды в жидкости. — Акуст. журн., 1959, т. 5, вып. 2,
с. 231—240.
27. М и х а й л о в И. Г., Ш у т и л о в В. А. Дифракция света на гармо-
гармониках ультразвуковой волны, искаженной в процессе распространения в жид-
жидкости.— Акуст. жури., 1959, т. 5. вып. 1, с. 77—79.
* Номер со звездочкой означает рекомендуемую литературу по общему
курсу.
270
28. Hiedemmann E. A., Z а п к е 1 К. L. The study of ultrasonic
waveform by optical methods. — Acustica, 1961, vol. 11, N 4, p. 213—223.
29. Наугольных К. А. Поглощение волн конечной амплитуды — В кн.:
Мощные ультразвуковые поля /Под ред. Л. Д. Розенберга. М., 1968. Ч. 1, с. 5—48.
30. Г о л ь д б е р г 3. А. О распространении плоских волн конечной ампли-
амплитуды.— Акуст. журн., 1957, т. 3, вып. 4, с. 322—328.
31. Р у Д е н к о О. В., С о л у я н С. И., Хохлов Р. В. Ограничен-
Ограниченные квазиплоские пучки периодических возмущении в нелинейной среде. —
Акуст. журн., 1973, т. 19, вып. 6, с. 871—876.
32. 3 а р е м б о Л. К. К вопросу о температурной зависимости поглоще-
поглощения волн конечной амплитуды в вязких жидкостях. — Акуст. жури., 1957,
т. 3, вып. 2, с. 163—164.
23. А н д р е е в Н. Н. О некоторых величинах второго порядка в аку-
акустике.— Акуст. жури., 1955, т. 1, вып. 1, с. 3—11.
34. Гольдберг 3. А. Давление звука. — В кн.: Мощные ультразву-
ультразвуковые поля /Под ред. Л. Д. Розенберга. М., 1968. Ч. 2, с. 49—86.
35. King L. V. On the acoustic radiation pressure on spheres. — Proc.
Roy. Soc. (London), 1934, vol. A147, p. 212—240.
36. Yosi oka К., К a w a s i m a Y. Acoustic radiation pressure on a comp-
compressible sphere. — Acustica, 1955, vol. 5, N 3, p. 167—174.
37. Горьков Л. П. О силах, действующих на малую частицу в акусти-
акустическом поле в идеальной жидкости. —Докл. АН СССР, 1961, г. 140, вып. 1,
с. 88—91.
38. К а н е в с к и й И. Н. Постоянные силы, возникающие в звуковом поле:
Обзор. — Акуст. журн. 1961, т. 7, вып. 1, с. 3—17.
39. Лэмб Г. Гидродинамика. М.; Л., 1947. 928 с.
40. Dorr \V. Anziehende und abstossende Krafte zwischen Kugeln im Schall-
feld. — Acustiea, vol. 5, N 3, p. 163—166.
41. Медников Е. П. Акустическая коагуляция и осаждение аэрозо-
аэрозолей. М., 1963. 263 с.
42. 3 а р е м б о Л. К- Акустические течения — В кн.: Мощные ультразву-
ультразвуковые поля /Под ред. Л. Д. Розенберга. М., 1968. Ч. 3, с. 87—128.
43. 3 а р е м б о Л. К., Ш к л о в с к а я - К о р д и В. В. Визуализация
акустического течения на границе дв\х несмешиоающихся жидкостей. — Акуст.
журн., 1957, т. 3, вып. 4, с. 373—374.
44. G a b r i a I A. M., Richardson E.G. A study of acoustic streaming
in liquids over a wide frequency range. —Acustica, 1955, vol.5, N 1, p. 28—34,
45. P о й Н. А. Возникновение и развитие ультразвуковой кавитации. —
Акует. журн., 1957, т. 3, вып. 1. с. 3 — 18.
46. П е р и и к А. Д. Проблемы кавитации. Л., 1966. 439 с.
47. А к у л и ч е в В. А. Пульсации кавчтационных полостей. — В кн.:
Мощные ультразвуковые поля /Пот ред. Л. Л. Розенберга. М., 1968. Ч. 4, с. 129—
166.
48. С и р о т ю к М. Г. Экспериментальные исследования ультразвуковой
кавитации. — В кн.: Мощные ультразвуковые поля /Под ред. Л. Д. Розенберга.
М., 1968. Ч. 4, с. 167—220.
49. Ф л и н н Г. Физика акустической кавитации в жидкостях. — В кн.:
Физическая акустика /Под ред. У. Мэзона. М., 1964. Т. 1Б, с. 7—138.
50. 3 е л ь д о в и ч Я- Б. К теории образования новой фазы. Кавитация. —
Журн. экеп. и теор. физ., 1942, т. 12, вып. 11—12, с. 525.
51. Розен берг Л. Д. Фокусирующие ультразвуковые излучатели —
В кн.: Физика и техника мощного ультразвука. Источники мощного ультразвука
/Под ред. Л. Д. Розенберга. М., 967. Ч., с. 149—206.
52. А к у л и ч е в В. А. Гидратация ионов и кавнтацнонная прочность во-
воды — Акуст. журн., 1966, т. 12, вып. 2, с. 160—166.
53. Михайлов И. Г., Ill у т и л о в В. А. О простом способе обнаруже-
обнаружения кавитации. — Акуст. журн., 1959, т. 5, вып. 3, с. 376—378.
54. А к у л и ч е в В. А., Ильичев В. И. О спектральном признаке
возникновения ультразвуковой кавитации в воде. — Акуст. журн., 1963, т. 9,
вып. 2, с. 158—161.
271
55. X о р о ш е в Г. А. О захлопывании паровоздушных кавитациойных
полостей. — Акусл. журн., 1963, т. 9, вып. 3, с. 340—346. ••
56. С и р о т ю к М. Г. О поведении кавитационных пузырьков при больших
интенсивностях ультразвука. — Акуст. журн., 1961, т. 7, вып. 4, с. 499-Н-505.
57. Nolting В. Е., Neppiras E. A. Cavitation produced by ultraso-
ultrasonics. — Proc. Phys. Soc, 1950, vol. 63B, P. 9, p. 674—685; 1951, vol. 64B. P. 12,
p. 1032—1038.
58. К о у л Р. Подводные взрывы. М., 1950. 495 с.
59. Р о з е н б е р г Л. Д. Кавитационная обл. — В кн.: Мошные ультра-
ультразвуковые поля /Под ред. Л. Д. Розенберга. М., 1968. Ч. 6, с. 221—266.
60*. Каневский И. Н. Фокусирование звуковых и ультразвуковых
волн. М., 1977. 326 с.
61. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.; Л., 1949. Т. 3, ч. 2,
672 с.
62. A n d е г s о п V. С. Sound scattering form a fluid sphere. — J. Acoust.
Soc. Amer., 1950, vol. 22, N 4, p. 426—431.
63. Зарембо Л. К., Красильников В. А., Шкловская-
Кор д и В. В. Об искажении формы ультразвуковой волны конечной ампли-
амплитуды в жидкостях. —Докл. АН СССР, 1956, т. 109, № 3, с. 485—488; О распро-
распространении ультразвуковых волн конечной амплитуды в жидкостях — Акуст.
журн., 1957, т. 3. вып. 1, с. 29—36.
64*. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. — М., 1973. —
343 с, ил.
65. Д и а я о в Д. Б. Об излучении ультразвуковых волн через плоскопа-
плоскопараллельные слои. — Акуст. журн., 1959, т. 5, вып. 1, с. 31 — 37.
66. Т а р т а к о в с к и й Б. Д. Звуковые переходные слои. — Докл.
АН СССР, 1950, т. 75, № 1, с. 29—32.
67. К у л ь б и ц к а я М. Н., Ш у т и л о в В. А. Ультразвуковые иссле-
исследования стекол. — Акуст. журн., 1976, т. 22, вып. 6, с. 793—811.
68. S h a \v R. R., U h I m a n D. R. Effect of phase separation on the pro-
properties of simple glasses: II. Elastic properties. —J. Non-Cryst. Solids, 1971, vol. 5,
N 3, p. 237—263.
69*. Стрелков СП. Виедепне в теорию колебаний. М.; Л., 1951. 344 с.
70. Ольсон Г. Динамические аналогии. М., 1947. 224 с.
71. Г и г и с М. Б., X и м у н и и А. С. О дифракционных эффектах в уль-
ультразвуковых измерениях. — Акуст. журн., 1968, т. 14, вып. 4, с. 489—GIJ.
72. Ф у р д ) е в В. R. Электроакустика. М., 1948. 515 с.
73. С н э д д о н И. Н., Б е р р и Д. С. Классическая теория упругости.
М., 1961. 219 с.
74. В и к т о р о в И. А. Физические основы применения ультразвуковых
волн Рэлея и Лэмба в технике. М., 1966. 168 с.
75. Поверхностные акустические волны: Устройства и примене-
применения: Тематический рыпуск. — Труды Ин-та инженеров по электронике и радио-
радиоэлектронике (ТИИЭР), 1976, т. 64, № 5, 323 с.
76. Д р а н с ф е л ь д К„ Зальцман Е. Возбуждение, обнаружение
и затухание высокочастотных упругих поверхностных волн. — В кн.: Физиче-
Физическая акустика Под ред. У. Мэзоиа. М.. 1974. Т. 7, с. 250—310.
77. Мей Д ж. Волноводные ультразвуковые линии задержки—В кн.:
Физическая акустика /Под ред. У. Мэзона, М., 1966. Т. 1А, с. 489—565.
78. Т р у э л л Р., Э л ь б а у м Ч., Ч и к Б. Ультразвуковые методы в фи-
физике твердого тела. М., 1972. 307 с.
79. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М.;
Л., 1948. - 211 с.
80. 3 а р е м б о Л. К., К р а с и л ь и и к о в В. А. Нелинейные явления
при распространении упругих волн в твердых телах.—Усп. фиэ. наук, 1970,
г. 102, сын. 4, с. 549—586.
81. X а 1 к е в и ч А. Г. Об особых направлениях для упругих волн в кри-
кристаллах. — Кристаллография, 1964, т. 9, вып. 5, с. 690—694.
82. Ф е д о р о в Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах. М., 1965.
386 с.
83. Александров К. С. Акустическая кристаллография: Проблемы
современной кристаллографии. М., 1975, с. 327—345.
84. X а т к е в и ч А. Г. О классификации кристаллов по акустическим свой-
свойствам. — Кристаллография, 1977, т. 22, вып. 6, с. 1232—1239.
85. Меркулов Л. Г., М е р к у л о в а В. М. Лекции по физике ультра-
ультразвука. Таганрог, 1976. 70 с.
86. М u s g r a v e M. I. P. Crystal acoustics. San Francisco, 1970. 288 p.
87. T а к е р Дж., Рэмптон В. Гиперзвук в физике твердого тела.
М., 1975. 453 с.
88. Mason \V. P. Physical acoustics and properties of solids. New Jersey,
1958. 427 p.
89. Александров К. С, Рыжова Т. Р. Упругие свойства кристал-
кристаллов. — Кристаллография, 1961, т. 6, вып. 2, с. 289—314.
90. Шубников А. В., Ф л и н т Е.Е., Бокий Г. Г. Основы кристал-
кристаллографии. М.; Л., 1940. 420 с.
91. Белов Н. В. Структурная кристаллография. М., Л., 1951. 88 с.
92. Ж е л у д е в И. С. Физика кристаллических диэлектриков. М., 1968. 463 с.
93. С и р о т и н Ю. И., Ш а с к о л ь с к а я М. П. Основы кристаллогра-
кристаллографии. М., 1975. 680 с.
94. Меркулов Л. Г., Яковлев Л. А. Особенности распростране-
распространения и отражения ультразвуковых лучей в кристаллах. — Акуст. журн., 1962,
т. 8, вып, 1, с. 99—106.
95. В о г g n i s F. E. Specific directions of longitudional wave propagation
in anisotropie media. — Phys. Rev., 1955, vol. 98, N 4, p. 1000—1005.
96. N e l g h b о u r s J. R., Schacher G. E. Detemination of elastic
constants from sound-velocity measurement in crystals of general symmetry. —
J. Appl. Phys., 1967, vol. 38, № 13, p. 5366—5375.
97. К о g a I., A r u g a M. Theory of plane elastic waves in a piezoelectric
crystalline medium and determination of elastic and piezoelectric constants of
quartz. — Phys. Rev., 1958, vol. 109, N 5, p. 1467—1473.
98. К I e r k J. d e Elastic constants of a—ZnS. — J. Phys. Chem. Solids,
1967, vol. 28, N 9, p. 1831—1837.
99. M а у e r W. G., Parker P. M. .Method for the detemination of ela-
elastic constants of trigonal crystal systems. — Acta Cryst., 1961, vol. 14, P. 7, p. 725—
726.
100. Fisher E. S,, McSki min H. J. Adiabatic elastic moduli of sin-
single alpha-uranium. — J. Appl. Phys., 1958, vol. 29, N 10, p. 1473—1484.
101. V e r m a R. K. Elasticity of some high-density crystals. —J. Geophys.
Res., 1960, vol. 65, N 2, p. 757—766.
102. Крупный А. И., А л ь ч и к о в В. В., Александров К.С
Расчет тензора упругости моноклинного кристалла с помощью ЭВ.М. —Кристал-
—Кристаллография, 1971, т. 16, вып. 4, с. 801—805.
103. Александров К. С Определение модулей упругости моноклин-
моноклинного кристалла импульсным ультразвуковым методом. —Кристаллография,
1958, т. 3, вып. 5, с. 623—623.
104. Parker P. M., Mayer W. G. Method for the determination of elas-
elastic constants for some crystallographic groups. — Acta Cryst., 1962, vol. 15, P.I—4,
p. 334—336.
105. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практические применения. М,,.
1949. 718 с.
106. М э з о и У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультра-
ультраакустике. М., 1932. 480 с.
107. СорокаВ. В. О распространении упругих воли в пьезополупровод-
никах. — Изв. вузов, Физика. 1969, № 9 (88), с. 129—130.
108. Абрамович А. А., X р о м о в а Н, Н., Ш у т и л о в В. А. При-
Применение кристалла иодата лития в качестве широкополосного преобразователя
в ультразвуковом импульсно-фазовом интерферометре. — Акуст. журн., 1976,
т. 22, вып.' 2, с. 278—280.
109. Гуляев Ю. В. Поверхностные электрозвуковые волны в твердых
телах. — Письма в ЖЭТФ, 1969, т. 9, вып. 6, с. 202—205.
27а
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Акустическая добротность см. Доброт-
Добротность акустической системы
— мощность 52
Акустические линзы см. Линзы акус-
акустические
— течения 108, 119—122
— — нелинейные 122
Акустически» диполь 162
— импеданс см. Импеданс акусти-
акустический
— показатель преломления см. По-
Показатель преломления акустичес-
акустический
Акустическое сопротивление см. Вол-
Волновое сопротивление *
Амплитуда колебании 48
— — вынужденных 192
— пилообразной ьолны см. Волны
пилообразные, амплитуда
— резонансная 194
—, линейные соотношения 19
—, нелинейные соотношения 74, 75
Аэрозоли 161
Бернулли силы 116
Бесселя — Фубини решение 83, 95
Ближняя зона см. Зона ближняя
Бойля — Мариотта закон 34, 70
Бьеркнесса силы 115
Вектор волновой см. Волновой вектор *
— единичной нормали * 44, 241
— положения см. Радиус-вектор *
— смещения * 9, 241
Внутренняя энергия 24, 236
Волновое сопротивление * 46
кавитирующей жидкости 140
— — полное * 46
>дельное * 40, 46
— число * 44
Волновой вектор * 44, 241
Волны Г>ляева — Блюстейна см. Гу-
Гуляева — Блюсгейна волны
— квазипоперечные 242
— квазипродольные 242
— Лэмба см. Лэмба волны
— Лява см. Лява волны
, скорость 233
— непьезоактивные 269
— поперечные см. Волны сдвиговые
— продольные * 29, 209
— пьезоактивные 269
— рэлеевские см. Рэлея волны
, скорость 230
— сдвиговые * 209
, глубина проникновения 64
—, трансформация см. Трансфор-
Трансформация ультразвуковых волн
— пилообразные 77, 82, 86, 91
— —, амплитуда 82, 92
— —, глубина фронта 94
— —, интенсивность 96
— —, поглощение 93
— ударные 77
Гармоники волны конечной амплитуды
81, 84, 87, 95, 96
пилообразной 82
— сферические 163—165
Гельмгольца уравнение 45
* Для терминов, повторяющихся многократно по всей книге (отмечены
чвездочкой), указаны только те страницы, где дано их определение.
274
Геометрическая дисперсия см. Диспер-
Дисперсия геометрическая
Гетерогенные среды 161
Гука закон 20, 21, 194, 210, 234
обобщенный 20, 267
Гуляева — Бдюстейпа волны 269
Гюйгенса — Френеля принцип 197
Давление гидростатическое 115
— чвуковое * 45
среднее 201
— з ритическсе 126, 127
— поверхностного натяжения 115,
124
— пороговое 139
— радиационное 104
— — ланжевеновское 107
— — рэлеевское 107
Дальняя зона см. Зона дальняя
Движения уравнение см. Уравнение
движения
Декремент затухания логарифмичес-
логарифмический 60, 189
Деформации конечные 15, 236
Деформация двумерная 10—13
— одномерная 10
— — однородная 10
— трехмерная 13, 14
Дисперсия звука 39
— — геометрическая 235
Дифракция свега на ультразвуке 79, 84
— ультразвукового пучка 197—200
Длинл волны бегущей * 45, 149
— — квазистоячей 160
— — стоячей 149
Добротность 189, 190
— акустической системы 190, 191
— контура 190
— пластинки 190, 191
Жесткость эквивалентная 185
— эффективная * 211, 212
Зародыши кавитации см. Кавитация
Закон Бойля — Мариотта см. Бойля —
Мариотта закон
— Ома см. Ома закон
— отражения и преломления 155, 216
— Рэлея см. Рэлея рассеяния закон
Затухание ультразвуковых волн см.
Коэффициент затухания
Звуколрозрачность слоя 175, 176, 179
Зона ближняя 199, 201
— дальняя 194
Излучатель нулевого порядка 206
— поршневой 197—199
— волн сферических 206—208
Изонормальные направления 242, 245,
247
Импеданс акустический удельный * 47,
147
— — полный 47
— контура 194
— механический 194
— полный 47, 207
— пульсирующей сферы 207
Индикатриса рассеяния 166
Индукция электрическая 267
Интенсивность ультразвука * 51, 86,
160
— волны сферической 205
— — пилообразной см. Волны пило-
пилообразные, интенсивность
Источники когерентные 161
Казнгация:
—, зародыши 124, 128
—, показатель 140
—, порог 128, 129
—, прочность жидкости 127
— ультразвуковая 123
Кирквуда — Бете уравнение 136
Коагуляция ультразвуковая 116
Колебания вынужденные 191 —19G
— затухающие 187—191
— нормальные 184
—, период 45
— резонансные 194
— свободные 184—186
— собственные 180—183
Константы жесткости см. Модули упру-
упругости
— Ламэ см. Ламэ константы
Коэффициент внутреннего трения 190
— вязкости объемной 54
сдвиговой 54
— затухания 59, 188
— — амплитудный 70
временной 59, 188
— — пространственный 59
энергетический 60
— нелинейный 60
— поверхностного натяжения 124
— поглощения * 56—58
— — амплитудный * 56
— — волн бесконечно малой ампли-
амплитуды * 56
— — — конечной агглитуды 93, 99
— — — сдвиговых 63, 64
— — гармоник 96
— — дифференциальный 87, 88
по энергии * 60, 61
— отражения * 144
амплитудный 173, 221, 223,
225—228
— — по давлению 144, 172, 173
— — — интенсивности 145, 173, 178
215, 221
— — — скорости 144
275
— — — энергии см. Коэффициент
отражения по интенсивности
— пропускания см. Коэффициент
прохождения
— прохождения 144, 174, 176, 225—
228
— — по давлению 144
— — — скорости 144
энергии 145, 196
слоя 174, 176, 179
— Пуассона см. Пуассона коэффи-
коэффициент
— рассеяния 170
— сопротивления 187
— теплового расширения 35, 73
— электромеханической связи 269
Кристаллы гексагональные 23, 252,
256—258
—, группа 22, 23
— кубические 23, 244—255
—, модули \ пру гости см. Модули
упругости
— моноклинные 22, 259, 266
—, направления изонормальные см.
Изонормальные направления
—, — кристаллографические 247
—, — особенные 242
—, — поперечно-изотропные 249
—, оси акустические 242, 249
—, — кристаллографические гл. Оси
кристаллографические
— пьезоэлектрические 267
— ромбические 22, 257, 259, 263, 264
—, система см. Система кристалло-
, графическая
—, скорость звука
— тетрагональные 22, 256, 257, 261,
262
— тригональные 22, 252, 256, 259,
260
— триклинные 22, 265
Кристоффеля уравнения 241, 243, 268
Кронекера символ * 14
Ламэ константы 21, 25, 210
Лапласа оператор 32, 37, 202, 210
— уравнение 124
Лапласиан см. Лапласа оператор
Линза акустическая 155, 156
Лоренц — Лоренца соотношение 50
Луч ультразвуковой 155
Лэмба волны 233
Лява волны 233
Максвелла уравнения 268
Масса присоединенная 208
— эквивалентная 185
Матричные обозначения 13, 16, 20
Маха число 67
— — акустическое 67
276
Метод дилатометрический 129, 139, 140
— последовательных приближений
97, 238
— Римана см. Римана метод
— теневой 156
— электроакустических аналогий
183, 184
Ми рассеяние 162
Миллера обозначения 247
Модули упругости * 20
адиабатические * 21, 36
— — второго порядка * 24
— — динамические см. Модули уп-
упругое iи адиабатические
— — изотермические 21, 36
кристаллов 22, 23
— — — гексагональных 258
к>бпческих 253—255
— — — моноклинных 266
— — — ромбических 264
— — — тетрагональных 2G2
— — — тригональных 260
— — линейные * см. Модули упру-
упругости второго порядка
— — статические см. Модули \.гру-
гости изотермические
— — третьего порядка 34, 237
, матрицы 20—23
, таблицы 22, 23, 26, 36, 212,
253—255, 258, 260, 262, 264, 266
— —, тензор 20
Модуль всестороннего сжатия * 28
— — — нелинейный 34, 237
— сдвига * 27
— упругости объемной см. Модуль
всестороннего сжатия
— — эффективный 54, 185
— — Юнга см. Юнга модуль
Мощность звукового излучения см.
Акустическая мощность
— излучения пульсирующей сферы
207
— рассеиваемая 166
— тока переменного 52, 184, 205
Навье — Стокса уравнение 89
Напряжение вязкое 54, 56
Напряжение механическое * 15
—, тензор см. Тензор напряжений
Напряженность электрического поля
267
Неразрывности уравнение см. Уравне-
Уравнение неразрывности
Нолтинга — Иепайреса уравнение 136
Ома закон 186, 187
Отражение полное внутреннее 158, 217,
222
— ультразвука 141 — 158, 214—229
— — при наклонном падении 153—
161, 214—229
— нормальном падении 141 —
153, 229
Оси акустические 242, 249
— кристаллографические 245—247
Параметр 1азосодержания 132
— нелинейный 70
— рассеяния 162
Паргмегры эквивалентные 185, 186
Плотность потока ультразвуковой энер-
энергии см. Интенсивность ультразвука
— ьнергни ультразвуковой 51
— — — поглощаемая 61
— — — средняя ?1
Поглощение ультразвука 54—58, см.
тйкже Коэффициент поглощения
— — на ipammax пучка 65
— — стоксоео 57
Показатель преломления акустический
155, 178
— йзоэнтропы 71
— каьитации см. Кавитация
Поле ультразвуковое 50
— — рассеянных воли 161
Полоса пропускания 196
Поперечник рассеяния см. Эффектив-
Эффективное сечение рассеяния
Постоянная времени затухания 59, 189
Потенциал скоростей * 31
— электрического поля 268
Проницаемость диэлектрическая 267
— —, тензор см. Тензор прони-
цаемостей диэлектрических
Пуазейля формула 119
Пуассона коэффициент * 26
— уравнение 35, 70
Пьезокоэффициенты 267
Пьезоэффскта уравнения см. Уравне-
Уравнения ньезоэффекта
Радиус-вектор * 9
Рассеяние ультразвука 161 —170
— — 1еометрическое 162
— — вторичное 170
— — диффузное 169
— — когерентное 169
— — Ми см. Ми рассеяние
— — некогерентное 169
обратное 166
— — резонансное 168, 169
— — рэлеевское 163—165
— —, индикатриса см. Индикатриса
рассеяния
— —, коэффициент см. Коэффициент
рассеяния
, параметр см. Параметр рас-
рассеяния
Расширение сбъеыьое 14
Расстояние до разрыва 77
— критическое 77
— стабилизации 87
Резонанс 193
Рейнольдса число 90
текущее 94
Римана метод 68
Рэлея волны 230
— закон рассеяния 165
— формула 131, 197
Сжимаемость 35
— адиабатическая 35
— изотермическая 36
Силы Бернулли см. Бернулли силы
— Бьеркнесса см. Бьеркнесса силы
— давления 46, 183, 206
— — радиационного 109—115
— Стокса см. Стокса силы
— трения 116, 187
Система колебательная акустическая
183, 187, 191
механическая 184, 187, 191
— — с постоянными распределен-
распределенными 184
— — — — сосредоточенными 184
— — электрическая 186, 188, 191
Система кристаллографическая гекса-
гексагональная 23, 246
кубическая 23, 244—255
моноклинная 22, 246, 259,
265, 266
ромбическая 22, 246, 263, 264
тетрагональная 22, 246, 256,
261, 262
— — тригоиальная 22, 246, 252,
256, 259, 260
триклннная 22, 246, 265
Скорость звука * (ультразвука) 39
в стержнях 234
локальная 69
местная 69
— колебательная * 48
— следа волны 159
Слой звукопрозрачный 174, 176—180
— неоднородный 177—180
— полуволноьой 174
— четвертыюл новой 176
Сонолюминесценция 129, 133, 139
Сопротивление излучению см. Волно-
Волновое сопротивление *
Стабилизация формы волны 87
Стокса — Кирхгофа формула 57
Стокса силы 117
— формула 116
Степень искажения формы волны 78, 94
Суспензия 161
Схема эквивалентная 185, 187, 192, 208
Тензор деформаций * 13
— —, инварианты 14, 237
277
— напряжений * 16
— натяжения 3]
— пропицаемоаеи диэлектгжческт-'х
267
Трансформация )лыразвуковых волн
141, 214, 228
Тзта уравнение 35, 71
Уравнение волновое * 37
— Гельмгольца см. Гельмгольца
уравнение
— движения 19, 31, 66, 134, 177,
191, 209
— Лапласа см. Лапласа уравнение
— Навье—Giohca см. Навье —
Стокса уравнение
— неразрывности 14, 32, G6, 130, 177
— Нолтинга — Непайреса см. Нол-
тинга — Непайреса уравнение
— состояния 33—36, 48, 66, 71, 267
— Тэта см. Тэта уравнение
— Херринга — Олимпа см. Херрин-
га — Флнниа уравнение
— энергетического баланса 145, 221
Уравнения Кристоффеля см. Крнооф-
феля уравнения
— Максвелла см. Максвелла урав-
уравнения
— Пуассона см. Пуассона уравнение
— пьезоэффекта 267
Фактор анизотропии 245, 250
Формула Пуазейля см. Пуазейля фор-
формула
— Рэлея см. Рэлея формула
— Стокса см. Стокса формула
— Стокса — Кирхюфа см. Слокеа —
КЕрхгофа формула
Фокусирование ультразвука 155, 156
Фра\нгофера зова см. Зола дальняя
Френеля зона см. Лога ближняя
Херриига — Флипьа уравнение 136
Частота круговая * 45
— резонансная 185
газового щзырска 115. 128,
133
— — контора 186
— — механической системы 185
— — пластинки см. Частота соб-
собственная
— собственная пластиььи зажатой
181
свободной 182
— односторонне пагр\лепной
182
— циклическая * 45
Число волновое см. волновое число *
— Маха см. Маха число
— Рейпольдса см. Рейиольдса число
Ширина резонансной кривой 196
Шкала децибел см. Шкала логарифми-
логарифмическая
— логарифмическая 53
Юнга модуль * 26
Эйлера переменные 31, С6
Электродвижущая сила J91
Эмульсия 161
Эрозия кавитационная 129
Эффект пьезоэлектрический 267
Эффективное сечение рассеяния 166
Эффективность тлучегня пульсирую-
пульсирующей сферы 208
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3-
Основные обозначения 7
Глава 1
Основные уравнения теории упругости
§ 1. Описание равновесного и деформированного состояний тела . . . 9
§ 2. Тензор напряжений 15
§ 3. Уравнение движения 17
§ 4. Связь между деформацией и напряжением. Обобщенный закон
Гука 20
§ 5. Энергия упруюй деформации 23
§ 6. Простейшие деформации и связь между различными модулями
упругости 25
Глава II
Распространение ультразвуковых волн в жидкостях и газах
§ 1. Акустические характеристики идеальной жидкости 29-
§ 2. Уравнения гидродинамики 31
§ 3. Уравнение состояния для жидкостей и газов 33
§ 4. Волновое уравнение 36
§ 5. Плоские волны 38
§ 6. Скорость звука 39
Глава III
Плоские синусоидальные волны бесконечно малой амплитуды
§ 1. Уравнения плоской монохроматической волны 44
§ 2. Основные линейные соотношения между физическими величи-
величинами, изменяющимися в ультразвуковой волне. Волновое сопро-
сопротивление и акустический импеданс 45
§ 3. Энергетические характеристики ультразвукового поля. Интен-
Интенсивность ультразвука 50
Численные примеры. Логарифмическая шкала интенсивностей
и амплитуд 52
§ 4. Поглощение монохроматических ультразвуковых воли .... 53
§ 5. Сдвиговые полны в жидкостях. Вязкие потери на границах уль-
ультразвуковых пучков 62
Глава IV
Плоские волны конечной амплитуды
§ 1. Оценка нелинейных членов уравнений гидродинамики .... 66
§ 2. Точное решение системы нелинейных уравнений гидродинамики
для недиссииативной среды 68
§ 3. Скорость распространения волны конечной амплитуды. Нелиней-
Нелинейные характеристики среды 69
§ 4. Соотношения между акустическими параметрами во втором при-
приближении 74
§ 5. Искажение формы волны конечной амплитуды в процессе распро-
распространения 75
§ 6. Спектральный анализ волны конечной амплитуды 81
§ 7. Интенсивность искаженных ультразвуковых волн конечной ам-
амплитуды 86
§ 8. Поглощение плоских волн конечной амплитуды ...,,... 87
Глава V
Постоянные силы, возникающие в ультразвуковом поле
§ 1. Давление излучения 104
§ 2. Силы радиационного давления, действующие на препятствия 10D
§ 3. Постоянные силы, действующие в ультразвуковом поле на взве-
взвешенные частицы ....,..,, 114
§ 4. Ультразвуковой ветер , , 117
Глава VI
Ультразвуковая кавитация
§ 1. Прочность жидкости на разрыв ................. 123
279
§ 2. Кавитационная прочность жидкости 125
§ 3. Захлопывание кавитационноп ьолости 130
§ 4. Динамика кавитационной полости в ультразвуковой волне . . 134
§ 5. Акустические свойства кавитирующен жидкости 138
Глава VII
Отражение, преломление и рассеяние ультразвуковых волн
§ 1. Прохождение и отражение плоских волн при нормальном па-
падении на границу раздела двух сред 141
§ 2. Стоячие плоские волны 147
§ 3. Интерференция встречных волн при нормальном отражении
в поглощающей среде 151
§ 4. Отражение и преломление плоской волны при наклонном па-
падении на плоскую границу раздела двух сред 153
§ 5. Интерференция плоских волн при наклонном падении. Квази-
Квазистоячие волны 158
§ 6. Рассеяние ультразвуковых волн в неоднородной среде ...» \Ы
Глава VIII
Прохождение плоских волн через слои.
Электроакустические аналогии.
Излучение плоских волн
§ 1. Прохождение плоских ультразвуковых волн через плоскопа-
плоскопараллельный слой 171
§ 2. «Просветляющие» (согласующие) слои 176
§ 3. Собственные акустические колебания пластин 180
§ 4. Метод электроакустических аналогий 183
§ 5. Колебательные системы без затухания 184
§ 6. Собственные колебания электрической, механической и акусти-
акустической колебательных систем с затуханием 186
§ 7. Вынужденные колебания. Резонанс 191
§ 8. Излучение плоских волн. Поле реального плоского излучателя
ультразвука 196
Глава IX
Сферические волны
§ 1. Волновое уравнение для сферических волн 202
§ 2. Монохроматические сферические волны 203
§ 3. Интенсивность сферической волны 204
§ 4. Излучение сферических волн пульсирующей сферой 206
Глава X
Распространение ультразвука в изотропном твердом теле
§ 1. Волновоз уравнение для безграничного твердого тела 209
§ 2. Отражение, преломление и трансформация ультразвуковых волн
на границах твердых тел 214
§ 3. Коэффициент отражения на границе твердого тела при наклон-
наклонном падении волны 218
§ 4. Поверхностные волны Рэлея , 229
§ 5. Волны Лява 231
§ 6. Геометрическая дисперсия звука в стержнях 233
§ 7. Нелинейная упруюсть и начала нелинейной акустики твердых
тел 236
Глава XI
Распространение ультразвука в кристаллах
§ 1. Общие акустические уравнения для кристаллов , 240
§ 2. Связь между модулями упругости и скоростями распростране-
распространения ультразвука в кристаллах 243
§ 3. Кубические кристаллы 244
§ 4. Кристаллы более низкой симметрии 252
§ 5. Влияние пьезоэлектрического эффекта на упругие свойства кри-
кристаллов 267
Указатель литературы 270
Предметный указатель 274