Author: Гарднер М.
Tags: математика занимательная математика переводная литература издательство мир
Year: 1988
Text
КРЕСТИКИ - НОЛИКИ
МАКТШ СМЕЖЕН
ШНЕЕЬЗ, ЫРЕ
АЫБ ОТНЕК
МАТНЕМАПСАЬ АЛШ5ЕМЕЫТ5
V. Н. Ргеетап гпй Сотрапу
Ыеш Уогк 1983
Мартин Гарднер
КРЕСТИКИ-
\/\/ НОЛИКИ
Перевод с английского
И. Е. Зино
®
МОСКВА «МИР» 1988
ББК 22.1
Г20
УДК 51
Гарднер М.
Г20 Крестики — нолики: Пер. с англ.— М.: Мир,
1988. — 352 с, ил.
15ВЫ 5-03-001234-6
Новая книга хорошо известного советскому читателю амери-
канского популяризатора науки Мартина Гарднера, продолжаю-
щая серию книг по занимательной математике, содержит эссе, за-
дачи и головоломки из различных областей математики.
Рассчитана на любителей занимательной математики.
1702020000-251 ,..„„, вкк ,, ,
Г 041(01)-88 6_88» ■•• ' ББК 22Л
Редакция научно-популярной и
научно-фантастической литературы
Научно-популярное издание
Мартин Гарднер
КРЕСТИКИ - НОЛИКИ
Заведующий редакцией В. С. Власенков. Ст. научный редактор А. Г. Бе-
левцева. Мл. научный редактор М. А. Харузина. Художник Л. М. Му-
ратова. Художественный редактор Н. М. Иванов. Технический редактор
Т. А. Максимова. Корректор Н. И. Гиря
ИБ 6491
Сдано в набор 29.07.87. Подписано к печати 29.03.88. Формат 84X108'/за.
Бумага ТШЦ41. Печать высокая. Гарнитура литературная.,
Объем Б.50 Оумг л. Усл. печ. л. 18,48. Усл. кр.-отт. 18,90. Уч.-изд. л4 17.73*
Изд. № 9/5704. Тираж 170 000 экз. Зак. 695, Цена 1 р, 30 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» 129820. ГСП, Москва, И-НО, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга»
им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном коми-
тете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, .198052,
г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
© 1983 Ьу Ш. Н. Ргеетап апс!
Сотрапу
18ВЫ 5-03-001234-6 (русск.) © перевод на русский язык,
^8ВN 0-7167-1589-9 (англ.) «Мир», 1988
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Перед вами новая книга Мартина Гарднера — патриарха
современной занимательной математики, книгами которого за-
читываются люди самого разного возраста и самых различных
профессий во многих странах. Советский читатель хорошо зна-
ком со многими произведениями М. Гарднера, выпущенными
на русском языке *, и уже сумел в полной мере оценить его
изящные рассуждения, неуемную фантазию, прихотливые и па-
радоксальные повороты его мысли, глубокое эстетическое чутье
и широчайшую эрудицию. Сейчас, когда время энциклопедистов-
математиков уходит все дальше и дальше в прошлое, он
остается, пожалуй, одним из немногих специалистов (не имея,
кстати, никакой ученой степени), которые в равной мере сво-
бодно ориентируются и в математическом анализе, и в теории
вероятностей, и в топологии, и в комбинаторике, и во множестве
других разделов математики, о которых непосвященный человек
знает лишь понаслышке. А если прибавить к этому удивитель-
ную способность заинтересовать и увлечь за собой читателя,
в яркой и занимательной форме донося до него идеи, лежащие
где-то совсем неподалеку от переднего края науки, а иногда и
за ним, на совершенно неизведанных территориях, то стано-
вится понятным, почему книги, на обложке которых стоит имя
М. Гарднера, не залеживаются на прилавках книжных мага-
зинов.
По своей структуре данная книга занимает как бы проме*
жуточное положение между тремя сборниками головоломок и
математических игр, открывшими серию книг по занимательной
математике, выпускаемую издательством «Мир», и двумя по-
следними по времени книгами этой серии, посвященными гео-
метрическим, логическим, физическим и другим парадоксам.
Книга в полной мере позволяет оценить все разнообразие ис-
пользуемых Гарднером средств — от хитроумных головоломок,
новых подходов к классическим задачам, изящных игрушек,
теория которых тесно связана с важными проблемами совре-
менной математики, ошибочных рассуждений и парадоксов, за-
дачек с «секретом» и математических игр до таких, казалось бы,
далеких от математики вещей, как торговая реклама. Осрбый ин-
терес представляют три последние главы книги, которые посвя-
* Гарднер М. Математические головоломки и развлече-
ния.— М.: Мир, 1971; Математические досуги. — М.: Мир, 1972;
Математические новеллы. — М.: Мир, 1974; Есть идея!—М.:
Мир, 1982; А ну-ка, догадайся! —-М.: Мир, 1984 и др.
5
щены придуманной У. Конуэем увлекательной игре «Жизнь», по-
служившей началом практически нового раздела занимательной
математики, интенсивно развивающегося в результате усилий мно-
гочисленных энтузиастов.
Хочется надеяться, что знакомство с новой книгой Мар-
тина Гарднера позволит читателям еще полнее оценить уди-
вительную широту и непредсказуемость этого замечательного
популяризатора науки и доставит им немало приятных, а за-
одно и поучительных минут.
И. Зино
ВВЕДЕНИЕ
— Тогда нам остается еще одна
игра.
— Какая?
— Самая простая, — сказал я.—
Она называется скука. Никаких
тебе правил, игральных досок или
фигур.
— А как в нее играют? — поинтере-
совалась Аманда.
— Скука — это отсутствие всяческих
игр.
Доналд Бартелли.
Запретные удовольствия
Как показали недавние исследования постановки
математического образования в США, одной из ос-
новных особенностей преподавания математики, осо-
бенно на начальных этапах обучения, к сожалению,
является скука. Одни преподаватели, по-видимому,
плохо знают математику, другие ее вообще не знают.
А если математика наскучила самим учителям, то
можем ли мы требовать от учеников, чтобы им не
было скучно?
Подобно другим естественным наукам, математика
представляет собой игру, в которую мы играем с
окружающим миром, со Вселенной. Самые лучшие
математики и самые хорошие преподаватели — это,
очевидно, люди, которые прекрасно разбираются в ее
правилах, а также получают удовольствие от самого
процесса игры. Рэймонд Смаллиан, большой охотник
до всяких философских и математических игр, в сво-
ей интереснейшей книге «5000 лет до нашей эры
и другие философские фантазии» * рассказывает, как
однажды, читая курс элементарной геометрии, он
* 5ти11уап К. 5000 В. С. апс! ОШег РЫ1о5орЫса1 Рап*а<
8*ез,— 1983.
7
попытался подвести слушателей к пониманию тео-
ремы Пифагора следующим образом:
— Я начертил на доске прямоугольный треуголь-
ник с квадратами, построенными на его гипотенузе
и катетах, и сказал: «Очевидно, что квадрат, постро-
енный на гипотенузе, занимает большую площадь*
чем любой из двух других квадратов. А теперь пред-
ставьте себе, что эти квадраты сделаны из кованого
золота и вам предлагают взять себе либо один боль-
шой квадрат, либо два маленьких. На каком квадра-
те вы остановите свой выбор?»
Интересно отметить, что мнения в классе разде-
лились примерно пополам — одни ученики предпочли
большой квадрат, другие — два маленьких. Возникла
оживленная дискуссия. Обе группы учеников в рав-
ной степени были удивлены, когда я объяснил им,
что никакой разницы в данном случае нет.
Именно это чувство радостного удивления и от-
личает всех великих математиков, точно так же
как лучших преподавателей математики отличает
способность передать его своим ученикам. И не знаю
лучшего способа осуществить это, особенно среди лю-
дей, начинающих изучать математику, чем с помощью
игр, загадок, парадоксов, фокусов и прочих весе-
лых атрибутов так называемой «занимательной мате-
матики».
«Загадки и игры — богатейший источник стандарт-
ных примеров, которые можно использовать для ил-
люстрации и проверки эффективности тех или иных!
методов решения»,— пишет Нильс Нильссон в своем
широко известном учебнике «Методы решения задач
в теории искусственного интеллекта» *. Там же он
приводит следующие слова Марвина Мински: «Мы
выбираем игры и математические задачи не потому,
что они представляются нам очевидными и простыми?
скорее всего, дело в том, что они обеспечивают нам
максимальную сложность при минимальной исходной
структуре, в результате чего после сравнительно не-
большого экскурса в программирование становится
возможным анализировать по-настоящему трудные
ситуации».
* N11138011 N. РгоЫет-ЗоМп^ МеШойз т Аг1Шс1а1 1п1еЬ
Ндепсе.^№™ Уогк: АМеу, 1978.
а
Нильссон и Мински имели в виду значение «зани-
мательной математики» в случае обучения решению
задач на вычислительных машинах, однако ценность
ее оказывается ничуть не меньше и при обучении за-
дач «вручную», без помощи ЭВМ. В этой книге, ко-
торая является десятым сборником материалов, на-
писанных мною для раздела «Математические игры»
в журнале ЗшпИ^с Атепсап, вы найдете матема-
тические развлечения самого разного рода. Последние
три главы (третья из них была написана специ-
ально для этой книги) посвящены изобретению Джо-
на Конуэя — увлекательной игре «Жизнь», возможно-
сти которой еще не до конца исследованы сегодня.
Обе опубликованные ранее статьи об игре
«Жизнь», в которых я удостоился описать эту игру
впервые, вызвали среди любителей программирова-
ния во многих странах мира больше интереса, чем
что-либо написанное мною до этого. Теперь, когда
программы игры «Жизнь» потихоньку начинают про-
никать на дисплеи домашних компьютеров, интерес к
этому необыкновенному развлечению возродился
вновь. Хотя правила игры в «Жизнь» необычайно
просты, сложность ее построений столь невообразима,
что всякого, кто начинает экспериментировать с ее
«формами существования», охватывает ощущение
грандиозности, глубины и загадочности математиче-
ских структур. Мало кому удавалось описать подоб-
ное чувство так ярко и образно, как это сделал анг-
лийский математик Джемс Сильвестр в следующем
отрывке:
«Математика — это не книга в толстенном пере*
плете с медными застежками, разобраться в содер-
жании которой можно, лишь вооружившись огром-
ным терпением; это не рудник, в котором ценные
породы встречаются лишь в отдельных жилах и зале-
жах и добываются неимоверным трудом; это не поч-
ва, плодородие которой постоянно истощается из-за
необходимости непрерывно собирать урожаи; это не
материк и не океан, чьи очертания можно определить
с нужной вам точностью и нанести на карту; она
так же безгранична, как пространство, которое все
же оказывается слишком тесным для ее устремлений;
возможности ее так же бесконечны, как миры, бес-
порядочно громоздящиеся друг «а друга и множащиеся
9
Ье!>ед взором астройбма; ее так же нельзя вместить
Ь определенные рамки или границы либо све-
сти к определениям неизменной значимости, как нель-
зя сделать это с человеческим сознанием, с самой
жизнью, которая, кажется,, дремлет в любом простей-
шем организмег в каждом атоме материи, в каждом
листике, каждой почке или клетке и в то же время
всегда готова мгновенно преобразиться в новые фор-
мы растительного и животного существования».
Мартин Гарднер
ГЛАВА 1
КОЛЕСА
Осознание того удивительного об-
стоятельства, что гладкие круглые
объекты могут покорять простран-
ство путем простого перекатывания,
вместо того чтобы с трудом про-
двигаться вперед, тяжело поднимая
неуклюжие конечности, явилось, на-
верное, самым благотворным толч-
ком в развитии молодого человече-
ства.
Владимир Набоков. Говори, память
Без колеса в мире все оказалось бы совершенно
по-иному. Не говоря уже о транспорте, даже если вспо-
мнить лишь о применении колес в простых механиз-
мах — блоках, передачах, гироскопах и т. д., то труд-
но представить себе сколько-нибудь развитое челове-
ческое общество, которое смогло бы обходиться без
них. Герберт Уэллс в романе «Война миров» описы-
вает марсианскую цивилизацию, которая далеко обо-
гнала земную, однако в своих хитроумных машинах
никак не использует колесо. По-видимому, Уэллс на-
меренно описал совершенно невозможную ситуацию:
так, легко можно представить себе, что колесо не
сумели бы изобрести американские индейцы, но что-
бы колеса не знала цивилизация, способная посылать
космические корабли с Марса на Землю,— вряд ли.
До недавних пор считалось, что колесо впервые
появилось в Месопотамии. Изображения колесниц,
обнаруженные здесь археологами, относятся к 3000 г,
до н. э., а найденные в раскопках остатки массивных
дискообразных колес датируются 2700 г. до н. э. Од-
нако вскоре после второй мировой войны совет-
ские археологи обнаружили на Северном Кавказе
11
глиняные модели колёсных телег и отпечатки колес
погребальных повозок, которые позволяют предполо-
жить, что колесо появилось в степях Юго-Восточной
Европы, возможно, еще раньше, чем в Месопотамии.
При этом оно могло быть изобретено независимо в
дйух или нескольких местах, не имеющих связи друг
с другом, или же могло распространиться благодаря
взаимному проникновению культур, как это хорошо
описал Джон Апдайк в следующем четверостишии,
взятом из его поэмы «Колесо»:
О центробежной силе вовсе
Не слыхивали эскимосы,
Пока со льдин не увидали,
Как катит Бэрд, крутя педали *.
Может показаться удивительным, что в процессе
эволюции колесо не получило своего развития в ка-
честве двигательного органа животных, однако, поду-
мав, начинаешь понимать, как сложно было бы для
биологических объектов осуществлять вращение сво-
их круглых конечностей. Наверное, ближе всего при-
рода подошла к колесному транспорту, создав кусты
перекати-поля. (Впрочем, голландский художник Мо-
риц Эшер придумал существо, способное сворачивать-
ся в колесо и с большой скоростью катиться вперед.
Кто знает, быть может, на других планетах и есть
такие существа?) Возможно, что и на Земле в клет-
ках живых организмов имеются специальные субмик-
роскопические вращательные устройства, предназна-
ченные для сворачивания и разворачивания двой-
ных спиралей ДНК, хотя их существование до сих
пор остается под вопросом.
Вращающееся колесо обладает множеством пара-
доксальных свойств. Так, например, легко заме-
тить, что точки, оказавшиеся на самом верху колеса,
движутся относительно Земли гораздо быстрее, чем
точки, расположенные в нижней его части. Макси-
мальной скорости точка, лежащая на ободе колеса,
достигает тогда, когда она оказывается строго в вер-
шине колеса, а минимальной (нулевой) скорости —
когда она касается Земли. У железнодорожных колес
с ребордами, края которых опускаются немного ниже
уровня рельсов, имеются даже небольшие участки
* Перевод А, Глебовской,
12
(ОД _(Р)
А В
Рис. 1. Аристотелев парадокс с колесом.
вблизи обода, точки которых движутся в противопо-
ложном ходу поезда направлении. Г. К. Честертон в
своей книге «Тревоги и размышления», в эссе, посвя-
щенном колесам, уподобляет колесо здравомысляще-
му обществу, «одна часть которого постоянно и без
всяких усилий возносится к небу, в то время как
другая его часть беспрестанно склоняет свою голову
в пыль». Здесь же в своей характерной манере он
напоминает читателям, что «не может быть никакого
Переворота без вращения».
Самый хитроумный из всех связанных с колесом
парадоксов сравнительно мало известен, хотя это и
может показаться странным, если вспомнить, что
впервые он был упомянут еще в написанной на гре-
ческом языке «Механике». Этот труд обычно припи-
сывают Аристотелю, но скорее всего он был создан
кем-то из его учеников, живших позднее. О «колесе
Аристотеля», как обычно называют этот парадокс,
написано множество работ, среди авторов которых
фигурируют такие выдающиеся математики, как Га-
лилей, Декарт, Ферма и др. Когда большое колесо,
изображенное на рис. 1, катится от точки А к точке
В, обод малого колеса будет катиться параллельно
ему по прямой, соединяющей точки Си/). (Если бы
эти прямые действительно представляли собой две
колеи, то совершенно очевидно, что подобное двойное
колесо не смогло бы гладко катиться по обеям коле-
ям сразу. Оно либо катилось бы по верхней колее,
но тогда большее колесо из-за скольжения постоян-
но отставало бы на нижней колее; либо оно кати-
лось бы по нижней колее, но тогда меньшее колесо
на верхней колее проскальзывало бы вперед. Суть
парадокса заключается, однако, не в этом.) Предпо-
ложим, что большее колесо катится без скольжения
по прямой АВ. В каждый момент времени, когда та
13
или иная точка на ободе большого колеса касается
линии АВУ некая вполне определенная точка на обо-
де меньшего колеса соприкасается с прямой Си.
Другими словами, все точки меньшей окружности
можно привести во взаимно однозначное соответствие
с точками большей окружности. При этом ни на од-
ной из окружностей не остается «свободных» точек*
Это рассуждение, казалось бы, доказывает, что обе
наши окружности имеют одинаковую длину.
Колесо Аристотеля тесно связано с известными
парадоксами движения Зенона и нисколько не усту-
пает им по глубине. Современных математиков, одна-
ко, этот парадокс никак не ставит в тупик, поскольку
им известно, что множество точек на произвольном
отрезке некой кривой — это множество, мощность
которого Георг Кантор обозначает числом «алеф-
один», вторым по порядку из введенных им трансфи-
нитных чисел. Это число определяет собой так назы-
ваемую «мощность континуума». Так, точки отрезка
длиной в 1 см могут быть приведены во взаимно од-
нозначное соответствие с точками прямой линии дли-
ной в 1 млн. км или даже с точками линии беско-
нечной длины. Более того* не представляет труда до-
казать, что множество внутренних точек квадрата
или куба любого размера или даже любого беско-
нечного евклидова пространства, обладающего ко-
нечным числом измерений, также обладает мощ-
ностью алеф-один. Конечно, до Кантора математики
не были знакомы с необычными свойствами транс-
финитных чисел, и потому так занятно читать теперь
об их тщетных попытках разрешить парадокс колеса.
Галилео Галилей попытался выяснить, что полу-
чится, если оба колеса заменить правильными много-
угольниками, например квадратами (рис. 2). После
того как большой квадрат сделает полный оборот
вдоль прямой АБ, оказывается, что стороны малого
квадрата будут совпадать с линией СО лишь на че-
тырех интервалах, отделенных друг от друга тремя
пропущенными участками. Если наши колеса пред-
ставляют собой пятиугольники, то малый пятиуголь-
ник при каждом повороте будет перепрыгивать четы-
ре свободных участка или больше в случае много-
угольников с большим числом сторон. По мере уве-
личения числа сторон многоугольников количество
14
Рис. 2. Подход Галилея к парадоксу с колесом,
таких участков возрастает и соответственно уменьша-
ется длина каждого из них. В пределе — в случае
окружности (т. е. многоугольника с бесконечным чис-
лом сторон) — число пропущенных участков окажется
бесконечно большим, а длина каждого из них — бес-
конечно малой. Эти галилеевы участки являются не
чем иным, как таинственными «инфинитезимальными
величинами», внесшими позже столько путаницы на
ранних этапах развития математического анализа.
А теперь мы оказываемся в затруднительном по-
ложении. Ведь если промежутки, перескакиваемые
малым колесом, бесконечно короткие, то почему их
сумма позволяет этому колесу продвинуться на конеч-
ное расстояние, когда большое колесо равномерно
катится по своей кол^е? Читатели, которым интерес-
но узнать, что ответили Галилею математики после-
дующих поколений и как они спорили друг с другом,
смогут найти все подробности в статьях, приведен-
ных в списке литературы, помещенном в конце книги.
Если колесо движется по прямой линии, то любая
точка его окружности описывает известную всем
кривую — циклоиду. Когда колесо катится внутри не-
которого круга, точки его окружности описывают
кривые, которые называются гипоциклоидами. Если
же колесо обкатывается снаружи некоторого круга,
то точки его окружности будут описывать эпицикло-
иды. Пусть /? — радиус большого круга, а г — радиус
малого круга; обозначим через Щг отношение этих
радиусов. Если число Я/г иррационально, то точка
а на катящемся круге, войдя однажды в контакт с
точкой Ь на неподвижном круге, никогда больше с
этой точкой Ь снова не соприкоснется, даже если
колесо будет катиться до бесконечности. При этом
кривая, описанная точкой а, будет иметь бесконечное
15
Рис. 3. Дельтоида (а), астроида (б) и гипоциклоида (в) с дву-
Ьия точками возврата.
число точек возврата, образующих множество мощно-
сти алеф-нуль. Если же отношение К/г представляет
собой рациональное число, то точки а и Ь вновь вой-
дут в контакт через конечное число оборотов. Нако-
нец, если отношение К/г — целое число, то точка а
вернется в точку Ь ровно через один оборот.
Рассмотрим теперь гипоциклоиды, описываемые
кругом радиуса г, когда он катится внутри большого
круга радиуса /?. Если отношение К/г равно 2, 3,
.4, .,., то точки а и Ь вновь соприкоснутся после од-
ного оборота, причем наша кривая будет иметь К/г
дочек возврата. Если, например, К/г равно 3, то мы
получаем так называемую дельтоиду с тремя точка-
ми возврата (рис. 3, а). Точно такую же дельтоиду мы
получим, если отношение К/г равно 3/2, т. е. если
радиус катящегося круга составляет 2/з радиуса не-
подвижного круга. При этом отрезки касательных к
дельтоиде прямых, концы которых лежат на нашей
кривой, будут им&гь одну и ту же длину. В случае
если отношение К/г равно 4 или 4/з, мы получаем
астроиду с четырьмя точками возврата (рис. 3,6),
Полученный результат можно обобщить на аналогич-
ные гипоциклоиды высших порядков, а именно: если
отношение К/г равно п или /г/(л — 1), то катящийся
круг будет давать нам соответствующую кривую с
п точками возврата.
Интересный результат получается, когда отноше-
ние К/г оказывается равным 2 (рис. 3, в). В этом
случае гипоциклоида вырождается в прямую линию,
совпадающую с диаметром большого круга, причем
оба ее конца можно рассматривать как вырожденные
16
Рис. 4. Астроида как огибающая семейства прямых, образую-
щихся при движении прямолинейного отрезка.
точки возврата. Сумеете ли вы определить, какую
форму будет иметь область, заметаемая при движе-
нии диаметром малого круга? Это будет область,
ограниченная астроидой. Иными словами, можно
утверждать, что астроида — это огибающая семейства
прямых, концы которых перемещаются по взаимно
перпендикулярным осям ,(РИС- 4).
Простейший случай эпициклоиды, описываемой
точкой на ободе колеса, которое катится по наруж-
ной поверхности некоторого круга, имеет место тогда,
когда диаметры обеих окружностей равны. В резуль-
тате получается кривая в форме сердца, которая на-
зывается кардиоидой (рис. 5). При этом все хорды,
проведенные через ее вершину (точку возврата),
17
Рис. 5. Кардиоида.
имеют одну и ту же длину. Для построения показан-
ной на рис. 5 кардиоиды неподвижный круг разделили
на 32 равные дуги, а затем построили семейство
окружностей, центры которых лежат на неподвижном
круге и которые проходят через другие точки этого
круга. Если теперь соответствующим образом раскра-
сить эту фигуру, то получится великолепная картинка
в стиле оп-арт (рис. 6). (Оба этих рисунка заимство-
ваны из книги «Геометрия как язык формы» *.)
Кардиоиду описывает также точка, лежащая на
окружности некоторого круга, который дважды обка-
тывается вокруг расположенного внутри него непо-
движного круга с диаметром в 2 раза меньше перво-
го. [Этот факт лежит в основе задачи, на которую
в ТНе Атепсап МаНгетаИса! МопШу, Е 1362 (Ве-
сетЬег 1959) был дан неправильный ответ. Правиль-
ный ответ был приведен в том же журнале позже
|(МагсЬ 1960).] Представьте себе девушку, талия
которой представляет собой идеальную окружность.
Оставаясь неподвижной, девушка вращает вокруг
себя обруч хула-хуп диаметром в 2 раза больше,
чем диаметр ее талии. Некоторая точка вращающего-
* ВагауаИе Н., уопж СеотеШе а1з ЗргасЬе ёег Рогтеп4
ЗЬНеаг*, 1963.
18
ся обруча, коснувшаяся пупка девушки, через какое-
то время опять придет с ним в соприкосновение. Ка-
кое расстояние успеет пройти за это время выбран-
ная точка обруча? Поскольку рассматривается точка
движения по кардиоиде, то нам нужно просто под-
считать длину этой кардиоиды. Нетрудно показать,
что длина ее в 4 раза превышает диаметр хула-хупа
и в 8 раз больше, чем диаметр талии девушки.
В случае если диаметр катящегося круга в 2 ра-
за меньше диаметра неподвижного круга, которого
он касается снаружи, эпициклоида будет представ-
лять собой нефроиду (т. е. кривую, похожую очерта-
ниями на человеческую почку) с двумя точками воз-
врата, показанную на рис. 7. При этом на чертеже
изображен и сам катящийся круг, и метод построе-,
ния нефроиды как огибающей семейства окружностей,
центры которых лежат на неподвижном круге и ко-
торые касаются центральной вертикальной оси. Как
и в предыдущем случае, эту кривую можно получить,
если мы будем катить наш круг по окружности
меньшего неподвижного круга, лежащего внутри пер-
вого; отношение Я/г в данном случае равно 3/2-
Аналогичным соотношением мы пользовались при по-
строении дельтоиды, но теперь у нас катится не мень-
ший, а больший круг.
Рис 6. Кардиоида в стиле «оп-арт».
19
Рис. 7. Нефроида.
И кардиоида и нефроида являются каустиками,
т. е. огибающими семейства световых лучей, отражен-
ных данной кривой. При этом кардиоида возникает
тогда, когда лучи света исходят из какой-то точки
на окружности и отражаются этой окружностью,
Нефроида же возникает в том случае, когда парал-
лельный пучок лучей, падая, отражается от заданной
окружности, или же ее можно рассматривать как
огибающую пучка лучей, выходящих из точки воз-
врата кардиоиды и отраженных этой кардиоидой. Кри-
вая с точкой возврата, которую мы часто видим на
поверхности налитого в чашку чая или кофе, когда
сквозь жидкость падает косой луч света из окна или
от расположенного где-нибудь в стороне источника
света,— также неплохое приближение к нефроиде с
точкой возврата. Кроме того, весьма симпатичные
аппроксимации такого рода можно иногда увидеть в
журналах, где печатаются фотографии хорошеньких
девушек.
Существуют разнообразные и весьма каверзные
задачи, связанные с так называемыми «некруглыми
колесами». Вообразим себе, например, что колесо в
форме квадрата катится без скольжения по колее,
которая представляет собой последовательность оди-
20
наковых дуг, расположенных выпуклой стороной вверх.
Какой кривой должна описываться каждая из этих
дуг, чтобы центр колеса при движении вдоль колеи
не прыгал вверх —вниз? (Другими словами, центр
колеса должен перемещаться по горизонтальной
прямой.) Кривая эта нам хорошо известна, при-
чем, как ни странно, та же самая кривая описывает
форму колеи для колес в виде многоугольников с
произвольным числом сторон. Ответ на этот вопрос
приведен в конце главы.
И наконец, сумеете ли вы отгадать одну из новых
загадок Стивена Барра: какое средство передвиже-
ния имеет 8 колес, перевозит только одного человека
и совершенно не загрязняет атмосферу?
ОТВЕТЫ
Основная проблема состоит в том, чтобы описать
кривую, по которой квадратное колесо двигалось бы
так, что центр его перемещался бы по горизонталь-
ной прямой. Так вот, оказывается, что колея должна
представлять собой последовательность дуг цепной
линии. Это утверждение справедливо также для лю-
бых колес в форме правильных многоугольников,
|(Если колесо представляет собой неправильный вы-
пуклый многоугольник, то колея должна склады-
ваться из дуг, составленных из цепных линий раз-
ного вида, причем различных для каждой стороны
колеса.) Отметим также, что если колесо вращается
с постоянной угловой скоростью, то его горизонталь-
ная скорость будет меняться. Подробное доказатель-
ство приведено в МаОгетаИсз Мадагте, р. 139—144
(Лапиагу 1960), а также в решении задачи Е 1668
в ТНе Ашепсап Ма1НетаИса1 МопШу, р. 82—83
рапиагу 1965).
Ответ на загадку Стивена Барра — это пара ро*
ликовых коньков.
ДОПОЛНЕНИЕ
Когда я говорил, что точка на вершине колеса
движется относительно Земли быстрее, чем любая
другая его точка, то я мог бы добавить, что движется
21
она ровно в 2 раза быстрее, чем центр колеса.
На этот факт обратил внимание А. Дж. Найсли в
коротенькой заметке «Катящееся колесо», опублико-
ванной в 5с1епИ(1С Атепсап (<1и1у 1981), попутно
описав простой способ демонстрации указанного яв-
ления с помощью обычной катушки ниток.
Правда, Дж. Леяфести в присланном мне письме
высказался в том смысле, что, хотя он и с удоволь-
ствием прочитал мои комментарии по поводу колеса,
все же день у него был безнадежно испорчен:
«Дело в том, что целых полдня просидел, пытаясь
представить себе вашу пышную голубоглазую блон-
динку в обтянутых брючках и в лифчике с завязками
и как она крутит этот самый хула-хуп на своем за-
горелом, идеальной формы животе... Все-таки в
будущем, пожалуйста, думайте побольше о нас, чи-
тателях».
В Зс1епИ}1с Атепсап я писал также о том, как
трудно было бы природе в процессе эволюции снаб-
дить колесом живые организмы. К своему удивле-
нию, несколько лет спустя в том же журнале я про-
чел заметку Г. Берга «Как передвигается бактерия»,
в которой говорилось, что, оказывается, жгутики не-
которых бактерий могут вращаться подобно крошеч-
ным пропеллерам! В своих книгах о сказочной стра-
не Оз Ф. Баум пишет о «катальщиках», которые
вместо четырех лап пользуются четырьмя колесами,
и о птице по имени Орк, которая летает с помощью
пропеллера на хвосте. Все это существа, конечно,
фантастические, так же как и перекатывающееся жи-
вотное у Эшера или необыкновенная змея-обруч, ко-
торая заглатывает свой хвост и катится вперед
подобно обручу. В то же время в Африке действитель-
но живут пауки, которые в случае опасности спаса-
ются от преследования тем, что сворачиваются в
шарики и скатываются вниз по склонам холмов*
22
ГЛАВА 2
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
И БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА
Пока доказать теорему Ферма
Никто не сумел, хоть охотников —
тьма.
В другом Диофантовы методы,
вроде,
Во всем хороши, а вот к ней не
подходят *.
Дж. А. Линдон. Клерихью
Во многих сборниках математических головоломок
конца прошлого века (когда цены на скот были го-
раздо ниже теперешних) приводится такая задача.
Один фермер потратил 100 долларов на покупку
1100 различных домашних животных. Каждая корова
обошлась ему в 10 долларов, свинья — в 3 доллара,
а овца — по 50 центов за голову. Предполагая, что
фермер приобрел по крайней мере одну корову, од-
ну свинью и одну овцу, подсчитать, сколько голов
скота каждого вида он купил?
На первый взгляд кажется, что это обычная зада-
ча из элементарной алгебры, однако, начав ее ре-
шать, мы быстро обнаруживаем, что у нас получа-
ется система двух уравнений с тремя неизвестными,
каждое из которых должно быть положительным це-
лым числом. Нахождение целочисленных решений
алгебраических уравнений в наши дни называется
обычно диофантовым анализом. В прошлые столетия
такой анализ допускал использование в качестве пе-
ременных и рациональные дроби, однако сейчас он,
как правило, ограничивается только целыми чис-
лами, включая нуль и отрицательные целые числа.
* Перевод А. Глебовской.
23
Естественно, что в задачах, аналогичных вышеприве-
денной, все неизвестные величины должны быть поло-
жительными целыми числами. В литературе по зани-
мательной математике встречается множество такого
рода неопределенных (диофантовых) задач. Класси-
ческими примерами таких задач являются широко
известная задача про обезьяну и кокосовые орехи,
а также старинная задача о нахождении прямоуголь-
ных треугольников со сторонами, длина которых вы-
ражается в целых числах.
Термин «диофантов» берет свое начало от имени
выдающегося греческого математика Диофанта из
Александрии. К сожалению, мы до сих пор не знаем
точно, в каком веке он жил, однако большинство
историков математики относят его работы к III в,
О его жизни нам практически ничего не известно,
за исключением нескольких незначительных фактов,
которые упоминаются в одной стихотворной задаче, во-
шедшей в более поздний греческий сборник матема-
тических головоломок. Эти стихи так часто цитируют-
ся, а алгебраическое решение самой задачи настолько
тривиально, что я не буду их повторять. Если в этой
задаче приведены действительные факты, то, значит,
у Диофанта был сын, умерший в среднем возрасте,
а сам Диофант дожил до 84 лет. До нашего времени
дошла примерно половины его главного труда — ма-
тематического трактата «Арифметика». Поскольку
большинство задач в этой книге предусматривает ре-
шения в целых числах, то для анализа подобного
рода проблем стал применяться термин «диофантов».
Сам Диофант не предпринимал никаких попыток со-
здать систематическую теорию таких задач, точно
так же как нет почти никаких свидетельств исполь-
зования методов диофантова анализа математиками,
жившими до него.
Сегодня диофантов анализ — это обширная, слож-
ная область теории чисел, которой посвящена много-
численная научная литература. При этом полная тео-
рия разработана лишь для линейных уравнений. Не-
известен (а, быть может, и не существует) общий
метод решения уравнений второй и более высоких сте-
пеней. Анализ даже простейшего нелинейного дио-
фантова уравнения может представить огромнейшие
трудности» Такое уравнение может вообще не иметь
24
решения, может иметь бесчисленное множество реше-
ний или, наконец, может обладать произвольным ко*
нечным числом решений. Множество такого рода
уравнений — причем настолько простых, что они по-
нятны даже ребенку,— упорно сопротивляется всем
попыткам найти их решение или же доказать, что
такое решение невозможно.
Самое простое линейное диофантово уравнение
имеет вид ах + Ьу = с, где хну — неизвестные, а а,
бис — заданные числа. Попытаемся использовать
это уравнение для описания задачи, приведенной в
начале главы. Пусть х — число коров, у — число сви-
ней и 2 — число овец, купленных фермером. Тогда
мы легко можем записать следующие два соотно-
шения:
10*+ Зу + г/2 =100,
х + у + 2 =100.
Для того чтобы избавиться от знаменателя, умно-
жим первое уравнение на 2. Из полученного резуль-
тата 20л; + 6у + 2 = 200 вычтем второе уравнение.
Исключая таким образом переменную 2, мы получим
уравнение 19# + Ьу = 100. Как найти целые значения
неизвестных х и у? Существует много способов про-
делать это, но я приведу здесь лишь один старый
алгоритм с использованием непрерывных дробей, ко-
торый применим к любым уравнениям такого типа.
Оставим в левой части уравнения лишь член с
наименьшим коэффициентом: 5г/ = 100—19*. Разде-
лив теперь обе части на 5, получим у =(100— 19х)/5«
Далее разделим правую часть почленно на 5 и пред-
ставим остатки (если таковые имеются) в виде ко-
нечных дробей со знаменателем, равным 5. Таким
образом, наше уравнение преобразуется к виду
у = 20 — Зх — 4х/5.
Очевидно, что если х и у — целые положительные
числа (каковыми они и должны быть), то х должно
быть таким, чтобы дробь 4х/5 оказалась целым чис-
лом. Отсюда ясно, что число х должно быть крат-
ным 5. Наименьшее такое кратное есть само число 5,
В этом случае величина у оказывается равной 1, а
неизвестная г (определяемая с помощью любого из
двух исходных уравнений) — равной 94. Итак, мы
нашли решение: 5 коров, 1 свинья и 94 овцы»
25
Существуют ли другие решения нашей задачи?
Если бы мы могли пользоваться отрицательными це-
лыми числами, то решений оказалось бы бесчис-
ленное множество, хотя, понятно, что отрицательных
•животных не бывает. В самом деле, при х} равном
10 или любому другому числу, кратному 5, число у
становится отрицательным. Таким образом, данная
задача имеет только одно решение.
В приведенном простом примере первая же полу-
ченная дробь 4х/5 не содержит члена с неизвестной
у. Для уравнений такого же вида, но с большими
коэффициентами описанную процедуру часто прихо-
дится повторять по многу раз. Конечную дробь при-
равнивают некоторой новой целочисленной неизвест-
ной, например а, член с наименьшим коэффициентом
вновь оставляют в левой части уравнения, после чего
вся процедура повторяется для получения новой ко-
нечной дроби. В конце концов вы обязательно полу-
чите дробь, содержащую только одну неизвестную,
причем эта дробь будет иметь достаточно простой
вид, позволяющий оценить, какие же значения долж-
на принимать неизвестная величина, чтобы данная
дробь оказалась целым числом. Возвращаясь по эта-
пам обратно, с помощью полученной последователь-
ности уравнений нетрудно найти решение исходной
задачи.
Для того чтобы построить пример уравнения, ана-
логичного тому, которое мы только что исследовали,
но не имеющего решения, предположим, что корова
стоит 5 долларов, свинья — 2 доллара, а овца —
50 центов. Оба исходных уравнения преобразуем точ-
но так же, как и в предыдущем случае. Чтобы изба-
виться от знаменателя, умножим первое из них на
два, а затем вычтем из него второе. В результате
мы получим - диофантово уравнение вида 9х + Зу =
= 100. Применяя процедуру построения непрерывных
дробей, в конце концов мы придем к соотношению
у = 33 — Зх — Уз* из которого следует, что при це-
лом х число у целым быть не может. В данном слу-
чае, впрочем, можно сразу сообразить, что уравнение
9х + Зу = 100 не имеет решения в целых числах, если
вспомнить следующую хорошо известную теорему*
Если коэффициенты при х и у имеют общий множи-
тель, не являющийся таковым для числа, стоящего в
26
правой части, то данное уравнение не допускаем ре*
шения в целых числах. В нашем случае числа 9 и
3 имеют общий множитель 3, а число 100 на 3 не
делится. Легко понять, почему эта теорема справед-
лива. Если оба стоящих слева числа кратны числу
и, то и их сумма будет кратной п; следовательно,
число, стоящее справа, также должно быть кратным
п. Еще более простым примером является уравнение
.4х + 8у = 101. Левая часть этого соотношения, по-
нятно, должна быть четным числом, а значит, она
не может равняться нечетному числу в правой его
.части. Полезно также вспомнить, что если все три
1'данных числа имеют общий множитель, то исходное
«уравнение можно тут же упростить, разделив обе
его части на этот общий множитель.
В качестве примера такого варианта основной за-
дачи, для которого число целочисленных решений ко-
нечно и больше единицы, рассмотрим случай, когда
корова стоит 4 доллара, свинья — 2 доллара и ов-
ца — 7з доллара. Как и раньше, фермер тратит
;100 долларов и покупает себе 100 домашних живот-
ных, причем не меньше одной головы каждого вида.
Сколько коров, свиней и овец он купит на этот раз?
Многие геометрические задачи также решаются
путем нахождения целочисленных решений тех или
иных диофантовых уравнений. В одной из глав моей
книги «Математический цирк» *, посвященной тре-
угольникам, я привел два классических примера та-
кого рода: найти целочисленные решения в задаче о
двух пересекающихся лестницах, а также в задаче о
расположении пятнышка внутри равностороннего тре-
угольника. Среди множества геометрических диофан-
товых задач, решение которых не найдено до сих
пор, одной из самых трудных и наиболее известных
является задача о так называемом «целочисленном
кирпиче» или «рациональном кубоиде». Под «кирпи-
чом» в данном случае понимается прямоугольный
параллелепипед. При этом мы имеем 7 неизвестных:
3 ребра кирпича, 3 его лицевые диагонали и
1 пространственную диагональ, проходящую через
центр кирпича из одного его угла в другой (рис, 8),
-* Оагёпег М, МаШетаИса! Сигсиз»
27
Рис. 8. Кирпич из целых чисел — нерешенная диофантова за-
дача.
Найдется ли такой кирпич, у которого все 7 указан-
ных переменных являются целыми числами?
Данная задача эквивалентна нахождению цело-
численного решения следующей системы уравнений с
семью неизвестными:
а2 + Ь2 = с2,
(? + & = &,
Ь2 + й2 = /2,
Ь2 + е> = ё2.
Эта задача не решена до сих пор, как и не най-
дено пока доказательства, что решение ее не суще-
ствует. Поисками решения данной задачи много за-
нимался английский математик Джон Лич, которому
я обязан следующей информацией. Наименьший кир-
пич с ребрами и лицевыми диагоналями, выраженны-
ми в целых числах (лишь его пространственная диа-
гональ— не целое число), имеет стороны длиной 44,
117 и 240. Леонард Эйлер считал это решение мини-
мальным. Наименьший кирпич, у которого все ука-
занные размеры, за исключением одной лицевой диа-
гонали, выражаются в целых числах, имеет стороны
длиной 104, 153 и 672 — этот результат также был
известен Эйлеру. (При этом длина пространственной
диагонали оказывается равной 697.) Третий случай —
когда длина одной из сторон не выражается целым
числом,— как утверждает Лич, ранее не рассматри-
вался. Этот случай также имеет решения, но числа,
получаемые в результате, являются, по выражению
28
Лича, «премерзкими».
Так, он считает, что соот-
ветствующий кирпич наи-
меньших размеров дол-
жен иметь ребра длиной
(7800, 18 720 и квадрат-
ный корень из числа
211 773 121 (что дает нам
иррациональное число).
При этом объем кирпича,
очевидно, также выра- Рис' 9' пРостая диофантова
г задача.
жается иррациональным
числом.
Гораздо проще оказывается геометрическая зада-
ча, представленная на рис. 9 (я взял ее из сборника
математических головоломок Л. Лонгли-Кука). На
клетчатой бумаге нарисован прямоугольник (под этим
термином может подразумеваться также квадрат),
причем крайние его клетки заштрихованы. В нашем
случае количество заштрихованных клеток не равно
числу пустых клеток во внутреннем прямоугольнике.
Можно ли построить такой прямоугольник, границы
которого шириной в одну клетку содержали бы столь-
ко же клеток, сколько их насчитывается во внутрен-
нем прямоугольнике? Если да, то задача состоит в
том, чтобы найти все такие решения. Соответствую-
щее диофантово уравнение, описывающее решение
этой задачи, легко решается методом разложения на
множители, о котором я расскажу в «Ответах».
В древности наиболее известной из диофантовых
задач, сформулированной еще Архимедом, была так
называемая «задача о скоте». Она содержит всего
8 неизвестных, однако целые числа, возникающие при
ее решении, настолько велики (самое меньшее из них
состоит более чем из 200 000 цифр), что ее удалось
решить только с помощью ЭВМ в 1965 г. Те, кто за-
интересуется этой задачей, могут найти подробный
ее разбор в книге Эрика Белла «Последняя задача»,
а ее окончательное решение — в статье Г. Уильямса
и др. (см. список литературы в конце книги).
Однако самой знаменитой из всех диофантовых
задач, полное решение которой не найдено и поны-
не, является так называемая «большая теорема»
Пьера Ферма, французского математика XVII в., много
шшшшш
РТ1
ш
1
Щ
1
Ш
щ
УЛ
1
1
УШШЖХШ/ХШЛ
29
занимавшегося теорией чисел (по профессии он был
юристом). Практически каждому математику из-
вестно, как Ферма, читая «Арифметику» Диофан-
та, сделал на полях замечание на латинском язы-
ке к восьмой задаче из второй книги, где требова-
лось решить в целых числах уравнение х2 + у2 = а2.
Ферма писал, что такое уравнение не имеет решений
в целых числах для степеней, больших, чем 2. (В слу-
чае уравнения второй степени решения его называют-
ся «пифагоровыми числами», причем число этих ре-
шений бесконечно.) Короче говоря, Ферма утверждал,
что уравнение хп + да=ап не имеет решений в це-
лых числах, если показатель степени п есть целое
положительное число, большее 2. Замечание Ферма
заканчивается словами: «Я нашел этому поистине
чудесное доказательство, однако поля слишком узки,
чтобы поместить его здесь».
До сегодняшнего дня никто не знает, действитель-
но ли у Ферма имелось такое доказательство. По-
скольку самые знаменитые математики после Ферма
так и не сумели его найти, большинство считает, что
Ферма ошибался. Однако полностью принять это мне-
ние не позволяет тот факт, что всякий раз, когда
Ферма утверждал, что у него имеется доказатель-
ство, оно у него действительно была Рассмотрим,
например* диофантово уравнение уг = х2 + 2. Про-
стым подбором можно легко убедиться, что это урав-
нение имеет решения З3 = 52 + 2 и З3 = —52 + 2.
Однако, как лишет Белл в своей книге «Творцы мате-
матики» *, для того чтобы доказать, что других це-
лочисленных решений у такого уравнения не суще-
ствует, «требуется ие меньше интеллектуальных уси-
лий,... чем для постижения глубин теории относи-
тельности». Ферма утверждал, что у него имеется
такое доказательство, хотя он и не опубликовал его.
«В этом случае он основывался вовсе не на догад-
ках,— продолжал Белл.— Задача эта очень трудна;
он утверждал, что обнаружил доказательство — позд-
нее доказательство было найдено». Ферма действи-
тельно опубликовал сравнительно простое доказатель-
ство того, что уравнение хА + ул = а4 не имеет реше-
ний, а позднее математики доказали невозможность
* Ве11 Е. Т. Меп о! МаШетаИсз,
30
решения более сложного уравнения: х3 + У3 = я3- Для
случаев л=5и/г = 7тоже самое было доказано в
самом начале XIX в.
Можно показать, что большая теорема Ферма
справедлива для всех простых показателей степени,
больших 2. К 1978 г. эта теорема была доказана для
любых показателей степени, не превышающих 125 000,
так что если для нее и существует какой-либо контр-
пример, то в нем должны фигурировать числа, состо»
ящие более чем из миллиона цифр. Полное доказа-
тельство большой теоремы Ферма продолжает
оставаться одной из самых глубоких нерешенных про-
блем диофантова анализа. Теперь, когда Курт Гедель
с помощью своего знаменитого доказательства теоре-
мы неразрешимости установил, что в арифметике су-
ществуют теоремы, которые нельзя доказать в рам-
ках дедуктивной системы самой арифметики, некото-
рые математики стали придерживаться мнения, что
утверждение Ферма истинно, но недоказуемое (Если
большая теорема Ферма неразрешима по Геделю, то
она должна быть верной, потому что если бы она
была ошибочной, то ее можно было бы легко опро-
вергнуть с помощью одного-единственного контр-
примера.)'
Я со всей серьезностью призываю читателей не
присылать мне доказательств. Я недостаточно- компе-
тентен, чтобы в них разобраться. Карл Фердинанд
Линдеман, первым доказавший в 1882 г. трансцен-
дентность числа я, опубликовал однажды простран-
ное доказательство большой теоремы Ферма, которое,
как оказалось, в самом начале содержало ошибку,
роковым образом повлиявшую на ход всех рассуж-
дений. Были опубликованы десятки других неправиль-
ных доказательств, полученных многими известными
математиками. Когда однажды Давида Гиль-
берта спросили, почему он никогда не пробовал за-
няться этой задачей, он ответил; «Прежде чем при*
ступить к ней, нужно потратить по крайней мере три
года на интенсивную подготовку, а у меня нет воз-
можности тратить столько времени без малейшей
уверенности в конечном результате».
Кафедры математики многих крупных универси-
тетов возвращают авторам любые доказательства
большой теоремы Ферма, сопровождая их стандарт*
31
ным письмом, в котором говорится, что доказательство
будет рассмотрено только после получения универси*
тетом определенной суммы в качестве залога. Немец-
кий математик Эдмунд Ландау пользовался обычно
специальным бланком, на котором было напечатано;
«Дорогой сэр (мадам)! Мы получили Ваше доказа-
тельство большой теоремы Ферма. Первая ошибка
находится на стр. ... , строка ... ». Затем Ландау по-
ручал заполнить бланк кому-либо из аспирантов.
Дональд Кнут заканчивает предисловие к первому
тому своего капитального труда «Искусство програм-
мирования»* лукавым замечанием, в котором чита-
телю предлагается доказать большую теорему Ферма.
Автор утверждает, будто бы кто-то, читавший книгу
в рукописи, пометил сбоку страницы, что у него есть
поистине замечательное доказательство, но здесь, на
полях, оно никак не поместится.
Леонард Эйлер также не сумел доказать большую
теорему Ферма, однако сформулировал более общее
утверждение, которое, если оно верно, включает в
себя теорему Ферма в качестве частного случая.
Эйлер предположил, что ни одну п-ную степень,
большую 2, нельзя представить в виде суммы менее
чем п слагаемых п-ной степени. Как мы уже убеди-
лись, это предположение справедливо при п = 3, по-
скольку в этом случае оно представляет собой просто
большую теорему Ферма для показателя степени 3.
Вместе с тем пока не известно, обладает ли целочис-
ленным решением уравнение вида х4 + у4 + 24 = а4.
В 1966 г., примерно через два столетия после того,
как Эйлер высказал свою догадку, был опубликован
пример, опровергающий ее. Леон Ландер и Томас
Паркин с помощью расчетов на ЭВМ показали, что
предположение Эйлера нарушается при п = 5. Этот
контрпример в случае минимально возможных чисел
имеет вид
275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445.
Полученный результат позволяет предположить,
что если где-то во вселенной имеются разумные су-
щества, живущие в пространстве пяти измерений, то
в их задачниках по математике наверняка приводит-
* КпиШ Р. Е, ТЬе Аг1 о! Сотри1ег Рго^гатттд. —1968.
32
ся такая задача. Какой наименьший пятимерный ги-
перкуб можно сложить из единичных гиперкубиков,
так чтобы из того же самого числа единичных гипер-
кубиков можно было образовать четыре меньших ги-
перкуба и при этом не осталось бы ни одного лиш-
него гиперкубика? Ответ: это гиперкуб размером
144 X И4 X 144X144X144,
ОТВЕТЫ
1. Задача про фермера и домашних животных сво-
дится к диофантову уравнению вида 1\х + Ъу = 200.
Используя метод непрерывных дробей, нетрудно по-
лучить следующие три решения в положительных
целых числах:
Коровы Свиньи Овцы
5 29 66
10 18 72
15 7 78
2. Л. Лонгли-Кук в своей книге «Развлечения с
головоломками» (задача 87) * решает задачу о пря-
моугольнике следующим образом. Пусть х и у — дли-
ны сторон большого прямоугольника. Общее число
клеток в этом прямоугольнике равно ху. Граница
шириной в одну клетку содержит 2х + 2у — 4 клеток.
Поскольку в условии задачи сказано также, что гра-
ница должна иметь ху/2 клеток, мы можем записать
следующее соотношение:
ху/2 = 2х + 2у — 4.
Умножая обе части этого уравнения на 2 и перегруп-
пировав члены, находим
ху — 4х — Ау = — 8.
Прибавляя 16 к обеим частям уравнения, получаем
ху — 4х — 4у+ 16 = 8.
Разложение левой части на множители дает
(*-4)(#-4) = 8.
* Ьоп^еу-Соок Ь. Н. Рип ъНЬ Вгаш Ригг1е5. — Ра^се**,
1965.
2 Зак. 695 .
33
Ясно, что выражения (х — 4) и (# — 4) должны
быть целыми положительными множителями числа 8,
Единственные пары таких множителей — это пары
(8, 1) и (4, 2). Они дают нам два решения: х= 12,
1/ = 5идс = 8, у = 6.
Эта задача тесно связана с задачей о прямоуголь-
ных треугольниках с целочисленными сторонами,
В самом деле, ширина границы выражается целым
числом только тогда, когда диагональ большого пря-
моугольника делит его на два «пифагоровых тре-
угольника».
Если обобщить данную задачу и допустить суще-
ствование нецелых решений в случае границы произ-
вольной равномерной ширины, сохранив лишь условие
равенства площадей границы и внутреннего прямо-
угольника, то оказывается, что существует на уди-
ление простая формула для ширины границы. (Эту
формулу мне любезно сообщил С. Л. Портер.) Для
этого нужно просто сложить две соседние стороны
границы, затем вычесть диагональ большого прямо*
угольника и разделить полученный результат на 4<
Описанная процедура даст нам ширину границы
прямоугольника.
Некоторые читатели обобщили рассматриваемую
задачу на случай трех измерений, с тем чтобы вы-
разить в целых числах размеры кирпича, составлен-
ного из такого количества единичных кубиков, кото-
рое потребовалось бы, чтобы покрыть кирпич со всех
сторон слоем единичных кубиков. Д. Слитор с по-
мощью ЭВМ сумел найти полное решение этой зада-
чи: таких кирпичей может быть всего 20. Самый
маленький кирпич имеет ребра длиной 8, 10 и 12, са-
мый большой — 5, 13 и 132. Это подтверждает до-
гадку М. Гринблата, высказанную им в книге «Мате-
матические развлечения» *, где он утверждает, что
данная задача имеет «около» 20 решений.
ДОПОЛНЕНИЕ
Одна из самых известных среди нерешенных за*
дач в диофантовом анализе, так называемая десятая
проблема Гильберта, была блестяще решена в 1970 г,
* ОгеепЫаИ М. Н, Ма1Ьетаиса1 Еп1ег1аштеп1. — СготееИ,
1965.
34
22-летним аспирантом Ленинградского университета
Юрием Матиясевичем. Как известно, в 1900 г. заме-
чательный немецкий математик Давид Гильберт со-
ставил перечень из 23 наиболее важных нерешенных
математических проблем, которые, как он надеялся,
будут решены в течение столетия. Десятая проблема
Гильберта состояла в том, чтобы найти достаточно
общий алгоритм, следуя которому можно было бы
узнать, имеет ли произвольно заданное алгебраиче-
ское уравнение с целыми рациональными коэффици-
ентами решение в целых числах или не имеет.
Матиясевич показал, что такого алгоритма не су-
ществует. Иными словами, он «решил» десятую проб-
лему Гильберта, доказав, что она не имеет решения.
Особую роль в его доказательстве играет последова-
тельность чисел Фибоначчи.
Детали его рассуждений приведены в статье М. Дэ-
виса и Р. Херша «Десятая проблема Гильберта»*,
а также в статье М. Дэвиса «Десятая проблема
Гильберта неразрешима». **
ГЛАВА 3
МОЛЕКУЛА С УЗЛАМИ
И ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
1. Молекула с узлами. Как известно, в живых орга-
низмах обнаружены необычайно длинные (по срав-
нению с их поперечными размерами) молекулы, по-
хожие по внешнему виду на цепочки. При этом
возникает вопрос: могут ли на таких молекулах-цепоч-
ках встречаться узлы? Лауреат Нобелевской премии
1960 г. Макс Дельбрюк в свое время предложил сле-
дующую идеализированную задачу.
* 8аепИ{1С Атепсап, р. 84—91 (ЫоуетЬег 1973).
** ТНе Ашепсап Ма1кетаПса1 МопИйу, 80, 233—269
(МагсЬ 1973),
9*
35
Рис. 10. Пример цепочки с 13 звеньями.
Представим себе, что цепочка атомов, концы ко-
торой, соединяясь вместе, образуют замкнутую про-
странственную кривую, состоит из жестких прямоли-
нейных отрезков единичной длины. В точках соеди-
нения двух соседних «звеньев» они образуют между
собой угол в 90°. Таким образом, каждое последую-
щее звено может быть ориентировано по отношению
к предыдущему в одном из четырех возможных на-
правлений. Всю эту замкнутую цепочку можно про-
следить, если перемещаться по образующим кубиче-
ской решетки при условии, что в каждом из ее узлов
мы должны поворачивать строго на 90° (рис. 10).
Ни в одной точке цепочка не должна касаться или
пересекать сама себя; это означает, что в каждом
узле могут соединяться два и только два звена. Ка-
ково минимальное число звеньев в цепочке такого
типа, если она сплетена в один узел, напоминающий
по форме петлю трилистника? В разделе ответов я
воспроизведу самую короткую цепочку, найденную
Дельбрюком. До сих пор, однако, не доказано, что
число ее звеньев является минимально возможным.
Быть может, читатель сумеет обнаружить еще более
короткую цепочку. (Здесь я должен поблагодарить
Джона Маккея за то, что он обратил мое внимание
на эту задачу.)
2. Представление целых чисел с помощью числа я.
У хорошо известной задачи о том, как записать раз-
личные целые числа с помощью четырех четверок (я
рассматривал ее в своем традиционном разделе в
журнале ЗЫепИ^с Атепсап и затем перепечатал в
36
Рис. П. Задача на разрезание, предложенная Л. Восбером Л ан-
онсом.
книге «Безумный доктор Матрица» *), существует
масса различных разновидностей. В одном из весьма
увлекательных вариантов этой задачи, предложенном
Ф. Чини, для представления различных целых чисел
допускается использовать только число я, знаки сло-
жения, вычитания, умножения, деления и извлечения
квадратного корня, а также символ функции «антье
от X». В последнем случае операция взятия «антье
от X», обозначаемая квадратными скобками, опреде-
ляет собой нахождение наибольшего целого числа,
не превосходящего X. Кроме того, можно пользо-
ваться круглыми скобками, как в алгебре; никакие
другие символы не разрешаются. Каждый символ,
так же как и само число я, можно использовать лю-
бое количество раз, но чем меньше чисел я вам по-
требуется, тем лучше. Например, число 1 можно
представить как [д/я], а число 3 — еще проще: как
г1я].
Предлагаю читателю попытаться представить та-
ким образом все числа от 1 до 20, а потом сравнить
свои результаты с результатами, полученными Чини*
3. Пять одинаковых многоугольников. Эта хитроум-
ная задача на разрезание (рис. 11), предложенная
Л. В. Лайонсом, была опубликована в одном развле-
кательном журнале в 1969 г. Многоугольник, пока-
занный на рис. 11 слева, нужно разрезать на 4 оди-
наковых многоугольника — справа вы видите, как это
сделать. Подумайте, как ту же самую фигуру можно
единственным образом разрезать на 5 одинаковых
многоугольников.
•* Оагйпег М. ТНе 1псгес11Ые Вт. Ма1пх4
37
4. Начало шахматной партии. На шахматной дос-
ке размещается полный комплект из 32 фигур, так
чтобы у нас приходилось по одной фигуре на каж-
дую клетку. «Ходом» считается перемещение фигуры
с той клетки, где она находится, на любую другую
пустую клетку. (Понятно, что это не имеет ничего
общего с настоящими шахматными ходами.)
Г. У. Кесслер, школьный учитель математики из
Бруклина, придумал такую необычную задачу: как
надо разместить фигуры на доске, чтобы для приве-
дения их в стандартную позицию для начала партии,
потребовалось бы максимальное число «ходов»-пере-
мещений?
В задаче не оговаривается, на какой стороне дос-
ки играют черные, однако в соответствии с обычными
правилами шахматной игры доска должна распола-
гаться так, чтобы в правом нижнем углу находилось
белое поле, а ферзь, естественно, должен стоять на
иоле своего цвета. Поначалу вроде бы напрашивается
ответ, что максимальное число ходов составляет 33,
однако данная задача не так проста, как это кажет-
ся на первый взгляд.
5. Двадцать банковских вкладов. Один техасский
нефтепромышленник, любивший на досуге позани-
маться теорией чисел, открыл в банке новый счет,
положив на него определенную сумму денег х, выра-
жавшуюся целым числом долларов; его второй вклад
у также составил целое число долларов. Величина
каждого последующего его вклада равнялась сумме
двух предыдущих. (Другими словами, суммы его
вкладов образовали обобщенную последовательность
чисел Фибоначчи.) Двадцатый по счету вклад нефтя-
ного богача составил ровно 1 млн. долларов. Каковы
были суммы двух его первых вкладов х и у? (Эту
задачу я придумал, несколько видоизменив задачу,
которую любезно прислал мне Л. Монзерт.) Данная
задача сводится к довольно громоздкому диофанто-
ву уравнению, однако его решение можно весьма
изящно упростить, воспользовавшись правилом золо-
того деления, если напомнить читателям, что х и у
представляют собой два положительных целых числа,
стоящих в начале самой длинной из всех возможных
цепочек чисел Фибоначчи, последний член которой
равен 1 000 000.
38
6. Первый туз черной масти. Перетасуйте колоду
из 52 игральных карт и положите карты на стол ли-
цевой стороной вниз. Открывайте теперь по одной
карте сверху^ Если бы вам заранее предложили по-
спорить, на какой по порядку карте сверху откроется
первый туз черной масти, то какую карту по счету
|(первую, вторую, третью и т. д.) вы бы выбрали, с
тем чтобы при многократном повторении игры ваши
шансы на открытие туза черной масти были бы мак-
симальными?
7. Задача о додекаэдре-квинтомино. Термином
«квинтомино» Дж. Конуэй называет правильный пя-
тиугольник, края (и соответствующие секторы) кото-
рого окрашены в пять различных цветов, причем
каждый такой треугольник окрашивается в свой цвет.
Вообще говоря, можно представить себе 12 различно
окрашенных квинтомино, если не считать различны-
ми конфигурации, возникающие в результате враще-
ний и зеркальных отражений. Обозначая пять соот-
ветствующих цветов цифрами 1, 2, 3, 4, 5, эти 12
квинтомино можно символически представить следую-
щим образом:
А. 12345 Е 12534 I. 13425
В. 12354 Р. 12543 К. 13524
С. 12435 О. 13245 Ь. 14235
Э. 12453 Н. 13254 М. 14325
Цифрами указан последовательный порядок цве-
тов, если идти вдоль границы пятиугольника в на-
правлении движения часовой стрелки или против
него (рис. 12,а). В 1958 г. Конуэй задался вопросом,
можно ли окрасить ребра правильного додекаэдра
|(рис. 12,6) таким образом, чтобы на каждой из его
112 плоских пятиугольных граней получилось бы по
одному из 12 квинтомино, и обнаружил, что это дей-
ствительно возможно. Предлагаю читателям поду-
мать, как это сделать.
Любители механических головоломок могут сде-
лать картонную модель додекаэдра, приклеив к каж-
дой грани изнутри по маленькому магнитику. Затем
нужно вырезать из жести 12 пятиугольников-квинто-
мино и окрасить их с обеих сторон как бы «насквозь»
(т. е. чтобы цвета на них совпадали), Тогда,
39
перевернув квинтомино, вы получите тот же самый по-
рядок цветов, но в зеркальном отражении. Магнитики,
понятно, нужны для того, чтобы жестяные квинтоми-
но крепко держались на гранях додекаэдра, пока вы
развлекаетесь с головоломкой. Задача состоит в том,
чтобы расположить все 12 пятиугольников на поверх-
ности додекаэдра таким образом, чтобы на каждом
ребре соответствующие цвета совпадали.
При этом можно обойтись и без пространственной
модели, если представить наш додекаэдр с помощью
так называемой диаграммы Шлегеля (рис. 12, б). Эта
диаграмма представляет собой изображение дефор-
мированного скелета додекаэдра с растянутой задней
гранью, которая оказывается как бы внешней грани-
цей полученной плоской фигуры. Задача состоит в
том, чтобы перенумеровать (или окрасить) ребра этой
фигуры так, чтобы каждый из 12 изображенных на
картинке пятиугольников (включая и самый большой,
ограниченный наружным диаметром) оказался бы од-
ним из 12 указанных выше различных квинтомино.
8. Зашифрованная цитата. Возьмем предложение
«В нашем саду растут розы и фиалки» и переставим
в нем буквы, воспользовавшись следующей процеду-
рой. Запишем слова этой фразы в столбик, одно под
другим, выровняв их по левому краю:
В
НАШЕМ
САДУ
РАСТУТ
РОЗЫ
И
ФИАЛКИ
Если записать теперь подряд все буквы в каждой
колонке, двигаясь сверху вниз и начав с крайней
левой колонки, то, опуская все пустые промежутки,
мы получим
ВНСРРИФАААОИШДСЗАЕУТЫЛМУКТИ
У. Пенни из Гринбелта, шт. Мэриленд, взял две
строчки известного стихотворения и переставил в них
40
Рис. 12. Квинтомино типа А (а), додекаэдр (б), диаграмма
Шлегеля (в).
буквы с помощью описанной процедуры, получив в
результате следующую последовательность букв
НЛФЧКДДЛБЕУРЕНООЮЕТЧЕМИМБРШГГЧЫЕ-
ЕААИХГТТОАВ
Какие стихотворные строки он выбрал? [Эта задача
была опубликована в журнале \\^огй Шауз: ТЬе Лоиг-
па1 о! Кесгеа1юпа1 Ып^шзИсз (РеЬгиагу 1970).]:
9. Колонка пробелов. Одна машинистка, загорев-
шись желанием проверить, как работает ее новая
пишущая машинка, решила немного попечатать на
ней. Она вставила лист бумаги, установила поля и
стала печатать подряд одно и то же предложение,
начав, как обычно, с левого верхнего угла чистой
страницы. Предложение оказалось несколько короче
полной длины печатной строки. Девушка печатала его
всякий раз строго одинаково, как обычно, делая по-
сле каждой точки два пробела. Переносов слов она не
делала: если она видела, что все слово (включая и
знаки препинания, которые при случае могли следо-
вать за ним) на строке не помещается, то она не
начинала печатать его на этой строке, а целиком пе-
реносила на следующую. Таким образом, каждая
строка с левого края текста начиналась полным сло-
вом. Печатая текст через один интервал, машинистка
сумела разместить на странице ровно 50 строк.
Не пользуясь пишущей машинкой, попробуйте от*
ветить на такой вопрос: найдется ли на напечатан-
ной машинисткой странице хотя бы одна совершенно
41
прямая колонка пробелов, расположенная между по-
лями текста и идущая вдоль всей страницы от верх-
ней строки и до самой нижней? (Эту задачу приду-
мал Т. Роберт Скотт.)
10. Ребенок с родинкой.
А: Сколько полных лет каждому из ваших троих де-
тишек?
В: Произведение их возрастов равно 36.
А: Этой информации мне мало.
В: Сумма их возрастов равна номеру вашего дома.
А: Этой информации мне тоже недостаточно.
В: У моего старшего ребенка —а он по крайней мере
на год старше двух остальных — на левой руке
родинка.
А: Спасибо, теперь мне все ясно. Вашим детям ..,
лет.
Что сказал Л? (Я не знаю, кто автор этой зада-
чи; ее прислали мне сразу несколько читателей, од-
нако раньше всех — М. Стоувер.)
ОТВЕТЫ
1. Самая короткая (из известных мне) цепочка с
узлами, которая удовлетворяет всем условиям задачи,
имеет 36 звеньев (рис. 13); этот рисунок взят из
л
У
/ 4
7-
7-
у
7-
7
7
И
Рис. 13. Решение задачи о цепочке с узлами.
42
статьи М. Дельбрюка «Проблемы узлов в биоло-
гии» *.
Если исключить требование, чтобы соседние
звенья располагались под прямым углом друг к дру-
гу, то такая цепочка может иметь уже 24 звена.
2. Ниже представлены ответы Ф. Чини на задачу
о том, как выразить числа от 1 до 20 с помощью
наименьшего количества чисел я и заданных симво-
лов математических операций:
1 = [Уя],
2 = [У я; Уя],
3 = [я],
4 = [я 4-У"]»
5 = [я V"]»
6 = [я + я],
7 = [я^],
8 = [(яХ")-
9 = [яХя],
Л/я],
10 = [яХя] + [Уя],
11 = [(яХя) + УяЪ
12 = [яХя] + [я],
13 = [(яХя) + я],
14 = [(яХя) + я + д/п].
15 = [яХя] + [я + я],
16 = [(яХя) + я + я],
17 = [яХяХл/я],
18 = [яХя] + [яХя],
19 = [(яХя) + (яХя)1,
20 = [я У"] [я + Уя].
Кроме того, он сумел записать все целые числа от Г
до 100, используя в каждом представлении не более
четырех я.
Многие читатели сумели улучшить результаты
Чини. В качестве примеров приведем здесь шесть
еще более коротких представлений:
14 = [[я] X (я + Уя)], 18 = [я] X [я + я],
15 = [я] X [я Уя], 19 = [я (я + я)],
16 = [я Уя X [я]], 20 = [яя/Уя] или [(яУя)^].
При такой усовершенствованной форме записи на
все 20 чисел нам понадобится в сумме 50 чисел я«
Первым, кто прислал ответы, содержащие 50 чисел
* ВеШгйск М. КпоШпд РгоЫетз т ВкЯоду.— В сб.!
Ма1ЬетаНса1 РгоЫетз т 1Ье Вю!ов1са1 ЗЫепсез: Ргосеедш^з
о! 5утроз1а т АррНей МаШетаИсз, V, 14, 1962, р. 55—68.
43
я, был Дж. У. Гилгуд, однако справедливость тре-
бует заметить, что условия задачи не позволяли ис-
пользовать операцию возведения в степень, так что
если бы читатели, приславшие свои ответы раньше,
воспользовались операцией возведения в степень, то
они, вероятно, тоже сумели бы обойтись 50 числами
я, применив эту операцию в представлениях чисел
7 и 20 (без использования возведения в степень для
числа 7 требуется три я, а для числа 20 — четыре).
Многие читатели предлагают еще более короткие фор-
мы записи, но для этого им приходится вводить до-
полнительные математические символы, например
знак факториала или символ «унарного отрицатель-
ного оператора», означающего, что данное число
округляется в сторону большего (а не меньшего) це-
лого числа. Другие авторы писем высказывают до-
гадку, что если для сокращения выражений в знаме-
нателях ввести знак многократного извлечения корня,
то тогда любое целое положительное число можно
будет представить с помощью всего лишь трех чи-
сел я.
И Чини и Дж. Лич указывают также, что если
принять, как это обычно делается, выражение
— [—я] равным 4, то возможны и дальнейшие упро-
щения, а именно:
2 =-[-УН], 11 =[(-[- я]^)],
4 = -[-я], 12 = [-яХ(-я)],
8 = -[-д]-[-я], 13 = -[яХ(-я)],
10 = — [- я X я], 16 = [- я] X [— я].
3. Большой многоугольник можно разрезать на
пять одинаковых многоугольников так, как это по-
казано на рис. 14. Ясно, что подобным способом
можно рассечь его на любое требуемое число кон-
груэнтных фигур. [Это решение впервые опублико-
но Л. В. Лайонсом в РаИЬеагегз Неуьеш, р. 268 (Ли1у
1969).]
4. Все 32 шахматные фигуры можно разместить
на доске так, что для перевода их в обычную схему
расстановки для начала игры (черные фигуры у
верхнего края доски, а белые — у нижнего) потре-
буется 36 «ходов» (рис. 15),
44
В условии задачи отме-
чалось, что черные фигуры
вовсе не обязательно долж-
ны располагаться у верх-
него края доски. Так, если
в исходной позиции черные
фигуры стоят в нижней ча-
сти доски, то для перевода
их в такую начальную по-
зицию, при которой ферзи Рис. 14. Решение задачи
оказываются на полях нуж- на разрезание,
ного цвета, потребуется 37
«ходов»-перемещений. Если же потребовать, чтобы
черные фигуры были вверху, то для перевода их в
обычное положение для начала партии, при которой
белые фигуры размещаются в нижней части доски,
потребуется уже 38 «ходов».
5. Задача о техасском нефтепромышленнике и его
банковских вкладах сводится к диофантову уравне-
нию вида 2584л:+ 4181*/= 1000000. Это уравнение
может быть решено, например, методом непрерывных
дробей, о котором шла речь в гл. 2. Первые два
вклада составляют соответственно 154 доллара и
144 доллара.
Рис. 15. Решение шахматной задачи.
43
ж»
Поскольку в условии задачи сказано, что числа
хну начинают самую длинную из всех возможных
цепочек чисел Фибоначчи, последним числом которой
является 1 000 000, это позволяет нам получить еще
более короткое решение. Оно основано на том об-
стоятельстве, что чем длиннее оказывается обобщен-
ный ряд чисел Фибоначчи, тем отношение двух его
последовательных членов будет ближе к золотому
соотношению. Для того чтобы найти наиболее длин-
ную обобщенную цепочку чисел Фибоначчи, послед-
ним в которой стоит некоторое заданное число, необ-
ходимо разделить это число на х и приравнять ре-
зультат золотому соотношению. Таким образом, мы
приходим к уравнению
1 000 000 _ 1 + л/ЁГ
х 2
Решая его относительно х и округляя результат
до ближайшего целого числа, получаем, что х =
«=618 034. Поскольку никакое другое целое число, от-
несенное к 1 000 000, не дает лучшего приближения к
золотому соотношению, нетрудно сообразить, что чис-
ло 618 034 является предпоследним членом самой
длинной из всех возможных цепочек положительных
целых чисел, образующих обобщенный ряд Фибоначчи,
последним числом в которой стоит 1000 000. Теперь
несложно пересчитать всю последовательность чисел
Фибоначчи от конца к началу и найти ее первые два
.члена.
6. Многим это может показаться странным, но
^учше всего поставить на то, что тузом черной масти
ркажется самая верхняя карта.
Для того чтобы понять, почему это так, рассмот-
рим несколько более простых примеров. Так, если у
нас имеется всего три карты — два черных туза и,
скажем, король,— то порядок их следования с одина-
ковой вероятностью может быть таким: ТТК, ТКТ или
КТТ. Вероятность того, что первый черный туз лежит
в колоде первой картой сверху, равна 51/132в; вероят-
ность того, что он будет второй сверху картой, равна
5%з2б, третьей — 49/132б и т. д., вплоть до вероятности
^Лзгб — таковы шансы за то, что он окажется пред-
последней картой в колоде. Последней картой первый
туз черной масти, естественно, быть не может,
46
В общем случае для колоды из л карт (где число
п должно быть больше или равно 2) вероятность то-
го, что первый из двух тузов черной масти окажется
наверху, равна числу п— 1, поделенному на сумму
всех положительных целых чисел от 1 до п— 1. На-
пример, для колоды из 4 карт вероятность того, что
первый из двух черных тузов лежит сверху, равна 72*
Эта задача приведена в статье А. Э. Лоуренса
«Игры с вероятностью» в ТНе МаИгегпаИсЫ ОагеНе,
53, р. 347—354 фесетЪег 1969). Как указывает
Д. Л. Силвермен, в силу принципа симметрии наи-
более вероятное положение второго туза черной
масти — лежать последним в колоде. При этом вероят-
ность появления второго черного туза в каждой пози-
ции уменьшается, проходя через те же самые значе-
ния, что и для первого туза, но в обратном порядке,
т. е. от последней карты (51Аз2в) до второй карты
сверху (7132б).
Несколько читателей указали на то, что задача о
тузах черной масти является частным случаем зада-
чи, описанной в книге «Теория вероятностей и ее
приложения к статистике» *. Эту более общую зада-
чу авторы называют «задачей об иголке в стоге
сена» и в качестве практического примера приводят
такую ситуацию. У некоего предпринимателя 4 гото-
вые детали попали на склад, где лежат 200 точно
таких же необработанных заготовок. Предпринимате-
лю срочно понадобилась готовая деталь. Что дешев-
ле — искать ее на складе среди заготовок или же
изготовить на станке новую? Понятно, что его реше-
ние зависит от того, насколько вероятно обнаружить
готовую деталь в самом начале поисков на складе.
Отметим также, что в случае колоды из 52 карт
шансы на то, что среди первых сверху девяти карт
тщательно перетасованной колоды (или, что то же
самое, среди любых девяти карт, произвольно взя-
тых из неснятой колоды) окажется туз черной масти,
составляет более 50 %.
7. На рис. 16 с помощью диаграмм Шлегеля пред-
ставлены три существенно различных решения задачи
о додекаэдре-квинтомино. Впервые они были опуб-
ликованы автором этой задачи Дж. Конуэем в
* Моз1е11ег Р., Коигке К., ТЬотаз О. Лг. РгоЬаЫШу ш[Ъ
5Ы151ка1 АррИсаИопз. — Ас1<Н5оп-№е81еу, 1961.
47
Рис. 16. Три основных решения задачи о додекаэдре-квинто-
мино.
английском математическом журнале Еигека, р. 22
(ОсЬЬег 1959). Для каждого из этих решений можно,
естественно, построить его зеркальное отражение;
кроме того, очевидно, что различные цвета можно
менять местами, не нарушая основной схемы реше-
ния. Буквы на чертеже соответствуют обозначениям,
введенным нами ранее в условия задачи для всех
12 квинтомино. Буква вне контура чертежа обозна-
чает пятиугольник-квинтомино, который находится
на задней грани додекаэдра, определяемой внешним
периметром полученной плоской фигуры.
Конуэй экспериментальным путем обнаружил, что
если ребра всех 11 граней додекаэдра помечены пра-
вильно, то двенадцатая грань автоматически будет
соответствовать квинтомино, оставшемуся неиспользо-
ванным. Однако ему не удалось доказать теоретиче-
ски, что так должно получаться всегда.
Поскольку правильный додекаэдр представляет
собой как бы «удвоенный» правильный икосаэдр, то
наша задача оказывается эквивалентной задаче об
окраске ребер правильного икосаэдра таким образом,
чтобы вблизи его 12 вершин получающиеся комбина-
ции цветов соответствовали комбинациям цветов на
всех 12 квинтомино.
В 1972 г. в продаже появилась выполненная из
белого пластика модель этой головоломки под назва-
нием «Энигма» («Загадка»), в которой вместо рас-
краски граней в разные цвета использовались различ-
ные узоры из черных точек на белом фоне.
8. Зашифрованная цитата — это первые две стро-
ки из известного стихотворения Эмили Дикинсон:
Нет лучше Фрегата, чем Книга, —
Домчит до любых берегов.
[Пер. В. Марковой]
48
9. На заполненной текстом странице обязатель-
но найдется по крайней мере одна полная колонка
пробелов. В самом деле, предположим, что в выбран-
ном нами предложении имеется п пробелов между
словами, включая сюда и первый пробел после точки.
Эта цепочка из п пробелов будет начинать каждую
новую печатную строку, хотя сама цепочка может
подвергаться круговой перестановке, начинаясь на
различных строчках с разных слов. Следовательно,
за первыми п пробелами между словами в каждой
строке обязательно будет следовать еще по одному
пробелу, которые и будут образовывать вертикальную
колонку, идущую вдоль всего текста.
10. Число 36 является произведением следующих
восьми триплетов: 1, 1, 36; 1, 2, 18; 1, 3, 12; 1, 4, 9;
1, 6, 6; 2, 2, 9; 2, 3, 6 и 3, 4, 3. Человек, обозначенный
нами как Л, безусловно, знал номер своего собствен-
ного дома. Поэтому, услышав, что сумма воз-
растов всех троих детей равна номеру его дома, он
мог легко угадать нужную тройку чисел — если толь-
ко номер его дома не 13, потому что из указанных
троек чисел лишь две дают нам в сумме число 13:
это тройки 1+6+6и2 + 2 + 9. Как только А узнал,
что один ребенок у В старше двух других, он сразу
же отбросил числа 1, 6, 6 и заключил, что возраст
детей его приятеля В — 2, 2 и 9 лет.
ГЛАВА 4
ИЕРАРХИЯ АЛЕФОВ И СВЕРХЗАДАЧИ
У точек, бедных крошек,
Ни ручек нет, ни ножек.
Как же они, не пойму я,
Сцепляются в прямую? *
Дж. А. Линдон
Каждое конечное множество, состоящее из п эле-
ментов, содержит 2п подмножеств, если включать
* Перевод А. Глебовской, ,
49
сюда исходное множество и нулевоеГили пустое, мно-
жество. Например, множество из трех элементов
ЛВС включает в себя 23 = 8 подмножеств: ЛВС,
АВ, ВС, АС, А, В, С, а также нулевое множество.
При этом, как заметил однажды философ Чарльз С,
Пирс*, нулевое множество «обладает весьма
странными с точки зрения логики особенностями».
Так, мы не можем высказать какого-либо ложного
суждения по поводу его элементов, поскольку ника-
ких элементов у такого множества нет. Иными сло-
вами, если вы говорите что-либо логически противо-
речивое относительно элементов этого множества, то
вы высказываете истину, поскольку совокупностью
решений в случае противоречивого утверждения явля-
ется пустое множество. В житейском смысле слова
вы просто высказываете нечто истинное ни о чём.
В современной теории множеств обычно бывает
удобным рассматривать нулевое множество как не-
кое «реально существующее множество», даже если
оно и не содержит в себе ни одного элемента. Про
такое множество можно утверждать, что оно также
содержит 2я подмножеств, поскольку 2° = 1, а пус-
тое множество действительно имеет лишь одно под-
множество, а именно собственно себя. Очевидно так-
же, что нулевое множество является подмножеством
любого множества. Если множество А включено в
множество В, то это означает, что каждый элемент
множества А является элементом множества В. Сле-
довательно, если рассматривать пустое множество в
качестве обычного, вполне законного множества, то
все его элементы (состоящие из ничего) должны со-
держаться в множестве В. Докажем это, рассуждая
от противного. Пусть наше нулевое множество не
входит в множество В. Тогда должен существовать
по крайней мере один элемент из данного нулевого
множества, который не принадлежит В, а этого быть
не может, поскольку само нулевое множество не со-
держит ни одного элемента.
Очевидно, что для любого конечного множества,
состоящего из п элементов, нельзя установить взаим-
но однозначного соответствия между элементами это-
го множества и всеми его подмножествами, поскольку
* Ре1гсе С. 5. СоИесЫ Рарегз. — У. 4, р. 181.
50
этих подмножеств всегда будет больше, чем п. Но
справедливо ли это для бесконечных множеств? От-
вет на этот вопрос оказывается положительным, а
полное доказательство — одним из наиболее изящных
рассуждений в теории множеств.
Оно представляет собой так называемое доказа-
тельство от противного, или доказательство типа
гейисНо ай аЬвитйит *, Предположим, что все эле-
менты множества Ы, состоящего из бесконечного чис-
ла элементов, приведены во взаимно однозначное со-
ответствие со всеми подмножествами множества ЛГ,
Каждое такое соответствие должно удовлетворять
одному из следующих условий:
1) данный элемент сопоставляется с тем подмноже-
ством, которое содержит этот элемент; такие эле-
менты мы будем называть синими;
2) данный элемент сопоставляется с тем подмноже-
ством, которое не содержит выбранного нами
элемента; элементы такого рода мы назовем
красными.
Красные элементы образуют некоторое подмноже-
ство исходного множества N. Можно ли сопоставить
это подмножество с каким-либо синим элементом?
Нет, потому что всякий синий элемент входит в со-
поставляемое с ним подмножество, и, следовательно,
тогда подмножество красных элементов должно
включать в себя синий элемент. Можно ли теперь
согласовать наше подмножество красных элементов
с каким-либо красным элементом? Нет, поскольку
красный элемент должен включаться в свое подмно-
жество и, следовательно, он должен быть синим.
Далее, поскольку красное подмножество нельзя сопо-
ставить ни с красным, ни с синим элементом из множе-
ства N. то тем самым мы сконструировали подмно-
жество из N, которое нельзя сопоставить ни с одним
элементом множества N. Таким образом, ни одно
множество, будь оно конечное или бесконечное, нель-
зя привести во взаимно однозначное соответствие со
всеми входящими в него подмножествами. Если при
этом п представляет собою трансфинитное число, то
тогда число 2п (по определению, это есть число
* Приведения к нелепости (лаг.).
51
9 Р А А Р В
м ...._
в
Рис. 17. Число точек на отрезке АБ равно числу точек более
длинного отрезка, полубесконечного луча и бесконечной прямой.
подмножеств из множества п) должно быть беско-
нечностью более высокого порядка, чем п.
Георг Кантор, основатель теории множеств, на-
звал наименьшее трансфинитное число термином
«алеф-нуль». Оно представляет собой мощность мно-
жества всех целых чисел, и по этой причине его ча-
сто называют «счетной бесконечностью». Произволь-
ное множество, которое можно привести во взаимно
однозначное соответствие %с множеством натуральных
чисел, как, например, множество рациональных дро-
бей, называют обычно счетным множеством, или мно-
жеством мощности алеф-нуль. Кантор показал, что
если возвести 2 в степень алеф-нуль — это дает нам
число подмножеств множества всех целых чисел,—
то результат оказывается равным мощности множе-
ства всех действительных чисел (как рациональных,
так и иррациональных), называемой обычно «мощ-
ностью континуума» и обозначаемой с. Мощность с
характеризует собой, например, мощность множества
всех точек некоторой прямой. Такая прямая может
представлять собой отрезок конечной длины, полу-
ограниченный луч или же прямую, продолжающуюся
в обе стороны до бесконечности. На рис. 17 представ-
лены три интуитивно очевидные доказательства того
факта, что все эти прямые имеют одно и то же число
точек. Наклонные линии, выходящие из точки Р, по-
казывают, как все точки на отрезке АВ можно при-
вести во взаимно однозначное соответствие с точками
отрезка большей длины, полубесконечного луча или
бесконечной прямой.
Приведенное выше доказательство с использова-
нием красных и синих элементов (Кантор опублико-
вал его в 1890 г.) порождает, естественно, бесконеч-
ную иерархию трансфинитных чисел, На первой
52
ее ступеньке располагается множество натуральных
чисел алеф-нуль, затем идет множество с, затем мно-
жество всех подмножеств с и т. д. Эту последова-
тельность можно представить также в следующем
виде:
алеф-нуль, с, 2е, 22°, 222,
Кантор назвал множество с множеством мощности
алеф-один, поскольку он считал, что между алеф-ну-
лем и с не содержится других трансфинитных чисел.
Точно так же последующие числа он называл алеф-
два, алеф-три и т. д. В течение многих лет он без-
успешно пытался доказать, что число с является сле-
дующим по мощности трансфинитным числом после
алеф-нуля — предположение, которое в наши дни
называют обычно «гипотезой континуума». Сейчас
благодаря результатам, полученным Куртом Геделем
и Полом Коэном, мы знаем, что это предположение
неразрешимо в рамках стандартной теории множеств.,
даже если усилить его аксиомой выбора. Поэтому
мы, не впадая в противоречие, можем утверждать,
что канторовы числа алеф-нуль, алеф-один и т. д.
охватывают все трансфинитные числа, либо опять-
таки безо всяких противоречий можем допустить су-
ществование неканторовской теории множеств, в ко-
торой между любыми двумя соседними элементами
в канторовой иерархии бесконечностей размещается
бесчисленное множество трансфинитных чисел (про-
стое и краткое объяснение этого факта приведено в
гл. 3 моей книги «Математический карнавал»*).
Кантор пытался также доказать, что число точек
в некотором квадрате представляет собой следующее
но величине после с трансфинитное кардинальное
число. В 1877 г. он сам был необычайно удивлен,
обнаружив остроумный способ, как привести в соот-
ветствие точки квадрата с точками некоторого отрез-
ка прямой. Представим себе квадрат со стороной в
\1 милю и отрезок прямой длиной в 1 дюйм (рис. 18).
'Каждую точку на этом отрезке от 0 до 1 обозначим
с помощью бесконечной десятичной дроби: например,
/точка, соответствующая дробной части числа я,
обозначается как 0,14159..., точка, соответствующая
.г- ■ \
* Оагйпег М. Ма1Ьетэ11са1 Саггиуа!,
53
0,73205.,-**
["*
0,1743125095...
Рис. 18. Т*/чки в квадрате со стороной в одну милю и на
отрезке прямой.
числу 7з,— как 0,33333.- и т. д. Таким образом,
каждая точка отрезка однозначно представляется
последовательностью цифр из множества алеф-нуль, и
обратно, любая возможная последовательность
цифр из множества алеф-нуль однозначно определяет
собой некоторую точку нашего прямолинейного от-
резка. (Единственная трудность при этом описании
заключается в том, что дробь вида 0,5000... совпада-
ет с дробью вида 0,4999..., однако эту трудность лег-
ко преодолеть с помощью некоторых специальных
приемов, в подробности которых мы здесь вдаваться
не будем.)
Вернемся теперь к нашему квадрату. Очевидно,
что произвольную точку квадрата вполне однозначно
определяют ее декартовы координаты хну, каждую
из которых можно представить в виде некоторой бес-
конечной десятичной дроби. Так, на рисунке пока-
зана точка, координата * которой представляет со-
бой дробную часть числа я, а координата у — дроб-
ную часть корня квадратного из 3, т. е. число 0,73205...«
Запишем цифры обоих этих чисел в чередующейся
последовательности, начиная с координаты х, т. е«
в виде 0,1743125095... . Полученный результат пред-
ставляет собой бесконечную десятичную дробь,
однозначно определяющую «некоторую точку на на-
шем отрезке прямой. Понятно, что такую операцию
можно проделать с любой точкой квадрата. Точно
так же очевидно, что описанную процедуру отобра-
жения легко обратить: так, мы можем выбрать про-
извольную точку на отрезке прямой и, попеременно
0,14159.-
54
записывая цифры бесконечной десятичной дроби, ко-
торая характеризует местоположение этой точки, рас-
щепить затем это число на две новые бесконечны©
десятичные дроби, рассматривая их как декартовы
координаты некоторой вполне определенной точки
квадрата. (Правда, здесь же надо отметить и по-
пытаться как-то преодолеть следующее затруднение:
например, три различные точки нашего отрезка —
0,449999..., 0,459090... и 0,540909 — отображают одну
и ту же точку квадрата, а именно точку [72, 72].)
Точно таким же способом точки любого квадрата
можно привести во взаимно однозначное соответствие
с точками произвольного отрезка прямой. Следова-
тельно, оба указанных множества эквивалентны и
каждое из них имеет мощность с.
Приведенное рассуждение легко распространить
на куб (путем введения трехмерной координатной
сетки) или на гиперкуб п измерений (вводя п-мерные
координаты). Аналогичный анализ показывает, что
число с определяет собой также мощность множества
точек в бесконечном пространстве любого конечного
числа измерений или даже в бесконечном простран-
стве с бесконечным числом измерений, составляю-
щим множество мощности алеф-нуль.
Кантор надеялся, что введенные им трансфинит-
ные числа будут описывать бесконечные пространства
различных порядков, но, как мы только что убеди-
лись, сам же и доказал, что дело обстоит вовсе не
так. Позднее другие ученые-математики подтвердили,
что отличие одного пространства от другого заклю-
чается прежде всего в том, как топологически точки
пространства соотносятся друг с другом. Так, приве-
денные выше соответствия точек не являются непре-
рывными. Это означает, к примеру, что точки, лежа-
щие рядом на прямой, вовсе не обязательно окажут-
ся близкими друг к другу в квадрате, и наоборот*
Другими словами, посредством непрерывной дефор-
мации нельзя преобразовать прямую линию в ква-
драт, квадрат в куб, куб в гиперкуб и т. д.
Существует ли на свете множество, которое соот-
ветствует кардинальному числу 2е? Конечно, мы зна-
ем, что это есть число всех подмножеств множества
действительных чисел, но приложимо ли оно к како-
му-либо знакомому нам множеству в математике?
65
Так вот, оказывается, что таким множеством являет-
ся множество всех действительных функций от х*
точнее множество всех однозначных действительных
функций. При этом оно будет тем же самым, что и
число всевозможных перестановок для множества то-
чек некоторой прямой линии. Геометрически оно пред-
ставляет собой множество всех кривых (включая и
кривые с разрывами), которые можно провести на
плоскости или даже на некоторой конечной части
плоскости размером, скажем, с почтовую марку. Что
же касается числа 2, возведенного в степень 2е, то
до сих пор не найдено множества, за исключением
совокупности всех подмножеств множества 2е, кото-
рое имело бы указанную мощность. По-видимому,
только множества мощностью алеф-нуль, с и 2е име-
ют приложения вне широких рамок теории множеств.
Как заметил однажды Г. Гамов, «здесь мы оказались
в ситуации, в точности противоположной положению
... дикаря, у которого куча детей, «о который умеет
считать лишь до трех». Действительно существует
бесконечная иерархия трансфинитных чисел, однако
большинство математиков предпочитают иметь дело
только с тремя «сыновьями», чтобы считать с их по-
мощью. Это не удержало философов от соблазна по-
пытаться подыскать метафизические толкования для
трансфинитных чисел. Сам Кантор, будучи глубоко
религиозным человеком, много и подробно занимал-
ся подобными вопросами. В США детальные иссле-
дования канторовых трансфинитных чисел проводил
философ Дж. Ройс *.
Тот факт, что на свете не существует наибольше-
го, или самого последнего, целого числа, в той или
иной форме содержится в целом ряде хитроумных
парадоксов, называемых обычно сверхзадачами. С то-
го самого момента, как они впервые были сформули-
рованы Г. Вейлем, философы науки начали широко
их обсуждать. Представим себе, например, лампу (ее
называют лампой Томсона, по имени Дж. Томсона,
первым рассмотревшего эту задачу), которая вклю-
чается и выключается с помощью обычного кнопоч-
ного выключателя. Начиная с момента I = О, лампа
включается на полминуты, потом выключается на
* Коусе Л, ТЬе №ог1с1 ап<1 Ше 1пс1ш<1иа1.
56
V- мин, затем снова включается на 7з мин и т. д^
Поскольку сумма этой прогрессии Уг + х/\ + Ув +
+ ... есть 1, то по истечении 1 мин число переключе-
ний окажется равным числу алеф-нуль. Будет ли
лампа гореть при этом или нет?
Каждый читатель согласится, что лампу Томсона
сделать нельзя. Однако является ли идея такой лам-
пы логически оправданной или вообще не имеет
смысла рассматривать ее даже с чисто абстрактной
точки зрения? В одном из знаменитых парадоксов Зе-
нона говорится о воине, бегущем с постоянной ско-
ростью: за Уг мин он пробегает половину некоторо-
го расстояния, за следующую у4 мин — четверть
этого расстояния, за последующую У8 мин — одну
восьмую того расстояния и т. д. По истечении 1 мин
ему не составит никакого труда достигнуть последней
точки заданной дистанции. Почему же мы тогда не
можем утверждать, что по истечении 1 мин выключа-
тель томсоновой лампы сработает в последний раз?
Ответ заключается в том, что при этом лампа долж-
на оказаться либо включенной, либо выключенной,
причем это означает то же самое, что и утверждать,
будто существует последнее целое число, которое яв-
ляется либо четным, либо нечетным. Но поскольку
целые числа никак не ограничены сверху, то подоб-
ная схема работы лампы оказывается логически аб-
сурдной.
Другая сверхзадача связана с так называемой
«машиной бесконечности», которая вычисляет и печа-
тает все более точные значения числа я. При этом
каждая последующая цифра печатается ровно за по-
ловину того времени, которое требуется, чтобы напе-
чатать предыдущую цифру. Более того, цифры рас-
печатываются на идеализированной ленте конечной
длины, причем каждая последующая цифра занимает
по протяженности на ленте лишь половину того рас-
стояния, которое занимала предыдущая. Оба этих
ряда — временной ряд и ряд расстояний — сходятся
к одному и тому же пределу, так что теоретически
можно ожидать, что наша «я-машина» за некоторое
конечное время напечатает на куске ленты все циф-
ры числа я. Но у числа я нельзя напечатать самой
последней цифры, следовательно, данная сверхзадача
также оказывается внутренне противоречивой.
57
Наконец, последний пример. М. Блэк из Корнель-
ского университета представил себе некое устройство,
которое раз в минуту переносит мраморный шарик с
лотка А на лоток В, а затем в течение минуты оста-
ется в состоянии покоя, пока другое такое же устрой-
ство не возвратит шарик на лоток А. В следующие
полминуты первое устройство перемещает шарик об-
ратно на лоток В, затем в течение еще полминуты
оно находится в состоянии покоя, в то время как
второе устройство возвращает шарик на лоток А.
Этот процесс продолжается до бесконечности с по-
следовательным уменьшением вдвое времени каждо-
го шага, пока движения этих устройств не окажутся,
по выражению Блэка, «совершенно смазанными». По
истечении 4 мин каждое устройство перенесет шарик
из одного лотка в другой алеф-нуль раз. Где при
этом будет находиться шарик? В данном случае
вновь оказывается, что отсутствие самого последнего
целого числа, которое может быть либо четным, либо
нечетным, исключает даже принципиальную возмож-
ность решения подобной сверхзадачи. (Наиболее су-
щественные работы Томсона, Блэка и других авторов,
посвященные сверхзадачам, перепечатаны в антоло-
гии У. Салмона «Парадоксы Зенона» *.)
Конечно, сразу же возникает следующее возраже-
ние: ведь основное различие между приведенными
здесь сверхзадачами и бегуном из парадокса Зенона
состоит в том, что бегун движется непрерывно, тогда
как сверхзадачи формулируются в виде последова-
тельности дискретных этапов, образующих собой мно-
жество мощности алеф-нуль. Однако на самом деле
ситуация оказывается гораздо сложнее. А. Грюнбаум
в своей книге «Современная наука и парадоксы Зе-
нона» ** приводит убедительные соображения в
пользу того, что бегун из парадокса Зенона вполне
мог бы завершить свой бег, пробежав, пользуясь сло-
вами Грюнбаума, в ритме «стаккато» [отрывисто,
прерывно — итал.] алеф-нуль шагов. Такой бегун в
темпе «стаккато» проходит первую половину задан-
ного расстояния за */4 мин, отдыхает У4 мин, за-
тем пробегает половину оставшегося ему расстояния
* 5а1топ V. 2епо'з Рагайохез.— 1970.
'* СгйпЬаит А, Модегп 5с1епсе ап<1 2епо'з Рагаёохез,
53
за 7в мин, снова отдыхает 7в мин и т, д. В про-
цессе бега он движется со скоростью вдвое большей,
чем его партнер, бегущий в темпе «легато» [букв,
связно, слитно — итал.], однако его общая средняя
скорость остается той же самой, причем она всегда
меньше скорости света. Поскольку паузы, когда бе-
гун в темпе «стаккато» неподвижен, стремятся к
нулю, то к концу первой минуты он достигнет конеч-
ной точки своего путешествия, точно так же как аб-
солютно упругий мяч в конечном счете приходит в
состояние покоя после бесконечного числа дискрет-
ных подскакиваний. При этом Грюнбаум не обнару-
живает никаких логических возражений против бега
в темпе «стаккато», даже несмотря на то что его
нельзя осуществить на практике. Правда, его отно-
шение к сверхзадачам отличается сложностью и про-
тиворечивостью. Так, он считает, что различного вида
«бесконечные машины» являются логически невоз-
можными, хотя в большинстве случаев при соот-
ветствующих оговорках он оправдывает их как логи-
чески непротиворечивые варианты движения в темпе
«стаккато».
Все эти вопросы так или иначе связаны с давней
дискуссией о том, ошибался ли Кантор, утверждая,
будто числа алеф-нуль и с характеризуют собой бес-
конечности различных порядков. «Доказательство этой
ошибки» приведено ниже,
Целые числа Десятичные дроби
1 0.1
2 0.2
3 0.3
10 0.01
11 0.11
12 0.21
100 0,001
101 0.101
59
1234
0.4321
Здесь левый столбец представляет собой бесконеч-
ную таблицу целых чисел, расположенных в порядке
возрастания сверху вниз. Каждому из этих чисел ста-
вится в соответствие некоторое число из правого
столбца в виде простой десятичной дроби, которая
образована из тех же самых цифр, но только запи-
санных в обратном порядке после запятой. Посколь-
ку столбец чисел слева можно продолжить до бес-
конечности, то в итоге он будет включать в себя все
возможные последовательности цифр. Но если это
так, то числа в правом столбце также должны охва-
тывать все возможные цифровые последовательности
и, следовательно, должны представлять собой все
действительные числа, лежащие между 0 и 1. При
этом действительные числа, как известно, образуют
множество мощности алеф-один. А поскольку оказы-
вается возможным привести это множество во вза-
имно однозначное соответствие с множеством целых
чисел, т. е. множеством мощности алеф-нуль, то оба
указанных множества должны быть равномощными,
т. е. иметь одинаковую мощность.
Я бы не рискнул приводить здесь это «доказатель-
ство», если бы ежегодно не получал множества посла-
ний, в которых мои корреспонденты вновь и вновь от-
крывают его в глубоком убеждении, что тем самым
они опровергают канторову теорию множеств. Чита-
тели легко могут убедиться, что приведенное мною до-
казательство неверно.
ОТВЕТЫ
Основная ошибка в приведенном выше неверном
доказательстве утверждения, что множество нату-
ральных чисел можно привести во взаимно однознач-
ное соответствие с множеством действительных чисел,
состоит в том, что независимо от длины столбца це-
лых чисел с левой стороны (и их зеркальных отобра-
жений в правом столбце) ни в одном из столбцов не
окажется чисел, цифры которых составят множество
мощности алеф-нуль. Вследствие этого в правом
60
столбце не окажется ни одной иррациональной деся-
тичной дроби. Зеркальные отображения чисел нату-
рального ряда, представляемые в виде обычных де-
сятичных дробей, образуют всего лишь подмножество
рациональных дробей, заключенных между 0 и 1«
При этом оказывается, что даже дробь 7з не входит
в это подмножество, поскольку десятичная форма за-
писи этого числа требует такого количества цифр,
которое образует множество алеф-нуль. Короче го-
воря, все, что доказано выше, представляет собой
лишь хорошо известный факт, что множество нату-
ральных чисел приводится во взаимно однозначное
соответствие с подмножеством рациональных дробей.
Это ошибочное доказательство напоминает мне
одно четверостишие, как-то попавшееся мне на глаза:
«Пи» и «е»
В «пи» цифры не пересчитать,
«е» — бесконечно столь же.
А если их с конца писать,
Какое будет больше?
[Пер. А. Глебовской]
ДОПОЛНЕНИЕ
Среди ученых-физиков наиболее резкие возраже-
ния против канторовой теории множеств выдвигал
П. Бриджмен. В своей книге «Размышления физи-
ка» * он говорит, что «никак не может ощутить хоть
капельку привлекательности» в канторовом доказа-
тельстве того, что мощность множества действитель-
ных чисел больше мощности множества чисел нату-
рального ряда. К тому же он не усматривает ника-
ких парадоксов в рассуждениях Зенона, поскольку не
в состоянии представить себе линию как множество
точек (см. четверостишие Дж. Линдона, взятое в ка-
честве эпиграфа к этой главе) или же какой-нибудь
промежуток времени как бесконечную совокупность
отдельных его моментов.
«Точка представляет собой крайне любопытный
объект,— писал он в своей книге «Структура ве-
щей»**,— и, как мне кажется, природу этого объ-
екта не всегда могут осмыслить даже многие
* Впс^тап Р. XV. КеИесИопз о! а РЬузкпз*. — 1955.
** ЬШоп 3, А. ТЬе \Уау ТЫпдз Аге.— 1959г
61
математики. Линия вовсе не складывается из отдель-
ных точек ни в каком реальном смысле этого слова...
Мы не строим линию из отдельных точек, однако для
каждой данной линии мы можем выделить на ней
определенные точки. Выражение «все точки линии»
по существу означает буквально то же самое, что и
слова «вся линия»... Мы создаем точки на линии
точно так же, как создаем числа, причем мы иденти-
фицируем эти точки посредством численных значений
их координат».
М. Лаинг в Ма1НетаИса1 ТеасНег, р. 398 (АргП
1968) описывает забавный вариант сверхзадачи Блэ-
ка о движущемся мраморном шарике. В стенках
ящика с противоположных сторон имеются два от-
верстия: сидящий в ящике кролик высовывает голову
из отверстия Л, затем минутой позже из отверстия
5, затем еще через полминуты вновь из отверстия А
и т. д. В конце концов студенты, которым он привел
эту задачу, пришли к выводу, что через две минуты
голова кролика будет торчать одновременно из обеих
дырок, однако «практически данная задача совер-
шенно невозможна, если только не слишком вдавать-
ся во всякие там тонкости».
В определенном смысле я согласен с теми, кто
считает, что парадоксы типа бега в темпе стаккато
можно вполне непротиворечиво сформулировать на
языке теории множеств, но как только к задаче
присоединяется некий элемент, включающий в себя
понятие самого большого целого числа, то тем самым
вы лишь присовокупляете нечто недозволенное и, сле-
довательно, вносите в нее элемент бессмысленности.
Чисто теоретически нет ничего ошибочного в описа-
нии того, как идеально подскакивающий мяч посте-
пенно приходит к состоянию покоя или как движется
к цели бегун в темпе стаккато, однако вместе с тем
не прибавляется и особого смысла, если предполо-
жить, что при каждом подскоке мяч меняет свой
цвет, поочередно становясь то красным, то синим, и
затем задаться вопросом, какого цвета окажется мяч,
когда он перестанет подскакивать, или же, к приме-
ру, предположить, что бегун в темпе стаккато на каж-
дом шагу открывает и закрывает свой рот, а по-
том попытаться выяснить, будет у него закрыт или
открыт рот, когда он остановится,
62
Когда я впервые опубликовал этот материал на
журнальных страницах, некоторые неточности в из-
ложении были отмечены целым рядом читателей, од-
нако прежде всего я хотел бы поблагодарить Л. Гелл-
мана за проведенный им тщательный анализ моих
рассуждений, а также за те исправления, которые в
значительной степени упростили и улучшили перво-
начальный текст.
ГЛАВА 5
НЕТРАНЗИТИВНАЯ ИГРА В КОСТИ
И ДРУГИЕ ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теория вероятностей изобилует парадоксами, ко-
торые, казалось бы, противоречат здравому смыслу и
озадачивают непосвященных. В этой главе мы рас-
смотрим один удивительный парадокс, связанный с
так называемым отношением транзитивности, а так-
же группу парадоксов, возникающих из-за неосто-
рожного применения того, что обычно называется
принципом индифферентности.
Транзитивность представляет собой бинарное от-
ношение такого типа, что если оно выполняется меж-
ду элементами А и В и, кроме того, между элемен-
тами В и С, то оно должно выполняться также меж-
ду элементами А и С. Типичным примером этого
служит зависимость «тяжелее, чем». Действительно,
если А тяжелее, чем Я, а.В тяжелее, чем С, то тогда
А тяжелее, чем С. Три комплекта по четыре играль-
ные кости в каждом (их предложил Б. Эфрон, спе-
циалист по статистике из Стэнфордского университе-
та), показанные на рис. 19 в «развернутом» виде,
позволяют глубже осознать значение недавних откры-
тий, связанных с неким общим классом вероятност-
ных парадоксов, в которых нарушается правило
транзитивности. С помощью любого из этих набо-
ров игральных костей вы можете держать пари в
63
А Ш
•Е
в [Ц
И^П.
П-Ч
5
о Ш
^
3
-С
з-^ш
12
12
^У
Е
З^Е
Рис. 19. Нетранзитивные кости.
условиях, настолько противоречащих интуиции, что
опытные игроки почти не в состоянии разобраться
в них, даже если они полностью проанализируют
ход игры.
Четыре игральные кости в верхней части рисунка
перенумерованы простейшим способом, который обес-
печивает победителю максимум преимуществ. Допу-
стим, что ваш противник выбрал определенную кость
из этого набора. Тогда вы можете выбрать себе
кость из трех оставшихся. Затем вы оба бросаете
кости, и тот, у кого выпадает большее число очков,
оказывается победителем. Конечно, на первый взгляд
кажется, что если выбор кости перед началом игры
предоставить вашему противнику, то игра должна
складываться либо с равными шансами, либо в
его пользу. Если по крайней мере две кости имеют
равные или максимальные возможности выигрыша,
(го игра будет вестись с равными шансами на успех,
поскольку если ваш противник выбирает одну из та-
ких костей, то вы сразу можете выбрать себе другую,
•Если же одна из костей имеет преимущество по срав-
нению с тремя остальными, то ваш противник всегда
может выбрать именно эту кость и тем самым обес-
печить себе победу более чем в половине игр. При-
64
веденное рассуждение полностью ошибочно. В дей-
ствительности оказывается, что независимо от того,
какую кость выберет ваш противник, вы всегда мо-
жете выбрать кость, которая обеспечит вам выигрыш
с вероятностью 2/3, т. е. с шансами два к одному в
вашу пользу!
Указанный парадокс (поскольку он противоречит
здравому смыслу) возникает здесь из ошибочного
предположения, что отношение «имеет большую ве-
роятность выигрыша» должно быть транзитивно по
отношению к любой паре игральных костей. Однако
при использовании любого из трех указанных наборов
игральных костей дело обстоит совсем не так. Для
каждого набора отношение «имеет большую вероят-
ность выигрыша» указано стрелкой в направле-
нии проигрышной кости. Так, А выигрывает у В, В
выигрывает у С, С выигрывает у С..., а /) вы-
игрывает у А\ В случае первого набора костей ве-
роятность выигрыша с помощью соответствующей
кости из каждой пары составляет 2/3. В этом легко
убедиться, если рассмотреть последовательно все
36 возможных бросаний для каждой пары, выделив
при этом 24 случая, когда на одной из костей выпа-
дает большее число очков, чем на другой.
Два других набора из четырех костей, также пред-
ложенные Эфроном, обладают тем же свойством не-
транзитивности, однако числа очков на их гранях
повторяются реже, что делает анализ игры еще более
затруднительным. Во втором наборе вероятность вы-
игрыша с помощью соответствующей кости также со-
ставляет 2/3. Поскольку при использовании в игре
третьего комплекта набора костей у обоих игроков
может выпадать одинаковое число очков, то обычно
уславливаются, что в этом случае кости следует бро-
сать еще раз. При такой процедуре игры вероятность
выигрыша для каждой из четырех пар костей третьего
набора составит п/17, или 0,647.
При этом, как указывает Эфрон, наибольшее пре-
имущество, которое можно обеспечить с помощью че-
тырех костей, составляет как раз 2/3. Для трех на-
боров чисел максимальное преимущество составляет
0,618, однако его нельзя реализовать с помощью
обычных костей, поскольку эти наборы включают в
себя более шести чисел. Если же использовать не
3 Зак. 695
65
четыре набора, а больше (выбирая количества очков
для каждого набора случайным образом), то при
увеличении числа наборов возможное преимущество
будет стремиться к пределу, равному 3/4.
Основной принцип вычисления вероятностей при
бросании костей восходит еще к истокам классиче-
ской теории вероятностей, возникшей в XVIII в«
Прежде его называли «принципом недостаточной при-
чины», однако в настоящее время он известен какз
«принцип индифферентности» — образное выражение,
которое впервые использовал Дж. Кейнс в своей кни-
*е «Исследования по теории вероятностей»*. (Кейнс
более всего известен как экономист, но его книга по
теории вероятностей является классической. Кроме
того, именно она оказала огромное влияние на ин-
дуктивную логику Р. Карнапа.) Этот принцип обычно
формулируется следующим образом: если у нас нет
никаких оснований считать, что какое-либо из п вза-
имно исключающих событий более вероятно, чем лю-
бое другое, то каждому из этих событий приписыва-
ется вероятность 1/п.
Пусть, например, вы тщательно исследуете играль-
ную кость и не находите ничего такого, что давало
бы преимущество (при бросании) одной из ее сторон
по сравнению с другими, как то: скрытых грузиков,
отклонений от кубической формы, скошенных ребер,
клейкости отдельных граней и т. д. Предположим, что
у нашего кубика имеются шесть равновероятных воз-
можностей упасть на стол; таким образом, каждой
грани куба можно приписать вероятность выпадания,
равную 7б. Если вы подбрасываете монетку или
решаете побиться об заклад, как это любят делать в
Мексике, на какой из двух кусочков сахара сядет
сначала муха, то ваше неведение относительно воз-
можных результатов опыта вынуждает вас приписать
любому из двух возможных исходов вероятность,
равную 7г. Ни в одном из этих случаев вы совер-
шенно не ощущаете никакой необходимости прово-
дить на практике статистические испытания. Указан-
ные вероятности задаются а рг1оп9 независимо от
опыта. При этом их выбор основывается на сим-
метрии исследуемых структур и действующих на
* Кеупез М. А ТгеаИзе оп РгоЪаЫШу «= 1921.
66
объект внешних сил. Так, игральная кость представ-
ляет собой твердое тело правильной геометрической
формы; вероятность того, что монетка окажется сто-
ящей на ребре, фактически равна нулю; у мухи нет
причин, чтобы предпочесть один кусочек сахара дру-
гому и т. д. В итоге, конечно, ваш анализ основыва-
ется на экспериментальных соображениях, поскольку
только опыт говорит вам, что, допустим, утяжеление
какой-либо грани игральной кости будет оказывать
влияние на результат бросаний, а окраска определен-
ной грани, скажем, в красный цвет,— не будет.
Принцип индифферентности в той или иной фор-
ме часто используется в теории вероятностей, однако
он должен весьма тщательно оговариваться и приме-
нять его нужно с крайней осмотрительностью, с тем
чтобы избежать различного рода ловушек. Во мно-
гих случаях эти ловушки возникают из-за того, что
нам бывает трудно установить, какие же ситуации
являются равновероятными. Пусть, например, мы ре-
шили перетасовать четыре карты — две красной мас-
ти и две черной — и разложить их в ряд картинкой
вниз. Выберем наугад две карты, скажем, положив
на каждую из них по монетке. Какова вероятность
того, что обе эти карты окажутся одного цвета?
Один человек рассуждает так: «У нас имеются
три равновероятные ситуации. Либо две карты имеют
черную масть, либо красную, либо они разного цве-
та. В первых двух случаях они совпадают по цвету
друг с другом и, следовательно, вероятность совпаде-
ния цвета равна 2/з».
«Нет, — возражает его оппонент,— мы имеем че-
тыре равновероятных случая. Либо обе карты чер-
ной масти, либо обе красной масти, либо карта х
черная, а карта у красная, либо, наконец, х красная,
а у черная. Попросту говоря, карты или совпадают
по цвету, или нет. Поэтому, что бы мы ни говорили,
вероятность совпадения будет равна 72».
На самом деле оба они ошибаются. (Правиль-
ное значение вероятности приведено в разделе «От-
веты». Сумеет ли читатель вычислить его?) Ошиб-
ки здесь возникают из-за невозможности распознать
равновероятные ситуации. Существуют, однако, еще
более каверзные парадоксы — скорее даже заблуж-
дения,— в которых, судя по всему, интуитивно
3*
67
используется принцип индифферентности, в то время
как в действительности он приводит нас прямо к ло-
гическому противоречию. Такого рода ситуации воз-
никают тогда, когда не имеется веских оснований
считать все п событий равновероятными, и, следова-
тельно, предположение о равновероятности полностью
или почти полностью основывается на нашей неосве-
домленности.
Например, пусть кто-нибудь говорит вам: «В со-
седней комнате имеется куб, размеры которого вы-
браны случайным образом. Длина ребра этого куба
составляет более одного фута, но не превышает три
фута». Как оценить вероятность того, что длина куба
заключается между одним и двумя футами, по срав-
нению с вероятностью того, что она окажется между
двумя и тремя футами? Если у нас нет никакой до-
полнительной информации, разве не логично будет
воспользоваться принципом индифферентности и по-
ложить каждую из этих вероятностей равной 7г?
Оказывается, нет. Если длина ребер куба заклю-
чена между одним и двумя футами, то его объем
изменяется соответственно в пределах от одного (I3)
до восьми (23) кубических футов. В интервале же
длин ребер от двух до трех футов объем куба бу-
дет изменяться в пределах от восьми (23) до двадца-
ти семи (З3) кубических футов, т. е. в диапазоне поч-
ти в три раза больше, чем в предыдущем случае.
Если воспользоваться теперь принципом индиффе-
рентности для обоих интервалов изменения длин
ребер, то он окажется нарушенным на эквивалентных
интервалах изменения объемов. Поскольку нам не
известно, как именно (случайным образом) задава-
лись размеры куба, и поскольку сам термин «разме-
ры» допускает различное толкование (он может озна-
чать как длину ребра куба, так и его объем), то,
следовательно, у нас нет никакой информации, кото-
>рая позволила бы нам четко обосновать то или иное
предположение. Если выбирать случайным образом
длину ребра, то в данном случае мы действительно
можем воспользоваться принципом индифферентно-
сти. Его можно применить также, если вам сообщили,
что случайным образом задавался объем куба, но,
естественно, при этом вам необходимо соотнести ве-
роятность, равную 72, с каждым из двух интервал
68
лов от I до 14 и от 14 до 27 кубических футов, а
также с соответствующими интервалами изменения
длины ребра. Если же воспользоваться принципом
индифферентности по отношению к длине ребра, то
его нельзя, не входя в противоречие, применить для
объема куба, и наоборот. Но поскольку нам не из-
вестно заранее, как выбирались размеры куба, то
применение этого принципа в любом случае оказыва-
ется лишенным всякого смысла.
Обсуждая некритичное использование этого прин-
ципа в книге Г. Джеффри «Теория вероятности» *,
Карнап приводит следующий пример неправильного
его применения. Пусть вам известно, что в урне на-
ходятся шары синего, красного и желтого цветов,
однако вы не знаете, сколько там шаров каждого
цвета. Какова вероятность того, что первый вынутый
из урны шар окажется синим? Используя принцип
индифферентности, можно утверждать, что эта ве-
роятность равна 72. Вероятность того, что вынутый
шар не является синим, также должна равняться
7г. Если же шар не синий, то он должен быть
красным или желтым, а поскольку вам ничего не из-
вестно о количестве красных или желтых шаров в
урне, то оба этих цвета представляются одинаково
вероятными. Следовательно, вы должны приписать
красному цвету вероятность, равную 74. Но, с другой
стороны, если начать с вопроса о вероятности
того, что первый вынутый шар окажется красным, то
вероятность появления красного шара нужно взять
равной г/2, а голубого — 1/ау что противоречит на-
шим предыдущим оценкам.
Аналогичным образом легко доказать, что на Мар-
се существует жизнь. В самом деле, какова вероят-
ность того, что на Марсе есть растительность? По-
скольку аргументы за и против обладают примерно
одинаковой убедительностью, ответом будет 7г. Да-
лее, какова вероятность того, что на Марсе имеется
животный мир? Снова 7г- Теперь же мы вынужде-
ны утверждать, что вероятность наличия на Марсе
«растительной или животной жизни» равна 1/2 +
+ 72 = 1, т. е. является несомненным фактом, что,
конечно, представляет собой абсурд. Философ Ч. Пирс
* ЛеНгеу Н. ТЬеогу о! РгоЪаЫШу.
69
приводил аналогичное вышепривеЖенному доказатель-
ство, согласно которому волосы обитателей Сатурна
могут быть сразу двух различных цветов. Множество
вариантов этого софизма можно найти в гл. 4 выше-
упомянутой книги Кейнса. Легко привести примеры и
других подобных заблуждений.
В истории метафизики наиболее известное непра-
вильное применение указанного принципа связано, не-
сомненно, с именем одного из первых исследователей
теории вероятностей — французского ученого Блеза
Паскаля, который использовал этот принцип в одном
из своих рассуждений, получившем впоследствии из-
вестность как «пари Паскаля». Стоит процитировать
здесь несколько отрывков из оригинальных, хотя и
несколько многословных рассуждений автора (Пас-
каль, «Мысли», № 233):
«Бог есть или его нет?». Но как решить этот во-
прос? Разум нам тут не помощник: между нами и
богом — бесконечность хаоса. Где-то на краю этой
бесконечности идет игра — что выпадет, орел или
решка. На что вы поставите? Если слушаться разу-
ма — ни на то, ни на другое; если слушаться разума,
ответа быть не может.
Да, но не играть нельзя... На что же вы постави-
те? ... Давайте взвесим наш возможный выигрыш или
проигрыш, если вы поставите на орла, то есть на
бога. Выиграв, вы обретете все, проиграв, не по-
теряете ничего. Ставьте же, не колеблясь, на
бога».
В одном из своих писем лорд Байрон эффектно
перефразировал доводы Паскаля: «Безусловно, твер-
до верующие в Евангелие обладают огромным пре-
имуществом перед всеми остальными людьми по той
простой причине, что если оно истинно, то эти люди
будут вознаграждены в будущем. Если же это буду-
щее не осуществится, то они, исключая атеистов с их
вечным сном, смогли бы на протяжении всей сво-
ей жизни, не страшась последующих разочарований,
опираться на некую возвышенную надежду, поскольку
(в самом худшем для них случае) из ничего также
ничего возникнуть не может, не исключая даже
скорбь». Аналогичные рассуждения можно отыскать
и во многих современных книгах, посвященных рели-
гиозной апологетике,
70
Паскаль был не первым, кто подобным образом
пришел к выводу, что вера в христианскую ортодок-
сию является делом беспроигрышным. Аналогичные
доводы впервые были четко сформулированы еще в
IV в. африканским священником Арнобием Старшим,
а их нехристианские формы восходят еще к Платону,
Я ограничусь здесь лишь упоминанием замечания
Дени Дидро о том, что такого рода пари с одина-
ковым успехом приложимо и к другим главенствую-
щим религиям, например, к исламу. Наиболее инте-
ресным моментом всего этого с чисто математической
точки зрения является то обстоятельство, что исход
своего пари Паскаль уподобляет обычному подбрасы-
ванию монеты. Другими словами, он совершенно не-
прикрыто пользуется принципом индифферентности в
ситуации, когда его применение является математи-
чески бессодержательным.
В наши дни наиболее тонкая формулировка пари
Паскаля приведена в эссе Уильяма Джеймса «Стре-
мление к вере» *, в котором он доказывает, что в
подобного рода игре философский теизм является
более выигрышной ставкой, нежели атеизм. В не-
сколько сглаженной форме ее используют порой даже
гуманисты для защиты от пессимистических взглядов
как раз в тот момент, когда вымирание человеческой
расы в ближайшем будущем представляется столь же
вероятным исходом, как и возможность ее выживания.
«Если существует хоть малейший шанс, что мир
выпутается из всех своих забот,— отмечает рассказ-
чик в малоизвестном романе Г. Уэллса «Кстати о
Долорес»**,— то каждый разумный человек обязан,
по-моему, поступать так, как если бы он был в этом
абсолютно убежден. Если бы даже в конце концов
ваш жизнерадостный оптимизм оказался напрасным,
то ведь какое-то время вы были счастливы».
ОТВЕТЫ
Вероятность того, что две случайно взятые карты
из набора, состоящего из двух карт красной и двух
карт черной масти, окажутся одного цвета, равна
* ^тез XV. ТЬе \УШ *о ВеНеуе.
* \Уе11з Н. О. Аргороз о! Оо1огез.
71
7з. В самом деле, если составить список всех 24
равновероятных перестановок из четырех карт, то,
выбрав две любые позиции (например, вторую и чет-
вертую по счету карты), вы обнаружите 8 случаев,
когда карты будут соответствовать друг другу по
цвету. Для того чтобы убедиться, что эта вероятность
действительно составляет 8/24, или 7з, рассмотрим
одну из двух выбранных карт. Предположим, что она
красного цвета. Из оставшихся трех карт только одна
может оказаться красной, а значит, вероятность
того, что вторая из выбранных нами карт также
окажется красной, будет равна 7з. Конечно, то же
самое рассуждение применимо, если первая карта
является черной. Самое интересное, что большинство
людей считают, будто шансы в этом случае равны,
тогда как на самом деле они составляют два к од-
ному за то, что карты окажутся разных цветов.
ДОПОЛНЕНИЕ
В письме, полученном мной от С. Д. Тернера,
приведена следующая любопытная информация:
«Ваша история о двух черных и двух красных
картах напоминает мне игру, которую я придумал
несколько лет назад. Ее можно было бы назвать
игрой в монте * для случая N карт, и заключается
она в следующем. Сдающий показывает присутствую-
щим несколько карт, половина из которых красной
масти, а половина — черной, затем тасует их и рас-
кладывает карты лицевой стороной вниз. Если его
противник сумеет открыть подряд две карты одного
цвета, то он выиграет.
Преимущество при этом будет всегда на стороне
сдающего. Однако его партнер может ошибочно рас-
считать свои шансы (как, например, вероятности 2/з
или 7г в вашем примере с четырьмя картами) или
могут возникнуть какие-либо иные причины, и поэто-
му он все же решит принять участие в игре. Сдаю-
щий может еще более подчеркнуть равнозначность
ситуации, заявив, к примеру: «А знаете, друзья, ведь
вам даже не нужно указывать, что вы откроете
именно две черные или две красные карты. Стоит
* Монте — испанская карточная игра, — Прим. перев.
72
вам открыть просто пару карт одного цвета —и вы
выиграете!»
Вероятйость выбора двух карт одного и того же
цвета составляет
К*+Ч*-(К+Ч) т
упр — (К + Ч) (1( + ч _ 1}» ч;
где К — число карт красной масти, а Ч — число карт
черной масти.
Вычисления по этой формуле дают нам значения
вероятностей, приведенные в таблице: в верхней ее
части — в виде несократимых простых дробей, в ниж-
ней части — в виде десятичных дробей. Только ниже
и левее ступенчатой линии противник сдающего мо-
жет обеспечить себе равные или большие шансы на
выигрыш. Однако ни один сдающий нисколько не
обеспокоится, если шансы его противника окажутся
выше, чем вероятность !/з для задачи с 2 + 2 кар-
тами или вероятность 2/5 в случае задачи с 3 + 3
картами.
Самое удивительное состоит в том, что обе верх-
ние диагонали в таблице совпадают. Это значит, что
при использовании одинакового числа карт красной
и черной масти шансы игрока не меняются, если еще
до открытия двух карт вынуть из колоды одну карту!
В вашем примере с четырьмя (2 + 2) картами веро-
ятность выигрыша составляет 7з, причем она оста-
ется равной Уз, даже если исходить из 2 + 1 карт
(что очевидно, поскольку оставленная неперевернутой
карта может оказаться любой из этих трех карт).
Общность указанного принципа можно продемонстри-
ровать следующим образом: если положить в форму-
ле (1) Ч = К и Ч = К— 1, то в обоих случаях ре-
зультат окажется равным (К—1 )/(2/С—1)».
Несколько читателей прислали мне подробные
объяснения того, почему доводы, лежащие в основе
описанных мной заблуждений, являются неверными,
по-видимому, совершенно не представляя себе, что
все эти заблуждения использовались мною лишь как
иллюстрации неправильного применения принципа
индифферентности. Некоторые читатели правильно
подметили, что хотя Паскаль действительно пользо-
вался принципом индифферентности, связав свое из-
вестное пари с игрой в орлянку, сам этот принцип
73
Карты красной масти
13 26
3 Т
2.
з
5
7
15
7 1 И
4 18
29
45
_2
5
7
2
3
5
7
11
21
4
7
13
28
1
2
4
9
7
15
4
9
5
11
5
11
_8_
45
3]_
55
35
Л
33
Л
66
39
6
13
43_
91
_6_
13
_7_
15
7
15
13
26
2 0,333 0,333
3 0,500 0,400 0,400
4 0,600 0,466 0,429 0,429
5 0,667 0,524 0,465 0,444 0,444
6 0,714 0,572 0,500 0,467 0,455 0,455
7 0,750 0,611 0,533 0,491 0,470 0,462 0,462
8 0,778 0,645 0,564 0,515 0,488 0,472 0,466 0,466
Л
25
51
13
26
0,480
0,490
74
не играет существенной роли в его рассуждениях4
Так, Паскаль постулирует возможность получения
неограниченного преимущества при выигрыше пари,
в котором проигрыш (в рамках его предположений)
всегда оказывается конечным независимо от шан-
сов.
У фокусников нетранзитивные игральные кости,
изобретенные Эфроном, вызвали ничуть не меньший
интерес, чем среди математиков. Все быстро осознали,
что основная идея Эфрона легко обобщается на к
наборов из игральных костей с п сторонами, напри-
мер костей в виде правильных октаэдров, додекаэд-
ров, икосаэдров или цилиндров с п плоскими граня-
ми. Эту игру можно смоделировать также с помощью
к наборов из простых волчков с п плоскими гранями,
волчков с п числами на каждой плоской грани или
же комплектов из п игральных карт.
К. Фалвес в своем журнале-обозрении ТНе Рай-
Ъеагегз Яеъхею '(Лапиагу 1971) для моделирования
игральных костей Эфрона предложил использовать
следующие четыре набора игральных карт: 2, 3, 4,
10, В, Д; 1, 2, 8, 9, 9, 10; 6, 6, 7, 7, 8, 8, и 4, 5, 5, 6,
Д, К. Масти карт при этом не имеют значения. Пер-
вый игрок выбирает себе один из наборов карт,
тасует их и вытаскивает одну карту. Второй
игрок проделывает то же самое с другим набором
карт. Если выбранные карты оказываются равными
по старшинству, то игроки откладывают их и тянут,
две новые карты. Туз в данном случае является са^
мой младшей картой, а выигрывает более старшая
карта. Эта игра основывается на использовании треть-
его набора игральных костей Эфрона, для которого
вероятность выигрыша в случае правильного выбора
кости вторым игроком составляет п/17. Для того
чтобы не раскрыть случайно секрет циклической по-
следовательности этих наборов карт, каждый из них
можно поместить в какой-либо закрытый контейнер
(коробку, вазу и т. д.), причем все эти контейнеры
соответствующим образом секретно маркируются.
Перед каждым коном второй игрок поворачивается
спиной, пока первый игрок произвольным образом
перемешивает контейнеры. Понятно, что наборы карт
можно заменить контейнерами с соответствующим
75
образом перенумерованными шариками или фиш-
ками.
В том же выпуске ТНе РаИЬеагегз Цеъгею уче-
ный-физик из Колумбийского университета Ш. Куим-
би предложила еще один набор из четырех играль-
ных костей со следующей нумерацией на гранях;
3. 4. 5, 20. 21, 22;
1, 2. 16. 17. 18. 19;
10. И, 12. 13. 14. 151
6, 7, 8, 9, 23, 24.
Отметим, что в этой изящной схеме числа от I
до 24 повторяются лишь по одному разу. Такие
игральные кости обеспечивают второму игроку веро-
ятность выигрыша, равную 2/з. Если использовать
вместо игральных костей 24 перенумерованные карты,
то игра будет происходить так: первый игрок выби-
рает один из четырех наборов карт, тасует их и за-
тем открывает одну карту. Второй игрок, действуя
точно так же, в свою очередь тоже открывает карту,
причем старшая карта выигрывает.
Р. Чень из Университета города Бат в Англии
предложил оригинальный вариант этой задачи с ис-
пользованием одной игральной кости. На каждой ее
грани имеются цифры от 1 до 6, причем каждая
цифра нарисована разным цветом. Предположим, что
используются следующие цвета спектра: красный,
оранжевый, желтый, зеленый, синий и фиолетовый.
Из приведенной ниже таблицы видно, какого цвета
должны быть цифры на каждой грани.
Грань Красный Оранжевый Желтый Зеленый Синий Фиолетовый
А
В
С
Б
Е
Р
1
6
5
4
3
2
2
1
6
5
4
3
3
2
1
6
5
4
4
3
2
1
6
5
5
4
3
2
1
6
6
5
4
3
2
1
Игра проводится по следующей схеме. Первый
игрок выбирает себе какой-либо цвет, после чего вто-
рой игрок выбирает себе некоторый другой цвет. За-
тем игроки бросают кость, причем игрок, у которого
76
цифра выбранного им цвета оказывается больше, вы-
игрывает. Из приведенной таблицы легко видеть, что
если второй игрок выбирает себе цвет, лежащий спра-
ва,— данная последовательность цветов является ци-
клической, причем красный цвет считается лежащим
«справа» от фиолетового, — то этот второй игрок вы-
игрывает пять раз из шести. Другими словами, шансы
на выигрыш у него оказываются равными 5 к 1 в его
пользу!
Для того чтобы не раскрыть секрет последователь-
ности цветов, второй игрок время от времени должен
выбирать, к примеру, второй справа цвет, для кото-
рого его шансы на выигрыш составят 4 к 2, или же
цвет, лежащий справа третьим, для которого шансы
игроков равны. Быть может, ему следует даже из-
редка выбирать цвета, лежащие справа четвертым
или пятым, — для этих цветов его шансы проиграть
оказываются равными 4 к 2 и 5 к 1 соответственно-
В другом варианте этой игры разноцветные цифры
наносят не на куб, а на продолговатый шестигран-
ный брусок.
Указанную ситуацию можно легко смоделировать
также с помощью 36 карт, разложенных на 6 кучек,
причем на каждой карте различным цветом должна
быть нарисована какая-либо цифра. Расположение
цифр на картах в данном случае очевидно и легко
распространяется на случай п2 карт, на которых с
помощью п различных цветов написаны числа от I
до л. Для того чтобы использовать их в игре со став-
ками, вам прежде всего нужно произвольно разло-
жить карты из каждой кучки лицевой стороной
вверх, с тем чтобы окружающие могли убедиться, что
на картах представлены все 6 чисел и все 6 цве-
тов. Затем карты каждой кучки тасуют и складыва-
ют лицевой стороной вниз. Первому игроку «велико-
душно» предоставляют право самому выбрать цвет
и одновременно указать ту или иную кучку. При этом
выигравшим считается тот игрок, у кого цифра вы-
бранного им цвета на карте из данной кучки оказы-
вается наибольшей. В общем случае второй игрок
всегда может выбрать кучку, которая обеспечит ему
вероятность выигрыша, равную (п—1)/п.
В упрощенном варианте этой игры используется
«16 игральных карт, При этом кучки должны быть
77
такими **
ТП, ВЧ, ДТ, КБ
КП, ТЧ, ВТ, ДБ
ДП, КЧ, ТТ, ВБ
ВП, ДЧ, КТ, ТБ
Туз является в данном случае старшей картой, а
циклическая последовательность мастей такова — пи-
ки, черви, трефы, бубны. При этом шансы второго
игрока на выигрыш составляют 3 к 1, если он вы-
бирает следующую по порядку масть, или же ока-
зываются равными, если он перескакивает через одну
масть.
Все описанные выше игры с вероятностным исхо-
дом представляют собой варианты парадоксов с не-
транзитивным выбором, которым посвящена обшир-
ная литература.
ГЛАВА 6
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАБЛУЖДЕНИЯ
— Холмс! — воскликнул я. — Это не-
вероятно!
— Браво1 — сказал он.— Вывод ис-
черпывающий. В моем изложении
события выглядят невероятно — сле-
довательно, где-то я допустил ошиб-
ку...
Артур Конан Дойль.
Случай в интернате.
Принято считать, что древнегреческий геометр Ев-
клид создал лишь одну книгу — свои классические
«Начала», На самом же деле он написал по крайней
мере еще дюжину книг, включая трактаты по музыке
* Первая буква означает достоинство карты (туз, король,
дама, валет), вторая«?масть (пики, черви, трефы и бубны).
78
и различным разделам физики, однако до нашего
времени сохранилось лишь пять его работ. Одна из
его невозвратно потерянных книг представляла собой
собрание геометрических заблуждений под названием
«Рзеийапаъ («О ложных заключениях»), К сожале-
нию, не осталось никаких свидетельств о том, что же
входило в эту книгу. По-видимому, в ней обсужда-
лись различного рода неверные доказательства, кото-
рые приводили к абсурдным теоремам, однако ошиб-
ки в этих доказательствах представлялись на первый
взгляд вовсе не очевидными.
Со времен Евклида были опубликованы сотни лю-
бопытных примеров геометрических заблуждений —
одни из них представляли собой искренние ошибки,
в других случаях обман совершался вполне созна-
тельно. На этот раз мы рассмотрим пять наиболее
интересных из них. Все они представляют собой тео-
ремы, которые вполне могли бы входить в евклидо-
вы «Рзеийапа», поскольку, для того чтобы просле-
дить эти доказательства вплоть до окончательного
ложного заключения, не требуется ничего, кроме зна-
ния некоторых элементарных сведений из планимет-
рии. Предполагается также, что читатель, прежде чем
просто разобрать ошибку в разделе «Ответы», вни-
мательно, шаг за шагом, проанализирует каждое до-
казательство, дабы убедиться, сумеет ли он точно
распознать, в каком месте это доказательство отхо-
дит от правильного пути.
Теорема 1. Тупой угол иногда равен прямому углу.
Это «доказательство» страшно нравилось Льюису
Кэрролу. На рис. 20, а воспроизведены чертеж Кэр-
рола и введенные им обозначения. На мой взгляд,
для школьного преподавателя геометрии не сущест-
вует лучшего способа подчеркнуть важность строгих
дедуктивных рассуждений, чем нарисовать эту кар-
тинку на доске и попытаться, чтобы ученики сами
обнаружили, в чем состоит ошибочность данного до-
казательства. Геометрические построения и само до-
казательство описываются Кэрролом следующим об-
разом (я заимствую их из книги «Льюис Кэррол в
картинках» *, изданной в 1899 г. и переизданной в
• ТЬе Ьечапз СаггоИ Рк1иге Воок, — Ьопёоп, 1899.
79
Рис. 20. Тупой угол равен прямому углу (а).
Всякий треугольник — равнобедренный (б).
Четырехугольник АВСй есть параллелограмм (в).
1961 г. под названием «Развлечения и курьезы Льюи-
са Кэррола»*):
«Предположим, что фигура АВСй есть квадрат.
Разделим отрезок АВ пополам и проведем через точ-
ку деления Е прямую ЕР перпендикулярно отрезку
АВ. Эта прямая пересечет противоположную сторону
квадрата йС в некоторой точке Р. При этом
йР = РС.
Из вершины С отложим отрезок ССУ равный СВ.
Соединим точки А и С прямой линией и разделим
отрезок АС пополам точкой Н. Затем из точки Н
проведем прямую НК перпендикулярно к отрез-
ку АС.
Поскольку отрезки АВ и АС не параллельны, то,
значит, прямые ЕР и НК также не являются парал-
лельными. Следовательно, при продолжении прямой
ЕР они пересекутся в некоторой точке К. Соединим
теперь точку К с точками О, Л, О и С.
Треугольники КАН и КСН равны между собой,
поскольку они имеют общую сторону НК, АН = НС,
а углы при вершине Н прямые. Следовательно,
КА = КС.
Треугольники КОР и КСР также равны между
собой, поскольку они имеют общую сторону РК,
ИР = РС, а углы при вершине Р прямые. Следова-
тельно, Кй = КС и угол КОС равен углу КСй.
* 01уегзюп5 апё О^геззюпз о! Ьешз СаггоН. — Ьоп<1о1^
1961.
80
Кроме того, ОА=*СВ = СО.
Таким образом, стороны треугольников КйА и
КСО равны между собой. Значит, углы КйА и КСО
равны. Вычтем теперь из них равные углы КОС и
КСО. Очевидно, что разности их также будут равны
друг другу, т. е. угол ОСО = углу АйС. Но угол ОСО
представляет собой тупой угол, а угол ЛОС — пря-
мой.
Следовательно, иногда тупой угол = прямому
углу, что и требовалось доказать и что так далеко от
истины.
Теорема 2. Все треугольники — равнобедренные. Эта
изящная нелепость также приведена в книге «Льюис
Кэррол в картинках». По всей вероятности, Кэррол
наткнулся на оба этих доказательства в первом изда-
нии книги У. Болла «Математические эссе и развле-
чения» *, где они появились, по-видимому, впервые.
Объяснения Кэррола настолько конкретны и четки,
что я вновь воспроизведу его чертеж (рис. 20,6) и
процитирую его слова:
«Пусть ЛВС — некоторый произвольный треуголь-
ник. Разделим его основание ВС пополам и из точ-
ки деления й проведем прямую ОЕ, перпендикуляр-
ную ВС. Разделим теперь угол ВАС пополам.
1) Если биссектриса этого угла не пересекается с
прямой ОЕ, то, значит, они параллельны. Поэтому
биссектриса будет перпендикулярна к основанию ВС.
Следовательно, АВ=АС, т. е. треугольник Л5С —
равнобедренный.
2) Пусть биссектриса угла ВАС пересекается с
прямой ВЕ. Обозначим точку их пересечения через
Р. Соединим точку Р с точками В и С и проведем
из Р прямые РС и РН, перпендикулярные сторонам
АС и А В соответственно.
Треугольники АРС и АРН будут при этом равны,
так как они имеют общую сторону АР, а углы РАО
и АОР равны углам РАН и АН Р. Следовательно
АН = АОиРН = РО.
Треугольники ВОР и СйР также равны между
собой, поскольку сторона БР у них общая, а углы
при вершине В равны. Поэтому РВ = РС.
* Ва11 \У. Ш, К. Ма1Ьета11са1 КесгеаНопз апс1 Еззауз,—
Д892,
81
Кроме того, треугольни-
ки РНВ и РОС — прямо-
угольные. Следовательно,
площадь квадрата, постро-
енного на РВ, равна сумме
площадей квадратов, по-
строенных на РН и НВ. Точ-
но так же площадь квадра-
та, построенного на РС,
равна сумме площадей квад-
ратов, построенных на РО
в и ОС. Но РВ = РС и РН =
Рис. 21. Число я равно 2. = РО, и, следовательно,
площадь квадрата, по-
строенного на НВ, равна площади квадрата, постро-
енного на ОС. Значит, НВ = ОС. С другой стороны,
ранее было доказано, что АН = АО. Следовательно,
АВ=АС, т. е. треугольник ЛВС — равнобедренный.
Таким образом, треугольник АВС в любом случае
оказывается равнобедренным, что и требовалось до-
казать» (и что так далеко от истины).
Теорема 3. Если в четырехугольнике АВСО угол А ра-
вен углу С, а сторона АВ равна стороне АС, то
данный четырехугольник — параллелограмм. П. Хол-
ей опубликовал хитроумное «доказательство» этого
утверждения в лондонской ТНе Ма1НетаИса1 СагеНе,
р. 200—205 (Ос1оЬег 1959). В четырехугольнике на
рис. 20, в, проведем прямую ВХ, перпендикуляр-
ную Л/), и прямую /)У, перпендикулярную ВС. Со-
единим прямой точки В и О. Треугольники АВХ и
СУй конгруэнтны, а значит, отрезок ВХ равен отрез-
ку йУ, а отрезок ЛХ —отрезку СУ. Отсюда следует,
что треугольники ВХО и ОУВ конгруэнтны и, сле-
довательно, ХО = У В. Но поскольку сторона АВ рав-
на стороне Си, а сторона АО — стороне ВС, то че-
тырехугольник АВСО должен быть параллелограмом.
Приведенное доказательство выглядит весьма убеди-
тельно, и все же исходная теорема явно неверна. Су-
меет ли читатель предложить какой-нибудь контр-
пример?
Теорема 4. Число я равно 2. Геометрические построе-
ния на рис. 21 основаны на использовании известного
в странах Востока символа «инь и янь». Пусть диа-
метр АВ изображенного на рисунке круга равен 2.
82
Поскольку длина окружности есть произведение диа-
метра на число я, то длина наибольшей полуокруж-
ности от точки А до точки В составит 2я/2 = я«
Длина каждой из двух следующих меньших полу-
окружностей, образующих волнистую линию, которая
отделяет женское начало «инь» от мужского начала
«янь», равна я/2, так что их суммарная длина со-
ставляет я. Аналогичным образом сумма длин сле-
дующих по малости четырех полуокружностей (дли-
на каждой из них равна я/4) будет равняться я, точ-
но так же как и сумма последующих 8 более мел-
ких полуокружностей (длина каждой из них равна
я/8). Этот процесс можно продолжать бесконечно.
Полуокружности будут становиться все меньше, чис-
ло их будет неограниченно возрастать, однако сумма
длин этих полуокружностей всегда будет оставаться
равной я. Ясно, что в пределе волнистая линия стре-
мится к диаметру АВ. Предположим теперь, что по-
добное построение проводится бесконечное число раз.
При этом волнистая линия всегда должна сохранять
свою длину, равную я. В то же время если радиусы
полуокружностей стремятся к нулю, то в конце кон-
цов эти полуокружности совпадут с диаметром АВ,
длина которого равна 2. Следовательно, я равно 2,
Теорема 5. Евклидов постулат о параллельности мож-
но доказать с помощью других аксиом Евклида. Пре-
жде всего немного истории. Среди 10 аксиом Евкли-
да наибольшую известность получил так называемый
пятый постулат, в котором утверждается, что если
прямая А пересекает две другие прямые и сумма
внутренних углов, прилежащих к Л, меньше 180°, то
эти две прямые пересекутся с той стороны Л, где
это имеет место. Данную аксиому можно заме-
нить целым рядом других, на первый взгляд не свя-
занных друг с другом теорем, поскольку все они тре-
буют для своего доказательства использования именно
пятого постулата,—например, теоремой о том, что
сумма внутренних углов треугольника равна 180°,
теоремой о существовании прямоугольников или по-
добных неконгруэнтных треугольников, теоремой о
том, что через три точки, не лежащие на одной пря-
мой, можно провести только одну окружность, и мно-
жеством других,
83
Со времен Евклида предпринимались сотни по-
пыток заменить громоздкий пятый постулат каким-
либо более простым и интуитивно более очевидным
утверждением. Наиболее известной попыткой такого
рода оказался так называемый «Плейферов посту-
лат», названный так по имени шотландского матема-
тика и физика Джона Плейфера. В выпущенном им
в 1795 г. издании «Начал» Евклида он заменил пя-
тый постулат эквивалентным, но более кратким ут-
верждением: «Через точку, не лежащую на некоторой
прямой, можно провести лишь одну прямую, парал-
лельную данной». Фактически эту форму пятого
постулата предлагал еще Прокл, один из греческих
комментаторов «Начал», живший в V в., а позднее
и другие математики, предшественники Плейфера, но
все же постулат о параллельности вошел в науку под
его именем.
В какой бы форме мы ни брали пятый постулат,
он всегда представлялся исследователям менее оче-
видным по сравнению с другими аксиомами Евклида.
Многие знаменитые математики прилагали титаниче-
ские усилия, чтобы полностью исключить его из рас-
смотрения, пытаясь доказать этот постулат с помощью
остальных девяти аксиом. Прекрасным обзором этих
попыток является книга У. Фрэнклэнда «Теории па-
раллельности. Исторический обзор» *. Французский
геометр XVIII в. Жозеф Луи Лагранж был убежден,
что ему удалось разработать такое доказательство,
продемонстрировав (без использования евклидова
пятого постулата), что сумма углов любого треуголь-
ника равна двум прямым. Но однажды в самом на-
чале одной из лекций во Французской академии на-
ук, где он рассказывал о своем открытии, Лагранж
внезапно оборвал себя на полуслове, пробормотав:
«И 1аи1 цие ]му зопде епсоге» («Мне надо обду-
мать это еще раз»), потом собрал свои бумаги и
стремительно покинул зал заседаний.
Более столетия назад было установлено, что до-
казать пятый постулат так же невозможно, как ре-
шить задачи о трисекции угла, квадратуре круга или
удвоении куба, хотя даже в нынешнем столетии «до-
* РгапЫапс! \У. В. ТЬеопез о! РагаНеНзт; а ШзЬпса!
СгШяие. — СатЬгШ^е Уп^егзНу Ргезз, 1910.
84
казательства» аксиомы ^
параллельных продолжа-
ли появляться на страни-
цах научных публикаций.
Блестящим примером в
этом смысле является
книга «Евклид или Эйн-
штейн», которую в свое
время издал на собствен- А О В
НЫе средства Дж. Дж. Рис. 22. Доказательство по-
Каллахэн *, президент стулата о параллельных.
Университета в Дьюкесне.
Поскольку общая теория относительности предпола-
гает непротиворечивость неевклидовой геометрии, то
простейший способ опровергнуть Эйнштейна заклю-
чается в том, чтобы показать, будто неевклидова гео-
метрия является внутренне противоречивой. Каллахэн
попытался сделать это с помощью несколько громозд-
кого, но остроумного доказательства постулата о па-
раллельности. Интересно проследить за рассужде-
ниями Каллахэна, с тем чтобы установить, где кроет-
ся ошибка в его доказательстве. Тех, кто не захочет
этого делать, мы отсылаем к статье Д. Уорда**, где
подробно разобрана эта ошибка.
Простое доказательство постулата о параллель-
ных представлено на рис. 22. Пусть АВ — заданная
прямая, а С — не принадлежащая этой прямой точка.
Опустим из С перпендикуляр на прямую АВ. Легко
показать, без привлечения постулата о параллель-
ных, что такой перпендикуляр можно провести толь-
ко один. Проведем теперь через точку С прямую ЕР,
перпендикулярную Си. В этом случае точно так же,
чтобы доказать, что такая линия единственна, нет
необходимости использовать постулат о параллельных.
Далее, прямые ЕР и АВ параллельны между собой.
Здесь опять-таки теорема о том, что две прямые,
каждая из которых перпендикулярна одной и той же
прямой, параллельны между собой, представляет со-
бой теорему, которую можно доказать без привлече-
ния постулата о параллельных, хотя такое доказатель-
* СаИаКеп ,1. ,1. Еис1М ог Етз1ет.— 1931.
** Мага* О. Р. А №\у АПетр* 1о Ргоуе 1Ье Рага11е1 Ро$1и-
Ые,— ТНе Ма(НетаИса1 СагеНе, V. 17, Мау 1933, р. 101—104.
85
ство все же потребует использования других предпо-
ложений Евклида (например, что прямые линии име-
ют бесконечную длину), которые не имеют места в
эллиптической неевклидовой геометрии. В эллиптиче-
ской геометрии понятие параллельных прямых отсут-
ствует, однако в случае задания других евклидовых
допущений существование таких параллельных линий
все-таки можно предположить.
Итак, доказали мы постулат о параллельных?
Или нет?
Это и сотни других ошибочных доказательств пя-
того постулата Евклида или эквивалентных ему акси-
ом показывают, как легко может обманываться че-
ловеческая интуиция. Они помогают понять, почему
геометрам понадобилось столько времени, чтобы осо-
знать независимость постулата о параллельных от
других аксиом геометрии, а также чтобы допустить
возможность, что через произвольную точку либо во-
обще нельзя провести прямую, параллельную данной,
либо можно провести по крайней мере две такие
прямые. (При этом оказывается, что если мы можем
провести через какую-либо точку две прямые, парал-
лельные данной, то тем самым мы можем провести
и бесчисленное множество таких прямых.) В любом
из этих случаев можно построить непротиворечивую
неевклидову геометрию.
Даже после того как было установлено, что не-
евклидовы геометрии, точно так же как и геометрия
Евклида, свободны от логических противоречий, мно-
гие выдающиеся математики и естествоиспытатели
долго продолжали считать, что неевклидова геомет-
рия вряд ли найдет какое-либо практическое приме-
нение в окружающем нас мире. Хорошо известно, что
в 1903 г. Анри Пуанкаре утверждал, что даже если
бы физики обнаружили какие-либо эксперименталь-
ные доказательства неевклидовости окружающего
нас пространства, все же было бы лучше сохранить
евклидову геометрию, соответствующим образом из-
менив физические законы. «Таким образом, у евкли-
довой геометрии,— заключал он,— нет оснований бо-
яться новых экспериментов». Менее известен тот
факт, что Бертран Рассел и Альфред Уайтхед в свое
время высказывали аналогичную точку зрения*
В одиннадцатом издании «Британской энциклопедии»,
86
вышедшем в свет в 1910 г., имеется статья «Геомет-
рия, неевклидова», написанная Расселом и Уайтхе-
дом. Если данные научных наблюдений в какой-либо
момент войдут в противоречие с геометрией Евклида,
утверждали они, то простота евклидовой геометрии
представляется настолько поразительной, что, по-ви-
димому, будет более разумным «приписать эту анома-
лию не ошибочности евклидовой геометрии (по
отношению к окружающему пространству), а скорее
ошибочности обсуждаемых законов. Особенно это от-
носится к астрономии».
Шесть лет спустя предложенная Эйнштейном об-
щая теория относительности сделала это заявление,
точно так же как и утверждение Пуанкаре, безнадеж-
но наивным. Неевклидова геометрия не только обес-
печивает более простое описание пространства—вре-
мени в общей теории относительности; можно допус-
тить даже, что пространство замыкается само на себя
(как это имеет место в первоначальной модели Все-
ленной, предложенной Эйнштейном), что позволяет
ввести такие его топологические характеристики, ко-
торые в принципе поддаются измерениям и для ко-
торых выбор неевклидовой геометрии оказывается не
просто тривиальным переходом к новым условным
обозначениям.
Впоследствии Рассел поспешил изменить свое мне-
ние, опубликованное в «Британской энциклопедии», в
то время как Уайтхед не сразу воспринял «овую для
него точку зрения. В 1922 г. он опубликовал несколь-
ко необычную и не очень последовательную книгу
«Принцип относительности» *, в которой обрушился
на использование Эйнштейном обобщенной неевкли-
довой геометрии (в ней кривизна пространства меня-
ется от точки к точке), утверждая, будто принцип
простоты требует, чтобы геометрия, используемая для
описания пространства, была либо евклидовой (как
считал сам Уайтхед), либо, если возникнут соответ-
ствующие основания, неевклидовой, но такой, в ко-
торой кривизна пространства всюду остается посто-
янной.
Какой же урок мы можем извлечь из всего этого?
Человеческая интуиция является мощным инструмен-
* №Ы1еЬеа<1 А, ТЫ РппЫр1е о* Ке1а1ш1у. —1922,
87
том исследований в математике и других естествен-
ных науках, однако ей не всегда можно доверять.
Структура нашей Вселенной, да и сама чистая мате-
матика как наука гораздо более неожиданны и уди-
вительны, чем могут представить себе даже самые
выдающиеся математики или физики,
ОТВЕТЫ
Ошибки в приведенных выше геометрических до-
казательствах кратко можно пояснить следующим
образом.
Теорема 1. Тупой угол иногда равен прямому углу.
Ошибка здесь заключается в определении местополо-
жения точки /С. Если аккуратно построить чертеж,
то точка К будет лежать гораздо ниже прямой /)С,
так что когда мы соединим точки О и /С, то линия
ОК окажется целиком лежащей вне исходного ква-
драта АВСБ. Это делает приведенное доказательство
полностью неприемлемым.
Теорема 2. Все треугольники — равнобедренные.
И здесь ошибка заключается в построении. Точка Р
всегда будет лежать вне треугольника, причем таким
образом, что когда мы опустим из нее перпендикуля-
ры на стороны АВ и Л С, то один из этих перпенди-
куляров пересечет одну сторону треугольника, а вто-
рой будет пересекать лишь продолжение другой сто-
роны. Детальный анализ этого заблуждения можно
найти в гл. 6 книги Ю. Нортропа «Математические
загадки» *.
Теорема 3. Если в четырехугольнике АВСй угол А
равен углу С, а сторона АВ равна стороне СО, то
данный четырехугольник — параллелограмм. Доказа-
тельство будет справедливым, если обе точки X и У
лежат на сторонах четырехугольника или если обе
они располагаются на продолжениях этих сторон.
В случае же когда одна из точек лежит на одной
стороне четырехугольника, а другая — на продолже-
нии соответствующей стороны, доказательство стано-
вится неверным (рис. 23). Тем самым очевидно, что
построенная фигура отвечает условиям теоремы, од-
нако не является параллелограммом.
* ЫогШгор Е. Р. ШсЗсИез т МаШетайсз. — 1944.
88
Теорема 4. Число я рав-
но 2. Действительно, по
мере того как полуокруж-
ности становятся все
меньше и меньше, их ра-
диусы в пределе будут
стремиться к нулю и, сле-
довательно, при желании
волнистую линию можно
сделать как угодно близ-
кой к диаметру большого
круга. Однако ни на ка-
ком шаге наши полуок- Рис, 23. Контрпример к тео-
ружности не меняют своей реме о четырехугольнике,
формы. А поскольку они
всегда остаются полуокружностями, то какими бы
маленькими они ни стали, их суммарная длина всегда
будет равняться я. Это заблуждение является пре-
восходным примером того факта, что элементы схо-
дящегося бесконечного ряда могут обладать свой-
ствами, существенно отличающимися от свойств сум-
мы этого ряда.
Теорема б. Евклидов постулат о параллельных мож-
но доказать с помощью других аксиом Евклида. До-
казательство будет справедливым, если мы хотим по-
казать, что через точку С можно провести хотя бы
одну прямую, параллельную прямой АВ, однако оно
вовсе не утверждает, что имеется только одна такая
прямая. Существует множество других методов, по-
зволяющих провести через точку С прямую, парал-
лельную данной; однако приведенное доказательство
вовсе не гарантирует, что все эти параллельные
прямые представляют собой одну и ту же прямую-
В самом деле, в гиперболической неевклидовой гео-
метрии через точку С можно провести бесконечное
множество таких параллельных прямых — возмож-
ность, которая сразу исключается, если ввести пятый
постулат Евклида либо эквивалентную ему аксиому.
Если же наряду с пятым постулатом отказаться еще
и от некоторых других допущений Евклида, то мы
приходим к эллиптической неевклидовой геометрии,
в которой через точку С нельзя провести ни одной
прямой, параллельной данной,
89
ГЛАВА 7
КОМБИНАТОРИКА СКЛАДЫВАНИЯ
БУМАГИ
Самый простой способ заново сло-
жить дорожную карту — это сло-
жить ее по-другому.
Из дорожных правил Джоунса
В современной комбинаторике одна из самых не-
обычных задач, которая продолжает обманывать на-
дежды многих исследователей и полное решение
которой до сих пор не найдено, — это задача о том,
каким числом различных способов можно сложить
прямоугольную «карту». Впервые эту задачу предло-
жил Станислав Улам много лет назад. На карте зара-
нее делаются сгибы по горизонтальным и вертикаль-
ным линиям, в результате чего получается некоторая
матрица, состоящая из одинаковых прямоугольников*
Карту складывают только по этим сгибам, так чтобы
в конце концов получился пакет размером с элемен-
тарный прямоугольник, под которым окажутся все
остальные клетки карты. Поскольку мы можем по-
разному определять, что именно понимается под «раз-
личными способами складывания», попробуем не-
сколько уточнить это определение. Так, мы будем
считать, что все прямоугольные клетки развернутой
карты последовательно перенумерованы, начиная с
верхнего левого угла, если двигаться слева направо
и сверху вниз. Нам предстоит выяснить, сколько пе-
рестановок из этих п клеток можно получить, скла-
дывая карту разными способами, если считать, на-
чиная с самого верхнего элемента пакета. Номер на
каждой из клеток пишется с обеих ее сторон, так что
в результате каждого складывания карты мы полу-
чаем два варианта перестановок, обратных но отно-
шению друг к другу. При этом форма прямоуголь-
90
ного элемента не играет никакой роли, поскольку
ни при каком способе складывания элемент карты
не может повернуться на 90°.
Простейший прямоугольник, отличный по форме
от единичной полоски, — это обычный квадрат разме-
ром 2X2. Нетрудно убедиться, что существует толь-
ко 8 вариантов складывания такого квадрата (из
4! = 24 возможных перестановок), причем, как объяс-
нялось выше, половина из них оказываются обрат-
ными по отношению к остальным четырем. Менее три-
виальным случаем является прямоугольник размером
2X3, поскольку при этом оказывается возможным
засунуть одну или более клеток в открытые «кармаш-
ки», образованные сгибами. Это существенно ослож-
няет дело. Насколько мне известно, результаты иссле-
дований, касающихся такого рода прямоугольников,
нигде не публиковались. Мне самому удалось сложить
60 различных вариантов из 6! = 720 возможных пере-
становок (по 10 вариантов с каждой клеткой навер-
ху). Возможно, конечно, что какие-то варианты от
меня ускользнули.
Еще одна интересная игра состоит в том, чтобы
найти такие слова из шести букв, для которых, если
написать их на карточке размером 2X3 (располагая
буквы слева направо и сверху вниз), а затем сло-
жить карту в единичный пакет, при чтении с верхней
клетки вниз получалась бы анаграмма исходного сло-
ва. При этом для удобства распознавания буквы пи-
шутся на клетках с обеих сторон. Например, нетруд-
но сложить карточку со словом 11Х-РЕО так, чтобы
получилось слово Р1ШЮ (ср. русские слова ДО-
ЛОЖИ—ОДОЛЖИ), или слово З^ШКЕ, так, что-
бы получилось Ш5<ЭиЕ (ср. русскую пару слов
ПАЖИТИ —ТИПАЖИ). С другой стороны, фами-
лию 05ВЕКО (анаграмму фамилии аргентинского пи-
сателя Хорхе Луиса Борхеса — ВОКОЕ5, упоминае-
мого в романе В. Набокова «Ада») нельзя сложить
обратно в фамилию ВОКОЕ5, и наоборот*.
Следовательно, не меняя условий задачи, мы мо-
жем считать, что все клетки представляют собой ква-
драты одинакового размера.
* Ср., например, русские фамилии Парков «« Карпов, «•
Прим. перев,
91
Простейшим случаем этой задачи является прямо-
угольник размером 1 X п> или единичная полоска,
состоящая из п квадратов. В этом случае
задачу часто формулируют так: как сложить
полоску марок по линиям отрыва, с тем чтобы
все марки в конце концов оказались сложен-
ными под одной единственной маркой. Однако даже
такая частная задача остается пока нерешенной в том
смысле, что до сих пор не найдено какой-либо нере-
курсивной формулы для числа возможных перестано-
вок из п марок. Рекурсивные процедуры (т. е. про-
цедуры, позволяющие подсчитать число вариантов
складывания полоски из п марок при условии, что для
п — 1 марок оно известно) тем не менее существуют.
Известно, что общее число перестановок для п эле-
ментов равно п\ (т. е. факториалу п, или произведению
пХ(п— 1)Х(л — 2)Х ... XI). Складывая полоску из
двух или трех марок, мы можем получить все п\ пере-
становок, однако когда у нас имеется полоска из
четырех марок, то путем складывания можно полу-
чить только 16 из 4! = 24 возможных комбинаций
(рис. 24). Для полоски из пяти марок число вариан-
тов складывания возрастает до 50, а в случае по-
лоски из шести марок оно равно 144. В 1968 г.
Дж. Кёлер составил программу для ЭВМ, с помощью
которой он сумел подсчитать число вариантов скла-
дывания вплоть до п = 16; оно оказалось равным
16 861984. В том же году У. Ф. Ланнон довел этот
результат до п = 24, а позднее до п = 28. В своей
работе Кёлер показал, что число возможных вариан-
тов складывания полоски марок равно количеству
способов, которыми п точек по окружности можно
соединить хордами двух разных цветов при усло-
вии, что хорды одного цвета не должны пересекаться.
Сумеет ли читатель строго доказать невозможность
такого перехода для обоих случаев?
Генри Э. Дьюдени предложил две задачи типа
«складывания карты» на основе прямоугольника раз-
мером 2X4*. Он утверждает, что существует 40
способов сложить такой прямоугольник в пакет с
клеткой № 1 наверху. При этом хотя он и дает по-
нять, будто бы открыл некое правило, позволяющее
* Дьюдени Г. Э. 520 головоломок. -М.; Мир, 1975, с. 130.
92
Рис. 24. 16 способов складывания полоски из четырех марок.
складывать те или иные варианты, но вместе с тем
ни слова не говорит о том, в чем же это правило
состоит. Лично я не имею ни малейшего представле-
ния, сколько вариантов складывания из 8! = 40 320
перестановок возможны в действительности.
Если рассмотреть теперь самый маленький нетри-
виальный квадрат размером 3X3, то задача сразу
становится фантастически трудной. Такой квадрат
часто используется в головоломках на складывание,
однако, насколько мне известно, число возможных
вариантов складывания этого квадрата из 9! =
= 362 880 перестановок пока еще не подсчитано.
Одна из таких головоломок, выпущенная в продажу
какой-то фирмой из Маунт-Вернона в военном 1942 г<
в качестве рекламной премии, показана на рис. 25-
На одной стороне листа нарисованы физиономии
Муссолини и Гитлера, на обороте оставшейся пустой
клетки в том же ряду изображен тогдашний премь-
ер-министр Японии Того. Над клеткой с изображени-
ем Того, на лицевой стороне, и под ней, на оборот-
ной стороне, нарисованы тюремные окошки, забран-
ные прутьями, между которыми на бумаге имеются
93
Рис. 25. Задача о складывании карты времен второй мировой
войны.
прорези. Необходимо сложить квадрат таким обра-
зом, чтобы с обеих сторон пакета сверху оказалось
по окошку, а за каждым окошком между прутьями
решетки — по физиономии. Задача эта не слишком
сложная, но в ней есть одна маленькая хитрость.
Гораздо более трудной является задача с квадра-
том того же размера, которую придумал протестант-
ский священник Р. Э. Нил, профессор психиатрии и
теологии из Объединенной духовной академии и ав-
тор книги «Во славу игры» *. У Нила масса самых
разных увлечений, одним из которых является орига-
ми— древнее восточное искусство складывания фигур
из бумаги. В США он считается одним из непрев-
зойденных специалистов в этой области. Другое его
увлечение — это фокусы. Среди фокусников особенно
популярен придуманный им трюк с выскакивающим
из цилиндра кроликом — этот фокус обычно показы-
вают с помощью сложенной долларовой бумажки.
Цилиндр переворачивают, после чего, если нажать
на его края, из цилиндра выскакивает голова кроли-
♦ Ыеа1е К. Е. 1п Рга1зе о! Р1ау, —Нагрег апс! Кому, 1969.
94
1.
В
В
: * 1
! В
У
Е
Е
Е
1 1
Рис. 26. Головоломка о «князе бесовском» Вельзевуле.
ка. Надо сказать, что способ складывания долларо-
вой банкноты в этом случае не прост.
На рис. 26 показана еще одна до сих пор не пуб-
ликовавшаяся головоломка Нила, которая называется
«Вельзевул» (ВЕЕЬ2ЕВ11В). Вырежем из бумаги
квадрат, согнем его так, чтобы получилось 9 клеток,
и в каждой из девяти клеток напишем по соответ-
ствующей букве, как это показано на рисунке (по
одной и той же букве с обеих сторон каждой клет-
ки). Прежде всего попытайтесь сложить квадрат в
стопку так, чтобы буквы в полученном пакетике при
чтении сверху вниз образовали восемь «псевдонимов»
падшего ангела, который у Дж. Мильтона в его по-
эме «Потерянный рай» идет вторым по чину после
самого Сатаны: ВЕЬ 2ЕЕВ11В, ВУВ ВЬЕ2ЕЕ, 1ШЕ
ВЬЕ2ВЕ, ВЫВ 2ЕЬВЕЕ, В1Ш ВЕЕЬ2Е, 2ЕЕ В11В-
ВЬЕ, В112 ЬЕВЕЕВ, 2ЕЬ ВЕЕВ1Ш. Если вам удалось
справиться с этими именами, то попробуйте решить
по-настоящему «дьявольскую» задачу: как сложить
бумагу так, чтобы читалось настоящее имя «князя
95
бесовского» (Матфей, 12, 24) — ВЕЕЬ' 2ЕВ1Ш (Вель-
зевул). Необычайные трудности решения этой зада-
чи поясняются в разделе «Ответы». Мне кажется, что
тот, кто сумеет сложить все эти девять имен, легко
поймет, почему в общем случае задача складывания
карты до сих пор остается нерешенной.
Р. Нил придумал массу других оригинальных го-
ловоломок на складывание, однако здесь из-за недо-
статка места мы упомянем лишь о двух из них.
В первой мы по существу имеем «карту», отличную
по форме от прямоугольника, с крестообразным раз-
резом посередине (рис. 27). Цифры на ней могут
обозначать, к примеру, 6 различных цветов: так, все
клетки с цифрой 1 закрашиваются в один цвет, с
цифрой 2 — в другой и т. д. Оборотная сторона кле-
ток закрашивается иначе, а именно в соответствии
с нижней схемой. Пронумеровав или закрасив карту
с одной стороны, как показано на рисунке вверху,
перевернем ее обратной стороной (так, чтобы ле-
вая и правая ее части поменялись местами), а затем
перенумеруем или закрасим эту оборотную сторону.
Затем попытаемся сложить карту так, чтобы полу-
чился какой-нибудь необычного вида тетрафлексагон.
(Подробно о тетрафлексагонах рассказано в моем
«Втором сборнике математических задач и головоло-
мок», составленном по материалам журнала Заеп*
И[1С Атепсап *.)
Чтобы сложить этот любопытный тетрафлексагон,
развернем лист, как показано в верхней части
рис. 27. (При этом будет удобнее, если сначала по
указанным на рисунке сплошным линиям разметки
вы сделаете так называемые «горные» сгибы, а по
пунктирным линиям — так называемые «долинные»
сгибы. Подобными выражениями пользуются обычно
любители оригами, чтобы обозначить сгибы, высту-
пающие вверх или западающие вниз.) Возьмите те-
перь два свободных конца клеток с № 1, зажав угол
верхней клетки большим и указательным пальцами
левой руки, а угол нижней — теми же пальцами пра-
вой руки. Далее надо проделать несложный маневр,
который легко выполнить при определенной сноровке,
* См. русский перевод: Гарднер М. Математические голо-
воломки и развлечения, ^М.: Мир, 1971, с, 162,
96
3
г
1
1
6
6
6
6
1.
г
1
и
- з
1
9
I
4
2
—:—I
9
I
3
3
•
. 9
' 2
4 '
9
1
Рис. 27. Лицевая (вверху) и обратная (внизу) сторощ разДОР7"
ки тетрафлексагона.
4 Зак. 693
97
Рис. 28. Первый шаг при
складывании тетрафлексагона.
Рис. 29. Заключительная опе-
рация при складывании тет«.
рафлексагона.
но который с трудом поддается описанию. Потяните
уголки квадратов одновременно вниз и в разные
стороны друг от друга, так чтобы перевернуть каж-
дую клетку с единицей и получить, если глядеть на
рисунок сверху, клетку с пятеркой. Оставшиеся клет-
ки образуют при этом как бы две открытые коро-
бочки без крышки с цифрой 6 на дне каждой из них
{рис. 28).
' Теперь точно так же захватим оба внутренних
угла клеток с пятерками — т. е. углы, диагонально
противоположные тем, которые мы только что оття-
гивали вниз. Потянув за эти углы сверху вниз, од-
новременно разведем их в разные стороны. При этом
наши коробочки сплющатся, и мы получим плоский
тетрафлексагон размером 2X2 с четырьмя клетка-
ми, на которых изображены единицы с одной сторо-
ны и четыре двойки с другой (рис. 29). На втором
этапе складывания может случиться так, что вместо
единицы на какой-то клетке у вас вылезет четверка,
а вместо двойки — тройка. В таком случае просто
засуньте верхнюю клетку с ошибочной цифрой под
нижнюю, заменив ее правильной цифрой.
Перегнем теперь тетрафлексагон пополам и рас-
кроем его по центральному сгибу; при этом мы полу-
чим еще одну лицевую поверхность, на всех клетках
которой стоит одна и та же цифра или они имеют
один и тот же цвет. Соответствующим образом сги-
бая тетрафлексагон, легко получить лицевые поверх
98
Рис. 30. Задача «козы и овцы».
ности с цифрами 1, 2, 3 и 4, однако не так-то просто
развернуть поверхность с цифрами 5 и 6.
Одна из наиболее изящных головоломок, предло-
женных Нилом, называется «Козы и овцы». Ее мож-
но изготовить из полоски бумаги длиной в 4 квадра-
та, оставив на одном из ее концов маленький язычок
для склейки (рис. 30). Для удобства полоску следует,
заранее несколько раз перегнуть по изображенным
на рисунке пунктирным линиям. После этого соответ-
ствующие половинки каждого квадрата нужно за-
красить черной краской (на чертеже они обозначены
редкой штриховкой), причем с обеих сторон, как если
бы краска прошла через бумагу насквозь.
Последовательность действий при складывании
полоски показана буквами а, б, в, г. Первый сгиб
делается от себя и вниз. Последующие три сгиба—•!
вправо, потом вверх и затем влево. После того как
проделан последний сгиб, нужно засунуть язычок
внутрь двойного черного треугольника в левой верх-:
ней части полученного квадрата и приклеить его ю
нижней половинке треугольника. В конце концов эд
вас должен получиться квадрат с четырьмя черными
и четырьмя белыми треугольниками на каждой из
его сторон. Это и будут наши козы и овцы.
Задача состоит в следующем. Складывая квадрат
только по обозначенным заранее линиям сгиба, пре-
вратить его в квадрат того же размера, но чтобы а
одной стороны он был бы весь белый, а с другой —
4*
09
целиком черный. Другими словами, нам нужно от-
делить коз от овец. Это оказывается не так-то про-
сто, но зато какое получаешь удовольствие, когда
поймешь, как это делается, и научишься проделывать
все операции быстро и ловко! Подробное объяснение
всей этой процедуры вместе с соответствующей кар-
тинкой приведено в разделе «Ответы»; так же описы-
вается и разгадка головоломки с тетрафлексагоном.
(Для того чтобы вам было легче манипулировать
с «козами и овцами», советую после склеивания ис-
ходного квадрата слегка обрезать все одинарные
края.)
Если кого-либо из читателей заинтересуют фигур-
ки в традиционном стиле оригами, также придуман-
ные Нилом, то описание шести лучших его головоло-
мок (включая головоломку «Собака Тербера») мож-
но найти в книге С. Рэндлетта «Избранные задачи в
искусстве оригами» *. Трюки со складыванием дол-
ларовой банкноты (включая и фокус с прыгающей
лягушкой) описываются в другой интересной книге —
«Складывание бумажных денег»**.
ОТВЕТЫ
В качестве простого доказательства того, что с
помощью прямоугольника размером 2X3 путем
складывания невозможно превратить фамилию 05-
ВЕКО в В0К0Е5 (или наоборот), заметим, что в
обоих случаях нам нужно, чтобы две пары клеток,
соприкасающихся лишь углами, в конце концов ока-
зались бы в пакете рядом, а это никак нельзя осу-
ществить ни при каком способе складывания.
Головоломка с физиономиями преступников и
тюремными решетками решается так. Используя ис-
ходную позицию, показанную на рисунке, отгибаем
верхний ряд назад и вниз, потом левый ряд к себе
и вправо и, наконец, нижний ряд от себя и вверх*
После этого нужно отогнуть правую стопку из трех
клеток от себя и засунуть ее в образовавшийся кар-
машек, В результате соответствующая физиономия о
• * 'КашИеИ 5. ТЬе Ве$1 о! Оп&апи. — Е. Р. БиПоп, 1963.
'•• РоЫтд Мопеу.^У. II, её. Ьу ^агкИеК, Мавд 1пс, 1968,
100
каждой стороны сложенной стопки квадратов оказы-
вается за решеткой. К сожалению, центральную фи-
зиономию никак не удается запихнуть за решетку,
поскольку эта клетка лишь углами соприкасается с
клетками, на которых изображены тюремные окна с
решетками.
Из-за экономии места я не стану проводить здесь
первые 8 решений головоломки «Вельзевул», а по-
ясню лишь решение последней задачи. Исходя из
схемы, приведенной на рисунке, сначала сгибаем
нижний ряд в направлении к себе и вверх и покры-
ваем им ряд букв ВВЕ. После этого сгибаем левую
колонку клеток к себе и вправо, чтобы закрыть ею
буквы 211. Затем сгибаем верхний ряд в направле-
нии к себе и вниз, но при этом выворачиваем сгиб
между буквами Ь и 2 как бы наизнанку и заправ-
ляем эти буквы в кармашек, образованный с левой
стороны буквами В. В результате правая буква
Е накладывается сверху на нижнее Е. При этом у
нас получается прямоугольник, составленный из двух
квадратов. В левом квадрате, если смотреть сверху
вниз, мы имеем буквы ВЬ2ЕШВ, а справа — ЕЕЕ.
Наконец, нам остается самое трудное — заправить все
три буквы Е в левый квадрат таким образом, чтобы
среднее Е попало между буквами 2 и В, а остальные
два Е оказались бы вместе между буквами В и Ь.
Сообразив, как это делается, вы можете теперь
последнее, очень неудобное складывание проделать од-
новременно с предыдущим. В результате у нас полу-
чится плотный пакетик, буквы в котором будут рас-
положены следующим образом: ВЕЕЬ2ЕВиВ. Реше-
ние это является единственным. Отметим также,
что если на исходной «карте» перенумеровать все
клетки цифрами от 1 до 9, то в сложенном пакете
последовательность клеток оказывается такой:
463129785.
Для того чтобы получить на тетрафлексагоне по-
верхности с цифрами 5, расположите его так, чтобы
сверху оказались единицы, а на его обратной сторо-
не—цифры 2. Затем сложите тетрафлексагон по-
полам по вертикальной оси, сгибая его «горкой» от
себя, так чтобы при открывании флексагона по цент-
ральному сгибу можно было видеть поверхность с
цифрами 4, Раскрывать его, однако, не надо. Вместо
101
Рис. 31. Решение задачи о козах и овцах.
этого потяните влево нижний внутренний квадратный
пакетик (с цифрами 4 и 3 на его наружных сторо-
нах) и одновременно потяните вправо соответствую-
щий верхний пакетик (с теми же цифрами на его
поверхностях). В результате флексагон превратится
у вас в кубик, открытый сверху и снизу. Сложите
теперь этот кубик вдвое в поперечном направлении.
При этом вы получите фигуру типа тетрафлексагона,
перегибая которую соответствующим образом, мож-
но легко вывести наружу поверхности с цифрами 1,
Зи5.
Проделав аналогичные операции, нетрудно полу-
чить тетрафлексагон, на котором наружу выводятся
поверхности с цифрами 2, 4 и 6. Для этого необхо-
димо возвратиться к исходной структуре с цифрами
1, 2, 3 и 4 на соответствующих поверхностях и по-
вторить те же самые движения, что и раньше, за
исключением того, что теперь поверхность с двойка-
ми надо взять за лицевую сторону, а поверхность с
единицами — за обратную.
На рис. 31 показано, как отделить коз от овец:
1 — исходный двухцветный квадрат изображен на
первом рисунке;
2 — сложите этот квадрат пополам вдоль горизон-
тальной диагонали, отогнув его нижний угол
вверх на себя, так чтобы получилось некое подо-
бие «шляпы» с белым треугольником в левом
нижнем углу;
102
3 — раскрывайте теперь основание «шляпы», стара-
ясь оставить ее плоской, пока у вас не получится
квадрат меньшего размера с указанным на ри-
сунке расположением цветов;
4 — пальцем левой руки растяните кармашек в пра-
вой верхней части квадрата 3, после чего раз-
гладьте получившуюся фигуру;
5 — поверните ее боком к себе и повторите предыду-
щую операцию с кармашком на другой стороне.
В результате у вас получится прямоугольник с
белым треугольником в правом верхнем углу;
6 — расправив этот прямоугольник, т. е. потянув его
переднюю стенку на себя, а заднюю от себя, вы
получите кубик, открытый снизу и сверху. Вновь
сложите из него прямоугольник по противополож-
ным линиям сгиба — при этом расположение цве-
тов на нем окажется таким, как показано на ри-
сунке;
7 — большим пальцем правой руки раскройте карма*
шек, образованный левой половиной прямоуголь-
ника 6, и, приподняв левый его клапан вверх,
расправьте бумагу так, как это показано на ри-
сунке;
8 — снова поверните полученную фигуру боком к се-
бе и повторите маневр с кармашком. При этом у
вас должен получиться маленький квадрат, обе
стороны которого будут черного цвета;
5 —раскройте этот квадрат сверху, превратив его в
перевернутую «шляпу», которая должна оказать-
ся теперь черной с обеих сторон;
10—растяните в разные стороны крайние нижние
точки этой шляпы и разгладьте получившийся в
результате большой квадрат. Он будет такого
же размера, как тот, с которого мы начали, но
целиком белого цвета с одной стороны и пол-
ностью черный — с другой. Итак, все овцы ока-
зались на одной стороне квадрата, а все козы —
на другой.
Повторив те же самые операции в обратном по-
рядке, мы снова перемешаем овец и коз. Немножко
попрактиковавшись, можно научиться проделывать
описанные процедуры где-нибудь под столом букваль-
но за несколько секунд, так что со стороны все эти
рревращения будут выглядеть почти как; фокус»
105
ДОПОЛНЕНИЕ
Имеются все основания думать, что то «малень-
кое правило», на которое намекал Генри Дьюдени в
связи с задачами на складывание карты, было зано-
во открыто несколькими годами позже. Марк Б. Уэллс
из Лос-Аламосской исследовательской лаборатории с
помощью расчетов на ЭВМ подтвердил, что, имея
карту размером 2X3, каждую из ее клеток можно
вывести в крайнее верхнее положение десятью раз-
личными способами складывания. Согласно тем же
расчетам, в случае квадрата размером 3X3 соответ-
ствующее число вариантов составляет 152. В 1971 г.
Ланнон доказал, что в случае прямоугольной карты
любая циклическая перестановка в каждом из воз-
можных вариантов складывания также является ва-
риантом складывания. Это позволяет подсчитывать
число вариантов складывания только для одной клет*
ки, а именно той, которая находится в данный мо-
мент наверху, поскольку циклические перестановки
всех полученных при этом способов складывания да-
дут нам все остальные варианты. Так, например, если
мы установим, что возможен вариант складывания
|123456789, то тем самым возможны варианты
234567891, 345678912 и т. д. Это весьма странный за-
кон, поскольку способы складывания для цикличе-
ских перестановок существенно отличаются друг от
друга. Кроме того, пока неизвестно, применим ли
этот закон к картам типа полиомино или к картам,
клетки которых имеют форму равносторонних тре-
угольников.
В своей работе, опубликованной в 1971 г., Лан-
нон применил оригинальную схему, основанную на
использовании двух взаимно перпендикулярных раз-
(резов, проходящих через центр окончательно сложен-
ного пакета. Ему удалось составить простую програм-
му вычислений для карт размером хХу, а также
.распространить полученные результаты на случай бо-
лее высоких измерений и установить несколько любо-
пытных теорем. В одной из них, например, утверж-
дается, что края одного поперечного сечения всегда
дают на схеме х линейных карт по у клеток в каж-
дой, а края другого поперечного сечения дают у ли-
нейных карт по х клеток в каждой,
104
Он установил также, что карты размером 2X3,
2X4, 2X5, 2X6 и 3X4 могут быть сложены со-
ответственно 60, 320, 1980, 10 512 и 15 552 способами.
Квадрат третьего порядка допускает 1368 способов
складывания, квадрат четвертого порядка — 300 608
способов, а квадрат пятого порядка может быть сло-
жен 186 086 600 различными способами. При этом
во всех случаях число способов складывания, кото-
рыми можно получить сверху ту или иную клетку,
для разных клеток оказывается одинаковым, как это
и должно быть согласно закону цикличности. Куб вто-
рого порядка, сложенный через четвертое измерение,
допускает 96 способов складывания, а куб порядка
3 — 85 109 616 способов. В той же самой работе
(1971 г. протабулированы многие другие результаты
Ланнона, однако нерекурсивной формулы даже для
случая плоских карт ни ему, ни последующим иссле-
дователям пока получить не удалось.
Для каждой карты Ланнон выделяет так называе-
мую линейную функцию складывания, представляю-
щую собой предел, к которому стремится отношение
двух соседних значений числа возможных способов
складывания для полоски размером 1 X п- Этот пре-
дел оказывается близким к значению 3,5. В своей
неопубликованной работе 1981 г. Ланнон уточняет,
что указанное значение лежит между 3,3868 и
3,9821.
В 1981 г. американское издательство Нагтопу
Воокз и английское издательство Рап Воокз выпусти-
ли в карманном издании книгу «Складывание фигур
из бумаги — новое массовое помешательство» (Ро1-
(Нпд Ргепгу). В ней имеется 6 квадратов размером
3 X 3 с рисунками красного и зеленого цвета на обе-
их сторонах, а также 5 страниц с частично проре-
занными заготовками. Автор головоломок Джереми
Кокс предлагает читателям 9 различных заданий на
складывание этих квадратов, которые надо выпол-
нить, не вырывая страниц из книги.
При описании одной из своих головоломок на
складывание Дьюдени упомянул о весьма любопыт-
ной особенности складывания карт, которая становит-
ся понятной лишь после некоторого размышления.
Эта особенность касается не только прямоугольных
карт, но и карт в форме любого полиомино, т, е. в
105
виде фигур, составленных из примыкающих друг н
другу единичных квадратов. Представим себе, что
такая карта с одной стороны окрашена в красный
цвет, а с другой — в белый. Так вот, каким бы обра-
зом мы ее ни складывали, в окончательной стопке
размером 1X1 клетки всегда будут расположены
так, что их цвета обязательно станут чередоваться
независимо от того, какой стороной стопка обращена
вверх. Если же клетки карты окрашены на манер
шахматной доски, причем каждая клетка имеет один
и тот же цвет с обеих сторон, то в окончательном
пакете, опять-таки независимо от способа складыва-
ния, цвета вновь будут чередоваться. Если, наконец,
мы закрасим карту в шахматном порядке, но таким
образом, чтобы каждая клетка с одной стороны была
окрашена в красный цвет, а с другой — в белый, то,
каким бы способом мы ни стали складывать такую
карту, всегда окажется, что в окончательной стопке
все красные поверхности будут смотреть в одну сто-
рону, а все белые — в другую.
Еще в 1971 г. мне пришло в голову, что, исполь-
зуя эти своеобразные принципы четности, можно
придумать массу интереснейших фокусов. Один такой
фокус под названием «Удивительные бумажки» опи-
сан в журнале Карла Фалвеса ТНе Ра11Ьеагегз Не*
V^е^ш («Под покровами тайны»). Показывают его так.
Сложите чистый лист бумаги дважды вдоль и дваж-
ды поперек, так чтобы в результате на нем получи-
лось 16 клеток. При этом рекомендуется несколько
раз перегнуть лист по каждому сгибу, с тем чтобы
потом было легче его складывать при выполнении
фокуса.
Прежде всего вы должны мысленно представить
себе шахматную доску с 16 черными и красными
клетками, причем так, чтобы ее верхняя левая клет-
ка оказалась красной. Затем из колоды игральных
карт надо взять пять карт красной масти, а один из
присутствующих должен выбрать какую-нибудь из
них. После этого, используя, например, сокращения
типа 4П (четверка пик) или КБ (король бубен),
красным карандашом запишем названия всех пяти
карт на пяти клетках нашей доски. Записываются
они вроде бы в случайном порядке, однако на самом
деле выбранную карту нужно записать на одной из
106
черных клеток, тогда как все остальные карты — на
красных.
Далее, вы берете из колоды 5 карт черной масти,
причем кто-либо из присутствующих также должен
выбрать одну из них. Переверните лист обратной
стороной и снова запишите наименования этих пяти
карт, опять якобы в случайном порядке, но черным
карандашом. При этом выбранная карта записывает-
ся на красной клетке, а остальные — на черных.
Попросите теперь кого-нибудь сложить лист лю-
бым способом так, чтобы получился пакетик разме-
ром 1X1- Аккуратно обрезав края пакетика ножни-
цами, вы получите 16 отдельных карточек. Разложи-
те их на столе. При этом оказывается, что на них
записаны наименования пяти карт: четыре — каран-
дашом одного цвета, а пятая, выбранная вашим
партнером,— карандашом другого цвета. Понятно,
что то же самое получится, если перевернуть все
16 карточек обратной стороной вверх.
В майском номере того же Т1ге Ра11Ьеагег$ Не*
теь за 1972 г. Дж. Нил сен предложил следующий
вариант этого фокуса. На точно таком же листе бу-
маги разметим все его клетки крестиками и нолика-
ми в шахматном порядке, затем перевернем наш лист
обратной стороной вокруг горизонтальной оси и ана-
логичным образом разметим его обратную сторону,
Разумеется, зрители не сразу догадаются, что каж-
дая клетка окажется помеченной крестиком на од-
ной стороне и ноликом на другой. После этого один
из присутствующих произвольным образом складыва-
ет лист в пакетик размером 1 X 1» а вы делаете вид,
будто пытаетесь внушить ему какой-то особый способ
складывания, который приведет к совершенно неожи-
данному результату. Если теперь обрезать края па-
кетика и разложить получившиеся таким образом
карточки на столе, то окажется, что все крестики
смотрят в одну сторону, а все нолики — в другую,
В одном из номеров журнала 5доа/ш, который вы-
ходит в Калькутте под редакцией Сэма Далала,
была напечатана моя заметка «Отгадывание чисел,
записанных на сложенной бумаге». Перенумеруйте
клетки листа размером 3X3 цифрами от 1 до 9,
начиная с левого верхнего угла, в обычном порядке,
т. е, слева направо и сверху вниз. Цифры при этом
107
пишутся только на одной стороне квадрата. После
того как кто-нибудь произвольным образом сложит
лист, обрежьте его края и разложите получившиеся
карточки на столе, не переворачивая их. Сложите все
числа, которые появятся перед вами на карточках.
Затем переверните карточки и просуммируйте числа,
которые окажутся перед вами на обороте. Обе суммы
при этом будут различными. Объясните присутствую-
щим, что когда квадрат складывается случайным об-
;разом, то числа распределяются на две группы тоже
в случайном порядке и, конечно, заранее никак нель-
зя сказать, какова будет сумма цифр на той или
другой стороне карточек.
Теперь возьмите квадрат 4 X 4 с клетками, пере-
нумерованными таким же способом, как и раньше, с
помощью цифр от 1 до 16, и проделайте ту же про-
цедуру, после чего сложите квадрат и обрежьте края
получившегося пакета. Однако, прежде чем раскла-
дывать карточки, задумчиво посмотрите на них, под-
несите их ко лбу и объявите во всеуслышание, что
сумма цифр на верхней стороне карточек должна
равняться 68. Потом разложите карточки одной и
той же стороной вверх, так чтобы присутствующие
могли убедиться, что сумма всех чисел на карточках
действительно равна 68. Затем быстренько соберите
карточки, чтобы зрители не успели подсчитать сумму
цифр на обратной стороне — она тоже будет рав-
на 68.
Хитрость тут заключается в том, что если в ис-
ходном квадрате число клеток нечетное, то суммы
цифр сверху и снизу будут разными. (Так, для ква-
драта 3X3 они равны 20 и 25.) Если же в квадра-
те оказывается четное число клеток, то сумма цифр
на любой стороне карточек будет постоянной величи-
ной, равной (п2 + п)/4, где п — наибольшее число,
имеющееся в квадрате, т. е. фактически число его
клеток. Наконец вы можете повторить фокус, взяв
квадрат размером 5X5, однако теперь, вместо того
чтобы предсказать соответствующую сумму цифр, со-
общите присутствующим, что разность между сумма-
ми цифр на одной и на другой стороне клеток со-
ставит 13.
Этот же принцип применим и к клеткам, перену-
мерованным с помощью других последовательностей
108
цифр. Возьмите, например, большой настенный ка-
лендарь, в котором на каждый месяц отводится от-
дельный лист, и попросите кого-нибудь вырвать стра-
ницу с месяцем его рождения. Пусть теперь ваш
партнер вырежет из этой страницы квадрат с цифра-
ми размером 4X4. Как и ранее, сложим его, обре-
жем пакетик по краям, разложим карточки на столе
и просуммируем увиденные числа. Их сумма на одной
стороне будет равна сумме наибольшего и наи-
меньшего чисел, умноженной на 4. Вы можете объ-
явить этот результат сразу, как только увидите, ка-
кой квадрат вырезан, а можете попытаться «предска-
зать», что получится, воспользовавшись, как удобно
объяснить зрителям, своим превосходно развитым
сверхчувственным восприятием.
Интересно предложить и такой фокус. Пусть кто-
либо из присутствующих напишет по цифре на каж-
дой клетке листа бумаги произвольного размера, на-
чиная с левого верхнего угла и двигаясь в обычном
направлении, т. е. слева направо и сверху вниз. Пока
он, ваш партнер, пишет, ведите в уме подсчет следу-
ющим образом: от первой цифры вы отнимаете вто-
рую, прибавляете третью, вычитаете четвертую и т. д«
Результат при этом будет то положительным, то от-
рицательным. Прибавив или отняв последнюю цифру,
вы получите разность между суммами цифр, которые
окажутся на лицевой и оборотной сторонах после уже
знакомой нам процедуры складывания, обрезания и
раскладывания карточек.
Похожие трюки можно проделывать и с магиче-
скими квадратами. Пусть, например, на карту разме-
ром 4X4 нанесены цифры магического квадрата.
Сложив его, обрежьте края получившегося пакетика
только с двух противоположных сторон. При этом у
вас получатся четыре полоски. Пусть кто-нибудь из
присутствующих выберет одну из них, а три осталь-
ные выбросит. Вы легко сможете предсказать сумму
цифр на этой полоске, поскольку она будет равняться
постоянной магического квадрата. Естественно, вам
не следует сообщать своим зрителям, что цифры на
карте образуют магический квадрат.
Многие из этих трюков можно проводить также с
фшурами, отличными по форме от квадрата, напри-
мер с прямоугольником размером 3 X 4. Любителям
103
математических развлечений стоит, по-видимому, по-
думать над тем, как именно это сделать и какими
принципами при этом руководствоваться.
ГЛАВА 8
НАБОР ПРОСТЕНЬКИХ ЗАДАЧ
Задачи, которые приводятся в этой главе, я на-
звал простенькими в том смысле, что их просто
сформулировать и (по крайней мере мне так каза-
лось) довольно просто решить, если правильно к ним
подойти. Некоторые задачи имеют вид шутки, в дру-
гих содержатся ловушки для простаков, незаметные
с первого взгляда.
Задача 1. Из 12 дюймовых кусочков проволоки
вы хотите сделать жесткий каркас куба со стороной
в 1 дюйм, спаяв ваши проволочки по углам, в восьми
вершинах куба.
— Можно обойтись меньшим количеством паек,—
говорит вам приятель.— Возьми одну или несколько
проволочек подлиннее и согни их под прямыми угла-
ми, чтобы получить разные вершины куба.
Если вы согласны с предложением своего прияте-
ля, то сколько паек вам все же будет необходимо
сделать, чтобы каркас куба был жестким? (Фи-
лип Г. Смит.)
Задача 2. Умная лошадь знает арифметику, алгеб-
ру, геометрию и тригонометрию, но никак не может
разобраться в декартовых координатах, используе-
мых в аналитической геометрии. Какую англий-
скую пословицу это напоминает? (Хауард У. Иве.)
Задача 3. Ваш король стоит на угловой клетке
шахматной доски, а конь вашего противника — на
диагонально противоположной угловой клетке. Дру-
гих фигур на доске нет, Конь ходит первым, Сколько
ИО
с
|10щ
АА
А*
V.
\
^
*
А
У
^
Рис. 32. Магический квадрат из девяти карт.
ходов вы успеете сделать до того, как вам будет
объявлен шах? (Д. Силвермен.)
Задача 4. Девять червовых карт из обычной ко-
лоды разложены так (рис. 32), что образуется маги-
ческий квадрат, у которого сумма очков в каждой
строке, в каждом столбце и по обеим главным диа-
гоналям равна максимально возможному значению —
27. (Напомним, что валет оценивается в 11 очков,
дама — в 12, а король — в 13.) Предположим, что
можно брать карты разных мастей и одинакового
достоинства. Какую максимальную постоянную сум-
доу можно получить й магическом квадрате 3-го
Ш
Рис. 33. Топологическая теорема.
порядка, если составить его из любых 9 карт, взятых
из обычной колоды? (М. Г.)
Задача 5. Какое утверждение относительно числа
л справедливо тогда и только тогда, когда значения
п оказываются меньше одного миллиона? (Лео Мо-
зер.)
Задача 6. Почему парикмахер в Женеве скорее
предпочтет постричь двух французов, чем одного
немца?
Задача 7. Черным карандашом нарисуйте замк-
нутую кривую произвольной формы. Здесь же крас-
ным карандашом нарисуйте вторую кривую такого же
типа, но не проводя ее через точки пересечения на
черной линии. Обведите кружками все точки, в ко-
торых красная линия пересекается с черной (рис. 33),
Доказать, что число таких точек всегда будет чет-
ным. (М. Г.)
Задача 8. Между цифрами 2 и 3 поставьте знако-
мый вам математический символ, чтобы получить
число, большее 2, но меньшее 3.
Задача 9. В шестиэтажном доме (не считая цо-
кольного этажа) с этажа на этаж идут лестницы
одинаковой длины, Во скблько раз подъем с первого
112
этажа на шестой длин-
нее, чем подъем с пер-
вого этажа на третий?
Задача 10. Каждая
из двух одинаковых
сторон равнобедренно-
го треугольника равна
единице. Не используя
методы математическо-
го анализа, найдите
длину третьей стороны,
при которой площадь
треугольника будет
максимальной.
Задача 11. Сумма каких трех положительных це-
лых чисел равна их произведению?
Задача 12. На полу лежит веревка, образуя фи-
гуру, показанную на рис. 34. К сожалению, она на-
ходится слишком далеко, чтобы разобрать, как вы-
глядят пересечения в точках А, В и С. Какова
вероятность того, что веревка завяжется в узел?
(Л. Г. Лонгли-Кук.)
Задача 13 (для любителей английского языка)1.
Если АВ, ВС, СО и ОЕ— простые английские слова,
то какое знакомое всем английское слово имеет вид
ИСАВЕ? (Д. Силвермен.)
Задача 14. В журнале «Тайм» от 7 марта 1938 г<
сообщалось, что некий Сэмьюэл А. Кригер считает,
будто нашел контрпример к недоказанной великой
теореме Ферма. Кригер объявил, что этот пример
имеет вид 1324я + 731я = 1961я, где п — некое поло-
жительное целое число, большее 2, однако отказался
назвать это число. Тут же «Тайм» сообщал, что один
сотрудник газеты «Нью Иорк Тайме» без труда до-
казал, что Кригер ошибся. Каким образом он это
сделал?
Задача 15 (для любителей английского языка).
Какое знакомое английское слово начинается и кон-
чается буквосочетанием т&.
Рис. 34. Может
вязаться узлом?
ли веревка за-
№
Задача 16. Как-то раз один человек случайно ока-
зался в нескольких милях от Пентагона *. Он смо-
трит на здание Пентагона в бинокль. Какова вероят-
ность того, что ему будут видны три стороны зда-
ния? (Э. Т. Лихи.)
Задача 17 (для любителей английского языка).
Добавив два прямых отрезка, превратите цифры
11030 в человека.
Задача 18. На ступеньках дома сидят рядышком
мальчик и девочка.
— Я мальчик,— говорит ребенок с черными во*
лосами.
— А я девочка,— говорит ребенок с рыжими во-
лосами.
Если по крайней мере один из детей говорит не-
правду, то кто из них мальчик, а кто девочка? (По
задаче М. Холлиса.)
Задача 19. «Суперкоролева» — это шахматный
ферзь, который может ходить еще и как конь. Надо
разместить четырех суперкоролев на доске 5X5 та-
ким образом, чтобы ни одна из них не могла атако-
вать другую. Если вам это удастся, то попробуйте
10 суперкоролев разместить на доске 10 X Ю так,
чтобы ни одна не имела возможности напасть на
другую. Обе задачи имеют единственное решение,
если не учитывать повороты доски и ее зеркальные
отражения. (X. Ф. Лонг.)
Задача 20. Рассмотрим пример
АВСй
йСВА
12300
АВСй— четыре последовательных цифры, идущих в
порядке возрастания, а йСВА — те же четыре циф-
ры, располагающиеся в обратном порядке. Четыре
точки — это те же самые четыре цифры в неизвест-
ном порядке. Какое число обозначено четырьмя точ«
* Здание министерства обороны США, имеющее б плане
форму правильного пятиугольника, =» Прим. перевщ
114
^7
5
/
51 52 55 ^
I I I
_ 50 53 54
О. < ^
45 46 49
I I I
^ 44 47 48
Л Л ^
I I I
^ 38 41 42
Л^
I I I
л 32 35 36
>. 26 29 30
Л^
_ 20 23*24
15 16 19 ^
^14 17 18
9 10 13 ^
1 Л ■
а 11 12
I ^
Рис. 35. «Змея» с простыми числами.
нами, если их общая сумма равна 12300? (У. Т. Уиль-
яме и Г, X. Сэвидж.)
Задача 21. Если начать писать положительные
целые числа последовательно вдоль извивающейся
линии, как показано на рис. 35, то получится так
называемая «первозданная змея». Если продолжить
этот процесс до бесконечности, то все простые числа
окажутся лежащими на одной и той же диагональ-
ной линии, Почему? (М, Г,)
Задача 22. Найдите два положительных целых
числа х и у, для которых произведение их наиболь-
шего общего делителя и наименьшего общего крат-
ного равно ху% "" *
115
Задача 23. Альберт сказал:
■— У Фимстера больше тысячи книг.
— Нет,— возразил Джордж,— книг у него меньше-
— Одна-то книга у него наверняка есть,— сказала
Генриетта.
Если истинно только одно из этих утверждений,
то сколько же книг у Фимстера?
Задача 24. В Америке такую дату, как, напри-
мер, 4 июля 1971 г. часто сокращенно записывают
так: 7/4/71, а в других странах обычно первым пи-
шут число, а потом месяц, так что та же дата вы-
глядит следующим образом: 4/7/71. Если не знать,
по какой системе записано число, то сколько дат в
году можно истолковать неправильно? (Д. Силвер-
мен.)
Задача 25. Почему крышки уличных люков дела-
ют не квадратными, а круглыми?
Задача 26. Сколько различных 10-значных чисел,
таких как, например 7 829 034 651, можно записать,
используя все 10 цифр? При этом наши числа не
должны начинаться с нуля.
Задача 27. Много лет назад, в одну душную
июльскую полночь в Омахе пошел сильный дождь.
Возможно ли, чтобы через 72 часа в Омахе сияло
солнце?
Задача 28 (для любителей английского языка)*
Какая общеизвестная цитата может быть записана в
виде следующего вы-
сказывания из матема-
тической логики:
2В V ~ 25 = ?
Задача 29. В неко-
торую окружность впи-
сали правильный шес-
тиугольник, а потом
вокруг нее описали
еще один правильный
шестиугольник (рис.
Рис. 36. Задача о шестиугольна 36>- Если площадь
Ках. меньшего шестиуголь-
>
не
ника составляет три квадратных единицы, то какова
площадь большего шестиугольника? (Ч. У. Тригг.)
Задача 30. В 1971 г. Смит сказал: «Мне было п
лет, когда шел п2 год». В каком году родился Смит?
Задача 31. Если вы задумаете основание для си-
стемы счисления, большее 2, то я тут же смогу на-
писать это основание, не задав вам больше ни одно-
го вопроса. Как я сумею это сделать? (Ф. Шух.)
Задача 32. Как звали Генерального секретаря Ор-
ганизации Объединенных Наций 35 лет назад?
Задача 33. Имеется красный кубик и много белых
кубиков, причем все они — одинакового размера. Ка-
кое максимальное количество белых кубиков можно
разместить вокруг красного кубика так, чтобы каж-
дый белый кубик касался красного по плоскости, т. е.
чтобы какая-то ненулевая часть одной из граней
каждого белого кубика была бы прижата к какой-то
ненулевой части одной из граней красного кубика?
Соприкосновения кубиков по ребрам и вершинам за
касание не считаются. (М. Г.)
Задача 34 (для любителей английского языка)*
Из каких четырех букв, идущих в английском алфа-
вите подряд, можно составить знакомое всем слово?
(Марри Р. Пирс.)
Задача 35. На рис. 37 условно изображено глубо-
кое круглое озеро диаметром в 300 ярдов, посередине
которого находится ост-
ров. Два черных круж- у^ N.
ка — это два дерева. Че- /^ N.
ловек хочет попасть с бе- / \
рега на остров, плавать / ><77>. \
он не умеет, но у него / $ли/\ \
есть веревка длиной не- I \Уу7У/л I ^
много более 300 ярдов. \ ЩЩу Г
Как ему попасть на ост- \ /
ров с помощью этой ве- \ /
ревки? х. ^/
Задача 36. Мальчик,
девочка и собака одно- рис. 37. Озеро, остров и де-
временно начинают дви- ревья.
Ш
гаться по прямой дороге из одной точки. Мальчик и
девочка идут в одном направлении; мальчик со ско-
ростью 4 мили в час, девочка — 3 мили в час. Собака
бегает от мальчика к девочке и обратно без останов-
ки со скоростью 10 миль в час. Примем, что измене-
ние направления ее движения на противоположное
происходит мгновенно. Где она будет час спустя и в
какую сторону будет двигаться? (А. К. Остин.),
ОТВЕТЫ
1. Наименьшее число паек все равно будет равно
восьми, независимо от того, как сгибать проволоку.
Поскольку на каждой вершине встречается нечетное
число граней, придется делать пайку на всех верши-
нах куба.
2. Эо по* ри! Оезсайез ЬеЬге 1Ье Ьогзе («Не
ставь телегу впереди лошади»). [Игра слов, основан-
ная на созвучии: ЭезсаКез — Декарт, 1Ье саг! —те-
лега. — Перев.]
3. Вы можете избегать шаха бесконечно. Двигаясь
по направлению к центру доски, всегда ставьте сво-
его короля на клетку, противоположную по цвету
той, на которой стоит конь. Поскольку после каждого
своего хода конь оказывается на клетке другого цве-
та, то король, находясь на клетке, противоположной
по цвету, чем у коня, может совершенно не опасать-
ся шаха. Единственная опасность для короля — это
попасть в ловушку в углу доски: там вы можете за-
ставить его двигаться по диагонали, и следующим
ходом коня объявить шах.
4. Максимальная постоянная квадрата равна 36
(рис. 38).
5. Один из возможных ответов: «Величина п мень-
ше миллиона».
6. Потому что он заработает на них вдвое больше.
7. Черная кривая делит плоскость на некоторое
число областей. Проследите ход красной линии и вы
увидите, что, попадая в одну из таких областей, вы
обязательно должны из нее выйти, потому что иначе
вы никогда не возвратитесь в ту точку, откуда вышли.
Поскольку каждая точка входа и точка выхода обра-
зуют пару точек пересечения, общее число таких то*
чек всегда будет четным.
8. 2,3.
118
Ч - /
( ^
I )
Рис. 38. Ответ на задачу с картами.
9. В два с половиной раза.
10. Если считать одну из сторон, равных единице,
основанием, а второй стороной начать описывать по-
лукруг (рис. 39), то площадь треугольника, заключен-
ного между этими сторонами, окажется наибольшей,
\
\
♦
Рис, 39. Ответ на задачу о треугольнике,
119
если его высота будет максимальна. Значит третья
сторона нашего треугольника должна равняться
корню квадратному из 2.
П. 1+2 + 3=1X2X3.
12. Из восьми возможных комбинаций пересече-
ний веревки только в двух случаях получаются узлы,
что дает нам вероятность появления узла, равную
7в = 74.
13. Ноизе.
14. Первое число 1324, будучи возведено в любую
степень, должно иметь на конце 6 или 4. Два других
числа, 731 и 1961, при возведении в любую степень
будут иметь на конце 1. Если складывать любое чис-
ло, оканчивающееся на 6 или 4, с любым числом,
оканчивающимся на 1, то у нас никогда не может
получиться число с единицей на конце. Поэтому при-
веденное уравнение не имеет решения.
15. Шёегегошк!.
16. Вот одно из доказательств того, что указан-
ная вероятность равна г/2. Предположим, у челове-
ка, рассматривающего Пентагон в бинокль, есть двой-
ник, который стоит точно против него на том же рас-
стоянии от центра здания, но с другой стороны. Если
один из этих людей видит три стороны здания, то
второй будет видеть только две. Поскольку вероят-
ность оказаться в любой из этих точек для каждого
из них одинакова, то, следовательно, вероятность
того, что наш человек видит три стороны Пентаго;
на, равна х12.
17. Добавив две коротких черточки, мы легко
получим слово НОВО (бродяга, безработный).
18. Для двух произвольных высказываний суще-
ствуют четыре возможных комбинации типа «исти-
на—ложь», а именно: И—И, И—Л, Л—И и Л—Л.
Первая из них исключается, поскольку в условии
оговаривалось, что по крайней мере одно из высказы-
ваний является ложным. Вторая и третья комбинации
также исключаются, потому что если один ребенок
врал, то и другой не мог говорить правду. Следова-
тельно, лгали оба. Итак, у мальчика рыжие волосы,
а у девочки черные.
19. Оба решения показаны на рис. 40.
20. Если АВСБ = 1234, то наша сумма должна
быть меньше 12 300. Если АВСР = 3 456, то указан-
120
1 1+1 1 I | 1 1 1
1 I 1 I к "
• г
• г
• I
• Г"
1 1 1 1 1 1 I 1 к
• Г
• Г
I I I I II |ф| I
•
•
•
•
Рис. 40. Решения задачи о «суперферзях».
ная сумма обязательно будет больше 12 300. По-
этому АВСИ = 2345; зная его, легко определить
число, обозначенное четырьмя точками — это число
4523.
21. Хорошо известно, что любое простое число,
превышающее 3, всегда оказывается на единицу
больше или на единицу меньше некоторого числа,
кратного 6. Нетрудно заметить, что каждое число
вида 6 ± 1 должно попадать на одну и ту же диаго-
наль, и, следовательно, все простые числа будут ле-
жать на этой диагонали.
22. Два любых целых положительных числа.
23. Для данных трех высказываний допустимы
три комбинации типа «истина—ложь»; И—Л—Л,
И—Л—И и И—И—Л. Единственной непротиворечи-
вой комбинацией является в данном случае комбина-
ция И—Л—И, означающая, что у Фимстера вообще
нет книг.
24. В каждом месяце 11 «двусмысленных» дат
(такие даты, как 8/8/71 в любом случае будут по-
няты правильно) —значит, всего в году их будет 132,
25. Если квадратную крышку люка поставить на
ребро, то она может соскользнуть в люк и упасть на
рабочего.
26. Количество различных перестановок из 10
цифр равно 10! =3 628 800. Поскольку ноль не может
быть первой цифрой 10-значного числа, мы должны
вычесть отсюда 3 628 800/10=362 880 комбинации что
дает нам окончательный ответ: 3 265 920 чисел,
121
ж
1 Ш
\ УЖ
Рас. 41. Вычисление площади Рис. 42. Схема расположения
шестиугольников. кубиков,
27. Невозможно, потому что через 72 часа в Ома-
хе опять будет полночь.
28. «То Ье ог по1 1о Ье, 1Ьа1 15 Ше ^ие5^^оп».
29. Вместо того чтобы вписывать шестиугольник в
круг так, как указано в условии задачи, расположите
его так, как показано на рис, 41. Тонкие линии де-
лят больший шестиугольник на 24 конгруэнтных тре-
угольника, 18 из которых образуют меньший шести-
угольник. Отношение их площадей составляет 18;
: 24 = 3 : 4, так что если площадь меньшего треуголь-
ника равна трем квадратным единицам, то площадь
большего — четырем.
30. Смит родился в 1892 году. Ему было 44 в
442 = 1936 году.
31. Я напишу число 10 — так записывается любое
основание в обозначениях (позиционной) системы
счисления с этим основанием.
32. Так же, как и сейчас.
33. Двадцать кубиков. Расположите семь белых
кубиков так, как показано на рис, 42. Красный ку-
бик, заштрихованный на нашем рисунке, поставьте
сверху — он будет центром второго слоя. Третий слой
белых кубиков состоит из семи штук, размещенных в
(том же порядке, что и первый слой, но поверх крас-
ного кубика. Между первым и третьим слоями к
красному кубику можно приложить еще шесть белых]
цо два к его противоположным сторонам, ц еще до
одному к двум оставшимся сторонам,
122
34. Из следующих друг за другом (в английском
алфавите) букв Я5Т1/ можно составить два слова:
гиз1 (ржавчина) и ги1з (привычки). [В русском языке
максимумом, видимо, будет слово «струп». — Перев.]
35. Человек может привязать один конец веревки
к дереву на берегу, а потом, держа в руках другой
конец веревки, обойти озеро вокруг, после чего при-
вязать к тому же дереву и второй конец. Теперь ме-
жду двумя деревьями натянута двойная веревка,
держась за которую человек может легко перебрать-
ся на остров.
36. Через час собака может оказаться в любой
точке между мальчиком и девочкой, а ее морда мо-
жет быть направлена в любую сторону — ив сторону
мальчика, и в сторону девочки. Доказательство: по
истечении часа поместите собаку в произвольную
точку между мальчиком и девочкой, мордой в любую
сторону. Обратите во времени движения мальчика,
девочки и собаки — и все трое окажутся в исходной
точке в один и тот же начальный момент.
ДОПОЛНЕНИЕ
В читательской почте, полученной после публика-
ции этих 36 коротких задач, неожиданностей всякого
рода оказалось, пожалуй, больше, чем после публи-
кации любой другой такой подборки. Читатели вы-
лавливали двусмысленные формулировки, хитроум-
но уклонялись от прямых ответов, находили новые,
а иногда и более удачные решения, отмечали ошибки
и доказывали, что последняя задача не имеет смыс-
ла. Я прокомментирую здесь письма некоторых чи-
тателей, придерживаясь той последовательности, в
которой задачи давались выше.
4. К. Казне, Ч. У. Бостик и другие читатели за-
метили, что на рисунке, приведенном в разделе «От-
веты», четыре фигурных карты изображены непра-
вильно. Трефовый и бубновый валеты следует изобра-
жать с одним глазом, а король пик и король червей
должны быть обращены лицом в другую сторону*
Некоторые читатели считают, что дама бубен также
должна смотреть в другую сторону, но Бостик с
большой дотошностью рассмотрел 30 видов играль-
ных карт, выпускаемых в продажу э США, и
123
обнаружил, что в 18 случаях бубновая дама смотрит
вправо, а в 12— влево.
5. Эта теорема связана с так называемым пара-
доксом индукции, о котором упоминает Карл Поппер
в своей книге «Гипотезы и опровержения»*, где он
приписывает этот парадокс Дж. Агасси. Рассмотрим
следующее высказывание: «Все события происходят
до 3000 года». Поскольку каждое событие в истории
мира до сих пор не противоречило этому утвержде-
нию, некоторые теории индукции вынуждены считать
его в значительной степени оправданным, что в
свою очередь приводит нас к предположению о
большей вероятности наступления конца света до
3000 года.
8. Л. С. Либович вместо запятой, разделяющей
десятичную и целую части числа, поставил между
двойкой и тройкой знак 1п, т. е. символ натурального
логарифма. Это дало ему 21пЗ = 2,197...
11. В задаче Е 2262, опубликованной в ТНе Ма-
1кетаИса1 МопШу, р. 1021—1023 (ЫоуетЬег 1971),
Г. Дж. Симмонс и Д. Е. Ролинсон обобщили этот
вопрос: в их задаче надо было найти все другие на-
боры из к положительных целых чисел, сумма кото-
рых равна их произведению. Выяснилось, что такие
наборы можно найти для любых положительных це-
лых чисел, однако единственные решения существуют
только в небольшом количестве случаев. Так, если
к = 2, то единственным ответом будет 2 + 2 = 2X2,
Наша задача дает единственное решение для к = 3.
В случае к = 4 ответ имеет вид 2 + 4+1 + 1=2Х
Х4Х1Х1.
Читатели этого журнала показали также, что сре-
ди всех значений к, не превышающих 1000, единствен-
ные решения дают следующие к: 2, 3, 4, 6, 24, 114, 174,
444. Как отмечается в редакционном коммента-
рии, возможно, что, кроме этих восьми значений, ни-
какие другие к не дают нам единственно возможных
ответов.
12. Дж. А. Улрих первым высказал мнение, что
вероятность наличия узла на веревке равна 1, по-
скольку веревка не может образовать замкнутую пет-
лю, не будучи завязана в узел.
* Роррег К. СогцесШгез апс! ЦеМаЦопз.
124
13. Лучшим ответом на эту задачу остается слово
коизе, но если использовать менее употребительные
слова, как, например, уе и е1, то можно получить и
другие решения. Дж. А. Миллер прислал мне полу-
ченную с помощью ЭВМ распечатку, в которой пере-
числены 269 слов, причем все эти слова (от слова
аЬНог до слова шаиеу) входят в стандартные слова-
ри английского языка.
14. М. Краскал прислал фотокопию заметки из
газеты «Нью Йорк Тайме» от 22 февраля 1938 г.,
в которой говорится об абсурдном опровержении ве-
ликой теоремы Ферма, с которым якобы выступил
Сэмьюэл А. Кригер. Еще мальчиком он вырезал и
сохранил эту заметку.
15. Соломон У. Голомб предложил еще два отве-
та: ипйег$ипй и ипйегчюоипй.
16. Вероятность увидеть три стороны Пентагона,
равная Уг, — это не точная цифра, а лишь некоторое
предельное ее значение, к которому стремится ука-
занная вероятность при стремлении расстояния от
человека до здания Пентагона к бесконечности. Мое
решение не учитывало существования пяти бесконеч-
ных «полос», каждая из которых пересекает здание
и на которых как наш наблюдатель, так и его двой-
ник видят только две стены Пентагона (если они
окажутся слишком близко к зданию, то вообще уви-
дят только одну стену). Это подметили очень многие
читатели, и я не стану их перечислять.
П. X. Лайонс написал, что вероятность будет рав-
на нулю, «если у вас в Вашингтоне такой же смог,
как у нас в Торонто».
17. У. Эберлин и Д. Данлэп независимо друг от
друга, добавив две черточки, превратили число 11030
в зеркальное отражение слова реоп (батрак), близко-
го по значению к слову НоЪо.
Р. Эллингсон воспользовался тем, что в условия*
вадачи не запрещалось переставлять знаки местами*
Вот что у него получилось:
л
20. X. Марбет из Швейцарии заметил, что если
буквы АВСй заменить любыми четырьмя следующи-
ми друг за другом цифрами, а четыре точки заме-
нить теми же цифрами, взятыми в порядке СйАВ,
то существует вполне разумное решение, которое
можно записать в системе счисления с основанием
А + В +йш Например, при основании 16 мы имеем
4567
7654
6745
12 300
21. А. П. Ивэнс, У. Б. Фридман и другие читате*
ли пишут, что вовсе необязательно знать о том, что
все простые числа, большие 3, имеют вид 6п ±' 1«
Действительно, через числа змеи можно провести
только четыре параллельных диагонали. Обозначим
их, двигаясь сверху вниз, буквами Л, Я, С и й. Все
числа на линии А делятся на 3, а значит, не явля*
ются простыми. Все числа на линиях В и О делятся
на 2 и, следовательно, тоже не могут быть простыми.
Поэтому все простые числа должны попадать на ли*
нию С. «Я думаю,— заключает Ивэнс,— что это не
очень-то честно — заставлять читателей заниматься
диаграммой, на которой только-то и можно провести
прямую линию, которая проходила бы через все про-
стые числа».
23. Когда Джордж говорит: «Книг у него мень-
ше», имеется в виду «меньше того количества, кото-
рое назвал Альберт». Если же понимать это как
«меньше тысячи», что отмечают многие читатели, то
у Фимстера вполне может оказаться ровно 1000 книг,
или же ни одной.
24. X. Дж. Фролич пишет, что, по мнению его дру-
га, запись 8/8/71 тоже в некотором роде является
двусмысленной, поскольку здесь неясно, что озна-
чает первая восьмерка — число или месяц.
25. Поскольку в моей задаче речь шла только с*
крышках люков, а не о самих люках, многие чита*
тели вполне резонно написали, что крышки делают*
круглыми, потому что люки круглые, Дж, У, Стэм
для подтверждения такого ответа сослался даже на
объемистый труд в 4207 страниц (!) под интригую-
126
щим названием «Полное описание конструкций балок
с сечением в виде равностороннего прямоугольника
и круглых резервуаров», опубликованный в 1872 г,
специалистами одной фирмы, занимавшейся проклад-
кой улиц и проведением канализационных работ*
А вот другой ответ: «Крышки делают круглыми, что-
бы потом рабочим не надо было ломать голову, как
поставить их на место» — его прислал мне
П. X. Лайонс.
Дж. Буш пишет, что иногда все-таки и крышки,
и люки бывают квадратными. Так, недалеко от его
дома в Бруклине взрывом сорвало квадратную крыш-
ку канализационного колодца. Когда дым рассеялся,
крышку обнаружили на дне колодца. «Геометрия
не подвела»,— такой вывод делает в заключение
Д. Буш.
28. Гамлетовский ребус «Быть или не быть» изо-,
брел Голомб. Я не знал об этом, когда готовил под*
борку задач к печати.
Дж. Ливай пишет, что, строго говоря, слово «или»
здесь должно обозначаться символом, который соот-
ветствует в математической логике так называемой
сильной (исключающей) дизъюнкции (тот или другой,
но не оба), а не слабой (неисключающей) дизъюнк-
ции (тот или другой, либо оба). В противном случае
'данное высказывание будет означать, что лицо, о ко-
тором идет речь, может «быть» или «не быть» одно-
временно.
32. «Можете ли вы ответить на этот вопрос?» —
писал Голомб в 1971 г.— «Ыо, Ы ТЬапЬ *.
33. Над задачей с кубиками я бился не один год,
и в конце концов пришел к решению, приведенному
выше,— кубиков может быть только 20. Я был ужас-
но удручен, получив через некоторое время от чита*
лелей два различных решения, в каждом из которых
использовалось 22 кубика. На рис. 43 показано, как
ладо расположить пять белых кубиков, чтобы они
все касались одной стороны красного. Поскольку ни
один из белых кубиков не выступает за линию АВУ
мы вполне можем использовать такое расположение
белых кубиков с четырех сторон красного (рис, 44),
* В 1971 г. Генеральным секретарем ООН 6щ У Тан.«-
Прим, аерев. ~
127
Рис. 43. Пять кубиков, примыкающих к грани заштрихованного
кубика.
Еще два кубика закроют грань А и противоположную
ей грань красного кубика. Первым прислал мне это
решение К. Дж. Фосетт, а позднее еще несколько чи-
тателей.
Другое решение независимо друг от друга нашли
Берган, Р. А. Крутар и Р. С. Холмс. На рис. 45 изо-
бражен чертеж, присланный Холмсом. На две про-
тивоположных грани красного кубика идет по восемь
белых, а к четырем оставшимся граням, в виде вто-
рого слоя, прижимается еще шесть белых кубиков.
При этом, насколько я знаю, даже сам факт, что
один единичный квадрат можно перекрыть восемью
не налагающимися друг на друга единичными ква-
дратами, ранее известен не был.
Позже С. Огилви отметил, что, поскольку нижние
углы трех нижних квадратов на рис. 43 не лежат на
горизонтальной линии, места под ними как раз хва-
тит, чтобы поместить сюда еще три квадрата вплот-
ную друг к другу. Тем самым, мы получаем допол^
нительный способ перекрыть восемью кубиками одну
грань красного куба, а значит, еще одно решение
исходной задачи с 22 кубиками.
Я только стал было приходить в себя после
встряски, вызванной знакомством с решением, в ко-
тором используются 22 кубика, как тут же получил
128
Рис. 44. Схема решения для 22 кубиков.
нокаутирующий удар от Холмса (который кстати, ра-
ботает над докторской диссертацией по физике эле-
ментарных частиц в Рочестерском университете), он
нашел решение с 24 кубиками! Позднее Л. Джейнс
вместе с М. Брэдли сообщили о найденном ими ре-
шении с 23 кубиками.
Трудно поверить, но похоже, что до сих пор ни-
кто всерьез не задавался следующим простым вопро-
сом: сколько единичных кубов могут соприкасаться
по поверхности с данным единичным кубом (имея в
виду ненулевые области касания). Все же себе в уте-
шение могу заметить, что мой наивный ответ — 20 ку-
биков — остается лучшим, если добавить еще одно
условие: поверхность данного единичного куба (на
рисунках он заштрихован, чтобы отличить от осталь-
ных, белых) должна быть полностью перекрыта при-
мыкающими к нему кубами. Впрочем, в исходной за-
даче это условие не оговаривалось.
5 Зак. 695
129
Рис. 45, Еще одно решение с 22 кубиками.
Холмс начинает с размещения семи белых кубиков
на одной грани заштрихованного кубика (рис. 46).
Три пары кубиков (представим себе, что каждая из
этих пар склеена вместе) размещаются вокруг грани
центрального заштрихованного кубика так, чтобы се-
редина каждой пары касалась угла грани заштрихо-
ванного кубнка. Седьмой белый кубик (он обозначен
на чертеже буквой Р и нарисован пунктирной лини-
ей) перекрывает грань заштрихованного кубика таким
образом (см. рие. 46), чтобы обе эти грани имели ось
симметрии-, показанную на схеме в виде диагональ-
ной лини». Поворачивая теперь белые кубики по ча-
совой стрелке* удерживая при этом угол А на левом
ребре неподвижной грани заштрихованного кубика и
сохраняя зеркальную симметрию, мы получаем
схему размещения, показанную на рис. 47. Если те-
перь кубик Р% обозначенный пунктирной линией,
130
Рис. 46. Исходная схема размещения в случае решения с 24 ку-
биками, предложенного Холмсом.
сдвинуть немного вверх, то оба смежных угла каж-
дой пары склеенных кубиков будут слегка перекры-
вать {с малой, но ненулевой областью перекрывания)"
часть грани заштрихованного кубика. Эти три обла-
сти перекрывания можно сделать произвольно малы-
ми, не позволяя в то же время белым кубикам Р и
С} выступать влево за вертикальную линию СО.
В результате угол е и расстояние й также могут быть
сделаны произвольно малыми.
Подобные конструкции из семи кубиков пристра-
ивают на передней и задней гранях заштрихованного
кубика. Затем один кубик помещается на централь-
ный кубик точно сверху, другой вплотную прижима-
ется к нему снизу, и еще два кубика накладываются
на правую грань заштрихованного кубика* Таким об-
разом, пять граней центрального кубика соприкаса-
ются теперь с 18 белыми кубикани, а «го шестая
*• 131
Рис. 47. Второй этап в схеме размещения с 24 кубиками.
грань (лежащая слева) остается полностью открытой.
На рис. 48 центральный кубик показан со стороны
этой открытой грани. На левой и правой его сторо-
нах размещается по семь кубиков; на рисунке они
не показаны. (Не показаны также верхний и нижний
кубики и, кроме того, те два, которые закрывают
заднюю грань заштрихованного кубика). Кубик по-
мещается таким образом, чтобы он соприкасался с
верхней частью грани заштрихованного кубика по
узкой горизонтальной полоске шириной й\ последняя
может быть сделана произвольно малой. Это позволя-
ет прижать к указанной грани заштрихованного ку-
бика ниже кубика /С, еще пять кубиков так, как по-
казано на рисунке. Тем самым, общее число сопри-
касающихся кубиков становится равным 24 (7 + 7 +
;+ 1 + 1 + 2 + 1+ 5).
132
Рис. 48. Заключительный этап в схеме размещения 24 куби-
ков, перекрывающий грань куба, оставшуюся открытой,
Полное доказательство возможности сборки такой
конструкции будет, по-видимому^ достаточно громозди
ким и трудоемким, однако те читатели, которым это
покажется интересным, без труда убедятся в возмож*
ности получения такого доказательства, дажечнесмо*
тря на то, что им придется оперировать с очень ма-
ленькими областями перекрывания. Решение с 24 ку^
биками, надо полагать, является максимальным, но
доказать это, по-видимому, невероятно трудно. И пока
это доказательство не будет получено, в нас всегда
будет шевелиться червячок сомнения: а нельзя ли
втиснуть в эту конструкцию еще один-два бельце
кубика?
Т. Кацанис предложил в этой связи другую инте-
ресную задачу: какое минимальное число единичных
кубиков можно расположить вокруг центрального
единичного кубика так, чтобы больше уже нельзя было
добавить ни одного такого кубика? Если определять
133
понятие «касания» так же, как в предыдущей зада-
че, то ответом будет, разумеется, шесть кубиков.
Если же допустить, однако, что под касанием пони-
мается касание наших кубиков ребрами или верши-
нами, то в таком случае задача на нахождение мак-
симума снова становится тривиальной (ее ответ —
26 кубиков), а вот с минимумом дело будет обстоять
сложнее. Правда, Кацанис сумел достигнуть мини-
мума в 9 кубиков, однако, может быть, кому-ни-
будь из читателей удастся добиться лучшего ре-
зультата.
34. П. X. Лайонс прокомментировал эту задачу
следующим образом: «Надеюсь, кто-нибудь из чита-
телей попытался воспользоваться какими-либо други-
ми языками, ну, например, гавайским. Что же каса-
ется английского, то у меня набрался порядочный
список слов, при условии, что буквы из алфавита бе-
рутся не подряд».
35. У. Б, Фридман предложил натянуть веревку
так, чтобы половина ее проходила немного выше
уровня воды, а вторая половина еще выше — тогда
человек мог бы идти по нижней веревке, держась за
верхнюю, даже не замочив ног. По словам Р. X. Лай-
онса, если веревка окажется конопляной, то самый
простой способ —это накуриться конопли до одури,
а потом просто полететь на остров.
36. Этим вопросом (насчет мальчика, девочки и
собаки) я растревожил осиное гнездо. Одни матема-
тики считают, что приведенный выше ответ является
вполне разумным, другие доказывают, что данная
задача не имеет решения, потому что она логически
противоречива. Последние приводят такой аргумент:
вся троица никогда не сможет начать движение, по-
тому что как только они его начнут, собака уже не
будет находиться между мальчиком и девочкой. По-
добные рассуждения уводят нас далеко в открытое
море, все дальше и дальше от спасительного берега
Зенона. Более подробно этот вопрос обсуждается
в гл. 13,
134
ГЛАВА 9
КРЕСТИКИ—НОЛИКИ,
ИЛИ ТИК-ТАК-ТОУ*
— Ну, это так же просто, как
сыграть в крестики—нолики, и так
же легко, как не учить уроков. По-
моему, мы могли бы придумать спо-
соб хоть капельку посложней,
Гек Финн.
Марк Твен.
Приключения Гекльберри Финна
Тик-так-тоу, или игра в крестики — нолики, вовсе
не так проста, как это казалось Тому Сойеру. Когда
Ч. С. Пирс писал свою книгу «Элементы математи-
ки» **, он посвятил целых 17 страниц анализу толь-
ко начального этапа этой древней игры, что, кстати,
явилось одним из многих предвидений «современной
математики», обнаруженных Пирсом. Сейчас многие
преподаватели новой формации часто обращаются к
игре в крестики — нолики, когда знакомят своих уче-
ников с такими математическими понятиями, как
взаимное пересечение множеств, симметрия враще-
ния, зеркальная симметрия, евклидово пространство
более высокой размерности и т. д. В этой главе мы
рассмотрим некоторые необычные аспекты этой игры,
обсуждение которых не вошло в мои предыдущие
книги ***.
Традиционная игра в крестики — нолики, как, навер-
ное, знает большинство наших читателей, при условии
оптимальной стратегии каждого из игроков должна
* Тик-так-тоу — английское название игры в крестики—»
нолики, берущее свое начало от слов детской считалочки. —
Прим. перев.
** Рейхе С. 5. Е1етеп1з о! МаШетаНсз. —1976.
*** Гарднер М. Математические головоломки и развлече-
ния. «М.: Мир, 1971, с, 41.
135
X
0
X
0
X
0
0
0
X
X
0
0
X
X
X
0
*
0
Рис. 49. Игра в крестики и нолики: три простые позиции.
обязательно заканчиваться вничью. Различные за-
бавные задачки, связанные с игрой в крестики — но-
лики, довольно часто появляются в рекламных тек-
стах или в иллюстрированных журналах. Например,
в нью-йоркской газете НегаЫ ТгьЪипе (Мау 13, 1956)
была напечатана реклама фирмы ИБМ с незакончен-
ной позицией, возникшей при игре в крестики — ноли-
ки (рис 49, а). Кто из игроков начинал в этом случае
партию, если считать, что оба они не совершали глу-
пых ходов? Не требуется больших усилий, чтобы до-
гадаться что игрок, ставящий нолики, не мог начи-
нать игру, поскольку в этом случае его партнер своим
вторым ходом поставил бы крестик в верхней ле-
вой клетке. Остальные две позиции почти так же
Тривиальны. Возможна ли, например, позиция, пока-
занная на рис. 49,6? Она взята из газеты ТНе 8а(-
йгйау Еьетпц Ров1 (1апиагу 16, 1937). Позиция на
рис. 49, в тоже заимствована из рекламного текста
\(ТНе Ыеги Уогк ТШез, Липе 1, 1971); кстати, какой ход
был сделан здесь последним?
Если первый игрок, скажем X, начинает игру с
центральной клетки, то он легко может свести партию
к ничьей, которая, вообще говоря, всегда заканчива-
ется одной и той же финальной позицией. На этом
основано несколько трюков с предсказанием ходов.
Например, демонстратор на квадратном листочке бу-
маги рисует окончательную позицию партии со всеми
заполненными клетками. Затем он переворачивает
листок, не показывая его окружающим. После этого
он разыгрывает партию с кем-либо из присутствую-
щих на другом листочке бумаги. Как только игра за-
канчивается вничью, он переворачивает листок со
своим «прогнозом» и — о, чудо! — оба рисунка в
точности повторяют друг друга.
На рис. 50 показано, как это делается. Предполо-
жим, игрок X начинает партию ходом в центр.
136
ы
х,
X.
А
Л
о4
0
х,
к
*,
ов
к
Рис. 50. Фокус
нием».
с «предсказа-
Если его партнер 0 де- г\
лает ход в любую из ^
угловых клеток, то X
сразу сводит игру к
ничьей в позиции, по-
казанной на рисунке
слева (цифры обозна-
чают здесь последо-
вательность ходов^.
При этом игрок X должен четко представлять только
одно — куда сделать свой второй ход, поскольку
все его последующие ходы обусловлены именно
этим вторым ходом. Для запоминания второго
хода можно предложить следующее простое пра-
вило: игрок X выбирает угловую клетку, про-
тивоположную первому ходу игрока 0, после
чего занимает клетку, лежащую рядом с ней
в направлении движения часовой стрелки. Если же
игрок 0 своим первым ходом занимает одну из боко-
вых клеток, то его партнер сразу же сводит игру к
ничьей с помощью позиции, показанной справа. В та-
кой ситуации вынужденные ходы делает только игрок
0, а X должен лишь держать в голове следующие
четыре хода. Для этого подходит простое правило:
игрок X делает свой второй, третий и четвертый хо-
ды на клетки, соседние с предшествующими ходами
игрока 0 и лежащие от них в направлении движения
часовой стрелки, а свой пятый ход — на единствен-
ную оставшуюся свободной клетку. Это правило было
предложено неким Торсоном и опубликовано в жур-
нале М. V. М. (5ер1:етЪег 1960), официальном органе
Общества американских фокусников.
Обратите внимание, что обе финальные позиции
здесь совпадают. Само собой разумеется, что каждая
полученная позиция может быть ориентирована по
отношению к «прогнозу» четырьмя различными спо-
собами [т. е. оказаться повернутой на 90, 180 или
270°.— Перев.], однако в таком случае фокусник как
бы невзначай поворачивает листок с предсказанием
в нужное ему положение и получает картинку, в точ-
ности повторяющую изображение только что закон-
ченной партии.
Вы можете даже проделать этот фокус более хит-
ро. Пусть игрок X на этот раз рисует в «предсказа-
137
'нии» зеркальное отображение предыдущей позиции,
а в процессе самой игры заменяет в сформулирован-
ных выше правилах слова «по часовой стрелке» сло-
вами «против часовой стрелки». При этом оба рисун-
ка с предсказаниями не будут совпадать, как их ни
поворачивай, а то, что одна картинка является зер-
кальным отображением второй, вряд ли кому может
прийти в голову.
К настоящему времени проанализированы десятки
вариантов игры в крестики — нолики на плоскости.
Так, не представляют большого интереса стандартные
модели игры на квадратах более высокого порядка,
чем 3, когда цель игры состоит в том, чтобы на дос-
ке порядка п выстроить ряд из п крестиков или но-
ликов; в такой игре второй участник всегда может
добиться ничьей. В своей первой заметке об играх
типа «крестики — нолики» я описал несколько вариан-
тов этой игры с доской и фишками (одна из таких
игр была известна еще в Древней Греции), а также
игру «тоу-так-тик» (крестики — нолики «наоборот»),
или игру в поддавки, когда партнер, у которого ока-
жется три фишки в ряд, проигрывает.
А. К. Остин предложил игру в «безумные крести-
ки— нолики», в которой оба игрока, делая очередной
ход, могут рисовать, что пожелают — хоть крестик,
хоть нолик. В свое время я показал*, что такая
игра всегда заканчивается победой того, кто сделал
первый ход. А чем, по-вашему, должна закончиться
игра в «безумные поддавки», в которой игроки ри-
суют, что хотят, а проигрывает тот, кто будет вы-
нужден первым составить ряд из трех крестиков или
трех ноликов? В 1964 г. Соломон У. Голомб и Роберт
Эбботт независимо друг от друга обнаружили, что
для игры в «безумные поддавки» годится та же
простая стратегия симметрии, с помощью которой
при обычной игре в «поддавки» первый игрок может
по крайней мере вынудить противника к ничьей. Так,
начав игру с центральной клетки, первый игрок в
дальнейшем всегда должен делать ход в клетку, про-
тивоположную той, в которую сделал ход :го про-
тивник, и, кроме того, всегда должен ставить крес-
* Гарднер М. Математические досуги, — М.: Мир, 1972,
с. 455. ♦
138
тик, если тот поставил нолик, и наоборот. Правда,
вопрос о том, существует ли стратегия, гарантирую-
щая первому игроку победу при игре в «безумные
поддавки», до сих пор остается открытым. Эбботт
предложил исчерпывающую схему в виде дерева со
всеми возможными вариантами игры (позициями) и
доказал, что второй игрок тоже всегда может добить-
ся ничьей. Игра в «нормальные» (обычные) поддав-
ки, как правило, также должна заканчиваться вни-
чью, если, конечно, оба игрока используют рацио-
нальную стратегию.
Интересная разновидность игры в крестики — но-
лики описывается в книге Д. Силвермэна «Ваш ход»*.
Правила ее те же, что и при обычной игре в крести-
ки—нолики, за исключением того, что цель одного
игрока — форсировать вничью, а второй игрок счита-
ется выигравшим, если у любого из партнеров в од-
ном ряду окажутся стоящими три крестика или три
нолика. Попробуйте доказать, что, независимо от то-
го, кто делает первый ход, тот игрок, который стре-
мится выстроить в ряд три крестика или три ноли-
ка, всегда может это осуществить. В книге Силвер-
мэна ничего не говорится по этому поводу, однако я
покажу, как это сделать, в разделе «Ответы».
Невозможно описать все существующие разновид-
ности игры в крестики — нолики на плоскости. Так,
например, вместо крестиков и ноликов могут ис-
пользоваться цифры — с целью получить определен-
ную их сумму, или буквы — с тем чтобы прочитать
определенное слово. Существует еще игра, в которую
играют на вершинах специального девятиточечного
графа (один из вариантов такой игры описан в моей
книге Ма1Ьетаиса1 Ма&1с 5Ьо\у, гл. 5, задача 5).
В другом варианте используют специальные фишки
с крестиком на одной стороне и ноликом на другой,
вводя при этом особые правила, предписывающие,
какой стороной ставить фишку на доску. В про-
даже, наконец, имеются игры, в которых порядок,
какой стороной фишки следует делать очеред-
ной ход, случайным образом зависит от действия
скрытых магнитиков или же других приспособлений,
■* ЗНуегтап О. Ь. Уоиг Моуе. — 1971.
139
действующих неупорядоченно, по принципу играль-
ных костей.
Еще можно играть в крестики — нолики на неог-
раниченной доске. Если цель игры заключается в
том, чтобы поставить в ряд по двум взаимно перпен-
дикулярным направлениям или по диагонали четыре
или любое другое меньшее число символов (крести-
ков или ноликов), то легко показать, что неизбеж-
но должен выигрывать тот из партнеров, кто делает
первый ход. Задача существенно усложняется, если
нам нужно выстроить в ряд пять соответствующих
символов. Эта древняя восточная игра известна в
Японии под названием «го-моку» (пять камней);
играют в нее на доске, предназначенной для игры
«го». (В США эту игру под названием Ред[Ну выпу-
скает фирма Рагкег ВгоШегз.) Хотя многие счита-
ют, что для игрока, делающего первый ход, сущест-
вует определенная выигрышная стратегия, однако,
насколько мне известно, это утверждение пока еще
никем не доказано.
Нет никакого сомнения в том, что при игре в го-
моку на неограниченной доске игрок, делающий ход
первым, обладает значительным преимуществом,
причем оно настолько значительно, что в Японии
для ослабления позиции этого игрока принято за-
прещать ему в процессе игры делать следую-
щие ходы:
1) ход, создающий «вилку» одновременно для двух
или более пересекающихся открытых рядов из трех
камней. («Открытый ряд из трех камней» означает
здесь любую позицию, при которой оказывается воз-
можным построить ряд из четырех идущих один за
одним камней, открытый с обоих концов.) Исключе-
ние: подобный ход разрешается в том случае, если
он является единственным способом не дать против-
нику выстроить ряд" из пяти камней;
2) ход, в результате которого получается ряд бо-
лее чем из пяти камней. Другими словами, чтобы вы-
играть, надо построить ряд именно из пяти камней.
Во встречах высокого ранга оба этих правила
применяются обыкновенно лишь по отношению к то-
му игроку, который делает первый ход. В Японии
игра, в которой действуют эти правила, обычно на-
зывается «рэндзю».
140
В свое время высказывалось предположение, что
если при игре в го-моку без ограничений типа (1) —
(2) на достаточно большой доске существует некото-
рая выигрышная стратегия для игрока, делающего ход
первым, то подобная же выигрышная стратегия дол-
жна существовать и при введении указанных запре-
тов, если только поле для игры достаточно велико.
Это предположение, однако, до сих пор еще не под-
тверждено теоретически. Даже если будет доказано
существование выигрышной стратегии при игре в го-
моку без ограничений типа (1) — (2), то остается еще
много неясных вопросов, например: каковы минималь-
ные размеры доски, на которой первый игрок всегда
может обеспечить себе победу, каков самый короткий
путь к победе? Может быть, оба этих вопроса допу-
скают однозначный ответ на примере одного и того
же варианта игры, а может быть, и нет.
В игре в го-моку без ограничений, так же как и
в аналогичных играх для любого числа измерений,
второй игрок не может иметь выигрышной стратегии.
Простое доказательство от противного, сформулиро-
ванное Дж. Нашем для игры в гекс, сводится упро-
щенно к следующему. Предположим, что для второго
игрока существует некоторая стратегия игры на вы-»
игрыш. Но если это так, то, значит, первый игрок
вполне может сделать какой-нибудь немотивирован^
ный, случайный ход — ход, который, вообще говоря,
является чистой формальностью,— и тем самым фак-
тически оказаться в положении своего соперника, что
сразу дает ему возможность добиться победы, вос-
пользовавшись предполагаемой выигрышной страте-
гией для второго игрока. Однако это противоречит
исходному предположению, и, следовательно, никакой
стратегии игры на выигрыш для второго игрока не
существует. Что же касается первого игрока, то он
может либо выиграть, либо по крайней мере свести
игру к ничьей, если, конечно, данная игра допускает
ничейный результат.
Го-моку — очень увлекательная игра. Чтобы ощу-
тить ее особую прелесть, приглашаю читателей по-
размыслить над позицией, взятой из упомянутой нами
книги Силвермэна (рис. 51): нолики начинают и вы-
игрывают в пять ходов. Заметим, что игрок X имеет
по диагонали открытый ряд из трех крестиков,
141
X
0
X
0
0
X
0
X
0
X
X
0
0
X
X
X
0
*
Рис. 51. Задача «то-моку»: нолики начинают и выигрывают.
который он рассчитывает превратить в открытый ряд
из четырех крестиков.
Если распространить игру в крестики — нолики на
три измерения, то в случае кубика третьего порядка
первый игрок легко выигрывает, занимая своим на-
чальным ходом центральную ячейку. Как отмечает
Силвермэн, если первый игрок не займет сразу цент-
ральную ячейку, то ее вполне может занять второй
игрок и тем самым выиграть партию. Если ход в
центр запрещается обоим игрокам, по победы легко
добивается первый игрок. В случае игры в трехмер-
ные поддавки (тот, кто первым выстроит ряд из трех
одинаковых символов, проигрывает) также выигры-
вает первый игрок, т. е. тот, кто начинает игру. При
этом он может воспользоваться той же стратегией,
которая обеспечивает ничью в случае игры в под-
давки на плоскости, т. е. сначала занять централь-
ную ячейку, а затем делать ходы, симметрично-про-
тивоположные ходам противника. Поскольку при
игре в кубике третьего порядка ничейные позиции не-
возможны, второй игрок в конце концов бывает вы-
нужден построить ряд из трех символов. Д. Коэн
1(см. список литературы в конце книги) доказал, что,
как и в случае игры в поддавки на плоскости, такая
стратегия является единственно возможной стратеги-
ей выигрыша. Первый игрок проигрывает, если он де-
лает свой ход не в центральную ячейку; кроме того,
он проигрывает также, если не придерживается пра-
вила диаметрально противоположных ходов.
142
При игре с кубиком четвертого порядка оказывав
ются возможными ничьи, однако на вопрос, может
ли первый игрок с помощью какой-либо определен-
ной стратегии обеспечить себе выигрыш партии, по
моим сведениям, ответа пока не установлено. (При
этом для второго игрока, естественно, не может су*
шествовать выигрышной стратегии согласно доказа-
тельству Нэша.) Как и в случае с игрой го-моку,
первый игрок обладает здесь значительным преиму-
ществом, и многие считают, что для первого игрока
действительно существует определенная выигрышная
стратегия. Было много попыток составить машинные
программы этой игры, однако сложность ее настоль-
ко велика, что, на мой взгляд, к настоящему времени
пока еще никому не удалось строго доказать возмож-
ность выигрыша для первого игрока. Я получил от
читателей более десятка описаний, которые, по их
мнению, можно считать такого рода выигрышной
стратегией, однако все они не подтверждены строги-
ми формальными доказательствами. Большинство
этих стратегий основаны на занятии четырех из вось-
ми центральных ячеек с последующим переходом к
форсированному выигрышу. О трехмерных же играх,
в которых фишки могут перемещаться из ячейки в
ячейку, мы фактически ничего не знаем.
Еще один неисследованный класс трехмерных
игр — это игры, в которых имеется ограниченное ко-
личество единичных кубиков двух или более цветов,
из которых оба игрока по очереди берут по одному
кубику, стараясь сложить куб больших разме-
ров. Выигрыш одного из партнеров обеспечивается,
например, в том случае, если он сумеет, используя
единичные кубики п разных цветов, построить ряд
из п кубиков, в котором все п цветов окажутся раз-
личными. Правда, в такого рода играх очень мешает
сила тяжести — ведь кубики никак не подвесишь в
воздухе!
Поскольку в обычной игре в крестики и нолики
ничейный результат на доске третьего порядка воз-
можен лишь в двумерном случае, т. е. на некоторой
плоскости, а на доске четвертого порядка — лишь в
трехмерном случае, было высказано предположение,
что в /г-мерном пространстве наименьшая доска, на
которой можно сделать ничью, должна иметь п + 1
143
««клеток» по каждой стороне. Оказалось, однако, что
хотя в /г-мерном пространстве на доске [п + 1)-го
или более высокого порядка игру всегда можно за-
кончить вничью, то же самое бывает иногда возмож-
но и на п-мерной доске с числом клеток на каждой
стороне меньше, чем п + 1- Впервые этот факт уста-
новил Алфред У. Хэйлз в 1960-х годах, сумев постро-
ить ничейную позицию на гиперкубе четвертого по-
рядка, т. е. на четырехмерном кубе.
Несколько читателей в свое время прислали мне
неформальные, но, по-видимому, вполне обоснованные
доказательства того, что первый игрок всегда может
обеспечить себе победу при игре на гиперкубе чет-
вертого порядка. Но всегда ли первый игрок сможет
выиграть, если игра идет на гиперкубе пятого поряд-
ка? Это еще один из вопросов, остающихся пока без
ответа и касающихся различных вариантов и обоб-
щений той самой игры, которую многие люди, подоб-
но Тому Сойеру, считают совсем «простой».
ОТВЕТЫ
Позиция на рис. 49, б невозможна. В самом деле,
первый и последний ходы, судя по всему, были сде-
ланы игроком 0, но игрок X уже занял три клетки
подряд, т. е. фактически добился победы еще до фи-
нального хода, так что этот последний ход игрок X
никогда не стал бы делать. Что же касается позиции
на рис. 49, в, то если бы X сделал первые два хода
в клетки одного ряда, то своим третьим ходом он
мог бы завершить игру победой. Но поскольку это
не так, то очевидно, что его первые два хода были
сделаны в клетки, лежащие по диагонали, а послед-
ний ход — в правый верхний угол.
Приведенные позиции настолько просты, что я
добавлю здесь еще одну задачку потруднее — для ис-
следования ее нам потребуется то, что шахматисты
называют обычно ретроградным анализом. На рис. 52
приведена позиция, при которой два достаточно силь-
ных игрока согласились на ничью. Ваша задача —•
определить их первый и последний ходы. Если вам
не удастся решить эту задачу, то ответ на нее мож-
но найти в 1оита1 о/ КесгеаИопа1 Ма1НетаИс8%
р. 70 (V. 11, № 1, 1978), Задачу эту впервые опуб«
144
ликовал Л. Марвин в одном
из предыдущих номеров того
же журнала.
В первой задаче Силвер-
мэна игрок X всегда может
обеспечить себе выигрыш не-
зависимо от того, кто сделает
первый ход. Предположим, что первый и последний хо-
все клетки игрового поля пе- ды в этой позиции?
ренумерованы (слева напра-
во и сверху вниз) цифрами от 1 до 9. Доказатель-
ство Силвермэна заключается в следующем.
Если игрок X начинает игру, то он может сделать
ход, например, в клетку 1. При этом игрок О должен
занять клетку 5, иначе X легко сумеет построить ряд
из трех крестиков, пользуясь обычной стратегией
игры на выигрыш. Ход Х2 влечет за собой ход 03%
а ход Х4 — ход 07, после чего три нолика оказыва-
ются на одной линии, что и приносит победу иг-
року X.
Если игру начинает О, то он может начать с цент-
ральной, угловой или боковой клетки. Если он начи-
нает с центра (клетка 5), то игрок X отвечает ему
ходом в клетку 1. Если первый ход игрока О есть
02, то ход Х7 влечет за собой ход 04, после чего ход
Х9 заставляет игрока О сходить 08, что означает для
него проигрыш. Если же О делает свой второй ход в
клетку 3, то после хода Х4 он вынужден идти на
07 —это также приводит его к проигрышу. Если те-
перь свой второй ход игрок О сделает в клетку 6, то
тогда ход Х7 вынуждает его идти в клетку 4, что тоже
означает проигрыш. Если, наконец, О делает свой
второй ход в клетку 9, то ход Х2 заставляет его от-
ветить ходом 03, а последующий ход Х4 приводит
его к проигрышу на клетке 7. Все остальные вари-
анты игры симметрично эквивалентны описанному
здесь.
Если игрок О начинает игру с боковой клетки,
скажем с клетки 4, то ход ХЪ сразу обеспечивает
победу игроку X. Как в предыдущем случае, здесь
возможны четыре различных варианта игры: 1) 01,
#3, 07 (проигрыш); 2) 02,^3,07,^9,01 (проигрыш);
3) 03, *9, 01, Х8, 02 (проигрыш); 4) 06, ХЗ, 07, Х9,
01 {проигрыш),
_Х,
_0
X
0
|0
145
X
0
X
0
Х6
0
X
0
X
0
о5
X
X
х2
03
х4
а
о
о,
X
о7
X
X
О
1
I
1 1
[^
г
! \-
Рис. 53. Решение задачи «го-моку>.
Если теперь игрок О начинает партию ходом в
угол, например ходом 01, то его партнер X отвечает
ему ходом в центральную клетку 5, после чего опять
возникают четыре принципиально различных продол-
жения: 1) 02, Х7, 03 (проигрыш); 2). 03, Х8, 02
(проигрыш); 3) 06, Х89 02, Х7, 03 (проигрыш);
4) 09, Х2, 08, ХЗ, 07 (проигрыш).
В эту игру можно играть также на доске разме-
ром 4X4 при тех же условиях, а именно: игрок X
выигрывает, если на поле возникает ряд из четырех
одинаковых символов (крестиков или ноликов), а
игрок О считается выигравшим, если игра заканчи-
вается вничью. Правда, сложность игры в этом слу-
чае невообразимо возрастает, причем, как сообщает
Силвермэн, такой вариант игры еще не проанализи-
рован до конца.
В задаче Силвермэна, связанной с игрой в го*
моку, игрок О выигрывает, сделав ход 01 (рис. 53)'.
За этим следует вынужденный ход Х2% после чего
ход 03 влечет за собой ход Х4, а ход 05 заставляет
противника сделать ход Х6. Наконец, ходом 07 созда-
ется открытый диагональный ряд из четырех ноликов*
который игрок X никак не может заблокировать, по-
скольку если X добавляет соответствующий символ
146
[(нолик) на одном конце ряда, то игрок О делает ход
в клетку на другом его конце, тем самым обеспечи-
вая себе выигрыш. Как отмечает в своей книге Сил-
вермэн, игрок О может добиться победы только с по-
мощью контратаки. В самом деле, если он начнет
защищаться, пытаясь блокировать открытый диаго-
нальный ряд из трех символов, то незамедлительно
придет к проигрышу.
Заметим, что если игрок X делает ход в клетку 2,
то при этом в позиции возникает «вилка». Однако
это вполне разрешается правилами, поскольку ход
этот вынужденный — ведь он является единственным
способом предотвратить выигрыш его противника О
на следующем ходу.
ДОПОЛНЕНИЕ
Дж. Селфридж сообщил мне о том, что он нашел
решение еще для одного варианта игры в крестики —
нолики под названием «четыре на бесконечность», в
которую играют на полоске шириной в 4 клетки и
бесконечной длины. Выигрывает в данном случае
тот, кому первому удастся расположить в ряд четыре
соответствующих символа — по двум взаимно пер-
пендикулярным осям или по диагонали. К. Ластен-
бергер в своей диссертации, посвященной проблемам
машинного моделирования, разработал программу с
выигрышной стратегией для первого игрока в случае
игры на поле размером 4 X 30. Собственно говоря,
фактическая нижняя граница длины игрового поля
оказалась даже немного короче, однако подробности
этой работы мне неизвестны.
При игре на поле размером 3 X °° первый игрок
легко одерживает победу на третьем ходу; в действи-
тельности аналогичной победы можно без труда до-
биться, прибавив к традиционному полю для игры в
крестики — нолики размером 3X3 всего лишь одну
боковую или угловую клетку. В то же время анало-
гичная задача для поля размером 5 X °° пока еще не
решена. Очевидно, что если бы нам удалось разра-
ботать стратегию выигрыша для первого игрока на
таком поле, то тем самым,, естественно, была бы
решена и задача об игре в «го-моку» для случая
147
квадратного поля произвольных размеров и без огра-
ничений типа (1)—(2).
Первым, кто разработал программу для ЭВМ,
обеспечивающую победу первого игрока при игре в
крестики — нолики на поле размером 4X4X4, был
О. Паташник из фирмы Ве11 ЬаЪога1опез. Я уже со-
общал читателям о проверке этой программы, появив-
шейся в 1977 г., в своей колонке в январском номере
журнала Заеп(фс Атепсап за 1979 г. Для этой
проверки потребовалось около 1500 ч. машинного вре-
мени, а по длине и сложности ее можно сравнить с
машинным доказательством теоремы о четырех крас-
ках. Я не стану больше рассказывать об этом, по-
скольку сам Паташник в своей статье (см. библио-
графию) весьма подробно и в очень занятной форме
описал весь ход работы. Согласно этой программе,
для достижения выигрыша нужно сделать 2929 стро-
го регламентированных ходов; быть может, это число
и не является минимально возможным, однако я не
знаю, существует ли программа с меньшим числом
ходов.
В 1973 г. в Нидерландах была выпущена марка,
на которой изображена ничейная позиция при игре
в крестики — нолики.
Ш. Уонг, специалист по компьютерам из Универ-
ситета Гуэлфа в канадской провинции Онтарио, с
1979 г. ежемесячно выпускает «Бюллетень го-моку»
{(Оотоки ЫехюзкНег), а на базе этого университета
с 1975 г. проводится первенство Северной Америки
по го-моку среди компьютеров. При этом разрабаты-
ваемые специалистами машинные программы стано-
вятся все более и более совершенными.
В США выпускается в продажу популярный вари-
ант игры в го-моку под названием «Пенте». По мыс-
ли автора этой игры Г. Гэйбела, она сочетает в себе
наиболее характерные особенности го-моку с элемен-
тами игры го — см. журнал Ыешьтеек, р. 79 (Мау 10,
1982.)
Некоторые читатели в своих письмах подчеркива-
ют, что доказательство Нэша применимо лишь к игре
в го-моку при отсутствии ограничений типа (1) — (2).
Это доказательство базируется на идее о том, что
лишний, или дополнительный, камень не оказывает
влияния на ход игры, в то время как в варианте
148
2
6
6
7
1
10
9
11
10
3
5
12
12
3
5
8
11
7
8
1
9
4
4
2
Рис. 54. «Парная» стратегия, предложенная У. Ф. Ланноном,
игры в го-моку с ограничениями правила допускают
ситуации, когда лишний камень может ухудшить по-
зицию игрока, владеющего им.
Генри Поллак и Клод Шеннон, по-видимому, пер*
выми доказали, что второй игрок вполне может до-
биться ничьей при игре в крестики—нолики типа
«п в ряд» без ограничений на достаточно большом
поле, если п больше или равно 9. Их доказательст-
во, полученное в 1955 г., не было опубликовано. Его
приводит Т. Г. Зеттерс в Атепсап Ма1НетаИса1
МопШу, 87, р. 575—576 (Аивий — Зер1етЪег 1980),
Зеттерс показывает также, как можно распростра-
нить это доказательство на случай п = 8. По моим
сведениям, для п = 5, 6 и 7 вопрос до сих пор оста-
ется открытым.
В 1971 г. У. Ф. Ланнон из Кардиффского универ-
ситета прислал мне описание простой «парной» стра-
тегии неизвестного происхождения, гарантирующей
второму игроку ничью при игре в крестики — нолики на
поле размером 5X5. Перенумеруем клетки доски так,
как показано на рис. 54. Всякий раз когда первый
игрок делает ход в ту или иную пронумерованную
149
1
6
7
16
17
7
13
14
8
3
4
8
2
5
15
11
11
18
13
14
9
1
6
9
3
4
10
16
17
10
12
12
15
2
5
18
Рис. 55. Стратегия Ланнона — Слоуна, обеспечивающая ничью
второму игроку.
клетку, второй игрок тут же должен пойти в дру-
гую клетку с тем же самым номером. Поскольку
в каждом ряду из пяти клеток всегда найдется
пара таких одинаково пронумерованных клеток, то
первому игроку никак не удастся занять целый ряд.
Если первый игрок занимает центральную, пустую
клетку, то второй может просто сделать ход в лю-
бую клетку; если же та клетка, которая нужна ему
в соответствии с парной стратегией, оказывается за-
нятой, то он опять-таки может сделать свой ход со-
вершенно произвольно.
Ланнон сообщил также, что вместе с Н. Слоуном
они разработали интересную стратегию, обеспечиваю-
щую для второго игрока ничью на доске размером
6X6,—она также основана на принципе парности
клеток. Эта стратегия не только блокирует выигрыш
в любом ряду, в любом столбце или на главных ди-
агоналях—она не дает возможности расположить
150
6 одинаковых символов даже на ломаной диагонали!
При этом клетки нумеруются, как показано на
рис. 55. Как и в предыдущем случае, стратегия игры
заключается в том, чтобы всегда делать ход в клет-
ку с тем же номером, который перед этим «закрыл»
ваш противник.
И еще несколько замечаний. Стратегия Ланно-
на — Слоуна позволяет получить изящное доказатель-
ство того, что игра в го-моку по типу «9 в ряд» при
отсутствии ограничений всегда сводится к ничьей,
В самом деле, покроем бесконечное игровое поле
идентичными матрицами размером 6X6. При этом
оказывается, что второй игрок всегда может свести
игру вничью, занимая ближайшую клетку с тем но-
мером, на который был сделан последний ход про-
тивника. Нетрудно сообразить, что в подобной ситуа-
ции первый игрок никогда не сможет построить ряд,
состоящий более чем из 8 символов.
В случае досок размером лХя, где п больше или
равно 6, обеспечивать второму игроку стратегию, га-
рантирующую ему ничью, оказывается совсем легко:
для этого нужно всего лишь в каждом ряду из п
клеток выбрать по паре клеток, перенумеровав их
одинаковыми числами (разными для разных пар).
Правда, при п = 3 или 4 сделать это невозможно,
так что в этих случаях возможность достижения ни-
чейного результата приходится доказывать другими,
не столь изящными способами.
ГЛАВА 10
СКЛАДЫВАНИЕ МНОГОГРАННИКОВ
У Платона в диалоге «Федон» Сократ говорит,
что Земля, если посмотреть на нее из космического
пространства, «похожа на разноцветный мяч, сделан-
ный из 12 кусков кожи». В связи с этим историки
полагают, что древние греки делали мячи, сшивая
151
вместе 12 по-разному окрашенных кожаных пяти-
угольников и набивая их каким-нибудь мягким ма-
териалом, с тем чтобы придать полученным таким
образом телам шарообразную форму. Понятно, что
из жестких правильных пятиугольников одинакового
размера у них получался правильный додекаэдр —
одно из пяти так называемых Платоновых тел.
Существует множество способов складывания этих
пяти правильных выпуклых тел из плоских кусков
толстой бумаги или картона, точно так же как су-
ществует множество задач, связанных с окраской по-
верхностей этих тел. По-видимому, первым, кто
всерьез задумался о плетении или складывании пра-
вильных пространственных фигур из полосок бумаги,
был английский медик Джон Горем, который в
1888 г. опубликовал ставшую в настоящее время
большой редкостью книгу «Система создания моделей
кристаллов, сплетаемых по принципу обычной косы» *,
Позднее его приемы были усовершенствованы
А. Р. Паргитером и Дж. Брайтоном (см. список ли-
тературы). Совсем недавно Дж. Дж. Петерсен, пре-
подавательница математики из Университета в Сан-
та-Клара, предложила новый, весьма оригинальный
вариант техники плетения. С помощью этого способа
можно строить не только Платоновы тела, но и мно-
гие другие многогранники. Получающиеся при этом
модели с великолепной симметрией в расположении
цветов дают нам богатый материал для рассмотрения
различных теорем и задач комбинаторного анализа.
В отличие от своих предшественников, которые
использовали в основном разного рода изогнутые и
асимметричные исходные образцы, миссис Петерсен
для получения любого Платонова тела использует
всего лишь п прямых бумажных полосок одинакового
размера. Предположим, что каждая такая полоска
окрашена в свой определенный цвет, и, кроме того,
будем считать, что полученные нами модели облада-
ют следующими свойствами:
1) каждое ребро многогранника по крайней мере
один раз пересекается бумажной полоской, т. е. ни
одно из его ребер не является открытой щелью;
* ОогЬат Л. А 5уз1ет 1ог 1Не Сопз1гис1юп о! Р1аИе(1
СгузЫ Мос1е1$ оп Ше Туре о* Ше ОгсНпагу Р1аЦ. — Ьопйот
1888,
152
Рис. 56. Складывание тетраэдра.
2) все цвета на поверхности модели должны быть
представлены поровну. (Это означает, что в один и
тот же цвет будет окрашено одинаковое число гра-
ней — такое утверждение справедливо для всех Пла-
тоновых тел, за исключением додекаэдра, который
при использовании этой техники плетения будет
иметь двухцветные грани.)
Петерсен доказала, что при соблюдении обоих
указанных условий для плетения тетраэдра, куба,
октаэдра, икосаэдра и додекаэдра необходимо и до-
статочно взять соответственно две, три, четыре, пять
и шесть бумажных полосок.
Рассмотрим, например, как с помощью этого ме-
тода сложить тетраэдр. Для получения нужной нам
модели вполне можно обойтись и одной прямой по-
лоской, однако тогда у нас появятся открытые реб-
ра. Чтобы избежать этого, надо воспользоваться по
крайней мере двумя полосками. Движением к себе
согните полоски по пунктирным линиям, как это по-
казано на рис. 56. (Чтобы сгибать полоски более
ровно и аккуратно, имеет смысл заранее поглубже
наметить сгибы твердым карандашом). Наложите те-
перь одну полоску на другую, как это показано на
рисунке (с тем чтобы у них совпало по одному тре-
угольнику), а затем согните нижнюю полоску в фор-
ме тетраэдра. После этого верхней полоской оберните
две грани полученного тетраэдра, а последний кон-
цевой треугольник засуньте в образовавшуюся откры-
тую щель. Если взять хорошую жесткую бумагу двух
цветов, то у вас получится правильный тетраэдр с
двумя смежными гранями одного цвета и двумя —
другого (в тетраэдре, разумеется, любые две грани
являются смежными),
153
Рис. 57. Куб, сложенный из трех полосок.
Для того чтобы подобным способом сложить куб,
нужны три полоски разного цвета (рис. 57). Как и
ранее, движением к себе согните их по пунктирным
линиям. Теперь попробуйте сплести из этих трех по-
лосок жесткую кубическую структуру — это оказыва-
ется совсем простым делом, не требующим особых на-
выков. Нетрудно убедиться, что имеются два суще-
ственно различных способа построения такого куба,
с двумя различными гранями каждого цвета.
При одном из этих способов одинаково окрашен-
ными оказываются соседние пары граней. Если пред-
ставить себе, что концы каждой полоски склеены
друг с другом, причем так, что их крайние квадраты
накладываются один на другой, то такая модель куба
оказывается состоящей как бы из трех замкнутых по-
лосок, каждая пара которых сцеплена между собой.
Теперь вообразите себе, что поверхность куба сдела-
на из мягкого материала, потом этот куб чем-нибудь
набивают (подобно кожаному додекаэдру, упоминае-
мому Платоном), пока его поверхность не примет
сферическую форму. Самое удивительное, что окрас-
ка такого мяча, как установил П. Хейн, будет пред-
ставлять собой своеобразный трехмерный аналог по-
пулярного восточного символа — монады «инь и янь»«
Как и символ «инь и янь», эта окраска будет асим-
метричной, причем она может оказаться как право-,
так и левосторонней. П. Хейн предложил назвать об-
разующиеся при этом одинаково окрашенные обла-
сти, соответственно, инь, янь и ли. Последние два
названия были выбраны им в честь Ч. Янга * и
* В английской транскрипции слово «янь» и фамилия Янг
совпадают, однако в силу сложившихся традиций графическая
их форма в русском языке оказывается различной, —. Прим.
перев.
154
Рис. 58. Как скрепить полоски бумаги, чтобы еложить из них
октаэдр.
Ц. Ли — двух американских физиков китайского про-
исхождения, которые в 1957 г. получили Нобелев-
скую премию за открытие нарушений закона сохра-
нения четности.
При другом способе плетения куба из трех поло-
сок одинаковыми по цвету оказываются его противо-
положные грани. Представим себе снова, что концы
каждой полоски склеены. В данном случае структура
нашей модели оказывается довольно неожиданной.
'Хотя разделить кольца, образованные склеенными по-
лосками, невозможно, между собой они, однако, не
сцеплены. Поэтому если убрать одну полоску, то две
оставшиеся сразу отделятся друг от друга.
Для плетения октаэдра нам потребуются четыре
полоски с «долинными» сгибами*, показанные на
рис. 58. Правда, т них невозможно собрать такую
модель, у которой противоположные грани были бы
одного и того же цвета. (Сумеете ли вы строго это
доказать?) Однако нетрудно сделать модель, в ко-
торой пары смежных граней имеют один и тот же
цвет, а на двух диаметрально противоположных вер-
шинах октаэдра встречаются все четыре цвета, при-
чем порядок следования цветов на одной вершине
оказывается обратным по- сравнению с другой вер-
шиной. Лучше всего начать плетение, наложив друг
* По поводу «долинных» сгибов смотри замечание на
стр. 96» ^ Прим, пере в.
156
Рис. 59. Икосаэдр, сложенный из пяти полосок.
на друга две пары полосок и скрепив их с помощью
обычной канцелярской скрепки, как показано на
рис. 58 в центре. Сложив октаэдр из одной пары
полосок, оплетите его второй парой полосок, запра-
вив оба их свободных конца в щели таким образом,
чтобы получить нужное расположение цветов. После
того как вы завершите все эти операции, постарай-
тесь аккуратно забраться внутрь октаэдра и выта-
щить скрепки.
Соорудить из бумажных полосок октаэдр оказы-
вается гораздо более трудной задачей, чем собрать
из них куб, но, занимаясь подобными построениями,
точно так же как и для всех остальных моделей, по-
лучаешь просто эстетическое наслаждение, когда, за-
правив последний кусочек полоски, чувствуешь, как
собранная твоими руками модель приобрела жест-
кую структуру, превратившись в нужное геометриче-
ское тело. Миссис Петерсен отмечает, что и эта, и
остальные четыре модели получаются очень краси-
выми и прочными, если полоски бумаги проклеить
лентой из ткани соответствующего цвета.
Икосаэдр собирают из пяти полосок, согнутых с
помощью «долинных» сгибов, как показано на рис. 59.
Можно сделать очень изящную модель, в которой
каждый цвет появляется на двух парах смежных
граней, причем эти пары располагаются диаметраль-
но противоположно по отношению друг к другу,
В данном случае на двух противоположных по диа-
метру вершинах сходятся все пять цветов, причем
порядок чередования цветов на них оказывается вза-
имно обратным, Каждая полоска будет при этом про*
156
Рис. 60. Додекаэдр, сложенный из шести полосок.
ходить по «экватору» икосаэдра, причем два крайних
треугольника каждой полоски накладываются друг
на друга. При изготовлении модели, когда все пять
перекрывающих друг друга концов полосок парами
окружают вершину икосаэдра, их можно склеивать
или соединять скрепками, которые в дальнейшем лег-
ко снимаются. Правда, это можно сделать для всех
пар, за исключением последней. Оба последних, пере-
крывающих друг друга треугольника заправляются
затем в соответствующую щель. После некоторой тре-
нировки вы научитесь легко обходиться без клея или
скрепок.
Додекаэдр представляет собой единственную фи-
гуру, которую нельзя сложить с помощью прямоли-
нейных бумажных полосок таким образом, чтобы все
его грани оказались окрашенными целиком в один и
тот же цвет. Однако миссис Петерсен сумела приду-
мать способ, как из шести полосок бумаги сложить
додекаэдр, представленный на рис. 60. «Долинные»
линии сгибов, показанные на рисунке пунктиром, об-
разуют с прямолинейными краями полоски тупой
угол в 108°; этот угол соответствует внутреннему
углу правильного пятиугольника. При этом длина
каждой пунктирной линии сгиба должна равняться
длине более коротких отрезков по краям полоски.
Иначе говоря, каждый участок полоски в виде тра-
пеции, образованной краями полоски и линиями сги-
ба, должен представлять собой усеченный правиль-
ный пятиугольник.
Для получения самого сложного из Платоновых
тел — додекаэдра — миссис Петерсен предлагает
взять три пары полосок и, накладывая их соответ-
157
Риг. €/. Как скрепить вместе пары "бумажных полосок, чтобы
сложить из шх додекаэдр.
ствующим образом друг на друга, склеить из них
криволинейную пространственную фигуру наподобие
браслета, показанную на рис. 61. После этого, взяв
два браслета, наложите друг на друга свободные
пары концов и склейте их так, чтобы получилось не-
что вроде пары сплетенных замкнутых лент., Затем
вставьте один браслет в другой, так чтобы каждый
из «их шел по различным экваторам додекаэдра. На-
конец, третий браслет вплетите как бы по третьему
экватору, а четыре его свободных конца вставьте в
щели на противоположных сторонах каждой пары
смежных пятиугольных граней. Все эти операции не-
сколько напоминают нам способ плетения куба, у
которого противоположные грани имеют одинаковый
цвет. При определенных навыках сборки можно обой-
тись и без клея, одними скрепками, соединяющими
браслет в единое целое. Если же пользоваться скреп-
ками, то после завершения всех этапов сборки их
можно просто вытащить.
Отметим, что каждая грань готового додекаэдра
оказывается окрашенной в два цвета. Те же самые
цвета появляются и на диаметрально противополож-
ной трави, однако располагаются они здесь в обрат-
ном порядке. Расположение цветов на диаметрально
противоположных вершинах тоже обладает зеркаль-
ной симметрией. Модель, показанная на рис. 60
(вместо цветов использована различная штриховка,
158
а также белый цвет), на первый взгляд кажется
асимметричной, но когда держишь в руках реальную
модель додекаэдра, то сразу замечаешь ее своеобраз-
ную симметрию. При этом восемь вершин додекаэдра*,
на которых встречаются ровно три цвета, оказыва<
ются вершинами вписанного в него куба, а четыре
вершины, окруженные тремя треугольниками, пред*
ставляют собой вершины вписанного в него тетра*
эдра.
Описывать словами процедуру плетения двух по-
следних моделей довольно трудно, поэтому я остав-
ляю эти построения в качестве дополнительного уп*
ражнения для терпеливого и заинтересованного чита-
теля. Быть может, сначала будет удобнее собрать
каждую из фигур обычным способом, а уж затем
оплести ее нужным числом полосок. Могу лишь по-
обещать, что доведу до своих читателей всю инфор-
мацию по плетению из бумажных полоеок различных).
Платоновых тел, а также более сложных или же не-
правильных многогранников, как только миссис Пе-
терсен эту информацию опубликует.
Миссис Петерсен придумала также способ скла-
дывания полосок для всех пяти фигур с использова-
нием клейкой ленты или. ленты для счетных машин,
причем без предварительной разметки линий сгиба*
В своей статье, опубликованной в журнале ПЪопаеа
С1аагШ1у (см. библиографию), она подробно описы-
вает этот способ, а также способ сборки модели, ко-
торую она называет золотым додекаэдром (на каждой
его грани имеется по пятиугольному отверстию, окру-
женному пятью треугольниками различных цветов).
Многие годы для меня оставалось загадкой, поче-
му Платон вслед за Пифагором и его последователями
уподобляет Вселенную додекаэдру, а не икоса»
эдру, который — мне это казалось само собой разу-
меющимся — представляет собой фигуру, более близ-
кую по форме к шару, чем додекаэдр. Недавно в
первом томе занимательной книги Хаузрда Ивза
«В кругах математики» * я нашел, ответ на этот
мучивший меня вопрос. Оказывается, что, вопреки
интуитивно складывающемуся у большинства людей
впечатлению, именно додекаэдр более всего похож
.-* Еуез Н. 1п МаШеша1ка1 С1гс1е5.— у. 1, 1971,
15*
на шар. Так, если яписать оба этих тела в одну и
ту же единичную сферу (сферу с радиусом, равным
1), то объем икосаэдра, имеющего 20 граней, соста-
вит 2,536, в то время как объем додекаэдра, имею-
щего всего 12 граней, окажется больше и будет ра-
вен 2,785. При этом площади их поверхностей нахо-
дятся в таком же отношении между собой, что и
объемы этих тел, и равны соответственно 9,574 и
10,514. Так что древние греки были правы, сшивая
свои кожаные мячи в форме додекаэдров.
Если теперь вписать в нашу единичную сферу куб
и октаэдр, то объем и площадь поверхности куба ока-
жутся большими, чем объем и площадь поверхно-
сти октаэдра, причем площади их поверхностей опять
будут соотноситься друг с другом так же, как и их
объемы. В частности, объем и площадь поверхности
октаэдра оказываются соответственно равными 1,333
и 6,928, а куба—1,539 и 8. Интересный вопрос из
области механики, который трудно точно сформули-
ровать и на который, наверное, еще труднее отве-
тить: какое тело из пары куб — октаэдр или же пары
икосаэдр — додекаэдр будет лучше катиться, если
использовать эти тела в игре в качестве мячей?
Если взять куб и октаэдр, вписанные в одну и ту
же сферу, то в какую из этих фигур можно будет
вписать сферу большего радиуса? Ивз объясняет, что,
как ни странно, вписанные в них сферы будут оди-
наковыми. Тот же самый результат получится, если
взять икосаэдр и додекаэдр, вписанные в одну и ту
же сферу.
А вот еще три интересные задачи, связанные с
многогранниками.
1. У какого простейшего невыпуклого многогран-
ника его боковая поверхность, подобно боковой по-
верхности куба, состоит из п квадратных граней со
сторонами, равными единице?
2. Если каждую грань правильного тетраэдра
окрасить в различный цвет, то сколько различных
тетраэдров (т. е. различных вариантов окраски.—
Перев.) можно получить с помощью этих четырех
цветов? Вращения, естественно, не дают нам новых
вариантов окраски. Попытайтесь ввести также про-
стую формулу, применимую для всех Платоновых тел,
которая давала бы число различных вариантов окрас-
160
ки, когда каждая из п граней имеет свой цвет и для
окраски используются те же п различных цветов.
3. Если поверхность куба окрашена в три разных
цвета, причем каждым цветом окрашено по две ка-
ких-либо грани, как, например, в модели, получен-
ной по методу миссис Петерсен, то сколько существу-
ет различных вариантов окраски такого куба? Вра-
щения куба, понятно, как всегда, не дают новых
вариантов окраски. Сколько кубиков такого рода мож-
но сплести из трех полосок, используемых в моделях
миссис Петерсен, если не оставлять на полосках сво-
бодных, не заправленных в щели концевых квадратов?
ОТВЕТЫ
1. Простейшим невыпуклым многогранником, гра-
ни которого имеют вид единичных квадратов, явля-
ется 30-гранник, получающийся в результате присо-
единения шести единичных кубиков к каждой грани
исходного единичного куба. Миссис Петерсен пред-
ложила способ, как сплести такую фигуру из трех
полосок, каждая из которых один раз пересекает по
диагонали все грани полученного тела. Добавляя
друг к другу произвольное число подобных «крестов»,
так чтобы они образовали некоторую цепочку, мож-
но получить бесконечное семейство невыпуклых
многогранников с одинаковыми гранями квадратной
формы.
2. Правильный тетраэдр можно раскрасить с по-
мощью четырех красок лишь двумя различными спо-
собами, причем эти варианты раскраски будут
являться зеркальными отражениями друг друга. Про-
стое правило для подсчета вариантов раскраски, при-
менимое ко всем пяти Платоновым телам, состоит в
следующем: для этого нам нужно факториал числа
граней тела разделить на удвоенное число его ребер,
Так, например, куб может быть окрашен в 6 раз-
личных цветов 6!/24 = 30 способами, октаэдр можно
раскрасить в 8 разных цветов 8!/24 = 1680 различ-
ными способами и т. д.
3. Возможны 6 вариантов раскраски куба в 3 цве*
та, так чтобы каждый цвет появлялся на двух гра-
нях из шести, а именно: один вариант, когда одина-
6 Зак, 695
161
ковым цветом окрашиваются противоположные гран»
куба, затем два других варианта» представляющие
собой зеркальные отображения друг друга, когда в
один цвет окрашиваются пары соседних граней, и,
наконец, 3 варианта, при которых в один цвет рас-
крашиваются лишь две противоположные грани куба*
С помощью трех цветных полосок разного цвета, со-
стоящих из 5 квадратиков каждая, описанным выше
способом можно сплести кубики с первыми тремя
вариантами раскраски,
ДОПОЛНЕНИЕ
Поначалу я совершенно запутался в собственных
рассуждениях, доказывая, что додекаэдр более «ша«
рообразен>, нежели икосаэдр. Ученый-физик
Ф. К. Франк был первым, кто сообщил мне, что, хотя
по объему и по площади поверхности додекаэдр ока-
зывается ближе к сфере, в которую вписаны оба этих
тела, вместе с тем по тем же параметрам ближе к
сфере, которая описана вокруг этих двух Платоновых
тел, оказывается икосаэдр. Если теперь вы возьмете
два указанных многогранника и станете чем-нибудь
набивать иж внутренность, пока они не превратятся
в шар, то в случае додекаэдра вам потребуется
меньше набивки (по отношению к объему соответ-
ствующего1 тела). Однако, если вы попробуете пре-
вратить эти фигуры в шар, срезая с них все лишнее»
то с икосаэдра вам- придется срезать меньше по объ-
ему материала, чем с додекаэдра. Таким образом,
спор о том, какая из указанных фигур является бо-
лее сферической7, должен заканчиваться ничейным
результатам, если иметь в виду как вписанные, таге
и описанные сферы.
Однако), как отмечают Франк и другие читатели,
многим хорошо известен тот факт, что из всех гео-
метрических тел с одинаковой площадыо поверхности
сфера имеет наибольший объем. Поэтому если в ка-
честве критерия шарообразности принять именно это
свойство, то первенство здесь остается за икосаэдром.
Таким образом^ наша интуиция вовсе нас не обма-
нываем когда на основе чисто внешних соображений
мы делаем вывод о том, что из пяти Платоновых тел
162
меньше всего похож на шар тетраэдр, а больше все-
го — икосаэдр.
Норман Т. Гриджмен из Оттавы весьма обстоя-
тельно рассмотрел этот вопрос в своей статье «Пла-
тонова шарообразность» (см. список литературы).
При этом он подтверждает "основанное на здравом
смысле суждение о том, что икосаэдр представляет
собой тело, наиболее близкое по форме к сфере, по-
сле чего обращается к рассмотрению менее очевид-
ных методов измерения «шарообразности». Он также
полагает, что Платону было хорошо известно о том,
что додекаэдр более близок к описанной вокруг него
сфере по сравнению с другими Платоновыми телами.
Последнее в свою очередь могло подкрепляться тем
обстоятельством, что пятиугольные грани додекаэдра
больше напоминают окружности, чем треугольные
грани икосаэдра. Возможно, наконец, как считает
Гриджмен, что Платон каким-то образом связывал
12 сторон додекаэдра с 12 знаками Зодиака,
ГЛАВА 11
ИГРА ХАЛЬМА
— Прекрасное место для игры
хальма, — сказал Челифер, когда
они вошли в театр Метастазио.
Олдос Хаксли. Опавшие листья
Сравнительно недавно в литературе по занима*
тельной математике появилось два новых класса го-
ловоломок, основанных на одной давно забытой игре
типа шашек. В обоих случаях читателю предлагается
набор каких-то нерешенных задач, а читатель в свою
очередь должен лридумать доказательства, что те или
иные решения этих задач являются принципиально
невозможными. Все эти головоломки берут свое нача-
§*
163
ло из книги Кобона Фудзимуры и Мичио Мацудьг
«Беседы о головоломках» — интереснейшего сборника
оригинальных задач, выпущенного в Японии в 1972 г.
(К сожалению, на английском языке эта книга пока
не издана.) Фудзимура в свое время переводил на
японский язык книги Сэма Лойда и Генри Дьюдени
по занимательной математике. Он является также
автором нескольких прекрасных книжек, в которые во-
шли задачи, придуманные им самим. Источником же
тех новых головоломок, о которых мы упомянули
выше, является одна из задач, предложенная колле-
гой Фудзимуры — М. Мацудой.
В задаче Мацуды используются простые правила
популярной в конце прошлого века игры, которая из-
вестна в Англии под названием «хальма» (от греч,
сЛц,а — прыжок). Эту игру изобрел 30-летний выпу-
скник медицинского факультета в Гарварде
Дж. X. Монкс в 1883 г. В то время он продолжал
обучение в Лондоне, а несколько позже стал извест-
ным хирургом в Бостоне. В Великобритании в хальму
играют и по сей день, однако в США она так и не
получила широкого распространения, несмотря на то,
что фирма Рагкегз Вго1Ьегз выпустила ее в продажу
еще в 1938 г.
Традиционная доска для хальмы представляет со*
бой квадрат размером 16 на 16 клеток (рис. 62).
Если играют двое партнеров, то каждый игрок в на-
чале игры размещает свои фишки на определенных
клетках, которые называются «домом». При этом у
игроков имеется по 19 одинаковых фишек, цвет ко-
торых у каждого из соперников разный. Один из до*
мов размещается в левом верхнем углу доски, а дру-
гой — в правом нижнем ее углу. Задача каждого из
игроков состоит в том, чтобы занять дом противника.
Выигрывает тот, кто первым переместит все свои
фишки в дом соперника. В процессе игры разрешает-
ся делать ходы двух типов:
1) «шаг» — это ход, подобный ходу короля в шахма-
тах, на любую из восьми соседних клеток;
2) «прыжок» — это скачок через фишку, как в обыч-
ной игре в шашки, с той лишь разницей, что его
можно делать в любом направлении, а не только по
диагонали. К тому же фишка, через которую совер-
шается прыжок, остается на своем месте.
164
Рис. 62. Доска для игры «хальма».
Несколько прыжков подряд считаются за один
ход. При этом совершать прыжок, даже если он воз-
можен, совсем не обязательно. Каждый из соперни-
ков может по своему желанию либо «прыгать», если
это допускает ситуация на доске, либо остановить-
ся после любого прыжка. При этом неважно, чью
фишку он перепрыгивает, поскольку за один ход
разрешается перепрыгивать любое число своих и чу-
жих фишек. Вместе с тем один и тот же ход не может
включать в себя и шаг, и прыжки. Играющие ходят
по очереди, перемещая на доске при каждом ходе
только одну фишку.
В хальму можно играть и вчетвером — в этом
случае каждый игрок получает по 13 фишек. Дома
при этом располагаются в углах доски, границы их
показаны на рисунке пунктирной линией. При игре
вчетвером каждый из партнеров может играть сам
за себя, стремясь занять противоположный по диаго-
нали угол доски; кроме того, можно играть парами,
когда два партнера, занимая противоположные (или
165
Рис. 63. Игра «кузнечик».
соседние) дома, помогают
друг другу, причем выигры-
вает та пара, которая пер-
вой разместит все 26 фи-
шек в чужих домах. Впро-
чем., стратегия хальмы на-
столько сложна, что в
нее лучше всего играть
вдвоем.
Позднее в США было
создано еще несколько ва-
риантов игр типа хальмы,
самыми популярными среди
которых оказались игры
.«камелот» и «китайские шашки». Обе эти игры по-
явились в продаже в 30-е годы. Под названием «ка-
мелот» фирма Рагкег ВгоШегз возродила (с незначи-
тельными изменениями) игру «рыцари», которая была
предложена разработчиками этой же фирмы еще в
конце XIX в. В китайские шашки (которые, между
прочим, к Китаю никакого отношения не имеют) иг-
рают на доске с шестиугольными клетками, а сама
доска имеет форму шестиконечной звезды. Разметка
доски на шестиугольники позволяет игрокам двигать
фишки (шагать и прыгать) только в шести различ-
ных направлениях. В одной из наиболее интересных
игр такого рада — во французском варианте хальмы,
известном под нааванием «кузнечик»,— используется
обычная шахматная доска {рис. 63).
В играх типа хальмы игрок всегда имеет возмож-
ность свести игру к ничьей, постоянно оставляя одну
из фишек в своем собственном доме. Чтобы предот-
вратить это, имеет смысл ввести некоторые допол-
нительные правила. Сидни Сэксон, изобретатель и
коллекционер различных игр из Нью-Йорка, пред-
лагает следующее. Если фишка имеет возможность
покинуть свой дом прыжком через фишку противни-
ка или посредством цепочки прыжков, начинающей-
ся с прыжка через фишку противника, то она обя-
зательно должна сделать этот ход, хотя вместе с
тем, выйдя за пределы своего дома, она может оста-
новиться на любой клетке доски. Посл^ того как
фишка покинула свой дом, она больше не имеет пра-
166
•
•
ы
%
4
§]
_г
%
•
т
и
_
_
•
•
•
А
У*
4
•
•№
_
-
•
•
•
V
■"
•
• •
"—
•
"~
—
V
•
-
"~
*~
—
—
«к
•
•
*"
~
•
•I*
~
%
ГП
1
лР
1
Х^
±
±
—
'
—
-|
1
~|
""1
"^
] 1 1 1 Г Г 1 1 N I 1 |"| П'[ ] Г] 1 1 1 1 1 1 1 •[ 1 Г I 1 1 1 1 1 1 |
• 1 * N -1*1 И ' Ч ■• •
МНИ ч#п 1 II 1 ! ' 1 ^г
1 и г М ■ 1 «1Н М |1фп
1 к* М и Мл \*ш
утл 4 М*г кг'*!! ч
1«гте1 1 1 1 1 II • Ы II II 1 1 к1кк И 1 1 II ДО 1*1 1 1 1 1 1 1
и • ♦]■». #к1 I мм
1 к
1
х-1*
>г
Ч\
•Г
|»| 1
4#ст1
?1 т Г1
1
1 Г
1 1 1 И 1 1
/М М
1 1 1 %1#1 1
1 идо) 1 1 1
ПЯТ
4А
п Т
Т
о
•
(•!•]
*>-И
тЯ
•У 1 И
• Г
•
щ
г
,
*
3
ш'
-р
V
^
^
•1
•
4А
\ тт
• П
1
V 1
II 1 ]
1 1*1*1*1
К Ч
1 \&9\9\
'•п 1
11111"
11 II г
Рис. 64. Решение задачи Мацуды на японской шахматной до-
ске.
ва останавливаться в нем, хотя в процессе игры и
может прыгать через его клетки.
Связанная с хальмои задача, которую придумал
Мацуд^ состоит в следующем. На японской шахмат-
ной доске размером 9 на 9 клеток, в левом нижнем
углу в форме квадрата 3X3 размещены 9 фишек.
Требуется переместить эти фишки в точно такой же
квадрат в правом верхнем углу доски, используя для
этого минимальное число ходов, принятых в игре
хаЛьма. Сам Мацуда считал, что провести этот
маневр на доске можно за 17 ходов, однако X. Ази1*
сава и Т. Маруяма показали, что то же самое мож*
но проделать посредством № ход©» (рис. 64). Похо-
же, что минимально возможное чйслф ходов в дай-
ной задаче равняется именно 16.
167
Увидев это изящное решение, я тут же попытался
решить аналогичную задачу на обычной шахматной
доске размером 8X8 клеток, а так?ке на меньших
досках размером 7X7 и 6X6. При этом во всех
случаях, как и ранее, нужно было переместить квад-
рат из 3 X 3 фишек в противоположный по диагонали
угол доски. Используя впервые разработанную здесь
технику «диагональной лестницы», которая, кстати
говоря, является основной стратегией для всех игр
типа «хальмы», самое большее, чего я сумел дос-
тичь,— это 15 ходов в случае обычной шахматной
доски, 13 ходов — в случае доски размером 7X7 и,
наконец, 12 ходов для доски 6X6. Правда, я не
сумел доказать, что эти решения действительно яв-
ляются минимальными. Не представляет также тру-
да показать, что решение этой задачи для квадрат-
ной доски размером 8X8 должно содержать не ме-
нее 12 ходов, для доски 7X7 — не менее 10 ходов,
а для доски размером 6X6 — не менее 11 ходов.
Затем я попробовал на тех же досках перемещать
аналогичный квадрат из 9 фишек не в противополож-
ный по диагонали угол, а в соседний, правый ниж-
ний угол доски. В случае доски 6X6 существует не-
сколько вариантов решения этой задачи в 9 ходов,
один из которых показан на рис. 65. Очевидно, что
9 — это минимальное число ходов в данном случае,
поскольку каждая фишка обязательно должна сде-
лать хотя бы один ход. (В каждом из решений по
крайней мере одна фишка делает прыжок на чет-
вертый ряд или из него — именно поэтому на доске
размером 3X6 никак нельзя получить решения в
9 ходов.) На доске размером 7X7 данная задача
решается в 10 ходов. Ясно, что указанное число хо-
дов тоже является минимальным, поскольку фишка,
делающая первый ход, для того чтобы попасть в со-
седний дом, непременно должна сделать по крайней
мере еще один ход.
На доске размером 8X8 такая задача может
быть решена за 13 ходов. То, что 12 ходов совершен-
но необходимы, ясно из простой проверки задачи на
четность. Шесть фишек из столбцов 1 и 3 могут пры-
гнуть только в столбец 7, так что три фишки из этих
шести непременно должны сделать еще по одному
шагу. Несколько недель я бился, пытаясь найти ре-
168
• ••
к
[•
,*
ь
•
•
'
\
•
•
*
>
У
т
•
•
КУ
•
•
•
•
•
а
ц+ • •
к1#1 [+4
• • •
• • •
Рис. 65. Параллельное перемещение фишек на доске 6X6.
шение в 12 ходов, пока математик из Стэнфордского
университета Д. Кнут не прислал мне доказатель-
ство невозможности такого решения и тем самым из-
бавил от мучений. Доказательство это слишком
сложно, чтобы приводить его здесь. Отмечу лишь,
что оно учитывает, например, то, что одна из исход-
ных четырех угловых фишек обязательно должна
шагнуть на клетки другого цвета, затем то, что
обратная запись решения тоже является решением,
и т. д. Заинтересованные читатели могут попытаться
найти минимальные решения для всех шести пере-
численных мною задач.
В другом классе головоломок, основанных на
задаче Мацуды, фишки, через которые совершен пры-
жок, убираются с доски. Задача состоит в том, что-
бы, убрав таким образом все лишние фишки, оста-
вить на доске только одну фишку, притом в опреде-
ленной клетке доски, и сделать это с помощью
минимального количества ходов, характерных для
хальмы. Такого рода задачи несколько напоминают
классическую игру в солитер, о которой я уже писал
в моей книге; «Математические досуги» ^М4: Мир,
169
о
(Ш
0©|©
®ш©
0
©КЗ)©
®Ь|©|©|®
оЬ|©
©
©
@
©
©к§>
©
©1©1@
©кЮ1©1©1©
®<Ш
©
и
нГ
Ыщщщ |
кзЫОД
кэкэкши
г ивд@кя \
Рис. 66. Шесть пасьянсов игры «хальма».
1972, с. 193), с той лишь разницей, что в данном
случае большая свобода передвижения фишек позво-
ляет получать более короткие решения, а доказа-
тельства существования минимальных решений ока-
зываются гораздо сложнее.
Рассмотрим, например, головоломку с девятью
фишками на доске размером 5X5 клеток, впервые
опубликованную Сэмом Лойдом в 1908 г. (рис. 66,1).
Каждую фишку он обозначил именем кандидата в
президенты, из тех, кто баллотировался на предсто-
явших в тот год выборах. Идея была такой: убрать
с доски восьмерых кандидатов, оставив своего из-
бранника на центральной клетке. В головоломке
Лойда разрешались ходы, используемые в хальме,
однако серия последовательных прыжков не счита-
лась за один ход. Ясно, что минимальное число
прыжков равно 8 и что для каждой фишки сущест-
вует несколько вариантов решений. Генри Дьюдени
предложил усовершенствованный вариант этой игры
|(см. его книгу Ати5етеп15 т МаШетаИсз, задача
229), в которой он запретил все ходы типа «шагов»
и разрешил считать серию из нескольких прыжков
одним ходом, поставив целью игры попадание един-
ственной на доске фишки (ею могла быть любая из
исходных фишек) на центральную клетку доски. При
этом он привел решение в четыре хода, которое, не-
о
©
©
®
©1
©
©
1®
©
©,
170
сомненно, является минимальным, хотя я и не могу
этого доказать. Решение это следующее: фишка 5
перепрыгивает фишки 8, 99 3 и 1\ фишка 7 перепры-
гивает фишку4; фишка 6 перепрыгивает фишки 2 и 7,
после чего фишка 5 возвращается на свою первона-
чальную клетку прыжком через фишку 6.
Попробуем теперь объединить в одной игре пра-
вила этих двух игр: так, допустим, что нам разре-
шены и шаги, и прыжки, как в хальме, и, кроме
того, будем считать, что серия прыжков считается
за один ход. Фишка, через которую совершен пры-
жок, как и ранее, снимается с доски. Сумеете ли вы
найти хотя бы одно решение-трехходовку, при ко-
тором последняя фишка остается на центральной
клетке доски. Таких решений существует несколько,
причем одно из самых элегантных состоит из двух
шагов, после которых производится серия из восьми
прыжков.
На том же рисунке под номерами 2—6 приведе-
ны некоторые другие задачи такого же рода. Зада-
чу 2 нужно решить в 3 хода (характерных для халь-
мы), причем последняя оставшаяся на доске фишка
должна занимать клетку, первоначально занятую
фишкой в позиции /, т. е. в вершине треугольника.
Третья задача также решается в 3 хода, причем
последняя фишка должна оказаться на центральной
клетке доски. Четвертая задача состоит в том, чтобы
с помощью минимального числа ходов поставить по-
следнюю фишку на клетку, занятую фишкой 6 (в
центре треугольника). В пятой задаче также за
3 хода нужно установить последнюю фишку на цен-
тральную клетку доски. Последняя задача — самая
трудная из всех: за 3 хода нужно добиться того, что-
бы единственная оставшаяся на доске фишка попа-
ла на одну из четырех центральных клеток доски.
Задачи, возникающие при игре в хальму, настоль-
ко мало исследованы, что меня так и подмывает при-
думать какую-нибудь новую задачу, решить ее, а по-
том с помощью простых рассуждений попытаться
доказать, что полученное решение на самом деле яв-
ляется самым коротким из всех возможных решений.
Так, к примеру сказать, я не имею ни малейшего
представления, какое минимальное число ходов по-
требуется, для того чтобы из 25 фишек, расположен-
171
ных в виде квадрата в центре доски размером 7X7,
осталась бы лишь одна — причем в центральной
клетке доски. Я даже не стал пытаться решать эту
задачу, побоявшись, что из-за нее я не смогу зани-
маться ничем другим в течение месяца, а может быть,
даже и более.
ОТВЕТЫ
Приведенные выше 6 задач, связанных с игрой
хальма, могут быть решены следующим образом
(правда, ни одно из этих решейий не является един-
ственно возможным).
1. Фишка 6 делает шаг по диагонали вправо и
вверх, фишка 5 (или фишка 4) делает шаг по диаго-
нали влево и вниз, фишка 5 перепрыгивает через все
фишки и останавливается в центре.
С помощью трех серий прыжков, не делая при
этом ни одного шага, можно поставить последнюю
фишку в одну из позиций на сторонах внутреннего
♦квадрата (т. е. на угловую или боковую его клет-
ку), однако если ходы типа «шаг» не разрешаются,
то для того, чтобы последняя фишка заняла центр,
потребуется 4 хода (они уже упоминались выше).
Если мы хотим просто избавиться от восьми фишек,
то для этого достаточно двух ходов, но тогда послед-
няя оставшаяся фишка оказывается за пределами
внутреннего квадрата.
2. Фишка 4 делает шаг вверх, фишка 3 перепры-
гивает через фишки 5, Р, 4, У, 2, 5 и 6, после чего
фишка 7 перепрыгивает через фишку 3. Решение в
3 хода, при котором последняя фишка занимает цент-
ральную клетку, выглядит так: 4 делает шаг вверх,
6 делает шаг вниз, а 3 перепрыгивает через все
8 фишек. А вот элегантное симметричное решение:
1 делает шаг вверх, 7 перепрыгивает через 3 (или
7 делает шаг вниз, а 1 прыгает через 3), затем /
прыгает через все остальные фишки.
3. Фишка 6 делает шаг вверх, фишка 8 (или 4)
делает шаг вниз, фишка 5 прыгает через все осталь-
ные фишки и останавливается на центральной клетке.
Эта задача и ее решение совершенно аналогичны
первой задаче, просто каждый диагональный ход за-
меняется на вертикальный, а каждый вертикаль-
ный — на диагональный, горизонтальные же ходы
172
остаются неизменными. Аналогичные позиции и их
решения можно предложить и на шахматной доске,
а также на доске для китайских шашек.
4. Фишка 6 может за один ход перепрыгнуть все
остальные фишки и вернуться в свое первоначальное
положение. Эта задача аналогична задаче с равно-
сторонним треугольником из 10 фишек на доске для
китайских шашек.
5. Фишка 11 прыгает по диагонали вправо и вверх,
через фишку 5, фишка 6 перепрыгивает через 10 фи-
шек и возвращается на свою исходную клетку, после
чего фишка 5 прыжком в центр убирает с доски
фишку 6.
6. Фишка 8 делает шаг по диагонали вправо и
вверх, фишка 14 прыгает через фишки 0, 7, 3, И й
возвращается на свое место, затем фишка 8 прыгае*
через 11 фишек и попадает в клетку, которую перво-
начально занимала фишка 11.
Если несколько видоизменить эту задачу и распо*
л ожить в виде прямоугольника 3X4=12 фишек на
доске размером 5X6, то после трех серий прыжкой
последняя оставшаяся на доске фишка должна ока-
заться на одной из клеток внутреннего прямоуголь*
ника. При этом избавиться от всех 11 фишек можно
всего двумя ходами, но тогда последняя фишка ока-
жется за пределами внутреннего прямоугольника.
ДОПОЛНЕНИЕ
Пятеро моих читателей (К. Такемура, С. Фусаму-
ра, М. Мацуяма, Дж. Стюарт и И. Двир) сумели
найти решение в 12 ходов для задачи о перемещении
квадрата из 3 X 3 фишек по диагонали из одного
угла в другой на доске размером 7X7.
Приведенное нами решение-трехходовка для ше«
стой задачи (типа игры солитер), в которой фиш-
ки располагаются в виде квадрата 4 X 4 на доске
размером 6X6, представляет собой не только по су-
ществу единственную возможность закончить игру
установкой последней фишки на одну из центральных
клеток, но и является, по-видимому, единственным
решением, которое позволяет за три хода избавиться
от всех фишек, кроме одной, даже если окончатель-
ная позиция на доске этой последней фишки в
173
условиях задачи не оговаривается. Если теперь квад-
рат из 4X4 фишек размещается в центре стандарт-
ной шахматной доски размером 8X8, то существует
изящное решение в 4 хода, которое позволяет поста-
вить последнюю фишку в угол доски. Сам я нашел
также решение для задачи, в которой фишки распо-
лагаются в виде квадрата 4X4 на доске размером
6 X 6,— это решение позволяет в 4 хода оставить на
доске 4 фишки на клетках, соответствующих углам
внутреннего квадрата.
А вот еще некоторые из моих результатов. В слу-
чае квадрата из 5X5 фишек на доске размером
7X7 можно за 4 хода (притом не единственным
способом) оставить последнюю фишку на любой из
клеток внутреннего квадрата. Если фишки располо-
жены в виде квадрата 6X6 на доске размером
8 X 8, то 6 ходами (опять-таки несколькими способа-
ми) последнюю фишку можно перевести на любую из
клеток внутреннего квадрата, а пятью ходами — на
угловую клетку доски. Если фишки располагаются в
виде квадрата 3 X 3 на доске размером 5X5, то су-
ществуют решения, с помощью которых в два хода
можно оставить на поле одну фишку, поместив ее
на одну из клеток, идущих по периметру доски.
Лишь один читатель, Дж. У. Харрис, прислал мне
решение задачи, в которой фишки первоначально рас-
положены в виде квадрата 7 X 7 на японской шах-
матной доске размером 9X9. В его решении послед-
няя фишка оказывается на центральной клетке доски
.через 7 ходов.
Немалый интерес представляет собой задача, в
которой требуется с помощью 10 ходов переместить
квадрат из 9 фишек из одного угла доски размером
4 X 6 в другой, диагонально ему противоположный.
Благодаря малым размерам доски эта игра может
заинтересовать фирмы, выпускающие различные игры
и головоломки. Я предлагаю ее бесплатно любому,
кто захочет этим заняться. Данную головоломку мож-
но сделать с фишками, с шариками в лунках или с
палочками, которые вставляются в отверстия на дос-
ке. Я нашел такое решение в 10 ходов и доказал,
%что оно является минимальным.
ГЛАВА 12
РЕКЛАМНЫЕ ПРИЗЫ
Во многих странах, где конкурирующие фирмы
стараются привлечь к себе внимание потребителей,
большой популярностью пользуются недорогие ре-
кламные призы. В качестве таких призов часто ис-
пользуются математические головоломки. Описание и
обсуждение многих из этих головоломок можно найти
в моих книгах; так и в этой книге, в главе, посвя-
щенной складыванию фигур из бумаги, вы найдете
подробное описание одной такой головоломки на
«складывание карты». А сейчас я попробую расска-
зать о некоторых классических головоломках-призах,
которые еще не рассматривались мною ранее.
Одной из самых старых и самых интересных явля-
ется головоломка под названием «буква Т», изобра-
женная на рис. 67. Вырежьте из толстой бумаги или
картона все четыре ее части, показанные на рисунке,
и попытайтесь сложить из них букву Т. Я не знаю
другой головоломки на рассечение многоугольников,
которая — при столь малом количестве деталей —«■
оказалась бы в такой же степени трудной. Число
призов, в которых использовалась эта головоломка*
особенно в первые десятилетия нашего века, исчис-..
ляется сотнями. ;
Не так широко известна головоломка на разреза-
ние квадрата, показанная на рис. 68, хотя она тоже
довольно старая и весьма занятная. Если вы захоти*
те продемонстрировать ее кому-нибудь из своих зна*
комых, то прежде всего начните с того, что покажите
ему 4 детали головоломки непрямоугольной формы и
попросите составить из них квадрат. После того как
он справится с этим заданием, вручите ему пятую
деталь, т. е. малый квадрат, и вы убедитесь, насколь-
ко больше времени потребуется вашему приятелю,
173
Рис. 67. Классическая голово- Рис. 68. Пифагоров квад-
ломка под названием «буква Т». рат.
чтобы на этот раз составить квадрат из всех пяти
частей.
По-моему, в последние годы эту задачу почти со-
всем не использовали в качестве рекламного приза,
однако в настоящее время в США в продаже имеют-
ся по крайней мере две головоломки подобного типа.
Так, фирма «Милтон Брэдли» выпускает головоломку
под названием «Один способ», которую сконструиро-
вал Г. Адаме; другой вариант этой головоломки,
предложенный Ф. Армбрастером, называется «Мада-
гаскарское безумие». В инструкции к своей голово-
ломке Армбрастер упоминает о том, что его задача
может служить прекрасной иллюстрацией теоремы
Пифагора. В самом деле, если большой и малый ква-
драты, показанные на рисунке, разместить на боко-
вых сторонах прямоугольного треугольника, то пло-
щадь всех пяти частей будет, очевидно, равняться
квадрату гипотенузы.
В Соединенных Штатах самым плодовитым изо-
бретателем математических призов, был, без сомне-
ния, Сэм Лойд (1841—1911)—знаменитый состави-
тель головоломок и шахматных задач, родом из
Филадельфии. Тесная захламленная контора в полу-
развалившемся здании в Манхэттене, где размещалась
редакция газеты «Ивнинг Глоуб», была местом, где
рождались на свет сотни разнообразнейших и весьма
остроумных головоломок. Вот как описывается эта
Контора в одной журнальной публикации 1911 *.:
«Здесь все равно царил бы.полумрак, даже если бы
176
кто-нибудь надумал вдруг вымыть единственное
окно — чего, впрочем, вряд ли следовало и ожидать.
В комнате два стола, пишущая машинка, небольшой
печатный станок и бесчисленные полки, заваленные
кипами бумаг, рисунками, старыми номерами журна-
лов, пластинами для стереотипии и еще бог знает
чем. Все это валяется как попало; то, что не помести-
лось на полках, громоздится вдоль стен странными,
грязноватыми кучами, напоминающими сугробы. Сам
Лойд утверждает, что работает только за наличные
и не ведет никаких бухгалтерских книг. Вполне воз-
можно, что он действительно их не держит — ведь
раскопать что-нибудь во всем этом хламе было бы
просто немыслимо. Такая задача оказалась бы не по
плечу даже ему».
Первый большой успех пришел к Лойду, когда
его головоломку «Ослики», придуманную им в воз-
расте 17 лет, приобрели для использования в каче-
стве рекламного приза. Идея ее необычайно проста:
три картонных прямоугольника надо расположить так,
чтобы на них получилось изображение двух всадни-
ков, едущих на двух ослах. Эта головоломка до сих
пор используется в качестве рекламы во многих стра-
нах мира. Т. П. Барнум тысячами раздавал этих ос*
ликов для рекламы своего знаменитого цирка. Изо-
бражение самого первого варианта этой головоломки
вы можете найти в моей книге «Математические го-
ловоломки и развлечения» (М.: Мир, 1971, с. 83—
93) в главе, посвященной Лойду. Более поздние ва-
рианты этой головоломки описываются в статье «Ре-
шение задач», опубликованной в 8с1епН}1с Атепсап
!(Арп1 1963), затем на стр. 124 книги «Сознание»
|(ТЬе Мтс1,А Ы{е Заепсе ЫЪгагу Воок) и, наконец,
в рекламе консервной фирмы, помещенной в журнале
Тше (МагсЬ 1968). В одном из своих интервью Лойд
рассказывал о том, как Барнум время от времени
наведывался к нему в контору и просил; «Послушай,
Сэм, старина, ну-ка покажи мне еще раз, как скла-.
дывать мою головоломку, опять я ее подзабыл».
Еще одно из ранних изобретений Лойда, которое
в наши дни пользуется, пожалуй, даже большей по-,
пулярностью, чем в то время, когда оно было при-,
думано,— это всего-навсего карандаш с небольшой
петлей из шпагата, прикрепленной к свободному его
177
Рис. 69. Головоломка с пони, придуманная Сэмом Лойдом,
концу. Этот трюк был специально придуман Лойдом
для агентов нью-йоркской компании страхования
жизни: как бы невзначай, они прикрепляли карандаш
к лацкану своего потенциального клиента, обещая
отцепить его по завершении сделки. При этом петля
из шпагата накладывалась вокруг петлицы на отворо-
те пиджака, после чего ткань лацкана надо было под-
тянуть на себя, так чтобы просунуть острие каран-
даша в петлицу с задней стороны. Когда карандаш
проходил через петлицу, он оказывался закреплен-
ным таким образом, что на первый взгляд казалось
совершенно невозможным освободиться от него, не
перерезав шпагат.
Лойд придумал также множество геометрических
головоломок, однако самое неожиданное решение
имеет, пожалуй, его знаменитая головоломка «Пони»,
показанная на рис. 69 точно в таком же виде, как
нарисовал ее сам Лойд. Задача состоит в том, чтобы
переставить 6 деталей картинки таким образом, что-
бы получилось наилучшее из возможных изображе-
ние бегущей лошади. Лойд утверждал, что количе-
ство проданных головоломок «Пони» превысило мил-
лиард экземпляров.
Самым эффектным из изобретений, сделанных
'Лойдом, была, безусловно, его знаменитая головолом-
178
ка, которая показана на рис. 70. Эта головоломка
была запатентована им в 1896 г. и в свое время ис-
пользовалась в качестве рекламного приза при от-
крытии нового курорта Берген-Бич в штате Нью-
Джерси. Кстати сказать, тогдашние экземпляры
этой головоломки в наши дни представляют собой
^большую ценность для коллекционеров. Сам рисунок
по эскизам Лойда выполнил Энтони Фиала, который
в то время работал карикатуристом в газете (впо-
следствии Фиала возглавил полярную экспедицию
Зиглера 1903—1905 гг. и написал о ней книгу). Го-
ловоломка представляет собой картонный диск, при-
крепленный заклепкой в центре к картонному прямо-
угольнику. К диску прикреплена стрелка, которая
проходит через изогнутую щель в прямоугольном
основании так, что, передвигая стрелку вверх и вниз
по диску, вы заставляете диск поворачиваться и за-
нимать одно из двух возможных положений (рис. 70).
•Так вот, при одном положении диска вы можете на-
считать по его окружности 13 воинов, а если повер-
нете диск во второе положение, то их останется ров-
но 12. Вопрос заключается в следующем: какой из
воинов исчезает и куда он девается?
В еженедельной колонке головоломок, которую
Лойд вел в газете ТНе ВгооЫуп БаИу Еа§1е, больше
года регулярно печатались письма читателей, в кото-
рых делались попытки объяснить удивительный фено-
мен исчезновения воина. В своем собственном про-
странном и притворно серьезном объяснении (номер
газеты от 3 января 1897 г., с. 22) Лойд обращал
внимание читателей на одну любопытную особенность
рисунка, которая обычно ускользает от внимания
окружающих, если только они сами не попытаются
как следует нарисовать фигурки по краю диска:
«Весь фокус заключается в странных позах воинов,
а также в едва различимой подмене правой ноги на
левую у четвертой и пятой фигурки. Если бы не этот
совершенно акробатический трюк, то каждый из во-
инов на левой стороне диска опускался бы головой
вперед. Все дельцы, которые обманным образом
штамповали эту игрушку в обход авторских прав в
разных частях света, используя различные рисунки
с другими фигурками, обнаруживали, что без этого
трюка с заменой ног им никак не обойтись».
179
КЕ
Рис. 70. В головоломке Сэма Лойда поначалу мы имеем
13 воинов, а потом их остается лишь 12, Куда делся один из
воинов?
180
у Лойд в 1897 г. предложил страховой компании
«Метрополитен» более хитроумный вариант этой
головоломки, где по окружности чередуются изобра-
жения девяти японцев и восьми фонариков. При пово-
роте диска один из японцев исчезает, но зато фона-
риков оказывается девять, что создает полное впеча-
тление, будто фигурка человека превратилась в
фонарик. Был объявлен конкурс на лучшее объясне-
ние этого трюка с 20 призами от 5 до 100 долларов за
лучшие ответы. Хотя имена победителей были даже
напечатаны, однако ни одно из писем с объяснениями
так и не было опубликовано. Причина этого, возмож-
но, заключается в самих объяснениях, самое типич-
ное из которых выглядит следующим образом: «Ко-
гда ручка головоломки повернута вниз, нам видно
9 японцев, а когда ручка поворачивается вверх, их
остается всего восемь, потому что один японец исче-
зает». В 1909 г. Лойд выпустил еще одну модифика-
цию этой головоломки под названием «Тедди и львы»,
в которой туземец из Африки превращается в льва.
Изображение этой головоломки также приведено в
уже упомянутой мною главе о Лойде в «Математи-
ческих головоломках и развлечениях».
Принцип, лежащий в основе всех трех головоло-
мок, не был изобретением Лойда. Подобные голово-
ломки существовали и до него, правда только в
одномерном, линейном исполнении — просто Лойд раз-
работал модификацию таких головоломок, выполнен-
ную в форме круга. Как-то раз в одной частной кол-
лекции я увидел рекламный приз 1880 г., который
назывался «Волшебные яйца». Прямоугольная кар-
точка с изображением нескольких яиц разрезается на
четыре малых прямоугольника. При различном рас-
положении этих прямоугольников на картинке полу-
чается соответственно 8, 9 или 10 яиц. В Соединен-
ных Штатах и в других странах выпускались бесчис-
ленные варианты этой игры. Самая последняя и, на
мой взгляд, наиболее забавная — это головоломка
«Исчезающий гном» (рис. 71). Автор рисунка —ху-
дожник-график из Торонто по имени Пат Патерсон.
Игра эта выпущена в Канаде фирмой Уильяма Элли-
ота, специализирующейся на продаже различного ро-
да фокусов, игр и головоломок.
181
Рис. 71. Какой из гномов исчез?
Существуют сотни других математических призов,
из которых в качестве последней головоломки этой
главы я выбрал рекламную карточку фирмы, выпу-
скающей шотландское виски. Эта на первый взгляд
вполне тривиальная задачка на сложение оказывает-
ся ловушкой для многих. Чтобы проверить ее реше-
ние, попробуйте воспользоваться простейшим карман-
ным калькулятором.
Можете ли вы сложить эту колонку чисел?
Закройте
ладонью все числа, кроме верх-
него, и потихоньку сдвигайте т>уку вниз, по- 1
следовательно открывая по одному числу.
Когда вы
просуммируете все числа, пере-
верните карточку и посмотрите правильный 1
ответ.
1000
40
1000
30
1000
20
1000
Ю
ОТВЕТЫ
Решения двух первых головоломок на разрезание,
а также решение головоломки «Пони» представлены
182
Рис. 72. Решение Рис. 73. Как ре- Рис. 74. Решение
головоломки «бук- шается задачка с головоломки с пони,
ва Т». квадратом.
на рис. 72—74. Кроме того, я предоставляю читате-
лям) право самим решить, какой из гномов исчезает
и куда; же он все-таки девается,.
ДОПОЛНЕНИЕ
Мануэль Р: Пабло из лаборатории морских ис-
следований в Вашингтоне придумал еще одно ориги-
нальное решение старой головоломки «Буква Т». Пе-
ревернув одну из деталей обратной стороной, он по-
лучил «толстую» букву Т, которую вы видите на
рис. 75. Другие читатели, сохраняя традиционное по-
ложение отдельных деталей головоломки, сумели по-
лучить несимметричную букву Т с «плечами» разной
длины.
Заметим,, что, перевернув одну из деталей голово-
ломки, мы можем сложить равнобедренную трапецию,
показанную на рис. 76. Именно так была упакована
эта головоломка, когда в 1975 г. одна нью-йоркская
фирма выпустила ее в продажу под названием «Ти-
зер».
Различные варианты головоломки «Буква Т» вы-
пускались с разными относительными размерами от-
дельных деталей, однако наиболее трудной для реше-
ния она оказывается лишь тогда, когда ширина пяти-
угольной детали будет равна ширине других частей
головоломки. Самое интересное, что при решении
данной головоломки почему-то трудно отказаться от
мысли, что у-казшшая деталь должна располагаться
либо горизонтально, либо вертикально — хотя при
5^9
183
Рис. 75. Решение Рис. 76. Головоломка «Тизер»,
головоломки «буква
Т», предложенное
М. Пабло.
таком положении пятиугольника описываемая задача
не имеет решения.
Дэвид Фрост * был настолько заинтригован пара-
доксом с гномами, что уговорил художника Пата
Патерсона сделать специальный рисунок крупным
планом, который Фрост мог бы показать по телеви-
дению в своей передаче. Продемонстрировав этот па-
радокс зрителям, Фрост попросил участников переда-
чи объяснить его. Однако какого-либо разумного объ-
яснения никто из присутствующих предложить так и
не смог. Наконец, встала одна женщина и сказала,
что ее супруг понял, в чем там дело. Ведущий обра-
тился было к ее мужу, но его объяснение оказалось
примерно таким же, какое я привел выше насчет го-
ловоломки с японцами и фонариками. Мужчина так
и сказал: «Когда прямоугольники сложены в одном
порядке, на картинке видно 15 гномов, а когда в
другом — то только 14».
Если вы попробуете предложить эту головоломку
своим знакомым, то пусть они сначала решат, какой
гном, по их мнению, должен исчезнуть. Когда ваши
друзья выберут одного из них, положите одну монет-
ку на верхнюю половину фигурки, а другую монет-
ку — на ее нижнюю половину. После этого поменяйте
порядок карточек. Понятно, что монеты окажутся на
головах и на ногах гномов, которые вовсе не исчез-
ли. Проделайте ту же самую операцию еще несколь-
ко раз. При этом число монет на карточках будет
становиться все больше и больше, однако секрет,
* Американский телевизионный комментатор 70-х годов. -=*
Прим. перев.
184
"головоломки по-прежнему будет оставаться не ясным
для окружающих.
Я получил множество писем, в которых сообщает-
ся, что если нижнюю половину картинки разрезать
на две части между девятым и десятым гномами,
то из четырех карточек можно будет составить кар-
тинку, на которой окажется только 13 гномов. Дру-
гие перестановки, при которых исходные части кар-
тинки разрезаются на иное число кусков, позволяют
получить 16 или 17 фигурок, однако они будут уже
несколько искаженными. Аналогичные изменения
можно, понятно, получить, вращая диск в головолом-
ке Лойда с воинами.
С тех пор как головоломка с исчезновением гно-
мов была впервые выпущена в свет, появились десят-
ки ее модификаций и подражаний, в том числе и
порнографических. Самые первые объяснения этого
парадокса с большим количеством примеров вы най-
дете в моей книге «Математика, магия и тайна», а
также в статье Мэла Стоувера «Пропадающий чело-
вечек и другие парадоксы с исчезновением» (см. спи-
сок литературы). Кстати, Стоувер собрал, пожалуй,
самую богатую коллекцию подобного рода головоло-
мок. Моя коллекция хотя и ненамного, но все-таки
меньше.
ГЛАВА 13
СЭЛМОН О СОБАКЕ ОСТИНА
Одна из коротких задач гл. 8, предложенная
А. К. Остином из Шеффилдского университета (Анг-
лия), вызвала оживленную дискуссию среди читате-
лей. В сущности эта задача представляет собой еще
один вариант известного парадокса Зенона об Ахил-
ле и черепахе, до сих пор, насколько мне известно,
в такой форме в литературе не рассматривавшегося.
185
Эту задачу и ответ к ней я сформулировал следую-:
щим образом:
«По прямой дороге из одной и той же начальной
точки начинают свой путь мальчик, девочка и собака.
Мальчик и девочка идут вперед в одном направле-
нии — мальчик со скоростью 4 мили в час, а девочка
со скоростью 3 мили в час. Собака бегает от маль-
чика к девочке и обратно со скоростью 10 миль в
час. Будем считать, что, добежав до одного из ребят,
собака мгновенно разворачивается и сразу пускается
обратно. Где будет находиться собака ровно через
час и в какую сторону она будет бежать?»
Ответ: «Через час собака может оказаться в лю-
бой точке между мальчиком и девочкой, а морда ее
может смотреть в любую сторону. Доказательство:
Поместите собаку через час пути в произвольную
точку дороги между мальчиком и девочкой, развернув
ее мордой в любом направлении. Обратите теперь во
времени движение каждого из них — при этом все
трое одновременно возвратятся, в исходную точку сво-
его пути».
Еще до появления этого ответа на страницах жур-
нала ко мне стали приходить письма от читателей,
в которых указывалось, что задача бессмысленна, так
как ее начальные условия являются логически проти-
воречивыми. При этом одни указывали на то обстоя-
тельство, что в самом начале пути собака должна
будет сделать бесконечное число поворотов, отчего
бедное животное вполне может спятить. Другие ут-
верждали, что все три «точки» (как всегда в подоб-
ных задачах, мальчик, девочка и собака символиче-
ски изображаются некими идеальными точками), ни-
когда не смогут начать движение, потому что в тот
самый «момент», когда они начинают двигаться, со-
бака должна либо прыгнуть вперед и оказаться впе-
реди мальчика и девочки, либо броситься на-
зад, но остаться между ними она никак не
сможет.
Как верно подметил Уэсли Сэлмон, известный
специалист по философии науки, парадокс Остина
имеет бесчисленное множество форм. В этом смысле
одним из простейших примеров является обращение
во времени известной задачи о локомотивах и птице.
Два локомотива движутся по общей колее навстречу
183
'друг другу, выйдя из точек Л и В, расположенных
на расстоянии 30 миль друг от друга, со скоростью,
скажем, 15 миль в час, пока они не столкнутся в
точке С. Птица, вылетев одновременно с первым ло-
комотивом из точки Л, начинает летать от одного
локомотива к другому со скоростью 60 миль в час.
!Какое расстояние пролетит птица до момента столк-
новения? Понятно, что нам вовсе нет необходимости
суммировать бесконечный ряд отрезков уменьшаю-
щейся длины: ведь раз птица летает в течение часа,
то путь ее должен составить 60 миль. Если мы про-
крутим теперь события в обратном порядке, предпо-
ложив, что птица в конце пути должна оказаться в
точке Л, то получим единственно возможную зигзаго-
образную траекторию, по которой птица может дви-
гаться в любом направлении.
Допустим, однако, что мы не знаем, где должна
оказаться птица после того, как локомотивы начали
свое движение обратно по направлению к точкам Л
и В. Без этой информации мы не можем единственно
возможным образом определить траекторию полета
птицы. Поскольку в этом случае путей, которые мо-
жет выбрать птица, оказывается бесчисленное множе-
ство, то единственное, что мы можем утверждать, это
то, что птица, летящая в обратном направлении, в
конце своего пути обязательно должна оказаться где-
то между точками А и В.
Но допустимо ли утверждать это наверняка? Мно-
гие математики считают, что нет, поскольку при об-
ращении процесса движения во времени возникает
некая сингулярность, приводящая к противоречивости
начальных условий. Как сказал один математик, «в
математическом анализе возможность обращения пре-
дельного оператора нельзя обосновать в общем виде».
'Когда локомотивы движутся навстречу друг другу,
сходящейся величиной является лишь положение
птицы. «Вектор скорости при этом расходится, в ре-
зультате чего возникает та же самая трудность, что
и в задаче Остина, заключающаяся в нахождении
единственно возможного обращения некоторого пре-
дельного процесса. С этой целью были использованы
общие правила дифференциального исчисления — в
точности следуя им, можно избежать указанных про-
тиворечий».
187
Рис. 77. Пространственно-временная схема полета птицы ме-«
жду локомотивами, движущимися навстречу друг другу.
Для анализа этой задачи удобно представить схе-
му движения птицы из точки А в точку С с помощью
пространственно-временного графика (рис. 77). Мы
не можем, конечно, продолжить траекторию полета
птицы вплоть до самой точки С, поскольку эта тра-
ектория будет иметь бесконечное число зигзагов, од-
нако мы, несомненно, можем предположить, что та-
кая идеальная линия существует. Разумеется, если
эта линия может идти от точки А до точки С, то не
будет логически противоречивым утверждать, что она
может идти и от точки С к точке А. Если же конеч-
ная точка обратного полета птицы заранее не огова-
ривается, то из точки С можно построить бесконеч-
ное (несчетное) число таких кривых, каждая из
которых будет заканчиваться в некоторой точке отрез-
ка АВ. Действительно, обычными средствами ана-
лиза мы не можем решить аналогичную задачу Ости-
188
на, если только под «решением» подразумевать точ-
ное указание местонахождения собаки через один час;
«решение» же Остина в том и состоит, что он строго
доказывает невозможность построения такого реше-
ния. Поскольку собаке никто не объясняет, как
именно ей начинать движение, она вполне может на-
чать двигаться в любом направлении, т. е. туда, куда
захочет, при условии, что она всегда будет оставать-
ся между мальчиком и девочкой. Следовательно, тра-
ектория ее движения также должна закончиться в
некоторой точке, лежащей между мальчиком и де-
вочкой.
Сэлмон прокомментировал задачу Остина следую-
щим образом: «Многим известна старая задача о
птице, которая летает взад и вперед между двумя
локомотивами, движущимися навстречу друг другу...
[см. выше]. Или, если мы хотим придать нашему
повествованию больше историчности, предположим,
что Ахилл догоняет черепаху, а между ними туда и
обратно летает троянская муха. Зная все скорости и
расстояния и учитывая, что в соответствии с нашими
современными представлениями Ахилл догонит чере-
паху в определенной точке и в определенный момент
времени (см. также мою книгу «Парадоксы Зенона»),
мы легко можем подсчитать, какой именно путь про-
летит муха. Вплоть до этого момента у нас не наме-
чается никаких новых парадоксов Зенона... Мы ви-
дим, что задача Остина — это просто обращение во
времени задачи о локомотивах и птице».
В целях сохранения историчности вернемся, одна-
ко, вновь к Ахиллу и черепахе. Несмотря на перво-
начальную фору, традиционно даваемую Ахиллом, он
все-таки настигает черепаху и, для того чтобы загла-
дить обиду, которую он давно таил на Зенона, про-
должает свой бег, уходя все дальше и дальше впе-
ред, а удачливая черепаха отстает от него все боль-
ше и больше. (Я считаю, что в данной ситуации
черепахе действительно повезло, по крайней мере по
сравнению с версией, которую предложил Льюис
Кэрролл в своей сказке «Что черепаха сказала Ахил-
лу» * — там Ахилл останавливается и забирается
* Кэрролл Л, История с узелками. *- М.: Мир, 1973.
С 368-372.
189
верхом на черепаху, к ее большому неудовольствию.);
А теперь вернемся к троянской мухе, которая про-
должает летать взад и вперед между Ахиллом и че-
репахой, даже после того как Ахилл ее обгонит.
Ясно, что в тот момент, когда Ахилл и черепаха
сравняются, положение мухи нисколько не будет от-
личаться от положения собаки Остина.
Для определенности предположим теперь, что че-
репаха движется со скоростью 1 миля в час, Ахилл —
со скоростью 5 миль в час (ведь он начал бегать еще
в V в. до н. э. и теперь уже не так скор на ногу,
как когда-то), а скорость полета мухи составляет
10 миль в час. В общую точку встречи все трое при-
бывают без всяких затруднений. Но что же происхо-
дит дальше? Если все герои нашего повествования
начинают движение из этой общей точки одновре-
менно, то муха тут же либо обгонит Ахилла н чере-
паху, либо окажется позади них — правда, обе эти
ситуации сразу вступают в противоречие с условия-
ми задачи: ведь муха по условию всегда должна на-
ходиться между Ахиллом и черепахой. Казалось бы,
мы можем возразить так: ведь за любо* промежуток
времени с > 0, как бы мал он ни был, черепаха
проползает расстояние, равное 1 е, Ахилл пробегает
расстояние в 5е, а муха пролетает расстояние в
Юе. Следовательно, через любой сколь угодно ма-
лый промежуток времени после момента встречи муха
непременно должна покинуть отрезок пути между
черепахой и Ахиллом. Даже если бы мы сумели пока-
тать, как Ахилл справляется со своей «сверхзада-
чей»— догнать черепаху, а также, как муха справ-
ляется со своей «сверхзадачей» — начать свое движе-
ние вновь, то теперь перед мухой возникает новая
«сверхзадача» — продолжать свой полет, держась ме-
жду Ахиллом и черепахой уже после того, как Ахилл
обогнал черепаху. Другими словами, перед мухой воз-
никает новая «сверхзадача» — не обойти Ахилла!
Эта кажущаяся трудность представляется мне
аналогичной той проблеме, на которую указывал Зе-
нон в своем известном парадоксе о регрессивной ди-
хотомии. Муха, несомненно, перегонит и Ахилла и
черепаху, если она будет лететь равномерно в одном
направлении, не делая поворотов, даже б течение лю-
бого произвольно малого интервала времени длитель-
190
ностью е. Это, однако, не означает, что движение
мухи теоретически невозможно, поскольку как бы ни
был мал выбранный нами промежуток времени, муха
все равно успеет в течение этого промежутка поме-
нять направление движения (причем, бесконечное чис-
ло раз, так что голова у нее наверняка закружится).
Это просто означает, что не существует какого-либо
начального промежутка времени, не равного нулю, в
течение которого муха летит прямо, не меняя направ-
ления; отсюда вовсе не следует, что муха непремен-
но покинет отрезок пути между Ахиллом и черепа-
хой. Собственно говоря, мы можем совершенно строго
убедиться, как быстрые смены направления позво-
ляют мухе после встречи Ахилла с черепахой все рав-
но оставаться между ними, если рассмотреть обрат-
ный по времени ход этого движения — а именно, при-
ближение мухи к точке встречи со стороны более
ранних моментов времени. Аналогично тому, как
черепаха, покидая исходную точку своего движения,
не проходит какого-либо начального ненулевого
отрезка пути, муха также не перемещается вдоль не-
которого начального ненулевого прямолинейного от-
резка своего пути. При этом отсутствие подходящего
начального отрезка вовсе не является серьезным пре-
пятствием ни для той, ни для другой.
В последнее время в литературе, посвященной ана-
лизу парадоксов Зенона, часто обсуждается работа
так называемых «машин бесконечности». Эти машины
представляют собой некие идеализированные устрой-
ства, которые якобы позволяют выполнять бесконеч-
ную последовательность тех или иных задач. Понятие
это было введено в обсуждение в связи с теми труд-
ностями, которые встают перед нами при необходи-
мости выполнить в конечное время некоторую беско-
нечную последовательность задач (так называемые
«сверхзадачи»). Решение проблем, связанных с «ма-
шинами бесконечности», в значительной степени ана-
логично разрешению прогрессивной формы парадокса
Зенона о дихотомии. При анализе движения троян-
ской мухи вплоть до момента, когда Ахилл догоняет
черепаху (а также включая этот момент), принима-
ются во внимание как раз те же самые соображения.
Я не знаю, предлагал ли кто-нибудь «машину;
191
бесконечности», которая соответствовала бы случаю
регрессивной формы парадокса Зенона о дихотомии,—
машину, для которой главная трудность состоит в
том, чтобы начать выполнение некоторой последова-
тельности задач в отличие от обычных «машин бес-
конечности», основная трудность для которых заклю-
чается в том, чтобы завершить выполнение бесконеч-
ной последовательности своих задач. Как выясняется,
наша троянская муха в своем движении от той точ-
ки, где Ахилл нагоняет черепаху, и на последующем
участке пути, где Ахилл находится впереди нее, пред-
ставляет собой как раз такую «машину бесконечно-
сти» (точно так же, как и собака Остина), причем,
если так можно выразиться, регрессивную «машину
бесконечности». Таким образом, если мы проводим
параллель между работой обычной «машины беско-
нечности» и разрешением прогрессивной формы па-
радокса о дихотомии, то совершенно аналогично мож-
но провести параллель между рассмотрением второй
фазы полета троянской мухи и разрешением регрес-
сивной формы парадокса о дихотомии.
Внимательного рассмотрения заслуживает еще
один вопрос, связанный с полетом мухи, а именно:
каков характер движения мухи непосредственно в
момент встречи Ахилла и черепахи? Местоположение
очевидно — она находится в той же точке, где оказа-
лись Ахилл и черепаха. С математической точки
зрения функция, описывающая положение мухи, пред-
ставляет собой непрерывную функцию времени, кото-
рая дает нам конкретную точку встречи в соответ-
ствующий момент. С другой стороны, скорость мухи
не является непрерывной функцией. Значение этой
функции равно +10, если муха летит вперед, и—10,
когда она летит назад; кроме того (мы вполне можем
это утверждать), указанная скорость равна нулю, ко-
гда муха встречает Ахилла или черепаху (либо их
обоих одновременно). Следовательно, мы имеем все
основания считать скорость мухи в момент встречи
всех трех наших героев равной нулю. Ясно, что ско-
рость мухи в окрестности их общей точки встречи
имеет бесчисленное множество разрывов непрерывно-
сти, располагающихся по обе стороны от нее. При
этом каждый конечный разрыв непрерывности
192
для скорости соответствует бесконечному раз-
рыву непрерывности по ускорению, поскольку, для
того чтобы мгновенно изменить скорость полета от
Значения +10 до значения -*-10, или наоборот, мухе
требуется бесконечйо большое ускорение. Более того,
как показывают сама постановка задачи Остина и ее
решение, характер движения мухи (или собаки) в
точке встречи не позволяет однозначно определить, в
какой форме это движение будет продолжаться после
точки встречи. Ййыми словами, хотя мы и показали,
как (в смысле «возможности») муха будет продол-
жать свое движение в точке встречи и за ней, дви-
жение после прохождения этой точки может осуще-
ствляться бесконечным числом различных способов,
каждый из которых вполне согласуется с условиями
задачи. Вместе с тем, утверждение о том, что суще-
ствуют альтернативные пути выполнения той или
иной задачи, вовсе не означает, что данную задачу
нельзя выполнить.
«В привычных формулировках парадоксов Зенона
об Ахилле и о дихотомии речь идет о конечном чис-
ле разрывов того типа, о котором мы только что
упомянули: так, мы предполагаем, что и Ахилл и че-
репаха в момент начала движения мгновенно дости-
гают соответствующей средней скорости, а в конце
также мгновенно замедляют свою скорость до нуля.
Аналогичным образом, в большинстве «машин беско-
нечности» (как, например, в машинах Блэка или в
лампе Томсона) мы сталкиваемся с бесчисленным
множеством таких разрывов непрерывности, груп-
пирующихся в окрестности некоторого финального
момента ее работы (см. в списке литературы книгу
Сэлмона, стр. 204—244). Используя математическое
описание, предложенное Р. Фридбергом, А. Грюнбаум
показал, как можно преобразовать такого рода дви-
жения, чтобы избавиться от всех этих разрывов не-
прерывности и тем не менее обеспечить требуемый
общий результат. Представляется разумным предпо-
ложить, что подобный подход применим и к задаче
о троянской мухе (или же к задаче Остина о маль-
чике, девочке и собаке) — это позволило бы полу-
чить описание движения, не вызывающее никаких
возражений по существу».
7 Зак4 695
193
дополнение
Я предполагал, что получу много писем с возра-
жениями по поводу анализа парадокса Остина, про-
веденного профессором Сэлмоном, однако не получил
ни одного, что, по-видимому, свидетельствует об убе-
дительности его аргументов. Конечно, наша дискус-
сия в определенной степени носит вербальный харак-
тер — ведь по существу вопрос сводится к тому, на
какого рода языке нашу проблему и ее решение
можно сформулировать наиболее строгим образом.
Существует много задач, аналогичных задаче о
собаке Остина, в том смысле, что на них может быть
дан точный ответ при естественном течении времени,
однако они становятся безнадежно неопределенными
при обращении хода времени. Возьмем, например,
точку, которая начинает движение по поверхности
Земли от ее экватора, двигаясь с постоянной ско-
ростью к северу по локсодроме *. Она будет закру-
чиваться вокруг северного полюса бесконечное число
раз, образуя счетное множество витков и достигая
полюса в некоторый вполне определенный момент
времени. Но если обратить этот процесс во времени,
то окажется, что наша точка может пересечь экватор
в любом его месте. Поскольку не существует «по-
следнего» витка кривой вокруг полюса, то не суще-
ствует и точного момента начала обращенного во
времени процесса движения, который единственным
образом определил бы спиральную траекторию
точки.
Впервые парадокс Остина был опубликован в жур-
нале МаОгетаИсз Мацагте в январе 1971 г. (задача
503). Однако уже в сентябрьском номере журнала
появились комментарии четырех математиков, кото-
рые единодушно указывали на то, что задача сама
по себе противоречива. Ответ Сэлмона на один из
этих комментариев так и не появился в печати.
Я привожу его здесь.
«В номере за сентябрь — октябрь Лайл Е. Пер-
селл пишет о задаче 503 ^задаче Остина про маль-
* Локсодрома — кривая на новерхности вращения (в дан-
ном случае, на сфере), пересекающая все ее меридианы под
постоянным углом а.«?Я/ш«, перевк
194
чика, девочку и собаку) следующее? «Приведенное
автором решение задачи по существу выглядит как
предложение просуммировать бесконечный ряд, начав
с его «последнего» члена! Потому что, если вся тро-
ица начнет двигаться в обратном направлении, как
предлагает автор в своем решении, то прежде чем
мальчик и девочка попадут обратно в исходную точ-
ку, собаке придется бесконечное число раз поменять
направление своего движения».
Хотя с тех времен, когда жил Зенон Элейский
(ок. 490 — ок. 430 г. до н. э.) не сохранилось ника-
ких оригинальных текстов, мне думается, что сам Зе-
нон вполне мог бы высказаться по поводу Ахилла в
таком духе:
«Поскольку Ахилл, прежде чем пробежать весь
свой путь, должен пробежать половину пути, а преж-
де чем пробежать половину, должен пробежать его
четверть и т. д., то очевидно, что для того, чтобы
достичь некоторой заданной точки, как бы близко она
ни располагалась к исходной, Ахилл должен пробе-:
жать бесконечное число отрезков. Поэтому сказать,
что Ахилл преодолел какое-то конечное (т. е. не рав-
ное нулю) расстояние, вполне равносильно предло-
жению просуммировать бесконечный ряд, начав с его
«последнего» члена!»
Хотя собака Остина должна беспрестанно менять'
направление своего движения, перемещаясь между
мальчиком и девочкой, тогда как Ахилл у Зенона все
время бежит в одну сторону, имеет ли это различие
хоть какое-нибудь отношение к абсурдности, заклю-
чающейся в «предложении просуммировать бесконеч-
ный ряд, начав с его „последнего** члена?» Получает-
ся, что собака Остина выкапывает из земли старый
регрессивный парадокс Зенона о дихотомии. Но если
Ахилл все-таки настигает черепаху, то почему бы со-
баке Остина не сделать то, чего от нее хотят?
7*
195
ГЛАВА 14
НИМ И ХАКЕНБУШ
Ним. Порядочный вор крадет с пе-
редышкой. Украл — отдохни малень*
ко, а потом опять за дело.
У. Шекспир
Виндзорские насмешницы
В последнее время появилось много важных тео-
ретических исследований, посвященных определенно-
му виду игр, в которых участвуют два игрока. Пока
для этих игр не придумано общего названия — их
называют играми типа нима, играми со взятием фи-
щек или дизъюнктивными играми. Во всех играх та-
кого рода первоначально имеется некоторый набор
элементов — фишек, камешков, пустых ячеек на дос-
ке, линий на графе и т. п. Игроки по очереди снима-
ют с доски какое-то (ненулевое) количество этих
элементов, следуя определенным правилам игры. По-»
ркольку число элементов на доске с каждым ходом
уменьшается, то игра должна в конце концов завер-
шиться. При этом ни один ход не может быть слу-
чайным; каждый игрок обладает «полной информа-
цией» в том смысле, что ему известны все действие
рротивника. Выигравшим обыкновенно считается тот,
кто делает последний ход.
Игра должна быть также «равноправной». Это
значит, что возможные ходы обусловлены исключи-
тельно расположением элементов, возникшим на дос-
ке перед данным ходом, а не тем, чья в данный мо-
мент очередь ходить, или тем, каковы были преды-
дущие ходы. Игра, в которой у каждого играющего
имеется свой собственный набор элементов, не явля-
ется «равноправной». Так, например, шахматы — «не-
равноправная» игра, потому что в ней ни один из
196
^гроков не может двигать фигуры противника. Из
Приведенных условий следует, что в том случае, если
#гра ведется рационально, любая комбинация эле-
ментов на доске (позиция) является выигрышной
Либо для одного, либо для другого игрока. Если
Позиция, создавшаяся после очередного хода игрока,
Обеспечивает ему выигрыш, то ее называют «безопас-
ной» («надежной» или ^ак-нибудь в этом роде), в
цротивном случае позиция называется «опасной».
Любую опасную позицию можно превратить в без-
опасную с помощью по крайней мере одного хода.
Каждая безопасная позиция становится опасной по-
сыле любого хода. В противном случае было бк легко
рпасть в противоречие, доказав, что оба игрока не-
пременно могут привести игру к победе. Ойтималь-
рая стратегия игры заключается в том, чтобы любую
рпасную позицию, образовавшуюся после хода про-,
^ивника, превращать в безопасную.
Наиболее известным примером такой игры явля-
ется ним. Впервые название «ним» ввел Чарлз Л. Бу-
тон, профессор математики Гарвардского универси-
тета, который в 1901 г. впервые опубликовал полный
анализ этой игры, Сам он никак не объяснил вы-
бранное им название, поэтому о его происхождении
нам остается только догадываться. Может быть, он
взял за его основу немецкое слово п!тт (повелитель-
ное наклонение от глагола пеЬтеп — брать) или уста-
ревшую форму английского глагола шт (брать), ко-
торая сейчас употребляется как жаргонное слово в
значении «стянуть, украсть». Один из читателей жур-
нала ТНв Ыеш 8с1епШ1 сообщил в своем письме, что
в комедии английского поэта и драматурга Джона
Гея «Опера нищих», написанной в 1728 г., упомина-
ется табакерка, «штт'й Ьу РПсЬ» (украденная Фил-
чем), а также, что Шекспир, назвав одного из слуг
Фальфстафа в пьесе «Виндзорские насмешницы» кап-
ралом Нимом, обыграл тем самым значение слова
гит, поскольку этот персонаж отличает склонность к
воровству. Другие читатели заметили, что если пере-
вернуть слово шт, то получится слово шп — побе-
дить.
Игра ним начинается с того, что выкладывается
любое число кучек (или рядов) из каких-либо пред-
метов |мы будем называть их фишками), с
197
произвольным количеством фишек в каждой кучке*
Ход каждого игрока заключается в том, что данный
игрок забирает некоторое количество фишек из ка-
кой-либо кучки, но только не более чем из одной. При
этом игрок может взять себе от одной фишки до це-
лой кучки. Выигрывает тот, кто забирает последнюю
фишку. Бутон предложил следующий способ, позво-
ляющий определить, опасна или безопасна данная
позиция в ннме: для этого число фишек в каждой
кучке надо записать в двоичной системе, а затем
сложить полученные числа столбиком без переноса
цифр в следующий разряд. Позиция безопасна в том
и только в том случае, если сумма цифр в каждом
столбце оказывается четной (ноль тоже считается
четным числом). Эквивалентный, но несколько более
простой способ оценки позиции состоит в том, чтобы
представить число фишек в каждой кучке в виде
суммы степеней двойки, а затем вычеркнуть все пары
одинаковых степеней и просуммировать оставшиеся
степени. В результате мы получаем так называемую
«ним-сумму» для данной позиции. Иногда это число
называют также «числом Гранди» иди «числом
Спрэга — Гранди» в честь Р. Спрэга и П. М. Гранди,
которые независимо друг от друга разработали об-
щую теорию такого рода игр, основанную на числен*
ных оценках каждой игровой позиции. (При этом
построение таких оценок для разных игр проводится
различными способами.)
Предположим, например, что при начале игры в
ним мы имеем три кучки фишек — из трех, пяти и
семи фишек. Запишем эти числа в следующем виде;
3 = 2+1
5=4 + 1
2 = 4 + 2+1
Вычеркнем, как показано на схеме, соответствую-
щие пары четверок, двоек и единиц. Сумма того, что
осталось, равна, очевидно, 1 — это и есть ним-сумма
для данной позиции. Позиция безопасна в том и
только в том случае, если ним-сумма для нее равна
нулю, в противном случае позиция оказывается опас-
ной {как в нашей ситуации). Для того, чтобы обес-
печить себе выигрыш, имея перед собой опасную по-
198
зищш, нам следует превратить ее в безопасную.
В данном случае, если взять одну фишку из любой
кучки, то ним-сумма позиции уменьшится до нуля.
Если в игре используются три кучки, а число фишек
в каждой из кучек не превышает семи, то безопас-
ными позициями являются: позиция©—» — я, при
л, равном любому числу от 1 до 7, а также позиции
1—2—3, 1—4—5, 1—6—7, 2—4—6, 2—5—7, 3-4—7
и 3—5—6. В том случае, если следующий ход дол-
жен делать ваш противник, то он наверняка оставит
после своего хода позицию с ненулевой ним-суммой,
которую вы, придерживаясь оптимальной стратегии
игры, опять можете свести к нулю.
Как и во всех играх такого рода, в ним можно
играть «наоборот», когда тот игрок, который забира-
ет последнюю фишку, считается проигравшим. Для
многих игр со взятием фишек стратегия игры «наобо-
рот» чрезвычайно сложна, однако для самой игры
ним в таком случае требуется ввести в стратегию
лишь достаточно тривиальное изменение, касающееся
только конца партии. В самом деле» для того чтобы
выиграть, нужно просто придерживаться обычной
стратегии, причем таким образом, чтобы оставить не-
четное число кучек, состоящих из одной фишки.
В этом случае противник будет вынужден забрать
последнюю фишку.
Для многих игр со снятием фишек требуется, ка-
залось бы, другая стратегия, но это кажется только
на первый взгляд. Представим себе, что правила
игры в ним позволяют игроку при желании не только
взять какое-то количество фишек из кучки, но и раз-
делить оставшиеся фишки на две отдельные кучки.
[(Если фишки расположены рядами, то можно взять
несколько лежащих рядом фишек из середины ряда,
а получившийся разорванный ряд считать за два от-
дельных ряда.) Можно было бы ожидать, что подоб-
ный маневр лишь усложнит стратегию игры, но на
самом деле это оказывается далеко не так. Для того
чтобы добиться выигрыша в данной позиции, под-
считайте ее ним-сумму обычным способом, и если
позиция окажется опасной, сделайте какой-нибудь
стандартный ход, превращающий ее в безопасную.
Пусть, например, в игре по схеме 3—5—7 своим пер-
вым ходом вы берете одну фишку из первой кучки
199
Рис. 78. Игра «ним» на шах-
матной доске.
{из трех фишек)*, обеспе-
чивая себе тем самым
безопасную позицию
2—5—7. Ваш противник
в свою очередь берет две
фишки из третьей кучки
(в 7 фишек) и делит ее
на две кучки, соответст-
венно, из двух и трех фи-
шек, в результате чего
получается позиция
2—5—2—3. Ним-сумма
для этой позиции равна
шести, и вы сразу делае-
те ее безопасной, забирая две фишки из кучки в 5
фишек.
Существует также интересная игра, при которой
передвигают шашки на обычной шахматной доске
(рис. 78). При этом должно использоваться не менее
двух столбцов доски. В нашем примере задействова-
ны, очевидно, все 8 столбцов. В начале игры черные
и белые шашки размещаются на произвольных клет-
ках в каждом столбце доски — белые на одной сто-
роне, черные — на другой. (Чтобы не было сомнений
в случайности исходного размещения шашек, для
рандомизации * позиции можно воспользоваться
игральными костями или чем-нибудь другим в этом
же роде.) Играющие садятся друг против друга и
по очереди делают ходы. Каждый ход состоит в пе-
ремещении одной из своих шашек вперед на любое
количество пустых клеток в соответствующем столб-
це. Перепрыгивать через шашку противника нельзя,
так что если две шашки оказываются на соседних
клетках в одном столбце, то ни одна из них больше
ходить не может. Побеждает тот игрок, который сде-
лает последний ход.
Проницательный читатель сразу заметит, что эта
игра — не более чем слегка замаскированный ним.
«Кучки» в данном случае представляют собой пустые
клетки между шашками противоположных цветов в
каждом столбце. В позиции, изображенной на рис. 78,
* Рандомизировать — делать беспорядочным, обуславливать
хаотичность, — Прим. перев,
200
эти кучки располагаются следующим образом:
5—1—4—2—0—3—6—3. Данная позиция является
опасной, поскольку ее ним-сумма, как нетрудно убе-
диться, равна 4. Первый игрок может обеспечить себе
выигрыш, сделав ход своей шашкой на 4 клетки в
первом, третьем или седьмом столбце. Если бы в на-
чале игры все шашки располагались в первом для
каждого из игроков ряду, то соответствующая поэи*
ция выглядела бы как 6—6—6—6—6—6—6—6. Эта
позиция является безопасной, поскольку ее ним-сум-
ма равна нулю, и, следовательно, тот игрок, который
в данной позиции делает первый ход, должен про-
играть. При этом второй игрок в уме группирует для
себя все столбцы на доске в четыре пары, а затем
дублирует каждый ход своего противника в соответ-
ствующем «парном» столбце; такая стратегия обес-
печивает ему нулевую ним-сумму после каждого хода.
Допустим теперь, что мы хотим усложнить игру
и разрешаем игрокам делать ходы не только вперед,
но и назад. Такого рода отступления равносильны
тому, как если бы мы просто добавляли фишки при
обычной игре в ним. Интересно узнать, как подобно?
усложнение правил скажется на стратегии при игре
на выигрыш?
Не так легко угадать аналогию с нимом еще ц
одной занятной игре, предложенной недавне)
Дж. X. Конуэем, математиком из Кембриджского
университета, автором игры «Жизнь», которой посвя-
щены три последние главы этой книги. Данная игра
основана на суммировании по типу нима, причем для
нее нам потребуется лишь карандаш и листок бума-
ги. Конуэй назвал ее «хакенбуш» *, но существуют
и другие названия, как например «Лесоруб и графы»;
«Ним Лиззи Борден» и др.
Исходная картинка представляет собой набор из
нескольких отдельных графов, как например, рисунок
«Усадьба Хакенбуш», который предложил сам Ко-
нуэй (рис. 79). Линия, соединяющая две вершины,
называется, как обычно в теории графов, ребром.
Ребро может иметь также вид «петли», т. е. как бы
соединять вершину с ней самой (как яблоки, вися-
щие на дереве). Между двумя вершинами можно
* От НаскепЬизЬ (нем.) ~^ рубка кустарника.
201
..[..10] л.
Рис. 79. «Усадьба Хакенбуш».
провести несколько ребер '(как, например, в лампоч-
ке на графе, изображающем фонарь). Каждый граф
стоит на некоторой базовой линии, или «земле», при*
чем «линия земли» не является частью графа. На
рис. 79 эта базовая линия показана пунктиром. Вер-
шины, расположенные на этой линии, называются
«базовыми вершинами».
Два игрока по очереди убирают {стирают) с ри-
сунка по одному ребру. При этом нам надо помнить
о земном притяжении, потому что при стирании реб-
ра, соединяющего какую-то часть графа с базовой
линией, этот кусок графа «падает на землю», т. е.
тоже исчезает. Например, если убрать на рис. 79
ребро Л, то исчезают и паук и окно, поскольку они
«упадут на землю», а если удалить ребро, соединяю-
щее паука с окном, то исчезнет только паук. Убирая
ребро В, вы тем самым рубите всю яблоню. Если
убрать одно из ребер в основании фонаря, то фонарь
все же останется стоять, но если при следующем ходе
вы уберете и второе ребро основания, то фонарь
опрокинется и исчезнет. Побеждает в этой игре тот,
кто убирает на картинке последнее ребро.
Как и при игре в ним, любая картинка может
быть либо безопасной (выигрывает второй игрок),
либо опасной |(победа достается первому игроку).
Чтобы оценить рисунок с этой точки зрения, каждому
графу нужно приписать некоторое число, определяю-
щее его «вес». Первое, что надо сделать для этого —>
202
\Вес "4 4
Рис. 80. Девочка, стоящая на одной ножке.
разрушить все «циклы» (замкнутые цепочки, состоя-
щие из двух или более ребер), превратив их в петли.
Граф, который получается в результате такого пре-
образования, Конуэй называет яблоней, хотя зачас-
тую полученные петли больше походят на лепестки
цветка. Продемонстрируем, как подсчитывается вес
графа, на примере рисунка Конуэя «девочка>
|(рис. 80). На этой картинке имеются два цикла —
голова девочки и ее юбочка. Сначала две вершины —
в нижней и верхней части головы — стягиваются в
одну, после чего два ребра, соединяющих эти верши-
ны, складываются в петли. То же самое можно про-
делать с пятью вершинами и пятью ребрами юбочки.
Итак, наша девочка превращается в девочку-ромаш-
ку (средний рисунок). Следующий шаг состоит в том,
чтобы превратить ее в обычное «дерево», заменив
каждую петлю одиночной веткой (рисунок справа).
Подсчитаем теперь вес этого дерева. Прежде все-
го обозначим единицей вес всех ребер с концевой
вершиной, т. е. с вершиной, не соединяющейся с дру-
гим ребром, или, иными словами, обозначим едини-
цей вес каждого из ребер, удаление которых не влечет
за собой «падения на землю» других ребер. Да-
лее, обозначим цифрой 2 все те ребра, которые под-
держивают только одно ребро. Вес каждого из ос-
тавшихся ребер мы обозначим цифрой, на единицу
большей ним-суммы всех ребер, которые это ребро
непосредственно поддерживает. Возьмем, к примеру,
ребро, соответствующее косичке девочки — между ее
головой и бантиком. Это ребро непосредственно
203
поддерживает ребра с весами 1—1—1. Пара единиц
при этом сокращается, что дает нам ним-сумму, рав-
ную 1. К этой ним-сумме мы добавляем единицу, в
результате чего вес данного ребра оказывается рав-
ным 2. Ребро, соответствующее туловищу девочки от
юбочки до головы, непосредственно поддерживает
ребра с весами 2—1—2—1—2. Их ним-сумма равна 2.
Таким образом, прибавляя единицу, мы получаем, что
вес указанного ребра равен 3.
Бедро той ноги, на которой стоит девочка, под*
Держивает ребра с весами 3—1—1—3—1—1—1; для
них соответствующая ним-сумма равна 1. Прибавив
к ней единицу, мы получим для бедра девочки вели-
чину веса, равную 2. Голень той же ноги имеет вес,
равный 8, а ступня — равный 4. [(В каждом из этих
случаев мы прбсто прибавляем единицу к весу един-
ственного непосредственно поддерживаемого ребра.)]
Поскольку ступня — это единственная опора, на кото-
рой держатся весь граф, то, следовательно, вес девоч-
ки равен 4. Все полученные таким образом веса мож-
но перенести теперь на соответствующие ребра ис-
ходного изображения девочки.
После некоторой практики нетрудно научиться
подсчитывать веса ребер прямо на исходном графе»
однако Делать это нужно с большой осторожностью.
Н§пример? бедро той ноги, на которой стоит девочка,
«непосредственно поддерживает» пять ребер юбочки,
поднятое ввеох бедро и тело девочки. Это сразу за-
метно на третьем графе ^«дерево»), но не так оче-
видно на исходном графе — ведь многие из непосред-
ственно поддерживаемых бедром ребер находятся
довольно далеко от него.
Если соответствующий граф имеет болыце одной
базовой вершины, как, например, дверь, бочка и фо-
нарь на картинке «Усадьба Хакенбуш», то следует
превратить базовый цикл в петли, не забывая при
этом, что отрезок пунктирной линии между двумя
базовыми вершинами не является частью графа.
Превращения графа «дверь» показаны на рис. 82, б.
Поскольку для ребер 1—1—1 их ним-сумма равна 1,
то вес двери тоже будет равняться 1. Девочка, стоя-
щая на обеих ножках (рис. 81), имеет вес, равный3.
Кстати, обратите внимание на то, как два цикла, об-
разованные юбочкой и ногами девочки, превращают-
,204
Рис. 81. Девочка, стоящая на двух ножках.
ся в 7 петель. Если игра ведется на одном этом гра-
фе, то для того чтобы добиться выигрыша, в качестве
победного хода надо убрать верхнюю часть головы
девочки или одну из ее косичек. Тогда ним-сумма
для ее головы становится равной нулю, для тела —
равной 1, а вес всего графа оказывается равным
нулю. Точно таким же способом мы можем опреде-
лить вес, который следует приписать каждому из
пяти графов, составляющих картинку «Усадьба Ха-
кенбуш» {рис. 79): яблоне, дому (включая окно, па-
ука, трубу, антенну и сток над бочкой), двери, боч-
ке и фонарю.
Если при игре в хакенбуш воспользоваться только
графом девочки, стоящей на одной ножке, то такая
игра оказывается столь же тривиальной, как и игра
в ним с одной кучкой фишек. В самом деле, первый
игрок может сразу же добиться победы, убрав ту
ножку, на которой стоит девочка. Бедняжка падает
на землю, и он забирает себе все ребра ее графа.
В случае фигуры, у которой имеется более одной ба-
зовой вершины, как например для двери, мы долж-
ны не забыть убрать какое-нибудь ребро графа, с
тем чтобы ним-сумма остающегося графа оказалась
равной нулю. В случае графа «дверь» первый игрок
может добиться этого, только если он уберет верх-
нее ребро двери, оставив два графа с весом по 1
каждый, т. е. с общей их ним-суммой, опять-таки
равной нулю. Если же убрать любое из боковых ре-
бер, то у нас останется только один граф с весом,
равным 2, который может быть полностью убран вто-
рым игроком.
205
Картинку, состоящую из п графов, как, например,
5 графов на рисунке «Усадьба», можно анализировать
совершенно так же, как игру ним с числом кучек*
равным п. При этом ним-сумма весов всех графов
равняется полному числу Гранди. Ясно, что картинка
оказывается безопасной (т. е. второй игрок выигрыва-
ет) в том и только в том случае, когда указанное
число равно нулю. Как и в игре ним, оптимальная
стратегия здесь заключается в том, чтобы после ва-
шего хода ним-сумма для оставшегося графа всегда
равнялась нулю.
Предлагаю читателям попытаться определить вес
каждого графа на картинке «Усадьба Хакенбуш» и
удостовериться, что общая ним-сумма «Усадьбы»
равна ДО. Однако раз эта сумма не равна нулю, то
первый игрок вполне может выиграть. При этом ока-
зывается (Конуэй, конечно, специально так приду-
мал), что существует только одно ребро, которое дол-
жен убрать первый игрок, чтобы уменьшить нимчум-
му графа до нуля и тем самым обеспечить себе
победу. Какое это ребро?
Здесь я лишь вкратце рассказал об игре хакен-
буш. В книге Конуэя, а также з двухтомном иссле-
довании Берлекамиа, Конузя и Гая (см. список
литературы) вы можете найти множество дополнитель-
ных сведший об этой игре, о весьма глубоких теоре-
мах, связанных с ней, а также о многочисленных ва-
риантах этой игры. В указанных книгах содержится
также огромный материал, связанный с другими
играми типа ним а, а также с теорией как стандарт-
ных -вариантов этих игр., так и вариантов с игрой
«наоборот».
ОТВЕТЫ
Нашим первым заданием было выяснять, как из-
менится онтагмальБая стратегия при игре в ним на
шахматной доске, если разрешить игрокам дошгатъ
свои шашки не только вперед, но и назад. Ответу
почти никак не изменится. В самом деле, «если про-
игрывающий делает ход назад, то выигрывающий мо-
жет просто продвинуть вперед шашку, противостоя-
щую ему в том же столбце, так чтобы число клеток,
разделяющих эти две шашки, осталось прежним. Это
сохраняет существовавшую на доске ситуацию^ так что
296
Вес « 15
Вес5* 1
.0
Вес = Т
1\ 1
Вес а 4
Рис; ЛЛ Взвешивание яблоня {а}, двери (б), бочт (в) и
фоваря (г) ш «Усадьбе Ханенбушг»
+ 1 I
6
1
1 у
3
1
в V ^ Л? Телевизионная
^^М^Г« антенна
Стон
над бочкой
у._._ -^==§ярй^Г- Вес в 1
Рис. 83. Взвешивание приусадебного дома.
оптимальная стратегия игры остается практически без
изменений. Победитель никогда не делает ходов
назад, а поскольку шахматная доска имеет ограни-
ченные размеры, то проигрывающему в конце концов
становится некуда отступать. Этот вариант игры на-
зывается обычно «ним Норткотта», так как автором
его считается Д. Г. Норткотт.
Соответствующие преобразования различных час-
тей (графов) на рисунке Конуэя «Усадьба Хакенбуш»
в яблони, а потом в деревья (как это объяснялось
выше), а также веса различных графов показаны на
рис. 82 и 83. §ти графы имеют веса 15—1—1—4—1,
и, следовательно, общая ним-сумма для «Усадьбы»
оказывается равной 10. Для того, чтобы довести это
число Гранди до нуля, первый игрок сможет сделать
только одно — уменьшить вес яблони до 5. «Ствол
яблони поддерживает две ветви с весами 8 и 6,—
пишет Конуэй,— причем эти веса надо превратить в
веса 2 и 6 или в веса 8 и 12, так чтобы их ним-
208
сумма равнялась 4. Ясно, что
для этого нам нужно выбрать
левую ветвь. Забравшись на
дерево, мы обнаруживаем, что
существует единственный ход,
гарантирующий нам выиг-
рыш— это срубить веточку, на
которой висит второе яблоко
слева».
Отсекая эту ветку, мы Вес =5
(уменьшаем вес дерева (т. е. Рис. 84. Яблоня со
фактически вес ствола) до срубленной веткой — схе-
значения, равного 5 (рис. 84). ма выигрыша.
Теперь наши графы имеют ве-
са 5—1—1—4—1, что и дает нам окончательную
ним-сумму, равную нулю.
ГЛАВА 15
ИЗЯЩНЫЕ ГРАФЫ ГОЛОМБА
Одной из наименее исследованных областей совре-
менной математики являются задачи, связывающие
теорию графов с арифметикой. О развлекательных
задачах такого типа я уже писал, когда речь шла о
магических звездах и многогранниках. Здесь мы рас-
смотрим класс задач о так называемой нумерации
графов, предложенных недавно профессором матема-
тики и машиностроения университета Южной Кали-
форнии Соломоном В. Голомбом, автором книги «По-
лимино» *, многочисленных статей по развлекатель-
ной математике, а также большого числа научных
работ. Материал этой главы заимствован из моей
переписки с Голомбом и из его статьи «Как перену-
меровать граф».
* Голомб С, В. Полимино» = М.: Мир, 1975.
209
* Голомб применяет
УуЧ. термин «изящный граф»
/ \5^\з к любому графу, который
у \в >^ можно «изящно перену-
/ б^х^^-^^ч меровать». Он поясняет
/^^ ^^^Ч свою терминологию на
о^__ ^44 простом примере изящ-
4 ной- нумерации графа,
Рис 85. Изящный граф. представленного на рис
85. Этот граф называется
полным графом для четырех точек, поскольку каждая
пара его вершин соединяется линией, которую назы-
вают ребром. Топологически этот граф эквивалентен
скелету тетраэдра. Он представляет собой так назы-
ваемый плоский граф, потому что его можно начер-
тить на плоскости таким образом, что его ребра не
будут пересекаться. Как мы увидим в дальнейшем,
для изящной нумерации графа вовсе не обязательно,
чтобы он был плоским, однако при этом на нем не
должно быть петель (т. е. линий, начинающихся и
кончающихся в одной и той же вершине) или «крат-
ных» ребер (когда одна пара вершин соединяется не-
сколькими ребрами).
Каждая вершина графа обозначается неотрица-
тельным целым числом. Наименьшим целым числом
(по соглашению) выбирается нуль, и, кроме того, ни
одно целое число не используется дважды. После
того как перенумерованы все вершины графа, нуме-
руются его ребра, причем каждому ребру присваи-
вается число, равное разности чисел соответствующих
двум его концевым вершинам *. Как и номера вер-
шин, номера ребер также не должны повторяться.
Наша цель состоит в том, чтобы после всех этих опе-
раций наибольший номер вершины оказался бы по
возможности меньшим числом. Очевидно, что это
число не может быть меньше, чем число ребер гра-
фа. Если наибольший номер вершины равен числу
ребер е, то номера ребер будут последовательно про-
бегать значения от нуля до е, и в результате мы по-
лучим изящно перенумерованный граф. Число е при
этом будет характеризовать собой три величины:
* Такие вершины в теории графов обычно называют смеж^
ными, ^ Прим. перев*
210
Рис. 86. Линейный вариант (а) полного графа (б).
общее число ребер» наибольший номер вершины и
наибольший номер ребра. Любой граф, который
можно изящно перенумеровать, представляет собой
изящный граф. При этом у одних изящных графов
имеется лишь одна основная нумерация, у других —
несколько. (Тривиальные вариации, полученные с по-
мощью таких операций симметрии, как вращения или
отражения» либо с помощью замены каждого номера
вершины я, на номер е — я, не считаются различны-
ми.) Граф» который нельзя изящно перенумеровать,
называется неизящным графом.
Как указывает Голомб, любой граф можно изо-
бразить в виде прямой линии, на которой располо-
жены все его вершины и некоторые из его ребер,
причем остальные ребра изображаются в виде
кривых, соединяющих соответствующие вершины
(рис. 86, а). Пойдем теперь дальше. Представим себе,
что эта прямая линия является краем линейки, длина
которой равна максимальному номеру ребра перену-
мерованного графа. Вершины графа представляют
собой при этом метки на линейке в точках, которые
соответствуют номерам вершин, причем каждый но-
мер соответствует расстоянию от этой метки до нуля
линейки. Голомб называет такую линейку «евклидо-
вой моделью» перенумерованного полного графа. За-
дача изящной нумерации полного графа, имеющего
п вершин, эквивалентна задаче проставления на ли-
нейке п соответствующих меток (включая сюда метки
на обоих концах линейки). В нашем примере на ли-
нейке отмечены точки 0, /, 4 и 6, т. е. номера вер-
шин полного графа для четырех точек, после того
как он был изящно перенумерован. Такой линейкой
можно с успехом измерять длины в 1, 2, 3, 4, 5 и б
единиц. На рис. 86, б показан другой способ изобра-
2П
жения полного графа для четырех точек —в виде
четырехстороннего многоугольника со всеми его диа-
гоналями. (Точка пересечения диагоналей, естествен-
но, вершиной не является.) Заметим, что расстоя-
ния между соседними метками на линейке, вместе с
полной длиной самой линейки, соответствуют числам,
идущим по периметру изящно перенумерованного
квадратного графа.
Аналогичная задача, весьма близкая этой, но
только с меньшими ограничениями, описана мною в
книге «Удивительный доктор Матрица», гл. 6 *. Ли-
нейками доктора Матрицы можно измерить любое
расстояние от нуля до полной длины линейки, одна-
ко номера ее ребер (расстояния между любыми дву-
мя ее метками) вовсе не обязательно должны ока-
заться разными. Если сюда добавить условие, что
указанные расстояния все же должны быть различ-
ными, то задача доктора Матрицы становится тож-
дественной рассматриваемой нами задаче: как найти
такую линейку, метки на которой соответствовали бы
изящной нумерации полного графа с числом вершин,
равным л. Голомб в своей работе доказывает, что
это возможно только при /1=1, 2, 3 или 4. Другими
словами, полный граф для п точек не может быть
изящно перенумерован, если число п превышает 4.
Если оставить в силе требование, чтобы все рас-
стояния между парами меток на линейке были раз-
ными, но не требовать того, чтобы эти метки шли
последовательно от 0 до последней метки, соответ-
ствующей полной длине линейки, то можно попытать-
ся найти самую короткую линейку с числом меток п
(концевые точки линейки также входят в это число),
на которой все расстояния между парами меток (они
соответствуют номерам ребер на полной графе для
п точек) оказались бы различными. В таблице са-
мых коротких линеек, когда п меняется от 2 до 11
(рис. 87), только первые три строки представляют
собой решения задачи о линейке доктора Матрицы,
Они соответствуют изящной нумерации полных гра-
фов для двух, трех и четырех точек. На осталь-
ных линейках мы не можем получить всего набора
расстояний, выраженных в виде последовательных
* См. сноску на стр. 35.
212
Узлы
2
3
4
5
е
7
8
9
10
11
Грани-
цы
1
3
в
10
15
21
28
38
45
65
Расстояния между соседними метками
2
3
3
3
3
3
3
3
8
2
5
в
6
в
12
6
10
2
5
8
11
10
12
б
2
5
8
8
16
7
2
5
в
11
21
2
5
8
4
2
5
.л
2
2
11
3
Длина
1
8
в
11
17
25
36
47
64
72
Рис. 87. Треугольник Голомба: самые короткие линейки Голом-
ба, известные в 1972 г.
целых чисел от нуля до полной длины линейки; в
этом случае полученные числа соответствуют тому,
что Голомб называет «наилучшей» нумерацией пол-
ных графов с числом точек более четырех. Числа в
каждом ряду дают нам расстояния между соседними
метками на линейках, соответственно, с 2, 3, 4, ...,
11 метками. Эта таблица, которую можно продол-
жать вниз до бесконечности, называется обычно тре-
угольником Голомба.
Различие между линейками доктора Матрицы и
линейками Голомба можно сформулировать следую-
щим образом. Линейки доктора Матрицы определяют
собой минимальное число меток для линейки длиной
А, с помощью которой можно измерить все целочис-
ленные расстояния от 1 до к. Линейки же Голомба
не обязательно включают в себя все целочисленные
расстояния от 1 до к\ при этом каждая линейка Го-
ломба имеет минимальную для данного числа меток
длину, а все целые расстояния, которые можно из-
мерить такой линейкой, будут различными. Если мы
нарисуем граф, соответствующий линейке доктора
Матрицы, то на нем могут оказаться два ребра с
213
9
1 3 6 11 8 5 2
4 9 17 19 13 7
10 20 25 24 15
21 28 30 26
20 33 32
34 35
36
Рис. 88. Изящный граф для Рис. 89. Доказательство для
линейки доктора Матрицы. линейки Голомба с восемью
метками.
одним и тем же номером. Убрав все те ребра, но-
мера которых повторяются, мы получим изящный
граф, который Голомб называет «изящной аппрокси-
мацией» полного графа. Например, если мы уберем
одно ребро (линию между точками 1 и 4) на изобра-
жении полного графа для пяти точек (рис. 88), то
сможем изящно перенумеровать полученный граф. Он
соответствует линейке доктора Матрицы с метками
в точках 0, 1Ъ 4, 7, и 9.
Интересно обратить внимание на то, что на ли-
нейках Голомба различными всегда оказываются не
только разности между парами номеров вершин, но
также и их суммы, в том числе и суммы, получен-
ные при сложении номера вершины с самим собой.
«То, что эти суммы, как и соответствующие разности
номеров вершин, оказываются различными, весьма
удивительно,— пишет Голомб,— но доказательство
этого до смешного просто. (Доказательство: в самом де-
ле, если а — 6 = с — й, то а + й = й + с, и обратно.)]
С помощью масштабной линейки (длиною в 1 ярд)1,
или линейки длиной в 36 дюймов, можно, например,
легко показать, что все расстояния, измеряемые ли-
нейкой Голомба, оказываются различными. На мас-
штабной линейке в 1 ярд, как известно, 8 меток.
Верхний ряд треугольника Голомба (рис. 89) дает
нам расстояния между соседними метками на такой
линейке. Эти семь чисел, вместе с общей длиной ли-
нейки, соответствуют восьми номерам ребер по пери-
метру восьмистороннего многоугольника, если преоб-
214
разовать его в полный граф, т. е. провести все его
диагонали, а затем перенумеровать его как можно
изящнее. Второй ряд чисел получается в результате
последовательного сложения соседних пар чисел в
первом ряду. Третий ряд получается путем сложения
последовательных троек чисел первого ряда, четвер-
тый — последовательным сложением соседних четве-
рок чисел первого ряда и т. д. При этом самое ниж-
нее число — это полная длина линейки. Оно, очевидно,
является суммой всех чисел верхнего ряда. Два-
дцать восемь чисел, образующих этот треугольник,
представляют собой 28 номеров ребер полного графа
для восьми точек, если снабдить его наилучшей не-
изящной нумерацией. В том случае, если все эти чис-
ла различны между собой, ни один номер ребра на
полном графе не будет повторяться, а все расстоя-
ния между парами меток на соответствующей линей-
ке будут различными.
Голомб признает, что для всех линеек с длиной
больше шести единиц результаты были получены (как
им самим, так и другими исследователями) отчасти
методом проб и ошибок. При этом до сих пор не до-
казано, что эти линейки имеют минимальную длину.
КЛинейку длиной 47 единиц для случая 9 меток
впервые нашел М. Дж. Ходгарт из Брайтона, Анг-
лия, в 1965 г.; линейку в 72 единицы с 11 метка-
ми — Р. Рид из Мирафлореса, Аргентина, причем то-
же в 1965 г.) Быть может, кому-нибудь из читателей
(удастся улучшить эти результаты или продолжить
этот треугольник еще дальше вниз.
Одно из многих необычных свойств изящных гра-
фов, открытых Голомбом, состоит в том, что все вер-
шины таких графов можно разбить как бы на два
множества — с четными и нечетными номерами, при-
мем число ребер, соединяющих эти два множества,
будет равняться ![ (е + 1) /2], где е — общее число
ребер на графе. Квадратные скобки здесь означают,
что выражение округляется до ближайшего снизу
целого числа, т. е. мы берем лишь целую часть стоя-
щего в скобках выражения. Голомб называет эту
операцию «бинарной разметкой». Например, множе-
ство вершин с четными номерами у графа, изобра-
женного на рис. 86, а, включает в себя вершины 0,
4, и 6, а множество вершин с нечетными номерами —
215
О гх #
Рис. 90. Единственно возможные неизящные графы с числом
узлов меньше шести,
лишь вершину /. Легко убедиться, что эти два набо«
рд вершин действительно соединяются [(6+ 1)/2] =^
= 3 ребрами. \
Более того, Голомб доказывает, что если все вер*
шины графа имеют четную кратность (т. е. соединен
ны четным числом ребер), то данный граф будет
изящным лишь в том случае, когда [(е + 1)/2] пред*
ставляет собой четное число. Если эта величина ока*
зывается нечетным числом, то бинарная разметка
становится невозможной, и, следовательно, данный
граф нельзя будет изящно перенумеровать. Из топо-:
логически различных графов с количеством вершин,
не превышающим пяти, только три графа являются
неизящными. Эти три графа имеют по пять вершин,
причем все их вершины — четной кратности. Для всех
трех графов нарушается условие Голомба, согласно
которому выражение [(е+1)/2] должно быть чет-
ным числом (рис. 90). Отметим, что первые два гра*
фа являются плоскими, тогда как третий из них—■
полный граф для пяти точек — таковым не является.
Это показывает, что не все плоские графы, так же
как и не все неплоские графы, являются изящными.
Но может ли неплоский граф быть изящным? Может,
как это видно из рис. 91, на котором представлена
изящная нумерация графа Томсена. Граф Томсена
называют иногда графом коммунальных сооружений,
поскольку он схематически изображает хорошо изве-
стную (но до сих пор не решенную) задачу, в кото-
рой каждый из трех домов надо соединить с каждым
из трех коммунальных сооружений, без какого бы то
ни было пересечения ребер. График Томсена — это
один из бесконечного семейства графов, известных
под названием «полных двудольных графов», где
каждая вершина из множества а вершин этого графа
соединяется с каждой вершиной из множества Ь его
216
9 6 3
Рис. 91. Изящная нумерация графа, предложенного Томсеном,
вершин, однако сами вершины внутри этих множеств
между собой не соединяются. При этом Голомб уста-
новил, что все полные двудольные графы являются
изящными.
Как известно, скелеты многогранников могут быть
представлены в виде плоских графов, которые назы-
ваются обычно диаграммами Шлегеля. Оказалось, что
из пяти Платоновых тел только додекаэдр и икоса-
эдр не являются изящными. Попробуйте, не загля-
дывая в раздел «Ответы», где приведены решения,
найденные Голомбом, провести изящную нумерацию
диаграмм Шлегеля для куба и октаэдра (рис. 92).
Можно ли проделать то же самое для диаграммы, на
которой изображен скелет Великой пирамиды Хеопса?
А может быть, вам удастся найти изящную нумера-
цию для додекаэдра или икосаэдра?
Еще три изящных графа, предложенных Голомбом,
имеют, соответственно, 6, 7 и 10 вершин (рис. 93)*
АН
Рис. 92. Три изящных графа Шлегеля: куб (а), октаэдр (б) и
Великая пирамида Хеопса (в).
217
Рис. 93. Три предложенных Голсшбом изящных графа с шестью
(а), семью (б) ш десятью (в) узлами.
Сумеет ли читатель перенумеровать также и эти гра-
фы, не обращаясь к разделу «Ответы»?
Кроме полных двудольных графов, существуют и
другие бесконечные семейства изящных графов. Одно
из них, обнаруженное Голомбом, показано на рис* 94,
При этом возникает вопрос:- если число вершин гра-
фа стремится к бесконечности, то не будет ли стре-
миться н некоему пределу доля изящных графов по
отношению к общему числу графов с числом вершин
л? Если да, то чему равен этот предел? В течение
нескольких лет высказывались мнения, что этот пре-
дел равен некоторому дробному значению» заключаю-
щемуся между О и: 1, однако недавно П. Эрдош су*
мел вокаодпч что нредел этот равен 0. Правда, его
доказательство, нигде еще пока не опубликованное,
оказалось очень сложным. Г. Блум и Г. Тейлор на-
шли довольно простой способ продемонстрировать»
что количество изящдых графов е е ребрами не аре*
вышает значения, е, откуда сразу следует, что ука-
занный предел равен 0.
Голомбу, Эрдошу и другим исследователям удалось
найти решения дня многих задач, связанных с изящ-
ными графами, в том чисде и для чисто технических,
однако имеете е тем до сих пор остается несколько
важных, вопросов, ответа на которые пока не полу-
чено. Вопросы эти следующие.
3 6 9 '2
Рис. 94. Бесконечное семейство изящных графов.
21»
Рис. 95. Изящная гусеница.
1. Каковы необходимые н достаточные условия
для того, чтобы граф был изящным? Неизвестно да-
же, все ли древовидные графы, или деревья *, явля-
ются изящными (ем. гл. 17 моей книги <МаШета1н
са1 Ма&1с $1ют»). В несколько иной постановке
предположение о том, что все древовидные графы
можно изящно перенумеровать, впервые .независимо
от Голомба было высказано в 1963 г, Г, Риягелем,
Подобными же вопросами много занимались чехо-
словацкий ученый А. Роса и его коллеги^ Предполо-
жение это удалось подтвердить только для одного
частного вида деревьев, который обычно называется
«гусеницами* — это графы, у которых все вершины
расположены либо на центральном стволе, либо на
расстоянии одного ребра от ствола (ряс. 95), На ти-
пичной изящно перенумерованной гусенице номера
ребер идут в лравильной последовательности от од-
ного конца дерева к другому.
г и
» 5 Ь
9
*0
12
4 12 Ц
II
и*
1
10
13
15 О
14 8
14" 13 9Л
Рис. 96. Изящные полиомэша
?♦
*4
1*
14
10<
18 <
45
В *! 17 44 1
Тв
1«
43]
16 12
Щ
17 21 21
22
♦ О'
* Дерево — связный веорнен'нфовянный граф, не имеющий
кратных ръбер н оетель* — Прим, пере**
219
Голомб обнаружил
также аналогичный алго-
ритм изящной нумерации
бесконечного класса гра-
фов типа полиомино, как,
например, пентамино и
гептамино (рис. 96). От-
Рис. 97. Поразительно неизящ- метим, ЧТО В данном слу-
ный граф. чае последовательность
номеров увеличивается
по диагонали вверх и слева направо. К сожалению,
существует бесконечный класс полиомино с более вы-
сокой степенью вогнутости (эту степень не так-то
просто определить), для которых данная процедура
Не срабатывает, причем даже в том случае, если эти
полиомино можно изящно перенумеровать.
Голомб обнаружил весьма простой граф (рис.97),
который является особенно неизящным, поскольку на
него не распространяется ни одна из известных об-
щих теорем.
2. Каковы правила построения треугольника Го-
ломба? Иначе говоря, существует ли некий алгоритм
нахождения самых коротких линеек, соответствующий
наиболее неизящной нумерации полного графа для
случая более чем четырех точек?
3. Существует ли граф, для которого, после того
как он перенумерован по мере возможностей изящно,
нарушалось бы предположение о том, что наиболь-
ший номер вершины и наибольший номер ребра дол-
жны быть равны между собой? В настоящее время
Голомб занимается поисками соответствующего
контрпримера, а именно, графа с наилучшей нумера-
цией, у которого наибольший номер вершины прево-
сходит наибольший номер ребра. (Понятно, что об-
ратной ситуации быть не может.) «Если я обнаружу
такой граф,— пишет в письме ко мне Голомб,— то
он будет не просто неизящным, а, я бы сказал, пря-
мо-таки безобразным».
ОТВЕТЫ
Решения для шести графов, которые читателю
предлагалось перенумеровать «изящным образом»,
представлены на рис. 98. Правда, ни одна из этих
нумераций не является единственно возможной.
Р4
220
Рис. 98. Решения для шести изящных графов.
Предлагалось также улучшить строки треугольни-
ка Голомба, каждый из которых дает самую корот-
кую из известных линейку с числом меток п (вклю-
чая начало и конец линейки), так чтобы расстояния
между любыми парами меток представляли собой
неповторяющиеся целые числа. У, Пенни из Грин-
белта, шт. Мериленд, первым уменьшил длину линей*
ки с восемью метками до 34 единиц. Такую же ли-
нейку вручную обнаружил Д. А, Линч из Уилвуда,
шт. Нью-Йорк.
Первым, кто провел исчерпывающий машинный
поиск для всех линеек минимальной длины с числом
меток вплоть до 11, был У. Миксон из Чикагского
университета. Его результаты показывают, что линей-
ки с 8, 9 и 10 метками являются единственно воз-
можными, не считая, конечно, зеркальных отражений
[(рис. 99), Эти результаты полностью подтвердила
машинная программа вычислений, разработанная
А. К. Чандрой из Стэнфордского университета, и ча-
стично — программы, предложенные П. Стейером,
Дж, Ван-Занком, Э. Шенбергом и другими исследо-
221
Узлы
3
4
5
6
7
8
9
10
11
г Длима^ ]
3
6
11
17
25
34
44
56
72
Разбиения
1.2
1.3.2
1. 3, 5. 2
2. 5, 1.3
1,3.6.2.5
1.3.6.5.2
1.7.3,2,4
1.7,4,2.3
1,3.6,8.5.2
1. 6. 4. 9. 3. 2
1, 10,5,3.4.2
2,1.7,6.5.4
2. 5. 6, 8, 1, 3
1.3.5.6.7. 10.2
1.4. 7, 13. 2.8.6.3
1. 5, *. 13, Э 8. 7. 12, 2
1.3. ». 15.5. 14. 7, 10,6. 2
1.8,10,5,7,21.4,2.11,3
Рис. 99. Линейки Голомба минимальной длины.
вателями. С помощью ручных вычислений Ш. Акерс
обнаружил линейку минимальной длины с девятью
метками, а В. Харрис, также без помощи ЭВМ, су-
мел найти все, кроме одной, линейки с шестью и
семью метками.
Еще раньше Дж. П. Робинсон из университета
штата Айова рассчитал линейку с 10 метками и од-
ну из линеек с И метками; он проделал это в
1966 г. посредством неисчерпывающего машинного по-
иска в процессе работы над диссертацией, посвящен-
ной исследованию кодов с исправлением ошибок.
Наиболее интересные из полученных им результатов
для линеек с числом меток вплоть до 24 приведены в
222
статье «Один класс бинарных циклических кодов с
ограниченным распространением ошибок» *.
Первым, кому удалось изящно перенумеровать до-
декаэдр, оказался Р. К. Ашенфелтер из фирмы «Белл
телефон лабораторией А. К. Чандра разработал ма-
шинную программу, позволившую провести исчерпы-
вающий поиск для икосаэдра, и получил при этом
пять принципиально различных вариантов нумерация.
Частичный поиск для додекаэдра также позволил ему
получить большое число вариантов изящной размет-
ки. Тем самым подтверждается предположение Го-
ломба о том, что скелеты всех пяти Платоновых тел
представляют собою изящные графы,
ДОПОЛНЕНИЕ
В настоящее время выяснилось, что линейки Го
ломба (правда, с использованием другой терминоло-
гии) рассматривались в литературе и раньше. Наи-
более ранняя из известных мне ссылок относится к
задаче, предложенной Г. Фридмэном [51АМ Ке«
шьет, 5, р. 275 (Ли1у 1963)].
Линейки Голомба находят практическое примене-
ние при расчете кодов для импульсных радиолокаци-
онных и гидроакустических станций **, а также в ис-
следованиях по рентгеновской кристаллографии. Две
линейки Голомба длиной в 17 единиц позволили
опровергнуть «теорему» которую выдвинул в 1939 г,
С. Пикар и которая в течение многих лет использо-
валась в кристаллографии.
Р. Гай в одной из своих работ*** сообщает, что
с тех пор как Голомб вновь обратился к предполо-
жению Рингела о том, что все древовидные графы
являются изящными, число работ, посвященных ис-
следованиям этого пресловутого, но все еще не
* КоЫпзоп Л., Вегпз1ет А. I., ШЕЕ Тгапзасиопз оп 1п?ог*
таИоп ТЬеогу. 1Т—13, № 1, Лапиагу 1967, р. 106—113.
** См., например: Зшшюпз О. Л. 8упсН-5е&: А Уапагй
о! ШНегеясе §е&. РгосеесИпез о[ 1Ье РЙш 5ои1Ьеа5*егп СопСе-
гепсе оп СотЫпа{опсз, СгарЬ ТЬеогу лпА Сотрийп^ — Боса
Ка*оп. 1974, р. 625—645.
*** ТНе Ашепсап МаОгетаЦса1 МопШу, 88* ВесешЬе* 1981,
р. 756,
223
решенного полностью вопроса, уже перевалило за сот-
ню. Р. Л. Грэм и Н. Слоун из фирмы «Белл телефон
лабораторис» вводят следующее определение так на-
зываемого «гармоничного графа»: связный Граф с
числом ребер п называется гармоничным, если все
его точки (вершины) можно перенумеровать неповто-
ряющимися целыми числами (по модулю п) так, что-
бы суммы пар чисел на концах каждого ребра также
были различными (по модулю п). Гармоничные гра-
фы имеют много общего с изящными графами и
играют большую роль при исследовании кодов с ис-
правлением ошибок, а также при анализе знамени-
той комбинаторной задачи, которую называют обыч-
но задачей о почтовых марках. По этому поводу смо-
три соответствующую статью Грэма и Слоуна «Об
аддитивных основаниях и гармонических графах» *.
В этой работе, среди многих других интересных све-
дений, авторы показывают, что графы, известные в
литературе как лестницы, веера и колеса, являются
гармоническими. Деревья (с повторяющимся один раз
нулем) тоже могут быть гармоничными. Наконец,
Граф Петерсена, а также скелеты тетраэдра, додека-
эдра и икосаэдра являются гармоничными графами.
В то же время скелеты куба и октаэдра таковыми
не являются. При этом авторы приходят к выводу,
что большинство графов не являются ни гармонич-
ными, ни изящными.
В последние годы С, Голомб и Г. Тейлор много
занимались исследованием двумерного аналога задач
С линейками, имеющих множество практических при-
ложений. По этому поводу смотри, например, их
статью «Двумерные диаграммы синхронизации для
случая минимальной неопределенности» **, а также
работу Голомба «Алгебраические построения для
распределений Костаса» ***!
* СгаЬат К., 81оапе N. Оп АдсШпге Вазез апд Нагтопюиз
ОгарЬз. 31АМ 1оита1 оп А1деЬгтс апй В1зсге1е МеОгойз, 1,
БесетЬег 1980, р. 382—404.
** 1ЕЕЕ Тгап$асПот оп Ы^огтаИоп ТИеогу, 1Т-28, Му
1982, р. 600—604.
*** 1оигпа1 о/ СотЫпаШа1 Тпеогу, Зепез А, 1983.
224
ГЛАВА 16
ЛЫЖНИК ЧАРЛЗА АДАМСА
И ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
1. Гибкая полоска.
Эту забавную топологическую головоломку при-
слал мне Г. Дж. Симмонс, начальник научно-иссле-
довательского отдела фирмы «Роламайт», г. Альбу-
керк, шт. Нью-Мексико. Фирма «Роламайт» выпускает
сложные системы ленточной прокатки. Один из инже-
неров фирмы, В. Эрберт, в процессе своей работы
столкнулся с задачей, показанной на рис. 100. Ко-
нец А гибкой полоски прикреплен к конструкции, ко-
торая по своим размерам не проходит через прорезь
на конце полоски В. Как придать полоске петлеобраз-
ную форму, показанную на рисунке, не отделяя кон-
ца А от конструкции, к которой он прикреплен?
Это кажется абсолютно невозможным, однако на
практике дело обстоит совсем не так. Попробуйте вы?
резать из бумаги полоску примерно такой же формы,
прикрепите ее конец А к столу с помощью клейкой
ленты и попытайтесь придать полоске нужную кон-
фигурацию. Вы убедитесь, что сделать это не таи
уж трудно,
2. Вращающийся диск. Шесть игроков — назовем
их Л, В, С, Д Е и Р — садятся за круглый стол,
разделенный на шесть равных секторов. В центре
стола установлен диск, вращающийся на центральной
оси и размеченный стрелками и цифрами, как пока-
зано на рис» 101.
Диск раскручивают пять раз. После очередной по*
пытки каждый игрок подсчитывает количество очков,
выпавшее на его сектор стола. Если после вращения
диск остановится так, что стрелки в точности совпа-
дают с границами секторов, то его нужно раскру-
тить еще раз, Побеждает тот, кто по сумме пяти
8 Зак. 695
225
Рис. 100. Топологическая головоломка с петлеобразной полосой,
попыток наберет наибольшее количество очков. Если
у двух игроков при этом окажется одинаковое число
очков, то победитель не объявляется и попытка по*
вторяется снова.
Предположим, что после первого вращения круг,
остановился так, как показано на рисунке. При этом
максимальное количество очков, 5, досталось игроку,
С. После второго вращения круга вперед выходит
ягрок й. Наконец, после пятой попытки победителем
оказывается игрок Л. Сколько очков наберет в конце
игры каждый игрок? На первый взглядг приведенной
информации кажется явно недостаточно, однако с по-
мощью некоторых дедуктивных рассуждений вы впол-
не можете получить совершенно точный ответ. Эта
необычная логическая задача представляет собой не-
сколько усложненный вариант головоломки, предло-
женный Д. Ст. ГЪ. Барнардом в одном из номеров
английской газеты «Обсервер», где он ведет популяр-
ную колонку головоломок под названием «Пошевели
извилинами».
3. Бордюры. Бордюр — это такой рисунокг кото-
рый повторяется бесчисленное множество раа на про-
тяжении бесконечной полосы фона. В таких рисун-
ках можно встретить различные виды симметрии, но
сейчас мы будем иметь дело лишь с той формой сим-
метрии, которая называется обычно «симметрия
скольжения». Скольжение при этом состоит из сдви-
га (или,, говоря научным языком, «трансляции», либо
«параллельного переноса») и зеркального отражения
с одновременным поворотом на 180°, Например, если
226
взять за основу узора
букву К и воспользовать-
ся операцией скольже-
ния, то при движении
вправо вдоль некоторой
бесконечной полоски мы
получим симметричный
бордюр вида:
Недавно профессор
геометрии из университе-
та в Торонто Г. С М.
Коксетер подробно иссле-
довал своеобразный
класс бордюров, которые
можно сравнительно про-
сто получить с помощью
неотрицательных целых чисел, если не принимать во
внимание несимметричную форму самих цифр
|{рис. 102). Представьте себе на месте цифр различ-
ные цветовые пятна, т. е. все единицы у нас оказыва-
ются пятнами одного цвета, все двойки — пятнами
другого цвета и т. д. В этом случае единичным рисун-
ком бордюра может являться любой прямоугольник
шириной в 9 столбцов, как, например, прямоугольник,
выделенный на рисунке штриховкой. В результате
скольжения этого прямоугольника влево или вправо,
т. е. в результате его сдвига и зеркального отражения
с одновременным поворотом на 180°, мы получим бес-
конечный рисунок бордюра.
Для того чтобы получить указанный тип бордюра,
проведем сначала бесконечную кайму из нулей и
единиц по верхнему и нижнему краю бесконечной
полосы, а потом дорожку из чисел от верхнего края
полосы до нижнего, например, зигзагообразную до-
рожку из восьми единиц между каемками из нулей
(ее хорошо видно в левой части рисунка). Числа в
такой дорожке (она может быть прямой или лома-
ной, как в нашем случае), равно как и сама длина
дорожки, могут меняться для разных типов рисунка.
Далее, в соответствии с неким простым правилом,
общим для всех рисунков такого типа, наносятся все
остальные числа. Получаемая в результате симметрия
Рис. 101. Игра с диском,
предложенная Д. Барнардом. ш
8»
«27
Рис.
скольжения представляет собой нетривиальное след-
ствие этого правила.
Наша задача, как ее представил Коксетер, заклю-
чается в том, чтобы угадать это правило. Подсказка
читателю: искомое правило можно записать в виде
простого трехчленного соотношения, в котором ис-
пользуются только операции сложения и умножения,
а также отсутствуют экспоненты. Когда Коксетер по-
казал приведенную здесь картинку математику
П. Эрдошу, тот сумел вывести требуемое правило в
течение 20 секунд.
О свойствах наших бордюров, об их удивительной
истории, а также об их приложениях к определите-
лям, непрерывным дробям и геометрическим задачам
можно узнать из статьи Коксетера «Бордюры», опу*
бликованной в Ас1а АгИктеИса, 18, р. 297—310
.(1971). А вообще о бордюрах и о семи основных ви?
дах их симметрии Коксетер рассказывает в своем
классическом труде «Введение в геометрию» *.
4. Банка пива. Как-то раз на загородной прогулку
У. ван Робертсу из Принстонского университета дали
только что открытую банку пива. «Я хотел было по*
ставить ее на землю,— рассказывает он в письме,—
* Кокстер X, Введение в геометрию, ^ М.: Наука, 1966,
228
но земля была неровная, и я подумал, что для боль-
шей устойчивости хорошо бы отпить из банки не-
много пива, чтобы ее центр тяжести сместился вниз.
Поскольку банка имеет цилиндрическую форму, ясно,
что центр тяжести полной банки находится строго в
ее середине, а по мере убывания пива он будет сме-
щаться вниз. У пустой же банки центр тяжести вновь
оказывается в ее геометрическом центре. Следова-
тельно, обязательно должен существовать такой уро-
вень пива в банке, при котором центр тяжести систе-
мы банка — пиво будет занимать максимально низкое
положение».
Спрашивается, как, зная вес пустой банки, а так-
же вес банки, наполненной пивом, определить, при
каком уровне пива центр тяжести банки (поставлен-
ной вертикально) будет находиться в самой нижней
точке. Когда Роберте и его приятели попытались ре-
шить эту задачу, они увидели, что тут не обойтись
без использования классических методов математиче-
ского анализа: в самом деле, ведь нам надо предста-
вить высоту центра тяжести как функцию от уровня
пива, продифференцировать полученную зависимость,
приравнять результат к нулю и найти отсюда мини-
мальную высоту центра тяжести. Однако потом Ро-
берте придумал другой, относительно простой способ
решения, позволяющий обойтись без использования
методов дифференциального исчисления. Догадаться
до этого решения и в самом деле несложно, что я и
предоставляю читателю.
Для уточнения условий предположим, что вес пу-
стой банки составляет 1,5 унции. Банка имеет форму
идеального цилиндра, поскольку мы пренебрегаем
асимметрией, возникающей при пробивании отверстия
в крышке банки. В банку входит 12 унций пива, и,
следовательно, вес полной банки будет равняться
13,5 унции. Высота банки составляет 8 дюймов. Не
пользуясь методами дифференциального исчисления,
нужно определить уровень пива в банке, при котором
ее центр тяжести будет находиться в наиболее низ-
ком положении.
5. Три монеты. На столе лежат три монеты: чет-
верть доллара, полдоллара и доллар. Одна монета
принадлежит Смиту, а две другие — Джонсу, Все три
монеты подбрасываются одновременно,
229
При этом партнеры договорились о следующем*
Если монета падает орлом вверх, то ее владелец не
получает ничего, если же монета падает решкой
вверх — то он получает столько очков, сколько цен-
тов стоит монета. Игрок, который наберет наибольшее
число очков, забирает себе все три монеты. Если,
наконец, все три монеты упадут вверх орлом — то
победителя не объявляют и игра повторяется.
Вопрос заключается в следующем: какая из этих
монет должна принадлежать Смиту, чтобы игра
была справедливой, т. е. чтобы шансы другого игро-
ка в денежном выражении были равны?
Автором этой новой, не публиковавшейся до сих
пор задачи является Д. Силвермен, автор прекрас-
ного сборника игр и головоломок «Ваш ход» *. От-
вет на задачу Силвермена может показаться чита-
телям весьма неожиданным. Еще более интересным
представляется обобщение, частным случаем которо-
го является указанная задача. Формальное решение
для общего случая получил Б. Л. Шварц.
6. Треугольники Кобона. Кобон Фундзимура, спе-
циалист по головоломкам из Японии, предложил не-
давно интересную новую задачу из области комбина-
торной геометрии. Задача формулируется совсем про-
сто, однако для нее пока не получено общего реше-
ния. Какое максимальное число неперекрывающих
друг друга треугольников можно получить при пере-
сечении п прямолинейных отрезков?
Методом проб и ошибок легко определить, что
для п =■ 3, 4> 5 и 6 максимальное число таких тре-
угольников равно* соответственно, 1, 2, 5 и 7
(рис. 103). Б случае сем» отрезков задача становится
еложнее. Читателю предлагается найти максимальное
число неперекрывающих друг друга треугольников*
которое может палучшъся при пересечения семи,
восьми и девяти прямых линий.
Кстати,, чрезвычайно трудной представляется
проблема нахождения формулы* позволяющей пред-
ставить число треугольников как функцию соответ-
ствующего числа прямых линий.
7. Задача с девятью цифрами. Когда решаешь
задачи из области занимательной математики, всегда
♦ ЗЦуегтап Ь..Уоиг Мауе,,—МсОга^-Ш!, 1971..
230
Рис* 103. Максимальное число неперекрывающихся треугольни-
ков, образуемых тремя, четырьмя, пятью и шестью прямыми
линиями.
бывает очень приятно найти решение, являющееся
более интересным, чем то, которое считается лучшим
для данной задачи. Рассмотрим, например, следую-
щую цифровую задачу, предложенную в свое время
Генри Э. Дьюдени *. Девять различных цифр (иск-
лючая нуль) разбиваются на две группы: в первой
из них трехзначное число умножается в столбик на
двузначное, а во второй перемножаются два двузнач-
ных числа:
158 79
23 46
В обоих случаях произведение этих чисел оказы-
вается одинаковым — равным 3634. Как, задает во-
прос Дьюдени, аналогичным образом сгруппировать
цифры так, чтобы произведение соответствующих чи^
сел в обоих столбцах оказалось одинаковым и в то
же время величина его была бы как можно больше.
Дьюдени приводит следующий ответ:
174 96
32 и _58
5568 5568
-• Бидепеу Н. Е. Атизетеп1з ш МаШетаНсз. МЬ 81«
231
замечая при этом, что «для решения этой задачи по-
требуется немало терпения и изобретательности».
Позднее В. Милли, гр. Дублин, Ирландия, суще-
ственно улучшил результат Дьюдени, расположив
цифры так:
584 96
12 и _73
7008 7008
Этот рекорд был побит лишь в 1984 г., когда один
из японских знакомых Фудзимуры нашел лучшее ре-
шение. При этом считается (хотя это и не доказано
строго), что он нашел максимально возможное зна-
чение произведения при данных условиях задачи.
Сумеет ли читатель найти его сам, не прибегая к
помощи ЭВМ?
8. Шашкой — в дамки! Есть такая известная игра*
Восемь шашек ставятся на доске в ряд. Ходом счи-
тается перенос шашки вправо или влево через две
других шашки и установка ее поверх третьей; эта
третья шашка тем самым превращается в дамку.
Прыжок через дамку при этом рассматривается как
прыжок через две шашки. Задача состоит в том,
чтобы за четыре хода получить четыре дамки. Про*
делать это не слишком сложно, точно так же как
нетрудно показать, что для любого четного числа
шашек п, где п ^ 8, за п/2 ходов всегда можно по-
строить ряд из п/2 дамок.
Известно множество различных вариантов этой
старой задачи, предложенных Дьюдени и другими изо-
бретателями головоломок. Вот еще одна — на мой
взгляд, новая — разработка этой темы, которую пред-
ложил У. Л. Миллиган из г. Колумбия, шт. Южная
Каролина.
В ряд ставится четное число шашек п. Сначала
прыжком через одну шашку ставим одну дамку, по-
том ходим какой-нибудь шашкой через две шашки,
затем ходим следующей шашкой через три шашки,
вновь получая дамку, и так далее, каждый раз уве-
личивая число шашек, через которые надо перепрыг-
нуть. Цель игры заключается в том, чтобы за п/2
ходов получить п/2 дамок,
232
Сумеете ли вы, читатель, доказать, что эта зада^
ча может быть решена только при п, кратном 4, и
придумать простой алгоритм решения задачи для
всех случаев, когда число п кратно 4? Методом проб
и ошибок можно легко найти решения при п = 4 и
п = 8, однако, если число м=16 или более, то без
систематического подхода нам обойтись никак не
удастся.
9. Лыжник Чарлза Адамса. Карикатуры, равно
как и всякие другие анекдотические истории, часто
бывают смешными оттого, что основываются на пол-
нейшей логической или физической нелепости. Так,
Льюис Кэррол любил рассказывать о человеке, у ко-
торого были такие большие ступни, что ему прихо-
дилось надевать штаны через голову. На такого же
рода несуразице основана карикатура Чарлза Адам-
са из Ыет Уогкег, на которой изображена лыжница,
спускающаяся вниз по склону. За ней тянется лыж*
ня, которая, проходя около дерева, раздваивается —
один след огибает дерево справа, другой слева — а
затем они вновь соединяются вместе и идут парал-
лельно.
Представьте себе, что вы видите такую лыжню
не на карикатуре, а на реальном лыжном склоне,
причем эта лыжня явно настоящая, а не какая-ни-
будь подделка. Не могли бы вы придумать как ми-
нимум шесть физически возможных объяснений появ-
ления этой необычайной лыжни?
ОТВЕТЫ
1. Как делается петля из гибкой полоски фирмы
«Роламайт», конец которой А прикреплен к столу, по-*
казано на рис. 104.
Р. Нил, с которым мы встречались в главе, по*
священной складыванию фигур из бумаги, предложил
таким же образом вывернуть игральную карту, на-
пример джокера. Острой бритвой сделайте прорези
по линиям, показанным на рис. 105, слева. Затем
осторожно удалите закрашенный темным квадратик.
Аккуратно, чтобы не помять и не надорвать края,
выверните маленькую квадратную петлю, как это де-
лалось с полоской, и вы получите карту, показанную
на рисунке справа, Теперь вы можете положить эту
23&
Рис 104. Решение задачи с петлей.
Рис. 105. Забавные джокеры.
234
Количество
вращений
1
2
3
4
5
Общее число
очков
А
1
0
5
5
4
15
В
2
1
4
4
3
14
С
5
2
3
3
0
13
0
4
5
0
0
1
10
Е
3
4
1
1
2
11
Р
0
3
2
2
5
12
Рис. 106. Решение задачи Барнарда,
карту в бумажник и при случае гордо показывать
знакомым. Все будут ломать голову, как это вам
удалось. Ведь на первый взгляд кажется, будто век*
карту протащили через маленькое окошечко!
2. Первые две строчки таблицы (рис, 106) дают
нам результаты двух первых вращений. Результат
первого вращения был приведен в условии задачи,
где, кроме того, говорилось, что после второй попыт-
ки максимальное количество очков имеет игрок О.
Это может случиться только в том случае, если после
вращения диска очки распределятся так, как показа-
но во второй строчке таблицы. А вот дальше начи-
нается хитрая штука. Диск размечен так, что каждая
пара цифр, расположенных друг против друга, дает
в сумме число 5. Это значит, что при каждом враще-
нии диска пары игроков, сидящих друг против друга,
а именно, пары АО, ВЕ и СР, будут получать в об-
щей сложности 5 очков. В конце игры, после пятой
попытки, каждая яз этих пар будет иметь в сумме
25 очков.
Из условия задачи нам известно, что в конце кон-
цов выиграл игрок А. Поскольку у А было макси-
мальное число очков, то, значит, у игрока I), кото-
рый сидел напротив, оно должно было быть мини-
мальным. Далее, у игрока й в конце игры долж-
но быть меньше 13 очков, поскольку в противном
случае у А оказалось бы очков меньше, чем у /)«
Кроме того, у игрока й в конце игры не могло ока-
заться 12 очков: действительно, в таком случае у А
было бы 13 очков, но тогда у какого-нибудь игрока
235
из пар ВЕ или же СР обязательно оказалось бы
13 очков или больше, и игрок А никак не мог бы
стать победителем.
Как мы только что убедились, игрок й в конце
игры не может набрать больше И очков. После вто-
рого вращения у него уже есть 9 очков, и, следова-
тельно, по крайней мере при одном из трех последу-
ющих вращений диска он обязательно хотя бы раз
должен получить ноль очков. Поскольку порядок по-
лучения очков после каждой попытки не оказывает
влияния на конечный результат, мы вполне можем
предположить, что ноль очков он получает, к приме-
ру, после третьего вращения. При этом остальные
игроки получают очки в соответствии с третьей стро-
кой таблицы.
При двух последующих вращениях количество
очков, которое получает игрок Д, может равняться
только 0—0, 0—1, 1—1 или 0—2. Проверим каждый
из этих вариантов. Если й получит 0—0 или 0—2
очков, то в конце концов у игрока А окажется рав-
ное количество очков с одним из его партнеров. Если
Б получит 1—1 очков, то у игрока Р окажется 5—5,
и он выиграет, набрав в конечном счете 15 очков.
Поэтому единственно возможным для игрока В ва-
риантом является вариант 0—1. В этом случае игрок
А становится победителем, получая 15 очков, а мы
заполняем таблицу так, как показано на рис. 106.
Хотя мы и не знаем, в каком порядке следовали три
последних вращения, окончательное распределение
очков между игроками не подлежит сомнению. Эта
задача была опубликована под № 2 в первом сбор-
нике головоломок Д. Ст. Барнарда *.
3. Правило, по которому составлен рисунок бор-
дюра у Коксетера, состоит в том, что каждые четы-
ре соседних числа
Ъ
а й
с
удовлетворяют соотношению ай = Ьс + 1.
* Вагпап! Ъ. 81. Р, РШу ОЬзегуег Вгат Т^из1егз. — РаЬег
аш! РаЬег, Ш., 1962. ,
236
Воздух
Опора
Рис. 107. Равновесие банки с пи*
вом.
4. Вот как решил
задачу о банке с пи-
вом сам У. ван Ро-
берте: «Представим
себе, что пиво заморо-
жено, и попытаемся
уравновесить банку с
пивом в горизонталь-
ном положении на
опорной призме с ост-
рым краем таким об-
разом, чтобы верхняя
часть банки находи-
лась слева. Если она
уравновесится так, что
опора окажется под заполненной частью банки,
то при добавлении пива банка будет падать влево,
а при уменьшении количества пива — вправо. Если
же равновесие будет достигнуто при размещении одо-
ры под пустой частью банки, то все окажется наобо-
рот. Наконец, если банка уравновешивается так, что
опора размещается точно под границей пива и воз-
духа, то при любом изменении количества пива бан-
ка будет заваливаться влево (рис. 107). Поскольку в
этом случае центр тяжести перемещается в сторону
верхней части банки при любом изменении уровня
пива в банке, то, значит, в самом нижнем положе-
нии центр тяжести оказывается тогда, когда он на-
ходится на уровне границы пива и воздуха.
После того как банка уравновешена в указанном
положении, представим себе, что мы удалили верх-
нюю крышку и дно банки, распределив их массу по
боковой поверхности банки. Равновесие от этого не
нарушится, поскольку центр тяжести системы оста-
нется на своем месте, однако теперь мы можем рас-
сматривать банку как трубу с открытыми концами,
масса которой на единицу длины в пустой (левой)
части пропорциональна весу пустой банки, тогда как
масса заполненной пивом правой части будет про-
порциональна весу полной банки. Таким образом,
момент силы тяжести слева будет пропорционален
весу пустой банки, умноженному на квадрат длины
пустой (левой) части, а момент силы справа точно
так же будет пропорционален весу полной банки,
237
умноженному на квадрат длины правой, заполненной
пивом части банки. Но поскольку банка находится в
равновесии, указанные моменты сил должны быть
равны между собой.
При этом, не прибегая даже к карандашу и бу-
маге, легко убедиться что частное от деления ква-
драта длины пустой части банки на квадрат длины
заполненной ее части равно частному от деления
веса полной банки на вес пустой банки, или, говоря
иначе, что отношение длины пустой части банки к
длине ее заполненной части есть корень квадратный
из отношения веса полной банки к весу пустой
банки.
Попробуем представить эти рассуждения алгебра*
ически. Пусть а — длина пустой части банки, Ь —
длина заполненной пивом части банки, когда ее центр
тяжести находится на самом низком уровне, Е — вес
пустой банки и Р— вес полной банки. Из сказанное
го следует, что а2Е = Ь2Р, или а/Ь = л/Р1Е.
В нашем случае полная банка весит в 9 раз боль*
ше пустой. Следовательно, ее центр тяжести будет
находиться в самой нижней точке тогда, когда длина
пустой части банки окажется в три раза больше дли-
ны полной ее части, или, другими словами, когда пи-
вом заполнена нижняя четверть банки. Но поскольку
высота банки составляет 8 дюймов, то, значит, уро-
вень пива, при котором центр тяжести банки оказы-
вается в самом нижнем положении, должен быть ра-
вен 8/4 = 2 дюймам.
После публикации этого решения в ЗсьепЩьс
Атепсап М. X. Джонсон прислал мне письмо, в ко-
тором указал, что полученный ответ не совсем то-
чен. В самом деле, поскольку дно банки с заморо-
женным пивом и ее крышка располагаются на раз-
ных расстояниях от точки опоры, то моменты сил,
ими вызываемые, также окажутся различными. Если
распределить теперь их массы по боковой поверхно-
сти цилиндра, чтобы получить открытую трубу с
равномерным распределением массы по ее длине, то
пустой конец банки будет слегка перевешивать. По-
этому, для того чтобы получить точное решение за-
дачи, нам понадобятся дополнительные данные о раз-
мерах банки и о массах ее дна, крышки и стенок,
Другие читатели сообщают, что в приведенном реше-
238
75
50
25 0
Выигрыш
Проигрыш
Выигрыш
Проигрыш
Выигрыш
Проигрыш
75
^100
125
-50
-50
150
-25
-25
75
-100
100
-50
-50
100
-25
-25
75
-100
25
125
-50
50
-25
-25
75
0
0
125
0
0
150
0
Сумма =300
Сумма =300
Сумма = 150
Сумма =150
Сумма =75
Сумма =75
Рис. 108. Таблица выплат для игрока с серебряным долларом
(а), с монетой в полдоллара (б), и с монетой в четверть дол-
лара (в).
нии не учитывается то, что в судостроительных рас-
четах называется «эффект свободной поверхности»*
Так, известно, что если в некотором замкнутом объ-
еме внутри судна свободно перемещается какая-ни-
будь жидкость, то общий центр тяжести судна слегка
смещается вверх.
5. Независимо от того, какую монету выберет
Смит, игра будет идти с равными шансами. Действи-
тельно, из анализа таблиц выигрышей (рис. 108) сле-
дует, что в любом случае, когда выигрывает тот
игрок, у которого вероятность выигрыша минимальна
(поскольку у него на руках всего лишь одна монета),
он получает сумму, как раз достаточную для того,
чтобы свести к нулю как свое ожидание, так и ожи-
дание противника.
Как предположил Д. Силвермен, когда он полу-
чил это решение, данная задача является частным
случаем следующей общей задачи. Если при игре по
описанным выше правилам используются монеты, до-
стоинство которых соответствует членам геометриче-
ской прогрессии вида 1—2—4—8—16— ..., то игра
всегда будет проходить с равными шансами, незави-
симо от того, как распределяются монеты между
ДО
Рис. 109. Решение задачи о треугольниках.
игроками. При этом мы предполагаем, конечно, что у
каждого игрока имеется по крайней мере одна моне-
та и каждый номинал представляется только одной
монетой соответствующего достоинства.
Д. Фишер, школьник из Итаки, шт. Нью-Йорк,
сумел обобщить постановку задачи Силвермена. Он
показал, что игра Силвермена является справедливой
при любом распределении монет между игроками, в
случае если достоинство монет описывается рядом
1, я, п2, ..., пк, а вес монет подобран таким обра-
зом, что они падают решкой вверх с вероятностью,
равной 1/я (число п в этом случае должно быть
больше или равно 2).
6. Максимальное число неперекрывающих друг
друга треугольников, которые получаются при пере-
сечении семи, восьми и девяти прямых линий, равня-
ется, соответственно, 11, 15 и 21 (рис. 109). Принято
считать, что полученные решения являются макси-
мальными, однако это предположение пока еще не
доказано,
240
7. Решение с максимальным значением произведе-
ния выглядит так:
532 98
И и 76.
7448 7448
У этой задачи имеется II основных решений:
532 X 14 = 98 X 76 = 7448, 146 X 29 = 73 Х^8 = 4234,
584 X 12 = 96 X 73 = 7008, 174 X 23 = 69 X 58 = 4002,
174 X 32 = 96 X 58 = 5568, 134 X 29 = 67 X 58 = 3886,
158 X 32 = 79 X 64 = 5056, 138 X 27 = 69 X 54 = 3726,
186 X 27 = 93 X 54 = 5022, 158 X 23 = 79 X 46 = 3634.
259 X 18 = 74 X 63 = 4662,
Многим читателям удалось найти все 11 решений
вручную, другие пользовались специальными машин-
ными программами вычислений. А. Слузер заметил,
что в случае максимального решения в первом стол-
бике используются цифры от 1 до 5, а во втором —;
от 6 до 9.
Если в число цифр, используемых при этих вы-
числениях (но не в качестве первой цифры), вклю-
чить 0, то мы сможем искать решения вида аЬс X
X йе = 1§Н X Ч- Общее число таких решений равно
64; все они были найдены независимо друг от друга
Р. Хендриксоном, Р. Ф. Форкером и А. Слузером*
При этом решение с минимальным значением произ-
ведения имеет вид 306 X 27 = 459 X 18 = 8262, а ре-
шение с максимальным произведением записывается
как 915 X 64 = 732 X 80 = 58560. Дьюдени приводит
это максимальное решение в ответе на Задачу № 82
в своем сборнике «Атизетеп1з тМаШетаИсз»; в этой
задаче требуется из десяти цифр составить две пары
чисел, произведения которых были бы равны между
собой, а сама величина произведения оказалась бы
максимальной. Как и во всех других задачах такого
типа, нуль не может использоваться в качестве пер-
вой цифры. Для случая минимального значения про-
изведения решение имеет вид: 3485 X 2 = 6970 X 1 =
= 6970.
241
«Просто удивительно,—заметил однажды Диоде-*
ни,— сколько интереснейших задач можно составить
из десяти цифр!» Вот еще несколько занятных при-
меров, аналогичных нашей исходной задаче. Сколько
решений имеет уравнение аЬ X сйе = /#/и, если вое*
пользоваться всеми девятью положительными циф-
рами? А сколько решений существует для уравнения
а X Ьсйе = [цЫ? Эта задача фигурирует в упомяну-
той выше книге Дьюдени под № 80; в ответе к ней
автор указывает, что для первого уравнения имеется
семь решений, а для второго уравнения — только два*
А теперь еще один вопрос: сколько решений (при
использовании всех десяти цифр) имеет уравнение
аЬ X сйе = !§Мр Решение этой задачи, насколько
мне известно, нигде не публиковалось, но мой кор-
респондент из Нью-Дели И. К. Бхат нашел следую-
щие девять вариантов:
39 X 402 = 15 678, 52 X 367 = 19 084,
27 X 594 = 16 038, 78 X 345 = 26 910,
54 X 297 = 16 038, 46 X 715 = 32 890,
36 X 495 = 17 820, 63 X 927 = 58 401.
45X396=17 820,
А что можно сказать насчет соотношения аЬ X
Хс = йе±1§ = Ы для девяти цифр, если исключить
из них нуль? Для этой задачи, которая приводится
в книге Дьюдени «Мойегп Риггкз» как Задача № 73,
ответ дается только один: 17X4 = 93 — 25 = 68.
К. Вуд в своей ставшей в наши дни редкостью
книге «Воок о! Ма1Ьета11са1 ОсЫШез» утверждает,
что соотношение аЬ X с = йе X / = цЫ (для девяти
цифр, исключая нуль) имеет только два решения:
39X4 = 78X2=1.56 и 58X3 = 29X6 = 174.
И, наконец, последняя задача, которую мы также
оставим без охвета. Попытайтесь найти единственное
решение (как всегда, исключая из цифр нуль) для
соотношения аХЬс = (1Х^1 = ёХМ- Эту задачу
прислал мне в 1972 г. ее автор Г. Дж. Крокер. На-
сколько мне известно, раньше она нигде не публико-
валась.
242
8. Если п — нечетное число, то ясно, что решения
не существует, Если теперь п — четное число, но не
кратное 4, то при последнем ходе нам придется пе-
репрыгнуть через нечетное число шашек, что невоз-
можно, поскольку при этом в ряду обязательно оста-
нется одна шашка. Следовательно, предположение о
том, что существует решение этой задачи при числе
п, не кратном 4, является неверным.
Если, наконец, число шашек равно 4л, то задачу
можно решить «обратным способом», воспользовав-
шись следующим алгоритмом. Рассмотрим ряд из
л/2 дамок. Снимаем верхнюю шашку с любой из
двух центральных дамок, затем обратным ходом пе-
репрыгиваем через большую группу дамок и ставим
нашу шашку на доску в ряд как обычную, рядовую
шашку. Следующим обратным ходом снимаем верх-
нюю шашку со второй центральной дамки и двига-
емся в том же направлении, перепрыгивая при этом
на одну шашку меньше, Будем следовать этой про-
цедуре до тех пор, пока не избавимся от всех дамок,
лежащих по направлению первого прыжка. Затем
снимаем верхнюю шашку с той дамки, которая стоит
внутри ряда, и прыгаем в том же самом направле-
нии, что и в предыдущие ходы, через соответствую-
щее количество шашек, Далее, продолжаем эту про-
цедуру в одном и том же направлении, до тех пор
пока все дамки не превратятся в обычные шашки.
Теперь, если повторить все эти ходы в обратном по-
рядке, то мы получим одно из возможных решений
исходной задачи. (Правда, у нее существует много
и других решений.)
9. Вот шесть возможных объяснений по поводу
странного вида лыжни, изображенной на рисунке:
1) Лыжник налетел на дерево, но не расшибся,
потому что выставил вперед руки, Вытащив одну но-
гу из крепления и придерживая лыжу на месте, он
обогнул дерево и, оставаясь к нему спиной, вставил
ногу в крепление лыжи уже с другой стороны дере-
ва, после чего поехал дальше вниз по склону*
2) Лыжник налетел на дерево с такой силой, чта
лыжи соскочили у него с ног и соскользнули вниз
по склону уже без лыжника.
3) По склону спускались два лыжника, каждый
на одной лыже.
243
4) Лыжник дважды спустился по склону на од-
ной лыже, сначала обогнув дерево справа, а в дру-
гой раз — слева.
5) Дерева на склоне не было. Лыжник в указан-
ном месте слегка раздвинул ноги в стороны, сделав
такую лыжню специально. Дерево воткнули заострен-
ным концом в снег уже потом.
6) Лыжник ехал на ходулях, которые были до-
статочно длинными и искривленными, так что дерево
вполне могло пройти между ними.
По поводу этой задачи от читателей пришло
так много писем с самыми несуразными объяс-
нениями, что я приведу здесь лишь несколько при-
меров.
О маленьком гибком деревце, которое легко со-
гнулось, пройдя у лыжника между ногами, пишут
Дж. Фергюссон, Дж. Риттер, Б. Шефер, О. Г. Сел-
фридж и Дж. Уивер. Фергюссон среди 23(!) других-
объяснений приводит еще и такие: пару лыж втянули
вверх, на гору, веревками; после этого на каждой
лыже, как на санках, вниз по склону спустились две
команды лилипутов-саночников, по четыре на каждой
лыже. Селфридж предложил и такой вариант: лыж-
ник, не слишком уверенный в себе и в своем мастер-
стве, надел свинцовый защитный костюм. При столк-
новении с деревом он ухитрился вышибить из дерева
цилиндрический кусок и проскочить между пнем и
верхней частью ствола, после чего ствол ровнехонько
упал на пень и встал на нем вертикально, как ни в
чем не бывало.
М. Р. Шредер, директор института физики Гет-
тингенского университета, сообщил мне о случае, про-
исшедшем с ним в действительности в 1955 г., когда
он катался с гор в штате Нью-Гемпшир. «Спускаясь
по склону, я налетел на небольшое, но крепкое дерев-
це и здорово ударился об него бедром. От удара од-
но из креплений расстегнулось, так что лыжа прошла
по одну сторону дерева, а нога — по другую. Я тут
же хотел было поймать лыжу и вставить ногу в
крепление, но сделать это мне не удалось (крепления
с автоматическим захватом в ту пору еще не были
изобретены!), и, проехав еще метров десять, я упал,
И все же, несмотря на сильную боль в ноге, я ни-
сколько не жалел о том, что так получилось»,
244
Рис. ПО. Карикатура Дж. Харта {с разрешения фирмы ЛоКтпу
Наг1 апд. ПеЫ Еп1егрп5ез, 1пс).
Дж. Харт * использовал ту же тему в своей серии
комиксов на исторические темы. На одной из его
* Известный американский карикатурист, — Прим. перев.
245
карикатур Тор *, спускаясь по склону на своем ка-
менном колесе и опасаясь встречи с деревом, по-
пытался было его объехать. То, что произошло с ним
потом, вы можете видеть на рис, 110.
ГЛАВА 17
ШАХМАТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Тот, кто называет шахматную зада-
чу красивой, воздает должное ма-
тематической красоте, даже если эта
красота мало заметна для глаз.
Шахматные задачи — это мелодии
математических гимнов.
Г. X. Хард и. Апология математика
Моим правилом всегда было — избегать шахмат-
ных задач типа «мат в п ходов», потому что я полагаю
(хотя, быть может, и ошибочно), что лишь не-
многие из моих читателей играют в шахматы, а сре-
ди тех, кто играет, мало кто любит шахматные за-
дачи. Однако в этой главе мы все же рассмотрим
один класс шахматных задач — они называются шах-
матными заданиями. У них так мало общего с обыч-
ной игрой в шахматы, что, пожалуй, они скорее за-
интересуют не серьезных шахматистов, а любителей
головоломок. Правда, для решения этих задач необ-
ходимо знать правила шахматной игры, но не более
того — так что и у гроссмейстера, и у новичка шансы
при решении таких задач будут примерно одинаковы.
Что же представляет из себя шахматное задание?
Это такая шахматная задача, в которой игрок доби-
вается поставленной перед ним цели, сводя к мини-
муму или к максимуму один или несколько парамет-
* Тор — в скандинавской мифологии бог грома и войны,
сын Одина, победивший великанов с помощью волшебного мо-
лота, —- Прим. перев%
246
ров задачи. Среди шахматистов наиболее известным
вопросом типа задания является следующий: как
сыграть самую короткую партию? Ответом на этот
вопрос является так называемый «дурацкий мат».
Белые начинают игру, например, ходом 12 —14,
Нерные отвечают е7 — еб. Если белые делают какой-
нибудь «дурацкий» ход, скажем, 52 — ^4, то черные
своим вторым ходом Фй8 — Ь4 ставят им мат.
Самую короткую партию, заканчивающуюся веч-
ным шахом, опубликовал в 1866 г. один из первых
составителей шахматных задач, или, как их обычно
называют, шахматных композиторов, Сэм Лойд, Вот
ее запись:
1. 12-14 1. е7-е5
2. Кре1-12 2. Фс18 — !6
3. Кр*2-еЗ 3. Ф16:!4 +
Тем самым черные объявляют вечный шах, пере-
двигая ферзя с поля, на котором он находится, на
поле Ь6 и обратно.
В том же 1866 г. Лойд предложил гораздо более
сложную задачу. Вопрос ставился так: какова самая
короткая партия, заканчивающаяся патом? Эффект-
ное решение в 10 ходов, найденное Лойдом, пока что
никому не удалось улучшить:
Белые
1. е2-еЗ
2. Ф(И-Ь5
3. ФЬ5:а5
4. Фа5:с7
5. Ь2-Ь4
6. Фс7: 67 +
7. Ф(17:Ь7
8. ФЬ7:Ь8
9. ФЬ8:с8
10. Фс8 —еб(пат)
Черные
1. а7 —а5
2. Ла8 —аб
3. Ь7-Ь5
4. Лаб —Ь6
5. 17-16
6. Кре8-17
7. Ф<18-<13
8. ФёЗ —Ь7
9. Кр!7-8в
Окончательная позиция показана на рис, 11Ь
В 1882 г. начались поиски самого короткого решени?
«без жертв», при котором пат достигался бы при на«
247
Рис. 111. Самая короткая Рис. 112. Двойной пат с
партия, заканчивающаяся помощью 30 фигур,
патом.
личии на доске всех 32 фигур. Рекордно короткое ре-
шение— в 12 ходов — нашел в 1887 г. К. X. Уилер;
впоследствии это решение было забыто и снова най-
дено несколькими исследователями независимо друг
от друга. Среди них были С. Лойд и Г. Э. Дьюдени
(последний приводит эту задачу под № 349 в своей
книге «Аггш8етеп15 т МаШетаНсз»). В январе 1906 г,
Лойд опубликовал в журнале Ьазкег'з СНезз Маца-
гте шутливый комментарий к этой партии, в котором
«логически» обосновывался каждый безрассудный
ход; отмечался также просмотренный черными мат
в пять ходов, который они упустили на своем последе
нем ходе при объявлении вечного шаха. (Этот ком-
ментарий можно найти в книге Алана К. Уайта
«Сэм Лойд и его шахматные задачи» *.)
На рис. 112 показано, как разместить на доске
30 фигур (больше пока не получается) в «законной»
позиции (т. е. в такой позиции, которая может воз-
никнуть в реальной партии) таким образом, чтобы
ни одна из сторон не могла сделать ни одного хода,
иначе говоря, в позиции двойного пата. Эту задачу,
опубликовал Г. Р. Райхельм в 1882 г.; он же пока-
зал, как можно достичь такой позиции за 25 ходов,
Обратите внимание на двойную симметрию в распо-
ложении фигур на доске.
Еще одно интересное задание, которое удалось ре-
шить Лойду, состоит в том, чтобы найти самую ко-
* \\ГЫ1е А. С, 5аш Ьоус! апд Шз СЬезз РгоЫетз. — Ооиуег,
р. 128—129.
248
Рис. 113. Белые начинают Рис. 114. В данной пози-
и дают мат в три хода. ции максимальное число
ходов—-122.
роткую партию, в конце которой на доске остаются
только 2 короля. Решение Лойда длиной 17 ходов
приведено в упомянутой выше книге А. К. Уайта под
№ 116. При этом короли остаются на полях своих
собственных пешек. Позже были получены и другие
решения в 17 ходов, в которых короли оказывались
на других клетках доски. Правда, до сих пор никому
еще не удалось найти решения в 17 ходов, при кото-
ром короли оставались бы на своих исходных пози-
циях. Эта задача представляет собой редкий случай
шахматного задания, для которого можно доказать,
что именно 17 ходов являются здесь абсолютным ми-
нимумом. Так, каждый игрок должен взять по ^фи-
гур противника, однако ни одна из сторон не может
осуществить взятие фигуры своим первым ходом; лег-
ко доказывается также необходимость еще одного
хода без взятия фигуры.
Позже Дьюдени придумал такую партию в 17 хо-
дов, в которой уничтожаются только 14 белых и
черных фигур (не считая пешек), а оба короля и
все 16 пешек остаются на своих исходных позициях
(задача № 352 в книге «Ати5етеп15 т МаШетаИсз»),
Интересно отметить, что в этой партии каждый ход
черных представляет собой зеркальное отражение
предыдущего хода белых. В данном случае также
можно доказать, что 17 ходов являются здесь абсо-
лютным минимумом.
Среди задач такого рода одним из самых заме-
чательных достижений Дьюдени является, пожалуй,
249
Рис. 115. 412 ходов. Рис. 116. Два хода.
партия, в которой после 16 ходов все 16 фигур белых
остаются на своих исходных местах, а у черных на
доске остается лишь один король. После того как
Дыодени опубликовал эту задачу (рис, 113), Лойд
обнаружил, что в данной позиции белые могут обес-
печить себе выигрыш, разыграв мат в три хода. Это
число ходов также является минимальным, поскольку
принято считать, что меньшим числом ходов поста-
вить мат королю, стоящему на любой другой клетке
доски, невозможно. Сумеет ли читатель сам отыскать
это решение, прежде чем он увидит его в разделе
«Ответы»? В 1898 г, предложенное Дьюдени решение
!(см. задачу № 351 в книге «АтизетепЬ т МаШета-
Мез») было укорочено еще на полхода —при этом
финальная позиция достигается после 16-го хода бе-
лых — однако в таком случае мы уже не можем про*
вести мат в три хода, потому что очередной ход в
данной позиции остается за черными.
Еще один особый класс шахматных заданий
известен под названием «структурных заданий», по-
скольку в них рассматриваются только непосредст-
венно возможные в данной позиции ходы. Классиче-
ским примером задания такого типа является следу-
ющая задача; разместить на доске 8 фигур одного
цвета так, чтобы они могли сделать максимально
возможное число ходов. Теоретически доказанный
максимум—100 ходов —был найден М. Беццелем в
4848 г, {см. также мою книгу «ТЬе 51хШ Воок о!
Ма1Ьета11са1 Оатез [гот ЗаепИНс АтеНсап», р. 62).
Если использовать все 16 фигур одного цвета, то
максимальное число ходов составит 122 (рис 1Щ.-«
250
этот рекорд установил в 1949 г* югослав Ненад Пет<
рович; до этого в течение 10 лет считалось, что соот-
ветствующий максимум равен 119 ходам. Когда я
впервые столкнулся с этим заданием, мне никак не
удавалось насчитать более 104 ходов, пока я не со-
образил, что проходная пешка может стать одной из
четырех различных фигур, причем каждая из этих
фигур, конечно, ходит по-своему. (Согласно совре-
менным шахматным воззрениям пешка на восьмой
горизонтали не может оставаться пешкой.) Для 16
белых и черных фигур (кроме пешек) нынешний ре-
корд составляет 173 хода, для всех 32 фигур —
164 хода, а для «законной» позиции без проходных
пешек или превращения фигур —181 ход. Существу-
ющий в настоящее время рекорд для так называе-
мой «незаконной» позиции показан на рис. 115. Вы-
строив разноцветных ферзей по краям доски в таком
порядке, как показано на рисунке, У. А. Шинкмэн в
1923 г. сумел достичь цифры в 412 ходов. При этом
взятия фигур, естественно, входят в число ходов.
Минимально возможное число ходов для восьми
фигур одного цвета равно десяти (см. мою книгу *)«
Та же позиция представляет собой позицию, в кото-
рой может перемещаться минимальное число фигур
(а именно, три фигуры из восьми). Число 10 являет*
ся также минимальным числом ходов, которые воз-
можно сделать, когда на доске расставлены 16 фи-
гур обоих цветов. В 1923 г. Т. Р. Доусон нашел ре-
кордный минимум ходов для случая всех 32 фигур,
стоящих в законной позиции (рис. 116) —при таком
положении фигур на доске можно сделать только 2
хода. Е. Филдер в 1938 г. показал, как можно рас-
ставить на доске те же самые 32 фигуры в такой по-
з?иции, когда еделать ход может только одна фигура,
а именно, белый ферзь (рис. 117). Пока никому еще
не удалось составить законную позицию для 32 фи*
гур,, в которой нельзя была бы сделать ни одного
хода;
Существует много вариантов законного размеще-
ния 16 фигур (без пешек), при котором обеспечива-
ется максимально возможное число взятий, а именно*
♦ Гарднер; М, Математические досуги. =*М.: Мир, 1972,
с. 163.
281
46; все 32 фигуры можно
расставить в законную по-
зицию на доске так, что
при этом они смогут про-
вести 88 взятий. А что мож-
но сказать в этом смысле
по поводу «незаконных» по-
зиций? Если на черных
клетках доски разместить
32 черных коня, а на ее бе-
лых клетках — 32 белых
Рис. 117. Здесь может хо- коня> то таким пУтем ^Ы
дить только белый ферзь. сумеем осуществить 336
взятий. Много десятилетий
это число взятий считалось максимальным, пока в
1967 г. Т. Марлоу не сообразил вместо 4 коней по-
ставить две пешки и два ферзя, что позволило довес-
ти рекордное число взятий до 338 (рис. 118). При}
этом каждое взятие пешкой считается за 4 хода, по-
скольку она может стать любой из четырех фигур.
Я коснулся здесь лишь незначительной доли зада-
ний, связанных с ходами и взятиями фигур. Ограни-
ченность объема книги не позволяет мне рассмотреть
здесь еще десятки заданий, в которых используются
шахи, шахи со взятием фигур, маты, паты, вынуж-
денные взятия (когда при любом ходе приходится
брать фигуру), вскрытые шахи, так называемые ко-
оперативные маты и т. д. Особый интерес для тех,
кто занимается комбинаторным анализом, могут
представлять структурные задания, в которых требу-
ется расставить на доске определенный набор фигур
таким образом, чтобы максимальное (или минималь-
ное) число клеток доски оказалось под угрозой или
же, наоборот, их нельзя было атаковать — либо еще
какие-нибудь аналогичные задачи, без ходов и взя-
тий фигур. Классическое задание такого типа '(см.
мою книгу *) — разместить на доске 8 ферзей {это
число является максимальным) так, чтобы они не
могли атаковать друг друга. В той же главе вы най-
дете и другие аналогичные задания, в частности,
найти максимальное число не атакующих друг друга
* Гарднер М. Математические досуги. -^ М.: Мир, 1972,
с. 263,
252
Рис. 118. 338 взятий. Рис. 119. Как избежать
размещения трех пешек по
одной прямой.
ладей (8), слонов (14), коней (32) и королей (16).
Более трудной представляется задача о том, как раз-
местить 16 пешек таким образом, чтобы на доске не
оказалось трех пешек, стоящих в ряд. При этом
«ряды» не обязательно ограничиваются горизонталя-
ми, вертикалями и диагоналями, а могут иметь лю-
бую ориентацию на доске. Таким образом, если пред-
ставить себе, например, пешки в виде точек, располо*
женных в центре тех клеток доски, которые они
занимают, то никакие три точки не должны оказаться
коллинеарными, т. е. лежащими на одной прямой.
Одно из многих возможных решений данной задачи
показано на рис. 119. Кстати говоря, это решение
является единственным решением, в котором пешки
занимают две центральные клетки.
Еще одно довольно трудное задание того же са-
мого класса состоит в том, чтобы разместить 8 фер-
зей так, чтобы 11 пустых клеток доски оказались бы
свободными от угрозы. Существует по меньшей мере
6 основных способов достичь этого (точное число спо-
собов пока неизвестно); один из них приведен в раз-
деле «Ответы». Одиннадцать свободных от нападе-
ния клеток доски — это, несомненно, максимальное
число, однако строгого доказательства этого факта я
не знаю.
Насколько мне известно, никто еще полностью не
проанализировал самую общую постановку этой за-
дачи, а именно, как разместить п ферзей на доске
263
порядка п *, чтобы на ней осталось максимальное
число клеток, свободных от угрозы. Когда число п
равно 1, 2 или 3, то ясно, что не может быть ни од-
ной такой клетки^ Если число п = 4, то остается одна
такая клетка. При п = 5 задача неожиданно стано-
вится весьма нетривиальной. При этом оказывается,
что существует единственная позиция [(если исклю-
чить повороты доски и ее зеркальные отражения),
при которой свободными от атаки ферзей остаются
три пустых клетки, однако найти эту позицию крайне
непросто. Сумеет ли читатель отыскать ее, не загля-
дывая в раздел «Ответы»? Принято считать, что мак-
симальное число клеток, которые могут оказаться
свободными от угрозы при п = 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12,
равно, соответственно, 5, 7, 11, 16, 22, 27 и 36.
Общая задача нахождения минимального количе-
ства ферзей, необходимых для того, чтобы все клет-
ки оказались под угрозой, изучена для досок поряд-
ка от 2 до 13. Поскольку ли одна фигура не может
атаковать клетку, на которой она стоит, то, следова-
тельно, решения подобной задачи распадаются на
три основных типа: решения^ в которых ферзи не на-
падают на ферзей, решения, в которых все ферзи
подвергаются атаке друг друга, и, наконец, решения,
в которых друг друга атакуют лишь некоторые фер-
зи. Для решения задачи на стандартной шахматной
доске во всех трех случаях требуется пять ферзей;
количество вариантов решений при этом исчисляется
сотнями. Особенно привлекательными представляют-
ся мне два задания такого типа на досках меньшего
размера, потому что каждое из них имеет только од-
но базовое решение. Задания эти заключаются в
следующем. Как разместить три ферзя на доске 6-го
порядка таким образом, чтобы все свободные клетки
доски оказались под боем? Как расположить четыре
•ферзя на доске 7-го яорядка так, чтобы все свобод-
ные клетки оказались под угрозой и чтобы ни одна
пара ферзей не атаковала друг друга?
Четырех ферзей на доске 8-го порядка можно рас-
ставить так, что под угрозой атаки оказываются мах*
* Порядком -квадратной шахматной доски автор называет;
задело клеток, прилегающих к ее стороне.«Прим, перев.'
2Я-
свмум 58 пустых клеток, а две клетки остаются сво-
бодными от угроз. Существует масса возможностей
«исключить» и эти свободные клетки, добавив еще
одну ладью, слона или короля; однако сделать то
же самое с помощью четырех ферзей и коня можно
только одним способом. Это решение нашел
Дж. Уоллис в 1908 г. Сумеет ли читатель восстано-
вить его? (Указание: все четыре ферзя должны рас*
положиться так, чтобы свободными от угрозы оказа-
лись лишь три пустых клетки доски.)
Легко доказать, что на стандартной шахматной
доске, для того чтобы поставить под угрозу все ее
свободные клетки, нужно иметь 9 королей, 8 слонов
или 8 ладей. Гораздо труднее найти ту единственную
позицию, в которой 12 коней (это число фигур явля-
ется минимальным) могут поставить под угрозу все
свободные клетки доски (см. также мою книгу «МаШ-
етаИса1 Ма§1с 5Ьо\у», гл. 14). Кстати, для того чтобы
можно было атаковать все 64 клетки шахматной до-
ски, требуется 14 коней, либо 8 ладей, либо 10 слонов,
либо, наконец, 12 королей.
Восемь фигур одного цвета могут атаковать все
64 клетки доски только в том случае, если слоны
стоят на клетках одного цвета. В случае разноцвет-
ных слонов мы можем атаковать максимум 63 клет-
ки. Д. Дж. Смит из Фресно, шт. Калифорния, при-
слал мне недавно письмо, в котором рассказывается,
как долго он искал способ убрать одну из этих вось-
ми фигур и все же удержать под угрозой все свобод-
ные клетки доски, пока, наконец, не добился этого,
сняв с доски всего лишь одного слона. Я не знаю,
является ли его изящное решение единственно воз-
можным (не считая, конечно, поворотов доски, зер«
кальаых отражений и тривиальных перестановок ла-
ден и ферзя). Кроме того, мне неизвестно, можно ли
решить эту задачу, убрав с доски не слона, а, на-
пример, коня илк короля. Предлагаю читателям най-
ти решение Смита. Строгая постановка этой задачи
такова: расположить короля, ферзя, две ладьи, двух
коней а одного слона на обычной шахматной доске
так, чтобы они: могли атаковать все свободные клет-
ки доски.
Для тех читателей-, которым захочется поподроб-
нее ознакомиться с этой малоизвестной областью
255
развлечений на шахматной доске, я включил в биб-
лиографию данной главы основные издания по ука-
занной теме.
ОТВЕТЫ
1. Придуманный С. Лойдом мат в три хода для
задачи, в которой все белые фигуры располагаются
на исходных позициях, а единственный черный король
стоит на поле Ь4, записывается так:
1. с12 —Й4 1. КрЬ4-Ь5
2. Фс11 — ЙЗ 2. (ход короля)
3. ФдЗ-ЬЗХ
или
1. (12-(14 1. КрЬ4-е4
2. е2 —е4+ 2. (ход короля)
3. 62-дЗХ
2. Один из шести известных способов размещения
на доске восьми ферзей так, чтобы 11 пустых клеток
оставались свободными от нападения, представлен на
рис. 120, а. Клетки, на которые нельзя напасть, по-
мечены на рисунке черными кружками.
3. Существует только один основной способ раз-
местить пять ферзей на доске 5-го порядка так, что-
бы они не атаковали три свободных клетки
(рис. 120,6). Для того чтобы доказать единственность
этого решения, М. Кэрош в качестве процедуры наи-
лучшего систематического поиска предложил иссле-
довать эквивалентную задачу о размещении трех
ферзей так, чтобы свободными от угрозы остава-
лись 5 пустых клеток, воспользовавшись при этом
симметрией доски для сокращения поиска.
4. Единственный способ разместить 3 ферзя на
доске 6-го порядка так, чтобы все свободные клетки
доски оказались под угрозой, показан на рис. 120, е.
5. Единственный способ расположить четырех
ферзей на доске 7-го порядка так, чтобы все свобод-
ные клетки доски находились под угрозой и чтобы
256
ЯР ШШ Шд!,,
I ш*- 'ш& у///// '
1
шк... 4т
жш ЩЬ-щ/ж
ш »Ш»
••» -рр|
1 1Р Р
ИИ
|§§ и
и и
И 1
В И
ш ш
1" ИГ" И
В И
Й^ У№% У№№\
Ш Шж, Шр
ШЩтЛ
рфцр ж
И Я
III
ИИ
и
р
у
х*
'ШШ"'
шж
Ш ''Ш
ж ш
ш ш
^
р ' р
И ш
■
1^ 1Р
ш ш
' рр"
„»^
^ 5р
в? ^
тк„
^ ^
щр
'^'т
НИР""
шР
^ '^
№.„„.,$
ш
р 1
ЯР^
шЛ*
1 ■ 1
р %
ш #
щ$к
Шщ
УШ
шк
т^\
ШЛ
Шшшк
т и
Ш й
шЛ\
Рис. 120. Ответы на шахматные задачи.
9 За к. 695
257
никакие два ферзя не атаковали друг друга, пока'
зан на рис. 120, г.
6. Единственный известный способ расположить
четырех ферзей и одного коня на доске так, чтобы
все свободные клетки оказались под угрозой, пока-
зан на рис. 120,5.
7. На рис. 120, е представлен один из способов
расположения семи из восьми фигур одного цвета
так, чтобы все свободные клетки доски находились
под угрозой. Понятно, что при этом позиции ладей
и ферзя могут претерпевать различные тривиальные
изменения.
ДОПОЛНЕНИЕ
После того как в 1972 г. я впервые опубликовал
задачу о размещении пяти ферзей на доске 5-го
порядка таким образом, чтобы они не атаковали три
свободных клетки доски, эта задача неоднократно
появлялась на страницах различных изданий. При
этом обычно ее формулируют следующим образом:
как расположить на доске размером 5X5 пять фер-
зей одного цвета и три ферзя другого цвета таким
образом, чтобы ферзи разного цвета не могли
угрожать друг другу. В этой формулировке она и
была опубликована в журнале 8с1еп(фс Атепсап
в 1978 г. К тому же, в 1972 г. я ограничился прос-
тым обобщением — задачей об п ферзях на доске
того же порядка п. Когда же в 1978 г. я вновь пред-
ложил эту задачу читателям в виде варианта с дос-
кой размером 5X5, многие сразу обобщили ее для
случая к ферзей на доске п-го порядка. Самое инте-
ресное письмо прислал мне X. Окуно из Токио: с
помощью ЭВМ он получил весьма ценные результа-
ты для небольших значений п и к. В 1983 г.
Р. Грэм и Ф. К. Чанг проанализировали данные Оку-
но, выявив при этом несколько весьма интересных
новых фактов, связанных с общей постановкой зада-
чи. Их статья должна выйти из печати.
258
ГЛАВА 18
ПОЛЗУНОК, ЗХ + 1
И ДРУГИЕ ЛЮБОПЫТНЫЕ ВОПРОСЫ
Цеховая гордость обязывает мате-
матиков следующих поколений за-
вершать неоконченные дела своих
предшественников.
Е. Г. Белл. Последняя задача
Всем знакомы два иррациональных числа я
(3,1415...) —отношение длины окружности к ее диа-
метру и е (2,7182...)—основание натуральных лога-
рифмов. Каждое из них имеет после запятой непов-
торяющуюся десятичную часть. Кроме того, оба этих
числа являются трансцендентными, т. е. не алгебра-
ическими. Выражаясь точнее, трансцендентное чис-
ло — это такое иррациональное число, которое не яв-
ляется корнем никакого алгебраического уравнения с
рациональными коэффициентами. Возникает вопрос:
будет ли трансцендентной сумма чисел л и е? К со-
жалению, математикам неизвестно даже, является ли
эта сумма иррациональным числом.
Может показаться, что любые два числа с беско-*
нечной, неповторяющейся десятичной частью после
запятой непременно дадут в сумме число с неповто-
ряющейся (а стало быть, иррациональной) десятич-
ной частью! Однако в действительности дело обстоит,
совсем не так. Например, разность между числами
я и 7 представляет собой трансцендентное число,
В этом легко убедиться следующим образом. Пред-
ставим число 7 как 6,999... и, вычитая из него
я (3,14159...), получим трансцендентное число
3,858407... Вместе с тем, сумма этих двух трансцен-
дентных чисел, естественно, равна 6,999..., или, что
то же самое, 7.
9*
259
Представляется маловероятным, хотя вполне мо-
жет быть (никто пока не доказал по крайней мере
обратного), что числа я и е связаны между собой ка-
ким-нибудь особым, неизвестным нам соотношени-
ем, которое определяет их сумму через повторяющую-
ся (рациональную) десятичную часть с очень боль-
шим периодом — например, периодом, состоящим из
миллиарда цифр. Неизвестно также, являются ли ир-
рациональными числа пе, яя, ее и пе. Правда, со-
всем недавно была доказана трансцендентность числа
ея. Легко доказывается также и тот факт, что по
крайней мере одно из двух чисел ле и я + е явля-
ется трансцендентным. Нерешенные проблемы, свя-
занные с числами я и е (специалисты насчитывают
их сотнями), относятся к таким задачам, постановка
которых до смешного проста, однако решение на-
столько трудно, что тот, кто сумеет справиться по
крайней мере с какой-нибудь одной из них, наверня-
ка прославится на долгие времена.
В то же время бывает не так-то просто отличить
важную нерешенную задачу от тривиальной.
Г. X. Харди пишет о том *, что важная задача свя-
зана с таким большим комплексом различных мате-
матических идей, что, если ее решить, то она приве-
дет к существенному прогрессу во всей математике,
а может быть, и в науке вообще. Примером триви-
альной, хотя и чрезвычайно трудной задачи может
быть следующий вопрос: если двое партнеров играют
в шашки, используя оптимальную стратегию, то чем
должна закончиться такая игра — ничьей, победой
игрока, делающего ход первым, или победой его про-
тивника, т. е. игрока, делающего ход вторым? Воз-
можно, в один прекрасный день с помощью какой-ни-
будь мощнейшей вычислительной машины и при на-
личии достаточного количества времени такая задача
и будет решена, однако вряд ли это решение сколько-
нибудь существенным образом скажется на развитии
математики или других наук. В то же время доказа-
тельство великой теоремы Ферма вполне могло бы
стать волшебным ключиком не к одной пока что за-
пертой двери. (Кстати, я очень прошу читателей не
присылать мне доказательств этой теоремы. Мне уже
* Нагс1у О, Н, А МаШетаНаап'з Аро1оду,
260
Рис. 121. Граф Лео Мозера для доказательства необходимости
в случае четырех красок.
не под силу выискивать в них ошибки, и поэтому я
всегда отсылаю их обратно, не читая.)
Существуют десятки нерешенных задач о раскрас-
ке карты, которые оказываются далеко не тривиаль-
ными, хотя, быть может, и не настолько глубокими,
как доказанная недавно теорема о четырех красках.
Знаменитую задачу такого рода приводит К. Стэнли
Огилви в новом издании прекрасного сборника задач
под названием «Математика завтрашнего дня» (см.
список литературы), предназначенного для математи-
ков-любителей. Задача эта состоит в следующем: в
какое минимальное количество цветов нужно раскра-
сить плоскость, чтобы любые две точки, лежащие на
единичном расстоянии друг от друга, оказались бы
в областях, закрашенных разным цветом? Впервые
этот вопрос 20 лет назад поставил математик Пол
Эрдош, большой любитель придумывать самые раз-
нообразные математические задачи.
То, что для окраски такой карты требуется по
крайней мере четыре различных цвета, было ориги-
нально доказано Лео Мозером с помощью диаграм-
мы, представленной на рис. 121. Каждое ребро этого
графа имеет длину, равную единице. Представим
себе, что такой граф помещается в произвольной точ-
ке плоскости, для которой наша задача решается с
помощью лишь трех красок. Если вершина а нахо-
дится, скажем, на красном поле, то вершины Ь и с
261
Рис. 122. Доказательство достаточности для семи красок.
должны лежать в областях, закрашенных двумя дру-
гими цветами, а вершина ц вновь должна попасть в
область, закрашенную красным цветом. Аналогично
вершины й и е должны лежать в областях, закра-
шенных двумя другими цветами, а вершина / вновь
должна оказаться в области, покрытой красным цве-
том. Но тогда мы входим в противоречие с условием
задачи, потому что вершины / и #, расположенные
на единичном расстоянии друг от друга, оказываются
лежащими в области, закрашенной одним, а именно,
красным цветом. Следовательно, для раскраски ука-
занного типа нам понадобится никак не менее четы-
рех цветов.
В упомянутой выше книге Огилви приводится до-
казательство достаточности для случая семи различ-
ных красок (рис. 122). Цифрами обозначена после-
довательность расположения различных цветов в
случае покрытия плоскости правильными шестиуголь-
никами, у которых расстояние между их противопо-
ложными углами выбирается чуть меньшим единицы.
При этом остается открытым следующий весьма важ-
ный вопрос: существуют ли такие карты с раскрас-
кой в 4, 5 и 6 цветов? Выяснить это пока еще никому
не удалось.
Существует целый класс необычных арифметиче-
ских задач, которые, если пользоваться терминологией
вычислительной техники, можно было бы назвать за-
дачами «о циклах». Сначала с помощью какого-ни-
будь простого правила составляется некая последова-
тельность целых чисел, а потом ставится вопрос: все-
гда ли эта последовательность приводит к одному
или нескольким циклам, в которых периодически по-
вторяется некоторая конечная совокупность целых
чисел? Возьмем, например, произвольное положитель-.
262
ное целое число. Если оно четное, разделим его на
два, если же оно нечетное, то умножим его на 3 и
прибавим 1. Будем теперь продолжать эту процедуру
до тех пор, пока построенная таким образом после-
довательность чисел не сведется к циклу 2, 1, 4, 2,
1, 4... (Примером такой последовательности является
последовательность чисел 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4,
2...). Но всегда ли подобная последовательность сво-
дится к циклу 2, 1, 4...? Пока этого никто не дока-
зал, хотя не найдено также и контрпримера, который
опровергал бы это утверждение.
После того как вышло переработанное издание
книги Огилви, группа исследователей из Лаборатории
искусственного интеллекта при Массачусетском тех-
нологическом институте с помощью ЭВМ проверила
все положительные целые числа вплоть до 60 000 000,
так и не обнаружив ни одного исключения. Сотруд-
ники этой лаборатории установили также, что если
для нечетных чисел вместо правила Зл + 1 использо-
вать правило Зл— 1, то результат, в абсолютных ве-
личинах, получается точно такой же, как если бы в
качестве исходного мы выбрали некоторое отрица-
тельное число и воспользовались бы старым прави-
лом. При этом обнаружилось, что все отрицательные
числа до—100 000 000, взятые в качестве исходных,
сводятся к одному из трех циклов со следующими
абсолютными значениями:
1) 2, 1, 2, 1, ...
2) 5, 14, 7, 20, 10, 5, ...
3) 17, 50, 25, 74, 37, ПО, 55, 164, 82, 41, 122, 61,
182,91,272, 136,68,34, 17, ...
Эти результаты были получены М. Билером,
У. Госпером и Р. Шроппелем и опубликованы в
отчете НАКМЕМ (Мето 239, Аг1Шс1а1 ШеШ^епсе
ЬаЬогаЬгу, М. I. Т., 1972, р. 64). Правда, какую-ни-
будь общую закономерность для всех не равных нулю
целых чисел установить пока не удалось. {Нуль, по-
нятно, всегда приводит к циклу 0, 0, 0, ...). Кроме
того, неизвестно, существуют ли, например, такие це-
лые числа, которые порождают последовательность
без циклов, расходящуюся к бесконечности.
Попутно Госпер и Шроппель доказали еще одну
занятную теорему о циклах, в которой используются
263
английские названия чисел (НАКМЕМ, р. 64). Ня*
пишите прописью название любого числа. Оно не
обязательно должно быть рациональным или даже
действительным. Получаемые в процессе счета числа
должны называться прямо, а не иносказаниями типа
«двадцать минус пять» или «двенадцать плюс один».
Замените теперь название записанного числа словом,
определяющим число букв в нем, и затем продолжай-
те эту процедуру с каждым новым словом. Пример:
ТНЕ С11ВЕ КООТ ОР Р1, Р1РТЕЕЫ, 5ЕУЕЫ, Р1УЕ,
Р01Щ, Р011К, РСШК... Построенная таким образом
последовательность всегда — причем очень быстро —
сходится к циклу РСЮК.
Как-то, приводя описание новой задачи на разре-
зание треугольника, Огилви заметил, что «ее решение
вполне может появиться в печати еще до того, как
эта книга выйдет в свет». Так оно и случилось. Дав-
но известно, что любой треугольник всегда можно
разрезать на четыре треугольника, подобных исход-
ному или же на п подобных треугольников, если чис-
ло п больше или равно 6. При я, равном 2 или 3,
это возможно только для прямоугольных треуголь-
ников. Если п = 5, то лишь прямоугольный треуголь-
ник можно разрезать на 5 подобных ему треуголь-
ников; для непрямоугольных треугольников правила
такого рассечения еще не были известны, когда по-
явилась статья Р. У. Фриза, Э. К. Миллер и 3. Усы-
скина «Можно ли треугольник произвольной формы
разбить на п подобных ему треугольников?» в ТНе
Агпепсап Ма1кетаИса1 МопШу, 77, р. 867—869 (Ок-
1оЬег 1970).
Совсем недавно несколько исследователей неза-
висимо друг от друга доказали, что, если п = 5 и ис-
ходный треугольник не является прямоугольным, то
его можно разрезать на 5 треугольников, подобных
данному, в том и только в том случае, когда один из
углов этого треугольника равен 120°, а два других —
30° (рис. 123). Это единственное разбиение описыва-
ется в статье 3. Усыскина и С. Г. Уэймента «Деление
треугольника на пять треугольников, подобных дан-
ному» [МаИгетаИсз Мацагте 45, р. 37—42 (Лапиагу
1972)]. Правда, до сих пор остаются открытыми сле-
дующие вопросы: Какие треугольники можно разре-
зать на п подобных треугольников, не подобных ис-
264
Рис. 123. Единственное рассечение.
ходному? Для каких значений п произвольный четы-
рехугольник можно разрезать на п четырехугольни-
ков, подобных друг другу и/или подобных исходному?
В 1960 г. американский математик Станислав
М. Улам, еще один виртуоз по части составления го-
ловоломок, выпустил интересный сборник нерешен-
ных задач повышенной трудности, значительная часть
которых публиковалась впервые *. В числе прочих
любопытных курьезов Улам предложил такую ориги-
нальную топологическую задачу-игру. Представим
себе куб, разделенный на пространственную решетку
из маленьких единичных кубиков наподобие трехмер-
ной шахматной доски. Два игрока по очереди отме-
чают по единичному ребру этой решетки. При этом
первый игрок может отметить своим ходом любое
ребро, а дальше каждое последующее отмеченное
ребро должно соединяться с предыдущим отмеченным
ребром. Таким образом, один конец получающейся в
результате траектории остается фиксированным, в то
время как второй конец с каждым ходом удлиняется
на единицу —этот процесс похож на то, как если бы
жук полз по ребрам решетки, оставляя за собой
окрашенный след. Поскольку решетка не бесконечна,
наша траектория в конце концов должна пересечься
сама с собой и образовать некоторую замкнутую про-
странственную кривую. Для одного из игроков выиг-
рыш заключается в том, чтобы суметь сделать узел
(т. е. пересечение кривой), для другого же —в том,
чтобы не допустить появления узла. Кто из соперни-
ков окажется победителем в такой игре, если оба
игрока используют рациональную стратегию?
* Улам С. Нерешенные математические задачи, — М.: Нау-
ка, 1964,
265
Математик из Кембриджского университета
Дж. X. Конуэй предложил остроумное доказательство
того, что игрок, чья цель заключается в том, чтобы
не допустить появления узла, всегда побеждает, не-
зависимо от того, кто начинает игру — он сам или
его противник. Предположим, что игра ведется на
кубе размером 3X3X3 (т. е. на решетке в 27 еди-
ничных кубиков). Это самый малый куб, в котором
наша траектория может пересечь саму себя, образо-
вав узел. Рассмотренная ниже оптимальная стратегия
для игрока, стремящегося не допустить появления
♦узла, легко переносится и на все кубы более высоко-
го порядка.
Через каждую точку решетки можно провести раз-
личные плоскости, перпендикулярные пространствен-
ной диагонали большого куба (т. е. диагонали, со-
единяющей диаметрально противоположные его
углы). Мы будем называть такую плоскость первич-
ной плоскостью, или Р-плоскостью. Если Р-плоскость
проходит через угол большого куба, то существует
только одна близкая к ней плоскость, параллельная
ей и проходящая через точки решетки, соседние по
отношению к точкам Р-плоскости. Если же Р-пло-
скость не проходит через вершину большого куба, то
у нас окажется две таких соседних плоскости, лежа-
щих по разные стороны нашей Р-плоскости. Такие
плоскости мы будем называть Л-плоскостями.
Представим себе теперь, что все точки решетки,
лежащие на Л-плоскостях — назовем их Л-точками —
спроектированы на соответствующую Р-плоскость
вместе со всеми ребрами, соединяющими Л-точки с
точками плоскости Р. Это дает нам на Р-плоскости
некоторый граф, эквивалентный одному из пяти гра-
фов, представленных на рис. 124. На каждом из этих
графов черные кружочки в вершинах графа обозна-
чают точки пространственной решетки, первоначально
находившиеся на Р-плоскости. Вершины графа, обо-
значенные светлыми кружочками — это Л-точки, спро-
ектированные с Л-плоскостей. Буквами С на графе
обозначаются углы большого куба.
Обратите внимание на то, что на всех трех гра-
фах в левой части рисунка имеются свободные кон-
цы; в правой части рисунка их нет. Конуэй показал
(это неопубликованное доказательство оказывается
266
У
Рис. 124. Графы для игры с узлами. Ст. Улама,
довольно простым), что для любой заданной точки
решетки всегда можно найти проходящую через нее
Р-плоскость, соответствующий граф на которой не
имеет свободных концов.
Если игру начинает ваш противник, то вам сле-
дует выбрать такую Р-плоскость, проходящую через
любой из концов отмеченного вашим соперником реб-
ра, которая не имеет графа со свободными концами.
При этом один конец траектории игры оказывается
лежащим на некоторой Л-плоскости. Сами же вы
должны вести игру таким образом, чтобы все время
возвращать игровую траекторию на Р-плоскость, т. е.
так, чтобы соединить окрашенный конец траектории
игры с черной вершиной. Каждый последующий ход
вашего противника должен уводить траекторию игры
с Р-плоскости (к светлому кружку). Ваша же стра-
тегия заключается в том, чтобы все время возвра-
щать эту траекторию на Р-плоскость, продолжая ее
к черному кружку. Поскольку граф в данном слу-
чае не имеет свободных концов и поскольку его чер-
ны и светлые вершину чередуются, вы всегда можете
267
следовать этой стратегии. Ясно, что, когда траек-
тория игры в конце концов замкнется, узлов на
ней не будет.
Если начинаете игру вы, то первым ходом вам
следует пометить любое ребро решетки. Затем после
хода вашего противника вы выбираете Р-плоскость,
которая проходит через среднюю вершину наметив-
шейся тем самым траектории и на которой соответ-
ствующий граф не имеет свободных концов. Таким
образом, ваша стратегия, цель которой состоит в том,
чтобы избежать появления узлов, оказывается той
же самой, что и в предыдущем случае: ваши ходы
должны всегда возвращать траекторию игры на
Р-плоскость; другими словами, вы всегда должны
продолжать траекторию игры к черной вершине. При
этом траектория игры не будет иметь узлов вплоть
до того момента, пока она вновь не пересечет саму
себя.
«По-моему, с самого начала было ясно,— указы-
вает Конуэй в одном из своих писем,— что игрок,
который стремится не допустить появления узлов,
обязательно одержит верх. Ведь его задача состоит
всего лишь в том, чтобы постараться замкнуть траек-
торию игры, в то время как другому игроку действи-
тельно приходится что-то делать».
Стратегия Конуэя неприменима к некубическим
решеткам типа «кирпичиков» (потому что в этом
случае не всегда можно построить граф, не имеющий
свободных концов); она неприменима также для
случая игры в кубе, когда первый ход делает игрок,
стремящийся не допустить появления узлов, а ходы
можно делать, наращивая траекторию игры с любого
конца. Для обеих этих игр, насколько мне известно,
пока не разработано соответствующих выигрышных
стратегий.
На практике трехмерные решетки оказываются не
слишком-то удобными для игры «досками», а вот по-
строенные по аналогичному принципу топологические
игры на плоских решетках прекрасно подходят для
проведения различного рода игр на бумаге с каран-
дашом в руке. Так, недавно любители головоломок в
Лос-Анджелесе буквально помешались на новой, пока
нигде не опубликованной и не имеющей еще строгого
решения игре-головоломке; под названием «Ползу-
263
нок». Ее придумал Д. Сил-
вермен, автор упоминав-
шейся выше книги «Ваш
ход», в которой описано и
несколько других игр тако-
го типа. Решетка для этой
игры, размером 5X6 то-
чек, изображена на рис. 125.
Правда, до настоящего
времени все попытки те-
оретически обосновать воз-
можность победы одного
из игроков были безрезуль-
татными. При статистиче-
ском анализе нескольких со- Рис' 125' ИгРа «Ползунок»,
тен партий оказалось, что
примерно в половине случаев выигрывает первый
игрок, а в половине — второй. Правила этой игры
просты: каждый играющий по очереди проводит орто-
гональные отрезки прямых длиной в одну единицу.
Получающаяся в результате траектория игры должна
быть непрерывной, причем каждый последующий ход
можно делать с любого ее конца. Игрок, вынужден-
ный замкнуть траекторию, проигрывает. (Если счи-
тать победителем того, кто замкнет траекторию, то
игра получается не столь интересной, однако и этот
вариант игры также не имеет пока строгого реше-
ния.) На рисунке приведена типичная позиция, при
которой следующий ход является последним — тот,
кто его делает, проигрывает. Быть может, читателям
удастся найти выигрышную стратегию для одного или
для обоих вариантов игры «Ползунок».
Коллега Конуэя по Кембриджскому университету
X. Т. Крофт время от времени рассылает своим
друзьям списки новых задач, не имеющих пока ре-
шения. Несколько лет назад среди них оказалась
следующая задача: требовалось выяснить, существует
ли на плоскости такое конечное множество точек, для
которого перпендикуляр, проходящий через середину
отрезка, соединяющего любые две точки, всегда про-
ходит по крайней мере еще через две другие точки
этого множества. Эта задача была решена матема-
тиком из Университета штата Мичиган Л. М.. Келли.
Хотя задачу эту и нельзя назвать проблемой
А——о
с А
269
первостепенной важности, решение Келли, в котором
используется всего восемь точек, настолько покоряет
своей элегантностью, что я привожу его здесь в ка-
честве упражнения для читателей,
ОТВЕТЫ
На рис. 126 показано, как надо расположить во-
семь точек, чтобы перпендикуляр, равноудаленный от
любой пары этих точек, проходил бы по крайней
мере еще через две другие точки.
Придуманная Д. Силверменом игра «Ползунок»
вызвала неослабевающий поток писем, в которых
предлагались выигрышные стратегии все возрастаю-
щей степени общности, до тех пор пока специалист
по теории графов из университета Ватерлоо Р. Рид
в конце концов сумел свести стандартный вариант
этой игры к поразительно тривиальной схеме.
Стандартная игра «Ползунок» ведется на прямо-
угольном поле, представляющем собой ортогональную
решетку, составленную из отдельных точек. Игроки
по очереди прочерчивают ортогональные «ребра», со-
единяющие соседние пары точек, добавляя при каж-
дом ходе соответствующие единичные отрезки с лю-
бой из сторон получающейся в результате траектории.
Тот игрок, который своим очередным ходом вынуж-
ден будет в конце концов замкнуть эту «ползу-
щую» линию на себя, считается проигравшим. Не-
сколько десятков читателей в своих письмах сразу
же отметили, что на поле 5X6, которое выбиралось
по условиям игры в качестве стандартного игрового
поля, первый игрок может легко выиграть, если на-
чнет игру ходом с центрального ребра, а после этого
каждый раз будет делать ход, симметрично противо-
положный предыдущему ходу противника. Он выиг-
рывает также и в случае «обратного» варианта игры
|,(когда побеждает тот, кто замкнет траекторию игры),
воспользовавшись первой же возникшей у него воз-
можностью выигрыша.
Первым, кто предложил общую оптимальную стра-
тегию игры в случае произвольного прямоугольного
поля, был Дж. А. Миллер из Филадельфии. Если по-
ле имеет четное количество точек, то необходимо на-
чертить по ребрам рещетки тш называемую гамиль«
270
Рис. 126. Решение задачи о
восьми точках.
тонову цепь, т. е. такую
линию, которая проходит
через каждый узел ре-
шетки только один раз.
Окрасим теперь ребра че-
рез одно в красный цвет,
начиная и кончая крас-
ным. Выигрышная стра-
тегия для первого игрока
заключается в том, что-
бы всегда ходить по
красным линиям. Если же
число точек на поле не-
четное, то стратегия вы-
игрыша для второго игро-
ка будет следующей: по-
сле того как противник сделал первый ход, провести
гамильтонову цепь, начиная с любого ребра, начер-
ченного противником, окрасить этот путь, как и в пре-
дыдущем случае, после чего всегда ходить по крас-
ным линиям. По существу ту же самую стратегию
предлагают М. Келли, О. Г. Селфридж и другие чи-
татели.
Позднее я обнаружил, что указанная стратегия
годится и в том случае, когда между двумя соседни-
ми точками разрешается делать диагональные ходы,
а также когда игра ведется на треугольных решетках.
Впрочем, мое приподнятое настроение продержалось
недолго. Когда я сообщил об этом Риду, он сразу же
смекнул, что и тот, и другой варианты являются про-
сто частными случаями некоторой общей стратегии,
применимой к любой системе точек, расположенной
достаточно произвольным образом в пространстве ка-
кого угодно числа измерений. Более того, «ход» в та-
кой игре может заключаться в том, чтобы соединить
«прямой линией» любую пару точек, причем вовсе
не имеет значения, как разрешено делать соответ-
ствующие ходы — с обоих ли концов траектории игры
или только с того конца, где остановился ваш про-
тивник, делая свой предыдущий ход.
Рид объясняет это следующим образом. Говорят,
что граф обладает «единичным фактором», если все
его вершины можно соединить попарно таким обра-
зом, что каждая вершина будет принадлежать одному
271
и только одному из непересекающихся ребер. Пред^
ставим себе некоторый набор точек в виде вершин
полного графа, состоящего из всевозможных соеди-
няющихся друг с другом ребер. Красным карандашом
начертим единичный фактор этого графа. (На квад-
ратных решетках одним из способов сделать это яв-
ляется гамильтонова цепь, однако единичный фактор
представляет собой более общую характеристику
графа, поскольку, например, некоторые графы обла-
дают единичным фактором, однако у них нет гамиль-
тоновой цепи.) После этого разрешается любой ход,
соединяющий две точки.
Если число точек игрового поля оказывается чет-
ным, то данный граф может обладать единичным
фактором, так что первый игрок всегда может вы-
играть, делая ходы только по красным ребрам. Если
же число точек будет нечетным, то второй игрок, не
обращая внимания на один из концов отрезка, опре-
деляющего собой первый ход, вычерчивает красным
карандашом соответствующий единичный фактор и
затем ведет игру, делая ходы только по красным реб-
рам. При этом проигрывает тот игрок, у которого
раньше кончаются свободные, т. е. неиспользованные
для ходов, точки.
Это очевидная и достаточно тривиальная страте-
гия четности в игре «Ползунок» оказалась замаски-
рованной массой несущественных деталей. Игра
«Ползунок наоборот», когда выигрывает тот, кто за-
мыкает траекторию, оказывается случаем существен-
но более сложным. Как мы убедились, симметричная
стратегия обеспечивает победу первому игроку на лю-
бых полях размером (2п+1) Х2п точек. Второй
игрок может выиграть с помощью стратегии зеркаль-
ной симметрии, в случае если первый ход сделан на
главную диагональ квадрата или на одну из цент-
ральных осевых линий (параллельных сторонам) лю-
бого прямоугольника, если, конечно, таковые имеют-
ся. Отметим, что Селфридж обнаружил также вы-
игрывающую стратегию для второго игрока на ква-
дратных полях любых размеров.
М. Билер из Массачусетского технологического
института разработал машинную программу игры
«Ползунок наоборот». Приведем здесь лишь некото-
рые из полученных им результатов;
272
1) второй игрок выигрывает на квадратных полях до
шестого порядка включительно;
2) на полях размером 3X4, 4X5, 4X9 и 5X6
только ход в центр обеспечивает победу первому иг*
року;
3) предложенная Билером теория, согласно которой
первый игрок выигрывает на любом поле размером
2 X я (при м, большем 2) подтверждается вплоть до
значения п = 18;
4) на полях размером 3 X п при значениях л, меняю-
щихся от 2 до 12, первый игрок выигрывает, если
число п четно, и проигрывает, если п нечетно;
5) на полях размером 4Х« при значениях /г, меняю*
щихся от 5 до 9, всегда выигрывает первый игрок;
6) второй игрок выигрывает на поле размером 5X7.
Эти данные позволяют выдвинуть следующее
{хотя и недоказанное пока) предположение: первый
игрок выигрывает на любом отличном от квадрата
прямоугольном поле, если число точек на нем оказы-
вается четным. Второй игрок выигрывает на квадрат-
ном поле любого размера, а также на всех отличных
от квадрата прямоугольных полях, если соответствую-
щее число точек игрового поля нечетно.
ДОПОЛНЕНИЕ
Задача, которую обычно называют теперь задачей
«ЗХ+1», по-прежнему не поддается решению. Как
утверждает Р. Гай, впервые эту проблему незадолго
до второй мировой войны сформулировал Л. Коллатц,
тогдашний студент, а в настоящее время профессор
математики Гамбургского университета. На одной из
своих лекций в 1970 г. Г. С. М. Коксетер предложил
50 долларов за ее доказательство, в котором он смог
бы разобраться, и 100 долларов за соответствующий
контрпример. С тех пор он буквально утопает в по-
токе ошибочных доказательств и давно потерял ин-
терес к их разбору. Мелкие ошибки вкрадываются в
эти доказательства так же легко, как и в доказа-
тельство великой теоремы Ферма. Неправильные до-
казательства даже просочились в печать — одно из
них, например, появилось в ПЬопассь 0,иаг1ег1\), 18,
'р. 231—242 (1980). В 1982 г. П. Эрдош высказал
мнение — а кому, как не ему, высказывать свои суж-
дения по данному вопросу,—что даже если указан-
273
ное предположение верно, то современная теория чи-'
сел не располагает соответствующими инструмента-
ми, для того чтобы его доказать.
Прекрасным контрпримером явилось бы число, ко-
торое либо порождает все большие и большие числа,
причем без всяких повторений, либо приводит к цик-
лу более высокого порядка, чем цикл 4—2—1. Если
такое число и существует, то оно должно быть чрез-
вычайно большим, потому что указанное предполо-
жение, как отмечает Гай, было проверено для всех
чисел, меньших 7ХЮ11. Кроме того, давно, когда
исследователи еще только начинали интересоваться
этой задачей, было замечено, что нет необходимости
проверять все четные числа, а также числа вида
Ак + 1, 16А + 3 и 128& + 7. Это обстоятельство суще-
ственно упрощает составление машинных программ
анализа данной задачи. Конечно, когда последова-
тельность чисел наталкивается на какую-нибудь сте-
пень 2, то часто после многочисленных хаотических
скачков она быстро приходит к циклу 4—2—1. При
этом степень 2, на которой сходится большинство по-
следовательностей— это число 16.
Среди чисел, меньших 50, самым противным ока-
зывается число 27. После 77 шагов оно достигает
максимума 9232, после чего требуется еще 34 шага,
чтобы довести его до 1. Когда Дж. Конуэй на лек-
циях начинает рассказывать о задаче ЗЯ+1, он
обычно встает у доски и начинает так: «Давайте
возьмем для примера какое-нибудь небольшое число,
ну, хотя бы 27, и посмотрим, что у нас получится».
Специалист по теории графов, описывая эту теорему,
сказал бы, что если она верна, то мы можем начер-
тить бесконечное направленное дерево, каждая точка
которого обозначена своим целым положительным
числом, причем это дерево охватит все целые числа
и будет замыкаться по стрелкам к корню, представ-
ляющему собой треугольный цикл 4—2—1.
Простое доказательство того, что из двух чисел
тсе и я + е по крайней мере одно является транс-
цендентным, приведено Д. Брубэйкером в МаНге*
таИсз Ма^агте, 44, р. 267 (ЫоуетЬег 1971).
О разрезании треугольников на пять треугольни-
ков, подобных друг другу, но не подобных исходно-
му, смотри заметку Р. Гая в ТНе Атепсап МаОгетаИ*
274
са1 МопШу, 80, р. 1123 (ЭесетЬег 1973)\ По-види-
мому, здесь существует десять принципиально раз-
личных случаев. Так, равносторонний треугольник и
произвольный равнобедренный треугольник можно
разрезать на пять подобных друг другу прямоуголь-
ных треугольников; кроме того, равносторонний тре-
.угольник можно также разрезать на пять подобных
треугольников с углом 120°.
О «правдивых числах», количество букв в назва-
нии которых равно представленному этим названием
числу (в английском языке только одно правдивое
число —Р01Л? *), см. гл. 7 моей книги «Удивитель-
ный доктор Матрица».
Самое полное обобщение игры «Ползунок» анали-
зируется в статье У. Андерсона, указанной в библио-
графии. Игра ведется на произвольном конечном гра-
фе, причем каждый из игроков по очереди помечает
одно из ребер графа. Андерсон приводит для этого
обобщения игры «Ползунок» выигрывающую страте-
гию, которая основана на алгоритме паросочетания,
описанном в работе Дж. Эдмондса, вышедшей в 1965 г.
ГЛАВА 19
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ
С КАРТАМИ
^- Вы любите карточные фокусы?
— Терпеть не могу, — отвечал я.
— Ну уж один-то фокус я вам по-
кажу.
Он показал мне три.
Сомерсет Моэм. Мистер Всезнайка
Все мы, как и Сомерсет Моэм, встречались с лю-
бителями карточных фокусов. «Вообще-то я не люб-
лю людей, которые показывают фокусы на картах,—
* Сравни два правдивых числа в русском языке ^ ТРИ
И ОДИННАДЦАТЬ, *=Прим< перев,
275
заметила как-то однажды Эльза Максуэлл. (Я цити-
рую ее слова по автобиографической книге иллюзио-
нистки Фрэнсис Айрлэнд «Не обязательно быть не-
нормальным».) — Они ведь не могут ограничиться
одним или двумя фокусами, а продолжают показы-
вать их до бесконечности, заставляя вас то вытя-
нуть карту, то перевернуть карту, то снять колоду —
и так до тех пор, пока вы совершенно не ошалеете».
Признаемся сразу, что математические фокусы с
картами — это как раз такие фокусы, которые в бук-
вальном смысле слова наводят тоску на большинство
людей. Тем не менее математики, а также фокусни-
ки, испытывающие склонность к математическим за-
бавам, находят в них определенную прелесть.
На свете есть множество отличных карточных
трюков, основанных на принципе четности, однако
обычно лежащая в их основе структура «чет — не-
чет» замаскирована настолько хитроумно, что если
вы возьмете колоду карт и попробуете действовать
согласно инструкциям, то, наверное, сами себе уди-
витесь. Разберем, например, фокус, который приду-
мал в 1946 г. Эд Марлоу — любитель карточных фо-
кусов из Чикаго. Профессиональные фокусники по
причинам, которые станут вам ясны из дальнейшего,
часто называют этот трюк «эффектом масла и воды».
Существует много способов достичь того же эффекта
посредством различных таинственных и сложных ма-
нипуляций, однако в нашем варианте ничего подоб-
ного не потребуется, поскольку все получается как
бы само собой.
Итак, возьмите из колоды 10 карт красной масти
и 10 черной, разложите их в две кучки по цвету и
поместите эти кучки рядом, лицевой стороной вверх,
так чтобы карты красной масти оказались слева, а
карты черной масти — справа. Сначала вы говорите
зрителям, что намереваетесь продемонстрировать свой
фокус, используя лишь 5 карт каждого цвета. Обеи-
ми руками одновременно вы берете по верхней карте
из каждой кучки и кладете их тут же, под соответ-
ствующей кучкой, опять же лицевой стороной вверх.
То же самое вы проделываете со следующими двумя
верхними картами, однако, прежде чем переложить
их в новые кучки, на этот раз вы перекрещиваете
руки. Теперь уже черная карта ложится на красную,
276
а красная — на черную. Следующие две карты вы
кладете вниз, в новые кучки, не перекрещивая руки,
потом — снова перекрещивая, и, наконец, в послед-
ний, пятый, раз опять кладете обе карты на кучки,
соответствующие тем, из которых вы их взяли. Дру-
гими словами, вы пять раз одновременно берете две
карты из обеих исходных кучек, причем каждый вто-
рой раз раскладываете их по новым кучкам, меняя
левую и правую руки местами. Таким образом, слева
и справа у вас получается две новых кучки по 5
карт, лежащих лицевой стороной вверх, причем цвета
карт в каждой из этих кучек чередуются. Далее, вы
кладете одну из кучек на другую, раскрываете все
.10 карт веером и показываете зрителям, что карты
действительно лежат через одну — красная, черная,
красная, черная и т. д.
Выровняв карты и не перемешивая их, вы перево-
рачиваете всю кучку рубашками вверх. Затем сни-
маете сверху по одной карте и опять раскладываете
их на две кучки лицевыми сторонами вверх — одну
направо, другую налево и т. д. Обратите внимание
зрителей на то, что при этом цвета карт вновь есте-
ственным образом разделяются. В конце концов в ле-
вой кучке вы получаете пять красных карт, а в пра-
вой — пять черных карт.
Теперь вы сообщаете, что собираетесь повторить
эту простую последовательность операций уже со все-
ми 20 картами. При этом вы начинаете, как и в про-
шлый раз, с 10 красных карт, лежащих в левой куч-
ке лицевой стороной вверх и с 10 черных — лежащих
в правой кучке. Затем вы принимаетесь переклады-
вать карты, как и прежде, в две новые кучки, через
раз меняя руки местами, так чтобы цвета карт в
этих новых кучках также менялись через один. Пе-
реложив таким образом все 20 карт в новые кучки,
вы складываете обе кучки вместе, подравниваете их
и переворачиваете карты лицевой стороной вниз,
держа всю колоду из 20 карт в левой руке.
Далее вы раскладываете 10 карт на две кучки
лицевой стороной вверх — налево, направо, налево,
направо и т. д., громко объясняя при этом зрителям,
что теперь красные карты ложатся слева, а чер-
ные— справа. Разложив первые 10 карт подобным
образом, вы не останавливаетесь и точно так же
277
Рис. 127. Эффект «масла и воды».
продолжает раскладывать оставшиеся 10 карт, но
уже лицевой стороной вниз. При этом лучше всего
раскладывать карты в два вертикальных ряда, так
чтобы они немного перекрывали друг друга, как это
показано на рис. 127.
После этого левой рукой вы берете 5 карт, кото-
рые лежат в левой кучке лицевой стороной вниз, а
правой рукой — 5 карт, которые лежат в правой куч-
ке также лицевой стороной вниз. Затем вы меняете
руки местами и кладете карты обратно на стол. Тут
же нужно объяснить зрителям, что хотя вы и пере-
278
Рис. 128. Десять выдвинутых вперед карт.
ложили половину карт из каждой кучки в кучку
другого цвета, но все же их цвета таинственным об-
разом не смешиваются, как не перемешиваются меж-
ду собой, например, масло и вода. Теперь вы пере-
ворачиваете те карты, которые лежали в обеих куч-
ках лицевой стороной вниз. Ко всеобщему (как мы
надеемся!) удивлению, оказывается, что красные
карты лежат с красными, а черные — с черными!
Думаю, что читатели сумеют догадаться, почему этот
фокус получается при любом наборе карт, содержа-
щем четное число карт каждого цвета, и почему все
было не так, когда вы проделывали те же самые
операции в первый раз, т. е. на 10 картах.
Покончив с фокусом «масло и вода», сложите обе
кучки карт вместе — при этом для нас безразлично,
какого цвета карта окажется наверху. Затем перевер-
ните всю колоду лицевой стороной вниз и раскройте
ее веером. Теперь вы готовы к демонстрации следую-
щего фокуса. Этот фокус под названием «Красные и
черные» придумал К. Фалвес, который впервые опуб-
ликовал его в своем журнале ТНе РаИЬеагег'з /?е-
V^еx^) (5ер1етЬег 1970).
Попросите кого-нибудь из зрителей слегка вытя-
нуть вверх любые 10 карт из вашего веера. При этом
он станет похож на веер, изображенный на рис. 128.
Правой рукой пересчитайте выдвинутые {выступаю-
щие вверх) карты, чтобы убедиться, что число их
действительно равно 10. Для этого пересчитайте их
279
вслух, вытаскивая из веера по одной карте в направ-
лении справа налево и складывая их по порядку от-
дельной кучкой лицевыми сторонами вниз. Соберите
вместе оставшиеся в вашей руке 10 карт и тоже по-
ложите их кучкой рядом с первой, лицевыми сторо-
нами вниз.
После этого вы объясняете зрителям, что случи-
лась удивительная вещь. Несмотря на то, что первые
10 карт были выбраны совершенно случайным обра-
зом, сейчас в ваших двух кучках карты все же рас-
полагаются так, что каждая п-я карта в первой кучке
имеет цвет, противоположный цвету /г-й карты во
второй кучке. Чтобы доказать это, одновременно от-
кройте верхние карты обеих кучек. При этом одна из
них окажется красной, в то время как другая —
черной. Положите теперь красную карту на черную,
переверните обе карты лицом вниз и отложите их в
сторону — тем самым у вас образуется новая кучка
карт, лежащих лицом вниз. Возьмите теперь из пер-
воначальных кучек следующие две верхних карты.
Опять одна из них будет красной, а другая — черной.
Фактически любая пара взятых вами карт будет раз-
личаться по цвету!
При этом, когда вы демонстрируете зрителям со-
ответствующую пару карт, всегда кладите красную
карту на черную, а потом уже переворачивайте их и
откладывайте в сторону, во вновь образованную куч-
ку. После того как все карты перейдут таким спосо-
бом в эту новую кучку лежащих лицом вниз карт,
цвета в ней будут строго чередоваться.
Ну, а теперь вы можете показать совершенно не-
постижимый фокус, в котором принцип четности все-
таки сохраняется, даже если всю колоду карт пере-
тасовать несколько раз. Этот фокус под названием
«Цветовая схема» придумал фокусник-любитель
О. Вайгль. В 1949 г. описание этого фокуса можно
было купить в специальных магазинах, где продает-
ся различного рода реквизит для иллюзионистов.
Вручите колоду из 20 карт кому-либо из присут-
ствующих и попросите его держать карты под сто-
лом так, чтобы ни он сам, ни кто-либо еще не могли
их видеть. При этом попросите вашего партнера пе-
ремешать карты следующим образом. (Этот способ
перетасовки карт называется способом Хаммера, в
280
честь американского фокусника Боба Хаммера, кото-
рый первым стал применять его в своих выступле-
ниях.). Переверните две верхние карты (только не
по очереди, одну за одной, а сразу обе вместе), по-
ложите их сверху и снимите колоду. Эту процедуру —
перевернуть две карты, положить их сверху, снять
колоду, перевернуть две карты, положить их сверху,
снять колоду и т. д.— ваш помощник может повто-
рить столько раз, сколько захочет. В результате вы,
естественно, получите колоду, содержащую неизвест-
ное число перевернутых карт, распределенных в слу-
чайном порядке.
Пусть теперь ваш партнер, по-прежнему держа
карты под столом, проделает вот что: переложит верх-
нюю карту в колоде вниз, затем перевернет следую-
щую карту и, вытащив ее из-под стола, положит на
стол, как при сдаче. Указанную процедуру — одна
карта под низ колоды, а вторая переворачивается и
кладется на стол — надо проделывать до тех пор,
пока на столе не окажется ровно 10 карт. И тут все
увидят, что ваши карты каким-то загадочным обра-
зом оказались сложенными в следующем порядке:
все карты, лежащие лицевой стороной вверх, будут
одного цвета, а все карты, лежащие лицом вниз,—
другого.
Далее начинается вторая и наиболее эффектная
часть трюка, по поводу которой сам Вайгль призна-
ется, что она является «бесстыдным надувательст-
вом». Итак, ваш помощник все еще держит под сто-
лом оставшиеся 10 карт. Попросите его перемешать
эти карты следующим образом: сначала разделить их
на две части, а потом совершенно произвольным об-
разом вставить их углами друг в друга (как бы
вдвигая одну часть карт в другую). Открывать при
этом карты не следует. Всю эту процедуру вы мо-
жете продемонстрировать сами на тех 10 картах, ко-
торые ваш партнер разложил на столе несколько ми-
нут назад. После того как он перетасует таким
образом карты несколько раз, попросите его перевер-
нуть колоду и еще несколько раз сделать то же са-
мое. Наконец, если ваш помощник захочет, он может
напоследок еще раз снять колоду.
После этого он снова начинает вытаскивать карты
из-под стола в той же последовательности, что и
281
прежде, т. е. одну карту перекладывая вниз, а еле*
дующую карту — переворачивая и выкладывая на
стол. (Последняя карта просто переворачивается и
кладется на стол.) Несмотря на то, что карты перед
этим были тщательно перетасованы, результат полу-
чается точной такой же, что и в начале фокуса —•
все карты, лежащие лицевой стороной вверх, оказы-
ваются того же цвета, что и карты, лежавшие лицом
вверх на первом этапе фокуса, причем то же самое
повторяется и с картами, лежащими лицевой сторо-
ной вниз.
Одна из старейших тем карточных фокусов — это,
обставив все дело надлежащей таинственностью, ука-
зать карту, которая была случайным образом вынута
из колоды, после чего ее вновь положили обратно в
колоду. Вот простой метод, использующий так назы-
ваемый принцип бинарной сортировки. К. Фалвес
впервые описал этот способ в ТНе РаИЬеагег'з КеV^е'ш
•(ЫоуетЪег 1970).
Возьмите из перетасованной колоды 16 карт и
разложите их на столе лицевой стороной вниз, не
упоминая о том, сколько именно карт вы взяли. Ваш
партнер выбирает себе какую-нибудь карту, запоми-
нает ее и кладет поверх колоды. Оставшиеся из раз-
ложенных на столе карт вы собираете вместе и тоже
складываете на колоду сверху, поверх выбранной ра-
нее карты. Попросите теперь вашего партнера снять
примерно половину колоды, в пределах плюс— минус
5—6 карт. Собственно говоря, он может снять от 16
до 32 карт. После того как он снял колоду, попро-
сите его передать ее обратно вам.
Возьмите теперь переданную вам колоду в левую
руку. При этом большим пальцем левой руки вы по
очереди сдвигаете карты вправо так, чтобы они раз-
вернулись веером, и одновременно правой рукой слег-
ка выдвигаете вверх каждую вторую карту, если
считать с самой верхней (правой) карты колоды. По-
лученный таким образом веер будет похож на тот,
что изображен на рис. 128, только карты в нем бу-
дут выдвинуты уже не в случайном, а в строго опре-
деленном порядке. Вытащите теперь все карты, ко-
торые торчат из веера, и отложите их в сторону.
Оставшиеся карты сложите вместе и повторите с
ними ту же самую процедуру, т. е., выдвинув вверх
282
все карты, располагающиеся в нечетных позициях,
вытащите их из веера и отложите в сторону. Продол-
жайте проделывать это до тех пор, пока у вас в руке
не останется одна карта. Прежде чем перевернуть ее,
спросите у вашего партнера, какую карту он загадал.
Это и будет та самая карта, которая осталась у вас
в руках.
В некоторых книгах, посвященных карточным фо-
кусам, предлагается совершенно иной способ нахож-
дения выбранной карты. Повернитесь спиной к зри-
телям, попросив кого-нибудь из них разделить коло-
ду примерно на три равные части. Ваш партнер
оставляет две части колоды с картами, обращенными
лицом вниз, а последнюю из частей переворачивает
так, чтобы карты в ней оказались лежащими лицевой
стороной вверх; при этом вы просите его запомнить
верхнюю карту из тех, что лежат теперь лицом вверх.
После этого он должен собрать колоду, положив часть
с картами, обращенными лицевой стороной вверх,
между двумя другими частями колоды, в которых
карты остались лежать вверх рубашкой, затем снять
ее несколько раз и хорошенько перетасовать всю ко-
лоду, разделяя ее пополам так, чтобы одна половина
колоды входила в другую. При этом карты, лежащие
в колоде лицевой стороной вверх, естественно, рас-
пределятся случайным образом по всей колоде. Все
это время вы стоите спиной к публике.
Наконец, вы поворачиваетесь лицом к аудитории,
переворачиваете колоду и раскладываете ее обычным
образом в ряд. При этом вы стараетесь найти длин-
ную серию карт, обращенных лицевой стороной вверх,
не забывая, конечно, о том, что в результате снятий
колоды эта серия карт могла прерваться, так что не-
которая часть ее вполне может оказаться на любом
конце расклада. Первая, лежащая лицом вниз, кар-
та после этой серии и есть карта, выбранная вашим
партнером. Вытащите ее из расклада, выяснив пред-
варительно у партнера, какая именно карта была им
загадана, и гордо покажите ее присутствующим.
В заключение несколько слов о последнем фокусе,
который прекрасно подходит для заключения различ-
ного рода пари. Он основан на оригинальном способе
сдачи карт, который открыл все тот же Фалвес. Из
колоды вынимаются все карты одной мэсти „(пусть
283
ваша жертва сама решит, какой именно). Предполо-г
жим, к примеру, что из колоды убраны все бубны«
Оставшиеся карты раскладываются по три так, что-
бы в каждой тройке все три масти лежали в одном
и том же порядке. (Числовые значения карт, или их
старшинство, не играют в данном случае никакой
роли.) Пусть ваш партнер и на этот раз выберет
порядок следования мастей. Допустим, что это ока-
жется такая последовательность: пики, черви, трефы.
Вся колода из 39 карт складывается так, чтобы свер-
ху вниз масти чередовались в том же самом поряд-
ке — пики, черви, трефы, пики, черви, трефы и т. д.
Далее, вы кладете колоду перед вашим партне-
ром так, чтобы карты в ней были обращены лицевой
стороной вверх. Попросите его перетасовать колоду,
разделив ее пополам и затем складывая ее так, что-
бы одна половинка колоды входила в другую. При
этом, когда он делит колоду пополам, вы запоминаете
масть той карты, которая лежит первой сверху в
нижней половинке колоды. В дальнейшем мы бу-
дем обозначать эту масть буквой к. После того как
ваш партнер вновь соединил колоду, вы переворачи-
ваете ее и кладете карты лицевой стороной вниз.
Теперь вы берете сверху по три карты и смотрите,
есть ли в каждой тройке две карты одной масти.
Трудно поверить, но:
1) если к— пики, то ни в одной тройке не будет
двух пик;
2) если к — черви, то ни в одной тройке не окажется
двух треф;
3) если к — трефы, то ни в одной тройке не будет
двух червей.
Конечно, этот результат обусловлен именно нашим
порядком следования мастей — пики, черви, трефы.
При другом порядке следования мастей наши три
правила подвергаются соответствующим изменениям,
т. е. пики заменяются на ту масть, которая идет
первой в каждой тройке, и т. д. Обозначим теперь
буквой т ту масть, которая, как вы знаете, не может
появиться дважды ни в одной тройке, а буквами а
и Ь — те масти, которые могут.
Прежде чем вы начнете раскладывать тройки карт
и смотреть, какая масть появляется или не появляет-
ся дважды, предложите своему противнику заклю-
284
чить следующее пари. Объясните ему, что за каждую
тройку, в которой окажутся две карты масти т, вы
готовы заплатить ему 10 долларов, тогда как он, в
ответ, должен будет платить вам по 10 центов за
каждую тройку, в которой будут две карты масти
а или Ь. Для вашего противника подобное пари бу-
дет выглядеть достаточно убедительно, в то время
как вы ровно ничем не рискуете, поскольку таким
способом можете мошенничать сколько угодно раз
подряд. Разложите карты по тройкам снова и дайте
вашей жертве перетасовать их один раз способом,
который я описал выше. Само собой, каждый раз вы
обещаете платить ему за появление дублетов соот-
ветствующей масти, которые, как вы знаете, появить-
ся не могут. Поскольку при каждой новой раскладке
масти меняются, проиграть такое пари кажется де-
лом совершенно непостижимым.
Как указывает Фалвес, подобные тройки карт об-
ладают и другими неожиданными свойствами. Так,
тройки, в которых окажется по две карты мастей а
и Ь, будут чередоваться; после двух карт масти а
должна появляться тройка с двумя картами масти
Ь, и наоборот. Наконец, из двух карт одной масти
одна из них всегда лежит в тройке наверху, а из
двух карт другой масти одна всегда будет лежать в
тройке внизу.
Не ждите здесь объяснения всех этих фокусов.
Однако, думаю, читателям будет небезынтересно по-
размыслить над каждым из них и попытаться объ-
яснить, как и почему указанные трюки «работают» с
такой сверхъестественной точностью.
ДОПОЛНЕНИЕ
П. Сарджент предложил проделывать последний
фокус Фалвеса с полной колодой, включающей карты
всех четырех мастей. Сложите колоду так, чтобы
сверху вниз масти в ней чередовались в такой после-
довательности: трефы, бубны, черви, пики. Как и
раньше, колода переворачивается лицом вверх, при-
чем примерно половина ее снимается. Запоминаем
при этом масть верхней карты в нижней половине
колоды. Назовем ее к, После этого обе половинки
285
колоды как бы вплетаются одна в другую за один
прием описанным выше способом.
Если теперь брать из колоды по четыре карты
сверху, то для каждой такой четверки будут спра-
ведливы следующие утверждения:
1) если к— трефы, то у нас не будет пар червей и
пар пик;
2) если к — бубны, то у нас могут появиться пары
любой масти;
3) если к — черви, то у нас не будет пар бубен и
пар пик;
4) если к — пики, то у нас могут появиться пары
любой масти.
Зная эти правила, вы, понятно, можете заключать
разного рода мошеннические сделки.
Э. Коэн предложил несколько видоизмененный ва-
риант придуманного Фалвесом фокуса с картой, кото-
рая лежит в колоде шестнадцатой сверху. Так, на-
пример, он раскладывает на столе 16 карт в виде
квадрата 4X4 лицевыми сторонами вниз. Один из
зрителей называет строку квадрата, а другой выби-
рает его столбец. Карту, лежащую на пересечении
соответствующей строки и столбца, переворачивают,
запоминают и кладут в самый низ колоды. Осталь-
ные 15 карт собираются в кучку и кладутся на стол,
а колода помещается на них сверху. При этом вы-
бранная карта оказывается шестнадцатой снизу.
Теперь кто-нибудь снимает колоду (главное, что-
бы в нижней половине колоды оставалось не меньше
16 и не больше 32 карт). Верхняя часть колоды от-
кладывается в сторону. Нижнюю половину колоды
дают кому-нибудь в руки и просят его по очереди
разложить карты на две кучки, т. е. как бы сдать их
на двоих. Та кучка, в которую попадает послед-
няя карта, откладывается в сторону. Указанная
процедура повторяется до тех пор, пока у сдающего
в руках не останется только одна карта. Это и будет
выбранная вначале карта.
На бинарных принципах основано великое множе-
ство еще более хитроумных карточных фокусов, од-
нако только что описанный здесь фокус представля-
ется мне достаточно простым, эффектным и очень
удобным для демонстрации.
286
ГЛАВА 20
ИГРА «ЖИЗНЬ». ЧАСТЬ I
Большая часть работ известного математика
Дж. X. Конуэя относится к области чистой матема-
тики. Например, в 1967 г. он открыл новую группу —
ее иногда называют «созвездием Конуэя» — включав-
шую в себя в качестве подгрупп все известные к то-
му времени «спорадические» группы, кроме двух<
(«Спорадическими» эти группы были названы пото-
му, что они не укладывались ни в какую известную
классификацию.) Открытие Конуэя имело первосте-
пенное значение не только для теории групп, но и
для теории чисел. Оно тесно связано с другим, более
ранним открытием Дж. Лича, обнаружившего не-
обычайно плотную упаковку единичных сфер в про-
странстве 24 измерений. Хотя каждая сфера в этой
упаковке касается 196 560 других, все же, как заме-
тил Конуэй, между сферами «остается еще много
места».
Помимо серьезных исследований, Конуэй увлека-
ется также занимательной математикой. В этой об-
ласти ему принадлежит немало работ, однако публи-
кует он свои «занимательные» результаты чрезвычай-
но редко. Одним из исключений такого рода была
статья Конуэя о «стеганом одеяле миссис Перкинс»,
посвященная одной задаче на разрезание, которая
рассматривалась ранее в моей книге «Математиче-
ский карнавал» («Ма1Ьета{1са1 СагтуаЬ), Другой
его находкой явилась топологическая игра «Спрут»,
которую Конуэй придумал вместе с М. С. Патерсо-
ном. Она также рассматривалась в одной из глав
упомянутой мной книги.
Настоящая же глава посвящена самому знамени-
тому детищу Конуэя — игре, которую сам Конуэй на-
звал «Жизнь», Для игры «Жизнь» вам не понадобится
287
партнер — в нее можно играть и одному. Воз-
никающие в процессе игры ситуации очень похожи
на реальные процессы, происходящие при зарожде-
нии, развитии и гибели колоний живых организмов.
По этой причине «Жизнь» можно отнести к быстро
развивающейся категории так называемых «модели-
рующих игр» — игр, которые в той или иной степени
имитируют процессы, происходящие в реальной жиз-
ни. Для игры «Жизнь», если не пользоваться ЭВМ,
вам понадобится довольно большая доска, разграф-
ленная на клетки, и много плоских фишек двух цве-
тов (например, просто несколько наборов обычных
шашек небольшого диаметра или одинаковых пуго-
виц двух цветов). Можно также воспользоваться дос-
кой для игры в го, но тогда вам придется раздо-
быть маленькие плоские шашки, которые свободно
умещаются в ячейках этой доски. (Обычные камни
для игры в го не годятся потому, что они не плос-
кие.) Можно также рисовать ходы на бумаге, но
значительно проще, особенно для начинающих,
играть, переставляя фишки или шашки на доске.
Основная идея игры состоит в том, чтобы, начав
с какого-нибудь простого расположения фишек (ор-
ганизмов), расставленных по различным клеткам
доски, проследить за эволюцией исходной позиции
под действием «генетических законов» Конуэя, котог
рые управляют рождением, гибелью и выживанием
фишек. Конуэй тщательно подбирал свои правила и
долго проверял их «на практике», добиваясь, чтобы
они по возможности удовлетворяли трем условиям:
1) не должно быть ни одной исходной конфигурации,
для которой существовало бы простое доказательство
возможности неограниченного роста популяции;
2) в то же время должны существовать такие началь-
ные конфигурации, которые заведомо обладают
способностью беспредельно развиваться;
3) должны существовать простые начальные конфи-
гурации, которые в течение значительного промежут-
ка времени растут, претерпевают разнообразные из-
менения и заканчивают свою эволюцию одним из
следующих трех способов: полностью исчезают (либо
из-за перенаселенности, т. е. слишком большой плот-
ности фишек, либо наоборот, из-за разреженности
фишек, образующих конфигурацию); переходят в
288
устойчивую конфигурацию и перестают изменяться
вообще или же, наконец, выходят на колебательный
режим, при котором они совершают некий беско-
нечный цикл превращений с определенным пе-
риодом.
Короче говоря, правила игры должны быть таки-
ми, чтобы поведение популяции было достаточно ин-
тересным, а главное, непредсказуемым.
Генетические законы Конуэя удивительно просты.
Прежде чем мы их сформулируем, обратим внимание
на то, что каждую клетку доски (которая, вообще
говоря, считается бесконечной) окружают восемь со-
седних клеток: четыре имеют с ней общие стороны,
а четыре другие — общие вершины. Правила игры
'(генетические законы) сводятся к следующему:
|1) выживание. Каждая фишка, у которой имеются
две или три соседние фишки, выживает и переходит
в следующее поколение;
2) гибель. Каждая фишка, у которой оказывается
больше трех соседей, погибает, т. е. снимается с дос-
ки, из-за перенаселенности. Каждая фишка, вокруг
которой совободны все соседние клетки или же занята
только одна клетка, погибает от одиночества;
3) рождение. Если число фишек, с которыми грани-
чит какая-нибудь пустая клетка, в точности равно
трем (не больше и не меньше), то на этой клетке
происходит рождение нового «организма», т. е. сле-
дующим ходом на нее ставится одна фишка.
Важно понять, что гибель и рождение всех «орга-
низмов» происходят одновременно. Вместе взятые,
они образуют одно поколение или, как мы будем
говорить, один «ход» в эволюции начальной конфи-
гурации. Ходы Конуэй рекомендует делать следую-
щим образом:
1) начать с конфигурации, целиком состоящей из
черных фишек;
2) определить, какие фишки должны погибнуть, и
положить на каждую из обреченных фишек по одной
черной фишке;
3) найти все свободные клетки, на которых должны
произойти акты рождения, и на каждую из них по-
ставить по одной фишке белого цвета;
4) выполнив все эти указания, еще раз внимательно
проверить, не сделано ли каких-либо ошибок,
Ю Зак, 695
289
затем снять с доски все погибшие фишки (т. е. стол*
бики из двух фишек), а всех новорожденных (белые
фишки) заменить черными фишками.
Проделав все операции, вы получите первое по-
коление в эволюции первоначальной конфигурации.
Аналогичным образом получаются и все последующие
поколения. Теперь уже ясно, для чего нам нужны
фишки двух цветов: поскольку рождение и гибель
«организмов» происходят одновременно, новорожден-
ные фишки никак не влияют на гибель и рождение
остальных фишек, и поэтому, проверяя новую конфи-
гурацию, необходимо уметь отличать их от «живых»
фишек, перешедших из предыдущего поколения.
Допустить ошибку, в особенности если вы играете
впервые, очень легко. Со временем вы будете делать
все меньше и меньше ошибок, однако даже опытные
игроки должны очень внимательно проверять каждое
новое поколение перед тем, как снимать с доски по-
гибшие фишки и заменять черными фишками ново-
рожденные белые.
Начав игру, вы сразу заметите, что популяция не-
престанно претерпевает необычные, нередко очень
красивые и всегда неожиданные изменения. Иногда
первоначальная колония организмов постепенно вы-
мирает, т. е. все фишки исчезают, однако произойти
это может не сразу, а лишь после того, как сменится
очень много поколений. В большинстве своем исход-
ные конфигурации либо переходят в устойчивые (по-
следние Конуэй называет «любителями спокойной
жизни») и перестают изменяться, либо навсегда пе-
реходят в колебательный режим. При этом конфигу-
рации, не обладавшие в начале игры симметрией, об-
наруживают тенденцию к переходу в симметричные
формы. Обретенные свойства симметрии в процессе
дальнейшей эволюции не утрачиваются, а симметрия
конфигурации может лишь обогащаться.
Конуэй высказал гипотезу, согласно которой не
существует ни одной начальной конфигурации, спо-
собной беспредельно расти. Иначе говоря, любая
конфигурация, состоящая из конечного числа фишек,
не может перейти в конфигурацию, у которой число
фишек превосходило бы некий конечный верхний
предел. Это, наверное, наиболее глубокая и самая
сложная эадача, возникающая в игре «Жизнь».
290
а б в 2 д
«
и
1 1 1 Г
Т.П021
ш <
1 М
г Г
н
Г 1 1 1 1 1 1
&ает±±Поги
\\ \\
Г
>
1111
бает"Л\
1
•
К
*
г
•М
мл
\щщ
Ы#|
Блок
II 1 1 1 1 1 1 1
Погиоаетх 1 1 1 ШШ\ 1
11111 1*1*1 1
Блок \"
1 1 1 II 1
111 1 1 1 1 II
ггп
1111 им 11
•
1 1 1 1 г 1 1 1 1
Тт1 Мигалка
1 1 I 1ММ1
1
щщ
1 I I Период] 1 и
1 \_\овум ходам
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Рис. 129. Эволюция пяти триплетов.
В свое время Конуэй предлагал премию в 50 дол-
ларов тому, кто до конца 1970 г. первым докажет
или опровергнет его гипотезу. Опровергнуть предпо-
ложение Конуэя можно было бы, например, построив
конфигурацию, к которой, следуя правилам игры, все
время приходилось бы добавлять новые фишки*
К ним можно отнести, в частности, «ружье» (конфи-
гурацию, которая через определенное число ходов
«выстреливает» движущиеся фигуры вроде «глайде-
ра», о котором мы еще будем говорить) или «паро-
воз, пускающий дым из трубы» (движущаяся конфи-
гурация, оставляющая за собой «клубы дыма»). Ре-
зультаты соперничества за объявленный Конуэем
приз обсуждаются в следующей главе.
Рассмотрим теперь, что же происходит с некото-
рыми простыми конфигурациями.
Одиночная фишка, а также любая пара фишек,
где бы они ни стояли, очевидно, погибают после пер-
вого же хода.
Исходная конфигурация из трех фишек (мы бу-
дем называть ее триплетом), как правило, погибает.
Выживает триплет лишь в том случае, если по крайней
мере одна фишка граничит с двумя занятыми клетка-
ми. Пять триплетов, не исчезающих на первом же хо-
ду, изображены на рис, 129, (При этом ориентация
Ю»
091
триплетов, т. е. как они расположены на пло-
скости — прямо, «вверх ногами» или косо, не играетэ
никакой роли.) Первые три конфигурации (а, б, в)
на втором ходу погибают. Относительно конфигура-
ции в заметим, что любой диагональный ряд фишек*
каким бы длинным он ни оказался, с каждым ходом:
теряет стоящие на его концах фишки и в конце кон-<
цов совсем исчезает. Скорость, с которой шахматный
король перемещается по доске в любом направлении,
Конуэй называет «скоростью света». (Причины этого
станут понятны в дальнейшем.) Пользуясь этой тер-!
минологией, можно сказать, что любой диагональный
ряд фишек распадается с концов со скоростью света*
Конфигурация г на втором ходу превращается в
устойчивую конфигурацию — «блок» (квадрат разме-
ром 2X2). Конфигурация д служит простейшим при-
мером так называемых «флип-флопов» (кувыркаю-
щихся конфигураций, возвращающихся в исходное со-
стояние через каждые два хода). При этом она
попеременно превращается то в вертикальный, то в
горизонтальный ряд из трех фишек. Конуэй назы-
вает этот триплет «мигалкой».
На рис. 130 изображена эволюция пяти тетрами-
но (четыре клетки, из которых состоит элемент те-
трамино, связаны между собой ходом ладьи). Как
мы уже видели, квадрат а относится к категории
«любителей спокойной жизни». Конфигурации бив
после второго хода превращаются в устойчивую кон-
фигурацию, называемую «ульем». Отметим попутно»
что «ульи» возникают в процессе игры довольно ча-
сто. Тетрамино, обозначенное буквой г, также пре-
вращается в улей, но на третьем ходу. Особый инте-
рес представляет тетрамино д, которое после девято-
го хода распадается на четыре отдельные «мигалки».
Вся конфигурация носит название «навигационные
огни», или «светофоры». «Светофоры» относятся к раз-
ряду флип-флопов и возникают в игре довольно ча-
сто. На рис. 131 представлены 12 наиболее часто встре-
чающихся конфигураций из числа «любителей спокой-
ной жизни» (т. е. устойчивых конфигураций).
Предоставляем читателю самостоятельно поэкспе-
риментировать на досуге с двенадцатью фигурами
пентамино (фигуры, состоящие из пяти фишек, свя-
занных между собой так, что их клетки можно обойти
292
вДВИ
• | | Блок -|-{--}'| 1 1 1 1 II 1 1 1 1
■и
"Ни Улвй\ 11М г
■ 1 ! 11 111 11 1Л 1 111 11-И4-
т1111111 \Щ\ 11111 ш
'111111111ш-111111ш
ННННИтШНН^
■1
■И»
—
ЕВ
«НН|
??? пт мм 11111 тпт 111111
(В
М И 1М М ММ 1ШаЦот11.
■■И
ИВ
■■■
НППИИИШНШЛН-
1 1 1 1 1 N 1 1 1 1 1 1 1 1 М 1 1 ИМ'
||||| | | { {Г||| Г Светофоры И-}-"
11111111 М М М 1II1111111
Рис. 130. Эволюция пяти тетрамино.
293
•Ц-Ж-Н-ЖШ 1111 1 1
-тН 1 1 II 1 1 1 II ! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 II 1
ч к «Ч НН
■ Ч И > ИТН
1 Ч Ч^1 \*шт
1 И НН
11 1 м 1 1 | 11|1| 1 1 п 1 1 11|11 ич
Улей Каравай Пруд
. 1 1 1 1 I 1 1 1 ! 1 1 1 | ' 1 1 1 ' 1 1 1 1 1 I I | |
МММ
ни и*
! 1 1 М т 1 1 1 1 II Ы Ы 1 1 1 1 1 1 т т
' Н 1*1 1 ' 1 1 М МН М Н+
!• П1 М ч Г
4 Ч ьаржа 11оока 1 :М М 1 кооаб/н
' МММ 1 М М ч
'НИМ ШИПИМ'! 11111 1 и
И | и мм мм и [И [П
1' и и м ч
м ин" мн н нн
м > м«и *ч и
ПН ГП П1
1 1 1 1 1 ' ' Ч 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 1 1 1 1 1 ! И 1 ! |
||||| Бадья М111 Блок\ 1114 змея \ \
1 1 1 1 1 1 1 II М N II 1 Г
1 М
* Ч
М
1 1 1 1 1 Н 1 1 1 1 1 1 1 1 1 И 1 1 1 1 1 1~Н*1*1 1 1 1
гП*и м>и н>и
Н М И Ч Ч Ч г
ГгГН МНЧ 1 М П*Ч
к М 11111 м 1 11 111
4+'Л^. ^\\\гД™на\\\\йпи„»ьш
II 1 II 1 II 1 1 "ид™ {кооабль
■
111111111111111 и 11 МММ м чип
Рис. 131. Наиболее часто встречающиеся устойчивые конфигу-
рации.
ходом ладьи) и посмотреть, во что они превраща-
ются. Оказывается, что пять из них на пятом ходу
погибают, две быстро переходят в устойчивые кон-
фигурации из семи фишек, а четыре после небольшо-
го числа ходов превращаются в «навигационные
огни». Единственным исключением в этом смысле яв-
ляется элемент пентамино, имеющий форму буквы г
(рис. 132), превращения которого заканчиваются
не столь быстро (превращения конфигурации счита-
ются исчерпанными, если та исчезает, переходит
в устойчивую конфигурацию или начинает периодиче-
ски пульсировать). Конуэй проследил развитие г-об-
разного пентамино вплоть до четыреста шестидеся-
того хода, после которого данная конфигурация рас-
палась на множество «глайдеров». Конуэй пишет, что
«от фигуры осталось множество мертвых (не изме-
няющихся) обломков и лишь несколько малых обла-
стей, в которых все еще теплилась жизнь, так что
отнюдь не очевидно, что процесс эволюции должен
происходить бесконечно долго». Судьба этой конфи-
гурации подробно проанализирована в «Дополнении»
к этой главе.
Изучая эволюцию подобного рода долгожителей,
Конуэй иногда использует ЭВМ с дисплеем, на экра-
не которого он может наблюдать все изменения, про-
исходящие на игровом поле. Без машинной програм-
мы, которую составили М. Дж. Т. Гай и С. Р. Бурн,
многие особенности игры могли бы быть обнаруже-
ны лишь с большим трудом.
В качестве простых упражнений я предлагаю чи-
тателям проследить до конца эволюцию следующих
294
1
1 1
•Ы
•Н 1
111 М1
г-пентамин
ими*
№
КМ
1 Гп 1
Т Бакен
II 1 1 1 1 1
ФЙ4ФН
1111111111 ? 111111
1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1*1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 *Ы«
11 1 1 1 1 1 1 1 1 км II 1 1
'! 1 1 111 1 1 1 М
° М п - 1
■ Латинский крест Г
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
•и
И*
1 И*П ММ
и 1«11 и
II Часы мм
м 11 м
11111111111111111
11111111111111 и и
н*н
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 п 1*1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I I Буква
III III II 1 I II 1 1111
11М1 иы«1 мм 11111*
М*|*1 | | | | К
м м м 1
• 111111
#
, . II 1 1*Й
11111 гг
и«и<111111
• ки
• кИ
»п и
1 1 № 1*1 1
В
9 ИН1
Н № 1
гпгГ ' ''''
1 11 1*1*1 1
У*
Вертушк
МММ!
1 • 1
1 1 [ ■
а Г
44+
Рис. 132. Пентамино в форме буквы «г» (а) и упражнения для
читателей.
фигур, изображенных на рис. 132: «латинского крес-
та», буквы «Н», «бакена», «часов», «жабы» и «вер-
тушки». Последние три фигуры были обнаружены
С. Нортоном. Если перекладину в букве «Н» под-
нять на одну клетку вверх, чтобы получились «во-
рота» (или, как называет эту конфигурацию Конуэй,
прописная буква «пи»), то произойдут совершенно
неожиданные изменения. В противоположность букве
«Н», эволюция которой заканчивается достаточно
быстро, «ворота» оказываются весьма долгоживущей
конфигурацией. Лишь после 173 ходов она распадает-
ся на пять «мигалок», шесть «блоков» и два «пруда».
Конуэй проследил также эволюцию всех элементов
гексамино и всех элементов гептамино, за исключе-
нием семи. При этом некоторые из элементов гекса-
мино оказываются вовлеченными в эволюцию г-пен-
тамина; например, этот элемент пентамино превраща-
ется в гексамино на первом же ходу.
Одним из самых замечательных открытий Конуэя
следует считать конфигурацию из пяти фишек под
названием «глайдер», изображенную на рис. 133*
После второго хода «глайдер» немного сдвигается
и отражается относительно диагонали. В геометрии
такой тип симметрии называется «скользящим
Рис. 133. «Глайдер».
295
отражением», отсюда же и происходит название фи-
гуры *. В результате двух последующих ходов «глай-
дер» «выходит из пике», ложится на прежний курс и
сдвигается на одну клетку вправо и на одну клетку,
вниз относительно начальной позиции. Выше уже от-
мечалось, что скорость шахматного короля в игре
«Жизнь» принято называть скоростью света. Выбор
Конуэя пал именно на этот термин из-за того, что в
изображенной им игре большие скорости просто не
достигаются. Ни одна конфигурация не воспроизвоч
дит себя достаточно быстро, чтобы двигаться о
подобной скоростью. Конуэй также доказал, что мак-
симальная скорость по диагонали составляет одну
четверть скорости света. Поскольку «глайдер» вос-
производит сам себя после четырех ходов и при этом
опускается на одну клетку по диагонали, то говорят,
что он скользит по полю со скоростью, равной одной
четвертой скорости света.
Конуэй также показал, что скорость любой конеч-
ной фигуры, перемещающейся по вертикали или по
горизонтали на свободные клетки, не может превы-
шать половину скорости света. Сумеет ли читатель'
самостоятельно найти достаточно простую фигуру,
которая движется с такой скоростью? Напомним, что
скорость движения определяется дробью, в числителе
которой стоит число ходов, необходимых для воспро-
изведения фигуры, а в знаменателе — число клеток,
на которое она при этом смещается. Например, если
какая-нибудь фигура за каждые четыре хода пере-
двигается на две клетки по вертикали или по гори-
зонтали, повторяя свою форму и ориентацию, то ско-
рость такой фигуры будет равна половине скорости
света. Надо сказать, что поиски перемещающихся по
доске фигур — дело чрезвычайно сложное. Конуэю
известны всего четыре такие конфигурации, которые
он называет «космическими кораблями». В рх число
входит уже известный нам «глайдер». («Глайдер»
считается «космическим кораблем» легчайшего веса,
потому что все остальные корабли состоят из боль-
шего числа фишек.) Подробно об этих конфигураци-
ях я расскажу в разделе «Ответы».
* От англ. 1о дНс1е -^ скользить. — Прим, перев.
296
фН-НННННН+Н+ННННННН-Щ
■ БИ
Л1 И и Ц
Г\\\ \г • г ККМ
ТГИ И1111111И1111 \Лш
11 |*н 11111 и*н 11111111ггл
• • • | и*и ММ
гМ м 1 м н и м 1 и и 1 м и м*
•НИИ
ИННЫ
И«к1 М М М М 1 Шт\т\ \ 1 1*1*1*1 ММ
• г Н • 8И#М| | ■ 1111111111111 м 111111 -
км *м г
,11111
1*1*1 1 ! 1 П 1 1 1 1 !•>• Г •Н#
1 п м м м 1 и1 ггги и\ 1 п им г
• 1 1 1 [ 1 1 1*1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Г Вссьм*****\ \ \ \ \ \ \ }Л\ \ \ \ }я\ щ\ \ \ \ }л\ \ \'
' М • 111111111111N 1
111111 п 11II1111111111111
ММ Пасека
111И11И11111М11111 ММ
м Г 111111 Г1111 м И 111 П 11
III ггп 11ггп III
ПульсарСН- 4Н=Ьв=:/2 Г
1 11 1 МММ 111III 111 111 |Ц -
Рис. 134. Три замечательные конфигурации — устойчивая (а) и
периодически пульсирующие (б и в).
Три изящных фигуры, изображенные на рис. 134,
были открыты самим Конуэем и его сотрудниками,
«Пасека» (а) представляет собой устойчивую конфи-
гурацию, в которую после 14 ходов превращается го-
ризонтальный ряд из семи фишек. «Блок» (квадрат)
размером 5X5 после первого же хода превращается
в конфигурацию, которая возникает лишь на четвер-
том этапе эволюции ряда из семи фишек. Поэтому
«блок» становится «пасекой» после 11 ходов. «Вось-
мерка» (б) — это периодически восстанавливающая
себя конфигурация, открытие которой принадлежит
Нортону. Она не только по форме напоминает вось-
мерку, но и имеет период, равный восьми. Конфигу-
рация, изображенная на рис. 134, в, называется
«пульсар СР 48-56-72». Она также периодически вос-
станавливает себя через каждые три хода. Состоя-
ние пульсара, изображенное на рисунке, образовано
48 фишками; на втором этапе число фишек возраста-
ет до 56, а на третьем — до 72, после чего пульсар
снова возвращается в исходное состояние, а число
фишек понижается до 48. Этот пульсар образуется
после 32 ходов из элемента гептамино, имеющего вид
растянутой буквы «П», т. е. горизонтального ряда
из пяти фишек, у которого под первой и последней
фишкой располагается еще по одной фишке.
Конуэй исследовал эволюцию всех горизонтальных
рядов из п фишек вплоть до п = 20. Мы уже знаем,
что происходит при п <; 4. Ряд из пяти фишек пере-
ходит в «навигационные огни», ряд из шести фи-
шек исчезает, из семи фишек получается «пасека», из
297
восьми — четыре «улья» и четыре «блока», девять
фишек превращаются в два комплекта «навигацион-
ных огней», а ряд, состоящий из десяти фишек, пе-
реходит в «пентадекатлон» — периодически воспроиз-
водящую себя конфигурацию с периодом, равным 15*
Ряд из одиннадцати фишек эволюционирует, превра-
щаясь в две «мигалки»; двенадцать фишек в конце
концов переходят в два «улья», а тринадцать — сно-
ва в две «мигалки». Если ряд состоит из 14 или 15
фишек, то он полностью исчезает, а если фишек 16,
то получается большой набор «навигационных огней»,
состоящий из восьми «мигалок». Эволюция ряда из
17 фишек завершается возникновением четырех «бло-
ков»; ряды, состоящие из 18 или 19 фишек, также
полностью исчезают с доски, и, наконец, эволюция
ряда из 20 фишек завершается появлением двух
«блоков».
Конуэй исследовал также эволюцию рядов, обра*
зеванных группами из я фишек, отделенными друг
от друга одной пустой клеткой. При п = 5 фишки
начинают взаимодействовать друг с другом, образуя
различные интересные конфигурации. Бесконечные
ряды с п = 1 или п = 2 исчезают после первого же
хода, а ряд вида ...—3—3—3—... превращается в ряд
из одних лишь «мигалок». Если же п = 4, то соот-
ветствующий ряд переходит в устойчивый ряд
«ульев».
Ряд 5—5 (т: е. два набора из пяти фишек, раз-
деленные одной свободной клеткой) после двадцать
первого хода превращается в «пульсар СР 48-56-72»,
Ряд 5—5—5 после 42 ходов переходит в четыре «бло-
ка» и четыре «мигалки»; в результате эволюции ря-
да 5—5—5—5 за 95 ходов получаются четыре
«пасеки» и четыре «мигалки»; ряд 5—5—5—5—5 за-
канчивает свои превращения после 66 ходов эффектно
разбросанными по доске восемью «глайдерами» и во-
семью «мигалками». Затем «глайдеры» попарно стал-
киваются и, разрушаясь, через 86 ходов превраща-
ются в восемь «блоков». Ряд, состоящий из шести
групп по пяти фишек в каждой (т. е. ряд вида
5—5—5—5—5—5), после 99 ходов превращается в
четыре «мигалки», а эволюция следующего ряда, по
замечанию Конуэя, «если наблюдать ее на экране
298
дисплея, представляет собой совершенно изумитель-
ное зрелище». Окончательная судьба этой конфигура-
ции прослеживается в «Дополнении».
ОТВЕТЫ
«Латинский крест» погибает на пятом ходу. Бук-
ва «Н» также погибает после шести ходов. Следую-
щие три конфигурации представляют собой «флип-
флопы», т. -е. конфигурации, периодически воспроиз-
водящие самих себя. По словам самого Конуэя,
«жаба» тяжело дышит, «часы» тикают, «бакен» за-
жигается, причем в каждом случае период равен
двум. Внутренняя часть «вертушки» с каждым после-
дующим ходом поворачивается на 90° в направле-
нии движения часовой стрелки, а все внешние
фишки остаются на своих местах. Подобные перио-
дические конфигурации, в которых для движения их
внутренней части необходимо наличие жестких внеш-
них обводов, Конуэй называет «бильярдными стола-
ми», чтобы отличать их от «истинно периодических»
конфигураций, таких, как, например, «жаба», «часы»
я «бакен».
На рис. 135 показаны три «космических корабля»
(помимо уже известного нам «глайдера», или «кос-
мического корабля легчайшего веса»). Все они пе-
редвигаются горизонтально слева направо со ско-
ростью, равной половине скорости света. В полете из
них вылетают «искры», которые тут же гаснут при
дальнейшем движении «кораблей». Одиночные «кос-
мические корабли» без эскорта не могут занимать в
длину более шести клеток, в противном случае на
доске начинают появляться различные мелкие фигу-
ры, препятствующие движению корабля. Конуэй обна-
ружил, однако, что более длинным «космическим ко-
раблям» (которые он назвал «сверхтяжелыми») необ-
ходим эскорт из двух или большего числа «кораблей»
-1
а
•
Г
•
•
•
•
•
•
•
•
-1
•
Н
б
•
-
•
•
•
•
•
•
•
•
м
в
•
1-
•
•
•
•
•
щ
•
Рис. 135. «Космические корабли» легкого (а), среднего (6") я
тяжелого (в) типов.
-299
1
1
•
+
•
•
•
•
•
*
•
•
•
•
•
•
•
•
р
•
•
•
•
4
•
•
Рис. 136. Сверхтяжелый «кос-
мический корабль», эскорти-
руемый двумя тяжелыми
«космическими кораблями».
меньших размеров. «Ко-
рабли» эскорта не дают
возникать различным пре-
пятствиям на пути «сверх-
тяжелого космического
корабля». На рис. 136
изображен самый боль-
шой «космический ко-
рабль», для которого
достаточно двух эскор-
тирующих «кораблей»
меньшего размера. Для
более длинных «кораб-
лей» необходима целая
флотилия эскортирующих
«кораблей». Конуэй рас-
считал, что «космический корабль» с корпусом дли-
ной в сто фишек требует эскорта, состоящего из три-
дцати трех «кораблей» меньших размеров.
ДОПОЛНЕНИЕ
Материалы моей колонки в журнале 8с1епЩ1с
Атепсап за 1970 г., посвященные игре «Жизнь», вы-
звали такой мощный взрыв энтузиазма среди самых
различных пользователей ЭВМ, что к настоящему
времени всеобщее повальное увлечение анализом на
ЭВМ различных форм «Жизни», по крайней мере в
США, оценивается миллионами долларов, растрачен-
ными впустую на используемое потихоньку машинное
время. Один из таких энтузиастов, чье имя я по
вполне понятным причинам оставляю в секрете, при-
знался мне, что даже установил у себя под столом
специальный секретный переключатель. Как только
кто-нибудь из начальства подходил к его рабочему
месту, он моментально нажимал кнопку и сразу же
стирал с экрана дисплея очередную картинку игры
«Жизнь», переводя ЭВМ с игровой программы «Жиз-
ни» на задачи, которыми занималась его фирма. Сле-
дующие две главы также посвящены различным
аспектам этой игры. Здесь же я ограничусь лишь не-
которыми замечаниями по поводу двух вопросов,
оставленных без ответа в первой части главы.
Из всех фигур, изображенных на рис. 132, наи-
более сложной следует считать пентамино в форме
300
Рис. 137. Начальное (черные кружки) и конечные (светлые
кружки) состояния эволюции г-образного пентамино, (Шесть
«глайдеров» уже скрылись из виду.)
301
зфВДвд 1111111 т 1 У°и Шш
11В]]]]] ГгШШ
пи пи т'з1т1 ММ Пии1111111111
зд&Я^Ш11111111111111
11
тн11111 п п
±щ±ш^±ш 1111111111 №Ц |4Ф
тЕРН-Н-н 111II111 И И1 М Ы11111
«■[ШШШШ1ШШШН
1111[11111111111111Е
.И 1111111111111111111111111111Г
1111111111 ти 11 рЖ
г
и М1111М11 МММ 11111М1
'М1111111N И 1 М И1М 111Ц 1111~Ь
р| 1 | Ж
: 1У11111111111111 №п
п В
М [ИЛ МП И
'11И 1111 И В11111П1111N 111 •1~Н'
ГрП
ни И
■М| | Гм! 11111 и 1111111111111111
11111111111111111111111111
•1 II 1 1 ) 1 1 1 1 1 1 11 II 1 1 1 1 1 \ 1 1 1 1 1 1 1 11
1111111111М11Н111111111111
Шт 1111 НУ^^^К
1111111111111 И ПТТЛ 111о111 ИГ
111111111111ШК
111 ггИ 1111111111111П111111 й
И И 11 ■
1 П П 1 1 П II 1 1 1 И 1 1 1 1 1 1 1 1 М И КЗ 1
ММтпЩ 11111111 N111II111И Р
11111 и 11111II11111IIIIIIIIК+Ь
ШШшнНШШШШ
] и 111111111111111111111111111N
]||1||||||||||||||||||||||1||тт
111т1 * \гтУп 1111111III1111II11Г
II
УаУ гЖ
имми мг
1 И II11 И 1II11 1111 1II111 М 11144*
ТпП..1 ГпТП ИМ 11111111'
ммгм ирЦ В
НПИППИннИг
ГрП 1 11111 1 Г
111111111111111111111111 рГ| 1111
1111II1 на 11111 г
№Га ГмТ
Гр1я Ш ПТГ
1111111[т1т111111111111ж
Рис. 138. Начальное (черные кружки) и конечное (светлые
кружки) состояния ряда 5—5—5—5—5—5—5,
802
буквы г. Оно превращается в периодически пульси*
рующую конфигурацию с периодом, равным двум,
лишь после 1103 ходов. При этом шесть возникших
на доске «глайдеров» удаляются от центра на все
большее и большее расстояние, и в конце концов во-
круг бывшего пентамино остаются (рис. 137) четыре
«мигалки», один «корабль», одна «лодка», один «ка-
равай», четыре «улья» и восемь «блоков». Этот ре-
зультат впервые был получен Г. Филипски и Б. Мор-
ганом из университета Кэйса, позднее его подтверди-
ли несколько групп исследователей в США и в других
странах.
Эволюция ряда 5—5—5—5—5—5—5 впервые не-
зависимо друг от друга была исследована Р. Т. Уэйн-
райтом и группой специалистов из фирмы НопеучуеИ
Сотри1егз; позднее их результаты были повторены
и многими другими исследователями. После 323 хо-
дов данная конфигурация превращается в периодиче-
ски пульсирующую конфигурацию (с периодом, рав-
ным двум), состоящую из четырех «навигационных
огней», восьми «мигалок», восьми «караваев», восьми
«ульев» и четырех «блоков». На рис. 138 воспроиз-
ведена распечатка ЭВМ, на которой представлен за-
ключительный этап эволюции системы — конфигура-
ция, насчитывающая 192 фишки. Поскольку симмет-
рия начальной конфигурации не утрачивается в
процессе ее последующей эволюции, расположение
фишек на рис. 138 сохраняет вертикальную и гори-
зонтальную оси симметрии, которыми обладала ис-
ходная конфигурация. При этом число фишек дости-
гает максимума (492 фишки) в двести восемьдесят
третьем поколении.
ГЛАВА 21
ИГРА «ЖИЗНЬ». ЧАСТЬ II
Теория клеточных автоматов берет свое начало с
середины пятидесятых годов, когда Джон фон Ней-
ман поставил перед собой задачу доказать возмож-
303
ность существования самовоспроизводящихся автомат
тов. Если такую машину снабдить надлежащими ин-
струкциями, она построит точную копию самой себя,
В свою очередь обе эти машины смогут построить
еще две; четыре машины построят восемь и т. д.
(Это распространение самовоспроизводящихся авто-
матов является темой захватывающего романа Лорда
Дансени «Последняя революция», написанного в
1951 г.) Нейман впервые доказал возможность суще-
ствования таких машин с помощью «кинематических»
моделей машины, способной передвигаться по складу
запасных частей, отбирать необходимые детали и со-
бирать новые машины, как две капли воды похожие
на нее. Позднее, воспользовавшись идеей, высказан-
ной его другом С. Уламом, фон Нейман дал более
изящное и абстрактное доказательство возможности
существования самовоспроизводящихся машин.
В новом доказательстве Неймана существенно ис-
пользовалось понятие «однородного клеточного про-
странства», эквивалентного шахматной доске беско-
нечных размеров. Каждая клетка такого простран-
ства может находиться в любом, но конечном числе
«состояний», в том числе и в состоянии покоя (на-
зываемом пустым, или нулевым, состоянием). На со-
стояние любой клетки оказывает воздействие конеч-
ное число соседних клеток. Во времени эти состояния
пространства изменяются дискретно, в соответствии с
некоторыми «правилами перехода», которые необхо-
димо применять ко всем клеткам. Клетки соответ-
ствуют основным частям автомата с конечным числом
состояний, а конфигурация из «живых» клеток —
идеализированной модели такого автомата. Именно в
таком клеточном пространстве и развертывается дей-
ствие придуманной Конуэем игры «Жизнь», Сосед-
ними для каждой клетки в «Жизни» считаются 8 не-
посредственно окружающих ее клеток. Каждая клет-
ка может находиться в двух состояниях (либо на ней
стоит фишка, либо она пуста), При этом правила
перехода определяются генетическими законами Ко-
нуэя — рождением, гибелью и выживанием фишек, о
которых я рассказал в предыдущей главе. Применяя
правила перехода к пространству, каждая клетка
(или ячейка) которого могла находиться в 29 состоя-
ниях и имела 4 соседние клетки (примыкающие к
304
данной по вертикали и горизонтали), Нейман дока-
зал существование самовоспроизводящейся конфигу-
рации, состоящей примерно из 200000 клеток.
Причина столь чудовищных размеров конфигура-
ции объяснялась тем, что Нейман намеревался при-
менить свое доказательство к реальным автоматам и
специально подобрал клеточное пространство, способ-
ное имитировать машину Тьюринга — идеальный ав-
томат, названный так в честь его изобретателя, анг-
лийского математика А. М. Тьюринга, и способный
производить любые вычисления. «Погрузив» универ-
сальную машину Тьюринга в созданную им конфигу-
рацию, Нейман получил возможность создать «уни-
зерсальный конструктор», способный построить лю-
бую конфигурацию в пустых клетках пространства, в
ггом числе и точную копию самого себя. За время,
прошедшее после смерти Неймана (последовавшей в
1957 г.), предложенное им доказательство существо-
вания самовоспроизводящейся системы (речь идет
именно о «чистом» доказательстве существования, а
не о построении используемой в доказательстве Ней-
мана конфигурации) удалось значительно упростить.
Рекордным по простоте явилось доказательство, най-
денное выпускником инженерного факультета Мас-
сачусетского технологического института Э. Р. Бэнк-
сом. В нем используются ячейки, которые могут на-
ходиться лишь в четырех состояниях.
Самовоспроизведения в тривиальном смысле —
без использования конфигураций, включающих в себя
машину Тьюринга,— добиться легко. Удивительно
простой пример «тривиальной» самовоспроизводящей-
ся системы предложил примерно в 1960 г. Э. Фрид-
кин, также из Массачусетского технологического ин-
ститута. В этой системе ячейки могут находиться
лишь в двух состояниях, причем любая из них, как
и в примере Неймана, имеет четырех соседей, а пра-
вила перехода сводятся к следующему. Каждая клет-
ка, имеющая в момент времени I четное число (0,
2, 4, ,..) живых соседей, в момент времени I + I
становится пустой (т. е. переходит в нулевое состоя-
ние или, если она уже находилась в нулевом состоя-
нии, остается в нем). Каждая клетка, имеющая в
момент времени I нечетное число (1, 3, 5, ,,,) сосе-
дей, в момент времени / + 1 становится живой (т. е.
305
•
•
•
4
•
*
•
•
*
•
•
V
•
•
•
•
*
•
•
9
•
•
»
•
•
•
•
•
•
•
•
•
♦
•
•
•
•
♦
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
9
^
9
•
•
•
9
•
•
•
•
♦
•
9
•
*
+
*
•
*
•
•
•
•
•
•
•
•
*
9
•
•
•
•
•
•
9
9
•
9
9
•
•
•
9
•
9
•
•
•
•
•
•
9
•
•
•
•
9
9
•
•
•
•
9
9
9
•
•
•
•
9
•
•
9
9
9
Щ
•
•
9
•
9
•
•
9\
1
•]•
•1
1 ^
|
переходит в ненулевое состоя-
ние или сохраняет его, если
она уже в нем находилась).
Нетрудно показать, что через
2Л ходов (число п зависит от
выбора конфигурации) любая
исходная конфигурация жи-
вых клеток воспроизведет се-
бя четыре раза: одна копия
расположится справа, дру-
гая — слева, третья — сверху,
четвертая — снизу от того
(уже пустого) места, где на-
ходилась начальная конфигу-
рация. Все четыре копии за-
имствуют 2п клеток у исчез-
нувшего организма-оригинала.
Новая конфигурация через 2я
шагов снова размножится (с
коэффициентом воспроизвод-
ства, равным 4) и т. д. При
этом число копий увеличивает-
ся в геометрической прогрес-
сии 1, 4, 16, 64, ... . На
рис. 139 показаны два цикла
размножения тримино в фор-
ме прямого угла. В 1967 г«
Т. Виноград, тогдашний сту-
дент Массачусетского техно-
логического института, в своей
курсовой работе обобщил пра-
вила Фридкина на любое чис-
ло соседей, а также на произ-
вольную схему примыкания
соседних клеток и на любое
число измерений (результаты
Винограда относятся к клет-
кам, число состояний которых
характеризуется простыми
числами).
Множество автоматов та-
кого рода, Отличающихся
друг от друга схемой примыкания соседних клеток,
числом состояний и правилами перехода, исследовал
Рис. 139. Размножение
тримино.
306
А
ш Ша° ш° Чр ^ш -,
Рис. /40. Конфигурация в клеточной игре, предложенной
С Уламом, которая возникает в 45-м поколении.
С. Улам. В опубликованной им (совместно с
Р. Г. Шрандтом) в 1967 г. статье «О рекурсивно
определенных геометрических объектах и схемах рос-
та» Улам описал несколько различных игр. На
рис. 140 показано 45-е поколение организма, родив-
шегося из одной-единственной фишки, стоявшей на
центральной клетке. Как и в игре Конуэя, клетки в
игре Улама могут находиться в двух состояниях, од-
нако соседними считаются клетки, примыкающие к
данной лишь по вертикали и по горизонтали, но не
по диагонали («соседи» в представлении Неймана).
Рождение фишки происходит на клетке, имеющей
одного и только одного соседа, а все клетки л-го по-
коления погибают после рождения (я + 2) -го поколе-
ния. Иначе говоря, на любом этапе эволюции выжи-
вают лишь два последних поколения. На рис, 140
807
черными изображены новорожденные клетки — общее
число их составляет 444. Белые клетки предыдущего
поколения — их 404 — исчезнут на следующем ходу.
Обратите внимание на характерную деталь конфигу-
рации, которую Улам назвал «обглоданной костью»,
Улам проводил эксперименты и с такими играми, в
которых две конфигурации могли расти до тех пор,
пока они не сталкивались. В следовавшей за столк-
новением «битве» одной стороне иногда удавалось
одержать верх над другой, в других же случаях обе
армии исчезали. Улам рассмотрел также игры на
трехмерных досках — кубических «мозаиках», запол-
няющих все пространство. Основные результаты со-
браны в его статьях, опубликованных в сборнике
«Очерки теории клеточных автоматов» *.
Аналогичные игры можно вести и на бесконечных
досках, клетки которых имеют форму равносторон-
них треугольников и правильных шестиугольников,
Несмотря на сильное внешнее отличие, по существу
эти игры не вносят в анализ ничего нового, и с по-
мощью подходящего определения «соседних» клеток
их всегда можно свести к эквивалентным играм на
обычной доске с клетками в форме квадратов. Со-
седними могут быть не только клетки, имеющие об-
щие стороны или вершины. Например, в шахматах
для клетки, на которой стоит конь, соседними (т. е«
влияющими на ее состояние) считаются все клетки,
на которые можно пойти конем или на которых сто-
ят угрожающие ему фигуры. Как заметил А. Беркс,
такие игры, как шахматы, шашки и го, допустимо
рассматривать как клеточные автоматы со сложными
окрестностями каждой клетки (окрестностью назы-
вается совокупность соседей) и правилами перехода.
Противники, делая очередной ход, выбирают среди
множества допустимых состояний то, которое должно
привести их к определенному конечному состоянию —
выигрышу.
Среди наиболее значительных вкладов в теорию
клеточных автоматов самую громкую известность по-
лучил предложенный Э. Ф. Муром способ доказатель-
ства существования конфигураций, которые Дж,
* Еззауз оп Се11и1аг Аи1ота1а. Ей. Ьу АгШиг №. Вигкз,—\
итуегзНу о! ИПшлз Ргезз, 1970,
303
У. Тьюки назвал «садами Эдема». Эти конфигу-
рации не могут возникать в процессе игры,
поскольку никакая предшествующая конфигура-
ция отличного от них типа не может их породить,
«Сады Эдема» должны быть заданы с самого нача-
ла — в нулевом поколении. Поскольку конфигурации
такого типа не имеют «предшественников», они не
могут быть самовоспроизводящимися. Подробно ме-
тод Мура изложен в его популярной статье «Матема-
тика в биологических науках», опубликованной в
'8с1еп(фс Атепсап (5ер1етЬег 1964). Более строгое
изложение этого метода приведено в уже упоминав-
шемся сборнике под редакцией А. Беркса (см. при-
мечание на стр. 308).
Алви Р. Смит, специалист по теории клеточных
автоматов из Нью-Йоркского университета, обнару-
жил простой способ, позволяющий применять метод
Мура к игре Конуэя. Рассмотрим два квадрата раз-
мером 5X5 клеток. У одного из них все клетки
свободны, а на центральном поле другого стоит одна
фишка. Поскольку уже на следующем ходе 9 цент-
ральных клеток обоих квадратов обязательно долж-
ны оказаться идентичными (в данном случае все эти
клетки будут просто пустыми), про такие квадраты
обычно говорят, что они «взаимно уничтожаемы». Из
теоремы Мура следует, что конфигурация типа «сад
Эдема» должна возникать в игре Конуэя. К сожале-
нию, доказательство этой теоремы ничего не говорит
о том, как найти «сады Эдема», и они до сих пор не
обнаружены. Конфигурация типа «сад Эдема» может
оказаться и простой, и чрезвычайно сложной. С по-
мощью одной из выведенных Муром формул Смит
сумел доказать, что такую конфигурацию всегда
можно заключить в квадрат со стороной в 10 милли-
ардов клеток, но и этот результат ненамного облег-
чает поиски указанной конфигурации.
Сам Смит работает над созданием клеточных ав-
томатов, имитирующих машины для распознавания
образов. Хотя сегодня такая проблема может пока-
заться имеющей лишь чисто теоретический интерес,
вполне возможно, что наступит время, когда органам
зрения роботов потребуется своего рода «сетчатая
оболочка» для распознавания образов. Скорости со-
временных сканирующих устройств весьма малы по
Ш
1 ^^иТ
1
1
1
1
11111
,
II11 НИН
Ш1111111
ЧЦ|г лЩг^Цуу»Чу^г^н||
Явиииии
□
1 1^1
1 1 1 ^
1 А I
1 1 \
Ш\
ш
1
_ш
Рис. 141. Клеточный автомат.
сравнению со скоростью «параллельных вычислений»,
которую обеспечивает сетчатка глаз животных, пере-
дающая в их мозг одновременно тысячи различных
сигналов. Параллельный режим работы представляет
собой фактически единственную возможность значи-
тельно повысить •быстродействие современных вычис-
лительных машин, поскольку без параллельного
функционирования их быстродействие ограничено
сверху предельной скоростью распространения элек-
тромагнитных сигналов в схемах миниатюризации, а
именно, скоростью света. Обложка февральского но-
мера журнала ЗсьепНЦс Атепсап за 1971 г., воспро-
изведенная на рис. 141, хорошо иллюстрирует воз-
можности предложенной Смитом простой процедуры,
с помощью которой параллельный режим работы ис-
пользуется в конечном одномерном клеточном нрв«
ЗЮ
странстве для распознавания симметрии палиндро-
мов. Каждая клетка при этом обладает некоторым
множеством состояний (число их зависит от количе-
ства различных символов, которые могут появиться в
структуре палиндрома), а соседними по отношению
к данной клетке оказываются лишь две клетки, ле-
жащие по разные стороны от нее.
Смит символически представляет палиндром
«ТОО НОТ ТО НООТ» («Слишком жарко, чтобы
(улюлюкать» — англ.) с помощью клеток, расположен-
ных в верхнем ряду* чертежа. При этом каждая клет-
ка всей диаграммы может оказаться в четырех раз-
яичных состояниях: буквы Т, О и Н представляются,
соответственно, голубым, красным и желтым цветом,
а черный цвет обозначает начало и конец палиндро-
ма. На нашем рисунке цвета каждой клетки разли-
чаются между собой частотой штриховки. Белые5,
клетки в нижних рядах — это состояния покоя, или
пустые клетки. Горизонтальные ряды клеток, распо-
лагающиеся под исходным рядом характеризуют со-
бой структуру последующих поколений, возникающих
в процессе эволюции верхней конфигурации (для ди-
скретных временных шагов) при условии выполнения
определенных правил перехода. Другими словами,
данный рисунок представляет собой пространственно-
временную диаграмму эволюции верхнего ряда кле*
ток,, где каждый последующий ряд клеток характери*
эует следующее поколение в процессе превращений
начальной конфигурации.
При первом переходе каждый вид штриховки
(цвет) на нашей схеме сдвигается на одну клетку
влево и на одну клетку вправо, за исключением кон-
цевых оттенков, которые блокируются черным цве-
том; при этом на очередном шаге эволюции черные
клетки могут смещаться только по направлении*
внутрь конфигурации. Каждая клетка, с которой кон-
тактируют два вида штриховки, переходит в новое
состояние, которое символически обозначается путем
деления клетки на четыре одинаковых треугольника.
При этом левый треугольник окрашивается в цвет,
который на предыдущем этапе располагался слева, а
на правый треугольник переходит цвет, располагав*
шийся ранее справа. Результат, получившийся посла
первого хода, показан на клетках второго ряда,
811
Отметим также, что если соседняя йара клеток обра-
зует на своей границе (в центре) наклонный квадрат,
целиком заштрихованный одинаково, это указывает
на «столкновение» одинаковых цветов и символиче-
ски обозначается двумя черными точками, которые
ставятся в верхнем и нижнем белых треугольниках,
оставшихся в левой клетке. Черные точки в указан-
ной клетке сохраняются и во всех последующих по-
колениях, пока справа, в непосредственном соседстве
от этой клетки вновь не произойдет столкновение
различных видов штриховки (т. е. цветов на исход-
ной картинке) — тогда черные точки в клетке стира-
ются. В случае, когда имеет место столкновение раз-
личных цветов, точки в левой клетке пары не возни-
кают во всех последующих поколениях, даже если
справа от нее на более поздних этапах сталкиваются
два одинаковых цвета.
При каждом ходе соответствующие оттенки пере-
мещаются на одну клетку влево или вправо (в на-
правлении, которое указывают закрашенные тре-
угольники того же цвета) и, в соответствии с опи-
санными выше правилами, вся процедура повто-
ряется вновь. Если палиндром состоит из п букв, где
п — четное, как в нашем примере (в случае нечет-
ного п описанная схема слегка видоизменяется), то
легко убедиться, что после п/2 ходов сохраняются
лишь две соседние клетки, находящиеся в «возбуж-
денном» состоянии. Если в левой клетке этой пары
оказываются черные точки, то, следовательно, авто-
мат распознал палиндромный характер первоначаль-
ного ряда клеток (букв). В центре диаграммы мож-
но видеть, как «сталкиваются» пары одинаковых от-
тенков в том же самом порядке, как они идут в
исходном палиндроме в направлении от центра к лево-
му и правому его концам. Как только распознавание
произошло, левая клетка последней пары стирается,
а правая клетка переходит в состояние «да», симво-
лически обозначенное здесь заштрихованным квадра-
том, вложенным в соответствующую клетку. Если же
черные точки в левой клетке отсутствуют, то это бу-
дет служить признаком того, что исходная конфигу-
рация не является палиндромом. В этом случае ле-
вая клетка становится пустой, а правая переходит в
состояние «нет».
312
Машине Тьюринга, которая производит вычисле-
ния последовательно, для распознавания полиндрома
длины п требуется, вообще говоря, п2 шагов. При
этом, хотя распознавание имеет место на шаге п/2,
клетки в состоянии «да» на диаграмме в последую*
щих поколениях постепенно сдвигаются вправо, что
символизирует переход состояния «да» от клетки к
клетке по направлению к внешней границе клеточно-
го пространства. Конечно, не представляет большого
труда разработать более эффективные устройства
для распознавания палиндромов с использованием
реальной электронной аппаратуры, однако в данном
случае проблема состоит в том, чтобы проделать это
в совершенно абстрактном одномерном клеточном
пространстве, в котором информация может переда*
ваться только от данной клетки к соседним клеткам,
причем в самом начале нам не известен даже центр
первоначальной последовательности символов. Как
заключает Смит, переходя на чисто бытовые сравне-
ния, после первого шага каждая из трех клеток с
точками «пытается вообразить», будто как раз она
находится в центре палиндрома. В то же время край-
ние клетки с точками на следующем шаге «испыты-
вают горькое разочарование» вследствие столкнове-
ния различных видов штриховки (цветов) с их пра-
вой стороны. Поэтому клетка с точками, лежащая в
центре, может узнать, что она действительно распо-
лагается в центре палиндрома только в п/2 поко-
лении.
А теперь несколько слов о поразительных резуль-
татах, полученных при анализе игры Конуэя. Сам
Конуэй был прекрасно осведомлен об опыте своих
предшественников при разработке такого рода игр.
Поэтому он, учтя все их достоинства и недостатки,
при выборе своих рекурсивных правил (генетических
законов) постарался прежде всего избежать двух
крайностей: слишком большого числа конфигураций
с быстрым и неограниченным ростом, а также слиш-
ком большого числа конфигураций, которые быстро
исчезают. Приняв во внимание все эти факторы, он
сумел разработать игру, отличающуюся удивительной
степенью непредсказуемости и порождающую такие
замечательные объекты, как пульсирующие конфигу-*
рации и мчащиеся космические корабли. Как я уже
313
т
•
«
9
•
•
•
9
•1«
• •
•
•
♦1
т
•
»|
к*
»
•
•#
9
9
99
Рис. 142. Конфигурация, превращающаяся в «глайдерное
ружье».
отмечал, в свое время Конуэй высказал предположе-
ние о том, что не существует ни одной исходной кон-
фигурации, состоящей из конечного числа фишек, ко-
торая могла бы беспредельно расти (по числу фи-
шек), пообещав награду тому, кто либо докажет,
либо опровергнет это предположение.
В ноябре 1970 г. Конуэю пришлось выдать обе-
щанную премию группе математиков из Массачусет-
ского технологического института, занимавшейся
проблемами искусственного интеллекта. В эту группу
входили Р. Эйприл, М Билер, Р. У. Госпер, Р. Ха-
уэлл, Р. Шроппель и М. Спесинер. С помощью раз-
работанной Спесинером программы для вывода на
акран дисплея ЭВМ последовательных этапов эволю-
ции различных конфигураций Госпер сделал поисти-
не поразительное открытие: он обнаружил «ружье»,
стреляющее «глайдерами»! На рис. 142 изображена
конфигурация, которая превращается в такое
«ружье». На сороковом ходу из «ружья» вылетает
первый «глайдер», через каждые 30 ходов — следую-
щий «глайдер» и так до бесконечности. С появлением
каждого «глайдера» число фишек на доске увеличи-
вается на 5, в результате чего происходит неограни*
ченный рост популяции.
«Глайдерное ружье» позволило его создателям со-
вершить много других замечательных открытий. На
серии распечаток (присланных мне Р. Т. Уэйнрайтом
из Иорктаун Хайте, шт. Нью-Йорк), которые пред-
ставлены на рис. 143, показано столкновение 13
«глайдеров». Рассыпавшись на части, они превраща-
ются... в «глайдерное ружье»! На последней схеме
«глайдерное ружье» ведет огонь, выстреливая один
«глайдер» за другим. Та же группа исследователей
обнаружила «пентадекатлон» ,(рис. 144)— пульсирую-
314
щую конфигурацию с периодом, равным 15, способ-
ную «поглотить» любой сталкивающийся с ней «глай-
дер». «Пентадекатлон» может также отражать «глай-
дер», изменяя курс последнего на 180°. Расположив
друг против друга два «пентадекатлона», можно про-
вести между ними «теннисный матч»: они будут
перекидывать «глайдер» как теннисный мячик. Со-
вершенно неожиданные результаты возникают при рас-
смотрении пересекающихся потоков «глайдеров»: по-
являющиеся вновь конфигурации могут быть самыми
причудливыми и в свою очередь испускать «глайде-
ры». Иногда конфигурация, образующаяся при пере-
сечении потоков «глайдеров», начинает расти и, рас-
ширяясь, поглощает все «ружья». В других случаях
осколки, вылетающие из области, в которой происхо-
дит пересечение потоков, могут вывести из строя
одно или несколько «ружей». Последнее достижение
группы из Массачусетского технологического инсти-
тута, убедительно свидетельствующее об их виртуоз-
ности,— хитроумная комбинация из восьми «ружей».
В пересечении создаваемых ими потоков «глайдеров»
возникает целый «завод» «космических кораблей»
среднего типа, а каждые 300 ходов происходит даже
«запуск» такого «корабля»!
Создание «глайдерных ружей» открывает удиви-
тельную возможность, используя игру Конуэя, смоде-
лировать машину Тьюринга — универсальную вычис-
лительную машину, способную (по крайней мере, в
принципе) производить все те действия, которые
только доступны самым совершенным из современ-
ных ЭВМ. Идея заключается в том, чтобы использо-
вать «глайдеры» в качестве единичных импульсов для
хранения и передачи информации, а также для вы-
полнения необходимых логических операций, допус-
каемых схемными элементами реальных вычислитель-
ных машин. Если с помощью игры Конуэя окажется
возможным создать машину Тьюринга, то сразу же
встает вопрос о создании универсального конструкто-
ра, позволяющего создавать такие машины, которые
могли бы полностью копировать и воспроизводить
самих себя. До сих пор никому не удалось «постро-
ить» машину Тьюринга в пространстве, клетки кото-
рого могут находиться лишь в двух состояниях, а
«соседство» клеток понимается по Конуэю {т. е. они
315
И 1 Ц1 им и 111111 ЩИ 1
"||| Поколение 0 ]
" М 1
н м и и
т\ Мм
ГП ма1
1 11 11 11 1 1 1 п 1 1 111 11111 1
ММ
Н 11 Н°1°11111111111111111
и пЧ ЬмЧ
П рН м
Н П ШЛ №
П РГ И кг
Г П п
"||| ^Поколение " | || || 1 II II 1
*м и
РР ЬИ_
гг и рём
■ 1 111 И 11гп 1 1 11 1 1 1 111 1
^ 111111111111111ФН11 Уе
Л1111111111111 ТО 111 РГ
* 111111111111111111 ы 1 1
!!! ■'!■!!!!! ■ ! , ! ! ! ! ! ! , !
и ш
ими ни
м* г м рри и
1 1 П 1 1 61 1 1 ГШЫ М 1 1 1 1 1 1
м*Ш ГМ И И
нч г и_вмщ\\\\\\
1111 Ы»К1 1 П II 1 II 1
1 РРГ
МП
| | 1 [ п~ -. <ЛЛ 1 111111111
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Н II 1 II 1 1 г III
1111111111 НН 1 11111111
1111 М*1 1111 Ыв1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
' РР РР РРР
" Г Г ррГ Гн*
1111111111 г П 1111 I п
■ 2! 1 !!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1 ! II !!!
ч 11111111 11§111 11II И 11 1
' РР
: _ ш грр
г м*н рр ррр и [
РР РР рр г Ш
, ГГ ГГ ррГ Мк
ГМ гГ
■Н 11 И 1 111111111111111 *
И
И "И Нн
ЫЖ т]
НлП 1 1 И ГП II 1 1 1 1 1
Пч 1111111111111111IIГ
врН :
1 Цд! 1111111111 рн 11111:
И Ми Гг
МП ш
г рПч
и п п
п
И ЩИ ЩИ м ЩКМоМ-
11 111111 11 11 п П Г
II 1111№Т111111111П11
Гп 1111111111111'
11М111111М им 1мм1г
Р РР !
№Рп Г
ГгП ГМ
МММ 1опе1 II 1 1 1 111 11II ■
Л РОТ
^ 11 | Гп 111 1 1 11 1 11-
н и
П ш
МЧ]
п г!
11 М 111пЙЯ 1111111111II ■
И1П1ГПН1П1 ПИЦЦ'
№ '
1 1 1 тт 1 1 II II 1 1 1 II 1 М 1 Г
1 1 РМ \\ 1 1*1*1 1 1 1 1 1 II 1 М 1'
РР № РР РМ '
ГррУ м*р рн
1 1 1 РМ 1 1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 П 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Г
II 11 1*1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 II111II'
и_м_ г
ММ ГМ РМ 1 1 1 1 1 1 1 1 II 1 Г
1 1 II 1 1*1 1 1*1 II 1*1*1 II II II Г
_М_Р Рп
1111 РГР1 N111'
3 1 1 П 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Г
11 11 М1 II 1 II 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Г
Н_М
М 11 Г Ы N
В и* М*и
М М 1 1*1 РП 1 1 1*1*1 1 1 1 1 II 1
М 1 1 »1 1*1 '
ч М II 1 II II 1
1111 ГрШ
№м
№п
М 111111.11111111111111'
316
^цппи т |ц ПИЦЦ
• • к
к • В
и мл ки и
■НИ • *Н Г
■ 1 Ш II 1 II II 1*1 1 1 1 1 6П 1 II
' 1 1 N 1 1 11 1 111 1*1 1 1 1*1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ю • |||||
г 1 к
• 11 1II 1 1 11 1 61*1 II 1 1 1 111 1 1
■'11111 1*1*11 11 1*1*1 111111111
' мк \*\ц шщ и
. \1г\ т кРП р1
1111111111 шИП 1 1 1 1 1 1 ГЫ
* 11111111II1111II11II1 п
а | | | | | | | | г | | | | | | | | 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
: м 111111 м*| 11111 м
м I I I 1 I 1*1 1 1 1*1 1 I I 1*1
М*ы а ЦвЦ Я
РП И 1РП
, 1*1 1 1 1*1 1 1 1 1 1
. | М | | | 11I11 I 1 МЧ
111*111111 М М 11II11 II1'
Ж У 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Г
м 11 11 1 1 11 11 1 1 м 1 11 м 1 г
N На
Ы 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 МП 1 1 1 1 1 1 Г
• * '.
1 1 М 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Р "
Евм .
ггП
м^
111111111^11111111111
к г
М 1 1 1*1 1*1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Г
гк м и
II 1 1 1 1*1 1 1*1 1 1 1*1*1 1 1 1 1 1 1 Г
н н кн .
к к
Я N Г
1111П111111111111111 г
11111ЫII1111111111 '
ийн
11 1 11 г г! 1 II1 1 1II 11 11 11'
ТТ1 рШ 1II"
N11111 ГРСТ 1ММ11'
111111111111гП 111111 г
1 1 1*1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 г
Мм.
>| 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
>| 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1*1*1 1111111"
н |*|*| '
г На М 1М1 11И1 [Т1
1 1й1 1 1 1 1 1 1 1 1 II 1 П 1 1 1 1 1 1*
Рм
ггП
11111111Ы Ы111111111Г
пой
111 111 1 11 г П 1 11 1 111 1 11
1II 1 11 1 11 1 1 11 111 Й11 II ■
МММ ЬМ
ррП
1111 11111111111м111
Рис. 143. Тринадцать «глайдеров» терпят аварию, образуя
«глайдерное ружье» (75-е поколение), которое осциллирует <з
периодом 30, выстреливая в конце каждого периода один «глай-
дер».
должны иметь либо общую сторону, либо общую вер-*
шину). Вместе с тем, ранее было доказано, что в
пространстве, все клетки которого могут находиться
в двух состояниях, а «близость» клеток понимается
по Нейману, построить машину Тьюринга невоз-
можно.
817
/111111 И И 11111111II11111 К1111111
11 и
11-1[И1111И111111[ккд
III 1
ЩЦЦ111111111ЦЩД
:ЕН±|±Щ:]Ш1| НИ нИ 11111
"ГПТГГпИ [ тШТГТ
; [ 111111111111111111111111111111 И.
• 1111111111111111111111111111111114
И 1 1
|||||||||||||Шу||||||||||||||^
11 11 щи [ЩД
:
дли
Рис. 144. «Пентадекатлон» (в правом нижнем углу) «пожирает»
«глайдеры», выстреливаемые из «ружья».
Группа ученых из Массачусетса открыла много
других периодически изменяющихся конфигураций
(рис. 145). Одна из них, получившая название «пал-
ка», имеет период, равный 2, и представляет собой
одну из разновидностей «флип-флопов». При этом ее
можно как угодно растягивать, а каждое из двух ее
состояний является зеркальным отражением другого.
313
'
т
т
ф
•
•
ф
т
а
•
*
1
[
•
ы
N
€
#
Ш
•
1
к*
ы
►1
г#
ь
щ
щ
6
•
•
•
•!•
»
то
т
1
•М4
\Ф
\Ф
\ф
*Ш«Ш
•♦
•
•
ф
ф
ш
•!•
•
ф
т-ф
\ф
\ф
ф
•
••1
г*
в
•
«
•
1
•)•
♦1*1
•1 1
• к
• р
гг
~1
'
Г1
1
Рис. 145. «Палка» (а), «осциллятор Герца» (б) и «опрокиды-
ватель» (в).
Вторая конфигурация была еще раньше открыта Ко-
НуЭем — это Так называемый «осциллятор Герца»,
После каждых четырех ходов светлая точка переме-
щается к противоположной стороне внутренней рам-
ки, в результате чего вся фигура «осциллирует» с
периодом, равным 8. Третья конфигурация, которую
обнаружил Дж. Д. Коллинс из Маклина, шт. Вайо-
минг, называется «опрокидыватель», потому что каж-
дые 7 ходов у нее меняются местами верх и низ.
«Чеширского кота» (рис. 146) открыл К* Р. Томп*
кинс из Короны, шт. Калифорния. На шестом ходе
(ж) от кота остается лишь «улыбка», а «морда» со-
вершенно исчезает. Следующим ходом «улыбка» тоже
уничтожается, и лишь неизменный «блок» (з) — от-
печаток кошачьей лапы — напоминает о том, что
а
о
ф
Ф
ф
ф
•
ф
ш
Ф
ф
Ф
ф
ф
Ш
ф
•
•
•
*
•
•
•
•
•
*
•
*
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
ф
ф
ф
»
•
•
•
•
•
•
•
•
•
|
- б
ь
ф
ф
ф
ф\
ф
ф
ф
ф
ф
ф
ф
ф
ф
ф
•
Ф
Ф
Ф
•|
•
♦
•
•
•
«
•
•
•
•
•
•
*
*
•
•
•
Я
•
|
в"
Ж
ф
ф
ф
ф
ф
ф
•
«
•
•
•
•и
•г
ФП
»м
•
и
>|
•
»
•
•
•
>|
•
•
•
•
•
А
[
г
„
6
•
•
•
ф
•
4
•
•
•
9
Ф
ф
ф
ш
ф
ф
ф
ф
ш
•
•
1
1
'
(
Рис. 146. Исчезновение «чеширского кота» (а), от которого
остается лишь его «улыбка» (ж), которая в свою очередь так-
же пропадает, превращаясь в отпечаток «кошачьей лапы» (з)«
319
:1:::4::Ш™ |||||1Ш
ГГ ГГ Г 1 II И 1 1 1 1 141 И
1—Ш-Ь Ш ГТТП
4—-Г---1 Шт1 ГПтг
-р—^1—рН-Н 1кП ш
:Ь+фЬ1:рЬШ± МЫЛ
II М М М М М М М 1*1 II 1 М М М М II
•| 1 1 1 II II II 1 II 1 1 ЫЛ 1 1 1 М
1111 1 М 1 1 1 ЫЛ 1 1 1 1 II 1 II 1 II 1 М М К
'1111111 и*П
И] 1111111111ИЯ
11111111111111
м *г г
И 1 м 1
1ю\ тТ
кг
м м 11 м 1 м 1 ы#ы»ьп м м м 1111 М"
11111+Ц 11111111 1111111111111 г
111П11 1 1 111 1 гр
Рис. 147. «Жнейка» в нулевом (слева) и в десятом (справа)
поколениях,
некогда на этом месте находился кот. «Жнейка», изо-
браженная на рис. 147, была «построена» Д. У. Пой-
нером из Великобритании. Как видно из рисунка,
она движется снизу вверх по бесконечной диагонали
со скоростью света, осциллируя с периодом, равным
4, и оставляя за собой вдоль всего пути устойчивые
фигуры, символически изображающие снопы. «К со-
жалению,— пишет изобретатель «жнейки»,— мне не
удалось создать «сеятеля» — движущуюся фигуру,
которая могла бы засевать поле с той же скоростью,
с которой жнейка его убирает».
Р. Уэйнрайт, о котором я упоминал выше, также
является автором многих любопытных исследований.
Например, разместив случайным образом 4800 фишек
в клетках квадрата размером 120 X 120 (с плот-
ностью фишек, равной Уз), он проследил их эволю-
цию на протяжении 450 поколений. Плотность этого
«первичного студня», как называет его Уэйнрайт,
сильно уменьшилась и стала равняться всего лишь
Ув. Исчезнут ли все фишки в конце концов или же
они будут, как утверждает исследователь, продолжать
«просачиваться» из поколения в поколение с некото-
рой минимальной постоянной плотностью — ответ на
этот вопрос пока не известен. Во всяком случае, на
протяжении 450 поколений удалось проследить появ-
ление 42 «короткоживущих» «глайдеров». Уэйнрайту
удалось обнаружить также 14 конфигураций, которые
досле первого хода превращаются в один или не-
320
Рис. 148. Каждая из конфигураций (а и б) превращается в
«глайдеры». Справа показаны два «глайдера» перед столкно-
вением. ^
сколько «глайдеров». Больше всего «глайдеров»
[(а именно, 14) получается из фигуры, показанной на
рис. 148, а. Конфигурация в форме буквы 2, найден-
ная Коллинсом и Дж. Ландом из Пиуоки, шт. Ви-
сконсин (рис. 148,6), после 12 ходов превращается в
два «глайдера», которые разлетаются в противопо-
ложных направлениях. Тот же Уэйнрайт установил,
что если два «глайдера» следуют наперерез друг
другу так, как это показано на рис. 148, в, то после
четвертого хода все фишки с доски исчезают. Нако-
нец, если два «легких космических корабля» дви-
жутся опасным курсом, ведущим к их столкновению
/(рис. 148,г), то после седьмого хода доска оказыва-
ется абсолютно пустой, как и в случае столкновения
двух «глайдеров». (Этот факт установил У. У. Ваг-
нер из Анахейма, шт. Калифорния.)
Уэйнрайт, кроме того, экспериментировал с разны-
ми бесконечными полями, заполняя их правильными
устойчивыми фигурами. Такие конфигурации он на-
звал агарами *. Если, например, в агар, изображен-
ный на рис. 149, поместить один-единственный «ви-
рус» (т. е. одну фишку), причем так, чтобы он ка-
сался вершин четырех «блоков», то агар уничтожит
«вирус», а через два хода восстановит свой прежний
вид. Если же «вирус» поместить в клетку так, как
это показано на рисунке (или же в любую из семи
других клеток, симметрично расположенных вокруг
«блоков»), то начнется неизбежное разрушение агара.
«Вирус» постепенно поглотит внутри агара все ак-
тивные участки, оставив на поле пустую двусторонне-
* Агар — бесцветный или желтоватый твердый продукт, по-
лучаемый из некоторых морских водорослей, хорошо раство-
ряется в горячей воде, образуя гели (студни). Применяется в
качестве питательной среды для выращивания бактерий,-^
Прим. перев.
П Зак, 695
321
симметричную область,
несколько напоминаю-
щую овал. Ее граница
будет непрерывно расши-
ряться во все стороны со
«скоростью света», при-
чем не исключено, что
это расширение будет
происходить бесконечно
долго.
Наиболее практичным
приложением теории кле-
точных автоматов, как
считает Бэнкс, являются,
по-видимому, вопросы
цепей, способных к само-
проектирования различных
специальных типов электронного оборудования.
Правда, сегодня нам трудно говорить о том, насколь-
ко существенной в итоге может оказаться эта теория
для развития физики и биологии. Возможно, она
играет важную роль в процессах роста зародышевых
клеток, при создании идентичных копий молекул
ДНК, в работе нервных сетей, в генетических изме-
нениях развивающихся популяций и т. д. Наконец,
нетрудно проследить глубокую аналогию между
этой теорией и процессами развития жизни. Если
«первичный бульон», состоящий из различных амино-
кислот, имеет достаточно большую протяженность и,
кроме того, если мы располагаем определенным
запасом времени, то в результате действия слож-
ных правил перехода, присущих самой структуре ма-
терии и законам природы, в этой среде может раз-
виться популяция самовоспроизводящихся подвиж-
ных автоматов. Можно даже допустить, что наше
пространство — время имеет гранулярную структуру,
состоящую из отдельных дискретных модулей, а все-
ленная, по предположениям Фридкина и других
исследователей, является огромнейшим клеточным
автоматом, управляемым громадным компьютером.
Если это предположение справедливо, то привычное
нам понятие движения окажется всего лишь некото-
рой моделью более сложного явления. Точно так же
движение космического корабля, рассматриваемое на
•
9
•
и
•
•
•
•1
•|
П1
•1
•
•
•
1П
•
•
•
•
!^
•
•
■
•
•
п
•
•
•
•
п
•
•
1
1
•
•
::
•
•
•
•
г:
•
•
■
•
•
::
•
•
•
•
::
•
•
■
•
•
••
•
•
•
•
□□■□с
•
•
•
•
•ю
•
•
'
Рис. 149. Конфигурация, «за-
раженная» вирусом (светлая
точка в центре).
разработки электронных
восстановлению, а также
322
элементарном микроуровне, вполне может уподобить-
ся движению конфигураций типа «космических кораб-
лей», перемещающихся на макроуровне,— ведь здесь
фактически существует лишь некоторое изменение со-
стояний основных клеток пространственно-временного
континуума, подчиняющееся правилам перехода, пока
еще нам неизвестным.
ГЛАВА 22
ИГРА «ЖИЗНЬ». ЧАСТЬ III
С того момента, как я закончил последние две
главы, в игре Конуэя «Жизнь» было открыто так
много нового, что оказалось невозможным вместить
все вновь открытые факты в обычное «Дополнение».
По моему мнению, об этой игре нужно обязательно
написать отдельную книгу, что-нибудь вроде «Энци-
клопедии игры „Жизнь"» или «Учебника по игре
„Жизнь"», в которой следует перечислить все наибо-
лее важные конфигурации, полученные в этой игре,
с тем чтобы избавить энтузиастов от лишних трудов,
связанных с повторением полученных кем-то резуль-
татов. Пока основной копилкой подобного рода све-
дений продолжают оставаться одиннадцать отдель*
ных выпусков, появившихся в рамках журнала Ы}е-
Ипе, который издает Р. Уэйнрайт. Ходят слухи, что
Уэйнрайт работает также и над книгой; кроме того,
появляются сведения, что об игре «Жизнь» готовят
книги и другие авторы. Между тем, в данной главе
я попытаюсь собрать воедино некоторые важные ре-
зультаты, полученные в процессе анализа игры
«Жизнь» с тех самых пор, как в журнале ЗсьепЩЮ
Атегьсап за 1971 г. появилась моя вторая статья об
этой игре. Поскольку многие интересные конфигура-
ции были открыты несколькими различными исследо-
вателями независимо друг от друга, в ряде случаев
11*
323
■ II ||||| 1 1 1 1 1 1 1 1 1 II 1 1 1 II 1 II 1 1 II
■ 1 1 [1 || 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1*1*1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
' м ■■ И* * •
• И 1 | П 1 1 Г Гг1
11111111 111111 ллиннав змея МММ
' N *М
и_ • •
М и N
■ М М т т N II М М 1 м II 1 II II II II
' гл гл ' *■• ' Ч
•| 1 1 Шляпа юмущиих
"11,1,1 корабль И
II 1 II 1
'1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 щщ 1111111"
1 1 Ы§1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1*1 1*1 1 1 1 1 1 г
И* 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 П Й1 1 1 1 1 1 1*.
М*М* N
КН Рп ■
М 1 1 Г1 1 1 1 П I 1 1 "
Крючок Дубинка к
П11111П П111111111Ь
кН
и м*л *
м*н м* *
•г > м*м кн
N рКГр КГГ п
М*и КГ К Н I
Г гп ГргЬ НИ "'
1 ' 1 Ч 1 1 1 II 11 1 1 II 1*1 М*М М 1 1 Г
1 соты м 1 м 1 м 1111 г1 и* м' м д
Г 1 и
11 М М11М111111111 1 1 1 1 11 11 1 Г
Рис. 150. Устойчивые
я не буду приписывать приоритет такого открытия
тому или иному ученому.
Одной из самых первых групп энтузиастов, зани-
мавшихся исследованиями игры «Жизнь» и добив-,
шихся наиболее глубоких результатов была группа
исследователей из Массачусетского технологического
института, возглавлявшаяся У. Госпером, который в
настоящее время работает в Стэнфордском исследо-
вательском центре фирмы «Хегох». В середине 70-х
годов наиболее активно работающей группой стали
несколько специалистов из отдела компьютеризации
управления фирмы «Нопеу^еП, 1пс.» (Фреймингтон,
шт. Массачусетс). В нее входили Т. Холмс, К. Мак-
Клелланд, М. Споурер, Ф. Стэнли, Д. Вудс и его
отец У. Вудс. В конце 70-х годов в университете Ва-
терлоо, Канада, также сформировалась активная
группа любителей игры «Жизнь», во главе которой
стояли Дж. Эббот, Д. Бэкингем, М. Нимиц и
П. Рэйнхем. Большая часть приведенной в этой главе
информации получена мною от этих трех групп.
Все устойчивые конфигурации типа «любитель
спокойной жизни», состоящие не более чем из 13
фишек, известны уже довольно давно. Так, уже рас-:
сматривавшиеся нами «блок» и «бадья» являются
единственными устойчивыми конфигурациями из 4
фишек, а «лодка» — единственной конфигурацией та-:
кого рода, состоящей из 5 фишек. На рис. 131 изоч
бражены четыре из пяти «любителей спокойной жиз-
ни», состоящих из 6 фишек. Отсутствует здесь только
«авианосец», показанный на рис. 150. Существуем
также четыре устойчивых конфигурации из 7 фи-»
324
. N 11111N1 Ц»П
мим
||||1|Ц|ЦИ
М»пП
(
Н1111ПНШИШ1Ш1
л1 пи [%Ц \\Ш
1111111111111ПШН#
\шГ\ '
||||||||||||||| |кП 111'
1 1 1 11 И 1 1 1 1 1 I И
11111Щ11Ш111111111
1111И1ФН111111111II
иди шт
\\\Ш \\\ШШ
ю\ \\\\\\\\\\\Шт
уп 1 1 1 1 1 | 1 | 1 1 1 | | | 1 | 1 1 1 Г
Рис. 151. Устойчивая конфигурация «биллиардный стол».
шек — это «каравай», «длинная лодка», «длинная
змея» и «рыболовный крючок». При этом «рыболов*
ный крючок», или «пожиратель», представляет наи-
меньшую возможную комбинацию типа «любитель
спокойной жизни», у которой отсутствует какая-либо
степень симметрии. Следует отметить, что такие кон-
фигурации, как «лодка», «баржа», «корабль» и «то-
нущий корабль» можно растянуть в длину до произ-
вольных размеров, точно так же как «озера» могут
быть сделаны сколь угодно большими, причем на них
может находиться любое число «барж», «лодок» и
«кораблей», стоящих на якоре в воде. Наконец, су-
ществуют также 9 конфигураций типа «любитель
спокойной жизни», состоящих из 8 фишек, 10 кон-
фигураций, состоящих из 9 фишек, 25 конфигураций
из 10 фишек, 46 конфигураций из 11 фишек, 121 кон-
фигурация из 12 фишек и 149 —из 13 фишек. Еще
одна устойчивая комбинация — «биллиардный стол»,
изображенный на рис. 151, был сконструирован
У. Вудсом из «длинных тонущих кораблей» и кусков
«прудов».
Многие исследователи обнаружили также сотни
изящных периодически пульсирующих конфигураций.
826
1 г
■+4-Н-
1ериод :
||||
ш
Н1М
+Юя
■Жт
±У±
Ш+
|Ц 1111И
1/тптНт
Д 1 1 И 1 1 1 1
\ 1*1 Гк1»гтт
•ни тт ш ш
\ т \ \ \ т \
т тШ
А Г НИ
ш#
шш
жшщщщ
1 1 1 4- Период 4
11111111111
1В§
м гН #и
ни ип
мм 1111И*птм
|^|||||||||Ш:
и11111111111т
-Нрнппцн-ц-
XIГ Период 5
| | 1 | | 1 I 1 1 I 4-1-1-
ш
п
44 ГЦ
ттННП*
ЙШЙ
ш
Пя
11 иг 11
1 КГ
в
«
ШЧ11Щ11
1-Р Период 6 \лХ
ШШ
и*и
1 МягЦ И
г п Н^РЕ
НИ
ШШШ
Рис. 152. Периодически пульсирующие конфигурации с малым
периодом колебаний.
Некоторые из них, имеющие небольшие размеры и
малый период пульсаций, показаны на рис. 152. Груп-
па из Массачусетского технологического института
еще на ранних стадиях своих исследований сумела
обнаружить простые способы постройки громадных
«флип-флопов» («кувыркающихся» конфигураций с
периодом, равным 2) — один из таких «флйп-флопов»
изображен на рис. 153. В процессе эволюции эта
конфигурация постоянно осциллирует между состоя-
ниями, обозначенными на диаграмме черными и бе-,
лыми кружочками.
Еще один большой класс специфических форм
«Жизни», который интенсивно изучали многие иссле-
дователи, был назван специалистами из фирмы «Ноп-
еу\уе1Ь «фитилями». Они представляют собою по-
лоски шириной в одну клетку или более, которые
могут располагаться по горизонтали, вертикали или
б диагональном направлении. «Фитили» очень часто
имеют бесконечную длину и равномерно «сгорают» от*
одного своего конца к другому. «Фитиль» простейшей
формы изображен на рис. 154, а. Он представляет,
собой диагональный ряд клеток, который может либо
уходить в бесконечность, либо, как в нашем случае,
заканчиваться устойчивой верхушкой. В процессе
эволюции он просто «горит», не выбрасывая при этом
никаких «искр» или «клубов дыма». Если к нижнему
его концу добавить еще одну клетку, то она образу-
ет крошечный «факел пламени», который будет пере-
мещаться вдоль «фитиля» по мере его обгорания.
«Фитиль», изображенный на рис. 154,6, периоди-
чески пульсирует с периодом, равным 4, выбрасывая
при этом быстро исчезающие «искры». «Загрязнен-
ный фитиль», подобный тому, что показан на
рис. 154, в, по мере сгорания оставляет за собой об-.
326
Рис. 153. Триггерная схема с переходом между состояниями,
обозначенными черными и светлыми кружками.
лака «пепла». При этом на одном из этапов своего
развития он выстреливает «глайдер». «Фитиль», ко-
торый представлен на рис. 154, г,— его первооткрыва-
тель Мак-Клелланд назвал этот «фитиль» «пека*
рем» — представляет собой «фитиль», «выпекающий»
по мере сгорания цепочку устойчивых «караваев».
Три последних «фитиля» пульсируют с периодом, рав-
ным 4; при этом сгорание каждого из них происхо-
дит со скоростью света.
Последний из изображенных здесь «фитилей»
(рис. 154,5) в процессе эволюции превращается в
«чистый фитиль» с периодом, равным 4, однако остав-
ляет за собой облако, состоящее из трех «блоков»,
трех «ульев», двух «мигалок», «корабля» и четырех
«глайдеров». У» Вудс называет его «фитилем
327
шшши
II1111111Ц1 [ | [^Гн 111И1
•^-1-14-н П111 • 1ЦЦТМ-1-М4 ^1-^-и
шшшшш#
Щ| Ш-н-
ч Шп И1Ш тт
МЛ1 Цтй N4+
11111Н11111111111ГНйП1ттт
1|^|Л)игя^1<цд{ЦЦЦ-{-|-|. Фитиль ехХХХ-
яошкя
ншншншннниш
1 1 Д
■Г «Ш4 тшггттг
1 Ш Ш»
1111Ц*!! 11111111 Ц"П 11111111
мим Шл ГО
11 ип 111111 шл 111111М ил
КРП ГРН гРттт
ШЩ
Ш
ш
ж\\\\
Ттгпт
-н+Ш-
ЖнТ
1 ГП 11II' р| ' 11 НИ1м
ЗшгряюшмыйШЛ.Сушипкш И л,,п,пь \\\Т
-'фитиль | И 1 1 1 1 I I И мшоборот\++\-
Г|м11.[111111|||111ТТТШ|тТ|1гП1
ш
ш
ММ;;
1 {1 {'
1III |
4+Щ
Рис. 154. Пять «фитилей».
наоборот», поскольку он сначала взрывается, а потом
спокойненько горит в течение всей своей бесконечно
долгой жизни. «Жнейка», описанная в предыдущей
главе, безусловно, также является «фитилем».
Другие «фитили» необычной формы представлены
на рис. 155. «Фитиль» а, найденный С. Тауэром, пуль*
сирует с периодом, равным 8, оставляя за собой
хвост из «бакенов». «Фитиль» б через каждые четыре
хода выбрасывает пару «лодок». Горизонтальный
«фитиль» в, горящий со скоростью, меньшей скорости
света, каждые 18 ходов поглощает две «бадьи», пре-
образуя их затем в набор «навигационных огней»,
состоящий из четырех «мигалок». Эта конфигурация
была открыта Э. Аббе. Исследованный Уэйнрайтом
«фитиль», форма которого показана на рис. 155, г,
через каждые 12 поколений поглощает три «колышка
от забора» и превращает их в «улей».
На рис. 156 изображены два «фитиля» более
сложной структуры, открытые Д. Вудсом. Первый из
них, названный «коровой», сгорает со скоростью све-
та (период его равен 8) и «медленно пережевывает
жвачку», поедая с обеих сторон по «блоку». После
Рис. 155. «Фитили» других типов.
328
']] 1 ] 1111 ] 11111111111111
' Ы || МММ 1*1«1 1 Ы*1 1 1*1*1 1 1
гМ гШ^'и «Ш Ц 1
1*1*1 Н
км м* м«н нн м*
1111111111 м°ова
11111II1 И и 1111 И 11111
111111111 НИИ Ш1111Н
И • И
1 1 1 1 М М к1*1 !•• • 1*1*1 1 1*1
_и_ш и* *и и*ггН ьсс г
1ГТ гг\ М Пмк* ГРИ 1*
■п-
м
М
Й
•ТТ
1 II 1 1 1 1 1 кк1 кт II кМ кк1 1 1*1 1 т
ГГ ГМ ГР •
11111
1
Ш44-
#ггг
г
мм
Фитиль- генеоатоо планеров \
1ПИППППИПП!мим и 1) и 1
11 и
ТТГ
г
н±
Рис. 156. Два замечательных «фитиля».
этого он выпускает их обратно и затем пожирает во
второй раз. «Фитиль — генератор глайдеров» выбра-
сывает пару «глайдеров» через каждые 12 ходов. Я с
трудом удерживаюсь от желания привести подроб-
ное описание двух близких родственников «фити-
лей» — «бесконечных фитилей» (они имеют бесконеч-
ную протяженность в обоих направлениях) и «фейер-
верков». При этом «фейерверки» бывают трех разно-
видностей: «патроны», «шутихи» и «бомбы»— имен-
но так назвал их М. Хортон в одиннадцатом выпуске
журнала ЩеИпе.
В квадрате размером 3X3 можно построить 102
различных конфигурации клеток (если исключить при
этом повороты и отражения, однако учесть две пре-
дельные конфигурации, а именно, пустой и целиком
заполненный квадраты). Некоторые из этих конфи-
гураций представляют собой конфигурации типа «по-
лиомино», другие таковыми не являются. Между про-
чим, в указанные 102 сочетания клеток входят все
буквы алфавита Брайля*. Эволюция всех 102 кон-
фигураций подробно исследована. Известно также,
как эволюционируют все виды полиомино —до геп-
тамино включительно.
Конфигурации под названием «долгожители» —
это конфигурации, состоящие менее чем из 10 фишек,
у которых устойчивое состояние не достигается в те-
чение по крайней мере 50 поколений. Два примера
подобного рода конфигураций уже приводились в
предыдущей главе: это элемент пентамино в виде бук-
вы г, состоящий из 5 клеток и «ворота» (или пропис-
ная буква «пи»), состоящие из 7 клеток, последнюю
конфигурацию иногда называют также я-гептамино.
Между прочим, первое поколение я-гептамино вновь
♦Алфавит (азбука) Брайля (1809—1852)—принятый во
всем мире точечный шрифт для слепых, основанный на различ-
ных комбинациях шести выпуклых точек. = Прим. перев.
329
1 [ 111 [ 1111' 111 и | [ 111
яГГг-Щттб N •
. 1 инЫ 111 г» Шт 11111т
тп 11 п
П т
" 1 И 1 *И*1 И11 И 1М И {'Ь^М 11 \ \ \ И \
' ггН II1 т д г
ПштШ п_Н 11 1111 и ш 1 \1 \ 11
11В11 (111144 НН*111(11 И*Н*1 11111
11 п 111 [ 111111111111111111111111
А™36 1 \ М 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
мин! 1111 ИИ II1111IIIIIII1111
11*1 И11111
Ш ПлШ-Н'-
Клотик 1 |
111 11 111
Рис. 157. «Долгожители».
появляется на доске через 31 ход, но со сдвигом на
9 клеток. Кроме того, из-за взаимодействия со своим
«выхлопом» в 61-м поколении эта конфигурация едва
не превращается в «космический корабль».
Другие примеры «долгожителей» представлены на
рис. 157. Первая из этих конфигураций а является
наименьшей из известных в настоящее время; через
2 хода она превращается в г-пентамино, эволюция
которого прекращается лишь на 1105-м поколении.
«Долгожитель» б превращается в устойчивую конфи-
гурацию (состоящую из шести «блоков», двенадцати
«мигалок» и одного «каравая») в 609-м поколении;
«долгожитель» в (называемый часто «дроздом») ста-
новится устойчивым после 243 ходов, а «долгожитель»
г —лишь после 1108 ходов. Элемент гептами-
но д стабилизируется после 148 ходов, распадаясь на
три «блока», «корабль» и два «глайдера». А вот еще
одна конфигурация такого рода — «желудь» (е), об-
наруженный Ч. Кордерменом, является самым пора-
зительным «долгожителем» из известных в данное
время. Его жизнь продолжается целых 5206 поколе-
ний! При этом к моменту перехода в устойчивое со-
стояние в виде «дуба», состоящего из 633 клеток, он
выпускает множество «глайдеров», тринадцать из ко-
торых исчезают.
Группа фирмы «Нопеу^еП» проследила эволюцию
первых девяти членов ряда крестов, составленных из
пятиклеточных цепочек,—простейшие из них изобра-
жены на рис. 158. Первый из них является частью
бесконечной решетки, составленной из непрерывных
горизонтальных и вертикальных рядов, которые рас-
полагаются на расстоянии в две клетки друг от дру-
га; тем самым эти ряды окружают на доске беско-
нечную совокупность пустых квадратов размером
2X2. Как и вся бесконечная решетка, этот крест
исчезает уже на первом ходу. Следующий крест по-
гибает через 8 ходов. Третий — через 6 ходов превра-
330
Рис. 158. Ряд пятиклеточных «крестов».
щается в набор «навигационных огней», а четвертый
переходит в устойчивое состояние после 34 ходов,
превращаясь в восемь «мигалок», которые представ-
ляют собой действительно эффектное зрелище напо-
добие салюта в праздничный день. (Между прочим,
в девятнадцатом поколении эта конфигурация дает
нам возможность полюбоваться великолепным коль-
цом из «блоков» с «шахматной доской» в центре.)
Кресты 5-го и 7-го порядков в этом ряду превраща-
ются в устойчивые конфигурации в виде четырех
«пульсаров» через 31 и 21 ход, соответственно. Крес-
ты 6-го и 8-го порядков переходят в четыре «пульса-
ра» и «ящик» за 36 и 21 ход, соответственно, а крест
9-го порядка прекращает свое развитие после 42 хо-
дов, превратившись в 16 «блоков» и 8 «мигалок».
В 1971 г. У. Госпер обнаружил совершенно потря-
сающую устойчивую конфигурацию из 7 клеток — так
называемого «пожирателя», изображенного на
рис. 159 светлыми кружками. У этой конфигурации
удивительная способность поглощать самые разнооб-
разные формы «жизни» и при этом быстро восста-
навливать свой первоначальный вид. Первые четыре
картинки показывают нам «пожирателя», готового
проглотить «глайдер» (а), «мигалку» (б), «заготовку
ПОК
N
-ни
1
тп
й •
тт«
444
ш
ЯР
*
4
Тм 1
44т
444-
ш
т>Ь
П
I
4*
оГТ
>••!
1
1111
1 1 1о
г
Уб
аогт
►У
ТГ
а
1
44
1 1 II
1 1 1 1
*
•
1 1 1 ПГ
4Жт
оШГТТ
°ГП П
1111111
•
0
•1111
•
"ТОЮ
п
а
5
^
о
о
■
(У
^
1
1
р
«р
(•;•(
• <
ТМ
я"!
П<
тт
*(.
'
Рис. 159. «Пожиратель» (светлые кружки) и несколько его
«жертв».
331
1 1 1 1 1 м 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1
1 1 1 1 II || И II II ММ II
ш 1 1 Я
• •Ш
• Н
'» И
*г\ МЧ * И
| » ш ииы 4
• М N4 • Н
-т1тг"тШ1 ГП Н1И ■
гЦ птШшП
\ \ Щ .1*1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
• •№
щяят
ГгН IIII11 г1111111111111II
1 ТЩНННмННИИНТЖ
ИИМНИИННИПИНИНЙ*
Рис. 160. «Паровозы».
улья» (в) и «космиче-
ский корабль легкого
типа» (г). На пятой
картинке два «пожира-
теля» (д) нацеливаются
проглотить друг друга.
Однако подобное взаи-
моуничтожение оказы-
вается невозможным
из-за их поразительной
способности к самовос-
становлению; в резуль-
тате вся система на-
чинает периодически
пульсировать с перио-
дом, равным 3. Пос-
ледний рисунок (е) изображает столкновение двух
«глайдеров» — погибая, они через 13 ходов порож-
дают «пожирателя». Сравнительно недавно были об-
наружены «пожиратели» еще больших размеров, с
самыми прихотливыми и необычными «вкусами».
Многие исследователи занимались также углуб-
ленным изучением свойств различного рода «агаров»
(геометрически правильных конфигураций, бесконеч-
ных по обоим измерениям), «волокитчиков» (конфи-
гураций, которым требуется не менее 50 ходов для
того, чтобы превратиться в какую-нибудь устойчивую
конфигурацию достаточно простого вида), а также
«паровозов, пускающих дым из трубы» (движущихся
конфигураций, которые оставляют вслед за собой по-
стоянно сохраняющиеся «клубы дыма»). Три различ-
ных «паровоза» показаны на рис. 160. Первый из
них (а), обнаруженный Госпером, представляет собой
«паровую машину», сопровождаемую двумя «косми-
ческими кораблями» легкого типа. «Машина» выпус-
кает «клубы дыма» со скоростью, равной половине
скорости света, до тех пор пока более чем через
1000 ходов она не превратится в пульсирующую кон-
фигурацию с периодом, равным 140. Пара легких
«космических кораблей» (б), являющихся зеркальны-
ми отображениями друг друга, тянет за собой «паро-
вую машину» в форме симметричного гептамино (с
периодом, равным 12). «Маневровый паровоз» (в)
движется, к сожалению, слишком медленно (со
332
Рис. 161. «Сад Эдема»,
скоростью, равной У12 скорости света) для того,
чтобы оказаться нам чем-нибудь полезным. Он дви-
жется по диагонали, подобно «глайдеру», порождая
в конце концов 8 «блоков» через каждые 288 поко-
лений. «Космические корабли» эскорта ему при этом
не нужны, однако из-за отсутствия стабилизирующе-
го ситуацию «блока» дым «паровоза» начинает за-
хватывать «паровую машину» и разрушает ее.
Первая из конфигураций типа «сад Эдема», изо-*
браженная на рис. 161, была обнаружена Р. Бэнксом
в 1971 г. Это потребовало от него обширного ком-
пьютерного поиска самых разнообразных конфигура-:
ций-предшественников. Ограничивающий этот «сад»
прямоугольник (9 X 33) содержит 226 клеток.
Хотя любая конфигурация в игре «Жизнь» порож-:
дает только одну конфигурацию-наследника, обрат-
ное, вообще говоря, неверно, поскольку у данной кон-:
фигурации может оказаться две или несколько кон-
фигураций-предшественников. С этим, в частности,
связана основная трудность машинного поиска ком-,
бинаций типа «сад Эдема» — ведь ЭВМ должна про-
смотреть всех возможных предшественников на каж-
дом обратном ходе. Если в конце концов окажется,
что наша Вселенная представляет собой гигантский
клеточный автомат, то вполне резонно возникнет во-
прос: а не существует ли некое начальное состояние
типа «сад Эдема», требующее божественного вмеша-
тельства, поскольку такая конфигурация не имеет
предшественников. Между прочим, тот факт, что у|
«сына» конфигурации типа «сад Эдема» может,
оказаться несколько «отцов», побудил Конуэя устано-
вить премию тому, кто первым отыщет конфигурацию,
у которой есть «отец», но нет «дедушки». Правда^
вопрос о существовании подобного рода конфигура-
ции остается пока открытым.
Однако самым эффектным из новых достижений,
333.
и
и
•г
№•
•г
щ
•
м
*
•
4
и
мтт 1
4<н«1#1«т*ш*
Ш|»|*1»1*1*М4*1+М
_|«1«1*1«т#т*
Нт1*'
Рис. 162. Два «генератора глайдеров».
полученных в последнее время при анализе игры
«Жизнь», являются результаты по исследованию
«глайдеров» и их столкновений. Кроме того, группа
Госпера обнаружила новые типы «глайдерных ружей»
и более компактные «заводы космических кораблей»,
порождаемые в результате катастроф «глайдеров», а
также бесчисленное множество новых форм «Жизни»,
поглощающих «глайдеры» или отражающих их обрат-
но под разными углами. До того как группа исследо-
вателей из Массачусетса распалась и каждый из
них занялся своими собственными делами, ее члены
успели снять 17-минутный фильм о своих достиже-
ниях, ставший теперь классическим.
Чистый «генератор глайдеров» должен представ-
лять собой конфигурацию, которая порождает один
или несколько «глайдеров», не оставляя после себя
никакого «мусора». Два изящных примера подобного
рода, найденных специалистами из фирмы «Нопеу-
^е11», представлены на рис. 162. «Сдвоенный кара-
вай» (слева) за 4 хода порождает два «глайдера»,
летящих в противоположных направлениях. «Ромб
4-8-12» (справа) через 15 ходов формирует четыре
«глайдера», разлетающихся по четырем различным
направлениям. Наконец, укажем, что в одиночный
«глайдер» превращаются 6 5-клеточных конфигура-
ций; то же самое происходит более чем с сотней
6-клеточных конфигураций.
Поиск конфигураций-предшественников для най-
денного Госпером «глайдерного ружья» позволил
обнаружить требуемую конфигурацию, которая оказа-
лась состоящей из 21 клетки (пока она является наи-
меньшей из известных нам конфигураций подобного
типа), хотя, по-видимому, существует некая возмож-
ность так расположить четыре «глайдера» (20 кле-
334
Исходные конфигурации
Результат
1
1
I
гж#г
щ
ш
Шесть глайдеров, Г =0
111 ] 11 11 N 11111111111
Шесть глайдеров, Г - / /
«в
1
Бадья и четыре глайдера, г =0
Бадья с ручкой, х ,с /У.
МИШИН
1
й
Шесть глайдеров, I =0
111111111111111111111
Устойчивая конфигурация,
*--Ц.,..111Г|Ц|Ц"
Шесть глайдеров и легкий
космический корабль, г'=0'
1111 II II И II I I I I | II" '
Устойчивая конфигурация
из 14-фишек, I =13
тшп
Семь глайдеров^
два блока и лодка, Г
Флотилия из двух легких космических,
кораблей, сопровождающих сверхтяжелый]
космический корабль, т = 10] I I I I I I ' I 1'|"
III ■ .'ни I I |-г111 11 И II п:
Рис. 163. Столкновения конфигураций.
ток), чтобы они при столкновении образовывали
«глайдерное ружье».
Ранее я упоминал о найденной Госпером комби-
нации из восьми «ружей», которые определенным .об-
335
Т ? V У У
Рис. 164. Размножитель.
разом выстреливают потоки «глайдеров». Возникаю-
щие при этом «глайдеры», сталкиваясь, образуют
«завод космических кораблей», который примерно че-
рез каждые 300 поколений выпускает «космический
корабль» «среднего типа». Вскоре Госпер сумел по-
лучить тот же самый результат с помощью всего
лишь 4 «ружей» и одного пентадекатлона. Такая кон-
фигурация порождает «завод», который производит
«космические корабли» легкого или среднего типов
.(в зависимости от синхронизации его составных ча-
стей) через каждые 60 ходов. Впоследствии Уэйн-
райт сумел расположить три «ружья» несколько иной
конструкции таким образом, что он мог получать
«космические корабли» среднего типа каждые 46 по-
колений.
Любители игры «Жизнь» исследовали тысячи ва-
риантов столкновений «глайдеров» и «космических
кораблей», в результате которых образуется огромное
количество самых разнообразных устойчивых комби-
наций (включая сюда и нулевую конфигурацию, т. е.
пустое игровое поле), а также изменяющихся тем или
иным образом конфигураций и, наконец, конфигура-
ций, порождающих новые «глайдеры» и (или) «косми-
ческие корабли». На рис. 163 проиллюстрированы не-
336
сколько удивительных столкновений, проанализиро-
ванных канадскими специалистами. Слева показаны
фигуры непосредственно перед столкновением, спра-
ва — результаты после заданного числа ходов.
Одной из самых замечательных форм «Жизни»,
рбнаруженных группой из Массачусетского техноло-
•»
•
«
"»1'
" " -: * ? ? » : » : : :*л- ^
гического института, является так называемый «раз-
множитель». Основная и наиболее впечатляющая осо-
бенность этой конфигурации состоит в чрезвычайно
быстром росте ее популяции. Рис. 164 представляет
собой фотографию, сделанную с экрана выходного
(устройства ЭВМ, на которой показан «размножи-
тель», порождающий целую популяцию «глайдеров».
'Маленькие точки на диаграмме — это «глайдеры», об-
щее число которых в пределах рассматриваемой
треугольной области составляет примерно 1000. «Раз-
множитель» состоит из десяти «паровозов, пускающих
дым из трубы» и движущихся на восток, причем их
«клубы дыма» синхронизированы между собой таким
образом, что они порождают целый поток «глайде-
ров», которые, рассыпаясь на части, в свою очередь
образуют «ружья» — последние мгновенно вводятся в
действие, открывая огонь вдоль горизонтальной оси.
На нашей картинке показан «размножитель» на
3333-м поколении. Заметим, что 30 «ружей» ведут
стрельбу в северо-вестодном направлении со ско-
337
ростью одного «глайдера» за ход. При этом скорость1
стрельбы неограниченно возрастает до тех пор, пока
приблизительно на 6500-м ходе число возникающих
«глайдеров» не начинает превосходить возраст «раз*
множителя». Между прочим, не могу не упомянуть
здесь, что предоставленная мне возможность пона-
блюдать, как работает «размножитель» на практике,
оказалась одним из самых тягостных впечатлений во
время моего посещения Массачусетского института.
В февральском номере Зс1епИ}1с Атепсап за
1971 г. я поднял вопрос о том, позволяют ли правила
игры «Жизнь» построить универсальную вычислитель-,
ную машину, а уже в следующем номере сообщил чи-
тателям, что игра «Жизнь» в самом деле является
универсальной. Дело в том, что независимо друг от
друга Госпер в Массачусетсом технологическом ин-
ституте и Конуэй в Кембридже «универсализировали»
пространство игры «Жизнь», подтвердив возможность
использования «глайдеров» в качестве носителей ин-
формации с целью моделирования машины Тьюринга.
Подробное объяснение того, как это делается, мне ду-
мается, слишком сложно, чтобы приводить его на этих
страницах, однако глубокий и в то же время вполне
доступный комментарий самого Конуэя читатель мо-
жет найти во втором томе книги «АУшпшд ^ауз»,
написанной им в соавторстве с Э. Берлекампом и
Р. Гаем.
Универсальность игры «Жизнь» означает, что, в
принципе, мы можем использовать движущиеся «глай-
деры» для выполнения любых вычислений, на кото-
рые способны самые мощные цифровые ЭВМ. На-
пример, можно составить такую комбинацию из
«глайдерных ружей», «пожирателей» и других форм
«Жизни», что образующийся в результате поток
«глайдеров» (в нужных местах его мы можем
соорудить соответствующие пропуски) будет «вычис-
лять» числа я и е> квадратный корень из 2 или лю-
бое другое действительное число с произвольным ко-
личеством десятичных знаков после запятой. Конеч-
но, производить эти вычисления подобным способом
крайне неэффективно, тем не менее, в принципе, их
вполне можно осуществить, если вы располагаете до-
статочно большим игровым полем и у вас хватает
338
мастерства, выдумки и изобретательности для по-
строения необходимой вам «машины».
В своей книге Конуэй использует великую теорему
Ферма для иллюстрации вычислительных возможно-
стей игры «Жизнь», а также описания характерных
для нее ограничений. Так, например, мы можем по-
строить машину под названием «Жизнь», которая бу-
дет последовательно проверять значения всех четырех
переменных в знаменитом соотношении Ферма. При
этом программу можно составить таким образом, что
она будет давать останов (скажем, путем вывода на
экран нулевой конфигурации, или пустого поля), как
.только будет найден контрпример, опровергающий
гипотезу Ферма. С другой стороны, если предполо-
жение Ферма справедливо, то машина «Жизнь» бу-
дет продолжать поиск до бесконечности, пока не об-
наружит, наконец, требуемую комбинацию чисел.
Правда, в то же время из теоремы неразрешимости
нам известно, что не существует никакого способа
узнать заранее, будет ли данная конфигурация в
игре «Жизнь» продолжать развиваться или же она
перейдет в некоторое устойчивое состояние.
В 1981 г. Конуэй прислал мне письмо, в котором
рассказал о том, как он доказал универсальность
игры «Жизнь». На оборотной стороне конверта была
сделана следующая приписка: «Если бы точно знать,
что при столкновении «глайдеров» может образовы-
ваться пентадекатлон (кстати, попробуйте выяснить
это у Госпера), тогда я вполне мог бы сконструиро-
вать самовоспроизводящуюся машину, а вопрос о том,
является ли данная машина самовоспроизводящейся,
окажется неразрешимым».
Я не могу вспомнить, задавал ли я Госперу подоб-
ный вопрос, однако, во всяком случае теперь, мы
знаем, что «глайдеры» могут при столкновении обра-
зовывать пентадекатлон. Кроме того, сам Конуэй в
своей книге со всей определенностью утверждает, что
пространство игры «Жизнь» вполне допускает появле-
ние в нем самовоспроизводящихся машин. Конечно, в
данном случае мы говорим не просто о движущихся
конфигурациях, таких как «космические корабли», а
о машинах, которые будут создавать точные копии
самих себя. При этом исходная машина либо может
остаться в данном пространстве, либо ее следует за-
339
программировать таким образом, чтобы она уничто-
жила саму себя после того, как произведет на свет
собственную копию. Насколько мне известно, такую
машину еще никто не построил, однако если Конуэй
прав (его доказательство пока не опубликовано), то
это оказывается вполне возможным делом.
Конуэй утверждает также, что он доказал суще-
ствование таких комбинаций, которые могут двигаться
в произвольно заданном направлении, характери-
зуемом некоторым рациональным числом, воспроизво-
дя свою первоначальную структуру после определен-
ного числа ходов. Что же касается «космических
кораблей» (которые перемещаются, не испуская «клу-
бов дыма»), то пока не найдено никаких новых типов
подобных «кораблей», если сравнивать с теми, кото-
рые были известны Конуэю в 1970 г.
Сам Конуэй в настоящее время, по слухам, зани-
мается следующей проблемой: если вообразить до-
статочно большое количество «первичного бульона»
из хаотически распределенных клеток, то можно ли
ожидать чисто случайного появления каких-либо са-
мовоспроизводящихся существ, а также того, что наи-
более приспособленные из них к выживанию будут,
благополучно здравствовать дольше других. «Прав-
да, их взаимодействие с окружающей средой,— пишет
Конуэй,— будет, как обычно, приводить к определен-
ным мутациям. Совершенно так же, как и в процес-
се эволюции органического мира, большинство мута-
ций окажется гибельными для этих существ, хотя не-
которые из них, возможно, и выживут».
«Вполне вероятно,— замечает Конуэй,— что если
взять достаточно большое пространство для игры
«Жизнь», задав в нем некоторое случайное исходное
состояние, то по истечении достаточно большого про-
межутка времени в этом пространстве появятся ра-
зумные самовоспроизводящиеся существа, которые за-
селят различные области данного пространства».
Вообще-то, в данном случае я предпочел бы ис-
пользовать слово «допустимо», а не слова «вполне
вероятно», однако, без сомнения, само сопоставление
игры «Жизнь» с биологической эволюцией на нашей
планете представляется мне весьма примечательным.
Один из широко известных писателей, работающих в
жанре научной фантастики, Пьер Энтони прекрасно
340
обыграл эту идею в своем романе «Бык», вышедшем
в свет в 1976 г. В этом романе в качестве названий
для каждой главы используются схемы соответствую-
щих конфигураций из игры «Жизнь», а его действие
разыгрывается в некотором клеточном пространстве
большего числа измерений, чем размерность нашего
пространственно-временного континуума. Это про-
странство используют в качестве среды обитания не-
кие наделенные разумом и тонко чувствующие суще-
ства — их называют «реальными формами», однако
сами они предпочитают именовать себя «искрящими-
ся облаками». Развитие этих существ происходило в
полном соответствии с процессами, рожденными во«
ображением Конуэя. В то же время их действия и
поступки жестко регламентируются соответствующие
ми правилами перехода, хотя «реальные формы», по-
добно людям, абсолютно уверены в существовании
для себя свободы воли. В одной из глав книги герой
романа по имени Кэл, объяснив правила игры
«Жизнь» своей подруге Аквилон, с удовольствием на-
блюдает, как та, преисполнясь чисто женского любо-
пытства, начинает экспериментировать с несколькими
простыми конфигурациями.
«А теперь попробуй поиграть с этой,— предлагает
ей Кэл, показывая г-пентамино. — Она очень похо-
жа на ту, которую я тебе только что показывал. Ты
ведь просто слегка наклонила ее в сторону, хотя с
топологической точки зрения это совершенно все рав-
но, а потом добавила одну точку. Давай, займись ею»,
«Она стала внимательно вглядываться в экран
компьютера, внутренне посмеиваясь над ним. Но
вскоре стало ясно, что до окончательного
решения еще очень далеко. Последовательно меня-
лись на экране номера ходов, число фишек все воз-
растало, они заполняли все большую и большую
.насть игрового поля. Теперь это было уже не просто
развлечение — задача захватила ее всю целиком. Кэл
хорошо понимал ее состояние: ведь он сам когда-то
испытал нечто подобное. Закусив нижнюю губу, Ак<
вилон совершенно не обращала на него внимания,
волосы ее в соблазнительном беспорядке упали ей на
лицо.
— Подумать только, и все это от одной лишней
точки,— пробормотала она.»
841
В следующих главах Аквилон, которая все еще пы-
тается проследить развитие своей конфигурации, вос-
клицает:— «Это г-пентамино просто ужасно! У меня
даже голова разболелась. А тут и конца не видно»*
Госпер однажды обмолвился, что наиболее впе*
чатляющий аспект игры Конуэя для него самого со*
стоит в том, что она прекрасно демонстрирует невоз-
можность предсказать а рпоп результат процессов,
которые, казалось бы, жестко определены чрезвычай-
но простыми правилами развития. Узнав о «глайде-
рах» и «глайдерных ружьях», Аквилон задумчиво ро-
няет: «Если бы я была комбинацией, я бы поостерег-
лась стрелять «глайдерами»! Это игра трудная и
опасная!» «Конечно,— отвечает ей Кэл.— Как и вся
наша жизнь».
Совсем недавно было разработано несколько ин-
тересных вариантов игры «Жизнь», в частности, игра
по другим правилам и на других сетках, например, с
треугольными ячейками или с гексагональными, а
также в пространствах большей размерности. Прово-
дились также исследования одномерного варианта
игры «Жизнь» (см. статьи Д. Миллера и М. Миямо-
то в списке литературы). Игра «Жизнь» изучалась
также на обвертывающих игровых полях, на цилинд-
рах, торах и даже на листах Мёбиуса и бутылках
Клейна. При этом были даже получены весьма ин-
тересные результаты, однако все они по богатству
комбинаций и разнообразию форм не идут ни в ка-
кое сравнение с игрой «Жизнь», с ее простыми пра-
вилами перехода. Тем самым, надо отдать должное
интуиции Конуэя и той основательности, с которой
он и его коллеги стремились исследовать сотни воз-
можных вариантов, включая даже игры с участием
существ разного пола. Наконец, предпринимались по-
пытки разработать конкурирующие игры, основанные
на идеях игры «Жизнь», для двух и более игроков,
однако это не принесло пока ощутимых результатов.
Игра «Жизнь» может иметь различные практиче-
ские применения. Так, были попытки использовать ее
для анализа социально-экономических систем. Кроме
того, высказывалось предположение, что дальнейшие
обобщения игры «Жизнь» могут помочь понять, по-
чему некоторые небесные туманности имеют спираль-
ные ветви (см. соответствующую статью К. Бречера
342
в списке литературы). А. Аппель и А. Стайн из фир-
мы ИБМ нашли способ применения правил, анало-
гичных правилам игры «Жизнь», в программах, пред-
назначенных для выяснения, какие грани нарисо-
ванного на экране ЭВМ пространственного объекта
являются для нас невидимыми.
Ранее я писал о том, что наша Вселенная, быть
может, представляет собой огромный клеточный авто-
мат, управляемый движениями элементарных частиц
(возможно, еще не открытых) в соответствии с неко-
торыми неизвестными правилами перехода. В настоя-
щее время ученые-физики тратят огромные усилия на
создание так называемой ТВО (Теории Великого
Объединения), которая свела бы воедино все силы,
действующие в природе, в рамках общей теории ка-
либровочных полей- Как объяснил физик К. Ребби
в своей статье «Теория решеток и удержание квар-
ков» (КеЬЫ С. ТЬе ЬаШсе ТЬеогу о! <3иагк СопН«
петеп!.— ЗЫепИ^с Атепсап, РеЬшагу 1983), по-
пулярный подход здесь состоит в том, чтобы пред-
ставить калибровочное поле как некую игру, которую
разыгрывают частицы на абстрактной решетке
четырехмерных кубов, наподобие простран-
ственно-временного континуума, используемого в игре
«Жизнь». Эта идея, выдвинутая К. Уилсоном
в 1974 г., известна в настоящее время под на-
званием «калибровочной теории решеток». Игровое
истолкование ТВО несет в себе тот смысл, что основ-
ные частицы, определяющие структуру Вселенной
(«фигуры»), основные законы («правила перехода»)
и пространственно-временной континуум («игровое
поле») не являются логической необходимостью. Они
просто нам задаются. Нелепо спрашивать, утверждал
Дейвид Юм, почему они являются тем, что они есть<
Подобно игрокам в шахматы, физикам следует лишь
принять эту игру как должное и просто получать
удовольствие от попыток (быть может, бесконечных?)
понять правила этой игры, не тратя энергии на раз-
мышления, почему эта игра построена именно так,
а не иначе. А теперь мы возвращаемся к Лейбницу
и к его изумительному предвидению трансценденталь-
ного Разума, созерцающего все возможные в нашей
Вселенной игры и выбирающего среди них одну, наи-
более, подходящую для его непостижимых целей.
343
ЛИТЕРАТУРА
Глава 1
Уа1ез К. С. ТЬе СапНоМ. — Тке МЫкетаНсз Теаскег, 52. Лапиагу
1959, р. 10—14.
Ьоск^ооа* Е. Н. А Воок о! Синтез. — СатЬгШ^е: 1961,
О колесе Аристотеля
РгаЬкт I. АпзЬИе'з ШЬее1: Ыо1ез оп 1Ье Н1з1огу о! 1Ье Рага*
йох. — Оз1г15, 9, 1950, р. 162—198.
Со5*аЪе1 Р. ТЬе ШЬее1 о! АпзЫ1е ап(1 РгепсЬ Сопз1с1егаиоп о!
СаШео'з Агдитеп1з. — ТНе МаОгетаИсз Теаскег, 61, Мау 1968,
р. 527—534.
Ва11е>у V. ТЬе №Ьее1 о! АпзЫ1е.— Тке Ма1кетаИс8 Теаскег,
65, Ос1оЪег, 1972, р. 507—509.
Происхождение колеса
Р1&&о11 5. ТЬе Ве&ттп&з о! \УЬее1ес1 Тгапзрог1. — ЗЫепЩм
Атепсап, Ли1у 1968, р. 82—90.
Глава 2
Неа1Ь Т. Ь. ОюрЬап(из оГ А1ехапс1па. — Боуег, 1964.
Могс1е11 Ь. Л. ОюрЬаптлпе Еяиа1юпз. — Асаёегшс Ргезз, 1969.
О догадке Эйлера
Ьапдег Ь. Л. апс1 Рагкт Т. К. Соип1егехатр1е 1о Еи1ег'з Соп)'ео
{иге оп 5итз о! Ыке Ро\уегз.— Ви11еИп о/ 1ке Атепсап
Ма1кетаШа1 5оае1у, 72, 1966, р. 1079.
Ьапйег Ь. Л. апс! Рагкт Т. К. А Соип1егехатр1е 1о Еи1ег'з 5ит
о! Родмегз Соп}ес1иге. — Ма1кетаИс$ о/ СотриШюп, 21,
Лапиагу 1967, р. 101—103.
Ьапйег Ь. Л., Рагкт Т. К. ап(1 ЗеНпа'де Л. Ь. А Зигуеу о! Еяиа1
5итз о! Ыке Ро^гегз. — Ма1кетаИсз о/ СотриШюп, 21, Ли1у
1967, р. 446—459.
О большой теореме Ферма
СЬигсЬ А. Регтат/з Ьаз1 ТЬеогет. — Ьоп& 1з1апс1 Ып^егзЛу
Ргезз, 1937.
НМоп Н. Мигс1ег Ьу МатетаМсз. — Ьопйоп: 1948.
Рогдез А. ТЬе ОеуП апс1 Згтоп Г\а&%. В сб. Рап{аз1а Ма1Ье«
таИса. Еа\ Ьу С. РасИтап. — Зипоп апс1 ЗсЬизгег, 1958.
Ве11 Е. Т. ТЬе Ьаз* РгоЫет. — 51топ апй 5сЬиз1ег, 1961.
Ейдуагйз Н. М. РегтаГз Ьаз1 ТЬеогет. — Зс1епИ{1с Атепсап,
ОсЬЬег 1978, р. 104—121.
ШЬепЪош Р. 13 Ьес1игез оп Регта1'з Ьаз! ТЬеогет. — Зрппч
еег Уег1а&, 1979.
О мартышке и кокосовых орехах
Оагс1пег М. ТЬе Мопкеу апс! ТЬе Сосотйз. В кн.: Оагйпег М,
ТЬе Зесопс! ЗслепШк Атепсап Воок о! Машет аИса! Ри2г1е$
344
апд 01Уегзюпз. — Зипоп апй 5сЬиз1ег, 1961. Имеется перевод:
Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. —
М.: Мир, 1971, с. 233.
О пифагоровых числах
Оагйпег М. ТЬе РуШа&огеап ТЬеогет. В кн.: Сагёпег М. ТЬе
51х1п Воок о! МаШетаИса1 Сатез !гот ЗаепШю Атепсап.—
№. Н. Ргеетап, 1971.
Об архимедовой «задаче о скоте»
Ве11 Е. Т. ТЬе Ьаз1 РгоЫет. — Зипоп апс1 ЗсЬиз1ег, 1961,
р. 151—157.
(\\ШНатз Н. С. Сегтап К. А. апс1 2агпке С. К. ЗоМюп о! Ше
СаШе РгоЫет о! АгсЫтейез.— МаОгетаИсз о} СотриШюп,
19, Ос1оЬег 1965, р. 671. См. также комментарий Э, ЗЬапкз;
р. 686—687.
№1зоп Н. Ь. А 5о1и1юп \о АгсЫтескз СаШе РгоЫет. — 1оита1
о\ ЯесгеаИопа1 МаОгетаИсз, 13, 1980—1981, р. 162—176.
См. также замечание Нельсона в 14, р. 126.
О целочисленном кирпиче
ЗроЬп XV. С. Оп 1пе 1п1едга1 СиЪок!. — ТНе Атепсап Ма1Не*
пгаИса1 МопШу, 79, Лапиагу 1972, р. 57—59.
ЗроЬп №. С. Оп 1пе Оепуес! СиЬоМ. — СапасНап Ма1НепгаНса1
ВиИеПп, 17, 1974, р. 575—577.
Ьеесп Л. ТЬе КаИопа1 СиЪоМ Кеу15Иео\ — ТНе Апгепсап Ма1Не~
пгаИса1 МопШу, 84, Аидиз1 1977, р. 518—533. См. также 85,
Липе 1978, р. 472.
Сиу К. К. ипзо1уес1 РгоЫетз т ЫитЬег Тпеогу. — Зрлпеег-
Уег1ад, 1981, р. 97—101.
Глава 4
Вепагс1е1е Л. 1пПтху, ап Еззау т Ме1арЬуз1сз — С1агепс1оп
Ргезз, 1964.
Сгиепёег С. ^. ТЬе АсЬШез Рагайох апд ТгапзНпИе ЫитЬегз.—
ВпШН 1оигпа1 \от 1пе РпИозорпу о( Заепсе, 17, ЫоуетЬег
1966, р. 219—231.
СгйпЬаит А. Моёегп Заепсе апс! 2епо'з Рагас1охез. — №ез1еуап
Ш1уегз11у Ргезз, 1967.
СгйпЬаит А. Аге «ЛпПшху МасЬтез» Рагас1ох1са1? — Зсгепсе, 159,
Лапиагу 26, 1968, р. 396—406.
СгйпЬаит А. Сап ап 1п!тШк1е о! ОрегаНопз Ве Рег!огте<1 т
а РтИе Типе? — ВгШзН 1оигпа1 ]ог Иге РпИозорпу о/ 8шпсе%
20, Ос1оЬег 1969, р. 203—218.
5а1топ №. С. 2епо'з Рагадохез. Ес1. ВоЬЬз-МеггШ, 1970.
Ю1т1з1ег С. №. 2епо, АпзЫ1е, №еу1 апй 5Ьиагс1: Т>уо-апс1-а-Ьа1Г
тШеша о\ \уогпез оуег питЬег. — ТНе Ма1НетаИса1 ОагеИех
64, ОсЬЬег 1980, р. 149—158.
Глава 5
Кеупез Л. М. А ТгеаИзе оп РгоЬаЫШу, — МастШап, 1921,
Нагрег & Коду рарегЬаск герпп1, 1962.
Сагпар К. 51а11з11са1 апа* 1пс1исиуе РгоЬаЫШу. 1п: ТЬе 5{гис*иге
о! ЗаепШгс ТЬоид1Ь Ьу Е. Н. МасМеп, еа\ Н, МИШп, 1960.
345
О <пари Паскаля*
СагдНе Л. РазсаГз ЧУадег. — РНИозорНу: ТНе Зоигпа1 о? Иге
Цоуа1 1пзШи(е о} РНПозорку, 41, Ли1у 1966, р. 250—257.
Тигпег М. В. ОеасНпд !ог Сос1 — 1Ье Вауез1ап Зиррог! о!
РазсаГз \Уа&ег.— РНИоворНу апй РНепотепо1оц1са1 КезеагсН,
29, 5ер1етЪег 1968, р. 84—90.
Наскт^ I. Тпе Етегдепсе о! РгоЬаЫШу: А Ргн1озоргпса1 51ис1у
о! Еаг1у Ыеаз АЪои* РгоЬаЫШу, 1пс1ис1юп, апс! 51аиз11са1
1п?егепсе. — СатЬпдде ишуегзку Ргезз, 1976.
О нетранзитивных играх со ставками
Ртпе11 а А Бия Рагаёох. — ЕрИо^ие, Ли1у 1971, р. 2—3.
Теппеу К. апй Роз*ег С. Моп1гапзШуе Ьогшпапсе. — МаОгетпаИсз
Ма%аг1пе, 49, Мау —Липе 1976, р. 115—120.
Сагбпег М. Ма{пета11са1 Сатез. — 8с1епИ{1с Атпепсап, Ос1оЬег
1974.
Глава 6
МахдуеП Е. А. РаНааез т МаШетаИсз.— СатЪгЫ&е игпуегзиу
Ргезз, 1959.
Ра11ег К. М ШЫкпеасГз РЬПозорпу оГ Зшепсе. — ишуегзИу
о! СЫса^о Ргезз, 1960.
Брадис В. М. и др. Ошибки в математических рассуждениях. -*
М.: Учпедгиз, 1959.
Дубнов Я- С. Ошибки в геометрических доказательствах. — М.з
Наука, 1969.
Глава 7
5ат1е-Ьадие А. Ауес без потЬгез е1 Дез Пдпез (ШЙ1 ЫитЪегз
апс1 ипез). — Рапз: ЫЬга1ге УшЬег1. 1946.
ТоисЬагс1 Л. Соп1пЬи1юпз а Гё1ис1е ёи ргоЫёте без ИтЬгез
роз1е. — СапшНап 1оигпа1 о/ Ма(НетаИс8, 2, 1950, 385—398.
Ьиппоп XV. Р. А Мар-Ро1сПп& РгоЫет. — МаИгетаНсз о/ Сот-
риШ'юп, 22, Лапиагу 1968, р. 193—199.
КоеЫег Л. Е. Ро1<Ип^ а 51пр от 51атрз. — 1оита1 о[ СотЫ*
па(опа1 Ткеогу, 5, 5ер1етЪег 1968, р. 135—152.
Ьиппоп XV. Р. МиШ-01тепз10па1 51атр Ро1<Ип§. — ТНе Сопгри(ег
Зоигпа1, 14, РеЬгиагу 1971, р. 75—79.
Вакег 5. Роз1а^е 51атрз. 1п: Сотри1ег ЗоМюпз \о ТЬгее Торо-
1о^1са1-СотЫпа1ог1а1 РгоЫетз, 1976 (иприЬПзНес! рарег).
Ыеа1е К- ТЬе БеуП'з РоИ. — Оапгез, ЫоуетЬег/ОесетЬег 1979,
р. 33.
Ьиппоп XV. Р. Воипз !ог {Не Мар.-Ро1сПп§; РипсИоп. — СапШг,
Аи&из! 1981 (иприЬНзЬес!).
Глава 9
Об игре в крестики — нолики на плоскости и ее вариантах
Сагс1пег М. ТНе ТИ-ТаМое Тпск. 1п: МаШетаИсз, Ма&гс ап<1
Муз1егу. — Боуег, 1956, р. 28—32. Имеется перевод: Гард-
нер М. Математические головоломки и развлечения. — М.з
Мир, 1971, с. 41—50.
На1ез А. ЧУ. апс! ЛетуеН К, I. Оп Кееи1ап1у ап(1 РозШопа!
346
Сатез.— ТгапзасИопз о/ (Не Атегкап АШНетаИсЫ Зос1е1у,
106, 1963, р. 222—229.
Ерз1ет Н. А. ТЬе ТЬеогу о! СатЫт^ апс! 5Ы1з1лса1 Ьо^1С. —*
Асаёегшс Ргезз, 1967, р. 359—363.
ЗсЬиЬ Р. ТЬе Сате о! Мои&Ыз апс! Сгоззез. ТЬе Маз1ег Воок
о{ Ма1ЬетаИса1 КесгеаИопз. — Ооуег, 1968, СЬ. 3.
ЗПуегтап Э. Ь. Уоиг Моуе.— МсСга\у-НШ, 1971, р. 69—78.
СоЬеп О. I. А. ТЬе 5о1и1юп аГ а 51тр1е Сате. — Ма1кетаНсз
Ма^агте, 45, 5ер1етЬег — СИоЪег 1972, р. 21&—216.
Рексе СЬ. ТЬе Ыеш Е1етеп1з а! Ма1Ьета1юз. Её. С. Е1зе1е.—.
НитапШез Ргезз, 1976, V. 2, р. И—24.
Вегккатр Е., Сотуау Л. апс! Сиу К. Ыпез апс! §яиагез. 1п: Шт-
тп& №ауз. — Асас1егшс Ргезз, 1982, V. 2, СЬ. 22.
Веек Л. апс! Сзктаг Ь. УапаИопз оп а Сате. — 1оита1 о[
СотЫпаШ1а1 ТНеогу, 5ег. А, 33, ЫоуетЪег 1982, р. 297—315.
Об игре в го-мску
Ьаз1ег Е. Со апс! Со-токи. — Эоуег, 1960.
Е1соск Е. XV. ала* Миггау А. М. Ехрептеп1з дуНЬ а Ьеагтт*
Сотропеп! т а Со-токи Р1аут|* Ргодгат. 1п: МаеЫпе 1п-
1еШ&епсе I, Ы. Ьу N. Ь. СоШпз апс! Б. МкгЫе.— ОНуег апд
Воус1, 1967.
Миггау А. М. апс! Екоск Е. XV. Аи1ота11с Сезспргюп апс! Ке*
со^пШоп о1 Воагс! РаНегпз т Со-токи. 1п: МасЫпе 1п1е1*
Н^епсе II, её. Ьу Е. Оа1е апс! О. МюЫе. — ОИуег ап«1 Воуё,
1968.
РгихЬагё Э. Кещи. — Оатез, N0. 76, 5рпп^ 1980, р. 26—28.
О составлении программ для ЭВМ
Ба1у XV. С. Сотри1ег 51га1е§1е5 !ог 1Ье Сате о! СиЫс. М. 5,
тез15. — М1Т, 1961.
СМгепЬаит К. Ь. ТЬе Сопсер1 о? 51га1е&у апс! Из АррПсаглопз
1о ТЬгее 01тепзюпа1 Т1с-Тас-Тое. Зуз^егпз РезеагсЬ СеЫег,
Керог! 5КС-72-А-65-26. —Сазе 1пзи1и1е о! ТесЬпо1оеу, 1965.
СИгепЬаит Н. Ь. ЕШЫепг. Кергезеп1а1юпз о! ОрИта1 51га1е&у
гог а С1азз о! Сатез. ЗузАетз РезеагсЬ Сеп1ег, Керог{
5КС-69-5. —Сазе Шез1егп Кезегуе ишуегзйу, 1969.
СКгепЬаит К. Ь. 51га1е^1с РаНегп Сепега1юп: А 5о1и1юп
ТесЬшяие 1ог а С1азз о{ Сатез. 5уз1етз Оеуе1ортеп1 Сог«
рогаИоп, Керог* 5Р-3505. — 5ап1;а Могиса, СаШогта, 1970.
Вапегр К. В. МасЫпе Ьеаггппд о! Сатез. — Сопгри1ег$ апй
Аи1отайоп, ЫоуетЪег 1970, ОесетЬег 1970.
Ра1азЬтк О. <ЭиЫс: 4X4X4 Тю-Тас-Тое. — МаИгетаНсз
Мацаяпе, 53, 5ер1етЬег 1980, р, 202—216.
Глава 10
Раг&е1ег А. К. РЫЫ Ро1уЬес1га. — ТНе Ма(НегпаИса1 СагеНе,
43, Мау 1959, р. 88—101.
Вгипгоп Л. ТЬе Р1аИес1 Эос1есаЬес1гоп. — ТНе Ма1НетаИса1 Оа-
ге11е, 44, РеЬгиагу 1960, р. 12—14.
^егшт^ег М, Л, Ро1уЬес1гоп Мос1е1з, — СатЬпёде 11туег511у
347
Ргезз, 1971. Имеется перевод: Веннинджер М. Модели много-
гранников.— М.: Мир, 1974.
Редегзеп Л. Л. АзутрЫю ЕисЛМеап Туре Сопз1гис1юп5 чуЦЬоих
ЕисНс1еап Тоо1з. — ИЬопаса (±иаг1ег1у, 9, АргП 1971, р. 199—
216.
Рес1егзеп Л. Л. 5оте \УЫтз1са1 Оеоте1гу. — МаОгетаИсз ТеасН-
ег, 65, Ос1оЬег 1972, р. 513—521.
Рес1егзеп Л. Л. апё Рейегзеп К. А. ОеотеШс Р1ау1Ыпдз.—
ТгоиЬаёоиг Ргезз, 1973.
Спддетап N. Т. Оеоте1пс ЗрЬепсИу. — 1оигпа1 о/ Цесгеайопа1
МаИгетаИсз, 6, Зиттег 1973, р. 106—210.
Глава 11
ТЬе НапёЬоок о! Кеуегз1, а1зо Рапогопа, 1пуазюп, На1та.—
Ьогккт: Р. Н. Аугез, 1889.
ТЬе Воок о! ТаЫе Оатез. Е(1. Ьу «Рго!еззог НоИтапп» (Апде1о
ЬеШз), — Ьопс1оп: Оеогде КоигЫде апс! 5опз, 1894.
Глава 12
О Сэме Лойде
Ват О. С. ТЬе Рппсе о! Риг21е Макегз. — ТНе 81гапй Мадагше,
34, БесетЬег 1907, р. 771—777.
Еа1оп Ш. Р. Му РИ1у Уеагз т Ри2г1е1апс1: 5ат Ьоус1 апс1 №з
Теп ТЬоизапй Вгат-Теазегз. — ТНе йеИпеШог, Арп1 1911,
р. 274.
ТЬе Ма1ЬетаИса1 Риггкз о! 5ат Ьоуа\ Е± Ьу М. Сагёпег,
V. 1—Эоуег, 1959; V. 2 — Ооуег, 1960. Имеется перевод:
Лойд С. Математическая мозаика. — М.: Мир, 1980.
Об исчезающих фигурках
Оагдпег М. МаШетаИсз, Мадю ап(1 Муз1егу. — Боуег, 1956,
51оуег М. ТЬе В1зарреапп§ Мап апс! 01Ьег УатзЬт^ Рага-
ёохез. — Оатез, ЫоуетЬег-ОесетЬег 1980, р. 14—18.
Глава 13
8а1топ \У. С. (ес1.). 2епо'з Рагадохез. — ВоЬЬз-МеггШ, 1970.
СгйпЬаит А. Моёегп Заепсе апс! 2епо'з Рагаёохез. — \^ез1еуап
ип1уегз11у Ргезз, 1967.
Юаткт М. 5.. ВапкоН Ь., Тпдд СЬ. №. апс! РигзеИ Ь. Е. Сот-
теп! оп 0503. — МаОгетаИсз Ма^агте, 44, 5ер1етЬег 1971,
р. 238—239.
5а1топ №. С. Зрасе, Т1те апс! МоИоп.— Оюкепзоп, 1975. 5есопс1
геУ1зе<1 ес1Шоп — ОтуегзНу о! Мтпезога Ргезз, 1980, р. 48.
Сагёпег М. АЬа! Оокпа. — №. Н. Ргеетап, 1982, р. 148—149.
Имеется перевод: Гарднер М. А ну-ка, догадайся! — М.: Мир,
1984.
Глава 14
Сиу К. К. апс! 5тИЬ С. А. В. ТЬе 0-Уа1иез о! Уапоиз Оатез. —
Ргосеейтцз о} Иге СатЬпй&е РНИо80рЫса1 8оае1у% 52,
Раг1 2, Ли1у 1956, р. 514—526.
Огипйу Р. М. ап<1 ЗпШЬ С. А. В, 013]*ипсЦуе Оатез адШ 1Ье
348
Ьаз1 Р1ауег Ьозшд. — Ргосее^шдз о! 1Ье СатЬгЫ&е РЫ1о«
зорЫса1 5оае1у, 52, Раг! 2, Ли1у 1956, р. 527—533.
СапЗпег М. N1111 апс! Тас-Их. ТЬе 5аеп1Шс Атепсап Воок об
Ма1ЬетаИса1 Ри2г1ез апс! 01Уегзюпз. — Зипоп апс! 5спиз1ег,
1959. Имеется перевод: Гарднер М. Математические голово-
ломки и развлечения. — М.: Мир, 1971, с. 132—142.
Кепуоп Л. СЬ. ЬПт-Пке Оатез апс! 1Ье Зргадие-Ошпду ТЬеогу. =*
ЫшуегзЦу о! Са1дагу, 1967.
5тЛЬ С. А. В. Сотроипс! Оатез >У1т Соипкгз. — 1оигпа1 о[
НесгеаИопа1 МаНгетаИсз, 1, Арп1 1968, р. 67—77.
Соп\уау Л. Н. Оп ЫпитЬегз апс! Оатез.—Асаёегтс Ргезз, 1976*
Оагёпег М. Лат, Но1, апё 01Ьег Оатез. 1п: Ма1ЬетаИса1 Сагт-
уа1.— Кпорг, 1977.
Вег1екатр Е. К., Согшау Л. Н. апс! Сиу К. ^тшп^ Шауз, V. 1
апа1 2. — Асаскпнс Ргезз, 1982.
Глава 15
Оо1отЬ 5. №. Нпу 1о ЫитЬег а ОгарЬ. 1п: ОгарЬ ТЬеогу апс1
СотриНпд. Ей. К. С. Кеас1. — Асадегшс Ргезз, 1972.
Оо1отЬ 5. №. ТЬе Ьаг^ез! Сгасе!и1 ЗиЬдгарЬ о! 1Ье СотрЫе
ОгарЬ. — ТНе Атепсап Ма{кетаИса1 МопШу, 81, Мау 1974,
р. 499—501. См. также комментарий К. Оиу в том же жур-
нале, 82, ЭесетЬег 1975, р. 1000.
Сагёпег М. М1ат1 ВеасЬ. 1п: ТЬе 1псгесИЫе Эг. МаШх. — 5спЪ«
пег'з, 1976.
В1оот О. 5. апс! Оо1отЬ 5. №. АррПсаНопз о! ЫитЪегед 1т«
сНгес1ес1 ОгарЬз. — Ргосеейтцз о( Иге 1пзШи(е о( Е1ес1пса1
ап4 Е1ес1готсз Еп%теег$у 65, АргП 1977, р. 562—570.
Вегтопд Л. С. Огасе!и1 ОгарЬз, НасНо Ап1еппае, апс1 РгепсЬ
АУтсЬпШз. 1п: ОгарЬ ТЬеогу апд СотЫпа1опсз. Ес1. К. Л. №Ц*
зоп. — Ьопйоп: РИтап, 1979.
ТЬе Зрагзе Ни1ег. РогЫет 1076. — 1оита1 о\ %есгеаИопа1 Ма1пе«
таНсз, 15, Ыо. 2, 1982—1983, р. 152—155,
Глава 16
О замечательных свойствах бордгоров
Согшау Л. Н. апс1 Сохе1ег Н. 5. М. ТпапдиЫес! Ро1удопз апд
Рпеге РаНегпз. — МаИгетаИса1 СагеИе, 57, Ос1оЬег 1973, р. 87.
БЬерЬагд С. С. АсЫШуе Рпеге РаНегпз апс1 МиШрПсаКоп
ТаЫез. — Ма1НетаИса1 ОагеШ, 60, Ос1оЬег 1976, р. 178—184.
Глава 17
Ва11 №. XV. СЬеззЬоагс! КесгеаНопз. 1п: Ма1ЬетаИса1 Кесгеаиопз
апс! Еззауз. — МастШап, 1892, 1^е1ПЬ ес!Шоп, 1972.
№Ы1е А. Ьез 1оигз (1е {огсе (1иг ГёсЫяшег. — Рапз: 1906.
Бидепеу Н. Е. СЬеззЬоагс! РгоЫетз. 1п: Атизетеп1з т МаШе-
таНсз. — Ьопскт: ТЬотаз Ые1зоп, 1917, Ооуег герпп!, 1958,
Батсзоп Т. К. 1ЛНта*е ТЬетез. — С. М. Рох, Зиггеу, Еп^апс!,
1937; тс1ис!ес1 т Р1уе С1аззюз о! Раку СЬезз. — Ооуег, 1973,
РаЬе1 К. Кипе! ит (1аз ЗсЬасЬЬгеИ. — ВегНп: 1955.
Яглом А. М. и Яглом И. М. Неэлементарные задачи в элемен-
тарном изложении. — М.: Гостехиздат, 1954.
МаёасЬу Л. СЬеззЬоагс! Р1асетеп1 РгоЫетз, 1п: МаШетаИсз
оп УасаИоп, — ЗспЪпег'з, 1966.
349
ВопзёогН Е., РаЬе1 К. апё КиЫтаа О. ЗсЬасЬ ипс! 2аЫ,—
ЭйззеЫог!: \Уа11ег Каи Уег1а&, 1966.
Бкктз А. 5. М. А Сшёе 1о Раку СЬезз. — Зиггеу, Еп&1апё,
1967. Кеу1зеё еёШоп, Эоуег, 1971.
Сгозз XV. апё Оюктз А. 5. М. Кесогёз т Опе-Моуег СЬезз
Соп51гисглол Тазкз. — Зиггеу, Еп^1апё, 1970.
Аш1еу 5,. СЬезз Р1есез. 1п: Ма1ЬетаНса1 Рим1ез. — Ьопёоп:
О. Ве11, 1977.
Глава 18
1Лат 5. М. РгоЫетз т Мос1егп МаШетаИсз.— ЛоЬп ШНеу,
1960. Кеугееё еёШоп, 1964.
О&Пуу С. 5. Тотогпш'з Ма1Ь. — СМогё ишуегзИу Ртезз, 1962.
Кеу1зеё еёШоп, 1972.
Оиу К. К. 11п5о1уеё РгоЫетз т ЫигпЬег ТЬеогу. — Зрппдег-
Уег1а&, 1981.
О задаче ЗХ + 1
Апёгее К. V. Моёегп АЬз1гас1 А1&еЪга. — Но11, ЯтеЬаг1 ап<1
\Ушз1оп, 1971.
Ылеуег^еИ Л„, Рагтег Л. апё Кет&оЫ Е. М. Сотри1ег АрргоасЬез
1о Ма1Ьетаиса1 РгоЫетз. — РгепИсе-НаИ, 1974, р. 211—217.
Тп&& СЬ. апё о^пегз. РгоЫет 133. — Стих МаОгетаИсогшп, 2,
1976, р. 144—150.
Втсе Ш. Сгагу КоПег Соаз1ег. — ТНе МаМгетаИсз Теаскег, 71,
Лапиагу 1978, р. 45—49.
СгапёаИ К. Е. Оп 1Ье ЗХ + 1 РгоЫет. — МаНьетаПсз о/ Сот-
риШшщ 32, 1978, р. 1281—1292.
НоЫаё1ег Б. С6ёе1, Езспег, ВасЬ. — Вазю Воокз, 1979. р. 400.
ОгиепЪег&ег Р. ЗХ + 1 Кеу1511её. — Рори1аг СотриИп§9 7,
(МоЬег 1979, р. 3—12.
Сиу К. К. ипзо1уес1 РгоЫетз т МитЪег ТЬеогу. — 5ргш§;ег-
Уег1а^, 1981, р. 120—121.
Сагпег Ь. Е. Оп 1Ье Со11а1х Зп + 1 А1доп1Ьт. — Ргосеейтцз о}
(Не Атепсап МаШегпаНса1 5ос1е1у, 82, 1981, р. 19—22.
Ьадапаз Л. С. ТЬе ЗА" + 1 РгоЫет апё Из СепегаПгаИоп.—
1982, иприЪПзЬеё.
Об игре «Ползунок*
$\{#\ег. — РипсИ(т, 1, Арп1 1977, р. 13; Ос1оЬег 1977, р. 15—20,
Апёегзоп \у". N. Мах1тит МакЬтд апё 1Ье Сате о! ЗШЬег. —
!оита\ о\ СотЫпа!опа1 ТНеогу, 17(В), 1974, р. 234—239.
Глава 19
Зсагпе Л. 5сагпе оп Сагё Тгккз. — Сготуп, 1950.
Оагёпег М. МаИгетаглсз, Ма^е апё Муз1егу. — Ооуег, 1956
51Гпоп Ш. Ма1ЬетаИса1 Ма&ю.— ЗспЬпег'з, 1964.
Ри1уез К. ЗеЦ-ШогЫп^ Сагё Тпскз. — Эоуег, 1976.
Глава 22
О теории клеточных автоматов
Неитапп Л. V. ТЬеогу о! 5е11-ЯерНсаип§ Аи1отаи, — 1-1шуег*
зку о! ИЦпо13 Ргезз, 1966,
35Э
Мшзку М. Ь. СотриШюп: РтЦе апс! 1пПш1е МасЬтез.-*
РгепИсе-НаП, 1967.
Мтзку М. апс! Рарег* 5. Регсер1гопз. — М1Т Ргезз, 1969.
Сос1(1 Е. Р, Се11и1аг Аи1ота1а. — Асаскпис Ргезз, 1968.
АгЫЬ М. А. ТЬеопез о! АМгас* Аи!ота1а. — РгепИсе-НаИ, 1969.
Еззауз оп Се11и1аг Аи1ота1а. Ес1. А. \У. Вигкз. — ШГуегзИу о*
Што13 Ргезз, 1970.
Об игре «Жизнь»
СЬаШп С. Тотсагс! а Ма1Ьета11са1 ЭеПпШоп оГ Ы!е. — Раг1 1,
АСМ 81САСТ Мешз, 4, Лапиагу 1970, р. 12—18; Раг1 2, 1ВА1
Яезеагск ЯероЫ ЯС 6919, ОесетЬег 1977.
Ваггу Л. ТЬе Оате о! 1лГе: 1з II Лиз! а Оате? — Тке 1опйоп
Тшез, 5ипс!ау, Липе 13, 1971.
ЫГеНпе, а пешз1е11ег оп ЫГе. Ей.К. ^аШ^Ьп^М. 1ззие5 1—
11, МагсЬ 1971 —5ер1етЬег 1973.
ТЬе Оате оГ 1ЛГе.— ТШе, Лапиагу 21, 1974.
Р1е1е О. Т. Роря1аиоп Ехр1о&к>п: Ап Ас{ш1у Ьеззоп. — МаИхе-
таИсз Теаскег, Ос1оЬег 1974* р. 196—502.
Бгез(1еп М. апс1 №ап& Э. Гл1е Оатез апс! ЗЫлзИса! Ме1Ьос!з.—
РгосеесИпдз о/ \Не ЫаИопа1 Асайету о/ Заепсе, 72, МагсЬ
1975 о 956 968
Не1тегз С. ЬИеНпе. — Ву(е, 1, 8ер1етЬег 1975, р. 72—80.
Не1тегз С. УГеПпе. — Раг1 2, Ву1е% Ос1оЬег 1975, р. 34—42;
Раг1 3, ОесетЬег 1975, р. 48—55; Рат1 4, Лапиагу 1976,
р. 32—41.
Р1егз А. Ох. — Ауоп, 1976.
5сЬи1тап Ь. Е. апс! ЗеМеп Р. Е. 5Ыгзг1са1 МесЬашсз о\ а
Оупагтса1 5уз1ет Вазес! оп Сотуау'з Оате о{ Ы!е. — 1ВМ
Яезеагск ЯероП ЯС 6802, Ос1оЬег 1977.
2е1епу М. ЗеИ-Ог&атгаИоп о! \лч'т% 5уэ!етз. — 1п1етаИопа1
]оигпа1 о{ Оепеаг1 8уз1етз% 4, 1977, р. 13—28.
МШшт Л., Кеагёоп Л. апс! 5таг1 Р. Ы!е ш\Ь. Уоиг Сотри1ег. —•
Ву1е, 3, ОесетЬег 1978, р. 45—50.
Вискт^пат О, Л. 5оте Рас1з о! Ы1е. — Ву(е, 3, ОесетЬег 1978,
р. 54—67.
МШеп Л. К. Опе-01тепзюпа1 1Лге.— Ву*е, 3, ОесетЬег 1978,
р. 68—74.
М1уато1о М. Ап ЕяшЬЪпит 51а1е Гог а Опе-Оипепзюпа1 Ше
Оате. — 1оигпа1 о/ М&кетаИсз о} Куо1о С/пюегзМу, 19, 1979,
р. 525-540.
ЭДегтес М. О. 1л!е А1&оп1птз. — Ву(е. 4, Лапиагу 1979, р. 90,
5ос1егз1гот К. Ыге Сап Ве Базу. — Ву*е, 4, АргН 1979, р. 166.
Рее11е Н. ТЬе Оате о! Ы1е. — ЯесгеаНопа1 СотриНп§, 7, Мау —
Липе, 1979, р. 16—27.
ВгесЬег К. 5р1га1з: Ма^пШсеп* Муз1егу. — ЗЫепсе 01§ез1ж
5рпп2 1980, р. 74.
Еуапз 5. АРЬ Макез 1л!е Еазу (апс! У1се Уегза). — Ву(е, 5,
Ос1оЬег 1980, р. 192—193.
Маса1изо Р. ЬИе АПег Оеат. — Ву1е, 6, Ли1у 1981, р. 326—333,
ВеНекатр Е., Соп^ау Л. апс! Оиу К. \УЬа1 13 1лГе? 1п; \Утптд
№ауз, V. 2, — Асаскгшс Ргезз, 1982.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика 5
Введение ... 7
Глава 1. Колеса 11
Глава 2. Диофантов анализ и большая теорема Ферма 23
Глава 3. Молекула с узлами и другие задачи 35
Глава 4. Иерархия алефов и сверхзадачи 49
Глава 5. Нетранзитивная игра в кости и другие парадок-
сы теории вероятностей 63
Глава 6. Геометрические заблуждения ... 78
Глава 7. Комбинаторика складывания бумаги 90
Глава 8. Набор простеньких задач 110
Глава 9. Крестики — нолики, или тик-так-тоу , 135
Глава 10. Складывание многогранников . . .151
Глава И. Игра хальма ... .163
Глава 12. Рекламные призы . . ... 175
Глава 13. Сэлмон о собаке Остина . 185
Глава 14. Ним и Хакенбуш . . 196
Глава 15. Изящные графы Голомба ... . . . 209
Глава 16. Лыжник Чарлза Адамса и другие задачи . . . 225
Глава 17. Шахматные задания . . .... 246
Глава 18. Ползунок, ЗХ + \ и другие любопытные вопросы 259
Глава 19. Математические фокусы с картами . 275
Глава 20. Игра «Жизнь». Часть I . . . 287
Глава 21. Игра «Жизнь». Часть II . . 303
Глава 22. Игра «Жизнь». Часть III . . 323
Литература . ... 344