МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ УССР
ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. К. ХИЖНЯК, В. П. ШЕВЧЕНКО
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
(Учебное пособие)
ДОНЕЦК - 1980


МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ УССР
ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
В.К.Хижняк, В.П.Шевченко
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ 1ЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
(учебное пособие)
Д онецк , ДонГУ ,1980
X 539.3	ХОНЯК В.К., ЕЕВЧЕНКО В.П.
Смешанные задачи теории пластин
и оболочек.
Учеб.пособие. Донецк. Донецкий
государственный университет. 1979.
126 с.
В пособии изложены методы сведения смешанных задач тео-
рии пластин й оболочек к системе сингулярных интегральных урав-
нений типа Коши.
Методом двумерного интегрального преобразования Сурье
построены фундаментальные решения уравнений теории пологих
оболочек, которые используются для получения ядер интеграль-
ных уравнений.
Приведено решение конкретных задач для пластин и оболо-
чек, ослабленных прямолинейными трещинами. Рассмотрены кон-
кретные задачи для упругих оболочек с линейными абоолптно
жесткими штампами.
Рассчитано на студентов механико-математичеоких факуль-
тетов университетов.
Рецензент» Космодамианский А.С.. чл.-корр.АН УССР, проф.
и) Донецкий госуииверситет, ДонГУ, 1?80
В В ЕД Е И И Е
Интенсивное развитие вычислительной техники вызывает интерес
исследователей к разработке эффективных численных методов приклад-
ной теории упругости, которые позволяют решать более сложные задачи,
чем существующие методы конечных разностей и конечных элементов,
являющихся весьма эффективными при решении задач теории пластин и
оболочек, обладающих непрерывной структурой или нагруженных нагруз-
ками, непрерывно распределенными по их поверхности.
При наличии разрывов в структуре оболочки (наличие отверстий,
трещин, скачков в кривизне и др.), а также при локальных нагрузках,
эти методы не позволяют достоверно определять концентрацию напряже-
ний и приводят к значительным погрешностям и затратам машинного
времени.
Как показали последние исследования /8,20,21/, одним из наибо-
лее эффективных методов решения граничных задач теории упругости
является метод граничных интегральных уравнений.
Одним из узловых моментов этого метода является построение
фундаментального решения (матрицы Грина) и сходной системы диффе-
ренциальных уравнений. Для плоской задачи теории упругости и задачи
изгиба пластин такие решения построены / 5,11 /.
Отсутствие приемлемых фундаментальных решений уравнений стати-
ки теории оболочек затрудняло широкое использование этого метода
для решения задач о концентрации напряжений в оболочках, ослабленных
трещинами, отверстиями или нагруженных жесткими (упругими) штампами.
Предлагаемое учебное пособие является продолжением пособия
Еевченко В.П. "Интегральные преобразования в теории пластин и обо-
лочек" и преследует три цели:
I)	разработать метод построения фундаментальных решений урав-
нений статики теории оболочек;
3
2)	разработать метод сведения граничных задач теории оболочек
к решение системы граничных интегральных уравнений;
3)	.привести решение конкретных смешанных задач теории пластин
и оболочек о помощью граничных интегральных уравнений.
В первой главе пособия изложены методы построения фундамен-
тальных решении уравнений теории пологих оболочек и приведены ос-
новные соотношения, необходимые для сведения краевые задач теории
оболочек к граничным интегральным уравнениям. Изложена теорема
взаимности работ, являющаяся основой сведения системы дифференци-
альных уравнений к интегральным уравнениям.
Во второй главе получены интегральные представления решений
уравнений теории пологих оболочек и граничные интегральные уравне-
ния. G помощью интегрального преобразования Зурье и полученных в
первой главе фундаментальных решений, построены в явном виде ядра
стих интегральных уравнений.
Третья глава цосвящена решению задач о концентрации напряжений
в плаотинах и оболочках, ослабленных прямолинейными трещинами.
Рассмотрены контактные задачи для упругих оболочек с жесткими штам-
пами.
В приложении приведены краткие сведения о специальных функциях,
используемых в данном пособии.
Авторы выражают благодарность Гусару Н.Н. и Цваигу В.А. за
представленные численные расчеты, а также Чиликиной Л.М. за техни-
ческое оформление рукописи.
ГЛАВА
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СТАТИКИ
пологах изотропных оболочек
§ I. Основные соотношения теории пологих оболочек
В этом параграфе без вывода приведем основные соотношения
классической теории пологих изотропных оболочек постоянной толщины
динатам X ,	,2 (координата 2
срединной поверхности).
динатные линии Xz Conit
Срединную поверхность оболочки отнесем к криволинейным коор-
направлена по нормали к
Предположим, что коор-
и 3	совпадают о линиями главных
кривизн срединной поверхности. Главные кривизны /у ж бУД0М
считать постоянными и равными своим значениям в начале координат.
Выпишем основные соотношения, необходимые для решения гранич-
ных задач теории пологих оболочек /10/.
I. Уравнения равновесия:
дх +
дГл
as
+ —
★У’О;
+ X аО ;
эч эль —- + — Эх ду		= 0;	(I.I)
л/ Здесь X , У	д^. ’	дХ , Ъ - проекции внешней нагрузки		на координатные
оси f	9	, S - мембранные усилия;	Л,,	М2 , Н - ИЗ-
ги бающие и крутящий моменты; Лу •	“		перерезывающие силы.	
5
Положительные направления
рис. I.
статических величин показаны на
Рис. I
П. Соотношения упругости:
л_ — f ‘	^'г>
М(-+
jj ~ ^iZ •
Ьдесь: £	- модуль Юнга. J - коэффициент 11уассона, £f .
£, 8	~ компоненты тангенциальной деформации срединной
поведхнос™ оболочки;	~ компоненты изгибной де-
формации срединной поверхности,
ная жесткость.
Ш. Соотношения, связывающие деформации и перемещения:
е Эи ,
£< = — + к. W 	£, =
1 ах ' z
t =2(“ +ЭП.
1 ау зх ' ’
ЭУ( а
V =---'	- --
дх ' г щ ’
dlT ,
— + kzW ;
X = --
2
(.1.3)
+ дХ ' ’
I = _ Э1£ . у _	Э!£-
1 ЭХ '	2 '	’
Здесь приняты следующие обозначения: И , V , ИХ - перемещения
точек срединной поверхности в направлении координатных осей X ,
, X ; и - углы поворота касательных к координатным
линиям.
Из соотношений (I.l)-(1.3) монно получить систему дифференци-
альных уравнений статики пологах оболочек в перемещениях
Z/z и + LiSLir + Lfi ” X ;
Ln и + 2х + l£3i^ - - Y ;	(Ь4)
L(3 и + L23V + кзь™' = 1 '
L i\ - дифференциальные операторы с постоянными коэффициента-
ми, имеющие вид	2
/	11. + bY э b
7
_ Eh.
/ - )
/-у/2 1^2 + Z Эх*Ь
L„-	L»' “•»
Z33 = » (//+ ^(к*+Ш,кг*к*)}.
К
Уравнения статики пологих оболочек можно представить в форме
уравнении смешанного метода.Для этого выразим мембранные усилия
через функцию напряжений F следующим образом:
С помощью этих соотношений первые два уравнения равновесия
удовлетворяются тождественно. Остальные три вместе с уравнением
неразрывности деформаций
.	Э2<£. д £/2	п
kixf + ktxi +	*2а&у. * эу2 " •	«л)
дают систему уравнений смешанного метода
* pVw +кг +kt
z о 2
CL	4. b 3	) =	(1’8)
v 7 F *-	'
8
Систему уравнений (1.8) можно свести к одному разрешающему
уравнению относительно комплексной функции / 28 /.
§ 2. Граничные условия в теории пологчх
оболочек
Пусть граничный контур не совпадает с координатной линией.
Тогда для направлений, характеризуемых нормалью П. и касатель-
ной 1 (рис. 2), компоненты напряженно-деформированного состоя-
ния выразим
следующими формулами:
ия= Л,И *Л41Г ;	4^= ЛУ + л4 ;
t/t=	;
9
\s п/ Tf + 2	$ + п* т •
= Л# М{ * Щ ПгН + п.гг ;
Ит- “ЛЩ-М,) + (п^п*)Н;
hn = П{ + пг л/2 .
nt = CotCfc)'П^Со^тСу) -• ип • ut - переме-
граничного контура в направлении нормали и касательной
* ^ГЛЫ П0Е020Та граничного элемента вокруг
и нормали; Т_ , S
а Ш	.
- изгибающий и крутящий моменты; /vn - перерезыва-
. Положительные направления
, рассматриваемых на граничном контуре^ показаны на
п
Здесь
щеиия точек
к контуру;
касательной
Мп • нпл
П fit
кщая сила в сечензи с нормалью Л
для величин
рис. 3.
- нормальное и касательное усилия;
Рис. 3
10
Производные по нормали и по дуге контура выражаются через
производные по X и следующими формулами:
3 _ „ э , „а а э э
Гп. -П< Ц = л,- пггх 
Так что, для углов поворота можно записать
и ЭкГ и _ _ЭйГ
' Э/г ’ h~~ at
(2.2)
(2.3)
На каждой части граничного контура должны быть заданы четыре
граничных условия, т.е. по одной из каждой пары величин
ЭЯ
Функция =	называется обобщенной перерезыва-
ющей СИЛОЙ.
Приведем несколько примеров записи граничных условий, наибо-
лее часто встречающихся при практических расчетах.
I)	свободный край
Т = о S ==0. Z? = 0, М =0.
А. / де * Л ' П
2)	шарнирный, неподвижно опертый край
и -О = 0 w-q Мп-0.
fl » t >	» л
3)	защемленный край
ип-о, иго , иг-о, гп-о.
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Очень часто при решении граничных задач, кроме граничных
условий типа (2.5)-(2.7) на решения уравнений (1.4) или (1.8;
приходится накладывать дополнительные условия периодичности или
затухания решений на бесконечности по одной или обеим переменным.
II
При решении системы (1.4) для заданных граничных условий на
границе оболочки зачастую сталкиваются со значительными математи-
ческими трудностями, вызванными как формой оболочки, так и видом
граничных условий.
Одним из путей, позволяющих расширить возможности решения си-
стемы (1.4), является формулировка краевых задач теории оболочек в
форме интегральных или интегро-дифференциальных уравнений.
Работы в этом направлении начаты Кильчевским Н.А. еще в 1940
году. Однако их использование вызывало определенные трудности из-за
отсутствия ядер интегральных уравнений в форме, приемлемой для
численной реализации.
Систему дифференциальных уравнений (1.4) статики теории оболо-
чек проще всего привести к интегральным уравнениям, используя тео-
рему о взаимности работ / 13 /.
§ 3. Теорема взаимности работ
Пусть оболочка занимает область 5*	» ограниченную замкнутым
»
контуром Z . Рассмотрим два состояния равновесия оболочки, назы-
ваемые далее первым и вторым. Компоненты перемещения, задающие пер-
вое состояние, обозначим и , 17* , ИГ f второе - U* t V* t
W* • Будем считать, что первое состояние вызвано действием внеш-
ней нагрузки с компонентами X , Y » 2 и влиянием гранич-
ных условий на контуре L , второе же состояние - внешней нагруз-
кой с компонентами )С t Y* , & и влиянием своих граничных
условий.
Следует показать, что работа внешних сил первого состояния
на перемещениях второго состояния равна работе сил вторго состоя-
ния на перемещениях первого состояния.
Первое состояние описывается уравнениями равновесия (I.I )
12
— + X - 0 '	2) —2 +	+ у = о
djc.	’ ЗУ Эх
u)
Уравнения равновесия для второго состояния запишем та*. .*
нациями и перемещениями даны формулами (1.2) и (1.3).
Умножим первые три уравнения системы (3.1) соответственно на
ц! V; W* ,* а первые три уравнения системы (3.2) на ( -Z4 )»
( -IT), ( -UZ) и сложим. После преобразований получим
13
Преобразуем слагаемые, входящие в формулу (3.3)

Здесь использованы соотношения
au
д1Г
Далее
Эх
э
преобразуем следующее выражение:
г- ах - ' '	м

^(.nlw’+Mlt'+ Н^) +
Эх	’
А


14
=Д (Л/ г'» и.	и %) *2-	у;♦///,')-
-(а?*,'+Л/	+ 2Нх' )
~ *• < <£ 1
Здесь использованы следующие зависимости :
'	м/
* = 'Эх. ’ °*	’
Аналогично преобразуются и остальные слагаемые в формуле
(3.3). После упрощений ее перепишем в виде
(Хи' + Ур-'-1=2»')-(х'и*У'у+?'яг) +
+ Г	+НМ) - '
13.6)
_ 2 (Tf'u + S,'v +	+ н' 4 )
Эх
_ 5. ( t^v + S'u.+	+ Н )
15
- («, х',+мг х^гн^^^'^м^гн'^о.
В выражении (З.б) взаимно уничтожаются две последних пары
слагаемых, т.к.
* гНх‘2 =
= М,Ч * Мг' Хг < 2 н' Хп .
Это можно проверить непосредственной подстановкой входящих
в (3*7) функций.
Учитывая равенства (3.7), соотношение (З.б) запишем в виде
Х«' + Yv'+lw’ +

(3.8)
(T2v‘ + s W t-^w' +	+ H fi j =
* I (T'“+ s'r v *
dd
Проинтегрируем левую и правую части (3.8) по области S ,
занятой оболочкой и воспользуемся формулой Грина 19 Г.
(( (¥ +	((Pnf + sn2)dt .
V 'Эх W 2
В результате необходимых преобразований придем к следующему
соотношению
// (Xu!+Yv' + lw') JS =
s
= J*< + SnJ и’ + (Тгп2 < SnJv'+Щп<+лЛ>'+
L
/ 1 (3,9)
+ (Af/n/+HnJif; +(^ЛХ*//ЛГ) Xjdi -
~ И (^'и * v
S
+ /(( т/^ + S'fiz )U	+S'^) ir Ц/^п<+^П1) W+
L
+ (^,'л, + H'nJft + (М‘пг + Н'л,)tz) di.
В подынтегральных выражениях криволинейных интегралов перей-
дем к компонентам перемещений и усилий на площадках, определяемых
17
нормалью Л и касательной к контуру t . Используя С2.1),
получим
yv' + im')dS +
s
*XX	)<'* = ‘Злй
д
= Я(Х^ + х'^ + г'^с/s +
S
Ч (ТЛ♦ t “i М'л r„ < n'„t ft)dt.
L
Равенство (ЗЛО) выражает теорему взаимности в случае неклао*
сических теорий, учитывапцих деформации поперечного сдвига/ 22 /.
Преобразуем его к несколько иному виду. С этой целью испо-
льзуем свойство криволинейного интеграла по замкнутому контуру
Если обозначить
, то имеем

ЭЯ
язи. учитывая, что 1
, имеем
Используя это соотношение, придем к следующей формуле, необходимой
для дальнейших упрощений выражения (3,10).
18
/ di = M+
L	L
= f Q di,
> n. >
Э/L. , ,
di =
d± ' a
(3.13)
Q _ Kf + ^Ut
где " Лг + Qt
* обобщенная перерезывающая сила
/ 5,10/ ,	0 учетом (3.13) формула (ЗЛО) примет вид
Yv' + ZV')dS +
+ J(^n Un + Sntai+ мп С + Qn^') di =
L
(3.14)
s
- и.
S
Z
+ У V + £ W ) d S +
+	U. + M' / +Q'tf)di.
jк л л т ’ п °п п. '
L
Это и есть теорема взаимности работ для классической теории
оболочек: работа действующей на оболочку системы внешних сил на
упругих перемещениях, соответствующих другой системе сил, равна
работе этих других сил на перемещениях, отвечающих первой.
Формула (ЗЛ4) позволяет получить интегральные представления
перемещений tZ , V" , через криволинейные интегралы по ipa-
нице области, занятой оболочкой. Эти представления используются
для построения интегральных уравнений граничных задач теории
оболочок.
Ниже найдем выражения, аналогичные формуле (3.9).
T9
Они позволят определить интегральные представления для Производных
перемещений и внутренних силовых величин. Способ их
аналогичен выводу теоремы взаимности работ. Умножив
уравнения системы (3.1) соответственно на
а первые три уравнения (3.2) на
жив полученные выражения, после интегрирования по области и исполь-
зования формулы Грина, имеем
ди-
“аг
г>х
получения
первые три
ЗУ' Эи>'
дХ. ’ 3JC
и ело-
. ЭИГ* dur
дх + dx
ЭМ'
air' ей	aw-y
Аналогично для вторых и третьих производных перемещений
дхг/ дх ‘ дхг ЗХ '
Э и
а
Г ди
I —г
1 дХ
2 .
а/
„ЩИ*.
зи as w
атг

3£
<
Зх

ЭйГ/ yJ
20

au э$'	gy
dz dx	ax ax
. CffT $U,‘ r d2V QV-	35
+Sax3^ *	ap
f
>w +v;-AX tf/i*'z *х<^ n<+
+ ( C UL + T — _
+ ^dz3^, ^дхЗи 8X dx
+кЪ-Т'-кл8—&
v^'
“3 + I Z4A.3 + Z n-v.3
/ Э ыг
Эх3
№. du
,z-i
-''-г
о c
11 cxz
21
эи 8*$z dv + L	w
дх ахЗи * эх	1 ах эх х д' эх
fu* -г & ы Л\ эг эЧ'
Э х3 4 дх.3 ах Зхг дх ЭХг
axt I эх
a« 4 '«bx
ах1
ЗХ'

дхЗч dxd^J у эх зч
.(fl Г	да7'
[	1 дхд4, Зхг31/ эд, ЗхЭд л +
22
Соотношения (3т13)-(3.19) необходимы для получения интеграль-
ных представлений компонент деформаций и внутренних силовых вели-
чин.
Для получения интегральных представлений всех искомых функций
в качестве одного из двух состояний равновесия оболочки удобнее
всего выбрать вспомогательное состояние, вызываемое системой еди-
ничных сосредоточенных сил, направленных вдоль координатных линий,
В дальнейшем решения системы (1.4), соответствующие этим сглам,
будем называть фундаментальными. Перейдем к построению этого реше-
ния.
§ 4. фундаментальное решение уравнений
статики пологих оболочек
фундаментальным решение (функцией влияния) дифференциального
оператора LW называется обобщенная функция Е(х) , удов-
летворяющая уравнению / 9 /
» to.
Фундаментальное решение определяется с точностью до слагаемого
Ед(Х) » являющегося произвольным решением однородного уравнения
L(^)Е^О .
Для уравнений пологих оболочек,в перемещениях (1*4) фундамен-
тальные решения U \х9у) • V
определим как частные решения системы / 26 /
L2<	L11 v°‘+ И,И * -	"	<»• t>
23
где	- двумерная дельта-функция Дирака, ц - симво-
лы Кронекера.Из сопоставления систем уравнений (1.4) и (4.1)
видно, что фундаментальное решение является частным решением зада-
чи о действии единичкой сосредоточенной силы, направленной по од-
ной из координатных линий.
Решение системы (4.1) найдем с помощью двумерного пре-
образования 5урье. Учитывая, что / з /
*°°
•* ою
получаем систему алгебраических уравнений относительно трансфор-
* * _ ®
»» й°‘Ы> , > иа + е	й 11	12	О 4,	. 4, И ♦ ia i где обозначено р «Л '"%2	0	{+>}у ЧГ1 2	’ ^2 -2 ’ 7 = и* + е2	s Е С22 ь	Z S > 2t ft P =	p = P 31	13 > '"JZ цлз >	)°J - Al/2 S'j Eh	2-2 ’ ij ~ Eh	27> * j?oi= -t r.', 3	2T2) J 2^ktkz + k
Решая систему (4.3), найдем трансформанты перемещений, приве-
денные в / 28 /. Там же записаны трансформанты всех внутренние
силовых величин. Указанные функции приведены в/ 26 / формулами
(13.12)413.16).
Из всех перечисленных формул выпишем выражения для трансфор-
мант перемещений
I. В случае силы
-0/	1
U = —-
А
Л= % hx,^)
А
(62г)гД * 2x*Eh
-01 ____1 ЦЦг _	*1
*	(?2+»|г;гд
— Qi 4
~ 4;гг£г*	21
П. В случае силы у = 4/	0)
-02	г-01 ‘
и = V >
.02	1 _ J? Л2	11Ц1
V ~	(§г+7г/д гзг8^ ($4+?2/ ’
(4.4а)
(4.46)
- ,
W д
Ш. В случае силы 2 = 4j
u0i^~vj0i t v°^-^°z
t
(4.4в)
25
В формулах (4, 4а,6,в) приняты следующие обозначения:
Д8« (2^-A)$*+ U+AV/ ?2,
Д «(§*+/)* + **($**
к4S 12(1-/) ^h'Z ,	.
Оригиналы перемещений найдем при помощи формулы обращения для
двумерного преобразования Фурье / 3,28 /
~ si fa. У) e'taX^c/(cf^ .	(4.5)
«»оо
Методика вычисления оригиналов всех искомых функций одна и та
ле / б#7 Д Одаако, при вычислении некоторых из них встречаются
свои трудности и ©©Обеннести, на которые буде. указано нике.
Вычисление оригинала покажем на примере вычисления функции
w	4*6 соответствуй	нормальной сосредоточенной
СИЛЫ л • 4j В соответствий С формулой обращения (4.5)
и выражение»	имеем *
Wa.-L-.T(
Из свойств четных и нечетных функций следует, что
Это выражение можно переписать в виде
Сс^х Coify did']
03
W :
(4.6)
О О
Процесс вычисления интегральной трансформанты упростится,
если в подынтегральном выражении перейти к полярным координатам
и воспользоваться разложением
Соз(грС(ырСо40) CoiCzpSintf $сп&) -
(4.7)
=	дг(гр)Съ2пу>См2пЭ .
ПлО
Здесь 8п~ {
если п- О и £п = 2
- функция Бесселя I рода по-
, если
рядка 2 Л
С учетом (4.7)
соотношение (4.6) преобразуем к виду
X
03
КГ X
П»О
п
(4.8)
J Соз2а& ( /
о о
И?
Видим, что
p^i^^ff) ' iStte)
где t£(0) =	+ А $1лФ.
Подставляя сто соотношение в (4.8) замечаем, что слагаемое,
связанное с интегралом
можно отбросить, т.к. при вычислении (4.8) нужна лмь действительна
ная часть.
Итак,
£(-1) & См2пу х
X К Л> п=0
х f Сол2п& i
с i2(6)
р + 1к&1г(е)
df>)d0.
(4.9)
В приложении приведен метод вычисления интегралов типа
(-/ < Ле^< , п>,о}а>огке^>о].
(4.10)
Используя значение этого интеграла при	из (4.9) получим
^’=-;гг1А&>гл5' х
rw -Л Л "
xjta ( i(fi) G См2/г&
о л‘п
(4.II)
где t; я K.Z
Дальнейшее аналитическое вычисление интеграла возможно, если
функцию
G t(e))
п,п
представить в виде разложения по функциям, зависящим только от од-
ной из переменных £ и $	. Это удается сделать с помощью
теоремы умножения ( 13.19 )
(4.12)
Принимая i (&) -	& + Л Sw &
J? , из (4.12)
получим
G (i; y/cofy +д ) = (Cos'd + л Sin &) *
л, ft
Л У —. О-	(4.13)
z— m/*	1
/П®0
= у У	•
Z_ Z— ml \ C J	n/ntm
MzO 1*0	*	г
Выражение Coi 9 + A Sw f> представим в виде
f
Cmzs < А 51л e =	. W_I0
о	1
Здесь u - — ----------- •
6 Л /+>
Подставляя (4.13) в <4.II) с учетом выражения (4,14), получим
’Жб £п гпЧ	' <*•15)
Ji к. jo п*л	9
где
03
мп,
П+ё-1
(f+2/Coj2&)n+e'^2n0d9.
03
Интеграл; входящий в выражение	, можно вычесть
Рл
7 (2) . Из ин-
тегрального представлены для этих функций ( 13.29 ) имеем
О
(4.16)
Полагая здесь
i+\
2^

имеем
72 л+еч
J (<+2ГСол29) Coi2n.9dQ
i Л+t-f Г(п+ё)
Г(2п^)
Л*£
Это
соотношение справедливо при
Окончательна выражение для
ы°3
запишем в виде
w 'IL p
2 2
 bo
Г. Р .	(4.17)
Г(2п+2) n+bt
r 03
Методика» изложенная при вычислении оригинала функции
без существенных изменений применима и при вычислении остальных
функций.
В соответствии с формулой обращения (4.5), выражениями тран-
сформант (4.4а,б,в) и изложенной методикой вычисления оригиналов
получим остальные составляющие фундаментального решения,
30
соответствующие действию единичных сосредоточенных сил
Z ХУ.
к Ер
У G (С/Г)
иг! n,n+m-i
АП 50
u“. |
v" $м(2п-<)у
гП >v	• J
П-<	л	f 4
р (&) л , р	р (!)
+	] + _*/ +	+ 2+Pi. +
Г(2п+£~2) ' Л ' ' Г(2пЧ) ~ Г(2п+е-Л)
Р^р) Рпп'г^) м
+ лу-г-Л + ^УЛ-г __ } 1
г(2п+£ч) г (.яп+е+з)
Коэффициенты G.^ и принимают следующие значения:
Л 05
для перемещения Ы
^oi -
для перемещения
а = ~ (/-а) .
JZ 1 у
01
и
АлЕЬ^
He^CoilnfZ.
П=о	Л130
“ б,. „ „	(4.19)
у _1См2ау>~
2— И
п^{
imn
0{
^тп.
31
Здесь
4s г (2'л)с,з fa)- т(.г (,-п) fa)+ г (з-п) р%) у
fl	7	*С	7	/	* / J
и”тл = 1 б/ ?	ГМ-,} ( а3	+
1 К 1^0	'С'	Г(2п+ё-1}
п+1
А Р <*)	Рп'‘(2} Ч
(	/	П+^~2 I П-+&Л
“£ \ г(2п^е)	Г(2п+е+2) '' •
ci т / HjC /	Р (&)
^^Г(п.е) (	7?^С_ _
,	&	& и
Г(2П+И+2)	Г(2п+£)	}
Л3^ (AAJ2 + 2Л({+Л)(М) ,
ау = (j-xf + 2> ({-^ ({+^ •
of (7-А)
4j64a
Г — ( Г(з-п) рП($) - Г(1-п) рП({$))£сп2пу-
п*1
ge J S^2n-fT_ 31^ Q (CYi)
~ /и' n,ntm
и=/	m=o •	'
& I SLnM £
^“JsEh	щяо
G(W)
п^/ъ+т 9
(4.20)
где
04
пч
Р (S)
п+С
Г (2п+£)
При вычислении оригиналов перемещений U°* , U°J и пере-
мещений, соответствующих действию сосредоточенной силы X были
использованы соотношения С13.6,13.7)
SinCtp С#3&Sin<f>) =
Sin (гр СозО Сыр) Coi (tpSin-GSin p) =
= 2 X 2 P> Coj(2n-f)G&j(2n-i) (/>,
Cojczp Ccs&Co-ip) Sin(zp Sin GSin ip) ~
13.29
). При
а, также, значения интегралов ( 1313	) и (
04
вычислении U использовано значение интеграла
33
О г
вычисление которого приведено на основе теории обобщенных функций
/4, 9 Л
И. наконец» составляющие фундаментального решения, соответ-
ствующие действию сосредоточенной силы У , имеют вид
OZ
+с)+ ——У ^Coj2n<f-
ША '	2 4г£А £7 Л	(4.21)
. _L_ ge у t wtj —1	
Здесь
_ л'	я*/
сп- Г(2-п)а'{ i-
л-н
n-f
ог
V »
inn
р Ji)
2 4 Г(2п+£)
a1
2?
2
P J^)
г(2п+е-г)
п+£
г(2П+Е+1)

34
р> 1I
л, г(лп+г) J-* *
а; = (/-л)г+ 2(м}
Л
Исследуем поведение функций LC , V , W
окрестности особой точки С О) 0 ). С этой целью в формулах (4.15)»
(4.18)-(4.21) следует перейти к пределу при О , О •
Учитывая асимптотические свойства (13.2О,13.21)ФУПК1Е1И Д
|£|
01
U ' ~ -
, получим
4nEh
о/
(4.22а)
01
01
02
UX
^Eh

(4.226)
±т±> <, г MJ.	«-»)].
itEhft. <rL q

03	01	03	02
U	, V	,	(4.22b)
w»3	-
gji^sb u	4	.
//*’J
Из полученного фундаментального решения для U . <z •
для уравнений теории пологих оболочек путем предельного
перко» при к, - О « кг - О W«« фгешшпгаим»»
35
уравнении плоской задачи теории упругости и задачи изгиба пластины.
Окончательные результаты имеют вид
I. Для плоской задачи
1г"=- м>,,*>
8зЕ г

(М)*
Ь*£
<Л.23)
uCi
Of
V
01

W

П, Для задачи изгиба
г
> 1"^
ч
W0i»
?Г2>
Al-Z
(4.24?
использованы
при построении
сводятся смешанные задачи
Соотношения (4.23) и (4.24) будут
ядер интегральных уравнении, к которым
плоско!' задачи теории упругости и изгиба пластин.
Доках вы, что полученное решение (4,15), (4.18X4.21) явля-
ется фундаментальным. Доказательство проведем на примере фундамен-
тального решения U
Ь '
единичной сосредоточенной силы
Рассмотрим только первое уравнение, получаемое из системы
(Х.О при je<
,	, соответствующего действию
Xs	.
2 0/
dV'
A
A-frV
Эиг0*
36
В выражениях для U°1,	V)01 следует оставить только
сингулярные члены, определяемые формулами (4.22а). Это утверждение
Объясняется тем, что в соответствии с формулой (7.7 ) при вычис-
ления производных в обобщенном смысле от фундаментального репения
^.(4.26)
вторые слагаемые в силу регулярности оставшихся,членов будут об-
ращаться в ноль.
В двумерном случае формула (4.26) имеет вид
Здесь j;
I t
ружность
- обычная производная функции (X)
с центром в точке ( О, О Л В соответствии
/А
(4.22а) для сингулярных частей и , и
, Г - ок-
с формулами
, W имеем
йх2	Ш
37
эха^ ( Js	
Zj£°' = J I
Эх < 2x js .
Подставляя эти соотношения в уравнение (4.25) it яучим» что сумма
объчных производных обращается в ноль, а остальные слагаемые дают
значение правой части ( 4.25)
М* о. •
Этим доказано, что решение Ц°* ,	, '1£°* явля-
ется фундаментальным.
§ 5. Тензор Грина для пологих оболочек
Под тензором Грина будем понимать тензор, элементами которого
являются компоненты перемещений и внутренних силовых величин, воз-
никающих в упругой оболочке от действия единичных сосредоточенных
сил X , У , i .
В предыдущем параграфе приведены выражения для компонент
перемещений U * , 2?^ , U) J , соответствующих сосредоточен-
ным силам X , У 9 i . Используя формулы (1.2) и (1.3), по
известным перемещениям можно определить компоненты мембранных
38
усилий Tf .	, S , моментов М1 •	> Н и перерезыва-
ющих сил Лу ,	, возникающих от действия сосредоточенных сил.
Этот путь связан с дифференцированием выражений перемещений -и ус-
ложняет получение результата.
Проще получить выражения силовых величин, применяя формулу
обращения к их трансформантам, которые приведены в / 28 / выраже-
ния 13.14, 13.15, 13.16).Оригиналы силовых величин находим так
хе, как и в предыдущем параграфе. Поэтому приведем окончательные
результаты, соответствующие случаям.
I. Действие единичной сосредоточенной силы
+(н-\>)йнзу) + .
оо
+	<2л’у £ f }
27	/п/ Z А, Л+tn-l
п-<	м=О
T°Vx JL (- (1-Ы)Созу> + (fWCoi^f) +	(5.1)
2 frit 4
01
т®0
------i-~ {(3-J)Sin.y> +	-
Sxi
oo
oo	i-T □
к.
2
39
Здесь
имеют вид
Coi 2(n-t)9)	c/9 f
.2(пч)	2 m г .
i (t-i J ( Coi 2n9
•#• CoiZ(n-()&) Co/& db t
ХУ / i21^t\le) ( CoiZ(n-()e -
- Ca2ns)
*(9) « й*|/)	+ (2* +M+()Sin*0 ,
. Интепвлы» входящие в выражения (5.2?, можно представить
через присоединенные функции Лежандра, аналогично перемещениям.
Изгибающие и

У .
крутящие моменты запишем в виде
£ 0» 12Л-1) <f f | * G )
flxj	/и«о
о. ' оо т°1	.
nsi	m=o *
40

Of / U	CX>	ОФ
~j—~D X $>сп(2п-1)У	~ Re G (С/Г)
^“*z	£o	пГп!1т1^
ТЦг
n,et _ 2 f .2П-2 ,	,Z,»i .2	,
^Z/nR" Я J *	(t~* J *гЮ ( W ±М) CoMO)*
P
* (&>Щ(п-<)9 + Coi2n@)d9,
01 Z f/Z,z(fi-i) 1M. z,
& J (1-i ) tz^) [ 1+CM29) к
* (Coi 2(n-i} - Cci 2n&) do ,
01	1 OO	oo ~ oi
i ’тг; Ls^^Z
V//	Q ftl f	Пг> п 9
схэ
n«c>	m^O
(5.4)
^inn ~ J f *!Л (1" {1^2 (Coi zln'^Q '	(п+1)8) d8,
0
n01 I izn(i-izf tz (1-co/e)См2пe.
inn. J t	2
0
П. Для единичной сосредоточенной силы /=	. д/Х,Ч)
компоненты силовых величин имеютвид
Sin-fp - (1+*>) $ьпЗу^ +
41
у 00	+	А-
£ У $£Л(2л-/)у£, ~~ 7	,
>я	1 “• ml s- п,п+т-1 »
H*i	"t®0
[(£+>1) $Lntf> -(t+\)) Sift Зу ) +
(5.5)
m°o
П*<
я- nt-n+fn-(
К
•**вч
2%
02
т*о т-
^02	/
1 ^skR.
•ч»
? Scn(2n.f)fL
rn^O
и»<
0^
Иг!
*• п, n±m~f
Па!
02
ao	схз ГП я
, V	-c m it
Z.
02
/ЛЛ
у C05(2n-l)f£_
02
^imn.
5-geCr

i0Z
G- (C'JT)
I n.+m+n. •
Входящие в (5.5) коэффициенты с нижними индексами (/ЛЛ« )
представим следующим образом:
Л2 г im-ii. in i ,
U’jJ *	с'~*> iyW (CoiИп-пе -
- Соз 2п 9) dG ,
б"'" А(а1 (са2-1л-'>'> -
чЛХЛ q	“
-Соз2п9) см2е de,
Т J ^1{П	(Со)2(п-1) 9 +
о
+ Сн2п9)$ш9 d9 ,
Чз. ,
01	2 t ,1(П4) з м. а
1 (''* > Ч1в) ((5‘б)
о	*
» <
х (Caj- CojZnff) d& ,
/п°г	-//-VX^2₽)*
2тп Л *	।	•. / У
x (Coi 2 (n-f) 9 - Coj2n 9) d9 з
h°2 S	(1-^^(1-60129)1^2^4)9 +
tnn Q
+ Coj 2[n+t)&)d& ,
^ив| j tZn(l:i2)m /ч (Со12(П‘1)9-Со12(пн)9)о19,
n °*	f (СС12П9 U-toiie) d&.
2mn	о	*
43
Здесь ,
(G) в (2*	) Со110 + (НМ ) Sin0,
EL Для случая действия единичной сосредоточенной силы
2 «	S(x»^)
05
Z £я ^2n<fZ. —,
*— "	/ту / Л. fl'f/fl
д«0	/П^О ,П*
oi
ifXh fist т*о
05	.	™ /п°3
М » ~ Яе ^£nCoj2ntf	—-
Лар	tnaQ /п
©о	оо LOi
***	п*{	таО т'
jCoj(2n+t)f 1 у
I Sin(2n*f) у J £
Д/
h»0
п.,п+т
G (crt)
n,n+m »
П,п+т ’
03
^ igeSdvr!.
/п! Ъ п,п+т-н
м
н«
%
+ Coj2ff) Cos2n & d& ,
m«=i
(H) Co* 29] x
x Coj 2n 0 dQ ,
44
03	^2 2ft т
h = ~ J t ('-i)' (Ccd2/i6 - Col 2	8 ,
r\z~~ j t2in+i)(1-i2) (CojZnS ±Col2(n+f)Q)c/9.
о
В окрестности точи: приложения сосредоточенной силы поведение
внутренних ендовы:: величин описывается следующими формулами:
I. Для случая единичной сосредоточенной силы X . *
Т1 2 ( CoW + Т Coj3^),
О1_	/	(^}гл,1й	Т' ^-г>\
1г - г (~2~ Созу Ч- ~ СозЗу),
S	~ (~$сп.у -	),	(5.9)
^. г 4 2 т з


Ccif,
О!
И	у
45
az = (.A+'i)	~ fr-w fr-xj ,
П. Для случая единичной сосредоточенной силы Y
{(<~3	- [f+'J) Sin3 У’)
.42	/
2 ~ fy-Z
((б~^) Sinif -* (i+^) 3in3^f У }
((3-V Coi y> - (f^) Созз (/>)
15

-t-	'у («))(& -£^ + C ) -
2	4Э*,L	г	у t
(5.10)
/*AV /-#
•2	/+1К
(<+Coi2y) +
+ 6p^(/’)J4
q{ » (<+M) (f+3>i) -
a » (4+M) (3+4) -

Для случая единичной сосредоточенной силы £
-j-	_ 712(f>y2J
Z>2 * 16k
HW= - Scn2<f ,
(5. II)
<7 (/*/7)

Выражения для внутренних силовых величин пригодны и для обо-
лочек нулевой и отрицательной кривизн. Однако, при вычислении
коэффициентов С1М „(Л) для оболочек отрицательной кривизны
следует воспользоваться рекомендациями, приведенными в / 7, 27 /.
47
ГЛАВА П
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
§ б. Интегральные представления перемещений в
теории оболочек
Интегральные представления перемещений Ц , V , W по-
лучим из теоремы о взаимности работ, изложенной в § 3 •
Пусть искомые перемещения U , V , UT удовлетворяют си-
стеме уравнений (3.1) и заданным на контуре Z граничным усло-
виям. Е?о будет первое состояние, рассмотренное в § 3.
Рис. 4
В качестве второго вспомогательного состояния выберем реше-
ние, соответствующее действию единичных сосредоточенных сил, напра-
вленных вдоль координатных осей X , $ , Я . Изложим
порядок выбора этого* состояния.
В точке (el ,|$ ) неограниченной области • занимаемой
оболочкой, прилежим сосредоточенную силу
Пусть эта точка ( ес , А ) принадлежит также области 5?	»
48
занимаемой реальной оболочкой.
/о
Сосредоточенная сила	вызывает в
оболочке перемещения С1'-	, V
UT - КГ (X~d> %-$>) , На кривой Z , проведенной в облас
ти Soo » соответствующие перемещения и усилия обозначим
01	о/ о/ 01	01 „01 JM 01
п 4	'Г' ’ i 7 иП > J П > ПЪ > П J П '
Указанные функции являются компонентами тензора Грина, соот-
ветствующие силе //;= S(W,tf-fi) . Тогда -формула (3.14),
полученная из теоремы взаимности, примет вид
Л[Х(х,у?	+ Y(X,y)	+
s
f M	Qi
*^Ти,^чп(х-л,^) ^Sniut *
(6.1)
= JJ $(х-а>у-р) U(x,^ d$(x,y) +
s
Из свойств ($ -функции / 9	/ следует, что
/р	U(Xty)dSlX.ty) ~ U(d,^) ,	(6,2J
S
49
Первое слагаемое в формуле (6.1) с учетом соотношений
||
01
Of	03
иг (Х,у) * и (Х,у)
примет вид
s
zr .	Of	02
Я (	+ Ъх.ри Ы-х,^) +
ОЗ	। 1
+ 1(Х,^) и Coi-x,fi-^))dSfx,^) = и (<х, р) ,



Iй
Функция t/	определяетя формулой (6.3), является
частным решением системы уравнений (3.1) и зависит от внешних си-
ловых воздействий	, Z(x,y) .
Подставим
женин местами
преобразований

(6.2) и (6.3) в (6.1) и поменяем в полученном выра-
ol	и X	, и уЗ .В результате этих
получим
и IX,tf) = иЪ,у)	и°'(«,р  х,у)
01
01
01
01
nt

- Г М°'~ Qn }di(oi,p).
П П	Л '	г
Аналогично определим перенесения '^‘(Х,Ц)
и ШХ,%) :
Vlx,^) = V*x,tf) + // Т&>р) игУы'Р>х'У> +
(6.5)
+S	402-
М i П п	л п,
02	OZ r.oi- ,
~atSnt ~^мп "	;
W,y) = W (Xtf) tj( T^ft) Un (dtp; X,ty) +
b	(6* б)
+ Snf<+M^nJ ^П^-^Т‘г-
Лоз 03	,03 . . ,
-U.S -tf M Q ) di .
i M °П Л ЧЛ J
В формуле <6.5) величины с верхним индексом (02) соответству-
ют перемещениям и внутренним усилиям, вызванным в неограниченной
оболочке единичкой сосредоточенной силой
а с индексом (03) - единичной силе 2 ~ О	•
Таким образом, все величины с индексом ОК (К = 1»2 3
51
вверху определяются из фундаментального решения (5 4,5 ).
Функции	, Qn (*,	X, У) определяются в
точке с координатами (	при действии соответствующей
единичной сосредоточенной силы, приложенной в точке (Л* ,	).
Направление перемещений и ориентация площадок, на которых
определяются усилия, задаются вектором нормали /г кривой L
в точке ( cl , JS ). Так, например,
(7 f	Q!	х Qf
Un W, р; х,ч) = U (oi.x,	+ 1J (Ы-Х, р-у) пл&,р) t
оз	03	2	03	г
(*>?;	i*-x, р-у) п((ы,р) + Мг (ы-х, в-^)п2^
03
+ 2Н (ai-Z^f-tf)	.
Здесь /11 &,£),	“ косинусы углов между нормалью к кривой
в точке ( Ы. , р ) и осями координат # и j/ соответ-
ственно.
Формулы <6л)-(6.б) являются интегральными представлениями
решений граничных задач статики оболочек. Они определяют перемеще-
ния точек срединной поверхности оболочки, выраженные через инте-
грала по граничному контуру Z
Практически выражения (6.4)-(6.б) не дают полного решения
граничных задач, т.к. в эти выражения входят восемь граничных ус-
ловий. 3 классической теории оболочек заданные бывают только
четыре. Вместе с тем эти представления являются основой для пост-
роения интегральных уравнений граничных задач теории оболочек.
52
§ 7.	Интегральные представления
производных перемещений и внутренних силовых
величин
Для составления интегральных уравнений граничных задач теории
оболочек (6, 4)-(6.6) кроме представлений для перемещений нужны
представления и для других компонент напряженное сформированного
состояния, т.е. для производных перемещений и внутренних силовых
величия. Их можно получить непосредственным дифференцированием вы-
ражений (б.ч)-(б.б). При этом дифференцирование необходимо прово-
дить в классе обобщенных функций, так как входящие в них компонента
с индексом ( г ' ) являются фундаментальным решением системы уран*
нений (3.1). Такой путь получения соответствующих интегральных
представлений является громоздким и затруднительным.
Проще этого можно достичь либо с помощью двумерного интеграль-
ного преобразования Фурье / 28 /, либо с помощью формул (3.15)-
(3.19). Во втором случае методика получения представлений для про-
изводных перемещений идентична методике получения самих перемещений.
*
Полагая в формуле (3.15) X е $	и проводя
такие же преобразования, как и в § 6, получим интегральное пред-
du
ставление функции
= _ П/ Т(ы ) +
Эх дх ]	1	дл
. с эЛ f Л' $" -
< а*
-Т, С-Тг С - 2S г" *
53
dcL dec 2 doc doL 2	* doL
(7.1)
Я/j? о/ о/ 01 ок	1
+ ал +М2 хп +хи Мг ) п^,»]^,?).
Полагая в формуле (3.15) у = ^(Z-Ы, у-£) , а затем
?' = j(X-o(,y-fi) , получим выражения типа (7.1) для
функций dltyz и ^х-

_ 02
dt/
dot
+ Q — Oi Эц -02 Э1Л -02
b doi * &L < + dec
(7.2)
, ,, dWM aw W 02	02 .
N' *И1Х1-*2М2 )
deL
02
М г dot дл 2
02	02	02	02
+ ^^/2 +Hxf )ns(«,^]dtx^
54
dot
8ЫГ
dol ' rrftf
«, |h
2 doc del fa г 4 det
Ah <?3 An	Л? _	93 9Л
+~ S -Tet - T €л ^2S e*
dot. 1 дл f f t л 1г
t
+ N ^Ot- 1/03 “ -<M “ “°1'
1 dd~
+ c да°а
+saV
a/л- . 03	oj	03	03	0$
+ h tMtx» **<" *HX' iwrW 

лн.02
Sir w.x,
Sf
da
dp
)пг(°^) + <▼•*>
dir °г da ., dwOi.
ог
_ au air 02
s + 7 T‘1
v	а",/я
2	dp i
. sirM эиог air <* эа T<*
&	м «"+хг H°!+ H*?+*a	)'№#}’*:
dp 1	1
55
^,.^s ,^,
<f
л dir6* f)ir of
a? *
TT^4 + #a*Г~	)лг(ы>/) +	(7.
</p	<	'
„ du” dir Of du t du?” du"
T.^-^s +i^r< ^<if
t M, »2	W*r ♦ <L M") n> «Г)]	.
Hr du
Of
s •
dp
°1 - Of n Of
г “ £	~ '' S sia
dw
dlf”
*2
. "wyt! _ f, Т(л.}
du t л r

dur
01 M
ov	* ’rt
3^ 2
- du
03
+ ,V —
+ Л*ЭА
_	_ du** dueoi.du r0'
HS;7 i-T,	+г^т<+,/<^^tЦн<,
tM +к Ц°‘+НХ^+х1г№/) nl{«,fij]dt<':‘>f).
56
Производные	и
.	.	дх* д ’
(3.16),	представим следующим образом :
определяемые из формулы
J2 #	оз
^л._ 1 Ч&U + /[()>,) i--±-L^,L *
9хг Эх2 i ' вх‘
г д V03 ди 0S°S dir ЪТ°* 3£ ~ з.оэ
det дс£ 5уЗ Jrt ,9	1 Q оС	s до
-2$^ + — к	к Г™ +
a*	a* t(f	<?<Х 'г
(7.7)
,оа	°* , оз
+	-Л/^	*
Л2,,03	1 ОГИ	ъ-гЫ
д U q о V 7 8u 9S д!Т д а
daf dcL* г бл Э«Х Эе* дл
Oi .оз .os	оз .	i .., „'
*	~	)af(^)]diM.
де^(х^)
.03
f[( T^.f) ?v г-л>
l	а
2 оз ъ.ОЗ	03
а и	зу ди 3Tt
а	эр dot
2S
(7.8)
03 оз оз
★W,- у*, +	- *« a; >»,<«,/) ♦
+ (S—т д‘и‘\^ 9s°S дтвз
« \ <j ;	“ /	-—-	-f*	_______ц, ।
Э/ * ..• dfi dfi dfi dfi
-tf* »tst +	//°3 j	(a, f)]clt (<*>£),
g\r
Выражение для смешанной производной -—г-	определи- из
формулы (3.17)	Х %
д №м)
W..1IM m ш ш. од	-- "-п
<?Л	. 
Эу *£
е
h \ -----
• au3j0
г оз
Z;	С
ди ds . д^оз d7.0i
*—" *	_ 1 * Д ***•	7^ -* я* )л) -...1 ..С л
dfi df> ац'*
дз
*жп^, -^Хч->МЛ *ж<м, )п,^ -	(-7М
, (““с . Г  11“ и°‘ dir as" , av «
а. - ».	ж 1 /Л ** **** —*«* ----- .-"--и 4 л —	/ —
deity dd dd 3d dd *dd 1
" K‘	С' X°2-")Л,
58
И, наконец, интегральные представления для третьих производных
функции W(X,fy) получим из соотношений (3.18? и (3.19).
После преобразований запишем их в виде
> ОЗ
д U. Ы-Х, fry)
-A* А* о Л*
^2 „03	2 — ОЗ	04
да д •$ _ ду- д Тг * Ju? д Tt
дсх <9oc8j3 да Joidji 1 да до( *
-гw 2	2
div' di. dW оз . dW « ,
:‘Г«	-<< э? T> T. +
(7.10)

3 O"i 	3 Л»	p 0 л	"V V
du auOi да э S + dir d\
~ai3 * T‘ ‘ a* 3c< a“‘
doL * Z Qd. 3ft
03
~ )n (ы,р)]а^^).
d fo c
i3wix, y) _ i'w’tx.y)
3 03

n3 03 Л Л2 rW	2 -r-03
du d s _ d тг
dft dcJ-d^ 2 dot dfi
(7.II)
59
03
к JJf Ji
' а*
&</ оз
2 дос
ЭХ?_
dot
 дТг°1
dfr
»Xt ,0*
d и/ оз
ftcl dfr 1
. дХ,\
3dd^
-|3 ,03
д и
а^ а/1
эа
— к
- X
* a<?a#
03
Зо^д^
3
дУ
дос
*-03
---5- - £
дос2
г ^.оз
оз
dX
*7
д V т
За2 '
Ы>03
) гг,(ы,^)]Л(осч&).
о Р
03
03
а/*
3 *	3 03
эм^>=?	. Г[( т (^
дх 3^ Jx. ду2	I 2 dddp
« a2r0J	Jt-03'
л d U дУ S	д Т.
 I « II '*  IW ••»	11 	**•	— —- п< |
u десдр3 дос. дыдр 1 docdfi
„ _ оз	^^.оз г
tj>^LL+4-^2’ > 3 ” т03 +
2 3d dfi • дос “ досд? 2
03
дхг ।
)п2^) +
СМ2)
^2 еОЗ	Л т03
д	3 'г
мр, dfr dddfr +
. L Э72	/, 3ZW rO3
' dfr dfr * 'г ~ kt
к дТ2М
2 dfr d fr
701 4.
dfr2 1
<7.13)
2 If Л»
-3 03	ла<-03	ог-т-0Д
_. d U fol)- о S U Э T.
1 Tp + dfi Tp	dfr эр*
оз
d x2	fax- 03	2»03
d?r 'it ^)n,^)]dt‘
60
61
Полученные формулы (7.1)-<7.13) вместе с выражениями (6.^bi-
te# 6) дают возможность записать интегральные представления всех
компонент напряженно-деформированного состояния оболочки. На осно-
ве этих соотношений затем строятся интегральные уравнения гранич-
ных эадач статики пологих оболочек.
Подставляя (7.1)-(7.13) в соотношения закона Гука, после необ-
ходимых преобразований, получим интегральные представления шести
искомых силовых величин
-	т £°' + TQ1+WS*
Ц ‘ г* 1	2 Эо1 Ч q* °
+9 7* If S03 + и
, dw' дН? ,	,	. <п	оз
*Ц(гг *'’ гт ' \+Mt (ъ -^х1г -	)+
t H («Г-	м°г +
+1^(	h‘s} .»
~№ (F"1'
, f-ti* £ oci dot
+г.г"-г1/Л|“5%	T”' +
4 1	1	1 ды. деЛ Р.
62
г
1
; Н {Я*-Л ^*г^“+ X, Н^Х,г М°'. *, М” .
♦' g(<^)На) +
+ глг (к,+])кг) N™ J nz(<*,p) c/i(*,fi) .	С7л4)
8ux oz	о/	Eh, (г'г /Ос<» сы<
+ л' +^< 1n' -^)jlr‘(2i'‘-e‘)-
- T e01 ,	t°' -t — sM + — т м
11	d<n doi 2
! dur01 aw02 °< w . ,o2 oi.
-M<>*
63
02
< + *12
(7.15)

atr Toi g<j ot
52	^52 f
, wM	w"
! 9^	d<*
8ffCi	02
dU°*
roi , 2U сог
2 dfi
03
оз
ni X	02 Oi
+ H (x°2- (Kt + ) ^0i) -ьх2н°*+ *tt M*- Xg Mg +
dp	od	*
AJ »1	, .
. + VO(,Ki^ki)^1
(7.16)
2 U _ 03	2 03 2t 01
) + <?/v—-L^
3j8a	*9o< '	дрг dddp-
. d£2 8U dsw dir ar/ air as" ,du nrtoi
г ad ~ гос ip дос др	др гр др ap
any Qi 03	&3	03 Qi w
-	\ )*(.X^Wt - (X, ^x, ) ♦
01
,	03	,	01 .	,03	02	01
(*4 **4)^ J+ H №i ~ (Ка+^<)У< J ~*гМ, ЩН +
t
a n>	03
~ (*t - W,)Mt J
3h>	01	03	0*
I (vXj -(VAJW +w2V
О»
,L ,.., л> . W* .
. Oil - „01 r , eOi . dir °2 Э£ гаг +
ка+М<)ы )+Ti S2-l<Ma+jp $ + aji T1
Tff‘ + o - s°‘ + (K2t)k<)v S01+ (k^k^u 7*/3+
dd ' a*
йЗ ML 01	^3 \
)+^Лх/2+^	)
t Ы>" '
03	^3
+ </-v) (/< X,, - Xu )]tl,di-
r,2,t0i	_ 03	p.jOi /1,0*
л (rr f^JL -JO Ш \ + c( -0 -- ) ’
“*и 2^Э:>1г гдр )	<?d2
I
ЛЛ
03	^^03	_	„ ATOi
т a au . air as _ v £Л +
i dp	at* ad	др a* &P
+ ™	T?) С^^г3-^ (*i^)
dp
. flJ	,Qi T	//	к
-(/-v)^^/2 * ie12 (f-^)<?.n)
65
4
,г^03 ™Oi
— 1г	1
I Л л '
 гд? >
длг
d2v uJ
ejdtdft
т —'J ¥ 1£Oi — —Л v? о - _a<3J
2 др др д<* dft до( до( дос доС де*
♦	(*2 Т“**< Т13)+(дег^^	i**^*?) +
Ср	*	' '
03	03
+ //, (f-VJX12 - *и (f~f) М 1 п <Л -
V	*
г 31^ dv 3Sai ,6U	, dir dT,Di
Г — + — — + v — — - v —- —<
2 dd dfi dfi Зл др да d ji
№,Т^гТ°’)
Сел
03	03 n
-t- (1^)ИпЫг ]л1 di.
J	2 03
r dll +r 3V3
1 ddSfi 5 длд^
8U d$W , di^ -rOi . dlf* Qi
it +k^T‘-k'wd
4 s SJ * 7..
L
du^
dir
(7.16)
. Qi
df dfi
< 12
n2-, °3
? zr
dU ЭТ| dlf 3S0J . Зиг таз дТ°Л
й а7 'Л ал ‘	- *iw ♦
*« »t	^"г~х1Н°‘) пг]М.
(.7.19)
Обобщенные перерезывающие силы определим по формулам
Используя фОрМулн (7Д0 _ 7лз)1 получим
67
03
: L (----- -	-----
dd. ' dot2 ddty

da dft
zx. n
—*(M/Z +
<7.21
<? * + » / [
4
л*]т^
W ) -
Л-rQi	^eOi i,, Jr03	'fr-U
). ±!	_ 1“	£S +
d gi2 • во1 Ы	J d-	id Qo(2
(k ^°\k *Zm
a> (*•*? J

Как видно ис формул (7.!)-(?. >1), выражения для функций,, ха-
рактеризующих напряженно-деформированное состояние оболочки, со-
держат под криволинейным интегралом восемь функций, характеризую*
щих плотности (.значения) перемещений и силовых величин, возникаю-
щих на границе L . Заданными на этой границе, согласна класси-
ческой теории, могут быть лишь четыре. Относительно оставшихся
четырех плотностей получим систему четырех интегральных уравнений,
используя граничные условия на линии -
Заметим, что полученные соотношения <7. U-(7-2l) дают интег-
ральные представления перемещений и силовых величин посредством
контурных интегралов. При этом, в отличие от / 5, 2	/
в качестве вспомогательных состояний выбраны не Ипластийочяне“
фундаментальные решения, а фундаментальные решения исходных урав*>
нений пологих оболочек, что находится в полном соответствии с
классической теорией потенциала.
69
В этом параграфе изложен путь получения .интегральных пред-
ставлений искомых функций для изотропных оболочек. Без существен-
ных изменений он переносится и на ортотропные оболочки / 20,25 /•
В дальнейшем, в качестве приложения полученных интегральных
представлений будут рассмотрены задачи о концентрации напряжений
в оболочках и пластинах, ослабленных прямолинейными трещинами,
I
а Также задачи о контакте оболочек с линейными штампами.
Г Л А В А ш
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАМ ТЮРИ И
ПЛАСТИН И ОЕОЛОЧЖ
§ 8. Интегральные уравнения задач теории оболочек,
ослабленных прямолинейной
трещиной
Рассмотрим оболочку, ослабленную свободной (ненагрувенной по
контуру) прямолинейной трещиной, ориентированной по одной из лшг’Л
главной кривизны* Длину трещины примем за & .
Поместим начало координат посередине трещины и вдол; нее в?
правим ось О X .
Граничный контур при этом будет представлять собой отрезок
В соотношениях <7.1)*<7.21) интеграл по граничному контур?
Л , от плотности (значения) функции	на вырожда-
ется в определенны? интеграл от разности значений подынтегральной
71
функции	р) на верхнем я нихнем.берегах разреза
+а
f(oL,fi)a't » J Г/(el, О)]dа ,
-а
где Г f ил)]’	-/(а, О- ) , б дальнейшем будем
навивать скачком функции / (* fi) на линии Z
Кроме того во всех подынтегральных выражениях следует прирав-
нять П^О t
. Граничные условия на контуре трещины имеют вид
при 5 Q И /X / £
S » Тг = М2 = $г = 0 .	('е,1)
Для состваления интегральных уравнений задачи необходимо ин-
тегральные представления <7.15), <7.16), <7.18), (7.21) величин
S' • Гг • Ч • Л на контуре Z трещины приравнять
веданным вменениям (8.1). *	- Так можно получить систему
четырех интегральных уравнений.
В общем случае задачу ионно разбить на две; симметричную и
антиемметричиую* для каадой из них получаем’систему двух интеграль-
ных уравнении.
Рассмотрим случай симметричной задачи. Тогда, кроме граничных
условий будем иметь для скачков перемещений и усилий
[u ] = [urj = [ If,) = 0 ;
[Т,]»0; [М,)=0; [QJ=O.
И, как следствие <8.1) и (8.2),имеем
72
«
[gj Зо ,
MH Wh-laSb
Учитывая соотношения (8.1)~(8.3), выпишем интегральные пред-
оставления для функции
i
t
ТЛЩ) и Мл(х> у)
Ek
ммь/.т»*,	г«\
77“' r'y	'
03
. , . / t.O2
W4 'T^
** (8.4)
♦ (H) 64 ’
n . tor MW Ji
, x J *w ——-* 1/7
ы b
ЦMl * »/* fй)	J jf) *
-141 идЛ v'')) ^ 
После water ре роз аняя во частям выражений (8*4) и (8.5) полу-
«
4«//»	( fl't-.Wj (£ -
« <в-й
, /ш-0* f+Л/ ип \\^
**,м’^ - ~^м>-
а а
Зв»гчяя, что ж рассмотрениом случае г—	, фор
кудн (в.б>, (.8.7) преовражуем к виду
Т, м> - Г>у; •<• I (tw>J (*	+
"в	(8.8)
-х>(М
эЛу
м"}) 
74
М*(х,у)+Я /(-[U]
э н 3 d#t°S
+ гм (—  -	— +
TL«2i	дх
dj3 дгТг°\
дхг + дхг
I 5 *1
-	2 “
дХ<	(8.9)
Функции, стоящие при скачках [VM] я [ l^faO)] назо-
вем ядрами интегральных представлений Тг(Х,у) я M2tx>^) . Из
формул (8.8) и (8.9) следует, что для получения явного вида ядер
интегральных представлений необходимо воспользоваться тензором
Грина, полученным в § 5. Однако, прямое дифференцирование компо-
нент тензора Грина приводит к весьма громоздким преобразованиям.
Явный вид ядер интегральных представлений гораздо проще полу-
чить, применяя двумерное преобразование Фурье. Тем самым в простран-
стве трансформант все преобразования сведутся к алгебраическим опе-
рациям йад трансформантами соответствующих функций, приведенных в
работе / 28 / формулами ( 13.14 )-(13.16 ). Оригиналы найденных
таким способом ядер находятся с помощью формулы обращения для дву-
мерного преобразования Фурье и методики вычисления несобственных
интегралов, изложенных в § 4.
Применяя к выражениям (8.8) и (8.9) двумерное преобразование
Фурье, получим в пространстве трансформант
т,<.;,?>- tXd♦<в ю)
-	т°'+ ф т‘3) -+
75
w“2- й "j l е‘^.
R2(f,7) ~M*M) +»{{ ГИ (?2 Т"+ПгT°‘) +
-a
I
+ [гг? ((-‘wc-‘>j h“+ iM)(-it) a°‘ - ил*
-	K, Tt“-kt t:‘;} eiMda.
Или короче
T2 = T* + J(WJ♦ i< fУг])fЛ,
-a.	и i <	(e>12)
cir]+} е‘?х^ •
•a
Здесь A^’j (5»	- трансформанты ядер интегральных пред-
ставлений, имеющие вид
/7	// •>.' г02 i t • \T0f т03
“ 2эг Д
\2 - ^Г- -	^!>	- '¥	« я>
76
 + »1-^1)Т”) =
gh *г^?2я^ч2)'
“" 2%Rt	Ь	’
К = %	-
-« , т03\ * f<
-K,Tt -kj2 ---------1----- Л
где д = [%г +	+ K^i *]Z)Z.
Применяя формулу обращения ( 4.5	)> выражения (8. jg ) ыо>-
но записать так
+а
7>,W =	+ Кп ГГ2)1Л,
-а
(6.14)
[V] + кгг irj } dd .
-а
Соотношения (8.14) и граничные условия (3.1)-(8.3) дают воз-
можность свести рассматриваемую задачу к системе двух иш егральных
уравнений.
Как известно / 20 /> рассматриваемый класс задач удобнее
всего сводить к решению системы сингулярных интегральных уравнений
типа Коши. О стой целью вместо функций [	и	вве*
дем функции
и Q(ol) с помощью соотношений
^)=
2) (1-v){3+^ г \л г и
Тогда формулы (8.14) примут вид
ТЛЩ) = Т*(х,^) ^J(K^ /М t К^2 ^) )c/ct,
М2(х,^м2(х^] t / (/^*к22 ^)) dd .
Х4у (-L7) после необходимых
образом;
V (-с?)3(^Чг)2
(8.16)
Трансформанты ядер
ний представим следующим
5* _ 6-^/
% S f'thhh2
преобразовав
/2
Г€>/	/2
R, d
Kt,’
Ku
Лн k‘n-i>
h = (Л-V) ^2+
12
Соотношения (8.17) позволяют по методике, изложенной в §
найти явны' выражения ядер	. Опуская промежуточные
преобразования, находим
П«<	т»о •	*
К*-~	~7 ^^S£), •
12 KKZ п,«{
\й ^2 пм	Л13Р	(8.18)
^гг =' 2 /2Мг) 1 гг	'
«	к,М
м/ , гпаа
П,П^ГЦЧ ’
Здесь
4	<2/1 з ХМ
k а) = - ( Со/в Сои (2n-f)9 i (1-i )	»
«	3- J
о
^/z
f2ij = у / CojO Coj(2n-f)0 (yCoid + Sind x
79
с/&,
2 (п-1)
ОЛ) = - \ Ct>/eCoi(2n-i)e i W-L Я
<» Л *	7«	•
О
(8.19)
кзгМ =
Х/г
{ С03& Co-i(2n-'l)6	(t-t*)1*
О
г/л-fj
х (V Со i2G + SinG)d&>
t &) s (^)Собг& + (2ЛЦ-$ ~ f+M) Sin e.
Соотношения (8.18) и (8.19) справедливы для оболочек неотри-
дательной кривизны. Для оболочек отрицательной кривизны следует
воспользоваться рекомендациями, изложенными в работе / 7	/•
Из граничных условий (при ^-0  , /Х|£ а ,	и
Мг(х,о) ) и соотношений (8.18) получим систему интеграль-
ных уравнений
/ ( K*(X-d, 0) !(d) + K^X-d.Q) g(d))	~ $*’<>>,&. 20)
/ (К*(Х-а,о){(el) + K*(x-ol,0) Q(*))d<x
J <7	О	СП
“Л
В системе (8.20) перейдем к безразмерным переменным Х= Qi ,
о/^ат и введем следующие обозначения:
* * IhTg T‘<ai>  mJi>"'	M‘‘ai) 
СП К Kg
CO
(8.21)
Таким образом из соотношений (6.20) получим

J7 а»/ znatf
£ H-XJ
(ч>< ю V*) *

х аеч(£ +
и п,п*т-1
q (?) £>/*) && / t H~?l)
•zl ' гг а n.tn,+m-i
Здесь
/= V/2f/-V2>
Уравнения (8.22) представляют собой систему двух сингулярных
интегральных уравнений первого рода.
Из свойств функций ЯЛЛ и	сладует’чм
вторые слагаемые в системе уравнений (8.22) являются регулярными.
Можно заключить, что система (8.22) относится к системе
сингулярных интегральных уравнений типа Коши.
Решение ее в явном виде для оболочек практически
невозможно. Для этих целей удобнее всего использовать численный
метод Мультоппа / 16 / с последующей его реализацией на ЭВМ.
81
В ряде частных случаев система (8.22) допускает аналитическое
решение. Это случай плоской задачи теории упругости и изгиба плас-
тин, ослабленных прямолинейной трещиной.
Перейдем к рассмотрению этих простых случаев, допускающих
точное решение системы (8.22).
§ 9. Некоторые смешанные задачи
плоской теории упругости
Система уравнений статики оболочек (3.1) в случае кривизны
К ~К? ~О распадается на две системы: уравнения плоской задачи
и уравнения изгиба пластин.
В этом параграфе будут рассмотрены некоторые плоские смешанные
задачи.
Для плоской задачи теории упругости система разрешающих урав-
нений имеет следующий вид; I. Уравнения равновесия эт, _ as . у^0 зт2 to д2	' Ц П. Соотношения закона Гука > т‘ с = — S ' Ш. Соотношения Коши л.эи г =Э£	£ г< - дх 1	2 Ы •	• +	+ / = о •	(9.1) дх • в М2 1	1	(9.2) / / 9U ЗУ- )	Cs,3) !=2	+ dXJ '
система (9.1) с помощью уравнений
Фундаментальное решение уравнений (9.4) ионно получить
путем предельного перехода при /^->0 из соответствующих
формул для оболочек. Компоненты тензора Грина приведем для переме-
щений при действии единичных сосредоточенных сил X и Y к
запишем так:
О' -/
U ^~L—
UTt&h
[(J-'J)	(х2+Чг] - (J+\>)
19.8)
02	-)
V = --------
16л Gh
Здесь & «	77/v/	* модуль сдвига.
При задании граничных условий в виде скачков перемещения
или усилий на отрезке ^=0
ления перемещений (9.5), (9.6) примут вид.
*4	Q4
•> J {[sw]
* л
» интегральные представ-
+ ГТ,] Л [и] Cv] 7*' } d*
,	(9.9)
*д	ог
Vlx,y) - vtx,y) - J {tSW»J] u	+
+ fT2Jir“-tu]s“-WT“f</rf.
В качестве примеров рассмотрим две.задачи.
Задача I. Рассмотрим задачу о растяжении пластины о абсо-
лютно жестким прямолинейным включением О ,	♦ Плас-
тина растягивается на бесконечности равномерно распределенной на-
грузкой интенсивности • такой, что во всей пластине
Т*~ 70 « Coniit 7^о t S^o,	(9.10)
Частное решение задачи в атом случае запишем так
(9.II)
Граничные условия задачи имеют вид
при 4-0 ; }Х\£ а и lx,o) t V(X,0) »0 .	(9.12)
85
С учетом граничных условии (9.12? и условий симметрии задачи
из (9.9) получим следующие интегральные представления:
•р	/А
и (х,у) я - ±2 X - / [s (d, a)] U C,(ci-x, -у) dd.	(9- 139
Eh -а
I
[ S (d,0)] и (ы-х, -у) da
(9.14)
Таким образом, задача сведена к определению одной функции *
скачка сдвигающего мембранного усилия : Г$&, О J. Для его опреде
ления составим интегральное уравнение, положив в (9.13) у- Q и
считая, что при I# I 4 Q , U(X,0)* О , в результате приходим к
интегральному уравнению
*а	О/
I IS to0)1 и (ы-ос, о) dd * - 12° X <9-
-а	.	Eh
(ixi<o;
о/
Подставляя U (d-X,O) из (9.8), имеем
4/^7*
[ [S (d, 0)]	1d-x I del я --- X ,	(9.16)
( ixua ).
Дифференцируя (9.10) по X
J x-d.
, приходим к уравнению
(3-V)ffrVJ
(ixua)
(9.17)
Положив Х^О.1 , ol^ctT , получим
7 dt - ы т~-
• <-г “ (з-ЩШ)
, (Н1<<),
(9.16)
где	= CS	.
Решение уравнения (9.18) можно получить из формул Карлемана
/ 16 /
(9.19)
(9.20)
Полагая здесь
То
, решение уравнения (9.16)
представим в виде

(9.21)
4-
(3-1) (М)

Переходя от переменной t к •*	, получаем
ISk,o>]
(9.22)
X
5ормулн (9.13) и (9.1ч) вместе с формулой (9.20) дают решение
87
поставленной задачи об исследовании напряженно-деформированного
состояния рассматриваемой плоскости.
Задача 2. Рассмотрим задачу о растяжении пластины,
ослабленной прямолинейной трещиной у-Q ,	. Нагрузку,
действующую на пластину примем такой же, как и в задаче I. Частное
решение в этом случае имеет вид
(9.23)
To^Cori3i,
-г* z-Л
Т( = S =0 .
Граничные условия запишем
так:
Тг(х,о)^О, S(z,o)~0
при у=о , ixita.
Из условии симметрии задачи следует, что
[	[U(*,O)]=O.
(9.24)
(9.25)
Учитывая (9.24), (9.25) из (9.5)-(9.7) получим интегральные
представления перемещений и внутренних усилий
U(X^) = и (х,у)+! [1Г(о1,0)] Т2 (d-z,-y)d<x t
(9.26)
, 02 !
Vix,y)= V*(x,y) + j [V(*>D)] T2 ^-x,-^)do( ,
£h
, .2
] (Т< s") det,
(9.27)
(9.26)
(9.29)

Таким образом, все компоненты напряженно-деформированного со-
стояния пластины выражаются через неизвестные функции [V(<d о]
.Остальные величины, входящие в формулы (9.26)-
(9.29), являются и з в естными.
Составим интегральное уравнение для определения скачка
L	Полагая в Формуле (9.28) U» О и используя
граничное условие Т2(Х,0)-0 и значение^ Т*(Х,О) из
(9.23), получим
(9.30)
_ х) Тг	Eh 'о

89
oz -rO(
Определив с помощью (9.2), (9.3) и (9.8) значения S и
и подставив их в (9.30?, получим разрешающее интегральное уравнение
7 [	1 ск я Т (ix!ч<а)	(9.31)
J 1 3dJ	£h о »
Уравнения (9.31) и (9.17) аналогичны. Из формулы ,{арлемана (9.20)
следует, что решение (9.31) имеет вид
Eh Чаг-о1г
Интегрируя (9.32), находим, что
При этом учитываем, что [	• Имея явные выражения
для функций	0)] - и (	> ° помощью интегральных
представлений (9.5)-(9.7) можно определить все компоненты перемете-
ний и силовых величин.
§ 10. Изгиб пластины с трещиной
Система разрешающих уравнении теории изгиба пластин имеет вид
I. Уравнения равновесия
П. Соотношения закона Гука
И,=	(ю.2)
Н- &(M)Xfz ;
Соотношения
Коши
ЗУ,
эх '
< ,эу<
Wz )
ЭХ / ’
Э/4Г
(Ю.з)
г'~ ах
Из уравнений (10.1)-(Ю.З) следует
имеет место дифференциальное уравнение
2 г	11Х,#)
что для функции Ю(Х,Ц)

(ЮЛ)
Интегральные представления прогиба
W и внутренних силовых
величин можно получить из соответствующих представлении для
оболочек при к. = к, = о .
Фундаментальное решение, т.е. частное решение при*
для уравнений изгиба пластин (10.4) запишем в виде
I 
03	/
IV (х,и) =-------
163 Я

(10.5)
*
Рассмотрим задачу об изгибе пластины, ослабленной прямолиней-
ной трещиной длиной 2Ct	9 расположенной вдоль оси X и
свободной от внешних силовых воздействий.
Предположим, что пластина изгибается таким образом, что част-
ное решение уравнения (10.4) представимо функцией
I
W*(x,y) =
и
22>(Мг)
(10. б)

Это соответствует внутренним силовым величинам
, Н*(х,^ = О г
М*(х,у)=0.
Граничные условия рассматриваемой задачи будут
при У~&> ixl^u.
Из условий симметрии следует, что
[ы(х,о)] =0, [= °>	U0e9>
[^(X,.O)}-Q, [Q^o^o.
Учитывая (10.8) и (10.9) запишем интегральное представление
для прогиба
♦«	’ 03
W(x,o) = ur*(x,u)- f { [ Н fa,о)] Yloi-x,-L[)-
° -а.
(10.10)
-Г^ 1W03 - [Г,] \dcL •
L Sot -*
Принимая во внимание, что
Uf. g)_	И — =	“4
9 г
после интегрирования по частям выражения (10.10) получим
03
<10.II)
Для определения скачка [	необходимо составить, а
затем решить интегральное уравнение. Для составления разрешающего
интегрального уравнения выпишем интегральное представление для
изгибающего момента М2(Х,^) :
t® - . os
ЭМ?
dot
Учитывая,
. К(х,о) -
А.
тельно
*	t
функции
что п£и у» О и
, получим
ГН(обО)]
1x1 а э М2 (х, о)» Q я
интегральное уравнение относи*
03
Эос
’	(10.13)
Явное выражение ядра этого интегрального уравнения получки, исполь-
зуя соотношения (10.2), (10.3) и (10.5). После преобразований на-
ходим
К (х,о) — ~ .
03
оз
(о(-Х,0)
<10. U)
Окончательна интегральное уравнение (10.13) примет вид

93
-hCL
f [uw]
-a
c/ffC
***** «mmnm^wmwb
Z-a! 3+>J
(10.15)
Это уравнение сходно с уравнением (9.17), Следовательно, его реше-
ние запишем так:
с -	4/У X
□ м
Так как //» Я(/-Ч) ~	•’ то, интегрируя (10.16),
имеем
Уа (х, о)] =
414
(JS.l'l')
Подставляя (10.17) в *(10.11), получим выражение для прогиба
, а затем и для изгибающих и крутящего моментов
MJZ,\}	.	.	Н(Х,^)	, хармтеризуг-
них напряженно-деформированное состояние пластины.
94
§ II. Сферическая’ оболочка,
ослабленная прямолинейной трещиной
хСак уже о* мечалось ранее, решение системы интегральных уравне-
ний (8.22) в замкнутом виде возможно лишь в отдельных частных слу-
чаях. В частности, для плоской задачи и изгиба пластины. Даже для
сферической оболочки / 29 / аналитического решения получить не да-
ется. В связи с этим, в качестве примера реализации указанного типа
задач, рассмотрим сферическую оболочку, ослабленную прямолинейной
трещиной и находящуюся в условиях симметричного нагружения относи-*
тельно осей координат:
Систему двух сингулярных интегральных уравнений (8.22) запишем
в виде
2 f к^и-хки-г.»),	(п0
j«v “t
гце |х|	* 1+Z .
Ядра К-, Н-х) , входящие в (II. I). после необходимых у про-
V	9	*
щений представим следующим образом:
f
К =	I k Лп Gaieii-x\vr),
К1г- с12егн-х) L	'
*)
Приведенное здесь решение задачи осуществлено Цвангом В.А. и
Жевченко В.П.
95
Кг, = S,,
Л 1	{ Х-г <
U i * i
f 2 Z
К »	+ ttfi-xjYk.Zn, G (tH-xtf)
22 t-X	2a n_f
Коэффициенты (8.19), входящие в (П.2), в случае сферической
оболочки значительно упрощаются и имеют вид
при а « 1
& * ^2~ Г ' k V	при П « 2 к = - , к = - , к 11	9	/2 4 9 Коэффициенты Cf2 и С2 .	к2 R, 12 (М)№) Неизвестные функции [ 1?(р(,0)] и угла поворота образом; У<= Д ( J [^(х,0)]- 1	v dx = ~ТГ~ A f «	2f	g	• ^22'	g	, - — ±£ в- 2i	‘	I имеют следующие значения: • / >	С21 *	2 л • и	через скачки перемещения [выражены следующим - f [ t(x,o)]dx ) /с^ J *	f (II.3) ,^о)]^ в	•
Из свойств решений системы уравнений (II.I) следует, что
функции % и к на концах отрезка / - I, I / имеют
особенность типа	\
Хак известно /11,20 / система уравнений (II.I)имеет не един-
ственное решение. Поэтому, для получения единственного решения в
классе неограниченного на концах отрезка / -I, I / функций,необхо-
димо добавить следующие дополнительные условия:
f ^(i)c/i = 0 ,	(ПЛ)
-Г
представляющие собой условия однозначности перемещений / 20 /•
Если функции W It) найдены, то коэффициенты интенсивное*
V
ти напряжений К1 и Kg , характеризующие концентрацию напря-
жений у концов трещины,определяются следующим образом:
(П.5)
К - '/а.	^а(эс) •
2	х-*-'
Получение точного решения системы уравнений (ИЛ) «-(ПЛ)
не представляется возможным из-за сложной структуры ядер (II.2).
Однако для важного в приложениях случая трещин "малой" длины,
характеризующихся малостью параметра	можно получить
аналитическое решение.
Метод получения аналитического решения	подробно
изложен в работах/20»/ и заключается в следующем:
97
Неизвестные функции (t) представим в виде рядов по
£
степеням параметров	а р
(II.б)
Используя асимптотические значения функций
n,t П~ 1
представим ядра Кц tt~X) тоже б виде рядов по степеням пара-
метров / и tn ft • В дальнейшем ограничимся представления-
ми ядер в виде сумм до степени	включительно, что соответ-
ствует первому оболочечному приближению (нулевое приближение дает
ядра для соответствующей задачи о пластине с трещиной). Полученные .
таким образом ядра имеют вид
уз (1-х) a.1f t
К =	-*) (a\z + агг
и
(II. 7)
pz(i-x) (a1Sf +azfi.p +аг< In ,
»л. Т
Здесь	jj- 2	1+3\J
ац~ ' а2.1 ~ (з^)-23
98
Подставим выражения (II.б) функций (t) и ядер (II.7)
в систему (IT.I) и (II.4) предполагая, что оболочка находится под
равномерным внутренним давлением, т.е. /
Приравнивая коэффициенты, стоящие при
/П л п
& В • получим рекуррентную систему
одинаковых степенях
функций
для определения
при

2ZL
Первое из
di = (х)
di - 0-1 ['(< -Х) da W di
уравнений (II.8) имеет решение
100
(II.9)
Подставляя его в последующие уравнения системы (II.8),также получим
решения в замкнутом виде.
Окончательное выражение для функций v*; в первом приб-
лижении запишем в виде
99
Ycx) ш
2
—	J
8(М)	Ч
шло)
В таком случае, когда параметр / = 0(1) ,для получения
удовлетворительной точности рассматриваемой задачи, нужно брать все
Л П.	. х
больше членов при В J3 в рядах (II.6) и выражениях для
ядер Д'..	. Поэтому получение решений системы СП.I) и (II.4) в
Ч
последующих приближениях представляет значительные трудности, свя-
занные как с разложением ядер /Л. в ряд по степеням параметров
л	J
И <л в 9 так и с решением полученных реккурентных сис-
тем. В / 20,32 / получено радение системы вида (II.I) и
(II.4) для сферической оболочки с прямолинейной трещиной лишь во
втором приближении.
С другой стороны, в настоящее время существуют достаточно
эффективные численные- методы решения систем сингулярных уравнений
• •-
типа Коши» Среди них можно выделить обобщенный метод Мультоппа/16/,
состоящий в том, что исходная система с помощью квадратурных фор-
мул типа Г&усса-Эрмита для сингулярных интегралов заменяется конеч-
ной системой линейных алгебраических выражений.
Представим решение системы (II.I) и (II.4) в виде
*(*) =
(II.12)
>/Г-
♦
С помощью вышеупомянутого метода Мультоппа система (II.I) и
(II.4) заменяется следующей системой линейных алгебраических уравне-
ний порядка ZN - число точек разбиения половины отрезка
100
трацины)
7/
№
(II. 13)
14
Z (^ 4V * °^mi> 4v)s 0.
4>=f
Здесь
„	.	. «*V
</L = _J_____eta	^1. к it i )
** XStfl0m <7	2	M
.	u‘i'ul“">-'
x	* 2 Ы 4
Полученную таким образом систему можно решить на ЭВМ, Для
решения системы (II.9) составлены программа на языке FQRTK^H “
1У Ю ЭВМ. Время счета* одного варианта на ЭВМ ЕС-1022 составило
2 минуты.
Авторы исследовали’поведение коэффициентов интенсивности на-
пряжений для широкого диапазона изменения параметра { О + f ),
При численной реализации коэффициенты	и вычислялись
по формулам
101
В случае оболочек произвольной кривизны алгоритм решения ука-
занной задачи остается без изменений. Существенным отличием будет
то, что при вычислении в точках разбиения значений ядер Кц в ря-
дах (8.18) необходимо оставлять большее число членов по Л и т .
В таблице I приведены значения коэффициентов
К. и для
сферической оболочки, находящейся под внутренним давлением для раз-
личных относительных длин трещины.
Таблица I
		
0,2 •	1,011239	0,00611241
О.ч	1,042	0,0169265
0,6	1,088687	0,02920141
0,6	1,147852	0,04187537
1,7	1,21794	0,05450429
1,2	1,295628 .	0,0 668029
1,4	1,3812446	0,07889766
1.6	1,473222	’	' 0,090496
1,6	1,570724	0,1016315
2,0	 1,673079	0,112268
2,2	1,779752	0,1223695
2,4	1,8903	0,1318972
2,6	2,004368	0,1408121
2,6	2,121686	0,1490735
3,0	. 2,242034	0,1566426
3,2	2,365232	0,1634758
102
Эти результаты совпадают с данными, полученными Эрдоганом и
Киблером / X) /.
Для оболочек с кривизнами	численная реализация
предложенного метода тоже осуществлена на ЭВМ ВС 1020.
§ 12. Контактные задачи теории оболочек
с линейными абсолютно жесткими и
упругими штампами
Контактные задачи теории оболочек относятся к смешанным зада-
чам. Как правило такие задачи удобно сводить к решению интегральных
уравнений, где в качестве неизвестных выступают функции, определяю-
щие закон распределения контактного давления по области контакта,»
Если эта область заранее неизвестна, то к интегральным уравнениям
следует добавлять дополнительные уравнения, позволяющие установить
. ее размеры. В контактных задачах такими условиями являются условия
равновесия контактируемого с оболочкой тела.
Для построения разрешающих интегральных уравнений будем поль-
зоваться интегральными представлениями компонент перемещений на и
силовых величин.
В этом параграфе рассмотрим вопросы контактного взаимодействия
тонкостенных оболочек с линейными абсолютно жесткими штампами.
<
При решении контактных задач теории оболочек разрешающие ин-
тегральные уравнения можно получить исходя из условия равенства
смещений или деформаций точек поверхностей контактируемых тел / 19 X
В случае абсолютно жестких штампов удобно применить условия
равенства кривизны основания штампа к изгибной деформация поверх-
ности оболочки / 18, 23 /.
ЮЗ
Предполагается, что контактное взаимодействие происходит без
учета трения и ищется только его нормальная составляющая.
I. Рассмотрим "бесконечно" длинную оболочку двоякой кривизны,
сжимаемую. М одинаковыми абсолютно жесткими острыми штампами.
Трением в зоне контакта оболочки со штампом пренебрегаем. Под дей-
ствием силы 9 приложенной к одному из штампов, образуется
бона контакта, характеризуемая углом IP (Рис. б
В пределах эоны контакта каждого из штампов напряженное сос-
тояние ободочки описывается уравнениями теории оболочек о большим
показателем изменяемости.
Интегральное уравнение поставленной задачи получим из интег-
ральных представлений и условия равенства в зоне конта! а е ы
штампа и изгибной деформации	поверхности оболочки.
Запишем граничные для рассматриваемой задачи
104
[и] * Iifj = M = о ,

(12.1)
'7'-‘ 4.;
(12.2)
x»(<W»Ajw.
Здесь f(y)
Из уравнений
поперечной изгибной
- функция, характеризующая кривизну штампа.
(1.3	) легко получить, что трансформанта
кривизны	имеет вид
«A?)=V	erfdf, ci?.’)
где	-трансформанта	». возникающая от деист
вия внешней нагрузки.
Применяя к (12.3) формулу обращения <4.5	) и ,иопользуя
граничное условие <12.2), получим интегральное уравнение для опре-
деления контактного давления
^.(0,11= I x"(o,l<f-rl) qttidv-jt'fi.
03	1
Здесь	- изменение кривизны, соответствующее
фундаментальному решению системы уравнений (3.1) при Xе Xе О »
105
Опуская промежуточные результаты, приведем окончательные вы-
ражения
а)	Для оболочек нулевой кривизны
у) а — Ре^сЛгхК(я*) + 2 Kt(£i){ (12.5)
* ' 4?»
где
yi
К(&) - функция Макдональда.
б)	Для оболочек положительной А >0 и отрицательной
А< О кривизны
Wa _С & У £ у G №Т)йн2пО<, (12.6)
2 т! п,п+т
Здесь коэффициенты	принимают следующие значения:
I. Для А >0
рл(8)
'п+е
Г(2п+&<)
П-1
Р 6(S) Р (8)
+ п+е ) Т. _
г(2п+е+2)	Г(2п+е)
2. Для А < о
2 f*	. 2П , т.
3 - (i+ сол2е) 8 (&) a-i(ff)) х
Jf J
° х Сол 2п& d & +
(12.8)
106
+ ~ ; (1+Сн2еН (t+t^CoiZnedit
0*
0*= azct^y
Полагая в формулах (12.5), (12.6) Х~О , 6^-	,у>
и вводя подстановки <М% , t'ifg ,
уравнение (12.4) приведем к ваду
7
j	*W2),
где 60(2) =	. .
Дополнительное соотношение, необходимое для определения неиз-
вестной величина зоны контакта определим из условия равновесия
штампа
(12.10)
функцию 9^2 (О,	% 12*^1)
грального уравнения (I2.9)t представим
А) иего(хг(12^\^1\)
, являющуюся ядром инте-
в виде'
(при л» 0 ). (I2.II)
» f
Ь) оз

Q	(12.12)
~ 9е1
т/ У Л/Л*л
107
03,
Исследуем характер поведения функции Ог~и) . из
свойств функций	и^гл^, следует, что
имеет логарифмическую особенность и представима в виде
£1) «
t
+ 0(2-1),
(12.13)
где ^(2-t)
держащими четные
Учитывая разложение (12*13), интегральное уравнение (12.9)
и	— известные полиномы с членами, со-
степени
представим следующим образом :
+1
{(?(2-i) tn I2-U + OC2-i))^i)di » Щ?) ;
-1
(12.14)
Имеются различные пути решения интегральных уравнении типа
(12.14	/ Ху /, / 23 /•
Здесь, следуя / 1б, п /, используем прямой метод сведения
интегрального уравнения к бесконечной системе линейных алгебраичес-
ких уравнений.
В контактных задачах рассматриваемого типа искомая функция
этого, рея
имеет особенность типа ( М
/. Исходя из
ние уравнения (12.14) будем искать в виде
f ю = z
т-о
(12.15)
где
ряды
T.li) - многочлены Чебышева / р /«
Д/71
Учитывая разложения функций 3 и	Б степенные
/ т / и (12.15), можно заметить, что при сведении
108
уравнения (12.14) к бесконечной системе алгебраических уравнений
необходимо вычислить следующие два типа интегралов :
сП .
(12.16)
Т Н) di .
2m
Первый из них находим в / I
2Т
'l - ..........................
1	(2j4)-2^
• для второго типа вычисления используем разложение
(12.18)

(12.19)
которое получим последовательно, применив рекуррентную формулу
2iTd) + ТМ *0 •
Подставим <12.19) в (12.17) и используя значение интеграла
(т»О);
Im* 1),
109
получим

I
С помощью соотношений (12.15)» (12.18), (12.20) уравнение
(12.14) сводится к бесконечной системе относительно коэффициентов
путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях
Изложенную методику проиллюстрируем на примере цилиндрической
оболочки радиуса £	» сжимаемую двумя штампами постоянной кри
визны Л'1	. Уравнения (12.10) и (12.14) для рассматриваемой '
задачи примут вид/ 16 /

£
J C0i(i 4>0)cH =
Подставляя в (12.21) разложение функции KeiQ(X &г /2-^1/
в виде степенного ряда /I /и используя формулы (12.15), и
112,20), получим
ОО	ОО	I
т-р	^0
(2i+O(2j+i)
X
4i+2 h’ л	От a^Hl+2.
Zf Hi+2\ ______Z3 Я
(2?+/) 22г+/ B>('i+m+{) 2~m+i)
(12,23)
Ч> г/|г/4М
2 k, е 1 гг‘
-J^nZ
- 7 (i)
J2#^2K+il
12т~2К+1\

Разложив функцию СС /2) в степенной ряд по £ и прирав-
няв коэффициенты при одинаковых степенях , получим бесконеч-
ную систему алгебраических уравнений относительно ,
Регулярность этой системы доказать крайне затруднительно. 0
связи с этим ее решение	проведено на ЭВМ ЕС 1020 методом
редукции при Ш = О,1,2,3 v. т* О, <,2,3,У,5. Сравнение численных
значении для коэффициентов	для различиях углов контакта
% <O,S показывает, что для их вычисления достаточно ограни-
читься решением системы четырех алгебраических уравнений. Для обес-
печения высокой точности в> разложении функции	в степенной
ряд удерживалось 26 членов ряда. Расчеты проведены для следующих
параметров fi2 h'*	- 100, (1~ J?2 H'J ) - 0.01 » сравнены 0
данными, приведенными в работе / 23 /.
На рис. 7 приведены графики изменения контактного дав-
ления	в зависимости от параметра	Д^я
различных значений углов охвата	* Сплошные линии соответ*»
ствуют результатам, полученным в данной работе, а пунктирные f
в / 23 /•
III
Расчеты проведены по формуле
t Сн.зО
’ го т*о w
we $atM “ Функция Бесселя 1-го рода / I Л Связь между
внешним усилием { Р . приложенным к штампу и величиной зоны
контакта Уо , определим из соотношения (12. хО),  под^тавля
в него выражения (12.15)
"Г 7 27’^	•	(12.25)
*Ka. т*о
Здесь использовано соотношение / 1	'
С Т (х) dx - Ч)11 2	’
J y/'hx1
112
Решение контактных задач значительно упрощается, если зона
контакта оболочки со штампом является малой. В этом случае решение
интегрального уравнения (12.14) можно получить в замкнутом виде.
Используя асимптотические разложения функций	или
п^и малых значениях аргумента « i » ядро ин”
тегрального уравнения \Д2.9) запишем в виде
(12.26)
(1-Мг) (3+Х)
Подставляя (12.26) в уравнение (12,9) и представляя искомую
функцию	в виде (12.15), после необходимых преобразований
придем к уравнению
Г ,/л few*/ (ЮГ)

32

1
12g
% Tfj
/п
в -	.
*
В случае штампа с постоянным радиусом кривизны функция ,
60/2) имеет вид
2 л 2>
о)/2) « —д“
/?7
2* = ~ \	) приравниваем выражения, стоя*
*2»	*W* * 1
Полагая
щие справа и слева при одинаковых полиномах
ИЗ
В результате придем к бесконечной системе алгебраических уравнений,
решением которой будут следующие значения коэффициентов;
а а ££ //_ uz \ г р	, г-,
°	~s °Ъ + с ~
- yJ77Z^ j
32	’
„	Л(3+\}	I
<Z ~ - ------------- (у
1	32	° ° 1
Ct -О (тг-2) , о( -	.
п
Тогда искомую функцию представим в виде
= ^7 (''а>
где
у /з ах) ;—т . t
------ ) .
32	°
Подставляя функцию	в условие (12.10) получим
ние, устанавливающее связь между величиной прижимающей силы
уравне-
и углом обхвата


(12.28)
В принятых ранее обозначениях формулы (12.27) и (12.28)
запишем в виде
НА
</« = 2 % n2 ? A -

(12.29)
Приведенные соотношения справедливы для оболочек положительной
и нулевой кривизны. В случае оболочек отрицательной кривизны UQ
В соответствии с методикой вычисления оригиналов, изложенной в
5ормулы <12.27)-(12.29) останутся такими же, но коэффициенты
%0й Q
32 Rth '
3-А	2(3-»	Г2 ж 2 (3+» rr-
a=~~T + —	* 7^^ '
На основании полученных результатов можно провести исследова-
ние влияния кривизны оболочки на распределение контактного давления
Q*( У) в зависимости от величины зоны контакта / 14, 15 Л
П Р И л О К Е Н И Е
§ 13. Некоторые сведения о специальных
функциях
Приведем некоторые соотношения из теории специальных функции,
которые использованы в предыдущих главах.
I. В процессе построения фундаментального решения системы
(.3.1) необходимо использовать соотношения Якоби
(>Хр (iX. Cpi2X. *-П^пХ^ Пс(' »	<13. D
где $п(х)	- функция Бесселя I рода, порядка fl ,	. От
делив действительную и мнимую части в соотношении <13.I), получим
следующие два разложения:
Со, IX Со,и) = 1!Х) + 2 f l-i)\.
n-i
/I
Sin. (х ы-- г LH)	
В формулу (13.2) подставим сначала of =	• а ватам
ota в . После необходимых преобразований получим
Coi(xCoiifCos0)Coi(xSinif SinO) +
+ $4/i (х Catf Coi 0) Sin (x Sin Sin. 0) =
= 3(x) +z£.&)nZ(x) (CoiZnifCoi 2n0 +
°	П*1
+ Sin Znf SinZnS) .	(13.4)
<
Coi (X Ct&If Cot9)Сол(xSinf Sind) -
- Sin. (x Coif Coi0) Sin (x Sin fSinQ) '
= 3aix) (4)ntyx)(Coi2n<fCoj2n0 -
Л«/
-4An2n.fSiftZn.9} .	(13.5)
Sin (xConfCoi9)Sin(xSinfSin9) B
- 2	3 !x) SinZnif Sin2n9 .	(13,6)
ЛМ
>
Coi(x Coiif Coid) Coi (xSinifSin0)
= У H)n£ J (X) CoiZnif CoiZn& ..	<I3.V>
zn
n^O
117
вд~*	J 1	(n*Q)t
* l Л	(Л9 1 ) .
Таким же образом из соотношения (13.3) можно получить еще две
формулы.
Stn.(x ConfCoiO) Co^lxSintfSinff) =
•О я
в 2 2>I) J (x)Co3(2n*l)4Cbs(2n->l)9 .
П«о
Coi (х Co5^CoiQ)Sin. (xSirttfSLn 9} =
(13.9).
= 2 У (>1) J (х) $1п.(2п+{)4> $сп(2п+<)9.
2n+i
п*о
2. В [7] получена формула для следующего несоб-
ственного интеграла
о t + i	.
(13.10)
. Л и Г! I »	7 я	/лЛ-V
-1 £6,)	(4 7
2 КЧ Г(п-К+!)	2‘ *
(-/< 2eV«fn+| , Q>o t faz>o)
Здесь	- модифицированная функция Бесселя второго рода
порядка у) . При V*/7 функция А^(2)может быть представлена
разложением в степенной ряд
118

к /£ )
к!
П-2К
+
(13.И)
к* о
Л-*2К
( П Ы) .
- £ ( ^(K+i) + Y(n +*+t)))l
К (V--
О
у -W (Сп -
к к! '	2
к* о
(13.12)
^и)--с .	^х+о»-^+£/,
lai
С =	- О, 5 Ц 2 .. . ... - постоянная Эйлера.
в»«.« <«»«» «»««»«	‘ "“““ ”™“"“
.	(-/< Re>)< пЦ > 0>0 >
используя значение интеграла (13.10). ФУ®!»»	“оио
определить следующим выражением1:
U3.U)
Л*К ГЫ+к)
(п-к)! ' 2
2
2Х
(13.14)
( П?0 ,
Йе V > ~f ).
119
При - frl (П -целое число) имеем
,^2(т+к)
/х I
п+т 00	| о I
к*о к! (П+т+к)!	* *
(13.15)
*Y(^))] f	(If
к*о (п+к)! 12' j
2К
х?0 7/1^! [ I - С13Лб)
- - У'/'Л +K+i) ] е
для Функции /? (2) справедливы следующие соотношения:
а)	формула дифференцирования
i d G (i)	(2) - C- (2) 7	(13.17)
2 di n,u n,x> n,V+< '
б)	рекуррентная формула
G(t)-GCV	U3-I8)
n,V	'v
в)	формула умножения
.	*>£/,•» W Л	(13.19)
^г) = Л У (f-^) G ,
Л,^	л m-	n,^m
*	m=o
120
Формулы (13.Г7)-(13.19) проверяются непосредственной подста-
новкой (£) в виде (13.14).
Из соотношений (13.15), (13.16) можно получить
для функции
асимптотичес-
при fal&l :
кие представления
(13.20)
п.,0
И.
2
Далее рассмотрим функции	f 2 /Г) , Введем обозначения

(13.22)
б^гЛ) =	.
Выражения для функций п и 9**..,^ В ВЙДв °
пенных рядов можно получить из формул (13.14)-(13.1б):
<к>
aez a = (-//”*" У ~тг------------------77 f ~ i W***)-
о n,m	к)(ii+ni+K)1. 2
. X Y(n+K+i}) Coi т - — Stn и J +
UsO
п+к
gTi
Z >
(13.23)
121
К=о к! (л-ИЛ+К)1
-'4 'P(n+K+t}} Sin + — Соз ^^7 1 +
2	iJ 2 Ч 2 i
*f»o (п+ь)!	2	2
Присоединенные функции Лежандра I рода. В данном посо-
бии используется следующее интегральное представление для присое-
диненных функций Лежандра / I /:
122
р^}-_	[(3	щ),
п	Я	о
х Cojnip d<f> =
(13.29)
„f.WMWI [	dt/
~\Ч	~	J /	t~2~~ Г	' >
О (i+Vi-i Coi'f)
|<Шр1 < |
= при ^=2 •
для упрощения коэффициентов	• входящих компоненты
тензора Грина, полезно использовать представление (i) через
гипергеометрическую функцию /" (	. Z • С • 2 )•
ГЫ-m+i) т! s
(13.30)
х 2тГ(^^)	Ш1+т+'1> ^,^т> Ч).
при этом в рассматриваемых случаях следует помнить, что при
и гп >п. функции /^/й) = 0 • Однако Г(П-т + !) Рп Ч) стремится
к конечным пределам. Кроме приведенных соотношений для упрощения
<9... <Л) необходима формула
тп
(13.31)
/П	Г(п+ли{)	п-м 4
р {Si) х --------— р И) .
п	Г(л~т+1)	п
123
связывавшая медду собой функции Р d) и
1екуррентные соотношения месду функциями
порядков можно найти в / I» 2 /.
р„(2) различных
ПРИКНИаШИ Ы1ШИОГРАОИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
I.	Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. -
М.: Наука, 1965, 1966, 1967. - Т.1,2,3.-294 с. ;295 с. ;299 с.
2.	Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразовании.
- И.: Наука, 1969, 1970. - Т.1,2. - 343 с. ; 327 с.
3.	Бремерман Г. Распределения, комплексные песеменные и пре-
образования Фурье, - И.: Мир, 1968. - 276 с.
4.	Брычков D.A., Прудников А.П. Интегральные преобразования
обобщенных функций. - И.: Наука, 1977. - 286 с.
5.	Вайнберг Д.В., Синявский АЛ. Расчет оболочек. - Киев: Гос-
стройиздат УССР, 1961. - 119 с.
6.	Величко П.М., Шевченко В.П. О действии сосредоточенных сил
и моментов на оболочку положительной кривизны. - Изв. АН СССР, МТТ,
1969. Вып. 2, с.147-151.
7.	Величко П.М., Хижняк В.К., Еевченко В.П. Местные напряжения
в оболочках положительной нулевой и отрицательной кривизны, - В кн.:
Труды X Всесоюз.конф.по теории оболочек и пластинок. - Тбилиси:
Мицниереба, 1975, т.1, с.31-41.
8.	Верохский D.B. Численные методы потенциала в некоторых за-
дачах прикладной механики. - Киев: йзд-во Киевского ун-та, 1978.
- 161 с.
9.	Владимиров В.С. Обобщенные рункиии в математической физи-
ке. - И.: ^язмат, 1976. - 275 с.
10.	Вяасов 3.3. Сбтая теория оболочек. - М.: Гостехиздат,
II.	Ворович И.И., Александров В.М., Бабенко В.А. Неклассичео-
кие смешаннге задачи теории упругости, - М.: Наука, 1974. - 455 о.
12.	Гавеля С.П. О расчете и некоторых аспектах применения мат-
риц Грина в теории тонких оболочек. - Изв.вузов. Математ.1971, £ I,
с.39-46.
13,	Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. -» М.:
Физмат, 1976. - 512 с.
14.	Гусар Н.Н., Хижняк В.К., Шевченко В.П. Контактная задача
для ортотропной оболочки. - В сб.: Теоретическая и прикладная ме-
ханика. Респ.межвед.н.-т.сб,, 1979. Вып.Ю, с.51-56.
15.	Гусар И.И., Хижняк В.К., Шевченко В.П. О контактном взаимо-
действии линейного упругого штампа с оболочкой, - В сб.: Статика
сооружений. Киев: Изд-во Киевского инж.-строит.ин-та’, 1978, с.130-
132.
16.	Калавдия А.И. Математические методы двумерной упругости,
- М.: Наука, 1973. - 304 с.
17.	Максименко В.Н., Филыптинский Л.А. Контакт анизотропной
оболочки вращения с жесткими линейными штампами. - Изв.АН СССР, МТТ*
1977, № 2, с.89-94.
18.	Марченко В.В., Шевченко В.П. Контактные задачи для тонких
1
оболочек.-В сб.: Теоретическая и прикладная механика. Респ.межвед*
н.-т.сб., 1978. Вып.9, с.62-68.
19.	Моссаковский В.И., Гудрамович B.G. Контактные задачи тео- ,
рии оболочек. - В об.: Контактная прочность пространственных кон**
струкции. - К.: Наукова думка, 1976, с.3-40.
20.	Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение
напряжений около трещин в пластинах и оболочках. - К.: Наукова дум-
ка. 1976. - 443 с.
125
21.	Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории уп-
ругости, - М.: Наука, 1977. - 311 о.
22.	Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью.
- К.! Наукрва думка, 1973, - 248 с.
23.	Толкачев В.И. Действие острых штампов на бесконечно-длин-
ную цилиндрическую оболочку. - ПИМ, 1971. Т.35, № 4, с.734-739.
24.	Хижняк В.К., Шевченко В.П. Напряженное состояние ортотроп-
ных оболочек, ослабленных трещинами. Теоретична и прилежна механТка.
10 Национален конгресс по теоретична и прилежна механика, Доклада кн.
I, София: Изд-во Болгарска академия на науките, 1977, с.604-609.
25.	Хижняк В.К., Шевченко В.П. Исследование напряженного состоя-
ния оболочки, ослабленной криволинейной трещиной. Смешанные задачи
механики деформируемого тела. - В кн.: Всесоюз.конф. (Ростов-на-До-
йу, 1977 г.): Тез.докл.-Ростов-на-Дону: Изд-во 1977, ч.2, с.Ш-113.
26.	Черныш Г.Н. Асимптотические методы в теории оболочек (сосре-
доточенные нагрузки), - В кн.: Труды У1 Всесоюз.конф.по теории обо-
лочек и пластинок. - М.:. Наука, 1966, с.799-610.
27.	Шевченко В.П. К вопросу о действии сосредоточенных моментов
На упругие тонкие оболочки произвольной кривизны. - В сб.: Теорети-
ческая и прикладная механика, Респ.межвед.н.-т.сб., Вып.8, с,42-47.
i
28.	Шевченко В.П. Интегральные преобразования в теории пластин
и оболочек (уч.пособие). Донецк: Изд-во ДонГУ, 1977, - 114 с.
29*	Folias E.S. Asymptotik approximations to crack problem in
sheila - Mechanics erf fructure, Vol 5, 1977, P« 117-160*
JO. Sanders J.Lyell. Singular solution to the shallow shell
equations, Trans. ASMS, 1970, Vol. E 37, 2, J67-373*
J1.	Simmonds J.G. The fundamental solution for a shallow shell
equations, Tran arbitrary quadratic midsurface, Trans. ASMS, 1976,
E 43, 2 p. 286-290.	•
32.	Simmonds J.<G., Bradlly M.H. Stress-intensity Factors for
very short crack in arbitrary pressurized, Trans. ASMS, ser. E,
1976, Vol. 43, 4, p. 657-662.
О Г Л А В Л ЕНи’е
Введение .............................................
ГЛАВА I. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ PSD ШИ Я УРАВНЕНИЙ СТАТИКИ
пологах изотропных оболочек.
§ I.	Основные соотношения теории пологих оболочек 5.-5
§ 2.	Граничные условия в теории пологих оболочек . . . 9
§ 3.	Теорема взаимности работ ...................  12
§ 4.	Фундаментальные решения уравнений статики
пологих оболочек ................................. 23
§ 5.	Тензор Грина для пологих оболочек ........ 38
ГЛАВА П. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК.
§ 6.	Интегральные представления перемещений в
теории оболочек..............4 . ..................^8
§’7. Интегральные представления производных
перемещений и внутренних силовых величин .... 53
ГЛАВА Ш. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ
ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК.
§ 8. Интегральные уравнения задач теории оболочек»
ослабленных прямолинейной трещиной ........... ».	. 71
§ 9. Некоторые смешанные задачи плоской теории
упругости.................................    82
?10. Изгиб пластины	с трещиной ....................90
§11	. Сферическая оболочка, ослабленная прямолинейной
трещиной.........................................  95
§12	. Контактные задачи теории оболочек с линейными»
абсолютно жесткими и упругими штампами ..... ЮЗ
ПРИЛОЖЕНИЕ
§13	. Некоторые сведения о специальных функциях . . . , Пб
ПРИКНИМЙ БИБЛИОГРАЖЮКИЯ УКАЗАТЕЛЬ....................*	12*
Виктор Константинович Хижняк
Владимир Павлович Шевченко
Смешанные задачи теории пластин л оболочек
(учебное пособие)
Редактор
Л.Х. Соловьева
Сдано в производство 28.^1.80 г
БП Я 05856. Формат бумаги 60x84
Подписано к печати 20.12.79 г
Бумага ИИОфсетная
печать. Условн.печ.л. 5,1. Уч.-изд.л. 5,8. Тираж 300 экз. Заказ М023*.
Плановый # II, 1979 г. Цена 15 коп.
Донецк, ДонГУ, 1980
Мехгуз.полиграфпредприятие при ДДИ.
ул. Артема, 96. Ш уч. корну с
340066, Донецк,