АДАПТИВНЫЕ
ФИЛЬТРЫ
К ♦• К. IC*}Mi k Л. М. Г|««п«
liu »•■* м.« ft N. Ли1ми4
mi |f uift»*A
•i«4 **•* ••)« С К. Гннмг*
#**<*«« *M*f»tHt

ВБК 32.83
V28
УДК R2I.38
Авторы: Грант П. М., Коуэн К Ф. Н., Фридлендер Б.,
Трейчлер Д. Р., Тернер Д. М., Феррара Э. Р.. мл..
Адаме П. Ф.
Адаптивные фильтры: Пер. с англ ./Под ред
А28 К. Ф. Н. Коуэна и П. М. I ранта. — М.: Мир. 1988. —
392 с. ил.
ISBN 5-03-000004-6
Ьоллектинная мнит рафии написанная nej щи мм cm ниалистачи США и В(
лиьибритаиин, ци-нмшгна пирнн. кинстрчирпванию II применениям адаптивных
фичьтрон. В ной ишчаиы цифр> ibui метилы обработки сигналив а также указ*
Hi.i in амя ч'екне применения и радиитехнических и электронных четройствач
Дли инженеров, техников )i иаччных рабитникив в области ради.лехннм
электроника техники связи и обработки ниф"рч1ацки.
2402020000—29!
A u41(oi)-88 '65-88, ч. 1 ББК 32.85
Редакция литературы по электронике
ISBN 5-03-000004-6 (русск.) £ 1985 bv Prentice-Hall. Inc.
ISBN 0-13-004037-1 (англ.) » ,
v ' £ перевод на русски Л язык.
«Мир», 19S8

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ljaiiin jaivie4jHHH о содержанш ьннгн, ее оформ-
лении, качестве перевода и другие просим ирисы'
лать по адресу: 129820. Москва. И-110, ГСП,
1-й Рижский «ер., д. 2, издательство «Мир».

Предисловие
редактора перевода
Уже более двух десятилешй ведутся исследования и разработки
в области адаптивной фильтрации сигналов. Однако лишь в
последние годы благодаря успехам микроэлектроники вопрос о
широком использовании адаптивных фильтров как сравнительно
недорогих устройств, существенно улучшающих характеристики
систем обработки информации, встал на повестку дня.
В доступной широкому кругу читателей литературе по
адаптивной фильтрации рассматриваются, как правило, вопросы
сходимости и помехоустойчивости отдельных классов
адаптивных фильтров. Однако по сравнительному анализу
характеристик и сложности реализации многочисленных разновидностей
этих устройств публикаций мало. Явно недостаточно и работ,
посвященных реализации адаптивных фильтров, результатам их
моделирования и практического применения. Почти совсем
отсутствуют монографии, в которых излагались бы вопросы и
теории, и реализации адаптивных фильтров.
Предлагаемая вниманию читателей коллективная
монография под редакцией Колина Ф. Н. Коуэна и Питера М. Гранта
(Эдинбургский университет, Великобритания) в определенной
•степени заполняет этот пробел. Редакторы книги предложили
ряду известных специалистов в области адаптивной фильтрации
написать обзоры по наиболее важным вопросам теории и
применения адаптивных фильтров, а на себя взяли задачу написать
гл. 1 (П. М. Грант и К- Ф. Н. Коуэн), гл. 2 (К. Ф. Н. Коуэн),
гл. 7 (К. Ф. Н. Коуэн и П. Л\. Грант) и гл. 9 (П. М. Грант).
Кроме того, они провели унификацию обозначений и
сокращений, что несомненно облегчает чтение книги. Главу 3 написал
Б. Фридлендер (фирма Systems Control Technology. Inc.. Пало-
Альто, шт. Калифорния, США); гл. 4 — Д. Р Трейчлер
(фирма Applied Signal Technology, Inc., Саннивенл, шт. Калифорния,
США); гл. 5 — Д. М. Тернер (фирма Allophonix, Inc., Пало-

6
Предисловие редактора перевода
Альто. шт. Калифорния, США); гл. 6 —Э. Р. Феррара, мл.
(фирма ESL, Inc., Санннвейл, шт. Калифорния, США); гл. 8 —
П. Ф. Адаме (фирма British Telecom, Research Laboratories,
Ипсвич, Великобритания).
Вполне естественно, что главы, написанные разными
авторами, различаются по подходу к рассматриваемым вопросам н
по стилю изложения материала. Однако ни один автор, работая
над данной темой в одиночку, не смог бы добиться такой
глубины изложения теории и широты охвата материала.
В книге достаточно подробно обсуждаются основные
результаты теории оптимального линейного оценивания. Кратко
рассмотрены соотношения, описывающие параллельное устройство
обработки (с конечной импульсной характеристикой), где
используется решение уравнения Винера — Хопфа, т. е. оценка
в виде взвешенной суммы конечного числа наблюдаемых
выборок. Приведены также основные соотношения для
последовательного или рекурсивного устройства, т. е. оценки Калмана.
Подробно рассматриваются теоретические основы построения
адаптивных фильтров с конечной импульсной характеристикой.
Анализируются наиболее простые фильтры из этого класса:
линейные фильтры с подстройкой коэффициентов по критерию
минимума энергии сигнала ошибки на выходе фильтра. Выведены
основные соотношения для рекурсивного алгоритма наименьших
квадратов Уидроу — Хопфа. Алгоритм метода наименьших
квадратов используется благодаря своей простоте уже более 20 лет.
Рекурсивный алгоритм наименьших квадратов обладает рядом
преимуществ, в частности имеет значительно более быструю
сходимость, чем алгоритм, основанный на градиентном методе
минимизации функций. Однако рекурсивный алгоритм обладает
повышенной вычислительной сложностью и лишь в последнее
время начал широко использоваться. В связи с этим
рассматривается ряд разновидностей рекурсивного алгоритма: с
экспоненциальными весовыми коэффициентами, в форме квадратного
корня, в форме скользящего окна. Подробно описан алгоритм
метода наименьших квадратов, рассмотрена его сходимость.
Все алгоритмы приводятся в достаточно удобной записи.
Фильтры с конечной импульсной характеристикой обладают
не только несомненным преимуществом — обязательной
сходимостью при любых соотношениях параметров, но и серьезным
недостатком — большими объемами вычислений, возникающими
из-за нерекурсивной природы таких фильтров. В книге описаны
результаты исследований, проводившихся в последнее время по
изменению структуры адаптивного фильтра с целью
превращения его в фильтр с бесконечной импульсной характеристикой.
Основное преимущество таких фильтров заключается в
существенном сокращении объема вычислений. Однако наличие обрат-

Предисловие редактора перевода
7
ной связи в таких фильтрах делает проблематичной их
устойчивость. Исследуются алгоритмы, основанные на концепции
минимума среднеквадратичной ошибки, а также алгоритмы,
построенные на базе нелинейном теории устойчивости. Основное
внимание уделяется устойчивости этих фильтров, скорости
сходимости их алгоритмов и характеристикам в режиме
фильтрации.
Весьма подробно в монографии анализируются решетчатые
структуры адаптивных фильтров, имеющие ряд преимуществ
в реализации. В частности, такие фильтры состоят нз
идентичных секции, что ускоряет разработку и упрощает расчеты
сходимости В книге приведены описания ряда практических
алгоритмов решетчатых фильтров. Важным и полезным является
приведенный анализ сложности подобных алгоритмов, а также
описания некоторых способов упрощения алгоритмов и их
реализации,
Еше одним распространенным способом реализации
адаптивных фильтров являются алгоритмы с преобразованием
входного сигнала в частотную область. Эти алгоритмы, в
которых используется быстрое преобразование Фурье, дают
возможность резко сократить объем вычислении (особенно при
больших объемах блоков данных, накапливаемых в буферной
памяти) по сравнению с другими алгоритмами адаптивной
фильтрации. В книге проведены оценки сложности алгоритмов, показаны
пути улучшения их сходимости.
При рассмотрении всех вопросов теории адаптивных
фильтров авторы не упускают из виду вопрос реализации таких
фильтров. В книге уделено особое внимание сравнительному анализу
цифрового и аналогового способов реализации фильтров и
перспектив этих способов с учетом развития технологии СБИС.
Показаны и принципиальные ограничения на разработку
аналоговых адаптивных фильтров, в том числе при использовании
приборов с зарядовой связью и приборов на поверхностных
акустических волнах.
Уже отмечалось, что одним из наиболее важных достоинств
книги является сочетание теоретических выкладок и
описаний алгоритмов с примерами моделирования описываемых
систем, а также с методикой и примерами разработки
адаптивных фильтров для конкретных задач. Стоит
отметить широкий спектр областей применения, рассматриваемых
авторами: обработка биологических, речевых и сейсмосигналов,
обработка сигналов в антенных решетках, коррекция
характеристик каналов связи (от проводных телефонных до СВЧ
каналов передачи данных) и др. Для всех областей применения
авторами кратко сформулированы основные ограничения на
использование адаптивных фильтров, демонстрируются преиму-

8
Предисловие редакторе перевода
щества, связанные с их применением, результаты
моделирования, а также в ряде случаев и примеры аппаратной
реализации фильтров на современной элементной базе.
Следует признать, что такое сочетание теоретического и
практического материала, несмотря на некоторые погрешности
изложения, которые не удалось полностью устранить при
переводе, делает книгл весьма полезной для широкого круга
инженеров и научных работников, занимающихся исследованиями,
разработками и внедрением адаптивных фильтров в самых
разнообразных областях. Книга может также использоваться
как учебное пособие при подготовке радиоинженеров,
инженеров-системотехников и других специалистов.
С. М. Рякпвский

Предисловие
Адаптивные процессоры были предметом исследовательских
работ начиная с 1960-х гг.; они нашли практическое применение
во многих системах в основном в качестве адаптивных фильтров
или адаптивных антенн. Данная книга в первую очередь
посвящена адаптивным фильтрам, широко применяемым, например,
в качестве адаптивных корректирующих устройств в линиях
электросвязи систем передачи данных. Однако даже основную
информацию, касающуюся различных конструкций адаптивных
процессоров, можно найти лишь в разрозненных публикациях,
например в статьях по обработке сигналов, по антеннам и
теории управления. В результате специалисты, начинающие
заниматься этим вопросом, испытывают значительные
трудности при сборе материалов, на основе которых можно
проводить разработку процессоров. Поэтому главная цель данной
книги заключается в том, чтобы дать последовательное и
всестороннее введение в предмет адаптивной фильтрации, включая
фундаментальную теорию, практические реализации и
применения.
Одна из отличительных особенностей, которую мы
попытались придать этой монографии, — широкий охват материала
наряду с удачным равновесием между главами, посвященными
теории и практике. Мы надеемся, что это вызовет интерес как
в университетских кругах при проведении исследовательских
работ и обучении студентов старших курсов, так и среди
инженеров-разработчиков, которым необходимо быстро уяснить
практические возможности таких процессоров.
Книга построена следующим образом. Она включает общее
введение в предмет, за которым следуют пять глав, где
углубленно изучается теоретическая разработка ряда альтернативных
алгоритмов фильтрации. Основой для теоретического анализа
служит гл. 2, в которой рассматривается теория оценивания,
а три последунше главы посвящены адаптивным фильтрам с

10
Предисловие
конечной импульсной характеристикой, бесконечной импульсной
характеристикой и решетчатым фильтрам. Кроме того,
растущий с недавних пор интерес к применению обработки сигналов
в частотной области для создания адаптивных фильтров с
уменьшенной вычислительной сложностью, побудил нас включить
гл. (), где научаются методы преобразования сигналов,
используемые для адаптивной фильтрации. Мы полагаем, что этот
подход обеспечивает не только включение в книгу анализа
последних достижений в области адаптивной фильтрации, по
также и то, что в ней чрезвычайно широко охватываются
различные методы реализации таких фильтров.
Главы теоретического плана (гл. 2—6) уравновешиваются
циклом из трех глав (гл. 7—9) практической направленности,
в которых представлены некоторые возможные применения
адаптивных фильтров. Они охватывают основные реализации
адаптивных фильтров (гл 7) и их основные применения для
коррекции характеристик линий связи и подавления эхо-сигналов
(гл. 8). Другие приложения, такие как быстродействующие
следящие фильтры для СВЧ и KB цифровых радиосистем,
линейное предсказывающее кодирование и аналитические методы
максимальной энтропии и максимального правдоподобия, кратко
описаны в гл. 9.
Для подготовки данной книги, охватывающей столь
разнообразные вопросы, мы обратились к специалистам, работающим
в соответствующих областях, и предложили им подготовить
отдельные главы в виде обзоров по их специальностям. Тем
самым включенный в книгу материал оказался значительно более
исчерпывающим и доступным для понимания, чем отдельные
статьи, лежащие в его основе. Перед авторами стояла задача
сравнить различные подходы к конструированию филыров с
точки зрения достижимых характеристик и сложности
реализации. Мы надеемся, что, поместив в книгу системы условных
сокращений и условных обозначений, мы облегчим связь между
главами, приведем к более полному пониманию практической
значимости различных подходов к созданию фильтров и не
будем отвлекать читателя на распутывание терминологических
неувязок. В конце книги дан список литературы, что позволит
читателю без труда обратиться к основным исходным
публикациям.
Редакторы хотели бы выразить признательность своим
коллегам по Эдинбургскому университету за их поддержку наших
исследований в данной области. Профессора Дж. X. Коллине
и Дж. Мейвор дали начальный импульс нашим исследованиям
в указанной области и вдохновили нас на создание этой книги.
Многие коллеги работали вместе или параллельно с нами.

Предисловие
11
и, в частности, мы хотим выразить благодарность за вклад
М. Дж. Раттеру, Л. Мор гул у, В. К. Вонгу, А. Альваресу. Б. Мал-
грю, С. Г. Смиту и Дж. X. Дрипнсу. Авторы хотели бы также
поблагодарить Тома Александера из Университета штата
Северная Каролина за множество ценных замечаний при
рецензировании данной книги для издательства «Прентис-Холл». Мы
благодарим Б. Дикннсона и М. Морфа за поддержку, помощи
и советы, касающиеся ряда разделов гл. 5. И наконец, мы
выражаем признательность Джилиан Эрскин за большую работу
по подготовке различных вариантов рукописи данном книги.
Авторы хотели бы поблагодарить ряд организаций за
разрешение воспроизвести рисунки, на которые им принадлежат
авторские права: Институт инженеров по электротехнике,
Лондон (рис. 7.4, 7.6, 7.10. 7.16. 7.18. 7.21, 7.24. 7.25, 8.20, 8.27 и 9.4):
Институт инженеров по электротехнике и радиоэлектронике,
Нью-Йорк (рис. 4.3—4.10. 5.9. 5.16, 6.1, 7.8, 7.19, 7.20, 7.23, 7.2Н.
7.27, 8.16. 9.7 и 9.12); фирму EW Communications Inc., Пало-
Ал ьто (рис. 7.7 и 9.11); фирму British Telecom (рис. 8.10, 8.17,
«.22 и 8.25).
Колин Ф. N. Коуан
Питер М. Гринт

I
Введение
в адаптивные фильтры
Питер М Грант и Колчн Ф. И. Коуэн
1.1. АДАПТИВНАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ
Традиционные системы обработки Сигналов, предназначенные-
для извлечения информации из поступающего сигнала,
например согласованные фильтры, работают но принципу
разомкнутого контура, т. е. на данном интервале времени для обработки
сигнала используется тот же метод, что и на предшествующем
интервале, независимо от результата, полученного на последнем.
Иначе говоря, в основу традиционных методов обработки
сигнала положено допущение о том, что искажение сигнала
является известным и инвариантным во времени.
Адаптивные же устройства обработки сигнала [221, 342]
действуют по принципу замкнутого контура (обратной связи).
Входной сигнал s(n) фильтруется или взвешивается в нрограм-
мируемом фильтре для получения выходного сигнала у(п),
который затем сравнивается с полезным, стандартным или
обучающим сигналом у(п) для нахождения сигнала ошибки е(п).
Затем этот сигнал ошибки используется для корректировки
весовых параметров процессора (обычно итеративным методом)
с целью постепенной минимизации ошибки (т. е. сигнал на
выходе обрабатывающего устройства — процессора — вплотную
приближается к величине обучающего сигнала). Такие
процессоры разделяются на два больших класса: адаптивные фильтры
(рис. 1.1) и адаптивные антенны [112, 155, 232, 299].
Адаптивные фильтры — тема данной книги: в них
используется программируемый фильтр, частотная характеристика или
передаточная функция которого изменяется, или адаптируется,
таким образом, чтобы пропустить без искажения полезные
составляющие сигнала и ослабить нежелательные сигналы или
помехи, т. е. уменьшить любые искажения входного сигнала.
В адаптивных антеннах осуществляется пространственная
обработка сигнала с помощью антенной решетки, и на диаграмме
создается главны?) максимум в направлении прихода сигнала

liareioHiie а иОаптивные фильтры 13
Вход фильтра
sin)
Задающий
вход
\"'п)
Программируемый
Фильтр
1
Корректировка
параметров
Алгоритм
адаптации
Выход фильтра
у(п)
--./—N Вь
I Z \ 1
г^у
ход ошиоки
е(п)
Рис. 1.1. В.юк-схема адаптивного фи.к.тра.
и происходит генерация нулей в направлении источников помех.
При этом для подавления помех используются те же методы
пространственной обработки сигнала.
В адаптивной системе необходим минимальный объем
исходной информации о поступающем сигнале. Адаптивным фильтр
действует по принципу оценивания статистических параметров
поступающего сигнала и подстройки собственной переходной
характеристики таким образом, чтобы минимизировать
некоторую функцию стоимости. Эту функцию стоимости можно
получить рядом способов в зависимости от предполагаемой области
применения, но обычно ее вывод производится с помощью
источника второго сигнала на задающем входе, как показано на
рис. 1.1 Вторичный входной сигнал у{п) можно рассматривать
как полезным сигнал на выходе фильтра; задача адаптивного
алгоритма — подстройка весов в программируемом
фильтрующем устройстве таким образом, чтобы свести к минимуму
разность, или ошибку, е(п) между сигналами на выходе у(п) и
входе у(п) фильтра. Такие адаптивные фильтры часто
используются для восстановления на выходах каналов сигналов с
изменяющимися во времени характеристиками.
Все системы, рассмотренные в данной книге, являются
системами обработки импульсных (дискретных по времени)
сигналов. Поэтому для удобства изложения индекс, обозначающий
определенный момент времени, исключен нз всех
математических выражении.

14
Гмша 1
1.1.1. Адаптивные фильтры
В этой книге рассматриваются теория, расчет и применение
адаптивных фильтров. Первый адаптивный, или
самообучающийся, фильтр часто приписывают Лаки [201] из-за
разработанного им в 1966 г. обнуляющего корректирующего фильтра,
компенсирующего искажения в системах передачи данных.
Однако более ранняя работа по адаптивному распознаванию
формы сигнала была выполнена в 1960 г, Яковацом и др. [159].
В 1961 г. Глезер [120] в США, провел теоретическое
исследование по адаптивным фильтрам, а Габор и др., [ПО] в том же
году в Великобритании воспользовались аналоговым
лентопротяжным механизмом для подстройки весов нелинейного
«обучающегося» фильтра. Мы можем считать, что название
«обучающийся» относится к адаптивному процессору.
Большинство ранних работ по адаптивным фильтрам
выполнено в ходе независимых исследований различными
научно-исследовательскими организациями. Заслуживающие упоминания
исследования проводились в Высшей технической школе
г. Карлсруэ в ФРГ и в Станфордском университете, где в 1959 г.
■было начато создание адаптивных систем распознавания
образов. В ходе совместной работы этих организаций в 1964 г. была
произведена сравнительная оценка каждого метода [296], что
впоследствии привело к разработке наиболее широко
используемого алгоритма для подстройки весовых коэффициентов
процессора. Дальнейшая работа в данном направлении
одновременно проводилась в Институте автоматики и телемеханики
в Москве. В середине 60-х годов прекрасный сводный обзор но
адаптивным фильтрам и предварительные рекомендации по их
применению для адаптивного или автоматического
выравнивания был представлен в работе [274]. Позднее были
подготовлены несложные обзорные статьи по гашению отраженного
сигнала в телефонии [328] и адаптивному выравниванию [264j.
Для получения оптимального решения существует много
методов подстройки значений весовых коэффициентов фильтра.
Применялись методы случайных возмущений [341], которые
изменяли весовые коэффициенты фильтра; далее анализировался
выходной сигнал для того, чтобы установить, приближает ли
его случайное возмущение к искомому решению или отдаляет
от него. В гл. 3 подробно рассматривается разработка
адаптивного алгоритма метода наименьших квадратов (МНК), который
использовался в работе Станфордского университета по
распознаванию образов и впервые был официально описан в 1967 г.
Уидроу и др. [336] для адаптивных антенных решеток, а в 1971 г.
для адаптивных фильтров [337]. В настоящее время этот
алгоритм широко применяется для расчета весовых коэффициентов

HiicOfHiw в адаптивные фи.штры
Первичный
сигнал
Н(п)
s у
Адаптивный
фильтр
У е
IS
Выход
фильтра
Выход
ошибки
Первичный
сигнал
Н(п)
8 У
Адаптивный
фильтр
У е
Выход
фильтра.
Выход
ошибки
Рис. 1.2. Применение адаптивного фильтра д.1Я прямого мо.имированпя
системы-. Н„П1=Н(н) (о) и обратного моделирования системы: Н,,т= Н~'(я) (о)
адашивных фильтров, поскольку в нем используются
градиентные методы, которые значительно эффективнее, чем другие,
обеспечивают сходимость к оптимальному решению. Можно
показать, что градиентный метод наименьших квадратов очень
схож с методом максимизации отношения сигнал — шум.
который параллельно разрабатывал Эпплбаум [17] с целью
применения в тех случаях, когда необходимо получить
оптимальные весовые коэффициенты адаптивных антенных решеток.
Было также показано, что обнуляющий корректирующий фильтр-
Лак» является упрощением более общего градиентного метода
наименьших квадратов.
1.1.2. Принцип действия адаптивного фильтра
Важнейшей функцией, выполняемой адаптивным фильтром,
является моделирование системы. Это иллюстрируется на рис. 1.2,
где первичный сигнал с равномерной спектральной плотностью
подается непосредственно либо на вход s, либо на вход у
адаптивного фильтра. Первичный сигнал поступает на вход системы
с импульсной характеристикой Н(л), выход системы соединен
со вторым входом адаптивного фильтра. Для получения оитм-
\[ал[.ных весовых векторов H„pt адаптивного фильтра можно
применить два разных подхода, которые приведут к совершенно
различным результатам. Это имеет место в следующих случаях:
1. Неизвестная система Н(л) подключена ко входу у
адаптивного фильтра (рис. 1.2, а). В этом случае оптимальная

I о
Глава 1
импульсная характеристика адаптивного фильтра
является точной моделью соответствующей характеристики
системы Н(л).
2. Неизвестная система Н(л) подключена ко входу s
адаптивного фильтра (рис. 1.2,6). В этом случае оптимальная
импульсная характеристика адаптивного фильтра
является функцией, обратной соответствующей характеристике
неизвестной системы.
Практическим примером, иллюстрирующим работу
адаптивного фильтра первого типа (т. е. прямое моделирование
системы), является подавление отраженного сигнала в гибридной
телефонной линии, рассматриваемое в гл. 8.
Примером, которым можно воспользоваться для иллюстрации
принципа действия адаптивного фильтра, моделирующего
обратную характеристику системы, является коррекция искажений
при передаче данных по телефонным линиям. В этом случае
вход телефонной линии возбуждается известным сигналом, а
искаженный сигнал с выхода линии поступает на вход s(n)
адаптивного фильтра. Затем фильтр перестраивается с помощью
подачи на вход у(п) последовательной серии известных
(неискаженных) первичных сигналов. Адаптивный фильтр моделирует
импульсную характеристику, обратную характеристике линии,
для получения на выходе отфильтрованных (свободных от
искажений) данных, что описано в гл. 8.
Следующая область применения адаптивных фильтров —
подавление шумов |291]. В этой схеме первичный сигнал,
содержащий искомую информацию наряду с мешающим сигналом,
приложен ко входу у(п). Затем от другого источника, не
содержащего никаких составляющих искомого сигнала, поступает
независимый коррелированный сигнал — образец мешающего
сигнала. Если этот коррелированный сигнал поступает
непосредственно па вход s(n) адаптивного фильтра, фильтр формирует
импульсную характеристику, обеспечивающую получение
выходного сигнала у(п), который когерентно вычитает из у(п)
нежелательную составляющую, оставляя на выходе е(п) лишь
искомый сигнал.
Одним из примеров использования этого метода является
регистрация сердцебиения плода [339], Первичный сигнал
поступает от преобразователя, расположенного на поверхности
живота матери. Этот преобразователь вырабатывает сигнал,
содержащий импульсы сердечных сокращений плода, которые,
однако, существенно маскируются сердцебиением матери.
Затем от второго преобразователя, расположенного на груди
матери, получают вторичный сигнал, регистрирующий только
сердцебиение матери. Далее адаптивный фильтр моделирует тракт

ftcvdcHue в адаптивные фильтры
17
искажений от преобразователя, расположенного на груди, до
преобразователя, расположенного на животе, для получения
сигнала, который когерентно вычитается нз сигнала с
поверхности живота. Адаптивные фильтры применяются н в других
случаях, например для устранения шума двигателя в
микрофоне пшюта в кабине самолета [18| или для подавления
акустических шумов окружающей среды, например на крупных
электростанциях.
Еще одно применение адаптивных фильтров — это
реализация самонастраивающегося фильтра, используемого для
выделения синусоиды, маскируемой широкополосным шумом. Такое
применение в адаптивном линейном усилителе (ЛЛУ) [346]
осуществляется путем подачи сигнала непосредственно на вход
фильтра //(л) и подачи модификации сигнала с временной
задержкой на вход фильтра s(n). В том случае, если задержка
превышает величину, обратную ширине полосы пропускания
фильтра, шумовые составляющие на двух входах не будут кор-
релпрованы, а синусоидальные составляющие будут коррелиро-
папы. Адаптивный фильтр дает на выходе синусоиду с
увеличенным отношением сигнал — шум, тогда как на выходе сигнала
•ошибки синусоидальные составляющие уменьшаются. Эти и
другие примеры применений ылгштнвных фильтров обсуждаются
в гл. Й и 1).
1.2. ТИПЫ ПРОГРАММИРУЕМЫХ ФИЛЬТРОВ
1.2.1. Рекурсивные фильтры
Существует несколько типов программируемых фильтров [139]„
котрые можно применять при разработке адаптивных фильтров;
они будут описаны в гл. 3—6. Здесь мы дадим предварительные
сведении по двум основным типам фильтров, рассматриваемых
п гл. 3 и 4, а затем распространим эти сведения на устройства
обработки сигналов, описанные в гл. 5 и 6.
Наиболее обобщенной структурой цифрового фильтра
является структура рекурсивного фильтра (рис. 1.3) [124, 247, 254].
Последний включает как умножители с прямой связью (веса
регулируются коэффициентами а), так п умножители с
обратном связью (веса регулируются коэффициентами Ь).
Характеристика такого /2-звепного фильтра описывается
дифференциальным уравнением /7-го порядка, показывающим, что значение
выборки на выходе фильтра в данный момент времени
определяется линейной комбинацией взвешенных выборок в данный
н предыдущий моменты времени (это справедливо и для
предыдущих выборок). В результате построения такой структуры
получается фильтр с характеристикой нолюсно-нулевого типа, где

18
Г.юва I
•-ЙЭ-ЧЕ!
Рис. 1.3. Структурная схема pi-кл ргивноги фн.н.три с бесконечной имлули-Noii
характеристикой.
размещение полюсов определяется коэффициентами Ь. а
размещение нулей— коэффициентами а. Число полюсов и нулей, или
порядок фильтра, задается количеством элементов задержки.
В продаже имеются интегральные фильтры второго порядка для
скоростей передачи входных импульсов (64 килобод).
совместимых со скоростями передачи в цифровых телефонных
системах [4].
Подобная структура рекурсивного фильтра имеет
теоретически бесконечную память, и, следовательно, ее можно считать
структурой фильтра с бесконечной импульсной характеристикой
(БИХ). Такой фильтр не обладает неограниченной
устойчивостью, если на значения коэффициентов b не наложены
ограничения. Однако наличие в харамернстикс как полюсов, 1ак и
нулей позволяет реализовать фильтр с крутым срезом хараые-
рнстики в сочетании с малой шириной полосы пропускания при
небольшом числе элементов задержки (т. е. фильтр малой
сложности). Один из недоста1Ков фильтра БИХ-тина—отсутствие
методов управления фазовой характеристикой (групповой
задержкой) фильтра. Однако основной проблемой при
проецировании адаптивных фильтров БИХ-тина является возможная
неустойчивость фильтра из-за наличия паразитных полюсов за
пределами области устойчивости.

Введение в адаптивные фильтры
19
Рис. 1.4. Структурная схема нерекурсивного фильтра с конечной импульсной
характеристикой.
1.2.2. Нерекурсивные фильтры
Один из способов преодоления потенциальной неустойчивое in
фильтра является создание такого фильтра, который имеет в
характеристике одни нули; в нем используются только
умножители с прямой связью, и он безусловно устойчив (рис. 1.4).
Этот фильтр имеет лишь ограниченную память, регулируемую
числом элементов задержки, что приводит к созданию фильтра
с конечной импульсной характеристикой (КИХ-тппа или транс-
версального фильтра) [172]. Задержка входного сигнала
производится с помощью некоторого числа элементов задержки;
оно может быть довольно большим, но в данной книге мы
рассматриваем ограниченное число их. Выходы этих элементов
задержки последовательно умножаются на ряд накопленных в
памяти весов и полученные произведения суммируются для
формирования выходного сигнала; тем самым предполагается, что
выходной сигнал определяется сверткой входного сигнала с
накопленными в памяти весами или значениями импульсной
характеристики. Данный фильтр содержит в характеристике лишь
нули (поскольку в нем нет рекурсивных элементов обратной
связи), и, следовательно, для получения частотной
характеристики с крутым срезом необходимо большое число элементов
задержки. Однако фильтр всегда устойчив и может обеспечить
линейную фазовую характеристику.
В 1971 г. Чанг [51] внес значительный вклад в
классификацию типов фильтров: он предпринял попытку объединить все
подходы и создать одну обобщенную структуру выравнивателя,
или корректирующего фильтра (рис. 1.5). Эта структура
содержит набор произвольных фильтров, подключенных к линейной
взвешивающей и комбинирующей цепи. Фильтр КИХ-типа
можно получить из этой обобщенной структуры путем замены про-

20
Гм1ва Г
atnlo-
т
в0
11
Нис. 1.5. ОСюГиисннин ирчктурпан i-хема корректирующею фильтра
изво.тьпого филыра линией задержки с отводами, дающей на
выходах серию выборок сигнала t временной задержкой. Фклмр
БИХ-типа благодаря наличию элементов рекурсивной обратной
связи осуществляет дальнейшую обработку сигнала до
получения выборок сигнала с временной задержкой, которые
последовательно поступаю! на взвешивающую и комбинирующую цепь.
Л.'ипернативным способом реализации фильтра КИХ-тнпа
является решетчатая структура [10b. 134, 135. 212, 214J. которую
можно рассматривать в качестве каскадного соединения нера<-
вегв.тенных предсказывающих филыров ошибки (рис. 1.6). Эта
структура, широко применяемая в линейных предсказывающих
устройствах для обработки речи [32, 211], расщепляет сигнал
"на набор прямых (/) и обратных (Ь) выборок разностных
сигналов с задержками, добавляемыми в обратном канале.
Сигналы умножаются на РАИСОК-коэффициенты" k(n), названные
так из-за их аналогии с коэффициентами отражения дискретной
решетки. Прямой разностный PARCOR-коэффицнент для любого
звена обычно равен комплексносопряжеинон величине обратного
коэффициента; исключение составляют процессоры, которые
производят обработку дискретной информации по основному
каналу и в которых эти коэффициенты равны.
Вычисление PARCOR-коэффнциентов рекурсивными
методами описали в 1970 г. Итакура и Сайто fl57] и
усовершенствовали Макхоул 1211]. а также Мид и Ридер [226], предложин-
" То есть коэффициенты частичном корреляции (PARCOR — partial correla
tion). — Прим. ред.

Пт'дснис в адаптивные фильтры
1\-
Ь2(п]
Рис. 1.6. Структурная слема решетчатого фи ii/rpa с конечной импульсной
характеристикой.
шие методы упрощения алгоритма вычислений. Можно показать,
■по решетчатая структура, изображенная на рис. 1.6, позволяет
реализовать эквивалентный фильтр КИХ-типа (рис. 1.7),
обнаруживающий значительное сходство с препроцессором Грам—
Шмидта (см. работу Монзинго и Миллера [232]),
применяемым в адаптивных антенных решетках. Краткое изучение рис.
1.6 п 1.7 показывает, что подход па основе решетчатой
структуры приводит к очень компактной аппаратной реализации
этой структуры.
Основным достоинством решетчатом структуры является то,
что она измеряет иа обратных разностных выходах
автокорреляцию сигнала при последовательно возрастающих задержках
для получения на выходе серии информационно зависимых
ортогональных выборок сигналов, которые затем можно
использовать для подачи на взвешивающий комбинатор обобщенной
структуры Чанга.
1.2.3. Фильтры, основанные на методах
преобразования сигнала
Последним рассматриваемым нами типом фильтров является
фильтр, основанный на методах преобразования сигнала. Как
хорошо известно из теории обработки сигналов, фильтр КПХ-чп-
па можно также реализовать с помощью умножения в частотной
области (рис. 1.8), что обеспечит «быструю» свертку [40]. Таким
образом, фильтр можно получить, если выполнить
преобразование Фурье входного сигнала, умножить результат на ряд
накопленных в памяти комплексных спектральных выборок и
выполнить затем обратное преобразование Фурье. Хотя на нервы»

r©-*f-

Bni tlrHite в адаптивные фильтры
2*
входной
сигнал
>(п)
Необходимая
импульсная
■врактеристика
фильтра
у(п)
Рис 1.8.
-nfi l;ic Til.
ПувоЛеалоеа-
ние Фурье
Преобрвзова-
нив Фурье
Комплексно»
умножение
0—
Обратное
преибевэоаа-
ние Рурье
Выход
после
фильтрации
у(п)
Комплексная
частотная
характеристика
Выпи.incline фн.м.трлиш vcto.iov обрт'юткн сигнала в члстотпоЛ
в«гляд по представляется гораздо более сложным, чем свертка
во временной области, сокращение объема вычислений при
использовании процессора для быстрого преобразования Ф\ рье
(Г>ПФ) |42| обеспечивает значительное упрощение. Можно по-
ка.чать, что для средних или больших объемов преобразовании
(например, более 128 выборок) число операций умножении в
частотном приближении оказывается существенно меньшим
числа Л' параллельных перемножений за период выборки,
необходимых для получения Л'-точечной свертки в фильтре КИХ-тнна.
Таким образом, частотный метод дает более широкую полосу
пропускания фильтра при заданном быстродействии логических
элементов, но он вводит круговую свертку, и поэтому
необходимо принять меры для ее приведения к линейной свертке, что
'Ячииваленпю КПХ-фнльтрацип. Данный метод, однако, широко
применяется в радиолокационных системах [220] при
конструировании приемников на согласованных фильтрах для обработки
широкополосных кодовых сигналов.
1.3. ОПТИМАЛЬНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
Концепция оптимального линейного оценивания [19] является
основополагающей при любом рассмотрении адалтивных
фильтров. Существующие процессы оценивания можно разделить на
дна класса. К первому из них относятся выполняемые фильтром
процессы оценивания вторичного входного сигнала у(п) в целом
(см. рис. 1.2). Ко второму — процессы оценивания весов ветвей
фильтра, тесно связанные с основным назначением фильтра. Эти
процессы оценивания в адаптивных фильтрах происходят
непрерывно, и их можно описать функцией, зависящей от времени.
В гл. 2 довольно подробно изложены теоретические
положения, применяемые для оптимального линейного оценивания.

:М
Г лам t
В первом части эти павы рассматривается устройство «ненки
Винера [34, 343], в котором используется процесс оценивания,
основанным на конечном наборе предшествующих входных
сигналов, (т. е. блок-процесс). Рассмотрение винеровского процесса
оценки важно для понимания процесса адаптации в адаптивных
фильтрах КИХ-тнна.
Во втором части гл. 2 рассматривается вывод оптимального
рекурсивного алгоритма оценки Калмаиа [170, 173]. Это
особенно важно с точки зрения оценивания весов ветвей в быстро-
следящих (с высокой скоростью сходимости) адаптивных
фильтрах, обзор которых дан в гл. 3 н 5. Адаптивная форма фильтра
Калмана важна гак'же сама но себе, boi почему во вторую части
гл 2 включен пример корректирующего фильтра Калмана [1К(>]
1.4. АДАПТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Любой из описанных выше четырех типов программируемых
фильтров можно внесiи в схему, изображенную на рис. 1.1, для
реализации адантинного филыра. Теория этих гипов алантнв-
ных филы ров детально рассматривается в гл. 3—6; чтобы
показать области их применении, ниже кратко обсуждаются
некоторые достоинства и недостатки различных типов фильтров
1.4.1. Адаптивные фильтры с бесконечной импульсной
характеристикой
Адаптивные фильтры БИХ-тнпа в основном применялись для
решения таких проблем, как ослабление влияния многолучевого
распространения сигнала в системах радиолокации и
радиосвязи. В этом случае принятый сигнал содержит исходный
передаваемый сигнал, свернутый с импульсной характеристикой
канала, которая при многолучевом распространении содержит
только нули. Тогда для исключения шмерференционных помех
адаптивный приемник моделирует характеристику, обратную
характеристике канала (рис 1.2,6). Это наиболее аффективно
осуществляйся путем использования модели адаптивного
фильтра с характеристикой, содержащей только полюсы, причем
положения полюсов подбираются таким образом, чтобы они
совпадали с положением нулей в харамеристнке канала.
При конструировании адаптивного фильтра КИХ-типа можно
также учесть эту модель, но более экономично воспользоваться
рекурсивной структурой, поскольку она реализует инверсную
структуру фильтра при его более низком порядке и с меньшими
весами. Отсюда с полным основанием можно сказать, что такая
структура будет обеспечивать более быструю сходимость, чем
ее трансверсальный аналог. Однако для обеспечения усгойчн-

lirti'OcHiw и iiitattiiiuhiiii" фч.шчры
25
вопи адаптивного рекурсивною фильтра необходима высокая
степень точности при расчете шпуровом схемы. .Метод
адаптивном обработки пн основе фильтров БМХ-тнна подробно
рассматривается в гл. 4; он применяется и электронных
радиолокационных измерительных приемниках для выделения импульсов.
Адаптивные же филыры Калмапа представляю! интерес для
идентификации типов радиолокационных колебании, генерируемых
определенными гппамн излучателей. Они также находят
применение при фильтрации и ослаблении влияния многолучевого
распространения в высокочастотных (от 3 до 30 А\Гц) каналах
ццфроплн связи,-где первоочередное значение нмее! присущая
этим фильтрам высокая скорость сходимости.
1.4.2. Адаптивные фильтры с конечной импульсной
характеристикой
Большинство опубликованных работ но адаптивным фильтрам
базируется на допущениях, принятых для фильтров КИХ-типа
[ 1201, 202, 339]; ч»и обсуждаются в гл. 3 данной киши. Эти
допущения (довольно простые для расчета и конструирования)
приводят к хорошо известным несложным алгоритмам
адаптации (например, МНК), реализация которых подробно
разработана в отношении скорости сходимости, остаточной ошибки и т. д.
Таким подходом шире всего пользуются при применении
адаптивных фильтров в системах дальней связи, например для
выравнивания и гашения отраженного сигнала, что обсуждается
в гл. 8.
Один из недостатков такого подхода включается в том, что
веса фильтра изменяются в соответствии с единственным
значением общей ошибки. Следовательно, веса оказываются
взаимосвязанными, и это одна из причин довольно невысоких
скоростей сходимости адаптивных фильтров с алгоритмом МНК.
.Дли преодоления таього недостатка в качестве одного из
способов используется решетчатый фильтр (рис. 1.6). Адаптивная
решетчатая структура, включающая рекурсивное вычисление
внутренних PARCOR-коэффициентов, представляет собой
адаптивный фильтр — предсказатель ошибки, выполняющий
обеление спектра. Это свойсжо позволяет ему моделировать входном
сигнал п действовать в качестве параметрическою
спектрального оценнвателя (см. разд. 9.3).
Чтобы структуру, показанную на рис. 1.6, использовать в
качестве корректирующего фильтра Чанга, ее следует
модифицировать путем добавления линейной взвешивающей и
комбинирующей цепи для обработки импульсов обратной связи (рис. 1.9).
В результате получим распределенную комбинирующую схему,
млорая обеспечивает соответствие ошибок на отдельных выхо-

Введение в адаптивные фильтры
27
дах каждому весовому значению. Это позволяет осуществлять
независимое регулирование коэффициента сходимости в каждом
отдельно взятом адаптивном контуре путем управления
амплитудой или мощностью разностных сигналов обратной связи для
поддержания одинаковом скорости сходимости но всех контурах
[280]. Корректировка значений k w весов g может выполнимся
при различных коэффициентах сходимости для обеспечения
сходимости адаптивного фильтра даже в тех случаях, когда имеет
место большой разброс характеристических чисел
автокорреляционной матрицы входного сигнала (т. е. входной сигнал
спектрально окрашен).
В гл. 5 описаны конструкция и принцип действия таких
процессоров и, кроме того, точная решетка наименьших квадратов
Г212, 234, 282J, которая обеспечивает более быструю сходимость
ценой дальнейшего увеличения вычислительной сложности этого
процессора с разомкнутым контуром и обращенной матрицей.
1.4.3. Адаптивные фильтры, основанные на методах
преобразования сигнала
В другом подходе, обеспечивающем получение импульсов
сигнала, близких к прямоугольным, фильтр выполняет умножение
в частотной области (рис. 1.8). В гл. 6 описано применение
процессоров дли адаптивных фильтров, в которых для каждой
преобразуемой составляющей сигнала используются отдельные
корректирующие контуры. Это обеспечивает также более
однородную скорость сходимости по всему фильтру. Показано, что в
частотной области фильтрация создает ряд проблем вследствие
применения круговой свертки и групповой обработки данных
при дискретном преобразовании Фурье (ДПФ) [40] в сочетании
с необходимостью определения используемого типа арифметики:
сдвиг — сложение или сдвиг — вычитание. В гл. 6 дан обзор
конструкций фильтров, в которых применяется как круговая,
так и линейная свертка. Кроме того, описываются [344]
адаптивные фильтры, основанные на преобразованиях Уолша [23];
показано, что в этом случае вычисления упрощаются.
1.4.4. Проектирование технических средств
Хотя сообщения о методах адаптивной фильтрации появлялись
в технической литературе на протяжении свыше двух
десятилетий, эти методы некоторое время применялись в качестве ав- '
тономных процессоров; лишь недавние достижения в
конструировании больших интегральных схем (БИС) и сверлбольших
интегральных схем (СБИС) пробудили интерес к их аппаратной
реализации. В гл. 7 обсуждаются как аналоговые, так и цифро-

2В
Глааа I
вые реализации адаптивных фильтров на основе всех четырех
методов проектирования программируемых фильтров, описанных
в предыдущих главах. В начале 70-х годов разработка
аналоговых программируемых фильтров КИХ-типа на основе
приборов с зарядовом связью (ПЗС) f28| и приборов типа пожарной
цепочки (ППЦ) [327] способствовала интересу к аналоговым
устройствам. Некоторые авторы последовательно показывали,
что сравнительно легко можно использовать эти приборы в
адаптивных фильтрах [63—66, 334]. Однако создание аналоговых
фильтров серьезно тормозилось такими ограничениями в
динамическом диапазоне, как нелинейность и шумы, что
способствовало разработке гибридных или чисто цифровых вариантов
фильтров.
В настоящее время все цифровые конструкции обычно
больше и сложнее, чем аналоговые процессоры, но и конце концов
прогресс методов изготовления СБИС вплоть до создания
элементов размерами менее I мкм и архитектуры схем с
приемлемыми вычислительными характеристиками, например разрядных
секционированных циклических процессоров, приведет к
созданию цифровых адаптивных фильтров, обсуждаемых в гл. 7,
которые являются самой удачной конструкцией для применения
в качестве адаптивных процессоров, работающих в реальном
масштабе времени.

2
Методы
оптимального оценивания
Kduih Ф. Ч- K<n/iH
2.1. ВВЕДЕНИЕ
Копнении" оптмялышго дннемного оценивания являются фун-
дамеиы.1. чымн при люйпм рассмо! ренин адаптивных фильтров.
В данной ичаве представлены основы теории оценивании на
базе анализа свойств h;ih оптимальных нерекурсивны?., rah и р
курсивных устройств опенки Здесь не освещены основные
положения теории случайных величин, но их можно нити в ра-
боле Ассефн 119|.
Процесс адаптивной фильтрации пключаег два агнч шн
ведения оценивания: 1) оценивание искомою выходя фильтра
и 2) оиеннвннме весов фильтра, необходимых для достижения
вышеупомянутой цели. Второй из этих двух этапов необходим
вследствие того, чго в случае адаптивной фильтрации
характеристики входного сигнала априорно неизвестны.
Наиболее широко распространенным типом пру муры
адаптивною фнлыра является структура, в которой используется
архитектура с конечной импульсной характеристикой (КПХ).
рассматриваемая в гл 3 Эти фильтры должны сходиться к
решению с помощью оптимального нерекурсивною усчронсгиа
оиенкн, причем решение задается уравнением Вннерц — Хонфа
[343], которое выводится в разд. 2.2 Адаптивные фильтры с
бесконечной импульсной характеристикой (ВИХ) рассмотрены
в гл. 4, а в разт. 2 3 обсуждается оптимальное рекурсивное
устройство оценки (фильтр Калмала).
Синтез Э1их устройств оценки еущеавенно завпенч от
определения стоимостной функции, в соответствии с которым
качество оценивания характерности разностью между выходным
сигналом устройства опенки н истинным параметром,
подлежащим оцениванию:
е(п):~х{п)—х(п). (2.1)
Здесь с(п) — ошибка оценивания, х(п) —случайная величина,

30
■/ Uieii 'J
Me)
Рис. 2.1. Зиниснмость ошибки от ф\ и пни стоимости л.ж pa.t (ичнич
минимизирующих функций стоимости
которую необходимо оценить и которая может быть
детерминированной, а х(п) —оценка л"(и). выполненная с помощью нашей
системы оценивания, причем
(2.2)
x(n)=f{,j(n). /i(,i)}.
т. е. х(п)—линейная функция последовательности вчодных
сигналов у(п) и набора весов фильтра /г(/г) Наблюдаемую
последовательность сигналов у(п) в общем виде можно представ»м.
как исходную последовательность Л"(л), искаженную
аддитивным белым шумом \'(и) с дисперсигй о,.2:
y(n) = x(n) + v(n). C2.S]
Наиболее употребительным при проведении оптимального
оценивания х(п) является метод наименьших квадратов (А\НК).
Среднеквадратичная ошибка определяется как
Е{еЧп)}==[\'(п) -.v(/r)]2.
(2.4;
Она мннпмплируется относи |ельно весовых коэффициентов
устройства оценки для получения оптимального оценивания по
критерию МНК [31, 170, 343]. Следует отметить, что можно
применять не только описанную функцию стоимости.
Альтернативными будут такие функции, как абсолютная величина
ошибки и нелинейная пороговая функция. Вид этих функций ошибок
показан на рис. 2.1. Нелинейная пороговая функция ошибки
используется в том случае, когда имеется приемлемый интервал
ошибок (т. е. существует заданная допустимая ошибка). При
использовании критерия наименьшего среднеквадратичного
малые ошибки вносят меньший вклад, чем .большие ошибки (в
противоположность критерию абсолютной величины ошибки,
который дает одинаковый вес для всех ошибок).

Методы оятнлииьнпг/) оценивания
31
2.2. ОПТИМАЛЬНОЕ НЕРЕКУРСИВНОЕ ВИНЕРОВСКОЕ
ОЦЕНИВАНИЕ
В нерекурсивном устройстве оценки оценка л-(я) определяется
в виде конечного линейного полинома у (и):
x(n) = Y0(«-ft)ftft, (2.5)
где hk — отдельные веса в структуре нерекурсивного фильтра
КИХ-типа, показанного на рис. 2.2. Выражение (2,5) можно
переписать в матрично-векторной системе обозначении:
.v(rt)«=YT(iz)H = mf(n), (2.6)
где
V(rt) = \y{n)y(n—l)...y(n—N-\)] и кГ-НУ',-^.
а верхний индекс Т обозначает транспонирование матрицы.
Тогда функция среднеквадратичной ошибки принимает вид
Е{еЧп)) = Е{х(п)- НА»}1. (2.7)
Примечание Это выражение описываем стандартную
поверхность квадратичной ошибки с одним единственным минимумом.
Дифференцирование (2.7) по Нт лает
Л^±^-2Е1\х(п) H'Y(„)}Y»1, (2.8)
а допуская, что (2.8) равно нулю, имеем
£{f.v|/i)- НЧ i/i)|V|«)} = 0,
(2.9)
Е {x(n)V (,г)} - Е {И'\ (n)V in)}.
Полагая, что весовой векюр Нт и вектор сигнала Y(«) не
коррелированы, получаем
£{(.v(/r)YT(/i)} H'opi£p(«'V (")}■ 12.10)
Члены математического ожидания, входящие в (2.10), можно
определить следующим образом:
Р — Е {х(п) Y (/г)} взаимная корреляция межд\ входным
сигналом и оцениваемым параметром;
R= £{Y f/i)V (n)) автокорреляционная матрица вхотиой
спгнатьной нослеаовательностн.
Тогда (2.10) можно переписать в виде
Р' = Н'0Р1К. (2.11)

•12
.
Глава '/
y(n).
x(nl
Рис. 2.2. Обобщенным нерекурсивный фи.и.тр пли устройство от-пки
Уравнение (2.11) является общеизвестным уравнением
Винера—Хоифа [343]. которое дает оптимальное (по методу
наименьших квадратов) вннеровское peiueime для Н:
Н.,Ш = КФ.
■opi
(2.12)
2.2.1. Практический пример устройства, реализующего
винеровскую оценку
В лом разделе paccvioipen практический пример устройства
внперовской оценим для случая, когда наблюдаемый сигнал
является суммой синусоиды и белого ш>ма.
ля ' -'-•■ (2.13)
у(п)= bin -j- +1] (л)
Следовательно, нходной сигнал л(и) представляем собой
синусоиду с частотй, точно раиной одной восьмом частоты
дискретизации фильтра. Для упрощения последующих выводов будем
полагать, что полученный фильтр будет имен, io.ii.ko че1Ыре
весовых коэффициента. Из решения (2.12) уравнения Винера-
Хонфа видно, чю необходимо получить автокорреляционную
матриц) R, определяемую как
'У (»)
Н«£
= £
i/(/i-1)
у(п-З)
уЦп)
[II (п) у (« — !)//(/( 2);/(«—3)1
У(п)у(п— 1) if[t\-
у(п)у(п—2)
y(n)ii(n—h У(п)у(п—2)
у (ii~ 1) у{п-
уЦп-2)
-2)
(2.14)
у (п) и(п- 3)
и{п- 1) у(п—3)
уЦп-3)
(2.15)

Методы опгимальнаго оценивания
3.1
Следует отметить, что все члены (2.15) можно получить из
первой сiроки матрицы, поскольку
Е {if (и)} = Е {,/ (и- 1)} - £ {у* Ш 2)} Е {if (п- Щ.
Е{у(п)у(п-\)} = Е{у(н \)у(п-2)}=Е{ц(п 2)i,(n 3)},
Е{у(п)у(п-2)) = Е{у(н-1)у(п- 3)}.
Это простое следствие теоретически бесконечного среднего,
получаемого в результате применения оператора математического
ожидания, т. е. существенном является лишь временная pa.j-
iiocib между двумя операндами, если полагать, что временном
ряд у(п) является стационарным.
Тогда (2.15) сводится к
К=£
УЧч)
у{п)у{п—\) у(п)у(,\ 2) 1/(11)1/(и -Ь
У (») У (п -1) у* (п) у (л) у (,г 1) у (и) у (и 2)
У(1\)у(п 2) у(п)у(п-\) tf-[и) У(п)у(п 1)
1/(11)1/(п 3) у(п)у{п 2) 1/(и) у(н -1) уЦп)
(2.16)
I акая симметричная матрица считается по сути матрицей
Теплина. Получить значения элементов данной матрицы особенно
просто в случае нашего примера, поскольку шумовая
составляющая влияет лишь на ее диагональные члены, а все остальные
члены можно найти из детерминированной компоненты сигнала
л'(и), которая имеет только 8 уровнен квантования с
определенным интервалом дискретизации. Значения элементов матри
пы следующие:
11 =
4-+°,г
2 У?
О
1
2 У 2"
1
21/2
' — 4- О а
i
■2 У 2
О
о
1
-1
2У2
-f+<v
ys
2 у2"
о
i
2У2"
(2.17)
;i—1487

.-i
Г.швп i'
где a«2 = Z;'{i|-'(")}■ Дальнейшие преобразовании упрощаются,
если применить подстановку:
v (I 0 - ()
V v р О
О (I v p
-р 0 (> v
R »
(2.18)
Тогда матрица, обратная R. определяется как
^- — ^- О
R-«
-,.
I'
2р- — v*
-V
С
*•*
',r v* 2o- -v2 2(>* v2
О —V
2..- — va
2|«- va 2|i- v
О -У-
2ра - Vs
О
С
—v
2ц4 - Vs 2(r' - И
(2.19)
Чтбы получить весовой вектор Винера, надо ввести также
матрицу взаимной корреляции Р, определяемую формулой
Р Е
х(п)
у (я 1)
U (" 2)
./(/1-3)
(2.20)
!1(1ДС!авив вновь истинные значения из (2.13), получаем
1' =
I
2"J/F
0
_1
2У2"
v а„
0
—I»
(2.21)
Умножив Р на матрицу R l из (2.19), найдем
1
I
V2
0
I
HI1PI-R-'P-
l
2(1 |-«„2)
VI
(2.22)

Методы оптимальною оценивания
35
Определяя значения НиР[ из (2.22), приходим к согласованному
фильтру для случая синусоидального входного сигнала. Оста
точную среднеквадратичную ошибку можно легко вычислить из
(2.22) и (2.7), подставив Н = Н(ф, в (2.7).
Из (2.9) можно получить следующее выражение:
Е{е(п)\ (/i)} = О, (2.23)
и среднеквадратичную ошибку записать в виде
£{<*(«)} =-£{<>(и) И«) Н„РЛ (п)}}. (2.24)
Преобразуем теперь формулу для среднеквадратичной ошибки:
Е{е'(п)}~ E{f(n)v(/r)} =
= Е{хЧп))- №1>p1£{.v(ii)V(/j)} =
= E{x*(n))-H\vJ>. /2.25)
Подставляя значения Р из (2.21) и Hopi из (2.22). получаем
формулу для остаточной среднеквадратичной ошибки:
1 1
£{<?г(л)}
2 2(1 -•- я„«)
о,,-'
2(1+о,,2)
(2.26)
Следовательно, при аяг = 0 среднеквадратичная ошибка (СКО)
равна нулю, а при отношении сигнал — шум, равном 0 дБ (т.е.
Ол2= 1/2), конечная СКО равна 1/6 (величина СКО до процесса
оценивания была равна 1/2).
Увеличение порядка H„Pi (т. е, использование оценивающего
фильтра с большим временным интервалом обработки сигнала)
приводит к соответствующему уменьшению оптимальной
остаточной среднеквадратичной ошибки. Здесь был приведен пример
лишь для того, чтобы на практике показать, какую обработку
данных необходимо выполнить для реализации винеровскот
устройства оценки. При использовании более высоких порядков
Hopi можно было бы получить лучшие оценки, однако для «ггого
потребовался бы гораздо больший объем вычислений.
2.3. ОПТИМАЛЬНОЕ РЕКУРСИВНОЕ КАЛМАНОВСКОЕ
ОЦЕНИВАНИЕ
Винеровская оценка, рассмотренная в разд. 2.2, по существу
является блочным процессом оценки, который лучше всего
подходит для случая, когда в распоряжении имеется лишь конечная
выборка (блок) данных, и оценку можно произвести на «авю
номном» компьютере. Однако если иметь дело с бесконечные

36
Глава 2
Белый шум
gln-1)
Усиление системы
о
х(п)
х(г
Наблюдаемый
сигнал
Усиление
схему
измерения fin)
Белый шум
6
Рис. 2.3. а—рекурсивная модсчн. генерации cm нала перши о порядка; 6 —
модель схемы измерения данных.
временным рядом, винеровская оценка для каждой новой
выборки потребовала бы полного пересчета всех членов авто- к
взаимно-корреляционных функций. В оптимальном рекурсивном
(или калмановском) устройстве оценки поступающая
информация используется для корректировки рекурсивной оценки [39,
170, 1731.
В данном разделе будет приведен вывод соотношений для
скалярного фильтра Калмана. а в разд. 2.4 он будет развит для
построения векторного фильтра Калмана. В разд. 2.5
представлен пример применения векторного фильтра Калмана для
коррекции канала связи.
2.3.1. Скалярный фильтр Калмана
По существу, устройство калмановском оценки реализует
процесс параметрического оценивания, основанный на авгорегрес-
сивной (АР) модели процесса генерации сигнала. АР-модель
процесса первого порядка данного типа показана на рис. 2.3, а,
а соответствующая модель измерений — на рис. 2.3,6". Модель
измерений представляет просто усилительное звено с и
источник аддитивного белого шума v(n) Приняв эту модель
генерации сигнала, поступающую выборку сигнала с номером н
можно определить как
y{n) = cx{n) + v{n). (2.27)
Рекурсивная формула оценки первого порядка имеет вид
х(п) =Ь(п)х(п— 1)+к (п) у(п). (2.28)

Ак'тоды оптимального оценивания
37
к(п)
У (л)
« *■ х(п)
Ь(п)
Рис. 2.4. Обобщеннан структурная схема рекурсивного устройства оценки
первого порядка.
Отметим, что в (2.28) коэффициенты передачи обоих
усилительных звеньев фильтра зависят от времени (структурная схема
этого устройства оценки в общем виде показана на рис. 2.4).
Для получения оптимального (с точки зрения метода
наименьших квадратов) устройства оценки среднеквадратичная ошибка
р(п) дифференцируется по b(n) и k{n), а результаты
приравниваются нулю:
p(ii) = £[£(n)-x(/i)l*=»
= E\b{n)x(n-l) + k(n)y(n)-x(n)\*, (2.29)
±^ = 2E{[b(n):K(n-l) + k(n)y(n)-x(n)\x(n- 1)}=0, (2.30)
l^-2E{lb(n)x(n-\) + k{n)y{n)-x{n)]y(n))-0. (2.31)
Соотношение между b(n) и k[n) можно вывести,
воспользовавшись (2.30):
2E{lb(n)x(n— l) + k(n)y(n)— x(n)fx(n —1)}=0=>-
=>E{lh(n)x(n-\)]x(n-\)}=E{lk(n)y(n)-x(n)]x(n-l)}, (2.32)
=>E{[b{n)[x(n~ 1)— x(n— \)] + b(n)x(n — \)]x{n— 1)} =
= E {lx (n)-k (n) у (n)l x(n-\)}. (2.33)
Подставив значение у(п) из (2.27), находим
b(n)E{e(n— l)x{n— l)+x(ft— \)x(n — 1)} =
= £{1д:(п)[1— c/s(n)J—A(n)p(n)Jje(n—1)}. (2.34)
Для оптимального устройства оценки должен выполняться прин-

38
r.muii -'
цнп ортогональности, которым приводи! к следующим
соотношениям:
Е\е(п)'х(п —1)] = 0 и E]v(n)x(i\ —1)| = 0.
Тогда уравнение (2.34) примет вид
6 («)£[* (я— I) л- (л — Щ=|1 -ск(п)\Е [х(п)х(п—\)\. (2.35)
Из нашей модели генерации сигнала имеем
A-(/i) = fl.v(/>-l)-f-g(/i-l). (2.36)
Подставляя (2.36) в (2.35), получаем
Ь(я)£[*(/!- l)-v(/i —1)] =
= [l-^(/.)|£[flA:(»-l).v(/i-l) + g(»-l).v(«- l)|. (2.37)
Из уравнений (2.27) и (2.28) находим
.v (н) = Ь(п)х(п — \) + к(я) сх(и) + А (и)и(ir). (2.38)
а подстановка .v(ii) из (2.36) дает:
л(/0 = й(я)л"(/г— l) + k(n)acx(n —1)4- '
+ Л(я)<^(«—!)+*(«) i'(«).
(2.39)
х(п—\)= Ь{п — I)л-(я- 2) + ш-к(и J).v(/г 2) 4
+ «A(n-lJg(H-2) + A(/i- l)u(n- J),
и поскольку среднее всех произведений членов (2.39) на g(n—1)
равно нулю, можем записать
E{x{n-l)g(n- 1)} = 0.
Воспользовав1иись этим соотношением, преобразуем (2.37):
b(n)E[x(n— l).r(n-l)|=Q.fl— ck(n)\E[x(n l).v(n 1)1.(2.40)
Это приводит к окончательному соотношению между А (л) п к(п):
b{n)=a[l~ck{n)\. (2.41I
Подставляя (2.41) в (2.28), находим
(2.42)
а- (и) = ах (л — 1) + k (л) [</ (и) - дог (/I —1)1.
Уравнение (2.42) является определением оптимального
рекурсивного устройства оценки первого порядка, или скалярного
фильтра Калмана. Первый член ах(п—1) предсказывает теку-

МстОы чнгнми UiHrwo оценивания
3!>
k(n)
y(n).
♦-»-x(n}
y(rO = ocX(n-1)
[Предсказание y(n)J
ox(n-l)
t
Phc. 2.5. li.i()K-i')LVMii (гьа.шрното фильтра К:>-тмлия мерного порядки.
тую выборку, а второй член корректирует на основании оценки
ошибки с учетом калмаиовского коэффициента k(n) Структура
такого фильтра иллюстрируется на рис. 2.5.
2.3.2. Вывод коэффициента Калманп
Определив структуру фильтра Кадмипа, необходимо получить
ныражепия для изменяющегося во времени коэффициент
усиления Калмана k(n). Сначала, подставляя (2.28) в (2.29),
определим среднеквадратичную ошибку в виде
р\п)-Е{е(п){Ып)х(п 1) + Л(н)0(л) г(лЩ. (2.43)
ш—Е{с(п)х[п)}. (2.44)
Используем (2.27) вместо х(п) для подстановки в (2.44):
cE\eiti)x(n)\ E\c(n)vln)\. (2.45)
Иодемавляя (2.45) в (2.44),'паходим
/»(я) = 4-£ И"')»(")!:
(2.46)
раскрывая с(п) и используя выражение (2.28) для л(п).
получаем
p(n)=-Lk(n)E\ii(n)v(t,)\ .-i-A'('i)",2.
/ф) =
«т.-
(2.47)
(2.48)
где ci;.2=- H\v(n) ]*. Теперь, подставляя (2.42) в пыра/кеппе для
среднеквадратичной ошибки (2.29), имеем
р(п) Е {ax(n-\) + k(n)\y(n) -acx(,i 1)| .v(/r)}2, (2.49)

10
Глава 2
я используя (2.27) и (2.36). находим
p(i\) = E{a\\~ ck(n)]e{n — 1) —
-l\-ck(n)\g(n-\) + k(n)v(n)y-, (2.50)
= a*l\—ck(n){2p(n-\) + \\-ck(n)\iaf~ + k2(n)nl*. (2.51
Подстановка (2.47) в (2.51) дает
;,/..\_ с|«-р("—1)+ок-|
fl„- ■ 1- C'-Ofi- - C2rt2/1 (Я —
1)
(2.52)
Отметим, что сначала, зная р(п—1), надо рассчитать к(п), а
затем уже р(п) но формуле
/>(") = —<V^(»)-
(2.53)
Три уравнения: (2.42), (2.52) и (2.53) — являются
рекурсивными уравнениями, необходимыми для реализации фильтра Кал-
мана первого порядка. В отличие от фильтра Винера усиление
фильтра Калмана должно быть выражено итерационным
соотношением, а следовательно, его нельзя представить в виде
универсального стационарного решения.
2.4. ВЕКТОРНЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА
В практических ситуациях обычно обнаруживается, что авто-
регрессивная модель сигнала первого порядка недостаточна для
адекватной характеристики физического процесса. Более
вероятно, что потребуется АР-процесс /V-ro порядка. Таким,
например, является случай моделирования трактов передачи данных.
Для рассмотрения фильтров высшего порядка уравнения
фильтра Калмана первого порядка, приведенные в разд. 2.3,
можно модифицировать путем замены скаляров векторами
V-ro порядка. Этот процесс лучше всего проиллюстрировать
простым примером.
Самым простым будет пример, в котором рассматриваемый
зпторегрессивный процесс представляется выражением второго
порядка, имеющим вид
х(п) = ах(п— l) + bx(n—2)+g(n— l).
Зададим две переменных состояния xt(n) и хг{п):
xx(ri)=x\ti) и х2(п)=х(п—1),
(2.54)

Методы оптимального оценивания
41
к перепишем выражение (2.54) в виде пары уравнений
состояния:
.v,(n) = av,(/i—1) \-bx,(n~l)-j-g(n—\).
(2.55)
x2(n) = xl{n—1).
Записывая (2.55) в виде матричного уравнения, имеем
Л", (Л-)'
х2 (я)
=
a h
хг{п -1)
+
0
пли
Х(я) = АХ(« -1)4-0 (/1 — 1). (2.56)
Уравнения фильтра Калмана для задачи оценивания
представлены теперь в векторной форме, но они имеют такой же вид,
как и для скалярного фильтра:
X(n) AX(/i- I4-K(m)|Y(m)-CAX(/j- 1)|, (2.57)
К (и) P1(/.)C1[CP,(»)Cf-fZ(,l)|-«. (2.58)
Р,(/г)=-АР(и I) A'+Q('i — I). (2.59)
P(/i) = P,(«) Kt/OCP^/i), ou .r(2.60)
где дисперсия скалярного наблюдаемою шума о.-2 и дисперсия
шума системы og2 заменены матрицами Z(/i) и Q(/i)
соответственно:
Z(«) = E{V(/i)V»},
Q(n) = E{(',(n)W(n)}.
Аналогично параметр фильтра, или' усиление Калмана, заменен
матрицей К(п) порядка NXN.
В разд. 2.4.1 приводимся пример использования векторного
фильтра Калмана для коррекции при передаче данных. Формат
•фильтра будет более наглядно проиллюстрирован с помощью
SToro примера, чем путем задания произвольных обобщенных
■соотношений для векторного устройства оценивания.
2.4.1. Векторный фильтр Калмана в качестве устройства
коррекции канала
Примером, выбранным здесь для иллюстрации действия фильтра
Калмана, будет коррекция канала [18(5]. В случае когда
произвольная последовательность данных передается по
искажающему каналу связи, вызывающему межсимвольную
интерференцию (МСИ), для восстановления исходной последовательности

и
Г.тви 2
данных требуется фильтрация или коррекция выходного сигнала
канала. Этот пример несколько глубже рассматриваемся в гл. 8
с точки зрения применения адаптивных фильтров, однако здесь
он использован просто в качестве иллюстрации применения
векторной опенки Калмана.
Искажение, вводимое каналом, можно моделировать с
помощью фильтра (с весами, обозначенными с, вместо /i,) с
линейной импульсной характеристикой конечной длительности ia-
кого же типа, как фильтр, показанный на рис. 2.2, с шумом,
добавленным на выходе. Это модель наблюдаемого процесса,
показанного на рис. 2.3. Данные на входе канала .v(/i) нмекм
случайное распределение, и, следовательно, модель генерации
сигнала можно представить в виде
X(;i + l)eAX(/i) + Fs(/i).
где
А-
"О • ■
1 0 ■
О 1 О
0. .010
.01)
(2.02)
Тогда наблюдаемый выходной сигнал канала во время выборки
с номером п определяется как
у(п)= CTX(/i)+y(/i), (2.0.5)
где С— вектор .Vxl коэффициентов канала, a v(п) —
аддитивный шум на выходе канала. Полагая А унитарной матрицей,
получаем, что предсказание АХ(л—1) становится равным просто
Х(л—I) п выражение для корректирующего фильтра Калмана
имеет вид
X(/i)=-X(/i -[) + K(/i)|j/(/t)- C'X(/i 1)|,
(2.0-1)
а шерации для К(«) определяются уравнениями (2.58) — (2.00).
Здесь следует отметить, что коэффициенты искажения капала С
предполагаются априорно известными.
Корректирующий фнлыр, плп выравниватель, описываемый
уравнением (2.04), схематически изображен на рис. 2.6. и.
показывающем, как произведения различных матриц физически
обеспечивают формирование предсказания и коррекции. Эш
можно сравнить с точной многоканальной матричной
реализацией, показанной на рис. 2.0,6.
Более распространенным применением методов оценивания
Калмана является расчет значений весов ветвей для корректп-

Методы 1штима.и>ного оценивания
у Ш) ЦТ)
43
у(п).
К(п)
,-«*
^>Х(п)
Рис. 2.6. и — блок-схема корректирующего фг и.три Калмана /V-ro порядка;
5 — точная реализация векторного фи (ьтра Калмана.
рующих фильтров с конечной импульсной характеристикой [122].
Обсуждение подобного применения метода Калмана и быстрого
метода Калмана приводится в работе [240].
2.5. ВЫВОДЫ
В данной главе весьма кратко на примере двух типов линейных
процессов рассматриваются методы оценивания стохастических
сигналов с помощью только линейных устройств оценки:
J. Конечное или параллельное устройство оценки,
использующее решение уравнения Винера — Хопфа. которое даег
оценку в виде взвешенной суммы конечного числа
наблюдаемых выборок.
2. Последовательное или рекурсивное устройство оценки
Калмана, использующее принятую модель генерации
авторегрессивного сигнала для получения оценки, которая
может быть существенно скорректирована в результате

44
Г.гава 2
анализа каждой новой выборки во временной последоза-
тельности.
Рассмотренные устройства оценки находят непосредственное
применение в ряде областей. Фильтры Винера наиболее
целесообразно использовать в том случае, когда в непосредственном
распоряжении имеется лишь ограниченный объем данных: они,
как правило, применяются в таких областях, как
сейсморазведка и обработка изображений. Фильтры Калмана наиболее
пригодны для анализа непрерывного временного ряда и,
следовательно, используются в таких областях, как радиолокационные
станции автоматического сопровождения и обработка сигналов
в инерциальных навигационных системах.
Следует отметить, что устройство оценки, определенное
в (2.2). необязательно является линейной функцией х(п), и
действительно для решения многих практических задач необходимо-
применять методики нелинейного оценивания (например,
гомоморфные фильтры в обработке изображений). Однако анализ
методики оценивания выполнен лишь для нескольких
специальных случаев нелинейных функций, так как пока не разработан
общий нелинейный анализ [19].

3
Адаптивные алгоритмы
для фильтров
с конечной импульсной
характеристикой
Бенджамин Фридлендер
3.1. ВВЕДЕНИЕ
Адаптивные фильтры обычно состоят из двух отдельных частей:
фильтра, структура которого рассчитана на выполнение искомой
функции обработки информации, и адаптивного алгоритма для
подстройки параметров (коэффициентов) этого фильтра.
Большое количество возможных комбинации структур фильтра и
законов адаптивного управления ими приводит иногда к
поразительному разнообразию адаптивных фильтров.
В данной главе мы сосредоточим внимание на том классе
структур фильтров, который, по все» вероятности, является
самым простым: на линейных фильтрах с конечной импульсной
характеристико/i. Типичный фильтр КИХ-типа, реализованный
в прямой форме, изображен на рис. 3.J. Отметим, что каждая
выборка выходного сигнала фильтра является линейной
комбинацией конечного числа предшествующих выборок входного
сигнала. Фильтр не является рекурсивным (т. е. не содержит
обратной связи); рекурсивные адаптивные фильтры
обсуждаются в гл. 4. Отмеченное свойство приводит к исключительно
простым адаптивным алгоритмам, как будет показано в
последующих разделах.
После определения структуры фильтра возникает
необходимость разработки адаптивного алгоритма для подстройки его
коэффициентов. В данной главе мы рассматриваем адаптивные
законы, цель которых заключается в том, чтобы
минимизировать энергию на выходе фильтра (т. е. дисперсию выходного
сигнала или выходную сумму квадратов). Необходимость в
минимизации этой частной функции стоимости возникает во
многих областях применения, включающих оценивание методом
наименьших квадратов, например в адаптивном подавлении
шума, адаптивном линейном усилении и адаптивном спектральном
оценивании. Более детально применения адаптивных фильтров
обсуждаются в гл. 8 и 9.

16
Глава Н
о---
-е(п)
yln-1)
yIn-2)
К
z-'
y(n-N)
РИС. 3.1. HenOCpi'-tl'THCHHaa рФИ.ЩЗНИПН ф||. IMTJtl С ЬОНСЧМОЙ ll «IIV. lliCIIDii \il|)ilh-
lepiiCTiiKofi.
В двух следующих разделах мы даем два адаптивных
алгоритма для фильтров КПХ-ппкг. рекурсивный алгоритм
наименьших квадратов (РНК) и алгоритм метода наименьших
квадратов (МНК) Уидроу— Хоффа. Алгоритм МНК. снискал
значительную популярность с начала 1960-х годов. Его простота
делает его привлекательным для многих применений, в которых
необходимо минимизировать вычислительные процедуры.
Алгоритм РНК широко применяется для идентификации систем и
анализа временных рядов. Несмотря на потенциальные
преимущества, его применение для обработки сигналов было довольно
ограниченным из-за большей вычислительной сложности. В
последние годы вновь появился интерес к алгоритму РНК,
особенно к его «быстрым» (позволяющим более эффективно проводить
расчеты) версиям. Алгоритм РНК был использован для
адаптивной коррекции каналов связи [122, 186, 282], адаптивной
обработки сигналов с антенных решеток [232] и других задач.
Вывод алгоритма РНК и краткие сведения о его основных
свойствах представлены в разд. 3.2. В гл. 5 алгоритм РНК
широко используется в связи с построением решетчатых фильтров,
где его называют алгоритмом наименьших квадратов для
решетчатых фильтров. В разд. 3.3 мы выводим алгоритм МНК
как аппроксимацию алгоритма РНК и обсуждаем его свойства
и выполняемые преобразования. И наконец, в разд. 3.4 мы
рассматриваем расчет адаптивного фильтра с заданной структурой.
Структура фильтра выбирается такой, чтобы гарантировать
линейные фазовые характеристики.
3.2. РЕКУРСИВНЫЙ АЛГОРИТМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Мы начнем с рассмотрения следующей исходной задачи,
которая служит основой для многих методов адаптивной фильтрации.
Пусть у(п)—вход фильтра КИХ-типа N-ro порядка (см.

Юаитивные алгоритмы Илн фильтров с КНХ
47
рис. 3.1), Обозначим выход фильтра е(//), причем
e(,<) = y(n)-h]y(n-\)...-lisij(n-K), я>0, (3.1)
Вектор коэффициентов фильтра обозначим Н:
H'-i/i,.../i.vl. (3.2)
Выходном сигнал фильтра, разумеется, зависит от
коэффициентов фильтра [т. е. е(п)=еь («)]. Как правило, индекс,
характеризующий зависимость от Н, для удобства обозначении мы
будем опускать. Далее рассмотрим алгоритм, разработанный для
минимизации суммы квадратов выходных выборок:
l'(/.) = \V(s). (3.3)
Вектор коэффициентов фильтра, для которого эта сумма
минимизирована, обозначим Н(и). Этот тип фильтра можно
интерпретировать как прогнозирующее уаройство (предиктор) но
критерию наименьших квадратов для входной
последовательности у(п), а выход с(п)—hah ошибку предсказания. Такой тип
задач часто возникает при анализе временных рядов и
обработке сигналов. Отметим, что мы не сделали никаких допущений
о статистических свойствах последовательности //(я). Проведем
рассмотрение для момента с чист детерминированном задачей
минимизации. Чтобы лучше уяснить эту проблему, перепишем
(3.1) в матричной форме:
сфГ уф) "О " 7i,
с(\) у(\) 0(0).. 0
УФ)
(3.4)
.еin). ,y{n). _<Л'1 \)...y{n—N)_ _/t.v_
е(й) у (/О Y(/i) H
При составлении уравнения (3.4) мы полагали, что у[п) = 0 для
я<0. Другими словами, данные являются «пропущенными через
окно», т. е. умноженными на ступенчатую функцию w(n), где
w(n)=Q для п<0 и w(n) = l для п>-\. Можно выбрать другие
ступенчатые функции, что приведет к различным адаптивным
алгоритмам. Например, когда данные не умножаются на
ступенчатую функцию, мы получаем «не пропущенную через окно»,
или «ковариантиую», форму этих уравнений:
Л
■е (NT
е(п).
~У(МТ
-У(п)-
-y(N-\)...y(Q)
_y(n — l)...y(n—N)
Av.
(3.5)

18
Глава 3
Сначала рассмотрим случай, когда данные пропущены через
окно; это приведет к наиболее простой структуре уравнения.
Отметим, что минимизация функции стоимости V[n)
эквивалентна минимизации квадрата нормы левой части уравнения
(3.4), так как
V («)-= || е(п)!|а—eT(/i)e(/i). (3.6)
Вектор, минимизирующий эту норму, определяется уравнением
А(»|) = |\''(н)\('|)|-^"т(л.)^(/|). (3.7)
Это уравнение следует из стандартного положения линейной
алгебры, рассматривающей решение переопределенных систем
линейных уравнений. В принципе уравнение (3.7) дает решение
для задачи адаптивной фильтрации. На каждом отрезке
времени можно рассчитать значение (3.7) и определить величину
коэффициентов фильтра. Однако это приводит к значительному
объему вычислений, поскольку коэффициенты каждый раз пере-
считываются с самого начала. Более приемлемая форма
алгоритма получается в результате разработки рекурсивного метода
вычисления Н(п). Описанный далее рекурсивный алгоритм
наименьших квадратов (РНК) может корректировать
коэффициенты фильтра путем полного использования информации,
содержащейся в текущем наборе коэффициентов. На каждом отрезке
времени требуется лишь увеличение объема вычислений. Это по
существу выполняется с помощью использования процессов
оценивания калмановского типа, описанных в разд. 2.3.
3.2.1. Вывод алгоритма РНК
Для вывода рекурсивного алгоритма наименьших квадратов
рассмотрим случай, где производится только одно
дополнительное наблюдение у(п+1). Определяя
Р(п) = [\Цп)Х(п)]-*, (3.8)
имеем
P(«+l)-=[YT(rt)!v(4 + 0]
= [YT (л) Y (я) + ч> (И-1) 4>т (л + 1) Г1. (3.9)
где
<РТ("+ 1) = \У [п)...у(п—iV+l)l. (3.10)
Инверсию матриц в (3.9) можно переписать в виде
Р(м+1) = Р(п)-Р(к)<Р(«+1)[1 +
+ 4PT(4+l)P(n)q>(n + l)]-V(rt+l)P(n). (3.11>
" Yfn)
Г (я + 1}

Ынптичпыс пА,юр\п.иы Оля фильтров с КИХ 49
Это уравнение следует из матричного тождества
lA + BCDI^A"1 — A-]B(C4-DA«B) ^DA"1, (3.12)
которое выполняется для всех матриц А, В, С и D совместимых
размерностей (для невырожденной матрицы А).
Затем отметим, что
И> + 1) =
-P('i + l)Vr(n+l)Y(rt+l) =
P(« + i)|VT(»)y(»)+4(« + i)y("4-i)l-=
{Р(") -•Р(я)*(« + 1)|1+«рт(" + ПР(я)ф(/1 + 1)|-1 х
•(,.(/! + 1)Р(Н)} ХУт(/|)у(/,) + Р(/. + 1)(Г(/1Ч 1)У(Л Н) =
-Н(„) Р(„)(Р(/1т.1)|1+ч'(„-)-|)Р(,1)Ч(/| + 1)|-1 х
ч>+1)Н(н) + Р(«4-1)<|(" + 1)!/(м+1). (3.13)
Определим
К(м + 1)-
-P(,i + 1)4»(»+1) =
- Р(,,)ч,(Л+1)--Р»ч>(и + 1)|1 + ч>>+1)х
,:Р(/г)Ч'(»+1)ГЧ'т(» + 1)Р('|)Ч»(" + 1) =
Р(/|)'г("+1)11-[1+Фт(« + ')Р(«)ф(»+1)Г1 х
ч'(/г + 1)Р(/0Ф(п + 1)| =
- P(.«)q («4-1)11 +*T('i+ l)P('i)4 (" + I)]-1- (3.14)
Используя определение (3.14). из (3.13) имеем
H(/i + l) = H(n) + K(tt + l)[[/(/i + l)- <|'(» + 1)Н(«)1. (3.15)
Уравнения (3.11), (3.14) и (3.15) представляют алгоритм
РНК. Начальное значение Р можно получить либо оценивая
fYMOjYfO)] ' из начального набора данных или просто
допуская, что Р(0)=о1, где о — большое (положительное) число;
как правило. о= 100/Var{//(0)}. Аналогично, начальное значение
Н можно получить, считая, что Н(0) = —Р(0) YT(0)y(0), или
просто полагая Н(0)=0.
3.2.2. Алгоритм РНК с экспоненциальным взвешиванием
Адаптивный алгоритм, выведенный выше, обладает бесконечной
памятью. Значения коэффициентов фильтра представляют собой
функции всех предыдущих значений входного сигнала. Как
будет рассмотрено далее, часто полезно вводить в алгоритм «мно-

•it)
Г.тви 3
житель забывания», чтобы последние данные обладали большей
значимостью, чем старые данные. Одним из способов
реализации этого является замена функции стоимости в виде суммы
квадратов на экспоненциально взвешенную сумму квадратов
значений выходного сигнала.
V(/iH\4''-VJ(s), (3.16)
% -о
где константа 0<л<1 определяет эффективную память
алгоритма. Когда л=1, алгоритм, как и ранее, имеет бесконечную
намять Когда л<1, алгоритм будет иметь эффективную память
в течение т = — l/lgk» 1/(1—л) выборок сигнала. Это можно
понять, если рассмотреть случай, когда <.i2(s) — \ Тогда
V(«) = Va"-a=11-V <ЗЛ7>
Мы определим продолжительность эффективной памяти как
величину п+1 = т. при которой Г(т)/Г(оо)*«0.9. Таким образом,
1—л' = 0.9 или T = !gO,l/lg/>. Когда коппанта /. очень близка
к единице, lgA«?.— I.
Чтобы понять влияние множителя забывания на
рекурсивный алгоритм, запишем новый критерий ошибки в виде
V(/i) = ег(н)Л(н)е(н), (3.16)
с те
A(n) = diag{A»./.» ',....л, 1}. (3.19)
Умножение (3.4) на Л1/2(«) н решение относительно H(/i),
как и прежде, даст [см. (3.7)]
Н(//}« |\|(,|)Л(/|)\(/1)Г1У,(,.)Л(м)у(л). (3.20)
Теперь вновь мы определим Р(л) в виде
P(n) = |Y'(«)A(/i)Y(/i)| », (3.21)
откуда следует, что
Р-» („ + I) = л-V (л) А (л) V (л) Ф(/| + I) Ч'т(" + 1)
-лР-,(«)+Ч(" + 1)Ч,(" r-D- (3.22)
Обращение (3.22) даег
Р(/. + 1) =
Р (п) — Р(«н 1" '>(/. цт yi - 1)Р(»)ц(и !-1)ГМт("-1-1)Р(")
А
(3.23)

\Паптивныс алгоритмы для фильтров с КИХ
51
Таплицц 3.1. A'iropiiiM PI IK (с экспоненциальным н шсшнваниси
и учетом ступенчато» функции «окна»)
• Начало:
Н(0)=0, Pf0) = (7/. ф(0)=0
■ Па каждом временном этане делать следующее:
e(/l) = i/(n)— (fT (в)Н(п— 1) | "ffiin i|(")l Вычислить выходной сигнал фильтра
Р(л 1)— ?(п—\)ч(п)\Х '■<(т(n)P(n—^)ц(ll)Г^Ч^r(ll)Plll—\)
Р(,.)= £
Корректировать усиление
К(н)=Р(я-1)ч(п)[а + <Ц»)Р("-1)Ч(«)] '
Н(л) —Н(н—1) + К(к|е(л) Корректировать коэффициенты фильтра
<f (n+l) = Zi|)(n)+[i/(n-H). 0 0]т Корректировать состояния фильтра
-0. О -
Z =
1
О 1 О
Оператор едвнга шин
Далее отметим, что
H(« + l)^P(/[ + l)YT(/i + l)A(/i + l)y(/i + l) =
= Р1п + \)№{п)А{п)у(п) + ч[п + 1)у(п + \)]. (3.24)-
Следун по тому же пути, как и ранее, легко показать, что (3.15)
все еще выполняется, хотя при расчете К(л+1) используется
новое определение Р(л+1):
К(л + 1) = Р(л + 1)ч>(и + 1) =
= P(n)(f(,i + l)[>.4-4,("4-l)P(/i)4(" + l)|-1. (3.2Г))
Полный алгоритм суммируется в табл. 3.1. Структура
РНК-адаптивного фильтра изображена на рис. 3.2.
3.2.3. Вычислительная сложность
Вышеописанным адаптивный алгоритм хорошо реализуется во
многих случаях. Главной причиной, ограничивающей
пригодность данного метода для ряда применений, является его
вычислительная сложность. Подсчет количества операций,
необходимых для выполнения одного тага алгоритма, описанного
в табл. 3.1, служит мерой его вычислительной сложности.
Используя тот факт, что Р(л)—симметричная матрица, можно
реализовать алгоритм, который потребует 2,5Л'2 + 4Л' умножений

52
Глава .5
yin).
Фильтр КИХ-типа
Hln)
H(n) = H(n-l)+KIn)eIni
K(n)
Вычислить К(п)
Адаптивный алгоритм
Рис. 3.2. Адаптивный фильтр на основе рекурсивного метода наименьших i н«и
ратов Ыа выходе фильтра получаем е(п) =у(п) -<рт(л) Н(и— 1).
и сложений на каждом временном шаге (N—-порядок фильтра)
Для фильтров высшего порядка часто оказывается
неприемлемой вычислительная сложность, которая возрастает
пропорционально квадрату порядка фильтра. Отметим, что для
корректировки вектора усиления К(л) требуется наибольшее количество
операций. При заданном векторе усиления на остальную часть
алгоритма приходится лишь 2N умножений и сложений.
Следовательно, для уменьшения вычислительной сложности
алгоритма, необходимо упростить корректировку усиления. Исполыуи
специальную структуру матрицы Р~'(п). можно вывести
формулу для корректировки усиления со сложностью,
пропорциональной N операциям, а ие Л/2. Этот так называемый «быстрый»
(калмановский) алгоритм подробно описан в работе [194|. Еще
более простую формулу для корректировки можно вывести,
аппроксимируя алгоритм метода наименьших квадратов с
помощью градиентных методов, как показано в разд. 3.3. В этом
алгоритме вектор усиления пропорционален вектору данных
<р(п) и, следовательно, не требуются дополнительные
вычисления.
3.2.4. Стохастическая интерпретация
Алгоритм РНК был выведен без принятия каких-либо
допущений о входных данных. Его определяющее
свойство—минимизация суммы квадратов значений выходного сигнала на каждом
временном шаге. Этот факт очень полезен сам но себе. Однако

Адаптивные алгоритмы для фильтров с КИХ.
53
часто бывает, что о различных особенностях характеристик
фильтра желательно знать больше. Чтобы детальнее исследо-
вать свойства такого фильтра, необходимо принять некоторые
допущения относительно статистических характеристик данных.
Однако важно помнить, что алгоритм будет выполнять
заданною функцию [минимизацию V(n) или V(n)] для произвольных
входных последовательностей. Рассмотрим случай стационарного
стохастического процесса с данными у{п), нулевым сродним и
функцией корреляции
г(т) = Е{у(п)у{п~х)}. (3.26)
Основным свойством стационарных стохастических процессов
является эргодичность. В несколько упрощенной формулировке
это означает, что в пределе средние по времени значения можно
заменить математическими ожиданиями. В частности,
отметим, что
Ит -1т$.У(п)у(п-1) = Е{у(п)у{п-1)} = г(х). -(3.27)
Отсюда вытекает
lim
Л-»оо
YT(/i)Y(rt)=K
lim
и-»оо
V(„)y(n) = r
r(0)...r(N-lY
r{N— l)...r(0).
/■(I)
f(N).
а, следовательно,
lim /iP («) = lim I'i- YT (n) Y (/i
= R-4
(3.28)
(3.29)
(3.30)
Hopt —lim H(n) = lim [YT(n)Y (н)Г1 V(/i)y(/i) = K-'r. (3.31)
n-*oo
Иначе говоря, вектор коэффициентов фильтра сходится к
решению уравнений Юле —Уокера [321,345]
RH0Pt=r,
(3.32)
и соответствующим образом нормализованная матрица Р(я)
сходится к матрице, обратной ковариационной. Приведенные
выше рассуждения представляют собой лишь правдоподобную

54
Г.таи ;i
аргументацию, но не формальное доказательство. Однако эти
факты можно строго доказать при некоторых нежестких
условиях регулярности.
Остается рассмотреть ограничивающий фильтр, г. е. фплыр
'с вектором коэффициентов Н„Р(. Напомним, что алгоритм РНК
был разработан для минимизации суммы квадратов выборок
.|.ходиого сигнала. Неудивительно, что ограничивающим фильтр,
как можно показать, минимизирует дисперсию выходного
процесса. Дл>! понимания этого рассмотрим следующую проблему
линейного оценивания методом наименьших квадратов.
Обозначим у(п\п—1) предиктор -V-ro порядка процесса у(п). имеющий
упреждение в один такт
л
у(п\п- \) = Va(i)y(n i). (3.33)
Коэффициенты предиктора u(i) выбираются 1ак, чтобы
минимизировать дисперсию ошибки предсказания t(/i) по методу
наименьших квадратов:
Л'
е(я)—•/(«) —у(п\п \)=у(п) ■ Vfl(f).v(« i). (3.34)
Хорошо известноь свойство устройств оценки по методу
наименьших квадратов — свойство ортогональности, согласно
которому ошибка предсказания t(/i) не коррелпрована со всеми
предшествующими данными:
Е {к (п) у (ь)} - О для s < п. (3.35)
Умножив уравнение (3 34) на у(в) и определив математическое
ожидание, получим
А'
От*г(п- s)~Vfl(i)f(,i s /). (3.3G)
Полагая s = n—I n- \, можно переписать уравнение (3.3b)
в матричной форме:
"г(0)...г(Л'-- I)'
r(N- -1)...п0)
К
й(1)
ч(Х')
А
г (.V).
(3.37)
Сравнив с (3 32), срап придем к нывод\ о гом. что Hopt = A
Другими словами, для счанисшарныч входных данных РНК-ада»

[ilniiTUUHiiif иллчттлы tJ.f-ч фильтров г KUX
55
пшный фильтр будет сходиться к линейному фпльтру-нредик-
п>ру на основе метода наименьших квадратов с упреждением
пи один гак■ (этот фильтр иногда называю! фильтром Винера;
он более подробно рассмотрен в гл. 2).
0тме1им, что выше мы обсуждали случай, когда л=1 По
существу для сходимости коэффициенте филыра необходимо,
чтобы они зависели от бесконечного количества выборок дан-
пых. В следующем разделе будут сделаны некоторые выводы,
касающиеся случая конечной памяти: }.Ф\
3.2.5. Асимптотическая точность оценки методом наименьших
квадратов
Устройство оценки по методу наименьших квадратов |см.
формулу (3.7)| принадлежит к более общему классу устройств
оценки с предсказанием ошибок, которые интенсивно изучались
и рабенах по идентификации систем. Теория устройств оценки
с предсказанием ошибок имеет много приложении в анализе
адаптивных фильтров.
Здесь мы рассматриваем один специфический результат,
связанный с асимптотической точностью таких устройств оценки.
Этот результат основан на более общем теореме, точную
формулировку н доказательство которой можно найти в работах
[197, !9Я| Применительно к проблеме, изучаемой в данной
главе, георему можно сформулировать следующим образом:
Теорема. При нежестких условиях стационарности н
регулярности для устройства опенки по методу наименьших
квадратов H(/i) |см. формулу (3.37)| характерно асимптотически
нормальное распределение, гак что мы имеем
l/T(H (//) Н„р1) » х, (3.38)
I 1С
.v~A'(0. n,-KV. (3.39)
о/^= Е {('-(")} (дисперсия ошибки предсказания), (3.40)
Н„Р| определяется из (3.32), a R — ковариационная матрица
данных (3 28). И* этой теоремы следует, что для достаточно
больших значений // ковариационная матрица вектора ошибки
оценивании параметров
H(/i) Ч Н(н)-НорЬ (3.41)
приблизительно задается выражением
£{H(/i)ftr(/i)}^.2dR-*. (3.42)

50
Глава 3
Следовательно, эта теорема служит полезным критерием
точности для устройства оценивания, основанного на протяженных
последовательностях данных [под точностью мы здесь понимаем
отклонение Н(и) от его предельного значения Нор|]. Для
коротких последовательностей данных ковариация Н(п) может быгь
значительно больше, чем предсказанная формулой (3.42).
Таким образом, можно рассматривать матрицу (o,2/n)R ' как
нижнюю границу дисперсии ошибки оценивания.
3.2.6. Асимптотические свойства адаптивного фильтра
Представленная выше теорема дает также полезную меру
«шумовых свойств» коэффициентов адаптивного филыра как
функции числа выборок данных и статистического распределения
данных. Когда адаптивный алгоритм работает с бесконечной
памятью (?.= I), дисперсия коэффициентов фильтра будет
уменьшаться обратно пропорционально количеству выборок данных.
В конечном итоге для всех практических целей коэффициенты
можно считать постоянными. В случае, когда л<1,
коэффициенты всегда будут включать шумовую составляющую с
дисперсией, зависящей от эффективной длины окна т. Дисперсия
коэффициентов фильтра будет ограничена снизу величиной
(о/'/т) R ' Гв соответствии с формулой (3.42), где надо .заменим»
текущее время на эффективную длину окна т]. Когда окно
имеет достаточную длину, дисперсия коэффициентов фильтра будет
вполне удовлетворительно предсказана асимптотической
границей. Для коротких окон истинная дисперсия может быть
гораздо больше, чем ее предсказанное граничное значение. До
настоящего времени не имеется аналитических результатов для
определения длины окна, при превышении которой справедлива
асимптотическая оценка. Для ответа на этот вопрос необходимы
имитационные исследования.
Полезным критерием рабочих характеристик адаптивного
фильтра служит дисперсия выходного сигнала. Выходной сигнал
фильтра с произвольным вектором коэффициентов Н
определяется формулой [см. (3.1)]
^(я)-У(»)-»т(«)Н. (3.43)
Выходной сигнал всегда можно разложить на сумму
«оптимальной» ошибки предсказания и сше одного члена:
eH(n) = i/(n)-vT(«)H0Pi + <pT(/i)[H0pl— H|. (3.44)
в (л)

\(1аптивные алгоритмы для фильтров с КИХ
57
U1 сюда следует
Е{снЦп)}=Е{*Цп)} + Е{(Н- Hopt)Tq(/0<P>)(H-Hopt)} +
+ 2E{e(n)q>T(/i)|Hopl--H]>. (3.45)
Последним член равен нулю, поскольку ошибка предсказания
не коррелирована с предыдущими выборками данных. Таким
образом,
£{eH2(«)}=oE2 + (H-HliplVR(H-Hopl). (3.46)
Уравнением (3.46) можно воспользоваться для оценки
дисперсии выходного сигнала при любом фиксированном векторе
коэффициентов Н. Как и ожидалось, дисперсия на выходе будет
минимизирована тогда и только тогда, когда Н = НоР[.
Минимальную дисперсию ое2 можно оценить следующим образом:
Е {ь2(п)} = Е {[y(n)-«pT(/i) Hoptl2}=
=WW}+£{HVT('')4>)H0Ili}-
- 2£ {гГор1ф (и) у (,,)} =г (0) + H'0111KHnpt + 2H',1I)(r (3.47)
Воспользовавшись определением H„pt из (3.32), получим
aE'- = r(0)- H>r--=r(0)-r'K-1r. (3.48)
Следует заметить, что в процессе выполнения адаптивного
алгоритма сами коэффициенты фильтра входят в выражения
как случайные величины. Тогда, чтобы оценить выходную
дисперсию, мы должны воспользоваться (3.45), заменив Н на
Н(п-1):
£{егн(П-1)(п)} = оЕ2 + £1Нг(«-ПЧ'(/1)Чг(")Н(«-1)}--=
= aE2 + tr£{|(f(«)4T('i)HH(/i--l)H,('i-I)]} =
= ae* + tr {Е\Ч'(п)ЧЦп)1Е\Н(а-1)1Г(п-])1} ^
*ae« + tr{R^R-«}-a.* + -*£-; (3.49)
здесь мы предположим, что Н и <| не коррелированы. Другими
■словами, увеличение дисперсии выходного сигнала вследствие
«шумовых свойств» коэффициентов определяется формулой
£ (е2-, , ("И — ое2 4,-
<тЕ "
В литературе по обработке сигнала это отношение иногда
называют «коэффициентом расстройки» адаптивного фильтра.
Вышеприведенный результат был выведен для случая бесконечной
памяти (К=\). В случае конечной памяти следует использовать

Г)8
Г.шва 3
(3.50), заменив п на эффективную длину окна г=1/(1—>.) и
рассматривая ее как нижнюю границу истинного коэффициента
рассогласования.
3.2.7. Использование квадратного корня
Основная часть алгориша РНК представляет вычисление век-
юра усиления К(//). включающее коррекцию ковариационной
матрицы ошибок Р(н). Непосредственная коррекция Р(л) с
помощью разностного уравнения (3.11) или (3.23) может
привести к вычислительным трудностям, особенно когда
используется ЭВМ с ограниченной точностью. Основным источником
трудностей служит тот факт, что формула коррекции не
гарантирует положительной определенности (обратной)
ковариационной матрицы Р(п). Это препятствие можно обойти, если
вывести формулу коррекции для квадратного корня Р"2(//)
ковариационной матрицы, определив его как любую матрицу,
обладающую следующим свойствам: (Р"- (п)) (Р''2(н) )' = Р(п).
Использование квадратного корня в алгоритме оценивания
методом наименьших квадратов широко изучалось в
литературе [29]. В табл. 3.2 приведен алгоритм квадратного корня для
коррекции Р(и) и усиления K(/i). Матрицы О и II —
диагональные матрицы, причем
P(/i — ]) = ГDLT (старая ковариационная матрица),
(3.51)
P(/i) = L"Dl.'T (новая ковариационная матрица).
Вычислительная сложность данного алгоритма,
использующего квадратный корень, сравнима со стандартным алгоритмом
РНК. Вывод и анализ алгоритмов этого типа можно найти в
работах [29, 187J.
3.2.8. Алгоритм РНК, использующий скользящее окно
Существенная особенность экспоненциально взвешенного
алгоритма РНК заключается в том, что оценка в момент //
основывается на значениях всех предыдущих выборок, причем более
поздние выборки данных берутся с большим весом, чем более
ранние («старые»). В некоторых адаптивных применениях
желательно, чтобы оценка Н(и) зависела лишь от конечного числа
предыдущих выборок данных. Этого можно достичь с помощью
еарнанта ковариационной формы (3.5), в которой оценка
является функцией данных в (прямоугольном) окие длиной L:
{y(t\—L+\) у(п)}. Вывод рекурсивного алгоритма для
коррекции Н(п) проводится по той же методике, как н без введе-

Адаптивные алгоритмы для фильтров с КИК 54
Тш'итци 3.2 Алгоритм РНК. использующий квадратным, корень
• Начало
С I. D-i(iag[o]
• Mi-рнMii этап
f U'i((h). где P = [f, ... fv]. v=/5/ (т. е. \-i=difi для j'= I Л'),
и -^. где a, = >.,+v,/1. k,»-[v,. 0 0].
• Основной контур
для /=»2. ..., .V вычислить
a.
«i = ii/+o(*f_i, где «/ =
A =A-,_i+v,(?,,
■ Мы используем обозначение iii. »,■ для столбцов U. U, т. е.
U = [»i ... ns]. 0 = [Н| ... nt].
• Вычислить новое усиление
/С(я) = &-.
«у
ния окна, и этот вывод можно оставить в качестве упражнении
читателю.
Алгоритм, использующий скользящее окно, состоит из двух
отдельных этапов. Сначала добавляется новая выборка данных
у(п). Затем отбрасывается старая выборка данных y(n—L), но
при этом сохраняется число активных точек, равное L. Первым
шаг будет таким же, как в (3.1 1), (3.14) и (3.15) (с
очевидными изменениями обозначений):
Р,(я) = Р("~1)--Р('1 — 1)ф('1)|1+Ч»'(")Р('1 —1)<Р(п)1~' X
Х«рт(/()Р(//— 1), (3.52а)
Н' («) = Н (л — 1) + К (;0 [// («)—Чт («) Р (« — 1)1, (3.526)
K(«)-=P(/i —1)4 (")[1 +<РТ(»)Р(« —О <f (")»"*< (3-52в)
где Р'(п) и Н'(«)—величины, основанные на (L+\) выборках
данных.
Теперь отбросим выборку данных y(n—L):
Р(п) = Р1 (п)+Р1 (n)4>(n—L)\\ +ч?(п- £)Р«(я)ф(я — L)]-1 X
ХФГ(« — L)P4n), (3.53а)
Н (я) = Н1 (л)—К» (n)\y(n~L)—V(t—L) H1 (и)|, (3.536)
K'(«) = P»<f(n—L)[2-HT(/i- £)Р'(«)<Г(«L)]'K (3.53в).

60
Глава 3
В этом алгоритме полностью отбрасываются старые выборки
данных, и он оказывается более эффективным, чем
экспоненциально взвешенный вариант для отслеживания быстрых
изменений статистических параметров данных у(п). Кроме того,
«плохие» выборки данных [т. е. очень большие значения у(п),
вызванные импульсом шума] полностью «забываются» через L
периодов выборки сигнала, тогда как в случае экспоненциально
взвешенного варианта этот эффект может затянуться надолго.
Для предыдущего алгоритма требовалось накопление
прошлых (L + N) выборок данных. При большом размере окна это
может стать затруднительным. Кроме того, вычислительная
сложность алгоритма почти в 2 раза выше, чем алгоритма,
представленного в табл. 3.1. По этим причинам на практике
часто предпочитают экспоненциально взвешенную форму
алгоритма РНК.
3.3. АДАПТИВНЫЙ АЛГОРИТМ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ ( ,
Алгоритм метода наименьших квадратов, разработанный Уидроу
и Хоффом (335]. является предшественником адаптивного
фильтра РНК-типа. Алгоритм МНК использовался для обработки
сигналов во многих областях применения. Простота и легкость
реализации данного алгоритма делают его предпочтительным
для решения многих практических задач.
Основные недостатки алгоритма МНК связаны с его
свойствами сходимости. Как будет показано в данном разделе, этот
алгоритм основан на градиентном методе минимизации
квадратичной характеристики функции, тогда как алгоритм РНК
представляет собой процедуру типа Ньютона — Рафсона. Из теории
методов итеративной оптимизации известно, что метод
Ньютона— Рафсона обычно сходится быстрее, чем градиентный
метод [100].
В данном разделе мы выведем алгоритм МНК и изучим
некоторые его свойства.
3.3.1. Итеративное вычисление оптимального вектора
коэффициентов
Прежде чем ввести алгоритм МНК, перепишем выражение для
дисперсии на выходе фильтра в еще одной форме [см. (3.46)]:
/(H) =£ {енЦп)} =Е{\у(п)-Ч?'(п) Н]*} =
= Е {у' (п)}-2Е{у(л) «рт(л)} Н + WE {q>(л)<рт(л)} Н =
= г(0)—2гтН + НЧШ. (3.54)

Адаптивные алгоритмы для фильтров с К.ИХ
61
(Лметим, что /(H) — квадратичная функция элементов вектора
коэффициентов Н. Ме)Од ускоренного спуска является способом
оптимизации, в котором используются градиенты поверхности
для нахождения ее минимума Градиент в любой точке
поверхности рассчитывается путем дифференцирования /(H) по
вектору параметров Н:
dJ (H)
dJ(H)
дН
.. (П
" 7Л)
С другой стороны [см. (3.46)],
^-2R(H-
2fRH—r),
HOPt)
(3.55)
(3.56)
Приравнивая нулю 1радиент вектора, получаем оптимачьный
вектор H0pt, как и в (3.32). Для вычисления этого оптимального
вектора параметров используется метод ускоренного спуска, т. е.
итеративная процедура. Начнем с произвольного вектора Н(0)
и на каждом шаге будем изменять текущий вектор на
величину, пропорциональную градиенту вектора с противоположным
знаком:
dJ (H)
Н(* + 1) = Н(*) + ц
дН
Н-=Н (к)
(3.57)
где скалярным параметр ц — коэффициент сходимости,
определяющий устойчивость и скорость адаптации.
Для изучения свойств этого разностного уравнения
рассмотрим вектор ошибки
H(ft) = H(ft)-Hopt. (3.58)
Из (3.56)- (3.58) получим следующее разностное уравнение для
*того вектора ошибки:
H(ft + l)=(I—2u.R)H(ft). (3.59)
Если выбрать р. достаточно малой величиной, то всегда можно
обеспечить устойчивость матрицы (I—2nR), гарантирующую,
что ошибка будет асимптотически стремиться к нулю.
Чтобы яснее оценить характер сходимости вектора ошибки,
преобразуем (3.59) в систему N непарных скалярных уравнений.
Для этого сначала отметим, что ковариационную матрицу R,
являющуюся симметричной и положительно определенной,
можно представить в виде
R = UDUT, (3.60)

62
Г. т на •?
где U—ортонормированная матрица (U1 U = U U"1 =- IJ. a D —
диагональная матрица, содержащая характеристические числа
матрицы R:
D = diag{X,..Av}. (3.61)
Подставляя (3.60) в (3.59) и умножая слева на U\ получаем
ITH (ft + !) = (/_2jiD) (UTH (ft)). (3.62)
Обозначая преобразованный вектор ошибки как
•*,(*)■
Х(Л):
Лу(*)-
UTH (ft), (3.63)
находим
.v'(ft+I) = (l-2^£).v'(ft). (3.64)
Сходимость обеспечивается, если выполняется неравенство
|1—2цА, | < I для всех характеристических чисел л,. Это условие
будет обязательно удовлетворено при
0<H<TJ—. (3-65)
Лмакс
где Ambki — наибольшее из характеристических чисел матрицы R.
Отметим также, что до тех пор, пока ц<'Ммакс. скорости
сходимости для всех решений будут расти с увеличением р..
Однако, как только ц = '/2Лмакс, мода, соответствующая Амакс. начнет
замедляться. Следовательно, выбор ц в окрестности '/гЛмакг
обычно обеспечивает наилучшую скорость сходимости для
разностного уравнения (3.59).
Уравнение (3.64) также позволяет найти скорость, с которой
различные решения уравнения для вектора ошибки стремятся
к нулю. Обозначив временную постоянную i-й моды как т,,
получаем (полагая p./.,<Cl)
1-2^=Г1/Т< = 1----±, (3.66)
пли
2[ih
(3.67)
Таким образом, наибольшая постоянная времени, входящая в
ошибку системы, равна
\,аьс^^Т . (3-68)
где Амин — наименьшее характеристическое число ковариацион-

•ХДаптавные алгоритмы для фильтров с КИК
63
ной матрицы R. Из (3.65) и (3.68) находим
Тмакс>-^. (3-69)
■"•мин
Другими словами, чем больше разброс характеристических
чисел ковариационное матрицы, тем большее время потребуется
для сходимости при использовании метода ускоренного спуска.
3.3.2. Алгоритм МНК
Для вышеописанного итерационного метода необходимо знать
точным градиент функции стоимости /(H). На практике
градиент априорно не известен, и его необходимо оценить на основе
поступающего сигнала. В алгоритме МНК для этой цели
используется градиент квадратичной ошибки единственной
выборки:
—2J-L =2е„ («) —^— = -2ен („) Ф(„). (3.70)
Следовательно, алгоритм МНК можно записать как
Н (л) = Н (л -1) + 2иен <„-!, (п)ч(п). (3.71)
Суммирование многих членов вида е(п)ц (п) дает грубое
приближение градиента единственной выборки к истинному
градиенту, а ожидаемое значение вектора коэффициентов Н(я) будет
приближаться к оптимальному вектору коэффициентов H0pi.
Отметим, что
£{-2ен(«)ф(«)} = 2[£{ф(п)(Гт(«)}Н-£{у(«)<рН}1 =
дН
= 2[RH-r| = -^-. (3.72)
Таким образом, математическое ожидание приближенного
значения градиента равно истинному значению градиента. Кратко
обсудим более точные доказательства сходимости. Отметим
простоту МНК-уравнения корректировки. Каждый
коэффициент фильтра корректируется путем добавления слагаемого,
содержащего взвешенную ошибку:
ht (л) = Л, (п— 1) -|- 1щ (п—0 е (и). (3.73
Ошибка е(п) является общей для всех коэффициентов, тогда
как весовой коэффициент \2\iy(n—/)] пропорционален текущему
значению данных, накопленных в i'-й секции фильтра (см.
рис. 3.1). Для вычисления [2ц^(л)] необходимо выполнить
•V+1 операций (умножения и сложения). Таким образом, для

G4
Г.шач 3
каждого шага корректировки фильтра потребуется в целом
(2N+\) операций (по сравнению с 2,5/V2 + 4,V операций
алгоритма РНК).
3.3.3. Сходимость алгоритма МНК
Ключевым вопросом при анализе любого стохастического
алгоритма является вопрос сходимости. Свойства сходимости
алгоритма МНК широко исследовались на различных уровнях
математической строгости. Начнем с записи разностного уравнения,
удовлетворяющего следующему условию для вектора ошибки
Н(л) = Н(п) —H0pt. Подставляя (3.44) в (3.71) и вычитая H„Pt
из обеих частей уравнения, получаем
Н(н) = Н(н — 1) + 2цф(/()[ь(,()-чт(,1)Н(н-1)]-
= [1—2цчр(«)Ф;(я)1Н(п-1) + 2цф(л)в1л). (3.74)
Отметим, что теперь Н(к)—случайная переменная, а не
детерминированная функция, каь было в случае (3.59). Обозначим
математическое ожидание этой случайной переменной Н(я).
Для математического ожидания величины (3.74) имеем
Н(л) = (1 — 2цИ)Н(«— 1), (3.75)
поскольку е(п) и q~(n) не коррелированы. Таким образом, мы
возвращаемся к (3.59) и обнаруживаем, что среднее значение
вектора ошибки ведет себя точно так же. как если бы был
известен истинный градиент вектора.
Далее мы хотим вычислить ковариационную матрицу
вектора ошибки Н(л). Из (3.74) следует ',
Н(я)Нт (я) = [1- 2W(u)<j.T(„)|H(H-l)HnH-l)[l-2(f(n)(pT (u)| +
+ 4ц,яе8 (/i) ф(я) <рт (и) + 2це (я) [I-2<р(я)ц' (я)] X
X А(и—1)ф,(я) + 2це(я)ф(я)«^(л)Нт(|1 —1) X
X [I — 2|1ф(л) чрт («)J. (3.76)
Чтобы понять эволюцию ковариационной матрицы ошибки,
найдем математическое ожидание обеих частей уравнения (3.76).
Отметим, что е(я) не коррелирована с ц>(п) [поскольку
е(л) —оптимальная ошибка предсказания]. Мы также
полагаем, что ц>(п) и Н(я) не коррелированы. Поскольку Е{г(п)} = 0,
математическое ожидание двух последних членов в (3.76) будет
равно нулю. Тогда
£{Н(я)Нт(«)} = £{11 — 2цф(я)фт(п)]Н(я — 1)Нт(п—1) X
X [I—2jiV(n)4>(n)]} + 4nVR- (3.77)

ХОаптвные алгоритмы для фильтром с КИХ
65
1J ранее опубликованных pa6oiax по сходимости МНК [339,
НО] допускалось, что (3.77) можно заменить на
£{Н(л)Нг(я)}="|1—2pR]£{H(/i — 1)Н'(я — 1)} II — 2uR| +
+4u-o/K. (3.78)
liojiee точное вычисление (3.77) недавно было проведено в ра-
ооге [152]; его мы кратко рассмотрим здесь. Выведем сначала
асимптотические свойства алгоритма МНК. которые следуют
из (3.78), как было показано в работах [339, 340]. Для этого
смметим, что ковариационная матрица ошибки в (3.78) точно
1акая же, как если бы вектор Н(«) был получен из
стохастического разностного уравнения
H(/i)-|l-2i*K|H(n-l) + 2ji8(rt)v("). (3.79)
которое просто является «шумовой» версией (3.75).
Умножим (3.79) слева на U1 [см. (3.60)] получим
[UTH(«)l = |l-2MD]|L"H(,i-l)! + 2tlt:(;0ll,,4(«)l- (3.80)
Так как элементы UT«pr взаимно не коррелпрованы и матрица
<1—2D) —диагональная, то отсюда следует, что элементы
[UTH(n)] взаимно не коррелироваиы.
Умножив (3.78) слева и справа на UT и U, соответственно
(или непосредственно из (3.79)] получим
£{[1!Чт>)|[1РН(н)]т} =
-[I—2uD|£{[UTH(n — l)|[U'H(ft— 1)|'} |I — 2uX>|-j-4^42D. (3.8!)
Статистические характеристики |UTH(/i)] и [UTH(n—1)]
асимптотически одинаковы, и. следовательно, мы можем
преобразовать (3.81) и получить
(I-HD)£{|lT,H(nj| |UTH (я)Г} = цсвЧ. (3.82)
Для сходящегося алгоритма есть основания полагать, что
цО<1, (3.83)
тогда окончательно получаем
Е {|UTH («)] [UrH (и)|т}« \юЛ (3.84а)
или
Е {Н («)НГ (л)} * |Шва1. (3.846)
Уравнения (3.84) служат для определения влияния асимпюти-
ческих шумовых эффектов па коэффициенты фильтра в алго-
о—11Ь7

66
Г шва 3
ритме МНК. Далее мы воспользуемся stum уравнением дли
вычисления асимптотической дисперсии сигнала е[п) на выходе
фильтра.
3.3.4. Обучающая кривая
Как упоминалось в разд. 3.1. дисперсия сигнала на выходе
фильтра часто используется в качестве меры его рабочей
характеристики. Рассмотрим дисперсию выходного сигнала и ее
влияние на итеративное вычисление вектора коэффициентов. 11л
выражений (3.46). (3.58), (3.60) п (3.63) немедленно следует
J |H (ft)l =ае- + Н1 (ft) RH (ft) = at- + X7 (ft) DX (ft) =
,v
= at2-r-V?.,fA-'(*)]2. (3.85>
Было показано, что элементы X(ft) экспоненциально стремятся
к нулю с постоянными времени, задаваемыми формулой (3.68).
Поскольку функция /[H(ft)| включает сумму квадратов
элементов X(ft), она будет экспоненциально уменьшаться со скоростью,
в 2 раза превышающей скорость затухания X(ft). Иначе говоря,
постоянные времени, связанные с /|H(ft)], будут равны
половине постоянных времени, связанных с X(ft). Следовательно,
постоянная времени,связанная с Mi модой, равна
Кривую зависимости /[H(ft)j от числа итераций в литературе
называют «обучающей кривой». Кривая начинается с
J [Н (0)1 =oV2 + Нт (0) RH (0) = а/ + X1 (0) DX (0), (3.87)
и спадает до конечного значения
У[Н(оо)]=а£2. (3.88)
В алгоритме МНК истинная дисперсия на выходе б_\де|
больше, чем предсказанная формулой (3.85). из-за «шумовых
свойств» вектора ошибки коэффициентов Н(н). Из (3.49) и того
факта, что Н(л—1) и ц{п) не коррелированы, следует
£KH(n-i)('0}=aE2 + tr[R£{H(/r-l)HT(H-l)}l. (3.89)
Подставляя их асимптотическую ковариацию ошибки из (3.84)
в (3.89), получаем
Е {е% ,,,_„ (/0} = a/ + jutf tr {R} = о/ + ц V к,. (3.90)

Адаптивные алгоритмы д.}я Фильтров с КИ\
67
ill пользуя терминологию, введенную в литературе по
адаптивной фильтрации, определим коэффициент расстройки М:
M/ji^Hi=ll^,lltI|R(. (3.91l
Эта формула хорошо работает для малых величин расстройки
(М<:0.25), так как для ее справедливости необходимо, чтобы
векюр Н(п) был достаточно близок к оптимальному значению
Hi.pi. Для стационарного входного сигнала всегда можно достичь
малой расстройки, выбрав достаточно малые величины [Л.
Напомним, что коэффициент расстройки алгоритма РНК
определяется как Л7т«(1— л)Л' [см. (3.50)]. Коэффициент
расстройки для алгоритма МНК задается величиной [iNV &т {у (п))
[см. (3.91)]. Можно составить два алгоритма для работы с
одинаковыми коэффициентами расстройки, выбрав такие
параметры р, и ),. чтобы (I—).) = nVar{f/(n)}- Если входной сигнал
нормирован так, что его тпсперспя равна единице, мы получаем
(1—Я.)=Ц- Данная фо~гГму.1а полезна для сравнения
характеристик этих двух алгоритмов
Для расчета полезно выразить коэффициент расстройки
через порядок фильтра и скорость адаптации. Отметим,
например, что
N
M = u.Vb. = uMcp, (3.92)
где tap — среднее значение характеристических чисел
ковариационной матрицы. Из (3.86) следует
Ь,~ ——. (3.93)
Определяя среднюю постоянную времени
' -Т2-7Г. I3-94'
получаем
Таким образом,
V " д •
^=w- (3-95)
М—£-т (3.96)
Эта формула связывает коэффициент расстройки со средним
5*

<i«
Глава 3
временем установления обучающей кривой и числом
коэффициентов фильтра.
Еще одно расчетное ограничение, которое необходимо
учитывать, связано с устойчивостью разностного уравнения (3.80)
или эквивалентного детерминированного уравнения (3.62). Для
обеспечения устойчивости матрицы (I—2uD) необходимо, чтобы
0<ц<1Дмаке. Чтобы избавиться от вычисления
характеристических чисел ковариационной матрицы выборок, на практике
часто пользуются следующим эмпирическим правилом:
-tnr>H>0. (3.97>
Это условие следует из того, что для положительно
определенных матриц
trR = VX,>*Mai(C, (3.98)
«■=[
и, следовательно, величина p,<l/trR гарантирует, что ц<1 Амане
Если использовать (3.97), то trR = /Vr(0) =iVVar{t/(n)} можно
легко вычислить (при величине Var[y{n)}, оцененной по
входному сигналу).
Как и в детерминированном случае [см. (3.69)], скорость
сходимости лежит в пределах разброса характеристических
чисел ковариационной матрицы данных.
3.3.5. Новые результаты по сходимости
В течение нескольких последних лет возобновились работы по
анализу свойств сходимости МНК. Точное определение
эволюционного уравнения (3.77) для ковариационной матрицы
ошибки было представлено в работе [152] и позже в работе [330].
Было найдено, что усиление ц должно ограничиваться
интервалом значений, который существенно меньше, чем обычно
принятый в литературе. Было показано, что устойчивость
обеспечивается тогда и только тогда, когда О^р-^'/з^макс и
M-i-l^feO- (3.99)
i—l
Было найдено, что коэффициент расстройки равен

Адаптивные алгоритмы для фильтров с КИ\ 6^
Когда 2^'^!. имеем
и
M(p)*ntr{R}, (3.102)
т. е. мы пришли к выведенному ранее коэффициенту расстроим
(3.92). Отметим, что в этом случае (3.99) выполняется, и,
следовательно, устойчивость имеет место при значениях ц,
лежащих в интервале 0<ц<'/з^макс: это отличается от результата,
полученного ранее.
3.3.6. Алгоритм МНК как метод стохастической
аппроксимации
Адаптивный алгоритм МНК можно рассматривать с другой
точки зрения — в качестве частного случая метода стохастической
аппроксимации. Стохастическая аппроксимация — это термин,
присвоенный общему классу рекурсивных алгоритмов,
используемых для решения уравнений вида
g (Н) = E{G (у, Н)} = 0, (3.103)
где С — известная функция входного сигнала у, а Н —
неизвестный вектор коэффициентов. В исходном алгоритме
стохастической аппроксимации, развитом в работе [272], используется
следующая формула корректировки для получения Н на
основании наблюдаемого временного ряда у(п):
H(« + l) = H(«) + T(«)Gli/(n + l). Н(л)1, (3.104)
. где {"К(л)} — соответствующим образом выбранная скалярная
последовательность. Можно показать [33], что вышеприведенный
алгоритм сходится к истинному значению параметров Н, если
последовательность (ч(п)}, функция G и сигнал у(«)
удовлетворяют определенным условиям. Обычные условия, налагаемые
па {"i{n)}, следующие:
оо
Vy(ii) = oo, (3.105)
n=l
оо
Vy(«)<°o для некоторых р> 1. (3.100)
Как правило, выбирают последовательность Ып)} такой, чтобы
у(п) = 1/п. Такой выбор почти наверняка приведет к сходимости
Н(п) к истинному значению Н [193].

.07
n .05
100 200 300 400
Время (выборки)
о
500 600
i^wto}»tШwf!,
100 200 300 4 00
Время (выборки)
б
5С0
J
600
Рис. 3.3. Обучающие кривые для МНК (о) К РНК (б) адаптивно!и прилик,
гора с использованием двухполюсной авторегресенвной модели генерации
входного сигнала (обозначенного в тексте как случай I) с коэффициентом
установления ц= 1-Я, = 0.05.

too
20Q 300 400
Время (выборки)
500
600
200 300 400
Время (выборки)
б
Рис. 3.4. Обучающие кривые для МП К («) И РНК (б) адаптивного предик-
юра с использованием двухполюсной авторегресснвной модели генерации
вводного сигнала (обозначенного в тексте каь случай 1) с коэффициентом
установления р.= 1 — Я=0,005.

72
Глава 3
Для рассматриваемой нами задачи адаптивной фильтрации
имеем
г(Н) = -^Щ. = £{2¥(я)е(я)}, (3.107)
н в этом случае из (3.104) получаем
Н(л + 1)-Н(п) + 2т(н)чф|)<?(н). (3.108>
Для многих применение желательно не допускать того, чтобы
величина ч(п) стала слишком малой и не смогла обеспечить
реакцию адаптивного алгоритма на изменения статистических
характеристик входных данных у (и). Простой способ достичь
этого заключается в том, чтобы установить к(")=Ц. где и —
некоторое малое положительное число. В таком случае
коэффициенты фильтра не будут стремиться к установившемуся
значению, а будут колебаться вблизи некоторого значения. Данная
ситуация соответствует случаю конечной памяти алгоритма
РНК, тогда как выбор ч(п) = 11п соответствует случаю
бесконечной памяти.
Несколько примеров. Для иллюстрации поведения
алгоритмов РНК и МНК мы провели следующий эксперимент.
Стационарный сигнал генерировался путем прохождения
последовательности выборок белого шума через фильтр второго порядка
\/A(z), характеристика которого содержит только полюсы с
параметрами:
Случай 1: А (г) = 1 — 1.6г ' + 0,95г *.
Случай 2: Я(г) = 1 — ],8г ' + 0.95*-*.
Выходной сигнал нормировался так. чтобы его дисперсия стала
равной единице. Начальные значения параметров алгоритм!
РНК были следующими: Н(0)=0, Р (0) = 1001. а коэффициент
забывания выбирался таким, чтобы 1—Х=ц. Последовательность
значений квадратичной ошибки, даваемых каждым алгоритмом,
усреднялась по 200 независимым испытаниям модели и
наносилась на график в виде функции времени (см. рис. 3.3 и 3.5). На
каждом рисунке изображены обучающие кривые для алгоритмов
МНК и РНК.
На рис. 3.3 и 3.4 показано поведение кривых для алгоритмов
МНК и РНК. в случае 1, когда Хмак1-/ХМ1|Н= 10 и параметр
сходимости ц. (коэффициент забывания X) имеет два различных
значения. На рис. 3.3 представлен случай наибыстрейшей
возможной сходимости алгоритма МНК. Параметр ц был увеличен
почти до точки неустойчивости. Выбор меньших значений и
понижает скорость сходимости алгоритма МНК (рис 3.4). На
рис. 3.5 проиллюстрирована сходимость алгоритмов для
случая 2.

.25
.га
. 15
. 10
as
' • ■ l
ilk
г\
4l
Ч*К>**Ч^ ■
и
200 300 400
Всеми(выборки)
а
500
еоа
08
07
ое
04
оэ
100 200 300 4 00
Время (выборки)
б
500
600
Икс. 3.5. (Hiyiaiumni кривые д.|и МНК, (и) и 1»НК (0) иДаатиннот нредммо
p.i г iiciio.ii.юванисм двухполюсном авторегрптинипй модели генерации вход
iiiiu сигнала (оПозиачешюго и тексте кнК случай 2) с коэффициентам усти
монления ц=1 — ^=0,05.

,1
Г.шва ,3
Анализ этих рисунков приводит к следующим выводам:
1. Сходимость алгоритма РНК при начальных значениях
параметров значительно превышает сходимость алгоритма
мнк.
2. На сходимость алгоритма МНК очевидно влияет
отношение характеристических чисел (случай 1 по сравнению со
случаем 2), а на сходимость алгоритма РНК оно не
влияет.
3. На скорость сходимости алгоритма МНК сильно влияет
выбор fi. Коэффициент забывания л оказывает малое
влияние па скорость сходимости в начальной стадии
(i. е. в переходном режиме) алгоритма РНК.
Разумеется /. определяет характеристики слежения алгоритма
(после завершения переходного режима) и шумовые
свойства коэффициентов фильтра.
На рис. З.Ь и 3.7 изображена траектория параметров
для одной реализации алгоритма. Показано, что
параметры алгоритма РНК очень быстро сходятся к своим истинным
.значениям, тогда как для сходимости параметров алгоритма
МНК требуется гораздо большее время.
Следует отметить, что после завершения переходного
режима на процесс слежения алгоритма РНК сильнее всего будет
влиять эффективная длина окна т«*1/(1—Л). Его отклик на
внезапные изменения параметров процесса обычно происходит
медленнее, чем в начальное стадии, поскольку скорректированное
усиление К(п) будет меньше начального усиления К(0).
Алгоритм МНК имеет дело с фиксированным корректированным
усилением, и его поведение в режиме слежения, по существу, такое
же, как в переходном режиме.
3.4. АДАПТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ С КОНЕЧНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКОЙ И ЛИНЕЙНЫМИ ФАЗОВЫМИ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Важным классом фильтров, обычно применяемых при цифровой
обработке сигналов, является класс фильтров с конечной
(ограниченной) импульсной характеристикой и линейными фазовыми
характеристиками (линейно-фазовый фильтр). Подобные
фильтры важны в тех применениях, где вредной является частотная
дисперсия, возникающая из-за нелинейной фазовой
характеристики (например, при обработке речи и передаче данных). В
полосе пропускания линейно-фазовых фильтров сигналы на выходе
фильтра воспроизводились бы точно, если бы не задержка,
определяемая по наклону кривой зависимости фазы от частоты.

О 1
CI
-I
1.6
мнк
-- Q
РНК
—f'"' ium '
~! 1 Г-
250
Время (выборки)
500
Рис. 3.6. Траектории параметров первой ветви для МНК («) и lJHK (о) j iaii
тивного предиктора с использованием двухполюсной авторе!рессивнон мозг.ш
генерации входного сигнала (обозначенного в тексте как случай I) с ко^ффп
цнентом установления ц=1— л=0.005.
о —г-
d -1
-1.8
id
МНК
РНК
К'
250
Время (выборки)
50(1
Рис. 3.7. Траектории параметров первой ветви дли МНК (а) п 1'НК (б) адап
тивного предиктора с пепользованием двухполюсной нчторегрсссивниИ модели
генерации входного сигнала (обозначенного в тексте как случай 2) t кевффн
цнентом установления ц=1 — /.=0,005

70
Г.ювс 3
Существует обширная литература но расчету линейно-фазовых
фильтров с заданной передаточной функцией, причем
разработаны различные эффективные расчетные алгоритмы [247, 2651.
В большей части работ, однако, рассматривается неадаптивная
обработка, т. е. рассчитывается фильтр с известной передаюч-
иой функцией (или импульсной характеристикой).
Представляется, что сравнительно мало работ выполнено по адаптивным
линейно-фазовым фильтрам, характеристики которых
определяются иа основании наблюдаемого временного ряда, а не
априорных требований.
Линейно-фазовый фильтр КИХ-типа характеризуется
симметричной импульсной характеристикой. Рассмотрим
обобщенный фильтр КИХ-типа, определенный в соответствии с (3.1).
Фильтр будет линейно-фазовым, если
k^Vi. » = ° N* (3.109)
где
h0 = -hM = l. (3.110)
В дальнейшем для простоты будем полагать M = 2N-\-\ (т. е.
М — нечетное число). Тогда выходной сигнал фильтра можно
записать в виде
e(n) = \y(n)+y(n-2N-1)]-/!, [y(,i- 1) +
+ у(п- 2N)]-...—hKly(n-N) + y{n—N-l)\. (3.111)
Структура такого фильтра изображена иа рис. 3.8. Как и ранее.
определим вектор коэффициентов Н = |Л ftw]T и обозначим
соответствующий выходной сигнал е(п). Оптимальный
(имеющий наименьший квадрат) вектор коэффициентов обозначим
Н„р, = [о|, .... л,,]1, а соответствующий выходной сигнал к(л) =
= ?"ор,(н). Нам необходимо рассчитать адаптивный фильтр,
который будет минимизировать выходную сумму квадратов или
дисперсию на выходе.
Будем рассматривать этот фильтр в три этапа. Сначала
выведем уравнения для оптимальных коэффициентов фильтра для
случая, когда известна ковариационная матрица данных. Затем
обсудим случай, когда известен только входной сигнал, а не его
статистические характеристики. И наконец, представим
рекурсивные уравнения корректировки коэффициентов фильтра для
алгоритма РНК и для алгоритма МН1\.
3.4.1. Стохастический случай
Вновь напомним свойство ортогональности устройства оценки но
методу наименьших квадратов, согласно которому E[i(n)y(s)} = {)
для всех s<ti. Умножив справа (3.111) на y(s) и взяв матема-

AOuinииныс алгоритмы дли фи.н>грнн г КИХ
и
y(i-2N-t) к
Рис. 3.8. Линейно ф^овыи фильтр КИХ-типа, особенностью которого
является симметричная импульсная .характеристика.
тическое ожидание, получим
О = г(«— s) + r(n— s—2N— 1)—а, [г (л— s— 1)+ /,
+ r(t—s—2N)\... — un\r{n—s—N) + r{n—s—TV—1)]. (3.112)
Это уравнение можно переписать в матричной форме (для
п—s--=l. ..., N):
г(0)_ г(\) ■■■ г(Л'-1)
Таким образом,
г(1)
[r(N - 1) г(1} г(0)
,(2tf - 1) • • ■ r(/V + 1) r{N)
r{N + О"
r(M r(/V-l) ■•« ■ r(l)
H
r(l)
f(tf)
r
r(2.'V)
'(Л- + 1).
f
H0P,=lR+R]-4r+Fl.
(3.113)
f
(3.114)

78
r.iaeu i
Этот результат можно получить и другим способом нужно
определить новый набор переменных: п
г (п. i) у (и - I) + у (л - - 2N— 1 + i). (3.115)
Используя их, можно записать „
е(я) = г(и) /|,г(и, 1) - ...hyz{n.N) =г(/г) - ip(ri). (3.116)
где д
Ч(/0 |г(н, 1)...г(/1.А')Г. (3.117^
Сравнивая с решением, полученным меюдом наименьших
квадратов (см. разд. 3.2), очевидно, будем иметь
Н1Ф1 £ W (и) Vх ('•))"'£ {^(")»(«)}• PJ-Hfi)
Несложно проверить, что ,1
£{Ч»Ч>» 2|R + R|, (3.119)
£{z(/i)v(«))-2|r + r|, (3.$0)
откуда вьпекает (3.114). Д.!и вывила адаптивного алгоритме!
очень полезно привести эту задачу фильтрации с наложенными
ограничениями к обычной задаче фильтрации (без наложенных
ограничений) для процесса z(n). Отметим, что ковариационная
матрица Е{ц (п)фт(")} нестационарна, даже если исходный
процесс у(п) был стационарным.
Выходную дисперсию оптимального линейно-фазового
фильтра можно рассчитать по формуле (3.47):
а;- = Е {«* (/.)} = £ {г"- («)} + £ {Н'0Р^ (/I) ч г (я) Нор|} -
-2£{НгпР1ф(я)г(«)}= 2|г(0) + г(2Л/+1)| +
-r-2H0P([T\ + RlHlip, 4Н' |r + r*l 2|[r(0) + r(2yV+D]- |5
-(r + r)T|R + Rl-« (r + гЦ (3.121)
Сигнал на выходе линейно-фазового фильтра с произвольным
набором коэффициентов определяется выражением [см (3.46)]
£{е2 (/.)} = сте» + (Н - Homr|R + R!-'(H - Н,ф1): (3.1&2)
?то следует из наблюдения [см. (3.44) |, согласно коюрому
е(п) ~z(n) f?(/i)H -г(я)- у'(я)Нор4 + д^я)1Нп|„- Н|. (3.123)
и р(л) не коррелировало с прошлыми данными |т. е.
E{v (я)ф(я)}=0|. Выражение (3.122) вновь под1вержлает, что

||7иптийнМ1> алгоритмы Яли фильтров с КП.К
7<>
ныходпан дисперсия будет минимизирована при Н=Н„р1. Как
можно 1аметить, R2 = R+R— симметричная положительно
определенная матрица. Ее положительная определенность следует
щ 1-ого факта, что R7— ковариационная матрица <f(«).
3.4.2. Алгоритм РНК
'1алее рассмотрим случай, когда ковариационная матрица
неизвестна. Начнем с расчета набора коэффициентов фильтра,
который буде1 минимизировать выходную сумму квадратов.
Выполняя те же этапы вычислений, как в разд. 3.2, получаем
*(0)
е(п)
= {0)
г{п)
О
г(0)
О
7Ы
i(0)
r(»-/V).
"л,"
.л*.
Вемор коэффициентов, минимизирующий
е'(л)е(и). обозначим Н(п) и зададим в виде
H(/i) |Zt(h)Z(/i)| '/>)/.(„).
1С
(З.Г2ч)
норму ошибки
;
(3.125)
Основываясь па аналогии данного уравнения с (3.7), можем
срачу же преобразовать различные ранее выведенные
результаты применительно к рассмотренному здесь случаю. Например,
асимптотические свойства этого устройства оценки можно
предъявить выражениями
It
(3.126)
lim -^Z'(,/)Z(;i). 2]К + К|,
г/ -»
lim -i-Z'(„)/.(/.) = 2|r+f).
IS.
(3.127)
И
Кроме того, алгоритм РНК. приведенным в табл. 3.1, можно
использовать для рекурсивной коррекции вектора
коэффициентов Н(н). Единственные отличия состоят в том, что надо везде
«вменить Ч'(«) на Ч'("). а уравнение корректировки е(п) и q(/i)
замен1пь_на (3.115) — (3.117). Отметим важное обстоятельство:
функция q (п) теперь уже не обладает свойством сдвига,
которое использовалось в табл. 3.1 для коррекции ц(п). Таким
образом, на каждом временном этапе для оценки ц{п) надо
использовать (3.118). Алгоритм приведен в табл. 3.3. Более
детальное описание линейно-фазового алгоритма РНК и его
некоторых вариаций дано в работе [10(i].

fio
Глава 3
Тийлици 3.3. -ЬшеАно-фачонын РНК-а taimiHiiuii фнлыр
.Начало
Н(С1).= <). Р((1) = п1, ф(п)=(1
• II;i каждом временном этане делать следующее;
«■(и) =я[п)+у[п -2N+1)- чт(н)Н(н— I) Вычислить ныходпоп сигнал фильтра
Р(п— 1)—Р(п-1)ц(н)\к , <|>(н)Р,п -1)(7(м)! «tpTrDPCrt — I)
P(nj —
KoppcKinpimaiii усиление
Kin) Р(н 1Ж«)[Х+фЧя)Р(я 1)Ч(я)] '
Н(н) = Н(п l) + K(«)f(«) Корректирован, коэффициенты
фильтра
ч"(«)=[//("- О, у\п 2) Щп №+1у(" 2,\) у(п Л'-П]1
Корректнроияп. юетншшя фн.тьтрл
3.4.3. Алгоритм МНК
Следуя выводу, представленному в разд. 3.3. легко записан,
версию МНК вышерассмотрешют алгоритма РНК. Алгоршм
МНК определяется выражением
H(/i)= H(/i 1) + 2ич(/|)с(н), (3.128)
где е(п) и ф(п) задаются соотношениями (3.11(5) и (3.117).
Свойства сходимости этого алгоритма будут зависеть от
характеристических чисел ковариационной матрицы R*"=R+R.
Например, математическое ожидание вектора ошибки Н(м) =
= Н(л) — H„pt будет подчиниться разностному уравнению |см.
(3.75) |: ^
H(/i) = (l — 2(Ul*)H(«— 1). (3.129)
Огметим, что, выбирай достаточно малые значения и, всегда
можно гарантировать устойчивость матрицы состоянии (I—2uR<),
Постоянные времени, связанные с экспоненциальным jarvxaim-
еМК„„,зада,о,с» формулой |cM,3.W)J " ^
т,--^, (3.130)
где К, — характеристические чиста матрицы R*. Все прочие
результаты разд. 3.3 можно аналогично преобразовать для
линейно-фазового фильтра (с наложенными ограничениями).
Линейно-фазовым фильтр, который обсуждается в данном
разделе, служит примером адаптивного фильтра с ограниченной
структурой. Для различных применении были разработаны
фильтры с другими типами ограничении. При обработке сигнала

Юачтивные алгоритмы для фпльтрин с КИХ
81
антенной решеткой направление главного луча налагает
линейное ограничение на коэффициент адаптивного формирователя
луча.
Другие интересные варианты адаптивных фильтров КИХ-ти-
ма можно получить, выбирая различные функции стоимости,
мнорые должны быть минимизированы алгоритмом. Чаще всего
выбирается и проще всего анализируется квадратичная функция
ошибки Е{р2(п)}. Однако для некоторых применении полезны
другие функции стоимости, например четвертая степень ошибки
/-.{к4(л)} или абсолютное значение функции ошибки £{|в(м)|}-
Для задач, где необходимо, чтобы выходной сигнал фильтра
имел постоянный модуль, используется функция / = £{(f2(h) —
— I)2} [3031. Разработка и оценка специализированных
адаптивных фильтров КИХ-типа относится к области активных
исследовании.

4
Адаптивные алгоритмы
для фильтров
с бесконечной импульсной
характеристикой
Джон Р. Трейчлер
4.1. ВВЕДЕНИЕ
4.1.1. Общий обзор
Было доказано, что адаптивные алгоритмы в цифровой филы
рации являются мощными и разносторонними средствами
обработки сигналов в тех областях, где трудно осуществи in
точный априорный расчет фильтра. Большинство подобных
способов обработки сигнала было основано на хорошо известной
конфигурации адаптивного фильтра с конечной импульсной
характеристикой. Однако на практике обычно возникают ситуации,
когда нерекурсивная природа этого адаптивного фильтра
приводит к большим объемам вычислений Поэтому в последние
годы проводились активные исследования на фильтрах с более
общей обратной связью или на фильтрах с бесконечной
импульсной характеристикой, Непосредственное преимущество фильтра
с обратной связью над фильтром КИХ-типа заключайся в
существенном сокращении объема вычислений. Однако это
улучшение с точки зрения объема вычислений достигается
определенной ценой. В частности, наличие обратной связи делает
проблематичной устойчивость фильтра и может отрицательно
сказаться на времени сходимости алгоритма и общей чувсмви-
тельности фильтра. При этом главным препятствием широкому
использованию адаптивных фильтров БИХ-типа является
отсутствие эффективных и несложных алгоритмов для настройки
искомых коэффициентов усиления фильтра. В данной главе
исследуются находящиеся в стадии непрерывной разработки
классы алгоритмов, основанных на концепциях минимальной
среднеквадратичной ошибки, а также алгоритмов, построенных на
базе нелинейной теории устойчивости. Будет представлен
основной вывод каждого из них и рассмотрены некоторые аспекты
рабочей характеристики. Будут также освещены и другие клю-

StUmrutmwp а.иорптмы для фи u>rptin с БПХ
Б(П)
Передатчик
83
s(n)
Передаваемый
сигнал
Тракт
распространения
г(п)
Принимаемый
сигнал
А
Адаптивный
компенсирующий
фильтр H(z)
Z
Б(П)
Компенсированный
сигнал
Рис. 4.1. Пример .применения адаптивного фильтра БПХ-типя д ih
компенсации эффектов, возникающих при распространении сигнала: многолучевое
распространение в радиолинии (и): \ прощенная блок-схема этапов обработки еш
■мла (и)
чевые понятия, например тот факт, что для некоторых
алгоритмов необходимо использовать специфические структуры
фильтров.
4.1.2. Зачем применять адаптивные фильтры БИХ-типа!
Как обсуждалось на всем протяжении гл 3, адаптивный
цифровой фильтр КИХ-тнпа несложен, и существует несколько
надежных алгоритмов для выбора соответствующих коэффициентов
фильтра Тогда зачем же исследовать альтернативу применения
фильтров БМХ-тнпа? Ответ можно найти с помощью двух
практических примеров. Рассмотрим сначала проблему
корректировки или компенсации искажений сигнала, которым
подвергается радиосигнал вследствие многолучевого распространения.
Сигнал, поступивший на приемную антенну при приемлемых
допущениях, является линейной комбинацией модификаций
переданного сигнала с различными временными задержками.
Более того, можно показать, что при достаточно высоком порядке
фильтра М тракт передачи между передатчиком и приемником
можно точно представить в виде фильтра КИХ-типа. В этом
случае целью адаптивной фильтрации является такая обработка
принятого сигнала, при которой происходит компенсация или
коррекция возникающих при распространении искажений
сигнала. На рис. 4.1 показана упрощенная блок-схема обработки
пинала для такого случая. Передаточная функция корректи-

84
Глава -4
u(n)
Тестируемая
система
/
Регулируемый
фильтр
s(n)
е(п)
Наблюдаемый
выходной
сигнал
Выходной
сигнал
фильтра
7
Рис. 4.2. Др\гой пример применения адаптивных фильтров БИХ-типа дли
моделирования системы с сильными рсаднансами.
рующего фильтра Н(г) должн? выбираться такой, чтобы
P(z)H(z) = \. Если это выполняется, то компенсация будет
полной и выходная оценка s(n) будет точно равна переданному
сигналу s(n). Но если тракт распространения достаточно точно
представляется в виде фильтра КИХ-типа, то можно ожидать,
что оптимальным корректирующим фильтром И(z) будет фильтр
БИХ-типа. Это в точности случай, описанный в работе [298];
более того, если И (г) выбирается из множества фильтров
КИХ-типа, то для достижения заданного компенсационного
эффекта требуется фильтр порядка ЛГ, который обычно гораздо-
выше, чем порядок соответствующего фильтра БИХ-типа.
Поскольку увеличение порядка фильтра ведет к большим объемам
вычислений, фильтр БИХ-типа оказывается предпочтительным.
Мы вернемся к этому примеру в разд. 4.4.
Еще одной проблемой, представляющей практический
интерес, является проблема моделирования систем, на выходах
которых присутствуют синусоидальные или близкие к
синусоидальным сигналы. Этот случай показан на рис. 4.2. К исследуемой
системе приложено входное возбуждение «(«), создающее на
выходе сигнал s(n). Это же возбуждение приложено к фильтру
БИХ-типа, коэффициенты которого регулируются с целью
обеспечения выходного сигнала s(n), равного s(n) при любом
возможном выборе и(п). Если это достигается, то коэффициенты
фильтра БИХ-типа дают точную модель истинной системы.
И снова здесь более предпочтительным оказывается фильтр
БИХ-типа ввиду наличия априорной информации о том, что
система имеет синусоидальный или близким к синусоидальному
выходной сигнал, а это предполагает наличие высших
резонансных мод. Для аппроксимации импульсной характеристики мож-

Адаптивные алгоритмы для фильтров с БИХ
Неизвестный или искомый процесс
85
d(n)
+ I'
Входной или
■ наблюдаемый
процесс
х(п)
Устройство
оценки на базе
цифрового
фильтра 6
Выходной
сигнал
или оценка
©Ошиб|
е(п)
Ошибка оценивания
у(п)
Характеристика
адаптационной
обратной связи
Рис. 4.3. Структура адаптивного фильтра БИХ-типа и система обозначений.
(Из работы [185].)
но было использовать фильтр КИХ-типа, но лишь при очень
высоком порядке фильтра и связанных с этим больших объемах
вычислений.
Случай, показанный на рис. 4.2, обычно называют задачей
«прямого моделирования», а случай, показанный на рис. 4.1,—
задачей «обратного моделирования» (см. разд. 1.1.2). Как мы
можем заключить, фильтры БИХ-типа имеют каноническую
форму и для задач обратного моделирования «с нулями в
передаточной характеристике», и для задач прямого
моделирования с выраженными резонансами приводят, следовательно, к
минимальным вычислительным затратам. Вычислительные
преимущества фильтров БИХ-типа могут быть значительными.
Сильный одиночный резонанс, маскируемый контрастной шумовой
помехой, можно успешно моделировать фильтром БИХ-типа
второго порядка, в то время как для обеспечения равноценного
качества выходного сигнала с помощью фильтра КИХ-типа
потребовалась бы схема с сотнями ответвлений.
4.1.3. Постановка задачи
Основная задача БИХ-адаптивной фильтрации показана на
рис. 4.3. На вход фильтра БИХ-типа подается сигнал х(п), а на
выходе получается сигнал у(п). Если из выходного сигнала

86
Глави -/
вычесть полезный выходной сигнал d(n). ю полученная
разность будет равна ошибке ('('■') Эта ошибка, как и в случае
рассмотренных в гл. 3 КИХ-адаптивных алгоритмов,
обрабатывается с помощью алгоритма, который должным образом
выбирает коэффициенты фильтра. Аналитическую задачу можно
сформулировать следующим образом: задав х(п) и (1{н),
выбираем коэффициент фильтра, чтобы минимизировать некоторую
ишноку с'('О-
4.1.4. Использование обратной связи
Прежде чем приступить к изучению оiдельных БИХ-адаптнвпых
алгоритмов, полезно paccMoipeib общие принципы
использовании фильтра БПХ-тппа в качестве основы адаптивной
структуры. Как отмечалось ранее, главная особенность его состоит и
наличии обратной связи в самом фильтре. Разумеется, это
является достоинством фильтра БИХ-тнпа, а именно обратная
связь позволяет фильтру очен.) низкою порядка иметь райя-
нугую импульсную характеристику и резкий спад частотной
характеристики. Однако с точки зрения адаптации относительно
обратной связи можно сделать несколько дополнительных
замечаний
1. В отличие от фильтров КИХ-тнпа ядро фильтра БПХ-типа
не является устойчивым при произвольном выборе
коэффициентов. Из этого следует, что нельзя с уверенностью
гарантировать устойчивость ядра фильтра в ходе расчета
адаптивного алгориша
2 Будет показано, что обратная связь делает функции,
например градиент у [и), в случае фильтра БИХ-тнпа
существенно более сложными, чем в случае фильтра
КИХ-тнпа.
3. Высокорезонансные полюсы фильтра БИХ-тнпа Moryi
иметь очень большие временные постоянные, иногда
большие, чем для адаптивных разновидностей алгоритма. Этот
фактор усложняет анализ сходимости, который для КИХ-
адаптивных алгоритмов, например алгоритма МНК.
весьма несложен (см. разд. 3.3).
В свете этих замечаний исследуем теперь два класса
алгоритмов адаптивного фильтра БПХ-типа. В основном нашей
целью является разработка простого с точки зрения вычислений
адаптивного алгоритма для фильтра БИХ-типа, который
сходится к устойчивому оптимальному решению при достаточно общих
условиях, налагаемых на х(п) п d(n).

Ыиптивные алгоритмы для фильтров с БИХ
87
4.2. МЕТОДЫ МИНИМАЛЬНОЙ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЙ
ОШИБКИ
4.2.1. Вывод необходимых условий для решения
Рассмотрим сначала алгоритмы, основанные на минимизации
среднеквадратичного значения ошибки о(п). Эти методы имеют
гесиеншую взаимосвязь с подходами, использованными в гл.2иЗ,
где мы полагали, что х(п) и d(n)—стохастические величины
с нулевым средним, стационарные в широком смысле. Для не-
ндаптивного фильтра это означало бы, что у(п) и е(п) —также
стохастические величины с нулевым средним, стационарные в
широком смысле.
Для удобства, начиная отсюда, будем предполагать, что ядро
фильтра БИХ-типа имеет обычную форму, т. е, выходной
сигнал у(п) задается разностным уравнением
{,.(«) = Vfl.y („_0 + у Sjx(я-/), (4.1)
где [/.',] н [J,J — коэффициенты усиления и обратной связи
соответственно, которые будут адаптивно модифицироваться. Для
удобства последующего изложения полезно определить вектор
совокупности коэффициентов 6 и вектор совокупности
данных Х(п):
6 = lV.flv <vA,lT. (*.2>
X(n) = ly(rt-\)...y(n-N)x(»)...x(n-MW. (4.3)
Введя эти обозначения, функцию стоимости J можно
записать в виде
J = -1 Е [е (nW = -^--E{d(n)-y (п)У-. (4.4)
Хорошо известно, что когда вектор й фиксируется, фильтр
становится оптимальным прн 6 = 60pi, где
Vo^op, = -Г £ < V°*2 <"» К* = Е^е (") Vee (")} 1е0Р1 = 0. (4.5)
Поскольку d{n) не является функцией й, это необходимое
условие превращается в систему скалярных уравнений
Рассмотрим теперь частные производные у(п). Анализ (4.1)

as
Глава 4
показывает, что частная производная у(п) по «i должна
содержать у(п—!); но разве это все? Конечно, нет; оценка (4.1) для
п' = п—1 показывает, что у(п—I) также является функцией й{.
Вообще говоря, нетрудно убедиться, что эта частная
производная будет зависеть от всех значений i/(/i) на выводах «липни
задержки». Помня об этом, можно показать, что условие
ортогональности (4.5) приводит к следующим скалярным условиям:
E\e(n)\y(n-i) + <\li^rzlL\
1 1 Р '^ j
Hopl
?(п)(х («-/) + V^^i^l
I Pi J I.
«w
-О, 1<»<Л', (4.7)
= 0, 0</<M. (4.8)
4.2.2. Методы решения
Непосредственное решение. Самым очевидный метод
нахождения оптимального вектора параметров фильтра состоит в
непосредственном решении М-\-.\+\ совместных уравнений (4.7) н
(4.8). В принципе это несложно. Предполагая, что функции
автокорреляции и взаимной корреляции х(п) и d(n) известны, при
любых М н X можно вывести уравнение для у(п) н,
следовательно, свойства автокорреляции и взаимной корреляции.
Подставив эти функции в (4.7) и (4.8), в принципе получим
решение. Отметим также, что (4.7) и (4.8) — в сущности
«нормальные уравнения» метода наименьших квадратов, выведенные в
гл. 2. Однако на практике описанный подход совершенно
неприемлем при порядках знаменателя, превышающих 2. Даже
при N-] уравнения для коэффициентов фильтра становятся
нелинейными. Нелинейность не только усложняет решение, но
допускает возможность получения неоднозначных и
несуществующих решений. Эти аналитические трудности наряду с тем
фактором, что функции автокорреляции и взаимной
корреляции х(п) и d(n) редко известны на практике, вызвали падение
интереса к непосредственному решению.
Итеративное решение. Зная об аналитических трудностях,
возникающих при непосредственном решении задачи для
фильтра БИХ-тнпа с помощью метода минимальной
среднеквадратичной ошибки (МСКО), сконцентрируем далее все внимание на
разработке итеративных методов решения. В данном случае эти
методы не только не имеют никакой реальной альтернативы, НО'
и об.-адают рядом серьезных практических преимуществ:
I. Не требуется использовать сложные численные методы
(например, обращение матриц).

8У
\0и1\тинньи алгоритмы дли фильтров с БИ.\
2. Не требуется знать функции корреляции для х(п) и t/(«)
3. Можно отслеживать «медленные» нестационарное™ л'(п}
и d(n).
Все это, пи существу, стимулировало разработку итератив
пыж методов нахождения оптимальных коэффициентов.
Самый общий итеративный метод основан на нахождении
градиента поверхности рабочей характеристики МСКО. Пели
обозначить вектор параметров в момент времени п как в(п),
корректирующий алгоритм можно задать в виде
Н(,|+1)-ё(»)- n(»0Ve-/(H(n)). (4.9)
где м(и)—скалярная последовательность, a V«V градиент
функции стоимости по вектору параметров Н При
соответствующем выборе последовательности р(н) сходимость б>дет
гарантирована; однако топько в том случае, когда функция
стоимости является унимодальной но отношению к в. будет
иметь место сходимость к глобальному оптимальному некто])}
0„pi при произвольном начальном выборе Н(0). Кратко остаио
ннмся па этим вопросе.
Во<вратаясь к (4.5), видим, что градиент поверхности ра
бочеп характеристики при фиксированном Й определяется
формулой
V„/(e) =£{<?(,.) Ve0(")}k (4.10)
Составляющие градиента у(п) (снова при фикспронанном Н)
им-екп вп i
J№. = „{„- 0+Vfl/l'/(" "Л, Ki<N, (4.11)
ihi,- *** да.
^ = l-(tt_0+Vfl|.iM^Ai ,</<jM. (4.12)
Obi лш db,
Обратившись вновь к определениям Х(и) и 0, замечаем,
что нрп фиксированном 6 выражения (4.11) и (4.12)
упрощаются до удоблой рекурсивной формулы:
к
Vey(") = X(n)+Vc,VHi/l"-i). (4.13)
«=1
»та формула показывает, что градиент у(п) н, следовательно,
градиент / обязательно зависят от предыдущих значении
градиента, выраженных через коэффициенты обратной связи
фильтра.

ад
, Г шва 4
А/поритм нахождения истинного градиента можно
получить, если подставить (4.10) в (4.9). однако полученная
формула будет непригодна для практического применения, rah как н
нее входит оператор математического ожидания Когда в
нашем распоряжении пет истинного градиента, то ь некоторых
случаях вполне достаточно несмещенных оценок; с этой целью
был предложен и использован следующий адаптивный
алгоритм;
Для каждого п
#(к) = 6'(н)Х(л) (выходной сигнал фильтра), (1.14а)
.V
Vn.V(/i) Х(н)+Vflj (л) vey(fi 1) (оценивание градиента), (4.146)
i 1
в(|| + 1)-.в(л)+Н"Ж(«>-
- {/(«)} Vo#(") (корректировка коэффициентов). (4.14в)
Для каждого значения п мы сначала определяем выходной
сигнал фильтра, а затем оцениваем градиент у(п). Потом обе эти
величины используем для корректировки набора коэффициентов
Уравнения (4.14) представляют собой упрощение
идеального уравнения в двух отношениях. Во-первых, градиент функции
рабочей характеристики аппроксимируется в большей степени
оценкой, а не самим математическим ожиданием. Во-вторых,
градиент у(п) аппроксимируется с помощью допущения о том,
что коэффициенты В(п) изменяются во времени. Это изменение
во времени влияет на (4.146), поскольку рекуррентный метод
дает й,(п), а не фиксированные значения для {«,}. На
практике обе указанные проблемы можно преодолеть, сделав ц(/1)
очень малым. Если это достигнуто, то вектор И(п) изменяется
очень медленно и (4.146) хорошо аппроксимирует (4.13).
Упомянутое медленное изменение подразумевает также
эффективное усреднение по времени градиента функции рабочей
характеристики. Если усреднение было достаточно продолжительным,
то из свойства эргодичности следует, что истинное значение
градиента будет сколь угодно близко к математическому
ожиданию. Оба условия оказывают влияние на соответствующий
выбор последовательности \х[п). Отметим, что первое из этих
условии действительно предполагает, что сходимость будет
достаточно медленной, так что можно допустить уменьшение всех
постоянных времени ядра фильтра. Г1о существу, (4.146)
выполняется с учетом предыстории градиента выходного сигнала.
Во избежание влияния новой информации о градиенте на ста-

■Ыштшныс алгоритмы i)m ф/пырпв t БИ.\
41
рую информацию фи.Ц|Тр дотлон перестряпватьс*и Чостаточио
медленно, чтобы старая информация успела исчезнуть.
Для обоснования данного адаптивного алгоритма был
использован большой объем машинного моделирования, и.
вообще говоря, оно показало, что при адекватно малом и (л) и
внимании к устойчивости ядра алгоритм будет надежно сходиться
к минимуму функции рабочей характеристики, т. е к МСКО.
Однако поскольку i раднептным уравнениям присуща
собственная нелинейность, н\ решением, полученным итеративным или
непосредственным способами, мо/кет быть, вообще говоря,
множество экстремумов.
Следовательно, нахождение оптимального вектора 0,.Р|
путем определения градиента функции рабочей характеристики
необязательно будет успешным. Сходимость к локальному мн
иимуму будет неизменно иметь место для определенных
начальных значений параметров Более того, вычисление градиента,
как показывает уравнение (4.146), само по себе является
рекурсивным процессом и может включать значительные объемы
вычислений [250].
Подводя итог, мы можем cKaiaib, что основная проблема
расчета филы ров БИХ-тппа, как адаптивных, 1ак и иного
типа, заключается в отсутствии математических преимуществ;
в результате для оценивания оказалась полезной рабочая
характеристика метода наименьших кнадратои. Кроме того,
общие рамки градиентного меточа менее пригодны для развития
стратегии адаптации применительно к расчету фильтров
БИХ-типа.
4.2.3. Историческая перспектива
Проблема БИХ-адаптнвной фильтрации изучалась в течение
многих лет, в основном в направлении синтеза фильтра
БИХ-типа [265] и идентификации систем [181. 227J Несмотря на ма
тематическое сходство во многих отношениях, ни в одной m
областей проблема не изучалась с такой степенью обобщения,
как показано на рис. 4 3, и не выдвшалась также необходп
мость разработки простых встроенных устройств обработки сиг-
палов с минимумом вычислений Ра^аботке алгоритмов БИХ
адаптивпой фильтрации в значительной степени
способствовали реальные достижения многих исследователей в разработке
адаптивных фильтров КИХ-тнпа, основанных на концепциях
МСКО. Как обсуждалось в разд. 4.1, сложность фильтров
КИХ-типа, необходимая для решения ряда практических задач,
привела исследователей к использованию фильтров БИХ-типа.
Многие ранние работы, основанные на приближении МСКО.
были выполнены Хорватом (см. [153] н более ранние работы),

i)2
Глава ■/
получившим соотношения (4.11)— (4.14) для частной
прикладной задачи коррекции телефонного канала. Хорват не только
вывел уравнения и выполнил моделирование на ЭВМ. но и
рассмотрел устойчивость ядра фильтра, разработав для этого
градиентные уравнения корректировки для некоторых фильтров
БИХ-тппа, включая каскадные и решетчатые структуры.
Примерно в это же время в США была опубликована
работа Уайта [333], в которой разрабатывался градиентный
алгоритм в приближении МСКО (4.14) для применения в
анализаторах и синтезаторах речи, а Стерне и др. [293] впоследствии
развили эту идею. Во всех алгоритмах и их вариантах
использовался рекуррентный метод определения градиента (4.146),
что приводило к довольно большим объемам вычислений па
каждую итеранию. В 1976 г. Фейнтух [96] предложил
упрощенный алгоритм, задаваемый следующими соотношениями:
Для каждого п
y(/() = 0»X(/i), (4.15а)
Vei/('0 = X(rt), (4.150)
6(«+l) = e(/0 + n(«)W(n)-y(H)}Ve»/(/0. (4.15в)
Эти уравнения идентичны (4.14), за исключением того, что
рекурсивные члены, включающие в себя старые градиенты
выходного сигнала, в (4.156) не входят. В результате уменьшается
число умножений, требуемых для каждой итерации, на N-(M-\-
+Л/+1), и мы приходим к справедливому выводу о том, что
для всех остальных операций, входящих в алгоритм
фильтрации, потребуется лишь около 2- (M-\-N-\-\) умножений.
Следует также отметить, что (4.J5) представляет собой прямое
применение КИХ-МНК-алгоритма для ядра фильтра БИХ-типа.
Так как (4.156) дает существенно худшее приближение
градиента выходного сигнала, чем (4.146). было показано, что
алгоритм (4.15) сходится к ложному минимуму [162], даже в
случае, когда алгоритм (4.14) сходится к действительному
минимуму на СКО-поверхностп [250]. Тем не менее работа Фейи-
туха явилась стимулом для разработки простых, надежных
БИХ-адаптивиых алгоритмов. С 1976 г. в большинстве работ,
посвященных расчету адаптивных фильтров БИХ-типа в
приближении МСКО, развивались представления об их свойствах
сходимости [70, 294].

Адиптивныс алгоритмы Оля фильтров с БИХ
93
4.3. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНОЙ
УСТОЙЧИВОСТИ
4.3.1. Постановка задачи
Рассмотрим менее общую, по более структурированную задачу.
Пусть d(n) ограниченный авторегресснвпый процесс со
скользящим средним АРСС, определяемый х(п), описывается
величиной
мч *,/
d(n) = УbjX(n—!)+\arf(n- i). (4.I6)
где генерируемые параметры а, и b, — постоянные. Допустим
далее, что количество переменных адаптивного фильтра
является достаточным для перекрытия пространства параметров, ни
котором определяется d(n) (т. е. /И^Л1,, и \'^Л',/). Без потери
общности будем считать, что M = M,i и /V = A',,, я любые
дополнительные генерируемые параметры равны нулю. Запишем
выражение для ошибки е(п) в виде
м
e{»)^{bj~h(n))x(n-i)\-
N
+ У?{а,ё(п—1)-а1(п)у(п-1)). (4.17)
Для минимизации / достаточно выбрать bjizsb, и «,=с,.
Тогда
Л'
е(л) = Уа,е(п—Q, (4.18)
и вследствие ограниченной по входу и ограниченной по выходу
устойчивости (4.16) имеем
lhue(n) —0. (4.19)
Н—о.
Если только устойчивое состояние достигается, то этот выбор
параметров, как и следовало ожидать, обеспечивает
минимальную квадратичную ошибку.
Поставленная таким образом задача расчета фильтра
представляет собой переформулировку задачи идентификации
выходной ошибки (см. рис. 4.2). В этом случае неизвестное
ЛРСС-устройство имеет на входе сигнал х(п), а на выходе —
сигнал d(n), возможно, оцениваемый в присутствии шума.
Желательно дать несмещенную оценку или идентифицировать его

94
Г.ННи I
внутренние параметры at и h,. Это можно сделать с помощью
использования параллельной модели |181|, у которой таком же
сигнал на входе, а на выходе сигнал у(и): последний
сравнивается с сигналом d(n) на выходе устройства Опенки
параметров производятся на основании выходной ошибки. Однако
имеется существенное отличие: в задаче идентификации мера
рабочей характеристики, основанная на ошибке, используется лишь
в качестве средства для достижения малой параметрической
ошибки, в задаче фильтрации малая ныходная ошибка являет
ся искомым результатом. В некоторых случаях фильтр может
допускать значительную параметрическую ошибку и тем не
менее работать удовлетворительно.
4.3.2. Гиперустойчивый адаптивный рекурсивный фильтр
В 1976 г. Ландау | 1821 ввел способ, в котором для
нахождения оценок параметров в АРСС-устройствах используется
несмещенная выходная ошибка и который является гиперустончп-
вым идентификатором ошибки на выходе. Исходя из этого,
в работе [IC4J был разработан алгоритм БИХ-адаптивной
фильтрации, основанный на таком гнперустойчивом
идентификаторе выходной ошибки. Данный метод, т. е. гиперустойчивый
адаптивный рекурсивный фильтр (ГАРФ), включает две модн
фикации алгоритма Ландау и приспосабливает их для
обработки сигналов. Во-первых, метод Ландау требует уменьшить
адаптационные коэффициенты усиления, в конце концов сходящиеся
к нулю. При идентификации устройства с постоянными
параметрами подобный алгоритм приемлем; однако было
обнаружено, что в большинстве задач адаптивной фильтрации должна
продолжать действовать адаптация для отслеживания
изменений тракта распространения сигнала [341J Во-вторых,
гиперустойчивый идентификатор не является строго причинным,
поскольку в нем значения текущей выборки выходного сигнала
d(n) используются для формирования текущих значений
параметров Ь, (п) и а,(п) И снова, в то время как это условие
является приемлемым для оценивания параметров, для фильтрации
в реальном масштабе времени оно нежелательно.
ГАРФ-алгоритм представляет собой первый метод, который
предложен для БИХ-адаптнвной фильтрации и для которого
получены доказательства свойств сходимости. Несмотря на
умеренную вычислительную сложность, для его детального
изучения должны быть введены некоторые упрощения, сохраняющие
желаемые свойства ГАРФ, но уменьшающие необходимые
вычисления.
Гиперустойчивый адаптивный рекурсивный фильтр,
показанный на рис. 4.4, будет использован при последующем обсужде-

hlanriiBHUt u.\i'<ipitr\ti>i <пя фи ttiTpoe с lill\
d'n)
95
A
Звено прямой
передачи^
сигнала bin)
Выходной сигнал
+ /~\ фильтра у(п) +/"'~\
Чй г-Чу-
Выходная ошибка е(п)
,,+
Звено
—j обратной
связи а(л)
Т7
.Задержанная
| корректировка * т
±
/
Звено прямой
передачи
сигнала Ь(п+1)
Дополнительней
процесс f(n)
,ni гвла и\||-г|| . ^
+ /-"ч процесс f(п) -/^Ч ё(п) Скользя-
-»/ z Н ' •"*■(Е / *• щее сред
Ч_Х | )* V»/ нее ci
Звено
" +
обратной ■*-) г-1 U
связи З(п-Н) I I
7Т"
Г.АРФ -

корректирование параметров
Нис. 4.4. Реализация гн1№р\гто|>чивоги длптииного рекурсивного фильтра,
lllj i-dOoiu | IK5| )
пин ll.i piu. 1.4 видно, что кроме основного адаптивного
фильтра, который формирует вы\ст.ной нгна у(л), имеется
вспомогательный генерируемый сигнал:
■\ и
fin) V«^и т-1)Н« - 0+^Ь.'п + ))х{п j). (4.20)
Mat <md
. I I h
)to\ APCC-cunia.i * ровання
выходною сигнал
y(n) Vn (/[)/( ,i- /), (4.21)
I
к и 'юс ^ но M.-i ; нгме Параметры
[) виенпй (-4 20) i (4 I | " мечи одним перио-
lovi и четп.1 ч 1, г весовые .и, используемые
в (4 20) hi \>я ми (4 ■) п одной дополпи-
' ibiiofi кс>|.'рекги| i«-e Мели гь нет иметь место,
и,(п+1 <>,(") *' 1)- /(л) a j, } чС, птотнчески
стремится 1 \(п) Одн h lid пропаж,, эчнь -^апах адаптации
можно доказать пен (верность отличия у\п) от f(n).

w
Г.шва -/
Предположим, что в момент прихода каждой выборки сиг
нала коэффициенты адаптивного фильтра корректируются в
соответствии с формулами
я,(л)-/1#-{|| -1) + _!^_/(д .,- !)({,/(„ 1) „(,,. 1)} +
р
+ Vf,{rf(/i / 1)-/> /-!)}). 1^/<Л\ (4.22а)
/>,(«)- bj(n \)+-Ш-х{„ j |)({(У(„ 1) у(п 1)} +
+ Vr,{rf(,.-/-IH(« /— I» ). О < у < М, (4.226)
где <?(«J нормирующий коэффициент, больший единицы, т. е.
v и
V(/D- l-j-V f.,/-(,i / l)+V,1(Xi(„ / 1), (4.23)
/ к
i u; u (v- произвольные положительные константы. Кроме
того, /* константы о выбираются разработчиком так, чтобы
дискретная передаточная функция
л
I !- V с,г-'
С(г)=—V . (4.24)
была строго положительны»! действительным (СПД) числом
| 14.Ч|. То, что подразумевается под этим требованием,
обсуждается в ра и. 4.3.3.
При упомянутых условиях можно доказать [!64|, что вели
•шил сколыншеГо средней»
/•
v (л) = (</(»)-/ (»))+V (.£(«/ (,, /) /(/,-/)) (4.2.1)
сходится к нулю, и результате чет
1/(н) -/(л) "|/(л), (4.2G)
т. е. выходной сигнал сходится к носледова гелыюстн, которин
янляется искомой рабочей характеристикой.

\i)unTiWHiiH- илго/штмы д.in фи лот ров с fiW.Y
47
Прежде чем продолжать обсуждение о необходимости СПД-
допущенкя для этою пшерустончнвого фильтра, кратко
рассмотрим эвристическое описание ГАРФ-корректнрующего
алгоритма. Из (4.22) можно нн.четь, что, за исключением подобран-
пых положптельпыл масштабных множителей, для каждого
коэффициента корректировка сводится в основном к произведению
двух величин. Первая— это величина сигнала, соответствующая
заданному вес) в выходном уравнении (4.21). Например,
корректировка cii(n) зависит от )'(п—I) и н.\ произведение
ui(n)f{n—/) появляется н (4.21). Вторая величина [стоящая и
скобках в (4.22)] зависит от мгновенного значения рабочем \а
рактернстнкн фильтра, содержащегося в выражении для сколь
зящего среднего. Следовательно, для получения заданного ка
чества рабочей характеристики наиболее сильно должны
регулироваться коэффициенты, дающие максимальный вклад в ны-
ходкой сигнал, определяемый формулой (4.21). Эти
особенности свойственны семейству адаптивных алгоритмов. Читатели
увидят сходство этих адаптивных алгоритмов с градиентными
адаптивными алгоритмами. Однако, как отмечалось, сложность
БИХ-структуры приводит к специфическим различиям, которые
в настоящее время нельзя учесть с помощью метода убывания
градиента.
4.3.3. Гиперустойчивость и адаптивная фильтрация
Концепция гиперустойчнвости системы, па которой основан
алгоритм БИХ-адаптнвной фильтрации, была разработана
Поповым [258]; она приводит к обобщенному описанию
устойчивости выходного сигнала для систем с переменными
параметрами н нелинейных систем Вначале этот анализ применялся в
работах по теории управления. Например, он был использован
для идентификации выходной ошибки посредством
моделирования структуры эталонной адаптивной системы [182]. В данном
разделе формулируется теорема гиперустойчнвости и дается
эвристическое описание ее условий и следствий. Кроме того,
показана ее взаимосвязь с алгоритмами адаптивной
фильтрации.
Гнперустойчивость для случая дискретного времени
определяется следующим образом [15]. Пусть О(г) — рациональная
скалярная передаточная функция для линейной инвариантной
во времени системы, управляемой сигналом и(п) и создающей
па выходе отклик у(п). Говорят, что система гпперустойчива,
если ее вектор состояния остается ограниченным во времени
для всех управляющих последовательностей и(п), удовлетвори-

48
Г.иши J
ЮЩ11.Ч вместе с выходным сигналом выражению
V и (I) у (!)<!?, V.V0. (4.27)
В данном обсуждении мы будем иметь дело с более строгим
вариантом -iroro определения, который грубо можно назвать
асимптотическом гиперустойчивостыо и который требует, чтобы
вектор состояния уменьшался до нуля при том же классе вход-
пых последовательностей; под термином гиперустойчпвосгп в
данном разделе на самом деле подразумевается это последнее
определение. Отметим, что если 0'(г) имеет соответствующую
рациональную форму, то выходной сигнал у(п) также будет
уменьшаться до нуля.
Теорема гиперустойчпвостп [258| имеет простую
формулировку. Вышеописанная система является гпперустойчпвой
тогда и только тогда, когда ее передаточная функция
G(z)—строго положительная действительная (СПД) величина [143|, т. е,
RelC(z)|>0, z = <?'". (4.28)
Другими словами, СПД-снстема будет иметь ограниченный
выходной сигнал, если она управчяется любым нходпым
сигналом (включая некоторые дивергентные последовательности,
удовлетворяющие выражению (4.27)).
Теорема гнперустойчпвостн имеет интересную
интерпретацию в отношении пассивности системы [15, I82J. Сходный
физический пример возникает в теории цепей для систем с
непрерывным временем. Хорошо известно, что импеданс точки
управления пассивной цепи Z(s) является СПД-велпчппой и
связывает управляющий ток с напряжением, возникающим на входе
цепи. Рассмотрим установившееся состояние, когда каждая
установившаяся переменная соответствует составляющей
накопленной энергии. Для любого тока, при котором поступающая
в цепь энергия ограничена, т. е.
£ = [и(/)/(/)Л<Л'-, XT, (4.29)
о
накапливаемая внутри энергия должна рассеяться [т. е.
ll-v(7J||—>-0]. По аналогии в математическом смысле любая
система, если она является СПД-системой, может считаться дис-
сипатнвной.
Для адаптивной фильтрации гнперустойчнвость системы
становится полезной именно в случае конфигурации, имеющей
замкнутый контур; для такой конфигурации можно
переформулировать параметрическую адаптацию цифровых фильтров-

Адаптивные алгоритмы для фильтров с БИХ
09
^ .
w(n)
G(z)
9
v(n)
с"! »
V
w(n)
G(z)
F(2)
v(n)
Рис. 4.5. Неуправляемая система с замкнутым контуром: обобщенный элеж-ш
обратной связи (с); линейный элемент обратной cbsi.hi (С) (Из
работы [1851.)
[182]. Пусть ч(п)—нелинейная последовательность,
управляемая нелинейной функцией выходного сигнала с изменяющимися
во времени параметрами и обозначенная па рис. 4.5.0 как
обобщенным элемент обратной связи &~
Если бы эта обратная связь F(z) была линейной (см. рис.
4.5,6), ограниченная по входу и ограниченная по вылоду
(ОВОВ) устойчивость легко проверялась бы в частотной
области по расположению нулей выражения
■ +F(z)G(z).
(4.30)
Нуль, лежащим, вне единичного круга, предполагает
неустойчивость. Разумеется, согласно физической интерпретации
требуется, чтобы при любой частоте усиление контура никогда не
было равно —1 (т. е. не давало сдвига по фазе на 180°).
Достаточным, но не необходимым условием было бы такое огра-
7*

100
Глава 1
пнчепне функции Г(г) и G(z). при котором каждая из mix на
всех частотах давала бы вкла i \ienee ±90 градусов. Тем
самым если обе они являются СПД-фупкцнямп. то устойчивоен>
замкнутого контура гарантируется.
Тем не менее такое условие бесполезно при анализе
случаев нелинейной обратной связи с меняющимися во времени
параметрами. Вместо этого условие устойчивости следует еформу
лпровать для поведения &~ во временной области. Из рис. 4.5. а
видно, что элемент обратной связи .9" управляется сигналом
v(k) и имеет на выходе сигнал w(n)=—н(н)
Тогда если
^Ч'(/МО >-Yo-'. V.V(1>0, (4.:J I)
/ n
то отсюда
2"('Ы0<У*а. V.V„>0. (4.32)
i о
Следовательно, если G(z) — СПД-ф\ икцнн, то замкнутый
контур будет гиперустойчивым. Исходя m этого, можно обобщить
концепцию положительного вещественного числа на случаи
нелинейного изменяющегося во времени элемента обратной
связи &~. Анализируя собственные функции, можно показать, что
для линейных элементов данное условие действительно
обеспечивает такую величину фазового отклика, которая не превышя
ет ±90" на всех частотах. Если энергия, поступающая в элемент
обратной связи &~,
Na
1 = 0
ограничена снизу, как в (4.3!), то па основании физических
представлений можно сказать, что элемент .7" представляет
собой диссипатнвиую обратную связь. (Это означает, что
физическая энергия, поступающая в пассивную цепь, должна быть
положительной н ограниченной.) Наоборот, если элемент
обратной связи днеенпативный. то энергия, определяемая (4.311,
должна быть ограниченной снизу.
Теорема гиперустойчивостн гарантирует устойчивость для
класса собственно нелинейных систем t переменными
параметрами. Очевидно, что требование (4.27) представляет собой
лопаточное, но чрезмерно ограничивающее условие. В
вышеупомянутом простом линейном случае ал и устойчивости
необязательно, чтобы прямой тракт был строго положительной веще-

и)иптивные и./горптмы для фильтров с ВИХ
101
ствеипой величиной, а тракт обратной связи - положительно
вещественной. Таким образом, в общем случае следовало бы
ожидать, что эти условия не являются необходимыми. Хотя для
нелинейных систем представляет интерес менее
ограничивающий критерий, приведенная здесь формулировка пригодна для
анализа данною класса алгоритмов адаптивной фильтрации.
Для демонстрации связи гпперустойчивостп с адаптивной
фильтрацией найдем сначала величину дополнительной ошибки
с(и)—rf(ft)—Л«).
где d(n) и /(«) определяются из формул (4.16) и (4.20).
Отметим, что ошибка г(п) тесно связана с с(н); как указывалось,
если f(n)—*у(п) по мере сходимости параметров, то ё(л)—►
—*е(п). Можно считать, что для практических скоростей
сходимости величины ошибки идентичны; об их различии следует
помнить .'iiiiiii) в интересах строгости рассуждений. Уравнение
для вспомогательной ошибки можно составить подобно (4.17);
_ м
с (/О = V [bj-bj (n + 1)]х(п- I) +
/=»
Л'
-hV[a,.r/(/i- t)-0.(u-|-l)/(/b- i)\. (4.33)
i- l
Добавляя и вычитая член
V «,./(„- i) (4.34)
i—l
и производя преобразования, получаем
л
е («)--= V Щ,{d(n /)-/(" 0} +
1 1
Л'
+ 2_{flj_5r<n + l)}/(/i-fl +
1=1
W К
+ V{fy Ь,[п \- 1)}А(/1-у) = 2«ге(/1-1)-1£'Н, (4.35)
; U j=l
где
ц-('0—- 2[^-а|(и+1)]/(я-0 +
U-1
Л' ~ 1
+ V|fy-&,(n+l)]*(n-fl . (4.36)
/=о J

ё(п)
-v^
1
w(n)
A(z)
Алгоритм
адаптации
У(п)
"""
ё(п)
u(n)
— 11
w(n)
_1_
A(z)
Алгоритм
адаптации
У0(п)
S(n)
v(n)
C(z)
в
©^
-л
w(n)
C(z)
A(z)
Алгоритм
адаптации
У0(п)
v(n)
Рис. 4.6. Адаптивный фильтр с точки зрения гиперустойчнвостн: розимьнутыЛ
контур (с): адаптационная обратная связь (б); линейный препроцессор (в);
гиперустойчнвая адаптация (г). (Из работы [185].)

ХЛчптивныи ц.кирптмы Оля фильтров с БИХ
103
Гякпм образом, дополнительная ошибка Р(и) связана с авто-
регресспвным процессом Л'-го порядка, полюсы которого
идентичны полюсам неизвестного ЛРСС-устропства. Управляющая
функция w(n) является функцией параметрических ошибок
[Ь—Ь,(и-\-\)) н (а,—и,(н+1))- Это соотношение
схематически изображено на рис. 4.6. а, где
,v
Ч(г) = 1 — Уа,г-'. (4.37)
/=i
Отметим, что входной сигнал фильтра х(п) входит в расчет
ш(п) только в виде изменяющегося во времени коэффициента.
В адаптивном случае параметрические опенки й,(п) н b,(n)
корректируются с помощью характеристики обратной связи.
Это действительно замыкает контур, как показано на рис 4.6,(1,
где корректировочный алгоритм определяет функциональную
форму SF. Отметим, что в общем случае цепь обратной связи
является нелинейной и имеет переменные параметры;
следовательно, алгоритм, удовлетворяющий условиям теоремы шпер-
устопчнвостн, включенным в выражение (4.33). подходит для
обеспечения сходимости дополнительной ошибки.
Чтобы удовлетворять условиям iпперустойчпвостн, прямая
ветвь схемы должна быть СПД-ветвыо. Вообще говоря,
простая авторегресспвная форма \'A(z) будет нарушена. Для
дополнения ее до СПД-формы необходимо выделить &~ в
линейный препроцессор С(г), за которым следует основной элемент,
как показано па рис. 4.6,е. На выходе C(z) происходит
дополнительный процесс v(n), определяемый формулой (4.25). т. е.
р
v(ii) = e(n) + \> ce(n-l) (4.38)
В этом случае v(n) — просто взвешенное среднее или
сглаженная версия выходной ошибки. Преобразование системы
приводит к схеме, изображенной на рис. 4.6, г, с составным
линейным элементом в прямой ветви
р
1 + V c,z~l
g&=-jw=—%—• (4-39>
i_vu,2-.-
1=1
В этой форме на выходе замкнутого контура присутствует
сигнал v(n), представляющий еобой дополнительную ошибку,
подвергнутую скользящему усреднению. Эта ошибка введена в

Глава V
Единичный круг
Re(z)
Рис. 4.7. Система второго порядка, СПД-область фхнмшп m-'piufi'in. (Из ра-
ооты II85J.)
функцию &~q для корректировки весов адаптивной.) фильтра
и,(п) и b,(n) п генерации управляющей последовательности
w(n). Если величины о выбираются таким образом, чтобы
обеспечить СПД-свойство для функции C(z), а алгоритм,
использующий и(п), удовлетворяет соотношению (4.31), система
с замкнутым контуром является гпперустончивой и v(n)—*0.
Величина ошибки ё(п), зависящей от внутреннего состояния
0(г), также должна сходиться к нулю. ГАРФ-корректнрующий
алгоритм, описанный в предыдущем разделе, как показано в
работе [164], удовлетворяет условиям гнперустойчпвости.
Коэффициенты о, образующие скользящее среднее выход-
поп ошибки, представляют собой набор Я расчетных
параметров, выбранных для обеспечения СПД-свойства для функции
О (г) в формуле (4.39). Знаменатель, определяемый
неизвестным АРСС-процессом и описываемый d(n), дает вклад в фазу,
который может регулироваться положением нулей (т. е.
выбором о) для ограничения фазы цепи величиной ±90 градусов.
В качестве примера рассмотрим рис. 4.7. Допустим, что d(n)
генерируется фильтром второго порядка, имеющим
комплексные полюсы. Если проанализировать передаточную функцию
GO- i-flt3-U32-. (4.40)
то она была бы СПД-функцией лишь для нескольких сопряжен-

\ihinTiiHHue алгпритуцл О./я фи.нлрии i НИХ
lO-i
Re(z)
РИС. 4.8. ClICTCMil НШрОЮ ИОряЛКЩ OI.'L'lfi. IIICTIi lipil IT.IIDKIIIINIIIIII ШННГЖН
(Hi работы [1851 )
пых полюсных пар; СПД-об.тасть покидана внутри единично!о
круга в виде печаштрпховаппою опала Следовательно, полно*
cTi.io исключая изменении числителя функции П(:), лишь для
нескольких полюсных пар можно пеполыовать формулировку
гннерустончивости. Интересно отметить, что в области, где бу
дут группироваться полюсы вновь тиекренипронсЖнот иепре
рывпого процесса, окрестность вблн.чп z=l исключается.
Если только и формуле (4.3!') принять во внимание измене*
пня числителя, то область расположения СПД-полюгон можно
целенаправленно деформировать для частей единичного круга.
ни>три которых есть вероятность нахождения неизвестных
полюсов. Этот эффект демонстрируется на рт 1.8 для нескольких
.пачепнй единственного сглаживающего коэффициента с-\.
Отметим, что п = 0 дает, как и ранее, овальную область; как толь
ко С\ становится отрицательным п у функции П(г) образуется
пуль па положительной действительной осп. СПД область ie
формируется в направлении г — \. И наконец, при С\ =— I об
ласть становится круглой, касающейся единичного круга при
*■=!, н охватывает точки расположения низкочастотных полю
сон Введение параметров с, не только целенаправленно п.чме
пясч С ПД-область, по также влияет па характер сходимости
|.Ч0||. кик покачано в следующем разделе.
Самым важным практическим соображением при выборе
коэффициентов с'|, i араптирующем СПД-область для (4.39)

ion
Г.чнви 1
является то, что знаменатель неизвестен. Если задать
некоторые априорные сведения о динамике процесса d(n), то
разумный выбор числителя для СП г) будет просто оценкой
знаменателя Очевидно, при точной опенке обеспечивается полное
сокращение числителя и знаменателя, и получается
вырожденный результат, обладающий О 1Д-свойсгвом, п
детерминированный алгоритм, -эквивалентный разновидности уравнения ошибки
(например, МНК) Неточные оценки. \оти и не исключают ш-
пампку (J(z), могут служить для нахождения фазового угла.
Например, было найдено, что смешенная оценка параметров
знаменателя, выведенная на основании метода уравнения
ошибки, обеспечивает свойство строгой положительности и
действительности для (4.39) при некоторых значениях отношения
сигнал — шум (ОСШ) | 163] Как правило, размещение пулей
в окрестности каж юга полюса приводит к созданию разумного
набора коэффициентом о. Можно также разработать алгоритм
регулирования коэффициентов о, аналогичный некоторым
алгоритмам теории идентификации выходной ошибки JI83J.
4.3.4. Простой гиперустойчивый рекурсивный фильтр
В го время как на постановки задачи гиперустойчпвостп
адаптивной БИХ-фпльтрацни видна полезная перспектива,
результирующий ГЛРФ-алгорптм имеет недостаток наличие двух
существенных источников повышения вычислительной
сложности. Во-первых, анализ (4.22) показывает, что дополнительный
АРСС-процесс, описываемый ffn), требуется для расчета не
только выходного пи нала фильтра, по п для корректировки
весовых коэффициентов Во-вторых, ГАРФ-алгорптм со №ржнт
нормированный масштабный коэффициент (/(п),
рассчитываемым для каждой птерапнм. Обе эти составляющие алгоритма
существенно увеличивают затраты труда на вычисления с точки
зрения аппаратной реализации и/нли быстродействия.
Чтобы сделать алгоритм БИ.Х-адаптпвпой фильтрации более
приемлемым для обработки сигналов в реальном масштабе
времени, нужно провести в этом алгоритме некоторые разумные
упрмцения Если установить константы скорости и и о
достаточно малыми, как в эффективных способах градиентной
аппроксимации |250|, то весовые коэффициенты от итерации к
итерации изменятся очень нерачительно; следовательно,
а, (л-Н)а «.-(и).
(4.41)
hj(,i + ])Kbj{n).

AihnTuoHiae алгоритмы d.in финграи с БИХ
107
Сравнивая (4.20) и (4 21), имеем
!(ч) * !/(»). (4.42)
Уравнение для выходного сигнала (4.2!) принимает вид
v к
У (»)==V </;(Ф/(" -0 + 2[М")*(«--/). (4-«)
i ! /- 0
а и(п) со скользящим средним значением, описываемым
уравнением (4.25), определяется выражением
и(п)* И")-*/(»))+ VC;{,/(,i /) </(/<-/)} =
/ !
Р
-e(/i) + 2jf|t"(« '). (4.44)
т. е. просто становится скользящим средним значением
выходной ошибки. Окончательно отметим, что q{n) в (4.23) —простои
нормирующий коэффициент, который регулирует .мгновенную
скорость адаптации, уменьшая эффективный размер шага для
больших значений входного и выходного сигнала фильтра.
И снова, полагая и и р достаточно малыми, получаем
«7 ('0 = 1.
Воспользовавшись этими приближениями, преобразуем (4.22) к
следующему виду:
а,(п) = а,(н — J) + MiI/(" I i)v(n 1), I < / < Л\ (4.45а)
bj(n) = bj{i\ — \) + pjX(n I j)v(n—\), 0<]<M. (4.456)
Система уравнений (4.43) — (4.45) определяет упрощенный
гиперустойчивый адаптивный рекурсивный фильтр (УГАРФ)
[185,301].
Отметим, что достигнуто значительное сокращение объемов
вычислений и памяти; для корректировки каждого весового
коэффициента требуется лишь знать сглаженный процесс
выходной ошибки и(п). Это облегчение расчетов обеспечивается за
счет того, что не требуется строго выполнять условие гппер-
устойчивости (4.31), так что для произвольных положительных
\i и р сходимость больше ие гарантируется. Однако для
практических целей медленная адаптация поддерживает
аппроксимацию, близкую к гиперустойчнвой структуре.
Интересно отметить, что некоторые раипне попытки
реализации адаптивной БИХ-фнльтрвцпи, особенно алгоритм Фенп-
туха [96], очевидно, являются частными случаями (4.45).

108
r.WPil 1
Уравнения корректировки, полученные в этих работах
экстраполяцией аналогичных уравнений, используемых в адаптивной
КНХ-фильтрашш, таковы:
я,(||+1)- я,(л) + ц«(л)//(я— г). (4.И).!)
^(/i + l) = ^(/i) + pc(/i)A-(/i-y), (4.40Y.)
не
c(»)=rf(n) - //(/l). (4.-17)
Отметим, что sto эквивалентно ограничению с( = 0 при /,
меняющемся от ! до Р в (4.44). т. е.
и(п)=е(п). (1.48)
В соответствии с анализом гпперустойчпвостп сходимость
обеспечивается только в том случае, если р п р малы, а авторегрес
сивпая функция
С(г)= у (4.13)
f-i
обладает СПД-свопством. Как покапано в разд. 4.3.3, чтобы
удовлетворить СПД-условпю. требуется, вообще говоря,
специальное расположение нулей.
Для демонстрации поведения У ГА РФ представлен ряд
реализаций, полученных с помощью моделировании. Искомый
процесс d(n) является процессом второго порядка, полученным ну
гем пропускания белого шума через фильтр со следующей ха
рактеристпкон:
0Д)57 . ...
1- 1,64йг-1 , 0,9025г-- 1 '
Миграция двух полюсов адаптивного фп.чьтра показана па рис.
4.9, начиная с мнимых полюсов, О.ое-'9", сходящихся к полю
сам функции (4.50), т е. к 0,95<' '" Демонстрируется влияние,
изменения па траекторию полюсов одною из сглаживающих
коэффициеиюв С[ (oi С] = 0 до с,-—2,5). Разумеется,
миграция полюсов приводит к сложному преобразованию
геометрического места точек адаптивных весов и в силу этого дает
искаженное представление о поведении фильтра. Однако (па
качественном уровне) можно видеть, что измерение сглаживающего
параметра пе только уменьшает кривизну, но и ускоряет
сходимость. Это частично происходи г благодаря влиянию, которое
сглаживание оказывает па интенсивность процесса ошибки

\iJiiiiiiihhi'u u.i'upui иы il.i>i i/m.ihipiut i lill\
11)4
Полюсы
устройства lm(z)
ReU)
Im(zJ
ImlzJ
Re(z)
а г
Рис. 4.9. lp иь op in mi.поспи. iki.i\ Ч1Ч1Н1Л' при vuuc.шрошшпн .i.nopiii m.i
упрощенном) nii!cp\i'!Oi"Miuni о .1 иштнинпго рч-к) ратник) ipii.il/rpii: ti^O. I til) К
итераций (o). (1— O.K. I lit) К iiTrpaiiiiii (ri); < - I. 120 К nu-p:niiiii (n).
f,= 2.5. 40 К iiU'p;iuiiii (•■). (lb p.-tuorw [IB5J.J
cfn) что в lbokj очередь уменьшает среднюю величину членом
алгоритма корректировки в (4.45).
Стоит отметить, что в данном примере, несмотря им жест
кость СПД-требовапня при С\=-0. сходимость все еще имеет
место, т е. юстаточпое условие является чрезмерно сильным
Рассмотрим второй случаи, включающим процесс второго
порядка:
I — 1,72-' + 0> Т2'2ог~У ('■°1)
оп генерируется фильтром, пиеищмм пар} действительных но

по
Г шеи I
lm(z)
Единичный
круг
Полюсы
устройства
ReU)
!mlz)
Relz)
- Окончательно
положение
полюсов
модели
о 6
Рис. 4.10. Траектории полюсов для рекурсивных Л1НК- и УГАРФ-а.иорптчон-
рекурсивным МПК (с., = с2=(>) (а): УГЛРФ (г,- -1.1); с2=") ('">) (H.i рмоо-
ты [185].)
.пюсов в точке с координатой 0,85. В lauiiu.v случае УГАРФ-а.т-
горнтм моделировался при С| —О п C|« — I; первый случай не
удовлетворяет СПД-требованию. тогда как второй
удовлетворяет. Во избежание неопределенности при расчете скорости
сходимости начальное положение полюсов адаптивного фильтра
выбиралось равным 0,845 па расстоянии 0,005 от истинного
расположении. Несмотря на близость параметров этого
адаптивного фильтра ь искомому набору параметров, для t'i = 0 [т. е.
для алгоритма Фейнтуха (в данном неположительном
действительном случае) | весовые коэффициенты быстро
подстраиваются к альтернативной конфигурации, включая единственный
низкочастотный полюс, эффективно исключающий вторую степень
свободы. Во втором случае сходимость связана с
несмещенными оценками полюсов (см. рис. 4.10).
4.4. АНАЛИЗ СХОДИМОСТИ
4.4.1. Цели анализа сходимости
Если найден алгоритм адаптивной фильтрации, возникает
необходимость проанализировать его свойства сходимости, чтобы
можно было всесторонне оценить его полезность. Такой анализ
сходимости выполнен; при этом имелись в виду три
взаимосвязанные цели:
I. Доказать, что адаптивный процесс действительно
сходится, как это желательно, к соответствующему
состоянию.

\iIiiiiiiiiwiiic илгчрнтмы 0.1я фн.н,трпн < lill\
II!
Ч. Оцепить свойства процесса сходи мости, например время
сходимости.
•1 Представить некоторую (но возможности простую) модель
\ поведения действительного процесса сходимости
Хотя ути цели кажутся очень простыми, они сильно
усложняются, когда вводится реальная рабочая .характеристика или
критерий сходимости. Наибольшее различие между входными
процессами, описываемыми х(п) п d(n). возникает в том
случае, если мы принимаем (опушение, согласно которому рас-
i\iaipi!Bae\i «#ти процессы как стохастические и как
детерминированные.
По крайней мере одна из следующих двух причин
заставляет применять анализ стохастической сходимости. Первой
является присутствие шума в любой используемой липни
передачи сигналов Он называется шумом наблюдения, или
внутренним шумом, зависящим от места системы, где он возникаем
Шум обычно стимулирует проведение стохастического анализа
просто потом\, что составляющие шума, как правило, наиболее
изящно описываются н рамках стохастических проиесюв. В
результате аиа.мн сходимости обычно выполняется н терминах
стохастических нроцессон Вторая причина использования дан
пого подхода вызвана необходимостью проанализировать
спектральный диапазон Это типично мя применении адаптивной
фильтрации, где можно воспользоваться оенпвоп га тающей
работой Випера по фильтрации В самом деле, ->\ работа столь
удачна, что представления в терминах вырожденных
стохастических процессов часто применяются и чтя процессов, для
которых можно было бы использовать детерминированное описание
(например, синусоиду) Результаты стохастического анализа
получают в определенной последовательности; как правило,
легче всего доказывается факт сходимости в среднем, затем
сходимости в средпеква критичном и, наконец, сходимости с
вероятностью I. Переход от одного уровня сходимости к
следующему обычно требует увеличения объема сведений о
статистике процессов начиная с информации о среднем и коварпацпп п
кончая многомерными распределениями вероятности. Этот факт
объясняет ограниченность иерархической прогрессии
большинства доказательств сходимости адаптивной фильтрации.
Однако поскольку для большинства нходиы.х процессов известен
спектр (п следовательно, пх ковариационные свойства) и не так
часто известно распределение вероятности, факт сходимости
обычно доказывается в среднеквадратичном В
действительности при нестационарных условиях распространения сигнала
доказательство сходимости может прекратиться раньше.
В iex областях применения, г ie спектральное описание не
ян !яется основным н где шум представляет эффект второго по-

Глава 1
рядка, большая часть анализа сходи мости сосредоточивается
па «детерминированных» приближениях. Здесь входные
сигналы моделируются совершенно произвольными, по
ограниченными сигналами, и цель состоит в том, чтобы показать без каких-
либо условий, чю адаптивный процесс сходится к искомому
состоянию. Kah будет продемонстрировано, чти способы в
основном сводятся к юказательству того, что адаптивный процесс
является в некотором смысле пассивным, т. е. соответствующим
образом определенная ошибка системы уменьшается до пуля,
подобно напряжению в пассивной цепи Очевидно, полученный
результат гораздо значительнее, чем гот, который указывает на
сходимость ошибки н среднеквадратичном. Раньше за это
приходилось расплачиваться трудностью распространения сферы
применения подобных доказательств для достаточно
изящного учета влияния шума канала млн приемника. Еще одним
важным соображением, как будет показано в следующем
разделе, является то, что, хотя детерминированные методы
позволяют доказать сам «факт сходимости», пз пп.х часто трудно
получить информацию о .характере сходимости (например,
о скорости сходимости)
В свете этих оюбеппостеп проанализируем теперь
ограниченное количество имеющихся в пашем распоряжении работ,
касающихся сходимости адаптивных фильтров БИХ-тппа.
4.4.2. Приближения
Анализ МСКО-методов. Как ранее обсуждалось в данной главе,
и большинстве БИХ-адаптивпых алгоритмов попытка
минимизации среднеквадратичной ошибки выполняется путем
аппроксимации градиента рабочей функции и организации
итеративного шагового процесса в указанном направлении до достижения
стационарной точки. В свете этого большинство имеющихся
анализов, связанных с Ы IX-адаптпнпымп алгоритмами,
основанными па МСКО-крнтерпп, сосредоточивается на изучении свойств
поверхности рабочей характеристики МСКО. Несмотря на
значительное число работ [70, 294], до сих нор нет ответа даже на
основной вопрос: при каких условиях рабочая МСКО-функцня
./ [см. уравнение (4.4)J является унимодальной? Если она
унимодальна, то исследования, основанные па использовании
градиента, не будут уводить от цели. К сожалению, Стерне [294]
смог показать унимодальность лишь для некоторых случаев,
а именно для систем с широкополосными входными сигналами
п более чем достаточным количеством коэффициентов для
адекватного моделирования искомого сигнала d(n). Джонсон
и Лчрпмор нашли, что многомодальную рабочую функцию
можно преобразовать к случаю «пониженного порядка», когда

liliinrtntHtiic алгоритмы для фильтров с НИХ
I1S
фи 1Ы|> пмеег недостаточное число степеней свободы для точ
НОЮ М()Де.'Ш|)()ВЛН!1Я d(n).
Не давая ответа на основной вопрос, другие работы, напри
мер но скорости сходимости, не имели серьезных целей, кроме
м.шшiiMoiо моделирования Полезность ишнот направления
;n],-i.iH.iii еще рачительнее ограничивается re.ii фактом, что и.
сущности каждый адаптивный алгоритм, рассмотренный к
p.i v/i 1.4, аппроксимируем лишь истипныП градиент МСК.0
рабочей характеристики функции. I l.iiipiiмор, показано, что
алгоритм Феннтуха при некоторых условиях не горько не следует
градиенту, но п не сходится h с! JUiKiii.ipnon тичке [ 1П2|, \i
результате -*гпх аналитических гр\ оюстен и настоящее время
выполняется чало исследований но свойствам сходимости алго
ритмов, основанных на МСКО, даже несмотря на то. что
методы, рассмотренные в следующем разде ie. могут дать полезные
результаты.
Модели алгоритмов. Исюрически анализ сходимости адап-
гпнных цифровых фильтров КИХ-типа выполнялся с помощью
аппроксимации рекурсивного выражения для коэффициентов
(фильтра линейным векторным инвариантным но времени
выражением первого порядка, которое затем можно было
проанализировать, чтобы найти постоянные времени, связанные с
уменьшением различных составляющих ошибки фильтра [341]. Этот
способ в принципе очень эффективен для фильтров КИХ-типа
к стационарных условиях распространения сигнала, поскольку
адаптация параметров фильтра не меняет информации в линии
задержки фильтра. Однако для фильтров БИХ-типа последнее
явно неверно, поскольку на ковармацню y(n—i), 1^/^.V,
непосредственно влияет выбор параметров о, и bt. Но и в этом
случае подобные утверждения представляют разумную отправную
точку для определения поведения алгоритмов адаптивных
фильтров БИХ-типа, особенно в противоположность поведению
хорошо известных алгоритмов КИХ-адаптпвнон фильтрации.
Miii кратко рассмотрим три возрастающих по сложности
способа изучения поведения сходимости. Для демонстрации этих
способов использован УГАРФ-алгоритм.
/. Локальная линеаризация вблизи стационарной точки.
IJ данном приближении проводится линеаризация поведения
сходимости внутри малой окрестности стационарной точки
процесса адаптации. Это приближение мотивировано аналогичной
линеаризацией, применяемой в способах итеративной
численной оптимизации [204].
Напомним вектор коэффициентов
в(п) = [й)(/0...й,(п)Ь0(«)...Ь,мИГ (4.52)
н рассмотрим основное (A-f-M-f-l)-Mepnoe векторное простран-

114
Г ub« 4
стпо. УГАРФ-алгоритм при управлении сл\чайным вминым
сигналом и дает стохастическую траекторию в лом
пространстве параметров (или весов), но его среднее «начечие по
ансамблю ЕЦ)(п)] при всех возможных входных последователь
ностях является аетермипироваиным геометрическим местом
точек. Зная геометрическое место точек сре.чнегм, прелставтяю
щего собой функцию номера выборки л, можно получить оиенк\
поведения сходимости. Если это геометрическое место точек
для £[0(л+1)] можно рекурсивно определить черен /7[0(«1].
то его можно аппроксимировать линейным разложением иолп-
зи стационарной точки в виде
£|в(п + 1)] * eopt + G(£|e(/i)l- 0,ipi) (4.33>
или выразить через параметрическую ошибку
£lq(n + l)|— £10ор1-в(|Ц-1)| *G£|T(fi)]. (4.54V
Матрица С является матрнией «чувствительности»,
оцениваемой при 0ор< в соответствии с векторным рядом Тейлора.
Используя рекурсивную форму (4.54), можно показать, чю
£(Ф(л)1 *С"ч(0). (4.ЛЛ)
Задавая начальные значения параметров в малой окрестности
e0Pt детерминировали» в соответствии с (4.55), можно выделит!)
вектор ожидаемой параметрической ошибки.
Такая интерпретация не является оригинальной, поскольку
она часто применяется для описания локального поведения
большого класса функций, используемых в итеративной
оптимизации. Незначительная разница заключается в том, чти для
УГЛРФ матрица G необязательно должна быть симметричной;
этим рассматриваемый случай отличается от алгоритмов
минимизации функции, выполняемой вблизи стационарной точки,
где G— матрица Гессе. Тем не менее поведение сходимости по-
прежнему управляется геометрически с помощью
характеристических чисел матрицы чувствительности G. Тот факт, что G
может быть асимметричной матрицей, лишь допускает
возможность комплексных или отрицательных характеристических
чисел и неортогональных собственных векторов.
Для изучения поведения, предсказываемого с помощью
данного приближения, рассмотрим простой случай УГАРФ
первого порядка, которому отвечают выражения (4.43) (4.45),
приведенные, соответственно, к виду
у(п)^а{п)у{п—\)+Ь(п)и(п -1), (4.56*0
v (л) = у (л)—у (п) + с\у(п-\)—у(п — \)], (4.56Г»
у (я) = ау (л — J) + Ьи (и — 1). (4,5Св)

\t)ut\TiwHU<' алгоритм Пля филитрпв с БИХ
115
(опустив, что входное возмущение представляет сабой последо-
н.нелыикть выборок белого шума с пулсныи средний, а ц и р
ii.il т.п.ко малы, что сходимость фильтра медленная но
сравнению с постоянной времени системы 1/(1- а), для
математического ожидания ошибки векторы параметров ,'Ърпмор [165|
паше 1
Е |Н(м + П—0(h)] = М \Е((>(")) -О,,,,]
■II"
не
М =
—\ih- (I -L ас)
— fl(rt-fc)
(! -чТ-
О
Преобразовав (4.58). получим
£,'<((«-И )] . iI + M)E\(f(n)\-= (!+M)"<f(0)
(4 47)
(4.58)
(4.59)
(т. е С = /+Л/). Отметим, что точно такую же процедуру тн-
neapii.iaunH можно было выполнить в любой точке плоскости
о. h, но только линеаризация в точке сходимости приводи! ь
свободной системе типа (4.59) с обнуляющей функцией
Из (4.59) можно сделать дна вывода:
■I. В данном случае ошибка векто|)а параметров геоиетрпче
скн сводится к пулю в соответствии с
характеристическими числами (I р) и 1—|_iЛ»-< \-\-ас)/(\- d2)2. Отметим,
что асимметрия матрицы G означает, что собственные
векторы не ортогональны.
б. Если коэффициент с выбран рапным— я, ошибки фильтра
цнн в (4.566) м\ счет с исключает влияние авторегрессии,
что увеличивает у—у. При таком выборе неднагоиальный
член матрицы О становится равным нулю, что приводит к
симметричному результату; потому можно ожидать
типичного для адаптивных филы ров КИХ-типа (например.
МНК) характера убывания градиента.
2. Рекуррентный метод с изменяющимися во времени
параметрами. В то же время как линеаризация характеристики
алгоритма в окрестности стационарной точки может дать ценные
результаты по асимптотической сходимости, такое приближение
не допускает использования произвольных (т. е. нелокальных)
начальных условии для коэффициентов фильтра. Такие пронз-
вольные начальные условия можно допустить, если для
комплексного вектора с переменными параметрами, с помощью
которого можно проанализировать характер сходимости
алгоритма, принять выражение
W(H + l) = H(n).W(n) + F(n). (4.60>

116
fjiaet I
Матрица Н обычно опнсынаст локп.тьпую кривизну «m ivie ive-
мого» функционал;!, тогда как вектор Р описынаат направление
вынуждающем функции. Это приближение Тренчдер (см. [1G5J)
применил для объяснения влияния, которое сглаживающим
фильтр, описываемый матрицей {ci}. может оказывать на ско-
рость сходимости \ ГАРФ алгоритма. 13 предположении учет,
медленном сходимости было показано, что среднее значение
вектора коэффициентом можно записать в виде
£|»(п + 1)| |/-rK,,(/.)S|;£|H(,l)H-rQ(;/)Sf)(,rl, (4.61)
где Г диагональная матрица, содержащая постоянные аданта
цип, S нря\ю\гольная матрица, содержащая {<;}. R\(n) -
ковариационная матрица, заданная входным и выходным
сигналами адаптивного фильтра, ц Q(n) — матрица перекрестной
коварнацин между вектором адаптивного фильтра и вектором
моделируемого устройства.
Поскольку выражение (4.61) имеет ту же форму, что н
(4.60), им можно воспользоваться шя предсказания скоро< ш
УТАРФ-сходимости вблизи любой заданной рабочей точки,
включая точки, определяющие начальные и конечные условия.
С. помощью этого выражения было показано, что при
соответствующем выборе сглаживающего фильтра (и, следовательно,
S) характеристические числа матрицы Н(/з) мог\ i стать комм
лексными в отличие от характеристических чисел КИХ-алю
ритмов адаптивной фильтрации, которые могут быть лить
действительными неотрицательными числами. Как указывалось в
гл. 3, наименьшее характеристическое число матрицы Н(«)
управляет скоростью сходимости, тог ы кпь наибольшее чне ю
ограничивает максимально юстижимое адаптивное усиление.
Это н свою очередь предполагает, что адаптивный фильтр
КИХ-тппл (т. е. использующий МПК) может адаптироваться
очень медленно при большой величине ).MliKJkM„H. И наоборот,
когда УГДРФ может связывать характеристические числа и
комплексные пары, «.характеристический разброс» может бып.
чрезвычайно уменьшен (например, до 1 для фильтра второго
порядка), что ускорит сходимость
3. ОДУ-метод. «Чем на pi Льют 11%, 1%] разработал метод
доказательства сходимости и определении скорости
сходимости. Это приближение, называемое методом обыкновенного
дифференциальною уравнения (ОДУ), непосредственно
применимо лишь для алгоритмов, в которых используется матрица г
переменными параметрами и уменьшающимся усилением Г(л).
Влияние подобного убывающею усиления сводится к
замедлению сходимости в окрестности стационарной точки. Исходя из
этого факта и перейдя к другому масштабу времени, можно
успешно моделировать рекуррентность дискретного во времени

ll'll/M IIIINMi U.U-iipuTMM 'f.1.4 ф/1 Н'Г/Н'Н С hfl\
ПГ
Hi пшенного вектора коэффициентов [например,
nn п. i\ я ОДУ ни.in
K.ik \ k;i швае! Лыош. уравнение ( 1 (i'J) можно применять д. in
югшжеппн многих из ранее noi г:ш ichhijx целен. Доказатель-
пин i\o днмости алгоритма сим.hitch к icMOHCTpaiiini упопчи-
iioi in (\A\'2) ишнеящей 01 свойств функции f(-): уравнение
( I (i2| может Также служи п. и качестве модели фаюною про-
i lpniiiTH.i (l -J.')!
И го нремя как уменьшающиеся коэффициенты усиления
алгоритм адаптации опичцо исгречяются в задачах иденгпфпкл
кип систем, их. как претило, пс т-поинуюг и работал по алан
niiiiioii фильтрации, поскольку чаше применяю! пол ионы с им
палы, котрыс в лучшем случае являются лишь ква ши лпноп.ф-
ними. 1 l.i■ »н огеутстипя стационарности необходимо. чтобы
адаптивный фильтр всегда был «включен ни отслеживания
п«мепеппи характеристик сигнала. В ОДУ-методе требуется
убывание коэффициентов усиления, п, следовательно, он
широко не применяется для анализа a lainiimiux фп 1Ьтрон K1IX и
Ы 1\-тн11о».
Метод Ляпунова. Только что оОсужлипмие стихни ичеекпе
меюди позволяют получить большой обьем информации о но-
педеппн алгоритмов, но обычно чг* информации иипп харак
тер лишь «средней» н/или локальной. Другой подход к дока-
iaTf.ii.ciнам сходимости основан на понятиях пассивности, г. е
иокаоию. что комбинированные системы и адаптивные
процессы являются в некотором смысле пассивными по отношению к
ошибкам системы. Эта пассивное и, предполагает, что со нроме
нем ошибка уменьшается то пуля, и. следовательно, алгоритм
сходится. Здесь мы рассматриваем анализ функции Ляпунова.
По сравнению со стохастическими методами такой анализ, как
правило, дает гораздо более определенное доказательство с\о
Апмог.ги. но меньше данных о характере сходимости (например,
о скорости сходимости).
Анализ функций Ляпунова \78\ основан на нахождении
функции \(п). имеющем следующие свойства:
V(m)^sO для всех п, (4МЛ)
V(n)—V(ti—l)<£0 для всех п. (1.64)
Посколькч функция Г(л) всегда положительна, ее иногда
называю 1 «псевдо^нергетической» функцией. Строгая
отрицательность первой разности предполагает рассеяние энергии и делает
(4.4."))], не
^4.62)

118
Г .шва 4
процесс, описываемым функцией V, пассивным. При
приемлемых условиях регулярности функция V(n) стремится к нулю.
Эта идея применяется при анализе сходимости путем
разработки положительной функции для всех ошибок, но шикающих в
адаптивном процессоре. Если можно покачать, что первая
разность строго отрицательна, то в соответствии со второй
теоремой Ляпунова ошибка должна стремиться к нулю, а это и
доказывает сходимость адаптивною алгоритма.
Как кажется па первый взгляд, этот метод удовлетворяет
М1Ю1ПМ заданным целям, гак как эволюция V(ti)
обеспечивает некоторую общую индикацию скорости (если не
направления) сходимости. Однако его применение затрудняют две
особенности:
1. Найти функцию Ляпунова V(>) для чанного
адаптивного алгоритма обычно очень сложно, и нет гаринтип того,
что она существует.
2. «Ошибка», используемая в функции Ляпунова, часто
содержит «посторонние» члены, которые обязательны для
доказательства сходимости, но маскируют смысл V(«)-
Доказательство сходимости тина Ляпунова не было
найдено ни для одного из градиентных алгоритмов МСКО,
рассмотренных в разд. 4.4. но Джонсон и др. [165], успешно
основываясь на ранней работе по контролю и идентификации текста,
разработали функции Ляпунова для ГАРФ- и УГАРФ-а.тго-
ритмов. Из их работы следует, что УГЛРФ-сходнмопь можно
гарантировать при разумных обстоятельствах (малыч ц и р
и т. д.) и что выходная и параметрическая ошибки
экспоненциально стремятся к нулю.
4.4.3. Основные выводы
Работа по определению свойств сходимости адаптивных
фильтров БИХ-тппа находится в состоянии непрерывного развития
по мере введения новых алгоритмов и вариантов. Аналич
сходимости алгоритмов МСКО концентрируется на свойствах
поверхности МСКО, но эта работа еще не завершена. Однако
достаточно подробно изучены алгоритмы, основанные на
гиперустой чивостн. главным образом в работе [163], — и в ней
сделаны следующие основные выводы:
1. Если адаптационные постоянные в УГАРФ выбраны
достаточно малыми (по сравнению с начальной
параметрической и оцененной выходной ошибками и верхней
границей управляющей входной величины), то при прямом
формате моделирования УГАРФ является
асимптотически сходящимся (т. е. выходная ошибка уменьшается до
нуля).

lihiiiinuHiiif ti.ii'ii/iiii.Hhi Оля tjtii.iiiTpna с БИХ
II1.*
'J Гели заданы такие юстаточно малые адаптационные
постоянные, используется прямое моделирование
минимально! о порядка и достаточно сильное возбуждение, го кик
выходная, так н параметрическая ошибки -жсппненипаль-
11(1 уменьшаются до нуля.
■\ УГЛРФ не воспроизводит характер убывания градиента в
пространстве параметрической (или комбппнронаппой
параметрической и выходной) ошибки.
I Для УГАРФ можно определить эффективною
ковариационную матрицу (или матрицу чувствительности), которая
обычно асимметрична. Эта асимметрия может принести к
тому, что характер сходимости в среднем будет
описываться локально комплексными характеристическими
числами, а не строго действительными характеристическими
числами, как было обнаружено при анализе адаптивных
фильтров КИХ-тнпа.
.1 Выбор коэффициентов сглажпнання ошибки в УГАРФ
влияет на эту аффективную ковариационную матрицу
и, следовательно, на скорость сходимости и поведение
УГАРФ. В частности, выбор этих коэффициентов может
расширить допустимую область величин адаптационных
постоянных, что приведет к возможному улучшению
скорости сходимости.
Заметим, что описанные здесь методы анализа сходимости
не дают в настоящее время окончательных решений ключевой
»ядачи— установления правил расчета. Необходимо
дальнейшее развитие данного и других приближений для реализации
целенаправленного априорного выбора коэффициентов
сглажпнання ошибки и адаптационных постоянных. На нынешнем
этапе следует отчетливо понимать, что появившийся класс гипер-
устопчнвы.х адаптивных рекурсивных фильтров имеет такое
поведение, которое полностью отличается от обычных
адаптивных фильтров КИХ-тнпа (связанного с убыванием градиента).
Эти расхождения требуют принять концептуальные модели,
которые являются новыми для адаптивной фильтрации при соот-
iieTCTBvioiueii интерпретации поведении адаптивных фильтров
DMX-типа [Ifio].
4.5. ОГРАНИЧЕНИЯ ДЛЯ ПРИМЕНЕНИЯ
АДАПТИВНЫХ ФИЛЬТРОВ БИХ-ТИПА
Несмотря па то что адаптивные фильтры БИХ-тппа
позволяют уменьшить большие объемы вычислений, налагаемые циф-
роьоп КИХ-фнльтрацией, в БИХ-фильтрацпн имеется несколько

, 20
Глава 4
внутренних ограничении. Ими являются некоторое усложнение
■оснонной структуры фильтра БИХ-типа с обратной связью и
некоторое дополнение частного корректирующего алгоритма.
Рассмотрим оба этих фактора.
4.5. t Коэффициент чувствительности
Хорошо известно, что инвариантные во времени фильтры БИХ-
типа обычно более чувствительны к ошибкам коэффициентов,
«ом фильтры КИХ-типа [2651. Вообще говоря, частотная
характеристика фильтра БИХ-типа зависит от точного размещения
нескольких полюсов, в то время как частотная характеристика
фильтра КИХ-типа зависит от несколько менее точного
размещения многих нулей. Все это относится и к адаптивным
фильтрам БИХ-типа. по с дополнительной проблемой. Итерационный
метод вычисления всех рассмотренных здесь алгоритмов
определяет случайный коэффициент шума, который приводит к
колебаниям коэффициентов в окрестности искомой точки
сходимости. Случайное изменение коэффициентов вызовет сдвиг
полюсов и нулей фильтра. Этот сдвиг оказывается наиболее
резким для высокодобротных фильтров высокого порядка и
фильтров прямой формы [265|. К сожалению, большинство ППХ-ал-
юрнтмов, основанных на МСКО и все основанные на
гиперустойчивости, отвечают фильтрам прямой формы, а
высокодобротные фильтры являются как раз теми фильтрами, которые
позволяют сильно уменьшить объем вычислений по сравнению
с вычислениями для адаптивных фильтров КИХ-типа.
Короче говоря, эту проблему можно частично решить путем
использования меньших адаптационных усилений для
большинства коэффициентов чувствительности. В конечном итоге
решение будет получено в виде новых адаптивных алгоритмов,
которые можно применять для каскадных, параллельных н
решетчатых структур фильтров, эффективно заменяющих прямую
форму в иеадаптнвных фильтрах БИХ-типа.
4.S.2. Обратное моделирование неминимально-фазовых
фильтров
Рассмотрим вновь модель тракта передачи сигнала, которая
изображена на рис. 4.1 и в которой переданный сигнал
эффективно фильтруется по тракту его распространения (например,
зеркальное отражение основного луча в липни радиосвязи).
Принятии сигнал адаптивно фильтруется для компенсации
«канальной» фильтрации и восстановления исходной формы
колебаний. Затем обрабатывается (т. е. демодулпруется)
компенсированный выходной сигнал, как если бы искажения отсутст-

lil(i//n/HHdu алгоритмы li.ix фи wrpoe < НИХ
121
iniHa.'iii. Такую компенсацию можно получить с помощью адап-
гшшы.х фильтров КПХ-типа или БИХ-тппа. если эффективный
«канальный» фильтр имеет минимально-фазовую
характеристику, т. е. все ее нули расположены внутри единичного круга.
Однако рассмотрим изображенную на рис. 4.1, с диаграмму и
Допустим теперь, что в силу некоторой причины отраженный
сигнал в приемнике сильнее прямого. Когда это происходит,
нуль в канале передачи выходит за пределы единичного круга,
и для нейтрализации нуля компенсирующий фильтр БИХ-тппа
юлжеи иметь полюс за пределами единичного круга.
Разумеемся, этого недостаточно, поскольку удержание полюса за
пределами единичного круга в течение продолжительного времени
сделает фильтр, а следовательно, и БИХ-адаптнвный алгоритм
неустойчивым. Отметим, что корректирующий фильтр КИХ-ти-
на, наоборот, всегда устойчив и может компенсировать
распространение по каналам как минимально-фазового, так и
неминимально-фазового фильтра, хотя иногда ценой больших
объемов вычислений. Эта проблема устойчивости решается
непросто, и на практике применение адаптивных корректирующих
фильтров БИХ-типа ограничивается случаями, когда известно,
что канал остается минимально-фановым.
4.5.3. Порядок согласования
Здесь мы полагали, что адаптивный фильтр имеет по крайней
мере столько же коэффициентов в числителе н знаменателе,
сколько их имеется у системы, подлежащей моделированию.
И некоторых случаях это неверно либо из-за ограничений со
с троны аппаратной реализации фильтра, либо из-за
внезапного увеличения сложности сигнала, подлежащего обработке.
Для КИХ-фильтрацни эффект такого «моделирования
пониженного порядка» хорошо известен, а для случая БИХ-алгорцтмов
он не известен. Для надежного предсказания эффекта
моделирования пониженного порядка необходимы дальнейшие
исследования.
4.5.4. Переход от методов, основанных на устойчивости,
к методам обратного моделирования
В большинстве исследований БИХ-адаптнвпых алгоритмов,
и том числе всех выполненных здесь исследований, основанных
на методах гннерустопчивости, можно выполнить прямое
моделирование, как показано па рис. 4.2. С общего входа питание
подается как на исследуемую систему, так и на адаптивный
фильтр БИХ-типа, Выходные сигналы сравниваются, н соответ-
■стиушщпм образом регулируются коэффициенты адаптивного

122
Г шни I
фильтра. Однако в большинстве случаев применении, удобных
для анализа и типичных для некоторых практических задач,
моделирование приводится более точно так, как показано на
рис. 4.3. еде искомый сигнал d(n) необязательно
профильтрованная версия входного сигнала адаптивного фильтра х(п).
С некоторым обобщением d(n) обычно можно записать и виде
суммы нескольких составляющих: профильтрованной версии
х(п). профильтрованных иерсий ненаблюдаемых входных
сигналов и аддитивного широкополосного шума. К сожалению,
реализуемость алгоритмов, например УГАРФ, для таких
входных сигналов пока нельзя предсказать. Для достижения
ясности в этом вопросе потребуется дальнейший анализ алгоритмов
4.6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Адаптивные алгоритмы для цифровых фильтров БИХ-тппа
должны еще достичь определенного уровня завершенности,
присущей их КПХ-аналогам. Несмотря на что. объем вычислении
для фильтров КИХ-тпна и корректирующих устройств послу/кил
надежным стимулом для разработки простыл, широко
доступных БПХ-адаптивных алгоритмов. Аналитические исследования,
обзор которых дан в что И главе, привели к нескольким
возможным приближениям, но нужно еще приложить значительные
усилия для достижения пели— разработки обобщенного
алгоритма с очевидными свойствами сходимости

5
Оценивание
рекурсивным методом
наименьших квадратов
и решетчатые фильтры
Л ж он М. Тернер
5.1. ВВЕДЕНИЕ
Решетчатую структуру фильтры можно использовать как
альтернативный способ реализации передаточной функции
цифрового фильтра. Хотя решетчатая структура фильтра
(называемая также многозвенной структурой или структурой
лестничного типа) не обладает минимальным числом умножителей и
сумматоров для выполнения передаточной функции, она
обладает рядом преимуществ. К ним относятся следующие:
каскадирование идентичных секций; коэффициенты, величины
которых не превышают 1; проверка признаков устойчивости и
хорошие количественные характеристики округления. Более того,
решетчатая структура фильтра особенно подходит для
адаптивной фильтрации, поскольку рекурсивное решение, даваемое
устройствами оценки по методу наименьших квадратов,
естественно приводит к решетчатой структуре фильтра. Кроме того,
решетчатая структура фильтра на каскадной основе ортогона-
лпчует входной сигнал. Это приводит к очень быстрой
сходимости и хорошим характеристикам решетчатой структуры в
режиме слежения. Хотя разработано много альтернативных методов
оценивания коэффициентов отражения, которые позволяют
оценивать параметры решетчатой структуры, рекурсивный метод
наименьших квадратов корректирует минимальную
квадратичную оценку при обработке каждой ныборкн данных. Эта
процедура приводит к оптимальной опенке и требует лишь
незначительно большего объема вычислений, чем альтернативные
методы.
И настоящей главе дан вывод решетчатого фильтра на
основе рекурсивного метода наименьших квадратов, в котором
испод ьзуе-гся рекурсивное обобщение стандартного решения,
полученного Левинсоном методом наименьших квадратов для
стандартных блоков данных. Представленный здесь линейный

124
Г.шва .'•
предиктор1' широко применяйся для синтез;! речемыл спгиа.иш.
обработки данных сейсморазведки, оценивания спектра с ны-
соким разрешением, адаптивного .пшенного усиления, лдяпгин-
пого подавления шумя п адаптивной обработки сигналов с ни
тепной решетки. Идеи, заложенные в основу этою метода
оценивания, вытекают п.» работ многих авторов, выполнении\
после 1970 г. Приведенное здесь приближение следует из
работы Ли [188]. Рекчрсивпые алгоритмы, отвечающие критерию
наименьших квадратов, в гл. 3 были рассмотрены для
фильтров на линиях задержки с отводами Обсуждение ноказынае-r.
что применение решетчатых фильтров для оценивания рекур
спвпым методом наименьших кна фатов вполне естественно
Методы адаптивного оценивания модифицирую!
коэффициенты оценивающего фильтра в соответствии с вновь
поступающими выборками данных Для каждой повой выборки данных
рекурсивный метод оценивания с помощью решетчатого
фильтра дает новые коэффициенты отражения н ошибки
предсказания для каждого порядка фильтра. Изменение каж/юги
коэффициента фильтра для каждой новом выборки данных и
илистей важным в тех областях применения, где требуется быстрая
сходимость или отслеживание быстро изменяющихся во
времени сигналов. Однако дли областей применения с медленной дп
памикоп важны лишь результаты после наблюдения сигнала в
течение некоторого периода времени. Описанные здесь
рекурсивные алгоритмы можно также использовать для изучения
свойств сигнала в течение определенного периода времени
В разд. 5.2 приведена процедура преобразования
коэффициентов решетчатого фильтра в коэффициенты более общего экпп-
валентною фильтра на липни задержки с отводами
Оценивание с помощью рекурсивною метода наименьших
квадратов можно описать математически, ыя этою требуется
корректировка переменных с индексами времени и порядка.
Алгоритмы такого процесса часто сложны. Пиэтому в разд. 5.3
приведены качественные рассуждения, которые объясняют
природу решетчатой структуры фильтра, свойства каскадной орго-
гопалпзнцпп и аналогию с физическими явлениями. В разд. 5.-1
кратко представлены методы аппроксимации для определении
коэффициентов отражения по наблюдаемым ihhiimm.
Преимущество решетчатой структуры фильтра состоит в гим, что она
позволяет эффектпвпп рассчитать тчные решении r).ut метиОч
наименьших кваОраъов, коюрые являются рекурсивными и»
времени. В разд. 5.5 и fi.ti для решетчатых фильтров описана
разработки алгоритма оценивания рекурсивным методом
наименьших квадратов В ра >д 5.7 для них же лап среднекиадра-
> Лмнеинып iipp.'KK.-i.iuiwiKHKiHT фклыц (,ШФ). Jlpnv />o0.

ШИШНЦ, Ih-KypilldHlitM Mi-rudliM HuuMi'H\,\IUlX ЫюЯраПЫ
12$
iii'iDi.iii нормированный алгоритм оценивании методом
наименьших i\Biiдратоь. обладающий лучший» количественными харак-
<« pm тиками.
II [icM.i. Ji.8 обсуждается сложность нычпслепий но этим
алгоритмам. Представлен аффективны» способ реализации алги-
ршма рекурсивного метда наименьших квадратов, иснользу-
ипней ротационную арифметику. Эта ротационная арифметика.
п.i пинаемая CORDlC-apiKJiMeTiiKofi, не попа, поскольку она уже
применялась в микрокалькуляторах ичя вычисления
тригонометрических функций Кратко описывается разработка
кристалла интегральной микросхемы, реализующей для
решетчатых фильтров алгоритм метола наименьших квадратов с ис-
4(1 п. юнаппем CORDIC-арнфметикн. Далее в гл. 7 tan пример
.iiiii.ip.niio» реализации градиентной решетки
И раз.т 5.9 (ли демонстрации возможностей адаптивного
>i гроГилва оценки представлены примеры мо имироваппя с.хо-
liiMocrn "■ режима слежения, использования реальных речевых
и 1 1СК1рофплюло| пческнх сигналов и адаптивных
корректирующих фильтров Поскольку оценивание рекурсивным методом
наименьших квадратов и решетчатые структуры фильтров были
полостью очень активных исследовании, в разд о 10 кратко
p.in \ioipeuo развитие основных концепций.
Гак как выведенные здесь уравнения являются
рекурсивными относительно порядка н времени, то используется
следующая система обозначении. Переменная x(t) является общим
обозначением дискрешзироиаппых во времени данных, а .г»—
конкретная выборка данных спустя Т периодов дискретизации
пси.к- начала оценивания реьуршвпым методом (относительное
прем» Т). Переменные, обозначаемые жирными прописными
буквами, представляю! собой матрицы п.ш векторы. Когда
используются два индекса, первый обозначает порядок, а
второй временной параметр (т. е. А,- /—вектор коэффициентов
предиктора i'-го пори.тка, определенный из данных, поступивших
пи юн. ю конкретного времени 7').
5.2. ОБЩАЯ СТРУКТУРА ЦИФРОВОГО РЕШЕТЧАТОГО ФИЛЬТРА
Обычный цифровой решетчатый фильтр служит для реализации
передаточной функции цифрового фильтра. Сама но себе
решетчатая структура возникла по аналогии с подобными
структурами аналоговых фильтров, обладающих рядом достоинств.
11 данном разделе вводится цифровой фильтр и
рассматривается ею связь с цифровым фильтром примой формы па линии
■ а и'ржкп с отводами.
Поскольку аналоговые решетчатые и многозвенные фильтры
об 1 i цнот нужными характеристиками, были исследованы цнф-

J2fi
/' in en
R
WW-
^>
L
4=c
ic
:>
Рис. 5.1. /X'-:iii.i.(ui MHuiujHi'iiiioio фп.илрм третытя порилкя [ч\: ипш'ши-нпнм
•сипа расчета iivniu.iHi-a ришшчлгого фп.тыр.т (").
ровые фильтры с аналогичными структурами 1 Стример. Z.C-
фильтр Баттерворта третьего порядка, показанным mi put".
5.1, a, имеет структур} простого ;iналогового решетчатого
фильтра. Он упоминается вследствие того, что его частотная
характеристика сравнительно нечувствительна к незначительным
отклонениям значений элементов схемы от пч поминальных
значений. Эту структуру можно преобразовать в обоЛшеппую
решетчатую схему, показанную на рис. 5.1.(3. Последняя и
является решетчатой структурой, рассматриваемой и данном l.ia
Re. Аналоговая решетчатая структура сое тот из последонагель-
иостн идентичных звеньев, причем у каждого звена имеется
пара входных и выходных полюсов. Ли счет разработки
конфигурации цифрового фильтра, подобной аналоговой решетчатоП
структуре, он приобретает многие свойства, тождественные
свойствам аналогового фильтра. Поскольку от реализуемой
структуры цифрового фильтра зависит его чувствительность по
отношению к длине слова, обрабатываемого арифметическим
устройством, решетчатый цифровой фильтр может иметь
хорошие вычислительные свойства
Подобно аналоговым структурам цифровые решетчатые
фильтры состоят из последовательно включенных звеньев с
двумя входными и выходными парами полюсов. Возможны два
ьарпанта цифровых решетчатых конфигураций для реализации

Or<i HiiiuiHiir рапира/оным чстпОч.ч наименьших коидритоп
IJ7
обшей цифровой передаточной функции: асимметричная форма
им базе очного умножителя (рис. 5.2) п симметричная форма
н.| базе двух умножителей (рис. 5.3). В случае асимметричной
решетчатой формы на Oaie одного умножителя структура
нажни о тепа реализует эквивалентную передаточную функцию с
еднистнеппым полюсом и нулем. Алгоритм асимметричного
фи и.тра на бале одного умножителя (см. рис. 5.2) можно най-
1П и работе [224]. Структура этого фильтра вырождается в
линию пиержкп с отводами как ьтя передаточной функции,
имеющей только полюсы, так и для передаточной функции,
имеющей только нули, и следовательно, она для нас не
интересна. Структура симметричного фильтра на базе двух
умножителей не к ы рождаете и, по ьти нее требуется больше
умножителей, чем для эквивалентного фильтра па линии задержки
i отводами. Этот решетчатый фильтр можно преобразовать в
фильтр на базе одного умножителя, чтобы иметь минимальное
число умножителей, по для этого потребуются дополнительные
сумматоры [рис. 5.3. о].
Цепочка решетчатых звеньев, образующих решетчатый
фильтр, может реализовать цифровую передаточную функцию,
причем так. что будут получены преимущества но сравнению с
реализациями в виде стандартной прямой формы, параллель-,
поп или стандартной каскадной формы. Каскадная структура
решетчатого фильтра пропускает прямой сигнал /",(/) и
обратный сигнал Ь,(/) во время / через секцию с номером /.
Запишем основное уравнение, описывающее структуру решетчатого
фильтра (см. рис. 5.4):
L,(t)- M')-*y+.W ').
(5.1)»
■Vмножители в поперечных ветвях решетка А, называют коэф-.
фпцпептамп отражения или коэффициентами частной
корреляции (PARCOR-коэффицнеигамп).
Выполнение передаточных функций цифровых фильтров с-
помощью решетчатой структуры изучалось н работах [ 131, 132].
In.i.iи также установлены канонические формы пространства
состояний (188. 233. 234]. Алгоритм (5.1) определяет
коэффициенты отражения Д.', и коэффициенты передачи ветвей у,- для
решетчатого фильтра, который изображен на рис. 5.3 и эквива-
leinen (при заданной устойчивости) передаточной функции
прямой формы с коэффициентами числителя Ьр, и коэффициеп-
IHMH знаменателя о'\- (из работы [131]). В структуре на базе-
одного умножителя, показанной па рис. 5.3.6. используются
коэффициенты I',*. Хотя решетчатые коэффициенты и
коэффициент прямой формы связаны между собой нелинейным обра-

128
Глава Л
лом. длимый алгоритм является обратимым, таи что
решетчатую структуру можно однозначно преобразовать в фильтр
прямой формы, н наоборот (когда нее корни расположены внутри
единичного круга).
Алгоритм 5.1. Переход передаточной функции общего вида к
передаточной функции реше1чатого фильтра
р
\VZ-,
р
Yafz-i
Sp=l,
For»=/4ol
ft, = -a,'
i»,-ft,'
For / == 1 lo / - 1
a i-i - g/ + A'a''-^
"' "~ 1 - V
continue
continue
END.
Хотя рис. 5.3 и алгоритм 5.1 описывают решетчатый фильтр
для случая передаточной функции общего вида с полюсами и
Рис. 5.2. Цнфроиой «симметричный решегч.-пып фп.н.тр. сн-релаточная функция
которого содержит полосы п нули.

1'ис. 5.3. Цифровой симметричный решетчатый фильтр с двумя умножителям»,
передаточная функция которого содержит пи.носы и нули (а); цифровой
симметричный решетчатый фильтр с одним \ множителем, передаточная функция;
сшорого содержит полюсы и нуди (б).
') —N87

о
а.
а
о
о
X
1-
рз
с
\о
о
!
•а
5
О.
1
•
1 >.
( X )
^ 1-
'
/
Vх)
ь.
к
» +
«-
ы
:
^
С
и;

Чцгпинциие рекурсивным .wwdv.it наименьших квадратов 131
нулями, в остальной части данной главы мы будем обс\ждать
передаточные функции, имеющие только полюсы, и
передаточные функции, имеющие только пули. Для передаточной функции
с одними полюсами (Ьрп= t. bh =0, />П решетчатый фильтр,
называемый решетчатым фильтром с обратной связью, показан
п.! рис. 5.4. Решетчатый фильтр с обратной связью можно нн-
пертровать, применив, например, к рис. 5.4 правило Мейсона.
Полученный фильтр с конечной импульсной характеристикой и
передаточной функцией, имеющей только нули, будет представ-
•1Я1Ь собой решетку без обратной связи, т. е. с прямым прохож-
юннем сигнала (рис. 5.5). Таким образом, решетчатый фильтр
<• прямым прохождением сигнала и решетчатый фильтр с
обратной связью, имеющие одинаковые коэффициенты, выполняют
инверсные операции над входным сигналом. Если сигнал
приложен к решетчатому фильтру с прямой связью, а
результирующий сигнал — к решетчатому фильтру с обратной связью, то
исходный сигнал восстанавливается. В соответствии с правилом
Мейсона коэффициенты отражения определяют параметры как
решетчатого фильтра с обратной связью, так и решетчатого
фильтра без обратной связи с соответствующим изменением
прохождения сигнала. Алгоритм 5.2 дает процедуру
преобразования коэффициентов отражения в коэффициенты линии за-
ле-ржки с отводами, когда поток выборок определяет, будет ли
передаточная функция иметь только полюсы или только нули.
Алгоритм 5.2. Переход от коэффициентов решетки к
коэффициентам линии задержки с отводами
а,1 fe,
Fori = 2to/>
For/= 1 tot— 1
continue
continue
END.
Чувствительность коэффициентов при решетчатом варианте
реализации цифровой передаточной функции общего вида не
была изучена так основательно, как для других известных
пруктур фильтров. Для различных решетчатых конфигураций
были разработаны правила пересчета [218] и оценки шумовых
\.1рактеристик [217] для арифметики с конечной длиной слова.
Оценочные значения шумовых характеристик для решетчатых
фильтров на базе одного умножителя всегда лучше, чем
оценочные значения для решетчатых фильтров на базе двух умно-
9»

132
Гм1ви i
жителей. Оба решетчатые фильтры гораздо лучше, чем фильтр
прямой формы Решетчатые структуры фильтра имеют лучите
оценочные значения шумовых характеристик, чем другие
фильтры, особенно когда ширина полосы пропускания фильтра
становится малой Был разработан нормированный решетчатый
фильтр (требующий большего числа умножений), который
обеспечивает лучшие характеристики, чем другие решетчатые
структуры пли фильтр параллельной формы.
Для реализации передаточной функции требуются
квантованные коэффициенты. Они влияют па устойчивость фильтра и
его инверсного варианта Чувствительность корней
передаточной функции к возмущениям коэффициентов решетчатого
фильтра и фильтра на липни задержки с отводами исследовалась в
работах [54. 55). Влияние изменения коэффициентов фильтр»
на линии задержки с отводами па чувствительность корней
передаточной функции было одинаковым для всех
коэффициентов. Когда корни близки к единичному кругу, квантование ко
эффмцнентов фильтра па линии задержки с отводами ведет к
сдвигу корней перпендикулярно единичному кругу. В случае
передаточной функции, имеющей только полюсы, это
квантование может привести к переметению полюсов за пределы
единичного круга и к неустойчивости передаточной функции. Для
решетчатых фильтров влияние изменения коэффициентов
низшего порядка па расположение корней значительно сильнее,
чем коэффициентов высшего порядка. При изменении
коэффициентов отражения корни стремятся перемешаться по
касательной к единичному кругу; тем самым центральная частота
изменяется в большей степени, чем ширина полосы корней.
Коэффициенты отражения низшего порядка, особенно те из них,
величины которых близки к единице, следует квантовать
тщательнее, чем коэффициенты отражения высших порядков. Никакою
простого эмпирического правила не существует для фильтров
па линиях задержки с отводами. Эффекты квантования коэф
фпциентов решетчатых фильтров наиболее широко изучалнсь-
для случаев применения при моделировании речи. Для
типичных предсказывающих фильтров, используемых при обработке
речи, возможно значительно более 1рубое квантование
коэффициентов отражения, чем коэффициентов фильтра на линии
задержки с отводами; при этом субъективно воспринимаемая
спектральная характеристика сохраняется,
5.3. СВОЙСТВА РЕШЕТЧАТОЙ СТРУКТУРЫ
Решетчатый фильтр имеет более сложную структуру, и для
реализации передаточной функции требуется большее количество
численных операций, чем для непосредственной реализации

Чценнвание рекурсивным методам наименьших квиОрнтов
133
фн.плра примой формы. Однако эта повышенная сложность
«имиеж'нруется несколькими преимуществами решетчатой
Структуры, включающими проверку степени устойчивости,
каскадную ортогонализацию входного сигнала и физическую ни-
н'рпретацпю в виде распространения волны в слоистой среде.
Решетчатая структура фильтра легко получается для иредска-
ii.iii£iioiiiero фильтра, когда применяются условия
ортогональности. В данном разделе представлены свойства решетчатого
оценивающего фильтра. В разд. 5.3.2 для демонстрации
физической интерпретации коэффициентов отражения в качестве
решетчатого фильтра рассматривается модель голосового трак-
ы человека в виде акустическом трубы.
5.3.1. Ортогонапизирующие свойства
b ранних работах, посвященных решетчатой структуре, была
си мечена связь с ортогональными полиномами [45. 156, 211.
219]. Реализации решетчатых фильтров были получены ортого-
шыпзацией пространства состояний передаточной функции с
помощью ортогональных полиномов Цего. Теория полиномов
Него и их применение в теории систем (контроле устойчивости)
и стохастических задачах (теории прогнозирования и
спектральном анализе) обсуждаются в работе [133]. В контроле
устойчивости по методу Шура свойства ортогональных
полиномов используются для определения того, находятся ли полюсы
передаточной функции внутри единичного круга н.
следовательно, устойчива ли передаточная функция. Чтобы осуществить
контроль, сначала применяется алгоритм 5.1 для расчета
решетчатого фильтра, а затем проверяется, не превосходит ли
единицу величина какого-либо коэффициента отражения {ki).
Для задач оценивания уравнения оценки по методу
минимальной среднеквадратичной ошибки можно преобразовать в
уравнения каскадной оптимизации с помощью рекурсивного
метода при оптимальном порядке фильтра. Можно провести
каскадную оценку параметра рекурсивного метода, поскольку он
зависит от величин, ортогональных для разных каскадов. Это
ортогонализирующее свойство сейчас исследовано для
предсказывающих фильтров (с передаточной функцией, имеющей
только нули).
Для предиктора р-го порядка выборка данных во время tt
x(t), аппроксимируется линейной комбинацией предыдущих р
ныборок x(t—1) x(t—р). Чтобы получить минимальное
(начение среднеквадратичной ошибки, ошибка прямого
предсказания fp(t) должна быть ортогональна предыдущим
выборкам данных. Это определяет весовые коэффициенты {at} по

I.U
Г.ыва 5
предыдущим выборкам данных:
/,,(/)=, Л-(/)-f-0,V(/-l)+...+fl,,.v(/-p),
(3.2)
Е (/„(/) х С-/))=-о, 1</<р.
Операция £"(■) обозначает математическое ожидание.
Полученное значение ошибки предсказания называют также
остатком предсказания н.пи нововведением, когда выбираются
коэффициенты таким образом, чтобы получить минимальное
значение среднеквадратичной ошибки. Ошибку обратного
предсказания b,,(t—1) можно аналогично определить для
предсказания д-(/—р—1) из тех же выборок x{t—1) д-(/—р):
b}l(t-l) = x(t-p-l) + clx(t-p) + ...+-cpx(t-l),
(5.3)
E(bp(t-\)x(t-j)) = 0, 1</<р.
Здесь коэффициенты {с,} выбираются такими, чтобы они
удовлетворяли этому условию. Отметим, что обе ошибки
предсказания удовлетворяют одним и тем же условиям ортогональности.
При увеличении порядка предсказания до р-J-l ошибка
/p+i (0 дает компоненту *(/), которую нельзя предсказать
из х((—1), ..., x(t—p), x(t—р—1). Ошибка р-го предсказания
использует всю информацию вплоть до х{(—р), так что теперь
следует включить информацию об x(t), которую можно
предсказать из x(t—р—1). Однако большая часть этой информации
уже содержалась в x(t—1) x(t—р). Ошибка обратного
предсказания bP(t—1) представляет новую информацию в
выборке дг(/—р—1). Допустимым результатом рекурсивного
метода для \P+\(t) будет приводимая формула (5.4), где скаляр
k!p+\ определяется так, чтобы ошибка fP+\(t) удовлетворяла
новым условиям ортогональности:
(5.4)
£(/P+i(')*('-/))=o, i</<p+i.
Единственное ограничение, которое непосредственно не
удовлетворяется, включает x(t—р—1) и задается выражениями:
£(Ы0*('-/>-1))=о,
0 = E(lp(t)x(t-~p-\))-kfp^E(bAt-l)x(t-~p-l)) =
= E{JAt)bAt-n-k^E{bp^{t-\)). (5.5)

' ii|i тишине рекурсивным методом наименьших квадратов
135
I ||>лгт;ш.'!яи (5.3) и (5.4) в (5.5). получаем оптимальное гшаче-
iiiu и и Л-',,+|:
k, _E(fP(i)bP(f-\)) fi
Р+1 _ П (V ('-О) 1 '
\н i ;mi нчно найдем результат рекуррентного метола для
обритого предиктора:
^+1(0=fcP(^-|)-^w,(0.
£(fcp+1(/-l)-v(0) = 0, (5.7)
и определим оптимальное значение А%-м:
м _ E{f.At)b„(t -I»
Для обобщения предсказывающего фильтра на следующий
flo'ita высокий порядок р+2 необходимо вычислить новые
Ошибки предсказания /,,+, и Ь,ц, по формулам (5.4) и (5.7).
! iMivi образом можно построить предсказывающий фильтр,
in пользуя только решетчатую структуру при последовательном
увеличении порядка фильтра Это является свойством каскад-
поп ортогонализацип решетчатой структуры, где независимо
определяется каждый коэффициент отражения. Для фильтра
H.I линии задержки с отводами (5.2) не удается выполнить
ыми- же каскадное вычисление коэффициентов предсказания.
Коэффициенты {а,} являются взаимозависимыми и изменяются
при увеличении порядка фильтра.
Дальнейшее изучение свойств ошибок предсказания выпол-
iii по и работе [214]. Ошибка обратного предсказания
получали и путем ортогонализацип типа Гоа.м — Шмидта набора
верти сигнала с временной задержкой. Это свойство
ортогональных переменных делает решетчатую структуру
предпочтительном для адаптивной фильтрации. Кроме того, легко определя-
I'loi уменьшение энергии сигнала после каждого каскада
предки lanini. Эту особенность можно использовать для мясштаби-
ршыпия ошибок предсказания с целью сохранения хороших
р.к четных .характеристик алгоритма. Ниже суммируются нам-
Ли lee важные из рассмотренных свойств:
А. /=Р.
(5.10)
£(UW-1))={*' ("Р* (5.9)
I 0, 1 sS/</7.
£(U0M'))=<V. »</<p.

136
Глава 5
(5.11)
£(&p(f-l)&,(/-l)) = K' [-Р]
10, 1 ^ / <. p.
(5.12)
<+1 = a/(l-W)-
Кхлда сигнал .v() является стационарным н
автокорреляционная функция известна, энергии ошибок прямого и обратного
предсказания в каждом каскаде идентичны (о',, = о'',,). Тогда
два коэффициента отражения равны н симметричная
решетчатая структура на базе двух умножителей позволяет рассчитать
эти ошибки предсказания с помощью рекурсивного метода.
Если принимается допущение о том, что моделируемый сигнал
является стационарным, то единственный коэффициент
отражения к определяется путем комбинирования оценок выборок
данных к' и к1'. Такой решетчатый фильтр с постоянными
коэффициентами является решетчатым фильтром с прямым
прохождением сигнала (5.1): он рассмотрен в разд. 5.2. Для
нестационарных сигналов адаптивные оценки получаются из
коэффициентов отражения, изменяющихся во времени.
Коэффициенты отражения тесно связаны с коэффициентами
частной корреляции, обладающими рядом интересных
статистических свойств. Функция корреляции межд\ x(t) и х(1—р—I),
после того как исключается их взаимная линейная зависимость
от происходящих выборок {x(t—1) \(t—P)}. имеет вид
£(7;>(0^/'(0)- Это выражение следует из ортогоиалпчнруюшнх
■свойств решетки. Функцию корреляции после нормировки па
дисперсию /,, и h,, называют коэффициентом частной
корреляции р-го порядка. Автокорреляционную функцию
стационарного дискретного во времени процесса с единичной дисперсией
можно однозначно охарактеризовать последовательностью
коэффициентов отражения, меньших или равных 1 [21, 267J. Для
любого авторегресснвного (АР) процесса р-го порядка
коэффициент частной корреляции более высокого порядка с
запаздыванием p-\-i (/=1, 2, ...) равен пулю. Для
стационарного АР-процесса выборочные опенки коэффициентов частной
корреляции являются асимптотически гауссовыми и
независимыми (подробнее о статистических свойствах см в работе
[243]).
В таких применениях, как подавление шума или коррекция
канала связи, ортогонализнруюшие свойства решетки
представляют первоочередной интерес для достижения быстрого слеже-

> i \. ни mm и г iwKtjiuuoHbiM методом наименьших квадратов
137
nit'I и in i мнимости (см. разд. 5.6). Ошибки обратного прсдска-
' 'пин b,(t) широко используются, так как они представляют
ufiini результаты ортогопализацнн Грам — Шмидта версий
серии псиных импульсов с различной временной задержкой.
I 3.2. Физическая интерпретация
!'• пкгчатая структура и коэффициенты отражения имеют фнзи-
|| кую интерпретацию, которая для частных классов сигналов
ч 1>б Did понимание свойств решетчатой структуры. Модели-
pun пик распространения волны в слоистой среде приводит к
I' i.) iy решетчатых фильтров. Эта модель была применена
IpuncioM п Робинсоном [304|, а также Бургом [44| п други-
■ п L.DI обработки сейсмических сигналов. Физические свойства
|i и < ишающеп среды приводят к методам инверсии, основанным
и» и.икадпых отражающих звеньях, например описание линий
in ре кип (электрических) [127] или голосового тракта чело-
)|| к.1 |126]. Аналогично в области акустики и обработки речи
ниш» акустической передачи со ступенчатыми изменениями
импеданса приводит к решетчатой каскадной структуре. Голо-
iiniiii !|>акт человека моделировался каскадом секций акустн
'К'скпл трубок с различными пмпедапсамн. Эта взаимосвязь
между физиологической системой и решетчатой структурой
при uiei физический смысл коэффициентам отражения; она
привела к разработке систем синтеза речи с использованием
решетчатой структуры. В остальной части данного раздела рас-
м.мривается преобразование модели голосового тракта в виде
iKyrriiческой трубы в решетчатый фильтр [99, 219. 26(i].
В работе [176] в качестве модели голосового тракта была
р усмотрена линия передачи без потерь в виде каскада
акустических трубок, представляющих собой цилиндры различного
ni-iMcipa, no одинаковой длины. Эта модель голосовою тракта
изучалась для улучшения понимания механизма речеобразова-
iimsi п синтеза речи с помощью ЭВМ. Звуки речи создаются
нотами давления, резонирующими в голосовом тракте
(акустических трубок). Смысл этой модели заключается в том. что со-
с пшенные в виде каскада цилиндры образуют звенья
каскадной решетки. Области поперечных сечений смежных цилиндров
iшределяют отраженную и проходящую компоненты акустиче-
i кой волны, которые можно преобразовать в коэффициенты
шражеппя решетки.
Звуковые волны, распространяющиеся в цилиндрической
секции, подчиняются уравнениям сохранения импульса и массы
(принимаются обычные условия; см. [266]). Поскольку площадь
поперечного сечения n-й трубки является постоянной, сочетание
шкапов сохранения приводит к одномерному волновому урав-

1.1Л
Глава 5
пению. В установившемся режиме этому уравнению у кжлетви-
ряют объемная скорость и,(х. /) и давление р,(х, /),
являющиеся результирующими для воли, движущихся в прямом к1
и обратном и направлениях:
др () ди
дх ~ A dt '
Ои А др
д.\ ~~ рс- ~дГ'
(6.13)
/»|^«-8г|У('-т-)+'""('+-г)].
где о — плотность воздуха, с — скорость звука в воздухе, а/1,—
площадь поперечного сечения акустической трубы (см. рис.
5.6, а). Если все эти трубки имеют одинаковую длину L, то
необходимо, чтобы на границе между трубками / и j+l
распространение волны было непрерывным:
,7,(7., /)=//,-,«">, /).
p,(L. D=p.-,(0. /).
Используя граничные условия, можно определить скорость
прямой волны и ,+| и отраженной волны и , на границе.
ит,.,т-(1+Л,) «/;*(/-T) + fe,n\t(f)t
(5. И)
"Г(/+т) = -кр? (* —г) + (I -ft,) и'ш (t).
Здесь t = L/c — время распространения через секцию трубы,
а А\ — коэффициент отражения волны па стыке сечений А, и
ЛнУ-
Поскольку все площади поперечного сечения положительны,
— 1^Л,^1. На рис. 5.6, а и б показано распространение волны
при наличии скачка площади поперечного сечения.
Структуру решетчатого фильтра можно получить, нормируя
переменные и группируя временные задержки. Модифицируя
(5.14), можно представить скорости в /-физической секции па

а
л.-i
/■
v
х, = о
А..,
P..I
",•1 = 0
Площадь
поперечного сеченая
Объемная скорость
I
Волна давления
О -©
0- ©'
1-и.
Z^©"—©■
■".♦1
flTl(0
*- I (I)
b„((t)
Рис. 5.6. Распространение во.шы в акустический трубе, рассматриваемо!! как
решетчатый фильтр, а — акустическая труба; б—передаточная функция при
наличии разрыва между трубками i и i+l; о — аквпва.юнтный решетчатым
фильтр.

140
Глава 5
границе с (i-f-l)-H секцией через скорости воли в (/+1)-й сек-
цни:
1' ^ т' Пр*/ '
(5.16>
„,- (* + т) - "^i(0-^"Vi(M .
1 ' Л/
Привязка к абсолютному времени производится па выходе
последней секции труби, которую физически можно
интерпретировать как губы человека. Полагая, что модель голосового тракта
имеет р трубчатых секций, для времени задержки от начала /"-й
трубки до губ получаем t,= [p+\—i")t; следовательно, в ураи-
11С11П11 для 1-й секции переменная времени заменяется на t—/,-.
Для объединения (!+/„■;) коэффициентов от i-ii трубки до
последней (р-п) секции (|убы) вводится масштабный
коэффициент с,-:
г, fl(l+*/)=(l+*/)t'i+r
Уравнения для решетчатых фильтров получаются нз (5.16)
путем введения абсолютного времени и определения новых
переменных (см. рис. 5.6, в):
МО = <•/«/*('-**—*/),
b,{t)-=ctur(t + r^-t,),
(5.17)
МО-ЫО-МыС-2*).
M0=W-2»)-*ift+.(0-
Это точно такое же уравнение, как составленное раньше из
условий ортогональности (5.4) п (5.7). за исключением того, что
единичная задержка равна 2т и решетчатые секции
пронумерованы в порядке убывания
Хотя моделирование полного голосового тракта включает и
другие эффекты, которые вызывают голосовые связки
(голосовая щель) и форма губ, распространение волны во рту в
идеале соответствует уравнениям решетчатой структуры.
Исследования показали, что форму любого приемлемого
голосового тракта можно создать с помощью решетчатого фильтра н
что коэффициенты отражения непосредственно связаны с
площадью поперечного сечения голосового трик та [219|.
Для других типов сигналов, если они генерируются или если
их можно моделировать в виде распространения волны в сю-

"i( hihuihiw рекцрсинным меттУом наименьших квадратоп
14!
in юн среде, интуитивно предпочтительной является модель в
ни к- решетчатой структуры. Физически генерируемые npoii.ee-
< i.i ч.кто бывают нестационарными, но существует предел
скорей in. с которой может изменяться процесс. Форма голосовою
ip.iM.i (за исключением губ) может изменяться лишь с до
iinii.no медленной скоростью, определяемой в основном муск\
ими языка. Кроме тех случаев, когда происходит внезапное
раскрытие губ, площадь поперечного сечения голосового тракта
изменяется медленно и, следовательно, коэффициенты
отражении гикже изменяются медленно. Это медленное изменение но
премии! можно выгодно использовать в адаптивном
оценивании или квантовании параметров
Можно интуитивно попять смысл величин коэффициентов
птряжения, так как можно рассматривать решетчатую струн-
пру фильтра как аналог процесса распространения волны н
илуссической трубе. Не так легко интерпретируются
коэффициенты линии задержки с отводами. В то время как
коэффициенты отражения лежат в пределах —I <:&,-<: I. коэффициенты
л нпналентпой линии задержки с отводами бывают в 10 раз
f< . 1Ы11НМП. Когда коэффициент отражения равен пулю, енгпа.т
[>;н прострапяется без изменений до тех пор, пока смежные
секции трубки имеют одинаковую площадь поперечного
сечения Когда коэффициент отражения близок —I. сигналу свой-
• тонны высокорезоиапепые или осциллирующие
характеристики, поскольку волна полностью отражается, если следующая
секция трубы замкнута (т. е. поперечное сечение равно пулю)
II наоборот, если коэффициент отражения близок к +1, амплн-
i\ ia сигнала обычно уменьшается, поскольку при сильном вог
растапнн площади поперечного сечения вблизи границы
происходит полное излучение в прямом направлении Эта связь меж
iv физическими свойствами распространения волны в
акустической трубе и аналогичной решетчатой структурой фильтра в
шнчителыюн мере способствует интуитивному пониманию
влиянии значений коэффициента отражения па характеристики
сигнал ii
5.4. ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОТРАЖЕНИЯ
ПО ВЫБОРКАМ ДАННЫХ
Истинное преимущество решетчатого фильтра проявляется,
если он используется в адаптивной фильтрации, где необходимо
определять характеристики неизвестного процесса по
наблюдаемым выборкам данных. В остальной части главы предстаилеи
адлптивпый решетчатый фильтр, и котором для корректировки
коэффициентов отражения применяется каждая очередная вы

142
/'.Inrtij .5
борка данных. В -лом разделе представлены методы
аппроксимации, оценивающие коэффициенты отражения на основе
градиентного подхода или па основе оценок статистических
характеристик выборки (блока) чанных. В разд. 5.5 начата
разработка точного рекурсивного решения для оценивания по методу
наименьших квадратов, которое легко приводит к решетчатй
•структуре фильтра. В разд. 5.7 представлена более простая
система рекурсивных уравнений, в которой использованы пормп
роваппые переменные.
В самых ранних методах оценивания коэффициентов
отражении допускалось, что сигнал является локально
стационарным. Следовательно, для статистического определения
коэффициентов отражения (5.(5) и (5.8) использовались апнроксима
цип выборки данных. Когда процесс v() является
стационарным с известной автокорреляционной функцией, энергии
ошибки прямого и обра того предсказания в каждом каскаде олн
маковы (о-'; = о'\). Таким образом, коэффициенты отражения для
прямого и обратного предикторов равны, и для каскада peiuei-
чатого фильтра необходим единственный параметр:
/;,.(') /И" *;.АС 1),
bui(t)=*bj[l 1) kj.j'jit). |.\|Й;
В методах блочных данных используется временная
последовательность данных и определяется единственный
предсказывающий фильтр для данного полного блока. Путем
комбинирования оценок по выборке данных к' н к1' рассчитывается
единственный коэффициент отражения каскада решетки. Гх.тн
используется среднегеометрическое /?•' и к'\ то коэффициент
отражения превращается в коэффициент корреляции между /', и
bj. Параметр /?' первоначально был назван коэффициентом
частной корреляции (PARCOR) [156]. Ои представляет собой
нормированный условный коэффициент корреляции между х(1)
и x[t—j—I), задаваемый промежуточными выборками данных
x(t-\) x(t-j)
г
V ffinbjV- l)
■'+1 /т f
r / 1 I 1
Выражением для kj+l, минимизирующим E(f'2}yi(t)) +
-\-E(b2j+,(t)), является средпегар.монпческое к' н к1'. Эта
оценка /?в проще вычисляется и связана с методом максимальной

i i\i нпвание рекурсивным яетпвом наименьших квадратов
143
нпронин Бурга [45]:
т
* V. = !=± . (5.20)
И определениях (5.19) и (5.20) дли коэффициентов
отражении используются блоки из Т выборок данных и,
следовательно, фебуется много вычислений. Для It,!, требуется 7' выборок
/, и !>,. Для вычисления k;+i надо выполнить решетчатую
фильтрацию в (y'-fl)-M каскаде с целью получения Т новых значений
для /';+| и й;+|. Очевидно, для этого требуется Р шагов
фильтрации 2Г выборок для определения /; коэффициентов
отражения
5.4.1. Градиентные оценки коэффициентов отражения
\ tariTHBiibie градиентные алгоритмы для определения коэффп~
цветов отражения значительно уменьшают вычислительную
1.1ожпость метода оценивания. Для градиентных методов
необходимо знать лишь ошибки предсказания в предшествующий
момент времени. В методе блочных данных требовалось знать
псе предыдущие значения ошибок. Было предложено несколько
способов адаптации коэффициентов отражения для каждой
тишь наблюдаемой выборки данных. Эти способы не мппимн-
inpyioT какой-либо критерий, а пытаются изменить
коэффициент отражения в направлении уменьшения энергии ошибки
предсказания (т. е. в направлении убывания градиента). Два
класса градиентных методов либо аппроксимируют
определение отражения (5.20), и оно принимает вид суммы
коэффициента отражения и корректирующего слагаемого, либо отдельно
аппроксимируют числитель и знаменатель. При наиболее
промой корректировке коэффициента отражения [134] нспользу-
Ю1СЯ ошибки прямого и обратного предсказания, взятые с
весом ее:
M'+i)=Mo+«{Mofy-i(<-i)+/;-i(owm. tf-21>
Э\у оценку можно улучшить, заменяя весовой коэффициент
нормированным по энергии членом \la](t), где c,(t) —
суммарное среднее значение величин /'2, i(/)h Ь'1, \(t—I) [135. 214]:
kJ(t+i)=kj(t)+^-{fJ(i)bJ .(f-o+Zy-aoMO). (5-22)
ov(0 = (1 -p)с,(/-1) + (/V,(0 + P}-\('-»))P.

144
Глави 5
В другом классе градиентных методов адаптивная оценка [213,
214J получается путем аппроксимации отдельно числителя и
знаменателя выражения (5.20). Для обоих членов
используется один и тот же весовой коэффициент а. Отношение этих двух
членов становится оценкой коэффициента отражения:
cj(t+l)= (l-rt)tvW + 2^.1(0ViC "О,
(l,[t+l)^0-a)dj{tf+f*J.l(t) + bij.l{t-]), (5.23)
Это отношение — формула смещенной оценки, поскольку,
вообще говоря, Е(х1у)ФЕ(х)/Е(у); моделирование показывает, что
смещение обычно очень мало [146].
Сходимость решетчатого фильтра происходит гораздо
быстрее, чем адаптивного фильтра па линии задержки с отводами
[153, 280]. Это обусловлено тем, что решетчатый фильтр
приводит к ортогонализацип входного сигнала, и оценки
коэффициентов, таким образом, становятся ие связанными между собой.
В действительности время сходимости почти не зависит от
собственного значения скорости распространения сигнала (т. е. не'
зависит от спектрального динамического диапазона сигнала)
| 134]. Количественные характеристики свойств сходимости
градиентных алгоритмов оценки коэффициента отражения (5.22)
и (5.23) изучались в работе [I46J. Дву.чстадийпый градиентный
решетчатый алгоритм сравнивался с двухстадинным МНК-гра-
днептом фильтра на линии задержки с отводами, чтобы
показать, что для фильтра па линии задержки с отводами
возможна, но маловероятна более быстрая сходимость, чем для
решетчатого фильтра. В работе [114] методы решетчатого
оценивания, в которых используется градиент, сравниваются с
методами, в которых используется определение коэффициентов
отражения для блока данных (5.21) — (5.23).
Такого ортогонализирующего и развязывающего свойства
решетчатого фильтра можно добиться асимптотически только
при использовании градиентных методов оценивания,
представленных в этом разделе. Рекурсивный решетчатый фильтр,
использующий дли оценивания алгоритм метода наименьших
квадратов, разработанный в следующем разделе, точно решает
задачу ортогонализацип сигнала для каждой повой выборки
данных. Оптимальное решение аналогично нормированному по
энергии решению для решетчатого градиентного фильтра
(5.22), за исключением того, что вместо постоянной $
вычисляется оптимальный весовой коэффициент. Этот решетчатый
алгоритм рекурсивного метода наименьших квадратов имеет
даже более быструю сходимость, чем описанные выше градиент-

< )ц. цшшнш рекурсивным методом наименьших квадратов
145
ПЫ1 методы оценивания. Однако, когда число выборок данных
(Hi i ыцпонарпого процесса) увеличивается, результаты, полу-
н-пные -ни градиентной решетки и для решетки, реализующей
viimiii наименьших квадратов, становятся одинаковыми.
S.S. РЕШЕТЧАТЫЙ АЛГОРИТМ РЕКУРСИВНОГО МЕТОДА
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Ргпи'матый алгоритм рекурсивного метода наименьших квад-
[i.nnh (РНК) позволяет производить корректировку точного
решении, полученного методом наименьших квадратов, для
i .i/i кш вновь наблюдаемой выборки данных. В данном методе
1 ыпшнпого оценивания используются свойства решетчатого
фильтра для эффективного осуществления адаптации. Алгоритм
1*11 К подобен описанным в предыдущем разделе градиентным
унчпд^м оценивания, за исключением того, что в нем вычисля-
юкя оптимальные весовые коэффициенты. Алгоритм РНК рас-
i м;ирнвается в данном разделе как обобщение алгоритма Ле-
нппсопа на решение нормального уравнения.
Решение, полученное методом наименьших квадратов,
применительно к задаче линейного моделирования можно свести к
простой системе линейных уравнений, называемых
нормальными уравнениями Юле — Уокера (см. разд. 3.2). Эти уравнения,
||к.1ючающие обращение ковариационной матрицы, широко изу-
чм.'шсь с целью уменьшить объем вычислений, гарантировать
устойчивость моделей и иметь возможность обрабатывать
нестационарные процессы. Здесь задача линейного моделирования
представлена для случая линейного устройства предсказания
( шпейпого предиктора).
Линейная модель предсказания допускает, что выборку
данных во время 7", Хт. можно аппроксимировать величиной Хт,
1 е. взвешенной суммой предшествующих выборок данных. Для
шириной функции предсказания р-го порядка имеем
Хрт— —aixr-i •••—#рХт_р, (5.24)
1 ie а\...,ар — коэффициенты. Они должны выбираться
такими, чтобы минимизировать среднеквадратичную ошибку оценки
Г/1.7 относительно истинного значения хт. Ковариационной
матрицей р-го порядка процесса х(-) будет матрица R^.
составлен па я из элементов г,-,,:
Rp = Е [Х| т : Т-р | X7- | т : Т-р [],
X, Т : Т-р | = [ХТ *r-i •■• xT-pV , (5.25)
rt j = Е \хт. i xT.j], 0 ^ (, / ^ р.
ЧюПы минимизировать среднеквадратичную ошибку предсказа-
10— и «7

146
Глава 5
ния, необходимо для функции предсказания выбрать такие
коэффициенты {а,}, которые будут удовлетворять уравнению
(5.26), называемому нормальным уравнением:
1
™п [«,,}£{{Хт—Хр.т)*)—Rj-
-ЯР_
О
О
(о.26>
где ор — минимальная ошибка. До тех пор, пока процесс
детерминированный, существует единственное решение v-равиепия
(5.26).
Вообще говоря, для линейной модели р-го порядка решение
нормального уравнения включает обращение ковариационной
матрицы размерности рХР- При использовании стандартных
методов обращения матриц, например исключения Гаусса,
требуется выполнить 0(ря) вычислений (умножений). Однако для
стационарных случайных процессов ковариационная матрица
является матрицей Теплица
о =^;, у < р.
ти-
щ-
С помощью алгоритма Левннсона нормальное уравнение в
форме Теплица можно решить, выполнив 0(р2) вычислений.
Алгоритм Левннсона представляет собой рекурсивный метод, в
котором с целью получения решения для функции предсказания
(i-J-l)-ro порядка используется решение для функции
предсказания 1-го порядка. Этот алгоритм выполняет ортогона.цшацню
сигнала, как описано в разд. 5.3. Коэффициенты отражения
связаны с коэффициентами функции предсказания и
получаются как побочный результат алгоритма Левннсона. В случае
Теплица можно непосредственно определить коэффициенты
отражения без использования коэффициентов функции
предсказания [192]. Здесь уже применяется алгоритм Шура. Если
ковариационная последовательность (г0, г г,,) строится в
соответствии с увеличением порядка решетчатого фильтра, то
коэффициент отражения в каждом каскаде можно определить как
отношение прямой ошибки к обратной ошибке на входе
данного каскада [234].
5.5.1. Постановка задачи рекурсивных оценок
При разработке решетчатых алгоритмов рекурсивного метода
наименьших квадратов важными будут два аспекта решения
нормального уравнения. Во-первых, эффективное обращение
ковариационной матрицы в форме Теплица и не в форме
Теплица увеличивает порядок корректирующих рекурсивных вычисле-

i\i minitmii' рекуритнмм метчЯо» наименьших itiiiulpaTim
147
nun Ио-вторых, структура с временной корректировкой позволя-
t\ иичислпть точные решения рекурсивным метолом наименьших
• и i футов для каждой новой выборки данных. Это дает
возим пость для решетчатых алгоритмов достигнуть чрезвычайно
in.li трон сходимости и прекрасного отслеживания. Первый
выпи ! решетчатого алгоритма рекурсивного метода наименьших
! к i футов можно рассматривать как расширение приближения
!(нппсопа. основанного на коэффициентах функции предока-
1 iним Как только были получены результаты рекурсивною
меты, было замечено, что с помощью параметров решетчатого
фи п.гра их можно записать в более компактной форме. В ра-
fii>i.i\ | 188. 190, 285] сообщалось о последующем пепосредст-
III пнпм выводе рекурсивного уравнения, использующем
геометрическое приближение, в которое входят лишь коэффициенты
отражения и параметры решетки. Далее приводится описание
черного вывода, поскольку оно позволяет заглянуть в природу
рекурсивного метода. Разработка рекурсивного метода для
корректировки порядка и временной корректировки для решетча-
Hii\ алгоритмов, основанных на специальных структурах нор-
м 1.1ЫЮГ0 уравнения, производится в соответствии с
приближением, данным в работе [188].
Мели порядок функции прогнозирования изменяется и до-
f>.шляются новые выборки данных, то прежде всего
необходимо использовать структурные свойства ковариационной
матрицы Ковариационная матрица порядка р для выборок данных
[\„ у' = 0, 7"}. приводимая здесь, предварительно обработана с
помощью функции окна:
Rj г= X,- г X ^ т,
хй... xt..
R,,=
хт
0
(5.27)
(5.28)
имеет следующие структур-
Ковариацнонная матрица R,-.r
инк свойства. Если обработке подвергается новая выборьа
мппых л'т+i. то новая ковариационная матрица будет
представит» сумму предыдущей ковариационной матрицы и матрицы
Специальной формы. Уравнение для временной корректировки
кппариацнонной матрицы имеет вид
R/.r+i — Rjir +
Хт+i
\х
Г+1
' XT-i+l\-
(5.29)
_Xr-i+l_
Ковариационная матрица t-J- 1-го порядка, таким образом,
спюржпт ковариационную матрицу t'-ro порядка. Приведем мат-
!()•

148
Глава Г>
рпчные уравнения для корректировки порядка
R,- т »
»ы.г-Г' ;
L* Ki.T-i
(5.30)
где * — неопределенные элементы но внешней строке и
внешнем столбце. Для разработки рекурсивного решения
необходимо, чтобы нормальное уравнение ^5.26) было расширено с
помощью вспомогательных векторов Векторами прямого и
обратного предсказания будут А,.# и С, т соответственно. С помощью
вектора D, г учитываются новые выборки данных. Эти векторы
входят в следующее матричное уравнение, являющееся
расширением уравнения (5.26):
О'; г
Кг т [А, ТС[ tDj И =
0
о
о
а'
О
0
О
° IJ
хт
x-r-t
XT-i+l
XT-i _
,Т1 »
1]Т.
(5.31)
Aj,r= ll " i,t
**1,т — Iе'i,t ••' c i,г
Ошибка прямого предсказания /, 7 и ошибка обратного
предсказания Ь, т определяются, как в формулах (5.2). (5.3) при
х,г т-1\ [см. выражение (5 25)]:
Л,г= A1 tl х1Г: t-i\,
(5.32)
^i,T = CTi>rX| Г: T—i |-
Для расчета конечного набора выборок данных вводятся
вспомогательный вектор Dji7 н соответствующий скаляр fi,r:
Di.T = R-,«.rX|r:7-_<i, (5.33)
Yi.T=VTi.T*\ Г : Г—» | —- X7, r:r-t|R-il,rX|r:r-i|. (5.34)
Данный параметр -у,-.т- можно интерпретировать как
коэффициент правдоподобия: он изменяется в диапазоне 0^-jfivr^l
(см. разд. 5.5.5).
5.5.2. Уравнения корректировки порядка
Как и в алгоритме Левинсоиа, эффективный способ
определения решения л-го порядка заключается в разработке
рекурсивных уравнений для корректировки порядка функции
предсказания (в заданный момент времени). Следуя обычному спосо-

/■)(|i'Mii/i(/Mfii' рекурсивным методом наименьших квадратов
149
f>\ составления рекурсивных уравнений и полагая, что векторы
Л,/ 11 С,.7 известны, надо определить предсказания (i-J-l)-ro
порядка. Таким образом, векторы Ai+u и С,+\л должны
удовлетворять следующему нормальному уравнению:
R
1т1
т[А,+1 тС(+1 г] —
О
О
о
1.Т
Поскольку в выражение для вектора A,-4lT должны входить
векторы А,-.г и С,.г |, эти предсказания /-го порядка для
получения (i+l)-ro вектора должны быть дополнены в конце (или
и начале) нулем. Из (5.30) следует, что дополненным вектор
Л, т удовлетворяет новому нормальному уравнению, за
исключением последней позиции;
R
'+1,Г
[о',Г]в[",,Т;][о,,Г]=^.'0-ОАм.гГ. (5.35)
Д|+1,г = |Последняя строка Rj+i.rl i,T • (5.36)
Аналогично вектор C,-.t~i
удовлетворяет нормальному
пой позлипн:
дополненный
уравнению, за
в начале нулем,
исключением пер-
II
(■ 1 Г
[с
= [ГМ.Г0
R/.t.,J[c,.
F,+1 т — |Первая строка Ri+1 rJ
,Г-1
O^.t-iF,
(5.37)
[с° 1
.Ч.Т-lJ
Поскольку матрица R,+i T симметричная, нетрудно видеть, что
А/+|.7 = Гг+|,7 [45].
Должным образом комбинируя эти два уравнения для
исключения ведущего или конечного члена в нормальном
уравнении, находим уравнения для корректировки порядка. Умножая
(5..47) на Ai+i.r/o'i.7-1 и затем вычитая результат из (5.35), для
рекурсивной корректировки порядка А,,г и ofj,T получаем
A'4.*-[VHr° ]lT*-' (5'38)
^M.r^o'j.r-
А*л|,г
(5.39)

150
r.iaea ;>
Аналогично для корректировки порядка С,.#- и сЛ\-# намин и
результат рекурсивного метола:
Ci*i.
Г 0 1 ГА,,Г] у,.г
Кг-,] L 0 J "''.г
aeiti.T = o°! r-i
(3.40.1
(5.41)
Если уравнения корректировки порядка для функции
предсказания умножить слева на [хт ■ ■ Хт-i i]. то получим решетчатые
уравнения. Для коэффициентов отражения /?'h-i.t и /?''i+i.7
имеем:
fuuT = fi.T — **».i.i-Vr-i-
*Vi.:
•^1-4,7'
_ А,--,.г
(5.42)
(5.43)
(5.44)
(5.45)
До сих пор составление алгоритма проводилось в том же
направлении, как это делалось для неадаптпвного приближения,
описанного в разд. 5,3. Для получения адаптивных решений
необходимо разработать уравнения временной корректировки
для устройств предсказания. Прежде чем перейти к временным
корректировкам, аналогичным образом разрабатывается
рекурсивный метод для корректировки порядка матрицы Di.rt
R
1+1. Т
D,.r
0
R
i,T
0
= \XfXT_l ... XT„t *] .
Последний элемент Dj+i.t можно найти из последней строки
R-,i+i.T с помощью (5.32) и (5.33):
Последний элемент Di+i.r равен последнему элементу
(R'S+l.r) Х[ Т : T-i-l | = -~
0Ь/+1,Г
Поскольку последний элемент Cf+i.r равен 1, а последний
элемент D,+i,f определен, уравнение корректировки порядка для
Di+i,r принимает вид
MV]
I Г bi+l.T
+ Ч+1Т —г
° i+l,T
(5.46)
Корректировка порядка для fi.r проводится путем умножения

Оценивание рекурсивным методом наименьших квадратов
151
обеих частей матричного уравнения (5.46) на вектор [л>...
л--, ,]:
Y^it — T»,t +
п if).Г
(5.47)
5.5.3. Уравнения временной корректировки
Чилее для проведения временных корректировок векторов
функции предсказания используется временная корректировка
ковариационной матрицы. Из уравнения временной
корректировки ковариационной матрицы (5.29) и определения ошибки
прямого предсказания (5.32) получаем
К
J.T+1
А, т —
°fl.T
О
О
О
+
. XT-Ut —
[xT...xT.l]'T\ijT. (5.48)
Вспомогательный вектор D,.-j используется для учета новых
выборок данных:
О
О
D|-i.r
L^i-i.tJ |_* R;-,.r_L
— XT-UI —
Выражение для рекурсивной временной корректировки А,-.г
получают из (5.48) и (5.49):
О
Xf
, (5.49)
А; г+1— Aj т —
\хт ... xT_i] А, г.
(5.50)
.D)-i.tJ
Умножая слева обе части матричного уравнения (5.50) на
вектор [л'т+|...л-г /+i] II используя определение (5.34) для ч,-\.г.
можно получить
/i.r+i
\хт • • • Хг-А А( т = ■
(5.51)
I — Tf-1.7-
В результате выражение, описывающее временную
корректировку для Aj.T, упрощается:
" 0 "
D/-i.r.
"i.T+l— А(_г-
(5.52)
Теперь с помощью выражений (5.52) м (5.29) можно опреде-

152
Глава 5
лить временную корректировку для а', /■:
(5.53)
I- 17-i.r
Применяя аналогичные способы, находят выражение для
временной корректировки С,-.т и а'1;./-:
o6/.T+i = o"iiT-l-
О
fc/-.7-+)
1-Y/-i.r4
' — Vi-i.r.i
(5.54)
(5.55)
Для вывода выражений, описывающих временную
корректировку коэффициентов отражения, необходимо иметь уравнения
временной корректировки для А:
Ю CT,,TlM/4l.r+i
О
*(+i,i+i-
(5.56)
С помощью уравнения для временной корректировки
ковариационной матрицы (5.29), выражения для временной
корректировки С,-г и функций прямого и обратного предсказания
получают уравнение временной корректировки для А:
Д|"+1,Т+1 — Д( + 1,Г +
bj.Tfi.T-
Т/-1.Г
(5.57)
Точная временная корректировка &щ.г определяется как
среднее по времени от взаимной корреляции между Л,,г п /', 7+i с
учетом специального коэффициента усиления 1/(1 — -у, \.г)- Это
связывает Дг+1.т с коэффициентами частной корреляции,
обсужденными в предыдущем разделе.
При разработке уравнений временном корректировки
допускают, что на текущие оценки параметров оказывают
суммарное влияние все предшествующие выборки данных. Если
аппроксимируемый процесс содержит изменяющиеся во времени
параметры, то желательно, чтобы более свежие наблюдения
учитывались с большим весом. В разработку данного
алгоритма может включаться экспоненциальный весовой коэффициент
К для суммируемых ковариаций [см. (3.16) |. Типичные
значения X составляют от 0,98 до 1,00 (что соответствует полному
учету всех предыдущих выборок). Представленные в
последующих разделах алгоритмы содержат этот экспоненциальный
коэффициент.

#i|i'MiiH(iMn<' рекурсивным методом наименьших квадратов
153
5.5.4. Точные выражения для решетчатых фильтров на основе
рекурсивного метода наименьших квадратов
До сих пор рекурсивные выражения были выведены для век-
гпров функции предсказания и матриц А,,г, С>,т и Di,r. В слу-
i.ii предсказывающего фильтра Р-го порядка для получения
иыраженпй требуется выполнить 0(Р2) операций на времен-
пун) выборку, так как все коэффициенты для функций пред-
iкпзапмн изменяются при корректировке порядка. Однако для
решетчатой структуры вследствие ее ортогопализирующего
характера при корректировке 1-го порядка изменяется только t'-й
коэффициент отражения. Точное выражение, поручаемое
рекурсивным методом наименьших квадратов, можно представить
[[(.■посредственно через переменные решетчатого фильтра; для
мою потребуется выполнить лить О(Р) операций на одну
временную выборку.
Рекурсивные выражения (5.42) — (5.45) служат для коррек-
1Нровки порядка переменных решетчатого фильтра /',■•#■ и Ьи,
выражения (5.39) и (5.41) —для корректировки порядка а'-,,т
и о1', т. а выражения (5.53) и (5.55)—для временных
корректировок. Коэффициенты отражения, определенные выше,
зависят от величины Л/+1.1+1, которая связана с коэффициентами
частной корреляции. Здесь необходимым дополнением
корреляции для новой выборки данных является временная
корректировка (5.57) для Д|+|.т+[. В этих корректировках
требуется также учитывать корректировку порядка -у.-.^-, определяемую
ныражепием (5.47), Очевидно, что, используя эти рекурсивные
выражения и оптимальное взвешивание с коэффициентами
'/(1—Y'-i.')> можно вычислить выборочные перекрестные ко-
нарнациоппые моменты ошибок прямого и обратного
предсказания. Из разд. 5.4 следует, что градиентные решетчатые
уравнения имеют такую же форму, как вышеприведенные, за
исключением того, что для каждой новой выборки данных в точном
рекурсивном решении по методу наименьших квадратов
рассчитывается и используется оптимальный весовой коэффициент.
В алгоритме 5.3 представлена полная система рекурсивных
выражений для корректировки порядка и временной
корректировки, обеспечивающая получение точного решетчатого
выражения для функции предсказания на основе метода наименьших
квадратов (РНК). Когда в решетчатый фильтр поступает
сигнал, выполняют свои функции только те каскады, которые
принимают выборки данных, причем это делается до тех пор, пока
не будет обработано Р выборок [т. е. используется
минимальное число каскадов фильтра {Т, Р), где 7'—помер выборки
.Lllllllhix].

154
Г.шва 5
Алгоритм 5.3. Рекурсивный метод наименьших квадратов
(РНК) для решетчатых фильтров; скалярный случай для
экспоненциально взвешенных данных
Входные параметры:
Р — максимальный порядок решетки,
X — экспоненциальный весовой коэффициент (обычно от 0.98
■до 1.0).
л'j —выборка данных в момент Т
Переменные:
А;.т — коэффициенты частной автокорреляции,
f/л— коэффициент правдоподобия,
/.л. "1.7—ошибки прямого (обратного) предсказания,
а',/. сь,л — коварпацни ошибки прямого (обратного)
предсказания,
A'i-'.г, kbi.r—прямой (обратный) коэффициент отражения.
Начальные условия:
/<1.П==*'о.(1г=А"(1» О0,С~Ой,0~Г(1'
А,-.1 = 0. т.,,,-0. \<i<P.
Итерация для каждой новой выборки данных:
Для выборки данных хг предыдущих результатов для Л.
•у, Ь, а', а1' имеем:
10.Т — "O.T = XTt
ofo,T == 0*0 .г = to'o.r-1 + х*т ■
Для каждого каскада решетки i = 0, min (T,P) —1:
Л — 7Л J_ bi.T-\fi.T
л1+|.т —лл/т1.т-! + -.—
Уй.т = У1-1.т + -э?-
1 - V.-i.r-f
•-— t
когда
пли же
ь. — А'+1.г
'+1 ' л •
ль _ Али,г
ll + l.T — li.T A j+j/rfy.T-l'
fy + l .T = bi _ г-1 —k'i+t.T fi ,T.
T ^ PafM T = of, iT — #,+1,г ДltliTt
0*,Ч1 .T = «ЬЛГ-1 — А'м.Т АШ .Т.
o/<ti.T='Ag/,ti.T.1+ ,л;'-г .
I — Ус.т-i

<)i{, HuiiuHin рекурсивным методом наименьших квадрате
1Г>5
S.S.S. Коэффициент правдоподобия
Информацию об изменениях, происходящих в характере
наблюдаемого процесса, можно получить из переменной v,, ,■.
Эту переменную можно интерпретировать как аппроксимацию
П.1 основании выборок данных статистического коэффициента
правдоподобия. Для гауссова случайного процесса с нулевым
средним .V совместное распределение для {xTxT-i ... хТ-г>} зада-
i к я выражением
/)(.rT...jrT-p)="|2nRP|-1/*exp [ j-xT, 7-:Г_Р К_|рх1 г:г-рЛ .
(5.58)
lie |R,,| —ковариационная матрица, определяемая формулой
(5 25).
Детерминант ковариационной матрицы |R^| связан с
коэффициентами отражения и дисперсией процесса RD [219]
следующим образом:
|К,>1 = ЯоПО-К2,)- (5-59)
1-1
Логарифм выражения (5.58) становится логарифмической
функцией правдоподобия, состоящей из двух частей: два
первых члена зависят от ковариационной матрицы процесса, а
третий член основан на наблюдаемых выборках данных:
lg правдоподобия = |1п #0-f2] 1п (1 —ЛГ2^! +
+ хГ,Г:Г-Р|К-1рХ|Г:Г-1|. (5'60)
Переменную ^Р.т. полученную с помощью точных выражений
рекурсивного метода наименьших квадратов, можно
интерпретировать как выборочную оценку третьего члена в (5.60).
В определении ^рт используется выборочная оценка
ковариационной матрицы Пр.? вместо известной ковариационной
матрицы RP. Таким образом, переменная ^я.т служит критерием
правдоподобия того, что Р последних выборок данных {х-,, ...
,.., хт-р) взяты из гауссова процесса с выборочной оценкой
ковариационной матрицы Rp.t, определенной из всех прошлых
наблюдений {xj, O^y'^7'}. Переменная fPtT изменяется в
интервале O^Tff.T^L Малая величина fP/l указывает на то, что
последние выборки данных являются, вероятно, выборками ил
гауссова процесса с ковариационной матрицей Rp.t- Величина
Iv.t, близкая к 1, означает, что, если текущий процесс считать
гауссовым, наблюдаемые выборки данных станут непредсказуе-

156
Глава S
мыми: либо новые наблюдаемые выборки данных посчупают
из другого гауссова процесса вследствие изменяющегося но
времени характера физического процесса, либо в наблюдаемом
процессе содержится иегауссова компонента. Поэтому т> ,
можно рассматривать как величину, которая .характеризует
изменения в статистике процесса или позволяет установить
появление непредсказуемых (негауссовых) компонент в
наблюдаемом процессе. Моделирование показало, что т>7
действительно принимает значения, близкие к 1, когда происходят
внезапные изменения наблюдаемого процесса. В РНК-а.тгорнт-
ме ч(|>7 действует как коэффициент оптимального усиления, ибо
новая выборка данных уменьшает суммарную оценку н
(1—fp.r) раз. Этот коэффициент усиления показывает, что
изменения в статистике процесса мгновенно влияют на оценку,
и это влияние сильнее, чем усреднение с прошлыми
наблюдаемыми выборками данных. В разд. 5.9 показаны результаты
моделирования, демонстрирующие такое поведение при обработ
ке синтезированных и речевых сигналов.
5.6. РЕШЕТЧАТЫЙ ФИЛЬТР
В СЛУЧАЕ СВЯЗАННЫХ ПРОЦЕССОВ
Для решения многих практических задач требуется проапалп
зировать взаимодействие двух или более связанных процессом,
а не предсказывать изменение процесса на основании преды
дущих его наблюдений. Например, для определения
характеристик искажения канала в фазе адаптации в корректирующим
фильтр поступают из канала искаженные сигналы и
действительные переданные по каналу сигналы. В устройстве
подавления шумов для извлечения информации используются сумма
информационного сигнала и шума и опорный или шумовой
сигнал. Рекурсивный метод наименьших квадратов для
связанных процессов обеспечивает очень быстрое отслеживание или
адаптацию при коррекции канала или подавлении шума.
Оценивание авторегрессивных процессов со скользящим средним
(АРСС) с известным входным сигналом включает анали.т
взаимодействия двух связанных процессов. Вообще говоря,
многоканальную задачу можно сформулировать как задачу для
единственного векторного процесса, которую можно решить,
распространяя на векторный случай предыдущее решение,
полученное методом наименьших квадратов.
Когда одни процесс у необходимо оценить по данным
наблюдения за связанным с ним процессом л-, то можно
объединить эти процессы в один процесс (х, у) и обработку его
реализовать с помощью решетчатого фильтра для случая
связанных процессов. Точное решение по методу нанмепьшпл

' 'цгшншнчс pcKi/pi ивным методом наименьших квиОрапш
157
1 li.i ipaioB, получаемое при оценивании связанных процессов,
проставляет собой обобщение решения, приведенного н
priri. Ъ.Ъ. Определяется новая ошибка предсказания, которая
in no'iaei выборки и* обоих процессов. Ошибка совместного
предсказания (г. е. ошибка предсказания для связанных
прописок Р-го порядка) //.,7 является ошибкой оценивания ут из
имГюрки {.v7, л> 1, , а г г}'
1 ii {#/'}— коэффициенты функции предсказания, полученные
минимизацией суммы квадратичных ошибок. Решение (5.61)
можно выразить через параметры реше!чагой структуры как
р«3 так, как была преобразована едипавеипая функция
предсказании процесса (5.32) в (5.42). Решетчашй фильтр с пред-
к.иапием преобразует л, путем ортогонализации Грам —
111 м ид 1 а <.\'7 ,} во взаимно ортогональные ошибки обрат ною
предсказания {br ,}■ Использование ортогональных величин
[/>! ,} вместо {.V; ,} в (5.Ы) имеет ш преимущество, что
коэффициенты функции предсказания для связанных процессии
становится несвязанными друг с другом, поэтому возможна
он,ice быстрая сходимость.
Решение для решетчатых фильтров, полученное s случае
мопанпыч процессов, включает РНК-алгорш м для процесса
i и аналогичное рекурсивное выражение для ошибки
совместною предсказания /,-,». В РНК-алгори1ме для процесса л в i'-m
каскаде величина решетки /?,,т является ошибкой обратпою
предсказания, о''/,т—е^ дисперсия, а коэффициет
правдоподобия равен -у,-!./-. Новый член взаимной корреляции /V;,?-,
подобный (5.57), можно определить для сигналов, полученных
после /то каскада peuiei кн /, i / и /),7, Этот новый член можно
корректировать с помощью рекурсивного метода:
V,., /.A',,,-.+ ''-'•* Ь'-т ■ (5.62)
1 - VV-i.r
Рекурсивное выражение для ошибки совместного предсказания
l,i подобно (5.42), за исключением того, что теперь
используются величины, полученные после /-го каскада решетки. При
начальном условии / i.r = tjt и выходном сигнале 'ц,,т имеем:
h,T = ii-i.T ^&!.г. Ф-Ы)
Предыдущие выражения для случая одного канала, дополнение
(5.(>2) и (5.63), позволяю: получить полное решение задачи
оценивания связанных процессов, т. е. описывают решетчатый
фильтр, когда имею: место связанные процессы (рис. 5.7).

*'i|i Hi4ntiMuf /к-кургивны.ч методом наименьших квадратов
139
II »адачах подавления шума маскируемые шумом данные.
Содержащие полезный сигнал {ут}, наблюдаются вместе с шу-
wmiNM или опорным сигналом {л>} (см. [137, 279]). В задачах
коррекции канала через канал посылается известная обучаю-
iiiUH последовательность импульсов {ут}, а на выходе получа-
км искаженный каналом сигнал {хт}. Применение алгоритма
ргиктчатого оценивания для связанных процессов при адаптив-
|ц)ц коррекции данных изучалось в работал [280, 282].
in чача оценивания в случае АРСС-процесса с известным
ичодпым сигналом и с предварительно оцененным выходным
. щ налом сформулирована в работе [191] как задача для решет-
'i.iioio филыра Если обозначить входной процесс через у, то
ныходпым АРСС-процессом будет процесс х. генерируемый
■ к* 1ук)|цнм образом:
я р
XТ + X Qi ХТ-1 = УТ +2,bi УТ- (•
1=1 1 = 1
Уравнение для функции предсказания можно записать для
процесса а-, если входной процесс у считать известным. Эта
функция предсказания выводится из результатов разд. 5.5, но теперь
она включает взвешенную комбинацию предыдущих
выборочных значении входного процесса у:
р р
*г= — 2 °1*т-»+2 Ь1Ут-1-
1-1 i=i
Аналогично уравнение для функции предсказания можно по-'
пучить для процесса у, если процесс а' считать известным; оно
получается путем обобщения (5.61) на включение взвешенной
комбинации предыдущих выборочных значений процесса х:
р р
i=i (=1
Виктории процесс \хт, уг\ имеет структуру, подобную
обсужденной ранее для скалярного АР-процесса. Теперь ошибки
предсказания являются векторами, а ковариации являются
матрицами. Алгоритм АРСС-решетчатого оценивания следует
скалярному РНК или НККРНК-алгоритму (НККРНК-норми-
рованная иа корень квадратный решетка для метода
наименьших квадратов), но теперь величины являются векторами и
матрицами. Коэффициент отражения стал матрицей 2X2.
Дальнейшие подробности можно найти в работе [191].

шо
Глава a
5.7. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ С РЕШЕТКОЙ,
НОРМИРОВАННОЙ НА КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ
Сложность рекурсивных выражений можно уменьшить, а
численные значения переменных улучшить, если переписать
решетчатый алгоритм для метода наименьших квадратов через
нормированные переменные. Метод наименьших квадратов с
нормированной по корню квадратному решеткой,
разработанный Ли [188], приводи: тишь к трем рекурсивным выражениям
на порядок для каждой временной выборки, когда все три
переменные имеют единичную дисперсию. Переход от
РНК-метода к НККРНК-методу требует нормирования двух видов.
Нормирование по дисперсии масштабирует переменные с
учетом их собственных дисперсий. Нормирование по
оптимальному весовому коэффициенту с учетом коэффициента
правдоподобия f также необходимо. Здесь кратко представлена
разработка НККРНК-метода (более подробно см. в работе
[190]).
Прямая и обратная ошибки предсказания после
нормировки обозначаются v,-.7- и \\i.T соответственно. Нормирующими
коэффициентами будут корни квадратные из дисперсий о',-,-/ и
о'',-,7- и корень квадратный из оптимального весового
коэффициента (1—Yi_i.r_,):
^r«^(e'«>r)-|'e(l-Y^..T-,)-i'*.
(5.64)
4i ,г-| = Ь' .г-< (°*i .t-i)'1''2 0 -Yf-i.r-i)-1'*.
Комбинируя два коэффициента отражения из РНК-алгоритма,
можно определить нормированную частную корреляцию р,-.7'
подобно тому, как определялся коэффициент корреляции. Этот
единственный параметр является новым коэффициентом
отражения:
р|+,.т = (°'*.г)~1/2 А,+,.т «г-,)"1'2. (5.65)
Сначала из РНК-алгоритма выведем рекурсивное
выражение для коэффициента частной корреляции (5.65). Дисперсия
ошибок предсказания (с экспоненциальным весовым
коэффициентом К) приводят к рекурсивному выражению для
временной корректировки [см. выражение (5.53)]:
Ло'|.т-|-о/|.г—т—— •
1 — Уе-i.T-i
Деля это выражение на afi,r и используя определение для
Vf.r. временную корректировку дисперсии можно гвязать с по-

Оцгтншнис рекурсивным метоОим наименыпих квиОритов
Ifcl
им vi! переменными и поручить сося ношения для ошибок пря-
vim о и обратного предсказания:
Ь°У- „ 1 -у', f, (5.6G)
^tii. = l-i,V. (5.67;
14-курсивное выражение для временной корректировки в
случае нормированных частных корреляций получают путем
подстановки выражения (5.57) для Д;+|.-/ (включая экспоненци-
ялмшн весовой коэффицпет ?) в (5.65):
А,,1.т = Дм.1-1+ !'ЛГ-У/,Г • (5-68)
Р/+,,г = (о^,г)-^(?Лч,,г ,+ ,'" ''"'■' iK.r-,)-'^.
V I Vi-i.r-i /
Норный член можно заменить согласно определения pi+i,r-i.
.1 шорой член будет \ч.тЦ}.т-\'-
<»,(1,Г = М^«iTyi>s(oft.r-iV-'p,,, r-i(obii7-2)-1/2(<-.r-iV' + Vf.T'liT-i-
Mi-пользуя (5.66) и (5.67), можно упростить новое выражение
ч.!я временной корректировки в случае нормированной
частичной корреляции:
- Pw.r-O-vYr^PM.T-iO -n'/.T-i^ + Vj.rilf.T.,. (5.69)
1еперь рекурсивные выражения для решетчатого фильтра
можно представить через эти новые переменные. Рекурсивные
ммражения корректировки порядка для ошибок прямого пред-
i качания (5.42) можно записать с помощью нормированных
коэффициентов частичной корреляции:
(1 -Yi.r-,)1'2 v,tllT (a//4l,T)1/s = (a',-,7.),/2 (^.t-Pi^.t^.t-,) X
X(l -iVj.r-i)1'"-- (5-70)
Чюбы упростить данное выражение, необходимо вывести с
помощью РНК-метода два уравнения для корректировки
порядка: для коэффициента правдоподобия (5.47) и дисперсий
ошибки предсказания:
1 —Yi,r= (1 — Ti-i.t)(1 —Т'г.т).
a't,1
Используя эти соотношения, выражение (5.70) можно привести
к простому выражению для нормированных ошибок прямого
I I—МЙ7

1Ь2
Гшва 5
предсказания, а также получить аналогичное выражение для
ошибок обратного предсказания:
v,v, r-d -pCi.r):i/2(v-,r-pl+1,7 4i>-,)(4 -tff.r-i)-1". (5.71)
U+,,r = (l-pJ,+1.T)-1,20l,-.r-,-!',-.i.rV(.7.)(l-v2,i7)-ia. (5.72)
Теперь мы имеем выражения (5.69), (5.71) и (5.72)—это
рекурсивные выражения для решетчатого фильтра; они
позволяют вычислить нормированные ошибки предсказания {v} и
{i]} и коэффициенты отражения {о} для каждого каскада
решетки и для каждой выборки данных. Чтобы начать
вычисление рекурсивных выражений при величинах дисперсии, равных
единице, требуются соответствующие начальные условия
Коэффициенты отражения, используемые в НККРНК-мего-
де. все еще имеют значения, ограниченные 1, но теперь ошибки
предсказания также являются ограниченными. Чисто
рекурсивных выражений для решетчатых фильтров уменьшилось с шести
до всего лишь трех на каждую корректировку по времени и
порядку. Необходимо выполнить операции извлечения
квадратного корня. Это можно эффективно сделать с помощью
поразрядных рекурсивных алгоритмов, например CORDlC-метода
(обсуждаемого в следующем разделе) Простые рекурсивные
выражения и их потенциально лучшие численные значения
позволяют отдать предпочтение НККРНК-алгоршму по
сравнению с ненормированным РНК-алгоритмом.
Только что развитый НККРНК-метод применяется для
экспоненциально взвешенных данных. Однако использование
экспоненциального весового коэффициента л, входящего в
(5.68), в этих рекурсивных выражениях неочевидно. При
объединении грех рекурсивных выражений временной
корректировки для о',.7. а1', 7 и &i+yr в одно рекурсивное выражение для
рж.г влияние /. не прослеживается. Когда используется новая
выборка данных, экспоненциальный весовой коэффициент
применяется для оценки дисперсии выборки. Алгоритм 5.4 (см.
ниже) в конечном игоге приведет к оцениванию по методу
наименьших квааратов с решеткой, нормированной на корень
квадратный. Во избежание'деления на пуль дисперсия выборки
RT начинается с некоторой величины о.
Хотя НККРНК-алгоритм представляет собой очень
эффективный и компактный алгоритм, при использовании ею могут
возникнуть сложности из-за необходимости вычислять
квадратные корни. Анализ величины ошибки в фиксированной
точке для данного алгоритма [278] показал, что вычисление
квадратных корней с помощью арифметики с конечной длиной
слова приводит к небольшим смешениям для коэффициентов

Оцгнноание рекурсивным методом наименьших квадратов
163
(■1|) |>кения. В оценке это смещение преобладало над диспереи-
tfi ошибки и обычно было весьма малым. Смешение возрастало
но мере сокращения длины слова или по мере приближения
экспоненциального весового коэффициента К к 1.
Алгоритм 5.4. Метод наименьших квадратов с решеткой,
нормированной на корень квадратный (НККРНК), при
экспоненциально взвешенных скалярных данных
Входные параметры:
Р —максимальный порядок решетчатого фильтра,
h — экспоненциальный весовой коэффициент (обычно
от 0,98 до 1,0),
о — исходная дисперсия,
Хт — выборка данных в момент времени Т.
Переменные:
Rt—оценка дисперсии х,
р[.г — коэффициент отражения,
Vj-.r — нормированная ошибка прямого предсказания,
t]i,t — нормированная ошибка обратного предсказания.
Начальные данные:
°о = ° ~г" х"о>
Pi.o-0, \<t<P.
Итерация для каждой новой выборки данных
Новая выборка данных хт и предыдущие результаты r\iT-\,
Pi+i, r-ii Rt—\'
Rt == "Rt-it^ г»
Для каждого каскада решетки прн i от 0 до min(7, P)—1:
Pl+I.T = Vl— ^2«.Г|^1— ^f.T-lPl+l.T-l+Vj.Ttll.r.,,
V - vl.T — Pi+i.T^(.T~i
4i+i.r =
Vl-pVi.r Vl-V»,,r
II*

164
Глава 5
5.8. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СЛОЖНОСТЬ И CORDIC-АРИФМЕТИКА
Сложность решетчатого фильтра превышает сложность
эквивалентного фильтра на линии задержки с отводами. Однако
решетчатый фильтр имеет много выгодных свойств, которые
нехарактерны для более простого фильтра. Аналогично
реализация адаптивного решетчатого фильтра требует несколько
большего числа операций, чем адаптивного фильтра на линии
задержки с отводами. В табл. 5.1 сравнивается вычислительная
Таблица 5.1. Вычислительная сложность
Алгоритм
мнк
Градиентная решетка
РНК
НККРНК
2
6
й
10
-*-
0
1
6
2
Г"
0
0
0
а
2
13
7
6
сложность нескольких алгоритмов адаптивного оценивания.
Количество вычислительных операций для решетчатого
фильтра в 3—6 раз превышает количество вычислительных операций
для простейшего адаптивного фильтра на линии задержки с;
отводами (МНК). Однако это увеличение вычислительной
сложности приводит к существенно более быстрой сходимости,
к лучшим численным значениям коэффициентов и обеспечивает
гарантию устойчивости фильтра. В табл. 5.1 дана оценка
сложности нескольких адаптивных алгоритмов. Масштабирование
производится с помощью постоянного весового коэффициента
(например, h или р обычно аппроксимируются как сдвиг
показателя степени на 2). Таким образом, это фиксированное
масштабирование не включается в число операций. МНК-алгоритм
является градиентным методом наименьших квадратов,
используемым для пинии задержки с отводами. Градиентным
решетчатым алгоритмам соответствую! выражения (5.22) и (5.18).
Алгоритм 5.3 обозначается как РНК, а алгоритм 5.4 — как
НККРНК. Число операций подсчитано для случая, когда
единственный каскад фильтра выполняет обработку единственной
выборки данных. Чтобы фильтр /V-ro порядка обработал Т
выборок данных, потребовалось бы в NT раз больше
вычислений.
Самым сложным из этих алгоритмов является НККРНК-
алгоритм; чтобы осуществить корректировку для каждого
каскада решетки при каждой новой выборке данных, требуется
три раза извлекать квадратный корень, 10 раз умножать и два
раза делить. Однако НККРНК-алгоритм имеет -очень
компактную форму, содержащую всего лишь три уравнения, перемен-

Оценивание рекурсивным методом наименьших квадратов
Шо
иые которых имеют ограниченные величины. Для аппаратной
реализации НККРНК-уравнений потребовался бы специальный
аппаратио реализованный умножитель повышенного быстро-
чействия, а при использовании микропроцессоров общего
назначения потребовалось бы значительное время для
выполнения расчетов. Даже при использовании сдвига и сложения
вместо умножения и метода Ньютона для операций извлечения
квадратного корпя необходимо было бы затратить
значительное время на расчеты
В результате использования вращающейся системы
координат для интерпретации решетчатых уравнений в работе [9]
была разработана эффективная реализация решетчатого
алгоритма, нормированного на корень квадратный и использующего
CORDIC-арифметику. Цифровой компьютер во вращающейся
системе координат, разработанный Волдером [316],
представляет аппаратную реализацию итеративного алгоритма для
расчета тригонометрических функции, выполнения операций
умножения, деления и извлечения квадратного корня. CORDIC-
гпгоритм интерпретирует перечисленные функции как вращения
нектора в различных системах координат. Это вращение
осуществляется в результате последовательных операций сдвига и
сложения. Такой тип арифметики не нов; он применялся для
иычисления прямых и обратных тригонометрических функций
в микрокалькуляторах. Многие другие алгоритмы обработки
сигнала, например дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
и обращение матриц, также могут выполняться в массивах
памяти CORDIC-процессоров [12].
5.8.1. CORDiC-арифметика
В хорошо известном уравнении, описывающем поворот
вектора [х,, {/,]т до нового положения [а;,+ь i/i+i]T, используются
синус и косинус угла поворота 6:
cos 6 sin 6
*'+1 =
&+i .1
—sin 6 cos 6 J у,-
I ребуется выполнить четыре операции умножения иа две
тригонометрические величины. Компьютер может быстрее
выполнять эту процедуру, если преобразовать данное уравнение в
последовательность малых вращений специального вида так,
чтобы каждое вращение выполнялось только с помощью
сложений и сдвигов. CORDIC-арифметика была унифицирована
до единственного уравнения [323], которое допускает вращение
либо по кругу (пг=1), либо вдоль линии (т = 0), либо вдоль
гиперболы (т=: — 1). Единицей приращения вращения при i-й

1%
Глава 5
итерации является предопределенная последовательность (ft,-)
и ju;=±l, что задает направление вращения:
!/;-i — иЛ 1 У,-
(5.73)
Последовательность {ft,} должна выбираться такой, чтобы
удовлетворять некоторым ограничениям, которые обеспечивают
сходимость итераций. Для получения вычислительной
эффективности при обычной аппаратной реализации компьютера,
в котором используется представление данных в двоичной
системе счисления, для ft,- выбирается целый отрицательный
показатель степени, равный 2. Это позволяет выполнять
умножение на ft, как сдвиг.
Уравнение (5.73) описывает вращение и изменение масштаба
в соответствующем пространстве координат. Вектор [xq, i/o]t
можно представить в виде обобщенной радиальной
составляющей R0 и обобщенном угловой составляющей Ф0:
Rn = Vx20 + my20,
Для случая кругового вращения эти выражения дают истинное
представление вектора в полярных координатах. Выполнение
операции в (5.73) масштабирует радиальную составляющую с
помощью величины г,- = У1—mft,2 и изменяет угловую
составляющую на ф, = /»_1/2 arc tg (ft,V»i)- После р итераций, новыми
радиальной и угловой составляющими будут Rp и Фр:
фт> = фо~2 ^ «Pi = Фо-2 to m~l/i arct6 (б< V«).
(5.74)
Сходимость итераций и эффективное выполнение вращений
чрезвычайно сильно зависят от определенного заранее выбора
fti. Каждый тип вращения (/н =—1,0, +1) имеет различный
предопределенный набор положительных приращений б,-,
которые задают фиксированные радиальное и угловое приращения
(п, ф,). входящие в (5.74). Внутри области сходимости
(ограниченной полным возможным вращением) на
последовательность {фг} были наложены такие ограничения, при которых
поворот на любой угол Ф должен происходить за р шагов (от

Оценивание рекурсивным методом наименьших квадратов
167
О дп cpj,_i) [323]. Эго гарантирует, чти дискретность расчета
(угловое разрешение) равна срfJ_, за р шагов При
соответствующем выборе набора приращений {о,} каждая успешная
итерации повышает точность конечного результата примерно на один
разряд.
К CORDlC-уравнению (5.73) добавляется дополнительная
переменная zv, в которую входит сумма угловых составляющих
крашения:
п
Zp = Z0 —5>,1р,. (Г)'75)
i !
CORDIC-уравиение можно последовательно применить к трем
параметрам х, у, z. Функция, которая должна быть вычислена,
получается путем приравнивания нулю либо у, либп z. Часто
начальным значением другой переменной г или у является О
или 1. Знак вращения р., при каждой итерации выбирается
таким, при котором искомый параметр сдвигается по
направлению к 0. Операции вращения реализуются путем приравнивания
г,, к 0, а векторные операции — путем приравнивания у,, к 0.
Интерпретацию (5.73) как вращение по кругу, вокруг
липни и гиперболы можно понять из графического изображения.
Например, вращение по кругу (т = 1) вектора [х0, г/0]т Д<>
исктора [хр, 0]т позволяет вычислить arc tg(f/oMoJ■
Направление вращения н* при каждой итерации выбирается таким,
чтобы еще сильнее приблизить у, к 0. Последовательность малых
угловых шагов {цч}, предопределенная с помощью {о,}, с
соответствующим знаком суммируется в гр, и мы получаем отвег.
Па рис. 5.8,0 показано, как происходит это вращение. Радиус
круга увеличивает предопределенную величину г,- при каждом
шаге вращения. При вычислении arc \-g{yi)/x0) нет
необходимости учитывать это изменение радиуса. Однако величина .v;,
стала масштабированным квадратным корнем, где
масштабирующий коэффициент известен заранее:
р
1 = 1
Изображенный на рис. 5.8, а блок с тремя входами и тремя
выходами используется для описания функции, значение
которой вычисляется с помощью CORDIC-вращения. При
начальном значении z0, отличном от нуля, приравнивание zt к нулю
гкнволяет определить sin го и cosz0 [см. рис. 5.8, а].
Для случая вращения вокруг линии радиальная
составляющая всегда равна 1, а угловая составляющая интерпретируется
как величина yt. Для приращений имеем г,= 1 и ф,- = б,-. Резуль-

168
Глава 5
(х4.у4)
Векторизация
Вращение
— Rp^x'+y2 х—| Кругов
-О
У —
— z+arctg(y/x) z- z —6
m=l
—Rp(xcosz-yeinz)
—Rplycoez+xeinz)-
<^=
R
(х0.У0)
/
/txi.yd
= 1
]
p
•Ф0
Векторизация
x —
У
Линейн
m=0
-О
Вращение
у—0 —z+(y/x) z— z—О
Линейн.
у —I т=0
— y+xz
-О
Rj Hi Rq
Векториэвция
Вращение
х— Гиперб
у—jm=-1
у-0
hRp^-y^ х-
-О
— z+arctg (y/x) z- z—О —
Гиперб,
у— т=—1
—Rp(xchz+yehr)
—Rp(ychz+x«hzl
в
Рис. 5.8. Примеры CORDlC-операцнн а — CORDlC-oiiepaniia: вращение по-
К|)\гу; о — CORDlC-операцня: вращение вокруг линии; в — CORDlC-операция:
нращение вокруг гиперболы.
гат применения CORDlC-процедуры показан на рис. 5.8, б.
Этим способом можно выполнить операции умножения и
деления.
Исходя из рис. 5.8, в и рассматривая вращение вокруг
гиперболы, можно вычислить гиперболические функции sb, ch,
arc tg и квадратные корпи. Поверхность вращения
представляет собой набор точек, находящихся на постоянном расстоянии
|.v2—if- от начала координат. После каждой CQRDIC-процеду-
ры гипербола сдвигается на фиксированную величину \ 1—dj2y
ближе к началу координат.

Оцснинание рекурсивным методом наименьших квадратов
К.')
S.8.2. Решетчатая фильтрация с помощью вращений
Решетчатые уравнения, нормированные на корень квадратный,
имеют простую интерпретацию — они описывают вращения,
й помощью CORDIC-арнфметпки можно эффективно pea
.1 плавать три рекурсивных уравнения [9, 10]. Структура
НККРНК-алгоритма предполагает, что он выполняется с
помощью вращении. Поскольку v, р и ц всегда имеют значения, не
превышающие 1, их можно интерпретировать как косинусы
VIлов. Более того, если .i" = cos6.v, дополнением х будет х' =
- ^I —.v2 = sin в.,-. НККРНК-уравнення можно записать с иомо
нц.ю компактной системы обозначений:
IV.| r=V\— V*,tT\ I— lft.T-iPm,T I + Vi.tHi.T !—••.= V l|f|i + VI|,
l' I Г
viT ~ Pf+l.r'lt Г-1
Vi-pwVi-
Ч-.,т =
VI
■P'l + I.T
V~
'VVr
Пи."
V —
{*■>
»l -
I'+'l
nc
P-i V
pf+VC
Лтя удобства использовались следующие сокращения.
P = Pi + I.T-M Р+=1-»/+|.Г.
v = V|iTl v+=v,-+ir,
НККРНК-уравнения корректировки можно полностью записан.
н виде единственного матричного уравнения, используя для \-
н и матрицы вращения:
В левой части уравнения (5.76) первая матрица описывает
попорот на угол 6T = arccosv, а третья матрица — поворот на
угол (),,=arc cost]. В результате имеем полную корректировку
для р и частичные корректировки для \ и i| (член, отмеченный
• не представляет интереса). Чтобы получить полные коррек
тровки для v и п., нужно разделить соответствующие величины
па |)%. С помощью CORDIC-операций можно непосредственно
реализовать матричное уравнение (5.76).
Для выполнения НККРНК-алгоритма на базе итегралышй
схемы предполагается использовать два параллельно
соединенных процессора, причем каждый из них последовательно
выполняет пять функций [9, 10]. Процесс вычисления (5.76) проис-
Vе
- V
V
Vе
■р 0
0 1
rf
Л
__
—л
лс
р+
р%+'
\
V'Jfp + Vf|
Vе TJ—})VT|<
P'+v+
«
vrf pi)vL
ven*+pvi|
(5.76)

II
1-
**
II
1-
СО
II
t-
04
11
1-
II
1—
(
+
+
я°г+
к О О
1 " '
£ Е н
U +
о.
и +
о.
с
С*
t-
с;
■в
СО
О
°] 1
•а 7 °
§ II 1
if E >.
1
-1
*+
.
V
Q.
b
X
т
ol
Oi , ,
1
S •- о
£ | 1
*: Е ы
и
г1
1
И
°
и
с-с-
,о.
6 <£
а <а
V
1 ° °
I " 1
*-
о
ю
О
О
сг
О.
■О
ш
О! Q.I
О
* 7 о
| и 1
if Е *
"с- OJ
»- о
х с;
с; to
Ч i
5 ё
(И Q
ct | | о:
О - 1 с-1 О О
О U
+
*f | о | ,+
il О О
1 11 1
а Ё "
tx+
St
д
*
л
м
3
X
Л
СО
о '
°|
ё - О
а и t
"
с-
a
ч>
Q Ч?
<0 «?
<0 1
5- ">
m х
*1°1 с
■ i i
*о о
I К <
I? E N
о.
X
X
у
2
1 Г ' | " " ш
«г 1 О 1 1 1
~| °| f
£ - °
a il I .
Х g N
St
е 1
с ой
2 ■
a 1 о 1
°1 1
*о *~ о
1 » !
if E *•
1 1 1
X
5
X
2
- а о
S
о
га
<у
о.
О
5
(X
о
и
ей
из
и
X
о.

йценицанне рекурсивным методом наименьших квидратпв 1~1
\о цп в три этапа: поворот на угол 6V, умножение матрицы
1> П.-1 матрицу вращения i| и деление на р'+. CORDIC-операцпи
(|Ш(. 5.10) выполняются в следующем порядке: сначала
вычисляется о, i| и v, а затем (>+, i|+ и \-+. В функциональных элемеп-
ы\ используются обозначении, показанные на рис. 5.9. Для
расчета поворота на угол Hv= arc tg(v/v) непользуется
кругони u CORDIC-омерацин с помощью процессора 2 в интервалал
иремени 1 и 2. Поворот матрицы р на угол й„ соответствует
диум умножениям (линейный CORDIC): умножению pi|'' с
помощью процессора 1 в интервалах времени I и 2 и умножению
|))| с помощью процессора 2 в интервале времени 3. Для
поворота на угол 6V используются круговые CORDIC-оиерацни с
помощью процессора I (интервал времени 3) и процессора 2
(интервал времени 4). Это обеспечивает корректировку р и
частичные корректировки для v и п.. Во временном интервале
5 процессоры корректируют v и i) путем деления предыдущих
результатов на р'+. Сигналы, которые выходят за пределы ип-
и'рвалов времени, должны сохраняться в буферных ЗУ. В
каждой CORDIC-операции используются 16 итераций, и в
результате получается точность почти в 16 разрядов. Интегральная
счема могла выполнять НККРНК-алгоритм десятого порядка
для импульсного сигнала с частотой 8 кГц в реальном маенла
бе времени. При этом предполагается, что стандартные
правила конструирования интегральных схем позволяют созда!ь
кристалл среднего размера, работоспособный при частоте
синхронизации 20 МГц.
5.9. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕНЕНИЯ
Моделируемые сигналы. Генерировались моделируемые енрпа
лы с различными характеристиками и фиксировался отклик
алгоритмов решетчатого оценивания. Эти сигналы включали
белый шум, возбуждаемый авторегрессивными процессами.
Рассматривались следующие типы процессов: I) стационарные:
2) с коэффициентами фильтра, линейно изменяющимися во
времени; 3) с коэффициентами фильтра со ступенчатыми
изменениями; 4) с импульсным возбуждением при ступенчатых
шмепениях коэффициентов.
На рис. 5.10 показана сходимость решетчатого метода пан
меньших квадратов для стационарного авторегрессивного
процесса. Решетчатый фильтр восьмого порядка с фиксированными
коэффициентами, возбуждаемый белым шумом, вырабатывал
моделируемые сигналы. РНК-алгоритм с А. = 0,99 применялся
для вычисления коэффициентов отражения. Первый
коэффициент отражения сходился менее чем за 50 выборок, а первые

172
Глава Л
четыре коэффициента отражения приближались к своим
истинным значениям после 150 выборок. Коэффициенты отражения
высших порядков приближались к своим истинным значениям
после 250 выборок.
Когда моделируемый сигнал вырабатывался с помощью
возбуждаемого белым шумом решетчатого фильтра второго
порядка с линейно изменяющимися во времени коэффициентами,
характер адаптации был таким, как показано на рис. 5.11.
Оценки двух коэффициентов отражения соответствовали
истинным значениям параметров. Оянако здесь имело место
увеличение дисперсии оценки по мере приближения коэффициентов
отражения к нулю или по мере увеличения порядка
коэффициента. Для получения моделируемого сигнала предыдущий
эксперимент повторялся для фильтра с кусочно-постоянными
коэффициентами. На рис. 5.12 дана траектория оцененного
коэффициента отражения, из которой не видно, что фильтр
имеет ступенчатые изменения коэффициентов.
Влияние оптимальной весовой функции f наблюдалось,
когда моделируемый сигнал вырабатывался тем же самым
решетчатым фильтром со ступенчатыми изменениями
коэффициентов, но у которого в момент изменения коэффициента к
белому шуму, возбуждающему процесс, добавлялся
периодический импульс. Наличие импульсов привело к быстрому
изменению оценок в соответствии с новыми кусочно-постоянными
значениями коэффициентов (рис. 5.13). Импульс вызвал
резкое увеличение if, а это позволило сосредоточить оценки на
новых характеристиках сигнала. Как только влияние импульса
проходило, функция if уменьшалась и могла иметь место
сходимость.
Применение для анализа речи. Решетчатый фнтьтр
наиболее широко применялся для обработки речи, например в
системах сжатия спектра речевого сигнала и в однокристальных
устройствах синтеза речевых сигналов со встроенным словарем.
Коэффициент отражения и решетчатый фильтр по многим
причинам являются подходящими средствами для обработки
речевых сигналов: моделирование голосового тракта в виде
акустической трубы, благоприятные свойства коэффициентов
отражения в смысле возможности квантования сигналов,
свойства решетчатого фильтра, позволяющие использовать
арифметику с конечной длиной слова, и медленное изменение во
времени коэффициентов отражения для звуков речи (что делает
возможной н.\ интерполяцию)
Линейное предпктнвное кодирование (ЛПК)—метод,
широко применявшийся при кодировании речевых сигналов с низкой
скоростью передачи битов н синтезе речевых сигналов с фнк-

10
i
{ со
i
9
»C
l
.* *ч . ^..
1
1
- >—.•■—v^
■■:.rV -•—,
■v
1
SO 00 100 00 ISO 00
HoMtp сборки
б
Putt. 5.l0. Адаптация IJ11К-.'-иоритма д.1и стациоимрииго ннторегреел'нииогм
процесс;), « — коэффициент отр<1Лснии от цервою до четы-рioi о; б—питый
к тоетой коэффициент ы отражения.

---S~~fS*
-t
w
400.00 000.00
hom»p ■ыбосжи
Рис. 5.11. Адаптации РПК-илгорнтма для нестационарного анторетрсссншнли
процесса г линейно уменьшающимися коэффициентами.
- у-1^-^.,.
Чг*-
—■V—1 *~V
1 "У^^у
v
Vj-"^*,
■Ал. .
___——__-.-.--.*у.
К/'^'
л"
f*v?w*
Y
К'
Л"\
J*le~
400.00 100.00
Номер оыборки
Рис. 5.12. Адаптация (>НК-а. 1горитма для нестационарного авторегресенвноги
процесса со ступенчатым изменением коэффициентов.

Оценивание рекурсивным методом наименьших квадратов 175
.00 200 00 400.00 600.00 BOO.00 1000.00
Номер шворни
1-*нс 5.13. Адаптации РНК-алгоритма для нестационарного аиюрстресснвного
процесса со ступенчатым изменением коэффициентов Входной сигнал пред-
Стмнляет собой сумму Полого шумя и пмиул1>соп, сничршммируемых со cryiieii-
■1,1 гимн изменениями
снровапным словарем. В методе ЛПК используются: модель
голосового тракта, решетчатый фильтр, параметры которого
определяются коэффициентами отражения, и модель возбуж-
и'ния, обеспечиваемого периодическими звуковыми
импульсами, производимыми колебанием голосовых связок (например,
1ласными звуками) и белым шумом от шипящих звуков.
Короткие по времени отрезки речи (обычно 20 мс) характеризуются
8 10 коэффициентами отражения, периодом следования
импульсов (нулевым для шума) и энергетическим членом. Все
параметры могут квантоваться гак, чтобы полное число бит
составляло 48 за 20 мс. Используя данное компактное описание
.туков, можно разработать интегральные схемы синтеза рече-
ны\ сигналов, которые могли бы с помощью параметров,
накопленных в постоянном запоминающем устройстве, допускающем
тлько считывание, воспроизводить понятную речь
Анализируя речевые гласные звуки с помощью РНК-алго-
ршма, обнаруживаем у них свойства коэффициента
правдоподобия. Временная диаграмма сигнала (рис. 5.14, а) явно ука-

!7h
Глава 5
зывает па периодический характер этой гласной. При
применении для данного звука РНК-алгоритма возникает ошибка
прямого предсказания, показанная на рис. 5.14, б. Этот
относительно стационарный звук дал почти постоянные
коэффициенты отражения (после сходимости) (рис. 5.14, в).
Периодические всплески, наблюдаемые для всех пяти коэффициентов
отражения, являются следствием влиянии периодического
открывания голосовых связок. Коэффициент правдоподобия -у
обычно мал. но он увеличивается, когда происходят эти
открывания связок (рис. 5.14.г). Когда голосовые связки открывают
ся, резкий импульс от воздушной волны возбуждает голосовой
тракт и коэффициент правдоподобия интерпретирует это как
изменение структуры сигнала. Для ЛПК-модели речевого
сигнала необходимо определить периодичность этих открывании,
называемую периодом высоты тона. Местоположение
импульсов высоты тона можно непосредственно определить из ошибок
предсказания, но это не всегда дает точные результаты.
Периодичность является очевидной, но ее нелегко выделить из
тпаграммы на рис. 5.14, 6. Комбинируя производную
коэффициента правдоподобия -у с рядом для ошибки
предсказании, можно получить более легко различимый пик в начале
колебаний голосовой связки (рис. 5.14, д). Данный способ был
предложен в работе [189] в качестве метода оценки высоты
топа.
Поскольку точные решетчатые алгоритмы рекурсивного
метода наименьших квадратов могут быстро отслеживать
изменения спектральных характеристик, их можно применять для
различения природы промежуточных звуков [308]. Текущая
оценка, полученная с помощью экспоненциального взвешивания
прошлых данных, отражает кратковременные характеристики
сигнала. На рис. 5.15, а и г показано начало слов «bid» и
«did», произносимых одним и тем же диктором-мужчиной.
Анализируя эту ситуацию с помощью НККРНК-алгоритма при
А. = 0,98, можно заметить, что изменение коэффициентов
отражения для начала каждого слова происходит по различным
траекториям в соответствии с различными согласными. Однако в
гечение следующего отрезка звучания гласной траектории
становятся более похожими (рис. 5.15, б, в, д, е). Промежуточная
часть звуков усиливается, но наблюдается также влияние
импульсов высоты тона. Способность НККРНК-алгоритма
различать типы звуков может быть полезной для систем
распознавания речевых сигналов, основанных на фонемах.
Применение для коррекции канала. Адаптивный
решетчатый фильтр имеет значительные преимущества в случае
коррекции канала, а именно его частотной характеристики, где важны

\>Ц( HiimiHiif рекурсивным методом наименьших квадратов
177
орпиомализующие свойства и характеристики быстрого отсле-
нпиапия. Корректирующие адаптивные градиентные фильтры
и* линиях задержки с отводами, хогя и являются простыми
14)1 реализации, имеют скорость сходимости, зависящую от
о!ношения наибольшего и наименьшего характеристических
чисел корреляционной матрицы канала [115]. Методы самоор-
нпопалнзацип были предложены в работе [116], а в решетча-
к)П форме—в работах [134, 136]. Было показано, что гради-
•нтиый решетчатый корректирующий фильтр '[280] и РНК-
корректирующий фильтр (см. разд. 5.6) [282] обеспечивают
i > чо 11 ь быструю сходимость. Решетчатые корректирующие
фп.чыры продемонстрировали быструю сходимость, которая не
,1нписела от величины отношения характеристических чисел
кппала (рис. 5.16; см. работу [282]). Были исследованы две
■ \ |
!.':
i 1 i
\ЩуЩ
1000.00 1050.00 1100.00 1190.00 1200.00 1230.00
Homio iw6opKM
1'ис. 5.14, Адаптация РНК-алгоритма для произносимой гласной: а —
временная диаграмма сигнала для типичной гласно»; б — ошибка предсказания после
РМК-фильтра пятого порядка; в — адаптация первых пяти коэффициентов
отражения; г — коэффициент правдоподобия ■у; д — произведение ошибки пред-
скмлния к производной коэффициента правдоподобия (только
положительная 'гасть).
12—1487

-30000.00
1Q00.Q0 1050 00 1100.ОС I ISO.ОС :200 00 12ЬО.О" 1300 9Г |3M.00 HOC 00
Номер 1ыборки
6
1.00
f--. f f—
A^- „^
.Л,"
J4*--
•*vOb_
■w
W-s^ ..
V-
v*-*-*-»——•Vе*—*-*«^-.'v
1000.00 1030.00 1100.00 1150.00 1200 00 1250.00 1300 Q0 I35Q 00 '1400.00
Номер (ыборки
e
Рис. 5.14 (i/родолжеине).

I eg
10
00
w
■ \
j ^JU__A_^/w_
1
JV__Jl
i
050 00 MOO CO ; 190.00 200.1Q МЬС 30 300 00 1350 40 ;*O0 M
Номер сборки
10000.00
f0000.00
10000.00
4
i
i
10000.00
-Г0000.00
•
!
. . r. i
11
I—
..J i
1
La _ «_*.
. u
/a
1000 00 10*0 00 1100.00 МЬО.ОО iZQO QO 12*0.00 1300.OQ
Номер 1ыборки
д
350 00 1400.00
Рис. 6.14 (продолжение).

180
Глава 5
модели каналов передач» данных с корреляционными
матрица мм; у этих каналов отношения характеристических чисел
(т. е. отношение наибольшего характеристического числа к
наименьшему) со.тавляли 11 и 21 соответственно.
Корректирующий фильтр с 11 отводами был реализован с помощью МНК-
градиентного алгоритма или адаптивного решетчатого фильтра
для коррекции канала (АРКК) и алгоритма метода иаимень
ших квадратов адаптивного решетчатого корректирующего
фильтра (НКАРКФ). Градиентный корректирующий фильтр на
линии задержки с отводами имеет значительно более
медленную сходимость: она зависела от величины отношения
характеристических чисел. РНК-корректирующий фильтр в обоих
случаях сходился примерно за 40 итераций, тогда как для
сходимости адаптивного решетчатого корректирующего фильтра
требовалось примерно 120 итераций.
'00 00 300.00
Номер |ыборк«
а
Рис. 5.15. Сравнение дв>х похожих слов, начинающихся с взрывных согласных
звуков "Ь" н "d" (НККРПК-алгоритм при А.=0,98): а —первые 62,5 мс слова
"bid"; б — первый и второй коэффициенты отражения для слова "bid"; в —
третий н четвертый коэффициенты отражения для слова "bid"; г —первые
62,5мс слова "did"; д — первый и второй коэффициенты отражения для слов»
"did"; e — третий и четвертый коэффициенты отражения для слова "did".

J
.:>'
•J
i '
I
/O
I
id
о eo
«•
I I ОС
О OL
)OQ 00 200,00 300 CO 400 0;
Номшр ibifiopKH
6
4
2ОС 00 JOC 00
Номер iwCopKH
e
I'hc. 6.15 (продолжение).

70C.QO 300.00
Номшс выборки
?OO.QQ 300,00
Номер 1ыборки
д
Рис. 5.15 (продолжение).

Оценивание рекурсивным методом наименьших квадратов 183
О 90
п во
'О
о ее
30
„о го
J u 10
X
£о оо
а
-о ю
-о го
■о ю
...10
3 50
-S 60
■ О 70
00
-J.90
1.00
0.00
! 1
i
fv~
-
1:V -лл—-lfs V\
к
гоо оо зоо.оо
Номер ■ыборки
Гис. 5.15 (продолжение).
Применение для электроэнцефалографических
исследований. Электроэпцефалографические (ЭЭГ) данные,
исследованные с помощью авторегрессивного моделирования, могут дать
Лучшую совокупность сведении об ЭЭГ-спектре, чем методы,
основанные на преобразованиях в частотном области, например
БПФ. Коэффициенты отражения для НККРНК-алгбритма
исследовались с целью обнаружения ничтожно малых изменений
Состояния головного мозга, наблюдаемых по ЭЭГ-активности
(2Г>8]. На рис. 5.17, а приведены ЭЭГ-данные, полученные для
левого полушария головного мозга взрослого пациента, снятые
и начале засыпания (частота отсчетов 60 с-1).
Сильное изменение активности наблюдается вблизи начала
необработанных ЭЭГ-данных и явно выражено в коэффициен-
ч\\ отражения (рис. 5.17, б—г). Второе изменение активности
о конце записи едва различимо для необработанных данных,
по его можно наблюдать по изменениям коэффициента
отражения высшего порядка. По изменениям коэффициентов
отражения можно судить о физиологических переходах и по ним
ааиать заключение об ЭЭГ-состояниях головного мозга в
данный момент времени и в хронологической последовательности.

Корреляционная матрица канала
с отношением характеристических
чисел.равным 1I
Корректирующий фильтр с Потводам
с дисперсией шума = 0,001
100 700 100 400 ЬОО Г)00 '00 вОО 900
Число итераций
z
в
Корреляционная матрица канала
с отношением характеристических
чисел, равным 21
Корректирующий фильтр с 11 отводами
с дисперсией шума = 0,001
АРКК
Гоадиентный алгоритм
ТОО 200 J00 11Л) Л) ЬОО /00 «XI »Я
Число итераций
б
Рис. 5.16. Сходимость корректирующего фильтра для двух моделей каналов:
МНК-градиентный алгоритм, или адаптивны» решетчатый фильтр для
корректировки канала (ЛРКК). и алгоритм адаптивного корректирующего фильтра
на основе метода наименьших квадратов (НКАРКФ). и— сходимость
корректирующего фильтра при отношении характеристических чисел, равном II; б —
сходимость корректирующего фильтра при отношении характеристических
чисел, рапном 21. (Из работы [282].)

00 |МСО 90 IBWO 00 11000 00 1100 00 I IOC 00 iilOO 00
Номер |ыбарки
а
1 DO
0.90
0.
(МО
г-
■-"-...
'"">._.
'
-\
1
\
>
2
Мо мер 1ы6орки
б
Нив. 5.17. Анализ эАектроэнкефа.-юграфпческнх Данных с помощью авторегрес-
>||шн»1) мо лелировання а — ЭЭГ-данные к центрального -электрода Су, б —
мерный и второй коэффициенты отражения; « — третий и четвертый коэффн-
шн-нгм отражения; г — пятый и шестой коэффициенты отражения.

Т ЭО
О И
О
6 W
,^-^1-Г^^
W* «•—
"/.
5
v.—"" \—i^. «.
6
•I М
.0*00 ЭО тОООО 00 1HU 00
Номер |ыбаркй
г
Рис. 5.17 |продолжение)

Оценивание рснуршвным методом наименьших квидратов
187
5.10. КОММЕНТАРИИ И ВЫВОДЫ
Решетчатая структура фильтр л как способ реализации цифро-
!>ой передаточной функции обладает рядом преимуществ: она
представляет собой каскад идентичных секций, имеет общую
нечувствительность к шуму окружающей среды, а
коэффициенты отражения можно связать с физическими процессами.
Физическая интерпретация коэффициентов отражения делает их
шпуитивпо привлекательными, особенно для обработки речевых
сигналов. При адашивном оценивании решетчатая структура —
что обычная форма для эффективного решения задач с
помощью рекурсивного метода наименьших квадратов. Решетчатые
фильтры обеспечивают ортогонализацию или развязку
состояний входного процесса. Можно провести проверку устойчивости
модели, характеристика которой содержит одни полюсы, если
модель представлена в решетчатой форме.
Реальное преимущество решетчатой структуры заключается
и адаптивном оценивании и фильтрации. /V-каскадный решет-
ча!ый фильтр автоматически вырабатывает все выходные
сигналы, которые обычно вырабатывают N различных фильтров
па линиях задержки с отводами (от I до Л'). Это
обеспечивает динамический подбор такой длины фильтра, при которой
достигается наибольшая эффективность в любой момент
адаптивной обрабо1Ки сигнала. Решетчатый фильтр по сравнению с
более простым адаптивным трапсверсальным фильтром
обладает лучшими свойствами сходимости и пониженной
чувствительностью к эффектам, обусловленным конечной длиной слова.
Алгоритмы рекурсивного решетчатого оценивания
позволяют провести эффективную корректировку решения, полученного
но методу наименьших квадратов, для каждой новой временной
выборки. Этот точный рекурсивный подход подобен
градиентным решетчатым методам, однако при каждой временной
выборке рассчитывается оптимальное усиление. Оптимальное
рекурсивное решение немного сложнее градиентного
решетчатого решения. Следовательно, РНК- и НККРНК-алгоритмы
достигают чрезвычайно быстрой начальной сходимости и могут
отслеживать быстро изменяющиеся во времени параметры.
НККРНК-алгоритм имеет очень компактную систему
обозначений и нормирует все сигналы в каждом каскаде на единичную
дисперсию. Была предложена интегральная микросхема,
выполняющая этот алгоритм.
Однако, как и для всех процедур адаптивного оценивания,
необходимо пойти на некоторые компромиссы. Решетчатая
структура требует большего объема вычислений и является
концептуально более сложной, чем структура па линии
задержки с отводами, но имеет лучшие свойства сходимости. Решетча-

18S
Г лат С
тый алгоритм рекурсивного метода наименьших квадратов да01
даже лучшую сходимость, чем решетчатый градиентный метод,
но опять-таки он является несколько более сложным. Например,
при определении двух коэффициентов отражения имеется
отличие во временных индексах нормирующих ковариаций.
В стационарном случае эти члены идентичны, но в случае
РНК-алгоритма разница является критической; вообще говоря,
алгоритм не будет выполняться, если не обратить внимание па
эту разницу [281]. НККРНК-алгоритм позволяет применять
очень малую временную постоянную при обработке выборок
данных, так что можно отслеживать сигналы, очень быстро
изменяющиеся во времени. Однако при попытке отслеживания
промежуточных звуков речи отслеживается также и сигнал
возбуждения тона. Для процессов, имеющих тенденцию к
стационарности, свойства сходимости решетчатого градиентного
метода и РНК-метода аналогичны [147].
Было разработано много обобщений основного рекурсивного
алгоритма метода наименьших квадратов. Обзоры по
адаптивной фильтрации с помощью метода наименьших квадратом
можно иайти в работах [107, 281]. В работе [191] представлены
рекурсивные многозвенные алгоритмы для АРСС-моделирова-
ния. НККРНК-алгоритм был обобщен от представленного здесь
случая предварительной обработки данных с помощью функции
окна на случай ковариаций данных [259]. В работе [260]
рассматривается задача идентификации систем В работе [171]
дан обзор по решетчатым фильтрам для случая нестационарных
процессов.
Существуют и другие методы реализации структуры
решетчатого фильтра, используемого для оценивания. Рекурсивные
выражения для корректировки порядка можно также получить
с помощью разложения ковариационной матрицы методом
Холески [79, 80, 177]. Поскольку коэффициент отражения
подобен коэффициенту корреляции, для определения
коэффициентов отражения можно применять простые с точки зрения
вычислений методы оценки коэффициентов корреляции. Так как
корреляция гауссовых случайных переменных связана с
корреляцией жестко ограниченных переменных тригонометрическим
соотношением, возможен очень простой метод аппроксимации
коэффициента отражения [307]. Этот алгоритм требует лишь
учета изменений полярности ошибок предсказания для оценки
коэффициентов отражения (предполагается, что сигналы
гауссовы с нулевым средним и единичной дисперсией).
В целом адаптивный решетчатый фильтр дает компактный
алгоритм для получения быстро сходящихся оценок. Свойства
решетчатого фильтра и коэффициентов отражения
стимулируют их применение во многих практических случаях.

6
Адаптивная фильтрация
в частотной области
Эрл Р. Феррара, мл.
6.1. ВВЕДЕНИЕ
В дг»ч"ой главе исследуется кла'.с алгоритмов адаптивных
фильтров, - котором входной сигнал преобразуется в
частотную область перед выполнением адаптивной фильтрации.
Рассматриваемые здесь преобразования являются
преобразованиями определенного типа [например, основанными на быстром
преобразовании Фурье (БПФ)"| и отличаются от описанных в
гл. 5 ортогонализующих преобразований, зависящих от дъг'ных.
В описываемых адаптивных алгоритмах используются а-торит-
мы убывания градиента, обсуждавшиеся в гл. 3, или
алгоритмы убывания градиента, видоизмененные так, чтобы можно
было регулировать коэффициенты (или «веса») фильтра
(разд. 6.6).
Существуют два основных преимущества реализации
адаптивных фильтров в частотной области. Во-первых, по сравнению
с подходами, в которых производятся преобразования во
временной области, можно значительно уменьшить число
вычислений, необходимых для обработки фиксированного количества
данных. Это уменьшение наиболее полно достигается путем
замены свертки на произведения трансформант (результатов
преобразования Фурье), как это делается в «быстрой» свертке.
Во-вторых, по сравнению с алгоритмом простого убывания
градиента здесь можно улучшить свойства сходимости
адаптивного процесса.
В алгоритмах убывания градиента весовые коэффициенты
сходятся к своему оптимальному значению, представляющему
сумму экспоненциальных функций, каждая из которых связана
с исходным типом адаптивного процесса. Постоянные времени
процессов этих типов обратно пропорциональны
характеристическим числам входной автокорреляционной матрицы.
Среднеквадратичная ошибка также уменьшается по закону суммы
экспоненциальных функций, постоянные времени которых за-

19Э
f.wflii Л
висят^т .характеристических чисел. Для случая фильтров КИХ-
тппа с достаточно протяженной временной областью, в которой
выполняются преобразования, характеристические числа
входной автокорреляционной матрицы приблизительно задаются
равноотстоящими выборками входного энергетического спектра
[L'84]. Эвристическая интерпретация этого результата
заключается в том, что типы колебании, связанные с областями
спектра, имеющими малую энергию, сходятся медленнее, чем
типы колебаний, связанные с областями спектра, имеющими
большую энергию. Значительное изменение входной
спектральной функции по частоте приводит к сильно различающимся
характеристическим числам и, следовательно, к сильно
различающимся постоянным времени; некоторые из них могут
быть очень большими. Частотные методы, хотя они основаны
на способе ускоренного спуска, можно легко модифицировать,
чтобы сделать возможной более однородную сходимость
различных типов колебаний адаптивного процесса и улучшить тем
самым скорость сходимости более медленных типов колебании.
Использование частотной области приводит к блочной
обработке, при которой блок входных данных обрабатывается
одновременно и в результате получается блок выходных
данных. Во время блочной обработки требуется, чтобы
коэффициенты фильтра оставались фиксированными. Этот процесс
•отличается от обычных методов адаптивной обработки во
временной области, где коэффициенты фильтра могут изменяться
со скоростью дискретизации входного сигнала. Хотя
коэффициенты фильтра при обработке в частотной области
корректируются реже, их можно с большей точностью подстраивать при
каждой корректировке, так как градиент легче оценить с
помощью полного блока данных. В результате адаптация в
частотной области может происходить столь же быстро и точно,
как и во временной области, но с одним исключением. Когда
входная автокорреляционная матрица имеет сильно
различающиеся характеристические числа, согласно условиям
устойчивости устанавливается верхний предел скорости адаптации,
который может быть значительно ниже соответствующего
предела при обработке во временной области. Облегчить эту
проблему могут модифицированные градиентные методы,
эффективно уменьшающие разброс характеристических чисел
Этот метод подробно обсуждается в разд. 6.6.
В дальнейшем верхние индексы будут обозначать
переменные в частотной области, нижние индексы — переменные во
временной области, а жирным шрифтом будут обозначаться
векторы или матрицы. Звездочка означает комплексно
сопряженное транспонирование. Определим матрицу F как симмет
ричную N~X,N матрицу, ik-м элементом которой будет F,-* =

\Оаюивния фильтрация в частотной облает»
191
= ехр(—j2nik/N), где / — корень квадратный из —1. Когда
матрица F производит операции над вектор-столбцом длиной
.V, в результате получаем вектор-столбец, содержащий ДПФ
исходного вектора. Аналогично F"1—обратный ДПФ-оператор,
Можно показать, что F* = /VF-1, a F/yW—унитарное
преобразование. Если с — циркулянтная матрица", то FcF-1 —
диагональная матрица, элементы которой представляют собой ДПФ
первого столбца циркулярной матрицы [130].
6.2. АДАПТИВНЫЙ ФИЛЬТР С ОБРАБОТКОЙ СИГНАЛА
В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ, ОСНОВАННЫЙ
НА КРУГОВОЙ СВЕРТКЕ
Одним из простейших адаптивных фильтров с обработкой сиг-
пала в частотной области является фильтр, показанный иа
рис. 6 1 ["27, 72]. Входной сигнал х(п) и искомый отклик
d(n) накапливаются в буферных запоминающих устройствах
для формирования блоков данных, содержащих N выборок.
.Чатем они преобразуются с помощью ЛЛмерного БПФ. Каждый
из выходных сигналов БПФ представляет собой набор из
.V комплексных чисел. Значения искомого результата
преобразования вычитаются из входных значений на соответствующих
частотах для получения ;V комплексных сигналов ошибок. Име-
е1ся Л/ комплексных весов, каждый из которых соответствует
каждой спектральной выборке. Для каждого блока данных
произнодится однократная независимая корректировка каждого
иесового коэффициента. Взвешенные выходные сигналы
поступают на оператор обратного БПФ для получения выходного
сигнала у(п).
Для корректировки каждого весового коэффициента
используется комплексный МНК-алгоритм [338]. Для /-выборки
спектра 1-й комплексный весовой коэффициент корректируется в
соответствии с уравнением
Я,(й+1) = ^(^) + ^;Х,*(^ (6-1).
где ц — константа, определяющая скорость сходимости и
устойчивость адаптивного процесса. Для статистически
стационарных входных сигналов уравнение корректировки весовых
коэффициентов (6.1) в конечном итоге минимизирует
среднеквадратичную ошибку t-й выборки спектра при условии, что величина
и выбирается достаточно малой.
Циркулянтная матрица представляет собой квадратную матрицу, строки ко-
шрои получаются путем последовательной круговой перестановки элементов
нерпой строки.

192
Глава 6
Комплексные
адаптивные веса
Искомый отклик
Рис. 6.1. Адаптивный фи 1ьтр с обработкой снгна ia в частотной области на
основе круговой свертки. (Из работы [72|.)
При использовании данного адаптивного фильтра с
обработкой сигнала в частотной области достигается существенное
уменьшение объема вычислений по сравнению с традиционной
адаптивной фильтрацией во временной области. Этот факт
можно подтвердить, вычислив число операций умножения,
требующихся для обработки фиксированного объема данных.
Чтобы получить N выборок выходных данных с помощью
МНК-адаптивного фильтра с N отводами, производящего
обработку во временной области, требуется 2N2 умножений
вещественных чисел. Для получения того же объема выходных
данных с помощью фильтра, выполняющего обработку сигнала
в частотной области, требуется три /V-мерных БПФ и 2/V
комплексных умножений для комплексного взвешивания и
корректировки. Однако в случае вещественных входных данных все
результаты преобразований являются симметричными, так что
можно исключить примерно половину весовых коэффициентов.
Более того, для случая вещественных данных Л'-мерное БПФ
можно реализовать с помощью Л//2-мерного БПФ и Л'/2
комплексных умножений '[60]. Для iV/2-мерного БПФ требуется
примерно (Л//4) log2 (N/2)— N/2 комплексных умножений для
получения результата преобразований в двоичной системе
счисления [286]. Полагая, что для каждого комплексного умно-

\дшп\\(1Ш\я фильтрация в частотной области
19.3
жепия необходимо четыре вещественных умножения, получаем,
что для фнлыра, выполняющего обработку в часто гной
области, 1ребуется ЗЛ log2 (>V/2) + 4/V вещественных умножений но
сравнению с 2N2 умножении для фильтра, выполняющего
обработку во временной области. Для фильтров большой
размерности уменьшение объема вычислений при обраб01ке сигнала
и частотной области является существенным, как показано
и следующей таблице.
Л
к;
32
64
256
1024
OilciiiueHici' числа нгиютигнных ум
Н1якм1нй н ча»."1члний (Ллялн к чис
■ iy VVllK-Ki 1Ц1Ч'[П1'Нны\ > М1111Ж1-11НЙ
0.41
0.25
0,15
0,049
D.0I5
К сожалению, показанный на рис. (>. I фильтр с обработкой
сигнала в частотной области производит скорее не линейную
свертку, а круговую свертку [247] входного сигнала с
импульсной характеристикой адаптивного фильтра (обратное БПФ
комплексных весовых коэффициентов). Использование круговой
свертки вместо линейной преобразует линейный инвариантный
во времени фильтр в фильтр с периодически меняющимися
во времени параметрами, выходной сигнал которого при
стационарном входном сигнале становится периодически
нестационарным [256] (см. приложение в конце гл. о). В го время как
этот метод (рис. 6.1) нашел применение для обнаружения
cm нала при обработке в частотной области вследствие
присущею ему свойства круговой свертки, он окапывается менее
полезным 1ля применения в обычной фильтрации Мы увидим,
что адаптивный фильтр, изображенный на рис. 6.1,
минимизирует среднеквадратичную ошибку выходного сигнала отпоси-
те,ш но искомого отклика, позволяя применить круговую
свертку Обычно применение круговой свертки в большей степени
способствует уменьшению эффективной длины импульсной
характеристики, а это ведет к уменьшению влияния
«обертывающей» ошибки, являющейся следствием применения круговой
свертки. Влияние круговой свертки можно уменьшить, если
выбрать длину характеристики фильтра (размерность БПФ)
гораздо большей, чем эффективная длина отличного от нуля
участка оптимальной импульсной характеристики для
линейной свертки. Хотя это существенно уменьшает вычислительную
эффективность данного подхода, его простота в сочетании с-
п м фактом, что весовые коэффициенты подстраиваются
независимо друг от друга, делает его перспективным для исследования.
I а—1487

144
Г Hind й
Для анализа данного алгоритма определим весовой немею
к частотном области для /?-го блока данных в виде
И"*"(Л) = |//, (Л> //а (ft)... //д. (Л)], (6.2)
а диагональную матрицу входных Б11Ф-коэффицпен'тн -как
А, (Л) О
X, (Л)
Х(Л) =
о
(6.3)
A'.vfA) _
Аналогично пусть Y(A), D(k) и Е(/е)—векторы, описывающие
н частотной области выходной сигнал, искомый отклик и
ошибку для ft-ro блока. Отметим, что
Y(ft) = X(ft)H(fr) (6.4)
и
E(k) = D(k) — \(k). (6.5)
Уравнении корректировки весовы.х коэффициентов в
частотной области можно представить в виде
Н (k+ I) = Н (к) + рХ* (/?) Е (ft) =
= Н (А) + ц {X* (ft) D(k)- X* (ft) X (ft) H (k)). (6.6)
, Полезно рассмотреть во временном области операции,
эквивалентные тем, которые описывает уравнение (6.6).
Указанное уравнение можно преобразовать во временную обласчь
и получить
h(*+ I) = h(A) + n{xr(*)d(*)-XT(*)x(*)h(*)>. (6.7)
где
h(*) = F-«H(*).
d(ft) = F-«D(ft),
(6.8)
(6.9)
ах(А)
цнркулянтная матрица, заданная выражением
X(ft)=F'X(ft)F. (6.10)
Первый столбец x(k) является входным вектором x(ft),
поскольку он представляет собой обратное ДПФ диагональных
элементов Х(£). Следовательно, цнркулянтная матрица x(ft)
им^ет следующий вид:
х[к) X{k + N+\) ... x{k + l)
x{k + \) х(к) ... х(ft + 2)
Х(*) =
_x(k + N—l) x(k + N—2)...x(k)
(6.11)

Лдапихвния фильтрация в частотной области
Н1Г.
Если обозначить /-ю строк)- х(А) как хт,(&), то для (6.7) будем
иметь
h(ft+l)-h(*) + fiV {rf«(*)x,(ft)-yi(*)x,(ft)}, (6.12)
где y,(k) —i-й элемент выходного вектора
У (*)■=« (*) h (А). (6.1 У)
Вектор у(к) содержит элементы ft-го выходного блока данных
фильтра. Элементы y(k) получаются с помощью круговой
свертки импульсной характеристики b(k) с полученными путем
вращения версиями входного вектора х(7г_).
Эквивалентное уравнение корректировки весовых
коэффициентов во временной области можно записать в виде
h(fc+l) = h(*)-fM2 е,(Л)х,(А), (6.14)
где ef(k) =di(k)—yi(k). Отметим, что (6.14) отличается or
обычного МНК-алгоритма тем, что, несмотря на проведение
однократной адаптации для каждого блока данных, оценки
градиента перед использованием их для корректировки весовыч
коэффициентов суммируются по полному блоку данных.
Оптимальный весовой вектор. Оптимальное решение дли
Н, минимизирующее среднеквадратичную ошибку y(k)
относительно d(k), можно определить следующим образом (полагая,
что d и х стационарные). Достаточно минимизировать
NEl(d(k)-y(k))*(d(k)-y(k))] = E\D(k)-Y(k))*(D(k)-\(k))\ =
= E[D«(ft)D(*)] —R^H —Н*К^ + Н*Н„Н, (6.15)
где
nxd = E[X*(k)D(k)] (6.1(5)
и
R„ = E\X*(k)X(k)]. (6.17)
Отметим, что матрица Rxx диагональная, причем ее i-й
диагональный элемент задается как E[Xf*(k)Xi(k)]. i-м элементом
матрицы Rxd будет E[Xt*(k)D{(k)]. Взяв градиент (6.15) по
Н и приравняв его нулю, получим оптимальные весовые
коэффициенты в частотной области:
Hopt-R-^R,* (6.18)
Выполняя для уравнения (6.18) обратное ДПФ, находим
оптимальные весовые коэффициенты во временной области для

196
Глаш. ft
фильтра, построенного на основе круговой свертки:
h0pi = r~V*/. (6.18)
где
r„=F-'KwF (6.20)
и
rv,= F4\r„.F. (Г, 21)
Матрица г„ цирку.1яш пая, поскольку R,, диагональная мат
рица. Значения перн< й строки г,, шдаются сдвигами or нуля
до /V—J круговой автокорреляционной функции входного он
нала х. Круговую авткорреляциониую функцию <|,(г") при
запаздывании i можно вырази!ь через обычную линейную
автокорреляционную функцию q (г) как
фЛх) ^-L(|(j)+_Lt((j_W). (u.22)
л л
Аналогичное иыражете получается для круговой в^пмпой
корреляции между г/ и г, ич него можно определить элементы
вектора гХ(/.
Свойства сходимости. Взян математическое ожидание (0Ы
и полагая входные сигналы стационарными, имеем
£[Н(А + 1)| £|H(*)| + u{K,,,-R„£|H(*)|}, (6.23)
где использовано обычное допущение о гом, что Х(&) п Н(£)
не коррелнрованы. Хотя это допущение, вообще говоря, не
строго справедливо, оно обычно принимается при анализе
адаптивных фильтров из-за своей простоты и дае: ряд полезных
результатов. Здесь мы примем по упрощающее допущение пя
того, чтобы глубже проанализировать адаптивный процесс-
Уравнение (6.23) реализует метод ускоренного спуска, и
оно хорошо исследовано в работе [341]. Автокорреляционная
матрица входного с игпала R,..,., характеристические числа кото
pofi определяют устойчивость и скорость сходимости адаипшпо
го процесса, в данном случае будет диагональной Следователь
но, .характеристические числа этой матрицы задаются ее
диагональными элементами, представляющими собой мощности
выборок ДПФ. Если коэффициент ц выбран достаточно малым,
то математическое ожидание весового вектора будет сходиться
к пределу
lhn £ IH (*)] = И-»« 1^ = Нор1. (0.24)
А-»оо
Таким образом, средний весовой центр сходится к онтмалыю-

Адаптивная фильтрация в частотной области
197
му весовому вектору. Запишем условие устойчивости алгоритма:
Р<-г2—. (6.25)
"■макс
где Яма,,.- — максимальное характеристическое число Rxl.
Поскольку матрица RAV диагональная, весовые коэффициенты
сходятся независимо друг от друга. Постоянная сходимости
р-го весового коэффициента задается формулой
I
/V
;iX.p
блоков, (6.26а)
выборок, (6.266)
где A,j,—р-е характеристическое число R.,x. Оi метим, чю
поскольку Rv.v диагональная матрица, ее характеристические
числа представляют собой ее диагональные элементы, а они в свою
очередь равны мощностям выборок БПФ.
Расстройка. Поскольку градиент оценивается па основе
обработки конечного объема данных, он определяется с
некоторой ошибкой, что приводит к случайным флуктуациям
коэффициентов фильтра вблизи и.\ оптимального значения. В
результате среднеквадратичная ошибка превышает минимальное
значение среднеквадратичной ошибки. Эта дополнительная
среднеквадратичная ошибка*, нормированная па минимальную
среднеквадратичную ошибку, называется «расстройкой» [см.
(3.50)].
Если допустить, что значения x,(ft) не коррелирован!.!, а
e,(ft) и Xj(ft) имеют гауссово распределение с нулевым (.редппм,
можно вывести выражение для расстройки процесса адаптивной
фильтрации. Хотя эти допущения могут не быгь строго
справедливыми, они обычно принимаются для упрощения анализа
и получения формулы для расстройки, которую можно сравнить
с аналогичной формулой для обычных фильтров, выполняющих
обработку сигналов во временной области. Начиная с (6.14),
дальнейший вывод соотношения для расстройки аналогичен
выводу, выполненному в работе [341], и можно найти, что
расстройка М [см. (3.91)] определяется выражением
ъ, Дополнительная среднеквадратичная ошибка
Минимальная среднеквадратичная ошибка
= ^rtr{RJU}, (6.27а)
ц..ур
2
(6.276)
где Р—мощность входного сигнала фильтра. Отметим, что для

198
Глава (S
выполнения условия устойчивости (6.25) требуется, чтобы
M<_J^v_. (6_28)
"■макс
"это устанавливает верхний предел допустимой расстройки.
Комбинируя (6.266) и (6.27), приходим к формуле, выражающей
постоянную времени адаптации р-\\ моды через расстройку:
тр=-^--^Е- выборок. (6.29)
'Соответствующее соотношение для МНК-адаптивиого фильтра,
выполняющего обработку сигналов во временной области,
пг форме идентично (в.29). Следовательно, хотя адаптация
Ъ частотной области выполняется лишь однократно для блока
данных, она может происходить с той же скоростью, как м
при подстройке весовых коэффициентов по каждой выборке,
без увеличения расстройки (если M<X,],/XMi,ic). Это вытекае1
из того факта, что при блочной обработке для получения более
точной оценки градиента [269] индивидуальные оценки
градиентов по каждой выборке суммируются. Следует отметить, что
найденные в результате сходимости решение и минимальная
среднеквадратичная ошибка фильтра, выполняющего
обработку сигналов в частотной области, не идентичны тем же
величинам, полученным для обычного МНК-фильтра, поскольку в
первом из упомянутых фильтров выполняется круговая свертка.
6.3. АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ОБЫЧНОЙ АДАПТИВНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Адаптивные фильтры, обеспечивающие линейную свертку
входного сигнала фильтра и импульсной характеристики, вообще
говоря, более полезны для целей фильтрации, чем фильтры,
выполняющие только круговую свертку. В данном разделе
описаны два типа адаптивных фильтров с обработкой сигналов
в частотной области, обеспечивающие выполнение линейной
свертки. Один из адаптивных фильтров, называемый в
литературе блочным МНК- или быстрым МНК-фильтром, выполняет
строго линейную свертку. Он позволяет осуществлять
эффективную обработку сигналов в частотной области при
сохранении характеристик, эквивалентных характеристикам широко
применяемого МНК-адаптивного фильтра. Другой адаптивный
фильтр, рассматриваемый в данном разделе — не имеющий
ограничений МНК-адаптивный фильтр с обработкой сигнала
в частотной области, — обеспечивает либо линейную, либо
круговую свертку в зависимости от того, какая из них лучше
минимизирует среднеквадратичную ошибку

Удиптивния фильтрация в частотной области
1ЧЧ
6.3.1. Адаптивный фильтр на основе быстрого метода
наименьших квадратов
Блочный МНК-адаптивный фильтр [57] и быстрый МНК-адап-
тнвный фильтр ["97] являются но существу идентичными
реализациями в частотной области блочного алгоритма МНК
с обработкой сигналов во временной области. В этом алгоритме
данные группируются в блоки по Л' выборок, а весовые
коэффициенты фильтра поддерживаются постоянными в пределах
каждого блока. Во время обработки к-ro блока используют
следующие уравнения для адаптивного фильтра:
h(£4-l) = h(fc) + n'VV e(kN + i)x(kN + i) =
1 = 0
и
i/(*tf + /) = hT(*)x(Atf + f). i<=0,\, ...,N — 1, (6.31)
где h(/?)—вектор, содержащий веювые коэффициенты
фильтра во время обработки к-го блока:
tir(k) = \ha{k)ht(k)...k!l_l(k)]. (6-32)
а х(л) содержит .V последних импульсов входных сигналов
фильтра и момент времени л:
хт (л) = [*(л) jt(я— 1)... к (л — W-f-1)1- (6.33>
Элементы х(л) можно считать выходными сигналами липни
задержки с .V отводами. Ошибка с(п)—ра.нюсть между
искомым откликом d(n) и выходным сигналом фильтра:
<?(«) = ОД-«(/(). (6.34)
Блочный МНК-фильтр имеет свойства (за исключением-
устойчивости), идентичные свойствам обычного МНК-адантив-
ного фильтра, в котором весовые коэффициенты
корректируются с частотой дискретизации. Эти свойства будут обсуждены
по.) ж е.
Блочный алгоритм МНК можно реализовать для обработки
сигналов в частотной области с помощью метода «уменьшения
перекрытия» |247], дающего в результате существенное
сокращение объема вычислений по сравнению с обработкой сигналов
во временной области. Возможна также реализация для
обработки сигналов в частотной области с помощью метода
«дополнительного перекрытия», но это приводит к большему объему
иычисленпп по сравнению с объемом вычислений, необходимых
в методе уменьшения перекрытия [58]. Хотя можно реализовать

-'DO
Глава 6
фильтр с любой величиной перекрытия, случай 50%-пого
перекрытия (размер блока равен числу весовых коэффициентов) —
самый 'эффективный [571 и будет рассмотрен в данной ките.
Уравнение для выходного сигнала фильтра (6.31) представляет
собой свертку входного сигнала фильтра и импульсной
характеристики и может быть эффективно вычислено с помощью
метода уменьше-пия перекрытия. В соответствии с эгим методом
иесовые коэффициенты должны быть дополнены Л' пулями н
применено 2/V-Mepnoe БПФ. Пусть Н(Л) — вектор длиной 2Л';
его элементы — БПФ—коэффициенты дополненного нулями
весового вектора во временной области:
rF (к) = БПФ |hT (k) 0... Oj; (6.35)
тогда Н(к)— весовой вектор для частотной области. Пусть
X(fc)—диагональная матрица, элементами которой являклея
результаты 2/V-Mepnoro преобразования (к—1)-го и &-го блоков
нходных данных:
X (ft) = diag (БПФ \x(kN—N) ...x(kN — \)x\kN)... X(kN + N — \)\}.
(/•■ l)-li блок A-fi блок
(6.36)
Свертка и (6.31) реализуется с помощью
y{k) = \y(kA/)...y(kN + N- 1)]'
= Последние ,V членов обратного БПФ от (X(fc)H (/?)}. (6.37)
Уравнение (6.37) дает значения выходных сигналов фильтра
для Л-го блока. Отметим, что если трапсверсальпый фильтр мри
реализации во временной области имеет N весовыл
коэффициентов, то при реализации в частотной области ему потребуется
2.V весовых коэффициентов.
Чтобы реализовать уравнение корректировки вектора
весовых коэффициентов (6.30) в частотной области, заметим, чго
у'-й элемент \ (к) можно переписать в виде
Vj(k) = ^e(M + i)x(kN + i-j), / = 0,1,..„#-1,
i-o
т. е. элементы у [к) задаются взаимной корреляцией
последовательности cm налов ошибки и входных сигналов фильтра.
Градиент у (k) можно вычислить с помощью БПФ, если
сначала рассчитать результат преобразования E(k)
последовательности сигналов ошибки, которой предшествует Л' нулей:
Е(k) = БПФ |0... 0d(kN)—y (feiV)...d(kN + N— 1)—у (feA/-f-Л/— 1 )JT
W нулеИ Ошибка ft-ro блока
(6.38)
Далее получим
V (к) = Первые N членов (БПФ)"* {X* (k) Е (k)}. (6.39J

Адаптивная фильтрация в частотной области
201
Окончательно уравнение корректировки вектора весовых
коэффициентов в частотной области будет иметь вид
'v(*)"
Н(Л+1) = Н(А) + цБПФ
0
0
N нулей.
(6.40)
Бели последние N величин обратного преобразования исходного
весового вектора Н (0) приравнять нулю, то (6.40) будет точной
реализацией (0.30) в частотой области.
Уравнения (6.35) — (6.40) определяют быстрый МНК-адап-
тивиый фильтр (БМНК). Блок-схема этого фильтра показана
на рис. 6.2. Двойными линиями на рис. 6.2 обозначен
параллельный поток данных в частотном области.
Бели мы имеем дело с БМНК-фнльтром, то для каждого
блока, содержащего Л' выборок, требуется пять 2Л/-мерных
БПФ и два комплексных умножения для 2V чисел. Для
вещественных входных данных все преобразования симметричные и
необходимо вычислить лишь первые Л'+l членов. Более того,
для вещественных данных 2/V-Mepnoe БПФ можно реализовать
с помощью ^-мерного БПФ и Л' комплексных умножений [60].
Для Л'-мерного БПФ по основанию 2 требуется примерно
(Л//2) log2 (Л')—Л' комплексных умножений [286] (для БПФ
по основанию 4 необходим несколько меньший объем
вычислений). Следовательно, число комплексных умножений для
каждого блока равно (5Л//2) log2'V для пяти БПФ и примерно
2/V для комплексного взвешивания и корректировки. Чтобы
получить N выборок выходного сигнала с помощью обычного
МНК-адаптивного фильтра, требуется 2Л/2 вещественных
умножений. Полагая, что одно комплексное умножение эквивалентно
четырем вещественным умножениям, получаем следующее
■соотношение:
БМНК вещественных умножений 5 (log., Aj 4-4
МНК вещественных умножений
<V
(6.41 >
Результаты расчета по этому соотношению для
значений N приведены в следующей таблице:
нескольких
N
16
32
64
256
1024
ЬМПК нещепвенных учни/Kt пнП
МНК п1ЧЦч'Т11рнИ|.к умнижаний
1,5
0,91
0,53
0,17
0,053

Адаптивная фильтрация в частотной области
203
Для фильтров с большим объемом блока входных данных
уменьшение вычислений, достигаемое за счет использования
алгоритма БМНК, оказывается существенным, даже несмотря
на то, что требуется пять БПФ.
Алгоритм БМНК можно записать в следующей матричной
форме, которая впоследствии будет полезной:
H(ft-fl) = H(*) + tiF
F-'X*(*)E(ft),
E(*) = F
.v J
(d(/e)-y(/0),
У(*) = [0 l.v]F-»X(*)H(*),
(6.42)
(6.43)
(6.44)
где F—ДПФ-матрица 2.VX2/V, a lN — единичная матрица
A'X.V.
Свойства сходимости. Поскольку алгоритм БМНК является
точной реализацией блочного алгоритма МНК, достаточно
исследовать свойства сходимости последнего (более подробные
доказательства см. в работе [57]). Воспользовавшись
уравнениями (6.30) и (6.31), можно получить рекурсивное
соотношение для математического ожидания весового вектора, считая
что d(n) и х(п) стационарные, а вектор х(п) не коррелирован
во времени:
£[Ь(Л+1)| = £|Ь(Л)] + цЛГ{г^-гв£[Ь(Л)|}, (6.45)
где
гхх=Е[х(п)хТ(п)\ (6.46)
rxd = Eld(n)x(n)]. (6.47)
Используя эти результаты в методе скорейшего спуска [341],
можно показать, что
limEfh^^r-^r^ (6.48)
fc-»oo
при условии, что
ц<
NK
(6.49)
где Хмакс — максимальное характеристическое число матрицы
гхх. Следовательно, весовой вектор после сходимости идентичен
вектору, полученному с помощью обычного алгоритма МНК.
Однако в условии устойчивости обычного алгоритма МНК в

204
Глава 6
знаменателе (6.49) отсутствует Л', что означает более быструю
адаптацию. Следовательно, условие устойчивости для блочного
алгоритма МНК более жесткое, чем для обычного алгоритма
МНК. Это может вызвать затруднения в том случае, когда
характеристические числа г.,.., сильно различаются.
Можно показать, что постоянные времени сходимости N мод
адаптивного процесса равны
Т{ = блоков, (6.50а)
\iKiN
= выборок. (6.506)
Эти постоянные времени идентичны постоянным времени для
обычного алгоритма МНК.
Полагая далее, что е(п) и х(я)—гауссовы величины с
нулевым средним, можно найти выражение для коэффициента
расстройки адаптивного процесса:
M = Jitr{r,J,
оно совпадает со значением М для случая обычного алгоритма
МНК. Следовательно, для получения одинаковых ошибок
в установившемся режиме коэффициент ц должен выбираться
одинаковым, а это для любого алгоритма приводит к
идентичным скоростям сходимости. Такой случай не всегда может
реализоваться из-за более жестких условий устойчивости для
блочного алгоритма МНК- Требование устойчивости
ограничивает величину коэффициента расстройки блочного алгоритма
МНК, так что удовлетворяется условие
М < -^Н_ . (6.52)
Л>макс
Поскольку обычно желательно, чтобы расстройка не превышала
0,1, ограничение (6.52) трудно выполнить лишь для случая
сильно различающихся характеристических чисел. Ограничение
(6.52) представляет менее сложную проблему в том случае,
когда увеличивается перекрытие блоков данных между
последовательно выполняемыми БПФ, хотя это приводит к менее
эффективной обработке сигналов, так как в результате при
каждой итерации получается меньшее количество импульсов
выходных сигналов.
(6.51а)
(6.516)

Адаптивная фильтрация в частитной области
205
6.3.2. МНК-адаптивный фильтр с обработкой сигнала
в частотной области без наложенных ограничений
Для алгоритма BV\HK, рассмотренного в предыдущем разделе,
требуется пять БПФ тля обработки каждого блока данных;
два нз них необходимы для наложения ограничений во
временной области, заключающихся в гом, что вторая половина
весовых коэффициентов во временной области приравнивается нулю.
Это требовалось для гого. чтобы реализовать строго линейную
свертку входного сигнала фильтра и импульсной
характеристики В МНК-адапгивном фильтре, выполняющем обработку
сигналов в частотной области без наложения ограничений
(БОБМНК) [215], jto требование снимается, что дает более
простей адаптивный фильтр, который может выполнять либо
линейную, либо круговую свертку в зависимости от того, какая
из них лучше минимизирует среднеквадратичную ошибку.
Допустим, что имеющаяся у фильтра возможность выполнения
круговой свертки будет желательной для ряда применении
в тех случаях, когда не имеет значения, каким образом входной
сигнал фильтра используется для минимизации
среднеквадратичной ошибки (например, подавление шума [339] или
многоканальное усиление сигнала [98]). II действительно, не
исключено, что среднеквадратичную ошибку можно уменьшить,
используя круговую свертку. Однако проблема возникает при
попытке применить БОБМНК для адаптивного предсказания
или коррекции линии связи [302]. В этих применениях
адаптивного фильтра для предсказания текущего значения сигнала
используются прошлые значения входного сигнала. Очевидно,
что адаптивный фильтр не смог бы использовать текущие
значения сигнала для предсказания. Однако, когда
применяется блочная обработка сигналов, как в алгоритме
БОБМНК, адаптивному фильтру оказываются доступны не
только прошлые значения входных сигналов, но также и
многие текущие и будущие значения. Хотя на весовые
коэффициенты наложены ограничения, для минимизации
среднеквадратичной ошибки адаптивный фильтр может использовать текущие
и будущие значения Это чрезвычайно неблагоприятно для
случая коррекции линии связи, так как получающийся
выходной сигнал фильтра почти идентичен входному сигналу фильтра
с незначительным \силением спектральных линий.
Предшествующие рассуждения применимы только тогда, когда
осуществляется предсказание некоторою числа выборок, которое
меньше размерности БПФ; для более длинных интервалов
прогнозирования это не вызывает сложности, поскольку
значения выборок соответствующего искомого отклика и блоков
входных сигналов фильтра не связаны между собой.

206
Г.шва f>
Блок-схема БОБМНК-адаптивного фильтра идентична блок-
схеме, изображенной на рис. 6.2, за исключением того, что
устранено ограничение, отмеченное на рисунке пунктирной
линией, а это исключает два из БПФ, используемых в БМНК-
адаптивном фильтре. Следовательно, отношение числа
вещественных умножении для алгоритма БОБМНК к числу
вещественных умножений для обычного алгоритма МН1\ имеет вид
Число вещественных умножений для алгоритма БОБМНК
Число вещественных умножений для алгоритма МНК
_ 3{Iog3/V) -4-4
V
(6.53)
Это отношение табулировано ниже для нескольких значении Л':
16
32
64
256
1024
Число вещественных умножений для алгоритма БОБМНК
Число вещественных умножений для алгоритма МНК
1,0
0,59
0,34
0,11
0,033
Если в алгоритме БМНК снять ограничение, согласно которому
коэффициенты приравниваются нулю [(6.42)—(6.44)], то его
можно выразить в виде
Н (*+1) = Н (k) + ЦХ* {k) E (k),
E(*)=Frj j(d(ft)-y(ft)),
У(*)=№ IwlF-»X(ft)H(ft).
(6.54)
(6.55)
(6.56)
Оптимальный весовой вектор. Теперь рассчитаем
оптимальные весовые коэффициенты, которые минимизируют
среднеквадратичную ошибку выходного сигнала фильтра относительно
искомого отклика. Среднеквадратичная ошибка £, выраженная
в виде функции весового вектора Н, определяется формулой
E-£[(d(ft)-y(ft))*(d(ft)-y(ft))l =
= _L.£{(d(*)-y<*))*[0 gPF|J j(d(*)-y(*))}, (6.57)
где мы использовали тот факт, что F*F=2/VI2jv- Следовательно.
2/V£= E {[D (*)—FwF"1 X (ft) H]* [D (k)—FwF"1 X (k) HJ}, (6.58>

Адаптивная фильтрация в частотной области
207
где D(k) — 2A-viepnoe ДПФ дли d(k). которому предшествует
Л' нулей:
D(ft)=F
0
й(к)
a w—матрица 2Л'Х2.¥ функции окна:
0 0
(6.59)
w =
О I,
Обобщая (6.58). получаем
2\% = Е |D* (к) D{к)] — E\D* (ft)WX (k)\ И —
— Н* Е [X* (k) W* D (k)\ + H*E [X* (к) WX (к)] И, (6.60)
где
W = FwF'. (6.61)
Полагая, что градиент (6.60) но Н равен нулю, находим
оптимальный весовой вектор
гдг
"opt — " " хх *'*</•
\\xx=E\X*(k)WX(k)]
(6.62)
(6.63)
Jixa=E\D(k)WX*(k)\.
(6.64)
Эквивалентный весовой вектор для обработки во временной
области имеет вид
где
"opt — г хх Гх<1'
rxx=E\x*(k)»x(k)l,
xd Г d(*)
(6.65)
(6.66)
(6.67)
a %(k)—циркулянтная матрица, определяемая формулой
X(ft) = F-«X(ft)r. (6.68)
Свойства сходимости. Используя аргумент, аналогичный
аргументу, рассмотренному в разд. 6.2, находим, что алгоритм
БОБМНК удовлетворяет условию
lim £[Н(Л)] = Нор1
fc-»oc
(6.69)

208
Глава 6
в том случае, если
^<~~, (6.70)
"■макс
где Лм1М,с- — максимальное характеристическое число Rv.v или
|ДЛ. Постоянные времени сходимости 2Л' мод адаптивного
процесса задаются выражениями
т„= блоков, (6.71а)
= —-— выборок, (6.716)
где К,, — р-е характеристическое число RlA или гСЛ. Используя
допущение о гауссовом распределении, введенное в разд. 6.1,
можно найти, что для расстройки имеют место формулы
M = -^-tr{R,,}, (6.72а)
= \\.\'Р, (6.726)
[де Р — мощность входного сигнала фильтра.
Для обеспечения устойчивости расстройка должна иметь
ограниченную величину
М < -^- , (6.73)
^■макс
где Хер — среднее характеристическое число R**.
6.4. КОРРЕКЦИЯ КАНАЛА
Скорость передачи данных по каналу связи с рассеянием
ограничена межеимвольной интерференцией — искажением
импульсов в канале связи, вызванным их перекрытием с другими
передаваемыми импульсами. Для ослабления влияния
межеимвольной интерференции обычно прибегают к коррекции канала с
помощью адаптивного корректирующего фильтра, как показано
на рис. 6.3. Параметры адаптивного корректирующего фильтра
выбираются таким образом, чтобы минимизировать
среднеквадратичную ошибку выходного сигнала фильтра
относительно некоторого искомого выходного сигнала. Для адаптивной
коррекции был предложен целый ряд методов [203]. Здесь
рассматриваются два подхода, основанные на обработке
сигнала в частотной области. В одном из подходов выполняется
коррекция с помощью изолированных тестовых импульсов; в
другом используются последовательности случайных сигналов.
Хотя для коррекции канала можно было бы использовать и

Адаптивная фильтрация в частотной области
209
Передатчик
данных
—»■
Канал
i
—*■
Принимающий
фильтр
Адаптианый

корректирующий фТГльтр
Решающая 1
схема
Рис. 6.3. Коррекции канала связи.
другие подходы, основанные на обработке сигналов в частотной
■области, представленные здесь методы являются характерными
для выполнения коррекции канала.
6.4.1. Коррекция с помощью изолированного импульса
В данном подходе [324] используется обучающая мода, для
-создания которой изолированный тестовый импульс (или ряд
неперекрывающихся тестовых импульсов) передается по каналу
и используется в качестве входного сигнала адаптивного
корректирующего фильтра. Корректирующий фильтр настроен
таким образом, чтобы ею выходной сигнал был как можно
ближе к искомому выходному сигналу (например, к форме
передаваемого тестового импульса). С этого момента процесс
■обучения считается завершенным и может начинаться передача
информации с более высокой скоростью. Для учета изменений
во времени некоторых характеристик канала обучение может
периодически повторяться.
Пусть x(k) —iW-мерный вектор, содержащий выборки
выходного сигнала канала, создаваемого А-м тестовым импульсом;
чж будет также входным сигналом корректирующего фильтра.
Пусть h(ft) содержит импульсный отклик корректирующего
•фильтра длиной М выборок, a y(k)—результат свертки
входного сигнала корректирующего фильтра длиной Л' выборок и
импульсной характеристики (N~^'2M—1). И наконец, пусть
d(k) содержит искомый выходной сигнал длиной X выборок
для ft-ro импульса (он может не зависеть от к), н пусть D(k)
содержит N коэффициентов его БПФ.
Поскольку x(k) и h(k)—конечные последовательности, их
линейную свертку можно вычислить с помощью БПФ
следующим образом. Пусть X(k) —диагональная матрица,
компоненты которой задаются N коэффициентами БПФ вектора x(k)
и дополняются N—М нулями, т. е.
X (k) = diag {БПФ [хт (/г) 0... 0]}. (6.74)
N—М нулей
Определим H(k) как /V-мериое БПФ импульсной
характеристики, дополненной нулями:
Нт (k) = БПФ [h т (k) ^_0J. (6 щ
N—М пулей
14—1487

210
Глава 6
Тогда y(k) задается выражением
у (к) = (БПФ)"1 (Y (к)} = (БПФ)"< {X (k) H (к)). (6.76)
Мы хотим выбрать h таким образом, чтобы минимизировать
Е \(d(k)-y(k))*(d(k)-y(k))\, (6.77)
что эквивалентно выбору такого Н, которое минимизирует
Е |(D (k)-X (k))* (D(k)-\ (ft))] (6.78)
при наложенном ограничении, заключающемся в том, что
последние Л'—М элементов h равны нулю. Используя метод
итераций, можно рассчитать оптимальное значение Н. если
начальное значение Н удовлетворяет ограничению
Н (к+ 1) = Н (k) + iiP(k) X* (k)[Dik)—X (k)], (6.79)
где Р — матрица ограничения, задаваемая в виде
~1М 0
0 0
P = F
F-». (6.80)
В определении (6.80) величина F — матрица ДПФ, а 1М —
единичная матрица МхМ. Выражение (6.79) представляет собой
линейно ограниченный алгоритм убывания градиента.
Ограничение можно реализовать с помощью преобразования
\*(k)[D(k)—X(k)\ во временную область, если приравнять
нулю последние Л/—М значений и выполнить обратное
преобразование в частотную область. Алгоритм коррекции
проиллюстрирован на рис. 6.4.
Блок-схема, изображенная на рис. 6.4, аналогична блок-
схеме адаптивного фильтра на основе быстрого МНК (рис. 6.2);
разница между ними состоит лишь в том, что выходном сигнал
не обрабатывается с помощью функции окна во временной
области до его возврата для адаптации весовых коэффициентов.
Эту обработку с помощью функции окна можно исключить,
оставив лишь линейную свертку, поскольку последовательность
входных сигналов была конечной и, следовательно, перед
сверткой с импульсной характеристикой эту последовательность
можно было дополнить нулями. Исключение обработки с
помощью функции окна с точки зрения вычислений имеет
преимущество, так как весовые коэффициенты могу г корректировался
фактически без вычисления обратного БПФ выходного сигнала.
Когда процесс обучения завершается и начинается передача
информации, адаптация весовых коэффициентов становится
невозможной и выходной сигнал следует вычислять с помощью
метода уменьшения перекрытия.
Свойства сходимости. Характер сходимости линейно
ограниченных алгоритмов убывания градиента типа (6.79) анализи-

■v fl> Q> 7 щ
1-5 S 5 1 g
J> S CI QlO S
CD С X С о о
1
<&&t
ф
о
• с
Z
ю£§§-
ч
я
s
■е-
■е-
ft
1
О
X
§
о.
■е-и
g о
;-.о
Р 3
О.
О ы
-? О

212
Глава С
ровался в работе [109]. Если диагональная матрица R.vv имеет
вид
R„=EIX(*)X*(*)], (6.81)
то постоянные времени адаптивного процесса задаются
характеристическими числами PTR**P, т. е. временная постоянная
для р-й моды равна
т„= блоков, (6.82)
где а,,—р-е характеристическое число PTRrjfP. Если ц
выбирается так, чтобы выполнялось неравенство
0<р.<——, (6.83)
°макс
то средний весовой вектор сходится к своему оптимальном}
значению, задаваемому в виде
Н0Р1 = {1л—R,x W (W* В,, W)-« W*} R\x R,,, (6.84)
где
Rxd = E[X*(k)—D{k)\ (6.8о)
и
"О
W = F
*M-N
(6.86.)
Отличные от нуля характеристические числа PTR*.VP
ограничены наименьшим и наибольшим характеристическими числами
Rxx, т. е.
^■мнн < °ыин < °i < °маьс ^ ^мако (6.87)
где hMttK и Лмакс — наименьшее и наибольшее
характеристические числа R.rjc. Поскольку матрица Rvx- диагональная, легко
получить ее характеристические числа, которые задаются
среднеквадратичными значениями коэффициентов БПФ.
Достаточным условием устойчивости адаптивного процесса будет
условие
0<[1<-^— • (6-88)
Благодаря легкости определения характеристических чисел R**
было установлено, что ц можно выбирать таким, чтобы
обеспечить более высокую скорость сходимости по сравнению с
сопоставимыми корректирующими фильтрами, выполняющими
обработку во временной области [324].

Адаптивная фильтрация в частотной области
213
Входной
6 if к 1^
данник
бъемлм
V выборок
Дополнение
N М
нулями
N мерное
ЬПФ
Сопряжение
Приравнивание
к у по последние
Н М еыбсро*
N~мерное
с&ратное
ЬПФ
=^>
F0
n мерное
обратное
ьпа
N мерное
ЬПФ
Дополнение
N-M нулями
Решающа"
схема
Вь«»ОДиО.'
Ьлои
да*-нь.»
объемом
М виСоог-
&по*
данных
ИСкОМС С
итнЛиив
Рис. 6.5. Корректирующий фильтр для случайной последовательности
сигналов.
Используя подход, аналогичный рассмотренному в
предыдущих разделах, можно получить следующее выражение для
расстройки:
M--i.tr{PTReP}<-iLtr{IU.
(6.89)
6.4.2. Коррекция с помощью последовательности
случайных сигналов
В системах с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ)
или относительной фазовой манипуляцией (ОФМ) предлагается
использовать [210] адаптивный корректирующий фильтр.
Входной сигнал корректирующего фильтра по предположению
рассматривается как выходной сигнал (возможно, комплексный)
приемного фильтра, днскретизованного с частотой повторения
импульсов. Решающая схема после коррекции, как показано на
рис. 6.5, определяет искомый отклик корректирующего фильтра
путем оценивания переданной последовательности сигналов.
Структура корректирующего фильтра отличается от
изображенной на рис. 6.4 тем, что на выходе корректирующего фильтра

214
Глава Б
производится добавочное перекрытие для выполнения линейной
свертки с бесконечно длинной последовательностью входных
сигналов; это обеспечивает возможность передачи информации
одновременно с выполнением адаптации корректирующим
фильтром. Однако на выходной сигнал корректирующего
фильтра, который возвращается для адаптации, не оказывает
влияния добавочное перекрытие. И действительно, адаптация
происходит точно так же, как если бы она осуществлялась
корректирующим фильтром в случае изолированного импульса,
т. е. как если бы входные сигналы состояли из не связанных
между собой блоков, разделенных нулями. Хотя
среднеквадратичная ошибка имеющего соответствующее перекрытие
выходного сигнала корректирующего фильтра относительно искомого
отклика не минимизируется при данном подходе, в литературе
сообщалось о получении обнадеживающих результатов.
6.5. АДАПТИВНЫЙ ФИЛЬТР-ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ ВИДА
ОБЪЕДИНЕНИЯ КАНАЛОВ
Преобразователи вида объединения каналов —
трансмультиплексоры — используются в системах дальней связи для
эффективного взаимного преобразования сигналов в системах с
временным разделением каналов (ВРК) и с частотным
разделением каналов (ЧРК) [26]. Некоторые методы, применяемые
для преобразования вида объединения каналов, можно
использовать в качестве эффективного способа реализации
адаптивного фильтра [61]. Для наших целей действие
трансмультиплексора показано на рис. 6.6, а (действительная реализация будет
рассмотрена позднее). Входной сигнал трансмультиплексора,
или преобразователя вида объединения каналов (ПК),
фильтруется набором из /V сложных полосовых фильтров, причем
каждый из них имеет строго нулевой отклик за пределами
полосы пропускания 2fJN, где /., — частота дискретизации
входного сигнала. Полосы пропускания смежных по частоте
фильтров могут перекрываться, как показано на рис. 6.7. Выходные
сигналы фильтра легко сдвинуть по частоте к полосе частот
модулирующих сигналов, а их выборки объединить без потери
информации группами по N/2. Этот процесс аналогичен
преобразованию сигналов из системы с ЧРК в систему с ВРК.
На рис. 6.6, б показан принцип действия обратного
трансмультиплексора (аналогичный преобразованию ВРК в ЧРК).
Каждый входной сигнал канала интерполируется для
увеличения частоты дискретизации в N/2 раз, а затем обрабатывается
г помощью другого набора полосовых фильтров. Затем
производится суммирование выходных сигналов полосовых фильтров.

Входной
сигнал ПК
Набор
полосовых 1
фильтров
exol-i27rnf5/N)
1
-V
•<&-—-v
expf-|2rrn|N-1)f,/NI
H.V
Выходной
сигнал ПК
J
г
Интерполятор
exp [j2rrnf,/N)
G0(f)
Интерполятор
G,(f>
Входной
сигнал
(ПКГ1
^N-1
exp[j2Trn(N-1lf,/N]
Интерполятор
GN-,lf)
l_
1
Выходной:
сигнал
(ПК)"'
_1
Рис. 6.6. Модель принципа действия преобразователя вида объединения
каналов (п); модель принципа действия обратного преобразователя вида
объединения каналов (б).

216 Глава $
IG0(f)l2 IG,(f)i2 iG2(f)i2 iG3(f)l2
Рис. 6.7. Возможный вид квадратов частотных характеристик функции
передами для набора полосовых фильтров.
Чтобы полностью обратить процессы, описываемые рис. 6.6,
полосовые фильтры должны удовлетворять условию
Л]£1С<-(П1г=1. (6.90>
Основная фильтрация может выполняться с помощью
трансмультиплексора посредством соответствующего
взвешивания выходных сигналов ПК, которые затем обрабатываются с
помощью обратного ПК. Если i-й вылодной сигнал ПК
взвешивается с помощью #,-, в результате получается полная
передаточная функция (за исключением задержки)
^tf)-2'^|C,ff)|*. (6.91 >
Поскольку могут перекрываться характеристики только
смежных полосовых фильтров, довольно просто рассчитать многие
типы фиксированных фильтров, если задать необходимое
усиление для каждой частотной выборки. Однако основное
преимущество данного подхода заключается именно в адаптивной
•фильтрации.
На рис. 6.8 изображена блок-схема адаптивного фильтра,
в которой используются преобразователи вида объединения

М)апт1мнач фильтрация в частотной области
217
ПК
ПК
DN-i
En-i V;
Vi
(ПКГ
Выходной
сигнал
Рис. 6.8. Адаптивные фильтр нл 0:че преобразователи вилл объединении №
ни.юв (ПК).
каналов [61J. Для i-ii выборки спектра весовой коэффициент
фильтра адаптируется таким образом, чтобы с помощью
алгоритма МНК минимизировать среднеквадратичную ошибку
выходного сигнала на этой частоте Yt{k) относительно искомого
отклика для этого интервала £>,(£):
Я, (ft +1) = //, (ft) + ц£, (ft) X,* (ft), (6.92)
где
£,(ft> = £>,(ft)-K,(*) (6.93)
и
У, (Л) =//,(*)*, (Л). (6.94)
Свойства сходимости каждого канала такие же, как и у МНК-
фмльтра с одним отводом. Для случая статистически
стационарных входных сигналов и достаточно малого |д. среднее
значение f-го весового коэффициента будет сходиться к величине
*-.«, Е [Х( {к) Х(* {к)]
Вообще говоря, этот весовой коэффициент не является
оптимальным коэффициентом, устанавливаемым для минимизации
среднеквадратичной ошибки с/(ft) относительно у (ft), до тех
пор. пока полосовые фильтры имеют перекрытия частотных
.характеристик и коэффициент усиления в пределах полосы
пропускания не равен единице. Но даже в таком случае для
многих моделей можно получить вполне приемлемые результа-

218
Глава Б
ты, поскольку перекрытие ограничивается смежным» выоорка-
ми по частоте. Несколько экспериментов показали, что
полученная передаточная функция практически неотличима от
оптимальной в том случае, когда оптимальная передаточная
функция незначительно изменяется в пределах ширины частотной
дискреты. Даже если оптимальная передаточная функция
содержала узкие провалы, с помощью адаптивного фильтра
достигалась близкая к оптимальной обработка. Чтобы
приблизиться к оптимальной рабочей характеристике как можно
ближе, необходимо уменьшить величину перекрытия частотных
характеристик смежных полосовых фильтров, правда, при этом
возрастает сложность преобразователей вида объединения
каналов (трансмультиплексоров).
Оптимальные весовые коэффициенты можно определить
следующим образом. Пусть Н — вектор, содержащий весовые
коэффициенты, и пусть Г(/) —вектор, i-fi элемент которого
равен \Gi(f)\2. Тогда в соответствии с выражением (6.91)
передаточная функция фильтра будет иметь вид
//(/) = ГЧПН. (6.96)
Мы хотим выбрать Н таким образом, чтобы минимизировать
£ J |У(/)-Я(Л|2#=£ J" \X(f)rttf)H-D{f)W- (6-97>
Раскрывая выражение (6.97) и приравнивая его градиент по Н
нулю, в результате получаем
■ Г, - -1 Г,
J Е |Г (/) X ф X* (/) И (f)]df j Е [Г (f) X* (Л D ф] df.
"opt-
(6.98а)
sR-^R*. (6.986)
Можно записать i-й элемент второго из вышеприведенных
интегралов в виде
J ElGl*(i)X*U)D(f)Gi(f)\df = E[Xi*(k)Di(k)l (6.99)
о
Если полосовые фильтры развязаны по частоте и в пределах
полосы пропускания коэффициент усиления равен единице (и
нулю на всех остальных частотах), матрица !?„ будет
диагональной, а ее i-й элемент задается выражением E[Xi(k)Xf(k)].
Следовательно, при этил допущениях передаточная функция

Адаптивная фильтрация в частотной области
219
предложенного адаптивного фильтра сходится к оптимальной.
Однако такие допущения в практических системах ие будут
строго выполняться и, вообще говоря, будет иметь место
некоторое ухудшение рабочей характеристики по сравнению с
оптимальной.
Преобразователь вида объединения каналов (рис. 6.6, а)
можно реализовать следующим образом [59]. Пусть g(n) —
импульсная характеристика длиной М выборок фильтра
нижних частот, передаточная функция которого G(f) удовлетворяет
условиям
С(Я~0 для 1Л>"^ (6-ЮО)
и
v'|gU=^-}|2«i. (6.Ю1)
Полосовой фильтр G,(/'), показанный на рис. 6.6, а, превратится
тогда в G(f—ifJN), т. е. в фильтр нижних частот со сдвигом
по частоте. Будет удобно считать Л' степенью числа 2, а М =
= LN для некоторого малого положительного целого числа
L^2. Чем больше величина L, тем меньше может быть
перекрытие частотных характеристик смежных полосовых фильтров.
Формы характеристик полосовых фильтров (рис. 6.7) были
получены для L = 3. На рис. 6.9 показана реализация
преобразователя вида объединения каналов для L = 3. Входной сигнал
подается на два набора фильтров с тремя отводами, весовые
коэффициенты которых получают из импульсной
характеристики исходного фильтра нижних частот. Когда верхний
переключатель достигает верхнего из набора фильтров, тогда
вычисляется /V-мерное обратное БПФ для выходных сигналов набора
фильтров. Когда нижний переключатель достигает середины
набора фильтров, вычисляется второе обратное БПФ.
Выходные сигналы обратного БПФ разносятся во времени для того,
чтобы получить частоту дискретизации выходного сигнала
каждого канала, которая в 2/N раз меньше частоты дискретизации
входного сигнала.
Обратный преобразователь вида объединения каналов
можно реализовать, как показано на рис. 6.10 для случая L = 3.
Входные сигналы каналов обрабатываются с помощью
обратного БПФ, а выходные сигналы поступают в банк из N
фильтров с 2L отводами, весовые коэффициенты которых вновь
определяются с помощью импульсной характеристики исходного
фильтра нижних частот. Выходной переключатель поочередно
подключает N/2 фильтров, начиная сверху. В этот момент
времени снова вычисляется обратное БПФ и корректируются

— X
^ r{
о
ее

1
1
■eg
2
Ю
СП
Z
СП
<N
z
(N)
en
<N
z
en
О
en
.
#
_^
♦
eg »
Z
"en
+
z
en
^^
*
Z
en
+
7
en
^^
eg
Z
en
"en
1
• ••
Ш
2
"en
^
z
m
en
^
z
eg
en
_^
z
en
T
z
en
CM
-»*
Z
en
i
<i
см
7L
en
Z
"en
z
Г0
en
z
en
eg
Z
"en
О
en
i
• • •
<»
T
t
„^
1
1
7
f.
C*
%
%
!
i
t
01 0)
?&s
Z о
^ ■
1
I f
•
(
> 1
»
о
о
га
с
о
i I

■222
Глава в
все N фильтры. Переключатель продолжает поочередно
подключать выходы фильтров до тех пор, пока не подходит момент
возврата к верхнему фильтру, и в этот момент времени надо
вычислить второе обратное БПФ. Таким образом, для
каждых N выборок полученного выходного сигнала вычисляются
два БПФ. Вследствие этого для каждого фильтра необходимо
вычислить лишь выходные сигналы всех других фильтров.
Теперь можно рассчитать число умножений, необходимых для
вычисления N выборок вещественного выходного сигнала
адаптивного фильтра-преобразователя вида объединения каналов.
Входной сигнал, искомый отклик и выходные сигналы
преобразователей вида объединения каналов требуют выполнения но
два Л/-мерных БПФ. Как было установлено ранее, БПФ для
N выборок можно вычислить с помощью БПФ для N12 выборок
и Л//2 комплексных умножений. Следовательно, для выполнении
двух БПФ необходимо общее количество комплексных
умножений, равное (ЗЛ72) log2 (N/2). Поскольку весовые коэффициенты
должны быть симметричными, необходимо использовать лишь
половину из них. Тогда для взвешивания и корректировки
весовых коэффициентов потребуется 2N комплексных умножении
на N обрабатываемых выборок. Для вычисления входных
сигналов преобразователя вида объединения каналов и выходных
сигналов фильтра требуется по 2M = 2LN вещественных
умножений для каждого входного сигнала, искомого отклика и
выходного сигнала. Масштабирование входных и выходных
сигналов может производиться с помощью коэффициентов
фильтра-преобразователя вида объединения каналов.
Допущение о том, что одно комплексное умножение эквивалентно
четырем вещественным умножениям, дает 6N\og2h'+2N-{-6Li\'
вещественных умножений для N обрабатываемых выборок
сигнала. Эту цифру можно сравнить с числом умножений,
необходимым для МНК-адаптивного фильтра с отводами:
ПК-вещественных умножений _ 3 (log, N) -\- 1 + 3L .„ ,П9ч
ЛШК-вещественных умножений N
В следующей таблице это отношение рассчитано для L = 3.
Количество вычислений незначительно больше, чем для
БОБМНК-
Л'
16
32
64
256
1024
ПК-вещественных умножений
МНК
вещественных
умножений
1.4
0,78
0,44
0,13
0,04
а-=з)

Адаптивная фильтрация в чштотной области
223
6.6. УЛУЧШЕНИЕ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ
В данном разделе обсуждаются методы изменения скорости
сходимости различных мод адаптивного процесса. Вообще го-
ииря, моды адаптивного процесса сходятся с различными
скоростями, причем скорость каждой моды определяется
соответствующим характеристическим числом автокорреляционной
матрицы входного сигнала. Характеристические числа и,
следовательно, скорости сходимости могут существенно различаться,
если спектральная функция входного сигнала резко меняется в
зависимости от частоты. При сохранении устойчивости самых
быстросходящихся мод скорости сходимости некоторых других
мод могут оказаться очень малыми и в результате
отслеживание нестационарностей входного сигнала станет невозможным.
Вообще говоря, было бы желательно сделать скорости всех
мод более одинаковыми.
Проблема скорости сходимости представляет собой
источник трудностей, особенно в случае блоков выборок сигналов,
обрабатываемых в частотной области с помощью адаптивных
алгоритмов, обсуждавшихся в данной главе. В этом случае,
даже если с помощью усреднения сигналов по всему блоку
можно получить очень хорошую оценку градиента, весовые
коэффициенты фильтра корректируются всего лишь один раз для
каждого блока, причем корректировки должны быть достаточно
малыми по величине приращениями, чтобы обеспечить
устойчивость адаптивного процесса. Например, при использовании
алгоритма БМНК для блоков из (V выборок величина 2р. для
получения устойчивости должна выбираться меньшей 1/МХКЛК,;
при корректировке по каждой выборке необходимо, чтобы
неличина 2р. была лишь меньше 1/Хмаы-. Выбор такой скорости
адаптации, при которой удовлетворяется условие предела
устойчивости при блочной обработке, несложен в том случае, когда
характеристические числа почти равны между собой, как
обсуждалось в разд. 6.3, поскольку максимальное значение р.
определялось бы в большей степени не устойчивостью, а
приемлемой величиной расстройки. Однако, когда характеристические
числа сильно различаются, для обеспечения устойчивости
требуется, чтобы адаптация происходила гораздо медленнее, чем
это необходимо для получения приемлемой рабочей
характеристики.
Как в случае адаптивного преобразователя вида
объединения каналов, так и в случае адаптивного фильтра с круговой
сверткой, описанного в разд. 6.2, весовые коэффициенты
адаптируются независимо друг or друга, причем каждый весовой
коэффициент оказывается связанным с одной модой
адаптивного процесса. Поскольку моды управляемы, легко изменить

224
Глава О
их скорости сходимости. Так как каждый весовой коэффициент
соответствует МНК-адапгивиому фильтру с одно» ветвью, го,
считая входные сигналы стационарными, найдем, что время
сходимости 1-го весового коэффициента обратно пропорционально
\i-Kt, где Kt—мощность входного сигнала, оцениваемая с
помощью данного весового коэффициента (а./ — также i'-е
характеристическое число автокорреляционной матрицы входного
сигнала). Чтобы добиться одинаковой скорости сходимости для
всех мод, можно сделать ц различным для каждого несового
коэффициента, т. е.
иг=—, (6.103)
Pi
где pi — оценка мощности входного сигнала, получаемая с
помощью 1-го весового коэффициента. Если pi— хорошие оценки
мощностей, то все весовые коэффициенты сходятся с
одинаковой скоростью с постоянной времени, равной
т=— выборок. (6.104)
а
Тогда для адаптивного фильтра с круговой сверткой расстройка
для N весовых коэффициентов была бы равна
М= —. (6.105)
Такие свойства сходимости были бы получены в стационарной
среде распространения и при хороших оценках мощностей,
находящихся в нашем распоряжении в начале адаптации. Если
среда распространения нестационарна или если мощность,
оцениваемая каждым весовым коэффициентом, неизвестна,
можно воспользоваться рекурсивной корректировкой оценок
мощности. Простое рекурсивное выражение имеет вид
ft(*)-Wi(*-l) + ll-Y)l^i(ft)|*. (6-10G)
где Xi(k)—входной сигнал i-ro весового коэффициент и
момент времени k, a v выбирается в интервале между нулем и
единицей. Это соотнеи'твует использованию экспоненциально
навешенного среднего значения возведенных в квадрат величин
входного сигнала:
А (*)«(I -V) 5 V'" I *i (k-m) p. (G. 107)
m=l)
Тогда i-й весовой коэффициент адаптируется в соотьстсшпи
с формулой
Hi(k+\) = Hi(k)+-^—Eiik)Xi*(k). (6.108)

Адаптивная фильтрация в чштогной области
•>'2Ь
Особенно удачным выбором дли а является значение, равное
1—ч, поскольку при этом несовые коэффициенты и каждый
момент времени выбираются такими, чтобы минимизировать
экспоненциально взвешенное среднее значение средпекиадра-
тичной ошибки [94], задаваемой в виде
v у" |£,■ (ft—ш)\2- (fi.109)
Следует отметить, что когда р, изменяется во времени (на
пример, вследствие нестационарное!и пли вследствие
переходных процессов при оценке мощности, происходящих в момент
начала адаптационного процесса), сходимость не является
экспоненциальной функцией, как в случае алгоритмов,
основанных на убывании градиента, из-за iого. что оценка градиента
в формуле корректировки весовых коэффициентов была модн
фицирована путем умножения на различные изменяющиеся во
времени значения ц,-. В случае стационарных входных сш палов
весовые коэффициенты сходятся в среднем к одному и гому же
установившемуся значению с идентичными значениями и,- для
всех весовых коэффициентов (за исключением случая, когда
весовые коэффициенты ограничены, что обсуждается ниже),
если все моды являются устойчивыми. Устойчивость
обеспечивается выбором а=1—ч, поскольку тогда весовые коэффициеты
всегда минимизируют взвешенное среднее значение
среднеквадратичной ошибки.
Чюбы понять влияние оценок мощности, корректируемых
с помощью рекурсивного метода, на сходимость адаптивного
фильтра, полезно paccMoipeib влияние ступенчатого изменения
мощности входного сигнала на один из весовых коэффициентов.
При ступенчатом увеличении мощности входного сигнала Mi
моды эффективное произведение ц,->.( вначале велико,
поскольку оценка мощности близка к мощности входного сигнала до
ее увеличения. Затем произведение и,/., уменьшается до
значения, соответствующего установившемуся режиму, так как
оценка мощности близка к мощности входного сигнала после
каждого ступенчатого увеличения. Следовательно, отклик a ичп-
гивпого фильтра является наибыстрейшим сразу же после
каждой ступеньки. При ступенчатом уменьшении мощности
изменение происходит в обратном направлении: произведение ц,-/.?
первоначально имеет малую величину, а затем постепенно
возрастает.
Для случая адаптивного фильтра сипа БОБЧНК адаптация
различных весовых коэффициентов происходит взаимосвязанно,
поскольку сигнал ошибки, используемый для адаптации
каждого в-есового коэффициента, зависит от всех весовых коэффи-
15—1487

226
Глава 6
ииентов. Однако мы увидим, что адаптация различных весовых
коэффициентов становится приближенно независимой, если
имеется достаточно большое число весовых коэффициентов и
если входной сигнал является стационарным и не содержит
периодических составляющих. Это позволяет установить
постоянные времени адаптивного процесса примерно равными
желаемым значениям путем выбора различных ц,- для каждого
весового коэффициента, как обсуждалось ранее.
Коэффициенты ДПФ стационарного случайного процесса
являются, по существу, не коррелированными при условии, что
энергетический спектр процесса медленно изменяется в
пределах ширины каждого элемента дискретизации ДПФ [144].
Если периодические составляющие отсутствуют (включая
постоянную составляющую), это условие можно удовлетворить,
выбирая достаточно большую размерность ДПФ, которая для
случая алгоритма БОБМНК соответствует числу весовых
коэффициентов. (Для периодического сигнала коэффициенты ДПФ
становятся не коррелированными только в том случае, если
размерность ДПФ кратна периоду.) Если коэффициенты ДПФ
не коррелировапы, то автокорреляционная матрица Rxx для
частотной области, задаваемая выражением (6.63), будет
диагональной. Это происходит вследствие того, что элемент с
номером I, / матрицы Rcv имеет вид
(IU,,-= W„ E [X,* (k) Xj (k)]. (6.1 Ю)
где Xi(k)—i-й коэффициент ДПФ ft-ro блока входных данных.
Диагональность матрицы R.„ означает, что математические
ожидания весовых коэффициентов при обработке сигналов
в частотной области во время адаптации статистически не
связаны, причем характеристические числа матрицы Цхх
определяются ее диагональными элементами, а i'-я постоянная времени
гг=1/(ц/Яг). Машинное моделирование показало, что алгоритм
БОБМНК при различном значении р., для каждого весового
коэффициента, определяемом выражениями (6.103) и (6.106),
сходится быстрее, чем алгоритм МНК для случая большого
разброса характеристических чисел [215] (см. также рис. 7.27).
В случае БМНК-адативного фильтра вторая половина
выражения для оценки градиента во временной области
приравнивается нулю, чтобы обеспечить нулевые значения половины
весовых коэффициентов во временной области. Обсужденную
выше модификацию градиента можно применить после того,
как налагаемые па градиент ограничения или установившиеся
весовые коэффициенты будут смещены относительно своих
оптимальных величин. Градиент (и, следовательно, скорость
сходимости) можно без смещения установившегося решения
модифицировать следующим образом. Напомним, что БМНК —

Адаптивная фильтрация в частотной области
227
точная реализация блочного алгоритма МНК. Чтобы точно
уравнять скорости сходимости, необходимо умножить V из
уравнения (6.30) или (6.40) на матрицу, обратную
автокорреляционной матрице гхх размером Л/ХЛ' для временной области.
Если коэффициенты ДПФ W-мерного входного сигнала фильтра
по существу не коррелированы, то матрица rvv существенно
циркулянтна [252]. Матрица, обратная циркулянтной матрице,
также является циркуля in ной. Следовательно, необходимо
умножить у на циркулянтную матрицу, которая
приблизительно равна Гуд-""1; это легче всего выполнить в частотной области.
Рассчитывается /V-мерное ДПФ для у, и его f-й элемент
делится на оценку мощности, даваемую f-м коэффициентом /V-мер-
ного ДПФ для входного сигнала фильтра. Затем вычисляется
обратное /V-мерное ДПФ. Полученный результат дополняется
N нулями, выполняется 2Л7-мерное ДПФ и результат
используется для корректировки весовых коэффициентов в частотной
области. Для выполнения этих операций требуется
значительный объем дополнительных вычислений. В работе [257]
предложен более простой подход к модификации градиента в
частотной области перед наложением ограничений. Хотя это
приводит к тому, что полученное после сходимости решение
для весовых коэффициентов будет смещенным, однако это
смещение будет незначительным, по крайней мере для некоторых
вариантов.
Для алгоритмов коррекции канала, рассмотренных в разд.
6.4, также требуется, чтобы на градиент были наложены
ограничения. Следовательно, замечания по улучшению скорости
сходимости аналогичны приведенным для БМНК-
На рис. 6.11 сравниваются скорости сходимости для
некоторых адаптивных фильтров, описанных в данной главе, при
Л/ = 256. Искомым откликом в этих экспериментах была
последовательность выборок белого шума единичной мощности.
Входной сигнал адаптивного фильтра был получен путем
пропускания этой последовательности выборок белого шума через
цифровой фильтр с тремя ветвями, импульсные отклики
которого равны 0,33, 0,63 и 0,33. Для каждого элемента дискретизации
выбирались различные коэффициенты р. в соответствии с
выражениями (6.103) и (6.106) при сс = 0,9 и ч=1—ее. Оценки
мощности в (6.106) и весовые коэффициенты фильтра
первоначально приравнивались нулю. На рис. 6.11 показана
среднеквадратичная ошибка выходного сигнала фильтра относительно
искомого отклика, вычисленная для следующих друг за другом
блоков из 256 выборок. В соответствии с этим рисунком для
ПК и адаптивных фильтров с круговой сверткой наблюдается
быстрая сходимость, хотя рабочие характеристики последних
для установившегося режима хуже, поскольку эти фильтры
15*

228
Глава 6
5п
-5-
-10
-15-
-20-
-25-
-30-
-35-
БОБМНК
Круговая свертка
БОБМНК
Трансмультиплексор
1 I 1 1 1 1
0 10 20 30 40 50 60
Время (число блоков по 256 выборок)
Рис. 6.11. Сравнение скоростей сходимости нескольких адаптивных
алгоритмов, выполняющих обработку в частотной области.
должны выполнять круговую свертку. В случае фильтра на
основе БОБМНК достигается хорошая рабочая характеристика
для установившегося режима, однако сходимость происходит
медленнее, поскольку весовые коэффициенты алгоритма
БОБМНК не будут строго развязанными. БМНК-адаптивный
фильтр (для него не показаны скорости сходимости на рис.
6.11) с модификацией градиента перед наложением
ограничений, как показано в работе [257], имеет свойства сходимости,
почти идентичные свойствам сходимости алгоритма БОБМНЧ.
Кратко упомянем еще один метод обработки сигналов в ча
стотной области, предложенный для улучшения скорости
адаптивной сходимости, но не приводящий к уменьшению
объема вычислений по сравнению с обработкой сигналов во
временной области. Нараян и др. и Битмид и Андерсон с помощью
скользящего ДПФ разлагают входной сигнал на частотные
составляющие, используя набор из N полосовых фильтров; для
коррекции каждого нового входного импульса ДПФ
применяется рекурсивный метод. Чтобы раздельно регулировать
скорость сходимости для каждого элемента дискретизации,
можно использовать различные значения ц,. Число выходных,
сигналов полосового фильтра не уменьшается, поэтому объем
вычислений, необходимых для обработки фиксированного
объема данных, не сокращается по сравнению с обработкой во
временной области, хотя время сходимости может уменьшиться.
Если число выходных сигналов полосового фильтра
уменьшается в N раз, то это приводит к адаптивному фильтру с
круговой сверткой, рассмотренному в разд. 6.2.

Адаптивная фильтрация в частотной области
229
6.7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для реализации адаптивного фильтра были рассмотрены
некоторые подходы к обработке сигналов в частотной области.
Адаптация в частотной области может привести к
существенному уменьшению объема вычислений и получению времени
сходимости, сравнимого с временем сходимости для процессов
обработки сигналов во временной области. Характеристики
адаптивного фильтра типа БМНК, обрабатывающего сигнал
в частотной области, и обычного МНК-адаптивного фильтра,
выполняющего обработку во временной области, оказываются
самыми близкими, но фильтр типа БМНК имеет то
преимущество, что на его импульсный отклик легко можно наложить
ограничения, характерные для временной области. Фильтр типа
БОБМНК проще для реализации, чем фильтр типа БМНК, и,
за исключением некоторых случаев, описанных в разд. 6.3.2,
дает в установившемся режиме по крайней мере столь же
хорошую рабочую характеристику, как фильтр типа БМНК.
Адаптивные фильтры с круговой сверткой в частотной области
являются самыми простыми для реализации, но их рабочая
характеристика в установившемся режиме может быть хуже,
чем у адаптивных фильтров с линейной сверткой. Адаптивный
фильтр-преобразователь вида объединения каналов имеет
умеренную сложность реализации, рабочую характеристику в
установившемся режиме, близкую к оптимальной, и то
преимущество, что весовые коэффициенты в частотной области могут
адаптироваться независимо друг от друга.
Блочная обработка сигналов в частотной области,
используемая в большинстве адаптивных фильтров, устанавливает
верхний предел скорости адаптации, что может привести к
значительно более медленной сходимости, чем в случае обработки
сигналов во временной области, когда характеристические числа
корреляционной матрицы входного сигнала имеют большой
разброс значений. При сохранении устойчивости самых быстро
сходящихся мод скорости сходимости некоторых других мод
могут оказаться очень малыми. Решение этой проблемы
облегчается путем применения методов модификации градиента,
описанных в разд. 6.6. Для преобразователя вида объединения
каналов и адаптивных фильтров с круговой сверткой скорости
сходимости различных мод можно сделать одинаковыми; в
случае алгоритмов БМНК и БОБМНК это может быть достигнуто
лишь приблизительно.

230
Глава 6
6.8. ПРИЛОЖЕНИЕ. СРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ И КРУГОВОЙ
СВЕРТКИ
Если перемножить результаты БПФ двух последовательностей
и выполнить обратное БПФ произведения, то получим не
обычную линейную, а круговую свертку этих двух
последовательностей. В данном приложении содержится краткое обсуждение
разницы между двумя типами свертки.
На рис. 6.12 показаны две последовательности: х(п) и
h(n), которые мы хотим подвергнуть свертке. Для выполнения
линейной свертки последовательность h(n) сдвигается во
времени назад относительно исходной (рис. 6.13, б), затем
последовательно сдвигается вправо для получения свернутого
выходного сигнала (рис. 6.13, е). При каждом сдвиге значения
выборок а- и Л перемножаются в каждой точке, и эти четыре
произведения складываются для получения выборки
выходного сигнала.
х(п)
о о о о о о о
1
О О-On
h(n)
О О О О
о о о о о о о
О О О О О О О п
Рис. 6.12. Последовательности, подлежащие свертке.

Адаптивная фильтрация в частотной области
231
х(п)
11
h(-n)
Сдвиг
Линейная свертка
С
О N
h(-nlNI) 3
f j ) Вращение
ь.
О N
Круговая свертка
ON ON
Рис. 6.13. Сравнение линейной и круговой сверток.
На рис. 6.13, гид показана круговая свертка, полученная
с помощью /V'-мерного БПФ (в данном примере длина блока
.V установлена равной 8). Сначала N выборок h(n) сдвигаются
но времени назад на число периодов, кратное N, чтобы
получить значение h в точках (—п, кратных Л'), как показано на
рис. 6.13, г. Затем эти /V выборок последовательно вращаются
для получения N выборок выходного сигнала, показанных на
рис. 6.13, д. Круговая свертка отличается от линейной из-за
оборачивания А. Однако некоторые выходные выборки
оказываются одинаковыми. Это имеет место только потому, что
последние N/2 выборок последовательности h(n) были нулями;
если бы последовательность 1г(п) выбиралась произвольно, то
дне свертки различались бы во всех выходных выборках, кроме
одной. При произвольной последовательности h(n) каждый
иыходной сигнал круговой свертки является взвешенной суммой
нгех N выборок последовательности х(п).
Метод уменьшения перекрытия — один из способов
применения БПФ для выполнения линейной свертки длинной после-
доиа1елыюсти данных х(п) и относительно короткой последо-
иателыюсти h(n). Если длина короткой последовательности

1:32
Глава 6
h(n) равна М, то размерность БПФ N должна быть больше М\
тогда последовательность h(n) дополняется достаточным
количеством нулей, чтобы ее длина стала равной N.
Последовательность х(п) разбивается на отрезки длиной .V, причем каждый
из них перекрывает смежный отрезок на М—I выборок.
Причина перекрытия станет очевидной позже. Сначала вычисляется
БПФ одного из этих отрезков, и результат умножается па
БПФ. выполненное для /;(/')■ Обратное БПФ
произведения будет круговой сверткой длиной N выборок. Последние
N—Af-f-l выборки круговой свертки идентичны результатам,
которые мы могла бы получить при выполнении линейной
свертки. Мы оставляем эти выборки и отбрасываем остальные.
Поскольку мы получили N—М-\-\ выборок выходного сигнала,
необходимо сдвинуть последовательность х[п) на эту величину,
прежде чем приступить к вычислению следующего блока
выходных сигналов. Это приводит к перекрытию смежных
отрезков на М—1 выборку. Обычный оптимальный случай — это
\=2/И, что приводит к 50%-ному перекрытию выборок во
временной области. Альтернативный метод — добавочное
перекрытие, когда между следующими друг за другом текущими
выборочными данными добавляются неверные произведения для
того, чтобы получить точные выборки выходного сигнала [58].

7
Обзор способов
реализации аналоговых
и цифровых адаптивных
фильтров
Калин Ф Н Кауэн и Птср М. Гран!
7.1. ВВЕДЕНИЕ
Несхипря na го что теория адаптивных систем была хорошо
н.шесша па протяжении многих нет из-за п\ применения и сп
етемад управления и антенных устройствах, лишь в последние
годы успехи н области технологии обеспечили возможность
создании атаишвных фильтров тля обработки импульсных
сигналов В эти главе дан обзор различных методов реалнза
пни ana.ioroBi.ix н цифровых адаптивных филы]>ов [64| Оииса
lit) несколько схем специальных адапшнных систем и приведены
чксперимешальпые результаты, полученные для рабочих харак
терпстик адаптивных фильтров.
Обзор методой применения цифровых и импульсных
аналоговых устройств грубо делится па две част. В разд. 7 2
обсуждается техническая сторона цифровых схем, главным образом
конструктивные ограничения, обусловленные недостатками
современных интегральных схем. Это позволяе! понять, какие
структуры будут реально осуществимы и смогу"! использоваться,
как только будут освоены субмикроиные размеры кремниевых
сверхбольших интегральных схем (СБИС) Данному вопросу
посвяшеи разд. 7.5.
В разд. 7.3 рассматривается исмолыоиаппе аналоговых
структур с выборкой данных в схемах адапшнных фильтров.
Такие фильтры главным образом связаны с применением н
технологией изготовления приборов с »арядоноп связью (ПЗС)
[13, 38| и приборов с зарядовой связью тина «пожарной
цепочки» (НИЦ) [327]. В гл. 8 приведены примеры применении
аналоговых адапшнных фильтров в телефонии В настоящее
"премя маловероятно, что уменьшение paivicpoH -цементов и
кремниевых микросхемах даст какие-либо преимущества дли
lexno.iorun лн\ аналоговых устройств, п. следовательно, нож
но полагать, что приведенные в чанной главе результаты прет
сшвтяют собой предельные реализуемые рабочие хнрактерп

-'34
Глава 7
стики, получения которых можно ожидать при данном частном
подходе. В разд. 7.4 сообщается о результатах, полученных для
других аналоговых адаптивных фильтров, использующих
приборы, основанные на поверхностных акустических волнах; здесь
мы имеем дело с более широкой полосой частот по сравнению
со случаями, когда применяются ПЗС и ППЦ. Будет показано,
что, несмотря на большие преимущества аналоговых систем
в отношении мощности, веса и габаритов, им свойственны
фундаментальные ограничения по динамическому диапазону и
точности, которые нелегко преодолеть. Представляется
вероятным, что в основу следующего поколения конструкций
адаптивных фильтров будет положено применение цифровых
методов. Поэтому разд. 7.5, в котором описываются дальнейшие
тенденции развития приборов, полностью посвящен данному
подходу.
7.2. РЕАЛИЗАЦИЯ ЦИФРОВЫХ АДАПТИВНЫХ ФИЛЬТРОВ
В данном разделе приведен обзор схем цифровых адаптивных
фильтров, реализуемых в настоящее время. В первой части
освещаются классические методы конструирования,
основанные большей частью на применении линейных цифровых
умножителей. В настоящее время, если необходимо получить
приемлемую ширину полосы, эти конструкции можно реализовать
с помощью стандартных систем на основе
транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ) или больших заказных интегральных
схем. Остальная часть данного раздела посвящена
рассмотрению цифровых систем на основе запоминающих устройств, где
не используются цифровые умножители высокой точности. Эти
системы основаны на применении систем вычитания чисел
(ВЧС) [2891 и распределенных арифметических структур [67].
7.2.1. Классическая цифровая схема
С учетом ограничений, обусловленных используемой в
настоящее время технологией, в полосе частот в реальном масштабе
времени могут реализовываться лишь алгоритмы адаптации
в цифровой форме, сравнительно простые с точки зрения
вычислений. Обобщенная блок-схема адаптивного фильтра
представлена на рис. 7.1. В данном случае основной объем вычислений
связан с необходимостью выполнить линейную свертку выборок
входного сигнала и накопленных весовых коэффициентов
фильтра (для фильтра с конечным импульсным откликом) с
запасом по перегрузке, даваемым алгоритмом адаптации. Для
выполнения корректировок оценок значений весовых
коэффициентов на фильтр, для которого выполняется алгоритм адап-

Обзор способов реализации адаптивных фильтров
/
Вход сигнала
Программируемый
фильтр КИХ-типа
Выход фильтра
г - Вход задающего
/ /""4 + сигнала d(n)
Адаптивный
алгоритм
Выход
ошибки е(п)
235
Рис. 7.1. Обобщенная структура адаптивного фильтра.
тации, должны подаваться выборки входного сигнала и
выходной сигнал ошибки процесса оценивания. Эта информация
позволяет применять любой алгоритм из описанных в гл. 3.
Прежде чем рассматривать применение самого процесса
адаптации, мы исследуем один общий подход к реализации
секции фильтра КИХ-типа. Этот метод иллюстрируется на
рис. 7.2 [223]. В нем используется один цифровой умножитель,
на вход которого поступают сигналы и весовые коэффициенты
фильтра, накопленные в цифровых запоминающих устройствах.
Данная реализация с использованием цифровых запоминающих
устройств является развитием исходных вариантов этого
способа реализации, основанного на аналоговых (с большой
задержкой) запоминающих устройствах. Каждая пара входных
воздействий (сигнал и весовой коэффициент) последовательно
поступает на умножитель, а произведение накапливается.
Следовательно, в случае фильтра, обрабатывающего N
выборок сигнала, производительность умножителя должна в N раз
превышать частоту выборки фильтра. Очевидно, это — основное
ограничение достижимой величины произведения «время —
ширина полосы частот», задающего предельную частоту
выборки. Произведение «время— ширина полосы» можно увеличить
с помощью каскадирования двух или более таких фильтров без
влияния на частоту выборки. Однако это в результате приводит
к применению дополнительных умножителей и, следовательно,
к увеличению стоимости системы и потребляемой мощности.
Можно использовать ряд альтернативных схем для реализации
фильтра, которым свойственны различные недостатки в
отношении их суммарной эффективности. В конце данного раздела
приводится обзор некоторых из этих методов.
При рассмотрении алгоритма адаптации, который должен
•быть использован в такой структуре фильтра, существенно.

I
I!
m©
3
z
n
о
3
2
>>
m
ja
Z
s
3
2
a>
s
s
•6-
f
va
и

Обзор тпсобов реализации адаптивных фильтров
237
чтобы из-за дополнительного объема вычислений, необходимых
для корректировки величин весовых коэффициентов фильтра.
не произошло значительного ухудшения производительности
или ширины полосы частт фильтра. При использовании
современных технологических методов такое требование обычно
приводит к реализациям, в которых используются алгоритмы
адаптации на основе стохастического градиентного метода
наименьших квадратов (МНК) [3:-J9J (этот метод в теоретическом
плане был рассмотрен в гл. 3). Основной адаптивный алгоритм
МНК задается в виде
Н (л + I) = Н (л) + 2це (л) S (я). (7.1)
вектор весовых коэффициентов фильтра в момет
времени л,
ошибка оценивания в момент времени п,
вектор выборок входного сигнала, накопленного
в фильтре в момент времени п,
коэффициент сходимости, величина которого не
превышает единицу и который определяет времч
сходимости и конечную точность решения после
сходимости.
Существует ряд возможных упрощений этого алгоритма,
которые могут дать значительные преимущества с точки зрения
эффективности аппаратной реализации. Однако сначала мы
рассмотрим прямую реализацию алгоритма, заданного
выражением (7.1) (линейного алгоритма МНК). На рнс. 7.3 показана
блок-схема такой системы, в которой используется одни допол
нительный цифровой умножитель для выполнения умножения
сигнала и ошибки в алгоритме МНК. Такой особый выбор
способа реализации зависит от желания сохранить частоту
выборки исходного фильтра КИХ-типа. Однако если в нашем
распоряжении имеется более быстродействующий умножителе
'или если произведение «время — ширина полосы частот» весь-
па мало, то основной умножитель, используемый в фильтре
КИХ-типа, можно дополнительно использовать для выполнении
умножения, требуемого алгоритмом адаптации.
Подобный способ анализа с учетом числа цифровых умиожи
1епей и обращения с ними является более наглядным с гочкп
зрения компромиссов, на которые приходится идти при практи
ческой аппаратной реализации адаптивного фильтра. Однако
не столь очевидный результат получается при определении
числа разрядов, необходимого для хранения цифровых сигналов и
весовых коэффициентов фильтра. Влияние квантования па
схему фильтра с постоянными параметрами полностью изучено, и
действительную длину слова для канала передачи сигнала
где И(п) —
, Ф)-
Sf«J-
и —

HI
*!
<3l
й
x s_- Ш о о щ
-t
I
X
is
§
ia
s
с

Опяор способов реализации адаптивных фильтров
239
можно легко вывести, исходя из требований, предъявляемых к
ветчине динамического диапазона. Можно даже уменьшить
требуемый объем памяти (и действительно упростить процесс
умножении), применяя кодирование со сжатием либо по А-за-
кону, либо по ц-закону, используемым в им пул ьсио- кодовой
модуляции.
Основная проблема при определении длины слова связана
с анализом точности, необходимой дли хранения в памяти
отдельных весовых коэффициентов, и с учетом процесса
адаптивной корректировки Анализ формы фильтра, изображенного
па рис. 7.3, при допущении, что входные сигналы кодируются
при квантовании 8-разрядными словами и используемые при
работе фильтра весовые коэффициенты будут также 8-разряд-
иыми, показывает, что в результате выполняемого фильтром
умножения получается 16-разрядное слово. После накопления
разрядность слова может быть увеличена в соответствии с
порядком фильтра. Обычно выходное слово сокращается
примерно до 8 или 10 разрядов, причем положение выходною слова
определяется областью применения. В зависимости от того,
является ли фильтр согласованным, обратным или он другого
типа, выходное слово будет различаться в значительной своей
части. Следовательно, в силу этих причин, используя особую
архитектуру фильтров, невозможно сформулировать, каким
должен быть процессор общего назначения. Для определения
же важных областей в информационных словах в первую
очередь необходимо знать область применения фильтра.
Предполагая, что выходное слово сокращено до 8 разрядов,
можно вычесть его из задающего входного сигнала и результат
умножить на слово сигнала. Это умножение даст еще одно
16-разрядное слово, которое снова можно округлить до
8-разрядного остатка. Затем надо умножить результат па
коэффициент сходимости, что можно выполнить либо путем еще одного
цифрового умножения, либо путем масштабирования с
помощью показателя степени 2 (масштабирование с использованием
целого показателя степени, равного 2, обычно
предпочтительнее линейного умножения, поскольку оно проще с точки зрения
аппаратной реализации). Истинный размер корректируемого
слова после такого масштабирования будет зависеть от
выбранного диапазона коэффициентов сходимости, который будет
определяться желаемыми величинами времени сходимости и
характеристикой шума сходимости. По существу, размер этого
слова такой же, как глубина, на которой должны храниться
весовые коэффициенты фильтра. В типичных случаях для
полной реализации преимуществ использования 8-разрядной
арифметики в фильтре требуется, чтобы весовые коэффициенты
фильтра хранились па глубине между 16 и 24 разрядами. В тех

J Hi
Глава 7
Блок-схема цифрового
решетчатого
корректирующего фильтра
Г
Запоминающее
устройство
Г
■ шинаЗ
Вычис- I к
литель Г
размера I ,
| шага ^^^*^i
Арифметическое
устройство
Логический блок
управления
арифметическим
устройством
J
*\ Генератор
сиикрони
ЭирутищИх
ч^^ ИГЛПуЛЬСОВ
Рис. 7.4. 1>ло1\-схема цифроиоп аппарат.ни"
ппо фильтра.
реализации ci.iaiiiMiinoiu решетин
случаях, когда фильтр применяется для paouiы в режиме
подавления, этого оказывается достаточно для исключения
искажающего клиники корректировки, вызванной сигналом
п.оыточпой ошибки, па иесовые коэффициенты фильтра.

0(i;u.i/> aim обив рсалижции аОаптинных фильтров
241
15 разд. 7.2.2. представлены результаты, иллюстрирующие эти
эффекты. Лрхнтешура фильтров, типичная для такой
процедуры расчета, довольно подробно обсуждается в работах [235,
245, 292]. Кроме этих структур цифровых адаптивных фи.илров
КИХ-типа в работе [107| описывалась гакже аппаратная
реализация градиентной решетки. На pi 7.4 показана блок-схема
решетчатого корректирующего фильтра, основанного па одном
мультиплексном 12-разрядном параллельном цифровом
умножителе, причем для минимизации шума алгоритма [276, 277]
весовые коэффициенты хранились на глубине 24 разряда. Такой
процессор, содержащий 1Ь0 стандартных ТТЛ-микросхем,
непосредственно реа.тизуе! градиентный решетчатый фильтр с
фиксированным ц, рассмшреппый в гл. 5. Восемь умножений
на каждый каскад фильтра выполняются с помощью
арифметического элемента, имеющего тактовую частоту 2,2 МГц, и
запоминающих устройств с произвольной выборкой (ЗУПВ)
на основе элементов Шоп кн. В случае 16-каскадиого решетча-
тго корректирующего фильтра частота выборки входного
сигнала равна 17 кГц, а приемлемая ширина полосы частот
составляет от 5 до 8 кГц.
7.2.2. Цифровые адаптивные фильтры, использующие
упрощенные алгоритмы
В данном разделе описывается применение упрошенных
алгоритмов МНК, причем особое нчимапие уделяется их влиянию
на аппаратную реализацию. В г.тстпостп, стандартный линейный
алгоритм ААНК можно упроси ь гремя способами, которые в
общих чертах сформулированы в табл. 7 1. Все упрощения
включают ограничение (уменьшение до одного разряда чисел,
представляющих только информацию о знаке) одного или
обоих линейных сигналов, используемых при вычислении коррек-
шроваипых весовых коэффициентов фильтра. Это
автоматически обеспечивает повышение эффективности аппаратной
реализации благодаря тому, что выполняемое ранее линейное
Таблица 7.1. Алгоритмы типа ЛН1К. демонстрирующие несложные
варианты упрощения
Ллги|)Н1М
(шинный
Ограниченный
Контрольный
ofli j .тощий
Кгфрекииншка 1 Факторы, ипредслиюшие
иршгжелении 1 lauHoivucib сходимости
sKn[s(7)H/>
s(OsbiiU'C)]
>fin[*(0|*K4|i'(')l
Мощность ПХОДИОГО
сигнала
Амплитуда сигнала
Лми.шту la сигнала
Пересечения пулей
Hi—1487

242
Глава 7
Рис. 7.5. Фотографий аппаратной реализации процессора пгпользуюшего oipa-
ннчсешый МНК-алгоритм адаптации и предназначенного для применения в
качестве адаптивного траисверсального фильтра ):и 64 выГюрки
умножение можно теперь заменить более простой операцией
с использованием логических элементов исключающее ИЛИ.
Наиболее широко применяемым из перечисленных
алгоритмов является ограниченный алгоритм МНК (237], задаваемый
в виде
H(/i + l) = H(/.)-b-2^(,i)sgn[S(n)|. (7.2)
Здесь ограничивается лишь сигнал s(n); это означает, что
умножитель, определяющий корректировку произведения,
показанный на рис. 7.3, можно заменить рядом логических
элементов типа исключающее ИЛИ (число требуемых логических
элементов равно длине слова ошибки). Характеристика
сходимости этого алгоритма была тщательно исследована в работе
[237] и было показано, что она примерно сопоставима с
характеристикой линейного алгоритма МНК (331]. В том случае,
когда входные сигналы произвольные и подчиняются гауссов)
распределению, сходимость ограниченного алгоритма МНК
будет примерно на 25% медленнее. Однако было показано, что
если входные сигналы близки к детерминированным,
ограниченный алгоритм МНК сходится быстрее линейной версии.
Кроме того, скорость сходимости ограниченного алгоритма
зависит от амплитуды входного сигнала в большей степени, чем
от мощности сигнала (как в случае линейного алгоритма).
На рис. 7.5 приведена фотография аппаратного модуля,
разработанного для реализации адаптивного грапсверсального
-фильтра на 64 выборки, в котором используется ограниченный
алгоритм МНК f64]. В данной системе применяется 8-разрят.-

ОГгтр способов реализации адаптивных фильтров
243
А. ** Л ■ '*»*'
■■■-:>- • л-,-*'
VB» •» ,•"•• • • — " • * ■ • •*• »ГУ5
>
Иис. 7.6. Экспериментально пол)ченн.]я сходимость сш налов цифрового а.ип-
DiHiioro фильтра к синусоидальным входным сигналам, о — входном спгиач:
Л — обучающий сигнал; е — выходной сигнал фильтра; г -сигнал выходной
ошибки. Масштаб по горизонтали — 2 мс/деление; масштаб по вертикали
липе иным.
иое квантование сигнала и один 8Х8-разрядный параллельный
цифровой умножитель. Частота выборки фильтра составляла
8 кГц (т. е. была совместима с обработкой сигналов речевого
диапазона частот). В данном специальном процессоре
коэффициент сходимости не программировался; вместо этого он пчел
коэффициент сходимости, равный 2~8, записанный в постоянное1
запоминающее устройство, с хранением весового вектора па
уровне 16 разряда, где 8 наиболее значимых разрядов были
присоединены к умножителю. Диапазон выходного сигнала
можно было регулировать путем коммутации, чтобы иметь
возможность применять фильтр в случаях как согласованной, так
и инверсной фильтрации (разд. 1.1.2). Здесь представлены
некоторые экспериментальные результаты, демонстрирующие
характеристики, которые может обрабатывать эта система
простого типа.
Результат, приведенный на рис. 7.6, показывает сходимость
фильтра при чисто синусоидальном входном сигнале. Здесь
нходной сигнал s(n) — непрерывная синусоида, а обучающий
сигнал d(n) первоначально равен нулю, а затем он представляет
собой точную копию входного сигнала s(n). Следовательно,
мтема обучается выведению на выходе фильтра входного
синусоидального сигнала. Осциллограмма па рис. 7.6, г показыва-
el, что сначала сигнал ошибки увеличивается, а затем по мере
10*

244 Глава 7
Рис. 7.7. Экспериментально полученные результаты для цифровою
адаптивного фильтра, используемого для подавления тона в речевом сигнале, и-
искаженный входной сигнал; б — выходной сигнал после подавления, .Масштаб \\ч
горизонтали — 20 мс/деление; масштаб по вертикали пшенный
того, как фильтр сходится (рнс. 7.о. «), сигнал 'лшгбки
уменьшается до нуля.
Осциллограмма на рис 7 7 демонстрирует интересное
применение адаптивного фильтра для обработки речевого сигнала.
Здесь на входе присутствует часть речевого сигнала, искажен
пая существенно детерминированным сигналом. В приведенном
примере помела действительно имеег непрерывный характер,
однако она может иметь выраженную периодичность, если эти
музыка или фоновый шум. Этот суммарный сигнал приложен
к обоим входам адаптивного фильтра. Речевой сигнал нзме
няет свои характеристики слишком бистро и фильтр не
успевает их адаптивно отслеживать. Следовательно, па выходе
ошибки фильтра появляется фактически неискаженный речений
си]нал. Однако периодическая помеха будет относительно
стационарной и фильтр легко отслеживает ее и подавляет на
выходе сигнала ошибки. Этот результат представлен на рис.
7.7, 6, где выходная ошибка содержи! исходный речевом вход

Об юр cnoto6oe реализации адаптивных фильтров
245
ион сигнал, неискаженный фоновой помехой. Периодическая
помеха независимо выделяется на выходе фильтра.
Два других упрощенных варианта алгоритмов, приведенные
н 1абл. 7.1, имеют характеристики, которые несколько сложнее
прогнозировать, чем в случае ограниченного алгоритма МНК
[228] До полного описания в литературе алгоритма МНК
I. работе [201] был предложен обнуляющий алгоритм. Это была
одна из первых описанных в литературе реализаций
корректирующего фильтра, поскольку в силу эффективности аппаратных
средств ее было легче всего получить.
Хотя большинство цифровых систем этого типа выполняется
как цифровые системы с записью алгоритма в постоянное
запоминающее устройство, было предпринято несколько попыток
реализации однокристальных адаптивных цифровых фильтров
[89. 315]. Такие процессоры были разработаны специально для
решения задач подавления отраженного сигнала в телефонных
сетях, и более подробные сведения об этом типе конструкции
можно найти в гл. 8, в которой описываются применения
адаптивных фильтров в линиях связи.
7.2.3. Цифровые адаптивные фильтры, использующие методы
обращения к памяти
Рассмотренные в двух предыдущих разделах методы
реализации цифровых адаптивных фильтров основаны на применении
параллельных цифровых умножителей в качестве основного
блока обработки сигналов. Эта цифровая обработка сигналов,
т. е. линейное цифровое умножение, является общеизвестным
узким местом, с которым приходится иметь дело во всех
случаях реализации цифровых адаптивных фильтров. Один из
способов, позволяющих избежать выполнения точного цифрового
умножения, заключается в использовании методов просмотра
таблиц, т. е. вместо физического выполнения умножения
результаты извлекаются из запоминающего устройства путем
использования операндов в качестве адресов. В случае двух
«-разрядных входных сигналов и 2/г-разрядного произведения объем
памяти равен 2я-22", что при « = 8 составляет 1 Мбит.
Из сказанного очевидно, что надо отыскать более простой
подход к проблеме. Это можно сделать двумя методами.
Первый метод, который мы рассмотрим, — это использование
фильтра с распределенной арифметикой [253], второй — это
метод теории чисел, в котором применяются системы вычитания
чисел (ВЧС) [206]. В методе на основе распределенной
арифметики (подробно рассмотренном в разделе 7.2.4) используется
дополнительная структура, задаваемая сверткой суммы и
предназначенная для упрощения операций умножения. В мето-

246
Глава 7
де ВЧС (подробно рассмотренном в разд. 7.2.5) применяется
теория чисел для разложения умножений больших чисел па ряд
меньших операций, что, следовательно, делает такую операцию
более легкой с точки зрения доступа в память
7.2.4. Адаптивные фильтры с распределенной арифметикой
Прежде чем приступить к рассмотрению структуры
адаптивных фильтров с использованием распределенной арифметики,
необходимо исследовать подход на основе распределенной
арифметики к иеперестраиваемой фильтрации. И действительно,
впервые фильтры на основе распределенной арифметики были
предложены в работе [253] для реализации биквадратичных
(четвертой степени) цифровых фильтров с фиксированной
характеристикой.
Рассмотрим вначале свертку, определяемую в виде
i/ = SrH, (7.3)
где у — выходной сигнал фильтра,
S — вектор-столбец значений входного сигнала, .
Н — вектор-столбец весовых коэффициентов фильтра,
а верхний индекс Т относится к транспонированию матриц.
Для удобства рассмотрения временной индекс был исключен.
Если входные сигналы кодирую 1ся в виде смещенных
двоичных чисел, мы можем определшь матрицу В таким образом,
чтобы строки В являлись сметенными двоичными цифрами,
представляющими собой соответствующие элементы сигнала
в S. Тогда выражение для свертки (7.3) можно переписать в
виде
у=(ВХ)тн, (7.4)
где X — вектор-столбеи первых Д' отрицательных целых
степеней числа 2. Перестановка в (7.4) дает
j/=XT(BTH). (7.5)
Отметим, что теперь транспонирование В означает, что
весовые коэффициенты умножаются на разряды такой же
значимости различных слов сигнала, а затем умножаются слева на X7,
тем самым выполняется соответствующее взвешивание.
Поскольку все операции умножения, входящие в
заключенный в скобки член уравнения (7.4), являются простыми двоич-
иями операциями, вычисления, входящие в свертку,
значительно упрощаются. Однако дальнейшее упрощение можно
обеспечить в том случае, если строки матрицы Вт используются просто
в качестве адреса-вектора при обращении к постоянному
запоминающему устройству (ПЗУ), содержащему набор результатов

■е-
о.
га
3
о
>5
2
isdioHJed эиасиивУз
siSHttbdcBd-y^
га
<g
z
5
m
I
о
о.
■е-
о
x 2
V i-
* о
П
00 S
Si

248
Глава 7
частных умножении, соответствующих всем возможным
произведениям строк Вг на известный вектор Н. Тогда это приводит
к фиксированной форме с распределенной арифметикой,
показанной на рис. 7.8.
Покажем, как можно сделать фильтр адаптивным, если
выражение (7.1) для алгоритма МНК подставить в выражение
(7.5); это дает
у=Х|Вт(Н + 2^'ВХ), (7.6)
y=XTBrH + 2\.ieXTBl BX. (7.7)
Считая входные сигналы произвольными, имеющими
гауссово распределение, найдем, что произведение ВТВ — чисто-
диагональная матрица, диагональные члены которой будут
равны /V (порядку фильтра). Это означает, что адаптивный
алгоритм распределенной арифметики можно определить в виде
P'(x)=P{x) + 2\.iNe(l)2\ (7.8)
где
У~2Р'(х). (7-9)
т. е. Р(х) —частное произведение, оцененное из одного разряда
входной матрицы запоминающего устройства с значимостью
2 *. Данный алгоритм, впервые предложенный в работе [67],
можно интерпретировать через аппаратную реализацию, если
заменить ПЗУ (рис. 7.8) па ЗУПВ при минимальной
корректировке аппаратной части. Пример такой системы покачан на
рис. 7.9.
Для эмпирической оценки характеристик такой структуры
было выполнено машинное моделирование и были также
разработаны аппаратные модули [68]. Здесь представлены
некоторые практические результаты, показывающие, какие рабочие
характеристики можно получить при использовании данного
алгоритма.
На рис. 7.10 показана кривая зависимости
среднеквадратичной ошибки (СКО) or числа итераций алгоритма для чисто
синусоидальных входных сигналов. В данном случае
моделируемый фильтр являлся траисверсальным фильтром на восемь
выборок с 8-разрядиы.м квантованием входного сигнала. Ряд
кривых сходимости на рис. 7.10 представляет рабочие
характеристики при изменении коэффициента сходимости от 2 :* до
2 5. Можно видегь, что как и ожидалось, время сходимости
увеличивается.
Результат, показанный па рис 7.11, получен с помощью
прототипа аппаратного модуля, разработанного па основе
стандартных транзпсторпо-траизисгорпо-.тогическнх (ТТЛ) ннтег-

га
х 5
CD О "О
С
<
rr
«Si
a * s
m о е
с
<
doiui/
ж
еикноО
Ct
CD
ы:
diaHjed
ИПнйвфЛз
1
ii
2. •-
■I s
o> и
С
<
a-
w
t
вине rod
W
diaiued
ипнйафЛд
s
rdao-^zitj
3
I».
43'
к ш а
D. О Н
m t и
* 5 s
I o a
«
t^

250
Глава Т
0 100 200 300
Итерации
Рис. 7.10. Зависимость характеристики сходимости среднеквадратичной выход-,
ной ошибки адаптивного фильтра, выполненного на основе распределенной
арифметики, от числа итерации при изменении коэффициента сходимости от
2 3 до 2"5.
ральных схем [68]. Этот фильтр также является трансверсаль-
иым фильтром на восемь выборок с 8-разрядным квантованием
входного сигнала. Частота выборок для этого фильтра была
установлена умеренной и равной 16 кГц. Результат на рис 7.11
демонстрирует подавление шума, достигаемое с помощью
применения подхода на основе фильтра с распределенной
арифметикой. Входной сигнал d(n) (рис. 7.11,6) является сложным
сигналом, состоящим из двух синусоидальных входных
сигналов равной амплитуды с частотой 400 Гц и 2 кГц (рис. 7.11,(9).
Входной сигнал s(n) (рис. 7.11,о) является несиихроиизовап-
ным тоном с частотой 2 кГц. После адаптации фильтр
воспроизводит на выходе тон с частотой 2 кГц (рис. 7.11, в) с точной
фазой и амплитудой, которые когерентно вычитаются из вход-

Fmc. 7.11. Экспериментально
полученная характеристика по
давления для адаптивного
фильтра, выполненного на осно-
но распределенной арифметики.
и — входной сигнал; б —
входной сигнал d{n); в — выходной
сигнал фильтра: г — выходной
mi нал ошибки; д — спектр s{n):
й — спектр е(п). а—е —
масштаб по горизонтали—500
Гц/деление; масштаб по
вертикали — 10 дБ/деление.

252
Глава 7
ного сигнала d(n), оставляя на выходе е(п) лишь той с част»;
той 400 Гц (рис. 7.11,2). На рис. 7.11, е изображен спектр
выходной ошибки, показывающий, что более высокая частота была
подавлена до уровня примерно 36 дБ. В этом случае
коэффициент сходимости составлял 2~20.
Такой подход к расчету адаптивного фильтра потенциально
полезен во многих отношениях. Во-первых, его можно легко
реализовать с помощью аппаратуры на основе
микропроцессоров, поскольку используются лишь операции обращения к
памяти, сдвига и сложения. Подобные системы могут легко
выполнять свои функции в полосе спектра речи и являются удачной
альтернативой более дорогих систем на основе умножителей
(рис. 7.3) или выполненных на заказных ИС. Во-вторых, при
использовании систем с записью алгоритма в постоянное
запоминающее устройство потенциально достижимая в такой
конструкции ширина полосы частот гораздо больше частоты
описанной здесь частной системы, равной 40 кГц. При
использовании конструкции, показанной на рис. 7.9. можно реализовать
частоту выборки вплоть до 2,5 МГц, а более прогрессивная
конструкция на основе приборов Шоттки могла бы успешна
работать на видеочастотах в случае коротких (например,
N=16) характеристик фильтров.
Последним потенциально полезным аспектом данной
структуры является ее пригодность для разработки рекурсивного
фильтра. Поскольку исходная архитектура с распределенной
арифметикой была построена для разработки рекурсивных
фильтров, эта структура идеально подходит для такой
перестройки при сравнительно незначительных модификациях.
Следовательно, она также потенциально применима для типов
фильтров, описанных в гл. 4.
7.2.5. Системы с вычитанием чисел
В противоположность обсужденным в предыдущем разделе
системам с распределенной арифметикой для систем на основе
вычитания чисел (ВЧС).'по существу, не требуется
модификации самой архитектуры фильтра Они скорее действуют но
принципу уменьшения сложности цифровых умножений чисел
большой разрядности с повышенной точностью посредством
применения преобразований из теории чисел.
Этот способ [160] основан па том факте, что число можно
разделить на ряд меньших чисел, с которыми можно
оперировать независимо друг от друга, я затем результат
преобразовать, чтобы окончательный итог получился таким же, как при
применении прямого арифметического подхода.

()Л ii>р сптобов реализации адоптивных фильтров
253
В арифметических операциях используют численные
подмножества, которые являются довольно элементарными выче-
глмп по модулю. То есть если мы имеем ц«?лпе число /, то
отдельные вычеты Ri определяются множеством модулей р, в со-
опимствии со следующим принципом кодирования-
к—0,5(Пр, —1), (7.10)
flf-l/Ud,,. / е Г0,ве>|. (7.11а)
R,~Pi'~\t\n»uPe 7£1- а».0|- (7-116>
1игем с вычетами R, можно независимо оперировать но правп
лам модульной арифметик, соответствующим конкретным ис
пользуемым модулям р,. Результатом этих операций будет
множество чисел у„ которые можно вернуть к виду нормальных
пглых чисел с помощью китайской теоремы остатков [206]:
У = \2р~<\РГ%\Р(\м. (7-12)
где M—Upi, a \p,pi '|"i = '. В качестве тривиальною примера
mm, какой экономии можно достичь с точки зрения объема
памяти при использовании данного метода, рассмотрим
ситуацию, когда мы имеем дело с целыми числами в интервале от 0
до 35. При использовании прямой арифметики потребовались
бы 6-разрядные слова, а для обращения к памяти при
умножении двух таких слов потребовалось бы 4 К разрядов намят
для каждого выходного разряда. При использовании в данной
чадаче ВЧС-подхода входные числа можно было бы разложиib
на два подмножества модулей, в которых используются модули
Pi — 5 и рг=7 Каждый из них можно представить с помощью
.Ч-разрядных слов, и, следовательно, для умножений, если
выполнять их с помощью обращения к памяти, потребовался бы
размер памяти в 64 разряда для каждого выходного разряда
каждого подмножества модулей (т. е. общее количество
разрядов было бы равно 128 на один выходной разряд). Очевидно,
кодирование и декодирование чисел включают дополнительные
затраты, которые мы здесь не учитываем. Однако использова
пне данного метода влечет за собой значительную экономию
необходимого объема памяти.
Применение систем с вычислением чисел для конструнрова
пня цифровых фильтров с фиксированным откликом было
подробно описано в работах [160, 169, 287, 288], где особое bhhmj
икс уделялось применению их фильтров с конечной импульсной
характеристикой. Главным недостатком фильтра на основе
систем с вычитанием чисел является его неспособность обпаружн
пять переполнение слова при вычислении выче1а по модулю
[!№)]. Этот недостаток можно преодолеть, если использовать

254
Г.юаа 7
слово, длина которого достаточна для гого. чтобы обеспечить
невозможность арифметического переполнения. Эго особая
проблема при рассмотрении рекурсивных фильтров; она часто
требует значительного расширения структуры алгоритма [161,
169]. Алгоритмы включают повторное кодирование множества
остатков, чтобы можно было производить регулировку длины
слова. Для такой процедуры также требуется выполнять
умножения, хотя ее можно осуществи 1ь с помощью квадратичного
умножителя [287]. На рис. 7.12,п показана блок-схема
умножителя, выполненного па основе систем с вычитанием чисел, где
k и р — размеры слов, соответствующие модулям Р\ и Pi-
Основные принципы, рассматриваемые до сих пор в этом
разделе, были связаны с обычной разработкой цифровых
фильтров, использующих ВЧС Однако в работах [289, 290]
были предложены особые конструкции таких цифровых
адаптивных фильтров включающие микропроцессоры специального
назначения.
Основное ограничение, связанное с применением
микропроцессоров для цифровой обработки сигналов — это низкие
скорости выборки, достигнутые в настоящее время. До некоторой
степени этого ограничения можно избежать в фильтрах на
основе ВЧС, поскольку везде можно использовать 8-разрядную
арифметику (при условии, что кодирование и декодирование
осуществляется аппаратными средствами) и, следовательно,
сохранить преимущество максимального быстродействия,
используя 8-разрядные шинные структуры имеющихся в
настоящее время микропроцессоров. Наибольшие преимущества,
связанные с гибкостью подхода на основе микропроцессоров,
можно получить, применяя «полностью адаптивные» алгоритмы
[290]. В данном случае система адаптивно регулирует не
только коэффициенты фильтра, но также и его формат. То есть
адаптивный алгоритм может изменять конфигурацию фильтра
таким образом, чтобы его характеристика содержала одни нули,
одни полюсы, или любую комбинацию полюсов и нулей.
Осуществляется это путем просмотра каждой доступной формы
фильтра и предоставления ему возможности реализовать
процесс установления. Как только опробованы форматы фильтра,
в качестве оптимального выбирается фильтр, дающий самую
малую ошибку в установившемся режиме Адаптивными
алгоритмами, выбранными Зодерстрендом для такого фильтра, были
алгоритмы МНК для чисто траисверсалыюго фильтра и
алгоритм Стирнса — Уайта [293. 333] для рекурсивных форм.
Такая форма фильтра по сравнению с фильтром с
распределенной арифметикой, рассмотренным в разд. 7.2.4, имеет то
преимущество, что фильтру по его природе присуща линейность.
Это имеет место вследствие того, что фильтр на основе ВЧС

R>—
ВЧС -сложение
Г
|__
Возведение
в квадрат
ПЗУ
*j' ,'l
г
А N
Кодирующее ПЗУ!
I n3V|
Л
I— ПЗУ|
1 _J
7^*
/[ I ВЧС-вычитание
у-
<>-?<■
у-
JEhl
пзу|—|
Кодирующее ПЗУ!
-[N
Возведение
в квадрат
ПЗУ
,' .'\
ПЗУ
Вычитание
*■=&-■=J
Декодирующее!
ПЗУ
j<y
N
6
Ни(.. 7.12. Блок-схема цифрового умножители, выполняющего возведение
и кь.ират (<j); 6.юк-с\ема гшфрового \ множите тя, выполняющего возведение
и кнп фат и )1гло.)ыу|ищеп) систем) вычитания чисел (б).

>bb
Глава 7
не изменяет основной структуры обычного цифрового филыра
и, следова ie.ibiio. адат ивпые алгоритмы и родом ж а юг
оперировать непосредственно с каноническими коэффициентами
филыра. Таким обра:юм, при использовании подхода на основе
распределенной арифметики появляются дополнительные степени
свободы, что не имеет места при применении ВЧС. Однако
время установления фильтра па основе ВЧС 6y,iei 1акнм же,
как для обычного цифрового фильтра с аппаратными
умножителями. Следовательно, он об.т.т uier одним преимуществом:
слова большой разрядности мо > эффективно обрабатывать
с помощью стандартных микропроцессорных аппаратных
средств.
7.3. АНАЛОГОВЫЕ АДАПТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ С ВЫБОРКОЙ
ДАННЫХ
К данном разделе исследуется конструирование адаптивных
фильтров, в которых используются аналоговые структуры с
выборкой данных. Эти системы завися! в основном ш
применения приборов с зарядовой связью (ПЗС). приборов гипа
пожарной цепочки (ППЦ) и схем выборки и храпения. Исходные
материалы, необходимые для понимания работы линий
задержки па основе ПЗС н ППЦ, в данной мине не приводятся,
поскольку имееки несколько монографий, н которых они всеет
рои не рассмотрены [28|. Устройства гнпа ПЗС п ППЦ будут
упоминаться только с точки зрения их работы в качестве ана
лотовых линий задержки, п имеющие место в этих приборах
•эффекты накопления ошибок будут обсуждаться не с точки
>рспия механизмов накопления, а лишь с точки фепин их
окончательного влияния па сигналы. Мы выбрали 1акой подход,
поскольку не собирались в данном обзоре подробно рассмагрп
ватт, полупроводниковую технологию.
7.3.1. Реализация на основе приборов с зарядовой связью
ПЗС—прибор, который свыше десяти ,'iei исследуется в целях
применения в устройствах обрабопш сигналя, включающих
задержку или свертку Такие структуры успешно использовались
и линиях задержки видеосистем [332], программируемых гране
нереальных фп.тырач [75, 255. 327|, процессорах, выполняю
тих преобразование Фурье [20. 17-1]. п особенно при
конструировании устройств оюбражения информации [224].
Аспект применения ПЗС. наиболее интересный для пае в
данной монографии, — это использование ПЗС для
конструирования программируемых грапсверсальпых фи.тырон (ПТФ).
В данном разделе дан обзор пекоторыл способов реа.пиацпн

ii'i 41/) штабов реилизации адаптивных фильтров
257
Выход
фильтра
I'm. 7.I3.
Ill II I ПЖ.
Блок-схема грансверси.и.ного фи,\\л\>л с параллельно» обработкой
II1Ф с применением ПЗС и рассмотрены способы, с помощью
которых эти фильтры можно сделать адатпвпыми. Многие из
^Осуждаемых здесь способов используются также в случае ППЦ
п других технологий на основе выборки и хранения. Рассматри-
п.кчея xapaKiepnoe применение ПЗС-техпо.тогнп дли создания
однокристальных адаптивных фильтров и представлена одна
конкретная конструкция процессора подобного гппа [77].
На рис. 7.13 изображен примой параллельный вариант pea
чпации трапсверсалыюго фнлыра. В разд. 7.2 было показано,
■по из-за сложности цифровых умножителей такую структуру'
невозможно непосредственно реализовать цифровыми методами.
Ошако в случае аналоговых процессоров довольно прост мож
но реализовать операцию аналогового умножения, что, следо
и.пельно, допускает параллельную реализацию грапсверсаль-
пою фильтра Альтернативно умножители могут выполняться
и гибридной форме с помощью использования умножающих
цифро-аналоговых преобра<ователеп (УЦАП). B'lamiov
примере выполняется умножение аналогового сигнала п
накопленного в цифровой форме весового коэффициента с помощью \
ЛЦД11 или с помощью мультиплексирования одного УЦЛП
между дискретами ф иль фа, если целью является экономия
площади кремниевого кристалла за счет снижения бысгродей-
vii'V'ri эти подх°Да (подход на основе мультиплексного
>ЦАП показан на рис. 7.14) к конструированию ПТФ бьпп
успешно применены авторами работ [75, 327].
В этом разделе мы рассматриваем ' конструирование адап-
п.ипыхфнльгров с точки зрения чисто аналоговых реализаций
,,; Ма Риса2^5 "°^запа одна из практических реализаций
аналогового ПТФ на основе ПЗС. В тачном подходе ПЗС ..с
17—1487

258
Г паи. Т
Вход
сигнала
-£h
Выход
фильтра
Рис. 7.14. Блок-схема граисвсрса п.нош фильтра использующего янн.шговум
линию задержки с отводами, и один м\ илтшлилшыЛ умнпжчиотпЛ нпфроннн-
.югочый преобразователь (YIIA1I)
Весооые
коэффициенты
фильтра
Рис. 7.15. Непосредственная пара.мельнаи pea:
трансперсалытго фильтра на основе ПЗС
13;ц|ня npoipuvunpyevoiu
пользуется для временной задержки поступающего сигнала с
помощью отводов сброса с плавающим .затвором [73], которые,
не уничтожая сигнала, передаю! его по линии .задержки.
Выходные сигналы этил отводов сброса с плавающими заiворами
приложены к одной из множества пар входных полюсов
решетки аналоговых умножителей, которую можно выполнить на
основе одних только МОП-граизнииров (грапзпсюров шпа
металл— окисел — полупроводник) [208] Зачем на входные
полюсы другого умножители поступаю! весовые коэффиппешы

О in/) сптобов реализации адаптивных фильтров
25!)
I'm. 7.16. Микрофотография кристалла программируемого трансверсального
фильтра на 256 выборок на основе ПЗС. (Предоставлено Институтом ммкро-
м1М|ЮНик>| им Волфсоиа. Эдинбургский университет.)
фильтра, хранящиеся в кристалле в наборе коммутируемых
«мкостных ЗУ. На основе такой архитектуры были разработаны
II JC-нрограммнруемые трансверсальпые фильтры в виде одно-
id прибора с числом дискрет, достигающим 256 [74]. На рис.
7 lb показана фотография кристалла фильтра на 256 дискрет
на основе этой конструкции. Этот фильтр имеет отношение спг-
17*

260
Глава i
пал— шум, равное 50 дБ (измеренное из импульсной
характеристики), с пропускной способностью канала в реальном
масштабе времени 150 кГц.
Показав достижимость реализации ПТФ, рассмотрим теперь
ряд возможных методов задания геометрии фильтра для
обеспечения работы в адаптивном режиме:
1. Полностью параллельная адаптация. В дайной
конфигурации схема, предназначенная для выполнения
адаптивного алгоритма, соединена с каждым из отводов весовых
умножителей. При этом подходе необходимо полностью
переработать конструкцию фильтра, что будет рассмот
рено в разд. 7.3.2.
2. Адаптация типа вспышки. При такой конфигурации адап
тивный алгоритм выполняется в виде отдельной схемы
вне ПТФ и последовательно корректируются весовые
коэффициенты отдельных отводов. Этот метод адаптации
называется вспышкой, поскольку в течение одного
периода входной выборки рассчитываются корректировки
весовых коэффициентов всех отводов. Следовательно,
сохраняется скорость сходимости параллельного процессора, но за
счет уменьшения полной ширины полосы пропускания
фильтра.
3. Адаптация последовательного типа. В данном случае
адаптивный процесс также выполняется с помощью
отдельной схемы вычисления алгоритма, но в каждом
периоде выборки фильтра корректируется весовой
коэффициент только одного отвода [63, 65]. Следовательно,
ширина полосы пропускания фильтра сохраняется, но
скорость сходимости фильтра сильно снижается из-за
уменьшения частоты корректировок коэффициентов фильтра
[65].
Два последние из обсужденных выше методов дают
потенциально эффективный подход к реализации адаптивного
фильтра, поскольку в них используются существующие конструкции
ПТФ на основе ПЗС. На рис. 7.17 показана блок-схема
системы на основе ПЗС, в которой используется процесс адаптации
последовательного типа. Это гибридный процессор,
сопрягающий аналоговый ПТФ на основе ПЗС с цифровой
корректирующей схемой, в ЗУ которой хранятся весовые коэффициенты
фильтра. Выбранным алгоритмом адаптации был ограниченный
алгоритм МНК, поскольку он давал существенно более простую
цифровую аппаратную реализацию. На рис. 7.18 показана
фотография системы, разработанной с использованием такой
архитектуры [65]. В данной специфической системе в качестве
центрального процессора использован показанный на рис. 7.16
и ранее описанный в этом разделе ПТФ на 256 выборок. Систе-

Ш о >
О
lb m
i!>
к
г*
X _
О i
ш
г
т®
с
zr
<
Z
•I-
SI
£1
el
о
го
с
I
SZ.
I
ш
о X
Q.OJ
I- О. К
U 01 X
> С X
ч
"7V
>
го
5
IS
С
с
е
Is
12
I
!
I
ГО
С
а
с
11с
с
га
Ч
л
га
2
а:
о
И
1^
и
s
О.

Рис. 7.18. Фотографии аппаратном pta.iiuaiiwn системы на основе архитектур!,
с последовательной корректирован.
12в-
г-
o,s
*ж*
13
? ,5 '2е/дел."
схб^ммо&тй*2*п
Рис. 7.19. Экспериментально полученная зависимость времени сходимости
адаптивного фильтра с последовательной корректировкой от коэффициента
сходимости. Масштаб по горизонтали — 2 с/де.ченпе; масштаб по вертика.ш
линейный. (Из работы [65].)

"Л юр способов реализации адаптивных фильтров 2СЗ
-, , , , г-П
5 7 8 11 «
Коэффициент сходимости—Z
Рис. 7.20. Экспериментально по.л ценная зависимость характеристики подав-
и |1ня от коэффициента сходимости. Масштаб по горизонтали — I
кГц/деление, vat-штаб по вертикали — ID дБ/деление. (Из работы [65].)
ма имела общую мощность потребления 7 Вг при максимальной
частоте выборки '300 кГц. В других реализациях аналоговых
адаптивных фильтров были использованы ПЗС [297] и
коммерчески доступные ППЦ-компонепты [62].
На рис. 7.19 и 7.20 показаны некоторые типичные
экспериментальные результаты для этой системы. На рис. 7.I9
изображена зависимость времени сходимости от коэффициента
сходимости системы. В данном случае входные сигналы были чисто
синусоидальными. Для ряда выбранных точек графика
показаны типичные осциллограммы сигнала ошибки в процессе
сходимости. Представленные здесь результаты хорошо совпадают
с теоретическими прогнозами сходимости данного алгоритма с
учетом того факта, что скорость корректировки была
уменьшена в 256 раз (что соответствует длине фильтра).
Ряд дополнительных результатов, приведенных на рис. 7.20,
определяет характеристику подавления фильтра при том же
наборе коэффициентов сходимости. Входной сигнал d(n)
содержал два синусоидальных сигнала равной амплитуды; спектр
iioro входного сигнала также показан на рис. 7.20. На вход
8(н) поступал лишь более высокочастотный синусоидальный

Рис. 7.21. Экспериментально полученные результаты для аднптнвносо фильтра
на иснонл. ПЗС. используекигп в качестве boppi м'ируютс-ru фнлыра. и—
входная сигнальная последовательность. Л измененный сигнал мосле
прохождении модели телефонии! линии длничп 5 кч. о — пыходноп сигнал иорректн
■пюшего фильтра, г гла<м>вая диаграмма выходною пинала .шннн; д —
i да^ковая диаграмма корректированного сигнала. \\aeliiTai" ни вертикали ЛИ
пенный М.иштао Ни Горизонтали им рис. и «—I чс/ДеЛепне; на рис. г, г)—
(1,125 МС/делении

')Л и>р tiwiofioe рси.ипации ийиатииных фильтров
265
g(n)(
*—О
Oyln)
О е(п)
Рис. 7.22. Блок-схема параллельно/! реализации адаптивном) фи.и.тр;| на ос
т.п.- ПЗС
сигнал, и характеристика подавления (адаптивности) и.шеря
иись как величина (r децибелах) затухании высокочастотного
тона на выходе с(п) относительно yptiBii» пизкоч ас точного
входного сигнала. Приведенная па рис 7 20 *внисимость пока
швает ожидаемое в данном случае ухудшение времени сходимо-
iiи Для ряда выбранных тчек графика нионь приведены
[иппчные результаты, изображающие спектр выходного сигиа
м\ е{п). Наилучшее подавление (около 50 дБ) имее! место при
наименьшем коэффициенте сходимости, который дает также
наибольшее время сходимости.
На рис. 7.21 представлены в окончательной форме
результаты для случая применения адаптивного фильтра на основе
ПЗС в качестве корректирующего фильтра. В данном случае но
модели, имитирующей телефонный кабель длиной 5 км.
передавалась псевдошумовая последовательноеib сигналов (ПШ) и
основной полосе частот. Полученный искаженный сигнал
показан на рис 7.21, а, а соответствующая мазковая диаграмма
па рис. 7.21,г. Выполняя коррекцию с помощью ll'.iC фильтра,
можно сформировать сигнал (рис. 7 21, в) i соответствующей
мазковой диаграммой, (рис. 7.21, ()). 11ч »1 и.\ результатов вид
иг), что достигнуто хорошее качество коррекции Однако для
коррекции искажений такого тпа в действительности не было
необходимости применим, фи.тыр столь высокою порядка (256).
7.3.2. Монолитный адаптивный фильтр на основе ПЗС
Кроме гибридных последовательных корректирующих фильтров
г>ыли 1акже реализованы параллельные корректирующие
фильтры на основе применения ПЗС с цифровой схемой
корректировки |222|. В остальной части lannoro раздела рассматрнва-

2'rfi
Глава i
Рис. 7.23. Фотография однокристального ндаптипнО|0 фильтра на 65 выборок
ii.i основе ПЗС (Предоставлено Институтом микроэлектроники им Волфооиа,
3.1нн0ургсм1И университет, из работы |77|.)
ется реализация чисто монолитного фильтра с полностью
параллельной архитектурой корректировки. Использованным и
данном случае алгоритмом адаптации был линейный алгоритм
МНК. Были предложены две различные архитектуры для
монолитного фильтра такого типа [77, 334J; мы здесь рассмотрим
лишь первую из них.
На рис. 7.22 показана блок-схема монолитного фильтра.
Фильтрация проводится фактически гак же, как было описано
в предыдущем разделе. Однако структура кристалла
отличается тем, что в каждой ветви фильтра имеются отдельные
схемы корректировки весовых коэффициентов. Это включает
реализацию второго четырехквадрамтного умножителя и
аналогового накапливающего сумматора па кажд\ ю выборку,
обрабатываемую фильтром. Рассмотренная здесь структура
представляет собой фильтр на 65 выборок (показанный на рис. 7.23),
для которого был использован кристалл общей площадью
5 ммХЗ,75 мм, с мощностью 250 мВт.
Экспериментальные данные, представленные па рис. 7.24,
демонстрируют работу устройства в режиме подавления. В дап-
1И)М случае входной сигнал d{n) вновь сщержиг две
синусоидальные составляющие, и па выходе с(н) низкочастотная
составляющая подавляется. Здесь видно, что достигнутая
величина подавления составляла примерно 20 дБ. Столь низкие
характеристики адаптивности получаются из-за опюснтелыю

Рис. 7.24. Экспериментально полученная характеристика иод.т.юния аЛаптнв
ного фильтра на основе ПЗС. Масштаб пи юрнзоитатп — 200 Ги/дедение:
масштаб по вертикали — 10 дБ/деление.

268
Глава 7
плохой шумовой характеристики опытного устройства,
связанной с проблемами утечки в ветвях схемы.
Максимальная частота выборки, достигнутая при
использовании этого устройства, составляла 100 кГц, хотя с помощью
ПЗС-устройств с поверхностным каналом можно получить
частоты выборки примерно до 2 МГц. Еще более высоких
значений полосы частот можно достичь при использовании
пульсирующих ПЗС [322] или систем на основе поверхностных
акустических волн (ПАВ) [37]. В следующем разделе
рассматриваются адаптивные фильтры на ПАВ.
7.4. АДАПТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ С ВЫСОКОЧАСТОТНОЙ ПОЛОСОЙ
ПРОПУСКАНИЯ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
НА ОСНОВЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН
Другие разработки широкополосных адаптивных фильтров
появились в результате конструирования аналоговых фильтров
КИХ-типа на основе поверхностных акустических волн (ПАВ).
Такими фильтрами являются полосовые линии задержки с
отводами (ЛЗО) промежуточных частот (ПЧ), обеспечивающие
ширину полосы частот от 1 до 20 МГц. при величине полной
задержки до 100 мкс. В одной из работ (221] сообщалось и
реализации линии задержки па ПАВ с 200 отводами для
получения адаптивного фильтра с шириной полосы 2 МГц,
включающего параллельную схему корректировки весовых
коэффициентов с отводами, как показано на рис. 7.22. Как и в случае
ПЧ-процессора, ЛЗО па ПАВ непосредственно обеспечивает
комплексную обработку, при которой гибридные микросхемы,
дающие сдвиг на 90°, соединяются с каждым отводом для
разделения выходного сигнала в синфазные (/) и квадратурные
(Q) взвешивающие цепи (рис. 7.25). В случае реализации в
виде гибридных модулей эти ПЧ-весовые цепи могут
обеспечивать ширину полосы, составляющую 30% от ширины полосы
частот фильтра, и динамический диапазон в 60 дБ [221].
Поскольку такая ЛЗО имеет дискретную передаточную функцию,
которая повторяется с частотой, обратной периоду отвода
(задержке), фильтр может одновременно обрабатывать
задающий и входной сигналы и разделять их па выходе, используя
центральные частоты, которые смещаются па величины
кратные частоте выборки. Такой адаптивный фильтр, содержащий
200 отводов, — крупногабаритный дорогой процессор, имеющий
прекрасную рабочую характеристику, так как он может в
реальном масштабе времени (50 мс) образовывать в спектре про-

270
Глава 7
валы шириной 20 кГц и глубиной 50 дБ для подавления
источника незатухающих помех (НП) в любой точке в пределах
ширины полосы фильтра, равной 2 МГц.
Другими конструкциями программируемого траисверсалыю-
го фильтра на ПАВ, разработанными для адаптивной
фильтрации, являются конструкции на ЛЗО с гибридными
взвешивающими схемами па полевых транзисторах [248] и интегральные
корреляторы с памятью [37J Последние чисто аналоговые
приборы содержат решетку смешенных диодов для выполнения
умножения па значения весовых коэффициентов, которые
хранятся в виде зарядов конденсаторов. Они применялись в
качестве адаптивных фильтров как для подавления влияния НП
[128J, так и для подавления ложных эхо-сигналов [37]. В
последнем варианте применения как фильтрация КИХ-тнпа. так
и вычисление корректировки весовых коэффициентов ветвей
выполняются одним коррелятором с памятью шириной полосы
8 МГц и интервалом взаимодействия 3 мкс. Устройство
поочередно работало в режиме фильтрации и корректировки
весовых коэффициентов для обеспечения глубины подавления
отраженного сигнала, равной 15 дБ, после выполнения 10 итераций,
что занимало менее 0,5 мс. Хотя в настоящее время такие
интегральные корреляторы па ПАВ и гибридные ПТФ нмекл
небольшое количество ветвей (менее 32) по сравнению с
громоздким устройством, показанным на рис. 7.25. возможноегъ
достижения полной адаптивной обработки с помощью одной
микросхемы является особенно заманчивой.
В альтернативной реализации широкополосного адашивиого
фильтра используется подход на основе обработки в частотной
области, т. е. свертка во временной области выполняется путем
умножения в частотной области, как описано в гл. 6. Методы
на основе ПАВ позволяют разработать процессоры для
дискретного преобразования Фурье (ДПФ), в которых используется
сжатый алгоритм преобразования [158], допускающий
обработку свыше 103 выборок в реальном масштабе времени при
ширине полосы частот вплоть до 60 МГц. В работе [129] было
показано, как два ПАВ-устройства с шириной полосы 4 МГц,
выполняющие прямое и обратное ДПФ размерностью 100
выборок, могут быть взаимосвязанными через цифровой
процессор для реализации адаптивного фильтра, производящего
круговую свертку в частотной области (рис. 6.1). На рис. 7.26
продемонстрирован принцип действия такого процессора, когда
два НП-колебания с частотой 200 и 930 кГц поданы на
сигнальный вход. Когда задающий входной сигнал содержит только
низкочастотную составляющую, форма выходного сигнала
(нижняя осциллограмма на рис. 7.26) ясно показывает, чм
сигнал с частотой 930 кГц подавлен.

I in u ■; iiiudiiinii рги.шлщии иОшттных фильтров 27Ч
1'нс. 7.26. Экспериментально пол\Ч1-иныс результаты, иллюстрирующие
принцип ийствии аДс1ПГ>1вного фильтра н<1 ПАВ. ны1|01няюще-( обработку сигнала
и частотной области а — входной енгнал.-состоищнй из двух синусоидальных
с j.iob с частотой 200 и 930 л Гц, 6 — выходной сигнал фильтра на частоте
'.'00 кГц Масштаб по горизонтали — 2 мьс/деление; масштаб по вертикали ли-
1Ч-Ш1ЫП (Ил работы [129] )
Представленные на рис. 7.27 результаты моделирования
\2Ш\ четко показывают основное преимущество, свойственное
фильтру, выполняющему обработку в частотной области, и
реже, чатому адаптивному фильчру. Эти фильтры осуществляют
предварительную обработку входного сигнала для получения
серии ортогональных выборок, что делает возможной
реализацию множества независимых контуров для корректировки
каждого взвешивающего умножителя. Регулируя коэффициенты
i ходимости в каждом контуре, зависящие от уровня мощности
орюгопальиых выходных сигналов, можно получить скорости
сходимости для всех составляющих входного сигнала
независимо от разброса характеристических чисел
автокорреляционной матрицы входного сигнала
Результаты моделирования этого процесса даны (рис. 7.27)
для случая простейшего адаптивного фильтра с обработкой
сигнала в частотной области [72] (рис. 6.1); на вход этого фильтра
подаются два НП-колебапия, как описано ранее, по в данном
случае задающий сигнал содержит топ высокой частоты.
Верхняя диаграмма представляет собой рабочую характеристику

Нис. 7.27. Результаты моделирования вы.\одны\ сигналов адаптивного
фильтра, Hiiin».шимщсго оорниотку в частотной области, н процессе сходимости.
I ш-[)\\ —ненормированный >Vl Ж-алаитлиныЛ алгоритм; пнпз\ —нормировав
ими миффицпеиг сходимости Ml 1 К-адиитииногс! иятритма (Из работы [236].)

Ofiюр способов реализации адаптивных фильтров
273
фильтра, имеющего фиксированный (постоянный) коэффициент
гчодимости для всего процессора, в результате рабочая харак-
u-ристика фильтра будет эквивалентна характеристике адап-
i пшют фильтра КИХ-типа. Нижняя диаграмма, приведенная
l.ivi сравнения с описанным случаем, показывает, каким
обратим независимый выбор коэффициента сходимости для каждой
преобразуемой составляющей сигнала приводит к одинаковой
скорости сходимости для всех составляющих сигнала: эта
особенность недостижима, если задать голько общую ошибку в
,i laiiTHBiiov фильтре КИХ-чипа.
7.5. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ РАЗРАБОТКИ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ
ТЕХНОЛОГИЮ СБИС
Три предыдущих раздела были связаны с обзором методов,
кшорые применяются для реализации адаптивных фильтров,
работающих в реальном масштабе времени и которые основаны
на использовании доступной в настоящее время технологии.
15 данном разделе рассматриваются альтернативы,
становящиеся возможными по мере освоения технологических процессов
и потовления СБИС. Это относится к кремниевой, кремний-на-
гапфире (КНС), арсепидогаллиевой (GaAs) и другим полупро-
иодниковым технологиям. Хотя кремниевая технология
используется широко, проводится значительное количество
исследований по методам технологической обработки GaAs.
Преимущества технологии СБИС, несомненно, очевидны
лишь для цифровых методов обработки сигналов, поскольку
для аналоговых структур, например типа ПЗС, реальных
преимуществ вследствие уменьшения характерных размеров
элементов получить не удается. Считается, что для цифровых
методов обработки сигналов применение СБИС приведет к
повышению быстродействия на порядок при двадцатикратном
унеличепии сложности кристалла такого же размера, как
используемый в настоящее время в технологии БИС. Это
позволило бы создать системы, имеющие 106 активных элементов в
■одном кристалле, с временем задержки переключения,
сниженным до величины около 10 пс, и дало бы, например,
возможность разработать 12-разрядпые цифровые умножители в одном
кристалле с временем задержки каждого отдельного умножите-
1я, лежащим в субнаносекупдпом диапазоне.
Из характера приведенных выше цифр очевидно, что можно
создать сложные системы обработки сигнала в
однокристальном варианте с реалистичными скоростями выборки, обеспечи-
нгпощими этим системам возможность работать в качестве
процессоров в реальном масштабе времени. Однако высокая
сложность конструирования кристаллов СБИС будет основным
18—1487

274
r.'ftdil
Выхадные данные
Рис. 7.28. Обобщенная блок-схема обработки сигнала д.'я применении в ш-
кейной фильтрации.
ограничением с точки зрения их экономической эффекишпосш
до тех пор, пока не станут доступными средства автмаппн-
ровапного проектирования и упрошено проведение иены[амий.
Например, оценка времени, затраченного па разрабопл и
освоение выпуска новых 32-разрядных микропроцессоров,
составляет примерно 130 человеко-лет. При дальнейшем усложнении
СБИС и выборе структур высшего порядка, допускающих
применение подходов, характерных для сжимающихся антенных
решеток [179J, время разработки увеличивается примерно до
700 человеко-лет на одни прибор.
При таком уровне затрат можно, очевидно,
порекомендовать свести к минимуму число индивидуальных разработок и
с максимальным вниманием относиться к каждой разработке.
Предполагается, что это можно было бы выполнить путем
увеличения применения программируемых устройств обработки
сигналов общего назначения, которые бы легко сопрягались
с микроЭВМ. На рис. 7.28 схематично изображена конкретная
структура, предназначенная для реализации линейных
фильтров, подобных рассмотренным в данной главе. Эта система
состоит в основном из параллельного умножителя, входы
которого обслуживаются ЗУПВ с двумя портами. Выходной сигнал

ОГпор способов реализации адаптивных фильтров
275
с умножителя может поступать в накопитель, а
дополнительным средством для хранения адреса и последоватетьности
команд процессора может быть ЗУПВ или ПЗУ. Ясно, что
пруктура такого типа неоптимальна для выполнения
адаптивной фильтрации, хотя ее полное быстродействие позволило бы
ci'i работать при более высоких частотах выборки, чем ширина
полосы речевых сигналов. Попятно, что независимо от того,
какой именно тип процессора может применяться в видео- или
звуковой полосе частот, для любого фильтра количество
выборок должно сохраняться поддающимся оценке.
Единственно доступной альтернативой таким процессорам
общего назначения на основе СБИС является разработка
заказных БИС. Эта возможность зависит исключительно от
доступности средств автоматизированного проектирования
микросхем [77]. Такие системы автоматизированного проектирования
(САПР) дают возможность производить конструирование на
системном уровне с помощью применения предварительно
разработанных и испытанных системных модулей. Затем
конструктор может программным путем промоделировать устройство,
прежде чем с помощью САПР по заданной программе автома
тически разработать эскизы фотошаблонов микросхемы. Была
предложена такая система [76], основанная на
секционированной арифметике [205], в которой общее время разработки
кристалла, по утверждению авторов, было снижено до
нескольких человеко-дней. Таких результатов можно достичь, если
разработка заказных БИС станет реальной альтернативой
выпускаемым в массовых количествах программируемым
компонентам.

8
Адаптивные фильтры
в сист мах связи
Питер Ф. Адаме
8.1. ВВЕДЕНИЕ
Системы связи — развивающаяся и изменяющаяся отрасль
промышленности, в которой применение адаптивных фильтров
оказалось весьма плодотворным. Для этого имеются три причины,
во-первых, быстрый прогресс полупроводниковой технологии и
особенно прогресс в области больших интегральных схем
(БИС) и сверхбольших интегральных схем (СБИС) дали
возможность реализовать адаптивные фильтры при коммерчески
приемлемых затратах; во-вторых, быстрый рост систем
передачи данных создал необходимость в применении адаптивной
фильтрации для преодоления искажений передачи, присущих
существующим телефонным сетям; в-третьих, желание
обеспечить улучшение систем передачи речи для тех случаев, когда
отраженные сигналы вызывают существенное искажение
передачи звука или нестабильность. Материал этой главы,
естественно, разделяется в соответствии с двумя обширными
областями: передачей данных и передачей речи. Однако сначала
имеет смысл напомнить о том, что адаптивные фильтры могут
выполнять две различные роли, а именно корректирующих
фильтров и устройств подавления шумов (см. разд. 1.2).
При использовании для коррекции адаптивный фильтр,
подключаемый последовательно к неизвестному линейному канал)
с характеристикой С(/), должен аппроксимировать
характеристику, обратную C(f). В случае применения в качестве шумопо-
давителя адаптивный фильтр, подключаемый параллельно
неизвестному линейному каналу, должен аппроксимировать
характеристику C(f). В системах связи адаптивные фильтры
используются в обеих этих ролях.
Данное различие между ролями является важным,
поскольку оно приводит к различным эффектам, возникающим при
работе адаптивного фильтра: например, сигнал помехи или шум
на выходе неизвестного канала оказывают различное возденет-

Адаптивные фильтры в системах связи
277
вие на адаптивный фильтр в каждом из случаев; кроме того,
в случае коррекции характеристики канала могут влиять на
скорость установления адаптивного фильтра, что не имеет
места в случае подавления.
Различные структуры адаптивных фильтров и алгоритмы
адаптации описаны в других главах данной книги. Здесь мы
будем иметь дело почти исключительно с трансверсальнымп
фильтрами, настраиваемыми с помощью стохастического
градиентного алгоритма метода наименьших квадратов (МНК) и его
вариантов. Хотя для применения в системах связи были
исследованы и другие структуры и алгоритмы, они имеют меньшую
практическую значимость. Это свидетельствует о простою
трансверсальной структуры и доступности стохастического
градиентного алгоритма МНК. Там, где необходимо, будут
упоминаться другие структуры и алгоритмы.
Значительная часть изложенного далее материала
посвящена передаче цифровых данных по телефонным каналам и
двухпроводным металлическим кабельным линиям. Это является
отражением обширных исследований и разработок, проводимых
в данной области, и их значения в обеспечении средств
цифровой передачи по сетям связи, основная задача которых —
передача речевых сообщений. В остальной части главы
рассматриваются области применения, где адаптивные фильтры
используются для подавления отраженных сигналов при передаче
речевых сообщений. Уже используются альтернативные методы
для достижения этих же результатов, но адаптивные фильтры
обеспечивают субъективно гораздо более приемлемые
характеристики.
8.2. ПЕРЕДАЧА ДАННЫХ
Хотя передача данных в форме телеграфии предшествует
телефонии, в эволюции сетей связи стала доминировать передача
речевых сообщений. Следовательно, в развитых странах
телефонные сети находятся вне конкуренции в силу своего
повсеместного распространения и возможности организации связи по
всему земному шару. Когда рост применения компьютеров
привел к необходимости организации передачи данных, было
неудивительным, что первоначально лучшим средством для такой
передачи являлись телефонные сети. К сожалению, системы
передачи информации по телефонным сетям были
оптимизированы для передачи аналоговых речевых сигналов и вносили
различные искажения, препятствующие передаче данных.
Самыми серьезными из этих искажений оказываются линейные
искажения, и для коррекции или подавления искажений можно
было бы применять линейные фильтры. Однако подобные иска-

278
Глава Я
жения в различных сетях связи меняются в широких пределах,
в силу чего возникла необходимость применять адаптивные
фильтры.
В настоящее время адаптивные фильтры широко
используются для обеспечения коррекции модуляторов-демодуляторов
(модемов) передачи данных при скоростях от 2 400 бит/с до
TfiOOO бит/с по каналам передачи речевых сигналов (с
номинальной полосой пропускания от 300 до 3400 Гц). Хотя
теоретически можно достичь еще более высоких скоростей, на
практике трудно получить удовлетворительный средний
коэффициент ошибки без перехода к более широким полосам частот
Более быстродействующие модемы передачи данных (от 48 000
до 72 000 бит/с) коммерчески доступны для работы в более
широкополосных каналах (от 60 до 108 кГц), и в некоторых
из них применяется адаптивная коррекция [251].
Не так давно появился растущий интерес к передаче по
речевым каналам связи данных в дуплексном режиме, что cm
мулировало исследования возможностей применения
адаптивных фильтров в качестве устройств подавления отраженного
сигнала. До сих пор коммерчески доступно лишь очень
незначительное число модемов, в которых используются устройсчва
подавления отраженного сигнала, однако в течение нескольких
последующих лет эта ситуация вполне может измениться.
В данном разделе описаны оба применения, по вначале
необходимо в общих чертах рассмотреть типы линейных искажении,
встречающиеся в телефонных каналах.
8.2.1. Линейные искажения в телефонных сетях
Существует много различных источников возникновения
линейных искажений в телефонных сетях, и можно выделить три
различных типа: амплитудные искажения, искажения,
обусловленные поведением групповой задержки сигнала, и отраженные
сигналы. На рис. 8.1 показано, как возникают эти искажения
в типичном варианте коммутируемой телефонной сети. Абонент
обычно соединяется с местным распределительным устройством
(коммутатором) с помощью двухпроводного металлического
кабеля; в речевой полосе частот это приводит к спаду
амплитудно-частотной характеристики, как показано па рис. 8.2, и.
Местное распределительное устройство и другие коммутаторы
могут соединяться с помощью нагруженного кабеля, который
вносит искажения, обусловленные изменением групппвой
задержки сигнала в верхней части речевой полосы частот, как
показано на рис. 8.2,6. Коммутаторы соединяются четырехпровод-
ными линиями связи для обеспечения усиления сигнала и
использования многоканальных систем передачи В многоканаль-

i

2«0
Глава S
I
1,0
Групповая
- аадеожка
<
Рис. 8.2. Характеристики цепи.
и — спад нчплптулю-частотноЛ
характеристики (длина кибеля
4 км); б— изменение грхшшвон
задержки naip\лепного кабеля;
и—линейны* искажения дли
фильтров и Системах с
частотным разделением каналов.
пых системах передачи применяются фильтры, ограничивающие
полосу сигнала и вносящие как искажения, обусловленные
групповой задержкой сигнала, так и амплитудные' искажения,
как показано на рнс. 8.2, в для фильтров в системах с
частотным разделением каналов (ЧРК). Для разделения прямого
и обратного трактов четырехпроводной цепи используются
схемы развязки, которые должны обеспечивать идеальное затуха-

\<1иптивные фильтры в системах связи
IAI
Поток
двоичных
данных со
скоростью
1/Т
IAI
•с" 2Т
5т(2я<сО
(1+а) 'с
fr +
(1-I
2Т
sm(2rrfct + 0)
Канал
J_ (1+а) f
2T 2T
1'ис. К.З. Простая система передачи данных
IAI
281
T Принятые-
- данные
*¥'
пне сигнала между этими двумя фактами. На практике
>aiyxaime конечное, что приводит к циркуляции сигналов в че~
гырехпроводиом контуре и создает отраженные сигналы. Сиг-
палы, появляющиеся вновь на передающей стороне, называют
эхом говорящего, а сигналы, поступающие в приемник, назы-
нают эхом слушающего. Рассогласование имиедансов цепи
дополнительный источник отраженных сигналов. Эхо
слушающего вызывает пульсации частотной характеристики канала,
причем амплитуда пульсаций пропорциональна отношению
отраженного сигнала к сигналу, а частота пульсации
пропорциональна времени задержки отраженного сигнала.
На практике конфигурации телефонных сетей часто
являются гораздо более сложными [86, 270|, чем эта прос1ая
модель, и становятся еще более сложными по мере введения
систем передачи па основе современной импульсно-кодовой
модуляции (ИКМ) и цифровой коммутирующей аппаратуры
|85]. Однако три основных вида искажений сохраняются, и их
раздельная идентификация помогает нам понять, какие
функции должны выполнять адаптивные фмлыры в случае их
применения для борьбы с линейными искажениями и какие харак-
|еристики они обеспечивают
Влияние модуляции и демодуляции. Так как телефонный
канал является полосовым и обычно входит в состав
многоканальною устройства передачи данных, в котором вводятся
небольшие сдвиги частоты, в системах передачи данных используется
модуляция, чтобы поместить спектр сигнала в необходимой
нотисе частот, и демодуляция, чтобы восстановить данные и иск
почить сдвиг частоты. На рис. 8.3 показана проаая система'
поток двоичных данных (символов) со скоростью 1/Т ограничен

282
Глава 8
Выходные
сигналы со
скоростью
2/Т
Кодер
-^
sin(2rrfct)
~~*лх)—1
е-
-Л.
~~vO—
co6(27r^t)
Канал
sm(2Trlct + e)
1
г4ь
*
1
-^
ко
1ф-
Т
cos(2rrfct + e)
Декодер
1
Г
Рис. 8.4. Система передачи данных с квадратурной амплитудной модуляцией
(КАМ).
по полосе частот до —(] +а)/Т Гц, где ос — коэффициент
спада частотной характеристики (0<а«1), и переносится на
несущую частоту /,; если частота /", выбирается близкой к центру
полосы спектра речи, то на выходе можно восстановить
полный спектр сигнала при условии, что /'< гр(1+а)/7">300 и
fc+ -jrC +а)/7"<3400. Демодуляция с помощью несущей
частоты, имеющей правильную фазу, восстанавливает сигнал в
исходной полосе частот, который дискретизируется с периодом Т
в соответствующие моменты времени для восстановления
данных с малой вероятностью ошибки. Если канал пеискажающий
и два ограничивающих полосовых фильтра рассчитаны
правильно, то в момент дискретизации символы данных не испытываюг
взаимной интерференции. Если же канал вносит линейные
искажения, то это вызывает межсимвольпую интерференцию (МСИ),
которая ухудшает рабочую характеристику сипемы. Если к
такой системе приложен одиночный импульс (символ), то на
выходе приемного фильтра нижних частот возникает
импульсный отклик, который эквивалентен импульсной
характеристике канала на нулевой частоте. Принимая во внимание три
основных типа линейных искажений, возникающих в канале, зиая
частоту fc и фазу демодулируюшей несущей В, а также
характеристики полосовых фильтров, можно рассчитать
эквивалентную импульсную характеристику на нулевой частоте. МСИ,
вызываемая линейным искажением, определяется импульсной
.характеристикой, дискретизованной с интервалом, равным Т.
В простой двухполосной амплитудной модуляции (ДПАМ),
показанной на рис. 8.3, используется ширина полосы, которая
в два раза больше необходимой для передаваемого
низкочастотного сигнала; в реальных системах передачи данных исноль-

Адаптивные фильтры в системах связи 283
C„(t)
C,(t)
n
,
C,(t)
CR(t)
"Рис. 8.5. Отклик низкочастотного эквиви чента системы с КАМ.
зуются более эффективные методы модуляции [202]. один из
которых особенно интересен: это квадратурная амплитудная
модуляция (КАМ). Сигнал с КАМ формируется путем сложения
двух сигналов с ДПАМ, где две несущие имеют идентичную
частоту, но сдвинуты по фазе на 90°, как показано на рис. 8.4.
На выходе неискаженного канала два ДПАМ-сигнала
разделяются путем демодуляции с помощью двух несущих, вновь
сдвинутых по фазе на 90°. Искажение (так же как и появление
МСИ в каждом из двух эквивалентных низкочастотных
каналов) вызывает взаимную интерференцию между двумя
каналами. Низкочастотный эквивалент канала можно изобразить в
виде перекрестно соединенных цепей, как показано на рис. 8.5.
При таком представлении очень удобно рассматривать два
входа данных (и выхода) в качестве вещественного и мнимого;
тогда характеристику низкочастотного эквивалента канала
можно получить в виде комплексной импульсной
характеристики.
Концепция комплексной характеристики канала очень
полезна при расчете КАМ-модемов. Мнимая часть импульсной
характеристики канала представляет собой просто результат
преобразования Гильберта импульсной характеристики
реального канала. Для коррекции или подавления комплексной
характеристики канала требуется комплексный адаптивный
фильтр.
Комплексные адаптивные фильтры. Рассмотренные в преды*
дущих главах адаптивные фильтры имели дело с
вещественными сигналами; обобщение на случай комплексных сигналов
несложно и представлено здесь без доказательства. На рис. 8.6
показан комплексный трансверсальный фильтр, корректировка

с
о
□
-в-
1
и
«с
СО

Адаптивные фильтры в системах связи
285
которого осуществляется с помощью комплексного
стохастического градиентного алгоритма МНК. Приписывая комплексным
величинам верхние и щексы в виде звездочек, для выходного
сигнала фильтра будем иметь
y*(n) = ST»H*(H). (8.1)
Адаптация с помощью стохастического градиентного алгоритма
с фиксированной постоянной усиления \i задается рекурсивным
соотношением:
Н* (п + 1) = Н* (rt) ' |i [S* (л)]' У* (п)~У* («)J. (8.2)
где штрихом обозначен сопряженный комплексный вектор.
Анализ этого алгоритма проводится как и для случая
вещественных сигналов, рассмотренного в гл. 3; в результате мы
прихода* ц аналогичным свойствам сходимости и значению оста-
iочной ош'бки. При использовании базового алгоритма в
системах передачи данных обычно имеет место ряд упрощений.
Они подробно рассматриваются в следующих разделах.
8.2.2. Корректирующие фильтры для полосы частот
речевых сигналов
Большинство модемов речевой полосы частот соответствует
форматам модуляции, которые рекомендованы
Международным консультативным комитетом по телеграфии и телефонии
(МККТТ) [101], а для быстродействующих модемов,
нуждающихся в корректирующих фильтрах, включают либо чисто
фазовую модуляцию, либо комбинированную амплитудно-фазовую
модуляцию. Оба типа модуляции можно рассматривать как
формы КАМ, и поэтому для них требуется применять
комплексные адаптивные корректирующие фильтры.
Наряду с линейными искажениями речевые каналы связи
обычно вносят в передаваемый сигнал сдвиг частоты и
дрожание фазы (джиггер). Следовательно, в приемнике модема
должна использоваться какая-либо разновидность схемы фазовой
автоподстройки частоты для устранения сдвига частоты и
уменьшения дрожания фазы. Существуют две
распространенных структуры модемов, позволяющих комбинировать
комплексные адаптивные корректирующие фильтры с системой
фазовой автоподстройки частоты несущей; на рис. 8.7 они показаны
н виде блок-схемы. В первом варианте модема коррекция
комплексного сигнала на основной частоте выполняется после
демодуляции с помощью квадратурных несущих, полученных
цифровой системой фазовой автоподстройки частоты (ЦСФАП)

cos(27rfct)
sin(2rrfct)
co6(2jrfct)
Фильтру
расцепляюцма
сигнал со СД1ИГОМ
на 90'
П_П
Соб(2тг1с1)
Рис. 8.7. Структуры модемов, о — коррекция на основной частоте; Л—
коррекция в полосе пропускании. На выходе получают оценку ошибки фазы
несущей.

uliiiiTiiHHMi' фильтры в системах связи
28?
и:i оценок ошибки фазы несущей, генерируемой квантователем..
Кнаптователь представляет собой устройство, которое решает,
какое из состояний двумерного сигнала принимается в момент
кнаптоваиия, и выдает комплексное число, соответствующее
состоянию сигнала. Сигнал ошибки для адаптации
корректирующего фильтра является разницей между входным и
выходным сигналами квантователя. Во второй структуре принят
обратный порядок демодуляции и коррекции. Когда выполняется
коррекция модулированного сигнала передачи данных, сигнал
ошибки корректирующего фильтра должен модулироваться с
учетом информации о фазе восстановленной несущей; хотя вто-
раи из рассмотренных структур включает более сложные
процессы обработки сигнала, она часто оказывается
предпочтительнее, поскольку использование корректирующего фильтра не
вносит задержку в контур слежения по фазе, что дает
возможность легче отслеживать быстрое дрожание фазы. И ЦСФАП,.
и корректирующий фильтр получают информацию об отслежи-
напии от квантователя, и поскольку передаточные функции
отводов корректирующего фильтра определяются результатом
демодуляции фазы несущей (изменение фазы на +ц> повернет
фазу комплексной передаточной функции в каждом отводе
на—ц>), то для исключения нежелательного взаимодействия
двух контуров необходим тщательный расчет модема. Один из
способов обеспечения этого—использование связанного
градиентного алгоритма [92], или, альтернативно, один контур
можно выполнить так, чтобы он реагировал на возмущение
значительно медленнее, чем другой. В телефонных сетях
характеристики линейных искажений обычтю не изменяются столь
быстро, и такие свойства алгоритма не относятся к
недостаткам. Характер сходимости и остаточная ошибка у двух
вариантов корректирующего фильтра, называемых, соответственно,,
корректирующим фильтром на основной полосе частот и
корректирующим фильтром полосы пропускания, эквивалентны.
Типы корректирующих фильтров. Помимо комбинирования
корректирующего фильтра с системой слежения за фазовой
несущей существуют другие варианты использования адаптивного
фансверсалыюго фильтра в качестве корректирующего. Для
простоты опишем эти варианты с точки зрения их воздействия
па действительный эквивалентный канал на основной полосе
частот; их можно применить также к комплексным каналам на
основной полосе частот и к полосовым структурам. Существуют
три важных типа корректирующих фильтров, применяемых при
передаче данных по каналам речевой связи;
1. Корректирующий фильтр с разбиением на интервалы дли-
пой Т [201, 262].

288
Глава S
2. Корректирующий фильтр с частичными ветвями (ЧВ)
[119].
3. Корректирующий фильтр с решающей обратной связью
(РОС) [25].
Чтобы понять причины использования различных типов
корректирующих фильтров, мы должны сначала разработать
концепцию коррекции, представленную во введении. Импульсную
.характеристику эквивалентного канала на основной полосе
частот, дискретизируемую со скоростью 1/7", можно представить и
виде е-преобразования С(г). Частотная характеристика,
соответствующая С (г), полностью определяется характеристикой в
полосе частот от 0 до 0,5/7" Гц. Коэффициенты C(z) и,
следовательно, частотная характеристика С([) являются функциями
фазы дискретизации. Недискретизоваипый сигнал иа основной
частоте занимает полосу, равную -к-(\+а)/Т, а дискретизую-
|ций процесс вызывает сворачивание спектральных
составляющих, расположенных на частотах выше 0,5/7", и их сложение с
составляющими спектра па частотах, меньших 0,5/7". Для случая
неискажающего канала соответствующим образом
рассчитанные заградительные полосовые фильтры и правильный выбор
фазы дискретизации приводят к частотной характеристике
дискретного капала, имеющей постоянную амплитуду и линейно
меняющуюся фазу в диапазоне от 0 до 0,5/7" Гц. Наличие
искажений в основной полосе канала в интервале вплоть до
-j- (\+а)/Т вызовет отклонение частотной характеристики
дискретного канала от идеальной; поэтому СЦ)ф1, и действие
корректирующего фильтра должно заключаться в максимально
возможном восстановлении постоянной амплитуды и линейно-
фазовой характеристики передаточной функции. Трапсверсаль-
ный фильтр с отводами, разделенными интервалами длиной 7",
и со скоростью дискретизации 1/7" может выполнять эти
действия: его называют 7"-интервальным корректирующим
фильтром. В тех случаях, когда искажение, обусловленное
изменением групповой задержки сигнала, происходит относительно
медленно в диапазоне от -у(1—а)/Т до -~- (\+а)/Т,
корректирующий Г-иптервальпый фильтр очень хорошо выполняет
свои функции и широко применяется. Однако когда искажения,
обусловленные изменением групповой задержки сигнала, более
существенны, суммирование компонент вблизи 0,5/7" может
привести к появлению глубоких провалов в амплитудно-частотной
характеристике дискретного канала, особенно если для
дискретизации неточно выбрана временная фаза. При попытках с
помощью корректирующего фильтра устранить эти провалы шум

Адаптивные фи.птры в системах спичи
289
Т
Адаптивный фильтр
с величиной
задержки между ветвями
m
т
ojp»-
01
у(п)
Устройство
кввнтованин
у(п)
Рис. 8.8. Корректирующий фильтр с дробными задержками между отводами
канала может усилиться до недопустимой величины. От такого
недостатка можно избавиться, если применить
корректирующий интервальный фильтр с частичными ветвями (ЧВ).
Корректирующий фильтр ЧВ-типа показан па рис. 8.8.
Теперь он рассматривается как адаптивный фильтр, с отводами,,
разделенными промежутками времени пТ/m, где п и т целые
числа (п<т), а скорость дискретизации равна т/Т.
Дискретизация со скоростью 1/7" производится после обработки сигналов
корректирующим фильтром. Такой адаптивный фильтр может
корректировать характеристику канала вплоть до частоты
0,5т/(пТ) Гц. Если -у-( I +a)/T<Q,5m/(nT), то все проблемы,
связанные с нежелательным сворачиванием спектра, можно
исключить, поскольку коррекция канала производится до
дискретизации с интервалом Т. Следует отметить, что
корректируемся именно дискретизоваппая »с интервалом Т спектральная
функция канала; до дискретизации с интервалом Т частотная
характеристика комбинации корректирующего фильтра и
капала, L(f)=H(f)C(f), имеет в идеале постоянную амплитуду и
линейно меняющуюся фазу, т. е. ехр(—2л//7с), где /о—произ-
иольиая временная задержка в интервале от 0 до -jtU—а)/ТГц,
но, начиная с -ггО—а)/У до -н- (l-f-a)/7", она принимает вид
/.|(1/2П-Я+Ч(1/2Л+/]=ехр(--2л/7/0).
Коррекция по типу ЧВ столь эффективна, что
характеристики остаточной ошибки корректирующего фильтра, по существу.
не зависят от временной фазы [311]. Кроме того, корректирую-

290
Глава 8
щий фильтр ЧВ-типа может дать более оптимальную
фильтрацию принятого информационного сигнала, давая в детекторе
информации лучшее отношение сигнал/шум. За такую
улучшенную рабочую характеристику приходится расплачиваться тем,
что число ветвей корректирующего фильтра для данного
интервала времени увеличивается в mjn раз, а число элементов
задержки— в т раз. Однако для типичных телефонных каналов,
в которых имеются амплитудные искажения и искажения,
обусловленные групповой задержкой сигнала, при фиксированном
числе отводов корректирующий фильтр ЧВ-типа обеспечивает
лучшие рабочие характеристики, чем корректирующий фильтр
с интервалами длиной Т [264]. Однако при наличии эхо-сигнала
слушающего корректирующий фильтр с интервалами длиной Т
из-за большего временного диапазона может быть
предпочтительнее.
Для эквивалентного канала на основной полосе частот при
наличии сильных амплитудных искажений корректирующие
фильтры как ЧВ, так и Г-типа усиливают шум канала,
поскольку для борьбы с амплитудными потерями в них вводится
усиление. В данном случае альтернативой будет корректирующий
фильтр РОС-типа [25], изображенный на рис. 8.9. В правой
части рисунка показан в идеальном виде корректирующий
фильтр РОС-типа: символы данных используются в качестве
входного сигнала для трансверсального фильтра, выходной
сигнал которого вычитается из принятого сигнала. Если
главная (наибольшая) выборка импульсной характеристики
является первой, то последующие выборки МСИ будут устраняться
грансверсальным фильтром, отводы которого соответствуют
выборкам МСИ. Таким образом, идеальный корректирующий
фильтр РОС-типа в соответствии с определением, данным в
введении, выполняет функции устройства подавления МСИ,
а не корректирующего фильтра. Однако установился
общепринятый термин «корректирующий фильтр РОС-типа».
Так как фильтр оперирует с не содержащими шума
данными (после решающей схемы), шум капала не усиливается, так
как и эквивалентные низкочастотные каналы с сильными
амплитудными искажениями могут подвергаться более эффективной
коррекции. Однако в случае чисто амплитудных искажений
импульсная характеристика симметрична относительно
максимума и корректирующий фильтр РОС-типа не может подавить
предмаксимальную выборку МСИ. Следовательно,
корректирующему фильтру РОС-типа обычно предшествует
корректирующий фильтр Г-тнпа, который должен выполнить коррекцию
предмаксимальной выборки МСИ. Сравнивая между собой
корректирующие фильтры РОС-типа и Г-типа [93], можно
получить более выгодную рабочую характеристику при исполь-

\<laiiTiteHiiu фильтры в системах связи
291
±
т
м
Адаптивный фил тр1
с задержкой Т
между ветвями
Собственно корректирующий
1 фильтр с РОС
1 ГЪ
9,(п) ! A.V
У2(п)
<
f
Адаптивный фильтр 2
с задержкой Т
между ветоя»и
^.
- ч_^ +
Устройство
КВБНТОМНИЯ
[
1
Рис. 8.9. Корректирующий фильтр с решающей обратной связью.
зовании РОС-корректирующего фильтра, особенно когда
ширина полосы частот системы передачи такова, что по краям
спектра информационного сигнала наблюдаются сильные искажения.
Корректирующий фильтр РОС-типа также очень хорошо
применять для исключения эхо-сигмала на приемной стороне бел
усиления шума (эхо-сигналы вызывают явно выраженные
пульсации амплитудно-частотной характеристики). Для
получения улучшенной рабочей характеристики можно также
другими способами комбинировать линейную коррекцию и
подавление. Например, в работе f 113] было показано, что нспользо
иание предварительных оценок, полученных после линейной
коррекции, в качестве входных сигналов устройства
подавления МСИ может дать улучшенную рабочую характеристику
Адаптация корректирующего фильтра. Назначение
корректирующего фильтра заключается в аппроксимации
характеристики, обратной характеристике канала, при конечном числе
19'

292
Глава f
отводов. Для выполнения этого существуют различные способы,
но самый эффективный — расположить отводы
корректирующего фильтра таким образом, чтобы минимизировать сумму
среднеквадратичной остаточной МСИ и шума; иначе говоря,
если комбинированная характеристика капала и корректирую
щего фильтра имеет вид
L(z) = z-"+VPlZ-i, (8.3)
ЛЭ
|>Л1
где М —задержка, которую L(z) вносит в главный импульс,
то корректирующий фильтр, основанный на методе МНК,
минимизирует
Eix\diPif + oA, (8.4)
— ос
где с2— дисперсия шума па выходе корректирующего фильтра,
a di — элементы переданных комплексных сигналов. Алгоритм
достижения адаптации для данного состояния является
комплексной версией стохастического градиентного алгоритма МНК,
задаваемого в виде (8.2).
Возникает первоочередная задача, заключающаяся в том,
что для получения сигнала ошибки корректирующего фильтра
необходим эталонный сигнал у*(п). По самой сути процесса
передачи данных вход в канал отделен от приемника.
Эталонный сигнал можно получить двумя способами. Первый способ
состоит в том, чтобы иметь хранимый эталонный сигнал;
второй— в использовании в модеме выходного сигнала
решающей схемы, как показано на рис. 8.7. Хранимый эталонный сш
нал, который должен быть синхронизован с передаваемой
последовательностью, используется для начального обучения
корректирующего фильтра, но для отслеживания во время передачи
данных надо применять другой метод, направленный па ikvij
чение решения, Возможно обучение с помощью направленного
решения без хранимого эталонного сигнала, по большая частота
ошибок перед сходимостью может привести к ложной
сходимости корректирующего фильтра к неглавному квазнустойчнвому
минимуму [225].
Свойства сходимости алгоритма МНК описаны в гл. 3, где
показано, что скорость сходимости представляет собой функцию
числа отводов корректирующего фильтра, коэффициента
усиления корректирующего контура ц и энергетического спектра
входного сигнала фильтра. Вообще говоря, число отводов будет
выбрано таким, чтобы удовлетворить требованиям коррекции,

Ькттивныс фильтры в системах связи
29J
II величина р. регулируется условиями устойчивости и величиной
допустимого дрожания сигнала на выходе отвода.
Энергетический спектр входного сигнала фильтра определи-
сь'я амплитудно-частотной характеристикой низкочастотного
^кнпвалептмого дискретного канала и энергетическим спектром
передаваемой последовательности данных. Обычно, чтобы
сделать энергетический спектр последовательности данных
«белым», в состав передатчика и приемника включают
соответственно [271] скремблеры и дескремблеры данных. Тогда сходи
мость фильтра зависит только от вида амплитудно-частотных
характеристик низкочастотного эквивалентного канала.
В работе [309] было удачно показано, что характеристики
канала слабо влияют на скорость сходимости, поэтому для
большинства применений скорость сходимости
корректирующего фильтра не слишком критична и адекватным будет
стандартный комплексный стохастический градиентный алгоритм МНК.
Однако есть одна область применения, где скорость
сходимости крайне важна В некоторых сетях передачи данных
центральный модем регистрирует каждый из ряда модемов
абонентских пунктов, которые соединены в миогопозициоииую схему.
Для получения ответа от каждого из этих модемов
центральный модем должен по очереди обучить свой корректирующий
фильтр для работы по каналам между ним и каждым
абонентским пунктом. Часто сообщения, передаваемые абонентскими
пунктами, бывают краткими, поэтому время обучения также
должно быть кратким, так как оно не должно занимать значи-
к-льную долю времени передачи.
Для достижения быстрого установления корректирующего
фильтра были предложены различные схемы, включающие
коррекцию в частотной области [324], калмановские фильтры [94],
.1.П1 оритмы обращения матриц [46], способы ортогоналнзацнп
|2Г)3] и циклической коррекции [238]. Некоторые из них
рассматривались в предыдущих глайах данной книги.
С точки зрения реализации желательно попытаться
минимизировать сложность адаптивного фильтра. Сохранение
линейности— это то немногое, что можно сделать для ослабления
фебований к точности самого фильтра. Однако можно суще-
пвеппо модифицировать переменные стохастического
градиентного алгоритма, не ухудшая его свойства сходимости, правда,
скорость сходимости будет ниже [90]. В следующем разделе
якцент делается преимущественно на осуществление цифровых
реализаций адаптивных корректирующих фильтров каналов
речевой связи. Цифровую обработку сигналов можно
существенно упростить, если при выполнении умножений и/или множимое
тять с меньшей точностью. Переменными градиентного
алгоритма, с которыми можно поступить таким образом, являются

2!>4
Глава •">*
(i, сигнал сшибки и входные сигналы корреляционных
умножителей Поскольку ц — фиксированная величина, то, выбирая ее
равной 2~\ где i — целое число, вместо умножения получаем
простой сдвиг слов комплексного сигнала ошибки. Такое
упрощение (гл. 7) часто используется в адаптивных фильтрах для
модемов данных.
Дальнейшее упрощение состоит в том, чтобы на умпожи-
1ель подавать лишь знак входных сигналов в соответствии с
алгоритмом, основанным на ограничении сигнала и
приведенным в табл. 7.1. На первый взгляд это представляется опасным,
поскольку теряется свойство гарантированной сходимости
МНК-алгоритма адаптации [56]. Однако было обнаружено [90,
209, 237J, что эффект заключается лишь в незначительном
замедлении сходимости, зависящем от функции плотности
вероятности амплитуды входного сигнала. Это обычно приемлемая
плата за упрощение, сводящееся к замене половины умножений
в адаптивном фильтре сложениями или вычитаниями.
Операции с сигналом ошибки также приводят к более
медленной сходимости. Мы вернемся к этой теме в разд. 8.3, в
котором рассматривается случай, где введение упрощений
процессов обработки сигналов имеет еще большее значение, и можпп
обеспечить существенное упрощение сигнала ошибки при
значительном замедлении сходимости.
Сложность корректирующего фильтра. Число отводов,
необходимых для реализации комплексного траисверсальиого
фильтра, регулируется характером искажений, которые должен
исключить модем, частотой несущей ft. коэффициентом спада а,
скоростью дискретизации сигнала 1/7" н требуемыми
параметрами фильтра. Искажения, встречающиеся в системах передачи
данных, зависят от области применения системы. При работе
со специализированными согласованными схемами требуется
много высокоскоростных модемов. Согласованной называю!
схему, для которой в данной сети была проведена коррекции
с помощью фильтров с постоянными параметрами для
получения рекомендованных (например, в соответствии с
рекомендацией Ml020 МККТТ) максимальных значений отклонения по
амплитуде и групповой задержки сигнала. Тогда адаптивный
корректирующий фильтр должен исключать какое бы то нн
было остаточное искажение, и, следовательно, в нем достаточно
иметь небольшое число отводов. С другой стороны, модемы
должны функционировать в коммутируемых каналах сетей
связи, где встречаются гораздо более сильные искажения и
требуются корректирующие фильтры с большей длиной
обрабатываемого сигнала, особенно если приходится обрабатывать на
приемной стороне эхо-сигналы с большими задержками.

АОаптивные фильтры в системах связи 295
Несущая частота оказывает влияние на величину МСИ в
иависимости от места в спектре сигнала. Например, при
увеличении несущей частоты верхние частоты спектра сигнала будут
подвергаться все более сильным искажениям по мере
приближения к краю речевой полосы частот. Подобным же образом,
увеличение скорости дискретизации или а будет увеличивать
ширину полосы сигнала и, следовательно, влиять на величину
искажений, возникающих по краям полосы информационного
сигнала.
Требования, предъявляемые к характеристикам
корректирующего фильтра, можно связать с рядом величин, но с точки
зрения расчета корректирующего фильтра наиболее полезной
величиной будет среднеквадратичная ошибка на выходе
(остаточная среднеквадратичная МСИ плюс дисперсия любого
шума). Предельное значение этой величины зависит от числа
состояний сигнала в линейном сигнале модема (например, число
фаз сигнала для ОФМ) и допустимой частоты ошибок.
Реализация. Первый аспект, который рекомендуется
принимать во внимание при реализации адаптивного
корректирующего фильтра, — это требуемое число отводов; обычно оно
ныбнрается в диапазоне от 8 отводов для модемов,
производящих опрос со скоростью 4800 бит/с, до 64 или более при
9600 бит/с, когда модемы предназначены для применения в
коммутируемых сетях связи. Второй аспект — скорость
дискретизации корректирующего фильтра. Ее типичные значения
лежат в диапазоне от 600 выборок в I с до 4800 выборок в 1 с
пли более. Хотя возможны аналоговые реализации
корректирующих фильтров для сигналов речевой полосы, в коммерчески
конкурентоспособных модемах в настоящее время почти
исключительно используются р'еализации на основе цифровой
обработки сигналов (ЦОС), что оказывается и более дешевым н
дает лучшие рабочие характеристики.
Важным аспектом реализации фильтра на основе ЦОС
являются длины слов, необходимые для каждой части структуры
корректирующего фильтра. Они изменяются в соответствии с
1ребованиями, предъявляемыми к характеристикам
корректирующего фильтра, к числу отводов и коэффициенту усиления.
Можно использовать два типа реализации фильтра с ЦОС,
каждый из которых различным образом влияет на выбор
длины слова. Аппаратная реализация фильтра с ЦОС может
строиться либо на специализированных, либо на полуспециа-
лизировапных заказных БИС или СБИС или па основе
применения микропроцессоров более общей архитектуры. Первый
подход обычно более эффективен, но последний обеспечивает
гораздо большую гибкость конструирования, поскольку один

i'26
Глава 8
Рис. 8.10. Реализация адаптивного корректирующею фильтра на БИС
(Предоставлено научно-исследовательскими лабораториями фирмы British
Telecom.)
тип ИС с помощью перепрограммирования можно
использовать для различных модемов или даже совершенно различных
применений в области обработки сигналов. Используются оба
подхода, хотя в настоящее время, когда становятся
возможными реализации более сложных СБИС, экономическая
эффективность не столь сушечвенна и имеется тенденция выбирать
более гибкий подход, позволяющий распределять затраты на
разработку на большее количество изделий.
В подходе на основе использования заказных элементов
длины слов в каждой части корректирующего фильтра могут
устанавливаться независимо и, следовательно,
минимизироваться для уменьшения сложности схемы. В микропроцессорной
архитектуре обычно имеется обшая длина слова, которая,
очевидно, должна превышать максимальную длину слова,
необходимую для адаптивного фильтра (и для любых других функций
ЦОС, требующихся в модемах, если они также реализуются в
этом приборе). Требования к точности адаптивных
корректирующих фильтров теоретически исследованы в работе [118],

Ыиптивные фильтры в системах связи
297
по обычно для определения необходимых длин слов
используется моделирование. Вообще говоря, для коэффициентов от-
нодов требуются большие длины слов, чем для выборок
сигнала. Типичные значения лежат в диапазоне от \'2 w 20 бит для
коэффициентов н от 6 до 10 бит для выборок сш нала и зависят
от числа отводов, используемых коэффициентов усиления и
желаемых характеристик (гл. 7).
На рис. 8.10 показан пример реализации комплексного
адаптивного фильтра для применений в модемах, работающих
в речевой полосе частот на основе заказных БИС [43]. Он
состоит из трех различных БИС: ИС, осуществляющей обработку
сигнала адаптивного фильтра, ИС сдвигового регистра и ИС,
выполняющей детектирование сигналов и генерацию сигналов
ошибки наряду с различными иными функциями модемов. Два
кристалла — выполняющий обработку сигнала и кристалл
запоминающих устройств — объединены с одним из кристаллов
детектирования данных в один комплексный адаптивный
корректирующий фильтр с 72 отводами, производящий 2400
выборок в 1 с; он смонтирован на подложке гибридной микросхемы.
Микросхемы изготовлены по «-МОП технологии с разрешением
5 мкм и работоспособны при тактовой частоте около 2 МГц,
т. е. по современным нормам они не считаются особенно
сложными или быстродействующими. Описаны также и другие
реализации па основе БИС [138, 241]. Адаптивные
корректирующие фильтры для речевой полосы частот были также
реализованы на стандартных секционированных микропроцессорах
|326], но в настоящее время конкурентоспособные изделия
обычно изготавливаются на основе БИС и СБИС.
8.2.3. Подавление эхо-сигнапов при передаче данных
в речевой полосе частот
Потребность в организации дуплексной передачи данных по
двухпроводным коммутируемым цепям возрастает. Когда
скорость передачи данных составляет 2400 бит/с или менее,
применяются методы частотного разделения каналов, и поэтому для
разделения принятого сигнала и эхо-сигналов говорящего
можно применять фильтры с постоянными параметрами. При
скоростях передачи свыше 4800 бит/с ограниченная ширина
полосы каналов речевой связи препятствует применению частотного
разделения, поскольку для надежного детектирования
потребовалось бы слишком большое число состояний информационных
сигналов, чтобы избежать усложнения и удорожания обработки..
Подавление эхо-сигнала говорящего с помощью адаптивного
фильтра представляет единственный метод осуществления
двухпроводной дуплексной передачи данных при повышенных ско-

•J№
Глава 8
н
Передатчик
модамi
•
iPMtMHHK
MOiDtMi
Сигнал
ошибки
АД«ПТИ|НЫЙ
фильтр
s
S
' \. j.
^<
'
\ \
Ранязиа
! линия
1 /''"
\1
»ч
Рис. 8.11. Подавление эхо-сигнала прк передаче даннмл
ростях. В действительности подавление эхо-сигналов
применялось также при скорости 2400 биг/с в коммерчески доступных
модемах [295] в качестве альтернативы подходу па основе
частотного разделения; появляются также приборы для каналов
с повышенной скоростью передачи.
На рис. 8.11 показано, как можно применить адапгивный
фильтр для подавления эхо-сигналов говорящего. Как
изображено на рисунке, адаптивный фильтр имеет единственный вход
и выход и является полностью вещественным фильтром. Чтобы
подавить все частотные составляющие эхо-сигнала в ширине
полосы принятого информационного сигнала, частота
дискретизации адаптивного фильтра должна быть по крайней мере
в два раза выше максимальной частоты спектральной
характеристики информационного сигнала. Следовательно, если
частота дискретизации равна fs, то
/,>-4^- + 2fc. (8.Г.)
Вещественный адаптивный филыр при непосредственном
применении имеет два недостатка:
I. Адаптивный фильтр управляется выборками аналоговых
сигналов, или если используется цифровая реализация,—
цифровыми кодами аналоговых выборок. Как будет
показано далее, обычно требуется, чтобы динамический диапа-
пазон фильтра был велик (например, >(ЮдБ), и поэтому
необходимо, чтобы линия задержки очень точно хранила
выборки. Кроме того, все умножения в фильтре
производятся между двумя точно заданными величинами.

АОчнтивньи' фиыьтры в сш темах (вязи
2<М
Г
Кодер
-FT
Модуляция
и фильтрация
Комплексный
адоптивный фильтр
с задержкой Т/т
между оттодами
exp(j27rfcTn/m)
I Л
Иитерполяциоииый
фильтр
К приемнику
модема
exp(j27rfcTn/m)
Гильберте
0-
m
Т
>—*ъ>
Рис. 8.12. Информационно-управляемое устройство иод^в-тс-нпи axo-t-ш Ha.'i:i
2. Входной сигнал имеет корреляцию между выборками,
создаваемую фильтрами модема передатчика, что
способствует замедлению сходимости фильтра.
Оба недостатка преодолеваются путем применения
информационно-управляемых устройств подавления эхо-сигналов.
Информационно-управляемые устройства подавления эхо-
сигналов. На рис. 8.12 показано информационно-управляемое
устройство подавления эхо-сигналов [329]. Комплексный
адаптивный фильтр управляется передаваемым сигналом, поскольку
он кодируется в комплексную форму перед модуляцией. Так
как устройство подавления воздействует па линейный сигнал,
то после адаптивного фильтра должен быть предусмотрен
модулятор, работающий на несущей частоте передатчика.
Отметим, что частота дискретизации фильтра в целое число раз (a;i)
превышает скорость передачи сигналов 1/7" и по-прежнему
подчиняется уравнению (8.5). Для выработки комплексной)
сигнала ошибки фильтра с помощью устройства преобразования
Гильберта формируется комплексный линейный сигнал, а затем
он демодулируется для адаптации фильтра, работающего па
нулевой частоте. Необходимо, чтобы адаптивный фильтр моде-

30.
Глава <>'
.пировал низкочастотный эквивалент характеристики
эхо-сигнала, свернутый с характеристикой филы ров-формирователем
спектра в передатчике модема. Интерполирующий фильтр
восстанавливает вещественный линейный сигнал из выборок с
периодом Т/ш в непрерывный сигнал, подготовленный для
повторной дискретизации приемником модема. Это необходимо,
так как частота дискретизации в приемнике необязательно та
кая же, как при передаче. На первый взгляд структура кажется
гораздо более сложной, чем в случае применения адаптивного
фильтра. Однако при некоторых условиях, часто
выполняющихся в системах передачи данных, это позволяет значительно
уменьшить объем обработки сигнала. Существуют также
модификации основной структуры, дающие дальнейшее уменьшение
объемов обработки [Baudoux and Alacchi, US Patent 416237Й
(1978)].
Для многих форматов сигнала с КА\1 информационные
элементы после кодирования имею! несколько дискретных
уровней. Если в адаптивном фильтре используется цифровая липни
задержки, то для каждого элемента задержки требуется очень
малое количество разрядов намят Это означает, что в
цифровой реализации один входной сигнал отвода и корреляционпыл
умножителей имеет очень малую разрядность; следовательно,
умножители очень просты для реализации. В модуляторе
умножения продолжают оставаться сложными операциями. Однако
если несущая час ют а /, и скорость передачи сигналов 1/7"
системы передачи данных связаны между собой так, что 2л/, Г/я»
кратно л/2, го умножения на sin (2.V/, Tnjm) и cos(2j\fcTn/in)
становятся умножениями па 0 пли ±1, или, масштабируя на т/2
и сдвигая на л/4, как раз получаем ±1 Эт условие
встречается в ряде форматов модуляции.
Другая полезная структура получается путем перестановки
порядка модуляции и адаптивной фильтрации, как покапано па
рис. 8.13. Если в этом случае несущая частота и скорость
передачи сигналов таковы, что 2л/, Т кратно л/2, то поступающие
на адаптивный фильтр данные снова имею! очень простую
форму. Кроме того, пет необходимости в демодуляции сигнала
ошибки. Такая структура имеет дополнительное преимущество,
когда она используется лишь для подавления вещественного
линейного сигнала, как показано па рис. 8.14. Поскольку
адаптивный фильтр должен вырабаилвать только вещественный
сигнал, отпадает необходимость в половине обработки
(вырабатывающей мнимую час1ь выходного сигнала). Теперь сигнал
ошибки является чисто вещественным, поэшму корректировка
•отводов становится проще, но за это приходится расплачнвать
ся тем, что средняя скорость сходимости фильтра уменьшается
примерно наполовину.

Адаптивные фильтры и системах сняли
.«IJ
модугшцмя
и фипьтрацн*
exp(i27rfcTn/m)
Комплексный
*даптн!мый фильтр
с задержкой Т m
между отюд»ми
м ■.
устройсио
•ыпплняющае
прюбразом
нив
Гильберта
Г
■о-
Рис. 8.13. Модулированное информационно-упрннлж-мое устройство iio;x<ih.'h-<
пин эхо-сигнала
Выполнение адаптации. В информационно-управляемых
структурах адаптивные фильтры управляются
последовательностью информационных символов, размещенных па интервалах
длительностью Т с m 1 нулевыми значениями в промежутках
между ними. Это означает, что адаптивный фильтр работает
как ш независимых адаптивных филы ров, каждый из которых
нырабатывает выходной сигнал каждые Т секунд, причем
выходные сигналы мультиплексируются во времени.
Следовательно, мы можем проанализировать сходимость одного фильтра с
частотой дискретизации 1/7".
Поскольку устройство подавления эхо-сигнала управляется
информационными сигналами (или модулированными ипформа
циопными сигналами), и они обычно перемешиваются (под
иергаются скремблингу) перед кодированием, спектр входного
сигнала адаптивного фильтра является равномерным (белым).
Следовательно, сходимость устройства подавления эхо-сигнала
зависит только от числа отводов адаптивного фильтра, функции
плотности вероятности амплитуды символьной информации н
величины р. Анализ эволюции среднеквадратичной мощности
рассогласования о]вода (СКМРО) [329J дает рекурсивную
формулу:
£{|£(»+1)1а} = [1-4х^ + х^(А + 4(# 1)Л-')|£{||(н,)|*} +
+ 2w*NAE{\wf}, (8.в)
где Л' — число 01 водов, имеющих между собой отпоен 1елыгую

^-<V^>
HE
-IE
i ^ x
Ф
z
.c'
HE
—чЭ—-0-—0-—
! I ! I
1—ЧЭ—Ч^ь—G>—
HE
ai
E
-U
V
ёЙЭ
©-!
-7
-I

\Лаптивные фильтры в системах связи
ЗО.'Ь
«адержку Т, 2А — среднее значение квадрата модуля элементов
комплексных данных, В — среднее значение четвертой степени
модуля элементов комплексных данных. / равно единице для
комплексных сигналов ошибок и 1/2 для случая вещественных
сигналов ошибок, а Е{|ш|2} — математическое ожидание пепо-
давляемой составляющей принимаемого сигнала. Она включает
составляющие эхо-сигнала вне частотного диапазона устройства
подавления эхо-сигнала, шум и, что важнее всего, искомый
сигнал, поступающий с удаленного конца линии При анализе
полагают, что сигнал w(n) не коррелирован с входным сигналом
адаптивного фильтра. Чтобы обеспечить некоррелированность,
искомого информационного сигнала с передаваемым сигналом,
обычно для каждого направления передачи используются
различные скремблеры и дескремблеры. Остаючная СКМРО после
счодимости получается путем итераций из (8.6). что дает
£{|Е(-)[2} = 2ilW1Cfl"p} . (8.7>
Наибыстрейшая сходимость имеет место при использовании
оптимального коэффициента усиления:
И , = ?d . (8.8>
fop в+4(Л'—1)Лг v
К сожалению, при цоР1 и достаючно больших .V остаточная
СКМРО, полученная из (8.7), примерно равна -^-E{\w2\}/A.
Остаточная расстройка отвода увеличивает пеподавляемый
остаточный отраженный сигнал до мощности 2ЛЕ{|£(оо) |2} =
= £{|ш|2}. Как и в случае правильно рассчитанной системы,
искомый информационный сигнал от удаленного передатчика
является основной составляющей принятого сигнала, и тогда
мя fx0pt остаточный эхо-сигнал столь же велик, как и искомый
информационный сигнал! Следовательно, постоянная усиления
должна быть уменьшена до р(, т. е. до такой величины ц,
которая дает достаточно малое отношение /-(|£(оо) |2}/£{|до|2}.
Компромисс между скоростью сходимости н остаточным
отраженным сигналом иллюстрируется па рис. 8.15. Когда величина
н/ мала, адаптивный фильтр может отслеживать лишь очень
медленно изменяющиеся во времени характеристики зхо-сиг-
падов.
Характеристики эхо-сигналов в системах с каналом речевой
связи. В целом устройства подавления эхо-сигналов должны
моделировать два типа эхо-сигналов. Один тип сигнала
является результатом утечки через схему развязки в самом модеме.
Хотя теоретически схему развязки можно сбалансировать, что-

:т
Глава 8
Мощность остаточного эхо-сигнала / Неподавленный сигнал, дБ
25 20 15 Ю 5 0
-"0,3
Иис. 8.15. Характеристика устройства подавлении эхо-сигнала, выраженная
н виде зависимости мощности остаточной) эхо-сигнала от скорости сходимости
,,V= 16, /1 = 1/2. й=1)
бы предотвратить любую утечку сигнала между передатчиком и
приемником, II;i практике выполнить это очень трудно,
особенно когда необходимо, чтобы модем работал па любую линию,
а величина потерь в схеме развяжи не превышала 8 дБ.
Следовательно, имеет место достаточно мощная составляющая эхо-
сигнала говорящего в сочетании с очень малой задержкой этого
сигнала. Второй тип эхо-сигнала возникает в самой сети связи,
как показано на рис. 8.1. Вообще говоря, может существовать
более одного дискретного эхо-сигнала. Эти эхо-сигналы обычно
меньше эхо-сигнала, проникающего через схему развязки (па-
пример, до 20 дБ), и могут иметь задержку, изменяющуюся от
нескольких миллисекунд до сотен миллисекунд, если
используется дублирующая схема. Кроме того, поскольку четырехпро-
нодная часть телефонной сети поминально не имеет потерь,
существует слабая корреляция между амплитудой и задержкой
■»чо-сигпала. Дальнейшая сложность состоит в том, что
эхо-сигналы в сети могут иметь сдвиг по частое, так как модуляция
и демодуляция происходят в четырехпроводпых системах связи
с несущей. Хотя сдвиги обычно весьма малы (например <1 Гц),
устройству подавления трудно отслеживать результирующее
временное изменение характеристики эхо-сигнала.

Юиптпвные фильтры в системах связи
305
Рассмотрение способов реализации. Сложность устройства
подавления эхо-сигнала определяется четырьмя основными
параметрами: максимальным уровнем эхо-сигнала, минимальным
уровнем принятого сигнала, требуемым отношением «сигнал —
неподавленный эхо-сигнал» и числом отводов устройства
подавления эхо-сигнала. Ранее было установлено, что потери
сигнала при прохождении через схему развязки могут не превышать
8 дБ; поскольку доминирующим является эхо-сигнал схемы
развязки, он дает максимальный уровень эхо-сигнала в — 8 дБ по
отношению к уровню передаваемого сигнала. Максимальные
потери во всех соединениях полностью коммутируемой сети
составляют ~48 дБ. В типичных случаях требуется достичь
отношения «принятый сигнал — неподавленный эхо-сигнал» не
хуже 20 дБ. Это означает, что устройство подавления
эхо-сигнала должно осуществлять его подавление более чем на 60 дБ.
Наряду с тем что устройство подавления эхо-сигнала может
иметь сотни отводов, для достижения такого уровня
характеристик требуется максимально возможное внедрение цифровой
реализации; аналоговая реализация привела бы к наличию
слишком больших паразитных шумов. Когда линейный сигнал
аналоговый, устройство подавления эхо-сигнала должно,
следовательно, содержать аналого-цифровой преобразователь (АЦП)
п цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП).
Ь зависимости от того, выполняется ли вычитание выходно
го сигнала устройства подавления эхо-сигнала в цифровой
форме, в форме дискретных аналоговых сигналов или в форме
непрерывных аналоговых сигналов, возможными оказываются
гри структуры. Эти три структуры иллюстрируются на рис. 8.16
для случая подавления вещественного линейного сигнала. Для
структуры I требуются АЦП и ЦАП такой точности, чтобы шум
квантования, вводимый при этом в принятый искомый сигнал,
был незначительным. Для структуры 2 не требуются АЦП и
ЦАП в тракте передачи сигнала, но интерполяционный фильтр
создает задержку в контуре корректировки отводов фильтра,
н из-за появления в тракте сигнала впеполоспых составляющих,
которые можно считать шумом, требуется, чтобы
интерполяционный фильтр обладал существенным затуханием в полосе
задерживания. Для структуры 3 удалось избежать этих проблем:
задержка контура корректировки сведена к минимуму, в тракте
передачи сигнала пет ни АЦП, пи ЦАП и к интерполяционному
фильтру предъявляются гораздо менее жесткие требования
относительно затухания вне ширины полосы. Тем не менее требо-
и;1Пие достаточно высокой точности ЦАП сохраняется, чтобы
шум квантования на выходе устройства подавления
эхо-сигнала был малым по сравнению с принимаемым сигналом. Однако
нет необходимости в столь высокой точности АЦП. И действи-

306
Глава S
телыю. можно уменьшить ее до одного (знака) разряда [56J
ценой гораздо более медленной сходимости.
Во всел перечисленных структурах важно сохранять
высокую линейность в передатчике, в схеме развязки, АЦП и ЦАП.
когда они расположены в трактах сигнала н/нлн эхо-сигнала.
Причина этого заключается в том, что не.пшенное искажение
нельзя моделировать с помощью линейного адаптивного
фильтра. Если требования, предъявляемые к ус-тройству подавления,
заключаются в подавлении эхо-сигнала на 60 дБ, то любая
составляющая нелинейного искажения должна бьпь более чем
на 60 дБ ниже уровня передаваемого сигнала, так же как н
любой посторонний шум в аналоговой цепи. Эти требования
налагают жесткие, хотя и не невыполнимые ограничения па
расче! схемы.
В зависимости От конкретной области применения АЦП п
ЦАП. расположенные в трактах передачи сигнала или
эхо-сигнала, имеют длину слова от 10 до 12 разрядов пли более.
Длины слов коэффициенте отводов, кроме того, зависят oi числа
отводов и величины и; обычно требуется от 20 до 32 разрядов.
Сюль большие длины слов можно уменьшиib путем
применения усредненных градиентов корректировки [117]. но число
разрядов памяти на отвод фильтра продолжает оставайся
большим из-за необходимое! и хранения величины корректров-
кн отвода во время усреднения. Попятно, что для реализации
устройств подавления *\< cm нала в каналах связи речевой
полосы частот требуется гораздо больший объем памяти, чем
для коррелирующих фильтров, хотя обработку сигнала (на
одни отвод) при использовании информационно-управляемых
структур выпилишь обычно проще.
Если устройства подавления э\о-спгпалов должны
взаимодействовать с ахо-спгпаламн цени, имеющими сдвиг по частоте,
сложноеih обрабоп<н сигналов возрастает. Для работы в
подобном случае [329] необходимо использовать второй
адаптивный транснерсальный филыр, комбинируемый со схемой
слежения за фазой, для исключения сдвига по частоте. Очевидно,
что такая реализация является гораздо более сложной.
Пример расчета: модем со скоростью передачи 9600 бит/с
и с подавлением эхо-сигнала. За исключением ранее
упомянутого модема мо1емы с подавлением эхо-сигнала все еще
встречаются со значительными коммерческими трудностями, хотя эта
ситуация, по исей вероятности, изменится в течение нескольких
ближайших лет. Ниже приводится типичная экспериментальная
конструкция, разработанная r Великобритании для проведения
испытаний.
В данной конструкции был использован экспериментальный
4X4 КАМ-модем с несущей частотой 1800 Гц и скоростью пере-

Данные ■
Передатчик
(ТХ)

Адаптивный
фильтр
Приемник
(RX)
ЦАП
АЦП
кл
~х*
Интерполяционный
фильтр
RX
ТХ
Адап-
ТИВНЬ1Й
фильтр
ЦАП
АЦП
ы°
и
Рис. 8.16. Реализации различных структур устройств подавления эхо-сигнала
о — структура 1; б —структура 2; с —структура 3. (Из работы [315].)
20*

308
Глава S
дачи сигнала 2400 бол. предназначенный для обеспечения более
широкого применения п британской национальной сети связи.
Устройство подавления эхо-сигнала было такого типа, как
показано на рис. 8.!4 со структурой I (рис 8.Hi). Его временной
интервал обработки сигнала составлял 26 мс (25G комплексны.\
отводов с временной задержкой 774), и он подавлял
эхо-сигналы вплоть до 60 дБ ниже уровня передаваемого сигнала.
Эффективная аппаратная структура параллельной обработки
сигнала содержала большой объем памяти (приблнчител! н<»
15 кбит) и имела высокое быстродействие (примерно 15
миллионов операций типа сложение/вычитание в I г), будучи реалн
зована на стандартных ТТЛ- и МОП-микросхемах средней
степени интеграции в виде одной платы размером около 12x5
дюймов. В технологии с разрешением 3 мкм будет возможна
гораздо более компактная реализация на СБИС.
Для установления возможности осуществления метода
подавления эхо-сигнала при дуплексной передаче со скоростью
9600 бит/с по британской коммутируемой сети свя jh были
использованы [I] экспериментальные модемы, подавляющие эхо-
сигнал. Испытания, проведенные на разнообразных вариаша\
соединения сети, показали [5], что данный метод
работоспособен и, в частности, что в британской национальной сети сви.ш
обычно отсутствуют сдвиги эхо-сигналов по частоте. На рис. 8.17
показаны осциллограммы типичных импульсных характернонк
отводов устройства подавления эхо-сигнала, полученные путем
преобразовании цифровых значений импульсных сигналов (с
временным разделением каналов при передаче мнимых и дейсч
вительных значений) с помощью ЦАП. Они наглядно
иллюстрируют ранее сделанные наблюдения относительно хараюе
ристик эхо-сигналов.
Следовательно, экспериментально пощверждается, что
подавление эхо-сигнала осуществимо в случае дуплексной
передачи данных по коммутируемым сетям связи, которые не
содержат эхо-сигналов со сдвигом по частоте, обладают достаточной
линейностью и не имеют эхо-сигналов с очень большими
задержками. Хотя можно создать устройства подавления
эхо-сигналов, способные решить все эти проблемы, затраты на их
реализацию сделают их коммерчески нецелесообразными.
8.3. ЦИФРОВАЯ ПЕРЕДАЧА ПО ЛОКАЛЬНЫМ СЕТЯМ
В телефонных сетях увеличивается применение цифровой
передачи и методов коммутации для обеспечения значительного
снижения затрат на реализацию и обслуживание сети по
сравнению с затратами на преобладающее в настоящее время
аналоговое преобразование. Масштабы и темпы внедрения цифрового

Рис. 8.17. 11мп)льг|1с1Н характеристика устройства подавления эчо-ппиалл
(с установившимися лечениями весовых козффпЦнснгон отно нш) д hi 101 ш-
ненпй между: а — АОсрствптом и Дамфрн (прполплие imio 3tW uu.ii>);
Инвернессом i Ипсвичем (приблизите чьно COO vin.ib) Масштаб но lopinini-
талн равен 2,6 мс на большое деление; масштаб по вортикаш линеен (ll|u ■
доставлено Научно-исследовательскими лабораториями фирмы Britib'i kle
com.)

310
Гл(||(л л
■— 1 i
0 100 200
Частота, кГц
Рис. 8.18. Характеристики клы'лн локальиоА сети
оборудования в разных странах различны, но можно
предвиден, время, когда большая часчь местных коммутаторов буде!
соединена между собой цифровыми каналами связи. Эти
каналы в первую очередь б\ iyi предназначены для гелефомин.
по они смогли бы обеспечить передачу данных со скоростью,
на порядок большей, чем скорость, обеспечиваемая модемами,
работающими в речевой полосе частот (например, в Европе
примепяек'н рекомендованная V1KK.TT скорость передачи
64 кбит/с) Следующий эту и распространения цифровой связи
заключается в подсоединении каждого абонента к своему
местному коммутатору с помощью системы цифровой передачи.
Подобные сиаемы должны быть очень дешевыми, должны
работать с существующими местными линейными станциями,
и поскольку большинство абонентов имеют только одну
двухпроводную линию связи, системы должны обеспечивать двух-
проводную дуплексную работу. Последнее требование
стимулировало большой интерес к применению адатнвпых фильтров и
качестве устройств подавления эхо-сигналов.
Линии абопенюв состоят из скрученных двойных
металлических кабелей различного диаметра; некоторые из них
предназначены для какого-то одного соединения, а их
протяженность изменяется от нескольких метров до нескольких
километров; следовательно, передаточные характеристики соединений

Адаптивные фильтры в шстсмах связи
311
меняются в широком диапазоне На рис. 8.18 показаны мои-
гажные потери при подключении и фазовая характеристика
отрезка типичного кабеля местной сети. Показано также
изменение уровня перекрестных помех. Эти характеристики
иллюстрируют два противоречащих друг другу требования. Чтобы
система работала при максимально возможной длине линии,
энергетический спектр цифрового сигнала во избежание
наложения перекрестных помех должен быть ограничен по
возможности узкой полосой частот. Однако при использовании
модуляции н линейных кодов, спектр которых содержит более
высокие частоты (где меньше линейное искажение), пет
необходимости в коррекции. Область действия систем на основе
этих методов ограничена воздействием перекрестных помех. Это
не столь важная проблема, поскольку большинство абонентов,
особенно в городах, находится недалеко от своих местных
коммутаторов. Следовательно, в целом можно выделить два чипа
гетей абонентских систем передачи; сети, являющиеся, по
существу, самокорректирующими (без использования адаптивных
корректирующих фильтров), но имеющие ограниченную область
действия, и сети, в которых для расширения области действия
применяется передача на нулевой частоте с адаптивной
коррекцией для устранения линейных искажений па низких частотах.
Оба этих типа явились предметом исследований и разработок,
и в настоящее время такие системы становятся коммерчески
доступными
Конкретные значения используемых скоростей передачи
данных изменяются в зависимости от области применения, но
обычно составляют около 100 кбит/с. Следовательно, необходимы
адаптивные фильтры, обеспечивающие скорость квантования
в несколько сотен выборок в 1 с, что ча порядок или более
превышает скорость квантования адаптивных фильтров,
применяемых в модемах, работающих в речевой полосе сигнала.
По существу, все ранее описанные методы коррекции и
подавления можно применить в абонентской цепи Однако более
высокие скорости дискретизации адаптивных фильтров
предъявляют другие требования к способам их реализации. К счастью,
для адаптивных фильтров часто требуек-я меньшее число
отводов, что в сочетании с отсутствием усложнений, вызванных
необходимостью отслеживания фазы несущей, дает
возможность применять разнообразные реализации адаптивных
фильтров [3, 6. 7, 314, 318]. Примеры этого разнообразия приводятся
ниже.

312
Глава В
8.3.1. Подавление эхо-сигнала для случая передачи
типа WAL2
Удачным примером самокорректирующего линейного
кодирования является линейное кодирование типа WAL2 [36].
названное так потому, что форма его сигналов, показанная на
рис. 8.19,а, напоминает вторую функцию Уолша. Его
энергетический спектр показан па рис. 8.19,6. Небольшие спектральные
максимумы на частоте выше 2/7' Гц обычно подавляются
линейным фильтром.
Разработанное устройство подавления эхо-сигнала для
такой системы должно подавить все значительные всплески эхо-
сигнала, и поскольку последний занимает полосу частот ог О
до 2/7", требуется адаптивный фильтр с частотой квантования
4./Г. Длина эхо-сигнала для устройства подавления эхо-сигнала
зависит от необходимой степени подавления, которая в свою
очередь является функцией потерь, испытываемых принятым
I т I
Г 1
п п
Единичный
элемент WAL2
Частота Гц
б
Рис. 8.19. Линейный код и энергетический спектр передачи типа W4L2.

Адаптивные фильтры в системах связи
313
сигналом. Обычно необходимое число отводов невелико,
поскольку WAL-2-кодирование также частично корректирует
характеристику эхо-сигнала. В двух последующих примерах число
mводов с задержкой Т/4 составляет 12 и 24 соответственно
для систем с максимальными потерями принятого сигнала 30
и 40 дБ соответственно. Выбор этих примеров обусловлен тем,
■по они иллюстрируют взаимодействие технологии и методов
реализации адаптивных фильтров и показывают, как можно
использовать доступные в настоящее время компоненты для
создания компактных и недорогих адаптивных фильтров.
Аналоговая реализация. Специальное применение [3]
способа передачи гипа WAL2 — применение его в системе со
скоростью передачи 80 кбит/с по кабелям с потерями до 30 дБ на
частоте 80 кГц. Эксперименты показали, что для получения
адекватного подавления эхо-сигнала достаточным является
устройство подавления с 12 отводами. Для реализации
дешевого устройства подавления эхо-сигнала без обращения к
технологии БИС была разработана очень компактная и недорогая
аналоговая схема, изображенная на рис. 8.20. Можно видеть,
4 10 данная реализация соответствует структуре 2, показанной
на рис. 8.16, с адаптивным фильтром, реализованным с
помощью аналоговых схем и выполненным отдельно от линии
задержки. Причина выбора данной специфической структуры
заключалась в том, что, как было показано, применение
интерполяционного фильтра способствует выделению из тракта
принятого сигнала переходных процессов, вызванных коммутацией,
п шума. Для реализации схемы были использованы
чрезвычайно простые коммутирующие умножители [121] на основе
дешевых двунаправленных аналоговых ключей. В цепь
корректировки отводов была введена автоматическая регулировка
усиления (АРУ) системы для преодоления при реализации фильтра
проблем смещения постоянной составляющей и, по существу,
отделенная от цепи тем, что по сравнению с фильтром
регулировка усиления имеет малое время адаптации. Фильтр
производил подавление эхо-сигналов, достаточное для получения
ичень хороших характеристик при работе с потерями 30 дБ на
частоте 80 кГц, и в наихудшем варианте лт1ии установление
достигалось за время <70 мс. На рис. 8.21,о показана
фотография адаптивного фильтра (за исключением АРУ и фильтра),
состоящего всего лишь из 12 ИС и имеющего мощность
потребления <150 мВт. Эксперименты показали, что ограничения,
свойственные этой конструкции, были обусловлены пеидеаль-
иостью характеристик элементов аналоговой схемы, а не
ограниченным числом отводов. Следовательно, аналоговая
конструкция подобного типа имеет ограниченную область
применения.

3)4
Глава 8
Передатчик
■mnaWAL2
Устройство
возбуждения линии
Один _j
■ отвод I
U-jbq—I—i-_4.-4.-4.-4--i--.l--
1 t I I I 1 1 ! 1 1 1
Суммирующая шина
1
Сигнал ошибки
АРУ
Приемник
типа WAL2
Рис. 8.20. Диалоговое устройство подавления эхо-сигнала. (Из работы [121].)
Цифровая реализация. Система типа VVAL2 со скоростью
передачи 80 кбит/с, предназначенная для работы в линиях с
потерями свыше 40 дБ при 80 кГц, должна иметь цифровое
устройство подавления эхо-сигнала с 24 отводами.
Непосредственная реали!ация наиболее предпочтительной структуры 3,
изображенной па рис. 8.16, без использования БИС является
довольно сложной. Легко осуществимая реализация
заключается в подходе на основе использования просмотровых таблиц
[145] и приводит к частному случаю адаптивного фильтра с
распределенной арифметикой, описанному в гл. 7. Идея
заключается в выборе необходимого подавления сигнала,
хранящегося в запоминающем устройстве с произвольной выборкой

AthiniUHHhlt" фи IbTpiit И ГМСТсМШЛГ СвЯ ill 315
Рис. 8.21. Аппаратная реа.нпадпн уетронства подавления шз-енгнала. и —
аналоговая конструкции; С — цифровая конструкция на основе просмотровых
таблиц. (Предоставлено II,i\ чно-нссле ювательекпчи лабораториями фирмы
British Telecom.)
(ЗУПВ), с помощью использования переданных данных в
качестве адреса ЗУПВ. Однако пет необходимости в обращении к
ЗУПВ с помощью сюва из 24 бит, что соответствует 24 отводам
фильтра. Как установлено в разд. 8.2.3,
информационно-управляемое устройство подавления эхо-сигнала, работающее с
частотой, в m раз превышающей скорость передачи данных,
можно рассматривать как m независимых устройств подавления
эхо-сигнала. Следовательно, число адресных шин, необходимых
в данном примере, должно быть равно 6, чтобы обеспечить
временной интервал длиной 6Г плюс две шипы для разделения
ЗУПВ на четыре части, соответствующие четырем независимым
устройствам подавления эхо-сигнала. На рис. 8.22 показана
блок-схема устройства подавления эхо-сигнала. Адаптивный
алгоритм устройства подавления очень прост: после адресации
местоположения каждого эхо-сигнала содержимое ЗУПВ с
помощью ЦАП преобразуется в аналоговый сигнал; этот сигнал
вычитается из принятого сигнала, и сигнал ошибки после
аналого-цифрового преобразования просто добавляется к текущему
адресному ЗУПВ для получения лучшей оценки эхо-сигнала,
которая затем возвращается в ЗУПВ. В каждый момент
выборки корректируется только одна ячейка ЗУПВ. и поэтому
скорость сходимости данной реализации гораздо меньше
обычной, когда производится корректировка каждого отвода, Однако
при применении в локальных сетях это не является проблемой;

.310
Глава Я
Такю
сигна
Г*-т—
1
1ЫЙ 1 '
п
с периодом
Т
^
***
ь W/i
* Т
L2
X
" " "
_
Счетчик
1-
|.
ЗУПВ
^
+
^Л 1_
тУ
11
АЦП
■>
ЦАП -
сигнал
с периодом
Т/4
/ ■■
ч /
т •
S/H
^7
Тактовый сигнал
с п
ери
одом
Т/4
Рис. 8.22. Цифровое устройство подавления эхо-сигналов на основе
просмотровых таблиц
устойчивость н неизменное*!ь эхо-сигнала при заданной схеме
соединений означают, что в том случае, когда система не
используется, для хранения эхо-сигнала может использоваться
энергонезависимая память. Когда необходимо использовать и
систему, любое незначительное изменение содержимого ЗУПВ
будет происходить очень быстро. Дальнейшее упрощение
состоит в замене АЦП знаковым детектором; сходимость все еще
будет обеспечиваться, хотя она замедляется. На рис. cS.21.c5
показана фотография экспериментального варианта laxoro
устройства подавления эхо-сигнала па основе
КМОП-техпологий с мощностью потребления <300 мВт. Было обнаружено,
что в наихудшем случае при использовании только знаковой
корректировки сигнала ошибки время сходимости не
превышает 500 мс, если содержимое всех ячеек ЗУПВ вначале равно
нулю.
Еще одним свойсчвом данной реализации адаптивного
фильтра является то, чго просмотровая -аблнца не налагает
других ограничений на гип характеристики гранта эхо-сигнала,

\дапгивныс фильтры в системах связи
31Г
Импульсная характеристика
эхо-сигнала
Медный кабель длиной 6 км, сечением 0,5мм1,
трансформатора связанный с нагрузочными
сопротивлениями 1400м;
1005£-косинусоидальным импульс
' \у^—— мпульсная характеристика (Вольт X10)
1
100 200 300 400
Время, мкс
Рис, 8.23. Импульсные характеристики кабелей локальной сети
кроме ее временной длительности Следовательно, моделиру*
егся также любая нелинейность передатчика, интерфейса линии
или ЦАП устройства подавлении эхо-сигнала.
8.3.2. Передача на основной полосе частот
Для увеличения радиуса действия необходимо использовать
системы передачи информации на основной полосе частот.
Однако, как показано па рис. 8.23, в этих системах возникают
более длительные отклики эхо-сигнала и более сильная МСИ.
Чтобы непосредственно преодолеть эти трудности, следует
использовать приемник с устройством подавления эхо-сигнала с
временем действия, равным 772. и корректирующий фильтр —
низкочастотный эквивалент модемов, описанных в разд. 8.2.3 н
подавляющих эхо-сигнал. Во многих системах передачи
локальных сетей связи генератор тактовых импульсов, используемый
для организации связи между потребителем н местным
коммутатором, синхронизируется с тактовой частотой, полученной из
принятого от местного коммутатора сигнала. Такая
синхронизация генераторов тактовых импульсов приводит к ряду
сложностей при построении устройства подавлении эхо-сигнала,
но позволяет использовать другую структуру, как мы увидим
палее.
Импульсные характеристики кабелей локальной сети,
пример которых приведен па рис. 8.23, обнаруживают две общие
особенности: фронт быстро нарастает до максимума, и
характеристика со временем затухает. Для меньших длин кабелей

318
r.irwi. ч
максимум импульсной характеристики лишь чуть превышав!
один интервал длиной Т с момента начала импульса: для более
длинных кабелей импульс спустя один период Т возрастал
намного больше половины своего максимума. Можно
использовать любой нз корректирующих фильтров, описанных и
разд. 8.2.2 (но при соответствующем выборе фазы дискретн.ча
ции), причем наиболее пригодным оказывайся
корректирующий фильтр с РОС. Наличие хвоста затухания характеристики
позволяет предположить, что можно воспользоваться какой-
либо простои линейной коррекцией с фиксированными
параметрами для уменьшения длины хвоста и размера отводов
корректирующего фильтра с РОС — т. е. уменьшения эффектов
размножения ошибки (тенденции, присущей корректирующему
фильтру с РОС, генерировать дополнительные ошибки из одной
ошибки решающей схемы, так как ошибка приводит к
неподавленной МСИ). Мы вернемся к предмету коррекции позднее,
а сначала рассмотрим конструкцию устройства подавления эхо-
сигнала, представленную на рис. 8.16 в виде структуры 3.
Упрощенное устройство подавления эхо-сигнала для
передачи на основной полосе частот. Хотя необходимо, чтобы
устройство подавления эхо-сигнала имело задержку между
отводами, равную всего лишь Т/2 по сравнению с Г/4 в \VAL2-cnne-
ме с большей шириной полосы пропускания, наличие более
длительных импульсных характеристик эхо-сигнала требует
существенно большего числа отводов (например, вплоть до
общего времени работы фильтра 127" или еще больших временных
интервалов). Аналоговая реализация не позволяет до такой
степени увеличить число отводов из-за сложностей ее
практического осуществления. Для системы на основной частоте >:
двоичным кодированием в случае подхода на основе
просмотровых таблиц потребовалась бы память объемом 213 слов или
более при точности по крайней мере в 16 разрядов. Несмотря
на то что ЗУПВ становятся очень дешевыми и компактными.
эта величина все еще большая, и прежде 4evr она перестанет
быть ограничивающей, невозможно будет использовать заметно
большее число отводов. В таких случаях более приемлемой
альтернативой становится цифровая реализация
информационно-управляемого линейного адаптивного фильтра. Если
проблемой оказываются сильные нелинейные искажения эхо-сигнала,
существуют методы [8, 69] видоизменения линейного фильтра
для учета этих искажений. В силу ранее приведенных доводов
наилучшей является структура 3, изображенная на рис. 8.16,
но одним из основных моментов удорожания этой структуры
будет наличие АЦП в цепи сигнала ошибки. Как упоминалось
в разд. 8.2.2, уменьшение длины слов сигнала ошибки может

Адаптивные фильтры в системах связи
319'
упростить корреляционные умножении; это может также
упростить АЦП. Максимальное упрощение достигается в том
случае, когда сигнал ошибки сводится к представлению в виде
:<иаковой функции. В отсутствие принимаемого сигнала
устройство подавлении эхо-сигнала будет сходиться к устойчивому
состоянию. В присутствии принимаемого сигнала сходимость
гарантируется лишь в том случае, если принятый с и гнал убудет
меньше сигнала ошибки от устройства подавления. Если это не
имеет места, то знак принятого сигнала управляется
корректировкой и фильтр не будет сходиться. Для системы с временной
синхронизацией обоих направлений передачи нет гарантии, что
яо будет справедливо. Этой трудности обычно удается
избежать с помощью добавления в цепь корректировки устройства
подавления сигнала возмущения. Такая же проблема
обнаружена для устройства подавления эхо-сигнала на основе
просмотровых таблиц. Как упоминалось в разд. 8.3.1. и эту
проблему можно преодолеть аналогичным образом. Устройство
подавления эхо-сигнала, реализованное ibkhm способом, было
объединено с цифровой высокочастотной системой передачи
шла 1 + 1. в которой была использована переаача типа WAL2
|319].
Подавление эхо-сигнала с помощью Г-интервальных
фильтров и коррекция с РОС. Коррекцию с РОС можно объединить
с любыми из описанных в предыдущих разделах устройствами
подавления эхо-сигиала с частичными ветвями, по, исходя из
тактовой синхронизации систем передачи многих локальных
сетей, можно предположить, что если найти средство для
восстановления информации о временной фазе из выборок линейного
сигнала с интервалом 7", то для устройства подавления
эхо-сигнала потребуются лишь отводы, разделенные интервалами
длимой 7"; в результате произойдет уменьшение обьема
обработки сигнала. К счастью, форма фронта импульсной
характеристики кабелей локальной сети обеспечивает возможность,
реализации такой схемы установления синхронизации [6, 91].
("ледова гелыю, можно использовать комбинированное устрой-
cibo подавления эхо-сигнала с интервалом Т между отводами
и корректирующий фильтр с РОС, показанные на рис. 8.24. Для
получения сигнала ошибки выход решающего устройства
соединен с устройством автоматического контроля эталона (АКЭ)
для учета потерь в кабеле. Такая конфигурация более предпоч-
шгельна, чем АРУ, поскольку она дает лучшую совместную
характеристику сходимости [95] устройства подавления эхо-
спгпала н корректирующего фильтра с РОС. Можно показать
|(), 234], что в отсутствие ошибок в решении сходимость двух
адаптивных фильтров идентична сходимости одного адаптивно»

320
Глава 8
Рис. 8.24. Комбинированное устройство подавления эхо-сигнала с решающей
обратной связью (РОС) и устройство подавления, включающее
автоматический контроль эталона (АКЭ).
го фильтра с N + M+ 1 отводами, где Л — число отводов
устройства подавления эхо-сигнала, а М — число отводов
корректирующего фильтра с РОС. В этой структуре принятый сигнал
больше не присутствует в сигнале ошибки, так что коэффициент
усиления может быть близок к своему оптимальному значению
и может задавать максимально возможную скорость
сходимости (и увеличение остаточного шума до примерно 3 дБ).
Машинное моделирование сходимости такой структуры показало,
что для двоичных сигналов при /V = 20 и М— 13, если решающее
устройство не генерирует ошибки, дли сходимости к —70 дБ
требуется меньше 6 мс дли системы со скоростью передачи
100 кбод (разд. 8.3.1). На практике ошибки, являющиеся
следствием значительных начальных помех, обусловленных
неподавленным эхо-сигналом и МСИ, замедляют сходимость, и
преодолеть это можно с помощью приемлемых стандартных
методов обучении фильтра.
Для недорогой реализации такой структуры необходимо
применить методы на основе СБИС. Недавние исследования [6]
показали, что можно объединить все процессы обработки
сигнала в одном кристалле дли систем, работающих со скоростью
передачи около 100 кбит/с по длинным кабелям.

Адаптивные фильтры в системах связи
321
8.4. ПОДАВЛЕНИЕ ЭХО-СИГНАЛА В ТЕЛЕФОНИИ
Эхо-сигналы в цепях передачи в речевой полосе частот оказы-
нпют на передачу речи влияние двух типов: вызывают
субъективные искажения и изменяют устойчивость цепи.
Субъективные искажения речи возникают в цепях большой
протяженности, где отраженные сигналы с задержкой, превышающей
примерно 30 мс, могут полностью нарушить нормальный
процесс разговора. Проблемы устойчивости могут возникать в
таких применениях, как громкоговорящие телефоны и
звукозаписывающая и звуковоспроизводящая аппаратура па
конференции, где высокие коэффициенты усиления могут вызвать в
цепях «подвывание». Традиционный способ решения обеих этих
проблем заключается в использовании управляемого голосом
затухания обратного канала в четырехпроводной части линии
Связи (рис. 8.1). Однако при некоторых условиях управляемое
голосом затухание может вызывать субъективные искажения,
например такие, как ограничение динамического диапазона
речевых сигналов и обесточивание цепи. Более удачным
решением будет подавление эхо-сигнала. Теперь опишем два
варианта применения, дающих полное представление о конструктив-
пых особенностях адаптивных фильтров, предназначенных для
подавления речевых сигналов.
8.4.1. Устройство подавления эхо-сигналов в сетях
Устройства подавления эхо-сигналов в сетях располагаются в
удобной точке четырехпроводной части телефонной цепи. Их
цель—подавить эхо-сигналы при передаче речи, возникающие
в обратном канале. Для цепи необходимы два устройства
подавления эхо-сигналов, которые могут располагаться не в одной
точке, поскольку чем ближе к концам четырехпроводной цепи
они располагаются, тем короче временные задержки эхо-енг-
палов, подлежащих подавлению. Для разработки устройства
подавления эхо-сигнала необходимо знать длительность и
временную задержку эхо-сигнала в соответствии с
местоположением устройства подавления эхо-сигнала в сети. На рис. 8.25
показаны некоторые типичные характеристики эхо-сигналов,
измеренные на входе международной линии в Великобритании,
для сигналов, полученных из Британской национальной сети
[148]. Такие эхо-сигналы могут иметь задержки вплоть до
20 мс и очень затянутые незатухающие хвосты значительной
анергии, длительность которых может достигать 30 мс с
момента возникновения эхо-сигнала. Это противоречит данным,
наблюдаемым для эхо-сигналов при передаче данных по
каналам речевой связи, где ограничение ширины полосы сигнала

322
Глава 8
1.5 В
Блэкберн через Честер * \
31 Оме
н!ОМС*-
Лервик через Глазго
49,1 МС
Блэкберн через Лидс
24,1мс
б
Рис. 8.25. Типичные импульсные характеристики эхо-сигнала для различных
вариантов телефонных сетей, измеренные в точке международного ввода в
Британскую сеть. (Из работы [148].)
вызывает более быстрое затухание хвоста эхо-сигнала (см.
рис. 8.17). Однако большинство эхо-сигналов имеет меньшие
временные задержки, и величина хвоста, которую надо
подавить, зависит от необходимой степени подавления эхо-сигнала.
Опубликованные конструкции устройств подавления эхо-сигна-

Адаптивные фильтры в системах связи
323
лов предназначены для подавления составляющих эхо-сигналов,
длительность которых достигает 16 мс, и получения таким
путем баланса усиления обратных потерь сигнала на уровне от 25
до 30 дБ. Дальнейшее уменьшение остаточного эхо-сигнала
достигается с помощью применения таких методов, как
двухстороннее ограничение около нулевого уровня сигнала [150,
328]. При скорости дискретизации 8000 импульсов в 1 с, обычно
используемой для кодирования речевого канала связи,
адаптивный фильтр должен иметь 128 отводов. При цифровой
реализации необходимо, чтобы входные импульсы фильтра имели
точность в 12 разрядов с учетом широкого динамического
диапазона телефонных речевых сигналов. При обычных длинах
слов, соответствующих необходимому количеству отводов,
устройство подавления эхо-сигналов, передаваемых в речевой
полосе, должно выполнять много операций сложного
умножения и хранить значения слов большой длины. Очевидно, что
устройства подавления речевого эхо-сигнала даже в этой
минимальной форме являются более сложными для реализации,
чем их информационно-управляемые аналоги. Решение таких
проблем, как подавление изменяющихся во времени
эхо-сигналов, приведет к еще более высокой степени сложности.
Проблемы адаптации. При передаче данных входной сигнал
устройства подавления эхо-сигнала обладает хорошими
свойствами с точки зрения уровня мощности и спектра сигнала.
Входной сигнал устройства подавления эхо-сигнала в речевой
полосе частот необязательно обладает такими свойствами;
в частности, его следующие свойства создают дополнительные
серьезные проблемы:
1. Мощность речевого сигнала очень сильно меняется в
зависимости от говорящего, а при одном и том же
говорящем— для различных слогов. Следовательно, при
использовании фиксированного значения ц, во избежание
неустойчивости его следует брать очень малым. Это часто
преодолевается путем динамического нормирования ц, по
мгновенным значениям мощности входных импульсов в
линии задержки фильтра [88].
2. Некоторые слоги речи (например, гласные звуки) сильно
коррелированы, что также может привести к
неустойчивости, если значение р, велико.
3. Разговорная речь по своей сути является полудуплексной,
и, следовательно, время от времени входной сигнал
адаптивного фильтра исчезает, что затрудняет отслеживание
любых изменяющихся во времени эхо-сигналов.
4. Если бы разговорная речь на самом деле была
полудуплексной, появление речевого сигнала с удаленного конца

324
Глава 8
Устройство
подавления
эхо-сигнала
rt\
Двухстороннее
ограничение
около нулевого
уровня сигнала
Двтектор
одновременных
раэгоеоро»
Рис. 8.26. Типичное устройство подавления эхо-сигналов речевой полосы.
канала не имело бы значения, поскольку отсутствие
входного сигнала препятствовало бы дрожанию задержки
отвода из-за шумового сигнала ошибки. Однако при
телефонных переговорах имеются периоды одновременного
разговора, когда речевые сигналы одновременно имеют
место в обоих направлениях. Для предотвращения
расстройки устройства подавления эхо-сигнала большинство
разработок включают детекторы одновременных
разговоров [328], которые препятствуют корректировке отводов
в этот момент.
Реализация. Был разработан ряд экспериментальных
сетевых устройств подавления эхо-сигналов, и по мере снижения
стоимости реализации начинает иметь место коммерческая
эксплуатация таких устройств. В самых простых конфигурациях
игнорируются проблемы сдвига частоты, используются
детекторы одновременных разговоров для предотвращения
расстройки, а в некоторых случаях применяется двустороннее
ограничение около нулевого уровня сигнала для улучшения общих
характеристик. Типичная блок-схема такой конструкции
показана на рис. 8.26. Для уменьшения аппаратной сложности
применяется псевдологарифмическое кодирование [150] речевых
импульсов и значений коэффициентов отводов. Конструкции
такого типа были объединены в одной СБИС «МОП-типа с
разрешением 5 мкм [89], и так как ряд устройств подавления

Адаптивные фильтры в системах связи
325
отраженного сигнала может располагаться в одной точке, то на
ТТЛ-микросхемах средней степени интеграции была
реализована 12-канальная объединенная аппаратная структура [88].
Были также разработаны экспериментальные конструкции,
где была сделана попытка обработать изменяющиеся во
времени эхо-сигналы, возникающие вследствие сдвига частоты.
Обычно такие устройства являются гораздо более сложными, и в них
используются такие методы, как задержка обратного канала
во время выполнения быстрого оценивания отвода [71] и фазо-
адаптивные структуры [328].
8.4.2. Терминальные устройства подавления эхо-сигналов
Речевые терминалы, например громкоговорящие телефонные
аппараты (ГГТ) и звукозаписывающая и
звуковоспроизводящая аппаратура, включают использование усилителей для
возбуждения громкоговорителей. Акустическая изоляция
микрофона и громкоговорителя является сложной и может привести к
неустойчивости. Для уменьшения влияния акустической связи
можно использовать устройства подавления эхо-сигналов; были
предложены варианты применения устройств подавления эхо-
сигнала как для звукозаписывающей и звуковоспроизводящей
аппаратуры [49, 151], так и для ГГТ [292]. Для обоих этих
применений требования к устройствам подавления
эхо-сигналов отличаются от требований к сетевым устройствам
подавления частично из-за их положения в общей системе соединений,
а частично из-за различия их функций. Далее в качестве
иллюстрирующего примера описано применение в ГГТ
терминального речевого устройства подавления эхо-сигналов.
Громкоговорящий телефонный аппарат. Применение
адаптивных фильтров в ГГТ показано на рис. 8.27. Сочетание
акустической связи между громкоговорителем и микрофоном и
утечки в схемах развязки создает обратную связь, приводящую
к неустойчивости. Используя адаптивные фильтры для
моделирования акустической связи и утечек в схемах развязки, можно
существенно уменьшить величину обратной связи до уровня,
достаточного для поддержания устойчивости телефонной связи;
это достигается путем комбинирования устройств подавления
с каким-либо миниатюрным переключателем с управлением
голосом.
Голосовой тракт можно рассматривать в виде среды с
многократным отражением и с длительностью импульсной
характеристики в несколько сотен миллисекунд. Утечка в схемах
развязки, как и в случае устройств передачи данных, имеет две
составляющие: непосредственная утечка через схему развязки

326
Глава 8
Адаптивный
фильтр
о-
Схема
регулировки
Адоптивный
фильтр
1-П
Рис. 8.27. Громкоговорящий телефонный аппарат (ГГТ) с использованием
адаптивных фильтров. (Из работы [292].)
и поступающие из сети эхо-сигналы, имеющие характеристики,
выведенные в разд. 8.2 (но с более продолжительным
затуханием). Однако цель применения устройств подавления
эхо-сигналов заключается в обеспечении устойчивости, так что можно
пренебречь эхо-сигналами сети с большими временными
задержками и акустическими отражениями небольшой величины.
Было обнаружено, что хорошие результаты дает
экспериментальная разработка [149] с использованием адаптивных
фильтров с ограниченным временным интервалом. Метод адаптации
типа «передний план/фон» [246] был применен для решения
проблем одновременного разговора. В этом методе, который
считается более надежным, чем детектирование одновременных
разговоров, используются две модели трактов эхо-сигнала:
переднего плана и фоновая. Модель переднего плана до сих пор
является лучшей оценкой тракта эхо-сигнала и применяется
для расчета точных копий эхо-сигнала с целью его подавления.
Фоновая модель последовательно корректируется
стохастическим градиентным алгоритмом МНК до тех пор, пока на
основании сравнения сигналов ошибки моделей переднего плана
и фона она остается лучшей моделью, а иногда заменяет
модель переднего плана.

Адаптивные фильтры в системах связи
327
8.5. ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ В СИСТЕМАХ ЭЛЕКТРОСВЯЗИ
Области применения, рассмотренные в этой главе, были
связаны с передачей данных и речевых сообщений в телефонных
сетях. Имеются и другие области применения в системах связи.
Например, адаптивные корректирующие фильтры используются
в модемах, работающих в радиоканалах высокой и
сверхвысокой частоты [81, 103, 231], где характеристики канала могут
быстро меняться (см. разд. 9.2.1). В области речевого
кодирования, где цифровая передача речи с низкой скоростью может
повысить эффективность использования дорогостоящих линий
связи большой протяженности, адаптивные фильтры
применяются для линейного кодирования с предсказанием [219].
По мере снижения стоимости процессов обработки сигналов
адаптивные фильтры найдут, по-видимому, большее
применение. Аналогично по мере увеличения произведения «время —
ширина полосы пропускания фильтра» появятся новые области
их применения. Не вызывает сомнений, что в системах
электросвязи адаптивным фильтрам предстоит большое будущее.
Автор выражает благодарность своим коллегам по научно-
исследовательским лабораториям фирмы British Telecom за
их вклад в развитие представлений о применении адаптивных
фильтров в системах электросвязи. Автор приносит также
благодарность д-ру П. Кохраиу за ободрение и помощь в издании
рукописи. Автор выражает признательность директору
Исследовательского центра фирмы British Telecom за разрешение
использовать содержащуюся в данной главе информацию.

9
Другие применения
адаптивных фильтров
Питер М. Грант
9.1. ВВЕДЕНИЕ
В гл. 3- -6 этой книги дан обзор теоретических основ нескольких
методов конструирования адаптивных фильтров; их реализация
описана в гл. 7, а в гл. 8 исследовано применение в качестве
корректирующих фильтров и устройств подавления эхо-сигнала
в системах передачи данных. В настоящей главе приводится
обзор применений адаптивных фильтров главным образом в
области адаптивного [19] и спектрального оценивания [53, 87,
141, 175, 249].
Эти применения в зависимости от быстродействия
процессора разделяются на два основных класса. К первому классу
относятся применения, в которых обработку сигнала
необходимо проводить в реальном масштабе времени; они частично
рассмотрены в гл. 7 и 8 на примерах коррекции и подавления
эхо-снгмалов; примеры адаптивной компенсации многолучевого
распространения и обработки речи будут обсуждаться ниже.
Ко второму классу относятся применения, в которых имеет
место автономная, дозированная или осуществляемая не в
реальном масштабе времени обработка сигнала, например
применяющаяся для сейсмических данных [320] и при анализе
биомедицинских данных [199].
Сейсмические данные обычно записываются на магнитной
ленте, и информация подвергается предварительному усилению
перед вводом в ЭВМ, программа которой используется для
моделирования искомого адаптивного процессора перед
применением алгоритмов воспроизведения образов. В данном случае
сложность препроцессора оказывает влияние на длину
программы и, следовательно, на скорость расчета, но в целом при
автономной обработке быстродействие менее важный фактор.
Однако при анализе данных, полученных от множества
датчиков, часто требуются усложненные распределенные матричные
процессоры для получения приемлемых скоростей обработки
при выполнении выбранных усложненных алгоритмов.

Лру-чп' применения иОаптчвных фильтров
32У
За последние годы крупным достижением явилось
применение адаптивных филы ров для обработки сигналов в реальном
масштабе времени, чему способствовало быстрое развитие
технологии, снизившее стоимость и позволившее увеличить
сложное 1ь адаптпвпы.х фильтров. В настоящее время существует
несколько конструкций аналоговых адаптивных фильтров |63—
об. 77], цифровых адатннпы\ трапсверса.тьных фильтров [76,
84] п адаптивных решетчатых фильтров | М, 276, 277], которые
могут обрабатывать сигналы при скоростях дискретизации,
превышающих 100 кГц (см. гл. 5. 7 п 8).
Кроме того, схемы »брабо1ки сигналов общего назначения,
uiKiie как программируемые процессоры для обработки
сигнала [52] и быстродействующие, имеющие высокую точность
(32-разрядные) микропроцессоры 1207] также дают
возможность реализации адаппшпых фильтров со скоростями дискре-
■ изации, используемыми при обработке речи и в модемах
передачи данных в локальных сетях связи. Данные разработки
заставляют инженеров-системотехников учитывать значительно
возрастающее применение адаптивных фильтров для улучшения
рабочих характеристик систем следующего поколения.
В этой главе вначале рассматриваются применения адат ив
пых фильтров для адаптивного оценивания, отличающиеся от
применений, рассмотренных в гл. 7 и 8; гл\ем дается обзор их
использования для спектрального оценивания, а уже потом де
лаются краткие выводы о прочих областях их применения,
например таких, как пространственное обнуление и оценивание
пеленга в адаптивных антенных решетах.
9.2. АДАПТИВНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
Для адаптивного оценивания [19] применяется адаптивный
процессор или фильтр для измерения и идентификации ключе-
ных параметров, которые определяют сигнал или присутствуют
н неизвестной системе. В гл. 1 объяснен принцип действия
адаптивного фильтра, выполняющего две основные функции:
моделирование прямого или обратного импульсного отклика
системы (рис. 1.2,о и б). Рассмотрим теперь обе эти функции
применительно к адаптивному оцениванию.
9.2.1. Обратное моделирование системы
Примеры адаптивной коррекции, обсужденные в Гл. 8 для мо
1емов перс 1ачи даипыл в речевой полосе частот и цифровой
передачи по локальным сетям, включают два случая примене
22—Ш?

330
Глава 9
пня методов адаптивного оценивания с помощью обратного
моделирования системы. Аналогичные методы обработки
сигнала используются также для компенсации многолучевого
распространения в высокочастотных (ВЧ) системах, в системах,
основанных на тропосферном рассеянии, и в цифровых
сверхвысокочастотных системах связи, а также в широкополосных
системах городской цифровой радиосети, где за счет отражения
от зданий [306] возникают сильные эффекты многолучевого
распространения.
Когда в аналоговых радиоснстемах возникает эффект
многолучевого распространения, ширина полосы частот передачи
ограничивается до величины, меньшей величины обратной
задержки из-за многолучевого распространения, обусловленной
рассеянием в среде распространении. В системах с частотной
модуляцией рассеяние вводит также искажающие
интермодуляционные помечи. Поэтому для решения этой проблемы обычно
применялся какой-либо способ кодирования, специальный вид
сигнала или прием с разнесением |41]. Однако при цифровой
передаче адаптивную обработку сигнала можно использовать
для оценки многолучевого распространении, которое вызывает
медленное по сравнению со скоростью передачи данных
замирание сигнала [16, 230]. и применить ее при приеме с неявным
разнесением для улучшения общих характеристик системы.
Следовательно, возможности цифровой передачи за счет рассеяния
в тропосфере н в других цифровых системах не ограничены в
такой же степени многолучевым распространением. Во многих
системах используется техника приема на основе двух- или
четырехкратного разнесения трасс, и в приемнике производится
сложение отдельных отраженных обработанных сигналов ог
каждого канала, а потом уже решается вопрос о полярности
нринимаемы\ данных. Сложение может выполняться па
радиочастоте (РЧ), промежуточных часштах (114) или на основной
частоте.
Типичные значения разброса 1екорреляиионпых
коэффициентов по времени н частоте при многолучевом распространении
для трех систем следующие. В ВЧ радиоснстемах с частотой
от 2 до 30 МГц с большим диапазоном дальности (>100 миль)
скорость замираний пли доплеровское уширенне полосы
сигнала составляет величину порядка 0.1 Гц. а разброс времени
задержки при многолучевом распространении равен
приблизительно 1 мс [231]. На линиях связи за счет рассеяния в
тропосфере в диапазоне от 0,4 до 5 ГГц эти параметры становятся
равными I Гц и 100 не соответственно. топа как в системах
радиосвязи прямой видимости в диапазоне сверхвысоких частот
при меньшей дальности (<50миль) они обычно равны 0,01 Га
и 10 не. Разброс времени задержки при многолучевом распро-

Другие применения адаптивных фильтров
331
страиении для этих трех систем связан с длиной тракта
распространении.
Одним из первых процессоров, предложенных дли
преодоления искажений, обусловленных многолучевым распространением
в системах с малой межеимвольиой интерференцией, был
фильтр системы РЭЙК [31, 261], который очень похож па
адаптивный фильтр КИХ-типа (рис. .7.22). Он действует по
принципу сбора всех отдельных составляющих многолучевого
распространения и регулирования их амплитуды и фазы с
помощью взвешивающих умножителей для реализации
когерентного суммирования. Альтернативной структурой будет
корреляционный фильтр [298], использующий однокаскадную структуру
БИХ-типа (рис. 9.1), где предшествующие информационные
биты служат когерентным эталоном для реализации
согласованного фильтра [305] для каждого последующего
информационного бита [312]. Для этого применения были также
предложены методы последовательного оценивания по критерию
максимального правдоподобия [102, 310], но их сложность
значительно выше сложности более простых адаптивных
фильтров КИХ-типа, таких, как фильтры системы РЭЙК.
В линии сверхвысокочастотной радиосвязи прямой
видимости замирании по отношению к скоростям передачи
информационных битов ивляются медленными, и в этих системах
требуется от нескольких секунд до минуты для перемещения
провалов в спектре (рис. 9.2), обусловленных многолучевым
распространением, в полосе частот шириной от 30 до 75 МГц.
Основное требование к новым цифровым сверхвысокочастотным
радиосистемам заключается в том, что они должны обеспечивать
передачу по такому же количеству телефонных каналов с
шириной полосы частот до 3,3 кГц, как и существовавшие до этого
аналоговые системы. Это дает стимул для развития методов
модуляции с эффективным использованием полосы частот,
таких как 16- или 64-уровневая квадратурная амплитудная
модуляция (КАМ) и другие варианты [50], а также применения
методов дуальной (ортогональной) поляризации излучения
антенн для повторного использования частоты, причем все эти
методы увеличивают межсимвольную интерференцию. Когда
она сочетается с замираниями глубиной 20—30 дБ,
наблюдаемыми для таких систем [275], то до разработки линий передачи
с низкой вероятностью ошибки на бит требуются эффективные
схемы коррекции. На рис. 9.2 показана типичная частотная
характеристика и отклик групповой задержки для
многолучевого распространении (с тремя лучами) с провалами на частоте
160 МГц в системе с промежуточной частотой, равной 140 МГц.
На рис. 9.3,а показаны результаты моделирования искаженных
выходных глазковых диаграмм для канала с переходной харак-
22*

II,

Другие применения адаптивных фильтров
33:?
теристикой в виде косинусоиды, приподнятой на 0,3 амплитуды.
с замираниями из-за многолучевого распространения,
показанными на рис 9.2.
В современных подходах для преодоления влияния
интерференции при многолучевом распространении в
сверхвысокочастотных радиосистемах используются методы приема -с
разнесением, но это компенсирует в основном лишь гладкие во времени,
а не частотно-селективные замирания. Коррекция основана на
методах обработки в частотной области [140], где
регулируемые фильтры изменяют спектральную характеристику
приемника для компенсации частотно-селективных искажений путем
попытки выравнивания энергии принимаемого спектра. Такой
подход можно реализовать, видоизменяя простой
корреляционный фильтр [298], но при этом необходима предварительная
ручная настройка приемника [242], чтобы обрабатывать
минимальные или неминимальные фазовые замирания ([275].
гл. 4). Следовательно, такое положение дел стимулирует
разработку методов адаптивной фильтрации КПХ-типа,
обеспечивающих программируемую фазовую компенсацию,
соответствующую обоим типам замирания, и получение наилучших
характеристик. На рис. 9.3,6 показано улучшение глазковой
диаграммы, достигаемое с помощью использования адаптивного
фильтра КИХ-типа с 5 отводами для компенсации замираний
при многолучевом распространении, вызывающих искажения,
показанные на рис. 9.2.
Адаптивные корректирующие устройства с решающей
обратной связью (рис. 8.10) также используются в цифровых
системах в диазонах 6 и 11 ГГц с уменьшенной шириной полосы
и квадратурной ОФМ. Использование таких корректирующих
устройств [83, 84], работающих на скорости передачи, равной
140 Мбит/с, соответствующей Европейскому стандарту, со всей
очевидностью продемонстрировало их возможность
компенсировать межсимвольную интерференцию, создаваемую
узкополосными (60 МГц) фильтрами в передатчике. Эти фильтры
вводятся для обеспечения возможности уменьшения ширины
полосы частот до уровня 0,8 от скорости передачи и достижения
вследствие этого высокой скорости передачи: от 4 до 5 би
г/сна 1 Гц.
Использование способа решающей обратной связи в чистом
виде без линейного корректирующего фильтра, покмчанного на
рис. 8.10, существенно упрощает общую схему
корректирующего фильтра, поскольку сигналы обратной связи содержат поток
регенерированных информационных битов, вследствие чего в
фильтре необходимы лишь биполярные сдвиговые регистры,
в отлнчие от многоуровневых регистров, используемых в
адаптивных фильтрах КИХ-типа, как показано в гл. 7. Регулирова-

2 С
II
1ь
X 1-
•*»
к
г-
-i
е
^
с.
£
i=
о
f
о
с
—
**"
s^l
3
И
>■
Л1
^
~
к
i£
сГ"7
ге ■*
"S
ос. £
с й
'^ «
й"-
fcae
ёес
я „
~ я
.- с
-■— Г
2 в
? !-
.* *'
ь с
t г!
S2L
= с
с
'-< ^
ГС ^
«5 ч
я о
i(*f)Hi а«
■£ = га
К!
as*

из
I
°1
31
ОН 'ЕХЖсЭэЬ'Ее BBBOUlMdj
X
а.

«6
Глава 9
lllllillli1
Г
IIP'' 'ill
rU'lli
''ill
iiiiikiifci
■ -. .ж:;"' t'i,'4i,;;iЯ: г.:"1"-, :_■=-• :-Pr"-H-:;:=i
I
i*V*a
ЩЩ*Щф
Рис. 9.3. Результаты моделирования глалковыч .inai рымч иршмникп при на.ш-
II В ОТС^ТСТВпе KOppi>Kllllll ДЛЯ МНОг0.1\ЧСВОгО ДаМнрйННЯ. HOKdJilHHOrO На
рис. 0.2. Коррекция моделировалась с помощью комплексного адаптивного
фильтра с пятью отводами с конечной импульсной характеристикой а — без
корректирующею фильтра; «— с корректирующим фи.илром (Предоставлено
В К. Вонгом [3441.)
иие весовых коэффициентов отводов можно обеспечим! с
помощью регулируемого источника тока [84]. который
суммируется с поступающим сигналом в общей нагрузке на входе
квантователя. Такую конструкцию можно реализован, путем
установлении задержки от 6 до 8 не, допускающем работу при
скорости 74 Мбод, что соответствует скорости передачи
информации [40 Мбит/с (рис. 9 4) Такие корректирующие фильтры
позволяют также использовать ортогональную поляризацию в
антенне, что вдвое увеличивает нагрузку (до 280 Мбпт'с) в той
же выделенной полосе частот и обеспечивает число абонентов,
эквивалентное ранее рассмотренным аналоговым системам
передачи типа ЧРК/ЧМ. В работе [35] рассчитаны скорости
передачи ошибок при использовании корректирующих устройств
с решающей обратной связью при частотно-селективных
замираниях.
Комплексные корректирующие устройства с двумя отводами,
диаграммы которых изображены на рис. 9.4, также
продемонстрировали, что они могут осуществлять компенсацию замираний
при двухлучевом распространении глубиной 15 дБ при
величине задержки эхо-сигнала, равной 1/10 периода повторения
символов, без необходимости использования приема с разнесением.
В сочетании с обычно применяемым приемом с разнесением по
высоте можно компенсировать существенно более значительное
многолучевое распространение. Для корректирующих устройств
с РОС в чистом виде сложности возникаю!, когда имеет место

.Ipi/sitt при мнения адаптивных фильтров
.437
изменение типа замирания, поскольку схема синхронизации
символов всегдп должна отслеживать наиболее сильный сигнал.
Для адаптивных фильтров КИХ-тнпа эта проблема не cio.Hi
сложил, 1ак как в пил изменение типа замирания требует лишь
обратной перестановки во времени весовых коэффициентов
;i ianiiiBiiuro фильтра. Оказалось, что корректирующие
устройства с числом отводов от 5 т.п 9 [14] адекватно компенсируюг
ожндаемые замирания.
Латами подавления многолучевого распространения
становятся несколько более сложными в линиях связи за счет
рассеяния в тропосфере, поскольку вследствие увеличения скорости
«амирапнй в таких системах с более протяженным фактом
распространения скорость передачи хинных уменьшается до
li Мбит/с. Эти задачи становится ешс более серьезными в 134-
ка налах Во-пе[>вых. более низкая часки а несущей (3 30 МГц)
у меньшие! доступную ширину полосы канала до 3 кГц —
величины, характерной ни аналоговых радпоспстем. Хотя тем
самым уменьшается абсолютная скорость замирания по
сравнению с типнями связи за счет рассеяния в тропосфере, в этом
канале с меньшей шириной полосы скорость цамирапня по от
потению к скорости передачи по каналу (в 6oia\)
увеличиваемся примерно н 100 раз В результате принятый сигнал не
может больше считаться стационарным, поэтому тля повышения
скоростей ок-.тежнвання необходимо применять не адаптивные
процессоры, основанные па градиентных алгоритмах, а какие-
либо другие типы устройств
Для преодоления таких трудностей обычно применяю!
обработку блоков символов небольшой длительности, что служит
дополнительным стимулом для разработки быстроследящих
адаптивных фильтров, например калмаповекпх [122. 186'] н
решетчатых фильтров [134, 130]. описанных в гл. 2, 3 и 5.
Альтернативно весовые коэффициенты адаптивного фильтра
можно рассчитать методами обращения матриц разомкнутого
контура [178, 180], что фебует большого объема вычислений,
по может быть реализовано по мере рашпшя СВИС.
9.2.2. Прямое моделирование системы
Другое применение методов адаптивного оценивания — прямое
моделирование системы. Две области, где широко применялся
данный метод, подавление шума |339[ и подавление
эхо-сигнала в гибридном трансформа юре, используемом в телефонных
Линиях; это обсуждалось в гл. 1 и 8. Сообщалось п о ряде дру-
i их разнообразных применений, например для подавления эхо-
сигналов в телетекстовых приемниках [317], где в насюяшее
время используются шмегральные адашивпые фильтры, и-

а
а
<?•!
Рис. 9.4. Глазковые диаграммы,
показывающие действие реального
корректирующего фильтра с решающей
ооратной связью на СВЧ-цифровое
звено линии связи а — без
межсимвольной интерференции; б— межеим-
вольнап интерференция, возникающая
при относительной фазовой
манипуляции с уменьшенной шириной полосы;
в — то же, что в случае б, но при
адаптивной коррекции в приемнике;
г — характеристика системы с
многолучевой помехой наряду с
уменьшением ширины полосы передачи без
коррекции; д — то же, что в случае г,
но при наличии адаптивного
корректирующего фильтра. (Предоставлено
фирмой General Electric Company,
Уэмбли; из работы [84].)

Другие применения адаптивных фильтров
339
электрокардиографии и в подавлении интерференции в
выключателях сети [339J.
Дальнейшее применение методов адаптивного оценивания
имеет место в адаптивных системах управления [82, 125] при
моделировании систем или при идентификации. Эти системы
обладают большим сходством с описанными в данной книге
адаптивными фильтрами. Они обычно содержат регулируемое
звено обратной связи, предназначенной для стабилизации
отклика всей системы при наличии внешних возмущений и
изменения параметров системы. Адаптивные системы управления
[82] обычно основаны на одном из нескольких алгоритмов,
включающих подход на базе эталонной модели [181, 184],
а также нелинейные методы и метод импульсных характеристик.
Адаптивное управление широко применяется при моделировании
химических процессов и энергетических систем, для управления
промышленным оборудованием и гидравлическими
устройствами и для предсказания траекторий и контроля высоты полета
космических кораблей. Уидроу и Стерне в 1984 г. опубликовали
краткий обзор [342] по применению адаптивной обработки сиг*
налов в системах управления. В предсказывающей фильтрации
в навигационных системах широко используются калмановские
устройства оценки, описанные в гл. 2. Применение в данной
облает калмаиовскнх устройств оценки обусловлено
противоречивостью между очень малыми скоростями передачи данных
в сочетании с требованиями быстрого отслеживания н
быстрыми флуктуациями данных при резком маневрировании
(например, в боевых самолетах).
9.3. СПЕКТРАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
9.3.1. Введение
Спектральный анализ, или спектральное оценивание,
представляет еще одну область применения адаптивных фильтров [142].
Спектральное оценивание можно осуществить двумя способами
основанными на методах параметрического моделирования [87,
108, 141, 249] и на непараметрических подходах. Анализ Фурье
[40], широко применившийся для описания широкополосных
сигналов, — пример непараметрического подхода.
При параметрическом спектральном оценивании полагают,
что подлежащая анализу характеристика содержит
широкополосный шум, который фильтруется системой или проходит по
тракту передачи. Тогда в процессоре для спектрального
оценивания адаптивный фильтр используется для моделирования
характеристики, обратной характеристике системы или переда-

340
Глава 9
точной характеристике, а по завершении установления
последующая обработка полюсов или нулей моделирующего фильтра
дает информацию о спектральных свойствах входного сигнала
в зависимости от модели системы. Такие методы
параметрического моделирования, аналогичные методам моделирования с
помощью калмаповских фильтров, показанных на рис. 2.3,
подразделяются в дальнейшем в соответствии с различными
типами фильтров, применяемых для выполнения спектрального
оценивания. Фильтры КИХ-типа. характеристики которых
содержат только нули, являются инверсными по отношению к
авторегрессивным (АР) моделям, тогда как полностью
рекурсивные фильтры (характеристики которых содержат только
полюсы) являются инверсными по отношению к моделям со
скользящим средним (СС). Авторегрессивные модели со
скользящим средним (АРСС) получаются для фильтров БИХ-типа.
характеристики которых содержат как полюсы, так и нули. Для
минимизации объема вычислений и обеспечения устойчивых
■свойств сходимости важно заранее знать тип модели системы,
чтобы можно было применить оптимальную модель фильтра.
■Однако, поскольку фильтр КИХ-типа может дать
характеристику, аналогичную характеристике рекурсивного фильтра, при
условии достаточного количества каскадов, АР-модели можно
применять в любом случае, хотя это может привести к менее
эффективному использованию аппаратных средств или
машинного времени.
На рис. .95 показано влияние параметрического
спектрального оценивания ча сигнал, содержащий пять отдельных
синусоид. Оценивание производится с помощью набора
каскадированных фильтров ошибки предсказания (КИХ-типа). Они
постепенно обеляют входной сигнал, и если после завершения
процесса установления коэффициенты фильтра подвергнуть
преобразованию Фурье. получим характеристику анализатора
спектральной плотности мощности. На рис. 9.5 представлен
преобразованный выходной сигнал фильтров ошибки
предсказания, порядок которых постепенно увеличивается от 1 до 10.
Такое моделирование показывает, что любой каскад второго
порядка может управлять положением пары пулей для
генерации пары полюсов, соответствующих одной синусоиде.
Следовательно, для такого входною сигнала, содержащего пять
синусоид, требуется фильтр 10-го порядка. Увеличение порядка
фильтра свыше 10 не дает существенных улучшений. Нел и
порячок фильтра недостаточно высок (например, порядок
схемы равен б), он попарно группирует синусоиды и сходится к
значениям полюсов, соответствующим трем дискретным часю-
там. которые он может идентифицировать. Поскольку эти!
тестовый сигнал представляет собой набор синусоид беч шума, их

п 5
*5i
тп
л
ее 5
(- Л.
<и ^
— га
_ *
Z Ч
go к
g§-
с
я
ч s у
= 40
4SU
ф е»Д$-'Ф С* О <Я« <S?.
S»l- О К> .«?.<ч «"v-
"£■ ш
X *L
«3 £ £
- ago
*-£ х
С с о
•
—
*'-i" «
kJXV~ ч -
■ i г
Г1 <s>
К' !? О?
Ш ч *
- "'*" -л"
р* £
рге*. ^
**
«.
/
/
f

342
Глава 9
относительные частоты точно идентифицируются на рис. 9.5,
но информация о точном значении амплитуды отсутствует.
Принцип действия каскада фильтров ошибки предсказания
иллюстрируется далее на рис. 9.6, показывающем, как
происходит обеление спектра выходного сигнала по мере постепенного
перемещения по каскаду. В данном примере па вход фильтра
поступает белый шум, свернутый с синтезированным
импульсным откликом канала 0,28z_l-l-z~2-)-0,28z-3 для получения
спектральной плотности мощности отфильтрованного входного
сигнала, показанной на рис. 9.6 для нулевого порядка.
Теперь фильтр ошибки предсказания обладает
соответствующими нулями в характеристике для моделировании входного
сигнала. Это приводит к постепенному обелению спектра по
мере его прохождения по каскадам фильтра. По сравнению с
методами анализа Фурье подход на основе адаптивного
параметрического спектрального оценивания оптимально
идентифицирует местоположение входных синусоид, но не дает подробного
описания областей между ними. При малых отношениях
сигнал — шум на входе шумовые составляющие в промежутках
между синусоидальными тонами выводят фильтр из
устойчивого состоянии, что делает такой подход к определению
спектрального отклика входного сигнала не столь удачным, как
метод Фурье. Таким образом, обычно считается, что
непараметрические методы анализа Фурье больше подходят для анализа в
широкой полосе частот при малых входных отношениях
сигнал — шум (ОСШ). Однако разрешающая способность данного
метода, пропорциональная интервалу наблюдения, невысока.
В случае изменяющегося во времени спектра или коротких
временных последовательностей, таких как отраженный сигнал
импульсного радиолокатора, интервал наблюдения должен быть
ограниченным, что уменьшает разрешающую способность
метода на основе анализа Фурье. Кроме того, погрешности жскрет-
иого преобразования Фурье (ДПФ) приводят к размытию
спектральных составляющих [42]. Эти недостатки вызвали
интерес к более новым методам параметрического моделирования,
дающим увеличение разрешающей способности путем
экстраполяции значений автокорреляционной функции за пределы
известного времени запаздывания. В случае ДПФ-нроиессора они
полагаются равными нулю, что вносит погрешности при
определении спектра.
Показано, что метод максимальной энтропии (ММЭ) в
спектральном анализе [44, 45, 141. 273], основанный на
авторегрессивной модели КИХ-типа, обеспечивает более обшнй подход по
сравнению с подмножеством АР-методов спектрального
оценивания. В методе максимального правдоподобия (ММП) [48],
являющемся еще одним АР-методом, измеряется выходная

NSJ ей чг *в
gsi
* 1-е
isSs
я 0 os
ols-s
5 и в ч
х ч Я £
Зй.5.5
Ё S ж g
с s о g
о эс£
о к н
со се ,= '=
. л 3 ч
W Ч О О
-*■ ь- ■*-
с ё I
С tr О
О С 2

■ш
Глина 9
мощность набора узкопплоспых фильтров. 13 отличие от ДПФ
каждый и< таких фнлырон может иметь различную форму
амплитудно-частотной характеристики и центральную частоту,
н они адаптивно настраиваются на частоты шгпалоп,
присутствующих на входе. Следовательно, достигается разрешающая
способное 1ь. превышающая разрешающую способность ДПФ.
но не столь высокая, как для лругнх АР-методов (см. рис. 9.12,
па котором даны результаты аналогичной обработки для случая
пеленгования). МММ широко прпмепяек'я в частотном анализе
ношпвого числа и сейсмических решетках Основная
особенность diii\ авторегресспвпых методов, основанных па линейны if
алгоритмах, заключается в том. что они хорошо функционируют
лишь при наличии нескольких синусоид, поскольку дают
возможность уменьшить количество данных; что послужило
основой для их широкого использования наряду с обработкой
сейсмических lamibix в таких области.* применения, как анализ
и синтез речи.
9.3.2. Усиление спектральных линий
Ohio из применении спектрального оценивания
идентификация наличия усиленных сигналов Примером служит
восстановление узконолоспого сигнала на фоне широкополосного шума
путем адаптивного усиления спектральных линий (АУСЛ)
|34(>|. АУСЛ выполняется путем подачи принимаемого сигнала
па устройстве) задержки до поступлении па вход адаптивного
фильтра, тогда как искомый или обучающий вход
непосредственно соединен с принимаемым cm налом. Задержка выбирается
такой, чтобы узкополоспые сигналы, которые необходимо
усилить, были коррелировать с сигналом и искомыми входными
сигналами, тогда как широкополосные шумовые составляющие
не были корре.тпроиапы. Это аналогично результатам,
показанным па рис. 7.0 для адативною фильтра,
самонастраивающегося на провалы в спектре сигнала.
Для применении н области АУСЛ адаптивный фильтр
может быть либо КИХ-, либо ВИХ-тнпа [105] в зависимости от
того, какой процессор- amopei ресеннпып или АРСС —
является более предпочти тельным. АУСЛ упрощает спектральный
анализ по А\Д\Э, paccxioiрепной ранее, поскольку в ММЭ
обычно используются усложненные алгоритмы обработки сигналов
[ 15] пли быстрые калманонскне методы [173], требующие
большого объема вычислений. Однако они быстро дают
значения весовых коэффициентов фильтра ошибки предсказания.
В подходе на основе простого АУСЛ фильтр ошибки
предсказания упрощает его для случая, когда песовые коэффициенты
фильтра ошибки предсказания вывотятся из более медленных

Лругиг применения адаптивных фильтров
345
«адаптивных» алгоритмов, таких как метол случайного поиска
градиента, обеспечивающий вычислительную эффективность
пеной меньшего быстродействия.
На рис. 9.7 показаны полученные в результате
моделпронация входные и выходные колебания для АУСЛ, основанного
па методе адаптивной обработки в частотной области |2Я6].
обсуждавшемся в гл. 6. В нем используется входной сигнал,
содержащий синусоиду с частотой 1 МГц, и аддитивный
широкополосный шум при величине отношения сигнал — шум,
равной 0 дБ (рис. 9.7,а). Диаграммы выходных сигналов
(рис. 9.7,6 и г) наглядно ичображают. как усиливается
синусоида, н показывают, что уровень подавления шума (рис. 9.7,в
п ()) зависит от выбранного коэффициента сходимости м.
Сообщалось также о примерах применения усилителен спектральных
линий БИХ-типа, основанных па оптимальном оценивании по
методу наименьших квадраюв [ЮЗ]
В случае сигналов, маскируемых белым шумом, характерн
■пика АУСЛ на основе фильтра КИХ-тнпа во многом
эквивалентна ДПФ-процессору в части разрешающей способности и
улучшения отношения сигнал — шум, если число выборок
преобразования равно порядку фильтра КИХ-тина. Однако,
поскольку АУСЛ обрабатывает сигналы непрерывно, тогда как
ДПФ представляет собой процессор для обработки группы
сигналов, выходной сигнал ДПФ должен быть усреднен по
нескольким полям для интеграции и получения идентичного
улучшения ОСШ. Характеристики АУСЛ превосходят подход на
основе ДПФ в случае, когда входной сигнал содержит либо
окрашенный шум, либо смесь сильных и слабых синусоид. При
этих условиях слабые сигналы усиливают, а АУСЛ подавляет
окрашенный шум [342] Следующее возможное примущество
состоит в уменьшении объема вычислений для случая АУСЛ.
9.3.3. Обработка речи
Методы спектрального оценивания применяются также для
обработки речи, особенно в вокодерах [32]. где используется
избыточность речевых колебаний для получения низких
(<2.4 кбод) скоростей передачи данных. В настоящее время
существуют два основных тина: вокодер линии связи и линей
ими предсказывающий кодер (ЛПК), Вокодер линии связи
передает грубую информацию о спектре и высоте звуков, обычно
получаемую с помощью общепринятых методов аналоговой или
цифровой полосовой фильтрации или метода ДПФ. Хотя
коррекция ЛПК была реализована с помощью
автокорреляционного метода [211], в котором используются адаптивные транс-
нерсальпые фильтры, более предпочтительным оказывается
-\3--H87

В я 5
си -~ s
с £ о
О t CJ
к ы х
=: _ х
So°
= =»=
ЧЧО
s о х
>i аО и
CLI
■ О «С
" ^ 5
£ °
О с;
е- ■*■ Е
с S о
| ° Й ■"
% О.™
5 = 5
;¥« =
и * 2
о
о.
33э
eg
£ ас
га _.
°--f
ао ч ?
s
>^
я x и
о. Я <и
Ъ = ч
Й л =
^ ^ ао
■B-o.ec
о ._
О га
О и о
о. а н
s о о
з«£
О га
х х а1
>-, га
3£
i X
; 'J
га q
IS
я
х в
о _
ч 5
2
За.
£
6 6 ч'=
л х о a
1 к a
s = Я
tf: ao
И I
= 1=1
IE s
£ 5,cl..
ГТ с:
S.2
С га
нога™
«на1
Е = н Ь
н <и S х
о х £ f
0 a 3
и = -в-
1 -в- <с
1 -В-о о
ca en l. х
ill
1
дВ'Екикмиев ьЕнчиэхиэото
дВ'еВАхтшие иенчиалиэонхо
it
дВ'ениьииэв иенчиахизонкз
S
тг
(OSS
I V
gtf'etMinuuwe ьеняиэхиэоно-О

Другие применения адаптивных фильтров
347
подход на основе каскада линейных фильтров ошибки
предсказания, поскольку он менее чувствителен к погрешностям
коэффициентов. Фильтры ошибки предсказания устраняют из
сигнала составляющие, которые можно предсказать [216] из
предыдущих данных с помощью моделирования голосового тракта а
виде фильтра (АР), характеристика которого содержит только
полюсы (гл. 5).
В ЛПК-вокодере анализатор и кодер обычно обрабатывают
сигнал на интервалах длительностью 30 мс и последовательно
передают приближенную спектральную информацию об
интервалах в виде коэффициентов фильтра. Остаточная ошибка (шум
на выходе обеляющего фильтра ошибки предсказания) не
передается; она используется для получения оценки уровня
мощности входного сигнала, посылаемого вместе с информацией о
высоте топа, и для указания, содержит ли входной сигнал звук
голоса или нет (рнс. 9.8). Последнее можно установить,
проанализировав выше или ниже некоторого порога первый лепесток
автокорреляционной функции сигнала. В первом случае
величина слагаемого, характеризующего автокорреляцию, дает
информацию о высоте звука. С декодера и синтезатора принятые
коэффициенты фильтра поступают на АР-синтезируюший
фильтр, который возбуждается импульсами частоты тона, если
речевой сигнал на входе присутствует, или импульсами белого
шума, если он отсутствует. Амплитуда возбуждения
определяется шачением оценки входной мощности.
Для реализации физической модели голосового тракта в
виде акустической трубы без потерь может эффективно
применяться адаптивная решетчатая структура (гл. 5) на основе
фильтра, характеристика которого содержит только полюсы
(см. разд. 5.3.2 и рис. 5.6). Данный подход [157], позволяющий
получить па выходе непрерывное представление коэффициентов
фильера ошибки предсказания, приобрел к настоящему
времени особенно большое значение вследствие своей регулярной
структуры, которую можно реализовать с помощью цифровых
БИС ['10].
Дополнительно к результатам, показанным на рис. 5.14 и
5.15, на рис. 9.9 и 9.10 проводится сравнение характеристик
обычного анализатора спектра с разверткой по частоте
(непара метрического) с характеристиками авторегрессивного (пара-
мефического) устройства оценки на примере образца речи
мужчины. На магнитную ленту записывалось пение звука
«и—и» (как в слове «feed») для поддержания основной
частоты, по мере возможности, постоянной. Затем звук
воспроизводился на коммерчески доступном анализаторе спектра.
Независимо проводилось моделирование параметрического устройства
оценки, применяемого для получения результатов, показанных
.23*

taS
§-S*E
' 3 •> X
CQ а С
w
«
H
3
a
у
о
S
8
1
ro.
Параметры
с
&
■* ■ а-
£ Я ?
18|
22?
1
«V
T
1 <J O—«—]
1 ll
_
Генератор
случайного
шума
X
X
4
Г
>■
■
о
0)
X
X
Ut
с
•g
a
с
>
■ J
Генератор
импулкса
I
«о
о
о
3
а
йоэмации!я|/ЛиаЦ
о <
I s x~"!
— а и
£?.
1
1
lift
Ii
I
йоэмаииидеиЛ^
Параметры
модели
голосового
тракта
i
Фильтр
ошибки
предсказания
(решетчатый)
\
Н
&
i
Наличие/
отсутствие
речевого
сигнала
И
i
Юиалкная
частота
i
Детектор
высоты тона
'
I
3
m
I»
I
а
я
X
и
■1
J
о.
с
2
х
во
о
X

Другие применения адаптивных фильтров 34Ч>
Рис. 9.9 Д-aipi*. напряжение va выходе анализатора спектра с разверткой
по частоте r?i =■ чн'ч м\лч> звука "Н-и", KJh в слове "feed". Час-
та* по ве; ти m т д', - ieu лл^-штаС по гор1иоигали—1 кГц/делсшн
(Предоставлено У .т.ером [i#.']
на рмг 9.5. ч -'аячения с упомянутыми результатами.
Выходные немалы гш'чча- ы на • и Ь.9 и 9 10 соответсгва- о, где для
полу'е1'"я 1роСка*егия, 10полненпч»г*> бет r>p ifien> ,
производилась интерполяция отдечышх паоаметриче-'hi. опенок вплоть
до 1G порядка.
При визуальном сравнен* и впечатляет сходство результатов
для параметрических устрой тв оценки порядка от 12 до 16
с изображением, полученным дли обычною анализатора. Оба
имеют подобную в целом форму с затуханием по частоте
величиной 6 дБ/октаву, вызываемым характеристикой голосового
тракта. Однако параметрическое устройство онеикн не облада-е
положительными качествами устройства оценки с рлзверткой
по частоте из-за существенно меньшего времени анализа.
Дальнейшие исследования [277] свидетельствую! о юрошем
согласии между подходами при оценивгн ни - » й спеюр.члыюй
плотности, но параметрический анализа гор менее точен при
оценке абсо потных частот максимумов, поэтому малин
максимум при частоте 1,2 кГц не обнаруживается. Тестовый сигнал,
изображенный на рис. 9.5, имеющий явно выраженный спектр с
резкими максимумами, моделировался с помощью точно раме
щепных вблизи единичного круга нулей. И наоборот,
используемый в данном случае речевой сигнал имел слабо выраженный
спектр, что сказалось в менее точном размеще* нулей.

Другие применения адаптивных фильтров
351
На рис. 9.9 и 9.10 проведено подробное сравнение этих двух
подходов, из которого видно, что адаптивная подгонка нуля в
более простом авторегрессивном устройстве оценки дает
достаточно точное спектральное представление о передаче
синтезированной речи и, возможно, о получении качественной
передачи. Для высококачественной передачи требуются более точные
методы дискретизации, например импульсно-кодовая
модуляция.
Решетчатые адаптивные фильтры ошибки предсказания дают
рабочую характеристику, которая с точки зрения сложности и
быстродействия лежит между методами спектрального
оценивания: более сложным ММЭ и сравнительно простым АУСЛ.
Основные преимущества решетчатого подхода вновь основаны
па независимой оптимизации искомых составляющих в
сочетании с компромиссом между коэффициентом сходимости,
остаточной ошибкой и временем анализа фильтра. При задержках
в голосовом тракте около I мс и типичных частотах
дискретизации речи от 8 до 10 кГц число каскадов решетчатого фильтра
обычно лежит в диапазоне от 8 до 12, причем 10 будет числом,
принятым в стандарте для интегральных ЛПК-вокодеров со
скоростью передачи 2,4 кбод. Имеются также вокодеры на
основе многокристальных микропроцессоров [325]. Кроме этих
применений в вокодерах цифровые решетчатые фильтры
используются в некоторых коммерческих системах синтеза речи [104].
9.4. ОБРАБОТКА СИГНАЛА АДАПТИВНОЙ АНТЕННОЙ
РЕШЕТКОЙ
В адаптивных антеннах [111, 112, 155, 232, 299],
применяющихся при конструировании приемников для максимизации
искомого сигнала в присутствии помех, используются методы
обработки сигнала, очень похожие на аналогичные методы в
адаптивных фильтрах. В них в большей степени применяется
пространственное разделение элементов антенны для получения
параллельного набора выборок сигнала, а не частично
обработанные или имеющие временную задержку версии одномерного
входного сигнала. Ранее опубликованная работа по
адаптивным антеннам [313] была в первую очередь связана с самофа-
лнрующими системами, излучающими энергию в том же
направлении, что и принятый сигнал. В настоящее время такие
системы применяются реже, и термин «адаптивная антенна»
сейчас почти исключительно относится к методам создания в
пространстве нулей диаграммы направленности, снижающим
влияние непреднамеренных помех по соседнему каналу или
умышленного глушения.

352
Глава 9
Такие процессоры благодаря их способности автоматически
реагировать па неизвестные помехи в среде распространения в
реальном масштабе времени нашли широкое распространение
в военном радиолокационном, гидроакустическом,
навигационном оборудовании и линиях связи, где важным свойством
является высокая скорость адаптации для быстрой генерации
пулей. Применении в системах гражданского назначения, таких
как KB/УКВ спутниковые системы связи и системы
радиовещания, предъявляют менее жесткие требования, поскольку
скорость установления является обычно второстепенным
параметром и, следовательно, можно использовать менее сложные
адаптивные алгоритмы. Обычно устанавливается вид пеленгуемой
помехи, и более важным оказывается получение
удовлетворительного подавления при низкой стоимости. Оценивание
пеленга [IG7, 168J —еще одна функция, которую можно реализовать
с помощью антенн: либо путем непосредственного анализа
принятых сигналов, либо путем преобразования значений весомых
коэффициентов установившейся a lanriinnod антенной решетки
для определения пеленга источника.
Для генерации путей адаптивной антенной используется
конфигурация процессора, очень похожая на адаптивный
филы р. В наипростейшей форме у него нмекпеи два входа для
подключения главной н вспомогательной антенн. Если сигналы
являются сверхвысокочастотпымн, они обычно преобразуются
па ПЧ, но перед суммированием с сигналом основного канала
сигнал вспомогательного капала умножается на
соответствующие весовые коэффициенты с помощью комплексной
взвешивающей схемы (рис. 9.11). Для подавления помех
комбинированный выходной сигнал поступает в цепь обратной связи н
вычисляется его корреляция с сигналом вспомогательного
канала для получения адаптивных весовых коэффициентов,
минимизирующих сигнал, присутствующий в обоих каналах.
Такой подход обычно используется в СВЧ-рефлекторпых
антеннах 3- и 10-саптпметрового диапазона с высокими
коэффициентами усиления для подавления помехи, поступающей через
боковые лепестки диаграммы направленности основной антенны.
В данном когерентном устройстве подавления боковых
лепестков (КУПБЛ) [154] (рис. 9.8) разница в усилении между
основным лучом направленной антенны и антенной с более
широким обзором или всепаправлеппой вспомогательной антенной
приводит к тому, что искомые сигналы (такие как
низкоуровневые эхо-сигналы радиолокаторов) принимаются только по
основному каналу. В импульсном радиолокаторе, где такие эхо-
сигналы присутствуют во время коротких периодов па
протяжении полного интервала сканирования, нх средняя энергия
мала и, следовательно, отсутствует необходимость нх вычита-

Ap'h'uc применения адоптивных фтьтрон
35 3
Направленная антенна
с большим усилением
Вспомогательная антенна
с малым усилением
и широким обзором
Комплексное
амплитудно-фазовое
управление
Выход
Рис. 9.11. Конфигурации когерентного подавителя Гюкпнмх .н-тчтьив Дшн-рнм
мы направленности .viw адаптивной антенны.
пня, поскольку они вносят в результаты обработки сигнала
лишь незначительные искажения Помеха поступает с боковых
лепестков диаграммы направленности основной антенны в оба
канала при примерно одинаковом уровне сигнала, п она
автоматически устраняется в самоориентпрующемся процессоре.
К схеме, изображенной на рис. 9.11. необходимо добавить
дополнительные вспомогательные каналы для обработки сигнала

354
Глава 9
при многочисленных возможных способах создания помех. Лу-
белл и Ребхен [200] дают пример применения КУПБЛ-мегодов
в приемниках спутниковой связи.
Альтернативные варианты адаптивных антенн, основанные
на полностью фазируемых антенных решетках с цепью
адаптивного управления каждым отдельным элементом, применяются в
линиях связи, радиолокации и навигации, но для них обычно
необходимо, чтобы отдельный импульс искомого сигнала
вычитался из комбинированного выходного сигнала, прежде „чем он
в виде сигнала ошибки поступит в цепь обратной связи.
Теоретически подобные Л'-элементные адаптивные ашенпые решетки
могут обрабатывать сигнал на фоне совокупности источников
помех, число которых равно Л'—I.
9.4.1. Оценивание пеленга
Антенные решетки, часто содержащие всего лишь два
элемента, можно использовать для азимутального разрешения [22J.
Информация о пеленге преобразуется в антенне в разницу во
времени прихода принятых сигналов, возникающую вследствие
разных путей распространения сигнала к различным элементам
антенны. Следовательно, обработка принятых сигналов с
целью выделения разницы во времени прихода (РВП) дает
информацию относительно пеленга мишени. Этот метод
использовался для измерения потока огнеопасных жидкостей в трубах
путем восприятия возмущений с помощью пары датчиков,
прикрепленных к трубам. Взаимная корреляция двух сигналов
[24] дает информацию о задержке, но это требует некоторых
сведений о статистике сигналов, и разделение датчиков должно
быть таким, чтобы не имели месга значительные потери при
взаимной корреляции двух принятых сигналов. Другими
применениями таких систем измерения времени прохождения па
основе оценки корреляции являются газовая хроматография
[123], биомеднцинская техника [300] и гидроакустика [2].
Методы адаптивного оценивания на основе разницы во
времени прибытия, которые можно применять для усиления
выходного сигнала этих пассивных приемных систем, обладают
тем преимуществом, что отсутствует необходимость в исходной
информации о сигнале. Один из подходов основан на
расширении известного ранее корреляционного метода, где вначале к
процессору, осуществляющему расчет взаимной корреляции,
добавляются устройства адаптивного спектрального обеления
помехи. Подобная предварительная обработка узкополосных
входных сигналов для расчета взаимной корреляции
остаточных колебаний ослабляет влияние множества пиков выходного
сигнала [105]. К такому процессору применимо большинство

Другие применения адаптивных фильтров
355
методов адаптивного спектрального обеления, описанных в
данной книге.
Эти концепции были также развиты для случая
многоэлементных решеток с целью точной оценки принятых сигналов.
Простой пространственный анализ Фурье для поля излучения
с помощью квантования принятых сигналов с антенной решетки
дает разрешающую способность пеленгования, которая обратно
пропорциональна апертуре антенной решетки. Джонстон и
Де Грааф [167] показали, что наилучшее разрешение (рис. 9.12)
можно получить с помощью методов спектрального оценивания,
описанных ранее для нахождения решения данной
ограниченной задачи оптимизации. Все методы адаптивного
спектрального оценивания, включая MMIJ, ММЭ, АР- и АРСС-моделиро-
вание параметров наряду с подходом па основе разложения
собственного вектора [283], были применены к задаче
пассивной гидроакустической локации. Выходные сигналы модели
фильтра дают информацию о времени задержки,
преобразуемую в оценки пеленга.
Введение в антенную решетку адаптивного процессора
позволяет формирователю луча использовать для измерений
пеленга информацию, получаемую нз нулей, аффективнее, чем
информацию, получаемую от основного лепестка диаграммы
направленности. Поскольку нули обычно четче выражены,
развитие адаптивных методов дает в результате улучшенное
разрешение, или сверхразрешаюшую способность. Упдроу и Стерне
[342] провели анализ улучшений, обеспечиваемых адаптивными
процессорами, основанными .а методе максимального
правдоподобия [47]; на рис. 9.11 [ IG8] приведена разрешающая
способность пеадаптивного формирователя луча, полученная па
основе метода Фурье (а и •'). н разрешающая способность
процессора, найденная на основе метода максимального
правдоподобия (б и д), как для одиночного источника опорного
направления пеленга, так и для пары источников с угловым
отклонением от опорного направления пеленга ±5°. Для этом
10-элементной антенной решетки с отношением сигнал — шум,
равным 10 дБ, улучшение разрешения за счет обработки по
ММП оценивается как 18-кратное [342]. На рис. 9.12 показано
также, чю если используется линейный предсказывающий авто-
регрессивный адаптивный процессор, то имеет место
дальнейшее улучшение разрешения (это видно нз рис. 9.12, в и е).
Улучшение разрешения за счет данных методов адаптивного
спектрального оценивания основано па наличии
удовлетворительного отношения сигнал — шум на входе; обычно для
достижения необходимого улучшения требуются положительные
значения этого отношения (в дБ). Следует ожидать, что
дальнейшее развитие этил исследований в таких областях, как

-00 -Ь0-4О -3D -20 -10 В 10 20 30 40 50 98
П|Ы| I i I l I 1 I l 1 I I i I . I I I : I ■ I I I ■ I .111!
■Ю4
■^Рч
-30.
i|4 i Г' I ' I '
Ojli 11 1 i I i I i I i
T~г
I I I I I I I I i I Ml
i I ■ I i I t I ■ I ihll
in
4
с
г
<
■20J
-30.
1FPT
OJbJ i I i, I i I l I i
i0.
2Й.
30
i I i 1 " I i I 4 M'
i I i l i I ■ l ■ I ||щ
П'| i ] i l i ) i"
-90 -50 -4И -30
T
т
•20-18 0 10
Пеленг, град.
I i ! ' I т М | i | i|Tfl
20 30 40 50
90
Рис. 9.12. Применение раз.шчныл алюрптмов uh. Tpj.ibiii.ilо оценивании дли
измерения пеленга в следующих случаях: с—в—одиночный источник на
основном направлении пеленга; г—е — два источника равной интенсивности,
смешенные на ±5° от основного направлении пеленга. Измерения производились
с помощью антишой решетки из 10 элементов, находящихся на одинаковом

-98 -58-48-38 -26-18 в 10 20 30 40 50 90
ЙН.11 I ■ | ■ I ■ I i I I I ■ I I I i I I ■!.!>
-20:
-30
i|i I I I i I ' I '
e.lhii i i i i i i i. i
ч
a
a.
t-
x
<u
с
о
in
s
<
•?0.
-38
I I I I I I "I I ' I I I l I I |I|IR
i I j I I I ■ I i I ■ I i I i I ihil
I'M I i I i I l I ■ I l I I
II i I i I I I I I i I
i I ' I i I I I I I M"MR
■ l ■ 1 i I i I i 1 iliW
l|i|i I i I i I i I I I ' I ' I ' I ' I ' I П ' I П МЛГ
-Э0 -50-40-38 -28-10 0 10 20 30 40 50 90
Пеленг, град.
расстоянии, равном л/2, при отношении чпнал— шум на входе, равном
10 дБ. с и г — методы преобразования Фурье; б к д- -метод максимальниг )
правдоподобии, вне — оценки на основе линейного предсказания.
(Предоставлено Хьюстонским университетом, Техас, США; из работы [168].)

358
Глава 9
радиолокация и линии связи, откроет и другие потенциальные
области применения методов адаптивного спектрального
оценивания.
9.5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной главе перечислены некоторые из множества областей,
где могут успешно применяться адаптивные фильтры. Теперь
можно с уверенностью сказать, что эти фильтры разработаны
до такого уровня, что их возможности обработки сигнала
хорошо известны и описаны в технической литературе.
Представляется вполне вероятным, что их применение будет постепенно
увеличиваться по мере появления новых интегральных
заказных процессоров и микропроцессоров общего назначения с
повышенным быстродействием и точностью, что позволит
инженерам-системотехникам полнее представить возможности
потенциального улучшения рабочих характеристик, обеспечиваемого
с помощью адаптивных методов.

Условные сокращения
ЛИМ — амплитудно-импульсная модуляция
АКЭ— автоматический контроль эталона
АЛУ — адаптивный линейный усилитель
АР — авторегрессивный процесс
АРКК — адаптивная решетка для коррекции канала
АРСС — авторегрессивный процесс со скользящим средним
АРУ — автоматическая регулировка усиления
А УС Л — адаптивное усиление спектральных линий
АЦП —аналого-цифровой преобразователь
БИС — большая интегральная схема
БИХ—бесконечная (неограниченная) импульсная
характеристика ..
ПЛ\НК — быстрый метод наименьших квадратов
ВОБЛШК— без ограничений быстрый метод наименьших
квадратов
БПФ — быстрое преобразование Фурье
ВРК —временное разделение каналов
ВЧ — высокая частота
ВЧС — система вычитания чисел
ГАРФ — гиперустойчивый адаптивный рекурсивный фильтр
ГГТ — громкоговоряший телефон
ГИС —гибридная интегральная схема
ДЛАМ — двухполосная амплитудная модуляция
ДПФ — дискретное преобразование Фурье
ЗУПВ—запоминающее устройство с произвольной
выборкой
ПКМ — нмпульсио-кодовая модуляция
КАМ—квадратурная амплитудная модуляция
KB — короткие волны
КИХ — конечная (ограниченная) импульсная
характеристика
КНС —кремний-на-сапфире
КУПБЛ — когерентное устройство подавления боковых
лепестков

am
Условные сокращения
ЛЗО—лмшгн задержки с отводами
ЛПК—линейный предсказывающий колер
ЛПФ - линейный предсказывающий фильтр
UKKTT - Международный консультативный комитет но re
леграфни и телефонии
ММП —метод максимального правдоподобия
Л\МЭ метод максимальной энтропии
UHK — метод наименьших квадратов
МОП — границе юр типа металл — окисел — полупроводник
МСИ —межсимвольная интерференция
.UCKO— минимальная среднеквадратчпая ошибка
НКЛРКФ — адаптвный решетчатый корректирующий фильтр
на основе метода наименьших квадратов
НККРНК — нормированная на корень квадратный решетки
для метода наименьших квадратов
ИКР —решетка наименьших квадратов
НП — незатухающие помехи
ОВОВ — ограниченная по входу, ограниченная по выходу
устойчивость
ОЛ — основной луч
ОСШ — оi ношение сигнал — шум
ОФМ—относительная фазовая манипуляция
ПАВ —поверхностные акустические волны
ПЗС — прибор с зарядовой связью
ПЗУ — постоянное запоминающее устройство
ПК преобразователь вида объединения каналов
ППЦ —прибор типа пожарной цепочки
ПТФ —программируемый трансверсальиый фплыр
ПЧ — промежуточные частоты
РНК — рекурсивный метод наименьших квадратов
РОС —решающая обратная связь
РЧ — радиочастота |
САПР —система автоматизированного проектирования
СБИС — сверхбольшая интегральная схема
СКМРО — среднеквадратичная мощность рассогласования
отвода
СКО — среднеквадратичная ошибка
СПД —строго положительное действительное число
ТТЛ — транзисторно-транзисторная логика
УКВ — ультракороткие волны
УЦАП—умножающий цифро-аналоговый преобразователь
ЧВ — частичные ветви
ЧРК — частотное разделение каналов
ЦАП — цифро-аналоговый преобразователь
ЦСФАП — цифровая система фазовой автоподстройки

Условные обозначения
Но мере возможности система обозначений была
унифицирована по всей монографии. Данный перечень обозначений
представляет собой общий набор математических символов и опе-
ракфов, которые встречаются в ряде глав.
Обозначения, используемые в гл. 6. в которой описываются
адаптивные алгоритмы обрабо1ки сигналов в частотной
области, во многих отношениях существенно отличаются от
обозначений, принятых в остальном тексте. Поэтому во введении к
данной главе отдельно поясняется система обозначений. За
исключением гл. 5, индекс, указывакяций момент времени /,
опускается. В указанной главе система обозначений
рассмотрена во введении.
Скалярные переменные
о,- —1-й коэффициент прямой связи фильтра БИХ-тина
bi — i-й коэффициент обратной связи фильтра БИХ-типа
bj(t) —сигнал решетчатого фильтра с обратной связью ь
у'-м каскаде в момент времени /
d(n) —искомый выходной сигнал адаптивного фильтра
е(п) —сигнал ошибки па выходе адаптивного фильтра
fi (/) —сигнал решетчатого фильтра с прямой связью в
у'-м каскаде в момент времени /
h, — t'-я выборка импульсной характеристики фильтра
■/н — функция стоимости, выраженная через вектор па
раметров Н
^■ — коэффициент отражения (PARCOR) t'-ro каскада
решетки ,
К(п)—коэффициент усиления Калмапа
М — коэффициент расстройки адаптивного процесса
г(т)—величина автокорреляции при запаздывании на
время т
s(fl), х(п) —входной сигнал фильтра
у(п) —искомый выходной сигнал адаптивного фильтра
у(п) —выходной сигнал процесса оценивания
fi.r — коэффициент правдоподобия решетчатого фильтра
м(н). v(«) — сигналы белого поля, сигналы гауссова шума
24 П*7 .

362
Условные обозначения
А— коэффициент памяти экспоненциально взвешенного
алгоритма РНК
hi — характеристические числа автокорреляционной
матрицы R
ц, р — коэффициенты сходимости адаптивного алгоритма
о2»—среднеквадратичное значение (мощность) сигнала
v(n)
п — постоянная времени, описывающая скорость
сходимости моды адаптации, соответствующей i'-mv
характеристическому числу
Операторы
£{•} —математическое ожидание {•}
lin[«] — мнимая часть [•]
Ref'J —действительная часть [•]
"^"[•J —знак [•]
trf»] —след матрицы [•]
z—оператор сдвига
г ' —задержка единичной выборки
\п — оператор градиента, выраженный через вектор Н
2 — оператор суммирования
П —оператор умножения
Матрицы
Если в тексте не оговорено иное обозначение, то все векторы
обозначают вектор-столбцы. Процедура транспонирования
матриц обозначена верхним индексом Т; следовательно,
ХТ=[*|Л-2Л'3 ... Хп]
Н (л) —вектор значений весовых коэффициентов фильтра
КИХ-тнпа
Hopt—вектор весовых коэффициентов фильтра для опги-
___ мального (винеровского) устройства оценки
Н(я) —отклонение вектора Н(н) от H0pt
К(л) —вектор усилении Калмана
Р — матрица взаимной корреляции
R — автокорреляционная матрица
S(n),X(n)—векторы размерности A'Xl входных сигналов
фильтра
6 (я) —вектор значений весовых коэффициентов фильтра
БИХ-типа
L — диагональная матрица характеристических чисел
Ф — расширенная матрица наблюдаемых параметров,
используемая в алгоритме РНК

ЛИТЕРАТУРА
I. Admits P. F. Speech-Bainl Daia Modems. Elcilniuicf and Power. Vol. 26,
Ni 4. pp 733—736, September 1980.
2 AditinS V В., Kuhn J. P. and \X'l\\/tut\d IV. P. Currelatur Compensation
Requirements ior Passive Time Dcla\ Estimation with Moving Source or
Receiver*, IEEE trans, Vol. ASSP-28. No 2, pp I5S- I(58, April 1980.
3 Adams P. F., Glen P. J. und Wool house S. L'clin Cancellation Applii'ii I o
W"al2 Digital Transmission in the Local Neiwoik, 2nd International
Conference on Telecommunication Transmission— Into the Digital Era, 1EE
Conference Publication 193, pp. 201—204, 1981
4. Adams P. F.. Hurbridge J. R. and MatMillun R. H. A MOS Integrated
Circuit for Digital Filtering and Level Detect inn, IEEE Journal of Solid
State Circuits, Vol. SC-16, No. 3, pp 183—190. .June 1981
5. Adams P. F. and Elliott S. R. Field Test Result of a 9600 Bil/S Echo
Canceling Duplex Modem, British Telecom Technology Executive Memorandum
R9/0I2/83. 1983.
b Adams P. F., Cox S. A. and Glen P. J. Long reach duplex transmission
systems for 1DSN access, British telecom teihnnlogv journal. Vol. 2, Nu. 2.
pp 35-42, April 1984
7. Agazzi O., Hodges D. A. uud MesserschmUi D. G. Large-Scale Integration
of Hvbrid Method Digital Subscriber Loops. IEEE Trans. Vol. CO.M-30,
No. 9", pp. 2095—2108. September 1982.
8. Agazzi O., MesserschmUi D. G. and Hodges D. A. Non-linear Echo
Cancellation of Data Signals, IEEE trail*., Vol. COM-30, No. 1, pp. 2421- 2433.
November 1982.
9. Ahmed H. M. VLSI Architectures for Real-time Signal Processing, Ph. D.
dissertation, Department of Electrical Engineering, Stanford University,
Stanford, CA, 1981.
Ю. Ahmed H. M., Morj M, Lee D. T. and Ang P. H. A Ladder Filter Speedi
Analysis Chip Set Utilizing Co-ordinate Rotation Arithmetic, Proceedings
IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS), Vol. 3,
pp. 737—741, April 1981.
11. Ahmed H. M., Morf M., Lee D. T. and Ang P. H. A VLSI Speech Analysis
Chip Set Based or Square Root Normalized Ladder Forms, Proceedings
IEEE International Conference Acoustics, Speech and Signal Processing
(ICASSP), pp. 648-653, 1981.
12. Ahmed H. M., Delosme J. M. anil Morf M. Highly Concurrent Computing
Structures for Digital Signal Processing and Matrix Arithmetic, IEEE
Computer Magazine, pp. 65—82, February 1982.
13 Amelia G. F., Tompsett M. F. and Smith G. E. Experimental Verification oi
the Charged-Coupled Device Concept, Bell Svstem Technical Journal, Vol. 49,
No. 4, pp. 593—600, April 1970.
14. Amitay N. and Greenstein L. J. Multipath Outage Performance of Digital
Radio Receivers Using Finite-tap Adaptive Equalizers, IEEE trans, Vol
COM-32, No. 5, pp. 597—608, May 1984.
15. Anderson B. D O. A Simplified Viewpoint of Hyperstabilitv, IEEE Trans.,
Vol. AC-13, No. 3, pp. 292—294, June 1968.
16. Anderson C. W., Barber S. G. and Patel R. N. The Effect of Selective
Fading on Digital Radio, IEEE trans.. Vol. COM-27, No. 12, pp. 1870—
1875. December 1979.
24

J64
Литература
17. Applebuum S. P. Adaptive Arrays. IEEE trans., Vol. AP-24, No. 5, pp. 585
598, September 1976.
18. Arndt H.. Cuddy D, and Egan E. Canceling Noise in Aviator's Ears. Tele*i->,
p. 265, June 1978.
19. Assefi T. Stochastii Prnecs*e< and Estimation Tlieorv with Applications
Wiley, New York, 1979
20. Bailey W. H., Buss D. D.. Hite I R. and Whatley M. W. Radar Video
Processing Using the Chirp-Z Transform Proceedings 2-nd International
Conference on CCDs, CCD-75, Sao Diego, СЛ, pp. 283—290, 1975.
21. Bar ndorj-Nielsen O. and Schou G. On the Parainctization of Autoregrcssivi
Models hv Partial Autocorrelation Journal of Multivariate Analysis. Vol 3.
pp. 408—419, 1973.
22. Barton P. Direction Finding Using Adaptive Null Tracker. Proceedings llili.
Vol 130, Pts. F and H, No 1. pp. 77-83, February 1983.
23. Beauchamp K. G. Walsh Functions and Thtir Applications. Aiadeinie Picks.
London, 1975.
24. Beck M. S. Correlators in Instrumentation: Crosscorrelation Flow Mmm
rement. Journal of Physics, Pi. E, Vol. 14, pp. 7—19, January 1!)8I.
25. Beljiore С A. and Park J. H Decision Feedback Equalization. Proceedings
IEEE, Vol. 67, No. 8, pp. 1143 115Й, August 1979.
2b. Bellanger M. C. and Duguel J. 1. TDM-FDM Transmulliplc.ver: Digital
Polyphase and FFT. IEEE trans.. Vol. COM-22, No 9. pp. 1194 I2l)t
September 1974.
27 Bershad \. J. and Feintucl\ P. L. Analysis of the Frequency Domain
Adaptive Filler Proceedings IEEE Vol b7 No 12. pp 165K -1659, December
1979.
28. Beynott J. D. E. und Lamb D. R. Charge-Coupled Devices and Their
Applications. McGraw-Hill, London, 1980.
29. Bier man G. J. Factorization .Methods for Discrete Sequential Lsiinialion
Academic Press, New York. 1977
30. Bitmead R. P. and Anderson B. D. V. Adaptivi Frequency Sampling F'illcrs
IEEE irans., Vol CAS-28, No 6, pp. 524 534, June 1981.'
31. Bitzer D. R., Chester D. A.. Ic*n R. and Stein S. A RAKE Sjsteiu fur Гш
pospherie Scatter. IEEE trans.. Vol COM-14, No. 6, pp. 499-500, Angiisi
1966.
32. Blankenship P. L. A Review of Narrowband Speech Processing Technique»
International Specialist Seminar on Case Studies in Advanced Signal
Processing. 1EE Conference Publication 180, pp. 108—118. September 1979
33. Blum J. Multidimensional Stochastic Approximation Methods Annals oi
Mathematical Statistics. Vol 25, pp. 737-766, 1954.
34. Bode H. W. and Shannon C. E. A Simplified Derivation of Linear Lra*i
Square Smoothing and Prediction Theory. Proceedings IRE, Vol. 38, No. 4.
pp. 417-425. April 1950.
35 Bogusch R. L.. Guigliano F. W. and Knepp D. L. Frequency-Selective
Scintillation Effects and Decision Feedback Equalization in High Data Rati
Satellite Links. Proceedings IEEE, Vol. 71, No. 6, pp. 754—767, June
1983.
36. Boulter R. A. A 60 kbit/s Data Modem for Use over Physical Pairs. Pro-
ceedings IEEE International Seminar on Digital Communications, Zurich,
pp. H3(l)—H3(6), 1974.
37 Bowers J. E., Kino G. S., Benar D. and Oluisen H. Adaptive Dcconvolution
Using a SAW Storage Correlator. IEEE trans., Vol. MTT-29, No 5.
pp. 491—498, May 1981.
38. Boyle W. S, and Smith G. E. Charge-Coupled Semiconductor Devices, lie 11
System Technical Journal, Vol. 49, No. 4, pp. 587—593, April 1970.
39. Bozic S. M. Digital and Kalinan Filtering Edward Arnold, London, I'J79

,'1итература
36Г,
40. Brucewell R. Л'. The Fourier Transform and Its Application. McGraw-Hill,
New York. 1965.
41. Brayer K. Data Communications via Fading Channels. IEEE Press reprinl
volume, New York, 1975.
42. Brigham E. O. The Fast Fourier Transform. Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, NJ, 1974.
43. Brownlie J. D., Jackets A. E., Gunby D. M. and Trouse D. R. Designed
Integrated Circuits for Data Modems. 1EE Conference on the Impact of
High Speed and VLSI Technology on Communications Systems. 1EE
Conference Publication 230, pp. 31—35. 1983.
44. Burg J. P. Maximum Entropy Spectral Analysis. 37-th Annual International
Meeting. Socitlv of E\ploratorv Geophysicists, Oklahoma Citv, OK,
October 31, 1967
45. Burg J. P. Maximum Entropy Spectrum Analysis. Ph. D. dissertation, De-
partmeni of Geophysics, Stanford University, Stanford, CA, 1975.
46 Butler P. and Cuntoni A. Non-Interactive Automatic Equalization. IEEE
trans., Vol COM-23, No 6, pp. 621-623, June 1975.
47. Capon J.. Greenfield R. J. and Kolker R. J. Multidimensional Maxiniuin-
Likelilioud Processing of a Large Aperture Seismic Array. Proceedings
IEEE, Vol 55, No 2, pp. 192-211. February 1967.
48. Capon J. High-Resolution Frequency-Wave Number Spectrum Analysis.
Proceedings IEEE, Vol. 57, No. 8, pp. 1408—1418, August 1969.
49. Cerutl R. and Pira F. Application of Echo Canceling Techniques lo Audio-
confer-.neing. CSELT Rapporti Technici, Vol. 10, No. 3, pp. 167 -172,
June 1982
50. Chamberlain J. Л'., Clayton F. M. and Collins P. V. Reduced Bandwidth
Quaternary Phase-Shift-Keyed (RBQPSK) — An Evolutionary Approach to
Bandwidth Efficiency Digital Microwave Transmission. Proceedings
International Seminar on Digital Communications, Zurich, Paper A3, 1980.
51. Chang R. U". A New Equalizer Structure for Fast Start-Up Digital
Communications. Bell System Technical Journal, Vol. 50, No. 6, pp. 1969—2014,
July/August 1971.
52. Chapman R. C. (ed.). Digital Signal Processor, Special Issue. Bell system
Technical Journal, Vol. 60, No. 7, Part 2, September 1981.
53. Childers D. G. Modern Spectrum Analysis. IEEE Press, New York, 1978.
54. Chu P. L. and Messerschmitt D. G. Zero Sensivity Analysis of the Digital
Lattice Filter. Proceedings IEEE International Conference Acoustics, Speech
and Siglan Processing (ICASSP), pp. 89—93, April 1980.
55. Chu P. L. and Messerschmitt D. G. Zero Sensivity Properties of Hie
Digital Lattice Filler. IEEE trans.. Vol. ASSP-31, No. 3, pp. 685—706, June
1983.
56. Claasen T. A. und Meckleubrauker IV. F. G. Comparison of the Convergence
of two Algorithms for Adaptive FIR Digital Filters. IEEE trans., Vol
CAS-28, No. 6, pp. 510—518, June 1981.
57. Clark G. A., Mitru S. К und Parker S. R. Block Implementation of
Adaptive Digital Filters. IEEE trans., Vol. CAS-28, No. 6, pp. 584—592. June
1981.
58. Clark G. A.. Purker S. R. and Mitru S. K. A Unified Approach to Time- and
Frequency-Domain Realization of FIR Adaptive Digital Filters. IEEE trans..
Vol. ASSP-31, No. 5, pp. 1073—1083, October 1983.
59. Coker M. Private Communication with E. R. Ferrara.
60. Cootey J. №. et ul The Fast. Fourier Transform Algorithm: Programming
Considerations in the Calculation of Sine, Cosine and Laplace Transforms.
Journal of Sound and Vibration, Vol. 12, pp. 315—337, July 1970. Al>o
pp. 271—293 in L. R. Rabiner and C. M. Rader (eds.). Digital Signal
Processing, IEEE Press, New York, 1972.
61. Copeland G. C. Transmultiplexers Used as Adaptive Frequency Sampling

т>
Литература
Filler*. Prueecdings IEEE International Conference Acoustics, Speech and
Signal Processing (1CASSP), pp. 319—322, May 1982.
62. Corl D. A CTD Adaptive Inverse Filter. Electronics Letters, Vol. 14. No. A.
pp. iiO—62, February 2, 1978.
63 Cowan С F. N.. Mavor J. and Arthur J. II". Implementation of a 64-Poini
Adaptive Filter Using an Analogue CCD Programmable Filter. Electronics
Letiers. Vol. 14. No. 17, pp. 568—569, August 17, 1978.
64 Cowan C. F. N., Mavor J., Arthur J. W. unci Denyer P. B. An Evaluation
uf Analogue and Digital Adaptive Filter Realizations. International
Specialist Seminar on Case Studies in Advanced Signal Processing. 1EE
Conference Proceedings 180, pp. 178 -183, September 1979.
65. Cowan С F. N. and Mavor J. Miniature CCD-Based Analogue Adaptive
Filters. Proceedings IEEE International Conference Acoustics, Speech and
Signal Processing (1CASSP), Denver. CO, pp. 474—478, 1980.
66. Cowan С F. N.. Arthur J. №'., Mavor J. and Danyer P. B. CCD-Based
Adaptive Filters: Realization and Analysis. IEEE trans., Vol ASSP-29. No 2.
pp. 220—229, April 1981.
67 Cowan C. F. .V. and Mavor J. New Digital Adaptive Filter lmplcincniai oi
Using Distribuied-Arithnietic Techniques Proceedings 1EE. Vol. 128, Pt Г
No. 4, pp. 225—230, August 1981.
68. Cowan С F. N.. Smith S. G. and Elliott J. H. A Digital Adaptive Filter
Using a Memorv-Accumulator Architecture: Theory and Realization IEEE
trans.. Vol. ASSP-31, No 3, pp. 541 -549, June 1983
69. Cowan С F. N. and Adams P. F. Non-Linear System Modeling: Concepi
and Application. Proceedings IEEE International Conference Acoustics.
Speech and Signal Processing (1CASSP), Paper 45.8, 1984.
70 David R. A. MR Adaptive Algorithms Based on Gradient Search Techniques
Ph. D. dissertation, Department of Electrical Engineering, Stanford
University, Stanford, CA. August 1981
7i. Demytko N. and Mackechnie L. K. A High Speed Digital Adaptive Echo
Canceler. Australian Telecommunication Review, Vol. 7, No. I, pp. 20—28,
1973.
72 Dentino M., McCool J. and Widrow B. Adaptive Filtering in the Frequence
Domain. Proceedings IEEE, Vol. 66, No 12, pp. 1658—1659, December
1978.
73. Denyer P. B. and Mavor J. Design of CCD Delay Lines with Floating Gate
Taps. 1EE Journal of Solid-State and Electron Devices, Vol. 1, No. 3,
pp. 121 —129, July 1977.
74. Denyer P, В., Mavor J. and Arthur J. W. Miniature Programmable
Transversal Filter Using CCD/MOS Technology. Proceedings IEEE, Vol. 67.
No. 1, pp. 42—50. January 1979.
75. Denyer P. B. and Mavor J. 256-Point Programmable Transversal Filter.
Proceedings 5-th International Conference on CCD-79, Centre for Industrial
Consultancy and Liaison, University of Edinburgh, pp 253—254, 1979
76. Denyer P. В.. Renshow D. and Bergniann N. A Silicon Compiler for VLSI
Signal Processors. Proceedings European Solid Slate Circuits Conference
(ESSCIRC). pp. 215—218, 1982.
77. Denyer P. В., Cowan C. F. N., Mavor J., Clayton C. B. und Pennock J. L.
Monolithic Adaptive Filter. IEEE Journal of Solid Slate Circuits, Vol. SC-18.
No. 3, pp. 291—296, June 1983.
78. Derusso P. M.. Ray R. J. and Close С. М. State Variables for Engineers.
Wiley, New York, 1965.
79. Dickinson B. W. Estimations of Partial Correlation Matrices Using Cholesk\
Decomposition. IEEE trans.. Vol. AC-24. No. 2, pp. 302 305, April 1979. "
80. Dickinson B. and Turner J. Reflection Coefficient Estimation Using Choleskv
Decomposition. IEEE trans.. Vol. ASSP-27, No. 2, pp. 146—149, April
1979.

Литература
367
81. Dinn Л'. F. Digital Radio: Its Time Has Come. IEEE Communication*
Society Magazine, Vol. 18, No. 6, pp. 6—12, November 1980.
82. Dorf R. С Modern Control Systems. Addison-Wesley, Reading, MA, 1980.
83. Dudek M. T. and Robinson J. M. A Decision Feedback Equalizer and Novel
Carrier Recovery Circuit for Digital Radio Relay System Operating at up
lo 5 bit/Hz. Proceedings IEEE International Communications Conference
(ICC). Paper 41.5, 1980.
84. Dudek M. T. and Robinson J. M. A New Adaptive Circuil for Spectrally
Efficient Digital Microwave-Radio-Relav Systems Electronics and Power.
Vol. 27, No. 5. pp. 397—400, May 1981. '
85. Duerdolh IV". T. Development of lntegraied Digital Telecommunications
Networks. Proceedings 1EE. Vol. 121, No. 6, pp. 450—456, June 1974.
86. Duffy F. P. and Thatcher T. W. Analog Transmission Performance on the
Switched Telecommunications Network. Bell System Technical Journal.
Vol. 50, No. 4, pp. 1311 — 1347, April 1971.
87. Durrani T. S. (ed.) Spectrum Analysis, Special Issue, Proceedings 1EE,
Vol. 130, Pi. F, No 3, pp 193-287. April 1983.
88. Dullweiter D. L. A Twelve Channel Digital Echo Canceler IEEE trans..
Vol. CO.M-26, No. 5. pp. 647-«53. Mav 1978.
89. Duftweiler D. L. and Chen У. S. A Single-Chip VLSI Echo Canceler. Bell
System Technical Journal, Vol. 59. No. 2, pp. 149—160, February 1980.
M0. Duttweiler D. L. Adaptive Filter Performance wilh Nonlinearities in the
Correlation Multiplier. IEEE trans.. Vol ASSP-30, No. 4. pp. 578—586,
August 1982.
91. Ehrenbard С A. and Tompsett M. F. A Baud-Rate Line Interface for Two-
Wire High-Speed Digital Subscriber Loops. Proceedings IEEE Globecom
Conference (formerly National Telecommunications Conference), pp. 931 —
935, 1982.
92. Falconer D. D. Jointly Adaptive Equalization and Carrier Recovery in Two-
Diniensional Digital Communication Svstcms. Bell System Technical
Journal. Vol. 55, No. 3. pp. 317—334, March 1976.
93. Fahoner D. D. Application of Passband Decision Feedback Equalization in
Two-Dimensional Data Communication Systems. IEEE trans.. Vol. COM-24,
No. 10, pp. 1159—1166, October 1976.
!M Falconer D. D. and Ljung L. Application of Fast Kalnian Estimation to
Adaptive Equalization. IEEE trans.. Vol. COM-26, No. 10, pp. 1439—1446,
October 1978.
95. Falconer D. D. and Mueller К. Н. Adaptive Echo Cancellation/AGC
Structures for two-Wire, Full-Duplex Data Transmission. Bell System Technical
Journal, Vol 58, No. 7, pp. 1593—1616, September 1979.
96. Feintuch P. L. An Adaptive Recursive LMS Filter. Proceedings IEEE,
Vol. 64, No. II, pp. 1622—1624, November 1976.
B7. Ferrara E. R. Fast Implementation of LMS Adaptive Filters. IEEE trans..
Vol. ASS-28, No. 4, pp. 474—475. August 1980.
98. Ferrara E. R. and VC'idrow B. Multichannel Adaptive Filtering for Signal
Enhancement. IEEE trans.. Vol. CAS-28, No. 6, pp. 606—610, June 1981.
99. Flanagan J. L. Speech Analysis Synthesis and Perception. Springer-Verlag,
New York, 1972.
100 Fletcher R. Practical Methods of Optimization. Vol. 1: Unconstrained
Optimization, Wiley, New York, 1980.
101. Foils H. C. (ed.) McGraw-Hill's Compilation of Data Communications
Standards. 2-nd ed., McGraw-Hill, New York, 1982.
102. Forney G. D., Jr. Maximum-Likelihood Sequence Estimation of Digital
Sequence's in the Presence of Intersvinbol Interference. IEEE trans..
Vol. IT-18, No. 3, pp. 363—377. May 1972.
103. Foschini G. J. and Salz J. Digital Communications over Fading Radio.

J08
Литература
Channels. Bell System Technical Journal, Vol. 62, No. 2, Pt I, pp. 429—
456. February 1983.
104. Franz G. A. and Wiggins R. H. Design Case Historv: Speak and Spell
Learns to Talk. IEEE spectrum. Vol. 19, No. 2, pp. 45—49. February 1982.
ID5. Friediander R. S\stem Identification Techniques For Adaptive Signal Pro-
ceMing. Circuits Systems Signal Processing, Vol. 1, NIo. I, pp. 3—41,
1982.
IDti Friediander B. and Morj M. Least-Squares Algorithms for Adaptive Linear-
Phase Filtering. IEEE trans.. Vol. ASSP-30, Nu. 3, pp. 381—390, June
1982.
11)7. Friediander B. Lallice Filters for Adaptive Processings. Proceedings IEEE,
Vol. 70, No. 8, pp. 829—867, August 1982.
108. Friediander B. Latlice Methods for Spectral Estimation Proceedings IEEE.
Vol. 70, No. 9. pp 990—1017, September 1982.
109. Frost O. L. III. An Algorithm for Linearly Constrained Adaptive Arrav
Processing. Proceedings IEEE. Vol. 60, No. 8. pp. 926—935, August 1972.
110 Gabor D., \Xillu/ U". R L. and Woodcoik R. A Universal Nonlinear Filter,
Predictor and Stimulator Which Optimizes Itself bv a Learning Process.
Proceedings IEE. Vol. 108. Pt. B, pp. 422—438, 1961. '
III. Gabriel U". F. Adaptive Arrays—An Introduction. Proceedings IEEE,
Vol. 64, No. 2, pp 239—272, February 1976.
112 Gabriel W. F. (ed.) Adaptive Antennas, Special Issue. IEEE trans..
Vol. AP-24, No. 5, Seplember 1976.
113 Gersho A. and Lini T. L. Adaptive Cancellation of lniersynihol Interference
for Data Transmission. Bell Svstem Technical Journal, Vol. 60, No. 11,
pp. 1997—2021. November 1981.'
114. Gibson C. J. and Hut/kin S. Learning Characteristics of Adaptive Lattice
Filtering Algorithms.' IEEE trans. Vol. ASSP-28, No. 6, pp. 681—691,
December 1980. ,
115. Glllin R. D.. Mazo J. E. and Tutilor M. G. On the Design of Gradienl
Algorithms for Digitallv Implemented Adjusimeni Filters. IEEE trans.,
Vol. CT-20, No 2, pp. 125—136. March 1973.
I lb. Gitlin R. D. and Magee F. R. Self-Orthogonalizing Adaptive Equalizer
Algorithms. IEEE trans, Vol. COM-25, No. 7. pp. 606—672. July 1977.
117. Gitlin R. D. and Weliutteln S. B. The Effects of Large Interference on the
Tracking Capability of Digitallv Implemented Echo Caticelers IEEE trans.,
Vol. COM-26, No 6, pp. 833—839, June 1978
118. Gitlin R. D. and Weiustein S. B. On the Required Tap Weigh I Precision for
Digitally Implemented Adaptive Equalizers. Bell Svstem Technical Journal,
Vol. 58, No. 2, pp. 301—321. February 1979.
119. Gitlin R. D. and Wuinstein S. B. Fractionally-Spaced Equalization:
An Improved Digital Transversal Equalizer. Bell Svstem Technical Journal,
Vol. 60, No. 2. pp. 275—296, February 1981.
120. Glaser E. M. Signal Detection bv Adaptive Filters. IEEE trans., Vol. IT-7,
No. 2, pp. 87—98, April 1961.
121. Glen P. J. Simple Low-Cost Correlator and Multiplier Circuits. Electronics
Letters, Vol. 18, No. 21, pp. 914-915, Octoher 14, 1982.
122. Godurd D. Channel Equalization Using a Kalinan Filter for Fast Data
Transmission. IBM Journal of Research and Development, Vol. 18, No. 3,
pp. 267—273, May 1974.
123. Godfrey K. R. and Deoenish M. An Experimental Investigation of
Continuous Gas Chromatography Using Pseudo Random Binary Sequences.
Measurement and Control, Vol. 2, p. 228, 1968
124. Gold B. and Rueder C. /VI. Digital Processing of Signals, McGraw-Hill,
New York, 1969.
125. Goodwin G. C. and Sin K. S. Adaptive Filtering Prediction and Control,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, \'J, 1984.

Литература
369
126. Copinalh В. unci Sondhi M. M. Determination of the Shape of the II an
Vocal Tract from Acoustical Measurements. Bell System Technical Journal,
Vol. 49, No. 6, pp. 1195- 1214, July-August 1970.
127 Gopituifh B. and Sondhi .W. M. Inversion of Ihe Telegraph Equation and the
Synthesis of Non-uniform Lines. Proceedings IEEE, Vol. 59, No. 3. pp. 383
392, March 1971.
128 Gram P. M. and Kino G. S. Adaptive Filler Based in) SAW .Monolithic
Storage Correlators. Electronics Letters, Vol 14, No 7, pp. 5ri2 5fi4,
August 17, 1978.
124 Grant P M and Мог git I A. Frequency Domain Adaptive Filter Hascd on
SAW Chirp Transform Processors. Proceedings IEEE Ultrasonics
Symposium, pp. 186—189, 1982.
131) Gruti R. M. On ilit» Asymptotic Eigenvalue Distribution of Toeplit/. Matrices
IEEE trans.. Vol. IT-18, No. 6. pp. 725- 730, November 1972
131 Graii A. H. Jr. and Market J D. Digital Lattice anil Ladder Filter Sviilhcsi*
IEEE trans.. Vol. AU-21. No. 6, pp. 491 500, 1973
132 Grati A. H Jr. and Murkel J D A Normalized Digital Fillei Stnicliirr
IEEE trans., Vol. ASSP-23. No 3. pp 268- 277, 1975
133 Greminder 0 uud Szego G. Toeplilz Forms and Their Applications. Uiuver
sily of California Press, Berkeley. СЛ, 1958.
134. Griffiths L. J A Continuously Adaptive Filter Impleiiieiiled as a Lattice
Structure. Proceedings IEEE International Conference Aionstics, Speech
and Signal Processing (1CASSP), pp 683—686, 1977
135, Griffiths L. J. An Adaptive Lattice Structure for Noise-Canceling Applied
lions. Proceedings IEEE International Conference Acoustics, Speech and
Signal Processing (1CASSP). pp. «7-90, April 1978
131) Griffiths L. J. and Medattgh R. S. Convergence Properties of an Adaptive
Noise Canceling Lattice Structure Proceedings 1978 IEEE Conference on
Decision ai.d Control, pp 1357 1361, January 12, 1979
137 Griffiths L. J. Adaptive Structures of Multiple-Input Noisi Canceling
Applications. Proceedings IEEE International Conference Annuities. Speech ami
Signal Processing (1CASSP), pp 925—928, April 1979
138 Gtiidotix L. mid l.e Riiltc О Digital Signal Processing in an LSI 4.8 Khit/s
Modem Proceedings IEEE International Conference Acoustics, Speech and
Signal Processing (1CASSP), pp 1777 1780,1982.
139 Hamming R \Y'. Digital Filters 2nd etl , Prciiticc-llall. Englewood Cliffs.
NJ, 1983.
140 Hartmann P. and Bt/nam B. Adaptive Equalization for Digital Microwave
Radio Systems Proceedings IEEE International Conference nn Conuunni
calions (ICC), paper 8.5, 1980
141. Hut/kin S. Nonlinear Methods in Spectrum Analysis Springcr-Verlag West
Berlin, 1979.
142. Hat/kin S. and Cadzow J A. (ed) Spectral Estimation, Special Issue,
Proceedings IEEE. Vol. 70. No. 9, September 1982.
143 Httz L. and Anderson B. D O. Discrete Positive Real Functions and Their
Application to System Stability. Proceedings 1EE, Vol 116, pp. 153—155,
January 1969.
144 ttudgkiss W S. and h'nlte L. W. Covariancc between Fourier Coefficients
Representing llie Time Waveforms Observed from Array of Sensors. Journal
of the Acoustical Society of America. Vol 59, pp. 582- 590, March 1976.
145. Halt N. and Stacflotlen S A New Digital Echo Caucelar for Two-Wire
Subscriber Linis. IEEE trans.. Vol. COM-29. No 11, pp. 1573—1581,
November 1981.
140 lloiiiii M. L. and Messersclituitt D. G. Convergence Properties of an
Adaptive Digital Lattice Filter. IEEE trans., Vol. ASSP-29. pp. 642—653, June
1981
I 17 Ifonig M. L. Convergence Models for Lalticc Joint Process Estimators and

470
Литературы
Least Square* Algorithms. IEEE trans.. Vol. ASSP-31. No. 2. pp. 415-425,
\pril 198,4.
I4S lloppili С E. Measurement of Echo Palh Impulse Response at Wood Street
Exchange Using a Pseudo-Noise Test Signal British Post Office Research
Department Report 715, 1978.
149 lluppitt С [i. A Prototype Echo Cancellation ior Use in a Lonrispcaking
Telephone British Telecom Technology Executive Memorandum R13/007/82,
1482
151) Нота О A Echo Cauceler with Adaptive Transversal Filler Utilizing
Pseudo-Logarithmic Coding COMSAT Technical Review. Vol 7, No. 2,
pp 393—428. Fall 1977.
151 Hurna O. A. Cancellation of Acoustic Feedback. COMSAT Technical Review.
Vol 12. No 2. pp. 319—333, Fall 1982.
152 Horowitz L. L and Senile K. D. Performance Advantage of Complex L.MS
for Controlling Narrow-Band Adaptive Arravs IEEE hails. Vol. ASSP-29.
No 3, pp 722-736. June 1981
153 Horoulh S. Lattice Form Adaptive Recursive Digital Filters Algorithm!!
and Applications Proceedings IEEE International Symposium on Circuits
and System* (1SCAS), pp 128-133, 1980
154 Howelh P F. If Sidelobe Canceler US Pali-nl 3202990, August 24.
1965
155 Huihim J. E. Adaptive Array Principles Piter Perigninis, London, 1981
15b Itukuru F. und Suilo S . Analysis Synthesis Telephony Based upon Ihc
Maximum Likelihood Metliod, in Y Konasi (ed ) Report 6 ill International
Congress \coustics, Tokyo. Report C-5-5, August 21 2», I!Ki8.
157 Ihikuru F. und Saita S A Statistical .Method for Estimation of Speech
Spectral Density and Forinant Frequencies Electronic* and Communications
in Japan, Vol 53-Л, No. I, pp. 36—43. 1970
158 J ark M A., Grant P. M. und Collins 1 H. The Theory Design and
Applications of Surface Acoustic Wave Fourier Transform Processors Proceedings
IEEE. Vol b8. No. 4. pp 450-468, April 1980
154 lukowatz C. V., Shuei/ R. L. and K'htte G. M. Adaptive Waveform
Recognition Proceedings 4-th London Symposium on Information Theory, Butter-
worth, London, pp. 317—326, September I960
IbO Jenkins II''. K. und Leon В J. The Use of Residue Number Systems in the
Design of Finite Impulse Response Digital Filters IEEE trans , Vol CAS-24,
No 4, pp. 191—200, April 1977.
Ifll Jenkins W. K. Recent Advances in Residue Number Technique* for
Recursive Digital Filtering. IEEE trans., Vol ASSP-27, No I. pp 19—30,
February 1979
162 Johnson C. R Jr. und Lariiuore M. G. Comments on and Additions to an
Adaptive Recursive LMS Filter. Proceedings IEEE, Vol. 05. No. 9. pp. 1399
1401, September 1977
I6.'i Johnson C. R. Jr.. Treichler J R and Lariiuore M. G. Remarks on the Use
of SIIARF as an Output Error Identifier Proceedings 17th IEEE Conference
on Decision and Control. San Diego, СЛ, pp 1094- 1095. January 1979
164 Johnson C. R.. Jr. A Convergence Proof for a Hvperstalile Adaptive
Recursive Filter. IEEE Irans, Vol 1T-25, No 6. pp 745-749. November 1979
165. Johnson C. R. Jr., Lurimore M. G.. Treifiiler J. R. und Anderson li. D. O.
SIIARF Convergence Properties IEEE trans., Vol ASSP-29. No. 3,
pp 659—670, June 1981.
100 Johnson С R., Jr. Adaptive 11R Filtering: Current Results and Open Issues.
IEEE trans., 1984
167 Johnston D. H. and De Grauf S. R. Improving the Resolution of Bearing
in Passive Sonar Arravs by Eigenvalue Analysis. IEEE trans.. Vol. ASSP-30,
No 4, pp 638—647, April 1982.
Ifi8. Johnston D. H. The Application of Spectral Estimation Methods to Bearing

Литература
371
Estimation Problem*. Proceedings IEEE, Vul. 70, No. 9, pp. 1018 I02H,
September 1482.
Ib9 1 allien G A. Residue Number Scaling and Other Operations Using ROVl
Arrays. IEEE trans., Vol. C-27, No. 4, pp. :125 ЗЗЙ. April 1978.
170. Kailalh T. Lectures i)ti Wiener aiut Kalinan Filtering. Springcr-Vcrlag.
New York, 1981.
1"| Kailalh T. Tiinv-Variant and Time-Invariant Lattice Filter* for Nniifta-
tionary PrucektM. Mathematical Took anil Model» for Control Sysicin»
Analvei* and Signal Processing. CNRS Editions Vol 2, Paris, pp 117
464, 1982
172. Kalltitun H. E. Transversal Tillers. Proceedings IKE. Vol. 28. No 7,
pp 302—310, Julv 1940.
173. Kaittmti R. E. A New \pproach to Lunar Filtering and Prediction Problem*.
Trans., ASME, Journal of Basic Engineering, pp 35—45, Mareh I960.
174. Kapur N.. Maoor J. and Jaik M A Discrete Cosine Transform Processor
Using a CCD Prograiiimable Transversal Filler Electronics Letters, Vol. lh.
No. 4, pp. 139—141, February 14, 1980
175. Kai/ S. M. und Mar pie S. L. Spectrum Analysis — A Modern Pcr*pcrtivc
Proceedings IEEE, Vol C9, Nn 11, pp 1380-1419, November 1981.
I7lj Kelly J. L. Jr. and Lachttaum Q C. Speech Synthesis, Proceedings Slock
holm Speech Coiiiinunications Seminar, Paper G42. pp. I—4, Stockholm,
Sweden. September I9G2.
177 Klein J. D and Dickinson B. IV Л Normalized Ladder Form of the Rr>idnal
Encrgv Radio Algorithm for PARCOR Esiimation via Projections. IEKR
trans,'Vol. AC-28, No 10, pp 943—952. October 1983.
178 Kretschnwr F. F., Jr. and Lewis B. L. A Digital Open Loop Adaptive
Processor IEEE trans. Vol. AES-14, No 1, pp. 165—171, January 197ft
179 Кипи H T und Leisersan С E. Syttolic Arrays for VLSI, in С A Mead
and L A Convvav, Introduction to VLSI Svsttems, Addison-YVeslcv, Rending,
MA, 1980.
180 Kunji S. Y. und Ha V H. A Highly Conciirrent Algorithm aild Pipelined
Architeelure for Solving Toeplitz Systpnis. IEEE trans., Vol ASSP-31
No 1, pp. 66 75, February 1983,
181 Landau I. D. A Survey of .Model Reference Adaptive Techniques—Theory
and Applications. Automatica. Vol. 10, pp. 353—379, July 1974.
182. Lunduu I. D. Unbiased Recursive Identification Using Modil Reference
Adaptive Techniques IEEE trans., Vol. AC-21, No. 2, pp 194—202, April
1976.
183 Lunduu I. D. Elimination uf the Real Posilivity Condition in Ihc Desisjti nf
Parallel MR AS IEEE trans., Vol. AC-23, No. 6, pp 1015—1020. December
1978.
184. Landau I D. Adaptive Control — The Model Reference Approach, Maiivl
Dekker, New York, 1979.
185 Larinwre M. G., Treiihtcr J R und Johnson C. R. SHARP: An Algorithm
for Adapting 11R Digital Filters IEEE trans., Vol. ASSP-28, No 4.
pp 428-440, Augusl 1980.
1Ы). Luwrence R. E. und Kaufuwn H. The Kalman Filter for the Equalization oi
a Digital Communications Channel. IEEE trans. Vol. COM-19, No. 12.
pp. 1137—1141, December 1971.
187. Luwson C. L. and Hanson R. J. Solving Leasl-Squares Problems. Prentice-
Hall, Englcwood Cliffs. NJ, 1974.
I8K Lee D. T. L Canonical Ladder Form Realizations and Fast Esiimation
Algorithms. Ph. D. dissertation, Department of Electrical Engineering, Stanford
University. Stanford, CA, August 1980
189. Lee D. T. L. and Morf /VI. A Novel Innovation Based Approach to Pilch
Detection. Proceedings IEEE International Conference Acoustics, Speech
and Signal Processing HCASSP), pp 40—44. 1980.

372
Литература
190. Lee D. T. L., Alorf M. and Friedlandvr И. Recursive Least Squares Ladder
Estimation Algorithms. IEEE trans.. VdI. ASSP-29, No. 3, pp. 627—G41.
June 1981.
191. Lee D. T. L., Friedlunder B. and Morj M. Recursive Ladder Algorithm* for
ARMA Modeling. IEEE Iran*., Vol AC-27, No 8, pp. 753—764, August
1982.
192. Le Roux J. and Guegucn C. A Fixed Point Computation of Partial Currcla-
liun Coefficients. IEEE trans.. Vol ASSP-25. No. 3, pp. 257—259, June
1977.
193. Ljung L. Analvsis of Recursive Stochastic Algorithms. IEEE trans.. Vol
ЛС-22, No. 4. pp. 551—575, August 1977.
194. Ljung L. Morf M. and Falconer D. Fast Calculation of Gain Matrices for
Recursive Estimation Schemes. International Journal of Control, Vol 27,
No. I, pp. 1—19, January 1978.
195 Ljung L. Convergence of Recursive Estimator* Proceedings 5-th 1FAC
Symposium on Identification and System Estimation, Darmstadt, 1979
196. Ljung L. The ODE Approach tn the Analysis of Adaptive Control
Systems—Possibilities and Limitations. Proceedings IEEE, Joint Automatic-
Control Conference, Paper WA2-C, San Francisco. 1980.
197 Ljung L. Analysis of a General Recursive Prediction Algorithm. Autoinatica,
Vol. 17, No. 1. pp. 89- 99, Januarv 1981.
198 Ljung L. ami Soderairiiin T. Theory and Practice of Recursive
Identification MIT Press, Cainhridge, MA. 1983
199 Linkenft D. A. Shorl-Tiiiie-Serics Spcciral Analysis of Biomedical Data
Proceedings IEE, Vol. 129, Pt. A, No 9, pp. 603-672, December 1982.
200. Lubell P. D. and Rebliun F. D. Suprcstfon nf Co channel Interference wim
Adaptive Cancellation Devices at Cniuiiiuiucalions Satellile Earlh Stations
Proceedings 1EER International Conference on Communications (ICC),
pp. 284—289. June 1977.
201 Lucky R. W. Techniques for Adaptive Equalization uf Digital
Communications Systems Bell System Technical Journal, Vol. 45, No. 2, pp. 255
286, February 1966.
202. Lucky R. U".. Suit J and Welduti £". J. Principles of Data Communications.
McGraw-Hill. New York, 1968.
203. Lucky R. IV. A Survey of the Co liniicalioii Thcim Lilerature: 1968
1973 IEEE trans, Vol IT-19. No 6, pp 725 739. November 1973.
204. Luenberger D. С Introduction to Linear and Nonlinear Programming.
\ddison—Wesley, Reading, MA, 1973.
205 Lyon R. F. A Bit-Serial VLSI Architectural Melhodolng\ for Signal
Processing, in J. P Gra> (ed.). VLSI 81. Academic Press, London. 198'.
206. McClellun J. H. and Ruder C. M Number Thcorv in Digital Signal Procvs
sing, Prentice-Hall. Englcvcood Cliffs. NJ, 1979.
207. MiDvnough K.. Cuudel /".. Slagur S. and Leigh A. Microcomputer will)
32-Bit Arithmetic Does High Precision Number Crunching. Electronic»,
pp. 105—111, February 24. 1982.
208. MuiLetuuin D. ]., Mucor J. and Vuiwuuu G. h Technique for Realizing
Transversal Filters Using Charge-Coupled Devices Proceedings IEE,
Vol. 122. \o 6, pp 615 HI9. June 1975
209. Maileod C. /., Ciapula /." and Jelonek Z. J. Quantization in Non-recursive
Equalizers for Data Transmission Proceeding* IEE, Vol 122, No 10.
pp. 1105-1110, October 1975
210. Maiwald П., Качяег Н. P. and Clog» /■*. An Adaptive Equalizer with
Significantly Reduced Number of Operations. Proceedings IEEE International
Conference Acoustics. Speech and Signal Processing (1CASSP), pp 100—104,
April 1978
2\\. MaUinul J. Lineai Prediction: A Tutorial Review. Proe. IEEE, Vol. 63,
No. 4, pp. 561—580, April 1U75.

.Литература
373
212. Makhuul I. Slahk> and Efficient Lattice Methods for Linear Prediclioii.
IEEE Iran;,.. Vol ASSP-25. \u. 5, pp. 423- 428, Ma> 1977.
213 Mukhnul J. und Vi-fwanathwt R. Adaptive Lattice Methods fur Linear
Prediction. Proceeding IEEE International Conference Acoustics, Speeili
and Signal Processing (ICASSP), pp 83—86, April 1978.
214 Mukhnul J. Л Class of (Ul-Zcro Lattice Digital Filters: Properties anil
Applications. IEEE trans, Vol ASSP-2H. No. 4, pp. 304—314. August
1978
215. Mainour D and Grut, А. И . Jr. Unconstrained Frcqucin-y Domain Adaptive
Filter. IEEE trans.. Vol. ASSP-30. No. 5. pp. 726 734. October 1982
216 Murltel J. D and Gnu/ A H.. Jr On Autocorrelation Equation* as Applied
lo SpeeLh Analysis IEEE trans, Vol MJ-21, No. 2. pp. 99—79, April 197.!
217 Murltei J. D und Gruy A H.. Jr Roundoff Noise Characteristics of a Claw
of Orthogonal Polynomial Structures. IEEE Irani.. Vol ASSP-23, No 5.
pp 473—486, October 1975
218 Murltel J D. und Grat/ A II., Jr. Fixed-Point Implementation Algorithm*
lor a Class of Orthogonal Polynomial Filter -Structures IEEE trans.
Vol ASSP-23, No. 5, pp. 486-494, October 1975.
219 Market J. D. and Gnu/ A N.. Jr. Linear Prediction of Speech. Springer-Ver-
lag New York, 1976.
220 Martinson L. A Programmable Digital Processor for Airborne Radar
Proceedings IEEE International Radar Conference, pp. 186-191, 1975
221 Masenlcn W. K. Adaptive Signal Processing. International Specialist
Seminar on Case Studies in Advanced Signal Processing. IEE Conference
Proceedings 180, pp 168-177. September 1979.
222 Mo.sm'j/ Л'. R., Gram P M. und Muvor J. CCD Adaptive Filter Employing
Parallel Coefficient Updating. Electronics Lclleri, Vnl 15, No 18, pp. 573
574, August 30, 1979
223. Muvor J., Jack M. A., Suxtun D. und Gram P M. Design and Performance
of a Programmable Real-Time Charge-Coupled Device Recirculating Dcla\
Lint Correlator IEE Journal on Electronic Circuits and Systems, Vol 1,
No 4, pp. 237-143, Jul\ 1977.
224 Mavur J. [rd.) Proceedings 5-th International Conference on Charge-
Coupled Devices, CCD-79 Centre for Industrial Consultancy and Liaison,
University of Edinburgh, September 1979.
225 Mazo J. /;. Analysis of Decision Diretted Convergence. Bell System
Technical Journal, Vol. 59, No 10, pp. 1858 1876. December 1980
226 Meud K. O. und Ruder № H. A PARCOR Lattice Predictor Having No
Divisions. Government Communications Headquarters (GCHQ) Mourn
M/2454/I0I9/I/23, Cheltenham. Glouslcrshire, U. K.March 1977.
227 Mendi-l J M Discrete Techniques of Parameter Estimation. Vlarcel Dckker,
New York, 1973.
228 Mitrtt D. und Sundhi M. M. Adaptive Filtering wilh Non-ideal Multipliers
Applications to Echo Cancellation Proceedings IEEE International Confe
rence on Communications (ICC), pp. 30.11—30.15, 1975.
229 Mifra S. K.. Kumut R. S and Huey D. C. Cascaded Lattice Realization of
Digital Filters. Circuit Theory and Applications, Vol. 5, pp. 3—11, 1977.
230 Monsen P. Adaptive Equalization of the Slow Fading Channel. IEEE trans.
Vol. COM-22, No 8, pp. 1064 1075, August 1974.
231. Monsen P. Fading Channel Communications. IEEE Communications Society
Magazine, Vol 18, No I, pp. 27-36, January 1980
232 Monzingo R. A. and Miller T. W introduction to Adaptive Arrays. Wiley,
New York, 1980.
233. Мог] М. Fast Algorithms for Mullivariable Systems. Ph D. dissertation.
Department of Electrical Engineering, Stanford, CA, 1974.
234 Mor\ M., Lee D. Т.. Mckulls J. R. and Vieira А. Л Classification of
Algorithm* for ARV\A Models and Ladder Realizations. Proceedings IEEE Inter-

374
Литература
national Conference Acoustics, Speech and Signal Processing (1CASSP),
pp. 13 -19, April 1977
235. Morgan D R. and Cruig S. C. Ri-al-TiniL- Adaptive Linear Prediction U»ing
the Leasi Mean Square Gradient Algorithm, IEEE trails., Vol. ASSP-24,
No. 6, pp. 494- 507, December 1976.
2.16. Morgtil A.. Grunt P. M. and Cawun С F. N. Wideband Hybrid
Analog/Digital Frequenev Domain Adaptive Filter. IEEE trans.. Vol. ASSP-32, No. 4.
pp 762-769.' August 1984.
237. Mosehner J. L. Adaptive Filler with Clipped Input Data. Stanford
University, Information Systems Laboratory, Report 6796—1, June 1970.
238. Mueller K. H. und Spuulding D. A. Cyclic Equalization — A New Rapidly
Converging Equalization Technique for Synchronous Data Communication.
Bell System Technical Journal, Vol. 54, No. 2, pp. 369—406, Fcbrnar\
1975
239. Mueller К. Н Combined Echo Cancellation and Decision Feedback
Equalisation. Bell Svsiein Trchnical Journal, Vol. 58, No. 2, pp. 491—500. February
1979.
240. Mueller M. S. Lcasl-Squares Algorithm* fur Adaptive Equalizers. Bell
System Tccluiiial Journal, Vol 60, No. 8, pp. 1*105—1925. October 1981
241. Murana К . Unuganu S. and Tsudu 7. LSI Processor for Digital Signal
Processing and lis Application to 4800 Bit/s Modem. IEEE trans.. Vol. СОЛ1-26,
No. 5, pp. 499-506, .Way 1978.
242. Murphy T. P.. Buker /". M., Gurner C. I., und Kruzinski P. J. Praclical
Techniques for luiprux iiir Signal Robustness. Proceeding* IEEE National
TelecoiHiiniiiiealions Conference (NTC), Papir C3.3, 1981.
243. Murthy V. K. und Narasimham G. V. L. On the Asymptotic Normality and
Independence of the Sample Partial Autocorrelations for an Aiitoregressiu1
Applied Mathematics and Computing, Vol. 5, pp. 281—295, 1979
244. Naruynn S. S., Peterson A. M. und Murutimliu M. J. Trattsforiti Domain
LMS Algorithm IEEE trans.. Vol. ASSP-31, No 3. pp. 609—615, June
1983
245. Neissen С W-. und Wiliint D. K. Adaptive Equalizer for Pulse Transmission
IEEE trans., Vol. COM-18, No. 4, pp. 377—395, August 1970.
246. Oehiui K., Araseki T. and Oftiharu T. Echo Cancek-r wilh Two Echo Palli
Models IEEE trans.. Vol. COM-25, No. 6, pp. 589—595, June 1977
247. Oppeiiheim A. V und Sdiajer R. W. Digital Signal Processing. Prentice-
Hall, Englewood Cliffs. HJ, 1975.
248 Punasik С. М. SAW Programmable Transversal Filter for Adaptive Inter-
fcrence Suppression. Proceedings IEEE Ultrasonics Symposium, pp. 100 -
103, 1982.
249. Papoulis A Maximum Eutropv and Spectral Estimation: A Review. IEEE
trans, Vol. ASSP-29, No. 6, pp" 1176— 1186, December 1981
250. Purikh D. und Ahmed X. On ati Adaptive Algorithm for 11R Filters.
Proceedings IEEE, Vol. 65, No. 5, p-> 585—587, Mav 1978.
251. Parkinson D №. and Harvie 1. B. Modem 36—A New Model fur 48-
72 kbit/s Data Transmission. British Telecommunications Engineering.
Vol. 1, No. 4, pp 234—240, January 1983
252. Peurl J. On Coding and Filtering Stationary Signals 1л Discrete Fourier
Transforms. IEEE trans.. Vol. 1Т-1Ч, No. 2, pp. 229-232. March 1973
253 Peled A. und Liu В. Л New Hardware Realization of Digital Fillers IF.I.I
trans., Vol ASSP-22, No. 6. pp 456- 462. Deieniber 1974
254 Peled A. and Liu B. Digital Signal Processing: Theory Design anil
Implementation. Wiley, New York, 1976.
255. Pelgram M. J. /VI.. Wullinga H. and Hollemun J. The ElectriealK
Programmable Split-Electrode CCD Transversal Filter Proceedings 5-th Interna
tional Conference on CCDs, CCD-79, Cenlre for Industrial Consnllaiicy anil
Liaison, University of Edinburgh, pp. 254 260, 1979

Литература
375
25b Pelkuwitz L. Frequenc\ Domain Analvsis of Wraparound Error in Fasl
Convolution Algorithms IEEE trans, Vol. ASSP-29, No. 3, pp. 413-422.
June 1981.
257. Picchi G. and Pruii G. Self-Orthogonalizing Adaptive Algorithm for
Channel Equalization in the Discrete Frcquenc) Domain. IEEE (rails. Vol
COM-32, No. 4. pp. 371 -379, April 1984.
258 Popov V. ,W. Hypcrsiabililv of Control Systems. Springer-Vcrlag, VVe*t
Berlin. 1972.
2.)9 Porat В, Friedlaader B. and Morf M. Square Root Covariancc Ladder
Algorithms IEEE trans., Vol. ЛС-27, No. 4. pp. 813—829, August 1982.
260 Purut B. mid Kallath T. Normalized Lattice Algorithms for Least-Square*
FIR Svntcm Identification IEEE trans. Vol ASSP-31, No. I. pp 122-128,
February 1983
2(il Price R. und Green P. /:., Jr. A Coinnumieatioii Technique for Midtipath
Channels Proceedings IRE, Vol 46. No. 3. pp 555 569, March 1958
262 Proukis J. G. Advances in Equalization for lnler.iyirihol Interference, in
Advances in Communication Svstenis, Vol. 4. Academic Press, New York,
1975.
263. Qurenhi S. U. H. Fast Stari-Up Equalisation wilh Periodic Training
Sequences IEEE irans. Vol 1T-23, No 5, pp 553 563, September 1977
264 Qureshi S. U. Adapli\c Equalization IEEE Communications Sociely
Magazine. Vol. 21. No. 2, pp. 9-16, March 1982
265. Ruhmer L. R. and Gold B. Theory and Application of Digital Signal
Processing. Prenlice-Hall, Englewood Cliffs, HJ, 1975.
266 Rubiner L. R. und Schu/er R №. Digital Processing of Speech Signals.
Prtnlice-Hall. Englewood Clifls, N.I. 1978
267. Ramsey F. L. Cha actcrizatinn of the Partial Autocorrelation Function.
Annals of Statisiics, Vol. 2. No. 6. pp. 1296—1301. 1974.
268 Rediugtim D. und Turner J. Recursive Ladder Anloregressivc Modeling of
Electrophysiological Data, lo lie published in Electroencephalography and
Clinical Neurophysiology.
269 Reed F. A. und Feinturh P L A Comparison of LMb Adaptive Cancelers
Implemented in the Frequence Domain and Time Domain IEEE trans.,
Vol ASSP-29, No 3, pp 7711—775. June 1981.
2"0 Ridttut P. X. und Ralfe P. Transmission Measurements of Connections in
the Switched Telephone Network PoM Office Electrical Engineers Journal,
Vol. 03. No. 2, pp 97—104, July 1970.
271 Ridoin I. В und Mamie I В The Principles of Scramblers and Descrainblers
Designed for Da la Transmission Sv:steins British Telecom Engineering
Journal. Vol l.Pt. 2. pp 111 —114, July 1482
272 Rolihius M. i\nd Monroe S. A Stochastic Approximation Method. Annals
of Mathematical Statistics, Vol 22, pp. 400—407, 1951.
273. Robinson 11. A. An Historical Perspective of Spectrum Estimation
Proceedings IEEE, Vol. 70, No 9. pp 885—907, September 1982
274 Riidin H. J. Automatic Equalization Using Transversal Fillers. IEEE
Spectrum, Vol. 2, No 1. pp 53—59. January 1967.
275 Runiinler W. D. A New Scleclive Fading Model: Application to Propagation
Data. Bell System Technical Journal. Vol 58. No. 5. pp. 1037—1071. Mav-
June 1979.
276 Rulter M. J.. Grant P. M„ Reiishaw D. and Denyer P. B. Design and
Realization of Adaptive Lattice Filters Proceedings IEEE International
Conference Acoustics, Speech and Signal Processing (1CASSP), Boston, pp. 21—
24, April 1983.
277 Rulter M. J. Theory Design and Application of Gradient Adaptive Latice
Filters Ph. D. thesis, Department of Electrical Engineering, University of
Edinburgh, September 1983.
278. Stimson C. and Reddy V. U. Fixed Point Error Analysis of the Normalized

J76
Литература
Ladder Algorithm. 1KI£1£ trans.. Vol. ASSP-.41, No. 5. pp. 1177—1191,
October 1983.
274 Sutnrtus E. II.. Smilli J. D. and Rsevers P. M. Adaptive Noise Canceling ol
a Sinusoidal Interference Using a LaltiOc Structure. Proceedings IEEE
International Conference Acoustics, Speech and Signal Processing
(ICASSP), pp 929—932. April 1979
280. Stitoriu.i E. H. and Alexander S. T Chanml Equalization Using Adaptive
Lattice Algorithms IEEE trans., Vol. COM-27. Nu ft, pp 899-905, June
1979
J8I Saiorius E. II und Shen.su M. J. Recursive Lattice Filter» - A Brief
Overview Proceedings 19-lh IEEE Conference Decision and Control,
Albuquerque, NM. pp. 955—959, December 10—12, 1980.
282. Sutoriu* li. II. and Pack J Application of Least Squares Laiticc Algorithm
In Adaptive Equalization IEEE trans, Vol COM-29. No. 2, pp. 136-142,
February 1981.
28,4. Schmidt R. Multiple Emillcr Loral ion anil Signal Parainetir Estimation.
Pnicccdings RADC Spectral Estimation Workshop, (iriffis ЛЕВ. Rome, NY.
pp. 243-258, 1979.
284. SheiiMi /И J The Spectral Dynamics of Kvnlvhig LAIS Adaptive Fillers.
Proceeding! IEEE International Conference Acuuslics. Speech and Signal
Processing (ICASSP). pp. 950 953, 1979.
285 Shensa M J. Recursive l.ca»l Squares Lattice Algorithms- A Geometrical
Approach IEEE Trans. Vol <\C-2(i, No 3, pp 695 702. June 1981.
286. Singleton R. C. An Algoiiiliui for Computing the Mixed Radix Fourier
Transform IEEE [rails.. Vol AU-17, No 2. pp. 93 103. June 1969.
287 Snderstrund M. A. and Г/V/rfs F. I. Multiplier* foi Residue Number
\nlhinelic Digital Fillers Fleelronirs Letter» Vol 13, No 6, pp 164 — 166,
March 17. 1977
288 Sndfr.straiid Л1 A. A High Speed Low-Cost Recursive Digital Filler Using
Residue Number Arithmetic. Proceedings 1LLI'.. Vol 05, No 7, p. 1065—
1067, Jul\ 1977
284 Snderstrund M. A.. Verniu C, Paulson O, II". and Vigil Л1 C. Microprocessor
Coutrolliti Adaptive Digital Fillers Proieediugs IEEE International
Symposium on Circuits and Swleius (IsCAS). Houston. TX. pp 142- 146,
April 1980
290 Snderstrund M A and Vigil .11 C. Microprocessor Controlled Totally
Adaptive Digital Filter. Proceedings IEEE Internationa] Computer G niuiica-
lions Conference (ICCC). pp. 85—89. October 1980
201 Sondhi M .W und Berkley П. Л. Silencing Echoes on the Telephone
Network. Proceedings IEEE, Vol (i8, No. 8. pp 948—963, August 1980
292 Smith С /?.. Iloppitl С. Е. und Lewis A. V Adaptive Fillers to Improve
Loudspeaker Telephone Electronics Letters, Vol IS, No. 21, pp. 673- 674,
October II. 1979
293 Steam* S. D. ami I'ilintf G. R. On Adaptive Recursive Filtering
Proieediugs 10-lh Asiloinar Conference on Circuits, SvJlein» and Computers,
pp 5—11. November 1970
294 Stearns S I). Error Surfaces of Adaptive Recursive Filters. IEEE dans..
Vol ASSP-28. No ,4, pp. 763—7fi(i. June 1981
295. Stein M. Seiualrans Modems, A SUidv Philips Technical Review, Vol. 40,
No. 4. pp 291- 300. December 1982
296. Sti'inbucli K. and V id row B. A Critical Comparison of Two Kinds of
Adaptive Classifiealion Networks. IEEE trans. Vol. EC-14, No. 5, pp. 737—740,
October 1965.
2.97. Stutter S., Chowatiiec A. and Little T. Adaptive Filtering in CCD and MOS
Technologies. Proceedings 5(h International Conference on CCDs, CCD-79,
Ceiilre for Industrial Consultancy and Liaison, University of Edinburgh,
pp. 261- 267, 1979

■ /чтература
377
248. Suss/nun S. M. A Matched Filler Communications System for Multipath
Channel*, IRE trans.. Vol. 1T-6, pp. 367—372. June 1960.
2ЧЧ Tat/lor N. G. (ed.) Adaptive Antennas, Special Issue. Proceedings IEE,
Vol 130, Pt. F, No. 1, pp. 1-151, January 1983.
)()() Tompkins W. R., Monti R. and lntagliettu M. Velocity Measurement by
Self-Tracking Correlator. Review of Scientific Instrumentation, Vol. 45.
No. 5, pp. 647—649. 1974.
.501 Treichler J. R., Larimare M. G. unci Johnston C. /?.. Jr. Simple Adaptive IIR
Filtering. Proceedings IEEE International Conference Acoustics, Speech
and Signal Processing (1CASSP), pp 118—122. April 1978.
1(12 Treichler J. R. Transient and Convergent Behavior of the Adaptive Line
Enhancer. IEEE trans.. Vol. ASSP-27, No. 1. pp 53—C2, February 1979.
103 Treichler J. R. and Agee B. G. A New Approach to Multipath Correction of
Constant Modulus Signals. IEEE trans., Vol. ASSP-31, No. 2, pp. 459—
472. April 1983.
it)4 Treitel S. und Robinson E. A. Seismic Wave Propagation in Layered Media
in Terms of Communication Theory. Geophysics, Vol. 31, pp. 17—32, 1966
ЮГ) Turin G. L. Introduction to Digital Matched Filters. Proceedings IEEE,
Vol. 64, No 7, pp. 1092- 1112, July 1976.
lOlj Turin G. L. Introduction to Spread-Spectrum Anli-multipath Techniques and
Their Applications to Urban Digital Radio Proceedings IEEE, Vol. 68,
No 3, pp. 328—353, March 1980
307 Turner J., Ditkinson B. und Lui D. Characteristics of Reflection Coefficient
Estimates Based on a Markov Chain Model. Proceedings IEEE International
Conference Acoustics, Speech and Signal Processing (1CASSP), pp. 131—
134. April 1980.
308 Turner J. Application of Recursive Exact Least Square Ladder Estimation
Algorithm for Speech Recognition Proceedings IEEE International
Conference Acoustics, Speech ami Signal Processing (ICASSP), pp. 543—555.
May 1982.
WM Ungerboeck G. Theor\ on the Speed of Convergence in Adaptive Equalizers
for Digital Communication. IBM Journal of Research and Development.
Vol. 16. No. 6, pp. 546-555, November 1972.
310 Ungerboeck G. Adaptive Maximum-Likelihood Receiver for
Carrier-Modulated Data Transmission Systems IEFE trans.. Vol COM-22, No. 5. pp. 624—
636, May 1974.
311. Ungerboeck G. Fractional Tap-Spacing Equalizer and Consequences for
Clock Recovery in Data Modems. 1LEE trans.. Vol. COM-24, No. 8,
pp. 856—864, August 1976.
312. Uiikauf M. G. An Acoustic Surface Wave A\odem for Time-Varying
Dispersive Channels, pp. 483—493 in J. Fo\ (ed.) Optical and Acoustical
Microelectronics, MRl Symposium Series, Vol 23, Polytechnic Press, Brooklyn
MY, 1975.
313 Van Atta L. С Electromagnetic Reflection. U. S. Patent 2908002, October 6r
1959.
314. Van Gerwen P. J. and Verltoeckx N. A. M. A Digital Transmission Unit for
the Local Network. Proceedings IEE Coinmunications'82 Conference, pp.65—
69, 1982.
315. Verhoeck N. A. M., van den Elzen H. C.. Snijdcr4 F. A. M. and van
Gerwen P. J. Digital Echo Cancellation for Baseband Data Transmission. IEEE
trans., Vol. ASSP-27, No 6, pp 768—781, 1979.
316. Voider J. E. The CORD1C Trigonometric Computing Technique. IRE Trans.,
Vol. EC-8, No. 3, pp. 330—334. September 1959.
317. Voornxan J. O., Snijer P. /., Barth P. J. and Vrotnans J. S. One-Chip
Automatic Equali/.ег for Echo Reduction in Teletext. IEEE trans.. Vol. CE-27,
No. 3, pp. 512—529, August 1981.
318. Vry M. G. and Van Gerwen P. J. Digital Signal Transmission to the Sub-
25 1487

378
Литература
scriber Using a 1 + 1 System. 2nd International Conference on
Telecommunications Transmission—Into the Digital Era. 1EE Conference Publication
193, pp. 197—199, March 1981.
319. Vry M. G. Digital Local Network Systems: The Impact of Signal Processing.
Proceedings IEEE International Conference Acoustics, Speech and Signal
Processing (1CASSP), pp. 1785—1788, 1982.
320. Walt ]. R. (eel.) Applications of Electromagnetic Theory to Geophysical
Exploration, Special Issue. Proceedings IEEE, Vol. 67, No. 7, July 1979.
321. Walker G. On Periodicity in Series and Related Terms. Proceedings. Roval
Society, Vol. A131,p. 518, 1931.
322. Walmsley C. F. and Gooding J. Л'. 50 MHz Time Delay and Integration
CCD. Proceedings 5th International Conference on CCDs, CCD-79, Cenire
for Industrial Consultancy and Liaison, University of Edinburgh, pp. 341 —
346, September 1979.
323. Walther J. S. A Unified Atgorithm for Elementary Function*. Proceedings
IEEE Joint Spring Computer Conference, pp. 379—385, July 1971.
324. Walzman T. and Schwartz M. Automatic Equalization Using the Discrete
Frequency Domain. IEEE trans., Vol. 1T-19, No. 1, pp. 59—68, Januarv
1973.
325. Wasser S. and Peterson A. M. Medium-Speed Multipliers Trim Cosl. Shrink
Bandwidth in Speech Transmission Electronic Design, February 1, 1979.
326. Watanabe K., Inoue K. and Sato Y. A 4800 13 PS Microprocessor Da I a
Modem. Proceedings IEEE International Conference on Communications (ICC),
pp. 47.6.252—47.6.256, 1977.
327. Weckler G. P. and Walby M. D. Programmable Transversal Filters: Design
Tradeoffs. Proceedings 5th International Conference on CCDs. CCD-79,
Centre for Industrial Consultancy and Liaison, Universily of Edinburgh,
pp. 211—221. 1979.
328. Weinstein S. B. Echo Cancellation in the Telephone Network. IEEE
Communications Society Magazine. Vol. 15, No. 1, January 1977.
329. Weinstein S. B. A Passband Data-Driven Echo Canceler for Full-Duplex
Transmission on Two-Wire Circuits. IEEE Irans., Vol. COM-25, No. 7,
pp. 654—666, July 1977.
330. Weinstein E. Stability Analysis of LMS Adaptive Filters, submitted for
publication, 1983.
331. Weiss A. and Milra D. Digital Adaptive Filters: Conditions on Convergence,
Rates of Convergence, Effects of Noise and Errors Arising from the
Implementation. IEEE trans., Vol. 1T-25. No. 6, pp. 637—652. November 1969.
332. Wen D. D. A CCD Video Delay Line. Proceedings IEEE International
Solid-State Circuits Conference (1SSCC), Philadelphia, pp. 204—205,
February 1976.
333. White S. A. An Adaptive Recursive Digital Filter. Proceedings 9th Annual
Asilomar Conference on Circuits. Systems and Computers, pp. 21—25,
November 1975.
334. White M. H., Mack I. A., Borsuk G. M.. Lampe D. R. and Kub F. J. Charge-
Coupled Device Adaptive Discrete Analog Signal Processing. IEEE Journal
of Solid-State Circuits, Vol. SC-14, No. 2, pp 132—147. Februarv 1979
335. Widrow B. and Hoff M. Jr. Adaptive Switching Circuits. IRE WESCON
Convention Record, Pt. 4, pp. 96—104, 1960.
336. Widrow В.. Mantei/ P. £., Griffiths L. J. and Goode В. В. Adaptive Antenna
Systems. Proceedings IEEE, Vol. 55, No. 12. pp. 2143—2159. December
1967.
337. Widrow B. Adaptive Filters, pp. 563—587 in R Kalman and N. DeClaris
(eds.) Aspects of Network and System Theorv, Holt, Rinehart and Winston.
New York, 1971.
338. Widrow В., McCool J. and Ball M. The Complex LMS Algorithm.
Proceedings IEEE, Vol. 63, No, 4, pp. 719—720, April 1975.

.'hm'part/pa
.379
Ш. Tidrow В, Glover J. /?., McCool J. M., Kuunitz J., Williams С S..
Hearn R. II.. Zeidler J. R.. Dong E. and Goodling R. C. Adaptive Noise
Canceling: Principle* and Applicaiions. Proceedings IEEE. Vol. 63, No. 12.
pp. 1692-1716. December 1975.
340. Widrotv B. and McCool J. .VI. A Comparison of Adaplive Algorithms Based
on (he Methods of Steepest Descent and Random Search. IEEE trans..
Vol. AP-24. No. 5, pp. 615—637. Seplemher 1976.
341. W'idroiD В . MiCool J. Л1, Larimore M. G. and Johnson C. R. Stationary and
Non-Stationary Learning Characteristics of the LMS Adaptive Filter.
Proceeding IEEE. Vol 64. No. 8. pp. 1151 — 1161, August 1976.
342. Vidraw B. and Steurus S. D. Adaptive Signal Processing, Prentict-Hall,
Englewooil Cliffs, HJ, 1984.
343. Wiener V. EUrapolaliun, Interpolation and Smoothing of Stationary Tinu
Scries. Wiley. New York, 1949.
344 Wong К. Л1. and lun Y. G. Adaplive Walsh Equalizer for Data
Transmission Proceedings IEE, Vol. 130, Pt. F. No. 2, pp. 153—160, March 1983
345. Yule G. U. On a Method of Investigating Periodicities in Distributed Series,
veiih Special Reference to Wolfer's Sunspot Numbers. Philosophical Iran*
actions. Vol. A226. p. 267, 1927.
346. Zeidler J. R.. Satorius E. И.. Chabries D. M. and Wexier H. T. Adaptiw
Enhancement of Multiple Sinusoids in Uncorrelated Noise. IEEE Iran1'
Vol. ASSP-26. No. 3, pp. 240—254, June 1978

Предметный указатель
Автоматическая регулировка усиления
313, 319
Автоматический контроль эталона
319
Апторегресснвные модели 340. 355
Авторегресснвный процесс со сколь
зящим средним 93—95. 104. 156.
159, 188, 340. 350
Адаптационная обратная связь 102
Адаптация гиперустойчнван 102
Адаптивная решетка для коррекции
канала 180
Адаптивное усиление спектральных
линий 344, 345
Алгоритм адаптации 13
— (без ограничений) быстрого
метода наименьших квадратов 206, 207
— БИХ-адаптивной импульсной
фильтрации 106
— быстрого метода наименьших
квадратов 223
— корректирующий
гиперустойчивого адаптивного рекурсивного
фильтра 97
— Ландау 94
— Левинсока 146. 148
— метода наименьших квадратов 25,
69, 80, 191. 192, 195, 203, 204, 206,
217, 226, 227, 238, 241, 242, 245, 248.
254, 272, 277, 285, 292—294. 236
— нормированной на корень квадоат-
иый решетки для метода
наименьших квадратов 171. 176. ISO, \Hi.
187. 188
— рекурсивного метода наимень \
квадратов 171—175, 177, 187
— Стирнси — Уайта 254
— стохастический 64
- Фсйнтуха ПО. 113
Амплитудно-импульсная модуляция
213
Аналнч методом минимальной срс.ше
квадратичной ошибки 112
Белый шум 30. 32
Блок-схема умножителя цифровою
255
— фильтра адаптивного 13
на основе ПЗС 261
параллельной pea
лизацни 265
программируемого 269
цифрового 236. 238. 247,
249
— — корректирующего Калминп 43
— — скалярного Калмана 39
трансверсального 257 258
Большая интегральная схема 27, 275.
276, 295, 297, 313,347
Вектор весовой Винера 34
— коэффициентов весовых 201

Предметный указатель
381
предиктора 125
— оптимальный несовой 195. 206
векторная опенка Калмана 42
Вокодер речевых сигналов 348
Временное разделение каналов 214
Градиент нонер.\н<ктн рабочей
характеристики минимальной
среднеквадратичной ошибки 89
Детерминант ковариационной
матрицы 155
Дисперсии оценка 163
Дисперсия ошибки предсказания 55
— uiviua 41. 292
Запоминающее устройство с
произвольной выборкой 241, 248. 2611,
274, 315. 316, 318
Имнульсно-кодовая модуляция 281
Интерференция меженмпольная 41
Коварнацпя ошибки прямого
предсказания 154
Кодер линейный предсказывающий
172, 176. 345. 347. 351
Коррекция канала связи 209
Корреляция временная 152
Коэффициент Каямани 39
— обратной связи фильтра 89
— отражения 133. 150, 153. 163
— - прямой 154
— правдоподобия 154
- расстройки 68, 69
адаптивного процесса 204
— сходимости 61
— усиления оптимальный 303
— частотной автокорреляции 154
— экспоненциальный 154, 163
Коэффициенты быстрого преобразова
ння Фурье 212
— весовые 218
— PARCOR 25
Кремнний-на-сапфире 273
Линия задержки с отводами 268, 269
Матрица в форме Теплща 146
— Гессе 114
— дискретного преобразования Фуры-
203
— ковариационная 55. 58, 67. 79. 145
— пронормированная 62
— циркулянтнаи 191, 194, 207
.Международный консультативный
комитет по телеграфии и телефонии
285. 294. 310
Метод (без ограничений) быстрый
наименьших квадратов 202, 205—
207. 222, 225. 226. 228, 229
— Калмана 42. 43
— линейной среднеквадратичной
ошибки 87. 88. 91. 92, 112. 113.
118. 126
— Ляпунова 117
— максимального правдоподобия
342. 344. 355
— максимальной энтропии 342, 344,
351, 355
Бурга 143
- наименьших квадратов 14, 25. 30.
46, 60, 63, 64. 66—76, 80. 86, ПО.
116, 144. 164. 191. 192, 198. 199.
203. 204. 206, 210, 217, 222. 224.
227. 237. 238, 241, 242. 245. 254,
260, 272. 277, 285, 292—294, 326
быстрый 201, 203, 205. 206,
223, 226—229
рекурсивный 46, 48. 52. 54.
58, 60, 67, 70-76, 79, 80. 123. 145
153, 156, 157, 159. 160—162, 164,
171. 173—175, 177, 187
Уидроу — Хоффа 46

382
Предметный 1/кизите.11>
— Ньютона — Рафсона 60
— Фурье 342
— Холески 188
— Шура 138
Методы итеративные 89
Микросхемы траизнсторно-транзнс-
торной логики 325
)м чи алгоритмов 113
Моделирование системы обратное 15
прямое 15
Модель авторегрессивная генерации
входного сигнала 70, 71. 73. 75
— речевого сигнала линейного
предсказывающего кодера 176
Модуляция амплитудная двухнолкх
на я 282, 283
квадратурная 282. 283, 285. 300.
301
Мощность входного сигнала
фильтра 197, 208
— остаточного эхо-сигнала 304
— среднеквадратичная рассогласона-
ния отвода 301, 303
Нормированная на корень
квадратный решетка для метода
наименьших квадратов 159, 160. 162, 163
165. 169, 171. 176. 180, 183. 187. 1КЧ
Оператор дискретного
преобразования Фурье 191
Ортогонйлпзйцпн Tiitiii Грпм-Шмп()тч
135. 157
Отклик низкочастотного эквивалента
системы с квадратурной
амплитудной модуляцией 283
Относительная фазовая манипуляция
213. 295. 333
Отношение шгнал— шум 17. 35. 106,
S42
Поверхностные акустические волны
268--270
Помехи незатухающие 270. 271
Порядок решетки максимальный 154
Правило Меисони 131
Предиктор адаптивный 75
Преобразование Гильберта 283
— Фурье 21. 23. 27. 165. 189, 256
быстрое 23. 189, 191—194, 200,
204. 205. 209. 210, 212. 219. 222.
230-232
дискретное 27. 191. 196. 210.
226-228. 270, 342. 344, 345
Преобразователь аналого-цифровой
305, 306, 316. 318
— вида объединения каналов 214.
216. 217. 222
— цнфро-апален оный 306. 308. 315.
317
умножающий 257
Препроцессор Грам-Шмидти 21
— линейный 102
Приборы с зарядовой связью 28. 233.
234. 253. 256. 259-261. 263—268.
273
- типа пожарной цепочки 28. 233.
234. 256, 257, 263
Распределение гауссоио 208
Решающая обратная связь 290. 291.
318. 319
Решетка наименьших квадратов 46
Свертка круговая 231
- линейная 231
Сверхбольшая интегральная схема 27
28. 233. 273-276. 295-297. ЗОН
324. 332
Свойства сходимости 19Ь. 203
Система автоматизированного проек
тирования 275
- вычитания чисел 234. 245, 252
254
— цифропаи фазовой автешодгтройкп
285, 287

Предметный указатель
383
Скорость адаптации 61, 67
Спектр выходного сигнала с каскада
фильтра ошибки предсказании 343
энергетический передачи типа
WAL2 312
Среднеквадратичная ошибка 35. 248
Стохастическая аппроксимации 69
Строги положительное
действительное число 96—98. 100, 103—106.
108. 109
Структура канала телефонной сети
279' '
модемов 286
— фильтра Калмана 39
- — адаптивного обобщенная 235
комплексного 284
на основе рекурсивного
метода наименьших квадратов 51
Схема гибридная интегральная 359
передачи данных 281
— структурная корректирующего
фильтра 20
— — нерекурсивного фильтра 19
— — рекурсивного фильтра 18
— решетчатого фильтра 21
Телефон громкоговорящий 325
Транзисторно-транзисторная логика
234. 248. 308. 325
Гратистор типа металл — окнеел —
полупроводник 258. 308. 324
Умножитель мультиплексный 236
Уравнение Винера — Хопфа 29, 32,
43
— CORD1C 167
Уравнения метода наименьших
квадратов 63
— фильтра Калмана 41
— Юле-Уокери 53, 145
Усиление Калмана 41
Усилитель адаптивный линейный 17
Условие устойчивости алгоритма 197
Устойчивость, ограниченная но входу
и ограниченная по выходу 99
Устройство для aBTopeipeccHBHoro
процесса со скользящим средним
94. 103
— запоминающее постоянное 246
— когерентное подавления Соковых
лепестков 352
— модулированное информационно-
управляемое 301
— подавления эхо-сигнала 302
аналоговое 314
— речевой полосы 324
цифровое 316
— рекурсивное 37
Фильтр адаптивный рекурсивный 94
гиперустойчивый 94, 97, 118
решетчатый корректирующий
180
— Винера 29. 40, 44
— Калмана 36, 40, 44
— — адаптивный 24
векторный 36. 40. 41, 43
корректирующий 24, 42. 287
— — скалярный 36, 38
блок-схема 39
— корректирующий 211, 213
— — адаптивный на большой
интегральной схеме 296
градиентный решетчатый 177
Лики 15
типа решающей обратной
связи 288, 290, 291, 319, 320
Т-типа интегральный 288, 290
ЧВ-типа 289
— линейно-фазовый КИХ-типа 76, 78
— линейный предсказывающий 360
— нерекурсивный 19, 32
структурная схема 19
— полосопой 216.
— принимающий 209
— программируемый 13, 17
— с бесконечной импульсной
характеристикой (БИХ-типа) 18. 20, 24.
25, 29. 82. 83, 85. 86, 88. 91, 92,
94, 97. 106, 107. 112, 117, 119—122
— с конечной импульсной характери-

384
Предметный указатель
стикой (КИХ-тина) 19, 20, 21. 23—
25, 29. 45, 82—86, 91. ИЗ. 115. 117,
119-122. 241, 268. 273
— трансверсальный 19, 22, 257, 260.
270
— Чанга 25
Фнлмры адаптивные с алгоритмом
.МНК 142, 198. 199. 210. 217. 224.
229
Функции корреляции 136
— Ляпунова 117. 118
Функция минимальной
среднеквадратичной ошибки 112
— эхо-сигнала 303
импульсные 317. 322
Характеристическое число 62
матрицы 203
коварнаннпнной 62
среднее 208
Частичные ветви 288—290
Частота высокая 330
Частотное разделение каналоп 214,
280
Частоты промежуточные. 268, 330
Характеристик подавления эхо-сиг-
пала 309 Эпементы логические типа неключакь
Характернстикн кабеля локальной щее ИЛИ 242
И1И1И 310 — Шоттки 241

Оглавление
ll|>(Miu-.iumfc редактора перевода 5
I!pe iiiivitmiic 9
Гллва I. Введение в адаптивные фильтры. (Питер .11 Грант и Ки.шн
Ф И Киуяи) . . . 12
I 1. Адаптивная обработка данных 12
1.1.1 Адаптивные фильтры М
J.1..2. Принцип действия адаптивного фильтра 15
I 2 Типы программируемых фильтров ... 17
1.2.1. Рекурсивные фильтры 17
1.2.2 Нерекурсивные фильтры 19
1.2 3. Фильтры, основанные на методах преобразования сигнала 21
1.3. Оптимальное линейное оценивание . . 23
I 4. Адаптивные фильтры ... 24
1.4.1. Адаптивные фильтры с бесконечной импульсной
характеристикой .... 24
1.4.2. Адаптивные фильтры с конечной импульсной
характеристикой . . . , 25
1.4 3. Адаптивные фильтры, основанные на методах
преобразования сигнала . , . . 27
1.4.4. Проектирование технических средств 27
Глава 2. Методы оптимального оценивания. (Колин Ф. II. Коузн) 29
2.1. Введение 29
2.2. Оптимальное нерекурсивное винеровскос оценивание . 31
2.2.1. Практический пример устройства, реализующего вч
перовскую оценку "..„., 32
2.3. Оптимальное рекурсивное калмановское оценивание 35
2.3 I. Скалярный фильтр Калмана . 36
2.3.2. Вывод коэффициента Калмана 39
2.4. Векторный фильтр Калмана 40
2.4.1. Векторный фильтр Калмана в качестве устройства
коррекции канала 41
2.5. Выводы 43

386 Оглавление
Глнн;> 3. Адаптивные алгоритмы для фильтров с конечной импульсной
характеристикой. [Беш)жимин Фридлендер) 45
3.1. В тлен не .... 45
3.2. Рек\рсивныи алгоритм найме них квадратов , . 46
3.2.1. Вывод алгоритма РНК .... 48
3.2 2 Алгоритм РНК с экспоненциальным взвешиванием 49
3.2.3. Вычислительная сложность . 51
3.2.4. Стохастическая интерпретация . 52
3.2.5. Асимптотическая точность опенки методом наименьших
квадратов 55
3.2.6. Асимптотические свойства адаптивного фильтра . 56
3.2.7. Использование квадратного корня 58
3.2.8. Алгоритм РНК, использующий скользящее окно , . 58
3 3 Адаптивный алгоритм метода наименьших квадратов .... GO
3.3.1. Итеративное вычисление оптимальною вектора
коэффициентов . . ... .60
3.3.2. Алгоритм .411К . . 63
3.3.3 Сходимость алюритча Ml Ж 64
•Ч.З.-1 Обучающая кривая 66
.4.3.5. Новые результаты по сходимости . 68
3.3 6. Алгоритм МПК как метод стохастической аппроксимации 69
3.4. Адаптивные фильтры г конечной импульсной характеристикой
i\ линейными фазовыми характеристиками . , 74
3.4 1 Стохастический случай /0
3.4 2. Алгоритм РНК 79
3 4 3. Алгоритм МП К .80
Глав» 4 Адаптивные алгоритмы для фильтров с бесконечной
импульсной характеристикой. (Джпн Р Трейчлер) 82
4.1. Введение .... . . S2
4.1.1. Общий обзор ... 82
4 1 2. Зачем применять адаптивные фильтры БИХ-тина? 83
4.1.3. Постановка »адачн ... 85
4 1.4. Использование обратной связи .86
4 2 Методы минимальной среднеквадратичной ошибки 87
4.2.1. Вывод необходимых условий для решения 87
4.2.2 Методы решения .88
4 2 3. Историческая перспектива ... . 91
4.3. Методы, основанные на теории нелинейной устойчивости 93
4.3.1 Постановка задачи 93
4.3.2. Гнперуетойчивый адаптивный рекурсивный фильтр . 94
4.3.3. Гинерустойчнввсть и адаптивная фильтрация 97
4.3.4. Простой гиперустончнвый рекурсивный фильтр 106
4.4. Анализ сходимости . . ... И0
4.4.1. Цели анализа сходимости , . . . . . , 1 10
4.4.2. Приближения . .... 112
4.4.3. Основные выводы ... 118
4.5. Ограничения для применения адаптивных фтьтрон БИХ-типа 49
4.5.1. Коэффициент чувствительности 120
4.5.2. Обратное моделирование немннимадыт-фа.чоных фильтров 120
4.5.3. Порядок согласования 121
4.5.4. Переход от методов, основанных на устойчивости, к
методам обратного моделирования „ . , . , , . . '21
4.6. Заключение . , , 122

Оглавление
387
Глава 5 Оценивание рекурсивным методом наименьших квааратов и
решетчатые фильтры. {Джон И. Тернер) 123
5 I Введение 123
5.2. Общая стр\кт)ра цифрового решетчатого фильтра 125
5.3 Свойства решетчатой структуры . 132
5.3.1. Ортогонализпр\ющне свойства 133
5.3.2. Физическая интерпретация 137
5.4. Опенки коэффициентов отражении но выборкам данных 141
5.4.1. Градиентные опенки коэффициентов отражения . . 143
5.5. Решетчатый алгоритм рекурсивного метода наименьших
квадратов ... 145
5.5.1. Постановка задачи рекурсивных опенок 14В
5.5.2. Уравнении корректировки порядка . , 148
5.5.3. Уравнения временном корректировки 151
5.5.4. Точные выражения для решетчатых фильтров на основе
рекурсивного метода наименьших квадратов 153
5.5.5. Коэффициент правдоподобия 155
5.6. Решетчатый фильтр в случае связанных процессов .... 156
5.7. Метод наименьших квадратов с решеткой, нормированной на
корень квадратный . 1Ь0
5.8. Вычислительная сложность и CORDlC-арифметпка 164
5.8.1. CORDlC-арифметпка 1Ь5
5.8.2. Решетчатая фильтрация с помощью вращений 169
5.9. Моделирование и применения . . 17]
5.10. Комментарии и выводы 187
Глава 6. Адаптивная фильтрация в частотной области. (Эрл Р
Феррара, мл.) .... . . . 189
6.1. Введение 189
6.2 Адаптивный фильтр с обработкой сигнала в частотной области,
основанный на круговой свертке 191
6.3. Алгоритмы для обычной адаптивной фильтрации . 198
6.3.1. Адаптивный фильтр на основе быстрого метода
наименьших квадратов . . . 199
6.3.2 МНК-адантивныГг фильтр с обработкой сигнала в
частотной области без наложенных ограничений . . . 205
6.4. Коррекция канала 20N
6.4.1. Коррекция с помощью изолированного импульса 209
6.4.2. Коррекция с помощью последовательности случайных
сигналов . , .... .... 213
6.5. Адаптивный фильтр-преобразователь вида объединения каналои 214
6.6. Улучшение скорости сходимости 223
6.7. Заключение . 229
6.8. Приложение. Сравнение линейной и круговой свертки 230
Г 1ава 7. Обзор способов реализации аналоговых и цифровых
адаптивных фильтров. [Ко.шн Ф. И. Коуян и Питер М. Грант) 233
7.1. Введение . 233
7.2. Реализация цифровых адаптивных фильтров 234
7.2.1. Классическая цифровая схема .... . . 234
7.2.2. Цифровые адаптивные фильтры, использующие
упрощенные алгоритмы 241
7.2.3 Цифровые адаптивные фильтры, использующие методы
обращения к памяти , 245
7.2.4. Адаптивные фильтры с распределенной арифметикой , 246

388
Оглив.н нас
7.2.5. Системы с вычитанием чисел . . 252
7.3. Аналоговые адаптивные фильтры с выборном данных 25о
7.3.1. Реализация на основе npiifopon с зарядовой связью 25d
7.3.2. Монолитны» адаптивный фильтр на основе ПЗС . 21>П
7.4. Адаптивные фильтры с высокочастотном полосой пропускания,
использующие устройства на основе поверхностных акустических
волн ... -68
7.5. Перспективные разработки, использующие технологию СБИС 273
Г.шва 8. Адаптивные фильтры в системах связи. [Питер Ф. АОчмс) 27ii
8.!. Введение . . '7fi
8.2. Передача данных .... ...... •""
8.2.1. Линейные искажения в телефонные сетях _'Г8
8.2.2. Корректирующие фильтры для полосы частот речевых сш
налов ... 2Wi
8 2.3. Подавление эхо-сигналов при передаче данных в речевой
полосе частот ... . . 297
8.3. Цифровая передача но локальным сетям ... 308
8.3.1. Подавление эхо-сигнала для случая передачи тина WAI. 2 312
8.3 2. Передача на основной полосе частот .... 317
8.4. Подавление эхо-сигнала в телефонии .... 32 J
8.4 1 Устройство подавления эхо-емгна.юв в сетях . 321
8.4.2. Терминальные устройства подавления эхо-енгналов . 325
8.5 Другие применения в системах электросвязи . 327
Глава 9. Другие применения адаптивных фильтров. {Питер Л1. Гринт) 328
9.1. Введение ... 328
9.2 Адаптивное оценивание . , 329
9.2.1. Обратное моделирование системы 329
9.2.2. Прямое моделирование системы 337
9.3. Спектральное оценивание 339
9.3.1. Введение 339
9.3-2 Усиление спектральных линий 344
9.3.3. Обработка речи . , . . 345
9 4. Обработка сигнала адаптивной антенной решеткой 351
9.4.1. Оценивание пеленга . ...... 354
9.5. Заключение. . ... ... 358
Условные сокращения . 359
Условные обозначения 361
Литература ЗШ
Предметный указатель 38(1

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
ijaiiiii jaMe4jHiin о содержании книги, ее оформ-
лении, качестве переиода и другие просим ирисы'
лать но адресу: 129820. Москва. И-110, ГСП,
1-й Рижски» пер., д. 2, издательство «Мир».