C. GODBILLON
GEOMETRIE
DIFFERENTIELLE
ET
MECANIQUE
ANALYTIQUE
COLLECTION METHODES
HERMANN, PARIS
1969

К. ГОДБИЙОН
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
И
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
А. Г. КУШНИРЕНКО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР», МОСКВА, 1973

УДК 513.73:531
Книга входит в математический цикл серии «Методика»,
выпускаемой известным французским издательством Эрманн#
Цель серии — создать университетские учебники по ряду мате-
матических дисциплин, сочетающие современный научный уро-
вень с достаточной доступностью изложения. Из этой серии
читателю знакомы русские переводы трудов А. Картана
«Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы»
(«Мир», 1971) и Ж.-П. Серра «Линейные представления
конечных групп» («Мир», 1970).
Курс Годбииона представляет собой одно из первых в миро-
вой литературе изложений основ классической механики на
базе современного дифференциально-геометрического форма-
лизма. Лаконичное и строгое рассмотрение теорем удачно соче-
тается с разбором большого количества примеров У читателя
предполагаются лишь элементарные познания в линейной ал-
гебре и анализе.
Книга заинтересует преподавателей математики и механики
высших учебных заведений, научных работников в области
математики, физики и механики и будет полезна аспирантам
и студентам университетов и пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
щ 0223—005
041@1)—73

Существует немало трактатов по механике, но
этот трактат построен по совершенно новому плану.
Я задался целью свести как теорию этой Науки,
так и искусство решать относящиеся к ней задачи
к общим формулам, простое развитие которых дает
все уравнения, необходимые для решения любой
задачи.
Это сочинение будет полезным еще и в другом
отношении: оно объединит и представит с единой
точки зрения различные принципы, найденные до сих
пор для облегчения решения вопросов механики,
покажет связь и взаимную зависимость этих прин~
ципов и позволит судить об их правильности и гра-
ницах применимости.
Я разделил работу на две части: Статику, или
теорию равновесия, и Динамику, или теорию дви-
жения, и в каждой из этих частей я рассматриваю
отдельно твердые тела и жидкости.
В работе нет ни одного рисунка. Методы, кото-
рые я предлагаю здесь, не требуют геометрических
или механических построений и рассуждений; нужно
лишь последовательно проводить единообразные вы-
кладки.
Все любящие Анализ с удовольствием увидят,
что Механика стала одним из его новых разделов,
и будут благодарны мне за такое расширение области
его приложения.
ЛАГРАНЖ
«Аналитическая механика», 1811.

ПУСТАЯ СТРАНИЦА

ПРЕДИСЛОВИЕ
Лекции Эли Картана по интегральным инвариантам, которые
сохранили удивительную актуальность, положили начало тому,
что можно назвать современной аналитической механикой: имен-
но в этих лекциях впервые появились внутренние, а не вариа-
ционные формулировки уравнений динамики. Более поздние
работы А. Лихнеровича, Ф. Галисо и Ж. Клейна сделали совер-
шенно очевидным, что дифференциальная геометрия является
естественным фундаментом классической механики.
Первый вклад, вносимый этим геометрическим формализмом,
состоит в чрезвычайно четком разграничении двух аспектов ме-
ханики: гамильтонова и лагранжева. Разумеется, ковариантность
уравнений Гамильтона и контравариантность уравнений Лаг-
ранжа известны уже давно. В настоящее время первые интерпре-
тируют как динамическую систему на кокасательном расслоении
конфигурационного пространства, а вторые — как динамическую
систему на касательном расслоении этого пространства.
Гамильтонов аспект связан с существованием на кокасатель-
ном расслоении канонической симплектической структуры, опре-
деленной формой Лиувилля. Техника дифференциального исчис-
ления на многообразиях позволяет в этом случае, следуя идеям
Эли Картана, получить внутреннюю формулировку уравнений
Гамильтона. Далее, как показал Галисо, можно геометрически
интерпретировать классические результаты о первых интегралах
и случае интегрируемости.
Лагранжев аспект более сложен. Он связан, согласно
Ж. Клейну, с существованием на касательном расслоении более
богатого дифференциального исчисления, чем на произвольном
дифференцируемом многообразии. Действительно, используя гео-
метрическую структуру касательного расслоения, можно опреде-
лить дифференциальные операторы, которые (снова с помощью
техники симплектической геометрии) приводят к уравнениям
Лагранжа механической системы.
Наконец, связь между этими аспектами обеспечивается пре-
образованием Лежандра, которое в некотором смысле устана-
вливает между ними двойственность.

Предисловие
Первая часть этой книги представляет собой введение в диф-
ференциальную геометрию: исчисление внешних форм, вектор-
ные расслоения, дифференцируемые многообразия, дифферен-
циальное и интегральное исчисление на многообразиях. Пред-
полагается, что читателю известны только элементы линейной
алгебры, общей топологии и дифференциального исчисления
(в объеме, например, первого года старшего цикла обучения).
Вторая часть посвящена аналитической механике. В ней,
кроме того, изучается класс дифференциальной формы и изла-
гается геометрия касательного расслоения и дифференциальное
исчисление на этом расслоении.
Эта книга возникла из серии докладов, сделанных в 1967 г.
в Страсбурге на семинаре по траекториям. Интерес, проявлен-
ный к этому материалу П. Картье, оказался решающим для
его публикации. Многочисленные обсуждения с Ж. Рибом и
Ж. Мартине были весьма полезны при подготовке рукописи.
К. Годбийон
Страсбург
февраль 1968 г.

Глава I
АЛГЕБРА ВНЕШНИХ ФОРМ
В § 1, 2 и 3 через А обозначается коммутативное кольцо
с единицей. В § 4, 5 и 6, кроме того, предполагается, что А
есть алгебра с единицей над телом Q рациональных чисел.
Наконец, в § 7 и 8 через А обозначается поле характеристики
нуль.
Все рассматриваемые модули суть унитарные модули над Л.
1. Двойственность и ортогональность
1.1. Определение. Пусть заданы Л-модули (Ei)l<{<p
и F. Отображение а: Е\ X ••• X EP->F называется полилиней-
ным отображением, если для любого индекса / и для любых
элементов е^Е^ j Ф /, отображение
(еи ..., е,_ь х, ei+u ..., ер)
является линейным отображением Et в F.
Употребляются также термины билинейное отображение
в случае р —2 и полилинейная форма в случае F = A.
Если Е{ — ... = ?р = ?: и F — A, то говорят, что а —поли-
линейная форма степени р на Е.
Множество Lp (E) всех полилинейных форм степени р на Е
канонически наделяется структурой модуля над Л.
1.2. Пусть й — линейное отображение модуля Е в модуль F,
и пусть а —элемент LP(F). Отображение
h*a: {eu ..., ep)^a(heu ..., hep)
является полилинейной формой степени р на Е. Форму h*a
называют прообразом формы а при отображении А.
Отображение h* есть линейное отображение I/ (F) в Lp (E).
Если k — линейное отображение модуля F в модуль G, то
имеет место соотношение (k о h)* = h* о k*> если же h — тожде-
ственное отображение Е, то й* — тождественное отображение
hp (Е). Отсюда вытекает, что если h — изоморфизм Е на F, то
h* - изоморфизм 1/(^) на LP(E) и '*

10 Гл. I. Алгебра внешних форм
1.3. Определение. Пусть Е — некоторый модуль; модуль
E* = V(E) называется дуальным (или сопряженным) к Е.
Пусть е — элемент Е и а — элемент /Г; через (е, а) будет
обозначаться значение а (г) отображения а в точке е. Отобра-
жение (е, а)^->(?, а) называется канонической билинейной фор-
мой на ЕХЕ\
1.4. Пусть (ei)l<i<n — базис Е. Тогда существуют элементы
8;- е Е\ удовлетворяющие соотношениям (eh 8/) = б/у. Эти эле-
менты (e/I</<tt образуют в Е* базис, который называется
дуальным к базису (?
В частности, если Л —тело и Е — конечномерное векторное
пространство над Л, то ? и Е* имеют одинаковую размерность.
1.5. Предложение. Пусть G — свободный модуль. Тогда
из точности последовательности 0->Е h> F k> G->0 вытекает
точность последовательности 0->G* Jl^ F* _^. ?*->0.
Доказательство. Напомним сначала, что точность по-
следовательности 0—>Е \ F k> G —>0 эквивалентна трем пред-
положениям:
отображение Л линейно и инъективно,
отображение k линейно и сюръективно,
образ h совпадает с ядром &Aтй = Кег&).
Легко доказать (не используя того, что G свободен), что ото-
бражение k* инъективно и что Im?* = Ker h*.
Пусть (gi)iGl — базис G, и пусть (fdi^I — семейство элемен-
тов Fy таких, что k{fi) = gi для любого L Модуль F является
прямой суммой образа h и подмодуля G7, порожденного се-
мейством {!дшг
Каждый элемент а е Е* определяет линейную форму на
h{E), и эта форма может быть продолжена (например, при-
писыванием ей значения 0 на G7) до некоторой линейной формы р
на F. Тогда й*р = а, что и доказывает сюръективность /г*. И1)
1.6. Определение. Пусть Е — модуль. Модуль ?**, со-
пряженный к Е*, называют вторым сопряженным к Е.
Для всякого элемента е е Е отображение а *-> (е, а) является
линейной формой ё на ?*, и отображение е*—>ё есть линейное
отображение Е в ?**.
1.7. Предложение. Если Е обладает конечным базисом,
то отображение е*~->ё является изоморфизмом Е на ?**.
!) Знаком ¦ при переводе заменялось сокращение с. q. f. d. (что и тре-
бовалось доказать).—Прим. перед.

2. Внешние формы \ \
Доказательство. Пусть (ед1<(<п — базис Е, и пусть
(e/)i</</i "~ соответствующий дуальный базис Е*.
Если е = Sa^t — такой элемент Е, что ё = 0, то для любого /
имеем: (е, et-) = a/ = 0 и, следовательно, е = 0.
Если со — некоторая линейная форма на ?*, то элемент
e = 2(o(et)et удовлетворяет соотношениям {е, гг) = со (е,-) при
всех г, откуда со = 2. ¦
В условиях предложения 1.7 мы будем отождествлять Е
и ?** при помощи построенного выше изоморфизма.
1.8. Определение. Пусть F — подмодуль модуля Е.
Ортогональным дополнением FL подмодуля F называется под-
модуль модуля ?*, состоящий из линейных форм на ?, обра-
щающихся в нуль на F.
1.9. Предложение. Пусть F —• подмодуль модуля Е, и
пусть q — проекция Е на E/F. Тогда отображение q* —- изомор-
физм (E/F)* на Fx.
1.10. Следствие. Если А — тело и Е — векторное про-
странство конечной размерности над Л, то dim FL = codim F.
1.11. Сле дств ие. В предположениях следствия 1.10 (и
соглашения 1.7) имеет место равенство F1± = F.
Действительно, F11 содержит F и, кроме того, dim/7"LJ" =
== codim FL = dim F.
Предложение 1.9 может быть обобщено следующим образом:
1.12. Предложение. Пусть F — подмодуль модуля Е и
q — проекция Е на E/F. Отображение q* является изоморфиз-
мом Lp{E/F) на подмодуль L таких форм aGLp(?), что
а(еи ..., ?р)==0э если хотя бы один из аргументов et лежит в F.
Ниже мы будем отождествлять LP(E/F) с подмодулем
LczLp(E).
1.13. Предложение. Пусть F{ и F2 — dea подмодуля
модуля Е. Тогда I/ (E/(F{ + F2)) = Lp (E/FJ f] Lp {E/F2).
2. Внешние формы
Пусть @p — группа перестановок множества {1, ..., р}.
Будем обозначать через i тождественную перестановку и через
e(s) — сигнатуру перестановки sg6p.
2.1. Пусть a — полилинейная форма степени р на модуле Е,
и пусть s —элемент ®р. Тогда отображение
5а: (еи ..., ep)*->a(es-i(I), ..., es-l(p))
есть полилинейная форма степени р на Е.

12 Гл. I. Алгебра внешних форм
Очевидно, ict = а и {st) а = s {ta) для любых s9 t e ©p. Итак,
отображение a»—>sa является автоморфизмом LP(E) для лю-
бого s е ©р.
2.2. Определение. Пусть а — полилинейная форма сте-
пени р на Е\ а называется знакопеременной полилинейной
формой, если sa = e(s)a для любого seSp.
Говорят также, что а —внешняя форма степени р на Е9
или внешняя р-форма на Е.
Множество АР(Е) внешних р-форм на Е является подмо-
дулем LP(E), и А1 (?) = и (Е) = Е*.
Если h — линейное отображение модуля Е в модуль Ft то
h*(Ap(F)) cz Ар (Е). Следовательно, в случае, когда F является
подмодулем ?, можно отождествить (предложение 1.12) kp (E/F)
с подмодулем АР{Е), состоящим из таких форм aG AP{E), что
а(еь ..., вр) = 0, если хотя бы один из аргументов ег принад-
лежит F.
Упражнение. Если 2 — обратимый элемент в Л, то форма
aGLp(?) знакопеременна тогда и только тогда, когда из
?* = ?/, ьФи следует, что а{еь ..., ер) = 0.
2.3. Предложение. Пусть Fx и F2 — два подмодуля мо-
дуля Е. Тогда
Ар (Е/{РХ + F2)) =
2.4. Следствие. ?слг/ Fj содержится в F2, то Ар(E/F2)
содержится в AP{E/Fl).
2.5. Теорема. Если модуль Е имеет базис из п элемен-
(п\
тов, то АР(Е) имеет базис из ( I элементов.
Доказательства. Пусть (^I<;<п —базис ?. Каждый
элемент Ар {Е) однозначно определяется своими значениями
на последовательностях (е^, ..., ei ), таких, что
Наоборот, каждой возрастающей последовательности (iu ..., /p)f
К^! < ... </р<п, можно сопоставить элементе^ t eAp(?),
определяемый равенствами
если возрастающая последовательность (/j, ..., /р) отлична от
последовательности (iu ..., /р). Такие элементы, число которых

2. Внешние формы 13
равно ( ], независимы в Ар(?), и всякая внешняя р-форма а
может быть записана в виде
а= 2 а (в/, ..., ein)et t. Ш
2.6. Следствие. Если модуль Е обладает базисом из п
элементов, то кп (Е) имеет , базис из одного элемента и
А* (Е) = О при р>п. ^
Упражнение. Пусть Е — свободный модуль с бесконеч-
ным базисом. Тогда Ар (Е) для любого р > 0 — ненулевой сво-
бодный модуль.
2.7. Следствие. Если модуль Е обладает базисом из п
элементов, то любой другой базис Е также состоит из п эле-
ментов.
2.8. Определение. Пусть модуль Е обладает базисом
из п элементов. Формой объема на Е называют элемент
tiGAft(?), образующий базис в Ап(Е).
Упражнения. 1) Всякая форма объема на Е может
быть представлена в виде w — av> где а — обратимый элемент Л.
2) Если h — эндоморфизм ?, то h*v = {deth)v.
2.9. Предложение. Пусть а —полилинейная форма сте-
пени р на Е. Тогда форма а(а)= 2 e(s)sct знакопеременна.
Доказательство. Пусть / — некоторая перестановка
из ©р. Тогда
ta(a)= S z{s)t(sa) = e{t) 2 e(
Отображение a, тзким образом, является линейным отобра-
жением 1/(?) в А^-Е): а называется оператором антисимме-
тризации, а форма a (a) — антисимметризацией формы а. Имеет
место равенство
= 2 e(s)a(eS(i), ..., eS(P)).
2.10. Предложение. Если a — внешняя р-форма на Е,
to a(a) = p!a.

14 Гл. I. Алгебра внешних форм
2.11. Предложение. Пусть h —линейное отображение
модуля Е в модуль F, и пусть а ^ Lp (F). Тогда h* (а (а)) = а (й*а).
3. Тензорное произведение
Пусть а —полилинейная форма степени р и р — полилиней-
ная форма степени q на модуле Е. Тогда отображение
(ей ..., ep+q)*->a(eu ..., ер)$(ер+и ..., ер+я)
является полилинейной формой степени р + q на ?.
3.1. Определение. Тензорным произведением форм
ae=L/(?) и pe=L*(?) называется форма ap^Lp+^(?), опре-
деляемая равенством
+Ь ..., ep+q).
3.2. Предложение. Тензорное произведение является
билинейным отображением L/ (?) X L*7 (?) в Ьр+^(?"). Кроме
того, а(Ру) = (ар) y ^ля aeLr(?), р s L^(?) м y ^ L' (?) (ассоциа-
тивность тензорного произведения).
3.3. Предложение. Пусть h — линейное отображение
модуля Е в модуль Ff ae=I/(F) и pe=L*(F). Тогда Л*(ар) =
= Й»А*(Р).
3.4. Предложение. Пусть а-— полилинейная форма сте-
пени р и р — полилинейная форма степени q на Е. Тогда
а (а (а) Р) = р! а (ар) и а (аа (р)) = q\ а (ар).
Доказательство. Действительно,
a(a(a)p)= 2 2 в (в) в (/) 8 ((ta) p) =
6<6
Отождествим всякую перестановку / е ©p с перестановкой
множества {1, ..., Р + ?}, полагая /(/) = / при / > р; получаем,
что последнее выражение равно
р\ 2 e(r)
Аналогично доказывается и второе равенство. ¦
3.5. Предложение. Пусть а —полилинейная форма сте-
пени р и р — полилинейная форма степени q на Е. Тогда
а (ар) = (-1Г №)

4. Внешнее произведение 15
Доказательство. Пусть t — перестановка из ©р+^, опре-
деляемая равенствами
t @ = Я +' Для 1 < / < р,
/(р + /) = / для 1<
Тогда сигнатура / равна (—I)?*7 и
4. Внешнее произведение
Начиная с настоящего момента мы будем предполагать,
что А является коммутативной алгеброй с единицей над
полем Q рациональных чисел, и будем отождествлять Q с под-
алгеброй А, порожденной 1.
4.1. Определение. Пусть a — внешняя р-форма и
Р —внешняя ^-форма на Е. Внешним произведением форм а
и р называется следующая внешняя (р + ^)-форма:
Таким образом,
..., ep+q) =
Гс1Т ±J e(s)a(eS(i), ..., eS(p))$(eS(p+\)9 ..., es
Упражнение. При р=1 имеет место соотношение
4.2. Предложение. Внешнее произведение является
билинейным отображением Ар (Е) X А* (?) в А*+*(?).
4.3. Предложение (антикоммутативность внешнего
произведения). Пусть а — внешняя р-форма и р — внешняя
q-форма на Е. Тогда
Это немедленно.следует из предложения 3,5.

16 Гл. I. Алгебра внешних форм
4.4. Следствие. Если а — внешняя форма нечетной сте-
пени, то а Л а = 0.
4.5. Предложен ие (ассоциативность внешнего произ-
ведения). Пусть а — внешняя р-формау р — внешняя q-форма и
Y — внешняя r-форма на Е. Тогда а Л (Р Л Y) = (а Л $) Л Y«
Доказательство. Действительно,
1 ' а(оа(ру))«=
p\(q + r)\ q\r\
= —j—jjj a (a (Py)) (предложение 3.4).
Аналогично
4.6. Предложение. Пусть (a>i)l<i<p —набор из р линей-
ных форм на Е и (edy^i^p —набор из р элементов Е. Тогда
(aj Л ... Аар){еи ..., ep) = det({eh a,)).
Действительно, из предыдущего доказательства следует, что
^ Л ... Лар = л(аь ..., ар).
4.7. Определение. Внешняя форма а степени р на Е
называется разложимой, если существуют р линейных форм
(a*)i<*<p' таких, что (* = (*! Л ... Лар.
4.8. Предложение. Пусть (ci){^i<n — базис модуля Е и
{^i)l<i<n —дуальный базис Е*. Тогда разложимые формы
е*, Л ... Ле//э, l</i< .•. </р<,п,
образуют базис в Ар(?).
Доказательство. Действительно, для любых двух
возрастающих последовательностей (iu ..., ip) и (/lf . .м jp)
элементов множества {1, ..., п] справедливо равенство
| 1, если ir = jr для люЪ&со г,
(е^Л ... A*ip)(e,l9 ..., %)=|0 в Пр0ТИВН0М случае.
Таким образом (в обозначениях доказательства теоремы 2.5),
= 8^ ip. Ш
4.9. Следствие. Внешняя п-форма е{/\ ... ЛеЛ есть
форма одъема на Е, и всякий элемент kn (E) разложим,

5. Алгебра внешних форм 17
4.10. Предложение. Всякая р-форма есть сумма раз-
ложимых р-форм.
Следует, однако, заметить (см. § 8), что не всякая внеш-
няя р-форма разложима.
4.11. Предложение. Пусть h —линейное отображение
модуля Е в модуль F, и пусть ogA^F) и $^Ag(F). Тогда
й>ЛР) (А*)Л(А*р)
Этот результат есть прямое следствие предложений 2.11
и 3.3.
5. Алгебра внешних форм
5.1. Удобно положить А°(?) = Л для любого модуля Е и
расширить определение внешнего произведения на формы сте-
пени 0 следующим образом:
аДР = РЛа = ар, если ае=Л = А°(?) и ре=А*(?), q>0.
Для расширенного таким образом понятия внешнего произве-
дения остаются справедливыми* предложения 4.2, 4.3 и 4.5.
Если h — линейное отображение модуля Е в модуль Т7, то
в качестве Л*: A0 (F) -> А0 {Е) удобно принять тождественное
отображение Л; при этом предложение 4.11 останется спра-
ведливым.
5.2. Пусть А {Е) = 2 Ар (?) — прямая сумма модулей Ар (Е).
Р>0
Элементы А(?) называются внешними формами на Е. Опре-
деление внешнего произведения можно продолжить по били-
нейности на модуль А(?), снабдив его таким образом струк-
турой алгебры над А.
Если й —линейное отображение модуля Е в модуль Т7,
то отображения Л*: \р {F) -> Ар (?), р^О, определяют линейное
отображение h*: k(F)->A(E).
• 5.3. Определение. Алгеброй внешних форм на модуле Е
называется прямая сумма А(?)= 2 A^Z:), снабженная струк-
Р>0
турой алгебры, определяемой внешним произведением.
Если ? — нулевой модуль, то А (Е) = А0 {Е) = А.
Различные предложения § 4 позволяют теперь сформули-
ровать следующие утверждения:
5.4. Теорема. Алгебра внешних форм на Е является
ассоциативной, градуированной и антикоммутативной алгеброй
с единицей (см. гл. IV, § 1).

18 Гл. I. Алгебра внешних форм
5.5. Теорема. Если модуль Е обладает конечным базисом,
то его алгебра внешних форм порождена элементами сте-
пени 0 м 1.
Упражнение. Если Е обладает базисом из m элементов,
то А(?) обладает базисом из 2т элементов.
5.6. Теорема. Пусть h — линейное отображение модуля Е
в модуль F. Тогда линейное отображение Л*: A (F) -> А (Е)
является гомоморфизмом алгебр.
Следовательно, если F — подмодуль Е, то алгебра A{E/F)
может быть отождествлена с некоторой подалгеброй в А(?)
(см. 2.2).
5.7. Предложение. Пусть F{ и F2 — dea подмодуля
модуля Е. Тогда
A (EI(FX + F2)) = A (E/F{) f] A (?/F2).
5.8. Следствие. Если F{ содержится в F2, то алгебра
A(E/F2) является подалгеброй в k(E/F{).
6. Внутреннее произведение
Пусть а — внешняя р-форма, р > 0, на Е и х — некоторый
элемент Е. Отображение
i{x)a: (el9 ..., ер-г)ь->а(х9 еи ..., ер_,)
является внешней (р — 1)-формой на Е> а отображение
i (x): a \—> i {х) а является линейным отображением Ар (Е)
в Ap"(?t). Последнее отображение можно расширить до эндо-
морфизма А(?), полагая /(*)а = 0, если оеА0(?) = А
6.1. Определение. Эндоморфизм i(x) модуля А(?) на-
зывается внутренним произведением на элемент х е Е.
6.2. Предложение. Пусть х и у — два элемента Е.
Тогда выполняются следующие свойства:
) ( y) (
2) / (ах) = at (х),
3) i(x)i(y) i
4) /(*)/(*)
6.3. Предложение. Пусть а—внешняя р-форма, р—внеш-
няя q-форма на Е и х — некоторый элемент Е. Тогда

6. Внутреннее произведение 19
Доказательство. Можно предположить, что р ^ 1
и q^l. Удобно обозначить x = ei\ тогда
ПОЛОЖИВ ©/ = {5e©p+j5-1@<P) И ,
получим, что ©р+<7 есть объединение ©' и ©". Отождествим
©p+^-i с множеством таких перестановок г <^&p+q, что г A) == 1.
Для всякого 5 е ©р+G обозначим через /5 (соотв. через ^)
транспозицию из ©р+^, которая меняет местами 1 и 5"]A)
(соотв. р + 1 и 5"Ч1))« Тогда
p!?!
(так как для каждой перестановки г е ©p+^-i существует р
перестановок sgS', таких, что sts — r).
Зададим перестановку и е ©р+G следующим образом:
 ПрИ 2<'<Р+Ь
Тогда е(и)==(-—IO7, и можно написать
"W

20 Гл. I. Алгебра внешних форм
6.4. Замечание. Если F — подмодуль модуля ?, то A(E/F)
есть множество таких внешних форм аеА(?), что i(x)a = 0
для любого х ^ F. Если же, кроме того, А является телом
характеристики нуль и ? —конечномерное векторное простран-
ство над Л, то F совпадает с подпространством G таких х^Е>
что /(*)а = 0 для любого a<=A{E/F). Действительно, FczG
и A {E/G) == A (E/F). Но если Я —некоторое подпространство
коразмерности т в ?, то А(Е/Н) имеет размерность 2т, сле-
довательно, dimG = dim/7 и F=G.
7. Ассоциированная система и ранг внешней формы
Мы предположим теперь, что А — поле характеристики
нуль. Через Е мы будем обозначать векторное пространство
конечной размерности п над А
7.1. Предложение. Пусть (а*),^^ — конечное число
линейных форм на Е. Для того чтобы формы (с^) были не-
зависимы на Е, необходимо и достаточно, чтобы с^А... Ла>рф0.
Доказательство. Если формы (а*) зависимы, то одну
из них можно выразить через другие и, следовательно (со-
гласно предложению 4.4), а! Л ... Лар = 0. Если формы (fy)
независимы, то можно найти базис (et)l<i<n в ?, такой, что
для дуального базиса Ml<i<n имеем е/ = с^ при i^p. В таком
случае б! Л ... Л &п — форма объема на Е и, следовательно,
Щ Л ... Л ар Ф 0. ¦
7.2. Предложение. Если F — подпространство ?, то
подалгебра k(E/F)czA{E) порождена A+F1.
Действительно (см. теорему 5.5), алгебра A(E/F) порождена
множеством А своих элементов степени 0 и множеством F1
(предложение 1.9) своих элементов степени 1.
7.3. Предложение. Пусть а — внешняя р-форма на Е.
Тогда существует единственное подпространство F простран-
ства Е} обладающее следующими свойствами:
1) аА(ВД;
2) если G — такое подпространство Е, что а?А(E/G), то
GczF.
Доказательство. Обозначим через $Г семейство таких
подпространств Я пространства ?, что аеА {Е/Н). Семейство #~
непусто, так как нулевое подпространство входит в #~. По-
скольку размерность Е конечна, семейство #~, упорядоченное
по включению, содержит максимальные элементы, т. е. такие
подпространства Я, что из Се^ и GzdH следует G = H.

7. Ассоциированная система и ранг внешней формы 21
Но ST не может содержать более одного максимального
элемента/ так как если Fx и ^ — два подпространства из ЯГ,
то (предложение 5.7) F{ + ^2 также принадлежит ЗГ. Ш
Таким образом, предложение 7.3 оправдывает следующее
определение:
7.4. Определение. Пусть а —внешняя форма на Е.
Подпространством Л (а), ассоциированным с формой а, назы-
вается наибольшее из таких подпространств Н пространства Е,
что а е А (Е/Н).
Если а — нулевая форма или, более общо, форма степени О,
то Л(<х) = ?.
Замечание 6.4 приводит к следующей характеризации ассо-
циированного подпространства:
7.5. Предложение. Подпространство А (а), ассоцииро*
ванное с формой ogA (Е), образовано теми х е Е, для которых
*(*)а = 0.
7.6. Следствие. Если а — ненулевая линейная форма
на Е, то подпространство, ассоциированное с а, есть гипер-
плоскость в ?, определяемая уравнением а==0.
7.7. Определение. Пусть а —внешняя форма на Е.
Системой, ассоциированной с формой а, называется подпро-
странство Л*(а) = (Л(а))х пространства ?\
Если а —внешняя форма степени 0, то Л*(а) = @). Если
а —линейная форма на Е, то Л* (а) есть подпространство в ?*,
порожденное а.
7.8. Предложение. Система, ассоциированная с формой
,а?А(?), есть наименьшее из таких подпространств F^E*,
что а принадлежит подалгебре алгебры А(?"), порожденной
A + F*.
Это предложение немедленно следует из предложений 7.2
и 7.3.
7.9. Предложение. Пусть а — ненулевая внешняя р-форма
на Е, р^2, и h — полилинейное отображение Ер~х в Е*, опре-
деляемое равенствами
h(xu ..., *p-i) —/fa)... Цхр^)а.
Тогда система, ассоциированная с а, есть подпространство в E*f
порожденное образом h.
Доказательство. Поскольку для любого х^А(а) и
Любого (хи ...У/Х^~Х)^:ЕР~1
(/(*,) ... i(xp^l)a)(x) = ^irli(xl) ... Hxp-x)t(x)a-09

22 Гл- I- Алгебра внешних форм
подпространство 1аЕ*, порожденное образом А, содержится
в Л*(а). Найдем теперь такой базис (et)l<i<n пространства Е,
что дуальный базис (в*I</<п обладает следующими свойствами:
1) ги ..., ег — базис /,
2) ги ..., esy 5>г, — базис Л*(а).
Если е5 не принадлежит /, то можно написать а = сс/Ле5 + Р,
где а' —- ненулевая (р — 1)-форма, принадлежащая вместе
с формой р подалгебре алгебры А(?), порожденной еь ..., es_I#
Пусть (*,, ..., лгр—i)—такой элемент ?р""!, что а' (хь ..., лгрв1>=
= а ФО. Поскольку i{x)a' = i(x— es(x)es)a', можно считать,
что xt удовлетворяют соотношениям е5(л:/) = 0, /== 1, ..., р — 1.
Отсюда получаем
но это невозможно, если е5 не принадлежит /. ¦
7.10. Следствие. Пусть а — внешняя форма степени 2
на Е и (ei)[<i<n — базис Е. Тогда ассоциированная система А*(а)
формы а порождена формами i(ek)a, k = l, ..., п.
Уравнения ассоциированного подпространства А (а) формы а
имеют в этом случае вид i(ek)a = 0, k = \> ..., п.
7.11. Определение. Пусть а — внешняя форма на Е. Ран-
гом а называется размерность ассоциированной системы А*{а).
Ранг формы а равен, таким образом, минимальному числу
независимых линейных форм, необходимых для выражения а.
Ранг формы а равен также коразмерности ассоциированного
пространства А{а).
7.12. Примеры. 1) Внешняя форма степени 0 имеет ранг 0.
2) Внешняя форма степени 1 имеет ранг 1.
7.13. Предложение. Пусть а—ненулевая внешняя р-форма
на Е. Тогда ранг а не меньше р {и не больше п). Ранг а равен р
тогда и только тогда, когда форма а разложима.
Доказательство. Для всякого подпространства F а Е
пространство AP(E/F) равно нулю, если р больше коразмер-
ности F. Таким образом, ранг а не меньше р. Если форма а
разложима, то существуют р линейно независимых 1-форм
еь ..., ер, таких, что 0 = 8^ ... Л ер. Ассоциированная си-
стема А* (а) есть в этом случае подпространство в ?*, поро-
жденное еь ..., ер, и, следовательно, а имеет ранг р.
Если форма а имеет ранг р, то А* {а) обладает базисом
гь ..., 8р из р элементов. Отсюда а = аг{А ... Л ер, что и
доказывает разложимость а. ¦

8. Внешние формы степени 2 23
7.14. Следствие. Ненулевая внешняя форма степени п
на Е имеет ранг п.
7.15. Предложение. Всякая ненулевая внешняя форма
степени п—\ на Е разложима.
Доказательство. Пусть а — внешняя (п — 1)-форма на ?,
и пусть h — следующее линейное отображение Е* в Ап(Е): /г(е) =
= е Л а. Поскольку Ап(Е) имеет размерность 1 над А, ядро К
отображения h имеет размерность п или п — 1 и можно найти
базис {e{)l<i<n в Е\ такой, что (е/I</</г-1 — базис /С, если h
не равно нулю.
Можно написать а = 2 #tei Л ... Л &i-\ Л е,-+1 Л ... Л еп.
Отображение /г, таким образом, определяется своими значе-
ниями на е^: h(ei) = (—l) ~* а{е{ А ... Л ert. Итак,
если отображение h нулевое, то и а = 0,
если h ненулевое, то at = 0 при i<n и апф0, следова-
тельно, а = апе1Л ... Ле„_г. ¦
7.16. Следствие. Ненулевая внешняя форма степени п—1
на Е имеет ранг п — 1.
7.17. Следствие. Ненулевая внешняя форма степени п—2
на Е имеет ранг п — 2 или п.
Доказательство. Ненулевая внешняя форма степени
п — 2 на Е может иметь ранг я —2, п— 1 или п. Разложимая
форма имеет ранг п — 2. С другой стороны, если Е — про-
странство размерности 4 и если (fyI</<4 — базис ?*, то форма
« = 8j Л е2 + е3 Л е4 имеет ранг 4 (предложение 8.4). Таким
образом, осталось доказать, что форма степени п — 2 не может
иметь ранг п — 1.
Предположим, что внешняя форма а степени п — 2 имеет
ранг п— 1, и пусть F=A(a) — подпространство, ассоциирован-
ное с а. Тогда E/F—пространство размерности п— 1. Поскольку a
является формой степени п — 2 в A(E/F)cz A(?), то а разло-
жима и, следовательно, имеет ранг п — 2, что противоречит
исходному предположению. ¦
8. Внешние формы степени 2
8.1. Теорема. Пусть а —внешняя форма степени 2 на Е.
Тогда существуют четное число 2s^п и базис (ei)i<i<n про-
странства Еу\такие, что
1) a(e2i-l9 <Ы = — a(%> e2i^)=l при /<5,
2) все остальные значения a (eit ej) равны нулю,

24 Гл. I. Алгебра внешних форм
Доказательство. При dim?=l результат тривиален.
Проведем индукцию по n — dimE. Будем предполагать, что
афО. Пусть ех и е2 — два вектора из Е, такие, что а{еь е2) = 1.
Очевидно, в\ и е2 порождают подпространство F^E размер-
ности 2.
Пусть G — множество таких х е ?, что а {еи х) = а (еъ х) = 0.
Множество G является пересечением двух гиперплоскостей Нх
и Н2, определяемых уравнениями /(е1)а = 0 и i(e2)a = 0 соот-
ветственно. Поскольку H{f]F = (e{) и H2(]F = {е2)У то G является
дополнением F. По предположению индукции можно найти
четное число 2s<« и базис {^i)s<i<n в G, такие, что
) {2и2) {22{{)
2) все другие значения а(^/, ?/), /, / > 2, равны нулю.
Отсюда вытекает, что базис (^I</<rt обладает всеми требуе-
мыми свойствами. ¦
8.2. Следствие. Пусть а — внешняя форма степени 2 на Е.
Тогда существуют целое число 2s ^ п и 2s независимых линей-
них форм (*>i){<ii<i2s на ?> такие, что
а = в! Л е2 + ... + е^ Л е25.
Более того, ех можно произвольно выбрать в А* {а).
Доказательство. Пусть у~-Ф°Рма из ^*(«)- Суще-
ствуют два вектора еь е2^Е, такие, что i{e2)a = — y и
a(ei, е2)=\. Предыдущее доказательство позволяет получить
базис (ei)i^i<n пространства *?, обладающий свойствами 1)
и 2) из 8.1. В частности, (еь v)—1 и (^ь Y) = 0 при />1.
Форма у является, таким образом, элементом дуального базиса
(8')i<*<n пространства Е*у и для этого базиса мы имеем
a == в! Л е2 + ... + 825-! Л г2з. ш
8.3. Следствие. Внешняя форма степени 2 на Е имеет
четный ранг. "
Действительно, сохраняя предыдущие обозначения, можно
сказать, что если а— ненулевая форма, то система, ассоцииро-
ванная с а, есть подпространство в Е\ порожденное формами
еь ..., е^, и, следовательно, а имеет ранг 2s (это доказывает,
в частности, что число 2s, фигурирующее в 8.1 и 8.2, зависит
только от формы а).
8.4. Предложение. Пусть а— внешняя форма степени 2
на Е. Для того чтобы а имела ранг 2s, необходимо и доста-
точно, чтобы of Ф 0 и as+1=Q.

8. Внешние формы степени 2 25
Действительно, если ранг а равен 2s, то
as = 5! в! Л е2 Л ... Л &2s-\ Л ^ ф О,
8.5. Предложение. Пусть а —- внешняя форма степени 2
на Е и ранг а равен 2s. Тогда формы а, а2, ..., а? имеют
одну и ту же ассоциированную систему.
Действительно, для
аг = г\ 2 е2. _, Л е„. Л ... Л в«. , Л %. .
i<f,<...<fr<s ! » ' ^
Следовательно (предложение 7.9), формы е1э ..., e2s принадле-
жат ассоциированной системе формы аг.
8.6. Определение. Симплектическая структура на Е опре-
деляется заданием внешней 2-формы а максимального ранга п
на Е.
Говорят еще, что (Е, а) есть симплектическое векторное про-
странство. Размерность Е при этом всегда четна (следствие 8.3)..
8.7. Предложение. Пусть Е — векторное пространства
четной размерности п — 2т и а — внешняя 2-форма на Е. Сле-
дующие свойства эквивалентны:
1) (Е, а) — симплектическое векторное пространство,
2) о!71 — форма объема на ?,
3) отображение х \—> / (#) а — изоморфизм Е на Е*.
Эта эквивалентность есть немедленное следствие предложе-
ний 8.4 и 7.9. Форму а называют симплектической формой на Е.
8.8. Лемма. Пусть (Е, а) и (F, р) — два симплектических
векторных пространства одинаковой размерности. Тогда линей'
ное отображение h: ?->F, такое, что А*р = а, является изо-
морфизмом.
В частности, если h—эндоморфизм Е, такой, что А*а = а,
то h—автоморфизм ? с определителем 1.
8.9. Определение. Пусть (?, а) и (F, р) — два симплекти-
ческих векторных пространства. Симплектическим изоморфиз-
мом Е на F называется линейное отображение h: E->F, такое,
что А*р==а.
8.10. Предложение. Пусть (?, а) — симплектическое век-
торное пространство. Множество Sp(?, а) симплектических
автоморфизмов (?, а) есть подгруппа группы SGl(E) автомор-
физмов Е с определителем 1.
Упражнение. Если размерность Е равна 2, то всякий
автоморфизм Е с определителем 1 является симплектическим

26
Гл. I. Алгебра внешних форм
автоморфизмом. (Этот результат не верен, если размерность Е
больше 2.)
8.11. Замечание. Пусть (в/I</<2«""базис Е*, такой, что
и пусть (б/)|</<2/я — дуальный базис Е (говорят, что (et) — симп-
лектический базис (?, а)). Матрица /=(а (eiy ?/)) формы а в базисе
(ег) имеет тогда вид
О 1
-1 О
О 1
-1 О
Пусть А —эндоморфизм Е и М — матрица h в базисе {et). Для
того чтобы эндоморфизм h был симплектическим автоморфиз-
мом (?, а), необходимо и достаточно, чтобы
Приложение. Ориентация вещественного векторного
пространства
Пусть Е — вещественное векторное пространство конечной
размерности я. Пространство Ап(Е) внешних л-форм на Е имеет
размерность 1, и отношение w = Xv, X > 0, есть отношение
эквивалентности на Ап(Е) — {о}, определяющее два класса экви-
валентности.
П.1. Определение. Ориентацией вещественного вектор-
ного пространства Е называется класс эквивалентности
в Ап{Е) — {0} по отношению эквивалентности w — Xv, X > 0.
Таким образом, имеются две различные ориентации Е.
Если выбор ориентации сделан, то говорят, что Е — ориентиро-
ванное векторное пространство. Класс формы объема v na E
определяет ориентацию Е; говорят также, что v есть ориента-
ция Е. Базис в Е определяет ориентацию Е (предложение 4.10).
В частности, векторное пространство R" всегда ориентировано
своим каноническим базисом.
П.2. Определение. Автоморфизм h: E->E называется
сохраняющим ориентацию, если для любой формы объема
v e An (E) формы v и h*v определяют одну и ту же ориента-
цию Е.

Приложение 27
П.З. Предложение. Пусть Е — ориентированное вектор-
ное пространство. Для того чтобы автоморфизм h: Е->Е
сохранял ориентацию Е, необходимо и достаточно, чтобы опре-
делитель h был положителен.
П.4. Предложение. Пусть Е — ориентированное век-
торное пространство. Множество Gl+ (E) сохраняющих ориен-
тацию автоморфизмов Е есть подгруппа индекса 2 группы Gl (E)
автоморфизмов Е.
Пусть (?", а) — симплектическое векторное пространство раз-
мерности 2т. Форма объема ат определяет ориентацию Е,
называемую канонической ориентацией симплектического век-
торного пространства (?, а). Пространство Е всегда снабжается
именно этой ориентацией.
П. 5. Предложение. Симплектический автоморфизм
сохраняет ориентацию.

Глава II
ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
Все рассматриваемые векторные пространства предпола-
гаются вещественными, а все векторные расслоения — веще-
ственными и конечномерными.
1. Локально тривиальные расслоения
1.1. Определение. Пусть F — топологическое простран-
ство. Локально тривиальным расслоением со слоем F назы-
вается тройка г\ = (?, р, В), где
Е и В —- топологические пространства,
р: ?->В — непрерывное сюръективное отображение,
причем выполнено следующее условие:
Ol.Т.) Для любой точки JeB существуют открытая окрест-
ность U точки Ъ и гомеоморфизм Ф: p~l(U)->U X Л
такой, что р{оф = р (где через р{ обозначена проек-
ция U X F на U).
Говорят, что
Е — тотальное пространство расслоения г),
В — база,
р —проекция,
Fb = р (Ь) — слой над точкой Ь^В.
Пара (С/, Ф), фигурирующая в условии (Л. Т.), называется
картой расслоения т). Обозначим через ^ множество всех карт
расслоения г), т. е. множество пар ([/, Ф), состоящих из откры-
того множества U d В и гомеоморфизма Ф: p^iU)-* U \F9
такого, что рх © Ф = р.
Если (?/, Ф) и (V, Ч1") — две карты rj, такие, что U (]V Ф 0,
то можно написать
F, /) = F, g F) (/)), (ft, f) е (?/ П V) X Л
где g — отображение t/flV" в группу гомеоморфизмов Т7. Если
Л— некоторое подмножество в В, то ч\\А = (р-1(А), р, А) есть
локально тривиальное расслоение со слоем F и базой А; Ц
называют ограничением расслоения ч\ на Л.
Если А' — подмножество в Л, то ч Ц'в (ч 1л) U'«

/. Локально тривиальные расслоения 29
1.2. Из определения 1.1 немедленно выводятся следующие
свойства:
1) каждый слой г\ изоморфен F>
2) проекция р является открытым отображением,
3) база В есть факторпространство топологического про-
странства Е по отношению эквивалентности, классами которого
являются слои tj.
Упражнение. Если В и F — отделимые топологические
пространства (соответственно локально компактные, локально
связныеглокально линейно связные, компактные, паракомпакт-
ные, связные, линейно связные), то таково же и топологиче-
ское пространство Я.
1.3. Определение. Пусть г\ = (?, /?, В) — локально три-
виальное расслоение, и пусть А — подмножество В. Сечением
расслоения rj над А называется непрерывное отображение
s: А—>Е, такое, что p°s— тождественное отображение Л.
Сечение s: A-+E является, таким образом, гомеоморфиз-
мом А на s (А).
1.4. Определение. Пусты] = (?, р, В) и х\'=(Е'% р', В') —
два локально тривиальных расслоения (слои которых, вообще
говоря, различны). Гомоморфизмом расслоения г\ в расслое-
ние v[ называется пара (Я, К) непрерывных отображений
Я: Е->Е' и h: В-*В\ таких, что p'<>H = hop.
Другими словами, Я переводит слой над точкой Ь в слой
над точкой h (b). Можно сказать также, что коммутативна
следующая диаграмма:
в-Л
Отображение Я: Е-*Е\ поскольку оно переводит слои
в слои, полностью определяет отображение h. Поэтому часто
говорят, что Я является гомоморфизмом ц в т|' (или даже Е в ?'),
накрывающим отображение h.
Пусть (С/, Ф), Ф: p-l(U)->UXF, и (?/',Ф')> Ф': Р (#')->
-»?/' X ^'> —карты т)ит]' соответственно. Если h{U){\U' Ф 0, то
&, /) - (Л F), / F) (/)), F, /) е (U П Л" (?/0) X Л
где / — отображение t/ П Л" (i/0 B множество непрерывных
отображений F в Т77.
Если Я — тождественное отображение ?, то h — тождествен-
ное отображение В: (Я, Л) — тождественный гомоморфизм tj.

30 Гл. If. Векторные расслоения
Пусть А — подмножество В, и пусть / (соотв. /) — канони-
ческое вложение А в В (соотв. р~1{А) в р~1(В)). Пара (/, i)
называется каноническим гомоморфизмом г\ \А в ц.
Пусть (Я, К) —- гомоморфизм rj в т|' и (К, k) — гомоморфизм т|'
в ri". Тогда {К ° Я, & о h) — гомоморфизм т] в Л"> называемый
композицией гомоморфизмов (Я, К) и (/С, &).
Изоморфизмом х\ на г/ называется такой гомоморфизм (Я, /г),
для которого Я и А являются гомеоморфизмами; впрочем, для
этого достаточно, чтобы Я было гомеоморфизмом. В этом слу-
чае х\ и т)' имеют гомеоморфные слои.
1.5. Определение. Пусть rj = (?, р, В) и т/ = (?', /?', В) —
два локально тривиальных расслоения с одной и той же
базой В (но, вообще говоря, с различными слоями). Гомомор-
физмом у\ в г\' над В называется гомоморфизм (Я, Л): у\->ц',
для которого h — тождественное отображение базы.
Если г\ и т|' изоморфны над В, то говорят, что г\ и ri' «э/сви-
валентны. Композиция двух гомоморфизмов над В снова
является гомоморфизмом над В.
1.6. Примеры. 1) Тривиальное расслоение. Расслоение
6 = (ВХЛрьВ) является локально тривиальным расслоением
со слоем F; его называют тривиальным расслоением с базой В
и слоем F. Цилиндр S!X[— Ь +1] является примером тоталь-
ного пространства тривиального расслоения с базой S1 и
слоем [—1, +1].
Более общо, расслоение г\ = (Еу р, В) является тривиальным
расслоением с базой В и слоем Ft если существует изоморфизм
Я: г]->8 над В. Говорят, что Я — тривиализация v\.
В этих терминах карта ([/, Ф) локально тривиального рас-
слоения г\ есть тривиализация расслоения т) 1^.
2) Лист Мёбиуса. Пусть Z) — полоса RX[O»+1] B плос-
кости R2. Листом Мёбиуса называется факторпространство Е>
полученное из D отождествлением точек (х, у) и (#+ 1, 1 —у).
Обозначим через ш проекцию D на ?. Отображение (#, y)v->e2nix
порождает непрерывное отображение р пространства Е на
окружность 51, и у\ = (?, /?, 51) является локально тривиальным
расслоением со слоем [0, +1].
Действительно, пусть х = e27li* — некоторая точка 51. Тогда
f/srizS1 —{—х} является окрестностью точки х и ограничение от
на U? = fg — i-, | -fi-)x[O, +1] является гомеоморфизмом W
на открытое множество ш {W)=p~l (U). Отображение Ф: m (и, v)*->
ъ->(еШи, v) определяет карту (f/, Ф) расслоения т).
Заметим, что расслоение г\ не тривиально: действительно,
множество дЕ таких точек ?, которые не обладают окрестно-
стью, гомеоморфной открытому множеству в R2 (гл. III» § 1),

/. Локально тривиальные расслоения
31
связно, в то время как для цилиндра это множество состоит
из двух связных компонент.
3) Касательное расслоение к сфере S2. Пусть Е — множество
таких пар (ut v) в R3X R3 = {(*, У> г; g, % ?)}, для которых \\и \\— 1
и (и, v) = 0, и пусть р: (и, v) >—> и — проекция ? на единичную
сферу S2. Тогда r\ = (E, pt S2)— локально тривиальное расслое-
ние со слоем R2. Действительно, пусть Ux (соотв. U2, U3) —
открытое множество S2, задаваемое неравенством | х |< 1 (соотв.
\у\<19 |г|<1). Тогда S2 = Ui [} U2[) U3. Гомеоморфизмы
(х, У, z\ g, т), ?) ь-> (л:, у> z\ x\z
Ф2: p-
(а:, у, г; g, л,
(х, У у г; |, т|, g) »-> (л:, г/, г; gy - т^, ?)
позволяют определить карту (С//, Фг) в окрестности любой
точки b е f/t-.
1.7. Теорема. Пусть v[ = (Ef, p\ В') — локально тривиаль-
ное расслоение со слоем Fy и пусть h — непрерывное отобра-
жение В в В'. Тогда существуют
локально тривиальное расслоение т) = (Е, р, В) со слоем F,
непрерывное отображение Н: Е->Е',
такие, что
1) Н— гомоморфизм ц в rf над h%
2) если е = (D, я, В) — локально тривиальное расслоение
с базой В и К —гомоморфизм г в г\' над А, то существует и
притом единственный гомоморфизм L расслоения е в х\ над В,
такой, что poL = n и Н<>L = K.
Более того, расслоение т) (и гомоморфизм Н) определяются
указанными свойствами однозначно с точностью до эквива-
лентности.
Ситуацию теоремы 1.7 описывает следующая коммутатив-
ная диаграмма:
Доказательство. Обозначим через Е множество пар
(by er) в ВХЕ', таких, что h(b) = p/(e/O и через р: (Ь, е')*->Ь—
проекцию Е на В. Пусть ^еВиФ': //" (V)->V Х^ — три-
виализация ограничения г\' на окрестность V точки h(b).

32 Гл. П. Векторные расслоения
Множество U = /Г1 (V) открыто в В. Отображение Ф: (b, ef)±->
ь->F, РгФ'^О) является гомеоморфизмом p~~l (U) на Uy^F
(обратное к нему отображение переводит (b, f) в (б, Ф' (A (ft), /))).
Пара (Uy Ф) является, таким образом, картой расслоения г\
на открытом множестве U ^ Ь, и, значит, г\ действительно
является локально тривиальным расслоением со слоем F. Не-
прерывное отображение Я: F, е')ъ—>е' множества Е в Е'
является гомоморфизмом !)В!|' над А.
Условия, наложенные на L в пункте 2) теоремы 1.7, при-
водят к формуле L(d) = (n(d)y /С (rf)).
Пусть, наконец, г\ = (Е, р, В)— локально тривиальное рас-
слоение со слоем F и (Я, К) — гомоморфизм г\ в г)', удовле-
творяющий условиям 1) и 2). Тогда существует единственный
гомоморфизм L (соотв. L) х\ в х\ (соотв. г) в fj), такой, что
poL = pn HoL = H (соотв. poZ = p и Я о ? = Я). Таким обра-
зом, po(LoL) = р и Нo(LoZ) = H, следовательно (ввиду един-
ственности в 2)), LoL является тождественным изоморфиз-
мом т|. Аналогично доказывается, что L о L — тождественный
изоморфизм fj, а это и показывает, что L — изоморфизм fj на х\
над В. ¦
Построенное при доказательстве теоремы расслоение
ц = (Е, р, В) называется расслоением, индуцированным из
расслоения х\' при отображении А, и обозначается v\ = h* (г\').
Для всякой точки JeB отображение Я является гомео-
морфизмом Fb на Fh(b). Из единственности индуцированного
расслоения могут быть выведены следующие утверждения:
1.8. Следствие. Если h — тождественное отображение В\
то h* (x\f) и г)' эквивалентны,
1.9. Следствие. Если h — непрерывное отображение В
в Bt то индуцированные расслоения (h°k)*x\f и к*(к*(ч\')) экви-
валентны.
1.10. Следствие. Если В а В' и h — каноническое ело*
жение В в В'9 то Л* (т^) и ограничение х\' \в расслоения v[ на В
эквивалентны.
2. Векторные расслоения
Мы всегда будем снабжать рассматриваемые вещественные
векторные пространства конечной размерности топологией нор-
мированного векторного пространства (очевидно, эта топология
корректно определена).
Если F и F' —-два вещественных векторных пространства
конечной размерности, то множество Hom^, F') всех линей-

2. Векторные расслоения 33
ных отображений F в F' также является векторным простран-
ством конечной размерности. В частности, End (F) = Нот (F, F)
является вещественной алгеброй конечной размерности и группа
G^/7) автоморфизмов F образует открытое множество в End (F).
Канонические отображения Hom(/, F')Y^F -> F' и Gl(f)X
Y^F-b-F непрерывны.
2.1. Определение. Пусть F — вещественное векторное
пространство конечной размерности пу и пусть т| = (?, р, В)—
локально тривиальное расслоение со слоем F. Структура век-
торного расслоения на ц определяется заданием семейства
s? = {(Uai OJjczff карт расслоения г), обладающего следую-
щими свойствами:
(В. P.)i {Ua) — открытое покрытие В;
(В. Р.)и для всякой пары индексов (а,Р), такой, что Ua{] и^Ф09
выполнено соотношение
Ф^1(ЬУ f) = (&, gp(b)f)9 (b, /)е(?/вП?/р)ХЛ
где gpa — непрерывное отображение U^[]Ua в Ql(F)
(см. 1.1);
(В.Р.)ш если $ zd Л — семейство карт г), обладающее свой-
ствами (В. P.)i и (В. Р.)„, то $ = d.
Расслоение с такой дополнительной структурой обозначают
г\ = (Еу р, В\ Л) или просто т) = (?> Р> В) и говорят, что
^ — (вещественное) векторное расслоение размерности /г. Мно-
жество зФ называют атласом векторного расслоения г), а эле-
менты зФ называют векторными картами ц. Непрерывные ото-
бражения gpa: Up()Ua->Gl(F) называют функциями перехода
атласа si.
2.2, Лемма. Функции перехода обладают следующим
свойством:
$a (t>) = gya (b) для любого b e= Uy (] f/p П Ua.
В частности,
gaa (b) = id для любого b e Ua
(id — единичный элемент в
gafi (Ь) = (g$a (b))~l ДЛЯ ЛЮбОГО Ъ €= Ua (] U^.
Более общо, атласом г\ называют любое подмножество
$$> с: j^, обладающее свойствами (В. P.)i и (В. Р.)п. В этом
случае $Ф называют максимальным атласом г\. Следующее
предложение оправдывает такое название:

34 Гл. II. Векторные расслоения
2.3. Предложение. Пусть F — векторное пространство
конечной размерности, и пусть ц = (Е, р, В) —локально три-
виальное расслоение со слоем F. Если ^ = {(?/а, Фа)} — семей-
ство локальных карт х\, обладающее свойствами (В. Р.)! и
(В. Р.)и> то существует и притом единственное множество карт
sficzff, содержащее $Ф и определяющее на г\ структуру век-
торного расслоения.
Доказательство. Обозначим через бФ множество карт
([/, Ф) расслоения т), обладающих следующим свойством: для
любой карты (?/а, Фа)с:^, такой, что Ua(]U Ф 0, имеем
Фаф-!(х9 /) = (*, ga(x)/), (х, /) e= (Ua(]U)XF,
гДб ^а"" непрерывное отображение Ua(]U в Gl(F). Множе-
ство «5$ содержит ?Ф, и, следовательно, свойство (В. P.)i для $Ф
выполнено.
Пусть {U, Ф) и (V, ?)—две карты из st9 такие, что U (] Уф0.
Для всякой точки х е U (]V существует карта (?/а, Фа)^^,
такая, что х е Ua. Поэтому можно написать
ФаФ" (У, f) = (У, ёа (У) /), (У, f) е (Ua П I/) X Л
Фа^ (У, /) = (У> Ya (У) /), (У, f) еA/,ПЮХ Л
где ga (соотв. Ya) — непрерывное отображение Ua(]U (соотв.
Ua()V) в G\(F). Записывая
Ч^Ф-1 (у, f) = (у, g(у)/), (у, f)^(U(]V)XF,
получаем
g (У) — (Ya (У))" ?а (У) ДЛЯ ВСЯКОГО у €= С/а П t/ П К-
Следовательно, g есть непрерывное отображение f/QV' в Gl^)
и, значит, Л обладает свойством (В. Р.)ц. Наконец, по самому
построению Л обладает^свойством (В. Р.)ш. ¦
Векторное расслоение (?*, р9 В\ s$) обозначают также
(?, р9 В; ^Ф).
2.4. Следствие. Пусть F — векторное пространство ко-
нечной размерности и ц = (Е9 р, В) — локально тривиальное
расслоение со слоем F. Для того чтобы два атласа $Ф и s&r
расслоения г\ определяли одну и ту же структуру векторного
расслоения на ц> необходимо и достаточно, чтобы выполня-
лось следующее условие:
если (Ua, Фа)е^, (?/{, Ф{)е^ и Ua(]U^0f то
(b, f) = F, gya (b) /), (&, f) e № П Ua) X
gya — непрерывное отображение U'yflUa. в Gl{F).

2. Векторные расслоения
35
2.5. Примеры. 1) Тривиальное векторное расслоение.
Пусть / — тождественное отображение произведения В X F
в себя. Карта (В, /) образует атлас s4 тривиального расслое-
ния 6 = (ВХЛ Pi» В), и B = (BXF, pu В; sf) есть тривиаль-
ное векторное расслоение с базой В и слоем F.
В частности, тривиальное расслоение со слоем @) называют
нулевым векторным расслоением с базой В.
2) Касательное расслоение к сфере S2. Сохраняя обозначе-
ния примера 3) п. 1.6, обозначим через s4> множество карт
{Uu Ф*), /=1, 2, 3. Тогда к\ = (Е9 Р» #'> &) есть векторное
расслоение со слоем R2. Действительно, функции перехода
выражаются следующими матрицами:
ХУ
yz
ZX
X
У
zx
E X Е> таких, что
Пусть D — множество пар ((и, и), (и', v'))
и = и/ и (и, v)==(ut v') = 0. Отображения
S: D->E
{{и, v), (ut v'))*->(u, v + v%
[i: RXE-+E
(Я, (и, v))y->(ut Xv)
непрерывны и индуцируют на каждом слое t] структуру век-
торного пространства размерности 2.
В действительности, как показывает следующая теорема,
такая ситуация есть общее свойство векторных расслоений.
2.6. Теорема. Пусть т| = (?7, р> В) — векторное расслое-
ние со слоем Ff и пусть D = (J Fb X Fb — множество таких
ь
ьв
пар (е, е') е Е X Е9 для которых р(е) — р (е'). Тогда сущест-
вуют
сечение s0: b*->0b расслоения ц над В,
непрерывное отображение 2: (е, е') н-> е + е' множества D
в Е,
непрерывное отображение \х: (Я, е) *—> Хе пространства RX?
в Е,
обладающие в каждой точке Ь^ В следующими свойствами',
1) 2(FbXFb)aFb;
2)(RXF)F

36 Гл. II. Векторные расслоения
3) 2 и \х определяют на Fb структуру векторного простран-
ства, изоморфного F и имеющего Оь в качестве нуля.
Говорят, что
so — нулевое сечение г\ (вообще говоря, вместо 0ь обычно
пишут 0),
в + ^'(при р(е) = р(е')) — сумма е и е\
%е — произведение е на скаляр X.
Доказательство. Пусть s?= {{U^ Фа)} — максимальный
атлас tj. Для любой карты (Uai (Da)czs? определим
сечение E0)а: Ua->E:
(*о)а(Ь) = Ф^(Ь, 0);
непрерывное отображение 2а открытого множества Da =
= U FbXFbaD в Е:
е') = Фа1(р(е), р2Фа (е) + р2Фа (еГ>)\
непрерывное отображение \ха: К"Кр(иа)->Е:
[ха(Я, е) = Фа1(р(е), Хр2Фа(е)).
Тогда справедливы равенства p2a(e, ef) — p{e) — p{ef) и
Пусть ([/о, Фа) — вторая карта из st, такая, что Ua П и»Ф0.
Тогда
&=Ф?1(Ь, 0) =
= (so)e (b) для всякого b e ?/p f| ?
(р (в), р2Фа (в) + Р2Фа И) =
= Ф^1 (р (е), ?р„ (р (в)) [р2Фа (в) + р2Фа (в')]) =
р р
= 2^ (е, е') для всякой пары (е, е') е Dg f] ^a!
ца(А, е) = Ф7'(р(в), Яр2Фа(е)) =
'а ' (Р (в), gpa (P (в)) [Яр2Фа (в)] ) =
= цр (Я, е) для всякой пары (X, е) е RXp (i/p П С/о)«
Таким образом, существуют непрерывные отображения s0: B-+E,
S; f)-*? и ц: RX^-^^, такие, что s0 \ц = («о)» 21да = 20

2. Векторные расслоения 37
и Iх Irxp^ )~VL<r пРовеРка свойств 1), 2) и 3) проводится
теперь без всяких затруднений. ¦
Легко показать, что при построении отображений % 2 и \х
можно ограничиться любым атласом г). Следовательно, опера-
ции, построенные в примере 2), совпадают с операциями из
теоремы 2.6.
2.7. Следствие. Пусть ir\ = (E, p, В) — векторное расслое-
ние и А — подмножество В. Отображения % 2 и \х индуци-
руют на множестве сечений расслоения г\ над А структуру
векторного пространства, нулевым элементом которого является
нулевое сечение s0 \A.
Более общо, если Я: А -> R — непрерывная функция и
s — сечение расслоения г) над А, то отображение s: b ь—> X (b) s (b)
является сечением г) над Л.
Пусть s — сечение т| над В и s? = {(Ua, Фа)} — атлас т|. Для
всякой карты (?/а, ' Фа) расслоения т| мы имеем sF) =
= Фа1(^> sa(b))y b^Uai где sa —- непрерывное отображение Ua
в F. Тогда для любого ?/р, такого, что и^С\1/аФ 0, имеем
s^(b) = g^(b)sa(b\ &e(/pfl Ua.
Обратно, задание семейства непрерывных отображений
sa: Ua.~-*F> удовлетворяющих предыдущим соотношениям, оп-
ределяет сечение s расслоения т| над В. Например, нулевое
сечение s0 определяется постоянными отображениями sa: &ь->0
множеств Ua в F.
2.8. Определение. Пусть ц = (Е, р, В) и г)'=(?', р\ В')—
два векторных расслоения со слоями F и F', определенные
максимальными атласами ^ = {(?/а, Фа)} и ^/ = {(/7а, Фа)}. Го-
моморфизм (Я, К) расслоения tj в расслоение г)' называется
гомоморфизмом векторных расслоений, если он удовлетворяет
следующему условию:
(Г.) для любых карт (Ua9 Фа)аЛ и (Uy, Ф^аЛ', таких,
что Н{иа)[\иуф 0, справедливо равенство
Ф^ЯФа1^, f) = (h(b)9 hya(b)f), (Ь, f)^(Ua(]h^l(Uy))XFt
где hva —- непрерывное отображение h"l(Uy)(]Ua в
Нот (Л F*) (см. 1.4).
Достаточно, впрочем, чтобы условие (Г.) выполнялось для
каких-нибудь атласов s& и s&', определяющих векторные рас-
слоения У] И Г]'.
Тождественный гомоморфизм является гомоморфизмом век-
торных расслоений, Композиция двух гомоморфизмов вектор-

38 Гл. II. Векторные расслоения
ных расслоений также является гомоморфизмом векторных
расслоений.
В дальнейшем мы будем писать просто «гомоморфизм»
вместо «гомоморфизм векторных расслоений» и говорить, что
векторное расслоение тривиально, если оно эквивалентно три-
виальному расслоению примера 2.5.
Упражнение. Пусть г\ = (Е, р, В) и ц' = (Е'9 р', В')—Два
векторных расслоения, и пусть (//, Л)— гомоморфизм г) в г\'.
Если Я — гомеоморфизм Е на Е/9 то (#~\ А") является гомо-
морфизмом (векторных расслоений).
2.9. Лемма. В обозначениях определения 2.8 выполнены
следующие соотношения:
*V3 <*> «3« (*) = Ava (*). & *= А (?/;) П i/p П С/а>
(*) " Л6а (*). & S /Г1 (?/e fl f/v) fl Ua
(где через g^a и g'6y обозначены функции перехода расслое-
ний г\ и г\').
2.10. Теорема. Пусть ц = (?, р, В) a r)/= (?"> Р\ В') — Eea
векторных расслоения со слоями F и F', определенные атла-
сами s4> —- {(f/a, Фа)} и s4>' = {(U у у Фу)}. Пусть h — непрерывное
отображение В в В', и пусть hya' h~l(U\)(] ?/a->Hom (F, F') —
семейство непрерывных отображений, удовлетворяющих соотно-
шениям леммы 2.9. Тогда существует и притом единственный
гомоморфизм Н:т\->х\' над h, такой, что выполнено усло-
вие (Г.) из 2.8.
Доказательство. Для всяких карт (f/a, Фа)сs4> и
)=^, таких, что h(Ua)(] Uy ф 0, положим
Н (е) = ф;" (h (&), AYa F) р2Фа (*)), 6Ef/aHJep (e).
Это определение Н корректно, так как если е ^ h {Ut (] Uy) (]
то
ФГ1 {h (&), /6Y (A (b)) hya (b) gaz (ft) р2
Например, постоянные отображения hya: &н->0 множества
fTl[u'y){) Uо, в Hom^, F') определяют гомоморфизм @, К) рас-

2. Векторные расслоения 39
слоения г) в т[. Говорят, что (О, К) — нулевой гомоморфизм
(над К).
2.11. Предложение. Пусть (Я, h): х\->х(—гомоморфизм
векторных расслоений. Тогда
Я@) = 0;
# (* + *') = # (*) + #(*');
Обратно, если Я: Е->Е' — непрерывное отображение, перево-
дящее линейно слои в слои, то Я является гомоморфизмом
векторных расслоений.
2.12. Предложение. Пусть ц = (Е, р, В) и х\' = (?', /, В')—
два векторных расслоения, и пусть h — непрерывное отобра-
жение В в В'. Отображения суммы и умножения на скаляр
индуцируют на множестве НогпЛ (т|э v() гомоморфизмов х\ в v[
над h структуру векторного пространства, имеющего в каче-
стве нулевого элемента нулевой гомоморфизм.
Доказательства этих двух предложений не представляют
трудности.
2.13. Теорема. Пусть х{ — (?', р', В') — векторное рас-
слоение со слоем F и /г — непрерывное отображение В в В'.
Пусть, далее, г\ = (Е, р, В) — расслоение, индуцированное из
расслоения ц' при отображении h, и Н — канонический гомо-
морфизм г) в х\'. Тогда на х\ существует структура векторного
расслоения, обладающая следующими свойствами:
1) (Я, К) — гомоморфизм векторных расслоений,
2) если 8 = (Д я, В) — векторное расслоение и /С: е -> tj' —
гомоморфизм над h векторных расслоений, то ассоциирован-
ный гомоморфизм L: е->ц является гомоморфизмом вектор-
ных расслоений.
Более того, эта структура векторного расслоения на ц опре-
деляется условиями I) и 2) однозначно с точностью до экви-
валентности.
Доказательство. Пусть s?r—{{U'a, Фа)} — максималь-
ный атлас if, и пусть Ua = h~l(Ua). Для всякого а отображе-
ние Фа: (Ь, е')*-*(Ь, p2®a(e')) является гомеоморфизмом p~l(Ua)
на GaXF, определяющим некоторую карту (Ua, Фа) расслое-
ния т|. Множество s4 = {{Ua, Фа)} является, таким образом,
атласом т|. Действительно, если Оа(]и^ф 0, то
%®:l(b, f) = (b, g'za(h(b))f), (b, f)e(?/p П Ua)XF
(где через g^a обозначены функции перехода атласа Лу Отсюда

40 Гл. П. Векторные расслоения
вытекает, что гомоморфизм (Я, К) есть гомоморфизм вектор-
ных расслоений, так как
Используя 2)/легко показать, что L является гомомор-
физмом векторных расслоений. Наконец, доказательство един-
ственности (с точностью до эквивалентности) структуры век-
торного расслоения на г\ аналогично доказательству в 1.7. ¦
В предположениях теоремы 2.13 мы будем обозначать ниже
через y\==h*(r\f) определенное в 2.13 векторное расслоение.
Можно, впрочем, определить у\ с помощью любого атласа г)'.
2.14. Теорема. Пусть <%l — (Ua)—открытое покрытие про-
странства В и F — векторное пространство конечной размер-
ности. Пусть, далее, g^a: U^r\Ua->Gl(F)(U^C\Ua=^= 0)—семей-
ство непрерывных отображений, удовлетворяющих условиям
уа
для ЛЮбовО X^Uy[\U^(] Ua.
Тогда существует и притом единственное с точностью до экви-
валентности векторное расслоение г| = (?, р9 Б; s&) со слоем F%
для которого отображения g^a являются функциями перехода
атласа si.
Говорят, что (?/а, g^a) — коцикл на В со значениями в Gl(F)
(подчиненный открытому покрытию °U). Таким образом, этлас
<& — {(Ua> Фа)} векторного расслоения т] определяет коцикл
{Ua, gpa), который характеризует т] с точностью до эквива-
лентности.
Доказательство. Пусть 2—топологическая сумма произ-
ведений ?/аХЛ и пусть р —отношение эквивалентности на S,
отождествляющее пары (х, е) €= Ua X F и {у, f) e U^ X F в том
случае, когда х = у и f = g^a(x)e (условия, наложенные на g^af
гарантируют, что р действительно является отношением экви-
валентности). Очевидно, ^то р — открытое отношение эквива-
лентности. Пусть я—проекция 2 на факторпространство Е = 2/р.
Непрерывное отображение 2 на В9 определенное проекцией
Ua X F на первый сомножитель, согласовано с р. Следова-
тельно, оно определяет непрерывное и сюръективное отобра-
жение р: Е->В.
Тройка у) = (Е, р, В) является локально тривиальным рас-
слоением со слоем F. Действительно, обозначим через па огра-
ничение я на UaXF; тогда яа—гомеоморфизм UaX^ на p~l (Ua),
такой, что ропа(х9 f) — x, и, следовательно, (?/а, ла 1)—карта ц.

2. Векторные расслоения 41
Множество бФ = {(Ua, я)} является атласом tj, так как если
и^[\иаФ 0, то
*эХ ^ П - (&> е^а (Ь) /)> <Ь, /) s (?/3 П ?/в) X Л
Следовательно, ti = (?, р, Б; st) — векторное расслоение со
слоем F, для которого отображения g^a являются функциями
перехода.
Пусть теперь г\/ = (Е/, рг, Ъ'\ $ФГ) — векторное расслоение со
слоем F, определенное атласом s?' = {(Ua9 Фа)}, для которого
отображения g^a также являются функциями перехода.
Непрерывное отображение Н: 2-+е\ равное Ф^ на С/аХЛ
согласовано с р, поэтому оно определяет непрерывное отобра-
жение Н: E->E't такое, что р' о # = р. Гомоморфизм (Я, Л): tj-^t]'
над тождественным отображением базы В является тогда изо-
морфизмом векторных расслоений. Действительно,
Фэ#яа (ь9 п - ф^ф;1 F, /)=(ь, 89а (b) f), F, п € (?/э n f/a) х z7. ¦
В предположениях теоремы 2.14 мы будем обозначать через
г\ = (Е, р9 Б; s4>) векторное расслоение, построенное при дока-
зательстве этой теоремы.
Аналогичным образом доказывается и следующее пред-
ложение:
2.15. Предложение. Пусть (Ua, g^a) и (U'yf g^,) — два
коцикла на некотором пространстве В со значениями в одной
и той же линейной группе Gl(F). Для того чтобы расслое-
ния ц и г/, определенные этими коциклами, были эквивалентны,
необходимо и достаточно, чтобы существовало семейство непре-
рывных отображений hya: Uyf[Ua-+GHF) {U'yfiUa^ 0), удо-
влетворяющее следующим условиям:
2.16. Следствие. Пусть (Ua, g^a) u (Ua, g^) — dea ко-
цикла на пространстве В со значениями в одной и той же
линейной группе Gl (F), подчиненные одному и тому же откры-
тому покрытию (Ua) пространства В. Для того чтобы расслое-
ния т] и гO, определенные этими коциклами, были эквивалентны,
необходимо и достаточно, чтобы существовало семейство не-
прерывных отображений ha: Ua->Gl(F), такое, что
ё'&а (Ь) К W = h ^ ?Э« (&) длЯ ЛЮбогО 6еС/рП Ua.
Действительно, в обозначениях 2.15 достаточно положить

42 Гл. 11. Векторные расслоения
3. Ассоциированные расслоения. Ориентация
3.1. Пусть г] = (?, р, В) —векторное расслоение со слоем F
и (Ua, gpa) — коцикл на В, соответствующий максимальному
атласу расслоения т|. Пусть, далее, Я — непрерывный гомомор-
физм группы G\(F) в группу GHZ7') автоморфизмов векторного
пространства конечной размерности F'. Непрерывные отобра-
жения g$a = k°gpa пересечений U^[]UaB Gl^F') удовлетворяют
соотношениям
«tf (*) 4a (*) = 4» <*) *ЛЯ ЛЮб0Г0 Ь е Uy П #р П ?/в.
Таким образом, (?/а, ^а)~коцикл на В со значениями в группе
Gl(F').
3.2. Определение. Пусть F и Т7' — два векторных про-
странства конечной размерности и Я — непрерывный гомомор-
физм G\{F) в Gl(F'). Пусть rj—векторное расслоение с базой В
и слоем F. Обозначим через (Ua, g^a) коцикл, соответствующий
максимальному атласу этого расслоения. Векторное расслое-
ние % с базой В и слоем F', определенное коциклом (?/а, Я©g )9
называется расслоением, ассоциированным с расслоением т] при
помощи гомоморфизма Я.
Если st> — атлас т], определяющий коцикл (Vy> g'6y) на В,
то расслоение с базой В и слоем F\ определенное коциклом
(УУ> k°g'6y), эквивалентно т]А#
Расслоение, ассоциированное с тривиальным векторным рас-
слоением, также является тривиальным.
3.3. Примеры. Расслоения внешних р-форм. Обозначим
через Ар (F) векторное пространство внешних р-форм на F.
Отображение аь—>(a*)-1 является непрерывным гомоморфиз-
мом %р\ Gl (F) -> Gl (A^ (F)). Ассоциированное расслоение Ар (т)) =
= ч)к называется расслоением внешних р-форм на г\. Расслое-
ние r\* = kl(r\) называют также двойственным к расслоению ц.
3.4. Предложение. Пусть ц = (Е, р, В) — векторное рас-
слоение со слоем F и Dm = (J {Fb)m с: Em—множество после-
довательностей (еи ..-г, em)^Em, таких, что р{ех)= ... =р(ет).
Тогда векторное пространство сечений над В расслоения Aw(r))
изоморфно множеству непрерывных функций о: ?>m->R, таких,
что ограничение о на (Fb)m есть внешняя р-форма на Fb для
любого Ъ е В.
В частности, векторное пространство сечений над В двой-
ственного расслоения rj* изоморфно множеству непрерывных

3. Ассоциированные расслоения. Ориентации 43
функций /: ?-*R на Е9 таких, что ограничение / на каждый
слой Е есть линейная форма.
Доказательство. Пусть s? = {(Ua, Фа)}~максимальный
атлас т] и (?/а, gpa) — соответствующий ему коцикл. Сечение s
расслоения Aw(r]) над В задается семейством непрерывных
отображений sa: Ua -> Am (F), таких, что
Определим для каждой карты (?/а,Фа) расслоения т] непрерывное
отображение аа открытого множества DZ = (J {Fb)m с: Dm в R
следующими формулами:
Теперь легко проверить (аналогично тому, как это делалось
в доказательстве теоремы 2.6), что отображения аа определяют
непрерывную функцию а на Dw, такую, что для любой точки
JeB ограничение а на (Fb)m есть внешняя р-форма на Fb.
Обратно, всякая такая функция определяет при помощи
предыдущего равенства некоторое сечение расслоения Ат(т])
над В и построенные два соответствия являются взаимно
обратными изоморфизмами. ¦
3.5, Замечание. Построенный выше изоморфизм согласо-
ван в следующем смысле с отображениями ограничения: если
А — подмножество Bus — сечение Aw {ц) над В, соответствующее
скалярной функции а на Z)w, то ограничение 5 на А соответствует
ограничению а на подмножество (J (Fb)m cz Dm. В частности,
bA
bsA
взяв в качестве А точку jcgB, получаем, что слой Ар(ц) над
точкой х изоморфен пространству внешних р-форм на слое Fx
расслоения т] над точкой х.
Ниже сечения расслоения Ат(т]) и соответствующие функ-
ции на Dm будут обозначаться одним символом.
3.6. Следствие. Пусть ц и т[ — два векторных расслое-
ния и (Я, h) —гомоморфизм ц в ц'. Если s— сечение km{v[),
то отображение (е{> ..., em)*->s(Heit ..., Hem) определяет сече-
ние (Я, h)* s расслоения кт(ц).
Итак, отображение 5ь->(Я, h)* s является линейным ото-
бражением векторного пространства сечений расслоения Am(r)')
в векторное пространство сечений расслоения Ат(т]). В част-
ности, если (Я, h) — канонический гомоморфизм вложения т) U

44 Гл. II. Векторные расслоения
вг], то (Я, Л)* — гомоморфизм ограничения сечений (замеча-
ние 3.5).
3.7. Определение. Векторное расслоение т] размерности п
называется ориентируемым, если расслоение А*(т]) внешних
я-форм на ц тривиально.
3.8. Предложение. Пусть ц—векторное расслоение раз-
мерности п. Расслоение ц ориентируемо тогда и только тогда,
когда существует ненулевое сечение расслоения АЛ(т]).
Поскольку кп(т]) — векторное расслоение размерности 1,
предложение 3.8 вытекает из следующего результата:
3.9. Предложение. Векторное расслоение размерности 1
тривиально тогда и только тогда, когда оно обладает ненуле-
вым сечением.
Доказательство. Необходимость очевидна. Предположим
теперь, что слой F расслоения ц = (Е, р, В) имеет размерность 1
и существует нигде не обращающееся в нуль сечение s: B-+E.
Обозначим через Я изоморфизм F на R. Тогда отображение
Я: В X F —> Е, задаваемое формулой Я F, /) = Я (/) 5 F), является
изоморфизмом тривиального расслоения 9 = (ВХЛ Ри В) на ц.
Действительно, если {{Ua, Фа)} — атлас т] и сечение 5 опреде-
ляется отображениями sa: (/a->F, то
ФаН(Ь9 /) = Фа(Я(/MF)) = F, Я(/К(% ¦
3.10. Лемма. Пусть у\ = (Е, р, В) — тривиальное векторное
расслоение размерности 1 и su s2 — dea ненулевых сечения ц.
Тогда существует непрерывная функция Я: ?->R — {0}, такая,
что s2 = hsx.
Доказательство этой леммы не представляет трудности.
Пусть г] = {Е, р, В) — ориентируемое векторное расслоение
размерности п и Го — множество ненулевых сечений расслое-
ния Ап(т]). Отношение s2 = ks{, где Я — непрерывная строго
положительная функция на В, является отношением эквива-
лентности на Го.
3.11. Определение. Пусть т] = (Е, р, В) — ориентируемое
векторное расслоение размерности « иГ0~ множество ненуле-
вых сечений расслоения Ап(т]). Ориентацией расслоения т] назы-
вается класс эквивалентности в Го по отношению эквивалент-
ности 52 = Я5Ь где Я—непрерывная строго положительная функ-
ция на В.
Ориентация т] определяет ориентацию каждого слоя. Если
выбор ориентации сделан, то ц называют ориентированным
векторным расслоением.

3. Ассоциированные расслоения. Ориентация 45
Класс эквивалентности ненулевого сечения s расслое-
ния Ап (г\) определяет ориентацию т), поэтому часто s называют
ориентацией tj.
3.12. Предложение. Пусть v) = {E, р, В) — ориентируе-
мое векторное расслоение размерности п со связной базой В.
Тогда у\ обладает ровно двумя ориентациями.
Действительно, всякая непрерывная и не обращающаяся
в нуль функция на В либо всюду положительна, либо всюду
отрицательна. Если сечение 5 расслоения An(r]) определяет
какую-то ориентацию т], то оставшаяся из двух возможных
ориентации г\ определяется сечением — s.
3.13. Определение. Пусть ц и т/— два векторных рас-
слоения размерности п, ориентированные ненулевыми сечениями
v vl w расслоений Ап(т]) и кп(ц') соответственно. Изоморфизм
(Я, h): ц->г[ называют согласованным с этими ориентациями,
если v и (Я, h)* w определяют одну и ту же ориентацию ц.
Если т] = т]' и v = w, то говорят, что (Я, К) сохраняет
ориентацию ц\ говорят, что (Я, К) обращает ориентацию ц,
если v и — (Я, h)* v определяют одну и ту же ориентацию.
3.14. Теорема. Пусть В — паракомпактное локально связ-
ное топологическое пространство и г\ — векторное расслоение
с базой В и слоем F, который является ориентированным век-
торным пространством размерности п. Расслоение ц ориенти-
руемо тогда и только тогда, когда существует его атлас $Ф,
определяющий коцикл (Ua, g»a) на В, такой, что для любой
пары (а, Р) и любой точки b ^ U^(]Ua автоморфизм g^a (b)
сохраняет ориентацию F.
Доказательство. Пусть si> = {{Ua, Фа)} — атлас расслое-
ния т|, определяющий коцикл (Ua, gaa) на В. Поскольку В ло-
кально связно, каждая компонента связности любого Ua открыта
в В; поэтому можно считать, что все открытые множества Ua
связны. Пусть s~ ненулевое сечение Ап(т]) над В, определяе-
мое семейством непрерывных отображений sa: Ua->kn{F). Для
всякой карты (f/a, Фа)е<^ можно написать [(Фа)*^ Ьа)] (?)==
^ 5а (Ь) = ^а {b) v, где и — форма объема, определяющая ориен-
тацию F, а Яа: ?/a-*R — непрерывная функция, не обращаю-
щаяся в нуль.
Мы можем предполагать (взяв, если понадобится, компо-
зицию Фа и симметрии относительно какой-нибудь гиперпло-
скости в F), что каждая функция Яа положительна. При этом
условии мы имеем
sp (b) = Лр (b) v = det (gpa (b)) sa (b) = det (g&a (b)) К (b) v,

46 Гл. //. Векторные расслоения
и, следовательно,
что и доказывает необходимость условия теоремы.
Обратно, предположим, что «s^ = {(?/a, Фа)}—такой атлас г),
для которого функции перехода g^a принимают значения
в Gl+ (F). Поскольку В паракомпактно, можно предполагать,
что покрытие (Ua) локально конечно. Следовательно, сущест-
вует разбиение единицы (qpa), подчиненное покрытию (Ua)
((фа) представляет собой семейство непрерывных отображений
фа: ?->[0, 1], тцких, что ф (@, \])aUa для любого а и
2 Фа (ь) = 1 Для любого Ь^ВI).
Для всякой карты (С/а, Фа) расслоения г) отображение
aa = (Oa)*v является сечением Ап{ц) над Ua (через v обозна-
чено сечение &ь-^F, v) тривиального расслоения (?/aX hn(F)>
Рь ^a))« Сечение (ФаЬа)^ продолжается (нулем на B--Ua) до
сечения расслоения Ап(г)) над В. Поскольку открытое покры-
тие (Ua) локально конечно, сумма s = 25a является корректно
a
определенным сечением АЛ(г)) над В. Докажем, что это сече-
ние не обращается в нуль ни в одной точке В.
Действительно, пусть 6еВ и ?/aj, ..., Uar —- элементы по-
крытия (?/а), содержащие 6. Тогда
F))
и, следовательно, s(b) фО. Доказательство достаточности за-
кончено. ¦
4. Подрасслоения. Факторрасслоения. Сумма Уитни
4.1. Предложение. Пусть F — векторное пространство
конечной размерности и F' — подпространство F. Пусть tj=
= (?, р, В) — векторное расслоение со слоем F и т)' = (?', р\ В)—
векторное расслоение с той же базой В и со слоем F'. Пусть,
наконец, Н — инъективный гомоморфизм т/ в ц над В. Тогда
можно найти атлас s& = {(Ua, Фа)} расслоения tj, обладающий
для любого а следующими свойствами:
1) существует гомеоморфизм Фа: р7^1 ((/J^^X^ такой,
что (?/а, Фа) — векторная карта т]',
]) В гл. III будет приведена конструкция разбиения единицы для диф-
ференцируемого многообразия X (предложение 2.12).

4. Под расслоения. Факторрасслоения. Сумма Уитни 47
2) ФаЯФГ1 (b, f) = (b, f), (b, /)e[/aXf.
Более того, в обозначениях 1) имеют место следующие три
свойства:
3) множество карт (Ua, Фа) образует атлас s4>' расслоения т)',
4) функции перехода g^a атласа s& переводят подпростран-
ство F' в себя,
5) функции перехода g^a атласа $$-' являются ограниче-
ниями gpa на F'.
Говорят (подразумевая существование Я), что ц' — подрас-
слоение расслоения ц.
Доказательство. Пусть $ = {(Ua, Ч^)} — такой атлас г\,
что для любого а существует (векторная) тривиализация Фа
расслоения т]' у . Тогда
Ч^аЯФГ1 F, /) = F, ha (Ь) f), F, f)<Z=UaX F',
где ha — непрерывное отображение Ua в Hom(f, Т7).
Взяв, если понадобится, измельчение открытого покры-
тия {Ua), можно найти для каждого а непрерывное отображе-
ние ga: Ua->Gl{F), такое, что для всякой точки b^Ua ото-
бражение ga(b)ha{b) является каноническим вложением F' в F.
Отображение Фа: е*->(р{е), ga(p{^))p2^a(e)) определяет век-
торную карту (Ua, Фа) расслоения г\, и множество таких карт
(f/a, Фа) образует атлас ^, удовлетворяющий условиям 1)--3).
Выполнение условий 4) и 5) немедленно следует из леммы 2.9V ¦
Легко доказывается следующее обратное утверждение:
4.2. Предложение. Пусть (Ua, g^a) — коцикл на В
со значениями в Gl (F), такой, что подпространство F' a F
инвариантно относительно goa. Пусть, далее, т] = (?1, р9 В) и
г]7 = (?', р', В) — векторные расслоения со слоями F и F', соот-
ветствующие этому коциклу. Тогда существует и притом един-
ственный инъективный гомоморфизм Я: г)'—>т], обладающий
следующим свойством: для Любого индекса а
haa{b)f — f, b^Ua и f^F' (обозначения п. 2.8).
Аналогичным образом могут быть получены следующие два
предложения:
4.3. Предложение. Пусть F — векторное пространство
конечной размерности, F' — факторпространство F и q — проек-
ция F на F'. Пусть, далее, ч) = (Е, р, В) — векторное расслоение
со слоем F и т/ = (Е', рг, В) — векторное расслоение с той же
базой В и со слоем F\ Пусть, наконец, К — сюръективный
гомоморфизм т) на г{ над В. Тогда можно найти атлас

48 Гл. II. Векторные расслоения
s? = {(Ua, Фа)} расслоения т], обладающий для любого а сле-
дующими свойствами:
1) существует гомеоморфизм Фа: р'" (Ua)-> Ua X F'f такой,
что пара {Ua, Фа) является векторной картой ц',
2) Фа/СФа' (Ь, /) = F, 9 (/)), (*. /)eI/eX Л
Более того, в обозначениях 1) имеют место следующие три
свойства:
3) множество карт (?/а, Фа) образует атлас зФг расслое-
ния Т]',
4) функции перехода g^a атласа $4- согласованы {коммути-
руют) с q,
5) функции перехода g^a атласа $Ф' являются факторфунк-
циями gpa.
Говорят (подразумевая существование К), что r\f — фактор-
расе лоение расслоения т).
4.4. Предложение. Пусть (Ua, g^) —коцикл на В со
значениями в G\(F), такой, что g^a согласованы (коммутируют)
с проекцией q: F->F'. Пусть т] = (?, Р, В) и ц' = (Е'ур', В) —
векторные расслоения на В со слоями F и F', соответ-
ствующие этому коциклу. Тогда существует и притом един-
ственный сюръективный гомоморфизм К: т]->'П/ над В, обла-
дающий следующим свойством: для любого индекса а
4.5. Определение. Пусть % — (Eh pu B\ i— 1, 2, 3,—три
векторных расслоения с базой В и слоями Fu F2 и F3, и пусть Н
(соотв. К) — гомоморфизм т)! в т]2 (соотв. т]2 в г\3) над В. После-
довательность 0-^г]! —>%-^т]з-->0 называется точной после-
довательностью векторных расслоений, если для любого Ь е В
точна последовательность
При этих условиях размерность т]2 равна сумме размерно-
стей т)! и т]3, и композиция К°Н является нулевым гомомор-
физмом т)! в % над В.
4.6, Предложение. В предположениях 4.1 существуют
векторное расслоение т)// = (?1//, р"> В) с базой В и слоем
F" = F/F' и сюръективный гомоморфизм К: /п~>'П// над В,
такие, что последовательность 0->т|'— +у\— ->1\"-+0 точна.
Более того, расслоение ц" (и гомоморфизм К) определяется
этим условием однозначно с точностью до эквивалентности,

4. Под расслоения. Факторрасслоения. Сумма Уйти 49
Говорят, что г)" — факторрасслоение расслоения т] по (под-
расслоению) Г)'.
4.7# Предложение. В условиях предложения 4.3 суще-
ствуют векторное расслоение t)" = (E"> р", В) с базой В и
слоем F" = q~l@)cz F и инъективный гомоморфизм Н: 1ц"-+ц
над Ву такие, что точна последовательность
0-»rf — >л— *П/-»0.
Более того, расслоение т|" (и гомоморфизм Н) определяется
этим условием однозначно с точностью до эквивалентности.
4.8. Предложение. Пусть у\ = (?, р, В) и х\' = (?', р', В)—
векторных расслоения с одной и той же базой В и Н¦—¦ гожо-
морфизм ц в if «ad В, имеющий постоянный ранг (ранг
Н: Рь->Р'ь не зависит от Ь). Тогда
1) расслоение Кег Я = (Я5о(В), р, В) является под расслое-
нием ц",
2) расслоение Im# = (#(?), //, В) является подрасслое-
нием v\',
3) расслоения Кег Н и 1тН определяются точной последо-
вательностью 0->Кег #-*т|— ->Im#->0 однозначно с точ-
ностью до эквивалентности.
Расслоения Кег Я и Im# называют ядром и образом рас-
слоения ц при гомоморфизме Н.
Доказательства трех последних предложений не предста-
вляют трудностей.
4.9. Пусть г] = (?, р, В) и rf = (E', p', В7) —Два векторных
расслоения со слоями F и Т77, определяемые максимальными
атласами d={{Ua, Фа)} и t^/ = {(VY, Ч\)}. Тройка 'пХ'П/ =
= (? X ?'> Р X р', В X й7) является локально тривиальным рас-
слоением со слоем FY^F', и множество si X «^' = {(^а X ^Y>
Фа X Ч\)) определяет структуру векторного расслоения на ^Хл'*
4.10. Определение. Пусть г] = (?|, р, В; $1) и г]/ = (?1/,
р', Вл, ^0"~Два векторных расслоения. Векторное расслоение
ц х т/ = E1 X f1', PX/, BXB'; s&X<&') называется произве-
дением расслоений ц и т]'.
Размерность лХ1!7» очевидно, равна сумме размерностей
Г] И ГO.
Упражнение. Если si = {((/а, Фа)} — атлас г\ и ^ =
= «*\, ^Y)} ~ атлас г{9 то ^ X ^ = «?/в X ИY, Фа X Ту)}-атлас

50 Гл. II. Векторные расслоения
4.11. Пусть рх (соотв. р2) —проекция ВХВ' на В (соотв.
на В'). Расслоение р\(ц) имеет слой F и базу ВХВ'. Тоталь-
ным пространством этого расслоения является множество D
троек (bt &', е)^ ВХВ'ХЕ, таких, что р(е) = Ь.
Пусть 1г: D->EXE' и Р{: EXE'-*D~- непрерывные ото-
бражения, задаваемые формулами Д F, Ь\ е)=(е, 0ь>) и Р{ (е, е')=
= (р(е), р'[е'), е). Легко проверить, что 1Х и Рх—-такие гомо-
морфизмы векторных расслоений над ВХВ\ что Рх о /j — то-
ждественный автоморфизм PiCn).
Аналогичным образом определяются гомоморфизмы вектор-
ных расслоений /2: р\(у{)~> ц X Л7 и р2: Л X Л7 "* Рг (лО» такие,
что Р2 о /2 — тождественный автоморфизм р2 (лО«
Справедливо следующее предложение:
4.12. Предложение. Последовательности
4.13. Определение. Пусть г] = (?, р, Б) и г]7 = (?</, р7, В)—
два векторных расслоения с одной и той же базой В. Суммой
Уитни лФл7 расслоений рт); называется расслоение, инду-
цированное из расслоения г^Хл7 ПРИ диагональном отображе-
нии В в ВХВ:
d: 6 ь-> F, 6).
Сумму Уитни лФл7 обозначают {Е@Е', р@р', В). Размер-
ность г]©^7 равна сумме размерностей ц и ц'. Тотальное про-
странство Е@Е' суммы Уитни t\®v[ состоит из троек F, е> е') е
^ВХЕХЕ\ таких, что р{е) = р'{е') = Ь. Это пространство
гомеоморфно, таким образом, множеству D таких пар (е, е')е
^ЕХЕ', что р{е) = р/{е/). Проекция р@р' переходит при этом
гомеоморфизме в отображение я: (е, е') н-> р (е) = рг [е').
4.14. Как и в 4.11, отображения
Рг:
Р2:
являются гомоморфизмами векторных расслоений, обладаю-
щими следующими свойствами;

4. Под расслоения. Факторрасслоения. Сумма Уитни 51
1) Р, о/j — тождественный автоморфизм т),
2) Р2 ° /2 ~ тождественный автоморфизм т]7,
3) последовательность 0->г)— ^лШл7 —^л'-^О точна,
4) последовательность 0-*г]7 —->'лфтO -^>т]->0 точна.
Упражнения. 1) Отображение 2: (е, в7)»->е + е' (тео-
рема 2.6) является гомоморфизмом v)®r\ в т) над В.
2) Если т] и г]7— два ориентируемых векторных расслоения
над В, то сумма Уитни ^фт]7 ориентируема. Более того, ориен-
тация т]фт17 определяется ориентациями т] и гO.
3) Пусть г] и г]7 —два векторных расслоения. Тогда произ-
ведение лХ^7 эквивалентно сумме Уитни р* (г\)фр* (гO).
4.1-. Предложение. Я^/сгб ц = {Е,р,В)и гO = (?7, р7,В)—
векторных расслоения размерности п с базой В. Тогда rj7
эквивалентно двойственному расслоению г\* расслоения ц в том
и только в том случае, если существует непрерывное отобра-
жение Л: ?®jE:7->R, такое, что ограничение h на любой слой
расслоения ц@х\' является невырожденной билинейной формой.
Доказательство этого предложения предоставляется чита-
телю.

Глава III
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Через Rm будет ниже обозначаться арифметическое веще-
ственное пространство размерности т (снабженное своей евкли-
довой нормой). Канонические координаты в Rm будут обозна-
чаться Х\> ..., хт. Мы будем отождествлять в дальнейшем
RmXRftcR^, а IT-с гиперплоскостью хт = 0 в R™.
Под дифференцируемостью всюду ниже будет подразуме-
ваться бесконечная дифференцируемость.
Обозначим через Нт полупространство Rm, определяемое
условием хт^0. Отображение h открытого подмножества U
топологического пространства Нт в пространство R" называется
дифференцируемым, если существуют открытое множество V
пространства Rm, содержащее U, и дифференцируемое отобра-
жение g: K->Rft, такие, что A=*g|^. В этом случае ограниче-
ние отображения h на f/f|Rm" также является дифференци-
руемым.
Мы примем без доказательства две следующие фундамен-
тальные теоремы:
1) инвариантность размерности: для тф п открытое под-
множество в Нт не может быть гомеоморфно никакому от-
крытому подмножеству в Нп;
2) инвариантность края: пусть U и F—два открытых под-
множества Нт и h — гомеоморфизм U на V; тогда h{U П Rm~l)=
1. Гладкие структуры
1.1. Определение. Многообразием {топологическим,
с краем) размерности m называется непустое отделимое топо-
логическое пространство со счетной базой, каждая точка ко-
торого имеет окрестность, гомеоморфную открытому множе-
ству в Нт.
Многообразием размерности 0 называется дискретное топо-
логическое пространство с не более чем счетным множеством
элементов.
Непустое открытое подмножество многообразия размер-
ности т также является многообразием размерности т.

1. Гладкие структуры 53
Пусть Мт — многообразие размерности т. Картой много-
образия Мт называется пара (?/, qp), состоящая из открытого
множества U а Мт и гомеоморфизма ф, отображающего U на
некоторое открытое множество в Rm или Нт. Говорят, что
функции yl = xloq)i ..., ут = хтоу образуют систему локаль-
ных координат на f/.
1.2. Предложение. Размерность многообразия является
топологическим инвариантом: два гомеоморфных многообразия
имеют одинаковую размерность.
Это предложение является непосредственныхМ обобщением
теоремы об инвариантности размерности.
1.3. Пусть Мт —• многообразие размерности т. Обозначим
через IntiWm множество таких точек Мт, которые обладают
окрестностью, гомеоморфной открытому множеству в Rm, и
положим дМт = Мт — Int Мт. (Корректность этих обозначений
следует из теоремы об инвариантности края.) Тогда справед-
ливы следующие утверждения:
1) Int Mm — непустое открытое подмножество Мт.
2) IntMm — многообразие размерности т и d(IntMm)=0,
3) дМт — замкнутое нигде не плотное подмножество в Мт,
4) если множество дМт непусто, то оно является много-
образием размерности т—1, причем д(дМт)= 0,
5) если т = 0, то дМт=0.
Говорят, что Int Мт — внутренность Мт, а дМт — край Мт.
Если дМт=0у то Мт называют многообразием без края.
1.4. Предложение. Пусть Мт и Nn — dea многообразия
размерностей тип соответственно. Тогда прямое произведе-
ние Мт X Nn топологических пространств Мт и Nn является
многообразием размерности т + п и
д {Мт X Nn) = (дМт) XNn[)MmX (dNn).
Действительно, произведение Нт X Нп гомеоморфно (но не
диффеоморфно) Нт+п.
Говорят, что многообразие Мт X Nn е^ть произведение
многообразий Мт и Nn.
1.5. Примеры. 1) Линейные пространства. Вещественное
линейное пространство конечной размерности m является мно-
гообразием без края размерности т.
2) Окружность. Единичная окружность S1 является ком-
пактным многообразием без края размерности 1: действительно,
для всякой точки JceS1, x = e?ni\ 0<|< 1, отображение

54 Гл. III. Дифференцируемые многообразия
tv->e2nit определяет гомеоморфизм ух открытой окрестности
Ux = Sl — {— х) точки х на интервал fg — у, I Ч-у).
3) Лист Мёбиуса. Лист Мёбиуса Е является компактным
многообразием размерности 2 с краем. Действительно, в обо-
значениях примера 1.6 гл. II каждая точка х^Е может быть
представлена в виде х = ш(и, v), v<l. Проекция ш опреде-
ляет, таким образом, гомеоморфизм срй открытой окрестности Uu
точки х на открытое множество Vu = (u — у, и Ч-у) X [0, 1)
пространства Я2. Край дЕ листа Мёбиуса гомеоморфен окруж-
ности S1: *x(RX{0}) = t*t(RX{1}).
4) Сфера. Единичная сфера S2 в пространстве R3 является
компактным многообразием размерности 2 без края. Действи-
тельно, определим "открытые множества Ui9BczS2, /==1, 2, 3,
е—± I, неравенствами zxt > 0. Отображения
(Xb X2i X3)*~*(XU Х3),
Фз,е- ^3,8-^R2
определяют карты (Uit e, фл е) в окрестности каждой точки S2.
1.6. Определение. Пусть Мт — топологическое много-
образие размерности т. Структура дифференцируемого много*
образия на Мт определяется заданием семейства ^ = {(?//, <р*)}
карт на Мт, обладающего следующими свойствами:
(Д. М.^ (Ui) —открытое покрытие Мт;
(Д. М.)ц если U^fiU^ 09 то qypj является дифферен-
цируемым отображением q>*(?/*0 Ui) в Ф/ (i/| П Uj)\
(Д. М.)щ если & z> $Ф — семейство карт на ЛГ", обладаю-
щее свойствами (Д. M.)i и (Д. М.)ц, то $ = ,я?
Снабженное такой структурой многообразие обозначают
(Мт; Л), а чаще просто Мт, и говорят, что {Мт\ d) — диффе-
ренцируемое (или гладкое) многообразие размерности т. Мно-
жество ^называется атласом дифференцируемого многообразия
(Мт; 3), а элементы ^называются дифференцируемыми картами
на Мт. Дифференцируемые отображения qypf1: фД^/П^/)->
носяг название функций перехода атласа Л.

1. Гладкие структуры 55
Более общо, атласом многообразия (Mm\ s?) называют под-
множество si множества s?, обладающее свойствами (Д. М.^
и (Д. М.)ц; s$ называют в этом случае максимальным атласом
многообразия (Mm\ s4). Введение этих понятий оправдывается
следующим предложением:
1.7. Предложение. Пусть Мт — топологическое много-
образие размерности m и $4> = {(UU фг)}—семейство карт на Мт,
обладающее свойствами (Д. М.)! и (Д. М.)ц. Тогда существует
и притом единственное семейство бФ карт на Мт, содержа-
щее зФ и определяющее структуру дифференцируемого много-
образия на Мт.
Доказательство. Обозначим через Л множество карт
((/, ф) на Мт, обладающих следующим свойством: для всякой
карты ([//, ф?)е^, такой, что V [\\J {Ф 0, отображения ф/ф"
и фф дифференцируемы. Множество эФ содержит s4>y поэтому
оно удовлетворяет (Д. M.)i.
Пусть (?/, ф) и (F, a|)) —две карты Л и U()V ф 0. Для
любой точки jtel/flV существует карта {Uh4i)cz$4<, такая,
что x^Ui. Отсюда ф-ф = (фФГ1)(ф^'ф") и отображение ф-ф
дифференцируемо в точке ^(л:). Следовательно, зФ удовлетво-
ряет условию (Д. М.)ц.
Наконец, по самому построению ^удовлетворяет (Д. М.)ш. ¦
Таким образом, мы можем обозначать дифференцируемое
многообразие {Мт\ s$) и через (Мт\ s?).
1.8. Следствие. Пусть Мт — топологическое многообра-
зие размерности т. Две структуры дифференцируемого много-
образия на Мт, определяемые атласами <&={{Uif ф/)} и $4-' =
= {(Ffc, tyk)}> совпадают тогда и только тогда, когда выполнено
следующее условие: для любой пары карт {Ut\ ф<) е st> и
(Vk, tyk) ^ М'> такой, что UiftVk^tb, отображения tykq)~l и
q>i \|)j! дифференцируемы.
Например, две карты (R, х*->х) и (R, х*->хг) определяют
две различные структуры дифференцируемого многообразия
на вещественной прямой R.
1.9. Примеры. 1) Линейные пространства. Пусть Е — ли-
нейное пространство конечной размерности m и h — изомор-
физм Е на Rm, Карта (?, К) определяет структуру дифферен-
цируемого многообразия на ?, и эта структура не зависит от
выбора изоморфизма h. Мы будем всегда снабжать веществен-

56 Гл. III. Дифференцируемые многообразия
ное линейное пространство конечной размерности указанной
линейной структурой.
2) Пусть / — интервал в R и / - вложение / в R. Карта (/, /)
определяет структуру дифференцируемого многообразия на /.
3) Открытое подмногообразие. Пусть Мт — дифференцируе-
мое многообразие, определяемое своим максимальным атласом
s? = {([/*, ер*)}, и К —открытое подмножество Мт. Множество
s?\v таких карт из Л, для которых Utc:V, определяет струк-
туру дифференцируемого многообразия на V. Эта структура
на V называется индуцированной структурой. Ниже мы всегда
будем снабжать открытое множество V дифференцируемого
многообразия Мт индуцированной структурой и называть V
- открытым подмногообразием Мт.
В частности, если Е — вещественное линейное пространство
конечной размерности, то группа Gl(?) является открытым
подмногообразием линейного пространства End (Е).
4) Окружность. Две карты (Uv qpj) и (?/_р Ф_/) (см. 1.5, 2))
определяют структуру дифференцируемого многообразия на
окружности S1. Действительно,
V~lVl 1/ ПРИ 0<*<»/2.
5) Лист Мёбиуса. Аналогично проверяется, что четыре карты
(Uu> Ф«)> и = 0, 7г, 1, 3/2 (см. 1.5,3)), определяют' структуру
дифференцируемого многообразия на листе Мёбиуса.
6) Сфера. Шесть карт (Oit е»Ф/, е) (см- 15, 4)) определяют
структуру дифференцируемого многообразия на сфере S2. Дей-
ствительно,
Фз, е'Ч>2,1г (Х> У) = (Х> 8 /l-^-y2 ),
Ч>1. е'ФзТе (*» У) = (У> е Vl-*2~y2)-
1.10. Предложение. Пусть Мт — дифференцируемое
многообразие размерности m с непустым краем, определяемое
своим максимальным атласом s$={(Uh ф*)}. Множество $ таких
карт (V, о)?) на дМт, для которых существует карта (U, ф) с: s?y
удовлетворяющая условиям V = U f| дМm и г|) = ф \v, определяет
на дМт структуру дифференцируемого многообразия размер-
ности т— 1.
В дальнейшем мы всегда будем снабжать край дифферен-
цируемого многообразия именно этой дифференцируемой
структурой*

2. Дифференцируемые отображения 57
Доказательство. Пусть (К/, -фу) и {Vki i|)fe) — две карты
из $, такие, что V\[\УьФ 0- Эти карты являются ограниче-
ниями двух дифференцируемых карт (С//, ф/) и (Uki yk) много-
образия Mm. Если
то hm(xu ..., xm-i, 0) = 0. Следовательно,
= (Ai(*i'"->*m-i> 0),..., Aw_i(*p---*m-P°))>
и, значит, 'Ф^'Ф^ является дифференцируемым отображением
¦/(У/ПУ*) в г|),(^/П^). ¦
Упражнение. Если si — некоторый атлас на (Мт; ^),
то s4- индуцирует на дМт атлас, определяющий структуру диф-
ференцируемого многообразия на дМт.
1.11. Пример. Полупространство Нт всегда снабжается
структурой дифференцируемого многообразия, определяемой
картой (Нт, id). Структура дифференцируемого многообразия,
возникающая при этом на d#w = Rw""\ совпадает с канониче-
ской структурой дифференцируемого многообразия на Rm~1.
2. Дифференцируемые отображения
2.1. Определение. Пусть Мт и Nn — два дифференци-
руемых многообразия. Непрерывное отображение Л: Mm->Nn
называется дифференцируемым, если выполнено следующее
условие:
(Д. О.) для любых двух дифференцируемых карт (С/, ср) и (F, -ф)
на Мт и Nn соответственно, таких, что h{U)[\Vф 0,
композиция -фо/гоф-1 является дифференцируемым
отображением qp([/ [\h~l (V)) в \|>(F).
Достаточно, впрочем, чтобы условие (Д. О.) было выпол-
нено для карт каких-нибудь атласов Мт и Nn.
Тождественное отображение дифференцируемого многообра-
зия в себя является дифференцируемым отображением. Ком-
позиция двух дифференцируемых отображений также является
дифференцируемым отображением. Однако если h — диффе-
ренцируемый гомеоморфизм, то ЬГХ не обязано быть диффе-
ренцируемым отображением. Например, отображение х>—*х3
является дифференцируемым гомеоморфизмом R, но отобра-
жение х*->^х не является дифференцируемым.

58 Гл. 111. Дифференцируемые многообразия
2.2. Определение. Дифференцируемой (гладкой) кривой
на многообразии Мт называется дифференцируемое отобра-
жение интервала / с R в Мт.
2.3. Примеры. 1) Если V — открытое подмногообразие
дифференцируемого многообразия Мту то вложение V в Мт
является дифференцируемым отображением.
2) Если Мт — дифференцируемое многообразие с непустым
краем, то вложение дМт в Мт является дифференцируемым
отображением.
3) Пусть Мт и Nn — два дифференцируемых многообразия.
Постоянное отображение Мт в Nn является дифференцируемым
отображением.
4) Вложение S2 в R3 является дифференцируемым отобра-
жением (см. 1.5 и 1.9).
2.4. Замечания. 1)В случае открытых подмножеств Rm
это новое понятие дифференцируемого отображения совпадает
с классическим.
2) Понятие дифференцируемости отображения — локальное
понятие: непрерывное отображение h: Mm*—>Nn дифференци-
руемо тогда и только тогда, когда всякая точка х е Мт обла-
дает открытой окрестностью К, такой, что отображение h \v
дифференцируемо.
3) Пусть h: Mm-+Nn — дифференцируемое отображение и
(?/, ф), (К, г|)) — две дифференцируемые карты на Мт и Nn соот-
ветственно, такие, что h(U)[\V ф 0. Тогда
фу~х(хи ..., xm)^(hx{xu ..., хт), ..., hm{xu ..., хт)).
Если мы обозначим через уи i= 1, ..., т (соотв. ziy /= 1, ..., /г),
локальные координаты на (U, ср) (соотв. {V, г|))), то можно на-
писать
Полученные формулы часто называют локальным выраже-
нием h в системе координат карт (?/, ф) и (V> г|)).
Итак, дифференцируемое отображение— это такое отобра-
жение, которое локально выражается дифференцируемыми
функциями.
2.5. Определение. Пусть Мт и Nn — два дифференци-
руемых многообразия. Диффеоморфизмом Мт на Nn назы-
вается такой гомеоморфизм h: Mm->Nn, что отображения h
и А"*1 дифференцируемы.
Таким образом, Мт и Nn имеют одинаковую размерность
и А" также является диффеоморфизмом; Мт и Nn называют
диффеоморфными многообразиями.

2. Дифференцируемые отображения 59
2.6. Примеры. 1) Пусть (С/, ф) — карта дифференцируе-
мого многообразия Мт. Для того чтобы карта (?/, ф) была
дифференцируемой, необходимо и достаточно, чтобы ф было
диффеоморфизмом U на ф (U).
2) Пусть У7 —линейное пространство конечной размерности.
Отображение Л»—^ Л" является диффеоморфизмом многообра-
зия Q\{F) на себя.
3) Отображение х\—>Ух прямой R в себя является диф-
феоморфизмом двух дифференцируемых структур, определен-
ных в п. 1.8.
2.7. Предложение. Пусть (Ui) —открытое покрытие
топологического многообразия Mmt и пусть для любого i опре-
делен гомеоморфизм ф* открытого множества Ut на дифферен-
цируемое многообразие N%. Если для любой пары (/, /), такой,
что и((]и1Ф 0, отображение (ff(fj является диффеоморфиз-
мом (fi(Ui(]UDc:Ni на Ф/(?//П ?//)<=#/> то на Mm сущест-
вует и притом единственная дифференцируемая структура, для
которой все гомеоморфизмы ф* являются диффеоморфизмами.
Действительно, если такая структура существует, то для
любой дифференцируемой карты (F, а|)) на Nt пара (ФТ'ЧЮ»
г|)офЛ должна быть дифференцируемой картой на Мт> и легко
проверить, что так построенные карты определяют на Мт струк-
туру дифференцируемого многообразия, обладающую требуе-
мыми свойствами.
В такой ситуации говорят, что дифференцируемое много-
образие Мт получено склеиванием многообразий Л^.
2.8. Дифференцируемой функцией на дифференцируемом
многообразии Мт называется дифференцируемое отображе-
ние Мт в R. Множество 3){М) дифференцируемых функций
на Мт образует коммутативную алгебру с единицей над R.
Мы будем отождествлять обычно подалгебру постоянных функ-
ций на Мт с R.
Пусть / — дифференцируемая функция на Мт. Носителем f
называется замыкание множества тех точек х е Мт9 для ко-
торых f(x) Ф 0. Таким образом, носитель / замкнут в Мт.
Семейство (fy) функций из 3)(М) называется локально ко-
нечным семейством, если для всякой точки х е Мт найдется
открытая окрестность Vx^x, такая, что все ограничения fy \Vx,
за исключением конечного числа, равны нулю. Для локально
конечного семейства можно определить функцию 8: х н-> 2 Qt (x),
ц эта функция дифференцируема на ЛГ\ Функцию 0 = 20/

60 Гл. III. Дифференцируемые многообразия
называют суммой локально конечного семейства @^). Эта сумма
обладает всеми алгебраическими свойствами конечных сумм.
Если h — дифференцируемое отображение Мт в Nn, то ото-
бражение h*: fb—>hof является гомоморфизмом алгебры 3){N)
в алгебру 3){М) (согласованным со взятием локально конечной
суммы и переводящим единицу в единицу). В частности, если
V — открытое подмножество Мт, то вложение V в Мт инду-
цирует гомоморфизм 2)(М) в &(V), называемый гомоморфиз-
мом ограничения.
Имеет место следующее предложение:
2.9. Предложение. Пусть Мт и Nn — dea дифференци-
руемых многообразия и k — непрерывное отображение Мт
в Nn. Отображение h дифференцируемо тогда и только тогда,
когда для любой функции f^2)(N) композиция /оh принад-
лежит 2)(М)
Разумеется, только достаточность требует доказательства.
При его проведении нам понадобится следующая лемма:
2.10. Лемма. Существует неотрицательная дифференци-
руемая функция Э на R", такая, что
Э (лг) = 1 при ||* ||<1,
е(*) = 0 при ||*||>2.
Доказательство леммы. Функция h: R->R, опреде-
ленная формулой
?~]/* при t > 0,
0 при t^.0,
дифференцируема на R. Функция 6(x) = t-75—м ,.Г /: .,—г?
обладает, как легко видеть, всеми требуемыми свойствами. ¦
Доказательство предложения 2.9. Пусть х^Мт
и ф, ф) —локальная карта Мт, содержащая х. Можно найти
локальную карту (F, -ф) на Л^", содержащую h(x) и такую,
что образ г|) есть либо R", либо Нп и г|)(/г(л;)) = О. Обозначим
через zh i==ly ..., п, систему локальных координат, опреде-
ленных на V отображением а|). Продолжив функции 6(г|));г;€
^3)(У) нулем на Nn — F, мы получим функции li^k)(N),
такие, что & = 2/ в некоторой открытой окрестности W czV
точки k(x). Функции ^о/г принадлежат 3){М) и для любого
h{и) = г)) (zx (h(и)), ..., zn(h(и))) = г^1 fo(h(и)), ..., ^ (h(и))),

2. Дифференцируемые отображения 61
что и доказывает дифференцируемость h в окрестности
точки х. ¦
Можно заметить, что первая часть этого рассуждения до-
казывает попутно следующее предложение:
2.11. Предложение. Пусть Мт— дифференцируемое
многообразие, U — открытая окрестность точки х е Мт и f —
дифференцируемая функция на U. Тогда существует диф-
ференцируемая функция g на Мт, такая, что g = f в некото-
рой окрестности точки х.
2.12. Предложение. Пусть <U = (Ui) — открытое покры-
тие дифференцируемого многообразия Мт. Тогда существуют
локально конечное открытое покрытие Т = (F^), вписанное
в покрытие <U, и разбиение единицы @^), подчиненное покры-
тию У\ такие, что всякая функция Qk дифференцируема на Мт.
Другими словами, Т = (Vk) — открытое покрытие Мт и
(8/0 — локально конечное семейство дифференцируемых функ-
ций на Мту обладающее следующими свойствами:
1) всякая точка Мт обладает окрестностью, пересекаю-
щейся лишь с конечным числом элементов покрытия Y,
2) всякое открытое множество из Т содержится в некото-
ром открытом множестве из °U,
3) 2Ж=1,
4) носитель 8^ содержится в F&.
Заметим, что обладающее такими свойствами покрытие Т не
более чем счетно. Семейство (в^) называется дифференцируе-
мым разбиением единицы. Доказательство предложения 2.12
опирается на следующую лемму:
2.13. Лемма. Пусть cU = (Ui) —открытое покрытие диф-
ференцируемого многообразия Мт размерности т. Тогда су-
ществует атлас {(Vk, iM) Ha ^m> обладающий следующими
свойствами*.
1) покрытие Y = (Vk) локально конечно и вписано в покры-
тие °U>
2) образ каждого tyk есть либо Rm, либо Нт,
3) открытые множества Wk — {v e Vk ||| ^k (v) || < 1} образуют
открытое покрытие Мт.
Доказательство. Поскольку Мт — локально компакт-
ное топологическое пространство со счетной базой открытых
множеств, то существует семейство (Kr)r<=N компактов на Мт9
обладающее следующими свойствами:
Кг содержится в множестве внутренних точек /Cr+j,
Mm\JK

62 Гл. III. Дифференцируемые многообразия
Для любой точки x^Lr — Kr+i — Кг существуют открытое
множество Uцх) из °U и локальная карта (Vx, tyx) на Мт,
такие, что
) 0
r+2ri)ni(x);
^x(x) есть либо R", либо Нт.
Пусть Wх — открытое подмножество Vx, определяемое не-
равенством Но])*{v)||< 1. Поскольку Lr — компакт, существует
конечное семейство л:ь ..., х$(Г), такое, что WXv ..., Wx$(r)
образуют открытое покрытие Lr.
Множество всех построенных таким способом локальных карт
образует атлас на Мт, обладающий требуемыми свойствами. ¦
Доказательство предложения 2.12. Мы будем ис-
пользовать обозначения лемм 2.10 и 2.13. Продолжив функции
8 о -фа g2)(^) нулем на Мт — Vki мы получим неотрицатель-
ные функции Qk^?D(M), равные 1 на Wki с носителем, содер-
жащимся в Vk* Семейство {Qk) является, таким образом, ло-
кально конечным семейством функций, и сумма S^ положи-
k
тельна на Мт. Следовательно, дифференцируемые функции
8ft = 6fc/2j6* образуют разбиение единицы, подчиненное откры-
тому покрытию Т. Ш
3. Прямое произведение многообразий.
Дифференцируемые векторные расслоения
3.1. Пусть Мт •— дифференцируемое многообразие размер-
ности т без края и A/"-—дифференцируемое многообразие
размерности п, возможно, с краем, и пусть эти многообразия
определены своими максимальными атласами s& = {{Uh ф*)}
и1 = {(И*,У. Поскольку RmXHn = Hm+n, пары (С/, XV*,
Ф* X Фл) являются локальными картами на Мт X Nn и мно-
жество таких локальных карт образует атлас ^Х^^
= {(^/ X Vk, ф/ X ^k))y определяющий дифференцируемую струк-
туру на MmXNn.
3.2. Определение. Пусть {Мт\ Л) и (Nn; &) — два диф-
ференцируемых многообразия и дМт—0. Дифференцируемое
многообразие (MmXNn\ s$Xd&) называется прямым произве-
дением многообразий {Мт; sf) и (Nn\ Ш).
3.3. Замечания. 1) Если ^ = {([7^ ф^)} — атлас Мт и
& = {(Vk, г|),)}-атлас N\ то ^ ( ))
атлас MmXNn.

8. Прямое произведение многообразий 63
2) Канонический изоморфизм R"*XRn на RW+AI является
диффеоморфизмом (что и оправдывает отождествление RwXRn
с Rm+n).
Доказательства следующих четырех утверждений, сформу-
лированных в предположениях п. 3.1, очевидны.
3.4. Предложение. Край многообразия MmXNn диф-
феоморфен MmXdNn.
3.5. Предложение. Проекции р{: MmXNn->Mm и
р2: Мт X Nn -> Nn являются дифференцируемыми отображе-
ниями.
3.6. Предложение. Для любой точки и ^Мт (соотв.
v^Nn) отображение iu: у*—>{и, у) {соотв. jv: jci—>(х> v)) —
дифференцируемое отображение Nn (соотв. Mm) в Mm X Nn.
3.7. Предложение. Непрерывное отображение h диф-
ференцируемого многообразия Vp в Mm X Nn дифференцируемо
тогда и только тогда, когда отображения р\°h и р2°h диф-
ференцируемы.
Напротив, хорошо известно, что если k: Mm X Nn -> Vp —
непрерывное отображение, то предположения о дифференци-
руемое™ всех отображений hoiu; Nn->VP и k°jv: Mm->VP
недостаточно, чтобы утверждать, что k дифференцируемо.
3.8. Предложение. Пусть Мь М2 и М3 — три диф-
ференцируемых многообразия, таких, что дМх =дМ2= 0. Ка-
нонический гомеоморфизм (М{ X М2) X М3 на Мх X Щ2 X М3)
является диффеоморфизмом.
Это предложение оправдывает опускание скобок в произ-
ведениях дифференцируемых многообразий.
3.9. Предложение. Пусть F, F' и F" — три векторных
пространства конечной размерности. Тогда дифференцируемы
следующие отображения:
(Kf)^W (RXF в F)9
(Л, f)>->h(f) (Нот (Л F')XF в F' или Ql(F)XF в F),
(Л, k)t-*kh (Нот(Л FOX Нот(F, F") в Hom(F, F") или
3.10. Определение. Пусть F — вещественное векторное
пространство размерности п и В — дифференцируемое много-
образие размерности т. Векторное расслоение t) — (E, р, В) со
слоем F и базой В называется дифференцируемым векторным

64 Гл. 111. Дифференцируемые многообразия
расслоением, если существует такой атлас <& = {{Ui, Ф*)}, для
которого функции перехода giji f/yfl ?/*->Gl (Z7) — дифферен-
цируемые, отображения.
Говорят, что ^ — дифференцируемый атлас т|.
3.11. Лемма. Пусть ц — дифференцируемое векторное
расслоение. Существует и притом единственный дифференци-
руемый атлас $ расслоения ц, содержащий любой дифферен-
цируемый атлас к].
Доказательство этой леммы аналогично доказательству
предложения 2.3 гл. II.
Атлас $ — максимальный (дифференцируемый) атлас диф-
ференцируемого векторного расслоения г\; всякая карта из $
является дифференцируемой векторной картой г).
3.12. Предложение. Пусть ц = {Е, р, В) — дифференци-
руемое векторное расслоение размерности п, база которого
В — дифференцируемое многообразие размерности т. Тогда
тотальное пространство Е расслоения ц является топологи-
ческим многообразием размерности ш + п и на Е существует
и притом единственная структура дифференцируемого много-
образия, такая, что для любой дифференцируемой карты
(U, Ф) расслоения ц отображение Ф является диффеоморфиз-
мом открытого множества p~l{U) на произведение многообра-
зий U X F. Для этой структуры дифференцируемого много-
образия на Е проекция р является дифференцируемым ото-
бражением.
Доказательство. Пусть $ — {(Uh Ф/)} — максимальный
дифференцируемый атлас г). Тогда для всякой пары (/, /),
такой, что Ut П f//^=0, отображение Qffi1: (x,f)*->(x, g!t{x)f)
является диффеоморфизмомФДС/^П f^y) на Ф/(?/*П?//). Суще-
ствование и единственность структуры дифференцируемого
многообразия на Е следует теперь из предложения 2.7.
Поскольку р=р{оф( на p~l (f/^), проекция/?дифференцируема. ¦
Ниже мы будем всегда снабжать тотальное пространство
дифференцируемого векторного расслоения именно этой струк-
турой дифференцируемого многообразия (не зависящей от вы-
бора дифференцируемого атласа ц).
3.13. Следствие. Пусть ц = (Е, р, В) и т]' = (?", р\ В') —
два дифференцируемых векторных расслоения со слоями F
и F' соответственно и (Я, К) — гомоморфизм ц в rf, такой,
что отображение h дифференцируемо. Отображение Н диф-
ференцируемо тогда и только тогда, когда выполнено следую-
щее условие:

4. Касательное расслоение 65
для любой карты (U, Ф) дифференцируемого атласа на ц
и любой карты (V, Ч) дифференцируемого атласа на г\' из
условия h{U)(]V Ф 0 следует, что
ТОР (*, /) = (h (х), g (x) /), (х, f) €= (/Г1 (V) П U) X Л
гд? g—дифференцируемое отображение h (V) (] U в Нот (Т7, Т7').
Гомоморфизм (Я, h) называют дифференцируемым.
Ниже мы будем называть дифференцируемое векторное
расслоение тривиальным, если существует дифференцируемый
изоморфизм этого расслоения на тривиальное расслоение 9 =
= (ВХ/7, Pi» В). Можно, впрочем, доказать с помощью глад-
кой аппроксимации, что (непрерывно) тривиальное дифферен-
цируемое расслоение дифференцируемо тривиально.
3.14. Предложение. Если у\ и у\'— два дифференцируе-
мых векторных расслоения, то и у\ X Y — дифференцируемое
векторное расслоение. Если, кроме того, г\ и г\' — расслоения
над одной и той же базой, то т^фт]' — тоже дифференцируемое
векторное расслоение.
3.15. Предложение. Пусть у\ = (Е, р, В) — дифференци-
руемое векторное расслоение. Тогда нулевое сечение s0: B->E,
отображения суммы 2: Е@Е->Е и умножения на скаляр
\i: ИУ(Е->Е ^являются дифференцируемыми отображениями.
3.16. Предложение. Пусть y\' = (E', pJ\ В') — дифферен-
цируемое векторное расслоение и h — дифференцируемое ото-
Сражение дифференцируемого многообразия В в В'. Тогда
индуцированное отображением h векторное расслоение t\=h* (ч\')
является дифференцируемым векторным расслоением и кано-
нический гомоморфизм (Я, К): ч\->ч\' дифференцируем. Кроме
того, если (/С, h) — дифференцируемый гомоморфизм дифферен-
цируемого векторного расслоения г с базой В в rf, то ассоци-
ированный гомоморфизм г в ц дифференцируем.
Доказательства этих результатов не представляют труд-
ностей.
4. Касательное расслоение
4.1. Пусть Мт — дифференцируемое многообразие раз-
мерности т, определяемое своим максимальным атласом
d= {(Ut, ер,.)}. Отображения gJt: x н-> D^qp-1)^ (матрица
Якоби фуфг[ в точке ф, (лс)) обладают следующими свойствами:
git — дифференцируемое отображение Uj[]Ui в группу
Gl(m, R) = Gl(Rm),

66 Гл. III. Дифференцируемые многообразий,
i)j g для любой точки х g= Uk П ?//П Ut.
Эти отображения определяют дифференцируемый коцикл
> Sji) на Мт со значениями в группе Gl(m, R).
4.2. Определение. Пусть Afm — дифференцируемое мно-
гообразие размерности т, определяемое своим максимальным
атласом s?= {{Ut, qp?)}. Касательным расслоением многообра-
зия Мт называется дифференцируемое векторное расслоение
с базой Мт и слоем Rm, определяемое коциклом (f/., Жф.ф)).
Подобным образом можно определить касательное расслое-
ние Мт, отправляясь от любого атласа на Мт (см. 2.15, гл. II).
Касательное расслоение Мт обозначают х{М)=(Т (М), рм,Мт).
Слой ТХ(М) этого расслоения над точкой х^Мт называют
касательным пространством к Мт в точке х, а тотальное про-
странство Т (М) наз'ывают иногда касательным пространст-
вом Мт.
Ассоциированные расслоения кр(х{М)) внешних /?-форм
на х(М) также являются дифференцируемыми векторными рас-
слоениями. В частности, расслоение, двойственное к х(М),
обычно обозначают т*(М) = (Г*(М), qM> Mm) и называют х* (М)
кокасательным расслоением, а Т* (М) — кокасательным про-
странством Мт.
4.3. Определение. Дифференцируемое многообразие
называется параллелизуемым, если его касательное расслоение
тривиально.
В этом случае и все расслоения Ар(х(М)) тривиальны.
4.4. Примеры. 1) Касательное расслоение Rm тривиально;
для тривиализации t(Rw) всегда выбирают карту (Rm, id).
Более общо, изоморфизм h векторного пространства Е на Rm
определяет тривиализацию Ф: Т{Е)->ЕУ,Ят расслоения %(Е).
Если k: ?->Rw — второй изоморфизм и если Ч?: Т {Е)->Е XRW—•
соответствующая тривиализация т (?), то Ч/Ф" = id X kh~l.
Следовательно, отображение (idX^)^ определяет изомор-
физм х(Е) на тривиальное расслоение {Е X Е, ри Е), и этот
изоморфизм не зависит от выбора изоморфизма h. Поэтому
мы будем отождествлять в дальнейшем Т{Е) с EY.E.
2) Касательное расслоение сферы S2 дифференцируемо изо-
морфно векторному расслоению примера 1.6 гл. П.
3) Если U — открытое подмножество дифференцируемого
многообразия Мт, то касательное расслоение x(U) является
ограничением на U касательного расслоения х{М).
4) Пусть Мт и Nn — два дифференцируемых многообразия.
Касательное расслоение х(М X Щ(дифференцируемо изоморфно
произведению расслоений (М)Х(М)

4. Касательное расслоение 67
4.5. Пусть Мт и Nn — два дифференцируемых многообразия
размерностей т и п и Л — дифференцируемое отображение Мт
в Nn. Для любых двух дифференцируемых карт ({/, qp) на Мт
и G, -ф) на ЛГ,таких, что h(U)(]V Ф 0, g: *->Я(фойоф-%и)
является дифференцируемым отображением Л" (V) X ^ в
Hom(Rm, Rrt). Эти отображения удовлетворяют соотношениям
теоремы 2.10 гл. II и, следовательно, определяют дифференци-
руемый гомоморфизм (hT,h): x(M)->x(N). Его называют каса-
тельным к h гомоморфизмом, a hT: Т (М) ->Т (N) — касательным
к h отображением. Если h — тождественное отображение Мт,
то (hT> h) — тождественный автоморфизм т(М). Если h: Mm->Nn
и k: Nn->VP — дифференцируемые отображения, то (kofi)T=
= kTohT. Следовательно, если Л—диффеоморфизм Мт на Nn,
то (hTy К) — дифференцируемый изоморфизм т(М) на т(Л^).
В случае когда с: 1->Мт — дифференцируемая кривая, век-
тор c'{t) = cT{t, l)^Tc(t)(M) называют касательным вектором
к кривой с в точке c{t).
4.6. Примеры. 1) Если А —линейное отображение Е в F,
то hT совпадает с отображением hy^h: E X,E->Fy^ F.
2) Если h — билинейное отображение Е{УСЕ2 в F, то hT
совпадает с отображением ((х, u)t (yt v))»—> (h (x, у), h {и, у) +
+ h(x,v)).
3) Если h: Mm->Nn — дифференцируемое отображение и
U — открытое подмножество Мт, то (Л \и)Т = hT\T{u).
4.7. Пусть Мт — дифференцируемое многообразие. Для вея-
лкой дифференцируемой функции / на Мт обозначим через
df <^3){T (M)) вторую компоненту касательного отображения
fT: r(M)->r(R) = RXR (см. пример 1) из п. 4.4). Тогда выпол-
нены следующие свойства:
1) df = O, если / — постоянная функция,
2) d(f + g) = df + dg (пример 1) из п. 4.6),
3) d (fg) = (df) g + / (dg) (пример 2) из п. 4.6)
и, следовательно,
4) d(af) = a(df) для ogR.
Кроме того,
5) df(u +
6) df(Xu) f()
7) если UczMm открыто в Мт, то d (f \и) = (df) \v (пример 3)
из п. 4.6),
8) если Л: Mm-+Nn — дифференцируемое отображение, то
d[fh) (df)hT
[f) (f)
Говорят, что df — дифференциал функции /. Если f — диф-
ференцируемая функция на открытом множестве U a Rm, то
df (x, u) = D (f)x и, (х, u)t=UX R .

68 Гл. 111. Дифференцируемые многообразия
4.8. Локальные представления. Для всякой диф-
ферецируемой карты (?/, ф) многообразия Мт пара ([/, фг)
(соотв. (pjj1 (?0» Ф7)) является дифференцируемой векторной
картой касательного расслоения х(М) (соотв. дифференцируемой
картой многообразия Т{М)). Следовательно, если (уи ..., ут) —
система локальных координат, которую ф определяет на откры-
том множестве U, то{у{орМу ..., уторм, dyu ..., dym) — си-
стема локальных координат, которую фг определяет на откры-
том множестве p^l{U). В этой системе локальных координат
проекция рм локально выражается формулами У{ = Уь°Рш
Пусть h: Mm~>Nn — дифференцируемое отображение и
(z\, ..., zn) — система локальных координат на таком открытом
множестве V с Nn, что h{U)(]V ф 0. Если Zi = hi{yif ..., ут)9
/=1, ..., Пу —локальное выражение h, то локальное выраже-
ние кТ дается формулами
ziopN = hi{ylopMy ..., ymopM)t
dZi = ^Ж~(У1°Рм, -••> Ут°Рм)dyt.
1
В частности,
если Nn=R, то dh = ^^-
если Мт- интервал в R, то h'{t) = (h\{t), ..., h'n(t)).
Упражнение. Для любого вектора v ^Tx (M) существует
дифференцируемая кривая с: (—8, е)->Мт, такая, что с@) =
и '(О)
4.9. Определение. Дифференцируемое многообразие Мт
размерности т ориентируемо, если расслоение Ат(х(М)) (диф-
ференцируемо) тривиально C.14).
Таким образом, параллелизуемое многообразие ориенти-
руемо. Ориентацией М называется ориентация его касатель-
ного расслоения (гл. II, определение 3.11).
Если выбор ориентации сделан, то говорят, что многообра-
зие Мт ориентировано. Пусть Мт и Nn — два ориентированных
многообразия. Диффеоморфизм h: Mm->Nn называется сохра-
няющим ориентацию, если сохраняет ориентацию изоморфизм
(Лг, h): x(M)->x(N) (гл. II, определение 3.13). Аналогично опре-
деляется диффеоморфизм, обращающий ориентацию.
4.10. Теорема. Пусть Мт— дифференцируемое много-
образие размерности т. Следующие свойства эквивалентны:
1) Мт ориентируемо,

4. Касательное расслоение 69
2) существует ненулевое дифференцируемое сечение рас-
слоения кт(х{М)) над Мт,
3) существует атлас ^ = {(?/*, Ф*)} многообразия Мт, такой,
что для любой функции перехода фуф в любой точке x^Ujf] U.
якобиан det ГДСф.фг1) 1 положителен.
Доказательство этой теоремы совпадает с доказательствами
аналогичных результатов в § 3 гл. II, с точностью до доба-
вления всюду прилагательного «дифференцируемый».
4.11. Примеры. 1) Векторное пространство Rm является
ориентируемым дифференцируемым многообразием. Это много-
образие всегда ориентируется выбором канонической ориентации
каждого слоя WXRm расслоения r(Rw) = RmXRw. Так же
ориентируется и полупространство Нт. Диффеоморфизм
h: Rm->Rm (соотв. Нт->Нт) сохраняет ориентацию, если его
якобиан положителен, и обращает ориентацию в противном
случае.
2) Сфера S2 является ориентируемым дифференцируемым
многообразием.
3) Открытое подмножество U ориентируемого дифференци-
руемого многообразия Мт ориентируемо. Если Мт ориенти-
ровано, то ориентация Мт индуцирует ориентацию U и U
всегда снабжается этой индуцированной ориентацией.
4) Касательное пространство Т (М) дифференцируемого много-
образия Мт ориентируемо. Действительно, если s& = {(Ui, ф,)} —
атлас Мт, то Jf= {(p~m{U)> ф[)} (см. 4.8) —атлас многообра-
зия Т{М) и
det ID (ф^ о (ф[)"!) т 1 = /det \D (фуФ) ]\2.
4.12. Предложение. Если Мт — ориентируемое диф-
ференцируемое многообразие, то его край дМт также ориенти-
руем. Более того, ориентация Мт определяет ориентацию дМт.
Доказательство. Ориентация Мт позволяет выбрать
атлас бФ = {(Ui, ф/)}, обладающий свойством 3) теоремы 4.10
(гл. II, теорема 3.14). Обозначим через $ множество таких
карт (V, i|)) многообразия дМт, для которых найдется карта (U, ф)
из $Ф, такая, что V = U (]дМт и -ф = ф |и (предложение 1.10).
Пусть (?/*, Ф*), (?//, ф/)е^ и UidUjOdM Ф 0. Записав
Ф фг1 (х ... х ) — (h Сх ... х ) h (х .. х ))
получаем
-^Ч*„ .... *м-„0) = 0 при i</<m-l,

70 Гл. III. Дифференцируемые многообразия
Следовательно, для любой точки х еУу П Vi = ?// П Ui {\дМ
D (+/<>Г\ i) = ТЩЩ det [D ОР/ФГ\
Итак, атлас $ многообразия дМт обладает свойством 3) те-
оремы 4.9 и определяет (гл. II, теорема 3.14) некоторую ориен-
тацию дМт. в
4.13. Соглашение. Если Мт имеет четную размерность,
будем снабжать дМт ориентацией, определяемой в доказа-
тельстве теоремы 4.11. Если же Мт имеет нечетную размер-
ность, будем снабжать дМт противоположной ориентацией.
Такой выбор ориентации будет оправдан ниже формулой
Стокса (гл. IV, теорема 4.6).
5. Ранг отображения. Пэдчногоэбразия
5Л. Определение. Пусть Мт и Nn — два дифференци-
руемых многообразия и h — дифференцируемое отображение Мт
в Nn. Рангом h в точке х е Мт называется ранг линейного
отображения hTx: Tx(M)->Thix)(N)(fil — ограничение hT на ТХ(М)),
Ранг h в точке х не превосходит наименьшую из размер-
ностей Мт и jV\ Говорят, что h имеет максимальный ранг
в точке х, если ранг h равен меньшей из размерностей Мт
и Nn. Кроме того, h называют
иммерсией, если т^пи h имеет ранг т в каждой точке Мт>
субмерсией, если tn^nnh имеет ранг п в каждой точке Мт.
5.2. Лемма. Пусть ([/, ф) — дифференцируемая карта Мт
u(V, ф) — дифференцируемая карта Nny такие, что h(U)(]Vф(д*
Тогда ранг h в точке х е Л (V) П U равен рангу матрицы Якоби
(l) в точке ф(х).
5.3. Следствие. Ранг дифференцируемого отображения
является полунепрерывной снизу функцией с неотрицательными
целочисленными значениями.
Иначе говоря, если рднг h в некоторой точке х равен /?,
то во всех точках, достаточно близких к х, он не меньше р.
Мы сформулируем без доказательства следующую класси-
ческую теорему (см., например, Дьедонне [4]):
5.4. Теорема (теорема о ранге). Пусть Мт и Nn — два
дифференцируемых многообразия без края и h: Mm->Nn —
дифференцируемое отображение постоянного ранга р. Тогда
для любой точки х е Мт существуют система дифференци-

5. Ранг отображения. Подмногообразия ?{
руемых локальных координат (уи ..., ут) в открытой окрест-
ности точки х и система дифференцируемых локальных коорди-
нат (zu ..., zn) в открытой окрестности точки h(x), такие, что
в этих системах координат h выражается формулами
zt = 0 при р < i^m.
5.5. Определение. Пусть f,, ..., fp — дифференцируемые
функции на дифференцируемом многообразии Мт. Мы скажем,
что эти функции независимы в точке у^Мт, если отображе-
ние Zb->(/,(z), ..., fp{z)) многообразия Мт в R^ имеет ранг р
в точке у.
Очевидно, что функции fu ..., fp независимы в некоторой
окрестности точки у и р^пг. Если р = т, то функции fu ..., fp
образуют систему дифференцируемых локальных координат
в окрестности точки у.
5.6. Предложение. Пусть fb ..., fp — дифференцируемые
функции на дифференцируемом многообразии М\ независимые
в некоторой точке у е Мт. Тогда существуют m — p 'диффе-
ренцируемых на Мт функций fp+u ..., fm, таких, что (fu ..., fm)
образуют систему дифференцируемых локальных координат
в окрестности точки у.
Это предложение немедленно следует из Теоремы о ранге
E.4) и из предложения 2.11.
5.7. Следствие. Функции fu ..., fp независимы в точке
у е Мт тогда и только тогда, когда дифференциалы dfu ..., dfp
индуцируют независимые линейные формы на Ту(Мт).
5.8. Определение. Пусть Мт — дифференцируемое много-
образие без края размерности т. Подмногообразием размер-
ности я, п^т (или подмногообразием коразмерности т — п)>
многообразия Мт называется подпространство NaMm, обла-
дающее следующим свойством:
для любой точки х е N существует дифференцируемая
локальная система координат (уи ..., ут) на открытой окрест-
ности U точки х в Мт, такая, что подпространство Uf]N опре-
деляется соотношениями уп+{= ... =ут = 0 или соотноше-
ниями уп+1= ... =ут = 0 и ^О
5.9. Предложение. Пусть N —- подмногообразие размер-
ности п дифференцируемого многообразия без края Мт. Тогда
на N существует и притом единственная структура дифферент

72 Тл. lit. Дифференцируемые многообразия
цируемого многообразия размерности п, для которой вложение
i: N-+M является иммерсией.
Ниже мы будем всегда снабжать подмногообразие диффе-
ренцируемого многообразия именно этой дифференцируемой
структурой.
Доказательство. В обозначениях 5.8 локальные коорди-
наты уи ..., уп определяют карту на открытом множестве U (] N
пространства N (которое является, таким образом, топологиче-
ским многообразием размерности п). Множество так определен-
ных карт задает на N структуру дифференцируемого много-
образия, для которой вложение /: N-+M является иммерсией.
Если существует вторая дифференцируемая структура на Л/",
для которой / также является иммерсией, то из теоремы о ранге
можно вывести, что тождественное отображение N является
диффеоморфизмом, следовательно, эти две структуры совпа-
дают. ¦
5.10. Следствие. Пусть Мт — дифференцируемое много-
образие без края размерности m, Nn — дифференцируемое
многообразие размерности п, п^пг и h — инъективная иммер-
сия Nn в Мт, такая, что образ h{Nn) является подмногообра-
зием {размерности п) в Мт. Тогда h является диффеоморфиз-
мом Nn на подмногообразие h(Nn).
При этих условиях говорят, что h — погружение Nn в Мт.
Упражнение. Инъективная и собственная иммерсия
является погружением (в частности, инъективная иммерсия ком-
пактного многообразия является погружением).
5.11. Примеры. 1) Интервал в R является подмногообра-
зием R.
2) Вложение Нт в Rm является погружением.
3) Если U — открытое подмножество дифференцируемого
многообразия без края Мт, то вложение U в Мт является по-
гружением.
4) Вложение сферы S2 в R3 является погружением (при-
мер 1.9).
5.12. Определение. Пусть Мт и Nn—¦ два дифференци-
руемых многообразия размерности тип соответственно и
h — дифференцируемое отображение MmhNn. Регулярным зна-
чением h называется точка с е Nn, такая, что h имеет ранг п
в каждой точке h~l {с). В• частности, если h~x {с) пусто, то
с — регулярное значение Л.
Следующие два предложения немедленно выводятся из тео*
ремы о ранге.

6. Векторные поля 73
5.13. Пр е д ложен ие. Пусть Мт и Nn — два дифферен-
цируемых многообразия без края размерности m и п, пг^п,
h: Mm -> Nn—дифференцируемое отображение и с—регулярное
значение h. Тогда подпространство ЬГХ (с) либо пусто, либо
является подмногообразием коразмерности п в Мт.
5.14. Предложение. Пусть Мт — дифференцируемое
многообразие без края и h—дифференцируемая функция на Мт.
Тогда для всякого регулярного значения с е h (Mm) множество
h~l((—оо, с]) является подмногообразием в Мпг> имеющим
в качестве края подмногообразие h~x (с).
5.15. Примеры. 1) Если г\ = (Е, р, В) —дифференцируемое
векторное расслоение, то проекция р: Е-+В является субмер-
сией. Следовательно, каждый слой p~~l{x), x ^ В, есть под-
многообразие в ?.
2) Функция h= 2 х\ дифференцируема на Rm и имеет
максимальный ранг в каждой точке х ф 0. Поэтому множе-
ство /)т = Л~1([0, 1]) является компактным подмногообразием
в Rm: Dm—единичный шар размерности т, а его край Sm-1 —
единичная сфера размерности т— 1.
6. Векторные поля
6.1. Оп редел ение. Пусть Мт—дифференцируемое много-
образие. Векторным полем на Мт называется дифференци-
руемое сечение касательного расслоения х(М) над Мт.
Пусть s4 — {(Uiy ф?)} — атлас Мт. Векторное поле X на Мт
определяется (гл. II, п. 2.7) семейством дифференцируемых
отображений Xt: [//->Rm, таких, что
j (У) = W (фуФГОф. (J хцУ)для любой точки
Множество &~ (М) векторных полей на Мт является модулем
над алгеброй <?>(М) дифференцируемых функций на Мт (гл. II,
следствие 2.7). Можно, кроме того, говорить о локально конеч-
ных семействах элементов Т'{М). Если многообразие Мт парал-
лелизуемо, то &~ (М) — свободный модуль с базисом из т эле-
ментов. Если [/ — открытое подмножество Мт, то ограничение
на U векторного поля на Мт есть векторное поле на U и отобра-
жение Хь->Х \ц является гомоморфизмом iZ) (Л1 )-модуля Т {М)
в ^>([/)-модуль 2Г(U) (это отображение удовлетворяет усло-
вию (fX)\u = (f\u)(X\u)).

74 Гл. III. Дифференцируемые многообразия
Упражнение. Пусть Мт и Nn — два дифференцируемых
многообразия и дМт=0. Векторное поле на Mmy^Nn может
быть записано в виде X + У, где X (соотв. ^ — дифференци-
руемое отображение Afm X ЛГ2 в Т (Мт) (соотв. Т {Nn))y такое,
что рм°Х(У> z) = y (соотв. pN°Y(y, z) = z).
6.2. Предложение. Пусть Мт и Nn — dea дифференци-
руемых многообразия и h — диффеоморфизм Мт на Nm. Если
X — векторное поле на Мт, то Y = hTXh~l — векторное поле
на Nm.
Действительно, Y — дифференцируемое отображение Nm
в Г (АО, такое, что для любой точки y^Nm.
PmY (У) = PNhTXh~l (у) = hpMXh~x (у) = Л/Г1 (у) = у.
6.3. Пусть X — векторное поле на дифференцируемом много-
образии Мт. Для любой функции f&2)(M) отображение
Xf'- У r—> df (X{у)) является дифференцируемой функцией на Мт\
Xf называется производной функции f no направлению поля Z.
Имеют место следующие соотношения:
1) если / — постоянная функция на открытом множестве
UczMm, то Xf(y) = O для любого U
2) {f ) f
3)
и, следовательно,
4) X(af) = a{Xf) при a
Кроме того,
5)(X + Y
)
6) (gX)f g(Xf),
7) если U — открытое подмножество Мт, го (Х/)|[/ =
(^W(/W;
(W(/W
8) пусть h: Mm->Nn — дифференцируемое отображение и Z,
Y — векторные поля на Мт и Nn соответственно, такие, что
hTX — Yh\ тогда для любой функции f3)(N)
(действительно,
6.4. Определение. Пусть Мт—дифференцируемое много-
образие. Дифференцированием алгебры 3)(М) называется ото-
бражение D: &{М)—>2Ь{М), обладающее следующими свой-
ствами:
2) (fg) (f)g + f(g)
3) D (/) = 0, если / — постоянная функция на Мг'

6. Векторные поля 75
Поскольку дифференцирование обладает, кроме того, свойством
4) D(af) = aD{f)f aeR,
оно является эндоморфизмом векторного пространства 2D(M).
Множество всех дифференцирований алгебры 2)(М) обра-
зует модуль над 2D{M). Векторное поле X на Мт определяет
дифференцирование f^—^Xf алгебры 2){М). Это соответствие
линейно и согласовано (в легко объяснимом смысле) с диффе-
оморфизмами (см. 6.3,8).
6.5. Теорема. Соответствие, сопоставляющее векторному
полю X на Мт дифференцирование ft-^-Xf алгебры 2D(M),
является изоморфизмом.
Доказательство этой теоремы использует следующую лемму:
6.6. Лемма. Пусть f — дифференцируемая функция на Rm.
Тогда существуют дифференцируемые на Rm функции gu ..., gmt
такие, что
Доказательство. Справедливо тождество
1 1
1
Функции gt(x)— } dt обладают всеми требуемыми свой-
о 1
о
ствами. ¦
6,7, Лемма. Теорема 6.5 верна для случая Afm==Rm.
Доказательство. Поскольку т(Rm) — тривиальное век-
торное расслоение, векторное поле X на Rm задается диффе-
ренцируемым отображением х ь—> (а{ {х), ..., ат(х)) простран-
ства Rm в себя. Поэтому аг = Ххи 1</<т, и Xf = y\ai~-.
t l
Пусть теперь D — дифференцирование алгебры 2D(Rm) и
X — векторное поле на Rm с компонентами at = D (xi). ' Для
всякой дифференцируемой функции / на Rm и для всякой точки
j/GRm существуют т дифференцируемых функций gu ..., gm
на Rm, таких, что

76 Гл. III. Дифференцируемые многообразия
Следовательно,
D (/) (У) - S Z) (х,) (у) ft fo) = (Z/) (у).
Таким образом, дифференцирование, соответствующее вектор-
ному полю X, есть D, что и доказывает биективность соот-
ветствия. ¦
Аналогичным образом доказывается следующая лемма:
6.8, Лемма. Теорема 6.5 верна для случая Мт = Нт.
6.9. Лемма. Пусть D — дифференцирование ?D(M). Если
две дифференцируемые на Мт функции fug равны на откры-
том множестве U czMm, то функции D(f) и D(g) равны на U.
Доказательство. Пусть у—некоторая точка U и 0—диф-
ференцируемая функция на Мт, обращающаяся в нуль вне U
и равная 1 в некоторой окрестности у (лемма 2.10). Тогда
f — «Г = (f — ЯГ) A — в) и
= D(f-g)(y)(l-e(y))+(f(y)-g(y))D(l-Q)(y) = O.m
6.10. Лемма. Пусть D — дифференцирование 2)(М) и [/—
открытое подмножество Мт. Тогда существует и притом един-
ственное дифференцирование Ви алгебры ?>(U), такое, что
Dl/{f\u) = D{f)\u для любой функции ft2()
Доказательство. Пусть /—дифференцируемая функция
на U и у — точка ?/. Существует дифференцируемая на Мт
функция g, такая, что g = f в некоторой окрестности у (пред-
ложение 2.11). Положим Du(f)(y) = D(g)(y). Это определение
не зависит от выбора g и задает дифференцирование Dy
алгебры &>{U), обладающее всеми требуемыми свойствами. ¦
Доказательство теоремы 6.5. Пусть D — дифферен-
цирование <?) (М) и Т = (Vk) — локально конечное покрытие Мт,
обладающее свойствами, указанными в лемме 2.13. Пусть (9^)—
дифференцируемое разбиение единицы, подчиненное покры-
тию Т. Дифференцирование QkD порождает дифференцирование
Dk алгебры 2D (Vk). Пусть Xk—векторное поле на V^, соответствую-
щее дифференцированию Dk. Поскольку Xk обращается в нуль
вне носителя 0^, Xk продолжается нулем нз Мт — V^ и мы
обозначим полученное поле на Мт снова через Xk.
Локально конечная сумма Х = ^Хк является тогда век-
k
торным полем на Мт9 таким, что для любой функции f

6. Векторные поля 77
Построенному полю X соответствует, таким образом, диффе-
ренцирование D, и, значит, соответствие теоремы 6.5 является
изоморфизмом. ¦
Мы будем отождествлять в дальнейшем модуль ?Г(М)
с модулем дифференцирований 3)(М) при помощи построенного
изоморфизма.
Композиция двух дифференцирований не является, вообще
говоря, дифференцированием. Однако верна следующая лемма:
6,11, Лемма. Пусть X и Y — два векторных поля на диф-
ференцируемом многообразии Мт. Тогда отображение
f*-*X(Yf)-Y(Xf)
является дифференцированием алгебры
Эта лемма, доказательство которой представляет собой про-
стое упражнение, оправдывает следующее определение:
6.12. Определение. Пусть X и У— два векторных поля
на дифференцируемом многообразии Мт. Скобкой Ли (или
коммутатором) полей X и Y называется векторное поле [X, Y] =
= XY-YX.
Если U —- открытое множество в Мт, то [X, Y] \и = [X \и> Y \и]
(см. 6.3,7)).
6.13, Предложение. Скобка Ли обладает следующими
свойствами:
1)
X,
2) X, fY] = {Xf)Y + f[X, Y],
3) x, Y] = -[Y, X],
*±j A, [I, AJJ -p [I , [Z/, AJJ -J- [Z,, [A, I JJ = U.
Последнее равенство носит название тождества Якоби.
Доказательство предложения 6.13 не представляет никакой
трудности.
6.14. Предложение. Пусть h: Mm->Nn — дифференци-
руемое отображение, Хи Х2 — два векторных поля на Мт и
Yx, Y2 — два векторных поля на Nn, такие, что hTXi = Yih,
/=1, 2. Тогда hT[Xu X2] = [Yu.Y2]h.
Доказательство. Достаточно показать, что для любой
функции f^2)(Nn) выполняется условие
,Y2] h).

78 Гл. III. Дифференцируемые многообразия
Но
- dfо{hT[Хх,Х2]) = (dfоhT)[Х{, Х2] =
= X{ ((Y2f) oh)-X2 ((YJ) о h) = F.3,8)
= ([1Ь/)°л = 2
6.15. Локальное выражение. Пусть (уи ..., ут)—диф-
ференцируемая локальная система координат на открытом мно-
жестве U cz Мт и X—векторное поле на Мт. Если аг = dyt {X \ц),
то говорят ,что\^ а^ локальное выражение поля X (в локаль-
ных координатах у{9 ..., ут). При этих условиях для любой
функции /ей) (М) имеем
df
Пусть Y — второе векторное поле на Л1т, локальное выражение
которого есть 2j^i~7j—• Тогда локальное выражение коммута-
t l
тора [X, Y] дается формулой
откуда, в частности, -g—, -^— = 0.
6.16, Определение. Пусть N — подмногообразие диффе-
ренцируемого многообразия без края Мт и / — вложение N
в Мт. Векторное поле X на Мт касается подмногообразия N,
если X{y)<=iT(Ty(N)) для любой точки ys=N.
6.17, Предложение. Пусть Y — векторное поле на диф-
ференцируемом многообразии Мт, касающееся подмногообра-
зия N cz Мт. Тогда существует и притом единственное век-
торное поле X на N, такое, что iTX = YL
До к аз а те льет в о. Поскольку iT — вложение, для любой
точки xgJV существует касательный вектор X (х) е Тх (N) и
притом единственный, удовлетворяющий условию iTX (х) = Y (х).
Остается проверить, что отображение х *—>Х(х) дифференци-
руемо. Пусть х — некоторая точка N. Существует дифферен-

7. Дифференциальные формы 79
цируемая локальная система координат (уи ..., ут) в окрест-
ности U точки х в Мт, такая, что пересечение U f) N задается
равенствами уп+{ = ... =#т = 0 (и, быть может, неравенством
т
уп^0). Если ^ = У]а'~д локальное выражение Y в ?/, то
aj^i» •••» Уп, 0> •••> 0) = 0 для i>n.
п
Следовательно, поле X\UUN = ^ai(yu ..., уп, 0, ...,0)^- диф-
/=1
ференцируемо. ¦
Аналогичным образом (используя теорему о ранге) можно
доказать следующий более общий результат:
6.18. Пре д л о жжение. Пусть Мт и Nn— два дифферен-
цируемых многообразия, h — инъективная иммерсия Nn в Мт
и X — векторное поле на Мт, такое, что для любой точки
у <= Nn мы имеем X(h(y)) e hT{Ty{N)). Тогда существует и при-
том единственное векторное поле Y на Nn, такое, что hTY = Xh.
6Л9. Следствие. Пусть N — подмногообразие дифферен-
цируемого многообразия без края Мт. Если X и Y — два век-
торных поля на Мт, касающихся N, то их скобка Ли [X, Y]
тоже касается N.
6,20. Предложение. Пусть Мт — дифференцируемое
многообразие без края и А = (А,, ..., hn) — дифференцируемое
отображение Мт в Rn. Предположим, что с — регулярное
значение отображения h, такое, что N = А" (с) Ф 0. Тогда
векторное поле X на Мт касается N в том и только в том
случае, если Xh{= ... =XArt = 0 на N.
Действительно, TX(N) для любой точки JceJV совпадает
с ядром hi.
7. Дифференциальные формы
7,1. Определение. Дифференциальной формой степени р
на дифференцируемом многообразии Мт называется диффе-
ренцируемое сечение расслоения Ар(т(М)) внешних р-форм
на %{М).
Дифференциальную форму степени 1 называют также
формой Пфаффа на Мт.
Всякая дифференциальная форма степени р>т равна нулю.
Множество Ар (М) дифференциальных форм степени р на Мт
является модулем над алгеброй ®(М) дифференцируемых

80 Гл. III. Дифференцируемые многообразия
функций на Мт. Так же как для ?>(М) и Т{М\ для Ар
имеется понятие локально конечного семейства. Если (/—откры-
тое подмножество Мт, то ограничение на U дифференциальной
формы степени р на Мт есть дифференциальная форма сте-
пени р на U. Отображение ан-xzt/ является гомоморфизмом
0(М) Ар(М) в ^(?/)-модуль Ар ((/)
7.2. Предложение. Пусть Мт—дифференцируемое много-
образие и гр = (Dp, я, Мт) — сумма Уитни р экземпляров
касательного расслоения %{М). Модуль Ар (М) дифференциаль-
ных форм степени р на Мт изоморфен модулю таких диф-
ференцируемых функций о: Dp —>R, ограничение которых на
каждый слой (ТУ(М))Р, у^Мт, является внешней р-формой
на Ту(М).
(Структура 3) (М)-модуля на &{D) индуцирована гомомор-
физмом it*: 2)(M)-+?>{D).)
Доказательство этого предложения аналогично, с точностью
до добавления всюду слова «дифференцируемый», доказатель-
ству предложения 3.4 гл. П. Как и в непрерывном случае
(гл. II, замечание 3.5), этот изоморфизм согласован с отобра-
жениями ограничения.
Ниже мы будем обозначать одним и тем же символом
дифференциальную форму степени р на Мт и соответствую-
щую дифференцируемую функцию на Dp.
7.3. Следствие. Дифференциал df дифференцируемой
функции f<^?D(M) является формой Пфаффа на Мт.
Действительно, предложение 7.2 позволяет отождествить
модуль А1(М) с модулем дифференцируемых функций на Т(М),
ограничение которых на каждый слой ТХ(М) линейно.
7.4. Локальное выражение. Пусть (f/, qp) — дифферен-
цируемая карта многообразия Мт и (у,, ..., ут) — система
локальных координат, определенных на открытом множестве U
отображением qp. Предложение 7.2 позволяет тогда взять
функции
-ЧМ* .-•> Ут-ЧМ> dyi . ••-. дут)
в качестве системы локальных координат на открытом мно-
жестве q~l(U)czT*(M). В этих локальных координатах проек-
ция qM имеет вид

7. Дифференциальные формы 81
7.5, Пусть а — дифференциальная форма степени р на
многообразии Мт. Если Хи ,.., Хр — векторные поля на Мт9
то отображение
а(Хь ..., Хр): ^аA,D ..., Хр(х))
является дифференцируемой функцией на Мт. Таким образом,
форме а сопоставлена внешняя р-форма на ^(М)-модуле Т (М),
и это соответствие согласовано с отображениями ограничения.
7.6. Теорема. Соответствие, сопоставляющее дифферен-
циальной форме а степени р на Мт внешнюю р-форму
(Х{, ..., Хр)ь->а(Хи ..., Хр) на модуле 3~ (Ж), является изо-
морфизмом.
При доказательстве этой теоремы используется следующая
лемма:
7.7. Лемма. Теорема 7.6 верна в случаях Mm = Rm и
М = л .
Доказательство. Поскольку доказательство в обоих
случаях аналогично, предположим, что Afm —Rm. Векторные
поля -х—, ..., т?— образуют базис ^7~(Rm) над ?D(Rm). Формы
Пфаффа dxu...,dxm образуют базис A!(Rm) над 2)(Rm)
и dxt 1-^—) = б//. Соответствие теоремы 7.6 сопоставляет, таким
образом, базису (dxt) в Л1 (Rm) базис в A1(^(Rm)), дуальный
к базису 1-х—) в ^(Rm). Итдк, при р=\ лемма доказана.
\oxil
Более общо, всякая дифференциальная форма а степени р
на Rm задается своими значениями at # t =(Х[^—, • • •» д—) ^
e^)(Rm), где l^.i{< ... <ip^m (см. 7.2). Следовательно,
соответствие 7.6, сопоставляющее а внешнюю р-форму
2а, , dx. Л ... /\dx. (мы отождествляем здесь ЛЧЦ771)
и &* (Rm)*)> является изоморфизмом. ¦
7.8. Лемма. Пусть а — внешняя р-форма на 3~ (М) и
U — открытое подмножество Мт. Тогда существует и притом
единственная внешняя р-форма аи на $Г ((/), такая, что для
любых Хи ..., Хре=т{М)
aU \Л 1 \U> • • • > л р \и) — а \л 1 > • • • > л р) \U'
Доказательство этой леммы и доказательство теоремы 7.6
проводятся теперь аналогично доказательствам леммы 6.10
и теоремы 6.5.

82 Гл. III. Дифференцируемые многообразия
Мы будем отождествлять в дальнейшем Ар (М) с модулем
внешних р-форм на ST{M\ a A(M)= 2 АР(М) (А°(М)=?>(М)) —
р>о
с алгеброй внешних форм на ?Г (М); А(М) называется алгеброй
дифференциальных форм на Мт.
7.9. Предложение. Пусть fu ..., fp —дифференцируе-
мые функции на дифференцируемом многообразии Мт. Функ-
ции fu ..., fp независимы в точке у ge Mm тогда и только
тогда, когда форма а = dfx Л ... /\dfp не обращается в нуль в у.
Этот результат немедленно вытекает из следствия 5.7.
7.10. Пусть h: Mm->Nn — дифференцируемое отображение
и а— дифференциальная форма степени р, р > 0, на Nn. Ото-
бражение
h*a: (vly ..., vp)b->a(hTv[y ..., hTvp)y (vu ..., vp)^Dpt
определяет дифференциальную форму степени р на Мт (пред-
ложение 7.2). Эта форма может быть охарактеризована ра-
венством
(Л*а (Хи ..., Хр)) (х)=а {hTXx (х), ..., hTXp {х)\ Хи...9 ХР^Т (М).
Форму Л*а называют прообразом формы а при отображении h.
Для дифференциальной формы степени 0, т. е. для функции
fe=?>(M) положим h*f = foh (см. 2.8).
7.11. Предложение. Пусть h: Mm->Nn — дифференци-
руемое отображение и f — дифференцируемая функция на Nn.
Тогда h* (df) = d(h*f).
Действительно (см. 4.7, 8)),
h* (df) = (df) ohT = d{foh) = d (h*f).
7.12. Предложение. Пусть h: Mm-^Nn — дифференци-
руемое отображение. Тогда отображение h*: A(N)->A(M)
является гомоморфизмом алгебр.
Доказательство не представляет трудности.
Если h — тождественное отображение Мту то h* — тожде-
ственный изоморфизм Л(М). Если h\ Mm-->Nn и k: Nn->VP —
дифференцируемые отображения, то (k°h)* = h*°k*.
7.13. Локальное выражение. Пусть h: Мт —>Nn—диф-
ференцируемое отображение, которое в дифференцируемых
локальных системах координат (у{у ..., ут) и (гь ..., zn) имеет
вид zi = hi(yli ..., ут). Если
(z ..., z)dz. A ... Л dzt
а. ( , ) A Л t

Приложение 83
— локальное выражение дифференциальной формы а степени р
на Nn, то локальное выражение h*a на Мт дается формулой
7.14. Определение. Пусть Afw— дифференцируемое
многообразие размерности m. Формой объема на Мт назы-
вается дифференциальная форма со степени т на Мт, такая,
что со (х) ф 0 для любой точки х^Мт.
7.15. Предложение. Многообразие Мт ориентируемо
тогда и только тогда, когда на Мт существует форма объема.
Это предложение есть просто переформулировка одного
из утверждений теоремы 4.10.
Форма объему со на Мт определяет ориентацию х(М)
(гл. II, 3.11). В этом случае часто говорят, что со есть ориен-
тация х(М) или, еще чаще, ориентация Мт. Для того чтобы
диффеоморфизм h: Mm->Mm сохранял (соотв. обращал) ориен-
тацию, необходимо и достаточно, чтобы со и Л*со (соотв. — Л*со)
определяли одну и ту же ориентацию т(М).
Приложение. Римановы структуры
П.1. Определение. Пусть т] = (?<, /?, В) — векторное рас-
слоение со слоем F. Риманова структура на ц определяется
заданием непрерывной функции Q:?~>R, такой, что огра-
ничение Q на любой слой Fb является положительно опреде-
ленной квадратичной формой.
Если т] — дифференцируемое векторное расслоение, на Q на-
лагается дополнительное требование дифференцируемости на ?.
Задание функции Q эквивалентно заданию непрерывной
(или дифференцируемой) функции g: ?0?—>R, такой, что
ограничение g на любой слой Fby^Fb есть билинейная форма,
полярная квадратичной форме Q |^ . Говорят, что g — риманова
метрика на ч\.
В случае когда ц — касательное расслоение дифференци-
руемого многообразия Afm, говорят также, что Q —риманова
структура на Мт, и называют Мт римановым многообразием.
П.2. Теорема. Если пространство В паракомпактно, то
на любом векторном расслоении с базой В существует рима-
нова структура.

84 Гл. III. Дифференцируемые многообразия
Доказательство. Пусть ц = (?, /?, В) — векторное рас-
слоение с базой В и слоем F. Обозначим через <2/ = (?/а)
локально конечное открытое покрытие В, такое, что для любого а
существует тривиализация Фа расслоения ц у . Пусть (Эа) — раз-
биение единицы, подчиненное покрытию °U, и q: ^-^R — евкли-
дова структура на F. Положим Qa=qp2G)a9 Qa Для любого а—ри-
манова структура на ц \Ua. Функция QaQa может быть продолжена
до непрерывной функции Qa: E->R, и легко проверить, что
Q = 2 Qa —риманова структура на т|. ¦
a
Если ц — дифференцируемое векторное расслоение, то ана-
логично можно получить дифференцируемую функцию Q: ?-*R.

Глава IV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ НА МНОГООБРАЗИЯХ
Начиная с этого момента все многообразия, карты и т. п.
будут предполагаться дифференцируемыми. Слово «дифферен-
цируемый» будет опускаться во всех случаях, когда это не
может привести к недоразумению.
1. Дифференцирования и антидифференцирования
1.1. Определение. Пусть Л —алгебра с единицей над
полем /С. Градуировкой А называется счетное семейство (Лр)ре2
подпространств Л, обладающее следующими свойствами:
1) Л —прямая сумма Ару
2) ApAq си Ap+q.
В частности, К (отождествляемое с К- 1) содержится в Ло.
Говорят, что Л — градуированная алгебра и Ар — множество
(однородных) элементов А степени однородности р.
Пусть (Bp)p^z — градуировка алгебры В. Отображение
h\ А->В называется сохраняющим градуировку (согласованным
с градуировкой), если для любого р образ h(Ap) содержится ъВр.
Упражнение. Подмодули Ло и 2А2р являются подалге-
р
брами в Л. Каждое подпространство Ар — модуль над Ло.
1.2. Определение. Градуированная алгебра Л= 2 Ар
называется антикоммутативной, если xpxq = (— l)pq xqxp для
любых хр^ Ар и xq e Aq.
В этом случае, если характеристика Л равна 2, то алгебра Л
коммутативна. Если же характеристика Л отлична от 2, то
квадрат всякого элемента нечетной степени равен нулю.
Подалгебра 2М2р содержится в центре Л. Следовательно,
р
она коммутативна.
1.3. Пример. Для любого многообразия Мт алгебра А(М)
дифференциальных форм на Мт станет (вещественной) гра-

86 Гл. IV. Дифференциальное исчисление на многообразиях
дуированной антикоммутативной алгеброй, если положить
Ар(М) = {0) для /?<0. Гомоморфизм /г*: А(Ы)->Л(М), соот-
ветствующий дифференцируемому отображению h: Mm->Nn>
сохраняет градуировку. Если многообразие Мт параллелизуемо,
то алгебра А(М) порождена своими элементами степени О
и 1 (гл. I, теорема 5.5). Справедливо и более общее утвер-
ждение:
1.4. Предложение. Всякая дифференциальная форма
на многообразии Мт есть сумма локально конечного семейства
разложимых дифференциальных форм.
Доказательство. Пусть Т = (Vk) — локально конечное
покрытие Мт параллелизуемыми открытыми множествами и
а —дифференциальная форма на Мт. Используя разбиение
единицы, подчиненное покрытию У> можно построить локально
конечное семейство дифференциальных форм (ал), обладающее
следующими свойствами:
1) носитель Fk формы ak содержится в Vk,
2) а = 2 а*.
Каждая форма ak \v есть сумма конечного числа разложимых
форм, обращающихся в нуль вне V& Следовательно, ak есть
сумма конечного числа разложимых форм, что и доказывает
предложение. ¦
1.5. Следствие. Если Мт — компактное многообразие,
то алгебра А(М) порождена своими элементами степени О и 1.
Ниже мы будем обозначать через А градуированную анти-
коммутативную алгебру над полем /С.
1.6. Определение. Пусть р четно. Дифференцированием
алгебры А степени р называется эндоморфизм d векторного
пространства Л, обладающий следующими свойствами:
1) dAqcAq+p9
2) d(xy) = (dx)y + x(dy).
1.7. Определение. Пусть q нечетно. Антидифференци-
рованием алгебры А степени q называется эндоморфизм d
векторного пространства Л, обладающий следующими свой-
ствами:
1) dApcz Ap+qt
2) если х<=Ар> то d (ху) = (dx)y + (— \)рх (dy).
Соглашение. В случае когда Л —алгебра дифферен-
циальных форм на многообразии Мт, будем налагать на диф-
ференцирование (соотв. антидифференцирование) d следующее
дополнительное условие:

/. Дифференцирования и антидифференцирования 87
если (ak) — локально конечное семейство дифференциальных
форм -на Mmy to (dak) — также локально конечное семейство
\
Упражнения. 1) Дифференцирование (соотв. антидиф-
ференцирование) равно нулю на основном поле.
2) Множество дифференцирований (соотв. антидифферен-
цирований) алгебры А допускает структуру модуля над ал-
геброй Ло.
1.8. Пример. Пусть X — векторное поле на многообра-
зии Мт. Обозначим через ix: Л(уИ)->Л(М) внутреннее произ-
ведение на X. Тогда ix — антидифференцирование Л (М) сте-
пени — 1 (гл. I, 6.3), обладающее следующими свойствами:
) x+Y x Y
2) ifx = Hx>
3) пусть h: Mm->Nn — дифференцируемое отображение и
J" (M), Y ^Т (Л/)—два векторных поля, таких, что hTX==Yh;
тогдд для любой формы aEA(JV)
h*(iya) = ix(h*a).
В частности, если U — открытое подмножество Мт, то
1.9. Предложение. Пусть d{ (соотв. d2) — дифференци-
рование степени рх (соотв. р2) алгебры Л, и пусть а{ (соотв. а2) —
антидифференцирование степени q{ (соотв. q2) алгебры А. Тогда
1) a,a, — дифференцирование степени 2q{,
2) а{а2 + а2а{ — дифференцирование степени q{ + q2,
3) [du d2] = d\d2—d2dx — дифференцирование степени рх + p2,
4) [ai9 di] = a{dx — dxax — антидифференцирование степени
Pi + Чх-
1.10. Предложение. Если алгебра А порождена своими
элементами степени 0 и 1, то два дифференцирования (соотв.
антидифференцирования) равны тогда и только тогда, когда
они совпадают на ЛофЛ].
Доказательство этих двух предложений не представляет
трудности.
1.П. Предложение. Пусть Мт — многообразие и d —
дифференцирование (соотв. антидифференцирование) алгебры
А (М). Тогда для любого открытого множества U си Мт суще-
ствует и притом единственное дифференцирование (соотв. анти-
дифференцирование) dv алгебры Л(?/), такое, что (d)|
d(a |^) для любой формы аеЛ(М).

88 Гл. IV. Дифференциальное исчисление на многообразиях
Говорят, что dv — ограничение d на открытое множество U.
Доказательство этого предложения аналогично доказа-
тельству лемм 6.9 и 6.10 гл. III.
1.12. Следствие. Два дифференцирования (соотв. анти-
дифференцирования) А(М) равны тогда и только тогда, когда
для любой функции f <=<2)(М) их значения на f и df совпадают.
1.13. Пример. Пусть X — векторное поле на Мт. Внут-
реннее произведение ix характеризуется следующими соотно-
шениями:
1) *У 0,
2) ixdf =
2. Внешнее дифференцирование
2.1. Лемма. Пусть а — дифференциальная форма степени
р ^ 1 на многообразии Мт\ тогда отображение
da: (Хи ..., *р^н-> 2 (-1Г1 *!<*№, .... Хи ..., Хр+1) +
+ 2 (-1)'+'<х(№.*/],*ь ---Ли .... х,,.... хр+1)
(где «крышка» означает, что данный член пропускается)
является дифференциальной формой степени р + 1 на Мт.
В частности, если а — форма Пфаффа, то
da{X9 Y) = Xa(Y)-Ya(X)-a([X9 Y]).
2.2. Лемма. Если /e=0(Af), то d(df) = O.
2.3. Лемма. Пусть fl9 ..., fp и g-—дифференцируемые
функции на Мт. Тогда
d(gdf{A ... Adfp) = dgAdfxA ... Adfp.
Проверка этих трех лемм — простое упражнение.
Отображения d леммы 2.1 позволяют определить, полагая
d = d на 3)(М), эндоморфизм d векторного пространства Л(Л1),
обладающий следующими свойствами:
1) dAp(M)czAp+l(M))
2) если (ak) — локально конечное семейство дифференциаль-
ных фор№ на Мт, то (dak) — также локально конечное семей-
ство и d(^ak\ = ^daky
\k ) k
3) для любого открытого множества UczMm и любой
формы а^А(М)
(da)\u = d(a\u).

i. Внешнее дифференцирование
2.4. Предложение. Эндоморфизм d является антидиф-
ференцированием степени +1 алгебры Л(М).
Доказательство. Поскольку d согласован с ограниче-
ниями, достаточно доказать это предложение для случая
Mm=Rm или Mm = Hm. В обоих случаях всякая дифферен-
циальная форма может быть представлена в виде суммы ко-
нечного числа разложимых форм fdxi{A ... Л dx? . Поэтому
можно ограничиться проверкой условия 2) определения 1.7 для
разложимых форм a = fdxiiA ... Adxt и & = gdXjlA ... AdXj .
По лемме 2.3
da = df A dxi{ Л ... Л dxipi rfp = dg A dxix A ... Л dxiq%
d(aA$) = (gdf + fdg)AdxiiA ... AdxipAdxhA ... Adx!q9
(da) A P = g df A dxix A ... Л dxip A dxfl A ... Л dx!q9
aA{d$) = {-l)pfdgAdxilA ... AdxipAdxhA ... Adx!q.m
2.5. Следствие. Антидифференцирование d алгебры А(М)
характеризуется следующими соотношениями:
l)df = df,
2) rf(d/) = 0, fe2)(M).
2.6. Определение. Внешним дифференцированием на
многообразии Мт называется антидифференцирование d сте-
пени + 1 алгебры Л(М), определяемое следующими соотноше-
ниями:
)
2) {) {)
Говорят, что da — внешний дифференциал формы а.
2.7. Предложение. Пусть h: Mm->Nn — дифференци-
руемое отображение. Тогда h* od = d<>h*.
Доказательство. Если h*dai=^dh*ati /==1, 2, то
h*d {ax A a2) = dh* (ax А а2).
Следовательно, поскольку hud согласованы с ограничениями,
достаточно проверить равенство h* da = dh*a для a = f и
df f@{N) Но
h*d{df) = Q и dh*{df) =

90 Г л IV. Дифференциальное исчисление на многообразиях
2.8. Предложение. Квадрат внешнего дифференцирова-
ния равен нулю.
Доказательство. Поскольку d2 — дифференцирование
степени 2, достаточно проверить равенство к2а = 0 для а = /
и a = df9 fczSDW). Но
2.9. Определение. Дифференциальная форма а
называется замкнутой, если da = 0.
Всякая дифференциальная форма степени m на многооб-
разии размерности т, таким образом, замкнута.
2.10. Определение. Дифференциальная форма аеА(М)
называется точной, если существует дифференциальная форма
Л(М) такая, что a = d|3.
Всякая точная дифференциальная форма является замкну-
той. Обратное неверно: форма Пфаффа a = х % ~7 у2 х замкнута
на R2 — {0}, но не является точной.
Однако локально обратное утверждение справедливо:
2.11. Теорема (лемма Пуанкаре). Замкнутая дифферен-
циальная форма степени р^\ на Rm (соотв. Нт) точна.
Доказательство, которое будет проведено для случая Rm,
опирается на следующую лемму:
2.12. Лемма. Пусть Jiy / = 0, 1, — вложения Rm в RmXR>
определяемые следующими формулами: /,(*) = (*, /). Тогда
существует Я-линейное отображение К- A(RmX R)->A(Rm),
обладающее следующими свойствами:
1)
2)
Доказательство. Обозначим через t каноническую ко-
ординату в сомножителе R произведения RmXR и определим
линейное отображение /(: A(RmX R)->A(Rm) соотношениями
/С/ = 0, если fe2)(RmXR),
/Ca = 0, если a = a dxi{ Д • • • Л dxt ,
bdt\dxlxf\...f\dx!tt_l% если ^

3. Дифференцирование Ли 91
Остается проверить условие 2). Но
Доказательство теоремы 2.11. Пусть а —замкнутая
дифференциальная форма степени р^1 на Rm. Обозначим
через Я дифференцируемое отображение RmXR в Rm, опре-
деляемое формулой Н(хи ..., хт, t) = (txu ..., txm). Тогда
Н о /, — тождественное отображение Rw и Н о /0 — постоянное
отображение Rm в точку 0. Поэтому
Следовательно, форма а точна. ¦
Упражнения
1) Проделать явно последнюю выкладку в случае, когда
а —форма степени 1.
2) Можно обобщить теорему 2.11 следующим образом:
пусть Мт — многообразие (соотв. многообразие без края) и
Я: (х, t) н-> ht (x) — дифференцируемое отображение AfmXR
(соотв. MmX[0, 1]) в Мт. Тогда, если форма a замкнута
на Мт, то форма (hi —hi) а точна.
3. Дифференцирование Ли
Пусть X — векторное поле на многообразии Мт\ тогда
L^ = ixd + dix является дифференцированием степени 0 алгебры

92 Гл. IV. Дифференциальное исчисление на многообразиях
А(М) (предложение 1.9). Это дифференцирование характери-
зуется следующими соотношениями:
1) Lj Xf
) j
2) Lxdf
3.1. Определение. Пусть X — векторное поле на много-
образии Мт. Дифференцированием Ли вдоль векторного поля X
называется дифференцирование степени 0 алгебры Л(Л1), опре-
деляемое равенством Lx = ixd-\- dix.
Упражнение. Если а —дифференциальная форма сте-
пени р ;> 1, то
(LjflHYu ..., Yp) =
= Xa(Yly ..., Yp)-%a(Yl9 .... [*, Yt]t ..., Yp).
i
В частности, если а —форма Пфаффа, то (Lxa)(Y) = Xa(Y) —
([Х Y])
3.2. Пре дло жение. Дифференцирование Ли коммути-
рует с внешним дифференцированием.
Действительно, Lxd = dixd = dLx.
3.3. Предложение. Пусть X и Y — два векторных поля
на многообразии Mm, f^S>{M) и аеА(Д1), Тогда
1) Lx+Y — Lx + Ly,
2) Lfxa = flxa + df A ixa.
Доказательство очевидно.
3.4. Предложение. Пусть X и Y — два векторных поля
на многообразии Мт. Тогда
1) [L*, iy] = i[XiY]i
2) [Lx, Ly]== L[x, Kj-
Доказательство. Поскольку [Lx, iY] и i\Xyy\ (соотв.
[LXy LY] и L[XtK])~два антидифференцирования степени —1
(соотв. два дифференцирования степени 0), достаточно дока-
зать, что они принимают одинаковые значения на формах
вида а = / и a = df, fz=?>(M). Но
[Lx, iy] f = Lxiyf — iyLxf = 0,
[Lx, %)df = Lx (Yf) - iyd (Xf) = X(Yf)-Y (Xf) = [X, Y] f,
llx.y\df = [X, Y]f;
[Lx, Ly)f = X(Yf)-Y(Xf) = [X, Y]f,
Llx,y]f = [X, Y]f;
[Lx, Ly]df = LxLydf-LyLxdf = d([LX) LY]f) = d{[X, Y)f),
Llx,Yidf = d([X, Y\f). Ш

4. Интегрирование дифференциальных форм 93
Упражнение. Пусть h: Mm->Nn — дифференцируемое
отображение и Ig^"(M), Y e T (N) — такие векторные поля,
что hTX—Yh. Тогда для любой формы оеЛ(]У)
В частности, если U открыто в Мт, то (Lxa) \и = (L* [^ (а \и).
3.5. Локальное представление. Пусть (у{, ..., ут) —
система локальных координат на открытом подмножестве U
многообразия Мт и
2 cli. ...tdxt Л ... Adxin
i</,<... <*p<« i p i p
— локальное представление формы аеЛ(М), Тогда, например,
для поля д/ду{
л ... л
... <ip<m
4. Интегрирование дифференциальных форм
Для любого многообразия Мт мы будем обозначать через
Ас(М) подмодуль (над 2D{M)) дифференциальных форм сте-
пени р на Мт, имеющих компактный носитель. Тогда
Если Мт компактно, то Л
4.1. Пусть a = fdXi Л ... l\dxm — дифференциальная форма
степени т с компактным носителем на открытом множестве
UczRm (соотв. UaHm). Число Ja=Jfdji (где ц, — мера Ле-
и и
бега dxx ... dxm на f/) называется интегралом формы a no U.
Таким образом, определена линейная форма на векторном
пространстве A™(U).
Пусть Т = (Vt) ¦— локально конечное открытое покрытие U
и (9/) — разбиение единицы, подчиненное покрытию У. Носи-
тель любой дифференциальной формы оеА?(?/) пересекается
лишь с конечным числом открытых множеств К,- и

•94 Г л IV. Дифференциальное исчисление на многообразиях
Пусть V—открытое подмножество Rm (соотв. Нт) и h =
= (Ai, ..., hm): V -> U — сохраняющий ориентацию диффеомор-
(i m)
физм. Тогда detf-^-J > 0 и
и
Следовательно,
4.2. Теорема. Пусть Мт — ориентированное многообразие.
Существует и притом единственная линейная форма а^-^ Г а
мт
на векторном пространстве А™(М), обладающая следующим
свойством:
(И.) если h — сохраняющий ориентацию диффеоморфизм от-
крытого множества U cz Rm {соотв. U cz Hm) на открытое
множество V czMm и а — дифференциальная форма на Мт
с компактным содержащимся в V носителем, то
Говорят, что а — интеграл формы а по многообразию Мт.
Доказательство. Пусть Т == (V() — локально конечное
открытое покрытие Мт, такое, что для любого / существует
сохраняющий ориентацию диффеоморфизм ht открытого мно-
жества U{czRm (или и{аНт) на Vt (см. гл. 111,4.10). Пусть
далее (8;) — разбиение единицы, подчиненное покрытию Т.
Носитель любой дифференциальной формы а^А™(М) пересе-
кается лишь с конечным числом открытых множеств Viy по-
этому должно выполняться равенство
М Мт \ * / * Ad

4. Интегрирование дифференциальных форм 95
Отсюда вытекает единственность интеграла.
Обратно, последнее равенство определяет линейную форму
на векторном пространстве А™(М). Остается только проверить
выполнение условия (И.).
Пусть h — сохраняющий ориентацию диффеоморфизм от-
крытого множества f/c:Rm (или UczHm) на открытое множе-
ство |/сМт, Диффеоморфизмы hTl ° h сохраняют ориентацию и
= J A*a. В
4.3. Следствие. Пусть Мт и Nm — два ориентированных
многообразия и h: Mm -> Nm — сохраняющий ориентацию диф-
феоморфизм. Тогда для любой формы a<^A™
J J
Это утверждение немедленно вытекает из единственности
интеграла. В частности, если h — сохраняющий ориентацию
диффеоморфизм Мт, то для любой формы оеА"(М)
J
а.
j
4.4. Следствие. Если Мт — компактное многообразие,
ориентированное формой объема а, то интеграл а по Мт по-
ложителен.
Упражнение. Если изменить ориентацию связного мно-
гообразия, то интеграл изменит знак.
Следовательно, если h — обращающий ориентацию диффео-
морфизм Мп\ то для любой формы аеА
jA'a— Ja.

96 Гл. IV, Дифференциальное исчисление на многообразиях
4.5. Замечание. Пусть Мт — ориентированное многооб-
разие и 2)с(М)-~ идеал в <2)(М), порожденный дифференци-
руемыми функциями с компактными носителями. Для любой
дифференциальной формы аеЛт(М) отображение \ха: /»—*> f fa
мт
является линейной формой на векторном пространстве 3)С(МI
и эта форма однозначно определяет некоторую меру Радона
на Мт.
4.6. Пусть a = %aidxlA ... Adxt-X Adxi+X A ... Adxm —
дифференциальная форма степени т — 1 с компактным носи-
телем на открытом множестве UczHm. Если U[}дНт= 0, то
Предположим теперь, что V = U (] дНт Ф 0, и пусть / — кано-
ническое вложение V в ?/. В этом случае, вспоминая соглаше-
ние 4.13 гл. III, имеем
4.7. Теорема (формула Стокса). Пусть Мт — ориентиро-
ванное многообразие и j — каноническое вложение ориентиро-
ванного многообразия дМт в Мт (см. гл. Ill, 4.I3). Тогда для
любой дифференциальной формы а е Л^" (М) имеет место
равенство
\ da— \ /*а.
мт дмт
Доказательство. В обозначениях доказательства тео-
ремы 4.2 имеем
I U,

4. Интегрирование дифференциальных форм 97
Обозначим через /' каноническое вложение дНт в Rm и через
ki — ограничение ht щ Ui(]dHm. Учитывая 4.6, получаем
J h\ d (9/a) = 0, если Ut f| дНт = 0,
jtiid(Qia)= J AI(e,a) =
Щ ut{\dHm
= J tii{(Btoj)fa)9 если и((]дНтФ0.
Следовательно,
Ui(]dHm
J dfa= J /*a.
4.8. Следствие. Пусть Мт — многообразие без края.
Тогда для любой дифференциальной формы а е Л^" (М)

Глава V
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
НА МНОГООБРАЗИЯХ
Все многообразия, рассматриваемые в оставшейся части
этой книги, предполагаются многообразиями без края, если
явно не сказано обратное.
1. Интегрирование векторных полей
1.1. Определение. Пусть Z —векторное поле на много-
образии Мт. Интегральной кривой поля X называется диффе-
ренцируемая кривая с: 1->Мт, такая, что с' (t) = X(c(t)) для
любого t<=I (гл. III, 4.5).
Если у — особая точка поля Х(Х(у) = 0), то постоянное
отображение t\~->y пространства R в Мт является интеграль-
ной кривой поля X.
Пусть (уи ..., ут) — система локальных координат на от-
крытом множестве UaMm. Если У] а'а локальное выра-
жение поля X, то интегральные кривые X в U являются ре-
шениями дифференциального уравнения х\ = ai (х), /=1, ..., т.
Именно поэтому поле X часто называют дифференциальным
уравнением, или динамической системой, на Мт. Интегральные
кривые X называют еще решениями, или траекториями, поля X.
Локальная теорема существования и единственности реше-
ний дифференциального уравнения (А. Картан [5], Дьёдонне [4])
может быть переформулирована следующим образом:
1.2. Теорема. Пусть X — векторное поле на многообра-
зии Мт. Для любых у <= Мт mtgR существуют
открытая окрестность U точки у,
число г > О,
дифференцируемое отображение Ф: (t, z)b-><$t{z) множества
(т - 8, т + г) X U в Мт,
такие, что для любой точки z e U выполняются следующие
свойства:
1) t \—> фf(z) — интегральная кривая поля X,
2) <ptB)=2.

Л Интегрирование векторных полей 99
Более того,
3) если заданы открытые множества Vi, положительные числа
r\i и отображения Wif удовлетворяющие условиям 1) и 2), /=1, 2,
то Wu W2 совпадают на (т—?, т + ?) X (К, Г) К2). г<3* ? = inf (чьъ).
В частности, две интегральные кривые, определенные на
одном и том же интервале /c=R, равны, если они принимают
одинаковое значение в какой-нибудь точке /.
1.3. Следствие. Пусть X — векторное поле на многооб-
разии Мт. Тогда существуют открытая окрестность U => {Q}XMW
в R X Мт и дифференцируемое отображение Ф: (t, у) ь-> ф^ (у)
окрестности U в Мту обладающие для любой точки у е Мт
следующими свойствами:
1) пересечение R X {у} П U связно,
2) t \—> ф^ (у) — интегральная кривая поля X,
3) ФоЫ = У»
4) есла (f, #), (^ + Г, у) и (t, q>t, (у)) принадлежат С/, то
<Pt+r (У) = Ф Дфг (У))-
Более того,
5) ??Л?/ заданы открытые множества V\ и отображения W{,
i=l, 2, удовлетворяющие условиям 1), 2) а 3), то ояа удовле-
творяют также условию 4) ?/ XF1 = 4;2 яа Vfl^
Доказательство. Можно найти открытое покрытие (i)
многообразия Мт, семейство (е^) положительных чисел и семейство
(Ф/) дифференцируемых отображений Ф^-: (-— ги + et) X Ut -> Afm,
для которых выполняются свойства 1) и 2) теоремы 1.2. Положим
C/==(J(— еь +8^)Х УгС RX^fm и обозначим через Ф диффе-
i
ренцируемое отображение U в Мт, совпадающее с Ф/ на
(—в/э +в/)Х ?// (это отображение корректно определено ввиду
свойства 3) теоремы 1.2). Тогда открытое множество U и ото-
бражение Ф обладают требуемыми свойствами 1), 2) и 3).
В предположениях свойства 4) тн~>ф1Г+//(у) и ть-^ф^ (фг (у)\
^f, — две интегральные кривые поля X, принимающие
одно и то же значение фг {у) при т = 0. Следовательно, фж, (у)=
). Свойство 5) доказывается аналогично. ¦
1.4. Пусть W — открытое множество в Мт, такое, что мно-
жества {t} X W и {—ОХф^(й^) принадлежат U. В этом случае
отображение у н-> ф^ {у) является диффеоморфизмом W на ф/ (W),
имеющим в качестве обратного диффеоморфизм 2ь-^ф_^(;г).
В частности, множество yt{W) открыто в Мт. Если, кроме
того, множества (ПХфДП {- V) X Ъ>(Щ С + ОХ^

100 Гл. V. Дифференциальные уравнения и системы на многообразиях
{— t — V) X ф^ (W) принадлежат U, то ф,,+, (у) = q>t, (q>t(y)) для
любого y&W. Поэтому на W выполняется равенство
Эти замечания делают оправданной следующую термино-
логию:
1.5. Определение. Локальной однопараметрической
группой диффеоморфизмов многообразия Мт называется пара
(?/, Ф), где
U — открытая окрестность {0} X Мт в R X Мт,
Ф: (t, y)*—>%(у) — дифференцируемое отображение U в Мт,
обладающие следующими свойствами:
1) для любого у^Мт множество RXMD^ связно,
2) у |—> ф0 {у) — тождественное отображение Мт,
3) если (/', у)> (t + i\ У) и (/, фг (у)) принадлежат [/, то
(())
Часто область определения не уточняется, и локальную
однопараметрическую группу диффеоморфизмов обозначают
просто ф*.
Векторное поле X на многообразии Мт позволяет пост-
роить локальную группу (?/, Ф) диффеоморфизмов Мт. Гово-
рят, что локальная группа (?/, Ф) порождена полем X. В этом
случае росток Ф в {0} X Мт определяется полем X (свойство 5)
из 1.3).
1.6. Если U — RXMm, то говорят, чтр (?/, Ф) (или ф,) —
(глобальная) однопараметрическая группа диффеоморфиз-
мов Мт. Для такой группы выполнены следующие "свойства:
1) для любого /eR отображение ф*: у»—> % (у) — диффео-
морфизм Мт,
2) ф0 — тождественное отображение Мт>
3) q>t+r = <t>t°<Pt»
4) Ф-/==(ф/)~1.
Пример. Для любого многообразия Мт отображения
ht\ (ty v)*—>e*v образуют однопараметрическую группу диффео-
морфизмов Т(М). Она называется однопараметрической группой
гомотетий Т (М).
1.7. Лемма. Пусть X—векторное поле на многообразии Мт.
Упорядоченное по включению множество локальных однопара-
метрических групп диффеоморфизмов Мт, порожденных по-
лем X, обладает и притом единственным максимальным эле-
ментом.

/. Интегрирование векторных полей 101
Эта лемма —прямое следствие свойства 5) из 1.3 (и леммы
Цорна).
В общем случае максимальная локальная группа не является
глобальной однопараметрической группой диффеоморфизмов Мт.
Пример. Максимальная локальная группа ([/, Ф), поро-
жденная полем *2-^г на R, может быть выписана явно:
1.8. Определение. Векторное поле на многообразии Мт
называется полным, если оно порождает глобальную однопа-
раметрическую группу диффеоморфизмов Мт.
1.9. Теорема. Всякое векторное поле на компактном мно-
гообразии является полным.
Эта теорема вытекает из следующего предложения.
1.10. Предложение. Пусть X — векторное поле на мно-
гообразии Мт и (Uу Ф) — максимальная локальная однопара-
метрическая группа диффеоморфизмов Мт, порожденная по-
лем Z. Для любого у е Мт обозначим через (ау, а>у) интервал
в R, определяемый равенством R X {у} Л U = {ау, соу) X {у}, и
через с+: [0, (оу)->Мт {соотв. с~: (ау, 0]-> Мт) — интегральную
кривую t*-x$t(y) поля X. Тогда если образ с+ {соотв. с~\ от-
носительно компактен, то соу = + °° ( соотв. ау = — оо).
Доказательство. Предположим, что обра? с+ относи-
тельно компактен и что число со^ конечно'(второй случай при-
водится к этому заменой X на — X). Пусть z — точка накоп-
ления кривой с+ при /->co^. По теореме 1.2 существуют открытая
окрестность W точки г, положительное число г и дифференци-
руемое отображение Ч*: (—8, + е) X W -> Мт, обладающие
свойствами 1) и'2) этой теоремы. Выберем такое геЦ- е, ®у)9
что yx(y)^W. Можно найти открытую окрестность V точки у
в Мт, такую, что {xJXV'czf/ и q>x(V)czW. Положим
f/' = f/ U (со^ — е, cd^ + 6)XV.
Продолжим Ф до локальной группы (?/', Ф'):
Q/(t9 x)=*4F{t-%, Ф(т, х))9 x^V и U-coJ<e.
Полученное противоречие с максимальностью ((/, Ф) и доказы-
вает предложение.

102 Гл. V. Дифференциальные уравнения и системы на многообразиях
1.11. Следствие. Векторное поле с компактным носите-
лем полно.
1.12. Пусть у —такая точка Mmt что (в обозначениях 1.10)
(с^, co^) = R. Положим у = Ф(И X {#}). Для любой точки геу
выполняется равенство (а2, ©г) = К.
Множество G — {t e R| ф,(г/) = у} — замкнутая подгруппа R,
не зависящая от выбора точки //gy. В соответствии с тремя
возможными типами замкнутых подгрупп R возможны, таким
образом, три случая:
если G = @), то /ь-> yt(y) — инъективная иммерсия R в Мт,
если G = R, то у — особая точка поля X (и обратно),
если G = Zco, со =#= 0, то говорят, что / ь—> ср^ (у) — периоди*
ческое решение X с периодом со; в этом случае множество y
компактно и является подмногообразием в Мт, диффеоморфным
окружности 51.
Упражнение. Траектория с: R->7Wm поля X является
периодической тогда и только тогда, когда образ отображе-
ния с компактен и не сводится к точке.
1.13. Предложение. Для любого векторного поля X на
многообразии Мт существует положительная дифференцируем
мая на Мт функций /, такая, что векторное поле Y = fX полно.
Максимальные (в смысле 1.7) решения X и Y, проходящие
через точку j/GiMm, имеют один и тот же образ.
Доказательство этого предложения использует следующую
лемму:
1.14. Лемма. На всяком многообразии существует собст-
венная дифференцируемая функция.
Доказательство. Пусть ^ = (^/)t-sN —-локально конеч-
ное открытое покрытие многообразия Мт, индексированное мно-
жеством натуральных чисел (всякое локально конечное открытое
покрытие многообразия конечно или счетно). Возьмем разбиение
единицы (8/), подчиненное покрытию °Ы. Тогда семейство (''6*)/sN
локально конечно, и его сумма g= 2 iQt является дифферен-
цируемой собственной функцией на Мт (т. е. если К — компакт
в R, то g~l{K) — компакт в Мт). ¦
Доказательство предложения 1.131). Пусть
g: Afm->R — дифференцируемая собственная функция на Мт.
Положим/ = ??-№>2 и Y = fX. Тогда dg{Y) = (Xg)e^x^2 <, 1 для
Идеей этого доказательства я обязан М. А. Дольду.

/. Интегрирование векторных полей 103
любой точки Мт. Пусть с: (а, Ь)—>М — решение К, определен-
ное на ограниченном интервале R. Тогда
dgc (t)
dt
Таким образом, множество gc{{a, b)) ограничено, и, следова-
тельно, образ с относительно компактен в Мт. Применяя пред-
ложение 1.10, заключаем, что поле Y полно. ¦
1.15. Предложение. Пусть X — векторное поле на мно-
гообразии Мт и у е Мт—неособая точка поля X, т. е. Х{у) Ф 0.
Тогда существует система локальных координат (z{, ..., zm)
в некоторой открытой окрестности точки у, такая, что локаль-
ным выражением X в этой системе координат служит д/ду{.
Доказательство. Поскольку предложение носит ло-
кальный характер, можно считать, что X — векторное поле на
Rm, такое, что X@) = d/dxi. Пусть ([/, Ф) — локальная однопа-
раметрическая группа диффеоморфизмов Rm, порожденная
полем X:
СТ) it y y \ *~~¦*• (Pi (f v* v \ Pi ("f v* v \^
^VS Л1» •••» лт/ ~*" \л*1 \^> Л1> •••> лт/9 •••> nm \^» Л1> •••» лт//#
Обозначим через ^==(fe,, ..., km) дифференцируемое отобра-
жение, определенное в окрестности точки 0 равенствами
Ki\X\9 ..., хт) — П{ [хи и, л:2, ..., хт), I — 1, ..., т.
Поскольку Х@) = -д—, матрица Якоби (-^- @, 0)J — единичная
матрица. Отображение k обладает, следовательно, определен-
ным в некоторой окрестности точки 0 обратным отображением
;==(/,, ...,, /т), которое задает в этой окрестности локальные
координаты yt = li(xu ..., хт). В этой системе локальных ко-
ординат траектории поля X представляют собой кривые
*b—>(* + #i> у2, ..., ут), и, следовательно, локальным выраже-
нием X служит д/ду\. Ш
1.16. Предложение. Пусть A: Mm-+Nn— дифференци-
руемое отображение и Х^.Т(М), Fef (W) — два векторных
поля, такихучто hTX = Yh. Обозначим через qt и tyt локальные
однопараметрические группы диффеоморфизмов, порожденные
полями X и Y. Тогда г|^°А = А<><р,.
1.17. Предложение. Пусть X —векторное поле на мно-
гообразии Мт, касающееся подмногообразия N а Мт. Тогда

104 Гл. V. Дифференциальные уравнения и системы на многообразиях
интегральная кривая поля X, проходящая через точку у е JV,
целиком содержится в N.
Доказательства этих двух предложений не представляют
трудности.
2. Однопараметрические группы и дифференцирования
2.1. Теорема. Пусть qt — локальная однопараметрическая
группа диффеоморфизмов многообразия Мт. Тогда существует
и притом единственное векторное поле X на Мт, такое, что
порожденная - им локальная однопараметрическая группа со-
впадает с qp,. Это векторное поле характеризуется следующими
соотношениями:
(Xf) (у) = lim Нф<Ы)
* г
При доказательстве этой теоремы используется следующая
лемма:
2.2. Лемма. Пусть U — открытая окрестность множества
{0} X Rm в R X Rm> такая, что для любого Jtef пересечение
RXWflt/ связно. Пусть, далее, f{t, х) —дифференцируемая
функция на U, такая, что /@, л;) = 0 для любого х ^ Rm.
Тогда существует дифференцируемая функция g(t, x) на Ut
такая, что f(t, x) = tg(t, x).
Действительно, f(t, х)= \ t -^{ts, x)ds. Поэтому достаточно
о
1
взять g(t, x)= I -jfVs, *)ds; тогда g @, *) = -|[@, x).
о
Доказательство теоремы 2.1. Предположим, что су*
ществует векторное поле X на Мт, порождающее локальную
однопараметрическую группу ср^. Тогда для любого у е Мт
вектор Х(у) касается кривой t*—>q)t{y) в точке у = уо(у). Сле-
довательно, такое векторное поле единственно.
Покажем теперь, что для любой точки у е Мт и для любой
f(()) f()
функции f^3){M) отношение -^-^—Lf имеет предел
(Df)(y) при t->0 и что этот предел Df является дифференци-
руемой функцией на Мт.
Поскольку этот результат носит локальный характер, можно
предположить, что Afm = R"\ Тогда существует дифференци-
руемая функция g{t, у), такая, что

2. Однопараметрические группы и дифференцирования 105
I- fD>t(y)) f(y) /л v
Следовательно, предельная функция lim———-. = g@, у)
*о г
дифференцируема на Rm. Можно проверить теперь классическим
способом, что отображение f*->Df является дифференцирова-
нием алгебры ?D{M) и, значит, определяет некоторое векторное
поле X на Мт. Наконец, для любого у е Мт (гл. III, 4.8)
вектор Х(у) касается кривой t*-> <Qt(y) B точке у = щ{у). Из
условия 3) определения 1.5 получаем, что вектор X(qt (у)) также
касается кривой t*-><f>t(y) в точке ф,(#). Это и доказывает,
что локальная однопараметрическая группа ср, порождена по-
лем X (следствие 1.3). ¦
2.3. Определение. Пусть X — векторное поле на мно-
гообразии Мт. Первым интегралом поля X называется диф-
ференцируемая функция / на Мт, такая, что Xf = O.
Предложение 1.15 утверждает, таким образом, существова-
ние m— 1 независимых первых интегралов в окрестности такой
точки у е Мт, где Х(у) ф 0. Если / — первый интеграл поля X,
то fx(d/) = X/ = 0. Поэтому, более общо, первым интегралом
поля X называют замкнутую форму Пфаффа а на Mmf такую,
что ixa — 0. (Согласно лемме Пуанкаре, эти два понятия ло-
кально эквивалентны.)
2.4. Предложение. Пусть X — векторное поле на мно-
гообразии Мт. Дифференцируемая функция f на многообра-
зии Мт является первым интегралом X тогда и только тогда,
когда f постоянна на траекториях X в Мт,
Доказательство. Более подробная формулировка до-
казываемого утверждения такова: пусть ср^ — локальная одно-
параметрическая группа диффеоморфизмов Мт, порожденная
полем X; тогда функция f^2)(M) является первым интегра-
лом X в том и только в том случае, если для любого у ^ Мт
отображение t*-> f {q>t (у)) постоянно. Обозначим через fy функ-
цию ti—^f(cpt(y)); тогда по теореме 2.1
dt = lim1
2.5. Предложение. Пусть X — векторное поле на мно-
гообразии Мт и qp, — порожденная полем X локальная одно-
параметрическая группа диффеоморфизмов Мт. Тогда для
любой дифференциальной формы а^А(М)
Ф*а-а
L ^а == lim = lim

1 Об Гл. V. Дифференциальные уравнения и системы на многообразиях
Доказательство. Поскольку предложение носит локаль-
ный характер, можно считать, что Afm=Rm. В этом случае
достаточно проверить его справедливость для а = / и a = df,
fe=@(Rm). Но
Lf Xf — \im —— (теорема 2.1),
Lxdf = d (Xf) = d 1 hm ——.— I = lim
Wo l I *>o
Wo
Вторая часть равенства получается из уже доказанного заме-
ной X на — X и / на —-t. ш
2.6. Предложение. Пусть X и Y — два векторных поля
на многообразии Мт и cpt — локальная однопараметрическая
группа диффеоморфизмов Мт, порожденная полем X. Тогда
Доказательство. Поскольку локально Л1 (Л/) и
двойственны, достаточно показать, что для любой формы
Пфаффа а справедливо равенство
Но
Т К»
Ф/ - а (К)] =
(предложение 2.5 и теорема 2.1)
, Y]) (глава IV, 3.1).
Вторая часть равенства получается, как и выше, заменой X
на —X и / на —Л В
2.7. Следствие. Пусть X, Y — два векторных поля на
многообразии Мт и ф^, ^ — порожденные ими локальные группы
диффеоморфизмов Мт% Следующие свойства эквивалентных
l)[X,Y] = 0,
2) % и % коммутируют.

3. Дифференциальные системы 107
При выполнении условий 1) и 2) говорят, что векторные
поля X и Y коммутируют.
Это следствие немедленно выводится из предложений 1.16
и 2.6.
2.8. Замечание. Если у —такая точка Мт, в которой
) Ф 0> то предложения 2.5 и 2.6 можно доказать проще,
используя такую систему координат в окрестности точки у,
в которой X = -j— (предложение 1.15).
3. Дифференциальные системы
3.1. Определение. Дифференциальной системой размер-
ности р на многообразии Мт называется подмодуль 93 модуля
Т (М), обладающий следующими свойствами:
1) модуль 93 устойчив относительно взятия локально конеч-
ной суммы (т. е. локально конечная сумма элементов 93 снова
принадлежит 93),
2) для любой точки у^Мт подпространство <%/у = {Х(у),
X g^J czTtJ(M) имеет размерность р.
Векторное поле без особых точек на многообразии Мт по-
рождает, таким образом, дифференциальную систему размер-
ности 1 на Мт.
Если U — открытое подмножество Мт, то будем обозначать
через 93v подмодуль модуля Т'(?/), порожденный ограниче-
ниями на U векторных полей из 93, Справедлива следующая
лемма:
3.2. Лемма. Подмодуль 93 v является дифференциальной
системой размерности р на U.
Доказательство очевидно.
3.3. Определение. Пусть ^ — дифференциальная си-
стема размерности р на многообразии Мт. Интегральным мно-
гообразием системы 9В называется пара (Vp, /г), где Vp — мно-
гообразие размерности р и h — инъективная иммерсия Vp в Мт,
такие, что hT(Ty(V)) = %?h(y) для любой точки j/eF.
3.4. Определение. Дифференциальная система 93 на
многообразии Мт называется интегрируемой, если для любой
точки у е Мт существует интегральное многообразие системы^,
образ которого содержит точку у.
3.5. Теорема. Пусть 93 — дифференциальная система раз-
мерности р на многообразии Мт. Для того чтобы система 93
была интегрируемой, необходимо и достаточно, чтобы S3 была

108 Гл. V. Дифференциальные уравнения и системы на многообразиях
устойчивой относительно скобки Ли (если поля X и Y при-
надлежат 28, то и [X, Y] принадлежит S3).
Необходимость этого условия вытекает из предложения 6.18
гл. III. Доказательство достаточности опирается на следующие
две леммы:
3.6. Лемма. Пусть S3 — дифференциальная система на Мт,
устойчивая относительно скобки Ли. Тогда для любого откры-
того множества U cz Mm система S3V также устойчива отно-
сительно скобки Ли.
Доказательство. Пусть X и Y принадлежат S3V. Можно
найти
два локально конечных семейства (ft) и (gf) дифференци-
руемых функций на Мт,
два локально конечных семейства принадлежащих S3 век-
2
торных полей (Х() и (У/), таких, чго ^ = 2(/Л)Ь и
S
Раскрыв по билинейности [Ху Y], получим, что -коммутатор
также принадлежит S3V. Ш
3.7. Лемма (теорема Фробениуса). Пусть $6 — дифферен-
циальная система размерности р на многообразии Мт. Если
система S6 устойчива относительно скобки Ли, то для любой
точки у е Мт существует система локальных координат
(zu ..., zm) в некоторой окрестности U точки у, такая, что
модуль 28у порожден полями д/дги ..., д/дгр.
Доказательство. Пусть Хи ..., Хр — такие р вектор-
ных полей из Я/, что Х\ (у), ..., Хр(у) порождают 28у. Можно
найти открытую окрестность V точки у и систему локальных
координат (уи ..., ут) на V, такие, что будут выполнены сле-
дующие условия:
1) Хи ..., Хр порождают 28V,
2) уЛу) = 0,
3) локальным выражением Х1 в V служит д/дух (предло-
жение 1.15).
Итак, при /7=1 леммз верна. Проведем индукцию по /?.
Определим принадлежащие 28V векторные поля Yu ..., Yp
формулами К1=Х, и Yi = Xi — (Xiyl)Xli / = 2, ..., р.
Эти векторные поля обладают следующими свойствами:
1) Yu ..., Yp порождают 28V,
2) \YU Yi]e:%Vi
3) Умх =0 при

4. Системы Пфаффа 109
Обозначим через Nm l подмногообразие V, определяемое
уравнением у{=0. Векторные поля Y2i ..., Yp касаются Nm~l
и порождают на Nm~l дифференциальную систему 96' размер-
ности р— 1, устойчивую относительно скобки Ли. Таким обра-
зом, можно найти систему локальных координат (?2, ..., ?w)
в некоторой окрестности W точки у в Nm~l, такую, что мо-
дуль 96fw порожден полями д/д?2, ..., д/д?р.
Определим дифференцируемые функции zu ..., zm в неко-
торой окрестности точки у в Мт:
•••> Ут)> t=2, ..., т.
Эти функции, будучи независимыми в точке у, образуют ло-
кальную систему координат в некоторой окрестности у, и вы-
полняются тождества
для />2.
Таким образом, для любого }>р функции Кгг/, /=1, ..., т,
являются решениями линейной однородной системы дифферен-
циальных уравнений. Но эти функции обращаются в нуль при
^=0, поэтому они тождественно равны нулю в некоторой
окрестности U точки у. Следовательно, на U выполняются
равенства Yt= V Ьц -^-, но это и означает, что поля
d/dzu ..., d/dzp порождают 9Виш Ш
Доказательство теоремы 3.5 теперь очевидно, по-
скольку в обозначениях леммы 3.7 подмногообразия, опреде-
ляемые в U уравнениями zt = const, / = p + 1, ..., т, являются
интегральными многообразиями системы 96.
3.8. Следствие. Дифференциальная система размерности 1
интегрируема.
4. Системы Пфаффа
4.1. Определение. Системой Пфаффа ранга р на мно-
гообразии Мт называется подмодуль ?Р модуля Л!(Л1), обла-
дающий следующими свойствами:
1) модуль !Р устойчив относительно взятия локально конеч-
ной суммы,

ПО Гл. V. Дифференциальные уравнения и системы на многообразиях
2) для любой точки у <= Мт подпространство &*у = {а(у),
ае^}сГ* (М) имеет размерность р.
Если {/ — открытое подмножество Мт, то будем обозначать
через &и подмодуль модуля Л1 ((/), порожденный ограничениями
на U форм Пфаффа из ^. Как и в случае дифференциальных
систем (лемма 3.2), справедливо следующее утверждение:
4.2. Лемма. Подмодуль {Ри является системой Пфаффа
ранга р на U.
4.3. Предложение. Пусть SB — дифференциальная си-
стема размерности р на многообразии Мт. Тогда подмодуль SB1',
ортогональный модулю SB, является системой Пфаффа ранга
ш — р на ЛГ, такой, что SB = {Х е= Г(М) \а{Х) = 0 Vae^1).
Доказательство. Используя разбиение единицы, можно
свести доказательство к случаю, когда на Мт найдется т век-
торных полей Хи ..., Хт, образующих базис ?Г {М) и таких,
что Xif...,Xp порождают SB. Обозначим через (at-) базис,
дуальный базису {Xt) в 2Г{М)\ тогда формы Пфаффа ар+1, ...
...,ат порождают^1 и ^> = Ue5r'(M)| a (X) = 0 Vae^1}. ¦
4.4. Предложение. Пусть 0* — система Пфаффа ранга р
на многообразии Мт. Тогда подмодуль f = (l?f (М)\ а(Х)=0
Va e ^} является дифференциальной системой размерности
пг — р на Мту такой, что 1
Доказательство аналогично доказательству предыдущего
предложения.
Таким образом, предложения 4.3 и 4.4 показывают, что
отображение SS^-^S6L является взаимно однозначным соот-
ветствием между дифференциальными системами размерности р
на Мт и системами Пфаффа ранга т — р (хотя это и неверно
для множества всех подмодулей д~ (М) и Л1 (М)).
4.5. Определение. Пусть ^ — система Пфаффа ранга р
на многообразии Мт. Интегральным многообразием & назы-
вается пара (iVm~p, /г), где Nm~p — многообразие размерности
т — р и h — инъективная иммерсия JVm~p в Мт, такая, что
h*a = 0 для любой формы Пфаффа og^,
Иначе говоря, пара (Nm~p, h) является интегральным мно-
гообразием системы Пфаффа & тогда и только тогда, когда
(Nm~p, А) является интегральным многообразием дифферен-
циальной системы ^°.

4. Системы Пфаффа 111
4.6. Определение. Система Пфаффа @ на многообра-
зии Мт называется интегрируемой, если для любой точки
у е Мт найдется интегральное многообразие системы &, образ
которого содержит у.
4.7. Предложение. Дифференциальная система $в на
многообразии Мт интегрируема тогда и только тогда, когда
система Пфаффа SSL интегрируема.
Доказательство очевидно.
4.8. Теорема. Пусть @ — система Пфаффа на многообра-
зии Мт. Система <Р интегрируема тогда и только тогда, когда
й& содержится в порожденном & идеале алгебры А(М).
Доказательство. Пусть ^— дифференциальная си-
стема на Мту такая, что Я?1—!?. Тогда для любых ае^
и!Де1 имеем
da(X, Y) = Xa(Y)-Ya(X)-a([X, Г]) = -а([Х, Г]).
Предположим сначала, что система & интегрируема. Тогда
da{X, Y) = 0 для любого og^h любых X, Fg^, Применив
тот же прием, что и при доказательстве предложения 4.3,
отсюда можно вывести, что d$P содержится в идеале алгебры
А(М), порожденном 9.
Обратно, если это свойство выполнено, то для любых
Jf,Fc^HaG^ мы имеем а{[Х, Y]) = — da(X, Y) = 0. Следо-
вательно, коммутатор [X, Y] также принадлежит д6у и, значит,
система $6 интегрируема. ¦
4.9. Следствие. Пусть система Пфаффа $? порождена
формой Пфаффа а без особенностей. Система &* интегрируема
тогда и только тогда, когда существует форма Пфаффа р,
такая, что da = а Л р.
Формулируя лемму 3.7 в терминах систем Пфаффа, полу-
чаем следующее утверждение:
4.10. Лемма (теорема Фробениуса). Пусть &> —система
Пфаффа ранга р на многообразии Мт. Система &* интегрируема
тогда и только тогда, когда для любой точки у е Мт сущест-
вует система локальных координат (zu ..., zm) в некоторой
открытой окрестности U точки у, такая, что система {Ри по-
рождена формами dzx, ..., dzp.
Упражнение. В лемме 4.10 систему координат (zl9 ..., zm)
можно выбрать таким образом, чтобы zl=f\u, где /~диф-

112 Гл. V. Дифференциальные уравнения и системы на многообразиях
ференцируемая функция на Мт, обладающая следующими
свойствами:
)
2)
4.11. Предложение. Пусть @ — система Пфаффа ранга р
на многообразии Мт. Система &* интегрируема тогда и только
тогда, когда для любых принадлежащих $Р форм а, щ, ..., ар
имеет место равенство da Л а, Л ... Л ар = 0.
С учетом 4.8 это предложение вытекает из следующего ре-
зультата:
4.12. Предложение. Пусть а{, ..., ар —независимые
формы Пфаффа на многообразии Мт. Дифференциальная форма
аеЛ (М) принадлежит идеалу, порожденному формами аи ..., ар,
тогда и только тогда, когда а Л щ Л • • • Л сср = 0.
Доказательство. Мы можем предположить, что Мт
параллелизуемо и что существуют формы Пфаффа ар+1, .. .,аш,
такие, что аи ..., ат порождают Л(М). Поскольку идеал /,
порожденный формами а{, ..., ар, есть прямая сумма подмо-
дулей I(]Aq(M), можно ограничиться случаем, когда а —одно-
родная форма степени q:
<*= 2 at .../«/ Л ... Л а/ .
1</1<...<^<т l q 1 Ч
В этом случае а принадлежит / тогда и только тогда, когда
а*,.../ =0 при h>p. Но так как
а Л «кЛ ... Л аР == 2 а* ... «а/А ...
Р</,<...<^<т * <* 1
... Л щя Л a
это условие эквивалентно условию аЛ^Л ... Л«р = 0.
... Л щя Л ai Л ... Л ар>

Глава VI
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
И КЛАСС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ
1. Характеристическая система и класс
Пусть а —дифференциальная форма степени р^1 на
многообразии Мт.
1.1. Определение. Характеристическим подпростран-
ством формы а в точке у^.Мт называется подпространство
С у (a) cz ТУ(М), являющееся пересечением ассоциированных под-
пространств А(а{у)) и A{da(y)) (гл. I, определение 7.4).
1.2. Определение. Характеристической системой формы а
в точке у е Мт называется подпространство С* (a) cz Г* (М),
ортогональное характеристическому подпространству Су (а).
Таким образом, характеристическая система формы а
в точке r/есть сумма ассоциированных систем А*(а(у)) и A*(da(y))
(гл. I, определение 7.7).
1.3. Определение. Классом формы а в точке у^Мт
называется размерность характеристической системы С* (а)
(или коразмерность характеристического пространства Су(а)).
Таким образом, класс формы а в точке у не меньше ранга
а (л:) и, следовательно, не меньше степени р формы а, если
а(х)=^0.
Пример. Класс формы а = (х\ + *|)dx2 на R2 равен
. . 2, если хх ф О,
1, если х{ = 0 нх2ф0,
О, если х{ = х2 = 0.
Если класс формы а степени р равен р в точке у, то
() 0
Если форма а замкнута (или если rfaQ/) = 0), то класс a
в точке у равен рангу а (у). Следовательно (гл. I, 8.3—8.5),
справедливо та^ое предложение:
1.4. Предложение. Замкнутая форма степени 2 имеет
четный класс в каждой точке.

114 Гл. VI. Характеристическая система и класс формы
1.5. Предложение. Пусть а — замкнутая форма сте-
пени 2 на Мт. Форма а имеет класс 2s в некоторой точке
у ge Mm тогда и только тогда, когда а3(у)Ф0 и as+l(y) = Q.
Более того, при этих условиях
С'у (а) = С; (а2) = ... = С; (а*) = А* (а (у)).
1.6. Предложение. Пусть а— форма Пфаффа на Мт.
Класс а в точке у е Мт равен 2s + 1 тогда и только тогда,
когда (а Л {йа)8){у)ф0 и (da)s+l (у) = 0.
Более того, при этих условиях
Су (а) = С; (а Л da) = ... = Су (а Л (da)s) = (а (у)) + Л* (da
Доказательство. Форма а имеет класс 25 + 1 в точке у
тогда и только тогда, когда da имеет класс 25 в у и подпростран-
ство С* (а) есть прямая сумма подпространства, порожденного
а (у), и подпространства
или, иными словами, когда существует базис (^I<г<тв Т*у(М),
такой, что
1.7. Предложение. Пусть а — форма Пфаффа на Мт.
Класс а в точке у ^ Мт равен 2s тогда и только тогда, когда
(da)s(у) Ф 0 и (aA(da)s)(y) = (da)s+l(y) = O.
Более того, при этих условиях
С; (а) = С; (da) = С; (а Л da) = ... = Су (das) = Л* (da (у)).
Действительно, для того чтобы форма а имела класс 25
в у, необходимо и достаточно, чтобы форма da имела класс 2s
в у и чтобы вектор а(у) принадлежал характеристической
системе Cy(da(y))t или, другими словами, чтобы скорма da
имела класс 25 в у и чтобы (а Л (da)s) (у) = 0.
В случае когда у не является особой точкой формы а
(а(у)^О), можно уточнить предложение 1.7 следующим об-
разом:
1.8. Предложение. Пусть а — форма Пфаффа на Мт и
у — такая точка Мт, что а (у) Ф 0. Тогда а имеет класс 2s в у
в том и только в том случае, если
(daf (у) Ф 0 и (а Л (da)s) (у) = 0.

1. Характеристическая система и класс 115
Доказательство. Заметим сначала, что если а имеет
класс 2s в у, то (а Л {Аа)8~1)(у)Ф 0. Действительно, можно
найти базис hi)l<i<m в Т*у(М), такой, что
da (у) = е, Л е2 + ... + в*-! Л e2s {гл. 1,8.2).
Предположим теперь, что
(da)s МФО и (aA{da)s){y) = 0.
Тогда класс а в у не меньше 2s. С другой стороны, класс а
не может быть больше 2s, так как из этого вытекало бы (пред-
ложение 1.6 и предыдущее замечание), что
(аМ*а)8)(у)Ф0. Ш
1.9. Правило. Пусть а —форма Пфаффа на Мт. Поло-
жим (Oj = ab co2 = da, co3 = а Л da} co4 = (daJ, ....
Класс формы а в точке у <= Мт равен наименьшему це-
лому г, такому', что
Если а (у) Ф О в некоторой точке у gMw, to класс а в у
равен наименьшему целому г, такому, что сог+1(#) = 0.
1.10. Локальное изучение. Пусть (уь ..., ут) — си-
стема локальных координат на открытом множестве U а Мт.
Характеристическая система формы а^Ар(М) в некоторой
точке y^U порождена (гл. 1,7.9) линейными формами
Следовательно, имеет место такое утверждение:
1.11. Предложение. Класс дифференциальной формы
aeA^(M) является неотрицательной полунепрерывной снизу
функцией с целыми значениями.
Другими словами, если класс а равен q в некоторой точке
у е Мт, то класс а не меньше q во всех точках, достаточно
близких к у.

116 Гл. VI. Характеристическая система и класс формы
2. Характеристические векторные поля и формы
Пусть а — дифференциальная форма степени р^ 1 на много-
образии Мт.
2.1. Определение. Характеристическим векторным по-
лем формы а называется векторное поле X на Мт, такое, что
X (у) а С у (а) для любой точки у^Мт.
Множество ^(а) характеристических векторных полей
формы а является подмодулем в ?Г (М), устойчивым относи-
тельно взятия локально конечной суммы.
2.2. Теорема. Векторное поле X на Мт является характе*
ристическим полем формы а тогда и только тогда, когда
ixa = ix(da) = 0.
Эта теорема — непосредственное следствие предложения 7.5
гл. I.
2.3. Следствие. Векторное поле X является характери-
стическим полем формы а тогда и только тогда, когда ixa==
— hxa = 0.
Действительно, L^a = ix da
2.4. Следствие. Если X и Y — два характеристических
векторных поля формы а, то их коммутатор [X, Y] также
является характеристическим полем формы а.
Действительно (гл. IV, 3.4),
i[x, yj« =*= Lxiva — iYhxa = 0,
LjX^a = 0.
2.5. Определение. Характеристической формой Пфаффа
формы а называется форма Пфаффа со на Mw, такая, что
ю((/)^С*(а) для любого jgM,
Множество в7*(а) характеристических форм Пфаффа формы a
является подмодулем в Л.1(М), устойчивым относительно взятия/
локально конечной суммы.
2.6. Предложение. Для любой точки у еМт множество
ковекторов со (у) е Т* (Mw), со е V* (а), совпадает с характери-
стической системой С* (а) формы а в точке у.
Доказательство. Пусть еу — элемент С* (а). В обозна-
чениях 1.10 существует форма Пфаффа е на U, обладающая
следующими свойствами:
1) е(у)==еу>
2) е (z) e С* (а) для любого z^U.

3. Дифференциальные формы постоянного класса 117
Возьмем теперь дифференцируемую функцию б на (/, рав-
ную 1 в точке у и обращающуюся в нуль вне некоторой окре-
стности у. Форма Пфаффа бе продолжается (нулем на Mm — U)
до некоторой формы Пфаффа со, принадлежащей ^*(а) и такой,
что (д(у) = гу. ш
Упражнение. 1) Не существует аналога предложения 2.6
для модуля характеристических векторных полей формы а.
2) Подмодуль <?7*(а) содержится в модуле, ортогональном
^(а), но, вообще говоря, не совпадает с ним.
3) Если со — характеристическая форма Пфаффа формы а,
то форма dco может не принадлежать порожденному ^*(а)
идеалу в Л(М).
4) Форма а может не принадлежать подалгебре в Л(М),
порожденной ^*(а) (в отличие от линейного случая: гл. 1,7.8).
3. Дифференциальные формы постоянного класса
В этом параграфе мы будем предполагать, что а — диффе-
ренциальная форма степени р на многообразии Мт, имеющая
постоянный класс q^p.
Подмодуль ^*(а) характеристических форм Пфаффа формы а
является в этом случае системой Пфаффа ранга q на Мт
(предложение 2.6), а подмодуль ^(а) характеристических век-
торных полей формы а есть дифференциальная система W наМт,
такая, что 9BL = <&* (а) (гл. V,4.5 и 4.6).
Следовательно, Ф{а) является дифференциальной системой
размерности m — qiia Mm, и из утверждения 2.4 выводится
следующая теорема:
3.1.Теорема. Пусть а — дифференциальная форма по-
стоянного класса q на многообразии Мт. Тогда подмодуль ф (а)
характеристических векторных полей формы а является инте-
грируемой дифференциальной системой размерности m — q
на Mm, а подмодуль Ф*(а) характеристических форм Пфаффа
формы а является системой, ортогональной ^(а).
3.2. Предложение. Пусть а — дифференциальная форма
степени р постоянного класса q на многообразии Мт. Для
любой точки у е Мт существует система локальных координат
(У\> •••> Ут) в некоторой открытой окрестности U ^ у, такая,
что в этих локальных координатах а имеет вид
2 <V..*p(#i> •••> yq)dyilA ... Adyip.
Доказательство. По теореме Фробениуса (гл. V,
лемма 4.10), для любой точки у^Мт существует система ло-

118 Гл. VI. Характеристическая система и класс формы
кальных координат {уи ..., ут) в некоторой окрестности U
точки у у такая, что система Пфаффа ^* (а \и) = <&* (а)^ доро-
ждена формами rfr/j, ..., d^. Поэтому на U справедливы
равенства
a= 2j Щ iAyu ..., ym)dyi Л ••• Ady,,
\<1{<-..<1р<Ч ' P ' p
-j-j—d^iAdy^A ... Adyt .
?
Следовательно, —-г = 0 для j > q.
Итак, уменьшив, если понадобится, ?/, можно считать, что
функции ail%u.i не зависят ог ^// при / > q. ¦
3.3. Замечание. Если форма а допускает приведенное
в доказательстве предложения 3.2 локальное выражение, то
класс а не превосходит q. Следовательно, если класс а равен q,
то в этом выражении встречается явно каждая из функций
уи ..., уг Поэтому можно сказать (Э. К^ртан [6]), что
«класс формы а (постоянного класса) равен минимальному
числу независимых функций, необходимых для того, чтобы
выразить а».
3.4. Следствие. Пусть а — дифференциальная форма сте-
пени р постоянного класса р на многообразии Мт. Тогда для
любой точки у е Мт существует система локальных координат
(Уи •••> Ут) в некоторой открытой окрестности U точки у,
такая, что локальное выражение anaU имеет вид dyx/\... /\dyp.
Доказательство. Можно • найти систему локальных
координат (г,, ..., zm) в некоторой окрестности V точки у,
такую, что
a\v = a{zu ..., zp)dzx A ... Л dzp, афО.
Пусть A = A(zu ..., zp) — дифференцируемая функция на V,
дЛ
такая, что -^— = а; положим
ozl
yi — A(zlt ..., zp),
yt = Zi для
Функции #,, ..., /ym образуют систему локальных координат
в некоторой окрестности U точки у> и в этой окрестности
о = ^Л ... Л rf#p. ¦

4. Локальные модели дифференциальных форм степени 1 и 2 119
Упражнение. Если а — дифференциальная форма по-
стоянного класса на Мт, то а принадлежит порожденной ^* (а)
^подалгебре в А(М).
4. Локальные модели дифференциальных форм
степени 1 и 2
В случае когда дифференциальная форма а постоянного
класса замкнута и имеет степень 1 или 2, предложение 3.2
может быть уточнено.
4.1. Теорема (Дарбу). Пусть а — форма Пфаффа без осо-
бенностей постоянного класса 2s + 1 (соотв. 2s) на многообра-
зии Мт. Тогда для любой точки у е Мт существуют 2s + 1
(соотв. 2s) дифференцируемых функций уи ...,#2s+i (соотв.
У и •••> i/2s) в некоторой окрестности U точки у, такие> что
= 0) U
+ ... + y2sdy2s+l
(соотв. а \и = A + у{) dy2 + у3 dy4 + ... + y2s^ dy2s).
При доказательстве этой теоремы используются следующие
две леммы 1):
4.2. Лемма. Пусть а — форма Пфаффа постоянного класса
25+1 на Мт. Тогда для любой точки у е Мm существует
обращающаяся в нуль в точке у дифференцируемая функция f,
определенная в некоторой открытой окрестности V точки уу
такая, что форма а1=а|к — df не имеет особенностей (при
s>0) и имеет постоянный класс 2s на V.
4.3. Лемма. Пусть а — форма Пфаффа без особенностей
постоянного класса 2s > 0 на Мт. Тогда для любой точки у ^ Мт
существует обращающаяся в нуль в точке у дифференцируе-
мая функция g, определенная в некоторой открытой окрестно-
сти W точки у, такая, что форма a2 = (l +g)(a У) имеет по-
стоянный класс 2s — 1 на W.
Доказательство леммы 4.2. Подмодуль характери-
стических форм ^*(aA(da)s)=f*(a) (соотв. cB'*((da)s) = <&>*(da))
является интегрируемой системой Пфаффа ранга 2s + 1 (соотв. 2s)
на Мт и ^(rfcOci^a).
Поэтому можно найти систему локальных координат
(zu • • •> zm) B некоторой открытой окрестности V точки у у такую,
что гх(у)= ... =zm(y) = 0 и
1) (daf \v = dy2 А . • • Л dy2s+l,
2) а Л (daf \v = dy{ Л ... Л dy2s+x (следствие 3.4),
1) Идеей этого доказательства я обязан М. Мартине»

120 Гл. VI. Характеристическая система и класс формы
25+1
3) a\v = dyi+ 2 ^idiji, причем 2 а({2JФ0 для любого
/=2
/=2
Форма al=a\v — dyl не имеет особенностей на V и обла-
дает следующими свойствами:
1) (rfair = (rfar^0,
2) alA(dal)s = 0.
Следовательно, эта форма имеет класс 2s на V, ¦
Доказательство леммы 4.3. Подмодуль характери-
стических форм %?* ((rfa)O = V* {da) является интегрируемой си-
стемой Пфаффа ранга 25 на Мт. Обозначим через s&* множе-
ство форм Пфаффа со на Мт, таких, что со (у) е А* ((а Л {da)s~l) (у))
для любой точки у ^ Mw. Множество *s$* является подмодулем
в Л1 (М), устойчивым относительно взятия локально конечной
суммы. Поскольку форма aA(da)s~l имеет постоянный ранг
25—1 (доказательство предложения 1.8), можно показать, ана-
логично тому, как это делалось при доказательстве 2.6, что s4-*
является системой Пфаффа ранга 25—1 на Мт. Кроме того,
¦яГ с: «>* ((<*<).
Система Пфаффа «s$* интегрируема. Действительно, эта
система ортогональна дифференциальной системе
ix (a Л (da)s-1) = 0},
и если X и Y принадлежат #/, то
i[x. Y] (« Л (da)s-1) = LxiY(а Л (da)s~l) - iYLx(a Л (da)*-1) =
=—iY dix (a Л (da)s~l)—iYix (daf = — iYix (da)s=0 (V ((da)s) с Ж).
Поэтому можно найти систему локальных координат
(г1у... .,2т) в некоторой открытой окрестности W точки у,
такую, что zx{y)= ... —гт(у) = 0 и
1) (do)s \w = dz{A-.-A dzzs,
2) (а Л (da)s-{) \w = bdz2A ... Л dz2s, где b (z) Ф 0 для лю-
бого z e W.
Если h — дифференцируемая функция на IF и а2 = Ла|^, то
а2 Л (da2y~l = hs(aA (da)s~l) \Wt
(da2)s = hs~{ [5 dhA(aA (da)s^) \w+h (da)s у.
Следовательно, если g = e"B/s — 1, где 5=J-|l,to форма
о
a2 = (l +g)(a \и) имеет класс 25 — 1 на W. ¦
Доказательство теоремы 4.1. Заметим, что форма
постоянного класса 0 тождественно равна нулю; и проведем
индукцию по классу формы а.

4. Локальные модели дифференциальных форм степени 1 и 2 121
Предположим сначала, что а имеет постоянный класс 2s + 1.
Тогда в некоторой открытой окрестности V точки у существует
обращающаяся в нуль в точке у дифференцируемая функция /,
такая, что форма aj = a|^ — df не имеет особенностей при
s > 0 и имеет постоянный класс 25 на V, Теперь в некоторой
окрестности U а V точки у мы можем найти 25 обращающихся
в нуль в точке у дифференцируемых функций gb ..., g2$Ji таких,
что
«1 \и = A + g\) dg2 + gs dgt + ... + g2s-.\ dg2s.
Положим уi = f -j- g2 (y\ = /, если 5 = 0), yt = g^i при / = 2, ...
..., 2s + 1. Эти функции равны нулю в точке у и
a \u = dy{+y2dy3+ ... +y2sdy2s+x-
Предположим теперь, что форма а не имеет особенностей
и имеет постоянный класс 2s + 2. Тогда в некоторой открытой
окрестности W точки у существует обращающаяся в нуль
в точке у дифференцируемая функция g, такая, что форма
a2 = 0+g)(aW имеет постоянный класс 2s + 1 на W. Таким
образом, в некоторой открытой окрестности U czW точки у
существуют обращающиеся в нуль в точке у дифференцируе-
мые функции fu ..., f2s+i> такие, что
Положим теперь ух = — *[ , yt = '^Г1 при / = 3, 5, ..., 2s + 1
и yi = fi_l при / = 2, 4, ..., 2s+ 2. Эти функции равны нулю
в точке у и
4.4. Замечания. 1) Функции (#*), участвующие в фбр-
мулировке теоремы 4.1, независимы в точке у (замечание 3.3).
2) Если форма Пфаффа а имеет постоянный нечетный класс
на Мт, то а не имеет особенностей на Мт.
Напротив, если а имеет постоянный четный класс, то a
может иметь особенности, и в последнем случае (равно как и
в случае, когда класс а не постоянен) невозможно привести
общую локальную модель.
4.5. Теорема. Пусть со — замкнутая дифференциальная
форма степени 2 постоянного класса 2s на многообразии Мт.
Тогда для любой точки у е Мm существуют 2s дифферен-
цируемых функций уь ..., y2s в некоторой открытой окрестно-
сти U точки у, таких, что У\{у)=.-- =*/2s(*/):==0 u
со \и = dyx A dy2 + ... + dy2s-x A

122 Гл. VI. Характеристическая система и класс формы
Доказательство. По лемме Пуанкаре (гл. IV, 2.11),
существует форма Пфаффа а в некоторой окрестности V точки у,
такая, что */а = а>|^. Класс а в точке у равен 25 или 25+1.
Предположим сначала, что 25 < т. Добавив, если понадо-
бится, дифференциал некоторой функции /eiZ5(M), можно
считать, что форма а имеет класс 25 + 1 в точке у и, следо-
вательно, постоянный класс 25+1 в некоторой окрестности
W czV точки у. Поэтому можно найти дифференцируемые
функции уи ..., y2s+\, определенные в некоторой окрестности
U cz W точки у и равные нулю в у, такие, что
Отсюда
(da) \u = dyx Ady2+ ... + dy^-i Л dy2s.
Если 25 ==m, то можно считать, что форма а не имеет осо-
бенностей в некоторой окрестности W' cz V точки у. Тогда можно
найти 25 дифференцируемых функций zu ..., z2s, определенных
в некоторой окрестности U'<zW точки у и равных нулю в у,
таких, что
*\и' = A +z{)dz2 + z3dz4+ ... +z2s-ldz2si
(da) \ц, = dzx Л dz2 + ... + dz2s-{ Л dz2s. Ш
4.6. Замечание. В теореме 4.5 можно взять в каче-
стве ух ограничение на U дифференцируемой функции / на Мт,
такой, что df является характеристической формой Пфаффа
формы © и не обращается в нуль в точке у.
Проверка этого утверждения предоставляется читателю
в качестве упражнения.

Глава VII
ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
И КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ
1. Симплектические многообразия
1.1. Определение. Пусть М2п — многообразие четной
размерности 2я. Симплектическая структура на М2п опреде-
ляется заданием замкнутой дифференциальной формы со е= А2(М)
степени 2 и постоянного класса 2п.
Говорят также, что (М2п, со) (или М2п) — симплектическое
многообразие и со — симплектическая форма на М2п.
Если U — открытое подмножество М2п, то пара (?/, (оУ-
?имплектическое многообразие.
Для любой точки у^М2п nqpa G^(M), о (у)) является сим-
длектическим векторным пространством (гл. I, § 8).
t.2. Предложение. Пусть со— замкнутая дифферен-
циальная форма степени 2 на многообразии М2п. Для того
чтобы форма © была симплектической, необходимо и доста-
точно, чтобы ®п была формой объема на М2п (гл. 111,7.14).
Это утверждение — прямое следствие предложения 1.5 гл. VI.
1.3. Следствие. Симплектическое многообразие (М2п, со)
ориентируемо.
Обычно М2/г» ориентируют формой объема (~1)п{п~{)/2 ®п
(см. пример 1.4).
Обратно, всякое ориентируемое многообразие размерности 2
допускает симплектическую структуру, но для четных размер-
ностей > 2 это неверно.
1.4. Пример. Дифференциальная форма
со = dxx Л dxn+i + dx2 Л dxn+2 + ... +dxnA dx2n
является симплектической формой на R2*; действительно,
G>n = (-l)n{n-l)l2n\dx{A ... Adx2n.
Ориентация, соответствующдя форме 0, является канонической
ориентацией R2/l.

124 Гл. VII. Гамильтоновы системы и контактные структуры
Следующая теорема позволяет строить симплектические
структуры, играющие фундаментальную роль в аналитической
механике.
Пусть т* (М) = (Т* (М), qM, Mm) —- кокасательное расслоение
многообразия Мт. Для любой точки у е Мт и любого кокасатель-
ного вектора а^Ту(М) касательное отображение qTM переводит
Та(Т*(Щ в ТУ(М). Поэтому можно определить следующим
образом линейную форму на Та(Т*(М)):
1.5. Теорема. Соответствие аь->(^)*(а) определяет форму
Пфаффа К постоянного класса 2пг на Г*(М).
Доказательство. Пусть (уи ..., ут) — система локаль-
ных координат на открытом множестве U аМт. Функции qt =
— УьоЯм и Pi — dldyiy /=1, ..., /п, образуют систему локаль-
ных координат на открытом множестве V =q]^l{U) а Т*{М).
Если и = V | at -JJ Ь bi -g—) — касательный вектор на К,
то qTM {и) = \! аг^—. Следовательно, если a = V ^ dt/b то
Таким образом, локальное выражение X на К имеет вид
^Piqi, и, значит, Л есть форма Пфаффа на Г*(Л1).
Из этого локального выражения можно также вывести,
что Я имеет постоянный класс 2т на Т*{М). ш
1.6. О пред еле ние. Формой Лиувилля на Г*(М) назы-
вается форма Пфаффа Л, определяемая равенством Л(а)'=
№)»
1.7. Следствие. Внешний дифференциал Л = с?Л формы
Лиувилля определяет симплектическую структуру на кокасатель-
ном пространстве Т*(М).
1.8. Следствие. Кокасательное пространство Т*(М) лю-
бого многообразия Мт является ориентируемым многообразием,
1.9. Определение. Пусть (М2п, со) и (№п, со7) — два сим-
плектических многообразия. Дифференцируемое отображение
A: M2n->N2n называется симплектическим, если /г*со/ = 0.
В этом случае для любой точки у е М2л отображение /гг
является симплектическим изоморфизмом {ТУ{М)> со (г/)) на

/. Симплектические многообразия 125
(Th(y)(N), о/(h(y)). Следовательно, h имеет постоянный ранг 2п
(и является, таким образом, локальным диффеоморфизмом).
Симплектический диффеоморфизм h сохраняет ориентацию.
1.10. Предложение. Пусть (М2п> со) — симплектическое
многообразие. Для любой точки у е М2п существуют ее от-
крытая окрестность U и симплектический диффеоморфизм h
симплектического многообразия (?/, со |^) на открытое подмно-
жество пространства R2" (снабженное симплектической струк-
турой примера 1.4).
Действительно (гл. VI, 4.5), можно найти систему локаль-
ных координат (уи ..., у2п) в некоторой окрестности U точки у,
такую, что
<*> \и = dyx A dyn+l + ... + dyn A dy2n.
Упражнение. Пусть М2п — многообразие четной размер-
ности 2п. Многообразие М2п допускает симплектическую струк-
туру тогда и только тогда, когда на М2п существует атлас
{((/,-, ер*)}, такой, что все функции перехода qpycpf1 являются
симплектическими диффеоморфизмами (для структуры, опре-
деленной в примере 1.4).
1.11. Предложение. Пусть (М2п, со) — симплектическое
многообразие. Отображение Qy: у •—> / (и)!ю (у) пространства.
ТУ(М) в Т*У(М) определяет дифференцируемый изоморфизм Q
(над М2П) касательного расслоения х(М) в кокасательное рас-
слоение т*(М).
Это предложение вытекает из следующего результата:
1.12. Предложение. Пусть со —дифференциальная
форма степени 2 на многообразии Мт. Отображение пу\ и ь->
?->i(u)to(y) пространства ТУ(М) в Т*У(М) определяет диффе-
ренцируемый гомоморфизм Q (над Мт) касательного расслоения
х(М) в кокасательное расслоение х* (М), и ранг Qy равен
рангу о (у).
Доказательство. Пусть (уЛ9 ..., ут) — система локаль-
ных координат на открытом множестве UaMm. Функции
П = У1°рм и fi = dyi(cooTB.qi = yioqMHpi = d/dyi)y i= I, ...,m,
образуют систему локальных координат на открытом множе-
стве рлЧи) = Т{М) (соотв. q~\(U)czr (M)).
Пусть © = 2 пц dyi A dyj, где а,ц = — aij9 -r локальное вы-
ражение со в U. Тогда отображение Q задается на p

126 ?л. VII. Гамильтоновы системы и контактные структуры
формулами
и, следовательно, является дифференцируемым.
Поскольку ?1у — линейное отображение ТУ(М) в Т*У(М)У то Q
является гомоморфизмом х(М) в х*(М) (гл. II, 2.11). Наконец
(гл. I, 7.9), ранг Qy равен рангу со (у). Ш
1.13. Следствие. В предположениях утверждения 1.11
отображение Xy-^ix® является изоморфизмом Т (М) на А1(М).
2. Скобка Пуассона
Пусть (М2п, со)— симплектическое многообразие. Для любой
формы Пфаффа а на М2п обозначим через Ха векторное поле
на М2п, определяемое равенством a = ixaa> (следствие 1.13).
2.1. Определение. Скобкой Пуассона (относительно сим-
плектической структуры на М2п) двух форм Пфаффа аир
на М2п называется форма Пфаффа (а, Р) = цха, x.jco.
Таким образом, скобка Пуассона получается перенесением
скобки Ли (коммутатора) из Т'{М) в А1(М) при помощи изо-
морфизма Хн->|хсо. Следовательно, справедливо такое предло-
жение:
2.2. Предложение. Скобка Пуассона в Л](Л1) обладает
следующими свойствами:
1) (<x,p + Y) = (a,P) + (a,Y),
2) (аДР) = Я(а,Р), Я е= R,
3) (р,а) = ~(а,Р),
4) (а, (р, v)) + (Р, (V, а)) + (Y. (а, Р)) = 0 {тождество Якоби),
5) (а, /Р) = (XJ) р + / (а, Р), / € 0 (М).
2.3. Предложение. ?сли а м р — две замкнутые формы
Пфаффа на М2п, то (а, Р) = - d @ {Ха, XJ).
Действительно,
(а, Р) = '>а,*р]О> =

2. Скобка Пуассона 127
. 2.4. Определение. Пусть/ и g — две дифференцируе-
мые функции на М2п и а и р — дифференциалы fug. Скобкой
Пуассона (относительно симплектической структуры на М2п)
функций fug называется дифференцируемая функция
Из предложения 2.3 следует, что d(f, g) = (df, dg).
2.5. Предложение. Скобка Пуассона в 2)(М) обладает
следующими свойствами:
о\ (f ^ /у\ У, (f <у\ X f^ 1?
4) (f,\g, h)) + (g, (h, /)) + (h, {f, g)) = 0 (тождество Якоби),
5) (Г '- * " ^ ' " "
Доказательство. Обозначим через а, р и у дифферен-
циалы функций f, g и h. Тогда
1) (А 8 + h) = - ® (^e, Jp + JTV) = (/, 5) + (f, Л);
2)(
3)
(g,(/)) p(/) ^(o)
(Л. (/, ff)) = - [Ха, Xfi] h (так как d (f, g) = (а, р));
следовательно, (f, (g, h)) + (g, (h, f)) + (h, (f, g)) — 0;
5) (/, gh) = -v>(Xa, Mp + gXy) = h(f,g) + g(f, К) (так как
h(d) {h)) шГ
2.6. Локальное выражение. Пусть (qu ..., qn,
ри ..., рп) — система локальных координат на открытом мно-
жестве U сг М2п, такая, что ю |у = 2 dpi A dqt. Если а =
то Xa = ^i(^-bi-^+ai-^y Следова-
Это и есть, с точностью до знака, классическое выражение
скобки Пуассона.
Упражнение. Диффеоморфизм h симплектического мно-
гообразия является симплектическим тогдд и только тогда,
когда он перестановочен со скобкой Пуассона.
2.7. Определение. Две формы Пфаффа а и р на сим-
плектическом многообразии (М2п, со) находятся в инволюции,
если 0(Ха>Хе) = О.

128 Гл. VII. Гамильтоновы системы и контактные структуры
Мы скажем, что две дифференцируемые функции / и
на М2п находятся в инволюции, если их дифференциалы d
и dg находятся в инволюции.
Следовательно, если аир —две замкнутые формы Пфаффа,
находящиеся в инволюции, то их скобка Пуассона (а, Р) равна
нулю.
Верно и обратное:
2.8. Предложение. Две дифференцируемые функции f
и g находятся в инволюции тогда и только тогда, когда их
скобка Пуассона (/, g) равна нулю.
2.9. Предложение. Две замкнутые формы Пфаффа а
и р находятся в инволюции тогда и только тогда, когда а
(соотв. Р) является первым интегралом Х^ (соотв. Ха).
, Действительно, ю (Ха, Х^) = — р (Ха) = а (Х^).
2.10. Предложение. Пусть а, р и у —три замкнутые
формы Пфаффа. Если а находится в инволюции с р и у, то а
находится в инволюции со скобкой Пуассона (Р, у).
Действительно, Х^у) = [Х^,Ху] и
=.0.
3. Гамильтоновы системы (Э. Карган [6])
ЗЛ. Определение. Гамильтоновой системой (динамиче-
ской системой) на симплектическом многообразии (М2п, со) на-
зывается векторное поле X на М2п, такое, что форма Пфаффа
ix<u замкнута.
Если форма ix® точна, то гамильтонианом системы X на-
зывают дифференцируемую функцию Н на М2п, такую, что
ixco = — dH. Если многообразие М2п связно, то два гамильто-
ниана X отличаются на константу.
Обратно, если а (соотв. Н) — замкнутая форма Пфаффа
(соотв. дифференцируемая функция) на М2п, то существует и
притом единственная гамильтонова система X на М2п, такая,
что ?х(о = — а (соотв. 1Х® = — dH). Говорят, что X — гамиль-
тонова система, соответствующая а (соотв. Н).
3.2. П р е д л о ж^ н и е. Векторное поле X на симплектиче-
ском многообразии (М2п, со) является гамильтоновой системой
тогда и только тогда, когда LAco = 0.

3. Гамильтоновы системы
Действительно, Lxa> = dixa>.
Пусть X — гамильтонова система, соответствующая замкну*
той форме Пфаффа а на симплектическом многообразии (М2п, со).
Следующие утверждения очевидны:
3.3. Предложение. Точка у е М2п является особой точ-
кой (нулем) X тогда и только тогда, когда у является особой
точкой а.
3.4. Предложение. Форма Пфаффа а является первым
интегралом X.
В частности, если a = d#, то Я является первым интегра-
лом X; Я называется интегралом энергии.
Обозначим через U множество таких точек у е М2п, что
а{у)?=0- Тогда U открыто в М2п и форма Пфаффа а поро-
ждает на U интегрируемую систему Пфаффа (а) ранга 1.
3.5. Предложение. Пусть (N2n~\ К) — интегральное
многообразие (а). Тогда
1) векторное поле X касается h{N2n-x),
2) А*со — замкнутая дифференциальная форма степени 2
постоянного класса 2п — 2 на N2n-\
3) дифференциальная система ^(/г*®) порождена векторным
полем У, которое поле X индуцирует на N2n~x.
Доказательство. Первое утверждение очевидно, по-
скольку а(Х) = 0.
Пусть х — точка N2n~x и (еи ..., е2п) — базис Th{x) (M), такой,
что для дуального базиса/^, ..., г2п) в T*h(X)(M) выполняются
равенства (гл. 1,8.2)
а (А (*)) == е2п,
со (h (x)) = е,Ле2+ ... + в2л-! Л е2/г,
Линейные формы Л* = (^)*8/' 1^^^2л—1, образуют базис
в П (N) и
(Л*со) (*) = T|i Л тJ + • • • + Лгл-з Л ть-2-
Это доказывает, что класс А*со постоянен и равен 2п — 2
на N2n~l и что характеристическое подпространство Aг*(о)(х)
порождено Y (х). ш
В частности, если a = dH и с — регулярное значение Я, то
можно взять в качестве N2n~l подмногообразие Я" (с).

130 Гл. VII. Гамильтоновы системы и контактные структуры
3.6. Предложение. Существует дифференциальная
форма я степени 2п—\ на U, такая, что (со \ц)п = а Л я. Для
этой формы Lxn = а Л р, где р е Л2/г~2 ((/).
?с./ш я' — вторая дифференциальная форма на U, такая,
что (со \и)п = а Л я', го я' = я + аЛ#, г<?? or e Л2/г-2(?/).
Доказательство. Поскольку аЛ©й = 0, существует диф-
ференциальная форма я е Л2"-1 ((/), такая, что (ю У* = а Л я
(гл. V, 4.12). Поэтому 0 == Lx @ \ц)п = Lx (а Л я) = а Л (L^n) и,
следовательно, Lx я = а Л р, Р е Л2п-2 ((/).
Наконец, если л^ —вторая дифференциальная форма на ?/,
такая, что
(со|?/)/г = аЛя/, то аЛ(я-я0 = 0,
и, значит, я — я/ = аЛог, а е= Л2л~2({7). ¦
3.7. Следствие. Пусть (N2n"ly К) — интегральное много-
образие (а) и я е Л2"- (?/) — такая дифференциальная форма,
что (©|/ = аЛя. Гог5а форма П = /г*я обладает следующими
свойствами:
1) П яг зависит от выбора дифференциальной формы
я е= Л2»-1 ([/), та/cow, *^о (со ул = а Л я,
2) П является формой объема на N2n~l,
3) Eля векторного поля Y, индуцированного полем X на N2n"x9
справедливо равенство LVU = 0.
3.8. Локальное выражение. Пусть (qu ..., qnt pu ..., рл) —
система локальных координат на открытом множестве U с= М2п,
такая, что со \и= 2 ^Pi Ad<7«. Если а ==с/Я— замкнутая форма
Пфаффа на f/, то локальное выражение гамильтоновой системы X,
соответствующей а, дается формулой Jj("ap~j &Г~а—)'
Интегральные кривые X являются, таким образом, решениями
уравнений Гамильтона
dqt дН dpt дН
3.9. Примеры. Пусть Л — каноническая симплектическая
форма (следствие 1.7) на кокасательном пространстве Т*(М)
многообразия Мт.
1) Финслерова структура. Эта структура определяется зада-
нием дифференцируемой функции Н на Г*(М), обладающей
следующими свойствами:
Я — неотрицательная однородная функция степени однород-
ности р > 0,

3. Гамильтоновы системы 131
Я" @) — образ нулевого сечения Т*(М),
любое Я > 0 является регулярным значением Я.
Гамильтонова систему X, соответствующая функции Я,
называется геодезическим потоком финслеровой структуры,
а проекции на Мт интегральных кривых X называются геодези-
ческими этой структуры.
2) Риманова структура. Эта структура определяется зада-
нием римановой метрики Т на кокасательном расслоении т*(М).
Можно проверить, что Т является финслеровой структурой
на Г(М) (р = 2).
3) Классическая гамильтонова структура. Эта структура
определяется заданием на Т*(М) дифференцируемой функции Я
следующего вида: Я = Т — U о qM, где
Г —риманова метрика на т*(М),
U — дифференцируемая функция на Мт.
Понятие гамильтоновой системы может быть обобщено сле-
дующим образом:
3.10. Предложение (Э. Картан [6]). Пусть (М2п, со) —
симплектическое многообразие и Я — дифференцируемая функ-
ция на М2п X R- Тогда существует и притом единственное век-
торное поле Y на М2п X R> обладающее следующими свойствами:
l)Y(xJ) = Xt (х) + -§Г^ T{Xi t) (M2* XR) = r, (M) 0 Tt (R),
2) /у(р;©
Доказательство. Обозначим через Ht ограничение Я
на М2п X W- Уравнение 2) примет вид
"или
Поэтому следует взять в качестве Xt гамильтонову систему на
М2п X W> соответствующую Ht.
Локальное выражение Xt (п. 3.8) показывает тогда, что
отображение
(xt)Y(t) X() +
является векторным полем на М2п X R. ¦
Замечание. Если Я не зависит от /, то Xt также не
зависит от t и совпадает с гамильтоновой системой X, соответ-
ствующей Я.

132 Гл. VIL Гамильтоновы системы и контактные структуры
3.11. Следствие. Справедливо равенство К# = -^т-.
Таким образом, функция Н не является, вообще говоря,
первым интегралом Y.
4. Первые интегралы гамильтоновых систем
Пусть X — гамильтонова система на симплектическом много-
образии (М2п, со) и а = —?хсо. Предложения 2.9 и 2.10 могут
быть сформулированы иначе следующим образом:
4.1. Предложение. Замкнутая форма Пфаффа Р на М2п
является первым интегралом X тогда и только тогда, когда а
и Р находятся в инволюции.
Следовательно, если Y — гамильтонова система на М2п, то
форма iy® является первым интегралом X тогда и только тогда,
когда [X, У] = 0.
4.2. Предложение. Если р и у — два первых интеграла X,
то их скобка Пуассона (Р, у) также является первым интегралом.
4.3. Предложение (Галисо [3]). Пусть Pi, •.., Эл—i —
первые интегралы X, обладающие следующими свойствами:
1) формы а, р1э ..., р,^ независимы на открытом множе-
стве U cz М2п,
2) формы р*, 1 <л <^п— 1, попарно находятся в инволюции.
Тогда существуют п форм Пфаффа у, уь ..., y«-i на U, обла-
дающие следующими свойствами:
1) (й|?/ = аЛу+ IjPcAYo
i
2) дифференциалы dy и йуг принадлежат идеалу в Л(?/),
порожденному формами а, рь ¦.., р,^.
Доказательство. Пусть Yu ..., Yn~{ — векторные поля
на М2п, определяемые соотношениями 2у{а> = №. Тогда
Следовательно,
~±q(q-l) ... (qr —n+ l)Pi Л. .-• ЛР„-1ЛаЛ(й^.
Взяв q = n+l9 получим, что pj Л ... ЛРл-i Л а Л © = 0. Это
доказывает (гл. V, 4.12), что со принадлежит идеалу в A(U)f

4. Первые интегралы гамильтоновых систем 133
порожденному формами а, р1э ..., $п-{. Поэтому существуют п
форм Пфаффа у, Yi> •••» Y/i-i на ?/, такие, что
со \и = а Л Y + 2 Р* Л Y*-
Следовательно, формы а, у, plf ..., рл_!, Yi, • • •» Y/x-i независимы
на ?/. Помножив равенство (dco) |# = — а Л dy — 2 Р* Л dyt на
аЛАЛ ... ЛР^ЛРжЛ ... ЛРя-i (соотв. Р, Л ... Л P«-i),
получаем рх Л ... Л Pn-i Л а Л dyt = 0, / = 1, ..., м -— 1 (соотв.
Pi Л ... Л Ря-1 Л а Л dy = 0), что' и доказывает 2). ¦
Формы Пфаффа а, рь ..., $п~х порождают на U интегри-
руемую систему Пфаффа & ранга п. Если (Nn, h) — интеграль-
ное многообразие &% то поле X касается h(Nn) и индуцирует
на Af" векторное поле Z.
Положим я = Л*(у) и щ = Н*(у(), /=1, ..., я— 1. Справед-
ливо следующее утверждение:
4.4. Теорема (теорема Лиувилля — Картана об интегри-
руемости). При сделанных выше предположениях выполнены
следующие свойства:
1) формы я, щ, ..., ял«! независимы на Лг/\
2) формы щ,...у ял-! являются первыми интегралами
Z: dnt = 0 и n/(Z) = 0,
3) dn = 0 и k(Z) = 1.
Таким образом, эта теорема утверждает, что векторное
поле Z на Nn имеет п — 1 независимых первых интегралов,
следовательно, Z «интегрируется в квадратурах».
Доказательство. Из предложения 4.3 вытекает, что
формы я, Я!,..., яя_1 независимы и что dn = dnt = 0,
/ass 1, ..., n— 1. С другой стороны, я^^у^) и я^) = 7*Ш.
Но 1хсо = — y W а — 2 Yt WР/= ~~ а- Следовательно, у W =: 1
и yiW = 0, /=1, ..., л-1. ¦
В случае когда X — гамильтонова система на кокасательном
пространстве многообразия Мт (снабженном.канонической симп-
лектической структурой), «группы симметрии» определяют пер-
вые интегралы X:
4.5. Предложение. Пусть <q>t — однопараметрическая
группа диффеоморфизмов Мт. Тогда существует однопараме-
трическая группа % диффеоморфизмов Т*(М)У обладающая
следующими свойствами:
1) <7м ° ^ = Ф* ° <7м>
2) (^)* Я = X {X — форма Лиувилля на Г {М))9

134 Гл. VII. Гамильтоновы системы и контактные структуры
Доказательство. Пусть {(?/*, Фг)} — атлас Мт; тогда
(t/., [D (Ф{Ф^1))*)'— коцикл, определяющий т*{М). Отображении
(я|?^ = [D (ф^ 1Ф^1)]* определяют (гл. II, 2.10) однопараме-
трическую группу г^ диффеоморфизмов Т*(М), такую, что
Ям ° 'Ф/= Ф* ° Ям- Эта однопараметрическая группа характери-
зуется следующими соотношениями:
(tfu, <ф,а) = (и,а>, и<=Ту(М) и аеГ
Отсюда для аеГ(М) и меГа (Г*(Л1)) получаем
(и, (ЧЭД а) = (itftt, Я (^а)> = <^*Гм, ^а>
¦*«> === (Ями> а> = (u>
Следовательно, \|?*A, = A, для любого /. ¦
Упражнения. 1) Предложение 4.5 остается справедли-
вым, если ф^ —локальная однопараметрическая группа диф-
феоморфизмов.
2) Пусть Л —диффеоморфизм Мт. Отображение Т1{М)
в Th(x){M): ан->[(/г?) J (а) определяет диффеоморфизм
й: Т* (М)-*> Т* {М)9 и (й, Л) является автоморфизмом т*(М).
4.6. Предложение. Пусть Y — векторное поле на мно-
гообразии Мт. Тогда существует и притом единственное век-
торное поле Z на кокасательном пространстве Т*(М), такое,
что
2) LZX = О (X — форма Лиувилля на Т* {М)).
Доказательство. Пусть ф, — локальная однопараметри-
ческая группа диффеоморфизмов Мт, порожденная полем X,
и i|)f — соответствующая локальная группа на Т*(М) (предло-
жение 4.5). Тогда векторное поле Z, порождающее %, обла-
дает требуемыми свойствами.
Доказательство единственности Z проводится локально.
Пусть {уи ..., ут) — система локальных координат на откры-
том множестве U с= Мт и V аь-^ локальное выражение
X на U.
Функции <7/ = #*°<7л1 и Pi — d/dyt образуют систему локаль-
ных координат на q^ (U). Пусть Z = V |bt -^ 1- ct -j—

4. Первые интегралы гамильтоновых систем 135
тогда должны выполняться равенства
7' откуда bi = aioqM9
^7
LZX = iz dX + dizX =
- 2 bt dpi
i i
= 2 c, dq, + ^ p, (^.o 9if) rf?/ = 0,
откуда ??, = -
Например, если в использованной выше системе координат
Y = d/dyh то Z = d/dqt.
4.7. Следствие. Векторное поле Z является гамильтоно-
вой системой на (Т*(М), A = dX).
Действительно, izA = — d {К (Z)).
4.8. Теорем д. Пусть X — гамильтонова система на кока-
сательном пространстве Т* (М) и а = — ixA. Тогда, если Y — век-
торное поле на Мту такоеу что (в обозначениях 4.5) a(Z) = 0,
то k(Z) — первый интеграл X.
Действительно,
Z) = -a(Z)==
= XX (Z) - (LZX) (X) = XX (Z).
Если в такой ситуации поле Y порождает глобальную одно-
параметрическую группу фг диффеоморфизмов Мт, то говорят,
что ер* — группа симметрии X.
4.9. Примеры. 1) Классические гамильтоновы системы.
Пусть У — векторное поле на Mmy Z — соответствующее век-
торное поле на Т*{М) и // = Т — U ° рм — дифференцируемая
функция на Т*{М)У определяющая классическую гамильтонову
структуру C.9, пример 3)).
Если YU = ZT = 0, то X(Z) является первым интегралом X.
Следующий пример дает явное описание одной такой си-
туации.
2) Движение п тел. Обозначим через М3п множество таких
точек
{х[у уь zu ..., хП) ynt 2я)еЦ ,

136 Гл. VII. Гамильтоновы системы и контактные структуры
что (xiy yit zt) Ф {x}t yh zj) при / ф j. Множество М3п открыто
в R3/\ и отображения
(xt, У и Zi)^(Xi + U У и zt)t
{*i, Уь *i)*-*(xh Ui + t, Zi),
{xh у и zi)*~*(xh у и Zt + t),
(Xh У и z^b-^ixicost—yismt, x{ sin t + yt cos t, zt)t
{xi, Уь Zi)*->{xiy yicost — zisinty уisint + Zicost),
(Xh У и zt) ь-> (xt cos t + zt sin t, yit—
определяют 6 однопараметрических групп диффеоморфизмов М3п.
Функция
-i
дифференцируема на кокасательном пространстве Т*(М)=*
=»M3nX R3n и определяет на Т* (М) классическую гамильтонову
систему X. Таким образом, каждая из шести описанных выше
однопараметрических групп является группой симметрии X.
Соответствующие первые интегралы носят название полного
импульса и кинетического момента.
5. Контактные структуры (Риб [12])
5.1. Определение. Пусть M2n+l — многообрдзие нечет-
ной размерности 2/г + 1. Контактная структура на Af2n+1 опре-
деляется заданием формы Пфаффа оеА^Л!) постоянного
класса 2/г + 1.
В частности, форма Пфаффа а не имеет особенностей. Го-
ворят также, что а —контактная форма на M2n+l.
Если {/ — открытое подмножество М2п+\ то а \ц — контакт-
ная форма на U.
5.2. Предложение. Пусть а —форма Пфаффа на много-
образии M2n+l. Форма а является контактной тогда и только
тогда, когда a A{da)n — форма объема на M2n+l.
Это утверждение — непосредственное следствие предложе-
ния 1.6 ivj. VI,

5 Контактные структуры 137
5.3. Следствие. Если многообразие M2n+i допускает
контактную структуру, то оно ориентируемо.
В этом случае обычно ориентируют M2n+l формой объема
а Л (da)n. _
5.4. Пример. Форма Пфаффа
а = dx{ + х2 dx3 + ... + х2п dx2n+l
является контактной формой на R2*+1; действительно,
а Л (da)n = п\ dx{ Л ... Л dx2n+l.
Ориентация, соответствующая форме а, — каноническая ориен-
тация R2n+1.
5.5. Теорема (Риб [12]). Пусть а —контактная форма
на многообразии М2п~\ Тогда существует и притом единствен-
Y&~(M)
ное векторное поле Y^&~(M), такое, что
а(Г) = 1 и iY(da) = 0.
Говорят, что Y — динамическая система на М2п+\ соответ-
ствующая контактной форме а.
Доказательство. Для любой точки y^M2n+l сущест-
вует система локальных координат (уи ..., у2п+\) в некоторой
открытой окрестности U ^ у> такая, что
<*\u = dyx+y2Ady3+ ... +y2nAdy2n+l.
Отсюда
(aWDr)el и
Поскольку ассоциированная система формы (da) 1^ порождена
полем д/дух, это доказывает существование и единственность
векторного поля Y. ¦
5.6. Следствие. Векторное поле Y, соответствующее кон-
тактной форме а, не имеет особенностей.
5.7. Следствие. Справедливо равенство Ly(a)=Lr(rfa)=0.
Действительно,
LK (a) = diYa -\-iyda = 0, -3
Верно и более общее утверждение:
5.8. Следствие. Пусть f — дифференцируемая функция
На M2n+l. Тогда Lfy{da) = 0 и Ltv{a) = df,

138 Гл. VII. Гамильтоновы системы и контактные структуры
Действительно,
Цу (а) = /LKa + df Л iYa = df,
5.9. Теорема. Пусть а — форма Пфаффа на многообра-
зии М2п, такая, что форма co = da симплектическая. Пусть,
далее, X — гамильтонова система без особенностей на (М2п, со).
Если (N2n~\ h) — интегральное многообразие системы Пфаффа,
порожденной формой *хсо, и если а(Х) не обращается в нуль
на h{N2n~l), то имеют место следующие свойства:
1) h*а —контактная форма на N2n~~l,
2) если Y — векторное поле, которое поле X индуцирует
на N2n~\ то динамическая система, соответствующая h*a, есть
Y Y
h*a(Y) a(X)oh '
Доказательство. Пусть х—точка Af2""" и (е1у ..., е2п)—
базис в Th(X)(M), такой, что для дуального базиса (е1? ...,
в Th(x)(M) имеем
ix© (h (х)) = г2ПУ
со (h (х)) = е{ Л е2 + ... + 82п_! Л е2п,
2/г
a (h (x)) = 2 afii, где а2п-1 Ф 0.
Линейные формы т]. = (Л^)*е., 1</<2л—1, образуют базис
в ГХ(Ы) и
/г*© (х) = г\{ Л ть + ... + Лг/х-з Л тЬ-2>
2я-1
A*a W = 2 а^, где а2д
Эти выражения показывают, что класс /г*а в точке дс равен
2л-1.
Наконец, поскольку функция h*a (Y) = a (X) о h не обращается
в нуль на N2n~~l, динамическая система, соответствующая кон-
тактнои форме /га, есть ,» ,yv . ¦
5.10. Примеры. Сохраняя обозначения п. 3.9, рассмотрим
систему локальных координат (уи ..., ут) на открытом мно-
жестве V с Мт и соответствующую систему локальных коорди-
нат qi = yi°qM, pi = djdyi на дм1 (V).

5. Контактные структуры 139
1) Финслерова структура. Пусть h > О и N2n~l — подмного-
образие в Т*(М), определяемое уравнением # = Л. Локально
.можно написать
Л = 2 Pi dqu
i
-2u\dPi dqt dqt dpj'
Следовательно, форма Лиувилля X индуцирует на подмного-
образии уровня H = h (h > 0) контактную структуру, и соот-
ветствующая этой структуре динамическая система есть X/ph.
2) Классическая гамильтонова структура. Пусть h — регу-
лярное значение функции # = Т— U °qM, такое, что Н~1{Н)Ф 0,
и пусть М2" — подмногообразие в Т*(М)> определяемое урав-
нением H = h. Локально можно написать
Л = 2 Pi dqu
i
(JHLJ!. Ж. д \
iydpi dqt dqt dpj'
Следовательно, если обозначить через N2n~l дополнение в Л^2""
к образу нулевого сечения Т*(М) (N2n~l — открытое подмного-
образие в N2n~~l), то форма Лиувилля X индуцирует на N2n~l
контактную структуру, и соответствующая этой структуре дина-
мическая система есть Х/2Т.
Обозначим через IF открытое подмножество Мп, определяе-
мое неравенством UФ—h. Тогда множество q^xiW) открыто
в Т*(М), содержит Л^2"", и Г/ = -^- —г является римановой
метрикой на кокасагельном расслоении т*(№). Подмногообра-
зие N2n~l характеризуется теперь уравнением Т'=1.
Пусть Y — геодезический поток, соответствующий метрике Т'.
Поле Y определяется соотношением iYdX = — dT' и, следова-
тельно, касается Л^1. Более того, справедливо равенство
Я(У) = 2Г (пример 1).

140 Гл. VII. Гамильтоновы системы и контактные структуры
Следовательно, поскольку X индуцирует на N2n~x контактную
X Y
структуру, выполнено соотношение — = —, или, другими сло-
вами, X = (UoqM -f h) Y = TY, и тем самым доказано следую-
щее утверждение:
5.11. Предложение (принцип Мопертюи).'На подмного-
образии уровня энергии, определяемом соотношениями H = h
и Т ф 0, гамильтонова система X совпадает с ТУ, где Y — гео-
т
дезический поток римановой структуры -щ—

Глава VIII
ИНВАРИАНТНЫЕ ФОРМЫ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
ИНВАРИАНТЫ
1. Инвариантные формы
1.1. Определение. Пусть X — векторное поле на много-
образии Мт. Дифференциальная форма а^А(М) называется
инвариантной относительно поля X, если Lxa = 0.
Таким -образом, функция f^2)(M) инвариантна относи-
тельно поля X, если она является первым интегралом X.
1.2. Предложение. Множество дифференциальных форм,
'инвариантных относительно поля Х> является подалгеброй
0 Л(М), устойчивой относительно d.
Действительно,
L* (а Л Р) = (Lxa) Л Р + а Л (L *Р),
1.3. Локальное выражение. Если в точке у поле X
яе обращается в нуль, то можно найти систему локальных
координат (уи ..., ут) в некоторой окрестности U точки у9
такую, что Х\ц = -0--.
Если а= 2 ai i dy{ Л ... Л dy, —форма
l<«|<...<fp<m M*%%tP м lP
Степени d на t/, то
^ да, *
L*a== S —ijr^^i, л ... л rfyv
1<1,<...</р<т
Следовательно, форма а инвариантна относительно поля X
Тогда и только тогда, когда в окрестности у каждая из функ-
ций aix... / не зависит от уг.
1.4. Примеры. 1) Гамильтоновы системы. Если X — га-
мильтонова система на симплектическом многообразии (M2rt, со),
to форма со инвариантна относительно поля X (гл. VII, 3.2).
Следовательно, и форма объема а/1 инвариантна относи-
тельно X. Этот результат есть выражение в дифференциалу-

142 Гл. VIII. Инвариантные формы. Интегральные инварианты
ных терминах теоремы Лиувилля (см. предложение 2.2). Если
(N2n~\ h) — интегральное многообразие системы Пфаффа, поро-
жденной ix(u> и если Y — векторное поле на N2n~\ индуциро-
ванное полем X, то на N2n~~l существует форма объема, инва-
риантная относительно Y (гл. VII, 3.7).
Наконец, в условиях предложения 3.10 гл. VII, форма
р](о — dH Л dt инвариантна относительно Y.
2) Контактные структуры. Если Y — динамическая система,
соответствующая контактной форме а на многообразии М2п+\
то формы а и da инвариантны относительно Y (гл. VII, 5.7).
Следовательно, форма объема а Л {da)n инвариантна отно-
сительно Y.
Пусть Nn — компактное ориентируемое многообразие размер-
ности п (возможно, с краем), и пусть h — дифференцируемое
отображение многообразия Nn в многообразие Мт. По-
скольку образ h(N) компактен, локальная однопараметриче-
ская группа ср* диффеоморфизмов Мт (порожденная некоторым
векторным полем X^tT(M)) определена в некоторой окрест-
ности U XI множества h{N)X{0} в AfmXR.
При этих условиях справедливо такое утверждение:
1.5. Теорема. Если дифференциальная форма а степени п
на Мт инвариантна относительно поля X, то интеграл
Nn
не зависит от t.
Эта теорема вытекает из следующего предложения:
1.6. Предложение. Пусть а — дифференциальная форма
степени п на Мт и I{t)= \ {% ° W а. Тогда
Доказательство. Имеет место равенство
° hy (ф*а — а).

2. Инвариантные формы объема 143
Поэтому из компактности Nn вытекает, что
dl(t) .. /(/ + е)-/(/) с , ,ч* t. 1 , * ч
v ; =hm ' — = (Ф*°Л) lim — (фРа — а) ==
(ф,о/г)*Ьха (гл. V, 2.5). ¦
Справедливо, впрочем, и обратное утверждение:
1.7. Предложение. Если для любого компактного
многообразия Nn и любого дифференцируемого отображе-
ния h: Nn->Mm интеграл I{t)= J (ф*°/г)*а не зависит от t,
то форма а инвариантна относительно поля X.
Доказательство. Если Х{у)Ф0, то можно найти си-
стему локальных координат {уи ..., ут) в некоторой открытой
окрестности U точки у, такую, что Х\ц = -^—. Записывая
а \и == 2 а, , dyt Л ... Л ^; , получаем
п
... <in<m
Для любого замкнутого диска ?>", принадлежащего под-
пространству, заданному уравнениями
интеграл Г—^***n rfffi Л ... Л rf^/n равен нулю (предложе*
ние 1.6). Следовательно,
Таким образом, доказано, что форма Lxa равна нулю
в точке у\ следовательно, Lxa равна нулю во всех точках
носителя X.
Но если поле X равно нулю на открытом множестве U а Мту
то форма Lxa = ix da + dixa также равна нулю на ?/. Итак,
форма L^a равна нулю на Мт. ¦
2. Инвариантные формы объема
Мы будем предполагать в этом параграфе, что X — вектор-
ное поле на многообразии Мт, порождающее глобальную одно-
параметрическую группу ф* диффеоморфизмов Мт (что, в част-

144 Гл. VIIL Инвариантные формы. Интегральные инварианты
ности, всегда имеет место, если многообразие Мт компактно).
Мы будем предполагать также, что на Мт существует форма
объема со, инвариантная относительно поля X.
2.1. Лемма. Равенство ф*со = со справедливо для любого t.
Действительно, поскольку L^co = lim -r- (фдо — со), то для
любой точки у^М кривая (ф?со)(#) является решением диффе-
ренциального уравнения 2; = 0 в пространстве Т*у (М) с началь-
ным значением со(#) при / = 0.
2.2. Предложение. Мера Радона м^, соответствующая
форме со на Мт, инвариантна относительно ф^: для любого
борелевского множества А а Мт и для любого /gR выполнено
равенство ^ (ф,Л) = ^ (Л).
Доказательство. Можно найти открытое локально ко-
нечное покрытие <U — (Ut) многообразия Мт, такое, что для
любого / существует диффеоморфизм hiy который отобра-
жает Ut на открытое подмножество в Rm и удовлетворяет
условию h*i{dxx/\ ... Adxm) = ®\Ut (гл. VI, 3.4).
Обозначим через \it меру Радона на Uh полученную из
меры Лебега \i на h(Ui) при помощи диффеоморфизма hi9
Тогда на Ut{\Uj индуцированные меры совпадают: ц* = М'/-
Таким образом, мера Радона м-© — это такая мерз на ЛГ\ для
КОТОрОЙ AЛЦ = |1/.
Можно предположить, что борелевское множество А со-
держится в некотором открытом множестве ?//. Более того,
можно также предположить, что множество ф*(Л) содержится
в некотором открытом множестве ?//. Но в этом случае
М'©(фИ)==М'(^/фИ)=::=:М'(Л/Л)===|л(й(Л) (так как мера \х инва-
риантна относительно h,cpthjl\ ш
Из этого предложения вытекают важные следствия, относя-
щиеся к геометрическим свойствам динамической системы X.
2.3. Определение. Динамическая система X называется
рекуррентной, если для любого открытого множества UczMm
и любого Г^О существует такое t^Ty что U(]cpt(U) Ф 0.
При этом условии для любого открытого множества U a M
и любого Т ^ 0 существует такое t ^ Г, что U П ф* (U) Ф 0.
m
2.4. Теорема (теорема о возвращении Пуанкаре). Если
векторное поле X на компактном многообразии Мт оставляет
инвариантной форму объема со, то X является рекуррентной
динамической системой.

3 Абсолютные интегральные инварианты 145
Доказательство. Пусть U — открытое подмножество Мт.
Тогда число Иа>(^) положительно и конечно; обозначим его
через т. Для любого /gR имеем ^©(ср*(?/)) = МчЛ^О-
Пусть Т > 0; если открытые множества cpiT{U)y /=1,..., k,
попарно не пересекаются, то \1& /(J ф/г (f/)^ = km.
Следовательно, если k больше, чем ——- =— Гсо, то най-
m m J
дутся / и /, 1 </</<&, такие, что ср/г (?/)Пф/г (U)?=0,
откуда (/Пф(/-/)Г(^)?= 0- ¦
2.5. Определение. Точка у ^ Мт называется устойчивой
по Пуассону точкой динамической системы X, если для любой
окрестности U точки х и любого Т !>0 существуют ^,>Г и
/2^ — Г, такие, что точки ср^ (у) и уи{у) принадлежат f/.
В этом случае любая точка проходящей через у траекто-
рии динамической системы X также является устойчивой по
Пуассону.
2.6. Теорема. Если векторное поле X оставляет инва-
риантной форму объема со на компактном многообразии Мт,
то почти все точки Мт устойчивы по Пуассону.
Иными словами, jx^-мера множества не устойчивых по Пуас-
сону точек Мт равна нулю.
2.7. Определение. Точка у е Мт называется уходящей1)
точкой динамической системы X, если для любого компакта
К с Мт существует такое Т ^ 0, что qp, (у) ф К при всех | /1 ^ Г.
В этом случае любая точка проходящей через у траектории
динамической системы X также является уходящей.
2.8. Теорема (Э. Хопф). Если векторное поле X оставляет
инвариантной форму объема cd на некомпактном многообра-
зии Мт, то почти все точки Мт либо уходящие, либо устой-
чивые по Пуассону.
Доказательства теорем 2.6 и 2.8 имеются в учебнике Немыц-
кого и Степанова [11].
3. Абсолютные интегральные инварианты (Э. Картан [6])
3.1. Определение. Пусть X — векторное поле на много-
образии Мт. Дифференциальная форма аеА(М) называется
!) В оригинале fuyant. — Прим. перев.

146 Гл. VIII. Инвариантные формы. Интегральные инварианты
абсолютным интегральным инвариантом поля Х> если ixa =
=ixda = 0.
Другими словами, форма а является абсолютным интеграль-
ным инвариантом поля Z, если X — характеристическое вектор-
ное поле формы а (гл. VI, 2.2).
В частности, замкнутая дифференциальная форма а^А(М)
является абсолютным интегральным инвариантом поля X тогда
и только тогда, когда *ха=0.
3.2. Предложение. Дифференциальная форма а^А(М)
является абсолютным интегральным инвариантом поля X тогда
и только тогда, когда ixa — Lxa = 0.
Действительно, L^a = ix da + dixa.
3.3. Следствие. Если а—абсолютный интегральный инва-
риант поля Х9 то форма а инвариантна относительно
поля X.
3.4. Предложен и е. Множество абсолютных интеграль-
ных инвариантов поля X является подалгебррй в Л(М), устой-
чивой относительно d.
Это утверждение проверяется простым вычислением.
3.51 Предложение. Если дифференциальная форма а —
абсолютный интегральный инвариант поля Х> то а является
также абсолютным интегральным инвариантом поля fX для
любой функции f&{
Действительно,
3.6. Следствие. Пусть а—абсолютный интегральный инва-
риант поля X. Тогда существует положительная функция
f^2)(M), обладающая следующими свойствами:
1) а — абсолютный интегральный инвариант поля fX,
2) поле fX порождает глобальную однопарам^трическую
группу диффеоморфизмов Мт.
Это предложение немедленно вытекает из предложения 1.13
гл. V.
3.7. Локальное выражение. Если у — неособая точка
поля X, то можно найти систему локальных координат (уи ..., ут)
в некоторой открытой окрестности U точки у, такую, что
Х\ д1д

3. Абсолютные интегральные инварианты 147
Если а = 2 а, , dy. /\.../\dy{ — дифферен-
\<ix <... <ip<m ll-~*p 4 lp
циальная форма степени р на ?/, то
2 #i/ / dy. Л ... Л
:...</_<m ll2"'lp l2
Следовательно, для того, чтобы форма а была абсолютным
интегральным инвариантом поля X, необходимо и доста-
точно, чтобы
i*2 ... *p C/y,
т. е. чтобы локальное выражение а в окрестности у не содер-
жало ни yl9 ни dyx.
3.8. Примеры. 1) Гамильтоновы системы. Пусть X—гамиль-
тонова система на симплектическом многообразии (Л12п, со) й
(N2n~~l, h) — интегральное многообразие системы Пфаффа, поро-
жденной формой ixG>. Тогда дифференциальная форма Л*со
является абсолютным интегральным инвариантом векторного
поля F, индуцированного полем X на Af2*" (гл. VII, 3.5).
В условиях предложения 3.10 гл. VII векторное поле
Y: (x, t)*-*>~Xt(x) + -gf на M2m X R характеризуется тем свой-
ством, что дифференциальная форма р*со — dH A dt является
абсолютным интегральным инвариантом Y (Э. Картан [6]).
2) Контактные структуры. Если 7 — динамическая система,
соответствующая контактной форме а на многообразии М2л+1>
то форма da является абсолютным интегральным инвариантом Y
(гл. VII, 5.5).
В случае когда форма а является абсолютным интеграль-
ным инвариантом степени п поля X,. можно обобщить тео-
рему 1.5 следующим образом. Пусть ^"—ориентируемое компакт-
ное многообразие (возможно, с краем), и пусть Н: (t, у) ь-f ht {у)—
дифференцируем отображение RXAT* в Мт, обладающее сле-
дующим свойством:
существует дифференцируемая функция fe2)(RXiV),
такая, что^
#?.*>(-?¦) = /('. y)*W(t, у)).
(Геометрически это означает, что /^—деформация ho(Nn) «вдоль
трубки траекторий поля X, исходящих из ho{Nn)y>.) Ситуация
теоремы 1.5 соответствует случаю, когда /(/, #)=1.

148 Гл. VIII. Инвариантные формы. Интегральные инварианты
В этих условиях справедлива следующая теорема:
3.9. Теорема. Если а — абсолютный интегральный инва-
риант степени п поля X, то интеграл
не зависит от t.
Доказательство. На RXAf* выполнены равенства
*a = O (предложение 3.5).
Следовательно, форма #*<х инвариантна относительно вектор-
ного поля E/E/ на RX^rt> соответствующего однопэраметри-
ческой группе 8Т: (t, у)*—>(/ + т, у) диффеоморфизмов ^V1
Пусть / — канонический диффеоморфизм Nn на
Тогда
По теореме 1.5 отсюда вытекает, что I{t) не зависит от t. ¦
Обратно, аналогично доказательству 1.7 можно получить
следующий результат:
ЗЛО. Предложение. Если для любой пары {Nn, Я),
обладающей сформулированными выше свойствами, интеграл
не зависит от t, то форма а является абсолютным интеграль-
ным инвариантом поля X.
4. Относительные интегральные инварианты (Э. Картан [6])
4.1. Определение. Пусть X — векторное поле на много-
образии Мт. Дифференциальная форма а?А(М) называется
относительным интегральным инвариантом поля X, если ix da==0.
Это равносильно тому, что форма da является абсолютным
интегральным инвариантом поля X или поле X является харак-
теристическим векторным полем формы da.
Всякий абсолютный интегральный инвариант является также
и относительным интегральным инвариантом.
4.2. Примеры. 1) Контактная структура. Если Y — дина-
мическая система, соответствующая контактной форме а на

4. Относительные интегральные инварианты 149
многообразии М2п+\ то а является относительным интеграль-
ным инвариантом поля Y (пример 2) из 3.8).
2) Финслерова структура. В обозначениях примера 1) из
5.10 гл. VII, форма Лиувилля Я индуцирует на N2n~l относи-
тельный интегральный инвариант геодезического потока.
3) Классическая гамильтонова структура. (Пример 2) из
5.10 гл. VII.) В этом случае справедлив аналогичный результат.
В условиях теоремы 3.9 предположим еще, что dNn непусто,
и обозначим через kt ограничение ht на dNn.
В этих условиях из теоремы 3.9 и теоремы Стокса выте-
кает следующий результат:
4.3. Теорема. Если а — относительный интегральный инва-
риант степени п — 1 поля X, то интеграл
I(t)=
не зависит от t.
Как и для случая абсолютных интегральных инвариантов,
справедливо и обратное утверждение:
4.4. Предложение. Если для любой пары (Nn, Я), обла-
дающей сформулированными выше свойствами, интеграл
I(t)= j kfa
не зависит от tf то форма а является относительным инте-
гральным инвариантом поля X.
4.5. Определение. Пусть X — векторное поле на много-
образии Мт. Трансверсалью (или секущей) поля X называется
подмногообразие Nm~{ коразмерности 1 (возможно, с краем),
такое, что для любой точки y^Nm~l касательный вектор Х(у)
не принадлежит подпространству Ty(N)czTy{M).
В частности, X не обращается в нуль на Nm"\
Как показали А. Пуанкаре и Г. Биркгоф, знание транс-
версали X весьма полезно при геометрическом изучении дина-
мической системы X.
Справедливо, однако, следующее утверждение:
4.6. Теорему (Ж. Риб [12]). Если векторное поле X имеет
относительный интегральный инвариант а степени m — 2, такой,
что форма da не имеет особенностей, то не существует ком-
пактной трансверсали X без края.

150 Гл. VIII. Инвариантные формы. Интегральные инварианты
Доказательство. Предположим, что Nm~x •— компактная
трансверсаль поля X без края. Внешний дифференциал da
является дифференциальной формой степени m — 1 постоян-
ного класса пг—1, характеристическая система которой для
любой точки y^N порождена вектором Х(у). Следовательно
(предположение трансверсальности), форма i* {da) является фор-
мой объема на Nm~\ Отсюда J f(rfa)=7^0 (гл. IV, след-
Nm-l
ствие 4.4).
С другой стороны, по теореме Стокса этот интеграл равен
нулю (гл. IV, 4.8). Полученное противоречие и доказывает
теорему. ¦
4.7. Следствие. Динамическая система У, соответствую-
щая контактной форме а на многообразии М2п+\ не имеет
компактной трансверсали без края.
Действительно, форма а Л (da)n~l является относительным
интегральным инвариантом поля Y степени 2я—1, и форма
d(a Л (da)n~l) = (da)n не имеет особенностей.
Это следствие применимо, в частности, к изученным
в п. 5.10 гл. VII финслеровым структурам и классическим га-
мильтоновым структурам (см. примеры 4.2).
5. Интегральные отношения инвариантности
(А. Лихнерович [10])
5.1. Определение. Пусть X — векторное поле на много-
образии Мт. Дифференциальная форма а^Л(М) называется
интегральным отношением инвариантности поля X, если *ха = 0.
Следовательно,
1) множество интегральных отношений инвариантности
поля X является подалгеброй в Л(М);
2) если a — интегральное отношение инвариантности поля X,
то а является также интегральным отношением инвариант-
ности поля fX для любой функции f^?D{M)\
3) форма а^А(М) является относительным интегральным
инвариантом поля X тогда и только тогда, когда da является
интегральным отношением инвариантности поля X;
4) форма aeA(Af) является абсолютным интегральным
инвариантом поля X тогда и только тогда2 когда формы a
и da являются интегральными отношениями инвариантности
поля X.
5.2. Пример. Гамильтонова система, зависящая от ере-
мени. В обозначениях предложения 3.10 гл. VII векторное поле

5. Интегральные отношения инвариантности 151
Y: (x, t) н-> Xt {x) + -jff характеризуется тем свойством, что
форма p*{(u — dH l\dt является для него интегральным отноше-
нием инвариантности.
5.3. Теорема. Если в предположениях теоремы 3.9
форма а является интегральным отношением инвариантности
степени п+l поля Ху то #*а = 0.
Действительно, Н*а — форма степени п + 1 на R X Nn, та-
кая, что id/dt(H*a) = 0.
Обратно, справедливо следующее утверждение:
5.4. Предложение. Если для любой пары (Nny Я), удо-
влетворяющей условиям 3.9, имеет место равенство Н*а = 0,
то а — интегральное отношение инвариантности поля X.

Глава IX
ВТОРОЕ КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ
1. Касательное расслоение векторного
расслоения
Пусть г| = (?, р, Мт) — дифференцируемое векторное рас-
слоение размерности п, базой которого является многообра-
зие Мт размерности т. Пространство Е является тогда много-
образием размерности т + я, и диаграмма
Т (Е) -?+ Т (Af)
Е _-> Мт
коммутативна.
"Без ограничения общности можно предположить, что
слоем г| является Rrt. Если {U, Ф)— дифференцируемая карта
расслоения ц, то отображение Фг является диффеоморфизмом
множества p^lp~l (U) = {рТ)~1 Р~м (U) на
Следовательно, тройка т (к\) = (Г (?), рг, Т (М)) является ло-
кально тривиальным векторным расслоением со слоем R2rt.
Более того, справедливо следующее утверждение:
1Л. Предложение. Если {(Uh Фг)} — дифференцируемый
атлас векторного расслоения r\ = {E, p, Mm)> то множество
((р" (С/?)» Ф[)} является атласом, определяющим структуру
дифференцируемого векторного расслоения размерности 2п на
() (Г(?) т Т(М))
рт,
В этой ситуации говорят, что т (т^) — касательное векторное
расслоение расслоения к\.
Доказательство этого предложения опирается на следующие
две леммы, доказательство которых не представляет трудности:
Ь2. Лемма. Пусть G — линейная группа Gl (n, R). Каса-
тельные отображения к отображениям (g, h)*->gh и g^-^g
определяют структуру группы на пространстве касательного
расслоения Т (G) = G X *•

/. Касательное расслоение векторного расслоения 153
1.3. Лемма. Касательное отображение к каноническому
отображению (g, /) ^-> g (/) произведения G X R* в Rn позво-
ляет отождествить Т (G) с подгруппой в G\Bn, R), состоящей
(А 0\
из матриц вида А I, где А и В — квадратные матрицы по*
рядка п и А обратима.
Доказательство предложения 1.1. Пусть (?/, Ф)
и G, W) — две дифференцируемые карты т], такие, что U П V ф 0,
Тогда можно написать
Ч^1 (У, f) - (У, ff Ы /), (У, /) е (t/ П V) X R",
где g — дифференцируемое отображение t/ f| V в G = GI(n, R).
Отсюда
где gr — касательное отображение к функции перехода g. ш
1.4. Следствие. Пара (рЕ, рм) является дифференцируе-
мым гомоморфизмом т(т]) в т].
Действительно (гл. II, 2.11), поскольку
рЕ (ФТГ1 (и, (v, w)) = Ф-1 (рм (и), w),
(и, (v, w)) e
То отображение рЕ линейно на каждом слое т(т]).
1.5. Определение. Расслоением, касательным к слоям
расслоения г\, называется расслоение р*ц над ?, индуцирован-
ное из расслоения г\ при отображении проекции р: ?->Мт.
Таким образом, расслоение, касательное к слоям т), является
дифференцируемым векторным расслоением размерности п
над Е: р\ = {р*Е, я, Е).
Тотальное пространство р*Е расслоения р*х\ может быть
отождествлено с подпространством (J р(^)Хр" (у) про-
странства Еу^Е, а отображение я—-с ограничением проекции
произведения ЕУ^Е на первый сомножитель. Если мы обозна-
чим через я' ограничение на /?*? проекции EY.E на второй
сомножитель, то окажется коммутативной следующая диа-
грамма:
!•
? -U

154 Г л IX. Второе касательное расслоение
Термин «расслоение, касательное к слоям тр> оправдывается
следующей конструкцией:
для любой точки у е Мт слой р~1(у) является векторным
пространством размерности п\ поэтому отображения, касатель-
ные к каноническим вложениям р~1(у)->Е, определяют инъек-
тивное отображение Я пространства р*Е = (J р~1 (у) X Р~1 (у)
в Т(Е), такое, что п = рЕ°Н. В самом деле, справедливо сле-
дующее утверждение:
1.6. Предложение. Отображение Я: р*Е->Т(Е) является
дифференцируемым гомоморфизмом (над Е) расслоения р\
в касательное расслоение т(?).
Доказательство. Достаточно проверить это предложе-
ние локально. Пусть (?/, ф) — карта Мт, для которой суще-
ствует дифференцируемая тривиализация Ф расслоения г\ |^.
Пусть, далее, (уи ..., ут) — система локальных координат,
определяемая отображением ф на U.
Тогда функции zi=yiopi /=1, ..., т, и aj = Xjoр2оф9
/= 1, ..., я, образуют систему локальных координат на откры-
том множестве р~{ (U) с ?. Следовательно, функции Ui = zto pEf
vf = ajo pE, dzh day образуют систему локальных координат
на открытом множестве p-lp~l(U)czT(E).
Обозначим, наконец, через (wu ..., wm, ft, ..., ря, Yi, • • •, Уп)
систему локальных координат на открытом множестве
7t"lp"l(U)cz p*Et полученную с помощью тривиализации
(е,е')^(р(е)>Р2Ф(е),р2Ф(е'))
расслоения (p*r\) \p-i{uy Локальные выражения отображений я
и Я в этих системах координат даются соответственно фор-
мулами:
Эти формулы показывают, что отображение Я дифференци-
руемо и линейно на каждом слое расслоения р*ц. ¦
1.7. Определение. Расслоением, трансверсальным к слоям
расслоения ц, называется расслоение р\(М) над Е, индуци-
рованное из касательного расслоения х(М) при отображении
проекции р: Е-+Мт.
Таким образом, расслоение, трансверсальное к слоям г\,
является дифференцируемым векторным расслоением размер-

/. Касательное расслоение векторного расслоения
155
ности m над Е:
= (р'Т(М),т,Е).
Тотальное пространство р*Т(М) расслоения р*т(М) может
быть отождествлено с подпространством (J Р (У)У(Т
т
у
пространства ЕУ^Т(М), а отображение ш—с ограничением
проекции произведения ЕУ,Т{М) на Е. Если мы обозначим
через ш' ограничение на р*Т(М) проекции Е'ХТ(М) на Т(М),
то будет коммутативной следующая диаграмма:
«г I
рм
M
Коммутативна также и вторая диаграмма:
Е -+ Мт
Следовательно (гл. II, 1.7), справедливо следующее пред-
ложение:
1.8. Предложение. Существует дифференцируемый гомо-
морфизм (над Е) К: х(Е)-> р\(М), такой, что следующая
диаграмма коммутативна:
1.9. Теорема. Последовательность 0->р*к\ — ¦>х(Е) — >
->р*т(М)—>0 точна.
Доказательство. Воспользуемся обозначениями, вве-
денными при доказательстве предложения 1.6. Обозначим через
A\, .. •> lm> 6i> • • •> fin» в!, ..., ет) систему локальных координат
на открытом множестве шр(С/)с: р*Т (М), полученную с по-
мощью тривиализации (е} v)b->(p{e), P2®{e), РгФг(у)) расслоения

156
Гл. IX. Второе касательное расслоение
(р*Т(М)) lp-i(t/)- Тогда локальные выражения отображений от
и К даются соответственно формулами
что и доказывает точность последовательности в 1.9. ¦
2. Второе касательное расслоение
2.1. Мы рассмотрим теперь частный случай изложенной
выше ситуации, взяв в качестве г\ касательное расслоение т(М)
многообразия Мт. В этом случае возникает следующая ком-
мутативная диаграмма:
Р*пм)
ТШ)
2.2. Пусть U -— открытое подмножество Мт, на котором
существует система локальных координат {qi>...9qm). До-
пуская некоторую неточность, введем следующие обозначения:
через <7и ..., qm (вместо qt о рм) и через qx=dqb ..., qm = dqm
обозначим соответствующую систему локальных координат на
открытом множестве р (U) а Т (М);
через qu ..., qm (вместо qi* рм° Рт (м))> Я\> •••» Ят (вместо
Qi°pT(M))y dql9 ..., dqm, dqu ..., dqm обозначим систему ло-
кальных координат на открытом множестве
через qlf ..., qm (вместо qi°pMon\ Я и • • •» Ят (вместо qt о я),
dq\9..*9dqm (вместо ^°ял) обозначим систему локальных
координат на открытом множестве я"^1 (f/) с: р*мТ (М).

2. Второе касательное расслоение 157
В этих системах' локальных координат отображения рм>
Ртщу РТи> я> я'> Ну К даются соответственно формулами
Рм- (Qh qd^qu
РгШУ (it> <7ь dqh dqi)*->{qi, qt),
Рм: Di> Qt> dqP dqt)^~>{qp dq.),
jt: (qh qh dqi)y-+(qh qt),
n': (qh qh dqi)^>(qh dqt),
H: (qi9 qh dqi)^{qh qu 0, dqt)9
K: {qh qh dqh dqi)t->(qh qu dqt).
Упражнение. Проверить, что эти локальные выражения
на самом деле согласованы с функциями перехода.
2.3. Теорема. Существует и притом единственный диф-
феоморфизм s: Т (Т (М))->Т (Т (М)), обладающий следующими
свойствами:
1) s является инволюцией Т (Т (М)) (г. е. 52 = id),
2) s является дифференцируемым изоморфизмом (над Т (М))
расслоения х(Т(М)) на расслоение т(т(М)),
3) для любой дифференцируемой функции f на Мт спра-
ведливо тождество (d {df)) ° s = d (df).
Условие 2) выражает тот факт, что коммутативна диа-
грамма
Т(Т(М))ч=*Т(Т(М))
\ /т
РТЩ)\ / рМ
Т(М)
Говорят, что s — каноническая инволюция второго каса-
тельного пространства Т(Т(М)).
Доказательство. Если s — удовлетворяющая условию 2)
инволюция Т (Т (М))> то для любого открытого множества U czMm
Если, кроме того, на U существует система локальных коор-
динат (<7i, ••., qm), то из условий 2) и 3) вытекает, что в обо-
значениях п. 2.2 инволюция 5 должна (локально) иметь вид
(?/> 4i, dqh dqt) »-> (qh dqh qh dqt)
(поскольку dqt = d {dqt)).
)
m

158 Гл. IX. Второе касательное расслоение
Обратно, написанные формулы определяют некоторый диф-
феоморфизм % открытого множества Рт{М)Рм1 (U) на себя,
удовлетворяющий условиям 1) и 2).
Если / — дифференцируемая функция на U, то
Следовательно (по теореме Шварца о независимости значения -
частной производной от порядка дифференцирования), инво-
люция Su удовлетворяет также и условию 3).
Существование и единственность такого диффеоморфизма %
для любого открытого множества U с Мт, обладающего систе-
мой локальных координат, позволяет при помощи склеивания
получить единственный диффеоморфизм s: Т (Т (М)->Т (Т (М)),
удовлетворяющий условиям 1) —3). и
Упражнения. 1) Инволюция 5 переводит друг в друга
образ Н и ограничение т(Г(М)) на нулевое сечение %(М).
2) Пусть X — векторное поле на многообразии Мт и <р, — по-
рожденная полем X 'локальная однопараметрическая группа
диффеоморфизмов Мт. Тогда:
а) qpj1 является локальной однопараметрической группой
диффеоморфизмов Т (М),
б) Хт является сечением расслоения т(т(М)) =
(((М)Т т{м))
М
в) локальная группа ф[ порождена полем 5 о Хт.
Напомним, что отображения (t, и)ь-> ht{u) = e'u образуют
однопараметрическую группу диффеоморфизмов Т (М)\ так
называемую однопараметрическую группу гомотетий Т (М)
(гл. V, 1.6). Теперь мы можем дать следующее определение:
2.4. Определение. Векторным полем Лиувилля на Т(М)
называется векторное поле V, порождающее однопараметриче-
скую группу гомотетий Т (М).
2.5. Локальное выражение. Пусть U — открытое мно-
жество в Мт типа 2.2. Тогда локальное выражение ht на p^l(U)
дается формулой (qh <7*)^(<7ь е'<7/).
Следовательно, ]/j<7*-j: локальное выражение V.
Это локальное выражение оправдывает следующее построе-
ние поля Лиувилля (см. 2.2):
^2.6. Предложен и е. Пусть а — сечение над Т{М) рас-
слоения р*Т (М), определяемое формулой в(и) = (и, и). Тогда

3. Дифференциальные уравнения второго порядка 159
Упражнение. Пусть Я — дифференцируемая функция
на Мт. Тогда отображения (/, и)*->е \M>u образуют одно-
параметрическую группу диффеоморфизмов Т (М)> порожден-
ную векторным полем (ЯIЛ
3. Дифференциальные уравнения второго порядка
3.1. Определение. Дифференциальным уравнением вто-
рого порядка на многообразии Мт называется дифференци-
руемое отображение X: Т (М) -> Т (Т (М)), являющееся одновре-
менно сечением расслоения х(Т(М)) и сечением расслоения
х(х(М)).
Другими словами, отображения РТщ)°Х и ртмоX<должны
совпадать с тождественным отображением Т (М). В частности,
отображение X должно быть векторным полем на Т (М).
Решением дифференциального уравнения второго порядка X
на Мт называется дифференцируемая кривая с: 1->Мт, такая,
что отображение с'\ 1-+Т(М) является интегральной кривой
поля X.
3.2. Локальное выражение. В обозначениях п. 2.2
локальное выражение дифференциального уравнения второго
порядка на Мт имеет следующий вид:
Отсюда интегральные кривые поля X в р~! (U) являются реше-
ниями системы обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка
dt —чи dt —"«w/
которая эквивалентна следующей системе дифференциальных
уравнений второго порядка:
d*q* n I dqf\ -1
Из этого локального выражения выводится следующее ут-
верждение (см. доказательство теоремы 2.3):
3.3. Предложение. Векторное поле X на многообразии
Т (М) является дифференциальным уравнением второго порядка
на Мт тогда и только тогда, когда s о X = X,

160 Гл. IX. Второе касательное расслоение
Мы определим сейчас один тип дифференциального урав-
нения второго порядка, который очень важен в дифференци-
альной геометрии и классической механике (более детальное
изложение можно найти в книге С. Ленга [9]).
3.4. Определение. Пульверизацией на многообразии Мт
называется дифференциальное уравнение второго порядка X
на Л1т, такое, что [V, Х] = Х (где через V обозначено поле
Лиувилля на Т (М)).
3.5. Локальное выражение. В обозначениях п. 2.2
можно написать:
да,
i i.f
Следовательно, поле X является пульверизацией на Мт тогда
и только тогда, когда выполняются равенства
Sduf
m,
т. е. когда функции af однородны степени 2 по переменным qt.
Упражнения. 1) Пусть X —-дифференциальное уравне-
ние второго порядка на многообразии Мт и (С/, Ф) — макси-
мальная локальная однопараметрическая группа диффеомор-
физмов Т (М), порожденная полем X. Следующие свойства
эквивалентны:
а) поле X является пульверизацией,
б) точка (tf, и) принадлежит U тогда и только тогда, когда
точка A, tu) принадлежит U, и в этом случае tcpt(u) = (pl(tu)y
в) X(ht(u)) = e^X(u).
2) Конструкции этой главы «функториальны», т. е. согла-
сованы с дифференцируемыми гомоморфизмами (в некотором
легко объяснимом смысле).

Глава X
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
НА КАСАТЕЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Дифференциальное исчисление на многообразии, являю-
щемся касательным пространством некоторого другого много-
образия, обогащено дополнительными операторами, играющими
фундаментальную роль в лагранжевой механике. Эти опера-
торы были изучены Ж. Клейном [8] и, в более общей ситуации,
А. Фрёлихером и А. Нейенхёйсом [13].
В этой главе рассматривается дифференцируемое много-
образие Мт размерности т. Как и выше (гл. IX, 2.2), если
(<7и .-., qm) — система локальных координат на открытом мно-
жестве U c= Mm, то мы будем обозначать через (qh qt) (соотв.
(qh qh dqh dqt)) соответствующую систему локальных коорди-
нат на открытом множестве р-1 (U) с= Т (М) (соотв. Pjl{M)p^1 (U) с:
Т((М)))
)
Напомним также полученную в гл. IX точную последова-
тельность:
О -> рмх (М) -2* т (Т (М)) ^> р'мт{М) -> 0.
1. Вертикальный эндоморфизм
1.1. О п р е деление. Эндоморфизм v = H<>K расслоения
%{Т(М)) называется вертикальным эндоморфизмом второго ка-
сательного расслоения.
Справедливо такое предложение:
1.2. Предложение. Вертикальный эндоморфизм v рас-
слоения т(Т{М)) является дифференцируемым эндоморфизмом
постоянного ранга /л, а квадрат вертикального эндоморфизма
есть нулевой эндоморфизм.
1.3. Локальное выражение. Вертикальный эндомор-
физм задается локально следующими формулами (гл. IX, пред-
ложение 1.6 и теорема 1.9):
v: (qh qh dqh dqt)>->{qh qh 0, dqt).
Поскольку v является эндоморфизмом касательного рас-
слоения %(Т(М)), определен эндоморфизм модуля Т (Т (М))

162 Гл. X. Дифференциальное исчисление на касательных пространствах
векторных полей на Т (М), который мы снова обозначим через v.
Этот эндоморфизм согласован (коммутирует) с ограничениями,
и локально можно написать
Следовательно (гл. IX, 2.4), справедливо такое утверждение:
1.4. Предложение. Если V —поле Лиувилля на Т{М),
то vV = 0.
Эндоморфизм v: Т {Т (М))->?Г (Т {М)) не согласован со
скобкой Ли. Действительно, справедливо следующее предло-
жение:
1.5. Предложение. Если X и Y — два векторных поля
на Т{М), то
[vX, vY] = v[vX, Y] + v[X, vY].
Доказательство. Локально можно написать
[Z, vY] = — 2 Ci -щ-

1. Вертикальный эндоморфизм 163
1.6. Предложение. Пусть X — векторное поле на Т(М)
и V — поле Лиувилля; тогда
Доказательство. Локально можно написать
д
1.7. Определение. Вертикальным оператором в А(Т(М))
называется эндоморфизм v* внешней алгебры А(Т(М)), опре-
деляемый эндоморфизмом v модуля &~(Т(М)).
1.8. Предложение. Вертикальный оператор согласо-
ван со взятием локально конечной суммы эндоморфизмом
алгебры А(Т(М))> и его квадрат равен нулю.
1.9. Предложение. Если X —векторное поле на Т(М),
то ixv* = v*ioX.
В частности,
1.10. Следствие. Справедливо равенство ivv* = 0.
1.11. Локальное выражение. Эндоморфизм v* ло-
кально задается равенствами
Эти формулы показывают, в частности, что v* не коммутй*
рует с внешним дифференциалом d.

164 Гл. X. Дифференциальное исчисление на касательных пространствах
2. Вертикальное дифференцирование1)
Если ю-дифференциальная форма степени /?, /?^1, на
Т (М), то отображение
М>: (Хи ..., Хр)^%<о(Хи ..., vXi9 ..., *р)
i
также является дифференциальной формой степени р на Т (М).
Положив, по определению, ^/ = 0 для любой функции
/ <^?D{T (M)), мы получим эндоморфизм векторного R-простран-
ства А(Т(М)), согласованный со взятием локально конечной
суммы. Действительно, легко проверяется следующий результат:
2.1. Предложение. Отображение со н-> t^co является диф-
ференцированием степени нуль алгебры А(Т(М)).
Это дифференцирование характеризуется (гл. IV, 1.12) сле-
дующими соотношениями:
= v*(df), J
2.2. Определение. Вертикальным дифференцированием
А(Т(М)) называется дифференцирование iv степени 0 алгебры
А(Т (М)), характеризуемое следующими соотношениями:
1) U = o,
2) io(df) = v'(df), f<=2>{T(M)).
2.3. Л ок а л ьн ое выражение. Дифференцирование i0
локально определяется формулами
= dqt.
2.4. Предложение. Пусть а — дифференциальная форма
степени р на Т (М). Тогда
1) (i/(o = p!o4
2) {iv)q 0 = 0 при q > p.
Доказательство очевидно.
2.5. Следствие. Имеет место тождество ivv* = v*iv = Q.
В оригинале derivation verticale. — Прим. перев.

3. Вертикальное антидифференцирование 165
2.6. Предложение. Пусть X — векторное поле на Т{М)
и V — поле Лиувилля. Тогда
1) [[х> iv\ = ixiv — Мх = Ц>
2) [iv, Lv] = ivLv — Lviv = iv.
Доказательство. В обоих случаях достаточно прове-
рить, что левая и правая части принимают одинаковые значе-
ния для а = / и a = df, fe=&(T(M)). Но
([l0, Lv] df) (Y) = (iv d (Vf) - Lvv* (df)) (Y) =
*=vY(Vf)-V(vYf) + v[V, Y]f = ([vY,V] + v[V
= (vY)f (предложение 1.6),
Отсюда по индукции получается следующий результат:
2.7. Следствие. Имеет место тождество [{iv)p, Lv]=p(iv)p.
3. Вертикальное антидифференцирование1)
Коммутатор dv = [iv, d] = ivd — div является антидифферен-
цированием степени 1 алгебры А(Т{М)) {гл. IV, 1.9).
3.1. Определение. Вертикальным антидифференциро-
ванием А(Т{М)) называется антидифференцирование степени
1 алгебры А(Т(М)), определяемое формулой dv = [i0, d].
3.2. Предложение. Вертикальное антидифференцирова-
ние характеризуется среди антидифференцирований степени 1
алгебры А(Т(М)) следующими свойствами:
j *f\
) j {f\
2) dv(df) = -d(v*(df))> f
3.3. Локальное выражение. Антидифференцирова-
ние dv определяется локально следующими формулами:
1) В оригинале differentiation verticale. См. примечание на стр. 164. —-
Прим. перев,

166 Гл. X. Дифференциальное исчисление на касательных пространствах
3.4. Предложение. Внешнее дифференцирование и вер-
тикальное антидифференцирование Л (Т (М)) антикоммути-
руют.
Действительно, ddo = divd =— dvd.
3.5. Предложение. Квадрат вертикального антидиффе-
ренцирования равен нулю.
Доказательство этого предложения использует следующую
лемму^
3.6. Лемма. Для любой функции f^.SD(T(M)) выполнено
равенство iv dv* df = 0.
'Доказательство. Пусть X и Y—два векторных поля на
Т(М). Тогда
(ivdv*df)(X, Y) =
= (dv*df)(vX, Y) + (dv*df)(X, vY) =
= vX(vYf) - (v[vX, Y])f-vY(vXf) - (v[Xt vY])f =
= ([vX9 vY]-v[vX, Y]-v[X, vY])f =
= 0 (предложение 1.5). ¦
Доказательство предложения 3.5. Достаточно
проверить равенство dv dva = 0 для а = / и а = df, f ^?D(T (M)).
Но
— ivdv*df= (следствие 2.5)
= 0,
dodvdf = ddvdvf = 0 (предложение 3.4). Ш
3.7. Предложение. Пусть V — поле Лиувилля на Т(М).
Тогда
2)
Доказательство. В каждом из трех случаев достаточно
проверить, что левая и правая части принимают одинаковые

4. Полубазисные дифференциальные формы 167
значения для a = f и a = df, f <=2D{T(M)). Но
ft> dv]f = ivdvf = ivv*df = O (следствие 2.5),
ft, dv] df = -iv div df - iv div df + d (ivf df =
= 0 (лемма 3.6 и предложение 2.4),
(ivdv + dviv)f = ivv*df = O (следствие 1.10),
(ivdv + dviv) df = -iv div df + vd (Vf) =
= —Lvivdf + i0Lvdf= (следствие 1.10)
= ft, Lv]df = ivdf (предложение 2.6),
[dV9 Lv]f = ivLvdf-Lvivdf =
= ft, Lv]df = ivdf = dJ,
[dvy Lv]df = dvd (Vf) - Lv dvdf =
dv(df). Ш
3.8. Следствие. Справедливо равенство v*dv = 0.
Доказательство. Если со — дифференциальная форма
степени р на Г(М), то можно написать (предложение 2.4)
3.9. Следствие. Справедливо равенство dvv* = v*d.
Доказательство. Сначала по индукции проверяется
соотношение
Если теперь © — дифференциальная форма степени р на Г(М),
то можно написать (предложение 2.4)
4. Полубазисные дифференциальные формы
4.1. Определение. ПоЛубазисной дифференциальной
формой на Т(М) называется дифференциальная форма на Т (М),
принадлежащая образу вертикального опзратора v*.
Следовательно, имеет место такое утверждение:

168 Гл. X. Дифференциальное исчисление на касательных пространствах
4.2. Предложение. Множество $ полу базисных диффе-
ренциальных форм на Т (М) является градуированной под-
алгеброй алгебры Л(Г(М)) ($ = 2 Я[\ А*(т(м))\ устойчивой
относительно взятия локально конечной суммы и содержащей
алгебру ?D{T{M)) дифференцируемых- функций на Т(М).
4.3. Предложение. Алгебра полубазисных дифферен-
циальных форм на Т (М) устойчива относительно вертикаль-
ного антидифференцирования.
Действительно (следствие 3.9), dvv* = v*d.
4.4. С ледствие. Если f — дифференцируемая функция
на Т (М), то dj — полубазисная форма Пфаффа на Т (М).
4.5. Предложение. Эндоморфизмы iv (V — поле Лиу-
вилля) и iv обращаются в нуль на алгебре $ полубазисных
дифференциальных форм на Т (М).
Действительно, ivv* = ivv* = 0 (Следствия 1.10 и 2.5).
4.6. Локальное выражение. Поскольку v*(dqi) = 0 и
v* (dqi) = dqi, алгебра $ локально порождена дифференцируе-
мыми функциями и дифференциалами dqt. Таким образом, полу-
базисная дифференциальная форма степени р локально записы-
вается следующим образом:
2 fl'i-'mfai' •••» <7m> ft. ••-. qm)dqix/\ ... A dq{
В частности, форма Пфаффа на Т (М) является полубазисной
тогдд и только тогда, когда локально онз записывается в виде
Из этого локального выражения немедленно выводится следую-
щий результат:
4.7. Предложение. Если а — дифференциальная форма
на Мт, то дифференциальная форма $ = р*ма является полу-
базисной формой на Г(М), такой, что dv$ = 0.
Это предложение оправдывает, в частности, термин «полу-
базисная дифференциальная форма на Т(М)».
4.8. Предложение. Для того чтобы форма Пфаффа на
Т(М) была полубазисной дифференциальной формой, необхо-
димо и достаточно^ чтобы она обращалась в нуль на образе v.

4. Полу базисные дифференциальные формы 169
4.9. Следствие. Для того чтобы форма Пфаффа а на
Т (М) была полубазисной дифференциальной формой, необхо-
димо и достаточно, чтобы существовала дифференцируемая
функция а на р*мТ {М), обладающая следующими свойствами:
1) о линейна на каждом слое р*мх(М),
2) а==ао/(.
Действительно, образ v совпадает с образом Я и р*цх(М)
является факторрасслоением расслоения х (Т (М)), соответствую-
щим Я.
Следствие 4.9 можно сформулировать еще и так (гл. II, 3.4):
4.10. Следствие. Для того чтобы форма Пфаффа а на
Т {М) была полубазисной дифференциальной формой, необхо-
димо и достаточно, чтобы существовало дифференцируемое
сечение а дуального расслоения (р*м% (М))* над Т (М), такое,
что а (и) = (К (и), а (рт ш) (и))), ut=T(T (M)).
И обратно, если а— дифференцируемое сечение расслоения
(р*м%(М)у над Т(М), то а = <^С, а°Рт(м)) является полубазисной
формой Пфаффа на Т (М).
4.11. Определение. Расслоением полубазисных форм на
Т(М) называется расслоение р*м%* {М), индуцированное из кока-
сательного расслоения х*(М) при отображении проекции рм.
Расслоение полубазисных форм является, таким образом,
дифференцируемым векторным расслоением размерности m
над Т{М) и обозначается
Тотальное пространство р*мТ* (М) расслоения р*м%* (М) может
быть отождествлено с подпространством (J PjHi/lXtfd/)^1
т
сГ(М)ХГ(М), а отображение % —с ограничением проекции
Т(М)У(Т*{М) на Т{М). Если обозначить через %' ограничение
на р*мГ(М) проекции Т(М)ХТ {М) на Г (И), то будет ком-
мутативной следующая диаграмма:
рГ(М) -*U Г(М)
Т{М) ~—>Mm

170 Гл. X. Дифференциальное исчисление на касательных пространствах
Пусть h — отображение р*мТ(М) @рмТ*(М) в R, определяе-
мое формулой ((и> v), (и, <х))>—>(у, а). Ограничение h на любой
слой расслоения р*мх(М) 0 р*мт*(М) является невырожденной
билинейной формой. Следовательно (гл. II, 4.15), справедливо
такое предложение:
4.12. Предложение. Расслоение р*мх*(М) полубазисных
форм на Т(М) эквивалентно дуальному расслоению расслое-
ния р*мх{М).
Теперь мы можем сформулировать следствие 4.9 в такой
форме:
4.13. Теорема. Отношение а{и) = (ртм{и), D[рт{м)(а))),
й?Г(Г(М)), устанавливает взаимно однозначное соответствие
между полубазисными формами Пфаффа а на Т (М) и диффе-
ренцируемыми отображениями D: Т{М)->Т*{М), такими, что
qM°D = рм-
4.14. Локальное выражение. Обозначим, допуская
некоторую вольность, через qu ..., qm (вместо qi°qM) и р,=
= -5—, ..., pm:==-^— систему локальных координат на откры-
°Ц\ oclm
том множестве q~l (U) а Т*(М).
Если a = ^aidqi — полубазисная форма Пфаффа на Т(U)
и если ^ = 2(*i-^ + #i-^)> то a(u) = YLaixi. Следова-
тельно, локальное выражение соответствующего отображения D
дается формулами
Отсюда выводится следующее утверждение:
4.15. Предложение. Если Я — форма Лиувилля на Т*(М),
то D*k = a.
Упражнение. Существует и притом единственное анти-
дифференцирование / степени —1 алгебры $ полубазисных
дифференгиальных форм на Т(М), обладающее следующими
свойствами:
1) /7 = о,
2) idof = Vf, ft
Отсюда
1) /о/ = 0,
2) (jdv + dvj)>vm

5. Однородные дифференциальные формы 171
5. Однородные дифференциальные формы
Пусть h{. и±->еги — однопараметрическая группа гомотетий
Т (М) (гл. IX, 2.4).
5.1. Определение. Дифференциальная форма со на Т(М)
называется однородной степени {однородности) k, если
(h*t) со = ektto.
5.3. Предложение. Пусть V — поле Лиувилля на Т(М).
Дифференциальная форма со на Т {М) является однородной
степени k тогда и только тогда, когда Lv(o = feco.
Доказательство. Пусть © — однородная дифферен-
циальная форма степени однородности k на Т.{М). Поскольку
ht — однопараметрическая группа диффеоморфизмов Т (М), по-
рожденная полем V, то
Ьу(о = lim -г (щ(о — (о) =
е*'— 1
= lim —-,— 0= k®.
Обратно, если Ьусо = &(о, то для любой точки и^ТЩ) кривая
ht®{u) является решением (в Ти{Т{М)) дифференциального
уравнения -^ = kz с начальным условием г@) = со(и) и, сле-
довательно, h*t<u = ekt(u. ш
5.3. Следствие. Пусть со — полубазисная форма на Т{М).
Тогда со является однородной степени k в том и только в том
случае, если iyda — k®.
Действительно (предложение 4.5), iv(d — 0.
5.4. Предложение. Пусть со—дифференциальная форма
степени р, однородная степени однородности k на Т {М). Тогда
дифференциальные формы d<$, iv(o, ivco, dv(o также являются
однородными степени однородности k, k, k — 1 и k — 1 соот-
ветственно.
Действительно,
Lv rfco = dhv(o — k rfco,
Lyiy(d = iy diy(d = iyiuyCd = kiy(o,
Lviv(u = ivLv(d — iv(o = {k — l)iv(u (предложение 2.6),
Lydv(u = dvLv® — dv(o = {k — l)dv(u (предложение 3.7).
5.5. Локальное выражение. 1) Функции. Очевидно,
Lvf = 2jqi-~-. Следовательно, для того чтобы / была одно-

172 Г л X. Дифференциальное исчисление на касательных пространствах
родной степени k, необходимо и достаточно, чтобы / была
однородной степени k по переменным qt.
2) Формы Пфаффа. Пусть u = ^L±{aidqi-\-bidqi)', тогда
i
LKa = 2a^W dqi + 2j^"dT d^1 + It bi d^'
Следовательно, для того чтобы форма а была однородной сте-
пени kt необходимо и достаточно, чтобы функции at и bt,
i= I, ..., m, были однородны степени k и k — 1 соответственно
по переменным qt.
Упражнение. Пусть со — полубазисная дифференциаль-
ная форма степени р, однородная степени однородности k и
такая, что dwcD = O. Тогда (см. упражнение из § 4)
dvi® = (р + Ь) <&•

Глава XI
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
1. Механические системы (Ж. Клейн [7])
1.1. Определение. Механической системой Ж назы-
вается тройка (Мт, Г, л), где
Мт — многообразие размерности т,
Г— дифференцируемая функция на Т (М),
я — полубазисная форма Пфаффа на Т(М).
Говорят, что
Мт — конфигурационное многообразие,
т — число степеней свободы,
Т {М) (или Т* (М)) — фазовое пространство,
Т — кинетическая энергия,
я — силовое поле.
Замкнутая форма (& = ddvT степени 2 на Т (М) называется
фундаментальной формой механической системы М.
1.2. Определение. Механическая система М = {Мт, Г, я)
называется 'регулярной, если ее фундаментальная форма
ti> = ddvT является симплектической формой на Г(М).
1.3. Локальное выражение. В обозначениях гл. X
локально можно написать
ОТ
cow = ± m\ det (jfjf) dq{ A ... Л dqm A dqx Л ... Л dqm
Следовательно, для того чтобы механическая система Ж была
регулярной, необходимо и достаточно, чтобы det / л. я. ) ф 0.
V acli Ч j I
Ниже мы будем рассматривать только регулярные механи-
ческие системы, не оговаривая этого особо в каждом случае.
1.4. Предложение. Пусть Ж = (Мт, Г, я) — механиче-
ская система. Тогда существует и притом единственное век-

174 Гл. XI. Аналитическая механика
торное поле X на Т(М), такое, что
{где V — поле Лиувилля на Т (М)).
Действительно, таким векторным полем X является дина-
мическая система на симплектическом многообразии (Т (М), со),
соответствующая форме Пфаффа d(T — VT)-\-n (гл. VII, 1.13).
Говорят, что X — динамическая система, соответствующая ме-
ханической системе Ж.
Из определения X вытекает, что n(X) — X(VT — Г), поэтому
справедливо такое утверждение:
1.5. Следствие (теорема живых сил). Пусть с: 1->Т(М)—
интегральная кривая поля X и а, Ь ^ /. Тогда
I/
1.6. Теорема. Динамическая система, соответствующая
механической системе Л( = {Мт, Г, я), является дифферен-
циальным уравнением второго порядка на Мт.
Доказательство. Воспользовавшись обозначениями
гл. X, локально можно написать

1.Механические системы 175
Таким образом, уравнение ixo) = rf (T — VT) + я приводит
к следующим двум уравнениям:
д2Т у д2Т .
$, ^ ^ <^.
Учитывая предположение о регулярности системы М> мы полу-
чаем из уравнения а), что a} = qiy /=1, ..., т. Ш
Из этих локальных выражений выводится также следую-
щий результат:
1.7. Предложение. Пусть s: Mm->Т(М) — нулевое сече-
ние т(М). Особыми точками поля X являются такие точки
y = s(x) образа сечения s, для которых выполняется равенство
s*(n)(x) = -s*(dT)(x).
Действительно, в локальных координатах эти точки опре-
деляются уравнениями <7/ = 0 и дТ/dqi — — Xt.
1.8. Предложение. Интегральные кривые поля X ло-
кально являются решениями «уравнений Лагранжа»:
d ( дТ\ дТ Y
Действительно, интегральные кривые поля X удовлетворяют
соотношениям
Ч® +Х
1.9. Теорема. Динамическая система X, соответствую-
щая механической системе J[ = (Mm, Г, зх), характеризуется
следующим свойством:
дифференциальная форма Q = р*со + [d (T —• VT) + я] Л dt e
еЛ2(Г(М)Х R) является интегральным отношением инвариант-
ности для векторного поля X -\- -^-.
Доказательство. Поскольку форма Q имеет постоян-
ный класс 2т на T(M)XR, Для любой точки (у, t)^T(M)XR
существует и притом единственный касательный вектор

176 Гл. XL Аналитическая механика
u<z=Ty{T{M)), такой, что ф + -^-]й(г/, /) = 0. Но
1.10* Замечание. Эта теорема показывает, как можно
было бы обобщить (подобно тому, как это делалось в предло-
жении 3.10 гл. VII) понятие механической системы на случай,
когда силовое поле я дифференцируемо зависит от параметра t.
1.11. Предложение. Пусть J[ = (Mm, Г, я) — механиче-
ская система, кинетическая энергия которой является однород-
ной функцией степени однородности k. Тогда
1) динамическая система X, соответствующая Ж, характе-
ризуется соотношением *хсо = A — k) dT + я;
2) если k^=0, то нулями поля X являются такие точки Т (М),
которые принадлежат образу нулевого сечения и в которых я
обращается в нуль.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Дей-
ствительно, если функция Г однородна степени k, то VT = kT.
Для доказательства второго утверждения воспользуемся
тем, что локально особые точки X определяются из уравнений
qt = O и Хг = —^— (предложение 1.7).
Но если функция Г однородна степени k> то функции dT/dqt
также однородны степени k и, следовательно, обращаются
в нуль на образе нулевого сечения %{М) в случае k=^=0. ш
В частности, справедливо следующее утверждение:
1.12. Следствие (А. Лихнерович [10]). Если функция Т
однородна степени однородности 2, то динамическая система X
характеризуется следующим свойством:
дифференциальная форма Q = р*со — (dT — я) Л dt e
е Л2 (Г (М) X R) является интегральным отношением инвариант-
ности для векторного поля X + -зг .
Это следствие остается справедливым, если предположить,
что я зависит от параметра / (замечание 1.10).
1ЛЗ. Предложение. Пусть J[ = (Mm, Г, л) —механиче-
ская система, для которой кинетическая энергия Т и силовое
поле я являются однородными степени k. Тогда динамическая
система X, соответствующая Л", является пульверизацией на Мт.

1.Механические системы 177
Доказательство. Уже известно, что поле X является
уравнением второго порядка (теорема 1.6). Остается доказать,
что [V, Х] = Х. Но
Lvix® = Lv (A - k) dT + я) =
= k{\ -k)dT + kn,
Lv(x> = LvddvT = dLvdvT =
= d((k-l)dj) = (гл. X, 5.4)
Следовательно,
Hv, xjco = A — k) dT + jc = ixco.
Но это и доказывает, что [V, Z] = Z (предложение 1.11). ¦
1.14. Примеры. 1) Риманова структура. Риманова струк-
тура на Мт определяется заданием римановой метрики
Т: 7(Af)->R на касательном расслоении %{М). Говорят также,
что Г —риманова метрика на Мт. (Связь между этим опре-
делением римановой метрики и определением из примера 3.9
гл. VII будет отмечена в § 3.)
Задание такой структуры определяет регулярную механи-
ческую систему Ж = (Мт, Г, 0). Действительно, регулярность Л
является следствием предположения о невырожденности квад-
ратичных форм, индуцированных метрикой Т на слоях ТХ(М).
Динамическая система X, соответствующая Ж, называется
геодезическим потоком метрики Г. Эта динамическая система
является пульверизацией на Мт, определяемой соотношением
i^co = — dT (предложения 1.11 и 1.13).
Проекции на Мт интегральных кривых поля X называются
геодезическими рассматриваемой римановой структуры.
2) Движение материальной точки. Эта механическая система
определяется следующим образом:
М = R3,
Т = ^ tng'- T (R3) == R3 X R3 —> R, где т—положительное число
и g — каноническая постоянная риманова метрика на R3,
з
п= 2 Xi dqi.

178 Гл. XL Аналитическая механика
Соответствующая динамическая система X имеет в этом
случае следующий вид:
з
х* д
^q m
Таким образом, интегральные кривые являются решениями си-
стемы дифференциальных уравнений второго порядка
d2q, X.
dt2 ~ m ' l— l> z> °-
Мы узнаем здесь основное уравнение механики точки
f = tny.
3) Гармонический осциллятор. Механическая система m
независимых гармонических осцилляторов определяется сле-
дующим образом:
T = g, где g — каноническая постоянная риманова метрика
на Rm,
m
я = — ^B со?^| 1, где 0t- — положительные числа, назы-
ваемые частотами осцилляторов.
Соответствующая динамическая система X имеет вид
Интегральные кривые этой системы являются решениями си-
стемы дифференциальных уравнений второго порядка
• 1
т
Функции h. = q\ + со?^?, / = 1, ..., т, и Я =2 Ы являются
i=l
первыми интегралами X. Следовательно, подмногообразия
в Т (Мп), определяемые уравнениями Лх- = а/>0, /=1, ..., m,
являются инвариантными многообразиями поля X (поле X ка-
сается каждого из этих многообразий). Эти подмногообразия
диффеоморфны тору Tm = (Sl)m.
Если частоты со* рационально независимы, то поле X инду-
цирует на каждом из этих торов эргодическую динамическую
систему (см., например, В. Арнольд и А. Авец [2]).
Обратно, как показал В. Арнольд [1], рассмотренная ситуа-
ция и есть типичный случай геометрического поведения гамиль-

2. Лагранжевы системы 179
тоновой системы, удовлетворяющей предположениям теоремы
Лиувилля — Картана об интегрируемости *) (гл. VII, 4.4).
Если же, наоборот, все частоты сог равны, например 1, то
все интегральные кривые периодичны с периодом 1. В этом
случае сфера S2m~l cz R2m = r(Rw), определяемая уравнением
# = 2(<7? + яТ)— 1 и являющаяся инвариантным подмногооб-
разием поля X, расслаивается на траектории поля X, опреде-
ляя слоение Хопфа сфер 2l
пространством Рт-х(С).
ляя слоение Хопфа сферы S2m~l над комплексным проективным
Р(С)
2. Лагранжевы системы
2.1. Определение. Механическая система Ж = {Мт,Т,я)
называется консервативной, если силовое поле я является
замкнутой полубазисной формой Пфаффа.
2.2О Предложение. Если механическая система Ж =
= (Afms 7\ тс) консервативна, то динамическая система X, соот-
ветствующая Ж, является гамильтоновой системой на симплек-
тическом многообразии (Т (М), со), соответствующей замкнутой
форме Пфаффа e = d{VT — Г) — зх.
Таким* образом, к динамическим системам, соответствую-
щим консервативным механическим системам, применимы все
результаты гл. VII и VIII, касающиеся первых интегралов,
интегральных инвариантов и т. д. гамильтоновых систем.
В частности, справедливо следующее утверждение:
2.3. Предложение (интеграл живых сил). Пусть Ж —
= (Мт, 7\ я) — консервативная механическая система. Тогда
форма Пфаффа B = d(VT — Г) — я является первым интегра-
лом динамической системы, соответствующей механической
системе Ж,
2.4в Определение. Механическая система Ж — (Мт>Г, я)
называется лагранжевой системой, если существует дифферен-
цируемая функция U на Мт, такая, что
При таких условиях механическую систему Ж обозначают
(Мт, Т, U) и говорят, что силовое поле я порождено силовой
функцией U.
1) Теорема В Арнольда применима в случае, когда совместная линия
уровня первых интегралов, участвующих в формулировке теоремы Лиу-
вилля — Картана, является компактным многообразием. — Прим. перев.

180 Гл. XI. Аналитическая механика
Лагранжева механическая система является консерватив-
ной системой (гл. X, 4.7).
2.5. Определение Пусть Ж = (Мт, Г, U) — лагранжева
механическая система. Функция Н = VT — T — U о рм называ-
ется гамильтонианом системы Ж.
В частности, если Г —однородная функция степени одно-
родности k, то
H = (k-\)T-UopM (H = T-UoPm при k = 2).
2.6. Локальное выражение. В обозначениях гл. X
имеем
Переформулировав 2.2, получаем следующий результат:
2.7. Предложение. Пусть Ж — (Мт, Г, U) — лагранжева
механическая система. Тогда соответствующая ей динамиче-
ская система X характеризуется соотношением
Следовательно, справедливы такие утверждения:
2.8. Следствие (интеграл Пенлеве). Гамильтониан
H = VT-T-UoPm
является первым интегралом X.
2.9. Следствие (Э. Картан [6]). Динамическая система X
характеризуется следующим свойством:
дифференциальная форма п = со — dH /\dt е Л2 (Т (Af)XR)
является абсолютным интегральным инвариантом векторного
поля X + -щ.
2.10. Следствие (Э. Картан [6]). Динамическая си-
стема X характеризуется следующим свойством:
форма Пфаффа а = dj — Hdt е= Л1 (Т (М) X R) является
относительным интегральным инвариантом векторного поля
х + ж-
2.11. Определение. Пусть Ж = (Мт, Г, U) — лагран-
жева механическая система. Функция L = T + U ° рм назы-
вается лагранжианом системы Ж.
Справедливо равенство Н = VL — L,

3. Преобразование Лежандра 181
В случае лагранжевых механических систем предложение
1.8 превращается в следующее утверждение:
2.12. Предложение. Интегральные кривые динамической
системы X, соответствующей лагранжевой механической си-
стеме Ж = (Мт, Т, U), локально являются решениями «урав-
нений Лагранжа»
d I dL\ dL n
3. Преобразование Лежандра
Пусть Ж = (Мт, Т, я) — (регулярная) механическая система.
Форма Пфаффа dvT является полубазисной формой на каса-
тельном пространстве Т (М). Таким образом, теорема 4.13 и
предложение 4.15 гл. X позволяют сформулировать следующий
результат:
3.1. Теорема. Существует дифференцируемое отображе-
ние D: Т(М)-> Т* {М), обладающее следующими свойствами:
1) qMoD = pMi
2) отображение D имеет постоянный ранг 2т,
3) D*X = dvT (где X —форма Лиувилля на Т*{М)).
Это дифференцируемое отображение D: Т(М)->Т*(М) на-
зывается преобразованием Лежандра механической системы Ж.
Напомним (гл. X, 4.13), что локально отображение D дается
формулами
дТ
Q q Р
Отображение D является, таким образом, классическим пре-
образованием, позволяющим перейти от уравнений Лагранжа
к уравнениям Гамильтона.
3.2. Замечание. Преобразование Лежандра хотя и удо-
влетворяет условию qM° D = рм, но не является, вообще говоря,
гомоморфизмом х(М) в т*(М); действительно, это преобразова-
ние не является, вообще говоря, линейным на слоях.
3.3. Определение. Механическая система Ж = (Мт, Г, я)
удовлетворяет условию двойственности Лагранжа—Гамильтона,
если преобразование Лежандра D: Т(М)->Т*{М) является диф-
феоморфизмом.
3.4. Лемма. Отображение D является диффеоморфизмом
тогда и только тогда, когда для любой точки у е Мт отобра*
жение Dy\ Ту (М) -> Т*у (М) биективно.

182 Гл. XI. Аналитическая механика
Действительно, по теореме о ранге, отображение D является
диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно биективно,
но из условия qMo D = pM вытекает, что биективность D экви-
валентна биективности на каждом слое х(М).
3.5. Теорема. Пусть механическая система М = (Mm, Г, я)
удовлетворяет условию двойственности Лагранжа — Гамиль-
тона, и пусть X — динамическая система, соответствующая Ж.
Тогда векторное поле Y = DTXD~] на Т* (М) характеризуется
соотношением
Доказательство. Действительно (гл. III, 6,2),
3.6. Следствие. Если с: 1->Т(М) — интегральная кри-
вая X, то у = Dо с — интегральная кривая Y и pMoc = qMoy.
Если, кроме того, Л является лагранжевой системой с га-
мильтонианом
то справедлив следующий результат:
3.7. Предложение. Векторное поле Y на Т*(М) является
гамильтоновой системой на симплектическом многообразии
(Т*(М), dX) и характеризуется соотношением
iYdX= —d(HoD~l).
При выполнении этих условий говорят также, что функция
HoD~l: r(Af)->R
является гамильтонианом лагранжевой системы JT.
В действительности большое число механических систем, по-
являющихся при классических рассмотрениях в дифференциаль-
ной геометрии и аналитической механике, удовлетворяют усло-
вию двойственности Лагранжа — Гамильтона. В самом деле,
справедлив следующий результат:
3.8. Теорема. Пусть М = {Мт, Ту тс) — механическая си-
стема, кинетической энергией которой является риманова мет-
рика Т на Мт. Тогда

3. Преобразование Лежандра 183
1) Ж удовлетворяет условию двойственности Лагранжа—
Гамильтона,
2) отображение D является изоморфизмом {в смысле тео-
рии векторных расслоений) касательного расслоения т (М) в ко-
касательное расслоение т*(М).
3) Т о D~]является римановой метрикой на т*(М).
Действительно, если локально Т =~к 2j auQiQi> где aii ~aji>
то отображение D локально дается формулами qi = qi,
3.9. Следствие. Если дополнительно к условиям пред-
ложения 3.7 предположить, что Т — риманова метрика на Мт9
то динамическая система Y является гамильтоновой систе-
мой на Т* (М), соответствующей классической гамильтоновой
структуре (в смысле гл. VII), определяемой функцией Н —
= Т о ?Г! — U о qM.

ЛИТЕРАТУРА
1. Арнольд В. И., Об одной теореме Лиувилля, касающейся интегрируе-
мых проблем динамики, Сибирский матем. ж., 4, вып. 2 A963).
2. Арнольд В. И. и Авец A. (Arnold V., Avez A.), Problemes ergo-
diques de la mecanique classique, Paris, Gauthier-Villars, 1967.
3. Г а л и с о Ф (Ga His sot F.), Les formes exterieures en mecanique,
Ann. Inst Fourier, 4 A952), 145—297.
4. Дьедонне Ж-, Основы современного анализа, «Мир», М., 1964.
5. К а р т а н А., Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы,
«Мир», М., 1971.
6. Картан Э., Интегральные инварианты, ГИТТЛ, М. — Л., 1940.
7. Клейн Ж. (Klein J.), Espaces variationnels et mecanique, Ann. Inst.
Fourier, 12 A962), 1—124.
8. Клейн Ж. (Klein J.), Operateurs differentiels sur les varietes presque
tangentes, Paris, Comptes Rendus Asad. Sc, 257 A963), 2392—2394.
9. Л е н г С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, «Мир»,
М., 1967.
10. Лихнерович A. (Lichnerowicz A.), Les relations integrates
d'invariance et leurs applications a la dynamique, Bull. Sc. Math., 70
A946), 82—95.
И. Немыцкий В. и Степанов В., Качественная теория дифференциаль-
ных уравнений, изд. 2, ГИТТЛ, М. — Л., 1949.
12. Риб Ж. (Reeb G.), Sur certaines proprietes topologiques des trajectoires
des systemes dynamiques, Bruxelles, Memoires Acad. Sc, 27, 1952.
13. Фрёлихер и Нейенхёйс (Frolicher A., Nijenhuis A.),
Theory of vector-valued differential forms, Ind. Math., 18 A956), 338—385.
Читатель, интересующийся другими современными аспектами механики,
может обратиться к следующей литературе:
1) абстрактные динамические системы и эргодическая теория- [2] и [11],
2) качественное изучение поведения траекторий динамических систем:
14. Абрахам P. (Abraham R.), Foundation of mechanics, New York,
Benjamin, 1967,
3) вариационный аспект:
15. Стерн берг С, Лекции по дифференциальной геометрии, «Мир», М.,
1970.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
алгебра антикоммутативная 85
— внешних форм 17
— градуированная 85
антидифференцирование 86
— вертикальное 165
атлас векторного расслоения 33
— дифференцируемого многообразия
54
база (расслоения) 28
вектор касательный 67
внутренность (многообразия с краем)
53
второй сопряженный модуль 10
гамильтониан 128, 180
геодезическая 131
геодезический поток 131
гомоморфизм (расслоенный) 29, 37
градуировка 85
группа однопараметрическая глобаль-
ная 100
• локальная 100
— симметрии 135
двойственность Лагранжа — Гамиль-
тона 181
дифференциал внешний 89
— функции 67
дифференцирование (агебры) 74
— вертикальное 164
— внешнее 89
— Ли 92
значение регулярное 72
изоморфизм симплектический 25
иммерсия 70
инвариант интегральный абсолютный
145
относительный 148
интеграл дифференциальной формы94
— живых сил 179
— Пенлеве 180
— первый (векторного поля) 105
— энергии 129
карта многообразия 53, 54
—' расслоения 28, 33
класс (дифференциальной формы) ИЗ
коммутатор 77
координаты локальные 53
коцикл (векторного расслоения) 40
край (многообразия)
кривая дифференцируемая 58
— интегральная (векторного поля)
лемма Пуанкаре 90
метрика риманова 93
многообразие дифференцируемое 54
— интегральное 107, ПО
— конфигурационное 173
— ориентируемое 68
— параллелизуемое 66
— симплектическое 123
— топологическое 52
модуль сопряженный (дуальный) 10
носитель 59
13
оператор антисимметризации
— вертикальный 161
ориентация векторного пространства
26
расслоения 44
ортогональное дополнение 11
осциллятор гармонический 178
отношение интегральное инвариантно-
сти 150
отображение билинейное 9
— дифференцируемое 57
— касательное 67
— линейное 9
— симплектическое 124
погружение 72
подмногообразие 71
— открытое 56
подпространство ассоциированное
— характеристическое 113

186
Предметный указатель
подрасслоение 47
поле векторное 73
касательное к подмногообразию
78
Лиувилля 158
— — полное 101
характеристическое 116
последовательность точная (вектор-
ных расслоений) 48
преобразование Лежандра 181
принцип Мопертюи 140
произведение внешнее 15
— внутренне 18
— многообразий 62
— расслоений 49
— тензорное 14
производная (функции вдоль вектор-
ного поля) 74
прообраз дифференциальной формы
82
пространство касательное 66
— кокасательное 66
— тотальное (расслоения) 28
— фазовое 66
пульверизация 164
разбиение единицы дифференцируе-
мое 61
ранг дифференцируемого отображе-
ния 70
— внешней формы 22
расслоение ассоциированное 42
— векторное 28
— внешних форм 42
— двойственное 42
— дифференцируемое 63
— индуцированное 32
— касательное 66
к слоям 153
— кокасательное 66
— локально тривиальное 28
— нулевое 35
— ориентируемое 44
— полубазисных форм 169
— трансверсальное к слоям 154
— тривиальное 30
решение дифференциального уравне
ния 98
— — *- второго порядка 159
семейство локально конечное 59
сечение нулевое 36
— расслоения 29
силовое поле 173
система ассоциированная 21
— гамильтонова 128
— динамическая 98
рекуррентная 144
система дифференциальная 107
интегрируемая 107
— механическая 173
консервативная 179
лагранжева 179
регулярная 173
— Пфаффа 109
интегрируемая 111
скобка Ли 77
~ Пуассона 126, 127
слой 28
степень свободы 173
структура гамильтонова классическая
131
— контактная 136
— риманова 131, 177
— симплектическая 123
— финслерова 130
субмерсия 70
сумма Уитни 50
теорема Дарбу 119
— живых сил 174
— интегрируемости Лиувилля — Кар-
тана 133
— Лиувилля 142
— о ранге 70
— Пуанкаре о возвращении 144
— Фробениуса 108, 111
тождество Якоби 77, 126, 127
точка устойчивая по Пуассону 145
— уходящая 145
траектория (векторного поля) 98
трансверсаль (векторного поля) 149
тривиализация (расслоения) 30
уравнение Гамильтона 130
— дифференциальное 98
—¦ — второго порядка 159
— Лагранжа 175, 181
факторрасслоение 49
форма внешняя 12, 17
— замкнутая 90
— инвариантная 141
— контактная 136
— Лиувилля 124
— Пфаффа 79
— — характеристическая 116
— симплектическая 123
— точная 90 .
формула Стокса 96
формы в инволюции 127
функции независимые 71
— перехода 33
эндоморфизм вертикальный 161
энергия кинетическая 173

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Тлава I. Алгебра внешних форм 9
1. Двойственность и ортогональность 9
2. Внешние формы 11
3. Тензорное произведение 14
4. Внешнее произведение 15
5. Алгебра внешних форм 17
6. Внутреннее произведение 18
7. Ассоциированная система и ранг внешней формы 20
8. Внешние формы степени 2 23
Приложение. Ориентация вещественного векторного пространства . 26
Глава II. Векторные расслоения 28
1. Локально тривиальные расслоения 28
2. Векторные расслоения 32
3. Ассоциированные расслоения. Ориентация 42
4. Подрасслоения. Факторрасслоения. Сумма Уитни 45
Глава III. Дифференцируемые многообразия 52
1. Гладкие структуры 52
2. Дифференцируемые отображения 57
3. Прямое произведение многообразий. Дифференцируемые вектор-
ные расслоения . 62
4. Касательное расслоение 65
5. Ранг отображения. Подмногообразия * . . . 70
6. Векторные поля 73
7. Дифференциальные формы 79
Приложение. Римановы структуры 83
Глава IV. Дифференциальное и интегральное исчисление
на многообразиях 85
1. Дифференцирования и антидифференцирования 85
2. Внешнее дифференцирование * . . 88
3. Дифференцирование Ли 91
4. Интегрирование дифференциальных форм 93
Глава V. Дифференциальные уравнения и дифференциаль-
ные системы на многообразиях 98
1. Интегрирование векторных полей 98
2. Однопараметрические группы и дифференцирования 104
3. Дифференциальные системы 107
4. Системы Пфаффа 109
Глава VI. Характеристическая система и класс дифферен-
циальной формы ИЗ
1. Характеристическая система и класс 113
2. Характеристические векторные поля и формы 116
3. Дифференциальные формы постоянного класса 117
4. Локальные модели дифференциальных форм степени 1 и 2 . . .119
Глава VII. Гамильтоновы системы и контактные структуры 123
1. Симплектические многообразия 123

1F8 Оглавление
2 Скобка Пуассона . ... 126
3 Гамильтоновы системы 128
4 Первые интегралы гамнльтоновых систем 132
5 Контактные структуры . . . 136
Глава VIII. Инвариантные формы. Интегральные инва-
рианты 141
1. Инвариантные формы 141
2. Инвариантные формы объема 143
3. Абсолютные интегральные инварианты 145
4. Относительные интегральные инварианты 148
5. Интегральные отношения инвариантности 150
Глава IX. Второе касательное расслоение 152
1. Касательное расслоение векторного расслоения 152"
2. Второе касательное расслоение 156
3. Дифференциальные уравнения второго порядка 159
Глава X. Дифференциальное исчисление на касательных
пространствах 161
1. Вертикальный эндоморфизм 161
2. Вертикальное дифференцирование . 164
3 Вертикальное антидифференцирование . . , 165
4. Полубазисные дифференциальные формы 167
5. Однородные дифференциальные формы 171'
Глава XI. Аналитическая механика 173
1. Механические системы 173'
2. Лагранжевы системы J
3. Преобразование Лежандра 1?
Литература ц
Предметный указатель ,
К. ГОДБИйОН
Дифференциальная геометрия и аналитическая механика
Редактор Н. И. Плужникова
Художник М. П. Тельцова Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Л. П. Бирюкова Корректор Л. Д. Панова
Сдано в набор 9/VI 1972 г. Подписано к печати 4/XI 1972 г. Бумага №3
=5,83 бум. л. 11,75 печ л Уч.-изд. л. 7,34. Изд. № 1/6789. Цена 52 коп. Зак. 214
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Государственного комитета Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. Измайловский проспект, 29.