Text
                    А. П. ИВАНОВ
ТЕСТЫ
и контрольные работы
по математике
Учебное пособие
Москва
Издательство МФТИ
2002


ББК 22.10 И 201 УДК 517 Рецензенты: кафедра высшей математики Пермского государственного технического универси- университета; д-р физ.-мат. наук проф. А Е. Малых Печатается по решению РИСа Пермского университета И 201 Иванов А.П. Тесты н контрольные работы по математике. — М.: Издательство МФТИ, 2002. — 288 с. — ISBN 5-89155-096-2. В пособии приводятся дидактические материалы в виде тематических и итоговых экзаме- экзаменационных тестов и контрольных работ для систематизации знаний абитуриентов по матема- математике, сдающих вступительный экзамен как в письменной форме, так и путем тестирования. Пособие предназначено слушателям подготовительных курсов, а также старшеклассникам, которые самостоятельно готовятся к поступлению в вуз. Книга будет полезна также студентам математических специальностей и учителям мате- математики, так как содержит значительное количество оригинальных заданий, иа основе которых легко составить не менее 10 вариантов разноуровневых контрольных работ по каждой теме для системного повторения школьного курса математики. Редактор Л Л Савенкова Технический корректор Л Г Подорова Корректор Г А. Прозументик ИБ№214 Подписано в печать 01.10.2002. Формат 60x84 /16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 16,7. Уч.-изд. л. 17,1. Тираж 3000 экз. Заказ № 6838 Оригинал-макет предоставлен автором книги Издательство Московского физико-технического института. 141700 Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., 6а Тел./факс @95) 408-76-81, 409-93-28 Интернет-магазин литературы по фундаментальным и прикладным наукам www.fizmatkniga.ru Отпечатано в ППП Типография «Наука» АИЦ «Наука» РАН 121099 Москва, Шубинский пер., 6 © А. П. Иванов, 2000 ISBN 5-89155-096-2 © д. П. Иванов, 2002
Предисловие Предлагаемая вниманию читателей книга принадлежит перу замеча- замечательного педагога, полного кавалера семи грантов "Соросовский учитель", кандидата физико-математических наук, доцента, заведующего кафедрой математики Пермского филиала Государственного университета Высшая школа экономики А.П. Иванова. Автор разработал оригинальную систему тестирования математических заданий, и вот уже 12 лет его книги, выдер- выдержавшие множество изданий, служат прекрасным подспорьем для учителей математики. Отрадно, что эта продуманная, насыщенная дидактическим материа- материалом книга выходит в издательстве физико-математической литературы вто- вторым изданием. Она будет безусловно полезной как школьникам-абитуриен- школьникам-абитуриентам, так и учителям массовых школ. Соросовкий профессор Д.Б. Гусятников Предисловие автора В настоящее время существует много прекрасных пособий (М.К. По- Потапов, К.У. Шахно, Б.В. Лидский, Шабунин М.И. и др.), однако при очень заниженных требованиях к обязательному минимальному уровню знаний учащихся по математике уровень этих пособий стал многим недоступным для понимания. При этом во многих пособиях для поступающих повторяет- повторяется одна и та же неправда о том, что якобы требования предметных комиссий по математике не выходят за рамки школьной программы. Да, программа может быть и та же, но умения и навыки по одной и той же программе можно получить различные. Одним из важнейших дидактических принципов является принцип си- системности знаний. К.Д. Ушинский очень образно обосновывает этот прин- принцип: "Голова, наполненная отрывочными, бессвязными знаниями, похожа на кладовую, в которой все в беспорядке и где сам хозяин ничего не оты- отыщет; голова, где только система без знаний, похожа на лавку, в которой на всех ящиках есть надписи, а в ящиках пусто. Истинная педагогика, избегая обеих крайностей, дает ученикам прежде материал и по мере накопления этого материала приводит его в систему. Чем больше и разнообразнее на- накопляется материал, тем выше становится система и, наконец, достигает до отвлеченности логических и философских положений."
Основное назначение данного пособия — систематизация знаний уча- учащихся, самодиагностика и выявление пробелов с помощью тестов и кон- контрольных работ с целью последующей своевременной коррекции. Приведение в систему знаний по, казалось бы, простейшей теме "Ли- "Линейная функция" позволяет перейти к рассмотрению очень большого класса задач, имеющих огромное прикладное значение в различных задачах с эко- экономическим содержанием, именуемых обычно в вузовских курсах матема- математики задачами линейного программирования. Поясним это на следующем перечне заданий тестового характера. 1. Чему равен угловой коэффициент прямой, х изображенной на рисунке? V" 2. Через какую из точек @,125; 2,2), A; 3), @,3; 0,1), @; 7), @,1; 0,3) проходит прямая у = кх — 7,7, параллельная прямой у = 80а; + 79? 3. Какие иэ прямых А) х - Зу = 5; В) За: + у = 5; С) -2х + 6у = 7; D) х + Зу = 2 параллельны? 4. Чему равно расстояние между точками пересечения прямых у = 3х + 2ну = х — 5с осью абсцисс? (с осью ординат?) 5. Найти угол между прямыми у = 2х и у = —Зх. 6. Чему равно расстояние от точки пересечения прямых у = 0,6а; + 5,6 и Ъх + Зу = 10 до начала координат? 7. Чему равно наибольшее значение функции у = -Зх + 2 на отрезке [-1;2]7 8. Написать уравнение прямой, проходящей через точки @; 2) и (—1; 3). 9. Как расположены точки АA; 3) и ?B; 5) относительно прямой у = уДх + V31 10. Найти расстояние от начала координат до прямой у = 2х — 3. 11. В какую линию переходит прямая у = —х + 3 при симметрии 4 относительно биссектирисы 2-го и 4-го координатных углов? 12. Найти функцию обратную у = 2х - 6. 13. Чему равна площадь фигуры, задаваемой условиями х > 0, у > 0, Зх + 2у - 6 < 0? 14. Найти расстояние между прямыми у = х + 2ну = х — 3. 15. Сколько точек с целочисленными координатами находится внутри области х > 0, у > 0, 2х + Зу - 6 < 0? 16. Какие из указанных троек точек А) (-1; 0); B; 1); (-3; 1); 5)A;0); C;-1); B;-1); С) @; 5); A;7); (-1;3) принадлежит одной прямой?
17. Чему равно наибольшее значение суммы х+у в области, задаваемой условиями х>0,у>0,у + 2х-8<0,у + х-6<07 Этот перечень можно значительно расширить и сложность каждой за- задачи усилить. Например в задании 5. можно привести следующие услож- усложнения: а) иайти угол между прямыми у = 2х и у = —Зж + 2; б) при каком а угол между прямыми у = 2х и у = —ах равен 45°; в) при каких о острый угол между прямыми у = 2х и у = -ах меньше 60°, но больше 45°. Противники использования тестовых заданий обычно говорят о том, что они "простоваты и соответствуют уровню слабой средней школы" и якобы при решении их нельзя увидеть и зафиксировать умение учащего- учащегося рассуждать. Да, многие из приведенных выше заданий являются доста- достаточно простыми, но многократное обращение к ним в процессе обучения математике в VI-XI классах позволяет в быстрой и доступной для любого учащегося форме привести в систему следующие задания и умения, крайне необходимые при изучении других функций, стимулирующие аналитиче- аналитическое мышление: 1) геометрический смысл параметров к и Ь в линейной функции у = кх + Ь; 2) четкое аналитическое понимание принадлежности точки прямой или области; 3) знание условий пересечения, параллельности и совпадения прямых; 4) вычислительные навыки; 5) умение использовать графические соображения и строить области на плоскости координат; 6) умение находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке; 7) понятие обратной функции; 8) умение находить расстояние между точками, от точки до прямой, между параллельными прямыми (даже без специальных формул аналитиче- аналитической геометрии) и т.д. Эти умения можно отнести к фундаментальным для успешного изуче- изучения и других функций. Очень важным является использование графических соображений. Поясним это на следующем примере. Мало кто из школьни- школьников сможет верно решить неравенство >/х + 2 > х, используя только лишь аналитический подход. Однако графический способ решения быстро при- приводит к правильному решению — 2 < х < 2. Безукоризненное знание вы- вышеупомянутых элементарных сведений, приведенных в систему, позволить решить и достаточно сложное задание 17., а от этого задания можно смело переходить к решению серьезных задач с большим практическим экономи-
ческим смыслом следующего типа. Небольшая мебельная фирма производит книжные шкафы и серван- серванты. На изготовление одного книжного шкафа расходуется 1 м2 древесно- Л стружечной плиты, - м2 сосновой доски и 1,5 человеко-часа рабочего вре- менн. Аналогичные данные для серванта даются цифрами: 1,5 м2 древесно- древесностружечной плиты; 1,5 м2 сосновой доски и 4,5 человеко-часа. Прибыль от реализации одного книжного шкафа составляет 500 руб., а серванта — 1200 руб. В течение одного месяца в распоряжении фирмы имеются: 120 м2 древесно-стружечной плиты, 150 м2 сосновых досок и 315 человеко-часов рабочего времени. В каких количествах следует выпускать книжные шка- шкафы и серванты, чтобы ожидаемая месячная прибыль была максимальной? Какова эта прибыль? Можно высказать и обратное утверждение: без твердого знания ука- указанных выше учебных элементов учащийся не сможет справиться со следу- следующим заданием (даже, если не ограничивать время его выполнения) пись- письменного экзамена: Известно, что у > \5х + 2| + \5х - 3|. Найти min(x + у). Отметим, что наличие этих навыков у учащихся легко проверяется тестированием с по- помощью приведенных выше элементарных тестовых заданий 1.-16. за очень короткое время. Для успешного изучения вузовского курса математики необходимо овла- овладеть некоторыми навыками, которые недостаточно отрабатываются в шко- школах. Таковыми являются: избавление от иррациональности в знаменателе; качественное знание всех формул сокращенного умножения и деления, по- позволяющее видеть, например, что 8+2\/15 = (-у/ЗН-л/5J; деление многочле- многочленов; разложение многочленов на множители; выделение полного квадрата в квадратном трехчлене; хорошая техника алгебраических и тригонометриче- тригонометрических преобразований; построение графиков функций с помощью преобра- преобразований; исследование функций не только с помощью производной, но и с использованием элементарных приемов; элементы теории равносильно- равносильности уравнений и неравенств; метод замены; решение иррациональных нера- неравенств; преобразование произведения тригонометрических функций в сум- сумму или разность; понижение степени тригонометрических функций; умение решать "текстовые" задачи, а следовательно, возможность строить матема- математические модели; графический подход к решению уравнений, неравенств; решение заданий с параметрами и модулями. Приведение в систему знаний по этим разделам можно также с успехом проводить с помощью специально подобранных тестовых заданий [2,3].
При недостаточном же владении учащимся этими навыками он, будучи студентом, будет испытывать затруднения при решении заданий типа — вычислить неопределенные интегралы: dx cosbxdx. Этот перечень нельзя считать достаточно полным — его можно про- продолжить. Указанные пробелы легко устранить, прорешав приведенные в данном пособии тесты и контрольные работы. Проделать это лучше всего, следуя предлагаемой ниже схеме самостоятельной работы и методическим указаниям. Не расстраивайтесь и не паникуйте, если какие-то задания не будут сразу получаться. Не сидите долго над одним заданием, попробуйте выяснить, из-за чего конкретно не решается задание, после чего постарай- постарайтесь найти аналогичные задания в литературе; если Вам удастся сформули- сформулировать вопрос по неполучающейся задаче и ответ на этот вопрос приведет Вас самостоятельно к ее решению, то польза от такого решения значитель- значительно больше, чем полученное от учителя готовое решение. Если задача не получается сразу, лучше вернуться к ней через несколько дней. Обращайте самое серьезное внимание на арифметические ошибки и путаницу со знака- знаками при раскрытии скобок, так как чаще всего они не случайны. Автор уверен, что после самостоятельного и творческого изучения дан- данного пособия учащийся будет достаточно подготовлен для успешного по- поступления в вуз и изучения математических курсов в выбранном вузе. Иванов А.П.
§1. Общие рекомендации по работе над курсом математики Наиболее плодотворной и основной формой обучения является само- самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следую- следующих этапов: изучение материалов по учебникам и пособиям, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. При изучении материала по учебникам или пособиям, следует перехо- переходить к следующему вопросу только после правильного понимания преды- предыдущего, проделывая на бумаге рекомендуемые к решению задания. Очень полезным является краткое конспектирование изучаемого теоретического материала, это приучит к необходимому в работе порядку, позволит избе- избежать ошибок, которые происходят из-за небрежности и беспорядочности в записях. Кроме того, навыки конспектирования пригодятся при обуче- обучении в ВУЗе. Важнейшие формулы в конспекте полезно выделить, обводя рамкой или подчеркивая, чтобы при перечитывании конспекта они легче и лучше запоминались. Чтение учебника или пособия должно обязательно сопровождаться решением задач. При решении задач нужно обосновывать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса. Решение каждого задания следует доводить до ответа Задачи определенного типа необходимо решать до приобретения твердых навыков и только в случае полной уверенности в отработке приемов решения прорабатываемого типа заданий можно пропускать некоторые однотипные примеры. Однако было бы весьма полезно прорешать все приведенные в пособии [1] задания. Кроме того, желательно и очень полезно прорешать варианты письмен- письменных работ, предлагавшихся ранее на вступительных экзаменах. Не следует думать, что подготовка к экзамену по математике в форме тестирования не требует хороших навыков в решении письменных вариантов. Конечно, тестовые задания менее объемны, но тестирование будет успешным только в том случае, если экзаменующийся выполняет их качественно и быстро, а быстрота выполнения тестовых заданий (особенно из второй половины теста) напрямую зависит от наличия прочных навыков. В процессе изучения курса математики учащийся должен выполнить 8 контрольных работ. Рецензии преподавателя на эти работы позволяют учащемуся судить о степени усвоения им соответствующего раздела кур- курса математики. Не следует приступать к выполнению контрольных работ, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствующему тематике этой контрольной работы. Опыт показывает, что чаще всего не- неумение решить ту или иную задачу контрольной работы вызвано тем, что
учащийся не исполнил это требование. Контрольные работы должны вы- выполняться самостоятельно с тем, чтобы учащийся получил в процессе подго- подготовки необходимые знания для успешной сдачи вступительного экзамена и дальнейшего успешного обучения в ВУЗе. Весь курс математики разбит иа темы. Прежде чем приступать к изучению следующей темы, очень полезно осуществить самоконтроль уровня знаний по данной теме с помощью те- тестирования. Тест содержит 30 вопросов. К каждому вопросу прилагается 5 ответов, из которых только один правильный. Требуется выбрать правиль- правильный ответ и отметить его вариант в бланке тестирования. Верный ответ оценивается в один балл. Для тестирования отводится 60 минут. В настоя- настоящее время опубликованы 8 разноуровневых E категорий сложности) тема- тематических тестов в двух вариантах по следующим наиболее важным темам [2,3]:преобразование алгебраических выражений (Т-11, Т-12,Т-13,Т-14,Т-15); простейшие функции (Т-21 — Т-25); простые уравнения (Т-31 — Т-35); про- простые неравенства (Т-41 — Т-45); показательная и логарифмическая функ- функции (Т-51 — Т-55); тригонометрия (Т-61 — Т-65); последовательности (Т-71 — Т-75); планиметрия (Т-81 — Т-85), а также два варианта тестов по теме "Производная и ее приложения" (Т-91). К тестам прилагаются правильные ответы, к которым, разумеется, сле- следует обратиться только после проведения самотестирования. Если окажет- окажется, что за 60 минут Вы набрали не более 10 баллов, это означает что Вам следует еще раз изучить данную тему, т.к. пока Ваш уровень соответству- соответствует ", если сумма баллов более 10, но не превосходит 14 — Ваш уровень знаний на данный момент оценивается только оценкой ", если же коли- количество набранных Вами баллов превышает 19, можете быть уверены, что Ваши знания по теоретическому материалу оцениваются на ". После по- получения таких результатов тестирования можно переходить к выполнению контрольной работы. Чтобы повторение курса математики носило систем- системный характер, лучше всего проводить повторение по программе, прилагае- прилагаемой ниже, с разбиением по темам всего курса математики и указанием тем контрольных тестов. В §§16, 17, 18 приведены итоговые экзаменационные тесты: простые (сложность I), средние (сложность II), повышенной трудности (сложность III), время выполнения тестов сложности 1,П — 60 минут, сложности Ш — 100 минут. Практика использования тестов показывает, что учащийся, зна- знания которого приведены в систему, за 60 минут уверенно выполняет 19-20 заданий любых из приведенных тестов. Назначение последних 8-Ю зада- заданий из тестов сложности Ш — выявить наиболее грамотных, одаренных учащихся с хорошими математическими способностями.
§2. Рабочая программа по математике для поступающих Тема 1. Действительные числа Натуральные числа, разложение их на множители, признаки делимо- делимости. НОК и НОД. Решение примеров и задач. Дробные числа, действия над дробями. Периодические дроби. Про- Проценты. Три типа задач на проценты. Решения примеров и текстовых задач. Рациональные и иррациональные числа. Модуль действительного чи- числа, свойства модуля, геометрический смысл \а\ и \а - Ь\. Решение простей- простейших уравнений и неравенств, содержащих "х" под знаком модуля. Тема 2. Тождественные преобразования алгебраических выра- выражений Степени и корни. Действия над степенями. Извлечение корня. Ариф- Арифметический корень. Действия над корнями. Избавление от иррациональ- иррациональности в знаменателе. Обобщение понятия показателя степени. Решение примеров. Алгебраические преобразования. Одночлены и многочлены, действия над ними. Формулы сокращенного умножения и деления. Многочлены, зависящие от 'V, корень многочлена. Деление многочленов. Разложение многочленов на множители. Тождественное преобразование алгебраиче- алгебраических выражений. Тестирование по темам 1 и 2 (Т-11 — Т-15). Тема 3. Понятие функции Определение функции, области определения и значений, четности не- нечетности. График функции. Преобразования графиков. Тема 4. Свойства простейших функций Линейная функция у — а ¦ х + Ь. Геометрический смысл а и Ь. Функция у = к/х. Дробно-линейная функция. Квадратная функция. Выделение полного квадрата. Построение графиков простейших функций и функций, содержащих аргумент под знаком модуля. Тестирование по темам 3 и 4 (Т-21 — Т-25). Тема 5. Простейшие уравнения и системы уравнений Общие понятия. Равносильность уравнений. ОДЗ. Потеря и приобре- приобретение корней. Линейное уравнение, системы линейных уравнений. Урав- Уравнения и системы, сводящиеся к линейным. Решение примеров и текстовых задач. Квадратные уравнения. Формулы корней. Геометрическая интерпре- интерпретация. Теорема Виета. Решение примеров и текстовых задач. 10
Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Решение примеров. Тестирование по теме 5 (Т-31 — Т-35). Тема б. Неравенства Свойства числовых неравенств. Действия над неравенствами. Доказа- Доказательство числовых неравенств и простейших буквенных неравенств. Теоре- Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Решение и равносильность неравенств. Линейные неравенства и сводя- сводящиеся к ним. Графическое решение неравенств. Квадратные неравенства и сводящиеся к ним. Метод интервалов. Иррациональные неравенства. Решение смешанных заданий и тексто- текстовых задач на составление неравенств. Тестирование по теме 6 (Т-41 — Т-45). Тема 7. Тригонометрия Начала тригонометрии. Единичный круг, определение тригонометри- тригонометрических функций. Оси тангенсов и котангенсов. Свойства тригонометриче- тригонометрических функций, графики. Основные тригонометрические формулы. Тригонометрические тож- тождества. Формулы приведения. Тригонометрические теоремы сложения н их следствия (формулы двойного угла, половинного угла, понижение степе- степени). Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. Выражение тригонометрических функций через тангенс поло- половинного угла. Сложение тригонометрических функций. Решение примеров на тригонометрические преобразования. Тригонометрические уравнения и неравенства. Основные методы ре- решения уравнений. Решение тригонометрических неравенств с помощью единичного тригонометрического круга. Тестирование по теме 7 (Т-61 — Т-65). Тема 8. Показательная и логарифмическая функции Решение простейших показательных уравнений. Логарифм числа. Основ- Основное логарифмического тождество. Действия над логарифмами. Логариф- Логарифмирование и потенцирование. Модуль перехода. Решения примеров. Показательная и логарифмическая функции. Свойства и их графики. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Тестирование по теме 8 (Т-51 — Т-55). Тема 9. Числовые последовательности Арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия и бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Решение примеров и задач. Тестирование по теме 9 (Т-71 — Т-75). Тема 10. Планиметрия 11
Решение прямоугольных и косоугольных треугольников. Теоремы си- синусов и косинусов. Многоугольники. Решение задач. Тема 11. Стереометрия Основные понятия: угол между прямой и плоскостью, двугранный угол и его измерение. Многогранники и круглые тела. Вычисление площадей и объемов. Решение задач. Тестирование по темам 10 и 11 (Т-81—Т-85). Все вышеперечисленные темы обязательны для повторения. Приведем ниже перечень основных элементов знаний и формул, необ- необходимых для проведения успешного тестирования. §3. Основные элементы знаний и некоторые формулы 1. Переместительный закон сложения: а + Ь = b + a. 2. Сочетательный закон сложения: (а + Ь) + с = а + (Ъ + с). 3. Переместительный закон умножения: а-Ь=Ь- а. 4. Сочетательный закон умножения: а ¦ (Ь ¦ с) = (а ¦ Ь) • с 5. Распределительный закон: а ¦ (Ь + с) = а ¦ Ь + а ¦ с 6. Понятие натурального числа. Признаки делимости. 7. Нахождение НОК и НОД нескольких чисел. 8. Определение рациональных чисел. 9. Правило умножения двух чисел, одно нз которых равно нулю. 10. Свойство произведения чисел: а ¦ Ь > 0, если а > 0, Ь > 0 или а < О, Ь < 0. 11. Свойство произведения чисел: а ¦ Ь < 0, если а > О, Ь < 0 или а < 0,Ь> 0 . 12. Свойство частного двух чисел: — > 0, если а > О, Ь > 0 или п < О, Ь < 0. 13. Свойство частного двух чисел: ¦=- < 0, если а > 0. Ь < 0 или а < 0,6 > 0. 14. Правило деления суммы на число. 15. Иррациональные числа. Действительные числа. Числовая ось. 16. Абсолютная величина действительного числа \а\. Геометрический смысл |а| и |а - Ц. 17. Определение одночлена, многочлена. 18. Правило приведения подобных членов. 19. Правило раскрытия скобок многочлена. 20. Правило вынесения за скобки общего множителя в многочлене. 21. Определение натуральной степени. 12
22. Свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями. 23. Свойство возведения степени в степень. 24. Правило возведения произведения и частного в степень. 25. Правило умножения многочлена на многочлен. 26. Степень многочлена, одночлена. 27. Формула (а + Ь)'2 — а2 + 2аЬ + Ь2. 28. Формула (а - Ь)'2 — а2 - 2ab + Ь2. 29. Формула (« + Ь)-(а- Ь) = а2 - 1>2. 30. Формула (о + ЬK = а3 + За'2Ь + ЗаЬ2 + Ъ3. 31. Формула (а - ЬK = а3 - За'2Ь + ЗаЬ2 - Ь3. 32. Формула а3 + Ь3 = (а + Ь)(а2 - аЬ + Ь'2). 33. Формула а3 - Ь3 = (а - 6)(«2 + аЬ + У2)- 34. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего мно- множителя за скобку. Способ группировки. 35. Определение отрицательной степени. 36. Определение нулевой степени. 37. Свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. 38. Правило возведения дроби в степень. 39. Правило сокращения дробей. 40. Правило нахождения наименьшего общего знаменателя дробей. 41. Правило нахождения дополнительного множителя. 42. Правило сравнения двух дробей с одинаковыми числителями. 43. Правило сравнения двух дробей с одинаковыми знаменателями. 44. Свойство: дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю. 45. Правило вынесения знака минус перед дробью. 46. Понятие функции. График функции. Нахождение абсциссы н ор- ординаты точки по известному графику функции. 47. Понятие монотонности функции. 48. Построение графика функции у = Ь. 49. Построение графика х = а. 50. Построение графика функции у = кх. 51. Построение графика функции у — кх + Ь. Геометрический смысл коэффициентов к и Ь. 52. Графическое решение системы линейных уравнений. f а\х + Ь\у = с\ \ а-2х + Ь2у = с2. 53. Построение графика функции, сводящейся к линейной. 54. Понятие о решении (корне) уравнения. 13
55. Определение равносильности (эквивалентности) уравнений. 56. Свойство: если к обеим частям уравнения прибавить выражения, определенные при всех значениях неизвестного, то получится уравнение, равносильное данному. 57. Свойство: если обе части уравнения умножить на выражение опре- определенное и отличиое от нуля при всех значениях иеизвестного, то получится уравнение, равносильное данному. 58. Решение линейного уравнения. 59. Решение подстановкой и методом сложения системы линейных уравнений. \ = а. 60. Определение арифметического квадратного корня. 61. Свойство квадратного корня: */7* = \.г\. 62. Правило извлечения квадратного корня из произведения. Вынесе- Вынесение множителя за знак квадратного кория. 63. Правило извлечения квадратного корня из дроби. 64. Правило извлечения квадратного корня из степени. 65. Свойство числового неравенства: если а > Ь, то Ь < а. 66. Свойство числового неравенства: если а > Ь, то а + с > b + с для любого числа с. 67. Свойство числового неравенства: если а > Ь, то а ¦ с > Ь ¦ с при с > 0 и о > 6. то а • с <Ь- с при с < 0. 68. Теорема о сложении неравенств одинакового смысла. 69. Теорема о вычитании неравенств противоположного смысла. 70. Теорема об умножении неравенств одинакового смысла. 71. Свойство числовых неравенств: если а > Ь > 0, то а" > Ь" для любого натурального числа и. 72. Свойство числовых неравенств: если а > О, Ь > 0 и а" > Ь", где п— натурального число, то а > Ь. 1Ъ. Понятие эквивалентности неравенств. 74. Свойство: если к обеим частям неравенства прибавить выражение, определенное при всех значениях неизвестного, то получится неравенство, эквивалентное данному. 75. Свойство: если обе части неравенства умножить на выражение, определенное и положительное при всех зиачеииях неизвестного, то полу- получится неравенство, эквивалентное данному. 14
76. Свойство: если обе части неравенства умножить на выражение, определенное и отрицательное при всех значениях неизвестного и поменять знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, эквива- эквивалентное данному. 77. Свойство: если j- > n, j- < b, причем а > Ь, то система неравенств решения ие имеет. 78. Свойство: если .г > а,х < Ь, причем а < Ь, то решение системы неравенств имеет вид: а < .г < Ь. 79. Свойство: если х < «, .г < Ь, причем а < Ь, то решение системы неравенств имеет вид: .г < а. 80. Свойство: если .г > а,.г > Ь, причем а < Ь, то решение системы неравенств имеет вид ,г > Ь. 81. Свойство: если \.г\ < а и а > 0, то -а < х < а. 82. Свойство: если \.г\ > а и а > 0, то .г < -а, х > а. 83. Формула решения приведенного квадратного уравнения. 84. Формула решения полного квадратного уравнения и уравнения с четным коэффициентом при л\ 85. Теорема Виета. 86. Определение дискриминанта D = И2 - 4ас. 87. Свойство: если дискриминант D положителен, то квадратное урав- уравнение имеет действительные различные корни. 88. Свойство: если дискриминант D равен нулю, то квадратное урав- уравнение имеет действительные равные корни. 89. Свойство: если дискриминант D отрицателен, то квадратное урав- уравнение не имеет действительных корней. 90. Теорема о разложении квадратного трехчлена на линейные множи- множители. 91. Выделение в квадратном трехчлене полного квадрата. 92. Составление квадратного уравнения а(х—ari)(ar-ar2) = 0 по корням xi и х2. 93. График функции у = х2. 94. График функции у — ах'2+Ьх+с в случае действительных различных корней у квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0. 95. График функции у = ах2 + Ьх + св случае действительных равных корней у квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0. 96. График функции у — ах2+Ьх+с в случае отсутствия действительных корней у квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0. 97. Построение графика квадратной функции у = ах2 + Ьх+с с исполь- использованием выделения полного квадрата в квадратном трехчлене. 15
98. Запись интервалов знакопостоянства квадратного трехчлена ах + +Ьх + с(а > 0), если известны его корни х\ и х% 99. Запись интервалов знакопостоянства квадратного трехчлена ax-i + +Ьх + с (а < 0), если известны его корни х\ и а;2- 100. Запись решения квадратного неравенства ах2 + Ьх + с > 0 при различных знаках коэффициента а и различных дискриминантах: D > 0, D = 0,D<0. 101. Запись выражения ат+п в виде произведения ат ¦ ап. 102. Запись выражения ат~п в виде частного ат/ап. 103. Запись выражения 1/ат в виде а~т. 104. Запись степени ат/п в виде корня ат/п = \/а™. 105. Теорема об умножении показателей корня и подкоренного выра- выражения на одно и то же число. 106. Правило приведения корней к одному показателю. 107. Правило умножения корней с одинаковыми показателями. 108. Правило деления корней с одинаковыми показателями. 109. Правило умножения корней с разными показателями. 110. Теорема о возведении в степень корня из положительного числа. 111. Теорема об извлечении корня из корня. 112. Правило освобождения от иррациональности в знаменателе. 113. Правило нахождения области допустимых значений корня четной функции. 114. Правило нахождения допустимых значений дробно-рациональной функции. 115. Теорема о сравнении степеней с одинаковыми показателями и по- положительными основаниями: если а > Ь > 0, то а" > Ьп при любом нату- натуральном п. 116. Теорема: если 0 < а < 1, то из двух степеней ат и а" больше та, показатель которой меньше; если а > 1, то из двух степеней ат и а" больше та, показатель которой больше. 117. Определение арифметической прогрессии. 118. Формула общего члена арифметической прогрессии. 119. Формулы суммы членов арифметической прогрессии. 120. Теорема: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме членов равностоящих от него. 121. Теорема: сумма двух членов арифметической прогрессии, равно- равностоящих от ее концов, равна сумме крайних членов. 122. Определение геометрической прогрессии. 123. Формула общего члена геометрической прогрессии. 16
124. Теорема: квадрат любого члена геометрической прогрессии начи- начиная со второго равен произведению членов, равностоящих от него. 125. Формула суммы членов геометрической прогрессии. 126. Определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии. 127. Формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. 128. Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные. 129. График показательной функции. 130. Область определения показательной функции. 131. Свойство: показательная функция принимает только положитель- положительные значения. 132. Свойство: если а > 1, то ах > 1 при всех х > 0 и ах < 1 при всех х < 0; если 0 < а < 1, то ах < 1 при х > 0 и ах > 1 при х < 0. 133. Свойство: если две степени одного и того же положительного числа, отличного от 1, равны, т.е. ах = ау, а > 0, а ф 1, то равны и их показатели, т.е. х = у. 134. Определение логарифма данного числа по данному основанию. 135. Основное логарифмическое тождество alo^b = b. 136. Формула loga a = 1. 137. Теорема: логарифм произведения двух положительных чисел ра- равен сумме логарифмов этих чисел. 138. Теорема: логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. 139. Теорема: логарифм степени положительного числа равен произ- произведению показателя этой степени на логарифм ее основания. 140. Формула перехода от логарифма при одном основании к логариф- логарифму при другом основании. 141. Формула loga Ь = l/log6a, а > 0, а ф 1, Ь > 0, Ь ф 1. 142. Формула loga A/6) = - loga b, a > 0, а Ф 1, Ь > 0. 143. Представление суммы логарифмов в виде логарифма произведе- произведения. 144. Представление разности логарифмов в виде логарифма частного. 145. Представление выражения к • loga Ь в виде loga Ьк. 146. График логарифмической функции. 147. Свойство: областью определения логарифмической функции явля- является множество положительных чисел. 17
148. Свойство: областью изменения логарифмической функции явля- является множество всех действительных чисел. 149. Свойство: если логарифмы двух чисел по одному и тому же поло- положительному основанию в, отличному от 1, равны, т.е. loga х = log,, у, а > О, о ф 1, то и сами эти числа равны, т.е. х = у. 150. Свойство: при х = 1 логарифмическая функция у = logaar прини- принимает значение, равное нулю. 151. Свойство: если а > 1 и х\ > ж2 > 0, то logaart > logaa:2. 152. Свойство: если 0 < а < 1 и х\ > х2 > 0, то logaari < logaar2. 153. Построение графиков функций у = -f(x), у = f(x-a), у = c-f(x), у = f(x) + Ъ,у = f(kx),y = \f(x)\, у = f(\x\) по известному графику функции у = f(x). 154. Градусная и радианная мера угла. 155. Определение cos a через единичный тригонометрический круг. 156. Определение sin a через единичный тригонометрический круг. 157. Определение tg а через ось тангенсов. 158. Определение ctga через ось котангенсов. 159. Определение: sec a = и coseca = — . cos a sin a 160. Значение тригонометрических функций углов: 0, тг/б, тг/4, тг/3, тг/2, тт. Зтг/2, 2тг. 161. Свойство четности функции у = cos аг. 162. Свойство нечетности функции у = sinz. 163. Свойство нечетности функции у = tgx. 164. Определение периода функции у = cosx и у = cosaa;. 165. Определение периода функции у = sin а; и у = sinaa;. 166. Определение периода функции у = tgx и у = tgaa;. 167. Свойство функции у = sin а;: наибольшее значение равно 1, а наименьшее равно -1, т.е. -1 < у < 1. 168. Свойство функции у = cos а;: наибольшее значение равно 1, а наименьшее равно -1, т.е. -1 < у < 1. 169. Свойство функции у = tgar: —оо < у < +оо. 170. Свойство: областью определения функции у — sin а; является вся числовая ось. 171. Свойство: областью определения функции у = cos а; является вся числовая ось. 172. Свойство: областью определения функции у = tga; является вся числовая ось, кроме х = — + жп, n€.Z. 18
173. Свойство: областью определения функции у = ctgx является вся числовая ось, кроме х = жп, n?Z. 174. Свойство: функция у = sin .г положительна в 1-, 2-м и отрица- отрицательна в 3-, 4-м координатных углах. 175. Свойство: функция у — cosx положительна в 1-, 4-м и отрица- отрицательна во 2-, 3-м координатных углах. 176. Свойство: функции у = tg.r и у = ctg .г положительны в 1-, 3-м и отрицательны во 2-, 4-м координатных углах. 177. График функции у = sin .г. 178. График функции у — cosx. 179. График функции у — tg.r. 180. График функции у = ctg x. 181. Промежутки возрастания (убывания) тригонометрических функ- функций. 182. Определение arcsinp, \р\ < 1. 183. Определение axccosp, \р\ < 1. 184. Определение arctg p. 185. Определение arcctgp. 186. Формула решений уравнения sinx = р: х — (-l)narcsinp+ тгп, п eZ. 187. Формула решений уравнения cos а; = р: х = ±arccosp + 2тгп, nez. 188. Формула решений уравнения tgx = р: х = arctgр+ тгп, п ? Z. 189. Формула решений уравнения ctg а; = р: х = arcctgp + тгп, п ? Z. 190. Решение простейших тригонометрических неравенств с использо- использованием единичного тригонометрического круга. 191. Формулы приведения. 192. Формула sin2 а + cos2 а = 1. 193. Формула 1 + tg2a = cos a. 194. Формула 1 + ctg2 а = sin а. 195. Формула tga ¦ ctg а = 1. 196. Формула sin (а + /3) = sin а cos /3 + cos а sin /3. 197. Формула sin (а — E) = sin а cos /3 — cos а sin /3. 198. Формула cos (a + в) = cos а cos /3 — sin а sin /3. 199. Формула cos (а — /3) = cos а cos /3 + sin a sin/3. 200. Формула 19
201. Формула &v ' l + tgatg/3 202. Формула sin 2a = 2 sin r* cos r*. 203. Формула cos 2a = cos2 a — sin2«. 204. Формула 1+cos a = 2 cos2 — и формула понижения степени cos2 — :(l + cosa)/2. 205. Формула 1—cos « = 2 sin — и формула понижения степени snr — = : (l-cosa)/2. 206. Формула sm« = 207. Формула tga 1- 1- cos a 2 2 a' sin a 208. Формула 209. Формула a 1 2 sina 1 + cosa' 210. Формула sin a sin /3 = -[cos (a — /3) - cos (a + /?)]. 211. Формула sin a cos C = -[sin(a + /3) +sin(a- /3)]. 212. Формула cosacos/3 = -[cos (a + p) + cos(a - /3)]. 213. Формула sin a + sin /3 = 2 sin ——— cos —-—. Zl Л1 214. Формула sin a — sin /3 = 2 cos —-— sin —-—. 215. Формула cos a + cos/3 = 2 cos ——— cos —¦—-. 216. Формула cos a - cos/3 = -2 sin —-— sin ——-. 20
217. Формула Z?. cos a cos /3 218. Формула tga - tg/3 = —^ '-jr. cos a cosp 219. Теорема синусов a = b _ c _ 2i? sin/Л sinZB sin/C 220. Теорема косинусов. 221. Определение угла. Виды углов: острый, прямой, тупой. 222. Определение смежных углов. 223. Определение вертикальных углов. 224. Определение перпендикуляра к прямой. 225. Построение перпендикуляра к прямой из точки, не лежащей на прямой. 226. Построение перпендикуляра к прямой из точки, лежащей на пря- прямой. 227. Свойство: кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром. 228. Определение окружности. 229. Определение хорды, секущей, касательной к окружности. 230. Определение круга. 231. Определение центрального угла. 232. Теорема об измерении центрального угла. 233. Определение треугольника. 234. Определение медианы, биссектрисы, высоты в треугольнике. 235. Построение медианы, биссектрисы, высоты в треугольнике. 236. Определение равнобедренного, правильного треугольников. 237. Свойства равнобедренного треугольника. 238. Теорема: в треугольнике точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины. 239. Признаки равенства треугольников. 240. Свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку через его сере- середину. 241. Свойство биссектрисы угла. 242. Теорема о внешнем угле треугольника. 243. Определение проекции отрезка на прямую. 21
244. Теорема: из двух наклонных короче та, у которой проекция мень- меньше. 245. Свойство углов, образующихся при пересечении двух параллель- параллельных прямых третьей. 246. Свойство внешнего угла треугольника. 247. Теорема о сумме внутренних углов треугольника. 248. Свойство катета, лежащего против угла в 30°. 249. Свойство углов с соответственно параллельными сторонами. 250. Свойство углов с соответственно перпендикулярными сторонами. 251. Теорема о сумме внутренних углов четырехугольника. 252. Определение параллелограмма. Признаки параллелограмма. 253. Теорема: у параллелограмма противолежащие стороны и проти- противоположные углы равны. 254. Свойство: диагонали параллелограмма делятся точкой пересече- пересечения пополам. 255. Определение прямоугольника. 256. Свойство: диагонали прямоугольника равны. 257. Определение ромба. 258. Определение трапеции. Определение равнобочной трапеции 259. Свойство средней линии трапеции. 260. Свойство средней линии треугольника. 261. Формула площади треугольника, квадрата. 262. Понятие равновеликих фигур. 263. Формула площади параллелограмма. 264. Формула площади ромба S = ^сМг- 265. Формула площади треугольника S = ^ah. 266. Формула площади треугольника S = |ob sin 1С. 267. Формула площади трапеции. 268. Теорема Пифагора. 269. Теорема: диаметр, перпендикулярный к хорде, делит хорду попо- пополам. 270. Определение вписанного угла. 271. Теорема об измерении вписанного угла. 272. Теорема: сумма противолежащих углов вписанного четырехуголь- четырехугольника равна 180°. 273. Теорема: суммы противолежащих сторон описанного четырех- четырехугольника равны. 274. Построение окружности, вписанной в треугольник. 275. Формула длины дуги окружности. 22
276. Определение сектора круга. Формула площади сектора. 277. Признаки подобия треугольников. 278. Свойство высоты, опущенной из вершины прямого угла в прямо- прямоугольном треугольнике. 279. Теорема о биссектрисе внутреннего угла треугольника. 280. Теорема о квадрате стороны треугольника, лежащей против его тупого (острого) угла. 281. Нахождение катета по гипотенузе и острому углу. 282. Нахождение катета по катету и острому углу. 283. Нахождение гипотенузы по катету и острому углу. 284. Формула площади правильного треугольника. 285. Построение окружности, описанной около треугольника. 286. Построение окружности, вписанной в ромб. 287. Построение правильного треугольника, квадрата, правильного шестиугольника, вписанных и описанных около окружности. Выражение их сторон через радиусы окружностей. 288. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания. 289. Определение двугранного угла. 290. Построение линейного угла данного двугранного угла. 291. Определение угла прямой с плоскостью. 292. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость. 293. Определение прямой призмы. Определение прямого, прямоуголь- прямоугольного параллелепипеда. 294. Свойство граней и диагоналей параллелепипеда. 295. Определение пирамиды, правильной пирамиды. 296. Свойство параллельных сечений в пирамиде. 297. Свойство: если все ребра пирамиды наклонены под одним углом к основанию, то высота пирамиды проходит через центр окружности, опи- описанной около основания. 298. Свойство: если все грани пирамиды наклонены под одним углом к основанию, то высота пирамиды проходит через центр окружности, впи- вписанной в основание. 299. Формулы боковой (полной) поверхности, объема призмы. 300. Формула объема прямоугольного параллелепипеда. 301. Формулы боковой (полной) поверхности, объема пирамиды. 302. Определение апофемы пирамиды. 303. Формулы боковой (полной) поверхности правильной пирамиды. 304. Формулы боковой (полной) поверхности, объема усеченной пира- пирамиды. 23
305. Определение конуса, цилиндра, шара. 306. Формулы боковой (полной) поверхности, объема цилиндра. 307. Формулы боковой (полной) поверхности, объема конуса. 308. Формулы боковой (полной) поверхности, объема усеченного ко- конуса. 309. Формулы поверхности, объема шара. 310. Развертки боковой поверхности конуса, усеченного конуса. 311. Свойство осевого сечения конуса. 312. Определение вектора. 313. Построение суммы и разности векторов. 314. Умножение вектора на число. 315. Определение проекции вектора на ось. Координаты вектора. 316. Формула вычисления проекции вектора на ось. 317. Скалярное произведение двух векторов. Его свойства. 318. Выражение скалярного произведения векторов через их координа- координаты. 319. Определение производной функции. 320. Геометрический смысл производной функции. 321. Производные суммы, произведения, частного функций. 322. Производные основных элементарных функций. 323. Понятие локального экстремума. 324. Необходимое и достаточное условие экстремума. 325. Первообразная. Первообразные основных элементарных функ- функций. 326. Свойства первообразных. 327. Понятие определенного интеграла. 328. Формула Ньютона-Лейбница. 329. Вычисление площади с помощью определенного интеграла. Поступающим следует обратить особое внимание на приведенные вы- выше определения, свойства, теоремы, формулы, правила, поскольку без твер- твердого их усвоения бесполезно браться за выполнение математического теста, если к тому же учесть, что приведенные элементы знаний требуется при- применить для решения небольшой задачи или написания письменной работы. Многие поступающие пренебрегают этим советом, не интересуются заранее какого рода испытание их ждет, не используют возможность проведения са- самотестирования в процессе подготовки к экзамену. 24
§4. Контрольные задания по теме № 1. Действительные числа. Преобразования алгебраических выражений Для успешного выполнения этой контрольной работы следует внима- внимательно повторить разделы 1 и 2 пособия [1], прорешать максимально боль- большое количество примеров, приведенных в пособии, и провести самотести- самотестирование по теме Т-01. Основным назначением теста является диагностика с целью выявления "слабых" мест в знаниях по данной теме и своевременная коррекция знаний. Достаточность уровня знаний определяется следующим образом, если за 60 минут тестирования количество правильно решенных заданий окажется не менее 19, то можно считать, что данная тема усвоена, однако при этом следует обязательно провести работу над ошибками, номера правильных ответов на вопросы теста приведены на стр.274, 275. Т-01| {Преобразования алгебраических выражений! Число 5537а2 делится на 18 без остатка, если а заменить на цифру ПП 1 (Т15 ППз ПП 7 ППэ. 021 Железо, хром и никель составляют в сплаве отношение 5:2:1. асса такого сплава, содержащего 5 т хрома, равна [Т| Ют ПЛ 12т ПП 15т ПН 18т ПП 20т. Число 3 • 1/- — 5 • 1 /- + 6\/б равно I 2 m Щ. 04J ЧИСЛ° 9 • 196 • 625 40 • 49 • 225 2] 0,5 ПП 2,5 ПП 2 |~5~| 5. 05] Число 19%1|-1995^ + ^ равно Л 1.2 0 0,2 И g И JL И 1. 25
Об] (а.0\ Выражение —..¦ ¦ при а = 0,5 равно V W / Т1 1 ГТ! 2,5 [71 3,5 [Т| 4 ПП 5,5. /2 3 Выражение J-j= 7= 7= hа равно 0 при а, равном V v 7 + л/5 Vi - 2 /2+л/5 02+\ T|2-v/5 JT]v/5-2 [б] -у/Ь -2. 081 Квадрат числа 1996 равен Tj 3999984 ГТ] 3994016 Гз1 3984016 |Т| 3988016 ПП 3994084. 091 Турист прошел 10 км со скоростью 5 км/ч и проехал на велосипеде км со скоростью 20 км/ч. Средняя скорость его передвижения равна Л 11 км/ч [71 15 км/ч ПП 13 км/ч ПП 10 км/ч. 1 14 км/ч 10| Выражение 27ху2 - 27у3 - 9х2у + х3 при а; = — 1,5, у = 1,5 равно [Г] 216 [Т] -216 Qf] 27 JT] -27 |Т] -81. Числа а = 5л/2, Ь = 4л/3~, с = Зд/б удовлетворяют неравенствам 1 \а < Ь < с file- < Ь < а \ < а < с а<с<Ь |5 с < а. 12| Число |4л/3 - 7| + |5л/2 - 7| равно [Т] 4%/3-5л/2 [Т] 5л/2-4л/3 [Т| IT] 14-4л/3 + 5л/2 IT] -14 Наименьшее общее кратное чисел 2100 и 6930 равно Г1 69300 ПЛ 693000 [71 1455300 JTI 2100 Г 21000. Разность у (л/3 - 2K - \/7 + 4л/3 равна Т| 2 + 2л/3 [г] 4 ПП -2л/3 [Т] -4 111 2л/5. 26
151 Количество целых чисел, одновременно принадлежащих проме- промежуткам, определяемым неравенствами \х\ < 2,5, \х + 1| < 3, равно ГП 1 ГТ1 2 3 4 4 5 5. Выражение — ——- при а = 2,5, Ь — -4,5 равно а-2 - Ъ-2 7-2 3 - 4 7 5 1-. Число (EV5)/3 + (З'/'О)'5) .(±-yJ?\ равно m 2 — 2 — 15 '' 15 15 15 l- mi 2 5" 181 На одном станке можно изготовить партию деталей за 4 ч, на дру- другом — за 6 ч. Если включить оба станка, то эта партия будет изготовлена за Г] 2,4ч ЩЗч [з]2,5ч [1] 2,6 ч |5| 5 ч. Если одно число увеличить на 20%, а вдвое большее число — на -о, то сумма этих чисел увеличится иа 1 25% 30% 15% 4 20% 15 I 10%. 2О| Число C - 2\/3) V21 + 12v^ равно 3 |2| -3 3 3,5 4V3 \5\ -4л/3. „15 2 1 Если а = -, то выражение а -\—- равно а 6 а1 ^ ill 2,5 61 36 47 25 _47 г1 25 36 I—I 36' т. у/~а —а , ~ Выражение -==—, где а ф 0, равно 1 1- у/а '—' у/а 51 ие существует. 27
23J х 1 , х+2у Если — = -, то дробь равна 3} 5 у - Ъх 13 JJ f ill -3'25 Ш 3 4 [5J -4,5. 241 После двух повышений на одно и то же число процентов зарплата выросла на 69%. Каждый раз она повышалась иа 1 29% 30% [31 31% U 34,5% Ы 33,5%. 251 Выражение у/а2 - Та + 13 - у/9 - 6а + а2 при а = 3,5 равно / 1 \ -hr не существует |3| 1,5 |4| -0,5 |5| 0,5. 261 Если х — у = 1,2, ху = -0,52, то величина х2 + у2 равна [Г\ 2,58 |Т| 0,8 |Т| 0,6 |Т| 2,42 ПП 0,4. 27| Число 0,125 • B,13 + 12 • 2,1 • 1,9 + 1,93) равно ITll ГТ12 Гз1 4 [Ti8 ПП16. 281 Остаток от деления многочлена я3 + х2 + х — 1 на х + 2 равен 1 -3 2 -4 13 1 -5 14 -6 Выражение (^ + ^ - 2^ *" ¦ (Ь~1 - а'1)'1'2 равно I При условии |а| > 1 выражение «/1 \- -т - i/Ц 1- -? ^""" V а а V а а* 1-2 2 2 3- 4 — 50. 28
Перед выполнением письменной контрольной работы по теме № 1 весь- весьма полезно прорешать ряд заданий, предлагавшихся ранее на вступитель- вступительных экзаменах. Для успешного решения заданий обязательно учтите следу- следующее: 1. При выполнении заданий 1, 4, 5 необходимо заметить полные ква- квадраты числовых выражений вида 10 - 2\/21 = (л/3 - \/7J. Нужно также учитывать, что у/а* — \а\, тогда, например, у(\/3 — л/lJ = \П — \fb. 2. Для решения задания 6 выполните деление "уголком". 3. Для решения задания 9 следует аккуратно воспользоваться формулой куба разности (а - ЬK = а3 - ЗаЧ + ЗоЬ2 - Ь3. 4. Для решения задачи 10 необходимо составить систему трех линейных уравнений, приняв за неизвестные x,y,z массы сплавов I, П и Ш типов, четко представляя, что если в я г сплава I медь и свинец входят в весовом отношении 7 : 2, то это означает, что меди содержится |х г, а свинца - хх г. Следует иметь в виду, что из полученной системы трех уравнений не удастся получить однозначные значения величин х, у и г, так как сумма этих уравнений представляет собой тождество и, следовательно, из этой системы можно выразить две неизвестные через третью, например в виде х = gZ, у = 172, а это в свою очередь означает, что сплавы следует брать в весовом соотношении 2:1:5. Ниже приводятся контрольные задания с двойной нумерацией (напри- (например, 5.0). Первое число E) указывает номер задания в выполняемой Вами контрольной работе, второе число @) указывает номер Вашего варианта. 1.Вычислить 1.0 V& - 2Vl5 + ^/7,2183 + 30 7,218-2,782 + 2,7823 - VZ + л/3 - 10 1.1 i/7 - iy/3 + V7,523 + 27-7,52 1,48+ 1,483 + у/3 - 28 1.2 \/19 - 6\/Ш - ^5,473 + 4,533 + 30 5,47 4,53 + 5 1.3 \/49 - 20л/б - fyl, 233 + 91,231,77 +1,773 -11-3 1.4 %/20 - 6\/lT - $/33-7,2-3,8 + 7,2s + 3,83 + 7 1.5 %/l7 - 12л/2 +1/24-4,63,4 + 3,43 + 4,63 - 2 1.6 ^/5,7963 + 30-5,796-4,204 + 4,2043 + \/5 - 2л/б + л/2 + y/S - 4 1.7 v/27 4,82-4,18 + 4,823 + 4,183 + y/5 - 1/6 - 2y/E - 21 1.8 \/l4 - 4\/lO - $/4,373 + 5,633 + 30 4,37-5,63 + 10 29
1.9 л? 2.Решить "текстовую" задачу 2.0 Сплав меди и цинка весом в 24 кг при погружении в воду потерял о в своем весе 2- кг. Определить количество меди и циика в этом сплаве, если 1 2 известно, что медь теряет в воде 11-% своего веса, а цинк — 14-% своего веса. 2.1 Две шкурки ценного меха были проданы с прибылью в 40%. Ка- Какую часть от общей стоимости составляет первоначальная цена шкурок, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй 50%. 2.2 Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с 30%-ным содержанием никеля? 2.3 Двое рабочих за смену вместе изготовили 72 детали. После того, как первый рабочий повысил производительность иа 15%, а второй иа-25%, вместе за смену они стали изготовлять 86 деталей. Сколько деталей изго- изготовляет каждый рабочий за смену после повышения производительности труда? 2.4 Сплав меди с серебром содержит серебра иа 1845 г больше, чем меди. Если бы к нему добавить некоторое количество чистого серебра, по массе равное - массы чистого серебра, первоначально содержащегося в сплаве, то получился бы новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Ка- Какова масса сплава и каково первоначальное процентное содержание в ием серебра? 2.5 Автомобиль и гараж были проданы с прибылью в 15—%. Какую _ 18 часть общей стоимости составляла первоначальная цена гаража, если от продажи автомобиля прибыль составила 12,5%, а от продажи гаража было 2 получено прибыли 16-%? 2.6 Смешали молоко с жирностью 5% с "молоком-обратом", имею- имеющим жирность 0,4% и получили 46 л молока с жирностью в 2,5%. Сколько литров "молока-обрата" было взято? 2.7 В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа, в оставшейся руде содержание железа повысилось иа 20%. Какое количествр железа осталось в руде? 2.8 Из молока, жирность которого составляет 5%, изготовляют тво- 30
рог жирностью 15,5%, при этом остается сыровотка жирностью 0,5%. Сколь- Сколько творога получается из 1 т молока? 2.9 Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобождают его от значительной части воды. Исследования показали, что нектар обычно содержит 70% воды, а полученный из него мед содержит только 17% во- воды. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения 1 кг меда? З.Решить задачу 3.0 Найти двузначное число такое, что если его разделить на произве- произведение цифр, из которых оно составлено, то в частном получится —, а если о вычесть из него 9, то разность будет также двузначным числом, которое отличается от искомого числа только порядком следования цифр. 3.1 Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 4 и в остатке 3. Если же это число разделить на произведение его цифрдо получится в частном 3 и в остатке 5. Найти это число. 3.2 Ученику надо было найти произведение числа 136 на некоторое двузначное число, в котором цифра единиц вдвое больше цифры десятков. По рассеяности он поменял местами цифры двузначного числа, отчего и получил произведение на 1224 больше истинного. Чему равно истинное произведение? 3.3 Если неизвестное двузначное число разделить на число, изобра- изображенное теми же цифрами, но в обратном порядке, то в частном получится 4 и в остатке 3. Если же искомое число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 8 и в остатке 7. Найти это число. 3.4 Если бы ученик правильно перемножил два написанных на доске числа, то получил бы в произведении 4500. Но, переписывая с доски сомно- сомножители, в одном из них ученик вместо последней цифры 5 написал цифру 3 и после умножения в результате получил 4380. Какие числа должен был перемножить ученик? 3.5 Если двузначное число разделить иа сумму его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 7. Если затем взять сумму квадратов цифр этого числа и 'вычесть из нее произведение тех же цифр, то получится первона- первоначальное число. Найти это число. 3.6 Задумано целое положительное число. К его цифровой записи приписали справа какую-то цифру. Из получившегося нового числа вычли квадрат задуманного числа. Разность оказалась в 8 раз больше задуманного числа. Какое число задумано и какая цифра была приписана? 31
3.7 Какое двузначное число меньше суммы квадратов его цифр на 11 и больше их удвоенного произведения на 5? 3.8 Найти два двузначных числа А и В по следующим условиям. Если числа Л написать впереди записи числа В и полученное четырехзначное чи- число разделить на В, то в частном получится 121. Если же число В написать впереди числа А и полученное четырехзначное число разделить на А, то в частном получится 84 и в остатке 14. 3.9 Найти два двузначных числа, обладающих свойством: если к большему искомому числу приписать справа нупь и за ним меньшее чи- число, а к меньшему числу приписать справа большее число и затем нуль, то из образовавшихся таким образом двух пятизначных чисеп первое будучи разделено на второе, дает в частном 2 и в остатке 590. Кроме того, из- известно, что сумма, составленная из удвоенного большего искомого числа и утроенного меньшего, равна 72. 4.Выяснить рационально или иррационально заданное число \/2 \/б-4л/2 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 . -г ¦ ¦ -_ \/5-2>/б 2>/б+5 5.Решить уравнение 5.0 ч/4х2 - 12а; + 9 - \2х + 3| = 4.1 4.3 4.5 4.7 4.9 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 \/4х2 + 12а; + 9 + \2х - 3| = 6 + х - 4а; = 2 - 2 - 6х + 9 - |а; + 3| = 2а; + 2| = 2х + 9 + |х - 3| = 2х у/х2 — 4х + 4 ¦ 32
5.7 \/x2 - 10a- + 25 + \x + 5| = 2x 5.8 ч/а;2 + Юж + 25 - |i - 5| = 10 5.9 \/x2 - 2x + 1 + %/a;2 + 2x + 1 = 2x 6.Упростить о3 + 4a2 + 10a + 12 a3 - 3o2 + 8a з 2 + 2a + 16 2 + 2 6 6.0 6.1 6.2 6.3 a3 - a2 + 2a + 16 ' a2 + 2a + 6 a3-a2-a-2 a3 - 2a2 + 2o - 1 a2-\-a a3 + l a3 + a2 + a a2 - За + 2 а3 + За2 + 4а+ 2 а3 + 2а2 + 2а + 1 а- 1 а3- 1 а3 + 2о2 + 2а ~ а + 1 а3 + о2 + а + 1 а3 + За2 + За + 2 а- 1 а3-1 а3 + 2о2 + 2а а3 - 1 а + 2 а + 1 '4 а3 + 2о2 + 2а + 1 ' а3 + За2 + 4а + 2 о - 1 а3 + а? + а а3 + 1 а2 - За + 2 6.5 а3 - 2а2 + 2а - Г а3 - о2 - а - 2 а2 + 2а + 6 а3 - а2 + 2а + 16 о2 + а - _ и. л ^v* -J- v п. — w -f- ьи, *Х" ±и а3 - За2 + 8а а3 + 4а2 + 10а + 12 6 7 Q3 + «2 a3- 1 а2 + 2а а3 + За2 + За + 2 ' а3 + а2 + а + 1 " а2 - а -г3 + а + 2 о4 + За3 + За2 + 2а 6.8 а3 + За2 + За + 2 а4 + о2 + 2а а2 - о + 2 о2 + а + 1 а' + а' + 2а о"+ 8 о' + а + 1 а3 + За2 + За + 2 ' (а2 + а)(а2 -2а+ 4) ' а2-а + 2 7.Вычислить 7.0 7.1 7.2 , при х = 5, у = 20 -6838 33
II-1 73 .при* = -,, = 74 V7M l^W'VT, 4 при x = 5, у = 2 4 i 3 \ 'y ' 7.6 7.7 7.8 ,9 8.Упростить 8.0 ,прих = — ,у = 9 1 4 4 8.1 34
: ( J-=-r +1 - -7=== ) V V * - 1 yjx- \) 8.9 9.Вычислить x3 + ЗЬх - 2a при = Va + v/a2 9.0 a = 2,6=l 9.3 a = 3,b=3 9.6 о = 2,6=3 - V \/a2 + b3 - a Для следующих значений a и b: 9.1 a = 3,6=l 9.4 a = l,b=4 9.7 a = 2,6= 4 9.2 a = 4,6=l 9.5 a = 2,6=2 9.8a = 2,6=5 35
9.9 a = 3,6 = 2. 1О.Решить "текстовую" задачу" 10.0 Имеются три сплава, составленные из меди, свинца и иикеля. В первый сплав входят только медь и свинец в весовом отношении 5 :1, во второй сплав входят только свинец и никель в весовом отношении 2 : 3, в третий сплав входят только медь и никель в весовом отношении 1 :2. Возможно ли из этих трех сплавов составить новый сплав, так, чтобы в этом новом сплаве медь, свинец и никель содержались в весовом отношении 11:4:5? Если это возможно, то в каком отношении надо взять эти смеси? 10.1 Имеются три сплава, составленные нз золота, серебра и плати- платины. В первый сплав входят только золото и серебро в весовом отиошении 5 : 1, во второй сплав входят только серебро и платина в весовом отношении 8 : 7, в третий сплав входят только золото и платина в весовом отношении 7 : 2. Возможно ли из этих трех сплавов составить новый сплав, так, что- чтобы в этом новом сплаве золото, серебро и платина содержались в весовом отношении 4:3:3? Если это возможно, то в каком отношении надо взять эти смеси? 10.2 Имеются три сплава, составленные из меди, алюминия и магния. 8 первый сплав входят только медь и алюминий в весовом отношении 3 : 1, во второй сплав входят только алюминий и магний в весовом отиошении 7 : 1, в третий сплав входят только медь и магний в весовом отношении 3 : 5. Возможно ли из этих трех сплавов составить новый сплав, так, чтобы в этом новом сплаве медь, алюминий и магний содержались в весовом отиошении 6:7:2? Если зто возможно, то в каком отношении надо взять эти смеси? 10.3 Имеются три сплава, составленные из олова, свинца и висмута. 8 первый сплав входят только олово и свинец в весовом отношении 10 :1, во второй сплав входят только свинец и висмут в весовом отношении 1: 2, в третий сплав входят только олово и висмут в весовом отношении 2:1. Возможно ли из этих трех сплавов составить новый сплав, так, чтобы в этом новом сплаве олово, свинец и висмут содержались в весовом отношении 12:3:5? Если это возможно, то в каком отношении надо взять эти смеси? 10.4 Имеются три сплава, составленные из магния, железа и хрома. В первый сплав входят только магний и железо в весовом отношении 5 : 1, во второй сплав входят только железо и хром в весовом отношении 5 : 1, в третий сплав входят только магний и хром в весовом отношении 1:1. Возможно ли из этих трех сплавов составить новый сплав, так, чтобы в этом новом сплаве магний, железо и хром содержались в весовом отиошении 36
11:7:2? Если это возможно, то в каком отношении надо взять эти смеси? 10.5 Имеются три сплава, составленные из золота, серебра и плати- платины. В первый сплав входят только золото и серебро в весовом отношении 5 : 4, во второй сплав входят только серебро и платина в весовом отношении 3 : 2, в третий сплав входят только золото и платина в весовом отношении 1:1. Возможно ли из этих трех сплавов составить новый сплав, так, что- чтобы в этом новом сплаве золото, серебро и платина содержались в весовом отношении 5:4: 1? Если это возможно, то в каком отношении надо взять эти смеси? 10.6 Имеются три сплава, составленные из серебра, золота и меди. В первый сплав входят только серебро и золото в весовом отношении 1: 2, во второй сплав входят только золото и медь в весовом отношении 2: 1, в третий сплав входят только серебро и медь в весовом отношении 1: 6. Возможно ли из этих трех сплавов составить новый сплав, так, чтобы в этом новом сплаве серебро, золото и медь содержались в весовом отношении 3:4: 13? Если это возможно, то в каком отношении надо взять эти смеси? 10.7 Имеются три сплава, составленные из олова, алюминия и маг- магния. В первый сплав входят только олово и алюминий в весовом отношении 1: 4, во второй сплав входят только алюминий и магний в весовом отноше- отношении 2 : 3, в третий сплав входят только олово и магний в весовом отношении 3 : 2. Возможно ли из этих трех сплавов составить новый сплав, так, что- чтобы в этом новом сплаве олово, алюминий и магний содержались в весовом отношении 5:2:3? Если это возможно, то в каком отношении надо взять эти смеси? 10.8 Имеются три сплава, составленные из железа, цинка и никеля. В первый сплав входят только железо и цинк в весовом отношении 5:1, во второй сплав входят только цинк и никель в весовом отношении 2 : 3, в третий сплав входят только железо и никель в весовом отношении 1 : 2. Возможно ли из этих трех сплавов составить новый сплав, так, чтобы в этом новом сплаве железо, цинк и никель содержались в весовом отношении 8:3:9? Если это возможно, то в каком отношении надо взять эти смеси? 10.9 Имеются три сплава, составленные из алюминия, вольфрама и цинка. В первый сплав входят только алюминий и вольфрам в весовом отношении 3 : 2, во второй сплав входят только вольфрам и цинк в весовом отношении 4 :1, в третий сплав входят только алюминий и циик в весовом отношении 3 : 4. Возможно ли из этих трех сплавов составить новый сплав, так, чтобы в этом новом сплаве алюминий, вольфрам и цинк содержались « весовом отношении 9:4:7? Если это возможно, то в каком отношении надо взять эти смеси? 37
§5. Контрольные задания по теме № 2. Простейшие функции, преобразования графиков Перед выполнением данной контрольной работы следует изучить раз- разделы 3 и 4 пособия [1], прорешать приведенные в пособии примеры и зада- задания и провести самотестирование по теме Т-02. [Простейшие функции) 011 Из прямых А) х - 2у = 3, В) 2х + 2у = 5, С) -2х D) 2х + 4у = 6 параллельны Щаив ГЛаис HIahd ITIbhd 02| Угловой коэффициент прямой, изображенной на рисунке, равен О ? ? О О 031 Точки А(\; 3) и ВB; 5) расположены относительно прямой у = \/2 • х + \/з следующим образом: 111 обе - ниже | 2 | А - выше, В - ниже |~4| обе - выше |Т] А - на прямой, В - ниже. 3J Л - ниже, В - выше Г 3 1 041 Значение функции f(x) = —¦=. ¦= при х — 2 —¦J у 7 - х V5- х ГГ]\/7+\/5 —¦=. у 7 Гз~|-/7-\/5-2 1Т|-/7-2 равно 051 Прямая у = кх-7,7, параллельная прямой у = 80х+79 проходит через точку Т\ @,125; 2,2) ПП A;3) [Ц @,3; 0,1) |Т| @; 7) \Т\ @,1; 0,3). 061 Сумма нулей функции у = (х- у/3+ у/2)(\/3 + \fl + x) равна [Л -2\/2 ГТ] 2^3 [Г) 5-2^2 ГТ1 5 + 2^2 ГТ! 5. Расстояние от точки пересечения прямых у = 0,6х + 5,6 и х + Зу = 10 до начала координат равно Г7] 2>/3 ГУ! 2\/б ГТ1 л/26 ITI 4 IT] 5. 38
081 Число у/5 является нулем функции у = — 2х2 + Ьх + 5, если Ь равно ПП 1 ПЛ v^ [Г] V5 Н 0,5^5 ГГ1 у/Е. 091 Расстояние между точками пересечения графика функции у = 3 - |5х - 2| с осью абсцисс равно [Т] 0,6 Ш 1,2 [Т] 0,3 JTI 0,5 Щ 0,8. Нечетной среди приведенных функцнй является 1-х 1 + х |?| х ill Гипербола, см. рисунок, имеет уравнение m , 1 m —x — 1 п х + 2 1 х-3 х-2 x-2 х-2 12 j Графики функций у = и у = \х - а\ не имеют общих точек при всех а из множества Т|(-оо;-3] fj](-oo;3) |Т|(-3;+оо) Гв][3;+оо). Функция у = —zx2 + -х — 1 достигает наибольшего значения при | х = — [TJ х — - \ъ\ х = -- [Т] х = - \ь\ х = 2. 2 2 ^~J 4 ^~~^ 4 14| Расстояние между точками пересечения прямой у = 0,Ьх + 1 и 4 [J] \/5 |Т] 3\/5 JT] 3 [Т] 5>/3. гиперболы у — - равно х . . 15 Гипербола у = — проходит через точку @,0375; 53, C)), если X = 2 [TJfc = 39
На рисунке изображена парабола у = ах2 + Ьх + с, у которой коэффициенты удовлетворяют условиям ГГ1 о<0, Ь>0, с<0 ПП а>0, Ь<0, с>0 [Т] а < О, Ь > О, О О JT] о>0, Ь>0, с<0 ПП о < О, Ь < 0, с < 0. Расстояние от вершины параболы у = —х2 - 4х -1 до прямой х = 3 равно Til [?12 Гз1з 1о| Четная функция, совпадающая с функцией у = х(х — 1) при х > О, задается формулой П~1 „ _ |_/_ _ 1\| ПН ,, — г2 А- 1т1 I i. 1 у — XIX — II 1^1 У — X -|- X у= \x\-x* у = х*- \х\ 19 Обратной к функции у = является функция х + 1 201 Наибольшее значение функции i/ = -х2 + 2х + 1 на промежутке [0; 3] равно 11 22 33 44 55. 211 Через точки A; 4), (-3; 0), (—1; 0) проходит парабола 221 Все значения х, при которых график функции у = |х—11 находится —^ 2 ниже гиперболы у = —, образуют множество X 5 [Т]B;+оо) ППA;+оо) [Г] (-оо; 2) |Т|@;2) [Ц E;+оо). *~ 40
231 Все значения 6, при которых парабола у = х2 - 2Ьх + 5 целиком расположена выше прямой у = 1, определяются условием Т]Ь<±2 -2 [з]ь>2 (Т1-2<Ь<2 ПП|Ь|>1. 241 Расстояние между точками пересечения параболы у = 1 — х2 с прямой у = а составляет у/5, если а равно \Т\ -0.25 [г] -1,5 ПГ| 1,5 ГТ1 -2,25 ПП 2,25. Т я 251 Прямая у = —х + 3 при симметрии относительно прямой у = переходит в прямую —X _ 3 4 y = -tx~4 Л 1 I Q ill г/ = -3х + з И У=-|*-3. 261 Площадь фигуры, заключенной между графиками функций у =\х + 2\ну = А- \х\, равна ППб [г! 2 (Т|7 (Т|4 |Т|5. 271 Параболы 2/ = х2-1иу = Зя2 — 2ax + 1 имеют только одну общую точку, если i i I | Г 4 -2<а<2 [Т]а>2 |Т]а<-2 [Т|а = 2. 281 Все значения а, при которых парабола у = i( 1—i) ие пересекается с прямой у = a — х, определяется условием г—1 г—| а>0. [jj \а\ > 1 JTJ а < 1 [з] |а| < 1 [4} а > 1 291 Парабола у = х2 - 4х+7 при симметрии относительно точки A; 1) переходит в параболу [Т] ?/ = -х2 -1 [jF]j/ = a;2-l [Т] у = х2 + 4х + 7 у = 1 - х2 301 Площадь фигуры, определяемой условиями \х\ + \у\ < 2 и у > \х\, равна ill 2| 2 [3 3 Ш 4 |5| 2,5. 41
Для успешного выполнения контрольной работы № 2 следует к каждо- каждому из заданий воспользоваться указаниями, приведенными ниже. 1. Использовать метод сложения для решения системы уравнений, пред- предварительно избавившись от знаменателей. 2. Воспользоваться геометрическим смыслом параметров а и 6 линей- линейной функции у = ах + Ь. 3 и 4. Использовать "кусочио-аиалитическую" форму задания функции, избавившись от модулей. 5.-Выполнить задание графически. 6. Заметить, что аргументы у функций в левой части соотношения вза- взаимно обратны, использовать замену (например, = t, выразить х через х t) и записать второе недостающее соотношение для нахождения f(t), заме- заменив аргумент t на -. 7 и 8. Задания следует выполнить графически, построив иа одной ко- координатной плоскости графики функций у = f{x) к у = а. 9. Воспользоваться графическими соображениями, построив указан- указанную область. Для нахождения min(x + у) построить прямую х + у = а и перемещая ее на плоскости параллельно самой себе, определить минималь- минимальное значение а. 10. Построить график функции используя кусочио-аиалитическое за- задание функции. 1 .Найти координаты точки пересечения прямых ,„ 26,751 6,751 23,249 3,249 у 3,249 3,249 у 6,751 6,751 _ 12,698 2,698 12,302 2,302 У~ 2,302 2,302* И2/~ 2,698 2^598* _6,302 3,302 _ 5,698 2,698 У ~ 2,698 2,698Х " У ~ 3,302 3,302* ,, 25,572 4,572 23,428 2,428 у 2,428 2,428 у 4,572 4,572 ,. 29,579 5,579 26,421 2,421 1.4 у = — х и у = —¦ х У 2,421 2,421 у 5,579 5,579 42
_ 33,305 6,305 29,695 2,695 ' У~ 2,695 2,695Х "У~ 6,305 бТзОб* _ 39,315 4,315 37,685 2,685 У~ 2,685 2,685Х И2/~ 4,315 4,315х 33,506 3,506 32,494 2,494 17 it = —— - х и ?/ = —— ' т ' J 2,494 2,494 у 3,506 3,506 _ 41,219 5,219 36,781 0,781 У~ 0,781 0,781Х И2/~ 5,219 5,219Х _ 27,737 3,737 24,263 0,263 ' У~ 0,263 0,263Х "У~ 3,737 З/ТЭТ^ 2.При каких значениях т данные прямые а) не имеют общих точек, б) совпадают? 20 4х + 2(т + 1)у = 6 к 21 2х + ту = 3 и = -3 ' (m + 2)z + 4y = -3 22 2х + (т-1)у = 3 и 2х + (ш+1)г/ = 3 и {т + 1)х + 4у = -3 ' (m+3)x + 4j/ = -3 х + ту — 1,5 и x+(m-2)j/ = 1,5 и (ш+1)х + 2у = -1,5 " (m-l)x+2j/ = -1,5 х+(т + 2)у = 1,5 и 2х + Bт + 6)у = 3 и ( )х + 2у = -1,5 ' Bm + 8)x + 4j/ = -3 2x + 4mj/ = 3 и 2x + 3mj/ = 3 и D + 2) + 4 = -3 (Зт + 2)а: + 4у = -3 З.Построить график функции 3-0 у = 4—г 3.1 « = -?±1. 3.2 у = 3.3 у=, , , ,ч 3.4 у = т^—г 3.5 2/ = 3.8 « = т — 1) т* — т т2 — 1 I I х^ + х 43
4.Построить график функции 4.0 у = х - |х - 1| 4.1 у=\х\-(х + 1) 4.2 у = х-\х + 1\ 4.3 у= |х+1|-(х-2) 4.4 у = \х-1\-{х + 1) 4.5 у = (|jc| + 1) - (л: - 1) 4.6 у = (|*|-1)-(* + 1) 4.7 y = (|j|-2)-(x + 2) 4.8 у = (\х\ + 2)-(х-2) 4.9 у = \х + 1| • (х - 1) 5.Найти область значений функции 5.0 у=\х-1\ + \х+1\,еатх€[-2;3] 5.1 у = |х - 2| + |х + 2|, если х € [-3; 4] 5.2 у = |2а;-1| + |2х + 1|, если х € [-1; 2] 5.3 у = |2х-2| + |2х + 2|, если х € [-2; 4] 5.4 у = |х-3| + |х + 3|, если хв [-4; 5] 5.5 у = |2ж-3| + |2х + 3|, если х € [-2;3] 5.6 j/ = |3x-2| + |3a; + 2|, если а; е [-1; 2] 5.7 г/=г|х-4| + |ж + 4|,еслихе[-5;6] 5.8 у = \4х - 3| + |4х + 3|, если х € [-1; 2] 5.9 j/ = |4х - 5| + |4х + 5|, если х € [-2; 3] б.Найги функцию /(х), удовлетворяющую условию при всех допусти- допустимых значениях х 6.0 /(?±l)_3./(-i-) = x + 2 6.1. /(?z2) + 2./(^)-x+l 6А 44
6.6. 6-7. /(^) + 5/() 6.8. f{l±±)-2-n7?ri) 7.Выполнить задание 7.0 Найти все значения параметра а, при которых графики функций у = 2|j- + 1| + \х - 6| и у = 2\х - 2| + х + о пересекаются ровно одни раз. Указать абсциссу точки пересечения. 7.1 Найти все значения параметра а, при которых графики функций у = 2\х + 2\ + \х - 7\ и у = 2\х - 3\ + х + а пересекаются ровно два раза. Указать абсциссы точек пересечения. 7.2 Найти все значения параметра а, при которых графики функций у = 2\х + 3| + |х - 5| и у = 2\х - 4| + х + а пересекаются ровно два раза. Указать абсциссы точек пересечения. 7.3 Найти все значения параметра о, при которых графики функций у = 2\х + 4| + \х - 3| и у = 2\х - 2\ + х + а пересекаются ровно два раза. Указать абсциссы точек пересечения. 7.4 Найти все значения параметра а, при которых графики функций у = 2|х| + |х—3| иу = 2\х—2\+х+а пересекаются ровно один раз. Указать абсциссу точки пересечения. 7.5 Найти все значения параметра а, при которых графики функций у = 2\х + 1| + \х - 4| и у = 2\х - 3| + х + а пересекаются ровно три раза. Указать абсциссы точек пересечения. 7.6 Найти все значения параметра о, при которых графики функций у = 2|х| + |х-3| и у — 2|z-l| + z+a пересекаются ровно один раз. Указать абсциссу точки пересечения. 7.7 Найти все значения параметра а, при которых графики функций у = 2\х\ + \х-7\ иу = 2|х-3|+х+а пересекаются ровно один раз. Указать абсциссу точки пересечения. 45
7.8 Найти все значения параметра а, при которых графики функций у = 2\х + 5| + \х - 3| и у = 2\х - 1| + х + а пересекаются ровно два раза. Указать абсциссы точек пересечения. 7.9 Найти все значения параметра а, при которых графики функций у = 2\х + 1| + \х — 2| и у = 2\х - 1| + х + а пересекаются ровно три раза. Указать абсциссы точек пересечения. 8.Для каждого значения параметра а указать число точек пересечения прямой у = а и графика функции 8.0 у = х2 + Ъх + \Зх+Щ 8.1 у = х2-\\ 8.2 у = -х2 + Зх + \х - 4| 8.3 у = -2х2 + 5х+ \3х - 3| 8.4 у = х2 + 4х- \2х + 4\ 8.5 у = Зх2 + 6х + \2х - 2| 8.6 y = 2x2-ox-\3x-Z\ 8.7 у = х2 - Зх - \х - 3\ 8.8 у = х2 + Зх-\х+1,5\ 8.9 у = х2 + Зх - \2х + 2| 9.В заданной области найти min(x + у) 9.0 у>\х-2\ + \х+2\ + х 9.1 y>|i-l| + |i + l| + x 9.2 у> \2х-4\ + \2х + 4\ + х 9.3 у > \х - 3| + \х + 3\ + х 9.4 у> \х + 3\ + \2х-1\ + х 9.5 у > \х+2\ +\2х - 1\ +х 9.6 у>\х + 4\ + \х-4\ + х 9.7 i/> |Зх+1|+|х-3| + х 9.8 у>\4х + 1\ + \х-4\ + х 9.9 у > \2х + 3| + |3х - 2| + х Ю.Посгроить график, найти множество значений функции ,а.,. ,02,- .O3, 5|х-3| + 2 5-1,-21 ,„41x1 2i + l у Зх + 4 у ж — 3 46
§6. Контрольные задания по теме № 3. Решение алгебраических уравнений Перед выполнением этой контрольной работы следует изучить раздел 5 пособия [1], прорешать примеры и задания и провести самотестироваиие по теме Т-03. т-ю| oil | Простые уравнения] Сумма корней уравнения Зх2 — Ъх - 7 = 0 равна m 7 [л -s m I m -I m 5. 021 Велосипедист проезжает 60 км со скоростью 12 км/ч. Если он увеличит скорость на 25%, то время на этот путь сократится на Т| 30% [У] 25% |_3J 20% [_4 24% 5 35%. 031 Сумма всех корней уравнения (х - 2)(х2 + (y/xf - 2) = 0 равна in 1 гт] 2 пи з m -1 пи -2. ЫЕсли величины х и у связаны соотношением х2 + 2t/2 = Зху, то наибольшее значения отношения — равно 1 1 2 2 3 3 4 4 051 Сумма координат точки пересечения прямых 2х + Зу = — 2 и Зх + 2у = —8 равна Л 1 2 ПЛ -2 [Т] 4 ПЛ -4. 061 Числа X! = -1, х2 = n/3-I являются корнями уравнения [Г [б! 47
071 Велосипедист, проехав 60 км, повернул обратно и, увеличив ско- скорость на 20% против прежней, вернулся в исходный пункт через 5,5 ч после начала поездки. Его первоначальная скорость равна [Л 24 км/ч ГгП 25 км/ч (Т| 18 км/ч [71 22 км/ч ПЛ 20 км/ч. 08} Сумма корней уравнения \2х + 3| = 4 равна 11 2-1 3 3 4 4 5 -3. Чтобы получить 13%-й раствор соли из 4 л 15%-го раствора, к нему 9%-го раствора нужно долить в количестве ГП 1 л ППзл ГТ| 4 л ПП 5 л. *Q| Произведение корней уравнения х2 + у/х2 — 12 = 0 равно 1-16 2-12 3-9 4 12 5 1. Щ Расстояние между корнями уравнения 2Vx2 — 6х + 9 = х равно rrii m 2 (Из гт14 пне. Число корней уравнения л/х ¦ (х3 + 8) = 0 равно 1 1 2 2 3 3 4 4 ioT „ Г Зх + 2у = 2, А«* I Система уравнении ^ имеет бесконечное мно- —J r [ оа; + у = 1 жество решений, если а равно ПЛ 1 ПИ 2 [a] -i,5 \Т\ i,5 171 -2. Все решения уравнения \/(tg30o - 2)х = х образуют множество Т] х > 0 [?] х = 0 [Т]х<0 [TJ ^ = л/3 Шиет решения. 48
Уравнение \/-Зх + 3 = x - 1 имеет решение \T\ xY = 1, х2 = -2 [Т] a-i = -2 [Т| Д1 = Число корней уравнения г--. = х3 равно з1з m 5. ill Корень уравнения 1 — у/х 1 + равен Ы\/2-1 Уравнение, корни которого на 2 больше корней уравнения 2х2 + х - 7 = 0, имеет вид Т1 2х2-7ж-1=,0 [Г] 2х2 + 9а: + 3 = 0 Гз1 2х% - 9х - 3 = О 5 2z2 - 7x + 1 = 0. корень На промежутке [тг; \/Yf\ уравнение |3 — x| • |x + 4| = 0,125 l имеет (Tii [2I2 плз m 4 nri 5. Оба корня уравнения 2х2 - 2ах + За — 4 = 0 равны 1 при Т1а = 1 Гг1а = 2 Гз1а = 3 1Т|а = 4 1По = 5. 2Ц Уравнение с корнями, обратными корням уравиения Зх2 - 4х — 5 = 0, имеет вид [Т] Зх2 + 4ж-5 = 0 |Т] 3z2 + 4z + 5 = 0 \Т\ Ъх2 - [Т| 5х2-4х-3 = 0 ГвЯ 5ж2+4х-3 = 0. Если корни уравиения Зх2 — Зх — 4 = 0 увеличить втрое, то полу- получится уравнение Л х2 -х- 12 = 0 ГП х2-х-3 = 0 з| 9s2 - 9а - 4 = 0 [Т| 9ж2 - Зх - 4 = 0 ПЛ ж2 - Зх - 12 = 0. 49
231 в уравнении (х2 - 2х + 2J - х2 + 2х - 22 = 0 произведение корней равно Т| -6 2 [Т] 3 [4} -5 [б] -3. 24 j Если парабола i/ = -2х2 — ах + 6 проходит через точки (—3; —5), ^Т; 5), то о и 6 равны соответственно [71 -4,3 Гг1 -3,-4 ПП 4, -3 ПП 3,4 ПП -3,4. 251 Из равенства х2 - 6х + у2 + 4у +13 = 0 следует, что величина х + у равна \l\ 1 [2| 2 Гз1 -1 [4] —2 |5| невозможно определить. 261 Расстояние между корнями уравнения х2 — Ах — 8 = а равно 4, если а равно 1-8 22 3-4 44 5 -10. 27| Все значения о, при которых система уравнений у = —х + а, х2 + у2 — 3 имеет решения, образуют множество Н [-1; 1] \2\[-у/3;у/Щ [7] [-ч/б; л/§] [Т| [~>/5;л/5] Ц][0;3]. 281 Уравнение у/1 — х2 = \х — а\, где а > 0, имеет единственное реше- решение при а, равном ¦—¦ ¦—¦ m з m 5. 291 Уравнение |x2 — 4x - 1| = а имеет четыре различных корня, если [T]a = 10 [T|a = 8 [Tj a>6 4 0 < a < 5 5 таких значений о нет. 301 Все значения а, при которых система уравнений у = |х| — а, х2 + j/2 = 4 имеет 4 различных решения образуют множество Т](У2;2) (Т](-2;-У2) |1](-2;2) [7] (-n/2; n/2) [?]B;2У2). 50
Перечислим методические указания к заданиям контрольной работы. 1. Заметить полные квадраты в подкоренных выражениях. 2 и 3. Использовать метод замены. 4. Обратить особое внимание на ОДЗ и возможность появления по- стронних корней. 5., 6., 7. Использовать метод замены и выявить посторонние корни. 8 Избавиться от модулей рассмотрением двух случаев. 9. Составить уравнения или систему уравнений. 1 .Решить уравнение 10 х2 - 7х + ^/|20л/б - 49| + \/49 + 20-у/б = О 1 1 х2 - 9х + у/\4Оу/2 - 57| - \Л0\/2 + 57 = 0 1.2 х2 + 5х + 024ч/2 - 41| = \/24\/2 + 41 1.3 х2 + 9х + д/|52 - 30л/3| = \/30л/3 + 52 1.4 х2 + 6х - >J\\&-s/b - 36| + \/36 + 16л/5 = 0 15 х2 - Зх 1.6 х2 + 5х - ^/|6^ - 19| + \/19 + 6\/Гб = О 1.7 х2 + 6х + 031 - 8\/Г5| + \/31 + 8\/15 = О 1.8 х2 - 6х - \J\3Z - 8vT7j + \/33 + 8n/17 = О 1.9 х2 + 6г - ^/|8л/18 - 34| + \/34 + 24-уД = О 2.Решить уравнение 2 0 (х'2 + 5х-7)-Bх2 2.1 (х2 + 7х-1) Bх2 2 2 (х2 + Зх-11)-Bх2 + 6х-19) + 1 = 0 2.3 Dх2 + lQx - 7) (8х2 + 20х - 11) + 1 = 0 2.4 (У2 + j- - 13) ¦ Bх2 + 2х - 23) + 1 = 0 51
2-5 2.6 (a;2 + 10x-28) (a;2 + Юх - 22) +8 = О 2.7 (9x2 + 15ar-7)A8ar2 + 3Ox-ll) + l = C 2.8 Da;2 + 14x - 1) • (8x2 + 28a; + 1) + 1 = О 2.9 Da;2 + 6x - 11) • (8a;2 + 12x - 19) + 1 = О З.Решить систему уравнений f - -i. ? = ? к Г ? _ ? = 1 к з.о у а; a;2-y2=3 3.1 з.з 3.6 39 у a; 4 3.4 x2 + y2= 68 у + x 5 *2-j,2= 96 3.7 = 20 у х 4 x2-y2= 60 a; 5 = 104 3.2 35 3.8 у х 3 х2 - у2 = 32 х_У _8 У х 3 х2 + у2= 40 ?+ = ?! у a; 6 x2-y2= 140 у x 35 = 148 4.Решить уравнение 4.0 у/Ъ-х = \/3+2-а; 4.2. ^8-2х = х + \/2 - 3 4.4. \/2x~+~Z — х + у/Е - 1 4.8 v/0,5а; + 1 = 2а; + уД - 4 4.9. ^0,75а; + 4 = 4 + -у/7 - i 5.Найти рациональные корни уравнения 5.0 5.2 /аГ+2 4v/3 /х + 2 УхТЗ а; + 1 4-у/З /х + 3 5.1 5.3 52
\/2аЧ-Т 2х-1 54 -^ —+ 2х-1 <= л \/ЗТТ2 Зх Ъх + Т 3 4>/3 5.5 2x Зх 5.8 УЗх + 2 3 Зх+1 4уД < 7 у ¦"" i - . оД- J- Зх - 1 х/Зж + 1 ~ 3 Зх 5.9 УЗх Зх - 2 4ч/3 • + ¦ За;-2^ V3i" б.Решить уравнение 6.0 х2 — ж X — = 6 6.з 2-2-Д = 1 2а; + у/2х 4ж2 - х 6.6 f= = 3 6.9 2х-у^ 5аг2 - а; 2 6.1 ^ = 2 Х + у/Х 6.4 ^в2 За; — у За; 6.7 i^4 = l 2а;2-х Ex+y/x~ -у/5 7.Решить уравнение 7.0 у/х + 3 - 2>/ж + 2 - •/* + 6 - 4у/х + 2 = -1 + 2 - 2^ + 1 - у/х + 10 + 6\/аг + 1 = -2 7.3 у/х - V4x - 4 - \/4х + 8-v/a7T7T= -1 - д/4а; + 5 + д/16х + 16 = -2 8- \/4а; + 9- 2^/Ах + 8 = -2 76 \/х + 3 - 53
8.Решить систему уравнений .r2-|y-x|+2y2 = 8, 80 82 \ 2*-у = 5. 81 \ 2а;2-|3у-х| + у2 = 4, Г . 2х\2ху\у=4, Г ^ З2 2 \ За;-2у = 2. \ Зх - (/= 2. у2 = 3, 2у=1. g6 ^ x2 - |3x + 2y| - 2f = 4, g7 f x2 + 2|г/- x| - y2 = 3, Г 8-8 \ - \у - 4х| - 2у2 = 4, 9.Решить "текстовую задачу" 9.0 Цены двух товаров, один из которых в три раза дешевле друго- другого, повысили на одинаковое число процентов. Затем новую цену товара, который стоил дешевле, повысили, а новую цену второго товара понизили на то же число процентов, что и в первый раз. Каковы проценты изме- изменения цен товаров, если окончательная сумма их цен на 2,82% больше нх первоначальной стоимости? 9.1 Две партии товаров, одна нз которых в четыре раза дороже дру- другой, были уценены на одно и то же число процентов. Через некоторое время та партия, что дешевле, была уценена еще раз на то же число процентов, что и в первый раз. В результате таких уценок общая стоимость товаров двух партий уменьшилась по сравнению с первоначальной на 11,8%. На какое число процентов каждый раз уменьшалась цеиа товаров? 9.2 Два предприятия производят одну и ту же продукцию. Первое предприятие ежемесячно должно производнть одинаковое количество про- продукции, но в первом месяце оно перевыполнило план, а во втором произвело продукции больше, чем в первом, на столько же процентов, на сколько был превзойден план в первом месяце. Второе предприятие, ежемесячное за- задание которого в четыре раза меньше, чем у первого, перевыполнило план двух месяцев на столько же процентов, на сколько первое предприятие пере- перевыполнило план в первом месяце. Каковы эти проценты, если общий объем продукции, произведенной обоими предприятиями за два месяца, превыша- превышает общий плановый объем этих месяцев на 7,1%? 9.3 Два тела начинают одновременно двигаться равномерно по пря- прямым Ох и Оу, пересекающимся под прямым утлом. Первое тело движется 54
ф скоростью v по прямой Ох от точки А к точке О, находящейся на рас- расстоянии а от точки А. Второе тело движется со скоростью v\ по прямой Оу от точки В к точке О, находящейся на расстоянии b от точки В. Найтн наименьшее расстояние между этими точками во время движения. 9.4 Окно имеет форму прямоугольника, дополненного сверху полу- полукругом. Периметр окна равен Р. При каком отношении сторон прямо- прямоугольника окно будет пропускать больше света? 9.5 Прямоугольный садовый участок площадью 625 м2 необходимо огородить забором, две смежные стороны которого деревянные, две другие — из металлической сетки. Один метр деревянного забора стоит 50 р, а сетчатого — 80 р. На строительство выделено 6000 р. Хватит ли этой суммы? 9.6 Железная дорога за простой вагонов под разгрузкой в первый день берет с предприятия 400 р, а в каждый последующий день на 300 р больше, чем в предыдущий. Бригада грузчиков должна разгрузить вагоны за 10 дней. Если она разгрузит вагоны раньше срока, то получит премию 2350 р за каждый сэкономленный день. При каком сроке разгрузки вагонов будут минимальными затраты предприятия по оплате простоя вагонов и выплате премии грузчикам? 9.7 Два проходческих комбайна начали рыть навстречу друг другу тоннель длиной 30 м. Стоимость проходки первого метра первым комбай- комбайном равна 1,5 тыс. р, а стоимость каждого последующего метра его про- проходки на 0,9 тыс. р больше предыдущего. Стоимость проходки каждого метра вторым комбайном равна 12,75 тыс. руб. Какую часть тоннеля сле- следует пройти каждым комбайном, чтобы общая стоимость проходки тоннеля была минимальной? 9.8 Коммерческий банк каждые полгода добавляет к срочному вкла- вкладу, внесенному на срок не менее двух лет, деньги, составляющие опреде- определенные проценты от суммы, имевшейся иа счете в начале этого полугодия. Каковы эти проценты, если клиенту, положившему на счет 75 р, банк обе- обещает выплатить через два года 288,12 р? 9.9 Для бурения артезианской скважины садовый кооператив, состо- состоящий из 20 членов, пригласил бригаду, поставившую следующие условия: за каждый последующий метр бурения платить на 220 р больше, чем за предыдущий. На таких условиях последний метр и третий с конца, вместе взятые, обходятся во столько, сколько стоило бы все бурение, если бы ка- каждый метр, независимо от глубины, стоил столько, сколько стоил второй метр. Для оплаты всей работы, каждый из 20 членов кооператива, заплатил 136,5 р за каждый метр скважины. Определить глубину скважины. 55
§7. Контрольные задания по теме № 4. Решение алгебраических неравенств Для выполнения этой контрольной работы изучите раздел 6 пособия [1], прорешайте примеры и задания, изучите образцы решения неравенств и проведите самотестирование по теме Т-04. | Простые неравенства! 011 Наименьшим целым решением неравенства B\/б - 5)Cж - 7) < О является \1\ 1 |2| 2 Гз] 3 14] 4 Гб] такого числа не существует. 021 ш Множество решений неравенства -7 < 3 - 2х < -5 равно 1|(-5;-4) |2|(-5;4) Щ (-4; 5) 4| D; 5) |в| (—10;-8). ЫЕсли а > 0, то неравенство — > - эквивалентно неравенству х а 2 1 -> х 1|х<0 |2|х>а |3|ж<2а 4 х > 2а 5 0 < х < 2а. 041 Неравенство |х| + а — 2 > 0 справедливо при любых х, если ПЛа<-2 [~2la=-2 Гз1а>2 JT1 а < 2 ПП а > 0. 051 Область определения функции у = \/4 — х2 задается соотношени- соотношением T]x<±2 [г]х>±2 [з|-2<х <2 2. Уравнение ж2 - 2ах + 9 = 0 не имеет решений при 1а<±3 2 -3 < а < 3 З]а>±3 [_4ja<3 [5ja>-3. О'I Область определения функции у = ^/|ж2 — 4| • (х — 3) равна мно- множеству, заданному соотношением [Т] г ? [-2; 2] U [-3; +оо) {Т] а; > 3, х-±2 [Т[ ж > 3 0 х ? (-ос; -2] U [2; 3] \ъ\ х < 4. 56
091 Наибольшее целое решение неравенства > 1 равно \2х + 4| 71 1 (Л -1 ПЛ з (Т| -з ПП 5. Если а + 2Ь = 6и2<Ь<3, то значения а заключены в промежутке Л (-2,0) Щ @;2) Щ (-2; 2) [Т] A0; 12) [Т] (-12; 2). 101 Сумма целых решений неравенства \х + 6| + \2х\ > —Зх при х? [-5;-1] равна iii -1 пп -2 m -5 гт| -6 г?! -is. Множество решений неравенства > 1 равно 3 1, гп, 3, г—| Л . . т, 3 121 Если 1<я<4и4>6>2, то произведение аЬ заключено в промежутке ПЛ [2; 16] [7] [4; 8] [4; 16] UJ [8; 16] Ы [1; 16]. 2х — 1 Множество решений неравенства > 0 равно Г] [0,5; [0,5; 1) Ы (-оо:1) _4J [-0,5;0,5]U(l;+oo) Щ (-оо;0,5]. Если сумма всех сторон прямоугольника равна 2, то его площадь не больше, чем ""¦ ' 2 [Г! 3 I и 1 1^| Длина промежутка, на котором функция у = 3 - \/1 - 6х + 9х2 неотрицательна, равна fTil [Т]2 Гз1з [il 1,5 fil 2.5. 57
12 Множество решении неравенства > равно х + 2 х — о Т\ (-со;-9) [Т] (-oo;-9)U(-2;5) [T] (-9;+оо) (9;+оо) Р E;+оо). 17| |Т) Множество решений неравенства 4х + 4 < (х + IJ < 4ж + 9 равно l] (-2;-1I1C; 4) (T](-oo;-2) U(-l;3) UD;+oo) [з](-1;3) (-2; 4) Ш(-1;4). 181 w - л/3 + 5ж - 2х2 „ х"| Множество решении неравенства — j- < 0 равно '2'1 D;+оо). 191 Все значения ж, при которых выражение . —— ^¦~ у (х — 4)(х смысла, образуют множество + 3) лишено [l] [-3;2)U[4;+oo) Щ (-оо;-3] U [4;+оо) |_3j (-оо;-3] Щ (-oo;-3]UB;4] IT] B; 4]. 201 2х ж-8 Множество решении неравенства > равно х + 2 ж о > х + 2 ж — о T](-oo;5)U(8;+oo) [T] (-2; 5) 5J (-оо; -2) U E; +оо). 211 Область определения функции у — sj—x'1 + 3|ж| - 2 совпадает с множеством Т| [-2; 2] (Т) [-2;-1]и[1;2] [з] (-оо;-1] Т| (-оо;1] ПП [2;+оо). В прямоугольнике с площадью 36 большая сторона меньше 15. {озможные значения другой стороны образуют множество JJ C;6] [|] B,4;9] \ъ\ [2,4; 18] Щ [6;9) \ь\ B,4;6]. 58
231 Прямые у = —х+2,5 и у = л-+2а пересекаются в точке, лежащей ниже оси абсцисс и левее оси ординат, если а<- [Т]а<-2 [Т]а>-2 24 j Множество значений х, при которых функция у — \/Ъ - х - л/ix - 1 положительна, равно @;3] Г \Т\ @;2] [2J @,8;3] @;0,8] 5| [0,25;0,8). 251 Все решения неравенства \х\ <2х - х2 образуют множество ПЛ [0;1] (Т) [0;2] [Т] [-1;0] [1] [-1;2] Ш [-1;1]. 261 График функции у = х2 — ах + 1 расположен выше оси абсцисс, если Т\а<±2 Т]-2<а<2 [4Ja>2 \5\а < -2. 2' I Множество значений функции у = 6 - \/7 - 6а; - х2 равно Г] [2;+оо) [2] [6; 12] [У] [2; 6] [Т| [0;6] \±\ [0;2]. Все решения неравенства -J1Ty2 < x образуют множество Q] (-1;2) (Т) @;2) 0 (-oo;-l)UB;+oo) Т| B;+оо) ПП (-2; 291 Множество решений неравенства s/x2 — 2х + 1 > 2а; равно '2; 301 Все решения неравенства |х|а;| - 1| < 2 образуют множество ПП [0:1 2 [-V5;l] [з] [-^3;0] Ш [0;2] 59
Перечислим методические указания к заданиям данной контрольной работы. 1. Выписать систему условий, определяющих ОДЗ каждого слагаемого. 2. Потребовать выполнения условия неотрицательности подкоренного выражения на всей числовой оси. 3. Использовать замену. 4. Раскрыв модуль по определению рассмотреть два случая. 5.,6 Свести неравенства к виду \/f(x) < д(х). 7. Свести неравенство к виду \Jf(x) > д(х). 8. Найти х и у как функции параметра а. Исходя из заданного ограни- ограничения свести задание к решению неравенства относительно параметра а. 9 Заметить полный квадрат, свести неравенство к виду \Jf{x) < д(х). 1.Найти область определения функции 1 fb^x /w^x 1.3 у = \/2Ь - х2 + у/-2х + 40 + ^3 - C + 6х| 1.5 у = л/аг2 - 25 + yj-x + 7+ ^|а; - 1| - 3 1.6 у = л/аг2 - 4 + v/-a; + 1 + v'W ~ 1 1.7 у = л/9 ~ х2 + у/х - 2 + д/к - 1| - 0,5 1.8 у = л/16 - х2 + v/З^ж + </3 - \х + 1| 1.9 у=у/9^~х1+у/5=~х + у/2-\х-1\ 2.Указать все значения а, при которых функция определена на числовой оси 2.0 у s 1)х2 - 2(а - 1)х + 3а - 3 2.1 у » -у/ах2 - 2(а - 2)а; + 3а - 6 2.2 у = ^/(а + 2)х2 -2ах + 3а 60
23 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 У = У = У = У = У = У = ^/(а - 1)ж2 - 2(а - 3)ж у/(а + 3)ж2 - 2(а + 1)х У(а + 4)х2-2(а + 2)х у/(а - 2)ж2 - 2(а - 4)х у^(а + 5)х2-2(а + 3)х ^/(а - 3)зг2 - 2(а - 5)х + 3а- + 3а + + 3а + + 3а- + 3а + + 3а- 9 3 6 12 9 15 2.9 у = ^(a + 6)s2 - 2(a + 4)г + За + 12 З.Решить неравенство z3 — 1 3 • х^ — 8 30 2 ЗЛ 12 7ТТ + 2 5 33 34 v-" х> 1__>з 35 х-1 ж2-2ж + 1~ ' х + 2 г2 + 4г + 4 з.б i?^ Аг- < з зл х +1 г т 1 -г2_0т Г4-1 9т2 — 2т -I- Ч 4.Решить неравенство 4.0 ^.'*"„+1'>0 4Л ( 2) „>0 4Л 4^ - 2) х2 - х - 2 - 4ж - 5 ж2 - 6х + 8 4.8 И ж2 - >3 4.9 + 20 61
5.Решить неравенство 5.0 5.3 5.6 5.9 б.Решить неравенство 6.0 6.2 5.1 <1 5.2 5.5 5.8 <2 3x-4 + у/Ъх-1 < Зл/2 6.5 2\/3 - 2х + у/х + 3 < 6 6.7 6.9 л/2 Зж-4 + 3\/3-ж < л/5 7.Решить неравенство 7.0 \/ж2 + Зх + 2 - \/ж2 - ж + 1 < 1 7.1 у/х^+Тх - у/х^ 2х + 5 < 4 7.2 у/х2 - 4х + 3 - у/х2 + 2х + 2 < 1 7.3 у/х2 - 5х + 6 - у/х2 - 2х + 2 < 1 7.4 у/х2 + 6х + 8 - у/хЧ- 2х + 3 < 1 7.5 \/ж2 + 8х + 15 - %/ж2 + Зж + 4 < 2 7.6 у/х2 + Юх + 21 - \/ж2 + 4ж + 5 < 2 7.7 у/х2 + \2х + 20 - у/х2 + Зх + 3 < 2 7.8 Vx2+6z+8 - %/z2+z + 2 < 2 7.9 у/х2 + 8х + 7 - >/ж2 + ж + 2 < 2 62
8.Выполнить задание {( + 1)ж -ay-i, имеет ре- Зж - 5у = а. тения (ж; у), для которых ж - у < 2 ( + ) + у , 8.1 При каких а система уравнений < имеет ре- [ 2х — 4у = —а. шения (ж; у), для которых х — у < 1 ()+( + )у , 8.2 При каких а система уравнении < имеет [ х-2у = 4. решения (ж; у), для которых ж - у < 3 { + (а - 1)у = 1, имеет ре- х-2у = а. шения (ж; у), для которых ж - у > 1 ( f f ( + ) + у , 8.4 При каких а система уравнений < имеет { х + B-а)у = а + 1. решения (ж; у), для которых ж — у > 2 Г (а + 1)ж + у = -2, 8.5 При каких а система уравнений < [ -Зж + (а - 1)у = а. [ия (ж; у), для которых х - у > 1 ( (а-3)х + у = -2, 8.6 При каких а система уравнений < [ -2ж + ау = а - 2. имеет ре- l -2ж + ay = a - 2. шения (ж; у), для которых ж - у < 4 f 2ж + (а + \)у = 1, 8.7 При каких а система уравнений < имеет { Зж + Bа + 3)у = -а. решения (ж; у), для которых ж - у < 3 Г (а - 2)ж + (а + 2)у =-а, 8.8 При каких а система уравнений < име- { Зж-4у = -1. ет решения (ж; у), для которых ж - у < 4 {аж + 4г/ = -а, имеет ре- (а + 1)ж - Зу = 3. 63
шения (х; у), для которых х - у < 1 9.Решить неравенство 9.0 Зх + 4 > у/9 + 4х(х + 3) + V-2x2 - 8х + 10 9.1 4ж - 5 > у/1 + Щх - 1) + V-8z2 + 40z - 32 9.2 5z - 6 > л/1 + 3zCz + 2) + 7-4z2 + 16z + 20 9.3 5z - 7 > v/4 + 3zCz - 4) + V-2x2 + 4x + 16 94 4z - 5 > y/1 + x(x + 2) + V-3z2 + 6z + 24 9.5 3z - 5 > y/l + Щх - 1) + V-2z2 + 12x - 10 9.6 7z-2> V4 + 3xCz+4) + V-4j;2 + 12z-8 9.7 4z - 5 > -^/4 + 3zCz - 4) + %/-2z2 + 14z - 20 9.8 5x - 7 > -/16 + ж(9х - 24) + y/-4x2 + Ylx + 40 9.9 3z - 2 > -/1 + 4z(z - 1) + V-z2 + 3z + 4 Ю.Решить неравенство 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 y/x* - 2x2 + 1 > 1 - x + 3x + 4 > -2 /5ж - 4 + л/Зж + 1 < 3 2 + Зх + 2 - y/x2 - x + 1 < 1 64
§8. Контрольные задания по теме № 5. Тригонометрия Для выполнения этой контрольной работы следует внимательно из- изучить разделы 9,10 и 11 пособия [1], прорешать максимально большое коли- количество примеров, приведенных в конце каждого из пунктов этих разделов, провести самотестирование по теме Т-06. [Тригонометрия | ОД-1 Выражение sina| sina| -f cosa| rosa|, где a € (;гЯ"; 2тг), равно ГТ1 2 ГТ1 -1 HI cos2a ЦП -cos2a 111 0. 02 j Если sina = 6-2 и а б ("«¦' г)» т0 величина & заключена в промежутке ,—. 5 i—i i—i 3 5 [I] (-00; |) [2] A;3) Ц] (|;|) Н (-00; |) U (§;+00). озГ „ sin a — 3 cos a Если —; = 2, то величина tg a равна 2 sin a — cos a 3 -» S -i - 14 3 I 5 I невозможно вычислить. 041 041 Если ctga = — — и 270° < a < 360°, то величина sin a равна JL-6 1 О •—^ 10 .^—^—¦ К ^^— ^ r™^^ 1 О I I f Q II "I <J II 1 Q || f Q I I in' 1O Ю АО ™" 10 JLO 051 Выражение v н равно l-2cos30° l + 2sin60° Т1 1 [2] -1 Гз1 не определено [Т] 2 [T| -2. Ы7Г 3 Выражение cos (a + —) sin (-тг - a) + cos (тг - a) sin Bтг — a) равно ПП 1 ПГ1 -sin2a Гз1 cos2a ГТ1 -cos2a fil sin2a. 65 - 6838
Q7| Выражение tg615° + tg375° равно [71 2уД IT] 2 Гз] ЗуД \Т\ 4 [71 2л/2. 081 Произведение tg 3° tg 6 tg 9 •...•tg 87° равно \Tj 1 Гг] 2 Гз1 \/3 [Т] — L5j вычислить невозможно. 091 Выражение sin а ¦ tg (— - а) - sin (тг - а) • ctg (-тг + а) равно m 1 m cos 2а г—i —1 г—i 2. cos a cos a cos a cosa 1 Tjcos(a-/3)€(-;l) \2Jcob(a - ft) = 1 |з| cos (a - ft) = 0 cos (a -/3) € @; —). 111 Если сннусы двух острых углов треугольника соответственно рав- ныО, 2 и 0,6, то косинус внешнего угла треугольника, не смежного с двумя данными, равен г—| 8л/ё-3 гг-| 8-^6-3 г—| 8л/6 + 3 i—i 6 25 ill Если tg a = -, tg (a + ft) — -, то величина tg ft равна О it 7 7 6 3 13| Область определения функции у = у/х(х + sin 40°)(ж + tg 40°) со- совпадает с множеством [Г] [- tg40°; - sin 40°] U [0; +оо) |Т| [- tg40°; 0] [з] [- bin40°; 0] [TJ (-ос; - tg 40°] U [- sin40°; 0] ПП [- sin40°; +оо). 66
141 Четной среди приведенных является функция \1\у = %/sinz I2J у = tg х + ctg r I 3 I у = siri":r j/ = sin ж I 5 I у = л/1 + sin x + y/1 — sin x. 151 Равенство sin /3 = 4,5 - а2, где /3 € [0; —], a < 0, выполняется при всех значениях а, принадлежащих множеству [Т|[-2;0] |T|HV2;0] [з] [-|ч/2; -2] |Т| (-ос; -2] Ц] (-ос: 1). 161 Все решения неравенства tg ж > s/З образуют промежутки вида —' 3 ;- I [г] (- + тгп; - + тгп) [з] (тгп; - + тгп) —' о 2 '—' 6 ill Выражение tg а — ctg а равно te(^-a) Гз 2a -2 ctg 2a [5 Наибольшее значение функции у = 2 sin2 x + 3 cos2 x равно 1 ГТ1 2 Гз~1 3 ГТ| 4 ПП 5. Если cos a = - и а 6 (-тг; 2тг), то величина cos — равна 3 2 2 3 3 ^—^ 3 3 6 201 Все решения уравнения cos x + sin x ¦ ctg x = 1 определяются фор- формулой [7"| ±- + тгп [Т] ±- + 2тгп ПП ±- + 2тгп [Т| -^ ^—J о ^~~^ 3 ^ + тгп 67
равен Наименьший положительный период функции у = ctg — - ctg х 71 I 7Г 3 ^7 2тг 5 Зтг. oof sin ж лл I Решения уравнения = ж определяются соотношением 1 ' sin ж [TJ х= 1 [Т| г = ±1 [i] z == 2я-п [1П ж G (—оо; +оо). [3] х = - sin (arccos (—1) + arctg —) равен 24 [ Все решения уравнения sin ж — \/3cosz = 1 определяются форму- формуло - J ± |тг + 27ГП |Т]1 + (-1)»+'. 7Г , 7Г „ I 1 7Г 2 -- ± - + 27ГП 5 - ± -7Г + 7ГП. -J ± |тг + 27ГП 6 3 3 3 251 Наименьший из углов, которые составляют часовая и минутная стрелка в 6 ч 10 мин, равен Ш25 36* 29 17 18 г—i 31 HJ 36" 261 ¦¦¦¦¦ Число точек пересечения графиков функций г/ = cos x и = {х~ j){x - -тг) равно т Т1 1 2 Гз1 3 ГТ| 4 Г5| 5. 68
Величина cos --) равна fil-if7l4l? 3 >/1з ш у/гз /ПГ 281 Множество значений функции у = —2 sin j; — 6 cos ж равно [7] [-6:6] [Т] [-8; 8] ПП [-6;0] ПП [-8;0] [Т} [-у/40; у/40]. 291 Если tg — = 2, то угол а принадлежит четвертям ГП 1-й, 3-й ITI 2-й, 3-й ПГ| 4-й 1-й, 2-й 5 2-й. 301 Множество значений функции у = sin2 х + 2 cos j; равно [Л [-1;1] П] [-1;2] |Т| [0;2] |Т| [-2; 2] [Tl [-VS; у/Щ. Перечислим методические указаиия к заданиям контрольной работы. 1. Свести задание к алгебраическому неравенсву. 2. Использовать основные тригонометрические тождества для угла а и использовать операцию выделения полного квадрата. 3.,4. Использовать известные тригонометрические тождества. 5.,6.,7. Используя известные формулы приведения, сложения углов и основное тригонометрическое тождество, свести уравиеиия к простейшим. 8. Обратить особое внимание на области определения функций и учесть их при построении графиков. 9. Ввести вспомогательный угол, свести задание к простейшему урав- уравнению. 10. Привести уравнение к квадратному. 11. Использовать однородность уравнений. 12. Обратить особое внимание на О.Д.З. уравнений и возможность появления посторонних решений. 13. Свести к простейшим неравенствам. 14., 15. Обратить внимание на О.Д.З. уравнения, возможность появле- появления посторонних корней и правильно осуществить выборку решений. 69
1.При каких т может выполняться равенство /и2 — 4т — 4 ж 1.0 cos у? = 7,—:—, еслн 0 < v < - . . . m2 - 4/н — 4 ж ж 6<1р<2 Зт10?п + 3 л 5Г 1.2 tgy? = —5—————, еслиО<у><- т2 - Ют + 25 4 т'2 - Ът\ ж я- < < »»+ 2 ' m2 — 3»n + 2 \т Ът\ ж я 1.3 ctg у? = J -, если - < у? < - о 4 2 З;»2 - 7т + 8 ж 16 »n2 + га +1 ж ж если->^>- 1.8 tg v? = т-2 х , если arctg 2 > V > 7 Задание 2 2.0 Найти sin4 a + cos4 а, если известно, что sin а — cos а = - 2.1 Найти sin6a + cos6а, если известно, что sina + cosa = - It 2.2 Найти sin8 a + cos8 а, если известно, что sin 2a = - 3 2.3 Найти sin8 a - cos8 а, если известно, что cos la = - 4 2.4 Найти tg4 a + ctg4 a, если известно, что tg a + ctg a = 3 2.5 Найти tg6 a + ctg6 a, если известно, что tg a + ctg a = -3 70
2.6 Найти tg8 а + ctg8 а, если известно, что tg a + ctg а = 3 2.7 Найти sin6 a + cos6 а, если известно, что cos 2а =- О 2.8 Найти sin8 a + cos8 а, если известно, что cos 2а = — О 2.9 Найти cos8 а — sin8 а, если известно, что cos 2а = — Задание 3 3.0 Найти ctg 2a, 2 если известно, что sin (а - 90°) = --, 270° < а < 360° 3 3.1 Найти tg 2а, 2 если известно, что соь (а - 90°) = --, 270° < а < 360° о 3.2 Найти sin 2a, 2 если известно, что sin (а - 90°) = —, 270° < а < 360° О 3.3 Найти соь 2а, 2 если известно, что sin (а - 90°) = — - о 3.4 Найти tg 2a, если известно, что cos (а - 90°) = 0,2 и 90° < а < 180° 3.5 Найти ctg 2а, если известно, что sin (а - 90°) = 0,2 и 90° < а < 180° 3.6 Найти .sin 2а, если известно, что соь (а - 90°) = 0,2 и 90° < а < 180° 3.7 Найти cos2a, если известно, что sin (a - 90°) = 0,2 3.8 Найти sin 2а, если известно 3.9 Найти cos2«, 1 если известно, что tg a = - 1 если известно, что tg a = - 71
4.Упростить 4.7 cos2 1 -7Г — 2а j +4 cos2 I -7Г — а 1 — • 4 0 1 + cos Dл - ж) - 8 sin2 Eтг - а) cos За 4- cos 4а + cos 5л 4.1 sin За + sin 4а + sin 5а A3 sin Bа 4- ft) 4- sin Bл - ft) - cos [ -тг - 2л 4.2 cos /3 \ Bа 4- A) 4- cosBa - /3) - sin ( -тг 4- 2a 1 4 sin ( -ж 4.3 - sin Ba 4- 2тг) 4- 2 sin Dл - ж) + sin Fa 4- 4тг) cos F7Г — 2a) 4- 2 cos Da — ж) + cos Fa — Аж) 1 4- созDл - 27г) 4- cos Da ) 4-5 T ж 1 + cosDa 4- т) 4- cos I 4a 4- — sin 6a cos Fa — тг) sin 2a cos 2a COS2 I -7Г - a . л\ / ач ,7Г лч\ s - 4- sm -J (cos Bтг - -) 4- cos (- 4- -)) sma 4.8 ctg Da - тг) (cos4 (-тг - 2a) - sin4 (-тг - 2л) j 4.9 sin2 ( -7Г 4- a I - sin2 I — тг - a 1 \° / V 8 / 5.Решить уравнение 5.0 sin (x - 10°) • sin2 50° 4- cos80° • sin 140° = sin50° • cos 170°- - cos A00° -x)- cos2 130° 72
5.1 sin (x + 20°) • cos2 80° - sin20° • cos 100° = sin 80° • sin70°- - cos G0° - a:) • sin2100° 5.2 sin (x + 10°) ¦ sin2 35° - cos 80° • cos 215° = sin 145° ¦ cos 170°- - cos (80° -a:) -cos2 215° 5.3 sin (x - 25°) • sin2 95° + sin25° • cos85° = sin95° ¦ sin 65°- -cosA150-x)cos285° 5.4 sin (a; - 20°) • sin2 130° + sin 160° • cos50° = cos40° • cos20°- - cos A10° -a:) -cos2 50° 5.5 sin (a: + 10°) • sin2 50° - sin 170° • cos 50° = cos 40° • cos 10°- - cos (80° -x) -cos2130° 5.6 sin (a; + 20°) • sin2190° - cos 70° • cos 190° = cos 80° • cos 160°- - cos G0° -a:) -cos2 10° 5.7 sin (x + 20°) • sin2 50° + sin 160° • cos 130° = sin 50° • cos 160°- - cos G0° - a;) • cos2 230° 5.8 sin (x + 15°) • cos2 110° - cos65° • sin 160° = cos 160° • sin 115°- - cos G5° - a:) ¦ cos2 160° 5.9 sin (a; - 15°) • cos2130° + cos 37° • sin 97° = cos53° ¦ cos97°- - cos A05° -a:) -cos2 140° б.Решить уравнение 6.0 cos x ¦ ctg 68° + sin 158° • sin 23° = cos 22° • sin 67° - - sin (90° + a:) • tg 23° + ^ • tg 22° • tg 157° 6.1 cos x ¦ ctg 68° + sin 22° • sin 38° = sin 68° • sin 52°+ + sin (90° - a:) • tg 67° + 0,5 • tg 22° • ctg 23° л/3 6.2 tg 88° • cos x - sin 88° • cos 28° = — • tg 88° • tg 43°+ + sin (x - 270°) • tg43° - cos 88° • cos 62° 6.3 sin (90° + x) • tg55° + sin 125° • sin 80° = cos 55° • sin 10°+ 73
+ tg 10° • cos x - ^r- ¦ tg 125° ¦ tg 170° 6.4 tg 72° • cos x + sin 108° • sin 78° = ros 72° ¦ cos 78°+ + sili (90° + x) ¦ tg 27° - ^- ¦ tg 72° • ctg 63° 6.5 sin B70° - я) • tg 117° + sin63° • sin 123° = cos63° • cos57°+ + tg 18° • cos j- - 0,5 ¦ tg 63° • ctg 72° 6.6 sin(90° + a-) ¦ tglO2° + sin78° • sin 18° = cos 102° • sin72°- - tg 33° • cos x + 0,5 ¦ tg 78° • ctg 123° 6.7 sin (90° + x)- tg 42° + sin 138° • sin 18° = cos 42° ¦ cos 18°+ + tg87° • cosj; + 0,5 • tg42° ¦ tg87° 6.8 cos x ¦ tg 67° + cos 74° • sin 104° = sin 106° ¦ cos 104° - - sin (90° - x) ¦ tg 158° - 0,5 ¦ tg 67° ¦ ctg 68° 6.9 cos x ¦ tg 89° + sin 139° • sin 109° = cos 139° • sin 19°- - sin (90° + x) ¦ tg 46° + ~- ¦ tg 46° • ctg 1° 7.Решить уравнение 7.0 tga;-ctg-7r = tg-7r-v/3-tg--tga; Do О 7.1 tgz + ctg- = tg-тг- лД-tg- DO 5 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 tgar- tgar- tgi + tga;- 3 tg-7T = t| 4 Ctg -7Г = 1 4 ж ?12" tgT5H tg12 h 3 y/3 ¦ t{ л/3-1 ¦tga; •tgi2 7Г ^¦tg «IS" •tga; fi tga; 74
2 7.8 tg ./• — tg —ж = 3 9 7.9 tgj- + tg-7r = 8 8.Построить графи» 8.0 8.1 8.2 8 -1 81 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 У = У- </ = У У = у - у - У = V- -у1 if л 1/ л - yl - - v 1 - = 2- = 2- \ + tg^ /1 + Vi- /1- Vi + - sin2 f ctg2 f tg2- cos2 sin2( 7Г 1 7Г с функции j-)@,5-0,5cos2j-) (Ж } & 2 12 -г) г (^+x).[1 + a&B cos.r /l — cos а; | cosj- V 1 + cos a; / cos a; /l + cosj^ cosj- V 1 — cos a; / A + tg 2a;) ctg Zx l + tg(|-2x) 7Г . ctg (я- - ж) 7Г cos2 (—x) cos( j. Z 1 ! 1 (|-|) * 1 + ctg 1 i 1 gx 7Г 2 + ctg 2a; 7Г 4 gin ^^ • sin x X) x) 2 X 2 9.Решить уравнение 9.0 sina; + \/3cosa; = 9.1 \/3siiia; — cos a; = — 1 75
9.2 sina; —-\/3cosa; =-1 9.4 v/3sina; - cosa; = \/2 9.6 \/3sina; - cosa; = —л/2 9.8 V^sinz + cosa^ -л/2 Ю.Решить уравнение 10.0 cos 4a; = -2 cos2 x 10.2 3sin22a; + 7cos2x-3 = 10.4 sin2 3a; = 3 cos2 3a; 10.6 2tg43a;-3tg23x + l= 10.8 cos 4a; -2 sin2 x = 0 9.3 v^sinz + cosz = -1 9.5 sina; + \/3cosx = л/2 9.7 sina; — \/3cosx = — л/2 9.9 sina;+ \/3 cos x =-\/3 10.1 cos 4a; = 4 cos2 a; 10.3 5sina;-4 = 25 10.5 cos4 2a; + 6 cos2 2a; = — 16 10.7 cos4a; + 2 sin2 x = 0 10.9 2sin2a; + 5cosa;-4 = 0 11.Решить уравнение 11.0 2 sin3 x + 2 sin2 x cos x — sina; cos2 x — cos3 x = 0 11.1 6 sin2 a; + sin x cos a; - cos2 x — 2 11.2 sin2 a; — 2 sin x cos a; = 3 cos2 a; 11.3 3 cos2 x = sin2 x + sin 2a; 11.4 3 sin 2a; + 2 cos 2a; = 3 11.5 sin32 - cos32 =-^/з/З П.6 3sin5*-2cos52 = 3 11.7 4мпЗг + -cos3z = 3 11.8 4sina; + cosa; = 4 11.9 sin4 x + cos4 x = cos2 2a; + 0,25 12.Решить уравнение 12.0 v/5 12.2 4/4-2ctga;=r 1 - ctga; 12.4 y/i - 6 tg x = 1 - 3 tg x 12.6 v/5 12.1 12.3 12.5 v/7-12etg:r = 2-3ctga; 12.7 76
12.8 ,/13-6tga; = 2tga;-3 12.9 ^37- 12 ctg x = 2 ctg x - 13.Решить неравенство i3.o iolsinxl >iolcosarl < 1 I cos x\ 13.2 -^= < ( x 1 < 1 sin 2a; 13.3 0,5^<0,51-со82аг <o,5 sin 2a; 13.4 0,5VO <0,5H-Cos2a; <Q,5 13.5 v^cos^a; < 4tga; 13.6 лД sin x < 4 ctg x 13.7 sin Ax + cos Ax ctg 2a; > 1 sin(— + x)\ cost——a;) u.5 i 2 > 2 2 л |cos(^ + a;)| ^ <1 Н.Решить уравнение ( 14.0 cos(y - 2x) ^Ц-с182(| + а:) = ^ log2 3 • log4 8 • log3 4 14.1 -y^cos2 x — | sin x\ • sin a; = cos x — sin ж 14.2 sin x — y/-0,5 sin 2a;+ 2 cos a; = 0 14.3 2\/2sinx + \/2cosa: = \/— sin 2a; 14.4 V3 - cos 2a; - sin 2a; = -2>/2 • sin a; 14.5 \/2 + cos 2a; — sin 2a; = — >/5 • cos a; 77
14.6 ^3 - cos 2x - sin 2x = -2y/2 ¦ sin a; 14 7 2cos4:r 14.8 Jl--— = ctga; V smi 14.9 Jl + = tgz V cos a; 15.Онределить количество корней уравнения 15.0 cos 15.1 cos ¦" 15.3 sm 2 ф - 4) 15 4 -ь 3 15.5 cos^ 15.6 cos^ 15.7 cos^ 78
§9. Контрольные задания по теме № 6. Логарифмы. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства Перед выполнением этой контрольной работы следует изучить раздел 8 пособия [1], прорешать большую часть примеров этого раздела и провести самотестирование по теме Т-05. т-оя [Показательная и логарифмическая функции] Число (ЗуД) 2/3 + 81-'/4 равно 4 г—| 1 |—| 2 g I—I 12 I—I 3 12. 02| Величина log4 у 8 • \/2 равна 03| Корень уравнения 2х + 5 • 3х - 6х = 1116 равен ПП 1 ГП 2 ПП 3 ПП 4 fil 5. 041 4 Корень уравнения 36^ = ^ • @, C)) 4 равен ППб |Т|2 (Пз ПП4 His. Корень уравнения log05log3a; = -2 равен Т\ 27 (Т| 81 |~5~| -. 11 i Число 81-°'25 1о6з2равно [Г] 1 0 -1 ПП 0,5 [I] -0,5 171 2. от] 4 /ЗЧ* /2\г Сумма корней уравнения - • I - 1 • I - I =1 равна Т1 3 ПП -1 -3. 79
081 Величина 1254 ' ^°6г5 равна 091 Ecnnlog2j> = -log2a —2log2b+31og2c—l,то величинаа; равна -2 \2 с2-2 2b2 ' »r Четной среди приведенных является функция . 1-я \+х —' j; [З] у = 2х- Если lg 2 = a, lg 3 = b, то величина lg 15 равна [Г] а + Ь+1 [Т| а-Ь+1 [з] Ь-а+1 1П 1-0- -1-а-Ь. 121 Неравенство 2 х < — эквивалентно неравенству ПП-е>1 ПП а; < 1 Гз1а;<2 [Па;>2 ГЕ"! а; > —2. 13 Обратной к функции у = log2 (x — 1) является функция 1 T] »= log2 A - х) 4 у = Множество решений неравенства 2х + 2 < 4х 2 равно Гг][5;+оо) [з] [6;+оо) П) (-оо;6] [Т| (-оо;5]. Корень уравнения logo 5 ( —т.— ) = ~ равен 7] 1 [Т] 2 [Т] -1 [Т] -2 [ij уравнение корней не имеет. 80
l?J ЧИСЛО 91о& A + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 + . .) равно 1—1 ю [2I2 Гз1б ПП 4 [71 8. 1'J Множество решений неравенства 21о&>.* ( г) < 3 равно \4\ (-00; —-] [5J решений нет. О l-loga3;0) 181 Множество решений неравенства log0 5B - \fx) < О равно ГЛ Г-оо:11 [г! [О; Ы (-оо;4) [1:4). 191 Множество решений неравенства log06log27^ > — 1 равно [Г] A;81) 0 ф|) (i;81) И @;81) [в] A;243). 201 Ig4 + lg3 Число81ё2 + 1Е4 равно 13 2639 4 12 5 15 2Ц Число точек пересечения графиков функций у = \/4 - х2 и у = пх равно """ '" 2 fsl 3 171 4 Ш 5. 1 I 1 221 Если 1 < log0,5 а < 2, 0 < log3 b < 0,5, то все возможные произве- произведения аЬ заключены в промежутке 11V V~V i'2h 23 j Множество решений неравенства logx _ j 5 > 1 равно Л B; 6] Щ A;2) Щ A;2)UB;6] ITI A;6] \b\ [6;+оо). 81
Число корней уравнения | lg |х|| = х + 1 равно ГП 1 ГП 2 [71 3 5. 251 Корень уравнения 3х — 12-3 х = 1 равен \Т\ 2-log32 [Г] 3log23 FT] у/г IT] log29 ПП -2. 261 Сумма расстояний корней уравнения logx2 уЗ = — до начала координат равна 10 22 33 4 4 56. Корень уравнения з' ' = 2 равен [Г] log3log23 I [3J log2log3- [ 4 I log3 log2 - [_5j уравнение корней не имеет. О 281 Область определения функции у = множеством — log2 (х - IJ совпадает с [I (-оо;3] Щ [- [3;+оо) [7] (-оо;1). 291 Область определения функции у — у/\ - \ log2 x\ совпадает с мно- множеством Jj @;2] \2] [i;2] Ш [2;+оо) 1 12' Область определения функции у = log4 _ х (х2 - 2ж) совпадает с множеством I] (-oo;0)UB;4) |Т| @;2) [Т] (-оо;0) U B;3)U C:4) Т| (-00; 0) U D; +оо) ПП B;+оо). 82
Перечислим методические указания к заданиям контрольной работы. 1. Свести задание к однородному уравнению. 2. Прологарифмировать обе части уравнения. З.,4.,6.,8.,9. Обратить особое внимание на О.Д.З. неравенства и по- помнить, что свойства логарифмов существенно зависят от основания. 5.,7. Перейти к одному основанию, провести замену. 10. Изучить пример 8.20 с. 160 [2]. ЬРешить уравнение 1.0 10 • 4*-21-10х = 10-25х 1.1 6-9х + 5-6х = 6-4* 1.2 16* + 36х = 2 • 81х 1.3 2-4х + 25х+1 = 15 • 10х 1.4 64-9х + 27-16х = 84 -12х 1.5 4х' + 6х' = 2¦ 9*2 1.6 3-16х+ 2-81х = 5-36х 1.7 2 -49х- 14х = 21 -4х 1.8 4-25х2 + 5-16х2 = 9-20х2 1.9 5 • 9х + 22 • 15х = 15 -25х 2.Решить уравнение lgx + 5 2.0 х 3 = itf> + i&x 2.2 х 3°— , 0 10 2 4 27э* §27 х — т 3 2 6 X ё ^ =: Юх3 2.8 61о&5х + х*о8б х = 12 З.Решнть неравенство 2 2.1 2.5 2.7 2.9 С + 3)> »-5)< 31о8зх + х1оёз^ = 0 0 х = = 162 2 3.2 log, /r /у (х2-4х + 4)>0 3-3 lo8l /6 /а Fх-х2-7)<0 83
3.4 35 3.6 logj до д^ (z2 + Зх - 9) >0 3.7 log, д- - Dх - z2 - 2) > О 3.8 log^±yg(x2-7x + ll)<0 4 3.9 logj я д Eх-х2-3)>0 4.При каких значениях х график функции j/ = 0,7 & (ах + "х + с) рас- расположен выше прямой у = 1 4.0 а = 1 6 =-8 с = 8 4.5 о = 1 6=10 с = 17 4.1 а = 4 6= -16 с = 8 4.6 а = 4 6=16 с = 8 4.2 а = 1 6 =-6 с=1 4.7 о=1 6 = 8 с = 8 4.3 о=1 6 =-10 с =17 4.8 а = 4 6 =-16 с =-8 4.4 о = 1 6=6 с=1 4.9 о=1 6 =-8 с =-8 5.Решить иеравеиство 5.0 51 5.2 < 1 + log2 х ~ 2 5.3 log| x2 - log0 5 x > 5 5.4 log2P5x2-log2x< 5 5.5 lo^5(x-lJ-log2(x-lj<5 5.6 84
5.7 5.8 5.9 1 + log9 x б.Решить неравенство 6.0 log2;r {x2 - 5х + 6) < 1 6.1 log^ log2 logx _ j 9 > 0 2 6.2 log r log3 (9х - 6) > 1 6.3 logx2 C - 2x) > 1 6.4 logj(a- + l) <logiB-x) 6.5 log^. (x2 + 3x - 3) > 1 6.6 logj.2 -. гт < — 6.7 Dx -f- 2x + 1) > 1 8 - 12a; 6.8 1 < 3lx ~ xl < 9 6.9 5 * x - 6 > 25 7.Решить неравенство 7.0 Iog2(jr + 1) >log;c + 116 7.1 log2x>logx16 7.2 log2 {x - 1) > log,. _ i 16 7.3 log2 (x - 1) < logx _ ! 16 7.4 log2 x < logj 16 7.5 log2 (x + 2) > logx + 2 16 7.6 log2(x + 3) <logx + 316 7.7 log2 (x - 3) < log,, _ 3 16 7.8 Iog2(x-3)>logx_316 7.9 Iog2(x + 4)>logx + 416 8.Выполнить задание 8.0 Найти решения неравенства V3x — х2 < 4 — х из области опре- / х + 1\1/2 деления функции f(x) = I log1/2 log3 1 8.1 Найти решения неравенства logx_j 0,3 > 0 из области определе- определения функции /(х) = 85
X2 8.2 Найти решения неравенства bg03log6 — < 0 из области ' х + 4 , Г. 64 определения функции у = W1 - у х 8.3 Найти решения неравенства log0 5(ж + 3) < bgo25(x + 15) из области определения функции у = ^/3 — \х + 1| 8.4 Найти область определения функции у = log2 (logx /2 + 1 1 у 8х — 5 J 8.5 Найти область определения функции 8.6 Найти область определения функции f(x) = lg [(sin 2x • cos x — sin x) ¦ у/ Dх + тг)Cтг — 4ж) ] 8.7 Найти область определения функции /(*) = VI— loRa, _ i(a? - 6х + 9) 8.8 При каких х график функции /(х) лежит ниже оси абсцисс, если 2 /(Х) = + 1 bg3 ? Jy ' 1 - Iog35-log57r 6f arccos(-0,5)' 8.9 При каких х график функции f(x) лежит выше оси абсцисс, если 2 9.Решить уравнение 90 log'2{'^гх' + d?l) + log2cosх + log2sinх = 9.1 loggsinz + log2(l - 0,5 sin ж) + 1 = 21og2c;osx 9 2 — Г,/о д.2 U sin х s\nx) (9-x2r^~LVJ ZJ / 1 соь'2х\ 9.3 :—,— = fv/l0-x2]vrosir "**/ A0 - ж2)" 86
9.4 logsin x (sin2 2x — 2 cos 2x) = 2 + log2' sin a; 9.5 loggjn xC + cos 2x — 4 sin2 2a;) = 2 + log^1 sin a; 9-6 bgcosira;(l - ^sin27ra;) = 2 9.7 logginTI(l + sin2ira) = 2 9.8 log^3B cos x + 3 sin a;) + bg3F cos x + 5 sin or) = —0,5 bg^ tg x 9.9 Iog2B sin x + cos a;) + log^^ sin x + 4 cos a;) + log^ y/ct%x — 0 Ю.Оаределить, при каких значениях а неравенство имеет решения и мйтнэтн 10.0 logx (а + а: - 1) > 2 \Q.\ \оц_х) {-х - а) > 2 10.2 logx_i [i • Bх - а - 2)] > 2 10.3 log*. t (a: + а - 1) > 2 2 4 10.4 logb^ [^ • B - 2* - а)] > 2 10.5 logx+ ! (а + х - 1) > 2 2 4 10.6 loga._1(a + a;-l)>2 10.7 logx + г (х - а) > 2 10.8 logl (* + «)> 2 Ю.9 1оц_х)(а-х)>2 §10. Тест по теме № 7. Числовые последовательности. Прогрессии Для успешного усвоения этой темы достаточно изучить раздел 7 по- пособия [1] и прорешать типовые задания, приведенные в этом разделе. Для определения уровня Ваших знаний проведите самотестирование по тесту Т-07. Т-07] {Последовательности | В последовательности с общим членом оп = 5п - 2 член, равный имеет номер [Л 26 ПЛ 27 HI 28 IT) 25 ПП 24. 87
021 Пятый член последовательности, определяемой соотношениями «1 = 2, an+i = ап + 3, равен ПЛ 7 ЦП 8 9 [4 12 14. 03 j Сумма восьмого и девятого членов последовательности с общим •""J 1 членом ап = га — 0,5п 12 2 - равна 7 +л/2 г—il4-3\/2 г—I 7 — л/2 12 TI2V2. 041 Если первый и двадцатый члены арифметической прогрессии рав- равны соответственно 76 и 19, то ее разность равна ПП -2 ЦП 2 -3 5 -2,5. 051 В арифметической прогрессии известны а\ = sin 30°, а2 = cos 120°. Десятый ее член равен 1 -9,5 2 -8,5 [Г] 0,5 JT] -0,5 \7] 8,5. 0» | Члены арифметической прогрессии с первым членом а\ = 30 и разностью d = -2,6 отрицательны, начиная с номера JJ 11 [г] 12 [Т] 13 [4J 14 (TJ 15. О'| В арифметической прогрессии щ = 4, ад = 11. Ее первый член и разность соответственно равны 1_|-2;0,7 [г]-0,2; 2 [з]-0,3;1 Щ -0,1; 1,2 |5| -0,2; 1,4. 08 j Сумма всех четных чисел от 30 до 80 включительно равна 1430 2 1375 1485 1320 5 1410. О" I О" I Все члены последовательности «„ = , принадлежащие ин- -"¦л Зп+ 1 тервалу (-; -), имеют номера о 4 ПП 2,3,4 [Т] 3, 4, 5 Гз] 4, 5,6 [71 5, 6, 7 [71 3,4,5,6. 88
и J.OJ Сумма первых шести членов геометрической прогрессии с первым Злёном 128 и знаменателем 0,5 составляет 1 254 2 248 3 252 280 5 240. ill В геометрической прогрессии седьмой член равен 6,4, а знамена- гель составляет 2. Второй член прогрессии равен 1 0,1 2 0,2 0,15 4J 0,3 Ы 0,5. 121 Наибольший член последовательности, заданной формулой *^= 20 + 18п - 2п2, равен 30 1 20 50 4 80 5 60. 131 Чтобы сумма первых натуральных чисел, кратных трем, равнялась ;, их нужно взять в количестве 22 23 3 24 4 25 141 В геометрической прогрессии 64 = 12, Ь7 = 1,5. Ее первый член и знаменатель соответственно равны -96; 0,5 [21-96;-0,5 131-48; 1,5 4 48; 1,5 I5J 96; 0,5. 151 Сумма бесконечно убывающей прогрессии, у которой первый —* 1 член 1 и знаменатель равны —¦=, составляет v3 г- Li 4 равна ? 1 В прогрессии -Х-1-Х 1 4,5 2 I 5,5 31 7,5 ... сумма первых десяти членов 6,5 ПП 5. Последовательность задана общим членом ап = -——. Неравен- Зп + 2' 1|9 |2| 6 |3|7 |4|8 |5|5. ство \ап 1 < 0,1 выполняется для всех п, начиная с номера О ^^т^^т ^^~^^Ч Г^^^Ч Г^^1^^ ^^^"^*1 89
18 j Сумма первых шести членов прогрессии \/2, —л/2, \/8. -2, ... с четными номерами равна ПП 7B + v/2) \Т\ 8 - v/2 \Т\ -7B + у/2) [Т]^2-8 \ь\&- \/2. Сумма 0,3115 + О,000015 + 0,00000015 + ... равна 514 1665 257 825 257 755 257 г—i 514 I 5 1500 1565" 201 В геометрической прогрессии Ь4 • Ь« = 27. Величина Ьв равна Гз1 -3v/3 [71 ~ 5 - 211 Если сумма четвертого и восемнадцатого членов арифметической прогрессии равна 20, то сумма первых двадцати одного члена равна 280 [21 315 1з1 420 [4| 210 5J невозможно определить. 221 Первый член последовательности не равен нулю и каждый из по- последующих вдвое меньше суммы предыдущих. Последовательность явля- является прогрессией: 1J геометрической 2 I арифметической 3 I убывающей геометрической убывающей арифметической | 5 I геометрической, если отбросить первый член 231 Последовательность с общим членом ап = является убы- ¦—* п + с вающей при всех следующих натуральных значениях с: ГП 1, 2, 3, 4, 5, 6 [711, 5, 6 ПЛ 1, 2, 3, 4 [7] 1, 2, 6 [711, 2, 5, 6. 241 Если в арифметической прогрессии а3 + а8 + ац + величина «4 + aig равна — 38, то ГП 4,75 [Г] л/19 (TJ л/38 IT] 19 ПП 9,5. 90
Периодическая десятичная дробь 0,1B3) равна т 61 пп 61 m 41 450 Г71 — Г7 —' 495 '—' 330 Сумма 1 + sin2 — -f sin4 — -f- sin6 — + ... равна 8 8 8 T] 4-2\/2 ¦2\[г y/2 V2 \/2 + 2\/2-2. 27 j Для того, чтобы сумма первых натуральных четных чисел была больше 150, их нужно взять не менее [71 10 ЦП 11 Гз1 75 ЦП 76 ПП 12. 281 Ддя бесконечно убывающей прогрессии выполняется равенство - tg~2 a; + tg~4 a; — tg~6 a; + tg~8 х - tg~10 х + принадлежащих множеству вида = sin2 а; при всех а;, 1\ (-— + 2жп;тгп) ; — 3 | (жщ- 7Г ,7Г (- 3 ;-7 ,7Г *¦ 3 7Г ; 2" 291 2-й, 9-й, 13-й члены арифметической прогрессии являются по- последовательными членами геометрической прогрессии. Ее знаменатель равен -7- 0 - Н -- И 7- 0 -• Д0| Сумма десятичных логарифмов девяти последовательных членов геометрической прогрессии составляет 9. Произведение крайних из рас- рассматриваемых членов равно Г] 100 [2J 1000 [У] 3 0,1 10. 91
§11. Контрольные задания по теме № 8. Геометрия Для выполнения этой контрольной работы следует внимательно из- изучить разделы 12 и 13 пособия [1], было бы очень полезно постараться и прорешать все задачи по планиметрии и стереометрии, подобранные в посо- пособии, т.к. эти задачи являются опорными. Кроме того, необходимо провести самотестирование по теме Т-08. Обязательно последуйте этим советам, так как в последние годы гео- геометрические задачи для учащихся являются зачастую непреодолимым пре- препятствием. | Планиметрия | ОЦ В прямоугольнике диагонали пересекаются под углом в 60°, а сумма диагонали и меньшей стороны равна 36. Диагональ равна 1 12 2 24 36 4 48 5 021 В выпуклом четырехугольнике два угла относятся как 3 : 5, третий равен их разности, а четвертый больше третьего на 12°. Меньший угол равен И 44е 62° 4 58° 5 36°. 031 Вертикальный шест высоты 2 м дает тень в 1,2 м. Высота столба, тень от которого составляет 4,5 м, равна 1J 6,3м [21 7,5м 3 4,8м [4 5,2м |5| 5,25м. 041 В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 8, а меньшая диагональ — \/б5. Площадь трапеции составляет Г] 36 [2J 45 [У] 52 [Т| 38 [5J 42. 051 Стороны четырехугольника относятся как 2:4:3:6. Периметр подобного ему четырехугольника составляет 150. Меньшая из сторон второго четырехугольника равна 1 10 2 15 3 18 4 25 5 20. 92
Ов| в параллелограмме, периметр которого равен 84, а высоты отно- относятся как 3 4, меньшая сторона составляет 15 [Л 30 ПП 8. 12 18 071 В трапеции с высотой h боковые стороны и меньшее основание равны половине большего основания. Площадь трапеции равна ¦у/Ь \Т\ h?(V3+l) IT] 2ft2. 7] h2-y/2 [У] h2 у/3 \Jj 081 Площадь параллелограмма со сторонами 5 и 6 составляет 10\/5 ольшая диагональ параллелограмма равна 1 ^97 17] [2J 9 [з] v/101 091 Стороны прямоугольника, вписанного в окружность радиуса R, относятся как а : Ь. Площадь прямоугольника равна 2Д4 а2 + Ь R4 а2 + Ь2 iabR2 ^Ть2 2а6Д2 а2 + Ь2 abR2 Ю| В равнобедренном треугольнике радиус вписанного круга соста- составляет 0,2 его высоты, а периметр треугольника равен 60. Меньшая сто- сторона треугольника равна ГП 20 ПП 8 Гз1 12 ПП 8>/2 ПЛ 24. Площади вписанного и описанного около окружности правиль- правильных шестиугольников относятся как 3:4 [714:5 ПГ|5:6. JJ 1:2 [2_ 2:3 121 к окружности радиуса 5 из точки А проведена касательная длины 2\/б Расстояние от точки А до ближайшей точки окружности равно 2 1,5 2,5 \5j 3,5. 131 В треугольнике основание равно 60, а высота и медиана, прове- проведенные к нему — 12 и 13. Большая боковая сторона равна Г) 43 [2J 34 [У] 35 \Т\ 36 [б] 37. 93
14| в окружность вписаны квадрат и прямоугольник с углом а между диагоналями. Отношение их площадей равно т п I 1 (V 5 sin-. ГТ] sinn [2j sin— [з_] tgo Г4П tg — ' 2, 2, 151 В равнобедренной трапеции, описанной около окружности, осно- основания равны 20 см н 5 см. Радиус окружности составляет 5 5 см. Т] 8см [2J 6см [з_] 7,5см |4| 4 см 16 j Высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, де- делит угол в отношении 1 : 2. Площадь треугольника она делит в отноше- отношении Т\5-2у/б |2J 3 — 2>/2 3 1:3 ГТ! 1 : 4 | 5 | 7 - 4уД. 17| Окружности радиусов 2 и 3 касаются внутренним образом. Наи- Наибольшая из хорд большей окружности, касающихся меньшей, имеет дли- [У Г71 3>/3 [Т| 2,5 [Ц 4>/3 [7 Правильный треугольник вписан в единичный квадрат так, что они имеют одну общую вершину. Площадь треугольника равна 71 2^3-3 ПП 2-уД Ш 0.75 Г71 4>/3-6 ПП 0,8. 191 в трапеции боковые стороны равны меньшему основанию, а диа- диагонали — большему. Острый угол трапеции составляет 3 m 4 г—1 7 г—| 9 71 2 5* —| 4 201 Основания равнобочной трапеции относятся как 2 : 5, а диагональ делит острый угол пополам. Тангенс этого угла равен z m t m ^ m й. 6 — 7 — з — 4 211 В прямоугольном треугольнике катеты составляют 10 и 24. Радиус вписанной в треугольник окружности равен 1717 |Л 2 Гз1б Г7|4 ППб. 94
2 21 Две окружности касаются друг друга и сторон прямого угла. От- Отношение их радиусов равно Il5-4v/3 f2l4 231 Высота трапеции с основаниями 10 и 30 и сторонами 13 и 3\/4Т равна 16 2 10 15 4 14 5 12. 24 j В круге расстояние между параллельными хордами длины 10 и 24 равно 17. Площадь круга равна 1 144л- 2 1967Г 169тг 4 289тг 251 Площадь трапеции с высотой 12 и диагоналями 20 и 15 равна 1 125 2 250 150 4 175 5 200. 261 в окружности радиуса 1, хорда, стягивающая некоторую дугу, рав- равна v2— \pi. Хорда, стягивающая вдвое большую дугу, равна 111 [2I2 ПТ] 1,5 ГТ1 v/2 Гб] 2v/2. 2< I Окружность, вписанная в ромб, точкой касания делит его сторону в отношении 2 : 3. Сииус угла ромба равен *? m^ 2v/5 28 j Последовательность квадратов, начиная с единичного, такова, что вершины последующего делят стороны предыдущего в отношении 3:1. Сумма площадей всех членов этой последовательности равна 1г 22 m 29 Li- 29 j Равнобедренная трапеция с острым углом а описана около окруж- окружности. Точка касания окружности делнт боковую сторону, считая от меньшего основания, в отношении о Q tg" ., 7г — а 2 Ш 7Г — (X 95
301 В описанной около круга неравнобочной трапеции диаметр, пер- перпендикулярный основаниям, делит площадь трапеции в отношении 1: 2. Отношение синусов острых углов трапеции равно 5 Г?1 2 Г?! 1,6 ftl 4 Р [I 1,2. 1.Длины катетов прямоугольного треугольника являются корнями ква- квадратного уравнения ах2+Ьх+с = 0. Вычислить длину гипотенузы, площадь треугольника, радиусы вписанной и описанной окружностей, биссектрису прямого угла при следующих значениях о, Ь и с. 1.0 а = 2 6 = -12 с=3 1.5 а = 4 Ь = -40 с = о 1.1 а = 1 6=-10 с = 1 1.6 а = 3 Ъ =-30 с = 5 1.2 а = -2 6 = 7 с =-4 1.7 а = 3 Ь =-40 с =10 1.3 а = 3 6=-19 с = 7 1.8 а = 3 Ь=-20 с=8 1.4 а = 2 6 =-20 с=5 1.9 а = 2 6= -10 с = 2 2.Решить следующую планиметрическую задачу 2.0 Острый угол прямоугольного треугольника равен а. Найти отно- отношение радиуса вписанной в треугольник окружности к радиусу описаииои окружности. При каком значении а это отношение является наибольшим? 2.1 Дуга АВ сектора АО В содержит а радианов. Через точку В и середину С радиуса О А проведена прямая. В каком отношении она делит площадь сектора'' 2.2 Основания равнобедренной трапеции равны а и Ь {а > Ь), угол при большем основании равен а. Найти радиус окружности, описанной около трапеции. 2.3 Найти отношение площади сектора с данным центральным углом а радианов к площади вписанного в него круга. 2.4 Боковые стороны трапеции равны р и q (p > q), большее осно- основание равно а. Углы при большем основании относятся, как 2:1. Найти меньшее основание. 96
2.5 Площадь равнобедренной трапеции равна S, угол между ее диа- диагоналями, противолежащий боковой стороне равен а. Найти высоту тра- яеции. 2.6 Большее основание вписанной в круг трапеции равно диаметру круга, а угол при основании равен а. В каком отношении точка пересечения диагоналей трапеции делит ее высоту? 2.7 В каком отношении делит высоту равнобедренного треугольника ABC точка О, из которой все стороны видны под одним и тем же углом (LAOB — LBOC = LCOA), если угол при основании треугольника равен а (а > тг/6)? 2.8 Высота равнобедренного треугольника равна h и составляет с боковой стороной угол а (а >тг/6). Найти расстояние между центрами вписанной в треугольник и описанной около него окружностей. 2.9 В окружность радиуса R вписан треугольник, вершины которого делят окружность на три части в отношении 2 : 5 : 17. Найти площадь треугольника. З.Решить задачу 3.0 Известно, что в треугольнике ABC AB = а. 1С = а. Найти радиус окружности, проведенной через вершины А, В к центр окружности, вписанной в треугольник ABC. 3.1 Даны две стороны а и Ь треугольника и биссектриса / угла между ними. Найти этот угол. 3.2 Пусть О А—неподвижный радиус окружности с центром в точке О, В—середина радиуса О А; М—произвольная точка окружности. Найти наибольшее значение угла ОМВ. 3.3 В треугольнике известны площадь 5, сторона а и противолежа- противолежащий ей угол а. Найти сумму двух других сторон. 3.4 Площадь равнобедренного тупоугольного треугольника равна 8, а медиана, проведенная к его боковой стороне, равна у37. Найти косинус угла при вершине. 3.5 Сторона треугольника равна 15, сумма двух других сторон равна 27. Найти косинус угла, противолежащего данной стороне, если радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. 3.6 В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса AD острого угла Л, равного а.Найти отношение радиусов окружностей, впи- вписанных в треугольники ABD и ADC. 3.7 Внутри данного угла а расположена точка на расстоянии а от 4-6838 9"
вершины и на расстоянии Ь от одной стороны. Найти расстояние этой точки от другой стороны. 3.8 Равнобедренный треугольник с углом а при вершине пересечен прямой, проходящей через вершину угла при основании и составляющей с основанием угол fi. В каком отношении эта прямая делит площадь тре- треугольника? 3.9 В прямоугольном треугольнике найти угол между медианой и бис- биссектрисой, проведенными из вершины острого угла, равного а. 4.Решить задачу 4.0 Стороны основания прямого параллелепипеда относятся, как 1 : 2, острый угол в основании равен а. Найти угол между меньшей диагона- диагональю параллелепипеда и плоскостью основания, если высота параллелипи- педа равна большей диагонали основания. 4.1 В основании прямой призмы лежит ромб с острым углом п. От- Отношение высоты призмы к стороне основания равно к. Через сторону осно- основания и середину противоположного бокового ребра проведена плоскость. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания. 4.2 Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник с углом а при вершине. Диагональ грани, противоположной данному углу, равна / и составляет с плоскостью основания угол E. Найти объем призмы. 4.3 Через диагональ нижнего основания правильной четырехуголь- четырехугольной призмы и противоположную вершину ее верхнего основания проведена плоскость.Угол между равными сторонами сечения равен а. Найти отно- отношение высоты призмы к стороне основания. 4.4 Угол между диагоналями основания прямоугольного параллеле- параллелепипеда равен а. Диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью осно- основания угол /3. Найти высоту параллелепипеда, если его объем равен V. 4.5 Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция, у которой основания равны а и Ь (а > Ь), а острый угол равен а. Плоскость, проходящая через большее основание нижней трапеции, составляет с плос- плоскостью нижнего основания угол /3. Найти объем призмы. 4.6 В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом а. Диагональ большей боковой грани равна d и образует с боковым ребром угол /3. Найти объем призмы. 4 7 В основании прямой треугольной призмы лежит равнобедренный треугольник ABC, у которого АВ = ВС = а и 1ВАС = «. Через сторо- сторону АС проведена плоскость под углом <р (<р < ж/2) к основанию Найти 98
площадь сечения, если известно, что в сечении получился треугольник. 4.8 В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания равна d и составляет со стороной основания угол а Через эту сторону и противопо- противоположную ей сторону верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол в. Найти боковую поверхность параллелепи- параллелепипеда. 4 9 Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна I и составляет с боковым ребром угол а. Найти объем параллелепипеда, если периметр его основания равен Р. 5.Решить задачу 5.0 Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, если сто- сторона ее основания равна а, а двугранный угол при основании равен а. 5.1 В правильной двенадцатиугольной пирамиде, ребра которой про- пронумерованы подряд, проведено сечение через первое и пятое ребра. Плос- Плоскость сечения образует с плоскостью основания пирамиды угол а, а пло- площадь этого сечения равна S. Найти объем пирамиды. 5.2 Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно т и наклонено к плоскости основания под углом а. Найти объем пирамиды. 5.3 Найти косинус угла между смежными боковыми гранями пра- правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно сто- стороне основания. 5 4 Сторона основания треугольной пирамиды равна а, прилежащие к ней углы основания равны aw. C. Все боковые ребра составляют с высотой пирамиды один и тот же угол (р. Найти объем пирамиды. 5.5 Высота правильной треугольной пирамиды равна Я, двугранный угол при основании равен а. Найти полную поверхность пирамиды. 5.6 Отношение боковой поверхности правильной треугольной пира- пирамиды к площади ее основания равно к. Найти угол между боковым ребром и высотой пирамиды. 5.7 Основанием четырехугольной пирамиды служит ромб со сторо- стороной а и острым углом а. Все боковые грани наклонены к плоскости осно- основания под одним и тем же углом fi. Найти полную поверхность пирамиды. 5.8 Боковая грань правильной усеченной треугольной пирамиды со- составляет с плоскостью основания угол а. Найти угол между высотой и боковым ребром пирамиды. 5.9 Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует со стороной основания угол а. Найти угол между боковым ребром и высотой 99
пнрамиды и допустимые значения а. б.Решить задачу 6.0 Высота конуса равна Я, угол между образующей н высотой ра- равен о. В этот коиус вписан другой конус, так что вершина второго конуса совпадает с центром основання первого конуса, а соответствующне образу- образующие обонх конусов взаимно перпендикулярны. Найти объем вписанного конуса. 6.1 Раднус круга, вписанного в прямоугольную трапецию, равен г, острый угол трапеции равен а. Эта трапеция вращается вокруг меньшей боковой стороны. Найтн боковую поверхность тела вращения. 6.2 В основание конуса вписан квадрат, сторона которого равна а. Плоскость, проходящая через одну из сторон этого квадрата и через вер- вершину конуса, при пересечении с поверхностью конуса образует равнобе- равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен а. Найтн объем конуса. 6.3 Образующая конуса равна а, расстояние от вершины до центра вписанного шара равно Ь. Найти угол между образующей и плоскостью основания. 6.4 В конус впнсаи шар. Отношение радиуса окружности касания шаровой и конической поверхностей к радиусу основання равно к. Найти косинус угла между образующей конуса и плоскостью основания. 6.5 В конус вписана треугольная пирамида, у которой боковые ребра попарно перпендикулярны. Найтн угол между образующей конуса и его высотой. 6.6 Основання двух конусов, имеющих общую вершину, лежат в од- одной плоскости. Разность их объемов равна V. Найти объем меньшего ко- конуса, если касательные, проведенные к окружности его основания из произ- произвольной точки окружности основання большего конуса, образуют угол а. 6.7 В конус вписан полушар: больший круг полушара лежит в плос- плоскости основания конуса, а шаровая поверхность касается поверхности ко- конуса. Найтн объем полушара, еслн образующая конуса равна / н составляет с плоскостью основания угол а. 6.8 В шар вписаи конус. Площадь осевого сечения конуса равна 5, а угол между высотой и образующей равен а. Найтн объем шара. 6.9 Объем конуса равен V. В конус вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом а между боковыми сторонами. Найти объем пирамиды. 100
7.Решить задачу 7.0 Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды рав- равна а, боковое ребро составляет с плоскостью основания угол а. В пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины лежат на апофемах пирамиды, че- четыре — на основании пирамиды. Найти ребро куба. 7.1 В конус помещен шар так, что их поверхности касаются. Радиус шара равен R, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 2а. Найти объем тела, ограниченного поверхностями шара и конуса. 7.2 Из основания высоты правильной треугольной пирамиды на бо- боковое ребро опущен перпендикуляр, равный р. Найти объем пирамиды, двугранный угол между ее боковыми гранями равен а. 7.3 Найти объем и боковую поверхность правильной треугольной пи- пирамиды, если плоскость, проходящая через сторону основания а и середину ее высоты, наклонена к основанию под углом (р. 7.4 Из основания высоты правильной треугольной пирамиды на бо- боковое ребро опущен перпендикуляр, равный р. Найти объем пирамиды, если двугранный угол между ее боковыми гранями равен а. 7.5 Основанием прямой призмы служит равнобедренный треуголь- треугольник, основание которого равно а, а угол при основании равен а. Найти объем призмы , если ее боковая поверхность равна сумме площадей осно- оснований. 7.6 Из основания высоты правильной треугольной пирамиды на бо- боковую грань опущен перпендикуляр, равный а. Найти объем пирамиды, если угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен а. 7.7 Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом а. Две боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие наклоне- наклонены к нему под углом <р. Найти объем и боковую поверхность пирамиды. 7.8 Перпендикуляр, опущенный из центра основания конуса на обра- образующую, вращается около оси конуса. Найти угол между его образующей и осью, если поверхность вращения делит объем конуса пополам. 7.9 Основанием пирамиды служит ромб с острым углом а. Все бо- боковые грани составляют с плоскостью основания один и тот же угол ft. Площадь сечения, проведенного через большую диагональ основания и вер- вершину пирамиды, равна 5. Найти объем пирамиды. 101
J12. Итоговые контрольные задания Данная контрольная работа является завершающей, по качеству вы- выполнения ее можно судить о Вашей готовности к успешной сдаче экзаме- экзамена по математике. Перед выполнением этой контрольной работы следует изучить все замечания, указанные преподавателем иа выполненные Вами предыдущие контрольные работы. В обязательном порядке проведите са- самотестирование по итоговому тесту. JT-ITOG) | Итоговый тест| 011 Если неполное частное равно 16, делитель 19, остаток 13, то де- делимое равно 1 317 2 318 3 319 4 314 5 316. 021 1 Число log4 26 - log2 \/l3 равно i i i—i i—i 3 0,5 2,5. 031 Если из 50 т железной руды выплавляют 20 т стали, содержащей примесей, то процент примесей в руде составляет 1 62% 70% Ы 64,75% 72,4% 5 75%. /I \ -1 аЗ+а\ _1 При а = 0,027 выражение —-. I + a 3 равно аЗ-1> 1 0,3 10/3 -0,35 -25 5 0,35. _ 0,2x - 0,6 Функция у = — принимает положительные значения при 0,2 — 0,1х всех х из множества ЛB;3) |T|(-oo;2)UC;+oo) П ;3) 4 B;+оо) |5|(-оо;3). Длина отрезка, на котором определена функция у - yj{tg 60° - а;) (а; - cos 30°) равна f d 102
в арифметической прогрессии известны а\ = &in30°, а2 = cos 120°. Десятый член ее равен ГП -9,5 И -8,5 [Г] 0,5 [71 -0,5 |Т| 8,5. 081 Оба кория уравнения х2 — ах + 4 + 2х — а2 равиы нулю при а, равном 1—i I—I i i i—i I 2 1 ±1 2 1 3 ±2 -1. Корнем уравнения lg — = lg (a; + 3) является х + 25 1 -2,5 21-4 131 2,5 UJ 4 5 корней иет. Ю | Область определения функции у = у/8 — @,5I совпадает с множе- множеством Т] (-оо;-3] Щ[-3;+оо) [з](-оо;3] Щ [3;+оо) И| Выражение ^A - у/2J ¦ у/7+Ь\Д равно Г] у/уД-1 [г] -у/уД-1 [У] 1 Щ -1 [б] VV2+T- 12 j в геометрической прогрессии Ь% = -24, &6 = 3. Ее первый член и зиаменатель соответственио равиы |Т| -48; 0,5 Щ 48; -0,5 \ъ\ -96; -0,5 [4J 48; 0,5 |TJ 96; 0,5. 13 j В равнобедренной трапеции, описанной около окружности, осно- основания равиы 20 см и 5 см. Радиус окружности составляет Т] 8 см Щ 6 см Щ 7,5 см \а\ 4 см [б 5 см. I 3 1 141 Если а > 0, то неравенство — < — эквивалентно неравенству ¦**™1 х а \Т\ х > 0 [г] х < -За ПП х > -За ПП 0 > х > -За ПП ж > а/3. 103
Равенство = 0,5 верно при х равном 64 я 4 1 32' ж Если tg q + tg (-7Г - о) = 5, то tg2 a + ctg2 а равняется (Ti 29 fil 21 HI 23 [Tl 25 [T| 27. Сумма действительных корней уравнения (х — 1J(х2 - 2х) = 12 равна 1-3 2 2 3 3 4 4 5 0. Если tg a • | cos a| + ctg a • | sin a\ = \/2 sin (a — —), то угол a окан- оканчивается JJ 1-й четверти | 2 | 2-й четверти | 3 | 3-й четверти 4 4—й четверти | 5 | 1-й и 2-й четвертях. В трапеции с высотой h боковые стороны и меньшее основание равны половине большего основания. Площадь трапеции равна /i2-^ ГгП Л2 - ч/З Гз1 Л2- л/5 ПП Л2 • (\/3 + 1) ПГ] 2ft2. 201 Корнями уравнения х - 5 = k\fx являются ПП 9 Гг~| 4и1 4 4 25 25 и 1. 211 Ордината вершины параболы у = -х2 + 2х + а, проходящей через точку (-1;2), равна 1 ПП 3 -2 6 5 7. ) Равенство tg a = a2 - 8, где а ? (—; —) и a < 0, выполняется при всех следующих значениях a ; Tja<-3 Qf]a>3 [jF]a<±3 [7]-3<а<0 [Т| 3 > a > 0. 104
v V& + X- .Г2 v/6 + X - X1 Корнями уравнения = — являются ПП -2; 2 fTl -2;2;3 IT] 2 (Т| -2 ПП -2; 3. 24 j Все углы из промежутка (--тг; —тг), удовлетворяющие неравен- неравенству \/2/2 < sin х < \fbj1, образуют множество 0 [-2,;-!,,. 25 j График функции у = х2 — ах + 1 расположен выше оси абсцисс, 00111ГТ1« < ±2 IT! а > ±2 fTl -2 < п < 2 [Т| « > 2 ПП « < -2. 26 j Все решения неравенства |лг|х| + 1| < 2 образуют множество |T|[-l;v/3] H][0;v/3] [T][-v/3;l] |T| [-v^;l] [Ц [0;2] 27| 5-й, 8-й и 13-й члены арифметической прогрессии являются по- последовательными члеиами геометрической прогрессии. Ее знаменатель равен JJ -3/2 [J] 3/2 |з] -3/5 UI 3/5 [?] 5/3. Множество значений функции у = 6 — у/7 — 6х — х2 равно ПП [2:+оо) [г] [6; 12] IT) [2; 6] (TI [0;6] Щ [0;2]. 291 Множеством значений функции у = Iog2(x2 — 2х + 3) является Л [-1:1] |Т|(-с»;1] Равиобедреииая трапеция с острым углом а описана около окруж- окружности. Точка касания окружности делит боковую сторону, считая от меньшего основания, в отношении 105
Вариант О 1. Найти натуральные п из уравнения B + 4.5 + 7 + ... + D.5 + 2,5п)) + B + 4 + 6 + ... + 2(га - 1)) = 188,5 2. Построить график функции 2sin2| 2sin2| 2sin2| 4^ 3. Железная дорога за простой вагоиов под разгрузкой в первый день берет с предприятия 40 р, а в каждый последующий день — на 30 р боль- больше, чем в предыдущий. Бригада грузчиков должна разгрузить вагоны за 10 дней. Если она разгрузит вагоны раньше срока, то получит премию 235 р за каждый сэкономленный день. При каком сроке разгрузки будут минималь- минимальными затраты предприятия по оплате простоя вагонов и выплате премии грузчикам? 4. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция, меньшее основание которой составляет 2/5 большего. Все боковые грани пирамиды образуют угол 60° с основанием. Найти угол наклона меньшего бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания. , _ . 8а:-8 5. Решить неравенство logx/2 > — 1. arcsin x 6. Решить неравенство у/х + 8 + д/Ю - х > 6,5 — 7. Решить систему уравнений x + yj \x-yj 2' xy = —15. 8. Решить уравнение sin(x - —) cos(a; + —) = —-—. Вариант 1 1. Найти натуральные п из уравнения B,3 + 4,5 + 6, о + ... + F,5 + 2п)) + C + 6 + 9 + ... + 3(п + 1)) = 223 2. Построить график функции 106
x 2 2 1+cos»!1 3. Два проходческих комбайна начали рыть навстречу друг другу тон- тоннель длиной в 30 м. Стоимость проходки первого метра первым комбайном равна 1,5 тыс. р, а стоимость каждого последующего метра его проходки на 0,9 тыс. р больше предыдущего. Стоимость проходки каждого метра вто- вторым комбайном равна 12,75 тыс. р. Какую часть тоннеля следует пройти каждым комбайном, чтобы общая стоимость проходки тоннеля была мини- минимальной? 4. В равнобедренной трапеции, являющейся основанием пирамиды, большее основание относится к меньшему как 4:3. Найти угол наклона большего бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания, если все двугранные углы при основании пирамиды равны 30°. 4а;-14 5. Решить неравенство log /j > — 2. ^ _ /л , я- „ _ arcsin @,25а:) 6. Решить неравенство д/20 — х + \Jx + 12 > 8, а — - 7. Решить систему уравнений 1/2 кУ/ Кх' ху = 36. 8. Решить уравнение cos(a: ) sin(a: -\—) = . Вариант 2 1. Найти натуральные п из уравнения A.5 + 3 + 4, 5 + ... + 1. 5(п +1)) + C + 4, 5 + 6 + .. • + 1. on) = 180 2. Построить график функции у — sin 2а: + sin 2а: • cos 2а: + sin 2а: • cos2 2а- + ... + sin 2a: cos*~' 2х + ... 3. Собрав половину партии приборов, бригада увеличила свою числен- численность на 3 человека и закончила сборку на 1 ч раньше срока. Если бы чи- численность бригады увеличилась на 6 человек, то сборка была бы закончена 107
на 1 ч 40 мин раньше срока. Каковы первоначальная численность бригады и плановое время сборки партии приборов? 4 В каком отношении делит высоту и боковую поверхность прямо- прямого кругового конуса плоскость, параллельная основанию конуса, если она рассекает конус на две равные по объему части? 5. Решить неравенство х+2> \/^х. 6. Решить неравенство \/х + 1 + у/1-х > соь2 — 2cos -у + 5 3 7. Решить уравнение i 2 log3 _ ъх U0*2 - 41х + 21) + Ь87 _ 2х Dх2 - 28* + 49) = 2521о8б 5. 8. Решить уравнение /cos2i_ l л 1 _ Г л/д_ Ж21 V sinz sinzy (9 _ дЛ^сов* L J Вариант 3 1. Найти натуральные п из уравнения B + 5,5 + 9 + ... + C,5п-5)) + B,5 + 5 + 7,5 + ... + 2,5(п+1)) = 251,5 2. Построить график функции у = sin 2а; - sin 2а: • cos 2x + sin2a: • cos2 2x + ... +(_!)*-! sin2a; cos* 2a; + ... 3. В цехе на нескольких одинаковых автоматах изготавливают партию деталей за определенное время. Если два из иих не работают, то время изго- изготовления партии деталей увеличивается на 30 мин. При трех неработающих автоматах оно увеличивается на 48 мин. Сколько всего автоматов в цехе и за какое время на них изготавливается партия деталей? 4. Плоскость, параллельная основанию прямого кругового конуса, де- делит боковую поверхность конуса в отношении 3:1, считая от вершины. Най- тн отношения объемов частей конуса и частей его высоты. 5. Решить неравенство х + 4 > \/—2х. 6. Решить неравенство у/х + 2 + V6 - х > cos2 тгж - 2 cos тга; + 5 7. Решить уравнение О log7 _ зх A5а;2 - 41* + 14) + 3 log2 _ Ьх B5а;2 - 2(te + 4) = 4921о«21. 108
8. Решить уравнение A0-У2)8* COS .Г COST / Вариант 4 1. Найти натуральные п из уравнения A.5 + 3.5 + 5,5 + ... + Bп + 5,5)) + B + 4 + 6 + ... + 2(п - 2)) = 168,5 2. Построить график функции ( 2) + i2 in2 ( у = sin2x + sin2a: • sin(— - 2x) + sin2x • sin (— — 2x) +... -t-sh^xsin* (— - 2x) + ... 3. Два токаря, работая одновременно, могут изготовить партию дета- деталей за 3 ч 36 мин. После усовершенствования оснастки, работая отдельно, первый токарь тратит на всю партию деталей на 2 ч, а второй — на 3 ч меньше, чем ранее, причем теперь, работая вместе, оии изготавливают всю партию за 2 ч 24 мин. За какое время, работая отдельно, каждый из тока- токарей может изготовить всю партию деталей, используя усовершенствован- усовершенствованную оснастку? 4. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, сторона осно- основания которой равна а и двугранный угол при основании равен а. Найти объем шара. 5. Решить неравенство -, —г— < -— ————. log3E-2xJ ~ 3 + logI/3E-2a:) 6. Решить неравенство у/х + 5 + л/13-х > 3 • 2х2 ~ 8х +17 7. Решить систему уравнений г— 19 х + у/ху + у = —, _ 7 ~3' по пЧтг Г пЧтг ~\ ~~ 8. Решить уравнение cos(a- + -—) sin(a- —) = 1 + tg2(x —) 109
Вариант 5 1. Найти натуральные п из уравнения 5 + 4,5 + 7,5 + ... + (Зи+4,5)) 2. Построить график функции у = sin 2.r — sin 2.r ¦ sin (— - 2.r) + sin 2.r • sin'2 (— - 2x) +... +(-1)*-' sin 2.r sin* (| - 2.r) + ... 3. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за 1 ч 12 мин. Ученик первого рабочего, работая отдельно, выполняет всю работу на 1 ч дольше, чем его наставник, а ученик второго рабочего проде- проделывает то же самое на 1,5 ч дольше, чем его наставник. Работая вместе, оба ученика выполняют всю работу за 1 ч 48 мин. Сколько каждому ученику в отдельности нужно времени для выполнения всей работы? 4. В шар радиуса г вписана правильная треугольная пирамида, у ко- которой боковое ребро наклонено под углом а к основанию. Найти объем пирамиды. 5. Решить неравенство ——-rz—- < log2 A - 3j-J - 2 - lo&1/2(l-3a;)+4> 4, 2 о 6. Решить неравенство >Jx + 3 + V'S- x > 0.5 ~ d 7. Решить систему уравнений _. . , 177Г . 17тг Г п. 177гч| 8. Решить уравнение sm(a;——) sm(a;H——) = 1 + ctg (x + ——) 2 z [ 2 J Вариант б 1. Найти натуральные п из уравнения C + 4.5 + 6 + ... + F + 1,5га)) + B + 4 + 6 + ... + 2(п - 2)) = 157,5 110
2. Построить график функции 3. Акции двух инвестиционных фондов выросли за полгода в цене на некоторое число процентов — свое для каждого фонда. В следующие пол- полгода рост курсов акций сохранился на прежнем уровне. Один владелец ак- акций приобрел в начале первого полугодия на некоторую сумму акции 1-го фонда и на вчетверо большую сумму — акции 2-го фонда. Спустя два по- полугодия рыночная стоимость всех его акций на 210,4% превысила сумму, потраченную на акции год назад. Другой владелец акций в начале первого полугодия приобрел акции 1-го фонда, но спустя полгода, видя, что стои- стоимость его акций растет медленнее, чем у 2-го фонда, продал свои акции и на всю полученную сумму приобрел акции 2-го фонда. В результате еще через полгода стоимость его акций на 188% превысила сумму, вложенную в акции год назад. На сколько процентов росла стоимость акций обоих фондов каждые полгода? 4. Диаметр окружности совпадает с меньшей диагональю параллело- параллелограмма, имеющего стороны 2\/5, \/б и угол arcsin . Найти расстояние от вершины параллелограмма, не лежащей на окружности, до ближайшей точки окружности. B у2 + ^х 20-\/319 5. Решить неравенство . == > . 6. Решить неравенство т/х + 7 + \/\1 - х > log2 (х2 - Ах + 68) 7. Решить уравнение -^/cos2a; — | sina;| • sin a; = cos a; — sin a;. 8. Решить систему уравнений ( х2-\у-х\+у2=8, \ 2х-у = Б. Вариант 7 1. Найти натуральные п из уравнения C,5 + 5,5 + 7,5 + ... + E,5 + 2п)) + C + 6 + 9 + ... + 3(п - 3)) = 258 111
2. Построить график функции 3. Владелец акций потратил треть своих денег на приобретение акций одного АО, а остальные деньги — на акции другого АО. Спустя три месяца цены акций обоих АО выросли на определенные для каждого АО проценты, а еще через три месяца цены акций выросли на столько же процентов, что и в предыдущий период. В результате за полгода общая стоимость акций их владельца возросла на 98%. Если бы после первых трех месяцев владелец продал все акции первого АО по новой цене и на полученные деньги при- приобрел бы акции второго АО, то указанный прирост составил бы 110%. На сколько процентов каждые три месяца возрастали цены акций обоих АО? 4. Большая диагональ параллелограмма является диаметром окруж- окружности. Стороны параллелограмма составляют 2\/б и %/30, а угол между . \/555 „ „ ними равен arcsm . Найти расстояние от вершины параллелограмма, не лежащей на окружности, до ближайшей точки окружности. .уДТу/ТзУ 22-\/403 5. Решить неравенство > 6. Решить неравенство \/х + 1 + у/1-х > log3 (х2 - 6х + 90) 7. Решить уравнение y'cos2 х - sin а; • | sina;| = sin x — cos x. 8. Решить систему уравнений Г х2 + \х - у\ + у2 = 8, \ у - 2х = 5. Вариант 8 1. Найти натуральные п из уравнения E + 10 + 15 + ... + 5(п + 2)) + C + 4,5 + 6 + ... + A,5п - 1,5)) = 315.5 2. Построить график функции 112
3. Для бурения артезианской скважины садовый кооператив, состоя- состоящий из 20 членов, пригласил бригаду, поставившую следующие условия: за каждый последующий метр бурения платить на 22 р больше, чем за преды- предыдущий. На таких условиях последний метр и третий с конца вместе взятые обходятся во столько, сколько стоило бы все бурение, если бы каждый метр, независимо от глубины, стоил столько, сколько стоил второй метр. Для оплаты всей работы каждый из 20 членов кооператива заплатил по 13,65 р за каждый метр глубины скважины. Определить глубину скважины. 4. Боковая поверхность конуса, будучи развернута на плоскость, пред- представляет круговой сектор с углом а и хордой о. Определить объем конуса. 5. Найти область определения функции у = \ l-21oglofoI2 6. Решить неравенство т/х + 6 -I- \/12 — х > sin2 —х — 2 sin — х + 7 6 6 7. Решить уравнение I Чтг 1 cos(— + 2х) у 1 + tg2(— + х) = — log2 6 • logg 7 • log7 8. 8. Решить уравнение \Jх + 3 — 2^х + I — ух + 6 — 4у/х + 2 = — 1. Вариант 9 1. Найти натуральные п из уравнения B,5 + 5 + 7,5 + ... + B,5n - 2,5)) + B + 4 + 6 + ... + 2(n + 3)) = 246 2. Построить график функции j/ - у^+ 1 /-Н- 2+ •••+,, , _.*-! + ••• 3. Плотники подрядились изготовить и установить сруб садового до- домика на следующих условиях: за каждый последующий ряд платить им на 3 р больше, чем за предыдущий. На таких условиях самый верхний ряд и четвертый сверху, вместе взятые, обходятся заказчику во столько, сколько стоила бы вся работа, если бы каждый ряд независимо от высоты стоил столько, сколько стоил второй снизу ряд. В результате каждый ряд сруба обошелся в среднем в 26,4 р. Из скольких рядов состоит сруб домика? 113
4. Боковая поверхность конуса, будучи развернута на плоскость, пред- представляет круговой сектор с углом а. Определить радиус конуса, если объем конуса равен V. 2 logIog х 3 - 1 5. Найти область определения функции у = \ arcsin I 6. Решить неравенство \/х + 3 + \/5 - х > sin —х - 2 sin —j- + 5 7. Решить уравнение cos(y - 2х) ^/l + ctg2(| + x) = - log2 3 • log4 8 • log3 4. 8. Решить уравнение \Jx + 5 - 4\Лс + 1 - \/ж + 10- 6\/ж + 1 = — 1. §13. Дополнительные задания из вариантов письменных экзаменов ЬРешить текстовые задачи 1. По плану два станка на поточной линии должны за а ч обработать по одинаковому числу деталей. Первый станок выполнил задание, а второй станок оказался не вполне исправным, работал с перебоями, поэтому за то же время он обработал на п деталей меньше, чем первый. На обработку одной детали на втором станке затрачивалось в среднем на b мин больше, чем на первом. Сколько деталей обработал каждый станок? 2. Бассейн для плавания имеет три трубы для отвода воды. Через первую и вторую трубу вместе при закрытой третьей трубе наполненный бассейн становится пустым за а мин, через первую и третью трубы вместе при закрытой второй трубе — за Ь мин, а через вторую и третью трубу при закрытой первой трубе — за с мин. За какое время освобождается от воды наполненный бассейн через каждую трубу в отдельности? 3. Расстояние между городами равно а км. Два автомобилиста, вы- выехав из этих городов навстречу друг другу, встретятся на полпути, если первый выедет на t ч раньше второго. Если же они выедут одновременно навстречу друг другу, то встреча произойдет через 2t ч. Определить ско- скорость каждого автомобиля, если считать, что скорости их постоянны на всем пути. 114
4. В бассейн проведены две трубы, подающая и отводящая, причем через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на 1/3 бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет, а вторая опорожняет бассейн? 5. Имеется три сосуда, содержащие неравные количества жидкости. Для выравнивания этих количеств сделано три переливания. Сначала 1/3 жидкости перелили из первого сосуда во второй, затем 1/4 жидкости, ока- оказавшейся во втором сосуде, перелили в третий и, наконец, 1/10 жидкости, оказавшейся в третьем сосуде, перелили в первый. После этого в каждом сосуде оказалось 9 л жидкости. Сколько жидкости первоначально было в каждом сосуде? 6. Имелось два сплава, содержащих медь. В первом сплаве меди бы- было 6 кг, а во втором — 12 кг. Процентное содержание меди в первом сплаве было на 40% меньше, чем во втором. После того, как их сплавили вме- вместе, получился новый сплав, содержащий 36% меди. Найти массу каждого сплава. 7. Смешивается некоторое количество 72%-го раствора кислоты и некоторое количество 58%-го раствора кислоты и в результате получается 62%-ный раствор. Если бы каждого раствора было взято на 15 л больше, то получился бы 63,25%-ный раствор. Сколько литров каждого раствора было взято первоначально для составления смеси? 8. Для заполнения бака водой первым насосом требуется на 3 ч мень- меньше, чем вторым насосом. Если первый насос включить на 9 ч, а затем к нему подключить второй насос, то через 5 ч их совместной работы оставшуюся пустой часть бака одним вторым насосом можно заполнить за 3 ч. За какое время можно заполнить бак, включив оба насоса одновременно? 9. Время изготовления партии продукции на первой поточной линии на 6 ч больше, чем на второй. Если первую линию включить на 3 ч, а затем, остановив ее, включить вторую линию на 4 ч, то будет изготовлена половина партии продукции. За какое время будет изготовлена вся партия продукции, если если обе поточные линии включить одновременно. 10. Начав изготавливать партию деталей, первый станочник через 30 мин прервал работу, и ее продолжил второй станочник. После того, как второй станочник проработал 18 мин, выяснилось, что для завершения всей работы первому станочнику потребовалось бы 1 ч 15 мин, а второму — 1 ч 30 мин. За какое время каждый из станочников, работая в отдельности, может изготовить всю партию деталей? 11. Самолет летит из А в В и возвращается обратно. В какую погоду 115
этот рейс будет совершен быстрее: в безветренную или при ветре, дующем с постоянной скоростью в направлении от Ак В1 12. Имеется два сплава золота и серебра; в одном из них количе- количество этих металлов находится в отношении 2:3, в другом —- в отношении 3:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11? 13. Одна емкость содержит смесь спирта с водой в отношении 4:5, а другая — в отношении 1:8. По скольку литров надо взять из каждой емкости, чтобы получить 36 литров смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 2:7? 14. Собрав половину партии приборов, бригада увеличила свою чи- численность на 3 человека и закончила сборку на 1 ч раньше срока. Если бы численность бригады увеличилась на 6 человек, то сборка была бы за- закончена на 1 ч 40 мин раньше срока. Каковы первоначальная численность бригады и плановое время сборки партии приборов? 15. В цехе на нескольких одинаковых автоматах изготавливают пар- партию деталей за определенное время. Если два из них не работают, то время изготовления партии деталей увеличивается на 30 мин. При трех неработа- неработающих автоматах оно увеличивается на 48 мин. Сколько всего автоматов в цехе и за какое время на них изготавливается партия деталей? 16. Два токаря, работая одновременно, могут изготовить партию деталей за 3 ч 36 мин. После усовершенствования оснастки, работая от- отдельно, первый токарь тратит на всю партию деталей на 2 ч, а второй — на 3 ч меньше, чем ранее, причем теперь, работая вместе, они изготавливают всю партию за 2 ч 24 мин. За какое время, работая отдельно, каждый из токарей может изготовить всю партию деталей, используя усовершенство- усовершенствованную оснастку? 17. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторую ра- работу за 1 ч 12 мин. Ученик первого рабочего, работая отдельно, выполняет всю работу на 1 ч дольше, чем его наставник, а ученик второго рабочего проделывает то же самое на 1,5 ч дольше, чем его наставник. Работая вме- вместе, оба ученика выполняют всю работу за 1 ч 48 мин. Сколько каждому ученику в отдельности нужно времени для выполнения всей работы? 18. Три автоматические линии выпускают одинаковую продукцию, но имеют разную производительность. Производительность всех трех одно- одновременно действующих линий в 1,5 раза выше производительности первой и второй линий, работающих одновременно. Сменное задание для первой линии вторая и третья линии, работая одновременно, могут выполнить на 4 ч 48 мин быстрее, чем его выполняет первая линия; это же задание вто- 116
рая линия выполняет на 2 ч быстрее, чем первая. Найти время выполнения сменного задания первой линией. 19. В резервуар проведены три трубы. Через первую и вторую в него наливается жидкость, а через третью выливается. Если в наполненном ре- резервуаре одновременно открыть третью и первую трубы, то вся жидкость выливается за 40 мин, если открыть третью и вторую — за 50 мин, если только третью — за 24 мин. За сколько минут выльется жидкость из напол- наполненного резервуара, если будут открыты одновременно три трубы. 20. Два пловца одновременно стартуют навстречу друг другу с про- противоположных сторон пруда. После встречи одному из них потребовалось 4,5 мин, чтобы доплыть до противоположного берега, а другому — 8 мин. За какое время каждый пловец проплыл расстояние между берегами? 21. Два самолета вылетают одновременно навстречу друг другу, один — из А в В, а другой — из В в А. После встречи один прилетает в конечный пункт через 3 ч 54 мин, а другой — через 1 ч 44 мин. За какое время каждый самолет преодолел расстояние между А и В1 22. За 9 ч работы одного насоса и 7 ч работы второго было заполнено водой 31,25% объема бака. Если бы первый насос был включен на 12 ч, а второй на 14 ч, то воды было бы налито в бак на 60% больше, чем в действительности. За какое время каждым из насосов в отдельности можно заполнить бак водой? 23. На двух станках изготавливается партия одинаковых деталей. В первый день, когда один станок проработал 12 ч, а второй — 8 ч, было изготовлено 25% партии. На следующий день после того как первый станок проработал 9 ч, а второй — 18 ч, было изготовлено деталей на 25% больше, чем в первый день. За какое время на каждом из станков в отдельности можно изготовить партию деталей? 24. Три целых числа составляют геометрическую прогрессию. Если от третьего отнять 8, то числа составят арифметическую прогрессию. Если же второй и третий члены полученной арифметической прогрессии умень- уменьшить на 2, то снова получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа. 25. Три целых числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 1,5, то прогрессия станет арифметической, а если после этого увеличить последнее число на 6,75, то прогрессия снова станет геометрической. Найти эти числа. 26. Для изготовления пшеничного хлеба взято столько килограммов муки, сколько процентов составляет припек на эту муку. Для изготовле- изготовления ржаного хлеба взято на 10 кг муки больше, т.е. столько килограммов, сколько процентов составляет припек на ржаную муку. Сколько килограм- 117
мов взято той и другой муки, если всего выпечено 112,5 кг хлеба? 27. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит 5 кг чистой меди, а второй кусок — 4 кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если разность между процентным содержанием меди во втором и первом кусках латуни равна 15%? 28. Поезд отправился в путь длиной 120 км со своей обычной скоро- скоростью. Через 45 мин после начала движения он был остановлен и простоял 9 мин. Чтобы поезд прибыл на конечный пункт по расписанию, его ско- скорость на оставшемся участке пути увеличили на 5 км/ч против обычной. На каком километре от начального пункта был остановлен поезд? 29. Дачник отправился на велосипеде за город на расстояние 55 км от дома. Через 1 ч 45 мин после отправления у велосипеда прокололась шина, и дачнику пришлось остаток пути идти пешком со скоростью, меньшей на 25 км/ч, чем он ехал прежде. На каком километре от дома прокололась шина, если дачник прибыл на место на 25 мин позже намеченного срока? 30. Двое рабочих, работающих на различных участках, получили вместе 114 р. В эту сумму помимо основной зарплаты вошли надбавки по 12 р каждому за вредные условия труда. Какие проценты от основной зарплаты составляют надбавки у каждого из рабочих, если эти проценты отличаются на 6%? 31. Каждый из двух автоматических станков после модернизации стал производить в час на 240 деталей больше, чем до нее. Общая же их часовая производительность стала равной 4080 деталям. На сколько про- процентов выросла после модернизации производительность каждого станка, если эти проценты разнятся на 3%? 32. Партия фруктов была приобретена за 125 тыс. р. В конце каждой недели из четырех, что она хранилась на складе, приходилось выбрасывать испорченные фрукты в количестве, составляющем одни и те же проценты от объема, имеющегося на этот момент. Каковы эти проценты, если после указанного срока фруктов осталось на 51,2 тыс. р? 33. Леспромхоз в январе заготовил древесины меньше плана, а в фе- феврале при том же плане, что и в январе, он заготовил древесины меньше, чем в январе, на столько же процентов, на сколько был не выполнен план в январе. Второй леспромхоз, ежемесячный план которого в три раза мень- меньше, чем у первого, не выполнил план двух месяцев на то же количество процентов, на которое не выполнил план января первый леспромхоз. Ка- Каковы эти проценты, если общий объем древесины, заготовленной обоими леспромхозами, меньше планового на 19,78125%? 34. Бассейн может наполниться водой с помощью двух насосов раз- 118
ной производительности. Если наполнить половину бассейна, включив лишь первый насос, а затем, выключив его, продолжить наполнение с помощью второго насоса, то весь бассейн наполнится за 2 ч 30 мин. При одновремен- одновременной работе обоих насосов бассейн наполняется за 1 ч 12 мин. Какая часть бассейна наполняется за 20 мин насосом меньшей производительности? 35. Через 2 ч после того, как тракторист начал пахать поле, к нему присоединился второй, и они вместе закончили вспашку. Если бы тракто- трактористы поменялись ролями, то на вспашку поля потребовалось бы на 24 мин больше, чем было затрачено. Сколько времени трактористы работали вме- вместе, если известно, что первый тракторист может вспахать четверть поля на 3 ч быстрее, чем второй — треть поля? 36. Группа пассажиров за 240 р арендовала автобус для междуго- междугородней поездки. Предполагалось, что эта сумма разделится поровну на всех пассажиров. Перед поездкой 4 пассажира отказались от нее, поэтому каждому участвующему в поездке при той же плате за аренду пришлось до- доплатить больше 5, но меньше 6 р. Сколько пассажиров приняло участие в поездке? 37. В день бригада, насчитывающая четное количество рабочих, за- зарабатывает 84 р, которые распределяются между членами бригады поровну. Если бы в бригаде было на 2 человека меньше, то при той же сумме, зара- зарабатываемой всей бригадой в день, добавка к дневному заработку каждого члена бригады составила бы больше 1, но меньше 1,5 р. Какова численность бригады? 38. Если 4/5 некоторой суммы денег положить в один банк, а осталь- остальные — во второй под другие годовые проценты, то через год вместе с годо- годовыми процентами общая сумма денег возрастет до 315 тыс. р, а через два года — до 801 тыс. р. Если же в первый банк положить 1/5 первоначаль- первоначальной суммы, а остальные — во второй, то через год общая сумма вкладов с начисленными процентами составит 360 тыс. р. Какова была бы через два года общая сумма вкладов при втором варианте их размещения в банках? 39. Акции двух инвестиционных фондов выросли за полгода в цене на некоторое число процентов — свое для каждого фонда. В следующие полгода рост курсов акций сохранился на прежнем уровне. Один владелец акций приобрел в начале первого полугодия на некоторую сумму акции 1-го фонда и на вчетверо большую сумму — акции 2-чт> фонда. Спустя два полугодия рыночная стоимость всех его акций на 210,4% превысила сумму, потраченную на акции год назад. Другой владелец акций в начале первого полугодия приобрел акции 1-го фонда, но спустя полгода, видя, что стоимость его акций растет медленнее, чем у 2-го фонда, продал свои акции 119
и на всю полученную сумму приобрел акции 2-го фонда. В результате еще через полгода стоимость его акций на 188% превысила сумму, вложенную в акции год назад. На сколько процентов росла стоимость акций обоих фондов каждые полгода? 40. Владелец акций потратил треть своих денег на приобретение ак- акций одного АО, а остальные деньги — на акции другого АО. Спустя трн месяца цены акций обоих АО выросли на определенные для каждого АО проценты, а еще через три месяца цены акций выросли на столько же про- процентов, что и в предыдущий период. В результате за полгода общая сто- стоимость акций их владельца возросла на 98%. Если бы после первых трех месяцев владелец продал все акции первого АО по новой цене и на получен- полученные деньги приобрел бы акции второго АО, то указанный прирост составил бы 110%. На сколько процентов каждые три месяца возрастали цены акций обоих АО? 41. Коммерческий банк начислял проценты по вкладу ежемесячно 2 сначала в размере 14-%, а затем — 12,5% в месяц. Известно, что каждая процентная ставка действовала целое число месяцев и по истечении срока хранения вклада первоначальная сумма вклада увеличилась на 207——%. Определить срок хранения вклада. 2.Решить уравнения и системы уравнений 1. log^y'S - х + 5) = 1 - log05(x - 0,5). 2. \/4 log4 x - 2 + -y/1 + log2 x = 4. 3. Iog2(z - 2) + log,/4Cx - 4) + 0,5 = 0. 4. logv5(a; - 3) + log,/2D - .c) + 1 = 0. 6. 1 - Iog1/v^B - x) + logl/5D4 - 18a;) = 0. 9. log5(l + Ъх) + logl/5E + 51" x) + 3 = 0. 10. Iog4D + 2X) + logl/4(l + 22 " *) + 2 = 0. 120
11. 12. 1/2 xy = -15. у xy = 36. 3' 13. 21og3 _ Ьх A0а;2 - 41x + 21)+log7 _ 2x Da;2 - 28a; + 49) = 2521o§6 5. 3 14. log7 _ 3l A5x2 - 41x + 14)+3 log2 _ 5x B5x2 - 2Ox + 4) = 492 lo82 t, 19 | x + ^/xy + y = 15. x - y/xy + у = -. 16. 17. V3a; + 4 18. x/2x + 8 - x/14 - x = 3. 19. < \x + y ][y- 2t'2 + 2xy + y'1 = 13. 20. x2 - 2xy + 2yl = 20. 2J. Iog23 • logj \/2 • 3X • CI+ ' - 5) = 1. 22. logs 5 • logs 2 • 2* • B' + ' - 5) = 1. 23 . ^ + y2=4-2v/2, x2 + xy = 4 + 2\/2. 121
( ху-у* = \ x2-xy = 2x + - > 25. log3_2a.[4a;2-12a; + 9 + 3B3;r + 2;r + 3)-2 logi72] = 2. 26. log3x _ 2[9a;2 - 12a: + 4 + 2B • 33x + 3X + 2) - 32x + loSnt] = 2. ,7 i А- У - \/х + У = 2, * ж-2» =13. /5"="y = 2, 2a; — у = 6. 28 J л/х + У ~ Vх ~ У = 2, 29. 30. 32 !-|y-*l + y2 = 8, 2x - p = 5. 33. ^х + 3 - 2v^T2 - y/x + 6^Wx + 2 = -1. 34. Vх + 5 - 4у/х + 1 - у/х + 10 - 6л/я + 1 = -1. 35. logx + 2(x2 + 3^ + 2J = 2. 36. logx + 3(x2 + 2^-3J = 2. З.Решить уравнения j 4COS %х Л. ACOS2 % 3 2 2sm2x + 5-2cos2;r = 7. _ cos 2x 3. —— = COS X + S1H X. sin 2x — 1 cos 2a; 4. cos x = sin a; + 1 + sin 2a;' / i 5. cos a; 122
6. \1--. = V ми 7. \/4 + 3 sin x — 2 cos2 x = 2 sin a: + 1. 8. \/5 + 5cosa;- 3sin2a; + 3cosa; + 1 = 0. 9- log2 ( —5— + ^-j— ) + log2 cosx + log2 sin x = 1. \cos^a; sin г/ 10. log2sinx + log2(l - 0,5 sin я) + 1 = 21og2cosa;. 11. V3- 2cosz = 2- 3cosz. 12. \/2 - sin x = 1 - 2 sin a;. 11 • ^ "\ / , 7r^ v/3-2 13. sm(a; - —) s(x + ) 14. cos(a; - ) cos(x + ) = . я- . 7Г \f2-\-2 ) sm(x + ) i 23я\ • i 23я\ Г, 2/ 23тгГ 15. cos(ar + —) sm(ar - —) = 11 + tg2(a; - —) I 16. sm(x - —) sin(z + —) = 11 + ctg2(a; + —) I 17. cos(^ + x) + cos x = cos 20° - sin 160° tg 80°. -1 18. sina; —sin(——a;) = 19. logsin ^.(sin2 2a; - 2 cos 2x) = 2 • 20. logsjnxC + cos2a; - 4 sin2 2x) = 2 + log^1 sinx. 21. 2 cos 4a; + 4\/2 • cos 2z - 2л/б = 1. 22. 2 cos 4 23 9^ ~ cos ^x =^ 24. 81 -}- 81 == 30. 25. л/3 - cos 2a; - sin 2x = -2\/2 • sin x. 26. 2\/2sma; + V^cosa; = \J— sin 2x. 123
27. sin .r- \/-0,5sin2j- + 2cosj; = 0. 28. logi/3Bcosx + 3sina;) + bg3Fcosa: +5 sin a:) = —0,51og /jtgx. 29. Iog2B sin x + cos x) + logi/2C sin x + 4 cos x) + log /^ V^ctg a; = 0. 30. -y/cos2 a; — | sin x\ • sin a; = cos x — sin a;. 31. •y/cos2 x — sin a; • | sina:| — sin a: — cos a:. 4.Решить неравенства 1. log0,5Ba;-6)+log.iBa;-4)>a:-2. 2. Iog3C* + x - 28) + logl/3B • 3* - 1) < 3 - x. 3. 4. 5. 3a:-1 11. 12. 4a:-14 2a: -15 1 -2. 1 log3E-2a:J - 1 Iog2(l - 3a:J - 2 - Iog1/2A -3a:) + 4' + log1/3E - 2a:)" 1 124
15. —-о - I ¦ \ f 9 tgy V 17. log5 -г2 - bg^ 5у/Ь < ^log2^ j + log?yj 27. 18. log3 ar - log, 3v/3 - i log2 Q log4 л/8J < 0. 19. 21. ,3 7Г arcCoS(__).log3/T- 22. -f i_i > 0 l212 2 logloe г 3 - 1 23. ™? ™? _ > 0 axcsm(--)-log2/T| 5.Решить геометрические задачи 1. Основание равнобедренного треугольника с острым углом а при вершине является диаметром окружности. Найти площадь трапеции, от- отсекаемой от треугольника прямой, проходящей через точки пересечения окружности с боковыми сторонами треугольника, если высота треуголь- треугольника, проведенная к основанию, равна h. 2. Равнобедренная трапеция описана около окружности. Ее диаго- диагональ равна d, а острый угол при основании равен а. Найти радиус окруж- окружности. 3. Центры трех попарно касающихся внешним образом окружностей являются вершинами прямоугольного треугольника с острым углом а. В 125
каком отношении делит гипотенузу треугольника одиа из точек касания окружностей? 4. Угол между общими касательными двух касающихся окружностей равен а. В каком отношении точка касания окружностей делит расстояние между центрами окружностей? 5. Отношение бокового ребра правильной треугольной пирамиды к стороне ее основания равно л/2- Найти тангенс угла между боковой гранью и не принадлежащим ей боковым ребром. 6. В правильной треугольной пирамиде отношение стороны основа- основания к высоте пирамиды равно C - л/З). Вычислить котангенс угла между боковой гранью и не принадлежащим ей боковым ребом. 7. Правильная треугольная пирамида, у которой высота равна сторо- стороне основания, вписана в шар радиуса R. Найти объем пирамиды. S. В шар радиуса R вписана правильная треугольная призма, у кото- которой высота вдвое больше высоты основания. Найти объем призмы. 9. В правильной треугольной пирамиде отношение площади основа- основания к площади полной поверхности равно (>/2— 1). Найти синус угла между боковым ребром пирамиды и стороной ее основания. 10. В правильной четырехугольной пирамиде площадь основания со- составляет треть площади полной поверхности. Найти синус угла наклона бокового ребра пирамиды к ее основанию. 11. Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна 16, а диагональ равна 20. 12. Разность между площадью круга и площадью вписанного в него квадрата равна 2(тг - 2)\/3- Найти площадь правильного шестиугольника, вписанного в этот круг. 13. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция, меньшее основание которой составляет 2/5 большего. Все боковые грани пирамиды образуют угол 60° с основанием. Найти угол наклона меньшего бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания. 14. В равнобедренной трапеции, являющейся основанием пирамиды, большее основание относится к меньшему как 4:3. Найти угол наклона большего бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания, если все двугранные углы при основании пирамиды равны 30°. 15. В каком отношении делнт высоту и боковую поверхность прямо- прямого кругового конуса плоскость, параллельная основанию конуса, если она рассекает конус на две равные по объему части? 16. Плоскость, параллельная основанию прямого кругового конуса, делит боковую поверхность конуса в отношении 3:1, считая от вершины. 126
Найти отношения объемов частей конуса и частей его высоты. 17. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, сторона основания которой равна а и двугранный угол при основании равен а. Най- Найти объем шара. 18. В шар радиуса г вписана правильная треугольная пирамида, у ко- которой боковое ребро наклонено под углом а к основанию. Найти объем пирамиды. 19. В треугольнике одна из сторон равна 5а, другая — а\/3, а тангенс угла между ними равен \/2. Найти радиус сферы, проходящей через верши- вершины треугольника, если расстояние от ее центра до плоскости треугольника а равно -. 20. На сфере радиуса R взяты три точки, являющиеся вершинами тре- „ 5i? I r-pr угольника со стороной — и углами агссоь - и агссоь у 2/3, прилежащими к ней. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника. 21. В пирамиде все грани — правильные треугольники со стороной Ь. Плоскость, проходящая через вершину пирамиды, делит ребра противопо- противоположной грани в отношении 1:5 и 1:3, считая от общей вершины этих ребер. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью. 22. В треугольной пирамиде все ребра равны а. Плоскость проходит через вершину пирамиды и делит одно ребро основания в отношении 1:2, а другое—1:5, считая от общей вершины этих ребер. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью. 23. Острый угол равен /3. Во внешней его части находится точка, уда- удаленная от сторон угла на расстояние cad. На какое расстояние удалена точка от вершины угла. 24. Точка находится внутри острого угла, равного а, на расстоянии а и Ь от сторон угла. Найти расстояние от точки до вершины угла. 25. Основанием пирамиды служит прямоугольник. Каждое из боко- боковых ребер равно а и составляет с прилежащими сторонами основания углы а и /3. Найти объем пирамиды. 26. Основанием пирамиды служит прямоугольник. Две боковые гра- грани перпендикулярны плоскости основания, две другие составляют с ней Углы а и /3. Найти боковую поверхность пирамиды, если ее высота рав- равна/г. 27. Основанием пирамиды является квадрат. Две боковые грани пи- Рамиды перпендикулярны ее основанию, а две другие образуют между со- собой двугранный угол а. Найти площадь основания пирамиды, если пло- поверхности описанного около нее шара равна 5. 127
28. Одно из боковых ребер пирамиды, в основании которой лежит квадрат со стороной а, перпендикулярно ее основанию. Угол между граня- гранями, пересекающимися по наибольшему из боковых ребер, равен а. Найти радиус шара, описанного около пирамиды. 2 29. В равнобедренной трапеции с основаниями 2 и 6 и углом агссо&(--) найти радиус окружности, касающейся боковой стороны, диагонали и боль- большего основания трапеции. 30. В равнобедренной трапеции с основаниями 8 и 2 и углом arcsin —- найти радиус окружности, касающейся боковой стороны, диагонали и мень- меньшего основания трапеции. 31. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой а угол между вы- высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен а. Найти площадь треугольника. 32. Высота, опущенная из вершины прямого угла прямоугольного тре- треугольника на гипотенузу, равна h, а угол между биссектрисой и медианой, проведенными из той же вершины, равен а. Найти площадь треугольника. 33. Отношение площади диагонального сечения правильной четырех- угольной пирамиды к площади ее основания равно - • у 3 + 2\/3. Найти плоский угол при вершине пирамиды. 34. Найти плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды, если он равен углу между боковым ребром и плоскостью осно- основания пирамиды. 35. В основании пирамиды лежит ромб. Две боковые грани пирами- пирамиды перпендикулярны ее основанию и образуют двугранный угол величины 4 arctg -. Найти тангенс угла между двумя другими боковыми гранями, если высота пирамиды вдвое больше стороны ромба. \П 36. Основанием пирамиды является ромб с углом arctg —, через вер- вершину которого проходит высота пирамиды, равная стороне основания. Най- Найти тангенс двугранного угла между гранями пирамиды, ребром которого служит наибольшее ребро пирамиды. 37. Разность косинусов острых углов прямоугольного треугольника равна —==. Расстояние от точки пересечения медиан треугольника до ги- vlO потенузы равно 0,2. Какова длина гипотенузы? 38. Сумма синусов острых углов прямоугольного треугольника равна —=, а гипотенуза составляет V13. Найти расстояние от точки пересечения V13 128
медиан треугольника до гипотенузы. 39. Диаметр окружности совпадает с меньшей диагональю параллело- параллелограмма, имеющего стороны 2\/5, л/б и угол arcsin . Найти расстояние от вершины параллелограмма, не лежащей на окружности, до ближайшей точки окружности. 40. Большая диагональ параллелограмма является диаметром окруж- окружности. Стороны параллелограмма составляют 2-\/б и \/30, а угол между . \/355 „ „ ними равен arcsin . Найти расстояние от вершины параллелограмма, не лежащей на окружности, до ближайшей точки окружности. 41. Боковая поверхность конуса, будучи развернута на плоскость, пред- представляет круговой сектор с углом а и хордой а. Определить объем конуса. 42. Боковая поверхность конуса, будучи развернута на плоскость, пред- представляет круговой сектор с углом а. Определить радиус конуса, если объем конуса равен V". 43. Все грани треугольной пирамиды — правильные треугольники. Найти объем пирамиды, если расстояние между центрами ее двух граней равно 3. 44. В треугольной пирамиде все ребра равны между собой. Найти расстояние между центрами двух граней пирамиды, если площадь полной поверхности пирамиды равна 81\/3. §14. Варианты письменных экзаменов по математике Вариант 1 1. Найти двузначное число такое, что если его разделить на произве- 16 дение цифр, из которых оно составлено, то в частном получится —, а если из него вычесть 9, то разность будет двузначным числом, которое отлича- отличается от искомого числа только порядком следования цифр. 2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно т и наклонено к плоскости основания под углом а. Найти объем пирамиды. 3. Упростить: Д + (Vx~+T - 2) • (-^= +l)+ (v^+T + 2) B - 5-6838 129
4 Найти tg4 a + ctg4 а, если известно, что tg a + ctg а = 3. 5. Решить неравенство Iog2(.r + 4) > logj. + 416. Вариант 2 1. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 4, а в остатке 3. Если же это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 3 и в остатке 5. Найти это число. 2. Основанием четырехугольной пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом а. Все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом в. Найти полную поверхность пирамиды. 3. Упростить: fO /Х-\ ) \/х- 4. Найти sin6 q + cos6 а, если известно, что sin a + cos а = -. 5. Решить неравенство log.2(x + 3) < logy+ з 16. Вариант 3 1. После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 4 и в остатке 3. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получается 1 и в остатке 14. Найти это двузначное число. 2 Решить уравнение у/7-х = \Д + 4 - х. 3. Решить уравнение log4 Sx _ з 2х2 sin (?rDr2 - 4sc + 1,25)) = 0. 4. Решить неравенство *2(log2 x - log, 16) > -64 • (j^Q-g + 4 • logx 2^. 130
5. Плоские углы при вершине треугольной пирамиды равны а, /3 и -у. Найти величину двугранного угла, образованного боковыми гранями с с йп° о ™° 9>/2 + 3\/б + 12>/3 плоскими углами акр, если а = 60 , р = 30 ,7 = axccos — . Вариант 4 1. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1, а в остатке 22. Если же из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то получится число на 1 большее утроенного произведения этих цифр. Найти это двузначное число. 2. Решить уравнение Vo- х = y/Z + 2 - х. 3. Решить уравнение loSo,8 (х-х* + 2)sin (*(** + 0.25)) = °- 4. Решить неравенство x2(logx 625 - log5 *) > 16 • D • log, 5 - i 5. Величина двугранного угла, образованного боковыми гранями тре- треугольной пирамиды, равна 7, плоские углы этих граней при вершине равны а и /3. Найти третий плоский угол при вершине пирамиды, если а = 60°, a ._o v — ,-6y/2~y/3 /3 = 45 ,7 = axccos . Вариант 5 1. Сумма кубов цифр двузначного числа равна 280, а сумма их равна 10. Чему равно это число"? 2. Решить уравнение у/8- х = \/3 + 5 - х. 3 Решить уравнение 1оЙ1 6 (Зх - 2х2) СО!Ь ЫАт ~ 4х2 ~ °' 75)) = °- 4 Решить неравенство я-'dog, ^ - log, 625) > -16 • (цда + 4"bg* 5)" »• 131
5. Плоские углы при вершине треугольной пирамиды равны а, [5 и 7- Найти величину двугранного угла, образованного боковыми гранямн с плоскими углами а и /3, если а = 60°, /3 = 45°, у = arccos 8 Вариант б 1. Сумма квадратов цифр двузначного числа, большего 40, равна 73, а произведение этих цифр больше разности их на 19. Чему равно это число? 2. Решить уравнение 3. Решить уравнение l0gl,6 (* - 2** + 1) Sin И4** + °- 25)) = °- 4. Решить неравенство a;2(log3 х - logx 81) > -25 • f + 4 • tog, 3 Wz 5. Плоские углы при вершине треугольной пирамиды равны а, 3 и 7- Найти величину двугранного угла, образованного боковыми гранями с плоскими углами а и /3, если а = 30 , /3 = 45 , 7 = arccos . 8 Вариант 7 1. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 117, а разность между произведением цифр и их суммой в три раза меньше. Чему равно это число? 2. Решить уравнение 3. Решить уравнение Iog4 4 cos (тг@,25 — а;2)) = 0. 5 5 ' 4. Решить неравенство x\\ogx 16 - log2 x) > -64 • ( -1- - 4 • log*: 132
5. Величина двугранного угла, образованного боковыми гранями тре- треугольной пирамиды, равна у, плоские углы этих граней при вершине равны а и ft- Найти третий плоский угол при вершине пирамиды, если а = 60°, , ,Ло 3>/2->/б-3 Л = 30 , 7 = axccos . Вариант 8 1. Смешали молоко с жирностью 5% с "молоком-обратом", имеющим жирность 0,4% и получили 46 л молока с жирностью в 2,5%. Сколько литров "молока-обрата" было взято? 2. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция, у которой основания равны а и Ь (а > Ь), а острый угол равен а. Плоскость, проходящая через большее основание нижней трапеции и меньшее основа- основание верхней, составляет с плоскостью нижнего основания угол /3. Найти объем призмы. 3. Упростить ( 1 +/Г^? \1-х+^/1-х 4. Решить уравнение 2 sin3 х + 2 sin2 x cos x — sin x cos2 x — cos3 x = 0. 5. Решить неравенство logx(:t + 1) < logiB - х). х Вариант 9 1. Из молока, жирность которого составляет 5%, изготовляют творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получается из 1 т молока? 2. В основании прямой призмы лежит ромб с острым углом а. Отно- Отношение высоты призмы к стороне основания равно к. Через сторону осно- основания и середину противоположного бокового ребра проведена плоскость. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания. 3. Упростить 133
4. Решить уравнение sin3 х — 3 sin2 x cos x — sin x cos2 x + 3 cos3 j = 0. 5. Решить неравенство Вариант 10 1. Основанием пирамиды объема V служит прямоугольник. Угол ме- между диагоналями прямоугольника равен а, а высота пирамиды равна пери- периметру основания. Найти площадь основания. 2. Решить уравнение C \ х — —ж I +sina- = |cosx| 3. Автолюбитель, желая за 4 года накопить средства на покупку авто- автомобиля "Таврия", поместил в банк вклад в размере 5 тыс. рублей под 20% годовых. В конце каждого из первых трех лет будущий владелец авто после начисления ему банком процентов наметил дополнительно вносить на счет одну и ту же фиксированную сумму, такую, чтобы окончательный размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 369,44%. Какую сумму необходимо ежегодно добавлять вкладчику? 4. Решить неравенство " 4х + 1 < 0,25 • 4х - 7 • 0,55 ~ 2х. 5. Решить уравнение L 32 ж , 4 /log2 — -tg- = log2-. Л О Jb Вариант 11 1. Основанием пирамиды служит прямоугольник площади 5. Угол между диагоналями основания равен а, а высота пирамиды равна периме- периметру основания. Найти объем пирамиды. 2. Решить уравнение \/2sin (х + — j -f-cosa; + |sina;| = 0. 134
3. Автолюбитель, желая за 4 года накопить средства на покупку ав- автомобиля "Волга", поместил в банк вклад в размере 8 тыс. рублей под 25% годовых. В конце каждого из первых трех лет будущий владелец авто после начисления ему банком процентов наметил дополнительно вносить иа счет одну и ту же фиксированную сумму, такую, чтобы окончательный размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 501,5625%. Какую сумму необходимо ежегодно добавлять вкладчику? 4. Решить неравенство 8-' 3 • 91 - ! + 6 • З2 " 2j > f i' 5 Решить уравнение L 256 7Г , 32 у lo&2 — - <"tg т = log2 —. Вариант 12 1. Основанием пирамиды служит прямоугольник, диагональ которо- которого равна d. Угол между диагоналями прямоугольника равен а, а высота пирамиды равна периметру основания. Найти объем пирамиды. 2. Решить уравнение \/2cos (— — х) +cos (x~ J') = |cosGr — х)\. 3. Автолюбитель, желая за 4 года накопить средства на покупку ав- автомобиля "Газель", поместил в банк вклад в размере 5 тыс. рублей под 20% годовых. В конце каждого из первых трех лет будущий владелец авто по- после начисления ему банком процентов иаметил дополнительно вносить на счет одну и ту же фиксированную сумму, такую, чтобы окончательный раз- размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 456,8%. Какую сумму необходимо ежегодно добавлять вкладчику? 4. Решить неравенство 0_ 5-V2x* + 4x + \ < 4 . 0 25-s _705i- 2х 5. Решить уравнение 16 : log2 —. X 135
Вариант 13 1. Основанием пирамиды служит прямоугольник с периметром, рав- равным 2р. Угол между диагоналями прямоугольника равен а, а высота пира- пирамиды равна р. Найти объем пирамиды. 2. Решить уравнение -\/2sin f х + -тг j +cosx = |sinx|. 3. Автолюбитель, желая за 4 года накопить средства на покупку ав- автомобиля "Жигули", поместил в банк вклад в размере 4 тыс. рублей под 25% годовых. В конце каждого из первых трех лет будущий владелец авто после начисления ему банком процентов наметил дополнительно вносить на счет одну и ту же фиксированную сумму, такую, чтобы окончательный размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 620,703125%. Какую сумму необходимо ежегодно добавлять вкладчику? 4. Решить неравенство 2х + 2 5. Решить уравнение , 8 log2-. Вариант 14 1. Упростить , при х = 0,05, у = 0,2 2. Решить уравнение cost ¦ rtg68° + sinl58° ¦ sin23° = cos22° • sin67°- /2 - sin (90° + t) ¦ tg 23° + y~ ¦ tg 22° • tg 157' ,0 3. Два токаря, работая одновременно, могут изготовить партию де- деталей за 3 ч 36 мин. После усовершенствования оснастки, работая отдель- отдельно, первый токарь тратит на всю партию деталей на 2 ч, а второй — иа 3 ч меньше, чем ранее, причем теперь, работая вместе, они изготавливают всю партию за 2 ч 24 мин. За какое время, работая отдельно, каждый из 136
токарей может изготовить всю партию детален, используя усовершенство- усовершенствованную оснастку? 4. В правильной четырехугольной пирамиде площадь основания со- составляет треть площади полной поверхности. Найти синус угла наклона бокового ребра пирамиды к ее основанию. 5. Найти решения неравенства у/Ъх — х1 < 4 — х из области опреде- log1/2 log3 ) X — 1/ 1/2 Вариант 15 Упростить teV 2. Решить уравнение , при х = —. у = ' /3 tg88° • co&z - sin 88° • со&28° = — • tg88° • tg43°+ + sin (x -270°) -tg43° -cos 88° cos 62° 3. Два токаря, работая одновременно, могут нзготовнть партию дета- деталей за 3 ч 44 мин. После усовершенствования оснастки, работая отдельно, первый токарь тратит на всю партию деталей на 2 ч, а второй — на 3 ч меньше, чем ранее, причем теперь, работая вместе, они изготавливают всю партию за 2 ч 24 мин. За какое время, меньшее 10 часов, работая отдель- отдельно, каждый нз токарей может нзготовнть всю партию деталей, используя усовершенствованную оснастку? 4. В правильной треугольной пирамиде отношение площади основа- основания к площади полной поверхности равно (у/2-1). Найти синус угла между боковым ребром пирамиды и стороной ее основания. X2 + X 5. Найти решения неравенства log0 3 log6 — < 0 нз области х -|- 4 определения функции у = 1. Решить неравенство Вариант 16 3) > 0 137
2. Решить неравенство х(х - 2) - 3. Определить количество корней уравнения 4. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция, меньшее основание которой составляет 2/5 большего. Все боковые грани пирамиды образуют угол 60° с основанием. Найти угол наклона меньшего бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания. 5. Имеются три сплава, составленные из меди, свинца и никеля. В первый сплав входят только медь и свинец в весовом отношении 5 : 1, во второй сплав входят только свинец и никель в весовом отношении 2 : 3, в третий сплав входят только медь и никель в весовом отношении 1 : 2. Возможно ли из этих трех сплавов составить новый сплав, так, чтобы в этом новом сплаве медь, свинец и никель содержались в весовом отношении 11:4:5? Если это возможно, то в каком отношении надо взять эти смеси? Вариант 17 1. Решить неравенство 2 2. Решить неравенство . Х1 _ х _ 2 3. Определить количество корней уравнения ( "" 6 rz- 7Г tg х + ctg - - tg -ж + у/Ъ ¦ tg - \ 6 5 о 4. В равнобедренной трапеции, являющейся основанием пирамиды, большее основание относится к меньшему как 4:3. Найти угол наклона большего бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания, если все двугранные углы при основании пирамиды равны 30°. 5. Имеются три сплава, составленные из золота, серебра и платины. В первый сплав входят только золото н серебро в весовом отношении 5 : 1, во второй сплав входят только серебро и платина в весовом отношении 8 : 7, 138
в третий сплав входят только золото и платина в весовом отношении 7 : 2. Возможно ли из этих трех сплавов составить новый сплав, так, чтобы в этом новом сплаве золото, серебро и платина содержались в весовом отношении 4:3:3? Если это возможно, то в каком отношении надо взять эти смеси? Вариант 18 1. Решить неравенство lo8l /з IT (-r2-4.r + 4)>0 2W6+V61 2. Решить неравенство Ij'-ll + l + jr х{х - 2) 3. Определить количество корней уравнения 4. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, сторона осно- основания которой равна а и двугранный угол при основании равен а. Найти объем шара. 5. Имеются три сплава, составленные из меди, алюминия и магния. В первый сплав входят только медь и алюминий в весовом отношении 3 : 1, во второй сплав входят только алюминий и магний в весовом отношении 7 : 1, в третий сплав входят только медь и магний в весовом отношении 3 : 5. Возможно ли из этих трех сплавов составить новый сплав, так, чтобы в этом новом сплаве медь, алюминий и магний содержались в весовом отношении 6:7:2? Если это возможно, то в каком отношении надо взять эти смеси? Вариант 19 1. Решить неравенство loSl /6 /s Fж - ж2 - 7) < О 2<V7+V7> 2. Решить неравенство |:r2-4|+:r х* - 4х + 3 - 139
3. Определить количество корней уравнения 4. В шар радиуса ;• вписана правильная треугольная пирамида, у ко- которой боковое ребро наклонено под углом а к основанию. Найти объем пирамиды. 5. Имеются три сплава, составленные из олова, свинца и висмута. В первый сплав входят только олово и свинец в весовом отношении 10 : 1, во второй сплав входят только свинец и висмут в весовом отношении 1 : 2, в третий сплав входят только олово и висмут в весовом отношении 2:1. Возможно ли из этих трех сплавов составить новый сплав, так, чтобы в этом новом сплаве олово, свинец и висмут содержались в весовом отношении 12:3:5? Если это возможно, то в каком отношении надо взять эти смеси? Вариант 20 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна / и составляет с боковым ребром угол а. Найти объем параллелепипеда, если периметр его основания равен Р. 2. Решить систему уравнений г2 ~\У- г\ + у1 = 8, 2х-у = 5. 3. Решить неравенство 1ов1# /5 /Г (*2 - 4* + 4) > 0 2W6+V61 4. Решить уравнение cen sin (j- + 20°) • cos2 80° - sin 20° • cos 100° = sin 80° • sin 70°- -cosG0°-x) sin2100° 5. Два точки начинают одновременно двигаться равномерно по пря- прямым Ох и Оу, пересекающимся под прямым углом. Первая точка движется со скоростью 4 м/с по прямой Ох от точки А к точке О, находящейся на расстоянии 100 м от точки А. Вторая точка движется со скоростью 3 м/с по прямой Оу от точки В к точке О, находящейся на расстоянии 125 м от точки В. Через сколько минут после начала движения расстояние между точками будет наименьшим? 140
Вариант 21 1. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом а. Диагональ большей боковой грани равна d и образует с боковым ребром угол /3. Найти объем призмы. 2. Решить систему уравнений \ у - 2х = 5. 3. Решить неравенство lo8l, / 2 4. Решить уравнение sin (я + 10°) ¦ sin2 35° - cos80° • cos 215° = sin 145° • cos 170°- -cos(80o-a;)-cos2215o 5. Две точки начинают одновременно двигаться равномерно по пря- прямым Ох и Оу, пересекающимся под прямым углом. Первая точка движется со скоростью 12 м/с по прямой Ох от точки А к точке О, находящейся на расстоянии 84 м от точки А. Вторая точка движется со скоростью 5 м/с по прямой Оу от точки В к точке О, находящейся на расстоянии 100 м от точки В. Найти наименьшее расстояние между этими точками во время движения. Вариант 22 1. Решить уравнение logs _ 2х№ - Пх + 9 + 3B3х + 2х + 3) -22х+ 'ogi72] = 2. 2. В треугольнике одна из сторон равна а, другая -а, а тангенс угла о между ними равен 2\/2. Найти радиус сферы, проходящей через вершины треугольника, если объем пирамиды с вершиной в центре сферы и основа- /5 5v5 , нием, совпадающим с данным треугольником равен ——а . 3. Найти сумму корней уравнения Ъж - ?)(х + 2тг) • (у/с.оьB-к - 2х) + у/1 - sin 2а; - 2^тх - cosaA =0 141
4. В начале года фирма выбирает банк для получения кредита среди нескольких банков, кредитующих под разные проценты. Полученным кре- кредитом фирма предполагает распорядиться следующим образом: 70% кре- кредита направить на организацию продажи компьютеров, а остальные 30% — на проведение компьютерных курсов, при этом торговля компьютерами может принести прибыль в размере от 33% до 45% годовых, а курсы — от 23% до 35% годовых. В конце года фирма должна вернуть кредит банку вместе с процентами и при этом может рассчитывать на чистую прибыль от указанной деятельности не менее 12%, но не более 15% годовых от все- всего полученного кредита. Какими должны быть наименьшая и наибольшая процентные ставки кредитования выбираемых банков, чтобы фирма гаран- гарантированно обеспечила себе указанный выше уровень прибыли? 5. Решить неравенство а/1 + 4х(х - 1) + у/-8х2 + 40х - 32 - 4х + о logtgi(a: — 1) — arccosfz — 3) Вариант 23 1. Решить уравнение 2х-2- log5 _ 2х[4ж2 - 20ж + 25 + 3B3х " 3 + 2х + 2) - 2 1о§172] = 2. 2. На сфере радиуса, равного 1, Ъа взяты три точки, являющиеся вер- „ 5 2\/2 шинами остроугольного треугольника со стороной -а и углами arcsm 1 3 и arcsm-г=, прилежащими к ней. Найти объем пирамиды с вершиной в v3 центре сферы и основанием, совпадающим с данным треугольником. 3. Найти сумму корней уравнения 725 - х2 ¦ ( Jsin(^ + 2х) + у/1 - sin 2х - 2л/соб:г - sinz ) = 0. 4. В начале года фирма выбирает банк для получения кредита сре- среди нескольких банков, кредитующих под разные проценты. Полученным кредитом фирма предполагает распорядиться следующим образом: 75% кредита направить на торговлю программным продуктом "Бухгалтерия", а остальные 25% — на организацию учебно-консультационного пункта "Ма- "Математика", при этом торговля программным продуктом может принести прибыль в размере от 36% до 44% годовых, а "Математика" — от 20% 142
до 24% годовых. В конце года фирма должна вернуть кредит банку вме- вместе с процентами и при этом может рассчитывать на чистую прибыль от указанной деятельности не менее 19%, но не более 22% годовых от все- всего полученного кредита. Какими должны быть наименьшая и наибольшая процентные ставки кредитования выбираемых банков, чтобы фирма гаран- гарантированно обеспечила себе указанный выше уровень прибыли? 5. Решить неравенство 5т - 6 - л/1 + ЗхCх + 2) - у/-4х2 + 16а; + 20 д= < 0. arcsin (a; - 4) + logctgf (a; - 2) - - Вариант 24 1. Решить уравнение 1 l°g3x - 2^2 - 12а; + 4 + 2B ¦ 33х + 3х + 2) - 32х + 1о§173] = 2. 2. В остроугольном треугольнике одна из сторон равна а, другая • а тангенс угла между ними равен —=. Найти радиус сферы, проходящей через вершины треугольника, если объем пирамиды с вершиной в центре у/2 з сферы и основанием, совпадающим с данным треугольником равен тт-гв°. 3. Найти сумму корней уравнения л/81 — х2 ¦ (Vcos 2а; + т/1 + sin 2а; — 2%/sina; -f cos a;) = 0. 4. В начале года фирма выбирает банк для получения кредита среди нескольких банков, кредитующих под разные проценты. Полученным кре- кредитом фирма предполагает распорядиться следующим образом: 60% кре- кредита направить на торговлю канцтоварами, а остальные 40% — на органи- организацию подготовительных курсов, при этом торговля канцтоварами может принести прибыль в размере от 35% до 45% годовых, а курсы — от 20% до 25% годовых. В конце года фирма должна вернуть кредит банку вме- вместе с процентами и при этом может рассчитывать на чистую прибыль от указанной деятельности не менее 12%, но не более 19% годовых от все- всего полученного кредита. Какими должны быть наименьшая и наибольшая процентные ставки кредитования выбираемых банков, чтобы фирма гаран- гарантированно обеспечила себе указанный выше уровень прибыли? 143
5. Решить неравенство л(д + 2) + у + + + log_L(x - 1) + arcsin(j- - 3) - 2 \/3 ер + л(д + 2) + у/-3.г2 + 6т + 24 + 5 - Ах l( 1) + i( 3) 2 Вариант 25 1. Решить уравнение logs* + 1 i9*2 + 6х + 1 + 54B • З3* + 3-г) - 9 ¦ 32х + >°i^] - 2. 2. На сфере радиуса, равного Я, взяты три точки, являющиеся верши- „2Л 1.1 нами треугольника со стороной —- и острыми углами arccos — и axcsm —=, 3 3 уЗ прилежащим к ней. Найти объем пирамиды с вершиной в центре сферы и основанием, совпадающим с данным треугольником. 3. Найти сумму корней уравнения ¦ + х)Bъ - х)- ( Jsin (^ - 2х) + >/1 + sin 2х - 2\/-sin х - cos a: J = 0. 4. В начале года фирма выбирает банк для получения кредита среди нескольких банков, кредитующих под разные проценты. Полученным кре- кредитом фирма предполагает распорядиться следующим образом: 65% кре- кредита направить на организацию торговли офисной мебелью, а остальные 35% — на проведение компьютерных курсов, при этом торговля мебелью может принести прибыль в размере от 38% до 55% годовых, а курсы — от 24% до 35% годовых. В конце года фирма должна вернуть кредит банку вместе с процентами и при этом может рассчитывать на чистую прибыль от указанной деятельности не менее 18%, но ие более 23,1% годовых от всего полученного кредита. Какими должны быть наименьшая и наиболь- наибольшая процентные ставки кредитования выбираемых банков, чтобы фирма гарантированно обеспечила себе указанный выше уровень прибыли? 5. Решить неравенство За: - 5 - у/1 + Ах(х - 1) - у/-2х2 + \2х - 10 log 1 (х — 2) - axccos(a; - 4) 144
Вариант 26 1. Решить неравенство {У2 - 4\х\ + 3) ¦ \Дт 126° - а ¦ loga ctg 40° > 0 2. Решить уравнение sin [х - 10°) • sin2 50° + cos80° ¦ sin 140° = sin 50° ¦ cos 170°- - cos A00° -x)- cos2130° 3. Найти натуральные п из уравнения B + 4. о + 7 + ... + D,5 + 2,5n)) + B + 4 + 6 + ¦ •. + 2(n - 1)) = 188,5 4. При каких х график функции f(x) лежит ниже оси абсцисс, если . _ 1+ log3 5 6х2 - 4а; - 2 /(J) " l-log35-log57r + bgf arccos(-0,5) 5. Основание равнобедренного треугольника с острым углом а при вершине является диаметром окружности. Найти площадь трапеции, от- отсекаемой от треугольника прямой, проходящей через точки пересечения окружности с боковыми сторонами треугольника, если высота треуголь- треугольника, проведенная к основанию, равна h. 6. Имеются три фирмы "а", "/3", ". Эти фирмы являются учреди- учредителями трех акционерных обществ. Учредителями первого общества "а/3" являются только "а" и "/3", причем они делят пакет акций в отношении 5 : 1, второго общества "/З7" — только фирмы "/3" и ", они делят пакет акций в отношении 2 : 3. Учредителями третьего общества "огу" являются только "а" и "-)"> пакет акций они делят в отношении 1 : 2. Возможно ли из трех акционерных обществ "а[$", "/З7" и "cry" создать новую компанию, такую что в этом новом объединении участие компаний "а", "/3" и " определя- определялось бы как 11:4:5? Если это возможно, то в каком отношении должны быть сформированы пакеты акций компаний "а/3", "/З7" и 7'? 7. При каких значениях параметра а функция f{x) = lg ((x2 + 3) • log0 5 а + 2ж ¦ log2 a + 4i - 6) определена на всей числовой оси? Вариант 27 1. Решить неравенство E|ж| - х2 - 6) • v/a-ctg40° • loga sin 130° > 0 2. Решить уравнение sin (x + 20°) ¦ cos2 80° - sin 20° ¦ cos 100° = sin 80° ¦ sin 70°- 145
- cos G0° - x) ¦ sin2100° 3. Найти натуральные п из уравнения B,5 + 4,5 + 6,5 + ... + F,5 + 2n)) + C + 6 + 9 + ... + 3(n + 1)) = 223 4. При каких х график функции f(x) лежит выше оси абсцисс, если ,, ч be, 3 , „ „, 2х2 - Зх - 5 ^)g2 + 1+051 5. Равнобедренная трапеция описана около окружности. Ее диаго- диагональ равна d, а острый угол при основании равен а. Найти радиус окруж- окружности. 6. Имеются три фирмы "Z", "S", "Р". Эти фирмы являются учреди- учредителями трех акционерных обществ. Учредителями первого общества "ZS" являются только "Z" и ", причем они делят пакет акций в отношении 5 :1, второго общества "SP" — только фирмы "S" и "Р", они делят пакет акций в отношении 8 : 7. Учредителями третьего общества "ZP" являются только "Z" и "Р", пакет акций они делят в отношении 7 : 2. Возможно ли из трех акционерных обществ "ZS", "SP" и "ZP" создать новую компанию, такую что в этом новом объединении участие компаний "Z", "S" и "Р" определя- определялось бы как 4:3:3? Если это возможно, то в каком отношении должны быть сформированы пакеты акций компаний "ZS", P" и "ZP"? 7. При каких значениях параметра а функция /(ж) = lg ((х2 + 3) • log0,5 а + 2ж • log2 a + 2х2) определена на всей чи- числовой оси? Вариант 28 1. Решить неравенство C|ж| - х2 - 2) • v/cosl6°^~a • loga tg 46° > 0 2. Решить уравнение sin (ж + 10°) • sin2 35° - cos80° • cos 215° = sin 145° ¦ cos 170°- - cos (80° - x) ¦ cos2 215° 3. Найти натуральные п из уравнения A,5 + 3 + 4,5 + ... + 1,5(n + 1)) + C + 4,5 + 6 + ... + 1,5n) = 180 4. При каких х график фуикции f(x) лежит ниже оси абсцисс, если tl N _ log2 30-1 бж2 - Шг + 8 т ~ log23-log57r-log25 +1 °51°gyi 146
5. В равнобедренной трапеции с основаниями 8 и 2 и углом arcsin 4^ найти радиус окружности, касающейся боковой стороны, диагонали и мень- меньшего основания трапеции. 6. Имеются три фирмы "М", "Л", "G". Эти фирмы являются учреди- учредителями трех акционерных обществ. Учредителями первого общества "Л/А" являются только "Л/" и "Л", причем они делят пакет акций в отношении 3 : 1, второго общества "ACT — только фирмы "А" и "GT, они делят пакет акций в отношении 7 : 1. Учредителями третьего общества "MG" являются только "М" и "G", пакет акций оии делят в отношении 3 : 5. Возможно ли из трех акционерных обществ "MA", "AG" и "MG" создать новую компа- компанию, такую что в этом новом объединении участие компаний "М", "А" и "G" определялось бы как 6:7:2? Если это возможно, то в каком отно- отношении должны быть сформированы пакеты акций компаний пМА", "AG" и "MG"? 7. При каких значениях параметра а функция f(x) = lg ((х2 — 2х) - log0 25 а - 31о&, а - х2 + &х — 9) определена на всей числовой оси? Вариант 29 1. Решить неравенство (х2-7|х| + 10)- v/a-tg46°-logacos26° > О 2. Решить уравнение sin (я - 25°) ¦ sin2 95° + sin 25° • cos 85° = sin 95° • sin 65°- - cos A15° -x) -cos2 85° 3. Найти натуральные п из уравнения 4. При каких х график функции /(х) лежит выше оси абсцисс, если logs 12-logo., 0,25 2j2 - 7х J[X) Iog4log7rlog2+ +1Ogf Iog34-log27r-log52+ +1Ogfaxcctg(-l) 5. Угол между общими касательными двух касающихся окружностей равен а. В каком отношении точка касания окружностей делит расстояние между центрами окружностей? 6. Имеются три фирмы "А", "В", "С". Эти фирмы являются учреди- учредителями трех акционерных обществ. Учредителями первого общества "АВ" являются только "А" и "В", причем они делят пакет акций в отношении 10 : 1, второго общества "ВС" — только фирмы "В" и "С", они делят пакет 147
акций в отношении 1 : 2. Учредителями третьего общества "АС" являются только "А" и "С", пакет акций они делят в отношении 2:1. Возможно ли из трех акционерных обществ "АВ", "ВС" и "АС" создать новую компанию, такую что в этом новом объединении участие компаний "А", "В" и "С" определялось бы как 12 : 3 : 5? Если это возможно, то в каком отношении должны быть сформированы пакеты акций компаний "АВ", "ВС" и "АС"? 7. При каких значениях параметра а функция f(x) = lg ((я2 - 2х) ¦ log0 25 а + 3(я2 - log4 а) - 2х + 3) определена на всей числовой оси? Вариант 30 1. Решить неравенство F|я| - х'1 - 5) • \/sm320-a ¦ loga tg 44° > 0 2. Решить уравнение sin (x - 20°) • sin2130° + sin 160° • cos 50° = cos40° • cos 20°- - cos A10° -x)- cos2 50° 3. Найти натуральные п из уравнения A,5 + 3,5 + 5,5 + ... + Bn + 5,5)) + B + 4 + 6 + ... + 2(n - 2)) = 168,5 4. При каких х график функции f(x) лежит выше оси абсцисс, если 2а:2 - 5х - 3 = log3 2logv5V6 + х + log5 тг • log3 5 - log3 4 I arcctg(-l) 5. В равнобедренной трапеции с основаниями 2 и 6 и углом arccos(-^) найти радиус окружности, касающейся боковой стороны, диагонали и боль- большего основания трапеции. 6. Имеются три фирмы "U", "V", "W". Эти фирмы являются учреди- учредителями трех акционерных обществ. Учредителями первого общества "UV" являются только "U" и "У, причем они делят пакет акций в отношении 5 : 1, второго общества "VW" — только фирмы 'V и "W", они делят пакет акций в отношении 5:1. Учредителями третьего общества "UW" являются только "U" и "W", пакет акций они делят в отношении 1:1. Возможно ли из трех акционерных обществ "UV", "VW" и "UW" создать новую компа- компанию, такую что в этом новом объединении участие компаний "U", "V" и "W" определялось бы как 11:7:2? Если это возможно, то в каком отно- отношении должны быть сформированы пакеты акций компаний "UV", "VW" и "CW"? 7. При каких значениях параметра а функция 148
f(x) — lg ((x2 + 3) • log0,5a ~ 2xB - log2 a) + 4ж2 + б) определена на всей числовой оси? Вариант 31 1 Упростить 2. Решить уравнение lg-r + 5 х 3 ^ 3. Большая диагоиаль параллелограмма является диаметром окруж- окружности. Стороны параллелограмма составляют 2\/б и \/30, а угол между ними равен arcsm . Найти расстояние от вершины параллелограмма, ие лежащей на окружности, до ближайшей точки окружности. 4. Построить график функции у = sin 2х + sin 2ж • cos 2ж + sin 2х ¦ cos2 2х + ... + sin 2ж cos* 2ж + ... 5. Решить неравенство + 3) + \/-2х2 - 8ж + 10 6. Для каждого значения параметра а найти число корней уравнения \х + 1| = ах — 4а — 1. Выписать все решения. 7. Небольшая мебельная фирма производит книжные шкафы и сер- серванты. На изготовление одного книжного шкафа расходуется 1 м2 древесно- древесностружечной плиты, - м2 сосновой доски и 1,5 человеко-часа рабочего вре- мени. Аналогичные данные для серванта даются цифрами: 1,5 м древесно- древесностружечной плиты; 1,5 м2 сосновой доски и 4,5 человеко-часа. Прибыль от реализации одного книжного шкафа составляет 500 руб, а серванта — 1200 руб. В течение одного месяца в распоряжении фирмы имеются: 120 м2 Древесно-стружечной плиты, 150 м2 сосновых досок и 315 человеко-часов рабочего времени. В каких количествах следует выпускать книжные шка- шкафы и серванты, чтобы ожидаемая месячная прибыль была максимальной? Какова эта прибыль? 149
Вариант 32 1. Упростить / 1- у/тт? _ i + y/т^т у Vl + J'-V/I+J- l-r+y/1-x) 2. Решить уравнение 3. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой а угол между вы- высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен а. Найти площадь треугольника. 4. Построить график функции х 2eos2^ 2 cos2! 2cos2| у = 2 cos2 - + ^г + i-з + ... + ^-j + ... 2 1+cos2- (l + cos21) ( |j 5. Решить неравенство 4j--5> v/1 + 4x(.c - 1) + \/-8x2 + 40a; - 32 6. Для каждого значения параметра а найти число корней уравнения \х + 3| = ах + а + 4. Выписать все решения 7. Небольшая мебельная фирма производит книжные шкафы и пись- письменные столы. На изготовление одного шкафа расходуется 1,5 м2 сосновых досок стандартного сечения, 1 м2 березовых досок и 3 человеко-часа рабоче- рабочего времени. Аналогичные данные для письменного стола даются цифрами: 1 м2 сосновых досок; 1 м2 березовых досок и 6 человеко-часов. Прибыль от реализации одного книжного шкафа составляет 900 руб, а письменного сто- стола — 1200 руб. В течение одного месяца в распоряжении фирмы имеются: 120 м2 сосновых досок, 100 м2 березовых досок и 540 человеко-часов рабо- рабочего времени. В каких количествах следует ежемесячно выпускать книжные шкафы и столы, чтобы ожидаемая месячная прибыль была максимальной? Какова эга прибыль? Вариант 33 1. Упростить тт + 1- 150
2. Решить уравнение х 3 — — О 3. Высота, опущенная из вершины прямого угла прямоугольного тре- треугольника на гипотенузу, равна h, а угол между биссектрисой н медианой, проведенными из той же вершины, равен а. Найти площадь треугольника. 4. Построить график функции 2sm2| 2sm2| 2sm2| y = 2sin V1 + siJf + ~ ^i + -" + - :Ъ + 5. Решить неравенство Ъх - 6 > ^/1 + За:Cа: + 2) + \/-4а:2 + 16а: + 20 6. Для каждого значения параметра а найти число корней уравнения \х — 2| = 5 — Заа: + 4а. Выписать все решения 7. Небольшая мебельная фирма производит книжные шкафы н стел- стеллажи. На изготовление одного книжного шкафа расходуется 2 м2 сосновой доски, 3 м2 древесно-стружечной плиты и 2,6 человеко-часов рабочего вре- времени. Аналогичные данные для стеллажа даются цифрами: 1 м2 сосновой доски; 4,5 м2 древесно-стружечной плиты и 2 человеко-часа. Прибыль от реализации одного книжного шкафа составляет 1100 руб, а стеллажа — 900 руб. В течение одного месяца в распоряжении фирмы имеются: 160 м2 сос- сосновых досок, 360 м2 древесно-стружечной плиты и 260 человеко-часов рабо- рабочего времени. В каких количествах следует ежемесячно выпускать книжные шкафы и стеллажи, чтобы ожидаемая месячная прибыль была максималь- максимальной? Какова эта прибыль? Вариант 34 1. Упростить / 1 + v z 1 - V\+~x \2 х2 -1 =х 1 + х-^Д+х/ 2 2. Решить уравнение xl%x= ЮООа:2 151
3. Разность косинусов острых углов прямоугольного треугольника 2 „ равна Расстояние от точки пересечения медиан треугольника до ги- v 10 потенузы равно 0,2. Какова длина гипотенузы? 4. Построить график функции у = sin2х — sin2х ¦ cos2х + sin2х • cos22x — ... +(-1)*-1 sin 2х cos* 2x + ... 5. Решить неравенство 5я-7> у/4 + ЗяCя - 4) + ч/-2х2 + Ах 4-16 6. Для каждого значения параметра а найти число корней уравнения 2\х - 1| = ах - За - 7. Выписать все решения 7. Небольшая мебельная фирма производит книжные полки н стел- стеллажи. На изготовление одной книжной полки расходуется 1 м2 сосновой о доски, 1 м2 древесно-стружечнон плиты доски и - человеко-часов рабо- чего времени. Аналогичные данные для стеллажа даются цифрами: 0.75 м2 сосновой доски; 2,25 м2 древесно-стружечиой плиты и 3 человеко-часа. Прибыль от реализации одной книжной полки составляет 200 руб, а стел- стеллажа — 300 руб. В течение одного месяца в распоряжении фирмы имеются: 180 м2 сосновой доски, 360 м2 древесно-стружечной плиты и 660 человеко- часов рабочего времени. В каких количествах следует ежемесячно выпус- выпускать книжные полки и стеллажи, чтобы ожидаемая месячная прибыль была максимальной? Какова эта прибыль? Вариант 35 1. Упростить 2. Решить уравнение 3. Сумма синусов острых углов прямоугольного треугольника равна , а гипотенуза составляет \/13. Найти расстояние от точки пересечения едиан треугольника до гипотенузы. 152
4. Построить график функции у = sin 2х + sin 2х ¦ sin (— - 2х) + bin 2ж • sin2 (— — 2х) + ... + sin 2x sin* (- - 2a-) + ... Zt 5. Решить неравенство 4j--5> y/l + x(x + 2) + л/-3х2 + 6a; + 24 6. Для каждого значения параметра а найти число корней уравнения 2\х\ — ах — За — 5. Выписать все решения 7. Небольшая мебельная фирма производит книжные шкафы и сто- столы. На изготовление одного книжного шкафа расходуется 1,5 м2 древесно- древесностружечной плиты, 1 м2 пластика и 3 человеко-часа рабочего времени. Ана- Аналогичные данные для стола даются цифрами: 2 м2 древесно-стружечной 2 плиты; - м2 пластика и 2,5 человеко-часа. Прибыль от реализации одного книжного шкафа составляет 500 руб, а стола — 400 руб. В течение од- одного месяца в распоряжении фирмы имеются: 360 м2 древесно-стружечной плиты, 160 м2 пластика и 560 человеко-часов рабочего времени. В каких ко- количествах следует ежемесячио выпускать книжные шкафы и столы, чтобы ожидаемая месячная прибыль была максимальной? Какова эта прибыль? 153
§15. Итоговые экзаменационные тесты (простые) Т-1 | Сложность 1| в 01 Прямые 2х - Ъу = 11, Зл; + 5у = -12 пересекаются в точке G:1) П] B.5:-2) ПП B;-3) |Т| A;-3) Ы C; 1). 02 j Скорость реки составляет 3 км/ч. Моторная лодка проходит 18 км по течению иа 30 мин быстрее, чем то же расстояние против течения реки Собственная скорость лодки равна ПП 14 км/ч ГП 15 км/ч ГП 16 км/ч 1Т| 17 км/ч ПЛ 20 км/ч. 031 Число -1 является корнем уравнения 2\х + 2| - х = ах + 7, если (Т]а = 4 [Т]а = -4 [з]а = 6 [Т|а = -6 [б] а = 0. 04| Сумма целых решеиий иеравенства \х - 4| < 4 равна 26. Т] 28 [2J 27 [][ 35 4 20 051 Длина отрезка, на котором определена функция V{9. ,)(*_!) рав„а П „ m j П g . ,)(*_!), рав„а 061 Уравнение а; = 3 имеет кории Г] 1 |Т| 9 [з] 1;9 [Т| 4 [б] 1;4. 07J Корень уравнения -3 11 2J2 [3|3 I4J4 5 корней нет. 0°| Область определения функции у = + 3 совпадает с множеством [Г] [-3; 0] \J] [~3;+оо) [Т| [-3;0]U(l;+oo) Щ (-оо:-3] U @; 1] Ш @;1). 154
в | Сложность 11 09] Выражение ПЛ у/7 ¦" 1 v/7- v/5 \/Т1— v/7 v/ГГ— \/5 г] vTT Гз1 -l ITI о ПЛ у равно Ю | Область определения функции у = у/х2 — 4 совпадает с множе- множеством 3 [-2; 2] [Т] (-оо; -2] U [2; +оо) ПЛ .г > ±2. I 13 111 Множество всех решений неравенства > равно [Г] (-оо;2,25) [Г] B;2,25)UC + oo) [з] A, |Т| (l,5;2)UC;+oo) Щ B,25;-foo). Ордината вершины параболы у = —х2 -f ах + 5, проходящей через точку B; 5), равна 12 2-6 3-2 4 3 5 6. 13J Выражение sin (а - тг) • tg (ое*- -ж) ¦ sin (а - —) равно [Tj -sina-cosa |_2_] sina-cosa [_?J -sin2a 4 -cos2 a 5 sin2 a. 141 Уравнение 2л2 — 4х — а = 0 ие имеет решений при всех Т\ а < -1 (Т| a < -2 [з] a > -3 [4J a > -4 | 5 | a > -5. 6 = - Выражение 27 равно Т] 4 |Т] 6 а-Ъ при a = 8, ие существует. _1в| Сумма всех двузначных чисел, кратных 7, равна ПП 735 ПЛ 810 РП 616 |Т| 721 ПП 728. 155
тч] (Сложность 1| Числа а = a<b и b = л/4~^ удовлетворяют соотношению [г] а = Ъ ПН а> b 4 нельзя сравнить I 5 I b не существует. 181 Если 3<о<4и-6<5< —3, то произведение аЬ заключено в промежутке ГГ]A2;18) [Г] (-18;-12) |Т|(-24;-9) [Т| (-30; -8) [b\ (8; 30). ЫВ окружности радиуса — длина дуги, содержащей 157°30', равна 7Г 5.3 Ы 7 Ы 1,75 [4J 3,5 \Ъ\ 2,625. 201 Парабола у = х2 — Зх + 5 и прямая у = х + а касаются при а, равном 11 22 33 44 55. 211 Цену товара сначала повысили на 20%, затем новую цену повы- повысили еще на 30%. Конечная цена превышает первоначальную иа Т] 45% [2J 50% [Г] 56% [Т] 54% [б] 41%. 221 Все значения а, при которых парабола у = а — 2х - х2 полностью расположена ниже оси абсцисс, определяются неравенством 1 а< -1 2 а > -2 3 а > -3 4 а > -4 5 а > -5. 231 Все решения уравнения sin а; — cos а; = — 1 определяются формулой ' 7Г - о I х — — :t -—7 [71 х = -±-±2тгп. i—i 4 4 [2] x = ^ + (-lf.l [7] г = -( 156 Ы
[Сл" :ожность 24 j Медиана прямоугольного треугольника с катетами, равными 12 см и 16 см, проведенная к гипотенузе, составляет 1] 10 см 2 6,5 см 3 7 см 4 4 см 5 5 см. 251 Если — < а < —, то величина v^O, 5 + 0,5^0,5 + 0,5 cos 4a равна lj cos a JJJ sin а \ 3 | ± s>in а | 4 | ± cos а \ 5 | — cos a. 26 j Числа 1 и \/3 являются 4-м и 7-м членами геометрической про- прогрессии. 10-й член этой прогрессии равен III I fil 2 3 4 4 5 5. 27 Сумма 1 - cos2 — + cos4 — - cos6 — + ... равна 8 8 8 З^Е 17 4 281 Если а + 6 = 10, аЬ = -7, то а2 + Ь2 равно 1 145 2 86 3 67 4 121 5 114. 29J Т\ 2-v/6 Величина tg (arccosO, 2) равна 2v/6 i—i 2v/6 Медиана, проведенная к боковой стороне равнобедренного тре- треугольника, образует с основанием угол 45°. Тангенс угла при основании треугольника равен 2,5 - 4 4 5 3. 157
[Сл ожность 11 011 Длина аквариума 90 см, ширина 40 см, а высота 60 см. Чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см, в него надо влить 1 180 л 18 л 131 160 л 4 16 л 20 л. Ыо it Выражение sin(-7r - а) • tg(a — ж) — cos(—тг — а) равно 10 2 2sina 3 -2sina 4 2cosa —2 cos a. озГ Все корни уравнения sin 2x = —- образуют множество - + -П Г31 ±-7Г + 7ГП 5 127 ±w 041 Если одна из взаимно перпендикулярных диагоналей трапеции составляет 8 см, а площадь ее— 16 см2, то вторая диагональ равна 1 1см 2 см 3 3 см 4 4 см 6 см. 051 Значение выражения sin I -тгCп — 1) 1, где пЕ Z, равно 1—' 2 ^т- 2 ±- -Т LiJ г- Площадь ромба со стороной 5 см и углом, равным arccos - соста- 17] ГП ГТ1 171 Ш 7] 5см2 Т145СМ2 171 60см2 ШвОсм2. Выражение C • y/i - 0,5 • \/Ш) • ^4 равно 1 ПЛ 2,5-^5 S 3 [7] 4 ITl 3,5- Ы/а0'6- а°-2\~5 Значение выражения [ —г^ 7-z I при а = \/% равно \а}>г - а0-8/ 0,5 ГП i 9. 158
[Сложность 11 091 Все значения о, при которых не пересекаются графики функций •"""^ 4 у z= х +аи у = —, образуют множество 1] я<±4 2 (-4;4) |3| а < ±2 Ul (-2;2) Ы (-2;4). ЮI Сумма cos — + cos2 — + ... + cos" — + ... равна ^J 6 6 6 Tj i IT О \T\ -i [TI 3-2л/3 iil x .r + w Если — = 2, то дробь —;——г равна у х-1 - у-1 r Tj 1 fj] 2 [TI 2,5 [T| -^ -3. Число C - \Л0)-\/19 + 6\/10 является корнем уравнения |4| фс — 2 такое уравнение не приведено. Расстояние от вершины параболы у = х2 — 6ах+9а?+4а до начала координат равно 5 при а, равном ПП ±1 ГП ±2 111 ±3 |Т| ±4 ПП ±5. lj Положительной среди приведенных является величина cos87°-cos77° [2j tg2-tg3 [з] sin2-sin3 ctg520-ctg42° sin 12° - tg 12°. 15 Выражение W@.09) 2 : | 3- J +0,492 равно 71 ±1 IT] 1 IT] ±2 |4| 2 |5| 0,35. / 1\4 I :C-J +0,492 159
I Сложность 11 161 Если разделить 750 на две части так, чтобы 4% первой части в сумме с 12% второй части составили 5, С% всего числа, то меньшая часть числа равна ш 250 9375 300 0 150. Если а € ( —: —), /J ? (—; —), то sin (а - /3) принадлежит множе- \6 3/ \6 2/ -V;~) И (~;^ 1°| Все решения неравенства х + 2х ' > 3 совпадают с множеством Ш A:2) I И (-1:2) (-oo;l)UB;+oo) |_3j (-oo;0) U A; 2) @:1) U B;+оо). 191 График функции у = 1- a(j- + 1) + 1 расположен ниже оси абсцнсс прн всех а нз множества TI а < ±2 Г2]-2<а<-1 а>±2 4 а >2 5 а > -1. 201 sin 80° + cos 50° + 3\/2 Выражение =- равно i 50°+^10° + ^ sin 50°+8^10° Т| v/3/З [г] v/3 l. 211 Если 1<а<2, -2>Ь> -4, то частное а/Ь заключено в интервале Т](-0.5:2) |У|(-1;2) Щ(-4;-1) Щ (-1; -0,25) 221 Площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой б и пери- периметром 14 равна 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11. 231 Три числа 2, х/2 н —у/х являются последовательными членами арифметической прогрессии, если х равно ПП 4 ГП 1н4 fill ГЦ -4 171-1. 160
[Сложность 11 241 Сторона треугольника длины 4 см лежит против угла, синус ко- которого составляет \/3 - 1. Радиус описанной около треугольника окруж- окружности равен (в сантиметрах) Т~4~| 2U/3+1 251 Функция у = у/(х + 5) + E - х)~{ - 0,4 определена на множе- множестве m (_5;5) Ы х>±5 IT] х<±5 |4J (-oc;-5)UE;+oo) 5 (-оо;+оо). 261 В треугольнике со сторонами 2 см, 3 см и 4 см медиана, проведен- проведенная к стороне в 2 см, равна —|^46 г—| ^73 1 ^^ см I 2 I —— < v/62 2,5 см | 4 I см 5 5 см. 2' | Расстояние между нулями функции у = х2 - (\/2 - \)х- у/2 равно 281 Область определения функции у = ^12 + х2 — х4 совпадает с мно- множеством 1 Ь- < ±2 2 з- > ±2 3 -2 < х < 2 4 \х < 2 5 г > -2. Все решения неравенства -\/-т + 2 < а; образуют множество [Г] (-l;2j IT] (-oo;-l)UB;+oo) Гз] @;2) UJ [-2;-1) U B;+оо) 5 B;+оо). Область значений функции г/ = (х + 1) • \т — 1| на промежутке [—2; 1] совпадает с множеством [Г] [-3;2] [г] [-3;-1] [з] [-3;0] Щ [-3; 1] [б] [-2; 1]. 6 — 6838 161
[Сложность 11 В 011 Сумма всех корней уравнения C + х)(х2 + (-/-яJ - 6) = 0 равна ГП -8 ПГ| 2 [71 -5 [71 -2 корней нет. 021 Выражение У^ л/2-1 а равно 0 при а, равном 1 I л/10 — 2>/2 ГгП 2 + v/10-2 IT 031 Площадь параллелограмма со сторонами 3 и 6 составляет 10,8. Меньшая диагональ параллелограмма равна m 9л/5/5 [з] v/1845/5 0^1 Выражение \/а2 — За + 2 — л/А - 4а + а2 при а = 2,5 равно |l| л/5/2 Ы не существует [з] 1,5 UJ -0,5 0.5. 051 На одном станке можно изготовить партию деталей за 4 ч, на дру- другом — за 5 ч. Если включить оба станка, то эта партия будет изготовлена \Т\ 20/9ч [Т]3ч [7] 2,5ч [Т| 2,6 о ч. 061 Наибольшим целым решением неравенства Bл/б - 5)Cа: — 13) > О является 1 |2| 2 |3| 3 |4| 4 |5| такого числа не существует. О« | В прямоугольном треугольнике катеты составляют 5 и 12. Радиус вписанной в треугольник окружности равен 11 22 36 44 55. Оо| Число корней уравнения \Jx — 2 • (х3 + 8) = 0 равно ПП 1 Гг1 2 ГзП 3 Hil 4 Г5~| о. 091 1 I х а 1|х>0 |2|х>2а I 3 I ж < 2а Г4|2а<х<0 \5\ х> -2а. О°| Если а < 0, то неравенство — < — эквивалентно неравенству х а 162
[Сложность 11 lOj Через точки @; 1), A; 0), C; 0) проходит парабола у - -х1 - -х 3 3 = х2 + 4т - I. Щ Точки АA; 5) и В(—1; -0,5) расположены относительно прямой у — 2\/2 • т + \/5 следующим образом: [jj обе - ниже \2\ А - выше, В - ниже [1Г] Л - ниже, В - выше | 4 I обе - выше ПП Л - на прямой, В - ниже. 121 Чтобы получить 16%-й раствор соли из 4 л 20%-го раствора, к нему 8%-го раствора нужно долить в количестве ПП 1 л Гг1 2 л ГзПзл ГТ1 4 л ППбл. Если одно число увеличить на 40%, а вдвое большее число - на %, то сумма этих чисел увеличится на ПЛ 50/3% [У] 30% ИГ] 15% [Т] 20% ПП 10%. ill Множество решений неравенства (х — 1){х + 2) < 0 равно lj(-l;3) L2_|(-2;3) [_3j A; 3) |_4j (-1; 1) |_5j (-2; 1). 151 В треугольнике основание равно 80, а высота и медиана, прове- проведенные к нему — 5 и 13. Меньшая боковая сторона равна [71 л/Ш [ii v/769 [71 Vm |T| v/2725 ITI 33. I Выражение ( - + f + 2 ) • (а": + 6~:) '/2 равно \а b J y/ab /аГ+b 5 1. 6* 163
[Сложность 11 -*• I При условии 0 < a < 1 выражение «/-г Н h I - \ -т 1-1 1 \ a2 a Van равно 1 -2 2 2 3 a* a 2 a 0. Все значения Ъ, при которых парабола у = -х1 + 2Ъх - 7 целиком расположена ниже прямой у = 2, определяются условием 1 b<3 2 b > -3 3 b < ±3 4 <з Ы|ь|>з. 1"| Все значения а, при которых система уравнений у = |х| + а, х1 + у2 = 4 имеет 4 различных решения образуют множество 201 В равнобедренном треугольнике радиус вписанного круга соста- составляет 0,375 его высоты, а периметр треугольника равен 16. Меньшая сторона треугольника равна 1 3 2 12 3 5 4 6 5 10. 211 Сумма x + у решений системы уравнений < ' равна 7у = -6,7 + Зу = 27 11 2 2 -1 4-2 5 3. 221 х1 + 2х + 6 Корнем уравнения lg = lg (x + 1) является х — 1 11 -3,5 2 -4 3 2,5 4 4 [5 корней нет. Все решения уравнения 9sin х ¦ 22 sin x = 6 определяются формулой, ~ 7Г . 2тг ±- + 2тгп 164
{Сложность 11 El Iog227 Выражение 5 loS2 5 равно 71 1 ITI 9 ПЛ 27 |T| 24 ГП 25. 251 Все решения уравнения \J— cos x = \J- sin x образуют множество, (« G Z) 7Г I 1 7Г 1- 7ГП 2 h 2жп 4 '—¦ 4 П 57Г 3 h 27rn —¦ 4 II т | 4 I - + 7ГТ» i5 решений нет. 26 j Сумма первых п членов арифметической прогрессии равна Зп - 2и2. Пятый член этой прогрессии равен -17,5 ITI -15 ГП 27 ITI 17 26. 27 Число 11 sin 44° - tg 44° | + | ctg 46° - sin 43° 11 равно 1 | sin 44° - cos 47° T] sin43o-cos46° [?] cos 47° + cos 46° - 2 ctg 46°. \2\ 2tg44o-cos47°-sin44° \T\ sin43°+cos46° 281 Решением уравнения (л/5 — 2Lж 4 - B + у/Е)х = 0 является [Т] 0,6 [Г] 0,8 IT] 0,5 0 5/6 [Т| 1,2. 29J Выражение cos0 —— sin — равно Т\-ъ- т 3 7л/2 4 - 7^2 16 301 Один рабочий за 18 дней работы получил столько, сколько дру- другой — за 24 дня. За сколько дней совместной работы они получили бы заработанные ими обоими деньги, считая, что дневной заработок одного и того же рабочего в обоих случаях одинаков? 3 |—| 2 |—1._7 т.- I—I ~4 18- дня 2 22- дня I 3 117- дня [4119,2 дня 5 20- дня. 165
[Сл! ОЖНОСТЬ 1| I 011 Если 8% числа 120 равно 5% числа а, то а равно ПЛ 180 ПЛ 185 ГаП 190 [7\ 192 Щ 200. 021 Расстояние между кориями уравнения 14х2 - 5ж — 1 = 0 равно 3 r^i И [з| - 14 14 14 ± 151 " 14 14 031 Уравнение 3 cos хж = 2а + 5 имеет решения при любых значениях а нз множества 041 Сумма корней уравнения ЮОх3 + х2 = 99а; равна 7] 0,01 [У] -0,01 [Т] 1 0-1 0 99. 051 Все решения уравнения tg x ¦ ctg x + &in 4x = 1 определяются фор- формулой (п е ^) Л" Л" - + -n [_2j -n [_3J -n [4J тгп |_5J решений нет. 4 ^ 4 ^ Корнем уравнения ах + За + 2(х - 1) = Зх + а2 является любое число, если а равно П 1 Гг1 2 ПЛ 3 \Т] 4 |~5~| таких а не существует. 07| Решение неравенства ЗуТГF - Зж) > 10F - Зх) определяется со- соотношением х > 0,5 [2J ж<0,5 Ща;<2 [Т| а; > 2 |Т] решений нет. 081 Корнями уравнения х - 5 = 4^/ж являются Т| 25 и 1 (~2~1 25 Гз1 1 Rl 5 ГТ! 9. 166
I 091 В трапеции, у которой боковые стороны и меньшее основание составляют 6 см, а большее основание — 12 см, диагональ равна Зл/3 [г! 2л/3 Гз! 6\/3 |4| Юл/3 \5\ о. Число равно sin (| + 0,5) - cos(jt - 1)| - [ bin (J + 1) - соь (| - 0. o)[ 2соь1 -sinO, 5- cosO, 5 3 ,sin2 + cosl 4 &inO,5-cobO,5 5 cos 0,5 + sin 0,5. Выражение ( \/3 - 2д/2 + \/\/2 - 1)\/\/2 + 1 равно Т|0 ITIv^ Гз1У2-2 ГТ1 2 ПП 2-л/2. 121 Произведение корней уравнения у/х2 + 11 — л/я2 — 5 = 2 равно 14 ПП -14 IT! 13 ГТ1 -13 ПП -9. 13 I 13 I ту у/6-Х - X2 \/6 - X - X1 1 Корни уравнения — = заключены в промежутке Г] (-5;-2) Щ (-2;-1) ГЦ B:4) ГТ] A:3) IT] (-1:1). ill Число 36 + @,04)-».» • @,125)~з - (-L) 2 равно 1 ±45 2 45 3-45 14 30 5 -30. tg2, бтг-cosO,97r Выражение — ^- равно sinO,47r-ctg — _2_| -1 [Т] sin— — — 10 -соь 10 sin—, о 161 В геометрической прогрессии 2 tg —, cos 2тг, sin —,. ""¦ 6 3 27 m 9 m 9%/3 rri 7Г —,... седьмой член раВСН -| 2V3 -1 32 64 г—1 9_ г—j V3 I—I 32 I—1 32 32 167
{Сложность 11 17 j Прямые 2зг + у = 5их — 2ay = 6 пересекаются в точке из второй координатной четверти, если \ Н a6(-°°;-)U(-i;+oo) [?| а6(__;__) Ш а>~\ Т| а< -- \5\ а > -О, 6. 18| Величина cos(arcctg (—)) равна ПП 0,8 [У] -0,8 IT] 0,6 [Т] —0,6 ПП 0,3. J^J Бесконечное произведение у/2 • ypl ¦ Ху/2 ¦ Ц/2... 201 Некоторый весовой товар подорожал на 25%. На деньги, что раньше можно было купить 1 кг товара, теперь его можно купить - кг [Г] - кг \ъ\ — кг [Т] 0,8 кг \ъ\ 0,75 кг. 9 6 23 loga48-l Выражение 51оез 10—log3 2 равно "П 16 ГТ1 18 ПН 24 ГП 27 ГП 5. 22Г Выражение равно 2"| Если включить один насос на 2 ч, а другой на 3 ч, то они заполнят водой 90% бака. Если, напротив, первый насос включить на 3 ч, а второй на 2 ч, то будет заполнено 70% бака. Если включить оба насоса на 1 ч, то бак заполнится иа [71 20% ПП 32% ITI 35% |Л 38% ПП 40%. 168
El [Сложность 11 241 Множество решеннн неравенства logx B - х) > 1 равно —¦* 4 )(-оо;2) [Т|(-оо;1,6) ПП A,6;+оо). [Г] A,6; 2) [2J(O;1,6) 251 в треугольнике со сторонами 3, 5, 6 медиана, проведенная к боль- большей стороне равна шей стороне, равна 261 Уравнение (\/2 + 1)х - 2(>/2 - 1)г = 1 имеет решение |Т| log^+12 [Т| log^, 0.5 0 logj (л/2 - 1) 00,5 02. 2'| Решение неравенства у/— cos а; > \Zsim: совпадает с множеством з 5Г^^П) (П (-- Ш.З 5 (-7Г + 7ГП; -7Г я- ; —- + 7ГП) (-7Г + 7гп;7г + жп) _ (-— + 2тт; —— + 2пп) 5\ (- 281 Число корней уравнения \х + 1\(х - 2) - а = 0 при -2,25 < а < 0 равно 11 22 33 44 55. 29 j Наибольшее значение функции у = log0 5 (я2 — Юх + 29) равно ПП log2 3 2 2 Гз] 3 |4| -2 ГбП такого значения средн ответов нет. 301 Периметр четырехугольника ABCD, вписанного в окружность "™" v/2 радиуса ~. ^ так, что величины дуг АВ, ВС, CD, AD пропор- coslO cos5° _ „ цнональны числам 3, 4, 5, 6 равен ГГ1 2coslO°cos5° [г! 8 ПП 4 Rl lOcoslO0 Щ 4cos5° 169
ожность ) 2/3 Число C-^/3) 2/3 + 8Г1/4 равно 9 - ПЛ 2 12 '—' 3 12. 02J Сумма корней уравнения З/2 - 5х — 7 = 0 равна О О 031 /К О Число 2 • J 7• у- равно 45 51 /14 48 \/14 47 /14 9л/14. 041 Прямая у = кх — 7,7, параллельная прямой у = 80х + 79, проходит через точку [71@,125:2,2) Гз]A;3) [Т] @,3; 0,1) ГТ] @; Т) ПП @,1; 0,3). 05 Число 1996ig-1995^+^ равно 1 1,2 2 Выражение sino:| cosa| — cosa| sino:|, где а б (—тг; 2тг), равно 0 2 sin 2а 3 -sm2a 4 2 cos 2а 5 1. otJ Периодическая десятичная дробь 0,1B3) равна 61 450 61 495 41 330 _2_ 15 В параллелограмме, периметр которого равен 84, а высоты отно- относятся как 3 : 4, меньшая сторона составляет Т] 12 [Т] 18 [Т] 15 [Т] 30 [б] 8. 170
[Сложность 11 i ах + у = Система уравнении < { у ство решений, если а равно ПП 1 ПЛ 2 ПЛ -1,5 имеет бесконечное множе- 1,5 ПП -2. 10| После двух повышений на одно и тоже число процентов зарплата возросла на 69%. Каждый раз она повышалась на [71 29% ПЛ 30% ПЛ 31% [71 34,5% ПП 33,5%. 111 В арифметической прогрессии ец = 4, ад = 11. Ее первый член и разность соответственно равны [Т]-2;0,7 fil -0,2; 2 ПГ|-0,3;1 [71-0,1; 1,2 |Т|-0,2;1,4. 121 Область определения функции у — у/4 — х2 определяется соотно- соотношением lz<±2 2 ж > ±2 3 -2 < z < 2 4 ж < 2 5 x > 2. Число 91оЬA + °-5 + °'24 + °>пь + °- °62'' + ¦ ¦ ¦) равно 110 22 3 6 44 5 8. Уравнение ^-2s + 2 = х - 1 имеет решение [7] х, - 1, s2 = -1 [i] Ж| = 1 [з] д:| = -1 [7] хе(-1:1) \Т\ х е [1; +ос). Множество решений неравенства > 1 равно 1 ( J. LLJ l~2'2 HD LlJ (-^5)- 171
[Сложность 11 16 j Площади вписанного и описанного около окружности правиль- правильных шестиугольников относятся как ПП 1 : 2 Pi"! 2 : 3 ПЛ 3 : 4 ЦП 4 : 5 |Т|5:6. Выражение tg615° + tg375° равно ГТ! 2 Гз~| 3\/3 ГТ| 4 jTl »Г Если lg 2 = a, lg 3 = b, то величина lg 60 равна a + b+l [TI a-b+1 Гз] b-a+l 14 l-a-b 5 2a-b+l. Прямые t/ = -(a + l)i + б и |/ = i + За пересекаются в точке, лежащей ниже оси абсцисс и левее оси ординат, если 1 а< 2 -2<а<2 3 а>2 а < -2 5 а > -2. 201 В геометрической прогрессии Ь4 • &8 = 27. Величина Ьъ равна [TI Гз1 -зл/з Г71 ±зУз ITI -2\/з. Все решения неравенства ctg т. < \/3 образуют промежутки вида ,7Г 7Г [3+ЖЩ2 ,7Г 7Г 6 (тгп; - + тгтг). 221 Множество решений неравенства logx _ 2 2 > 1 равно 2JB;3)UC;4] з| [4;+оо) U|C;+oc) |5|B:+oc). 231 Если tg а = —, ctg (а + в) = 2, то величина tg J равна 1 1 г 2 — 1 I—i 1 — 5 -. 14 '—' 7 172
в [Сложность Ij Odl с 1 5 2 , 1 А1* I Если а = -, то выражение а' + -х равно ¦-^ а 6 а-* m ^ пл 2,5 m ^ m -^ и ^. 251 Расстояние между точками пересечения графиков функций у = х и у = 2 — \х\ равно 1 ¦ • ¦ Г 1 I 1 М 5 2. l] 1 |Т] 2\/2 [з] 4\/2 261 в уравнении (х2 - 2х + 2J - х2 + 2х — 22 = 0 произведение корней равно — 1-6 2 2 3 3 4-5 5-3. 2« I Четная функция, совпадающая с функцией у = х(х — 1) при х > О, задается формулой ¦—i i— 3 у=\х\-х* = х2-\х\ 281 Область определения функции у = y/l — \ log2 x\ совпадает с мно- множеством [Т] @;2] [i] Й;2] |Т] [2;+оо) 0 [-1,1] 291 Площадь фигуры, определяемой условиями у < 3 - |ж|, у > а, а ? @; 3), равна 2,25 при следующем значении а: \~L] 1,4 I 1,5 \J] 1,6 [Tj 2 |_5j 2'L ДО I В описанной около круга равнобочной трапеции расстояние от центра круга до дальней вершины трапеции втрое больше, чем до ближ- ближней. Тангенс острого угла трапеции равен [Т] 1,2 ПП 0,7 \Т\ 0,75 [Т| 0,8 |Т| 1,25. 173
[Сложность 11 в 011 Из прибыли в 5 млн. р. фирма отчисляет 28% в строительный фонд, причем 7% из них для строительства базы отдыха. Сколько денег из прибыли выделяет фирма для строительства базы отдыха? Т\ 10800 р. [Г] 108000 р. [з] 98000 р. [Т] 980000 р. [б] 2 млн. р. 021 Все решения неравенства ,г 1 < 3 совпадают с множеством Гз]@:3) [4](-оо;0)и(-;+оо) оз I Вычислить (у/\Д+2- \/2- \/зУ 4 2 2 2(\/3-У2) IT] 2(\/3+>/2) 6. 041 Вычислить lg 198.13 - lgO, 019813 Т\ 104 [2J 1000 [Т] 3 |4| 4 невозможно без таблиц. 051 Выражение sin (-тг - а) • tg (а - тг) — cos (—ж - а) равно Т] 0 2sina " / о V / V л —2 sin а 4 2 cos а 15 I —2 cos а. 0^1 Первый из отрицательных членов прогрессии 3; 2,9; 2.8; • • • имеет номер ГТ1 31 ПП 30 Гз~1 33 1Т| 29 ITI 32. 07] Четной среди приведенных является функция у = х - Т\ у = \х + 2| + у/х2 - Ах + 4 [Т| у = ж2 - х5. 081 Сумма целых значений аргумента из области определения функ- ции у = -^ ^ i- равна х-2 7] 21 [Г! 17 HI 19 ITI 18 ITI 16. 174
0 ^ложность . 09 Вычислить 53о& 15 ^ 2 25 3 0,12 4 3 10] cos 105 равен ^Im^b. I—I 4 111 Стороны прямоугольника относятся как 1 : 3. Отношение площа- площади прямоугольника к площади описанного около него круга равно ГЛ 3 | 4тг 2тг — Зтг — отг бтг Через точки @; —2), C; 0) проходит прямая 2j- + Зу = 6 [Т] 2х - Ъу = -6 [jfj 2x + Ъу = -6 2х -Ъу = 6 ПП Zx + 2y = 6. 131 Если функция /(х) определена при всех s и имеет наибольшее зна- значение равное 2, то наибольшее значение функции у = 4 • /Cs — 1) — 6 равно 1-1 2 2 3 4 4 5 14 j При каком q один корень уравнения х2 - 9х + q = 0 вдвое больше другого? 1-18 2 3 18 4 12 5 -12. Если lg х = х lg a + 2 lg с2 - lg b, то г равняется 3 с .4 . 3/ 16| Равенство tgа = а2 - 8, где а б (—; -) и а < 0, выполняется при всех следующих значениях а Т]а<-3 [Т]а>3 |Т]а<±3 [Т]-3<а<0 |~5~| 3 > а > 0. 175
[Сложность 11 17 Сумма всех двузначных чисел, кратных 8, равна \1\ 560 [Т] 672 [Т] 616 [Т] 504 [|] 728. 18 j Парабола у = -х? + 2х + 1 и прямая у = Зх + а касаются при а, равном [Г] -0,75 [Т]-1 0 2 0-2 0 1,25. 191 Цена товара после двух повышений цен выросла на 170%, причем первый раз цена повышалась на 80%. Второе повышение цены осуще- осуществлено на 1 90% 2 45% [з] 30% [4J 40% [б] 50%. 201 Уравнение параболы с вершиной в точке A; -3), проходящей че- через точку B; -2), имеет вид [Г] у = -х2 - 2х - 2 [2}у = х2-2х-2 \Т\ у = х2 + 2х - 2 |Т| ?/ = -ж2 - 2ж + 2 ПП ?/ = -х2 + 2ж + 3. Решить неравенство (ж3 - 4г)л/г + 1 > 0 [Г) (-oc;-2)U@;l) |Т| (-оо;-2) [з] (-2;0) Ш (-l;0)UB;+oc) Г?) B;+оо). 221 Область определения функции и = i/sin— ^^ V 6 s жеством совпадает с мно- J@;2] [2j[2;+oc) |_3j (-oc;0) U [2;+оо) |_4j [—2; 0) 231 Упростить выражение —а—- • (9а + За + 1) - 27° О г -L 0 1 0 3й 0 cos7tt 0 -За \ ' 9a. 176
[Сложность 11 24 x2 + 5 Корнем уравнения lg = lg x является x — 2 1 -2,5 2 -4 1з| 2,5 Ul 4 5l корней нет. 251 в треугольнике со сторонами 3, 5, 6 медиана, проведенная к боль- большей стороне, равна 4 Гз] 3,5 U 2\/2. 26 Гипербола, см. рисунок, имеет уравнение ¦ -I- ¦>- f 1-х 2-х х-2 У = 3-х 2-х У = 3-х х-2 х + 2 27 j Наименьшее решение неравенства 2|ж + 2| < х + 4 принадлежит промежутку (-0,5;0,5)|_2|(-1,5;0,5) 3 (-4;-3) |4|A;2) |5|(-3;-2.5). 281 Ящик вмещает 12 кг риса или 16 кг пшена. Если ящик заполнить и тем и другим на одинаковые суммы, то содержимое будет весить 15 кг и стоить 90 рублей. Суммарная стоимость 1 кг риса и 1 кг пшена равна |Т| 12 руб [г] 14 руб Щ 15 руб |Т| 18,75 руб [Т] 17 руб. 291 Все решения уравнения Sin (— - х) ¦ sin (х + —) = - определяются формулой \L 7Г - + 7ГП 6 ±- + кп - + 1ГП Множество значений функции ?/ = 0,52ж ж совпадает с проме- промежутком [з]@;2] [7](-оо;2] |T| (-00; 0,5]. 177
сложность 011 Определить длину отрезка, разделенного на 2 части так, что боль- большая превышает меньшую на 6,6 см и весь отрезок делится серединой меньшего отрезка в отношении 1: 5. [71 12,6 [Т] 19,8 [Г! 30,4 [7] 68,4 ПП 20,4. 021 n 7,2 28-30^:2,2 JZJ Величина х в пропорции — = 4 равна а; 1,5 + 2,(о) + 3, /5 ПП 3,75 ПП 4 [з] 8 \а\ 2 [I] 2,25. 031 Четной среди приведенных функций является функция ГЛ у = -х- у/х ПП у = 1 - х • \х\ Гз~] у = х3 + х2 а»-?-> ППг/ = у/х2 + 2х +1 + л/х2 - 2х +1. 041 Прямые 2х + у ~ 1 = 0иу-1 + а = 0 пересекаются во втором координатном угле, если llo> -I \t\a< -I 0<о<1 4 а>1 5 такое невозможно. 05| Число logj log2128 равно 7 ~Г\ 1 [Т] -1 ПЛ 0,5 [Т] -0,5 IT] не существует. 061 Положительной среди приведеиных является величина Т] cos37°-cos27° [T| cosl37o-cosl27° ПП cos %- cos - —i i—i i—i 7 5 4 cos 2 — cos 1 5 | cos 1-cos 0,5. 071 Лодка прошла 45 км против течения реки и такое же расстояние вниз по течению реки, затратив всего 14 часов. Если скорость течения реки 2 км/ч, то собственная скорость лодки равна 1 5 км/ч 2 6 км/ч 3 7 км/ч Т] 8 км/ч []Г| 9 км/ч. 081 Вычислить ^—- - ^2 ¦ ^з- Т| 2V3-4 [Т] 2>/2-3 ПП 3 [71 4 -3. 178
сложность 091 жутке Если 8 < а < 16, -4 < Ь < -2, то частное - заключено в проме- о Т] (-2:8) [2J B;8) Щ (-8;-2) [Т] (-8;2) \ъ] (-4; 16). Ю | В равнобедренной трапеции с высотой 2 - \/2 и углом тг/4 между ее диагоналями, противолежащим боковой стороне, средняя линия равна Гз] 2 2. 111 Выражение а ¦ ( —=—; = - \/а ) при а = 125 равно 125 125 d Функция, график которой изображен на рисунке, задается формулой х-1 U\ y=\x\-x Ы y = *-V- Сумма координат точки пересечения прямых у = — 3,14 21,14 5,86 5,86 о, 14 о, 14 5,86 5,86 равна [Г] 2,72 |Т] 2 Щ 3 [Т| 4 3,43. Множество всех решений неравенства (х + I) > (х — З) равно Т] (-оо;+оо) [2] (-1;3) [Г] (-оо: -1) U C;+оо) UJ C;+оо) 151 Сумма корней уравнения cos пх = -0,5, принадлежащих проме- жутку тг тг 4 4 г-1 1 2'4JF Ш ~2 Ш Ш ° И ! Ш 2" 179
{Сложность 11 Последовательность задана формулой ап — жутку @,04; 0,08) принадлежит следующее число ее членов ПП 24 ПЛ 25 га + 1 эв 26 |4| 23 151 27. . Проме- 17| Область значений функции у = х2 — 2х+ 2 на промежутке х е [0; 3] совпадает с множеством ПП [2; 5] ПЛ [5; 6] ПП [-2; 5] IT] [1;5] ПП [1;3]. 181 Среди приведенных выбрать число, ближайшее к корню уравнения /22 - х - v/10 - j- = 2 2f 0 о1 Ш "^ И тг |5| —. 2 4 ^¦¦¦"^ 2 19| Уравнением, корни которого на 1 больше корней уравнения г2 - Ьх - 1 = 0, является Т\ х2 -7х + 3 = 0 [Т| x2-7j+5 = 0 [T] ж'2 + 7ж + 4 = 0 + 3 = 0 - 7х + 2 = 0. 201 Сумма корней уравнения х2 — х + 9 + ^2 - а; + 9 = 12 равна 13 2-3 3-1 4 1 -2. 21[ Скорость поезда на некотором участке пути была увеличена с 100 км/ч до 125 км/ч. Время, затраченное на этот участок уменьшилось против прежнего иа I I 1 I—I Г—1 I I III I 1 35%. 1 25% 2 20% 3 30% 4 100. 221 Все значения Ь, при которых парабола у = z2 — 2Ьх + 5 целиком расположена выше прямой у = 1, определяются условием ~" > 1. 1Ь<±2 2Ь<-2 ЗЬ>2 4|-2 231 Наименьший положительный период функции у = cos2 ж - sin а; ? 2 7г 3 S» 14 2тг 5 Мт. 180
{Сложность 11 24 j Множество значений функции у = Iog2(a;2 - Ах + 12) не пересека- пересекается с областью определения функции у = 1пCа - х), если [71а> 1 |~21а < 1 а < 2 4 а > -1 5 такое невозможно. 251 Сумма целых решений неравенства \у/х2 + 2х + 1- 2яг — 3j < 4 равна ПЛ О (П -12 ПЛ 6 ПЛ 10 |П -5. 261 Величина \/0,5 + 0,5 • -/0,5 + 0,5 • cosa при 2тг < а < -ж равна -cos? \2 sinf Dj -sinf 0. 271 ж Iog2(arccos(-^)) - 3 Если log, — = а, то выражение —; : ^ равно О lOg2 7Г — 10g2 0—1 — 1 5 не имеет смысла. I a-\ a+1 281 Корень уравнения lgar + log ггкх + log^^a: + ... + log цъ— х = 11 Равен 2 10 10 291 Расстояние между прямыми у = -х+1иу + х = а равно \/2 при двух значениях а, сумма которых составляет Г 3 4 4-4 301 Имеются три сплава, составленные из меди, свинца и никеля. В первый сплав входят только медь и свинец в весовом отношении 5 : 1, во второй сплав входят только свинец и никель в весовом отношении 2 : 3, в третий сплав входят только медь и никель в весовом отношении 1 : 2. Возможно ли из этих трех сплавов составить новый сплав, так, чтобы в этом новом сплаве медь, свинец и никель содержались в весовом отно- отношении 11:4:5? Если это возможно, то сколько процентов от общего количества должен составлять первый сплав? [71 15% ГТ1 40% IT! 50% ПН 60% такое невозможно. 181
§16. Итоговые экзаменационные тесты (средней сложности) -ЛОЖНОСТЬ 011 Дробь положительна при всех х, удовлетворяющих i^J 1,8а; + 3,6 условию [Т] -2<а;<3 [Т]0,2<а;<6 [Т] х G (-оо; -2) U C. +эс) г<2. огГ Уравнение Л 1 1~2 1 = = = — имеет корень /х- 1 \/х+1 X 5. 031 Длина промежутка, на котором график функции у = ]4а:+2| лежит не выше прямой у = 10, равна ПП 1 ПЛ 2 ГЦ 3 ПП 4 04| 1 3 Числа - и — - являются корнями уравнения + 1х + 3 = О Гз 6х2 + 7х - 3 = О \4\ 4х2-7х-3 = - 7х + 3 = 0. 051 Набор состоит из двух предметов. Цену одного их них увеличили на 60%, а цену второго, который стоил в 2 раза дороже первого, увели- увеличили на 30%. В результате стоимость набора возросла на 1 35% 90% 3 40% Т] 45% 50%. 06| _ Va2 - у/72а + 18 Выражение -= при а < 4 равно 3\/2-а -1 [г] 1 ПЛ -0,5 а + Зл/2 ГТ1 a+v/3 071 Четной среди приведенных функций является fl|y = х ¦ \х\ m 1 + ж l-i |5|у = Vx2 + 2х - 1 + х/ж2 - 2яг+ 1. 182
[Сложность II| 081 Значение выражения (а - 1) ' + F - I) при а = B + >/3)~', = B - у/3)~1 равно у/3. 1 -1 3 3 091 Если один из корней уравнения ах2 + (а — 1)х — 6 = 0 равен —3, то второй его корень равен 1 1 2 3-3 4 4 5-5. Ю | Область определения функции у = у/(х2 — 25) cos 0,8тг задается неравенством а: < ±5 [_2J а: > ±5 | 3 | -5 < х < 5 а:>5 ПП х ? (-оо; -5] U [5; +оо). И| Сумма целых чисел, заключенных между корнями уравнения аТ= {у/% - л/20)а: - 10 = 0, равна 15 26 37 4-7 -6. 12 Число || cos 43° - ctg44°| - | ctg44° - sin48°|| равно Т] cos480-cos47° 7] cos48o-sin42° Т] sin 43° - 2 tg 44° + cos 48°. 2tg44o-sin43°-cos48° [TI cos420-sin47° Если а-Ь=2и|а|<3, то величина b находится в промежутке 1|(-оо;-5) ;5) Щ(-1;5) QJ (-5; —1) [?] (-5; 1). 141 Величина , где (а;; у) - решение системы уравнений, —• х у 34 17 23 1 |—¦ 4 |—| |—13|—| |—15 = 7" = 7> Равна 1 ~ 22 3- 44 5-. х у 4 х у 4 I—I 3 '—' '—' 4 '—' '—' 4 sin(- + жп) Члены последовательности с общим членом ап = 2 Н — п - 1 располагаются на числовой оси на расстоянии меньшем 0,01 от точки 2, начиная с номера 1 101 2 102 3 103 4 100 5 99. 183
ложность Все значения а, при которых парабола у = х2 + Зх — а и прямая у = х — 2 не пересекаются, определяются неравенством Т\ а< а> Т] а>2 Щ а<2 а>3. В тупоугольном равнобедренном треугольнике с боковой сторо- стороной 2 см и площадью 1.2 см2 радиус описанной окружности равен 0,6 Т] vTo/з [j2j vTo/2 [з] v/To 0,8. 18| Область определения функции = у/(х2 - За;)-у/0,5 -~aloga cos15° совпадает с множеством _П[0;3] [0; +оо) 1^| Все решения уравнения sin (х - ж/6) sin(a; + 7г/6) = 0,5 определя- определяются формулой (-1)"+17Г/12+7Гп/2 [Tf - жп/2. | 1 I ±ж/6 + \Т\ ±тг/12 тг/12 + (-1)"тг/ 201 Все углы из промежутка (—ж; —), удовлетворяющие неравенству ctg х > \/3, образуют множество ^^) Ш(—т Ш(;0) \5\(ж) Ш/ 27Г \ 2Ц Квадратная функция, график которой проходит через точки @; -1); A; 0); B; -1) задается уравнением [Г] у = х2 - 2х - 1 [1] у = -ж2 - 2х - 1 (Т] у = -ж2 - 2а; + 1 ПП у = х2 + 2х + 1 у= -х2 + 2х - 1. 221 Величина tg (arccos(-0,6)) равна Т] 4/3 Щ 3/4 [з] -3/4 |Т] -4/3 231 Наименьшее значение функции у = ;ло 2 при всех следующих значениях а 2х - ж2 - а превосходит чи- Г]а>0 [г]о<0 [з]а>1 (Т]о<о<1 [б] а < 1. 184
[Сложность II| 241 Все решения неравенства х(х—log* cos — )(j--log? tg —) > 0 обра- ¦ ¦ 1 О 4 0 зуют множество П~1A:1о|» лДI1 з|@;+оо) 1 !.;о)и v3 |4| (-оо; log,™ -) U @; log^/4 —- 251 в прямоугольном треугольнике длины сторон образуют арифме- арифметическую прогрессию. Косинус его большего острого угла равен ] v/5/5 ПП 0,8. Т| l/v/5 Ы v/5/З 0,6 261 Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции = sin6 х + cos6 х равна — — — — ГГ]0,5 Ы0,75 01 U]^ 2 ' 2< I Параллелограмм с острым углом 60° и площадью 1 + 2tg30° опи- описан около двух касающихся окружностей одного радиуса, равного |Т[ 1 [Т] 0,5 ПП 1/2/2 [T] 0,25 ПЛ v/3/2. 281 Уравнение 8|х + 1| = т—г имеет ровно 4 корня при условии Т1о<а<2 ГПо<а<4 Гз1а>2 fTla>4 fTl нет таких а. 291 Равнобочная трапеция с площадью Юу/Е см2 и боковым ребром см такова, что в нее можно вписать окружность. Радиус описанной около трапеции окружности равен [I Зсм 5\/б см [Т] 7,5 см Т] 3,75 см 5 см. Область значений функции у — 0,2 х + 4х 6 равна ]J@:25] [2J @:125] |_3j[25;+oo) [_4j[125;+oo) |_5j [25; 125). 185
I Сложность П| 011 Яблоки при сушке потеряли 83% своей массы. Из 300 кг свежих яблок сушеных получится ГЛ 75 кг ПЛ 64 кг Гз1 51кг ГТ1 36 кг ПП 249 кг. 021 Сумма \/19321 + 2 равна ГП 139 ГЛ 141 (Г! 151 ГЛ 149 171 143. 03 j Сумма первых 10 членов последовательности с общим членом ^™™ 2 4- 5я __ ап = —^— Равна [Т] 117,5 ГТ|127,5 ПП 150 0147,5 [7] 157,5. 041 Равенство = 2 верно при х равном 64 [з] 32 \Т\ 1 |7] 1. ^ I Область определения функции у = J@, i)x — совпадает множеством |Т|(-ос;-3] |Т|[-3;+оо) [Т](-оо;3] |Т|[3;+оо) [Т|[-3;3] 061 Числом, большим 1, из приведенных степеней является соь100 ij) И0'5СО8100° И0'5* О'I Если периметр описанной равнобедренной трапеции с острым углом 60 равен Аи, то диагональ трапеции равна 1 2а 2 1,5а LU за L± ау/l гз~| ау/% 081 Отрицательным числом из приведенных является Iog,ctg40°. log?sinl6° 186
|Сложность II | 091 Цена акции после двух "скачков" возросла на 110%, причем пер- первый раз цена подскочила на 40%. Второе повышение составило 1 70% 2 35% 3 80% 4 90% 5 50%. Ю | Если радиус окружности, вписанной в круговой сектор централь- центральным углом в 120 равен а, то радиус кругового сектора составляет 111 Все решения уравнения соьа; • A — ctg х) + 1 = ctg х определяются множествами (к, п € Z) ж -- + 7ГП [2 ж + 2тгк; — + жп 4 ж —\- жп 4 ж + 2тгп 5 жп. Расстояние между нулями функции у = 261а;2 - 485а; + 224 равно 2/9. [Г] 485/261 [2J 17/9 [Г] 1/9 |Т] 37/261 й Зтг . к 5тг Выражение cos0 — + sin — равно 8 8 х 3 16 16 Ы Наибольшее значение функции и = '—— на промежутке 1 + sm х ж 5 -;-тг равно 1 1 100 2 \ -- 3 - 4 5 1. ство 1+х2 151 Все решения неравенства log i Dж — 2) > -1 образуют множе- 3 (-3;-: 1 2^L 3] (_oo;- т -1 187
[Сложность II| 16| Если tga • |cosa| + |ctgo;| • since = -\/2sinfa- —), то угол а оканчивается в [l"| 1-й четверти [Т| 2-й четверти [з] 3-й четверти |4| 4-й четверти ПП 1-й или 2-й четверти. Если в равиобедреииой трапеции средняя линия равна а, а угол между ее диагоналями, противолежащий основанию, составляет а, то вы- высота трапеции равна а a cos —. а >Л ГТ cosa/2 I—I sina/2 в| Все решения уравнения (со&х - *)/\ х(-к — x) = 0 опреде- опреде( ^) ляются множеством (п 6 ± 4 Мг 5 0. JL9J Числа a = (sinl50°)ctg44°, b = (О. удовлетворяют неравенствам и с = (sin30o)sinl5° jTjc > b > a [2jb > с>а |Т]с > a > b [Tja >b>c |5[ b > a > c. 201 logs 16 Выражение 1,5-3 lo85 3 равно Tl 1 fil 9 HI 27 ITI 24 ПП 25. 211 Область определения функции у — lg((x2 - ж3) loga tg 43° • у/а - ctg44°) совпадает с множеством 2}х> (-оо;0)и@;1) |Т](-оо;0) -1< х ¦ "\ Область определения функции у = с множеством Jj (-оо; 2] U [3; +оо) Т|[0;3] 1DХ - 16) • log0 5 - совпадает X @; 2] U [3; +оо) |_3j [2; 3] 188
[Сложность П| gee решения неравенства л/sina: > у/— cos х образуют множество |—| ^ ^ 2 4 ( ПП (— + 2жп; ж + 2тгга] —I 4 [-^ + 2тгп; -^ + 2жп) 2 4 Функция у = [-5; 5] - х — 4 определена на множестве 0. [-4; 4] [з] [-5;-4] U [4; 5] [Т] х = О 251 Если сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии с положительными членами равна 405, а сумма ее первых 4 членов равна 325, то 5-й член этой прогрессии равен Т] 2,F) [г] 5 [з] 26,F) [?] 48 [б] 56. 261 Если в прямоугольном треугольнике с катетом в 6 см радиус впи- вписанной окружности равен 2 см, то другой катет составляет ГЛ 16 см [71 8 см ЦП 12 см ГТ1 6 см fTl 5 см. 271 Вычислить (cos 35° + 2 cos 85°)/v/3 cos 55° (TJ >/3 [2] 1 [з] 2 \Т\ л/3/2 ПП 1/2. 28 Все решения неравенства л/х + 2 > ж образуют множество Т] [-2; 2) [Т| (-1;2) [з] [0; 2] [Т] [-1;2) [Г| @;3). 291 функция у = | log2 ж — 1| + |2 — log0 5 Ж1 является линейной иа \J][1;M [з][2;4] [Т] [0,25;2] |Т|[ промежутке Наименьшее значение функции у — (этЗО0J 71 0,25 ПЛ 2 [з] 3 \Т\ 4 [Т| 1. равно 189
{С ложность II| 011 Через точки @; 1) и B;0) проходит прямая г — 2 = 0 Гг~1 j- -Ь 2w — 2 = 0 х-2у-2 = 5 2х - у + 2 = 0. Решением неравенства ;—'-^—^- < 0 является множество х2 — 4 Т1х>±2 < -2,аг > 2 Гз1 — 2 < а: < 2 ПП z < ±2 а;>0. Уравнение \/х — 7 + \/2 - х — 3 имеет решение ПП б 1Л -2 3±2>/15 4 9 не имеет решений. 041 Площадь правильиого 8-угольника, вписаниого в окружность ра- радиуса \/2 составляет i i i-g- 2 \/2 3 051 Наименьшее значение функции у = -а;2 - х + а превосходит число 1 а < 1 2а>1 3 а > 3 4а<3 5 а > 2. Двое рабочих, работая совместно с одинаковой производитель- производительностью, могут выполнить заказ за 5,5 часа. Если один из них увеличит свою производительность на 20%, то работая одновременно, они выпол- выполнят заказ за 1 3,5 часа 2 3 часа 3 3 часа 12 мин 4 4 часа 5 часов. О'I Наименьший положительный период функции tgx + ctg2a; равен Т] 7Г [71 27Г Г?] J ПП ^7Г Зтг. 0°| Если числа 1, х2, 6 - х2 представляют собой три первых последо- последовательных члена геометрической прогрессии, то шестой член этой про- прогрессии равен 1 27 2 243 3 256 4 32 5 81. 190
[Сложность II | 091 Область значений функции у = sin ж + УЗсовж совпадает с мно- множеством Ц] j_1; jj [7| [_i _ ^3; Уз - 1] [Г] [-1 - УЗ; 1 + УЗ] [7] [-2;2] [7] [УЗ-1;Уз+1]. Ю| Сумма наибольшего и наименьшего корней уравнения sin 2ж/У7 + 6ж - я2 = 0 равна 1 2тг (По HI ? 111 Числом, меньшим 1, из приведенных является * 100° г^ Т] (tg46°)loS^sin23° Сумма координат точки пересечения графиков функций у — х2+ 2 1 , 2 + Ж2 Т| 1 2 |з| 3 4 [б] графики не пересекаются. X3J Продавец, продавая яблоки по 1 руб 40 коп за штуку, имеет б-% О убытка. Чтобы иметь прибыль в 33-%, он должен продавать каждое яблоко за Т| 4 р. 75 коп !~2~| 5 р. 25 коп Гз1 2 р. 15 коп [Т| 1 р. 92 коп ПП 2 р. 141 Наибольшее значение функции у = |2ж-1|-12 —0,5 ж|наотрезке [оТ^ равно 1 [г] 2 [з] -1 — [б] 0,5. о 151 в прямоугольном треугольнике даны гипотенуза 2а и меньший угол а. Расстояние между основаниями медианы и высоты, проведенны- проведенными из вершины прямого угла, равно 1 «tgD5° —а) Г2\а<:он2а 3 -a cos 2а | 4 |а tg (а — 45°) |5|а sin 2a. 191
^ложность Выражение 1 + ±0,5 ±1 3 0,5 при а < 0 равно -0,5 ПП 1. Сумма корней уравнения s/x -2х + 16 = 16у/1 + 0,5 г равна -2 ПГ1 2 [Г! 1 ГЦ 3 Г71 0. М arccos(sin(--)) равен О -тг/5 г/10 7г/5 2тг/5 Зтг/5. При данном отношении трех чисел х : у : z = 1 : 3 : 5 дробь ^ 5|/ + Зг За- - у + 4; равна 1 1 2 [Г] 0,5 0,1 ЦТ] 10. 201 Область функции у = жеством log2 определения совпадает с мно- [4J (-1:2) [2] (-oo;-l (-co;-2)U(l;+oo). Если радиус вписанного круга в равнобочную трапецию с площа- площадью 60 см2 равен 2,5 см, то радиус окружности, описанной около этой трапеции, равен 1 16 см 31,2 см ^см [Г] 15,6 см. 22 п log2(arccos(--))-3 Если log., — = а, то выражение —: : j-—-— равно 62 6 v log2 тг - log2 3-1 v 2 Гз1 1 \4\ 1 \5\ не имеет смысла. а — 1 ¦—' а '—' а '—' а '—' 231 Выражение cos 135° ¦(\/l + cos 210° - \/l-cos390o) равно II-2cos 15° 2 -2sin 15° 3 2cos 15° \4\ 2sin 15° Ш0. 192
Сложность III 24 j Стороны треугольника равны 3 см, б см, 7 см. Биссектриса боль- большего угла треугольника равна Т] — \Л05см [г] - 1о о см 4\/21 см 16 I—I 16 см — см. 5 251 Свободный член приведенного квадратного уравнения с ра- рациональными коэффициентами, одним из корней которого является , равен tg60° 0,5 2-0,5 3-2 4 2 1. 261 Наибольшее значение функции ——* у — logcos45o (sin2 D5° - х) + (sinx - cosxJ + l) равно 0 2 1 -2 -4. 27 Сумма целых решений неравенства \/6 + х > х равна -15 ITl -5 IT! 5 ГЦ 15 21. 281 Уравнение \х\ = — имеет 4 корня, если 0 < |а <2 2 0<а<2 3 а > 2 4 а <-2 5 а <-2,а > 2. 291 Область определения функции у = . h - log^ _ 3) (ж - 1) совпа- совпадает с множеством C;4)U[5;+W) Щ B; 3) U C; 4] [з| D; 5] |_4j [5; +оо) |_5jC;5]. Г kl + \v\= a Система уравнений < ., ., имеет восемь решений, если L х1 + у1 = 1 Т] ае(—т=; v 2 = -иа=1 2 a€(l;v/2) [Sj а е (-; 1). 7 — 6838 193
{Сложность II| ОЦ Велосипедист проезжает 60 км со скоростью 12 км/ч. Если ои увеличит скорость на 25%, то время на этот путь сократится на 1 30% 2 25% 20% 4 24% 5 35%. 02 A,8J-0,004 Число _ Л~. „ равно 0,0625-81 Т| @,2):i [г] @,2L [Г] 0,1 • @,4L IT] @,4K |Т] @.4L. 031 Множество решений неравенства -7<3-2ж<-5 равно ПП (-5; -4) [г] (-5; 4) [з] (-4; 5) IT] D; 5) [Т| (-10:-8). 041 Выражение со&(а + —)&ш(-7г - а) + соьGг - а)ьтB7г — а) равно \L 1 2 -sin2a 3 со&2а 4 — соь2а 5 bin 2a. Числа а = 5у/2, Ъ = 4-у/З, с = 3\/б удовлетворяют неравенствам [Т] а<Ь<с [Т] с<Ь<а [Т] 6<а<с ГТ|а<с<6 ГТ|ь<с<а. Число + равно 6 1 6 6. 071 13 _ x 1 _ x + 2y Если —- = -, то дробь —- равна Зу 5 у - Зх ГУ! -3,25 ПП 3 1Л -4 ГП -4.5. 081 Корень уравнения Зж + 3 • 4х - 12х = 3744 равен Т| 2 0 3 [I] 4 [Т| о. 194
-ЛОЖНОСТЬ 51 091 Сумма целых решений неравенства |.г + 5| + \2х\ > -2х при х € [—4:-1] равна 1-10 2-6 3-3 -2 5 -1. ЮI Точки Л(-1; —2,5) и В{2,2) расположены относительно прямой у = х/з • .с - \/2 следующим образом | 1 IА - ниже, В - выше 2 обе - выше 3 А - на прямой, В - выше |4| А - выше, В - ниже 5 обе - ниже. 111 Если а е (—: -), li ? (—; —), то sin(/3 - а) принадлежит промежутку ¦¦¦¦¦ Tt о и 4 i: 0 121 в прямоугольном треугольнике катеты составляют 10 и 24. Радиус вписанной в треугольник окружности равен 17 2 2 4 5 5. 131 Числа xi = 1, х-2 = т= являются корнями уравнения /2-V2x-y/2-l=0 [Г] ж2 = 0 14 Нечетной среди приведенных является функция I—I 1-х ljj/ = (|a;|-i)(|a;| + l) |_2j у = |1 - 2х\ + |1 + 2х\ \з\у = - 151 в геометрической прогрессии седьмой член равен 0,125, а знаме- знаменатель составляет 0.5. Второй член прогрессии равен [Tj8|TJl6jjfK2[4]4[5] 0,625. 195
-ЛОЖНОСТЬ . Множество значений функции у = 2 - |а: +11 на промежутке [—2; 4] равно Т] [-3;0] Ы [0;2] [з] [-2; 2] Ы [-3; 1] Щ [-3; 2]. Величина 1254'1ой5 равна Число корней уравнения у/х — 3 ¦ (ж3 — 6) = 0 равно 1 1 22 33 44 55. 191 Наименьший положительный период функции у = ctg ctgx [ |~~1 [Tl 2тг [б] Зтг. 1\ - 2 *5 -7Г 2 2оГ 12 Множество решении неравенства < равно A0;+ос) |_2j (-4;3) U A0;+00) [_3j C; 10) (-4;+00) ПП (-00;-4) U C; 10). 211 Область определения функции у = л/—х2 + 3|ж| — 2 совпадает с множеством ПП [-2; 2] [г] [-2;-1]и[1;2] ПП (-оо;-1] 4 f-oc;l] [2; +оо). 2^| лой Все решения уравнения sin а; - \/3<онх = 1 определяются форму- ПЛ я- . 2 6 3 2 ~ 5 — 7Г 7Г з" h(- 2 3 196
тчТ] | Сложность II | 23 j Если парабола у = —2а;2 — ах + Ь проходит через точки (—3; —5), J^I; 5), то а и & равны соответственно -4,3 [71 -3,-4 Гз] 4,-3 3,4 IT] -3,4. 241 Площадь трапеции с высотой 12 и диагоналями 20 и 15 равна 125 2 250 3 150 4 175 5 200. 25 j Для того, чтобы сумма первых натуральных четных чисел была Больше 150, их необходимо взять не менее гл ю гт| п m 75 m 76 m 12. 261 Область определения функции у = у/2 - log3 (я - 2J совпадает с множеством (-1;5] Ы(-оо;5] Ы (-оо;-1] UJ [-1; 2) U B; 5] Щ B: 5]. 271 Графики функций у — - — и у = \х — а\ не имеют общих точек прн всех а из множества Т](-оо;-3] Щ(-оо;3) [з](-3;+оо) Щ(-3;3) Щ[3;+оо). 281 Т\ Множество решений неравенства log04log4 x > -1 равно ;32) |Т| B; 16) @;32) |_4j (^16) LL 29| Все решения неравенства \/х + 2 < х образуют множество Ц] (-1;2) [Т] @;2) [7] (-oo;-l)UB;+oo) [71 B;+оо) Ш (- равна Площадь фигуры, определяемой условиями |а;| + \у\ < 2 и у > \х\, ГЦ 1 [71 2 ГЦ 3 fTI 4 ПЛ 2,5. 197
T-12 {Сложность II| 011 Турист проехал 285 км на автомобиле со скоростью 60 км/ч, про- прошел пешком 17 км со скоростью б км/ч и проплыл на плоту 27 км со скоростью 5 км/ч, затратив на весь путь Т] 13 ч [2J 12 ч [Г] 13 ч 23 мин j_4j 12 ч 59 мин [б] 13 ч 9 мин. 1 3999984 Квадрат числа 1996 равен 3994016 (Г! 3984016 ГЦ 3988016 ПЛ 3994084. 031 Сумма нулей функции у = (х — л/3 + \/2)(л/3 + л/2 + х) равна 041 Число |3v - л/65| - |8 - л/65| равно |Т| 3V?-8 [г] Зл/7-2л/65 + 8 [Т| 8 - 3V? IT 0о| В прямоугольнике диагонали пересекаются под углом в 60°, а сумма диагонали и меньшей стороны равна 36. Диагональ равна 12 2 24 3 36 48 ПП 12>/3. 061 _ cos л —3 sin a Если :— = 2, то величина ctg а равна 2 cos a — sin a -3 1 4 3 5 невозможно вычислить. О'I Наибольшим целым решением неравенства Dл/3 - 7)Bж - 5) > 0 является 1 1 Т] 2 3 3 4 4 5 такого числа не существует. 081 Расстояние между точками пересечения графика функции у = 3 — |5ж — 2| с осью абсцисс равно 1 0,6 2 1,2 3 0,3 4 0,5 5 0,8. 198
I Сложность II) 091 Сумма восьмого и девятого членов последовательности с общим —* 1 членом а„ = д- равна 7] 6+v/io [2] v/io [з] 6-\/io [T] 7+\/io [5] 2v/io. 10J Число корней уравнения —г = х3 равно Ы 1 1 22 33 44 55. ill Множество решении неравенства . < 0 равно л '2J I* rl ч -Г 1) - J- ill Произведение ctg 3° ctg 6° ctg 9° ... ctg 87° равно 1 1 Т] 2 3 v/3 4 v/3 1—' 3 —— 5 вычислить невозможно. 131 Наименьший из углов, который составляют часовая и минутная стрелка в 6 ч 20 мин, равен И k 0 ^ m 5 -7Г 5 —7Г. 6 15 Все члены последовательности а„ — -, принадлежащие ин- 2 3 тервалу (-; -), имеют номера 11 2,3.4 121 3,4,5 3 4,5,6,7 UI 5,6,7 |5| 4,5,6. К окружности радиуса 5 из точки А проведена касательная длины 2у6. Расстояние от точки А до ближайшей точки окружности равно Т] 1,5 [Т] 2 [TJ 3 (TJ 2,5 \Т\ 3,5. 199
[С ложность II| 161 Сумма первых шести членов прогрессии \/3, у/27, 3, 3 \/3, • • • с нечетными номерами равна [Т] № + 27 \Т\ 9C + >/3). 13C + у/3) 9 + 1^| Если log3 х = - - log3 a + 3 • log3 Ь - log3 с + 2, то величина х равна Г] Ь3 + 92 - у/а - с i±i mi; 9Ь3 36 Если величины х и у связаны соотношением х'1 + 2у2 = Зху, то наибольшее значение отношения — равно 1 1 У 2 Гз1 3 ГЦ 4 Корень уравнения л/3— 1 - у/х 1 + —1 ± равен у/2-\ 201 Все значения х, при которых выражение смысла, образуют множество х-Ь лишено JJ (-оо; -4] U E; +оо) (-оо: 1] U E;+оо) (-оо;-3) [3J (-oo;-4]U[l;5) [-4; 5). „ , .9^ .д'Г ¦fi'T Сумма 1 + sin —|- sm — + sm — + ... равна 8 8 8 л/2-1 '—' л/2 + 221 Число точек пересечения графиков функций у = у/4 — х2 и у = жх Корень уравнения Зж-12-3 х = 1 равен 12- log3 2 23- log2 3 3 V2 4 log, 9 5-2. 200
[Сложность П| 241 Если корни уравнения 2ж2 - 18ж + 27 = 0 уменьшить втрое, то получится уравнение 2х2 - Зх + 9 = О [Г! 2ж2 - х + 9 = 0 Гз~| 2х2 - 6ж + 3 = О ПП 2а;2 - Зх + 3 = О ПЛ 2х2 - Зх + 12 = 0. 25 j Все значения а, при которых система уравнений у = —ж + а, х2 + у2 = 3 имеет решения, образуют множество ПП[-1;1] [Г] Н/ Ц][0;3]. 261 Обратной к функции у = log2 (x - 1) является функция 1 Ы y = loga(l-a:) IT] у = Т] у = log2 A - х) Парабола у = аа;2 - (а2 — 5)х + 4 с ветвями, направленными вниз, симметрична относительно прямой х = 2, если а равно -2 ill -5 ITI 4 1 -1 5J 5. 281 Наименьшее значение функции у = 2 sin2 ж + 3 cos2 x равно (Tli [Л 2 Гз1з Г71 4 ППб. 291 Равнобедренная трапеция с острым углом а описана около окруж- окружности. Отношение ее большего основания к меньшему равно , a ctg2 , 7г — а ч^ U ctg? ы ч2- — а "I При условии \а\ > 1 выражение -i/l h-7-i/H h -»• равно ""^ V а а-1 V а а-1 1 -2 2 '—' а '—' а 0. 201
[Сложность II| 011 Разность между наименьшим общим кратным и наибольшим об- общим делителем чисел 72 и 96 равна 1 312 288 3 258 4 282 5 264. 02| у 2V Угловой коэффициент прямой, изображенной на рисунке, равен о г—^ *? су t су ¦-—• 1 2 Z О О 'J 031 Сумма координат точки пересечения прямых 2х + Зу = — 2 и Зх + 2у = —8 равна II 2 3-2 4 4 5-4. 041 К окладу прибавляется 25% районная надбавка, после чего взи- взимается подоходный налог. Для того, чтобы получаемая на руки зарплата равнялась окладу, подоходный налог должен составлять ] 22,5% ПП 17,5%. Г] 15% Щ 25% [У] 20% 051 Вертикальный шест высоты 2 м дает тень 1,2 м. Высота столба, тень от которого составляет 4,5 м, равна 7,5 м [Т1 4,8 м [Т] 5,2 м ПП 5,25 м. Г] 6,3м 061 Выражение » Н : „ равно —J l-2cos30° l + 2sin60° |Т| 1 \Т\ -1 [з] не определено |Т| 2 Гб] —2. 071 (Ь а 1\ Ь 1 - а 1 Выражение ^— - —J . (д _ &J , O_L равно 1—' аЬ (ЧJ \а Ь) а а Ь 202
[Сложность II | osf 1 ?> Корень уравнения 18V^+5 = @, B))~3 равен 81 1 -1 2 2 3 0 4-2 6. 09 ] Число C - 2лД) ¦ \/21 + 12\/3 равно ~l\ 3 [7] -3 [Г] 3,5 ГТ1 4\/3 [б] -4л/3. Уравнение —х2 + 2ах — 16 = 0 не имеет решений при а < ±4 [71 а > -4 [71 -4 < а < 4 |Т|а>±4 ГбП а < -4. 111 Если первый и двадцатый члены арифметической прогрессии рав- равны соответственно 76 и 19, то ее разность равна 1 -2 212 33 4-3 5 -2,5. Произведение корней уравнения .с2 + \[х* — 12 = 0 равно 1-16 2-12 3-9 4 12 5 1. 13 j в равнобедренном треугольнике радиус вписанного круга соста- составляет 0,2 его высоты, а периметр треугольника равен 60. Большая сто- сторона треугольника равна Г] 15 [7] 9 [7J 14 [TJ 18\/2 [б] 24. Корень уравнения log0 51 —J7= ) = о Равен 1 2 2 —1 I 4 I —2 I 5 I уравнение корней не имеет. [] 15 j Равенство cos/? = а2 — 3,5, где /? G [—; —], а > 0, выполняется при всех значениях а, принадлежащих множеству Jj[2;+oo) [2j [V375; +00) [_3_|[0;2] |_4J [0; 3,5] |_5j [^ЗТЗ; 2]. 203
[Сложность II| Множество решений неравенства 2.r j+6 > ^-оо; -6) U A; +оо) |Т (-оо;6) (-oo;-l)UF;+oo). равно З] (-6;1) 17| В равнобедренной трапеции, описанной около окружности ради- радиуса 5 м и имеющей основание 20 м, другое основание равно 1 6м 2 7м 3 7,5м 4J 4 м 51 5м. 1 3 Число 81§2+1§4 равно 12 6 3 9 4 15. 19 j Сумма первых шести членов геометрической прогрессии с первым членом 128 и знаменателем 0,5 составляет 1 254 2 248 3 252 4 280 5 240. 201 Функция у = —-Х - Ах + 3 возрастает на промежутке JJ [-6:+оо) (-оо;-4] (-оо;-2] [3J (-оо;-3] 211 Наибольшее целое решение неравенства т- г > 1 равно \2х + 4| 1 1 2-1 3 3 4-3 5 5. 221 На промежутке [—; тг] уравнение |1-а;|-|а; + 2|= 0,25-1 имеет корень Т1 1 2 Гз1 з ПП 4 5. 204
[Сложность Н| 23 j Сумма бесконечно убывающей прогрессии, у которой первый член и знаменатель равны —=, составляет -I 2-у/3 [у! \Л-1 [у! 2+\/3 II 241 в круге радиуса 13 расстояние между параллельными хордами длины 10 и 24, расположенными по разные стороны от центра, равно ПП 13 Г71 14 ГЦ 15 I 16 Т\ 17. 251 Если в арифметической прогрессии а^ + ад + ai9 + a2e = 13, то величина «6 + «,2 равна ^8 |7]6,5 [?]26. 26] Число корней уравнения | lg \х\\ = х + 1 равно 111 2 2 33 44 55. Через точки A; 4), (-3:0), (-1; 0) проходит парабола L^S 2 1 2 у=~? 281 Величина ctg(arcsin(--)) равна Г] -4 [2] ->Д5 [3J Т] -1/n/15. 291 уравнение \/1 - ж2 = ние при а, равном г— ж — а|, где а > 0, имеет единственное реше- реше5] 5. 301 Все решения неравенства |а;|а;| + 1| < 2 образуют множество 205
I Сложность III Упростить >/3 • \/8 • л/б 18 ГП 12 ГЦ 20 ГП 60 fTI 120. 021 Корнем уравнения ах + 2(х ¦ число, если а равно является любое 1 22 33 4-1 5 -2. 03 8 U л Корнем уравнения —| = 4 является х 2х Г] 1 [Т] 2,125 3,375 \J\ 2,875 1,125. 041 Вычислить i\j2- \Д- \/2 ГЦ 3 ГП 4 fTI 6. ,_J Если < х то разность и — х равна I 2х - Ъу = -4. 1 -10 2-14 3 10 4 14 5 12. 061 Лодка прошла 24 км против течения реки и такое же расстояние вниз по течению реки, затратив всего 15 часов. Если скорость течения реки 3 км/ч, то собственная скорость лодки равна 1 5 км/ч 2 6 км/ч 3 7 км/ч 4 8 км/ч 5 9 км/ч. О'I Областью определения функции у = 3*х 1 -f а/2ж + 1 является множество 081 Число log2lf'g4 256 равно 1 ["г! 2 ill 3 ГЛ 4 fTI 5. 206
[Сложность II| Решением уравнения (-) A,5) Зэ: + 2 = 1 является ) JJ 1 [г] 0,8 [з] 5/3 |_4J 0,6 0,25. ЮI Квадратным уравнением с корнями, равными sin 30° и tg60°, является Т] 2х2 - 7] 2а;2 П 2a;2 + 3 = 0 + 3 = 0 [Т [7] + C + + ^3 = О 111 Все значения а, при которых не пересекаются графики функций 1 _ у ~ х + ану = —, образуют множество х Т| а<±4 |Т| (-4;4) \ъ\ а < ±2 Г±\ (-2;2) [б] (-2:4). 2 — ж2 Решением уравнения у/Зх — у/б = —т= является число Г] - ->/з fsl Tl v/4. 131 Сумма координат точки пересечения графиков функций у = —1-х и у = 3log3 х + 1 равна 1 1 2 -1 3 3 4 5 графики не пересекаются. 141 Сумма первых шести членов геометрической прогрессии с первым членом 128 и знаменателем 0,5 составляет Г] 254 |Т] 248 3 252 4 280 5 240. 15J Значение выражения (а + у/2)~1 + (Ъ+ л/З) при а = {уД + \Д)~К Ь (/г/I Ь= равно и о и f-# 207
T-14 {Сложность II} 161 Все решения неравенства 2х + 3 + 2х > х1 • 2х совпадают с множе- множеством Tj j; < ±3 |T] с > ±3 [3j [-3; 3] (-oo;-3]U[3;+oo) IT] [3;+oo). 17| Произведение корней уравнения {х - 4){х2 + 4х + 16) = (ж + 2){х - Г] -26 [Т] -68 IT] -6,4 [7 ; - 2) равно -15/6 ПП -2,6. 1о| В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна 18 см, а дли- длина гипотенузы равна 16 см. Площадь треугольника равна 29 13 см2 Ы 7,75 см2 3 —см2 U] 17 см2 б| 17,2 см2. 4 Отношение корней уравнения х'г + Ьх + 5 = 0 равно 5 при следу- следующих значениях Ь 1 ±6 ±2 3 ±3 4 ±4 5 ±5. 201 Все решения уравнения 36COSX ¦ 22соьг = 12 определяются форму- формулой(n G Z) 7Г г ~i 7[" г1 ^ 7i" ±- + 2жп : 100 Выражение 0,25 • C) loS53 равно 1 |Л 9 [Г] 27 ГП 24 fTI 25. 22] Все решения неравенства х - 2х > 1 совпадают с множеством Щ(-1;2) [Т|(-оо;-1)иB;+оо) [з] (-оо; -1) U @; 2) Й(-1;0)иB;+оо) [F]@;l)UB;+oo). 208
Сложность III 23 j Наибольший член последовательности, заданной формулой ^ 10+18п-2п', равен 20 030 050 080 0 60. 241 в окружности радиуса 1 хорда, стягивающая некоторую дугу, рав- равна \/2 — \/2- Хорда, стягивающая вдвое большую дугу, равна | у/2 ПП 1,5 1 1 2 2 3 251 Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения хг + |аг| — 2 = 0 равна 12 2 4 3 6 4 Т\ 0. 261 Последовательность квадратов, начинающаяся с единичного, тако- такова, что вершины последующего делят стороны предыдущего в отношении 3:1. Сумма площадей всех членов этой последовательности равна 1 2? ГЦ 2< | График функции +а(х +1) - 3 расположен ниже оси абсцисс при всех а из множества Г]а<±2 |Т]а<-2 |Т]а>3 [4J2>a>-2 a > 2. 28 j Расстояние между нулями функции у = 25 — @,1)х иу = Ю* — 4 равно 2 |3| 2,5 4 Ig2,5 51 Ig6,25. 291 Все решения неравенства log j F - 4х) < —1 образуют множе- ](-3;-1) [Г[(-оо;-3)и(-1;0,5) ство A; 3) 301 Число корней уравнения \х +11 • (а; - 2) = а при -- < a < 0 равно Tli ГТ1з 14| 4 ПП 5. 209
[Сложность И| 011 Если неполное частное равно 18, делитель 17, остаток 13, то де- лнмое равно Г) 317 [гГ] 318 [У] 319 [Т] 314 [5J 316. 02| Число log4192 - log2 V3 равно Т] 1 03 [7] 0,5 [7| 2 И 2,5. 031 Если из 50 т железной руды выплавляют 20 т стали, содержащей 8%примесей, то процент примесей в руде составляет [71 62% 1Т| 70% [Г] 64,75% [71 63,2% ПП 75%. 04| При о = 2- выражение о 2 j равно аЛ -а Т| 0,3 Гг~| 25 ГзП -0,35 ПП -25 ПП 0,35. * О,4-О,2о; Функция у = — принимает отрицательные значения при х нз множества — U, О JJB;3) Щ (-оо; 2) U C;+оо) ШB;+оо) Щ(-оо;3). Длина отрезка, на котором определена функция у = \/(ctg30o - х)(х + sin60°) равна 6 ГЦ 2. О'I Члены арифметической прогрессии с первым членом разностью d = 2,4 положительны, начиная с номера ПП 11 I = -30 и 12 13 14 5] 15. равном Оба корня уравнения х + х + ах + 1 = о2 равны нулю прн а, ПП ±1 [г! 1 Гз] ±2 [71 2 ПП -1. 210
[Сложность II| 09] Корнем уравнения lg = lg(z + 5) является Т] -2,5 {2} -4 |_3J 2,5 [4J 4 QTj корней нет. Ю | Область определения функции у = у^О, 5)г - 8 совпадает с мно- множеством 1_|(-оо;-3] [_2_| [-3;+ос) |_3_|(-оо;3] [?| [3;+оо) |_»J [-3; 3]. 1-4 Выражение \Л/2- 1 • \/7 + 5л/2 равно ГТ1 у/^-\ [TI -Vy/2-i Гз1 1 fTI -l IT ^^+1. в геометрической прогрессии 64 = 12, 67 = 1>5. Ее первый член и знаменатель соответственно равны -96:0,5 [2|-96;-0,5 |з| —48; 1. 5 Ы 48; 1,5 | 5 | 96; 0,5. 131 в равнобедренной трапеции, описанной около окружности ради- радиуса 5 м и имеющей основание 20 м, другое основание равно 16м 27м 37, ом 4 4м 5 5 м. 2 1 Если и < 0, то неравенство - < - эквивалентно неравенству г а Т1 х < О ПП х > а [~3~| т < 2а ГТ1 ж > 2а Гб! О > .г > 2а. Равенство = 2 верно при х равном 32' 211
171 Произведение действительных корней уравнения ^""^ (х - 2J(х2 - 4х + 3) = 12 равно 2 Гз1 3 ГТ1 4 ПГ1 0. -3 181 Если tg а ¦ | соь а| + | ctg a\ • sin a = \/2 sin( j - а), то угол а окан- оканчивается в 1-й четверти | 2 |2-й четверти 3-й четверти [4|4-й четверти J5J 1-й четверти или 2-й четверти. Площадь параллелограмма со сторонами 5 и 6 составляет 10\/5. ольшая диагональ параллелограмма равна Корнями уравнения ж — 6 = v/ж являются 19 29и4 34 425 5 25 и 1. 211 Ордината вершины параболы у = х2 - 4z - а, проходящей через точку (-1; —2), равна -2 ПП -И ПЛ 3 ГЛ 6 ПЛ 7. 221 Равенство ctg a = a2 - 8, где a € @; —) и a > 0, выполняется при всех следующих значениях а 1а<-3 2а>3 За<±3 4 -3<а<0 5а<3. 2^1 Корнями уравнения /6 — X — X2 \/6 — X — . являются [Ц -2; 2 -2;2;-3 2 4-3 5 -3:-2. 212
[Сложность II | 241 Все углы из промежутка (—тг; -тг), удовлетворяющие неравен- неравенству -\/3/2 < co&j- < — л/2/2, образуют множество Н, 4 3 г—| 3 2 25 j Все решения неравенства |х| < 2х — х1 образуют множество П] [0;1] ПП [0;2] [з] [-1;0] [7] [-1;2] |7] [-1;1]. 26 Множество решений неравенства \/х2 — '. Т > 2х равно Щ (-1;+оо> Ы A/3; +оо). Сумма десятичных логарифмов девяти последовательных членов геометрической прогрессии составляет 9. Произведение крайних из рас- рассматриваемых членов равно ПП 100 1000 3 3 0,1 5 10. 281 Все решения неравенства у/Ъх — 2 > х образуют множество B;+оо) [з] B/3;+оо) [1] (-оо;-1) U B;+оо) И (-оо; 2) Множеством значений функции у = Iog2Ba; - х2 + 1) является Г] [-1; 1] |Т](-оо;1] Гз][1;+оо) [Т|(-оо;-1] [Т|[- В описанной около круга неравнобочной трапеции диаметр, пер- перпендикулярный основаниям, делит площадь трапеции в отношении 1 : 2. Отношение синусов острых углов трапеции равно Ш Е 1,2. Л 1,5 [г] 2 II] 1,6 Ш 4 213
ТЧ61 ..ложность Число 2 W- - - v/l4 + 7 • J- равно 45 [71 51 48 v/TI '—' v/14 47 9v/l4. 021 Точки Л(—1; —2,5) и B{2; 2) расположены относительно прямой у — \/Ъл- - v/2 следующим образом: | 1 | А - ниже, В - выше | 2 | обе - выше | 3 | А - на прямой, В - выше \4\ А - выше, В - ниже 5 обе - ниже. 031 Если 2а + Ь = 5и-3<Ь< —2, то значения а заключены в промежутке Ц] И Ш1 [Ц (-1; §). 04J Число 6250'25 1о^0'5 равно -1 -0,5 5 0,5. 051 ¦J—а — а Выражение =—, где а ф 0, равно 11- 2[ 1 -j= ГзП1 + -p fil 1 + | 5 | не существует. —a ' \/a y/a Параболы у = х2 + 1иу = 2z2 + 4az + 5 имеют только одну общую точку, если 1 а>1 2 о<-1 3 -1<а<1 4 о = ±1 5 \ \а\ > 1. 07j Площадь параллелограмма со сторонами 5 и 6 составляет 10\/5. ольшая диагональ параллелограмма равна Г71 V97 [71 V42. 1 ч/21 2 9 3 Наименьший член последовательности, заданной формулой ап = 10 - 32п + Зп2, равен ГТ1 -70 ГП -72 IT] -74 ГП -75 ПЛ -76. 214
Если величины j- и у связаны соотношением j-2 + 10у2 = 7ху, то наибольшее значение отношения — равно У 1 [П 2 Гз1 3 ГТ1 4 Г5~1 5. 111 В прямоугольнике с площадью 81 меньшая сторона больше 5. Воз- Возможные значения другой стороны образуют множество A6,2; 18] [2J [9; 18] [з] [9; 12) [4\ [5; 12) |_5j [9; 16,2). 121 [7] Множество решений неравенства log0 2 C — ^/х) > О равно 7] (-оо:4] |Т|[4;+оо) |?| [9;+оо) |Т] [4; 9) |Т| (-оо;9). [] 131 Равенство cos/З = а2 — 3,5, где fi € [—; —], а > 0, выполняется при всех значениях а, принадлежащих множеству [2:+оо) /375;+co) |з|[0;2] 4 [0;3, 141 Правильный треугольник вписаи в единичный квадрат так, что они имеют общую вершину. Площадь треугольника равна ГТ1 2\Д-3 ГТ1 2 — л/3 Гз~| 0,75 ГТ] Фу/3-6 [Tl 0,8. 151 Сумма первых шести членов прогрессии \/3, с нечетными номерами равна \T\ 13C + у/3) \Т\9+уД |~3~]э+ у/. , 3, 3 л/3, • •. T|9C+v/3). Множество решений неравенства \/х2 — 2х + 1 > 2х равно 215
[Сложность П| 1' I Все решения уравнения cosz - \/3smz = мулой 7Г 6 71 ж±1 1 I "~Г 31 _ — 1 определяются фор- фор7Г 2 6 3 И -J±| Ш |±|7г+27гп- Гипербола, см. рисунок, имеет уравнение 191 Множество решений неравенства 4х + 4 < (z +1J < 4х + 9 равно Щ(-2;-1)иC;4) |T|(-oo;-2)U(-l;3)UD;+oo) Щ(-1;3) 201 Система уравнений < Л _ имеет бесконечное множе- -^ г { х + ау = -0,5 ство решений, если о равно 1-4 2J 4 [з] -0,25 [4J 0,25 0,2. 2Ц Две окружности касаются друг друга и сторон прямого угла. От- Отношение их радиусов равно ГгП 4 —2л/3 ПГ] 3^2-4 |T]v^-l ITl 3 221 Множество решений неравенства logx _ 2 2 > 1 равно B;3)UC;4] [з] [4; +оо) [7] C; +оо) Гб]B;+оо). 231 _ CO&Z Решения уравнения J = х определяются соотношением COSZ [ж = COSZ = ±1 Щж= - + 2тгп [5jz6 (-oo;+oo). 216
-ЛОЖНОСТЬ «I 241 Парабола у = х2 — 4х + 7 при симметрии относительно точки A ;1) переходит в параболу [Т] г/ — -ж2 -1 \^\ у = х2-1 |"з~~| у = ж2 + 4ж + 7 ГТ| у = 1 - а:2 [б] у = *2 + 4*-7. 251 Количество целых чисел, одновременно принадлежащих проме- промежуткам, определяемым неравенствами \х\ < 2,5, |ж -f 1| < 3, равно ПП 1 121 2 Гз1 3 m 4 fi"! 5. 2в| Если корни уравнения Зж2 - За: - 4 = 0 увеличить втрое, то полу- получится уравнение \Т\ х2-х-12 = 0 \Т\ х2-х-3 = 0 |~3~| 9х2-9ж-4 = 0 ГТ1 9ж2 - Ъх - 4 = О ПЛ х2 - Зх - 12 = 0. = sin2 x при всех ж, 27 j Для бесконечно убывающей прогрессии выполняется равенство 1 - tg~2 ж + tg~4 ж - tg х + tg~8 ж - tg0 ж + принадлежащих множеству вида [ 1 | ( Ь 2тгп; тгп) I 2 | (тгп; —\- жп) 7Г г;2 .Я" Я" ;- (- 3 [Ц (? 2о| Область определения функции у = Iog4 _ х (ж2 — 2z) совпадает с множеством B; 4) |Т|@;2) Гз](-оо;0) U B;3) U C;4) |Т]D:+оо) |T|( 291 Из равенства ж2 - 8z + у2 + 6у + 25 = 0 следует, что величина х + у равна П~| 1 ПН 2 Гз] -1 ГТ] -2 IT] невозможно определить. 301 в описанной около круга равнобочной трапеции расстояние от центра круга до дальней вершины трапеции втрое больше, чем до ближ- ближней. Тангенс острого угла трапеции равен ПП 1,2 Гг! 0,7 ПЛ 0,75 ГТ] 0,8 ПГ] 1,25. 217
{Сложность II| 011 Чтобы получить 13%-й раствор соли из 4 л 15%-го раствора, к нему 9%-го раствора нужно долить в количестве ПП 1л ПЛ 2 л Гз1зл |Л4л Гб! 5 л. 021 Длина общей части отрезков, определяемых неравенствами < 2 и \х - 1,5| < 3, равна 11 121 2 131 0,5 [4 1,4 |5| 2,5. 031 Область определения функции у = у/\х2 - 4| • (х — 3), равна [Г] х 6 [-2; 2] U [-3; +оо) [T|z>3,z = ±2 [Т| ж > 3 х 6 (-оо; -2] U [2; 3] ПЛ z < 4. 04| Число 81~0'25 - |оез2 равно Т1 1 |Л -1 Г 0,5 |Т] -0,5 [б] 2. 051 В арифметической прогрессии известны oi = sin 30°, о2 = cos 120°. Десятый член ее равен ГП -9,5 Гг! —8,5 ИГ] 0,5 IT] -0,5 IT] 8,5. 061 Стороны четырехугольника относятся как 2:4:3:6. Периметр подобного ему четырехугольника, у которого большая из сторон соста- составляет 30, равен Г] 150 [г] 90 [з] 75 \Т\ 60 [б] 120. О'| Если синусы двух острых углов треугольника соответственно рав- ныО, 4 и 0,8, то косинус внешнего угла треугольника, не смежного с двумя данными, равен [yj3V^T+8 ryi3V5I-8 m3V5T_-8 гт-|_6_ 25 '—I 5 1—^5 '—I 25 I—' 25* 218
[Сложность II| ? 08 j Расстояние между корнями уравнения 2\Ле2 — 6j- + 9 = .г равно fill |Т| 2 ПЛ 3 |~4~1 4 fi"! 6. 091 Площадь треугольника, образованного осями координат и прямой \/Зх - \/2у = 2>/3, равна JT] 3\/б |Т| 2\/б (Т] 3\/2 |Т| 2>/3 QF] л/6. Ю | Остаток от деления многочлена хг + х2 + х - 1 на х + 2 равен гл -з [л -4 in -5 пп -6 m -7. В прямоугольнике с площадью 36 большая сторона меньше 15. озможные значения другой стороны образуют множество 7] C;6] Щ B,4;9] [з] [2,4; 18] Щ [6;9) Щ B,4;6]. 121 В геометрической прогрессии 64 = 12, Ь7 = 1,5. Ее первый член и знаменатель соответственно равны -96;0,5 2 -96;-0,5 3 -48; 1,5 [4 48;1,5 | 5 j96;0,5. 131 Неравенство |ar| + a — 2 > 0 справедливо при любых х, если Л а < -2 ППа = -2 ПП а > 2 [Т| а < 2 |Т|а>0. Множество решений неравенства 2х+ 2 < 4Х~'2 равно [4;+оо) |Т|[5;+оо) |]Г][6;+оо) |Т|(-оо;6] |Т|(-оо;5]. 151 Отношение площадей равнобедренного треугольника с углом а при основании и квадрата, вписанных в окружность, равно I 1 I cos За sin а | 2 | sin2 а sin 2а | 3 | cos2 а cos 2а [71 sin3 а ГЦ sin^a. 219
T-17 [Сложность П{ Если coscv = - и а б (-тг;2тг), то величина cos — равна 2 ? 1 -— 2 — 3 — 4 -^— 5 --. 171 Наибольшее значение функции у = —?— равно —¦J х1 - 2х + 5 [Л 0,125 [TI 0,2 IT] 0,25 ГЛ 4 IT] 5. Выражение (^243 + \/3)( v^ - ^3 + 1) равно Основания равнобочной трапеции относятся как 3 : 7, а диагональ делит острый угол пополам. Тангенс этого угла равен 11 7 ПЛ ^ JJ 4 L2J 2 a f и f Последовательность с общим членом а„ = 2п является убы- вающей при всех следующих натуральных значениях с: Т\ 1,2,3,4,5,6 \t] 1,5,6 [з] 1,2,3,4 1,2,6 ПЛ 1,2,5,6. Все решения неравенства |ж| < 2х - а;2 образуют множество 1 [0;1] [Т| [0;2] ^21 Расстояние между точками пересечения параболы у = 1 - х2 с прямой у = а составляет \/5, если а равно Ш -4 2 Q 4 231 Если сумма четвертого и восемнадцатого членов арифметической прогрессии равна 20, то сумма первых двадцати одного члена равна 1J 280 2 315 |31 420 [4] 210 [5] невозможно определить. 220
[Сложность Д| 241 в окружности радиуса 1 хорда, стягивающая некоторую дугу, рав- равна s/2. Хорда, стягивающая вдвое меньшую дугу, равна [71 0,5 ПЛ 1,5 Гз] \/2 + л/2 [71 у/2-у/2 [Г! 2\/2- 251 Параболы у = х2-1иу = Зх2 — 2ах + 1 имеют только одну общую точку, если ПП а > 2 [г]а<-2 [Г] а = ±2 [7] -2 < а < 2 |~5~| \а\ > 2. 261 Последовательность квадратов, начинающаяся с единичного, тако- такова, что вершины последующего делят стороны предыдущего в отношении 1 : 2. Сумма площадей всех членов этой последовательности равна ПЛ 4,25 ПТ) 2,4 Гз] 3 [71 2,5 ПП 2,25. 27J Число 0,125 • B,13 +12 • 2,1 ¦ 1,9 +1,93) равно [Til Г2~| 2 ГП 4 ГП 8 ЦП 16. Множество значений функции у — sin2 x + 2 cos x равно ПП [-1;1] |Т| [-1;2] [з] [0;2] [7] [-2; 2] IT] [-V5; VSJ- 291 Область определения функции у = log4 _ х (х2 — 2х) совпадает с множеством [Г] (-ос; 0) U B; 4) [7] @;2) [Г] (-оо;0) U B;3) U C;4) [7] (-oo;0)UD;+oo) |Т] B;+оо). Из равенства х2 - 6х + у1 + 4у +13 = 0 следует, что величина х + у равна 1 1 22 3—1 4-2 5 невозможно определить. 221
021 в выпуклом четырехугольнике два угла относятся как 3 : 4, третий равен их сумме, а четвертый меньше третьего на 39°. Меньший угол равен 1 45° 2 54и 57° U1 68е 041 Если через одну трубу бассейн наполняется за 5 часов, а через вторую — за 3 часа, то бассейн наполнится на 40% за ПП 1,5 часа ПП 45 минут ПП 1,2 часа [7] 2 часа |5| 50 минут. 051 Наименьший положительный период функции у = ctg Bх/3 + 7г/4) равен JJ г L2J Т1 3 4 2тг Ы1 19 Значение выражения - - 0,0038 : (— - 0,17) - 0,14 равно 5 65 ПП од \г\ -o,i Гз] 1 \Т\ o,3i Г?] о,5. Если первый и двадцатый члены арифметической прогрессии рав- равны соответственно 76 и 19, то ее разность равна ч ПЛ -2 [г] 2 [з] 3 [71 -3 IT] -2,5. 081 Найти число, если 1,3% его составляет 65% от 17 63,75 |2| 42,5 |3| 106,25 UI 10- 5 21,25. 222
[Сложность II | 091 Выражение cosa ¦ | sina| + sina • | cosa|, где a 6 (тг; -ж), равно \1\ О [ij sin2a ГзП -sin2а [Т] -sin2a [ij --sin2a. ж Iog4243 Вычислить -г-2*—- Т| -3 [г] -2,5 [Г] -2 [Т| -1,5 111 Графики функций у = и у = пересекаются в точке ——¦ х - 4 х - 5 ПЛ C;-1) 0 A;-1) |Т| @;-1) [I] A; 1) |Т] B;-1). Вычислитьпроизведение \ Т| 2 ИГ]-2 Гз]з не существует. Длина отрезка числовой оси, на котором определена функция 2/ = у/(-х + л/5 - 1)(х - \/2) + ^(-ж + v^ - l)(i - а/5), равна ГТ1ч/3+1-\/6 Г2~| л/3- л/2 [Г! О ГТ1 л/2 + 1 - л/6 141 Уравнение х2 — 2ах + 9 = 0 не имеет действительных корней прн Т\ а > ±3 [i] a < ±3 ГзП |а| > 3 |Т| |а| < 3 ПП а > -3. Выражение log3 A - tg2 -) - log3 B tg -) равно о о ПП 0 [г! 1 IT! -1 ЦП 2 1~5~1 —2. Яблоки при сушке теряют 85% своей массы. Для получения 465 г сушеных яблок необходимо свежих яблок взять П 0,2 кг [г] 3,52 кг [Г] 4 кг ГТ! 3,1 кг ПП 921.6 г. 223
[Сложность IIj 1 * I Все решения уравнения y/cos x — sin x = О образуют множество 71 A- -- + 27ГП 4 [Г! -7Г + 27ГП —' 4 — + тгп 5J решений нет. I81 Уравнение {х3 - 27)(j2 + s/x1 - 2) = 0 имеет 1| 1 корень |2J 2 корня ГзП 3 корня [414 корня [51 нет корней. В геометрической прогрессии Ь4 • Ь8 = 27. Величина Ь^ равна ГзП -з>/з [71 ±з>/з _J Если a — \/5, то выражение I — + — j f2V5 fTl 4-2^5 равно 1 1 2J 2 [Г 211 Вершины парабол у = х2+2х+Ъ и у = — х2—\а\х+а+1 совпадают при а равном 1 -2 и 2 2 3 3 1 4 2 5-2. Сумма решении системы уравнении < (^ Ых+ Пу = — Ь7, ПП 1 (П 2 [Г! -1 [Т| -2 fil 3. равна 231 Если наименьшее значение функции у — х2 -\-рх -\-4,р <0 равно О, то расстояние между ее нулями равно П~\ 2 [Til ГзП О ГТ1 4 ПЛз. 34] Сумма корней уравнения пп 1 in -1 ГзП з х1х35 -\ — - равна х — 3 а; - 1 2 гп 4 m -з. 224
[Сложность II| 251 в окружность впнсаны квадрат н прямоугольник с углом а между диагоналями. Отношение их площадей равно а sina |2l sin- 13} tg« UJ tg- a sin—. 261 Если число 1000 разделить на две части так, чтобы 8% первой части в сумме с 24% второй части составили 12% всего числа, то меньшая часть числа равна ПП 200 [Г! 250 Гз] 93,75 [Т| 300 ПЛ 150. множеством 27| Область значений функции у = ах'2 - 2х + 1, а < 0 совпадает с а — а (-оо; +оо). га — 1 (TJ (-оо; 1—' ] 281 Если q ? (—; —), 13 е (—; —), то значения cos (a - /3) заключены в ™"" 6 2 6 3 промежутке к6' 2' гп , 1 \/3, 2 '2 Гз1 r-^-i) —' 2 ' 2 (i; ij- 29 j Площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 6 и пери- периметром 14 равна 13 2 5 3 7 4 9 11. 301 Все решения неравенства xlogo 5 z > -— образуют множество h—J 16 ПП (-oo;i]U[4;+oo) [T] @; )} U [4; +оо) [з] [1;4] 4 4 4 [4l fi; 3 [4;+оо). 8 — 6838 225
[Сл ожность II| 011 Все решения неравенства а: < 3 совпадают с множеством ^^^* 1 1 г—1 1 ГГ|(-оо:0) [i](-;+oo) [з]@:3) |Т|(-«>;0)и( |Т] 1 о 02] 25 3 Вычислить 53~|о& 15 [2~| 25 ГЦ 0,12 [i] 3 5. Ыо 1 К Выражение sin (-тг - а) • tg (а — тг) - cos (—тг - а) равно 10 2 2sina 3 -2sina 4 2cosa -2 cos a. 041 Сумма целых чисел, заключеиных между корнями уравнеиия 2 (/6 v/24)a: - 12 = 0, равна П 7 (П 9 Гз1 -9 [71 8 ПН -7. х2 - 051 Из прибыли в 5 млн. р. фирма отчисляет 28% в строительный фонд, причем 7% из них для строительства базы отдыха. Сколько денег из прибыли выделяет фирма для строительства базы отдыха? 1110800 р. 2 108000 р. | 3 198000 р. | 4 1980000 р. | 5 |2 млн, р. Четной среди приведенных является функция \Т\у= |4| у = \х + 2| + л/х2 - \х + 4 [5| у - х1 - Xs. Ы2 Вычислить —= ГТ1 л/3 — 3 Гг~1 B — -ч/З)-1 Гз] 2- %/3 081 Если lg х = - lg a + 2 lg г2 - lg b, то х равняется -}>) ГгП ,'г Гз] с4¦ ^Г+ь 4 ( ч. 3/ 226
{Сложность II| 091 Сумма целых значений аргумента из области определения функ- у/A0-х)(х + 8) ции у = — равна х — 2 1 21 2 17 3 19 4 18 16. 101 Сумма всех двузначных чисел, кратных 8, равна ПП 560 [Л 672 [Л 616 [Т| 504 ПГ1 728. 111 Парабола у = -ж2 + 2х + 1 и прямая у — Зх + а касаются при а, равном 11 -0,75 [2] -1 Ы 2 UI -2 1,25. нГ cos 105 равен у/2-Уб 13| При каком § один корень уравнения х2 — 9x + q = 0 вдвое больше другого? 1 -18 2 8 3 18 4 12 5 -12. Если функция f(x) определена при всех ж и имеет наибольшее зна- значение равное 2, то наибольшее значение функции у = 4 • /(Зх - 1) - 6 равно Л -1 (Л 2 Гз1 -3 4 ПЛ 8. 15| Решением неравенства sin5 • (х — 3)(ж — 5) > 0 является множество [Г] (-оо; 3) U E; +оо) [|] C;5) [Г] (-оо;3) U (sin3:+oc) \4\ (-00; sin 5) U E;+00) \Ji\ (sin 3; sin 5). 227
[Сложность II| х + 5 Корнем уравнения lg = lg х является х — л 71 -2,5 [г] -4 ПП 2,5 R] 4 ПП корней нет. 17| в прямоугольнике диагонали пересекаются под углом в 60°, а сумма диагонали и меньшей стороны равна 36. Диагональ равна 12 [il 24 Гз1 36 [71 48 ГЦ] 12л/3- 18 j Все решения неравенства у/х < 2 — х составляют множество [7] (-оо; 1) U D; +оо) ПП [0; 1) U D; +оо). 19| Областью определения функции у = /loga_j 0,2 является мно- V 2^+2 жество (-oo;-3)U(l;+oo) (-оо;-1)иC;+оо) 201 Последовательность а„ = — является возрастающей при следующих значениях с п с>0 [г]с<0 ППе>-.[4]с<- \J] с<-1. 2 2 211 Лодка прошла 32 км против течения реки и такое же расстояние вниз по течению реки, затратив всего 12 часов. Если скорость течения реки 2 км/ч, то собственная скорость лодки равна ПП 5 км/ч ГгП 7 км/ч Гз1 9 км/ч 171 8 км/ч ПП 6 км/ч. 221 Выражение (^6 + ^4 + $9)( ^3 - #2) равно [Ц ^18-^8 [ill [Ц ^18+^8 [71^18 + 2^3 [11-1. 228
ожность II 22JJ Произведение корней уравнения Ig2(.r - IJ = 1 равно ~2] -9 \/10 0,9 I 4 I —8,1 I 5 | корень 1 + \/Ш — единственный 24 j Множество значений функции у = 0,52ж х совпадает с проме- промежутком @;0,5] |_2][0,5;+оо) [_3J@;2] |4|(-оо;2] 5 (-оо«0,5]. 251 Произведение корней уравнения \/4 — х'2 • (tg — — 1) = 0 составляет Г] 2тг [2J -2я- [Г] Зя- [4J -Зтг [Т] 4я-. 261 Сумма десятичных логарифмов девяти последовательных членов геометрической прогрессии составляет 9. Произведение крайних из рас- рассматриваемых членов равно 1 100 2 1000 3 3 40,1 5 10. 2'| Множеством значений функции у = (sinх - -) ' является Ц[-И (-оо;-|] [T|(-oo;-|]U[2;oo) 28 j Все решения уравнения sin (— - х) ¦ sin (х + —) = - определяются формулой [41 ~  3 - 1—' з 29 j Площади вписанного и описанного около окружности правиль- правильных шестиугольников относятся как 11:2 2 2:3 3] 3:4 |4|4:5 5:6. Число корней уравнения \\/х2 -4х + 4 - 1| = -х + - равно ITli [2I2 Гз1з 1П4 ITIo. 229
„ложность 3D В 011 Расстояние между точками пересечения прямой у = 2х — 2 и ги- ' 4 перболы у = - равно 1 6 2 3v/5 3 2v/5 5 5> 02| Вычислить 2cosf.3ctg?-4sinf 1 2J -2 V2 3 ' 031 гГоезд прошел за 2 мин 4 км, а мотоцикл за 3 мин—4 км. Сколько процентов составляет скорость мотоцикла от скорости поезда? 70% 160.. |—| 3 75% 4 90% 200 Т' 041 Значение функции /(j-) = ч/б — 18-f- у/5 + х \Д-х Т] 3v/5-5--y/3 [Г TI 3v/5- \/3 + 4. при х — 2 равно 051 Вычислить log 2 - 59 13 2 2,5 3-3 4 4 5-6. 0"| Числа у/7 + 3 и ^/2 являются 4-м и 7-м членами геометрической прогрессии. 10-й член этой прогрессии равен Т|3-х/7 ,3-77^3 + 77 2C - х/7). Если сторона треугольника составляет 6 см, а тангенс противо- противолежащего угла равен 3, то радиус описанной около этого треугольника окружности равен Щ -jj= Щ 2/W [з1 ? Ц 2y/W ГЦ 8. Если продавец книг получает книгу со скидкой 20% с номиналь- номинальной цены, а продает ее по номиналу, то процент прибыли продавца со- составляет 11 25% Ы 20% 3 22,5% Ш 30% 5 24%. 230
ожность Система уравнений 2х + aj/ = 3 и (a + 2)я + 4j/ = -3 имеет сконечное множество решеннн при а, равном ГП - cos 30° |Т| -8 cos2135° Гз1 - cos 45° IT] cos 180° |Т| sin90° Графики функций у = х2 + х-1иу~ах-2ж пересекаются при всех значениях а из промежутка 0(-1;4) Ц](-1;3) И(-3;1) [Т|(-3;-1) [?] C;+оо). ill „ , log5 243 Дробь -г-22 равна bg^ ~П 2 |Т| -4 [з] 2,5 [Т] -2,5 [I] 4. 12| Если сумма третьего и шестого членов арифметической прогрес- прогрессии равна 61, то сумма первых восьми ее членов равна 1 264 2 224 3 488 244 5 448. Наименьшее значение функции у = 4ж - х2 - 5 на промежутке ^Т; 3] равно 1 -1 2-10 3 2 4-2 5-3. Выражение I -^ s- I \ahbi) равно 15| Сумма корней уравнения (х1 + 7х- 1)Bх24- 14х + 1L-1 =0 равна ПП -ю -14 3-6 4-5 5-7. Все решения неравенства х < \/х + 2 образуют множество [Г] [();1]U[4;+^) Ц] [1;4] [I] [0;4] Щ [4;+ос) [I] (-oo;l]U[4;+oo). 231
[Сложность II| 17 Если tg (тг - а) 4- ctg a = 5, то tg2 a 4- ctg2 q равняется 1 29 2 21 3 23 4 25 5 27. Сумма корней уравнения (х2 - Tr2)(logsin;cB&mx - 1) - 2) = 0 на промежутке [-тг; тг] равна 1 3 ~Г 2 тг ?, 3 3 о' 4 0 5 корней нет. Решения неравенства (х2 - 4х 4- 3)-\/sin40o - а • loga ctg 40° > О образуют множество 2|C;+оо) 3 (i;3) 4 5|(-ос;3). onl ,г 1а; -4- 21 . ч9 д"! Уравнение -1 L = (х 4- а) имеет два корня при всех а, принад- принадлежащих множеству A;3] 2 (-оо;1) |з| [3;+оо) UJ (-1; 4-ое) |5|(-3:+ос). Найти сумму целых решений неравенства у/(х + 6)E - х) < |х 4- 6,3| 4- |х - 5, 7| - 12 4- 2\/б 1 -6 2 -3 3 _2 4 2 5 1. 22 j Уравнением, корни которого на 1 больше корней уравнения х1 — Ъх — 1 = 0, является х1 - Ъх 4-1 = 0 х2 - 5х 4- 2 = 0 х2 - 5х 4- 4 = 0 х2-5x4-3 = 0 5 х2-5х-2 = 0. 23 [ Расстояние между линиями х2 4- у2 = 1 и у = —х 4- 4\/3 равно ~™^ v3 [Г] 3V3 ПГ| 2V3 fTI 5 ПП 4 ГЁЛ 6. 232
[Сложность II| Е 241 Решение неравенства logi ros x\ x2 < 0 совпадает с множеством X\ > l.X Ф — ¦ П, ntZ х> 1. 251 Сумма корней уравнения (cosx - \/3smx) • arccos(— ) = О ^""" 7Г равна 1 5 2 10 Т* 3 оо. ^^ I Одним из корней уравнения х + 1 = а|х2 - 1| является число, меньшее -1 при всех следующих значениях а ае(-1;0) аб(-0,5;0) ае(-1;1) \3} ае@;1) а 6@; 0,5). 27| в предвыборном штабе депутата листовки печатают 4 станка раз- разной мощности. При печатании листовок на 2-м, 3-м и 4-м станках весь тираж будет готов за 2 часа 12 минут; при печатании на 1-м, 3-м и 4-м — за 1 час 50 мин, а если листовки печатать на 1-м и 2-м станках, то тираж напечатают за 1 час 24 мин. За какое время будет готов весь тираж при совместной работе всех четырех станков? 1 1,25 ч 2 1,C)ч 3 1,4ч 4 1,1FL 1,2 ч. 281 функция у = \/2ах + 4 - ах2 определена на всей числовой оси, если Т|а < -4 |2|а > 2 а > 4 3 0>а>-4 4а>0 5 0 < а < 4. 29| Решениями неравенства Ах - 5 > \/\ + Ах(х — 1) + \/-8х2 + 40х - 32 являются все х из проме- промежутка Т]@,75;1) И C,6; 4) [Т]D,75;5) Щ (-0,5; 1) 0A; 2). 301 Расстояние между прямыми у = \/3/2 при всех а из промежутка —у=х+2 и у v3 —-=х+а меньше уЗ @,5; 4) [2]@;2) 233
J17. Итоговые экзаменационные тесты (повышенной сложности) |Сложность Ш| 011 Из прибыли в 5 млн. р. фирма отчисляет 28% в строительный ф"онд, причем 7% из них для строительства базы отдыха. Сколько денег из прибыли выделяет фирма для строительства базы отдыха? 108000 р. [з]98000 p. UJ980000 р. Ы2 млн. р. по I , 2 - 5\/3 и*1 Числовое значение выражения 16аг - 16л; - 71 при х = - 031 Наименьший положительный период функции у — sin 2ж+ +2 cos \/2х равен ГТ] п [Т] 2тг ПЛ Зтг 41 бтг [5J функция не является периодической. 041 Число 11 cos 46° - ctg 46°| - | tg 44° - sin44°11 равно 1 f 0 |2l 2sin44° [T| -2cos46° IT] 2tg44° IT] 2ctg44°. 05| 1 2 „ . Iog4625 Дробь 64 равна l°gO,25 °' 2 -4 ПП 2,5 [7] -2,5 [71 4. 061 Нечетной среди приведенных функций является 5 у = Ы ¦ х- 071 Если годовая процентная ставка в банке "Дз" равна 100 %, то при условии ежедневного начисления процентов (считая, что в году 365 дней) за 33 дня срочный вклад увеличится в 1 ^F ?Щ3г>аз ПП (Ш\ "паз Г71 Г^ ш) раз Ш C651 раз LU U65 234
[Сложность III| i 081 Из прямых А) ./• - 3t/ = 2, B) x + y = e, C) (tg2 -)x - у = 5, D) .r - у = % параллельны [Г1аив1Т|аиоГз~|виоГТ|сиоПГ|аис. 09 ^ оследовательность задана общим членом пп = 2п-3 Неравенство |«„ 1 < 0,01 выполняется, начиная с номера 553 2] 277 [з] 276 [<у 550 272. $ cos 195 равен 111 Множество значений функции у — \\х — 2| — 3) при х € [—2;6] совпадает с промежутком [0;2] |з|[0;3] Определить длину отрезка, разделенного на 2 части так, что боль- большая превышает меньшую на 6.6 см и весь отрезок делится серединой меньшего отрезка в отношении 1 : 5. [Т| 12.6 ПЛ 19,8 \Т\ 30,4 [7] 68,4 ГТ1 20,4. 13] Числа а = (cos60°)cos295°, Ь = @,5)ctg44° и с = (sin 150°)cos85° удовлетворяют неравенствам Т\с>Ь>а [2J Ь > с> а [з|с>а>Ь[4|а>Ь>с [б] 6 > а > с. 14 [ Наименьшее значение суммы х + у координат точки, принадлежа- принадлежащей области х2 + у2<2 равно ГЛ2 ПЛ_2 Щ2уД ГТ1-2\/2 ГГЦ. Если отношение радиусов вписанной и описанной около остро- остроугольного равнобедренного треугольника окружностей равно 0,375, то угол при основании треугольника составляет 2 arcsin^ |3jarccos0,75 I4larccos0,25 [5 45 . 235
„ложность. Ы Наибольшее значение функции у заключено в промежутке /Т = 2 у 1 , cos х + 1 4 аЗ - 1 _1 При а = 0,008 выражение — (- а 3 равно Ш 5  2 5 3 -0,2 141 0,25 151 0,75. 18 j Область определения функции у = Ig nlogctg42° 2cos105") • (х2 - 1)J совпадает с множеством (Т| (-10; 10) |1] ( [|] [Т] (-1;1) Ш ( 191 Корни квадратного трехчлена у = ах2 + (а + 2)х + 1 4- - отрица- отрицательны при всех значениях а из промежутка [П (-2:3) ПП (-oc;-2)U@;+oo). 201 Если сумма двух чисел и их произведение равны соответственно \/15 и —2, то сумма квадратов таких чисел равна ПП 19 |Т| 11 ГП 5 ГЦ з Ш 49. 21| Значение выражения 1 равно -2 Л 1 [il \j2a - 1 - л/2а+ 1 1 при а > - 2 5] 4а. 22 j Если числа \Лг + 1, л/5х 4- 9, \/12т 4-25 являются первыми тремя последовательными членами арифметической прогрессии при х > 0, то шестой член этой прогрессии равен гп is m 22 m 23 m 19 m 27. 236
{Сложность III| x2 - 4 X4 Множество значений функции у = log3 т—.—- при х е [—1; 1] совпадает с промежутком ПП[0,C);1] [f][bg32;l] [з] [1;3] [7] [I;log23] ПП [1; Если lg2 = a, lg3 = Ь, то Ig45 равен Tja-b+l |_2_|a — 26+1 [T]2b-a+l [4j2a-b+l |5|a + Ь+1. 251 функция у = б'°8б:с + х^°&*х прииимает значение, равное 12 при двух значениях х, сумма которых заключена в промежутке ГП B, 25; 4,8) [Ж] E; Т) Г?] G; 8) |Т| G,5; 8,5) \ъ\ (8; 10). 26 j Если высоты параллелограмма, проведенные из вершины тупо- тупого угла равны 3 см и 5 см, а синус угла между ними составляет 0.6, то большая диагональ равна м I 5 16 см. см 27| Указать промежуток, содержащий и наибольшее, и наименьшее —¦* 1 значения функции у = - arccos(:r — 5) + ja; — 7| Т\у € [1;4] Ц]г/ 6 [4; 8] [Т]у 6 [-2; 1] [7]у 6 [о; 9] [Т|у е [-^ J]- 281 Указать промежуток, содержащий корень уравнения "Л (-*;-?) Ц](->/2;-0,2) ГзП(^;тг) (Г) @,5; 1,2) ПП(*:4]. 291 Вычислить уравнений i ж ^,' _ , i _ , [71 у/2 |Т| -уД 3 5 + 4= + j/ij/2. где (xi;j/i), " + 4у + 4 = 0, — решения системы i - -= 5 0. 301 Число корней уравнения sin (я + |)cos(x - |) = —?^х + (\/2)~3 равно Til [Т12 Гз1 3 R14 Ъ. 237
[Сложность III| ОЦ Все решения неравенства 3х + 2 < х2 • 3х совпадают с множеством ][-3:3] ГТ](-оо;-3]и[3;+оо) ПП[3;+оо). 021 Область определения функции у = Iog2((ctg 42° - х)(х - sin42°)) совпадает с множеством ГП (sin420:ctg48°) _3J (-oo;sin420)U(ctg480;+oo) 2j (cos48o;ctg42°) (ctg420;sin42°) (ctg420;sin48°). 031 Вследствие инфляции цены выросли на 150 %. Дума потребовала от правительства возвращения цен к прежнему уровню. Для этого цены должны быть уменьшены на 111 60 % |2| 33, C) % [_3J 66. F) % 4 122, B) % |5J 150 %. 041 Положительной среди приведенных является величина sin 2-sin 3 Т] cos87o-cos77° [г] tg2-tg3 ctg 52° - ctg 42° ПП sin 12° - tg 12°. 051 Число нулей функции у = \/х2 - 1 f*2 - И у| + \Д) ) (x% + равно 8) 1 1 22 33 44 5 5. 06 Выражение у 11 - 4v4-f-2\7f равно Выражение sin {-% - a) ¦ tg (a - ж) — cos (—7г - а) равно 10 2 2sina -2sina 2cosa 5 -2cosa. 238
{Сложность Ш| 081 Корнем уравнения ах — За - 2(j- + 1) = -Зх + а2 является любое число, если а равно 3 3 4 -1 5 -2. 091 Если смешать 2 л 20 %-ной сметаны с 3 л 15 %-ной, то жирность смешанной сметаны составит 17,5% 2 19% 3 17% 4 18% 5 16%. Ю| Если косинус угла, противолежащего стороне в 40 см равен 0,6, то площадь описанного круга равна Т] 225тг [Т] 200тг [Г] 625тг [Т| 25тг [б] 125тг. 111 Все решения неравенства > cos 120° образуют множество x-Z (-l;3)UC;+oo) C;7) (-оо;-1) U C;+оо) 5J (-1; равно Значение выражения — 1 -2 1 при а > - 2 /2а + 1 - 2 | лД [Г! 4а. 7Г 7Г Выражение Iog,y2(siii —) + logv^B cos —) равно 8; 1 0 2 1 3 -1 4 2 5-2. 14| Если числа Va; + 1, V^x + 9, У12а: + 25 являются первыми тремя последовательными членами арифметической прогрессии при х > 0, то шестой член этой прогрессии равен 23 |Т| 19 ГП 27. 1 18 2 22 151 Функция у = loga._i sin — принимает положительные значения на ^Т5 6 промежутке 1|(-оо;-5) 2 A;+оо) 3 (-5;0) UI @; 1) LeJ(-5;+oo). 239
[Сложность III| ifil „ 3 1 1DI Если a < 0, то неравенство — < - эквивалентно неравенству —¦ x a x < 3a 2 Зя < x < 0 3 0<K3e 4 i>3a 5 К 0, i > 3a, По отношению к прямой j/ = \/bx + /Ш точки Л A; 5) и В B; 8) расположены следующим образом 1 обе - ниже обе - выше A - выше; В - ниже J$J A - ниже; В — выше А - на прямой; В - ниже. Прогрессия 1, log0ъ(х — 1), logo5(.г — !)»•••> \°$,ь{х — 1) является монотонно возрастающей при всех значениях х из промежутка (-оо; 1,5) \2\ A; 1,5) [jFj (-1;0) Щ B;3) 19| Решением уравнения /а2 - 4« + 4 4- 51о§5 0 а) = 6 - а2 являются Г] -1иЗ [2] ±\/7 [Т] ->/7 3 5-1. 20| Корень уравнения 5^ 2 ) = 2 равен Т] log5log25 [Т| -log2log52 [T) -log5log25 4 Iog5 log2 0,2 [jfj корней нет. Если а е (—; —), /3 е (—; —), то величина cos (a - /3) принадлежит промежутку к2' 2 2 ': 2 '' >' 2 221 Если угол между сторонами треугольника, равными 4 см и 6 см, составляет 120°, то биссектриса этого угла равна 1 %/26 1J 3,6см см 13| 12см [4| 6см 5 1 2,4см. 240
ожность Ш] 231 Все решения уравнения 25sin;r ¦ 22sin;r = 0,1 определяются форму- [7] ±^ + 2тгп ПП ±^ + 2тгп. — 3 ^—^ о 241 функция у = |log2a; — 1| + |2 — log0j5x| является линейной на промежутке |Т| @;1] [г] [1;2] [з] [2; 4] |7] [0,25; 2] |Т| [1;+оо). 25 Все решения неравенства у/х + 2 < ж образуют множество 7] (-oo;-l]U[2;+oo) [Т| [-2;-1] U [2;+оо) [з] [2;+оо) 7} [-1;2] |Т| (-оо;+оо). 261 Область значений функции у = Iog2(a;2 — 4а; + 12) на отрезке х 6 [2 - 2\/2; 2 + 2%/б] совпадает с множеством Щ [3;4] [г] [4;5] [з] [3;6] 17] [4;6] [б] [3;5]. 2'| Наименьшее значение выражения ж2 + у2 - 2ж + 4г/ + 7 равно HI 3 G1 4 1 1 2 5. 281 Если отношение радиусов вписанной и описанной около остро- остроугольного равнобедренного треугольника окружностей равно 0,375, то угол при основании треугольника составляет ТП • 3\/7 гг~1 1 arcsin-—— 2 axcsm 8 8 3 [arccosO, 75 | 4 |axccos0,25 5 45°. 29 j Все решения уравнения sin ( х) ¦ sin (х -\—) = - определяются формулой г—1 71 ( Л\"Ж JJ (-1) g 4 I - + жп —¦ о - + жп 301 Уравнение \л/х2 — 2х + 1 — 2| = |ж + | имеет 1 [ 1 корень 2 2 корня 3 3 корня [4 14 корня 5 5 корней. 241
[Сложность Ш| 01 { Поезд прошел за 3 мин 6 км, а мотоцикл за 2 мин — 3 км. Сколько процентов составляет скорость мотоцикла от скорости поезда? 70% —% [3j 75% 90% ГЦ 200%. 021 Значение выражения A-)~2: @,75K + (v^L : A,5K равно ГЛ ±1 3 4 4 2 3. 031 Одно колесо имеет в окружности 95 см, а другое 155 см. Опреде- Определить наименьшее расстояние, на котором оба колеса сделают целое число оборотов. [71 32 м 5 см Ы 28 м 5 см [3| 29 м 45 см 4 33 м 35 см 31 м 5 см. 041 Значение выражения 54аЬ2 + 8а3 - 27&3 - 36а2Ь при а = 2 и Ь - - равно ^ 2 — |3[ 27 \Т\ -8 |5| 8. 051 Число log0 2 log3 243 равно Т] 1 [г] -1 [Т] 0,5 [Т] -0,5 не существует. 061 Число нулей функции у = х ¦ (ж3 - 1) ¦ (у/х - 1) • lg(x - 1) равно i i i—i i—i f—i i—i 0. 2 2 3 3 4 4 0^1 Если годовая процентная ставка в банке "Дз" равна 100 %, то при условии начисления процентов через каждые 3 дня (считая, что в году 365 дней) за 33 дня срочный вклад увеличится в Ш (зй] раз & 376V ра3 раз 242
[Or ожность Ш| 081 Если /(ж) = Бх + 2 и fBg(x) - 5) = 15 - 2х, то д(х) совпадает с функцией 2,6-0,4ж 21 0,6-0,2ж 1.6 + 0,2ж [4 1 3,8 -0,2х 0,2х -0,8. 091 Прогрессия 1, Iog05(x - 1), Iogg5(a; - 1), ..., loggia: - 1) является монотонно убывающей при всех значениях х из промежутка П@;1). _lj(-oo;l,5) [2|A;1,5) 3 (-1;0) |4|A,5;2) 10] _ / . 5тг Зя-V Значение выражения sm — + cos — J равно \ 8 8 / Л Т| 1 [Tj - 1 + 2 ¦ Множество значений функции у = х2 + 2х — а не пересекается с областью определения функции у = lg(-2a - я), если ГЛа>1 ГПа<-1 Гз1 а >-1 а > 0 [5| всегда не пересекаются. Если катеты прямоугольного треугольника равны 2-\/2 см и 3-\/2 см, то биссектриса прямого угла составляет 1 3,6 см 3J 12 см |4j 6 см |5j 2,4 см. _ sin4,1тг • cterl,67r • cterO, 9я- Выражение ^— 2—!— равно sin 0,1я- 1 2-1 ГТ1 -2 ЦП 0.5. 141 Функция у = '. промежутке ГГ|(-оо;-5) [7 ^-i cos — принимает отрицательные значения на 7+Е 6 Г] @:1) Щ(-5;+оо). Если отношение радиусов окружностей, касающихся друг друга и сторон угла, равно 4, то этот угол равен JJ 30° 2| arccos^ 60° 4 arccosO,28 axccos „. 243
{Сложность IIIj 1в| Сумма наибольшего и наименьшего значений функции у = -| sin2 х ГП (-4;-х) - |\/cos2(^" + х) + 1 заключена в интервале ] (-1;0,5) [з] (х;4) [7] B;3) Ш ( Выражение ( - Н 2 1 • (а — &) 2 равно /а -1 i — а 1 Tb^a — \/а — 6. Область определения функции у = Iog2((.x — sin42°)(ctg48° - j;)) совпадает с множеством (Tj (sin420;ctg48°) Щ (cos48o;ctg42°) [з] (-oo;sin42°)U(ctg48°;+oo) [T] (ctg42o;siii42o) [Tl (ctg42o;sin48°). 19 5 Вычислить cos (axcctg(-|)) 2 -- З] 0,8 \±\ -0,8 з • 201 Значение площади области, ограниченной графиками функций = V'4 - х2, у = tg — • |ж| и содержащей внутри себя точку @; у/3) закли но в промежутке |Т| [2,01; 2,22] |Т| [4,01; 4,5] IT] [1,05; 2] [3;4] такая область не существует. 21 (—~ Произведение ytg — • (\/2 + 1) ¦ \/з - 2\/2 равно Т] л/2- 1 [2J 1 -л/2 -1 4 1 не имеет смысла. 221 Если числа \/х - 2, \/5ж - 6, \/12ж - 11 являются первыми тремя последовательными членами арифметической прогрессии при х > 3, то седьмой член этой прогрессии равен ГТ] 18 |Т| 22 Гз1 23 ГП 19 1Т| 27. 244
{Сложность Ш| 231 Множеством значений функции у = log0 5 2S1U ^ + 6 > на отрезке .)• ? [0; f ] является [—2;~ 2J 5 I t-oi Ц- 24] Вычислить I logs 0,08+log510 Iog38 |T| log5 4 |T| Iog25. Функция у = Iog2(axccos(j; - 1) - |) определена во всех точках про- 261 Если боковые стороны треугольника равны 2 см и 4 см, а медиана, проведенная к основанию — >/б см, то это основание составляет [71 5 см Гг1 4 см Гз1 Зсм [Т Нуль функции у = sm(ir(jc - ж2 + |)) - 2х2 + 8х - 9 принадлежит промежутку 28 j Если функция /(х) принимает наименьшее значение, равное -2 только при х = -1, то функция p(j;) = 5 - 2/(ж + 2) принимает наибольшее значение, равное ITll Щз ГзП 13 [Т]9 Щб. 291 Если отношение радиусов вписанной в трапецию и описаииой око- ло нее окружностей равно 2\/б+~\7з . то острый угол ее равен 71 Ч- [21 30° HI 75° ГЦ 15° [в! I- I 2 301 Число корней уравнения sin(a; - |)cos(a; + |) = ——х - (\/2)~3 245
[Сложность Ш| В \ Прямой, изображенной на рисунке, соответствует уравнение = —ж Л 021 Выражение 10v/076 - 6J- + \/15 равно [Г] -\/15 [71 -2\/15 ПП л/15. 031 Уравнение а;2 - 2ах + 4 = 0 имеет действительные корни при \Т\ а > ±2 Ы а < ±2 \Т\ \а\ > 2 [Т] |а| < 2 [~5~| а > -2. 041 Бассейн наполняется по одной трубе за 4 часа, а по второй — за 3 часа. Если открыть обе трубы одновременно, то бассейн наполнится на 70% за II2,2 часа 2 1,2 часа [311,5 часа |4|2,5часа 5 2,7 часа. 05| Вычислить Т| 10 0,7 ¦ 10а " 1 -10 [Г! 9 [71 -9 [Г! 7. 061 Если сумма первых п членов последовательности равна 2п2 - п, то пятнадцатый член этой последовательности равен ГП 61 Щ 62 63 4 59 57. О'I Если lga; = - lga + 2lgc2 - Ig6, то х равняется [71 с4 -W=l Гз1 с4- 081 Решением уравнения dlx +1 = Зож + |a | - 2х является любое число, если [Г! а = 2 Гз1 а = 1 ПГ|а=1иа = 2 4 а = ±1 5 такое невозможно. 246
{Сложность III| 091 Равенство 5 1 г—, ж6г Й0«[ = 2ж верно при ж равном Ю| В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна 15 см, а дли- длина гипотенузы равна 14 см. Площадь треугольника равна ГП 13 см2 Ы 7,75 см2 Гз~1 — см2 \Т\ 17 см2 ПП 17,2 см2. «г Вычислить Iog481-log23 2 [Т] Iog38 Iog54 Iog165. 12 На рисунке изображена парабола у — ах1 + Ьх + с, у которой коэффициенты удовлетворяют условиям [Г] а<0, &>0,с<0 а>0, &<0, с>0 а<0, &>0, с>0 |_4J а>0, &>0, с<0 а < О, Ь < 0, с < 0. • Множество всех решений неравенства (ж + I) > (ж - З) равно |Т| (-оо;+оо) [Т] (-1;3) [з] (-оо;-1) U C;+оо) [Т| C;+оо) |Т| (- 14| Если функция /(ж) определена при всех ж и имеет наибольшее зна- значение равное 2, то наибольшее значение функции у = 4 • /(Зж - 1) - 6 равно Т] -1 [2| 2 |з| -3 |4| 4 |5| 8. Сумма всех положительных трехзначных чисел, кратных 39 равна ПЛ 13104 [г] 12012 ПП13775 [Т] 12763 |~5~| 12558. 247
[Сложность Ш | 1в| Все значения x, при которых график функции у = \х-1\ находится штшё 2 (-oo;-l)U@;+oo) 2 ниже гиперболы у = -, образуют множество X @;2) (-oo;0)U(l;+oo). ?Г Дробь -^ + ^= 2 Bafb+a-{2b) 1 I—I (ab > 0) равна Vab' Выражение log^(sin —•) + log^Bcos —) равно 10 2 1 3-1 4 2 -2. Площадь четырехугольника с вершинами ЛC; 0), ВB; 4), С(-2;3), ?>(-!;-!) равна 16 Ы л/17 Гз| 17 ITl 4 Ы 5. 201 Все решения неравенства log i Dж - 2) > -1 образуют множество Ill H5- fTI A:3) ¦;i) , 6 = (О^ н с = (sin 150°I«46° 21J Числа а = удовлетворяют неравенствам 11 с>Ъ> a IT1 & > с > а Гз| с > а > Ь \4\ а>Ь> с Г~5~1 & > а > с. 221 Все решения уравнения 62cos* • 4C0SI = — определяются формулой ^"^ 3 Н (-1)п- 6 248
--ЛОЖНОСТЬ Ш| 231 Если а = \ - + \ -, то выражение \/а + 2у/а - 1 + >/o-2v7a—T "¦¦™ V 6 у Ь равно 2J 2 гг-1 2 2 131 2 1-1 -2 3 Если стороны треугольника в 5 см и 10 см образуют угол, равный 2 arccosO, 2, то биссектриса этого угла составляет 7,5 см. см 16 2, F) см |_3J | см |_4J f см 25 j Смешали 10%-й, 20%-й и 50%-й растворы соляной кислоты и по- получили 50 л 36% раствора, причем самого слабого раствора было взято в два раза меньше самого сильного. Сколько было взято 20%-то раствора ГП 1 л Гг! 2 л ППзл [Т| 4 л ПП 5 л. 261 Неравенство lg(a;2 + ах + 5) > 0 справедливо при любых х, если параметр о принадлежит множеству 271 Множество значений функции у = 2х + 2log* D* * ) совпадает с 281 Наибольшее решение неравенства 6loge х + а;1о8бх < 12 принадле- принадлежит промежутку B; 4) [TJE;7) [T|[l;2] [T] A,5; 2,5) [Л]такого промежутка нет. 29 j Указать промежуток, содержащий и наибольшее, и наименьшее ""¦¦ 1 значения функции у = — arccos(a: - 5) + \х — 7| ~~ ' ~ye[-2;l][I]ye[5;9][T]ye[~;J]. Т|уе[1;4] 2^_2i 30 j Найти сумму нулей функции у = \/2sinBcosa; ——) - 1 на про- промежутке (-|; 7г) jYJ [TJ |Tj Y|2axccosf [TJ | |T|o |Tj |тг - axccos j. 249
[С ложность III| 011 Три числа относятся как 0,3 : - : 0,5, причем второе больше половины первого на 36. Сумма этих трех чисел составляет ГП 60 Щ 75 HI 46,5 ГП 93 ПП 95. 021 Сумма целых чисел, заключенных между корнями уравнения х2 - (\/б - \/24> - 12 = 0, равна Э ГП -9 [Л 8 ПЛ -7. 031 Наибольшее целое число из области определения функции I 1 " - 12 равно Til ITI 2 Гз1-1 fTl-2 ПП такого числа нет. 04| Если наименьший положительный период функции у = sin2 ( 1—) равен 5, то наименьшим периодом функции у = 7г ctgBoj; + ж) является ^ Ш 2.5 5- 05 j Сто пятьдесят вторая цифра после запятой в десятичной записи 431 числа равна 13 29 37 45 51. 061 Вычислить + \/3-1 \/3 + 2 \/3+3 Т| V5- -1 2-^/3 О'| Решением уравнения х = sin a + x cos а является любое число, если 1 а — жп 2\ а=2жп а=Bп+1)тг а = - + 2жп ПП а = Dп - 1) • ^-, п G Z. 2 — 2 250
[Сложность Ш| 081 Число корней уравнения |\Лг2 -4а;+ 4 - 1| = -х + - равно 1 1 2 2 ПГ 4 2 3 [71 4 ПЛ 0. О" I Произведение корней уравнения Ig2(x — IJ = 1 равно ПП -9 \/10 3,0,9 |4| -8,1 ПП корень 1 + л/10 - единственный ДР°бЬ sin 70° +cos 40° sin280° 1 2 tg300° ПН tg315° 1 |5| -1. 111 Су мма всех положительных трехзначных чисел, кратных 39 равна 1 13104 2 12012 3 13775 4 12763 5 12558. Если f(x) = Зх - 5, а д(х) — есть функция обратная для /(я), то наибольшее значение f(-3g2(x) + 1) равно 1 1 2 3 3 4 4 5-2. 131 Число 377 разделено на 3 части так, что вторая составляет 25% первой, а третья 20% второй. Меньшая часть числа равна 260 Гз1 52 [Т] 14,5 ПП 7,75. 290 141 Сумма целых значений параметра а, при которых число х = является решением неравенства \х + 2а\ - За; < х2 равна 10 -4 8 4 6 оо. Областью определения функции у — жество og x_\ 0,2 является мно- 2г+2 (-oc;-3)U(l;+oc) (-oc;-l)UC;+oo) 251
[Сложность Ш| Произведение корней уравнения \/4 - х2 ¦ (tg - - 1) = 0 составляет 2тг 2J -2тг [Т] Зтг [4J -Зтг 4тг. 17[ в равнобедренный треугольник с углом а при основании вписана окружность радиуса г. Радиус описанной около треугольника окружно- окружности равен . ? П/ I -I ' О Л I 1 Г 1 1 Г I 5 1 г ¦ ctg — • sin 2а sin 2а tga cos 2a sin 2а 181 Число нулей функции f(x) = \х - 2| - ах при а е @; 1) равно 191 Если х = \/\ + >/28 - \/v^8- 1, то величина хг + 9х равна ПП -2 2 3-4 4 4 5 0. 201 Решением неравенства (sin3 — sin5)(a; — Ъ){х — 5) < 0 является множество \Т\ (-оо; 3) U E;+оо) (Т) C;5) [Т] (-оо;3) U (sin3;+oc) | 4 I (—оо; sin 5) U E;+оо) | 5 | (sin 3; sin 5). Числа а — log511,6= 1,5 и с = log, 3 удовлетворяют соотноше 1|а<о<с2а<с<оЗЬ<а<с4Ь>а>с5|а>с>Ь. 221 ) ' 221 Множеством значений функции у — (sin x --) 'является "з" [2; +оо) Щ (-оо; --] Ы (-оо; --] U [2; оо) -•-1 '2^ 231 Все решения неравенства у/х < 2 — x составляет множество НПО; 4) 4j (-оо; 1) U D; +oo) Ы [О; 1) U D; +оо). 252
T-25 | Сложность Ш| 241 Если 4,5 sin 2а - 2 sin2 а+4=0иае (—; -ж), то значение tg a равно m -0,5 н -4 m o,5 m 4 m -2. 251 Наибольшее решение неравенства 6|г + х^°%*х < 12 принадле- принадлежит промежутку 71B; 4) [Т|E; 7) такого промежутка нет. 261 Наименьшее значение выражения х + у/Зу в области х1 + у2 < 1 m.» m, 27| функция»/ = (tga;—^=)(^+arcsin(tgz)+log2(a;2+^)) принимает ^^" уЗ •i о только отрицательные значения на промежутках [T][-f+ Jm;| + jm) |Т] [-| + тгп; | + jrn) [TJ[-|+ тгп; | +тгп) |Т] [-j + тгп;~ + тгп) |Т](-| + я-n; | + жп), п ? Z. 281 Областью значений функции у = axctg(\/\/3 sin x + cos x + 5) является промежуток И [ 1> 5 И t310^ E - •Л - 1); arctg E + V5 + 1)]. 291 Вода, содержащая после использования на производстве 5% при- примесей, поступает на очистку. После очистки часть ее, содержащая 1,5% примесей, возвращается иа производство, а остальная часть с 29,5% при- примесей сливается в отстойник. Какой процент воды, поступающей на очистку, возвращается на производство? [Т| 92% |Т| 90,5% [Л 87,5% ПП 74% ПП 80%. 301 Площадь параллелограмма с острым углом в 30° равна 8. Если периметр параллелограмма минимален, то высота параллелограмма рав- на m 2 [714 m m 2^3 253
j Сложность III j «г Четной среди приведенных функций является х 2}у = - [3]у = О + 1 [4]у = f- - х< [5J» = х\т 02 j в 600 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 15% железа, в оставшейся руде содержание железа повысилось на 10%. Какое количе- количество железа осталось в руде? ПЛ 104 кг 105 кг [з] 160 кг 180 кг 187,5 кг. 031 Расстояние между корнями уравнения х'2 — 2х — а = 0 равно 4, если 1а = 0 2 а = -3 3 а = 3 4 а = 4 а = 5. 04| Неравенство 2х х + 1 < 1 равносильно неравенству ПГи<1 ПП1<а;<2 ИЪ 05 j Все решения неравенства 5 • 2х + 2х + 2 < х1 ¦ 2х совпадают с мно- множеством х < ±3 [2Jх > ±3 (_3J[-3; 3] |_4J(-оо; -3] U [3; +оо) [_5J[3; +оо). О" I Числа л/7 + 3 и у/2 являются 4-м и 7-м членами геометрической прогрессии. 10-й член этой прогрессии равен 02C + ^7) 02C-^7). 071 7Г 7тг Выражение sin6 — - cos6 — равно 1б 4 - 7^2 16 08J Корень уравнения (ч/3+\/2Jх ~ 4 - (\/3- V2)~x + 2v^ = 0 заклю- заключен в промежутке lj(l;l,5) [2J A,5; 1,8) [3j @,4;0,7) |_4j (-0,3;-0,1) |_5j B; 2,5). 254
[С ложность III[ I \x + 21 091 Уравнение -—^—~ = (x + аJ имеет два корня при всех а, принад- х + 2 лежащих множеству Т|[3;+оо) 10 Числовое выражение v/З fil 4 -v/З ПЛ 2\/б л/12 - 6\/3 + —г-^—— Равн° -2\/б. 111 Множеством значений функции у = log0 5 Bж - х2 + 1) является Т| [Т| |Т[ |Т |Т] в равнобедренной трапеции диагональ а образует угол а с осно- основанием. Площадь трапеции равна a2 sin 2а 2 -a2 sin 2а 3 a2 sin a 4 a2 cos a 5 a2 sin2 a. 13J Все решения уравнения 2' - cos Л + cosi х - cos3 х + ¦ ¦ ¦ = ^4 опреде- определяются формулой з ' """ L-=J"'3'r -7Г + 7ГП [Т] — О О Все решения неравенства log, -3 > 0 образуют множество (-oo;-5)U(-;+oo) И (-оо;-5) \Ь\ (-5;+оо). 15J Все решення уравнения 2|о8гcos х - з|о&(-sin г) = множеством (п € Z) \ + 2жп \2\ ж + 2жп 51 нет решении. (-\у1 + жп -1 определяются bf + 2жп 161 Если а = 37°30', /3 = 367°30', то cos a ¦ sin/З равно Т~~ L^ 4 Li" 4~ LU~ 255
[Сложность Ш[ 111 Корень уравнения 2^ 5*) = 5 равен [Г] Iog5log25 jT] -Iog2log52 \T\ -log5log25 |4| logj Iog2 0,2 [_5J корней нет. 18 j Среднее арифметическое всех чисел п е Z, при которых дробь 2п2 + 7п + 1 является также целым числом, равно п + 2 2-2 1,5 UI -1,5 |5| 5. I CTBOM Область значений функции у = axctg f?- ^?\ I о I f_?. _?^ I i f?- ?^ Ц' 4 ' LfJ *¦ 2' 4' U' 2-* х-1 совпадает с множе- 1 (--¦-] J У 4>4J U [-|;|) Ш (O;f]u(f;7r). /3jr. 201 Строительная фирма построила одии дом за 50 дией; при увеличе- увеличении производительности на 20% другой дом этой фирмой был построен за 25 дней. За сколько дней фирма могла бы построить оба дома, если бы строительство шло с постоянной производительностью на 20% мень- меньше первоначальной? _lj 120 [2] 115 [з] 105 [4J 100 JT] ПО. 2Ц Нуль функции у = cos(?rCa; - х2 + 6))-х2 + 8ж—17 принадлежит промежутку (тг; гттг) Решением 221 , ../1 ,\ а2 + 2а- 1 / а; N а + 1) (- - 1) ^^ х < 2 1 - \а / а1 — и \ а - 1/ при всех а из промежутка неравенства является любое х Е R (-4;1) 1;2) (-4,-1) Щ(-4;0) [Tj (-5;2). 231 0,5 _ _ arcctfff—1) Дробь ' равна arcsin (cos j?r) 2П l [71 з [71 -з [7 -о,5. 256
[Сложность III| Вычислить 1 1 2 2 3 4 5. 25 j Сумма целых решений неравенства (arcctg (-0,3) - 2 arccos 0,6)ч/(ж + 2)A1 - х) a;2-lLr 1 20 2 15 3 17 4 > 0 равна 22 Щ 21. 26 [ Расстояние между линиями а; — у = 3 и (ж - 2\/2 - IJ + (у + 2\/2 + 2J = 1 равно 3 [Т] 2\/2 |з| 2\/2~-1 4 4 5 о. 27 j Найти площадь области, координаты точек которой удовлетворя- удовлетворяют условию ( — +arccos \х2 — х — 1\)\/х2 — 2х + 3 — у > 0, и ограниченной параболой, проходящей через точки @; 1), A; 0) и (—1; 4) 1 2 2 4 3 6 [4 9 5 12. 281 Расстояние между прямыми у = 2\/2а; + 2 и г/ — 2v^2a; = а Ь—I г = а меньше - при всех а из промежутка О (-1;2) Ы (-1:4). 291 Решением неравенства v'a; — 1 + 2а > ж—1 является отрезок длины 4, при значении параметра а, равном 1 -1 3 2 4 -2 6. 301 Наименьшее значение выражения у + х2 — 8х в области 2/>|я + 1| + |а: — 3| — я-1 равно 1 -12,75 2 -9 3 5.75 4 3,25 5 -15.25. 9 — 6838 257
(Сложность Ш| 011 Прямые у = х и 0, Зг/ = я + 4 пересекаются в точке, лежащей на оси абсцисс при П~|а= 1 ПГ|а=-0,5 ППа = 0,5 [Т|« = 0,25 ПП а =-0,25. 021 Бананы подешевели на 37,5%. Сколько кг бананов можио купить иа те же деньги, на которые прежде продавали 2,1 кг Г] 3,2 кг j_2J 3,4 кг [Т] 3,6 кг [4J 3,36 кг [б] 3,5 кг. 031 Последовательность задана формулой ап = -. Проме- Промежутку @,04; 0,08) принадлежит следующее число ее членов 24 I 25 26 23 27. 1 А 041 Наибольшее значение функции у = -=— равно хг — ох + 17 12 2-2 -4 4 4 I 5 I такого нет. 051 У Гипербола (см. рис.) может иметь уравнение I;2 • 1\у = У = 1-х 2-х 1-х х-2 2\у = 3-х 2-х 3-х х-2 х + 2 1. 061 Т| 2л/2 Упростить 2\/12 - 2л/8 + 1 8\/3~-10\/2 [71 л/12 12 Ц 4ч/3. 07| Сумма целых чисел х, удовлетворяющих условию 1 < у/х2 + Ах + 4 < 4 равна ПП 20 ITI -18 Гз1 18 [71 -16 Щ 16. 081 _ Jx(x + 8) + 16 - 4 Значение выражения -i[— 4= при -тг < х < -1 равно V2 4= VX2 б - х х-1 х + 8 -1 4 1 х - i 258
[Сложность HI] i 091 функция у = У (a + 3)х'2 - 2(а + 1)ж + За + 3 определена на всей числовой осн, если значения параметра а принадлежат промежутку (Т| (-3;+оо) |Т| (-oo;-4]U[-l;+oo) [з] (-3;-1] ПП (-оо;-4] IT] [-l;+oo). 10| Число нулей функции /(ж) = |1 - х\ — ах при а € (-1;0) равно ПП о ПП 2 1. 111 Наибольшее целое число из области определения функции . х2-8ж + 15 У = lg к Равно -/6-ж 5 ПП 2 3 4 4 I 5 I такого числа нет. 12| Сумма корней уравнения (ж2 - 7r2)(Iogs;n;rBsina; - 1) - 2) = 0 на промежутке [-тг; тг] равна ПП О И 0,5тг Гз1 1,5тг ГТ1 -0,5тг Ш корней нет. 13[ Число действительных корней уравнения (ж2 + х - 2){х2 + 2 (\/ж + 6-ж2J + 4ж - 20) = 0 равно ПП 1 1П 2 3 4 4 [5J корней нет. ill равно Количество целочисленных значений функции у = у/25 — у/х — 2 ПЛоо ГгПб Гз1з ПП 4 ППб. 1д I Если для любого х выполняется соотношение fBx +1) = 4ж2 +1, то разность между наибольшим и наименьшим значениями /(ж) при ж ? [0; 2] равна 11 2 0 3 3 4 4 5. Длины катетов прямоугольного треугольника составляют 2а и а. ина биссектрисы прямого угла равна 1 г ПП 2лД |—| у/2 г—1 4v/2 | \/За |3| -^—а UJ -^-а [5J ^-а. 3 3 3 Ш2 -а 3 9* 259
{Сложность III| функция у = (ctgx - \/3)(aiccos(ctgx) + Iog2(x2 + -)) принимает только отрицательные значения на промежутках (| + irn;ir(n+l)) [7] [| + тт; ^ + тт] {Т| (тт; * + *п) Т\(-§ + пщ| + t-T + я-w;f + z. 18 j Если длины катетов прямоугольного треугольника являются кор- корнями квадратного уравнения с рациональными коэффициентами и длина одного из катетов равна \/2 + 3, то гнпотенуза этого треугольника соста- составляет 2\/7 Ы л/22 VT4 7. 191 Если график функции f(x) имеет вид, (см. рис.), то произведение всех действительных корней уравнения /(а;2 + 3) = 0 равняется 3 при о, равном пп 5 [и 7 m s m 9 m 6. 20| Вычислить 1 ГТ1 2 bgT3-log2T 3 Г*! 4 Г 211 Все три прямые ах Л- у = а + 1, х — ау = -3, ах + ау = а2 — 8 пересекаются в одной точке, если а равно [Til Гг"! 2 Гз~| 3 Г4~1 4 Г5~| таких о нет. 221 Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции у = \/2 + х -f у/2-х заключена в промежутке ГГ|(О;1) |Т]B;3) (Т]C;4) 17] D; 5) ГТ1 A; 2). 231 Имеются два сплава золота и серебра; в одном из них количество этих металлов находится в отношении 3 : 5, в другом - в отношении 1: 7. Возможно ли из этих сплавов составить новый сплав, так, чтобы в нем золото и серебро содержались бы в весовом отношении 1 : 3? Если это возможно, то в каком отношении надо взять эти сплавы? ПП 1 : 1 Гг! 1 :2 [71 1:3 I71l:7 [71 невозможно. 260
I Сложность Ш| 241 Сумма всех целых чисел от 98 до 860, кратных 12, равна ПП 30225 ГТ! 30240 ПП 30744 Щ 31950 ПП 30844. 251 Множество решений неравенства arccosx2 < 2 совпадает с мно- множеством 1;1] [Th-l;—s/co72) U (>/то^; 1] [Т| (—у/- cos 2; \/- cos 2) [~4~| (—-; —) ПП решений иет. i—1 4 4 '—' 261 в равнобедренной трапеции диагональ а образует угол а с осно- основанием. Площадь трапеции равна a2 sin 2а I 2 I —a2 sin 2а 13 I a2 sin а 4 I a2 cos а I 5 I а2 sin2 a. 27| ВЫЧИСЛИТЬ -1 a «j и tg| 13 _ 2n2 + 5n - 30 , Выражение (n ? N) принимает целочисленные зна- значения при всех п, суммапкоторых равна ГП 8 ГТ1 И Гз1 12 |П 9 ПП 16. 291 Наибольшее значение выражения 2х — 4у - х2 — у2 равно ГП 1 Г2П 2 ПП 3 ГП 4 |Tl5. Указать промежуток, в каждой точке которого определена функ- функция у = N 2*-log0|,(z2 + 1) bg2(z2 + 1) + 2х + ¦ 2 - s>m x JjB,4;2,5) Ы @,8; 1,5) Ы (-1,5; 0,9) UJ (-0,7; 0,5) [5]@;тг). 261
[Сл ожность ш В 011 Если продавец книг получает книгу со скидкой 33, C)% с номиналь- номинальной цены, а продает ее по номиналу, то процент прибыли продавца со- составляет 1 40% 20% [з] 50% Ы 42,C)% Ы 33,C)%. 021 Неравенство 3° • х > 9х - 4 не имеет решения, если ГТ]а = 1 fil а = 2 Гз~1 а = 3 ПЛ а = 4 ПЛ таких а нет. 031 Если сумма первых п членов последовательности равна 4п2 — Зп, то восьмой член этой последовательности равен ГП 61 IT1 62 Гз~1 63 ПП 59 [Г! 57. 04 j Число 0,5 является нулем функции у = log2 x + loga 0,25 при ГПа = 2 ГТ|а = ±4 [з] а = 4 [71 а = ±0,25 [Tl a = 0.25. 05| Выражение 1 а2+Ъ2 -у/аЬ ГТ равно -3Vab ПП a + b. 061 Если сторона треугольника составляет 4 см, а тангенс противоле- противолежащего угла равен 0,5, то радиус описанной около этого треугольника окружности равен ,—, 2 i—i г- \—i i— hU ~7= [IJ V^ |з| 3 Ш 5 6. 2Jj Если а = 397°30', /3 = 187°30', то cos a ¦ cos /3 равно 4—: I2I ; Гз1 ¦ [Г! IT 081 Сумма целых решений неравенства (\/2-1)*2 ~ 2х > (\/2+1)~х ~ 4 на промежутке [0; 5] равна 2 6 3 3 4 2 5 9. 262
I Сложность III I 1091 Выражение \/4-2v/3 • ?7A - tg |K - A - y/Z) ¦ \/б\/3 + 10 равно ГП 2^3-2 [T| -6-2^3 |T1 2 [Г] -4 [T] 0. Упростить T| Iog27r [2] 3 0-3 [Tj 4 [T| -4. 111 Вычислить sin (arccos (-0,6) + arctg 1) TJ-0.7V5 Ш-^- Сумма первых 17 членов арифметической прогрессии, девятый член которой равен 35, составляет 1 560 2 297,5 |з|1190 | 4 | 595 невозможно определить. j 131 Решение неравенства logj/| sin xi x1 > 0 совпадает с множеством < 1 |Т| а: > 1. Множество значений функции у = 2х -1 +4log4 Dг " г^ совпадает с множеством Г] (8; 9) [I] @;9] 0 (-1;8] [7] G; 8) D; 6). [l5J Сумма корней уравнения arccos (tg x) = х равна 11 j 7г 121 arcsin 51, * 1j 1- — — i—i 2 4 [71 0 |5| вычислить невозможно. 11 3 2 arcsm 263
I Сложность III I 161 Смешали 10%-й, 20%-й и 50%-й растворы соляной кислоты и по- получили 50 л 36% раствора, причем самого слабого раствора было взято в два раза меньше самого сильного. Сколько было взято 50%-го раствора ГП 16 л Гг! 20 л Гз1 30 л [71 8 л ПП 32 л. 171 *, 1а: — 2| , >2 J- ¦ | Уравнение J — — (х — а) не имеет корней, если а принадле- принадлежит множеству 2|(-оо;-3) [3;+oo) Если удвоить второе число из трех, составляющих убывающую геометрическую прогрессию, то получится арифметическая прогрессия. Знаменатель геометрической прогрессии равен Т\ 2-л/З [Т| л/3- 3| 2+ л/3 4 2\/3 - 1 5 2v/3-3. Вычислить 2 3 40 201 Число корней уравнения cos nx + cos Ъпх = 2 из промежутка ^^Г; 2тг) равно 5 2 22 3 27 4 9 5 0. 211 Значение выражения V х + 2\/х-1 - 1 при х = 1,8 равно 11 2 2\/2+1 Гз1 л/2-1 4 -1 5 3-2\/2. 221 в равнобедренной трапеции с углом а при основании, диагональ, равная а, перпендикулярна боковой стороне. Средняя линия трапеции равна а а ¦ tg a |2j a ¦ ctg a [3J а ¦ cos a |4j a ¦ tg — а • sin а. 231 Неравенство log0 5(x'2+ах + 5) < 0 справедливо при любых х, если параметр а принадлежит множеству 5 (-2Л;2ч/5). 264
T-28 [Сложность III} Г*2 + у2 = 4 \ у - \х\ = а 241 при каких а система уравнений шения? [7] а<-2 [Т] -2У2<а<-2 [з] а > -2 [Т] a > -2л/2 ПЛ 2 < a < 2л/2. имеет четыре ре- I 2 25| Сумма корней уравнения (х2 - ^-)(logCOS2:(-l - 2cosx) - 2) = О на промежутке (-эт; тг] равна 1 -тг 2 тг 27г [_4j — [5J корней нет. 261 Среднее арифметическое всех чисел п ? Z, при которых дробь Зп2 - 5п + 3 является также целым числом, равно 71-2 ПП 2 -2 |3| 1,5 4| -1,5 5 5. Найти сумму нулей функции у = tgBcosx-—)-1 на промежутке (О;тг) arccos— Г2П 2arccos— [3J — 4 — 4 — 2 oo. 281 Нуль функции у = sin (тг(х — х2 + х)) - 2х2 + 8х - 9 принадлежит промежутку Ш (-|;f) И (-|; Н (-|;») Н (»;|» 291 Решением неравенства у/х + 2 - 2а > х+2 является отрезок длины 4, при значении параметра а, равном ГП 1 ITI -1 Гз1 2 ПП —2 ПЛ 6. 301 Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции х2 + Ъх + 3 х1 + 2х + 2 заключена в интервале @;\/3) [7 265
ОЖНОСТЬ Hi В Oil Вычислить -ys h -j= j=r— Т]>/3-3 [T] B - v^) [7]2->/3 |T|>/3-2 \b\ 021 Количество целых чисел от 38 до 196, дающих при делении на 4 остаток 3, равно |Т] 41 ГТ1 40 ГТ! 42 ПП 39 ГП 43. Все значения параметра а, при которых расстояние от точки ^Т, 10) до оси симметрии параболы у = — х2+6ах +1 (а < 0) составляет 3,равны [71 -1 ГЦ -2И-4 [71 -6 [71 -3 ГЦ -2. 041 Сумма всех целых решений неравенства х4 — Юх'1 + 9 < 0 равна 1Л в Пг1 2 Гз1 о [71-6 ПЛ -2. О5Ц; ^ На рисунке изображен график функции = -\х - 1| - 1 ПЛу = -\х + 1| - 1. 0^| Если а — 26 = 6 и |а| < 4, то величина Ь изменяется в промежутке 7] (-оо;-5) [7](-оо;-1) [7] @; 5) |7]A;5) ГГ1 (-5; -1). О'I Сумма координат точки пересечения графиков функций у = -1—х и у = 3lofoX + 1 равна ГП 1 [2] -1 [7] 3 [7] 5 [7] графики не пересекаются. 0о| После двух повышений на одно и то же число процентов зарплата выросла на 44%. Каждый раз она повышалась на ПП 15% [Л 20% [71 22% ПП 12% [71 40%. 091 Область значений функции у множество ом"""] |_1_| I при х ? [0; 4] совпадает с ] Гз](-оо;-2]и[4;+оо) U](-оо; -4] U [2; +оо) Щ [-2;4]. 266
I Сложность III I 101 Если sina + cosa = 1,25, — < a < —, то cos2a равен —•¦• 4 2 16 2 - 5y/7 16 4 9 4 - >/зТ *Тб~ иг Площадь треугольника, образованного осями координат я прямой уДх + \/2у = 2\/3, равна [Г] 3\/б [Т] 2v/6 [з] Зу^ |Т| 2>/3 [б] \/б- 121 Положительной среди приведенных является величина Т] tg5 [Tl coslO IT] sin4 [T| sin7 \b\ ctg2. Область определения функции у = -y/|log2x| — 3 совпадает с мно- множеством Л @;*1 Щ [\;8] {з\ @;i]U[8;+oc) г ' SJ (-oo;i]U[8;+oo) [8;+oo). Из емкости, содержащей 25%-й раствор соли отлили 3 литра рас- раствора и добавили 2 литра воды. В результате в емкости оказался 20%-й раствор соли. Какое количество раствора находилось в емкости перво- первоначально? ППвл Г219Л Гз1юл ПЛил ПП 12 л. Треугольник вписан в окружность радиуса 10 см. Его сторона, лежащая против угла 45°, равна П 5>/2см [г] 10V2cm Гз~| 5 см [71 15 см ПП 10 см. „ _ cos257rn Члены последовательности ап = 5 ——— располагаются на in+ 2 числовой оси на расстоянии меньшем 0,02 от точки 5, начиная с номера 1 12 2 13 3 11 4 10 5 14. 267
[Сложность III| 17J Если f(x) = Ъх - 2 и / Bg(x) + 5) = 15 + 2z, то функцией 2,6-0,4z 2l 0,6-0,2:c д(х) совпадает с з] 1,6 + 0,2а: 4l 3,8-0,2a; 0,2a:-0,8. 18 j Если последовательность задана формулой общего члена h—' Ъп ап — arccos - п-100 Т] 49 ГТ1 50 , то количество ее членов равно 1—1 1—1 17 16 оо. 191 Все углы из промежутка (—ж; —тг), удовлетворяющие неравен- у/3 ^ ^ у/2 _ ству —— < cos а: < ——, образуют множество а [-^-^ \ Л \ \ . 1 С Г тг« 1 201 Для заполнения бассейна используют 2 насоса. Известно, что если включить первый на 1 час, а затем только второй на 4 часа, бассейн бу- будет заполнен не меньше чем на четверть и не более чем на 40%. Если включить первый на 3 часа, затем только второй на 2 часа бассейн будет наполнен не меньше чем на 30% и не больше чем наполовину. Все воз- возможные значения процента заполнения бассейна после работы второго насоса в течение 1 часа образуют множество Т\ [4,5%; 7%] Ы [2,5%; 996] Пи [10%; 20%] Выражение 1,5log|j|3(a + Ь)~2 + Iog62(\/=:a + VbJ при условии (|а| > |Ь|) равно |4| log6 (Vb - у/-а) И не существует. 221 Сумма целых решений неравенства |1 — 2а: - Vx2 - 4а: + 4| < 4 равна ГП 0 Гг! —12 Гз1 6 ГП 10 ПП -5. 268
[Сложность Ш| 231 Все значения параметра а, при которых расстояние между точками пересечения графиков функции у = 3-|2ж-1| и у = а меньше 2, образуют множество Т|A;+оо) 0@; 5) |Т|(-1;3) [Т| (-7; 1) 1; 3]. Уравнение |(х - \/2)(z — >/3)] = 0,025 имеет 0 1 корень 0 2 корня 0 3 корня 1 4 | 4 корня I 5 не имеет корней. 251 Если средняя линия равнобедренной трапеции с углом 45° между ее диагоналями, противолежащим боковой стороне, равна \/2, то ее пло- щадь составляет Г^2^2 [^ 2 fjl 3 [7|4-2,/5 Г?1 2-й, 9-й, 13-й члены арифметической прогрессии с ненулевой разно- разностью являются последовательными членами геометрической прогрессии. Ее знаменатель равен 1 — 2 - 3 -= 4U 5 =. Все значения а, при которых система уравнений у = [х - а[ + 1, х = \J1y — у2 имеет решения, образуют множество Сумма нулей функции у = (ж3 - Зх2 + 2х) - ^/lg(cos (тгж)) равна ITli ГзП 2 Гз~|з 1П4 [71 6. 291 Сумма всех пар натуральных значений хну, удовлетворяющих уравнению а-2 + ху — 2у2 -7 = 0, равна 1 [?17 Гз~|з ПП5 ПЛб. Область значений функции у = arctg ——— совпадает с множе- CTBOM X — 1 LfJ V-2' 3 ll~I> 269
т-зо [Сложность Ш| ч/б Упростить 3^0, F) + 6у/ЦЪ - \/96 Tl -ч/б IT! -у/24 \Т\ 2л/6 ПЛ 0. 021 в геометрической прогрессии со знаменателем - и третьим членом 8 „ I—| 16 |—I 16 |—| 8 |—| 32 |—I 16 , пятый член равен 1 2 3 4 5 125 I—' 625 '—'3125 '—'625 '—'3125 '—• 125* 03 Четной среди приведенных функций является Т] у = 2W-* [Т] у = log2 A 041 Все решения неравенства ~ > 1 образуют множество —¦ х + у/Ъ Т] (-оо;л/5) [Т] (-оо; -у/Е) U (у/Е; +оо) [Г] (-у/Е;у/Е) Т| (-оо;оо) \Т\ (\/5;+оо). 051 г V 1 X На рисунке изображен график функции у = 1 - у/х + 2. 061 Система уравнений | множество решений, если а равно -4* + у = 2, + ау = -0,5 имеет бесконечное -4 |2| 4 Щ -0,25 UJ 0,25 5 1 0,2. 0' I Что произойдет с частным, если от делимого отнять 0, C) дели- делимого, а делитель увеличить в 1, C) раза? jTj уменьшится в 2 раза [Т] увеличится в 0, (8) раз [Т] не изменится |4| увеличится на 25% Пи увеличится в 2 раза. 08 Если log2 7 = а, то величина logg 25 28 равна 11-1-0, Ъа IT] 1-0,5а [з]-1+0,5а IT]-2-а |Т|-2 + а. 270
[Сложность Ш| оэГ Параметры функции у = Ь-{ , график которой х — а изображен на рисунке, удовлетворяют условиям [7] a>0,6>0,fc<0 [T] a<0,6>0,fc>0 [Tj a>O,b>Q,k>Q [T] a<0,6 = 0,fc>0 ПП a < 0, b > 0, к < 0. .oj Выражение 1 1 {-a + V - a~ б-2/ (a-6J равно \Ei\-\r EK4>! 0;4 В равнобедренном треугольнике с основанием а и тангенсом угла при основании, равном \/7, длина медианы, проведенной к боковой сто- стороне равна m a [Т| а.у/7/3 \Т\ а/у/7 [Т] 2а/3 Щ За/4 Наибольшее решение неравенства 2|х + 1| < x + 2 принадлежит промежутку JJ(-O,5;O,5) -4;-3) 13 Выражение ^/7,5 + V3l725 + ^7,5 - ^31725 равно Т| 15 ГТ1 Зл/5 Гз~| 2л/5 ГТ] 25 [~5~| 5. 141 Катя печатает за 1 час на 25% листов больше Светы. Печатая совместно доклад Катя работала 4 часа, а Света — 3 часа. Какую часть всей работы выполнила Света? 25% Гз1 20% [7] 37,5% ПП 30%. 1 35% 151 Значение выражения у2у2 v2 v2... равно 271
[Сложность III| ta\ о о arcctg(l/-\/3) . о, „о lo I Решением уравнения cos1* 40 • cos а; = ¦ ;=- + sin 140 —-» 2arcsin@,5-v/3) sin iB70° + ar) i—i является множество 2 ±г Ы (-1 17 j Область определения функции у = у/\х - 3| • (х - 2) + л/3- |х- 1| + \Лг2 + 2х - 15 совпадает с множе- множеством m [3;4] [T|[-co;-5]U[3;4] [з][-2;2] [Т] {3} |Т| (J 181 Число корней уравнения ||z-sin2(arctg~1(v/'7+ v/18))|-cos25°| = 2 равно m l ГПг Гз1з Г*! 4 Шо. 19| Наибольшее значение функции у = \/3 sin x - 4 cos x + 2 равно ] 7 Г71 5 Гб! ч/5 + 2. 13 2 2 201 Найти сумму целых решений неравенства у/{х + 6)E - х) < |ж + 6,3| + |ж - 5,7| - 12 + 2л/6 -6 -3 3-2 4 2 5 1. „ , _ _ 2 Г7Г 37Г, Найти все решения неравенства 8 < —— из промежутка [—; —] COS X Zi Zi illy-'^u^-'T 71 f—¦— l ±Jl3' 21 221 Среди приведенных выбрать промежуток, содержащий хотя бы один корень уравнения л/Зх + 9 = х + \/3 + 2 |Т|A;2,5) [Tj C; 5) |1][4,5;6) [Т|(_4;-2,5) |Т| (-3;-2,2). 231 Натуральное значение п, удовлетворяющее уравнению B,5+4,5+ +6,5 + • • - + F,5 + 2п)) + C + 6 + 9 + • • • + 3(п + 1)) = 223 равно ППб ГгП 7 Гз~| 8 ГПэ ГПю. 272
-ложность ш] 24 j Сплавили два металла с некоторым содержанием золота. Масса первого металла — 3 кг, с содержанием золота не менее 20% и не более 50%. Масса второго сплава 4 кг с содержанием золота не менее 55% и не более 85%. Все возможные значения доли золота в новом сплаве образуют множество Т] [0,4; 0,6] Щ [0,3;0,8] Щ [0,4;0,7] Щ [0,4;0,8] [? [0,5;0,6]. 251 Если а = 37°30', C = 367°30', то cos a • sin /3 равно Ti^-^mJ 261 Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции у = у/2 + х + V2 — х заключена в промежутке Т|@;1) ЩB;3) Щ C; 4) Щ D; 5) [?|<1;2). 27| Все значения а, при которых система уравнений у = —\х — а\ — 1, х = - у/-2у — у2 имеет решения, образуют множество ПГ][-1;1] [T|[-V2;0] |Т|[-ч/2;ч/2] [Т][-ч/2;1] |Т|[ 28| Отношение площади описанного около равнобедренного треуголь- треугольника с углом в 30° при основании круга к площади вписанного в него круга равно П~|4 [г! 2 4G + 4^3) 05 [5jl,C) - G + 4^3). 29 j Максимально возможное расстояние от точки с целочисленными координатами, лежащей на кривой ху - х2 + х + 3 - у — 0, до начала координат равно Т| 3 2 К/13 у/Ж 4 5 зо| 301 log2(x2 - 2х + 5) . Корень уравнения —==i—гт-;; = 1 принадлежит промежутку cos 30 *' (sinl5o;tg60°) 4 | (ctg30°;2,01) [б] такого промежутка нет. 273
Номера ответов на вопросы тестов Тест Т-01 01 2 16 1 02 5 17 5 03 3 18 1 04 3 19 5 05 1 20 2 06 4 21 1 07 2 22 4 08 3 23 2 09 1 24 2 10 2 25 5 И 3 26 5 12 2 27 4 13 1 28 5 14 4 29 5 15 5 30 4 Тест Т-02 01 2 16 5 02 3 17 5 03 3 18 4 04 2 19 2 05 5 20 2 06 1 21 1 07 3 22 4 08 5 23 4 09 2 24 1 10 4 25 4 11 4 26 1 12 1 27 3 13 4 28 4 14 3 29 1 15 2 30 2 Тест Т-03 01 3 16 2 02 3 17 1 03 3 18 1 04 2 19 4 05 3 20 2 06 1 21 5 07 5 22 5 08 5 23 5 09 2 24 4 10 3 25 1 11 4 26 1 12 1 27 3 13 4 28 2 14 2 29 4 15 3 30 5 Тест Т-04 01 3 16 2 02 4 17 1 03 5 18 4 04 3 19 4 05 3 20 5 06 2 21 2 07 2 22 5 08 2 23 3 09 1 24 5 10 4 25 1 11 1 26 3 12 1 27 3 13 2 28 4 14 4 29 3 15 2 30 5 Тест Т-06 01 3 16 1 02 3 17 4 03 2 18 3 04 2 19 1 05 2 20 2 06 5 21 4 07 4 22 2 08 1 23 5 09 1 24 3 10 4 25 1 11 3 26 2 12 2 27 5 13 1 28 5 14 5 29 5 15 3 30 4 Тест Т-05 01 3 16 4 02 5 17 4 03 2 18 2 04 3 19 5 05 4 20 4 06 3 21 2 07 3 22 5 08 4 23 1 09 5 24 3 10 4 25 1 11 3 26 5 12 1 27 5 13 1 28 2 14 3 29 2 15 2 30 3 Тест Т-07 01 2 16 3 02 5 17 4 03 1 18 3 04 4 19 2 05 2 20 4 06 3 21 4 07 5 22 5 08 1 23 3 09 1 24 4 10 3 25 2 11 2 26 1 12 5 27 5 13 2 28 4 14 5 29 5 15 1 30 1 274
Тест Т-08 01 2 16 3 02 4 17 4 03 2 18 1 04 5 19 1 05 5 20 3 06 2 21 4 07 2 22 5 08 3 23 5 09 3 24 3 10 3 25 3 11 3 26 4 12 2 27 1 13 5 28 2 14 1 29 3 15 5 30 2 Тест T-JTOG || 01 1 || 16 3 02 3 17 2 03 1 18 4 04 1 19 2 05 1 20 4 06 1 21 4 07 2 22 1 08 4 23 1 09 1 24 4 10 2 25 3 11 3 26 3 12 3 27 5 13 5 28 3 14 4 29 3 15 2 30 3 Тест Т-1 01 4 16 5 02 2 17 1 03 1 18 3 04 1 19 3 05 3 20 1 06 2 21 3 07 1 22 1 08 3 23 4 09 5 24 1 10 4 25 2 11 2 26 tn 12 5 27 1 13 4 28 5 14 2 29 1 15 4 30 5 Тест Т-2 01 1 16 5 02 1 17 2 03 2 18 5 04 4 19 2 05 4 20 2 06 2 21 4 07 3 22 3 08 3 23 3 09 2 24 2 10 2 25 1 11 5 26 1 12 1 27 1 13 1 28 3 14 tn 29 5 15 2 30 4 Тест Т-3 01 3 16 4 02 2 17 2 03 2 18 4 04 5 19 2 05 1 20 3 06 4 21 4 07 2 22 5 08 1 23 4 09 4 24 3 10 3 25 3 11 3 26 2 12 2 27 2 13 1 28 2 14 4 29 3 15 3 30 5 - Тест Т-4 01 4 16 4 02 4 17 tn 03 tn 18 2 04 2 19 tn 05 1 20 4 06 1 21 1 07 4 22 5 08 2 23 2 09 3 24 1 10 5 25 1 11 4 26 1 12 2 27 5 13 1 28 3 14 2 29 4 15 1 30 2 Тест Т-5 01 3 16 3 02 3 17 4 03 4 18 1 04 5 19 4 05 1 20 4 06 2 21 2 07 2 22 1 08 2 23 1 09 4 24 1 10 2 25 5 11 5 26 5 12 3 27 4 13 4 28 2 14 2 29 2 15 1 30 3 275
Тест Т-6 01 3 16 1 02 4 17 3 03 2 18 5 04 4 19 5 05 1 20 2 06 5 21 4 07 4 22 3 08 2 23 3 09 1 24 5 10 2 25 5 11 4 26 2 12 4 27 5 13 2 28 4 14 3 29 2 15 2 30 2 Тест Т-7 01 2 16 02 2 17 4 03 5 18 1 04 2 19 2 05 2 20 4 06 3 21 2 07 3 22 4 08 3 23 4 09 3 24 2 10 1 25 1 11 5 26 3 12 5 27 3 13 3 28 3 14 2 29 2 15 2 30 4 Тест Т-8 01 1 16 2 02 2 17 3 03 5 18 1 04 3 19 3 05 3 20 5 06 2 21 5 07 2 22 4 08 1 23 4 09 4 24 2 10 3 25 3 11 4 26 2 12 4 27 2 13 5 28 1 14 4 29 4 15 2 30 3 Тест Т-9 01 3 16 3 02 2 17 2 03 4 18 3 04 2 19 2 05 1 20 4 06 4 21 2 07 4 22 2 08 2 23 2 09 5 24 2 10 1 25 3 11 4 26 2 12 4 27 2 13 2 28 1 14 3 29 4 15 5 30 4 Тест Т-10 01 2 16 4 02 2 17 4 03 5 18 2 04 4 19 4 05 3 20 4 06 5 21 5 07 1 22 3 08 4 23 5 09 4 24 2 10 1 25 2 11 4 26 1 12 3 27 1 13 5 28 1 14 1 29 1 15 2 30 4 Тест Т-11 01 3 16 5 02 3 17 4 03 4 18 1 04 5 19 4 05 3 20 2 06 4 21 2 07 2 22 3 08 2 23 4 09 1 24 3 10 4 25 5 11 1 26 4 12 4 27 1 13 2 28 1 14 4 29 4 15 4 30 2 Тест Т-12 01 4 16 1 02 3 17 4 03 1 18 2 04 3 19 1 05 2 20 3 06 3 21 1 07 2 22 2 08 2 23 1 09 1 24 3 10 2 25 3 11 5 26 1 12 1 27 1 13 3 28 2 14 3 29 1 15 2 30 4 276
Тест Т-13 01 5 16 1 02 1 17 5 03 3 18 4 04 3 19 3 05 2 20 5 06 2 21 1 07 3 22 2 08 1 23 1 09 2 24 5 10 3 25 4 11 4 26 2 12 3 27 1 13 5 28 2 14 2 29 2 15 5 30 3 Тест Т-14 01 2 16 3 02 4 17 2 03 3 18 4 04 2 19 1 05 1 20 3 06 1 21 5 07 3 22 4 08 2 23 3 09 5 24 4 10 2 25 1 11 4 26 2 12 4 27 4 13 5 28 2 14 3 29 1 15 5 30 3 Тест Т-15 01 3 16 3 02 2 17 5 03 4 18 3 04 3 19 3 05 2 20 1 06 3 21 2 07 4 22 2 08 5 23 1 09 2 24 3 10 1 25 1 11 5 26 3 12 5 27 1 13 5 28 5 14 5 29 2 15 2 30 2 Тест Т-16 01 4 16 3 02 4 17 2 03 3 18 4 04 5 19 1 05 4 20 3 06 4 21 5 07 3 22 1 08 4 23 1 09 1 24 1 10 5 25 5 11 5 26 5 12 4 27 4 13 5 28 3 14 1 29 1 15 1 30 3 Тест Т-17 01 2 16 1 02 5 17 3 03 2 18 1 04 3 19 2 05 2 20 3 06 3 21 1 07 4 22 1 08 4 23 4 09 5 24 4 10 5 25 3 11 5 26 5 12 5 27 4 13 3 28 4 14 3 29 3 15 2 30 1 Тест Т-18 01 1 16 4 02 3 17 4 03 5 18 3 04 2 19 4 05 3 20 3 06 3 21 4 07 4 22 4 08 3 23 3 09 3 24 4 10 2 25 1 11 1 26 2 12 1 27 4 13 3 28 5 14 4 29 3 15 1 30 3 Тест Т-19 01 4 16 5 02 1 17 2 03 1 18 3 04 5 19 1 05 3 20 3 06 4 21 5 07 2 22 2 08 2 23 4 09 2 24 2 10 3 25 2 11 5 26 1 12 2 27 4 13 3 28 2 14 2 29 3 15 2 30 3 277
Тест Т-20 01 2 16 3 02 5 17 5 03 5 18 5 04 1 19 3 05 4 20 2 06 1 21 2 07 4 22 4 08 1 23 3 09 2 24 2 10 2 25 2 11 4 26 4 12 4 27 4 13 2 28 3 14 2 29 2 15 2 30 3 Тест Т-21 01 3 16 4 02 1 17 1 03 5 18 4 04 1 19 4 05 5 20 1 06 3 21 1 07 1 22 3 08 5 23 2 09 2 24 3 10 3 25 2 11 3 26 3 12 2 27 1 13 3 28 2 14 2 29 4 15 4 30 5 Тест Т-22 01 4 16 2 02 2 17 3 03 1 18 2 04 3 19 5 05 3 20 5 06 2 21 5 07 1 22 5 08 4 23 2 09 3 24 4 10 3 25 3 И 3 26 5 12 1 27 2 13 3 28 4 14 3 29 2 15 2 30 3 Тест Т-23 01 3 16 2 02 3 17 3 03 3 18 1 04 3 19 4 05 2 20 2 06 1 21 3 07 3 22 5 08 4 23 4 09 4 24 2 10 5 25 3 11 1 26 2 12 5 27 3 13 1 28 4 14 1 29 3 15 4 30 5 Тест Т-24 01 2 16 4 02 5 17 5 03 3 18 3 04 2 19 3 05 1 20 5 06 5 21 5 07 2 22 5 08 2 23 2 09 1 24 1 10 3 25 2 11 1 26 3 12 1 27 2 13 2 28 2 14 2 29 1 15 5 30 5 Тест Т-25 01 4 16 2 02 5 17 2 03 2 18 2 04 3 19 2 05 2 20 2 06 2 21 1 07 2 22 4 08 3 23 3 09 4 24 2 10 2 25 2 11 5 26 1 12 5 27 1 13 4 28 2 14 4 29 3 15 1 30 1 Тест Т-26 01 4 16 4 02 4 17 5 03 3 18 2 04 2 19 3 05 4 20 4 06 1 21 4 07 4 22 2 08 1 23 3 09 2 24 3 10 3 25 5 11 5 26 1 12 2 27 2 13 1 28 2 14 2 29 1 15 5 30 5 278
Тест Т-27 01 5 16 3 02 2 17 2 03 1 18 2 04 1 19 5 05 1 20 2 06 1 21 4 07 4 22 1 08 3 23 1 09 5 24 2 10 1 25 1 11 2 26 2 12 5 27 2 13 3 28 3 14 2 29 5 15 1 30 1 Тест Т-28 01 3 16 5 02 5 17 3 03 5 18 1 04 5 19 2 05 1 20 1 06 4 21 4 07 4 22 5 08 2 23 3 09 1 24 2 10 2 25 5 11 2 26 1 12 4 27 4 13 2 28 3 14 3 29 2 15 1 30 4 Тест Т-29 01 1 16 2 02 2 17 5 03 5 18 4 04 3 19 3 05 4 20 2 06 5 21 2 07 5 22 2 08 2 23 5 09 3 24 4 10 2 25 1 11 5 26 5 12 4 27 3 13 3 28 2 14 4 29 4 15 2 30 5 Тест Т-30 01 5 16 2 02 4 17 1 03 2 18 2 04 3 19 5 05 2 20 2 06 3 21 5 07 1 22 5 08 1 23 2 09 3 24 3 10 3 25 4 11 1 26 1 12 1 27 4 13 5 28 5 14 4 29 4 15 2 30 5 279
Ответы к письменным заданиям §13 1. Решить текстовые задачи Ьп + л/Рп2 + 240аЬп -Ьп + у/Ъ2п2 + 240аЬп 2аЬс 1* ' , t Л>» 26 ' 26 ab+bc-ac 2аЪс 2abc . а ,„ с. в , с ,, . „ 3.—-C-V5), —¦ (л/5-1) 4.8ч,6ч ac+bc— ab' ab + ac — bc 'it 'it 5. 12, 8, 7 6. 30 кг, 20 кг 7. 12 л, 30 л 8.11 ч 12 мин 9. 7 ч 12 мин 10. 2 ч, 2 ч 24 мин 11. В безветренную 12.1 кг, 7 кг 13.12 л, 24 л 14. 12 человек, 10 ч 15. 18 автоматов, 4 ч 16. 4 ч, 6 ч 17. 3 ч, 4,5 ч 18. 8 ч 19. 5 ч 20. 10,5 мин, 14 мин 21. 6\ ч, а\ ч 22. 48 ч, 56 ч 23. 72 ч, 96 ч 24.2,6,18 25.3,6,12 26. 35 кг, 45 кг 27.25% 28. На 38 км 29. На 53 км 30. 24%, 30% 31.12%, 15% 32. 20% 33.15% 34. | 35.6 ч 36.11 37.12 38.1044 тыс. р. 39. 60%, 80% 40. 20%, 50% 41. 9 месяцев. 2. Решить уравнения и системы уравнений 1.4 2.8 3.4 4.3,5 5.-| 6.-2 7.-5 8.-8 9.-2 10.-4 11. E; -3), (-5; 3) 12. A8; 2), (-18; -2) 13.-| 14.-2,5 15. (|; 3), C; \) 16.(|;|) 17. f 18. f 19. C; -5), (-f; f) 20. (-2; -4), (f; f) 21.1og32 22.1og23 23. (л/2 + 1; л/2 - 1); (-л/2-1; -\/2 + 1) 24.(ч/3 + 1; ч/3-l); (-V5-1; -%/3+1) 25.3-log23 26. 2-21og32 27. E; -4) 28. E; 4) 29.-2,2 30.-2,2 31. @,8; -3,4), C; 1) 32. (-2,2; 0,6), (-2; 1) 33. [-2; -1] 34. [-1; 3] 35. 0 36. 0, 2. 3. Решить уравнения 1. | + тга 2. | + жп 3. -| + жк, -ж + 2ж1, | + 2жп 4. 2жк, § + 2ж1, f + тгге 5. | + 2жк, тгBп + 1) 6. | + 2тгк, ~ + 2жп 7. (-1)" • | + жп 8. ± у + 2жп 9. | + 2жп 10. | + 2жп 11. ± arccos | + 2жп 1Э. т + 7TIZ 10. т + ЖП II. — j ± -т" + 1ЖП IB. j ± T ' 280
f | ^ § f 23. (-l)m • § + 22» 24. ±f + **, ±| + m 25. -f + 2**; arctg ±+ +5rBn + 1) 26. f я- + 2тгш, - arctg \ + 2жп 27. -| + 2ятп, 4 B ) 28 § 2 | 4. Решить неравенства ; 3) 2.) ж G (log, f; 3) 3. x G (-oo; J) U G; +oo) 05)UE5; +oo) 5 x G (-§; J) 6 ж G A5; 7) B; 2,5) 12. s G [5; 1) U (J; j) 13. с G (|; 5) 14. x 15. x G (-oo; -|) U [1; +oo) 16. a: G (-oo; -2] U (|; +oo) ( ^)( ) 1( )( ) 15. x G (-oo; -|) U [1; +oo) 16. a: G (-oo; -2] U (|; +oo) 17.x G @; ^)u(l; 125) 18.x G (о; ~д)иA; 3) 19.a: G (-oo; -3)U (-1; 3) U D; +oo) 20. x G (-2; -1) 21. x G (-1; 2) 22. x e A; 2) U A6; +oo) 23. x G A; 3) U C9; +oo). 5. Решить геометрические задачи 3.tgftg(| + |) 4. tg>(f - f) 10./076 11.192 12.9 6. | 8.^ 9. 13. axctg Jf 14. arctg ^ 15. Щ - 1; ^4 - 1 16. 3 + 2v/3; 3 "• " 96 '*" " 36 sm/J "™ sin a .,, а+в . тг+2/? it-2a . 2A^ cos o sin —r-1- cos —-.— 25. |a3 cosacos^V" cos(<* + ^) cos(a ~ ft) 2б- 2sinasin4^ *- 31. j«2 cos 2a 32. 4 cos 2a ^ 39.1 40.3^/2-3 41. 33.30° 34.arccosi<%:i 35. Щу/Z 36. |\/П 37.2 38. 43.^ 44.3. 281
Ответы к вариантам письменных работ §14 1.32. 2. im3sin2acosa 3.-2. 4.47 5. Г-^;-з) U@;+oo). Вариант 1 3.-2. 4. Вариант 2 ^ 37 _2,75)и(_2; 1}. 64 1>23 2j ^ cosp 64 Вариант 3 1.59. 2.4. 3.0,75. 4. fo;i) U A;4) U (8;+оо). 5.15°. Вариант 4 1.78. 2.2. 3.0,5. 4. @,04; 1) U D; 25). 5.22,5°. Вариант 5 1.64 или 46. 2.5. 3.0,75. 4. @; 0,04) U A; 4) U B5;+оо). 5. 22,5°. Вариант б 1.83. 2.-1. 3.0,25. 4. fo;Mu(l;5)U(9;+oo). 5.75°. Вариант 7 1.96 или 69. 2.1. 3. 0,5. 4. Q; 1J U D; 8). 5. 75°. Вариант 8 1.25 л. 2.i(a2-b2)(a-b)tg2atg/?. 3.-1. О 4. a:i=±-axccos- + 7rA:, аг2 = -^+7гп. 5. @;1)и ( +_ ;2) Вариант 9 1. 300 кг. 2. /3 = arctg -—. 3. -1, если \х\ < 1, х ф 0. 4. :ti = arctg 3 + irk, x2 = ±- + «г. 5. I ; 1 J U A; +oo).  \ 2 282
Вариант 10 i.-з 9V2sma 4. F; +00). 5.4. д. -д- • 2. arj = Bn+l)ir, ж2 = -+2jrfc. 3.3 тыс.руб. Вариант 11 /7Г а. .а • — -1 . sm- 3.6 тысруб. 4. (-оо; 1] U [4; 5). 5. 32. Вариант 12 \/2 , а х, 3 1. —d sinacosf ). 2. Х\ = 2irn, Жэ = —тг + 2я"К. 3. 4 тыс.руб. 3 V2 4У 4 4. D; +оо). 5. 16. Вариант 13 г-. 2. a;i = 1-2Я71, а;2 = +2я-А;. 3.4 тыс.руб. iz cos2r^ — —) 4 2 4. (-00; -1] U [2; 3) 5. 8. Вариант 14 1.0,1. 2. ±45° + 360° ¦ п. 3.4 ч, 6 ч. 4. уоД 5.[2;3]. Вариант 15 1.1. 2. ±30° + 360° ¦ п. 3.6 ч, 4 ч. 4.v/D71. 5. (8;+оо). Вариант 16 1.A; 2). 2. (-oo;-l]UB;+oo). 3.43. 4. arctg Jy. 5.12:5:3. Вариант 17 1. B;3). 2. (-4;-1) U B; 5). 3.71. 4. arctg ^=. 5.2:5:3. 283
Вариант 18 3). г.,0;2,,,-1}. ,27. ^ 5. 7 : 6 : 2. Вариант 19 1.B; 4). 2. (-oo; 1) U C;+оо). 3.21. 4. — г3sin2 2asin2 а. 5. 11 : 6 : 3. Вариант 20 1.-( I2 sin2 a) -I cos а. 2. @,8;-3,4); C; 1). 3. A; 2) U B;3). 4. -20° + (-1)п ¦ 60° + 180° • п. 5. ^мин. Вариант 21 1. id3 sin/3sin2/3sin2а. 2. (-2; 1); (-2,2; 0,6). 3.B; 4). 4. -10° + (-1)"+х ¦ 45° + 180° • п. 5. 60 м. Вариант 22 1.3-log23. 2.1,5а. 3. ^тг. 4.15%, 30%. S. (?+3 ;4]. Вариант 23 1.4-log23. 2. J-л/Зо3. З.7Т- 4.10%, 20%. 5. (П+ ;5]. 27 4 4 Вариант 24 1.2-2log32. 2.^«- 3. |тг. 4.10%,25%. 5. Вариант 25 l.l-2log32. г.^Д3. 3.-|*. 4.1096,30%. 5.(^±^; 284
Вариант 26 1. (-3;-l)U(l;3). 2.10° + (-1)" + 1-60° + 180°-п. 3.8. 4-(-2;-^)u (!;!)¦ 5. 2Л2 sin asin2^. 6.12:5:3. 7. 0<a<0,25. 3 3 2 Вариант 27 1. (-oo; -3) U (-2; 2) U C; +oo). 2. -20° + (-1)" • 60° + 180° • n. 3.7. 4. (-2;-1) U B,5; 3,5). 5.— . 6. 2 : 5 : 3. 2 2 7. 0 < a < 1. Вариант 28 1. (-oo; -2) U (-1; 1) U B; +oo). 2. -10° + (-1)" +1 ¦ 45° +180° • n. 3.10. 4.(-l;|)UB;^-). 5. т/7C-2\/2). 6.7 : 6 : 2. 7.0<o<^-. Вариант 29 1. (-5;-2) U B; 5). 2. 25° + (-1)" • 60° + 180° • п. 3.9. 4. (-l;0)UC,5;4,5). 5. tg2(^ - -). 6.11: 6 : 3. 7. 0 < a < 4. Вариант 30 l.(-5;-l)U(l;5). 2. 20° + (-1)" • 30° +180° ¦ тг. З.8. 4. (-1,5;-0,5) U C,4). 5. ^(9 - л/21), б. 6 : 3 : 1. 7. 0 < о < 4. Вариант 31 1 ( ctg х при х ф жп \.\. 2.10-5;Ю3. 3.3^2-3. 4. у = \ 2 [0 при х = жп. _ . 2лДЗ - 5 ,, , _ ^, ,, 2A+2а) 5. ( ^ ; 1]. б. При a G (-oo; -1] х = VQ-1 Ч при a G (-1; -J] an = 2(i±2?)) Ж2 = ^; при a € (-J; нет решений; при a G A; +оо) а: = ' t ¦ 7. 30 шкафов, 60 сервантов, 87 тыс. рублей. 285
Вариант 32 a2cos2a f 3 + cosx при а: ф ж + 2тгп 1. -1. 2. 2; 64. 3. . 4. у = < 4 ^ 0 при ж = тг + 2тгп. 5. (^~;4]. б. При а е (-оо;-1] х = f±i; при o€(-i;i)*i = -gf,*j = fe'nP« «etMl^-s+J; при a 6 B; +оо) ж = f^. 7. 20 шкафов, 80 столов, 114 тыс. рублей. Вариант 33 1 1 /,2 f 3 — cos ж при х ф 2тгп 1. --. 2.100;-==. 3.-——. 4.у=\ 2 л/10 cos2a [ о при а: = 2тгп. 5. (Ы^; 5]. б. При a G (-ос; -J] « = jgf; при e€(-J;J)*,-gE!,x1-gJ |f 7. 60 шкафов, 40 стеллажей, 102 тыс. рублей. Вариант 34 {, я" tg х при х ф — + жп ж 0 при х = — + жп. 5. (^Й; 4]. б. При а € (-оо; -3,5] х = ^; при a g (-3,5; -2) х = ^|; при a e [-2; 2] иет решений; при a G B;+оо) ж =^ 7. 90 полок, 120 стеллажей, 54 тыс. рублей. Вариант 35 1. \. 2.39; 3. 3. 2 Г ctg а: при х ф ; ( 0 при х = тт. 5. G-^-, 4]. б. При а е (-оо; -2] U {-§} U B; +оо) г = ^±1 ¦ при a e (-2; -§) *i = W'^ = ^ при a e (-§; 2] нет решений. 7. 80 шкафов, 120 столов, 88 тыс. рублей. 286
Библиографический список 1. Иванов А.А., Иванов А.П. Математика: Пособие для поступающих в вузы. Изд.4-е, испр. и доп. — Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2002. 2. Иванов А.А., Иванов А.П. Тематические тесты по математике для систематизации знаний по математике: Учебн. пособие. — М.: Издатель- Издательство МФТИ, 2002. - ч.1. 3. Иванов А.А., Иванов А.П. Тематические тесты по математике для систематизации знаний по математике: Учебн. пособие. — М.: Издатель- Издательство МФТИ, 2002. - ч.П. 4. Иванов А.П. Тесты и контрольные работы по математике. — М.: Издательство МФТИ, 2000. 5. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. М.: Высшая школа, 1988. 6. Шагин В.Л. Вступительные экзамены по математике в Высшей шко- школе экономики, 1997.-М.: Вита-Пресс, 1998. 7. Шабунин М.И. Пособие по математике для поступающих в вузы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 1999. 287
Оглавление Предисловие 3 § 1. Общие рекомендации по работе над курсом математики 8 §2. Рабочая программа по математике для поступающих 10 §3. Основные элементы знаний и некоторые формулы 12 §4. Контрольные задания по теме №1. Действительные числа. Преобразования алгебраических выражений 25 §5. Контрольные задания по теме №2. Простейшие функции, преобразование графиков 38 §6. Контрольные задания по теме №3. Решение алгебраических выражений 47 §7. Контрольные задания по теме №4. Решение алгебраических неравенств 56 §8. Контрольные задания по теме №5. Тригонометрия 65 §9. Контрольные задания по теме №6. Логарифмы. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 79 §10. Тесты по теме № 7. Числовые последовательности. Прогрессии 87 §11. Контрольные задания по теме №8. 92 Геометрия §12. Итоговые контрольные задания 102 §13. Дополнительные задания из вариантов письменных экзаменов 114 §14. Варианты письменных экзаменов по математике 129 §13. Итоговые экзаменационные тесты (простые) 154 §16. Итоговые экзаменационные тесты (средней сложности) 182 § 17. Итоговые экзаменационные тесты (повышенной сложности) 234 Номера ответов на вопросы тестов 274 Ответы к письменным заданиям § 13 280 Ответы к письменным заданиям §14 282 Библиографический список 287 Замечания по содержанию и оформлению пособия автор просит направлять по адресу: 614070, Пермь, ул. Студенческая, 38, Государственный университет Высшая школа экономики (Пермский филиал). Тел. 65-65-38. 614600, Пермь, ул. Букирева, IS, Пермский государственный университет, Механико-математический факультет. Тел. 39-63-45.