[Vainshtein_L.A.]_Teoriya_difrakcii._YElektronika

К теории диффракции на двух параллельных полуплоскостях
Диффракция электромагнитных волн на решетке из параллельных проводящих полос
Метод приближенного разделения переменных и eгo применение к граничным задачам электродинамики и акустики
Волны тока в тонком цилиндрическом проводнике I. Ток и импеданс передающего вибратора
Волны тока в тонком цилиндрическом проводнике. II. Ток в пассивном вибраторе и излучение передающего вибратора
Симметричные электрические колебания идеально проводящего полого цилиндра конечной длины
Волны тока в тонком цилиндрическом проводнике III. Вариационный метод и eгo применение к теории идеального и импедансного проводов
Рассеяние плоских и цилиндрических волн на эллиптическом цилиндре и концепция дифракционных лучей
Поперечная диффузия при дифракции на импедансном цилиндре большого радиуса. Ч I. Параболическое уравнение в лучевых координатах
Поперечная диффузия при дифракции на импедансном цилиндре большого радиуса ч. II. Асимптотические законы дифракции в полярных координатах
Открытые резонаторы для квантовых генераторов света
К электродинамической теории решеток 1. Идеальная решетка в свободном пространстве
Дифракция в открытых резонаторах и открытых волноводах с плоскими зеркалами
Симметричные электрические колебания идеально проводящего полого цилиндра конечной длины II. Численные результаты для пассивного вибратора
Метод двойной редукции и бесконечные системы линейных уравнений для коэффициентов разложения искомой функции с особенностями
Дифракция на волнистой поверхности. Сравнение численных методов
К расчету омических потерь на краях тонких металлических полосок
Электронные волны в замедляющих системах. II. Конкретные задачи
Электронные волны в периодических структурах
Электронные волны в замедляющих системах. О нелинейных уравнениях ЛБВ
Нелинейная теория лампы бегущей волны. Ч I. Уравнения и законы сохранения
Нелинейная теория лампы бегущей волны. Ч II. численные результаты
Нелинейная теория лампы бегущей волны. Ч. III. Влияние сил расталкивания
Пространственный заряд в скрещенных полях
Общая теория резонансных электронных автогенераторов
О релятивистских электронных приборах типа O. I. Линейная теория
О релятивистских электронных приборах типа O. II. Нелинейная теория
Спонтанное и индуцированное излучение свободных электронов
Энергия Шотта и излучение элементарного диполя
Кооперативное излучение электронов-осцилляторов
О полевых и электронных колебаниях и волнах в сверхвысокочастотной вакуумной электронике
О низкочастотных колебаниях под действием высокочастотной силы
Теория магнитного шума со спектром 1/w и ее обобщения
Интеграл по траекториям и коротковолновая диагностика цилиндрической плазмы
Similar
Прикладная нелинейная оптика
Открытые коаксиальные резонансные контуры
Техника сверхвысоких частот Т.1
Оптические резонаторы и лазерные пучки
Text
                    Л.А. ВАЙНШТЕЙН

ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ
ЭЛЕКТРОНИКА СВЧ
ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ

ЭЛЕКТРОНИКА СВЧ
ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ
Л. А. ВАЙНШТЕЙН

ОБ ОТРАЖЕНИИ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ В ТРУБЕ
ОТ ОТКРЫТОГО КОНЦА

(Представлено академиком М. А. Леонтовичем 10 IX 1947)

Звуковые колебания в трубах, открытых с одного конца, были
теоретически исследованы еще Гельмгольцем (1) и Рэлеем (2). Труд-
ность этой задачи связана с необходимостью учета дифракционного
эффекта на отверстии трубы, так как волна, распространяющаяся в
трубе по направлению к открытому концу, излучает отражаясь часть
своей энергии в пространство. Для облегчения анализа указанными
авторами были сделаны некоторые искусственные допущения (в частно-
сти, предполагалось, что труба оканчивается бесконечным плоским
фланцем), не соответствующие действительности и ставящие под
сомнение количественную применимость полученных ими результатов
в обычных случаях. Оказывается, однако, что дифракционные задачи
такого типа могут быть решены .вполне строго. При этом вычисляет-
ся, в частности, и (комплексный) коэффициент отражения от откры-
того конца.

Введем цилиндрическую систему координат г, <?, z и будем счи-
тать, что бесконечно тонкая стейка трубы находится при r = a, z>0
(полубесконечная труба). Беря зависимость от времени в форме е~‘ы
и ограничиваясь волнами, симметричными относительно ©, мы должны
интегрировать волновое уравнение для потенциала скоростей Ф:

1	+	4-^2ф=о	(1)

г иг \ or ! UZ~

(11 = ыс, с —скорость звука) приграничном условии
дФ/(?г=0 при r = a, z>0.	(2)

Уравнение (1) допускает такое частное решение:

Ф(г, z, 'w)—-i2-2aF(w)e,wzv[	(3)

\H0(vr)J'0(va))'

Здесь Jo и На—Ноу — функции Бесселя и Хаикеля; в фигурной
скобке верхнюю строку следует брать при г<а, а нижнюю при
г>а, и

v — Vk’— w2, Im v > 0.	(4)

Из (3) следует, что

Ф (а-'-0, z, w) — Ф (а — 0, z, w)=4~/7 (w) eiwz,	(5)
а дФ/дг при г = а непрерывна. Будем искать такую суперпозицию
частных решений (3)

Ф (г, г) = Ф (г, z, ®) d<w,
с

(6)

где С есть некоторый контур в плоскости комплексного переменного w,
чтобы: 1) функция Ф(г,г) была непрерывна при r = a, z<'0; 2) удо-
влетворялось условие (2). Требование 1 приводит к такому соотно-
шению для искомой функции

F(w)d-w=Q при г<0,

(П

а требование 2 дает

F(w)dw=0 приг>0,	(8)

с

где

Т (w)=izva (va) Jx

(9)

Будем считать сначала Im £>0. Тогда разрезы функции Y(w) в
силу (4) расположены, как показано иа рисунке, и на ннх находятся

корни уравнения (w) =0 (we =
ftw ir w2, ... на разрезе	и

— w0 = — £, — wlt — w.,, ... на разре-
зе - -	/оо), дающие волновые чис-

ла волн, могущих существовать внут-
ри бесконечной трубы. Если внутри
трубы иа открытый конец набегает
„основная" волна с волновым чис-
лом— то для Ф внутри трубы
можно написать

ф(г,г) = Де_,<!2-т-Ф(г, г),

где первое слагаемое при z-> -{-оо не-
ограниченно возрастает (так как

Im # > 0), а второе слагаемое, представляющее действие конца трубы
на набегающую волну (первое слагаемое), при	стремится к

нулю и может быть разложено в интеграл Фурье. Поэтому следует

выбрать контур С так, как показано на рисунке.

Определение F(w) из функциональных уравнений (7) и (8) сводится
(ср. (’) или (4)) к разбиению функции Y (w) в полосе — Im w
(X < Im k), где она голоморфна,

T(®) = Y1(w)Y2(w)

(П)

на множители и Y3 такие, что 'E1(w) голоморфна и не имеет нулей
при Im®> — ki, a'YJ®) обладает теми же свойствами при1т®<^.
Так как	при |wl-*co, то и определяются формулами

— Mi + х

1П Ч\ (tt) = ------

—	— х

/4, 4- х
1пт2(«)=-^	(12)

w — и ’	' 2н J w — и

ikt — се

причем

Yx (и) = *FS (— и).

(13)
Дифференцируя по и, деформируя путь интегрирования для Т2
наверх так, чтобы он охватил разрез k-'ioo, используя соотношение
обхода для функции Ханкеля и вычисляя вычеты, получим:

СС	m

rfln4a(u)_ 1	 уч 1	, 1 С its (уд) dw 1

dll 2 (it — k)	I и — wm ' К J dww — uf>

m»1 ' m w	)

где интеграл берется по нижней стороне разреза (т>>0) н

£> (л) = arg Нг (л) = arctg	(15)

есть непрерывно изменяющаяся фаза функции Ханкеля. Интегрирова-
нием по частям преобразуем (14) к виду

din Ya(,f) __	1	' L С ы(г>д) <tw	.....

du	2(u— k) r.^ldu j w — и ’	'

m = 1	“ ,

m—i

где

oj(x)=arctg£—0	"	0?)

есть функция, терпящая разрыв в точках, где Jx(x)=0. Интегрируя (16)
и используя (11) н (13), получаем

Yx(w)=)/	е'1*м ™ ;

tF2(w) = У r.a(k — w) Hi(va)Ji(va) ,	(18)

где

Л4(и)=-иГю ("a)rfw,	(19)

г. J и- — wt
k

причем интегрирование производится по нижней стороне разреза
Hi-^ioc. Зная Тх и Т2, можно написать решение уравнений (7) н (8)
в виде:

z?(w)=------ (20)

(w-r-k) г k — w Ts(w) «№ (w) 1 k + w

тогда функция F(w) будет голоморфна выше С (включая С) и убывать
здесь при |®|->оокак l/wl^w, а функция -уТ(w)F (w) будет голо-
морфна ниже С (включая С) и убывать здесь при | w | -> оо как

1/У w, и уравнения (7) и (8) удовлетворятся. Постоянная В в (20)
пропорциональна постоянной А в (10).

Полученное выражение Ф при r<<a, z>0 имеет вид (10); Ф рас-
падается на сумму воли, бегущих в направлении положительных г;
при £а<3,832 все эти волны быстро затухают, за исключением волны
с волновым числом & и амплитудой ARe11*2, где R—коэффициент
отражения основной волны — равен

(21)

В этом окончательном выражении можно перейти к пределу Im #=С.
Для абсолютной величины |/?| коэффициента отражения имеем
*а____________

ReM(k)------\ to	"•

_ J л*0* — V*

•	9

(22)

Знание ее позволяет .вычислить декремент затухания колебаний
трубы с открытым концом. При можно считать <п(л)лях*/4
и ReM{k) ~	(М)2. Для фазы 6 коэффициента отражения имеем:

л

6=Im М ($) = - М м У к'а1±£№-.	(23)

« J А»в*4-уа

Она определяет положение узлов и пучностей внутри трубы, в
частности, смещение пучностей давления на расстояние к по. направ-
лению к концу; а есть „поправка на открытый конец", определяющая
собственные частоты цилиндрических резонаторов, открытых с одного
конца. При этой

2£а=6.	(24)

При #а<<1 из (23) получаем

а

а

1 У <a(x)dx

It J Xе
о

=0,613;

(25)

при вычислении интеграла мы пользовались таблицами функции П(л)
(15), приведенными у Ватсона (’). Теоретическое значение (25) для
отношения а/д близко к числу 0,60, которое дают более новые опы-
ты (•-’), и значительно ниже значений 0,785 и 0,82, полученных тео-
ретически в старых работах (*,’), предполагающих наличие фланца.

Полученные выше формулы дают возможность вычислить R при
любых £а, а также характеристику излучения из открытого конца.

Идея примененного здесь метода заключается в сведении задачи
к интегральному уравнению для плотности обобщенного потенциала
двойного слоя, расположенного на поверхности, совпадающей с (бес-
конечно тонкой) стенкой. Интегральное уравнение, получающееся для
полу бесконечной трубы, принадлежит к типу, хорошо наученному в-
литературе (теория его дана Винером и Хопфом (*) и с более общей
точки зрения —Фоком (*)) й решается в квадратурах. Введенная выше
функция F(w) есть в'сущности компонента Фурье плотности двойного-
слоя (ср. формулу (5)), а уравнение (8) эквивалентно упомянутому
интегральному уравнению. Аналогичным, путем можно получить реше-
ние других задач.

Поступило
10 IX 1947

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1	Н. Helmholts, Wise. Abhandl., 1, 366 (1882). 1 И. Рэлей, Теорий звука, 2,
1544, стр. 1ЯЗ и 469. 1 В. А. Фок, Матеи, сб., 14, 1 (1944). ‘ N. Wiener und
Е. Hopf, Ober eine Klasse singularer Integralgleich ungen, Berlin, 1931. 5 G. N. Wa-
tson, A Treatise on the Theory of Besse) Functions, Cambridge, 1945. • S. A. H iggs
and L. C. Tyte, Phil. Mag., 4, 1099 (1927). ’P. Witz, Helv. Phys. Acta, Э,
1 (1947).
Л. А. ВАЙНШТЕЙН

К ТЕОРИИ ДИ ФФР АКЦИИ НА ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
ПОЛУПЛОСКОСТЯХ*

§ 1. Излучение магнитных ноли

В предыдущей работе [1] мы рассмотрели диффракцию на двух парал-
лельных идеально отражающих полуплоскостях у= ± a, z>0, образую-
щих плоский волновод с открытым концом. Приведенные там формулы
позволяют в принципе определить характеристики излучения волн раз-
личных типов, распространяющихся в волноводе по направлению к откры-
тому концу, при любых значениях параметра

— —£

5 2п А

(d = 2a— расстояние между пластинами, X—длина волны в свободном
пространстве). Так, при n—-|-<g<n + v (ге—целое число) для волны
Н01 имеем.

. т х>-пвс°а?со8(ж? sin?) sin*-?- п

= n 4ll£_________________ 2 FT	. gcoey + Tm	/X X

W	’	1—4gasin2? И Yi-Tm geos? —

«п-2

Здесь Е (ф) йф — мощность, излучаемая в угол d<f, Р —мощность волны,
приходящей к концу волновода (на единицу длины оси X), а ут =
= j/g’ —	—	 Как видно, при больших q точные формулы содер-

жат большое число множителей, весьма громоздки и не наглядны.

Поэтому интересно установить ту предельную форму, которую
асимптотически принимают точные выражения при д—>оо, и выяснить
таким способом характерные особенности поля излучения волновода
при больших значениях параметра q.

Для этого будем исходить из полученных в [1] выражений для
полей. Для магнитных волн, электрическое поле которых имеет только
составляющую Ех, в волновой зоне согласно (4.11)** имеем:

Ех

2 "И2ц AfchLi (А) £, (к cos <?) sin ф

с

где г означает расстояние до края ближайшей полуплоскости, т. е.

• Поступила в редакцию 7 января 1948 г.

** Мы пользуемся обозначениями и результатами работы [1], формулы которой
имеют десятичную нумерацию; формулы настоящего дополнения для отличия ну-
меруются по порядку.
если г есть расстояние от начала координат y — z = O, то приближенно

r== f = т_ asintp'
r = r" = r4-asin<p

при 0 < <Р < «г,

при к < <р < 2л

(2)

а

L. (w) = г_ —-----— .

У к + и»(и'4-А)

При этом для волн 1-го типа (Яо1, Яол, ...)

Y (Acos<p)=——	 * ^) d— = -1— ( In (1 4- е'2мcoat) .сов- -— (3)

'	*'	2ъ1 J w —Acos? 2я< J ' T	' eint—cos?	'

—tki— oo	Г

где путь Г в плоскости комплексного переменного t идет

те , .	те

ОТТ=—VT^00 К = —*°°
Л	X

и огибает отрезок действительной оси

я	и

2	2

снизу* Обозначим через

V = -ST 5 ta(1 + e'!”,“T> й“—(4)
го

интеграл, аналогичный (3), но взятый по пути Г„ проходящему через
точку т = 0 под углом —к действительной оси в направлении быст-
рейшего стремления логарифмической функции под интегралом к нулю
(Го симметричен относительно точки t = 0). Если 2nq > 1, то с помощью
оценок, аналогичных применяемым в методе перевала, можно вместо
(4) получить приближенное выражение

оо	X-

1 С* Г i’2ng- 2 \ -it

9) = ^ 5 to (l + e	)-%•	(Ч

““	t—se *

где

s = t^2nq cos<p.	(6)

Деформируя путь интегрирования Г и превращая его в Го, мы
получаем

7.1(Асов<р) = У	при с08<р>0, 1

Xi (*cos ср) = VIn (1 -j-e*2«a8in?) при cos<p<0. J

Обозначая череа Уо значение V при <р = «г— ср0, т. е. для 2кд > 1

F(s0, q) = Va,

где

80« —У 2it5C08«pe = / 2ug-^->0	(8)
[ср. (6.09)], мы для поля излучения в заднем полупространстве (при
соз <р > 0) можем написать

81П_1	i(fcr+4M+v+v0

= А---------------------2---------е --------------

С	sin .у- (cos ? — соз ?d)	» кг

(9)

в то время как в переднем полупространстве (где соз ® < 0)

£^ = -^2 / 2п А

- Ф
а1ПТ
sin-|r

cos (та? sin ?)

COS f — COS f0

I *f+r)+Wi
e 4 >______

]/£r

(10)

Эти выражения —точные, если под V понимать функцию (4), и при-
ближенные, если взять функцию (5). Их интересно сравнить с темп,
которые получаются с помощью «принципа Гюйгенса» (ср. [1], § 6);
с учетом всех фазовых множителей последний для волн 1-го типа дает

Ч^+т)

1 т /2^ л СОЗ(*9 B*n F)
с '	' cos?—cos ?о

(Н)

Трансцендентная функция V (s, g) довольно сложна, поэтому точный
учет множителей еу и еу» затруднителен. Существенно, однако, что

V < 1 при s > 1

(12)

и если s и s0 велики по абсолютной величине, то можно считать ev = l
и еу° = 1. Мы получаем, таким образом, то предельное
выражение, к которому поле излучения стремится
при д—> с». Это предельное выражение, как видно из (9) и (10), имеет
различный аналитический вид в переднем и заднем полупространствах,
причем предельное выражение в переднем полупространстве отличает-
ся только множителем

• ф
sin -±-
Л

sin

(13)

от выражения, даваемого принципом Гюйгенса. На граничной пло-
скости z = 0 (т. е. при ? = и ? = гДе соз<р=0 и s=0 при
любых д) «предельное» поле излучения терпит скачок. На самом деле,
при 2itg > 1 оценки (12) имеют место всюду, за исключением углов ®,
лежащих в переходных интервалах

+	S?<? c-^ + Stp, (14)

где 3<р по порядку величины дается соотношением

3® = аге вщ --!= я»  1=.	(15)

/ 2*3	/2к5
Наличие V в правой части формул (7) обеспечивает непрерывность
поля вблизи граничной плоскости z = 0. При s = ±0
у=±11п(14-е»2«в) 1

и	}>	(16)

Xj (0) = -j-In (1 -|- I

так что истинное значение Xi при $ = 0 равно среднему арифметическому
предельных значений при s= +0 и s = -0, а значение поля излучения,
например, при ф=у равно среднему геометрическому предельных зна-
чений при <р = ~ + 0 и <р=у —0.

Нужно иметь в виду, что предельные формулы можно использовать
при больших значениях 2тгд как приближенные формулы для расчета
характеристик излучения лишь для углов ф вне интервалов (14) и лишь
тогда, когда углы фа также не попадают в эти интервалы. Если же послед-
нее условие не выполняется (волна высокого номера при частоте, лишь не
намного превышающей критическую), то предельная формула дает непра-
вильную абсолютную величину поля, но правильную угловую зависимость,
так как отличный от единицы множитель eVo не зависит от ф. Поэтому
даже вблизи критической частоты предельные формулы можно применять
для приближенного построения диаграммы направленности.

Вопрос о том, как велик должен быть параметр q для того, чтобы
можно было пользоваться предельными формулами, проще всего решить
непосредственным сравнением с точным решением. На рис. 1 произ-
ведено это сравнение для волны Яа1, характеристика которой, получен-
ная из предельных формул, имеет вид (\= j/" У*'~т) '

sin2 —

= Р 4	.	2 Г сов (яд gin у) 12

A w 8«Vt * g.n, Jo L cos ? — cos t0 J

_ p 1	#	*

0 vr/ 32it2g2Y J, " (cos 9 — cos ?0)2

1	cos (яд)

32я23»Г

при cos ф < 0

при COS Ф > 0

Сплошной линией на рис. 1 и приведенных далее характеристиках
S (о)	__

излучения изображена величина —по точным формулам, штрих-
пунктирной линией — величина -°J,— по предельным формулам, пунк-
тирной линией —величина —по «принципу Гюйгенса» ([1], $ 6).

Черные кружки — истинные значения при ф = -$- и ф = -у- [см. (17)].
Для волн 2-го типа (Яоа, Я„,...) вместо V будем иметь функцию

In (1 — е*гя«соз‘с'

совтЛ?

Bint—сов ?

(18)

или при 2irg > 1

со	(1

»>=2S j	-^-у^г+Д).	(19)

"°0	t-se 4

Рис. 1. Характеристика излучения волнн Я01 при д=1:
j S^) по фОрМуП0 (4Д2), 2 —по формуле (17), 3—
по формуле (6.02)

Подставляя в формулу для поля в волновой воне выражения

Хх (A cos <р) = U	при cos <р > 0 1

X, (А соз <р) = U + In (1 — е42”’8*"’),	при cos <р < О j

получаем в ваднем полупространстве, как и ранее в (9), поле
?

1	sinv

Ex = — V 2s A------------------------

C r	. <fa ,

sin (соз у — cos y0)

(21)

Y kr

а в переднем полупространстве

Ex

1

..

c

2j/2s Л

у
sin-j-

• fo
sin -g-

sin (ng sin y)
cos <f — COSf0

д*г_£)+и+и.

(22)

в то время как принцип Гюйгенса дает

^ = -2/2^ A sin("?-9.ln<’)

1 с r cosy—cos уд

е 1’

/Лг

рис. 2. Характеристика_излучения волны Нм при д = М:

—S< по формуле (4.13), 2—по формуле (24), 3—

по формуле £6.03)

На рис. 2 дано сравнение точной характеристики волны Я„ при

^ = 1,1 с «гюйгенсовой» и «предельной». Последняя дается формулами
(Т=|/У-1):

30(?) = -P2^?

sin»-|-

sins-|^

sin (д? sin y)~|a
cos ?—cosy0J

и

(24)

SD (^“^e^gSy

8in’T 1

sin»^. ' (cos у-COS To)’

при coacp > 0.
Рис. 1 и 2 показывают, что уже при умеренных значениях q{q > Г
между предельными и точными формулами имеет место довольно близкое
соответствие. В переднем полупространстве у- < <р < — предельные фор-
мулы передают точную характеристику излучения лучше, чем формулы
по принципу Гюйгенса, что обусловливается наличием множителя (13).
При увеличении q излучение волн низших номеров делается все более
направленным—сосредоточивается вблизи угла <р = «, и одновременно
угол <р0 приближается к я, поэтому множитель (13) становится несуще-
ственным, и точные формулы практически переходят в формулы, дава-
емые принципом Гюйгенса.

Эти результаты объясняют применимость принципа Гюйгенса в обшем
случае расчета излучающих систем с большими апертурами и острой
диаграммой направленности. Однако, как следует из изложенного выше,
принцип Гюйгенса может давать хорошие результаты только для излу-
чения вперед.

Действительно, предельные выражения для излучения в заднее полу-
пространство не имеют ничего общего с тем, что получается из принципа
Гюйгенса; последний, как видно из рис. 1 и 2, не отражает характера
заднего излучения совсем, в то время как при д>1 предельная формула
с этой задачей справляется. Недостатком предельных формул является
неприменимость их в переходные интервалах (14). Этот изъян отчасти
компенсируется знанием Ео при <р и <р = у и оценкой (15) шири-
ны интервала.

Предельные формулы имеют весьма простой физический смысл, к
выяснению которого мы сейчас и перейдем.

§ 2.	Физический смысл предельных формул

Любая распространяющаяся между двумя параллельными плоскостя-
ми у= ± а волновода волна, поле которой не зависит от координаты х,
является суперпозицией двух плоских волн. Если волна бежит в направле-
нии убывания z и имеет зависимость от z в виде e~ihz (Л>0), то направления
распространения этих «парциальных» плоских волн составляют с осью Z
углы <р0, связанные с h соотношением

Acos<o0=— h.	(25)

Одна из волн движется по направлению к верхней пластине, другая к
нижней.

Если пластины далеко отстоят друг от друга (точнее, если д>1),
то диффракция набегающей на открытый конец волновода волны может
быть, очевидно, приближенно представлена как наложение диффракциоп-
ных картин, получаемых в результате диффракции одной из плоских волн
(а именно той, у которой <р0 лежит во втором квадранте) на верхней полу-
плоскости у = а, z>0, а другой плоской волны (у которой <р0 лежит в
третьем квадранте)—на нижней полуплоскости у — — a, z > 0.

Диффракция на верхней полуплоскости плоской волны

Ех = Et е'^009 я1а wv),
электрическое поле которой параллельно краю экрана, как показал
Зоммерфельд, дает цилиндрическую волну (см., например, [2])
у sin L_L“ Sin LtL® j %*kr

2Ea cosTsiny gK^’+r)

У 2я ’ cos<p-cos?0 ‘ y^f

(26)

Аналогично от края нижней полуплоскости расходится вызываемая
второй плоской волной цилиндрическая диффракционная волна

2я0 .

е. а

cos -у sin ~

е '

(27)

соа f — сов f0

У кг

[г' и г" связаны с г соотношениями (2)]. Мы видим, что взаимным
возмущением этих диффракпионных картин при q > 1 в первом при-
ближении, вообще говоря, можно пренебречь, так как, например, ампли-
туда возмущающего поля нижней пластины вблизи края верхней
пластины по порядку величины в 2тгдсо8<о0 раз меньше поля Еа
набегающей волны. Поэтому при условии

— ]/ 2irg сов <р0 > 1	(28)

щиффракционное поле плоского волновода с открытым концом, кото-
рое, конечно, должно иметь характер расходящейся цилиндрической
волны, получается для волн 1-го типа простым сложением (26) и (27),



4Д0
/2*

Фо • Ф

C0STSln 2

cos (n<j sin 9)
cos f — cos f9

(29)

Так как Eo связано с амплитудой тока А в верхней пластине
шением

0 с sinf0

соотно-

(30)

то формула (29) переходит в предельную формулу, получаемую из
(10) при V = Vt = 0. Для волн 2-го типа, электрическое поле которых
меняет знак при замене у на —у, вместо (29) надо написать

фг-f-)

ЕХ = Е’Я~Е^^ сов % sin 4Bin• е............7=...,	(31)

“	2	2 cosy — cosTo	' '

что опять в силу (30) приводит нас к формуле (22), в которой положено
u = u9=q.

При диффракции плоской волны на полуплоскости, как известно,
наряду с цилиндрической волной, получаются и плоские волны. Послед-
ние, как легко видеть из условия (25), во внешнем пространстве гасят
друг друга. Одновременно суммарное поле излучения, в отличие от отдель-
ных слагаемых Е'я и Е', остается конечным при любых <р.

Таким образом, излучение из открытого конца плоского волновода,
получающееся в пределе, когда q—> со, есть не что иное,как суперпозиция
волн (взятых с надлежащими фазами), расходящихся от краев пластин
и получающихся при диффракции плоской волны на изолированной полу-
плоскости.

Однако, как показывают формулы (9) и (21), формулы (29) и (31)
годятся только в переднем полупространстве, а в заднем полупространстве
следует брать только одну волну, так что, например, при 0 < ф< -у
(для любой магнитной волны)

Ех=Ех,

В заднем полупространстве, следовательно, надо учитывать то обсто-
ятельство, что верхняя полуплоскость, например, экранирует квадрант
О < ф < y от проникновения в него волны Е*, и поэтому в нем существует

только волна Е'я. Предельные формулы для заднего полупространства
совпадают, как мы видим, с формулами теории диффракции на одной полу-
плоскости. Рис. 3 иллюстрирует описанный синтез поля излучения пло-

ского волновода при q 1.

Направление <р = есть геомет-
рическая граница тени для волны Е'.
Трансцендентные функции V (5) и U
(19) дают непрерывный переход от осве-
щенной к теневой области для волн,
возникающих в результате диффракции
на каждом крае. Тот факт, что функ-
циями V и U можно пренебречь всюду,
за исключением переходных интервалов
(14), объясняется тем, что амплиту-
да волны Е’в вблизи края верхней плас-
тины в силу условия (28) мала по срав-
нению с Еа', поэтому собственно диф-
фракцией волны Е*, в частности вторич-
ной цилиндрической волной, порожда-
всюду, за исключением направлений,

к направлению <р = у.

Рис. 3

емой волной можно пренебречь
непосредственно примыкающих

§ 3.	Излучение электрических волн

Точное выражение для характеристики излучения волны £ов при
n<5<n-|-l имеет вид

п

SM = P— “ne(1+c0> ein (*Ч ain TT ? + Тм . gc08?+Tm ,g2,
к	sin? 11g — у,, geos?—Yn *	' '

гДе Ym=

Для электрических волн, магнитное поле которых имеет только соста-
вляющую Нт, напряженность магнитного поля в волновой эоне дается
формулой (5.10):

Нх = —12 / 2к AhLx (й) £х (й cos <р)
С

где

г . .	_ г-.----Й1»**”
а функции Xj (w) —те же, что и для магнитных волн. Подставляя вы-

ражения (7) для у,, получаем предельные
ния волн 3-го типа (2?0l, E*w ...):

формулы для ПОЛЯ

излуче-

в

ваднем полупространстве



Фо ф
sjn^cos^.

сов ? —cos ф0

/йг

(33)

е

и

в переднем полупространстве

Фе
sm-X-

Я_ = —2/2кА----

X C '	Ф

ainT

sin ф сов (it? sin у)
cos ч — COS ф0

e *

/Jr

(34)

то время как по принципу

Гюйгенса

Н =±2 l/2itAs--?.............!.)

1 С r	СОЗф — COSfo

е____*

Укг

(35)

Аналогично для волн 4-го типа (-Eee, EQi, .
(20) получаем:

с помощью соотношений

Ях=±2/2кА

• ?о 9

S1D COS -Ь

^(kr+^+U+Uo

сое COS f0

У кг

(36)

в

и при соа <р < О

ein ?»
яя=А2/^а-А
x с у . ®

8111T

sin у sin (к? sin у)
COS ф— cos <p0

i ( fcr— "T“

e *'___________

/Jr

(37)

Принцип Гюйгенса для волн 4-го типа дает

sin ф sin (к? sin ф) в 1
cos f—соз фо	/Jr

(38)

Итак, предельные формулы для электрических волн отличаются
в переднем полупространстве от формул по принципу Гюйгенса только
множителем

sin -5-

Ф ’
в1“±

(39)

который, подобно множителю (13), при расчете острых диаграмм на-
правленности не играет большой роли.

Из приведенных выше формул легко получаем предельные ха-
рактеристики излучения. Для волны 2?01
sin* —

n *	2 Г sin f cos (*? sin y) *12	__ _

o(T) = p _____	.....J при cos? < 0

sin -g-

0

Sz \ _. p 1 —COS To _	1 4-cosy

o'®'	8«*y (cos?—cosfo)8

при cos ? > 0.

(40)

Для волны Eoa ?0 = ir, поэтому

So (»)=₽ TSf

при COS <p < 0

(41)

30(?)=^р

1

16«*J COS* -|-

при cos ? > 0.

и

Для волны Ett>

и

So <*) = ₽

1
2«*?

sin»-^-
sin*-|-

[sin у sin (wg sin y) ~| 2

COS? —COS ?o	J

при cos ? < 0

(42)

1
2n*?

cosi

cos?—cosy#

при cos ? > 0.

Рис. 4. Характеристика излучения волны Е01 при д«=1:
по формуле (5.11), 2—--pi по формуле (40), 3 - S|Jf-
по формуле (6.05)

S,w-J>

sin*-^
£

2

На рис. 4 и 5 даны характеристики излучения волн Еа1 и E9U
«а рис. 6—характеристики волны Е9а при двух значениях q, причем
отдельные части кривых рис. 6 для лучшего сравнения даны в ббдь*
ших масштабах. Сравнивая рис. 5 с рис. 6 предыдущей работы [1]
мы видим, что при д=1,1 предельные формулы уже хорошо передают

характеристику излучения —лучше, чем принцип Гюйгенса: в част-
ности в переднем полупространстве множитель (39) для такой нена-
правленной характеристики существенен. Рис. 7 показывает, в какой

Рис. 5. - Характеристика излучения полны Е02 при д = 1,Г.

У (и )	у (т 1

1----р— по формуле (5.14), 2--по формуле (42)

мере предельная характеристика (41) передает излучение назад, т. е
в направлении <с = 0.

Предельные формулы для электрических волн имеют тот же фи-
зический смысл, что и для магнитных: для волн 3-го типа в переднем
полупространстве Нх = Н'х + Нх, а для волн 4-го типа НХ = Н'Х — НХ,
где Я'—цилиндрическая волна, возникающая при падении (под углом
®0) на верхнюю полуплоскость плоской электромагнитной волны, маг-
нитное поле которой параллельно краю полуплоскости, а Я'—подобная
же волна, расходящаяся от края нижней полуплоскости. В заднем полу-
пространстве имеем только одну волну Н‘х (в первом квадранте) или
± Я' (в четвертом квадранте).

В заключение отметим следующее свойство характеристик излучения
волн всех типов. Мощность излучения в направлениях % (25) дается
формулой

= <43>

[ср. формулу (6.10)]. Эти значения^, при которых приближенные характе-
ристики совпадают с точной, отмечены на рисунках светлыми кружками.
Если же наряду с волной, имеющей волновое число h, в волноводе при той
же частоте может распространяться другая волна того же типа
с волновым числом Л', то в направлениях <ь', связанных с Л'соотношением

fccosf'= — h',

имеем

Sfe-)=S.c/) = 2xfe-)-o-

(44)

В качестве иллюстрации может служить рис. 6. Таким образом, побочные
лепестки в характеристике излучения волновода всегда связаны с распро-
странением внутри волновода волн других номеров. Положение побочных
1 i i г

О 30 60 30 <20 <50 <30 ZiO 2i0 Z70 300 330 360

Рис. 6. Характеристики ивлучения волны Е^. я —при 5=0,9, Ь—при
5=1,9: 1 — ^jQ по формуле (5.12), 2-^°-^ по формуле (41),
3 — -1 р~^' п0 формуле (6.04), 4—^^ по формуле (5.13)
Рис. 7. Излучение волны Еаа назад:

1—1112} по формуле (32), 2—по формуле (41)

лепестков (в переднем полупространстве) приближенными формулами
определяется правильно.

§ 4.	Выводы

Мы проследили эволюцию поля излучения плоского волновода при
увеличении расстояния между пластинами. Полученные результаты, в
частности, дают возможность понять, почему принцип Гюйгенса даже
при частоте, близкой к критической частоте соответствующей волны в
волноводе, может еще правильно передавать ту часть диаграммы направ-
ленности, которая соответствует излучению в переднее полупростран-
ство.

Проведенное исследование предельных формул для поля излучения
может представить двоякий интерес. В тех случаях, когда поле излу-
чения может быть найдено в виде сложных квадратур (например для
круглого волновода), предельные формулы имеют простой вид и переда-
ют точную характеристику излучения из достаточно широких отверстий
лучше и полнее, чем «принцип Гюйгенса». Вся сложность выражения
сосредоточивается (ср. § 1) в функциях U и V, имеющих значение лишь
в узких переходных интервалах направлений.

В тех же случаях, когда точного решения получить нельзя, диффрак-
ционную картину от отверстия достаточно больших размеров можно при-
ближенно (в духе § 2) представить как результат наложения диффрак-
ционных волн, создаваемых каждым элементом края диффрагирующей
стенки независимо от других элементов. Однако—и этот вывод явля-
ется существенным—при подсчете излучения в заднее полупространство
необходимо учитывать экранирование одними участками стенки диффрак-
ционных волн, создаваемых другими ее участками. Для точного же со-
пряжения полей в переднем и заднем полупространствах необходимо
учитывать «вторичную» диффракцию волн, расходящихся от различных
элементов края.

Пользуюсь случаем выразить признательность В. А. Фоку за
ценное обсуждение вопроса.

Цитированная литература

1.	Вайнштейн Л. А., Изв. АН СССР, Серия физпч., 12, 2, 144 (1948).

2.	Борн М., Оптика.—ДНТВУ, Киев —Харьков, 1937, § 57.
ВОЗБУЖДЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ

Л. А. Вайнштейн

Дано решение задачи о вынужденны! электромагнитных колебаниях объемного
резонатора под действием заданных источников определенной частоты. Полученные
формулы пригодны для объемных резонаторов с конечной проводимостью стенок,
а также дли резонаторов, заполненных неоднородным веществом с любой зависи-
мостью параметров от частоты.

§ 1.	Постановка задачи

Рассмотрим объемный резонатор произвольной формы, в котором
происходят вынужденные электромагнитные колебания под действием
заданных источников, изменяющихся во времени с определенной кру-
говой частотой ы. При этом мы будем считать, что объемный резона-
тор заполнен произвольным неоднородным веществом, которое (равно
как и стенкн резонатора) характеризуется при данной частоте <> в каж-
дой точке х, у, z величинами комплексных проннцаемостей,

£ = е(х. У, z); |х = (/(Х| У. г).	(1)

В рассматриваемой задаче о резонансных объемах мы имеем элек-
тромагнитное поле, занимающее ограниченный участок пространства.
Чтобы отличить эту задачу от различных „внешних" задач (например
от задачи о внешних колебаниях металлического или диэлектрического
тела), мы будем считать, что существует такая замкнутая поверхность Еи,
внутри которой сосредоточено все поле и на которой выполняется
условие

E = H=Q .на Sa.	(2)

Заметим, что в реальных объемных резонаторах условие (2) выпол-
няется с высокой точностью, если поверхность проведена внутри сте-
нок резонатора на глубине, значительно превышающей толщину скин-
слоя (при частоте ш и при низшей частоте собственных колебаний
данного резонатора).

Если мы предполагаем, что стенки резонатора являются идеаль-
ными проводниками, то в качестве можно взять внутреннюю по-
верхность стенок, на которой граничное условие имеет внд

[пЕ] =0 на 50.	(2а)

Иногда имеет смысл рассматривать граничное условие вида

[п//] = 0 на 50	(2в)

или считать, что на части поверхности имеет место условие (2в)>
а на остальной части — условие (2а) или (2).
Определение поля установившихся гармонических колебаний в объем-
ных резонаторах сводится к решению уравнений Максвелла

rot Н= — ikzE -ч---- rot Е = iky.H------ j,„	(3)

с	с

с зависимостью от времени в виде н к — -^-. Плотность сторон-
->

него электрического тока jt может быть обусловлена вибраторами,
электронными потоками и т. д., а плотность стороннего магнитного
тока jm позволяет учесть возбуждение с помощью рамок, щелей, от-
верстий и т. д.

Из уравнений (3) как следствия получаются уравнения

div (s£') = 4ivp,; div (|лЛ/)=4тгр,|1,	(За)

где ре и р„ суть объемные плотности электрического и магнитного
зарядов, связанные с плотностями токов соотношениями

Р« = 77 div Л?	= т; divy,,,.	(Зв)

При решении сформулированной выше задачи о вынужденных коле-
баниях объемного резонатора мы будем исходить из того, что сво-
бодные (собственные) колебания данного объемного резонатора —
с тем же самым распределением (1) электромагнитных параметров е и
ц.— полностью исследованы. Это значит, что известна полная
-%* э*

система векторных функций Е, и На и собственных частот ы„ (s=l,2,...)
данного объемного резонатора с распределением (1), т. е. известны
все решения однородных уравнений Максвелла

г ot Н, ~ — i к^Е„; rot Е„ = 1к„ч.Н>	(4)

с временными множителями	= Эти векторные функции

удовлетворяют также уравнениям

div (eEg) = 0; div (и.//,) — 0,	(4а)

а

вытекающим из уравнений (4).

Собственные частоты резонансного объема являются, вообще
говоря, комплексными числами

«»,= < —1<< (з = ],2, ...),	(5)

причем выполняется условие

0,

(5а)

поскольку свободные колебания должны затухать. Для резонаторов
без потерь имеем <о’ = 0, и тогда мы считаем, з?то



(5в)

Для простейших объемных резонаторов с однородным заполнением
индекс s заменяет совокупность индексов (например Етлр и Нтпр). Под
Е„ и На мы понимаем комплексные амплитуды полей, не включающие
множителя Мгновенные значения полей Ea(t) и Hs(t) при а-м
собственном колебании даются формулами

Е, (0 = Re [Eae~iu’si 1; На (t) = Re	,	(6)

где Re означает вещественную часть комплексного вектора.

Ниже мы покажем, что искомые поля Е и Н могут быть получены
в виде рядов по векторным функциям Еа и Н„ причем коэффициенты
этих рядов определяются источниками — электрическими и магнитными
токами. Заметим, что функции Е, и Ня соответствуют, в общем случае,
вспомогательной системе, имеющей при всех собственных часто-
тах в каждой точке те же параметры (1), которые рассматриваемый
объемный резонатор имеет при частоте возбуждения ш. Например,
для ряда тел (в частности, для металлических стенок резонатора)
можно положить

где е0 (диэлектрическая постоянная) и с (проводимость) от частоты не
зависят. Для того чтобы получить

е(ч) = г(“),	(7 а)

необходимо считать, что

т(ы) = ^-а,	(7в)

т. е. взять для s-го собственного колебания вспомогательной системы
проводимость g (о,), отличную от проводимости g рассматриваемого
резонатора.

Использование векторных функций вспомогательной системы [удов-
летворяющих уравнениям (4)] оправдывается простотой получаемых
ниже формул, а также простотой вычисления самих векторных функ-
ций Еа и Н„, для определения которых нужно знать г и у. только при
частоте <о. Определять же собственные колебания резонатора с учетом
имеющейся в действительности дисперсии в общем случае гораздо
сложнее, причем возможность применения соответствующих векторных
функций для нахождения вынужденных колебаний остается невыяснен-
ной; отметим, что с помощью этих функций написать разложения
вида (15) (см. ниже) нельзя, так как условиям (4а) эти функции не
удовлетворяют.

Ортогональность собственньгх колебаний
объемного резонатора

Докажем ортогональность полей, удовлетворяющих однородным
уравнениям (4) и соответствующих различным собственным колебаниям.

►

Из уравнений (4) для полей Еа, Н, и Е„-, легко получаются тож-
дества

div [ВД,] = ik,'-E$,.
div [Д.Я,| = lk^E,Et,

(8)
Интегрируя эти тождества по объему, заключенному внутри по-
верхности iS0, и учитывая условия (2), (2а) или (2в), мы получаем
с оотношения

I* "ЗЕ* "Э*'	>•	—э*	(9)

j ££a£’s,tZP' » ыл, j [лН/4,а?И=0.

Если определитель

«о»

= а2_(.,2^0	(10)

отличен от нуля, то из формул (9) вытекают условия ортогональ-
ности

\eEsEe,dV=Q-, \[LHsH,.dV^0 (при	(И)

Условие (10) может нарушаться только при	равенство

«о, =—a>g/ невозможно в силу (5а) и (5в). Поэтому при отсутствии
вырождения условия (11) справедливы при s'=/=s, а при наличии выро-
ждения всегда можно „кратные" собственные колебания дополнительно
ортогонализировать в смысле (11).

При $' = $ соотношения (9) дают

|е^Ич-]>Д</И=0.	(12)

Мы назовем нормой s-го собственного колебания величину

N,=	(13)

Норма N„ имеет размерность энергии и в простейших случаях отли-
чается от энергии свободного колебания в момент t = Q только про-
стым численным множителем.

Доказанная выше ортогональность свободных колебаний позволяет
легко решить задачу о вынужденных колебаниях объемного резона-
тора.

§ 3. Определение поля, возбужденного источниками
в объемном резонаторе

Поля Е и Н, являющиеся решениями уравнений (3), естественно,
искать в виде

£=£*-|-Д	(14)

Здесь Е1 и Н‘ суть поперечные (или соленоидальные) части электри-
ческого и магнитного поля, удовлетворяющие условиям

div (гЕ1) = 0; div {pH*) — 0,

(14а)

а Б1 и Н суть продольные (или потенциальные) части электрического

и магнитного поля, которые мы записываем в виде

Е1 — — jfrad<l>,; Н1 = — yrad

(14в)
Функции Ф„ и Ф„ можно назвать электрическим и магнитным потен-
циалом.

Заметим, что поперечные и продольные части поля имеют здесь
другой смысл, чем в теории возбуждения волноводов.

Так как векторные функции Е, и Н„ удовлетворяют условиям (4а),
то поперечные части электрического и магнитного поля вынужденных
колебаний можно искать в виде рядов

£‘=2а£;	(15)

где А, и В,— постоянные коэффициенты, которые мы определим
в дальнейшем. Для электрического и магнитного поля нужно брать
различные коэффициенты разложения Аа и Ва; это вытекает, в част-
ности, из сравнения с колебаниями в квазистационарном контуре (см.
ниже § 4).

Почленно дифференцируя ряды (15) и пользуясь уравнениями (4),
получаем

rot Е=/у. 2	rot Н = — 2 к,ВяЕ,.	(16)

Подставляя эти тождества в исходные уравнения (3), получаем

к 2(кА,-k,Ba}Е,= ^ j,-ikiE',

->	->	(17)

Ч>-	— кВ,}На=--------.

Для выполнения соотношений (17) прежде всего необходимо, чтобы
их правые части были соленоидальны, т. е. имели равную нулю рас-
ходимость. Это требование приводит [с учетом формул (Зв) и (14в)]
к уравнениям для электрического и магнитного потенциалов

div (е grad Ф,) = ~4гр„; div (;л grad Ф„,) = —4-pm.	(18)

Уравнения (18) имеют статический характер и являются обобщением
уравнения Пуассона на случай неоднородной среды. Уравнения (18)
могут быть также получены непосредственно из уравнений (За) и
формул (14).

При соленоидальности правых частей соотношений (17) можно эти
правые части разложить в ряды (при условии, что системы векторных
функций гЕ„ и — полные)

— je — ikzE =- s > а,Е„
С Je	с	* 8

4~ ->	->	1 \ v'l	х1-7/

— -с J„, -ь ik'jJf = - {X.	Ь,н,.

Коэффициенты аа и Ь„ этих разложений моя£ио найти, пользуясь фор-
мулами (11) и (13), а также добавочными условиями ортогональности

Js£jF</l/=O; ]\/Дн'</И=0,	(20)

вытекающими из граничных условий (2), (2а) или (2в). Таким путем мы
приходим к выражениям

=	b, = ±\jmH,dV.	(21)
Подставляя разложения (19) в соотношения (17), мы видим, что
последние выполняются, если Д, и В, удовлетворяют системе линейных
уравнений

i (ь>Д — M,Bh = I

?КД-^)=б.„ I

откуда искомые коэффициенты А, и В„ получаются равными

л   .	— ЫцЬя

,	(23)

FJ   » lastly С’Ши

£> v =-I---2----- •

(»> — <«)“

Формулы (15), (21) и (23) дают поперечную часть электромагнитного
поля, возбуждаемого в объемном резонаторе. Чтобы найти продольную
часть электромагнитного поля, нужно решить уравнения (18), к кото-
рым применимы все методы электростатики и магнитостатики (например
метод отражений). Наряду с этим возможно разложение продольного
поля по векторным функциям „продольных собственных колебаний",

не имеющих непосредственного физического смысла и служащих только
для представления продольных полей в виде рядов.

Формулы (23) могут быть получены несколько иным способом.
А именно, воспользуемся тождествами, вытекающими из уравнений (3)
и (4)

div [ЕЯН] = 1кгЕЕя -ь 1к^.ННя----jeEt,

г -* -* 1	-> >	> ->	-> ->	(24)

div U’tfJ = ik^EE, ч- iky.HHa - №

[ср. формулы (8)]. Интегрируя по всему объему, занятому
лучаем

<•> j IEEAV+ « | V= ™ J j.EsdV,
eEE,dV+ « J v.HH,dV =	J

полем, no-

(25)

Отсюда, пользуясь формулами (11), (13), (14), (15) и (20), мы приходим
к выражениям

(26)

эквивалентным формулам (21) и (23). Заметим, что формулы (8) и (24)
и получающиеся из этих формул интегральные соотношения можно
рассматривать как обобщение леммы Лоренца на случай двух полей,,
колеблющихся с разными частотами.

§ 4. Сравнение с квазистационариыми контурами

Для иллюстрации полученных выше формул применим их к коле-
баниям квазистационариых цепей. Эти формулы, как легко показать,
для квазистационариых полей сохраняют свою силу, причем в этом
случае в качестве поверхности 50 можно взять бесконечно удаленную
сферу.
^LC
в кон-
I и е

(27)

Рассмотрим сначала простейший колебательный контур L, С без
•потерь, обладающий единственной собственной частотой w0 =
Электрическое поле в такой системе определяется зарядом е
денсаторе, магнитное поле — током / в катушке. Величины
связаны соотношением

Г__	г__	.

I = или / = — гые,

так что при свободных колебаниях с частотой ы0 и при вынужденных
колебаниях с частотой ы=/=ы0 отношения заряда к току различные.
Поэтому отношение амплитуд электрического и магнитного поля при
вынужденных колебаниях иное, чем при свободных. Этот пример пока-
зывает, что в общем случае электромагнитных колебательных систем
следует искать поля в виде рядов (15) с различными коэффициентами
А* и В,. При этом имеет место соотношение

А^ В, (при	(28)

вытекающее из формул (23).

Рассмотрим колебательный контур, состоящий вз последовательно
соединенных элементов L, С, R, не зависящих от частоты. С первого
взгляда кажется, что между полученными выше формулами и обычной
теорией цепей имеется противоречие, так как формулы (23) дают для
системы с одной степенью свободы „резонансный знаменатель"

= ы2 — со2,	(29)

в то время как по обычной теории этот резонансный знаменатель
равен

Л — ь>2 — м2 -» 2коа,	(30)

где

Легко, однако, показать, что для рассматриваемого контура формулы
(29) и (30) дают одно и то же. Дело в том, что входящая в формулу (29)
частота <ог есть частота свободных колебаний вспомогательной системы,
у которой £ и С те же самые, а сопротивление в соответствии с фор-
мулой (7в) равно

RM=^R.	(32)

6>|

Находя частоту из уравнения

А =0,	(33)

мы в силу формулы (32) получаем

*"i= \/wo — 2/<от.,

(34)

откуда следует эквивалентность выражений (29) и (30).

Нетрудно показать, что применительно к рассматриваемому случаю
выражения (23) переходят в обычные формулы вынужденных колеба-
ний контура, связывающие ток и заряд с электродвижущими силами.
При этом сторонние эдс можно учитывать либо как сторонние электри-
ческие токи (текущие в месте приложения эдс), либо как поверхност-
ные магнитные токи.
Заметим, что величина <оа (зависящая от ь>) отличается от частоты ш,
свободных колебаний данного контура L, С, R, которая равна

toj =	— а2—/а.	(35)

Для контуров с высокой добротностью, удовлетворяющих условию

х<^о>0,	(36)

можно резонансные знаменатели также взять в виде

А,= «.г — о>®	(36а)

или

А' = ы2 — Ц -»- 2М>оа,	(36в)

поскольку они приводят практически к тем же результатам, что и
точные выражения (29) и (30).

В случае объемных резонаторов с малыми потерями, когда

(37)

учет конечной проводимости стенок можно с достаточной точностью
проводить не только с помощью точных формул (23), но и с помощью
различных приближенных „резонансных знаменателей" вида (30), (36а)
или (36в). В этих знаменателях поправка на потери не должна заметно
сказываться вдали от резонанса, а вблизи резонанса (при <о та я» ы')
эта поправка должна практически совпадать с выражением 2ко'<о", кото-
рое получается нз точных формул (23).

Заключение

Задача о возбуждении объемных резонаторов заданными источни-
ками , рассматривалась в общем виде Кондоном []], Кисунько [213] и дру-
гими авторами. Имеющиеся в литературе точные решения этой задачи
охватывают только случай объемных резонаторов с идеально прово-
дящими стенками и с однородным заполнением (обычно принимается,
что внутри резонатора e=|t=l). Для такого случая эти точные реше-
ния совпадают с полученными выше формулами.

Однако учет потерь в стенках для вынужденных колебаний прове-
ден в литературе лишь приближенно — по аналогии с обычными кон-
турами р] нли же с помощью „диагонального приближения" [2] и,
следовательно, пригоден только при больших Q.

В противоположность этому в нашей работе учет потерь в стенках
проведен точно, причем рассмотрен общий случай объемного резона-
тора, заполненного неоднородным веществом, комплексные параметры
которого (е и у.) любым образом зависят от частоты.

Литература

[1] Е. U. Condon. J. Appl. Phys., 12, №2, 1941. —[2] Г. В. Кисунько.
Электродинамика полых систем. Л., 1949. — [3] Г. В. К и с у н ь к о. Основы теории
электромагнитных полых резонаторов. Л., 1947.

Поступило в Редакцию

18 августа 1952 г.
ДИФФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА РЕШЕТКЕ
ИЗ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОВОДЯЩИХ ПОЛОС

Я. А. Вайнштейн

Рассмотрено строгое решение задачи о диффракции плоской электромагнитной
волны на решетке, образованной параллельными проводящими лентами (полосами),
при условии, что волна падает на решетку нормально и что ширина лент равна
ширине щелей между ними. Приведены графики, характеризующие отражение и про-
пускание воли решеткой при различных значениях параметра q = у (d — ширина
ленты, X — длина волны), а также графики для амплитуд диффракциоиных спектров.

Пусть плоская электромагнитная волна падает нормально на решетку
мз параллельных металлических лент, которые мы будем считать иде-
ально проводящими и бесконечно тонкими. Эти ленты (ширины J) пери-
одически расположены в плоскости z = 0 (рис. 1) и разделены просве-

Рис. 1.

тами (щелями), также имеющими ширину d. Мы вычислим строго
днффракционное поле как для случая, когда падающая волна поляризо-
вана вдоль полос (Е-поляризация, электрическое поле имеет только
составляющую Ее), так и для случая, когда падающая волна поляризована
поперек щелей (//-поляризация, магнитное поле имеет только состав-
ляющую //е).

Данная система является для длинных волн (по сравнению с J)
фильтром, отражающим £-поляризацию и пропускающим //-поляризацию,
а для коротких волн — диффракционной решеткой, передающей диф-
фракционным спектрам около половины мощности падающей волны
и почти не реагирующей на поляризацию падающей волны (см. ниже).
В более общих' предположениях, например для плоской волны, падаю-
щей под произвольным углом, или при ширине щелей, отличной от
ширины лент, данную задачу решить пока не удается. Исключение
составляет лишь случай, когда система та же, что на рис. 1, а направ-
ление распространения падающей плоской волны составляет с осью х

п	It	—

угол ф, с осью у угол j» а с осью z угол 2—9- Тогда решение
получается нз формул (1) н (2) добавлением множителя	во всех

выражениях для полей и заменой волнового числа к на £sin<p.

Решение поставленной выше задачи находится таким же методом,
как и решение задачи о диафрагмах в прямоугольном волноводе.
Не входя в детали преобразований, приведем здесь лишь окончатель-
ные формулы. В случае ^-поляризации электрическое поле решетки,
изображенной на рис. 1,а, имеет единственную составляющую по оси х,
определяемую рядами

0D

= е'~ik* ч- У, Ameik(‘I со$ *>" + ч '!п (z > 0),

(1)
СО

Еа= 2‘5я»еа'^— ' с0* ?т + V «'п Фт) (z<0).	I

П S CD

Для /f-поляризации единственная составляющая магнитного поля
в системе, изображенной на рис. 1, б, равна

CD

0),

CD'

Hx — 2 A.®**- « co. + S «io 9m) (г < 0),

(2)

где

A —__1

л0— 2

D _ 1

А2,, = Bi„

2k

____i~ 1

2Ый’(£)’

i__1_

2Ы Q'(£) ’

“ 1

(3)

Д2н+1 = /?2н+1

2mud'V k-t-W2„ &i(k) Q1(w2») '	’

i •»/	i о \

I

и коэффициенты с отрицательными индексами определяются форму-
лами

А_п = В_ т=(—I)”* A„=(-If В„,	(4)

фигурирующая здесь функция ^(ш)— та же, что в предыдущей статье
(наст, вып., стр. 841) (только а заменено на </), а через wm обозначены
величины

= k cos ф„ ,

(5)

причем мы считаем	при 1шА:> 0.

Из формул (1) и (2) видно, что поля для волн взаимно перпендику-
лярных поляризаций, диффрагирующих на „дополнительных" плоских
вкранах, выражаются через одни и те же коэффициенты Дп и Вт.
Этот результат является частным случаем принципа двойственности
в формулировке Фельда (см. [х] или [2]).

Величина /40 является коэффициентом отражения для волн 2Г-поляри-
зации, величина Во—коэффициентом прохождения (коэффициентом
прозрачности решетки). Для волн, имеющих //-поляризацию, коэффи-
циент отражения есть Во, а коэффициент прохождения есть Аа. Из
элементарных физических соображений легко получить следующие пре-
дельные соотношения

11m /40 = — 1,
lim Ао = —

lim Во — О,
(М-0

lim Во =

(6)

где параметр q равен отношению

Л 2-х
ВОЛНЫ Л =.

ширины лент (и щелей) d к длине

На рис. 2 приведены кривые, дающие зависимость |/40| и |2?0| от па-
раметра д=у. Эти кривые показывают, как изменяются |/40| и |В0|
между предельными значениями (6). Мы видим, что |Д0| и |В0|
,  1
приближаются при q->-co к значению совершая прн этом затухаю-
щие зигзагообразные колебания, причем |Д0| приближается к снизу,
а |2?0| сверху.

Следует отметить, что коэффициенты Ао и Вп приближенно вычис-
лены Ламбом [3]. Метод Ламба основан на сравнении статического
решения с решением волнового уравнения и пригоден лишь при д<^1.
Хотя в Р] этот метод применен к звуковым волнам, перенесение его
на влектромагнитные волны не представляет никаких затруднений.
В наших обозначениях формулы Ламба имеют вид

где

_____ —1
О 1 — ik! ’

1

7гВ
cos------

2(«+М

(7)

(8)

о  - ikl

7Г
причем 2а — ширина щели, 2{4— ширина ленты, =	— полупериод

решетки. В частном случае а = (3 имеем

/=^1п2, W=2gln2.	(9)

Если учесть, что при 0<^д

(Ю)

3

2

где фаза 3 определяется формулой
(38) предыдущей статьи, то Ао и Во
могут быть представлены в виде

^0=i 7^’

1 — I tff —

2

С помощью разложения

arc sin g = g -ь 2 а2*н

« = 1

(о3 = |-, «5 = 4^ и т- л.) фазу 3
можно преобразовать к виду

СО

= arc sin 2g — аге sin g — g -ь 2g In 2 ~*~2 a2,+1 б2’+1
» = i

(12)

где

a2e+1 =2 (2И-1)5^- (2М+1—1)

(13)

1 1

2е	3"

(14)

Из формулы (12) вытекает, что при д<|1

tg-у = 2д In 2-ь О (д3),

(15)

и

н

1

2



так что точные формулы (И) переходят в формулы (7) при пренебреже-
нии членами порядка д3.

Для сравнения формул Ламба (7) с точным расчетом мы воспроиз-
вели на рис. 3 сплошными линиями величины | До | и | Во | в интервале
0 "С д "J (в увеличенном виде по сравнению с рис. 2) и там же про-
вели пунктиром кривые, вычисленные по приближенным формулам (7)
и (9). Из рис. 3 мы видим, что пунктирные кривые начинают отходить
от точных при g«s0.2 и дают уже при д>0.4 грубые ошибки. Таким
образом, метод Ламба оказывается пригодным при д<0.2.
При больших q (фактически при q^> 1) мы вычисляем коэффициенты
А„ и Вт с помощью функции U(s, q) по формулам (ср. [*], § 10 и при-
ложение Б)

Ад

В,

0—2

X._____i 2Щ.-П)

2 4яу е

1 i 2(U0-Va)
i^q е	’

(16)

где

Ain--В2п

./ Ъ gt/o-Vo+LZ,»- И»,
f <7 f2n

----'____'t/ еи" V“~y2n+l",'V2tn-l
п+1 У 7— Т2п+1

Um=U(sa, q),

Vm=u(sa, q--^)

(17)

^2»+1 —' ^2и+1----



Коэффициенты Ат и Ва определяют при (т^О) комплексные ампли-
туды диффракционных спектров. На рис. 4 и 5 изображены величины
|Ат | = | Вт | 'для всех диффракционных волн, имеющих" вещественные
направления распространения (— Т < f < у) ПРИ ® <С 4. Мы видим,
что коэффициенты с четными и нечетными индексами т ведут себя
по-разному, что вытекает из предельных соотношений

lim/12г1 =0 (n = 1, 2,...),
q*->CD

lim /42)4-1 ~ гс (Од । 1)~ (пг=0, 1> 2...).

(18)

Эти соотношения легко получить из свойств функции U(s, q),
а также из элементарных соображений (принцип Гюйгенса в формули-
ровке Кирхгофа). Приближение коэффициентов к предельным значе-
ниям (18) происходит довольно своеобразно.

Из рис. 2—5 видно, что при значениях </>0.7 около половины всей
падающей мощности распределяется (приблизительно поровну) между
отраженной и прошедшей волной, а другая половина сообщается диф-
фракционным спектрам. При атом четырем „главным" диффракционным
спектрам с индексами т = ±1 (двум „отраженным" при z>0 и двум

„прошедшим" при z < 0) передается около 40% всей мощности. Суще-
ственное различие между волнами различных поляризаций проявляется
лишь при значениях д<С0.6.

Литература

[1] Я. Н. Фель д. ДАН СССР, 60, 1165, 1948.—[2] Я. Н. Фельд. Основы
теории щелевых антенн. М., 1948. — [3] Г. Ламб. Гидродинамика. §§ 306—307.
М.—Л., 1947. — [4] Л. А. Вайнштейн. Диффракции электромагнитных н звуковых
волн ва открытом конце волновода. М., 1953.

Поступило в Редакцию
8 сентября 1954 г.
МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ И ЕГО
ПРИМЕНЕНИЕ К ГРАНИЧНЫМ ЗАДАЧАМ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
И АКУСТИКИ

Л. А. Вайнштейн

В статье изложен приближенный метод решения двухмерных граничных задач
электродинамики и акустики, основанный на приближенном разделении переменных
в волновом уравнении, записанном в конформных криволинейных координатах. Этот
метод аналогичен приближенному методу Хартри—Фока в квантовой механике.

Метод применен к плоскому или прямоугольному волноводу, переходящему
в секториальяый рупор, н к поверхностным волнам, распространяющимся вдоль
хорошо проводящей волнистой („гофрированной") поверхности, имеющей форму
циклоиды или трохоиды.

§ 1. Вывод основных уравнений на вариационного принципа

Как известно, плоские задачи электродинамики и акустики сводятся
к интегрированию двухмерного волнового уравнения

d2W
дх2

d2W
ду2

4-k2iv=o,

(1)

+

где к означает волновое число (зависимость от времени предполагается
в виде е~£ = — считается положительным вещественным числом).
С

Функция И^, не зависящая от координаты z, в электродинамике выби-
рается пропорциональной составляющей электрической или магнитной
напряженности по оси z, в зависимости от поляризации рассматривае-
мого электромагнитного поля. Эти две поляризации различаются тем,
что при наличии идеально проводящей границы функция IV, пропорцио-
нальная Е„ удовлетворяет на этой границе условию

vr=o,

(2)

а для функции й^, пропорциональной Н„ граничное условие имеет вид

dW
дп.

(3)

где означает производную по нормали. В акустических задачах й^
является потенциалом скоростей или давлением, причем условие (3)
ставится на твердой стенке, а условие (2) на „свободной границе".

Волновое уравнение (1) решается методом разделения переменных
в декартовых координатах лишь для прямоугольной области; в число
прямоугольных областей мы включаем также полосу, полуполосу и
полуплоскость, рассматривая их как предельные случаи прямоугольника.
Если двухмерная область имеет более сложный вид, то ее в ряде
случаев легко отобразить конформно на прямоугольник. Пусть такое
конформное отображение осуществляется с помощью аналитической
функции /(ш) по формуле

х ь iy = Af(u ч- iv),

(4)

где положительный вещественный коэффициент пропорциональности А,
имеющий размерность длины, введен для того, чтобы функция / была
безразмерной (декартовы координаты х и у имеют размерность длины).
Тогда в плоскости переменных и, о (предполагаемых безразмерными),
т. е. в плоскости комплексного переменного w = u-+-xv, граничные
условия ставятся на сторонах прямоугольника.

Однако упрощение формы области достигается ценой усложнения
волнового уравнения. А именно, в переменных и, v волновое уравне-
ние (1) принимает вид

£[Л=0,

(5)

где оператор L определяется формулой

+	+	(6)

причем

g(u, v) =

df (о) I2 I df (u iv) I2
dw I	| d (u -l- it») I

(7)

и

XL=£A

(8)

есть безразмерное волновое число.

В волновом уравнении (5) переменные разделяются лишь в том
случае, если функция g(u, v) имеет вид

g(u,v) = g1(u)-+-gi(v),

(9)

т. е. состоит из суммы двух функций, каждая из которых зависит от
одной из переменных u, v. В этом случае его частные решения могут
быть записаны в виде

^(u, v) = U(u) V(v),	(10)

где первый множитель зависит только от и, а второй — только от v.
Для функций U и V получаются уравнения

+ С](/=0;	4£-Ч»'л(<1)-С]И=0,	(11)

где С есть постоянная разделения.

Однако лишь очень немногие конформные преобразования удовле-
творяют условию (9). Как известно, двухмерное волновое уравнение
решается методом разделения переменных только в декартовой, поляр-
ной, параболической и эллиптической системах координат. Соответ-
ствующие этим криволинейным координатам граничные задачи неодно-
кратно рассматривались в математической, физической и технической
литературе.

Нас интересует гораздо более широкий класс ортогональных криво-
линейных координат u, v, получаемых с помощью конформных преобра-
зований (4), которые приводят к волновому уравнению с неразделяю-
щимися (точно) переменными. В этом наиболее общем случае мы ставим
вопрос о приближенном разделении переменных в волновом уравнении (5),
т. е. ищем наилучшее приближенное решение уравнения (5) в форме (10).
Для определения „наилучшего приближения11 естественно воспользо-
ваться тем, что волновое уравнение (5) может быть получено из вариа-
ционного принципа. Введем функционал 5 („действие") с помощью
выражения

W)dudv,	(12)

взятого по рассматриваемой нами в плоскости u, v двухмерной области
т с границей о, причем означает функцию, комплексно сопряженную
с функцией IV.

Если функция IV удовлетворяет волновому уравнению (5), то она
обращает функционал 5 в нуль. Покажем, что это значение функцио-
нала 5 является стационарным относительно любых вариаций 8 W
в области т, обращающихся на границе о вместе со своей нормальной
производной в нуль. Иначе говоря, если функция есть решение
уравнения (5), то, кроме равенства

5=0,	(13)

имеет место уравнение

85=0,	(14)

причем последнее выполняется для любых вариаций функции W
в области т, удовлетворяющих только граничным условиям

t>lV—O и ^ = 0 на з.	(15)

Действительно, образуя вариацию функционала 5, мы получаем

85 = yj{ZliriS^*-t-b[r*]8F)Jx-b

-ь у j (L [8IV] IV* -ь L [8 И7*] IV) dr,	(16)

где dr = dudv есть элемент площади области т. Применение формулы
Грина приводит к выражению

2 j \ on on	on On /

a

+ j(L[lV]8lV*4~L[IV*]tlV}dr,	(17)

в котором первое слагаемое есть интеграл по границе а, причем произ-
водная у- берется по внешней нормали. Это слагаемое обращается
в нуль в силу условий (15). Заметим, что если на границе а или на ее
части функция W удовлетворяет одному из „естественных" граничных
условий (2) или (3), то условия (15), накладываемые на вариацию 8 W,
частично ослабляются, а именно в этих точках границы:

tvz л	do IP'

если JF=O, то -yj- произвольно;

если -уу = 0, то Му произвольно.
При этих ослабленных условиях интеграл по границе а в формуле (17)
также исчезает. Интеграл по области т в формуле (17) обращается
в нуль благодаря тому, что функции IF и IF* удовлетворяют уравне-
нию (5).

Таким образом, всякое решение волнового уравнения соответствует
стационарному значению функционала S. Легко показать, что, наоборот,
из вариационного принципа (14) вытекает волновое уравнение (5).
Если же мы ищем приближенное решение уравнения (5) в виде (10),
то естественно потребовать, чтобы произведение (10) удовлетворяло
[вместо уравнения (5)] вариационному принципу (14). При этом оконча-
тельные уравнения (см. ниже) получаются такими, что удовлетворяется
также и равенство (13).

Образуем функционал S для функций вида (10) и с помощью фор-
мулы (17) напишем выражение для его вариации

|	||И|2Л>-ь

2 I \ du du	du du / J 1	1

Wj	e,

₽1 «1

-t- J W*du [ L [UV\ F* rfv-b f wdu j L[U*V*]dv -+-
«1	g,	w,	r,

’ i	«,	4	",

J W*dv f L\UV}U*du~+- J Wdv J' L[U*V*}Udu. (18)
«I	,f1	®1	»l

В формуле (18) предполагается, что область т в плоскости u, v
имеет форму прямоугольника и задается неравенствами

иг < п < п2,	< v < vz.	(19)

При этом некоторые из чисел а„ u2, »lf v2 могут быть взяты рав-
ными =fc 00.

Вариации 8£/ и о И произвольны всюду, за исключением границ
интервалов, где должно быть

n JW п

Ъи = 0 и ~2— = 0 при п = п, и и = п2,

dW	<20>

i>F=0 и	ПРИ v = vx и v — v2

и лишь при „естественных” граничных условиях на одном из концов
(£7=0 ИЛИ	Для функции U и V=0 ИЛИ 0 для функ-

ции V) условия (20) частично ослабляются. Условия на концах интер-
валов обращают в нуль две первые строки в формуле (18). Следующая
строка формулы (18) обращается в нуль при любых §£7, если функция U
удовлетворяет уравнению

да-* (-/+*W=o.

(21)
где

Р2

difl

Г | V I2 dv

J g(u,v) |Fl2dv
£,

У I v\*dv

(22)

Последняя строка формулы (18) исчезает при любых 61/, если только
функция V есть решение уравнения

«2Q (v)] у= о,	(23)

где

f (Z (j*du	J ^(u, о) 11/|2 du

!!__------------ и Q^ = ^---------------------------------------.	(24)

J I U\*du	f | £/|2c/a

T'i	Ml

Линейные дифференциальные уравнения (21) и (23) определяют
функции U и V. Эти уравнения связаны друг с другом, и их нужно
решать совместно. Они аналогичны системе уравнений (11). получаю»
щейся при точном разделении переменных.

Заметим, что уравнения (21) и (23) могут в ряде случаев оказаться
слишком сложными для совместного решения. В таких случаях метод
приближенного разделения переменных может быть модифицирован сле-
дующим образом. Мы выбираем одну из функций U или И заранее,
а затем ищем наилучшее приближенное решение волнового уравнения (5)
в виде произведения (10). В этом произведении, таким образом, одна
из функций U и V является „навязанной", и лишь другая варьируется
произвольно. Поэтому для 8.S мы получаем выражение (18), в котором
вариацию „навязанной" функции мы считаем равной нулю, а для другой
функции получаем уравнение (21) или (23), коэффициенты которого
определяются „навязанной" функцией. Этот способ расчета более прост,
но он ведет, естественно, к менее точным результатам. Пример такого
расчета будет дан в § 5.

Подчеркнем, что и этот „упрощенный" метод базируется на соотно-
шениях (13) и (14).

Следует иметь в виду, что граничные условия [даже естественные
граничные условия (2) или (3)] из вариационного принципа не вытекают.
Для того чтобы функция W в виде (10) удовлетворяла условиям на гра-
нице рассматриваемой области, нужно, чтобы эта область имела прямо-
угольную форму (19) и соответствующие условия были наложены на
функции и (при и = и1 и u = u2) и V (при 'У = 'У1 и v — v2).

Метод приближенного разделения переменных, изложенный выше,
аналогичен приближенному методу Хартри—Фока в квантовой механике.
При этом для вывода основных уравнений мы пользуемся, как н Фок,
вариационным принципом (ср. [*] и также [2], особенно § 16).

В следующем параграфе мы дадим иной вывод основных уравнений
метода приближенного разделения переменных.

§ 2. Вывод основных уравнений с иомощью усреднения

Наша задача состоит в приближенном интегрировании уравнения (5)
в прямоугольной области т плоскости в, v, определяемой неравен-
ствами (19). Умножая уравнение (5) на некоторые функции t/*(u) и V*(v)
(от одной переменной) и интегрируя, получаем соотношения

| L[JF] V*rfv = 0; J £[IF]f/*(/u=0.	(25)

«1

Систему уравнений (25) назовем результатом „усреднения11 уравне-
ния (5) с „весовыми фукциями“ U* и V*.

Если мы ищем приближенное решение уравнения (5) в виде выраже-
ния (10), то мы не можем в общем случае требовать точного выполне-
ния (5), но можем искать функции U и V такие, чтобы уравнение (5)
удовлетворялось „в среднем", т. е. выполнялись уравнения (25), где
„весовые функции" U* и V* комплексно сопряжены с функциями и и V,

Мы приходим таким образом в системе уравнений (21) и (23), выве-
денной выше в § 1. Существенно подчеркнуть, что при условии (9),
когда уравнение (5) допускает точное разделение переменных, система
уравнений (25) или эквивалентные ей уравнения (21) и (23) переходят
в систему уравнений (11), получающуюся при точном разделении перемен-
ных. Действительно, тогда

Г,	«I

1 И|2</»	J gy (и) | U\2du

Р (ч)----(п)	~	> Q (v)----- ^2 (^)

flKPc/w	J|£7|2rfu

и мы приходим к системе

₽ +	(-) - С] и= 0;	+ [«’ й (ч) + СТ 1/= 0,

(26)

где постоянные С и С' даются выражениями

J («) I И2 dv £ -ь *г^2 (») V*dv

С> . Cf	I,	-1

-	— -р*- —..-.-.      1	-	. .. ..... —.

ci	п

PrtWJ

(27)

C' = -<72-f

j’lUpAi
H,

ч- T-2gi («) U J U*du
%

J \U\-du

каждое иэ которых

в силу уравнений (26) дает

(28)

и мы действительно получаем систему (11).

В настоящей работе мы используем конформное преобразование,
осуществляемое функцией

/М = 1ч-Шч-<	(29)

для которой

£(u, гО^ч-ггсозг/ч-е2".	(30)

Если положить

л=й.	(31)
то формулы

х = (1 +- и н- е” cos v); у = (v -ь е“ sin v)

(32)

дают конформное отображение области, получаемой из плоскости и, v
удалением двух параллельных полупрямых =	х<0, на полосу

— к < v<Z «, —оо < и < оо в плоскости a, v (рис. 1). Это конформное
преобразование дает возможность приближенно решить задачу о плоском
волноводе с открытым концом, а также, как показал Рождествен-
ский [3],— плоскую задачу о переходе волновода в рупор. Действительно,
если изменять переменную v в более узких пределах — от —v0 до +«0»
то соответствующая область на плоскости х, у есть плоский волновод
ширины -у </, плавно переходящий в векториальный рупор с углом
раствора a = 2v0 (рис. 2).	„

На плоскости х, у линии а = а0, как пока-
зывают формулы (32), суть трохоиды, при-	h

чем значение по = О соответствует цик-	d

лоиде, значение и0>0— растянутой тро-	7

хоиде (рис. 3), а значение и0>0— тро- __________________________

хонде с самопересечениями. Таким образом,	,

формулы (32) приводят в соответствие тро- .......... -у

хоиде на плоскости х, у прямую а = аф
на плоскости a, v, причем, как легко пока-
зать, соответствие между точками, лежа-	рис

щими слева от этих линий, оказывается при
ио^О взаимно однозначным.

Поэтому конформное отображение (32) позволяет рассмотреть отра-
жение волн от волнистой поверхности, имеющей формулу циклоиды или
трохоиды (см. § 4). Параметр

Ы d
2г. — >.

(33)

равен для этой задачи отношению пространственного периода („длины
волны") волнистой поверхности d к длине волны X.

В § 5 мы рассмотрим также „поверхностную1* волну, могущую при
известных условиях распространяться вдоль волнистой поверхности со
скоростью, меньшей скорости света, причем поле этой волны „прили-
пает" к волнистой поверхности.

Рассмотренное выше конформное преобразование имеет то свойство,
что при и -» —со криволинейная координатная сетка п, v в плоскости х, у
асимптотически „распрямляется" и переходит в квадратную декартову
сетку. Этим свойством обладает ряд других конформных преобразова-
ний, интересных с точки зрения приложения метода приближенного раз-
деления переменных.

Мы будем считать, что в формуле (19) иижний предел их = — со, и
сделаем несколько общих выводов из того, что при и-»—со сетка
распрямляется и имеет место соотношение

g(u,v)->l,

и, следовательно, по формуле (21) при «-► — :о имеем

Р(и)-»1.
Тогда при больших отрицательных и уравнение (21) принимает вид

(34)

и мы должны различать два случая: случай „пространственных" волн
(или распространяющихся волноводных волн), для которых

*2—р2>0	(35)

и общее решение уравнения (34) имеет вид

U= Ae^^e-t-	,	(36)

и случай „поверхностных" волн (или затухающих волноводных волн),
для которых

х2_у<;0	(37)

и общее решение уравнения (34) записывается в форме

и= Ае'^=^ -ь Be->t^v.	(38)

В первом случае интегралы

J | U\2du = оо, J g (и, и) | U\2du = оо	(39)

«—СО	—по

расходятся, причем из формулы (24) получаем

QM=1.	(40)

Таким образом, в случае пространственных волн уравнение для
функции V упрощается, а формулы (22) и (24) приводят к соотношению
в силу которого условие (35) переписывается в виде

72>0,

а уравнение (23) — в виде

d*V
dv%

(42)

(43)

-+- р2 у==0.

В случае поверхностных волн, при условии (37), соотношения (39)
места не имеют, если в выражении (38) считать 5 = 0, т. е. сохранить
только член, убывающий при ы-*—оо. Поэтому в случае поверхностных
волн уравнение для функции V не имеет простого вида (43) и соотно-
шение (41) для этих волн, вообще говоря, не выполняется.

§ 3.	Переход плоского волловода в рупор

При решении задачи о переходе плоского волновода в рупор (см.
рис. 2) с помощью метода приближенного разделения переменных мы
пользуемся конформным преобразованием (29)—(32), причем в формулах
(19) полагаем

Ui = —оо, u2=eo,v1 = — v0, v2 = vt).	(44)

Значение v — — v0 соответствует нижней, значение v — vn — верхней
границе рассматриваемой области (рис. 2). На этих границах ставится
условие

И^=0 (при v = ±v0),	(45)

либо условие

-^- = 0 (при« = ±«0).	(46)

Точное решение задачи о плоском волноводе с открытым концом
(г)ц = к) изложено в работе [4]. Там же дана классификация волн в вол-
новоде — они разбиты на четыре типа: 1) нечетные магнитные волны
(Н()1, Н113,...), 2) четные магнитные волны (Н02,	3) нечетные

электрические волны (£01, Еоз,...), 4) четные электрические волны
(500, Ей2,...).

Магнитным волнам соответствует граничное условие (45), электри-
ческим волнам — граничное условие (46).

При использовании метода приближенного разделения переменных
естественно взять в качестве решения уравнения (43) функцию V(у),
соответствующую (асимптотически при	—со) волне, распространяю-

щейся в волноводе по направлению к открытому концу. Так как здесь
нельзя учесть трансформацию волны в другие волны того же типа (при
отражении от конца), то мы можем применять метод только к „главной11
волне каждого типа (т. е. к Нп, Ни2, E0l, Ew), причем только в том
интервале частот, в котором другие волны данного типа распространяться
не могут. Мы берем

1)

2)

3)

для	НО1	v=	cos pv,	p	2v0	(при |<		=4).
для	Ц)2	v—	sin pv,	p	72	(при 1 <		:2).
для	£01	v=	sinpv,	p	2»o	(при y<		=4).
для	Е-ОО	v=	1,	p	= 0	(при 0<	7»	
и получаем для функции U уравнение

^2 ух2еи _|_ х* 1 2е2“) U= О,

где

2 J"cosvV^dv

q = \j x2 — n2 > 0 и v =...——--------

r°
J FW®

(47)

(48)

Для различных волн параметры q и * 'имеют такой смысл

2) Н02 Ч— ]Ла — (“У ,

1 2 sin vo
^=--------;

1 1 /,
«о Р-Т!

2 sin Vq

3)£и

4) £оо 9 = *»

2 sin «о	в2

«о	V?	*

1	1t«

2 sin vq
«о

С-помощью замены переменных

A"=—2i*ent Y=^XU	(49)

уравнение (47) приводится к уравнению Уиттекера (ср. [“])

/ 1 _ 2\

I 1 , k 4 т 1 v__________n ,___hl _______ . (ел\

dXz	jf2 J * — 0;fc 2 у m l4‘ (SO)

Заметим, что при и -> со формулы (32) могут быть приближенно записаны
в виде

x = pcosv, y = psnw,	(51)

где

d ,
Р = Ие

(52)

есть радиус-вектор, a v-—полярный угол. Таким образом, при и->со
координаты a, v переходят в полярные координаты. Решение уравнения (50)
должно удовлетворять принципу излучения

lim Vp	— №U\ = О,

р->во ' “г	'

где к есть волновое число. Поэтому мы полагаем

F=CIF»,m(A),

(53)

(54)
где С—постоянная, а И^»,т(ЛЭ — функция Уиттекера, имеющая при
|^|-*оо асимптотическое выражение

Wt,m(X) = e~^Xk.	(55)

Второе решение уравнения (50), равное W-*,w(j¥), дает сходящуюся
волну к поэтому должно быть отброшено. Пользуясь-. формулой
(И, стр. 152)

irt,.W= ;[(~2m)	М.,.(Л)+— Г(2'”1	(56)

Г\2 m~k]	T\'24~rn~k)

где	есть функция, удовлетворяющая уравнению (50) й имеющая

при |X|-»0 приближенное выражение

Мк.п(Х) = ^ХХл.	<51)

Мы видим, что поле внутри волновода состоит из набегающей [пер-
вое слагаемое в формуле (56)] и отраженной (второе слагаемое) волн.
При U-*—со имеем

U	или U~eihx + Re-tk\	(58)

где h есть волновое число набегающей волны

/г=(—г/х)-2'^--------

'	'	/1 /vx \\

(59)

(60)

есть коэффициент отражения этой волны от сочленения волновод—ру-
пор. Пользуясь формулами

г(|-ф) = ^2‘-*”Гг^, ^>1=/==	(61)

мы получаем для абсолютной величины коэффициента отражения сле-
дующее простое выражение

Г chnfy —И

1*1=1/ -F—? '	(62)

г ch’tV24~’/

Фазу коэффициента отражения можно вычислить с помощью таблицы
гамма-функции от мнимого аргумента ("j с досчетом по формуле Стирлинга.

Отметим прежде всего, что для волн и в плоском волноводе
с открытым концом (при и0~к, ср. рис. 1) формула (62) совпадает
с точными формулами (4.04) и (5.04) работы [’] (при сравнении нужно
иметь в виду различие в обозначениях). Для фазы коэффициента отра-
жения этих волн формула (60) дает, однако, только приближенные значения.
Мы представляем R в виде

R = -	(63)

и вводим „поправку на открытый конец" а по формуле

а О
На рис. 4 мы даем сравнение величин 0 и , вычисленных по при-
ближенной формуле (60) и точной формуле (7.05) работы [4] для волны Ew.
На рис. 5 дано аналогичное сравнение для волны Н02. Из этих графи-
ков видно, что приближенное значение фазы, как правило, тем более
отличается от точного, чем больше параметр х и чем ближе он к своему
критическому значению для следующей волны того же типа (£02 или Нм).

Для волн Н01 и Еп точное выражение ([4], формулы (4.02) и (5.02))

1*1 = /



(65)

отличается от приближенной формулы (62) при о0 = ти v—+1, Сравне-
ние абсолютных величин коэффициентов отражения волн Н01 и Е01 по-

p. с 4	Рис. 5.

называет, что приближенные значения мало отличаются от точных
(рис. 6, кривые а = 360°). Для фаз получается более сильное расхожде-
ние (соответствующих графиков не приводим).

Таким образом, метод приближенного разделения переменных приме-
нительно к плоскому волноводу с открытым концом дает хорошие
результаты для коэффициента отражения, особенно для его абсолютной
величины. Фаза коэффициента отражения получается менее точно. Что же
касается характеристики излучения из открытого конца, то она этим
методом не передается совершенно, ибо в волновой эоне зависимость
поля от полярного угла v выражается той же функцией V, которая
характеризует поле в волноводе в зависимости от поперечной координаты.

При уменьшении угла v0 метод приближенного разделения перемен-
ных должен давать все более точные результаты. Это видно хотя бы
из того, что при vu 1 в выражении (6) можно cos v заменить на еди-
ницу, а тогда в уравнении (5) переменные разделяются. Эти соображе-
ния позволили Рождественскому^ решить задачу о переходе волновода
в рупор с малым углом раствора. Рождественский пользовался уравне-
нием, эквивалентным уравнению (50) при v = 2. Последнее значение *
получается и из формулы (48), если считать d0<<1.
На рис. 6 и 7 приведены коэффициенты отражения волн /701 н от
сочленения волновода и рупора с углом раствора a = 2t>0 = 20, 40, 60
(см. рис. 2), 90, 120, 180 и 270°, вычисленные по формуле (62). В каче-
стве абсциссы взята величина

Х„ = —— {.
и It

(66)

равная отношению ширины волновода к длине волны в свободном
пространстве. Параметр v вычислялся по формуле (48). Впрочем, при

v = 2 и а<С90° мы получаем практически те же значения |^|. На рис. 6
приведены также точная и приближенная кривые, построенные для
плоского волновода с открытым концом (а = 360°), соответствующие
кривые на рис. 7 совпадают. Мы видим, что при уменьшении угла а
коэффициент отражения |/?| резко падает до чрезвычайно малых зна-
чений. Заметим, что значение а = 180° дает нам волновод, заканчиваю-
щийся бесконечным плоским фланцем (прямой угол между стенкой вол-
новода и фланцем несколько сглажен), а значение а = 270° — промежу-
точный случай между волноводом с фланцем и волноводом с открытым
концом без фланца.

Если прямоугольный волновод со сторонами а и Ъ (а^>Ь) переходит
в секториальный рупор, расширяющийся в плоскости 7/ волны 7У1в, то
коэффициент отражения этой волны можно рассчитывать по рис. 6>
полагая

хо = Т-	(67)

Если рупор расширяется в плоскости Е, то коэффициент отраже-
ния волны можно найти из рис. 7, полагая

где Л — длица волны //10 в волноводе. Подчеркнем, что все эти резуль-
таты относятся к „сглаженным** переходам волновод—рупор; вероятно,
при более резком переходе отражение несколько увеличится.

§ 4. Отражение плоской волны от волнистой поверхности

Рассмотрим задачу о падении плоской волны на идеально проводя-
щую волнистую поверхность и = ио<.0,. имеющую форму циклоиды или
трохоиды (рис. 3). Для этого мы пользуемся .тем же конформным пре-
образованием (29)—(32), но берем

ut = —ОО, Ц2 = В0, «! = —ОО, V2=oo.	(69)
Если угол падения равен <р, то асимптотически при —оо падаю-
щая плоская волна имеет выражение

J|Z-g'7(WcoB y+cain?)^	(70)

Функция 17 должна удовлетворять уравнению (43). Чтобы получить
правильную зависимость поля от координаты v вдали от поверхности,
нужно в соответствии с формулой (70) взять

17=е'₽0,	(71)

где [ср. формулу (41)]

jj = xsin<p, g = xcos<p.	(72)

Для функции U мы имеем уравнение (47), в котором, однако,

г*

2 J cos vdv

v = lim —---------= 0.

vJ-ХЮ J dv

О|

Если ввести обозначения

5 = xe", li0 — хе““,	(73)

то для функции U получается дифференциальное уравнение

d*U 1 dU ,	<72\ rr n

= O	(74)

и граничное условие

U=0 при £=с0	(75)

или

^ = 0 прне = %.	(76)

Общее решение уравнения (74) может быть записано в виде

£/=ЛЛ(?)-ьВ/_Де),	(77)

где А и В — постоянные, а _/,?(£) и /_<,(£) суть функции Бесселя от
вещественного аргумента 5 и мнимого индекса ^=iq. При и->—о?
(т. е. при $-*0) формула (77) принимает вид

U ~	+- Ке-Ы*-”',) ,	(78)

где первый член дает падающую волну, а второй — отраженную. Коэф-
фициент отражения R в случае граничного условия (75) равен

R- —

(iy)l
(—'<7)1

/ 6р \ 2,? Jij (6n)
\2)	/_ig(^0) ’

а в случае граничного условия (76)

(<7)! Mo\-2i«

В обоих случаях коэффициент отражения по абсолютной величине
не равен единице

|/?М1.	(81)
Отсюда видно, что выведенные формулы не охватывают тех слу-
чаев, когда наряду с правильно отраженной волной возникают еще
диффрагмированные волны. Это значит, что для произвольных углов
падения формулы применимы при

0<х<|,	(82)

а для нормального падения — при

(83)

§ 5. Применение метода приближеиногв разделения неременных
к теории поверхностных волн

Поверхностные волны можно формально рассматривать как простран-
ственные волны, имеющие комплексный угол падения и нулевой коэф-
фициент отражения (см.[7]). Действительно, при

<р = у -+- <Х	(84)

формулы (72) принимают вид

р = * ch 1, q = — i|A,	(85)

где параметр

р = * sh х	(86)

предполагается положительным.

Функция U может быть взята в виде

U=AJ>®,	(87)

т. е. в формуле (77) можно положить В = 0, если имеет место соотно-
шение

4(U=0	(88)

для граничного условия (75) и соотношение

Л0о)=О	(89)

для граничного условия (76). Формула (87) дает поверхностную волну»
убывающую при и->—оо как е14".

Определяя из этих соотношений для данного ?0 величину р, мы
с помощью формулы

р2 = у.2 -4- р2	(90)

находим коэффициент р в выражении (71). При этом фазовая скорость
поверхностных волн по формуле (90) получается всегда меньше с.

В нашей задаче параметр 10 = хем« оказывается в силу условия и0 О
меньшим или равным х. Известно, что поверхностные волны могут
распространяться вдоль периодической структуры лишь при условии (82).
Отсюда следует, что при граничном условии (2) поверхностных волн
в данной системе нет, так как уравнение (88) имеет для ^>0 решение
только при 50 > 2.405 (см. [8], черт. 84 на стр. 251), и лишь уравнение (89)
допускает решение в интервале

0<с10<|.

(91)
На рис. 8 дана зависимость р- от £0, определяемая уравнением (89).

Чтобы получить более точную теорию поверхностных волн, нужно
воспользоваться общими уравнениями метода приближенного разделения
переменных (§§ 1, 2). Функция V должна удовлетворять дифференциаль-
ному уравнению

^-b(a-b2&cosw)V=0,	(92)

где а и & суть постоянные

j[^x2(i*e2B)y_Wu
а=—-------5-----------

J \Wzdu

—®

J'e“|€/|2 du

& —-------------

«»
J Щрл

Уравнение (92) сводится к уравнению Матье. Оно допускает реше-
ния вида

V(v) = e’W0(V),	(95)

где Уо есть периодическая функция с периодом 2ir, т. е.

!/0 (и -F- 2л) = Vo (и),	(96)

а т| есть коэффициент, в случае своей вещественности связанный с фа-
зовой скоростью и соотношением

и _________х

с	•/]

(97)

Величина т] может быть мнимой, что указывает на отсутствие по-
верхностных волн. Мнимые значения т] получаются тогда, когда пара-
метры а и & попадают в „область неустойчивости", заштрихованную
на рис. 9.

Для того чтобы связать параметры а и & с физическими параметрами
нашей задачи, необходимо выбрать функцию U. Для нее получается
уравнение

(—^2 vx2e« -+- xV‘) U= 0	(98)

где

к

2 Jcosv|7|2rfv 2 Jcosvj

р. = \/рг — х2 и v = lim----7------------------------------------ (99)

[|И2</г

Уравнение (98) лишь обозначениями отличается от уравнений (50).
Однако, ввиду более сложного вида уравнения для V, совместное
решение уравнений (92) и (98) ведет к слишком громоздким выкладкам,
так как постоянные ри* сложным образом связаны с а и &. Поэтому
мы пользуемся упрощенным методом (см. конец § 1), беря в качестве
функции U выражение (87), соответствующее пространственным волнам,
причем ц и 'о считаем связанными соотношением (89) (см. рис. 8). Функ-
ция (87) правильно передает характер точного решения уравнения (98)
(она является решением этого уравнения при v = 0), поэтому она должна
давать хорошее приближение для а и &. Окончательно получаем

a = z2-b|i2 и U =	-------,	000)

b s

причем интеграл проще всего вычислять в силу условия (91), разлагая
подинтегральные функции в степенные ряды.

Рис. 8.

По полученным значениям а и & мы вычисляли коэффициент т]. Так
как при этом параметр & оказывается малым (&	0.05), то можно при-

менять формулу

п=1/ "—г-т?----------------/ 5*1 ------8‘	(101>

F 2(а -т) “а2 32(а-т) (в“1)

(см.[«], (74)). Для таких значений л и & (рис. 9), которые близки к гра-
нице „области неустойчивости" (заштрихованной), следует пользоваться
для величины q выражениями с вспомогательным параметром а (см. [в],
(19.7)) или ([°] (4. 30)). Ввиду малости & эти выражения приводят к про-
стой формуле

т] = 1-)/(а-4)2-&2,	(102)

причем значение Ч —у соответствует границе областей.

В качестве основных безразмерных величин, характеризующих вол-
нистую поверхность, мы будем брать параметр х (33), равный отношению
периода к длине волны, и параметр

т = е"«,

(ЮЗ)
который можно представить в виде

I

(Ю4)

где I есть глубина волнистой поверхности и = п0, a d—ее период.

Параметр

(105)

пропорциональный отношению глубины волнистой поверхности к длине
волны, выражается через два основных параметра.

На рис. 10 дана зависимость величины т( от параметра * при постоян-
ных значениях х. С помощью этого рисунка можно определить т] при

0.45 О <0.5 и 0.4 <*<1. При меньших значениях параметров хи*
коэффициент 1 можно вычислить по формуле

Т]2 = х2 +- р.2,

(106)

где р. определяется из рис. 8.

Рис. 10 и формула (106) показывают, что фазовая скорость поверх-
ностных волн меньше с. Рис. 10 показывает также, что поверхностные
волны существуют лишь при условии (82), а также что при увеличении
глубины канавок (т. е. при увеличении параметра *) величина т; изме-
1	* .ч

няется от *] = х до *] = -=-, что соответствует изменению фазовой ско-
рости от с (для гладкой поверхности) до 2хс (см., например, на рис. 10
кривую х = 0.47). Для поверхностных волн всегда имеет место нера-
венство

(Ю7)
А

Отношение т]/х, согласно формуле (97), можно назвать коэффициен-
том замедления: оно показывает, во сколько раз поверхностная волна
распространяется медленнее пространственной. На рис. 11 коэффициент
замедления показан как функция * при х = const, а на рис. 12 — как
функция х при t = const.

Рис. 11 и 12 показывают, что коэффициент замедления невелик:
кривые обрываются при значениях коэффициента замедления ц/х<1.07.
Сравнение с численными результатами для волнистых поверхностей
другой формы (см., например, [10]) показывает, что для достижения
больших замедлений следует брать большие отношения глубины канавок
к периоду волнистости (в нашей же задаче и поэтому 4“^ к-)’

Рис. 11.

Литература

[1] V. Fock. Zs. f. Phys., 61, 126, 1930. —[2] Г. Бете. Квантовая механика
простейших систем, М. — Л., 1935. — [3] Б. Л. Рождественский. ДАН СССР,
77, 221, 1951; ЖТФ, XXIII, 1609, 1953.— [4] Л. А. Вайнштейн. Изв. АН СССР,
сер. физ., 12, 144, 1948. — [5] Е. Т. Уиттекер и Г.Н. Ватсон. Курс современ-
ного анализа. М.-Л., ч. II (гл. 16), 1934.-[6] Н. Т. Davis. Tables of higher
mathematical functions, I, Bloomington, стр. 272, 1934.—[7] Дж. А. Стреттон.
Теория электромагнетизма. М.—Л., стр. 433 и сл., 1948. — [8] Е. Янке и Ф. Эм де.
Таблицы функций. ОГИЗ, М,—Л., 1948. — [9] Н. В. Мак-Лахлан. Теория и
приложения функций Матье, ИЛ, М., 1953.—[101 Л. А. Вайнштейн. ЖТФ, XXVI,
385, 1956.

Поступило в Редакцию
6 ноября 1956 г.
ВОЛНЫ ТОКА В ТОНКОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ПРОВОДНИКЕ

I. ТОК И ИМПЕДАНС ПЕРЕДАЮЩЕГО ВИБРАТОРА

Л. А. Вайнштейн

Рассмотрена классическая задача о возбуждении вибратора — тонкого цилиндри-
ческого проводника — сторонней влектродвижущей силой, приложенной к произвольной
точке вибратора. Исследование базируется на интегродифференцнальнои уравнении
для тока в тонком проводе, выведенном в работе Леонтовича и Левина f1] и аквива-
лентном „линеаризированному" интегральному уравнению Халлёна [2], но вместо раз-
ложения по малому параметру ток представляется в виде суммы трех бегущих волн
(волны, начинающейся в точке возбуждения, и двух волн, начинающихся па каждом
конце вибратора), комплексные амплитуды которых можно считать медленно меняю-
щимися функциями. Для втих функций (точнее, для их производных) получается
интегральное уравнение Вольтерра первого рода, так называемое „ключевое" урав-
нение. Ядро втого интегрального уравнения зависит лишь от разности переменных,
так что решение уравнения находится в виде квадратур. Это решение позволяет
найти ток в любой точке вибратора, вычислить его входной импеданс и т. д. В за-
ключение обсуждена точность данного метода и его связь с методом разложения по
малому параметру.

§ 1.	Уравнение для тока в тонком проводнике

Рассмотрим возбуждение тонкого идеального проводящего цилиндра
радиуса а (который мы будем себе представлять в виде полой трубки)
с помощью электродвижущей силы <S, приложенной к точке z = 0. Это
значит, что на поверхности цилиндра должно выполняться граничное
условие

£г-»-£^=0 при r = a, Z!<Zz<Zzz,	(1)

где точки z = и z = zz соответствуют концам цилиндра, а Е, есть
составляющая электрического поля, наведенного током на цилиндре;
она вычисляется с помощью векторного потенциала

2п ж,

=	£ = V(z — Q2-ь г2-+-а2 — 2га cos (2)

О

по формуле

=	(3)

Е*г есть составляющая поля сторонней эдс, в данном случае она равна

Е',= &Ъ (z).

Зависимость от времени взята в виде е~*ш* = е~<м.
Если обозначить

Л[<7, z] = cA|r=a+0,

(4)

(5)
то А будет функционалом от функции распределения тока с7 (z) вдоль
проводника и функцией от координаты z точки наблюдения, находя-
щейся на поверхности г —а. Интегрирование уравнения (3) по z [с уче-
том соотношений (1), (4) и (5)] дает нам интегральное уравнение для
функции <7 (z)

+	(г1<х<х2).	(6)

Здесь Ро и Qo—постоянные интегрирования, которые в дальнейшем
будут найдены из условий

q7(z1)=q7(z2) = 0	(7)

для тока на концах проводника, а постоянная SQ равна

30 = С4-	(8)

Считая далее проводник настолько тонким, что

a<^z2 — zj и	(9)

мы можем для функционала Д[е7, z] взять приближенное выражение,
выведенное в работе Леонтовича и Левина [’], а именно

А&7, z] = —21npfl7(z)-i-Jln2p|z —C|sgn(z—С)^[а7(С)е<*1'-с1]Л, (10)
«I

где

sgnx=l при х>0,	|

sgnx =— 1 при X<^0,J

а р есть произвольная постоянная. Заметим, что уравнение (6), вместе
с выражением (10), эквивалентно так называемому линеаризированному
интегральному уравнению Халлёна[2], являющемуся исходным пунктом
многочисленных работ по расчетам цилиндрических вибраторов; эквива-
лентность нетрудно доказать, преобразуя интеграл в формуле (10) путем

интегрирования по частям.

В данной работе мы не будем использовать разложения по априорно

с	1

выбранному параметру малости вида 2

т. е. не будем предполагать,

что второй член в формуле (10) — интегральный — мал по сравнению
с первым — локальным. Поскольку величина Д[е7, z], как легко прове-

рить, не зависит от р, то мы положим р = —, 1про = 0и в дальнейшем

будем считать

Л[Л 2]=f 1„У£=Я,в„(г-г)^[^(С)е«1.-<|]Л.	(12)

*1

Выписанные выше соотношения хорошо известны и приведены здесь
лишь для связности изложения. Заметим, что при переходе к выраже-
ниям (10) и (12) различие между полой трубкой и сплошным цилиндром
стирается [при условиях (9) они электродинамически эквивалентны],
так что все дальнейшее в равной степени, относится к сплошному ци-
линдрическому вибратору. Заметим также, что при надлежащем выборе
параметра а эти выражения применимы к вибраторам с произвольным
поперечным сечением — тонкому эллиптическому цилиндру, прямоуголь-
ной призме и т. д.
§ 2.	Волны тока

Соотношение (6) показывает, что векторный потенциал на поверх-
ности цилиндра является суммой трех бегущих волн: 1) волны Рйе‘к*,
начинающейся на конце z = Zj; 2) волны Qoe_‘b, начинающейся при
z = z2, 3) волны	начинающейся в точке возбуждения z = 0.

Физически очевидно, что ток eZ (z) на цилиндре будет суммой трех бе-
гущих волн того же типа

<7 (z) = Р (z)	-+- Q (z) е~<ь -+- 5(z)	(13)

Однако комплексные амплитуды этих трех волн непостоянны, поэтому
мы пишем P(z), Q(z) и 5(z) вместо постоянных Ро, Qo и 50, входящих
в выражение (6). Ниже мы будем исходить из предположения (оправ-
дываемого в конце расчета), что функции Р, Q и S являются медленно
меняющимися по сравнению с экспоненциальными множителями e±ik*
при них. Это предположение можно сформулировать более наглядным
образом: волны тока распространяются вдоль проводников со скоростью,
близкой к с, и с малым затуханием. В дальнейшем мы найдем зависи-
мость функций Р, Q и 5 от z и увидим, что это затухание, обуслов-
ленное излучением электромагнитной энергии, сильно отличается от
обычного экспоненциального затухания, обусловленного тепловыми по-
терями.

Подставляя выражение (13) в функционал (12), мы в силу линейности
этого функционала приходим к выражениям вида

А [Ре*кг, z] = eiki j In ^4=^ P' (С) Л — e~ik* J in	[P(Qе2,'^]Л, (14)

ж,	г

в которых интегралы с осциллирующей подынтегральной функцией можно
вычислить приближенно, используя медленность изменения функций Р,
Q и 5. Так, например,

J in[р (С)е»*к-П]л = _ J ln Wpl e2‘*(c-n[2ikP(С)Р(£)]=
sl

= f^/(C-z)[2/^P(Q-bP(C)]JC« I 2/£/(С — z)P(C),	(15)

причем мы пренебрегаем всеми слагаемыми, содержащими P'(Q, P*(ty и
т. д. Через /(s) обозначена функция (s0—произвольная постоянная)

/(s) = J In £ e“k°da, f (s) = -In	(16)

Если ввести также функцию

^(s) = -2^e-2"'/(s)	(17)

то выражение (14) принимает вид

A \Peik‘, z\ = g (0) Р (z) eik’ - g (z2 - z) P (z2) eik^~^

-+- eikr J In 2-^=^ P' (С) Л,	(18)
так что величина А[Ре'к', z] определяется в этом приближении значе-
ниями Р в точках z и Zi и значениями Р‘ во всем интервале (zH z).
Аналогичным образом получаем

A [Qe-b, z] = § (0) Q (г) -g(z-Zl)Q (Z1)	-

- e~ik' ]' In Q' (Q Л	(19)

£

И

A [Seik''।, z] = g (0) 5 (z) eifc И ч- g (| z | )5(0) e4* И — g(z — z,)5(Zj) eik—

И

-g(z2-z)5(z2)e‘fc(2^)-be-'l'l J ln2(—)ЛГ(С)</С,	(20)

о

причем в последнем выражении учтена непрерывность функции S(z)
в точке z = 0.

Подставляя в левую часть уравнения (6) сумму выражений (18), (19)
и (20) и приравнивая в правой и левой частях члены, пропорциональ-
ные мы получаем для функции S(z) следующее уравнение

£

g (0) 5(z) ч- g (z) 5(0) ч- J In	S' (С) Л = 50 (z > 0),	(21)

0

в котором при z <Z 0 нужно просто заменить z на | z |, так что 5 есть
четная функция z, в соответствии с ее физическим смыслом. Действи-
тельно, для бесконечного проводника (при zx =—со, z2 = oo) ток равен
5(z) и из соображений симметрии должен быть четной функцией z;
для конечного проводника слагаемое 5(z)eitl-’l есть „первичная" волна
тока, расходящаяся от точки z = 0—точки приложения эдс, все осталь-
ное возникает вследствие отражения первичной волны от концов z = Zj
и z = z2.

При выводе соотношения (21) молчаливо предполагалось, что функ-
ция g(z) сама является медленно меняющейся. Это справедливо, если
в формуле (16) взят предел а0=оо, так что

CD	CD

g (а) = - 2ike~^ J ln^e2«Ma=ln^4-e-^Je-^</o,	(22)

8	8

причем

g(0)=ln^=-ln^, T = 1.781...	(23)

При другом выборе s0 функция g(s) будет содержать слагаемое

const е~~2<ка,	(24)

которое усложнит все рассуждения и приведет к иной записи уравне-
ния (21). Поэтому в дальнейшем мы под g (а) будем понимать функцию (22),
а логарифмы мнимых величин вычислять по формулам типа

|n _L_ — }п —ь In f, In i = i =-, In V = — i ,	(25)

1KQ	]KQ	л	I	£

понимая под логарифмом положительного числа его главное (веществен-
ное) значение.
При вычислении несобственного интеграла

CD

f 1п-е2’ьЛ

J а
8

мы считаем 1mA: > 0, полагая 1mA: = О только в таких выражениях [на-
пример, в последнем выражении (22)], где это не ведет к расходимостям.

Полагая в уравнении (21) z = 0, мы получаем соотношение

^(0)

So
2^(0)

с<£

4 In —j—
fka

(26)

позволяющее вычислить входной импеданс бесконечной однопроводной
линии

Zaz~“ь/2') ’

причем для перехода к практическим единицам нужно заменить — на 30 ом.
Если воспользоваться формулой

5(z) = 5(0)-b [^(С)Л	(28)

о

и ввести функцию

=	Н0)=1,	(29)

то для нее получается уравнение

J 1п-^';Йл =s (°) -»й.

(30)

которое мы в дальнейшем будем называть ключевым уравнением.
Оставляя исследование этого уравнения до § 3, перейдем к функциями
P(z) и Q(z).

Если в уравнении (6) приравнять члены, пропорциональные е*" и е ' z,
то придем к соотношениям

^(0)P(z)-^(z-zO[Q(z1)4-5(zJ]e-^4-jln^^-)P'(9^=Po.
g(0)Q(z)-5-(z2-z)[P(z2)-l-5(z2)]e2^-J ]n^-^Q'(CH = Q0,

(31)

и находим постоянные Ро и Qo, полагая в этих соотношениях z = zx и
z = z2 соответственно

Ро = Й (0) {Р (*1) - [Q (^) -+ к)] е-2^'} = 2^ (0) Р (z3), |

Qo = g (0) (Q (z2) - [P (z2) -ь 5 (z2)] e^} = 2g (0) Q (z2), /	(i2}

поскольку граничные условия (7) дают

PU1)=-[QUi)^Ui)]e-2‘fc‘S I

<2(г!) = -[Р(г,) + 5(г,)]е“-. j
Уравнения (31) упрощаются следующим образом

j In Р' G) Л = Р (z.) (0) - g (z - zj],

- j Ь 2-^k^- Q' Л	(0) -	- *)]

(34)

и легко сводятся к ключевому уравнению (30). Если обозначить через ф (z)
решение ключевого уравнения, обращающееся при z—О в единицу, то
функции Р, Q и S будут равны

Р(х) = Р(21)ф(2-г,), Q(z) = Q(Z2)^z2-z), S(z) = S(0H(IH)- (35)

§ 3. Решение ключевого уравнения

Исследуем ключевое уравнение (30), к которому в данном прибли-
жении свелась наша задача. Заметим, что это уравнение можно несколько
упростить, если воспользоваться тождеством

g (0) — g(z) = — 2ik [ In	.—е-2,*'Л =

0

= —2ilc j In е~2^Л -+- 2g (0) (1 — e-2<b),	(36)

0

которое позволяет переписать уравнение (30) следующим образом

.(i w w - Л=2« (0) (1 -	(37)

о

Введем обозначения

*=13=7’ е = »=7' ? = (М!.	(38)

тогда ключевое уравнение можно записать в виде

[ 1п	(5) JE = h (х),	(39)

*	I

о

где для уравнения (30)

т(х) = ф(г), Л(х) = £(0) —£(z), <р(0)=1,	(40)

а для уравнения (37)

ф(х)=ф(г) — е-2,ь, Л(х) = 2g (0)(1 — е~а,Ьг). ф(0) = 0,	(41)

причем функции Л(х) и <р (х) зависят еще от параметра q, не выписан-
ного явно.

Уравнение (39) есть интегральное уравнение Вольтерра первого рода
для функции ф'(х) с ядром, зависящим только от разности переменных
х — L Общий метод решения таких интегральных уравнений был ука-
зан в работе Фока [s], где рассмотрена также резольвента, соответствую-
щая ядру вида const -+- In (х — 5). Искомую функцию <р (х) можно запи-
сать в виде

СО

?(*)=? (0) ч- [ / (X -1) h (£) Я,	(42)

о

где функция /(х) удовлетворяет соотношениям

X	X

^|/(х—Е)1п — <Л=1 или |/(х— 5)In— dl = х (43)
о	о

и легко может быть найдена в виде обобщенного интеграла Фурье

гарифма, принимающую при и 0 вещественные

значения, а разрез проводить выше Г; в дальнейшем мы его направим по
мнимой оси, как это изображено на рисунке. Функция 7(х) обращается
в нуль при х^О. Через /(х) обозначен такой же интеграл, но взятый

_2

72

по контуру Г (см. рисунок), лежащему выше точки и =

. При X > 0

контур Г можно деформировать наверх так, чтобы он охватил разрез
О—>/оо; тогда

(45)

причем последнее выражение показывает, что /(0) = 1 в соответствии
с формулой (44).

Функцию 7(х) можно также представить в виде ([®] стр. 172)

Действительно, если

гамма-функции

rd+f) *

(46)

воспользоваться известным соотношением для

1	__ If ei!‘du ____ 1 (etuxdu

r(l-l-f) 2я J	2iti (ix)‘ J u1+<

T	Г

(46a)

и изменить порядок интегрирования, то формула (46) перейдет в инте-
грал (44).
Выражение (46) позволяет найти асимптотические разложения функ-
ции 1(х) при х—>0 и х—>оо. Обозначим через Ф(х) асимптотический
ряд

_ -у (-1)^1
i=0 In —

(47)

где Dk суть коэффициенты в разложении

СО

=	С = 1п7 = 0,5772 ..(47а)

к=о

равные

£>0 = 1, А = 0, £>а = -	^2 ГУ  , S3 ГУ     S 4 и  2 ’. 3	3 ’ Ui	4 -Н'8 ’	(476)
Sk=^ 1 ~	1 J- Н2«=Ч~3*_,_-  •	

функции I (х) при

Оказывается, что асимптотическое разложение
х->0 и асимптотическое разложение функции /(х)
ляются одним и тем же рядом

/(х)~"Ф(х) при х—>0, 1
/(х)-Ф(х) при х -> оо, J

при х—>00 опреде-

(48)

причем первое разложение получается непосредственно из формул

и (47а), а второе вытекает из соотношения

,	S	 Л

Z(x)-£74x)=/w-£ Лх)= ]

(46)

(49)

в которое мы опять подставляем разложение (47а) и пренебрегаем сла-
1 1

гаемыми порядка -----£— • ~~г—2ix\i и меньшими» а также производной

х In-- х I In--I

7	\	7 '

J' (х), имеющей такой же порядок.

Пользуясь формулами (41), (42) и (44), мы находим искомую функ-
цию ф (z) в виде

I. (г)=е~2<в1ч-2#(0)

= 2g(0)

e«rtf(S)</5

Л

(50)

—1

о

причем последнее выражение получено с помощью тождества

(51)

О

вытекающего из формулы (44). Если перейти от
ции I(х), то получим

функции /(х)

функ-

ф (z) = 2g (0) I (х) — / (х, q)

(7М2

1 -+- (7*а)3

2<Я1
е1’ ,

к
где

I(x, 7) = — e-2,I3J eW(£)<Д= 1 (x)4-2ige-2,!aJ	|

x ®
/(0, q)= 1-ь729 — 27767 •	I

Последний член в квадратных скобках формулы (52) не имеет физи-
ческого смысла и связан с приближенностью ключевого уравнения
(а также исходного выражения (10), см. ниже конец § 5). Действительно,
первые два члена при х—»оо стремятся к нулю, а этот последний член
имеет постоянную (хотя и весьма малую) амплитуду. Поэтому, исходя
из физически очевидного требования ty(z)-~>0 при z -> со, мы вычерки-
ваем этот член и определяем функцию ф (z) окончательно так

ф(х) = 2я(О)[/(х)-0/(х,?)],	(54)

где коэффициент

9 = 9 (д) = ———'-g	— ,	(55)

1+12<7 ~ 27(67

близкий к единице, введен для выполнения соотношения ф (0) = 1.

Функция /(х, д) при д —0 обращается в 7(х); однако при конеч-
ном и z-> со она убывает значительно быстрее функции 7(х). В са-
мом деле, беря в разложении

-Z(x, q) =	_Q^b—...	(56)

и в формуле (47) первые члены, мы получаем выражение

-VU,	-----,y-2ix^ ,	(57)

2ikz (In —— J

из которого видно, что уже на расстоянии нескольких длин волн сла-
гаемое-—0/(х, q) в формуле (54) становится пренебрежимо малым по
сравнению со слагаемым /(х), убывающим, согласно формуле (48), го-
раздо медленнее. Наоборот, при kz~qx^\ функция I(x,q) близка
к функции /(х); действительно, из формул (51) и (53) легко получить
выражение

00

/(х, g) = /(x)-2/ge-«»‘f	е~2’Л	(58)

о

из которого видно, что

7(х, q)~I(x)— 2ff(0) при kz<^1	(59)

Ф (z) ~ 1

В дальнейшем мы будем понимать под функцией ф (z) выражение (54),
которое удовлетворяет ключевому уравнению с точностью до членов
порядка (ka)2. Функцию ф (z) удобно представлять в виде

ф (z) = 2g (0) ЧТ (X, q), Ф (х, q) = /(х) - 0 /(х, q) (60)
или

Ф (х, q) = 0ф (х, д) ч- (1 — 9) /(х),	(61)
причем функция Ф (х, д) = 1(х) — 1(х, д) удовлетворяет уравнению

^-ь2/9Ф = 2/9/(х)

(62)

и начальному условию

<63)

Формулы (61)—(63) можно применить для вычисления функции ф(х),
если известна функция 7(х).

§ 4. Распределение тока и входной импеданс

Закончим теперь расчет тока, начатый в § 2. Из формул (33) и (35)
получаем систему алгебраических линейных уравнений для величин
P(zO и Q(z2)

Р (*i) -ь Q (z2) Ф («2 — zj = —З' (0) ф (—zj e~2ik\ I
Р (zO ф (z2 - zO e2*- -ь Q(z2) = —^(0) Ф (z2) e2‘k”.	J	(64)

Определитель
£> = 1 —<f(z2 —zje2'*’2’-^	(65)

позволяет вычислить комплексные частоты ы = ск собственных колеба-
ний вибратора, являющиеся корнями уравнения

D = 0.	(66)

При наличии произвольного монохроматического возбуждения резо-
нанс в вибраторе имеет место при D«0 и k(z2— Zj)» nir(n = l, 2, ...),
когда начальные амплитуды бегущих волн

Р (Z1) = —	[ф (—zj) е~2<кг' — ф (z2) ф (z2 — Zj) е”* <'• “ '•>],

5 (0)	(67)

Q (z2) =-----[ф (z2) e2ik'> — ф (—zj) ф (z2 — Zj) e2ik ~ '>],

принимают большие значения. Входной импеданс вибратора определяется
током

c7(0) = P(0)-i-Q(0)-b5(0) =

== и? (0) 1 — -g* [ф2 (—~Zj) e~2iktl -+- ф2 (z2) е2<к‘г —

— 2ф (—Zj) ф (z2) ф (z2 — zj e2<k ('«”J‘>] |.	(68)

Рассмотрим более подробно симметричное возбуждение вибратор»,
когда

z1 = -£, z2 = Z	(69)

и

^(01=5(0))!-	},	(70)

так что входной импеданс оказывается равным

у___	__у	1-ь ф (2£) е2<*£	(711

/ (0) -	1 _ [24д (£) _ ф (2L)] е«*А ’	v '
где Z®—входной импеданс бесконечной однопроводной лиши, опреде-
ляемый формулой (27). Формула (71) показывает, что -* Z® при
L -* оо, однако это стремление в силу выражений (54) и (48) оказы-
вается весьма медленным.

Найденный выше ток удовлетворяет теореме взаимности. В самом
деле, если мы введем новую систему координат, в которой точка при-
ложения сторонней эдс имеет координату z0, а концы проводника —
координаты — L и L соответственно, то для тока будем иметь выражение

(z) =	{ ф (| Z — z0|) ей I1 — (Ф (L -+- z0) Ф (L -+- z) eik (“+*»+*> -s-

-+~ ф (L — z0) ф (L — z) eik <2i—'о-')] 4-

[ф (L - z0) ф (L । z) eik

ф (L -+- z0) Ф (L — z) eik

(72)

в которое z0 и z входят симметрично.

В теории тонких вибраторов широко используют метод разложения
по малому параметру. К ключевому уравнению (30) или (36) можно
применить такой же метод. При этом, естественно, получаются более
простые, но гораздо менее точные формулы, в первом приближении
согласующиеся, как мы увидим ниже, с известными результатами теории
тонких вибраторов. Метод разложения по малому параметру в наиболее
последовательном и общем виде развит в работах Халлёна ([2| 8]), приво-
дящих к следующему выражению для тока в симметричном вибраторе

где

<7(z) =

sin k (L | z j) "i. q —...

COS kL ”f)"	.

2 = 21n —
a

(73)

(74)

есть „большой" параметр, по обратным степеням которого ищется раз-
ложение, а многоточия означают члены порядка -gj- и выше. Если ввести
обозначение

^(Ь)=4Ых)-*(0)]ел',	(75)

то ?i(z) и аг можно записать в виде

Т1 (z) = »Fl (к (L -I- z)) -b	(к (L — z)) - 2 cos kL4x (к | z |) -ь

-+- [24\ (kL) cos kL -	(2kL)]	-i- Г In 2 (1 — e2<*x) -4-

(76)

-4-2 In-^J sin HI-И),

Oi = i [2^ (kL) cos kL — 4TX (2kL) — In 2 • sin 2kL\ eikL.

Ключевое уравнение (30) можно переписать следующим образом

Ф (z) -i- f 1п Ф' (С) Л = 1 - g(z)~g(0?,	(77)
где параметр

S = 2^(0) = 2In^

(78)

также можно считать большим, что дает нам разложение

Ф(г) = 1

y(z)-g(O) .

Й

(79)

применимое при условии

g W — у (0)	-1

2^(0)

(80)

т. е. когда функция ф (z) лишь незначительно отличается от единицы.
С помощью этого разложения мы из формулы (72) при z0 = 0 получаем

выражение

"7«=-ж

. , ,,	, к Т1(г)

sm к (L — I z I)

cos kL ~т- -5- ...
2

(81)

где

Ф1 (*) =	(к (L -+- z)) -н	(к (L — z)) — 2 cos kL (k | z |) -4-

-+- 2^, (kL) cos kz —'«F, (2kL) e~ikV'~ 121),
a^iW^kLje-^.

(82)

Формулы (73) и (81) следует считать эквивалентными (ср. [3]). Дей-
ствительно, учитывая соотношения

£} = й — Д, — = ——।—-—4- .... Д= 2 In —	(83)

- ’ Й О Q2 ’	i	' '

и умно’жая числитель и знаменатель формулы (81) на 1	где

Н1 = ^^ = 2/[^(^)е«£-Ф1(2^)-1п2- sinUe“'], (84)
мы приходим к формуле (73), в которой функция

?i (z)= Ф1 (z) •+ (f*i A) sin к (L — \z I)	(85)

совпадает с функцией tpj (z), вычисленной Халлёном (76).

Если, как это обычно делают при расчетах, ограничиться первым
приближением — явно выписанными членами формул (73) и (81), то эти
формулы, несмотря на эквивалентность, Дадут различные числовые
результаты. Формула (73) наиболее удобна для расчета коротких антенн
(kL 1), поскольку фигурирующий в ней параметр (74) определяет
статическую емкость конечного цилиндра. Формула (81) проще, в нее,
кроме тригонометрических и экспоненциальных функций, входит только
функция (75), определяющая, согласно формуле (79), малые отклонения
функции ф(г) от единицы. Можно думать, что формула (81) более под-
ходит к сравнительно длинным вибраторам, где волны тока выражены
четко, но их затухание за счет излучения невелико; в частных случаях
из формулы (81) вытекают результаты Леонтовича и Левина Р], если
их параметр

Х=2КЕ-	<86>
заменить на---—. Если же условие (80) при z — L и Z—2L не удов-

летворяется, то следует применять новые формулы, полученные в дан-
ной работе.

§ 5. Точность, результатов

Поскольку развитая в данной работе теория вибраторов .является
приближенной, важно оценить ее точность и пределы ее применимости.
Это можно сделать, сравнив даваемые ею результаты с результатами
строгого расчета в тех случаях, когда последний возможен и ведет
к не слишком сложным выражениям.

Рассмотрим, например, задачу о возбуждении бесконечной однопро-
водной линии (zj = —со, д2 = со) сосредоточенной эдс (4). В этом слу-
чае ток о7(0) = 3'(0) в точке возбуждения вычисляется в виде ряда([3])

5(О) = 5.(±+^^...) = ^во,	(87)

где

0 = 1 ь -+- .,.	(88)

о	Зф>	\	/

Сравнивая эти выражения с формулой (26), полученной выше, мы
видим, что последней можно пользоваться, если величину (88) допу-
стимо приравнять единице.

Нетрудно понять, что в точке возбуждения данной волны изложен-
ный выше метод дает наибольшую погрешность и что при удалении от
точки возбуждения точность этого метода неограниченно растет.
В самом деле, вблизи точки возбуждения ее комплексная амплитуда
S(z) (или P(z) или Q(z)) меняется наиболее быстро, так что при пре-
небрежении ее производными (например, в формуле (15)) мы делаем
наибольшую ошибку; наоборот, при увеличении kz комплексная ампли-
туда S(z) меняется все более медленно, так что погрешность метода
уменьшается.

Для сравнения укажем, что точность формулы (79) убывает с ро-
стом z, и при достаточно больших z разложение (79) становится непри-
менимым. Выражение

при малых z практически совпадает с выписанными членами разложе-
ния (79), а при больших z (kz 1) в силу формул (22) и (23) дает
асимптотическое выражение

(ЭД

In --

7

соответствующее первому члену разложения (48). Поэтому точность
формулы (89) должна быть примерно постоянной при любых z. Точ-
ность же наших формул, например формулы (54), при возрастании z
неограниченно растет, а при малых z не уступает точности формул
(79) и (89).

Уточнение нашего метода путем последовательного учета отброшен-
ных производных 5* (z), S" (z) и т. д. в принципе возможно, но ведет
к довольно громоздким квадратурам. Поэтому целесообразно применять
данный метод в первую очередь к сравнительно длинным вибраторам,
для которых функции <|>(£) и ф (2L) с большой точностью передают
значения тока на расстояниях L и 2L от начала соответствующей волны
{IL— полная длина вибратора, L — расстояние от точки питания до
конца). При этом можно ввести поправку на ток в точке питания,
заменяя первый член в фигурных скобках формул (68) и (70) — еди-
ницу— величиной 0О по формуле (88). Тогда формула (71) примет вид

7_7	1	e2<tb

где

4|П1Ь

С0О

(92)

есть исправленное значение входного импеданса бесконечной однопро-
водной линии, которое можно вычислить точно (см. ниже формулу (97)).

Сравним интегральные представления для тока в бесконечной одно-
проводной линии, получаемые строгим интегрированием уравнения (6)
при использовании приближенного выражения (12) для функционала
Д [с7, z] и из формулы (54). Строгое интегрирование дает (ср. [7] или [3])

CD

ickS С e'W2dw

I ~ 2Г

V In —------

—а,

v/Z? — го2, 1пк>>0),

(93)

где путь интегрирования обходит

точку

2
го, =:-----

7“

(94)

снизу, а точку —— сверху. Деформируя (при z > 0) путь интегриро-
вания наверх так, чтобы он охватил разрез &-*&-ы‘оо, и полагая
а> = £ (1 ч-, мы получим функцию S{z) в виде

(95)

_ 2£

V’ “ Та



2

где мы пренебрегаем вычетом в точке (94), пропорциональным ка и
дающим „паразитное" решение в виде бегущей незатухающей волны,
подобное последнему члену в формуле (52). Это паразитное решение
следует отбросить, при более строгом подходе оно не появляется.
Формула (54) дает при 0 = 1 выражение

S(z) = S0

e~xldt

(96)

получающееся из формулы (95) заменой скобки 1 — под знаком
логарифма на единицу, что дает погрешность, исчезающую при kz-+co.
При z = 0 формула (95) дает выражение для величины (88) в виде
интеграла

СО

00 = S f rz	7•	(97)

J т -2T-J + «« J
Заметим, что в формулах §§ 2—4 можно было бы уточнить функцию
S(z), беря, например, интеграл, (95) или же выражение

5(z) = ^o[J(|x|)-01/(|x|,<7)],	(98)

где параметр 01 равен

©1 =----i---Ц-,	(99)

1+~ й

так что соотношение (87) удовлетворяется точно. Если уточнять функ-
ции P(z) и Q(z) аналогичным образом, то необходимо учитывать дефор-
мацию волны тока при ее повторных отражениях от концов вибратора,
и нельзя, как это было сделано выше, выразить все волны, начинаю-
щиеся на конце,, через одну функцию ф (z— zj или ф (zz — z). Судя
по статье [*], в недоступной нам книге [5] дано строгое исследование
волн тока, возникающих в результате последовательных отражений от
концов проводника, и на этой основе построена новая теория вибрато-
ров, приводящая, однако (ср. [6]), к весьма громоздким выражениям.

Комплексная амплитуда волны тока в нашей приближенной теории
представляется в виде разности двух функций, пропорциональных 1(х)
и I(x, q) соответственно; функция 1(х) затухает весьма медленно [(48)],
функция l(x,q)— гораздо быстрее [(49) (56) и (57)]. Приближенность
наших формул заключается в том, что первичная волна, однократно,
двухкратно и т. д. отраженные волны выражаются через одну и ту же
функцию I(x, д), в то время как более строгое рассмотрение приводит
к одной функции /(х), но к разным функциям типа /(х, q) для каждой
из этих волн. Отсюда ясно, что, например, точность формулы (91)
растет вместе с длиной L.

Заключение

В данной работе мы представили ток в цилиндрическом проводнике
в виде наложения распространяющихся волн и выразили комплексные
амплитуды этих волн через функцию ф (z)— решение „ключевого" урав-
нения (30). Основным результатом данной работы является вывод
ключевого уравнения, позволяющего исследовать общие законы распро-
странения волн тока вдоль тонких цилиндрических проводников.

Представление о волнах тока, бегущих вдоль тонкого провода
со скоростью света, разумеется, не является новым: оно использова-
лось— в весьма примитивном виде — для расчетов антенн в течение
многих десятилетий. Однако общие физические свойства волн тока
в тонких цилиндрических проводниках до последнего времени исследо-
ваны не были.

Теория, развитая в данной работе, приводит к сравнительно про-
стому математическому аппарату и не только позволяет, при наличии
таблиц функций /(х), /(х, q) и 0О(?), более точно рассчитывать вибра-
торы (особенно длинные), но и дает четкое физическое представление
о возбуждении токов в тонких проводниках. Ключевое уравнение
является интегральным уравнением Вольтерра: это значит, что в фор-
мировании волны тока главную роль играет отрезок провода между
начальной точкой волны (точка питания или конец провода) и точкой
наблюдения, т. е. как бы между „взлетным" и „посадочным" элементами
провода. Другая особенность бегущей волны тока заключается в том,
что ее комплексная амплитуда представляется в виде разности двух
функций, в значительной степени компенсирующих друг друга вблизи
начальной точки волны и имеющих различные законы затухания.

Литература

[1] М. А. Леонтович и М. Л. Л е в и н. ЖТФ, XIV, № 9, 481, 1944. —
[2] Е. На lien. Nova Acta Upsai, 4, 11, 1938. — [3] E. H a 11 ё n. J. Appl. Phys.,
19, № 12, 1140, 1948. — [4] E. Ha Hen. Trans. IRE — Antennas a. Propagation,
VII, AP-4, Ns 3, 479, 1956. — f5] E. Ha lien. Electricitatslara, Stockholm, 1953.—
[6 K. Lindroth. Trans. Roy. Inst, of Technol., Stockholm, Ns 91, 1955.—
[7] В. В. Владимирский. Изо. АН СССР, сер. физ., 8, N» 3, 139, 1944.—
[8 Е. Н а 11 ё n. Trans. Roy. Inst, of Technol., Stockholm, № 13, 1947. — [9J V. F о c k.
Mathem. Zs„ 21, № 3/4, 161, 1924.

Институт физических проблем	Поступило в Редакцию

АН СССР	28 мая 1958 г.

Москва
ВОЛНЫ ТОКА В ТОНКОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ПРОВОДНИКЕ

II. ТОК В ПАССИВНОМ ВИБРАТОРЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ ПЕРЕДАЮЩЕГО
ВИБРАТОРА

Л. А. Вайнштейн

Исследованы токи, возбуждаемые плоской падающей волной на тонком цилиндри-
ческом проводнике, н показано, что вти токи выражаются через функцию V(x, q),
введенную в первой части работы. С помощью теоремы взаимности оказывается воз-
можным вычислить поле излучения передающего вибратора. Выражение, получаю-
щееся для его характеристики излучения, позволяет составить наглядное представле-
ние о механизме формирования поля передающего вибратора и, таким образом,
завершить решение задачи, рассмотренной в первой части работы.

§ 1. Волны тока, возбуждаемые плоской волной

В первой части данной работы [*] мы исследовали возбуждение тон-
кого цилиндрического проводника сосредоточенной эдс, т. е. рассматри-
вали передающий вибратор. Распространим развитую в первой части
теорию на случай распределенного возбуждающего поля

(1)

где Ео и w — постоянные; если считать

ги =—£cos$(	(2)

то поле (1) соответствует плоской волне, падающей на цилиндрический
проводник (пассивный вибратор). Эта волна может создаваться доста-
точно удаленной антенной, находящейся в точке со сферической коор-
динатой

Уравнение для тока о7 (z) в данном случае можно записать в виде

А [Л z] = Рое‘кг -+- Q0₽-,k' н- Saeitcc (при zt < z < z2),	(3)

где

•So=-^.	(4)

a Pa и Qo— две постоянные, которые ниже будут найдены из условий

<7 Ui) = (*г) = 0,	(5)

на концах проводника. В правой части формулы (3) стоит сумма трех
волн: двух „свободных" ноли, распространяющихся со скоростью света
и начинающихся на концах z=-z1 и z=z2 соответственно, и „выну-
жденной" волны, имеющей волновое число w. Ток в проводнике мы
ищем в виде суммы трех волн того же типа

д (я) = Р (z) е'*'	Q (z) -ь 5 (z) е"г'.	(6)
Поскольку функционал А тот же, что и в[х], вычисление А[Ре'кз, z]
и XtQe-**', z] повторять не нужно, и заново необходимо вычислить
лишь величину

A [Sei,sa, z] = f In 2(гд~.[5(C)	Л — j In ~ X

*1	8

X[S(C)e^^iK=etofjj /_ (z — C)[— i(k — to)5(C)^5(C)]JC-+-

eiai J ~ f+ (C - z) [/ (k w) S (C) 5 (С)] Л,	(7)

где

GO	GO

/+(s)= Jln^ eW'da, /_(s) = fln^e^j«.	(8)

8	8

Вводя функции

g+ (s) = — i(k -+- w) A (s) e~1^ = In	-+- e-'t*-*-”)’	j0)

g_ (s) = —i (k — w) f- (s)	= h ~	j /'pJ. Jo,

производя в формуле (7) интегрирование по частям и пренебрегая про-
изводными S'(z) и S"(z), мы получаем

A [Seia*, z] =	(0) + g- (0)] 5 (z) e^-g(z- z.) S (z.)	-

-g(z2-z)S(z^-^^,	(10)

где

g+ (0) = In -уЛ t 	g- (0) = In	,

' i(K-t-ar)a ° ' ' t(k — w}a’

2,	<U)

«+(0)+g_(0) = 2ln^-.

Приравнивая в уравнении (3) члены, пропорциональные ew*t мы полу-
чаем

о________Ур______ ickE^	. .

°-^(0)-^_(0)— 2i '

2e21n:F7

Таким образом, медленно меняющаяся функция S(z) в данном слу-
чае является просто константой, выражение (10) оказывается точным,
а волна Se^* в формуле (6) есть не что иное, как волна тока, возбу-
ждаемая полем (1) в бесконечном проводе, — вто есть точное реше-
ние уравнения (3) при Zj=—со и zs = oo.
Приравнивая в уравнении (3) члены, пропорциональные еЛг и е ,

мы получаем

g (0) Р (z) - g (z - z>) Q (zx) в’2*'* - g- (z - ъ)
4-Jln^^-P(C)A=P0,

g (0) Q(z)-g (z2 - z) Р (zt) е**'- - g+ (z2 - z) Se^?’ -
_JlnA<^.Q'(c)rfC=Q0,

УД pa = g (0) P (zj) — g (0) Q (zj e-2flt,> — g~ (0) Se^^,
Qo=g (0) Q (z2) - g (0) P (z2) «««='. - g+ (0) Se<^,
так что уравнения (13) можно переписать в виде

JIn w Л = - [* (°) - г (г - *01 Q (г,)	-

~{g- (0) - g~. (z-zflSe'4^,

Q'(Q Л = -	(0) - g (z2 - z)] P (z2)	-

(13)

(14)

(15)

\ — z}}Se^^.

и если ввести функции ф+ (z) и ф_ (z), являющиеся решениями уравнения

Jln ai^-*±(Q^=?:t(0)-^±(z),	к(0)= I, (16У

о

то функции P(z) и Q(z) будут [с учетом условий (5)] равны

P(z)=-^_(z-z1)e^‘-MHl_Q(Zl)(b(z_21)e-«4j |

Q(z) = -5-|»+(z2-z)e'(*-H’)4_p(22)t()(22_2)e»4. )	1	’

Таким образом, „вынужденная" волна тока Seia*, набегая на концы
z = Zj и z = z2, возбуждает сначала волны

—JS^_(z — г,) ««('"-.И*», и —S<Mz2 — z)ei^-*HA*»,	(18)

бегущие от вУих концов со скоростью с и характеризуемые функциями ф^,
зависящими от ш. Лишь в результате отражения волн (18) от концов
провода возникают волны тока, изученные в[г] и характеризуемые функ-
цией ф. Амплитуды этих волн определяются величинами P(z2) и Q(zT),
для которых получается система линейных уравнений

откуда

Р (z2) Q (z.) Ф (z2 - zx) е-^ = -ф_ (z2 - z0 Se^^, I

P (^2) Ф (X8 - z,) Q (Z1) = -ф+ (z2 - z,) Se{^^, /

P (za) —

e—“)' [ф_ (z2— Zj)—ф+(г2 — Zj) ф (z2 — Z])

Q Ui)=- 4	Ф-	—«1) Ф

(19)

(20)

ir

2*

5
D
где малость величины

(21)

D = 1 — ф2 (z2 — Zj)
свидетельствует о наличии резонанса ([1], § 4). Впрочем, при нормаль-
ном падении волны на проводник (когда w ~ 0) мы имеем ф+ (z) = ф_ (z),
и все четные резонансы [£(z2—	л = 2, 4, ...] пропадают.

§ 2. Свойства функций ф+ и ф_

Изучим более подробно функции ф+ и ф_— решения интегральных
уравнений (16). Воспользуемся тождеством

g+ (0) —	(z) = —i (к -+- w) J In	е-Ч*-нед; =

0

j

= [in	[£(0)g+ (0)][1 -e~*(k+“)»]	(22)

J	jKQ l<s

0

и введем параметры

k(k-i-w)a*
q+~	2

• к (к — в») а2

q-~	2

g+-+-g_ = g, (23)

тогда

^(0)-t-5r+(0) = ln-^; = ln-^---i-/X j
7 9+	7 9+	(24)

g (0) -ь g- (0) = In — In -+- /л, j

а уравнение (16) для функции ф+ принимает вид

Оно сводится к ключевому уравнению, исследованному ранее ([*], фор-
мула (39)), если положить

? (х) - ф+ (z) — е-(№' = ф+ (z) —

h (х) = [f (0) -4- g+ (0)] [1 - е~^'] = In -=^ (1 - е-2«^,	(26)

где

Х = ^- = Т’ 9=(М2-	(27)

Таким образом, переходя к безразмерной переменной х, мы получаем
в правой части ключевого уравнения функцию й(х), отличающуюся
от функции, исследованной ранее ([*], формула (41)), лишь заменой q
на Поэтому как новые функции ф+ и <|»_, так и старую функцию ф
можно записать в единообразном виде

ф+(г) = 1п-Е^-«г(х, д+), ф_(х) = 1п^-«г(х, д_),

79+	1Ч~	(28)

•Нг) = 1п^1Ч(х,д),
где функция ЧТ по-прежнему определяется формулой

Т(х, 9) = /(х)-е/(х, q) = №(x, <7)ч-(1-е)/(х).	(29)

Функция Ф удовлетворяет дифференциальному уравнению

+ 2/9Ф (х, q) = 2iql(x)	(30)

и начальному условию

Ф(0, 9)

1

—1

1п 12ч

1-+-72?

(31)

а коэффициент

(32)

введен для того, чтобы точно выполнялось условие ф(0) = 1.

Функции Ф±(г), Ф(х, 9±) и 0± = О(9+) получаются путем замены q
на q± в выписанных выше выражениях; при этом, однако, переменная х
по-прежнему определяется формулой (27).

Функция Ф(х, q) удовлетворяет следующему тождеству

J Ф ((, ,) «“МЛ = -	[ Ф (х, ?) - £ Ф (х, ».)] е«м, (33)

которое после дифференцирования по х принимает вид

Т(х, 9) =

2i(q-q+) [лг

Ч
4+

^Ф(Х, 9+)ч-

4-2iq+^ (х, q) — 2iq^ (х, 9+)]

(34)

и легко получается из уравнения (31); в формулах (33) и (34) можно
заменить q+ на q_ или на любой другой параметр, то же относится к q.
При q = 9+ и 9+ = 0 формула (33) приводит к неопределенным выра-
жениям, которые нетрудно раскрыть.

Тождество (33) позволяет решить задачу о вибраторе, возбуждаемом
полем (1), несколько иначе, чем это было сделано в § 1. Возьмем фор-
мулу (72) статьи Р) для тока, возбуждаемого сторонним полем

£* = £8 (z — z0),

(35)

заменим S на 2?ое<в"° и проинтегрируем по z0 в пределах длины вибра-
тора. Соответствующие интегралы легко выразятся через функции Ф(х, q+),
*₽ (х, 9-) и «г (х, 9), но получаются выражения, отличные от формул § 1;
например, вместо формулы (12) мы будем иметь (полагая для простоты
0 = 1, т. е. пренебрегая членами порядка q)

“^>[Ф(0, д+)-ьФ(0, 9_)-ЧГ(0, 9)] =

icIcEq
V2

1

. -1
1п__

1

% rzL
|п 72<7—

1

, —1
In

(36)
Из формул (2) и (23) следует, что

. 2 » . »

<7+ = q sin y, g- = <7coszy,

q = (£а)2, v = k sin &,

(37)

поэтому формулу (36) можно переписать в виде

о __ icEq /	1	1

2fc sin2 % I i	i

I In	J- In	g

\ fka sin ~2	7 ka Cos -%

(38)

в то время как по формуле (12) имеем

(39)

fka sin Э

Последнее выражение, как мы уже отмечали в § 1, можно считать
точным, т. е. оно дает точное решение задачи о бесконечном проводе
при Zj = —оо, z2=oo, в то время как выражение (38) есть лишь неко-
торая аппроксимация этого точного решения. Поэтому метод § 1 ведет
к более точным результатам, и мы будем пользоваться в дальнейшем
исключительно им. Легко понять причину различных точностей этих
методов: наибольшую погрешность формула (72) статьи f1] дает (ср. [Ч § 5)
в точке приложения эдс, и эта погрешность сохраняется при интегри-
ровании по длине вибратора. Результаты § 1 являются гораздо более
точными, по крайней мере для точек на вибраторе, не слишком близких
к его концам.

§ 3.	Сравнение с точным решением для полубесконечного провода

Для полубесконечного цилиндрического проводника, у которого
Zj - 0 и z2 = оо	(40)

формулы § 1 значительно упрощаются, а именно мы получаем

<7(г) = 5[е--ф_(г)еП	(41)

где коэффициент S определяется формулой (12). Функцию ']>(z), согласно
формулам (44) и (50) статьи f1], можно представить в виде

Ф (jz) = 1 1П	Г (Л _	,	(42)

’ ' ' 2ki 72q J \ в	2? в /	2 ’

Г.

где контур в основном идет по вещественной оси и охватывает
2

точки ii = 0 и и=-^ снизу, а точку и = —2q сверху. Обозначая ранее
введенные величины w и v через а)0 и v0 и вводя новую переменную
интегрирования =	мы получим следующее выражение

11	2 Г/ 1	1	\ eiw,dw

ф- (z) е = -s-T In   s ;--тт • I }------------1 -----s------	(43)

т ' ’ 2ni 72ita2 (п»0 — к) J \ w — k w—wol	2	' ’

ln 72b2(w — к)

для второго слагаемого в квадратной скобке формулы (41).
При более строгом подходе данная задача сводится к системе урав-
нений (см., например [*],)

J е*'”М (w) Н(w) dw	= 0 при z>0,

с

[ e'w*H(w) dw = 0 при z < О
с

(44)

для функции //(»), позволяющей вычислить ток <7 (z) в виде обобщен-
ного интеграла Фурье

cZ (z) = j е*"// (w) dw	(45)

с

по контуру С, в основном совпадающему с вещественной осью и охва-
тывающему точку w0 снизу. Функция М (w) при использовании прибли-
женного выражения для функционала Л[<7, z] равна

Л/(го) =	о2 In —  (i> = \/A2 — го2, Inw o).

Строгое решение уравнений (44) имеет вид

rrz v	1	S М (Wq)

'а*' 2ni М~ (to) М+ (t»o) (® — шо) 2к( М~ (ш) (® — ш0) ’ '

(46)

(47)

где

с___

° ~ М (®0)

(48)

есть та же постоянная, что и в формуле (12), а функции М+ (w) и M~(w)
можно записать таким образом

М+ (го) = 1/-^- (£ ч- го) X (—w), М~ (w) = 1/-^- (fc — w) X (го),	(49)

где X (горесть функция, голоморфная (при 1ш£>0) в нижней полупло-
скости Imzo 0» не имеющая там нулей и удовлетворяющая соотношению

X(w)X(-w) = ln—.

(50)

Окончательное выражение для тока <7 (z) по строгой теории

<7 (z) = X(Wo) Г(— -------------Ц-) YTT	<51>

' ’ 2iw ' J \ ш — ®о	w — к } X (ш)	' ’

с

поучительно сравнить с интегралом

(7(z)=^_z(o,0)j(_l_-_(52)
С

вытекающим из формул (41)—(43). Последний отличается от инте-
грала (51) лишь тем, что функция Х(го) заменена на функцию

у (го) = с0 In —, 2l — = -ту- In z,-a-.2-г-. ,	(53)

'	° TaV2i(i — ®)	2 rfcaa(w — k) ’	' 1
также голоморфную в нижней полуплоскости Imw^O. Если положить

_ 1 _ 1
С° g/T"7"	’

то произведение

X (ш) X (—“0 = со 1п — 2t ~ In-----r  -	(55)

4	'  0 fa V2fc (* ~ «О ?а \/2* (ft ч-®)	' '

будет при w&k и tt>«*—к (в силу соотношений v»\/2A(Z:— w) и и»
^2k(kto)) весьма близко к произведению (50), а потому функ-
ции х(ш) и X(w) будут при wtt^k мало отличаться друг от друга.
При других значениях w, заменяя точную функцию Х(ш) приближенной
функцией х (“О» мы допускаем относительную погрешность порядка ,
где 2 = 2^(0) есть „большой" параметр теории тонких вибраторов
(ср. формулы (78) и (88) статьи [']); например,

X (0) = |/ In	= ^g (0) ч- In 2 = ^g (0) J 1ч-	-----

y/2i

In—7—	I—77vC /1	In 2

z(0) = -i- = \/ff(0) 1Ч- —
'	V>(0)	\ Q

Относительная погрешность формулы (52) для тока 3 (z) при z = 0
также равна однако при увеличении kz она быстро стремится к нулю
(ср-Г], § 5).

Функция (47) имеет и непосредственный физический смысл. В резуль-
тате рассеяния плоской волны на полубесконечном проводе возникает
сферическая волна

ЛЬ?

E=H=-E^FM,	(57)

расходящаяся от конца провода. Через &0 и & обозначены углы, обра-
зованные радиусом-вектором г источника и точки наблюдения с осью
провода (осью z), через Е — электрическое поле падающей волны, так
что

Eb=Esin&0.	(58)

Функция Е(&0, &) — комплексная характеристика рассеяния на полу-
бесконечном проводе — связана с функцией H(w) соотношением

ЕЕ (%, ®) = ^- 2«//7(—ш)	(ш = —к cos &, w0 = —к cos &0) (59)

и равна

Е(&0, »)=-i-
Л

»0	*

<*g~2 ctgy

(cos 8q -t- cos S) X (к cos Bq) X (k cos S) 

(60)

При замене X(w) на х(и;) мы получаем погрешность порядка .

Такая же погрешность получится, если мы вычислим поле рассеяния
конечного вибратора, подставляя найденную в § 1 приближенную фор-
мулу для тока с7 (z) в выражения для векторного потенциала и поля
в волновой зоне

Ж,
еЛг f

А, = —— I е‘“"с7 (z) dtz	(w =—&cos$),

Ей =	= —ikA, sin &.

Чтобы вычислить рассеянное поле конечного пассивного вибратора
более точно, необходимо применить иные методы, которых мы в дан-
ной работе касаться не будем. Характеристику излучения передающего
вибратора мы найдем в следующем параграфе, минуя подстановку най-
денных в [2] приближенных выражений для тока в формулу (61) и вместо
этого применяя теорему взаимности. В то время как подстановка в фор-
мулу (61) дает относительную погрешность порядка , теорема взаим-

ности приводит -к более точным результатам.

В данном параграфе для простоты мы не учитывали нулей функ-
ций /(“О и ^(о>) в знаменателях подынтегральных выражений (43),
(51) и (52); вычеты в соответствующих полюсах дают „паразитные"
решения порядка ка и (ка)2, которые не влияют не сделанные выводы.

§ 4. Характеристика излучения передающего вибратора

При анализе поля излучения в теории антенн обычно ограничи-
ваются вычислением характеристик по синусоидальному распределению
тока вдоль вибратора или сводят задачу к численным квадратурам от
более точных распределений тока.

Найденные в[:] приближенные формулы для тока в передающем
вибраторе можно переписать в виде

д (z) = [ф (|z|) е«И _ (z _ Z1)	- Я2ф (z2 - z) е-П (62)

2 In 9

где € есть сторонняя эдс, приложенная к точке z = 0, а постоянные

Bl = [Ф (~*1) — Ф (Z2 — Zl) Ф (Z2) ^‘4  Г) »
и	(63)

Вч = [Ф (г2) — Ф (z2 — *1) Ф (—Xj)	—Q-

удовлетворяют линейным уравнениям

Ф(—г»)«-«*'• — В, — 58ф(г2 — г1)е_ы'» = 0, ]
ф (z2)	- В$ (z2 - z,)	В2 = О, J

выражающим тот факт, что на концах вибратора ток равен нулю.

Поле излучения передающего вибратора имеет вид

еЛг

Ед= Нд=£ F ($).	(65)

Чтобы вычислить комплексную характеристику излучения F($), доста-
точно воспользоваться теоремой взаимности и результатами § 1. По фор-
мулам (6), (17), (20) и (39) ток в точке z = 0 пассивного вибратора
равен

<«)
где

Г(») =--------L_------ (1 _ [ф_ (_Z1) _ В2ф_ (Z2 __ Z1)]	+	_

2sinainTfcdi^&

- [ф+ (z2)- B^+ (z2 - z,)] екг'(1 "cosd))>	(67)

a Bx и B2 — те же постоянные (63). Из теоремы взаимности нетрудно
заключить, что функция (67) есть искомая характеристика излучения
передающего диполя, фигурирующая в формуле (65). Выражение (67)
является тем более точным, чем длиннее вибратор и чем дальше точка
питания отстоит от концов (ср. конец § 2).

Формулу (67) можно физически интерпретировать следующим обра-
зом. Первое слагаемое (единица) в фигурной скобке дает характеристику
излучения бесконечной однопроводной линии; это — сферическая волна,
расходящаяся от точки питания. Слагаемые, пропорциональные функ-
циям <|»_(—zj и ф+(г2), возникают вследствие того, что „первичная"
волна тока, возбуждаемая эдс в однопроводной линии, обрывается в точ-
ках z = Zj и z = z2; они дают волны, расходящиеся от концов виб-
ратора.

Слагаемые, пропорциональные Вг и В2, обусловлены волнами, воз-
никающими в результате отражения „первичной" волны тока от концов
вибратора и повторных отражений. Это также сферические волны, рас-
ходящиеся от концов вибратора, но отличие их от волн, рассмотренных
выше, следующее: 1) они имеют резонансные свойства: при D«0,
когда Bi и В2 велики [см. формулу (63)], амплитуда этих волн велика;
2) диаграммы направленности их другие, они определяются полной дли-
ной вибратора, функциями ф+ (z2 — zj, положение точки питания опре-
деляет лишь коэффициенты Bi н В2, не зависящие от угла &, в то время
как волны, возникающие в результате обрывания первичного тока, имеют
диаграммы ф_(—zj и <l>+(z2), зависящие непосредственно от расстояния
точки питания до концог-

Легко видеть, что ф' • хция (67) удовлетворяет соотношениям

F(0) = F(ir) = 0.	(68)

Действительно, при & = 0 мы имеем g+ = 0,	=	ф+(г) = 1 и

ф_ (z) = ф (z), поэтому фигурная скобка в формуле (67) равна нулю в силу
первого уравнения (64). При & = к мы имеем q+ = q, <?_ = 0, ф_ (z) = l
и ф+(г) = Ф(г), и из второго уравнения (64) вытекает равенство функ-
ции (67) нулю.

Отметим, что излучение достаточно длинного передающего вибра-
тора должно концентрироваться вблизи направлений 0 = 0 и В =«.
Такая концентрация была отмечена Белкиной [2], исследовавшей поле
вытянутого эллипсоида вращения, возбуждаемого с одного конца. Впро-
чем, элементарная теория вибраторов ([$]) приводит к аналогичному эф-
фекту: для длинного вибратора лепестки диаграммы направленности,
наиболее близкие к его оси, имеют наибольшую величину. Это явление
отображается формулой (67) тем точнее, чем больше расстояние (в дли-
нах волн) от точки питания до обоих концов вибратора.

Заключение

Метод медленно меняющихся функций, первоначально примененный
в [*] для вычисления тока и импеданса передающего вибратора, в данной
работе позволил найти ток пассивного вибратора и характеристику из-
лучения передающего вибратора. Получающиеся при этом выражения
допускают наглядную физическую интерпретацию и содержат те же функ-
ции ф(г) или Ф (х, q), которые были введены в [1]. Табулирование этих
функций даст возможность легко производить расчеты вибраторов ан-
тенн.

Выражаю свою благодарность В. А. Фоку за ценные замечания.

Литература

[1] Л. А. Вайнштейн. ЖТФ, наст, вып., стр. 773. — [2] М. Г. Белкина.
Характеристики излучения вытянутого эллипсоида вращении. Сб. „Диффракции электро-
магнитных волн на некоторых телах вращении", Сов. радио, М., 1957. —
[3] Дж. А. Стр этой. Теория электромагнетизма, стр. 390, ОГИЗ, Техиздат, М.,
1948. — [4] Л. А. Вайнштейн. Диффракции электромагнитных и звуковых волн на
открытом конце волновода. Сов. радио, М., 1953.

Институт физических проблем	Поступило в Редакцию

АН СССР	28 мая 1958 г.

Москва
СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕГО ПОЛОГО ЦИЛИНДРА
КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

П. Л. Капица, В. А. Фок и Л. А. Вайнштейн

Работа посвящена теории симметричных электрических колебаний проводящего
цилиндра, т. е. таких влектромагнитных колебаний, при которых ток течет вдоль
цилиндра я распределен равномерно по его окружности. Сформулировано точное
интегральное уравнение, связывающее векторный потенциал на поверхности цилиндра
с током при любом способе возбуждения колебаний; произведено преобразование
интегрального уравнения к бесконечным системам линейных уравнений, связывающих
коэффициенты равложеиия тока и векторного потенциала в тригонометрические ряды.
Даны формулы для вычисления элементов матрицы каждой из атих систем, и пока-
зана возможность решения методом итераций. Произведено сравнение предложенного
метода расчета с теорией тонких вибраторов антенн.

§ 1. Интегральное уравнение

Рассмотрим интеграл

2х L

ikR

~^-S(z', <?')ad<?fdz',

(1.01)

распространенный на боковую поверхность цилиндра, имеющего радиус а
и высоту 2L, причем

/? = \/(z — z"f" -j- a2 -J- г2 — 2ar cos (<р — <р')

(1.02)

есть расстояние от некоторой точки z', a, <?г на цилиндре до произ-
вольной точки z, г, ср, а к есть волновое число = где — длина
волны). Функция V удовлетворяет волновому уравнению

ДУ+^У=0,	(1.03)

граничному условию на поверхности цилиндра

дУ I

дг |г=о+о

дУ

dr |r=a—0

(1.04)

и условию излучения Зоммерфельда.
е«в

Функция —, являющаяся фундаментальным решением
уравнения, может быть разложена в ряд
е«в „

= 2^ E./r cos s (ср — ?')>

волнового

(1.05)
где е, есть множитель Неймана

а	ео=1. ei = e2 = ..- = 2,	(1.06)  1 7 е<кВ  f, =	1 —р— cos s (tp — <р'} d (<р — <р’)	(1.07)  0

или

(1.08)

cos w(z — z')

/, (x]w2 — k2 г) К, (V’®'2 — k2 a))
/., (x/w2 — k2 a) Ka (x]w2 — k2r) J

где верхнюю строчку в фигурной скобке нужно брать при г<^а,
нижнюю — при r^>a, I, есть модифицированная функция Бесселя,
Kg — функция Макдональда. При w <С к следует сделать замену

xjw2— k?“=—i xjк2— w2 (xj к2 — го2 О)	(1.09)

и воспользоваться формулами

4 (—«*) = е 2 Jg (х),

. ж

K,(—ix) = i ^е’2Н^(х),

где есть первая функция Ханкеля. Таким образом, при
будет

I, (xjw2 — к2 г) К,(xjw2 — к2 a) = i J, (xjk2 — w2 г) H^(xjk2— w2 a),
£

1Я (V®2 — к2 a) Kg (xjw2 — к2 r) = i^ J, (xjk2 — w2 a) (xjk? — w2 г)-

(1.10)

w<jk

(1.11)

Для вычисления интеграла (1.07) мы можем использовать разло-
жение

+	£(МЛ (cos(?-'/)), (1.12)

__л	п	о

где Р, — полином Лежандра (ср. [J], стр. 399). Параметры и и v опре-

деляются формулами

так что

ц = [\/(z — z’)2 ч- (г -I- а2) ч- V(z — z')2 ч- (г — а2)1,

v = \[xj(z — z’)2 ч- (г ч- а)2 — xj(z — z')2 ч- (г — а)2],
tf	•

...2"и|

ср').

(1.13)

(1.14)



2uv cos (<f> —

Подставляя разложение (1.12) в формулу (1.07) и интегрируя по-
членно, будем иметь

СО

/,=^= y(s4-2v4-l)aa^Hw х (ku)J ^kv),	(1.15)

VUW	»+2»+—	» + 2v+ —
где коэффициент а, равен

1 Г ч- „ )
а, = -^=-	•	(1.16)

Заметим, что отдельные члены ряда (1.15) выражаются в конечном
виде. Можно написать приближенные выражения для /, при условии

&и<1.	(1.17)

Например, при s = 0 мы получаем

Ли

/o = -V[l + 0(^2)].	(1.18)

Функция fe зависит, кроме переменной г, от разности z — z, так что
fs=fAri 2 —2'}- Мы можем написать разложение этой функции в ряд
Фурье для промежутка —2L <Z z — z' <Z 2L в виде

CD

ft = -^'^erF„cosyg(z — z'),	(1.19)

ч=0

где

(1.20)

В разложение (1.19) входят только косинусы, так как f, есть четная
функция z — z'\ по той же причине коэффициенты F,4 равны

21

F., — j f,(r, zjcosvgzdz.	(1.21)

о

Если положить поверхностную плотность S в интеграле (1.01) равной

S{zt ф')—2^7£/,(«')coss<p',	(1.22)

то функция V выразится в виде

V= (г, z) cos stp,	(1.23)

где

L

V,(r, z)= j f,(rt z— z') U,(z')dz'.	(1.24)

—L

Таким образом, функция /, является ядром интегрального уравнения,
связывающего „плотность" U, с „потенциалом" V,. К уравнениям этого
типа приводится ряд задач математической физики (ср., например, [2]).
В данной работе мы рассмотрим задачу об электромагнитных колеба-
ниях идеально проводящего цилиндра („антенного вибратора"), причем
ограничимся наиболее интересным случаем, когда поверхностная плот-
ность тока на цилиндре имеет только продольную составляющую jtt
не зависящую от азимута <?; такие колебания естественно назвать —
в духе волноводной терминологии — симметричными электриче-
скими колебаниями цилиндра.

В задаче о симметричных электрических колебаниях полого цилиндра
векторный потенциал имеет единственную составляющую

1 г" Г eikR

f -^-jA^ad^dz.	(1.25)

0 —X
Отличные от нуля составляющие электромагнитного поля равны

= = (L26)
причем на поверхности идеально' проводящего цилиндра должно выпол-
няться граничное условие

Егч-£’ = 0	(—Z<z<£, г = а),	(1.27)

где Е‘ есть составляющая стороннего поля, возбуждающего цилиндр.
Если мы обозначим

V (z) = с АД	U (z) = 2vaj, (z’),	(1.28)

то неизвестная функция U(z), равная полному току через сечение
z = const, будет удовлетворять интегральному уравнению вида (1.24)

L

V (z) = j f(z - z') U(z’) dz',	(1.29)

—L

в котором f(z — z) = f0(a, z — z'} есть ядро, a

17 (z) = C°(7° (z)-4-C cos Az H-C"s in &z	(1.30)

есть функция, которая выражается через заданную функцию V® (z),
зависящую от распределения составляющей Е*3 по длине цилиндра, и
содержит постоянную С°, зависящую от амплитуды стороннего поля, и,
кроме того, две неопределенные постоянные С и С. Искомая функ-
ция U(z) должна удовлетворять дополнительным условиям на концах
цилиндра

U{—L) = U(L) = 0 или, точнее, U(—L-t-Q) — U(L—0) = 0, (1.31)
благодаря которым задача становится однозначной и мы получаем;
в частности, возможность найти неопределенные постоянные С и С.

§ 2. Система линейных уравнений

В этом параграфе мы сведем интегральное уравнение (1.29) к беско-
нечной системе линейных уравнений. Важную роль в этой системе
играют коэффициенты

Л = | /(z)cosv^zJz,	(2.01)

о

позволяющие разложить функцию /(z — z') в ряд Фурье

/(z — zr) = £	cos (z — z>)	(-2L <Zz — z'<2L) (2.02)

v=0

[ср. формулы (1.19) и (1.21)]. Написав F, в виде

СО	со

F, = J f (г) cos vgzdz — j /(z) cos vgzdz	(2.03)

0	2L

и применяя формулу (1.08) при s = 0 и г = а, мы будем иметь

Г, = Л — А2 а) Ко —А2 а)ч- ДЕ,.	(2.04)
Для величин

AF, — — j /(z) cos ^gzdz

S£

(2.05)

нетрудно вывести приближенные формулы, если выполняются условия

(2.06)

В последнем условии левая часть является произведением парамет-
ров ка и , каждый из которых на практике является обычно малым.
Пользуясь формулой (1.18), мы можем заменить функцию /(z) в инте-
грале (2.05) приближенным выражением

(2.07)

так как параметры и и v в данном случае равны

и = 4 (Vz2 -+- 4а2 + z) « z +
Л

v	~ (^z2 -+- 4а2 — z) я» — ,

2	2

(2.08)

Окончательно получаем приближенную формулу

AF, = 4 [Е (2kL -ь vk) н- Е (2kL — >к)],
£>

(2.09)

в которую радиус цилиндра а уже не входит; через £(х) обозначена
функция

Е (х)... ^Зхх -1 isix — "

при х>0,

(2.10)

Е (х) = Е* (—х) = Ci (—х) — zsi (—х)

при х<0,

выражающаяся через интегральный косинус и интегральный синус.

Излагаемый ниже метод позволяет, в сущности, решить задачу и
без использования приближенной формулы (2.09); однако точное вычис-
ление Д/\ связано с громоздкими численными квадратурами, в то время
как расчет AF, по формуле (2.09) производится без труда.

Ядро интегрального уравнения (1-29), т. е. функция /(z — z'), зави-
сит от абсолютного значения разности z — z'. Отсюда нетрудно заклю-
чить, что четность функций U и V относительно z будет одинаковой:
если U—четная функция от z, то и V—четная, а если U — нечетная,
то и V—нечетная.

Положим для определенности, что обе функции — четные, и разло-
жим их в ряды Фурье

V (z) = S	COS ngZ,

Я

и(z) = S-efcos qgz,
4
где индексы п и q. здесь и в дальнейшем принимают все четные зна-
чения, включая нуль

п, 9 = 0, 2, 4, ....	(2.12)

а используемые ниже индексы тир — все нечетные значения

т, р = 1, 3, 5, ...	(2.13)

По теореме Фурье имеем

L

V(z)cos ngzdz,	(2.14)

—L

и вследствие интегрального уравнения (1. 29)

L

К =	[ J/(z — zr) cos ngzU(z') dzdzr.	(2.15)

—L

Подставляя сюда ряд Фурье для функции fZ(z'), получим систему
уравнений

=	(2.16)

г

где

L

z1) cos ngz cos qgz'dzdz'.	(2.17)

—x

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, мы подставляем вместо
/(z— z') ряд (2.02), и в результате почленного интегрирования получаем

Лв? = -I Е д	anmafmF,Л,	(2.18)

т

где есть символ Кронекера (8яг=0 при n=^=qt 8„„ = 1), а коэф-
фициенты аят равны

=	cos ngz cos mgzdz = (—1) 2 -n-2^2-	(2.19)

0

В данном случае функция (1.30) имеет вид

V(z) = C°V° (z) + С cos kz,	(2.20

поэтому коэффициенты V„ равны

vs=c°v°„-t-cv'a,
где
п

К = S1^£~~ »	=-^2 kL sin kL --------- (Л=2, 4, ...). (2.21)

(—) ~”2

Величины V, содержат одну неопределенную постоянную С. Усло-
вия (1.31) дают дополнительное соотношение

п	я

Se,(-l)2f7e = 0 или £/0 = -2S'(-l)’ UK, (2.22)
где через Л обозначено суммирование по всем четным л, за исклю-
л

чением члена п = 0.

Если мы разложим неизвестную функцию U(z) в ряд иного вида
(/(z) = 2 cos mgz,	(2. 23)

m

то коэффициенты Um и Un будут связаны соотношениями

ц»=4 5	=4 2	(2.24)

n	m

A&tko показать, что условия (1.31) и (2.22) накладывают некоторое
ограничение на поведение нечетных коэффициентов Um при т -> со, которое
трудно учесть при численных расчетах, когда по необходимости прихо-
дится брать конечное число Um.

Если обе функции P'(z) и U(z) нечетные, то по той же причине мы
представляем их в виде рядов

V(z) = 2 emVm sin mgz,
m

U[z) = ^f Up sin pgz
p

и приходим к бесконечной системе уравнений

V =У,Е U

Р

где

L

Е»р = J j/(* — z') sin mgz sin pgz'dzdz'.

—L

(2.25)

(2.26)

(2. 27)

С помощью ряда (2.02) коэффициенты Emp преобразуются к виду

2M-₽e-F"’	(2.28)

Я
где
Z	n-t-fnHhl

Рвт = g J sin ngz sin mgzdz — (—1)	2	.	(2.29)

о

Функция V(z) задается в виде

V (z) = C°V° (z) 4- C sin kz,	(2.30)

поэтому коэффициенты
m-4-1

Vm=C°V^~v-CVm, где Vm=-^kL coskL --------------------, (2.31)

I--) — m2

\ w /

зависят от неизвестной постоянной С, которая определяется из соотно-
шения

ЯМ-1

2(—1) 2 Ua = 0,	(2.32)

вытекающего из условий (1.31).
Разлагая неизвестную функцию U{z) в обычный ряд Фурье
U (z) = 2 ея^4 sin ngz	(2.33)

Я

и сравнивая с разложением (2. 25) той же функции, мы получаем соот-
ношения между Um и U,

ип=1^яяеяия,	ия=^^тит,	(2.34)

я	m

аналогичные соотношениям (2. 24) для четной функции U(г). Поскольку
каждый член ряда (2.33) удовлетворяет условиям (1.31), теперь ограни-
чение накладывается на поведение четных коэффициентов Un при п-»со.

Формулы (2. 24) справедливы для любой четной функции U(я), а фор-
мулы (2. 34) — для любой нечетной функции U(я). Поэтому коэффициенты
Яят и ₽ят удовлетворяют УСЛОВИЯМ

п2 ет ея®ятаяр-- ет ея?ят?яр---------- ®тр	(2. 35)

Я	п

И

"^2* 6" emanmajm ~~ ‘^5* 6я ея>?яя1Р{»1	®я?>	(2. 36)

т	т

которые можно назвать соотношениями ортогональности.

Заметим, что если функции Е, и V (z) не являются ни четными, ни
нечетными, то они всегда могут быть представлены в виде суммы чет-
ной и нечетной функции, для каждой из которых следует найти соот-
ветствующую функцию U(z) — четную и нечетную, сумма которых и дает
искомый ток на поверхности цилиндра.

§ 3. Преобразование системы уравнений

Коэффициенты Dnq и Етр, определенные формулами (2.18) и (2.28),
образуют бесконечные матрицы. Попытаемся разложить матрицы ||D,g||
и |[EmJ)|| на сумму диагональной матрицы (у которой отличны от нуля
только элементы, стоящие на главной диагонали, т. е. при n = q или
т — р) и матрицы общего вида, причем так, чтобы элементы диагональ-
ной матрицы в каком-то смысле играли преобладающую роль. Для этого
представим коэффициенты D„q и Егар в виде

где

£>ng — 2/**</яд,

®тр == nfimp empi

(3.01)

причем мы использовали соотношения ортогональности и то обстоятель-
ство, что рот = О.

Оставляя исследование вопроса об относительной малости коэффи-
циентов d„s и emf до §§ 4 и 5, мы запишем системы уравнений (2.16)
и (2. 26) в виде

К = 2ГЛя-ь2ад.

'	(3.03)

Vm = 2FmUm4-^emfUf
р	'
и будем предполагать, что их можно решать методом итераций (ср. [3]).
Это значит, что, переписав уравнения (3.03) в виде

(3.04)

мы в нулевом приближении вообще отбрасываем суммы	и 2сшр£/р,

Я	Р

т. е. полагаем

И Um==2j^Vm'>	(3.05)

затем подставляем эти значения в суммы и получаем U„ и Un в первом
Приближении, затем при подстановке значений первого приближения
в правые части формул (3.04) получаем U„ и Um во втором приближении
и т. д. Ясно, что сходимость этого процесса определяется величиной
отношений тгтг- и .

Непосредственному применению описанного выше метода итераций
препятствует то обстоятельство, что, согласно формулам (2.21) и (2.31),
коэффициенты и V* содержат неопределенные постоянные. Поэтому
мы ищем коэффициенты U„ в виде

U^C^U^CU'n	(3.06)

и получаем для и U„ системы уравнений

(3.07)

свободные от неизвестной постоянной С. Последняя определяется из
условия (2.22), а именно

С= — С°----------:— .	(3.08)

Аналогичным образом, записывая коэффициенты Um в виде

ит

'ml

(3.09)

мы получаем системы уравнений
и неизвестную постоянную

S(-i) 2 и°т
с=-с^—нг-
£(“!) 2 "т

(3.11)

Среди величин U„ и D„t величины £70 и DO1 занимают несколько
особое положение (ср. § 5), поэтому Uo можно рассматривать как допол-
нительную неизвестную постоянную и искать остальные коэффициенты
Un в виде

U„ = C°U* + CU, -+- U0U".	(3.12)

Переписав уравнения для коэффициентов Un следующим образом

— DmU0-i- D^Uq,
я

Vn = 2F,t/„-+- d„0U0 -+-2 d,qUq (n = 2, 4,...),
9

(3.13)

мы легко получаем для новых величин Un, U„ и Un систему уравнений

(3.14)

а неизвестные постоянные С и Uo определяются из соотношения (2. 22)
и. первой строчки формулы (3.13): для них получается система двух
алгебраических линейных уравнений

Я

= —(—1)2£/я,
п

S'DO.^-VS
я

(3.15)

откуда они легко находятся.

Возможны и другие преобразования систем (3.03). Так, например,
с помощью второго соотношения (2.22) систему уравнений для коэф-
фициентов U„ можно записать следующим образом

Vu = 2FnUa -ь S' JntUt (п = 2, 4, ...),	(3.16)

Я
где
^ = <4г-2(-1)2<40.	(3.17)
Если искать коэффициенты (при п — 2, 4, ...) в виде (3.06),
то для U° и Un получаем уравнения

и0——

L "	2F.



а постоянная С равна

С = —С°

п = 2, 4 ..

(3.18)

(3.19)

ч



где

ч_

’о? = Воя — 2 (—1)2 Dm.

В §§ 4 и 5 мы произведем анализ полученных выше систем, на
основании которого для расчета коэффициентов U* будет выбрана
система (3.14), а для расчета коэффициентов U„ — система (3.07).

§ 4.	Сравнение с теорией тонких вибраторов

Если выполняются условия

ка<^1, ga<^l	(4.01)

и индекс v не слишком велик, то формулу (2.04) можно переписать
в виде

= ln W 2 V' и' '	= 1п /и 2‘ ГТ '	02>

7 VM^2 — к* а	7 ул2 — v2^2 а

где

7 = 1.781..., In i = i	(4.03)

£

и AF, следует вычислять по формуле (2.09), так как из условий (4. 01)
вытекают условия (2.06).

Если применять формулы (4.02) и (2.09) при любых *, то мы
приходим к системе линейны* уравнений, полностью эквивалентных
„линеаризированному" интегральному уравнению Халлёна[4] и интегродиф-
ференциальному уравнению Леонтовича и Левина [5] для тонкого цилиндри-
ческого вибратора. Во всех этих уравнениях малый радиус цилиндра а
входит только под знаком логарифма, так что при весьма малых а
можно ввести большой логарифмический параметр

2 == 2 In	(4.04)

и получить решение в виде разложения по обратным степеням 2,
определяющего асимптотические свойства вибратора при а -► 0. При
этом в работах Халлёна положено * =	> а в работе Леонтовича и

Левина х = к, в то время как из формулы (4.02) видно, что для коротких
вибраторов (k<^.g) целесообразно брать х ~ g, а для длинных (k^g)
лучше положить х — к.
Для того чтобы получить разложение по обратным степеням 2
в рамках систем (2.16) н (2.26), достаточно представить коэффи-
циенты (4. 02) в виде

=	=	(4.05)

где слагаемые

G, = ln

2х

7	— №

+-&F,,

(4.06)

от а не зависят. Тогда формулы (3.01) и (3.02) дают следующие выра-
жения

D„4 = 28я? -+- dnq, 1

причем слагаемые

d„q = 2G„8„g -+• -^ e? 2 “««A™	— Gn),

16	(4’08)

ётр = 2Gm8mp 4---2- ₽„mP»p (G„ — Gm)

я

уже не зависят от а.

Преобразовывая системы (2.16) и (2. 26) согласно формулам (4.07)
и произведя конечное число итераций, описанных в § 3, мы в силу
соотношений (3.08) и (3.11) получаем выражения для коэффициентов £/,
и U„ в виде дробно-рациональных функций , а в нулевом приближении
[ср. формулы (3.05)] распределение тока вдоль вибратора совпадает
с распределением тока в однородной передающей линии, разомкнутой
на концах и подчиняющейся телеграфным уравнениям.

К подобным выражениям приводит теория Халлёна, поэтому мы
не будем на них останавливаться. Важно отметить, что при а -> 0
в правых частях выражений (3.01) первые слагаемые являются пре-
обладающими, поскольку матрицы и ||emJ, как и матрицы ЦЗяд|| и
не содержат большого логарифмического параметра, входящего в диаго-
нальные матрицы [|2F„8„g[| н ||2Fm8mj|.

Выражения (3.01) являются более гибкими, чем выражения (4.07),
поскольку в выражениях (3.01) каждому коэффициенту U„ и Um сопо-
ставляется при а->0 свой большой логарифмический параметр [см. фор-
мулу (4.02)] и трудностей с выбором параметра х в формуле (4.04)
не возникает. Метод итераций, изложенный в § 3 в связи с различными
системами уравнений, применим как для формул (2.04), так и для фор-
мул (4.02), хотя сходимость итерационного процесса требует дополни-
тельного исследования (ср. § 5).

Если выполняются условия (4.01), то формулу (4.02) можно приме-
нять лишь при дополнительном условии

1	L

ga а

(4. 09)

Считая же ее справедливой при всех v, как это фактически делается
в теории тонких вибраторов, мы допускаем ошибки в мелких деталях
распределения тока, в частности, скопление заряда у концов цилиндра
передается не вполне точно. В противовес этому формула (2.04) сов-
местно с приближенной формулой (2. 09) дает [при условиях (2.06)] прак-
тически точные результаты, так что погрешность вычислений в основ-
ном определяется заменой бесконечных рядов конечными суммами.

Поведение элементов матриц ||D„?|| и ||EmJ)| при а -> 0 еще не харак-
теризует достаточно полно систему уравнений, в частности, оно не
позволяет сделать выбор между системами (3.07), (3.14) и (3.18).
Поэтому в следующем параграфе мы рассмотрим вопрос о регулярности
систем уравнений, выписанных в § 3.

§ 5.	Вполне регулярные системы уравнений

Возвратимся к формуле (2.04). При v -> со аргумент функций 10 и
Ко велик, и мы имеем

/.	Л. W»V=^ °)» ,	* „ ~ 2^

— к* а

(при v^a>l и *£>&).

Слагаемое AF, в формуле (2.04) будет убывать при v->oo быстрее,
чем выделенный член (5.01). В этом можно убедиться, производя в фор-
муле (2.05) интегрирование по частям

	Af4 = Z.1?—)Л——_L. j у' (г) sjn 4gzdz = s	S 4L  =	^2„2 f f (z) COSVgzdz	(5.02)  2b

и замечая, что sin = sin vk = 0. Пренебрегая слагаемым, убываю'

щим	I как , мы получаем  vy	или	>2^2		>	(5.03)
если сать	применима формула (2.07). Поэтому для величины можно напи- выражение  	(5- 04)

где 8, ->• 0 при v -> со.

Подставим выражения (5.04) в формулы (3.02) и воспользуемся

следующими тождествами

»+?

8	____ 1 i  / 2 .

Я» -Zl m -------2n "«	'

m

8 X1' РятРяр ___ Is , { ч \ 2

-----H-(—1)

I*

(5.05)

где величины равны
, /1 -+- n\ /1 -+- <Л
f _ 4 H 2	2 )	,

------ при Л=И=<Л

.	1 V v 2 / _xn

* « =	----д-- при n 0,
а величины smp определяются формулами

(5.07)

Под ф(х) подразумевается логарифмическая производная гамма-функ-
ции. Все эти соотношения доказываются с помощью формулы суммиро-
вания

= Ф (?) — Ф (а)>

(5.08)

причем используется также формула

(4"ьа) = ф(1’ — a)-»-«tgK<x,

(5.09)

позволяющая выразить значение функции ф для аргумента, меньшего у,
. 1

через ее значение для аргумента, большего у .

Окончательно величины и етр преобразуются к виду

n+g

Г ____ ед ____ z___-j \ 2 . вп	s 8	бд,

"»	2ga	'	2n	ic2	m

L	т

(5.10}

Целью преобразований, произведенных в § 3, являлось получение
„вполне регулярных" систем уравнений, которые можно решать после-
довательными итерациями (см., например, [3]). В случае систем (3.04),
(3.07) и (3.10) условия полной регулярности запишутся так

£Ю<2Г„(1-р), где Р>0 и п = 0, 2, 4, ...	(5.11)

t

и

2F«(1—р), где р>0 и

т = 1, 3,

(5.12)

а в случае системы (3.14) так

S'I dnt I < 2Fn (Г— р), где ?>0 и п = 2, 4, ...	(5.13)

ч

Мы докажем эти неравенства в предположении, что 8, = 0 при
<>0. Так как величины 8, убывают с возрастанием индекса * и играют
роль поправки, то следует ожидать, что рассматриваемые системы
остаются вполне регулярными и без этого пренебрежения, однако дока-
зательство последнего утверждения, отсутствует.

Так как величины и smp положительны, то при 8s = 0 фор-
мулы (5.10) дают

I daq |= ^ng и I emp I = ~ sw	(5. 14)
Из определений (5.05) величин tBJ и smf и условий ортогональности
(2.35) и (2.36) вытекают тождества

(5.15)

откуда для величин (5.14) получаются следующие соотношения

I | — 2nga	‘ ’ *)’

7

Vie i=_l_

1 т₽ 1 2tnga ’
Р

(5.16)

так что в силу формулы (5.04) неравенства (5.11) и (5.12) можно считать
доказанными ^при В, = 0 и р = у), за исключением неравенства (5.11)
при л = 0, поскольку формула (5.04) при ^ = 0 теряет смысл. Последнее
обстоятельство заставляет перейти от системы (3.07) к системе (3.14),
для которой в силу неравенства

7	7

(5.17)

можно считать доказанными условия полной регулярности (5.13) при

Р=У .

Таким образом, системы (3.14) и (3.10), в которых величины F,
вычисляются по формулам (2. 04) и (2.09), являются вполне регулярными
в двояком смысле: во-первых, асимптотически (при 8, ->0), а во-вторых,
для весьма тонких цилиндров (при а -> 0, ср. § 4). Это свойство выгодно
отличает данные системы уравнений от других систем, к которым можно
привести рассматриваемую задачу, поскольку оно позволяет применить
метод итераций.

В заключение отметим, что система (3.18) не является регулярной,
однако она полезна для исследования поведения LP и If, при и-><х>.
В самом деле, при 8, = 0 из формул (3.17) и (5.10) мы получаем

(5.18)

откуда видно, что ряды	и	при л->со убывают как

1	7	7

Поскольку V* и убывают как a Fn — как —, то U„ убывают
1
как — или быстрее.
§ 6. Электростатические задачи. Замечания

В работе [г] для решения электростатических задач, относящихся
к полому проводящему цилиндру, был предложен иной метод, особенно
эффективный в случае сравнительно коротких цилиндров. Электростати-
ческие задачи можно также решать методом, изложенным в данной ра-
боте. Чтобы не заходить слишком далеко, мы ограничимся электроста-
тическими задачами, которые можно трактовать как предельные (при
*0) случаи электродинамических задач, рассмотренных выше. В ка-
честве примера мы возьмем задачу о цилиндре в однородном электро-
статическом поле Ео, направленном вдоль оси цилиндра.

В электростатике выводится (ср. [2]) интегральное уравнение, связы-
вающее потенциал Ф = Ф (z) на поверхности цилиндра с погонным заря-
дом Q = Q (z). Функции Ф и Q связаны с введенными выше функ-
циями (1. 28) следующими соотношениями

ф_±*К	/б0В

/ш <Jz ’ V —iio dz '	(b.ui)

При fc-»0 первая формула (1.26) принимает вид

так что граничное условие (1. 27) записывается следующим образом

— = iwEet при —Z<z<L.

(6.03)

Множители /ш в результате сокращаются, и мы получаем решение
электростатической задачи, соответствующее частоте ш = 0.

Если

E*t = Ео = const,	(6.04)

то формула (б. 03) приводит к выражению

V (z) = /ш (у Eoz2 -+- с) ,

(6.05)

где С — неопределенная -постоянная. Отсюда коэффициенты V„ полу-
чаются равными

Уя = С°170ч-С717;(	(6.06)

где
я

уо = 1. уо = _при Л = 2, 4, ...,
и	я	‘	'	7



|/7 _ §
я Оя

и С есть новая неопределенная постоянная. Разлагая функции U(z) и
I7(z) в ряды (2.11) и полагая во всех расчетных формулах к = 0, мы
приходим к решению интересующей нас статической задачи.

Величины F, следует вычислять по формуле

/% = /с (v^a) Ко (vga) -+-

где

Д/% = Ci (vrc)

при

(6.09)
Если мы при любых v применяем формулу

Г, = 1п-^-ьДГ„
»	-pga	”

(6.10)

то это эквивалентно переходу от точного интегрального уравнения,
связывающего потенциал Ф и плотность заряда Q, к приближенному
интегральному уравнению

L

W(z) = jln^^Sgn(z^z')Q(z')Jz',	(6.11)

—L

справедливому для достаточно тонких цилиндров, в котором

W (z) = V(z) = j Ф (z')dz'.	(6.12)

Принципиальное различие методов, предложенных в статье [2] и
в данной работе, заключается в следующем: в статье [2] плотность за-
ряда на поверхности полого цилиндра представлялась рядом, каждый
член которого имел нужную особенность на концах цилиндра, в то время
как выше мы разлагаем ток U(z) в ряды (2.11) и (2.25), которые пе-
редают накопление заряда у концов цилиндра за счет плохой сходимости
рядов для производной U'(z) при	Можно думать, что влияние

концов на сходимость рядов для U(z) во всем интервале —L <С 1 <ZL
существенно лишь в случае короткого цилиндра	а в случае

длинного цилиндра 1) влияние его концов не препятствует при-
менению метода, изложенного в предыдущих параграфах.

В заключение сделаем несколько замечаний, связанных с практиче-
ским применением изложенной выше, методики для численного решения
статических и динамических задач.

При проведении численных расчетов приходится все бесконечные
ряды заменять конечными суммами, например, для четной функции U(z)
писать

N

U(z) = ^ ея£/я cos ngz,	(6.13)

n=0

а нечетную функцию U(z) представлять в виде

м

U(z) = 2 Sin mgz.	(6.14)

m=l

Числа N и M можно оценить следующим образом. Известно, что
распределение тока U(z) вдоль вибратора имеет характер стоячих волн,
т. е.

U(z) = A (z) cos kz -+- В (z) sin kz,	(6.15)

где A (z) и В (z) — медленно меняющиеся функции (ср. [®]). Ряды (6.13)
и (6.14) передают это распределение, если выполняются условия

-~kL и M^-~kL.	(6.16)

я	я

При больших kL данный метод расчета становится громоздким. Для
тонких вибраторов (£а	1) в этом случае следует пользоваться прибли-

женными формулами статьи [6], точность которых увеличивается с ро-
стом kL.
Заметим, что с увеличением /V и М ряды (6.13) и (6.14) передают
все более тонкие детали в распределении тока, в частности накопление
заряда на концах. До тех пор, пока индексы v (я или т) удовлетворяют
условию (4.09), мы можем использовать формулу (4.02). При дальней-
шем увеличении N и М лучше применять более точную формулу (2.04),
однако результаты, получаемые по формуле (4.02) вне пределов ее при-
менимости, также представляют интерес, так как прн этом мы, в сущ-
ности, решаем нашим методом приближенное интегральное уравнение
теории тонких вибраторов (ср. § 4).

Если используется выражение (2.04) для величин /\, то вычисление
dn!J и етр рекомендуется производить по формулам (5.10), заменяя ряды
2 и 2' конечными суммами (т = 1, ..М; п = 2, IV), и эпреде-
m п
ляя 8, по формуле (5.04)

8, = 2vgaF,— 1.	(6.17)

Строго говоря, М к N нужно выбирать так, чтобы выполнялись
условия

8^1 и 8„<1,	(6.18)

однако меньшие значения М и N также представляют интерес. Приме-
няя выражение (4.02) при всех », мы можем вычислять dn<t и етр непо-
средственно по формулам (3.02).

Заключение

Симметричные электрические колебания цилиндрических проводников
представляют значительный интерес для радиотехники и потому иссле-
довались в целом ряде теоретических работ. Однако большинство этих
работ ограничивается случаем весьма тонких проводников, для которых
параметр (4.04) достаточно велик, что на практике часто не имеет места.

Вычислительный метод, предложенный в данной работе, свободен от
этого ограничения. В этом методе задача о колебаниях цилиндрического
проводника [полого цилиндра, при условиях (4.01) электродинамически
эквивалентного сплошному проводящему цилиндру] сводится к беско-
нечным системам линейных уравнений, связывающих коэффициенты раз-
ложения векторного потенциала и тока на поверхности цилиндра в три-
гонометрические ряды. Выведены формулы для вычисления элементов
матриц этих систем и показано, что искомое решение можно найти ме-
тодом итераций, не прибегая к вычислению определителей.

Полученные соотношения позволяют решать задачи данного типа
с помощью быстродействующих вычислительных машин.

Лвтература

[1] Г. Н. Ватсон. Теория бесселевых функций, ч. I. Изд., ИЛ, М., 1949. —
[21 П. Л. Капица, В. А. Фок, Л. А. Вайнштейн. ЖТФ, каст, вып., стр. 1177.—
[3] Л. В. Канторович в В. И. Крылов. Приближенные методы высшего аиа-
лиаа, гл. I, ГИТТЛ, М.—Л., 1952.—[4] Е. На И on. Nova Acta Uppsala, 11, I,
1938.-[5] M. А. Леонтович и M. Л. Левин. ЖТФ, XIV, № 9, 481, 1944.—
[б] Л. А. Вайнштейн. ЖТФ, XXIX, № б, 673 и 689, 1959.

Институт физических проблем	Поступило в Редакцию

АН СССР	4 марта 1959 г.

Москва
ВОЛНЫ ТОКА В ТОНКОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ПРОВОДНИКЕ

Ш. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОГО
И ИМПЕДАНСНОГО ПРОВОДОВ

Л. А. Вайнштейн

Сформулирован метод последовательных приближений, основанный на вариацион-
ном принципе. Оказывается, что уже в первом приближении втот вариационный ме-
тод дает хорошую (и вместе с тем достаточно простую) аппроксимацию медленно
'меняющихся функций, определяющих волны тока в тонком цилиндрическом провод-
нике, и позволяет также найти втн функция для проводника с конечным погонным
импедансом. С помощью варнациоиного метода выведено также простое приближенное
выражение для характеристики рассеяния плоской электромагнитной волны на полу-
бесконечном проводе.

§ 1. Вариационный принцип

Ряд граничных задач математической физики, и в частности электро-
динамики, может быть сведен к интегральному (или интегродифферен-
циальному) уравнению вида

GJ+K=0,	(1)

где К — известная функция, заданная на поверхности 5 (границе тела);
J—известная функция на той же поверхности; G—линейный инте-
гральный (или интегродифференциальный) оператор, действующий на
функцию J. В электродинамической задаче о тонком цилиндрическом
проводнике (см. далее § 2) К и J суть скалярные функции единствен-
ной переменной z, однако в общем случае К и J могут быть вектор-
ными функциями двух переменных, а оператор G может иметь тензор-
ный характер.

Сформулируем вариационный принцип для уравнения (1). Пусть функ-
циям Кл и Лр, заданным на одной и той же поверхности S, соответ-
ствуют функции J, и удовлетворяющие уравнениям

GA + ^-O, ]
GA-i-K?=oJ

(2)

и пусть для любой пары функций, например Ка и определено произ-
ведение <К„, /р> = </р, К„> такое, что оператор G удовлетворяет соот-
ношению симметрии

<Л, GJ9> = <J9, GJa>	(3)

для произвольных функций А и /р на поверхности S. Тогда функ-
ционал

 <Л. G/,>

(4)
является стационарным, т. е. при варьировании функций /а и его пер-
вая вариация обращается в нуль	'

8s = 0’	(5)

если исходные (неварьированные) функции Ja и J удовлетворяют урав-
нениям (2), а функции Ка и не варьируются.

Заметим, что в электродинамике произведение <КЛ, /р> целесо-
образно определить посредством интеграла по всей поверхности S

<Ka,J?> = \(Ka,J^dS,	(6)

где (Ка, Ур) есть скалярное произведение векторов Ка (напряженность
стороннего поля) и Ур (поверхностная плотность тока) в данной точке
поверхности. В этом случае соотношение (3) является лишь иной за-
писью леммы Лоренца.

Соотношение (5) доказывается элементарно. Варьируя выражение (4)»
мы получаем

3 _	1	[<U, G-V <К„	</«. GJ?>

S <К., j3>	J,> I	<K„ J?>

CTJ3)> <K^, Ja> — <K„, 6/p> </«, G/j*}

Пользуясь соотношением (3) и аналогичным соотношением

<Л, G8/p> = <3JB, GA>,

а также уравнениями (2), мы приходим к формуле (5).

Если /„ и /3 суть точные решения уравнений (2), то мы имеем

± = <K.,JS> = <K„. J.>.	(7)

так что формула (4) дает нам стационарное выражение для величины (7).
Формулу (4) целесообразно применять, если функции Ja и нам известны
лишь приближенно, тогда формула (4) позволяет вычислить za? более
точно, чем формула (7). Поскольку при использовании формулы (4)
точность вычисления z^ превосходит точность исходных функций J„
и то формулу (4) можно положить в основу метода последователь-
ных приближений, по крайней мере если Ка и К? являются дельта-
функциями (ср. § 3).

Нетрудно показать, что функционал

У., = <У„ OZ? -ь <К„, У? -ь <ЛГ3, У«>	(8)

также является стационарным. Если У, и J, удовлетворяют уравне-
ниям (2), то

У., = <К„	А>.	(9)

Функционал (8) также можно применять для приближенных расче-
тов. Однако функционал (4) в отличие от функционала (8) не изменяется
при умножении J и У, на постоянные множители и поэтому не тре-
бует знания „амплитуд" функций /а и /3; в § 3 мы увидим также, что
функционал (4) дает результаты, обладающие более широкой приме-
нимостью; поэтому его следует предпочитать функционалу (8).

§ 2.	Оператор G для тонкого провода

В случае тонкого цилиндрического провода имеют значение лишь
продольные токи. Обозначим через /= J{z) ток, проходящий через
поперечное сечение z = const, и будем сначала считать проводник
идеальным. Тогда на его поверхности выполняется граничное условие

£, + £; = 0 при z,<z<z2,

(Ю)

где Zj и z2 суть координаты концов провода. Здесь

E' = K=K(z)

есть известная составляющая стороннего поля, а

£, = GJ= — -Д^-	-4- k2} А (/, z]

(И)

(12)

есть составляющая электрического поля токов, текущих по проводу.
Если радиус провода а достаточно мал, то оператор А может быть
записан в виде (ср. [’] § 1)

Д[/, z] = j’

sgn (z-C)^[/(C)e‘fc>-q<7(;.

(13)

Таким образом, граничное условие (10) является частным случаем
уравнения (1), причем оператор G определяется формулами (12) и (13).
Учитывая, что J есть ток (а не плотность тока, как в формуле (6)),
произведение <Ка, /э> следует определить формулой

(14)

Чтобы доказать соотношение симметрии (3), всего проще восполь-
зоваться интегралом Фурье

СО

J (z) = j ei№‘H(w)dw	(15)

—CD

и соотношением (ср. [2], § 3)

GJ — j eiw‘M Нdw,	(16)

—CD
где

=	1 v=V^a —(17)
Действительно, в силу четности функции M(w) мы имеем

</«>	= 2я j М (ш) Нл (ш) Я, (—го) dw =

= 2п J M(w)Ha(-w)Hp(w)</w = </₽, G/a>.	(18)

—со

Если учитывать конечное сопротивление провода, то граничное
условие на его поверхности примет вид

£, + £'2/,	(19)

где Z — погонный внутренний импеданс провода. При некоторых огра-
ничениях граничное условие (19) справедливо для гофрированного про-
вода, для провода с диэлектрической оболочкой и т. п.

Граничное условие (19) для „импедансного" провода также является
частным случаем уравнения (1), в котором функция К по-прежнему
определяется формулой (11), а оператор G равен

=	2]-Z/.	(20)

В дальнейшем мы будем предполагать, что погонный импеданс Z
постоянен — не зависит от z. Тогда формулы (16) и (18) справедливы
и для оператора (20), если функцию M(w) взять в виде

M(zu) = —v2ln —— Z.	(21)

§ 3.	Волны токи в идеальной? проводе

При сосредоточенном возбуждении конечного цилиндрического про-
вода ток является суперпозицией следующих волн: „первичных", рас-
ходящихся от места приложения сторонней эдс, т. е. волн, которые
были бы при том же возбуждении в бесконечном проводе; „вторич-
ных", возникающих в результате отражения „первичных" волн от кон-
цов провода; „третичных", возникающих при отражении „вторичных
волн", и т. д. В работе Р] показано, что в тонком проводе, обладаю-
щем идеальной проводимостью, все эти волны приближенно выра-
жаются через одну и ту же функцию <|»(z), удовлетворяющую „ключе-
вому" уравнению и представимую в виде квадратур. Эта функция зави-
сит, кроме безразмерной переменной х, пропорциональной z, еще от
параметра q

ф(г) = 1п^Ф(х, q),	(22)

где

q = (ka)z и x=j^=^	(23)

(ср. р], § 3 и [2], § 2).

Табулирование комплексной функции Ф (х, q) является довольно
трудоемкой задачей. Вариационный принцип и основанный на нем ме-
тод последовательных приближений позволяют найти приближенные
выражения для функций <|»(z) и V (xs q) и тем самым существенно
уменьшают объем вычислительной работы, необходимый при исполь-
зовании результатов Р] и [2].
Чтобы получить искомое приближение, рассмотрим задачу о воз-
буждении бесконечного провода сосредоточенной эдс

К=вЦг).	(24)

Возьмем

*а = <ЭД, /fp = ^8(z-zp).	(25)

тогда по формуле (7) получим

<2«)

Подставляя в стационарный функционал (4) весьма грубые выраже-
ния для токов

л (z) = Cge* 1'1,	(z) = CSf<k«I,	(27)

учитывающие лишь распространение волн тока со скоростью света от
точки возбуждения (С — неизвестная постоянная)* и используя тожде-
ства

] /„«(да-*-*')-4у- *]*= j	г]*=

= 2/[Jx, zp] = 2ikC2SS? [g (| zp I) •+• g (0)] eik 1 '31,	(28)

мы приходим к выражению

г /	/пач

2 r(|zp|)4-r(0)’	<29)

где через g (z) обозначена функция (см. f1], § 2)

g (z) = In ч- e~-ik* J	do, g (0) = In .	(30)

Таким образом, стороннее поле (24) возбуждает в бесконечном про-
воде ток

(31)
где функция

Ф(г) = -7^0) П- (*>0)	(32)

т ' ’ g (О) + g (г) v	' 7

обращается при z = 0 в единицу. Входной импеданс бесконечной одно-
проводной линии получается равным

^“ = 7(б)С='с	=	т)	(33)

в полном согласии с методом медленно меняющихся функций (см. f1]
формула (27)).

Заметим, что вывод формулы (33) для входного импеданса с по-
мощью вариационного метода в литературе уже приводился (см. [’],
стр. 230—231). Соответствующий стационарный функционал получается
из выражения (4), если в последнем положить К^ — К^тл Ja = Jp (ср. [3],
стр. 221). Изложенный выше вариационный метод является, однако,
более гибким, поскольку он позволяет уточнить распределение тока
и вычислить целый ряд других физических величин (см. далее).

Формула (32) передает своеобразный закон затухания, вызванного
излучением, и приводит к простому приближенному выражению для
функции Ф (х, q)t которое мы будем обозначать через

1 1

(34)

где

CD

— л.

g

(35)

При возбуждении конечного провода плоской волной (см. [г]) „вто-
ричные" волны выражаются через функции ф+(г) и ф_(г), а „третич-
ные", „четвертичные" и т. д. — через функцию ф (z). В силу формул (28)
статьи [2] фч-(х) и ф_(г) определяются той же функцией Ф (х, q), к ко-
торой применима приближенная формула (34). Поэтому для самих функ-
ций ф+(г) и ф_(г) можно написать приближенные соотношения

Ф+(г) =

g (О) g+ (О)

Ф- (*)

_ g(0)+g_(0)
g (0) ч- g_ (г) •

В таблице произведено сравнение функций

CD

(36)

(37)

И

1 —______1

Дх) = Ф(х, со), 0 = г 1П^~-

1 -ь 7^	—1

,п

(38)

с функцией (34) при некоторых значениях q и х. Мы видим, что точность
„вариационного" приближения (34) является, как правило, вполне до-
статочной; она растет с уменьшением q. В ряде случаев разность

	X	Г|	1 «Г|	|Ф ।	»гг й'	ary V	агу 4*
	1	0.1367	0.1361	0.1357	335°2'	335°1'	334°8'
	32	0.1361	0.1359	0.1358	336°7'	33б°7'	335°6'
4 • 10 * •	1024	0.1254	0.1254	0.1281	344°б'	344°2'	343°2'
	16384	0.0988	0.0988	0.1004	350°8'	350°8'	35О°5'
	2	03078	02861	0.2792	324°3'	321°8'	ЗО9°5'
4 -10“2 |	50	0.2096	02088	02244	34Ос7'	340°4'	336°2’
	100	0.1882	0.1879	0,1989  1	342°9'	342°7'	340°4'
Ф— Ф имеет тот же порядок, что и разность V — Ф; последняя, как
видно из формулы (38), порядка q, причем величины такого порядка
при составлении интегрального уравнения для тока в тонком проводе
и при его решении отбрасывались.

Исследуем тот же вопрос с помощью функционала (8). Беря в со-
ответствии с формулой (33) Си подставляя функции (25) и (27)
в формулу (8), мы получим выражения

2^(0)	^ — 2Г(0)	[2г(0)Р ’

дающие правильные результаты лишь при <p(z)»l. Отметим, что вы-
ражения (32) и (39) были написаны в работе [’] (см. формулы (89) и (79))
исходя из иных соображений. В статье Халлена[4] рассмотрены раз-
ложения, определяющие ток в бесконечном проводе и содержащие вы-
ражения (32) и (39) в качестве первых членов/

На рис. 1 и 2 сплошными кривыми изображены величины | Ф | и
—arg^ (точнее 2п — arg®-) в зависимости от безразмерной коорди-
наты х, вычисленные при различных q (4 • 10"1 < 9 < 4 •10"®) по фор-
муле (34). По поводу зтих кривых нужно заметить следующее: абсо-
лютные величины интеграла (37) и функции Ф по формуле (38) моно-
тонно убывают с ростом х, в .то время как на рис. 1 величина | Ф |
убывает не вполне монотонно. Нарушение монотонности наиболее за-
метно при наибольших значениях q, а именно при 9 = 0.4 и q = 0.04;
при тех же значениях q и х ход функции arg Ф формулой (34) также
искажается. При меньших значениях q эти расхождения остаются лишь
в рудиментарном виде, так что формулу (34) можно применять факти-
чески при q <0.04, т. е. при ка <Z0.2. Формула (39), приводящая
к традиционным соотношениям теории тонких вибраторов (ср’[’], § 4),
является гораздо более грубой: штриховые кривые на рис. 1 и 2, по-
строенные по формуле (39), показывают, что она применима при мень-
ших значениях q (скажем, при д<4-10“4), да и то в ограниченном
интер'вале изменения х.

Если уточненные выражения для токов /в и J опять подставить
в стационарный функционал (4), то мы должны получить дальнейшее
уточнение и в конце концов придти к точному решению. Однако со-
ответствующие выражения не уступают в сложности интегралу (37) и
требуют большой вычислительной работы, поэтому целесообразно огра-
ничиться первым приближением, даваемым вариационным методом.

§ 4. Характеристика рассеяния плоской волны на полу бесконечном
проводе

При падении плоской волны на конечный провод (пассивный вибра-
тор) рассеянное поле содержит комплексную характеристику рассеяния
плоской волны на полубесконечном проводе, определяющую „первич-
ную" дифракцию на каждом конце вибратора. В работе fl вта характе-
ристика вычислена точно; с помощью вариационного метода нетрудно
дать для нее приближенную, но зато простую формулу.

Рассмотрим полубесконечный вибратор 0<.z<oo, возбуждаемый
сторонним полем

К=Ейе(а*, w0 =—Xrcos&0,	(40)

и возьмем

Кр =	Кг = Е1я''“, ш = —kcosb,	(41)

Рис- 4-

9 = 4 • 10“**; ост&лыые обоамАЧевнн те же, что я ее рнс- 3.
где Во и В — угловые координаты источника плоской волны и точки
наблюдения. В втом случае формула (7) принимает вид

CD

eia‘Ja (*) dz = 2^НЯ (-га),	(42)

•3	;>

где смысл Ha(w) определяется формулой, аналогичной формуле (15).
Подставляя в формулу (4) выражения для токов

А = СЛ	- ₽“'), = С& (е‘" - е*'),	(43)

учитывающие наличие двух волн тока (ср. [2], § 3) и обращение тока
в нуль при z = 0, мы получаем

2niHK (—W) = —1<а>Еа ----	... ---г-тт---:-оА-:-----г ,	(44)

* '	\	U (wq4- w) (< -4- Wo) (< -I- w) • 2Ф (wq, w)	4	'

где

Ф (ra0, w) = -У”In 7, 2t—r---J- In ——г—= In —	2>.	—. (45)

' 0	' 2L 7(fc4-®o)a y(k-t-w)a J -J ^(k -+- w0) (k -+- w) a '

Pac. 5.

g = 4  10м} остальные обоанвченжя те же. «то и  ряо. X

Польвуясь формулами (57)—(59) статьи [2], мы получаем характери-
стику рассеяния в виде

&о‘	8

ctgyctgy

*) = у (CCS а0 Vcos») ф (-к соГ5о -ПДГ •	(46)

Точный расчет приводит к формуле того же вида, в которой функ-
ция Ф равна (см. формулу (60) статьи [2])

Ф(ш0, и») = х(—™0)х(—o’).	(47)

где х(®0 есть функция, голоморфная и не имеющая нулей в нижней
полуплоскости Im га 0 и удовлетворяющая соотношению

X М X (—®) = Ь 7^-.	(48)
Точность формулы (45) можно оценить, определяя величину

2i 2i
In ~---In-----

7H(ia iva	__

2i	—

Г (v0, ») = -
in

+	a 7 i/fc — wu) — a>) a

2i . 2i

In —7=----T" In --7=----~

7 Vq sin 7 Vq sin »

:	»0 . s ln ~ Ъ~ Г"

sin—g-sin-y	"(Vq cos-y cos

(49)

равную отношению произведения Ф (w0, ш) Ф (—wu, —w), вычисленного
по формулам (47) и (48), к такому же произведению, вычисленному
по формуле (45). Рис. 3—5, на которых изображены | Г | и arg Г для
различных д, позволяют сделать следующие выводы: 1) при уменьше-
нии q величина Г приближается к единице и точность формулы (45)
растет; 2) для данного q формула (45) дает наибольшую погрешность
при $одаО и В да О, а также при Вода« и &дап, а при таких &0 и В
поле, рассеянное вибратором, является сравнительно слабым. Повтому
формулой (45) можно пользоваться (если не гнаться за большой точ-
ностью) уже при q < 0.04 (т. е. при ка 0.2).

Повторяя те же выкладки для полубесконечного импедансного про-
вода, мы придем к формуле (46), в которой функция Ф оказывается
равной

ф(®о»

ш) = 1п

__________21__________

7 ^{к -ь ®о) {к -t- w) а

(Wn •+• ®)	— UlnUl) — к (tin -*- o*) ,	.

^z—------------^-2-------------------- .(45a)

4«v0©

§ S. Волям тока в тонком импедансном нроводе

Как известно, вдоль импедансного провода может, вообще говоря,
распростраияться поверхностная волна, зависящая от z по закону е±,ир».
Волновое число шр этой волны (для определениости считаем Imwp^>0
при ReZ>0) есть решение уравнения

(50)

совпадающее с к при Z = 0. В дальнейшем мы будем предполагать,
что выполнено условие

\к — чвр\<^к,	(51)

тогда при возбуждении импедансного провода сосредоточенной эдс (24)
величина

y — (wp — k)z	(52)

играет роль численного расстояния: при | у |	1 ток в импедансном

проводе мало отличается от тока в идеальном проводе, существенные
различия появляются лишь при |у|^1.

В работе Владимирского [5] рассмотрено сосредоточенное возбужде-
ние бесконечного импедансного провода. Формальное решение этой за-
дачи находится без труда, однако исследование тока в проводе натал-
кивается на определенные трудности, которые в работе [5] удалось
преодолеть лишь частично. Вариационный метод позволяет по-новому
подойти к задаче о бесконечном импедансном проводе и вместе с тем
получить приближенные выражения для функций, фигурирующих в тео-
рии импедансного провода конечной длины.

Пользуясь оператором (20) и подставляя в функционал (4) выраже-
ния (25) и (27), мы вместо формулы (31) получаем





g (0) ч- g (| г |) ч- ~2k (1 — ik | г |)

(53)

откуда видно, что входной импеданс бесконечной импедансной линии
равен

ДС0=А^__1_^>	(54)

с f«a к ’	'

причем вследствие условия (51) поправочный член у мал по сравнению
с основным членом, определяющим входной импеданс идеально прово-
дящей линии.

Легко видеть, что поправочный член в формуле (53), пропорцио-
нальный Z, относительно мал при | у |	1 в соответствии со сказанным

выше. При | у |	1 само выражение (53) становится ненадежным, по-

скольку исходные выражения (27) перестают быть правильными даже
с качественной точки зрения. Действительно, на достаточно больших
расстояниях от точки возбуждения z = 0 волна тока естественно пред-
ставляется в виде суммы

/(z)=V,(z)-<-7,(z),	’	(55)

где есть поверхностная волна, пропорциональная а 7? (г)
есть пространственная волна, пропорциональная е’*1*1 и убывающая по
амплитуде при | г | —» оо (ср. Я).

Полагая исходные функции 7« и /9 равными

7a(z)==B£e‘“pi*i,	=	(56)

т. е. пренебрегая пространственными волнами, мы вместо выраже-
ния (53) получаем

_ cS_________е*иР|ж|______ (571

~ 2	Т0Ч-Т(|г|)	’

где

7’0 = ?[^(0)ч-^(0)-1],

•2	I “

Т (z) = 1 -+- [Да' (z) -Ь Д^ (z)] -Ь	[g?_ (z) - g* (z)].

Здесь g^.(z} и	суть значения функций g+(z)n g_(z), введенных

в § 1 статьи [®], при w — wp, а Д§Д(г) и Д^1(г) означают функции

о,	Г е<(4+“’)в	,

Af + (z) = g+ (z) —In — = e~**+>* | —— Л,
g

(59)

взятые при w = wp.
В силу условия (51) мы вместо выражений (58) можем употреблять
более простые, а именно

To=g(O)+gtQ)-i,

— wp) z [dg- (z) -+-	(z)] g (z) — gL (z),

где

&g (z) = g (z) — In = e-2ik' | da.

Я

(60)

(61)

Обозначая

(62)

где Ci — интегральный косинус, si — интегральный сииус, можно пере-
писать функцию Т(z) в виде

Т (z) = 1 - (1 - iy) Е (2kz) е~* -+- (1 -+- iy) Е (—у) е\ (63)

причем у есть вчисленное расстояние (52).

Полученную выше формулу (57) для тока в импедансном проводе
можно записать в виде (31), если ввести медленно меняющуюся функ-
цию

(z) = 2g(0)Т, ЧГ =	.	(64)

Исследуем функции Т(z), Ч’ и ф (z) при различных z, т. е. на раз-
личных расстояниях от точки возбуждения данной волны тока. Для
простоты будем сначала считать волновое число шр вещественным,
т. е. погонный импеданс Z— чисто реактивным (а именно индуктив-
ным)

1.	z = 0. Величина

r(0) = g(0)-gL(0) + l,	(65)

содержащая разность „больших" логарифмов

g (0) = In и g^_ (0) = In 1 а ,	(66)

как правило, по модулю меньше величины То, содержащей сумму этих
логарифмов. Мы имеем

To+T(O) = 2g(O) и ф(0) = 1.	(67)

Следует отметить предельные соотношения

lim^- = 0 и Ит^ = -1.	(68)

Обычно находится между предельными значениями О и 1,
поскольку стремление к ним происходит весьма медленно (логарифми-
чески).
2.	2A:z«<l и, следовательно, ^<<1. В этой области можно
заменить в формуле (60) g(z) и g^_(z) и g(0) и g^_(0) и пренебречь
членом у [Д^ (z) &g?_ (z)], поэтому функции T(z), ф(г) и V имеют
практически те же зиачения, что и при z = 0.

3.	y^l, 2kz конечно. Здесь

Т(г) = ?(2)-е(0)-1-1	(69)

и

Ф <z) =	ч »	= ~7т-^-П •	(70)

т ' ' g (0) g (z) ’	g (0) -i- g (z)	' '

4.	.y^l, 2£z>»l. В этой области применимы формулы (69) и (70)
со следующими упрощениями

g(z) = ln^, T(z) = ln£-^(0)-»-l,	(71)

так что здесь T’(z) есть возрастающая функция z.

5.	2£z>»l, у конечно. Пренебрегая в формуле (63) слагаемым,
пропорциональным E{2kz), мы получаем выражение

Г(х) = 1-1-(1ч-Й7)£(-^ег	(72)

переходящее при у -* 0 во вторую формулу (71). Функцию V в данной
области следует вычислять по формуле

с учетом выражения (72).

6.	2&z^>l, <7^*1. С помощью асимптотического разложения для
функции Е (у) нетрудно получить из формулы (72) приближенное выра-
жение

=	(74)

показывающее, что здесь T(z) является убывающей функцией z.
В данной области функцию ЧТ следует вычислять не по формуле (73),
а по формуле

ц;— —____Г Ф	(75)

То т1 *

Эта формула получится, если разложить знаменатель формулы (73)
в ряд, пользуясь условием

|Г(х)|<Г0	(76)

и опустить высшие члены разложения, ие имеющие физического
смысла. Выражение (75) приводит нас к разложению волны тока
на сумму поверхностной волны Jp(z) и пространственной волны J0(z),
как в формуле (55). При этом

4(z) = ^e^, Л(Х) = -^ T(|z|)e“i'l	(77)

и пространственная волна по своей амплитуде уступает поверхностной
волне. Формула (73) хорошо смыкается с формулой (75).

Если волновое число wp комплексно (1тк>р>0 при ReZ>0), то
предыдущие результаты претерпевают сравнительно небольшие иэме-
нения: во-первых, пространственная волна опять станет преобладающей
в той части области 6, где	так как поверхностная волна

убывает экспоненциально; во-вторых, смыкание формул (73) и (75)
ухудшится.

Свойства волн тока в импедансном проводе можно охарактеризо-
вать короче, если ввести две зоны, которые мы условимся называть
ближней и дальней зонами. Ближняя эона определяется условием |i?|<<1,
в ней импеданс провода не сказывается и справедлива формула (70),
соответствующая идеальному проводу. Дальняя эона определяется
условием 2k | z [ 1, в ней справедливы формулы (72)—(75), согласно
которым функция ЧГ зависит только от численного расстояния у и
параметра Го. Ближняя и дальняя зона перекрываются, они имеют
общую область 4, где выполняются условия у<^Д и 2£zj>»l одновре-
менно. Импедансный провод (в частности любой металлический про-
вод) можно считать идеальным лишь в том случае, когда конец про-
хода находится в ближней зоне волны, возбужденной другим его
концом.

Ряд полученных выше выражений, например, формулы (72), (74) и
(77), согласуется с формулами Владимирского [5], если в последних
исправить опечатки и уточнить некоторые логарифмы. Отметим еще
раз, что наши результаты имеют более широкое значение, поскольку
они применимы и к волнам тока, отраженным от концов провода.

Если провод возбуждается плоской волной, то волны тока в нем
выражаются не только через функцию

<78>

но также через функции ф+ (z) и <|>_(z), для которых можно предло-
жить следующие приближенные выражения

ж (z)=	ф ([у(о)нну-(ор^ (79)

где То имеет прежнее значение,

Т+ (г) = 1 -4- i (к — шД z [Д^+ (z) ч-	(z)] ч- g+ (z) — g?_ (z) =

= 1 —(1 —fy)£((^4-w)z)e-'<’t-I-“’'-b(l-b^)£(—t?)^2',	.

T- (z) = 14- i (k — wp) z	(z) 4- &gp_ (z)] 4- g- (z) — gP_ (z) = |

— 1 — (1 — iy) E ((к — го) z)	•»)* _|_ (1	jy) £ (—y} e*v	j

и

w — —к cos&,	(81)

причем S есть угол прихода плоской волны (ср. [2], § 1).

Правильность выражений (79) и (80) видна из того, что в ближней
зоне они совпадают с формулами (36), а в дальней зоне, опреде-
ляемой условиями

2fcz>»l для функции ф,

(к ч- w) z 1

{к — w) z >> 1

Ф+,
ф_,

(82)

знаменатели в формулах (78) и (79) практически равны друг другу,
как это и должно быть, согласно формулам (36).
Заключение

Вариационный метод, изложенный выше, является естественным
дополнением метода медленно меняющихся функций, примененного
в работах [’] и [2] к исследованию тока в тонком проводе. Действи-
тельно, уже первое приближение вариационного метода дает хорошую
и вместе с тем простую аппроксимацию функции 'p(z) для идеального
провода и поэтому позволяет в большинстве случаев обойтись без
табулирования этой функции. С помощью вариационного метода нетрудно
также вывести замкнутую формулу для функции 6 (д), характеризую-
щей волны тока в импедансном проводе (т. е. в частности учесть
конечное сопротивление проводов), и получить простое выражение для
характеристики рассеяния плоской волны на полубесконечном проводе.

Данный вариационный метод может найти себе применение для
приближенного решения многих задач, особенно таких, где фигури-
руют медленно меняющиеся функции.

Литература

[1] Л. А. Вайнштейн. ЖТФ, 29, 6, 673, 1951 — [21 Л. А. В ай и шт е й и.
ЖТФ, 29, 6, 689, 1959. — [3] Fritz Е. Borgnis und Charles Н. Papas. Rand-
wertprobleme der Mikrowellenphysik. Springer—Verlag, Berlin—Gottingen—Heidel-
berg, 1955.—[4] Erik Hallen. Journ. Appl. Phys., 19, 12, 1140, 1948.—
[5] В. В. Владимирский. Изв. АН СССР, сер. физ., 8, 3, 139, 1944.

Институт физических проблем АН СССР,	Поступило в Редакцию

Москва	3 мая I960 г.
РАССЕЯНИЕ ПЛОСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЛН
НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ ЦИЛИНДРЕ И КОНЦЕПЦИЯ

ДИФРАКЦИОННЫХ ЛУЧЕЙ

.7. А. Вайнштейн, А. А. Федоров

Исследована дифракция цилиндрических и плоских волн на идеально
отражающем эллиптическом цилиндре, поперечные размеры и радиусы
кривизны которого велики по сравнению с длиной волны. Строгое решение
этой дифракционной задачи получено в виде ряда и контурногоинтеграла,
которые при подстановке асимптотических выражений для радиальных
и угловых функций эллиптического цилиндра приводят к специальным
функциям (множителям ослабления), введенным В. А. Фоком. Асимптоти-
ческое решение, получаемое таким путем, соответствует концепции дифрак-
ционных лучей Дж. Б. Келлера и легко обобщается на выпуклый цилиндр
произвольной формы. Тем самым эта концепция получает (применительно
к задачам данного типа) дополнительное обоснование и вместе с тем неко-
торое обобщение; в частности, полученные формулы позволяют иссле-
довать преобразование дифракционных лучей в обычные и наоборот.

ВВЕДЕНИЕ

Современное состояние теории дифракции электромагнитных волн на
выпуклых проводящих телах определяется фундаментальными работами
В. А. Фока [1—7]. В частности, в этих работах введены (посредством кон-
турных интегралов) специальные функции—множители ослабления, опре-
деляющие дифракционное поле при различных расположениях источ-
ника и точки наблюдения. Эти функции первоначально относились к об-
ласти полутени. В освещенной области они переходят в выражения гео-
метрической оптики, вместе с тем они применимы и в глубокой тени, как
это видно из рассмотрения дифракции на сфере [9, 10] и круговом цилинд-
ре [11]; однако обобщение соответствующих формул на поверхности с пе-
ременной кривизной не является очевидным.

Для двухмерных задач такое обобщение было произведено Дж. Б. Кел-
лером [12], сформулировавшим концепцию дифракционных лучей, кото-
рые имеют криволинейные участки, лежащие на поверхности тела, и
представляют волны, испытавшие дифракцию в собственном смысле сло-
ва. По этой концепции полное поле равно сумме вкладов от обычных
лучей, подчиняющихся геометрической оптике, и от дифракционных
лучей.

Концепцию дифракционных лучей в ее настоящем виде нельзя счи-
тать пп вполне обоснованной, ни исчерпывающей. Она скорее является
схемой, позволяющей дать физическую интерпретацию и краткую форму-
лировку асимптотических законов дифракции для определенного класса
задач. В данной работе мы получаем асимптотическое решение частной
дифракционной задачи для выпуклого цилиндра с переменной кривиз-
ной поверхности и используем это решение для обоснования и уточнения
концепции дифракционных лучей. В качестве такого цилиндра взят эл-
липтический цилиндр, причем мы ограничились двухмерными полями и
простейшими граничными условиями.
1.	ФУНКЦИЯ ГРИНА G

Введем эллиптические координаты ц на плоскости х, у по формулам
х = / ch £ cos т], у = / sh & sin i],

dx2 + dy2 = /а (cha £ — cos2 т]) (d|2 + dr]2)	(1)

и будем рассматривать область | > £ вне эллиптического цилиндра с по-
луосями

a = /ch£, 6 = /sh£	(2)

и с межфокусным расстоянием 2/. Волновое уравнение

ДЕ7 + къи = О

в эллиптических координатах (1) имеет вид

дги

+	+ с2 (ch21 — cos2 т]) U

О,

с = kf,

(3)

(4)

причем мы рассматриваем лишь двухмерные волновые поля, не завися-
щие от третьей координаты z.

Функцией Грина G = (?(£, т|; £', т/) = <?(£'. n'; L Л) называется функ-
ция, имеющая следующие свойства.

1.	Она удовлетворяет уравнениям (3) и (4) всюду, за исключением
точки T|z, где находится источник («светящаяся линия»).

2.	В точке т|' она имеет особенность, соответствующую замене нуля
в правой части (3) на двухмерную дельта-функцию — 4лб (х — х', у — у').
Иначе говоря,

G = niHlQl) (Ар) + G1,	(5)

где р — расстояние между источником и точкой наблюдения;	— функ-

ция Ханкеля (xiH™ (Ар) о=: — 2 In Ар при Ар<^1); G1 — конечная функция.
3. При >оо она удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда.
4. Иа поверхности эллиптического цилиндра £ = £ она удовлетворяет
граничному условию

G = 0 при £ = £	(6)

или же граничному условию

^- = 0 при £ = £.	(7)

5.	Она является периодической функцией ц с периодом 2л.

Заметим, что вместо условия (5) можно пользоваться либо условием
непрерывности G на эллипсе £ = £' вместе с условием

к L=v+o - < Lv-o=-4nS ~t,,)’	(8)

либо условием непрерывности G на гиперболе т| = q' вместе с условием

1Я=»'+о “ W 1»=ч'-о = “ 4”fi	(9)

Частные решения уравнения (4) находятся методом разделения пе-
ременных. Полагая

= /?(£,%) 5 (ц, к),

(Ю)
мы получаем для «радиальной» функции R уравнение

^+с2т_к)Л = 0,	(И)

а для «угловой» функции S — уравнение

^.+c2(x_COS2tl)1S = 0l	(12)

где х —постоянная разделения. При определенных значениях х урав-
нение (12) имеет периодическое решение (функция Матье); при помощи
таких функций и соответствующих им решений уравнения (11) легко
построить выражение для функции G. Однако это выражение пригодно
для вычислений лишь при поперечных размерах цилиндра, сравнимых
с длиной волны Х = 2л//с или меньших. Когда же размеры цилиндра
велики по сравнению с длиной волны, необходим иной подход к проблеме.

2.	ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ Г

Обозначим через Г = Г(£, ц; т|') функцию, обладающую теми же
свойствами, что и функция G, за исключением свойства 5, которое за-
меняется условием

Г(?, ц; т|')->0 при |ц —ц'1-^.оо.	(13)

Функцию Г можно назвать функцией Грина в бесконечнолистной пло-
скости, где значения т], ц + 2л, ц + 4л и т. д. соответствуют различным
точкам.

Функции G и Г очевидно связаны соотношением

С(1,п;£'.т)')= 2Г(М + Ж'.п').	(14)

j™—оо

Как мы увидим далее, этот ряд быстро сходится, если размеры цилинд-
ра превышают длину волны.

Перейдем к построению функции Г. Обозначим через Rr л Rz реше-
ния дифференциального уравнения (12), имеющие при >оо асимпто-
тическое поведение:

R\ R\ (^, к)

gic ch £

Rt = Яа(|, х)~

e—ic ch t

Vе (h& ’

(15)

так что R1 дает волны, уходящие в бесконечность, a R2 — приходящие
из бесконечности. Обозначим через и 5а решения уравнения (12),
удовлетворяющие соотношениям

<Si (т) + 2л/, х) =	(т), х),

5а (т| — 2л/, х) = та;5а (т|, х).

(16)

т. е. теореме Флоке, которую мы будем. далее применять для комплекс-
ных х, считая параметр т = т(х) удовлетворяющим условию |т|<1.
Тогда 5’1 дает волны, затухающие при т|—>оо, а 5а — волны, затухаю-

щие при Т|—» — ОО о
Функцию Г можно искать в виде (s = 1, 2,. . .)

Г(£, п; I', т}') =	xe)5i(Ti, х,)5я(т)', х,) при ц>п', | (17ч

Г (|, n; I', Л') = 2ЛТ?! (|, х,) 52 (л. ха) Sj (т)', х.) при П < П'. J

где As — неизвестные коэффициенты. Ряды (17) удовлетворяют условиям
1 и 3, а также условию (13). Граничное условие (6) удовлетворится,
если

Ri (£> ха) = 0 (s = 1, 2, ...),	(18}

а граничное условие (7) будет выполнено, если

^(l,x,) = 0 (s=l,2,...).	(19)

В § 3 мы увидим, что как уравнение (18), так и уравнение (19) при-
водит к комплексным ха,

Коэффициенты Лв определяются из (9). Обозначим через Л = 1)(х)
вронскиан

D =	(20)

rfr| Л 1 dr| ’	'	’

тогда условие (9) примет вид

2Л8£> (xe) 7?j (^, х8) = —4nfi(£— V) при s<C£<°°-	(21)

Пользуясь соотношением ортогональности

оое^е

(£, х»)/?£((;, xr) = 0 при s=^=r,	(22)

ё

получим

А, =.	(£', Xe),

оов1е

Ari(x.) = J R*(t, *,)<%.	(23)

ё

Соотношение (22) легко выводится из тождества.

(6, и) Л1 (I, и') - Л1(Е. х)	а, х')] +

+ с®(х'-х)Я1а,х)Я1(5,х') = 0,	(24)

если положить х = х8, х' = хг и проинтегрировать по £, используя соот-
ношение (18) или (19) и выбирая в > 0 так, чтобы Яг—>0 при £—> ос е1£.
Если же положить х = хв, проинтегрировать и затем считать х'—>ха,
то получим для «нормы» Л\ выражение

&.) = -^-^(1. х,)(I, X.),	(25)

если х8 удовлетворяет уравнению (18), и выражение

(х.)=- 4- & *») От &	<26)

если х, есть корень уравнения (19).
Ряд

Га, п; 6', п') =

. 5П ______1_____ D /t v \ О Zt' „	Хв) СП 1 Xs) I „

= ~ 2х D (Х‘>	1	1Q ’ к (Tb X.) -У1W. *i) ) ’ ( 7>

где верхнюю строчку в фигурной скобке следует брать при т]}> if;
а нижнюю — при т) < т)', удовлетворяет (по крайней мере формально)
всем условиям, наложенным на функцию Г, и дает искомое решение.

3.	АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ Г
ВБЛИЗИ ЦИЛИНДРА

Формула (27) является точной и в принципе пригодна при любых
значениях е и £. Далее мы будем считать, что наименьший радиус
кривизны зллипса £ = £ (равный Ъ1 / а) велик по сравнению с длиной
волны:

,Ь*	sh2 5	,

к — = с—= ^>1,
“	ch 5

(28)

а следовательно, все другие размеры и радиусы кривизны и подавно
больше длины волны. При этом условии мы можем1 updAdriecW Асимпто-
тическое интегрирование дифференциального уравнения (И) при помощи
«эталонного» уравнения (ср. [16], § 3)

и,’ (ф) —	(<р) = о,

(29)

которому удовлетворяют функции Эйри wx(<p) и ша(ф). Определенные
выше радиальные функции и. Rs приближенно равны

Дх (£. х) = ]/~а (ch,х) (ср), Яа(£,х) = ]/^^-)йМф)- (30)

Соответствие между переменными ф и £ при вещественном положитель-
ном значении к = ch2£0 (£0 > 0) устанавливается формулами

£

4("“ ф)7‘= с5	cfaa£ —хПРИ 6> £о и ф < 0,

е.

(31)

2 ч С
зФ'" = ^

cha £ d£ при £ < £0. и ф > 0.

Если х комплексно, то нужно пользоваться аналитическим продолже-
нием. Обозначая через t, значение ф при £ = £ и х = хв, уравнении (18)
преобразуем к виду

Wi(i,) = 0 (s = l,2,...),	(32)

а уравнение (19) — к виду

ММ = 0 (s=l,2,...).	(33)

i —

Комплексные корни /, = р, |е э хорошо изучены (см. [2], § 7).

Если предположить (результат (35) это подтверждает), что £ ~£, то
вторая формула (31) дает	°’

4 г?*= 4с	- Ё)%	(X. = ch2£oe),	(34)
откуда

So‘	(Cash2g )'/•*’

xe = chat + (^3)\.	(35)

Зная xe, можем найти по формулам (30) RL(^, х,) и Ла(£, к,).

Асимптотическое решение уравнения (12) можно записать в более
простом виде:

^(Л,х) = 7------*- -г*

У са (х — c6ss tj)

^2 01. *) = 1-----------------------

У^с2 (х---- cos'2 Г))

11

Q = с р^х — cps2 т) с?т|,

ч.

(36)

где нижний предел. t]0 произволен. Для функций (36) вронскиан D=2i.
При х = х„ получаем приближенное выражение

ч

с	Ух„ — cos21] cZtj = а +

ч.

(37)

причем величины а и х равны:

ч

о = с	УсЬ21 — cos2 т) с?т),

ч.

(38)

Заменяя, кроме того, в предэкспоненциальных множителях х на ch2 g >
получаем для St а окончательные выражения:

5.(4. «.) - .	1	е1|-Н‘Я.

Уса (ch* 5 — COS1!))

S2 (Т), X,) = —------------е—««+г.Х>	(39)

Уса (cha g-СОВ2!))

Пусть источник и точка наблюдения находятся вблизи поверхности
цилиндра, так что и	Обозначая

у = (с*5Ь21У$-Ъ),

У' = (с2зЬ21)’л(б'-|)	(40)

и пользуясь приближенным соотношением

х, — ch2g =	— у} (<р = t, — у при х = ха), (41)

получаем выражения

Яг (I. х») = (c2sh 2l)~‘,'w1 (t, — у),

х») = - (с2sh 2g),A wi (Г, - у).	(42)
так что величина (25) равна

(х.) = - (Са Sh 2t)-v4wl (М)2.

а величина (26) получается равной

Nr (к») = (са sh гВ)-'"7, f, [w (te)J2.

Вводя обозначение

М (т)) = Г^] Л= (-^=) Л Иch2 f— соз2t],

I z J 'Sh2|/

(43)

(44)

(45)

где p (*1) есть радиус кривизны эллипса £ = Jj, можем записать функ-
цию Г при граничном условии (6) в виде

г (в, п; I'. п')

______2nt

)/ЛГ(т])ЛГ (т)')

ei]a-o'] ЦТ (| х — х' |, у, у', ОО),

а при граничном условии (7) — в виде

Г (В, и; В', n') =  7=.............;...г

'	1	1 / УМ (п) Л/<т]')

Y(|x — х'|, у, у', 0),

где

V (х, у, у', ос) = — 2 е

it.x W1 (Z. — У) <га — У")
► 8 _ 

V (х, у, у', 0) = 2 е’

W1 (Z«) W1

1 wi (<, — У) wi (f8 — У')
t, wi (la)	“i^(ts)

(46)

(47)

(48)

Контурный интеграл (в котором надо считать у'^у)

1 С

~ 4rt j
С

eiix Wi (t _ у')

v (*.гмЛ у) =

,,	.	w2 (0 — q™2 (0

w2 (* — У)-----т--------—

t»x (l) — qu\(t)

wi (* — У)

(49)

приводит при q = oo и q = 0 к рядам (48). Контур С охватывает в по-
ложительном направлении все полюсы ta подынтегральной функции,
причем, вычисляя вычеты, нужно учитывать соотношение

wi (0 wz (0 — wi (?) wt (0 = — 2i.	(50)

Свойства интеграла (49) детально исследованы. В частности, пользуясь
отражательной формулой для функции Y (см. [16], § 2), получаем при

г (В, п;Г. П') =

, (к-у')1	 ({/+«*)*

4|Х-х'|	4|Х- -Х'|

С	| с

(51)

где минус соответствует граничному условию (6), а плюс — условию (7).
Первое слагаемое в квадратной скобке определяет первичную цилиндри-
ческую волну, согласно формуле (5) равную

тН^(кр) — у -^-е	4 ' при Ар^> 1,

(52)

а второе слагаемое дает волну, зеркально отраженную от цилиндра.
к. ФУНКЦИЯ Г ВДАЛИ ОТ ЦИЛИНДРА

Перейдем к исследованию случаев, когда координата £ или £' вели-
ка (характеристика излучения источника, находящегося вблизи ци-
линдра, или дифракционное ноле плоской волны) или когда обе коор-
динаты | и велики (характеристика рассеяния плоской волны на
цилиндре).

Ряд (27) можно преобразовать при граничном условии (6) в контур-
ный интеграл

г (В, ц; В', ц') =

=	R&, х) Гл2(|, х) -	х) (7)', х) dx, (53)

с	L	fli(£. x) j

а при граничном условии (7) — в интеграл
Г Q, ц; В', ц') =

c

дН2 -

dRi -

ЯЛ1.Х) ^h.xJ^K.xJdx, (54)

где контур С охватывает все полюсы х, в положительном направлении.
В этих точных интегралах мы считаем Е и ц ц' и предпола-
гаем, что

D = ^Si-S1^=2it ^1Да-/?1^? = 2£.	(55)

При g'^-oo функция 7?i(^', х) в силу формулы (30) принимает вид

/ е _______ „ ч

i | с С У ch’ 5—х d!j Н )

1	\ с	4 /

х) = —----------------е °	(56)

/с2 (ch2 V—х)

Пользуясь тождеством

_ _	аге сов ш.~/

V	ch Е' ___________

^сИЦ —xdg = thV Kch2?' —х- J /х —со8ат)<й], (57)

i	о

можем переписать формулу (56) в более простом виде;

.	< (с ch 5'+ — Q«)

*,(£', х) = - ,-~-е

ft

2

Q0 = c^frK—созацйц	(58)

О

и ввести новую функцию Г (£, ц; ц') — функцию Грина для плоской
волны — по формуле

Г(£, п; Г, 71/)=уГ^ге<(сО1,Г+т)Г(5,ц;ц') (£'-«>).	(59)

Пользуясь приближенными формулами

х = ch2 | + {——tf Qq = бо~1~	(60)

\ С j
где

б0 = с

2	___________

$/ch2f — COS2 4 с?ч,
о

с /зьгЁч'7* С
Хо=^(-Т5) }

о

УсЬ3|—-cos21]

ТО

и считая gosf, получаем выражение

г (5' п; =	^chbhf  .  e<(l-r-e'l—.)К1(|х—-ХО, у, д), (62)

(ch* Ё — cos2T]) (ch* | — cos’Tf)

в котором

^1(«, У, 9)

i

2/п

— у) —

Wi(t — у) dt

(63)

“4 (*) ~ (О
ш' (4) — gw1(t)

есть «множитель ослабления» для плоской волны, причем при гранич-
ном условии (6) надо полагать д = оо, а при граничном условии (7)
7 = 0.

Чтобы вычислить характеристику рассеяния, нужно в интегралах
(53) и (54) отделить первичную (падающую) волну от вторичной (рас-
сеянной) волны. Введем функцию

Яо <1. «) = Д1-(6>х)=7Да^,х)	(64)

и перепишем интеграл (53) в виде

г (I. n; В', п') = <^ (Е',х) Г ЯД, х)
с L

х)1зд.х)<W,x)dx.

(|, х)	J

(65)

Можно показать, что первое слагаемое в квадратной скобке дает пер-
вичную волну, так что вторичная волна равна

Т (В, п; В'. П') = - \ Л1 (В', X) (В, х) (ч, х) За (ч', х) dx. (66)
CJ	(&, X)

Характеристика рассеяния т(т1> Я') определяется формулой

— — <c(ch£+chWi2L	/ В-*ос\

т(В. п; В', п') = — у -с.7|сьте	т(я, n')	ТО

и при граничном условии (6) она равна

Т(п> п') = —

(c*sh*2g)*A

x—ж'|— 2x0),

с/2У(сЬ*1— cos* ц) (ch* | — cos* tj')

(68)

где

. я
I —

/ (х) = ei,x............dt.

' 4 ' Ул J «МО
г с

(69)

При граничном условии (7) вместо формулы (66) будем иметь

Т (В, п; В', п') = - с“ \ Я1 (В'. X) Л1 (В. X) Si (Ч, х) St (ч', х) 7 _ dx, (70)
j
так что

ТОЬ *1') =-------;----(c3sh2g)j'*-------е£(|о-о'1 -2o.)j цх _ х> । __ 2^), (71)

сКгКй’!—cosaT)) (chs|—cos2T]')
где
i —
g(x) =	(72)

^(0

Как будет показано далее, результаты этого параграфа необходимо
уточнить, если функции Г (£, ц; т|') или т(т), ц') соответствуют волнам,
приходящим в точку наблюдения по обычным законам геометрической
оптики (без дифракции). Тогда исходный ряд (27) после подстановки
(58) расходится, однако контурные интегралы сходятся и позволяют
исследовать переход законов дифракции в законы геометрической оптики.

5. БОЛЕЕ ДЕТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
ДЛЯ плоской волны

Выясним прежде всего физический смысл формулы (62). Определим
углы т]' и t]' соотношениями

»	_ sh Ё cos ri'

ЗШТ]= Z-........!.-I =

V ch’| — cos2T)'

_	- r ch I sin n'

COS qv= — VT -	-

/cha g — cos2 if = --ДЁ...g1..

V ch2| — cos2 T)'

(73)

где = 1 и fa=—1. Как легко показать, ц' и ц' суть координаты
точек касания эллипса с прямыми, проведенными к бесконечно удален-

ному источнику (см. рис. 1). При
помощи теоремы сложения для

Рис. 1. Точки касания тц и т]а на ци-

линдре (в данном случае Дх<0 и Да> 0)

эллиптических интегралов
тождества:

х — х0 = х2,

([13], стр. 315) можно доказать следующие

Z + жо = 11,

,	. COS Т]. COS Т]

О -1-60 = 6! — С-------—=

ch £

С

б

COS Т)а COS Т)
chf

(74)

где х' и s' — значения х и а при, ц = т|'. Эти тождества непосредствен-
но проверяются при >оо, когда эллипс переходит в окружность, а
также при if = 0, -4-л /2» zt п> • • •  Они справедливы лишь при опре-
деленном выборе т)' и Ло и при замене rf на ц' + 2л/ усложняются.
Мы получаем

| X — ГЕ | — Хо= X — Хг,

| X ' X I • Zq — Xq Z,

I б — fl | — <50 = <5 — <31 — AAj

I O — O I — 60 = 62 — 6 — AA2

при T)

при T)

T)'>
n’,

(75)

где слагаемое (см. рис.

1)

— АА' = — с (chg cos f]'v cos rf + sh ( sin t]' sin t]') = — c

COS T]VCOST)

cb| 1

определяет фазу плоской волны в точках касания, а слагаемое 6v(g — б'),
пропорциональное длине дуги эллипса от точки касания ц' до точки
наблюдения, определяет геометрический набег фазы на криволинейной
части дифракционного луча. Множитель ослабления Vi в формуле (69)
зависит от аргумента (х — а определяет затухание и сдвиг фазы
дифракционного луча на его криволинейной части. Окончательно фор-
мулу (62) можно записать в виде

Г(£, п; п') = |/	у, д).	(77)

При граничном условии (6) целесообразно ввести функцию
г«(п> = п; п') =

= (с« sh 2|)’Л |/ е	/ (ev (X - <)),	(78)

где

1	Г eitx dl

= (79>
' с

а при граничном условии (7) — функцию

г0(т1> <)= г(|, п; ti')= |/	$(€„(* — ®)), (во>

где

, .	1 Г eitadt

g {Xj = ——г \ —---- ,	f ol }

M J wx(i)

Пользуясь этими формулами, надо считать v = 1 при т] > rf и v = 2
при т| < ц'. При т] — т]' > 2лт (т = 1, 2, .. .) формулы дают дифракцион-
ный луч, не менее т раз обошедший цилиндр в положительном на-
правлений, при —т) > 2лтп — в отрицательном. Вклад от таких лучей,
как правило, пренебрежимо мал, поскольку аргумент £y(z— г') для них
превышает 4тх0, причем согласно формулам (61) и (28) имеем

с

хо>

it

~2

sh^
ch|

7S

(82)

т. е. величина х0 по меньшей мере равна нескольким единицам.

Наибольшее значение имеют лучи, у которых аргумент £v(x — z')
невелик или же отрицателен. При большом отрицательном аргументе
формулы (77), (78) и (80) представляют не дифракционный луч, а пару
лучей (прямой луч и отраженный от цилиндра), подчиняющихся гео-
метрической оптике; в этом случае они нуждаются в уточнении, которое
мы для простоты проведем только для функций Га и Гр; их в силу
•формул (53), (54) и (58) можно при ц > я' записать в виде

Га (n, if) =	( e—iQ, ..............*L dx =

V ' Vbt J Яхй.и)

п 4 ............

__ се 4 Г P^c2(ch25 — х)е{“^к’а!х
у2л J 4_________________________’

У (х — cos2 л) (х— cosaT]')

Г(и И') =_______— ( е	.........dn =

х р vb Ч / —	“ j °	-	“Л

ITх)

(83)

. я

се'Т Г______________________eiaix>dx__________________

J 4---------=---------------:------------------

V с2 (ch2| — х) (х — cos2 т)) (х — cos2 л')

где фаза ш(х) равна

К

D	£	У

ш (х) = с Vx — cos2 т) е?т[ — с ( У ch2 g — х d^ — с У к — cos2 цсй|. (84)

V	с.	о

Учитывая, что при т] < if нужно в формуле (84) поменять местами

*1 и if, можем переписать уравнение со' (х) = 0 в виде

(85)

где F (к, ф) есть эллиптический интеграл 1-го рода, а к=1/угп.
Трижды применяя теорему сложения для эллиптических интегралов,
получаем для точки стационарной фазы уравнение

€„

sin т) соз Ц' У х — cos2 т] — cos л sin л' Ух— cos2 rf
х — cos2 Т] cos2 л'

____1__

ch|

(86)

Нужный нам корень х0 этого уравнения равен

х0 = ch2 5 — (sh | cos т] cos ц' + ch f sin ту sin if)2,
F ch2 | — x0 = sh f cos f] cos if + ch f sin ц sin if.

(87)

.Дальнейшие выкладки справедливы при условии, что правая часть
последнего соотношения положительна и не мала; она обращается в нуль
при ту = т|' и т] = Цд. После довольно громоздких преобразований по-
лучаем

ш0 = ш (х0) = — с (ch | cos л cos if -}- sh Ej sin 1} sin if),
, , . c	11

“ (X0) =-----Г -	=	--		Г

r (ch2 6 — Xo) (x, —• cos8 л) (Xo — cos2 Л')

л метод стационарной фазы дает выражения

fa (П» П ) = 2г ela,t Гр (tj, if) = 2е1ш*,

(88)

(89)
-соответствующие геометрической оптике и смыкающиеся с формулами
478) и (80) при т|oiт]’ и больших отрицательных ^(х — х'), когда
.имеют место асимптотические соотношения

— — v	— — V

/(£) = 2$а 8 , g(£) = 2e 8	(^-оо).

(90)

6. ХАРАКТЕРИСТИКА РАССЕЯНИЯ

В конце § 4 мы нашли выражения для характеристики рассеяния
ПГСн» Л')- Приведенный там вывод необходимо дополнить, а именно до-
казать, что первое слагаемое в интеграле (65) дает первичную волну
(Лр), и кроме того вывести выражение для y(q, т>') в случае, когда
•она представляет обычный луч. Здесь мы применим, однако, несколько
иной метод, основанный на формуле

G = лШ^(Ар) + ф GаН-^кГ} -(кг) dl,	(91)

которая выражает функцию Грина G в любой точке через первичную
волну и через значения функции G п ее производной по внешней
нормали dGjdn. на граничном эллипсе £ = г есть расстояние между
точкой т] на эллипсе и точкой наблюдения |, т|. При граничном усло-
вии (6) имеем
. я
е* т „

Т (Я. п') =-^лПГ \ Га (п. п')

z у М J
а при граничном условии (7)

—<у-

Т (П. Л') = —г₽(й, Л')
где

ф = — с (ch f соа т] cos т] -f- sh J sin ц sin q).

(92)

(93)

(94)

Если вблизи точки стационарной фазы (т| ^ ту для функций Га и Гр
применимы выражения (78) и (80), то интегралы (92) и (РЗ) можно
вычислить уточненным методом стационарной фазы (см. [1'1]); в этом
случае «быстро меняющаяся» фаза подынтегральной функции равна

“ (Й) = €ч (б — а',) + ф.	(95)

Корни т)! и т]а уравнения о' (ц) = 0 определяются соотношениями

.	sh Е cos л

sm Л, = -

V ch» g— cos’ tj

т ch’g—cos1»]
ch f sh |

r CU- 5 — vUo	.

V ch’ £ — cos’ rj

Разложение функции (95) при г=ст|у имеет вид
€-
(о(щ) = а* (т|) +-=-s8, s = x — xv,
’	V

(96)

® (л») = (a.

, v C0S ’Iv 003 П

"«4»	1 —....— WHHHHwanMaaaaaaiw-HWiwaaaaaaaaaww

”	ch £



-причем смысл Д„ тот же, что и смысл (см. рис. 1 и 2).
Вынося множители 1/ —и dty/df за знак интеграла (при
г Л/ (т>)

т) = T]v) и используя интегральные представления (79) и (81) вместе с
соотношением

СО	/	1 \

4	(*	(Is 4- —z~“ я* I

гф) =	\ е 3 Jds,

(98>

получаем формулы

г (л. п') = - К2л/ ^,) м «)	(a.v _ у)} (99>

и

Т (»Ь п') = - ]/2М (r]v) М «) е^(->,-,)-<*(д,+д»> а	(10())

эквивалентные формулам (68) и (71) соответственно.

Формулы (99) и (100) показывают, что рассеянное поле формируется
так: лучи, приходящие из бесконечно удаленного источника т]', касают-
ся цилиндра в точках ц' и ц' и дают начало дифракционным лучам
1 и 2, причем луч 1 обегает цилиндр в положительном направлении
(61 = 1), а луч 2 — в отрицательном (G = — 1). Луч 1 может попасть
в бесконечно удаленную точку наблюдения t], только оторвавшись от
цилиндра в точке i]i> а луч 2 — в точке т|а (рис. 2), причем до отрыва,
они могут обежать цилиндр произвольное число раз.

Если аргумент 6v(xv— x'J отрицателен, то функция т(л, Л ) Дает пе
дифракционный, а обычный луч, подчиняющийся геометрической оптике;
последняя при скользящем падении луча (при малом и конечном
| х„ — х»|) нуждается, впрочем, в уточнении по формулам (99) и (100).
В остальных случаях следует в интегралы (92) и (93) подставлять выраже-
ния (89), и быстро меняющаяся фаза будет равна

<о(т])= —с [ch|cos т] (cos 1]cos т]') + sh £sin ц(зт т| + sin ц')]- (101)
Точка стационарной фазы т]0 определяется соотношениями

спя И+п' = sh I cos Tlo

2 Xchst — cos2rj/

Л	3inT|+t1'— ch gain До

/ X. /	2 ch®I— cos2 Tlo

__________ - -

/	ch21 — cos2 По = " r = =-  - = =--- ,

Рис. 2. Точки касания т)г Ла* ’ll п Пг	(102)

причем а)" (т)0) = — о (т|0) =/= 0. Обычный метод стационарной фазы при-
водит к формуле

т(т1, я')=Т	cos 2=^ei<e<*> = q= IM (По)]'7’]/^cos	(ЮЗ)

которая соответствует геометрической оптике (ср. формулы (51)) и смы-
кается с формулами (99) и (100), поскольку при больших отрицательных
аргументах £ функции /(£) и g(£) приближенно равны:

=	=	(104)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты этой работы легко обобщаются на выпуклый
цилиндр произвольной формы (овальный, параболический, гиперболи-
ческий и т. д.). Если точка наблюдения и источник лежат вблизи по-
верхности цилиндра, то применимы формулы (46) и (47), в которых
величина М (ц) связана с радиусом кривизны цилиндра р (ц) соотно-
шением

М (Ц) =	(Ю5)

а 5, х, у и у' очевидно равны:

к { dl	kh , kh-	,.па.

s=k\al, х =	, г, у = .. .-г , у = г?--.—г ,	(106)

J	2 J Мг (т])' я М (т\) а М (т)')	4	'

где dl— элемент дуги граничного контура, a h' и h — кратчайшее рас-
стояние источника и точки наблюдения до поверхности цилиндра (мы
опять обозначаем координаты точки наблюдения через £, ц и коорди-
наты источника — через т|')- Если одна из точек удаляется в беско-
нечность (£' —> оо), то соответствующая ей координата г/ теряет свой
условный характер и становится полярным углом, а функция Грина
принимает вид

г (Е, n; I', n') - V^^kT’+ 4 (I, л; п').

(Ю7)

где г' — радиус-вектор. Для функции Г (£, ц; ц') применима формула
(77), которую при больших отрицательных £у(а; — я') надо дополнить
законами геометрической оптики (см. (8]). Последние для функций (78)
и (80) имеют вид (89), где ш0 есть фаза плоской волны на поверхно-
сти цилиндра.

Если обе точки удаляются в бесконечность (£ —>оо,	>ос), то

представляет интерес характеристика рассеяния у (т|, ц'), определяемая
соотношением

fir

т(Е. п; л') =	л').	(Ю8)

где у (£, г); ц') есть «вторичная» часть функции Г (Е, ц; rf) — волна, рас-
сеянная цилиндром, ar, 1] — полярные координаты точки наблюдения.
Характеристика рассеяния у (ц, ц') для произвольного выпуклого ци-
линдра вычисляется по формулам (99), (100) и (103).

Напомним, что каждая функция Г или у соответствует дифракцион-
ному или обычному лучу (или же паре обычных лучей) и интересующая
нас функция Грина G согласно формуле (14) равна сумме вкладов от всех
лучей, причем дифракционные лучи, обежавшие цилиндр более одного
раза, дают, как прааило, пренебрежимо малый вклад.

Пределы применимости этих асимптотических формул можно оценить
при помощи численных результатов, полученных ранее для сферы 19,
10] и кругового цилиндра 111]. А именно, характеристики рассеяния дол-
жны передаваться этими формулами уже при	а функции Га и

Гр — при /иМин > 10, где омнн — минимальный радиус кривизны цилиндра.

Заметим, что непосредственное построение ряда, аналогичного ряду
(27), было произведено ранее для других задач (см., например, [14]).
Однако преобразование ряда в контурный интеграл делает метод более гиб-
ким и эффективным. В частности, контурные интегралы (49), (63), (69),
(72), (79) и (81), введенные В. А. Фоком и табулированные в 115], передают
превращение дифракционных лучей в обычные и наоборот. Таким образом,
мы получили более полное решение, чем Дж. Б. Келлер [12], который
ограничился рядами вычетов (расходящимися при х<0).

Данный метод можно применить для асимптотического решения тех.
дифракционных задач (как электродинамических, так и акустических),
которые допускают разделение переменных.

ЛИТЕРАТУРА

1.	В. А. Фок, ЖЭТФ, 1945, 15, 12, 693.

2.	В. А. Ф о к, Дифракция радиоволн вокруг земной поверхности, Изд. АН СССР.
1946.

3.	В. А. Фок, Изв. АН СССР, Сер. физ., 1946, 10, 2, 171.

4.	М.	Л	е о н т	о в и ч, В. Ф о к, ЖЭТФ,	1946, 16, 7, 557.

5.	В.	А.	Ф о	К,	ЖЭТФ, 1949, 19, 10, 916.

6.	В.	А.	Ф о	к,	Успехи физ. наук, 1948 , 36,	3 , 308.

7.	В.	А.	Фо	к,	Успехи физ. наук, 1950, 43, 4, 587.

8.	В.	А.	Ф о	к,	ЖЭТФ, 1950, 20, 11, 961.

9.	М. Г. Белкина, Л. А. Вайнштейн, Сб. статей «Дифракция элект-
ромагнитных волн на некоторых телах вращения», Изд. Советское радио, 1957,
стр. 57—125.

10.	А. А. Федоров, Радиотехника и электроника, 1958, 3, 12, 1451.

И. А. С. Горяйнов, Радиотехника и электроника, 1958, 3, 5, 603 (см. также
Докл. АН СССР, 1956, 109, 3, 417).

12.	J. В. К е 1 1 е г, 1НЕ Trans., 1956, АР-4, 3, 312.

13.	А. Е г d ё 1 у i, W. Magnus, F. Oberhettinge г, F. G. Tricomj,
Higher transcendental [unctions, Bateman manuscript project, McGraw-Hill, 2,1953.

14.	А. Зоммерфельд, Дифференциальные уравнения в частных производных
физики, ИЛ, 1950, стр. 298—312.

15.	П. А. А з ри л я нт, М. Г. Б е л к и н а, Численные результаты теории ди-
фракции радиоволн вокруг земной поверхности, Изд. Советское радио, 1957.

6. В. А. Ф о к, Радиотехника и электроника, 1956, 1, 5, 560.

Поступила в редакцию

3 V 1960
ПОПЁРЁЧИАД ДИФФУЗИЯ ПРИ ДИФРАКЦИИ НА ИМПЕДАНСНОМ
ЦИЛИНДРЕ БОЛЬШОГО РАДИУСА. Ч. I. ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ

УРАВНЕНИЕ В ЛУЧЕВЫХ КООРДИНАТАХ

Г. Д. Малюжинец, Л. А. Вайнштейн

Рассмотрена двухмерная задача о дифракции цилиндрической или
плоской волны на круговом цилиндре с граничными условиями импе-
дансного типа (при условии, что радиус цилиндра велик по сравнению
с длиной волны). Эта задача решена при помощи параболического урав-
нения Леонтовича — Фока, записанного в лучевых координатах и учиты-
вающего «поперечную диффузию» волновой амплитуды. Получено общее
решение дифракционной задачи, пригодное при любых расстояниях источ-
ника н точки наблюдения до цилиндра и согласующееся с формулами гео-
метрической оптики в освещенной области.

ВВЕДЕНИЕ

В фундаментальных работах М. А. Леонтовича и В. А. Фока [1—4]
для исследования асимптотических законов дифракции предложен ме-
тод параболического уравнения, при помощи которого решена задача
о распространении радиоволн вдоль плоской [1,2] и сферической [2]
земной поверхности, а также задача о поле плоской электромагнитной
волны в области полутени вблизи поверхности проводящего выпуклого
тела [3, 4], размеры и радиусы кривизны которого значительйо больше
длины волны. Оказывается, однако, что параболическое, уравнение, за-
писанное в лучевых (эвольвентных) координатах и учитывающее лишь
поперечную диффузию волновой амплитуды, позволяет найти дифрак-
ционное поле во всей теневой области на произвольных расстояниях от
выпуклого тела, а также в области полутени — вплоть до смыкания с
формулами геометрической оптики. В данной работе это показано на
примере дифракции цилиндрических и плоских волн на импедансном
круговом цилиндре, радиус которого гораздо больше длины волны.

Теоретическая трактовка дифракционных явлений, примененная в
данной работе, неоднократно излагалась Г. Д. Малюжинцем в докладах
на конференциях в 1946, 1957, 1959 и 1960 гг. (см. [5—8]), а также в
обзорной статье [9]. Эта трактовка отличается значительной общностью
и, в частности, как показано ниже, включает в себя концепцию дифрак-
ционных лучей.

1.	МНОГОЛИСТНАЯ ПЛОСКОСТЬ И ЛУЧЕВЫЕ КООРДИНАТЫ

Двухмерная задача о дифракции цилиндрической волны на круговом
цилиндре радиуса г сводится к нахождению функции Грина G, удовлетво-
ряющей волновому уравнению

tv Н----я--1—г tv +AaG = 0 (a<^r<^oo)	(1)

dr* 1 г dr г2 v<p2	\	/	\ /

(г, <р — полярные координаты точки наблюдения) всюду, кроме источ-
ника — «светящейся линии», параллельной оси цилиндра и имеющей
полярные координаты г', 0; первичная волна, создаваемая источником,
есть	________________

G° = ш'Яо0 (Ар), p = j/r2 — 2rr' cos ф 4- г'2 .	(2)
Это значит, что на луче <р = 0 функция Грина G непрерывна, а ее про-
изводная dG/ду терпит скачок

ЭС I	dG I	/ д,

-5—	--3—	= —4ЛГО(Г —Г).	(3)

Эф |<р=4-о Эф |ф=—о	'	'	'

На бесконечности (при г —> оо) функция G должна удовлетворять
условию излучения, а на поверхности цилиндра —импедансному гра-
ничному условию

+ ikgG = 0 (при т = а).	(4)

В акустике G есть потенциал скоростей или давление, a 1/g — нормаль-
ный импеданс (полное сопротивление). В электродинамике (4) представ-
ляет собой граничное условие Леонтовича и G есть либо составляющая
магнитного поля вдоль оси цилиндра, либо соответствующая компонента
электрического поля; в первом случае g = w, во втором случае g = 1/w,
где w = р^/е есть волновое сопротивление цилиндра.

Функция G удовлетворяет соотношению взаимности

G(r, q, г') = G(r't — ф, г)	(5)

и должна удовлетворять условию периодичности

G(r, <р + 2я/, r') = G(r, ф, г'), / = ±1, ±2,-..	(6)

Наряду с функцией G целесообразно ввести функцию Грина на много-
лиатной плоскости * Г = Г (г, ф, г'), которая удовлетворяет соотноше-
ниям (1)—(5), но вместо условия периодичности (6) для нее выполняется
условие

' Г (г, ф, г') —> 0 при | ф | —► оо.	(7)

Функции G и Г связаны формулой

ОО

G(r, ф, г') = 3 Г(г,ф + 2л/,г').	(8)

?=—со

Искомую функцию Грина Г удобно представить не в полярных ко-
ординатах г, ф, а в лучевых координатах £, 1), адекватных данной диф-
ракционной задаче. Эти координаты вводятся следующим образом: счи-
тая сначала, что точка наблюдения Р находится в области тени (рис. 1,
а, б), мы нроводим из точки Р касательную РТ к окружности цилиндра
г = а, а из источника Р' —касательную Р'Т' и характеризуем поло-
жение точки Р при помощи координат

В = РТ + ц, д = ГТ,	(9)

а положение точки Р' — при помощи разности

В' — Л = Р'Т'.	(10)

Координаты В, д однозначно связаны с координатами г, ф на м н о г о-
л и с т н о й плоскости: так, на рис. 1, а, б точке Р приводятся в соот-
ветствие разные В и д, но на рис. 1, а точка Р лежит на «нулевом» листе
плоскости (— я <ф <я), а на рис. 1, б — на —1-м листе (— Зя <ф <
< — я). Лучевые координаты точки Р на /-м листе (/ = 1,2,...) равны
В + д + 2яд/ (где В, я соответствуют нулевому листу, см. рис. 1, а),
а лучевые координаты точки Р на — /-м листе (/ = 1,2,...) равны
В + 2яа (/ — 1), Д + 2яа (/ — 1) (где В, Д — ее координаты на — 1-м
листе, рис. 1, б).

Если точка Р расположена на нулевом листе, то она может попасть в
освещенную область (ср. рис. 1, в). В этом случае мы формально вводим

* Многолистная плоскость при рассмотрении дифракции вокруг цилиндра
впервые введена в [10] (см. также [41]).
лучевые координаты В, т] так же, как для области тени, т. е. проводим ка-
сательные РТ и. Р'Т' и. полагаем

1-х] = РТ, 1'-П = Р'Т',	(11)

считая координату т| отрицательной:

Л = — 7Т;.	(12)

Физически очевидно, что в освещенной области координаты £, т| при-
годны для представления функции Г только при достаточно малых |ti|,
т. е. вблизи границы освещенной области, а вдали от этой границы функ-

ция Г представляется в виде
суммы первичной волны (2)
и отраженной волны, подчи-
няющейся законам геометри-
ческой оптики (для этой
волны лучевые координаты
нужно вводить по-дру-
гому).

Однако вывод законов гео-
метрической оптики из волно-
вого уравнения (1) вряд ли
представляет какой-либо ин-
терес, а применение луче-
вых координат (И)—(12) в
области полутени,при
<{1, позволяет произвести
смыкание дифракционных
формул с формулами гео-
метрической оптики и тем са-
мым получить полное ре-
шение рассматриваемой за-
дачи.

Легко показать, что | и
т] образуют ортогональную
систему координат. Линии
Т| = const суть лучи, касаю-
щиеся окружности цилиндра,
а линии j = const — эволь-
венты этой окружности (см.
рис. 2), причем коэффициен-

Рис. 1. Лучевые координаты для цилиндра

ты Ламе равны
2.	ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ В ЛУЧЕВЫХ КООРДИНАТАХ

Переходя к приближенному решению уравнения (14) при условии

(15)

где

М2>1,

(16)

прежде всего произведем замену

Г = e1AW,	(17)

выделяя фазовый множитель е1к и вводя функцию W — медленно меняю-
щуюся волновую амплитуду (вообще говоря, комплексную). Она удо-
влетворяет уравнению

+ (2ik +	+ “ w +	а( _±_ ух = о,

д£2	\ П/ ЭЪ	I—п	5—л	Ч—Л 5|I J

которое после введения безразмерных независимых переменных

Х = М-1, Z = M^-
а	а

принимает вид

dW I '2i W \	1 д ( i dW\ I 1 I 1

4 ЭХ X—Z X — ZdZ\X—Z dZ мЛзхг X — Z dX ) J

Пренебрегая в этом уравнении членами порядка 1/№, получаем уравне-
ние параболического типа

(18)

(19)

(20)

4t''S- + x^zTy + T1z-A-(x1-z-S-') = 0’	(21)

и a	jX — Z	jX — Z dZ \X — Z &Z /

в котором третий член, содержащий dW/dZ, учитывает поперечную диф-
фузию волновой амплитуды, а члены порядка t/М3 в уравнении (20) соот-
ветствуют «продольной диффузии», которой в данной задаче можно пре-
небречь (ср. |9]).

Уравнение (21) можно упростить. Введем новую переменную

Y = (X — Z)3 = Ap(L=jJ"• Z = X - VY	(22)

и будем рассматривать W как функцию X и У. Тогда уравнение (21) при-
мет вид

i 4- 2 А=- W +	4- 2i]^Y	=* 0	(23)

и после подстановки
__________________________________{	у*/«
w = е « Wi	(24)

превращается в параболическое уравнение Лео говича — Фока

i	+ YW,. 4-^= 0,	(25)

исследованное в работе [2] Граничное условие (4) при переходе к функ-
ции Wi принимает вид

+ qWi = 0, q = iMg (при У = 0),	(26)

поскольку высота h точки Р нещ поверхностью цил индра
h, = V а3 + (Е — т))а — а	(27)

при h а равна

Общее решение уравнения (25), удовлетворяющее условию излучения
и граничному условию (26), имеет вид

(29)

«=1

где Св — неизвестн! е коэффициенты; wi — функция Эйри, соответствую-
щая уходящей волне, а суть корни уравнения

Wi (М — gu>i (*.) = 0 (s — 1, 2, . . .),	(30)

детально исследованного в § 7 (12].

Функции Г, W и Wi, а значит и коэффициенты Св, зависят от положе-
ния источника, которое мы определяем разностью (10) и соответствующей
безразмерной переменной

Y' =	(31)

Для того чтобы W была медленно меняющейся функцией — ц, нужно
вместо е1*5 выделить в формуле (17) фазовый множитель

gilt (54“^**—^)	 giA.‘O

где

~	- П	(32)

есть расстояние между точками Р' пР, взятое по минимальному пути (ди-
фракционному лучу), состоящему из прямолинейных отрезков Р’Т' и
ТР и дуги Т'Т. Учитывая далее, что в функцию Г переменные и

Y’ и У должны входить симметрично, приходим к выражению

Г = е< (*- ±	| УЛ] J c^ltxU1 (t, - У) wi (t, - У'),	(33)

e=l

где X определяется повой формулой

х =	=	(34)

в которой £ и 5' фигурируют симметрично. При = ц, когда точка Р'
лежит на поверхности цилиндра, формула (34) переходит в первоначаль-
ное определение (19) величины X; переход от (29) к (33) означает, что

и it

коэффициент Св содержит множитель е 8	® .

3.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ с*
(ОБЕ ТОЧКИ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА)

Коэффициенты св в формуле (33) могут зависеть только от парамет-
ров q и М. Их можно найти из следующих соображений (ср. [2] и [13]).
Пусть источник Р' и точка наблюдения Р лежат вблизи поверхности ци-
линдра, так что их высоты h1 = г' — а и h = г — а удовлетворяют усло-
виям

h’ a, h <С а.	(35)

Тогда в формуле (33) переменные У и У' можно заменить на у и у', где сог-
ласно формуле (28)

у = ~м' у ~ ~м~‘	<36)

и кроме того положить

б*^fce~ Т Y /,_ Т У '*) _ etta | ф | _ eiklf	(37)

где I = а | <р | есть расстояние между точками Р' и Р по поверхности ци-
линдра. Последнее соотношение следует из рис. 3, где

Х_Р'ОР = |ф| =-3-+ Аф 4-Дф'.	|

Аф =	=	... J ( }

так что при малых Аф и Аф'

Ла Аф = к (£ — >]) —4-У7', Ла Аф' = к (£' — tj) —

,	,	.	(39)

ка | ф | = ко — — У4-У,/1.
О	о

При конечных У и У' можно также заменить X на

х = М | ф	| =	М	,	(40)

и формула (33) принимает вид

СО

Г = еш 3 cZ'*1 и>1 (ta — у) wt (1„ — у').	(41)

а=1

Коэффициенты св следует выбирать так, чтобы в освещенной области
была справедлива отражательная формула

п )	i*(h—h')«

«Це 21

+ е 2i

h -f- h’ — g(]
Л-+-Л' +

(42)

соответствующая плоской отражающей поверхности и достаточно поло-
гим лучам. Первый член в квадратной скобке (42) дает первичную вол-
ну (2)

G° =	р = ур + (h _ Л')2 ~ I +(±-^')2(	(43)

Рис. 3. Углы Дф и Дф' в случае, когда обе
точки находятся вблизи цн.швдра

второй член — отраженную
волну, исходящую от мнимого
источника и имеющую коэффи-
циент отражения

h +h'

coaX-g ~ ..z. ~.g (44)

cos x 4* g h+ h'	' 7

где % — угол падения (близкий
к л /2).

Если мы положим

Г =	(х, у, у’, q), (45)

где функция Y определяется контурным интегралом (контур С охваты-
вает все точки tB в положительном направлении)

Ч' (х, у, у', q) •=

I Г	Г	(4) —<7^(0	.

i \	« - /)	(«-»)- 74^^-<’ -

и рядом вычетов

„ е ® tai(/s — Ь; и-, (С,—у’)
Y (х, у, у’, q) = 2j Zs-.73 " W! (te) u>! (z,) •
8 = 1

то в силу формулы (см. [131, § 5)

—‘ Т г • (ц~ц')* i
зр _ L______|e' *с 4-е.	4-т

2 У лх I

У + У' -t-2z?x

У + У' —

(х~>0)

dt

(48)

(47)

(48)

Г =

2я <(fci+
тт-е х

i*(h+h')«
мы действительно получаем отражательную формулу (42). Доказать един-
ственность решения (46) затруднительно (ср. [21); можно лишь сослаться
на ч. II данной работы [19], где приведен более строгий вывод формул (45)
и (46).

Заметим, что при написании интеграла (46) предполагается, что у' у\
если же у' < у, то нужно поменять местами у и у'. Функция Y свя-
зана с множителем ослабления V, фигурирующим в теории распростра-
нения радиоволн вокруг земной поверхности и частично табулирован-
ным в [14] и [15], соотношением

V&, У< У< я) =2Улхе 4Т(х, у, у', q).	(49)

Для дальнейшего существенны также функции Vi (z, у, g) и Ун (£, р,g),
определение которых можно найти в § 3 [14].

Как уже отмечалось, формула (42) соответствует пологим лучам и
должна быть дополнена формулой, пригодной при больших высотах
Л и Л'. С другой стороны, при уменьшении h и h' пли при увеличении
I формула (42) становится неприменимой из-за того, что необходимо
учитывать кривизну отражающей поверхности (и в частности допол-
нительную расходимость отраженных лучей, ср. [14], §5), а при малых
|g] — применять формулу Вейля—ван дер Поля, не говоря уже о том,
что вблизи границы освещенной области вступают в силу дифракцион-
ные явления.

Сравнивая формулы (45) и (47) с формулой (41), получаем

•= тг 	<50)

Поскольку коэффициенты с5 не могут зависеть от У и У', общая формула
(33) принимает вид

г= 2л£е1(Ав_-1у«А_Лу”/.)Т(^	(51)

Это выражение, пригодное для любых расстояний источника и точки
наблюдения до цилиндра, является основным результатом данной ра-
боты. Отметим, что оно получается из формулы (45), справедливой лишь
при условиях (35), заменой множителя на более сложный и подста-
новкой в функцию Y вместо переменных х, у, у' новых переменных X,
У, У', связанных с лучевыми координатами.

Ниже показано, что выражение (51) согласуется с результатами, по-
лученными в других работах при более частной постановке задачи, и
смыкается с формулами геометрической оптики в освещенной области.

4.	ОДНА ТОЧКА ВБЛИЗИ ЦИЛИНДРА, ДРУГАЯ — ВДАЛИ ОТ НЕГО

Освободимся теперь от условий (35). В этом параграфе мы будем счи-
тать, что h <§? а, но высота h' может быть сколь угодно большой, напри-
мер h' — а или h' а. Тогда величина У' будет большой, и можно
применить соотношение

Y(X,y,y\g) = —^F1(z,y,g),	(52)

2 у лУ /4

где

z — х____Vy7 = м — ‘

г	а ’

V1 (г» У< я) =	1е “* (< — у)------------------!П 0 — у) dt-

(53)

(54)
Формула (51) переписывается в виде

Y.g).	(55)

Последнее выражение распадается на два множителя: множитель

-] / 2л	<[*(£'-нН- -Д]

(56)

соответствует свободному распространению первичной цилиндрической
волны (2) от источника Р' до точки касания Г'; второй множитель соот-
ветствует дифракционному распространению по пути Т’ТР. Если первич-

Рис. 4. Координаты ц и угол Д<р для плоской вол-
ны (или для удаленного источника Р')

пая волна — плоская,

G0 = е~ 1кгсоз<Р1 (57)
то формула (55) ’’упро-
щается следующим об-
разом:

Г =

— ;(^_лУ7е)

=е v 8 Тцх.У.д).

(58)

Смысл £ и п показан на
рис. 4. Обозначим

/РОТ' = ф =	+ Д<р;	(59)

тогда в силу первого соотношения (39)

м = *в—|у,/’	(60)

О

и. вместо формулы (57) можно, заменяя Y на у, написать

Г = e^Vi (z, у, д),	(61)

где z = Мф.

Последнее выражение согласуется с формулами, выведенными в [16] и
[17]. В освещенной области гиф отрицательны, а при больших отрица-
тельных z для функции Vi справедлива асимптотическая формула

Vi (z,	9) = е“ т г. (elz« +	.	(62)

Из нее следует, что формула (61) обеспечивает смыкание с геометрической
оптикой: первое слагаемое в скобке (62) дает падающую волну, второе —
отраженную, -у + ф есть угол падения.

В освещенной области (ф < 0, z < 0) можно вместо формулы (61) при-
менять интерполяционную формулу (ср. [16])

г = eifcaBin+eT z‘Vl (Zj yt q)s z=iHsin Ф,	(63)

которая при конечных z и малых ф практически совпадает с формулой
(61), а при больших отрицательных z в силу выражения (62) переходит
в отражательную формулу

Г _ е—i»(a+h)C0S<p	Mcos» COS ф — g

COS Ф -f- g ’	4	'

пригодную при любом угле падения q> = -у +ф.

Нетрудно проверить, что и при падении цилиндрической волны (56),
создаваемой удаленным источником, формула (55) дает при конечных
У и z <С 0 смыкание с геометрической оптикой. В силу соотношения
взаимности (5) выписанные выше формулы пригодны и в тех случаях,
когда источник находится вблизи цилиндра, а точка наблюдения — вдали
от него.

Заметим, что «отражательную формулу» (62) для функции Vi можно
уточнить так, что она будет учитывать влияние кривизны отражающей
поверхности на отраженную волну (см. [4], § 5 или [14], § 5); однако при
(остаточно больших отрицательных z и конечных у этим влиянием можно
пренебречь.

5. ОБЕ ТОЧКИ ВДАЛИ ОТ ЦИЛИНДРА

Рассмотрим сначала случай, когда падающая волна — плоская, и
будем считать величину У в формуле (58) большой (конечные и малые
значения У рассмотрены выше). Введем переменную

£ = 2 — У^У = М -у	(65)

и воспользуемся соотношениями (см. [14], § 3)

V1 (Z, У, ц)	y’Vu (£, У'\ q) при £ > О,

7i(z, У, q) = e-4z,+-uy+_J_e1-5- y’Vu (£, У*4, q) при £ < О,

где Fn (£, р, g) = 7(0) (С , р) +7(1) (&, д) +7(г) (£, д).	(67)

Функции Vм, 7(1) и 7(2) определяются так:

(66)

-I (p-'W- -J —	СО

7(0> (£, р) = р --—eis- ds

у я К

при £ > О,

7(0’(£,р) = -Н

c'(t)+e 3gg(0

. ТС

и

7(1) (£, q) = —

. л СО

(69)

(«) — m. (t)

В формулах (66) мы пренебрегаем членами порядка 1/р2 = 1/yV по
сравнению с членами порядка единицы (ср. [18], § 5), поэтому при конеч-
ных и больших t, следует вместо интегралов Френеля (68) использовать
первый член их асимптотических разложений и писать

7<0) (£, р) =F(0)(C> «О

< 22
е 4

(70)

Тогда функция 7ы зависит только от двух переменных и превращается в
функцию

7ii(£,g)=7u(£, со.д).	(71)

Зависимость 7ц от переменной р проявляется лишь при малых £.
В силу соотношений (66) формула (58) дает

Г = М ]/"(£. У*4. 9) при С > 0,	)

/Ц—	(72)

Г = Г» + Му —^-—}e^Vu (£, У1/‘, д) при I < 0, ]
где слагаемое

Г° _ / (,Е - тг'- - Т •+") = е< («- т	(73)

при малых т]/а дает падающую волну (57). Действительно,

Фактически не имеет смысла различать Г° и G°, так что под Г° следует
понимать просто падающую волну (57). Отраженная волна равна

Г1 = М1/г е‘«7п С, Y*'*, д) (при £ < 0).
г « (6 — щ

(77)

При больших отрицательных £ для функции Vn справедливо асимптоти-
ческое выражение

у__ < с1_х+^

11—	2	£

—2	19

(78)

которое обеспечивает смыкание формулы (77) с геометрической оптикой,
согласно которой должно быть

М,f‘	J*(E—n—2а Stn 6) 1/~;~ А 3*П	<

" *	с	f 31И V •  ь 1 _ 1

УЛ(Е-П)=	sinfi + s

(79)

где --6 есть угол отражения данного луча NP (6 = — ц/2а, см. рис. 5).

Вместо двух формул (77) и (79) можно при £	0 написать (ср. 1161) одну

интерполяционную формулу

р = М]/.	я+2вв1п)е	Г/., д),

F Л (G — Ту

(80)

где = 2М sin , практически совпадающую с (77) при конечных £ и с
(79) при — £ >» 1.
Формулы (72), (77), (79) и (80) при g = 0 и g = оо ,а также при замене
7u(£, F'Sg) на Уц (£, q), эквивалентны выражениям, полученным
А. С. Горяйновым [16] иным методом.

Если на цилиндр падает цилиндрическая волна (56), создаваемая уда-
ленным источником, иУ' сравнимо с У, то следует исходить не из формулы
(55), а непосредственно из общей формулы (51). Пользуясь соотношения-
ми между Vii и У (см. формулу (49)), установленными в работе В. А. Фока
[18] и приведенными в [14], получим

Г =	д),	(81)

где	___

е = Х-/У-ГУ7 = М^->0, р,а = у-?™уу7-	(82)

Эта же формула (81) годится для отраженной волны Г1 при конечных от-
рицательных £. Можно применять для Г1 также интерполяционную фор-
мулу,

Г1 = М]/(£, J? (g —}/(*°+ Т +2°МПе7и (?, jx. 9). (83)

гДе t = 2М sin — которая дает автоматический переход к геометриче-
ской оптике при условии, что | и велики по сравнению с | т) |, так что на
рис. 5 можно считать

Р'Т' || P'N и ТР [] NP.	(84)

Формулы этого параграфа легко интерпретируются с точки зрения
дифракционных лучей. Более глубокое толкование дифракционных яв-
лений, описываемых этими формулами, основано на том, что функция
У<°) в формуле (67) соответствует дифракции на полубесконечном плоском
экране, затеняющем падающую волну так же, как данный цилиндр, а
сумма У(1) + 7(2) дает дифракционный «фон» — поправку к У(о>, зави-
сящую от кривизны и материала цилиндра (ср. [18] и [14]). Разбиение
Vn на 7(0) и У(1) + У(2) физически связано с наличием двух зон «эф-
фективной поперечной диффузии» в данной задаче (ср. [9]).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основным результатом данной работы является выражение (51),
которое смыкается с формулами геометрической оптики и дает общее
решение задачи о дифракции на круговом цилиндре большого радиуса.
Этот результат свидетельствует об эффективности параболического урав-
нения, записанного в лучевых координатах.

ЛИТЕРАТУРА

1.	М. А. Леонтович, Изв. АН СССР, Сер. физ., 1944, 8, 1, 16.

2.	М. А. Леонтович, В. А. Фок, ЖЭТФ, 1946, 16, 7, 557; Сб. Исследования
по распространению радиоволн, под ред. Б. А. Введенского, Изд. АН СССР,
1948, стр. 13—39.

3.	В. А. Фок, Изв. АН СССР, Сер. физ., 1946, 10, 2, 171.

4.	В. А. Фок, Успехи физ. наук, 1948, 36, 3, 308.

5.	Г. Д. М а л ю ж и и е ц, Докл. на Всесоюзном совещании по вопросам электри-
ческих колебаний и волн, г. Горький, 1946.

6.	Г. Д. М а л ю ж н и с ц, Докл. на IV Всесоюзном акустической конференции,
Москва, 1958, Рефераты докладов. Литографированное издание Оргкомитета кон-
ференции, ч. II, 1958, стр. 3.

7.	Г. Д. М а л ю ж и п е ц, Докл. на III Международной акустической конферен-
ции, Штутгарт, 1959.
8.	Г. Д. М а л южи не ц, Докл. на симпозиуме по дифракции воли, Одесса, i960.
Аннотации докладов, Изд. АН СССР, 1960, стр. 7.

9.	Г. Д. Малюжипец, Успехи физ. наук, 1959, 69, 2, 321.

10.	Г. Д. Малюжинец, Некоторые обобщения метода отражений в теории диф-
ракции, Автореферат докторск. диссертации, Изд. АН СССР, 1950.

11.	F. G. Friedlander, Commune Pure and Appl. Math., 1954, 7, 4, 705.

12.	В. А. Фо к, Дифракция радиоволн вокруг земной поверхности, Изд. АН СССР,

13.	В. А. Фо к, Изв. АН СССР, Сер. физ., 1950, 14, 1, 70.

14.	П. А. А з р и л я н т, М. Г. В е л к и и а, Численные результаты теории диф-
ракции радиоволн вокруг земной поверхности, Изд. Советскоерадио, 1957.

15.	М. Г. Белкина, Таблицы для вычисления электромагнитного поля в обла-
сти тени для различных почв, Изд. Советское радио, 1949.

16.	А. С. Горяйнов, Радиотехника н электроника, 1958, 3, 5 , 603 (см. также
Докл. АН СССР, 1956, 109, 3, 477).

17.	J. R. Wait, А. М. С о n d a, IRE Trans., 1958, АР-6, 4, 348.

18.	В. А. Фо к, Успехи физ. наук, 1950, 43, 4, 587.

19.	Л. А. Вайнштейн, Г. Д. Малюжинец, Радиотехника и электроника,
1961, 6, 9,.

Акустический институт АН СССР	Поступила в редакцию

Институт физических проблем АН СССР	18 I 1961
ПОПЕРЕЧНАЯ ДИФФУЗИЯ ПРИ ДИФРАКЦИИ НА ИМПЕДАНСНОМ
ЦИЛИНДРЕ БОЛЬШОГО РАДИУСА. Ч. II. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
ЗАКОНЫ ДИФРАКЦИИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Л. А. Вайнштейн, Г. Д. Малюжинец

Показано, что общее решение дифракционной задачи, полученное
в [1] методом параболического уравнения в лучевых координатах, можно
вывести также на точного решения волнового уравнения применением
асимптотических формул для функций Ханкеля. Попутно обсуждены
вопросы (об отражательной формуле и ее уточнении, о поверхностной
волне), рассмотрение которых при помощи параболического уравне-
ния и лучевых координат наталкивается на трудности.

ВВЕДЕНИЕ

В ч. I нашей работы [1] при помощи параболического уравнения в лу-
чевых координатах получено общее решение двухмерной дифракционной
задачи для импедансного цилиндра, радиус которого значительно больше
длины волны. В качестве дополнения к этому результату ниже показано,
что его можно получить из точного решения волнового уравнения, приме-
няя известные асимптотические формулы для функций Ханкеля.

Точное решение позволяет также исследовать вопросы, связанные
с «поперечной диффузией» в освещенной области при обращении коэффи-
циента отражения в нуль для какого-нибудь угла падения (§2), а также
с возбуждением и распространением поверхностных волн (§ 3). Подойти
к этим вопросам при помощи параболического уравнения и лучевых ко-
ординат пока не удается.

1. ФУНКЦИЯ ГРИНА Г ДЛЯ ИМПЕДАНСНОГО ЦИЛИНДРА

Постановка задачи дана в § 1 работы [1J. Задача сводится к построе-
нию функции Г (г, <р, г') в многолистной плоскости; тогда функция Грина
в физической плоскости получается суммированием значений функции Г
на всех листах (см. формулу (8) работы [1]). Функцию Г нетрудно получить

в виде ряда

Г (г, ф, г')

4ni
ка

<»	Н™ (кг) И™ (Лг')	1 ф ।

2 я<>) » [1^ + ,8я<-'(М

» dv L d (ка)

(1)



или контурного интеграла

Г(г, ф', г') =	(кг’)

~ с

dll'^ (ка)

+i8H^(ka)
d (ка)

dH(p (ка) ~”
"Ц-- + igX™ (ка)
d (ка)

H?(kr) dv,

(2)

где контур С охватывает в положительном направлении все точки
v, (s = 1, 2, . . .), являющиеся корнями уравнения

dH<v4(M (
d (ка) 'т

igH^} (ка) = О,

(3)
которое получается из импедансного граничного условия

+ ikgV = 0 при г = а

(4>

для функции Г. В интеграле (2) подразумевается, что г' г, а при г' < г
нужно поменять местами гиг'.

Формулы (1) и (2) дают формальное решение поставленной задачи;
на их выводе мы не останавливаемся, поскольку он производится так
же, как вывод аналогичных формул для эллиптического цилиндра (см. [2],
а также [3] и [4]). Нашей целью является исследование этих формул при
условии

ка >> 1,	(5)

когда вступают в силу асимптотические законы дифракции на выпук-
лых телах.

В силу того, что" г' > а я г > а, в формулы (1) и (2) вместо функций
Ханкеля можно подставлять их асимптотические выражения. Наиболее
общие асимптотические выражения имеют вид

“ч (т),

/у 1^1/ь~ i "5 f 2 "J

(6>

где wx (т) = w (т) и ws (т) — функции Эйри;

(7)

и

£ = 1 — -^-dp = V(kr)z—v2— v arc sin i —	,

V

dE	 J v2-

dv	(kr)-

(8>

Эти выражения можно найти в книге В. А. Фока [5]. Для дальнейшего
важны следующие частные случаи формул (6), также имеющиеся в [51.
Если

1

v = ka + Mt, М =	(9}

то формулы (6) принимают вид

Н1У (ка) =	(t), Н™(ка) = y^Mwz (О-	(10>

Если же

,	kh 2Af2h

h = r — a<^a, У =

и выполняется~условие (9), то

Я'1’ (кг) =---7=T7Wi —	= тгЦтW2 0 “ У)-	(12>

у дЛ/	V ям

При бблыпих г (например, при h а или h а) можно уже применять
асимптотические формулы Дебая

у (кг)г~ V2

—i ------

/-.—	\	4 /

--------------,	(13)

V (Jtf)2 — V2

которые пригодны при v < кг. Если же v имеет вид (9), то формулы (13)
можно упростить следующим образом: в знаменатель подставить просто
v = ка, а В вычислить по формуле

S (V) = £(М +^(ka)Mt.	(14)

В результате получаем формулы



Я*,2’

2

якг sin О

где угол 0 определяется соотношением

а = г cos в.

(16)

Его геометрический смысл ясен из рис. 1:
это есть угол между радиусом-вектором
г = ОР и радиусом ОТ, проведенным к
«точке касания» Т, соответствующей дан-
ной точке наблюдения Р.

Рис. 1. Касательная РТ к окру-
жности цилиндра и угол О

Нетрудно показать, что области применимости формул (12) и (15)
перекрываются, так что формулы непрерывно переходят друг в друга.

2. ОТРАЖАТЕЛЬНАЯ ФОРМУЛА

Предположим, что контур С в интеграле (2) можно провести так,
чтобы на его главном участке были применимы формулы Дебая (13).
Тогда этот интеграл принимает вид

У (кг')2 — v2 У (кг)2 — V2

где и получаются из £ при г = г’ st г = а соответственно. Этот
интеграл можно вычислить методом стационарной фазы (см. § 3 в [5]).

Первое слагаемое в квадратной скобке (17) имеет фазу

и (v) = v | (р | 4-	— I,	(18)

производная которой равна

<»' (v) = | <Р | + у' — у,	(19)

где

sin у' = ~; sin т =	.	(20)

Точка стационарной фазы v0 получается из уравнения

у — у' = | Ф | или cos (у — у') = cos ф	(21.)
и в явном виде определяется формулой

Лг'г . ,	।

Vg-------—- 31П, [ <Р i ,

(22)

где

р = J/V2 — 2г'г cos <р + г2

(23)

есть расстояние между точками Р' и Р. Из рис. 2 виден геометрический
смысл углов у' пу, соответствующих значению v0, и, в частности, следует,
что vB = кН.

Далее имеем

di (v0) = У (кг')2 — v2

^(v0) = -

У— v2 — кр^
к?

(24)

У<кг')- — v2 У(Лг)2—V2 ’

и первое слагаемое" в (17) после применения метода стационарной фазы
дает просто первичную цилинд-
рическую волну

г° = 4(25)

расходящуюся от источника Р'.

Второе слагаемое в (17) имеет фазу

ш (v) = v | ф | + &' + £ — 2^,	(26)

проиаводная которой

ш' (у) = | <р| + у' -j- у — 2Х,	(27)

где sin X = vlka, обращается в нуль при

| ф | — 2% — у'—у.	(28)

Геометрический смысл углов у', Т ИХ> соответствующих точке стационар-
ной фазы v0, виден из рис. 3; в частности, х есть просто угол падения,
равный углу отражения. Из рис. 3 вытекает, что

ю (v0) = /(frr')2 -v2 +	- 2 У (fra)2-v2 = к (S'+s), (29)

где s' = P'N' — длина падающего луча; s = NP — длина отраженного
луча. Кроме того,

(0" (v0) =	т 1....(—£-------+   -------}.	(30)

' °'	ка cos %	+ я cos % s + acosv /	4 '

Метод стационарной фазы приводит к следующему выражению для
отраженной волны:

Г. = /£е*(*,''+‘,+ ^т.,	(31)

V к8	<‘озх + <?	' 7

где	8 = s' + s + 2s's ,	(32)

a cos X	' '

Это выражение полностью согласуется с геометрической оптикой, при-
чем величину «У можно переписать в виде

* ='О+ •£•)-	<33>

где s0 есть расстояние точки отражения N до точки касания продолжен-
ного луча NP с мнимой каустикой; s0 определяется формулой

i =	<34>

t Если

g = cos Хо,	(35)

то при угле падения Хо выражение (31) для отраженной волпы обращается
в нуль. Однако вычисление по уточненному методу стационарной фазы
(при этом следует уточнять и формулы (13)) показывает, что в этом случае
благодаря поперечной диффузии все же формируется отраженная волна,
амплитуда которой — при достаточно больших s' и s — по порядку
величины в ка раз меньше амплитуды волны, отраженной в других на-
правлениях.

3.	ПОВЕРХНОСТНАЯ ВОЛНА

Если функцию {ка) заменить асимптотическим выражением (10),
а также использовать (12), то уравнение (3) примет вид

w'L (t) — qwx {t) — 0, q = iMg.	(36)

При условии

g = — i|g], g = Л/1 g| 1	(37)

уравнение (36) имеет «особый» корень, в первом приближении равный

t =	(38)

и во втором приближении имеющий экспоненциально малую мпимую
часть. Этот особый корень, как показал Фок (§ 7 в [5]), отсутствует при
распространении радиоволн вдоль земной поверхности, когда

f<arcg<^,	(39)

однако при условии (37) он существует и соответствует поверхностной
волне, обегающей цилиндр с малым затуханием (ср. [7]). Зависимость
этой волны от азимута ф в первом приближении определяется множите-
лем	eivM,

где	v = ка (1 + у |g|2).	(40)

Поскольку для поверхностной волны, распространяющейся вдоль им-
педансной плоскости, зависимость от координаты z вдоль плоскости
определяется множителем

z (	(41)

то из сравнения (40) и (41) видно, что формулы (36) и (38) можно приме-
нять лишь при |g|	1, когда фазовая скорость поверхностной волны
близка к скорости волн в свободном пространстве, и, следовательно, «по-
верхностный характер» волны выражен слабо.

В статье Эллиота [6] приведены некоторые численные результаты для
электромагнитных поверхностных волн, обегающих гофрированный ци-
линдр или цилиндр с диэлектрическим слоем; эти результаты получены
из характеристического уравнения, аналогичного уравнению (3).

Заметим, что особый корень (38) существует не только при условии
(37), а и при более общем условии

|g| = М |g|	1,



(42)

Если при этом 1, то вместо уравнения (36) следует применять бо-
лее сложное уравнение, получающееся из асимптотических формул (6).
В этом случае, а также при условии (35), параболическое уравнение в лу-
чевых координатах не дает полного решения данной дифракционной за-
дачи. Если же эти случаи исключить, то точное решение (1) (и (2) волново-
го уравнения, как мы увидим ниже, при условии (5) переходит в решение,
полученное в [1].

4.	СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ В ЛУЧЕВЫХ КООРДИНАТАХ

Подставляя в контурный интеграл (2) асимптотические выражения (9),
(10) и (12) и вводя безразмерные переменные

х = Л/|Ф|,	у' = ^,	(43)

мы получим для функции Г выражение

Г = ’I ¥ (а:, у, у', д),

(44)

dt, (45)

пригодное при условии, что обе точки находятся вблизи цилиндра (h а,
h' <С а). Функция ¥ определяется при у' у интегралом

¥ (ж, у, у', q) =

=	(I — у') W2. О — у) -	(Z — у)

С	L	wjt) — qw^t)

взятым по бесконечному контуру С, охватывающему в положительном
направлении полюсы ta (s = 1, 2, . . .) подынтегральной функции —
корни уравнения (36).

Если точка Р' удалена от цилиндра, то для функции (кг') надо
взять асимптотическую формулу (15), и мы получаем выражение

п	2л £(кг'8‘пв'+т) <*а(|ф|-9)

г ° У	е ^i(z- У> ?). 2 = М (|ф| —в). (46)

согласующееся с § 4 статьи1 [1].

Для того чтобы получить общую формулу (51), воспользуемся тем
обстоятельством, что области применимости асимптотических формул
(12) и (15) перекрываются. Позтому их можно записать в ввде одной
формулы

3

/Г Sine V 2 у 2

Я(П = _ _±_е 1 “	> з W1(t _ у),	(41)

где переменная

У = М2	= М2	(48)
при h а равна переменной у; при этом угол 0 мал, и справедливо при-
ближенное соотношение

з

ка	=

(49)

благодаря которому экспоненциальный множитель в формуле (47) прак-
тически равен единице, и она переходит в первую формулу (12). Если
же переменная Y велика, то функцию wi можно заменить асимптотическим
выражением

з

1Г1 (t — У) = —-е '3	4 >,	(50)

уТ

и формула (47) переходит в первую формулу (15).

Подставляя выражения вида (47) в ряд (1), получаем формулу

з	3

r = ^ei(fc0-fy!!_’Tr’2)^(X, У, У', д),

(51)

являющуюся основным результатом [1]. Здесь все переменные опреде-
ляются лучевыми координатами, введенными в [1]; в полярных коорди-
натах они равны

ст = а (|<р | — 0 — 9') +	8 + г' sin 0',

X = М — , У' = М2 (т— еТ.
в	\ а /

Функция ¥ определяется рядом

Т (х, у, у', д)

« eitsx	—у) «РдО,—у*)

:ж — q1 Wi(ta) »i(ts)

(52)

(53)

эквивалентным интегралу (45).

В заключение отметим, что даже в отсутствие особого корня (см. § 3)
весьма удаленные корни уравнения (3) не могут быть вычислены по фор-
мулам (9) и (36). Поэтому в освещенной области, где ряд (53) сходится пло-
хо, формула (51) может давать большую погрешность, и ею допустимо
пользоваться лишь в области полутени — вплоть до смыкания с форму-
лами геометрической оптики (25) и (31) для достаточно пологих лучей
<ср. [1]).

ЛИТЕРАТУРА

1.	Г. Д. Малюжинец, Л. А. Вайнштейн, Радиотехника и электроника,
1961, 6, 8, 1247.

2.	Л. А. В а й в ш т е й в, А. А, Ф е д о р о в, Радиотехника и электроника, 1961, 6,
1, 31.

3. N. D. К a z а г I п о f f, R. К. R i 11, IRE Trans., 1959, AP-7, December, 21.

4. B. R. Levy, J.B. Keller, Canadian J. Phys., 1960, 38, 1, 128.

5. В. А. Ф о к, Дифракция радиоволн вокруг земной поверхности,Изд. АН СССР,
1946.

в. R. S. Е 11 i о 11, J. Appl. Phys., 1955, 26, 4, 368.

7. J. R. Wait, IRE Trans., i960, AP-8, 4, 445.

Институт физических проблем АН СССР	Поступила в редакцию

Акустический институт АН СССР	18 I 1961
ОТКРЫТЫЕ РЕЗОНАТОРЫ ДЛЯ КВАНТОВЫХ ГЕНЕРАТОРОВ СВЕТА

Л. А. Вайнштейн

Развита теория собственных колебаний открытых резонаторов, состоящих из отрезка
круглого или плоского волновода или же образованных параллельными плоскими зеркала-
ми — прямоугольными или круглыми. Эта теория базируется на строгой теории дифракции
иа открытом конце волновода и приводит к простым и наглядным соотношениям,точность ко-
торых растет с увеличением частоты и уменьшением радиационного затухания колебаний.
Рассмотренные резонаторы представляют интерес для квантовых генераторов света, а так-
же для физики и техники миллиметровых и субмиллиметровых волн.

Введение

Квантовый генератор света (лазер), осуществленный к настоящему вре-
мени во многих вариантах, в качестве колебательной системы имеет откры-
тый резонатор, который в простейшем случае состоит нз двух параллель-
ных плоских зеркал, расположенных друг против друга. Открытые резо-
наторы такого типа рассматривались рядом авторов	однако

количественная теория резонаторов с плоскими зеркалами была дана только
в работе Фокса и Ли [’], причем эта теория не отличается наглядностью и
требует проведения расчетов на быстродействующих вычислительных ма-
шинах; в этих расчетах по существу моделируется (при некоторых упро-
щающих предположениях) процесс установления колебаний в открытом
резонаторе.

Открытые резонаторы замечательны тем, что все их размеры гораздо
больше длины волны, а спектр нх собственных частот разрежен по сравне-
нию с замкнутыми резонансными объемами. Поэтому открытые резонаторы
должны найти широкое применение в физике и технике миллиметровых и
субмиллиметровых волн (а может быть, и более длинных).

Ниже изложена теория открытых резонаторов, образованных плоскими
зеркалами, а также резонаторов в виде отрезка волновода с открытыми кон-
цами, и показано, что все характеристики таких резонаторов могут быть вы-
числены довольно просто, по крайней мере, для колебаний с малыми поте-
рями на излучение. Эта теория дает также наглядное физическое представле-
ние о принципе действия открытых резонаторов.

В основу теории положена следующая идея (высказанная Сучкиным I6)):
малость потерь на излучение в открытых резонаторах связана с тем, что к
краю резонатора подходит волноводная волна, частота которой лишь слегка
превышает ее критическую частот}7; такая волна, как показано в ряде статей
[8-121 и книге автора настоящей статьи I13), почти не излучается, а с коэф-
фициентом отражения, близким по абсолютной величине к единице, отража-
ется обратно. Однако Сучкину не удалось развить эту идею достаточно убе-
дительно и произвести количественный расчет открытых резонансных систем,
в частности найти основные характеристики их собственных колебаний (ча-
стоту, радиационное затухание, распределение поля и тока).
Как будет видно из дальнейшего, эта идея в самом деле позволяет пост-
роить теорию открытых резонаторов, которая, таким образом, неявно содер-
жится в теории дифракции на открытом конце волновода.

1.	Дифракция на открытом конце волновода

Рассмотрим дифракцию на конце плоского волновода (рис. 1) с несколько
иной точки зрения, чем это сделано в предыдущих работах [8> ’•13 J. Беря
зависимость от времени в виде e~‘at, будем
считать, что волновое число k =<а/с связано с рас- ____________

стоянием 2а между пластинами волновода coot-	f

ношением	________

ka = a(q/2 + p),	(1)	?

где q — большое целое число, а |р |< V2. Пусть
к открытому концу волновода приходит волна
Н^ч или EOll, поле которой не зависит от координаты Рис t Волновод с от-
х и частота которой в силу формулы (1) близка к крытым (концом
ее критической частоте (эти частоты равны при

р = 0). Дифракционное поле этой волны просто выражается через функ-
цию F(w), связанную с поверхностной плотностью тока на верхней пласти-
не у = а соотношением

f (г) =Д &mF (w) dw,
с

(2)

где контур С в основном проходит по вещественной оси и огибает точку
w = — ш0, соответствующую приходящей волне, снизу. Функция F(w) оп-
ределяется из функциональных уравнений (см. [81 или [131, гл. 1)

f g/wz/r (ш) tftii =0 при z < 0, ei‘“’zL (ву) F(u>) dw = 0 при z > 0,	(3)

с	с

где для волны

L (ш) = А [ 1 — (— 1 )’е2Ла],	(4)

а для волны Еоч

L (и) = £ [1-(-1)^4.	(5}

При условиях

2а£-3|и)|*<^ 1	(6)

функции (4) и (5) можно заменить более простой (целой) функцией

L (w) = 1 — exp {i (2лр — teFa/k)},	(7)

так как в экспоненте можно положить

v = У № —w1 = k —цЯ/2/г,	(8)

а в множителе перед скобкой положить v =-k.

Функция (7) обращается в нуль при w = ± ш/, где

w> = yrkl2aslt	S] = ]/"4л (j + р).	(9)
Легко проверить, чтош/есть волновое число волны Яо?+2/ или £0?+2/в плос-
ком волноводе (приближенно, при условиях (1) и (6)). Значения
j = 1, 2, . . . в формуле (9) дают распространяющиеся волны, значения
j=—1,— 2, . . .—затухающие волны (тогда s/= i| S/| — i — j — p)),
значение/ =0 соответствует приходящей волне Ноч или Е09, которая при
р > 0 распространяется, а при р 0 — затухает.

Будем решать уравнения (3) с целой функцией (7), вводя таким образом
с самого начала в дифракционную задачу аппроксимацию, связанную с усло-
вием (6). Функция (7) разбивается на множители

£ (u>) =	(и>) £2 (а>), £а (uj) =Lt (-ai),	(10)

где £1(ш) — функция,
удовлетворяющая там
формулами

голоморфная в верхней полуплоскости Im w 0,
условию /.j (w) -» 1 при |ш| -> оо и определяемая

£х (to) =ef/<s-p),

(11)

U (s,

p)=-L ( ln(l -efanp-f/2)-

2m j '	’ f_sel

Функция U (s, p) введена в [®] и затем детально изучена и табулирована
в книге автора [13]. При решении уравнений (3) функции £(ш) и /(z) полу-
чаются в виде

(12)

' 7	2Л1 (w + Wo) £а (w)	'

f(z) =л(е-^+2^,/Ш/2).	(13)

/

где А есть амплитуда тока приходящей волны,

zexpft/.Gto, р) 4- £/(s/t р)}

"о-!-	(so + s/Ц-	U ’

есть (при / =/= 0) коэффициент трансформации падающей волны в волну
с индексом /, а /?0, о — коэффициент отражения падающей волны по току.
Аналогичные формулы получаются в случае, когда падает не волна с индек-
сом j = 0, а волна с индексом j = 1, / = — 1 и т. Д.

На рис. 2 изображены абсолютные величины коэффициентов R0>0, 7?o,i>
Ri,i и Rll0 в зависимости от р, при — V2 < р < 1/2. В силу соотношения

U (is, р) = U' (s, — р)	(15)

мы имеем также

Я-1,_1(р)| =]	(—Р)|. li?-l,o(p)l =|i?l.o(-p)|,

I Ro,-1 (P)| =| So,! (- P)|.	(16)

Таким образом, при малых р волна с индексом j = 0 испытывает сильное от-
ражение, почти не трансформируясь в волны с индексами / = ± 1. Послед-
ние при [ р| < х/2 отражаются от конца слабо (| Rltl | и | R_lt _г | меньше
0,1) и не могут дать начало колебаниям с малыми потерями на излучение.
Поэтому для дальнейшего будет важен лишь коэффициент отражения

Ro,О — ------I Ro,o j ОКр (i®0.o)i

(17)
фаза которого 0о,о изображена на рис. 3; в силу (15) она является нечетной
функцией р, в то время как |	| —четная функция. При малых р коэф-

фициент (17) можно представить в виде

Рис. 2. Абсолютные величины коэффициентов
отражения и трансформации по току

где

Р = —— С	= 0,824,	s0 = j/”4лр,	(19)

а £ (г) — дзета-функция Римана. На рис. 2 и 3 пунктиром нанесены функ-
ции | /?о,оI и ®о,о. вычисленные по приближенной формуле (18); мы видим,
что она дает графическую точность при | р | < 0,05 и качественно применима
вплоть до | р j а? 0,5.
Полученные резул ьтаты'имеют следующий физический смысл. Как извест-

но, волну, распространяющуюся в плоском волноводе, можно представить

в виде суммы двух плоских волн, т. е. в виде двух пучков параллельных лу-
чей. Если частота волны близка к ее критической частоте, то эти лучи со-
ставляют малый угол е с нормалью к стенкам (рис. 4), и поэтому благодаря

дифракции легко поворачиваются на угол 2е, вследствие чего и образуется
отраженная волна. Трансформации в волны с
другими индексами почти не происходит, по-
1 гт"------------— скольку при такой трансформации лучи должны

Ш	повернуться на гораздо большие углы. Коэффи-

/ 1 Ш_____________ циент отражения зависит не просто от угла е, а

/ ’V V к	2	от параметра s0 = eV2Аа, характеризующего

/1	дифракционное расползание (поперечную диффу-

/ /—---------------- зию) пучка лучей, отраженных от каждой полу-

r /	бесконечной стенки, на расстоянии 2а от ее

края, где находится другая стенка, формирую-
Рис. 4. К интерпретации щая из повернутых лучей отраженную волну.

формулы (18)	Остановимся теперь на круглом волноводе

радиуса а. Пусть к его открытому концу при-
ходит волна Етп с частотой, близкой к ее критической частоте, т. е. при

ka = vmn + яр, Jm (vmn) = О,

(20)

или волна Нтп при аналогичном условии

ka = цтп + яр,

Jт (Ртп) — 0,

(21)

где | р | < т = 0, 1, 2, ... — азимутальный индекс, n >> 1 — номер
корня. В общем случае при отражении волны Етп. (tn =f= 0) от открытого
конца наряду с продольной составляющей плотности тока

/z = f (z) sin (m<p -f- ф0)

(22)

появляется азимутальная составляющая и функциональные уравнения
имеют сложный вид (см. l10-11] или [13j, гл. IV). Они упрощаются при усло-
виях

m<^ka, | w | k,	(23)

вытекающих из условия (20), и переходят в более простые уравнения (3)
с функцией (7).

Волна Нтп при условиях (23) возбуждает азимутальную составляющую
плотности тока

= f (z) cos (тф -f- фо)	(24)

и пренебрежимо малую составляющую /г. Новая функция F (w), связанная
с f (г) соотношением (2), также удовлетворяет уравнениям (3) с функцией
(7), но параметр р определяется уже не формулой (20), а формулой (21).

Отсюда следует, что формулы (12) — (19), рис. 2 н 3 и все сделанные
выводы переносятся на волны Етп и Нтп в круглом волноводе с открытым
концом. Отметим, что векторный характер электромагнитных волн вблизи
критической частоты не проявляется: те же результаты получаются (ср. [12]
или (13},гл. III) для скалярных (звуковых) волн, удовлетворяющих усло-
вию Ф = 0 на стенке — эти волны ведут себя как волны Етп, или же усло-
вию д<Ыдг = 0 — эти волны аналогичны волнам Нтп.

Получив асимптотические закономерности, относящиеся к отражению
волн больших номеров вблизи их критических частот (т. е. при ka^> 1),
естественно поставить вопрос: когда эти закономерности вступают в силу?
Просмотр графиков, приведенных в I8-13], показывает, что только волна
Яп в круглом волноводе (из волн волноводного типа) имеет качественно
иные свойства, и что уже для волн Еоз и Н03 в плоском волноводе (ka ~ Зл/2)
и для волн Етъ и Нт2 в круглом волноводе (ka ж vm2 и kax рт2) асимпто-
тические закономерности дают удовлетворительную точность, которая быст-
ро улучшается с ростом ka, т. е. с увеличением номера волны.

Отметим, что на асимптотические закономерности не влияет поведение
тока вблизи острого края, различное для волн разных поляризаций, напри-
мер для волн Яо? и Яо? в плоском волноводе. Кроме того, в полученном реше-
нии (13) отсутствует ток, затекающий на внешнюю поверхность стенок (так
как функция (7) — целая). Поэтому асимптотические закономерности спра-
ведливы для волноводов с фланцами, со стенками конечной толщины (не
обязательно металлическими) и т. д.

2.	Открытый цилиндрический резонатор (открытая труба)

Как известно, открытая труба является (при условии ka 1) акустиче-
ским резонатором с высокой добротностью. Расчет такого резонатора бази-
руется на теории дифракции у открытого конца трубы (см. [12] или 13],
гл. III). При противоположном условии to 1 открытая труба также обла-
дает хорошими резонансными свойствами как для электромагнитных, так и
для звуковых колебаний. Соответствующий расчет нетрудно произвести с по-
мощью формул, выведенных выше.

Пусть 2а есть диаметр трубы, 2/ — ее длина. Выберем начало координат
в центре трубы, так что внутренняя поверхность трубы лежит при г = а,
— I <Z z< I. Будем искать комплексное волновое число k = м/с колеба-
ния Emnq (q = 1, 2, . . .) в цилиндрическом резонаторе без торцов в виде
(20) с неизвестным, но малым комплексным параметром р. Тогда функция
f (z), определяющая согласно (22) распределение тока на поверхности тру-
бы, будет иметь вид

f (z) = cos№0z при q = 1, 3.................. (25>

f (z) = sin wgz при q = 2, 4, . . .,	(26)

гдеш0 связано с p формулой (9) при j = 0. Действительно, в силу симметрии
системы функция f (z либо четная, либо нечетная; так как колебание Етпч
возникает в результате последовательного отражения волны Етп от обоих
концов и так как другие волны при этом практически не возникают, то мы
и получаем формулы (25) и (26). Первую из них можно переписать так

f (z) =2-eW [e'Wi-O e-zWe-w»-/»].	(27)

Первое слагаемое в квадратной скобке есть волна, приходящая к открытому
концу г—1, второе слагаемое — отраженная волна, которая согласно фор-
муле (13), должна быть равна /?о,оехр { — iwa (г — /)}. Приравнивая /?о,о
коэффициенту, стоящему в (27), мы получаем характеристическое уравнение

/?о,о =e-2W (fl = i, з, . . .).	(28)

Из формулы (26) следует характеристическое уравнение

7?0.0=-e-2W (^=2,4,...).	(29)

Учитывая, что согласно формуле (9)

2ш0/ = Ms0,	М =V Ша,	(30)
мы можем переписать уравнения (28) и (29) в виде

& (М+Д+ОД s. = (_ g = 1, 2, 3,. . .

(31)

с очевидным решением

s0 = V4np = л^/(Л4-|-Р-j-ф), р=1,2, 3,...	(32)

Искомый комплексный параметр р равен

р = лср/4(М + Р 4* Ф)’

или подробнее

_	Л<?а м (М + 23)	„„	3(М + 3)

p = p—ip, р = —	2, р - -у ((Л4 + 3)2 + рар •

(33)

(34)

Частота а = (л' —ia>" колебания Emnq комплексна. В силу соотноше-
ния ехр (— iwf) = exp (— td)7) exp (—off) величины p' и p" имеют сле-
дующий смысл: Д = 2лр' есть

Рис. 5. Резонансная кривая открытой трубы

дополнительный набег фазы за
время т = 2о/с вследствие того,
что частота колебаний не равна
критической частоте, а

Л= 1—ехр (—4лр") 4лр” (35)
есть относительное уменьшение
энергии колебаний за то же
время т. Добротность колебания
Emnq в силу малости р' равна

Q= Vmnl^n.p1'.

(36)

Формулы (32) — (36) являются приближенными. Они дают хорошую точ-
ность, если по формуле (33) получается | р | < 0,05, и грубо применимы
вплоть до | р| — 0,5 (ср. раздел 1). При больших значениях М

р' як л^®/4Л42, р" « л$(?/2М3,	(37)

и мы получаем серию резонансов, схематически изображенную на рис. 5.
Ширина q-н резонансной кривой пропорциональна q\расстояние между со-
седними кривыми пропорционально 2q ± 1, при q — М резонансные кри-
вые начинают перекрываться, вместе с тем наши приближенные формулы ста-
новятся неприменимыми.

Полагая в формулах (32) — (34) q = 0, мы получаем формальное решение
уравнения (31), не имеющее физического смысла: оно соответствует незату-
хающим колебаниям на критической частоте, невозможным в открытых сис-
темах.

В силу соотношения (Ж)) и (32) функции (25) и (26) принимают вид

f (2) = cos------------------

27(1 + 3(1+ 0/А41 ’

f (z) = Sin 2/(1+3(1 + <)/м] ’

<7=1.3,...;

<7 = 2, 4...

(38)

(39)

а формулы (20) н (33) при малых р можно переписать в виде

.	_ /	_i_ Г М 1Т4

тл’~Ц а ) "Ч 27(1 + 3(1 4-0/М) J J
Формулы (38) и (39) показывают, что при М 1 распределение тока
колебания Emnq в отрытом цилиндрическом резонаторе имеет узел вблизи
каждого конца г=± 1,в то время как в закрытом цилиндрическом резона-
торе у торцевых стенок z = ± I расположены пучности тока. По этой при-
чине в закрытом резонаторе есть колебание Етт, невозможное в открытом,
но собственные частоты других колебаний Emnq близки, если величина М
достаточно велика. Потери на излучение в открытых резонаторах приводят
к разрежению спектра (раздел 6).

Для колебаний Hmnq в данной системе справедливы те же формулы (25)—
(40), в которых, согласно соотношению (21), следует заменить vmn на
Нтп- Функция f (z) теперь дает по формуле (24) распределение азимуталь-
ного тока. Интересно отметить, что при М 1 колебания Hmnq в откры-
том и закрытом резонаторах тех же размеров имеют близкие распределения
токов и полей; разница лишь в том, что в закрытом резонаторе при z=± I
ток спадает до нуля, а в открытом — до малых значений порядка 1/Л1 (ср.
ниже рис. 8 и 9). Спадание тока у краев до малых значений есть явление,
характерное для открытых резонаторов: благодаря ему потери на излучение
становятся минимальными.

Рассмотрим в заключение «полуоткрытый» резонатор длины I (приа = 0
отражающий поршень, при z= I открытый конец). Легко показать, что в та-
ком резонаторе будут колебания Етпч с нечетными индексами q и колебания
Hmnq с четными индексами q — такие же, как в открытом резонаторе длины
21, исследованном выше.

3.	Двухмерный резонатор, образованный плоскими зеркалами

На рис. 6 изображен резонатор, образованный двумя параллельными
зеркалами ширины 2а и бесконечной длины, отстоящими на расстоянии 21.
Введем координаты х, у, г, как показано на рис. 6, и рассмотрим двухмер-
ные колебания в таком резонаторе, поле которых не зависит от у. В новой

координатной системе х, у, г эти колебания
можно обозначить как Е^одИ H{mOq-, индекс (х)
показывает, что классификация основана на со-
ставляющих поля по осн х, а не по оси г, как
обычно (колебание Hmoq можно также обозна-
чить как Emoq, ср. раздел 4).

Свойства этих колебаний без труда выводят-
ся из соотношений, полученных в разделе 2,
так как данный резонатор есть отрезок плоско-
го волновода, а в разделе 2 мы рассматривали
отрезок круглого волновода. Колебания Emlq
происходят при такой частоте <в = ck, что

Рис. 6. Двухмерный резона-
тор с плоскими зеркалами

kl = л (q/2 4- р),

(41)

причем q есть большое целое число (практически 3), а р —малая до-

бавка, которая получается равной

где

р = лт2/4(Л1 + fl 4- ф)\

(42)
Формулы (41) и (42) можно объединить в одну формулу

(44)

Распределение тока (продольного, т. е. направленного по оси х) определяет-
ся функциями

= cos ^-[1+1(1 +о/Л1] при т = '' 31 •' -	(45)

f (х) = sin 2а [1 4- р (1 -4- i) / /И] при m = $> 4, . ..	(46)

Те же формулы применимы и к колебаниям Ято?> Для которых функ-
ция / (х) дает распределение поперечного тока — направленного по оси у.
Таким образом, для данного резонатора характерно поляризационное вы-

Рис. 7. Полуот-
крытый резона-
тор

рождение — колебания Етод и имеют одну и ту же
частоту (41). Вырождение исчезает, если мы перейдем к
полуоткрытому резонатору, изображенному на рис. 7; бла-
годаря идеально проводящей стенке х =0 в этом резонато-
ре существуют л ишь колебания Emlq с нечетными индек-
сами т и колебания Hmoq с четными индексами т — та-
кие же, как в открытом резонаторе на рис. 6.

Двухмерный резонатор с плоскими («ленточными») зер-
калами детально исследован Фоксом и Ли [’], получив-
шими в результате громоздких расчетов кривые для ве-
личин, которые мы в разделе 2 обозначили через Л (отно-
сительная потеря энергии за время т= 21/с и Д (дополни-
тельный сдвиг фазы за время т), при т = 1 и т = 2. Ко-
лебания с более высокими индексами в [7] не исследованы
и вряд ли могут быть рассмотрены в рамках примененного
там метода.

В нашей теории Л и Д определяются простыми формулами:

Л 4пр — 2л2т2	^а]2 ,	(47)

л _ 9ЯП' _ Л? (М + 2ft)

Д	-	2 [(уи + р)а + p2ja ,	(48)

причем величина М связана с «числом зон Френеля»

N = а?/21к = ka2/4n I,	(49)

введенным в (’], простым соотношением

M = /8^V.	(50)

Если сравнивать формулы (48) с кривыми, приведенными в [’] для т = 1 и
т. = 2, то окажется, что с графической точностью они дают одно и то же.

На рис. 8 и 9 изображено распределение тока на пластинах резонатора
для колебаний т = 1 и т =2 при тех значениях N, для которых приведены
соответствующие кривые в [7]. Сравнивая последние с рис. 8 и 9, мы видим,
что они отличаются друг от друга: кривые Фокса и Ли — нерегулярные,
волнистые; в общем идут они так же, как наши плавные кривые. Различие
объясняется тем, что мы не учитываем волн других номеров (/ = 1, j = —1
и т. д.), возникающих, хотя и с малыми амплитудами, при отражении волны
от края. Для вычисления собственных частот эти «тонкие детали» в распреде-
Рис. 8. Функция (45) при т = 1

Рис. 9. Функция при т-= 2

лении тока несущественны, точно так же они несущественны при расчете
джоулевых и иных потерь, вызванных тем, что стенки открытого резонатора
не являются идеально отражающими.

4.	Открытый резонатор, образованный прямоугольными зеркалами

Пусть открытый резонатор образован параллельными прямоугольными
зеркалами

— а<^ х < а,

— ь у <С ь, z= ± I.

(51)

При анализе колебаний в этой системе будем исходить нз скалярного волно-
вого уравнения

Э»Ф . Э’Ф , д»ф , , Згп л

^ + 1^+^+*ф = 0

(52)

и граничного условия Ф = 0 на зеркалах. Решение уравнения (52) можно за-
писать в виде

Ф (х, у, г) = ~ е‘ ^^у^ ±	\z-i\ _ (_ jih-zij f (wx, wy) dwx dwy,

(53)
где

у = )//г2 —u;2 —^2	(54)

Обозначая

L (wx, wy) = (k/v) 11 — (— 1)’ e2iv4,	(55)

мы получаем для неизвестной функции F (w) уравнения

^е' (и‘х*+и1Уу> р (Шл1 dwxdwy = 0	при |х]>а, |t/|>5,

(56)

$ е' ^x+wyy> р ^Wx, р (Wx> Wyj dwxdwy = 0 при | x | < a, | у | < b,

которые нельзя решить точно. При wx <С k, wy <C k функция (55) принимает
вид

Г ( vF “1“	X*)

L (wx, wy) = I — exp p ^2np---—-1J j =

( / ш2/\) ( (

= 1 — exp ^2npa-------) j exp ^2лр6-------p ) J,	(57)

где положено

kl = я (q/2 + p), p = pa + Pb.	(58)

Подставляя функцию (57) в уравнения (56), мы видим, что они имеют
решение

F (wx, wy) = Fa (wx) Fb (wy),	(59)

где функция Fa (tw) есть решение уравнений

5 e^Fatwjdw =0	п₽и|х|>о,

T	а	(60)

р — ехр |х (2лра — ^р)}] Fa М dw = 0 при | х| <а,
—ОО

соответствующих двумерным колебаниям резонатора, рассмотренного в раз-
деле 3, а функция Fb (w) удовлетворяет таким же уравнениям, в которых а
заменено на b. Функция

f (х, у) =	Р wy) dwxdwy	(61)

•>—<30

также представляется в виде произведения

f(*,y) = fa (x)fb(y).	(62)

где, согласно разделу 3,

fa(x)= COS 2a(i + p(l + i)/Ma)’ fb^-COS26(i+Р(1 + О/Л4Ь)

при"г’л=1'3..................... (63)

f , x 	mnx	г , ._ .	плу

ta W-sin2a(l+p(l + t)/A4a) ’ ‘b W — sin2Ь(1 H-3(1 + 0 /Л4Ь)

при tn, n = 2, 4,...,
Ma = V2kd4l, Мь = J®.	(64)

Параметры pa и рь равны

ра = лтШ (Ма + р + ф)2, рь = тЩ (Мь + $ + ф)2,	(65)

так что

kmnq = { а(1 + ₽ (1 + »)/Л1а) } + _Т(1ТЖ+^7Ж. + Ш } • (66)

Формулы (56) — (66) получаются и при граничном условии ЭФ/дг = 0.
Для перехода к векторному электромагнитному полю воспользуемся фор-
мулами

Е= i£-1 (grad div А£2А), H = rotA	(67)

и положим Ф равной одной из декартовых составляющих векторного потен-
циала А. При этом произведение (62) должно быть пропорционально плот-

ности тока на зеркале — только
тогда справедливы формулы (63),
при выводе которых использовано
выражение (18) для коэффициента
отражения по току. Можно поло-
жить

Ф = Ах и ф = л4,	(68)

и нельзя в качестве Ф взять Аг
или z составляющую магнит-
ного векторного потенциала.

При Ф = Ах мы получаем ко-
лебание Emnq, поляризованное по
оси х: для него jx= f и jy = 0\
при Ф = АУ мы имеем колебание
Emnq, для которого jx - О И jy=f

Рис. 10. Распределение тока на прямоуголь-
ном зеркале при колебаниях Ец? и Е21?:
а — колебание Е^; б — колебание Е^;
в — колебание Elfh г — колебание Elfl

(см. рис. 10). Колебания Emlq И Emnq имеют одну и ту же частоту (66)—
в этом проявляется поляризационное вырождение, которое снимается в по-
откуда

луоткрытом резонаторе с тремя стенками

О < х а, — b у <^Ь, г = ± 1\	(69)

х = 0,	—b<^y<^b,	—

где существуют лишь колебания Emhq с нечетными т и колебания Emnq
с четными т — такие же, как в открытом резонаторе. С помощью дополни-
тельных стенок из открытого резонатора можно получить другие полуоткры-
тые резонаторы (например, отрезок прямоугольного волновода), расчет ко-
торых также не представляет затруднений.

5.	Открытый резонатор, образованный круглыми зеркалами

В резонаторе, образованном параллельными круглыми зеркалами, ко-
торые-в цилиндрической системе координат г, ф, z определяются уравне-
ниями

0<г<а, z = ±(70)

решения уравнения (52) имеют вид

Ф (г, ф, z) = ¥ (г, z) cos /Пф,	(71)

так что

/ <г’	/ —= £ COS/Иф.	(72)

При условии (41) функцию g (г) можно записать в виде

g (r) = Jm (Шо 0.	(73)

поскольку при отражении волны от края г=а другие волны практически
не возникают. Будем считать, что коэффициент отражения цилиндрической
волны от края г=а приближенно равен коэффициенту (18), выведенному
для плоской волны, и введем функции Лт(х) и йт(х) — амплитуду и фазу
цилиндрической волны — по формулам

Ят (X) = - 1Ат (х)	(л), Jm (х) - Ат. (х) sin (х).	(74)

Если потребовать, чтобы функция (73) имела вид (ср. раздел 2)

(г) = _ (щ!ог) е {е	+ /С(,10е

(75)

го получим характеристическое уравнение

/?D,0 = —	'	(76)

Обозначим, как в формуле (20), л-й нуль функции Jm (х) через vmn.
Учитывая соотношения

('Vmn) = ЛЯ,	(х) = (Утп) ^т (Утп) (X Vmn) (77)

и то обстоятельство, что в формуле (18) следует заменить s0 на s0Q'(vmn).
мы преобразуем уравнение (76) к виду

e/(M+P+/(3)s,n'(vmn) __ e2/vmnO'(Vmn)( Af =	(78)

(79)

So = 2Vmn/(M 4- Р + ф), Р = ^„/л (М + р + iP)a.
Величины А и А для резонатора с круглыми зеркалами равны

Д = 4лр" = 8v^n 1(Л13pjp > A = 2лр = 2v^n [(Af _|_Рр2]2; (80)
добротность и комплексная частота вычисляются по формулам

а функция (73) принимает вид

g (г) = Jm ( 1 +Р(1	) •	(82)

Связывая функцию Ф с электромагнитным полем по формулам (67) и (68),
мы получаем колебания Е& q (jx = f, jy = 0) и E^>nq (jx = 0, jy = f) в ре-
зонаторе с круглыми зеркалами. При m= 1, 2,. . . каждое колебание

Рис. И. Распределение тока на круглом зеркале
при колебаниях Е01д и EUq: а — колебание
E$q, Дс = V; б — колебание E^q, Ау = V; в —
колебание Е^, Ах = Y cos<p; г—колебание Е^,
Ay = V sin’tp; д — колебание Е^, Ау = Y cos <p;
е — колебание E^q Ах = Y sin <р, ж — колеба-
ние iiq, Ar=W;a—колебание 11g, А<₽=ЧГ

EJnn? и Е%\ч обладает поворотным вырождением — при замене cos на
sin mq> получаются два новых колебания, так что формулы (80) — (82) прн
m =^= 0 относятся к четырем колебаниям. Вводя дополнительную металличе-
I

скую плоскость х= 0 и оставляя только половину зеркал (х > 0), можно
уничтожить двукратное (поляризационное, ср. конец раздела 4) вырожде-
ние симметричных колебаний с индексом т = 0.

В первом и втором столбце рис. 11 схематически изображено распреде-
ление тока на зеркале для колебаний и Путем комбинирова-
ния колебания Е[п9 с колебанием E^q можно получить колебания с радиаль-
ными или азимутальными токами, обладающие симметрией вращения (тре-
тий столбец рис. 11). Более детально распределение тока дано на рис. 12’
и 13, где нанесены абсолютная величина и фаза функции (84) при m=Q,
п= 1 (v01 =2,405) и т = п= 1 (уи= 3,832), причем число W, связанное
с М соотношением (50), принимает значения 2, 5 и 10. Вычисления произво-
дились с помощью таблиц I14].

В работе Фокса и Ли PJ приведены графики для Ли А при т = 0 и 1,
п = 1, которые практически эквивалентны формулам (80), и кривые для
функции g(r), которые имеют волнистый характер, но «в среднем» повторяют
ход кривых, изображенных на рис. 12 и 13 (ср. конец раздела 3).

Заметим, что в строгой теории дифракции на диске электромагнитное
поле не выражается через одну скалярную функцию, так как тогда нельзя
удовлетворить условию на остром крае (ср., например, [“]). Однако для
интересующих нас асимптотических закономерностей условие на остром
крае несущественно (см. раздел 1), вследствие чего можно обойтись одной
функцией, вводимой по формуле (68); полученные результаты применимы к
резонаторам со стенками любой толщины.

6. Спектр собственных частот

Как известно (см., например, I16] и I17]), спектр собственных частот
замкнутых резонансных объемов при переходе к более высоким частотам
сгущается: число колебаний Д/V, приходящееся на интервал частот Асо, равно

ДЛ7 = (К/2л2с9)(о2Дш,	(83)

где V — объем резонатора. Коэффициент затухания колебаний, вызванного
джоулевыми потерями в стенках, при постоянной проводимости последних
пропорционален }Ло, поэтому резонансные кривые резонатора фиксирован-
ных размеров при достаточно высоких частотах перекрываются, и его ре-
зонансные свойства пропадают.

Рис. 14. Спектр открытых резонаторов

В открытых резонаторах, рассмотренных выше, спектр собственных ча-
стот оказывается более разреженным, чем в закрытых резонаторах. Чтобы
разобраться в этом вопросе, нанесем комплексные собственные частоты
o>mnq резонатора с квадратными или круглыми зеркалами в виде точек на
плоскость комплексного переменного ы (рис. 14). Как следует из формул
(58), (65) и (79), эти точки лягут на полупрямые, начинающиеся в точках
(Oq = ncq!2l на вещественной оси и образующие с ней угол

ф = 2arctg д^-^^^при М>1,	(84)

причем величину М нужно брать при w = со,.

Из рис. 14 видно, что с увеличением индексов тип радиационное зату-
хание колебаний увеличивается — точки отходят от вещественной оси
(фактически затухание увеличивается быстрее, так как формула (18) при
конечных |р | преуменьшает потери на излучение, ср. рис. 2). Более того,
ординаты точек по абсолютной величине растут гораздо быстрее, чем раз-
ность абсцисс соседних точек. Так как резонансные кривые, соответствую-
щие двум соседним собственным частотам со_ = <о_ — ia>'_ и w+ = <о+ — мо*
при условии

®+ —	< (о)'. + со!) /2

(85)
перекрываются, то вблизи каждой частоты со9 остается лишь конечное число
собственных частот, которые проявляются при работе с открытым резонато-
ром. Если остается одно колебание с наименьшими индексами (т = п =1
для прямоугольных и т = 0, п = 1 для круглых зеркал), то мы получаем
практически эквидистантный спектр без какого-либо сгущения — такой же,
как в идеальном случае одномерной резонансной системы.

Для замкнутого резонатора ф = 0, полупрямые на рис. 14 накладываются
на ось абсцисс, вследствие чего и происходит сгущение спектра.

Открытые резонаторы в виде отрезков волноводов (раздел 2) также име-
ют более разреженный спектр, чем закрытые резонаторы тех же размеров.
Однако, в открытых волноводах спектр в лучшем случае принимает вид,
характерный для двумерных областей (ср. I17]), где вместо формулы (83)
имеет место формула

ДМ = (5/лса)шДа,	(86)

(S — площадь поперечного сечении волновода). Поэтому такие резонаторы
можно применять лишь в более длинноволновых диапазонах, где сгущение
спектра (86) еще терпимо.

Возбуждение открытых резонаторов отличается от возбуждения закры-
тых резонаторов тем, что колебания с большим радиационным затуханием
могут уносить значительную часть подводимой мощности. Эти потери на
излучение неизбежны (благодаря им достигается разрежение спектра), но
при надлежащем возбуждении их можно свести к минимуму.

Заключение

Выше изложена теория собственных колебаний в открытых резонаторах
простейшего типа, на основе которой для каждого колебания легко вы-
числить собственную частоту и радиационное затухание, а также распреде-
ление тока на стенках, позволяющее найти дополнительное затухание,
вызванное джоулевыми потерями или частичной прозрачностью стенок.
Нетрудно также построить распределение электрического и магнитного
поля в объеме резонатора.

Полученные формулы имеют простой вид, не представляют каких-либо
трудностей при расчетах и допускают наглядное физическое толкование.
Они являются приближенными, причем точность их тем больше, чем больше
добротность данного колебания.

Я благодарен В. П. Быкову за ценное обсуждение вопросов, относящихся
к открытым резонаторам.

Институт физических проблем	Поступила в редакцию

Академии наук СССР	24 октября 1962 г.

Литература

П1 A. L. Schawl ow, С. Н. Т о w n е s, Phys. Rev., 112, 1940, 1958.

12]	А. М. П р о х о р о в. ЖЭТФ, 34, 1658, 1958.

[3]	А. И. Б а р ч у к о в, А.М. Пр охоров. Радиогехн. и электрон.,	4,	2094, 1959.

[4]	Н. Г. Б а с о в, О. Н. К р о х и и, Ю.М. Попов.	УФН, 72,	161,	1960.

[5]	J. К о t i k, М. S. N е w s t е i п. J. Appl. Phys., 32,	178, 1961.

[6]	Г. Л. С у ч к и и. Тезисы докладов и сообщений на IV конференции по радиоэлектрони-
ке МВССО СССР, ХГУ, 1960, стр. 106.

(7]	A. G. F о х, Т. L i. Bell System Techn. J., 40, 453, 1961.
(8]	Л. А. В а й н ш т е й н. Изв. АН СССР, серия физ., 12, 144, 1948.

[9]	Л. А. В а й и ш т е й и. Изв. АН СССР, серия физ., 12, 166, 1948.

[10]	Л. А. В а й и ш т е й н. ЖТФ, 18, 1543, 1948.

[11]	Л. А. В а й и ш т е й н. ЖТФ, 21, 328; 346, 1951.

[12]	Л. А. Вайнштейн. ЖТФ, 19, 911, 1949.

[13]	Л. А. В а й н ш т е й н. Дифракция электромагнитных и звуковых волн на открытом
конце волновода. Изд. Сов. радио, 1953.

[14]	Г. Н. В а т с о н. Теория бесселевых функций, ч. И, ИИЛ, 1949.

[15]	М. Г. Б ел к и н а. Дифракция электромагнитных воли надиске, в сб. Дифракция
электромагнитных воли на некоторых телах вращения. Изд. Сов. радио, 1957.

[161 М. А. Л еонтови ч. Статистическая физика, ОГИЗ, 1944, § 20.

[17] Р. К у р а н т, Д. Г и л ь б е р т. Методы математической физики, 1, ГТТИ, 1933,
гл. VI, § 4.

OPEN RESONATORS FOR LASERS

L. A. Wainstein.

A theory of natural oscillations of open resonators is developed for resonators consisting ot
a part of a circular or plane wave guide or consisting of rectangular or circular parallel plane
mirrors. The theory is based on the rigorous diffraction theory for an open end of the wave
guide and leads to simple and graphic relationships whose accuracy grows with increase of
frequency and decrease of radiative attenuation of the oscillations. The resonators considered are
of interest for lasersand also for physics and engineering of millimeter and submillimefer waves.
Л. А. Вайнштейн

К ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
РЕШЕТОК

I. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА

В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ *

Исследованы процессы прохождения электромагнитных волн различ-
ной поляризации и отражения их от решеток из периодически располо-
женных бесконечных металлически проводов произвольного сечения.
Сформулированы граничные условия для электромагнитных полей, по-
зволяющие рассчитывать коэффициенты отражения и прохождения этих
волн при условии, что период решетки мал по сравнению с длиной вол-
ны. Для решеток из круглых проводов и из лент вычислены параметры,
фигурирующие в граничных условиях, в зависимости от «густоты»
решетки. Выяснена физическая причина усложнения граничных условий
для волн типа Я, а именно возможность распространения поверхностных
воли такого типа поперек решетки.

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа посвящена прохождению электромагнитных
ноли через решетку, образованную идеально проводящими парал-
лельными цилиндрами радиуса Ь, периодически расположенными
в пространстве (рис. 1). Направим ось х перпендикулярно «пло-
скости решетки» х = 0, относительно которой решетка предпо-
лагается симметричной; все дальнейшие результаты, имеющие
общий характер, применимы и к некруговым цилиндрам при усло-
вии, что плоскость х = 0 есть плоскость симметрии; ось у направ-
лена вдоль периода решетки I, ось z — вдоль цилиндров, предпо-
лагаемых бесконечными.

* Работа выполнена в 1957 г.
Мы ограничиваемся случаем, когда
выполняется условие х где

kl	I

= т- = т (°-01)
JJI	Л

есть основной параметр решетки. Тогда
при падении плоской волны на решетку
возникает лишь отраженная и «проходя-
щая» волна, а дифракционных волн не
возникает; точнее, эти «дифракционные»
волны имеют поверхностный характер и
обусловливают сложное распределение
поля вблизи проводов. Последнее в силу ус-
ловия х близко к тому распределению
поля, которое имеется вблизи решетки в
электростатическом и магнитостатическом
поле, что позволяет применить мощный
аппарат конформных отображений. В даль-
нейшем мы будем интересоваться не

У

Рис. 1. Решетка из про-
водов круглого сечения

только коэффициентами прохождения волн через решетку и отра-

жения от нее, но и граничными условиями для этих решеток, позво-
ляющими решать более сложные задачи (например, исследовать
распространение волн в спиральном или кольцевом волноводе, как
это сделано в работах [10] и [14]).

§ 1. ПОЛЯ ТИПА Е И Н

И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛОВ

Рассмотрим электромагнитное поле, возникающее при падении
на решетку волны, у которой Hz = 0; такое поле, применяя волно-
водную терминологию, можно назвать полем типа Е. Оно может
быть выражено через электрический вектор Герца с единствен-
ной составляющей

nz = Q(x, y)eihz,	(1.01)

где для простоты мы берем зависимость от z в виде ethzt что
соответствует падающей плоской волне; двухмерная функция
Q = у) должна удовлетворять уравнению

d2Q дЮ

+ vr + S2Q = о, g2 = F - Л.2	(1.02)

оаг д.у*

i	• t , w 2л x

зависимость от времени е~,ок, к = — = — и граничному усло-
\	с А. /

вию

Q = 0

на каждом цилиндре решетки. Соответствующие поля равны:

dQ	дО

Ех = ih —— eiflz,	Еу = ih —— eihz,	Ег = g2Qeihz,

дх	ду

дО .	дО .

Нх = — ik---------elhz, Ну = ik----------e1/lz, Hz = 0.

ду	v дх

(1.04)

Для удобства исследования разобьем функцию Q(xf у) на чет-
ную и нечетную части (относительно координаты х)

Q = Qe + Qm,	(1.05)

где

х л/ \	<2(х, у) +Q(-x, у)

Qe(x, у) = Qe( — х, у) =--—-------- — четная часть,

Qm(X, у)----Qm(— X, У) —

Qfay}- Q(—

2

(1.06)

— нечетная часть,

и будем в отдельности исследовать свойства функций Qe и Qm-
Поскольку при х = 0, т. е. в плоскости симметрии решетки
(между ее проводами — цилиндрами), эти функции удовлетво-
ряют граничным условиям

dQe

= 0 и Qm = 0 при х = 0,	(1.07)

дх

то поля, соответствующие функции Qe, физически соответствуют
решетке с прокладкой из идеального магнетика в плоскости сим-
метрии х - 0, а поля, соответствующие Qm,— решетке с «метал-
лизированной» плоскостью симметрии.
Другое физическое толкование, а также сами обозначения
Qe и Qm связаны с тем, что, например, при падении плоской волны



g2x + g2y = g2

(1.08)

мы имеем

о 1	1

= — (gigxx + e~igtxj eigljV. (2m = — (eig^x — e-i8*x) ei8vV,
1	2

(1.09)

так что для Qe в плоскости решетки х = 0 образуется пучность
электрического поля Ег и узел магнитного поля Ну, а для Qm —
пучность магнитного поля Ну и узел электрического поля Et
первичного поля (поля падающей волны)., Поэтому функция Qe
определяется действием квазпстационарного однородного элект-
рического поля Ех на решетку, а функция Qm — действием квази-
стационарного однородного магнитного поля Ну.

Поле типа Н получается с помощью магнитного вектора Герца,
имеющего единственную составляющую

П'=Р(х, y)eihz.

(1.10)

Функция Р удовлетворяет тому же уравнению (1.02) и гранично-
му условию

дР

___ _ 0	(1.11)

на каждом цилиндре. Она определяет поля по формулам

„ •> дР h , дР

Ех = ik----------elhz, Еу = — ik----------------eihz

dy	dx

„	-i. dP „	n	,	dP

Ях = th —_ gtte	Hy = ih-----------eihz,

ox	dy

EZ = Q,

Hz =

и может быть разложена на четную и нечетную части

P = Pe+Pm,

(1.13)
где

Ре(я, у) = -Ре(—х, у) =

Р (х yl + Р (— X, у)
-----i~2-----------нечетная часть,
(1.14)

Рт(х, у) = Рт( — х, у) = • ~-feA+А х‘ _ четная часть.

Поскольку
дРт

Ре=0 и — = 0 прп х = 0,	(1.15)

их

то функция Ре соответствует прокладке из идеального магнетика
в плоскости решетки, а функция Рт — прокладке из идеального
проводника. Рассуждая как выше, мы придем к выводу, что функ-
ция Ре определяется поведением решетки, помещенной в квази-
стационарное однородное электрическое поле EVi а функция Рт —
поведением той же решетки в квазистационарном однородном маг-
нитном поле Нг.

В дальнейшем существенны значения полей и функций Q и Р,
экстраполированные к плоскости х = 0. Обозначим через Q+ зна-
чение функции Q, экстраполированное к х = +0 из области х^>£
через Q~ — значение функции Q, экстраполированное к х — — О
из области — х I; Q+ и Q~ — «гладкие» функции у, они, разуме-
ется, совершенно отличны от истинных значений Q (0, у). В силу
четных и нечетных свойств мы сразу можем написать:

ft+ = ft.	aft4-	aft  dx	dx ’
Qm — — Qin,	dQm dQm dx	dx  (1.16)
р,+- - ft',	dPt dP7 dx	dx
pt— PZ.  * IH * 1Н»	dpj dx	dx
dQt „	dQe

где, например, через —— обозначено значение производной ——►
ох	ох

экстраполированное к плоскости х = + 0.

Если мы определим величины 1о, 1\ и h с помощью соотношений

<2,+ =Zo —,	=	(1.17)

дх	дх	дх

то они будут иметь размерность длины и определяться периодом I
и геометрией решетки, т. е. для круглых цилиндров — отношением:

2Ь

(0 < s < 1).

(1.18)-

В первом приближении ни от каких других параметров (Л, g,.
угол падения волны) величины /о, 1\ и lz не зависят, по крайней
мере, если 1 и К самом деле, при gl <С1 уравнение
(1.02) можно решать в виде

Q =	+ g2Q(2) + . ,	(1.19).

где удовлетворяет уравнению Лапласа

дЮт д2(№

дх2 + ду2

(1-20)

а (?(2) — уравнению Пуассона

d2QW	d2Q<2)

дх2	ду2	@

(1.21) -

При этом Qe и Qm должны удовлетворять граничному усло-
вию (1.03) на цилиндрах и граничным условиям (1.07) в плоскости
решетки. Для функций Ре и Рт соотношения (1.19) —(1.21) также
справедливы и дополняются граничными условиями (1.11) и
(1.15). Гармонические функции Q{« \ Qm и Р? определяются един-
ственным образом (с точностью до постоянного множителя), по-
этому в нулевом приближении величины Zo, k, h — чистые функ-
ции геометрии решетки, а функции Q^\. . . дают к этим величинам
поправки порядка (gl)2 (относительно), которыми можно прене-
бречь.

Функция Рт занимает особое положение. Дело в том, что
дп (0)±

Рт = const и —--------— 0, поскольку квазистационарное поле

дх

Нг = const (в отличие от 2?z, Ну и Еу} не возмущается решеткой п,
следовательно,

дРт , дР™
дх	дх

g4Pt

(1.22)

В силу этой оценки и уравнения (1.02) функция Рт в общем
случае характеризуется двумя параметрами 1з. и Ц и удовлетворя-
ет предельному соотношению

дРт л-27 п+ । 7	. 9„.

' —— - g2hPm + Ц —т-т- ,	(1.23)

дх	ду2

подробное обоснование которого будет дано ниже (§ 2 и 4). Вели-
чины 1з и Ц оказываются в первом приближении также не завися-
щими от длины волны, угла падения и т. д. и определяются фор-
мулами

лЬ2

1з =------, Z4 = Z2,	(1.24)

21

так что для вычисления h и Ц нет необходимости интегрировать
уравнение Пуассона (1.21).

Соотношения (1.16), (1.17) и (1.23) приводят к граничным
условиям для экстраполированных значений функций Q и Р
(полных) :

(?+ + Q- = Zo

/ dQ+	dQ~

\ дх	дх

Q+ — Q- = —1г

dQ+ dQ~

-----1----
дх дх

(1.25)
р+ _ р- = Ц

дР+ дР~

-----1-----
дх дх

дР+
дх

д2

= g2l3(P++ Р~) + Ц-—
ду2

(Р+ + Р~).

(1.26)

Физический смысл этих граничных условий будет рассмотрен
в следующем параграфе. Здесь мы только заметим, что в послед-
нем граничном условии нельзя, вообще говоря, заменять правую
часть нулем, поскольку оба граничных условия (1.26) (в полном
виде) дают эффекты одного порядка. Результаты, полученные в
старых работах по теории решеток (Ламб [1], Ганс [2]), эквивалент-
ны использованию условий (1.26) с предположением h = h = О
и потому неправильны (непоследовательны).

§ 2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ПОЛЕЙ
И ИХ ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

От полученных выше граничных условий (1.25) и (1.26) для
потенциалов Q и Р нетрудно перейти к граничным условиям для
полей, определяемых потенциалами по формулам (1.04) и (1.12).
Для облегчения физического анализа рассмотрим сначала двух-
мерные электромагнитные поля, не зависящие от z, т. е. будем
считать h = 0 и g = к; тогда

Е? + Ег = - iklQ(Hy -Ну); Et-Е~ = ikl^ + Н' )
и

Н*-Нг = ikl\(Ey +Еу)\

>	_	+	_ д

Еу — Еу — — ikl3(Ht + Нг) — I4
ду

(2-01)

(2.02)

(Ех 4- Ех).

Мы видим, что при переходе от потенциалов к полям последнее
граничное условие приобрело такой же вид, как и первые три, так
что его правую часть заменять нулем (оставляя другие граничные
условия в полном виде) было бы непоследовательно. При решении
конкретных задач последнее условие дает эффекты того же по-
рядка, что и остальные. Пусть, например, на решетку под углом
Ф падает плоская волна; тогда поле типа Е имеет вдали от ре-
шетки составляющие

при х < О

= (gifcx сов <р _|_ ihx cos ф) giky sin ф

—   ugg ф (gihx cos ф   Re~’k* cos ф) e1,<v s'n ф
Hx = sin ф (eikx cos ф Ч- Re~ikx cos ф) eihysln Ф,
при x > 0

jg — rTeih (x cos ф+у sln ф>

Hy = — cos qTeik (x cos ф+у61n ф>,

Hx = sin фТе’*1 <x cos ф+у sln ф),

причем, например, Ег = (1 + R) eiky sln ф и E+ = Teihy 810 ф. Коэффи-
циенты отражения R и прохождения Т по граничным условиям
(2.01) получаются соответственно равными

1	/1	+ ikla cos ср	1	—	ikl2 cos ф

2	\ 1	— ikln cos ф	1	+	ikl2 cos ф

(2.03)

1	+ ikl^ cos ф	1	—	ikl2 cos ф

1	— ikl0 cos ф	1	+	ikl2 cos ф

Соответствующие формулы для поля типа Н имеют вид
при х < 0

_ ^gihx cos ф Rg—ihx cos ф) giky sln ф
Еу = cos ф (eikx cos ф + Re~ikx cos ф) eiky Mn ф,
Ex = — sin ф (eifex cos <₽ + Re~ikx сов ф) eiky 8111 •₽,
при x > 0

= J'gih (x Cos ф + у sln ф)

Hy = cos ф Teik cos ф + y sln ф),

Ex = — sin ф Teik <x cos ф + у 81n ф!,
причем

В 11 + ikl\ cos ф	cos ф — ik(lz — Z4 sin2 ф)

2	L 1 — cos Ф	cos Ф +	— h sin2 ф) J’

(2.04)

T 1’1 + ikl\ cos ф cos g> — ik (l3 — Ц sin2 ф) ‘

2 [1—ikl\ cos ф со8ф + 1/с(^з — Ц sin2 ф)
Нетрудно показать, что каждая дробь в скобках (2.03) и
(2.04) есть не что иное, как (равный по абсолютной величине
единице) коэффициент отражения от решетки с соответствующей
прокладкой (см. выше § 1). В частности,

„	1—Шгсоэф _ cos ф — ik(lz — Zisin2®)

= — -  и Rr =	-		- — - (2.05)

1 + ikh cos ф	cos ф + ik (1з — k smz <p)

суть коэффициенты отражения от металлической плоскости с
периодически расположенными полуцилиндрическими выступами
для волн типа Е и Н соответственно. Выражение для Rh показы-
вает, что поперек такой волнистой поверхности (в направлении
оси у) может распространяться поверхностная волна типа Н, кото-
рую можно трактовать как плоскую волну с комплексным углом
Ф = л / 2 — Z%, где вещественный параметр х определяется из со-
отношения

shZ=./<(Z4-Z3),	(2.06),

причем chx дает коэффициент замедления поверхностной волны,
т. е. отношение с к ее фазовой скорости. Подобные соотношения
для волнистых поверхностей иной формы имеются, например, в
[3]. Заметим также, что выражения (2.03) и (2.04) удовлетворяют
закону сохранения энергии

1Д|2 + 1Г|2= 1.	(2.07)

Перейдем теперь к физическому смыслу граничных условий
(2.01) и (2.02) и одновременно рассчитаем величины /о, Zi, Z2, 1з и
U для простейшего случая «редкой» решетки, когда параметр
(1.18) мал. Наличие скачков Hv и Нг на поверхности х = 0, как
известно, означает наличие поверхностного электрического тока

/*', а скачки Ег и Ev определяют плотность поверхностного магнит-

ного тока 1т. В данном случае, однако, терпят разрыв тангенци-
альные составляющие экстраполированных полей, так что состав-
ляющие поверхностных токов

= -г (И* -	),	(2.08)
Iy=~- (Et-E, ), л”=	— )	(2.09)

эквивалентны (в отношении создания поля вдали от решетки)
реальным электрическим токам, индуцируемым полем на провод-

никах решетки.

Первое граничное условие (2.01) в силу (2.08) можно запи-

сать в виде

Ег + Ег 2л/0 е
----------= — на 1г,
2---------с1

(2.10)

откуда видно, что при 1о > 0 решетка имеет индуктивный харак-
тер, поскольку электрическое поле и ток в ней связаны «индук-
тивным» соотношением (напоминаю, что временной множитель
есть Это соотношение нетрудно получить из тех соображе-
ний, что кваэистационарное электрическое поле вблизи одиноч-
ного цилиндрического проводника с током 7 имеет составляющую
(ср. [4])

2i(oJ. г
— Ь-

С2 Го

(2-11)

где г — расстояние от оси провода, г0 — постоянная. Учитывая,
что в нашем случае 7 = /Ч, и суммируя поля от всех проводников
решетки, мы получаем при у = 0

т 21 ' ixl	” i	х2 \1

»/;- -Г“+ 2ln 1 +	“

z с2	b	\	пч2 /

Ь-	71 =1	\	J

в 21 I I Л I X 1 \

= —	— In — sh——),	(2.12)

с2 \лЬ I /

причем постоянная г0 подбирается так, чтобы при х = ± b при-
ближенно удовлетворялось условие Ez = 0. Вдали от решетки,
при lil I, формула (2.12) дает

так что

е 21 /, I л I х I
+ __

Е+- Е'- ил Iе
Ell — Ell---Ito“(z,

С2

(2.13)
где величина /о равна

io — In — In
л 2ло л л$

(2.15)

Таким путем мы опять пришли к граничному условию (2.10)
п вычислили /о — правда, только при условии s <С 1. Вычисле-
ние /о связано с учетом взаимодействия проводов; другие вели-
чины (/[, /2, h) вычисляются, как увидим ниже, более просто —
путем рассмотрения одиночного цилиндра в соответствующем
квазпстационарном поле, и потому при малых s оказываются
значительно меньше /о.

Второе граничное условие (2.01) определяет магнитный ток

Г/1 ___

У “

1(0 -——-—=

2л 2

(2.16)

происхождение которого легко объяснить. В самом деле, под
действием магнитного поля Ну цилиндрический провод приобре-
тает (диа) магнитный момент на единицу длины

ту = —

(2-17)

которому соответствует магнитный поверхностный ток

где

тт

4.	_

i(omy	Ну + Ну

------- = i(j)--------;-------

I 2л 2

лЬ2 л1 .

—_— = __ $2

(2.18)

(2.19)

Первое граничное условие (2.02) дает поверхностный элек-
трический ток

е . 1} Еу+Еу

1у = - «-----^5----	(2-20)

связанный с электрическим полем (при li > 0) таким же обра-
зом, как в конденсаторе; поэтому для данной поляризации
решетка имеет «емкостный» характер, хотя фактически этот
характер преобладает лишь в случае малых зазоров между про-
водниками решетки (см. далее § 3). Соотношение (2.20) выте-
кает из того, что под действием квазистационарного внешнего
поля Еу цилиндр приобретает электрический дипольный момент
на единицу длины (ср. [5], стр. 76)

Ри =

+

Ь2 Еу + Еу

Т 2

(2.21)

дающий плотность электрического тока

1(&Ру	li	Еу	+	Еу

——=	—	йо —	1	-

I	2л

(2.22)

причем величина

лб2

л1

“7s

(2.23)

2

I

совпадает с величиной

Наконец, второе граничное условие (2.02) может быть пере-
писано в виде

. п.++г

—-------,	(2.24)

4JT 4

если поле падающей волны не зависит от у (нормальное паде-
ние). Оно имеет следующий простой смысл: квазистационарное
магнитное поле Нг возбуждает круговой поверхностный электри-

с

ческий ток, азимутальная составляющая которого i = — — X

я=+ + В?	,	я

X---------; она обусловливает (дна) магнитный момент цилин-

6л

дра на единицу длины

1 . „	62Я,+ + Я.

т г = —	--------------

с *	4	2
3 поверхностный магнитный ток

,т
z

и&тг

13Н?+Н,
— ----------

2л 2

(2.26)

I

где величина

лЬ3	и1 .

1 " ' = — s*

21	8

(2.27)

вдвое меньше (2.23).

Если поле падающей волны зависит от у, то граничное усло-
вие (2.24) усложняется. Чтобы разобраться в причине этого
усложнения, выпишем полную систему граничных условий, вы-
текающих из формул (1.25) и (1.26) при зависимости полей от
координат у и з:

st + ЕГ = -	- в;у + /о	(Е,+ - Й7),	(2.28)

. -Ц /п+	П~\ 9	F-1

Ег — Ег — iklzlHy	4* Ну ) — 1%	{Ех -Ь кх ),	(2.29)

OZ

Нг - Нг~ = {Еу +	-н. V (Лх+ +	,	(2.30)

OZ

А. 	+

Еу — Еу ~ — ikl${Ht + Нг) — Ц — {Ех + Ех ). (2.31)

Величина

S’-f-fSj-S,'),	(2.32)

/1 77

входящая в формулу (2.28), есть плотность поверхностного
заряда в плоскости решетки х = 0, соответствующая экстрапо-
лированному электрическому полю. Этот поверхностный заряд,
сообщенный в действительности проводникам решетки, опреде-
ляет по законам квазистационарного поля скалярный потенциал
Ф, обращающийся в нуль на поверхности каждого проводника.
Вычисляя этот потенциал так же, как выше вычислялась по
формулам (2.11) —(2.15) величина Ег, мы получим

ф+ = ф- = _ 2л1£е ,	(2.33)
так что производная

д +	_ д +	_

(Ф++Ф )=10 — (Е$ ~ЕХ)	(2.34)

OZ	OZ

дает дополнительный член в правой части (2.28).

Добавочное слагаемое в правой части формулы (2.29) имеет
другое происхождение: под действием однородного квазистацио-
нарного поля Ех проводники решетки приобретают дипольный
момент рх, что для экстраполированного поля дает двойной элект-
рический слой с поверхностной плотностью

Рх й Ех + Ех

Те==т = £ Г 	<2-35)

определяющей скачок потенциала

Ф+ — Ф~= 4л7’е = h{Ex + Е~ ),	(2.36)

производная которого

	^ф — ф ) = — —— (Z?x + Ех )	(2.37)
dz------------------------------------------dz

обусловливает дополнительный член в выражении для Е*— Ez .
Производная

	(Ф ' — Ф ) = —12 — [Ех ~Ь Ех )	(2.38)
ду------------------------------------------ду

должна, очевидно, определять дополнительный член в выраже-

нии (2.31) для Еу —Еу. Отсюда вытекает равенство

Ц = 12,	(2.39)

справедливое для решеток из цилиндрических проводников с лю-
бой формой поперечного сечения.

Дополнительный член в формуле (2.30) объясняется появле-
нием двойного магнитного слоя с плотностью

ТПх _ k Нх + Нх

~~1 2л 2

(2.40)
вызывающего скачок магнитного скалярного потенциала Ч*":

цг+ _ \jr- = 4ярг = _	+ Нх )

(2.41)

и дополнительное слагаемое в выражении для Яг+— Нг, равное

_2(ЧГ+_ЧГ ) = г,-Ъя++я1).	(2.42)

dz	dz

Заметим, что справедливость формул (2.33), (2.35) п (2.40)
пе только вытекает из приближенных рассуждений этого пара-
графа, но сохраняется при любых s и любых решетках; этот
результат нетрудно вывести- из общих свойств конформных
отображений, рассмотренных ниже в § 3.

Нетрудно проверить, что поле типа Н (формулы (1.12))
тождественно удовлетворяет граничным условиям (2.28) и (2.29),
а поле типа Е (формулы (1.04))—граничным условиям (2.30)
и (2.31), если учесть равенство (2.39). Поэтому граничные усло-
вия (2.28) —(2.31) справедливы для любого электромагнитного
поля, являющегося в общем случае суперпозицией полей типа
Е и Н.

Выписанные выше соотношения показывают, что для «редких»
решеток (s 1) параметры Ц, к, h и Ц пренебрежимо малы
по сравнению с 1о. Если в формулах (2.28) —(2.31) положить
Ц = l2 = 1а = ц = о, то они перейдут в граничные условия, пред-
ложенные Б. Я. Мойжесом [6]. Ниже мы вычислим все параметры
Io,.. .,1а при любых s и покажем, что для «густых» решеток
(.s ~1) приходится применять систему граничных условий в пол-
ном виде.

§ 3. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Рассмотренные в § 1 функции , Qm и Ре просто связаны
с характеристическими функциями обтекания решетки, рассмат-
риваемыми в гидродинамике [7]. Имеется три таких функции:
Zi(z), соответствующая поперечному бесциркуляционному обте-
канию, Z2(z) — продольному бесциркуляционному обтеканию,
и третья функция, которую мы будем далее обозначать через
Zq(z), дающая чисто циркуляционное обтекание; в § 3 и 4 мы
рассматриваем двухмерные функции (от z и у) и обозначаем
z = х + 1у. Функция Zi для симметричной (относительно плоско-
сти х = 0) решетки может быть представлена в виде

лз

_j_ F(z),	(3.01)

где функция F(z) может быть представлена в виде рядов (ап —
константы)

F(z) = - 2 апе2яп2/'; F{z) = 2 апе2™/1.	(3.02)

п=0	п=0

при х < 0	при х > 0

Другие две функции выражаются через Z\ при помощи формул

ch Zi	sh Zi

cosZ2 = —	cos Zo - ,	(3.03)

ch a	sh a

где параметр а объяснен ниже в формуле (3.06).

Обозначая

Zk = Хк + iYh, (к = 0, 1, 2)	(3.04)

мы для функций Хк и Yk на поверхности каждого цилиндра имеем
граничные условия

&Хь

----= 0, Yk = const (/с = 0, 1, 2)	(3.05)
дп

Более точно: на т-н окружности (с центром в точке z — iml) мь

имеем

— а<Х\<а, Yi = тп, Yo = У2 = 0.	(3.06)

Из граничных условий (3.05) и (3.06) видно, что гармониче-
ские функции Qm и Ре0> с точностью до несущественных коэф-
фициентов пропорциональности равны

<?. - П, = Ъ, Р? - Х1.	(3 07)
причем асимптотическое поведение функций Х\, Y2 и Ко дается
выражениями (яо предполагается вещественным):

при X — — оо	при X —► -г 00
лх  Xi 			 яо,  V  ^2 = — -р + ОО — 1П Ch Я, (>  лх  Yo = —— яо + In sh а,  и	лх Х^у + яо, V  лх  Y2 = —	йо + In ch я,  Z  лх  Yq =	яо 4" In sh я,  I

и формулы (1.17) дают

I	I	I

1о =	(— In sh а "Ь йо) ,	' йд, 1а — (In ch я — йо) . (3.08)

JT	JT	Jt

Отметим также, что фигурирующие в формулах (2.36)
и (2.41) потенциалы Ф и Т равны соответственно Y2 и X], от-
куда и обосновываются эти формулы в общем случае.

В старых работах (1], [2] по теории решеток применялась
характеристическая функция

лг	лг

Zi = — + яо cth —

L	L

(3.09)

дающая обтекание круговых цилиндров радиуса	b лишь при
условии	
.	л 6	(3.10)
S 1 ИЛИ п = ——	1,	
когда	
лЪ / лЬ V лЬ 2лЬ	(З.И)
а~ 1 +	1 cth ( ~ 1	

так что по формулам (3.08) приближенно получаем

в соответствии с § 2.
Более точные результаты дает функция, предложенная

Э. Л. Блохом [8] (см. также [7], стр. 129—131)

tcz idn

7 + Vln~

sh

(3.13)

где параметры оо и р подбираются из следующих соображении:
во-первых, в точках z = ± ib должно быть У1 = 0, поэтому

а0 sm(o + р) / _	1

о =.— In - ~	~ - I о — т

2р sin(cr — р) \ I /

(3.14)

„ dXt п
во-вторых, в точках z = ± b должно быть----------= 0, что

дх

а$ sin 2р
2р sh2 о + sin2 р

дает

Параметр 0 определяется из уравнения

cr sin 20 sin(n + р)

То----------- =

sh2 о + sin2 р sin (о — Р)

(3.16)

после чего параметр ао вычисляется из (3.15), т. е.

ао

2р(sh2 о 4- sin2 Р)
sin2 Р

параметр а равен

а=Х,

а0	tg Р

г=ь = о + —-arctg——
Р	th о

(3-17)

(3.18)

и величины /о, 1\ и h определяются по формулам (3.08).

Конформное отображение (3.13) соответствует периодически
расположенным овалам, проходящим через точки z = iml ± b.
z = iml ± ib и весьма близким к окружностям радиуса b
(вплоть до значений s ~ 1, например при s = 0,91 и даже при
s = 1 получаются практически окружности, ср. [7] фиг. 3, 7). Стро-
гое решение задачи об обтекании решетки из круговых профилей
дал Н. Е. Кочин [9], в работе которого приведены выражения
для скорости на каждом круге, т. е. в электродинамической
задаче распределение поверхностного тока п заряда на каждом
проводнике решетки. Вычисляя с помощью этих распределений
электрический и магнитный момент каждого цилиндра на еди-
ницу длины

1 £ „ Mb2 р"	дРе

pv = — ф yErds - —— \ sin О-------«О,

4 л	4.7 '	ds

(3.19)

1 » „ ,	ikb2^ dQm

,nv = — — (rxll ds  --------— \ cos О —— (Ш,

4л J о 4л («* дг

где г и О — полярные координаты с центром на оси каждого
цилиндра, a ds = bd$ — элемент его дуги, и учитывая, что со-
отношения (2.24) и (2.18) являются точными, если моменты
ру и mv рассчитать с учетом взаимодействия всех проводников,
мы получаем следующие выражения для параметров Ц и /2:

лЬ2	лЬ2

1, = — F(s2), l2 = — F(—s2),	(3.20)

L	L

где

F(s2)= 1 + 3,2899(s/2)2 + 10,823 (л? / 2)4 + 35,608 (s / 2)6 +

4- 131,20(s/2)8 + 477,9(s/2)’° + 1745,0(s/2)12 + ... =
= 1 + 0,82248s2 + 0,67650s4 + 0,55638s6 + 0,5125s8 +

+ 0,46675’° + 0,42605’2 + ...	(3.21)

пли

F(s2) = -d_^- (1 + 0,32248s2 + 0,14026s4 + 0,05282s6 +

V 1 — s2

+ 0,0593s8 + 0,0392s10 + 0,0244s’2 + ...).

Зная l\ и l2, нетрудно по формулам (3.08) найти aQ, а и /□;
явное выражение lo через l\ и l2 таково:

-------1----In-------—  	- - - 

2 я -|/2sh^±M.
На рис. 2 дана зависимость отношений 1ь./1 от параметра 5,
характеризующего густоту решетки (0 < s < 1); пунктиром изоб-
ражены те же отношения, вычисленные по приближенным форму-
лам (3.12). Отметим, что Ц —> оо при s — 1, что объясняется
неограниченным ростом емкости между соседними проводами
(ср. замечание после формулы (2.20)), поэтому также

lim lo = — lim I2,	(3.23)

s-H	s-H

что обеспечивает для величин (2.03) выполнение очевидных соот-
ношений

= limT = 0.	(3.24)

s-И	s-»i
Целесообразно рассмотреть также решетки с другой формой
проводников. Например, решетка из идеально проводящих полос
шириной 2Ь (рис. 3, а) имеет характеристические функции

Z2= -

ijtz

ch Z\ = ch a ch —,	gq = In ch a, (3.25)

причем параметр a удовлетворяет соотношениям

ch a =-------—,	cth a = —-----—,	(3.26)

cos лЬ/l	sin no/t

а параметры Ik равны

lo = — In ———, h=— In-----------------—, l2 = lz = ('. (3.27)

Л sinjto/i л cosjto/Z

Граничные условия (2.28) —(2.31) для такой решетки совпадают
с условиями, выведенными Н. Н. Смирновым [10].

Если решетка образована полосами шириной 2Ь', перпендику-
лярными к плоскости решетки (рис. 3, б), то для нее

лг	ch лг/l	~ лЬ'

7 = — cos Z2 = —----------, ao = 0, а = — (3.28)

* I	ch	I

и

1 = -1л—i—,.	few-inch^, I, = /; = 0. (329)

о л sh ло I	л I

Формулы (2.04) показывают, что плоская волна типа Н, па-
дающая нормально (р = 0) на данную решетку, проходит через
пес без каких-либо возмущений: этот результат является спра-
ведливым при любых соотношениях между длиной волны и раз-
мерами Ь' и I. Однако в силу того, что I* = 1г =1=0, при косом
падении появляется возмущение поля. В частности, вдоль такой
решетки (в направлении оси у) может распространяться поверх-
ностная волна, для которой, на основании формулы (2.06),
имеем

bh-X= W. ~кЬ' — — Irv2 при Ь'
л
Рис. 3. Решетки из лепт

Коэффициент замедления поверхностной волны, вычисленный
по последней формуле, при kb 1 и kl 1 переходит в коэф-
фициент замедления, определяемый по формулам (32) и (33)
работы [И]. Поэтому формула (3.30) уточняет ход дисперсион-
ных кривых статьи [11] для «редких» гребенок (b I) и длинных
волн (X Z).

Обтекание решетки, состоящей из прямоугольников, исследо-
вано . М. И. Гуревичем [13]; вычисленные им присоединенные
массы Хх = X хх и Ку = 'Куу (или отношения Хх/4рс2 и X^/4qc2,
где Q — плотность жидкости, I = 2с — период решетки), как
нетрудно видеть из формул на стр. 161 книги Л. И. Седова [7],
могут быть представлены в виде

Хх	5	2	X S	2

-^7 =	- — + —со,	-^- = —+	—(lncha-ao),	(3.31)

4qc2	I2	п	4QC2 I2	л [

так что наши параметры 1\ и l? могут быть вычислены по форму-
лам

Zi	1 / Хх	5\	lz _ 1 / Ку	S\

I ~	2 Viqc2+	I2)’	1~ 2\4рс2	I2)'	’ '

где S — площадь сечения каждого проводника решетки. Графики
для величин X.v/4qc2 и Ху/4рс2 приведены также в [7] (стр. 164—166).

Параметр Iq можно найти по формуле (3.22).

Заметим, что при помощи методов, развитых в гидродинами-
ческой теории решеток [7—9], можно с высокой точностью найти
характеристические функции для решеток из проводников самой
разнообразной формы.

§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ h И к

К теории решеток можно подойти несколько иначе, а именно,
интегрируя волновое уравнение в конформных криволинейных
координатах (ср. [3]). Применим этот подход к функции Рт, ко-
торая должна удовлетворять уравнению (при 0 < и < оо);

д2Рт д2Рт	gl

(4.01)

и граничному условию

дР^

= 0 при и = 0.	(4.02)

ди

Здесь мы ввели обозначение w = 2lZ2, так что функция

I

w = и + iv

(4.03)

конформно отображает область, лежащую справа от решетки, на
правую полуплоскость ш, а функция g(u,v) равна

g(u, п) =

df(ш) 2
dw

(4.04)

Учитывая малость параметра у, мы по-прежнему можем
искать решение уравнения (4.01) в виде ряда по степеням у2.
Считая для определенности, что на решетку падает плоская вол-
на, мы можем написать

Рт = U (и, у)е^«,

(4.05)

где уу = у sin ф (ф — угол падения, ср. § 2), a U — периодическая
функция V с периодом 2л. Для функции U имеем уравнение

71?+7^ + 2гь^Г + [Л(,‘’ ")-vyt/ = o (4.06)
и граничное условие

dU

= 0 при и = 0.	(4.07)

Обозначая

U = — U(u, v)dv, g = — \ g(u, v)dv> (4.08)
2л Д	2 л

мы в результате усреднения уравнения (4.06) получаем

d2U _____________

..——— 4- y2g(u, и) U — у2 U = 0.

(4.09)

Заметим, что усредненная величина U определяет распреде-
ление полей вдали от решетки, поскольку колеблющаяся часть U
дает «дифракционные» волны, экспоненциально затухающие при
удалении от решетки. Поэтому экстраполированные поля в плос-
кости решетки z = 0 выражаются через U.

Разлагая U в ряд

U = Uo + y2U2 + ...,	(4.10)

предполагая Uq не зависящим от v и считая уу = у sin ф, мы
получаем для Uq
cPUq	dUo

. п = 0 при 0 < и <оо	—-— = 0 при и = 0, (4.11)

du2	du

откуда

Uq = COnSt.

Для функции U2 мы получаем из (4.09) уравнение

<PU2

— = - g£/0 + sin2 <р£/0.

(4.12)

(4.13)
Интегрируя его при условии dUt/du = 0 при и — 0, полу
чаем
dU2	с-

—— = — £70 \ gdu + sin2 ®E7ou =
du	j

If?

= — Uq — \ \ g(u, v)dudv + sin2<p UQu.
2rt о’Д

(4.14)

Вдали от решетки, при больших положительных п, мы имеем

2л

(4.15)

и поэтому асимптотически формулу (4.14) можно записать в виде

rZf/г	/ 2п \ (	\тт t • 2 (I 1 \ тт

~^==\Т) k 2[)Uq+ sln Ф(x-l2)UQ,

так как

(4Л6)

1
и ъ	ч .u n	X 2

ГС	/2п)2Г Г rfz |2	/9п\2 и г-

J \g(u, v)dudv= I J J dudv	\ \dxdy =

с—я	о — n	' .r,(y)_]_

2

г2п\21'	S\

— I У ] ( — у)’	(^‘^)

причем интегрирование по x и у производится по площади, за-
ключенной между прямыми у = ± I / 2, х = 0 и х = const I
и находящейся вне проводников решетки. Через S обозначена
площадь поперечного сечения каждого из проводников решетки.
Полагая в формуле (4.16) х = +0 и переходя к функции
(4.05), мы получаем искомое предельное соотношение

дРтп.	„ S J. 0.0	*5	д2Ртп

-Г— =	g2 — Pm —	g2 Sin2 Ф	l2Prn =	g2 — Pm +	h '—ГГ~ •	(4-18)

dx	2,1	21	Oy2

Сравнивая его с соотношением (1.23), получаем формулы

h = u = lt,	(4.19)

выведенные в конце § 2 из более наглядных, но менее строгих
соображений.
§ 5. ПЕРЕНОС ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
К ПЛОСКОСТЯМ X = ±6

Выведенные выше граничные условия относились к экстра-
полированным полям в плоскости х = ± 0. Нетрудно сформули-
ровать эквивалентные граничные условия при х = ± б (где
кЬ 4)» причем такой перенос граничных условий приводит
в некоторых случаях к более простым или же более точным ре-
зультатам (см. ниже).

Применим комплексные уравнения Максвелла

rot£ — ikH, rot Я = ikE	(5.01)

к экстраполированным полям. Получаем

Е v(-d) = Еу(-0)-^бЯг"-б-^.

ду

£х(-б) = £z(-0) + ik&H~

dz

Нг(-Ъ) = H4-Q)^ik6E~-6^,
dz

+ dEt

Ev(+6) =Е1/(+0) + 1ад+ + б —,
ду

+ дЕх

Ех(+д) =£х(+о)-йбя; + б—

dz

J?x(+6) = Ях(+ 0) + ikbEy + б • ~,

где аргумент x = ± 0 или x = ± б указан для тех величин, где
это существенно, и поставлен просто индекс ±, если различие
в аргументе приводит к членам порядка б2, которыми мы прене-
брегаем. Подставляя эти выражения в граничные условия
(2.30) —(2.33), мы имеем на плоскостях х = ± б
Е~ + С = - ik(l0 + б) (Ну - Ну) + (Zo + б) — (Е^ -Ех\
dz

(5.02)

Ег — Ег = ik(l2 — 6) (Ну + Ну) — (/2 — б) — (^х + Ех),
OZ

(5.03)

Hz — Нг = ik(l\ + б) (Еу + Еу ) + (Ц + б) — (Нх + Нх ),
dz

(5.04)

£+_£- = _ik(i3 - б)(#t + н;)-(12- б) Ъй + ех).
ду

(5.05)

Коэффициенты отражения и прохождения плоской волны ти-
па Е, падающей на решетку под углом ср (см. начало § 2), полу-
чаются по этим граничным условиям в таком виде:

R = _ 1 e-2lAfi cos ф 1 + Що + б1С0,5.У. + l-^2-61cOS<p 1 ,
2	[ 1 — ik(J,Q + 6) cos <p 1 + ik(h — 6) cos <p

(5.06)

__p-2iM COS ф

2

T =

1 + ik^lo + 6j cos ф	1 — ik(h — 6)cos <p

1 — ik(lo + 6)cos cp	1 + ik(h — 6)cos ф

Эти выражения практически совпадают с выражениями (2.03)
и по-прежнему удовлетворяют соотношениям (2.07) и (3.24). Для
волны типа Н будем иметь

___cos ф

2

1 + ik(J,i + б^созш

1 — ik(h + б) cos ф

cos ф — ikfa — h sin2 ф — б cos2 ф)
cos ф + ik (I3 — l2 sin2 ф — б cos2 ф)

(5.07)

Т —____o—2iM cos q>

2

1 + ik^l\ + 6)cos ф

1 — ik(l\ + б)сов.ф

cos ф — ik^h — l2 sin2 ф — 6 cos2 ф^
cos ф + ik(ls — l2 sin2 ф — 6 cos2 ф)
Если выполняются условия

kl3

кЦ < 1, kb < 1,--------< 1,	(5.08)

cos ф

то формулы (5.07) практически эквивалентны формулам (2.04).

Выражения (5.06) и (5.07) упрощаются, если положить

б = 12,	(5.09)

тогда, в частности, выражения (2.05) принимают вид

Re = — e-2iW2 cos ф. п = соз Ф ,cos ф	/5 ЦП

’	СОЗф-i/c (l2-lz) 	1

Как раз в таком виде получаются (при 1) коэффициенты
Re и Rh для волнистых поверхностей частного типа по методу
приближенного разделения переменных (см. [3], формулы (79)
п (80)).

Вследствие того, что Ц —* оо при $ — 1 (ср. рис. 6), первое
условие (5.08) при 1 не выполняется и формулы (5.07)
дают численные значения R и Г, существенно зависящие от б.
В этом случае естественно выбрать б так, чтобы коэффициенты
(5.07) удовлетворяли предельным соотношениям (3.24), т. е.
положить

При 12 к параметр б зависит от ф, причем б —* при ф — л/2.
Физически это означает, что получающаяся при смыкании про-
водов волнистая поверхность существенным образом возмущает
скользящую плоскую волну (ф « л/2) и, в частности, обусловли-
вает возможность существования поверхностной волны, у кото-
рой, согласно формуле (2.06), ф = л/2 —	« л/2.

Заметим, что для решетки из круговых цилиндров, согласно
рис. 2, имеем 12 ~ к при s ~ 1, так что параметр (5.11) практи-
чески не зависит от ф при всех ф, кроме ф « л/2.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа возникла из-за того, что были обнаружены
противоречия между новыми работами по теории решеток (наибо-
лее полные результаты имеются в [12]) и результатами преж-
них теоретических исследований [1,2]. При этом оказалось, что
примененный в [1] п [2] метод замены динамических полей стати-
ческими нуждается в уточнении, дающем четвертое граничное
условие (2.31) плп (5.05),сложный характер которого объясняется
тем, что оно определяет также распространение поверхностных
волн над решеткой. Считая период решетки достаточно малым
по сравнению с длиной волны, удается эффективно рассчитать
электродинамические параметры «густой» решетки, диаметр про-
водов которой сравним или даже близок к периоду решетки.
Применяя вариационные методы, можно, вероятно, уточнить по-
лученные коэффициенты отражения плоских волн и коэффи-
циенты замедления поверхностных волн для случая, когда период
решетки сравним с длиной волны.

Заметим, что представление результатов электродинамической
теории решеток в виде эквивалентных схем [12] даст возмож-
ность, подобно нашим граничным условиям, вычислить лишь поля
вдали от решетки. Поэтому оба подхода легко сравнить между
собой; прп этом оказывается, что находимый из эквивалентных
схем [12] параметр 1% для «редкой» решетки получается (ошибоч-
но) вдвое больше своего истинного значения (2.19); параметры
/о, А и h согласуются с выражениями, имеющимися у нас в
§ 2, однако четвертое граничное условие в полном виде отсутст-
вует, поскольку эквивалентная схема построена лишь для волны
типа Н, падающей нормально на решетку.

В связи с полученными в данной работе результатами возни-
кает естественный вопрос, каким должен быть параметр % = Z/X,
чтобы эти результаты были применимы. Поскольку коэффициен-
ты отражения и прохождения для решетки, изображенной на
рис. 3, а (прп b = l/i), для нормального падения плоской волны
вычисляются строго (см. [3]) и оказываются в согласии с прибли-
женными формулами (2.03) и (2.04) для этого случая при х <0,3
([3], рис. 3), то нужно ожидать, что при выполнении последнего
условия и в общем случае выведенные выше формулы будут давать
хорошую точность.
ЛИТЕРАТУРА

1.	Г. Лам б. Гидродинамика. М,—Л., ОГИЗ, 1947. стр. 669—674.

2.	R. Ga ns. Ann. der Phys., 61, № 5, 447, 1920.

3.	Л. А. Вайнштейн. ЖТФ. 27, 2109, 1957.

4.	К. Шефер. Теоретическая физика. 3, ч. 1. Электродинамика. М.— Л.,
ОНТИ, 1937, стр. 194.

5.	В. Смай т. Электростатика и электродинамика. И. Л., М., 1954.

6.	В. Я. Мойжес. ЖТФ, 25, № 1, 158, 1955.

7.	Л. И. Седов. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.— Л.,
ГИТТЛ, 1950.

8.	Э. Л. Блох. Труды ЦАГИ, № 611, 1947.

9.	Н. Е. Кочин. Собрание сочинений, т. II. М,— Л., Изд-во АН СССР,
1949, стр. 303—336; Прикладная математика и механика. 5, № 2, 165—
192, 1941.

10.	Н. Н. Смирнов. Докл. АН СССР, 108, № 2, 243, 1956.

11.	Л. А. Вайнштейн. ЖТФ, 26, № 2, 385, 1956.

12.	Справочник по волноводам. М., Изд-во «Сов. радио*, 1952.

13.	М. И. Гуревич. Прикладная математика и механика, 4, № 2, 94,
1940.

14.	Н. Н. Смирнов. Докл. АН СССР, НО, № 2, 212, 1956.
ДИФРАКЦИЯ В ОТКРЫТЫХ РЕЗОНАТОРАХ И ОТКРЫТЫХ
ВОЛНОВОДАХ С ПЛОСКИМИ ЗЕРКАЛАМИ

Л. А. Вайнштейн

Изложена теория собственных колебаний открытых резоиаторон, образованных
параллельными плоскими зеркалами (прямоугольными или круглыми), расположенными
друг против другв. Получены простые выражения для токов иа зеркалах, для поля
Между зеркалами и для комплексных собственных частот. Показано, что волны
в открытом волноводе, образонанном Периодически расположенными параллельными
зеркалами, подчиняются тем же закономерностям, что и колебания в открытом резо-
наторе. Этот результат обобщается на случай зеркал произвольной формы (нвпрнмер,
вогнутых).

Введение

В работе [’] изложена теория открытых резонаторов с плоскими
зеркалами, которая базируется на результатах, полученных в строгой
теории дифракции на открытом конце плоского волновода. В данной
статье мы рассмотрим такие резонаторы с несколько иной точки зре-
ния, а именно применим параболическое уравнение, предложенное
Леонтовичем и Фоком!2’3] для анализа распространения радиоволн и
затем неоднократно использованное в теории дифракции. Одновременно
будет дано приближенное решение родственной задачи об открытом
волноводе, образованном параллельными плоскими зеркалами, перио-
дически расположенными в пространстве (см. рис. 2).

Открытый резонатор является колебательной системой, размеры
которой велики по сравнению с длиной волны и которая обладает хо-
рошими резонансными свойствами благодаря тому, что ряд „лишних"
собственных колебаний имеет большие потери на излучение. Открытый
волновод является линией передачи, все размеры которой также ве-
лики по сравнению с длиной волны и в которой может аффективно
передаваться лишь одна волна (или несколько волн), а другие отфиль-
тровываются из-за потерь на излучение. Поэтому при анализе таких
систем следует применять асимптотические методы теории дифракции,
позволяющие получить простые решения, точность которых тем больше,
чем меньше отношение длины волны к поперечным размерам зеркал и
расстояниям между ними.

§ 1. Двухмерный резонатор

Начнем с вспомогательной двухмерной задачи о собственных коле-
баниях резонатора, образованного плоскими зеркалами

—а<С х <^а, —со < У <С 00 > я = ±/.	(1)

Мы ищем решение Ф = Ф(х, я) волнового уравнения

ДФч-£2Ф = 0,	(2)

удовлетворяющее условию Ф = 0 на зеркалах (1), в виде

Ф= Й7(х, 2)е“'— (— 1)г iF(x, —	(3)

ф j Журввл TcxRiweexoi фвянвв, № 2, 1964 г»
так как Ф будет либо четной, либо нечетной функцией z (q— целое
число). Для функции W получаем уравнение

dx2

_____н_2^-^г=о,

(4)

в котором пренебрегаем членом д г , сводя задачу (ср. § 4) к пара-
болическому уравнению

d*W
дх2

dW
дх

(5)

A-0.ik

где (ср. [4]) учтена поперечная диффузия комплексной волновой ампли-
туды W (в направлении оси х) и отброшена продольная диффузия (по
оси z, составляющей малые углы с направлением распространения волн
в нашей задаче). Параболическое уравнение (5) имеет функцию Грина,
которая при z^>z' равна

G <х — х'> z - z'> = У 2к.(Z-.7) ех₽z — -J-] 

удовлетворяет предельному соотношению

lim Cj (х —* х7, z —*— z7) = 3 (х — х7)

(6)

(7)

и равна нулю при z < z!.

Функция W^x, z) определяет в формуле (3) амплитуду волны, рас-
пространяющей в положительном направлении оси z (временной мно-
житель е—iekt) и возбуждаемую токами на нижнем зеркале z = —I.
Такая волна при z=—I и |х|>а, очевидно, отсутствует, поэтому

W (х, —I) = 0 при | х | > а,

кроме того, граничное условие Ф = 0 дает

Г(х, —Z) = e<(zk'-’t’) Г(х, Z) при |х|<о.

Решение уравнения (5) с учетом условия (8) имеет вид

IF(x, z) = fG(x—х', г+0 IP(xz, — l)dx'.

(8)

(9)

(Ю)

Полагая z = l и пользуясь условием (9), мы получаем интегральное
уравнение

1Г(х, -/) = eip‘'“”j)jG(x-x', 2/)1Г(х', —l)dx',	(11)

—а

которое легко преобразовать к виду (ср. [3])

м

г) А

/(6) = ^-=------ е 2 /(ИЛ',	(12)

V /71	I

_ JT

2

где функция /(Е), пропорциональная ITf(x, —I), дает плотность тока на
зеркале [см. ниже формулу (28)],

,__ I / к	.._ ~| f 2ка2

*— у 2/ х> — У I	У1'1)
и

= (14)

где q— большое целое число (так как мы считаем	а р — ком-

плексный параметр, определяющий частоту и радиационное затухание
свободного колебания и являющийся собственным значением интеграль-
ного уравнения (12).

Рассмотрим сначала уравнение (12) при бесконечных пределах
(М = со, а=оо). При фиксированном р оно имеет решения

/(5) = const sj =	(j-t-p), j = 0, ±1, ±2,...,	(15)

причем для определенности будем считать, что при вещественном р
либо Sj= | Sy |, либо Sj = i | Sy,|. Решения (15) приближенно соответствуют
волноводным волнам, распространяющимся или затухающим между
параллельными плоскостями z = ±Z и разлагающимся на плоские волны,
волновые векторы (кх, ку, к,) которых удовлетворяют условиям

| кх | << к, ку = 0, к,^±к.	(16)

Исследуем теперь дифракцию волны с индексом у = 0 на открытом
конце плоского волновода, образованного параллельными полубеско-
нечными зеркалами z = ±Z, х^>0. Для этого напишем интегральное
уравнение

/(0 = е J е 2	(17)

О

и будем искать его' решение г виде

/(?) = Л(е-^м-2/?0>/’Л,	(18)

'	3	J

где слагаемое Ае~{,& есть набегающая волна с индексом /=0, а ряд
охватывает все волны (15), распространяющиеся или затухающие в по-
ложительном направлении оси х и возникающие у конца с амплитудами
Л7?о,Подставляя выражение (18) в уравнение (17), пблучим уравне-
ния для неизвестных величин ROtj

— s0)-t-2/?o,/vtF(-5-t-sy) = 0 при 5>0,	(19)

где

t
е Г С —

F(f) = ^=- j е 2 dt	(20)

—00

есть интеграл Френеля.

Если в уравнении (19) положить 5 = 0 и пренебречь всеми Ло>/,
кроме о> то мы получим

^o.e= f-(So)J •	(21)

Если, кроме того, величины р и s0 малы, т. е. частота набегающей
волны достаточно близка к ее критической частоте, то формула (21)
принимает вид

*о,о =-[l-bf₽(lH-i)so], ₽ = -^ = 1.13

(22)
или

#0, о



(23)

где мы пренебрегли членами порядка и выше.

Интегральное уравнение (17) решается точно методом Винера—
Хопфа—Фока, для чего, пользуясь интегральным преобразованием
Фурье, нужно перейти к функциональным уравнениям. Они написаны
и решены в работе [’], причем получена (в том же приближении) фор-
мула (23) с несколько иным значением р, а именно

у’=. * lim(2V3V-2-^)=°-824-	<24>

V ТС	V ТС ff-t-a, \	П=1	/

Эта разница объясняется тем, что при ма-
лых s0 коэффициенты /?п> у (/ = ±1, ±2,...)
пропорциональны $0. Хотя формулы (21), (22)
дают лишь грубое представление о величине
/?010, они показывают, что сильное отражение
волноводных волн при частоте, близкой к кри-
тической, обусловлено дифракцией Френеля.
Параметр s0 = ^4^р, входящий в формулы (21)—
(23), характеризует поле, возникающее при
дифракции набегающей волны на одном из
полубесконечных зеркал, образующих волно-
вод, вблизи края другого зеркала.

Применение параболического уравнения(5)
по существу означает (ср. [4]), что взаимодей-
ствие зеркал z = l и z ——I учитывается в
рамках физической оптики (принцип Гюйгенса—
Френеля). По этой причине интегральное урав-
нение (12) справедливо для зеркал, внутренняя
поверхность которых задается соотношениями
(1), а внешняя имеет произвольную форму
(например, такую, как на рис. 1); то же отно-
сится к интегральному уравнению (17) для

Рис. 1.	волновода.

Следует иметь в виду, что в задачах об
открытых резонаторах и открытых волноводах
нас интересует дифракция на малые углы, а при малых углах дифрак-

ции, как известно, физическая оптика дает те же результаты, что и

строгая теория.

Приближенное решение интегрального уравнения (12), соответствую-
щее колебаниям с малыми потерями на излучение, нетрудно получить
из следующих физических соображений. Пусть к открытому концу
х = а приходит волна при частоте, близкой к критической ('0 и р малы):
она отражается от него с коэффициентом отражения (23), близким
к минус единице; отраженная волна в свою очередь отражается от
конца х = —а и т. д. В результате мы получаем собственные функции

/(E) = coss0s ПРИ п» = 1» 3, ...,
/(;) = sin So5 при 771 = 2, 4,...,

(25)

я собственные значения

тст

тст2

р~~ 4(M-»-p-+-iW

(/71 = 1,2,...).	(26)
Волнами других номеров (/ = ±1, ±2, ...), возникающими при каждом
отражении, в первом приближении можно пренебречь, так как они имеют
малые амплитуды и, дойдя до противоположного края, почти нацело
излучаются в пространство. Если в следующем приближении учитывать
эти волны и уточнять формулу (23), то получатся довольно громоздкие
выражения. Необходимости в них практически не возникает, так как
простые формулы (25) и (26) уже хорошо согласуются с результатами
численного решения интегрального уравнения (12), приведенными в ра-
боте [5].

До сих пор мы решали волновое уравнение (2) для скалярной функ-
ции Ф. Полагая ее равной одной из составляющих векторного потенциала

Ф = ЛЖ или Ф = Ад,

(21)

мы получим решение интересующей нас электродинамической задачи.
В этом случае удобно брать функцию /(£)> фигурирующую в интеграль-
ном уравнении (12), равной

/G) = -g* Г(х, Z)e«' = -^(-l)* Г(х, -Z)e-‘*',	(28)

тогда это будет поверхностная плотность тока на верхнем зеркале z = Z.

Функцию W(х, z) между зеркалами (при —а < х <а, —I<^z<^l)
можно считать при нечетных т равйой

е

тпх

W = A cos

(29)

(Л — постоянная), а при четных т нужно косинус заменить на синус.
Соответствующее поле у краев (хда±а) непрерывно переходит в поле
излучения.

Формулы (25)—(29) дают собственные колебания открытого резона-
тора, которые естественно назвать колебаниями (при Ф = Л#) и
(ПРИ ® =	Так как точность формулы (23) с увеличением |р|

падает, причем при | р | л# ~ она еще грубо применима (см. [’]), то при
фиксированном JW>-1 формулы (25)—(29) правильны лишь для конеч-
ного числа собственных колебаний (а именно при т<_М или, точнее,
при

Согласно формулам (14) и (26), радиационное затухание свободных
колебаний определяется мнимой частью р, которая при М^>1 пропор-
циональна -до-, т. е. для небольших т достаточно мала. Малость по-
терь на излучение можно понять так: составляющие электромагнитного
поля между зеркалами пропорциональны либо f (5) (т. е. cos$0£ или
sinso0, либо у (т. е. —^=sms0? или ^=coss0^- Последняя
функция всюду мала, так как | s01 << 1 и kl >• 1, что же касается /(I),
то она на краях, т. е. при t = =i=-y-, как видно из формул (25) и (26),
спадает до малых значений порядка -jp Так как у краев резонатора
все составляющие электромагнитного поля малы, то и потери на излу-
чение тоже малы.

Выше получено асимптотическое решение: оно тем точнее, чем ко-
роче длина волны, т. е. чем больше М. Действительно, при росте М
параметры se и р, согласно формулам (26), уменьшаются, вследствие
чего применение формулы (23) и пренебрежение волнами других номе-
ров становится все более обоснованным.

§ 2.	Прямоугольные зеркала

В случае прямоугольных зеркал

—с<Сх<Са> —z = ±l

будем искать решение Ф = Ф(х, у, z) волнового уравнения (2)
Ф=1Г(х, у, z)e*' —(—1)’ W(x, у, — 2)е~<к,ц

Для IF получаем параболическое уравнение
д’-W	dW	n

дх*	дул	дх

и граничные условия

IF(x, у, —1) = 0 при |х|>а, |^| >Ь,

W(x, у, =	у, I) при |х|<а, | г/ |<6.

(30)
в виде

(31)

(32)

(33)

Уравнение (32) допускает решение в виде
Г=1Гв(х, z)Wb(y, z),	(34)

где функции Wa и Wb удовлетворяют уравнениям

^^2,^=0. ^-н-2№^р-=0	(35)

дх*	дх ’ ду*	дх	' '

и граничным условиям

^'(х, — Z) = 0 при |х|>а, Wb(y, —1) = 0 при |у|>6,
IF, (х, —I) = е,2крв IF, (х, I) при | х | < а,
Г* (у, -I) = ei2™ Wb (у, I) при | у | < 6.

(36)

Эти формулы показывают, что функция lFe(x, z) совпадает с функ-
цией IF(x, z) в двухмерной задаче, рассмотренной выше (см. § 1), а
функция Wb отличается от IF(x, z) тем, что х заменен на у, а на 6;
кроме того, индекс т мы заменим для функции IF4 иа п. Собственная
частота получаемого таким образом колебания вычисляется по формуле

W = «(y-*-pe-t-p4),	(37)

где

и

_______itm8_____

Д- —4(Л4н-р-ь,-?)8-

р4 =

ТЕП2
4(Л/4ч-?ч-;?)2

(т, л = 1, 2, ...)	(38)



(39)

Пользуясь формулами (27), мы получаем колебания и
в резонаторе с прямоугольными зеркалами. Нетрудно найти распреде-
ление электромагнитного поля при таких колебаниях. Распределение
тока на зеркалах при нечетных-т и /г определяется функцией

nity

(40)

а при четном т или п нужно заменить косинус на синус.

Отметим, что колебания и между прямоугольными зерка-
лами можно разложить на сумму плоских волн с волновыми векторами
(±kx, :±=£у, ±кг), где

причем множители	и ( Р * *) учитывают дифракцию при

х = ±а и у=±Ъ. Частота собственных колебаний определяется соот-
ношением

(42)

которое в силу условий | кх |	| к | и	можно написать в виде

<43>

Легко видеть, что последняя формула совпадает с (37).

§ 3.	Круглые зеркала

Введем цилиндрическую систему координат г, ср, г, в которой круг-
лые зеркала определяются соотношениями

0 <Z г < a, z = ±1	(44)

и уравнение (32) принимает вид

1 д / д\Г\	1

г dr V дг

dW л
+-2мг —ч—= 0.
(7Z

(45)

Используя граничные условия, нетрудно свести задачу к интеграль-
ному уравнению (ср. [s]). Однако с помощью дополнительных аппрок-
симаций нетрудно решить задачу в замкнутом виде.

По аналогии с формулой (29) будем искать решение уравнения (45)
внутри резонатора (при 0<С''<Са и —I <^z <Zl в) таком виде

W= AJm (sop) е Р 1 cos zntp, р = у г,

(46)

где т — целое число (/n = 0, 1, 2, ...); J„ — функция Бесселя; s0= '/4’7»,
а параметр р связан с частотой колебаний формулой (14).

При небольших т (т = 0 или /п = 1) мы делаем предположение,
что вблизи края, при г «г а, функцию /m(sop) можно заменить асимпто-
тическим выражением Ханкеля, т. е. представить в виде двух радиаль-
ных волн, пропорциональных е<,р и Связывая вти волны коэффи-
циентом отражения (23), т. е. считая, что кривизна края и цилиндрич-
ность волны не влияют на коэффициент отражения, мы получаем

(47)

где vm„ есть n-й положительный корень уравнения

Jm(v) = O.	(48)
Сделанное выше предположение оправдывается тем, что функции
Бесселя /0(х) и /1 (х) в самом грубом приближении можно при x«v01
и x«svn заменить первым членом асимптотического ряда Ханкеля.

При больших тп на коэффициент отражения от края г = а влияет
зависимость волны (46) от координаты <р. Однако при этом формулы (47)
не изменяются. Здесь дело обстоит так же, как в резонаторе с прямо-
угольными зеркалами, где волна, отражающаяся, например, от края х = а,
зависит от координаты у	но составляющая получается по

первой формуле (41) такой же, как и при £у = 0.

Формулы (27), (31), (46) и (47) определяют собственные колебания
и в открытом резонаторе с круглыми зеркалами. Эти простые
соотношения хорошо согласуются с результатами численного решения
той же задачи (см. [а]).

§ 4.	Открытый волновод с плоскими зеркалами

Открытые волноводы, образованные периодически расположенными
зеркалами, предложены Каценеленбаумом [0] и Бондаренко и Талано-
вым [7]. Эти авторы указали на то, что процесс установления колеба-
ний в открытом резонаторе, когда наиболее добротное колебание посте-
пенно очищается от колебаний, обладающих большими потерями на
излучение, подобен процессу самофильтрации волны с наименьшим ра-

диационным затуханием, которая проходит через открытый волновод
по зигзагообразному пути, отражаясь от зеркал.

Полученные выше результаты позволяют дать расчет открытых волно-
водов с плоскими зеркалами (рис. 2). Начнем с двумерной задачи: поле
не зависит от координаты у, зеркала имеют ширину 2а (по оси х) и
бесконечную длину (по оси у). Период структуры равен 4D, зеркала
занимают часть плоскостей z — ±l. Луч, обегающий зеркала, состав-
ляет угол $ с осью х, где

^=4-*	<49>

Ниже будет показано, что при некоторых предположениях расчет
такого волновода сводится к расчету открытого резонатора (см. § 1)
с плоскими зеркалами, имеющими ширину 2а и отстоящими на расстоя-
нии 2/, где

а = a sin $, I = —* ч-.	(50)

’	sin с	'	'

Исследуем „переброску" токов от данного зеркала к следующему
с учетом дифракции. Введем безразмерные координаты 5

5 = (х sin $ — zcosS), С =-j-(xcos S-i-z sin $),	(51)
в которых поверхности рассматриваемых зеркал (лежащих при —D — а

<^х <^-D-+-a и D — a<Zx<ZD-t-a) определяются уравнениями

С = ±1-+-хС, x=lZ-^-tg$
г kl

(52)

(рис. 3), и будем искать решение волнового уравнения (2) в виде

0=lF(E, C)e'H«co.»+rsin»}t	(53)

Для функции IF получаем уравнение

d*W

2 d-W
kl

(54)

которое, учитывая условие kl 1, можно
заменить параболическим уравнением

d2W .. dW Л
”*“4z	0,	(55)

имеющим функцию Грина

Г(Е — Г, С — С') =

1	. Г (Е - Е')2	1

= лйгат е,р'Н=г—tJ- <56>

Применим теперь теорему Г рина
(ср.["]) к функциям IF(E', С) и 1/(5',
С) = Г(Е— Е', С — С) в области, ограни-
ченной снизу нижним зеркалом и гори-
зонталями, проходящими через его края
(они проведены на рис. 3 штрихами; на
них мы считаем IF=0), а сверху — гори-
зонталью C' = C = const. В результате по-
лучаем выражение

Рис. 3.

ЛГ

2

IFG, С)= J Г (Е — V, С — С') {lF(E', С) -ь

а с'> --^4,- 1Г(У,	(57)

С* = —1 хЕ',

в котором интегрирование производится по нижнему зеркалу, а вели-
чина М равна

(58)

Если в формуле (57) положить

C==l-t-xE,------(59)

&	й

то она дает связь между значениями функции W на двух соседних
зеркалах. Эта связь является более сложной, чем для открытых резо-
наторов [ср. формулу (10)], так как поперечная диффузия комплексной
амплитуды W происходит в направлении, не параллельном зеркалам.
Однако при условии

1	(60)

формула (57) упрощается и принимает на верхнем зеркале (59) вид
х
2

Г (S, 1) = J Г (5 — г, 2) 1Г(С',-1)Л'.	(61)

X

2

Полагая теперь

UZ(s, 1) = е-<2«рЦ7(^ —1),	(62)

т. е. считая, что при дифракционной переброске тока его распределение
на зеркалах воспроизводится с точностью до постоянного множителя,
мы получаем для функции HZ((;, —1) интегральное уравнение, эквива-
лентное (12).

Отсюда уже нетрудно (ср. § 2) перейти к трехмерной задаче для
прямоугольных зеркал, имеющих длину 26 (в направлении оси у). Мы
приведем только окончательные формулы. Полагая

Ф=фг(е, т), C)e<fc^C0,a+<”iQ&1, т] =

мы получаем между значениями W на соседних зеркалах такую связь
Г (5, т), 1) = е-^Г(Е, т], —1),	(64)

где

Р = 4 (X ч- р ч- t₽)2-H 4 (Л/4 ч- р ч- iP)2 (т ’ п = 1 ’ 2’ ’ • ‘

и

пл 1/~	I f 2iaz • яо пя  / 2£62 тЛ 1W . А	iccx

Ма— у ——= у —— sin3», Мь=у-^—= у —— sm»	(66)

Сама функция W внутри косой призмы, основаниями которой слу»
жат соседние зеркала, при нечетных т и п равна

W— Д cos___________cos---______e-i*pl	(67)

IF— Zi cos	cos	,-р е

с заменой косинуса на синус при четных тип.

Выражения (63)—(67) вместе с формулами (27) .позволяют легко
найти электромагнитное поле волн, распространяющихся в открытом
волноводе с прямоугольными зеркалами. Эти волны естественно назвать
волнами Е£1 и Е&1.
т п	тя

§ 5. Открытые резонаторы и открытые волноводы

Установленная выше связь между теорией открытых резонаторов и
теорией открытых волноводов имеется и в случае зеркал произвольной
формы (но одинаковых). Мы покажем это, ограничиваясь для простоты
двумерными задачами. Несколько иные доказательства даны в рабо-
тах [’] и[7].

Пусть поверхность зеркал в открытом резонаторе задается соотно-
шениями

—а<Сх<Са, —оо < у <2 оо, z = ±[Z— А(х)].	(68)
Введем, как в § 4, безразмерные переменные

S=l/4-x, С = -г	(69)

и будем искать решение волнового уравнения (2) в виде

Ф = Ц7(Е, С)	— (—1)? W (?, —С) e~ikl.	(70)

Для функции W опять получается параболическое уравнение (55),
причем при |А(х)|<</ можно считать, что значения функции W на
поверхности зеркал равны U^(?, —1) и Й^(Е, 1); они связаны соотно-
шением (61), в котором М определяется формулой (13). Условие Ф = 0
на зеркалах (68) приводит к интегральному уравнению

* — ”4/	”

f^= e	J ехргр^- <Р(£)-<Р(О]/(О^,	(71)

_ лг
2

где функция

/(£) = -^L и^(е, 1)е^-^)]=_|А-(—1)! RZ(5, — l)e-[M-f®l (72)

определяет, как в формуле (28), распределение тока на верхнем зер-
кале. Здесь

<р(()=Щх)	(73)

есть дополнительная фаза, вызванная прогибом зеркала, а комплекс-
ный параметр

X = 2к1 — кд

(74)

определяет поправку к собственной частоте резонатора, вызванную кри-
визной , зеркал и дифракцией на их краях.

Рассмотрим теперь зеркала той же формы, расположенные периоди-
чески и образующие открытый волновод. Мы опять вводим перемен-
ные В и С по формулам (51), ищем Ф в виде (53) и приходим к уравне-
нию (55) и формулам (56) и (61), причем величина М в последней фор-
муле определяется выражением (58). При распространении волны
определенного типа ток должен воспроизводиться на каждом зеркале
с точностью до множителя, зависящего лишь от номера зеркала. Это
дает нам условие

й^(5, l)e-’’’«’ = e-'xJF(?, —1)е*©,	(75)

где х — комплексный параметр, определяющий дифракционный набег
фазы и дифракционные потери при прохождении волны от одного зер-
кала к соседнему. Дополнительная фаза <р(«) теперь равна

<р (?) = kh(x-*-D) sin &,	(76)

где A(x-f-D) есть прогиб зеркала, расположенного при —D — а<"х<
<— D-t-a.

Для функции

/(Е) =	1Г(е, 1) е-‘г © = -g- е-’Х w (5, —1) е*©	(77)

мы получаем интегральное уравнение (71), что и доказывает математи-
ческую вквивалентность волноводных и резонаторных задач.
Заключение

Как известно, применению объемных резонаторов в диапазоне милли-
метровых и более коротких волн препятствует сгущение спектра соб-
ственных частот: число резонансов A7V, приходящихся на частотный
интервал с ростом частоты <a = cfc увеличивается по асимптотиче-
скому закону Релея—Джинса

ддГ= ‘С-Ш2ДО),	(78)

гме V—объем резонатора. Поэтому возбудить какое-нибудь одно коле-
бание с ростом частоты все труднее и труднее, так что резонансные
свойства объемного резонатора фиксированных размеров сходят на нет.

В волноводе с площадью поперечного сечения /> в каждом частот-
ном интервале Ди> появляется

с

(79)

новых распространяющихся волн, так что полное число волн, распро-
страняющихся при частоте ш, растет по асимптотическому закону

с

ЛГ=-^(А	(80)

2r.cz	' ’

Электромагнитная энергия, введенная в волновод на частоте ю, как
правило распределяется между этими ./V волнами, что крайне затруд-
няет ее дальнейшее использование.

Колебания открытых резонаторов, рассмотренные выше, определяются,
как и колебания закрытых резонаторов, тремя индексами (колебания
и см* §§ 2 и 3). Волны в открытых волноводах определяются,
как и волны в закрытых волноводах, двумя индексами (волны Е^
и Е£>, см. § 4). Однако конкуренция между различными колебаниями
и волнами у открытых систем в значительной степени устранена, так
как радиационное затухание быстро увеличивается с ростом индексов т
и п (для прямоугольных зеркал пропорционально тг и п2, см. §§ 2 и 4).
Вместе с тем основное колебание и основная волна (т = п = 1 для
прямоугольных зеркал) могут иметь достаточно малые потери на излу-
чение, причем применением вогнутых зеркал эти потери можно еще
уменьшить.

Полученные выше простые результаты, относящиеся к открытым ре-
зонаторам и открытым волноводам частного вида, позволяют разобраться
в интересных свойствах таких систем.

Литература

[1] Л. А. Вайи штейн. ЖЭТФ, 44, № 3, 1050, 1963. - [2] М. А. Леонто-
в в ч. Изв. АН СССР, сер. физ., 8, № 1, 16—22, 1944.—[3] М. А. Леонтович,
В. А. Фок. ЖЭТФ, 76, № 7, 557— 573, 1946; Сб. „Исследования по распростране-
нию радиоволн**, под редак. Б. А. Введенского, стр. 13—39, Изд. АН СССР, 1958.—
[4] Г. Д. Ма дюжине 5. УФН, 69, № 2, 321—334, 1959. — [5] A. G. Fox, Т. Li.
Bell System Techn. J., 40, № 2, 453—488, 1961. — [6] Б. 3. Кацевеленбаум.
Радиотехника в електроника, 8, № 9, 1516, 1963. — [7] Н. Г. Бондаренко,
В. И. Таланов. О лучевых волноводах зеркального типа. Доклад на II симпозиуме
по дифракции волн, г. Горький, июнь 1952.—[8] Э. Гур с а. Курс математического
анализа, т. III, ч. 1, § 545, ГТТИ, М.-Л., 1934.

Институт физвческнх проблем АН СССР
Москва

Поступило в Редакцию
4 января 1963 г.
ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКИХ ВОЛН НА ЩЕЛИ И ЛЕНТЕ

ЛГ. Д. X аскинд , Л. А. Вайнштейн*

Дано асимптотическое решение классической задачи о дифракции
плоской волны на бесконечной щели в идеально проводящей плоскости
(электрическое поле параллельно щели) или на бесконечной идеально
проводящей ленте (магнитное поле параллельно ленте). Выражение,
полученное для дифракционного поля в дальней эоне, удовлетворяет
принципу взаимности, граничным условиям в плоскости щели или лен-
ты и применимо для любых направлений облучения и наблюдения.
В этом выражении фигурирует одна специальная функция, которую
можно аппроксимировать интегралами Френеля. Относительная погреш-
ность полученного выражения составляет X / 8лЧ (X — длина волны, I —
полуширина щели или ленты). Показана неправильность работы [7].
Рассмотрены собственные колебания щели и ленты.

ВВЕДЕНИЕ

Классической задаче о дифракции плоской волны на бесконечной ленте
и щели в бесконечной плоскости посвящено чрезвычайно большое число
статей. Строгое решение этой задачи в виде ряда по функциям Матье при
достаточно коротких волнах оказывается непригодным и должно быть за-
менено асимптотическим решением. Однако до сих пор отсутствует такое
асимптотическое выражение для поля в дальней зоне, которое удовлетво-
ряло бы принципу взаимности и граничным условиям (см. § 1) и вместе с
тем было бы пригодно для любых направлений. Например, в работах [1]
и [2] получены асимптотические формулы, которые неприменимы, если
направление облучения или направление к точке наблюдения составляет
малый угол с плоскостью щели или ленты; с другой стороны, формулы
статьи [3] и многих других не удовлетворяют принципу взаимности.
В очень интересных работах Гринберга [4—6] явные выражения даны
лишь для токов, наводимых падающей волной на экранах, а поле излуче-
ния определяется численными квадратурами.

Это положение заставляет заново рассмотреть задачу о дифракции на
щели и ленте с тем, чтобы в рамках математической теории дифракции по-
лучить искомое асимптотическое выражение. Ниже произведено такое
рассмотрение, причем попутно выяснена неправильность решения, дан-
ного Штекелем [7].

Заметим, что Уфимцев [8, 9] на основе интуитивных физических сооб-
ражений построил приближенные формулы для поля, рассеянного лентой.
Эти формулы не имеют недостатков, указанных выше, и вместе с тем хоро-

* М. Д. Хаскннд начал эту работу в 1962 г. н доложил первые ее результаты
на 2-м симпозиуме по дифракции волн (г. Горький, июнь 1962 г.). Мы неоднократно
обсуждали вопросы, возникавшие в связи с этой работой. После смерти М. Д. Хас-
кинда она осталась незавершенной. Мне пришлось эту работу закончить и написать
окончательный текст (Л. Вайнштейн).
шо согласуются с результатами, полученными при помощи строгого pemej
ния, когда длина волны всего в полтора-два раза меньше ширины щели;
Асимптотическое выражение, к которому мы приходим ниже, имеет ту же
структуру, что и формула Уфимцева, и уточняет последнюю.

1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Пусть на щели — I < х < I в плоскости z = О дифрагирует монохро-
матическая плоская волна

= gifc(»x<i+z П—aoJ),

(1)

направление распространения которой образует острый угол (л / 2) — &о
с осью z (при этом cto = cos Фо, /1 — <хо2 = sin Фо > 0). Зависимость от
времени взята в виде e~iu>t, к = ш / с — волновое число в свободном про-
странстве. Мы ищем решение V = V(x, z) волнового уравнения

d2V

Из?

d2V
dz2

+ k2V = 0,

(2).

удовлетворяющее граничному условию

V = 0 при z = 0, | х | > I	(3)

на обеих полуплоскостях, между которыми — щель ширины 21. Как обыч-
но, на щели должны выполняться условия непрерывности

dV	dV

V (х, -j- 0) = V (xt — 0), — (х, -|- 0) = -r- (x, — 0) при I x I <C I. (4)
dz	dz	11

Запишем V в виде
j eg	,

V = P° q—— ( Ф (do. a) e»K*-De+1Z|	-° —

2ni J	'	fl —a2

—an	»



a)e<fc[(*+0“+|z! *«-»*!..—.....-

fl - a2 ’

(5)

где Ф — неизвестная функция. Тогда уравнение (2) и первое условие (4)
будут удовлетворяться автоматически. Выбор функции Ф(—<хо, —а) во
втором интеграле (5) объясняется тем, что при замене ао на —а® полу-
плоскости х > I и х < — I меняются ролями, а также вторым условием
(4), которое приводит к соотношению

$ Ф(ао, a)eiA<3t~i>Ida+ $ Ф(— ао, — а) da = 0 при |г| <1 (6}’
—оо	*-во

Это соотношение удовлетворяется, коль скоро функция Ф (ао, а) голоморф-
на в нижней полуплоскости Im а 0 и стремится в ней к нулю при
|а|->оо. В работах [1] и [2] для функции Ф выведено интегральное
уравнение

Ф(ао, а) = Фо(ао, а) 4

VI ___а г	е2<ил'

—------- X -г=------------Ф(-ао, -a')da', (7)

2ni Д fl — а' (а' — а)

х = kl

(8)
есть основной параметр задачи, от которого зависит как функция Ф, так
и ряд других функции, вводимых ниже, но эту зависимость мы часто лишь
подразумеваем, не отмечая ее явно. Через Фо обозначена функция

Фо ао, а) = - Ц------------(9)

(а — ао)

которая дает решение соответствующей задачи для изолированной полу-
плоскости z = 0, х > I. В формулах (7) и (9) применены обозначения,
введенные в статье (1] (см. также [2] и [7]), а именно

а = а — ie, а = а + ie,	(10)

где е — малое положительное число, которое в окончательных формулах
заменяется нулем; эти обозначения уточняют смысл интегралов, входящих
в уравнение (7) и в другие формулы, встречающиеся дальше. Выражения
yi — a2, yi ± а и т. д. принимаются равными единице при а = 0; разрез,
начинающийся в точке ветвления а = 1, мы всегда проводим в верхней
полуплоскости (!->- ioo), а разрез, начинающийся при а = —1,— в ниж-
ней полуплоскости (—1 ->---ioo).

В силу уравнения (7) функция Ф(о0, о) голоморфна при Im а 0 и
исчезает при |а|-»~оо, так что соотношение (6) автоматически следует из
уравнения (7). Последнее, как показано в [il] и [2], вытекает из гранич-
ного условия (3), которое можно записать в виде

1г	da

eiftxao_|-\ ф(ц0>

2ni J	У1 — a2

—ОО	r

+ —J— ? Ф (— do, — d) eih<l+z>a ..^.Q. =0.	(11)

2ni J	У1 — d2

Наоборот, из уравнения (7) следует условие (И). Действительно, подста-
вим при х > I в первый интеграл (11) правую часть (7); тогда после
несложных вычислений получается тождество. При х < — I следует вос-
пользоваться модификацией уравнения (7), в которой левая часть равна
Ф(—по, —а), а под интегралом стоит Ф(оо, а'), и преобразовать второй
интеграл (11).

Дифракционное поле выражается через функцию

ф(по, а) = Ф(ао, а)е-!ха + Ф(—do, — а)е«а,	(12)

так как формулу (5) можно переписать в виде

. СО	-

1 (	___ da

V = V°-\------J ф(ао, a)	—........	(13)

2ni m	У1 — a2

В полупространстве z 0 на достаточно больших расстояниях от щели
поле сводится к цилиндрической волне

е<№г-(Зя/4)1

V = ф(ао, о)...:.-..—,	(14)

У2лАг

х = г cos О; z = г sin О; а = cos Ф.	(15)
В формуле (14) а есть косинус угла О между осью х и направлением
к точке наблюдения, а ао — косинус угла Оо между осью х и направлением
распространения падающей волны (1). Согласно принципу взаимности
поле не изменяется, если поменять местами источник и точку наблюде-
ния, поэтому функция ф должна удовлетворять условию

ф(ао, g) = ф(—G, —Go) -	(1^)

Цилиндрическая волна (14) должна удовлетворять граничному усло-
вию (3), откуда для функции ф следуют граничные условия

Ф(ао, ±1)=0,	(17)

Ф(±1, а) = 0.	(18)

Сформулированная выше задача соответствует плоской электромагнит-
ной волне, поляризованной вдоль щели в идеально проводящей плоскости
(V = £у). В силу принципа двойственности (см., например, [10]) те же
формулы получаются при дифракции плоской волны, поляризованной
в плоскости xz(V = Ну), на идеально проводящей ленте —I < х < I,
2 = 0. При этом формула (14) определяет поле, рассеянное лентой, а усло-
вие (17) выражает тот факт, что токи на ленте, направленные на оси х,
вдоль оси х не излучают. Условие (18) имеет еще более простой смысл:
волна, распространяющаяся по оси х и имеющая единственную составляю-
щую Е2 электрического поля, проходит мимо ленты без образования рас-
сеянного поля.

Ниже мы решаем интегральное уравнение (7) с учетом условий (16),
(17) и (18). Эти важные условия не были учтены надлежащим образом
в большинстве работ, посвященных данной задаче, в том числе в работах
[1, 2, 7], откуда мы заимствовали большинство обозначений и интеграль-
ное уравнение (7).

2.	МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Интегральное уравнение (7) можно кратко записать в виде

Ф = Ф0 + ОФ.	(7а)

Решая его методом последовательных приближений, получаем ряд

<ю

Ф(а0,а) = 2Фп(а0,а),	(19)

П=0
в котором

фп = О"ф0 (п = 1,2,...).	(20)

Для выяснения закона, по которому образуются последовательные при-
ближения Фп, положим

Ф (а0, а) = ЧЦао, a)fl ± ао fl — а е’ха°,

Фо(ао, а) = Ч^Дчхо, a)fl + а® У1 — а е’х<Хо,	(21)

^(а®, а) = — 1/(а —а®).

Тогда для новой функции V получаем интегральное уравнение

Чг (а®, а) = Т®(а®, а) -|—J -  —Т1 (— ао, — a') da', (22)

—ао
где

fc(a) = f(l - a) / (1 + aje-2’*®;	Л(а)Л(-а) = 1.	(23)

Запишем интегральное уравнение (22) в виде

и обозначим	Т =То +Л(ао)^	(22а)  ^ = 5"% (п = 1,2,...).	(24)
Тогда  Фп(а0) а)	= ЧМа0, а)У1 + аоУ1 — ае’*®5 при п = 0, 2,4,.. .tl 	. ... (25)

Фп(оо, a) = ^Fn(ao, a) fl — oofl — ае~’*а’ при п = 1, 3, 5,.. J
поскольку для уравнения (22а) ряд последовательных приближений
имеет вид

¥ = 1Fn + /i(ao) 2	Y"-

n=0, 2, 4,...	n=l, 3, 5,...

В силу соотношений

(1/я) J h (- а') da' = £l(t) = HQW (24) +	(24),

4 e2ix(a/-a) 2

___________2. = J e2ii(a'-a) dt,
2i a' — a
л co

где Яо(1) и Я1(1) — функции Ханкеля, получаем

4*1 (ао, а) =	J J Щи + v — х) e~2it(ua<+™)dudv

СО

или

Т1(ао, а) = [7(х, а) — 1(к, а0)] / (а —ао),
где

I(к, а) = е2,ха J Я(4)е-2,(а dt.

(26)

(27)

(28)

(28а)

(29)

Интегрируя по частям, можно представить функцию 7(х, а) в виде
7(х, а) = Л(—а)Г(х, а) + д(х),	(30)

где

g(x) = (1/24)Я0Ф(2х);	(31)

Г(х, а) = fl - a2 J H0W(2t) e~2«« dt.

ОО

(32)

Функция Г(х, а) обладает важным свойством: ее граничные значения

Г(х, 1)=-1, Г(х, —1) = 0

(33)

не зависят от параметра х. Первое значение можно получить из другого
интегрального представления
Г (х, а) =

‘1 ct

t' =----------« + 2х(1 —а), (34)

1 + а

а второе следует из формулы (32). В дальнейшем мы считаем Г(х, а)
величиной порядка единицы, в то время как величина (31) при условии
х>1 является естественным малым параметром нашей задачи, квадра-
том которого мы при получении окончательного асимптотического выра-
жения будем пренебрегать (см. § 4).

Подставляя выражение (28) в оператор О, легко вычислить Тг, а за-
тем Ч'з, V4 и т. д., а также установить общий закон. Мы имеем

rPn(ao, а) = 2ie~2,Х“«-а) \ \ Лп(и, v) e2i<‘uav~va^dudv при п = 0,2,4,..., '

¥п (ао, а) = 2ie2ix(“«+a> j Rn (u, v) e~2i(ua*+va)dudv при п = 1,3,5,...,
”	(35)

причем для функций Vo и Vi надо положить

/?о(и, и) = б(и — и), Ri(u, и} = Н(и + v — х),	(36)

а последующие функции Rn вычислять по рекуррентной формуле

Rn(u, v) = \ Rn-i(u, t)B(t v — n)dt.	(37)

CO

Функции Rn суть повторные ядра интегрального уравнения

X
f (u) = /о(и) “1“	— x)/(i’)do	(38)

CD

с симметричным ядром Н(и + v — х), а

Л(в,р) = 2:Яп(в,»)	.(39)

П=1
— его резольвента. В силу симметрии повторных ядер

Rn{u, v) = Rn(v, и)	(40)

функции (35) удовлетворяют соотношениям

Vn(a0, а) = Vn(—а, — ао) при п = 0, 2, 4,..., \

Vn(ao, а) = Yn(a, ао) при п = 1, 3, 5,...,	>

поэтому функция

фп(ао, а) = Фп(ао, а) е~tx® -J- Фп(—ао, —а)в”*а	(42)

удовлетворяет условию (16).

3.	СВОЙСТВА последовательных приближений

Выясним теперь, благодаря какому свойству функций Фп ряд

<30

Ф (ао, а) = 2 Фп (ао, а)	(43)

п=0
удовлетворяет граничному условию (17), а ряд (19) — условию

Ф(<Хо, 1) = —Ф(—а0, -1)е2-	(44)

ири произвольном а0. При помощи формул (37) и (29) нетрудно преобра-
аовать выражения (35) к виду

Ч'п(ао, а) = 2ie~zixa<> $ J /?n-i(u, *)e2*““»7(t, u)dudt при n = 2, 4,.. .,
ОО

Чтп(ао, а) = 2ie2ixa<,j j Rn_i(u,	a)dudt ири n = 1, 3,.. •,

GO

(45)

Пользуясь затем предельным соотношением

lim y.l — a l(t, a) = — f2 eZii,	(46)

а-И

вытекающим из формул (30) и (33), мы приходим к важному соотно-
шению, обеспечивающему выполнение условия (44):

Фп(<хо, 1) = —Фп-1(—cto, —l)e2fx	(и = 1, 2, 3, ...).	(47)

Ряд последовательных приближений (19) сходится (см. ниже) пример-
но как геометрическая прогрессия 2gn, где q определяется формулой (31).
Однако было бы ошибочным строить n-е приближение по формуле

Ф^я) = Фо 4* Ф1 4“ ... 4- Ф„,	(48)

так как вместо условия (44) оно будет удовлетворять условию

Ф(п)(ао, 1) = — ф(п-,)(—ар, — 1)е21х,	(49)

что недопустимо. Соотношение (47) подсказывает, что формулу (48) надо
модифицировать, положив

ф<*) = ф0 + ф4 + ... + фп + фп+1_ п,	(50)

причем Фп+1 и Tn+t надо предварительно разбить на слагаемые

Фп+1 = Фп+1, П 4“ Фп+1, п+1,, Ч’п-И = 'P’n-M. п 4- Ч<п+1, п+1,	(51)

удовлетворяющие соотношениям

Фп+1, п(оо, 1) = —Фп(—во, —1)е21х, Фп+1, п+1 (do, 1) = 0.	f52)

Если к тому же функции Tn+i, п и Vn+i, n+i обладают теми же свойствами
симметрии (41), что и сама функция Tn+i, то функция

Ф(п)(н0, d) =®(n>(do, а)е-’*“4-Ф<п)(—d0, -d)eix“ (53)

будет точно удовлетворять условиям (16) — (18).

В статье [7], претендующей на построение решения в замкнутой фор-
ме, утверждается, что

Фз(п0, о) =дф2(—ao, a),	(54)

где q зависит только от я, но не от <хо и а. Если соотношение (54) пра-
вильно, то при п 3 все Фп можно выразить через Ф2(по, а) и Ф2(—do, я)
и просуммировать ряд (19), сводящийся к геометрической прогрессии.
Однако соотношение (54) неправильно, потому что оно противоречит соот-
ношению (47). Неправильность соотношения (54) легко проверить непо-
средственно, вычисляя

Q = Фз(а0, а)/Ф2( — ао,а) = ^(ао, а)/Чг2(— ао, а) =

Ци, cto)Z(u, a)du



X

Н(и + V— х)7(и, а0)/(у, а
со

(55)

при различных а0 и а. Полагая ао = а — 1 и пользуясь соотноше-
нием (46), получим

X

q = 2e~2iH J e2it dt = 2x [Яо^)(2х) —	(2x)],

(56)

причем вывод последнего тождества дан в работе [3]. При Оо — а = оо
в статье [7] получено для q выражение, отличающееся от (56) дополни-
тельными членами. Вследствие сделанной ошибки окончательное выраже-
ние (7) статьи [7] не удовлетворяет условию (44). Надо сказать, что
статья [7] все же сыграла положительную роль, так как стимулировала
изучение закона, по которому образуются последовательные приближения.

4.	ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Чтобы вычислить первое приближение Ф(1), надо знать Ф1 и Ф2. Ока-
зывается, что функции Фо, Ф1 и Ф2 можно представить в виде

Фп(а0, а) =ф0(а0, a)Zn+(ao, а) + Фо(ао, a)Zn-(a0, a)e2iKa, (57)
где функция

Фо(а0, а) = [fl — а0У1 + а / (а — а0)]е-’ха<1	(58)

при е = 0 совпадает с Фо(—ао,—а), а функции Zn* определяются фор-
мулами

Zo+ = 1,	Zo- =	0,	.

Zt+ = Г(х,	ao),	Zr =	Г(х,	а),	I	(59)

Z2+ = ф(х,	—ао)	+ (х, а) + g2(x),	Z2_ =	Г(х,	—ао)Г(х,	а);|

функция

X	t

1|)(х, а) = J Яо(1)(2ОеШ®л $ ^i(‘)(2s)e-2^«(ds/2s)	(60)

СО	ОО

по порядку величины не превышает q2.

Выражения (59) для Zi± выводятся сразу же из формул (25), (28)
и (30). Для вычисления Z2± преобразуем формулу

T2(ao, a) = 2i I(t, — a0)I(t, a)dt,	(61)

оо

пользуясь дифференциальным уравнением

dl(t, a) /dt = H(t) 2ia7(i, a),	(62)
к виду

4*2 (ао, а) = [1/(а — ао)] |/(х, —ао)7(х, а)
м	1

-$ H(t) [/(«,- ао) +/(^,а)] dt f.	(63)

ОО

Введем функцию

Х(х, а) =Л Г(t, а) —~^dt,	(64)

at
сю

удовлетворяющую соотношениям

Х(х, а) + х(х, —а) = Г(х, а)Г(х, —а),	х(х, ±1) = 0.	(65)

В силу формулы (32)
х	t

Х(х, а) = (1 - а2) $ HaV(2t)ezii*dt J H0m(2s)e~^ds.	(66)

ас	ао

Интегрируя по частям, получаем тождество

Х(х, а) = ф(х, а) + (1/2) [д2(х) + ад2(х)],	(67)

где

X

§*(х) = (1/i) J [H0W(2tffdt.	(68)

ОО

При х>>1 величины д и q близки, для них справедлива одна и та же
асимптотическая формула

q (х) = е<[2,нзя/4)] / 2fjtx.	(69)

Подставляя вместо l{tt а) выражение (30), получаем формулу

•J a)dt = дЛ(—а)Г(х, а) + (1/2) (д2- ад2) +х(х, а), (70)
00

позволяющую преобразовать Фг к виду (57), причем получаются та-
кими, как в формуле (59). Полагая

ф2 t =: ФоИ2—е21кв,	Фг, г = ФоИг+,	(71)

мы получаем по формуле (50) первое приближение Ф(1). Функция (53)
при п = 1 и в = 0 равна

(^(ао, а) =Фо(ао, а)ТФ(ао, а)е_’*® +

-}-Фо(—ао, —а)Т0)(—ао, —a)e,,te,	(72)

где

^(ао, а) = 1 +Zi+(ao, a) 4*Zc(—ао, —а)	ао, —а) (73)

или

ТМ(ао, а) = [1 + Г(х, ао)][1 + Г(х, —а)].	(74)

Формулы (72) и (74) дают искомое асимптотическое решение нашей
задачи. Формула Уфимцева [8, 9] отличается от нашего решения только
тем, что в ней вместо функции Г(х, а) фигурирует функция

Г (х, а) = У2(1-а)/л е~™ J	(dt/^t),	(75)

СО

выражающаяся через интегралы Френеля. Впрочем, функцию Г(х, а)
в формуле (74) можно с полным основанием аппроксимировать функцией

Г«(х, а) = У(1- а2)/л е~^ [1 - (i/Ш)] e2ii^(dt/yi), (76)

СО

которая также выражается через интегралы Френеля. Функции (75) и
(76) при а^1 ведут себя одинаково. Можно полагать, что наша форму-
ла (74) с функцией (32) или (76) будет давать более точные результаты,
чем формула Уфимцева, в которой функция (75) подобрана «на глазок».
В обеих формулах учтены первичная, вторичная и частично третичная
дифракции (ср. [8], стр. 578 или [9], стр. 150).

Были рассмотрены также следующие члены разложения (19). Грубая
оценка показывает, что Из а Л. ~ так что Ф4 ~ q2, а Ф5,
Фе, ... еще меньше. Согласно этой оценке Фз ~ однако соотноше-
ния (47) при п = 3 и п = 4 показывают, что Фз(сю, 1) и Фз(—do, —1)
порядка q2. Подробные выкладки, которые мы опускаем, показывают, что
Фз q2 при всех а; эта оценка свидетельствует еще раз о неправильности
формулы (54).

Весьма вероятно, что все Фп можно представить в виде (57), причем
функции 2П± конечны при всех do и а. Можно также предположить, что
при нечетных п функции Z^lt Zn+, Zn~ и Zn+i одного порядка,
a Z’n-pi ~ §22гГ+1, и обобщить формулы (71) и (73). Эти свойства приве-
дут к тому, что будут существовать лишь нечетные приближения
(ф(1), ф<з)( >фв)( а четных (Ф(0>, Ф®, ...) не будет. Однако вывести эти
свойства в общем виде не удалось.

5.	ЗНАМЕНАТЕЛЬ ФРЕДГОЛЬМА

Разложение (19) можно заменить другим разложением, сходящимся
более быстро. Для этого воспользуемся формулами (21), (25), (35), (36)
и (37) и положим

= Rn + Rn+2 + Rn+i + . . . ,	= Tn + Tn+2 + Tn+4 + • • • • (77)

Тогда

T = To4-T^ +A(ao)(Ti +W),	(78)

где
X	\

YI21(ao, a) = 2ie~2ix(e«~a’ J J ft[21(u, v)e2i(uar~va:)dudv; I

7	I	(79)

TM(ao, a) = Zie2^^^ J R^(u, vjer^^^^dudv. I

«	J

Так как

X

ДО](Ц, p) — J Rm(u, t)H(t + v — x)di,	(80)

то нужно знать только функцию № — резольвенту интегрального урав-
нения с симметричным (но комплексным) ядром Rz(u, у). Она удовлет-
воряет уравнению

х

/»

ЯИ(и, v) = R2(u, у) + j Яи(и, t)R2(t, v)dt	(81)

ОО

и согласно первой теореме Фредгольма (см., например, [11] или [12])
может быть представлена в виде

V) = D(u, v) ID,

(82)

где

D(u, v)

г I R2(u, v)R2(u, s)
£ I ft2(s, v)R2(s, s)

ds +.

X	X

$/?г(«, s)d«+ (1/2) J J

Rz(s, s) R2(s, 0 1
_	.	_ asat —.

Rz(ty s} 0 I

483)

причем знаменатель Фредгольма D учитывает резонансные свойства
системы.

Быстроту сходимости рядом (83) можно иллюстрировать на примере
вырожденного ядра

Я2(Ц, v) = (1/40Я(и)Я(и),	(84)

для которого ряды обрываются:

D(u, v) =R2(u, v),	j

D = l-g2;	g2(x) = (l/4i) J^(s)ds. |	(85)

CO	J

При | x |	1 аппроксимация (84) допустима в первом приближении

(хотя для фактического вычисления Фг и Фз она слишком груба), причем
<7 — 7. Собственные частоты данной системы, удовлетворяющие условию
|х|	1, находятся из уравнения

D = 0 или д(х) = ±1	(86)

и вычисляются по приближенной формуле

(	. 3 Л «	4 1/ п + (3/4) \

хп = ( п + — j — —— In ^2л у----------j,	(87)

где п — большое целое число. В силу условия

—Im хп > Rexn+i — Re хп = л / 2	(88)

резонансные кривые, соответствующие соседним собственным частотам,
перекрываются, так что при дифракции монохроматической волны резо-
нансные свойства данной системы не проявляются. Благодаря этому об-
стоятельству можно ограничиться первым приближением, рассмотрен-
ным в § 4.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получено асимптотическое решение задачи о дифракции плос-
кой волны на щели и ленте, а именно формулы (72) и (74), определяю-
щие дифракционное поле (14) в дальней зоне. Относительная погреш-
ность этого решения примерно равна | q |2 = % / 8л2£, где X = 2л / к — дли-
на волны. Развитый метод может быть применен к другим дифракцион-
ным задачам.
ЛИТЕРАТУРА

1.	К. Westpfahi, Ana. Physik, 1959, 4, 6-8, 283-351.

2.	Handbuch der Physik, XXV/1, Springer-Verlag, Berlin, 1961.

3.	H. Levine, J. Appl. Phys., 1959, 30, 11, 1673.

4.	Г.	А.	Г p и н б e p г,	ЖТФ, 1957, 27, 11, 2595.

5.	Г.	А.	Г p и н б e p г,	ЖТФ, 1958, 28, 3, 542.

6.	Г.	А.	Г p и и б e p г,	Докл. АН СССР, 1959, 129,	2,	295.

7.	H.	S	16 c k e 1, Ann.	(Physik, 1962, 9, 5—6, 242—251.

8.	П. Я. Уфимцев, ЖТФ, 1958, 28, 3, 569.

9.	П. Я. Уфимцев, Метод краевых волн в физической теории дифракции, Изд.
Советское радио, 1962 (§ 21, 23).

10.	Л. А. Вайнштейн, Электромагнитные волны, Изд. Советское радио, 1957
(I 92).

11.	В. И. Смирнов, Курс высшей математики, IV, ГИТТЛ, 1953 (стр. 26—40).

12.	Э. Гурса, Курс математического анализа, III, ч. 2, ГТТИ, 1934 (гл. XXXI).

Одесский электротехнический институт связи
Институт физических проблем АН СССР

Поступила в редакцию

22 V 1964
ВОЗБУЖДЕНИЕ ОТКРЫТЫХ РЕЗОНАТОРОВ

Л. А. Вайнштейн

С помощью собственных функций непрерывного спектра решена задача о возбу-
ждении открытого резонатора заданными источниками, а также найдено решение за-
дачи Коши. Исследованы условия, прн которых в этих решениях можно выделить
резонансную часть, содержащую собственные функции свободных колебаний, обла-
дающих малым радиационным затуханием, и даны явные выражения для резонансной
части. Предполагается, что открытый резонатор образован идеально отражающими
зеркалами произвольной формы, расположенными в однородном пространстве, и что
поле характеризуется скалярной функцией, удовлетворяющей волновому уравнению.

Введение

За последние годы в теории свободных (собственных) колебаний
открытых резонаторов получен ряд важных результатов, а именно с по-
мощью приближенных (асимптотических) методов дан расчет основных
свойств свободных колебаний с малыми потерями на излучение. Есте-
ственно, возникает вопрос: как рассчитать вынужденные колебания таких
резонаторов? Этот вопрос рассмотрен в данной работе, причем мы огра-
ничиваемся открытыми резонаторами, которые образованы идеально от-
ражающими зеркалами, расположенными в свободном пространстве,
и вместо уравнений Максвелла решаем скалярное волновое уравнение.

Согласно нашим работам [1—3], электромагнитное поле свободных ко-
лебаний во многих резонаторах можно выразить приближенно через одну
скалярную функцию, удовлетворяющую волновому уравнению, поэтому
такая упрощенная постановка задачи на первом этапе вполне есте-
ственна.

§ 1. Собственные функции затухающих колебаний

Обозначим через частоту одного из собственных колебаний откры-
того резонатора, через Ф, — соответствующую собственную функцию,
которая удовлетворяет волновому уравнению

ДФ,-*-&*Ф,=О,	(1)

граничному условию

Фв = 0	(2)

на поверхности зеркал и условию излучения

ф. = g* ($, <р)	(3)

на бесконечности (при /?-» оо). Здесь /?,&, <р — сферические координаты,
начало которых расположено внутри резонатора (рис. 1), временная за-
висимость взята в виде	= есть волновое число собствен-

ного колебания; с — скорость волн в свободном пространстве. Фор-
мула (3) представляет сферическую волну, расходящуюся от резонатора
при его свободном колебании; с этой волной связаны потери на излуче-
ние, вследствие них частоты будут комплексными

где

— I ш «I е ‘7s> k, = \ka\e ‘т‘,

О

(4)

(5)

Поэтому функции Ф, экспоненциально возрастают при 7?-^оо.

Те же результаты получаются, если условие (2) заменить условием

дп

(6)

Рис. 1.

или другим условием, соответствующим
идеальному отражению [ср. ниже фор-
мулу (75)]. В общей теории удобно ну-
меровать колебания с помощью одного
индекса s; в конкретных задачах
обычно применяются три индекса (ср.
§ б).

Отметим, что наряду с собственной
функцией Ф„ и частотой о, всегда име-
ется комплексно сопряженная функция
Ф* и частота —ш* (ср. ниже рис. 4).
Это связано с тем, что физический
смысл имеет лишь вещественная функ-
ция

Re (Ф,е—°*/)	|	' ) =

= Re	.	(7)

При рассмотрении вынужденных колебаний естественно воспользо-
ваться разложениями вида

Ф = 2С,Ф„	(8)

8

тем более, что с помощью некоторых ухищрений (ср. [в] и ['], а также
§§ 3 и 7 ниже) функции Ф, можно нормировать и доказать их ортого-
нальность. Однако применимость разложения (8) математически обосно-
вать нельзя, а формальное обращение с ним приводит к неправильным
результатам и ряду парадоксов. В § 2 мы введем собственные функции,
содержащие сходящиеся и расходящиеся волны и приводящие к более
надежным разложениям.

§ 2. Собственные функции непрерывного спектра

Рассмотрим решения волнового уравнения

ДФ-+-х2Ф = 0

при 0<х<оо, удовлетворяющие граничному условию

(9)

(Ю)

или

(Ю а)

зо’



О

Ф = 0

дФ . п
дп ~
на зеркалах, и имеющие при /?-> оо следующий вид

е—е”

ф = Х° ('% <р) —£-1 / (», <р)

(И)

Первое слагаемое в формуле (11) дает сходящуюся, второе — расхо-
дящуюся сферическую волну. Расходящаяся волна получается из схо-
дящейся в результате рассеяния на зеркалах, образующих открытый
резонатор. Заданные на единичной сфере функции /° и X связаны соот-
ношением

Х = ^Х°-	(12)

где «S'—линейный интегральный оператор, который можно назвать опе-
ратором рассеяния. Если применить теорему Грина [см. формулу (16)
ниже] к функциям Фо и Фр, удовлетворяющим соотношениям (9)—(11)
при одном и том же х, то для любой пары функций и Хр получим
соотношение

J х№^2 = | ZjW	(12 а)

Применяя ту же теорему к функциям Фа и Фр (Фр комплексно сопря-
жена с Фр), получим также

f‘S'X^‘x-J2 = fx^-£/a.	(12 6)

Поэтому *S~1=iS'*, где ж!»-1— оператор, обратный a S* — опера-
тор, комплексно сопряженный 6"

K° = S-\, x* = S*X°*.	(12 В)

Обозначим через gx — gx(&, <р) собственные функции, а через 1\ —
собственные значения унитарного оператора «S-1, так что

=	(|1\1 = 1).	(13)

Индекс т, нумерующий собственные функции, в конкретных задачах
заменяется двумя индексами (ср. § 6).

Если форма, размеры и положение зеркал фиксированы, то опера-
тор 5 зависит только от к. Собственные значения и собственные функ-
ции также будут зависеть от х, и мы их будем обозначать через Гт(х)
и gXiж = gXi , (&, <р). Соотношение (13) можно переписать в более подроб-
ном виде

^,, = 1\(х)^ж.	(13 а)

Определим
как функции,

теперь собственные функции непрерывного спектра Фж> ж
удовлетворяющие уравнению (9) при 0<х<со, гранич-

ному условию (10) или (10 а) и имеющие при /?-»оо следующий вид

—.жй

Ф,. ж = <Ж (», ?) ^gx. , (*, ?) V ’	<14)

где

^°,ж(М)=г (х)^ж(&, т).

(15)
Для того чтобы доказать ортогональность функций Фхж, восполь-
зуемся теоремой Грина

г	/ дФ i	дФ \

J (фт,	- Ф<, .,ДФХ, х) dV = f (фт.,	ds,

rR	SR

(16)

где — объем, ограниченный сферой Sa достаточно большого ра-
диуса R и поверхностью зеркал. Пользуясь формулами (14) и (15), мы
получаем

fфт, A'.^v= {COS^Z^R Г1 (х)л'
’'я

ч-Z О') Г’' (*')] -ь C°,S(7-Z-v))/?	(*') -г.(*)]

+

sin (х — %') R

[rv (x')-^rt(z)]}J^^.^2,

(17)

X — X

где t7S = -^2- = sin&<Ah/<p, а интегрирование производится по всей еди-
ничной сфере (0<^&<^л, 0 tp 2^). Полагая в формуле (17) х = х' и
учитывая, что левая часть конечна при конечных /?, мы приходим
к соотношению

[rT-(x)-rt(x)]J^i^.^S = 0,

(18)

которое следует также из формулы (12 а) и из которого вытекает усло-
вие ортогональности для собственных функций gX: х

j ,54	— 8 при т =/= т'	(19)

или

*^2 = G, (х)	,	(20)

где &тг' — символ Кронекера (8,./ = 0 при т=/=т/, о„ = 1), а

Gt(x) = J<z^-	(21)

Условие (19) следует из соотношения (18) лишь при Гт(х)=/=Гхг (х),
т. е. при отсутствии вырождения. При вырождении, когда Гт(х) = Гх-(х)
при т<=^т', условие (19) удовлетворяется за счет надлежащего определе-
ния собственных функций ж. Действительно, если данное собственное
значение ГДх) вырождено и ему соответствует п различных собственных
функций (п^2), то, пользуясь произволом в их определении, всегда
можно эти п функций дополнительно ортогонализировать так, чтобы
условие (19) выполнялось и для них.

Перейдем теперь в формуле (17) к пределу /?-> со. Считая

.. sin (х — x'J R

Ит -------------

= 1t8 (х ------ Xх),

(22)
где 8 есть дельта-функция Дирака, и заменяя нулями остальные триго-
нометрические функции от R (при R —* со), мы получаем условие орто-
гональности для собственных функций ФТг х

Л f фт, Л'. D, (х)8хх,8 (х — х'),	(23)

где интеграл берется по объему Va, а

a(x) = lrT(x)GT(x).	(24)

Формула (22) имеет следующий смысл: для любой достаточно гладкой
функции /(х), достаточно быстро убывающей при х-> со, справедливо

тождество	lim [ У(х')	—*1— с/х' — к/( х),  К->оз J	XX  0	(25)
в то время как	со  lim (/(И	&=<>  J	X-i-X  0	(26)
К	lim Г / (*') cos (х х') R dvJ — 0. R -► со *	(27)

о

Заданную функцию р = р (х, у, z), убывающую при R -» со достаточно
быстро, теперь можно представить в виде

CD

р=5 Jwф*-»’	<28)

t о

где суммирование производится по всем возможным значениям т. Со"
гласно условию (23) мы имеем

§ 3.	Аналитическое продолжение

Интегралы вида

CD

= if Ст(*)Ф1,,Л.	С30)

О

возникающие при разложении по собственным функциям Ф,( ж согласно
формулам (28) и (29), можно преобразовать, деформируя контур интегри-
рования в плоскости комплексного переменного х и при етом продолжая
функции Фт>1 аналитически.

Определим сначала функции Фхж при —оо<х<0. Так как при
замене х на —х уравнение (9) не меняется и так как функции Фх>, опре-
делены условиями (14) и (15) с точностью до постоянного множителя, то

ф„_.= €А„.	(31)
где — постоянная, удовлетворяющая соотношению

Отсюда

Гт(—Х)

€? = 1, €т = ±1.

1

Гт (х)

GT(-x) = r’(x)GT(x)

Z>t(—%) = рх(х), <\(—*) = €а(х)>

поэтому интеграл (30) можно переписать в виде

(31а)

(32)

(33)

(34)

и

Продолжая функции Фт>, и ст (х) в нижнюю полуплоскость 1ш х 0,
мы придем к полюсам функции (с,(х), которые соответствуют корням
уравнения

ГДх) = 0.	(35)

Мы будем обозначать их через (индекс я есть номер корня),
а соответствующие функции ФТ1 iw— просто через Ф„; последние при
/? —> оо имеют вид

ф™ = ^(М)—=	(36)

так «что они совпадут с функциями Ф„ рассмотренными в § 1, а <оя =
= с&„—с комплексными частотами ш, затухающих колебаний.

При вычислении вычетов в полюсах х = /гто надо знать величину

<37>

Она играет роль нормы функции Фте = Ф,; действительно, положим
в формуле (17) т = т' и х = х', тогда мы получим соотношение

[_2«xR___ р2 г х — 2<xR

---------_£2-----------_ i __ 2гт (х) /г] gt (х),	(38)
применимое и при комплексных х. В частности, при n = kw = k, мы по-
лучаем

5 ф^1/= Ст-J	4"М,	(39)

VR

где ^ = 5™ и N, = N„. Таким образом,

Л/, = Иш -Мф^,
Л->оое*Т

(40)

где символ /?-> сое0 означает, что после достижения больших R, при
которых выполняется асимптотическая формула (36), дальнейшее изме-
нение R производится в комплексной плоскости (рис. 2) так, что

iime2^n = 0.

Я->сов*Т

(41)

Выражение (40) показывает, что величину N,, определенную форму-
лой (37), можно назвать нормой собственной функции Ф, (такое же опре-
деление дано в[7]).

§ 4.	Вынужденные колебания открытого резонатора

Рассмотрим колебания, которые возбуждаются источниками, распре-
деленными в пространстве с объемной плотностью р и колеблющимися
с вещественной частотой ш = ск. Эта задача сводится к определению
функции Ф = Ф(х, у, z), удовлетворяющей неоднородному волновому
уравнению

АФ -+- к2Ф = — 4яр,	(42)

граничному условию (11) или (11а) на зеркалах и условию излучения;
последнее можно сформулировать, налагая на функцию Ф предельное
условие

Нш/?Ф = 0 при ImZ:^>0	(43)

CD

и переходя к вещественному k лишь в окончательных формулах. Усло-
вие (43) означает, что в свободном пространстве есть малое поглощение;
при условии (43) поставленная задача становится единственной (ср. [®],
§ 10) и искомую функцию можно представить в виде

СО

о

(44)

Подставляя это разложение в уравнение (42) и учитывая формулы
(28) и (29), получим

С. (*)	J........... .	(45)

k '	к1 — 72	(к* — х2)	(х)	v '

Произведение с_(к)ФТ1 есть четная функция х, поэтому формулу (44)
можно переписать так
Определим теперь в комплексной плоскости х область А неравен-
ствами

< Re х < fcmai, —В < Im х < 0	(47)

и обозначим через Г контур, совпадающий при z<Armln и х>Л:тах с ве-
щественной осью и огибающий область Д снизу (рис. 3). Формула (46)
дает

Ф = 2С,Ф,-нФ,	(48)

А

где

т Г

к	к

"тш к	тих

Рие. 3.

а сумма содержит все затухающие колебания, волновые числа к, кото-
рых находятся в области Д. Коэффициенты С3 — комплексные амплитуды
этих колебаний — равны

Г рф»«/и
С'= 2k(k — k,)N„ 

Они имеют резонансный характер, принимая большие значения при
к^к,, Резонансные знаменатели 2к(к— ка) отличаются от знаменате-
лей k?— к*, получающихся в теории возбуждения „закрытых" объемных
резонаторов (см. [8], § 101). При кя&к, это отличие несущественно, од-
нако из-за него колебания, у которых Re kt < 0 (см. § 1), с большими
амплитудами не возбуждаются.

Область Д не обязательно должна быть строго прямоугольной; к^л
и Агша1 следует выбрать так, чтобы охватить интересующий нас диапазон
частот, а нижнюю границу области Д — так, чтобы волновые числа к,
для колебаний с перекрывающимися резонансными кривыми оставались
за пределами области Д. Тогда сумма в правой части (48) дает резонанс-
ную часть поля, а слагаемые Ф — нерезонансную часть, слабо зависящую
от частоты; это фон, на котором проявляются резонансные свойства от-
крытого резонатора и который, в частности, обусловлен волнами, непо-
средственно излучаемыми источником и не испытывающими многократ-
ных отражений с суммированием амплитуд.

Выделять резонансную часть поля не имеет смысла, если она мала
по сравнению с фоном и „забивается" им; так будет, если в точке на-
блюдения или в области, занятой источниками, поле затухающих колеба-
ний является слабым. Если точка наблюдения удаляется от резонатора,
то при достаточно больших R, согласно формуле (3), вклад s-ro колеба-
ния в полное поле определяется не резонансным знаменателем 2к(к — к„),
а экспонентной е*к«я, возрастающей при /?-* со тем быстрее, чем больше
затухание данного колебания. В этом случае поле также теряет свой
резонансный характер, и в выражении для Ф нецелесообразно выделять
резонансную часть — сумму вычетов.

Мы неявно предполагаем, что подынтегральные функции (46) в об
ласти Д никаких особенностей, кроме простых полюсов, не имеют. В при
мерах, рассмотренных ниже в § б, произведение с_(х)Ф. ж является меро-
морфной функцией х, и вто свойство по-видимому сохраняется при весьма
общих предположениях; в противном случае контур Г должен был бы
обходить разрезы, расположенные в области Д.

§ 5. Задача Коши

Задача Коши сводится к определению функции Ф = Ф(х, у, z, t),
удовлетворяющей нестационарному волновому уравнению

1 02Ф _п

с2	~U’

ДФ

(51)

граничному условию (10) или

ф — ф\ —
С

(10а) на зеркалах и начальным условиям

дФ ___

dt ~

при t = 0,

(52)

где Ф° и Ф1 — функции х, у, z, достаточно
(ниже мы предположим, что они равны
представить в виде

быстро убывающие при/?-* со

нулю при R > /?0).

Их можно

где

Ф°=2| <(х)Фт хл,
х о

Ф1—2 j СИ*)Фг, /*>
’ 0

(53)

Уф°фТ),<^

4nDt (%)

4л£)т (%)

(54)

Будем искать функцию Ф в виде

(55)

« о

тогда для функции С,(х, t) в силу (51) мы получаем уравнение

-^-+»W,=0,

(56)

откуда

СДх, 0=С+(*)е-4’й

(57)



Функции С±(х) определяются из начальных условий (52), которые
дают

с!

(58)

так что



— с]

(59)

Используя еще соотношения (31) и (31а), мы получаем для функции Ф
выражения



(60)
и

Ф=2 [ С”(*)ФТ же”г'Л,	(61)

Х —00

первое из которых позволяет выяснить поведение Ф при достаточно
больших положительных t. Для этого возьмем область Д в виде полосы

—оо < Re у. оо, —S <Чт х <С 0,	(62)

тогда выражение (60) можно преобразовать к виду

Ф — 2	Ф+,	(63)

д
где
со——iS

Ф+ = 2 J С? (х) <1\ e-^d*	(64)

* „со-,0

И
с.*=т^Иф"-Н,-ф,)ф^-	<«)

Ряд вычетов в формуле (63) содержит свободные колебания с часто-
тами и>в=^сА’Л; их комплексные амплитуды зависят от начальных усло-
вий. В ряде вычетов hn k, —В, a Ф4- — e~iei, поэтому при достаточно
больших положительных t функция Ф+ мала по сравнению с рядом.

Если функции Ф° и Ф1 отличны от нуля только в некоторой конеч-
ной области G, то в свободном пространстве без зеркал Ф=0 при
t , где R есть наибольшее расстояние точки наблюдения до точек
области С. Многократные отражения от зеркал приводят к тому, что Ф
медленно убывает, осциллируя; с этим связаны резонансы, рассмотрен-
ные в § 4. Физически ясно, что возбуждение свободных колебаний
в открытом резонаторе заканчивается при	и поле этих колеба-

ний доходит до точки наблюдения, находящейся на большом расстоянии R
от резонатора, при	. Поэтому представлять функцию Ф в виде (63)

,	Ra + R

целесообразно лишь при г J> —----.

Волновое уравнение (51) инвариантно относительно изменения знака t,
поэтому аналогичные отношения получаются при t < 0. Из выражения (61)
следует, что

Ф __ V С.'Ф.е’*»'' —I—Ф~,	(66)

д

где

ф-=2 J с: (х) ф. ^cidy.	(67)

*	— d>—

И
с.’=тяН(ф’-£	(68>

Таким образом, при f—>оо поле также убывает, осциллируя.

Выражения, аналогичные (63), выводятся в квантово-механической
теории распада нестабильных состояний (ср. [91 и [13]). Примененное выше
разложение по собственным функциям непрерывного спектра с последую-
щей деформацией пути интегрирования является естественным обобще-
нием метода, развитого в работе Крылова и Фока[0] (см. ниже § б).

§ б. Примеры

В однородном пространстве без зеркал оператор Л" превращает функ-
цию у° ($, <р) в функцию х($» ?)= —/’С1—	перемена знака

обусловлена (асимптотическим) скачком фазы в фокусе /? = 0 (ср. [*]).
Собственные функции непрерывного спектра удобно определить так



х----

(69)

где Ymn — шаровые функции

Yтп —— cos	(cos при /л —	|

Y'fftft —— SIH ((cOS$) При л/i —— ' 1	2| <>!	711 )

-а

jB(x)=l/^/ J (х),	(71)

"+Т

ттричем

j„(х) = cosfx— (n-i-l)-^-J прих—»*оо.	(72)

Таким образом, индекс т заменяется двумя индексами тип, вели-
чина в формуле (31) равна

e™=(- 1)я+’.	(73)

а величины

р ___(__1\п+1	/7	_(__1 \пч-1	2г._____(п -ь [ m [) !	ПЛ\

’ЛП~'	~е|ш|(2л-ь1) (л — | m [) ! W

не зависят от х(е0 = 1, е1 = е2=.. , = 2). Функции (69) позволяют полу-
чить ряд математических тождеств (см. [10], гл. XV).

Рассмотрим теперь менее тривиальный пример, а именно внешние
влектромагнитные колебания идеально проводящей сферы /? = а. Как
известно (ср. [п]), электрические колебания сферы определяются скаляр-
ной функцией Ф, удовлетворяющей волновому уравнению (9) и гранич-
ному условию

(/?Ф) —0 при R — д.	(75)

Собственные функции непрерывного спектра таковы

®тп,х— ^mnvPj $)	/j

(76)

где

Л(П (х) = / ™ ЯП) х (х), W (х) = Ух (х),

^я)(х) = ехр i[х—(n-t-l)-^-J при х-> оо,

(77)
а штрих означает дифференцирование по всему аргументу. Формула (73)-
остается в силе, а вместо формул (74) мы имеем

Лцг (ха)

и	(78)

с..«=<-!)«	ия'(»-)]-

Функция

П„М = ±Гтп(*)Стя(*)	(79)

равна нулю в точках * — кпя, соответствующих затухающим колебаниям

Етвд, а также в точках x = ^*9i расположенных в верхней полуплоскости..

f

ткпц

^77171$

П-1

п=3

п = 3

Рис. 4.

На левой половине рис. 4 точками нанесены значения приведенные
в книге Стрэттона f11], они лежат вблизи полуокружности радиуса п. При
данном л имеется П-+-1 различных частот <л„я, каждой из нйх соответ-
ствует, согласно формуле (70), 2п-»-1 колебаний Emnj.

При возбуждении с помощью источников, лежащих на сфере, частот-
ная характеристика имеет только один резонансный максимум, соответ-
ствующий колебанию с индексом n = 1 (см. [12]), а другие собственные
колебания не проявляются, видимо, потому, что их радиационное зату-
хание значительно, а частоты близки друг к другу (ср. [*], § 6).

Пусть электрические колебания сферы возбуждаются единичным ис-
точником (J pdV= 1), сосредоточенным при R = R0, $ —0. Формула (46)
в этом случае дает

ж________1 "V1 f ф0я.»(^п. °)ф0я. в) ,	(RQ)

£ J (к — X) D&, (X)	“ '	'

Пх.0 -—го

причем подынтегральная функция мероморфна и при Imx->—оо возрас-
тает как е<х<Д>+л-2«). Поэтому при R0-f-R'^>2a вычеты определяются
главным образом экспоненциальными множителями (ср. конец § 4), так
что резонансные свойства весьма слабы. Вместе с тем при /?9 фор-
мулу (80) можно преобразовать к виду

СО

ф —__L_	(2n-F-l) P„(cos$)

я=0

Jn(kR0)--^-hw(kR0)
л„

K"(kR). (80а)

Для этого нужно разбить интеграл на два: в первом сместить путь
интегрирования наверх, а во втором — вниз.

Магнитные колебания сферы определяются функцией, удовлетворяю-
щей при R = a граничному условию (10). Формулы (76)—(80) будут от-
носиться к магнитным колебаниям, если в них производные функций

(ха), Л<2’ (ха) и jH (ха) заменить самими функциями. При данном л
имеется п различных частот ш,ч, каждой из которых соответствует 2п-ч-1
колебаний Hmnq, на правой половине рис. 4 нанесены значения knqa, взя-
тые из[п]. Резонансы при возбуждении магнитных колебаний отсут-
ствуют (см. [1Z]).

В задаче Коши (§ 5) собственные колебания идеально проводящей
сферы проявляются более полно, и при t 7>	----— можно наблюдать

С
любое колебание.

В приведенных выше формулах Ф^, есть целая функция х, а Гтя(х),
<7„,Л(х) и О„„(х) — мероморфные функции х. Эти свойства сохраняются
(см. [9] и[14]) в более общем случае, когда уравнение (9) заменяется урав-
нением

дф_н[х’- —£/(/?)] Ф = 0,	(81)

где функция U(R) удовлетворяет условию

U=0 при R>R0.	(82)

Заменяя U(R) на U(x, у, z), мы придем к квантово-механическим за-
дачам, рассмотренным Титчмаршем[10] и другими авторами. Если функ-
ция U(x, у, z) удовлетворяет условию (82), то для построения решений
можно применить собственные функции, вводимые как в § 2, а к инте-
ресующим нас задачам с зеркалами, на поверхности которых выполняется
граничное условие (11), можно перейти, полагая U=co в объеме зер-
кал и (7=0 вне зеркал. Дальнейшее математическое исследование дан-
ного круга задач представляется весьма желательным, особенно в отно-
шении поведения функций Фт> Гт (х), G, (х) и Dz (х) в плоскости ком-
плексного переменного х.

§ 7. Вычисление нормы

Вычислим норму (40) для колебаний в резонаторах с плоскими зер-
калами. Введем вспомогательную функцию Фа>ж, удовлетворяющую вол-
новому уравнению (9), условию излучения

Ф.,ж = £,,«($>	(при Я-*со)	(83)

и переходящую в функцию Ф„ при х-> к„, Применяя к функциям Ф,_ х и Ф,
формулу Грина (16) и пользуясь граничным условием (2), получим

(«>-И lim J Ф.,.ФДГ=Хф.,.^-</5,	(84)

Янисов*» *	J	V'1

S
где S—поверхность зеркал, а п — нормаль к ней, направленная внутрь-
зеркал. При k, мы получаем выражение

<85>

удобное для вычисления N,.

Вычисляя норму в том же приближении, в каком рассчитаны сами
функции Ф,, мы можем ограничиться интегрированием по освещенной по-
верхности зеркал. Если они одинаковы, параллельны и расположены
друг против друга при z = =*:/, т. е. на расстоянии 21, то приближенно

-тН.=». = 17Т^ (при г = ±1>’	<86>

так что

- = <87>

где интеграл берется по освещенной поверхности одного из зеркал.
Соотношение (86) вытекает из того, что функцию Ф, между зеркалами
можно представить в виде (см. [2])

Ф.= Г,(х, у, z)eik<' — (—1)» Г.(х, у, —z}e-^,	(88)

где функция W, зависит от координат х, у, z и волнового числа к, го-
раздо более слабо, чем множители е-'к>*’, поэтому функция Ф8> ж будет
(при х да Д4) приближенно определяться выражением (88), в котором мно-
жители e±ik‘* заменены множителями е±<х'. При дифференцировании этик
множителей мы и приходим к формулам (86) и (87).

Вместо формулы (88) можно также написать (ер.[1,2])

Ф, = /,(хг у) cos

Ф4 = ft (х, у) sin

при нечетных q,

при четных д,

(89)

причем к„ да --. Подставляя эти выражения в формулу (87), получаем

или

Si

(90>

(91)

где Vo — объем открытого резонатора, ограниченный зеркалами z = ±7
и образующими, параллельными оси z и проходящими через края зеркал.
Последний результат физически довольно очевиден: поле добротного ко-
лебания внутри резонатора значительно сильнее поля за его пределами,,
поэтому норма в основном определяется полем внутри резонатора.

Аналогичным образом вычисляется норма для колебаний в открытых
резонаторах с цилиндрическими [3] и сферическими зеркалами [4], а также
в цилиндрических и бочкообразных резонаторах ['•5].

Заключение

В данной работе получено решение задачи о возбуждении открытых
резонаторов. Точнее, найдена резонансная часть поля, обусловленная
возбуждением затухающих собственных колебаний — ее можно эффек-
тивно вычислить в том приближении, в каком исследованы сами эти ко-
лебания. Кроме того, показано, что резонансная часть поля имеет су-
щественное значение не всегда, поскольку нерезонансная часть поля —
фон, на котором проявляются резонансные свойства системы — в ряде
случаев маскирует эти свойства.

Следует заметить, что метод разложения по собственным функциям
непрерывного спектра, примененный в данной работе, с достаточной
строгостью не обоснован, а явные выражения для функций Фт>ж, Г.(х)
и GT (*) удается получить лишь в случаях, допускающих разделение пере-
менных (ср. § 6). Здесь необходимы дальнейшие математические иссле-
дования.

Я весьма признателен В. А. Фоку за ценные советы и критические
замечания и Л. П. Питаевскому за ценное обсуждение.

Литература

[1] Л. А. Вайнштейн. ЖЭТФ, 44, № 3, 1050, 1963.—[2] Л. А. В а й н-
штейн. ЖТФ, XXXIV, 193, 1964. — [3] Л. А. Вайнштейн. ЖТФ, XXXIV, 205,
1964. — [4] Л. А. Вайнштейн. ЖЭТФ, 45, № 3 (9), 684, 1963. — [5] Л. А. Вайн-
штейн. Электроника больших мощностей. Сб. 3, Изд. Наука, стр, 176,	М.,

1964. — [6] Я. Б. 3 е л ь д о в и ч. ЖЭТФ, 39, № 3 (9), 776, 1960. — [7] А. М. Дых н е,
А. В. Ча пл и к. ЖЭТФ, 40, № 5, 1427, 1961. — [8] Л. А. Вайнштейн. Электро-
магнитные волны. Изд. „Сов. радио", М., 1957. — [9] Н. С. Крылов, В. А. Фок.
ЖЭТФ, 77, № 2, 93, 1947. — [10] Э. Ч. Титчмарш. Разложения по собственным
функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, I н II,
ИЛ, М., 1960 н 1961. — [11] Дж. А. Стрэттон. Теория влектромагнетнзма, стр. 489,
ОГИВ, М.—Л., 1948. — [12] М. Г. Белкина, Л. А. Вайнштейн. Сб. „Дифрак-
ция электромагнитных волн на некоторых телах вращения", стр. 88—91. Изд. „Сов.
радио", М., 1957. — [13] 'Г. Ф. Друкарев. ЖЭТФ, 21, № 1, 59, 1951.—
[14] R. G. Newton. J. of Math. Phys., 7, № 4, 319, 1960.

Институт физических проблем	Поступило в Редакцию

АН СССР	1 ноября 1963 г.

Москва
СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ИДЕАЛЬНО
ПРОВОДЯЩЕГО ПОЛОГО дИЛИНДРА КОНЕЧНОЙ длины

II. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ПАССИВНОГО ВИБРАТОРА

Я. А. Вайнштейн

Метод, первоначально предложенный в работе р] для численного решения влектро-
статнческнх задач, относящихся к полому цилиндрическому проводнику конечной
длины, в данной работе обобщен я применен для решения электродинамически
задач. Сходимость второ метода оказывается существенно лучшей, чем сходимость
метода, изложенного в работе [2].

Произведен расчет емкости и поляризуемости цилиндрического проводника при
больших отношениях его длины к диаметру; результаты расчета дополняют данные,
имеющиеся в работах [э] н [4]. Произведен расчет аффективных поперечников отра-
жения и рассеяния при нормальном падении плоской волны на цилиндрический про-
водник (пассивный вибратор); результаты расчета сопоставляются с тем, что полу-
чается иа основании приближенных формул, выведенных ранее различными авторами
(Леонтович и Левин, Лнндрот, Уфимцев).

Введение

В работе [2] был предложен метод численного решения электродина-
мических задач для полого цилиндрического проводника (идеально про-
водящей трубки), основанный на разложении тока и векторного потен-
циала на поверхности трубки в тригонометрические ряды и на решении
системы линейных уравнений, связывающих коэффициенты этих разло-
жений. Вычисления по этому методу производились на машине Урал-2,
однако в ходе вычислений выяснилось, что сходимость метода была
очень медленной: чтобы получить больше двух верных знаков, недо-
статочно было в разложении для тока брать 20 членов (т. е. решать
20 линейных уравнений с 20 неизвестными). В некоторых случаях мы
брали до сорока членов, но при этом не удавалось достичь стабилиза-
ции даже третьей значащей цифры.

Медленная сходимость вызывалась тем (ср. [®], стр. 1204), что в при-
нятых разложениях не учитывалась особенность тока на концах цилиндра
и, в частности, накопление заряда у концов передавалось плохой схо-
димостью соответствующего ряда; отсюда и возникает плохая сходи-
мость метода.

Эти результаты и соображения заставили нас перейти к разложению
для тока, каждый член которого имеет нужную особенность на концах
цилиндра. Для электростатических задач такое разложение было пред-
ложено в работе [’]. Соответствующие вычисления (см. [3]) показали, что
в этом разложении достаточно брать лишь четыре члена, т. е. метод
отличается хорошей сходимостью.

В § 1 метод, предложенный в работе f1], обобщается на электродина-
мические задачи. Это обобщение позволяет решать и электростатиче-
ские аадачи для очень вытянутых цилиндров (с большим отношением
длины к диаметру). Соответствующие численные результаты приведены
в § 2. В § 3 приведены результаты численного решения задачи о ди-
фракции плоской волны, падающей нормально на цилиндрический про-
водник — пассивный вибратор.

Трудности, возникающие при практическом применении метода, рас-
смотренного в работе Р], видны из работы [5], где использован близкий
метод. Критика ревультатов этой работы будет дана в следующей
статье.

§ 1. Основные соотношения

Поверхность полого проводника определяется в цилиндрической си-
стеме координат г, <р, z соотношениями

r = a, O^cps^2«, —L<iz<^L.	(1)

Мы ограничимся симметричными электрическими колебаниями вибра-
тора, т. е. такими колебаниями, при которых поверхностная плотность
тока имеет единственную составляющую j„ не зависящую от ср. Если
на вибратор падает плоская волна, то при ka 1 рассеянное поле опре-
деляется в основном симметричными электрическими колебаниями вибра-
тора, вызываемыми составляющей Ег падающей волны. Вводя вместо
координаты z угол ф по формуле

z = L cos ф, 0 < ф < я,	(2)

мы можем для тока	в вибраторе написать разложение

=	2	(-- = 0.1,2,...).	(3)

Г

На концах вибратора должны выполняться условия

Щ0) = 0, Щя) = 0,	(4)

которые можно переписать в виде

2иг = 0, 2(—1)гиг = 0.	(5)

г	т

Благодаря этим условиям ток вблизи концов ведет себя как tfL2— z2,
1 -

а плотность заряда—как  _ „ _ , т. е. ток и заряд будут иметь нуж-

VZ,2 — z2

ные особенности при любом числе членов в разложении (3).

Обозначая через 1/(ф) значение сАг при г = а и полагая (ср. [Ч, §3)

(Ф) ..COS гф (Sq....... 1........ ... . 2),	(^^

r

мы из интегрального уравнения, связывающего U и V (ср. [2], § 1), полу-
чим бесконечную систему линейных уравнений

^Аг,и, = иг,	(7)

в

где

=И (cos ~ COS C0S COS
0

Функция f(z) есть ядро интегрального уравнения; при | z |< 2L ее
можно представить в виде ряда([*], § 2)

ОО

у (г) = £.	cos	g — ^-f	(9)

’=0.
откуда

Ar. = er, 2	(?)/, (?).

V = 0

(10)

где

®r, = (—1) 2 , если г и s одинаковой четности,
ег4 = 0,	если г и s разной четности,

(11)

a JT и Ja—функции Бесселя. Выражения для коэффициентов/Г, имеются
в § 2 статьи [2]; при м->оо (точнее, при v^>l, 4^>kL и v^>^') коэф-
фициенты F4 можно заменить более простыми выражениями

—Г—— ч-2sin ££	(12)

’ к а \	м j ’	х f

с помощью которых можно улучшить сходимость ряда (10), в котором
члены по абсолютной величине убывают довольно медленно — как .
Мы представляем Лг4 в виде

где

J ___ 4 g "V Л_____ 2 2	• ОЛ/Л

Аг. — К2 г, 24 у — Зп ®«ДО SU12AXJ.

V=1

(14)

Члены ряда в формуле (13) убывают уже быстрее, а именно, как ,
ио при этом вычисление элементов матрицы || АГ1Ц все же остается наи-
более громоздкой частью задачи, поскольку приходится учитывать более
двухсот (!) членов ряда (13).1

Сначала были решены электростатические задачи, рассмотренные
в работе [3], а именно задача о заряженном цилиндре и задача о цилиндре
в однородном продольном поле. Полученные результаты имеют само-
стоятельный интерес и будут приведены в следующем параграфе.

§ 2.	Электростатические задачи

В электростатических задачах ^£7(ф) есть поверхностная плотность
заряда, a V(<p) — потенциал внешнего поля на поверхности г = а. Мы
полагаем

££ = 0 и -£->1,	(15)

тогда можно пользоваться всеми соотношениями, приведенными выше
(кроме соотношений (4) и (5), разумеется), и формулами статьи [®]. В част-
ности, по формуле (13) можно вычислить элементы Аг, для любого за-
данного значения / = —, в то время как ранее (см. Р] и [®]) каждый

1 Вычисление елементои Art занимает ббльшую часть машинного времени, после
чего система (7) решается сравнительно легко. В вычислительном отношении пред-
почтительнее суммировать ряды с большим числом члеиои, чем решать систему ли-
нейных уравнений с большим числом неизвестных.
элемент Art как функция I вычислялся путем интегрирования диффе-
ренциального уравнения, начиная с малых значений I.

В задаче о заряженном цилиндре мы имеем

v0 ¥= 0,	- u, = .. . = 0,	(16)

поэтому разложения (3) и (6) содержат только члены с четными индек-
сами (г = 0, 2, 4,...). Погонная емкость цилиндра определяется фор-

2.Z-

1.5-

1.0-

0.5-

0 —
0.5

1.5	г.5	3.5

о"

Рис. 1. Функции /2 и /2 для влектростатических
задач.

мулой

=	(17)

---причем С — <2LC1 есть пол-
ная емкость цилиндра.

В задаче о цилиндре
в постоянном продольном
поле мы имеем

¥=0, v0 = v2= v3 =

= ...=0,	(18)

так что в формулах (3) и
(6) существенны только
члены с нечетными индек-

сами г. Безразмерный коэф-
фициент поляризуемости
цилиндра определяется

выражением

Ц1

(19)

причем DL?E° есть дипольный момент цилиндра.

На рис. 1 изображены результаты расчетов С\ и D в зависимости
от параметра I вплоть до значений / = 10000 (для и / = 3000 (для D).
Вместо самих величин Сг и D мы наносим функции /Д/) и /2(/), кото-
рые связаны с этими величинами следующим образом

1 “1

(20)

2 1

D =

з

о2

. /2 (01

оЗ ’
«2 J

22 = 2 (In 4/

(21)

(см. р], § 4). Функции /j (/) и /2 (/) удовлетворяют предельным соотно-
шениям

lim /1(/) = х1 = 0.710,
/-►СП

lim /2(/) = х2 = 0.997,
/-►00

(22)

однако стремление к предельным значениям х, и х2, как видно из рис. 1,
происходит немонотонно и довольно медленно.

С увеличением I число членов, которые нужно учитывать в разло-
жении (3), увеличивается; иа рис. 1 это число приведено вблизи каждого
участка обеих кривых. Кривые на рис. 1 позволяют вычислять С\ и D
довольно точно, поскольку /j и /2 входят в поправочные члены фор-
мул (20) и (21).

В заключение сделаем одно критическое замечание. В работе [®]
емкость цилиндра рассчитывается с помощью методики, аналогичной
той, которая в работе [2] предложена для электродинамических задач,
т. е. с помощью разложения плотности заряда в тригонометрический ряд

J/=2 t/"oosTi-

л=0

При проведении вычислений использовалось 25 членов этого ряда,
причем емкость дается с пятью значащими цифрами. На основании
численных результатов, полученных нами, можно утверждать, что эта
точность явно завышена.

§ 3.	Дифракция плоской волны, падающей нормально
на вибратор

Если ограничиться случаем плоской волны, падающей нормально на
вибратор (у которой Е, = E%eikx), то

У(ф) = С° -+- С cos (kL cos ф),	(23)

где

С° = у-Е®.	(24)

Прарые части системы (7) равны

vr = C°8r0 -t- C^Jr (kL),	(25)

поэтому в разложениях (6) и (3) имеются только члены с четными
индексами г, а члены с нечетными индексами равны нулю. Постоян-
ная С° в вычислениях полагалась равной единице, а постоянная С
находится из условий (5), которые в данном случае сводятся к одному
условию в виде

(26)

(27)

(28)

где и® и и* суть решения систем

2 Ar,u°t = 8rt, 2 Ar,u} = ^/г (kL),
i	в

а искомые коэффициенты аг представляются в виде

Иг = и»-ьСв’.

Они позволяют вычислить распределение тока по длине вибратора.
Однако в данной задаче наибольший интерес представляет не ток,
а поле, рассеянное вибратором. Вдали от вибратора это поле имеет вид
сферической волны

Е.	= Ят = -EJF(»,	,	(29>

где R, S, <р — сферические координаты с началом в центре вибратора,
причем направление $> = 0 совпадает с положительным направлением
оси х. Функция у^, в которой аргумент у указывает на нормаль-
ное падение волны, определяется соотношением

L

E®F(o, у) = sin 8 J Ш,	(30)

—L
которое при С° = 1 можно записать в виде

К

=—kL sin & J g-ifcico«s соеф £7(ф) sin фс/ф
о

или

F \ * ~2/ =~ ~~SH* $ Пг (®гО — '41) Jr (JtL cos $)•

(31)

Рассеивающие свойства вибратора обычно характеризуют поперечни-
ком отражения (эффективной поверхностью рассеяния)

Рис. 2. Зависимость 5 от частоты.

Штриховая кривая вычислена по формулам
Уфимцева [®«ь].

или отношением

А. = 2_(^|и0Г

(33)

На рис. 2 сплошной кривой изо-
бражена зависимость [Зсм2] от ча-
стоты f для вибратора, у которого
2£ = 5 см и — = 452(Л21п — = 15).
Эта кривая практически совпадает
с кривой, рассчитанной по форму-
лам Линдрота [7]. Штриховая кривая
на рис. 2 построена по формулам
Уфимцева [8’®]; она дает несколько

завышенные значения а вблизи пер-
вого резонанса (при X даAL) и при других частотах практически совпа-
дает, со сплошной кривой. В несколько ином виде результаты тех же

вычислений представлены на рис. 102 работы [10].

Надо сказать, что величина первого резонансного максимума (kL
оказывается наиболее чувствительной к аппроксимациям (ср. [®’9]). В на-

шем методе вычислений резонансные слагаемые не выделяются, поэтому

при переходе к весьма тонким вибраторам с резко выраженными резо-
нансными свойствами сходимость метода несколько замедляется.

Часто представляет интерес интегральный поперечник рассеяния 3,
характеризующий мощность, которую пассивный вибратор рассеивает
по всем направлениям. Интегральный поперечник определяется форму-
лой (ср.[«], § 34)

(34)

На рис. 3 сплошной кривой изображена зависимость -р- от kL для
вибратора, у которого -у = 452 (для такого же вибратора построен и
рис. 2).

Штриховые кривые на рис. 4 вычислены по формулам, выведенным
в известной работе Леонтовича и Левина[“]; в этой работе тонкий
вибратор характеризуется малым параметром

_ 1

2 In ka

(35)
Вблизи первого и второго резонансов ^при kL да у и kL да -у-у эти
кривые не проведены, иначе рисунок становится неразборчивым. Сплош-
ные кривые на рис. 4 соответствуют формулам Уфимцева. В дополне-
ние к сплошным и штриховым кривым, повторяющим кривые на рис. 76
работы [8] (см. также [®], рис. 2), на рис. 4 кружками (для х =—0.05)
и точками (для / =—0.1) нанесены значения, полученные изложенным
выше методом.

Как видно из рис. 4, эти значения хорошо ложатся на кривые,
построенные по формулам Уфимцева; согласие здесь примерно такое же,

$

л*

1.0

0.6 -
ОА-

о.2 -

О-1 ;

Л.06 -
£04-
0.03-
0.0Z-

5

Рис. 4. Зависимость '^дг' от kL.

Сплошные кривые — по формулам Уфимцева;
штриховые — по формулам Леонтовиче к Левина.
1 к 2—машинные вычисления.

1-1	1

4	6

O.0V----*

8

Т*яс. 3. Зависимость -yj' от kL при

Штриховая крипа* вычислена по формулам
Уфимцева.

как на рис. 3. Формулы Леонтовича и Левина применительно к тем же
вибраторам дают несколько худшие, но все же вполне удовлетворитель-
ные результаты.

Таким образом, в пользу формул Уфимцева можно сказать следую-
щее:!) они имеют четкий физический смысл, учитывая всю цепочку
краевых волн[8,в]; 2) они несколько точнее формул Леонтовича и Левина
(рис. 4); 3) их точность при kL-+ со может только возрастать; 4) при
kL-*Q они дают вполне удовлетворительную точность, поскольку рас-
считанное по ним поле излучения переходит в поле элементарного
диполя, момент которого определяется формулой (21) при /2 = 0 (см. [8],
§ 33). Как показал Фиалковский [12], формулы Уфимцева допускают
чисто аналитический вывод, причем их относительная погрешность по
порядку величины оказывается равной

22 — [1ч-(2С-ык)хР

где С=0.5772... Поэтому их можно применять при больших значе-
ниях |х|, по-видимому, для всех вибраторов, обладающих резонансными
свойствами. Следует также напомнить, что по формулам Уфимцева
можно рассчитывать характеристики рассеяния и поперечники отраже-
ния в более сложных случаях, когда плоская волна падает на вибратор
под произвольным углом.
Вычисления, на основании которых построены рис. 2—4, произво-
дились на машине Урал-2, причем в разложении (3) учитывалось
8—10 членов с четными индексами (иногда 12 членов). Системы урав-
нений (27) решались обычным методом исключения (метод Гаусса).

Заключение

Результаты, полученные выше, подтверждают практическую приме-
нимость метода, изложенного в § 1, и вместе с тем показывают, что
приближенные формулы, полученные в предположении

1	/1	1	/1

----7“ <1 «ли 	— <1,
2 In —	2 In v—

а	ка

являются более точными, чем это можно было бы думать, анализируя
сделанные при их выводе аппроксимации. В частности, из рис. 1 видно,
что ошибка в значениях С\ и D' при замене функций fx и /2 их пре-
дельными значениями (22) или даже нулями при I > 10 будет сравни-
тельно невелика.

Следует отметить, что уже после выхода статьи [2] появились ра-
боты [13-15], посвященные численному решению дифракционных задач
для цилиндрических проводников и других тел вращения. В этих статьях
рассматриваются сплошные цилиндры и метод расчета иной. Несмотря
на то что в работах [13~15] имеется ряд численных результатов, они не
дают ответа на основной вопрос: какова фактическая точность прибли-
женных формул, выводимых в теории „тонких" вибраторов и позволяю-
щих дать элементарный расчет всех свойств таких вибраторов? Это
обстоятельство явилось стимулом для проведения вычислений, резуль-
таты которых рассмотрены выше.

Литература

[1]	П. Л. Капица, В. А. Фок, Л. А. Вайнштейн. ЖТФ, XXIX, вып. 10,
1177-1187, 1959. — [2] П. Л. Капица, В. А. Фок, Л. А. Вайнштейн. ЖТФ,
XXIX, вып. 10, 1188-1205, 1959. — [3] Л. А. В а й и ш т е й и. ЖТФ, XXXII, вып. 10,
1157-1164, 1962.-J4] Л. А. Вайнштейн. ЖТФ, XXXII, вып. 10, 1165-1173,
1962.—[5] R. Н. Duncan, F. A. Hinchey. J. Res. Nat. Bur. Stand. 64D,
№ 5, 569-584, 1960. - [6] R. H. Duncan, F. A. H1 n c h e y. J. Appl. Phys., 32,
№ 7, 1385-1387, 1961, —[7] K. Lindroth. Trans. Roy. Inst. Technol., Stockholm,
№ 91, 1955.— [8] П, Я. Уфимцев. Метод краевых воли в физической теории
дифракции. Изд-во „Сов. радио", М., 1962. — [9] П. Я. Уфнмцев. Радиотехника
и влектроника, 7, № 2, 260—269, 1962.—[10] Л. А. Вайиштейн. Теория ди-
фракции и метод факторизации. Изд-во „Сов. радио", М., 1962, — [11] М. А. Л е он-
то в и я, М. Л. Л е в и н. ЖТФ, XIV, вып. 9, 481—506, 1944. — [12] А. Т. Ф и ал-
ко в с к и й. ЖТФ, XXXVI, 1109, 1966. - [13] Н. Н. Г о в о р у и. ЖВММФ, 1, № 4,
664—679, 1961, —[14] Е. Н. Васильев. Изв. ВУЗов, Радиофизика, 2, №4,
588-595 , 596-601, 1959; 6, № 3 , 591-607, 1963. - [15] Е. И. Васильев,
А. Р. Серегина. Радиотехника и влектроника, 8, № 12, 1972—1979, 1963.

Институт физических проблем АН СССР
Москва

Поступило в Редакцию
9 декабря 1966 г.
Член-корреспондент АН СССР Л. А. ВАЙНШТЕЙН, М. Г. БЕЛКИНА

МЕТОД ДВОЙНОЙ РЕДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ

ИСКОМОЙ ФУНКЦИИ С ОСОБЕННОСТЯМИ

Численное решение многих граничных задач математической физики
может быть сведено к решению бесконечной системы линейных уравнений

ОО

^Ar,Xt = Cr, г--=0,1,2.................... (1)

s=0

где X, — коэффициенты разложения неизвестной функции

ОО

Т(х) =2 Xei|i8(x)	(2)

8^0

по полной системе функций ф, (х). Неизвестная функция Т (х) может быть
например, плотностью тока на идеально проводящей поверхности, состав-
ляющей поля на некоторой вспомогательной поверхности, которая разделя-
ет две области простой формы, и т. д.

Систему (1) обычно решают методом редукции, т. е. сводят ее к конеч-
ной системе

S-1

2ягд = сг, г = 0,1...........5-1,	(1')

а з=0

и, следовательно, ряд (2) заменяют конечной суммой

8-1

Т(х) = 2 М,(2),	(2')

$=о

где S — достаточно большое число. Однако обычный метод редукции стано-
вится малоэффективным, если функция Т (х) имеет особенности, отсут-
ствующие у функций (х); эти особенности передаются замедленной схо-
димостью ряда (2), и, заменяя его конечной суммой (2'), мы теряем эти
особенности и не получаем из системы (!') хороших результатов даже для
начальных коэффициентов Хо, Xh...

Так, например, если представить плотность тока на идеально проводя-
щем полом цилиндре конечной длины в виде тригонометрического ряда
и решать систему для коэффициентов этого ряда (‘) методом редукции, то
сходимость оказывается очень медленной. Для ускорения сходимости при-
шлось прибегнуть к новой формулировке задачи — разложению плотности
тока по функциям имеющим на концах цилиндра ту же особенность, что
и сама плотность (я). В теории дифракции плоской волны на бесконечной
периодической решетке естественным является разложенце поля по плос-
ким волнам (собственным и несобственным). Однако для решетки из бес-
конечно тонких лент такое разложение вблизи решетки сходится медленно,
и получаемую для коэффициентов этого разложения бесконечную систему
(1) методом редукции решать практически нельзя (ср. (3)). Это обстоя-
тельство вызвало появление работ Аграновича, Марченко и Шестопалова
(*) и Малина (5), в которых дана иная формулировка задачи — система (1)
преобразуется в другую, которая и решается численно.

Оказывается, однако, что в этих и других случаях в переформулировке
задачи нет необходимости, и можно решать систему (1), применяя метод
двойной редукции, к изложению которого мы и переходим. Дело в том, что
особенности функции (2) в граничных задачах возникают из-за того, что
область пространства, в которой мы исследуем поле, ограничена поверх-
ностью с краями и угловыми точками, особенности поля вблизи которых из-
вестны a priori, поэтому известны как все особенности функции Т (х), так
и характер связанного с ними асимптотического ряда, определяющего пове-
дение коэффициентов X, при больших $. Он может, например, иметь вид

(3)

3=0

где коэффициенты ро, pi,... неизвестны, а показатель у > 0 известен за-
ранее.

Метод двойной редукции заключается в том, что первые <5 коэффициен-
тов X. (при s = 0, 1,..., 5—1) .ряда (2) учитываются точно, как
и в обычном методе редукции, но остальные коэффициенты не полагаются
равными нулю, а заменяются асимптотическим выражением

3=0

т. е. первыми J членами ряда (3). Таким образом, мы учитываем точно 5
коэффициентов X, ряда (2) и J коэффициентов Рз ряда (3), т. е. произво-
дим как бы двойную редукцию. Система (1) принимает тогда вид

3 Аг,Хв + S Вт#} = Сг, г = о,	J-1,	(5)

в=о	з=о

где элементы добавочной матрицы

“ А

^"1 г = 0,1,..5J — 1, / = 0,1,...,/—1, (6)
s=S *

представляются медленно сходящимися радами; однако все члены этих ря-
дов известны, и поэтому их можно вычислить, улучшая сходимость тем или
иным способом. Мы взяли конечное число коэффициентов X, и р(, и поэто-
му можем удовлетворить лишь конечному числу уравнений (1). Выбор пер-
вых S + J уравнений является естественным, хотя и произвольным.

Чтобы получить представление об эффективности метода двойной редук-
ции, мы применили этот метод к задаче, допускающей строгое решение (’).
Пусть функция Ф = Ф(х, z) удовлетворяет двухмерному уравнению Гельм-
гольца при z 2> 0 и граничным условиям

<ЗФ / dz — 0 при (2/zi — 1) d < х < 2md,

z = Q, m=0, ±1, ±2,...	(7)

Ф = 0 при 2md х <Z (2m -f- l)d,

Если на плоскость z = 0 нормально падает плоская волна, то функция
Ф в полупространстве z > О имеет вид

Ф(х, z) = e-Uz+ 3 RnelkltC03*n™l™n\	(8)
Действительно, условия (7) соответствуют периодической структуре^
(решетке) с периодом 2d по оси х; углы <р„ определяются соотношениями

sin = п / 2g, q = kdl2x,= dfk,

, /Г\	/ П . I П I , /".	/2? V

(9)

а комплексные коэффициенты Rn неизвестны; из соображений симметрии
можно показать, что R~n = (—1)"й„.

Таблица 1

g	1 Яо 1		1 Hi 1	
	по данному методу	ПО точным формулам	по данному методу	по точным Формулам
0,01	1,000000003	1	0,02000123	
0,25	0,99999999	1	0,52144040	
0,5	1,0000003	1	1,4142137	1,4142136
0,75	0,1458979	0,1458980	0,81027219	0,81027227
1,00	0,0717961	0,0717968	0,75787542	0,75787476
1,5	0,2017532	0,2017659	0,65175639	0,65175542

Для коэффициентов Rn можно написать систему уравнений (см. (’) г
формула (55.04)), которая легко преобразуется к виду (1), тде

X, = Rn+i,	Cr = —бог»

Лгв = 2- (COS фав+i + cos ф8г)	। 2r "b 2s | 1 -|- 2r ) *	(10}

а четные коэффициенты Rim определяются по формуле

2 8-1	1	1

Rlm = —	2 (2s + l-2m + 2s"+l + 2m)+

J—1	oo	1

+ 2 PJ 2 (г» + 1—2m + 2s + 1 + 2m ) ~^T ] ‘
j^-0	8=S

Показатель у можно определить следующим образом. Как видно из фор-
мул (8) и (9), коэффициенты Дя суть коэффициенты разложения функции
ф (х, 0) — 1 в ряд по функциям е4’,пх/<|1 т. е. в комплексный ряд Фурье. Сама
же функция Ф (х, 0) может быть представлена в виде

Ф(х, 0) = f(x)p(x),	(11)

где /(х) — аналитическая функция с периодом 2d, а

р (х) = У (2md — х) [ (2т — 1) d + х]	при (2т — 1) d < х < 2md,

(12)

р(х) =0	при 2md < х •< (2т + l)d

есть «весовая функция», учитывающая все особенности Ф(х, 0). Поэтому

Rn —	(£) |/g(l —g)d£ =.[f (g) ]/£(! —£)Jdg,

о	о

где f (6) = 7 (—&d), а п = ±1, ±2,... При больших положительных п по-
следний интеграл можно преобразовать в сумме интегралов от 0 до ia, от iff
до 1 + ia и от 1 + ia до 1 (о > 0), и мы получим

= 2йг{$e~nntIAj ~	’

О
Таблица 2

8		1 Fol	(к. 1
6	4	0,1458979	0,81027219
8	2	0,1458386	0,81026301
9	1	0,1457200	0,81016116

Точные значения | 0,145898031 0,81027227

где /о и Д — функции, разлагающиеся при малых t в степенные ряды по t.
Отсюда при п = 2s + 1 получается ряд (3) с показателем у = а/2. Анало-
гичный ряд, но с другими коэффициентами pj получается при п = 2s.

При вычислениях мы брали 5 = 6, 7 = 4 и получили (на машине
Урал-2) результаты, приведенные в табл. 1. Из таблицы видно, что эти зна-
чения S и J дают 5—6 верных
десятичных знаков при g > 1
и значительно большую точ-
ность при малых q. Очевидно,
что для получения той же точно-
сти при больших q надо брать
больший порядок системы.

При q = 0,75 было произве-
дено исследование других вари-
антов метода (см. табл. 2). Это
исследование показывает, что
уменьшение 1 (числа асимпто-

тических коэффициентов) при том же числе уравнений 5 + J снижает точ-
ность метода.

Как показывает данный пример, метод двойной редукции весьма эффек-
тивен и вместе с тем не требует громоздких выкладок и преобразований; не-
которые трудности доставляет только вычисление рядов (6), которое мы
производили с помощью непосредственного суммирования начального от-
резка ряда и применения формулы Эйлера — Маклорена к его остатку.
Вместе с тем этот метод является достаточно общим и, в частности, может
быть распространен на бесконечные системы, в которые входят неизвест-
ные коэффициенты разного типа, с различными асимптотическими разло-
жениями.

Когда эта работа уже подходила к концу, мы познакомились с амери-
канской статьей (’), в которой развиты родственные идеи. В силу того, что
в статье (“) система линейных уравнений для коэффициентов разложения
формулируется путем постановки граничных условий в конечном числе то-
чек, вывод основных соотношений становится более громоздким, а резуль-
таты при гораздо большем числе уравнений (51) получаются менее точны-
ми (там решалась по существу та же задача). Нам представляется, что бо-
лее целесообразно исходить из системы (1), полученной из граничных ус-
ловий на всей границе.

Мы благодарим Н. И. Лесин за интерес к нашей работе.

Институт физических проблем им. С. И. Вавилова	Поступило

Академии наук СССР	26 VI 1970

Москва

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1 П. Л. Капица, В. А. Фок, Л. А. Вайнштейн, ЖТФ. 29, № 10. 1188 (1959).
2 Л. А. Вайнштейн, ЖТФ, 37, № 7, ill81 (1967). 3 Л. А. Вайнштейн, Теория
дифракции и метод факторизации, М., 1966, § § 52 и 55. 1 Э. С. А г р а в о в и ч, В. А.
Марченко, В. П. Шестопалов, ЖТФ, 32. № 4, 381 (1962). 3 В. В. Малин,
.Радиотехника и электроника, 8, № 2, 211 (1963). 1 A. R..Neureuther, К. Zaki,
-Radio Sci., 3, № 12,1158 (1968).
ДИФРАКЦИЯ НА ВОЛНИСТОЙ ПОВЕРХНОСТИ:
СРАВНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Вайнштейн Л. А., Суков А. И.

Рассмотрена классическая задача о дифракции плоской гармони-
ческой волны на идеально отражающей волнистой (периодической) по-
верхности при граничном условии Дирихле. Проведено аналитическое
сопоставление точного метода, основанного на решении интегрального
уравнения первого рода для плотности простого слоя (плотности тока)
на волнистой поверхности, с методом, основанным на гипотезе Рэлея,
и методом, предложенным Баранцевым. Показано, что оба последних
метода, приводящие к более простым выражениям для матричных эле-
ментов, базируются на аналитическом продолжении волнового поля И
поэтому могут приводить к неустойчивым вычислительным алгоритмам.
Аналитическое рассмотрение этих трех методов дополнено численными
расчетами для синусоидальной поверхности, выполненными на много-
процессорной вычислительной машине М-10.

ВВЕДЕНИЕ

Задаче о дифракции на волнистых (периодических) поверхностях по-
священо большое число работ, нашедших отражение в коллективной моно-
графии [1] и обзорной статье [2], где, однако, плохо представлены совет-
ские работы, в частности, не учтена работа Баранцева [3], развившего
метод (часто называемый за рубежом [2] методом МММ) значительно
раньше основной работы [4] трех авторов.

В данной работе волнистая поверхность задана уравнением

(1) у=Л(х) =Л(х±2л), —(г)

так что х и у — безразмерные координаты, введенные вместо 2лх/1 и
2лу/1 соответственно (Z — период волнистости); над поверхностью при
y>h(x) волновое поле удовлетворяет уравнению

(2)

5’ф	32ф

—+ —-+хгФ=0,
дх~ ду

где х=l/Х — основной дифракционный параметр, X —длина волны, вре-
менная зависимость ш=2лс/Х, с — скорость света или звука. При
y=h(x') ставим простейшее граничное условие Ф=0 (условие Дирихле).
Падающую волну задаем в виде

(3)

фо/д. и) =е,м(х•1П*— »си’>

<р — угол падения, а полное поле ищем в виде

(4)	Ф=Ф°-ЧГ,

¥ (х, у) = J Н? (и1(х-хТ+[у-к(х')Г) f(x')dx’

(Я^’—функция Ганкеля), т. е. поле У, отраженное от волнистой поверх-
ности, представляется в виде двухмерного волнового потенциала простого
олоя, лежащего на этой поверхности; произведение f(x)dx в электродина-
мической задаче пропорционально току, текущему в направлении оси z
по полоске, соответствующей интервалу (x,a:+dx) (см. рис. 1).

Граничное условие Ф=0 при y=h(x) приводит к интегральному урав-
нению первого рода

(5)	J Яо*’ («V (.?—x')2+[h(x)~h(x‘) \l')f(x')dx'=g(x'),
g(x) = <ba(x, h(x))

для неизвестной функции / (х). Это уравнение, как и вытекающие из него
соотношения (6) —(13), приведенные ниже, хорошо известно (см., напри-

мер, [1]). Новым является приспособление интегрального уравнения (5)
к численным расчетам на векторной ЭВМ (разделы 1 и 4), а также ана^
литическое (раздел 2) и численное (раз-

дел 3) сопоставление метода интегрального
уравнения с методом Баранцева (МММ)
и методом, основанным на гипотезе Рэлея.

1.	МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Функции /(х) и g(x), фигурирующие
в интегральном уравнении (5), можно раз-
ложить в ряды

(6)	/(д) =-- У, Ьпе"°^

п=® — ЗВ
f(x) = y, cme'“»x,

Рис. 1. Синусоидальная поверх-
ность у-=а sin х (один период)

wn=wa+n, w9=x sin cp,
где

(7)	cm=Gm(—v0),

Gm(y) = l-f

2 л *

причем величину vn=Vx2—w„2 выбирают (при вещественных х и wn) так,
что либо уп>0, либо vn=i|vn|, в частности, v0=xcoscp. Для неизвестных
коэффициентов Ъп получается бесконечная система алгебраических линей-
ных уравнений

(8)	У ЛтяЬя=сш, т=0, ±1, ±2,...,

се

матричные элементы которой определяются двойными интегралами

(9)	Атя=— [ \н^\^(,х-х')2+1к(х)-К{х')}2}е^^^х^',

“Л ""«и

которые в силу известного выражения

(10)	ЯГ (хУХ2+Уг) = — f e’(Bl+llr|’
nJ	V

при 1Р-»-±оо)

преобразуются к ряду

в**	2

^4mn== у t	p,n—р	।

р—-»
(11)	Д»,»(р) = -Д \\expi[u\h(x)-h(x')[-mx+nx']dxdx',

4jtz 'J

-и

более удобному для численного счета.

Найдя из системы (8) коэффициенты Ьп, можно найти отраженное

поле Т при у>а (над волнистой поверхностью) в виде

Чг= У

ТП»«— <ж>

(12)

2 А

ли = — У Gm_„(-pra)bB.

vm ^-1

Формально можно вычислить также Т при у<д (т. е. под поверхностью);
получаем выражение

(13)

2

Ят =--- У | Gm-n (Vm) Ьп,

Ут

Я—во

которое понадобится нам в разделе 2.

Важным свойством матрицы ||Лт„||, определяемой формулами (9)‘
и (11), является поведение ее элементов при больших т и п, а именно
2	21

(14)	-Aran ‘6mn®	"Т“ ". б»лп ПрИ j ПЪ | , | И |	1,

Ут	I I

т. е. асимптотически (при т, п-»-±<») матрица ||ЛтпЦ становится диаго-
нальной, благодаря чему система (8) дает устойчивые результаты, в част-
ности, ее можно решать итерациями. Соотношение (14) проверено в самом
начале численных расчетов и подтвердилось, гарантируя хорошую обус-
ловленность системы (8). Это ее свойство является следствием того, что-
ядро интегрального уравнения (8) является (логарифмически) сингуляр-
ным при х=х'. Если бы мы искали отраженное поле Т в виде интеграла
по вспомогательным источникам, расположенным ниже волнистой поверх-
ности, например, при у=Л(х)—б (6>0), то также получили бы интеграль-
ное уравнение первого рода и систему вида (8), однако обусловленность
матрицы ||Лтл|| была бы тем хуже, чем больше 6.

2.	МЕТОДЫ РЭЛЕЯ И БАРАНЦЕВА

Метод Рэлея [5] основан на предположении, что разложение W по-
дифракционным волнам согласно первой формуле (12) применимо вплоть
до поверхности р=Л(х), где ставится граничное условие ЧГ=Ф°, таким
образом получается система уравнений

(15)	У Gm-n(vn)Rn=cm, тп«=0, ±1, ±2,...

для коэффициентов Нп — комплексных амплитуд дифракционных волн. Эта
система формально получается из соотношений (8) и (11), если в выра-
жении (11) для Втп волевым образом заменить ]/i(r)~h(x') | на
h(x)— й(а/), после чего получаем

Втп' (и) =Gm(i>)G-n(-i>),

(16)

Amn s У	Gm-p(yp)Gp-n(—Ур)

Up

P

и в силу второго соотношения (12) приходим к системе (15).
Эта замена, как и сама аргументация Рэлея, показывает, что в этом
методе используется аналитическое продолжение ряда (12) для Ч*- в об-
ласть Л(а:)«£у<а, точнее, этот ряд распространяется па область, где его
сходимость не гарантирована и где он приводит к системе (15), устойчи-
вость которой не доказана. Во всяком случае, соответствующие ей элемен-
ты Атп, определяемые формулой (16), соотношению (14) уже не удовлет-
воряют.

В методе МММ [2, 4] приходится решать систему, которая в наших
обозначениях записывается в виде

(17)	-ffo=l, Лт=0 при тп=±1, ±2,...,

где Ят даются второй формулой (13); найдя Ъп из этой системы, можно
вычислить коэффициенты Нт по второй формуле (12). Система (17) по-
лучается из требования, чтобы при у<—а было Ф=0, т. е. чтобы поле Т
гасило падающую волну Ф“. В пионерской работе Баранцева [3] вывод
тех же соотношений произведен иначе, вследствие чего создается впечат-
ление, что эти соотношения гарантируют выполнение граничного условия
Ф=0 при у=Л(х). На самом же доле, как видно из формул (13) и (17),
они гарантируют лишь выполнение условия Ф=0 при у<—а, а к условию
Ф=0 при —a^y^h(x), в частности при у=Л(х), можно прийти, только
используя аналитическое продолжение поля У, т. е. предполагая, что вы-
ражение 'Р'применимо не только при у<—а, но также и при
—а=5у=^й(х). Иначе говоря, этот метод основан на гипотезе, родственной
гипотезе Рэлея и не менее сомнительной.

Последнее утверждение явствует также из того, что основные соотно-
шения этого метода можно вывести, заменяя в формуле (11) |Л(я)— h(x') |
на h(x')—h(x) и получая выражения

£2

— G»-1.(-p₽)G₽-„(yJ>),

р

благодаря которым система (8) приводит к системе (17).

Какие опасности ожидают нас при применении систем (15) и (17),
получающихся согласно Рэлею и Баранцеву? Эти опасности схематически
изображены на рис. 1 для синусоидальной поверхности

(19)	y—h (х) =а sin х,

когда

(20)	Gm(v)=Jm(va), cm=(-l)"7m(iMi)

(Jm — функция Бесселя), что весьма облегчает расчеты по методам Рэлея
и Баранцева. Заменяя при расчетах бесконечные системы (15) и (17)
конечными, мы в методе Рзлея пренебрегаем всеми Я, при

а в методе Баранцева всеми R, при |д|>ЛГ, т. е. малыми быстро осцилли-
рующими пространственными гармониками при у—а и у=-~а соответствен-
но. Однако при формальном продолжении Т по формулам (12) и (13)
соответственно вниз и вверх (рис. 1) эти гармоники быстро возрастают:
тем быстрее, чем больше |<?|, поскольку i\=i|	УI. Если параметр а

достаточно велик (этот параметр пропорционален отношению глубины
к периоду, при а=л это отношение равно единице, см. рис. 1), то при
увеличении М может и не происходить стабилизации значений Rm, соот-
ветствующих вещественным vm (плоским дифракционным волнам), по-
скольку переход к меньшим значениям /?, и R4 компенсируется более
быстрым возрастанием пространственных гармоник в направлениях Ту.

Из сказанного выше следует, что область применимости методов Рэлея
и Баранцева должна быть одинаковой, поскольку оба базируются на ана-
литическом продолжении и получаются в результате однотипной порчи
хорошо обусловленной матрицы (11). Этот вывод на первый взгляд про-
тиворечит фактам, известным из литературы: а именно, доказано [1,2,6],
что разложение (12) для Т сходится вплоть до поверхности (19) лишь
при а<0,448, в то время как метод Баранцева — МММ практически при-
меним при существенно больших значениях а [ 1, 2]. Это противоречие,
Рис. 2. Зависимость |Лт| ОТ fit при Х^!,^
(1 — методы Рэлея и Баранцева, 2 — метод
интегрального уравнения; |Д|<10-2; рас-
хождение между 1 в 2 при а>0,5 посте-
пенно растет)

Рис. 3. Зависимость |Лт| от а. при х=1,1;
1,4; 2,4 по методам Рэлея и Баранцева;
|Д|<10~г

Рис. 4. Зависимость | Rm | от х при д=4

как видно из раздела 3, разрешается просто: метод Рэлея практически
применим и тогда, когда ряд (12) расходится. Достаточно, чтобы этот ряд
был асимптотическим, т. е. чтобы некоторые конечные суммы его с хоро-
шей точностью представляли Y вплоть до поверхности y—h(x).

Связь между методами, приводящими к уравнениям (15) и (17), ока-
зывается часто еще более тесной. Во многих статьях (см. [2—4]) приво-
дятся численные результаты, относящиеся к дифракции нормально па-
дающей волны на синусоидальной поверхности и основанные на уравне-
ниях (17), при этом обычно подчеркивают, что такой метод отличен от
метода Рэлея и превосходит последний. Однако в этом случае (а также
в случае поверхности, для которой h{x)=—h{x)=h{si—x)) уравнения
(15) и (17) дают тождественно совпадающие результаты, поскольку по
формулам (16), (18) и (20) получаем A™—Amn", при всех тип (заме-
тим, что Лтп™4тп ==-*4mn ==s0, если <р=0 и числа т и и разной четности);
при а>0,662 ряды для АА и Ат„" расходятся и также должны тракто-
ваться как асимптотические.

3.	ЧИСЛЕННОЕ СОПОСТАВЛЕНИЕ МЕТОДОВ

Мы производили расчеты для нормального падения (<р=0, и;о=О)
плоской волны на синусоидальную поверхность (19) по всем трем мето-
дам при различных значениях х и а. Попутно проверяли выполнение
соотношения Д=0

(21)

|m|<x
выражающего закон сохранения энергии.

На рис. 2 приведена зависимость |/?0| и	от а при х=1, 2:

кривые 1 соответствуют методам Рэлея и Баранцева (они дают в соответ-
ствии со сказанным в конце раздела 2 совпадающие результаты), кри-
вая 2 — методу интегрального уравнения. При этом системы (8), (15) и
(17) заменяли конечными системами (|m|s£Af,	в данном приме-

ре ЛГ=10). Так как с увеличением а величина I Д| (энергетический де-
фект) растет, то вычисления прекращали при |Д]>10~Поэтому кри-
вые 1 кончаются в точке а~3,3, а кривые 2 фактически не закончены, по-
скольку для них |Д|<5-10~5.

Примечательно, что практическая применимость метода Рэлея реали-
зуется и тогда, когда ряд (12) для V расходится: этот метод применим
при значениях а, в 7—8 раз превышающих значение а=0,448, при кото-
ром ряд (12) начинает расходиться. Фактически неустойчивость вычис-
лительных процессов, проводимых по методам Рэлея и Баранцева, начи-
нает проявляться при а~2—3, когда величины Gm (±i| уп|) становятся
очень большими. Эта неустойчивость в обоих методах вызывается одной
и той же причиной --* неустойчивостью аналитического продолжения, на
котором они базируются. При не слишком больших а эту неустойчивость
удается подавить, надлежащим образом выбирая порядок системы (чис-
ло М), который играет роль параметра регуляризации в задаче аналити-
ческого продолжения.

Между уравнениями (15) и (17) имеется следующее различие: в то
время как ряды в левых частях (15) при а>0,448 расходятся, ряды (13)
для Rm сходятся, а уравнения (17) всегда выполняются, если туда под-
ставить точные значения Ьп. Однако извлечь иэ этих уравнений точные
значения Ьп при а>0,448 невозможно: при а=0,5 мы увеличивали М от 5
до 65 и наблюдали постепенней рост |Д|, а при а=0,4 увеличение М
оставляло Д практически равным нулю. При а<0,448 численные расчеты
приводят к равенству Amn=Amn', хотя непосредственное доказательство
этого равенства нам получить не удалось. Еще раз отметим, что получе-
ние точных значений Ьп из уравнений (17) невозможно не по техниче-
ским причинам, а в принципе: так же, как нельзя найти точные значе-
ния Rn из уравнений (15).

Кривые на рис. 3 дополняют рис. 2 в том отношении, что показывают
область применимости методов. Рэлея и Баранцева при различных значе-
ниях х>1. Мы видим, что с увеличением х критическое значение а, при
котором эти методы становятся неприменимыми, уменьшается. Заметим,
что сравнение метода МММ с опытом проводили [2] при небольшом а
(а=0,52), что привело к оптимистическим выводам.

Рис. 4 демонстрирует возможности метода интегрального уравнения,
поскольку значение а=4 недоступно для других методов. Здесь брали
Af=17, причем при значениях |т| и |ге|, близких к М, уже применима
формула (14). На рисунке четко видны аномалии Вуда —быстрое изме-
нение |Ао| и |Я±1| в зависимости от х вблизи значения х=2, при котором
появляются новые дифракционные волны (т=±2).

4.	О ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДОВ

При расчете по методу интегрального уравнения основная часть ма-
шинного времени уходит на вычисление матричных элементов Лт„ по фор-
мулам (11). Нетрудно заметить, что величины Втп, определяющие Лтп,
суть коэффициенты разложения заданной двоякопериодической функ-
ции х и х' в двухмерный ряд Фурье. Для вычисления Втп использовали
поэтому быстрое преобразование Фурье (БПФ), скорость выполнения
которого дополнительно увеличивали благодаря тому, что вычисления
производили на векторной (многопроцессорной) вычислительной маши-
не М-10 [7].

Вычислительная машина М-10 имеет среднее быстродействие 5 млн
операций в секунду и позволяет осуществить одновременное вычисление
величин Втп. Выигрыш в быстродействии по сравнению с последователь-
ным вычислением Bmn — в 4 раза при работе с числами, имеющими фор-
мат двойного слова (64 двоичных разряда) или в 8 раз — при работе с чис-
лами, имеющими формат слова (32 двоичных разряда). Вследствие это-
го машинное время, необходимое для численной реализации метода инте-
грального уравнения, не слишком превышает время, требуемое для расче-
тов по двум другим методам. Вместе с тем метод интегрального уравне-
ния свободен от ограничений и дает точные и надежные результаты.

Приведем некоторые цифры. При расчете кривых на рис. 2 одна точ-
ка по методам Рэлея и Баранцева получалась за 15 с при |Д]~2-10~э. Ме-
тод интегрального уравнения, использующий 64-точечное одномерное
БПФ по каждой переменной (z и z'), требовал 2 мни, причем получа-
лось |Д|«2-10-’; при а=9,25 использовалось 128-точечное БПФ, требо-
валось 8 мин, а энергетический дефект |Д| составлял ~10-’. Два других
метода при таком а вообще не дают разумных результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Развитие теории дифракции на волнистых поверхностях, если ограни-
читься гладкими (без углов) периодическими структурами, в частности,
синусоидальными поверхностями (19), можно грубо разбить на три эта-
па. На первом этапе, как правило, получались явные выражения для
амплитуд дифракционных спектров с помощью приближенных методов,
главным образом метода возмущений и метода физической оптики.
На втором этапе появляются уравнения, которые можно решать вручную
или на примитивных ЭВМ, к таким уравнениям приводят методы Рэлея
и Баранцева. Современные вычислительные машины позволили перейти
к третьему этапу — к строгим и точным математическим методам. На этом
этапе оказалось возможным выяснить пределы применимости методов,
возникших на втором этапе, что и сделано в данной работе.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Topics in Current Physics, v. 22. Electromagnetic Theory of Gratings/Ed. Petit R.
Berlin — Heidelberg — N. Y-: Springer, 1980.

2.	Shun Lien Chuang, Jin Au Kong. Proc. IEEE, 1981, v. 89, № 9, p. 1132.

3.	Баранцев P. Г. Вести. Ленингр. ун-та. Сер. мат., мех., астр., 1965, № 1, с. 66.

4.	Masel R. I., Merril R. Р., Miller W. H. Phys. Rev. В, 1975, v. 12, № 12, p. 5545.

5.	Стретт Дж. В. Теория звука. Т. 2. М.: Гостехиздат, 1955, (п. 272а).

6.	Van den Berg Р. М., Fokkema J. R. J. Opt. Soc. Amer., 1979, v. 69, № 1, p. 27.

7.	Карцев M. А. Дохл. АН СССР, 1979, т. 245, № 2, о. 309.

Поступила в редакцию

1.III.1983
Члои-корреспондент АН СССР П.А. ВАЙНШТЕЙН, СМ. ЖУРАВ, А.И. СУКОВ

К РАСЧЕТУ ОМИЧЕСКИХ ПОТЕРЬ
НА КРАЯХ ТОНКИХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛОСОК

Хорошо известно, что у края бесконечно тонкой идеально проводящей полу-
плоскости или полоски продольная составляющая поверхностной плотности тока
пропорциональна 1/х/£ где s - расстояние от края, так что для омических потерь
получается логарифмически расходящийся интеграл. По этой причине вычисление по-
терь в структурах, содержащих тонкие пластины или полоски, наталкивается на труд-
ности и часто ведет к ошибкам. Построенное ниже аналитическое решение для потерь
в гребенчатой структуре разъясняет возникающие здесь закономерности и вместе
с тем имеет практическое значение, поскольку такие структуры и их аналоги широ-
ко применяются в технике сверхвысоких частот.

Рассмотрим бесконечную решетку с периодом 2с, образованную полубеско-
нечными пластинами толщиной 2Ъ (рис. 1). На поверхности пластин выполняются
граничные условия Леонтовича с поверхностными импедансами стенок и торца соот-
ветственно w0 и w, Пусть из свободного пространства нормально на решетку падает
плоская волна с компонентой электрического поля = exp(-ftz), параллельной
ребрам пластин; £ = 2я/Х = а>/£ зависимость от времени ехр(-шя). Структура и
поле периодичны, поэтому возбужденное поле Еу(х, z) достаточно определить толь-
ко при 0 <х‘<с. Эту область разобьем на две: 1) b <х <с, 2) 0 <х < b, z > 0.
В этих областях фурье-преобразования возбужденного поля

(1)	^*\х, а)= / Е^(х, z)elazdz, <р$2\х, о)= f Е<2\х, z)eia2dz

— ас	Q

удовлетворяют (см. [1]) уравнениям

(2)	(Э2/Эх2 -у2)^1>(х,а) = 0,

(3)	(Э2/Эх2 -т2)<42\х,а) = (Ъ1&1)Е&\х, 0)-rat£<2\x, 0),

где 7 = V“2 (Re-у > 0); верхний индекс в круглых скобках определяет об-
ласть, а нижние индексы и как обычно, означают регулярность функций
соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной переменной а.
Граничные условия на торце

£<1 2) 3 4+£<° = (w/*)(a/az)(£<2)+£W)

позволяют преобразовать уравнение (3) к виду

(4)	(Э2 /Эх2 - у2) Ф(х, а) = 2 ika (1 - w),

Ф(х, а)-(к~ aw)^2\x, а) - (к + aw)<p|2\x, -а).

Решения уравнений (2) и (4) имеют вид

0<2)(х, а) = Л chy(x -c), Ф(х, a) = Bchyx-2ffca(l -w)/y2.
Рис. 1. Потери при отражении (1 - IR I)

Подставляя в эти решения волновых уравнений и в
их производные по х значение х = b и исключая с уче-
том граничных условий неизвестные функции А и В
переменной а, приходим к функциональному уравне-
нию относительно

42)(fc. а) - (iw0 Д)(Э/Эх)42)(^ а).

Это уравнение аналогично уравнениям, соответствую-
щим дифракции на ступеньках в плоских волново-
дах [ 1 ]; приведем только конечный результат - точ-
ное выражение для коэффициента отражения

(5)	/? = -	!

4сгкгК1(к)

п= 1

где Х+(а) - результат факторизации [1] функции К(а), которую удобно предста-
вить в виде

К (а) = К(а) £(а) £(а), K(a) = ch у a ch уЬЦсу sh ус),

£(а)= /(e)/chyfc, L(a) = f(a)/ch7a, f(a) = chyb - ipyb shyb,

f(a) = chy a + tpyashya,

H>0

Р=1Г

wo
p “ "l

ka

где a„ (Ima„ > 0) суть корни уравнения /(a) = 0, yn =	-к2\ неизвестные по-

стоянные Xn удовлетворяют бесконечной системе линейных алгебраических урав-
нений

b_ k + amw Xm + ” Хп	1

с k-amw NmK\(am) n=ib(an+am) b(am--k)'

m = l,2,3,...; Nm=y2mb/[am(l - ip + ргУпЬг)].

Численное решение системы (6) является чрезмерно громоздким, причем сложность
решения возрастает при толщинах 2b, малых по сравнению с длиной волны, т.е.
в случае, наиболее интересном с практической точки зрения.

Пусть w = (l -i)kdl\fi, w0=(l - 1)к<1й1\Г1, где d и d0 - толщины скин-
слоев соответственно на торце и сторонах пластин. Рассмотрим общее решение (5)
при условиях

(7) d/b = |p|<l, d0/b<], b/c<\, q ~kb/n ~2Ь/к"%1.

Для этого необходимо разложить по малым параметрам величину К+(к) и бесконеч-
ную сумму в выражении (5). Функция К (а) представлена в виде произведения трех
мероморфных функций. Факторизация каждой из них проводится в виде бесконеч-
ных произведений. Используя оценки для нулей и полюсов функций Ца) и Ца)
при условиях (7), вдали от критических высот волноводов имеем

w0	q	i

L+(k)^\------C + 21n2 + ln —-----------|w0|,

ff	|w0|	2

~	Wo	qa	i

L+(k)-I +— C + 21n2 + ln——— +S(a) --|w0|,
ff L	I w01	12

где

S(a) = 2 ( „----j.

n = l Wn3 -qa

1
n = n-------,

2

ka 2a

Яа~-----= ~.

If X

C= 0,5772 - постоянная Эйлера. Следовательно,

w0

(8) K+(k)~K+(k) 1 + —
I ff

a

In — + S(a)

J'|wo |

Оставляя в разложениях матричных элементов системы (6) только слагаемые
порядка q°, ql, wjq и wQ/q,подставив в систему неизвестные Х„ в виде

(9) X„-X0„-q

где

iXin-(^~ + 2i)X2n - 2f- Х3й+х^(1+0— X3n,
\ 4<7c	/	q	Я

, " /	1	1	\ kc 2c

v - 1 — 3qc 2 ( _ —j----y, — ——--т-j.-i.j- I, qc -	»

п = 1\и+уи -Яс n+yn / я X

и приравняв нулю коэффициенты при q°, q}, w/q и w0/q, получаем системы ли-
нейных уравнений относительно новых неизвестных Хкп (к' - 0,1,2,3):

«О

(Ю) Лихки+ 2	= Dkm, т-1.2,3,.

п= 1 п + т

Вот ~ _< В\т —	, В2т ~, Взт — тпЛ.тХот,

т	т	т

~ Г2 (т)ехр(2тл(1 - In m)),

где Г(х) - гамма-функция. Учитывая, что при n<qa/\wQ \ имеем 2к/(а„ - к) =«
=>= -2iq(l - ip - iq/n)/n, н используя (9), получаем

“	WO

(11) 2к 2 -----— а. -2  2f3lw + —

п=1 ая - к	я

Гоа	+

ip

+ i<7 foi ~ч(Гп —	+Гоа)+ —“ fu

4с

где универсальные постоянные определяются из решений систем (10) по
формулам

Гм= S (* = 0.1,2,3), Го2= 2
п=1 И	л=1 И
Численное и аналитическое исследование систем (10) приводят к следующим значе-
ниям: foj =1п2 = 0,6931, fn =f02 = 1 +0,51n22 = 1,2402, f21 = 1, f31 =0,5.

Принимая во внимание разложения (8) и (11) для коэффициента отраже-
ния (5), вдали от критических высот волноводов получаем

(12) R =

1

4сгк2К1(к)

2

1 _ 2w------w0

тг

-2i?

йр 11

0,6931 -1’0,4804<? + — >.

4c J J

Из этого соотношения при 2а/\ < 0,5 следует приближенное выражение

(13)

1 - |Я | = 2Rew + — Rew0 In—+ S(a)
n	b

В соотношениях (12) и (13) при малых qa можно использовать оценки

(14) S(a)^ 4,207?*, ?*= 1 - 5,545

Более точный анализ показывает, что формулы (12) и (13) применимы почти до
qa =0,5. Интересно отметить, что потери из-за токов на торцах (при w0 =0) полу-
чаются такими же, как потери при отражении от сплошной плоскости с импедансом
w; это значит, что плотность тока на торце пропорциональна \[ф.

Полученное решение свидетельствует о том, что в первом приближении конеч-
ная проводимость гребенки приводит к членам, пропорциональным «и w0. Поэтому
прн толщине скин-слоя, малой по сравнению с толщиной пластин, применим простой
метод возмущений, однако необходимо учитывать конечную толщину пластин.
Предполагая с самого начала пластины бесконечно тонкими, применяя метод, изло-
женный выше, приходим к формуле

2	4qc

(15) 1-|J?| = —Rew0 In—- +С + 5(с) ,
” L l^ol

существенно отличающейся от выражения (13). Задача о гребенке с бесконечно
тонкими пластинами, на которых ставится граничное условие Леонтовича, решена в
книге [2] и построенное там решение, имеющее довольно громоздкий вид, по су-
ществу эквивалентно формуле (15). Это решение математически корректно, но
физически неприемлемо, поскольку условие Леонтовича предполагает, что d и dQ
малы по сравнению с толщиной пластин, а последняя входит в выражение для потерь
под знаком логарифма. Если считать пластины бесконечно тонкими, то получается
неправильная формула, в которой под знаком логарифма вместо толщины пластины
фигурирует толщина скин-слоя d0.

На рис. 1 сплошной кривой приведена разность 1 — |/? I как функция 2с/\ вы-
численная по формуле (13), а точками - та же разность при замене 5(a) приближен-
ным выражением (14); штрихпунктирная кривая взята из рис. 3.13 книги [2], она
также вычисляется по формуле (15). Горизонтальная прямая соответствует отраже-
нию от плоскости с поверхностным импедансом и». В расчетах взяты значения 2Ь[к =
= 0,01 и | w | = | w0 | = 1,98 • 10Л К тем же результатам приводят также численные
расчеты [3], выполненные по методу, изложенному в статье [4], с использованием
метода возмущений.
Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что правильный
расчет потерь невозможен без учета конечной толщины полосок. Вместе с тем выра-
жение (13) открывает интересную возможность: решив задачу для бесконечно тон-
ких идеально проводящих полосок, можно найти потери в реальных полосках толщи-
ной 2Ь простым методом возмущений, исключив из интегрирования отрезок длиной
△ = 6,8 • 1О'Э b у края каждой полоски.

Институт физических проблем им. С Л. Вавилова	Поступило

Академии паук СССР, Москва	1011986

Московский институт управления
им. Серго Орджоникидзе

ЛИТЕРАТУРА

1. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: ИЛ, 1962. 280 с. 2. Ильинский А.С., Слеши Г. Я.
Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.: Изд-во МГУ, 1983. 232 с.
3. Суков А.И. Тез. докл. IXBcec. сими, по дифракции и распространению волн, Телави, 1985,
ноябрь. Тбилиси: Изд-во Тбип. ун^га, 1985, т. 1, с. 497-500. 4. ВайнштейнЛ.А.. СуковА.И.-
Радиотехвика и электроника, 1984, т. 29, № 8, с. 1472-1478.
ЭЛЕКТРОНИКА СВЧ
Во второй части избранных трудов Л. А. Вайнштейна представлены его
статьи, относящиеся к электронике сверхвысоких частот и ряду других
областей. Первые работы Льва Альбертовича по электронике были посвя-
щены теории дробового эффекта в цилиндрических диодах. Они составили
содержание кандидатской диссертации, которую Лев Альбертович защитил
в 1947 году. После этого он работал в теоретической лаборатории одного из
НИИ радиопромышленности. Здесь в полной мере раскрылись качества
Льва Альбертовича как теоретика — максимальная строгость в постановке
и решении задачи в сочетании с ясной физической трактовкой получаемых
результатов.

Крупный цикл работ в области электроники был выполнен Львом Аль-
бертовичем в 1956 —1958 гг. по линейной и нелинейной теории лампы с
бегущей волной. В этих работах развит ряд важных идей — применение
строгой теории возбуждения замедляющих систем, учет полей пространст-
венного заряда с помощью аналитической аппроксимации законов растал-
кивания электронов. Впервые в отечественной науке для численного
моделирования нелинейных процессов был применен метод крупных частиц,
ставший впоследствие основой моделирования на ЭВМ не только электрон-
ных потоков, но и других сред. Хотя в этих работах рассматривались лишь
односекционные ЛБВ с малым к.п.д., они послужили в дальнейшем отправ-
ной точкой для создания теории реальных приборов, широко применяемой
в настоящее время для проектирования ЛБВ.

Более поздние работы Л. А. Вайнштейна охватывают самые разнообраз-
ные области сверхвысокочастотной электроники: теорию пространственного
заряда в приборах М-типа, где им усовершенствован метод усреднения
уравнений движения, развитый в дальнейшем в методе разделения частот,
теорию релятивистских приборов, теорию приборов с открытыми резонато-
рами, где естественным образом объединены методы, развивавшиеся Л. А.
Вайнштейном в электронике и электродинамике открытых систем. Новые
физические подходы к решению общих задач электроники разработаны им
в ряде последних работ, где исследованы спонтанное, индуцированное,
кооперативное излучения электронов.

Интерес Льва Альбертовича к задачам электроники, его влияние на
развитие отечественной школы сверхвысокочастотной электроники особен-
но активно проявились в его постоянном активном участии в семинарах и
школах по электронике, проходивших в Аштараке, Саратове, Москве в
60 — 80-е годы. Материалы читавшихся лекций вошли в изданную нами в
1973 году книгу “Лекции по сверхвысокочастотной электронике”, в которой
большое внимание уделено главным закономерностям взаимодействия элек-
тронных потоков с электромагнитным полем и общим методам решения
задач электроники независимо от типа приборов. Лев Альбертович был
бессменным участником проходящего с 1973 г. в Московском институте
электронного машиностроения ежемесячного семинара “Проблемы электро-
ники”. Его глубокий анализ докладывавшихся работ, неожиданные физи-
ческие аналогии и обобщения, бескомпромиссность оценок во многом
определили стиль работы семинара. Уроки Л. А. Вайнштейна оказали
глубокое влияние на целое поколение электронщиков и всегда будут вспо-
минаться ими с благодарностью.
ЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНЫ В ЗАМЕДЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ

I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

Л. А. Вайнштейн

Работа посвящева линейной теории електроивых волн в замедляющих системах.
Изложение базируется иа теории возбуждения волноводов в вариационном методе.
Дан вывод характеристического уравнения влектроиных ноля и исследованы его ре-
шения. Рассмотрен физический смысл величин, входящих в характеристическое урав-
нение.

Введение

Данная работа посвящена теории волн, распространяющихся при
наличии электронного пучка в различных замедляющих системах —
передающих линиях с медленными электромагнитными волнами. Анализ
таких „электронных" воли представляет, интерес для теории лампы
с бегущей волной.

В I части работы мы изложим общую теорию электронных волн,
основанную на теории возбуждения передающих линий и вариационном
методе. Во II части с помощью общих результатов будут рассмотрены
конкретные системы.

Мы проведем исследование электронных волн в рамках теории
малых сигналов, гармонически изменяющихся во времени (временной
множитель e~'w). Мы ограничимся „гладкими" замедляющими системами
(диэлектрик) или такими периодическими структурами, неоднородность
которых не сказывается на силах, действующих на электронный пучок
(достаточно частая спираль или гребенка, и т. п.). В отношении элек-
тронного пучка мы будем пользоваться „односкоростиым" приближе-
нием, пренебрегая распределением электронов по скоростям.

§ 1. Вывод характеристического уравнения

Рассмотрим бесконечный волновод, пронизываемый электронным
пучком. Под волноводом мы понимаем любую передающую линию,
электромагнитное поле которой занимает в поперечном сечении конеч-
ную площадь. Мы считаем, что электроны движутся только вдоль оси
волновода — оси z (фокусирующее магнитное поле1), так что плотность
конвекционного тока, возбуждающего электромагнитные поля в волно-
воде, имеет только составляющую Jt. Используя общую теорию воз-
буждения волноводов [*], мы можем найти составляющую Ег электри-
ческого поля, вызванного переменной составляющей плотности тока
в пучке, а именно

в. = 2 (СА +с-£-.') *

и)
Здесь Са и С_, суть функции от г, определяемые формулами

ж	ж>

С,=A-Jdz J j.E_,,dS-, C-=^\dz ytE,.,dS,	(2)

et 8p	i Bp

причем предполагается, что пучок занимает область Zj < z <Z z2. Через
Ew Н, обозначено поле s-й собственной волны без пучка (s-я волна
в „холодном" волноводе), распространяющейся в направлении ч-z,
а через Е_„ Н_,— поле такой же волны, но распространяющейся
в направлении —z. Через N, обозначена „норма" s-й волны

{[Е., Н-Л - [Е_„ HJ,} dS.	(3)

ае

Суммирование производится по полной системе собственных волн
волновода (по индексу s), а интегрирование — по всему попереч-
sp

ному течению волновода z— const.

Составляющие Е»,, и E-t,e можно записать в виде

Et,, = E°,^,{xty)ei,‘ ; £_*., = £.°,><р,(х,г,)е_'*‘ж,	(4)

где h, — волновое число s-й волны в холодном волноводе, <р,(х, у) —
безразмерная функция распределения составляющей Е, втой волны
в плоскости поперечного сечения волновода, Е°,— амплитуда втой
составляющей (значение £,,3 и при z = 0 и <р, = 1).

Представим переменную составляющую плотности конвекционного
тока в виде

;, = ф(х,р)/(г),	(5)

где /(z) есть переменный ток, переносимый пучком через поперечное
сечение z, а функция распределения тока ф(х, у) нормирована с по-
мощью соотношения

(6)
sp

Соотношение (5) выполняется строго для каждой из электронных
волн (зависящих от z по закону eiht), которые мы будем исследовать
в дальнейшем. В более общем случае, например для суммы таких волн,
вто соотношение справедливо лишь приближенно.

Пользуясь формулами (4), (2) в (5), мы преобразовываем выраже-
ние (1) к виду

ж,

£ = — J 2	f e,Ai,I'-'l/(z ) dz -1 - ф (x, y) J(z),	(7)

где обозначено

fro 'I2

r*=~2nT	(8)

И

+. = J Ф (л. ff) f* (x,y) dS.	(9)
При исследовании электронной волны в бесконечном волноводе
с бесконечным электронным пучком (zj =—оо, z2=°o) мы должны
считать, что Е„ J и все другуе величины, характеризующие волну,
зависят от z по закону е**', где h—волновое число, нам пока не из-
вестное. Тогда выражение (7) принимает вид

£' = (10)

Между Ег и J существует еще одно соотношение, вытекающее из
уравнений движения и непрерывности и принимающее в рамках линей-
ной теории электронной волны такой вид

Е,

1ия

(11)



где о0 есть постоянная скорость электронов по оси z, а

4itep0 V>1

X

теш2 ш2 ’

(12)

где е есть заряд электрона; т — его масса, р0 — постоянная составляю-
щая объемной плотности заряда в пучке; ш0— соответствующая ей
„плазменная" частота. Мы пользуемся системой CGS и обозначим
через е диэлектрическую проницаемость пространства, пронизываемого
электронным пучком (обычно можно полагать е = 1). Мы считаем v0
и р0 постоянными по всему объему пучка, в то время как распределение
переменного toki и поля по сечению может быть любым.

Формула (11), в отличие от формулы (10), справедлива лишь внутри
электронного пучка. Сравнивая эти формулы в пределах пучка, мы

получаем уравнение

iheRb

—А*

1 —

ф(х,р) = 0

(13)



для неизвестных величин А, 6, и у(х,у), так как остальные величины
заданы либо свойствами пучка (/, г>0), либо свойствами линии
[А„	<р(х, р)]. Уравнение (13) является интегральным уравнением

+ (х, у) + \{К (х, у, х, у\ А) ф (х, у) dxdg = 0	(14)

(интегрирование производится по сечению пучка) с симметричным ядром

/ш\2	DO

А”(х,р; х,р; А) =	/А_ш\22_ (“V 2 a2 —Aj	^х’?*^Х’1

\ VO/ К \vj

зависящим от волнового числа А электронной волны. Это последнее
получается, очевидно, из требования, чтобы линейное интегральное
уравнение (14) имело нетривиальное решение ф(х,р). Поэтому волновые
числа А суть собственные значения интегрального уравнения (14),
а функции ф (х, у), дающие распределение тока в пучке по формуле (5),—
соответствующие собственные функции.

В большинстве случаев важно знать лишь собственные значения А,
которые можно найти с помощью вариационного метода. Для этого
умножим обе части интегрального уравнения на ф(х,у) и проинтегри-
руем по сечению пучка. Решая полученное уравнение

£[М]=0,

где

=Д Ф2 (х> у) dxdy -*"

ч- ДД К(х, у, х, у; А) ф (х, у) ф (х, у) dxdydxdy

(16)

(П)

есть функция от А и функционал от ф(х,у), мы получаем А в виде
функционала от ф(х,1/). При атом оказывается, что собственное зна-
чение А является стационарным функционалом от ф(х,у). Дей-
ствительно, вариация ЗА определяется из соотношения

т’" §а ""I— з/?...о

ад

(18)

где 3£ есть вариация Е при постоянном А. Формула (17) благодаря
симметрии ядра К дает

1Е = 2 Д <5ф (х, у) dxdy {ф (х, у) -+- Д К (х, у\ х, у\h) ф (х, у) dxdy), (19)
откуда в силу уравнения (14) получаем 2>£=0 и ЗА = О. Это значит,
что, беря вместо точного выражения ф(х,#) некоторую приближенную
функцию ф (х, у) -ь Зф (х, у), мы получаем из уравнения (16) значение А,
имеющее погрешность второго порядка малости (относительно Зф).

Благодаря стационарности уравнения (16) мы Принимаем его в ка-
честве характеристического уравнения электронных волн. Более подробно
это уравнение можно записать так

’СТ’ ihtR.s 4д .  \t'o/

где

и R, = R<№

(20)

(21)

Конкретизируя задачу, обозначим индексом s = 0 одну из волн
в холодном волноводе и будем искать электронные волны с волновыми
числами А, близкими к ±А0 (т. е. к волновому числу выделенной волны
с индексом s = 0). Для этого уравнение (20) удобно преобразовать

к виду

где

Г = 1 —

<085 V*

4х ^4

№ — h*

(22)

(23)

а символ означает суммирование по всем волнам холодного волно-
вода, за исключением волны s = 0.

Уравнение (22) можно переписать следующим образом



(24)
причем безразмерные параметры хну равны

___-у

Л 4л Aq тш h0 ’

?=гх=х-'-^^'^

(25)

(26)

При фиксированных х и у уравнение (24) есть алгебраическое урав-
нение 4-го порядка; четыре корня Лх, А2, h3 и А4 этого уравнения
(вообще говоря, различные) соответствуют четырем электронным вол-
нам. Наибольший интерес представляет случай, когда фазовая скорость
волны с волновым числом Ао близка к скорости электронов v0

& волновые числа ht всех других волн сильно отличаются от Ао.

В этом случае вместо общего термина „волновод" естественно при-
менять термин „замедляющая система". Характеристическое уравне-
ние (24) для электронных волн в такой системе можно в первом прибли-
жении решать как алгебраическое, полагая А = А0 или h = -^~ при
вычислении параметров х и у. Действительно, при условии (27) три
корня Лп А2 и А3 уравнения (24) принимают значения hpx h0 или А
а четвертый корень А4 да —Ао (ср. § 3).

Доказанная выше стационарность характеристического уравнения (16)
и вытекающих из него уравнений (22) и (24) позволяет вычислять х и у,
пользуясь приближенными выражениями для функции ф(х, у). Это
обстоятельство существенно упрощает исследование электронных волн.

§ 2. Физический смысл различных величин* Оилы в электронном
пучке

Остановимся прежде всего на физическом смысле величин .S, Rn
и Г. Величину S, определяемую формулой (21), можно назвать эффек-
тивным поперечным сечением электронного пучка. Она переходит
в геометрическую площадь S0 поперечного сечения пучка, если плот-
ность высокочастотного тока j, равномерно распределена по сечению
пучка (что справедливо, например, для достаточно тонких пучков); тогда
в силу условия (6) ф = внутри пучка и ф = 0 вне его, так что S— S°.

Если электронная волна обладает симметрией вращения, а пучок
имеет форму сплошного цилиндра радиуса А, то функция ф (х, у) равна

ф = С/0(дг),	(28)

где /0—модифицированная функция Бесселя, a q— параметр, который
мы точно определим во II части работы [формула (5)]; в последующих
рассуждениях мы для простоты считаем q положительным веществен-
ным числом. Постоянная С согласно соотношению (6) равна

С~ ’

откуда

р 4я

(29)

(30)
так что

S = nb2 при дЬ<^Л

(31)

и

5=-^- при 96>1.	(32)

Последняя формула показывает, что при сильной неравномерности
в распределении тока эффективная площадь 5 равна сечению тонкой
цилиндрической трубки радиуса b и толщины <f= —. Характер распре-
деления тока по сечению пучка согласно формуле (28) таков же, как
в цилиндрическом проводе при сильном скин-эффекте.

Величина R, определяется формулой

=	(33)

вытекающей из выражений (8) и (21). Если в линии нет потерь, то
I гО I 2

где P„ = ^N, есть активная мощность, переносимая з-й волной в на-
правлении оси z. Внутри достаточно тонкого электронного пучка можно
считать <р,(х, jr) = l> тогда по формуле (9) <|>s = l, a E^t есть продоль-
ная составляющая поля s-й волны, действующего на электроны пучка.
В этом случае R, совпадает с величиной

I № I2
=	(35)

Множитель ф® в формулах (21), (33) и (34) учитывает неоднородность
действующего поля , и Е-»,, [см. формулы (4)] по поперечному
сечению электронного пучка. Если замедляющая линия имеет потери
и волиоэые числа h, комплексны, то вместо формул (34) и (35) нужно
пользоваться более общими выражениями (21) н (33).

Отметим, что R, и А® имеют размерность сопротивления на еди-
ницу площади. Часто вводят величину

=	(36)

имеющую размерность сопротивления и называемую продольным вол-
новым сопротивлением s-й волны, или лучше сопротивлением свяви
s-й волны и электронного пучка. Величина К, зависит не только от
типа замедляющей линии, но и от расположения пучка в линии, от его
размеров, формы и от закона распределения тока в нем.

Наиболее интересны величины Rs и Ks для выделенной выше мед-
ленной волны в линии, имеющей индекс з—0. Если эта волна обла-
дает симметрией вращения, то функция <р,(х, у) для нее равна

<Ро= /о(Х»)! ^о=^Ао~ k,	(37)

где фо = 1 и •£», < = ^о, Л**’* при г — Ь. Если пучок имеет цилиндриче-
скую форму, то в качестве b удобно брать радиус пучка, тогда Е£ г
есть поле, действующее на периферийные электроны. По формуле (9)
мы получаем

Фо

я РаЛ ipffii} Ip (yfr) — y/о (ppfr) Л (y&)

2
Ро Я

h(p£)h fab)

откуда для „тонкого" пучка

фо = 1 (при д6<<1 и р06<1),

а для достаточно толстого пучка

Фо =	(при д6>1 и р06>1).

Параметр х можно представить в виде

где

х = х°Л,

е^Ь' $
тш Ло

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

есть значение х при равномерном распре*
делении тока и поля по сечению пучка,
а коэффициент



(43)

17 —;—?—J?—t—t—-t—1	есть поправка на неравномерность распре-

деления (на „толщину" пучка).

Рис. 1.	Чтобы наглядно показать стационар-

ность характеристического уравнения (24),
вычислим коэффициент Л двумя способами. Во-первых, положим д = />0,
тогда

где x — pji — qb.

(44)

Во-вторых, положим 9 = 0, тогда

А=йШТ’гле х=р°ь- (45)

Значение д = 0 дает равномерное распределение тока по сечению
пучка, что правильно лишь при х<^1. Однако благодаря стационар-
ности уравнения (24) входящий в него параметр * довольно слабо
зависит от вида функции ф(х, у) и в частности от параметра q в фор-
муле (28). Поэтому (см. рис. 1) значения Д по формулам (44) (верх-
няя кривая) и (45) (нижняя кривая) близки друг к другу вплоть до х ~ 3.

Для выяснения физического смысла параметра Г, определенного
формулой (23), рассмотрим усредненное значение составляющей Ег
по поперечному сечению пучка
где согласно формуле (10)

•'_ ih0R0 . pf>______ 4*Г

h2-h%J	ivtS

(47)

Поле Е, вызывается медленной волной с индексом 5 = 0, возбу-
ждаемой электронным потоком. Это поле имеет „резонансный" харак-
тер, поскольку при Л = ±Ао оно становится бесконечным. Коэффи-
циент Ro характеризует эффективность возбуждения этого поля
электронным пучком.

Поле возникает вследствие кулоновского взаимодействия между
пульсирующими (с частотой <>) зарядами в различных поперечных
сечениях электронного пучка.

Действительно, рассмотрим сначала электростатическое поле объем-
ного заряда, плотность которого р зависит только от я. Такое поле
имеет лишь составляющую Et = Et(z), удовлетворяющую уравнению

d£z___4яр

dz в

применимому к полям и зарядам, колеблющимся с частотой ы. Если
пульсация плотности заряда вызвана переменным током, текущим вдоль
оси z, то плотности тока и заряда р связаны уравнением непре-
рывности

=	•	(49)

откуда

4я
ttue

(50)

есть электрическое поле в бесконечно широком электронном пучке,
плотность тока j, которого зависит только от координаты я, или
в „плоской электронной волне".

Интересующие нас электронные пучки находятся в более сложных
условиях. Во-первых, переменный ток в сечении пучка распределен
в общем случае неравномерно, вследствие чего в формулу (47) для Ег
вместо входит -у, где рассмотренное выше эффективное сечение
пучка 5 вообще говоря, меньше его геометрического сечения. Во-вто-
рых, электронный пучок находится не в свободном пространстве,
а в замедляющей линии, и не является бесконечно широким. Поэтому
поле Ег есть только („нерезонансная") часть поля, и в выражение для
этого поля входит коэффициент Г. Формула (23) показывает, что отли-
чие коэффициента Г от единицы связано с возбуждением „пассивных"
волн в линии, т. е. волн, волновые числа ht которых сильно отличаются
ш
ОТ ---.

Чтобы получить представление о возможных значениях Г, сделаем
предположение, что Г определяется в первую очередь формой и раз-
мерами пучка и слабо зависит от линии. Тогда достаточно рассмотреть
пучок в свободном пространстве. Кулоновское поле пучка, усредненное
по поперечному сечению, равно

03

£ = ~G(z-i)r(z)di,	(51)
где t(z) есть плотность заряда на единицу длины пучка, связанная
с его объемной плотностью р соотношениями

T(z)=Jpt£S и р = ф(х, y)~{z},	(52)

где ф(х, у)— та же функция, что и в формуле (5). Через G(z— z)
обозначена взаимная потенциальная енергия двух поперечных сечений
z и z электронного пучка; при ф = const это есть энергия взаимодей-
ствия двух дисков с равномерным распределением заряда по их пло-
щади. В последнем случае можно аппроксимировать функцию G(z — z)
выражением

GU-i) = -^-re-₽|'-'l,	(53)

которое при малых jz— z| переходит в точное выражение

G(z — z) = const — тдг I z — г I-	(54)

Величину p следует взять равной

0 = ^-,	(55)

где коэффициент 0и близок к единице (в работе [2] рекомендуется зна-
чение 0О = 1.18).

Подставляя выражение (53) в интеграл (51), мы приходим к диф-
ференциальному уравнению

<56>

Для электронной волны, зависящей от z по закону е,А', мы полу-
чаем отсюда

У —	4/А	___ 4к1 *	(yiX

»(Л2-к32) т ~	'

где

5 = ^2 и Г = -^Ц=	-

А2 -+- В2 в2 н- (Аб)2

(58)

Таким образом, тонкие пучки (А5<|1) имеют коэффициент Г — (Аб)2,
что грубо соответствует более точной теории (см. II часть работы).
В противоположном случае широких пучков с равномерным распреде-
лением тока получаем Г = 1 (при АА^>1). Как будет показано далее
(II часть), широкие пучки с неравномерным распределением тока
имеют Г —у. Во всяком случае, коэффициент Г не превосходит еди-
ницы, так как сила взаимодействия между двумя поперечными сече-
ниями максимальна при расстоянии между ними, значительно меньшем
их поперечных размеров, а тогда имеем Г=1. Поэтому Г можно
назвать „коэффициентом депрессии" кулоновских сил в пучке (по срав-
нению с плоской электронной волной).

В заключение отметим, что с помощью усреднения по формуле (17)
и (46) мы приходим к соотношениям, справедливым для произвольных
пучков — иначе говоря, мы сводим все пучки к некоторому „эквива-
лентному пучку", на все электроны которого в данном сечении дей-
ствует одна и та же сила, равная средней силе в реальном пучке.
Можно предложить другой метод усреднения, а именно вместо выра-
жения (49) взять

£,=J E$*dS,	(59)

где знак означает комплексно сопряженную величину. Тогда ком-
плексная мощность, отдаваемая полю эквивалентным и реальным пучками

р„ = -1EJ* = - j J E,j'dS	(60)

будет одинакова. Формула (59) опять приводит нас к выражениям (47)
и характеристическому уравнению вида (20), однако в формулах для R,
нужно вместо |2 писать | |2, а величину S определять иначе

(я)

„ Энергетическое“ усреднение по формуле (59) является физически
'более естественным, однако оно не обладает свойством стационарности.
Оба способа усреднения дают существенно разные результаты лишь
в случаях, когда фаза переменной плотности тока сильно меняется по
сечению электронного пучка.

§ 3. Решение характеристического уравнения

Исследуем характеристическое уравнение (24) в случае замедляющей
линии без потерь, когда волновое число Ао вещественно. Сделаем под-
становку

^=Л0(1ч-ех); Л =Л0(1ег/),	(62)

где в этом параграфе мы обозначим

е =	(63)

Параметр е приближенно равен параметру С, введенному в книге
Пирса [э]; он является основным параметром малости лампы с бегущей
волной.

Подставляя (62) в уравнение (24), получим

(2 -ч- ty)y [(у — х)2— а2 (1 -ь ех)2] -ь 2 (1 -+- ех)2 = 0,	(64)

где

’’=7Г-	(65)

Благодаря малости е уравнение (64) упрощается и приводится к куби-
ческому уравнению

У [(у — х)2 — (Т2]-+- 1 =0,	(66)

в котором, кроме параметра х, характеризующего степень близости
фазовой скорости волны к начальной скорости пучка, имеется еще
параметр <т, определяющий влияние кулоновского взаимодействия элек-
тронов на волновые числа электронных волн.

Наибольший интерес представляют вещественные значения х и а
(<т>0), при которых уравнение (66) имеет комплексные корни (точнее,
два комплексно сопряженных корня ух и у.> и один вещественный
корень у3). Граница „области комплексности" на плоскости х, <s опре-
деляется уравнением

р3-ь?* = 0

р —— —-	(х2 ~t~ 3<г2);

q —	^х3 — 9х<>2 -1-

(67)

решение которого проще всего представить в параметрическом виде

х = ks;

13/*(fe2-9)-i-(fc3 ч-З)'7’
V 2 (fc2 -1)2

(68)

Эта область изображена на рис. 2 (криволинейный треугольник
АВВ'СА1). Верхняя ветвь АВ граничной кривой соответствует значе-
ниям—а нижняя ветвь ffC—значениям —co<^k<Z — 1.
Область комплексности неограниченно простирается вправо — в направ-
лении оси х, и влево — в направлении прямой х = — ст, и снизу огра-
ничена частью СА' оси абсцисс.

При данном значении с комплексные корни у могут быть лишь при

X mln (ч) X Ходх

(69)

Если 0 = 0, то xmln

= —1.89, а хпшж = со, и, следовательно,
V4

при сколь угодно малых скоростях электронов существуют электронные
волны с комплексными волновыми числами. При увеличении с значения
xmi„ и хга&1 постепенно сближаются и для больших значений о ком-
плексные корни могут быть лишь при х~ — а.

Формула (65) показывает, что параметр о при постоянстве прочих
условий пропорционален ро* или . При малых токах, когда а2<^1,
кулоновским взаимодействием можно пренебречь по сравнению с дей-
ствием „активной" волны замедляющей системы (£’"<^£^). По мере
увеличения силы тока /0 удельный вес кулоновских сил увеличивается,
параметр а растет, интервал (69) сужается и смекается в сторону
больших скоростей электронного пучка; при этом параметр е также
растет ( пропорционально .

Обозначая, комплексные корни как

y^y' — iy" и уз=у' -+-iy" (у">0)

(70)

и подставляя их в уравнение (66), получим

(УТ = 3 (у')2 - Аху' ч- х2 - о2.	(71)

Обозначая через у3 вещественный корень уравнения (66), будем
иметь

ул -+- у,, -t-y3 = 2х
или

У = х—(72)

Соотношения (71) и (72) удобно применять для расчета комплексных
корней уг и угу ъъкя известен вещественный корень Уз\ последний же
без труда вычисляется приближенными методами.
Значение х, при котором для заданного в достигается максимальное
значение у", получается из уравнения

X3 (Лс-1) = G®,

(73)

определяющего на плоскости х, а (рис. 2) кривую ОМ. На этой кривой

У

Х2-^. от =

(а2 — «2) (Зе® х2)

4х2

(74),

Формулы (73) и (74) выведены в статье Фридмана [*]. Зависимость
У и у" от <т на кривой ОМ изображена на рис. 3.

На рис. 4а и 46 дана зависимость у' и у" от х для ряда значений <тг
позволяющая судить о характере комплексных корней внутри области
АВ В’С А' на рис. 2.

Подставляя в формулу (47) выражение (62), получаем

или при малых значениях параметра е

где угол ф = агс(ф) определяет разность фаз между полем и пере-
менным током пучка J в электронной волне. Активная мощность Раъ
отдаваемая единицей длины пучка электромагнитному полю, равна

Ра = — | Re (£7*)	(76)

или в силу формулы (75)

Рв = ^М|Е;рсо8ф =—(77)

Угол ф определяет направление энергетического обмена между пуч-
ком и полем и, кроме того, положение „центра сгущения" электронов,
т. е. значение фазы, вблизи которой собираются электроны. А именно,
если ввести фазу ускоряющего поля Ф по формуле

Ег= — \Е’г\е№,

(78)
то наибольшее ускорение электронов достигается при ы£ = 2птг-+-Ф,
а наибольшее их сгущение—приы^=(2л-+-1)тс-ьФ-ьф (л=0, ±1,±2,...).

На рис. 5 дана зависимость угла (для возрастающей электронной
волны с корнем Уч) от а на кривой максимального усиления ОМ. Мы
видим, что наиболее быстрое возрастание электронной волны реали-
зуется при сгущении электронов близи наибольшего значения замедляю-
щего поля Е'г, так как угол невелик. Для затухающей электронной
волны мы получаем ф2 = л — фх» так что центр сгущения электронов
в ней находится вблизи наибольшего ускоряющего поля. Если элек-
тронная волна имеет вещественное значение у, то = ± j, и центр
сгущения совпадает с узлом поля.

Из рис. 6, где изображена зависимость от х при в — const,

ВИДНО, ЧТО ф! =-----2 ПРИ х = х Ш1П

и	при х = Хп.„. Это значит,

что при изменении х в пределах
интервала (69) в самых медленных
пучках электроны концентрируются
(сгущаются) вблизи минимума потен-
циальной энергии поля Е‘г, а в са-
мых быстрых пучках — вблизи макси-
мума потенциальной энергии. Ска-
занное относится к возрастающей
электронной волне, центр сгущения
электронов в которой находится
всегда в замедляющем полупериоде
поля £'.

Для исследования характеристи-
ческого уравнения (24) можно также
применить подстановку



Л=-(1-ьет)),
«о '	п

(79)

тогда при малых значениях е мы получаем уравнение

(г—

аричем величины £ и л связаны с х и у соотношениями

(80)

(81)

Подстановка (79) удобна при наличии потерь в линии, когда вели-
чина $ комплексна:	В этом случае полное исследование
корней кубического уравнения (80) произвести труднее, однако при
малых I" можно применить формулу

ч©=ч(Е')+Г-^,	(82)

где  есть значение производной при %' = 0. На рис. 7 ета вели-
чина изображена как функция а для значений х (или £), соответствующих
максимальному усилению (кривая ОМ на рис. 2): она является веществен-
ным числом и возрастает от у до при увеличении а.-

Кубические уравнения вида (66) или'(80) неоднократно рассматри-
вались в литературе, однако их вывод, как правило, отличался недо-

статочной строгостью и общно-
стью. Некоторые результаты ре-
шения таких уравнений приве-'
.дены у Пирса ([’], гл. VII и VIII)

Рис. б.

и у Клеена и Пешля [5]. Заметим, что подстановка (79) в обозначениях
Пирса имеет вид

Ло = [1 -4- С{Ь -ь id)]; h = [1 - С (у -ь /х)],	(83)

а наши параметры е и а2 выражаются через параметры Пирса С и Q
но формулам

е = С;	e2 = 4QC,	(84)

справедливым, вообще говоря, лишь при малых значениях е.

Следует отметить, что кубические уравнения (66) и (80) относятся
к „прямым“ электронным волнам. Для обратной волны подстановки
(62) и (79) неудобны, и ее волновое
число Л4 легко найти непосредственно
из уравнения (24), если учесть малость АН
параметров х и у	а5Г	------——

= -А.(1 -1).	(85) оа J

Таким образом, Л4 отличается от — Aq	/	2	~~3	4~~5 <3

весьма мало — на величину порядка е3.	_

В предыдущих рассуждениях мы вели-	1,в" *

чинами порядка е3 и еа пренебрегали.

Без этих пренебрежений исследование характеристического уравнения
(24) становится более сложным, так как тогда нужно учитывать зави-
симость параметров л и у от h и h$.
Во 11 части работы мы рассмотрим электронные волны в конкретных:
замедляющих системах. Особое внимание мы будем обращать на вычис-
ление коэффициента Г, для которого общая теория дает выражение
в виде ряда (23), плохо приспособленного для расчетов.

Литература

[1] Л.А. Вайнштейн. ЖТФ, XXIII, 654. 1953. — [2] О. D о hl е г, W. К I е е п.
АЕО, 3, 93, 1949.—[3] В. М. Лопухин. Лампа с бегущей волной. Изд. Сов.
радио, М., 1952. — [4] В. Friedman. J. Appl. Phys., 22, 443, 1951. — [5] W. Kleen,
К. Pose hl. FTZ, 6, 509, 1953.

Поступило в Редакцию
2 августа 1955 г.
ЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНЫ В ЗАМЕДЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ
II. КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ

Л. А. Вайнштейн

С точки зрения общей теории, развитой в I части работы, исследованы электрон-
ные волны в замедляющих системах частного вида: а волноводе с диэлектриком,
с „гребенкой" и в спиральном волноводе. Произведено сравнение с результатами,
имеющимися в литературе.

§ 1.	Волновод с диэлектриком

Электронные волны в различных замедляющих системах неодно-
кратно обсуждались в литературе. Ниже мы дадим обзор конкретных
систем и покажем, что все они могут быть исследованы с помощью
общей теории, изложенной в I части данной работы.

В статьях Ахиезера и Файнберга ['] и Лошакова [2] изучены элек-
тронные волны в обычном (например прямоугольном) волноводе, который
заполнен дивлектриком с диэлектрической постоянной а. Такой волновод
является простейшей замедляющей линией, и если принять, что элек-
тронный пучок занимает все поперечное сечеиие волновода, то задача
оказывается весьма простой, и характеристическое уравнение (в наших
обозначениях) имеет вид

(Л! -	[(Л -	- 7	] -ь Z (±- г)* =0,	(1)

где

2,2	,2	, Ш

g — и к — —

(2)

Уравнение (1), полученное непосредственным решением уравнений поля
и уравнений движения, полностью совпадает с нашим уравнением
(1.24),1 если в последнем положить

x=x(-fc)2’	(3)

Таким образом, в данной системе Г = 1, что легко вывести из фор-
мулы (1.23), поскольку R„ = 0 при s=/=0 в силу ортогональности волн
в волноводе.

Эта задача представляет лишь теоретический .интерес. Далее мы
рассмотрим системы, более близкие к действительности, и в частности
будем считать, что на пути движения электронов е = 1.

J ссылках иа формулы I части мы перед номером формулы ставим Цифру 1:
так (1.24) означает формулу (24) ив I части работы.
§ 2.	Волновод с „гребенкой"

Электронные волны в волноводе с гребенчатой замедляющей струк-
турой рассмотрены Лопухиным [3* *] (см. также [®], гл. XIV, и [“]).
Если электронный пучок полностью занимает поперечное сечение
плоского волновода, изображенного на рис. 1а, то характеристическое
уравнение имеет вид

p2th(<7a) = pn<7th(poa),	(4)

где

Ро=	— к2,

р = \/Л2 — к2,

(5)'

Обозначения здесь те же, что и в формулах (1.11) и (1.28). Для
симметричных электронных волн в плоском волноводе с двумя гребен-
ками (рис. 16) характеристическое уравнение имеет несколько иной вид

Рис. 1а.	Рис. 16.

p4th(qa)==puqcth(poa),	(6)

где 2а — полная ширина волновода, а осталь-
ные обозначения—те же, что и в ч. I.
В круглом волноводе с кольцеобразными
диафрагмами, радиус отверстия которых
есть а, характеристическое уравнение запи-
сывается следующим образом

о

Р

/о (уо) — „ „ 4 (Ро°)
А (уд) ” Ji (ро«)

(7)

При выполнении условий

qa 1; роа 1	(8)

уравнения (4), (6) н (7) сводятся к более простому уравнению



(9)

Учитывая, что при сильных замедлениях

Л2<Л2; £2<Л2

(Ю)

и принимая во внимание формулы (5), мы получаем уравнение

(11)

совпадающее с характеристическим уравнением (1.24), если в послед-
нем взять

x = Z; Т = 0.	(12)

Это значит, что в данной системе действие кулоновских сил сведено
на нет и параметры Гид обращаются в нуль.

§ 3.	Полый пучок в спирали

Полый цилиндрический пучок в спиральной линии исследован в ра-
ботах [’] и [8] (см. также [®], дополнение £). Обозначим радиус спирали
через а, радиус пучка через Ь, его толщину через </ и будем считать,
что толщина а достаточно мала

d^b; pd<^l; qd<^A	(13)
и что b<Za. В этом случае для электронных волн выводится характе-
ристическое уравнение

/<0\2

____________g<P°)___________— Х W пг/

,.2. мГ1	АГ0(р6) гч ч"!- It <»\гР ’

рЫй (pb) L1	/0 (Р6) с (ра) J г J

где

G(pa)

_ /оО>а) Г/btg^y/Upa)^^) _,
А'оСра) L\ Р / 1о(ра)Кй(ра)

(15>

Ко и /4 — функции Макдональда, 3 — угол намотки спирали (у—&
есть угол между витками и образующей цилиндра). Введем функцию

С.(М—(16>
1 *!

остающуюся конечной при Л=±Л0, так как волновое число
в спирали без пучка удовлетворяет уравнению

GM=0.	(17)

Выражая G через Glt мы легко приводим уравнение (14) к виду
(1.24), причем параметры к и у поручаются равными

Х = ^Р^Й&); Т = ХР*Щ>И)К0(р6),	(18)

откуда

V=p4>dI0(pb)K0(pb)	(19)

и, в частности, прир6>»1

Г = ур</.	(20)

В силу второго условия (13) тонкий трубчатый пучок имеет малый
коэффициент Г.

§ 4.	Сплошной цилиндрический лучок в соврали.
Случай тонкого пучка

Наибольший интерес представляют электронные волны в сплошном
цилиндрическом пучке 6, коаксиальном со спиралью радиуса а. Эта
задача рассматривалась рядом авторов ([8-1°], см. также [8], дополне-
ние Е). Характеристическое уравнение, получаемое интегрированием
уравнений движения и уравнений поля, имеет вид

£;=со«),	(2D

где

Я1 = р6/0(д6)/Г1(рЛ)-1-(76/1(96)/Г0(р6), |

H^pbl^Idpbi-qbl^^pb). I	К ’

Рассмотрим сначала случай тонкого пучка, удовлетворяющего усло-
виям

рЬ<^Л и дЬ*^1.	(23)
Пользуясь первыми членами разложений /0, /н Ко и Kt при малых зна-
чениях их аргументов, мы получаем

М = 1	4 (<72 - Р2) 62	1 (д2 - р2) 6Чп -ь ...,

Нг = Y (р2 —д2) 62 £ 1 -+- -д- (р2 -+- д2) Ь2~\

(24)

где ух= 1.7811... Применяя формулы (5) и (16), мы приходим к урав-
нению

р262Х

(ра)

(25)

совпадающему с уравнением (1.24), если в последнем взять

x=^-)7J т = |р262(1п^-н|)х,

(26)

а в уравнении (25) заменить 1—-^-р262 единицей. Таким образом, для
тонкого пучка

г=|р!6!(|п4»ч-т)’	(27)

что грубо соответствует оценке, данной в § 2 части I.

Исследование влектронных волн в спирали (особенно для конечного
радиуса пучка) в литературе произведено довольно искусственными и
непоследовательными способами (ср. § 6). Поэтому в следующем пара-
графе мы рассмотрим эту задачу подробно, опираясь на общие резуль-
таты I части.

§ 5.	Цилиндрический пучок в соврали. Общий случай

Найдем поле, возбуждаемое пучком радиуса b с распределением
тока по формуле (1.28). Это поле (для дальнейшего нам будет нужна
только его составляющая Е,) можно представить в виде суммы

Ег = Е°г+Е',	(28)

где Е°, есть поле пучка, Е\ —поле спирали. Поле E°t есть поле, кото-
рое данный пучок создавал бы (при том же распределении токов и
зарядов в нем) в пустоте. Для симметричной электронной волны с вол-
новым числом h составляющая должна удовлетворять уравнению

<29>

где J—полный ток электронного пучка, С—постоянная, определяе-
мая формулой (1.29), а р и q— те же, что и в формулах (5). Это урав-
нение имеет решение

E° = AI0(qr)-+- Aj0(pr) (при г <6),	(30)

где

оо
и Л1— произвольная постоянная. Вне пучка составляющая E°t удовле-
творяет уравнению (29) без правой части, и мы полагаем

Е° = А2Ки(рг) (при г >6),	(32)

где А2—вторая произвольная постоянная.

Поле Е*— есть поле, создаваемое током в спирали: последний,
в свою очередь, возбуждается полем (32). С помощью граничных усло-
вий на спирали (при г = а) легко получаем

Д.,=с$3/«<',г> ("₽ <•<«)•	(33)

Используя непрерывность Е, и на границе пучка, при г = Ь, мы
получаем

A =	Л2 = ЛЯ2,	(34)

где функции Hi и Н2 определяются формулами (22), а функция G (ра) —
формулой (15).

Поле внутри пучка равно

£,=л{4(»г)-ь[ -M +	(35)

Применяя соотношение (1.11), мы приходим
уравнению (21). Если вместо этого вычислить
то мы получим

г / ihoRr>  4яГ\ 7
-^5 J'»

где

„	2 P2Vo^) (2

Ко с kG^pa) то>

S дается формулой (1.30), <|/0 — формулой (1.38),

к характеристическому
Е, по формуле (1.46),

(36)

(37)

а коэффициент Г равен

= Р2 ( !_____________________________________________

(р2 _ ,2) Ь2 (?6) _	(?Ь)]

(38)

Это и есть коэффициент депрессии кулоновского взаимодействия
в пучке. Ранее мы имели для Г выражение (1.23), неудобное для расчетов.

Если сначала для простоты считать (ср. I часть, § 2), что перемен-
ный ток равномерно распределен по поперечному сечению пучка, то
7 = 0 и

Г = 1 — 2I1(x)Kl(x), x = pb,
откуда

„	1 2 /1	2	1 \	-,

1 =-2 х (*п—-t-Y/ при х<1,
что совпадает с формулой (27), и

Г = 1—при х^>1.

(39)

(40)

(41)

Последняя формула показывает, что достаточно широкие пучки с равно-
мерным распределением тока имеют Г = 1, что согласуется с форму-
лой (1.58).
Если далее полагать пучок тонким [условия (23)], то общая фор-
мула (38) опять переходит в выражения (27) и (40). Если же, наоборот,
считать пучок достаточно толстым (условия Ьр^>1 и д6^>1), то из
формулы (38) получаем простое выражение

Г

Р
р-*-Ч ’

(42)

согласующееся при q -* 0 с формулой (41).

Заметим, что формула (38) позволяет рассчитать коэффициент Г для
полого пучка, рассмотренного в § 3. В самом деле, если при произ-
вольном pb считать

д^>р и qb^>l

(43)

и в соответствии с формулой (1.32) положить q — ~j , где d — толщина
пучка, то мы возвращаемся к формуле (19).

Чтобы упростить вычисление коэффициента Г в общем случае,
естественно положить q = p. Раскрывая неопределенность, мы преобра-
зуем формулу (38) к виду

г = А рШхИ, W+ 4 W«^. W1-
Л I

/?(*•)

/о W-Z?W

(44)

где x = pb = qb. Это выражение переходит в формулу (40) при х 1
и дает Г = у при х^>1, в соответствии с формулой (42). На рис. 2
сопоставлены результаты расчетов коэффициента Г по формулам (39)
и (44). Мы видим, что при х<2 эти формулы дают близкие значе-
ния Г, а при х^>2 формула (39) может приводить к завышенным зна-
чениям Г.

§ 6. Цилиндрический пучок в спирали. Сравнение различных
подходов

Характеристическое уравнение (21) исследовалось в ряде работ
путем приближенного преобразования к алгебраическому уравнению
4-го порядка или — после пренебрежения обратной (4-й) волной — к урав-
нению 3-го порядка. Возможность такого преобразования была доказана
в I части работы для любых систем, причем одновременно был намечен
путь определения параметров х и у, входящих в уравнение 4-го порядка.
Идя по этому пути, мы получили в § 5 для пучка в спирали все не-
обходимые параметры.

Без общей теория I части приходится сложное трансцендентное урав-
нение (21) упрощать различными искусственными способами. Так, напри-
мер, его можно привести к виду

(<d>) Ip (pb) \ z,o /

где



(46)
Нетрудно указать два частных решения уравнения (45)

(47)

*=$ <48>

Действительно, если Ли- выбрать по формулам (47), то обе части
уравнения (45) обратятся в нуль, а если выбрать по формулам (48), то
они станут бесконечными. Если обозначить положительный корень
числителя правой части (45) через а та- р

кой же корень знаменателя — через А(2), то
неравенство



-<ЛИ
«о

определяет интервал скоростей v0, на ка-
кой-то части которого уравнение (45) имеет
комплексные корни, а вне этого интервала
комплексных корней заведомо нет.

Предполагая, что уравнение (45) сво-
дится к уравнению вида (1.24), можно подо-
брать параметры х и у, требуя, чтобы
уравнение (1.24) имело те же частные реше-
ния (47) и (48), что и трансцендентное урав-
нение (45). Так как частные решения урав-
нения (1.24) суть

Рис. 2.

1 — по формуле (39); 2— по формуле
(44); 3 — по формуле (52); 4— по фор-
муле (57).

<51>

то, сопоставляя их с выражениями (47) и (48), получим
Д = (1—Г)-£•; В = Г-^-

или

г=р4/,(р6)/С„(Ж;

(52)

Вычисляя Г по последней формуле и нанося его на рис. 2, мы
видим, что полученная кривая идет несколько ниже кривой, построен-
ной по формуле (44), и отличается от нее довольно мало. Это объяс-
няется одинаковым поведением обеих функций при малых и больших
значениях аргумента. Действительно, формуле (52) находим

Г = 2. х2 in	(х=р6<^1),

r=-J	(х=рй>1),

(53)

что соответствует поведению функции (44).
Выражение (52) для параметра

х можно представить в виде

рЧЧ1(рЬ)	2/ (х)

х = 7	.—г- Д, где Д = , т

л 2иг (ра) ’ "	х!0 (х)

(x = pb),

(54)

причем с помощью формул (37) и (1.25) легко показать, что фигури-
рующий здесь ковффициент Л имеет тот же смысл, что и в формуле
(1.41). Расчеты по формуле (54) показывают, что при конечных х она
дает завышенные (в полтора—два раза) значения Л.

В статье Чу и Джексона[•] характеристическое уравнение (45) иссле-
довалось по существу тем же способом, что и выше. Фридман [10]
использует другой прием, разлагая левую часть уравнения (45) по сте-
пеням X и отбрасывая члены порядка X и выше. Таким путем он при-
ходит к уравнению

(55)

__рЬ [/о

2I0(pb)h(pb)

(56)

Из уравнения (55) получаются выражения

r = <fpbI1(pb)K0(pb),	(57)

=1 - ГгаТ’{х=рЬ}-	(58)

*/0	L Jo WJ

Формула (58) практически совпадает с формулой (1.44), отличаясь от
нее лишь несколько иным определением аргумента х. Формула (57)
дает (см. рис. 2) при конечных значениях х ковффициент Г преумень-
шенным примерно в два раза, поскольку наиболее надежной нам пред-
ставляется формула (44). Таким образом, при искусственных упроще-
ниях трансцендентного уравнения возможны ошибки в значениях пара-
метров х и у— лишние множители порядка 2 или 3/2.

Предложенный выше общий метод рассмотрения электронных волн
может быть применен к другим системам, что позволяет исследовать
различные случаи с единой точки зрения.

Литература

[1]	А. И. Ахяезер к Я. Б. Файнберг. УФН, 40, 356, 1951. — [2] Л. Н. Ло-
шаков. ЖТФ. XXII, 194, 1952. — [3] В. М. Лопухин. ЖТФ, XXI, 516, 1951.—
[4] В. М. Лопухин. Возбуждение электромагнитных колебаний и волн электромагнит-
ными потоками. М., 1953. — [5] В. М. Лопухин. Лампа с бегущей волной.
М., 1952,—Гб] G. G. Macfarlane, А. М. woodward. PIRE, III, 97, 322,
1950. —[7] С. Shulman, М. S. Heagy. RCA, Review, 8, 596, 1947.-
[8] R. Fletcher. PIRE, 38, 413, 195O.-[9] L. Chu, J. D. Jackson. PIRE,
36, 853, 1948.—[10] B. Friedman. J. App). Phys., 22, 443, 1951.
ЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНЫ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ

Л. А. Вайнштейн

С помощью теории возбуждения периодических волноводов и вариационного метода
исследованы влектронные волны в периодических структурах. Произведено обобщение
соотношений, полученных раиее для „гладких" замедляющих систем, иа периодиче-
ские системы, в частности выведено характеристическое уравнение, позволяющее рас-
считывать линейные свойства ламп с бегущей и обратной волнами.

§ 1. Возбуждение периодических структур заданными источниками

Прежде чем рассматривать электронные волны в периодических
структурах, обобщим теорию возбуждения волноводов [*] на такие струк-
туры. Бесконечная периодическая структура определяется соотноше-
ниями

+ = п= 2............................

а(х, у, Z Н-п£))=и.(х, у,

где £ и [х — диэлектрическая и магнитная проницаемости (вообще говоря,
комплексные); D — период структуры по оси z. Мы будем, кроме того,
считать, что рассматриваемая система является „закрытой", т. е. в каждом
поперечном сечении z = const электромагнитное поле занимает конечную
площадь с соответствующими условиями на границе (cp.f1]). Такую
систему можно также назвать периодическим волноводом.

Собственные волны в данной системе образуют дискретный спектр.
Обозначим через Е.,, Н, поле электромагнитной волны, имеющей индекс s
и удовлетворяющей однородным уравнениям поля в комплексной форме

rotE=Al<iH, rotH = — iksE.

(2)

Векторные функции Es и Н, в силу соотношений (1) обладают следую-
щим свойством

ЕДх, у, z-i-nD) = eih>,,I>K(x, у, z),
Н,(х, у, zh-nD) = eiAe"flH,(x, у, z),

(3)

которое можно рассматривать как обобщение известной теоремы Флоке
(см. „Приложение" I). Величина А, называется волновым числом s-й
волны; впрочем, с таким же успехом волновым числом можно назвать
величину



т = ±1, ±2, -..,

(4)

поскольку при замене Ав на Ks соотношения (3) остаются в силе.
Существенно, что каждой электромагнитной волне с номером s и вол-
новым числом А, соответствует волна, которой можно присвоить ин-
декс —s и которая имеет волновое число, равное

h-.= -h.	(5)

или отличающееся на слагаемое , как в формуле (4). Соотноше-
ние (5) является следствием теоремы взаимности и может нарушаться
лишь при наличии гиротропных сред. Оставляя такие среды в стороне,
мы можем сказать, что в любой периодической структуре каждой „пря-
мой" волне (имеющей при наличии потерь в системе 1mA, ^>0) соответ-
ствует „встречная" волна (у которой А_, = —Af и ImA_., <С0).

Если периодическая структура обладает симметрией относительно
плоскости z=0 (например гребенчатая система)

з(х, у, —z) — s(x, у, z), u(x, у, — z) = p(x, у, z),	(6а)

то поля прямой и встречной волн

связаны соотношениями

ELs(x, у, z) = — Е',(х, у, —z), H'_s(x, у, z)= Н'(х, у, —z),
Е'..,(х, у, z) — Е^(х, у, -~z), Н(_,(х, у, z) = —Н«(х, у, —z),

где индексами t и / отмечены поперечные и продольные части полей
(ср.[‘]). Если периодическая структура симметрична относительно центра
x~y=zz— 0 (например спираль), так что

г(—х, —у, — z) — s(x, у, z), ;х(—х, — у, — z) = p.(x, у, z),	(7а)

ТО

Е_,(х, у, z)=E,(—х, —у, —z), Н_,(х, у, z) = —Н,(—х, —у, —z). (76)

Соотношения (6б) и (7б) легко проверить непосредственной подста-
новкой в уравнения (2).

Если, наконец, периодическая структура не имеет потерь, то в каждой
точке

 = г*, ч = [1*,	(8а)

и распространяющиеся волны (имеющие вещественные волновые числа А,)
удовлетворяют соотношениям

__ ?#	II ___

_в = cs ,  н_5 = —И® »

(86)

поскольку комплексно сопряженные векторы Е* и Н* вместо уравне-
ний (2) должны удовлетворять уравнениям

rot Е* = —rot Н* = /Аг*Е*.	(9)

Все эти частные случаи приводят к формуле (5). Последняя фор-
мула, однако, сохраняет свою силу и при отсутствии дополнительных
условий (6а), (7а) или (8а) (см. также „Приложение" П).

Условие ортогональности для волн в периодическом волноводе вы-
водится с помощью леммы Лоренца. Обозначим через

, = j ([ЕН,,] - [ES,H,]) IdS

(Ю)
интеграл, взятый по поперечному сечению z (1 — единичный вектор
по оси z). Рассуждая как в работе [*], легко показать, что этот инте-
грал не может зависеть от z. С другой стороны, из формул (3) выте-
кает, что

4,(z -ь nD) =	з, (г).	(П)

Отсюда видно, что должно выполняться соотношение ортогональности

(12)

и мы можем получить 7^,=^= 0 лишь при выполнении условия

=	+	(m = 0,±l,±2,...),	(13)

т. е. при s' = —s [см. (5)]. Поэтому норма N, для волны с индексом s
определяется по формуле

N

я

4 К	8» —S’

(14)

Пользуясь соотношениями (12) и (14), нетрудно вывести выражения
для поля Е, Н, возбуждаемого сторонними (заданными) токами j' н jm.
Эти выражения формально совпадают с окончательными формулами
работы [*] и имеют вид

(15)

причем символ (zn z) означает интегрирование по всем источникам,
находящимся левее данного сечения z, а символ (z, z2) — интегрирова-
ние по всем источникам, расположенным правее z.

§ 2. Система интегральных уравнений для функций расиределения
пространственных гармоник тока. Вариационный метод

Исследуем электронные волны в периодических структурах, ограни-
чиваясь теорией малых монохроматических сигналов (временнбй множи-
тель е_<ш*)- Будем считать, что электроны движутся по оси z, так что
переменная плотность электрического тока j* имеет единственную со-
ставляющую

. 2“ Л»

=	S’PbU, у) в ° ,	(17)

m

соответствующую электронной волне с неизвестным пока волновым
числом Л. Через 7П обозначена амплитуда тока в пучке, через tym(x,y)—
функция распределения тп-й пространственной гармоники тока. Символы
i,» 1 и т. п. здесь и далее обозначают суммирование от —са до со,
m р

а символ 2 соответствует суммированию лишь по всем прямым волнам.
s

Электрическое поле волн с индексами s и —s имеет продольную
составляющую
 2ся I

=	3 'Рг.Л*»	° '>

(18)

. 2гсл	4	'

3	у)е D ‘ ,

где „амплитуда" электрического поля £° г в прямой и встречной волне
для простоты взята одинаковой. При справедливости соотношений (6б)
или (7б) функции распределения гармоник электрического поля ср и
э_г п связаны между собой следующим образом

у) = <ра _п(х, у).

(19)

Если функции ср и „ вещественные, то эта связь следует также
из формул (8б).

Формулы (15)—(18) позволяют получить следующее выражение для
поля £„ возбуждаемого током (17),

или

^9, ij — m — п	—», п

h — hs I- 2я

(21)

где введены сокращенные обозначения

,, ,.= Н К (*» у) Ъ,»(*» у) dxdy	(22)

И



/?? = -2

(23)

Из уравнения движения и уравнения непрерывности вытекает соот-
ношение

’•Чп) '

где мы считаем s = l в области пучка, а / определено формулой (12)
статьи [2].
Приравнивая правые части формул (21) и (24), мы приходим к си-
стеме интегральных уравнений для функций ф?(х, у)

У)~*~ S [[^/>я,(х, у; X, у, А)фт(х, y)dxdy = 0,	(25)

in JJ

где

K<i.m(x, у; х, у; h) =

(27)

Формулу (26) легко преобразовать к виду

ч (х, у-, х, г/; Л) =	/?о

v ‘ т 8, ,,4-т+Я (х-	у+ш+я (х, у) -f ti	(х, у)

т -+- л	т -+- п

Л —. —>- 2“	h. +• Л* 2

так что при выполнении соотношений (19) мы получаем тождество

А?,,1П(х, у, х, у;. h) = Кт.ч(х, у; х, у, h),	(29)

показывающее, что система интегральных уравнений (25) является сим-
метричной. Это тождество служит основой дальнейшего изложения.
В случае, когда это тождество не выполняется, задача становится
более сложной; соответствующие формулы приведены в „Приложе-
нии" Ш.

Пользуясь тождеством (29), нетрудно образовать стационарный функ-
ционал для вычисления волнового числа электронной волны. Он имеет
вид

E[h, Я= S	y)dxdy-^-

ч

2 IIII ^ч.™(х, у; X, у, А)ф?(х, у)'Ъ.п(х, y)dxdydxdy = O. (30)
7, m

Легко показать (ср. [2]), что находимое из этого уравнения волно-
вое число А является стационарным функционалом относительно всех
функций фг(х, у). В явном виде характеристическое уравнение (30)
можно записать так

2 ". U	(*• ii 2 2 х

ч	7»	>» н

'j	О

.	—а, ч—т—ят?л, з, п

(31)

К -ь А» -ь 2т:

т -+- п

D
Для практических расчетов это характеристическое уравнение сле-
дует аппроксимировать алгебраическим уравнением. Прежде чем произ-
водить эту аппроксимацию, рассмотрим более детально физический смысл
вариационного метода.

§ 3. Вариационный метод как усреднение по периоду структуры.
Характеристическое уравнение

Введем обозначение

. 2-т
S 'К(*> у)е ’ л
tn

(32)

Сравнение с формулой (17) показывает, что j* отличается от ]г за-
меной z на —z; при вещественных значениях /0, Л и ’ЬО1(х, у) функ-
ция является комплексно сопряженной по отношению к функции jt.
Среднее значение электрического поля Е, по периоду стуктуры опре-
делим следующим образом

/7 —— —L» f У S К г] ТД

(33)

Изложенный в § 2 вариационный метод сводится, как мы увидим ниже,
к усреднению двух выражений для электрического поля и их сопостав-
лению.

Из формулы (21) мы получаем

О'

Введя обозначения

ф ф	/?0 ф	X1 ф

i, Р 8	•'?, 8 > Ч—Р ‘ 1п1 p—nt 8	‘	*• т~ Р	—8, p—fm

»/, in	т	т

R =-. /?0 уф Ф = /?0 у ф у ф

8, ?	& Ту, —у, у —р । tn, 8, р—т * в । m, —8, тп—р г т, 8, р—пи

у, m	т	т

мы можем переписать выражение (34) в виде





S Л 'tfdxdv С-

(36)

Если А«±Л0, где Ло — волновое число волны с индексом s = 0,
а все другие волновые числа	достаточно далеки от hu, то
выражение (36) можно записать как сумму „резонансных" и „нерезо-
нансных1* членов

• -Р (	, 2”ГЬ

| 2 \ А — Ао A -t- Ао / iu>S J *'«'

(37)

Здесь для краткости мы пишем R* вместо /?* , а отношение

у равно

Г

S



R?

<1

2яр
А —А,ч- D

(38)

л+л,^

где символ означает суммирование по p=^=Q при s = 0 и по всем р
».р

при 3=5^0. Выражение (37) аналогично формулам (46) и (47) работы[2];
различие лишь в том, что в периодической структуре сопротивления
связи для прямой (Л^-) и для встречной волны (/?“), вообще говоря,
не совпадают.

Усредняя таким же образом выражение (24), находим

(39)

Если мы ищем волновое число Л я»	то выражение (39) удобно

преобразовать следующим образом

где

i = Jj y}dxdy

(40)

(41)

И

g-=5® 2 (А П dxdy* <42>
')=#0

В формулах (37) и (38) можно положить (5=5’0; тогда Г — коэффи-
циент депрессии сил расталкивания — будет равен

Г = 1 -+- 50	fj Ф,/ (*. У) dxdy—

ч^о '

(43)

В этом выражении второй член (сумма по всем </=/= 0) дает увеличе-
ние сил кулоновского расталкивания за счет высших пространственных
гармоник тока, а третий член (ряд 3') обусловлен „нерезонансными**
пространственными гармониками волны s — О и всех других волн. Если же
в формуле (38) положить

1

5

^dxd^'

ч

(44)

то коэффициент Г будет равен

(45)

что соответствует формуле (23) статьи [2]. Однако в дальнейшем мы
формулами (44) и (45) пользоваться не будем, а положим S=S0 и оп-
ределим Г по формуле (43).

Приравнивая выражения (36) и (39), мы приходим опять к характе-
ристическому уравнению (31). Если же приравнять выражения (37) и (40),
то мы получаем характеристическое уравнение

(46)

где

Ад '

... 'Л *7

7 4- Au •

(47)

Иначе можно характеристическое уравнение записать в виде

где введены обозначения

Ар-«-Л
гл,,:

(49)

Формулы настоящего параграфа применимы, когда фазовая скорость
какой-нибудь пространственной гармоники волны с индексом s-c= 0 близка
к скорости электронов. Действительно, в определении волнового числа Ло
имеется произвол [формула (4)], так что под Ао можно понимать волно-
вое число пространственной гармоники, синхронной с пучком.

Характеристическое уравнение (48) формально совпадает с характе-
ристическим уравнением электронных волн в „гладкой" замедляющей
системе (формула (24) статьи [2]) и может быть исследовано тем же спо-
собом, что и в статье [2]. Заметим, что параметры * и у в этом уравне-
нии определяются более сложным образом, чем в случае гладких систем:
так например, параметр /~х+ для прямых волн (Л«з h0), в то время
как для встречных волн (при Л» — Ло) мы имеем х»х~. При синхро-
низме пучка с обратной гармоникой (ср. далее § 4) мы получаем отри-
цательные значения х; параметр у, согласно первой формуле (49), также
может быть отрицательным.
§ 4. Некоторые дополнения

Из предыдущего анализа следует, что при Л» — основную роль
играет нулевая гармоника плотности тока (17), имеющая волновое
число h и функцию распределения ф0(х, у). Действительно, записывая
продольную составляющую электрического поля электронной волны
в виде

,2mi

Ег = ЕУг 2 <?„(*> у)е " *,	(50)

мы из формулы (24) получаем соотношение



TnU. у)

(‘--о-J

(51)

показывающее относительно большую величину функции ф0(х, У) по
сравнению со всеми другими ф„(х, у), если только функция распреде-
ления поля ?0(х, у) не слишком мала по сравнению с другими ?„(х, у).
Благодаря этому формулы (35) для и R~ упрощаются следующим
образом

=-^oh).o.olt'o,-o.o	(52)

или при выполнении условия (19)

/?+ = /?0- = /?0ф02>010.	(53)

В этом приближении параметры х+ н равны.

Соотношение (51) позволяет, в частности, оценить величину (42),
а именно

2 {, 2пт

ff ?0 <-т, у) dxdy

(54)

где интегрирование производится по сечению электронного пучка.

При	согласно формуле (79) работы [2] можно написать h =

— ^(l-bsi])f где г — параметр малости (см.[2], формула (63)), а т]— ком-
плексное число порядка единицы. Если в формуле (54) функция <р0(х, у)
не мала по сравнению с другими функциями ^|И(х, у), то мы получаем
такую оценку

g ~ \ \2rJ
или

(^?)2 ~ (iyа4т<4>	(55)

где и — — есть пролетный угол электрона, соответствующий одному
периоду структуры. Так как по формуле (65) статьи [г] Гу = <з2е2, где
параметр а не превышает нескольких единиц, то в первой формуле (49)
второе слагаемое обычно мало по сравнению с первым, если только
угол 0 не слишком велик (скажем, если 6<^ir или &<^2я).

Аналогичным путем для второго слагаемого в формуле (43) мы по-

лучаем оценку

2 f Н"(х> у) dxdy

"тН b"(Xi y}dxdy

D pq/__________

J j ?o (x> Jxl&

(56)

так что при конечных 6 оно всегда мало по сравнению с единицей.

Оценки (55) и (56) не применимы лишь при синхронизации пучка со
сравнительно слабой гармоникой (если | <р01 <С I I, например), когда
в правых частях этих соотношений появляются большие множители
одинакового порядка.

Выражением (50) удобно пользоваться в приближенных вычислениях,
поскольку естественно заменять неизвестные функции <р„(х, у) функ-
циями <ро я (х, у), соответствующими волне (18) с индексом з = 0 в пе-
риодической структуре без пучка. Возможны и другие аппроксимации.
При рассмотрении конкретных систем основная задача (ср. [2] и [3])
заключается в определении коэффициента Г, для которого мы выше
нашли выражение в виде ряда (43), неудобного для расчетов. Поскольку
теория волн в периодических структурах достаточно сложна, каждая
структура требует в сущности отдельного исследования. Общая теория
электронных волн, развитая выше, сводит это исследование к вычисле-
нию ряда констант и обеспечивает стационарность характеристического
уравнения.

Выше мы показали основное значение нулевой гармоники плотности
тока (17). Соответствующую функцию распределения ф0 (х, у) есте-
ственно нормировать следующим образом

J J Фо (х> У) dxdy = 1,	(57)

тогда 1а будет комплексной амплитудой тока этой гармоники, а 50
(формула (41)) — эффективным сечением пучка для нее.

В разложениях (18) для волн с индексами 0 и —0 нулевые простран-
ственные гармоники (п = 0) также наиболее важны, поскольку прибли-
женные формулы (52) содержат (в отличие от точных формул (35))
только интегралы (22) от функций <р+0 0 (х, у). Нормируем функцию
<р0 0(х, у) так, чтобы она была равна единице в некоторой точке элек-
тронного пучка, например на его оси или крае. Тогда величина
будет комплексной амплитудой продольного поля нулевой гармоники
в данной точке поперечного сечения, а величина по формуле (23) —
сопротивлением связи волны с индексом s = 0 и „линейного1* пучка, про-
ходящего через данную точку. Заметим, что в знаменателе формулы (23)
стоит норма этой волны, определяемая формулой (14) и относящаяся
к волне в целом, т. е. к сумме всех пространственных гармоник. Можно
показать, что при отсутствии потерь в линии абсолютная величина
нормы равна учетверенной мощности, переносимой всеми пространствен-
ными гармониками незатухающей волны через поперечное сечение ли-
нии, н выражение для коэффициента связи согласуется с результатами
работ [4> ®]. Коэффициенты при Л® в формулах (35), (52) и (53) дают
поправку на конечные поперечные размеры электронного пучка.
Выражение (37) определяет электрическое поле, возбуждаемое током
электронного пучка: оно состоит из „резонансных11 слагаемых, пропор-
циональных Rf и R^, и нерезонансного слагаемого, пропорционального Г.
Коэффициент Г (ср. [2]) можно назвать коэффициентом депрессии куло-
новских сил в пучке: его отличие от единицы, согласно формуле (43),
связано, во-первых, с наличием высших пространственных гармоник
в токе пучка [по формуле (56) это обстоятельство слабо влияет на Г]
и, во-вторых, с возбуждением нерезонансных гармоник волн з = ±0 и
всех других нерезонансных волн (s^=±0).

Выражение (40) определяет действие электрического поля на пучок.
При этом слагаемое, пропорциональное g2, обусловлено наличием высших
пространственных гармоник в токе пучка; согласно формуле (55), этим
слагаемым можно обычно пренебречь.

Соотношения, полученные в данной статье, позволяют сравнить
между собой электронные волны в периодических и „гладких11 замедляю-
щих системах, а также сформулировать нелинейные уравнения для лампы
с бегущей или обратной волной.

ПРИЛОЖЕНИЯ

I.	0 теореме Флоке для периодических структур

В периодическом волноводе с периодом D полная система решений
уравнений поля (2) образует последовательность ега, hm. Поля

<(х« У' *) = ®т(х>	«-»-£>),	К»(х’ У> *) = hra(x, у, z-t-D)

также удовлетворяют уравнениям (2), поэтому их можно представить
в виде линейных комбинаций

®га 2 атм®п ’	,

и	и

где ати — постоянные коэффициенты. С помощью последовательности ет,
можно построить последовательность Е„ Н„ удовлетворяющую соот-
ношениям

н;=».н.

Если „характеристические числа11 р4 представить в виде = то
эти соотношения совпадут с формулами (3). Векторы Е, и Н4 можно
искать в виде
ш	т

где 6„т— неизвестные константы, для которых получается система
линейных алгебраических уравнений. Числа р, суть корни характеристи-
ческого уравнения

Det||am„ —рВтв|| = О,

где 8тя — символ Кронекера.

Полученные соотношения аналогичны обычной теореме Флоке в тео-
рии линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффи-
циентами. Отличие заключается лишь в том, что система уравнений
для Ът в общем случае бесконечная, и характеристическое уравнение
имеет бесконечное множество корней р„ что требует исследования схо-
димости и других математических проблем. Случай, когда характери-
стическое уравнение имеет кратные корни или корни, равные =tl, также
приводит к дополнительным трудностям.

П. О соотношении (5)

Связь соотношения (5) с обычной теоремой взаимности можно пояс-
нить следующим образом. Пусть мы имеем две системы сторонних
токов и j2, возбуждающих в бесконечном периодическом волноводе
поля Еп Hj и Е2, Н2 соответственно и удовлетворяющих теореме взаим-
ности

jyiE2Jl7=fj'E1JK

Мы предполагаем, что системы токов и j‘2 занимают конечный
объем, причем все токи j2 лежат правее всех токов j“ (при ббльших z).
Очевидно, что перемещение токов на отрезок nD по оси z (д = 1, 2, ...)
приведет к такому же изменению правой и левой частей этого соотно-
шения, как и перемещение токов j* на отрезок —nD. Однако поле Et
обусловлено прямыми, а поле Е2 — встречными волнами, и выполнение
теоремы взаимности при любых п возможно лишь при справедливости
соотношения (5).

Ш. Вариационный метод при невыполнении условия (29)

Формулы (26) и (28) приводят к тождеству

Кч, т(х, у; х, у; h) — K-m,-q(x, у, x,y;—h),

имеющему место, в отличие от тождества (29), для любых периодиче-
ских структур. Рассмотрим функции фх(х, у), удовлетворяющие системе
интегральных уравнений

#ДХ(*.	У> х' У’ h^m&’ y)didy — Q.

m

Нетрудно показать, что функции фх дают распределение тока

ЛХ=4е^'’'2ф*(х, у)е °	(а)

ч

в электронной волне для пучка, который пронизывает периодический
волновод в противоположном направлении (т. е. имеет скорость — va
вместо ег0).

Стационарный функционал записывается теперь в виде

£[А, фх, ф] = 5Я?//<|»х(х, у)^(х, у)dxdyч~

-+- 2ИИУ’ *’ У’ h) ФЗХ> У) Ф«(х’ 9)dxdydidy — Q
у, m

или

2",И Фх(*- У) Ф, (х, у) dxdy -+-

. ° 'ЧГ1 ОО	—w——а,п  arq—m—ифт, а,н  л

9	тн~п .	~т+п ’

8rn "	~—
Физический смысл вариационного метода заключается в усреднении
но периоду структуры (ср. § 3), однако вместо „весовой функции" (32)
в общем случае нужно брать приведенное выше выражение (а). Фор-
мулы (35) изменяются следующим образом

/?+ — р° У ф х	Уф

гm,s, т—р	Twit—8,р—m’

тл	m

R~ =Я»Уфх	Уф

»,p в	Тот,— «,я1—р •“ 'wi,s,p—я»’

пт	т

а в формулах (36), (38), (39), (41), (42), (43) и (44) нужно написать
Ф*(х, У) Ф? (*• у) вместо ф® (х, у).

Литература

|IJ Л. А. Вайнштейн. ЖТФ, XXIII, 654, 1953. — [2] Л. А. Вайнштейн.
ЖТФ, XXVI, 126, 1956. —|3| Л. А. Вайнштейн. ЖТФ, XXVI, 141, 1956.—
|4| Л. Н. Лошаков. РиЭ,, 2, 461,1957. — |5j М. Ф. Стельмах. РиЭ, 2, 470,1957.

Поступило в Редакцию
8 марта 1957 г.
ЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНЫ В ЗАМЕДЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ,
О НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯХ ЛЕВ*

Л. А. Вайнштейн

Произведен анализ сил, действующих на электронный пучок в не-
линейном режиме. Сформулированы н исследованы уравнения нелиней-
ной теории Л Б В. Изложен метод последовательных приближений и дан
пример расчета по этому методу. Обсуждены некоторые вопросы нелиней-
ной теории ЛБВ.

ВВЕДЕНИЕ

Теория волн, распространяющихся вдоль замедляющей системы с
электронным пучком, составляет существенный элемент теории лампы
бегущей волны (ЛБВ). Линейная теория таких «электронных» волн изло-
жена в работах автора [1]. В данной статье автор ставит своей целью обоб-
щить результаты этих работ на нелинейный режим, т. е. вывести основ-
ные уравнения нелинейной теории ЛБВ. Поскольку решение этих урав-
нений представляет серьезные вычислительные трудности, достаточно
строгий вывод уравнений, пригодных для любых замедляющих систем,
является важной предпосылкой теоретического исследования нелиней-
ных свойств ЛБВ, которое будет проведено в последующих статьях.

В нелинейной теории ЛБВ определенный интерес представляет также
вопрос о границах применимости метода последовательных приближений,
который в качестве исходного приближения использует решение, полу-
ченное при помощи линейной теории. В самом деле, широкая примени-
мость этого метода означала бы, что существенно нелинейные свойства
ЛБВ можно рассчитывать сравнительно простыми средствами, не прибе-
гая к современной вычислительной технике. Однако подробное рассмотре-
ние этого вопроса в данной статье показывает, что метод последовательных
приближений является неэффективным.

1. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЭЛЕКТРОННЫЙ ПУЧОК В НЕЛИНЕЙНОМ
РЕЖИМЕ

На основании результатов I и II частей данной работы [1] можно сфор-
мулировать уравнения нелинейной теории лампы бегущей волны (ЛБВ).
Пусть на вход лампы, работающей как усилитель, подается периодиче-
ский сигнал с основной частотой со. Тогда конвекционный ток пучка
j =j (z, /) можно разложить в ряд Фурье

7 =/ +Re 2 /пе-£п“',	(1)

П— 1

где / — среднее значение тока, /п — комплексная амплитуда его n-й гар-
моники.

Каждая гармоника тока возбуждает электромагнитное поле по зако-
нам, изученным в I части работы. Обозначая через Е = E(z, i) мгновен-
ное значение z-й составляющей электрического поля, действующего на
пучок, мы можем написать:

4тгГ

Е»Ве2(£п + т=^-,„)е(2)

* Содержание данной статьи доложено на Первом Международном конгрессе по
электронным приборам СВЧ, Париж, 1956 г.
пренебрегая электростатическим полем от постоянной составляющей
плотности электронов (т. е. «провисанием потенциала»). Для каждой
гармоники и электрического поля мы пишем выражение, аналогичное
выражению [I, (46)]. Через Еп обозначена n-я гармоника медленной
волны в линии, возбуждаемая электронным потоком и имеющая «резонанс-
ный» характер: в рамках теории малых сигналов эта часть поля для элек-
тронной волны определяется первой формулой [I, (47)]. В общем случае
Еп и fn связаны дифференциальным уравнением

П 4“ Ao,n^n =	l^0,-n-^0.n7n	(3)

dz2

или интегральным соотношением, как в формуле [I, (7)]:

Еп (z) = - | R0,n	(7) dz.	(4)

Через hOtn мы обозначили волновое число n-й гармоники медленной
волны в линии, а через /?0|П — сопротивление связи этой гармоники с
пучком. Заметим, что hOfl и 7?0>i в I части работы обозначены просто
через Ло и /?0, поскольку в линейной теории при монохроматическом
игнале ток и поле имеют лишь одну гармонику.

Слагаемое Re (	/ne~in“!) в формуле (2) определяет п-ю гармонику

сил расталкивания в электронном пучке; через Гп обозначен коэффициент
депрессии сил расталкивания на частоте цы; через Sn—эффективное
сечение пучка на той же частоте (ср. § 2 части I).

Остальные уравнения нелинейной теории ЛБВ формулируются без
труда. Уравнение движения имеет вид:

9v , ди е j-,	с

5Г +	= — Е,	(5)

dt ' dz т	' '

где е и т — заряд и масса электрона, a r = v(z, Z) — скорость его дви-
жения по оси z. Если через T = 't(z, t) обозначить погонный заряд пучка,
то уравнение непрерывности запишется в виде

1г + й- = 0’/ = та-	(R)

Ниже мы несколько упростим эти нелинейные уравнения.

2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БЕЗРАЗМЕРНОМ ВИДЕ

Обозначим через %, vn и /0 = >zovo погонный заряд, скорость и невозмущенного электронного пучка. Введем безразмерные величины	ТОК
,	Т 	V	j  т' = 	V = 	 , ] —  та	v0	/о	(7)
безразмерные независимые переменные	
, <oz	.  2	- — , t = lid,	(8)
безразмерное ускорение	
/' =“	(9)

где / = ^Е, и безразмерное волновое число медленной волны в холодной
линии на частоте пш
В дальнейшем мы будем применять безразмерные величины (7—10),
опуская, для сокращения письма, штрихи. Уравнения (5) и (6) приво-
дятся к виду

dt + dz ~ 0 И dt + dz ~	(И)

где

/ = гви»=|-»1 2,	(12)

причем величину w можно назвать безразмерной кинетической энергией
электронов. Четыре величины т, в, / и w, характеризующие электронный
пучок, являются периодическими функциями t и могут быть разложены
в ряды Фурье. Среднее значение данной величины за период колебания
(постоянное слагаемое ряда Фурье) мы обозначаем чертой сверху. Из
уравнений (11) мы получаем

— — 1

j = 1 и w = -g ,	(13)

поскольку мы считаем / = 0. Поэтому ряды Фурье имеют вид:

т = т —|- Re У тпе , v = v —[- Re 2
п	п

.	(14)

/	+ Re 2 /ne-inl, w = -х +Re 2iz>ne—in(,

n	n

где величины т, v, тп, иП1 /п и wn зависят лишь от z, а суммирование
2 производится от п = 1 до п = no. Такое же разложение можно напи-

п

сать для безразмерного ускорения (или безразмерной силы)

у — Ro (yn e
n
причем /п должно удовлетворять уравнению

d2/n 2

+ Цп/п = — г’хп7п •

Безразмерные параметры хп и равны:

X

п

М)' еДО.п/о
‘ ° ' mho,nvl

(15)

(16)

(17)

4тет0Гп
у —-	......

*" ma>2nSn

Обычно они малы, что приводит к некоторым упрощениям (см. § 3).

Подставляя ряды (14) и (15) в уравнения (11), получаем

—— =	— = znVyi	:"= Ij2,«..)	(18)

Помимо линейных уравнений (16) и (18) имеются еще нелинейные
соотношения, связывающие между собой амплитуды различных гармоник
и вытекающие из формул (12). Если ввести обозначения

т_п = т’п, в_п = г>; (и = 1,2,...)	(19)

(знак * соответствует комплексно сопряженной величине), то, приравни-
вая средние значения правых и левых частей (12), мы получим:

1 = ТУ +	2 Tmy_m, у = ~ (у)2 + У 2 vmV-m

тп	m
или

(20)

При п = 1, 2, ... соотношения (12) дают

/п = IVп + ТПУ + -i- 2

тп

- iy	<21)

Wn = vvn + у ?, VmVn_m.

тп

Через 2 здесь обозначено суммирование по т от — оо до ею, причем

произведения	или Vm^n^, у которых один из индексов и т2

(или оба) равен нулю, в сумму не входят.

3.	МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИЕСЯ АМПЛИТУДЫ.

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ

При исследовании нелинейных уравнений § 2 нужно учесть, что
параметры хп суть малые числа, быстро убывающие с ростом номера п:
xi > х2	хэ • • •	(22)

Параметры также обычно малы, но больше параметров хп. Малость
хп и уп означает малость сил, возмущающих равномерное движение
электронов, поэтому действие этих сил сказывается лишь на больших
безразмерных расстояниях z благодаря накоплению взаимодействия.
Введем медленно меняющиеся амплитуды всех гармоник по формулам

тп = einzTn (С), /п = е'пlJn &,
vn = seinzVп (С), wn = eeintWn

fn = ^zFn(q,

где «медленно меняющаяся» координата С равна:
С = EZ,

a s есть основной параметр малости для ЛЕВ,

(23)

(24)

(25)

В части 1 определены параметры х и у на частоте ы при помощи
формул [I, (25) и (26)]. Параметры хп и уп, введенные выше, соответ-
ствуют значениям х и у для частоты пы; в частности, можно считать xj=x
и fl = у, и параметр (25) практически совпадает с параметром (I, (63)]
линейной теории; обычно г — 0,02, однако в мощных лампах может быть
s ~ 0,1.

Из уравнений § 2 вытекают следующие уравнения для медленно
меняющихся амплитуд:

(Y ___ г \

rt, - е On •'’О'

= 7	- ia"nJn,

К Н---------= -

(26)
где новые параметры и ая равны:
V — *п — *п „г ___________________________ Гп	/г>г7\

Хп- 2^3 -	°" -	(27)

Нелинейные соотношения (21) преобразуются следующим образом
(п -—- 1, 21 ...).

Jn = vTn + EtVn + Фп,

(28)
Wn = vVn+ ~ Yn,

где

®n = 2 T’nJ' n—mi 'I”*n = ~2 2 VmVn-m-	(29)

m	m

Кроме того, формулы (20) дают

v=]/l — J То, w=l —|-ф01	(30)

так что формулы (28) принимают вид:

7Я = 7’я + е fan + у + О (еа),
е	(31)

Wn = 7„+у Тп+О(е*),

где членов порядка г3 мы не выписываем. Подставляя эти выражения в
уравнения (26) и пренебрегая членами порядка е по сравнению с членами
порядка 1, мы получаем «укороченные» уравнения

dT„	in  + inVn =	2" Фп,  - Fn + i»п 7’„=Тп,  dFn  i*nFп + Хп?1 п = 0,	(32)

где параметры ?п введены так:

h0,n = п + з;п.	(33)

Они показывают отклонение фазовой скорости медленной волны в холод-
ной линии (на частоте псе) от начальной скорости электронов; если в
линии имеются потери, то числа комплексны. Заметим, что £я и
совпадают с параметрами £ и о2 в линейной теории (I, § 3] при

частоте пы.

Уравнения (32) содержат нелинейные правые части Фп и 4% опре-
деляемые формулами (29). Эти уравнения можно решать методом после-
довательных приближений. Пусть вдоль системы распространяется воз-
растающая электронная волна; если ее начальная амплитуда достаточно
мала, то на некотором отрезке ЛБВ можно положить Фп = Yn = 0 в
уравнениях (32). Тогда эти уравнения становятся линейными, и различ-
ные гармоники распространяются независимо друг от друга. Если возра-
стающая волна в линейпом режиме имеет частоту ы, то она удовлетво-

ряет уравнениям

+ w. = о,

<«;

л;

-Л -м#\ = 0,

—	1	7*1 — 0,

(34)
точнее, является их частным решением, пропорциональным е'л. Здесь ц
есть корепь кубического уравнения, совпадающего с характеристическим
уравнением [I, (80)],

(ц—	— 0?) + 1 = 0,	(35)

имеющий отрицательную мнимую часть

т) = т/ + it", г" < 0.	(36)

11 1

Обозначим это решение через Tlt Ух, и будем его считать первым
приближением. Подставляя его в Фп и Тп и решая неоднородные урав-
нения (32), получим второе приближение, в котором, как легко показать,
отличны от нуля только амплитуды вторых гармоник: они зависят от С
222

по закону е^, и мы обозначим их как Т2, V2, F2. В третьем при-
эзз	э

ближении отличны от нуля Т3, И3, F3, пропорциональные e3iT|^f и Tlt
3 3

Vlt Fu пропорциональные ei(T|'+3i71’)^.

В общем случае обозначим р-е приближение для n-й гармоники
р р р

через Тп, Vn, Fn. Методом полной индукции нетрудно показать, что
р р р

Тп, Vn, Fn пропорциональны	так что абсолютная величина

р-го приближения для любой гармоники пропорциональна e~p1,"z. Также
легко показать, что для каждой ‘гармоники ряд последовательных при-
ближений имеет вид:

п п+2	п+4

тп = тп+ Тп + Тп+...,

п п+г п+<

Vn = Vn+ Vn + Vn+...,

(37)

п+2	п+4

причем каждый член этого ряда достаточно вычислить для фиксирован-
>	р р р

ного С и далее пользоваться указанной выше зависимостью Тп, Vn, Fn
от С. Ясно, что сходимость рядов (37) должна ухудшаться при увеличе-
нии С.

Таким образом, по мере нарастания электронной волны в пучке
(вследствие нелинейности его свойств) возникают высшие гармоники Тп
и Vn- Хотя первоначальные амплитуды высших гармоник малы (тем
меньше, чем выше п), они при увеличении С быстро возрастают (тем
быстрее, чем выше п). Заметим, что изменение постоянных составляю-
щих скорости и заряда (г и т) есть эффект порядка е [члены О (е2) в
формуле (31)] и в данном приближении он не учитывается.

Описанный метод последовательных приближений аналогичен методу,
примененному в статье [2]. Однако при анализе нелинейных уравнений
ЛБВ в [2] допущена неточность, и полученные расчетные формулы
отличаются от наших уравнений (32).

4.	НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ЛБВ

По формулам § 3 были произведены вычисления для простейшего
случая, когда «п = 0 и ап = 0 для всех п и кроме того Хз — Хз = •• = 0
и следовательно F2 — F3= ... = 0. Это значит, что начальная скорость
электронов принята равной фазовой скорости волны в линии, а кулонов-
ским расталкиванием и высшими гармониками поля пренебрегаем. В дан-
„	1 ГТ

ном случае т) = —- — i ——-.
Наибольший интерес представляет величина Flt определяющая
высокочастотное поле в линии. Мощность этого поля Р будем измерять
в децибелах, полагая

р («0-1018^ = 1018^,	(38)

где /0 — ток, a Uo — постоянное напряжение электронного пучка.

Рис. 1. Нарастание мощности волны вдоль лампы по методу
последовательных приближений (I, 3, 5, 7, &) и по точным
расчетам (/V)

На рисунке приведены результаты вычислений — зависимость р(дб)

1

от С. Начало отсчета С условно выбрано так, что | Fx| = 1 при С = 0.
Цифры /, 3, 5, 7, и 9 около кривых показывают, какое число приближений
р принято во внимание при вычислении Fj по формуле

F1 = Л + К + ... + А-	(39)

Для того чтобы вычислить Fi до 9-го приближения включительно,
следует сделать по методу последовательных приближений 15 шагов, счи-
р р р
тая за шаг вычисление трех комплексных чисел Тп, Vn, Fn-

На рисунке изображена также точная кривая N, вычисленная для дан-
ного случая Нордсиком [31. Из него видно, что метод § 3 позволяет рас-
считывать ЛБВ лишь при небольших отклонениях от линейного режима.
Максимальной мощности этим методом найти нельзя — это следует из
сравнения различных приближений друг с другом и с кривой N.

Таким образом, изложенный метод расчета нелинейных свойств ЛБВ
мало эффективен. Нужно также иметь в виду, что исходные уравнения
§ 1 и 2 являются недостаточно общими. Дело в том, что при их написа-
нии мы неявно предполагали скорость электронов однозначной функцией
z и t\ однако эти уравнения могут иметь решения, для которых однознач-
ность нарушается. В качестве примера достаточно указать свободное
движение электронов (Е = 0 и / = 0), при котором v удовлетворяет
уравнению

+ v %- = °.	(40)

dt 1 dz	4 '

Его общее решение имеет вид:

v = G(t-|),	(41)

где О — произвольная функция. Если при z = 0 скорость модулирована
по синусоидальному закону

v — 1 + a sin t (а <<1),	(42)

то согласно формуле (41) скорость v определяется при заданных z и t
из уравнения

v = 1 4- a sin (t — -^-),	(43)

причем при az > 1 скорость v принимает при некоторых t два или больше
значений. Это значит, что в данной точке встречаются электроны, вошедшие
в «пространство дрейфа» г > 0 в разные моменты времени, причем элек-
трон, вошедший позже, нагнал электроны, движущиеся в этом простран-
стве дольше.

Это явление обгона хорошо известно в теории клистронов. Оно долж-
но иметь место и при движении электронов в ЛЕВ, а в этом случае выпи-
санные уравнения становятся, строго говоря, неприменимыми и должны
быть обобщены.

В заключение отметим, что поле (2), действующее на электроны, полу-
чается в результате усреднения по сечению пучка. В рамках линейной
теории электронных волн (часть I) доказано, что такое усреднение позво-
ляет свести любой пучок к некоторому «эквивалентному пучку», в каждом
сечении которого на все электроны действует одна и та же сила, равная
усредненной силе в данном пучке. В нелинейном режиме, однако, экви-
валентность нарушается, и толстый пучок может как бы «расслаиваться»
на ряд тонких пучков. Выписанные выше нелинейные уравнения ЛБВ
этого явления не учитывают.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Л. А. Вайнштейн, ЖТФ, 1956, 26, 126 и 141.

2.	R. Berterottifire, G. Convert, Ann. Radioft., 1950, 5, 168.

3.	A. Nordsieck, Proc. IRE, 1953, 41, 630.

Поступила в редакцию

23 VII 1956
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ЛАМПЫ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ.

Ч.	I. УРАВНЕНИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ *

Л. А. Вайнштейн

Дай вывод уравнений нелинейной теории лампы бегущей волны (ЛБВ),
упитывающих обгон одних электронов другими.Показано,что из этих урав-
нений можно вывести два закона сохранения и превращения энергии:
один — в неподвижной системе координат, другой — в системе коорди-
нат, равномерно движущейся с начальной скоростью электронов. Рассмот-
рены различные способы учета сил расталкивания в электронном пучке.

ВВЕДЕНИЕ

Данная статья посвящена основным положениям нелинейной теории
лампы бегущей волны. В ней поставлена задача сформулировать нели-
нейные уравнения ЛБВ (§ 1) и обсудить различные способы учета сил от-
талкивания в пучке при численном интегрировании этих уравнений на
быстродействующей вычислительной машине (§ 3). Рассмотрены также
законы сохранения и превращения энергии (§ 2), позволяющие судить
об энергетическом балансе на высоких уровнях мощности и углубляющие
физическое понимание нелинейных свойств ЛБВ. Напомним, что в линей-
ной теории энергетические соотноношения не могут быть исследованы
вполне последовательным образом, так что для их вывода необходима
нелинейная теория.

В последующих статьях будут рассмотрены численные результаты,
полученные нами путем интегрирования нелинейных уравнений ЛБВ.

1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ЛБВ

В [1] были сформулированы уравнения нелинейной теории ЛБВ,
работающей в режиме усиления периодических сигналов. Преобразуем
эти уравнения так, чтобы они позволили учесть обгон одних электронов
другими; мы будем, однако, ограничиваться случаем односторон-
него движения электронов, когда каждый электрон движется в поло-
жительном направлении оси z и через каждое поперечное сечение z про-
ходит только один раз.

Обозначим через t0 начальное время электрона, т. е. момент, когда
он проходит через сечение z = 0— вход лампы. При дальнейшем движении
электрона в лампе его координата z будет сложной функцией «текущего»
времени t и начального времени t0. При наличии обгона нельзя, очевидно,
считать 10 однозначной функцией z и t. Однако всегда можно выразить t
в виде однозначной функции z и tu:

t = t (z, t0),	(1)

если движение одностороннее.

В переменных z и Го закон сохранения заряда имеет вид:

jdt = /0Ае,	(2)

где dt0 > 0 есть промежуток времени, за который через начало координат
проходят электроны, пересекающие плоскость z за промежуток dt > 0;

* Содержание данной статьи доложено на Первом Международном конгрессе по
электронным приборам СВЧ, Париж. 1956 г.
/ есть ток через сечение z; /0 — ток через начальное сечение z = 0.
В дальнейшем мы будем считать, что в лампу поступает пеаозмущенный
электронный поток и перейдем к безразмерным величинам (см. [1], § 2).
Тогда соотношение (2) запишется в виде

jdt = Ло.

(3)

Функция (1) позволяет вычислить все величины, характеризующие
электронный пучок:

дЧ

dz 1	dv d2 z	dz2

скорость v = -j- = ;...н;.г 1 ускорение -v- =	—------,-z; . ’>

r	dt (	Г	( dt \3

\ dz J	I dz J

_dL	j (4)

1	dz

TOK 7 = i..-Ax *» ПОГОННЫЙ заряд X = -г~Ч—Г •

' I de I	*	de |

J |	I dig ]

Безразмерный ток / и безразмерное ускорение / мы будем, как в [1],
разлагать в ряды Фурье:

/ = 1 + Re^/ne-"',
п

/ = Re 2 (/n — i-fn /п)е-1п<,

(5)

причем /„ и /п связаны дифференциальным уравнением

^/n I	J	. ..

+«В, п/п------£ХП ]п-	(б)

Комплексные функции /п определяются интегралами:

/»= eint fdt,	(7)

О

которые с помощью соотношения (3) преобразуются к виду

/„ = 4-^е<*Ло-	(8)

О

Уравнение движения в силу формул (3) и (4) записывается следующим
образом:
д21	! dt \ з _ _

“ ~dz^ = \дГ)	3	е~гп‘-	(9)

п

Уравнения (6), (8) и (9) образуют систему нелинейных уравнений
ЛБВ, учитывающую обгон. Неизвестными функциями в этой системе
являются функции /п и функция (1). Параметры *п и fn обычно малы,
поэтому (ср. [1]) можно ввести медленно меняющиеся функции по фор-
мулам:

}п = с™ Jn (С)> /п = е2 gini Fn	(10)

и

t = t (z, Z(1) = t0 -f- z -f- Э- (C, t0),	(11)

где

r = sz, 3 = ^.	(12)
Тогда уравнение (6) принимает вид:

и dt2

dt,

ЛЕ

п -	Jn

(13)

а уравнение (9):

Ч1 +! х)1 Ве 2	л>

п

(1/,)

где введены обозначения (ср. [1]):

хп	*п

2ле3	nxj ’

а2

(15)

При достаточной малости параметра s уравнения нелинейной теории
ЛБВ упрощаются следующим образом:

i^nFn------/пА1>	(19)

Я2 а

----=	(17)

2л

Jn = ~ J ein('-+»> dt0,	(-18)

О

где параметр связан с безразмерным волновым числом соотношением
^о. п = и + есп.	(19)

В этих уравнениях фигурируют медленно меняющиеся функции
АП(С), /„(С) и & (С, to)- Уравнение (16) связывает n-ю гармонику конвек-
ционного тока Jn в пучке с n-й гармоникой Fn медленной волны в линии.
Уравнение (17) есть уравнение движения электрона с начальной фазой
£0: левая часть есть ускорение, правая часть дает безразмерную силу,
действующую на электрон. Эта сила складывается из всех гармоник поля
медленной волны в линии (слагаемые Re [^’ne~in(t'+*)]) и из всех гармоник
силы кулоновского расталкивания (слагаемые Re [—ic^ е-™я.-и»]). Наконец,
формула (18) позволяет вычислить гармоники конвекционного тока в
пучке, если известна функция &(С, t0), определяющая возмущенное дви-
жение электронов.

Написанпые уравнения можно назвать нелинейными интегродифферен-
циальпыми уравнениями, поскольку в них входят интегралы по £0 (на-
чальная фаза электрона) и производные по С [медленно меняющаяся
координата (12) вдоль лампы].

Начальные условия мы пишем в виде

Я =	= 0 и Fn = Ап при С = 0,	(20)

т. е. принимаем, что на входе лампы — в поперечном сечении С = 0 —
электронный пучок не возмущен, и электроны движутся с одинаковой на-
чальной скоростью, принятой за единицу. На вход лампы подается перио-
дический сигнал, п-я гармоника которого равна Ап.

Такие начальные условия соответствуют упрощенной модели ЛБВ —
бесконечной замедляющей линии с полубесконечным электронным пучком
(рис. 1, а); начальный сигнал можно в данной модели представлять как
волну, набегающую слева на сечение С = 0. Уравнения (16) и (17) спра-
ведливы и для конечного электронного пучка (0<C<Ci, см. рис. 1, б)
в бесконечной замедляющей линии. Вместо бесконечной линии можпо,
разумеется, взять конечный отрезок линии, полностью согласованный па
обоих концах.

В литературе начальные условия часто формулируют иначе, предпо-
лагая наличие возрастающей электронной волны малой амплитуды, под-
чиняющейся лилейной теории. При начальных условиях (20), если

^<1 п А2 = Л3 = ... = 0,

(21)

в начальном отрезке ЛБВ будут возбуждаться три электронных волны,
подчиняющихся лилейной теории. Еслп среди этих волн есть возрастаю-

Рис. 1. Схематическое изображение ЛБВ

щая, то она скоро начинает преобладать, и дальнейшее ее нарастание
происходит так, как если бы других электронных волн не было.

Мы остановились на начальных условиях (20) по следующим причинам:
во-первых, опи более близки к практическим условиям; во-вторых, они
более просты для машинных вычислений, так как не требуют предвари-
тельных расчетов по линейной теории; в-третьих, они позволяют исследо-
вать реакцию ЛБВ па конечные и большие сигналы, а также ее свойства
в отсутствие возрастающей волны.

2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Исследуем уравнения (16—18) с точки зрения энергетических превра-
щений. Усредняя уравнение (17) по t0, мы получаем:

_	Jn.	(22)

n

Здесь и в дальнейшем двойной чертой мы обозначаем усреднение по t0,
так что, например, формулу (18) можно переписать в виде

Jn = 2ein«.+»).	(23)

При помощи уравнения (16) легко преобразуем уравнение (22) к виду

* ‘•ТЬ	АП

где через обозначена мнимая часть параметра

и = + <	(5;>о),	(25)

определяющего по формуле (19) волновое число n-й гармоники медленной
волны в линии.

Интегрируя обе части уравнения (24) от 0 до С и пользуясь началь-
ными условиями (20), получаем соотношение
дС — ~4” 2 v ( '	* 2 — । '^п ।	—2	। ^'” । 2’	(26)

An	J *-* Z?i

О

т. е. закон сохранения и превращения энергии. Действительно, ио пер-
вой формуле (4) получаем

а’-+»(’•’).	(27>

1	+  X

и, пренебрегая членами порядка г2, находим

=	Лл

г~ = 1 — 2s -gjr-,	(28)

причем в силу формул (3) и (4) можно написать:

1 =	1 — -	1 —

—	v-j = — тг>3,	(29)

где черта означает усреднение по t, а вся величина дает поток кинети-
ческой энергии пучка через поперечное сечение C = const (т. е. его безраз-
мерную мощность). Таким образом, после умножения на е левая часть
уравнения (26) равна убыли безразмерной мощности пучка в сечении С
по сравнению с невозмущеиным пучком при С = 0, а правая часть состоит
из приращения мощности всех гармоник электромагнитной волны в линип
и из мощности потерь на участке лампы от начала до сечения С.

Усредним далее уравнение (17) по 10, предварительно умножив его
3^ V у
на . Учитывая, что

___________

= - - 2те-^<'.+»)	,	(30)

ч	ч»

мы получим

-4HW = Re‘S4<^-‘4A)4£. «эн

откуда с помощью несложных, но громоздких преобразований мы при-
ходим к соотношению

-И19’ + Г+” 4^(!W-i4I’) +

Е'

+ (32)

4 j x-i г<Хп

о

где через <рп обозначена фаза комплексной функции

Fn = \Fn\e^,	(33)

а слагаемые V и Ис равны:

t,' -dX-

F = |Rei 21^4 = 4-2 \XndC ИпР, (34)

(35)

Выясним физический смысл различных слагаемых в формуле (32).
Безразмерная сила, действующая на электроны, в силу формул (15), (23)
и (27) работы [1], равна

/п = s2 Не £ (Fn - ia2nJn) e--u,	(36)

где обозначено

u = i0 Ч-&(С,/0),	(37)

или по формуле (11)

u = t— z, —и = z — t,	(38)

так что величина —и. есть координата z' = z— t в системе, движущейся
с начальной скоростью электронов. Введем функции

F = Re i 24" ^’ne-i"u,	(39)

-2

20

-f	(40)

при помощи которых формулу (36) можно переписать в виде

f = ^l^ + Vc).	(41)

Отсюда видно, что величина s2K определяет потенциальную энергию
электрона в поле всех гармоник медленной волны линии. Ясно, что о
такой потенциальной энергии мы можем говорить лишь в движущейся
системе координат, относительно которой медленная волна почти непо-
движна. В той же системе координат величина г2Кс является потенци-
альной энергией электрона в поле кулоновских сил.

Усредняя функцию (39) ио t0, получаем выражение (34), поэтому
г2/ есть средняя потенциальная энергия электрона в поле линии. Вели-
чина Уе в формуле (35) связана с функцией (40) соотношением

_ 2Я

7с=^Ус^о,	(42)

О

поэтому s2Kc есть средняя потенциальная энергия электрона в кулонов-
ском поле. В формулу (42) входит мпожитель 1/4— (вместо множителя
1,2т), что объясняется законами электростатического поля (ср. [2],
стр. 81).

Поскольку, согласно формуле (27), скорость электрона в движущейся
ад

системе координат равна — s , то его средняя кинетическая энергия
\2

равна	. и вся левая часть соотношения (32) определяет среднюю

энергию электрона в движущейся системе. При анализе правой части
(32) будем для простоты считать, что медленная волна является «элект-
рической» волной, т. е. у нее £z=tO и Hz = 0. Тогда поперечные
составляющие электромагнитного поля этой волны связаны соотноше-
ниями

HX = -±EV, НУ=±ЕХ,	(43)

где h — волновое число в линии, к — в свободном пространстве. В систе-
ме координат, движущейся по оси z со скоростью уп, составляющие
электрического и магнитного поля равны (ср. [2], стр. 563):
ЯХ = ЯХ+^Е„ = (1-^)ЯХ, ’

H'v = Ifу — Ex = (1 — Hy,

(44)

Мы видим, что поперечное магнитное поле n-й гармоники волны при
переходе к движущейся системе координат умножается на

1 _ Я °
Л СО

/I

(45)

а поперечное электрическое поле практически не изменяется. Поток
энергии, переносимый этой гармоникой, при переходе к движущейся

системе умножается на — ~ . Поскольку в неподвижной системе поток

энергии электромагнитного поля в

направлении z равен ~ 2 ~ I2
4 Хп

[формула (26)], в движущейся системе

координат величина

входящая в (32), есть поток энергии в направлении —z.

Для физической интерпретации соотношения (32) рассмотрим отрезок
электронного пучка между начальным (левым) сечением С = 0 и любым
другим (правым) сечением, движущимся с начальной скоростью электро-
нов. Объем, ограниченный этими двумя сечениями, непрерывно расши-
ряется и заполняется новыми частицами, однако в движущейся системе
координат электроны, входящие в объем через левое сечение, не имеют
ни кинетической, ни потенциальной энергии. Закон сохранения и пре-
вращения энергии в таком объеме должен иметь вид:

— = Б — Q,	(46)

где W — энергия объема; Е— мощность, втекающая в объем; Q — мощ-
ность потерь в объеме. Левая часть соотношения (32) после умножения
на е2 как раз дает dWjdt (точнее, среднее значение dW/dt по времени),
первое слагаемое правой части — среднее значение Е, а интеграл опре-
деляет мощность потерь Q, точнее, мощность кажущихся потерь в дви-
жущейся системе координат. Эти потери зависят не только от коэффи-
циента затухания в линии (равного е&„), но и от фазовой скорости п-й
/ „с

гармоники ноля в движущейся системе координат ^равной —	:

если последняя отрицательна (^-)>0у, т0 кажущиеся потери также
отрицательны {Q < 0). Несмотря на парадоксальность «отрицательных
потерь», ни к каким противоречиям они не ведут. Так, применяя соот-
ношение (32) к волнам в холодной липин, мы получим

2п^Йп|2-|Лп|2 + 2?'; \ |Fn|2rfd = 0,	(47)

лХп I	> J

</ф

поскольку левая часть обратится в нуль, а в правой	Это соот-

ношение обращается в тождество в сиду формулы

\Fn\ = \An\eS-\	(48)
Однако при cn > 0 в движущейся системе координат будет наблю-
даться волна, распространяющаяся в направлении —z и в этом же
направлении возрастающая по амплитуде, что в балансе энергии даст
Q< 0.

По формуле (34) знак средней потенциальной энергии электронов
в поле n-й гармоники медленной волны определяется разностью фазовых
( Е	г	(	d

скоростей волны с пучком^——-^.-у и ВОЛПЬ1 без пУчка к-—) & част-

ности, сгущение электронов в областях с отрицательной потенциальной
энергией возможно лишь при условии

dt,'

(49)

т. е. когда волна движется медленнее, чем в «холодной» линии.

Перенося функцию V в правую часть соотношения (32), мы преобра-
зуем его к виду

1
2

1

|2

Сп [ Ап I

V	„и

г «)	•I/ д

(50)

О

Заметим, что вместо двух законов сохранения энергии можно было быв
неподвижной системе координат сформулировать закон сохранения энер-
гии и закон сохранения импульса.

3.	УЧЕТ СИЛ РАСТАЛКИВАНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ЛБВ

Если в наших основных уравнениях (16—18) положить Xi = 1>
Х2 = Хз=...=0и	— 0 (п = 1,2,...), то они будут эквивалентны

уравнениям Нордсика для малых С [3]. При учете сил расталкивания
0, однако непосредственно использовать уравнение движения (17)
для вычислений вряд ли целесообразно. Действительно, высшими гармо-
никами поля медленной волны в линии обычно можно пренебречь
(тогда Хз = Хз = ••• = 0), и большое число высших гармоник конвекци-
онного тока Jn требуется лишь для образования силы расталкивания.
Чтобы обойти эту трудность, перепишем эту силу в виде

Re 3 — ia2nJne-inu= Im 2 °Vne-‘na =

27Г

= Im^	dt, 2°nein(u‘-u) - j △(Uj-uJdG.	(51)

0	0

где через A (x) обозначена функция:

Д(х) =	°nsinw;.	(52)

n=l
являющаяся нечетной функцией с периодом 2щ через и — функция (37),
а через и, — функция

ui — t, + &(С, t,).	(53)

Уравнение движения принимает в этом случае вид

- g = Re (Fe--) нД Д (и, - и) dt„	(54)

О
а из остальных уравнений остаются следующие:

dF п

dr, —	(л5)

2тг

,/-=L^ei^Zoi	(56)

0

где мы пишем F, J и с вместо Flt J ± и сх и считаем F\ = Fs = ... = 0.

Уравнение (54) можно использовать для расчетов, если удастся найти
явное выражение ряда (52). Для некоторых важных случаев это будет
сделано ниже.

Пусть, например, плотность переменного тока постоянна по сечению
пучка, а сами сечения взаимно отталкиваются по экспоненциальному
закону. Тогда пз формулы (58) статьи [4] получаем выражения для
коэффициента депрессии n-й гармоники сил расталкивания:

Л.Ж1 \2

М0'	(5?)

, о

полагая п = ~ и затем заменяя со на пш; г0 — начальная скорость
электронов, b—радиус электронного пучка, ро — коэффициент порядка
единицы. Если теперь по формуле (17) статьи [1] и по формуле (15) настоя-
«	2

щей статьи вычислить оп? то получим

= °’"	("=Ь2,..),	(58)

где

о2 = а? и к =	.	(59)

t,\h	'	'

Подставляя коэффициенты (58) D ряд (52), приходим к выражению

Д(х)

2 А'2 Ц-l sh к (- — х)

2 sh Im

(при 0 < х <С 2it),

(60)

которое за пределы интервала (0,2~) следует продолжать периодическим
образом. Формулу (60) можно также переписать в виде

△(*) =

„ к~ 4- 1 е~кх — е к(зп

2	1 _ е-2«*

_	/с2 + 1 I g_frx 2 g-fc(2nn+x) — У

I	п^1	П-1

g—А(21ТП—X)

(61)

так что

Эгс

Д (ux — u) dt1 = а3	е-Юи.-и| sgn (U1 _ и) dt^

о	— ОЭ

sgn т =4-1 при г>0,
sgnz = —1 при z<0.

(62)

В работе [51, посвященной нелинейной теории ЛБВ, силы расталки-
вания учитываются при помощи интеграла, стоящего в правой части ра-
венства (61). Таким образом, для коэффициентов а2 по формуле (а8)
уравнение движения (54) переходит в уравнение движения, примененное
в [5].
При к-+0, т. е. для «бесконечно широкого» электронного пучка, фор-
мула (60) принимает вид:

Д(х) = а2 —	(при 0<1<[2л).	(63)

Это соотношение легко вывести непосредственно, если учесть (см.
[4], § 2), что для бесконечно широких электронных пучков с равно-
мерным распределением переменного тока по сечению Гп = 1 и а® =
= а2/л; подставляя последние выражения в формулу (52), мы и получаем
(63).

Положив F ' = 0 в уравнении (54) и пользуясь функцией (63), получим
уравнение, которое можно применить к расчету движения электронов
в пространстве дрейфа (в клистроне). Это нелинейное уравнение интегри-
руется в замкнутом виде и приводит к результатам Савельева [6].

Электронный пучок в ЛБВ обычно нельзя считать бесконечно широ-
ким, поскольку параметр к не. мал. Однако экспоненциальный закон
взаимодействия поперечных сечений электронного пучка, принятый
в [5], слабо оправдан с физической точки зрения. Поскольку в теории рас
цределение тока по поперечному сечению предполагается фиксированным,
так что движение электронов рассматривается как параллельное пере-
мещение твердых электронных дисков или колец (ср. [1 ]), то речь идет о зави-
симости силы взаимодействия между такими дисками от расстояния z—zl
между ними. Если эта сила определяется функцией £ (z—zj, то средняя
напряженность кулоновского поля Ez в сечении z равна:

£2(z)

J (z

— zx) т (z^) dz,

(64)

гдет(г1) —погонный заряд пучка в точке zP Явное выражение для
функции Е (z) достаточно сложно даже для равномерно заряженных
дисков в свободном пространстве. Оно упрощается лишь в предельных
случаях

E(z) =

sgnz

-J—

2 sgn z

Ъ*

при |z| Ь,
при |z] <С Ь.

(65)

Е^ =

Первый случай соответствует закону Кулона, по которому происходит
взаимодействие дисков на «больших» расстояниях, второй — закону
взаимодействия участков двух параллельных плоскостей, имеющему
место на «малых» расстояниях. Функция £(z) всегда нечетна в силу ра-
венства действия и противодействия.

В дальнейшем мы будем пользоваться простейшим выражением для
этой функции

£ (z)

Sgnz

Ь \2 >

+7Т/

(66)

удовлетворяющим условиям (65). Аналогичное выражение

(67)

£l(z) = -^

приводит к неприятным следствиям, и мы его применять не будем. Пе-
реходя к безразмерным переменным, можно записать функцию (66) в виде
£(2)=ОГЛ^-	(68)
где параметр г равен:

v^2

(69)

а множитель Ди будет определен ниже. При малых значениях параметра
s разность z — z, в интеграле (64) можно заменить на разность Uj —и
в правой части уравнения (54), и таким образом получим соотношение

(70)

Рассуждая так же, как при выводе формулы (62), можно показать,
что равенство (70) будет удовлетворено, если функцию Д (х) взять
в виде

Д (х) = .Е (х) + 5] {Е (2-хпх) — Е(2~п — х)]

(71)

п-1

или подробнее

д 1______________________1 л_______________1

° LC1 + г)2	(2п: — х + г)2 ‘ (2п + х — г)1

К сожалению, этим выражением при вычислениях на электронной
машине пользоваться неудобно, поэтому приходится в ряде (72) удер-
живать лишь два первых члена и полагать

△ (*) = До [-

(х -|- г)2	(2л — х -|- г)2

при 0 х <12тс.

(73)

Разлагая функции (72) и (73) в ряд (52), нетрудно связать между
собой параметры и Гп, с одной стороны, и параметры До и г — с дру-
гой. Так, для функции (72) получаем:

а2 = — 2Д0 [cos г Ci (г) + sin г Si (г)],

Гп = — (nr)2 [cos nr Ci (nr) -f- sin nr Si (nr)],

(74)

где Ci и Si — интегральные косинус и синус. Для «укороченной» функ-
ции (73) будем иметь:

з2 = — 2Д0 {cos г [Ci (г) — Ci (2тс -]- г)] + sin г [Si (г) — Si (2т: -]- г)]},

Гп = — (nr)2 {cos nr [Ci (nr) — Ci (2тсп 4- nr)] 4- sin nr [Si (nr) —

— Si (2wi + nr)]}.

(75)

Для оценки погрешности, вызванной переходом от (72) к (73), обра-
зуем разность Гп — Гп. Если воспользоваться асимптотическими разложе-
ниями функций Ci (2лп + пг) и Si (2тсп пг), то получается приближен-
ная формула

(76)

показывающая малость этой разности при г<1; даже при г= ^-^1,57
правая часть формулы (76) равна —25 =—0,04.

На рис. 2 изображены коэффициенты депрессии Г = Гд и Г' = Г, по
формулам (74) и (75) в зависимости от парамера (69), а также коэффи-
циент депрессии Г°, вычисленный в работе [7] для цилиндрического
пучка с равномерным распределением переменного тока по сечению. Мы
видим, что кривые Г и Г° идут весьма близко, что оправдывает простое
выражение (66) для силы взаимодействия между поперечными сечениями
пучка. При г <1,6 кривые Г и Г' также не расходятся сильно, что
обосновывает переход от функции (72) к более простому выражению (73).
Результаты вычислений показывают, что при г = 1,6 (и даже при г = 0,8)
выражение (73) дает практически то же, что и выражение (63), соответ-

Рис. 2. Коэффициенты Г ио различным
формулам

ствующее значению г = <х>. Поэтому использование функции (73) вместо
функции (72) практически ни к каким ограничениям не ведет.

В заключение отметим, что если ввести эффективный радиус пучка
b по формуле

5 =	(77)

где S — эффективное поперечное сечение, определенное в работе [4],
то выписанные выше соотношения останутся приближенно справедли-
выми для трубчатых пучков, для сплошных пучков с неравномерным рас-
пределением переменного тока и в других случаях.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Л. А. Вайнштейн, Радиотехника и электроника, 1957, 2, 6, 689.

2.	И. Е. Тамм, Основы теории электричества, ГТТИ, 1955.

3.	A. Nordsieck, Proc. IRE, 1953, 41, 630.

4.	Л. А. Вайнштейн, ЖТФ, 1956, 26, 126.

5.	Р. Tien, L. Walker, V. W о 1 о n t i s, Proc. IRE, 1955, 43, 260.

6.	В. Я. Савельев, ЖТФ, 1940, 10, 1365.

7.	Л. А. Вайнштейн, ЖТФ, 1956, 26, 141.

Поступила в редакцию
23 VII 1956
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ЛАМПЫ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ. Я. II.
ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ*

Л. А. Вайнштейн

Рассмотрены результаты численного решения уравнении нелипей-
вой теории лампы бегущей волны (ЛБВ), работающей как усилитель мо-
нохроматических сигналов. Изучен процесс распространения и нараста-
ния электромагнитного поля вдоль лампы, а также движение и группи-
рование электронов. Исследована зависимость максимальной мощности
электромагнитного поля от различных факторов, а также связь между
мощностями ва-входе и выходе ЛБВ. Получены некоторые новые нели-
нейные эффекты.

i МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Уравнения нелинейной теории ЛБВ проще всего записать в виде

---leb = — J,	(1)

2 тс

7 = -j.	(2)

О

— — = Ве(Е —гс2./)с-“',	(3)

где использованы формулы (55) и (56) 1-й части данной работы [1 ], а в урав-
нении движения (3) учтена только мерная гармоника сил расталкивания.
Такой учет кулоновских сил в электронном пучке не является вполне
корректным, поэтому уравнением (3) можно пользоваться либо при
а2 _ q (полное пренебрежение силами расталкивания), либо при малых
значениях о2.

Более точно влияние кулоновских сил можно учесть, если написать
уравнение движения в виде

—	= Бе (Fe~iu) + Д («х — “) d.tlt	(4)

о

где при 1,6 функцию Д (х) можно вычислять по формуле

Д (х) = Дп Г . j	-..-.-г..1	(0 < х < 2-),	(5)

17 L (х + ГГ (2тс — + г)2 J '	7	х 7

а при г = оо она раина

Д(х) = а2 7^	(0<х<2я),	(6)

продолжая ее для других х периодически (с периодом 2к). Здесь г озна-
чает безразмерный радиус пучка [см. формулу (69) 1-й части), а коэффи-
циент До выражается через а2 и г при помощи формулы (75) 1-й части.

* Содержание данной статьи доложено на Первом Международном конгрессе по
электронным приборам СВЧ, Париж, 1956 г.

42'

6*
В обоих случаях нелинейные уравнения ЛБВ мы интегрируем, исходя
из начальных условий

и = го> = О, F = А при С = 0.

(7)

Здесь А есть безразмерная амплитуда электрического поля на входе лам-
пы, где электронный пучок не возмущен.

Для численного интегрирования выражение (2) приходится записы-

вать в виде

9 "-1 •

7 =

(8)

П=О

где вместо функция и (С, t0) введено N функций

— ип (Q) — u (С» ion) “ “jy । — 0, 1, ... , /V

(9)

каждая из которых удовлетворяет уравнению (3) или (4). Приводя систе-
му нелинейных дифференциальных уравнений к нормальной форме, полу-
чим 2N + 2 уравнения, поскольку комплексное уравнение (1) эквива-
лентно двум дифференциальным уравнениям 1-го порядка для ReF и
ImF, a J просто обозначает сумму (8). При использовании упрощенного
уравнения (3) мы брали N = 24. Более сложное уравнение (4) представ-
лено в виде

N~1

--^- = Re(Fe-w'‘)	Ь(ит — ип) (п =fl, 1, . .. , N — I) (10)

m=0

и взято ./V = 48. Таким образом, интеграл в правой части уравнения (4)
вычисляем по формуле прямоугольников, несмотря на разрывный харак-
тер подынтегральной функции: более точные формулы квадратур, на-
пример формула трапеций (с учетом разрывов), дают лишь иллюзорное
уточнение. Действительно, из уравнений (1) и (10) и иачальпых условий
(7) вытекает тождество

1 1

7Г 2 -ЗГ = 4 (l-P I2 —М Р) Ч-W,	(И)

п-0

где
с

u,^^\F\\dZ,	(12)

о

соответствующее закону сохранения энергии [(26), часть 1]. Если же
взять «уточненное» выражение для интеграла, то в соотношении (И)
появится дополнительное слагаемое, не имеющее аналога в законе со-
хранения.

К этому вопросу можно подойти иначе: пусть при некотором значе-
нии Л при интегрировании точных уравнений (1—4) имеем функции
F, J, и t0); при значении Л<2= Aeia, где а — любой угол, будем иметь
функции

F0’ = Feia, J(1) = Jeia, u(l) (C, t0) =- и (r„ t0 — а),	(13)

удовлетворяющие тем же уравнениям. Вводя конечное числе» функций
ип, приходим к уравнениям, которые условиям (13) не удовлетворяют.
Изменяя угол а в пределах

а ^01 [У »

0

(14)
будем получать различные решения, подчиняющиеся соотношениям (13)
вполне точно лишь при а = 0 и а = £01. Наибольшее отклонение от
этих соотношений должно иметь место примерно при а = t01 /2 = л7Л?:
оно показывает величину погрешности, вызванной применением формул
(8) и (10).	F	‘

На рис. 1 изображены результаты вычислений при различных значе-
ниях А: при А = |Л | и «с поворотом на угол ~/?У», т. е. при А = | А I е

В этих случаях мы пользовались уравнением (3) при а = 0 и брали N = 24.
По оси абсцисс откладываем С-безразмерную координату вдоль лампы,
а по оси ординат — безразмерную мощность электромагнитного поля
в децибелах:

F-(36) = 101gp, p =	(В * * * * * * 15)

при.этом уровень 0 дб соответствует высокочастотной мощности г.сг.я
равной	(/а — ток, Uo — постоянное напряжение электронного

пучка, е •— параметр малости, приближенно равный параметру С

Пирса).

Таким образом видно, что в соответствии с первой формулой (13)
кривые совпадают вплоть до максимума функции р, а далее появляется
небольшое расхождение. Можно считать, что при точном интегрировании
уравнений (1)—(3) получим кривые, лежащие примерно посредине между
сплошными и пунктирными кривыми на рис. 1, так что значение N = 24
является достаточным.

На рис. 2 цифрой I отмечены кривые, рассчитанные по уравнению (10)
с поворотом на угол «/2V и без него при N = 48, а цифрой II — кривые
по «уточненному» уравнению, где интеграл в правой части (4) вычислялся
по формуле трапеций, учитывающей разрывы подынтегральной функции.

Видно, что последние кривые сильнее изменяются при повороте, в то
время как кривые I практически совпадают. Заметим также, что при вы-
числениях использовано соотношение (11) в качестве контрольного,
и «уточненное» уравнение давало гораздо большую погрешность, чем
простое уравнение (10). Отсюда следует, что уравнение (10) является
более последовательным и дает более точные результаты, причем число
N = 48 является достаточным.

В программе вычислений для быстродействующей электронной ма-
шины был предусмотрен вывод р, ReF и ImF, а также двенадцати зна-
чений ип. Поэтому наряду с графиками для мощности и фазы электро-
магнитного поля в зависимости от координаты С вдоль лампы мы строили
графики движения электронов, поступающих в лампу через равные про-

межутки времени, соответствующие разности фаз тг/6 = 30°: действи-
тельно, функция ип (С) определяет время прихода t = z + ^(С) каждого
электрона в поперечное сечение С, а величина — ип есть координата н-го
электрона в системе координат, движущейся с начальной скоростью
электронного пучка (ср. [1]). К сожалению, графики движения электро-
нов воспроизводятся в печати с большим трудом, так что в дальнейшем мы
ограничимся немногими примерами.

Система дифференциальных уравнений интегрировалась обычным мето-
дом Рунге — Кутта, дающим погрешность порядка Л5, где h есть шаг
интегрирования по переменной С. При вычислениях мы брали h = 0,1
и h — 0,2; сравнение показывает, что можно пользоваться шагом h = 0,2,
если в конце интервала интегрирования достаточна графическая точность.

Если на вход лампы подан слабый сигнал, т. е. если величина |А\ до-
статочно мала, то процесс усиления такого сигнала на начальном отрезке
лампы может быть рассчитан при помощи линейной теории. Для этого
представляем и в виде и = t0 + -Э- [ср. формулу (37) 1-й части], заме-
няем в уравнении (3) единицей, а в формуле (2) полагаем

е» = 1 + г$, J = -±- е*'« & dt0.	(16)

О

Не останавливаясь на выкладках, приведем лишь выражение для F
согласно линейной теории:

F = X -j-	*4*	(17)
где ra, rl2 и T(S суть корни кубического уравнения

(т] — с) (т)2 — а2)-|-1 = 0	(18)

(ср. [2] § 3), а коэффициенты Сг, С2 и С3 равны:

С =	с =	712-02 С =	712-02	(19)

1	(42 — Ч1)(чз—4i) ’	2	(41 — ЧзНЧз — Ч)|)’	3	(4i — Чэ) (Чз — 4s) ‘	’

Если при данных о и ? уравнение (18) имеет корень с отрицательной
мнимой частью, то мы его обозначаем через г,v Тогда при достаточно боль-
ших С первое слагаемое в формуле (17) преобладает над остальными, и
мы имеем

АС^'.	(20)

2.	УСИЛЕНИЕ МАЛЫХ СИГНАЛОВ ПРИ ОТСУТСТВИИ ПОТЕРЬ
И СИЛ РАСТАЛКИВАНИЯ

В первую очередь мы исследовали усиление малых сигналов (Л 1)
при отсутствии сил расталкивания (о = 0) и при отсутствии потерь в за-
медляющей линии (4 вещественно), для чего были взяты семь значений
с = — 1; 0; 0,75; 1; 1,5; 1,75 и = 1,89.

Заметим, что брать — 1 не имеет смысла, поскольку при таких 5
ЛВВ имеет худшие показатели как в линейном, так и в нелинейном ре-

жиме; это видно уже при В = —1 (рис. 3). С другой стороны, при ?>-—
уравнение (18) имеет три вещественных корня, так что электронный поток
устойчив по отношению к малым возмущениям (полям), и возрастающая
волна отсутствует, однако при этом возможно усиление за счет нелиней-
ных эффектов (ср. § 4).

На рис. 3—9 представлены результаты интегрирования уравнений
(1)—(3) в перечисленных выше случаях, а именно изображена величина
(15) как функция С; если при данном 5 были произведены расчеты с раз-
личными начальными амплитудами А, то они нанесены на один график.
Пунктиром на эти графики нанесены кривые согласно линейной теории,
т. е. вычисленные по формуле (17). Штрих-пунктиром нанесены резуль-
тэты Нордсика [3], хорошо согласующиеся с нашими кривыми, в частно-
сти, ход кривых вблизи максимума мощности р один и тот же. Лишь при
6 = 1, А =0,6 мы получаем небольшое отличие, вызванное недостаточ-

ной малостью А; при А = 0,2 это отличие исчезает. Заметим, что началь-
ные условия в [3] соответствуют одной возрастающей волне, подчиняю
щейся линейной теории, однако на нелинейны! свойствах ЛБВ это об-
стоятельство не отражается (ср. [1], § 1).

Характер всех кривых на рис. 3—9 один и тот же: при увеличении С

мощность электромагнитного поля сначала остается постоянной или даже
убывает (рис. 3), затем электронный поток, модулированный начальным
сигналом, начинает отдавать мощность высокочастотному электромаг-
нитному полю. В процессе усиления электромагнитного поля начинает
преобладать возрастающая волна и происходит превращение формулы
(17) в формулу (20). При Е = 1,89 (рис. 9) поле возрастает медленнее —
не по экспоненциальному, а по линейному закону.
Возрастанию мощности электромагнитной волны при ее распростра-
нении вдоль лампы в конце концов кладут предел нелинейные эффекты.
Было бы ошибкой думать, что нелинейные эффекты всегда понижают
мощность усиленного сигнала (как на рис. 3—6): могут быть случаи, когда
по нелинейной теории мощность выше, чем по линейной (рис. 7 и 8). В наи-
более резкой форме это явление наблюдается при 5 = 1.89 (рис. 9). За-
метим, что повышение мощности за счет нелинейных эффектов происходит
при начальной скорости электронов, превышающей свое оптимальное
значение 5 = 0, когда линейное усиление максимально.

Это явление относится к «промежуточным» значениям безразмерной мощ-
ности р — не слишком малым и не слишком большим—и физически будет
объяснено далее. В дальнейшем нелинейные эффекты замедляют возра-
стание мощности; достигнув максимума, мощность убывает и при боль-
ших С становится осциллирующей функцией. Максимум мощности р опреде-
ляет наибольшую мощность на выходе ЛБВ и максимальное значение
электронного кпд лампы.

Для создания физической картины усиления высокочастотного сигнала
в ЛБВ рассмотрим движение электронов — их фазовую фокусировку,
благодаря которой кинетическая энергия электронов переходит в энергию
электромагнитного поля. При этом удобно перейти к системе координат,
движущейся с начальной скоростью электронного потока: тогда — ип есть
просто координата n-го электрона в этой системе (см. выше). Вертикаль-
ные полосы на рис. 10 и И изображают электронный пучок при различных
значениях С. Движение пучка происходит сверху вниз, горизонтальные
черточки соответствуют поперечным сечениям пучка, поступающим в лампу
с разностью фаз 30°, и дают картину разрежений и сжатий в движущейся
системе координат.

Заметим, что С есть медленно меняющаяся координата, поэтому рас-
пределение электронов по координате —и является приближенно перио-
дическим; лишь задаваясь определенным значением s и «сшивая» отдель-
ные отрезки электронного пучка на рис. 10 и И, получим мгновенное
распределение электронов по всей длине пучка. Если записать F в виде:

F = |F|e4	(21)

то потенциальная энергия электрона в движущейся системе координат
определяется (с точностью до множителя е2, см. [1], § 2) функцией

V = Fsin(«— ф),	(22)

а ускоряющая сила, действующая на электрон со стороны электромагнит-
ной волны, равна

= l Ficos (и — ф).	(23)

На рис. 10 и 11 даны кривые ф = ф (С) и кривые, полученные из них
путем сдвига по оси ординат на ± п/2, ± т. и т. д.; эти кривые отделяют
«ускоряющие» фазы от «замедляющих», как можно видеть из схематического
изображения функций (22) и (23) на левой стороне чертежа.

Если бы электроны двигались по инерции, то сечения оставались бы
неподвижными и равномерно распределенными по длине пучка. Благодаря
взаимодействию электронов с полем происходит смещение и перераспре-
деление этих сечений. Согласно линейной теории (см. [2], § 3), наиболь-
шее сгущение электронов в поле возрастающей волны происходит при
и = 2я (т 4- у) -|- ф + фх (пг = 0, -г-1, +- 2,...).	(24)

Зависимость угла ц/j от 5 и <з дана па рис. 5 и 6 работы [2]. «Центры сгу-
щения», вычисленные по формуле (24), отмечены на электронных пучках
рис. 10 и И знаком*-»-. Мы видим, что первоначальное сгущение электронов
при малых уровнях мощности поля происходит вблизи центров (24):
электроны собираются к этим центрам до тех пор,пока усиление сигнала
происходит согласно линейной теории. При тех когда мощности сигнала

Рже. 10

по линейной и нелинейной теориям начинают различаться (ср. сплошные
и пунктирные кривые в верхних половинах рис. 10 и И), образовавшийся
сгусток начинает отходить от центра сгущения (24). Так как последний
всегда лежит в замедляющем поле (возрастающая волна!), то сгусток
движется назад (на графиках — наверх) в сторону ближайшего минимума
потенциальной энергии. Пока он остается в замедляющем поле (dV/du <0;
ср. пунктирные кривые с левой стороны), он отдает энергию электромаг-
нитному полю. Значение С, при котором сгусток занимает наинизшее поло-
жение на кривой потенциальной энергии (ч = 6,2 на рис. 10 и С = 5,4
на рис. 11), соответствует максимальной мощности электромагнитного поля.
Рис. И
В этом положении электроны относительно движущейся системы коорди-
нат перемещаются с наибольшей скоростью; в неподвижной системе их
средняя скорость минимальна, вследствие чего левые и правые части со-
отношения (11) достигают наибольшего значения (w = 0).

Пройдя по инерции минимум потенциальной энергии (ср. маятник!),
электронный сгусток попадает в область, где на него действует ускоряю-
щее поле электромагнитной волны и где он отбирает энергию у поля. Мини-
мальное значение мощности поля достигается при таком С, когда сгусток
приходит из области ускорений к потенциальному минимуму и совмещает
с ним свой центр. При этом электроны движутся вперед (на рисунках —
вниз) и в неподвижной системе координат имеют максимальную среднюю
скорость в соответствии с формулой (И).

Продолжая двигаться, электроны попадают в замедляющее поле и
отдают обратно свою кинетическую энергию. Второй максимум мощности
достигается, когда электроны возвращаются в потенциальный максимум,
закончив полупериод колебания в замедляющем поле, после чего колеба-
ния продолжают повторяться. Величина второго максимума электромагнит-
ного поля мало отличается от первого.

Таким образом, движение электронов распадается на два этапа: 1) пер
воначальное сгущение вблизи центра, определяемого линейной теорией;
2) колебания образовавшегося сгустка около минимума потенциальной
энергии. Размах этих колебаний зависит, очевидно, от расстояния между
центром сгущения и потенциальным минимумом. Из линейной теории изве-
стно, что при оптимальной (с точки зрения линейного усиления) началь-
ной скорости электронов они концентрируются вблизи наибольшего замед-
ляющего поля—угол мал. При меньшей начальной скорости электронов
их центр сгущения приближается к минимуму потенциальной энергии
(как при с = —1 на рис. 10), при большей начальной скорости — прибли-
жается к максимуму потенциальной энергии (как при ? = 1,5 на рис. 11).
Для «самых медленных» электронов » -/2, а для «самых быстрых»
'bj ж—т./2 (ср. [2], § 3). Поэтому при меньшей начальной скорости электро-
нов колебания сгустка имеют небольшой размах, и электроны остаются
в пределах полупериода с отрицательной потенциальной энергией. При
большей начальной скорости размах увеличивается, так что в крайних
положениях часть сгустка «выплескивается» из этого полупериода.

Выше отмечалось, что при некоторых условиях нелинейные эффекты
приводят к дополнительному усилению сигналов по сравнению с линейной
теорией. Такое явление наблюдается при5 = 1,5; 1,75 и 1,89 и объясня-
ется тем, что на втором этапе движения электроны при своем перемеще-
нии попадают в более сильное замедляющее поле и поэтому более интен-
сивно отдают свою энергию, чем в линейном режиме. При £ >0 второй
этап движения электронов имеет большое значение, поскольку электро-
ны от центра сгущения до потенциального минимума проходят большое
расстояние и передают полю значительную энергию.

Имеются также немногочисленные электроны «неправильной фазы», не
подчиняющиеся описанным выше закономерностям. Они появляются в ре-
зультате продолжительного пребывания вблизи положения неустойчи-
вого равновесия — максимума потенциальной энергии. Если из этого
положения электрон «падает» в сторону ускоряющего поля, то он приобре-
тает большую кинетическую энергию, благодаря которой он движется
•с неправильной фазой и остаетсянсзахваченным электромагнитной волной.

3.	ЗАВИСИМОСТЬ МАКСИМАЛЬНОЙ ^МОЩНОСТИ
ОТ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ СКОРОСТИ ВОЛНЫ И ПУЧКА

Максимальная мощность электромагнитного поля, реализующаяся где-
то ца длине лампы при малой начальной амплитуде А, не зависит от А.
Это следует из общих соображений (см. [1], § 1) и непосредственно видно.
например, на рис. 7, где максимальное значение р (обозначаемое далее
через Рмакс) практически одной то же при А = 0,1; 0,3 и 0,8, но достига-
ется при различных С. На рис. 12 нанесены кружками эти значения рма1;с,
полученные при различных £ (см. § 2). Они располагаются вблизи кривой,
данной в работе [3] и нанесенной на рис. 12 пунктиром.

Интересно сопоставить эти результаты с приближенными оценками
Рмакс- Так, например, в [41 выведена ориентировочная формула (XII. 10)
для рМакС, которая в наших обозначе-

Рис. 12. Зависимость максимальной
мощности ЛБВ рмакс от параметра £,

ниях имеет вид:

2

Рмакс | Tjj — (j ’	(*"5)

где Гц — корень уравнения (18), со-
ответствующего возрастающей волне
(20). Из рис. 12 видно, что формула
(25) дает преуменьшенные значения
Рмакс- Физически это объясняется
тем, что при выводе формулы (25)
учтен (довольно грубо) лишь первый
этап движения электронов, а второй
этап вовсе не принят во внимание,
хотя при $ )> 0 он имеет большое
значение (ср. § 2). При £< 0 второй
этап движения менее важен; по-ви-
димому, в связи с этим при 5 < 0
точные результаты лучше согласу-

ются с формулой (25).

Нужно думать, что построение
приближенной теории, относящейся

ко второму этапу движения электронов, позволит охватить нелинейные
свойства ЛБВ с достаточной полнотой и наглядностью. Ввиду отсутствия
такой теории ограничимся здесь грубой оценкой в'ерхней границы для
Рмакс- Применяя оба закона сохранения энергии ([Ц, § 2) к данному
случаю (<" =0, a = 0) и считая начальную амплитуду А достаточно-
малой, получим

Ти 1 . „ „ ТаГ*



(26)

где V есть средняя потенциальная энергия электрона (результат усредне-
ния функции (22) по t0).

При «идеальной» фазовой фокусировке электроны соберутся в одной
точке и будут двигаться с одной скоростью: тогда при достижении ими
потенциального минимума мощность электромагнитного поля будет ма-
ксимальной. Хотя «идеальная» фокусировка не происходит даже при отсут-
ствии сил кулоновского расталкивания (§ 2), интересно выяснить, какие
мощности она дает. Поскольку при общем движении электронов

ft) ~ \д&

(27)

и при скоплении всех электронов в потенциальном минимуме (и = 9 — л/2)

F= — |F(	(28)

согласно формуле (22), соотношения (26) дают для максимального зна-
чения | F | уравнение

= Е| /?|2 + 4JF|,	(29)
j
откуда, полагая рмакс = -^“l F |2, приходим к соотношению

г _ Рмакс

С —	4 1/2?макс '

у Jnu ПЪ

(30)

Строя эту зависимость на рис. 12, мы получаем рманс как функцию
с. Мы видим, что при с >• 0 формула (30) дает значения рманс в 1,5—2 раза
большие, чем строгая теория (§2). Это значит, что нелинейные уравнения
ЛБВ приводят к фазовой фокусировке, не слишком отличающейся от иде-
альной. При с < 0 электронный сгусток занимает примерно полупериод;
благодаря ослаблению фокусировки формула (30) преувеличивает значения
Рмакс в 2—3 раза.

4.	УСИЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ СИГНАЛОВ ПРИ ОТСУТСТВИИ ПОТЕРЬ

И СИЛ РАСТАЛКИВАНИЯ

Выше были рассмотрены нелинейные эффекты, возникающие на неко-
тором расстоянии от входа ЛБВ благодаря усилению сигнала, который

сначала был малым. Возни-
кает вопрос: какова будет
реакция ЛБВ на конечную
входную мощность, напри-
мер, если на вход подана
мощность р0 = -|-| Лр, при-
мерно равная Рманс?

Из рис. 13 видно, что в

/'W
0 г

£ -0, R-Z

г	*

Рис. 13

6

S

О

этом случае при распрост-

ранении сигнала вдоль лам-

пы его мощность р сначала несколько возрастает (за счет скопления
электронов в полупериоде отрицательной потенциальной энергии), до-

стигает максимума, несколько превышающего значение рМа«с Для малых

начальных сигналов, и затем
слабо осциллирует вокруг
среднего значение, лишь не-
много превышающего рс. По
существу, волна, распростра-
няющаяся в замедляющей
линии с такой начальной
мощностью, возмущается
электронным пучком в слабой
степени. Ясно, что при даль-
нейшем увеличении началь-
ной мощности действие элек-
тронного пучка еще более
ослабляется.

На рис. 14 приведены результаты расчетов п*ри 5 = 2, А = 2л А = 0,4.
При таком 6 характеристическое уравнение (18) имеет вещественные корни

1-рК5	1 —/5

тц — Чг-------§	’ Чз-----2

так что возрастающая волна отсутствует. Однако усиление имеет место до
6 и 18 дб соответственно. При этом зависимость р от на рис. 14 имеет
несколько необычный вид, напоминающий рис. 9.

Анализ движения электронов показывает, что в этих случаях волна
бежит вдоль линии примерно с той же скоростью, как если бы пучка не
было (d®/rfC » с = 2) и при этом захватывает большую часть электронов,
заставляя их двигаться вместе с собой и собирая их преимущественно в по-
лупериоде с отрицательной потенциальной энергией. Так как при Е — 2
электроны вначале движутся быстрее волны, то при их захвате волной
пни отдают кинетическую энергию, за счет чего растет мощность волны.

При уменьшении начальной амплитуды волны ее захватывающее дей-
ствие ослабевает. В частности, оказывается, что при А =0,4 число элек-
тронов с неправильной фазой, движущихся «сквозь» электромагнитную
волну (ср. § 2), больше, чем при А = 2. При дальнейшем уменьшении А
число незахваченных электронов должно увеличиваться, пока при некото-
ром значении А усиление за счет нелинейных эффектов не пропадает и за-
висимость р от С не примет интерференционного характера (ср. пунктир
на рис. 14) в соответствии с линейной теорией.

Если брать большие 5, т. е. еще увеличивать начальную скорость элек-
тронов, то для получения нелинейного усиления необходимы большие на-
чальные амплитуды А. Рис. 15 показывает, что при А = 0,4 и 5 = 2,5
усиления практически нет, и зависимость р от С одна и та же по нелиней-
ной н линейной теориям. Это объясняется тем, что бегущая волна лишь
слегка возмущает пучок и не захватывает ни одного электрона.

Полученные результаты указывают на возможность нелинейного уси-
ления «конечных» сигналов, превышающих некоторое пороговое значение,
при условиях, когда заметного усиления малых сигналов по линейной те-
ории ожидать нельзя. Это явление родственно дополнительному усилению
за счет нелинейных эффектов, о чем мы говорили в § 3.

5.	УСИЛЕНИЕ МАЛЫХ СИГНАЛОВ ПРИ НАЛИЧИИ ПОТЕРЬ
В ЛИНИИ, НО ПРИ ОТСУТСТВИИ СИЛ расталкивания

Физически очевидно, что потери в замедляющей системе должны
уменьшать мощность электромагнитного поля в нелинейном режиме.
На рис. 16 представлены результаты расчетов при 5 = 0,5г; г и 2г, т. е.
при начальной скорости электронов, равной фазовой скорости волны, и
последовательно растущем затухании. На рис. 17 построена зависимость
Рмакс—максимума безразмерной мощности — от (при £'= 0), где через
&' обозначена вещественная, через — мнимая части комплексного пара-
метра 6 (см. [1], §§ 1 и 3). Мы видим, что при увеличении 6" величи-
на рыаке быстро падает, причем рмакс (дб) зависит от 5" почти линейно
(рис. 17, б). На рис. 17, а пунктиром нанесена также кривая по прибли-
женной оценке Пирса ([4], рис. XII. 4), согласно которой падение
Рмакс происходит медленнее, чем в действительности.

В дальнейших расчетах фиксировалось затухание в линии (£" = 1)
и менялось соотношение между начальной скоростью пучка и фазовой
скоростью, т. е. На рис. 18 приведены некоторые результаты таких
расчетов, а на рис. 19 изображена зависимость рманс (бб) от 5' пр £"= 0
и с" = 1, откуда видно, что потери в линии во всех случаях снижают
максимальную мощность и одновременно ослабляют зависимость рмаио
от
Ход всех кривых р = р (С) при наличии потерь примерно один и
тот же: сначала мощность электромагнитного поля убывает, так как
уравнение (1) и начальные условия (7) дают

= __	£^£ = -25» (С = 0)	(31)

или

-^р(дб) = — 8,886 с" при!; = 0.	(32)

Достигнув минимума, мощность электромагнитного поля начинает
расти: промодулированный электронный пучок сообщает полю мощность,

перекрывающую потери. Заметим, что вследствие медленного возраста-
ния электромагнитного поля [малости отрицательной мнимой части
в формулах (17) и (20)] максимальная мощность при 1,5 достигается
Минимумы у функции р = р (С) довольно глубокие, а

2,5—3,5 дб ниже первого.

Анализируя фазовые траектории электронов,
можно придти к выводу, что данное в § 2
разделение движения электронов на два этапа
остается в силе, но высокочастотная мощность
р достигает своего максимума раньше, чем
сгусток дойдет до потенциального минимума,
т. е. р = рмако при таком С, когда на сгусток
бще действует замедляющее поле. Последний
результат согласуется с соотношением (11);

на

при больших С-
второй максимум

а

Рис. 17. Зависимость максимальной мощности ЛБВ от затухании в линии
действительно, дифференцируя его по С и учитывая, что при р = рмане
мы имеем dp / dC = О, получаем

— — Р’п
dt* 5 ”макс’

(33)

т. е. центр тяжести сгустка перемещается в движущейся системе коор-
динат с отрицательным ускорением, пропорциональным

Рис. 11). Зависимость максимальной мощности
Л В В от при постоянном 5"

Потери в линии влияют на фазовую фокусировку двояким образом:
во-первых, электронные сгустки становятся более короткими и плот-
ными; во-вторых, увеличивается число электронов неправильной фазы,
не принимающих участия d движении сгустков.

6.	РЕАКЦИЯ ЛБВ НА КОНЕЧНЫЕ И БОЛЬШИЕ СИГНАЛЫ
ПРИ НАЛИЧИИ ПОТЕРЬ

На рис. 1 (нижняя кривая) и рис. 20 представлены результаты, полу-
ченные для ЛБВ с потерями, на вход которой подан «конечный» сигнал
А = 1 (рис. 2) с начальной мощностью, примерно равной максимальной
мощности рма1.с для малых А (ср. рис. 16) или «большой» сигнал А = 4
(рис. 20) с начальной мощностью р0, значительно превышающей рманс -
Мы видим, что рис. 1 по характеру близок к рис. 16: прежде чем ко-
нечный сигнал успеет заметно воздействовать на пучок, он, благодаря

сильному затуханию в линии, станет уже «малым» сигналом.

Совершенно иная картина будет в случае «больших» мощностей на

входе: распространяясь вдоль лампы, электромагнитная волна затухает
почти так же быстро, как и в холодной линии (рис. 20). Лишь после
того как мощность волны упадет примерно на 30 дб, затухание
прекращается и сменяется нерегулярной осцилляцией, так как электро-

ны, «раскиданные» во все
стороны сильным электро-
магнитным полем в началь-
ном отрезке лампы, отдают
энергию полю, компенсируя
потери. При учете сил куло-
новского расталкивания в
пучке получаются аналогич-
ные результаты.

Таким образом, нелиней-
ная теория ЛБВ приводит к
заключению, что большие
сигналы претерпевают при
прохождении через ЛБВ зна-
чительное ослабление, хотя
малые сигналы при этом
усиливаются. Это свойство
ЛБВ до некоторой степени
противоположно другому ее
свойству, отмеченному в

являются типично нелинейными эффектами.

§ 4. Оба эти свойства

Отметим, что потери не распределены обычно по всей длине ЛБВ (как
предполагалось выше), а сосредоточены иа некотором участке. Однако
основной вывод об ослаблении больших сигналов остается правильным и

в этом случае. В самом деле, если после прохождения поглощающего
участка электромагнитное поле будет еще достаточно сильным, то в осталь-
ной части ЛБВ оно не усиливается (ср. § 4), и поэтому результирующее
ослабление сигнала определится потерями в холодной системе.

7.	УСИЛЕНИЕ МАЛЫХ СИГНАЛОВ ПРИ НАЛИЧИИ СИЛ РАСТАЛКИВАНИЯ

Относительный нес сил кулоновского расталкивания в электронном
пучке по сравнению с силами, обусловленными медленной волной в линии,
определяется параметром о2, который растет с увеличением плотности
тока в электронном пучке (пропорционально /J'3). Влияние сил расталки-
вания на нелинейный режим ЛБВ мы здесь рассмотрим очень бегло, по-
скольку подробный анализ будет дан в другой работе.

На рис. 21 изображены результаты расчетов при а = 1. По уравнению
(3) в данном случае получается практически та же кривая, что и по урав-
нениям (4)—(6) при г = 1,6 и г = оо. Это объясняется тем, что при а 1
кулоновские силы еще мало возмущают движение электронов, так что в
нелинейном режиме все способы их учета примерно эквивалентны. Работа
15], специально посвященная влиянию сил расталкивания на нелинейные
свойства ЛБВ, позволяет сделать аналогичные выводы. Действительно,
из рис. 3, а и 3, б этой работы видно, что при а2 = 0,4 и о2 = 0,8 (на-
помним, что а2 = 4 QC) наблюдается весьма слабая зависимость от пара-
метра к, определяющего пространственный ход сил расталкивания
в нелинейном режиме.

При больших значениях а, например при <з = 2 (ср. рис. 2), получаются
уже результаты качественно иного характера. В частности, максимум мощ-
ности электромагнитного поля выражен весьма нечетко, так что зависи-
мость р от С имеет вид кривой с насыщением (если отвлечься от слабых ос-
цилляций). Последнее связано с тем, что после завершения процесса пор-

Рис. 21. Сравнение различных способов учета сил расталкивания:
а — по уравнению (3) и при г  1,6; в — при г = со (смысл цифр I и II тот же,
что и на рис. 2)

воначального сгущения электронные сгустки распадаются, так что об их
колебаниях говорить нельзя. Следует отметить также большое число элект-
ронов неправильной фазы, движение которых не координируется с рас-
пространением электромагнитной волны.

8.	ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ МОЩНОСТЯМИ НА ВХОДЕ И ВЫХОДЕ ЛБВ

С практической точки зрения наиболее интересна зависимость между
мощностью на входе и мощностью на выходе ЛБВ. Если мощность
электромагнитного поля на входе (при С = 0) обозначить через р0,
а мощность па выходе (при С = Cj) — через Pi = p(ti), то зависимость
р1 от р0 нетрудно построить при помощи графического сопряжения кри-
вых по линейной теории [формулы (17) и (20)] с кривыми по нелиней-
ной теории. При сопряжении нелинейная часть кривой р = р (С) пере-
мешается с изменением ра по оси г, сохраняя свою форму (как на рис. 7).
В частности, максимальная мощность па выходе ЛБВ достигается при
таком А, когда максимум кривой р = р (£) попадает в точку

Рис. 23. Зависимость выходной мощности от входной
при 5 = 1,5

Это построение не применимо, когда возрастание волны (20) происхо-
дит слишком медленно, или когда возрастающая волна отсутствует.
При конечных или больших начальных мощностях ра (ср. § 4 и § 6)
для получения каждого значения рх также требуется проводить отдель-
ный просчет.
На рис. 22—24 изображена зависимость р1 от рп для Cj = 4; 7 и 10
и 5 = 0; 1,5 и 1 -|-г (з = 0). Напомним, что безразмерная мощность р
связана с обычпой мощностью Р соотношением

Р = pzpJJ

(34)

где /о и U0 — постоянный тон и напряжение электронного пучка, а

s —параметр малости для ЛБВ. Величина

Рис. 24. Зависимость выходной мощности
от входной при 5=1 + <

Cj связана с геометрической
длиной L лампы формулой

aL _ 2-kL

— S----	. с . "f— ,	(оО)

?'о	А

гдеы—круговая частота, va—
начальная скорость электро-
нов, — длина волны в ли-
нии. Выражая па рпс. 22 —
25 ри п р1 в децибелах [со-
гласно формуле (15)), мы тем
самым даем превышение вход-
ной н выходной мощности над
«единичной» мощностью г/,До.

Рис. 22—24 соответствуют
наиболее часто встречающе-
муся типу зависимости меж-
ду мощностями на входе и
выходе ЛБВ. Прямолинейный
участок этих кривых рассчи-
тывается по линейной теории,
а на нелинейном участке наи-
больший интерес представ-

ляет максимальная мощность на выходе (р} = Рмакс) и соответствующая ей
мощность р0 па входе.

Введем величину

ДС = PMaiiC (д6) — Рыпис (аб)-

(36)

где Т’макс есть безразмерная выходная мощность, которая формально по-
лучается по линейной теории при входной мощности рп, дающей по
нелинейной теории максимальную выходную мощность pv.„.v- Величина AG
определяет положение первого макси-
мума на кривой Pt= f (plt) и, в част-
ности, соответствующее ему значение р„.

На рис. 25 дана зависимость AG от
при з = 0. При некоторых значениях
величина AG может быть отрицатель-
ной, т. е. нелинейные эффекты приво-
дят к дополнительному усиление сиг-
нала. Это явление мы уже отмечали в
§ 2.

В некоторых случаях получаются
иные типы зависимости рг от р0. Так,
при больших силах расталкивания эта
зависимость получается в виде кривой
с насыщением (см. § 7), а рис. 9 и 14
дадут кривые, в которых усиление
растет с увеличением начальной мощ-
ности р0.

При сравнении теории с экспериментом нужно учесть, что потери
в ЛБВ обычно сосредоточены па некотором участке. Если усиление сиг-
лапа на первом непоглощающем участке и прохождение сигнала и модули-
рованного электронного пучка через поглощающий участок можно рас-
считать по линейной теории, то в начале второго непоглощающего участка
(где происходит основное усиление) также можно применять линейную
теорию. Таким путем мы приходим к выражению

F = А + В^Л В3е^),	(37)

где А означает амплитуду сигнала на входе ЛБВ, а коэффициенты Blt
В2 и Вл зависят от свойств первого непоглощающего участка и поглощаю-
щего промежутка. По мере возрастания электромагнитного поля выраже-
ние (37) принимает вид:

F АВ^л	(38)

[ср. формулу (20)]. Поэтому построенные выше графики pt = /(р0) при-
менимы и к ЛБВ с поглощающим промежутком, если под L понимать

I [2
длину второго участка усиления, а входную мощность умножить на Нг- .

Ряд выводов нелинейной теории ЛБВ качественно согласуется с опы-
том. Однако теория дает обычно выходные мощности, сильно превышаю-
щие те, которые получаются на практике. Этот результат сам по себе уже
интересен, поскольку он указывает на возможности, лежащие в прин-
ципе действия ЛБВ. Фактически на опыте сказывается ряд побочных об-
стоятельств, не учтенных теорией и снижающих выходную мощность:
непрямолинейное движение электронов в пучке, «расслаивание» пучка
(ср. [6]), отражения от неоднородностей и т. д. Рассматривая все эти фак-
торы в рамках нелинейной теории, можно, по-видимому, приблизить-
ся к экспериментальным данным.

Большая часть численных результатов данной работы получена на
электронной вычислительной машине М-2 Энергетического института
АН СССР. Пользуюсь случаем выразить благодарность коллективу ла-
боратории, предоставившему нам машину своей конструкции.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Л. А. Вайнштейн, Радиотехника и электроника, 1957, 2, 7, 883.

2.	Л. А. Вайнштейн, ЖТФ, 1956, 26, 126.

3.	A. Nordsieck, Proc. IRE, 1953, 41, 630.

4.	Дж. Пир с, Лампа с бегущей волной, Изд. Советское радио, 1952.

5.	Р. Т i е и, L. W а 1 к е г, V. W о 1 о в t i s, Proc. IRE, 1955, 43, 260.

б.	Л. А. Вайнштейн, Радиотехника и электроника, 1957, 2, 6, 688.

Поступила в редакцию

23 VII 1956
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ЛАМПЫ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ.

Ч. III. ВЛИЯНИЕ СИЛ РАСТАЛКИВАНИЯ

Л. А. Вайнштейн, Г. Ф. Филимонов

При помощи нелинейных уравнений лампы бегущей волны (ЛБВ), вы-
веденных ранее, исследуется влияние сил кулоновского расталкивания
на работу ЛБВ в режиме усиления. Полученные результаты сопоставлены
с результатами других авторов, учитывавших расталкивательные силы
иным образом.

ВВЕДЕНИЕ

Нелинейные уравнения ЛБВ содержат (см. [1]) следующие безраз-
мерные коэффициенты: комплексный параметр 5 = Е' + ic", веществен-
ная часть которого характеризует относительную скорость невозмущен-
ного электронного потока и основной гармоники медленной волны в ли-
нии, а мнимая часть Е" — затухание этой волны; параметр а, определя-
ющий относительный вес сил расталкивания и растущий вместе с объем-
ной плотностью заряда в пучке; г — эффективный радиус пучка электро-
нов.

В работе [2] мы ограничились в основном случаем малых плотностей
тока, когда можно положить а = 0 и пренебречь силами отталкивания
электронов. В настоящей работе исследовано более детально влияние сил
расталкивания на нелинейные свойства ЛБВ, работающей в режиме уси-
ления. Это исследование базируется на результатах численного решения
уравнений § 1 работы [2]. При этом основное внимание обращаем на
следующие вопросы: как зависит максимальная мощность высокочастот-
ного поля />макс (безразмерная) от 5' и а при г = сю, т. е. для беско-
нечно широкого пучка; как влияет конечный размер электронного пучка
(т. е. параметр г) на величину рМакс-

В дальнейшем будем брать вещественные значения Е' в пределах
Ео -С 5' Ст» где значение Ео соответствует наибольшему, а 5т — наимень-
шему усилению слабых сигналов по линейной теории при данном а. Об-
ласть значений Е'<Оо рассматривать не будем, как не представляющую
большого интереса: в этой области мощность рмакс оказывается малой.
Значения а мы будем брать между 0 и 2, что соответствует условиям
эксперимента.

1. ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРА а НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СВОЙСТВА ЛБВ

На рис. 1 и 2 изображена зависимость рмакс от и а* Из рис. 1
видно, что рост а не нарушает характера зависимости рмано от Е', вы-
зывая лишь смещение кривой рмакс = Рмакс (Е') в сторону бблыпих м( щ-
ностей. Рис. 2 показывает, что для 5' = Е0 (кривая 2) рмакс растет при
увеличении а быстрее, чем для Е' = Em (кривая 2), хотя в первом слу-
чае значения рмапс всегда меньше, чем до втором.

Увеличение риакс при росте а объясняется тем, что Ео и Е_т довольно
быстро растут вместе с а. Так, например, при о=0;/2и2 опти-
мальные (согласно линейной теории) значения 5' равны Ео = 0; 1,30 и
1,94, а максимально возможные значения V равны Ет — 1,89; 2,52 и 2,94.
Поэтому, несмотря на неблагоприятное влияние сил расталкивания на
образование сгустков, мощность рмакс растет с увеличением а за счет
увеличения начальной скорости электронов (и их кинетической энергии)
относительно волны в линии. Если возрастание <' не сопровождается
увеличением а, то, как легко видеть, мощность ралкс растет быстрее.

Рис. 1. Зависимость рмакс от —начальной относительной скорости электронов и медлен-
ной волны при разных а и 5" = О

Рис. 2. Зависимость рмакс от а при Е/ = (кривая 1) и V = ?т (кривая 2); ¥ = О

Рост pMaitc с увеличением з не может продолжаться неограниченно:
увеличение сил расталкивания должно привести, в конце концов, к убы-
ванию рМакс- Для достаточно тонких пучков это убывание имеет место
уме в рассматриваемом нами интервале значений о (см. ниже рпс. 7).

Различный ход кривых 1 и 2 на рис. 2 объясняется различием в фа-
зовой фокусировке электронов при с' = с0 и $' = ст.

При с' = 5о в лампе возбуждается экспоненциально нарастающая вол-
на, и формирование электронного сгустка начинается уже вблизи входа
лампы. Нелинейные эффекты, появившиеся при достаточно больших зна-
чениях р, сначала ослабляют экспоненциальное возрастание мощности
р в зависимости от продольной координаты С, а затем приводят к убы-
ванию р (см. верхнюю кривую на рис. 3).

При S' = Ет экспоненциально растущей волны нет, и ссгласно линей-
ной теории поле увеличивается в зависимости от С более медленно по
формуле

F (С) = А [(£>! + iPaQ е1”*1: +	,

где

Л — 2т* _	•

4з— 41	(4з — 41)

— — СТ»	n. 

Л______Л______. л —	3

2~	4з-41’	3	(4з-41)2

и остальные обозначения — те же, что в формулах (17)—(19) статьи [2].
На начальном отрезке лампы электронный пучок долго модулируется —
«раскачивается» полем, пока в каком-то сечении лампы не наступит бла-
гоприятное для фазовой фокусировки отношение между скоростями пуч-
ка и волны. После этого электроны испытывают резкое торможение, что
приводит к увеличению скорости возрастания р в зависимости от С (см.
верхнюю кривую рис. 4). В результате скорость электронных сгустков
падает до значений, меньших, чем при fc' = £01 а максимальная мощность
Рмакс оказывается большей, чем при Е' = с0. С этими явлениями мы
сталкивались уже ранее, при а = 0 (ср. [2] рис. 5 и 10).
р/М

10 —

Рис. 3. Изменение мощности поля р вдоль лампы
при t;' = Со и значениях параметра потерь 5* = 0;
0,5; 1,0. Амплитуда входного сигнала А = 0,2;

о = К 2

Рис. 5. Изменение мощности поля р вдоль" лампы
при	и амплитудах входного сигнала

А = 0,5; 1,0; 1,5; о = 2; 5" = 0
При 5'>-5m лампа перестает усиливать слабые сигналы, и мощность
является осциллирующей функцией координаты С (нижняя кривая на
рис. 5). Однако достаточно большие входные сигналы (Л > 1 на рис. 5)
будут усиливаться за счет нелинейных эффектов,, если V не намного
больше 5m- Механизм фазовой фокусировки оказывается здесь таким же,
как и при 5' = 5m-

Приведенные результаты позволяют сделать вывод, что наиболее эф-
фективный нелинейный режим работы ЛБВ соответствует значению 5'=5т-
Однако этот вывод правилен лишь при отсутствии распределенных потерь
(т. е. при 5" = 0). Последние по-разному влияют на нелинейные свой-
ства ЛБВ при 5" = 50 и 5' =* 5т-

При 5' = 50 наличие 5">0 лишь уменьшает показатель роста нара-
стающей волны (см. рис. 3), не изменяя качественно механизма фа-
зовой фокусировки. При 5' = 5m распределенные потери нарушают ме-
ханизм модуляции пучка; появляющаяся здесь при5">0 экспоненциаль-
но растущая волна имеет малый показатель роста, так что в рассмат-
риваемом нами интервале 0<^<12 мощность р значительно меньше,
чем в первом случае (см. рис. 4). Поэтому в действительности значение
5' выгодно выбирать тем дальше от 5m и ближе к 50, чем больше за-
тухание медленной волны в «холодной» линии.

2. ВЛИЯНИЕ КОНЕЧНЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА

Уменьшение радиуса электронного пучка при сохранении силы тока,
начальной скорости электронов и всех других параметров лампы при-
водит к повышению объемной плотности заряда и позволяет в «чистом
виде» исследовать влияние сил расталкивания на нелинейные свойства
ЛБВ. Ясно, что при уменьшении параметра г, определяемого формулой
(69) статьи (1], условия образования электронных сгустков ухудшают-
ся, и мощность высокочастотного поля в лампе должна падать. Кривые,
приведенные на рис. 6, полностью подтверждают это: рмако есть убы-
вающая функция 1/г, убывание которой при 5'= 50 происходит несколь-
ко медленнее, чем при 5' = 5т-

На рис. 7 показана зависимость рмако от а при г = const и 5' = 5П-
Мы видим, что при малых а силы расталкивания на величину рМакс не
влияют: практически уже при а 1 можно при расчете рмакс считать
а = 0 и г = оо.

Рис. 6. Изменение />мано при уменьшении
аффективного радиуса пучка электронов г
в случае 5' = и 5' = 5т; а = 2; 5" = 0

В появившейся недавно работе [3] были получены похожие числен-
ные результаты, представленные на рис. 8. Исходные уравнения в [31
аналогичны нашим, однако сила кулоновского расталкивания принималась
экспоненциально убывающей с расстоянием.

Такой закон мало оправдан с физической точки зрения, и показатель
убывания к. введенный в [3], может быть выражен через радиус пучка
лишь с точностью до произвольного численного коэффициента (А = а/г,
где а — множитель порядка единицы). Однако кривые рис. 8 имеют тот
же качественный характер, что и наши кривые (рис. 7), а при о < 1 сов-
падают с ними.

6*
45’
При <з > 1 экспоненциальный закон расталкивания дает более сильное
спадание рмако и более резкую зависимость от радиуса пучка, чем приня-
тый нами «кулоновский» закон (формула (73) статьи [1]).

Рис. 7	Рис. 8

Рис. 7. Зависимость рмакс от а при разных г, 5' = £0; К* = О

Рис. 8. Полученная в [3] [зависимость от а при разных к-.	= £0; £* = О

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В последнее время появилось большое число теоретических работ,
посвященных нелинейной теории ЛБВ. Наиболее полное исследование
проведено в [41 и [5]; опубликованы также статья Тьена [6] и анно-
тации некоторых других работ [71. Основная цель работ [41—[71состоит
в анализе факторов, определяющих максимальную мощность на выходе
мощных ЛБВ. Для таких ламп параметр е уже нельзя считать малым (е
порядка, 0,1 или 0,2), в связи с чем как нелинейные уравнения, так и
граничные условия значительно усложняются. Более того, в этом случае
можно предложить различные варианты уравнений и граничных условий,
выбор между которыми нельзя произвести на основании чисто теорети-
ческих соображений. Эти вопросы лежат вне пределов данной работы.

Численное интегрирование нелинейных уравнений при учете сил рас-
талкивания произведено на быстродействующей электронной счетной
машине АН СССР. Авторы статьи приносят свою благодарность инженерам
П. С. Миказану, О. А. Меркуловой и В. М. Ханаевой, составившим
программы для вычислительной машины.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Л.А.Вайнштейн, Нелинейная теория лампы бегущей волны. 4.1. Уравне-
ния и законы сохранения, Радиотехника и электроника, 1957, 2, 7, 883.

2.	Л. А. Вайнштейн, Нелинейная теория лампы бегущей волны. Ч. II. Числен-
ные результаты, Радиотехника и электроника, 1957, 2, 8, 1027.

3	Р. Т i е п, L. W а 1 k е г, V. W о 1 о n t i s, Proc. IRE, 1955, 43, 260.

4	I. E. R owe, Proc. IRE, 1956, 44, 200.

5.	I. E. R owe, Trans. IRE, 1956, ED-3, 39.

6.	P. К. T i e n, Bell Syst. Techn, J., 1956, 35, 349.

7.	Congress international de tubes hyperfrequences, Paris, 1956.
Л. А. Вайнштейн

ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ЗАРЯД В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ *

Рассмотрена задача о стационарном движении электронов в магнетрон-
ных приборах при учете поля, создаваемого пространственным зарядом самих
электронов. Даны частные решения этой задачи, соответствующие эллипти-
ческим сгусткам и гиперболическим язычкам, имеющим однородную плот-
ность. Указана связь рассматриваемой задачи с теорией движения несжима-
емой жидкости под действием собственных гравитационных сил и с теорией
формирования электронных потоков. Рассмотрена связь полученных реше-
ний с решениями Бриллюена и их обобщениями. Исследована устойчивость
полученных решений. Произведено сопоставление усредненного движения
электронов с их истинным движением.

Результаты, полученные при анализе эллиптических и гиперболических
потоков, позволяют предвидеть следующие явления, сопровождающие увели-
чение плотности пространственного заряда в приборах магнетронного типа и
ограничивающие анодный ток и мощность: 1) деформация электронных языч-
ков под действием собственного поля и образование сгустков, что приводит
к снижению анодного тока; 2) отклонение электронных траекторий от экви-
потенциален результирующего поля (неприменимость усредненных уравнений
движения); 3) появление неустойчивостей, развитие которых превращает ла-
минарные (стационарные) потоки в турбулентные (пульсирующие).

ВВЕДЕНИЕ

В электронике больших мощностей важное значение имеет
учет сил, создаваемых пространственным зарядом электронов.
Действительно, в мощных сверхвысокочастогных приборах со
скрещенными полями (особенно в импульсных) поле простран-
ственного заряда существенно влияет на движение электронов.
Полное рассмотрение движения электронов в высокочастотном
поле с учетом поля, создаваемого пространственным зарядом
этих электронов, приводит в общем случае к сложной системе
уравнений, которую можно решить только численно — на вычи-
слительпых машинах высокого класса. В такой ситуации большое
значение имеет математическое развитие теории, а также
построение частных решений, позволяющих разобраться (хотя
бы качественно) в имеющихся здесь закономерностях.

В данной статье получены (при некоторых упрощающих пред-
положениях) частные решения задачи о движении электронов в
скрещенных полях. Исходным пунктом явилась аналогия между
движением электронов в приборах магнетронного типа и движе-
нием несжимаемой жидкости под действием собственных грави-
тационных сил [1, 2, 7]. Эта аналогия является неполной, так как
для электронных сгустков представляют интерес только двухмер-
ные задачи, в которых существенную роль играют внешние поля.
Тем не менее эта аналогия оказалась весьма плодотворной.

§ 1. УСРЕДНЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ

Движение электронов в плоскости х, у, перпендикулярной на-
правлению постоянного поля Н, определяется уравнениями

х — Qy = fx, y-\-Qx = fy,	(1.01)

в которых

,Q = —	(1.02)

тс

есть циклотронная (или ларморова) частота, а

/, = -£,	(1.03)

т	т

— составляющие ускорения, вызванного электрическим полем.
Последнее является суммой статического поля, высокочастотного
поля и поля, создаваемого пространственным зарядом электрон-
ного облака.

Решение уравнений (1.01) представляет значительные труд-
ности даже в том случае, когда fx и fv — заданные функции х, у
и t, что заставляет перейти к анализу усредненного движения (3].
В наиболее важном случае, когда орбитальные резонансы отсут-
ствуют или несущественны (ср. [3], стр. 70), усредненные уравне-
ния движения имеют вид

х = y = —~fx,	(104)
где х и у — координаты центра ларморовой орбиты электрона
(для краткости х и у будем называть просто координатами
электрона), а усредненные составляющие и fy уже не содер-
жат высших пространственных гармоник электростатического
поля и тех пространственных гармоник высокочастотного поля,
фазовая скорость которых сильно отличается от скорости дрейфа
электронов. Эти усредненные составляющие мы можем выразить
через потенциал Ф по формулам

Л = -у-'	=	<105>

дх	ду

Отсюда следует, что траектории усредненного движения совпа-
дают с эквипотёнциалями Ф = const и что центры орбит движутся
по этим траекториям как частицы несжимаемой жидкости, т. е.
что их плотность при движении не изменяется (см. [3], гл. III).
В дальнейшем мы будем предполагать «электронную жидкость»
не только несжимаемой, но также и однородной (в пределах
электронного облака), т. е. имеющей в стационарном режиме
одну и ту же плотность не только в различных точках одной и
той же траектории, но и на различных траекториях. Это упрощаю-
щее предположение обычно принимается при расчетах магнет-
ронных приборов (ср. [3], гл. Ill; (5], § 3), в нашей задаче оно су-
щественно облегчает вычисление поля, создаваемого пространст-
венным зарядом.

В общем случае потенциал Ф есть сумма грех слагаемых
ф = фц 4-фр + фт.	(1.06)

Слагаемое Фо соответствует электростатическому полю, которое мы
будем считать однородным и перпендикулярным магнитному полю Н\
поэтому мы полагаем

Фа = — (ахх + ауу),	(1.07)

где ах и ау — постоянные величины (составляющие ускорения). Сла-
гаемое Ф₽ соответствует высокочастотному полю медленной волны

Фр = Фр (х — их t, у — uyt),	(1.08)

где их и ^ — составляющие фазозой скорости. Слагаемое Ф7, обус-
ловленное пространственным зарядом, удовлетворяет уравнению Пуас-
сона

ааФ . а2Ф г

-----1-------- — Ир,
дх1 ду9

(1.09)

где (Ор — плазменная (ленгмюрова) частота, определяемая формулой

,2 _ 4 лер

(Ор —	“

т

(1.10)

и соответствующая постоянной объемной плотности р заряда в элек-
тронном облаке. Слагаемые Фа и Ф^, в отличие от Фт, удовлетво-
ряют уравнению Лапласа.

Если перейти к системе координат, движущейся вместе с медлен-
ной волной (1.08), полагая

х’ — X — Uj,	у — У Uyt,	(1.11)
то уравнения (1.04) примут вид  х' =	— — (Фо + Фт)>  й ду	1 д  и' — —-^(ф .!- ФЛ,  У Й дх,у 0	(1.12)
где потенциал  фо = фр(х', у')	+ VyX' — vxy'	(1.13)
от времени явно не зависит, а  ' ач  Vк= — — uv, 1 й	а*  'у- о Uy be	(1.14)

— составляющие скорости дрейфа в системе х', у', обусловленного
электростатическим потенциалом (1.07).

Иногда потенциал (1.13) можно упростить, делая еще одну замену
переменных. Так, если

Фр = -^(х'2-у'2),	(1.15)

то, полагая
!	f

V	У

х" = х'+-А / = (/'--------(1.16)

мы будем иметь (с точностью до несущественного постоянного слагае-
мого)

2

= <117)
Мы считали выше задачу двухмерной, т. е. отвлекались от
сил, действующих в направлении оси г, и от движения вдоль
этой оси. Кроме того, мы считали задачу стационарной, благо-
даря чему высокочастотный потенциал Фр в движущейся систе-
ме координат приобрел статический характер. В соответствии
с этим мы будем в дальнейшем рассматривать только стацио-
нарное движение электронов.

§ 2. САМОСОГЛАСОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ПУАССОНА

Сформулированная выше задача сводится к интегрированию
уравнения Пуассона (1.09) внутри электронного облака; мы бу-
дем решать это уравнение в движущейся системе координат х, у
(опуская для простоты письма штрихи, введенные в § 1). Иско-
мое решение на границе электронного облака должно удовлет-
ворять условию

Ф = const,	(2.01)

поскольку при стационарном движении граница облака должна
совпадать с траекторией центров орбит, соответствующих гра-
ничным электронам. Вне облака потенциал Ф должен удовлет-
ворять уравнению Лапласа.

Мы поступим следующим образом: исходя из простейшего
частного решения уравнения Пуассона, мы подбираем форму
электронного облака так, чтобы это решение было «самосогла-
сованным», т. е. удовлетворяло условию (12.01) на границе обла-
ка. Решая уравнение Лапласа вне облака, мы находим внешнее
'поле, в котором может существовать это облако (см. § 3 и 4).

Мы ограничиваемся здесь двумя решениями уравнения Пуас-

сона:

и

2 а’+ й» й® /

_ агЬг fхг у^\

2 et— j»	bi J

(2.02)

(2.03)

Первое решение удовлетворяет условию (2.01) на семействе
Рис. 1. Эквипотенциали и траектории в эллиптических
сгустках

подобных и подобно расположенных эллипсов (рис. 1)

— + — = const,	(2.04)

а® 6*

а второе — на двух семействах подобных гипербол (|ри«с. 2)

ха	у*

*	р

= const,

(2.05)
46
имеющих общие асимптоты

i±*=0.

а b

(2.06)

На рис. 1 изображены эквипотенциали— траектории элект-
ронов в эллиптических сгустках, причем здесь и в дальнейшем
мы ориентируем траектории, считая й>0. Рис. 1,а соответствует
сплошному сгустку, рис. 1,6 — полому (кольцеобразному) сгуст-
ку, рис. 1,в — половине эллиптического сгустка, в которой тра-
ектории начинаются и кончаются на «плоскости питания» y=Q
(см. [3], гл. IV).

На рис. 2 электронное облако не локализовано вблизи начала
координат, траектории электронов приходят из бесконечности и
уходят в ‘бесконечность вдоль асимптот (2.06); начало коорди-
нат есть точка неустойчивого равновесия (седловая точка).
Беря часть гиперболических траекторий, мы получаем (рис.
2, б) гиперболический язычок, сужающийся при своем движении
вдоль асимптоты и подобный язычкам в плоском магнетроне
(см. [3], гл II) или же (см. рис. 2, в) гиперболический язычок,
имеющий наибольшую ширину в плоскости симметрии «/=0 и
похожий на язычки в ниготроне [4].

§ 3. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СГУСТКИ

Продолжим потенциал (2.02) за пределы сплошного эллип-
тического сгустка (см. рис. 1,а), граница которого есть эллипс
с полуосями а и Ь<а. Для этого введем эллиптические коорди-
наты £, т] (0<:£<оо, 0^т]^2л) по формулам

х = fchBcosT), у = /sh^sinrj

так, что

a = fcht b=fshl,
th| = —, f =

a

Потенциал (2.02) в этих координатах принимает вид

(3.01)

(3.02)

Ф =--------— ch 2 £ + cos 2 т] —•

8

ch 2 £ cos 2 п +1
ch 2 Г

при £<£.

(3.03)
Вне сгустка, при £>£, потенциал Ф должен удовлетворять уравне-
нию Лапласа, а на границе сгустка, при £ = Ф и — должны быть
непрерывны. Ища решение уравнения Лапласа в виде

Ф = Сг + С£ + (С^ ± С4 ch 2£)cos 2 n, (3.04)

мы легко находим постоянные Cv С2, С3 и С4. Внешнее поле опре-
деляется постоянной

Ci = X,	(3.05)

где

X = e-2ith2l,	(3.06)

поскольку поле, определяемое остальными слагаемыми в правой части
(3.04), стремится к нулю при £->оо. Внешнее поле, в котором мо-
жет существовать сплошной эллиптический сгусток с полуосями а и
Ь, имеет в декартовых координатах потенциал

(3.07)

т. е. является квадрупольным полем. Частота а>0, характеризующая
это поле, связана с плазменной частотой сгустка соотношением

_ а — b 2аЬ

^2 а b cP -|-Ь2

(3.08)

вытекающим из формул (3.04) —(3.06). Параметр X есть в сущности
отношение внешнего поля к внутреннему полю сгустка.

Зависимость параметра х от величины х=а/Ь, вычисленная
по формуле (3.08), изображена сплошной кривой на рис. 3,
причем по оси абсцисс масштаб логарифмический. Мы видим,
что при х>0,30 эллиптический сгусток в данном квадрупольном
поле (3.07) существовать не может. Это значит, что если плот-
ность сгустка меньше минимальной (соответствующей значению
Х=0,30), то равновесие невозможно. Если плотность сгустка и
внешнее поле (3.07) заданы, то при х<0,30 из рис. 3 получаются
Рис. 3. Зависимость % от т. Сравнение с гидродинамической
задачей

два равновесных эллиптических сгустка: у одного — <2,9,
ъ

а у другого у >2,9.

Наличие двух равновесных конфигураций легко понять, рас-
сматривая предельный случай %=0, когда внешнее поле (3.07)
отсутствует. В этом случае мы получаем либо круговой сгусток
(а=Ь), либо плоскопараллельный слой толщины 2Ь, внутри
которого потенциал Ф определяется выражением

Ф =----2

2 *

(3.09)

Эти равновесные конфигурации хорошо известны (см. § 7):
первая ив них является устойчивой, вторая— неустойчивой.

При постепенном включении внешнего поля (3.07) круговой
сгусток деформируется в слабо вытянутый эллиптический сгу-
сток [у <2,9 ], а плоскопараллельный слой «обрубается» до
сильно вытянутого эллиптического сгустка ^>2,9j. При
Х=0,30 оба эллипса имеют одинаковую 'форму, а при больших
X сгустки разрываются и вдоль эквипотенциалей внешнего поля
их части уходят на бесконечность. Отрицательным значениям
<d2o и х соответствуют значения — < 1 (оси х и у меняются места-
ь

ми); можно показать, что формула (3.08) применима и для
таких значений, причем

х(т)=-хМ. т-i.

\ Т }	О

(3.10)

Полый эллиптический сгусток, изображенный на рис. 1,6,
невозможен, так как на границе его полости Ф=const; следо-
вательно, во всей полости по известной теореме теории потен-
циала Ф=const; однако нормальная производная Ф на границе
полости не может удовлетворять условию непрерывности.

В ниготроне высокочастотное поле таково, что даже без рас-
стройки скоростей, когда фазовая скорость точно равна скоро-
сти дрейфа в постоянном поле, потенциал Фо имеет седловую
точку, вблизи) которой его можно аппроксимировать квадру-
польным потенциалом (3.07). В плоском магнетроне такая сед-
ловая точка появляется при расстройке скоростей ([3], рис. 4).
Кроме того, седловая точка может возникнуть под влиянием
пространственного заряда язычка ({3], стр. 55). Полученные
выше результаты Показывают, что вблизи этих точек могут су-
ществовать сгустки, оторвавшиеся от плоскости питания (Дви-
гаясь по оси г, эти сгустки будут выходить из рабочего про-
странства). Если же седловая точка находится вблизи плоскости
питания, то около такой точки могут образовываться полуэллип-
тические сгустки (см. рис. 1,в), в которых электроны, покидая
плоскость пйтания, выходят в рабочее пространство и затем
возвращаются к плоскости питания, где и поглощаются (на этой
плоскости нормальная производная Ф равна нулю). Это движе-
ние определяется силами пространственного заряда, при «х
отсутствий траектории совершенно иные; таким путем простран-
ственный заряд может «блокировать» значительную часть пло-
скости питания, снижая анодный ток.
В рассматриваемой задаче следует различать потенциал
(3.04) вне сгустка и потенциал внешнего поля (13.07), к которому
в формуле (3.04) добавляется слагаемое, обусловленное про-
странственным зарядом сгустка. Эти потенциалы отличаются
от потенциалов, соответствующих реальным приборам со скре-
щенными полями, где рабочее пространство в одном направле-
нии ограничено, а в другом имеет периодическую структуру.
Впрочем, для достаточно малых эллиптических сгустков эти
обстоятельства несущественны, и их следует иметь в виду лишь
для гиперболических язычков, рассмотренных ниже.

В потенциале (3.07) нет характерной длины, поэтому сгусток
может иметь любые размеры. В реальных приборах со скрещен-
ными полями размеры сгустка должны быть ограничены сверху.
Если центр сгустка не совпадает с седловой точкой, то сгусток,
деформируясь, будет, по-видимому, дрейфовать вдоль эквипо-
тенциал и внешнего, поля.

Отметим, что свойства эллиптических сгустков во многом
аналогичны свойствам эллипсоидов Маклорена ([1], § 374), яв-
ляющихся фигурами равновесия вращающейся однородной
жидкости, стягиваемой собственными гравитационными силами.
Внешний потенциал (3.07) в теории фигур равновесия заменя-
ется центробежным потенциалом

Ф0 = -^(х2 + ^’	(З.П)

где cd —угловая скорость. Потенциал Фт, обусловленный грави-
тационньш полем жидкости, удовлетворяет уравнению Пауссона

АФУ= со‘, ®? = 4rtp,	(3.12)

где р — плотность массы. Сумма Фо+Фу на границе жидкости
должна быть постоянной.

Параметр х в гидродинамической задаче определяется выра-
жением

Х=—= —,	(3.13)

и® 2лр

й ,	<

его зависимость от величины т = — (а, Ь = а и с<а— полуоси
с

эллипсоида Маклорена) изображена на рис. 3 пунктиром. При
Х>0,225 эллипсоид Маклорена не существует и, как показал
Ляпунов [2], равновесие вообще невозможно. Математические
методы, развитые в теории фигур равновесия, могут быть обоб-
щены на случай, когда вместо потенциала (3.11) мы имеем
другой (заданный) потенциал Фо-

Нужно иметь в виду, что в гидродинамике гравитационное
поле играет роль стабилизирующего фактора, противодействую-
щего центробежным силам. В электронике взаимное отталкива-
ние зарядов и внешнее электрическое поле стремятся разрушить
сгусток, а внешнее магнитное поле противодействует этому, в
результате возникают равновесные потоки, которые, как прави-
ло, являются неустойчивыми (см. ниже § 9). Подобной же не-
устойчивостью -обладает плоскопараллельный электронный по-
ток (диокотронный эффект!) и симметричный стационарный
режим (как однопоточный, так и двухпоточный) в магнетроне с
гладкими электродами.

§ 4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ЯЗЫЧКИ

Внутри гиперболических язычков потенциал определяется
выражением (Й.ОЗ). Если граница язычка (см. рис. 2) есть ги-
пербола, определяемая уравнением

а2

(401)

то для вычисления потенциала в области, свободной от электро-
нов, мы вводим эллиптические координаты |, т>, изменяющиеся
в пределах — oo<g<oo,	так что согласно формулам

(3.01) гипербола (4.01) имеет уравнение т] = т] и

a =fcosi], b = f sinт|,

tg П = -f-. f =	+ b\	(4.02)

b

Выражение (2.03) в эллиптических координатах принимает вид

Ф = — -^!L ch 2 £ + cos 2 т|------ShAic?s2_Tl + 1 , (4.03)

8 L	cos 2 ч J

поэтому вне язычка мы полагаем

Ф = Cj 4- С2ц 4- (Са sin 2 т] 4- cos 2 л) ch 21

(4.04)
и из граничных условий при т] = Л находим все постоянные, в част-
ности, получаем

<№ -

С3 =-----£f—Sin2T], C4 = -C3tg2n. (4.05)

8

При ± оо в выражении (4.04) существенно только слагаемое

Фо = (С3 sin 2 т) + С4 cos 2 т]) ch 2	(4,06)

оно определяет внешнее поле, в котором может существовать язычок.
Мы имеем

Фо = —sin 2 (ц — rj) ch 2 £	(4.07)

и при |||>1

Фо = -(DSXr,	(4.08)

X = xcos л + | у I sin и,

У = — х sin “И + \у\ cost|, (4.09)

причем ось X совпадает с асимптотами (2.06), а ось Y перпен-
дикулярна им.

Мы будем говорить, что потенциал (4.07) определяет обоб-
щенное квадрупольное поле, три т]=л/4 оно переходит в обыч-
ное квадрупольное поле, рассмотренное в § 3. Обобщенное квад-

рупольное поле характеризуется частотой ш0 и углом Л

Отношение

(4.10)

получается равным

х = ‘е2п = -гт?	(4Л1)

ая— bz

причем зависимость % от а/Ь — монотонная при а/6<1 и а/£Г>1
и с бесконечным разрывом при а/b — L Значение х однозначно
определяет отношение а./Ь, однако угол между асимптотами
траекторий определяется данным значением х двухзначно: этот
угол может быть равен либо 2tj, либо л — 2я (рис. 2). Движение
по равнобоким гиперболам (я = л/4, а=Ь) может происходить
только в отсутствие пространственного заряда, т. е. при %=0.

Эквипотенциали Фо=const обобщенного квадрупольного поля вблизи
границы язычка похожи на гиперболы, они имеют те же асимптоты и
как бы подпирают граничную гиперболу. Исследование потенциала Фо
показывает, что на отрезке £ = О (— / < х < f) он имеет две седло-
л ।	3 я I / л	л \

вые точки: я =-----Я и т| =-------1- т| при 0 < я <— или я =

4	4 у	4 /

= г, и т] ---------+ Я ^при — < Я < ~~) > в то время как

единственная седловая точка потенциала (2.03) расположена при £ =
— 0, т] = л/2.

Для траекторий, изображенных на рис. 2, в, анодный ток можно
выразить через потенциал Ф(£, я) следующим образом:

л

2

Р
2

fCOST)

дФ ,
--иХ

дх

о

ф(0, я)

О,

(4.12)





ф

причем мы считаем, что верхняя асимптота ведет к аноду, а катод
расположен ниже оси х. Если бы движение происходило по экви-
потенциал ям внешнего поля, то анодный ток, обусловленный элек-
тронами, ограниченными той же гиперболой Я =Я- был бы равен

(0, П)-Ф.(0.-7-+п)1.	(4.13)

U L	\	4	]„

Отношение этих токов равно

или

= sin 2 я =

2аЬ
а* + Ь*

(4-14)

(4.15)

Таким образом, силы пространственного заряда уменьшают
поток электронов к аноду (|по сравнению с потоком, рассчитан-
ным без учета пространственного заряда). К уменьшению анод-
ного тока должно вести также блокирование плоскости питания
эллиптическими сгустками (§ 3).

11 Электроника, сб. 5
Согласно формуле (4.10), величина % обратно пропорцио-
нальна плотности заряда, т. е. (при заданной амплитуде внеш-
него поля) обратно пропорциональна /о. При неограниченном
увеличении анодный ток /, согласно формуле (4.15), стремится
к конечному пределу (насыщение), к такому же пределу стре-
мится генерируемая мощность*. Это насыщение по анодному

току и мощности! не является единственным явлением, сопро-
вождающим увеличение плотности заряда. Как будет показано
ниже (§ 5 и 6), при больших плотностях становятся непримени-
мыми усредненные уравнения движения, на которых мы базиро-
вались, и, кроме того, появляются неустойчивости, скорость
развития которых тем больше, чем больше пространственный
заряд (§ 9).

Как уже отмечалось в конце § 3, полученные решения не
отражают того обстоятельства, что внешнее поле и электронное
облако обладают в реальных магнетронных приборах простран-
ственной периодичностью; по этой причине ширина язычков на
рис. 2, б, в может быть произвольной, в то время как обычно она
определяется периодом и размерами рабочего пространства.
Впрочем, периодичность и ограниченность электронного облака

не оказывают существенного влияния на силы пространственно-
го заряда, действующие на сами электроны: если бы удалось
найти один язычок, соответствующий внешнему потенциалу



ШП

--(singxshgr/ —
g2

(4.16)

(О

ФЙ = _ __ (sin gx ch gy — xgy),	(4.17)

g2

то задача о стационарном режиме плоского магнетрона и ниго-
трона была бы в первом приближении решена. Однако в силу
обстоятельств, указанных выше, это стационарное решение бу-
деть иметь лишь ограниченное значение.

* В реальных магнетронных приборах зависимость I от /о должна, по-
видимому, иметь вид кривой с максимумом, причем /=0 при достаточно боль-
ших /0. Максимальное значение / представляет наибольший интерес, однако
вычислить его затруднительно. Можно лишь предположить, что по порядку
величины оно равно предельному значению, вычисляемому по формуле (4.15).
§ 5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СГУСТКИ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ТОЧНЫМ
УРАВНЕНИЯМ ДВИЖЕНИЯ

Результаты, полученные выше, базируются на усредненных
уравнениях движения (1.04) или, как еще говорят, соответству-
ют адиабатическому (дрейфовому) приближению. Оказывается,
что эти результаты легко обобщить на случай точных уравнений
движения (1.01) и таким образом построить точные стационар-
ные решения уравнений электроники (|в предположении, что пе-
ременные поля в соответствующей системе координат х, у отсут-
ствуют, ср. § 1 и 2). Как мы увидим ниже, эти решения имеют
более сложный вид. Они зависят от отношения

Q

р

(5.01)

и позволяют выяснить, при лаких значениях R применимы ре-
зультаты, полученные с помощью усредненных уравнений дви-
жения.

Будем исходить из следующего распределения потенциала
внутри сгустка

Ф = — ^“((ОдаЛ Ц-	(5.02)

тогда в силу уравнения (1.09)

,.а ,чз I ,Л

(0р = (Од т (Ор.

(5.03)

В дальнейшем будем все величины Й, ©р, (оа, (Ор и т. д. считать
положительными. Полагая для определенности сор > сод, мы обозна-
чаем

й)* = й)| —	(5.04)

Подставляя в уравнения (1.01) выражения
f _ дФ f _ дФ
'х “	дх ’ Г9 “ ду ’

мы ищем их решение в виде

х = Oacosш(t — /о), У= —06sin®(/ —/о)(О<6< 1)»
соответствующем эллиптическому сгустку с полуосями а и

(5.05)

(5.06)

5. Для
!!•
угловой частоты ш получается биквадратное уравнение

со4 - (Q2 - ®}) ш2 +	= 0,	(5.07)

корни которого мы обозначим через ± ш+ и ± ш_. Величины

=4- (Qa - ©;+ /й4 - 2 ©J Й®+©J),
it

= — (Й1 - (Ор- /й4 - 2 (OJQ2 + (ОЙ (5.08)
2

положительны при Й > «а + ©j, комплексны при соь — coa < Q <
< <ва + ©б и отрицательны при 0 < й < co6 — coa.

При Й —> oo мы имеем

(D+	"	00 j

(l)_ ~ (0

(5.09)

Q

где ш получается из усредненных уравнений, Таким образом, со+
соответствует быстрому, а со_—медленному движению. В общем слу-
чае движение электронов складывается из быстрого и медленного
движений

х = х+ + х_, У = У+ + У-<	(5.Ю)

При соответствующих начальных условиях быстрое движе-
ние может быть подавлено. Тогда медленное движение будет
происходить по формулам (5.06), <в которых надо положить
ш=ш_, и форма эллиптического сгустка будет определяться

соотношением

а» _ tog + <п!

bl +

(5.Н)

При других начальных условиях может быть подавлено медлен-
ное движение, в результате чего реализуется сгусток, для кото-
вого отношение

а»	+

* 4 + й*

ближе к единице, чем отношение (5.11).

(5.12)
Если возбуждено медленное движение, то малые возмуще-
ния (например, в начальных условиях) приводят к тому, что на
это медленное движение будет накладываться быстрое движе-
ние, имеющее относительно малую амплитуду. Если же возбуж-
дено быстрое движение, то возмущения приводят к появлению
медленного движения с гораздо большей амплитудой; послед-
нее следует хотя бы из того, что при медленном движении воз-
вращающая сила является более слабой, чем при быстром. Кро-
ме того, при рассмотрении электронного облака за достаточно
большой промежуток времени быстрые движения, вообще гово-
ря, не имеют значения — по ним можно усреднить, в то время
как пренебрегать медленным движением нельзя.

Сказанное справедливо при условии, что со+ по крайней мере
в несколько раз больше ш_. Если эти частоты близки, то быст-
рое и медленное движения существенно не отличаются; стабиль-
ность эллиптических сгустков, определяемых формулами (15.11)
и (5.12), невелика и примерно одинакова. При Q=ci)0 + ci)t мы
имеем	_____

ш+ = (о_ = V соа ©ь	(5.13)

и эллиптический сгусток явно неустойчив. Последнее видно уже
из того, что в этом случае уравнения движения наряду с реше-
нием (5.06) допускают решения, амплитуда которых с увеличе-
нием t растет линейно (см. § 8). Можно также сказать, что при
значении Q = coe+(Oi эллиптический сгусток неустойчив, так как
это значение Q является критическим — при меньших значениях
Q величины- (|5.О8) комплексны и финитное движение электронов
в потенциальном поле (5.02) вообще невозможно.

Мы ограничимся 'исследованием эллиптических сгустков,
возникающих в результате медленного движения, при условии

+	(5.14)

Как мы увидим ниже в § 9, это условие не обеспечивает еще пол-
ной устойчивости эллиптического сгустка, поскольку последний всегда
неустойчив по отношению к несимметричным возмущениям. Однако
развитие этих возмущений во времени происходит тем медленнее, чем
больше Q. Неустойчивости, появляющиеся при нарушении условия
(5.14), развиваются гораздо быстрее, поэтому мы и ставим это условие.
Рис. 4. Зависимость t от
О при 7?=const для эл-
липтических сгустков

Введем безразмерные величины

и обозначим

2

8=°-^=^,	Т = ^—± = е-*,	(5.16)

а»+1	тЦ	v '

р

где g = | есть уравнение границы сгустка в эллиптической сис-
теме координат (§ 2). Тогда формула (5.11) дает зависимость между
а и т, а именно

7?»_	_s

(5.17)

I

в то время как при R = оо мы имеем просто т = о. Зависимость т
от а при различных R изображена на рис. 4.

Условие (5.14) в безразмерной форме можно записать так:

q-j-1

*>

(5.18)
Правая часть этого неравенства при изменении а от 1 до оо моно-
тонно убывает от У 2 до 1. гГоэтому при 1 < Я < У 2 условие су-
ществования эллиптических сгустков имеет вид

К»-1

(5.19)

/	V2 + 1	\

1ср. кривую R = ...... на рис. 41.

Повторяя выкладки § 3, нетрудно показать, что эллиптическим
сгусткам соответствует внешний потенциал (3.07), причем

(5.20)

2 со?

Х=-^ = 5-Т.
°;

Рис. 5. Зависимость х
от о при R — const для
эллиптических сгустков
Если R = оо, то

X = ^77- (t = 4	(5.21)

в согласии с формулой (3.08). Зависимость X от ст при различных
R изображена на рис. 5.

Следует отметить, что согласно точным уравнениям движе-
ния траектории электронов уже не совпадают с эквипотенциаля-
ми. Однако если движение электронов происходит согласно
формулам (5.06), то электроны движутся как частицы несжима-
емой жидкости. Действительно, в этом случае составляющие их
скорости

х— © — у, у = — со—х	(5.22)

Ь	а

являются однозначными функциями координат (как на рис. 1,
а) и удовлетворяют уравнению непрерывности

= 0,	(5.23)

дх ду

поэтому предположение о постоянстве плотности заряда в пре-
делах электронного сгустка является законным. В общем слу-
чае, когда применимы формулы (5.10), скорости являются уже
неоднозначными (пересечение траекторий), а плотность заря
да — переменной. Поэтому относительно общего случая наш
подход позволяет делать лишь качественные выводы, подобные
выводам о неустойчивости, сделанным выше.

§ 6.	ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ЯЗЫЧКИ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ТОЧНЫМ
УРАВНЕНИЯМ ДВИЖЕНИЯ

Беря потенциал Ф внутри электронного облака в виде

Ф = ±(0^-49»)	(6.01)

и полагая

Ир =	— ©2.	= ©а + ©Ь,	(6.02)

мы для частот ©+ и ©_ получаем формально те же выражения (5.08).
Однако теперь ©*>©’, поэтому

<d![_>0, ©1<0

(6.03)
и медленное движение всегда является апериодическим. Полагая ©_=
— ia, мы для медленного движения вместо выражений (5.06) будем
иметь выражения

или

х = 0ash©(/— Q,

х = 0 a ch © (/ — /0),

у = 0 b ch w (t —10)

у = 0bsh© (/ —Q,

(6.04)

определяющие гиперболические траектории (2.05). При использовании
усредненных уравнений движения (1.04) в выражениях (6.04) надо
заменить © на



© =

(6.05)

При R^> 1 и —	1 мы имеем

%

©+ Q и © ж ©.

(6.06)

Форма гиперболических траекторий определяется отношением — .

ь

Подставляя выражения (6.04) в уравнения движения, получим

а»	(о% —(о*

ь*	со2+0)1

(6.07)

Введем безразмерные величины

т = 4- =ctgn.
ь

(6.08)



где т] = т] есть уравнение граничной гиперболы в эллиптической сис-
теме координат. Тогда

cos2t|=——sin2n = ----- .	(6.09)

т2 + 1	1 т» + 1

Обозначая

д_ 4 Ш®

S = 2L±2=_i,	(6.10)

О® — 1
мы можем переписать формулу (6.07) в ваде

у S + y^-2^a+S’-₽2 ’

(6.11)

причемпри R=оо опять получаем т=о*.

Зависимость г от о при различных R дана на рис. 6. При
R-+0 мы имеем т->0, т. е. гиперболический язычок, подобный
изображенному на рис. 2, а, становится все более похожим на
плоскопараллельный слой. Этот результат непосредственно сле-
дует из уравнений движения, которые при Й=0 принимают вид
х = — со’х, i/ = c06t/,	(6.12)

так что медленное движение происходит параллельно оси у. Од-
нако быстрое движение отсутствует лишь при х=0, т. е. при
бесконечно тонком слое, а сам предельный случай й=0 не име-
ет непосредственного физического смысла. Действительно, даже
очень слабое магнитное поле может сформировать гиперболиче-
ские язычки с постоянной плотностью заряда, а в отсутствие
магнитного поля такие потоки невозможны.

«При Й>0 для гиперболических язычков из выражений (6.04)
мы получаем

х = (й — у, у=(й—Х,	(6.13)

* Следует иметь в виду, что это утверждение правильно лишь при о#= 1.

Если же (г-1, т. е. шр=0 и /?=<», то

X

лишь при условии

+ 00.

Таким образом, электроны дрейфуют
при выполнении условий

дх2

имеющих общее значение (ср. [3]).

по эквипотенциалям Ф- const только

3*Ф
№
Рис. 6. Зависимость г от с при R=const для гиперболических
язычков

и уравнение непрерывности (5.23) удовлетворяется. Как видно
из рис. 2, по мере увеличения скорости электронов гиперболиче-
ский язычок сужается, благодаря чему постоянство тока и по-
стоянство плотности заряда совместимы.

Внешний потенциал, соответствующий гиперболическим
язычкам, имеет вид

со*

Фо =------у-sin 2 (л —т]0) ch 2g,	(6.14)
причем

2щ2	-___________—_____

= —-=vS2 — 28 cos 2т| + 1	(6.15)

“p

и

tg2T]0=		(6.16)

sin 2t|

Если R = oo, то в согласии с формулами (|4.07) и (4.11) мы име-
ем

Х = П0 = П.	(6.17)

На рис. 7 и 8 изображена зависимость % и To=>ctgт|о от <т при
различных значениях параметра R. Заметим, что при R=0 (т. е.
при Й=0) мы имеем

л	<	2а2	/q 1 q\

’!, = -> 4=1, х = —.	(6.18)

причем Фо принимает вид (3.07). Однако этот предельный слу-
чай не имеет физического смысла (см. выше).

Из рис. 6—8 видно, что при условии

7?>/2	(6.19)

гиперболические язычки мало отличаются от язычков, формиру-
емых в адиабатическом приближении (|при /?=<»); последнее
неприменимо лишь при /?«1 и Я<1. Для эллиптических сгуст-
ков, как видно из рис, 4 и 5, условие применимости адиабатиче-
ского приближения является более жестким и может быть запи-
сано в виде R>2 или £>3. Условие (6.19) означает, что плот-
ность заряда в язычке не должна превосходить плотности, со-
ответствующей круговому сгустку в решении Бриллюена (см.
ниже § 7).

Решения, полученные в § 5 и 6, справедливы прн условии,
что быстрое движение с частотой о+ благодаря надлежащим
начальным условиям подавлено. Такое подавление возможно,
так как в рассматриваемых нами задачах уравнения движения
(1.01) линейны относительно переменных х и у. По этой причи-
не можно написать формулу (5.10), т. е. представить движение
Рис. 7. Зависимость % от о при /? = const для
гиперболических язычков

Рис. 8. Зависимость т0 °? о при /? = const для
гиперболических язычков
в виде суперпозиции медленного и быстрого. В общем случае,
когда зависимость f, и fy от координат хну нелинейная, пода-
вить быстрое движение в течение продолжительного времени
нельзя. Наличие быстрого движения существенно усложняет
свойства электронного потока и вызывает потребность в тех или
иных усреднениях.

Заметим, что истинное движение происходит не по эквипо-
тенциалям (как усредненное движение, ср. § 1), а по траекто-
риям, которые при ₽»1 весьма близки к ним (|ср. рис. 4 и 6).
Поэтому кинетическая энергия электронов при их движении из-
меняется; это изменение учитывается усредненными уравнения-
ми движения.

§ 7.	РЕШЕНИЯ БРИЛЛЮЕНА И ИХ ОБОБЩЕНИЯ

Выше были найдены точные стационарные решения уравне-
ний электроники, соответствующие ламинарным электронным
потокам. Применительно к приборам магнетронного типа эти
решения рассматриваются в движущейся системе координат, где
высокочастотное поле, имеющее вид бегущей медленной волны,,
является статическим. Если в лабораторной системе координат
внешнее электростатическое поле имеет потенциал (3.07),
(4.07) или (|6.14), а однородное электростатическое поле с по-
тенциалом (1.07) отсутствует, то найденные выше эллиптические
сгустки и гиперболические язычки также будут возможными ре-
шениями уравнений электроники. С экспериментальной точки
зрения следует только иметь в виду, что неподвижные электрон-
ные облака, в отличие от движущихся, могут в той или иной
степени нейтрализоваться скапливающимися в них положитель-
ными ионами.

Полученные решения останутся в силе и тогда, когда все элек-
троны с одной и той же скоростью движутся по оси z—вдоль
постоянного магнитного поля Я; это опять сводится к преобра-
зованию системы координат.

При отсутствии внешнего электростатического поля, т. е. при
Х=0, возможны согласно формулам (5.20) и (5.21) эллиптиче-
ские сгустки, у которых
Значению т = 1 соответствует круговой электронный поток, внутри
которого потенциал равен

Ф = —-<№,	(7.02)

4

где г и ф —полярные координаты
x = rcos$, t/^rsin®.	(7.03}

Электроны движутся по часовой стрелке (<р = — ©_). Угловая скорость.
©_ определяется второй формулой (5.08) или же более простой фор-
мулой

ш_ = -L (Q — ]/йа —2©*).	(7.04)

Быстрое движение с угловой скоростью

ш+ = -L (Q 4- йа —2©р)	(7.05}

при этом подавлено. В соответствии с формулой (5.14) такой поток,
устойчив при условии

Й>©р/2 (R>V2).	(7.06}

Устойчивость будет исследована более подробно в § 8.

Значению т = оо соответствует плоскопараллельный электронный
поток — b < у < Ь, в котором

Ф = -4“^	(7.07)

А

(0*

* = ±Ц, у = о.	(7.08>

В таком потоке

©_ = 0, ©+ = /Йа —©*.	(7.09}

Условие устойчивости (5.14) для этого потока имеет вид

Й>юр (₽>1),	(7.10}

однако более подробное исследование (см. § 9) показывает, что он
всегда неустойчив по отношению к длинноволновым возмущениям.
Поэтому условие (5.14) является необходимым, но не достаточным.
Если в (7.06) и (7.10) вместо знака неравенства поставить
знак равенства, то мы получим решения Бриллюена [8]. Не-
устойчивость этих решений ясна уже из того, что они соответ-
ствуют минимальному (при заданной плотности заряда) маг-
нитному полю И или максимальной (при заданном Н) плотно-
сти заряда. Решения, получающиеся при больших магнитных
полях, т. е. при условиях ((7.06) и (7.10), являются естественны-
ми обобщениями этих решений Бриллюена. Как уже отмеча-
лось, решение (7.02) —(7.06) устойчиво, ио его практическая
устойчивость (с учетом того, что при формировании электрон-
ных пучков надлежащие начальные условия обеспечиваются
очень неточно) имеет место лишь при сравнительно больших
значениях R, когда (о+ существенно больше ш_. Что же касается
решения (|7.07) — (7.10), то оно всегда неустойчиво.

В § 3 было отмечено, что полые эллиптические сгустки
(рис. 1, б), внутри которых потенциал определяется формулой
(2.02), существовать не могут. Это утверждение нуждается в
некоторых уточнениях. Во-первых, полые эллиптические сгустки
возможны, если! внутри них имеется проводящий стержень эл-
липтического сечения, несущий соответствующий заряд; так,
например, если в полости кругового сгустка (кольца а0<г<а)
потенциал Ф равен

Ф = —-©Jao(1 + 21п—) при г<а0,	(7.11)

4	\	Яо/

то распределение потенциала в самом кольце по-прежнему вы-
ражается формулой (7.02) и электроны в нем движутся с той
же угловой скоростью Формула (7.11) показывает, что в
полости кольцевого потока помещен цилиндрический стержень
радиуса г0<ао, несущим заряд, равный произведению плотно-
сти заряда в сгустке на площадь полости ла02.

Во-вторых, полый круговой сгусток может существовать и
без внутреннего стержня, причем в этом случае

Ф = — -у ©J (г2 — 24 In — при а0 <г <а (?• 12)
4	\	До/

и

ф = __1 G)J4 при 0 < г < а9.	(7.13)
В таком сгустке электроны движутся с угловой скоростью, за-
висящей от координаты г, поскольку

1

CD+ — —

2

/	о2

О — 2 со 01 1 — ——

*4	г2

(7-14)

Такой сгусток неустойчив (§ 9), в то время как сгусток, в кото-
ром электроны движутся с одинаковой угловой скоростью, всег-
да устойчив (§ 8).

§ 8. УСТОЙЧИВОСТЬ КРУГОВЫХ потоков

Выше мы получили ряд точных решений, соответствующих
ламинарным электронным потокам. Исследование их устойчиво-
сти мы начнем с наиболее простых круговых потоков, в которых
потенциал определяется формулой (7.02) и электроны движутся
с одной и той же угловой скоростью (7.04), как частицы враща-
ющегося твердого тела.

Прежде всего рассмотрим малые симметричные колебания
сплошного кругового сгустка, при которых его радиус a(t) ко-
леблется около равновесного значения а, а плотность заряда
постоянна в пределах сгустка, но изменяется во времени в со-
ответствии с изменением a(t). Обозначая через сор (£) мгновен-
ную плазменную частоту сгустка, а через сор—ее равновесное
значение, мы будем иметь

Юр (/) a (t) = tofi = const,	(8.01)

так что потенциал внутри сгустка будет равен

ф = _ (Л г2 =	Л	(8.02)

4	4 аа (/)

Если учесть, что при симметричных колебаниях величина

(8.03)

является инвариантом движения, то уравнение движения любой внут-
ренней частицы имеет вид

'r{f}-aip а* г (ft 1		(8.04)
( '	2 а» (0 Г ' ' г* (/)	4 r-W’	

12 Электроника, сб. № S
а уравнение движения граничном частицы

2

2 а(0	а«<()	4 '

В равновесном состоянии мы имеем

Q2 —2coJ = 1^ = Ю-2g) )2
г2

(8.05)

(8.06)

в соответствии с формулой (7.04). При малых колебаниях около
равновесного состояния мы полагаем

а (0 = а + Ьа (0, г (0 = г + бг (0	(8.07)

и получаем для Ьа и бг уравнения

ба + (й2-о)р)ба = 0,

бг + (Д2 - 2®?) бг = - - ба,	(8.08)

а

из которых видно, что ба колеблется с частотой У Q2 — w’,

а бг колеблется как с той же частотой (вынужденные келебания),
так и с частотой)/Д2—2©р (свободные колебания внутренних

электронов). Легко показать, что свободные колебания в лабо-

раторной системе координат происходят с частотами (7.04) и
(7.05).

При условии (7.06), когда частоты и ®+ различны, велиь

чина бг остается ограниченной, так что сгусток устойчив отно-
сительно симметричных возмущений. Если же Q=wp)/2(T- е-
ш+=ш_ и ц=0), то сгусток неустойчив, так как второе уравне-

ние (18.03) имеет общее решение, линейно растущее во времен».
В этом случае любое малое возмущение приводит к «турбули-

зации» ламинарного течения.

Результаты, полученные выше, по существу совпадают с ре-
зультатами А. Д. Власова [9]; мы повторили некоторые рассуж-
дения работы [В].
Для дальнейшего исследования колебаний в круговых пото-
ках перейдем от координат х, у к координатам q по формулам

х = | cos mJ -j- т] sin со J,

г/ = — £ sin coj + Л cos coj,	(8.09)

т. е. к координатной системе, вращающейся с угловой скоростью
— (не смешивать т| с эллиптическими координатами!). Полагая

Ф=	+Л2)+6Ф(5,Т|),	(8.10)

4

мы из уравнений (1.01) получаем новые уравнения движения

I — (Q — 2со_)т] =

абФ

Л+(Й-2©_)и-^-

(8.11)

Поскольку при невозмущенном движении | и л постоянны, в
уравнениях (8.11) можно заменить л» Л на 6л, $Л« Для
малых колебаний можно в правых частях уравнений (8.11) под £ и л
понимать их невозмущенные значения. Предполагая, что 6|, 6т] и 6Ф
пропорциональны e~iat, мы можем линеаризировать уравнения (8.11)
следующим образом:

дЬФ

31 ’

(оа6^ — i'(o (Q — 2со_) 6т]

	(8.12)  i© (й — 2<о_) 6£ + <оа6л =	.  дт|
Обозначая	дп	д1

и учитывая, что при линеаризации уравнение Пуассона (1.09) прини-
мает вид

, £в® =
+ an*

(8.14)
мы легко приходим к соотношениям

(о2С + to (Q — 2со_) D = О,

(8.15)
— tCD (Q — 2ш_)С + (ш2 — ©J) D = 0.

Они показывают, что колебания с отличными от нуля значениями
С (вихря) и D (дивергенции) возможны только при частоте со=]/" Q2_
т. е. при частоте вынужденных симметричных колебаний (см. формулу
(8.08) и замечания после нее). Надо отметить, что этот результат
относится также к полому круговому сгустку.

При колебаниях, частоты которых отличны, от нуля и от
Voa — о)р, мы имеем

С = 0,	D = 0,	(8.16)

поэтому

«5=^,	ач = Г’	(817>

д!-	дп

где X—гармоническая функция. Обозначая через У сопряженную ей
гармоническую функцию, удовлетворяющую условиям Коши—Римана

дх дУ дХ дУ	.0.

ag ал an	v

(X + iY — аналитическая функция комплексного переменного £ + it]),
мы удовлетворим уравнениям (8.12), полагая

бф = 0®Х + to (Q - 2<о_) У.	(8.19)

Введем полярные координаты г, ф по формуле

Ц-(т| = ге'*,	(8.20)

тогда соотношения (8.17) примут вид

6г = —, бф = ——.	(8.21)

dr	г2 дф

Для кольцевого сгустка л0<г<а мы полагаем

гт

X = —- (flrxcos гиф + &r2 sin тф) —

mam“1
am+i

-----£_ (6r3cos mty 4- 6r4 sin /nip),

rm

Y — —— (6rx sin /nip — 6r2 cos /nip) 4-

mam 1

am+i

4—7=- (6r3 sin/nip — 6r4 cos/nip),	(8,22)

mr	'

где tn = 1,2,... Тогда по формуле (8.19) получаем
rm	am+l

6Ф =——— (1,2)-----------®_(3,4) при a0<r<a,	(8.23)

ma 1	mr

где

(1,2) = [<Dadr1 — id) (Q — 2(0.) dr2] cosm ip 4-

4- [io) (Q — 2tD_) brr 4- d)2flr2] sin /nip,

(3,4)	= [d)26r3 4- id) (Q — 2co_) dr41 cos /nip 4-

4-	[— id) (fi — 2tD_) 6r3 4- d)2dr4] sin /nip.	(8.24)

Поскольку при г = a0 и г = а добавочный потенциал 6Ф должен
быть непрерывным, при r<a0 и r>a удовлетворять уравнению
Лапласа, а при г—>0 и г->оо стремиться к нулю, мы получаем

/и  6Ф = —^7зр(1,2) -	гт  т-1 (3,4) при г<а0,
та 1	/па*
	(8.25)

я">+1	а^1

6Ф = 2_^(1,2)------^(3,4) при г>а.

тгт	тг"

Нормальная производная 6Ф при г = а0 и г — а терпит скачок,
поскольку благодаря бесконечно малому смещению границ сгустка
образуется поверхностный заряд. Мы имеем

абФ | ЭбФ I

1г=»в—о	lr=a+o

= 2(l,2) = d)>|fse_e,

дбФ

dr

— ~ I = 2 (3,4) - d)j6r |гввв+о.

(8.26)
Вычисляя бг по формулам (8.21) и (8.22), получаем систему урав-
нений

(й) \

о)2---— j 1 — /со (£2 — 2ш_) бгg

2 /

io(Q — 2<*>_) бг4 + ( в2

—бг3	=0,

2

_Г+1^бг4 = 0,
2

(8.27)

2 1

/ и2 \

-И to2------1 бг3+ id)(Q — 2d)_)dr4 = О,

9	/	4 \

/	-	(l)„ I

- г1 -Чг, - ICD (Q - 2ш_) бг3 + й)2-------------р-1 бг4 = О,

2	\	2 /

где

Х=А<1.
а

(8.28)

Вычисляя определитель системы (8.27) по теореме Лапласа, получим
характеристическое уравнение

Д2(ш)-^- Х,тД(й>) + i = 0	(8.29)

или

Д (to) — — К2т = 0, где Д(to) = ш4 — (Q2 — top) to2 + — .(8.30)
4	4

Таким образом, во вращающейся системе координат я частоты
малых колебаний, характеризуемых азимутальным индексом т, опре-
деляются формулой

6)2 = 1 (Q2 _4. /Q<_ 2 Q2toJ + to;Vm). (8.31)
2

При условии

й>ир/1 + /1-Г" ,

(8.32)

выполняющемся, если справедливо условие (7.06), выражение
(8.31) положительно к. нарастающих во времени колебаний нет.

Мы видим, что условие (7.06) гарашгирует устойчивость
круговых сгустков как сплошных (1=0), так и полых (0<
<Х<1). Рассмотрение полых пучков и несимметричных колеба-
ний никаких новых неустойчивостей (кроме неустойчивости при
й = Шр 1^2) не обнаруживает.

Метод исследования малых колебаний, примененный выше,
по существу подобен методу, применяемому в гидродинамике
([1], § 385). К сожалению, он применим только в том случае,
когда стационарное движение электронов подобно движению
твердого тела, благодаря чему путем перехода к координатам
т| можно рассматривать колебания покоящегося электронного
облака.

Результаты следующего параграфа показывают, что устой-
чивость круговых потоков является исключением, так как все
другие потоки неустойчивы. (Поэтому можно думать, что устой-
чивость кругового потока вряд ли имеет реальное значение и
что при учете нелинейных эффектов могут появиться неустойчи-
вости.

§ 9. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ДРУГИХ ЛАМИНАРНЫХ
потоков

Строгое исследование устойчивости других ламинарных по-
токов, даже простейшего плоскопараллельного потока (7.07) —
(7.10), приводит к очень сложным соотношениям (ср. [10]).
Поэтому мы ограничимся приближенным исследованием устой-
чивости, основанным на усредненных уравнениях движения
(1.04) и (1.05) и на предположении о том, что внутри электрон-
ного облака дополнительный потенциал 6Ф удовлетворяет урав-
нению Лапласа [а не уравнению, аналогичному (8.14)]. Надо
отметить, что последнее предположение является необоснован-
ным и, в частности, не вытекает из усредненных уравнений дви-
жения. Последние приводят к соотношению (5.23) или к соот-
ношению

=	(9.01)

дх ду

в то время как для обоснования уравнения Лапласа

<?г6Ф , <?а6Ф Q
дх1 ду1
необходимо, чтобы выполнялось соотношение

дЬх дЬу _ Q
дх ду

(9.03)

которое в общем случае из уравнений движения не следует.
Тем не менее уравнением (9.02) часто пользуются (ср. [11]), по-
скольку оно сильно упрощает 'расчеты и, по-видимому, приводит
к правильным выводам о неустойчивости, хотя некоторые слож-
ные виды неустойчивости при этом остаются необнаружен-
ными.

Покажем, как применяется уравнение Лапласа (9.02) для
исследования устойчивости кольцевого потока (а0<г<а). Мы
имеем

при 0 < г < а0,

при а0<г<а,

при а^г<оо,

(9.04)

где бх и б2 — произвольные (малые) постоянные. Как и в § 8, мы
считаем потенциал 6Ф непрерывным при г = а и г — а0, а его нор-
мальные производные подчиняем условиям

МФ МФ

дг г=а—о &г г=а+о

= — б1е"п,Р = (i)p6rl

а	1г=а—о

МФ МФ

г=а „-И

2/П
а

г=ав4-о

(9.05)

б/шФ = (flj6r

г=а0—О

С другой стороны, из усредненных уравнений движения имеем

1 МФ

Qr дф

(9.06)

причем для малых колебаний с временной зависимостью e~iai

br = — i (co -j- mcoj 6r,

6r = — i ((0 -j- /Пй)2) бг,

Ф = — со1 при г — а,

Ф = — ш2 при г = а0.
Вычисляя dr при г = а и г = а0 из уравнения (9.06) и подставляя в
условия (9.05), мы получим систему уравнений для постоянных бх и
д2, которая будет иметь нетривиальное решение только для частот,
определяемых соотношением

где

(со + ш©12)2 - ©

1	\-,п

1 — т—I — X
о /

(9.08)

(О = -------

12	2

Д© =

(1)2 — <1>2

- “р

© = —

2Q

(9.09)

2

а X введено по формуле (8.28).

При Д© = 0 формула (9.08) принимает вид

(© + /п©12)2 = со2 (1 — к2т).

(9.10)

Такой же вид принимает формула (8.31), если в ней взять знак
«минус» и считать й ©р; смысл обеих формул одинаков: они опре-
деляют квадрат частоты, наблюдаемой во вращающейся системе коор-
динат. При ДшфО правая часть формулы (9.08) может стать
отрицательной, что соответствует неустойчивости потока.

Для кольцевого потока с распределением потенциала (7.12) мы
имеем

•	— /	а® \	_

ф = — © 1---------1), ©1 = ©(1 — V), ©2 = 0,	(9.11)

\	г« /

так что формула (9.08) принимает вид

— = Г1 —— (1—Х2)]’—Х:от,	(9.12)

й® L 2 V J

где ©, как в формуле (8.31), означает частоту, наблюдаемую в сис-
теме координат, вращающейся с угловой скоростью ©12. При X » 1
формула (9.12) принимает вид

г- = (1 — 2hb)s —	(9.13)

(и8

где

о,,	2

(9.14)
Выражение (9.13) определяет собственные частоты плоскопарал-
лельного потока (7.07) —(7.10) при возмущениях вида e~ihx. При
0 < 2 hb < 1,27 появляется неустойчивость — возмущения нарастают
во времени (диокотронный эффект, ср. [11]). При 2 hb 1 формула
(9.13) переходит в выражение

полученное для тонких плоскопараллельных пучков [12].
Аналогичным образом исследуется устойчивость эллиптических
сгустков. Мы пользуемся усредненными уравнениями движения

Й«Ч = -^,	(9.16)

дП	д1

где

g = f/ch^-cos2T]	(9.17)

есть коэффициент Ламе для эллиптических координат £, q. Уравне-
ние движения граничного электрона £ — В при малых колебаниях
можно записать в виде

Qg2sf=

(32Ф

ад

б£,
6=1

(9.18)

где Ф определяется формулой (3.03), a g есть значение g при | = £

При временной зависимости егм имеем

(2	\

ico + th 2£—) ?б£ = —

2 Я	дт\!	дл

Представляя 6Ф в виде

(9-19)

6Ф = б, ch mg cos mq 4- 6, shm^sinmr] при

J9.20)

6Ф = егт&~Ы (6j ch m£ cos mr\ + 62sh m£ sin /nq) при £ > £

и пользуясь условием

<ЭбФ

Ж>

ЭЕ
1=^-о	5

= те”* (бх cos /пт] + б2 sin mq) (ojg®6!-,

fc-1+о
мы получаем для частоты колебаний выражение

со2 = —£.[(1 — mth 2£)2 — е~*тЦ.	(9.22)

Если в этом выражении считать | 0 и обозначить

h = у-, b = ft, hb = mt,	(9.23)

где 2/ есть расстояние между фокусами граничного эллипса £ = то
мы опять придем к формуле (9.13). Вместе с тем при конечных | и
т = 1 мы всегда имеем со2 < 0, т. е. возмущения, характеризуемые
азимутальным индексом т = 1, будут экспоненциально нарастать во
времени. При £->оо и т = 1 мы имеем о)2—*0, т. е. при переходе
к круговому сгустку вместо неустойчивости получаем безразличное
равновесие (наличие частоты о = 0 было уже отмечено в § 8).

Устойчивость гиперболического потока с единственной границей
Л = л (см. рис. 2, а) исследуется так же. Для граничного электрона
Я = л уравнение движения имеет вид

П /	• I “р о~ д \ -2А- дбф

d-‘“+d,g2’l-)gd’l =-тг

X	ZW 0^1	Ofc

(9.24)

где g есть значение g при л = Л- Вместо выражений (9.20) мы
пишем

6Ф = Si cos ml ch /нт| ch m (л — л) + 62 sin ml sh тл sh m (л — л)
при 0<лСЛ.

6Ф = Sjcos/nlchrn-л ch/л (л — л) + 62sinm£ sh /ил shm(n —ц)

при л С Л С я

(9.25)

и ставим граничное условие

дбФ
дт]

дбФ
ап

О

= т sh гил (Sx cos ml + S2 sin ml) — apg2br\.

l)=T|-}-0
В результате получается следующее выражение для частоты колеба-
нии:

ш2 = — (cth тл — т tg 2 т))2 —	|,	(9.27)

4Q2	L sh/пл J )

которое при т) —> 0 дает мнимые частоты

и = ± I — тт] cth тл,	(9.28)

о

соответствующие экспоненциально нарастающим и экспонен-
циально убывающим возмущениям. Вместе с тем пр«> т=1 и
О Л частота также получается мнимой.

Таким образом, исследованные в § 8 устойчивые круговые
потоки являются исключением, поскольку плоскопараллельные,
эллиптические и гиперболические потоки неустойчивы по отно-
шению к «длинноволновым» возмущениям *. Эта неустойчивость
обусловлена относительным скольжением электронных слоев,
т. е. близостью электронов, обладающих различными скоростя-
ми. Иначе говоря, неустойчивость имеет ту же природу, что и
неустойчивость электронного потока в двухлучевой лампе
(ср. [Н]).

Исследуя 'Неустойчивость с помощью усредненных уравне-
ний движения, применимых при Ъ>1 (ишй по крайней мере
при Я>У2, см. § 6), мы получили возмущения, характеризуе-
мые мнимыми частотами

e=±i^-MW.	(9.29)

причем для кольцевого потока согласно формуле (9.12) функ-
ция fm(x) имеет вид

М*) = |/ (1-- У”-(1-*)’,	ж =	(9.30)

у \ п )	4

* Как видно из рис. 9 (см. ниже), гиперболические потоки неустойчивы
при т|<0,47, а другие потоки (плоскопараллельные, кольцевые, эллиптиче-
ские) неустойчивы всегда.
a

б

для эллиптического потока она определяется выражением

М(х) = |/Ге — (1 —rcth-)2,
I/	\	tn )

х = 2ml

(9.31)

и для гиперболического потока

fm (х) = । Л chlfnn—2 _ (cth тя — т tg — V
у L sh tnn J \	mJ

>: = 2тт]. (9.32)

Эти функции изображены йа рис. 9. При т-»оо они переходят в
функцию

Мх)=/е-’«-(1-х)!,	(9.33)

которая согласно формуле (9.13) характеризует неустойчивость

плоскопараллельного потока.

Напомним, что формула (9.32) относится к полубесконечнfl-
му гиперболическому потоку (одна граница т)=т]» Рис- 2,а). Не-
устойчивость гиперболических язычков конечной ширины (рис.
2, б и в) будет, по-видимому, выражена сильнее.

Из формулы (9.29) и рис. 9 видно, что при коэффи-
циент нарастания возмущений во времени удовлетворяет нера-

венствам

| (й |	Q.
По-видимому, величина

(9.35)

является не только временем нарастания колебаний, но и оп-
ределяет период медленных колебаний ((пульсаций) в нестаци-
онарном потоке, возникающем в результате развития неустой-
чивостей и нх ограничения нелинейными эффектами. Эти потоки
будут стационарными лишь после усреднения по промежутку
времени, существенно превышающему Т. Подобное усреднение
по существу производится при возбуждении электронным пото-
ком резонансного колебания, время затухания которого суще-
ственно больше Т; при возбуждении поток ведет себя как ста-
ционарный.

Весьма интересен и сложен вопрос о структуре таких «ква-
зистационарных» (пульсирующих) потоков и об их отличии от
исходных стационарных. Здесь возможно образование «вихре-
вой дорожки» —распадение потока на ряд мелких сгустков,
осциллирующих и дрейфующих под действием сил пространст-
венного заряда (кольцевой и плоскопараллельный потоки),
вместе с тем поток может турбулизироваться без -разрыва
сплошности (круговой поток Бриллюена, магнетронные языч-
ки); в последнем случае пульсирующий поток похож на исход-
ный стационарный. Отметим, что при использовании усреднен-
ных уравнений (1.04) скорость всегда является однозначной
функцией координат и времени, удовлетворяющей уравнению
(5.23); в этом отношении электронный поток аналогичен пото-
ку несжимаемой и в общем случае неоднородной жидкости.

Неустойчивость электронных потоков исследована выше без
учета взаимодействия электронов с резонатором, а также без
учета того, что время пролета электронов (время их пребыва-
ния в пространстве взаимодействия) всегда конечно. Диссипа-
тивные эффекты в резонаторе могут в некоторых случаях про-
тиводействовать неустойчивостям, Вместе с тем, если неустой-
чивость не успевает развиться за время пролета (если время
пролета меньше Т), то эта неустойчивость не имеет практиче-
ского значения, поскольку новые электроны, вступающие в про-
странство взаимодействия, заново формируют электронный по-
ток. Увеличение магнитного поля, как видно из формул (9.29) и
(9.35), не уничтожает неустойчивостей, но замедляет их разви-
тие во времени (увеличивает Г), делая их (при достаточно
больших Г) практически несущественными.

Отметим еще раз, что результаты этого параграфа, в силу
введенного предположения (19.02), не являются точными и окон-
чательными; рассуждения о развитии неустойчивостей также
нуждаются в обосновании и уточнении. Мы привели эти резуль-
таты и рассуждения потому, что неустойчивость решений имеет
большое значение, и в этом вопросе важно иметь хотя бы пред-
варительную ориентировку.

Поскольку в этом параграфе мы пользовались усредненными
уравнениями движения, применимыми при достаточно больших
R, мы не встретились с неустойчивостью, исследованной в § 8
для круговых потоков и наступающей при Для эллипти-
ческих сгустков такая неустойчивость появится, если неравен-
ства (|5.14) или (5.18) заменить равенствами. С гиперболиче-
скими сгустками дело обстоит сложнее, так как согласно § 8
они могут существовать при сколь угодно малых R. Однако это
не исключает появление новых неустойчивостей, особенно в том
случае, когда условие (6.19) несправедливо и нужно пользовать-
ся точными уравнениями движения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты, полученные выше, имеют довольно частный ха-
рактер; несомненно, что внешним полям, существующим в ре-
альных магнетронных приборах, соответствуют электронные
сгустки и язычки более сложной формы. Их можно искать, до-
бавляя в правые части (2.02) и (2.03) любые гармонические
функции. Однако при таком подходе вычисление поля вне элек-
тронного облака (т. е. вычисление гармонической функции Ф по
значениям Ф и дФ/дп на границе облака) в общем слу-
чае наталкивается на трудности. Аналогичные трудности возни-
кают при решении внешней задачи в теории формирования
электронных потоков [6], где также сначала решается внутрен-
няя задача.
Несмотря на частный характер полученных результатов, они
позволяют понять, каким образом пространственный заряд ог-
раничивает анодный ток и генерируемую мощность в приборах
.магнетронного типа. Рассмотрим эту важную проблему элек-
троники больших мощностей в следующей упрощенной поста-
новке: что будет происходить, если увеличивать плотность за-
ряда электронного облака, одновременно увеличивая нагрузку
(и выходную мощность генератора) так, что амплитуда высоко-
частотного поля остается постоянной?

При малых плотностях заряда происходит фазовая фокуси-
ровка, детально рассмотренная в работах [3] и [4]: электроны
дрейфуют вдоль эквипотенциалей внешнего поля (ср. § 1) от
катода к аноду. При увеличении плотности заряда происходят
следующие явления, нарушающие этот простой механизм фазо-
вой фокусировки.

1.	Под влиянием поля пространственного заряда электрон-
ные язычки деформируются. Эта деформация сопровождается
уменьшением анодного тока (§4). К уменьшению анодного
тока ведет также блокирование плоскости питания электронны-
ми сгустками достаточно большой плотности (§ 3).

2.	При больших плотностях заряда усредненные уравнения
движения становятся неприменимыми и траектории электронов
сильно отклоняются от эквипотенциален результирующего поля
(§ 5 и 6).

3.	Язычки и сгустки, как правило, неустойчивы. Развитие
неустойчивостей может превратить исходный ламинарный (ста-
ционарный) поток в турбулентный (пульсирующий). Увеличе-
ние магнитного поля не обеспечивает устойчивости, а лишь за-
медляет развитие неустойчивостей, что при конечном времени
пролета может привести к практической устойчивости (§ 9).

Заметим, что первое явление уже рассматривалось в рабо-
тах (3] и [4]. Второе явление (автор обратил на него внимание
после замечаний Г. Ф. Филимонова и М. И. Хворова) обуслов-
лено тем, что при больших плотностях заряда характер движе-
ния электронов в заданном магнитном поле качественно изме-
няется. Третье явление показывает, что рассматриваемые элек-
тронные потоки, подобно плазменным образованиям, подверже-
ны неустойчивостям; теоретическое исследование развития этих
неустойчивостей (даже в линейном приближении, не говоря уже
о нелинейных эффектах) является делом весьма трудным.

Все три явления приводят к тому, что анодный ток и генери-
руемая мощность перестают увеличиваться пропорционально
плотности заряда и появляются совершенно иные зависимости
[ср; формулу (|4.15)].

Несомненно, что более полные сведения о процессах, проис-
ходящих под действием пространственного заряда в реальных
магнетронных генераторах, можно получить .в результате рас-
четов на быстродействующих вычислительных машинах
(ср. [13]). Важность этих расчетов видна из того, что решения,
соответствующие ламинарным электронным потокам, вследствие
своей неустойчивости имеют ограниченное значение, а аналити-
ческое исследование возмущенных потоков представляет серь-
езные трудности.

Автор благодарен П. Л. Капице за интерес к данной работе
п ее ценное обсуждение, а также Г. Г. Моносову и Г. П. Пруд-
ков’скому за дискуссию вопросов, относящихся к пространствен-
ному заряду в магнетронных приборах. Автор пользуется случа-
ем выразить свою признательность С. П. Капице, Г. Ф. Фили-
монову и М. И. Хворову, замечания которых при обсуждении
первой части работы (§ 1—4) привели к ее существенному рас-
ширению.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Г. Л а м б. Гидродинамика. М—Л., ОГИЗ — Гостехиздат, 1947.

2.	А. М. Ляпунов. Собрание сочинений, т. IV. М„ Изд-во АН СССР, 1959;

т. V. М., изд-во «Наука», 1965.

3.	П. Л. Капица. Электроника больших мощностей. М., Изд-во АН СССР,
1962.

4.	П. Л. Капица, С. И. Филимонов, С. П. Капица. Электроника
больших мощностей, сб. 3. М., изд-во «Наука», 1964, стр. 7—29.

5.	Л. А. Вайнштейн. Стабильность колебаний в генераторах магнетрон-
ного типа, сб. 3. М., изд-во «Наука», 1964, стр. 30—69.

6.	В. Т. Овчаров. Радиотехника и электроника, 2, № 6, 696—704, 1957;
Некоторые вопросы теории и расчета электронных пучков. Докт. дисс. М..
1965.

51*
7.	Л. Лихтенштейн. Фигуры равновесия вращающейся жидкости. М„
изд-во «Наука», 1965.

8.	L. В г 111 о u i п. Phys. Rev., 67, N 7/8, 260—266, 1945.

9.	А. Д. Власов. Радиотехника и электроника, 5, № 2, 264—268. 1960.

10.	Электронные высокочастотные приборы со скрещенными полями. Перев.
под ред. М. М. Федорова, т. I. ИЛ, 1961 (раздел 5.1.1, написанный Бане
маном).

11	В. С. Стальмахов. Основы электроники сверхвысокочастотных прибо-
ров со скрещенными полями. М., Изд-во «Сов. радио», 1963 (гл. III и V).

12.	О. Bunem an. J. Electronics and Control, 3, N 5, 507, 1957.

13.	S. P. Y u, G. P. Koo yers, 0. Buneman. J. Appl. Phys., 36, N 8,
2550—2559, 1965.
Л. А. Вайнштейн

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РЕЗОНАНСНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ
АВТОГЕНЕРАТОРОВ *

В работе изложен общий метод исследования резонансных электронных
автогенераторов, который базируется на теории возбуждения добротных
колебательных систем и для триодных генераторов переходит в известный
метод ван дер Поля. Изложенный метод позволяет с единой точки зрения
рассмотреть автоколебания в триодных генераторах, в генераторах магне-
тронного типа и в других резонансных сверхвысокочастотных генераторах.
Выведены общие формулы для электронного смещения частоты в резонансных
автогенераторах и для их технической частотной стабильности. Исследована
генерация при наличии нескольких конкурирующих собственных колебаний.

ВВЕДЕНИЕ

Самовозбуждающиеся генераторы с резонансными колебатель-
ными системами образуют важный класс электронных приборов
высоких и сверхвысоких частот. К числу этих приборов принад-
лежат триодные генераторы гармонических колебаний, клистрон-
ные генераторы, магнетроны, а из более новых приборов — ниго-
трон [8], оротрон [9] и гиротрон (монотрон с винтовым электрон-
ным пучком, см. [10]).

В данной работе изложена общая теория таких генераторов.
Относительно колебательной системы генератора мы делаем сле-
дующие предположения: 1) колебания в этой системе обладают
большой добротностью, так что можно пренебречь влиянием по-
терь на распределение электрического поля этих колебаний;
2) в пространстве взаимодействия электронов с переменным полем
колебательной системы распределение электрического поля всех
рассматриваемых собственных колебаний можно считать одним
и тем же; 3) время затухания собственных колебаний резонатора
гораздо больше времени пролета электронов, в то время как соот-
ношение между периодом колебаний и временем пролета может
быть любым.

В теории резонансных автогенераторов наиболее прост случай
генерации на одном собственном колебании, когда можно считать,
что колебательная система имеет одну степень свободы и одну
резонансную частоту; этот случай наиболее часто рассматривался
в литературе и несомненно является наиболее важным. Однако
серьезное значение имеет также более сложный случай генерации
при конкуренции нескольких или даже многих собственных коле-
баний; в литературе этот случай теоретически почти не рассмат-
ривался, хотя на практике с ним часто приходится иметь дело.
В силу третьего предположения полоса частот, в которой элек-
тронный поток способен поддерживать колебания резонансной си-
стемы, может содержать много резонансных частот, причем соот-
ветствующие резонансные кривые могут не перекрываться, а мо-
гут и перекрываться (частично или полностью). Рассмотрению
этих случаев и посвящена данная работа, причем исследованы одно-
частотные и многочастотные стационарные колебательные режимы
и их устойчивость.

Исходным пунктом данной работы явилась наша статья [1],
посвященная стабильности колебаний в магнетронных генерато-
рах. Развитый там теоретический метод легко обобщается на слу-
чай конкуренции собственных колебаний, на многочастотные ре-
жимы и на другие электронные приборы, а применительно к триод-
ным генераторам совпадает с известным в теории нелинейных ко-
лебаний методом ван дер Поля (или, что то же, методом медленно
меняющихся амплитуд, методом усреднения). Поскольку полу-
чение конкретных результатов невозможно без анализа соответ-
ствующих электронных процессов, мы ограничиваемся лишь двумя
типами генераторов — триодными генераторами и магнетронными
генераторами (включая ниготрон), оставляя рассмотрение других
генераторов на будущее. Эти два типа генераторов мы обсуждаем
достаточно подробно, допуская в ряде мест небольшое повторение
результатов, полученных ранее.
§ 1. ВОЗБУЖДЕНИЕ ОБЪЕМНОГО РЕЗОНАТОРА
НА ЧАСТОТЕ, БЛИЗКОЙ К СОБСТВЕННЫМ ЧАСТОТАМ
НЕСКОЛЬКИХ ИЛИ МНОГИХ КОЛЕБАНИЙ В РЕЗОНАТОРЕ

Пусть объемный резонатор возбуждается электрическим током,
плотность которого

j = Re{k-^}+ ...	(1.01)

колеблется с частотой « и комплексной амплитудой i, зависящей от
пространственных координат х, у, z, и пусть частота © близка
к собственным частотам нескольких или многих электромагнит-
ных колебаний резонатора, в то время как остальные слагаемые
в выражении для плотности тока, обозначенные в формуле (1.01)
многоточием (слагаемое, не зависящее от времени, гармоники и
субгармоники частоты со), резонансного возбуждения не дают.
Комплексная амплитуда i выражается через j следующим обра-
зом:

i = 2j^,	(1.02)

где черта сверху означает усреднение по времени. Формулы (1.01)
и (1.02) применимы как к стационарным (периодическим) колеба-
ниям, так и к нестационарным (неустановившимся) колебаниям;
для последних усреднение по времени — операция не вполне од-
нозначная, однако если i является медленно меняющейся функ-
цией (характерное время Т ее изменения удовлетворяет условию
соТ^> 1), то эта неоднозначность практического значения не имеет
(см. ниже).

Обозначим через (о6 = to' — г со' комплексные частоты резо-
нансных колебаний (со' > 0 — круговая частота, со'' 0 — ко-
эффициент затухания), через Es — комплексные напряженности
электрического поля этих колебаний. Возбуждаемое электричес-
кое поле равно

Е = Ве{2ЛЕ,г<“(),	(1.03)

причем мы пренебрегаем всеми нерезонансными слагаемыми и по-
тому суммируем лишь по таким $, для которых коэффициенты
(см., например, [2], стр. 5591)

i gs

2 со —o)s

(1.04)

велики вследствие малости © — и,. Величина аг определяется
формулой

а, =	iE. dV = С dV, (1.05)

' /Vg J  8 Ns 8	\	/

где интегрирование производится по всему объему резонатора
(точнее, по той его части, где j =/= 0). Если пренебречь (считая доб-
ротность Qs = каждого колебания достаточно большой)
влиянием потерь на распределение поля собственных колебаний
резонатора, то векторную функцию Е6 можно считать веществен-
ной, а норму

(1.06)

— положительной. Вследствие ортогональности векторных функ-
ций Es полю (1.03) соответствует электромагнитная энергия

где

S	э

РГ.= 4-^|Лвр

(1.07)

(1.08)

есть электромагнитная энергия, связанная с полем Re{Л6Е8е-ы).

Сделаем еще одно предположение: пусть в пространстве взаи-
модействия (там, где j =/= 0) все резонансные колебания имеют
одну и ту же структуру электрического поля, т. е. можно положить

Е8 = g,E» (g8 > 0),

(1.09)

тогда выражение (1.03) принимает вид

E = Re{4E^“'},	(1Л0)

8

а выражение (1.05) можно переписать в виде

= I = 2\ jW“4V.
Ne	J
Мы имеем согласно формулам (1.04), (1.10) и (1.11)

<1Л2>

где функция Л((й) определяется выражением

п h

h(ui)=	’ Л, = —,	(1.13)

а=1

причем множитель № введен так, чтобы сделать положительные
числа характеризующие данную резонансную систему, безраз-
мерными. Для упрощения дальнейших соотношений мы полагаем

4	Р2

ж=2£- и 2а.=1,	(1.14)

s	8 s

тогда функцию h (со) можно представить в виде отношения произ-
ведений

n—1

П (со — (Йг)

h(n) = ^---------,	(1.15)

П (® — И4)

S«el

где п — число рассматриваемых резонансных колебаний, а

йг = й' — jd’ — нули функции h (ш). При п = 2 мы имеем

Ш1 _ _____ , (1ль)

т. е. в плоскости комплексного переменного точка при п = 2 ле-
жит на прямолинейном отрезке, соединяющем точки ах Ий)2. отку-
да, в частности, имеем Л' 0. В общем случае условие

oj>0	(1.17)

вытекает из легко доказываемого неравенства

1тЛ(и)<^0 при 1т ©^>0,	(1.18)

гарантирующего отсутствие нулей в верхней полуплоскости.
Рис. 1. Ход функций | h (со) | и ц (со) при трех собствен-
ных колебаниях

а — резонансная система без потерь: б — резонансные кривые не
перекрываются; в — резонансные кривые частично 'перекрываются;
е — резонансные кривые полностью перекрываются

В дальнейшем функция h (о) будет играть главную роль при
исследовании колебаний в данной системе. Положим

Л (со) = |Л((д)|е-М|(“>1	(1.19^

тогда при вещественных ®
п’ [(Ш-ш,)’+(й;)!)

| Л (Ш) !• = -!=!------------- (1.20)

п ко-»;)'+«»;)]

в
,Л	CO — ©	П—1	(0 — (В-

П(м) = У arcctg—г2 — У arc ctg —хт— .	(1.21>

и.	©_

а«=1	•	Г"1	г

Ход функций | Л((о) | и I) (о) схематически изображен на рис. 1. За
исключением, может быть, случая полностью перекрывающихся
резонансных кривых (рис. 1,з), когда резонансные свойства прак-
тически отсутствуют, ход этих функций можно получить, непрерыв-
но деформируя кривые для идеальной системы без потерь (рис.
1,а). В частности, располагая комплексные частоты ш8, имеющие
сравнимые значения со', в порядке возрастания со', мы будем
иметь

(1.22)

Обобщим теперь соотношение (1.12) на случай многочастотных
режимов, когда вместо формулы (1.01) надо писать

j = Re(Si.e-C"'),	(1.23)

V

а вместо формулы (1.03)

Е=Ве{2Х,Е,е‘*г’'}	(1.24)

St V

или в силу соотношения (1.09)

E=Re{2^ZS'^En), Л =	(1.25)

V	8

причем соотношение (1.12) обобщается следующим очевидным об-
разом:

Л (й)и)

(1.26)

где	______

Д = 2рЗ°Л'<1Г,	(1.27)

причем черта, как и выше, означает усреднение по времени, так

что

i, = 2jc>'{

(1.28)

Наряду с истинными многочастотными режимами, когда
одновременно генерируются колебания с несколькими часто-
тами, возможны случаи, когда электронные сгустки, сформиро-
ванные полем с частотой возбуждают в резонаторе колебания
на гармонике 2Slr 3й1 или другой, близкой к какой-то собственной
частоте резонатора. Все эти случаи охватываются соотношениями
41.23) — (1.27). Если частота 2V, с которой колеблется электрон-
ный поток, не близка к собственной частоте резонатора ws, то со-
ответствующее слагаемое Л ve-1Wv' в выражении (1.25) можно, во-
обще говоря, опустить.

Нам нужно исследовать также устойчивость стационарных ре-
жимов — как одночастотных, как и многочастотных, а для этого
надо обобщить соотношения (1.12) и (1.26) на нестационарные ре-
жимы. В нестационарном режиме мы можем представить Л> и Д
в виде интегралов Фурье

00	00

4,(0 = $ 4,(С)<г^4С, /, (0 = j 7, ©г*'С (1.29)
—00	—co

тогда соотношение (1.26) позволяет связать функции Лу и Iv так:

2i№

ИЛИ

П (5, + 04, (С) = -gjp-ft (Й, + С) Г,«),	(1.30)

где согласно формуле (1.15) мы обозначили

П	п-1

П (со) = [J (® — ©4), П (to) = (ю — юг). (1.31)
8=1	Г=1

Соотношение

00	00

( П(5, + ЙЛ.(С)гад<1С= ’ С +	(1.32)

V	' V

—00	—00

легко преобразуется в дифференциальное уравнение первого по-
рядка, если считать функции Av и Iv медленно меняющимися,
т. е. функции Л„ и Д отличными от нуля лишь при малых
когда можно положить

П (tov + £) = И (со,) fl + ~i~\,
\	°М/

Й (toy -|- 5) = ft (to;) | 1 -|-

£\

V
где

1	dll .  to w Д I

П (® )	d)v — © *

' w s=i	•

1  8/	rfft -	<t34>  - d(il — У 1 ft ft)	r=! “«'“г ’

Мы получаем уравнение

-™ = id,Л - х, (h + у	,	(1.35)

4 uv

в котором	(®v)	,1 QflV  *v = 2Nt)	.	(1.36)
i Слагаемым -—-r~ 6v dt	в уравнении (1.35) можно пренебречь при

# ss 1, т. е. в случае изолированного собственного колебания,
когда по второй формуле (1.34) получается 1/6., = 0, а также в слу-
чае неперекрывающихся резонансных кривых, когда Sv« со'
(см. ниже § 2) и 6V > 6V ~ iQs.

Многочастотные колебания можно рассматривать несколько
по-другому, если наряду с условием со”Т <С 1 (Г — время проле-
та) для всех v выполняется условие

	|а-о>,|Т<1,	(1.37)

где © — некоторая средняя частота колебаний. Мы переписываем
формулу (1.25) в виде

E = ReMEM-). Л =	(1.38>

и рассматриваем суммарную комплексную амплитуду Л как мед-
ленно меняющуюся функцию времени (она изменяется во времени
даже при постоянстве всех A v), сводя формально формулу (1.25)
к формуле (1.10).

Находя плотность электронного тока j, соответствующую мгно-
венному значению Л, можно, определяя величину/ = / (Л)
по второй формуле (1.11), найти затем величину Д по формуле

I1-39)
'у	7

где усреднение производится по явно выписанному i.

Величины А и I можно представить в виде интегралов Фурье
(1.29), однако непосредственные связи, подобные соотношениям
(1.32) и (1.35), между Ли/ установить не удается.

Как уже отмечалось выше, в нестационарных режимах возни-
кает вопрос о способе усреднения при определении величин / и
Ц по формулам (1.11) и (1.27), поскольку при зависимости i и i„
от времени разные способы усреднения приводят, вообще говоря,
к разным результатам. Однако эти результаты различаются мало,
если i и iv являются медленно меняющимися функциями времени.
Мы будем производить усреднение, считая эти функции как бы
постоянными, т. е. усредняя лишь по явно входящему (в экспо-
ненты) времени t: таким путем получаются наиболее простые соот-
ношения, которые для триодного генератора (см. § 3 и 5) перехо-
дят в известные уравнения нелинейной теории колебаний.

Вместо комплексных соотношений (1.12), (1.26) и (1.35) можно
было бы применить (ср. [11) эквивалентные им вещественные соот-
ношения (в двойном числе), которые интерпретируются как балан-
сы активных и реактивных мощностей. Эти вещественные соотно-
шения имеют, однако, простой и наглядный вид лишь в том про-
стейшем случае (которым мы ограничились в работе [1 ]), когда учиты-
вается только одночастотный режим генерации и нестационарный
режим, близкий к нему. В более сложных случаях, исследуемых
здесь, эти вещественные соотношения теряют свою наглядность,
и их применение малоцелесообразно.
§ 2. ЧАСТОТА СТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Чтобы конкретизировать выведенные выше общие соотноше-
ния, рассмотрим сначала одночастотный режим генерации в отра-
жательном клистроне, сверхвысокочастотное электрическое поле

Рис. 2. Отражательный кли-
строн (схематически); Е°—еди-
ничный вектор в направлении
движения электронов

которого будем считать однородным (рис. 2) и характеризовать
напряжением

U = Re {Ae~iat} = A cos (at (А > 0).	(2.01)

Обозначим через

J=JjEW	(2.02)

полный электронный ток, который, очевидно, имеет вид

J = — Jo cos (со t — ф) -f- . . . (Jo 0),	(2,03)

причем Jo и ф зависят от А, а многоточием, как в формуле (1.01),
обозначены нерезонансные слагаемые. Формула (1.11)принимает
вид

Z = 2J^=-Joe1’,	(2.04)

а комплексная формула (1.12) распадается на два вещественных
соотношения:
на соотношение

Л (со) = ф + -у-,	(2.05)

определяющее частоту колебаний, и на соотношение

Л =	(2.06)

определяющее амплитуду колебаний. Поскольку соотношение
(2.06) является по существу законом сохранения энергии (ср. -[!]),
мы основное внимание обратим на соотношение (2.05).

В этом соотношении угол ф заключен в пределах

<2 07>

если электронный пучок отдает энергию полю в резонаторе. Угол
т] при вещественных © удовлетворяет условиям (ср. рис. 1)

О<т)((о)<л, т](оо) = 0, т)(—оо) = л, (2.08)

поэтому при фиксированном ф уравнение (2.05) имеет 2п — 1
решений, по крайней мере, если резонансные кривые не перекры-
гаются. Решения о ~ должны быть отброшены, так как для
них резонанс отсутствует (величина [ h (ю) | мала), что противоречит
исходному (§ 1) предположению. Таким образом, остается только
п решений о«ю5, соответствующих собственным колебаниям
резонатора, ставшим незатухающими благодаря подводу энергии
от электронного пучка.

Эти результаты легко обобщаются на другие автогенераторы.
Во всех случаях мы можем (при А 0) записать величину I в виде

(2.09)

где, как в формуле (2.03), уголф характеризует (средний) фазовый
сдвиг между переменным током, создаваемым электронами, и
переменным электрическим полем (напряжением), действующим
на электроны: как в электротехнике, отдача максимальной мощно-
сти реализуется при ф = 0, при других значениях ф активная мощ-
ность меньше и имеется реактивная мощность. При изменении
условий движения электронов (изменении ускоряющего напряже-
ния в приборах типа О, изменении напряженностей скрещенных
полей в приборах типа Мит. д.) угол ф изменяется и также изме-
няется частота генерации <о, определяемая уравнением (2.05). По-
скольку угол ф зависит и от и, то уравнение (2.05) оказывается
достаточно сложным, и для получения конкретных результатов
приходится задаваться какой-то конкретной зависимостью ф от со.
При малых ф можно обычно полагать
где <oe — оптимальная частота генерации (с точки зрения отдачи
энергии электронами), при которой ф = 0;	=	ха-

рактерное время электронного потока, равное некоторому (обыч-
но усредненному) времени пролета. Частота зависит от условий
движения электронов, т. е. от постоянных напряжений, статиче-
ских полей и т. д. При конечных ф мы полагаем

Ф = Ф (со, ©J,

(2.И)

так что при малых изменениях © и (ое угол ф меняется на величину
6ф = Тбш - Теасое,	(2.12)

где

Т=.|т-, Те = -^-,	(2.13)

ою ’ е д(ле	'	'

причем

Т -> Те Тм при со -> ше.	(2.14)

Варьируя соотношение (2.05), нетрудно найти малое изменение
частоты генерации, соответствующее малому изменению условий
движения электронов. Мы имеем

6(0 = --------—--------------- бюв,

COS2 ф _Z_ ctg 1] (ш) + Т
а®

(2.15)

(2.16)

в частности,

дсо^-у-6сов при ф»±-^

Таким образом, при генерации «у края эоны», когда генерируемая
мощность мала и колебания находятся под угрозой срыва, частота
генерируемых колебаний нестабильна и повторяет без заметного
ослабления изменения частоты ше (6ш~ 6юе, так как Т — Те);
стабилизирующее действие добротного резонатора при этом прак-
тически не сказывается.

Если в сумме (1.13) можно ограничиться одним слагаемым
(л = 1), то вблизи собственной частоты ©g = ©g — ito’ формула
(2.05) принимает вид

ш — ш'

—— = -^ф(О), Юе).

“в
Заменяя tg <р (ш, юе) выражением (2.10), мы получаем выражение
для частоты генерации

й) =

+ Гее

(2.18)

в виде взвешенного среднего оптимальной частоты резонатора ©'
и оптимальной частоты электронов о)е, причем роль «весов» играют
характерные времена Ts (время затухания собственных колеба-
ний резонатора) и Тее (время пролета электронов).

Формула (2.18) применима при ф«^1. При произвольном ср
ее можно обобщить, полагая

(со — со') Т

tg<p(o, (Og)=tgy+- с- -------,

(2.19)

ф = ф (d)e, (0е), Т =	((й,, Ше).

Мы получаем выражение

' sin ф cos <р
й) = о).---——  „----—— ,

8 Гвсозаф4-Т ’

(2.20)

которое приф<С 1 переходит в выражение (2.18). Формула (2.15)

при п = 1 принимает вид

т

6(0 = -=--г2--=-6©в.

Г8С0ваф+Г е

Она показывает, что при ф 1 (при (о « (ое)

6(0 = m 11	...6 (О,,

г8н-гее е’

(2.21)

(2.22)

т. е. изменения приводят к существенно меньшим изменениям
(о (множитель ТееЦТв + Тм) всегда меньше единицы); формулу
(2.22) можно, разумеется, получить непосредственно иэ формулы
(2.18). По мере уменьшения величины созаф стабилизирующее
влияние резонатора (тем большее, чем больше Тв, т. е. чем доб-
ротнее резонатор) на частоту генерируемых колебаний ослабевает
и при ф х л/2, как отмечалось выше, сходит на нет.

Формула (2.21) известна в теории отражательных клистронов
13], для генераторов магнетронного типа она выведена ранее в
несколько иной форме (см. [1] §6). Формулы (2.18) и (2.20) дают так
называемое электронное смещение частоты (© =/= ©' из-за влияния
электронов), а формулы (2.21) и (2.22) определяют техническую
частотную стабильность генератора.

§ 3. ГЕНЕРАЦИЯ НА ОДНОМ КОЛЕБАНИИ.
ТРИОДНЫЙ ГЕНЕРАТОР

Ниже мы будем исследовать частотный гистерезис в системах
со многими степенями свободы, т. е. со многими близкими собст-
венными частотами. В этой связи интересно отметить, что ампли-
тудный гистерезис, как впервые отмечено было в работе Эпплтона
и ван дер Поля [5] (воспроизведенной в [6], стр. 281—297), может
наблюдаться и в триодном генераторе с одной степенью свободы —
при надлежащей зависимости анодного тока J в лампе от анодного
напряжения

J = Т (17).	(3.01)

На рис. 3 представлена упрощенная схема такого генератора.
Мы вводим сокращенные обозначения

и для упрощения соотношений предполагаем, что мгновенная час-
тота колебаний © и коэффициент затухания а удовлетворяют усло-
виям

| © — ©01 << ©0, а ©о*	(3.03)

Тогда комплексная собственная частота контура равна ©0 — ia.
Напряжение U (его переменную часть) будем записывать в виде

U = Й0{Ле~ы}, А = |Л|^

(3.04)

так что энергия колебаний с учетом соотношений (3.02) опреде-
ляется выражением

W = ±-C\A[*;	(3.05)

в. данном случае № = С.
Рис. 3. Схема триодного
генератора

При стационарных колебаниях будем считать ф = 0; записы-
вая U в виде (2.01) и выбирая вектор Е° так, что выражение (2.02)
дает анодный ток триода, мы согласно формуле (2.04) получаем

I = 2Л’ (4 cos со0 eimf = 2Т (A cos a>t) cos cot 0,	(3.06)

причем равенство нулю мнимой части I и угла <р есть следствие од-
нозначной связи (3.01) между напряжением U и электронным то-

ком J: во всех электронных приборах, где не проявляется инер-
ция электронов (конечность их времени пролета), реактивная
мощность электронного потока исчезает. Поэтому соотношение
(2.05) дает со = (оо, а соотношение (2.06) принимает вид

аСЛ = — I = — Т (Л cos cot) cos (at > 0.	(3.07)

Это — уравнение для амплитуды А, которое наряду с тривиальным
корнем Л = 0 может иметь ряд других корней. Обозначая один
из этих корней через Ло, можно с помощью уравнения (1.35),
принимающего в данном случае вид

= —аЛ—(3.08)

исследовать устойчивость колебаний с амплитудой Ло. Поскольку
величина I вещественна и при изменении А во времени, величина
А остается вещественной и в нестационарном режиме.

Условие устойчивости колебаний с амплитудой А& имеет вид

. 1 di |	. п

“ + 2С dA
Поскольку I можно записать также в форме

7 = 24 Т'(4 cos и/) sin2 of,	(3.10)

условие устойчивости имеет вид

аС > — T (A cos mt) cos2 (at,	(3.11)

где мы пишем А вместо Ло. В силу формул (3.07) и (3.10) условие
устойчивости можно записать в следующем окончательном виде:

2аС> - Г (4 cos (at).	(3.12)

Соотношения (3.07) и (3.12) совпадают с теми, которые получены
в работе [5] и повторяются во многих книгах (см., например, [4]).
Физический смысл этих соотношений очевиден: возможные ам-
плитуды А определяются законом сохранения энергии (3.07) для
гармонических колебаний (2.01); устойчивость этих колебаний оп-
ределяется положительностью эффективного коэффициента зату-
хания (3.09). Если функция Y (U) представляется полиномом
5-й степени, то, как известно, соотношения (3.07) и (3.12) в неко-
тором интервале значений аС определяют две устойчивые ампли-
туды: А = 0 и А 0; если же Y (U) есть полином 7-й степени, то
возможны две устойчивые амплитуды, обе отличные от нуля.
В этих случаях имеется амплитудный гистерезис — значение А
при данном аС зависит от предыстории.

Мы воспроизвели здесь хорошо известные результаты, относя-
щиеся к триодным генераторам, чтобы подчеркнуть общность по-
лученных в § 1 и 2 соотношений и, в частности, эквивалентность
их методу медленно меняющихся амплитуд (методу ван дер Поля
или же методу усреднения [И]), широко применяемому в теории
нелинейных колебаний.

Ниже мы покажем, что большинство результатов, относящихся
к триодным генераторам, переносится на сверхвысокочастотные
генераторы (магнетрон, ниготрон, оротрон и т. д.) с тем лишь изме-
нением, что угол <р в них, вообще говоря, отличен от нуля.
§ 4. ГЕНЕРАЦИЯ
НА ОДНОМ СОБСТВЕННОМ КОЛЕБАНИИ.
МАГНЕТРОН И НИГОТРОН

В нашей работе [1], посвященной стабильности колебаний в
генераторах магнетронного типа, найдены выражения для актив-
ной и реактивной мощностей при следующих предположениях:
1) плоское и двухмерное пространство взаимодействия; 2) пре-
небрежение пространственным зарядом и несинхронными прост-
ранственными гармониками; 3) усредненные уравнения движения
при отсутствии орбитальных резонансов; 4) пренебрежение элек-
тронами, движущимися от плоскости питания сразу к катоду. Если
положить

Л = |Л)^, /=-|/|еИФ+Ф)1	(4.01)

то

-у I Л/1 costp == Ро/(т)» у I ^/|s?n(p = — р°/(г). (4.02)

Эти выражения вытекают из формул

Р = Ро/ (?)♦ Р = - РЗ (?)»

(4.03)

выведенных в нашей статье [1]: здесь Р — активная мощность,
отдаваемая электронами, Ро ~ та же мощность при точном син-
хронизме (у = 0), Р — реактивная мощность электронов. Вместе
с тем мы имеем легко доказываемое соотношение

Р — iP — —А* I — -4-1 AI I е1’,
Z	Z 1	1

(4.04)

откуда и следуют выражения (4.02). В этих выражениях у есть
параметр расстройки скоростей (или частот), который можно пред-

ставить в виде

г



(4.05)

где = gv0 — частота, при которой фазовая скорость и — ta/g
синхронной гармоники совпадает со скоростью дрейфа и0 под
действием постоянных скрещенных полей (g = п/l для л — коле-
бания в магнетроне, g = 2л/1 для 0 — колебания в ниготроне,
I — период структуры), а

Еа

®a = c-j^g (магнетрон), оа = с -g- g (ниготрон), (4.06)

где Еу — амплитуда фазирующего сверхвысокочастотного поля
в плоскости питания, а Еах — амплитуда составляющей Ех в пло-
скости, где ниготронные язычки имеют наибольшую ширину
(см. [1], § 2), Я — постоянное магнитное поле. Обе величины
пропорциональны амплитуде | Л8 | возбуждаемого колебания, ко-
торая, в свою очередь, пропорциональна V~p, где (см. [1], §7) мы
обозначаем

_

Р " И'о “ Ро

(4.07)

(ТУ0 — энергия резонатора при точном синхронизме, W — мгно-
венная его энергия), и пишем

Т = ^, Т. = -^.	(4.08)

У р	Шо

Уравнение (1.35) в данном случае имеет вид

=	(4.09)

Подставляя в него выражения (4.01), нетрудно преобразовать
его в два вещественных уравнения:

-^ =-©Il Л| + ^-|7|созф	(4.10)

и

I 1 11 |sin<p	/z m

Уравнение (4,10) можно переписать в виде

А = —р + /(Г), $ = 2сМ,	(4.12)

а уравнение (4.11) определяет мгновенную частоту колебания,
dtb

равную®—gj-; обозначая эту частоту через имы можем пере-
писать уравнение (4.11) в виде

	^=Ж	(из)  ш.	Р  8

Очевидно, что именно мгновенная частота входит в формулу (4.05)
для параметра расстройки у — по крайней мере, если << 1,
где Т — время пролета электронов от катода к аноду. Соотноше-
ние (4.13) можно переписать в виде

	+	=	(4.14)  * 1 г 1 ш0 р	©о

оно устанавливает связь между величинами р и у, входящими в
уравнение (4.12).

Как показано в работе Ц], функция / (у) имеет вид

	/ (Г) = / (т) Z (Т), z (г) = X (г) + Y (г),	(4.15)

где / (у) и Y (у) — четные, а X (у) — нечетная функция у, эти
функции при малых у можно заменить приближенными выраже-

НИЯМИ	/(Т) = 1, Y (у) ~ У = const, X(r) = Fy,	(4.16)

причем коэффициент F зависит лишь от геометрии пространства
взаимодействия (см. [1], рис. 2). Таким образом, при малых у мы

имеем	Лт) = Ft + Г, = F	(4.17)  U 1

и у выражается через р явно

	* *  ш — Уш  Г = ~	-8	g	А	(4.18)  «о	L

Р

поэтому в установившемся режиме (когда р = 1) частота генера-
ции определяется формулой

	(4Л9)  1 в Т * ее	1	(I)g	шоу
которая отличается от формулы (3.02) наличием малого слагаемого
У в числителе; благодаря этому слагаемому

© = ©е При ©е = ©s + y©s = ©s,

,	у

© = ©я при ©s = ©е + -Jr- = ©е,	(4.20)

-* ее

что можно интерпретировать как небольшое смещение резонансной
частоты резонатора под действием электронных язычков (ср. [1],
§ 3), либо как небольшое смещение оптимальной частоты ©е.
Колебания с частотой (4.19) всегда будут устойчивыми (до тех пор,
пока у << 1), поскольку для малых отклонений бр и бу от соответ-
ствующих значений р = 1иу = 0мы имеем уравнение

^-+бр=^-(т)6т.

(4.21)

в котором правая часть при у = 0 равна нулю в силу того,
функция / (у) — четная (ср. И], § 2).

Исследование генерации при конечных у, в том числе вблизи
края зоны генерации, ведет к более сложным соотношениям.
Для определения амплитуды и частоты стационарных колебаний
нужно решать совместно уравнение р = f (у) и уравнение (4.14);
№

из последнего, пользуясь малостью отношения . qj" р мож-
£1>0	ве’

но обычно выразить у через р, а именно положить приближенно

©о V~P

©о Vp

(4.22)

или даже

сое — (О'
©о Vp

Последнее выражение непосредственно ведет к соотношениям по
стабильности частоты и устойчивости колебаний, полученным в
нашей работе [1] (§ 6 и 7). Уточним здесь эти соотношения, учи-
тывая отличие© от о'; для этого воспользуемся формулой



1	U

6©е

(l)o ’
получающейся варьированием соотношения (4.14). Полагая в соот-
ношении (4.23)	= 0 и р = / (у), мы с помощью уравнения

(4.21) можем исследовать устойчивость колебаний. Условие устой-
чивости имеет вид

а (у) > 0,	(4.24)

где

а(т) = 1+TffiF 5ш=о

с?Т° , dZ

_______dr dr

/f/7 + ^.(^Lz + f

L (Do \ dr

dZ У
dr I-

(4.25);

есть эффективный коэффициент, затухания малых отклонений
Ьр (в безразмерном времени й = 2со~£). При упрощенной трактов-
ке (ИJ, § 7) мы получаем

Г df _	1 dre

2/ dr уц5) ’

где согласно формуле (4.08)

Го= г//(гХ

(4.26)

(4.27)

так что одному значению у0 соответствуют два значения у (см. [1],
рис. 4) и два значения р (см. [1], рис. 5), причем колебание с боль-
шей мощностью является устойчивым, а с меньшей — неустой-
чивым ([1], § 7). При более точном рассмотрении для а (у) полу-
чается выражение (4.25), имеющее в числителе и знаменателе допол-
нительные слагаемые, пропорциональные малому отношению
©7® о» эти слагаемые практически не влияют на устойчивость и
лишь приводят к тому, что по формуле (4.25) а (у) -> 0 при
/ (у) -> 0, в то время как по упрощенной формуле (4.26) а (у) -►

— оо при / (у) -> 0. Поэтому уточненная формула (4.25) остав-
ляет некоторые надежды на возможность рассмотрения с ее по-
мощью процесса самовозбуждения, в то время как с помощью фор-
мулы (4.26) это невозможно (ср. (1], стр. 68).

При малом медленном изменении частоты ше, зависящей от
постоянных полей — электрического и магнитного, частота
генерации ш претерпевает изменение

dZ

to=--------------------6Ш<.

<fr. , м. JZ
dy ©о dy

(4.28)

Это выражение определяет техническую стабильность частоты и
при малых у переходит в выражение

__L F

в» = —— 6и>, = - т“т

й)о

(4.29)

вытекающее из формулы (4.19). Выражение (4.28) получено ранее
в § 6 нашей работы [1]; оно согласуется с общей формулой (2.21),
если учесть, что согласно формулам (2.17), (4.02) и (4.15)

tg ф = _ Z (у)

и положить

dZ

Т = Те =--------------------

4-Za (у)]

(4.30)

(4.31)

В этом параграфе мы повторили основные результаты работы
[1], несколько уточнив их. В § 7 мы дополним исследование устой-
чивости, предположив, что наряду с данным собственным коле-
банием имеется другое, способное конкурировать с ним.

§ 5. ГЕНЕРАЦИЯ ПРИ КОНКУРЕНЦИИ СОБСТВЕННЫХ
КОЛЕБАНИЙ.

ТРИОД С КУБИЧНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Нелинейная теория триодного генератора с двумя степенями
-свободы впервые дана ван дер Полем ([71 или [6], стр. 298—317).
В этом параграфе мы рассмотрим триодный генератор, упрощен-
ная схема которого приведена на рис. 3, заменяя простой колеба-
тельный контур на контур с произвольным числом п степеней
свободы, причем s-й степени свободы соответствует комплексная
частота со s. Мы предполагаем, что выполняется условие

I СО - (1)в | < (О,

(5.01)

аналогичное условиям (3.03).

Применим соотношение (1.26) к триодному генератору с п степе-
нями свободы. Представим переменное анодное напряжение в виде

= Не{2Л^},
V

(5.02)

тогда величины Ns имеют размерность емкостей, а комплексные
величины Iv согласно формулам (1.27), (2.02) и (3.01) определя-
ются выражением

Д = 2Л>*' = 2T(Re2	(5.03)

V

Анодный ток имеет вид

У = Ке|2М’^,	(5.04)

V

где многоточием обозначены нерезонансные слагаемые в выраже-
нии для тока (высшие гармоники, комбинационные частоты и т. д.).

Предположим, что функция ¥ (U) — характеристика трио-
да — является полиномом (2т 4- 1)-й степени

2Я14-1

Y(t/)= 2 estz‘,	(5.05)

k=l

тогда по формуле (5.03) получаем *

Д =	(5.06)

где вещественный коэффициент Sv можно назвать парциальной
крутизной триода; мы имеем

^ = 5o__5i|4jat	(5.07)

где S° и 51 являются функциями всех величин |	|а, а не только

данной. При т = 1, т. е. когда функция Т (U) является кубич-

* Все выкладки, связанные с усреднениями, приведены в Приложении.
ным полиномом, мы имеем

— Ci Н—2~сзр> ‘S1 =	с3, р =	|	|3.	(5.08}

Подставляя выражение (5.06) в формулу (1.26), мы видим, что
колебания с частотами <»>v и комплексными амплитудами Av 4= О
возможны при условии

<5Л9>

Если положить

=	(5.10)

то условие (5.11) дает два вещественных уравнения:

T](av) = 6.,—	(5.11)

£
и

Поскольку парциальная крутизна S, вещественна, ov может при-
нимать лишь значения 0 и я; из условия (2.08) следует, что урав-
нение (5.11) имеет решения лишь при av = л, когда Sv <0, при-
чем из этих решений физическое значение имеют лишь п решений,
близких к ш' (ср. § 2). Уравнение (5.12) определяет амплитуды
| 4V | и может быть переписано в виде

|АР

1

б1

5° +

(s = 1, 2, ..., п),	(5.13)

где мы по очевидным причинам обозначаем Av через Аа, причем их
не надо смешивать с величинами (1.04). В формуле (5.13) мы поло-
жили = <о', что может быть неправильным лишь в случае
полного перекрытия резонансных кривых (рис. 1, г).

В дальнейшем мы будем считать т = 1, Cj <0, с3 > 0 — эти
условия в случае достаточно добротного контура приводят к мяг-
кому возбуждению колебаний с одной определенной амплитудой.
Подставляя в формулу (5.13) выражения (5.08), получаем

Л 12.-^—- J—_1_С14-2Г-^Г1

1	3(2л- 1)с8 I L|ft(ag)|

4»] Я«\

(5.14)
n

p = 3(2n-l)c8	nCl ~ 2^nN^'	= 2	» (5Л5)

причем правые части выражений для |Л812 и р обязательно должны
быть положительными. С другой стороны, если среди всех Av
отлична от нуля только амплитуда Ag (назовем ее А®), то формула



2М> 1

|А(<)1 1

(5.16)

при положительности правой части дает нам амплитуду стацио-
нарных одночастотных колебаний (с частотой ш'), причем

2 | Л” [2 = (2п — 1) р и | 12 = 2р — | Л в |2.	(5.17)

8=1

Рассмотрим теперь р-частотные колебания (р < п), при кото-
рых отличны от нуля амплитуды Лв|, Л%, . . ., Л^. Легко видеть,
что второе соотношение (5.17) справедливо и для таких колебаний,
причем отличные от нуля амплитуды определяются формулой

1л«1’=гЛт21лч1’-1Л|* (« = «,.»,) (5.18)

в которой опять-таки правая часть должна быть положительной;
для этого, грубо говоря, все | Л®. | (/ = 1, . . ., р) должны быть
примерно одинаковыми.

Положительность правых частей (5.14) — (5.16) будет обеспе-
чена, если потери в колебательной системе достаточно малы. Дейст-
вительно, в случае неперекрывающихся резонансных кривых мы
можем считать, что

п *

?» = 2-г-. «.= ‘4	(5.19)

“з	8=х1	*

и отрицательные слагаемые в правых частях (5.14) — (5.16) про-
порциональны коэффициентам затухания о”.
Исследуем теперь устойчивость стационарных колебаний —
как одночастотных, так и многочастотных, предполагая, что ре-
зонансные кривые не перекрываются. Пользуясь соотношениями
(5.19) и уравнением (1.35) без члена -4--^-, мы получаем,
уравнение

=	+ | Л,|«-2р)Л„	(5.20)

в котором

_ ЗсзЛ, _ 2с8?з

(5.21}

есть положительная постоянная. Согласно уравнению (5.20) фазы
комплексных амплитуд Ав остаются постоянными, а для квадратов
их абсолютных величин получается система нелинейных уравне-
ний

4|Л|’ = е.(|Л"|! + |Л|!-2р)|Л,|\

(5.22}

которые прежде всего показывают, что состояние с нулевыми зна-
чениями всех Аа неустойчиво, поскольку при малых Ав (| А81 <<
^|Л8|) уравнения (5.22) могут быть заменены линейными уравне-
ниями



(5.23)

определяющими экспоненциальное нарастание | As |.

Амплитуды стационарных колебаний согласно уравнениям
(5.22) определяются соотношениями

(| л;|’ + |4, -2 р)|Л,|> = 0,

(5.24)

приводящими к формулам (5.17) и (5.18) для тех амплитуд, кото-
рые отличны от нуля.

Устойчивость р-частотного колебательного режима исследуем,
рассматривая малые отклонения X, от стационарных значений
jAg |г (|4в|>0 при s = sFn 14в | = 0 при$= sp41, . . ,,sn).
Для Xg получается система уравнений

п

= ев | Ав |2 fxg 22 Хг) при $ = Si-, .., , sVi
lib	\	*

р Г=1	(5.25)

= 8g | 2 — 2p^_j 2 | I ^8 ПРИ $ = 5р+Ь • • • 1 ®п»

где через | А312 обозначены постоянные величины, определяемые
формулой (5.24). Ища решение системы (5.25) в виде

Х,(0 = ХЯ(О)^ (s = l......n),	(5.26)

мы для р получаем уравнение р-го порядка

Н1 -И1+^ЫЧ=0’	(5-27>

имеющее р корней, а остальные п — р возможных значений р оп-
ределяются формулой

р

₽ = 8.terrS	=	....»л). (5.28)

х р 3=1

Колебания будут устойчивы тогда, когда все п значений р удов-
летворяют условию

Rep>0,	(5.29)

в противном случае колебания неустойчивы. Применительно к зна-
чениям (5.28) условие (5.29) принимает вид

р

2^12	(s = Sp«....»»).	(5.30)

р 3=1

Для одночастотных колебаний (р = 1) с частотой to' и амплитудой

| Ав | = | А® | уравнение (5.27) имеет один корень

р = £,|л;|’>о,	(5.31)

поэтому имеется п — 1 условие устойчивости

I Л°| а>4-| 4|’ приг=^5.	(5.32)

£t
Эти условия показывают, что колебание с амплитудой | Л° | устой-
чиво, только если нет «в запасе» колебаний с существенно боль-
шей амплитудой (превышающей /2|Л“|): такие колебания яв-
ляются более конкурентноспособными, и их наличие приводит к
неустойчивости данного колебания.

Для р-частотных колебаний уравнение (5.27) есть алгебраичес-
кое уравнение р-й степени с вещественными коэффициентами, ко-
торое легко преобразовать к виду

Если = р2, то это уравнение имеет очевидный корень
Р = —	= — р2, если же > р2, то это уравнение имеет корень

в интервале — рг < р < — р2, поскольку в этом интервале квад-
ратная скобка (5.33) принимает все значения от — оо до оо. Во
всех случаях условие (5.29) нарушается, т. е. многочастотные
колебания в данной системе всегда неустойчивы.

Для полного доказательства устойчивости одночастотных коле-
баний при условии (5.32) рассмотрим всю систему уравнений
(5.25), которая в данном случае принимает вид

^=-РЛ8-2р,2 ХР, Р8 = е8]Л°р,
dx ~	~S	(5.34)

^ = -PrXr(r=^s), рг = ег(2|Л"|2 — |Л?Р),

где s принимает какое-либо одно значение из чисел 1,2, . . ., п,
а г — все остальные (мы считаем | Л31 = | Л, | =£ 0, а Аг = 0). Пер-
вое уравнение (5.34) можно также переписать в виде

^- = -₽.X.-2₽,S Х,(0)е<',	(5.35)

откуда видно, что Хе убывает при t -> ое экспоненциально (при
Ps = рг, т. е. при | Л81 = | Л“ |, в выражении для Ха имеется слагае-
мое, пропорциональное te^at).

Условия (5.32) показывают, что если несколько амплитуд
|Л° | примерно равны, то возможны одночастотные колебания с не-
Рис. 4. Частотный
гистерезис

сколькими частотами ©' и фактическая частота зависит от преды-
стории: так возникает частотный гистерезис. Пусть, например,
мы плавно изменяем некоторый параметр х колебательной систе-
мы, от которого зависят как частоты ©' (рис. 4), так и амплитуды
|Л®[; пусть одна из этих амплитуд, скажем |Л$|, является при
х < Xi наибольшей, а при х > xt наибольшей является амплиту-
да | Л® причем при х Xi эти амплитуды больше остальных и их
отношение | Л2| MJ | есть монотонно возрастающая функция х, так
что

Мг 1 =/214?! при г = г:12>Х1,
_	(о.оо)

|Л?| = /2]Л2| при х= х21

В этом случае зависимость частоты колебаний © от параметра х
выражается гистерезисной петлей, изображенной на рис. 4 (пред-
полагается, что при х < х21 сначала было колебание с частотой
со’, а при х х12 — с частотой ©', а потом параметр х увеличи-
вался или уменьшался в соответствии со стрелками).

Полученные выше результаты являются естественным обобще-
нием результатов ван дер Поля [6]. При этом следует помнить, что
при анализе мы сделали два дополнительных допущения (кроме
трех предположений, сформулированных в начале данной статьи);
мы считали, что резонансные кривые не перекрываются — четко
отделены друг от друга — и что характеристика триода (функция Т)
является кубичным полиномом.

Заметим в заключение, что основное соотношение (5.06) можно
было бы получить иначе — с помощью формул (1.38) и (1.39).
Соответствующие выкладки приведены в Приложении.
§ 6. ГЕНЕРАЦИЯ ПРИ КОНКУРЕНЦИИ
ДВУХ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ.

ТРИОД С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Исследуем триодный генератор с двумя степенями свободы,
причем предположим, что характеристика триода есть полином
(5.05) произвольной степени; результаты этого исследования по-
зволят разобраться в некоторых свойствах триодных генераторов
с большим числом степеней свободы, а именно в тех свойствах,
которые можно рассчитать, ограничиваясь только одночастотными
и двухчастотными колебаниями. Дело в том, что усреднение по
времени в случае трех и более частот ведет к весьма громоздким
выражениям, из которых трудно получить какие-либо физические
выводы (исключение составляет триодный генератор с кубичной
характеристикой, рассмотренный в § 5), поэтому мы и ограничи-
ваемся двухчастотными колебаниями.

Для колебаний с неперекрывающимися резонансными кривы-
ми уравнение (1.35) может быть переписано в виде

А|* = - 2[ш; + х,р-5Ч4.|«)]|4,|' (» = 1. 2), (6.01)

поскольку, как показано в Приложении, выражения (5.06) и
(5.07) остаются в силе и для произвольной характеристики, при-
чем S0 и S1 зависят от обеих величин |	|2 и | Л2 |а, или, что то же,

от их суммы р и их произведения р0. Соотношения (5.09) — (5.13)
также справедливы, в частности частоты 3j и 5а генерируемых ко-
лебаний равны соответственно и от. Поскольку при стацио-
нарных одночастотных колебаниях мы имеем

(О

=	=	(6.02)

в

(выражение для S = S (р) приведено в Приложении), уравнению
(6.01) можно придать следующую форму:

4-1 л,|’= 2x.[S(H5|«)-5.]|Л.р.	(6.03)

Исследуем устойчивость одночастотных колебаний с частотой
сй| и амплитудой | Л® |. Для этого положим

|A|>=|^|« + Xlt |А|’ = Х,	(6.04)
и линеаризуем систему (6.03), считая величины и Х2 малыми.
Вводя обозначение

<6-05’

мы получаем уравнения

- 2х,р1|’(511х1+£иад.

.. <6-06)

в которых величины 5И, Sl2 и S2 вычислены для стационарных ко-
лебаний (т. е. при Хг = Х2 = 0).

Второе уравнение (6.06) показывает, что если Х2 = 0 в на-
чальный момент, то далее Х2 ~ 0; при этом остается ограни-
ченным, если выполняется условие

5п>0,	(6.07)

которое есть условие устойчивости колебания с частотой со’,
существующего при отсутствии конкуренции; легко показать, что
это условие лишь обозначениями отличается от условия (3.09).
Если же в начальный момент Х2 =/= 0, то Х2 остается ограниченным
при условии

?,>5(|л;|а).	(6.08)

Учитывая, что

S, = S«(p,p0)-S‘(p,p0)|4r|a	(6.09)

и

S (р) = S" (р, 0) - S* (р, 0) р,	(6.10)

мы можем условия (6.07) и (6.08) переписать в виде

^(М°|а)>о и№(|л;|>, 0)>8’(И|’),	(6.И)

причем второе условие, как видно из его более подробной записи

У  1)1  . |Ло[в1сЪ у J2^ + 1)l-„	|Ло[а>с

Z1 2ак(А1)'г С2к+1|Л11 Р’Zj 22ft kl (к +1)!	1	'

при с3 > 0 и с6 = с7 = . . , = 0 переходит в условие (5.32), Та-
ким образом, в случае триода с кубичной характеристикой рассмот-

8*
рение двухчастотных колебаний приводит к достаточным услови-
ям устойчивости одночастотных колебаний, а именно к условиям
(6.11). Поскольку в случае кубичной характеристики неустойчи-
вость р-частотных колебаний (р > 1) обнаруживается без обраще-
ния к колебаниям с большим числом частот (§ 5), даже при кон-
куренции трех и более колебаний представляет интерес исследова-
ние устойчивости двухчастотных колебаний как таковых, т. е.
без увеличения числа частот.

Итак, пусть в стационарном режиме квадраты амплитуд равны
41 2 и |42|2, а ПРИ отклонениях от этого режима |	|2 + Хх и

А2 2 + Х2. Пользуясь обозначением (6.05), мы для малых и
Х2 можем написать систему линейных уравнений

dXi
di

— 2xi | 12 (*$н Xi 4“ ^12 -X).,

dX2
dt

— — 2x2 | A212 (621 Xi -j- S22 X2).

(6-13)

Вместо уравнения (5.27) мы имеем уравнение

^21

512

22	2х2|42|®

(6.14)



корни которого равны

Р = 2/ад | Л Л21 (М + КМ2 - D),	(6.15)

тде

Л;

4х

5га) и D -

19ц

£21 ^22

(6.16)

Если оба корня (6.15) удовлетворяют условию (5.29), то двух-
частотное колебание устойчиво, в противном случае — неустой-
чиво. Исследование устойчивости мы проведем для случая т = 2,
когда характеристика (5.05) есть полином 5-й степени; тогда мы
имеем

5® = q 4- сэр 4- —с6 (Зр2 4- 2р0),

-’^Т^ + т^'	(617)

5 — С| + — с3р + у Cap®

И

= -^-С3 + -|-С5р +-|~С6(| Ла|2 — I AI2)»

27 1S 19S 2S	С6Л8)

- D = d +	+-f-4 р2 + ^rd (р2 - 4р0).

Последнее выражение показывает, что при условиях
с3>0, с6>0,	(6.19)

когда амплитудный гистерезис (§ 3) отсутствует, мы имеем

-D>0,	(6.20)

так как

р2 - 4р0 = (IА! [2 -1 Ла 12)2 > 0.	(6.21)

При условиях

сз<0, с6>0,	(6.22)

влекущих за собой амплитудный гистерезис одночастотного коле-
бания, ситуация усложняется. В силу соотношений

*$11 = "4"(сз + nj~cepj + "4“й(| Л12 — | Ai |2),
27/	5	\/	25	\	25 а

~ & = "16* (Сз + Т С$1 V3 + Т CfiP) "16" Сб

условие (6.20), при выполнении которого неустойчивость двух-
частотных колебаний очевидна, может нарушаться, лишь когда
0,36|с8|=--^-с3 <свр<-------------------g-c3 = 0,6|c3|,	(6.24)

а тогда

сбр> — -у5*с3 = 0,3|с3| и М>0(при и | At |«| Ла|);

(6.25)
и если величина (6.21) достаточно мала (|	| « | 4а |), то оба кор-

ня (6.15) положительны и двухчастотные колебания устойчивы
(см. также [12]). Неустойчивость многочастотных колебаний, свой-
ственная триодным генераторам с кубичной характеристикой
(§ 5), не является общим свойством резонансных автогенераторов.

§ 7. ГЕНЕРАЦИЯ ПРИ КОНКУРЕНЦИИ
СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ.

МАГНЕТРОН И НИГОТРОН

Исследование многочастотных колебаний в резонансных авто-
генераторах связано с серьезными математическими трудностями:
для триодного генератора эти трудности удается преодолеть и ре-
шить задачу до конца только для кубичной характеристики и ха-
рактеристики в виде полинома 5-й степени (§ 5 и 6). Необходи-
мость исследования многочастотных колебаний следует из того,
что в некоторых системах многочастотные колебания могут ока-
заться устойчивыми (ср. § 6) и, кроме того, устойчивость или
неустойчивость данного одночастотного колебания можно выя-
вить, рассматривая многочастотные колебания; если же ограни-
читься только одночастотными колебаниями, то при наличии
четко разделенных резонансных кривых мы возможную конкурен-
цию собственных колебаний вообще не учитываем и прихо-
дим к тем же результатам, что и при одном колебании в зоне гене-
рации.

Трудности, связанные с исследованием многочастотных коле-
баний, обусловлены тем, что даже при постоянстве парциальных
комплексных амплитуд суммарная комплексная амплитуда А
непостоянна, т. е. электроны находятся в нестационарном поле, и
поэтому в генераторах магнетронного типа электронные язычки
с течением времени деформируются, что должно быть учтено при
расчете возбуждения резонатора по формулам (1.26), (1.27) и
(1.39).

Пользуясь формулами (1.3Й), (4.01) и (4.02), мы можем напи-
сать

/=_2Р0'<1Ь221)=-2Р0^Д,	(7.01)
где

di|)

Т = Щ--------Л = |Лр« (7.02)

Ао = | Л о | — амплитуда оДночастотных колебаний приточном син-
хронизме, т. е. при у = 0, а комплексная функция Ф (у) опреде-
ляется согласно формуле (4.15) следующим образом:

0(r) = /(T)[l-iZ(r)J.	(7.03

Формулу (7.01) можно также записать в виде

I = 8АЛ	(7.04)

где величину

S=~2P"T^	<7-05>

можно назвать (комплексной) крутизной характеристики магне-
тронного генератора при одночастотных колебаниях.

Чтобы вычислить у для многочастотных колебаний, мы вос-
пользуемся тождеством

we-со +	= НеГ, (7.06)

at ^-,4	| AIа '	'

справедливым при постоянных 4V; мы имеем

v.n	(7.07)

ВеГ = Г + Д + Д\

где

г=2 (<•>*—°)м)|Л|2,

V

(7.08)

Таким образом,

Af) Г -|- A -J- А
r = W ТлГ
Согласно формулам (1.12) и (7.04) частота © и амплитуда | А |
стационарных одночастотных колебаний определяются уравне-
нием

(7Л°)

которое при неперекрываюгцихся резонансных кривых и со	со 9

можно переписать в виде

так что каждой комплексной собственной частоте ©8 соответствует
своя вещественная частота колебаний © = ©8 ^ ©' и амплитуда
| А | = | Аа |, получающиеся из уравнения (7.11). Устойчивость од-
ночастотных колебаний можно выяснить, исследуя уравнение

=	(7.12)

в котором (с учетом того, что резонансные кривые не перекрыва-
ются) можно положить

б8 = ш, — ©s, х8 =	(7.13)

и пренебречь (см. уравнение (1.35) и замечания после него) членом
-4--^-. Полагая в уравнении (7.12) dAJdt = 0, мы получим
соотношение

= V.,	(7.14)

которое в силу формулы (7.04) совпадает с уравнением (7.11).

Если ограничиваться одночастотными колебаниями (устано-
вившимися и неустановившимися) и, в частности, считать, что Is
и Д связаны тем же соотношением, что I и А в формуле (7.04),
то мы получим те же результаты, что и в § 4. Дополним эти резуль-
таты, учитывая возможность возникновения колебаний с частотой
©г =/= ©в и малой комплексной амплитудой Аг. Полагая © = ©в,
мы будем иметь

А = Аа + Аг№"= А.(1 + ае	(7.15)
где мы положили

Qf ——	1 М	О)а,	(7.Ю)

Аа

и, кроме того, по формуле (7.09) мы получаем

Т = Тз — Tar (^'iQ' + л’ e‘Q<),	(747)

где

Г, = -ф- и Гаг = -4т <0е~~2й)д + <Дг .	(7.18)

|4в| Шо 18Г i 4в | 2о)о	'

По формулам (1.39) и (7.01) получаем

1Г = /(Л(1 + аг“”))^' = - 2Р0 eiQt ,	(7.19)

так что при малых а

Л — 2р. Yer — (ye)a = । J^pfar £- (fg) 4r,	(7.20)

причем в выражениях (7.18) и (7.20) можно заменить | 4а| на 14а |.
Заменяя в соотношении (7.14) индекс s индексом г, мы получим

,-а __ _ 2Р и	г — ,4° Це ~~Мг /7 211

z6r-	|Л0|4 • Ь- )л;!| Шо ,	(7.21)

где параметры уг и | 4“ | относятся к стационарному колебанию с
частотой Sr. Поэтому уравнение (7.12) для малой комплексной ам-
плитуды 4Г можно записать в виде

^=-2Ро2Мф(Гг,+т<р^<т,)Ь (7-22>
где

v __ 4о <*>е <Ов	(гч

Г'-|Я»Г <». 	(7'23>

_ А°г 2. __	©е-2ш8 + шг

Tar - “^Q- Таг । Л0|Э	‘

Если одновременно возникает несколько колебаний с частотами шг
и малыми амплитудами 4Г, то, как легко видеть, формулы (7.20)
и (7.22) остаются справедливыми для каждого колебания.
Условие устойчивости колебания с частотой 5, имеет вид

Re dlt^r < 0 при всех r=£s	(7.24)

или в силу формулы (7.03)

/ (Тг) > - Таг (Га) при всех Г =/= S.	(7.25)

Последнее соотношение доказывает, что если колебание с час-
тотой характеризуется таким значением параметра у8, что для
него dfldy = 0, то оно устойчиво по отношению к появлению коле-
баний с другими частотами. Если же dffdy =f= 0 при у = у8, то
это колебании может оказаться неустойчивым, если «в запасе»
имеются колебания, способные обеспечить одночастотную генера-
цию с амплитудами | |, существенно превышающими | А°в |. Дейст-
вительно, согласно формулам (7.21) и (7.23) мы имеем

л? 2	1 А? 3

Т” — г» 2

и если взять функцию / (у) в виде

/(Т) = 1--Г~ при|т|<Гп1„,

•max

/ (у) = 0 при | у | > ушах

(7-23)

(7.27)

(эта функция соответствует ниготрону, см. [1], стр. 65, причем
ушах = 1,51), то условие (7.25) примет вид

<7-28)

"Г max

Формулы (7.25) — (7.28) показывают, что для колебания, у ко-
торого у8 > 0, наиболее опасна конкуренция с колебанием, у ко-
торого уг <0 (рис. 5), и наоборот. Условие (7.25) допускает су-
ществование двух устойчивых одночастотных колебаний с пример-
но равными амплитудами: это может привести к частотному гисте-
резису, подобному тому, который изображен на рис. 4.
Для того чтобы подавить генерацию на паразитных колебаниях
и уничтожить влияние этих колебаний на рабочий режим генера-
ции, на практике стремятся снизить добротность паразитных коле-
баний, т. е. уменьшить амплитуды | Л® |, характеризующие паразит-
ную генерацию. Выведенные выше соотношения показывают, на-
сколько нужно уменьшать эти амплитуды.

Конкуренцию собственных колебаний в магнетронных генера-
торах можно было бы исследовать так же, как это сделано в § 5
и 6 для триодного генератора, а именно вычисляя парциальные
крутизны (комплексные). Такой подход в принципе позволяет
исследовать двухчастотные колебания, при которых обе амплиту-
ды конечны (см. § 6). Однако фактическое вычисление парциаль-
ных крутизн для магнетронных генераторов оказалось слишком
сложным, так что исследования двухчастотных колебаний в таких
генераторах провести не удалось.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа возникла в результате постановки следующих
трех вопросов.

Первый вопрос — методический: можно ли сформулировать
единый метод расчета резонансных электронных автогенераторов,
который для триодных генераторов эквивалентен простому и хо-
рошо известному методу ван дер Поля. Положительный ответ на
этот вопрос почти очевиден: такой метод (см. § 1) должен базиро-
ваться на теории возбуждения добротных колебательных систем
(резонансных контуров, объемных резонаторов, открытых резо-
наторов). При этом оказывается, что роль «нелинейной характери-
стики триода» в теории сверхвысокочастотных генераторов играет
активная и реактивная мощность электронного облака при стацио-
нарных одночастотных колебаниях (§ 4): учитывая это обстоя-
тельство, теорию триодных и магнетронных генераторов можно из-
лагать параллельно — как при генерации на одном колебании,
так и при наличии нескольких или многих колебаний в зоне гене-
рации (§ 3—7). Наряду с этим удается вывести весьма общие
соотношения для электронного смещения частоты и для техничес-
кой стабильности частоты (§ 2).

Второй вопрос заключается в следующем: если в зоне генера-
ции имеется несколько собственных колебаний с неперекрываю-
щимися резонансными кривыми (ср. рис. 5), то на каком колебании
происходит генерация и в чем проявляется взаимодействие собст-
венных колебаний? Этот вопрос рассмотрен в § 5—7, причем по-
казано, что в триодном генераторе с кубичной характеристикой
устойчивы только одночастотные колебания с наибольшими ампли-
тудами (§5), а в триодном генераторе с полиномиальной харак-
теристикой 5-й степени могут быть также устойчивые двухчастот-
ные колебания (§ 6). Исследована устойчивость одночастотных ко-
лебаний в генераторах магнетронного типа при конкуренции дру-
гих колебаний (§ 7).

Третий вопрос связан с генерацией при конкуренции собствен-
ных колебаний с перекрывающимися резонансными кривыми.
К сожалению, рассмотрение этого интересного вопроса в данной
работе только начато (см. § 1) и какие-либо конкретные результа-
ты пока отсутствуют.

Метод, развитый в данной работе, может быть применен к ряду
других резонансных генераторов, в частности к оротрону [9];
при этом нужно иметь в виду ограничения, сформулированные в
начале работы, а также условие (1.37).

Я благодарен П. Л. Капице за живой интерес к этой работе и
В. Н. Мелехину за ее обсуждение и ценные советы.
ПРИЛОЖЕНИЕ

Для величины

17«4-(*+п

(здесь и ниже мы пишем вместо uv) необходимо в соответствии с § 5 вычис-
лить средние значения

_________L у______________л *n-h/v
и е - 2n h\[n-h)\ 2 2 е

h=o

(п = 1,2,...)

При вычислении средних мы предполагаем, что все частоты cov несоизмери-
мы, т. е. несправедливы соотношения типа

Л1®14~	==, пзыз 4”	4- • • •,

где п1( пг, ... — целые числа, включая нуль. Если, как это обычно бывает,
функция Т (U) есть полином небольшой степени (скажем, третьей), то «не-
соизмеримость» означает несправедливость таких соотношений с небольшими
числами пх, щ, ... и небольшим числом частот uv.

В силу несоизмеримости частот мы имеем

(2*+1)1	Д-+1’fc/V

V «-	-111— а Ь > «	А Л С в

2ак+1Л1 (к 4- 1)1

где к = 0, 1, 2, ... Вторая формула следует из того, что только слагаемое

	А т 1 '	’ /ь

содержит в экспоненте одинаковое число частот со знаками «плюс» и «минус»,
поэтому при усреднении может давать результат, отличный от нуля. Первая
формула следует из отсутствия таких слагаемых. Далее можно написать

_। , |ви«^ _ J л< । г |«е* <•»-,)1

V
и вычислять каждое слагаемое последней суммы в отдельности. Для этого мы
представляем 11 |а в виде

№ = р + в-Н‘,

р=2м,|. з и//'*-1',
v

причем а содержит положительные разностные частоты (если последователь-
ность cOjt cos,... возрастающая), о*— отрицательные, а р есть постоянный член.
Мы имеем

____________ к ..	______________

!=0

__ XJ А1 Л~1 V Л

-	₽ ZJ /I (/-Л1 66 e

!=0	j=0

Во внутренней сумме (по /) при v > ц отлично от нуля слагаемое, в ко-
тором I — / = J 1 и которое будет лишь при нечетных I (I = 2/	1); мы

имеем

V Л...ЛД. ...Ла. Л*.

осе — £1 ч vj ty-u ^2j+i И*

 ' •	1 • • ’ Л*2ЖвХР (“р. + % + ” • +	+ % ! + ' • •

•  •+%-+1

так что число положительных слагаемых в экспоненте равно числу отрица-
тельных и при усреднении будет ряд членов, отличных от нуля (положитель-
ных). Суммирование этих членов является в общем случае делом довольно
громоздким, и лишь при / = 0 получается простой результат, а именно

При v = р во внутренней сумме (по /) отлично от нуля слагаемое, в ко-
тором I — j = f, т. е. 1 = 2/; простейшее слагаемое такого типа равно

*h>*fch
При v < |i во внутренней сумме (по /) отлично от нуля слагаемое, в кото-
ром / = I — / -j-1, т. е. I = 2/ — 1; простейшее слагаемое такого типа равно

веЧ«ц, “v)«= (v < р).

Выписанные выражения приводят к формулам



и формулам (5.08). В случае одночастотных колебаний, когда

U ;= Re (Ле-1“'), р = | А |2 и Ро = 0,

нетрудно произвести усреднение для любой степени U, и в соответствии с фор-

мулой (3.06)

т

1 = SA, S=%

А=Э

(2fe+l)l
22kA! (A 4-1)1

c2k+i? ’

Если же многочастотные колебания формально сведены к одночастотным
с помощью формул (1.38) и (1.39), то следует вычислять по формуле

т	_________

I _ V (2А4-1)! i.pk./V
“+1

(4 = zeiwf),

т. е. мы приходим в результате двухкратного усреднения по времени к тем же
окончательным формулам, что и выше в результате однократного усредне-
ния.

Значительно упрощаются все соотношения и при рассмотрении двухча-
стотных колебаний, которыми достаточно ограничиться при конкуренции
только двух собственных колебаний и которыми мы ограничиваемся также
и в общем случае, поскольку при числе частот больше двух выражения ста-
новятся необозримыми (исключение составляет триодный генератор с кубич-
ной характеристикой, см. § 5). Для двухчастотных колебаний мы имеем

б = Л2Л;е-1<“’-«»>г

и считаем для определенности юг > Ир Тогда легко получаем соотношения
= р{ ДМ*,
где / = О, 1, 2, .... а величина р0, определенная выше, имеет простой вид:

Ро = I Л11® | Аг |®.

Остальные произведения такого типа при усреднении обращаются в нуль,
поэтому

Z 6	- 21 (fc-2/-1)1/1 (/+ 1)! Р Р° 7	1

|~|2*_ V ---------------

|г| “ 21 (Л —2/)1(/1)« р р0-
i=o

где [х] есть целая часть х. Окончательно имеем

Г/2ЛН 1/°+' _ _(2fc_+l)l_

-2^1(Л+1)|Х

Р^'-’Ро

g, (Л-2/-1)1/1 (/ + 1)1

р‘-'Ч

?=о

Лр..

Формула (5.07) остается в силе, причем для 5° и S1 мы получаем довольно
сложные выражения:

тп

jo _ V (2fc + 1)1
” £о 2гк(Л+1)1

и

С2А'+1 Х

Р*'2>Ро

(А —2/)1 (/!)’

f—1

у (2fc+ 1)1	у Р*-г,_Х

~ 2ак (Л + 1)! ^+1 (Л - 2/ - 1)1 /I (/ + 1)! '

которые при т — 1 переходят в выражения (5.08), а при т = 2 — в выра-
жения (6.17). В общих выражениях для 5° и S1 внутреннее суммирование
(по/) производится, в сущности, по степеням 91, где величина

й_ 2 /ра _ 2| Л1Ц Л8|
Р |Л1|® + |Л2|®
удовлетворяет неравенству

О<0<1

и обращается в нуль при одночастотных колебаниях (| I = 0 или
| Ля | = 0), а в единицу — при двухчастотных колебаниях с одинаковыми
амплитудами (|	| = ] Аз |).

Чем выше степень полинома (5.05) и чем больше число частот тем
труднее удовлетворить предположению о несоизмеримости частот, на котором
базируется усреднение по времени. Нарушение втого предположения озна-
чает, что в данной нелинейной системе имеются «внутренние резонансы», учет
которых весьма усложняет исследование.
♦

ЛИТЕРАТУРА

1.	Л. А. Вайнштейн. Стабильность колебаний в генераторах маг-
нетронного типа. «Электроника больших мощностей», сб. 3. М., изд-во
«Наука», 1964, стр. 36—69.

2.	Л. А. Вайнштейн. Электромагнитные волны. М., изд-во «Сов.
радио», 1957.

3.	В. Ф. Коваленко. Введение в электронику сверхвысоких частот.
М., изд-во «Сов. радио», 1955.

4.	А. А. А н д р о н о в, А. А. Витт, С. Э. X а й к и и. Теория ко-
лебаний. М., Фиаматгиз, 1959 (гл. IX, § 4).

5.	Е. V. А р р 1 е t о в, В. van der Pol. Phil. Mag., 43, N 253, 177-193,
1922.

6.	B. van der Pol. Selected Papera, vol. I. Amsterdam, 1960.

7.	B. van der P о 1. Phil. Mag., 43, N 256, 700-719, 1922.

8.	П. Л. К а п и ц а, С. И. Ф и л и м о н о в, С. П. Капица. Двух-
рядный ниготрон большой непрерывной мощности. Наст. сб., стр. 7.

9.	Ф. С. Русин, Г. Д. Богомолов. Оротрон как генератор
миллиметрового диапазона. «Электроника больших мощностей», сб. 5.
М., изд-во «Наука», 1968, стр. 45—58 (в том же сборнике еще две статьи
об оротроне).

10.	А. В. Гапонов, А. Л. Гольденберг, Д. П. Григорьев,
И. М. Орлова, Т. Б. Панкратова, М. И. П е т е л и н.
Письма в ЖЭТФ, 2, № 9, 430-435, 1965.

11.	Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. Асимптоти-
ческие методы в теории нелинейных колебаний. М., ГИТТЛ, 1955.

12.	J. S. Schaffner. IRE Trans. С_Т—1, N 2 , 2-8, 1954.
О РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРАХ ТИПА О

I. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ

Л. А. Вайнштейн

На основании одномерной модели построена классическая теория релятивистских
электронных приборов — так называемого комптоновского лазера и релятивистского
убптрона, также именуемого лазером на свободных электронах. Показано, что под
воздействием циркулярно-поляризованной волны или винтового магнитостатического
поля электронный пучок может усиливать н генерировать поперечные электромагнит-
ные вблны; линейная теория приводит к характеристическому уравнению третьей
степени, откуда видна эквивалентность данных систем обычным (нерелятивистским)
лампам с бегущей или обратной волной (ЛБВ, ЛОВ) типа 0.

В релятивистской электронике уже имеется ряд интересных экспери-
ментальных результатов (см., например, обзоры I1-*]), однако теория
многих релятивистских приборов имеет довольно пеструю предысторию:
простейшие задачи решались с помощью сложных методов, весьма огра-
ниченных в своих возможностях, а иногда приводивших к ошибкам. Так,
комптоновский лазер был сначала рассмотрен в рамках квантовой элек-
тродинамики и квантовой механики I5, ®] (тоже относится к релятивист-
скому убитрону [’]), причина такой трактовки в том, что в этом приборе
мог бы реализоваться индуцированный эффект Комптона, рассмотренный
Капицей и Дираком в 1933 г. [®]: передача фотонов электронным пучком
от одной волны к другой, сопровождаемая отражением электронов. Однако
этот прибор (как и релятивистский убитрон) является по существу класси-
ческим. В самом деле, несколько позже появились статьи, в которых при-
менен полуклассический подход [•], а затем — классическое кинетическое
уравнение для частиц совместно с уравнениями Максвелла I10]; в послед-
ней работе развита уже сравнительно простая линейная теория, простота
достигнута путем задания начальной функции распределения электронов
по импульсам в виде дельта-функции, т. е. путем перехода к односкорост-
ному приближению; отметим, что нелинейная теория, развитая теми же
авторами [а> 18 ] в тех же предположениях, совершенно неубедительна,
поскольку основана на произвольных аппроксимациях.

В данной работе сделан еще один упрощающий шаг — применена ме-
тодика, характерная для всей сверхвысокочастотной электроники. Мы
исследуем поведение релятивистского электронного потока под воздей-
ствием двух волн с разными частотами и амплитудами: одной сильной
волны, циркулярно-поляризованной и сообщающей электронам винтовое
движение, и другой волны — слабой, для которой строится линейная тео-
рия. Задача ставится как одномерная: электронный поток принимается
бесконечно широким, однородным и монознергетическим (в отсутствие
волн электроны движутся со скоростью рос вдоль оси z), а электромагнит-
ные волны — плоскими. В этих предположениях строится строгое решение
самосогласованной задачи, т. е. учитывается — в рамках классической
и электродинамики и в прензбрежении спонтанным излучением электро-
нов — как действие волнового поля на электронный пучок, так и действие
возмущенного пучка на поле. Пределы применимости такого подхода будут
даны в части II.

Релятивистские уравнения движения в электромагнитном поле Е, Н
удобно записать в виде

P=4(E + [rHj}. г =------- Р-----(1)

Г т*с3

где точкой обозначена полная производная по «времени» t'-=ct, которое
мы всюду применяем, опуская штрих. Введем комплексные величины

Z — x~\-iy, П — Px-\-ipv, Е — Es-\-iEv, Н —	(2)

тогда уравнения (1) примут вид



п

p,=^{E,-Re(i2*H)}, z

тс

|Д|»+Р;
тасл

Р,

(3)

Здесь кроме поперечных составляющих электромагнитного поля учтена
также продольная составляющая Ег, т. е. переменное поле пространствен-
ного заряда (см. раздел 2). Поперечные поля мы задаем в виде

•—— —-I—»	1,111 j _™»_	*	—..

(4)

где Ая и A* — составляющие векторного потенциала; Ао, ckQ и h0 — ампли-
туда, круговая частота и продольное волновое число сильной волны;

— комплексная добавка к вещественной постоянной Ао, вызванная
слабой волной. Положительным значениям к0 соответствует правая поля-
ризация (вращение по часовой стрелке при z=const), отрицательным —
левая поляризация (против часовой стрелки).

В разделе 1 мы найдем движение электронов в поле одной сильной
волны и определим k0. В разделе 2 рассмотрено (в линейном приближении)
распространение слабой волны в электронном пучке, промодулированном
сильной волной. В разделе 3 показано, что в данной системе имеется меха-
низм фазировки типа 0 (согласно терминологии, принятой в сверхвысоко-
частотной электронике).

При А0=О поле сильной волны вырождается в винтовое магнитостати-
ческое поле, которое также превращает электронный пучок в активную
среду, способную усиливать и генерировать. Такая задача рассмотрена
в разделе 4.

1.	Электронный пучок в поле сильной волны

Уравнения (3) допускают частное решение

Z =	Z — ? _ f - а . е«М-М), n = mcrZ,

0 рло — ка	1

i = 0, t = t0-|-y, Pr = mcfz,

(5)

где безразмерные постоянные а и ₽ определяют соответственно скорости
поперечного и продольного движения, Zo и t0 — начальные константы.
Энергия электронов, движущихся «в такт» с полем сильной волны, со-
гласно формулам (5), равна тпс2^, где

inp + pj _	1

m*c2 y'l — a’ — p* ’

(6)
Мы считаем волновое число Ао вещественным; параметр а, определяю-
щий поперечную скорость частиц, равен

а = —eAfj/mc1^,	(7)

модуляции плотности заряда нет, поэтому Ея = 0.

Чтобы найти Ло, рассмотрим влияние движения на поле. Уравнение
возбуждения имеет вид

дгА дгА 4л ......	,о.

=	7 = 7x_|_t/y>	(8)

где-/х и j— составляющие плотности тока. В данном случае j = enc2,
где п — концентрация электронов в пучке. Подставляя выражение (5) для 2
в уравнение <(8), получаем

Ло = ±*ol/l — 3,	=	(9)

Полученное решение — точное при любой амплитуде Ао, если h0 веще-
ственно и есть только одна бегущая волна с круговой поляризацией: для
нее диэлектрическая проницаемость пучка равна 1—(А2/^о)-

2.	Линейная теория слабой волны

Поперечное уравнение движения, т. е. первое уравнение (3), в силу
соотношений (4) приводит к закону сохранения поперечного импульса
(канонического)

П-|-у А = Const.	(10)

Если вне полей П = 0 (электроны движутся строго по оси z), то мы
будем иметь соотношение

Ц = -^А,	(И)

сразу приводящее к выражениям (5)—(7), а в общем случае позволяющее
написать продольные уравнения движения в компактном виде

cp,= -^+^„ *=>'. ^ = V^4 + e2M|2 + ^	(12)

где — гамильтониан электрона в поперечном электромагнитном поле.
Обычный прием аналитической механики позволил игнорировать (исклю-
чить) поперечные координаты и прийти к квадратичной силе, определяемой
градиентом квадрата векторного потенциала А (без усреднения по времени).
Если £,= 0 и | А ]2 не зависит от z, то из уравнений (12) следует закон
сохранения энергии Ж = const; поэтому при наличии одной сильной волны
величина (6) равна у = 1/^/1— где рос— скорость электронов, вступаю-
щих в пространство взаимодействия.

В линейной теории мы полагаем

z = p_|_8z, pt=mc-[ (р -J-8p), Ея =—4wen8z,	(13)

понимая под р, у и п константы, характеризующие пучок в отсутствие
слабой волны. Уравнения (12) принимают вид

8р = —	+ 3z = (l — p2)8p4-a₽CZ,	(14)

откуда

8zA28z = а^—~|-Р	,	(15)

где

W=U + iV = -^4;, *, = *^1 — ра,

тс3^ ’

(16)
kt, определенное формулой (9), есть поперечное плазменное волновое число,
a к, — продольное.

Уравнение возбуждения (8) принимает вид

<*7>

поскольку теперь

^ = (a-j-u7)e,(*<>'_*»/\ / = (enca -J-8j)e*(*»,_*«*\ bj = enc(w—	(18)

Учитывая, что

«.=-r4p(^+«₽w)-<v	(IS)

и разделяя вещественную и мнимую части, можно преобразовать уравне-
ние (17) к двум уравнениям

и -2 +₽£')(20)

2(V^4a£)+§-^+«-w-«h=o.	(21)

Уравнения (15), (20) и (21) суть уравнения с постоянными коэффи-
циентами, поэтому их можно решать, полагая

8z, U,	8z= — (₽А — k)4z.

(22)

Возможные значения h, соответствующие заданной частоте ск, находятся
из характеристического уравнения шестой степени; обычно достаточно ре-
шать кубическое уравнение (см. раздел 3). В решении, определяемом под-
становкой (22), 8z и Ег осциллируют с частотой ск и имеют продольное
волновое число h, в то время как поперечные поля и скорости могут иметь
две частоты с(Л±А0) и два волновых числа h + h0 (см., однако, конец
раздела 4).

До формулы (22) комплексные обозначения использовались в связи
с формулами (2) и (4), в частности, для представления циркулярно-поля-
ризованных полей. В уравнениях (15), (20) и (21) i уже нет и подста-
новку (22) нужно понимать так

U = Re {£7е*<*'-*')} и т. д„	(23)

где U — комплексная постоянная. До освобождения от «поляризационной»
мнимой единицы, например в уравнении (17), нельзя полагать



(24)

ибо это значит, что .....1 а так бывает не всегда (см. раздел 4).

При отсутствии слабой волны (С7=0) из уравнения (15) для h полу-
чаем два значения

h. = —±, к_=-—й— ,	(25)

Р	Р

соответствующие двум волнам пространственного заряда—медленной и
быстрой. Резонансное воздействие слабой волны на электроны будет при
hf&h±t&kl$ (ибо kt|к|).

Действие возмущенного движения влектронов на поле слабой волны
определяется уравнениями (20) и (21); определитель их левых частей равен



X (*’ + *§

 -

при fa (1 — р1) да 1.

(26)
Если продольное движение не возмущено (82 = 0), то получается урав-
нение D-- 0, связывающее Л1 = Л + ЛосА1 = А + Ао соотношением вида (9).

Резонансное возбуждение поля будет при т. е. при

Благодаря накачке слабая поперечная волна, согласно уравнению (15),
возбуждает продольные волны пространственного заряда, модулируя про-
дольное движение силой Лоренца е [гН], а эта модуляция, согласно урав-
нению (20), в свою очередь возбуждает поперечную волну. Это происходит
[согласно выражению (18), для Sj ] следующим образом: поперечная плот-
ность тока на частоте слабой волны создается не только дополнительной
поперечной скоростью w (этим, вообще говоря, можно пренебречь), но и
переменной плотностью —еп (dbz/dz), которую сильная волна вовлекает
в поперечное круговое движение со скоростью ас (этот эффект является
основным). Таким образом, в данной системе реализуется взаимодействие
типа 0.

3.	Характеристическое уравнение
третьей степени

Производя подстановку (22) и представляя решение уравнения (21)
в виде

и = (Р — А2-{-А§—А| —А?)Ф, R = —	kjc)®, (27)

мы приходим к системе

[_(РЛ _ к)3 + A?] 8z = ia (к3 — h3 4- — М — A?) (h — рА) Ф,

D® = iaA|y^8z,	(28)

которой соответствует характеристическое уравнение

[(рА —A)2 —A?]D = —а2А?С, С = (А2 — Л2-|-*5 — + *?)	• (2$)

Если нас интересует усиление .и генерация на частотах, существенно
превышающих частоту накачки с |А01, т. е. продвижение к коротким волнам,
то нам нужно положить —к0, т. е. считать, что сильная волна распро-
страняется в отрицательном направлении оси z навстречу электронам.
Мы будем иметь в виду именно этот случай, хотя противоположный слу-
чай — переход к более длинным волнам — также может представлять
практический интерес [в ]. Характеристическое уравнение (29) в сущности
отображает когерентное рассеяние сильной волны с частотой а>0=с|А0|
на электронах, движущихся со скоростью рс. Частота рассеянной (слабой)
волны оказывается равной

___ 1 — В	__ 1 "ф- Р	/чпх
ш+ = ш»Г+р или =	(d0)

где ш+ соответствует сильной волне, распространяющейся в положительном
направлении оси z; ш_ — в отрицательном, причем ш_ >> ш0 при р«1.

Легко видеть, что корни уравнения (29) при А( -> 0 и А, -* 0 стремятся
(когда Ао -» —Ао) к значениям А=А/р (двойной корень, соответствующий
продольной скорости электронов рс) и А=А+2А0 (два корня h+h0=^k±k0,
h0=—k0, соответствующие волнам, бегущим со скоростью с вдоль оси z).
Предположим для определенности, что сильная и слабая волны имеют
правую поляризацию (Аф > 0, А > 0); тогда при условии

А=А0Т^?, А1 = А + А0 = А0|4|.	С31)

эквивалентном второй формуле (30), двойной корень совпадает с корнем
Л=А-[-2А0 — это и есть условие синхронизма для данной системы.
0)

(32)

(33)
например,

Мы упрощаем уравнение (29), полагая (при к > 0, к0 >

D = 4Vd^k^(h-k + hB-k0), С =

к-{-к0 — Л0 = у (1 +е^)> Л=у (1+е11)«	=

,3/ йч?

S— У 2(1 + ^’

и получаем при е 1 — р2 кубическое уравнение

хорошо известное в сверхвысокочастотной электронике (см.,

[13]	или [14]). Оно показывает, что данная система функционирует
как ЛБВ типа 0, предопределяет все свойства системы в линейном режиме
и позволяет предполагать, что и в нелинейном режиме свойства данной
системы будут тождественны свойствам обычной ЛБВ с теми же пара-
метрами е, | и а. Предположение это оправдывается (см. часть II), но при
дополнительных условиях и уточнениях.

Мы рассмотрели выше одномерную модель прибора, который в литера-
туре называют комптоновским электронным лазером. Как видно, это на-
звание не отвечает сути дела, поскольку изменение частоты, согласно
формуле (30), вызвано эффектом Допплера, а эффект Комптона может дать
только ничтожную поправку к частоте.

4. Одномерная модель убитрона

Положим в формуле (4) кв=0, т. е. рассмотрим электронный пучок
в винтовом магнитостатическом поле

Hx=zHBcoshBz, Ня = НВ sin hBz, H,= 0, Нв =—h0A0.	(34)

Движение электронов по-прежнему определяется формулами (5)—(7)
при кв=0, но h0 задается периодом структуры, создающей поле (34);
по-прежнему т = 1/\/1 — р^, где ₽ос — скорость электронов, инжектируемых
в поле (34). Это поле является разумной аппроксимацией магнитостатиче-
ского поля

Нх = 2H0I'i (hBr) cos hBz, Hv = 2Н01{ (hBr) sin Л02,

H, = 2НВЦ (V) sin (Т - hbz),	(35)

если выполняются условия

hBa << 1, а<<рАоа, Аа>>1,	(36)

где г, ср — полярные координаты, Д — модифицированная функция Бес-
селя, а — радиус электронного пучка, а/рЛ0 — радиус круговой орбиты
электронов в плоскости z=const, ск — частота усиливаемой или генерируе-
мой волны. Поле (35) — точное решение уравнений магнитостатики.

Все соотношения разделов 2 и 3 переносятся на данную систему, если
в них положить кв=0, в частности характеристическое уравнение (29);
при	оно имеет корни h=k/$ (двойной) и h=k+h0 (два). При Ло >

> 0 и hxxk > 0 условие синхронизма имеет вид

k — h Р — h	/а7ч

* — 1 + а211 . (^/)

а формулы (32) принимают вид

D^h^{h-k-hB), C=^AeF(l-p»),
&4-Л0=у(1+е£), * = у(1+ет)), к, = кеа, 6=.^^	(38)
и приводят опять к кубическому уравнению (33) и всем следствиям из него.
Отметим, что при тех же значениях а и «параметр усиления» е по фор-
мулам (32) и (38) практически один и тот же. Отсюда вытекает, что основ-
ное значение для «активации» электронного пучка имеет скорость ос
поперечного движения, а чем создается эта скорость — встречной волной
накачки или периодическим магнитным полем, — с теоретической точки
зрения безразлично.

Рассмотренная выше система является одномерной моделью убитрона
(UBItron — undulated beam interaction), ее следовало бы назвать стати-
ческим убитроном, а систему с волной накачки — динамическим убитро-
ном, поскольку название «комптоновский лазер» неудачно (см. конец раз-
дела 3). Мы показали, что обе системы функционируют как ЛБВ типа 0.
Нужно отметить следующее их свойство: если в формулах (27) сделать те же
аппроксимации, что и при выводе уравнения (33), то для динамического
убитрона получаем

V = —iU, W = 0e^-ki\ h1 = h-\-h0, Jc1 = /c + *0,	(39)

а для статического

V = iU, W* = Oe“h‘~M\ h1 = h — h0, kl = k,	(40)

где учтено выражение (23). Таким образом, в динамическом убитроне
при к0 )> 0, йо<Оий)>Ои при сильном взаимодействии поля с электро-
нами формируется волна с правой круговой поляризацией и суммарной
частотой Л+&0, а в статическом при h0 > 0 и й > 0 — волна с левой круго-
вой поляризацией; мы видим, что поляризация определяется знаком h0.
Если же взять к < 0 при тех же знаках h0 и к0, то правая часть (33)
будет равна 1, а не —1, т. е. мы получим характеристическое уравнение
ЛОВ. Однако в данном случае волна является прямой, поскольку dh/dkral,
и функционирование данных систем как ЛОВ невозможно из-за отсутствия
обратных пространственных гармоник (а это и позволило произвести стро-
гий анализ). Усложняя эти системы путем введения периодической струк-
туры, можно в принципе получить hmk!$ в узком диапазоне частот и одно-
временно Re dhjdk < 0, тогда они будут работать как ЛОВ.

Дадим простейшие оценки. Для генерации или усиления субмиллиме-
тровых волн можно применить электронный пучок с параметрами у=5,
а=0.1, 1 — р2= а2+(1/у2)=0.05. Полагая kt 1 см-1, получаем s 10~2
и о ~ 1: параметр е мал, а влияние пространственного заряда заметно.

Заключение

Перечислим полученные результаты, одновременно намечая их воз-
можные обобщения.

1.	Исходя из одномерной модели, мы вывели уравнение (33), свидетель-
ствующее о том, что наши системы функционируют в линейном режиме
так же, как обычные приборы типа О. Однако для последних уравнение
вида (33) получается при весьма общих предположениях в рамках трех-
мерной модели [1а> 14]. Несомненно, что то же имеет место для релятивист-
ских приборов, т. е. теория может быть распространена на электронный
пучок конечного сечения в волноводе, открытом резонаторе и т. п.

2.	В рассмотренной модеди имеется лишь механизм взаимодействия
типа 0. Можно, однако, показать, что при наложении постоянного магнит-
ного поля (1Гж=сопз1) наряду с этим механизмом будет механизм типа М,
ведущий к характеристическому уравнению второй степени, и специфи-
ческий «убитронный» механизм, для которого получается уравнение пятой
степени Р5].

3.	Взаимодействие типа 0 в релятивистских приборах обусловлено
связью между продольными волнами пространственного заряда и синхрон-
ной волной. В обычных приборах типа 0 осуществляется такая же связь,
поэтому аналогия должна распространяться на нелинейные свойства
(см. конец раздела 3).
Эти результаты справедливы лишь при малых значениях параметра
усиления (а именно при е 1 — Р2), при конечных значениях проявляются
специфические свойства рассмотренных систем.

Литература

[1]	Y. Carmel, J. Nation. Microwave J., 18, 50 (1975).

[2]	Annals of the N. Y. Academy of Sciences, 251 (1975). Electrostatic and electromagne-
tic confinement of plasmas and the phenomenology of relativistic electron beams,
ed. by. L. C. Marehall, H. L. Sahlin (D. A. Hammer et al., pp. 441—457).

[3]	H. А. Тюрикова. Зарубежная электронная техника, № 6, 127 (1976).

[4]	V. L. Granatstein, P. Sprangle. IEEE Trans, MTT-25, 545 (1977).

(5]	R. H. Pantell, G. Soncinl, H. E. Puthof. IEEE J., QE-4, 905 (1968).

(6]	V. P. Sukhatme, P. A. Wolff. J. Appl. Phys., 44, 2331 (1973).

[7]	J. M. J. Madey. J. Appl. Phys., 42, 1906 (1971).

[8]	P. L. Kapitsa, P. A. M. Dirac. Proc. Camb. Phil. Soc., 29, 297 (1933). Collected
Papers of P. L. Kapitza, 1, Pergamon 1964 (pp. 479 —482).

[9]	В. А. Дубровский, H. Б. Лернер, Б. Г. Цикин. Квант, электр., 2, 2292 (1975).

110] F. A. Hopf, Р. Meystre, М. О. Scully, W. Н. Louisell. Opt. Commun., 18, 413
(1976); Phys. Rev. Lett., 37, 1215 (1976).

[11]	F. A. Hopf, P. Meystre, M. O. Scully, W. H. Louisell. Phys. Rev. Lett., 37, 1342
(1976).

[12]	Al Abawi, F. A. Hopf, P. Meystre. Phys. Rev., A16, 666 (1977).

[13]	Л. А. Вайнштейн. ЖТФ, 26, 126, 141 (1956).

[14]	Л. А. Вайнштейн, В. А. Солнцев. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.
«Сов. радио», М. (1973).

[15]	А. А. Голъденберг, М. И. Петелин. РиЭ, 9, 1987 (1964).

Институт физических проблем АН СССР	Поступило в Редакцию

Москва	10 октября 1978 г.
О РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРАХ ТИПА О

II. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ

Л. А. Вайнштейн

Выведена система нелинейных уравнений для релятивистских электронных при-
боров, рассмотренных ранее I1] в линейном приближении. Эта система совпадает
с системой нелинейных уравнений традиционных (нерелятивистских) приборов типа
О-лампы с бегущей или обратной волной, клистрона и т. д. и отличается лишь иным
определением безразмерных параметров. Получен баланс активных мощностей, и основ-
ные энергетические величины выражены через безразмерные функции, фигурирующие
в нелинейных уравнениях. Установлены пределы применимости развитой теории.
Даны примеры ее применения, и результаты сопоставлены с результатами других
авторов.

В части I данной работы I1] изложена линейная теория электронных
приборов, которые в литературе обычно называются комптоновскими ла-
зерами и релятивистскими убитронами. Здесь мы строим нелинейную тео-
рию, позволяющую учесть насыщение поля, обгон одних электронов дру-
гими, появление высших гармоник поля и тока и прочие нелинейные
эффекты. При выводе нелинейных уравнений удается, как будет видно
ниже, более четко выявить физический смысл всех соотношений.

1.	Уравнение движения

В одномерной модели, рассмотренной ранее I1], после игнорирования
поперечных координат х, у уравнения продольного движения принимают вид

«л=-у+=в.. *=$,	(1)

где	________________

Ж = е2 | А |* с2р2	(2)

— гамильтониан электрона в поле с комплексным векторным потенциалом
А =A (z,	без учета силы пространственного заряда, которая

в первом уравнении (1) представлена Слагаемым Еа; точкой обозначено
дифференцирование по «времени» t'=ct, которое далее применяется без
штриха. Уравнения (1) можно заменить одним уравнением

<3>

где	___________

= + (4)

— гамильтониан (2), выраженный через z и z.

Мы видим, что поперечное движение электронов приводит к квадратич-
ной силе, определяемой производными \А по z и t. Квадратичная сила
такого рода впервые введена Капицей в 1951 г. и применена к расчету
маятника с вибрирующим подвесом [2]; в дальнейшем Миллер [а] обобщил
выражение для квадратичной силы на случай трехмерного движения:
электронов в переменных электромагнитных полях и даже предложил [*]
посредством этой силы отбирать энергию у электронов, генерируя электро-
магнитные колебания. Предложенные тогда системы экспериментального
развития не получили, однако в релятивистских приборах мы встречаемся
с квадратичной силой в наиболее чистом виде: она получается без усредне-
ния по времени, без каких-либо приближений путем игнорирования по-
перечных координат в релятивистских уравнениях движения.

Комплексный векторный потенциал в нашей задаче имеет вид

л = [л0-|-зл(2,

(5)

где Ло = const определяет поле накачки, а 34 — поле усиливаемой или
генерируемой волны. При выполнении условий

е<1-Р2 —1/Т2, |84|<|Лв|	(6)

уравнение (3) принимает вид

+	(7)

где

тс2 \dz 1 r dt}'	°

ебА
тс^'

(8)

(9)

еА0
тс3у ’

Остальные обозначения взяты из части I: е — параметр усиления (32)
и (38), ас и (Зе — скорости поперечного (кругового) и продольного движе-
ния электронов (Ао и а вещественны) в поле накачки, тс2у — их полная
энергия (постоянная) в поле накачки.

Уравнение (7) формально совпадает с нерелятивистским уравнением
продольного движения; эффективное продольное поле <§ синхронной волны
определяется производными40Ие34, а эффективное поле ^пространствен-
ного заряда содержит множитель (1 — ₽2)/у ~ 1/у3.

Для гармонических волновых процессов движение электронов удобно
задавать в виде

Л(г_|)=Тв+а(С, То), с=е^,	(10)

где 8- — периодическая функция начальной фазы <р0=А/0, зависящая также
от медленно изменяющейся безразмерной координаты С (ск — частота
продольных колебаний). Функция 8 характеризует возмущение продоль-
ного движения. Полагая

-Ц S = Re {F (Q ?.)]},

= е2рк&Г (С, <р0),

(И)

можно при е << 1 переписать уравнение (7) в канонической форме Р-7 ]

—Re

(12)

Здесь учтено, что синхронизма на высших гармониках частоты ск нет.
Безразмерная сила пространственного заряда определяется так же,
как в нерелятивистской теории, поскольку Et находится из уравнения
Пуассона; релятивизм влияет лишь на значение параметра о, введенного
в линейной теории и входящего в а? постоянным множителем.

2.	Уравнение возбуждения

Для определенности рассмотрим усиление волны, характеризуемой комп-
лексной функцией W, которую уравнение возбуждения связывает с плот-
ностью тока. Поскольку волна поперечная, в это уравнение входит комп-
лексная плотность

j = js + i it = (enac S/) e ‘(>,	(13)

точнее, дополнительная плотность

8/ = eac8n,	(14)

где n 4"®n (2> 0 есть концентрация электронов при наличии усиливаемой
волны. В формуле (14) не учтена плотность тока, вызванная дополнитель-
ными поперечными скоростями электронов [см. уравнение (17) части I],
однако это слагаемое можно опустить (оно порядка е3), так что уравнение
возбуждения (17) части I принимает вид

[(я+“.)w=-« № >	<15>

функции Sn и 0 связаны уравнением непрерывности

= (-“I™ zdt) z =, 1	,

1 + ldC

в котором учтены начальные условия

Sn = O, а = 0, ^=0 при z = 0.	(16)

При в 1 мы получаем соотношение

(14-^) 4^) = ^,	(17)

позволяющее разложить 8п в ряд Фурье

^=Re{/(ч)4~	=y/e"i(To+4>)4-->	(18)

где многоточие поставлено вместо нерезонансных (несинхронных) слагае-
мых, а функция

2«

7 — 1 j е<(Фо+3)^о	(19)

о

определяет ток, синхронный с усиливаемой волной. Если в правой части (15)
сохранить только синхронный ток, то W примет вид

<20>

причем функция F, входящая также в уравнение (12), при е<<1 должна
удовлетворять уравнению первого порядка

(21)

которое вместе с уравнением (12) и выражением (19) дает полную систему
нелинейных уравнений «релятивистской ЛБВ». Эта система (при е<^1)
та же, что и для обычной ЛБВ [6-7]. Параметр рассинхронизма Ё в урав-
нении (21) определяется соотношением

А4-Л0_Лв = |(14_вЕ), 5 = 1(р*^о-14-р).	(22)

Выражение (20) показывает, что усиливаемая волна имеет ту же круго-
вую поляризацию, как и волна накачки (к > 0 при к0 >0), ее частота
равна cZc^c (к+к0). Если применяется винтовое магнитостатическое поле
(Ао=О, h0 > 0), то в формулах (20) и (22) нужно заменить к на —к (новое
к > 0), а остальные соотношения останутся без изменений.

Для релятивистской ЛОВ в правой части (21) вместо —/ будет стоять I.
Нетрудно выписать также уравнения для релятивистских клистронов,
твистронов и т< д.

Из безразмерных уравнений можно сделать вывод, что по порядку
величины не превышает единицы (расчеты [Б-71 это подтверждают).
Поэтому второе условие (6) можно переписать в виде в << a/у, аналогичном
первому условию и несколько усиливающем его. Неравенство в а/f по-
казывает, что параметр а для данного электронного пучка должен превы-
шать некоторое пороговое значение, если мы хотим, чтобы наши нелиней-
ные уравнения были применимы вплоть до насыщения.

3.	Баланс активных мощностей

Из безразмерных нелинейных уравнений вытекают три закона сохра-
нения ([в], Приложение VI; см. также Iе]). Остановимся лишь на первом
из них, связывающем поток энергии Р усиливаемой электромагнитной
волны, поток кинетической энергии Рк электронного пучка и активную
мощность Р„ отдаваемую полем электронному пучку на отрезке 0 < z < L
{Р, Рк и Рв соответствуют единичной площади сечения z=const, так что Р
есть среднее значение составляющей St вектора Пойнтинга). Величины Р
и Рв выражаются через поля и токи, соответствующие усиливаемой волне
(т. е. через ВЛ и 8/); при малых е мы имеем

P=r^mn(Pc)’l|FP,	(23)

с

p<==_j3|_mra(pc)a^Re	С =	(24)

О

где коэффициент© для динамического убитрона (комптоновского лазера),
действующего как ЛБВ, равен

ri_____Л кй__1-|-?

к— к ~ 2? ’

а для статического убитрона 0=1.

Полагая поток кинетической энергии равным

^=~r=TF,nra(Pc)’i’	(26)

где волнистая черта означает усреднение по ср0, можно из уравнений (12)
и (21) при вещественном Е получить закон сохранения энергии

Р -|- Рк = const,	(27)

только из уравнения (12) следует соотношение
^•*(0 —^*(0) = Р, [обычно РЛ(0) = 0],	(28)

а только из уравнения (21) — соотношение

D(C) — Р(0) = — Р,.	(29)

Все эти соотношения дают баланс активных мощностей, соотношение (28)
применяется к резонансной ЛБВ (см. раздел 5), когда уравнение (21) за-
меняется уравнением возбуждения резонатора.

Выражение (26) при 0 = 1, (Э->0 и т -> 1 принимает обычный вид
(см. [®] или £•])

Pk = -2Sj0U0J, /0 = еп₽С, По = ^.	(30)
Коэффициент 0 отражает тот факт, что поперечные и продольные поля
и скорости при динамической накачке имеют разные частоты. С помощью 0
параметр усиления е для динамического и статического убитронов может
быть представлен в единообразном виде

£ ’--

' а2к]
463*:’ *

(31)

В одномерной модели ЛБВ (см. [®], стр. 314—316 и 138) параметр е
дается выражением

е _ тУ

V 2 и. кг'

Здесь 9 — угол между направлением движения электронов (их невоз-
мущенная скорость по оси z равна Ув) и направлением распространения
плоской волны (ее фазовая скорость по оси z равна и), а кр — плазменное
волновое число (нерелятивистскоё). При переходе к нашим приборам tg2 0
заменяется на аа/20ра, и,/и на р и кр на к,. Эта аналогия весьма поучи-
тельна.

4.	Пределы применимости

Как уже отмечалось в части I, первоначальная теория релятивистских
приборов, рассматриваемых в данной работе, была квантовой
что нашло свое отражение даже в терминах «комптоновский лазер», «лазер
на свободных электронах». Однако при условии

X =2.42-10"10 см	(32)

электромагнитная волна с частотой ш' и длиной волны X' рассеивается
на покоящихся электронах практически без изменения частоты: происхо-
дит не комптоновское, а томсоновское (классическое) рассеяние. Если рас-
сеянная волна имеет в лабораторной системе координат частоту и длину
волны Хх и распространяется вдоль оси z, то в системе координат, движу-
щейся вдоль оси z со скоростью {Зс (вместе с электронами), ее частота ш'
и длина волны X' даются выражениями

= Х' = Х1/пЗ’ (33)

причем для динамического убитрона <of = \Z(UOU)1 и ^/==V\Ai"

Частбты и длины Волн, представляющие сейчас реальный интерес,
удовлетворяют условию (32) с большим запасом, поэтому применима
классическая трактовка. Вместе с тем при правильном квантовом расчете
интегрального взаимодействия электронов с полями квантовая постоян-
ная Я сокращается и получаются по существу классические соотношения.
Однако эффект Капицы—Дирака I11!, который часто связывают [8] с ди-
намическим убитроном (комптоновским лазером) и при котором электрон
в поле двух волн испытывает отражение, остается чисто квантовым,
но вследствие своей редкости на интегральные величины не влияет.

Разброс Арс продольных скоростей в электронном потоке будет несу-
щественным, если

(34)

причем при Т >> 1 мы имеем т/у3. Односкоростное приближение,
на котором базируется данная теория, при нарушении условия (34) не-
применимо, однако тогда синхронно взаимодействует с полем только часть
электронов и взаимодействие малоэффективно.
Применяя теорию к реальным приборам, надо иметь в виду, что кван-
товые эффекты и разброс скоростей дают, конечно, небольшие поправки,
однако другие факторы (неоднородность пучка, поля накачки, усиливае-
мого поля и т. д.) дают обычно поправки более значительные.

5.	Примеры применения

В линейной теории функция входящая в формулы (10), (12) и (19),
предполагается малой, поэтому

&	= — Re(i/e-^).	=

и уравнение движения (12) принимает- вид

=	(35)

Полагая I и F пропорциональными е<1К, из уравнений (21) и (35)
получим кубическое уравнение для 7), выведенное несколько иным путем
в части I. Корни этого уравнения позволяют рассчитать линейное усиление
в релятивистской ЛБВ. Само уравнение (35) также полезно: в частности,
оно позволяет рассчитать самовозбуждение резонансной ЛБВ (в данном
случае можно говорить о релятивистском монотроне), для чего мы полагаем
F=Faef^ и на входе ЛБВ (при С=0) ставим условия Z=d7/dC=0, анало-
гичные условиям (16).

Энергия поля в пространстве взаимодействия 0 < z < L равна, оче-
видно, РТ, где Т=Ыс, если поле резонатора сводится к бегущей волне,
и T=2L/c, если поле имеет вид стоячей волны. Коэффициент затухания
(по полю), обусловленный передачей энергии от поля к электронам, равен

С

Re С

х	оС),

2РТ Т* | F |$	2Z*

(36)

где

1 — соа (<р -|- ф) 1 — cos (у — 40

+ +)а	(? —Ф)1 *	' J ’

Ш 0)==2.^-Т-у-^т)

(37)

Формула (36) хорошо известна в сверхвысокочастотной электро-
нике [1S], она применяется, в частности, к оротрону [ls]. Для релятивист-
ских приборов с циркулярно-поляризованной накачкой формула (36) вы-
водилась (при а =&0, т. е. без учета пространственного заряда) как из кван-
товой теории [•], так и из кинетического уравнения I14]. Функция f
может принимать отрицательные эначения (минимум—8/к8 достигается
при (р«пи ф 1), и если х,+х0	0 (х0= w/2Q, Q — нагруженная доброт-

ность резонатора), то происходит самовозбуждение.

При выводе условия самовозбуждения часто считают, что частота ш
автоколебаний равна собственной частоте резонатора. Строго говоря,
это не так: частота о> слегка смещается под влиянием электронов и опре-
деляется реактивной мощностью взаимодействия (см., например, [5], лек-
ция 2), но мы на этом останавливаться не будем. Заметим лишь, что фор-
мула (36) пригодна и для нерелятивистского пучка в поле двух волн
(см. [15]). В обычной сверхвысокочастотной электронике величина Т
вместо с содержит групповую скорость синхронной волям

В линейном режиме хе не зависит от F§ — комплексной амплитуды
поля в резонаторе. Чтобы найти амплитуду стационарных колебаний,
вообще говоря конечную, надо решить нелинейное уравнение движения
(12), которое без учета пространственного заряда имеет вид

-^=|F0|coa(argF0 + K-<F0-&)	(38)

и легко сводится к уравнению математического маятника. Пользуясь
формулой (28), удобно представить х, в виде

2^1
х__Р* (0__ к

• 2РТ Т | Fo |»	' '

и соотношение х,+хо=О дает искомую амплитуду; электронный КПД равен

Ъ =	> гДе Рй= тпс3^ (у — 1)	(40)

— поток кинетической энергии в электронном пучке при отсутствии
генерации.

В недавней статье [191 авторы решают уравнение, эквивалентное (38).
Такое же уравнение приходится решать в нелинейной теории оротрона I171
и любой другой резонансной ЛБВ; результаты легко переносятся с одного
прибора на другой, нужно лишь учесть релятивистские множители, вхо-
дящие в х, и 1|,и зависящие от 0 и у. С точки зрения электронных процессов
безразлично, являются ли электронный пучок и генерируемый волновой
пучок в открытом резонаторе перпендикулярными (как в оротроне) или па-
раллельными (как в релятивистском монотроне, рассмотренном выше).

Заметим, что в резонансном автогенераторе с фиксированной структу-
рой синхронного поля электроны взаимодействуют с полем не так, как
в усилительной лампе с бегущей волной, поэтому коэффициент усиления
в последней не выражается элементарным образом через величины (36)
и (39).

При использовании релятивистских приборов типа 0 в качестве усили-
телей существенна круговая поляризация накачки и усиливаемого поля,
причем такая, чтобы прибор имел свойства ЛБВ (см. конец раздела 2).
Расчет таких усилителей легко производится с помощью результатов,
полученных для обычных ЛБВ (см., например Р-7, 18)). Обращая поля-
ризацию слабой волны, мы приходим к уравнениям ЛОВ, однако (см. I1],
конец раздела 4) рассматриваемые системы без дополнительных усложне-
ний не могут функционировать как ЛОВ и, в частности, генерировать
без «внешних» резонансных систем [и]. Вводя периодическую структуру
для слабой волны (т. е. модулируя ее в пространстве, благодаря чему
появляются обратные гармоники) или же заменяя- сплошной электронный
поток с винтовыми траекториями совокупностью винтовых пучков в пу-
стоте, мы можем уже получить ЛОВ (для тонких криволинейных пучков
линейная теория дана Гапоновым [ао]).

Заметим, что по формуле (40) электронный КПД по порядку величины
определяется множителем Те/(1—0а)(т—1)«е/(1—0s) ~ тае (при 0®*1,
Т >» 1), который, согласно первому условию (6), мал. Таким образом,
полученные уравнения и аналогии справедливы лишь при малых КПД.

Заключение

Несомненно, что одномерная модель дает наиболее простую и нагляд-
ную картину физических процессов, происходящих в приборах данного
типа, эта модель позволяет построить и количественную теорию. Соотно-
шения, полученные из одномерной, модели, имеют, как правило, более
широкую область применимости, если параметры одномерной модели
и реальной лампы связаны надлежащим образом, например, с помощью
линейной теории [*). Фактически почти во всех расчетах приборов типа 0
применяется одномерная (дисковая) модель, и лишь иногда для уточнения
используются более сложные модели.

Я приношу свою благодарность С. П. Капице, заинтересовавшему
меня данной тематикой, и М. И. Петелину, В. Л. Братману и Н. С. Гинз-
бургу, проявившим интерес к моей работе и познакомившим меня со своими
неопубликованными результатами [а11.

Литература

[1

(2

[3

[4

15

[6

[7

[8

[9

[10]

[11]

Л. Л. Вайнштейн. ЖТФ, наст, вып., стр. 1129.

П. Л. Капица. ЖЭТФ, 21, 588 (1951). Успехи физ. наук, 44, 7 (1951).

М. А. Миллер. Иза. вузов, Радиофизика, 1, 110 (1958); ЖЭТФ, 35, 809 (1958).

М. А. Миллер. Изв. вузов, Радиофизика, 1, 166 (1958).

Л. А. Вайнштейн, В. А. Солнцев. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.
«Сов. радио», М. (1973).

Л. Л. Вайнштейн. РиЭ, 2, 688, 883, 1027 (1957).

Л. А. Вайнштейн, Г. Ф. Филимонов. РиЭ, 3, 80 (1958).

В. Н. Pantell, G. Soncini, Н. Е. Puthof. ГЕЕ J., QE-4, 905 (1968).

V. P. Sukhatme, P. A. Wolff. J. Appl. Phys., 44, 2331 (1973).

J. M. Madey. J. Appl. Phys., 42, 1906 (1971).

P. L. Kapitza, P. A. m. Dirac. Proc. Cambr. Phil. Soc., 29, 297 (1933); Collected Pa-

pers of P. L. Kapitza, 1, 479. Pergamon (1964).

[12]	В. H. Шевчик, Д. И. Трубецков. Аналитические методы расчета в электронике
СВЧ. «Сов. радио», М. (1970).

[13]	Ф. С. Русин. Линейная теория оротрона. Электроника больших мощностей, сб. 5,
с. 9. «Наука», М. (1968).

[14]	F. A. Hopf, Р. Meystre, М. О. Scully, W. Н. Louisell. Opt. Commun., 18, 413
(1976); Phys. Rev. Lett., 37, 1215 (1976).

[15]	A. H. Соловьев, Б. Г. Цикин. РиЭ, 21, 409 (1976).

[16]	Л. Bambini, A. Renieri. Lett. Nuovo Cement о, 21, 399 (1978).

[17]	В. А. Исаев, Д. И. Трубецков, В. Н. Шевчик. Изв. вузов, Радиофизика, 16, 1277

(1973).

[18]	М. В. Цейтлин, А. М. Кац. Лампа с бегущей волной. «Сов. радио», М. (1964).

[19]	Электроника ламп с обратной волной, под ред. В. Н. Шевчика и Д. И. Трубец-
кова. Изд. СГУ, Саратов (1975).

[20]	Л. В. Гапонов. Изв. вузов, Радиофизика, 2, 450 (1959); 4, 547 (1961).

[21]	В. Л. Б ратман, Н. С. Гинзбург, М. И. Петелин. Письма ЖЭТФ, 28, 207 (1978).

Институт физических проблем АН СССР
Москва

Поступило в Редакцию
10 октября 1978 г.
электронный генератор с открытым резонатором
(ОБЗОР теоретических и экспериментальных
ИССЛЕДОВАНИЙ)

Вайнштейн Л. А., Исаев В. А., Трубецков Д.И.

Оротрон (прибор типа О с открытым резонатором и отражающей ре-
шеткой) как электровакуумный генератор миллиметрового и субмил-
лиметрового диапазонов длин волн привлекает внимание исследователей
в последнее десятилетие. Накопилось более ста публикаций (а еще боль-
ше — докладов), часто дублирующих друт друга, а иногда и противоре-
чивых. Цель данного обзора — суммировать наиболее существенные ре-
зультаты, полученные теоретиками и экспериментаторами, чтобы об-
легчить дальнейшее развитие работ в этом направлении.

ВВЕДЕНИЕ

В любом сверхвысокочастотном электронном приборе взаимодействие
переменного электромагнитного поля с электронами является основным
в его работе (рис. 1). При детализации схемы конкретного прибора для
электронов нужно добавить эмиттер, электронно-оптическую систему,
коллектор, для сверхвысокочастотного поля — электродинамическую си-
стему, реализующую поле нужного вида, ввод и вывод энергии. Для при-
боров типа О, к которым принадлежит оротрон, обычно используются
электронно-оптические системы одной из нескольких стандартных разно-
видностей; отличие оротрона от других приборов типа О заключается
в применении специфической электродинамической системы — открытого
резонатора, в котором потери на джоулево тепло и потери на излучение
не связаны с электронами (они обусловлены полями вне пространства
взаимодействия), и поэтому во всех процессах взаимодействия электро-
нов с переменным полем проявляются лишь суммарным образом.

Таким образом, применяя в сверхвысокочастотной электронике вместо
закрытых электродинамических систем открытые, получаем системы с
новым спектром собственных частот или волновых чисел и со своеобраз-
ным распределением переменных полей, однако механизм взаимодействия
электронов с этими полями тот же, что и в закрытых системах. Это поло-
жение кажется теперь очевидным: так, в классических резонансных авто-
генераторах (клистрон, магнетрон и т. п.) резонатор является «закры-
тым» лишь теоретически, практически же излучение выводится через
волновод в нагрузку; а в открытых системах к потерям внутренним до-
бавляются потери на излучение в стороны. Это положение не все приняли
сразу. Хотя сделанные замечания относятся ко всем приборам типа О
с открытыми системами, в данном обзоре будет идти речь об оротроне,
поскольку только он реализован на практике. Это —прибор типа О с
открытым резонатором и отражающей решеткой, генерирующий коге-
рентные колебания в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах
волн (рис. 2). На этот прибор Русину Ф. С. и Богомолову Г. Д. в 1966 г.
выдано авторское свидетельство [1].

В оротроне используется дифракционное излучение (излучение Сми-
та— Парселла) электронов при их движении над периодической струк-

Рнс. 1	Рис. 2

Рис. 1. Схема взаимодействия электронного пучка с электромагнитным
полем в СВЧ-приборах. Стрелка 1 соответствует воздействию электронов
на поле (возбуждение переменных полей модулированным электронным
пучком), стрелка 2 — воздействию поля на электроны (электроны движут-
ся в переменном поле, вследствие чего электронный пучок оказывается
модулированным)

Рис. 2. Схематическое изображение оротрона: 1 - плоское зеркало, 2 -
отражающая решетка, У-вогнутое зеркало, 4-вывод энергии, 5 -элек-
тронный пучок

турой, однако не спонтанное [2], а индуцированное (генерирующим*
полем), что отмечалось уже в работах [4, 5]. Детальное описание кон-
струкции и характеристик оротроиа опубликовано в (3—7]. Следует отме-
тить, что оротрон осуществлен в двух вариантах: с_ волноводным выводом,
(для миллиметровых волн) и с квазиоптнческим выводом энергии (для
субмиллиметровых волн).

Аналогичные приборы изготавливались и исследовались в Харькове
под названием «генераторов дифракционного излучения» [8], в Японии —
под названием «электронных приборов с резонаторами Фабри —Перо»,
и ледатронов [9, 10] и в США [11, 12], где сохранили первоначальное
название оротрон.

1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕЗОНАНСНЫХ АВТОГЕНЕРАТОРОВ

Для того чтобы в добротной колебательной системе электронного при-
бора достигался резонанс, в электронном пучке, возбуждающем такую си-
стему, должны происходить пульсации с частотой, близкой к собственной,
частоте системы (синхронизм во времени). В резонансном приборе с
длительным взаимодействием должно выполняться, кроме того, условие-
синхронизма в пространстве. Из приборов типа О к таким лампам с двой-
ным синхронизмом (в пространстве и во времени) можно отнести одно-
резонаторный клистрон с распределенным взаимодействием, резонансные
ЛБВ и ЛОВ, ладдетрон и оротрон. Поэтому излагаемая ниже теория
является по существу теорией целого класса резонансных автогенера-
торов.

Пусть плотность переменного тока в электронном пучке определяется
формулой

(1)	j(t)=Re{j(<0, t)e'*'},

где ](ш, t) —комплексная амплитуда плотности тока, которая для неуста-
повившихся колебательных процессов может быть медленно меняющейся
(по сравнению с е*"’) функцией времени t. Тогда электромагнитное поле,
возбуждаемое током (1) в резонансной системе (закрытой или откры-
той), можно представить в виде

(2)	E(f)-Re {(СЕГ+Ё)е‘“'}, H(f)=Re {(CrHr+H)eio‘},

«ели в пределах полосы частот, занятой током (1), имеется только одно
собственное колебание резонатора, характеризуемое полями Ег, Н„
нормой

(3)	Nr= JeE/dE=- Ju.H,2dE, ^>0,

и комплексной частотой <or=<j>r,+i©//. Это резонансное колебание воз-
буждается с комплексной амплитудой Cr=Cr(t), которая определяется
дифференциальным уравнением

<4)	j(<B,t)ErdV.

at	ANT J

Поля E и H в выражениях (2) определяют «нерезонансный фон», со-
стоящий из квазистатического поля пространственного заряда и дина-
мических поправок к нему, обусловленных возбуждением нерезонансных
колебаний, а в открытых резонаторах — непосредственным возбуждением
поля излучения.

В определении нормы (3) комплексные проницаемости берутся на
частоте о, а интегралы —по объему, занятому полем ([13, 2-я лекция]).
Для открытых резонаторов поле, связанное с полем излучения, в значе-
ние нормы Nr вклада практически не дает, так что при вычислении Nr
надо интегрировать по объему между зеркалами [3].

Из уравнения (4) в соответствии со сказанным выше видно, что резо-
нанс, т е. большие значения Сг, будет при одновременном выполнении
двух условий. Во-первых, должно быть ы«<о/ (резонанс во времени);
во-вторых, в правой части (4) под интегралом должна стоять медленная
функция координат (резонанс в пространстве). Для резонанса в про-
странстве собственное колебание резонатора должно иметь медленную
пространственную гармонику, синхронизированную с пучком, откуда сле-
дует, что вблизи прямолинейного пучка, пронизывающего открытый ре-
зонатор (рис. 2), должна быть периодическая структура, период I кото-
рой должен удовлетворять условию

, со со/ 2лтп t „

(5)	Л,——«-------м=1,2,...,

v. v, I

поскольку поле собственного колебания в резонаторе слабо зависит от
координаты х вдоль пучка; здесь у,— скорость электронов в пучке, к,—
их волновое число, так что j(co, t) содержит экспоненту е0^. Поэтому
в интеграле (4) существенна только минус т-я пространственная гармо-
ника, имеющая зависимость ехр (i2atmx/l), т. е. бегущая навстречу элект-
ронному пучку. Интегрирование по у и z, т. е. по поперечному сечению
пучка, приводит к выражению для резонансной части усредненного про-
дольного электрического поля. Надо учесть, что зависимость поля т-й
пространственной гармоники от у (расстояние от решетки) определяется
множителем ехр (—2л | т | х[1) и для достаточно частой решетки (кКя)
т-я гармоники убывает с ростом | т | (при заданной амплиту-
де нулевой гармоники). Поэтому выгодно синхронизировать пучок с ми-
нус 1-й пространственной гармоникой (это соответствует в условии (5)
.значению т=1), поскольку, например, использование минус 2-й про-
странственной гармоники в структуре с удвоенным периодом I ведет к
меньшей связи пучка с полем резонансного колебания, т. е. к меньшему
значению правой части (4). Можно сконструировать периодическую
структуру так, что амплитуда 2-й пространственной гармоники будет
максимальной, однако при этом возрастут омические потери ([8, с. 215] т
на с. 189 имеется противоположное утверждение, оно неправильно).

Нереаонансное электрическое поле, также воздействующее на электро-
ны пучка, определяется слагаемым Е в выражении (2) и имеет сложный
пид- Обычно в целях упрощения отождествляют поле Е с кваэистати-
ческим (потенциальным) полем пространственного заряда, пренебрегая
всеми динамическими поправками к нему, так как на малых расстояниях,
когда заряды взаимодействуют наиболее интенсивно, квавистатическое
поле преобладает над волновым [13, с. 113]. Усредненное по сечению
пучка поле может быть представлено в виде

ЭФ

(6)

ОХ

где 3"(х, t) — резонансное поле, т. е. поле той пространственной гармо-
ники резонансного колебания, которая синхронна с пучком (распростра-
няется в сторону положительных х, т. е. в сторону движения электронов).

Таким образом, теория приборов с открытыми резонаторами стано-
вится аналогичной теории приборов с закрытыми резонаторами — отличие
лишь в более редком частотном спектре открытых резонаторов (вслед-
ствие чего даже при большом объеме и коротких волнах удается добиться
того, что резонансным будет только одно колебание) и характерном длЯ-
них распределении поля (квазиплоские волны, поле слабо зависит от х).

Во многих случаях (в том числе и в случае оротрона) удобно исполь-
зовать уравнение возбуждения только резонансного поля 8{х, t) сгруп-
пированным током, а поле пространственного заряда выразить через
сгруппированный ток Цх, t). Последнее сводит решение задачи о физи-
ческих процессах в резонансных автогенераторах к решению самосогла-
сованной системы уравнений: к уравнению возбуждения резонатора
&=Ы (стрелка 1 на рис. 1) и к уравнению для тока /=М<В\ сгруппиро-
ванного в резонансном поле (стрелка 2 на рис. 1), где L и М—диффе-
ренциальные или интегральные операторы. Уравнение 7=М<У удобно
по-разному записывать в линейной и нелинейной теории, что мы и будем
делать дальше.

Уравнение &=Ы или эквивалентное ему уравнение (4) удобно пред-
ставить [13, 2-я лекция] в виде энергетических, соотношений. Определив-
зависящую от времени фазу колебаний фг формулой

(7)	Сг~\Сг\е*

умножив обе части (4) на CT*NT (* означает комплексное сопряжение),
ваяв комплексно-сопряженное выражение от обеих частей, пользуясь тем,
что зависящая от времени анергия r-го колебания равна W—^l2) |Cr[W„
находим после простых преобразований

(8)

W+2vr"W=

EdV--Р„,

(9)	2(<о+фг—©/) W=-~ Im J JE dV~-P„,

где P» и Р„ — соответственно активная и реактивная составляющие элект-
ронной мощности взаимодействия. Соотношение (8) есть закон сохране-
ния энергии для нестационарных колебаний: активная электронная мощ-
ность Рм расходуется на увеличение энергии колебания (слагаемое W)
и на компенсацию мощности 2<oT"W, которая выделяется в нагрузке и в
стенках резонатора, а в открытых системах тратится также и на излуче-
ние. Соотношение (9) — баланс реактивных мощностей, определяющий
мгновенную частоту ш+ф, резонансного поля. Левая часть (9) есть реак-
тивная мощность резонансного колебания, обращающаяся в нуль при
точном равенстве мгновенной частоты и собственной частоты а/, а пра-
вая часть — реактивная электронная мощность.
Полагая Иг=0, ф,=0 и используя определение добротности (нагру-
женной) собственного колебания О,=со//За»/', ив соотношений (8) и (9)
получаем условия стационарных колебаний в резонансных автогенерато-
рах в виде

(10)	~W—Р~,

Q*

Таким образом, для определения пусковых параметров генератора или
его свойств в режиме стационарных колебаний достаточно вычислить
мощность взаимодействия электронного потока с высокочастотным полем
колебательной структуры, запасенную в резонаторе энергию и знать ха-
рактеристики колебательной системы.

2. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ОРОТРОНА

Цель линейной теории оротрона — определение пусковых условий ге-
нератора. Линейный процесс группирования электронного пучка в резо-
нансном поле удобно характеризовать известным соотношением для комп-
лексной амплитуды 1-й гармоники тока (см., например, [14, с. 19])

h.S	I.	г	г

(11)	=	Г$(5)е<(ч-ч). ds_

^hqSt	L	**

0

где S. — поперечное сечение пучка,

5=1 / $№(y,z)dydz,	z)dy dz=l,

Вл

ф(у, z)-функция, учитывающая поперечное распределение 1-й гармо-
ники тока в пучке, hq=(aq/v„ со, — редуцированная плазменная частота
пучка, (/« — ускоряющее напряжение, /« — постоянный ток пучка. Реше-
ние (11) представляет собой две волны пространственного заряда: быст-
рую (первое слагаемое) и медленную (второе), а интегралы показывают,
как поле с комплексной амплитудой й’(х) возбуждает зти волны. Соот-
ношения (10) и (11) дают самосогласованную систему уравнений линей-
ной стационарной теории оротрона.

Пусть

(12)	& (х) =й’о(е_"|*1+ре<'^1) при 0<х<£,

<3’(х)=0 при х<0, x>L.

Тогда, подставляя выражение (12) в соотношение (11), используя усло-
вия (10) и вводя безразмерные параметры ф=(Лв—h.)L и ф,“А,£, по-
лучаем при р=0 [4]

/13ч j = 8 И7 5, со/(7.	1

}	,= <2, I#»!4/? s h. /„(ф,ф.) ’

Ц~й)/ 2Qr = /.г(ф, фг)
' /~(ф,ф,) ’

где /«— пусковой ток. Функции /«« и при р=-0 были впервые введены
Шевчиком В. Н. [15]; они изображены на рис. 3.

Интересно отметить, что если учесть при расчетах не только попут-
ную, но и встречную волну, т. е. в выражении (12) положить р™1, то
функция /и не равна нулю при ф“0, и пусковой ток имеет коиечнее зна-
чение даже при точном синхронизме скоростей электронов и попутной
волны (рис. 4 и 5) [16]. Влияние встречной волны на пусковые условия
становится менее заметным (рис. 5) с ростом длины пространства взаи-
модействия и с увеличением параметра пространственного заряда.

Рис. 3. Зависимости функции (а) и /«г (б), которым пропорциональ-
ны активная и реактивная составляющие электронной мощности, от отно-
сительного утла пролета <р при различных значениях параметра про-
странственного заряда <р4

Функция /,г(ф, ф<), которой пропорциональна реактивная составляю-
щая электронной мощности взаимодействия (рис. 3), необходима, как ато
следует из второго соотношения (13), для расчета пусковой частоты.

Заметим, что первая формула (13) при <р7=0 и ф=-л, когда значе-
ние	максимально, дает минимальный пусковой ток I,. Однако

этому значению I, может соответствовать конечное значение ф„ что при-
водит к увеличению пускового тока [4].

Дискретный характер взаимодействия электронного потока с полем
периодической решетки [9, 17] сильно сказывается в приборах с относи-
тельно малым числом периодов, поскольку в этом случае трудно говорить
о взаимодействии электронов с одной пространственной гармоникой поля:
происходит каскадная группировка электронов, механизм энергообмена
близок к клистронному [18]. Это приводит к количественным различиям
в рассчитанных значениях пускового тока, когда число периодов в решет-
ке мало (меньше 10).

Выше мы считали, что амплитуда поля постоянна в пределах про-
странства взаимодействия (0<х<£). Фактически, однако, амплитуда рас-
пределена по косинусоидальному закону для резонатора с плоскими зер-
калами или по гауссовскому закону для резонатора со сферическим верх-
ним зеркалом. Влияние этих распределений было рассмотрено [19] путем
численного решения уравнений (10) и (11).

Гауссовское распределение

з>< ч я- Г (x-Z/2)» -i

(14)	& (х) =Se ехр —----— ------I

L	2f*	j

представляет наибольший практический интерес, поскольку соответ-
ствующее колебание имеет пренебрежимо малые потери на излучение;
для такого распределения функция ^(ф), аналогичная функции /м(ф, 0),
существенно отличается (см. рис. 6) от последней. Максимальное значе-
ние ^(ф), по крайней мере, на порядок меньше по сравнению с /.«(ф, 0),
что существенно увеличивает пусковые токи генератора. Это значение
достигается при больших ф. Кроме того, кривая F(<p) пересекает ось
абсцисс только при ф"0, т. е. мощность взаимодействия не обращается
в нуль ни при каких фч*0.
Электродинамическая теория открытого резонатора с гребенкой при-
водит к выводу [5], что оптимальное отношение ширины канавки к пе-
риоду гребенки близко к ‘/г, а оптимальная глубина канавки — к четвер-
ти длины волны в свободном пространстве. Увеличение пускового тока

Рис. 4. Зависимость пускового тока
от относительного угла пролета <р:
сплошная кривая рассчитана по фор-
муле (13), штриховая-с учетом
встречной волны, т. е. р=1;

М=5

Рис. 5. Зависимость пускового тока
от величины параметра простран-
ственного заряда для разных длин
пространства взаимодействия: сплош-
ные кривые рассчитаны по формуле
(13), штриховые-с учетом встреч-
ной волны, т. е. р=1; <р=— л

аз

Рис. 6. Зависимость электронной мощности взаимодей-
ствия от относительного угла пролета <р: кривая 1 со-
ответствует полю постоянной амплитуды; кривая 2 —
косинусоидальному полю; кривая 3 - гауссовскому рас-
пределению поля

с частотой полностью обусловлено электродинамикой колебательной си-
стемы [4]. Теория позволяет оценить также зависимость пускового тока
от периода решетки I, длины пространства взаимодействия L, расстояния
между зеркалами и параметров пучка [4—6] и выбрать оптимальное на-
пряжение и оптимальный период структуры.

3. НЕЛИНЕЙНАЯ теория оротрона

Уравнение 7=Ю* в простейшем варианте нелинейной теории имеет
вид

* SlV	Д2	Л 3

(15)	Д(С) =	---(1-ЬнЛ {Re[F(£)e'“]+^}.

nJ	\	<Э£ /
где It (£) — безразмерная амплитуда 1-й гармоники сгруппированного
тока. Она выражается через функцию u=u(£, ф0), определяющую соглас-
но второму соотношению (15) движение электронов, где ф0=й^0 — фаза
влета, н=ф(гНЦ£, <Ро) — текущая фаза электрона в поле волны, •& — пе-
риодическая по фо добавка к начальной фазе электрона, вызванная пере-
менным полем; F(£) — комплексная амплитуда поля, нормированная на
величину 2е2Л.СЛ,	—медленно изменяющаяся координата, —

безразмерная сила пространственного заряда. В простейшем случае
можно выразить только через 1-ю гармонику тока, полагая =
=—о2 Im [Z1(£)e<“], при уточнениях учитываются высшие гармоники тока
и их производные по £ [13]. В этих соотношениях о=ш7/есо — параметр
пространственного заряда, е — малый параметр, который для резонансных
ЛОВ и ЛБВ есть параметр усиления Пирса

(16)	е=1/^_А>

» 4 Ue

где К=\^<>\г/2к02Р — сопротивление связи, SB — амплитуда синхронной
пространственной гармоники, действующей на пучок (она входит в фор-
мулу (12) при р=0), Р — поток мощности в замедляющей системе. Для
оротрона величина К определяется аналогичным выражением

г	l^ol2

fee2o)/crw, гл.2®/и7

а параметр е — формулой (16).

Уравнения (10) и (15) составляют самосогласованную систему урав-
нений для анализа работы оротрона в нелинейном стационарном режиме.
Следует заметить, что в теории оротрона нет особой необходимости для
введения параметра е (см., например, [20]). Однако, когда речь идет
о построении единой теории резонансных автогенераторов, в том числе
резонансных ЛОВ и ЛБВ, в этом есть определенный методический смысл.
Можно дать приближенное аналитическое решение нелинейных уравне-
ний [21, 22], задавая в качестве нулевого приближения для функции
О(£, фо) выражение, найденное в первом приближении из линейной тео-
рии. Подставляя это выражение в первую формулу (15), получим ампли-
туду 1-й гармоники сгруппированного тока, что позволяет в свою очередь,
используя соотношения (10), найти амплитуду стационарных колебаний
^’0=/г’о(£маКс,	ф?) И соответствующую ей частоту генерации [21], где

Eiuxc=eA,L и |=(Л0—h„)/g.h,. Нормированный КПД оротрона ц/е=
=|F0| 2/2(1+е|)2 является плавной несимметричной функцией величины |
(рис. 7). Положение максимума активной мощности взаимодействия
(а следовательно, и ц/е) на оси £ и нуль реактивной мощности (т. е.
точка, где генерируемая оротроном частота и равна собственной частоте
резонатора се/) сдвигаются в сторону больших по абсолютной величине
значений относительного угла пролета, чем следует из линейной теории.

Первой по времени была создана кинематическая теория оротрона
[23], построенная по образцу теории резонансного монотрона (см., на-
пример, [24]): в ней методом последовательных приближений решалось
уравнение движения электронов, затем из закона сохранения заряда на-
ходился сгруппированный ток, рассчитывались активная и реактивная
электронные мощности. Далее из соотношений (10) находились амплиту-
да и частота стационарных колебаний, а также нормированный КПД
оротрона в зависимости от относительного угла пролета	L. При

этом оказалось, что основные нелинейные эффекты в оротроне, такие как
асимметрия эон колебаний, смещение оптимального угла пролета в сто-
рону больших по абсолютной величине ф (штриховая кривая на рис. 7),
достаточно хорошо передаются этой теорией.

Анализ физических процессов в оротроне был проведен [20] на осно-
ве нелинейных уравнений Овчарова — Солнцева [25, 26], однако без вве-
Рис. 7

Рис. 8

Рис. 7. Зависимости КПД и генерируемой частоты оротрона от относи-
тельного угла пролета <р для разных величин параметра 7’=1/2(?г; Смаке=
= 1, е=0,1; сплошные кривые — о=0,5; штриховая — о=0

Рис. 8. Зависимости КПД и генерируемой частоты оротрона от относи-
тельного угла пролета <р для разных величин параметра Г=1/2(>: сплош-
ные кривые — однородное поле постоянной амплитуды, штрихпунктир-
ные - гауссовское распределение поля

дения медленно изменяющейся координаты. Результаты анализа для
однородного и гауссовского распределений амплитуды поля вдоль решет-
ки приведены на рис. 8. Сравнивая зти результаты с приведенными на
рис. 7 (кривые построены для нескольких значений параметра Т=*hQ
при е=0,1 и ^манс=1> так что ф=—|), можно отметить те же самые за-
кономерности, а для однородного распределения поля кривые практи-
чески совпадают. Заметим, что КПД для гауссовского распределения
меньше, чем для однородного. Это понятно физически (мы уже говорили
об этом при рассмотрении линейной теории): на длине, на которой до-
стигается максимум амплитуды сгруппированного тока, поле начинает
резко спадать; то же происходит в ЛОВ.

Анализ энергетических характеристик оротрона, проведенный на осно-
ве численного решения уравнений движения (15) в заданном поле, имею-
щем однородное или гауссовское распределение вдоль решетки, проведен
в нескольких работах [60, 27—30]. Электронный КПД определялся по
формуле

1	“	1

(18) т1 = ^-	(1-----------z—~ йфо-

2л J

I dt, /

Были найдены зависимости оптимальных значений параметра рассинхро-
низма £ и безразмерной длины пространства взаимодействия Смакс, обес-
печивающих максимальный электронный КПД (рис. 9), от параметра
пространственного заряда о2. Следует заметить, что приближенные фор-
мулы для зависимостей максимального КПД и оптимальной длины об-
ласти взаимодействия резонансных генераторов О-типа от параметра
потерь резонатора приведены в работе [61] для поля волны постоянной
амплитуды.

Показано, что неоднородность переменного поля по толщине и шири-
не пучка [29] и поперечное смещение электронов в динамическом режи-
Ри£. 9. Зависимости максимального
электронного КПД и оптимальных зна-
чений параметра рассинхронкама £ и
безразмерной длины пространства взаи-
модействия Вмакс от параметра прост-
ранственного заряда а2; е=1

Рис. 10. Зависимость мощности колеба-
ний в оротроне от ускоряющего напря-
жения при наличии гистерезиса

Рис. 11. Зависимость амплитуды стацио-
нарных колебаний оротрона от уско-
ряющего напряжения: сплошная кри-
вая соответствует устойчивым, а штри-
ховая — неустойчивым состояниям си-
стемы

ме [30] существенно уменьшают КПД (особенно для широких и тонких
пучков) и увеличивают пусковой ток с ростом ширины и толщины пучка
при сохранении постоянного завора между пучком и решеткой. Динами-
ческая расфокусировка на величину максимального КПД влияет слабо,
но вызывает насыщение на более короткой длине. Последнее понятно
физически, так как при динамической расфокусировке электроны, осе-
дающие на систему, попадают в область более сильных полей. Вопрос
о величине амплитуды поля и параметров открытого резонатора, при ко-
торых реализуются найденные значения КПД, в работах [27—30] не
обсуждался. В более ранней по времени работе [60] стационарная ампли-
туда поля (поле считалось однородным вдоль решетки) определялась из
энергетического баланса (8).

4.	ЭЛЕКТРОННЫЙ ГИСТЕРЕЗИС

В процессе экспериментальных исследований оротрона при плавной
перестройке ускоряющего напряжения был обнаружен гистерезис [31].
На рис. 10 стрелкой 1 отмечен срыв автоколебаний при увеличении уско-
ряющего напряжения Z7„ а стрелкой 2 — самовозбуждение генератора при
обратном изменении U,. Таким образом, в зависимости от направления
изменения U, в интервале (I7lt Ut) состояние генератора существенно
различно. Качественный анализ этого гистерезиса проведен в так назы-
ваемом одночастичном приближении [32, 33], когда группу электронов,
когерентно взаимодействующих с полем, заменяют одной макрочастицей
с тем же отношением заряда к массе. Решая уравнение движения такой
макрочастицы и используя первое соотношение (10), можно получить
аналитическое выражение для амплитуды А стационарных колебаний. На
рис. 11 показано, что при плавном увеличении ускоряющего напряжения
от нуля в интервале (77t, 77,) состояние равновесия А -0 является не-
устойчивым и происходит мягкое возбуждение генератора. При дальней-
шем увеличении U. амплитуда колебаний достигает насыщения и, когда
число захваченных тормозящим полем электронов становится недоста-
точным для поддержания колебаний (они вышли из синхронизма), насту-
пает срыв колебаний (при 17.=U,). При уменьшении 17. от значения,
превышающего V3, до 0, колебания возникают при U.=U3, так как там
состояние Л=0 опять становится неустойчивым, и численное решение
ли режим одночастотным,

Рис. 12. Зависимость амплитуды ко-
лебанив в оротроне от времена для
различных относительных углов про-
лета ф. Поле в резонаторе распреде-
лено по гауссовскому закону

нестационарной задачи [34, 35], которое дает только устойчивые реше-
ния, приводит к результатам, изображенным на рис. 11 сплошной линией
со стрелками.

Зависимость выходной мощности оротрона от рабочего тока тоже
носит гистерезисный характер [28, 36].

5.	ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ОРОТРОНЕ

Нестационарная теория оротрона необходима для анализа импульсных
режимов работы прибора, полезна в случаях, когда заранее неизвестна
природа установившегося режима (явл
многочастотным или стохастическим —
это видно непосредственно только из
решения нестационарных уравнений),
и наконец, эта теория нужна для ана-
лиза устойчивости решений, найден-
ных в стационарной теории.

Для построения линейной теории,
дающей зависимость инкремента нара-
стания и времени установления колеба-
ний от конкретных параметров прибо-
ра, достаточно ваять уравнения стацио-
нарной теории оротрона, но считать в
них частоту комплексной (co=©/+ici)/').
Такие расчеты проведены в работах
[37, 38], причем использованные зна-
чения параметров соответствуют реаль-
ным приборам миллиметрового и суб-
миллиметрового диапазонов, описанным
в работе [7].

Нелинейные уравнения нестационарной теории, использованные в мо-
нографии [8, § 39] и полученные в различных работах [33, 35, 38],
представляют собой по существу уравнения (8), (9) и (15). Результаты
численного интегрирования этой системы уравнений [33] дают возмож-
ность исследовать эволюцию начальной амплитуды колебаний во време-
ни при различных ф (рис. 12). С ростом ф скорость нарастания амплиту-
ды колебаний увеличивается, достигает максимума при ф=5 и затем
уменьшается. Максимальная амплитуда колебаний достигается при зна-
чительно большем ф (ф=9), что соответствует вели, зйной стационарной
теории (рис. 7, 8). Последнее обстоятельство необходимо учитывать при
работе прибора в импульсном режиме, где желательно кметь при макси-
мальном КПД наибольшую крутизну фронтов. Для решения этой пробле-
мы было предложено [35, 36] подавать сложный импульс ступенчатой
формы так, чтобы на начальном участке реализовался режим максималь-
ного инкремента, а на конечном — режим максимального КПД.

Важным, но трудным вопросом является расчет нестабильности гене-
рируемых колебаний. В работе [56] рассчитана частотная нестабильность
резонансных автогенераторов, в том числе оротрона, вызванная тепловы-
ми шумами в стенках резонатора и нагрузке, а в работе [57] — техниче-
ская нестабильность оротрона.

6.	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Из результатов экспериментального исследования [6, 19] пускового
тока оротрона в диапазоне перестройки следует, что общий ход зависи-
мостей в разных участках миллиметрового диапазона длин волн
(рис. 13, в, б) укладывается в рамки теории (рис. 4 и сплошные кривые
на рис. 14) — пусковой ток резко возрастает на коротковолновом конце
диапазона и более плавно ведет себя на длинноволновом.

Уменьшение пускового тока при увеличении длины взаимодействия
было подтверждено экспериментально [5]: сферическое зеркало в резо-
наторе оротрона было заменено овальным вогнутым зеркалом (корыто-
образным) с теми же радиусами кривизны вблизи его концов, при этом
поперечные размеры поля на плоском зеркале не изменились, а макси-
мальная длина взаимодействия для основного колебания увеличилась
вдвое (с 20 до 40 мм при Х=9,2 мм). Согласно (14), пусковой ток при
этом должен был уменьшиться в 4 раза. Эксперимент показал, что пу-

Рис. 13. Экспериментальная вависимость пускового тока оротрона
от длины генерируемой волны

1Я,НА

2	2,5	3 Л, мн

сковой ток при А=9,2 мм уменьшился с 37 до 13 мА (почти в 3 раза).
Таким образом, использование овального зеркала является аффективным
средством уменьшения пускового тока в соответствии с теорией.

Из экспериментальных зависимостей пускового тока от величины фо-
кусирующего магнитного поля видна общая тенденция увеличения пуско-
вого тока с уменьшением поля (рис. 14, а). Минимальное значение маг-
нитного поля, при котором возможно возникновение колебаний, практи-
чески не зависит от частоты [5]. Для случая, когда расстояние между
пучком и решеткой равно нулю, пусковой ток монотонно возрастает с

Рис. 14 Экспериментальная вависимость пускового тока оротрона
от величины фокусирующего магнитного поля; а*, крестики — К=
=6,3 мм, точки — Л=7 мм, кружки — Х—8 мм; б: сплошные кри-
вые — теория, крестики и точки — эксперимент,, р — расстояние
между электронным пучком' и решеткой

01	।_____1	1_____1_____I-----1

7,5 2.5 3,5 4.5 5,5 fl, к Гс

уменьшением магнитного поля (рис. 14, б), так как все большее число
электронов оседает на решетку. Для приподнятого пучка пусковой ток
в соответствии с теорией [39, 46] сначала уменьшается, пока крайние
электроны не коснутся решетки при своем движении по орбите и не
начнут оседать на решетку. Оценка минимального магнитного поля, не-
обходимого для генерации, дана в работе [46].

При рассмотрении экспериментальной зависимости выходной мощности
оротрона от частоты [40] видна асимметрия эон колебаний (рис. 15);
более резкий спад наблюдается на высокочастотном конце (при больших
ускоряющих напряжениях), т. е. там, где в соответствии с теорией уве-
личивается величина ср.

Результаты экспериментальных исследований влияния шумов элект-
ронного потока на выходные характеристики оротрона [41] можно сфор-
мулировать следующим образом:
1.	Минимальная ширина спектра оротрона наблюдается в области мак-
симальной мощности генерации, в которой генератор имеет минималь-
ную крутизну электронной перестройки частоты.

2.	Значительные изменения в спектре по зоне генерации наблюдают-
ся в области уменьшения мощности более чем в два раза, в которой од-

Рис. 15. Экспериментальная зависимость выходной мощности генератора
от частоты: а — при равных величинах фокусирующего магнитного поля
и постоянном ра&очем токе /«—195 мА: 6 — при разных величинах рабо-
чего тока и постоянной величине фокусирующего магнитного поля
В—5,25 кГс

новременно с увеличением крутизны электронной перестройки частоты
происходит уширение спектра колебаний.

3.	Уровень амплитудного и частотного шумов оротрона, определяющий
ширину спектральной линии, на порядок ниже, чем в клистроне и резо-
нансной ЛОВО.

Основные параметры выпускаемых приборов приведены в таблице
[42]. Эти приборы являются пакетированными и имеют водяное охлаж-

дение. Они работают при ускоряющих на-  пряжениях 2—4,5 кВ и анодном токе 0,1— 0,2 А. Вес магнитной фокусирующей систе-	№	Рабочий диалавои, ГГц	Выходная мощность, Вт
мы при использовании самарий-кобаль- товых магнитов - до 2-6 кг.	1	36—-42	5—20
Исследования последних лет позволили	Z 3	□и—ои 100—140	1—0 0,2—2
создать лабораторные макеты приборов суб- миллиметрового диапазона, работающих в	4	165—230	0,05—0,5

постоянных магнитах. Имеются лаборатор-

ные образцы приборов, работающих в диапазоне 40 ГГц при КПД около
9%. У приборов, работающих в более коротковолновой области, КПД
составляет единицы и доли процента. Механическая перестройка прибо-
ра на одном типе колебаний при постоянном напряжении достигает 3%

[40]. Электронная перестройка при постоянном расстоянии между зерка-
лами при снижении выходной мощности на 1 дБ изменяется в преде-
лах 0,02—0,04% и зависит от магнитного поля и анодного тока (см.
рис. 15). При комбинированной перестройке, когда при изменении уско-
ряющего напряжения изменяется и расстояние между зеркалами, рабо-
чая полоса частот расширяется до 60% [8, 40, 42].

Иарезанность амплитудно-частотной характеристики прибора во мно-
гом определяется отражениями от концов решетки. Устранение отраже-
ний путем заполнения крайних канавок решетки графитовыми пластин-
ками [8] позволило добиться работы оротрона со сравнительно мало из-
меняющейся мощностью почти во всем диапазоне перестройки.

За последние 10 лет выходная мощность приборов увеличилась в
10 раз; вес приборов снизился в 15 раз [42].

Указанные выше мощности отнюдь не являются предельными, по-

скольку уже первые лабораторные макеты давали импульсную мощность
200 Вт на длине волны 8,25 мм [58, 59].
7.	МОДИФИКАЦИИ ОРОТРОНА

Попытки улучшить выходные характеристики оротрона сводятся, глав-
ным образом, к различным способам снижения пускового тока, что дает
возможность несколько повысить КПД прибора. Конструктивно сниже-
ние рабочих токов осуществляется либо за счет использования отражен-
ного от коллектора электронного потока [43, 44], либо путем равномер-
ного осаждения электронного пучка на отражающую решетку с помощью
искажения тем или иным способом фокусирующего магнитного поля вбли-
зи решетки [45].

Кроме колебаний, рассмотренных выше, в оротроне возможны [10г
47] колебания, обусловленные взаимодействием между электронным пуч-
ком и обратной волной, содержащейся в поверхностной волне решетки
(режим ЛОВ). На пушечном конце отражающей решетки помещают
согласованный вывод энергии, и путем изменения положения зеркал
открытого резонатора можно выбирать любой из этих двух типов колеба-
ний. Такой прибор назван ледатроном [10]. На этом принципе можно пре-
образовывать (умножать) частоту в миллиметровом и субмиллиметровом
диапазонах длин волн [48]. Замедляющей системой ЛОВ в этом случае
служит периодическая структура открытого типа, например гребенчатая;
открытый резонатор оротрона образован двумя зеркалами, одним из ко-
торых служит та же периодическая структура [49]. При взаимодействии
пучка с поверхностной волной структуры (режим ЛОВ) возникают гар-
моники тока, и если одна из них окажется синхронной с одним из собст-
венных колебаний открытого резонатора, то последний эффективно воз-
буждается этой гармоникой тока. Такой гибридный прибор может рабо-
тать в неавтономном режиме, когда замедляющая система возбуждается
внешним источником электромагнитных колебаний и весь прибор рабо-
тает как обычный умножитель частоты, и в автономном режнме, когда
замедляющая система вместе с пучком работает в режиме обычной или
резонансной ЛОВ как автогенератор, а открытый резонатор возбуждает-
ся на частоте одной из гармоник генерации и весь прибор работает как
источник колебаний с более высокой частотой.

В работе [62] показано, что в результате конкуренции колебаний
ЛОВ и оротрона в автономном режиме происходит ограничение диапазо-
на перестройки оротрона со стороны коротких волн и возникают скачки
амплитуды и гистерезпс.

Приборы гибридного типа обладают более сложными свойствами, од-
нако эти приборы представляются нам перспективными, поскольку
открытые периодические структуры работают в качестве замедляющих
систем для ЛОВ во всем миллиметровом и значительной части субмилли-
метрового диапазонов, а открытые резонаторы по существу не имеют-
частотных ограничений при укорочении длины волны.

Для генерирования больших мощностей предложена конструкция ко-
аксиального оротрона [50], пока еще не опробованная; возможны и дру-
гие конструкции, использующие основное свойство открытого резонато-
ра — большой объем, занятый переменным полем. Генератор с открытым
резонатором можно создать на основе полупроводниковых диодов, заме-
няющих электронный пучок; опубликованы первые экспериментальные
результаты [51], полученные с диодом Ганна восьмимиллиметрового диа-
пазона. Однако последнее направление лежит вне пределов данного об-
зора. Вне пределов нашего обзора остается также применение открытых
резонаторов в гиротронах и родственных им приборах, приведшее к
важным практическим результатам [52—55].

Особое место занимают релятивистские оротроны, практическое осу-
ществление которых (как и других релятивистских сверхвысокочастот-
ных приборов) стало возможным с появлением сильноточных электрон-
ных ускорителей. К настоящему времени теоретики исследовали (см.
[63]), по-видимому, все возможные механизмы фазировки релятивист-
ских электронов и выявили влияние сильного релятивизма (энергия элек-
тронов существенно больше их энергии покоя) на функционировани»
электронных приборов. Расчет приборов типа О и в частности релятиви-
стских оротронов (на простейших моделях) проведен в ряде работ
[84-87].

Релятивистские приборы позволяют достичь рекордных мощностей.
Ряд экспериментальных результатов, а также ссылки на другие работы,
можно найти в [63].

В последние годы были созданы лабораторные образцы релятивистских
оротронов, генерирующие в миллиметровом и сантиметровом диапазонах.
Первые результаты [68] относились к осесимметричной конструкции (по-
лый цилиндрический пучок в отрезке многоволнового цилиндрического
волновода с гофрированной стенкой), где на волне 9 мм достигнута мощ-
ность около 70 МВт; эта конструкция радикально отличается от тради-
ционного оротрона. Несколько позже [69] в релятивистском оротроне с
двухзеркальным открытым резонатором на волке 2,4 см получена мощ-
ность 300 МВт с КПД около 14%.

Интересно отметить, что в релятивистской электронике практически
важен механизм фазировки типа О, который реализуется при наличии
чисто поперечной электромагнитной волны и сильно развитого попереч-
ного движения электронов, например при их винтовом движении под дей-
ствием периодического магнитостатического поля или циркулярно-поляри-
зованной волны накачки. В этом случае получаются (по крайней мере,
при е<1, т. в. при малых КПД) соотношения (15) и другие уравнения
классических приборов типа О, однако безразмерные переменные и па-
раметры определяются иначе [70].

ЗАИЛЮ ЧК11И.Е

Теоретические и экспериментальные исследования открытых резона-
торов стимулировались, главным образом, развитием оптических кванто-
вых генераторов. Однако в миллиметровом и субмиллиметровом диапазо-
нах применение открытых резонаторов (наряду с другими квазиоптиче-
скими устройствами) столь же плодотворно: оно приводит к результатам,
которые нельзя получить с помощью традиционных «закрытых» систем
как в электронике, так и в измерительной технике. Оротрон является од-
ним из ярких примеров, подтверждающих этот тезис.

Подводя итоги всем проведенным исследованиям и разработкам, нель-
зя не отметить скудость экспериментальных фактов, относящихся к элек-
тронным процессам в оротроне. Необходимо шире развернуть экспери-
ментальные исследования и разработку оригинальных конструкций, по-
скольку применение открытых резонаторов в электронике сверхвысоких
частот создает новые возможности даже при использовании старых ме-
ханизмов взаимодействия электронов с полем.

Авторы благодарны Русину Ф. С. за обсуждение этой работы и цен-
ные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Русин Ф. С., Воеомолов Г. Д. Электронный прибор для генерации н усиления
колебаний миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов волн. А. с.
№ 195557.- Опубл, в Б. И. 1967, № 10, с. 49.

2.	Болотовский В. М., Воскресенский Г. С. Успехи физ. наук, 1968, т. 94, вып. 3,
о. 377.

3.	Русин Ф. С. Оротрон — генератор электромагнитных колебаний с открытым резо-
натором и отражающей решеткой: Дне. на соискание уч. ст. канд. фив.-мат. наук
М.: ИФП АН СССР, 1967. 137 с.

4.	Русин, Ф. С. В кн.: Электроника больших мощностей. М.: Наука, 1968, сб. 5,
с. 9-37.

5.	Русин Ф. С., Воеомолов Г, Д. Там же, с. 38—44.

'6. Русин Ф. С., Богомолов Г. Д. Там же, с. 45—58.

7;	Воеомолов Г. Д. Исследование оротрона в миллиметровом и субмнллнметровом
диапазонах: Дне. на соискание уч. ст. каид. йиа.-мат. наук. М.: ИФП АН СССР,
1968. 123 с.

8.	Шестопалов В. П. Дифракционная влектроника. Харьков: Вища школа, 1976.
231 с.

9.	Mitino К., Ono S., Shibata Y. Scl. Inst. Tohoku Univ. В. Electr. Commun., 1970, № 21,
p. 113.

10.	Mlzlno K., Ono S., Shibata Y. IEEE Trana., 1973, v. ED-20. № 8, p. 749.
11.	Leavitt R. P., Wortman D. E., Dropkin B. IEEE J. Quantum Electronics, 1981, v. EQ-17,
№ 8, p. 1333.

12.	Leavitt R. P., Wortman D. E., Morrison C. A. Appl. Phys. Letters, 1979, v. 35, № 5,
c. 363.

13.	Вайнштейн Л. А., Солнцев В. А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.
М.: Сов. радио, 1973.

14.	Электроника ламп с обратной волной/Под ред. Шевчика В. Н. и Трубецкова
Д. И. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975.

15.	Шевчик В. В. Основы электроники СВЧ. М.: Сов. радио, 1959.

16.	Исаев В. А. В кн.: Лекции по электронике СВЧ. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та,
1972. кн. 6, с. 6-46.

17.	Скрынник Б. К. В кн.: Радиотехника. Харьков: Вища школа, 1975, вып. 34,
с. 133-137.

18.	Булгакова Л. В.,Трубецков Д. И., Фишер В. Л., Шевчик В. В. Лекции по элек-
тронике СВЧ приборов типа О. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974.

19.	Ревин И. Д., Скрынник В. К., Сысоев А. С. и др. Изв. вузов. Радиофизика, 1977,
т. 20, № 5, с. 764.

20.	Ваврив Д. М., Третьяков О. А., Шматько А. А. Радиотехника и электроника, 1978,
т. 23, Xs 11, с. 2354.

21.	Исаев В. А. В кн.: Вопросы электроники СВЧ. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1977,
вып. 10, с. 55—64

22.	Исаев В. А. В кн.: XXXI Всесоюз. научная сессия, посвященная дню радио: Ан-
нотации и тез. докл. М., 1976, с. 27.

23.	Исаев В. А., Трубецков Д. И., Шевчик В. В. Изв. вузов. Радиофизика, 1973, т. 16,
№ 8, с. 1277.

24.	Лопухин В. М. Возбуждение электромагнитных колебаний и волн электронны-
ми потоками. М.: Гостехтеориздат, 1953, гл. 1.

25.	Овчаров В. Т., Солнцев В. А. Радиотехника и электроника, 1962, т. 7, № 11,
с. 1931.

26.	Овчаров В. Т., Солнцев В. А. Радиотехника и электроника, 1962, т. 7, № 12,
с. 2013.

27.	Дейтлин М. Б., Бернашевский Г. А., Котов В. Д., Цицонь И. Т. Радиотехника и
электроника, 1977, т. 22, № 7, с. 1515.

28.	Дейтлин М. Б., Бернашевский Г. А., Котов В. Д., Нутович Л. М. Радиотехника и
электроника, 1979, т. 24, № 6, с. 1164

29.	Белявский Б. А., Дейтлин М. Б., Бернашевский Г. А. Радиотехника и электроника,
1981, т. 26, № 1, с. 155.

30.	Белявский Б. А., Дейтлин М. Б. Радиотехника и электроника, 1980, т. 25, № 5,
с. 1108.

31.	Ревин И. Д. В кн.: II Всесоюз. симп. по миллиметровым и субмиллиметровым
волнам: Тез. докл. Харьков: ИРЭ АН УССР, 1978, т. 1, с. 21-22.

32.	БакОй А. С., Лукин К. А., Шестопалов В. В. Письма в ЖТФ, 1978, т. 4 вьш. 13,
с. 789.

33.	Бакай А. С., Лукин К. А., Шестопалов В. И. Нелинейная нестационарная теория
генератора дифракционного излучения. Препринт № 94 Харьков: ИРЭ АН
УССР, 1978.

34.	Бакай А. С., Лукин К. А., Шестопалов В. В. Изв. вузов. Радиофизика, 1979, т. 22,
№ 9, с. 1117.

35.	Ваврив Д. М., Третьяков О. А., Шматько А. А. Радиотехника и электроника,
1979, т. 23, Xs 4, с. 812.

36.	Лукин К. А. Нелинейная теория генераторов дифракционного излучения: Дис. на
соискание уч. ст. канд. фиа.-мат. наук. Харьков: ИРЭ АН УССР, 1979. 208 с.

37.	Исаев В. А. В кн.: XXXII Всесоюз. научная сессия, посвященная дню радио: Ан-
нотации и тез. докл. М., 1977, с. 85.

38.	Исаев В. А. В кн.: Вопросы электроники СВЧ. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1977,
вып. 10, с. 65-88.

39.	Двык А. И. Изв. вузов. Радиофизика, 1976, т. 21, Xs 6, с. 1216.

40.	Балаклицкий И. М., Курин В. Г., Скрынник Б. К., и др. Электронная техника.
Серия 1. Электроника СВЧ, 1971, вьш. 5, с. 117.

41.	Балаклицкий И. М., Воробьев Г. С., Майстренко Ю. В., Двык А. И. Эксперимен-
тальные исследования качества ВЧ-сигналов генератора дифракционного излу-
чения. Препринт Xs 109. Харьков: ИРЭ АН УССР, 1978.

42.	Шестопалов В. В., Скрынник Б. К., Ревин И. Д. и др. В кн.: III Всесоюз. симп.
по миллиметровым и субмиллиметровым волнам: Тез. докл. Горький: ИПФ АН
СССР, 1980, т. 1, с. 35.

43.	Балаклицкий И. М., Воробьев Г. С., Вагин Г. И. и др. Электронная техника. Се-
рия 1. Электроника СВЧ, 1977, вып. 10, с. 106.

44	Балаклицкий И. М., Воробьев Г. С., Двык А. И., Шестопалов В. В. Докл. АН
УССР. Серия А, 1976, X» 9, с. 822.

45.	Балаклицкий И. М.> Воробьев Г. С., Двык А. И., Шестопалов В. В. Изв. вузов.
Радиоэлектроника, 1977, т. 20, Xs 10, с. 93.

46.	Русин Ф. С., Синенко Л. А. Радиотехника и электроника, 1979, т. 24, X» 7, с. 1397.

47.	Балаклицкий И. М., Курин В. Г., Скрынник Б. К. Укр. физ. ж., 1970, т. 15, № 5,
с 717.

48.	Русин Ф. С., Синенко Л. А., Костромин В. И. Радиотехника и электроника, 1977,
т. 22, № 8, с. 1670.
49.	Богомолов Г. Д., Бородкин А. И., Кущ В. С. и др. Электронная техника. Серия 1.
Электроника СВЧ, 1970, вып. 1, с. 97.

50.	Нефёдов Е. И. Изв. вузов. Радиофизика, 1977, т. 20, № 11, с. 1740.

51.	Бородкин А. И., Булгаков Б. М., Матвеева В. А. и др. Письма в ЖТФ, 1979, т. 5,
вып. 9, с. 285.

52.	Гапонов А. В., Петелин М. И., Юлпатов В. К. Изв. вузов. Радиофизика, 1967, т. 10,
№ 9—10, с. 1414.

53.	Зайцев Н. П., Панкратова Т. Б., Петелин М. И., Флягин В. А. Радиотехника и
электроника, 1974, т. 19, № 5, с. 1056.

54.	Кисель Д. В., Кораблев Г. С., Павельев В. Г. и др. Радиотехника и электроника,
1974. т. 19, № 4. с. 782.

55.	Власов С. Н., Загрядская Л. И., Орлова И. М. Радиотехника и электроника, 1976,
т. 21, № 7, с. 1485.

56.	Русин Ф. С., Костромин В. П. Радиотехника и электроника, 1976, т. 21, № 7,
с. 1480.

57.	Костромин В. П., Русин Ф. С. В кн.: Радиотехнические измерения. М.г
ВНИИФТРИ, 1973, с. 104-108.

58.	Rusin F. S., Bogomolov G. В. Proc. IEEE, 1969, v. 57, № 4, p. 720.

59.	Русин Ф. С., Богомолов Г. Д; Вест. АН СССР, 1968, № 10, с. 72.

60.	Денисов А. И., Чайка В. Е. Иав. вузов. Радиоэлектроника, 1972, т. 15, № 8, с. 1022.

61.	Денисов А. И., Рапопорт Г. П. Иав. вузов. Радиоэлектроника, 1972, т. 15, № 3,
с. 296.

62.	Ермак Г. П. Докл. АН УССР. Серия А, 1982, № 2, с. 52.

63.	Релятивистская высокочастотная электроника/Отв. ред. Гапонов-Грехов А. В.
Горький: ИПФ АН СССР, 1979, 1981.

64.	Петелин М. И. В кп.: Лекции по электронике СВЧ. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та,
1974, кн. 4, с. 179-208.

65.	Кротова 3. П., Чертков Ю. С. Иав. вузов. Радиофизика, 1974, т. 17, № 3, с. 413.

66.	Ковалев Н. Ф., Петелин М. И., Райзер М. Д. и др. В сб. [63] 1979, с. 76—113.

67.	Братман В. Л., Гинзбург Н. С., Ковалев Н. Ф. и др. В сб. [63] 1979, С. 249— 274.

68.	Александров А. Ф., Галузо С. Ю., Канавец В. И. и др. Письма в ЖТФ, 1981, т. 10,
вып. 10, с. 587.

69.	Зайцев Н. Щ, Ковалев Н. Ф., Кольчугин Б. Д, и др. Письма в ЖТФ, 1982, т. 8,
вып. 15, с. 911.

70.	Вайнштейн Л. А. ЖТФ, 1979, т. 46, вып. 6, с. 1129, 1137.
СПОНТАННОЕ И ИНДУЦИРОВАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ
ЭЛЕКТРОНОВ

Л. А. Вайнштейн

В квантовой электродинамике хорошо известны соотношения, свя-
зывающие спонтанное и индуцированное излучение связанных элект-
ронов (имеющих дискретный энергетический спектр). В данной статье
аналогичные соотношения выведены для свободных электронов (с не-
прерывным энергетическим спектром), пролетающих через добротный
резонатор, энергетический спектр которого дискретен. Дан анализ этих
соотношений, записанных в классической и квантовой формах, и при-
ведены примеры их применения.

Введение

В последние годы опубликован ряд работ, в которых индуцированное
излучение электронов, движущихся в вакууме под воздействием статиче-
ских полей, связывается с их спонтанным излучением, т. е. с излучением
в отсутствие переменных полей [1—4], однако достаточно полное и общее
рассмотрение этого вопроса в литературе отсутствует. В данной работе
этот пробел заполнен применительно к резонансным автогенераторам, т. е.
к объемным или открытым резонаторам., пронизываемым электронными
потоками. Вначале рассматриваются прямолинейные электронные потоки
и на этом простом примере демонстрируется связь индуцированного излу-
чения со спонтанным, с одной' стороны, и связь между классической
и квантовой теорией излучения и поглощения — с другой. Бблее общие
результаты (для криволинейных электронных потоков) получаются с по-
мощью квантовой теории.

Применение квантовой теории к сугубо классическим задачам вакуум-
ной электроники объясняется тем, что в квантовой электродинамике все
три процесса — спонтанное излучение, индуцированное излучение, погло-
щение — жестко связаны простыми соотношениями, которых в классиче-
ской теории нет; кроме того, в квантовой теории легко проводятся усред-
нения, которые при классическом подходе требуют громоздких выкладок.
Поскольку в получаемых квантовых формулах важен лишь классический
предел, для релятивистских электронов нет необходимости применять
уравнение Дирака, а достаточно релятивистское уравнение Шредингера
для бесспиновых частиц (или, что то же, уравнение Клейна — Гордона
или Клейна — Фока), что ведет к существенным упрощениям. Они обу-
словлены и тем, что взаимодействие электронов (в частности поле прост-
ранственного заряда) не учитывается. Но группировка электронов в поле
резонатора учтена, хотя рассматривается один электрон. Дело в том, что
электрону приписывается случайная начальная фаза, по которой прово-
дится усреднение. Это позволяет вычислить коэффициент затухания или
нарастания колебания в резонаторе со сплошным электронным пучком
(разд. 2).

1.	Классический расчет для прямолинейных
электронных траекторий

Как известно, равномерно и прямолинейно движущийся электрон в сво-
бодном пространстве (вакууме) не излучает. Однако при пролете через
резонатор электрон возбуждает в нем волновые поля, оставляя в резона-
торе часть своей энергии. В резонаторах реализуется как переходное излу-
чение, так и излучение Вавилова — Черенкова (для резонаторов, запол-
ненных диэлектриком) или сходное с ним излучение Смита — Парселла
(для резонаторов с периодической структурой). Во всех случаях излуче-
ние можно вычислить, используя теорию возбуждения резонаторов.

Пусть электрон, движущийся равномерно по оси z, на отрезке 0<z<£
возбуждает объемный резонатор, т. е., вообще говоря, все собственные ко-
лебания резонатора. Рассмотрим какое-то одно колебание с комплексной
собственной частотой	где коэффициент затухания ш3" опре-

деляется омическими потерями в оболочке и отводом энергии в нагрузку:
при достаточно высокой добротности Qa=ia,’влиянием этих обстоя-
тельств на распределение полей можно пренебречь и считать комплексные

Рис. 1. Электрон в объемном ре-
зонаторе (частью его оболочки
может быть периодическая струк-
тура)

Рис. 2. Функции R, и F,
при ы,"Т«1

векторные амплитуды Е,(г) и Н,(г) такими же, как если бы s-e собствен-
ное колебание было незатухающим.

Электрон, равномерно движущийся по оси z, создает ток, плотность ко-
торого имеет единственную составляющую

где е — заряд электрона, и — его скорость, te — момент, когда он находится
в точке z=0, т. е. влетает в резонатор (рис. 1). Используя ортогональность,
собственных колебаний

f E.EZ dV= J Н,Н, ' dP=4«2V.6,.-,	(2)

где

TV, = JLJ |E,|*dV	(3)

4л

— норма s-ro колебания, можно рассматривать также колебания в виде бе-
гущих волн, как это принято в квантовой электродинамике. Электриче-
ское поле s-ro колебания по теории возбуждения резонаторов (см., напри-
мер, [6]) определяется выражением

еп

Е = Re{ IE, J e~--—f J jE/e’-* dVdtl.	(4)

2n2v,	0 <i)—<i),	J

Энергия, отданная током (1) полю s-ro колебания за все время проле-
та T^=Llv, дается формулой

Д.И7,— JdvJ/,E,de.	(5)
Элементарные преобразования позволяют записать AolV, в виде

A<JP,= j Я. (со) Я, (о) do,	(6)

о

-где
„ . .	1	о—со,'

Я, (со)	zz/j. 2 11 \	ZZ

лев, l.g, -ri;	со,

— резонаторная функция, при со,"-»-0 обращающаяся в
а Я.(со) — электронная функция, для равномерного движения
имеющая вид

.	e2|Z,(co) |2	f / . со \

Л(со) -------—------, Z,(co) = J Я,.гехр( -I — zjdz,

0	V

где E„t , берется на оси z (x=z/=0).

Поскольку

jfi,(co)dco=l при <2,^*1,

(7)

6 (cd—со,'),
по оси Z

(8)

(9)

применение теорем о среднем к интегралу (6) приводит к простому вы-
ражению

АоЖ,=Я,(со),	(10)

где со->со/ при со/'Т-^О; при со,"7’<1 функция Я,(со) гораздо более мед-
ленная, чем функция Я,(со), см. рис. 2. Условие со,"Я«1 означает, что
к моменту вылета электрона из резонатора лишь незначительная часть
энергии, сообщенная данному колебанию, оказывается утраченной. Поэто-
му такое колебание можно уподобить гармоническому осциллятору без
потерь.

Величина АоЖ, определяет спонтанное излучение электрона при отсут-
стз-jii поля в резонаторе. Применяя те же рассуждения к произвольному
дв;: т- нию r=r(t) в резонаторе (при 0<Z<T), приходим к тем же форму-
лам (8) и (10), только интеграл /,(ы) принимает вид

т

Z.(co)=fE,(r(0);(0e-‘-dt	(И)

О

Таким образом, если известно движение электрона, обусловленное стати-
ческими полями, то вычисление спонтанного излучения сводится к квад-
ратурам при игнорировании обратного воздействия спонтанно излученного
поля на движение электрона. Оценки показывают, что A0W, составляет
ничтожную долю электронвольта, поэтому обратным действием излучения
можно пренебречь.

Если в резонаторе уже имеется слабое поле

Е—Йе {С,Е,е~1а'),

(12)

то оно изменяет движение электрона и приводит к дополнительному обме-
ну энергией между электроном и полем. Предположим, что в переменных
полях электрон движется только по оси z (обычное предположение для
приборов типа О, оправдываемое наличием сильного магнитостатического
поля или периодической фокусировки). Тогда, полагая t=t0+z/u+6t, для
функции 5t(z) получим уравнение [6]

<F6t
dz1

е

mvs

гео I to +

Rei C,E.tl exp
где правая часть из-за малости амплитуды С. вычисляется для невозму-
щеппого равномерного движения по оси z. С учетом начальных условий
6i=0, d6t/dz=O при z=0 получаем выражение

6/(z) =----——Rei С, ехр(—icof0) J (z—z')E, exp( — i — z ) dz’ к

тлг l	\ v ' J

(13>

Уточненное значение Ег в точке z определяется выражением (12),
в котором надо учесть Ы. Тогда во втором приближении по малой ампли-
туде Са получаем усредненное поле

5Еа — j6E,d(u>t0),	6£z=Re|—i(oC,£?4iIexp[ — ua(te + —-}}} 6/(z)

0	V

в виде
I

bEt = — eC° |C,|2--—Re{z?aiI j	expf — i — (z—z') ] dz'},

2mv Осо < o	L v J J

возникающее вследствие фазовой группировки согласно выражению (13).
Соответствующее приращение энергии W, поля (12) вычисляется по фор-
муле
ь

^W.^-ejlE^dz;	(14)

О

оно равно взятой с обратным знаком работе, произведенной усредненным
(по начальной фазе со£0) полем над одним электроном на отрезке 0<z<L_
В результате получаем

W dF

4<о),	(15}

mv аа>

где функция F,(со) определяется формулой (8). Величина АДУ,, пропор-
циональная энергии колебания Wa='/2\Ca\2Na, дает нам индуцированное
излучение электрона (усредненное по его случайной начальной фазе at0)
в первом неисчезающем приближении теории возмущений. Полное при-
ращение энергии в этом приближении равно сумме:

bW.=b0W.+btW..

2.	Основное соотношение в классической
и квантовой формах

Соотношение (15), связывающее индуцированное излучение со спон-
танным, можно упростить, если учесть, что функция F, зависит не только
от частоты, но и от энергии электрона ^’=*/2тпи1. Записывая Fa как
Fs(<i), <?Г) и учитывая формулу (8), легко преобразовать соотношение (15)
к виду

dF.

(16)
о <5

В этом виде оно справедливо и для релятивистских электронов, поскольку
для них в формуле (15) вместо щ надо взять ту3 (продольную массу),
а в формуле (16) положить <?Г=пгс2у, где "f=(l—о2/с2)_,/1.

Как показано далее, соотношение (16) применимо и к электронам, про-
летающим через резонатор по произвольным траекториям. Квантовая фор-
тиа соотношения (16) имеет вид

bW,= (n.+l)F.(cd, 8)-n,F,(n, <Г+М,	(17)

где п, — число фотонов в s-м колебании, а 4? — энергия электрона в стати-
ческих полях, формирующих его траекторию; S =const в отсутствие пере-
менных полей. При йсо-»-0 квантовое соотношение (17) переходит в клас-
сические соотношения (10) и (16), если учесть, что W,=n.fta. Применяя
соотношение (16) и пользуясь общей формулой (И), можно найти инду-
цированное излучение (или поглощение, если dF,/dS’>0), не входя в де-
тали взаимодействия электрона с полем.

В электронике соотношение (16) можно применить для расчета пуско-
вого тока. Если умножить обе части (16) на Jf — число электронов, посту-
пающих в резонатор за единицу времени со случайными фазами (Д=//е,
где J — ток сплошного электронного пучка), то получим мощность, отда-
ваемую электронным пучком данному колебанию. Поскольку мощность,
выделяющаяся в оболочке и нагрузке, равна 2id,"PF5, коэффициент зату-
хания s-ro колебания по энергии при наличии эиектроппого пучка равен

%t=JedF,/d^+2(at".

Генерация возможна при х,<0, когда колебание нарастает. Условие х,=0
определяет пусковой ток.

Теория возбуждения колебаний в открытых резонаторах формально не
отличается (см. [7]) от использованной выше теории для закрытых резо-
наторов. Поэтому все результаты переносятся па электроны в открытых
резонаторах. Надо только иметь в виду, что затухание определяется также
излучением в стороны, а норма (3) обусловлена полем между зеркалами.
В частности, приведенные выше соотношения можно применить к оротро-
ну [8].

Заметим, что классическая теория дает спонтанное излучение в при-
ближении заданного тока (1), а индуцированное — в приближении задан-
ного поля (11). Квантовая теория, т. е. формула (17), определяет суммар-
ное излучение.

3.	Квантовая теория одномерной модели

Если траектория фиксирована, то в классической механике движение
электрона по ней задается (с точностью до направления) его энергией
как если бы он имел одну степень свободы. В квантовой механике соответ-
ствующее состояние электрона обозначим через |Ю. Многомерная модель,
в которой наряду с энергией нужно учитывать другие параметры, рас-
смотрена в разд. 5.

Будем считать оболочку резонатора, непроницаемую для переменного
поля, полностью проницаемой для электронов. Рассмотрим взаимодействие
электрона с s-м колебанием, имеющим и, фотонов в момент t=0. Тогда
при t>0 состояние системы электрон+поле, если ограничиться первым
приближением теории возмущений, определяется выражением

Чг=С|п,>|^Г>+С'+|п,+1>|3’—Й(о>+С-|п,—1>|3’+Ло>>,	(18)

где с=1, С+=С_=0 при t=0, причем для коэффициентов С+ и С- получа-
ются уравнения

ihC—=nt' <^+Й(в

е

тс

1ЙС?+=(и,+1)'л< S-ha>

(19)

Р«А.
Матричные элементы в правых частях (19) не зависят от времени, так
как состояния в правой части (18) имеют одну и ту же энергию. Гамиль-
тониан взаимодействия электрона с волновым полем записан в виде
— (е/?пс)рвА, A=asA,+aJ+A„* — оператор векторного потенциала этого поля,

тсг /	е

Ре = -^Н Р---Ао

0 '	С

А.

с / Асо

io ' 2N,

Е„

S — энергия электрона в статических (классических) полях с векторным
потенциалом А0(г) и скалярным потенциалом Ф(г), р=—grad — опера-
тор импульса; для нерелятивистских электронов в выражении для ре надо
положить <£=тсг.

Рассматриваемая задача об излучении свободного электрона отличается
от аналогичной задачи для связанного электрона тем, что поле имеет
дискретный энергетический спектр, а электрон непрерывный и, кроме того,
тем, что взаимодействие происходит в течение конечного времени Т, за ко-
торое электрон пересекает резонатор.

Вероятность того, что в результате взаимодействия колебание приобре-
тет (потеряет)-один фотон, обозначим через Р+(Р-). Согласно уравнени-
ям (19),

/ ет \г

Р+-(П,+!) — | <«§Г—Йй)|реА/|^> |2,
'men '

( вТ \2

Р-=пА-------) |<^|рвА,-|^+/га>|2,

'тлел '

(20)

и, если положить

P+=(n,+l)F.(o, ^)/Йсо, Р_=п,Р,(а>, ^+Л<й)/Лй),	(21)

мы придем к основному соотношению (17), поскольку среднее прираще-
ние энергии

АТГв=(Р+-Р-)/го.	(22)

Применим формулы (20) и (21) к цилиндрическому резонатору с пло-
щадью поперечного сечения S и длиной L по оси z, полагая

|^> = (L5)-'Aexp [jA(^)z], A(^) = (27n^)'z’/A

(23)

Тогда в каждый момент внутри резонатора будет находиться заряд е, а за
время T=Ljv (v — скорость электрона, ilv=hdkldS) через каждое сече-
ние z=const проходит тот же заряд, е. Для функции F, получается первое
выражение (8), в котором

1^ехр(-1[А(Л-А(^-Ла)]2)^

Z/C (.0 ) о

1.	Г / © \

-► — J E,t, exp	i—zjdV при Лш-*0.	(24)

Чтобы прийти к классической формуле (8), надо взять \$”> не в виде
плоской волны (23), а в виде тонкого волнового пучка, локализованного
вблизи оси z в пределах резонатора. Это можно сделать в силу малости
длины волны де Бройля 2л/А(ЙГ). Для релятивистских электронов форму-
ла (24) примепима, если положить А(<?) = (1/й) (<§Р2/с2—m2c2)'h.
Наряду с соотношением, связывающим индуцированное излучение с»
спонтанным, Мейди [2] вывел соотношение (см. также [5])

_	Л Q ---------

^Г-Г = —— (<ГТ-Г)2,	(25)

связывающее изменение средней энергии электрона с дисперсией его энер-
гии. Здесь S? — конечное значение энергии электрона, а чертой обозна-
чено усреднение по <о£0 (см. разд. 1).

Соотношение (25) легко выводится на основании выражений (21) ~
Обозначим через Р=1—Р+—Р~ вероятность того, что число фотонов не из-
менится. Тогда

&T=SP+ (^-Йй))Р++ (S+ha)P-=S- (P+-P^hv=S-bWs,

что дает закон сохранения энергии

S-ST=\W„	(26>

Поскольку

(^Г-йш) гР++ {S+h<ayP-=Sz+2S (ST-S) +

+ [ (n,+l)F,(©, S) +n,F,(<o, S+fta>)]ha,

TO

(^r-^)*=[(n,+l)F.(©, S)+n,F.(<a, S+hw)]^	(27)

или в классическом пределе

(<?’r-^)2=2ir>F.(co, S).	(28)

Дифференцируя это выражение по S и пользуясь формулами (16) и (26),.
приходим к соотношению (25).

Все эти соотношения, разумеется, справедливы в первом приближении
теории возмущений, когда вероятности Р+ и Р- малы, а Р~1.

4.	Ондуляторное излучение в открытый резонатор
и другие задачи

Рассмотрим открытый резонатор, образованный двумя зеркалами на
расстоянии L друг от друга. Поле собственного колебания вблизи оси z
возьмем в виде циркулярно поляризованной плоской волны:

Et>l=Eoexp(i —z)+... , Е, в=чЕ0 ехр(г —z ) +... (E0>0), (29>
' c '	’	\ c '

где многоточия соответствуют встречной волне, практически ие взаимодей-
ствующей с электронами, но влияющей на норму N,=n~'E02ES, где S —
эффективное поперечное сечение гауссова волнового пучка в пространстве
взаимодействия 0<z<L (рис. 3); на этом отрезке пучок считаем одно-
родным по оси z.

Электрон движется в ондуляторе, магнитное поле которого вблизи
оси z имеет составляющие

НХ=НО cos hez, Hv=Ha sin hoz (h0=2n/l)	(30)

по винтовой линии

’W-J-smtM), y(t) =--^-cos(A0Pt), z(t)=vt
<см., например, [9]), где

1+К2 \ 1;-

и. =с —,
1

X = еН°
home2 ’

тс2^ — энергия электрона. По формуле (11) с точностью до несуществен-
ного фазового множителя имеем

Vj. Т sin Ф/2
/в — — AqZ/ ~ ——
v Ф/2

_ / , . (о	<о

ф —— I Лр + "	—

'	С	V

F. (<*,&) =

L К1 Л/sin Ф/2 V

= д ——----. . I  ------- I

Г 1+К2 S \ Ф/2 / '
где Л=2лс/(1) — длина волны, со-

(31)

Рис. 3. Электрон в открытом резонаторе;
1 - зеркала, 2 - каустика волнового пучка,
3 - траектория электрона, 4 - ондулятор

ответствующая частоте <о, Л^=

=L/l — число периодов магнитного

поля (30); положено и=с всюду, где только можно (считаем ^>1) и от-
брошен (в выражении для /,) член, содержащий большую фазу Ф' =
= ((i)/c+<L>/v—ht)L. Производная

ж. и кг d (sin®/2V

П Г 1+К2 S& d®\ Ф/2 /

(#=mc2-f),	(32)

в которой учтено соотношение дФ/д#’=4лЛ'7<§Г, определяет относитель-
ное уменьшение энергии колебания из-за его взаимодействия с одним
электроном. При £=£ выражение (32) согласуется с формулой (36) вто-
рой работы [9]; последняя формула получена непосредственно, т. е. так
же, как выражение для &1W, в разд. 1.

Следует подчеркнуть, что в этой и других задачах важно не излуче-
ние в свободное пространство, а излучение, которое усваивается собст-
венным колебанием резонатора. В цитированных работах [1—4] наличие
резонатора практически не учитывается, вследствие чего в работе [1]
получено неправильное выражение для коэффициента усиления (просто
связанного с пусковым током, см. разд. 2).

Во многих случаях поле данного колебания радикально отличается
от поля плоской волны. Например, в оротроне плоскопараллельный
электронный пучок проходит над гребенкой, расположенной на плоском
зеркале открытого резонатора [8]. Электрическое поле собственного коле-
бания имеет составляющую

ESiI=Erj ехр(— hoy+ihoz)+.  -,	/i0=2n/Z,

где у=0 — плоскость гребенки, I — период гребенки (ZO.), а многоточием
обозначены несинхронные поля, практически не взаимодействующие с
электронами; норму этого колебания запишем в виде 7V,= (1/4л)£'02Г0,
где Vo — объем, по порядку величины равный объему, занятому полем.
Считая, что электроны в пространстве взаимодействия заполняют объем
0<ж<г0, О<У<Уо, 0<z<L, и обозначая через /(у) распределение пере-
ходного (переменного) тока по оси у, вместо формулы (24) получим вы-
ражение

Vo

r sinФ/2	Г

Д=х_ g-фд X=J f(y)e-^dyt Ф=(лв--------------------)L,
откуда

егИ

F.(w,^)=2nfJf —(
Оо '

sin Ф/2 \2

Ф/2 '

sin Ф/2 V

Ф/2 '

(ЗГ>

(32')

и

ал	. еЧ d /

до	8ц& аФ '

где Se—ХоУо — поперечное сечение электронного пучка, a Jf=L/l — число
периодов; для оротрона дФ/дИ?=nJf/^.

Пусковой ток, вычисляемый с помощью формулы (32'), согласуется с
результатом Русина [8] при пренебрежении пространственным зарядом.
Вместе с тем видно, что между ондуляторным и оротронным излучения-
ми, т. е. между формулами (31) и (ЗГ), (32) и (32'), имеется далеко иду-
щая аналогия (см. также [9]).

Приведем еще без вывода решения двух задач, полученные чисто*
классическим методом. Если электрон движется по окружности в одно-
родном магнитостатическом поле Не с угловой скоростью Q=eH0/mc^ и
если переменное поле резонатора в пределах окружности однородно,
то индуцированное излучение электрона, который через некоторое время
выводится из резонатора, связано с функцией Л(ю, <?), определяющей,
согласно выражению (10), спонтанное излучение, соотношением

а „г	$ дР‘

Д.Ж, = — W.-r£.	(33>

<о д&

Если же нерелятивистский электрон колеблется в потенциальной яме с
основной частотой со0 и взаимодействует с однородным переменным по-
лем резонатора, то

в I F,\

I — .	(34}

О0 'Wo '

Здесь частота w«, вообще говоря, зависит от энергии ЛГ; а>0 не зависит
от <S только для параболической ямы, когда в движении отсутствуют все
высшие гармоники 2w0, Зш0,....

Оба соотношения (33) и (34) отличаются от основного соотношения
(16). С практической точки зрения, отличие невелико: соотношение (33)
обычно применяется при £2«ю, а в правой части (34) дополнительное
слагаемое, пропорциональное dwo/d^*, мало по сравнению с основным.
Однако это отличие имеет принципиальное значение: движение финитно,
квантование приводит к дискретному энергетическому спектру, так что
электрон нельзя считать свободным по данному выше определению. Для
нерелятивистского движения в магнитном поле и для гармонического ко-
лебания в параболической яме уровни энергии даются идентичными фор-
мулами

#.-(n+‘A)*Q и й’п=(п+‘4)Йсо, n=0, 1, 2,... .	(35>

В более общих случаях спектр неэквидистантен, но остается дискретным.

Таким образом, классическая теория «чувствует», что энергетический
спектр дискретен, и приводит к модифицированным соотношениям (33)
и (34). Как показал Гапонов [10], в той же мере классическая теория
учитывает непригодность эквидистантных спектров (35) для получения
индуцированного излучения. Действительно, если Q и ы0 не зависят от 8,
то по формулам (33) и (34) всегда получается Д^.-^О, поскольку
dFJdS>Q.
5.	Квантовая теория многомерной модели

Обозначим состояние электрона в многомерной модели через а>,
где а — совокупность параметров, которые могут изменяться под воздей-
ствием волновых полей; под S ...da будем понимать интегрирование (или
также суммирование) по всем возможным значениям этих параметров.

Примеры непрерывных параметров а: при отсутствии статических
полей — расстояние прямолинейной траектории от оси z или ее угол с
этой осью. В приборах типа О продольное магнитное поле или иная фо-
кусирующая система обеспечивает поступательное движение и финитное
поперечное движение, энергетические уровни которого нумеруются пара-
метрами а (см. конец разд. 4); при отсутствии резонанса поперечное дви-
жение имеет пассивный характер. В приборах типа М (со скрещенными
полями) под а также надо понимать квантованную энергию орбиталь-
ного движения, накладывающегося на дрейф и не попадающего в резо-
нанс с переменным полем.

Для многомерной модели выражение (18) следует заменить выраже-
нием

У=С| п,> |а>+1n,+l> J С+ (i, а)\&-ha, b)db+

+ |n,-l>J C_(b,a)\&+hu,b>db,	(36>

где С=1, С±=0 при t=0, а при t=T

teT

С+ (b, а) = (п,+1)71-<^—Йо, b |р«А,’ I а>,

meh

ieT

С_ (Ь, а) =п,'11-- <.S+йсо, Ъ | р,А, |ЙГ, а>.

men

Отсюда видно, что вероятности (плотности вероятности) переходов

| <#-Йш, Ь|рЛ/|#, а> |г,

(37}

|<<М|РеА,,|#+йш,6>|2,
теп!

сопровождаемых добавлением (+) или удалением (—) фотона, удовлет-
воряют соотношению

Р_(|#,а>-Ч^+/ив,Ь>)	P+(|gr+ftm,b>-^|g,g>)

п.	“	п.+1	’

Суммируя (интегрируя) по всем конечным параметрам b и усредняя по
всем возможным начальным параметрам а, в результате такого двойного
усреднения получим вероятности Р+ и Р_, зависящие только от ш и #
и удовлетворяющие соотношению (21). Таким путем мы приходим к
квантовой формуле (17) и классической формуле (16), в которых вели-
чины AW. и AjlV, подвергнуты дополнительным усреднениям. Если в
начальный момент колебание резонатора находится не в состоянии |п,>
с определенным числом фотонов, а в каком-либо другом, то после еще
одного усреднения п, заменится на п, — среднее число фотонов.

Аналогичные усреднения проводятся в теории излучения связанных
электронов, имеющих дискретный энергетический спектр (см. например,
[И]), а соотношение (38) аналогично соотношению между коэффициен-
тами А и В, полученному Эйнштейном [12] в 1916 г. и обоспованному
Дираком в работе [13], заложившей фундамент квантовой электродина-
мики.

/ ет \

Р+ (|^Г, а>- |З’-Ло, Ь» = (n,+l) (-г

' men ’

Р_(	а>-* |Й’+Йш, Ь>) =п,
Заключение

Несмотря на простоту полученных выше результатов, они, по-видимо-
му, являются новыми. Отличие данной работы от предшествующих в том,
что исследуется не излучение в свободное пространство, а излучение в ре-
зонатор, открытый или закрытый, с любой структурой поля. Это отличие
ведет за собой важные следствия, в частности аннулируются все законы
сохранения в системе электрон+поле, кроме закона сохранения энергии.
Квантовая трактовка колебаний в добротном резонаторе, проведенная
выше, позволяет с единой точки зрения рассмотреть связь спонтанного и
индуцированного излучений в различных системах, переходя к классиче-
скому пределу (ftco-^O). Классического вывода соответствующего общего
соотношения, как показывают последние два примера в разд. 4, пе суще-
ствует.	________________

Я благодарен Я. Б. Зельдовичу за интерес к этой работе и ценные
замечания.

Литература

1.	Коломенский А. А., Лебедев А. Я.//Тр. X Междунар, конф, по ускорителям заря-
женных частиц высоких анергий. Т. II. Серпухов, 1977. С. 446. // КЭ. 1978. Т. 5.
С. 1543.

2.	Madey J. М. J. // Nuovo Cim. 1979. V. 50В. Р. 64.

3.	Marshall Т. С. Free-Electron Lasers. N. Y.: MacMillan, 1985.

4.	Elleaume P.//Free-Electron Generators of Coherent Radiation Physics of Quantum
Electronics. V. 8. P. 119. London: Addison-Wesley, 1982.

5.	Kroll N. M. I/ Ibid. P. 315.

6.	Вайнштейн Л. А., Солнцев В. А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. М.:
Сов. радио. 1973. С. 37. С. 51.

7.	Вайнштейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.: Сов. радио,
1966. § 67.

8.	Русин Ф. С.//Электроника больших мощностей. № 5. М.: Наука, 1968. С. 9.

9.	Вайнштейн Л. А. Ц ЖТФ. 1979 Т. 49. С. 1129. С. 1137.

10.	Гапонов А. В. //ЖЭТФ. 1960. Т. 39. С. 326.

И. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика.
М.: Наука, 1980. С. 192.

12.	Эйнштейн А. Собр. научи, тр. Т. 3. М.: Наука, 1966. С. 386.

13.	Dirac Р. А. М. //Proc. Roy. Soc. (London) A. 1927. V. A114. P. 243.

Институт физических проблем	Поступила в редакцию

Академии наук СССР	15.IV.1987

SPONTANEOUS AND STIMULATED EMISSION BY FREE ELECTRONS

L. A. Vainshtein

The relationships between the spontaneous and stimulated emission by coupled elec-
trons (with a discrete energy spectrum) are well known in quantum electrodynamics. Si-
milar relationships are derived here for free electrons (with a continuous energy spec-
trum) moving through a high-Q cavity whose energy spectrum is discrete. The re-
lationships written down in both the classical and quantum forms are analyzed, and
examples of their application are presented.
© Член-корреспондент АН СССР Л.А. ВАЙНШТЕЙН

ЭНЕРГИЯ ШОТТА И ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ДИПОЛЯ

Энергия Шотта вводится (см., например, [1,2]) в теории движения заряжен-
ных частиц при учете реакции излучения. Возникающие при этом вопросы (доволь-
но запутанные) легко выяснить, если обратиться к более простой задаче об излуче-
нии диполя.

В 1888 г. Генрих Герц дал строгое решение задачи об излучении элементарно-
го электрического диполя. В современных обозначениях для произвольной времен-
ной зависимости дипольного момента р (t) это решение получается из единственной
компоненты вектора Герца

1 / г
- РМ- “
г \ с

(1) щ

в виде

2 cost?

Ev =0,

(2)

sin д	Г (	т\	г	/	г\	г1 г\1

Ь’а s—z— P\t-~ ) + ~ Р\t— — 1 + —— Р{(-~ J •
г	1\	с /	с	\	с/	с	\ с / J

Н* =

sin . / г \ г ../ г \

——	Г-- I +-pit-- I

cr L \ с / с \ с /

Нг = Н9 = 0,

где г, t>,	- сферические координаты с центром в диполе, 0=0 положительная

полуось г, с - скорость света.

Мощность излучения обычно подсчитывают так. На достаточно больших
расстояниях г (в дальней зоне) полагают

sin t? ../ г \

(3) Е$ =	= —-— Pit—— ),

с г \	с /

поэтому поток вектора Пойнтинга через сферу радиуса г равен

(4)

2(Г. г) = уу-

а следовательно, излучаемая в момент t мощность равна
2

(5)	S(r)= ту [ Р(ОГ
Зе

Существует двоякая физическая интерпретация формул (3)-(5). Первая
принадлежит Герцу и заключается в том, что волновое поле (3) постепенно, по
мере увеличения г, выделяется из полного поля (2), т.е. квазистатическое поле
преобразуется в волновое (отпочковывание электрических силовых линий). При
первой интерпретации функция (5) есть результат экстраполяции от г = 00 к г = 0,
а физический смысл имеет лишь функция (4) при достаточно больших г. Вторая
интерпретация придает волновому полю (3) самостоятельное значение при любых г,
тогда функция (5) определяет мощность, уходящую от диполя в момент t в виде
излучения. Вторая интерпретация неизбежно приводит к энергии Шотта и неадекват-
ным физическим выводам.

Чтобы это показать, положим p(t) =0 при t < 0, р (г) = йр0/2 (Ро = const)
при 0 < t < Т, а при t>T пусть происходят свободные колебания

(6)	p(t) = exp [—се(? Т)]1Л1 coso0(t- T) + Aj sinu0(T- Г)|,

причем p(t) и p(t) непрерывны при t = Т (рис. 1). Для рассмотрения свободных
колебаний нужно от точечного диполя перейти к вибратору Герца, современное
исполнение которого дано на рис. 2: при 0 < t < Т генератор заряжает вибратор,
при t = Т разрез закорачивается и начинаются свободные колебания, сопровождаемые
излучением. Дипольный момент р = el. р = Л, где I - длина вибратора, е и -е - заря-
ды на его концах, J ~ ё - ток, текущий к заряду е. Поле вибратора идентично полю
точечного диполя при условиях <j3Qljc< 1 и г > /.

При г/с < t < Т формулы (2) дают

р0 cos / г1 \	р0 sin d / , г1

(7)	Ег--------------(? - —	—

г3 \ с1 /	2г \ с2

Н.

Ро t sin д

сгг

а при r/c > t поля нет. В выражениях для Ег и Е$ слагаемые, пропорциональные /2,
соответствуют электростатическому полю диполя с изменяющимся моментом ^рог2,
т.е., в сущности, закону Кулона. Выражение для соответствует закону Био-Са-
вара (р0Т = Л). Вторые слагаемые в выражениях для Ег и Е$ возникли из-за того,
что зависит от времени, т.е. вследствие закона электромагнитной индукции
Фарадея; эти слагаемые от t не зависят, тока смещения не дают, поэтому волновое
поле в объеме г < ct не образуется. Однако на сфере г = ct согласно форму-
лам (7) мы имеем

,	Ро sin О

(7') Ег = 0, Ев =	= —-------

в согласии с формулой (3). Таким образом, волновая зона сводится к поверхности
г = ct, объем г < ct - ближняя зона, промежуточной зоны нет.

Ситуация изменяется при t > Т: тогда поле (7) занимает сферический слой
c(t - Г) < г < ct, а при г < c(t - Т) - поле свободных колебаний диполя. С те-
чением времени сферический слой удаляется от диполя, а попе в нем ‘постепенно
преобразуется в волновое, пока при t > Т, г > сТ все поле в слое не будет при-
ведено в соответствие с формулами (7'). На достаточно больших расстояниях за-
висимость принимаемого поля от времени будет иметь вид, схематически изображен-
ный на рис. 3.

Составляющая Ez при достаточно малых значениях г (в ближней зоне)
имеет ввд

3Z2 _ г3	Г2 + г2	2

(8)	Ez =-----------р(Г) -	- р(Г) + — р(0,

г	2с г	Зс

где опущены слагаемые, пропорциональные г, г2 и т.д. Первое слагаемое - электро-
статическое поле, второе - поле электромагнитной индукции, третье - реакция
излучения. Первые два слагаемых обращаются в бесконечность при г = 0, т.е. для
точечного диполя, но для вибратора Герца интеграл по его длине равен

,	е	.	2/	...	2/2	...

(9)	fE, dz	= -	-	-	££+ £г>	&г =	—- р	a—J,

С	Зс3	Зс3

где С и £ - емкость и индуктивность вибратора, а - эдс излучения. Таким обра-
зом, получается уравнение

(10)	LJ + RJ + etc = £ + &г,

где R - омическое сопротивление вибратора.

При t > Т частные решения однородного (£ = 0) уравнения (10) имеют вид
J -Jae~lh3t.где

1

(11)	OJj 2 = ±О>0 - to, Wo = ~ ~	,

vic

К + Ко
2L

2	\2

(а<ы0), Ro = —(------ )

Зс \ с /

Ro - сопротивление излучения вибратора. Эти величины w0 и а фигурируют в фор-
муле (6). Наряду с частотами о>1г2 будет еще частота ш3 = i • Зсэ£/2/2, соответст-
вующая самовозбуждению - экспоненциальному нарастанию тока. Поскольку при

Ь	21 / 21	\

условии а < b < I мы имеем С = —, £ = -z- I In — - 1 I (а - радиус стержня,
2	с2 \ а	/

b - радиус шаров), то

ш31	21

	 = 31п	. Поэтому при самовозбуждении
с-------------еа

не применимо уравнение (10) и частоту следует игнорировать, вместе с тем
функции £ (Г) и р(г) должны изменяться достаточно плавно. В частности, на-
растание слабого видеоимпульса на рис. 3 и его переход к колебательному режиму
должны происходить за время Дг > 1 /|	1 , а поле (7) при г=сГиг=с(?-7’)>0

должно иметь пограничные слои толщиной сД/.
Энергетический баланс при 0 < t < Т, когда &, = О,

d / е2	1	\

(12)	— — + - LJ2 + RJ1 = ал

dt \2С	2	/

показывает, что подводимая к вибратору мощность SJ тратится на увеличение элект-
рической и магнитной энергии кваэистатических полей и на компенсацию омических
потерь, но не на излучение. Формулы (7) это подтверждают. Поле излуче-
ния формируется из этих кваэистатических полей много позже, при t > Т. Короче:
нет реакции излучения - нет и самого поля излучения.

Мощность - вводимую реакцией излучения в поле, можно, используя
теорему Пойнтинга

(13)	- JjE dV = -J /Ег dz = Е(т, г) + W(t, г)

и соотношение (9), представить в виде

(14)	Е(Г,г) + Д»(/,г).

Здесь (V(r г) - электромагнитная энергия, заключенная в сфере радиуса г, Е(г, г) -
поток энергии всего поля (а не только волнового поля (3)) через эту сферу, а
(15) ±W(t. г) = V(r, г) -	£J2)

есть волновая энергия в сфере (полная за вычетом кваэистатической).

В случае кваэимонохроматического поля, когда

(16)	р(г) = A(е gj0 Г) cos [аэ0Г + Ф(еш0Г)], е < 1

(выражение (6) приа< ы0 - пример такой функции р (г)), можно выбрать такое
целое или полуцелое число л, что функция Е(г, иХ0) сведется при 2ял > 1 к функ-
ции (4), а при 2япе < 1 - к функции (5); Хо =	- длина волны, соответст-

вующая несущей частоте ш0. Тогда соотношение (14) переписывается в виде

(17)	-£rJ=E + 7,

2 . ..	2/2	.

где S = - — рр = - — JJ

Зс3 Зе3

- энергия Шотта, в данном случае равная пХ0); она определяет обратимый
поток энергии, в то время как дает поток, уходящий от диполя к бесконечности.

Однако в общем случае разложение мощности - I на слагаемые Е и $ не
имеет физического смысла. В частности, нелепым представляется утверждение, что
при отсутствии реакции излучения (&г = 0) излучение все-таки происходит за счет
уменьшения энергии Шотта (2 = -S): в нашем примере видно, что при 0 < t < Т
поле излучения еше не сформировалось. Можно еще заметить, что при произвольной
функции р (Г) локализовать энергию Шотта в пространстве нельзя: в ближней зоне
ее нет, а в промежуточной и дальней уже сказывается запаздывание.

Институт физических проблем	Поступило

им. С.И. Вавилов!	10 IV 1989

Академии наук СССР

Москве

ЛИТЕРАТУРА

1.	Гинзбург ВЛ - УФН, 1969. т. 98, № 3, с. 568-585.	1 Клепиков Н.П. - УФН, 1985.

т.	146, № 2, с. 317-339.
Член-корреспондент АН СССР|П-А. ВАЙНШТЕЙН|, А.И. КЛЕЕВ

КООПЕРАТИВНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ-ОСЦИЛЛЯТОРОВ

В квантовой электронике кооперативное излучение (или, что то же, коллек-
тивное спонтанное излучение, сверхизлучение Дике) хорошо изучено как теорети-
чески, так и экспериментально [1-3]. Наряду с квантовой теорией этого явления
возможна и полуклассическая [4-6], однако при переходе к чисто классической
теории возбужденных электронов-осцилляторов [7] необходим более детальный фи-
зический анализ полей, создаваемых осциллирующими электронами. В данной рабо-
те исследована фазировка электронов в отсутствие каких-либо внешних полей -
под действием их ближнего поля [12], причем показано, что классическое коопе-
ративное излучение во многом отличается от квантового. Показано также, что инду-
цированное излучение осциллирующих электронов в резонатор, когда фазирующим
полем является поле одного из резонаторных колебаний, может имитировать свой-
ства кооперативного излучения.

Мы исходим из выражения для составляющей ближнего поля электрона,
движущегося по оси z,

(1)

Ez=e

cosiJ	l+cos2tf 2 ...

“V" - ——2--------- 2(f) + “7 2(t) ,

. г2 2сгг	Зс3

которое можно найти у Лорентца [6]. Здесь z(r) - мгновенное положение электро-
на, г - расстояние точки наблюдения до него, •д - угол между осью z и направлением
от электрона к этой точке. Если электрон осциллирует с частотой ы, то выраже-
ние (1) применимо при условии шг/с < 1. Мы предполагаем в дальнейшем, что все
размеры объема V, заполненного электронами, удовлетворяют тому же условию;
тогда все взаимодействия между электронами исчерпываются выражением (1).

Первое слагаемое в квадратной скобке (1) определяет для электронной
системы поле пространственного заряда, второе - поле электромагнитной индук-
ции. Оба поля - реактивные, неоднородные, дефазирующие, зависящие от усред-
ненного распределения заряда в объеме V. Мы пренебрегаем этими полями,
хотя обосновать это трудно; но так почти всегда поступают в электронике. Третье
слагаемое определяет поле активное, однородное, фазирующее, оно обусловлено
излучением.

Уравнения движения системы N линейных осцилляторов под действием поля
излучения имеют вид

(2)	z.k+u2zk=Nte'z (z= - Е zk, к - 1,2,... ,/Vj,
\ N к	/

где te - 2го/3с, г0 - е2/тс2 - классический радиус электрона. Они показывают, что
дипольный момент системы, пропорциональный z, затухает в N раз быстрее, чем при
излучении одного осциллятора. Действительно, после замены z = -о2 Г правая
часть (2) превращается в -Nvz, где v- ш2те - коэффициент затухания по энергии,
определяющий естественную ширину спектральных линий.
Но линейые осцилляторы не способны отдавать свою энергию полю. Введем
нелинейность простейшим путем - добавим в левую часть (2) малое слагаемое
цгк и положим

(3)	zk = aRe(cke"'War),

где а - начальная амплитуда осцилляций, ш<) - начальная частота, зависящая от а,
ск - медленная функция времени. Методом усреднения или разделения частот [9]
преобразуем уравнения движения к виду

dck ,	1

(4)	— + /0(icfel2 - l)ck = -с, c=-Sck,

dT	N к

где

(5)	T = Vi.Nvt, B^Ikuq/Nv, к = 3да2/8оо-

Уравнения (4) применимы к электронам в постоянном магнитном поле и к другим
слабо нелинейным осцилляторам. Иэ них вытекает тождество

(6)	— ।сi2 = —21с Р,	|'с|2 = -Е |ск|2,

dr	N к

являющееся законом сохранения энергии, поскольку энергия электронов & и мощ-
ность излучения 2 определяются формулами

(7)	& = ШУтси2я2 i с I2,	S = J4/V2wna?a2 |с|2.

Система уравнений (4) не поддается аналитическому решению, но некоторые
выводы нэ нее можно сделать без численных расчетов. Эта система имеет тривиальное
решение ск = с = 0 (фазы <рк равновероятны). Это решение, как и сама невоэ-
мущенная электронная система, неустойчиво: малые начальные возмущения экспо-
ненциально нарастают. Это следует из линейной теории, которая строится так же,
как н для индуцированного излучения [7, 10]. Полагая ск «» e~i,fk, |cl < 1, прихо-
дим к линейному уравнению

d2c	de

—_ + — _ jQc = Q

dr1	dr

для величины c~, определяющей дипольный момент электронной системы. Это уравне-
ние имеет решение вида ехр [(-Й +	+ 4й?)т], которое экспоненциально воз-

растает со временем.

Отметим, что наличие дополнительного параметра 0, зависящего как от числа
электронов N, так и от коэффициента неизохронности к, осложняет все зависимости.
Если бы такого параметра в уравнениях (4) не было, то эффективная длительность
высвечивания была бы пропорциональна 1/N, а максимальная мощность излучения -
пропорциональна ТУ2, как это имеет место для двухуровневых атомов [1-3]. Пара-
метр 0, сам зависящий otN, изменяет, хотя и не очень значительно, закон 1/7V (для
длительности) и№ (для мощности), но не они являются определяющими для коопе-
ративного излучения. Определяющим является фазирующее действие ближнего по-
ля - одно и то же в квантовой и классической электронике.	____

В конечной стадии кооперативного излучения величины I ск |2 и k 12 обычно
невелики, поэтому иэ системы (2) следуют (приближенно) линейные уравнения

dc^ .	_	de

	 ~i&ck~—c,	—= — (1—i‘0)c,
dr------------------dr

т.е. величина |c |2 убывает как е_2т. Поэтому после достижения своего максимума
Рис. 1. Зависимость функций 2|с|’ (а) и |ср (б)
от т при fl = 1 (2), 4 (2), 16 (ДМ =36, 6, = 1/20

Рис. 2. Зависимость 2|с|^,ах и г0 от fl, М = 36,
«» = 1/20

величина |? i1 быстро сходит на нет, а согласно тождеству (6) величина I с 12, опре-
деляющая энергию осциллирующих электронов, стремится к постоянному пределу.

Уравнения (4) не учитывают других видов излучения (квадрупольное и выс-
шее мультипольиое, спонтанное излучение каждого электрона в отдельности). Благо-
даря этим более медленным процессам излучение будет продолжаться вплоть до
полного охлаждения электронной системы. Вместе с тем дефазирующие поля, препят-
ствующие формированию когерентного излучения при малой начальной модуляции
(I? | < 1), ускоряют распад кооперативного состояния, когда величина? опять стано-
вится малой.

Систему (4) мы решали численна с начальными условиями

ск = exp[-<(V* + 60cos^)], ф*. = 2яЛ/М, к = 1,2,... ,М,

вместо N реальных электронов беря М машинных, при т = 0 почти равномерно
распределенных по фазам и подвергнутых слабой (бе 1) модуляции. Типичные
графики для величины 2|?|2 (безразмерная мощность излучения) и |с|2 (безраз-
мерная энергия осцилляторов) при различных значениях в даны на рис. 1. Расчеты
показали, что параметр б0, определяющий затравочную модуляцию, слабо влияет на
процесс излучения. При уменьшении б0 происходит незначительное (логарифмичес-
кое) возрастание безразмерного времени то, необходимого для достижения макси-
мальной мощности излучения. Излучение может возникать и при б0 = 0 из машинно-
го шума, однако в этом случае процесс сильно зависит от применяемого численного
метода.

Решение системы (4) зависит, вообще говоря, и от числа машинных элек-
тронов М. Однако при М > 24 дальнейшее увеличение числа частиц практически
не сказывается на форме кривых 2|?|2 и |сР при г ®т0. Зависимость отМ заметна
при т > т0, когда излучение уже незначительно.
Параметр 9 есть отношение двух величин: кы0 (полоса частотной перестройки
осцилляторов) и ViNv (коэффициент затухания синфазных колебаний системы). При
малых 9 затухание препятствует фазировке и кооперативное излучение сходит на нет.
При увеличении 9 безразмерное время То (время установления кооперативного со-
стояния) уменьпвется, а безразмерная мощность излучения 2|с|щах возрастает
(см. рис. 2); увеличивается также кпд излучения, т.е. отношение полной энергии
дипольного излучения к начальной энергии электронов ИМиш2п2 (уже прн 0 > 3
кпд превышает 80%).

Рассмотрим для сравнения индуцированное излучение таких же электронов
в объемный или открытый резонатор. Уравнения движения теперь записываются
в виде

Zfc + w2Zfc +д?|= — Ez, = Re(Cr(f)£r <w’r|,
т

где Ez - компонента резонаторного поля, действующая на электроны и конкури-
рующая с фазирующим полем самих электронов. Введем ск по формуле (3), вос-
пользуемся уравнением возбуждения резонатора током, учтем медленность функ-
ций C/c(t) и Cr(f) н положим

= ewor, Ыг = Ыо(1 + €$),	= */е» « s WQ/2w0>

где сог = о>' - ты" - собственная частота резонатора, = x/tfwp, “
= (4,ne2N/mV)1l2 - плазменная частота, а К - коэффициент связи резонатора с
электронами:

К = \Erz\2Vl4nNr, 4irtf, = /|Er|2dF
(Nr - норма резонаторного колебания). Мы приходим к уравнениям

+|в(,)(|с*12 -l)ck = ic„ +i&r = ic ($ = £'-1$"),

в которых сг = (Л^АГты^а2)1/2^- нормированная амплитуда резонаторного ко-
лебания. Они лишь обозначениями отличаются от уравнений для простейшей модели
гиромонотрона (см., например, [10]).

Поскольку параметр е пропорционален безразмерное время т(г) и пара-
метр 9ir' содержат соответственно множители x/Tv’h l/VJ?вместо N и 1/N. Зависи-
мость от N мощности излучения, пропорциональной I cr 12, также иная.

Прн , f" > 1, когда резонаторное колебание быстро затухает (в мас-
штабе безразмерного времени т(г)), индуцированное излучение по своим свойствам
становится похожим на кооперативное. В самом деле, в этих условиях функции
с, и с связаны простым соотношением сг = (//£")£ после подстановки которого в
уравнения для ск и введения новых величин

т(г) w2



4кыоы"

Wo

получаем уравнения, совпадающие с уравнениями (4). Тогда зависимость всех фи-
зических величин от N становится такой же, как и для кооперативного излучения,
но само излучение остается индуцированным н зависит от параметров резонатора,
йбота [11] посвящена именно такому псевдокооперативному излучению. Подоб-
ные недоразумения встречаются и в квантовой электронике.
В квантовой теории кооперативного излучения показано [1, 3], что уже при
переходе к трехуровневым атомам законы 1/7V и jV2 нарушаются, а кпд излучения
меньше 100%. В нашей задаче, при Лш < йиш’а2, электроны при своем высвечива-
нии проходят через огромное число уровней, поэтому неудивительно, что коопера-
тивное излучение приобретает новые свойства.

Институт физических проблем им. С. И. Вавилов*	Поступило

Академии наук СССР	10 IV 1989

Москва

ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А. Кооперативные явления в оптике. М.:
Наука, 1988. 100 с. 2. Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю,А. - УФН, 1980, т. 131,
N» 4, с. 653-694.	3. Grots М„ Haroche S. - Phys. Rep., 1982, voL 93, № 5, p. 301-396.	4. Же-
лезняков B.B., Кочаровский Вл.В. - ЖЭТФ, 1984, т. 87, № 5, с. 1565-1581.	5. Железняков В.В.,

Кочаровский В.В., Ко<шровский Вл.В. - Изв. вузов. Радиофизика, 1986, т. 29, № 9, с. 1095-1116.
6. Габитов И.Р., Захаров В.Е., Михайлов А.В. - ЖЭТФ, 1984, т. 86, № 4, с. 1204-1216.	7. Гапо-

нов А.В., Петелин М.И., Юяпатов В.К. - Изв. вузов. Радиофизика, 1967, т. 10, W 9-10, с. 1414-
1453. З.Лорентц ГЛ. Теория электронов. Л.; М.: ОНТИ, 1934. 431 с. 9. Вайнштейн ЛЛ.,
Вакман Д.Е. Разделение частот в теории колебаний и волн. М.: Наука, 1983. 287 с. 10. Вайн-
штейн Л.А., Озлнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. М.: Сов. радио, 1973.
399 с. 11. Bonifacio R... Casagrande F. - Nucl. Instrum, and Meth, in Phys. Res., 1985, vol. A239,
№ 4, p. 36-42. 12. Канавец В.И., СтабиннсА.Ю. - Вести МГУ, 1973, № 2, с. 186.
Вайнштейн Л.А.

О ПОЛЕВЫХ И ЭЛЕКТРОННЫХ КОЛЕБАНИЯХ И ВОЛНАХ
В СВЕРХВЫСОКОЧАСТОТНОЙ ВАКУУМНОЙ ЭЛЕКТРОНИКЕ

Как известно, в линейной теории усилительных ламп типа О (ЛБВ и ЛОВ)
нарастающая волна возникает в результате взаимодействия полевой волны -
электромагнитной волны в замедляющей системе - и электронных волн - мед-
ленной и быстрой волны пространственного заряда. Оказывается, что в обычных
условиях, когда затухание парциальной полевой волны больше затухания элект-
ронных волн, нарастающей является электронная волна, фазируемая усиливае-
мой вместе с ней полевой волной; электронная волна сохраняет свою индиви-
дуальность во всем диапазоне взаимодействия. В резонансных автогенераторах
с осциллирующими электронами и в оротроне обычно рассматривают полевое
колебание, подпитываемое электронными колебаниями и создающее стационар-
ную генерацию. Показано, что при некоторых условиях генерация определяется
электронным колебанием, а полевое колебание будет затухающим.

ВВЕДЕНИЕ

Связанные колебания и волны имеют решающее значение в электронике: бла-
годаря взаимодействию поля в электродинамической системе (резонатор, замед-
ляющая линия, волновод) и активной среды (возбужденные атомы в квантовой
электронике, электронные пучки в вакуумной электронике) реализуется усиле-
ние или генерация. В линейном приближении связанные колебания и волны опре-
деляются характеристическим уравнением; обычно это квадратное или кубичес-
кое уравнение, возможны уравнения более сложные. Известно, что при связи пас-
сивных колебательных систем парциальные колебания теряют свою индивидуаль-
ность, переходя при перестройке парциальных частот друг в друга (см. § 4).
Но если одна из этих систем - активная, то, как показано в работах Железнякова
с соавторами [1], перехода одного парциального колебания в другое не происхо-
дит, так что одно из связанных колебаний по существу является электронным,
а другое - полевым. При этом оказывается, что нарастающим во времени являет-
ся то колебание, которое при отсутствии взаимодействия является более доб-
ротным.

Эти результаты работ [1] относятся к связи двух колебаний, приводящей к
квадратному характеристическому уравнению. В данной работе аналогичные ре-
зультаты получены для приборов с кубическим характеристическим уравнением,
широко распространенных в сверхвысокочастотной вакуумной электронике.

Исследуя резонансные автогенераторы сверхвысокочастотной вакуумной элект-
роники, можно поставить следующий вопрос: при каких условиях генерируемое
колебание является ’’полевым” - в том смысле, что его следует трактовать как
резонаторное колебание, подпитываемое колебаниями электронного пучка, а
когда его следует считать ’’электронным”, т.е. обуспрвленным когерентными
колебаниями электронов, фазируемыми резонаторным' полем? Этот вопрос рас-
смотрен ниже в рамках линейной теории для оротрона (§ 1 и 2) и для резонатора
с осциллирующими электронами (§ 4). В § 3 с тех же позиций разобраны волны
в усилительных лампах с обратной или с бегущей волной. Обобщение на другие
приборы представляется довольно очевидным.
1. ПОЛЕВОЕ КОЛЕБАНИЕ В ОРОТРОНЕ

Линейная теория оротрона (и любой резонансной ЛБВ типа О,использующей од-
но колебание резонатора) базируется на уравнении для переменного тока в пучке

(О

+

J(z) - - JOJ —— Cr&r(z)
4ir

и на уравнении возбуждения

I L

(2)	i(w - cor)Q = —— f J(z)&r(z)dz.

2Nr о

Предполагается, что поле резонатора и плотность переменного тока в пучке заданы
в виде

(3)	Е = Re {CrEre~iw,l, j2 = Re[ ф(х, y)J(z)e~lQJt I ,

где функция ф(х, у), определяющая поперечное распределение тока в пучке,
удовлетворяет соотношениям

(4)	/^dSi=l,	J| ф |2dSi= t/S,

S - эффективное поперечное сечение пучка, а

(5)	£r(z) = /Ег	‘dSj_

- эффективное поле резонатора в данном сечении пучка, по которому и произво-
дится интегрирование. Остальные обозначения:	= yj^-ne^n/m - плазменная

частота, п - концентрация электронов, постоянная в объеме пучка, сц? =\/Г <ор -
частота колебаний электронов в пучке, Г - коэффициент депрессии кулоновских
сил, предполагаемый положительным и постоянным, v - скорость электронов,

(6)	Nr = -!-/| Ег |2dH

4тг

- норма колебания в резонаторе, имеющего комплексную частоту wr = ы’г - iw,.
Добротность Qr = со'г/2о)г предполагается достаточно большой и используется
та форма теории возбуждения, в которой норма (6) положительна.

<и

Решение уравнения (1) при начальных условиях 7(0) = 0, -----(0) = 0 (не-

dz

модулированный пучок на входе z = 0 пространства взаимодействия 0 < z < £)
имеет вид

2

(7)	J(z) = --^SCrhr(z')[eih+{2-2,) -e‘h-(2-2,)]dz',

где й+ = (gj +	- волновое число медленной, а = (со - wg)/u - быстрой

волны пространственного заряда. Подстановка выражения (7) в уравнение (2)
дает соотношение

/о\	_ 	$ г г <?•/ \ о Z к г	fb-fz-z'), , , ,

(8)	w-wr = j —---------— //&r(z)&r(z ) fe -e ]dzdz ,

lonajg wvroo

которое обычно рассматривают как явное выражение для комплексной частоты
gj = gj - г'ш", с которой происходят колебания в системе резонатор - пучок.
Наибольший интерес представляет коэффициент затухания со". Полагая

(9)	£r(z) = £oe<M (hr>0),
получаем

(9')

ft	If

СО = CJr —

К Г / sin Ф+/2\х	/ sin Ф_/2 \2

——сосопТ I--------) —(---------I

8>/Г Р К Ф+/2 / к Ф_Д /

Ф± = (й± - hr)L.

Если же положить

(10)	&г(2) = &0е-^£-г>+'^

и считать е-д£ пренебрежимо малой величиной, то

(10')	р-  " _	П	14	/у,  СО = СОг	СОСОр 1  4д/Г	Г	
		. 1 со - СОд I2	1 со -сой |2 .

где

(11)	COfl = СОе - COg, CJb = СОе + Uq, Ые = CJe - i<J’e - v(h r - щ).

В формулах (9') и (10') К = I 60|2 V/4irNr есть коэффициент связи пучка с резо-
натором, причем в формуле (9') V = SL - эффективный объем пучка, Т = L/v -
время пролета, а в формуле (10') - V = S/2д и Т = Циц, поскольку эффектив-
ное взаимодействие происходит на расстояниях порядка 1/д от конца z = L.
Через сое обозначена частота электронных колебаний в поле (10). Действительно,
при заданной частоте со электронное волновое число й^ = ы/v (см. § 3), а при
заданном волновом числе h электронная частота сое = ий; в данном случае h =
= hr - /д, причем для оротрона обычно hr = 2тт/1, где / - период гребенчатой
структуры, а коэффициент затухания со" = 1/Т, где Т - эффективное время
пролета.

Формулы вида (9') и (10’) определяют при со" = 0 пусковой ток (см., напри-
мер, работу Русина [2]). Физический смысл этих формул довольно прозрачен:
медленные колебания электронов (с частотой сов) уменьшают коэффициент за-
тухания и при достаточно большом токе приводят к со" < 0, т.е. к нарастанию ко-
лебания, быстрые колебания (с частотой со^) увеличивают затухание. Но эти
формулы имеют ограниченную применимость - при условии | со"|Г<С 1, в против-
ном случае частоту со, входящие в правые части (9') и (10*), нельзя считать ве-
щественной. Это произойдет при достаточно большом токе. Чтобы получить более
полное решение, надо соотношение (8) рассматривать как уравнение для часто-
ты со, которая входит и в правую часть уравнения.

2. ЭЛЕКТРОННОЕ КОЛЕБАНИЕ В ОРОТРОНЕ

Для распределения (9) синхронного поля (йг * co/и) в резонаторе правая часть
(8) будет довольно громоздкой. Объясняется это нелокальной связью тока J(z)
с полем Cr£r(z): в пучке под действием скачкообразного поля наряду с ло-
кальной частью тока, пропорциональной и чисто реактивной, возбуждаются
две волны пространственного заряда, которые и определяют обмен энергией меж-
ду полем и электронами. Распределение (10) соответствует ’’мягкому входу”,
для которого уравнение (8) принимает вид

(12) (со - сог) [(со - сое)2 - со2 ] = у Ксосо2,

причем квадратную скобку в силу соотношений (11) можно записать как
(со - соа)(ш - сой); перенося ее в правую часть и вычисляя со” при вещественной
со в правой части, возвращаемся к выражению (10').

С помощью подстановки

(13) cor = сое (1 + €<)> со = we (1 + етг), е = ^Ксосор/2со’ = x/X'cOp/lco1
Рис. 1. Вещественные (а) и мнимые (б) части комплексных корней ч= л1 - In” уравнения
(14) прио= 1,4" = %

Рис. 2. Вещественные (а) и мнимые (б) части комплексных корней п = ч' - уравнения
(14) при а= 2,4" = %

уравнение (12) преобразуется к виду

(14)	(р-i)(p2 -о2)= 1, о = ы(7/еы,
где е - параметр усиления (обычно малый), о - параметр пространственного за-
ряда. Положим f = f' - if": тогда f’ - параметр расстройки парциальных частот
ыг и ы’е, a f' - параметр затухания (при f" > 0 мы имеем со, > со'ё., а при
f" < О будет со" < ы'ё). Частота ш соответствует нарастающему колебанию,
если — ШеСТ)" >

Кубическое уравнение (14) совпадает с характеристическим уравнением ЛОВ
в безразмерной форме, а при замене f на -f и р на -ri - с таким же уравне-
нием для ЛБВ ([2], с. 129). На рис. 1 и 2 даны корни уравнения (14) при f" =
= % и о = 1 и 2. Видно (рис. 1,а и 2,а), что при всех f' величина pi « - о,
т.е. корень р2 соответствует медленному электронному колебанию, для кото-
рого максимальное значение —pi* достигается при pi «pi (рис. 1,6 и 2,6).
В этом случае нарастающим может быть только электронное колебание.

Изменим теперь знак f", тогда рис. 1,а и 2, а не изменятся, а рис. 1,6 и
2,6 ’’опрокинутся”, т.е. знаки р", pi', рз изменятся на обратные. В этом случае
нарастающим может быть только полевое колебание (при f'^0). Таким об-
разом, в конкуренции полевого и электронного колебаний побеждает более
долгоживущее, т.е. имеющее наибольшее характерное время: для поля - это
время затухания Тг=11ы'г, для электронов - время пролета Te=l/v(i. Та-
кие же времена определяют частоту стационарной генерации :

СО.ТГ + <x)L т.

(15)	ш»--------------

Гг + Т,
так что при <Je Ф частота ш ближе к той парциальной частоте, которую
имеет более добротное колебание ([3], с. 44).

Нарастающее колебание, как бы мы его ни назвали, возникает из-за связи
электронов и поля: вопрос лишь в том, колебание какой подсистемы являет-
ся лидирующим: от этого зависит распределение полей в развитом режиме
генерации, нуждающееся в специальных численных расчетах.

В дополнение к дисперсионным зависимостям сравним между собой поле
пространственного заряда и поле резонатора (усредненные):

4тгГ

(16)	Fe =-----J и Fr = Cr&r,

iwS

а также энергии

тг L f v dJ 2 л \	1

(17)	— Д-----------------— +Г|Л2 )dz и Wr = ^Cr\2N.,

I oj | S о \ dz	/	2.

содержащиеся на частоте ш в электронном пучке (We) и в резонаторе (И'г).
В выражении для We функция J = J ехр (- iuz/v); энергия We складывается из
кинетической энергии электронов на частоте со, т.е. в системе координат, дви-
жущейся со скоростью и, и из их потенциальной энергии в переменном поле
пространственного заряда ("второй закон сохранения в электронных потоках”,
см. [3], с. 344-345). Переходя к безразмерным параметрам, получаем

(18)	|Fe/F,| = a2|r}-f|, H/e/JVr = e(|Tjl2+o2)St?-|12

и, в частности,

(19)	\Fe/Fr\ = a/2, We/Wr = ta при а«—{•>! и

Видно, что отношение Fe/Fr зависит от параметра а, а отношение энергий
We/Wr обычно мало. Поэтому рассмотренные выше колебания можно наглядно
представить себе как результат связи между двумя резонаторами - большим
пассивным и малым активным. Но главную роль играют не поля и не энергии, а
характерные времена.

3. ВОЛНЫ В лов И ЛБВ ТИПА О

Обозначим через h,. волновое число синхронной волны (пространственной гар-
моники) в лампе с обратной волной, а через Л - волновое число каждой волны в
системе с электронным пучком. Полагая

(20) Л, = йе(1+Ф, Л = Ле(1+ет/), е = х/А’^/2ш3 * 5,

получаем уравнение (14). Здесь he = ш/и > 0, ш > 0 - частота усиливаемого сигна-
ла, К > 0 - коэффициент связи синхронной волны с пучком. Поскольку волна с
волновым числом Лг - обратная, то при учете потерь в линии {=£'- i%",	> 0

и поэтому, согласно § 2, нарастающая волна, у которой n = ii' - in", 1?" < 0, всегда
является электронной.

В лампе с бегущей волной все волны - прямые, поэтому в выражениях (20)
надо положить | |' + j|", q = jf + in". При наличии потерь в линии |" > 0, а для
нарастающей волны п" < 0. Характеристическое уравнение (14) изменяется, в
его правой части вместо 1 стоит -1, поэтому все корни для ЛБВ получаются из
уравнения (14) для ЛОВ заменой $ и л на -f и —т). Таким образом, в ЛБВ
усиливается только электронная волна.

В обоих случаях электронная волна, забирающая энергию из электронного
пучка, включает в себя нарастающее поле, которое фазирует электроны.
4. КОЛЕБАНИЯ В РЕЗОНАТОРЕ
С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ

Теория электронов-осцилляторов развита в работе Гапонова, Петелина и Юлпа-
това [4] (см. также [3], с. 370). Пусть электроны осциллируют по оси х в одно-
родном переменном поле с единственной составляющей электрического поля
(21) Ex = RelCrEoe~l^4,

причем это поле принадлежит к собственному колебанию резонатора с частотой
= cor - ia>r и нормой > 0. В результате фазировки возникает переменный
ток с плотностью

= Re 1а(щ) I,

где о(ш) - комплексная проводимость электронного облака, связанная с его
комплексной диэлектрической проницаемостью

0ш₽

(22)

е(о>) = 1

aw*

co(w - aje) (ш - а>е)2

соотношением o(gj) =	- 1]/4л. Здесь = а>0 - tv - комплексная

частота электронных колебаний (ш0 - основная частота колебаний в статических
полях, 1/р - среднее время взаимодействия электронов с полем), численные
коэффициенты а и 0 зависят от характера невозмущенных колебаний электронов:
для гармонических осцилляторов а = Й, 0 = 0, а для ангармонических можно счи-
тать а = 0, поскольку выражение (22) применяется при gj а тогда основным
будет слагаемое, пропорциональное 0; как и выше, плазменная частота элект-
ронного облака, постоянная в его объеме V.

Уравнение возбуждения резонатора принимает вид

i(w - шг)Сг = o(co)Cr I fol2 VI1Nr,

поэтому для связанных колебаний резонатора и гармонических осцилляторов по-
лучается уравнение

(23)	(ш - ссг) (gj - ссе) = — Кы2р, где К ~ \ Ео\2 V/4TtNr

4

- коэффициент связи. На рис. За приведен график Вина - зависимость частот
связанных колебаний от в отсутствие потерь. Мы видим, что колебание, ко-
торое при сог < а>е было полевым, при сог > становится электронным, и
наоборот, т.е. связанные колебания при симметричном обмене энергией между
пассивными резонансными системами теряют свою индивидуальность. При учете
затухания в парциальных системах связанные колебания всегда затухают. На
рис. 1,а и 2, а график Вина виден при * а, когда полевое колебание взаимо-
действует с пассивным электронным.

В квантовой электронике переход к активной среде изменяет знак правой
части (23) и возникает нарастающее колебание [1]. Вместо графика Вина
(рис. 3, а) получается рис. 3, б, причем при	частоты связанных колеба-

ний комплексны - одно затухает, другое нарастает. Учет затухания в парциальных
системах расцепляет дисперсионные зависимости (то же можно видеть на
рис. 1 и 2 при * -а). Нарастающее колебание, принимающее энергию от
возбужденных атомов, возникает из того колебания - электронного или поле-
вого, которое обладает меньшим затуханием: оно является лидирующим и
определяет дальнейшее поведение системы [ I ].

В случае электронов, осциллирующих в вакууме, нарастающие колебания оп-
ределяются кубическим уравнением

(24)	(gj - gj,) (со - we)2 = — 0fww2.
Рис. 3. Частоты связанных колебаний двух связанных пассивных резонансных систем без
потерь (а) и пассивной и активной (6) для квадратного характеристического уравнения

Рис. 4. Вещественные (д) и мнимые (б) части комплексных корней ч = ч’ - уравнения

(26) при Г = %

5,0

Рис. 4

соответствующим ангармоническим осцилляторам. После подстановки
(25) шг = ые(1 + €$), w = we(l + er?), е =	* VflMM

уравнение (24) принимает вид

(26)	(„-1)^ = 1,

т.е. совпадает с уравнением (14) при а = 0 (силы пространственного заряда не
проявляются).

На рис. 4 дана зависимость корней уравнения (26) от при £"= % И здесь
при 0 > О электронное колебание, как более добротное, может нарастать (т?2 < О,
максимальное значение -7)2 достигается при f ’ =0, когда tj'i и обеспечи-
вает нарастание, если - и>'еег)2 > <•>«>)• Этот вывод справедлив как при 0 > О,
так и при 0 < 0; в последнем случае электронное колебание воспринимает допол-
нительную энергию при |' < 0 и уменьшает свое затухание (вплоть др отрица-
тельных значений) при 7)2 > 0. Одновременно нарастает полевое колебание.
Исследование нелинейного режима в этой модели требует сравнительно простых
численных расчетов.

Диэлектрическая проницаемость (22) выводится в предположении, что
электрон удаляется из пространства взаимодействия через промежуток времени т
после влета с вероятностью 1 - e~VT и заменяется новым. Тот же результат полу-
чится, если осцилляции электроиов сопровождаются затуханием, а также если
электроны перемещаются по оси г в поле£х, зависящем от г по закону exp(pz/u)
(см. формулу (10) в § 2).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Хорошо известно, это электронные потоки обладают большим числом колеба-
тельных и волновых степеней свободы. В данной работе рассмотрены простейшие
случаи взаимодействия электронных колебаний с электромагнитными (полевы-
ми) колебаниями в резонаторах и выяснены условия, при которых электронные
колебания играют главную роль и нарастают во времени благодаря связи с коле-
банием резонатора. В общем случае на первый план выступает более добротное
парциальное колебание, которое и определяет развитие процесса генерации. Про-
цесс усиления (см. § 3) подчиняется тем же закономерностям.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Железняков В.В., Кочаровский В.В., Кочаровский Вл.В. //ЖЭТФ. 1984. Т. 87.  С. 1565. // Изв. вузов. Радиофизика, 1986. Т. 29. №9. С. 1095.  2.	Русин Ф.С. II Электроника больших мощностей. М.: Наука, 1968. С. 9.  3.	Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике, радио, 1973.	№5(11).  М.: Сов.

4. Гапонов А. В., Петелин М.И., Юлпатов В.К. //Изв. вузов. Радиофизика, 1967. Т. 10. №9-10.

С. 1414.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ

Л. А. Вайнштейн

СОДЕРЖАНИЕ

Введение .............................................................. 33»

1.	Закон дисперсии и интеграл Фурье . . .	342

2.	Свойства функции g (z, t)........................................... 344

3.	Главная часть высокочастотного импульса при отсутствии затухания и уси-
ления ....................................'................ ...	347

4.	Главная часть импульса, распространяющегося с затуханием	352

5.	Энергетическая кинематика ....................... ....	356

6.	Линейные соотношения для активных систем............................ 359

7.	Усиление при прохождении иля усиление при отражении? . .	362.

Заключение ......................................   .	.	366

Цитированная литература ............................................... 366

«Какие бабочки, букашки.

Козявки, мушки, таракашки!

Один, как изумруд, другие, как коралл!

Какие крохотны коровки!

Есть, право, менее булавочной головки!»

«А видел ли слона? Каков собой на взгляд!

Я чай, подумал ты, что гору встретил?»
«Да разве там он?»—«Там»
— «Ну, братец, виноват,
Слона-то я и не приметил».

И. А. Крылов («Любопытный»)
ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемый обзор посвящен распространению импульсов — глав-
ным образом} узкополосных высокочастотных импульсов — в однородных
средах или однородных линиях. Мы имеем в виду линейные электро-
магнитные волны, для которых естественной предельной скоростью явля-
ется с—скорость света в пустоте, хотя ряд результатов легко переносится
на волны другой природы, а некоторые результаты — и на нелинейные
волны.

Мы ограничиваемся одномерными волновыми полями, зависящими
от одной координаты z и от времени t, рассматривая, таким образом,
простейшую кинематику полей. Уточнение и систематическое изложение
этой кинематики в настоящее время представляет особый интерес по
следующим причинам:

1.	Во многих задачах, относящихся к дифракции и распространению
волн, нельзя считать волны монохроматическими и нужно учитывать их
импульсный характер. Как это сделать, всего яснее показать на примере
одномерных волн.
2.	В последние годы появился 1 ряд устройств, в которых передающие
линии с дисперсией производят преобразование (в частности, сжатие)
импульсов, что позволяет увеличить разрешающую способность радио-
локационных станций и более эффективно производить спектральный
анализ сигналов. Расширилось применение коротких (в том числе наносе-
кундных) импульсов, распространение которых на сравнительно неболь-
шие расстояния уже может привести к сильной их деформации.

3.	Сравнительно недавно возник ряд вопросов (иногда — парадок-
сальных), относящихся к распространению волн в активных (т, е. не-
устойчивых, неравновесных) системах, в том числе в мазерах и лазерах,
а также в системах с электронными потоками. Многие из этих вопросов
легко решаются, если вместо распространения монохроматических волн
рассмотреть распространение импульсов, причем некоторые парадоксы
являются общими для активных и пассивных сред.

Попытаемся сформулировать отличие данного изложения от того,
что можно найти в классических работах Зоммерфельда 2 и Бриллюэна 3
и в более поздйих работах (см., например, 4-в), их развивающих. В этих
работах четкие результаты получены для фронта и предвестника (обус-
ловленных весьма высокими частотами в спектре импульса, <о (оо, (о0 —
несущая частота), исследованы другие всплески поля (обусловленные
частотами, вообще говоря, отличными от й)0), кое-что можно найти
о медленном «следе» или «хвосте» импульса (обусловленном, как правило,
весьма низкими частотами, <в й)0). Однако детальное исследование
главной части импульса, обусловленной частотами со «г <о0, началось
лишь недавно (Блиохом 7 и др. авторами 8- 8), в основном при отсутствии
затухания и усиления. Когда же есть затухание, зависящее от частоты
(а оно, строго говоря, всегда есть), то поведение главной части становит-
ся, как мы увидим, далеко не тривиальным, а в активных (усиливающих)
системах возникают дополнительные осложнения. В этой связи вспоми-
нается басня Крылова, поставленная эпиграфом. Ниже основное внима-
ние будет уделено «слону»— главной части импульса, о мелких деталях,
возникающих при распространении импульсов, будет сказано лишь вкрат-
це (в гл. 2 и 3).

В силу линейности задачи распространение импульсов обычно иссле-
дуется с помощью обычного (гл. 1) или модифицированного (гл. 6) инте-
грала Фурье; таким путем мы получаем волновую кинематику распро-
страняющихся полей, а более простая лучевая кинематика (или простран-
ственно-временная геометрическая оптика), как показано в ряде работ
10-12, может быть получена из уравнения

— 4--^- = О,	(В.1)

dt dz ’	х '

связывающего две величины т и £, между которыми существует функцио-
нальная зависимость: т = т (£) или £ = £ (т). Уравнение (В.1) допускает
решения

£ = F(Z-irt) и £=G(t-^-) (* = ».	(В-2)

где F и G — произвольные дифференцируемые функции, a v (скорость
распространения) в общем случае зависит от £. Первое решение опреде-
ляет эволюцию величины £, заданной при t = 0 и всех 2 выражением
£ = F (г); второе решение соответствует заданию £ = G (f) при 2 = 0
и всех Г. (В дальнейшем нас будут интересовать лишь решения второго
типа, поскольку мы ищем поле при z > 0, задавая его при z = 0).

Решения (В.2) при надлежащем толковании т ц £ определяют груп-
пировку электронов в клистроне 13 и формирование ударных волн в га-
зах 10< 13 и в транспортных потоках 10. Применим их к гармонической

волне (частота <оо)3 модулированной по амплитуде или по частоте доста-
точно медленным образом, так что ширину Aid ее спектра можно считать
бесконечно малой. При амплитудной модуляции можно положить х = W
и £ = Sz, где W — плотность энергии, S2 — составляющая вектора

Умова — Пойнтинга, которую можно представить в виде Sz = Wve,
где ve — скорость переноса энергии на частоте (оо. В отсутствие потерь W

и Sz удовлетворяют уравнению (В.1), которое в данном случае есть закон
сохранения энергии в дифференциальной форме, и в формулах (В.2)
скорость v = ve оказывается постоянной. При частотной модуляции мож-

но положить т = h .= дЧ/дг и С =
= ш = — SW/dt, где ¥ — полная фаза
волны, h — мгновенное] волновое число
волны, со — мгновенная частота (при
постоянстве h и со мы имеем ¥ = hz —
— cot). Уравнение (В.1) выполняется,
так как diy¥ldzdt = d2yF/dt dz, и второе
решение (В.2) принимает вид

<o = G(t----п(<в)=-^-, (В.З)

\ v (ш) /	' ' ah '	'

причем при Асо -> 0 под знаком функ-
ции G можно v (со) заменить на v (ш0),
которая будет постоянной скоростью
распространения в этом случае (ско-
рости ve и v (соо) совпадают, см.

Рис. 1. Лучевая кинематика: обра-
зование фокуса и сжатие импульса.

гл. 3 и 5).

Если же Асо конечна, то (В.З)
есть уравнение, определяющее 11 со

как функцию z и t; это уравнение нагляднее всего исследовать графи-
чески, разбивая его на два соотношения

со = С(0), t = 0+-^

(В.4)

и строя на плоскости z, t прямые 0 = const — пространственно-временные
лучи. На рис. 1 они построены в предположении, что

G (0) = соо + Ь0 при —0О < 0 < 0О	(В .5)

и

v‘=v^- ’•=vS->° (-«•<«<«•>• <»«>

когда второе соотношение (В.4) принимает вид

‘=e(‘-i)+v	<в-7>

и показывает, что в этом случае все лучи пересекаются в точке z = z0,
t = z0/vg. Таким образом, в лучевом приближении происходит сжатие
импульса, имевшего при z = 0 конечную длительность 20в, до нулевой
длительности при z = z0: образуется пространственно-временной фокус
(см. рис. 1).

Формулы (В.4) можно дополнить 11 выражением для плотности энер-
гии поля W = W (z, I), которая выражается через плотность энергии
Wo (0) при z = 0 так:

W = V7O(0)J?-|

wt |z*—const

(B.8)
Это — закон сохранения энергии в пространственно-временных лучевых
трубках: по мере их сужения плотность энергии должна расти.

Лучевой подход, как всегда, дает лишь «скелет» волнового поля и
должен быть дополнен волновым подходом, к которому мы и приступаем.

1.	ЗАКОН ДИСПЕРСИИ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

При исследовании плоских волп в бесконечной однородной среде
обычно рассматривают сначала монохроматические волны, зависимость
составляющих поля для которых (т. е. для электромагнитной волны
составляющих Ех, Еу, Нх или Hv) от координаты z и времени t имеет
(в комплексной записи) вид	Если мы имеем волновод,

однородный в направлении оси z, то для каждой монохроматической волны
в нем зависимость от z и t — такая же, но добавляется еще зависимость
от поперечных координат х и у, которая обычно на зависимость от z и t
не влияет.

Функция /г, (со) определяет закон дисперсии и затухания волн в дан-
ной среде или линии, мы будем называть эту функцию просто законом
дисперсии. Свойства функции h (со) проще всего пояснить на примерах.
Первый пример

h (со)	+-^-, a = const>0, c = const>0 (1.1)

соответствует проводящей среде с проводимостью о = а/2я, не завися-
щей от частоты, или же длинной линии в пустоте, сопротивление прове-
дов которой не зависит от частоты. Второй пример

ЛМ = -^/(1.2)

соответствует длинной линии при наличии потерь как в проводах, так
и в среде между проводами; при а = 0 формула (1.2) переходит в фор-
мулу (1.1). Третий пример

fe (m) =	|/~1 - /Ч-- (top = const>0, v= const>0) (1.3)

соответствует холодной плазме с плазменной частотой сор и частотой
соударений v или же (при v = 0) — идеальному волноводу с критической
частотой шр; при v >0 та же формула приближенно передает свойства
волны в волноводе с потерями по крайней мере в достаточно узкой полосе
частот. Четвертый пример

fc(to) = -^/ 1--а+^_м? (top = const > 0)	(1.4)

соответствует среде с упруго связанными электронами, имеющими соб-
ственную частоту <вг и полосу непропускания tor <(о

(или, как еще говорят, полосу аномальной дисперсии); та же формула
приближенно соответствует линиям передачи вблизи изолированной
полосы непропускания или же в этой полосе. Если же имеется набор
резонансных частот <вг/, то

1-2^,4^-	<‘-5>

Шестой пример

A(to)=-^)/l + -g-	(1.6)
принадлежит Эренфесту 14 и соответствует неустойчивой (активной) систе-
ме: закон дисперсии (1.6) получается из (1.2) при а = 0, когда один вид
потерь отрицателен и полностью компенсирует потери другого вида.

В первых пяти примерах, соответствующих пассивным системам,
функция h (ш) при вещественных ш имеет положительную мнимую часть
(волна затухает при увеличении z), допускает аналитическое продолже-
ние на комплексные значения © и в верхней полуплоскости Im са О
является голоморфной (аналитической) функцией со; ее асимптотическое
разложение (при | ш | ->- ос) имеет вид

Мо>) = ^+6о-^-+... ,	(1.7)

где Ьо и — постоянные, а в примерах (1.1) и (1.6) v = 0. Величина с
во всех примерах есть положительная предельная скорость

с= lim .	= Иш ./.-г ;	(1.8)

для электромагнитных волн это, как правило, скорость света в пустоте,
которая вообще является предельной скоростью передачи сигналов
и движения материальных частиц. Конечно, для волн иной природы
•скорость света в пустоте также является предельной скоростью, однако
обычно закон дисперсии этих волн берется в таком виде, что предельная
скорость (1.8) для этих волн существует и оказывается меньше скоро-
сти света.

Переход к импульсам получается с помощью интеграла Фурье

ОО

/ (z, t) - J А (ш) da,	(1.9)

— ОО

который можно рассматривать как суперпозицию монохроматических
волн, о которых говорилось выше. Функция А (а) есть спектральная
амплитуда соответствующей волны, она в общем случае комплексна;
для высокочастотных импульсов с несущей частотой ш0 функция А (со)
имеет наибольшее значение при со = соо, при удалении со от соо ее абсо-
лютная величина убывает. Функция / (z, t) в выражении (1.9) в общем
•случае комплексна, физический смысл (например, составляющей элек-
трического поля при некоторых z и t) имеет величина Re / (z, t) или
Im / (z, t).

Интеграл (1.9) соответствует такой постановке задачи: задана функ-
ция / при z = 0 и —оо <Ct< оо. Иначе говоря, в начальном сечении
z = 0 расположен некоторый излучатель, который и определяет

ОО-	CD

/(0, t)= f А (со) e~iti>tda тз. А(а) = -£— ( /(0, t)eiatdt. (1.10)
J	«л 2

— ао	—со

Примем, что функция h (<в) имеет перечисленные выше свойства.
Тогда из интеграла (1.9) следует, что фронт импульса перемещается
-с предельной скоростью с: иначе говоря,

если /(0, t) = 0 при £<0, то /(z, t) = 0 при	(1.11)

Доказательство соотношения (1.11) и общий анализ распространения
импульсов облегчается, если ввести функцию

g(z, *) = 4f J du,	(1.12)
которая удовлетворяет начальному условию

g (0, t) = 6 (0.	(1.13)

где 6 (0 — дельта-функция Дирака, формально представимая в виде
интеграла Фурье

J e-i<a‘dto.	(1.14)

— ао

С помощью функции g (z, 0 формула (1.9) преобразуется к виду

/(z, 0= J S&	t)dt,	(1.15)

— ОО

что достигается подстановкой второго выражения (1.10) в интеграл (1.9)
и переменной порядка интегрирования. Функцию g можно назвать про-
странственно-временной функцией Грина, а при данном z — реакцией
или откликом данной системы на дельта-импульс (1.13). Поскольку любую
функцию / (0, t) можно представить как наложение дельта-импульсов,
выражение (1.15) становится самоочевидным.

2.	СВОЙСТВА ФУНКЦИИ g (z, t)

Уже в первых работах 2' 3 исследовался интеграл, отличавшийся от
интеграла (1.12) дополнительным множителем 1/(й> — соо) под знаком
интеграла (появившимся из-за того, что вместо дельта-импульса бралась
полубесконечная синусоида). Интеграл (1.12) исследуется аналогично;
в частности, мы имеем

g(z, f) = 0 при	(2.1)

и выражение (1.15) сразу дает соотношение (1.11). Что же касается самого
соотношения (2.1), то оно следует из голоморфности функции h (са) выше
пути интегрирования (1.9) и из асимптотического разложения (1.7),
в силу которого подынтегральная функция (1.12) при	оо и t <Z

С z/c стремится к нулю: мы сдвигаем путь интегрирования наверх и дока-
зываем (2.1).

При t ~ функция g (z, t) отлична от нуля и в некоторых случаях
вычисляется в явном виде. Для закона дисперсии (1.2)

е(г, о=[Ц<-4-) + еvI.(Р<2.2>

отсюда, полагая а = р и а = 0, получаем g (z, t) для законов диспер-
сии (1.1) и (1.6); Д (х) — модифицированная функция Бесселя, экспо-
ненциально возрастающая при х оо, поэтому при а = 0 и t -> оо мы
имеем g (z, t) оо, что свидетельствует о неустойчивости системы с зако-
ном дисперсии (1.6). При р = 0 мы имеем

Л(а>)=“±*“, g(z, t) = 6(«~f)e-“‘	(2.3)

и тогда

/ (z, t) = / ( 0, t — у) e-C®/*)*,	(2-4)

т. е. импульс любой формы распространяется без искажения со скоро-
стью с, испытывая при этом затухание, не зависящее от формы импульса.
При Р > 0 распространение импульса по длинной линии происходит
более сложным образом, как это видно из формулы (2.2): на неискажен-
ный импульс (2.4) накладывается «хвост» или «след», который, как видно
из формулы (2.2), затухает медленнее, чем е_“‘ч При передаче сигналов
по линии это приводит к их искажению и наложению, поэтому уже в про-
шлом веке пришли к выводу о том, что потери в телеграфных кабелях
наименее вредны при р = 0.

Для закона дисперсии (1.3) при v — 0 получаем, полагая в форму-
ле (2.2) Р = i©p и а = 0, выражение

8(z, =	(2-5>

След, определяемый функцией Бесселя Jlt в данном случае имеет осцил-
лирующий характер.

В других случаях интеграл (1.12) не выражается через известные
функции, но может быть приближенно вычислен при больших z и раз-
личных отношениях ztt с. Так, из асимптотического разложения (1.7)
можно получить приближенное выражение

g(M) =	______ _________________

=	(l - ±)) e-4.-w«l]e<4 (2.6)

применимое при малых неотрицательных t — z/c таких, что аргумент
функции Бесселя мал или конечен. При z = 0 выражение (2.6) согла-
суется с начальным условием (1.13), при любых z — с точными выраже-
ниями (2.2) и (2.5).

Выражения (2.2), (2.5) и (2.6) всего проще выводятся, если ввести функции
ja-t-oo
r„(z, t)=—— f ei[h(a)z-o>q__________________________jfo____

2л J	( —H0)n« ’

to—oo
to+°o

Г(х П=— f

{ , ) 2л J	ih(a>) ’

iff—«

где n = 0,1, 2, ... и о > 0 (ср. гл. 6). Как легко показать, мы имеем тождества
an+i	д

S С — ^n+i Г* (*' 6 и	(z*	(2.7)'

Последнее тождество позволяет сразу получить выражение (2.2) при z < ct: для этого
путь интегрирования надо перенести вниз, он приведет к интегралу по разрезу, и мы
получаем 

Г<1. 1) =--t~ai.

Дифференцирование по z наряду с функцией дает дельта-функцию, поскольку
Г (z, t) = 0 при z > ct и при z = ct имеется скачок. Функции Гп (z, t) при z > ct также
равны нулю, а при z < ct могут быть сведены к интегралу по окружности

<o+iv = »Qe~i<₽,  —л<ф<л, й»=1/ . V ,
F J—^Z/CJ

на которой при больших z и малых t — Л. функцию h (ш) можно заменить выписанными

членами разложения (1.7), Мы получаем

Гп (z, t) = [±^Ш]П/2 /ft (2 Уbtz (‘-7 ) ) /**-*-<«/«)],	(2.8>

откуда при л = 0 сразу следует выражение (2.6), которое определяет ту часть поля,-
возбуждаемого дельта-импульсом, которая движется с предельной скоростью с.
За полем, движущимся со скоростью с, движутся остальные части
поля, скорость которых меньше с. Их можно вычислить методом пере-
вала, деформируя первоначальный путь интегрирования (вещественную
ось) в путь, проходящий в верхней полуплоскости Im <о^0 через одну
или несколько точек перевала ш, определяемых уравнением

= |	(0<р<с)(	(2.9)

где штрихом обозначено дифференцирование по со. В окрестности каждой
точки со можно написать разложение Тейлора

h (®)=h (©) -j-К (©) (о -ш) +1 h" (to) (о- to)2 +1 h"' (ш) (ш- ®)3 + ... (2.10)
Асимптотическое выражение для функции Грина

g (z, t) = 2 G (z, t, to)	(2.11)

распадается на сумму вкладов каждой точки со. Если вблизи точки со
ограничиться тремя первыми членами разложения (2.10), то для G полу-
чим выражение

G(z, t,to) = —==£==^-^/2,	т=	.,	(2.12)

У — 2inh" (to) z	У Л" (со) z

применимое при t » z/v, а точнее при т ~ 1. Если только h" (со) не
слишком мало, это выражение является хорошей аппроксимацией
G (z, t, ш) при больших z, точнее, при z W (ш)]2/[Л" (ш)]3 (это есть
условие малости первого отброшенного члена на главном участке инте-
грирования). Если же h" (to) мало, то можно слегка сместить со так, что
станет точно h" (to) = 0, и учесть следующий (кубический) член в раз-
ложении (2.10). Таким образом, мы приходим к выражению

G(z, t, ш) =.;.	, т =...4~(^) . (	(2.13)

У л у Л" (to) Z/2	У Л" (to) z/2

где

У($) = _* F ei[(x3/3)+«] dx	(2.14)

2 V л J
Г	— ОО

есть функция Эйри15, экспоненциально убывающая при s> 0 и осцилли-
рующая при s<0.

Как легко показать, для законов дисперсии (1.1) и (1.2) будет лишь
одна точка перевала to на мнимой оси, что приведет к одночленному
асимптотическом у выражению для G, согласующемуся с (2.2) при
Р]А2 — (z2/c2) 1. Для закона дисперсии (1.3) будут две точки to, симме-
трично расположенные на вещественной оси и дающие осциллирующую
зависимость для G, согласующуюся с (2.5) при ШрУ^2 — (z2/c2)	1. Для

законов дисперсии (1.4) и (1.5) существует большее число точек ю, соответ-
ствующие перевальные контуры и вклады детально рассмотрены в стать-
ях Бервальда *. Здесь мы проведем лишь общий анализ функции g (z, t).
В то время как при z = 0 имеется дельта-импульс (1.13), при z > 0 на-
блюдается сложный импульс g (z, t). Рассматривая g (z, t) при z = const,
сначала будем иметь g = 0 (заштрихованный сектор на рис. 2). В момент
-t = z!,c и последующие моменты (т. е. выше граничной прямой t = z!с
Рис. 2. Функция g на плоскости z, t.
производные по t непрерывны при всех t,

на рис. 2) справедливо выражение (2.6); если в нем аргумент функции
велик, то следует перейти к выражениям (2.11) и ^2.12). Если далее для
одной из точек со при некотором v величина h" (со) обращается в нуль, то
это значит 4, что при меньших v
точка со раздваивается. В этой си-
туации применимо выражение
(2.13), которым следует пользо-
ваться при т ~ 1: соответствую-
щая прямая t = h' (co)z при
h" (со) = 0 является пространствен-
но-временной каустикой.

Сравнивая рис. 2 с рис. 1, 'мы
видим, что дельта-импульс, содержа-
щий в себе согласно (1.14) все частоты
в равной мере, порождает пучок лучей,
в то время как медленная частотная
модуляция порождает при z = 0 в каж
дым момент только один луч. Наде
одиако, отметить, что в волновом при-
ближении при распространении проис-
ходит деформация поля, которая учи-
тывается выражениями (2.6), (2.11),
(2.12) и (2.13). Рассмотрим сначала
импульс, для которого / (0, t) = 0 при
t < 0, причем функция / (0, t) и все ее

за исключением t = 0. Тогда поле f (z, t) непосредственно за фронтом — так назы-
ваемый предвестник — можно получить из формулы (1.15) и первого тождества (2.7)

•с помощью интегрирования по частям в виде

ОО

/ (2, t) = 2 Гп (z, t) -g- (0, +0),	(2.15)

п=0

и котором функции Гп (z, i) определяются формулой (2.8). Они определяют закон рас-
пространения скачков функции / (0, t) и ее производных. Как мы видим, эти скачки
распространяются с предельной скоростью (1.8), причем в отсутствие потерь (при
Im 50 = 0) абсолютные величины этих скачков сохраняются.

Однако структура поля, следующего за скачком, при z = 0 и z -► оо совершенно
иная. Возьмем в качестве примера полубесконечное гармоническое колебание

У (0, С) = е_,Шо< при t > 0, f(O,t) = O при 1<0,	(2.16)

для которого ряд (2.15) принимает вид

/(z, t) = r0(z, 1) — гы0Г1(2, t)—wjra(z, «)+•..,	(2.17)

причем ничего похожего на (2.16) нет: главная часть поля, которая приводит к уста-
новлению гармонического колебания, движется со скоростью vg <, с (см. гл. 3).

В поле, движущемся за предвестником (2.15), наряду с главной частью поля
имеются части, движущиеся со всеми возможными скоростями v (0 < и < с); среди
них следует отметить всплески поля, обусловленные «каустическими! значениями v
(см. выше). Их иногда также называют предвестниками (вторым, третьим и т. д.), хотя
их скорость в некоторых случаях может быть меньше vg— скорости главной части;
-они могут быть вычислены с помощью выражения (2.13), как показано в конце гл. 3.

3. ГЛАВНАЯ ЧАСТЬ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ИМПУЛЬСА
ПРИ ОТСУТСТВИИ ЗАТУХАНИЯ И УСИЛЕНИЯ

Обычно представляет интерес не распространение дельта-импульса,
а распространение высокочастотного импульда с несущей частотой (£>о>
для которого функция А (со) в интеграле (1.9) имеет острый максимум
в точке со = <о0, причем j А (со) | ~ \А (соо) | при | со — соо | < Део.
Закон распространения главной части высокочастотного импульса (при
достаточно малой Д<о) мы получим, раскладывая функцию h (со) в интег-
рале (1.9) в ряд Тейл<ура, аналогичный ряду (2.10). Считая волновое
число h (ш) вещественным в окрестности точки ф0 и представляя / (0, J);
в виде

/(0, t) = ^(0, 0e-iM0‘,	(3.1>

где F (0, t) есть медленно меняющаяся функция t — комплексная огиба-
ющая импульса при z = 0, мы получаем, ограничиваясь двумя первыми
членами в разложении Тейлора, / (z, t) в виде

/ (z, t) = F (z, t) еЯЛ<®о)*-<М],	(3.2)

где комплексная огибающая F {z, t) выражается через F (0, t) следующим
образом:

F (z, t) = F (0, t - h' (<о0) z).	(3.3)

Таким образом, в этом приближении комплексная огибающая F (т. е. обыч-
ная огибающая | F |, вызванная амплитудной модуляцией, и дополни-
тельная фаза arg F, связанная с частотной или фазовой модуляцией)
перемещается с так называемой групповой скоростью

1	d(D I	/ о / \

К’ (шо)	dh |ш=ш0'	( • /

в то время как высокочастотное заполнение импульса перемещается, как.
видно из формулы (3.2), с фазовой скоростью etjh (<а0): оно определяется:
миожителем еЧМ®»)*-®»*] таким же, как и для монохроматической волны
с частотой (о0.

С помощью интеграла Фурье легко уточнить формулу (3.3) и выяс-
нить пределы ее применимости. Для этого достаточно в разложении Тейло-
ра учесть еще один — третий член, а при h" (соо) = 0 — четвертый член.
Получающиеся при этом выражения, равно как и простую формулу (3.3),.
можно записать в единообразном виде

F (z, £) = ( G (z, t — t, (Hq)F (0, t) dt,	(3.5)

связывающем непосредственно комплексные огибающие F (0, t) и F (z, t).
При этом формула (3.3) получается, если положить

G (z, t — t, o)q) = 6 (t — t -|- h'- (o>o) z);	(3.6)

при учете третьего члена в разложении Тейлора мы имеем

Г, . ~ .	1	ri /7— t + h'(a0)z \2-]

5-(------J—) J,

4 = /V (ш0) 2,	(3'7>

а при h” (<о0) = 0 и учете четвертого члена

G(z, t-7,(00) = -^t-t+A'(yo)L\	(3.8>

у л Д ' л	~ z

Формула (3.5) определяет распространение главной части высоко-
частотного импульса — точнее, распространение ее комплексной огибаю-
щей F. Заметим, что выражения (3.7) и (3.8) являются точными аналога-
ми выражений (2.12) и (2.13); однако выражения (2.12) и (2.13) являются
асимптотическими (они пригодны лишь при достаточно -больших z), в та
время как выражения (3.7) и (3.8) пригодны при любых z, в том числе
и при z -> 0, когда они переходят в дельта-функцию (3.6), которую для
данной цели можно определить соотношениями

<2

j 6(t)dt = O при < 0, t2<0 и > 0, t2>0,
ti

\ b(t)dt=i при ii<0, t2 > 0,
h

тогда она приведет к выражению (3.3).

Функция G определяет деформацию комплексной огибающей F по
мере увеличения z. Эта деформация определяется второй производной
,h" (о)0), а при Л" (ю0) = 0 — третьей производной 7г'"(соо), т. е. непосто-
янством групповой скорости v (со) = Uh' (со) в пределах полосы частот
— ш0| < Лео, занятой импульсом. Если выполняется условие

(ш0) A<Daz < 1,	(3.9)

А

а при h" (ш0) = 0 — условие

-р-Лг'(“0)	1,

(3.10)

то деформацией F можно пренебречь и пользоваться формулой (3.3).
Таким образом, чем уже полоса частот, занятая импульсом, тем большее
расстояние он проходит без заметного искажения. Иначе говоря: чем
медленнее изменяется во времени комплексная огибающая, тем медленнее
она деформируется в пространстве.

Следует отметить ’• ®, что закон деформации комплексной огибающей
согласно формулам (3.6) и (3.7) совпадает с законом распространения
двумерных волновых пучков параксиального типа. Пусть мы имеем
монохроматическое волновое поле (частота ш0, зависимость от времени
g-W), комплексная амплитуда и (г, х) которого удовлетворяет двумер-
ному уравнению Гельмгольца

>+>+*!“=®	(*ь=^)-	(3.11)

В том случае, когда волновое поле имеет характер квазиплоской волны,
распространяющейся в направлении оси z (т. е. мы имеем параксиальный
волновой пучок), функцию и можно представить в виде

u = U (z, a?)eih«’,

(3.12)

где медленно меняющаяся функция U (z, х) связана с U (0, х) так же,
как F (z, t) с F (0, t), если заменить величину t — h' (й)0) г на xlc и h" (й)0)
на —1/А:оса. Иначе говоря, F (z, t) удовлетворяет параболическому урав-
нению

dF
dz

ih" (Шр) d2F

e=t-/i'((oo)z=t--^-

(3.13)

2 да ’

а при замене (3.7) на (3.8) — более сложному уравнению
dF _	Л*(<йо) d3F

dz ~	6 да *

(3-14)

Эти уравнения на плоскости z, t определяют F вблизи «главного луча»
Л = z/vg (рис. 2).

Аналогия между параксиальными пучками и высокочастотными им-
пульсами позволяет для последних различать ближнюю, дальнюю и
промежуточную зоны. В ближней зоне применима формула (3.3), она опре-
деляется условием (3.9) или (3.10). Если эти условия заменены противо-
положными, то мы имеем дело с дальней зоной, в которой

F (z, t) = 2пА (соо) G (z, t, (о0).

(3.15>

А

Рис. 3. Фронт главной части по-
лубесконечного гармонического
колебания по формулам (3.16) (7)
и (3.17) (2).

В дальней зоне импульс деформирован так, что его поле пропорционально
НУz или l/jX z и определяется спектральной амплитудой А (со) подобно
тому, как дальнее поле антенны определяется не распределепием поля
на излучающем отверстии, а преобразованием Фурье от этого распреде-
ления. В промежуточной зоне, соединящей ближнюю и дальнюю зоны,
происходит постепенная деформация им-
пульса и, в частности, его сжатие (фо-
кусировка).

Если начальный импульс является
полубесконечным гармоническим колеба-
нием (2.16), то выражение (3.7) для функ-
ции G в этом случае дает 4

• „ ем
.Ш/4	»

F(z, t) = ^7= )	йт,

v ' У 2л J

(3.16>
Д = ]/Г(ш0)г,

а выражение (3.8)

е/д

F (z, t) = —т=- \ У( —т)йт,
у Л J

А" И>) *

причем в обоих выражениях 0 = t —
— Л'(ш0) 2- На рис. 3 нанесены значения
| F |, вычисленные по этим формулам. Мы
видим, что фронт волны, вначале беско-

нечно крутой, по мере увеличения z становится все более пологим;
в данном случае мы говорим не о фронте импульса, структура поля
вблизи которого исследована в конце гл. 2, а о фронте его главной
части, перемещающейся со скоростью vg < с. Формулы (3.16) и (3.17)
остаются в силе и при ю0 = 0, т. е. для импульса без высокочастотного
заполнения. Они определяют тогда установление постоянного поля, при-
ложенного в момент t = 0 к точке z = 0. После того как через точку со
скоростью vg = v (0) прошел фронт главной части, в ней согласно рис. 3
устанавливается постоянное поле.

В качестве второго примера возьмем гауссов импульс с квадратич-
ной фазовой модуляцией [или линейной частотной, см. формулу (В.5)),
когда

F (0, () =	А & =	*— ехр [ -	(«> 0).

(3.18)

Для такого импульса получаются простые выражения. В частности, вместо
формулы (3.16) мы имеем выражение

F (z,	;	...-......-------

У1 — i (а-)-«Ь) Л* (<Оо) «

ехр {

(а-НЬ) lt—h' (сор) zp 1 /д 1д,
2[1 —i(a-|-ib) Л*(“о)*1 / ’ ' ' '
позволяющее легко проследить за деформацией главной части импульса-
при выходе из ближней зоны (где (а + ib) h" (ша) z 1). Мы видим, в част-
ности, что длительность импульса минимальна в точке

z0 =

ь

(в2_|_Ь2)^ (щц) »

(3.20)-

причем

f (*..«)=/- 4 «Ч ~ 1°‘+ьг> '£" ™1,2} •

Если z0 > 0, то при 0 < z < z0 импульс сжимается, а при z > z0 —
расширяется. Как легко видеть, при а [ b | величины z0 по формулам^
(В.6) и (3.20) совпадают, причем эффективная длительность импульса
At = а/(а2 + Ь2) в точке z0 существенно меньше первоначальной, рав-
ной 1/]/а. Так с помощью волновой трактовки уточняется процесс сжатия
импульсов, изображенный на рис. 1.

При достаточно больших z побочную часть импульса, движущуюся
со скоростью v, можно вычислить с помощью выражения (2.11) для функ-
ции g. Мы получаем формулу

/(z, tj = SF(z, t, <о)еН^-“Л	(3.21)

ш

где медленно меняющаяся функция

F(z, t, (о)= j G(z, t—t, ш) F (0, t)
— oo

(3.22)

при (о = ш0 превращается в F (z, t). Если co сильно отливается от coOr
то благодаря сильно осциллирующему множителю	мы будем

иметь | F (z, t, о) | < | F (z, t) |. В дальней зоне интеграл (3.22) приводит
к выражению

F (z, t, 5) = 2лА (©) G (z, t, й),	(3.23)

также свидетельствующему о сравнительной малости побочных частей
при вещественных ш, сильно отличающихся от юв. При комплексных ш
малость побочных частей следует из малости экспонент в формуле (3.21).

Сказанное выше можно дополнить в нескольких отношениях. Во-
первых, формула (3.5) применялась для учета дисперсионной деформации
многими авторами 16- 17, также и в более сложных случаях, например,
при отражении импульсов от неоднородной ионосферы 18, так что число
примеров можно было бы увеличить. Во-вторых, в некоторых работах
’• 18 формула (3.5) уточняется путем учета дополнительных членов в раз-
ложении Тейлора для функции h (<о) при ш « a0- Это позволяет не столь-
ко уточнить функцию G, сколько оценить пределы применимости простых
выражений (3.7) и (3.8); здесь дело обстоит так же, как в параксиальной:
физической оптике, где применяется принцип Гюйгенса — Френеля, веду-
щий к интегралам Френеля типа (3.16) и в дифференциальной формули-
ровке соответствующий параболическому уравнению типа (3.13): если
этот принцип непригоден, то обычно его не уточняют, а обращаются
к более строгим методам.

В-третьих, метод перевала можно применять 80 не только к интегра-
лу (1.12), но и к интегралу (1.9), предварительно конкретизировав вид
функции А (ю), например, по формуле (3.18); тогда точка перевала о»
определяется эквивалентными уравнениями

(O = (do4-i(a-|-i6) (fe'(co)z — t], fe' (co) = у -f-i J , (3.24)
которые при a + ib -> 0 дают co -> coo, а при a + ib -> оо переходят
в уравнение (2.9). Последнее оказывается справедливым также и для
больших t — для хвоста импульса, который хорошо передается 21а фор-
мулой (3.23). При а = 0 точка перевала получается вещественной, а ме-
тод перевала приводит 20а к лучевой кинематике (см. Введение) и ее
волновым уточнениям. При а > 0 точка ю комплексна, и результаты
интерпретируются 20в с помощью комплексных лучей (см. ниже).

Кроме того, для полубесконечного гармонического колебания (2.16) выраже-
ние (3.23) определяет при достаточно больших значениях z так называемый предвест-
ник Бриллюэна *

/ (z, t)=—	*r(~TL_-------/[hwz-St],

V пу h" (a)z/2 (<a—<d0)

(3.25)
ft*(S)z/2

•соответствующий каустическим значениям частоты ш и скорости v = 1/h' (й); 0 < v <
< с, h" (со) = 0. Об этих предвестниках (втором, третьем и т. д.) говорилось в конце
§ 2. Тот же результат получается путем интегрирования по частям формулы (3.22)
и отбрасывания интеграла, пропорционального z_a's, или же путем асимптотического
। ычисления первоначального интеграла (1.9). Первый предвестник, определяемый
формулой (2.17), называют также предвестником Зоммерфельда2.

Согласно выражению (3.25) поле при больших отрицательных т экспоненциально
мало, поскольку

V (s) = у s“1/4 ехр ( —у s3/2 )	(s > 1)

при т — 1 происходит его нарастание, а при больших положительных т функция
V (—t) осциллирует, медленно убывая, поскольку

у (—т) = т-1/4 sin (у тЭ/2 + -^-)	(т>1).

Это поведение похоже (правда, лишь качественно) на поведение первого предвестника.
Предвестники исследовались экспериментально 28 прн законе дисперсии (1.4)
н несущей частоте, соответствующей дециметровому и сантиметровому диапазону волн.
Подобные исследования позволяют судить23 о законе дисперсии на частотах, сильно
отличающихся от несущей; однако чем больше | ш — ш01, тем точнее должна совпа-
дать огибающая, реализуемая в эксперименте, с теоретической.

4. ГЛАВНАЯ ЧАСТЬ ИМПУЛЬСА, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕГОСЯ

С ЗАТУХАНИЕМ

Формулы (3.1) — (3.3) применимы при условии (3.9) или (3.10) и тогда,
когда Im h (со) > 0 в пределах полосы частот, занятой высокочастотным
импульсом. Однако при этом групповая скорость (3.4) получается ком-
плексной — это значит, что огибающая перемещается без искажения
только тогда, когда

f=A'(fi>o)z+0,	(4.1)

где 0 — вещественная величина. При комплексности h' (ш0) соотноше-
ние (2.1) может выполняться лишь при комплексных z или t, т. е. на
комплексном луче. К чему это приводит при вещественных z и Можно
показать, что комплексность vg вызывает сильную дополнительную дефор-
мацию импульса 12 • 24, различную для различных комплексных огиба-
ющих F (0, t).
В качестве примера возьмем импульс (3.18) и, обозначая

h* (ш0) = 5 +	(4.2)

образуем

F (0, t — h‘ (а>о) z) = e-<V2) <“+<ь) G+й))» * e-«V2) <Н»-(а5-ЬЛ)x

X е-Ч(1/2)Ы»-(<»п+Ц)ха.	(4.3)

При данном z первый множитель правой части постоянен, второй показы-
вает, что максимум амплитуды (амплитудный центр импульса) переме-
щается со скоростью

а

Vl = а£—Ьт) ’

а третий — что точка, в которой мгновенная частота равна соо (фазовый
центр), перемещается со скоростью

р2= -bgq_ai) •	(4.5)

Скорости Pj и vs различны (в этом и проявляется деформация данного
импульса) и зависят от параметров а и Ь. Лишь при ц = 0 они совпадают
друг с другом и с групповой скоростью 1/£, но тогда мы возвращаемся
к распространению без затухания или же с затуханием, не зависящим
от частоты. Скорости и v2 могут быть сколь угодно велики или отрицатель-
ны; в частности, возможны значения »! > с и Pj < 0 даже без частотной
модуляции, т. е. при b = 0 (примеры, основанные на законах диспер-
сии (1.1) и (1.3), рассмотрены в наших работах п). В литературе можно най-
ти 86 примеры расчетов по формулам (3.5), (3.19) и (4.3) при наличии
затухания и сопоставление результатов с тем, что получается с помощью
точного вычисления интеграла (1.9); согласие получается удовлетвори-
тельным для умеренных z и при увеличении z ухудшается. Такое же
сопоставление было проведено 81 для «экзотических» значений vx — 1/£
(при b — 0), т. е. для Pj > с и < 0, со следующим выводом: чем экзо-
тичнее скорость тем она нестабильнее, т. е.'Тем меньше расстояние,
на котором импульс движется с этой скоростью. Дальнейшее распростра-
нение приводит либо к изменению до «нормальных» значений (0 < vx <
< с), либо к искажению импульса до неузнаваемости.

При отсутствии затухания, как мы видели в гл. 3, основной причиной
деформации импульса являются фазовые искажения, вызванные непо-
стоянством групповой скорости в пределах полосы частот | ш —	|

Дю, занятой импульсом. При наличии затухания Im h (©), зависящего
от частоты, возникает новое явление: искажение энергетического спектра
импульса по мере распространения. Действительно, при z = 0 спектр
пропорционален |Л (to) |8, а при z > 0 уже \А (<о) ре-2йп«®)«: он>
во-первых, испытывает ослабление, определяемое множителем е-Ит|м«о>«,
и, во-вторых, изменяется его форма, определяемая функцией

S (ю, z) = | А (ш) |2 е-2	(«•)-*(“о)](4.6)

и, в частности, изменяется эффективная несущая частота шт, соответ-
ствующая максимуму S (о, z) : ют смещается от в сторону, соответ-
ствующую бблыпим значениям экспоненты, т. е. меньшему коэффициенту
затухания. Поскольку <вт определяет частоту заполнения, изменяется
скорость движения импульса и, как нетрудно видеть, уменьшается его
ослабление (по сравнению с монохроматической волной, имеющей часто-
ту ш0). Начало этого процесса можно проследить по формуле (4.3).
Пусть, например, Ъ = 0, тогда при z = 0 импульс с несущей частотой ©о
модулирован только по амплитуде. При z > О частота заполнения равна
©т = ©0 — атр, т) = Im Л'|(©0),	(4.7;

т. е. при 1) > 0 она. меньше, а при т] < 0 — больше ©0, в соответствии со
сказанным выше. Дальнейшее смещение несущей происходит уже не по
линейному закону, как в формуле (4.7); оно может привести к тому, что
высокочастотный импульс превратится в импульс без заполнения 21 —
так будет, если минимальное затухание соответствует частоте © = 0.

Конечно, при значительном смещении несущей сам импульс, рас-
пространяющийся с затуханием, претерпевает сильное ослабление и зна-
чительную деформацию. Однако и при ослаблении в 40—70 дб импульс
может быть принят и как-то использован (правда, при слишком большой
деформации это сделать трудно, см. ниже).

Изменение формы спектра с расстоянием приводит к тому, что фор-
мулы (3.5) и (3.19) действительно дают нам ту часть импульса, которая
имеет частоту ©0, но эта часть является главной лишь для умеренных z,
при которых форма спектра еще мало отличается от начальной формы
S (ш, 0) = | А (©)| 2, и, в частности, эффективная несущая частота мало
отличается от ш0 (скажем, | ©т — ©0 | С Ли). С практической точки
зрения обычно важны лишь такие z, при которых импульс похож на
первоначальный и воспринимается приемным устройством, работающим
в полосе частот исходного импульса. Наблюдая (с помощью широко-
полосного приемника) наш импульс на бблыпих расстояниях z, где форма
его спектра совершенно иная, мы столкнемся со следующим явлением:
то, что мы принимаем, совершенно не похоже на то, что было послано,
поскольку принимаемый импульс определяется такими свойствами излу-
чаемого импульса (его спектром при | © — ©0 I Л©), которые при
излучении не контролируются.

Изменение формы спектра и деформация импульса происходят с рос-
том z тем медленнее, чем меньше А© (это видно, в частности, из форму-
лы (4.7), где а ~ А©2), т. е. чем медленнее изменяется комплексная огиба-
ющая F (0, t) во времени (ср. гл. 3). Однако и за пределами полосы
| © — ©0 | < Л© всегда имеется некоторая мощность, дающая начало
побочным частям поля (гл. 3). Если затухание зависит от частоты, то эти
побочные части могут стать преобладающими. Используя наш эпиграф,
мы скажем: «слон» может стать меньше «мушки», а в усиливающих систе-
мах (гл. 6) «мушка» может стать больше «слона». Заметим, что непостоян-
ство скорости импульса обусловлено изменением эффективной несущей
частоты: каждый элементарный спектральный интервал ©, © + d©
характеризуется своей скоростью, а при данном z реализуется такая ско-
рость (отношение z к времени распространения), которая соответствует
доминирующей частоте ©т.

В связи со сказанным выше естественно поставить вопрос: что такое
сигнал и какова его скорость! До сих пор мы слова сигнал (переносчик
информации!) не употребляли; для импульса (3.18) это слово не подходит:
он не имеет ни начала, ни конца, подобно бесконечной гармонической
волне. Неудивительно, что скорости 14 и v2 для такого импульса могут
быть сверхсветовыми или отрицательными, подобно фазовой скорости
©O/Re h (©0) гармонической волны. Вообще же следует признать, что
импульс с голоморфной (аналитической) комплексной огибающей F (0, t)
•не есть сигнал в собственном смысле этого слова, поскольку такой импульс
бесконечен во времени и лишен элемента внезапности: если мы его наблю-
даем в малом интервале At, то дальше все определено однозначно. Сигна-
лом может быть, например, прямоугольный импульс или же импульс,
огибающая которого определена формулой (3.18) при — Т < t < Г и рав-
на нулю прй i < — Т п t> Т: как бы не было велико Т и мало е_( 1)0 г
такой импульс не является голоморфной функцией t и до момента t = — Т
нельзя предсказать, будет ли импульс или нет. Таким образом, для
сигнала выражение (3.3) с комплексной групповой скоростью (3.4) не
имеет смысла, и для него основное значение имеет предельная скорость с,
с которой движется фронт импульса (или же любое его внезапное измене-
ние, см. конец гл. 2). За фронтом движутся остальные части импульса —
каждая со своей скоростью. Главная часть импульса рассчитывается по
формулам (3.5) и (3.7), которые определяют волновое поле в окрестности
главного комплексного луча (4.1). На конечном интервале расстояний
некоторые характерные признаки — например, максимум огибающей.

Рис. 4. Распространение косинусоидального импульса с отрицательной скоростью
,ОТ.

F (0, О = сов (^-1 при | 11 Т, Г (0, 1) = 0 при | i | Т веков дисперсии (1.3);	= 0,2 ар.

v = 0,18ь>р, д, — —1,7 е, fflj ™ 2я.

| F (z, t) I, могут перемещаться со сверхсветовой или даже отрицатель-
ной скоростью, но ни к каким противоречиям с релятивистской причин-
ностью или со здравым смыслом это не приводит ♦). Так, если скорость
максимума 14 > с, то это значит, что максимум приближается к фронту
(что похоже на процесс сжатия импульса), однако неограниченное сбли-
жение невозможно, поскольку изменяется спектр (4.6) и вместе с ним
скорость Pj. Труднее представить себе случай < 0, поэтому на рис. 4
приведены результаты, полученные путем вычисления интеграла (1.9)
для импульса с косинусоидальной огибающей: по мере увеличения z фронт
приходит позже, максимум — раньше, однако уже при небольших z
импульс полностью разваливается.

Заметим, что говорить о голоморфности или неголоморфности огибаю-
щей имеет смысл лишь при игнорировании шумов в системе и в прием-
нике; однако учет шумов — это сложная статистическая задача, которая
требует отдельного рассмотрения.

Во введении распространение импульсов исследовалось в рамках
лучевой кинематики, которая затем была дополнена комплексными луча-
ми. Дальнейшее рассмотрение велось в рамках волновой кипемятикк,
причем следует различать строгую волновую трактовку, например, фор-
мулы (1.9), (1.12), (1.15), (2.1)— (2.5) и приближенные соотношения
(3.1)—(3.8) для главной части импульса, аналогичные параксиальной

*) Надо скавать, что передача информации с фавовой скоростью невозможна
главным обрааом потому, что это — скорость внутреннего движения в импульсе,
фронт которого движется со скоростью с, а главная часть — со скоростью vg < с (если
затухания нет). Что же касается скорости максимума при наличии затухания, то это
тоже скорость внутреннего движения, причем более или менее кратковременная.
волновой оптике. Возможен и третий подход, который естественно назвать
энергетической кинематикой; она позволяет составить более четкое
физическое представление о распространении импульсов с амплитудной
модуляцией.

5.	ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА

Бриллюэн 29 впервые указал связь между распространением электро-
магнитных импульсов и скоростью переноса энергии на несущей частоте
ре = -^- .	(5.1)

Как показано выше (см. Введение), эта скорость в лучевом прибли-
жении является скоростью перемещения импульсов (при чисто ампли-
тудной модуляции и достаточно узкой полосе частот Аю) и поэтому дол-
жна совпадать с групповой скоростью (3.4); прямое доказательство равен-
ства vg - ve для непоглощающих сред дано Рытовым 27 (см. также а8).
Интересно, что-в гидродинамике равенство скорости группы волн и ско-
рости переноса энергии было отмечено еще в 1877 г. 2В.

Если же рассматривать системы с потерями, то окажется, что для
реальных сред или линий мы всегда получаем 29>29 ve в пределах 0^ ие с;
поэтому естественно думать, что «истинная скорость движения импульса
равна ие». Автор ранее придерживался 29 этой точки зрения, она как
будто подкрепляется тем, что Импульс есть сгусток энергии, энергия
эквивалентна массе, а масса не может перемещаться со сверхсветовой
скоростью. Однако эта точка зрения неверна по следующим сообра-
жениям:

а)	В гл. 4 показано, что скорость импульса (3.18) может быть любой
(г?! >• с и рх < 0), поэтому Pj =/= ие и между и ve существует более слож-
ная связь (см. ниже). В частности, в активных системах возможен слу-
чай, когда ve < 0 для импульса, распространяющегося в положительном
направлении (гл. 6). Все это показывает, что при наличии затухания или
усиления уподоблять импульс материальному телу нельзя. Если затуха-
ние имеет чисто реактивный характер и h (d>) при и « ш0 - чисто мни-
мое, то при b = 0 по формуле (4.4) получаем = 1/| = со, а по форму-
ле (5.1) ve = 0, поскольку поток энергии отсутствует.

б)	При наличии потерь для вычисления плотности энергии W недо-
статочно знать макроскопические характеристики среды, например,
комплексные проницаемости в (ш) и р (со), а нужно иметь некоторые
сведения о ее микроскопических свойствах: надо знать «уравнение дви-
жения» для нее 30 или же располагать дополнительными эксперименталь-
ными сведениями. Таким образом, для заданного закона дисперсии h (со),
однозначно определяющего распространение импульса, могут быть разные
значения W и ve.

в)	Вообще вопрос о скорости импульсов нельзя решать с помощью
определения. Так, недавно была введена 30 скорость по формуле (5.1),
где W означает вакуумную часть электромагнитной энергии: эта скорость
имеет определенный смысл, но к распространению импульсов никакого
отношения не имеет *).

Поясним сказанное в пункте б). Плотность энергии W, плотность
потока энергии Sz (составляющая вектора Умова — Пойнтинга) и плот-
ность мощности потерь Р связаны соотношением

-^•+t+P = °-	<5-2>

*) То же можно сказать об определениях, данных в более старых работах *> 4
см. также обзор 6).
Если под W, Sz и Р понимать величины, усредненные по времени (напри-
мер, по периоду 2л/(С0 несущей частоты), то для пассивных сред W О,
5г > 0 и Р 0, для активных сред W, Sz и Р могут быть отрицатель-
ными. Если же мы рассматриваем не плоскую волну в однородной среде,
а волну в линии передачи, то соотношение (5.2) справедливо для величин
W, Sz и Р, усредненных еще по поперечному сечению линии.

Для идеальной среды Р = 0 и плотность энергии W вычисляется по
макроскопическим характеристикам без дополнительных сведений. В тео-
рии электрических цепей 81> 32 это соответствует тому обстоятельству, что
энергия реактивного двухполюсника, имеющего при временной зависи-
мости e~iat импеданс Z (ш) = —iX (©), определяется однозначно,
а именно, пропорциональна производной X' (и). Это позволяет сразу же
получить выражения для электрической и магнитной энергии в среде
без потерь, заполняя этой средой емкость С и индуктивность L и получая
в первом случае X (со) = — 1/(ое (w) С, а во втором X (со) = ©ц (©) L.

Формулу для энергии всего проще вывести, рассматривая колебания с частотами
ы ± Дш, когда ток и напряжение на клеммах двухполюсника определяются выра-
жениями

/(t) = Re(/0e'to/cos Ды() = Ве [А (е-Н<Н-Ли)<+е-4 (и-Л«)Г) J , Zo=const,
J7(t) = Re | — iA [Х(й>+Ды)е-1(“+Л<в)*+Х(ш—Дш)е-1(и-Аш)‘] } «=

= Im (Х(ы)/ое-1<в*соз Ды<)—ДыНе(Х' (at) Ioe~iai sin ДсоГ) при Ды—>0.

Энергия двухполюсника в момент t = 0, очевидно, равна

л/2Дш

Wo=— lim (
Дш-»0 J
о

т. е. энергии, выделяемой при 0 < t < л/2Дш во внешней нагрузке (при t х л/2Ды
и Дш -> 0 мы имеем практически I (t) = 0 и U (t) = 0). Полагая Zo = | Zo ] е’ф и усред-
няя еще по фазе <р, получаем искомую формулу

VT=Ax'(a>)|/0|2.

Тот же результат получится, если рассмотреть слегка затухающее гармоническое
колебание, т. е. колебание с комплексной частотой ш — iy.

При наличии потерь трудно отличить энергию, еще сохранившую
свою электромагнитную природу, от энергии, находящейся в других
формах, т. е. различить слагаемые 9W/dt и Р в уравнении (5.2). В теории:
цепей это соответствует тому, что энергия произвольного двухполюсник»
с импедансом Z (©) = R (©) — iX (©) не определяется функциями R (©)
и X (©): для ее вычисления нужно знать внутреннюю структуру двух-
полюсника, Сказанное иллюстрируется классическим примером 88 двух-
полюсника, у которого Z (©) = R = const; это может быть либо чистое
сопротивление R (рис. 5, а), у которого W == 0, либо более сложная
схема (рис. 5, б), в которой энергия накапливается в элементах С и L
и после выключения напряжения на клеммах диссипирует в элементах R
за время порядка т; чем больше т, тем больше энергия, накапливаемая
в цепи. В литературе 17 • ав- а8- 80 для законов дисперсии (1.1) — (1.7) при-
ведены формулы, определяющие минимальное значение W и максималь-
ное значение ve.

Ив рис. 5 можно сделать два дополнительных вывода м. Во-первых, видно, что
закон Джоуля — Ленца, согласно которому тепловая мопцплчл, выделяемая током I
в сопротивлении R, равна Z?Z2, не является тривиальным следствием закона Ома,
а содержательным экспериментальным результатом, поскольку закон ома допускает
и схему на рис. 5, б, в которой зта мощность не равна RI2, Во-вторых, элементы R
на рис. 5, б можно заменить такими же сложными схемами, в этих схемах произвести
такую же замену и т. д.— таким путем мы получим бесконечную чисто реактивную

а)

Рис. 5. Двухполюсники, имеющие один и тот же импеданс Z (о) = R = const.

систему, обладающую диссипативными свойствами — подобно тому, как в кинетиче-
ской теории газов диссипативными свойствами обладает консервативная система.

Вернемся к распространению импульсов. Поставим задачу так, как
раньше: при некотором z > 0 мы наблюдаем импульс, посланный из точ-
ки z = 0. Импульс приносит с собой поток энергии Sz и выделяет в окрест-
ности точки z мощность, пропорциональную Р и имеющую импульсный
характер. Если ввести t0 и с помощью соотношений “• 84

to

OD

J tSzdt

00	’

J Szdt

-о»

J tPdt

— 00
СЮ	'

J Pdt
— 00

(5.3)



to t0 будет определять момент, когда в точку z приходит центр импульс-
ного потока энергии, a tx — аналогичный момент, соответствующий мощ-
ности потерь. Из соотношения (5.2) вытекает тождество

где

dip _<+y(to—h)

Л	Vg

J Szdt
— 60
l>e=—-----,

J PFdt

J Pdt
— 00

7 = -^---

J Wdt

(5-4)

(5-5)

При достаточно медленной модуляции по амплитуде ve совпадает с вели-
чиной (5.1), а у равно отношению PIW при ш = (с0.

Формула (5.4) еще раз показывает, что в отсутствие затухания ve
совпадает с групповой скоростью (3.4). Действительно, в этом случае
Р = 0 и у = 0, следовательно, dtQ/dz = 1/ре, а согласно гл. 3 в ближней
зоне dtjdz = 1/vg, поэтому ve =* v№. Но формула (5.4) при у = 0 сооб-
щает нам нечто большее, чем формула (3.4): в промежуточной и дальней
зонах, где импульс деформирован, его центр продолжает двигаться с той
же скоростью, что и в ближней эоне.

Теперь перейдем к распространению с затуханием, вызванным поте-
рями, и рассмотрим импульс, определяемый в ближней эоне формулой
(4.3) при b = 0. Мы имеем, очевидно, = поэтому

Vg

(5.6)
и мы видим, что при у #= 0 энергетический центр импульса может пере-
мещаться со скоростью, отличной от ие и зависящей от формы импульса
(поскольку она определяет разность t0 — ix): > »е при 0 < у (tj —
—10) < 1 и рг<0 при у (ti~ Jo) > 1. В поглощающей среде у > 0 и оба
неравенства означают, что импульс потока энергии опережает импульс
мощности потерь (рис. 6, а); потери «выедают» преимущественно заднюю
часть импульса, что либо увеличивает скорость движения его максимума,
как бы подталкивая дмпульс, либо (при бблыпих значениях у (£х — i0))
заставляют его двигаться в отрицательном направлении.

Аналогичный процесс происходит ав- 86 при распространении свето-
вого импульса в усиливающей (лазерной) среде: передняя часть мощного

Рис. 6. Импульс потока энергии и импульс мощности потерь при > ve в пассивной
(поглощающей) среде (с) и в активной среде (б).

импульса проходит в среде с наибольшей инверсной населенностью
и усиливается, в то время как задняя часть проходит по обедненной
среде и поэтому почти не усиливается (у <0, Jx < t0; см. рис. 6, б),
вследствие этого максимум импульса перемещается со сверхсветовой ско-
ростью. Для этого нелинейного волнового процесса формула (5.4) оста-
ется в силе: сверхсветовое распространение импульса в поглощающей
линейной среде и усиливающей нелинейной вызвано аналогичными при-
чинами.

Энергетическая интерпретация сверхсветового распространения им-
пульсов показывает еще раз, что оно обусловлено деформацией импульсов
и не может быть использовано для передачи сигнала со скоростью, превы-
шающей скорость света в пустоте, точно так же, как отрицательные зна-
чения v-l не могут быть использованы для обхода принципа причинности.

6.	ЛИНЕЙНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ АКТИВНЫХ СИСТЕМ

В гл. 4 и 5 показано, что наличие затуханиясильно усложняет процесс
распространения импульсов. Еще более запутанные явления возникают,
когда мы рассматриваем активные (неустойчивые, усиливающие) системы
или среды. Для них Im h (со) < 0 при некоторых вещественных со или
же h (со) не является голоморфной функцией со при Im о > 0, как, напри-
мер, h (со) по формуле (1.6).

Однако и для усиливающих систем должен выполняться принцип
релятивистской причинности (1.11), в силу чего интеграл Фурье (1.9)
следует видоизменить следующим образом:

«г+»

/ (z, t)= j A	(6.1)

Со-оо
где положительный параметр а выбирается так, чтобы при Im ш > п
функция h ((c) была голоморфной, в частности, для закона дисперсии (1.6)
надо брать о > 0. Поскольку нас интересует главная часть импульса,
мы можем деформировать путь интегрирования и провести его через точ-
ку (оо на вещественной оси. К окрестности этой точки мы можем опять-
применить формулы (3.1)—(3.4) и для закона дисперсии (1.6) получаем
групповую скорость

Vg = с 1 с,	(6.2)

в то время как фазовая скорость меньше с.

Этот результат был отмечен Эренфестом 14 как парадоксальный,
но на основании гл. 4 легко дать надлежащие разъяснения. Конечно,
главная часть, соответствующая частоте соо, движется со сверхсветовой
скоростью (6.2), однако для импульса с фронтом — а только такой
импульс может быть сигналом — она не может обогнать фронта и, кроме
того, постепенно сходит на нет, теряясь в экспоненциально нарастающей
побочной части, получающейся из формулы (2.2) при а = 0.

В теории активных систем иногда трудно различить затухающие
волны от усиливаемых. Когда в результате теоретического анализа полу-
чается волна, для которой Im h ((с0) <Z 0, то возникает вопрос: соответ-
ствует ли это усилению волны, бегущей в сторону возрастания z, или
затуханию волны, бегущей в сторону убывания z? В пассивных системах
никаких трудностей нет, при Im h (<с0) > 0 мы всегда имеем волну, рас-
пространяющуюся в положительном направлении, при Im h <Z О
в отрицательном, при Im h (ю0) = 0 все определяется знаком групповой
скорости (3.4) или предельной скорости (1.8). Для активных систем был.
предложен 37"ав ряд критериев, позволяющих ответить на этот вопрос,
однако наиболее простой и физически естественный ответ связан с рас-
смотрением интеграла (6.1) для высокочастотного импульса с несущей
частотой (й0. Этот путь является тем более естественным, что монохрома-
тическая волна является абстракцией, а на практике мы всегда имеем
дело с импульсами, более или менее длинными. Ниже будут рассмотрены
конкретные примеры, в которых определить направление распростране-
ния не так-то просто.

Для активных систем, как и для пассивных, распространение волн
определяется функцией h ((d), причем не имеет смысла развивать теорию
для произвольной функции h (а), а нужно иметь в виду реальные среды
и линии и те ограничения, которые естественным образом накладываются
на закон дисперсии h (ш). Если мы имеем плоскую волну в однородной
среде с комплексной диэлектрической проницаемостью е ((d), то при
р. = 1 функция h (<d) определяется формулой

Й(Ю)=^./Г(^),	(6.3).

причем для пассивных сред е (оо) есть функция, голоморфная в верхней
полуплоскости Im оо 0 и стремящаяся при | оо | -> оо к единице.
Нетрудно видеть, что для линейных активных сред это свойство функ-
ции в (cd) остается в силе, если под верхней полуплоскостью понимать,
полуплоскость Im ю > о, где о — положительный параметр, входящий
в интеграл (6.1).

В самом деле, обозначим через А (а) комплексную спектральную
амплитуду электрического поля в данной точке, а через Е (t) и D (<) —
само электрическое поле и соответствующую ему электрическую индук-
цию *) в той же точке (мы не различаем токи смещения и токи проводи-
мости, включая их в Л). Тогда, представляя Е (4) и D (4) в виде

E(t) = j А e~ia>i ска, D(t)= j е (св) А (св) e-iaida), (6.4)
ia — ос	ia—оо

мы не можем пользоваться обычными интегралами Фурье, а должны, как
в формуле (.6.1), сместить путь интегрирования, поскольку обычные инте-
гралы Фурье, взятые по вещественной оси <в, могут представлять лишь
функции Е (4) и D (4), исчезающие при 4->± оо, а модифицированные
интегралы фурье (6.4), как легко показать, путем замены переменной
(D = (c'4-io, требуют лишь исчезания произведений E(t)e~ot и D(t)e~at
при 4-> ± оо. В активной среде возмущения могут нарастать во времени
после прекращения внешних воздействий, поэтому беря а достаточно боль-
шим, мы можем написать выражения (6.4); обращение первого из них
имеет вид

ОО

Л(й))=з^ J E(t)eiu>tdt,
— ОО

Imco^-a.

(6-5)

Принцип причинности требует выполнения условия

если Е (4) = 0 при 4 < 0, то D (4) = О при 4 < О, (6.6)

тогда из выражения (6.5) следует голоморфность функции Л (ш) в полу-
плоскости Im <в о, а условие (6.6) будет выполняться только при
голоморфности 8 (©) в этой полуплоскости.

Законам дисперсии (1.4) и (1.5) соответствует диэлектрическая про-
ницаемость

е (со) = е--------—------j

(й2-|-ЙК0—

(6-7)

в которой слагаемое в при © « ± шг можно считать постоянным поло-
жительным числом, если все другие резонансные"частоты достаточно дале-
ки от ©г. Инверсия населенностей приводит 40 к отрицательному значе-
нию ©’ = -0а и к функции е (©), голоморфной в полуплоскости
Im со > 0; лишь в предельном случае v = со, = 0 мы приходим к закону
дисперсии (1.6), для которого голоморфность будет лишь при Im со > 0.
С точки зрения условия (6.6) была бы возможна активная среда с прони-
цаемостью (6.7), в которой <Вр > 0, но зато v < 0. Такие среды неизвест-
ны и, вероятно, не существуют, однако законы дисперсии (1.3) и (1.4)
при (Вр > 0 и v < 0 приближенно соответствуют 41 квантовому пара-
магнитному усилителю (мазеру) с бегущей волной, состоящему из пере-
дающей линии с полосой непрозрачности 0 < <в < ©р или <вг < св <;
< У со, + (Ор и активных элементов, отрицательные потери в которых
превосходят положительные потери в линии. При <в« > 0 и v < 0 функ-
ция h (<в) голоморфна лишь при Im ю о > | v | /2 и разрез функции
h (©) расположен выше вещественной оси.

В первом же случае, т. е. при ©р < 0 и v > О, разрез функции h (©)
находится ниже вещественной оси, интеграл (6.1) берется по веществен-
ной оси, и главная часть импульса усиливается. Во втором случае инте-
грал (6.1) берется по пути, расположенному выше разреза, который

соединяет точки

i V

COj..,JI (Ор

0>2 = G>f4

Сйр
—

(v <2 0, <Вр (oj),

И

. V
j —

•) Под Е и D мы понимаем одну на декартовых г-пгтяппнитртт напряженности
и индукции.
и усиление будет только в том случае, когда соо не лежит под разрезом:
тогда интеграл можно провести через точку <в0, вычислить главную часть
и убедиться, что для нее Im h (соо) < 0. Если же точка <о0 лежит под
разрезом (рис. 7), то ситуация иная: мы можем деформировать исходный
путь интегрирования в путь, проходящий через точку <о0, только пере-
местив разрез L в положение L'. Поэтому в формуле (3.2) для главной
части мы будем иметь Im h (ш0) > 0, поскольку между кривыми L и L'
значение h (се0) берется с иным знаком, чем в точке соо под разрезом L.
Иначе говоря, при v < 0 происходит то же, что и при v = 0, когда волна
затухает, если ее частота попадает в полосу непропускания, и активные
элементы не могут «оживить» ее и превратить в нарастающую.

Таким образом, распределение поля в системе будет определяться
затухающей экспонентой как при v 0, так и при v < 0. Знак v опреде-
ляет лишь знак потока энергии в направлении оси z: при v > 0 этот

. Imw

Rew

Рис. 7. Вычисление главной части
в случае, когда точка ш0 лежит^под
разрезом L.

Рис. 8. Импульс потока анергии и импульс
мощности потерь в активной системе при
экспоненциально затухающем поле.

поток положителен, а при v < 0 отрицателен, т. е. энергия при v > 0
вводится источником поля в систему, а при v < 0 из активной системы
передается источнику поля, так что Sz < 0 и по формуле (5.1) ие < 0,
поскольку W > 0.

Тем не менее импульс в такой системе распространяется, как это
и следовало ожидать, в положительном направлении (14 > с), хотя быстро
теряет свою форму вследствие усиления побочных частей и ослабления
главной. Согласно формуле (5.4) это объясняется тем, что импульс отрица-
тельных потерь сильно опережает импульс отрицательного (к источнику
поля) потока энергии (см. рис. 8).

Этот пример показывает, что знак ve или Sz -(как раньше знак v±)
еще не определяет направления распространения волны. Существуют два
признака, позволяющих отличать положительное направление от отри-
цательного. Первый признак — абсолютный: волна распространяется
в положительном направлении при положительности предельной скоро-
сти (1.8), т. е. в интеграле (6.1) может фигурировать функция h (ш) лишь
с положительной предельной скоростью. Иногда (см. § 7) к пределу
| со | —>• оо перейти нельзя, и приходится пользоваться вторым призна-
ком — относительным: если при каком-то конечном значении со данное
значение h (со) соответствует волне положительного направления, то
аналитическое продолжение дает такую же волну.

7.	УСИЛЕНИЕ ПРИ ПРОХОЖДЕНИИ ИЛИ УСИЛЕНИЕ ПРИ ОТРАЖЕНИИ?

Рассмотрим такую задачу На плоскую границу раздела двух сред
с диэлектрическими проницаемостями е0 (при z <Z 0) и е (при z > 0)
падает под углом <р плоская волна, электрическое поле которой парал-
лельно границе раздела (рис. 9). Коэффициент отражения такой волны
равен

давУчСО8_Я)-Р_> p=/e-eosm»q>.	(7.1)

У во С03ф + р

Будем считать е0 вещественным положительным числом, причем е0>»
> Re е. Если Im е > 0, то знак р выбирается так, чтобы величина

Л = ^-р = Л/е-е0вт2ф,	(7.2)

определяющая зависимость волны, прошедшей во вторую среду (z >• 0),
от координаты z, имела положительную мнимую часть. Если же Im е < О,
т. е. вторая среда является активной, то, вообще говоря, надо брать
Im р < О и Im h <_ 0, поскольку прошедшая волна должна в активной
среде усиливаться. Однако при

sin2 <р >(7.3)
е0

возникают сомнения. С одной стороны, можно считать, что малые отрица-
тельные потери (обычно — Im в 1) не могут сильно изменить затухаю-
щего распределения поля во второй сре-
де, и выбирать в этом случае р так, что-
бы было Im р > 0. Тогда мы получим

д |2 = (]/ёрсозф—Re p)a4-(Imp)2 =

соз ф+Re р)2+(1ш р)2

— 1 _	_ ^^ёосозфВер	«

(]Л е0 соз ф + Re р)2 -|- (Im р)2 ’

и так как

р = V^Re е—Вд sin2 ф-f-i Im в «

« i ]/cosin2(p —Re в +	 J™ — =

V во sin2ф—Ree ’

(7.5)
то Re p < 0 и | R |2 > 1, т. e. если
усиление при прохождении отсутствует,

то будет усиление при отражении, обусловленное потоком энергии
из активной среды к границе раздела (ср. рис. 8).

С другой стороны, предыдущий подход приводит к скачкообразному
изменению р и [ R |2 при переходе через угол ф0= arcsin VRe 6/ео- Такой
скачок нуждается в обосновании.

Из предыдущей гл. 6 ясно, что выбор знака р или, что то же самое,
выбор знака h нельзя правильно сделать, если ограничиться только моно-
хроматическими колебаниями, а надо взять импульс и выяснить, усили-
вается он или ослабляется, что зависит от поведения функции (7.2) в ком-
плексной плоскости ш. Для активных сред квантовой электроники выра-
жение (6.7) обычно упрощают к виду 40

в <“) = е+----------77	(7-6)

шг+i — 1

и тогда

В ((О)- 60 sin2 ф = 8 +	(8 = 8 —8о31П2ф),	(7.7)

причем е может принимать как малые значения, сравнимые со вторым
слагаемым правой части (7.7), так и конечные (положительные или отри-

Рис. 9. Падение плоской волны
на плоскую границу пассивной
(z < 0) и активной (z > 0) сред.
цательные) значения. Пока е > О, мы имеем Im h (©) < 0, и волна
в активной среде усиливается. Знак в изменяется при переходе через
критический угол <pt = arcsinl^е/е0, слегка отличающийся от <р0 (впро-
чем, ф! = ф0 при (О = (0г).

Таким образом, при переходе через угол ф( свойства функции h (©)
изменяются скачком: к этому углу и должны быть приурочены скачки р
и | R |2, а не к углу ф0. Правильность выбора значения Im h (©) > О
при ф > Фх можно проверить (см. конец гл. 6), беря такие значения
| ш — ©г |, при которых е (©) = в: тогда мы имеем полное внутреннее
отражение от границы двух обычных диэлектриков, и во второй среде долж-
но быть затухающее распределение поля.

Иногда утверждают 43,43а, что знак р можно определить, беря активную среду
в виде слоя толщины d, решая задачу для слоя и затем переходя к пределу d -> оо.
Этот путь является иллюзорным, поскольку при Im р < 0 волны, возникающие при
последовательных отражениях от границ слоя, образуют при достаточно большом d
расходящийся ряд и решения просто нет. Тем не менее основные результаты работы °
правильны (неточности допущены лишь в отношении угла ф0 и значения | R |тах),
работа же 43а ошибочна. В работе 11 сделан неправильный вывод (к сожалению, одоб-
ренный пишущим эти строки) о том, что в случае, изображенном на рис. 7, значение
Im h (ы0) < 0 соответствует волне, бегущей в положительном направлении. Этот
вывод базировался на положительности Sz и ve, ошибочность такой аргументации выяс-
нена Старроком **; на самом деле, как показано в § 6, значение Im h (ы0) < 0 для
волны, распространяющейся в положительном направлении, не реализуется, причем
для окончательного решения вопроса необходимо рассмотреть импульс, т. е. процесс
установления.

Максимальный коэффициент усиления в направлении оси z, согласно
формулам (7.2) и (7.7) равный

(7.8)

реализуется при ф = Ф1 — О и © = ©г. Он существенно превышает
коэффициент усиления при нормальном падении: причина в том, что при
Ф = Ф1 — 0 прошедшая волна распространяется почти перпендикулярна
оси z, т. е. перемещается по оси z, пройдя существенно больший путь в ак-
тивной среде. При (р = (jj 4- 0 и ы = ©г мы имеем Im h > 0 и коэффи-
циент отражения по мощности, равный

.1+26+2^

~1-2|+2^ ’

V 2<orv (ео—е)

принимает максимальное значение 45

|B|Lx = (K2 + 1)2 = 5,82 при £ = /2.

(7-9)

(7.W)



Однако на опыте наблюдаются 46,41 существенно ббльшие коэффициенты отра-
жения. Поскольку высказывалось мнение *3б, что это обусловлено конечной шириной
светового пучка, разберем этот вопрос подробнее. Отражение монохроматического
(временная зависимость е-1“‘) волнового пучка рассчитывается так же, как распро-
странение импульсов: только вместо интеграла (1.9) по монохроматическим волнам
решение уравнения (3.11) с волновым числом к0 = (ш/с) ]/ е0 представляется в виде
интеграла по плоским волнам. Если волновой пучок достаточно узок и падает на пло-
скость раздела под утлом <р, то в интеграле для падающего волнового пучка (z, х)
и отраженного волнового пучка ит (z, х) наиболее существенны плоские волны, утлы
падения которых близки к <р, и эти интегралы можно вычислить так же, как это сде-
лано в начале гл. 3. Подробности даны в работах Бреховских Если обозначить
коэффициент отражения (7.1) через R (ф) = е~<а<ф), то получается соотношение

ur(O,x) = j?(<p)Bi(O, х-Д). Д = Т7^.	(7-И)

/Cq t/Ua w
аналогичное выражению (3.3) и показывающее, что пучок, падающий на границу под
углом <р, отражается с тем же коэффициентом отражения R (ф), что и плоская волна,
и при отражении испытывает смещение Д. В обычном случае полного внутреннего
отражения | Я (ф) | = 1 и смещение Д вещественно «, при | Я (ф) | =£ 1 величина д
комплексна. Если, например,

и{(0, z) = e-(V2)(a+ib)x2+iAxBin<P и A = g + h)(	(712)

то это означает (см. начало гл. 4) смещение амплитудного центра пучка иа расстояние
Дг по оси х и смещение фааового центра пучка на Д2, где

, дг.*+а,	(7.13)

ж, кроме того, при х = Дх мы имеем

|вг(0, Д1-Д)| = К|и|(0, 0)|,	7С = ехр (	if) ,	(7.14)

т. е. комплексное смещение Д приводит к увеличению амплитуды пучка в К раз.
Поскольку при ф » (и ф > фх) по формуле (7.1) мы получаем

Й(ф)=2

sin2 ф—е	_ 2 е0 sin ф

|/гё0созф	У^еозт2ф—е ’

то согласно соотношению (7.11) при ф = ф14-Оисо=шг комплексное смещение Д
равно

А = Ч — 1/~ Т~(1 —кг = —	бе= —-—	(7.15)

кг "	08	с v	ejj-veo	'	1

и коэффициент усиления пучка равен

—га**].

(7.16)

т. е. он тем больше, чем меньше бе. Однако это вовсе не значит, что при бе -> 0 можно
получить сколь угодно большой коэффициент усиления К и сколь угодно большое
комплексное смещение Д: дело в том, что формула (7.11), аналогичная формуле (3.3),
применима не всегда. Для формулы (3.3) должно выполняться условие (3.9), анало-
гичное условие для формулы (7.11) имеет вид

- ST (ф) Аф2 < 1, Аф2 =	,	(7.17)

где Дф определяет угловую ширину пучка (7.12), подобно тому как Дш = ]/ а3 + Ь3
определяет ширину частотной полосы, занятой импульсом с комплексной огибающей
(3.18). Если учесть условие (7.17) и малость бе, то окажется, что в пределах примени-
мости формулы (7.16) всегда К ~ 1. Этот результат можно было предвидеть без вычис-
лении: ведь неограниченную плоскую волну всегда можно мысленно разбить на ряд
параллельных пучков, при отражении испытывающих смещение и складывающихся
в отраженную плоскую волну. Ясно поэтому, что отражение каждого пучка должно
происходить с тем же усилением, что и отражение плоской волны.

Таким образом, объяснить большое усиление при отражении конечной шириной
пучка (см. *®в) нельзя. По-видимому, на самом деле происходит не усиление при отра-
жении, а усиление при прохождении: часть пучка проходит в активную среду, усили-
вается там с коэффициентом усиления порядка (7.8) и затем выходит обратно в первую
среду благодаря отражению от неоднородностей. Усиление части пучка обусловлено
тем, что в его разложении по плоским волнам всегда имеются такие волны, которые
проходят в активную среду и усиливаются в ней. Дело обстоит так же, как в случае,
изображенном на рис. 7: в то время как частоте ш0 соответствует затухание, частотам
ш, лежащим правее разреза, соответствует усиление, они порождают нарастающие
побочные части, о которых говорилось в гл. 6.

Данные выше примеры относятся к квантовой электронике. В «классической»
электронике, т. е. для электронных потоков и плазмы, возникают аналогичные проб-
лемы, которые рассмотрены в цитированных ранее работах 44 и являются на пер-
вый взгляд более трудными, поскольку комплексные волновые числа h не имеют
явного выражения, а для них выводится лишь характеристическое уравнение; если
в данной системе взаимодействуют п волн, то это уравнение является алгебраическим
уравнением n-й степени. Однако при введении малого параметра 48 это уравнение
упрощается до квадратного, т. е. взаимодействие сводится к попарному. После этого
Ь каждой водке, возникающей в результате взаимодействия и имеющей функцию Л(ш)
уже в явном виде, можно применить наложенную выше общую теорию и, в частности,
найти направление распространения. Этого исследования м мы здесь не приводим^
потому что на этом пути новых результатов (по сравнению со статьейм) пока
не получено.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вопросы, рассмотренные в данной статье, имеют долгую историю:
основы волновой кинематики были заложены Гамильтоном (1839), Сток-
сом (1876) и Рэлеем (1877), основы энергетической кинематики —
Н. А. Умовым (1874). Число дальнейших работ по этим вопросам воистину
необъятно и перечислить их всех нельзя. Многочисленность работ объяс-
няется тем, что распространением импульсов постоянно интересуются
в самых разных областях физики и техники, но полного аналитического
решения этой проблемы дать не удается, если не считать решением инте-
гралы Фурье (1.9) или (6.1) вместе с рекомендацией рассчитывать их
на цифровых вычислительных машинах. К сожалению, таких расчетов
пока выполнено очень мало: даже в последние годы большинство авторов
возлагают неоправданно большие надежды на аналитический аппарат,
а если проводятся численные расчеты, то их результаты часто должным
образом не осмысливаются.

В этой связи следует отметить, что выведенные выше соотношения
позволяют, как правило, лишь понять основные явления, происходящие
при распространении импульсов, и оценить их в предельных случаях,
не заменяя полного расчета, о котором шла речь выше. В особом поло-
жении находится «слон»— главная часть узкополосного импульса, для
которой получены более простые выражения (3.5) — (3.8), пределы при-
менимости которых уточнены, особенно в гл. 4 и 6.

Я благодарен В. Л. Гинзбургу за интерес к этому обзору и ценные
советы. Я с признательностью вспоминаю критику В. А. Фока, относив-
шуюся к смешению понятий «импульс» и «сигнал» в нашей первой работе
с Е. С. Биргером 21а.

Институт физических проблем АН СССР

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.	Я. Л. Ш и р и а н, Разрешение и сжатие сигналов, М-, «Сов. радио», 1974.

2.	A. Sommerfeld, Ann. d. РЬув. 44 (10), 177 (1914).

3.	L. Brillouin, ibid., S. 203.

4.	H. G. Baerwald. ibid. 6, 295; 7, 731 (1930).

5.	M. Элайсез, Ф. Гарсиа-Молине p, в кн. Физическая акустика,
т. V, под ред. У. Мезона, М., «Мир», 1973 стр. 192.

6.	А. Зоммерфельд, Оптика, М., ИЛ, 1953, | 22.

7.	П. В. Б л и о х, Изв. вузов, сер. «Радиофизика» 7, 460 (1964).

8.	А. Г. Литвак, В. И. Т а л а и о в, ibid. 10, 539 (1967).

9.	J. R. Wait, Radio Sci. (J. Res. Nat. Bur. Stand) D69, 1387 (1965).

10.	M. J. L i g h t h i 11, G. N. W h i t h a m. Proc. Roy. Soc. A229, 281, 316
(1955).

11.	Л. А. Островский, Радиотехн. и электрон. 10, 1175 (1965).

12.	А 1 w у п Scott, Active and Nonlinear Propagation in Electronica,
Wiley, 1970.

13.	Б. Б. Кадомцев, В. И. К ар пиан, УФН 103, 193 (1971).

14.	Р. Ehrenfest, Ann. d. Phys. 33, 1571 (1910) (имеется перевод в кн. D. Эрен-
tecra «Относительность, кванты, статистика», М., «Наука», 1972, стр. 32).

.А. Фок, Проблемы дифракции и распространения электромагнитных воли,
М., «Сов. радио», 1970.

16.	Н. Г. Денисов, ЖЭТФ 21, 1354 (1951).

17.	В. Л. Гинзбург, Распространение электромагнитных волн в плазме, М.,
«Наука», 1967.

18.	К. G. Budde n, Radio Waves in the Ionosphere, Cambridge, University Press.
1966.

68*
19.	Б. Н. Гершмав, ЖТФ 22, 101 (1852).

D. G. Anderson, J.I.H. Ask ne. Proc. IEEE 62, 1518 (1974).

20.	a) L. В. F e 1 s e n, IEEE Trans. Antennas and Propagation AP-18, 424, (1971).

б)	К. А. К о n n о r, L. B. F e 1 a e n, Proc. IEEE 62, 1586 (1974).

21.	E. С. Биргер, Л. А. Вайнштейн, а) Радиотехн, и электрон. 18, 449
(1973); б) ЖТФ 43, 2217 (1973); в) ЖТФ 46, 212 (1976).

22.	Р. Pleshko, I. Р а 1 6 с z, Phys. Rev. Lett. 22, 1201 (1969).

23.	J. L. Birman, M. J. Frankel, Optics Comm. 13, 303 (1975).

24.	К. А. Барсуков, В. Л. Гинзбург, Иав. вузов, сер. «Радиофизика» 7,
1187 (1964).

25.	Г. И. Т е р и и а, Радиотехн. и электрон. 17, 611 (1972).

26.	L. Brillouin, in: Congres Intern. d'ElectricitG. Comptes rendus de travaux
de la premiere section, v. II, P., Gauthier-Villars, 1932, p. 739.

27.	С. M. P ы т о в, ЖЭТФ 17, 930 (1947).

28.	Л. А. Вайнштейн, ЖТФ 27, 2606 (1957); Электромагнитные волны, М.,
«Сов. радио» 1957, гл. VIII.

29.	Г. Л а м б, Гидродинамика, М.— Л,, Гостехиадат, 1947, § 236, 237, 266 и т. д.

30.	Е. О. Schulz-Du Bois, Proc. IEEE 57, 1748 (1969).

31.	Б. В. Булгаков, Колебания, М., Гостехиэдат, 1954, § 9. 22.

32.	И. С. Г о н о р о в с к и й, Основы радиотехники, М-, Связьивдат, 1957, § 6.3.

33.	J. Meixner, IRE Trans. АР-7. Spec. Suppl. S435 (1959).

34.	L. A. W a i n s t e i n, Fale electromagnetyczne, Warszawa, PAN, 1963, § 50.

35.	H. Г. Басов, P. В. Амбарцумян, В. С. Зуев, П. Г. Крюков,
В. С. Л е т о х о в, ЖЭТФ 50, 23 (1966).

36.	П. Г. Крюков, В. С. Лет о хов, УФН 99, 169 (1969).

37.	R. J. Briggs, Electron-Stream Interactions with Plasmas, The MIT Press.
Cambridge, Mass, 1964.

38.	А. И. A x и e 3 e p, P. В. Половин, УФН 104, 185 (1971).

39.	M. C. Steele, B. Vural, Wave Interactions] in Solid State Plasmas, N.Y.,
McGraw-Hill, 1969, ch. 5.

40.	P. П а н т e л, Г. Путхоф, Основы квантовой электроники, М., «Мир»,
1972.

41.	В. Б. Штейншлейгер, Г. С. Мисежников, Радиотехн. и электрон.
5, 962 (1960).

42.	Г. Н. Романов, С. С. Ш а х и д ж а н о в, Письма ЖЭТФ 16, 298 (1972).

43.	А. А. Колоколов, a) ibid. 21, 660 (1975); б) Опт. и спектр. 38, 809 (1975).

44.	Колебания сверхвысоких частот в плавме, ред. Г. А. Бернашевский и 3. С. Чернов,
М., ИЛ 1961, стр. 71.

Р. A. Sturrock, Phys. Rev. 112, 1488 (1958).’

45.	С. А. Лебедев, В. М. Волков, Б. Я. Коган, Опт. и спектр. 35, 976

46.	t. Я. Коган, В. М. Волков, С. А. Лебедев, Письма ЖЭТФ 16, 144
(1972).

47.	Л. М. Б р е х о в с к и х, Волны в слоистых средах, М., «Наука», 1973 (стр. 74
и след.), УФН 50, 539 (1953).

48.	Р. В. Половин, ЖТФ 31, 1220 (1961).

49.	Лекции по электронике СВЧ (3-я зимняя школа-семинар инженеров), кн. V,
Саратов, Иад-во Сарат. (ун-та 1974, стр. 76—86.
О НИЗКОЧАСТОТНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ВЫСОКОЧАСТОТНОЙ силы

Л. А. Вайнштейн, Я. Б. Дубошинский

В работе I1] изложены экспериментальные результаты по возбуждению
периодических колебаний маятников под действием силы, нелинейно за-
висящей от координаты и гармонически от времени, причем частота этой
силы существенно больше частоты колебаний системы: сила с частотой
50 Гц раскачивает маятники, частота их колебаний порядка 1 Гц, а ампли-
туда слабо зависит от амплитуды силы. Ниже дана элементарная теория
этого эффекта.

Для маятников, исследованных в работе р], можно написать уравнение
движения в виде

£ -|- ш%х = / (z, х) -|- Fe (z) sin vf,	(1)

где х — угол отклонения маятника от вертикали, <оо — частота малых сво-
бодных колебаний маятника,

/ (х, х) = о>2 (х — sin х) —	(2)

— малая функция, учитывающая нелинейность свободных колебаний и трение;
F — амплитуда внешней силы; v — ее частота (v >> %); е (z) — функция,
определяющая зависимость силы от координаты х; для силы, действующей
в некотором промежутке, можно, например, положить

e(z)=l при |х |<х0, e(z) = 0 при |z|^>z0,	(3)

в дальнейшем мы считаем эту функцию четной.

Решение нелинейного уравнения (1) можно искать в обычном виде

z = asin0, 0=ш(-{-а, a = a(t), a=a(t),	(4)

полагая

х = ша cos 0, a sin 0 аа cos 0=0.	(5)

Образуя х и подставляя в (1), мы получаем систему уравнений

d =	....-.a sin 0 cos 0-j-	/ (о sin 0, ша cos 0) cos 0 +

— e (a sin 0) cos 0 sin vt,

a — ~7 sjna Q-----(a sin 0, wa cos 0)sinO--— e (a sin 0) sin 0 sin vi, (6)

к которой применяем метод усреднения.

Учитывая, что функция e(asin0) имеет по 0 период л (рис. 1), мы
можем написать для нее разложение

е (a sin 0) =А0(а) -f- 2 J ^(а) cos 2ш0,	(7)
где

2 с

Лаж (а) =— I е (а sin в) cos 2m0d0,
о

(8>

и мы будем иметь

е (а sin 0) sin vt = Ао sin vt -|- S -^am [sin (yt — 2m&) + sin (yt 2m0)],	(9)

и при условии

VpantO,

(10)

в правой части уравнения движения (1) имеется сила, синхронная (при
ш«<о0) с собственными колебаниями маятника; эта сила и остается при
усреднении правых частей (6). Усреднен-
1“ц1П	ные уравнения имеют вид

&=—т а++А+1) sin

Рис. 1. Зависимость е (х) от в.

.	Г ш’ —

<р = 7-па>_п^^-^ —

—2^(Ля-1-Л«+1)СО8?]*

<р = vi — 720 = (v — пш) t — па,

<р = v — п (ш а),

(И)

(12)

<o2=2£1W
а а

(13)

причем <ов — частота свободных колебаний маятника с конечной амплиту-
дой а (это приближенное выражение, получаемое методом усреднения при
0 = 0 и F = 0; см., например, р]).

Уравнения (11) пригодны как для анализа стационарных колебаний,
так и для анализа процессов установления; последнее справедливо лишь
при а^>х0. В режиме стационарных колебаний должно быть d=0 и <р=0,
а частота колебаний равна

a=v/n,	(14)

т. е. является нечетной субгармоникой частоты внешней силы. Удобно
во всех случаях полагать ш=м/п, тогда для стационарных колебаний не
только ф=0, но и &=0, и система (11) приводит к соотношениям

F sin <р =	-j—-Д---Г—, 8» =	,

яя-1 + А|Н-1	ш6

определяющим амплитуду а и фазу <р =—па стационарных колебаний.
При п^>1 малые изменения а приводят к большим изменениям величины
<р, определяющей фазу высокочастотной силы в момент, когда маятник
проходит положение равновесия (tp=vt при 6=0). Согласно первому
соотношению (15), <р -> 0 при 0 -> 0 или F -> оо. Связь между амплитудой
силы F и амплитудой колебаний а дается соотношением

F=to*a



(16)
Подставляя в интеграл (8) функцию (3), мы получаем
л 2 S1T1 Л0д z-ч	„ Хл £д	Хд «

Ап=------—0n = arcsm —да — при — <gl,

" гс п ’	°	а а г а

(17)

и свойства стационарных колебаний вытекают из следующих математи-
ческих фактов: 1) при 0в<<1 и п0о^1 коэффициенты Л„_г и А^, вообще
говоря, мало отличаются друг от друга, поэтому в соотношениях (15) и
(16) их разность гораздо меньше суммы; 2) величина 8 зависит от ампли-
туды а, в силу формулы (12) мы имеем

8 °—..°5,

~ 8

(п —

<%).

(18)

Поэтому при больших F зависимость F от а будет почти линейной

F « о>га а" ~ а°^______________________

0	(а0)|

(19)

с большим коэффициентом при а — аа (величина шуа. есть естественный
масштаб силы F : это максимальная сила, возвращающая маятник при
свободных колебаниях, не слишком отличающихся от линейных).

Рис. 2. Зависимость F от а при n=103, ®o=O.O12, v=314, <oj={0'1 р=0.01.

На рис. 2 дана зависимость F от а: сплошной кривой — по формуле
06), штриховой — по формуле (19). Сильная зависимость F от а соответ-
ствует слабой зависимости а от Ё: так, при увеличении F в 15 раз а уве-
личивается на 0.3% или меньше. Уже при F ~ 5 формулы (16) и (19) дают
близкие результаты. Фаза <р зависит от F довольно сильно: <р ~ 1/F при
больших F.

Уравнения (11) позволяют исследовать устойчивость стационарных
колебаний, определяемых соотношениями (15) и (16). Если переписать
уравнения (11) в виде

d = /(a, ср), <p = g(a, <р)	(20)

и обозначить через /о и Д, производные dflda, и dfldy, взятые при постоян-
ных значениях а и <р, соответствующих стационарному колебанию, то
условие его устойчивости можно записать в виде

где

RflPi,a<°’

Л. ,,///« — М2 . t „

Pl, а— 2 у \ 2 / Н-Д&р

(21)

поскольку временная зависимость малых отклонений а и от стационар-
ных значений определяется формулами 8а=Л1е>’«<	6<р = В1ел/-|-

Av Ла, Вр В2 — постоянные.
Устойчивость нетрудно исследовать при достаточно больших F и малых
<р, когда можно положить

г	0	£ F f	| Л \	_ /оп\

Та== ~2~ ’	-- 2u ("«-I Т "•+!/' Sa 	у~~ > S<f 

что дает условие устойчивости в виде

4>о, Д^+а^х).	(23)

Таким образом, маятник, «инжектированный» в окрестность ста-
ционарных значений а и <р, при условии (23) входит в стационарный ре-
жим тем быстрее, чем больше коэффициент трения 0.

Все полученные выше результаты допускают наглядную физическую
интерпретацию. Так, условия (10) и (14) означают, что для поддержания
стационарного режима полупериод колебания маятника должен быть
равен нечетному числу полупериодов силы: тогда, если маятник в про-
межутке |z| <Х получил ускорение, то при возвращении в этот проме-
жуток он опять будет ускоряться высокочастотным полем, что необходимо
для компенсации потерь на трение. Условие (23) имеет простой смысл
при 0=0, когда согласно соотношениям (15), <р=0: при <? > 0 маятник
уменьшает свою амплитуду и в силу формулы (13) его период увеличива-
ется, поэтому маятник возвращается в промежуток |х| < z0 позже, т. е.
с меньшей фазой <р; наоборот, при Ая_г +	< ° и <Р > 0 маятник

увеличивает свою амплитуду и при дальнейших прохождениях через
промежуток |г| < х0 фаза <р растет. Если 0 > 0, то стационарное значе-
ние <р положительно, но условие устойчивости сохраняет свой вид и может
быть понято таким же образом. Слабая зависимость а от F объясняется
сильной зависимостью <р от F : при изменении F произведение J’siny -z&Fy
остается почти постоянным, поэтому ускорение маятника в промежутке
|х| <г0 и» следовательно, его размах изменяются очень мало.

Полусумма

(при е0<1.	(24)

входящая в первое уравнение (11), возникает в результате усреднения
и также легко интерпретируется. Как уже отмечалось, при 0=0 мы имеем
<p=vi, т. е. в первом уравнении (11) Psincp есть значение силы Fsinvf в по-
ложении равновесия. Это значение умножается на величину (24), в кото-
рой 20о/и есть отношение фазового интервала, в котором на маятник дей-
ствует сила, к полному фазовому интервалу, a sin п0о/п0о есть обычный
клистронный множитель, поскольку n60=vf, а 2x = 2z0/<оа есть время про-
лета маятника через промежуток |х] <z0. Обычный клистронный мно-
житель соответствует равномерному движению через ускоряющий про-
межуток, в нашем случае движение неравномерное, однако, это нужно
учитывать лишь при вычислении полуразности х/2 (-4„_j — Ли+1).
Последняя сильно зависит от вида функции е (я), что надо учитывать
при сравнении теории с реальным экспериментом; впрочем, величина
(24) при больших п также зависит от вида е (z).

Численное решение уравнения (1) приводит к результатам, для ста-
ционарных колебаний хорошо согласующихся с формулами (15) и (16)
при условии (23). Не входя в детали, отметим лишь, что численное реше-
ние позволяет также исследовать процесс инжекции, для которого урав-
нения (11) неприменимы, а также многочастотные режимы, которые могут
существовать в данной системе.

Соотношение v=n<o выполняется во всех циклических ускорителях;
в них v — частота ускоряющего высокочастотного поля, ш — частота
обращения заряженных частиц, п — кратность ускорения, достигающая
десятков и сотен. Поэтому рассмотренные выше стационарные колебания
маятника аналогмч и ы движению «равновесной» частицы в циклическом
ускорителе. Частицы, близкие к равновесной, в циклическом ускорителе
совершают медленные фазовые колебания, аналогом которых в нашей
задаче является колебательное [если радикал в формуле (21) мнимый]
приближение к стационарным значениям а и <р. В нашей задаче затуха-
ние «фазовых колебаний» определяется коэффициентом трения Р, в уско-
рителях затухание обусловлено излучением и поэтому проявляется сла-
бее. В нашей задаче v, га и ш постоянны, в циклических ускорителях Is!
процесс ускорения сопровождается увеличением v (фазотрон), га (микро-
трон), и» (синхротрон) или v и ш (синхрофазотрон). Инжекция в режим
ускорения (для ускорителей) и в режим стационарных колебаний (для
нашей системы) представляет собой самостоятельную проблему.

Основные черты рассмотренных выше колебаний —. деление частоты
и стабильность амплитуды — могут найти разнообразные применения
(в механике, радиотехнике и др. областях).

Мы благодарны В. Н. Мелехину за ценное обсуждение.

Литература

[1 ] Д. И. Пеннер, Я. Б. Дубошинский, Д. Б. Дубршинский, М. И. Козаков. ДАН СССР,
204, 1065 (1972).

[2]	Н. Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелиней-
ных колебаний, гл. I. ГИТТЛ, М. (1955).

[3]	А. А. Коломенский, А. Н. Лебедев. Теория циклических ускорителей. ГИФМЛ,
М. (1962);

Институт физических проблем

АН СССР
Москва

Поступило в Редакцию
9 августа 1977 г.

Ташкентский государственный
педагогический институт им. Низами
К ТЕОРИИ ФЛИККЕРНОГО ШУМА

Л. А. Вайнштейн

Рассмотрены термодинамические (равновесные) флуктуации сопротивления,,
обусловленные флуктуациями средней (по объему цилиндрического образца) тем-
пературы из-за теплообмена с внешней цепью. На простейших моделях исследован
вопрос о том, может ли спектральная интенсивность таких флуктуаций быть пропор-
циональной 1/<о, т. е. могут ли они быть причиной фликкерного шума, называемого,
кроме того, избыточным или остаточным шумом, а также шумом 1/со или i/f.

Введение

В последние 10—15 лет фликкерный шум в проводниках и многих дру-
гих объектах подвергался интенсивным экспериментальным исследова-
ниям, результаты которых просуммированы во многих обзорах (см., на-
пример, [1—3]). Однако состояние теории этого шума оставляет желать
лучшего: в первых работах спектральную интенсивность фликкерного-
шума, пропорциональную 1/со, получали в результате наложения релакса-
ционных спектров, пропорциональных v/ (<o*+va), при достаточно искусст-
венных предположениях о распределении коэффициентов затухания v..
В недавней работе Климонтовича [4], по существу, используется такой же
подход, причем физическое обоснование взятого распределения отсут-
ствует.

Поскольку многие авторы связывают фликкерный шум в. проводниках
с равновесными флуктуациями температуры или числа носителей тока,
в данной работе на простейших моделях рассмотрена возможность того,
что такие флуктуации приводят к спектру 1/<а.

Флуктуации температуры ДГ подчиняются известному соотноше-
нию [5]

(ATp=fcW,	(1)

где к — постоянная Больцмана, Т — равновесная температура, С — тепло-
емкость образца. Учитывая зависимость сопротивления от температуры,
соотношение (1) можно переписать в виде

TJiR¥lR?=kflC, ’r=dlnfl/dlnT,	(2)

где к/Г есть температурный коэффициент сопротивления.

Если ввести спектральную интенсивность Sr(<o), связанную с величи-
ной (А/? У соотношением

-----,	1 7	17

(Д7?)2 = —Г 5и(о))й<о = — |	(3)

2л	л J

— оо	0

то окажется, что в результате медленного теплообмена между образцом и
внешней цепью спектральная интенсивность 5в(<о) при <а->-0 будет воз-
растать по вполне определенному закону. Выводу этого закона и посвя-
щена данная статья.

В некоторых системах (жидкие электролиты, клеточные мембраны
и др.) флуктуации сопротивления могут быть обусловлены флуктуациями-
числа частиц — носителей тока, т. е. диффузией, а не теплопроводностью;
возможны, по-видимому, и комбинированные флуктуации. Для определен-
ности ниже рассмотрены только температурные флуктуации, однако вви-
ду аналогии между диффузией и теплопроводностью все соотношения не-
трудно перенести на флуктуации концентрации.

1.	Основные уравнения

Флуктуационные уравнения теплопроводности имеют вид [6]

ди

j=—ogradu+f, с —+divi=0,	(4)

dt

тде j — плотность теплового потока, а — коэффициент теплопроводности,
и — флуктуация температуры (температура есть Г+и(г, t)), с —теплоем-
кость единицы объема, f — плотность случайного теплового потока, порож-
дающего температурные флуктуации и некоррелированного по направле-
ниям, в пространстве и во времени; f подчиняется соотношению

/« (Г, t) h (Л t') =© (Г) бакб (»-*') б (t-П ,	(5)

где чертой сверху, как в формулах (1) —(3), обозначено статистическое
усреднение, a-индексы а и (J соответствуют декартовым составляющим по
осям х, у и z.

Случайное поле f вводится подобно случайной силе в уравнении Лан-
жевена для броуновского движения. Функция 0(г) находится из рассмот-
рения неограниченной однородной среды, в которой функция и удовлетво-
ряет уравнению
ди

с----стДи=—divf;	(6)

dt

ее спектральная интенсивность, определяемая четырехмерным интегралом
Фурье

5u(k, ©) = JJ и(т,i)u(r—s, t—T)e"'(k*"*t>(ds)dT,	(7)

получается в виде

Su (к, и) = clfflJ+(j2ki >	(8)

откуда . e

= ———f e**1 (dk) °= в fi (s).	(9)

16л*со J ’ 2co v 1

Поскольку величина ДТ, фигурирующая в соотношении (1), равна

ДТ^-тг-Г u(r, t)(dr),	(10)

v J

где интегрирование проводится по некоторому объему V, выделенному в
среде, то мы получаем

(ДТ)»= —5— С ( б (г-r') (dr) (dr') = ~	(И)

2caV^ * J

и приходим к соотношению (1), если положить

е=2/с7”ст,	(12)

причем в случае неоднородной среды нужно брать локальные значения
Т(г) и о(г).
Формула (8) есть частный случай следующего соотношения, известно-
го в спектральной теории случайных процессов. Пусть случайная функ-
ция v(t) определяется уравнением

₽(*)=£ £*[/*«)],	(13)

где /* (Q — некоррелированные случайные функции, удовлетворяющие
условию

MW) =»0*W (f-И,	(14)

а А — линейные стационарные (однородные во времени) операторы..
Спектральная интенсивность

S,(©)= J v(t)v(«—x)e,mdx	(15)

— <n
вычисляется по формулам

S.(ro)=	1М((о)12Эл,	(46)

А.

а функции Jfi(fi)) — частотные характеристики, соответствующие операто-
рам А,— находятся иа рассмотрения гармонических колебаний,
когда A (i) и v(t) берутся в виде

А(*)“Л«"‘“*» у(г)=^е-1и‘	(17)

и уравнение (13) принимает вид

»=^Ми(<в)А.	(18)

&

Поэтому вместо уравнений (4) следует решать уравнения

j=—о grad й+f, ic<ou=divj,	(19)'

в которых вместо времени фигурирует частота со, и находить интересую-
щую нас спектральную интенсивность. При желании, обращая инте-
грал (15), можно вычислить и корреляционную функцию.

2.	Одномерная задача

Мы будем рассматривать электрическую и тепловую цепь, изображен-
ную на рис. 1 и состоящую из шумящего проводника длины I и однород-
ного провода — внешней цепи — длины I, (см. раздел 4). Сначала, однако,,
мы исследуем более простую одномерную систему, в которой поперечные
сечения проводника и внешней цепи совпадают. Нас интересуют флуктуа-
ции его сопротивления R*=*pl/S, где р — удельное сопротивление, S (без.
аргумента со) — площадь его поперечного сечения. Введем обозначение

.. ДА т f

v(t) = ——— «=—— I udV	(20)

R TV J

и будем считать, что боковая поверхность нашей системы непроницаема-
для тепла, т. е. на ней выполняется условие /„=0. Тогда, распрямляя си-
стему так, как это показано на рис. 2, а, вводя продольную координату z
и полагая сначала 1.=°°, найдем спектральную интенсивность 8,(<в) спо-
собом, намеченным в формулах (13) — (19). Проводя усреднение по попе-
речному сечению z=const, мы получаем функции

J =	u—/-LjfdS,	(21)
зависящие только от z и ш (зависимость от со мы явно отмечать не будем).

•Функции (21) удовлетворяют уравнениям

du , ,	d;

7=-о —+ /, icou = —,	(22)

dz	dz

причем согласно формулам (20) и (22)

7 у (Z/2) —/ (—Z/2)___у /(Z/2)-7(-Z/2)

V icvT ' I	of	КЧ ' U J

Для функции j(z) получается при |z| <1/2 уравнение

dJj7dz2+^7=7P/, X=(icm/o)7*=(cc»/2a)7*(l+i),	(24)

где К есть комплексное волновое число, определяющее распространение
температурных волн частоты со. При |z|>Z/2 в уравнении (24) надо эа-



Рис. 1	Рис. 2

Рис. 1. Замкнутая электрическая и тепловая цепь

Рис. 2. Плоскопараллельные системы: а. - цилиндрический образец в бесконечной
цепи, 6 — пленка на подложке

менять К на Ke={icea>Je,Y'\ При z=±Z/2, на стыке проводников с разны-
ми значениями с и о, должны выполняться условия непрерывности и (т. е.
c_‘d//dz) и/.

Элементарные выкладки приводят к выражению

v =	f r(z)/(z)dz + — f r(z)/(z)dzl, (25)

11 L C »	O« •	J

llKC/2	|zI>l/2

где

sin Яг	. . Z

Ксоз(/П/2)+Язт(Хг/2)	P	2 ’

3in(XZ/2)exp{i£.(z-Z/2)} ~

Z}~	( Z) Ясоз(Ю/2)+Язш(/П/2)

Z	f	/	Z \)	z

«---—expt IKA z—— H при z> —

А	{	\	it / J

(26)

причем приближенные выражения соответствуют весьма низким часто-
там, удовлетворяющим условиям К1<1 и Я?«С1.

Вводя обозначение

1

/±(2, О

А (Г, t)ds,

(28)
]?JE(6 ИНТбГрирОВЗНЖ6 ПрОВОДИТСЯ ПО ПОПОрбЧНОМу СечеНИЮ 2“~C0UStj МЫу ИС-
пользуя соотношение (5), получаем для одномерной задачи

/x(z, *)/jl(z', t') = —z— 6(z-z')6(t-f')	(29)

и выражение (25) в силу формулы (16) дает нам искомую спектральную
интенсивность

1/1	«•

=	=	j lr(z)|2dz + — f |r(z)pdzl, (30)

Rz Slz L a J	a. J	J

0	1/2

причем мы предположили, что образец и внешняя цепь находятся при од-
ной и той же температуре Т.

Подстановка приближенных выражений (26) в интегралы (30) приво-
дит к формуле

s /оу ( 1	1

S \6о	(Зс.о.ш)7’

где первый член в скобке определяет вклад случайных потоков в самом об-
рзкЗЦв} а. второй ~~ во внешней депи^ если последнюю предполагать конеч-
ной, то согласно формуле (32) при <о->0 второй член будет также конеч-
ным. Как мы видим, закона 1/со при условиях К.1^1 и Н1<^Л не полу-
чается.	Л I

Здесь уместно сделать следующее критическое замечание. В работе
ван Флита, ван дер Зила и Шмидта [6], базирующейся на тех же исход-
ных положениях, рассматривается одномерная система, изображенная на
рис. 2, б и соответствующая пленке на подложке. Если при z=0 на рис. 2, б
поставить условие /=0 и положить L=°°, то такая система эквивалентна
системе на рис. 2, а, исследованной выше. Однако при расчете флуктуаций
от объемных источников (т. е. случайных потоков, которыми мы ограни-
чились) в этой работе [6] допущена неточность, а именно на границе
двух сред ставится условие непрерывности и и odu/dz, а не и и j2, как сле-
дует; точно так же на границе, не проницаемой для тепла, должно выпол-
няться условие 7п=0, а не du,ldn=Q. Интересно отметить, что после ис-
правления этой ошибки окончательные формулы для спектра £<,(<□) полу-
чаются проще; в случае конечной длины внешней цепи выражения (26)
принимают вид

(z = “ К cos (Kl/2) +Н sin (Kl/2) при Z Y’ = cTK'°tg~

(32)

sin(KZ/2)	sin/C,(L/2-z) v 7

£cos(tfZ/2)+#sin(XZ/2) sin(K,Ze/2)

при

Z=Z+Z.,

а во втором интеграле (30) надо верхний предел взять равным L/2.

3.	Фликкерный шум в одномерной системе

Спектральная интенсивность 5я(ш), полученная в предыдущем разде-
ле, приводит, как и следовало ожидать,, к сходящемуся (при со=0) ин-
тегралу (3). По этой причине закон 1/<а при предельно низких частотах
реализоваться не может.

Предположим теперь, что выполняются условия

Klei, Н1>1,	(33)
что возможно при малости параметра

1=\К/Н\г=сеа./с^1.

(34>

Это значит, что теплообмен с внешней цепью затруднен вследствие малой
теплопроводности последней. При условиях (33) функцию Г (z) можно за-
менить приближенными выражениями

2z	I

при |z| <,
ill	2

Г(г) =

Г(г) =

I
при z > —— .

(35)

Пренебрегая вторым интегралом (30), определяющим вклад бесконечной
внешней цепи, мы получим выражение

5я(<а)//?2=2Л7г|/ЗСш,

(36)

определяющее шум со спектром 1/и> в данной одномерной системе.

Если принять справедливость выражения (36) в диапазоне частот

<а1<й)<й)2, то полная интенсивность фликкерного шума будет равна

1 г SM	к-?

— I —™— “° —
л J R2	С

21	<о2

— In —
Зл <Х>£

(37)

и сравнение с соотношениями (2) и (3) приводит к неравенству

21

Зл

Ша

CD,

(38)

ограничивающему возможные значения Если соа определить усло-
вием	а а»! — условием |Я|/=1, то мы получим

(02“О/с?,	Ш1=^й)2

(39)

и неравенство (38) становится сильным, т. е, на долю шума со спектром
1/со приходится лишь небольшая часть полной интенсивности флуктуаций.

Выражение (36) получено при отбрасывании второго интеграла (30)»
который имеет иную зависимость от частоты и существенно больше пер-
вого. Чтобы разобраться в этом вопросе, введем безразмерную частоту v
и безразмерную спектральную интенсивность s(v), удовлетворяющую
условию

Js(v)dv=l	(40)

по формулам
v=a>/4(B1, $(у)=4й)1С|$я(а>)/лйт2Я2.	(41)

Представляя s (v) в виде
s(v)=s<(v)+se(v),	(42)

где s< (v) определяется источниками в образце, a s. (v) — во внешней цепи»
мы можем взять для F(z) точные выражения (26), положить Н=—1К/^''
и вычислить интегралы (30) без каких-либо аппроксимаций. Таким обра-

зом, мы получаем

, .	4£‘ sh p-sin р

----

. .	4|¥* chp—созц

s, (v) =-------—---

л nsN

(43>

где

p=(fi>/2ca2),/’=(2^v)'/*, АГ-(1+В) ch p-(l-fc) cos p+2fAsh ц, (44>
и, в частности, при g=l

7	2 7 sh ц—sin ц	11

| $<(v) dv = — I..-........е_|Л d|i S-S ,.. In 2=0,28,	(45)

J	л J u2	2 л

о	e

t. e. лишь 28% среднего квадрата флуктуаций вызывается случайными
источниками, находящимися в выделенной части однородной системы.
В этом случае функция s((v) не может быть пропорциональной 1/v,

При выражения (43) принимают вид

, ч 2g 1	, ч 1 / 2 \ '1‘	1

s<(v) = z—ГТ./» V/,.	s.(v) = — (—) - —	•	(4б)

Зя l+(2v),'4-v	л \ v /	l+(2v)'+v

Отсюда следует, что при малых | и ц мы всегда имеем (v) (v), поэто-
му в простой одномерной системе закон !/<□, соответствующий выраже-
нию (36) или безразмерной формуле

s1(v)=2g/3nv (v>l),	(47)

реализоваться не может. Однако ясно, что обычное представление о том,
что спектральная интенсивность любого случайного процесса при ш=0
должна иметь равную нулю производную (т. е. горизонтальную асимпто-
ту, если по оси абсцисс откладывать логарифм частоты), в данном случае
оказывается неверным.

Остановимся на физическом смысле выражений (46) и (47) для s<(v),
а также условия g<l. Нетрудно показать, что коэффициент отражения
температурной волны, распространяющейся в образце, от его границ
х——~2~Z/2 равен

Я-----при g<l.	(48)

Это — коэффициент отражения по j, поэтому тепловой поток, дойдя до гра-
ницы, почти полностью поворачивает обратно, из-за чего происходит на-
копление температурных возмущений — своеобразный резонанс на нулевой
частоте с резонансным знаменателем 1+ (2v)’M~v. Монотонное возрастание
л (у) при уменьшении v объясняется тем, что затухание температурных
волн уменьшается с понижением частоты. Существенно, что отражение
температурных волн неполное, поскольку при полном отражении (при
|=0) Д7 не изменяется во времени, и флуктуаций нет. Параметр g харак-
теризует теплообмен образца с внешней цепью, a l/cot по порядку величи-
ны есть время выравнивания температуры в изолированном образце.

Дополнительный множитель (2/у),л в формулё для s«(v) обусловлен
тем, что коэффициент затухания ImTf, температурных волн во внешней
цепи пропорционален а'1', поэтому флуктуации в образце на частоте w
создаются теми источниками во внешней цепи, которые расположены на
расстоянии порядка l/Im/C от образца или ближе. Если с помощью фор-
мул (32) учесть конечные размеры внешней цепи, то поведение спект-
ральной интенсивности при ш->0 будет соответствовать обычному пред-
ставлению. (см. выше). Однако не вполне ясно, какая модель—с
бесконечной или конечной внешней цепью — больше соответствует дейст-
вительности, поскольку при понижении частоты (а в некоторых экспери-
ментальных работах доходили до частот порядка 10“’ Гц) становятся
существенными те каналы теплообмена данной системы с внешним миром,
которыми при более высоких частотах можно пренебречь.

4.	Трехмерная, задача

Теперь мы можем перейти к трехмерной задаче и учесть как различные
поперечные размеры образца и внешней цепи (рис. 1), так и их попереч-
ную неоднородность, т. е. зависимость с и о от поперечных координат х
J о dS,

и у. При этом боковую поверхность всей системы по-прежнему будем
считать непроницаемой для тепла, а, кроме того, произведение комплекс-
ного волнового числа температурных волн на поперечные размеры будем
считать по абсолютной величине малым, а сами поперечные размеры —
малыми по сравнению с длиной образца I. При этих условиях данную
трехмерную задачу можно свести к одномерной - так, как это делается
в теории линий передачи, подчиняющихся телеграфным уравнениям (см.,
например, [7]). Исходя из уравнений (19), мы путем интегрирования по
поперечному сечению z=const вводим величины

]= j dS, F= J Л dS, U=c-1 J ей dS,

(49}
c= J c dS, o=

зависящие только от z (с и о при z=±Z/2 изменяются скачком, переходя
к значениям c,—c,S, и a,=c,Sg для однородной внешней цепи). Предпола-
гая, что в каждом сечении z=const функция й приблизительно постоянна,
и заменяя й на U, мы придем к уравнениям

„ dU ~ dJ

J=—cs ——\-F,	ica>U = — ,	(50)

dz	dz

аналогичным уравнениям (22) и решаемым таким же путем; граничные
условия при z=±l/2 сводятся к непрерывности U и /.

В силу этой аналогии, полагая

7С=(1с<в/о)'Л, А’.= (гс,ш/<т,)'/',	^=с»ос/со, (51)

мы в конце концов приходим к тем же формулам (43), (46) и (47), в ко-
торых нужно ввести коэффициент C/cZ и положить

ш2=о/с/2,	<щ=£(В2, v=(o/4cD1<l/g,	(52)

причем параметр £, входящий в выражения для st(v) и «Оя, определяет
интенсивность теплообмена между образцом и внешней цепью. Действи-
тельно, отношение UIJ в температурной волне, бегущей вдоль однородной
по оси z системы с параметрами с и о равно ±Z, где

Z= (i/саш) ч‘	(53)

можно назвать волновым импедансом системы; величина

i7'=Z/Z.	(54)

в соответствии с формулой (48) определяет коэффициент отражения вол-
ны от границы образца с внешней цепью. Образец может, например, со-
стоять из проводящей пленки (параметры с и а, поперечное сечение S, теп-
лоемкость C=cSZ) на диэлектрической подложке (параметры cd и ad, попе-
речное сечение Sd); тогда

c=cS+ciSd', a=aS+adSd.	(55)

Что же касается закона 1/ш, то он согласно формуле (47) в рассмот-
ренных моделях может реализоваться только для той части спектральной
интенсивности, которая обусловлена источниками в образце, и только при
малых значениях параметра |, т. е. при затрудненном теплообмене образ-
ца с внешней цепью. Но при этих условия^ спектральная интенсивность,
обусловленная внешними источниками флуктуаций, является преобладаю-
щей и имеет иную частотную зависимость. Если пытаться объяснить
закон 1/<в равновесными температурными флуктуациями, то возникают,
вообще говоря, две проблемы: надо найти причину, по которой рслабляет-
ся действие внешних источников (они «замораживаются» или «экрани-
руются»), и причину, приводящую к усилению внутренних источников
(в порошковых сопротивлениях так действуют контакты между зернами,
плохо проводящие тепло, что можно подтвердить расчетом). Найти эти
причины очень трудно.

Еще одна трудность связана с тем, что при l~i см верхняя частота для
закона 1/<в по первой формуле (39) получается ниже 1 Гц. Поскольку
шум 1/ш наблюдается и на гораздо более высоких частотах, то его причи-
ной могут служить лишь температурные флуктуации в мелких и мельчай-
ших структурных образованиях, реальность которых в общем случае
ЧЗОМНМТ6 льна.

Недавно опубликованные экспериментальные результаты [8] показы-
вают, что шум 1/<в в металлических пленках (Au, Bi, Ст) таков, что раз-
личные части системы флуктуируют практически независимо (взаимная
спектральная интенсивность отсутствует на низких частотах, когда тем-
пературные флуктуации приводят к почти равномерному распределению
температуры) и гораздо сильнее, чем это можно было бы ожидать от тем-
пературных флуктуаций (хотя расчет последних проведен не вполне убе-
дительно). Отсюда следует, что в этих опытах действует дополнительный
и более интенсивный механизм флуктуаций, имеющий локальный харак-
тер. Однако в других опытах (см., например, [9]) наблюдалась сильная
пространственная корреляция.

Заключение

В простейшей электрической цепи, состоящей из источника тока с по-
стоянной электродвижущей силой <5 z сопротивления R, ток I определяет-
ся соотношением &=RI. Если рассматривать шумы физического проис-
хождения в такой системе, то окажется, что флуктуации & обычно обу-
словлены тепловым шумом, самостоятельные флуктуации I дают дробовой
шум, а флуктуации R удобно называть фликкерным шумом, используя
термин, учитывающий как медленность этого случайного процесса, так
и его неэлектрическое происхождение. Таким образом, фликкерный шум
является необходимым элементом триады, определяющей неизбежные
-электрические флуктуации в любой физической системе.

В отсутствие тока, когда система находится в состоянии термодинами-
ческого равновесия, ее сопротивление R может зависеть только от термо-
динамических параметров: температуры, объема и числа частиц разного
сорта, и R может изменяться иэ-за флуктуаций этих параметров. Такое
положение сохраняется и при прохождении тока, не приводящего к суще-
ственному нарушению равновесия.

В данной работе дано теоретическое исследование флуктуаций сопро-
тивления, вызванных равновесными флуктуациями температуры (средней
по объему цилиндрического образца) и приводящих к флуктуациям на-
пряжения и тока в электрической цепи, содержащей образец. Поскольку
температурные флуктуации, определяемые соотношением (1), обусловле-
ны теплообменом образца с окружающей средой, распределение интенсив-
ности этих флуктуаций по частотам в сильной степени зависит от харак-
тера теплообмена. Цель работы — выяснить, при каких условиях спект-
ральная интенсивность таких флуктуаций пропорциональна 1/и>. Оказа-
лось, что такой спектр появляется в условиях затрудненного (медленного)
теплообмена, когда температурные волны, возникающие внутри образца
или вблизи него из-за теплового движения, почти не просачиваютсяе на-
ружу и приводят к накоплению температурных возмущений в объеме
образца. Однако дальнейший расчет приводит к выводу, что температур-
ные волны, возбуждаемые во внешней цепй далеко от образца, дают пре-
валирующее слагаемое в формуле для спектральной интенсивности, кото-
рое имеет иную частотную зависимость. Таким образом, температурные
флуктуации не приводят к шуму 1/ш в чистом виде (по крайней мере
в рамках рассматриваемых моделей) и обычно перекрываются более ин-
тенсивными шумами иной природы.

Практическое значение фликкерного шума связано не только с тем,
что на частотах ниже 5 или 10 кГц он является доминирующим, но также
с тем, что он определяет частотную нестабильность генераторов, работаю-
щих на гораздо более высоких частотах. В работе Вакмана [10] дан точ-
ный расчет для триодных генераторов, но несомненно, что этот результат
можно перенести на генераторы других типов (полупроводниковые, лазе-
ры и т. д.).

Я благодарен А. Я. Шульману за благожелательную критику.

Литература

1.	Коган Ш. М. УФН, 1977, 123, 131.

2.	Hooge F. N., Klelnpenning Т. G. М., Van damme L. К. J. Rep. Prog. Phys., 1981,
44, 479.

3.	Bell D. A. J. Phys. C, 1980, 13, 4425.

4.	Климонтович Ю. А. ЖЭТФ, 1981, 80, 2243.

5.	Ландау Л. Дм Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964, § 114.

6.	Van Vliet К. М., van der Ziel A., Schmidt R. R. J. Appl. Phys., 1980, 51, 2947.

7.	Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. M.: Сов. радио, 1957, § 45.

8.	Scofield J. Н., Darling D. ff., Webb W. W. Phys. Rev. B, 1981, 24, 7450. Black R. D.*
Weissman M. B., Fliegel F. M. Phys. Rev. B, 1981, 24, 7454.

9.	Жигалъский Г. IL, Карев А. В. Радиотехника и электроника, 1977, 22, 2610.

10.	Бакман Д. Е. Радиотехника и электроника, 1982, 27,1965.

Институт физических проблем

Академии наук СССР

Поступила в редакцию
26.III.1982;
после переработки
13.VII.1982

ON THE THEORY OF FLICKER NOISE

L. A, Vainshtein

Thermodynamic (equilibrium) fluctuations of a resistance due to fluctuations of
the mean (over the volume of a cylindrical specimen) temperature caused hy heat
exchange with the external circuit are considered. For some simple models it is investi-
gated whether the spectral intensity of the fluctuations can be proportional to l/ш, L e.
be the cause of flicker noise also called excess or residual noise as well as l/ш or 1//
noise.
ТЕОРИЯ МАГНИТНОГО ШУМА СО СПЕКТРОМ 1/<о
И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ

Л. А. Вайнштейн, В. В. Рождественский

Рассмотрен механизм образования магнитного фликкерного шума, основанный
на запоминании и забывании затравочного белого шума, и проведено детальное
теоретическое исследование этого механизма. Показано, что такой механизм при-
водит к медленным флуктуациям со спектром, близким к 1/w при а-+0, причем фор-
ма спектра зависит от закона распределения затравочного шума лишь при конеч-
ных частотах. Получена связь спектральной интенсивности фликкерного шума со
спектральной интенсивностью затравочного шума, позволяющая вычислить область
частот, в которой спектр 1/ш преобладает над равномерным фоном. Показано, что
шум в системах иной природы имеет спектр 1/ш, если этот шум порожден случай-
но возникающими импульсами, длительность Ф которых имеет асимптотическое
(при распределение вероятностей, характерное для рассмотренного магнит-
ного шума. Возникновение таких импульсов характерно для неравновесных сильно
нелинейных систем с гистерезисом.

Введение

Теории шума со спектром i/о) посвящено большое число работ; в не-
которых из них этот шум связывают с постепенным старением системы,
а тогда его приходится рассматривать как нестационарный [1]. Другие
работы трактуют этот шум как стационарный. Равновесные флуктуации
сопротивления, всегда присутствующие, дают стационарный шум, спектр
которого растет при ш-*-0, однако он, как правило, перекрывается шумами
иного происхождения (см., например, [2]).

Ниже рассматривается механизм возникновения шума со спектром 1/ш
в системах с памятью под действием затравочного белого шума. Примером
физической системы, обладающей памятью, является ферромагнетик, по-
мещенный в постоянное или периодически изменяющееся внешнее поле.

Еще в 1957 г. Неель [3] теоретически показал, что если на размагни-
ченный ферромагнетик внезапно подействовать “постоянным внешним по-
лем, на которое наложено малое затравочное случайное доле с нормаль-
ным законом распределения, то намагниченность будет изменяться (в не-
котором временном интервале) как квадрат логарифма времени. Этот
результат был подтвержден экспериментом [4]; он дает основание пола-
гать, что флуктуации намагниченности имеют спектр типа 1/<в.

В дальнейшем магнитный шум (флуктуации магнитной восприимчи-
вости или же намагниченности) со спектром 1/со (или 1/Д<в, см. ниже)
экспериментально наблюдался [5, 6] в ферромагнитных образцах при
действии на них внешнего магнитного поля, изменяющегося по гармо-
ническому закону. Визуальные наблюдения эа перемагничиванием образ-
цов с малым числом доменов (ферромагнитная пленка с тремя доменами)
показали, что этот шум вызывается случайными смещениями границ до-
менов, причем некоторые участки границ долго бывают неподвижны,
после чего — как бы под действием случайного толчка — приходят в дви-
жение. Поэтому за их движением можно следить простым глазом при
частоте внешнего поля порядка сотен герц. В многодоменных образцах
перемагничивание будет происходить так же, поскольку области, содержа-
щие небольшое число доменов, слабо взаимодействуют друг с другом,
и магнитные характеристики всего образца получаются усреднением по
таким областям.

На основании этих наблюдений был предложен следующий механизм
магнитного шума [5, 6]. Магнитное состояние образца (в целом) харак-
теризуется случайной последовательностью (СП) £(i) в моменты:
t= ... —20, —0,0, 0, 20,, когда внешнее магнитное поле Я=Я0 cos a>ot
по абсолютной величине максимально (20=2n/oq — его период). На внеш-
нее поле наложено случайное магнитное поле (аддитивный затравочный
шум x(t), который при данном 0 можно считать белым), которое опреде-
ляет значение |(i), сохраняющееся до тех пор, пока в один из последую-
щих моментов t случайное магнитное поле не превзойдет то, которое до
тех пор определяло £(£), и «сбросит» это значение £(t). В следующий
момент устанавливается новое значение |(t) в соответствии со значением
x(t) в этот момент (см. разд. 2). В качестве затравочного шума выступает
широкополосный баркгаузеновский шум. Правильность этого механизма
подтверждается, в частности, тем, что наиболее интенсивный шум g(t)
реализуется в сравнительно узком диапазоне значений Яо и убывает при
меньших и больших значениях Яо [7].

Элементарные соображения [ 5, 6] приводят к выводу, что данный ме-
ханизм может дать спектр, близкий к 1/и (при о-»-0). Расчет, приведен-
ный ниже, подтверждает этот вывод, причем оказывается, что такая слу-
чайная последовательность £(£) может быть как стационарной, так и не-
стационарной — в зависимости от того, учитывается или не учитывается,
самопроизвольное (не зависящее от z(t)) сбрасывание ^(t) с чрезвычайно»
малой вероятностью р.

Поскольку | (t) определяет магнитную восприимчивость образца, то при:
линейной связи намагниченности и поля данный механизм дает шумовой
спектр типа 1/Дш вблизи частоты внешнего поля; при нелинейной свя-
зи то же будет вблизи гармоник й)0. Если бы £(t) определяла намагничен-
ность, то последняя имела бы спектр 1/ш, сосредоточенный иа низких,
частотах.

Нам представляется, что данный механизм имеет более общее значение
и во многих случаях приводит к появлению низкочастотных шумов со
спектром, близким к !/<□. Поэтому при изложении теории мы не конкре-
тизируем природу £(£) и затравочного шума x(t).

1.	Спектр СП, образованной неперекрывающимися импульсами

Рассмотрим СП $('£), где t — целочисленная временная переменная (£=
=0, ±1, ±2,...), являющуюся суперпозицией случайно возникающих им-
пульсов заданной формы, имеющих случайную амплитуду ау и случайную
длительность О,, причем а, и О, статистически связаны между собой, но
статистически не зависимы от и 0|Л при Такая последовательность-
представляется в виде

(1)
v

где tv — случайный момент возникновения импульса (различные tv стати-
стически независимы); /(у) — прямоугольная функция, равная нулю при
у<0 и у>1 и единице при 0^у<1; O„=£v+I—tv — длительность v-ro им-
пульса, который кончается, когда начинается следующий импульс. Авто-
корреляционная функция

(?)=&(*) В (*“*) =

(2>

связана со спектральной интенсивностью Sj(fi>)=St(to±2n) известными со-
отношениями
ее	П

S|(fi>)= У,	fls(T) = ^-f St(a)e-inda>. (3)

/л
Если ввести обозначение

(Жж»»	("ИО

то 5{(со) можно представить в виде

5i((o)=	( )

= — Vt f а,а^(б5, $v)/',’(w,'61*)exp[ici)(*v—tM) ]exp[i(fl—и) (tv—t) ]dffi.

2n

Здесь первая экспонента зависит от разностей tv—1„, определяемых дли-
тельностью импульсов, а вторая — от моментов появления tv, и ее можно
выделить и усреднять отдельно, в результате чего получается ряд

у, е^ = -=- £ е-‘а‘=^- £ 6(Q —2пг),	(6)

Vn—go	v t=—ао	v r=—oo

который дает периодическую дельта-функцию; $ есть средняя длитель-
ность импульса, следовательно, 1/9 есть вероятность появления нового им-
пульса в некоторый момент t.

Подставляя соотношение (6) в интеграл (5) и вводя функцию

I

ф (о) -7^= У, Р (9)	(7)

е—1

где Р(9) — вероятность того, что импульс имеет длительность 9, мы по-
лучаем спектральную интенсивность СП £ (t) в виде

5е (т) =. А. [К.(<о> +2 Re Л (и) ],

9 •

_______________________ (8)

vt \	7777—ZTiT' аг ч •a2?(fi»,9)e-1“*aF,(<B,9)

К(®) —a* F (и, 9) р, Л («О—--------------т—г-------

1-ср(ш)

причем функция К(<ь) учитывает внутриимпульсную корреляцию (у=ц),
л функция Л (со) — междуимпульсную (v^p). Суммирование по v и р
производится так же, как в аналогичной задаче для случайного процесса
(см., например, [1]). Что же касается закона распределения случайных
величин а и 9, то его можно найти, конкретизируя механизм возбуждения
и гашения импульсов. Это и будет сделано в следующем разделе.

2.	Возбуждение и гашение импульсов белым шумом

Примем, что СП £(t), рассмотренная выше, генерируется белым шу-
мом x(f) — стационарной СП, значения которой в разные (целочисленные)
моменты t статистически независимы. Вероятность того, что при любом
"целом t значение x(t) не будет превосходить а, задается в обычном виде:

в

W(a)-J w(x)dx,	(9)

—••

где и»(х) — соответствующая плотность вероятности; w(x)dx есть вероят-
ность того, что x<x(t)<x+dx.

Далее будем считать, что значение (£) t_e,, возникшее в момент
сохраняется вплоть до момента t,+1—1 (включительно), а в момент tv+1
заменяется новым значением о^+ь Момент t,+i определяется условием
x(tv+l~l)>av: белый шум, превосходящий av при t=£v+i—1, сбрасывает
значение ^(?)=о, при t=t„+l. Новое значение аУ+1 определяется величиной
®(tv+1), а именно |(t) —Ov+1—X (iv+l) при Это значение опять удер-
живается до момента £„+г — такого, что x(t4+i—1)>аУ+1, и заменяется при
f>£„+z значением аУ+а=х (£„+а) (рис, 1).

Таким образом, СП £(f) сохраняет память о значении х(«У) до тех пор,
пока не появится превосходящее значение я(<У+1—1), стирающее эту па-
мять, после чего £ (t) хранит память о следующем значении х (tv+1). СП g (t)

n -	•*	•

•	• _______________________ •

•	• --------------------------.

•	1^——	*	• •	•	в	ф|иж

I Т I I I	I I I f I Г~7~ (	f i I I	I. I I <	I I I_1 T J I	f i i I *.—

^v+2$v+J

Рис. 1. Случайная последовательность 1-го рода (СП-1)

Рис. 2. Случайная последовательность 2-го рода (СП-2)

в отличие от я (£) оказывается коррелированной, причем, как мы увидим
ниже, ее спектральная интенсивность неограниченно возрастает при со->0.

При такой постановке задачи среднее значение |(Л) отлично от нуля;
мы будем называть |(«) СП 1-го рода (кратко СП-1), СП 2-го рода (СП-2)
получается, если предположить, что о, с равной вероятностью могут при-
нимать как положительные, так и отрицательные значения (т. е. функция
w(х} — четная), а гашение импульсов происходит при условии |r(iv+1—
—1)|>|ау|, когда величины j(fy+i—1) и о, имеют (рис. 2) разные знаки.
При этом, очевидно, будет | (f) =0 и, как мы увидим ниже, Л(<о) =0.

Вероятность того, что импульс с амплитудой а будет иметь длитель-
ность й, для СП-1, очевидно, равна

Ра(й)=4Г-*(а)[1-ИЧа)],-	(Ю)

поскольку для этого нужно, чтобы й—1 раз было x(t)*Zav, а в й-й раз было
x(t)>a, а вероятность Р(й), входящая в формулу (7), равна

f	111

Р(й)= J	(If)

О Йт1 й(йт1)

Она не зависит от вида w (х) и приводит к значению 5=1п «>, вследствие
чего формулы (6) и (8) оказываются неприменимыми. Происходит это
потому, что £(£) при бесконечном й не является стационарной СП. Что-
бы придти к конечному й и стационарной СП-1, надо наряду с «индуциро-
ванным» гашением импульсов с помощью затравочного шума x(t) ввести
«спонтанное» гашение, имеющее малую вероятность р, не вависящую от
x(t). Тогда формулы (10) и (11) примут вид

Л4й)ЧдИЧа)Г-‘[1-зИЧа)], р(й)-^—(12)
Й Йт1
где g=i—— вероятность того, что спонтанное гашение не происходит.
Тогда мы получаем

ф(й))=1

Р

1

9

2	1,1

-----In —,

Р	9 Р

(1-eiB)ln(l—qe~ia).

(13)

_ 1 1

9

Для СП-2 вероятность Ра($) получается из первой формулы (12) за-
меной W{d) на iy(|a|), а выражение для Р(Ф) в силу четности w(a) и
равенства ТИ(0)=‘/2 имеет вид

ZL 0 X1 2*/ 0+1'	2*+1 Я ’

(14)

так что

5=—*—Ataltz
q 2р	р(1+р) q 2р

ф(ш)=1——(1—е1“) 11ц(е1в—q)— 1п(е’“—1“) | •
q	L	'	2 ' *

Средние значения, фигурирующие в формуле (8), нужно вычислять,
пользуясь соотношением

Ф,(а)Фг(О) = f

—»аи	0—1

причем суммирование по О дает

V	1	е'“—1

------Re ТГ—

*	1—соя со	e'“—qW

£рв(О)^(ф,О)е-'“в = -Д-—,
*	eia—qW

где W=W(a) для СП-1 и W=W(|a|)
чение

£р.(О)Г(<в,О)-	,

“	e—qW

для СП-2. Поэтому, вводя обозна-

_ . . f w(d)akda

А » -	, ч .	*6)

е —qW(a)

получаем для СП-1

1	е‘“

К(а>)= --------Re[(e‘"-l)A(a>)], Л(а>)= , ‘ . Д»(а>), (17)

1—cos со	1—ф(ш)

а для СП-2 в интегралах (16) нужно заменить J¥(a) на W( |a|). Таким
образом, вычисление спектра g(t) по формуле (8) свелось к вычислению
интегралов вида (16) при fc=l и 2, которые зависят как от частоты, так и
от вида функции w(a).

3.	Спектральная интенсивность при со -> О

При вычислении интегралов Л (о) и Д(ш) для СП-1 надо учесть, что
И7(а) есть монотонная функция а, изменяющаяся от ТУ(—<»)=0 де»
TF(°o)=l, поэтому обратная функция a=a(W) однозначна, и интегралы
Л (со) можно записать в виде

(a^(W)dW
о е a-qW

(18)
и если а изменяется в конечных пределах, т. е. b0^a^bf, где Ьв=а(О) и
•&1=а(1), то интегрированием по частям нетрудно получить выражение

bk	b*	1 Г	dak(W}

7*(<в) =—— — ln(eiM—g) + ——	— j ln(e'“—qW) ——  

9	9	q0	dW

удобное для вычисления Л(со) при <в«1 и р<1. Положим
р+ш=(р2+й>2) V*, $=arctg (со/р),	0<ф<л/2

и введем большой логарифм

dW,

(19)

L=ln

1
(р2+(«)Т '

(20)

Тогда получим для предельно низких частот

A(ca)=b1*(L—гф)— Ik,	J^— J 1п(1—ИО

dW

0

где 1к — вещественные числа, зависящие от закона распределения W (а).
Спектральная интенсивность СП-1 имеет при са<1 и р<1 следующий вид:

2Л2 ф	л!?	1

& (о(£2+ф2) ft- <в(1п’ф+л2/4) '

если и>р. (21)

Для СП-2, как легко видеть, «7±(ш)=0 и A(ca)=O, а интеграл /а(со)
.можно представить в виде

Sa'(W)dW	2

Ja(a>)=2 J—---— =-----

e — qW	q

fe,2ln(e’"-g) + -2-dW,
q	dW

1	I/.

откуда при и р«1 получаем

Л (и) =—2bt2 In (p+ica) —Ii,

Г	da'tW)

Д=-2 J Ind-HQ. 1ТТГ J dW

ч.	dW

и

2b? ф	nb? 1

d5(<b) = —=-------------------, если са>р.	(22)

-ft <a	и о

В зтих соотношениях предполагается, что белый шум x(t) заключен в ко-
нечных пределах, вследствие чего bs^a^bt для СП-1 и — b^asgbj для
СП-2.

Полученные результаты, а именно формулы (21) и (22), можно ре-
зюмировать так. Мы ввели малую вероятность р, благодаря чему СП_£(£)
стала стационарной, а величина -ft — конечной; например, для СП-1 ft~23
при р=10“‘°. Смысл и величина р остаются открытыми и, по-видимому,
в разных системах р может определяться различными причинами. Тем не
менее существенно, что при р«шС1 спектр СП-1 почти пропорционален
1/<в, а спектр СП-2 точно пропорционален 1/са.

Хотя отличие спектров СП-1 и СП-2 при низких частотах мало ощути-
мо благодаря медленному изменению In а>, интегралы

Я
f St
О

при р-»-0 ведут себя по-разному: для СП-1 интеграл стремится к пулю
(поскольку множитель 1/ (In2 са+л2/4) обеспечивает сходимость интеграла,
Рис. 3. Функции w(a) по фор-
муле (28)

a ф-»-»), а для СП-2 интеграл стремится к
конечному пределу, определяющему величи-
ну £2(£)- Различие .объясняется тем, что
СП-1 — знакопостоянная (см. рис. 1), поэто-
му для нее g(t)>0 и спектр содержит еще
слагаемое, пропорциональное б(©), в то вре-
мя как у СП-2 £ (t) =0 и такого слагаемого
нет. В обоих случаях 5t(co) при ©«р стре-
мится к конечным значениям:

51(0)=2/,2/(5)3р (СП-1),

(23)
81{0)=2Ьг/^Р (СП-2).

Мы пришли ко всем этим результатам»
предполагая, что длительность импульса 0 за-
висит от его амплитуды а. Если же считать
а и О независимыми случайными величина-

ми, а вероятность Р(&) по-прежнему брать
в виде (12) или (14), то для СП-1 получается простое выражение

„ , ч а2- (а)г 1-Re<p (ш)
Dj (©)-----—— ------ -,

о 1—cos©

(24)

применимое и тогда, когда а изменяется в бесконечном интервале. При
малых р и <а выражение (24) принимает вид

_	а2— (а)22ф	a2—(a)2 л

5{(©) =---=------»----=------, если ©>р,	(25)

О © бы

причем

St(0)=g-~^a)1—.	(26)

О’ р

Полагая в выражении (24) а=0 и беря ф(©) согласно (15), получим
5Е(©) для СП-2, а выражения (25) и (26) для СП-2 надо удвоить. Мы ви-
дим, что закон 1/© получается и в этом случае, однако тогда Р(й) прихо-
дится вводить чисто формально.

Функция
s((D)----------------------1........	... (27).

©(In ы+л /4)

определяет согласно формуле (21) спектр СП-1; она мало отличается от
функции 1/©. Спектр 5t(©) часто представляют (на отдельных участках)
в виде В/а>\ где показатель

Л=—din S5(©)/dln ©

есть медленно изменяющая функция ©. Для функции (27) Х<1, причем
Х-И при ©-*0. Корреляционная функция, соответствующая спектру (27),
при т-*«> убывает как l/ln^-r), 7=1,781... (см. [7]).

4.	Спектральная интенсивность при конечных ©

Поведение спектральной интенсивности во всем интервале 0<©=^л за-
висит от плотности вероятности w(a). Чтобы выявить эту зависимость,
возьмем функции ш(а) и W(a) при 0^а<1 в виде

«'(«>=	Ж(а) = -^£. a(W}	(28)

(р-ra)	р+а	l-rp—rr
Рис. 4. Нормированные спектральные
интенсивности для СП-1 при различ-
ных значениях р

Рис. 5. Нормированные спектральные
интенсивности для СП-2 при различ-
ных значениях р

где р — вещественный параметр (р>0 или р<—1). При р«1 наиболее ве-
роятны малые значения а, при р~—1 — близкие к единице, а при р=°°
плотность вероятности w(a) в интервале 0«Sa=gl становится равномерной
(рис. 3). Для функций (28) интегралы (18) легко вычисляются, и мы по-
лучаем

Л(©) =----——г------ln(l-ge-“) ], Д= (1-Ьр)1п-~—

g(l+p)-е L q	J	p

2	f

Ш = -P	{ [g(l+p)-2e‘-]Z,-

[g(l+p)—e j 1

l+o	e2ia	1

-----49(l+p)-e'“]--------in(l-ge-'“) |.

p	q	f

Выражение для It показывает, что спектральная интенсивность (21)
при р«:1 пропорциональна 1п2(1/р), т. е. тем больше, чем менее вероятны
сравнительно большие выбросы, а при р~—1 величина I2 мала. Эти вы-
ражения позволяют вычислить iSe(g>) для СП-1. Чтобы исключить пара-
метр р, мы вводим нормированную функцию s((o)=,§SE(®)/n712 и, считая
и рС1, полагаем р=0 и д=1.

На рис. 4 даны графики нормированных функций s(cd), вычисленных
по точным формулам (8), (17), (29); при малых со они совпадают с низ-
кочастотной асимптотой (формула (27)). Из рис. 4 видно, что при конеч-
ных значениях св показатель X может быть больше или меньше единицы
(в зависимости от параметра р), причем при изменении частоты он изменя-
ется довольно медленно. Рис. 4 показывает также, что функция ш(а), при
которой более вероятны малые а, приводит к сравнительно быстрому спа-
данию 5Е(о») при (о-*л. Этот результат, равно как и большие значения
^(ю) при <й«1, объясняется тем, что при такой функции ш(а) возникают
продолжительные выбросы |(£).

Для СП-2 плотность вероятности зададим в виде

ш(а) = (1+р)р/2(р+]а|)2,	— l=Sa^l,	(30)
тогда интеграл /2(со) также выразится через элементарные функции.
На рис. 5 приведены нормированные функции s((o)=4,&SE(£o)/nd12, вычис-
ленные при р=0; они приближаются при со-»-0 к асимптоте 1/со снизу —
в отличие от рис. 4, где кривые приближаются к асимптотической кривой
(27) с обеих сторон.

Полученные зависимости дают не только спектр 1/ы, но и устанавли-
вают количественную связь между ним и спектром затравочного шума.
Из формул (8), (13), (15), (16) и (17) следует, что при ы=л спектраль-
ная плотность шума 1/<в удовлетворяет соотношениям (тгри д~1)

Ж(л)= J

a2w(a)da
1+W (а)

1 [ ( aw (a) da "|2
Ь2 l-_. l+W(a) J

для СП-1,

~~ , .	(* a та (ц) da

Ж» СП-2,

правые части которых с точностью до множителя порядка единицы сов-
падают с постоянной спектральной плотностью затравочного шума Sx=
=а2— (а)2. Например, при равномерном распределении (формулы (28) и
(30) при р=°°) правая часть равна 0,69^ для СП-1 и 0,54s! для СП-2.
Таким образом, частотный интервал, где заметен шум 1/св, определяется в
первую очередь величиной которая зависит от вероятности спонтанного
сбрасывания р (формула (13)); при любых разумных р величина -О' по-
рядка десятки. Шум со спектром |/ш, следовательно, будет преобладать
над затравочным фоном при частотах, отличающихся от гармоник частоты
перемагничивания св0 на величину порядка 0,1 «о или меньше. Именно та-
кие значения наблюдаются экспериментально [7].

Заключение

В математической теории случайных процессов и последовательностей,
насколько нам известно, шумы со спектром 1/и или близким к нему не
рассматривались. В физических работах такие шумы интерпретировались
сначала как импульсные процессы с импульсами, спадающими при «-*<»
как t~'J‘ [9]. В дальнейшем, поскольку импульсы такой формы в физиче-
ских системах не были обнаружены, шум со спектром 1/со стали рассматри-
вать либо как наложение релаксационных процессов с различными време-
нами релаксации [10], либо как импульсный процесс с импульсами фик-
сированной формы, но различной длительности и амплитуды [11].
Основной трудностью в этих трактовках является физическое обоснование
тех законов распределения времен релаксации или длительностей импуль-
сов, которые приводят к спектру 1/ы.

Анализ магнитных шумов, проведенный выше, показывает, что в си-
стемах с памятью соответствующее распределение (см. формулу (11) и
далее) возникает естественным образом. Рассмотренный механизм, при-
водящий к спектру 1/ш, является грубым: спектр, пропорциональный 1/со
при со-Ч), получается независимо от закона распределения затравочного
шума и конкретного способа установления и сбрасывания импульсов.

Весьма интересным представляется также вопрос о том, какие еще ме-
ханизмы, кроме памяти, могут приводить к распределению длительностей
импульсов, нужному для генерирования шума 1/(о. Один из таких меха-
низмов содержится в недавней статье [12]. Это СП g(t), состоящая из
нулей и единиц и аппроксимирующая (применительно к низким частотам)
итерационный процесс, в котором регулярное изменение (медленное, fj(t) =
=0) перемежается со стохастическим (быстрым, |(t)=l). Если P(i>) —
вероятность иметь Ф нулей подряд — при 6-^°° пропорциональна l/б2, то
получается спектр, при <о«1 пропорциональный функции (27). СП |(t)
и 1—имеют при <в¥=0 одинаковые спектры, и P(fl') для второй СП
относится к длительности прямоугольных импульсов, разделенных пусты-
ми промежутками случайной длины. Так или иначе, но Р (•&), приводящая
к спектру 1/<и, имеет то же асимптотическое выражение при что и
в изложенной выше теории магнитных шумов.

Несомненно, что изложенная в нашей статье теория может быть обоб-
щена и на случайные процессы. При этом к спектру 1/со будет приводить
плотность вероятности Р(^)=2'бо/л('О'вг+'&:!) три ы40<1. Следует заметить,
что приведенное выражение имеет смысл при всех значениях & и интегри-
руемо, в то время как при традиционном спектральном подходе [10] берет-
ся плотность вероятности, пропорциональная 1/й и не приемлемая при
О-’-О и &-Интегрируемость 56(и) при со=0 в нашем подходе дости-
гается введением в P^ft) множителя ехр(—рб/йо), где р<1. Более того,
если длительность импульса й связана с энергией активации Е соотноше-
нием й=й0 ехр (Е/кТ), то при Р(й)~1/й2 плотность вероятности для энер-
гии Е пропорциональна exp (—EtkT), что физически более осмысленно,
чем равномерное распределение по энергии [ 10].

Мы благодарны С. М. Рытову и А. Я. Шульману за ценные замечания.

Литература

1.	Рытое С. М. Введение в статистическую радиофизику, ч. 1. Случайные процес-
сы. М.: Наука, 1976,	46, 55.

2.	Вайнштейн Л. Л. ЖЭТФ, 1982, 83, 1841.

3.	Neel L. Compt. rend., 1957, 244, 2441.

4.	Nguen Van Dang. Compt. rend., 1958, 246, 2357.

5.	Колачевская В. В., Колачевский Н. В.. Рождественский В. В., Стрыеин Л. В.
РЭ, 1971, 16, 1211.

6.	Вугаров М. В., Колачевский Н. В., Рождественский В. В. О механизме возник-
новения магнитного шума со спектром типа 1//. В межвуз. тем. сб.: Физика
магнитных материалов. Калинин: изд. КГУ, 1978.

7.	Бухаров М. В. Экспериментальное исследование магнитного фликкер-шума и
процессов его генерации в четпогармонических преобразователях. Канд, дисс.,
МФТИ, 1980.

8.	Вайнштейн Л. А., Бакман Д. Е. Разделение частот в теории колебаний и волн.
М.: Наука, 1983, с. 150.

9.	Малахов А. В. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968,
|§ 3.3, 3.4.

10.	Van der Ziel A. Physica, 1950, 16, 359.

11.	Halford D. Proc. IEEE, 1968, 56, 251.

12.	Procaccia I., Schuster В. Phys. Rev. A, 1983, 28, 1210.

Институт физических проблем	Поступила в редакцию

Академии наук СССР	24.V. 1984

THEORY OF MAGNETIC NOISE WITH A l/<a SPECTRUM
AND ITS GENERALIZATION

L. A, Vainshtein, V. V. Rozhdestvensky

A mechanism of formation of magnetic flicker noise is considered which is based
on the memorizing and forgetting of the priming white noise. The mechanism is
studied in detail theoretically. It is shown that the mechanism leads to slow fluctua-
tions with a spectrum close to l/<o for <a-*0, the shape of the spectrum being depen-
dent on the distribution law of the priming noise only at finite frequencies. A relation
between the spectral intensity of the flicker noise and spectral intensity of the pri-
ming noise is obtained which can be used to calculate the frequency range in which
the l/ш spectrum dominates over the uniform background. It is shown that the noise
in other types of systems possesses a 1/0 spectrum if the noise is due to randomly
produced pulses, the duration f> of which has an asymptotic (for probability
distribution characteristic of magnetic noise. The appearance of such pulses is charac-
teristic of nonequilibrium, strongly nonlinear systems with hysteresis.
ИНТЕГРАЛ ПО ТРАЕКТОРИЯМ
И КОРОТКОВОЛНОВАЯ ДИАГНОСТИКА
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЫ

Л". А. Вайнштейн п Э. А. Тищенко

Дано асимптотическое решение задачи о просвечивании цилиндрической плазмы
волновым пучком в виде интеграла по траекториям — виртуальным лучам. В резуль-
тате получается интегральное уравнение, позволяющее по коэффициенту передачи от
излучающей антенны к приемной как функции прицельного параметра найти рас-
пределение диэлектрической проницаемости в (г) в плазме. При этом диагностическая
лядята сводится к решению простейших яитагрпльиыт уравнений первого рода: урав-
нения свертки и уравнения Абеля. Дано сопоставление волновой диагностики с обыч-
ной лучевой.

Введение

Распределение диэлектрической проницаемости в (г) < 1 цилиндри-
ческой плазмы на фиксированной частоте может быть намерено как фа-
зовым, так и рефракционным методом. Фазовый метод [1-<] основан на том,
что фаза луча, прошедшего черев плазму, уменьшается на некоторую ве-
личину Ф (v), а рефракционный I1, в> ’] — на том, что такой луч испы-
тывает отклонение на угол Л (v). Здесь v/k означает прицельное расстоя-
ние луча, к= <л!с — вакуумное волновое число зондирующего излучения,
а уменьшение фазы и угол отклонения определяются по отношению
к лучу с тем же прицельным расстоянием.

Если считать, что в (г) = 1 при г Г, то функции Ф (v) и A (v) опре-
делятся формулами

,2 ^А?ЛЯ— у3 — v arc cos-j — ^dr

A (v) = 2

arc cos

____dr____
г«]Лмг)--£

причем г, >0 есть единственный корень уравнения

A?r2e (г) = Vя.

(1)

(2)

(3)

Для того чтобы было так, левая часть (3) должна быть непрерывной
монотонно возрастающей функцией г. Формулы (1) и (2) справедливы при
а при отрицательных v надо воспользоваться четностью функ-
ции Ф (v) и нечетностью функции A (v). Эти функции связаны соотношением
A(v) = — ®'(v),	(4)

а при ч^кГ- и	—к? они равны нулю.

Если вместо переменной г ввести переменную р = Лг^в (г) и положить
е (г) = кг = р^СР(5)
то формулы (1) и (2) примут вид
f	р

Ф(?) = 2 f	Д(у) = —2v Г	Р = *Л,	(6)

v ' J Vf’-? v ’	J v'p» — V»

t. e. сводятся к линейным интегральным уравнениям для функции Е (р)
или ее производной, эквивалентным интегральному уравнению Абеля и
имеющим явное решение

tf(p)=t- f *(v)dv .	(7}

'г/ It J — р’

Р

Приведенные выше соотношения относятся к лучам, перпендикулярным
оси z — оси цилиндрической плазмы. Иногда применяется [®] зондирование
лучами, образующими произвольный угол & с осью z; тогда Ф и △ за-
висят от двух переменных v и a = cos$. Чтобы получить Ф(?, а) и A(v, о),
надо в формулах (1) и (2) заменить А на k\jl —<?, а А2е (г) на А®[е(г)— а2];
при малых о получается соотношение

г

ф(у, а) = Ф(?) + ВД0*, Z (у) = — ^АУ2 — у2 + А Г - — „,	(8)

J }Л(г)-^

которым мы воспользуемся ниже.

Диагностика, основанная на этих соотношениях, по существу явля-
ется лучевой диагностикой, т. е. основана на замене волнового пучка,
излучаемого передающей антенной и улавливаемого приемной антенной,
одним лучом. Несомненно, что более эффективной будет волновая диагнос-
тика, учитывающая свойства реальных антенн и для достаточно коротких
волн и достаточно узких волновых пучков переходящая в лучевую. В дан-
ной работе мы выводим (не очень строгим, но зато наглядным путем)
основное интегральное уравнение коротковолновой диагностики цилин-
дрической плазмы, применимое при длине волны, существенно меньшей
характерных равмеров плазмы (в частности, при Аг >> 1), и при любых
антеннах и волновых пучках. Иначе говоря, мы получаем асимптотичес-
кое решение дифракционной задачи о прохождении произвольного вол-
нового пучка через цилиндрическую плазму и о его воздействии на про-
извольную приемную систему в такой форме, которая позволяет — при
условиях, точно определенных далее, — решить обратную задачу, т. е.
восстановить функцию е (г) подобно тому, как она восстанавливается
по формулам (5) и (7) лучевой диагностики.

1. Интеграл по траекториям в двумерной задаче

Будем исходить из волнового уравнения

ДГ7 4-А2е(г)£7 = 0,	(9>

не учитывающего различий в распространении волн различной поляри-
зации через плазму. В плазме с плавно изменяющейся диэлектрической
проницаемостью \dstdr Ае (г)] это законно до тех пор, пока не сказы-
вается плазменный резонанс, обусловленный той областью плазмы,
где е (г) да 0. Рассмотрим сначала двухмерную задачу, в которой точеч-
ный источник 1 (светящаяся нить) расположен в точке гх, <рх, а поле ищется
в точке 2 с полярными координатами г8, у, (рис. 1), причем обе точки 1
и 2 расположены вне плазмы (гх> > > Р). В рамках геометрической оптики
поле в точке 2 от источника 1 находится путем построения лучей, соеди-
няющих эти точки, что сводится к решению уравнения эйконала

(grad^ =А?е(г)	(10)
для фазовой функции S, причем в конечном счете поле выражается как
сумма вкладов от конечного числа лучей: при отсутствии плазмы имеется
один луч — прямая, соединяющая точки 1 и 2, плазма может добавить
еще лучи. В волновой постановке направление потока энергии достаточно
коротких волн слегка отличается от направления луча в данной точке
(поперечная диффузия амплитуды!), и поэтому существенны не только
лучи, но и области, к ним примыкающие. Для того чтобы учесть это об-
стоятельство, введем виртуальные лучи, зависящие от непрерывно изме-
няющегося параметра v (—оо < v < оо) и подчиняющиеся уравнению
эйконала (10); последнее наряду с обычными лучами допускает и круговые
лучи, поскольку выражение

Рве. 1. Лучи и волны, выходящие на точки 1 и при-
ходящие в точку 2.

при выполнении условий (Os/дг) (г,, v)=0 и (3) удовлетворяет уравнению
(10). Эйконал

S (v) =	— Vя -|-	— >а + v (агС sin j;- + агс s*n — ?о) — ® (*)» (И)

<Ро = ?2 —	+ «

соответствует виртуальным лучам, которые состоят из отрезков обычных
лучей, идущих от точек 1 л 2 к плазме, имеющих одинаковые прицельные
расстояния vl к и касающихся окружности радиуса г , входящего в фор-
мулы (1)—(3), в точках Т и 2’, и иа меньшей дуги 1'2' этой окружности.
На рис. 2 показаны виртуальные лучи 11'2'2 в отсутствие плазмы, когда
точки Г и 2' лежат на окружности радиуса v/A. Формула (И) применима
при условии, что угол 102 (рис. 1 и 2) тупой.

Виртуальные лучи по существу использовались ранее при решении
задачи о дифракции на идеально отражающем цилиндре радиуса а {ка >> 1)
методом параболического уравнения I7]: такие лучи при v= + Aa позво-
лили вычислить поле в области полутени и тени.

В семействе виртуальных лучей, зависящих от непрерывного пара-
метра v, имеется дискретное число обычных лучей, у которых точки каса-
ния 1' л 2' совпадают. Значения v, соответствующие обычным лучам,
определяются уравнением

S' (v) = arc sin -j- arc sin — % -f- A (v) = 0.	(12)

При отсутствии плазмы оно дает один корень

v0 = ^j^, S (у0) = кН = к + г| + 2гхг2 cos ?о,	(13)

где R — расстояние между точками 1 и 2.
Согласно геометрической оптике, поле g в точке 2 от источника 2,
т. е. функция Грина, определяется обычными лучами, соответствующими
уравнению (12). Виртуальные лучи повволяют перейти от лучевой трак-
товки к волновой с помощью интеграла 1

03
g = C у
—со

|/ Aar J — № у A*r j — >а ’

(14)

где постоянный множитель С определяется интенсивностью источника;
подразумевается временная зависимость В отсутствие плавмы инте-
грал принимает вид

yOt’r? —Vя — V* ’

(15)

Рис. 2. Виртуальные лучи в отсутствие плазмы.

Набег фавы иа дуге l't' может быть положительным (а) или отрицатель-
ным (б).

где S° (v) получается из S (v) при Ф (v) = 0; знаменатель подынтегральной
функции (15) учитывает изменение амплитуды вдоль лучевых «трубок»
11* и 22' и ее постоянство на отрезке 2'2' (рис. 2). Правильность инте-
грала (15) проверяется непосредственным вычислением его по методу
стационарной фазы: с учетом выражений (13) мы получаем

=	(16)

как и должно быть.

Правильность интеграла (14) вытекает из того, что плазма не изменяет
конфигурации виртуальных лучей вблизи точек 2 и 2, а лишь уменьшает
их фазу S (v) на Ф (v), являясь своеобразным фазовым трансформатором
(такую же трансформацию претерпевают и обычные зху Чм, но они к тому же
и отклоняются!); неизменность конфигурации виртуальных лучей вне
плазмы влечет за собой одинаковость амплитудных множителей в инте-
гралах (14) и (15). Применяя к интегралу (14) метод стационарной фавы,
мы получаем геометрооптическое представление поля g, но фактически
этот интеграл дает нам гораздо больше: в областях, где геометрическая
оптнка неприменима (окрестность каустики или фокуса, тень и т. п.),

1 Выражение такого типа получил petnee Ю. И. Орлов (Диссертация. МЭИ, М.,
1969), исходивший ив точного решения. Ниже мы выводим это и аналогичные выраже-
ния, опираясь на концепцию виртуальных лучей.
ов дает правильное асимптотическое представление для поля. Наконец,
этот интеграл позволяет сконструировать точное решение уравнения (9)
вдали от плазмы: для этого под Ф (v) надо понимать фазовую функцию,
фигурирующую в точном решении уравнения (9), имеющем при г > f вид

U = у [ffW (Ar) +	(кг) е***,

ж, кроме того, взять сумму интегралов, соответствующих значениям
xp04-2nn (п=0, +1, ±2, . . .), или, что то же, всевозможным обходам
окружности радиуса г^, начинаюхцимся в точке 2 и комчаю>цямся
в точке 2' (т. е. надо учесть «кругосветные волны», которые в асимптоти-
ческом решении можно не учитывать, поскольку они экспоненциально
малы). Последнее утверждение всего легче проверить, рассмотрев иде-
ально отражающий цилиндр.

Интеграл (14) аналогичен интегралу по траекториям в формулировке
квантовой механики, данной Фейнманом [8], но отличается от него тем,
что мы берем не все лучи (траектории), соединяющие точки 2 и 2, а лишь
их однопараметрическое семейство, удовлетворяющее уравнению (10)
и соответствующее траекториям с постоянной энергией и постоянным мо-
ментом количества движения, пропорциональным v. Еще более тесная
связь имеется с эйкональным приближением [* 10] в квантовой теории
атомных столкновений. Однако последнее обычно базируется на дополни-
тельных предположениях о малости рассеивающего потенциала по сравне-
нию с энергией рассеиваемых частиц и о достаточно большом удалении
точек 2 и 2 от области, где происходит рассеяние, а эти предположения
в нашей задаче не оправдываются.

Обозначим через g0 выражения (15) и (16) при фо=О, т- в. при 21=
=г1-}-га. Чтобы исключить постоянную С, введем величину

f = 8lgv	(17)

которую назовем (комплексным) коэффициентом передачи от точки 2
к точке 2 по полю.

Обычно зондирующая волна создается антенной 2, имеющей конечные
размеры и создающей направленное излучение, и принимается такой же
антенной 2. Обобщим формулы (14) и (15) на этот случай, ограничиваясь
пока двухмерными задачами; для этого перепишем их в виде

g = j A (v) Aj (v)	g0= j At (v) A, (v) dv, (18)

—oo	—оз

где

= VfeV^-v» ex₽ i~ + * “° sin ’ / = 1. 2, CiCj, = C. (19)

Направленную антенну 2 всегда можно рассматривать как совокупность
источников, расположенных при r=rj и <р as <рх, а антенну 2 — как сово-
купность стоков, расположенных при г—га и <р as <pt. Интегрируя g и g9
по источникам и стокам, мы приходим к интегралам (18), в которых,
однако, «антенные» функции Ах (v) и Аа (v) будут другими.

Смысл антенных функций Аа и Аа оказывается очень простым, если
перейти к параксиальному приближению, а именно считать |v | krlt а
и в соответствии с этим переписать формулы (11) и (19) в виде

S (v) = к (q -f-ra) + ^•(7-+ 7-) — (ф (*) + *РоЪ	(20)

A/v) = -^е,(*г'+ ^Т).	(21)

V КТ j

Тогда функция Ах (v) будет полем точечного источника или направ-
ленной антенны 2 на оси у (см. рис. 1, где вэято tp1= «, »=&!/), а функция
(v) — полем точечного источника или направленной антенны 2, рабо-
тающей в режиме передачи на оси у' (рис. 1, у' =у соз <р0—х sin <р0, 't—ky').
Если антенну 1 сдвинуть по оси у на расстояние pj/k, а антенну 2 по оси у1
на расстояние щ/А, то в формулах (18) надо заменить Лх (v) на Аг (v—fij,
а Ла (v) на Аа (у—ji2), и коэффициент передачи будет равен

J Л1 (ч — Н) — Рч)
/(Н1> Н2)=-^—-----:----------:--.	(22)

J 'М? — Hi) (V — (1,) <Ь
—00

Под Pi и (1а в этой формуле удобно понимать смещение максимума |ЛХ f
и |ЛЯ | по осям у и у', умноженное на к.

Параксиальное приближение особенно подходит для направленных
антенн 1 и 2, излучение которых проходит через плазму или ее ближай-
шую окрестность: тогда существенны значения |v |	А/*, а при выполне-

нии условия /* < rlt 8 это приводит к неравенству |v | кг1: я. Практи-
ческий же выигрыш от такой концентрации поля очевиден.

Для применения формул (18) и (22) несущественно, находится ли плазма
в ближней, дальней или промежуточной зонах антенн 1 и 2: распростра-
нение волн от антенны 1 к плазме и от плазмы к антенне 2 характеризуется
функциями Ля и Лд, учитывающими все волновые эффекты. Что же каса-
ется распространения волн через плазму, то оно учитывается с помощью
геометрооптической функции Ф (v), хотя в результате мы получаем вол-
новое поле в более точном виде, чем согласно геометрической оптикег
последняя, как уже отмечалось, получается при вычислении интеграла (14)
по методу стационарной фазы.

2.	Интеграл по траекториям в трехмерной задаче

С практической точки зрения нас интересует случай, когда излучение
передающей антенны сконцентрировано вблизи плоскости z=0 и когда
приемная антенна обладает такой же направленностью. Имея в виду
это ограничение (от которого, впрочем, можно избавиться), мы рассмотрим
распространение волны от точки 1 с координатами rlt <рь zx (точечный
источник, испускающий сферическую волну) к точке 2 с координатами
гя, <₽», zi, причем в дополнение к предыдущим условиям будем считать
l2i, «I гп »• Виртуальные лучи, соединяющие точки 1 и 2, будут опре-
деляться двумя параметрами v и о=соз &, где & — угол между лучом
вне плазмы и осью z, причем в силу малости z2—Zj параметр а будет мал.

Эйконал 5 (v, о) для двухпараметрического семейства виртуальных
лучей строится тем же приемом (см. Введение), что и Ф (v, а); при малых
v/Arl s и ° он равен

5(v,

+ Л (Zg — Zj) — [Ф (v) + vcp0],

(23)

где учтена формула (8). Обычные лучи определяются уравнениями

ИЛИ

^=0 ^=0
th U’ da и

к (z, — *1)	~ *» —*1	4

*(ri + rr)-|-2Z(v) ~г1 + г,^= ’

(24)

(25)
поскольку Z (у) по порядку величины не превосходит А/*, а г12 §> л.
Интегралы по виртуальным лучам (траекториям)

дают вам искомое решение волновой задачи; параметр ° пропорционален
количеству движения по оси z, постоянному на каждой траектории. Пре-
небрегая, как и в формуле (25), величиной Z (у), мы можем переписать
интегралы (26) в виде

03

03

g = j j Лх (v,a) Ла (у, a)-<[*(’')+’?oldvd3, g0=jj41(v) а) Ла (v, a) dvda, (27)

где для точечных антенн 1 и 2, когда

(v> 3)=ехРi [fcj-+i;—7 krJ +	зЬ>] ’ CiC*=С' (28>

выполняются соотношения

Лу(у, а) = ЛДу)Ву(з), /=1,2,	(29)

где Aj (v) берутся согласно формуле (21).

К произвольным направленным антеннам 1 и 2, поле которых скон-
центрировано при малых '>1кг^ и о-, мы переходим, беря произвольные
антенные функции Лх (у, а) и Ая (у, а). Если эти функции удовлетворяют
соотношениям (29), то мы приходим (с точностью до одинакового постоян-
ного множителя) к выражениям (18), а при смещении антенн в направ-
лениях у и у' получается формула (22) — такая же, как в двумерной за-
даче.

Если же антенные функции Аг (у, а) и Ая (у, о) не удовлетворяют
соотношениям (29), то все же интегралы по а в выражениях (27) дают
мам функцию

03

j* Ах (v, а) Аа (v, a) da

K(-y)=^--------------------,	(30)

JJ Ax (v, a) Ae (v, a) dvda
—co

которую мы будем называть аппаратной функцией диагностической уста-
новки. При смещении антенн 1 и 2 на одинаковые расстояния параллельно
осям у и у' соответственно [или при смещении плазмы на расстояние
р/Acos (<р0/2) по биссектрисе угла 102 в противоположном направлении]
коэффициент передачи равен

f(p) = j К (р — v) e-W^iJy.	(31)

—03

При рх=ра=р формула (22) совпадает с формулой (31), которая при-
менима и к антеннам, не удовлетворяющим соотношениям (29).

Формула (31) является основным интегральным уравнением коротко-
волновой диагностики. В пределе, когда аппаратная функция К (р—v)
имеет при v=p острый максимум, в интеграле (31) можно положить

Ф(у) = Ф(р) + Д(р)(р-у),

я мы получаем основное соотношение лучевой диагностики

/(p) = e-,[*(i‘)+w.] j Я(у)е-‘[4СЮ-т.]’Йу.	(32)
Действительно, фаза коэффициента передачи определяется функцией^
Ф (fi), поскольку интеграл дает лишь малую поправку в фазе, а угол <?<>.
в фазовом методе обычно берется равным нулю, поскольку е (г) » 1
и лучи почти не преломляются. Что касается абсолютной величины коэф-
фициента передачи, то она максимальна при Д (р.) = ср0, а на этом соотно-
шении базируется рефракционный метод.

3.	Применение к прямым и обратным дифракционным задачам

Формула (31) может быть получена путем асимптотического сумми-
рования точных рядов Iй]. Вывод, данный адесь, более прост и нагляден,
он позволяет от цилиндрической плазмы перейти к более широкому кругу
задач, например к задачам, в которых уравнение эйконала допускает
разделение переменных.

Остановимся на условиях применимости полученных выше формул
(22) и (31). Кроме условия плавности е (г) нужно, чтобы выполнялось
условие kr0 1, где г0 есть корень уравнения е (г)=0, т. е. корень урав-
нения (3) при у—0. При невыполнении этого условия ставится под сомне-
ние формула (1) для фазового набега (в той части плазмы, где гдаг0),
а также формула (8). Если ограничиться наиболее важным с практиче-
ской точки зрения случаем, когда концентрация плазмы монотонно убы-
вает с увеличением г, то это значит, что плазма должна быть либо пол-
ностью прозрачной [причем ее диэлектрическая проницаемость е (г)
не принимает малых значений], либо иметь достаточно массивную не-
прозрачную сердцевину [е (г) < 0 при г < г0» Ат0 5s> II-

Было произведено [и] сравнение формулы (31) с точным решением дву-
мерной дифракционной задачи, полученным для цилиндрической плазмы,
в которой концентрация пропорциональна е~т'1а', и для антенн 1 и 2,
создажйцих гауссовы волновые пучки. В случае когда <ро=О, т- е- когда
антенны направлены друг на друга, формула (31) уже при ка==10 и 20 дает
практически точные результаты. При <р0= п/2 точные решения для различ-
ных поляризаций и для плазмы с непрозрачной сердцевиной уже заметно
отличаются друг от друга, формула (31) при тех же ка ближе к точному
решению для волны, электрическое пола которой параллельно оси z,
но дает более грубое приближение; если же электрическое поле волны пер-
пендикулярно оси z, то |/ (fi) | заметно уменьшается вследствие плазмен-
ного резонанса. Прозрачная плазма, как правило, дает при у0= л/2 малые
значения |/ (ц) |.

В экспериментальной работе [1г] измерялась функция [/ (р-)|г —
коэффициент передачи по мощности — при фв=О и при различных часто-
тах, а результаты измерений интерпретировались с помощью геометри-
ческой оптики. Дополнительно измеряя фазу коэффициента передачи,
можно уже решить интегральное уравнение (31) и получить более точные
и полные сведения о плазме. Уравнение (31) линейно относительно неиз-
вестной функции его обычно называют интегральным уравнением
свертки. Определение е (г) по Ф (v) сводится к решению интегрального
уравнения Абеля (см. Введение). Оба интегральных уравнения — пер-
вого рода, их решение может быть неустойчивым, если не приняты спе-
циальные меры.

Ясно, что о распределении е (г)< 0 в непрозрачной сердцевине плазмы
(если она есть), на основании измерения f (fi) практически ничего сказать
нельзя, поскольку поле в сердцевину почти не проникает. Хотя в этом
случае формула (31) дает хорошее приближение для прямой диффракци-
онной задачи, решение обратной задачи невозможно из-за непримени-
мости формул (5) и из-за того, что /«0в значительном интервале при-
цельных расстояний, соответствующих затенению пучка плазмой. В ре-
зультате решения уравнения (31) для прозрачной плазмы можно, вообще
говоря, получить комплексную фазовую функцию ф (v), где Im Ф (v) < О
свидетельствует о затухании волны в плазме [т. е. о том, что Im е (г) > 01.
Избежать аналитического продолжения функции Е (р) можно лишь тогда,
когда мнимые части Ф (v), Е (р) i в (г) являются малыми возмущениями,
СВЯЗАННЫМИ JIjelMCMJtiJbIMii СООТНОПГбНИЯМИ ТИЛ&

8’<г)=-тт^й^(”.	<зз>

где р и Е (р) определяются формулами (5) и (7) по вещественным частям
Ф (v) и A (v), а ЪЕ (р) — по мнимым.

Выше мы предполагали, что аппаратная функция К (р—v) известна.
Ее можно определить, пользуясь цилиндрическим или иным дифракцион-
ным объектом, для которого применима формула (31) с известной функ-
цией Ф (у), измеряя коэффициент передачи / (и) и решая интегральное
уравнение свертки

СО

/(и)= j er«^K(v)dv (при <ро=О)	(34)

—«о

с неизвестной функцией К (v).

Заключение

Мы вывели основное интегральное уравнение коротковолновой ди-
агностики Цмкинд рическон плазмы (в виде интеграла по траекториям —
виртуальным лучам) и наметили его возможные применения. Конкретные
диагностические расчеты будут приведены в другом месте; здесь мы только
отметим, что расчеты не столь сложны, как это можно было ожидать,
поскольку приходится решать простейшие линейные интегральные урав-
нения первого рода — уравнения свертки (31) и (34) и уравнение Абеля.
Заметим, что полученные выше соотношения позволяют также контро-
лировать распределение в (г) в оптических волокнах; эта задача стала
актуальной в последнее время I1’].

Авторы выражают благодарность П. Л. Капице за интерес к этой ра-
боте и ее поддержку и Л. П. Питаевскому за ценное обсуждение.

Литература

[1]	Зондирование неоднородной плазмы пятттрлмятттгепт волнами, пер. с пал.
под ред. Л. А. Д у ш и и а, § 6, 7. Атомивдат, М., 1973.

[2]	Л. А. Д у ш и и. СВЧ интерферометры для намерения плотности плазмы в Гаве-
лом разряде, $ 20. Атомивдат, М., 1973.

[3]	Диагностика плавны, вып. 3, 358, 380, под ред. С. Ю. Лукьянова. Атом-
 издат, М., 1973.

[4]	Е. П. Горбунов, Ю. Н. Днестровский, Д. П. К о ст о м.а р о в.
ЖТФ, 38, № 5, 812, 1968.

[5]	J. Shmoys. J. Appl. Phys., 32, 4, 689, 1961.

[6]	Л. А. Д у ш и н, В. И. К о и о ней к о, А. И. С к и б е н к о. ЖТФ, 36, 10,
1842, 1966.

[7]	Г. Д. Малюжинец, Л. А. Вайнштейн. Радиотехн. и электрон., 6,
8, 1247, 1961.

(8]	Р. Ф е й н и а н, А. X и б с. Квантовая механика и интегралы по траекториям.
«Мир», М., 1968.

[9]	Е. G е г j п о у, В. К. Т h о ш а в. Reports on Progress in Physics, 37, 11, 1347,
1975.

[10]	P. Ньютон. Теория рассеяния волн и частиц, гл. 18, $ 3. «Мир», М., 1969.

[11]	Л. А. В ай нш те ин, Е. С. Биргер, Н. Б. К о н ю х о в а, Е. С. К fl-
ea р е в, Г. П. Прудковскнй. Фиалка плазмы, 2, 4, 658, 1976.

[12]	Тищенко, В. Г. Зацепин. ЖЭТФ, 68, 2, 547, 1975.

[13]	D. М а г с и s е, Н. М. Р г е в Ь у. J. Opt. Soc. Аш., 65, 4, 367, 1975.

Институт физических проблем	Поступило в Редакцию

АН СССР	31 октября 1975 г.

Москва
Стихи и переводы

Члены редколлегии — физики, а не лирики, и мы не уверены, что выбрали
именно лучшие из поэтических произведений Льва Альбертовича. Нам
трудно судить и об их истинных достоинствах, просто всем нам эти
стихи нравились, они много значили в жизни автора, и мы рискнули
привести их в этом сборнике научных трудов. Интересный пример.
Много лет тому назад в “ Литературной газете” Владимир Солоухин дал
жесткий критический анализ перевода различными авторами одного из
рубаи Омара Хайяма и в заключение как эталон привел свой собственный
вариант. Нам все же больше нравится перевод, сделанный Львом Альбер-
товичем и открывающий подборку его стихов.

Редколлегия

Омар Хайям

Из звонкой глины куклы — ты и я,
Слепил нас бог, усмешки не тая.

Нам дали жизнь — на коврике попрыгать
И ссыплют вновь в сундук небытия.

Райнер Мария Рильке

Король

Он стал королем в шестнадцать лет.
Шестнадцать лет — и уже король.
Пред ним — государственный совет,
Он мимо, как из засады, вдоль
Зала и дальше куда-то глядит
И чувствует лишь одно:
Что подбородок ему холодит
Цепь — Золотое руно.

Смертный вердикт перед ним опять,
Но медлит его рука.

Все думают: как потрясен!
О, если б знали они, что он
Считает медленно до сорока,
Прежде чем подписать.
В КОРИДОРАХ НАУКИ

Стихи и эпиграммы

Готголъд Эфраим Лессинг

К читателю

Клошитока классиком считали.

Но кто прочтет его сейчас?

О, если б меньше почитали

И больше бы читали нас!

Карл Маркс

Гегель

Кант и Фихте плавали в эфире,
Там ища заветный идеал.

Лишь одно хочу понять я в мире —
То, что я на улице собрал

Франц Грилъпарцер

Мировоззрение

Бык вышел на цветущий луг
И ест подрад, что есть вокруг.
Зеленое многообразье —
Все для него трава. А разве
Неправ он, наш рогатый друг?

Юбилей

Он семьдесят лет отмечает.

А что юбилей означает?

С семи до семидесяти

Лишь нулик он смог наскрести!

Рудольф Пресбер

Большой человек

За что известность он обрел
Во всем ученом мире?
Он из санскрита перевел,
Что дважды два — четыре.
Людвиг Фульда

Патология

Оригинальной кажется смесь
Бреда и пустословья;

Болезней много на свете есть,
Но только одно здоровье

Мифология

В стойла Авгия кто ни зайдет,
Тотчас победный клич издает.
Думаешь: так Геркулес появляется,
А от него лишь дерьма прибавляется.

Христиан Моргенштерн

Кто это?

Смердел он у печки шлепанцем бросовым
И назывался при этом философом.

Пауль Гейзе

Этика и эстетика

“Все понять — значит все простить” —
В быту так бывает, действительно.

-Но это в искусство переносить
Глупо и непростительно.

Историкам

Ругают бабу-непоседу:

Не суй свой нос в горшок соседу.
Но крайне важно знать, коллеги,
Что там варили в прошлом веке!

Курт Барч

Смелое выступление

Я хотел бы высказать

Мнение свое... Такого начала не ждал никто.

” ... Еще Карл Маркс сказал, что ..."
Николаус Ленау

Биологам

Секрет всего живого

От взора скрыт людского:

В орехе скатана
Записка

И в море спрятана
Неблизко.

Огромно море, мал орех,
А чудный ларчик манит всех
Плыви за ним, не проскочи —
Ищи! Ищи! Секрет всего живого
От взора скрыт людского
На маковке у птички-
Невелички

Под хохолком. И вдаль
Пичужка улетела;

Поймать бы — но едва ль

Удастся это дело. Кто знает, может быть, она
Сидит у твоего окна
И весело весенним днем
Поет, поет, и песни эти
Тебе расскажут о секрете,
Записанном под хохолком!

Следи за птичкой и молчи —
Ищи! Ищи!

* * *

Человек в свирепой жажде нового,
Чтоб стереть о прошлом даже память,
Все стремится переименовывать,
Расправляясь с прежними столпами.

Изменений видимо-невидимо

В том, что вечным нам казалось с вами...
В нашей жизни трудно что-то выдумать,
легче взять и подменить название.

Но никто словам rte поклоняется,
Факты — вещь простая и упрямая,
И чем больше это все меняется,
Тем ясней, что это то же самое
Сонет о женщине

Пенорожденная! Андиомена!

К жертвам привыкшая Эроса мать!

Валерий Брюсов

Во всех несчастьях и при всех потерях
Я вспоминаю об Андиомене

И вижу: вот, родившись в белой пене,
Она выходит на отлогий берег.

Да, в женщине есть жизненная сила,
Она не только чаша наслаждений.
Одних она ввергала в бездну лени,
Других — к высоким звездам возносила.

Опять тоска не так уж нестерпима,
Опять, как в ранней юности, томленье.
Опять волнуют бедра и колени
Любой девчонки, проходящей мимо.

Но слишком много женщин под луной.

Куда достойней думать об одной.

Смерть

Слова, слова... Поверьте:
Мне мало осталось жить.

Черная бабочка смерти
У меня на губах дрожит.

Шумит человеческий улей.

Но — через пустоту

Слышу за гулом улиц

Быстрых копыт стук

За мною рыцарь несется

Он бет щита и меча,

Но шлем его, словно солнце,
Весь в золотых лучах

Но как душе ни хотелось,
Как ни просит — нельзя
Бессильно леяащее тело
В дорогу с собой взять.

17 июля 1989 г.
Воспоминания

Интересы Льва Альбертовича не ограничивались наукой, хотя она и
была целью и смыслом его жизни от первых студенческих лет и до самых
последних дней. Он занимался серьезным туризмом, увлекался поэзией,
выполняя на профессиональном уровне поэтические переводы. Человек
высокой культуры и удивительной скромности, принципиальный и
доброжелательный, Лев Альбертович заслужил любовь и уважение его
многочисленных друзей и учеников.

Мы сочли возможным посвятить небольшой раздел воспоминаниям
коллег и друзей Льва Альбертовича, его бывших учеников. Наука, дружба
и поэзия составляли смысл жизни Льва Альбертовича, и все эти его
“избранные труды” нашли отражение в данном сборнике.

Редколлегия

Я. Н. Фелъд

Прошло уже два года*, как оборвалась жизнь талантливого физика-тео-
ретика Льва Альбертовича Вайнштейна.

Он скончался, не дожив двух месяцев до 69 лет. В конце 1946 года, сразу
после окончания аспирантуры физфака МГУ, Лев Альбертович начал
работать в теоретической лаборатории центрального научно-исследова-
тельского института, руководимой Михаилом Александровичем Леонтови-
чем. Там мне посчастливилось проработать вместе с Л. А. Вайнштейном
несколько лет. Но и после моего ухода из этой лаборатории и перехода Льва
Альбертовича, по рекомендации академика В. А. Фока, в Институт физи-
ческих проблем, мы продолжали контактировать и встречаться до послед-
них месяцев его жизни.

В лаборатории акад. Леонтовича была удивительная творческая
атмосфера, почти ежедневно проходили научные дискуссии, в кото-
рых участвовали сотрудники лаборатории М. А. Леонтович, В. А. Фок,
Л. А. Вайнштейн, Б. 3. Каценеленбаум, В. И. Бунимович и ряд других
способных ученых. В этой лаборатории Лев Альбертович сделал свои
первые работы по статистической радиофизике, а также опубликовал свои
классические исследования по излучению из конца круглого и плоского
волноводов. Этот период его научной деятельности характерен большим

* Воспоминания Я. Н. Фельда были написаны в начале 1992 года.
количеством работ по теории дифракции волн. В тоже время он защитил в
ФИАН’е докторскую диссертацию и окончательно сформировался как
талантливый физик-теоретик. Круг интересов и областей, в которых Лев
Альбертович успешно работал весьма широк. Он занимался статистической
радиофизикой — шумами. Результаты этих исследований были обобщены
в изданной им совместно с В. Д. Зубаковым в 1960 г. книге “Выделение
сигналов на фоне случайных помех”. Широкую популярность у специалис-
тов и студентов приобрела написанная им и выдержавшая два издания
книга “Электромагнитные волны”. Она содержит также ряд оригинальных
результатов автора — таких, например, как теорема о колеблющейся
мощности, методы решения задач о возбуждении волноводов и резонаторов
электрическими и магнитными токами, и ряд других ранее не рассматри-
вавшихся вопросов.

В 1973 году Лев Альбертович в соавторстве с В. А. Солнцевым написал
книгу “Лекции по сверхвысокочастотной электронике”, где изложена теория
взаимодействия электронного пучка с электромагнитным полем в различных
устройствах — магнетронах, клистронах, лампе с бегущей волной и т.п. О
многообразии интересов Льва Альбертовича можно также судить по издан-
ной им в 1983 г. совместно с Д. Е. Вакманом книге “Разделение частот в
теории колебаний и волн”, в которой, по-видимому, впервые обстоятельно
изложена теория аналитических сигналов. Наконец, нельзя не отметить
изданные им в 1966 г. две фундаментальные книги, базирующиеся исклю-
чительно на его собственных исследованиях: “Теория диффракции и метод
факторизации” и “Открытые резонаторы и открытые волноводы”.

Он опубликовал также в соавторстве с академиками П. Л. Капицей и
В. А. Фоком ряд интересных статей по теории возбуждения и излучения
вибраторов и близким к ним вопросам.

Из сказанного ясно, что Лев Альбертович успешно работал почти во всех
областях радиотехники, радиофизики и электродинамики.

Наряду с чисто научной работой он много времени уделял организации
науки. Так, в течение нескольких десятилетий он был бессменным предсе-
дателем оргкомитетов Всесоюзных симпозиумов по дифракции и распро-
странению волн и активным участником симпозиумов по электронике.
Большую пользу приносил он, регулярно посещая общемосковский семинар
по дифракции и распространению волн и постоянно выступая на нем. Лев
Альбертович был активным туристом и до болезни проводил отпуска в
походах в горы, плавании по рекам и путешествиях. Он любил поэзию и сам
в стихах комментировал различные жизненные ситуации. Мне запомнилось
одно его четверостишие, написанное в связи с поведением сотрудника
лаборатории:

О, Берман — язва здешних мест.

Попеременно всех он ест —

И мы несем свой тяжкий крест,

Не в силах выразить протест.

Тяжелая, смертельная болезнь свалилась на него в последние годы его
жизни. Диагноз и безнадежность лечения ему были известны. Но это не
сломило его. Лев Альбертович продолжал заниматься наукой, ходить на
работу, участвовать в семинарах и симпозиумах, и все это в промежутках
между пребываниями в больнице.

В одной из книг Льва Альбертовича есть эпиграф, последние две строчки
которого я приведу:

Здорова и сильна моя основа,

В тяжелый час она спасет меня.

Но, к сожалению, не спасла.

Б. 3. Каценеленбаум

Как ученый Л. А. обладал четырьмя свойствами, редко сочетающимися
в одном человеке — он был талантлив, трудолюбив, эрудирован и удачлив.
Приведенные ниже примеры относятся к деталям и потому особенно убе-
дительно доказывают наличие этих качеств, так как именно мелочи отчет-
ливее всего передают сущность человека и его судьбу.

а)	В теории возбуждения волноводов существует тонкость — в продоль-
ные компоненты полей входят дополнительные слагаемые, пропорциональ-
ные продольным компонентам возбуждающих токов. Этот результат,
принадлежащий Л. А., решающе важен в теории электронных ламп. Л. А.
получил его не непосредственно из уравнений, а рассматривая некий
мысленный опыт с удалением бесконечно тонкого слоя тока. При этом токи
рвутся, возникают заряды в поперечных сечениях и соответственно порож-
даемые ими продольные поля. Этот результат и этот способ мышления
кажутся элементарными только потому, что они известны.

Ь)	В задаче о полубесконечном волноводе Л. А. применил метод
Винера — Хопфа. Решение получается в виде трехкратного интеграла в
комплексной плоскости. Для того чтобы решение представляло интерес и
могло быть проанализировано, надо взять хотя бы внутренние интегралы. А
для этого надо производить деформацию контура на двулистной поверх-
ности Римана. Л. А. склеил эту поверхность из картона, материализовав
понятия “разрез”, "точка ветвления”, “контур интегрирования”. Напомню,
что это было 45 лет тому назад, и применение этих методов еще не перешло
из работ академиков и докторских диссертаций в студенческие дипломы.

с)	Работа над электродинамическими задачами научила Л. А. технике
решения интегральных уравнений с ядром, зависящим от разности аргу-
ментов. В совершенно другой области радиофизики — в теории фильт-
ров — многое тоже основывается на таких уравнениях. Л. А. не просто
перенес свои результаты в новую для себя область — он освоил ее настолько,
что написанная им монография долго была основным пособием по этому
кругу вопросов.

d)	Разумеется, к тем, кто талантлив, эрудирован и трудолюбив, удача
приходит чаще, чем к тем, кто не обладает всеми этими качествами, но
корреляция не очень велика и удачливость можно рассматривать как
независимое свойство. Все работы Л. А. по дифракции на открытом конце
полубесконечных линий публиковались примерно на год раньше, чем ана-
логичные (часто менее полные) результаты американцев. Кстати, американ-
цев было человек 5 — 6, а Л. А. помогал один вычислитель.

Если бы Л. А. прочел эти заметки, он, вероятно, охарактеризовал бы их
своим любимым выражением, которое он применял к бессодержательным
сообщениям:

Вот бежит за лесом заяц —

Ты поймай и обобщи

И скорей клади во щи.

Д. И. Трубецков

Впервые о Льве Альбертовиче Вайнштейне я услышал от знакомого
старшекурсника у университетского книжного киоска. “Купи, а то потом
искать будешь!” — показал он мне на книгу “Электромагнитные волны”. Я
учился на третьем курсе, и книга показалась мне если не трудной, то, по
крайней мере, пока не нужной. Однако уже на следующий год она превра-
тилась в настольную книгу при работе в радиофизическом практикуме и
при подготовке к экзамену по электродинамике СВЧ. В это время мой
учитель Владимир Николаевич Шевчик активно занимался применением
метода последовательных приближений к СВЧ электронным приборам с
длительным взаимодействием. Он сразу понял, что интегральная форма
уравнений возбуждения волновода, данная Л. А., идеально подходит для
метода последовательных приближений. Для группы молодых саратовских
электронщиков эти уравнения стали просто уравнениями Вайнштейна, и
мы пропагандировали их, где надо и где не надо, и даже “боролись” с
другими подходами.

Увидел и услышал Л. А. я впервые в 1962 году в Москве на конференции,
проходившей в гостинице “Советская”. Конференция стала знаменита тем,
что на ней П. Л. Капица впервые рассказал о своем варианте электроники
больших мощностей. Л. А. выступил с сообщением о работах по СВЧ
электронике, проводимых в Институте физпроблем. От этой встречи запо-
мнились его манера говорить и несколько странная одежда: шинель и
армейская шапка-ушанка.

Вторая встреча -— мокрый декабрь 1966 года в Ленинграде, семинар,
организуемый Ю. А. Кацманом. Л. А. публично похвалил меня за доклад,
чему я был несказанно рад. Все этот время Л. А. казался мне далеким
мэтром, живым классиком, далеким по месту в научной иерархии и по
возрасту. Я не общался с ним, а лишь уважительно ему внимал.

Наше первое общение началось осенью 1967 года на первой (оставшейся
единственной) Всесоюзной школе по СВЧ электронике, проходившей в
Аштараке. Л. А. прочитал прекрасные лекции в общем с В. А. Солнцевым
курсе “Введение в СВЧ электронику и теорию ЛБВ”. Это был первый шаг
к их совместной книге. Л. А. участвовал практически во всех дискуссиях,
стремясь к ясности, был порою резок и не стеснялся в выражениях. Кто-то
из почтенных профессоров, извинившись, задал вопрос. Л.А.: “Чем глупее
вопрос, тем большую информацию несет ответ на него”. Профессор (расте-
рянно): “Но ведь это — не глупый вопрос?”

В докладе — “темное” место. Л. А. задает вопрос. Докладчик отвечает
правильно, но невнятно. Л. А. “: Я задал вопрос, потому что у меня есть
хороший ответ на него”. После чего следует объяснение “темного” места.

Л. А. очень любил афоризм Сковороды: “Слава господу богу, что мир
устроен так — все сложное не нужно, все нужное не сложно”. Он часто и
удачно пользовался им.

В Аштараке он поразил своей великолепной спортивной формой: лазал
по всем горам, один из немногих, кто искупался в Севане. На мой вопрос:
“Холодная ли вода?” — ответил: “Градусов пятнадцать. Решайте сами”.

На закрытии школы я как один из школьников посетовал, что великие
не рассказали о магнетроне. В столовой Л. А. подсел ко мне и сказал
приблизительно следующее. Наивно в какой-то мере ждать, что сегодня
кто-то в состоянии рассказать как следует о магнетроне, и что он ждет,
может быть, через некоторое время я расскажу ему об этом. Л. А. уже тогда
стал заниматься пространственным зарядом в приборах М-типа и с инте-
ресом слушал все, что было связано со скрещенными полями.

Л. А. попросил у меня ссылки на работы о пространственном заряде
толстом электронном пучке в скрещенных полях. В ответ через некоторое
время он прислал пятый сборник “Электроники больших мощностей” с
большой статьей по оротрону (в ней он не был соавтором, но был несомнен-
ным вдохновителем этих работ).

В начале 1970 года мы впервые провели в Саратове зимнюю школу-се-
минар инженеров по теоретической электронике СВЧ. Работа Л. А. для
наших школ, а их за 20 лет прошло восемь, была по-настоящему подвиж-
нической и необычайно важной не только для саратовцев, но и для всех
электронщиков Союза. Л. А. прочел на этой школе десять лекций по основам
электроники сверхвысоких частот, которые превратились в книгу “Лекции
по сверхвысокочастотной электронике”, на мой взгляд, лучшую книгу из
всех известных в этой области.

К сожалению, многое из прочитанного на школах осталось лишь в
книжках лекций. Так уникальным остается курс (совместно с А. С. Рошалем)
“Пространственный заряд в магнетронных приборах” (2-я зимняя школа-
семинар инженеров, 1972). На пятой школе (1981 год) Л. А. прочел учебный
курс “Введение в электродинамику”. Вот отрывок из предисловия к книжке
лекций:

“Чтобы расширить круг читателей и слушателей, которым будет полезен
этот курс, автор старался сделать его настолько ’’замкнутым" (автономным),
насколько это вообще возможно. Для этого были предприняты следующие
шаги.

1.	Автор не отсылает читателей к математическим пособиям, а излагает
все необходимые сведения по векторному исчислению в вводной лекции.
Таким образом, от читателя требуется только знакомство с основами
дифференциального и интегрального исчисления.

2.	Автор не постулирует каких-либо физических утверждений или
уравнений, а связывает (в 1-й лекции) основные соотношения теории
электромагнитного поля с опытными фактами. От читателя здесь требуется
лишь знание общей физики.

3.	Курс, предназначенный в первую очередь для повторного и углублен-
ного изучения теории электромагнитного поля, может, как надеется автор,
служить и для первоначальной проработки основ электродинамики. Конеч-
но, при этом продвижение по курсу будет гораздо более медленным и
необходимо тщательное решение всех задач (к каждой лекции приложено
от 10 до 16 задач с решениями)".

Это была последняя школа, на которой Л. А. сам читал лекции. Лекций
этих он даже немного опасался: “Надо будет прочитать таблицу умножения
так, чтобы она произвела впечатление”, — и прочел их блестяще. Он хотел
издать лекции отдельной книгой, попросил прислать ему несколько экзем-
пляров школьных книжек, но не успел.

Л. А. не пропускал ни одной школьной лекции, ни одного семинара. Его
не раз награждали шутливой медалью самого лучшего слушателя школы.

Л. А. много взаимодействовал с различными научными работниками, что
находило отражение в совместных книгах, курсах лекций, статьях. В письме
от 7.01.85 он написал: “Сотрудники, которые со мной работают на общест-
венных началах, постепенно меняются. Ушел Рошаль. Вакмана я уже год
не видел, и т.д. и т.п. И с Вами произошло нечто подобное. Удивляться и
обижаться не приходится — это вполне естественно, и надо смотреть на
такое сотрудничество, как на курортный роман”.

Беру на себя смелость утверждать, что его вклад в совместные работы
был всегда большим. Я имею в виду не только постановку задачи, выкладки,
обсуждение алгоритмов и результатов, но и тщательное редактирование
текста, оформление рукописи (Л. А. всегда вписывал формулы и редакти-
ровал рисунки сам). Одна из неопубликованных работ Л. А. появилась так.
Мой аспирант С. П. Кузнецов и я занимались нестационарной теорией
генераторов обратной волны и написали нестационарные уравнения воз-
буждения волноводов, следуя методике, предложенной Л. А. для резонато-
ров. Все было правильно, но нестрого. “Вы последовали моему дурному
примеру”, — сказал Л. А. при встрече и протянул мне рукопись статьи. В
рукописи рядом с его стояла и моя фамилия. Разумеется, я отказался, но
и Л. А. не стал публиковать работу, считая, что идея данной задачи
принадлежит не ему.
Л. А. много сил и времени отдавал обучению молодых. Он часто го юрил:
“Талантам надо помогать, бездарности пробьются сами”. И помогал. В его
маленьком кабинете в ИФП обязательно кто-нибудь ждал его совета,
критики, поддержки. Я заставал иногда очереди.

Внешне Л. А. казался замкнутым, даже суровым человеком. Но те,
кто был близок к нему, знали, что это не так. Л. А. был добрым
человеком, человеком выдающихся способностей, человеком порядочным,
принципиальным и удивительно скромным. Его глубоко уважали и искренне
любили коллеги, друзья, ученики.

Бездари и графоманы боялись его и старались как-нибудь обойти,
поскольку боролся он с ними жестоко.

Л. А. иногда принимал участие в школьных вечерних “чаепитиях”, но к
спиртному относился отрицательно. Любил произносить тосты. И первый
тост за Виктора Тимофеевича Овчарова, увы, тоже покойного: “Конечно, я
присутствую на этом застолье благодаря хозяевам, но это лишь отчасти. Я
присутствую здесь благодаря В.Т.Овчарову, который привел меня в СВЧ
электронику”. Еще запомнился тост: “5 х 5 = 25, 6 х 6 = 36, 7 х 7 = 47.
Давайте выпьем за то, чтобы теория совпадала с экспериментом, но не
таким образом”. Он был интересным рассказчиком и все его с удовольствием
слушали. Помню его рассказ о поездке в ГДР с зачитыванием смешных
брачных объявлений из газет, рассказ о том, как в Венгрии ему пришлось
большую часть доклада о распространении импульсов растолковывать
эпиграф из Крылова: “Какие бабочки, букашки, козявки, мушки, таракаш-
ки ...”, рассказы о постоянных походах в Крым и многие другие.

Л. А. любил наши школы (он писал мне об этом). Разрядкой на школах
были для него лыжи, где с ним никто не мог сравниться.

Л. А. долго и мучительно болел, прекрасно понимая свое положение.
Напряжения всех сил и необычайного мужества требовала вся его жизнь
последних лет. Вот небольшой отрывок из письма от 17.01.1989 года: “...Вы
видите, что я много работал последние годы, в частности во время пребы-
вания в клинике Онкологического центра, и сейчас все это надо успеть
оформить и послать в печать, в том числе и Вам.

В письме много не напишешь, приезжайте, у меня еще много интересного.
Сообщите, в какой мере это будет интересно для школы-90. Я надеюсь
дожить до следующего января, но если нет — можете школу посвятить
моей памяти."

Увы, он не дожил до школы, и посвящена школа была ему.

Последний раз я видел Л. А. 21 апреля 1989 года на семинаре в МИЭМ,
где выступал мой сотрудник. Выглядел он плохо, по лестнице поднялся с
одышкой, вопросов почти не задавал. Я ушел со второго доклада, пообещав
зайти к Л.А. на другой день. Закрутился — не успел, позвонил и почувст-
вовал, что он огорчен.
Горько, что больше не будет его писем, написанных четким, уверенным
почерком (часто он писал огрызком карандаша, который всегда был у него
в нагрудном кармане пиджака), не будет его прекрасных лекций и статей,
горько, что нет человека, который мог бы сказать о твоей работе “да” или
“нет”, горько, что нет просто близкого человека.

В. Н. Мелехин

Мне очень повезло в жизни — в течение многих лет я был близко знаком,
дружил с Львом Альбертовичем. Я познакомился с ним, кажется, в 1956
году, когда вместе с другими студентами МФТИ слушал его курс лекций по
электродинамике СВЧ, который составил основу вышедшей вскоре и став-
шей весьма популярной монографии “Электромагнитные волны”. Уже тогда
меня поразила удивительная стройность и логичность изложения материала
— все возможные неясности были предугаданы Львом Альбертовичем, и
на вопросы заранее был дан ответ. И каково же было мое приятное
удивление, когда я узнал при поступлении на работу в Институт физичес-
ких проблем АН СССР, что Лев Альбертович работает в этом институте и
директор института академик Петр Леонидович Капица поручил ему
вместе с Сергеем Петровичем Капицей провести со мной собеседование. С
тех пор и началось наше многолетнее знакомство — не только по работе в
одной и той же Физической лаборатории Института, но и по многочислен-
ным туристским походам, а вместе с женой и сыном мы часто бывали в
гостях у Льва Альбертовича на даче в Луцине.

К сожалению, я не литератор, и для тех, кто не знал лично Льва
Альбертовича, я не могу создать его цельный образ, но хочется привести
некоторые обрывочные воспоминания, почему-то запавшие в память. Меня,
вчерашнего студента, вообще поразила вся атмосфера жизни “капичника”
— настоящего храма науки, особенно в сравнении с суетой и фальшью
научной жизни той лаборатории, где я выполнял дипломную работу. Про-
фессор Вайнштейн был для нас, молодых сотрудников Института, одним из
жрецов этого храма, всезнающим и всемогущим, и в то же время удиви-
тельно простым и доступным. Даже всех студентов нашей лаборатории, не
говоря уж о сотрудниках, Лев Альбертович называл по имени-отчеству, и
любой из нас всегда мог прийти к нему и обратиться с любым неясным
вопросом. Если изложение не было чересчур бестолковым и Льву Альбер-
товичу удавалось понять вопрос, то обычно следовал незамедлительный и
исчерпывающий ответ.

Надо сказать, что все мы, друзья Льва Альбертовича, в затрудни-
тельных случаях обращались к нему за советом и помощью и никогда
не оставались без ответа. Мне кажется, что мы даже злоупотребляли
этим, обращаясь с научными вопросами, в которых и сами могли бы
74*
разобраться, потратив на это достаточно времени. Позднее я понял это,
сам старался не допускать такого и высказывал огорчение, что Лев Аль-
бертович теряет так много времени, не отказываясь беседовать не только
с нашими сотрудниками, но и с приходившими из других организаций.
Лев Альбертович уклонялся от ответа на этот мой вопрос, и лишь много
позднее я понял, что тут проявлялась не только его необычайная добро-
желательность к знакомым и незнакомым людям, но и поразительная
любовь к науке. Лев Альбертович не мог допустить, чтобы пропала какая-
нибудь стоящая научная идея, о которой даже и сам автор мог не подозре-
вать, но которая кристаллизовалась в прцессе первой и последующих бесед.
Нередко такие собеседования приводили к появлению совместной научной
работы или монографии.

Во вводной статье этого сборника приведено одно из суждений Льва
Альбертовича, как я понимаю, его научное кредо. Суть его в том, что
научному работнику нужно глубоко, профессионально, в течение ряда лет
заниматься какой-либо областью физики, а затем переходить в другую
область. Только так можно стать глубоко и разносторонне образованным
ученым. Сам Лев Альбертович неуклонно следовал этому правилу, в чем
нетрудно убедиться, просто прочитав названия его монографий, весьма
далеких друг от друга по тематике. Когда же я готовился к “капустнику”,
посвященному 70-летию П. Л. Капицы, и изучал его работы с целью их
шутливого анализа, то с удивлением обнаружил, что Петр Леонидович тоже
весьма круто менял примерно каждые семь лет свою научную тематику,
перейдя в конечном счете от сверхнизких к сверхвысоким температурам.

Видимо, широкий диапазон научных увлечений — это необходимое, хотя
и недостаточное условие для того, чтобы стать настоящим, серьезным
ученым. Я помню, как Лев Альбертович описывал свой разговор с одним
крупным специалистом по ускорителям, который уже в преклонном воз-
расте начал заниматься плазмой. “Когда я понял, что каждый месяц могу
выдавать добротную работу по ускорителям, — сказал этот физик, — то
мне стало ясно, что нужно менять тематику”. Но на практике такой подход
слишком труден, требует полной самоотдачи и, как любил говорить Лев
Альбертович, очень большой производной “д-ж по д-т”, имея в виду
усидчивость. Нужна большая сила воли, и Лев Альбертович сполна обладал
этим качеством.

Я помню, как был поражен, впервые приехав в гости на дачу к Вайнш-
тейну и увидев рано утром, как Лев Альбертович в одних трусах делал
зарядку с тяжеленными гантелями на открытой террасе в двадцатиградус-
ный мороз. Видя мое недоумение, Лев Альбертович рассказал, что в
Молодости он беспрерывно болел, это ему надоело, и он стал вышибать клин
клином и так преуспел в этом, что уже многие годы вообще не болел, ни
разу не брал бюллетень. С этой же целью он начал ходить в туристские
походы, увлекся этим и до последних лет своей жизни, пока его не свалила
тяжелая болезнь, ходил по все более трудным маршрутам, начал с горного
Крыма и закончил горами Средней Азии. К сожалению, из-за ухудшения
здоровья я рано сошел с туристской тропы, но до сих пор мои лучшие
воспоминания связаны с этими походами вместе с Львом Альбертовичем,
когда можно было ни о чем не беспокоиться, зная, что Лев Альбертович обо
всем подумает и все предусмотрит, а вечером у костра иногда побалует
нас, читая свои замечательные стихи. В таких походах у Льва Альбертовича
случались и новые знакомства, которые продолжались потом всю жизнь.

Я не знаю, чем это объяснить, но педантичный и суховатый на вид
Вайнштейн очень притягивал самых разных людей, у него было много
друзей и учеников, и они фактически составляли хотя и неофициальную,
но самую настоящую научную школу. Теперь это большая редкость, потому
что во главе такой школы должен стоять человек не только талантливый,
но и обладающий щедрой душой, привыкший всего себя отдавать людям.
Таким и был Лев Альбертович. Я помню, например, сколько времени и сил
он отдал редактированию сборников “Электроника больших мощностей”,
выпускавшихся в Физической лаборатории нашего Института. По поводу
первого из сборников, в котором была напечатана открывающая весь цикл
работа П.Л.Капицы по теории мощного электронного генератора — ниго-
трона, у него даже возник конфликт с Петром Леонидовичем. Много лет
спустя Лев Альбертович рассказал мне, что он серьезно переделал и
отредактировал эту статью, а к такому обращению со своими работами Петр
Леонидович не привык, и их отношения испортились настолько, что Вайнш-
тейн готовился к уходу из Института, но продолжал твердо стоять на своих
позициях. Вскоре Капица признал правоту Вайнштейна, и их отношения
восстановились, а редактирование всех последующих сборников было от-
дано в руки Льва Альбертовича.

Большое видится на расстоянии. Идет время, и начинаешь понимать, как
много значил Лев Альбертович в нашей жизни, в жизни его друзей и
учеников. Фок, Леонтович, Капица, Вайнштейн — эти выдающиеся ученые,
друзья и соратники, составили целую эпоху в науке, к ним в полной мере
применимы слова Лермонтова: “ ... богатыри, не вы”. Но доля им досталась
не плохая, они любили науку, она составляла смысл их жизни, и эта любовь
была взаимной, природа не поскупилась, приоткрыв им многие свои тайны.
В этом созвездии талантов Лев Альбертович был “последним из могикан”,
и он всегда останется для нас эталоном ученого и человека, недосягаемым
примером для подражания.

Е. Л. Косарев

Я был знаком и работал вместе с Львом Альбертовичем Вайнштейном с
1959 г., когда впервые попал в Институт физических проблем, еще будучи
студентом 4-го курса МФТИ, и вплоть до его смерти в 1989 г. Я знал его
прежде всего как учителя, как хорошего человека, с которым всегда можно
поделиться любыми сомнениями и получить ответ не только на научные
вопросы, но часто и в других областях. Но начну по порядку.

Моя первая встреча с Львом Альбертовичем произошла на вступитель-
ном экзамене (или собеседовании) в начале лета 1959 г., где он был вместе
с Г. П. Прудковским. В тот учебный год Лев Альбертович читал нам курс по
электродинамике в Долгопрудном, и я хорошо помню впечатление о его
книге “Электромагнитные волны”, которая являлась для меня своего рода
Библией. В отличие от курса лекций, к книге можно было возвращаться
многократно не только для разбора каких-то непонятных с первого раза
мест, но главным образом в связи с возникавшими новыми задачами. Не
было случая, чтобы я не нашел что-нибудь полезное в этой замечательной
книге. Конечно, ни в какую книгу нельзя поместить весь материал на
какую-либо тему. Скорее наоборот — мой собственный круг интересов
формировался этой книгой.

Большая часть всех моих первых публикаций была напечатана в сбор-
нике “Электроника больших мощностей”, выходившем с 1962 по 1969 годы.
Инициатором издания этих сборников был П. Л. Капица, а постоянным
научным редактором всех шести вышедших в свет выпусков был Лев
Альбертович. Один его совет я бы хотел привести здесь, так как я на
собственной практике убедился в его справедливости. Лев Альбертович
объяснил мне, что, прежде чем даваТь ссылку в собственной работе на
какую-либо чужую, надо, по крайней мере, найти ее и прочитать. Я помню,
что во многих работах по ускорителям часто повторялись ссылка на одну
работу Г. И. Будкера. Я получил из библиотеки книгу, в которой должна
была быть напечатана эта работа. Будкера (это были труды какой-то
конференции по ускорителям), где на соответствующей странице (той самой,
на которую все ссылались!) было напечатано: “Текст доклада Г. И. Будкера
не был представлен ... ”. С тех пор я строго следую этому совету Льва
Альбертовича.

Следующий цикл моих контактов с Львом Альбертовичем, наиболее
продолжительный по времени, начался с одной задачи, связанной с изме-
рением тока эмиссии в больших полях в микротроне. Я выписал соответст-
вующее уравнение, которое оказалось интегральным уравнением первого
рода, но никак не мог увидеть в этом уравнении что-нибудь похожее на
какой-либо стандартный тип. Лев Альбертович сразу показал мне, что
уравнение, которое я ему принес, сводится заменой переменных к интег-
ральному уравнению Абеля, и больше того, само это уравнение, без
всяких замен, является интегральным уравнением Шлемильха, описанное
в двухтомнике Уиттекера и Ватсона. Я прочитал там соответствующее
место, и мне стало ясно, что в действительности задача сводится к аппрок-
симации экспериментальной функции полиномами — задача, которой зани-
мались многие классики, начиная с Гаусса и Чебышева. Я узнал, что в то
время этой же задачей занималась Лидия Павловна Грабарь, жена Льва
Альбертовича.

С Лидией Павловной я был знаком с 1962 года, когда я проводил
вычисления на ЭВМ. В те времена ЭВМ уже не были экзотикой, но они были
еще не так распространены, как сейчас. Г. П. Прудковский через неведомые
мне каналы нашел слабо используемую ЭВМ, находившуюся в помещении
церкви. Внутри была цела вся церковная роспись потолков, и я мог любо-
ваться ею во время моих ночных бдений рядом с ЭВМ. Лидия Павловна
объяснила мне тогда, с чего надо начинать, и дала мне несколько необходи-
мых книжек по программированию на этой ЭВМ марки “Урал-1", которая
работала со скоростью около 100 операций в секунду и вдобавок была с
фиксированной запятой. Я интегрировал тогда методом Рунге — Кутта
релятивистское уравнение движения электрона в резонаторе. В безразмер-
ных переменных его скорость не должна была превосходить единицу, у меня
однако получалось, что в какой-то момент она превосходила единицу, т.е.
становилась больше скорости света! Некоторое время я был в недоумении,
но потом, по совету Льва Альбертовича, я проверил вручную все вычисления
вблизи подозрительной точки, и в результате выяснилось, что был взят
слишком крупный шаг интегрирования. Я подобрал правильный шаг, и все
стало нормально.

Последний раз я видел Льва Альбертовича примерно за месяц до его
кончины. Хотя он чувствовал себя тогда, безусловно, плохо, однако приезжал
в Институт с дачи в связи с какими-то делами по работе. В то время он был
увлечен работами, связанными с лазерами на свободных электронах —
области, близкой Льву Альбертовичу с его классических работ по лампам
бегущей волны. Однако я не был близок к этим работам и потому кончаю на
этом свои краткие воспоминания.
Список научных трудов Л. А. Вайнштейна

1.	Депрессия дробового эффекта в цилиндрических диодах. ЖТФ. 1947.
Т. 17. № 9. С. 1035—1044.

2.	К теории дробового эффекта. ЖТФ. 1947. Т. 17. № 9. С. 1045-—1050.

3.	О связи диффузии с ростом новой фазы в твердых телах. Докл. АН
СССР. 1947. Т. 58. № 8. С. 1621—1624. (В соавторстве с М. И. Захаровой).

4.	Об отражении звуковой волны в трубе от открытого конца. Докл. АН
СССР. 1947. Т. 58. № 9. С. 1957—1960.

5.	О возбуждении волны Eq в круглом волноводе с помощью коаксиальной
линии. Докл. АН СССР. 1948. Т. 59. № 8. С. 1421—1424.

6.	Строгое решение задачи о плоском волноводе с открытым концом. Изв.
АН СССР. 1948. Т. 12. № 2. С. 144—165

7.	Теория дробового эффекта при наличии пространственного заряда.
Сборник научных трудов. 1948. Вып. 11. С. 3—49. Изд. Сов. радио.

8.	Отражение электромагнитных волн от проводящей пленки с отверс-
тиями и распределение тока в ней. Сборник научных трудов. 1948. Вып. 11.
С. 64—78. Изд. Сов. радио.

9.	Строгое решение задачи о плоском волноводе с открытым концом.
Сборник научных трудов. 1948. Вып. 11. С. 79—НО. Изд. Сов. радио.

10.	К теории диффракции на двух параллельных полуплоскостях. Изв.
АН СССР, сер. физ. 1948. Т. 12. № 2. С. 166—180.

11.	Теория симметричных волн в круглом волноводе с открытым концом.
ЖТФ. 1948. Т. 18. № 12. С. 1543—1564.

12.	Теория звуковых колебаний в открытых трубах. ЖТФ. 1949. Т. 19.
№ 8. С. 911—930.

13.	К теории вынужденных колебаний двухпроводной линии. Ученые
записки МГУ. 1949. Вып. 134. Физика (кн. 5). С. 24—30.

14.	Излучение несимметричных электромагнитных волн из открытого
конца круглого волновода. Докл. АН СССР. 1950. Т. 74. № 3. С. 485—488.

15.	О диффракции на открытом конце волновода, диаметр которого
значительно больше длины волны. Докл. АН СССР. 1950. Т. 74. № 5.
С. 909—912.

16.	Общая теория несимметричных волн в круглом волноводе с открытым
концом. ЖТФ. 1951. Т. 21. № 3. С. 328—345.

17.	Численные результаты теории несимметричных волн в круглом
волноводе с открытым концом (волны Е1 и Hi). ЖТФ. 1951. Т. 21. № 3.
С. 346—357.

18.	Возбуждение объемных резонаторов. ЖТФ. 1953. Т. 23. № 4.
С. 646—653.

19.	Возбуждение волноводов. ЖТФ. 1953. Т. 23. № 4. С. 654—666.

20.	Диффракция электромагнитных и звуковых волн на открытом конце
волновода. М.: Сов. радио, 1953. 204 с.
21.	Диафрагмы в волноводах. ЖТФ. 1955. Т. 25. № 5. С. 841—846.

22.	Диффракция электромагнитных волн на решетке из параллельных
проводящих полос. ЖТФ. 1955. Т. 25. № 5. С. 847—852.

23.	Электронные волны в замедляющих системах. Ч. I. Общая теория.
ЖТФ. 1956. Т. 26. № 1. С. 126—140.

24.	Электронные волны в замедляющих системах. Ч. II. Конкретные
задачи. ЖТФ. 1956. Т. 26. № 1. С. 141—148.

25.	Поверхностные электромагнитные волны над гребенчатой структу-
рой. ЖТФ. 1956. Т. 26. № 2. С. 385—397.

26.	О распространении радиоволн вблизи горизонта при сверхрефракции.
РЭ. 1956. Т. 1. № 5. С. 575—592. (В соавторстве с В.А.Фокоми М.Г.Белкиной).

27.	Характеристики излучения сферических поверхностных антенн. В
сборнике “Дифракция электромагнитных волн на некоторых телах враще-
ния”. М.: Сов. радио, 1957. С. 57—125. (В соавторстве с М.Г.Белкиной).

28.	Электромагнитные волны. М.: Сов. радио. 1957. 581 С.

29.	Электронные волны в замедляющих системах. О нелинейных урав-
нениях ЛБВ. РЭ. 1957. Т. 2. № 6. С. 688—695.

30.	Нелинейная теория лампы бегущей волны. Ч. I. Уравнения и законы
сохранения. РЭ. 1957. Т. 2. № 7. С. 883—894.

31.	Нелинейная теория лампы бегущей волны. Ч. II. Численные резуль-
таты. РЭ. 1957. Т. 2. К» 8. С. 1027—1047.

32.	Theorie non lineaire du tube a propagation d'onde. L’onde electrique.
1957. V. 37. № 367. P. 824—830.

33.	Метод приближенного разделения переменных и его применение к
граничным задачам электродинамики и акустики. ЖТФ. 1957. Т. 27. № 9.
С. 2109—2128.

34.	Электронные волны в периодических структурах. ЖТФ. 1957. Т. 27.
№ 10. С. 2340—2352.

35.	Групповая скорость затухающих волн. ЖТФ. 1957. Т. 27. Ко 11.
С. 2606—2614.

36.	Нелинейная теория лампы бегущей волны. Ч. III. Влияние сил
расталкивания. РЭ. 1958. Т. 3. № 1. С. 80—84. (В соавторстве с Г.Ф.Фили-
моновым).

37.	Распространение радиоволн по приземному тропосферному волново-
ду. РЭ. 1958. Т. 3. № 12. С. 1411—1429. (В соавторстве с В.А.Фоком и
М.Г.Белкиной).

38.	Les ondes electroniques dans le lignes a retard. L’onde electrique. 1958.
V. 38. № 380. P. 766—776.

39.	По поводу критических замечаний Г. Л. Сучкина. ЖТФ. 1958. Т. 28.
№ 10. С. 2349—2352.

40.	О влиянии металлической оболочки на заднее излучение направлен-
ных антенн. РЭ. 1959. Т. 4. № 4. С. 566—575. (В соавторстве с М.Г.Белкиной).

41.	Радиолокационное обнаружение “мерцающего объекта” на фоне
коррелированных помех. Ч. I. Когерентная пачка сигналов. РЭ. 1959. Т. 4.
№ 5. С. 735—744.

42.	Радиолокационное обнаружение “мерцаюфего’ объекта” на фоне
коррелированных помех. Ч. II. Некогерентная пачка сигналов. РЭ. 1959.
Т. 4. К° 7. С. 1071—1078.

43.	Волны тока в тонком цилиндрическом проводнике. I. Ток и импеданс
передающего вибратора. ЖТФ. 1959. Т. 29. Кв 6. £. 673—688.
44.	Волны тока в тонком цилиндрическом проводнике. II. Ток в пассивном
вибраторе и излучение передающего вибратора. ЖТФ. 1959. Т. 29. № 6.
С. 689—699.

45.	Статические граничные задачи для полого цилиндра конечной
длины. ЖТФ. 1959. Т. 29. № 10. С. 1177—1187. (В соавторстве с ПЛ.Ка-
пицей и В.А.Фоком).

46.	Симметричные электрические колебания проводящего полого ци-
линдра конечной длины. ЖТФ. 1959. Т. 29. № 10. С. 1188—1205. (В соавтор-
стве с ПЛ.Капицей и В.А.Фоком).

47.	Выделение сигналов на фоне случайных помех. М.: Сов. радио. 1960.
448 с. (В соавторстве с В.Д. Зубаковым).

48.	Волны тока в тонком цилиндрическом проводнике. III. Вариационный
метод и его применение к теории идеального и импедансного проводов. ЖТФ.
1961. Т. 31. № 1. С. 29—44.

49.	Волны тока в тонком цилиндрическом проводнике. IV. Входной
импеданс вибратора и точность формул. ЖТФ. 1961. Т. 31. № 1. С. 45—50.

50.	Рассеяние плоских и цилиндрических волн на эллиптическом цилинд-
ре и концепция дифракционных лучей. РЭ. 1961. Т. 6. № 1. С. 31—46.
(В соавторстве с А.А.Федоровым).

51.	Поперечная диффузия при дифракции на импедансном цилиндре
большого радиуса. Ч. I. Параболическое уравнение в лучевых координатах.
РЭ. 1961. Т. 6. № 8. С. 1247—1258. (В соавторстве с Г.Д.Малюжинцем).

52.	Поперечная диффузия при дифракции на импедансном цилиндре
большого радиуса. Ч. II. Асимптотические законы д ифракции в поляр-
ных координатах. РЭ. 1961. Т. 6. № 9. С. 1489—1495. (В соавторстве с Г.
Д. Малюжинцем).

53.	Радиационное торможение электронных сгустков в микротроне.
ЖЭТФ. 1962. Т. 42. № 3. С. 821—830. (В соавторстве с С.П.Капицей).

54.	Extraction of signals from noise. 1962. Prentice-Hall. 1962. 382 p.
(В соавторстве с В.Д.Зубаковым).

55.	Статические граничные задачи для полого цилиндра конечной длины.
II. Численные результаты. ЖТФ. 1962. Т. 32. № 10. С. 1157—1164.

56.	Статические граничные задачи для полого цилиндра конечной длины.
III. Приближенные формулы. ЖТФ. 1962. Т. 32. № 10. С. 1165—1173.

57.	Поперечная диффузия при дифракции коротких волн на вы-
пуклом цилиндре с плавно меняющейся кривизной. Ч. I. РЭ. 1963. Т. 8.
№ 3. С. 363—376. (В соавторстве с В.А.Фоком).

58.	Поперечная диффузия при дифракции коротких волн на выпук-
лом цилиндре с плавно меняющейся кривизной. Ч. II. РЭ. 1963. Т. 8. № 3.
С. 377—388. (В соавторстве с В.А.Фоком).

59.	Открытые резонаторы для квантовых генераторов света. ЖЭТФ. 1963.
Т. 44. № 3. С. 1050—1067.

60.	Открытые резонаторы со сферическими зеркалами. ЖЭТФ. 1963.
Т. 45. № 3(9). С. 684—697.

61.	К электродинамической теории решеток. I. Идеальная решетка в
свободном пространстве. Электроника больших мощностей. Сб. 2. М.: Наука,
1963. С. 26—56.

62.	К электродинамической теории решеток. II. Учет конечной проводи-
мости. Электроника больших мощностей. Сб. 2. М.: Наука, 1963. С. 57—74.
63.	Нормальные координаты в теории замкнутых резонансных цепочек.
Электроника больших мощностей. Сб. 2. М.: Наука, 1963. С. 75—82.

64.	К теории бесконтактных поршней. Электроника больших мощностей.
Сб. 2. М.: Наука, 1963. С. 83—97.

65.	Диафрагмы для волны Hoi в круглом волноводе. Электроника
больших мощностей. Сб. 2. М.: Наука, 1963. С. 98—108; (В соавторстве с
Ю.М.Петрусевичем и Л.А.Прозоровой).

66.	Об излучении заряда при круговом движении. РЭ. 1963. Т. 8. № 10.
С. 1698—1705.

67.	Fale Electreomagnetyczne. Warszawa. Panstwowe wydawnictwo nauk-
owe.

68.	On the transverse diffusion of short waves diffracted by a convex
cylinder. “Electromagnetic theory and antennas. Proceedings of a symposium
held in Copengagen”. Part I. P. 11—25. (Pergamon). (В соавторстве c
В.А.Фоком).

69.	Дифракция в открытых резонаторах и открытых волноводах с плос-
кими зеркалами. ЖТФ. 1964. Т. 34. № 2. С. 193—204.

70.	Открытые резонаторы с цилиндрическими зеркалами. ЖТФ. 1964.
Т. 34. № 2. С. 205—217.

71.	Стабильность колебаний в генераторах магнетронного типа. Электро-
ника больших мощностей. Сб. 3. М.: Наука, 1964. С. 36—69.

72.	Бочкообразные открытые резонаторы. Электроника больших мощнос-
тей. Сб. 3. М.: Наука, 1964. С. 176—215.

73.	Связанные колебания объемных резонаторов. Электроника больших
мощностей. Сб. 3. М.: Наука, 1964. С. 216—230.

74.	Геометрическая оптика открытых резонаторов. ЖЭТФ. 1964. Т. 47.
№ 8. С. 508—517. (В соавторстве с В. П. Быковым).

75.	Дифракция плоских волн на щели и ленте. РЭ. 1964. Т. 9. № 10.
С. 1800—1811. (В соавторстве с М.Д.Хаскиндом).

76.	Возбуждение открытых резонаторов. ЖТФ. 1964. Т. 34. № 9.
С. 1541—1555.

77.	Лучевые потоки в трехосном эллипсоиде. Электроника больших
мощностей. Сб. 4. М.: Наука, 1965. С. 93—105.

78.	Дифракция в открытых резонаторах с софокусными зеркалами.
I. Электроника больших мощностей. Сб. 4. М.: Наука. 1965. С. 106—129.

79.	Дифракция в открытых резонаторах с софокусными зеркалами.
II,III. Электроника больших мощностей. Сб. 4. М.: Наука. 1965. С. 130—156.

80.	Возбуждение электромагнитных колебаний в открытых резонаторах.
Электроника больших мощностей. Сб. 4. М.: Наука, 1965. С. 157—172.

81.	Теория диффракции и метод факторизации. М.: Сов. радио, 1966.
432 с.

82.	Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.: Сов. радио, 1966.
475 с.

83.	Симметричные электрические колебания идеально проводящего по-
лого цилиндра конечной длины. II. Численные результаты для пассивного
вибратора. ЖТФ. 1967. Т. 37. № 7. С. 1181—1188.

84.	Симметричные электрические колебания идеально проводящего по-
лого цилиндра конечной длины. III. Передающий вибратор. Общие замеча-
ния. ЖТФ. 1967. Т. 37. № 7. С. 1189—1195. (В соавторстве с В.А.Фоком).

75’
85.	Пространственный заряд в скрещенных полях. Электроника больших
мощностей. Сб. 5. М.: Наука, 1968. С. 147-—194.

86.	Метод параболического уравнения в теории диффракции и распро-
странения волн. Труды I Всесоюзной школы-семинара по дифракции и
распространению волн. Москва—Харьков, 1968. С. 135—149.

87.	Избранные вопросы теории открытых резонаторов. Труды I-й Всесо-
юзной школы-семинара по диффракции и распространению волн. Москва—
Харьков, 1968. С. 196—210.

88.	Open resonators and open waveguides. The Golem Press. Boulder.
Colorado.

89.	Общая теория резонансных электронных автогенераторов. Электро-
ника больших мощностей. Сб. 6. М.: Наука, 1969. С. 84—129.

90.	The theory of diffraction and the factorisation method. The Golem Press.
Boulder. Colorado.

91.	Метод двойной редукции и бесконечные системы линейных уравнений
для коэффициентов разложения искомой функции с особенностями. ДАН
СССР. 1970. Т. 194. № 4. С. 794—797. (В соавторстве с М.Г.Белкиной).

92.	Метод факторизации и его применение в теории дифракции. В кн.
“Аналитические методы в теории дифракции и распространения волн”
/ Под ред. С. В. Бутаковой. (В соавторстве с П.Я.Уфимцевым).

93.	Основы сверхвысокочастотной электроники. Лекции в I-й зимней
школе-семинаре инженеров по теоретической электронике СВЧ. Изд-во
Саратовского ун-та, 1970. С. 3.

94.	Электродинамика тонких проводников. Труды V Всесоюзного симпо-
зиума по дифракции и распространению волн. Л.: Наука, 1971. (В соавтор-
стве с Н.И.Шамеевой).

95.	К теории синтеза антенн: общие положения и конкретные задачи. РЭ.
1971. Т. 16. № 12. С. 2182—2187. (В соавторстве с Л.П.Грабаръ).

96.	New numerical methods in the theory of diffraction, propagation and
radiation of electromagnetic waves. В сб. “Теория электромагнитных волн.
Труды международного симпозиума”. М.: Наука. 1971. С. 25. (В соавторстве
с А.А.Аветисяном, М.Г.Белкиной, Н.И.Лесик и Л.П.Грабаръ).

97.	Фильтрация помех при численном решении интегральных уравнений
первого рода. Докл. АН СССР. 1972. Т. 204. № 5. С. 1067—1070.

98.	О численном решении интегральных уравнений первого рода с
использованием априорных сведений о восстанавливаемой функции. Докл.
АН СССР. 1972. Т. 204. № 6. С. 1331—1334.

99.	Пространственный заряд в магнетронных приборах. Лекции по элек-
тронике СВЧ. (2-я школа-семинар инженеров), книга III. Изд-во Саратов-
ского ун-та, 1972. С. 3—129. (В соавторстве с А. С. Рошалем).

100.	Четыре лекции по квазиоптике. Изд-во Ленинградского ун-та, 1972.
77 с. (В соавторстве с Н. И. Лесик).

101.	Сигналы в длинной линии с поглощением и дисперсией. РЭ. 1973.
Т. 18. № 3. С. 449—460. (В соавторстве с Е. С. Биргером).

102.	Лекции по сверхвысокочастотной электронике. М.: Сов. радио, 1973.
400 с. (В соавторстве с В. А. Солнцевым).

103.	О распространении высокочастотных возмущений в поглощающих и
активных средах. ЖТФ. 1973. Т. 43. № 11. С. 2217—2228. (В соавторстве с
Е.С.Биргером).
104.	Коаксиальные резонаторы. РЭ. 1973. Т. 18. № 9. С. 1777—1784.
(В соавторстве с А.Б Маненковым).

105.	Краткий курс квазиоптики. Харьков, 1973. 123 с. (В соавторстве с
Н.И.Лесик).

106.	Коаксиальные резонаторы. Труды VI Всесоюзного симпозиума по
дифракции и распространению волн. Ереван, 1973. С. 112. (В соавторстве с
А.Б.Маненковым).

107.	Распространение квазимонохроматических плоских волн. Труды VI
Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн. Ереван.
1973. С. 201.

108.	Распространение импульсов. Лекции по электронике СВЧ. (3-я
школа-семинар инженеров), книга V. Изд-во Саратовского ун-та, 1974.
С. 3—87.

109.	Propagation of quasi-monochromatic plane waves in absorbing and
amplifying media. Proceedings of the fifth colloquium on microwave commu-
nication. V. 3. Budapest, 1974. P. 429—435.

110.	Распространение импульсов. 4-я Всесоюзная школа-семинар по
дифракции и распространению волн. Рязань. С. 1—92.

111.	Памяти В. А. Фока. РЭ. 1975. Т. 20. № 8. С. 1771—1772.

112.	Интеграл по траекториям и коротковолновая диагностика цилинд-
рической плазмы. ЖТФ. 1976. Т. 46. № 11. С. 2271—2279. (В соавторстве с
Э.А.Тищенко).

ИЗ. Отделение погрешностей при численном дифференцировании. Ин-
женерно-математические методы в физике и кибернетике. Вып. 5. М.:
Атомиздат, 1976. С. 64—68. (В соавторстве с А.С.Рошалем).

114.	Дифракция волнового пучка на плазменном цилиндре. ЖВМ и
МФ. 1976. Т. 16. № 6. С. 1526—1538. (В соавторстве с Е.С.Биргером и
Н.Б.Конюховой).

115.	Коротковолновая диагностика плазменного шнура. Физика плазмы.
1976. Т. 2. № 4. С. 658—671. (В соавторстве с Е.С'.Биргером, Н.Б.Конюховой,
Е.Л.Косаревым и Г.П.Прудковским).

116.	Распространение импульсов. УФН. 1976. Т. 118. № 2. С. 339—367.

117.	Об отражении и преломлении плоской волны на плоской границе
пассивной и активной сред. Вопросы математической физики. Ленинград:
Наука, 1976. С. 64—68.

118.	0 распространении импульсов с отрицательной групповой скоростью.
ЖТФ 1976. Т. 81. № 1. С. 212—214. (В соавторстве с Е.С.Биргером).

119.	Волны в щелевом и полосковом волноводах: вариационный метод и
простейшие результаты. РЭ. 1976. Т. 21. № 6. С. 1137—1148. (В соавторстве
с А.Т.Фиалковским).

120.	Диагностика плазменного шнура по его коротковолновому теплово-
му излучению. Физика плазмы. 1977. Т. 3. № 1. С. 124—134. (В соавторстве
с ЭА.Тищенко).

121.	Метод опорных частиц в одномерной нелинейной теории лампы с
бегущей волной. РЭ. 1977. Т. 22. № 2. С. 327—337. (В соавторстве с
М.В.Назаровой и В.А.Солнцевым).

122.	Амплитуда, фаза, частота — основные понятия теории колебаний.
УФН. 1977. Т. 123. № 4. С. 657—682. (В соавторстве с Д.Е.Бакманом).

123.	Коротковолновая диагностика плазмы: обратная задача дифракции
электромагнитных волн. Труды VII Всесоюзного симпозиума по дифракции
и распространению волн. Москва, 1977. С. 17. (В соавторстве с Е.С.Биргером,
В.Г.Зацепиным, Н.Б.Конюховой, Э.А.Тищенко).

124.	Short wave plasma diagnostics: inverse problem of electromagnetic
diffraction on a sylindrical column. URSI Symposium on Electromagnetic wave
theory. Standford. California. USA, 1977. P. 19.

125.	Квазистатическая теория основной волны в щелевой линии. РЭ. 1977.
Т. 22. № 9. С. 1820—1828. (В соавторстве с Н.И.Лесик и Б.В.Кондратьевым).

126.	О низкочастотных колебаниях под действием высокочастотной силы.
ЖТФ. 1978. Т. 48. № 7. С. 1321—1325. ( В соавторстве с Я.Б.Дубошинским).

127.	Метод опорных частиц в сверхвысокочастотной электронике. Лекции
по электронике СВЧ. (4-я школа-семинар инженеров), книга II. Изд-во
Саратовского ун-та, 1978. С. 3—34. (В соавторстве с М.И.Назаровой).

128.	Аналитический сигнал в теории колебаний и волн. Лекции по
электронике СВЧ. (4-я школа-семинар инженеров), книга III. Изд-во Сара-
товского ун-та. 1978. С. 3—43. (В соавторстве с Д.Е.Вакманом).

129.	О релятивистских электронных приборах типа О. Ч. I. Линейная
теория. ЖТФ. 1979. Т. 49. № 6. С. 1129—1136.

130.	О релятивистских электронных приборах типа О. Ч. II. Нелинейная
теория. ЖТФ. 1979. Т. 49. № 6. С. 1137—1144.

131.	Метод разделения спектров в задаче о двумерном движении заря-
женных частиц в сильном магнитном поле. РЭ. 1979. Т. 24. № 8. С. 1599—1607.
(В соавторстве с Д.Е.Бакманом).

132.	Аналитический сигнал в теории нестационарных колебаний и волн.
В сб. Математические вопросы теории распространения волн. М.: ИРЭ АН
СССР. 1979. С. 5—87.

133.	О движении электронов в магнетронных и гирорезонансных прибо-
рах. РЭ. 1979. Т. 24. № 8. С. 1608—1616. (В соавторстве с Д.Е.Вакманом).

134.	Виртуальные лучи в задаче о дифракции на клине. Труды VIII
Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространений волн. Москва,
1981. С. 228. (В соавторстве с П.Я.Уфимцевым).

135.	' Интерференция независимых волновых пучков малой интенсивнос-
ти. ЖЭТФ. 1981. Т. 81. № 6 (12). С. 2000—2012.

136.	Введение в электродинамику. Лекции по электронике СВЧ и радио-
физике. (5-я зимняя школа-семинар инженеров). Книга III. Изд-во Саратов-
ского ун-та, 1981. 285 С.

137.	К теории фликкерного шума. ЖЭТФ. 1982. Т. 83. № 5(11).
С. 1841—1850.

138.	Виртуальные лучи в задаче о дифракции на клине. РЭ. 1982.
Т. 27. № 4. С. 625—633. (В соавторстве с П Я.Уфимцевым).

139.	Электронный генератор с открытым резонатором (обзор теорети-
ческих и экспериментальных исследований). РЭ. 1983. Т. 28. № 7.
С. 1233—1249. (В соавторстве с В.А.Исаевым и Д.И.Трубецковым).

140.	Квазиоптические системы и их применение в сверхвысокочастотной
электронике. Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. (6-я зимняя
школа-семинар инженеров). Книга III. Изд-во Саратовского ун-та. 1983.
178 с. (В соавторстве с Н.ИЛесик, А.Г.Рожнёвым и Д.И.Трубецковым).

141.	Воздействие фликкерного шума на автогенератор. Материалы III
Всесоюзной конференции “Флуктуационные явления в физических систе-
мах”. Вильнюс. 1983. С. 155. (В соавторстве с Д.Е.Вакманом).

142.	Разделение частот в теории колебаний и волн. М.: Наука, 1983.
288 с. (В соавторстве с Д.Е.Вакманом).
143.	Дифракция на волнистой поверхности: сравнение численных мето-
дов. РЭ. 1984. Т. 29. № 8. С. 1472—1478. (В соавторстве с А.И.Суковым).

144.	Дифракция на периодической (волнистой) поверхности. ИРЭ
АН СССР. Препринт № 8(380). Москва, 1984. С. 123. (В соавторстве с
А.И. Суковым).

145.	Теория магнитного шума со спектром 1/со и ее обобщение. ЖЭТФ.
1984. Т. 87. № 6(12). С. 2142—2151. (В соавторстве с В.В.Рождественским).

146.	О стационарных случайных процессах со спектром 1/<в. Докл. АН
СССР. 1985. Т. 285. Я» 3. С. 609—612.

147.	О строгом решении одной дифракционной задачи. Труды IX Всесо-
юзного симпозиума по дифракции и распространению волн. Тбилиси, 1985.
С. 243. (В соавторстве с В. И.Вольманом).

148.	О стационарных случайных процессах со спектром 1/со. Тезисы
докладов IV Всесоюзной конференции “Флуктуационные явления в физи-
ческих системах”. Пущино, 1985. С. 45.

149.	О строгом решении одной дифракционной задачи. Докл. АН СССР.
1986. Т. 286. № 6. С. 1360 1364. (В соавторстве с В.И.Вольманом).

150.	К расчету омических потерь на краях тонких металлических плас-
тин. Докл. АН СССР. 1986. Т. 289. № 6. С. 1338—1342. (В соавторстве с
С. М. Журавом и А. И. Суковым).

151.	Сильный скин-эффект на краях тонких металлических пластин.
Письма в ЖЭТФ. 1986. Т. 12. № 12. С. 723—727. (В соавторстве с
С .М. Журавом).

152.	Возбуждение открытых волноводов. Лекции по электронике СВЧ и
радиофизике. (7-я зимня школа-семинар инженеров). Книга I. Изд-во Сара-
товского ун-та, 1986. С. 141—197. (В соавторстве с А.Б.Маненковым).

153.	The microtron and the free electron laser. Nuclear Instruments and
Methods in Physics Research. 1987. V. A259. № 1, 2. P. 285—287. (В соавтор-
стве с С.П.Капицей, ГД.Богомоловым и В.В.Завъяловым).

154.	О фотодетектировании интерференционных полей при малом числе
фотонов. ЖЭТФ. 1987. Т. 92. № 4. С. 1256—1264.

155.	Спонтанное и индуцированное излучение свободных электронов.
ЖЭТФ. 1988. Т. 94. № 5. С. 4050.

156.	Проблемы дифракции в работах В. А. Фока. Природа. 1988. № 11.
С. 25—33.

157.	Краевые токи и краевые потери в проводящих пластинах и пленках.
В сб. “Актуальные задачи дифракции. Казань, 1988. С. 22. (В соавторстве с
С.М-Журавом).

158.	Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. 440 с.

159.	Численное исследование свободных электрических осесимметрич-
ных колебаний идеально проводящего вытянутого сфероида. ЖФМ и МФ.
1989. Т. 29. № 4. С. 535—553. (В соавторстве с А.А.Абрамовым, А'.Л.Дышко
и Н:Б.Конюховой).

160.	Спонтанное и индуцированное излучение в вакуумной электронике.
Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. (8-я зимняя школа-семинар
инженеров). Книга I. Изд-во Саратовского ун-та, 1989. С. 4—24. (В соавтор-
стве с А.И.Клеевым).

161.	Кооперативное излучение из малых объемов в квантовой и класси-
ческой (вакуумной) электронике. Лекции по электронике СВЧ и радиофи-
зике. (8-я зимняя школа-семинар инженеров). Книга I. Изд-во Саратовского
ун-та, 1989. С. 25—53. (В соавторстве с А.И.Клеевым).

162.	Энергия Шотта и излучение элементарного диполя. Докл. АН СССР.
1990. Т. 311. № 2. С. 597—600.

163.	Кооперативное излучение электронов-осцилляторов. Докл. АН
СССР. 1990. Т. 311. JMs 4. С. 862—866. (В соавторстве с А.И.Клеевым).

164.	Кооперативное излучение электронов-осцилляторов из малых
объемов. Волны и дифракция 90. М.: Физическое общество, 1990. С. 1720.
(В соавторстве с А.И.Клеевым).

165.	Обращение к участникам Чистопольской школы. Волны и дифракция
90. М.: Физическое общество, 1990. С. 13 16.

166.	О полевых и электронных колебаниях и волнах в сверхвысокочас-
тотной вакуумной электронике. РЭ. 1990. Т. 35. № 4. С. 837—844.

167.	Спонтанное и индуцированное излучение электронов, взаимодейст-
вующих с волной шепчущей галереи. РЭ. 1991. Т. 26. № 2. С. 377—386.
(В соавторстве с А.И.Клеевым и- В.А.Солнцевым).

168.	Radiation from the relativistic electron interacting with the whis-
peringgallery mode. Nuclear Instruments and Methods in Physics Re-
search. 1991. V. A308. № 12. P. 94—96. (В соавторстве с А.И.Клеевым и
В.А.Солнцевым).